/
Author: Фролов К.В.
Tags: общее машиностроение технология машиностроения машиноведение машиностроение теоретическая механика теоретическая физика
ISBN: 5-217-02912-9
Year: 1999
Text
МАШИНОСТРОЕНИЕ
ЭНЦИКЛОПЕДИЯ
В СОРОКА ТОМАХ
РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ
ФРОЛОВ К.В.
Председатель редакционного совета
S С Н < < “! W X и! X м
w < “ 2 X и са са w 6 <
Члены совета:
БелЯНИН П.Н. (зам. Председателя редсовета и главного
редактора), Колесников К.С. (зам. Председателя редсовета
и главного редактора), Адамов Е.О., АНТОНОВ
Анфимов Н.А., Асташов В.К., Бессонов
Васильев В.В., Глебов И.А., Долбенко
Жесткова И.Н., Клюев В.В., Ковалевский
Коптев Ю.Н., Ксеневич И.П., Мартынов
Михайлов В.Н., Новожилов Г.В., Носов
Образцов И.Ф., Огурцов А.П., Панин
Паничев Н.А., Патон Б.Е., Петриченко
Платонов В.Ф., Пугин Н.А.. Салтыков
Свищев Г.П., Силаев И.С., Сосковец
Туполев А.А., Федосов Е.А., Фокин
Фортов В.Е., Черный Г.Г., Шемякин Е.И.
МОСКВА “МАШИНОСТРОЕНИЕ” 1999
Раздел I
ИНЖЕНЕРНЫЕ
МЕТОДЫ РАСЧЕТОВ
Том 1-2
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
ТЕРМОДИНАМИКА
ТЕПЛООБМЕН
Редакторы-составители
академики РАН К.С. Колесников, А.И. Леонтьев
Ответственный редактор академик РАН
К.С. Колесников
Редакторы тома: К.С. Колесников (Статика. Кинематика),
В.В. Румянцев (Динамика), Ю.В. Полежаев (Термодинамика. Теплообмен)
МОСКВА “МАШИНОСТРОЕНИЕ” 1999
ББК
34.44
М 38
УДК 621.01/03
Издание осуществлено при поддержке
Российского фонда фундаментальных исследований
Авторы: К. С. Колесников, В. В. Румянцев, А. И. Леонтьев, Ю. В. Поле-
жаев, О. М. Алифанов, Ю. А. Архангельский, В. В. Белецкий, В .Г. Демин,
Л. А. Домбровский, Г. А. Дрейцер, В. Н. Елисеев, В. Ф. Журавлёв, В. Г. Кинелев,
Н. Н. Колесников, Д. С. Михатулин, И. В. Новожилов, В. С. Охотин, В. А. Сам-
сонов, В. В. Сычев, К. Е. Якимова
Рецензенты: В. Н. Скимель, И. Л. Мостинский
Рабочая группа Редакционного совета: К. С. Колесников, П. Н. Беля-
нин, В. В. Васильев, В. К. Асташов, А. П. Бессонов, Н. Н. Боброва, Е. Т. Дол-
бенко, И. Н. Жесткова
Машиностроение. Энциклопедия / Рсд. совет: К. В. Фролов (прел.) и др. - М.: Машиностроение.
М 38 Теорелнеская механика. Термодинамика. Теплообмен. Т. 1-2 / К. С. Колесников, В. В. Румянцев,
А. И. Леонтьев, Ю. В. Полежаев и др.; Под общ. ред. К. С. Колесникова, А. И. Леонтьева.
1999. - 600 с., ил.
ISBN 5-217-02912-9 (Т- 1-2)
ISBN 5-217-01949-2
В части I рассмотрены основы статики, кинематики твердого тела; динамики различ-
ных систем материальных точек; вопросы аналитической механики; динамика твердого тела;
гироскопические системы; движение искусственного спутника относительно центра масс;
теория удара; вариационные принципы механики.
В части II изложены основы термодинамики; процессы течения газов и жидкостей; те-
плофизические свойства твердых тел и защитных покрытий; теплообмен при вынужденной
конвекции, кипении, физико-химических превращениях и в гетерогенных потоках; методы
расчета теплообмена излучением; тепловая зашита.
ББК 34.44
ISBN 5-217-02912-9 (Т. 1-2)
ISBN 5-217-01949-2
© Издательство "Машиностроение", 1999 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ЧАСТЬ I ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХА-
НИКА .......................... II
ВВЕДЕНИЕ ........................... и
Раздел 1. СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕ-
ЛА (К С. Колесников).... 12
Глава 1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
И ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕ-
НИЯ СТАТИКИ.............. 12
1.1.1. Некоторые определения 12
I 1.2. Момент силы относи-
тельно оси. Пара сил....... 13
I I 3. Приведение системы сил
к данному центру............. 14
1 1.4 Связи и их реакции... И
Глава 1.2. РАВНОВЕСИЕ ТВЕР-
ДОГО ТЕЛА................ 16
12.1 . Равновесие твердого
тела, подверженного дейст-
вию сходящейся системы сил 16
1.2 2 Последовательность ре-
шения задач статики........ 16
1.2.3 Равновесие твердого тела
под действием произвольной
системы сил.................. 17
I 2.4. Равновесие системы тел 19
1.2.5 Расчет плоских ферм.. 22
1.2.6. Распределенные силы. 22
1.2.7 Статически неопредели-
мые системы.................. 23
Глава 1.3. УЧЕТ СИЛ ТРЕНИЯ....... 24
1.3.1. Силы трения скольжения
(сухого трения).............. 24
1.3.2. Равновесие тела при
наличии сухого трения... 24
1.3.3. Реакция связи при ка-
чении ....................... 25
1.3.4. Ведомое и ведущее ко-
леса ........................ 26
Раздел 2. КИНЕМАТИКА (В. Г. Кине-
лев).................. 27
Глава 2.1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ .. 27
2.1.1. Способы задания движе-
ния точки. Скорость, ускоре-
ние точки.................... 27
2.1 2 Кинематика сложного
движения точки ... 31
Глава 2.2. КИНЕМАТИКА ТВЕР-
ДОГО ТЕЛА 32
22 1 Простейшие движения
твердого тела .............. 32
2 2 2 Движение твердого тел.»
вокруг неподвижной точки 33
2.2 3 Сложение движений . .. 3S
Раздел 3. ДИНАМИКА 3S
Глава 3.1. ОБ ОСНОВНЫХ ЗАКО- НАХ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕ-
ХАНИКИ (В. В Румянцев) 3.1.1. Некоторые определения 3S 38
и понятия 3.1.2. Законы движения Нью-
тона 3.1.3. Математическое выраже- ние и современная трактовка 39
законов Ньютона 31.4. Относительное движе- ние. Принцип относительно- 39
сти Галилея 41
3.1.5. Принцип Д’Аламбера 42
Глава 3.2. ДИНАМИКА МАТЕРИ- АЛЬНОЙ ТОЧКИ (Я. Н. Ко-
лесников) 3.2.1. Дифференциальные урав- нения движения материаль- 45
ной точки 3.2.2. Общие теоремы динамики точки. Первые интегралы. 45
Законы сохранения 3.2.3. Прямолинейное движе- ние точки. Простейшие слу- 46
чаи интегрируемости 3.2.4. Криволинейное движе- 4S
ние точки 3.2.5. Движение точки в эл»к- 49
трическом и магнитном пол>х 3.2.6. Движение точки под действием центральных сил. 51
Задача Ньютона 3.2.7. Движение несвободной 51
точки. Реакции. Силы трения 5>
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
3.2.8 Циклоидальный и сфери-
ческий маятники. Математиче- ский маятник 54
3.2 9 Относительное движение точки. Обобщенный интеграл энергии 56
3.2 10. Падение материальной точки на Землю. Маятник Фуко 58
Глава 3.3. ДИНАМИКА СВОБОД-
НЫХ СИСТЕМ МАТЕРИ- АЛЬНЫХ ТОЧЕК (//. Н. Ко- лесников) 59
3.3.1. Механические системы. Силы 59
3.3.2. Уравнения движения свободных механических сис- тем. Основные теоремы дина- мики систем. Законы сохра- нения 60
3.3.3 Теоремы динамики в движении системы относи- тельно центра масс 61
3.3.4. Уравнение Мещерского. Формула Циолковского 61
Глава 3.4. ДИНАМИКА СИСТЕМ
НЕСВОБОДНЫХ МАТЕРИ- АЛЬНЫХ ТОЧЕК (К. Е. Яки- мова) 62 •
3.4.1. Классификация связей ... 62
3.4.2. Классификация сил. Ре- акции связей у 65
3.4.3. Уравнения движения несвободной системы 66
3.4.4. Принцип Д’Аламбера и его следствия 68
3.4.5. Основы кинетостатики ... 70
Глава 3.5. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИ-
ТИЧЕСКУЮ 7 МЕХАНИКУ (Я. Н. Колесников) 72
3.5.1. Обобщенные координаты 72
3.5.2. Уравнения Лагранжа второго ^ода 72
3.5.3. Циклические координа- ты. циклические интегралы. Уравнения Рауса 74
3.5.4 Псевдокоординаты и ур/внения Аппеля 76
3/5.5. Канонические уравнения ^Гамильтона 77
3.5.6. Канонические преобразо- вания. Критерии канонич- ности 79
3.5.7. Уравнение Гамильтона - Якоби. Разделение перемен- ных 81
3.5.8. Интегральные инвариан-
ты 83
3.5.9. Адиабадическис инвари-
анты ..................... 84
3.5.10. Теорема Лиувилля об
интегрируемых системах... 85
3.5.11. Топологические препят-
ствия к интегрируемости.. 86
Глава 3.6. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО
ТЕЛА (В. А. Самсонов, Ю. А. Ар-
хангельский) ................ 86
3.6.1. Геометрия масс........ 86
3.6.2. Динамика свободного
твердого тела................ 88
3 6.3. Вращение твердого тела
вокруг неподвижной оси..... 90
3.6.4. Прецессия тела.... 92
3.6.5. Плоскопараллельное
движение тела............ 94
3.6.6. Связи с трением.. 96
3.6.7. Динамика тяжелого
твердого тела........... 100
3.6.8. Динамика твердого тела
в ньютоновском поле сил.. 106
Глава 3.7. ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ
СИСТЕМЫ (В. Ф. Журавлев,
И. В. Новожилов)........ 109
3.7.1. Основные понятия.. Ю9
3.7.2. Основные типы гиро-
скопических устройств...
3.7.3. Погрешности гироско-
пических систем.........
3.7.4. Общая теория гироско-
пических систем.........
Глава 3.8. ДИНАМИКА ОРБИ-
ТАЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
(В. Г. Демин)................... 120
3.8.1. Задача двух тел......... 120
3.8.2. Задача двух неподвиж-
ных центров и ее приложения
в динамике спутников........... 122
3.8.3. Задача трех тел......... 124
3.8.4. Уравнения возмущен-
ного движения в оскулирую-
щих кеплеровских элементах
Глава 3.9. ДВИЖЕНИЕ ИСКУС-
СТВЕННОГО СПУТНИКА
ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА
МАСС {В. В. Белецкий)..... 128
3.9.1. Моменты сил....... *»28
3.9.2. Уравнения движения. 132
3.9.3. Ориентация и либраци-
онное движение спутника...
3.9.4. Системы пассивной ста-
билизации космических аппа-
ратов ....................
ОГЛАВЛЕНИЕ
3.9.5. Ротационное движение 137
3.9.6. Влияние моментов сил
внутренней природы 140
Глава 3.10. ТЕОРИЯ УДАРА 140
(В. Ф. Журавлев)
3.10.1. Понятие об ударе 3.10.2. Общие теоремы теории 140
удара 3.10.3. Удар материальной том- 141
ки о препятствие 142
3.10.4. Об ударе шаров 3.10.5. Теория удара твердых 143
тел 3.10.6. Системы с идеальными 144
неудерживаюшими связями ... 144
Глава 111. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИН* ЦИПЫ МЕХАНИКИ (Я В. Ру- мянцев) 3.11.1. Дифференциальные ва- 147
риационные принципы З.П.2. Интегральные вариаци- 147
онные принципы 150
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 152
ЧАСТЬ И. ТЕРМОДИНАМИКА. ТЕ- 155
ПЛООБМЕН
ВВЕДЕНИЕ (А. И. Леонтьев) 155
Раздел 1. ТЕРМОДИНАМИКА
(В. В. Сычев, В. С. Охотин) .... 159
Глава 1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНА-
МИКИ 159
Глава 1.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕРМОДИ-
НАМИКИ 163
Глава 1.з. РАВНОВЕСИЕ ТЕРМО- ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
И ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ ... 165
Глава 1.4. ОСОБЕННОСТИ ПОВЕ- ДЕНИЯ ТЕРМОДИНАМИ- ЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ СО- 168
СТОЯНИЯ
1.4.1. Твердое состояние 168
1.4.2. Жидкое состояние 1.4.3. Термические и калори- 170
ческие свойства реального газа 1.4.4. Термические уравнения 171
состояния 1.4.5. Расчет энтропии и энт- 174
ропийные диаграммы 1.4.6. Смеси газов. Влажный 175
воздух 177
Глава 1.5. ОСНОВНЫЕ ТЕРМОДИ- НАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕС-
СЫ 179
Глава 1.6. ПРОЦЕССЫ ТЕЧЕНИЯ
Глава Глава Раздел ГАЗОВ И ЖИДКОСТЕЙ 184 1.6.1. Общие закономерности 184 1.6.2. Скорость течения 185 1.6.3. Скорость звука 187 1.6.4. Закон обращения воздей- ствия 188 1.6.5. Сопло Лаваля 189 1.6.6. Суживающееся сопло 191 1.7. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ 192 1.7.1. Общие положения 192 1.7.2. Циклы двигателей внут- реннего сгорания 194 1.7.3. Циклы газотурбинных установок. 195 1.7.4. Ццклы паротурбинных установок 198 1.7.5. Циклы парогазовых уста- новок 202 1.7.6. Обратные циклы холо- дильных установок и тепло- вого насоса 203 1.8. ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕРМОДИНАМИКИ 205 2. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ, ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ (В. С. Охотин, В. В. Сычев) 208
Глава Глава Глава Глава Раздел 2.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 208 2.2. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ ... 2,1 2.3. СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВ ПРИ ФАЗОВОМ РАВНОВЕ- СИИ 248 2.4. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ И ЖИД- КОСТЕЙ i 2’0 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 281 3. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ (Ю. В. Полежаев) 284
Глава Глава Глава Глава 3.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 284 3.2. ТЕПЛОВОЙ РЕЖИМ ТЕ- ЛА ПРИ ПЕРЕМЕННОЙ ТЕПЛОВОЙ НАГРУЗКЕ 288 3.3. ВЛИЯНИЕ УНОСА МАС- СЫ С ПОВЕРХНОСТИ НА ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОПЕ ВНУТРИ ТЕПЛОЗАЩИТ- НОГО ПОКРЫТИЯ 293 3.4. ХАРАКТЕРНЫЕ ВРЕМЕ- НА УСТАНОВЛЕНИЯ ••АВТО- МОДЕЛЬНОГО” И КВАЗИ- СТАЦИОНАРНОГО РЕЖИ- МОВ ПРОГРЕВА 298
8
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 3.5. ВЛИЯНИЕ ПЕРЕМЕН*
НОСТИ ФИЗИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ НА ТЕМПЕРА-
ТУРНОЕ ПОЛЕ ВНУТРИ
ТЕПЛОЗАЩИТНОГО ПОК-
РЫТИЯ ................... 303
глава 3.6. ВЛИЯНИЕ ВНУТРЕННИХ
ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИХ
ПРЕВРАЩЕНИЙ НА ТЕМ-
ПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ............ 306
Глава 3.7. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕП-
ЛООБМЕНА (О. М. Алифанов) 311
Раздел 4. ТЕПЛООБМЕН ПРИ ВЫ-
НУЖДЕННОЙ КОНВЕК-
ЦИИ (Ю. В. Полежаев)....... 314
Глава 4.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 314
Глава 4.2. ЛАМИНАРНЫЙ РЕЖИМ
ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ВНЕШ-
НЕМ ОБТЕКАНИИ........ 31
4.2.1. Теплообмен в окрестно-
сти передней критической
точки............... 319
4.2.2. Теплообмен на поверх-
ности пластины...... 327
4.2.3. Теплообмен на поверх-
ности клиновидных тел. 328
Глава 4.3. ПЕРЕХОД ЛАМИНАРНО-
ГО ТЕЧЕНИЯ В ТУРБУ-
ЛЕНТНОЕ ................ 330
4.3.1. Влияние температуры и
формы поверхности на точку
перехода................ 336
4 3 2. Влияние на переход ше-
роховатости стенки...... 338
Глава 4.4. ТУРБУЛЕНТНЫЙ РЕЖИМ
ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ВНЕШ-
НЕМ ОБТЕКАНИИ........... 340
4.4.1. Основные уравнения и
модели турбулентного пере-
носа 341
4.4.2. Методы теплового рас-
чета и................ 346
4.4.3. Мггод эффективной
длины .................. 347
4.4.4 Метод относительных за-
кон^ трения и теплообмена 350
4.4/. Метод "локального подо-
44.6. Двухслойная модель тур-
булентного пограничного
слоя 353
Глава 4.5. ТЕПЛООБМЕН НА ПРО-
НИЦАЕМЫХ ПОВЕРХНОС-
ТЯХ .................. 355
Глава
Раздел
Глава
Глава
4.5.1. Общие положения... 355
4.5.2. Вдув при ламинарном
режиме течения в погранич-
ном слое................. 357
4.5.3. Аналогия между тепло- и
массообменом и трением... 359
4.5.4. Вдув при турбулентном
режиме течения в погранич-
ном слое................. 361
4.5.5. Структура пористых ма-
териалов и гидродинамика
течения в порах.......... 363
4.5.6. Теплообмен между по-
ристой матрицей и фильт-
рующейся охлаждающей жид-
костью .................. 364
4.6. ТЕПЛООБМЕН ПРИ ВЫ-
НУЖДЕННОЙ КОНВЕКЦИИ
В ТРУБАХ................. 369
4.6.1. Общие положения... 369
4.6.2. Ламинарное течение.
Постоянная температура стен-
ки трубы................. 372
4.6.3. Ламинарное течение.
Постоянный тепловой поток
на стенке трубы.......... 374
4.6.4. Турбулентное течение в
трубе.................... 375
4.6.5. Гидродинамические осо-
бенности турбулентных тече-
ний в трубах............. 376
4.6.6. Каналы с естественной и
искусственной шероховато-
стью .................... 380
5. ТЕПЛООБМЕН В ГЕ-
ТЕРОГЕННЫХ ПОТОКАХ
(Ю. В. Полежаев, Д. С. Миха-
тулин)................. 383
5.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 383
5.2. ГАЗОДИНАМИКА ГЕТЕ-
РОГЕННЫХ ПОТОКОВ....... 387
5.2.1. Силы, действующие в
газовом потоке на изолиро-
ванную частицу......... 387
5.2.2. Особенности движения
частиц в неоднородном пото-
ке 391
5.2.3. Особенности расчета
сопротивления частиц непра-
вильной формы.......... 391
5.2.4. Сопротивление и дроб-
ление капель жидкости в га-
зовом потоке........... 392
5.2.5. Движение частиц в газо-
динамической трубе..... 393
5.2.6. Инерционное осаждение
частиц на поверхность обте-
каемого тела........... 397
5.2.7. Влияние вдува инород-
ного газа на защиту от эрозии
в потоке............... 401
ОГЛАВЛЕНИЕ
9
Глава 5-3. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕП-
ЛООБМЕН В ЗАПЫЛЕН-
НОМ ПОТОКЕ.................. 402
Глава 5.4. ЭРОЗИЯ ПОВЕРХНО-
СТИ ТЕЛ В ГЕТЕРОГЕН-
НОМ ПОТОКЕ.................. 409
5.4.1. Пороговые значения
параметров эрозионного раз-
рушения .................... 409
5.4 2 Однопараметрическая
модель эрозионного разруше-
ния ........................ 412
5.4.3. Двухпараметрическая
модель эрозионного разруше-
ния ........................ 415
5.4 4. Унос массы при совме-
стном эрозионном и тепловом
воздействии потока. 417
5.4.5. Внедрение одиночных
частиц в полубесконечные
преграды.................... 424
Глава 5.5. МЕХАНИЗМ КРИСТАЛ-
ЛИЗАЦИИ И АМОРФИЗА-
ЦИИ РАСПЛАВЛЕННЫХ
МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ
В ГАЗОВОМ ПОТОКЕ............. 427
5 5 1. Физическая модель за-
рождения и роста кристаллов
5.5.2. Затвердевание капель
расплава в высокоскоростном
потоке холодного газа.. 429
Раздел 6. ТЕПЛООБМЕН ПРИ КИ-
ПЕНИИ (Г. А. Дрейпер).. 434
Глава 6.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
И ОПРЕДЕЛЕНИЯ............... 434
Глава 6.2. МЕХАНИЗМ ПАРООБ-
РАЗОВАНИЯ ПРИ ПУ-
ЗЫРЬКОВОМ КИПЕНИИ ... 438
6.2.1. Образование паровых пу-
зырей ...................... 438
6.2.2. Рост пузыря на поверх-
ности нагрева при кипении .. 443
6.2 3 Отрывные диаметры пу-
зырей ...................... 444
6.2.4. Частота отрыва пузырей 445
Глава 6.3. ТЕПЛООБМЕН ПРИ
ПУЗЫРЬКОВОМ КИПЕНИИ
В БОЛЬШОМ ОБЪЕМЕ............. 445
Глава 6.4. КРИЗИС ПУЗЫРЬКО-
ВОГО КИПЕНИЯ В БОЛЬ-
ШОМ ОБЪЕМЕ.................. 449
Глава 6.5. ТЕПЛООБМЕН ПРИ
ПЛЕНОЧНОМ КИПЕНИИ В
БОЛЬШОМ ОБЪЕМЕ........ 451
6.5.1. Механизм пленочного
кипения............... 452
6 5.2. Математическая модель
пленочного кипения.... 453
6.5.3. Одномерная модель про-
цесса ................ 453
6.5.4. Результаты эксперимен-
тальных исследований.. 454
Глава 6.6. КРИЗИС ПЛЕНОЧНОГО
КИПЕНИЯ.................. 455
Глава 6.7. ПЕРЕХОДНОЕ КИПЕ-
НИЕ ..................... 458
Глава 6.8. ИНТЕНСИФИКАЦИЯ
ТЕПЛООБМЕНА ПРИ КИ-
ПЕНИИ ................... 459
Раздел 7. ТЕПЛО- И МАССООБ-
МЕН ПРИ ФИЗИКО-ХИ-
МИЧЕСКИХ ПРЕВРАЩЕ-
НИЯХ (Ю. В. Полежаев). 460*
Глава 7.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 460
Глава 7.2. СУБЛИМАЦИЯ ...... 463
Глава 7.3. ТЕРМИЧЕСКОЕ РАЗ-
ЛОЖЕНИЕ 467
Глава 7.4. ХИМИЧЕСКОЕ ВЗА-
ИМОДЕЙСТВИЕ НА ПО-
ВЕРХНОСТИ (ГОРЕНИЕ
ГРАФИТА) ............. 470
Глава 7.5. ОБЪЕМНО-ПОВЕРХ-
НОСТНОЕ ХИМИЧЕСКОЕ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ (РАЗ-
РУШЕНИЕ КОМПОЗИТОВ) 473
Глава 7.6. ОПЛАВЛЕНИЕ МАТЕ-
РИАЛОВ, ПРОТЕКАЮЩЕЕ
В ПОДПОВЕРХНОСТНОМ
СЛОЕ............. 477
Глава 7,7. ОПЛАВЛЕНИЕ ПРИ НА-
ЛИЧИИ ХИМИЧЕСКОГО
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ..... 482
Раздел 8. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ТЕОРИИ И МЕТОДОВ РАС-
ЧЕТА ТЕПЛООБМЕНА ИЗ-
ЛУЧЕНИЕМ (Л. А. Домбров-
ский, В. Н. Елисеев, Ю. В. По-
лежаев) ............... 487
Глава 8.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ,
ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕ-
НИЯ .......................... 487
8.1.1. Поглошение и рассеяние
излучения в объеме..... 490
8 1.2 Пропускание излучения 491
10
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 8.2. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ
ЗАКОНЫ ИЗЛУЧЕНИЯ............. 492
8.2.1. Законы Кирхгофа. 492
8.2.2. Закон Стефана-Больц-
мана .................. 493
8.2.3. Закон Ламберта.. 493
8.2 4. Спектральное распреде-
ление излучения абсолютно
черного тела. Закон Планка ... 494
8.2.5. Закон смещения Вина .. 495
8 2 6. Закон Релея - Джинса .... 496
8.2.7. Особенности излучения
реальных тел........... 497
8.2 8 Особенности излучения
газов.................. 500
Глава 8.3. РАДИАЦИОННЫЕ ХА-
РАКТЕРИСТИКИ ЧАСТИ!’,
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ
РАСЧЕТЕ ТЕПЛООБМЕНА
ИЗЛУЧЕНИЕМ В ДИС-
ПЕРСНЫХ СИСТЕМАХ............. 504
Глава 8.4. РАДИАЦИОННЫЙ ТЕП-
ЛООБМЕН МЕЖДУ ТЕЛА-
МИ .......................... 509
8.4.1 Теплообмен между па-
раллельными поверхностя-
509
ми ........................... .
8 4.2 Теплообмен между двумя
произвольно расположенны-
ми абсолютно черными телами 510
8.4.3. Влияние экрана на лучи-
стый теплообмен...... 512
Глава 8.5. ТЕПЛООБМЕН В ИЗЛУ-
ЧАЮЩЕЙ И ПОГЛО-
ЩАЮЩЕЙ СРЕДЕ......... 513
Глава 8.6. ПЕРЕНОС ЛУЧИСТОЙ
ЭНЕРГИИ В ПОЛУПРО-
ЗРАЧНЫХ СРЕДАХ....... 518
Глава 8.7. ИЗМЕРЕНИЕ ТЕМПЕ-
РАТУР В ЧАСТИЧНО
ПРОЗРАЧНЫХ МАТЕРИА-
ЛАХ ...................... 521
Раздел 9. ТЕПЛОВАЯ ЗАЩИТА
(Л9. В. Полежаев)......... 525
Глава 9.1. МЕТОДЫ ТЕПЛОВОЙ
ЗАЩИТЫ.................... 525
9.1.1. Поглощение и накопле-
ние теплоты конденсирован-
ными веществами...... 526
9.1.2. Конвективное охлаждение 527
9.1.3. Массообменный прин-
цип охлаждения.......... 528
9.1.4. Радиационное охлажде-
ние 530
9.1.5. Электромагнитное регу-
лирование теплообмена. 532
9.1.6. Охлаждение тел за счет
физико-химических превра-
щений на их поверхности (аб-
ляция) ................. 532
Глава 9.2. ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ ПРОЦЕССА РАЗ-
РУШЕНИЯ ТЕПЛОЗАЩИТ-
НЫХ ПОКРЫТИЙ............... 534
9.2.1. Понятие об определяю-
щем механизме разрушения 534
9.2 2 Критерии сравнения
разрушающихся теплозащит-
ных материалов.......... 537
9.2.3. Нестационарное разру-
шение теплозащитных мате-
риалов ................. 541
Глава 9.3. МЕХАНИЗМ РАЗРУШЕ-
НИЯ ТЕПЛОЗАЩИТНЫХ
МАТЕРИАЛОВ В УСЛОВИ-
ЯХ РАДИАЦИОННО-КОН-
ВЕКТИВНОГО ТЕПЛОВОГО
ВОЗДЕЙСТВИЯ................ 541
Глава 9.4. СПОСОБЫ ТЕПЛОВОЙ
ЗАЩИТЫ ПРИ СОВМЕСТ-
НОМ ДЕЙСТВИИ РАДИА-
ЦИОННОГО И КОНВЕК-
ТИВНОГО ТЕПЛОВЫХ ПО-
ТОКОВ ..................... 544
Глава 9.5. МЕТОДЫ ТЕПЛОВОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ............... 549
Глава 9.6. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕП-
ЛОВОГО РЕЖИМА ЛОПА-
ТОК ГАЗОВЫХ ТУРБИН.......... 554
Глава 9.7. МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЙ
ПАРАМЕТРОВ ВЫСОКО-
ТЕМПЕРАТУРНОГО ГАЗО-
ВОГО ПОТОКА................ 557
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ............. 566
Терминология.................. 568
Приложения.................... 575
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ........ 592
ЧАСТЬ I
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
ВВЕДЕНИЕ
Движение, рассматриваемое в самом общем смысле слова, есть форма существования материи и
обнимает собой все происходящие во вселенной изменения и процессы. В теоретической механике
изучается одна из форм движения - механическое движение, состоящие в том, что тело или система
тел изменяет с течением времени свое положение в пространстве по отношению к другим телам.
Теоретическая механика (классическая механика Галлилея - Ньютона) есть наука об общих за-
конах механического движения и взаимодействия материальных тел. Теоретическая механика получи-
ла широкое развитие благодаря обширным и важным приложениям в естествознании и технике. Она
особенно тесно связана с техническими науками, в которых законы и методы механики используются
как при обосновании ряда исходных положений, так и при многочисленных инженерных расчетах.
Для учета меры механического взаимодействия между телами в классической механике, основание
которой положили Галлилей (1564-1642 гг.) и Ньютон (1643-1727 гг.), вводится понятие о силе. Для
конкретного тела сила является внешним фактором, изменяющим его положение. Характер движения за-
висит и от степени инертности тела. Чем больше инертность тела, тем медленнее изменяется его по-
ложение под действием данной силы, и наоборот. Мерой инертности тела является его масса. Таким
образом, понятиями, лежащими в основе классической механики, являются: движущаяся материя
(материальные тела); пространство и время как формы существования движущейся материи; масса
как мера инертности материальных тел; сила как мера механического взаимодействия между телами.
В классической механике Галилея - Ньютона пространство считается трехмерным, эвклидовым
пространством, свойства которого не зависят от движущихся в нем материальных объектов. Положе-
ние точки в таком пространстве относительно какой-либо системы отсчета определяется тремя неза-
висимыми параметрами или координатами точки. Время универсально. Оно не связано с простран-
ством и движением материальных объектов. Во всех системах отсчета, движущихся друг относительно
друга, оно протекает одинаково. Массы материальных объектов не зависят от скорости их движения.
После опубликованных Галилеем "Бесед о науках" в 1938 г. и Ньютоном "Математических
основ натур философии" в 1687 г. методы механики начали быстро совершенствоваться благодаря
применению мощного математического аппарата - анализа бесконечно малых.
Основная заслуга в приложении этих методов к решению задач динамики принадлежит велико-
му математику Леонарду Эйлеру (1707-1783 гг.) - действительному члену молодой тогда Российской
Академии наук. Эйлер разработал аналитические методы решения задач динамики путем составления
и интегрирования дифференциальных уравнений. Аналитическое направление в развитии механики
достигло наиболее широких обобщений в фундаментальном труде "Аналитическая механика" круп-
нейшего французского ученого Лагранжа (1736-1813 гг.).
Успехи физики в начале XX века, ознаменовавшиеся новыми исследованиями в области элек-
тродинамики и строения материи, показали, что законы классической механики Галлилея - Ньютона
применимы только к движению тел, размеры которых значительно больше размеров атома, а скорос-
ти - значительно меньше скорости света. Для тел очень малых размеров и для очень больших скоро-
стей выводы классической механики теряют свою силу.
В теории относительности Энштейна (1879-1955 гг.) пространства зависят от материальных объек-
тов и их движения; пространство и время связаны между собой и рассматриваются как единое четырех-
мерное пространство; время при этом зависит от того, в какой системе отсчета оно распространяется.
Теория относительности внесла довольно существенные изменения в основания механики и показала ог-
раниченность ньютоновских представлений о пространстве, времени и материи. Благодаря этому было
дано теоретическое обоснование ряду явлений, которые не могли быть объяснены с точки зрения клас-
сической механики. Кроме того, классическая механика оказалась неприменимой к теории строения
атома, и это обстоятельство явилось причиной возникновения атомной или квантовой механики.
Вместе с тем классическая механика Галлилея - Ньютона продолжает сохранять свою огромную
ценность как мощной орудие научного исследования различных вопросов естествознания и тех ники, и
ее законы дают при этом вполне достаточную для практики точность. Она явилась основой для соз-
дания многих прикладных направлений, получивших большое развитие: механики жидкости и газа;
механики деформируемого твердого тела; теории колебаний; динамики и прочности машин; гироско-
пии. теории полета и управления; навигации и др.
Классическая механика замечательна тем, что наряду со строгостью изложения имеет широкое
инженерное приложение. Все расчеты разнообразных технических сооружений и связанные с косми-
ческими полетами построены на основании законов классической механики Классическая механика
Галлилея - Ньютона никогда не потеряет своего научного значения и практической ценности.
РАЗДЕЛ 1
СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Глава 1.1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И
ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ СТАТИКИ
1.1.1. НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Статикой называется раздел механики, в
котором изучаются условия равновесия мате-
риальных тел и операции преобразования
одних систем сил в другие, им эквивалент-
ные. Материальные тела в статике прини-
маются абсолютно твердыми, или для крат-
кости - твердыми телами. У абсолютно твер-
дого тела расстояние между двумя любыми
точками не меняется под действием сил.
Сила является векторной величиной, ха-
рактеризующей меру механического воздей-
ствия одного материального тела на другое.
Силы могут быть внешними и внутренними.
Внутренними называются силы, с которыми
тела, входящие в рассматриваемую систему,
действуют друг на друга.
Согласно закону о действии и противо-
действии сил сумма внутренних сил Fj ме-
ханической системы и момент этих сил отно-
сительно любой точки О равны нулю:
Х^=0; £л/0(/*>) = 0.
О) (»
Силы, линии действия которых сходятся в
одной точке, можно заменить их равнодей-
ствующей, равной геометрической сумме сил:
R = Fj; R —i Rx + jRy + icR^ ;
(/)
RX Ry RZ "HFiZ
U) (i) (i)
Силу можно разложить на ряд состав-
ляющих сил:
F = 1FX + jFy + kFz; F = ^Fx + Fy + Fz.
Алгебраическим моментом силы F отно-
сительно точки О называется произведение
модуля силы на ее плечо h (рис. 1.1.1):
Mq(F) = ± Fh.
Знак плюс принято брать, когда направ-
ление вращения силы относительно точки
представляется противоположным направле-
нию вращения стрелки часов. Алгебраический
момент силы характеризуется плоскостью
действия, величиной и направлением враще-
НИЯ.
Векторным моментом силы F относи-
тельно точки О называется вектор M$(F) -
-r^F, приложенный в точке О перпенди-
кулярно к плоскости Fj и направленный в
ту сторону, откуда вращение силы F относи-
тельно точки О происходит против хода
стрелки часов. Модули векторного и алгеб-
раического моментов равны: Л/о (г) = |ГА|.
Рис. 1.1.2
НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
13
Силу, приложенную к твердому телу,
можно перенести параллельно самой себе, не
изменяя ее действия на тело, из точки А в
точку В, прибавив при этом пару сил с мо-
ментом М. равным моменту переносимой
силы относительно точки, в которую перено-
сится сила (рис. 1.1.2), М -Fh. В общем слу-
чае
М = BA*F.
1.1.2. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ.
ПАРА СИЛ
Моментом силы F относительно оси Z на-
зывается алгебраический момент проекции Fn
этой силы на плоскость, перпендикулярную к
оси z, взятый относительно точки О[ пересе-
чения оси с этой плоскостью (рис. 1.1.3):
MZ(F) = +Fnh. Иначе, момент силы F
относительно оси z равен проекции на ось Z
вектора момента силы F относительно про-
извольной точки О на этой оси:
MjF) = |M0(F)|cosa.
Теорема Вариньона о моменте равно-
действующей - если данная система сил имеет
равнодействующую, то момент равнодей-
ствующей относительно любой точки О равен
сумме моментов сил составляющих системы
относительно той же точки:
Л/о(л) = ^Мш(Л);
(/•)
(О
Моменты силы относительно прямоуголь-
ных координатных осей можно получить, если
векторный момент силы Л70(/,) = гх/’
спроецировать на оси координат (рис 1.1.4):
Mx{F} = yFz-zFy-,
My[F}^zFx-xFt-,
Алгебраический момент пары сил (рис.
1.1.5, а)
М = +Fd,
где d - плечо пары.
Векторный момент пары сил (рис.
1.1.5, б)
м = -f) =
= m0(f)+m0(-f) = ab*f.
Векторный момент пары - вектор сво-
бодный: его можно переносить параллельно
самому себе и перемещать вдоль линии дей-
ствия в параллельные плоскости, не меняя
действия на тело. Если на тело действуют
несколько пар сил, расположенных произ-
вольным образом, то их векторные моменты
можно суммировать геометрически: М -
(/)
Рис. 1.1.3
Рис. 1.1.5
14
Глава !.!. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ СТАТИКИ
1.1.3. ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ СИЛ
К ДАННОМУ ЦЕНТРУ
Произвольную систему сил, не меняя ее
действия на твердое тело, можно привести к
какому-либо центру О, заменив все действую-
щие силы Fi, Fj, ..., Fn одной силой R, при-
ложенной в центре О, и парой сил с момен-
том Мо, который равен сумме моментов всех
сил относительно точки О (рис. 1.1.6). Силу
R называют главным вектором системы сил,
момент Мо - главным моментом системы
сил относительно точки О:
(/) (/•) (/•)
Главный вектор R не зависит от точки
приведения и всегда имеет одну и ту же вели-
чину. Главный момент системы сил зависит
от точки приведения. Главный момент систе-
мы сил относительного второго центра приве-
дения О\ равен сумме векторов главного мо-
мента системы сил относительно первого цен-
тра приведения О и векторного момента
главного вектора, приложенного в первом
центре приведения, относительно второго
центра.
М0\ — М0 + О}О х R.
Скалярное произведение главного век-
тора и главного момента системы сил не за-
висит от центра приведения: Moi R = Мо R .
Частные случаи приведения системы сил
следующие:
М0 =0, R Ф 0, система сил приводит-
ся к равнодействующей, равной R проходя-
щей через точку О ;
R = 0, Мо 0, система сил приводится
к паре с моментом Мо, не зависящим от
выбора центра О ;
2__L-\O1
Рис. 1.1.8
R £ 0, Мо 0, но Мо ± Я, система
сил приводится к равнодействующей, равной
/?, но проходящей не через точку О, а через
точку Oh отстоящую от точки О на расстоя-
нии ОО\ = d = Мо / R (рис. 1.1.7).
Если Мо 7? * 0, система сил приводит-
ся к динамическому винту R,M\ проходя-
щему не через точку О, а через точку
(рис. 1.1.8), причем d = Мо sin а / R\ М\ =
= Мо cos а.
1.1.4. СВЯЗИ И ИХ РЕАКЦИИ
Действие связей можно заменить дейст-
вием сил. Сила, с которой связь действует на
тело, называется силой реакции связи или
просто реакцией связи. Правильное направ-
ление реакций связи играет решающую роль
при решении задач механики. Ниже приведе-
ны направления реакций основных видов
идеальных связей.
Гладкая поверхность (плоскость): сила
реакции W направлена по общей нормали к
поверхностям соприкасающихся тел в точке
их контакта (рис. 1.1.9).
Нить (цепи, тросы, канаты, которые мо-
гут работать только на растяжение и не могут
воспринимать сжимающие и поперечные си-
лы) считается гибкой и нерастяжимой: реак-
ция Т на тело направлена вдоль нити к точке
ее подвеса (рис. 1.1.10).
Рис. 1.1.6
СВЯЗИ И ИХ РЕАКЦИИ
15
Рис. 1.1.9
Рис. 1.1.10
Цилиндрический шарнир (подшипник) не
может передавать осевой силы, его сила реак-
ции Ra находится в плоскости, перпендику-
лярной к оси шарнира, и может быть направ-
лена по любому радиусу; в этой плоскости
цилиндрический шарнир не может передавать
Сферический шарнир - сила реакции R
может быть направлена по любому радиусу и
представлена в виде трех составляющих (рис.
1.1.12).
Подпятник А отличается от цилиндриче-
ского шарнира тем, что кроме радиальных
составляющих Rx и Ry может воспринимать
и осевую силу Rz (рис. 1.1.13).
Рис. 1.1.12
Рис. 1.1.13
16
Глава 1.2. РАВНОВЕСИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Невесомый стержень с шарнирами на кон-
цах при отсутствии поперечной нагрузки
имеет силы реакции сжатия или растяжения,
направленные по прямым АВ, АС, соединяю-
щим шарнир А с шарнирами В и С (рис.
1.1.14).
Заделка в общем случае отличается си-
стемой распределенных сил, которая приво-
дится к центру А к главному вектору R и
главному моменту М А, каждый из которых
может быть представлен в виде трех состав-
ляющих (рис. 1.1.15):
R - iRx + jRy + kRz \
МЛ =>МАх + ]МАу +kMAz.
Глава 1.2
РАВНОВЕСИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
1.2.1. РАВНОВЕСИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА,
ПОДВЕРЖЕННОГО ДЕЙСТВИЮ СХОДЯЩЕЙСЯ
СИСТЕМЫ СИЛ
Система сходящихся сил эквивалентна
одной равнодействующей R = * F} (рис.
(/)
1.2 1). Свободное тело будет находиться в
равновесии тогда, когда равнодействующая
сил, действующих на тело, равна нулю. Усло-
вия равновесия следующие*
в векторной форме
Я = £Л=0;
(/•)
в аналитической форме (одновременно)
~ S Лх ~ 0’ ^у ~ S F'iy ~
(/•) (/•)
&z ~ 2L Fiz ~ °*
(О
1.2.2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ СТАТИКИ
1. Выбор тела (или системы тел), равно-
весие которого должно быть рассмотрено.
Система тел должна быть по возможности
простой, но такой, чтобы на нее действовали
все силы, которые надо определить.
2. Освобождение от связей, замена их
силами. Направления реакций связей следует
строго согласовывать с устройством связей.
Наряду с реакциями связей к телу требуется
приложить заданные силы.
3. Составление условий равновесия в
векторной или аналитической форме.
4. Решение уравнений равновесия: ре-
комендуется проводить в общем виде опреде-
ление неизвестных и лишь после этого вы-
числять числовой результат. Решение, выпол-
ненное в общем виде, проще проверить. По-
лученное отрицательное значение силы свиде-
тельствует о том, что действительное ее на-
правление противоположно принятому на
схеме, положительное значение силы свиде-
тельствует о правильно выбранном ее направ-
лении.
5. Качественная оценка решения с фи-
зической точки зрения. Удовлетворяют ли
полученные результаты физическому пред-
ставлению о распределении сил, не абсурдны
ли они. Например, если из решения задачи в
схеме, показанной на рис. 1.1.14, стержень АС
получился растянутым, или стержень АВ -
сжатым, то такое решение ошибочно.
Примеры. 1. Круговой цилиндр весом G
лежит на плоскостях, образующих двугранный
прямоугольный угол, одна сторона которого
наклонена к горизонту на угол а . Опреде-
лить силы, с которыми цилиндр действует на
плоскости угла (рис. 1.2.2).
ДЕЙСТВИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ СИЛ
17
Рассматриваем равновесие цилиндра.
Силы /V| и W2 (реакции) сходятся в одной
точке О. Для определения сил TVj и N2
применяем условие равновесия в векторной
форме: 7? = (7 + 7V| + #2 = О- Для решения
векторного уравнения строим векторный
треугольник сил. Находим /Vj = (7sina,
W2 = ^cosa. Определили силы /Vj и N2,
которыми плоскости угла поддерживают ци-
линдр, воспринимают его вес. Цилиндр давит
на плоскости с такими же по величине сила-
ми, но направленными противоположно.
2. Груз весом G = 1000 Н подвешен на
нитях ОА и ОВ, которые с горизонталью со-
ставляют углы аир (рис. 1.2.3). Пренебре-
гая трением в блоке, определить силу Т натя-
жения нити О В и силу Р, необходимую для
удержания груза при углах a = 30°, 0 = 60°.
Рассматриваем равновесие узла О, в ко-
тором сходятся все три силы. Воспользуемся
аналитической формой равновесия:
Rx = Fix = Pcosa - Тcos0 = 0;
(О
Ry = У* = -G + Psina + Tsin0 = 0.
(0
Откуда
T _G p _ j, cos0
tgacos0 + sin 0 ’ cosa ’
Подставляя числовые значения, получа-
ем 866 Н; Р= 500 Н.
1.2.3. РАВНОВЕСИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ СИЛ
Произвольная система сил может быть
приведена относительно произвольной точки
О к главному вектору R и главному моменту
Mq. Чтобы такая система сил находилась в
равновесии, необходимо и достаточно равен-
ство нулю и главного вектора R, и главного
момента MQ (рис. 1.2.4). Условия равновесия
следующие:
в векторной форме
* = 2Л =0; Л70 = Х^о,(^) = 0,
(/) (/)
в аналитической форме
Fjx ~ 0’ ^у ~ ^1у ~ 0’
(О (О
(/•)
мх = Y M/df-Л =0; Му = £ = 0;
(/•) (/)
-2X(/j)=a
(/•)
Рис. 1.2.4
18
Глава 1.2. РАВНОВЕСИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
тогда, когда Rx = = 0; Ry = Fiy
(О (0
= 0; Mq = МQj (Fj) - 0, причем момент
(О
Mq берется относительно любой точки О
плоскости. Решение будет проще, если через
точку О проходят линии действия неиз-
вестных сил (одной или двух);
действие параллельных сил (рис. 1.2.6).
Одна из координатных осей, например г, на-
правляется параллельно действующим силам.
Из шести условий равновесия в аналити-
ческой форме остаются только три:
лг=2Х=<>; л/х = ^л/&(^) = <>;
(О (/)
Му = Е^) = 0.
(О
Примеры. 1. Определить силы реакций, в
точках А и В, действующие со стороны связей
на балку, которая нагружена в плоскости хАу
силой Р, действующей под углом а = 30°, и
парой сил, момент которой М = 2Р/ (рис.
1.2.7).
Рассматриваем равновесие балки, дей-
ствие цилиндрического шарнира А и катка В
на балку выражаем силами ХА, YA,YB. За-
писываем условия равновесия балки под дей-
ствием плоской системы сил:
Частными случаями являются:
плоская система сил (рис. 1.2.5). Произ-
вольная система сил, действующая на твердое
тело только в одной плоскости, например
хОу, будет находиться в равновесии только
Rx = ХА - Р cosa = 0;
Ry - YА + YB - Р sin a = 0;
= YBl - 0,5 PZ sin a - А/ = 0.
Рис. 1.2.8
РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ ТЕЛ
19
Из решения находим %/<=/>cosa =
= 0,87Р; YB = P(2 + 0,58sina) = 2,25P; YA =
= - 1.75 P Действительное направление силы
Ya противоположно показанному на рисунке.
2 Определить реакцию заделки на Т-
образную балку, подверженную действию сил
Ри 2Р (рис 1.2.8).
Как для пространственного нагружения
действие заделки на балку заменяем тремя
составляющими ХА , YA , ZA главного вектора
и тремя составляющими A/x, Му, Mz глав-
ного момента сил относительно точки А За-
пишем шесть условий равновесия для балки.
Rx = Ха+2Р = 0; Ry = УА = 0;
л =z/<-/> = o;
МАх = Мх + Р(3/ + /) = 0;
МАг = му + РШ-2Р1 = 0;
MAl = Л/г - 2Р(4/+/) = 0.
Находим искомые неизвестные
%Л=-2Р; ГЛ=0; ZA = Р;
Мх = -4Р/; Му = 8Р/; Mz = ЮР/.
1.2.4. РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ ТЕЛ
В практике во многих случаях приходит-
ся проводить статический расчет конструк-
ций, состоящих из системы твердых тел, со-
единенных "внутренними" связями. Напри-
мер, в трехшарнирной арке (рис. 1.2.9, а)
цилиндрические шарниры А и В являются
внешними связями, цилиндрический шарнир
С, входящий в систему, - внутренней связью.
Для плоской системы можно записать
три условия равновесия, но внешних неиз-
вестных четыре (XA,YA, XB,YB). Четвер-
тое условие равновесия составляется на осно-
ве свойств внутренней связи: момент в шар-
нире С равен нулю. Таким образом
Rx = ХА + Хв + Р sin a = 0;
Ry = Ya + YB - P cosa - 2G = 0;
1Lma = MA[P} + Ma(g,G} + Ma(yb} = 0;
(/)
Цмс = mc(g) + A/C(fs) + MC(XB} = 0.
(/)
Если требуется определить силы, возни-
кающие в шарнире С, то систему требуется
расчленить на две (рис. 1.2.9, б). Приняв
направления действия неизвестных сил
’ например для правой системы, по
закону "действие равно противодействию"
прикладываем такие же силы для левой си-
стемы. Для каждой системы записываем по
три уравнения равновесия, из которых нахо-
дим все шесть неизвестных.
Рис. 1.2.9
20
Глава 1.2. РАВНОВЕСИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
6)
Рис. 1.2.10
Примеры. I. Две горизонтальные балки
АС и ДЕ закреплены в неподвижном основа-
нии цилиндрическими шарнирами (рис.
1.2.10, а). Концы балок С и Д с помощью
цилиндрических шарниров соединены балкой
длиной СД балка АС посередине (в точке 5)
опирается на каток. Все три балки и внешние
силы, приложенные к ним посередине проле-
тов, находятся в одной плоскости. Определить
реакции опор и силы, действующие во внут-
ренних шарнирах С и Д системы.
Механическую систему, состоящую из
трех тел, расчленяем на отдельные части, дей-
ствие связей заменяем действием сил (рис.
1 2 10, 6). в каждом цилиндрическом шарнире
две составляющих силы. Неизвестных сил и
условий равновесия девять (три тела, для
каждого записываем по три условия). Все
неизвестные могут быть определены из сле-
дующей системы уравнений:
= хА + ^с = °;
R\y = YA~p\'+YB~ P2 + Yc^^
^Ма- -Р\1 + 2Гд/ - ЗР2/ + 4ГС/ = 0;
(/)
Р2х = ~Хс - ^5 + Ад = °;
^Мс =-Р5/ + 2%д/ = 0;
(О
Р3х = ~Хд + X Е = 0;
Р3у = Yд “ Л + ye ~ °’
=-/>4/ + 2Г£/ = 0.
(/)
2. Заделанный в стену горизонтальный
стержень АВ соединен со стержнем СД сколь-
зящим шарниром С (рис 1.2.11). К середине
стержня СД приложена горизонтальная сила
Л на стержень АВ действует пара сил с мо-
ментом М и вертикальная сила Q. Опреде-
лить реакции в заделке и в шарнирах С и Д,
принимая систему плоской.
РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ ТЕЛ
21
Рис. 1.2.11
Расчленяем систему на два тела, дей-
ствие связей заменяем действием сил. Заделка
эквивалентна главному вектору и главному
моменту, для плоской системы это две со-
ставляющих силы Ya и пара сил в плос-
кости системы с моментом МА. Поскольку
скользящий шарнир С не может передавать
силу вдоль стержня АВ, его реакция перпен-
дикулярна к стержню АВ. Неизвестных шесть,
условий равновесия для двух подсистем также
шесть. Для стержня АВ имеем:
^ = ^-^+0 = 0; Ях = *л=°;
Y,ma =Ма-М- 2Rcl + 3QI = 0.
0)
дующие:
= Хд - Р cos а - Д. sin а = 0.
Ry - Уд + Рsina - Rq cosa = 0;
Мс = -P/sina- 2Уд/ = 0.
3. Определить силу N прессования (рис.
1.2.12), когда стержень СД занимает верти-
кальное положение, ДЕ - ДЕ'.
Рассматриваем последовательно равно-
весие стержня АВ, шарниров Ди Е. Так как
на стержни с шарнирами на концах не дей-
ствуют поперечные нагрузки, то они передают
силы по направлениям линий, соединяющих
шарниры на их концах. Получаем
Размер стержня СД не имеет значения,
АВ Р
Р = Q--------; Т =------; N = Т cosp.
СВ cosa 2sinp
примем длину 21. Условия равновесия сле-
Рис. 1.2.12
22
Глава 1.2.РАВНОВЕСИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
1.2.5. РАСЧЕТ ПЛОСКИХ ФЕРМ
считаем растянутыми, поэтому их действия на
Фермой называется жесткая конструк-
ция из прямолинейных стержней, соединен-
ных на концах шарнирами. Внешние силы
прикладываются только в узлах, поэтому
стержни фермы будут сжатыми или растяну-
тыми Расчет фермы сводится к определению
опорных реакций связей и сил в стержнях.
Метод решения рассмотрим на примере (рис.
1 2 13).
Нумеруем стержни (арабскими цифра-
ми) и узлы (римскими) Определяем реакции
опор А и Д, принимая ферму как твердое те-
ло. длину вертикальных и горизонтальных
стержней / Записываем три условия равнове-
сия фермы, из которых находим X A, YA, Yg :
Ry = YA-P2-P3-P< + YB^-,
МА =-Р11- Р21 -2Р}1- ЗР41 + 4Гв/ = 0.
Рассматриваем последовательно равно-
весие узлов фермы. Начинаем с такого узла,
на который действует не более двух неиз-
вестных сил, так как для плоской системы
сходящихся сил можно написать только два
аналитических условия равновесия. Все
узлы заменяем силами, направленными от
узла Полученное из решения отрицательное
значение какой-либо силы будет означать, что
соответствующий стержень сжат. Из условий
равновесия стержней имеем $2 =
= Sj ит. д.
Расчет можно начинать с узла / или VIII.
Из условий равновесия узла I находим силы
5| и S2, из условий равновесия узла III - си-
лы 5з и 56, а из условий равновесия узла II -
силы 54 и S5 и т д.
1.2.6. распределенные силы
Наиболее распространенными примера-
ми распределенных сил являются вес тела,
давление воды или газа на какую-либо по-
верхность, электромагнитные силы. Распреде-
ленные силы характеризуются интенсив-
ностью q, измеряемой в ньютонах, на метр
(Н/м), или даглением р, измеряемым в Пас-
калях (Н/м2). При рассмотрении равновесия
тел рапределенные силы заменяют равнодей-
ствующей, величина и положение которой
находятся из условия сложения сил.
Примеры. I. Распределенные силы дей-
ствуют на прямолинейную балку (рис. 1.2.14).
Формулы имеют вид-
а)
Рис. 1.2.14
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
23
общие
/ 1 I
Q = J q(x)dx\ ОВ = — f q(x)xdx;
о Qo
для рис. 1.2.14, а
0=^тах ОВ = —1,
2 3
для рис. 1.2.14, б
О = ов = ~1.
3 4
2. Распределенные силы постоянной ин-
тенсивности действуют на дугу окружности
(рис. 1.2 15, а), например, от давления жид-
кости или газа на боковую стенку цилиндри-
ческого бака. Тогда
Q = f qRcosada = 2gAsina0 = qh.
-ao
Равнодействующая равномерно распре-
деленных по длине окружности сил равна
произведению интенсивности сил на длину
хорды,
стягивающей дугу, линия действия равнодей-
ствующей перпендикулярна к хорде и прохо-
дит через ее середину. Сформулированный
а) 1 б)
вывод справедлив для дуги любой формы
(рис. 1.2.15, б).
Если силы постоянного давления р дей-
ствуют на какую-либо поверхность, то их
равнодействующая равна произведению дав-
ления на площадь среза, замыкающую эту
поверхность; линия действия равнодействую-
щей перпендикулярна к поверхности среза и
проходит через ее центр "тяжести". Так, сила,
действующая на крышку, которая закрывает
цилиндрический бак, находящийся под внут-
ренним давлением р, по срезу, перпендику-
лярному к оси бака, Q = pnd^/4 и направ-
лена вдоль оси бака.
1.2.7. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
До сих пор рассматривались статически
определимые системы, т. е. такие?для которых
неизвестные силы реакций можно определить
с помощью уравнений равновесия абсолютно
твердого тела. Число неизвестных равно числу
уравнений.
На практике встречаются системы, в ко-
торых число наложенных связей больше, чем
можно составить уравнений равновесия для
определения сил реакций. Такие системы
называются статически неопределимыми.
Рис. 1.2.16
24
Глава 1.3. УЧЕТ СИЛ ТРЕНИЯ
На рис. 1.2.16, а показана жесткая балка,
заделанная в стену и имеющая груз Р на кон-
це. Три неизвестные X У, М легко определя-
ются методами статики абсолютно твердого
телр. Если конструкцию усложнить и балку
покрепить дополнительно стержнем 1 (рис.
1.2.16, б), то неизвестных будет четыре, а
уравнений равновесия по-прежнему три.
В этом случае и система один раз статически
неопределима. Усложняя конструкцию путем
введения дополнительного стержня 2 (рис.
1.2.16, в), получим систему дважды статически
неопределимую.
Определение всех неизвестных сил (рас-
крытие статической неопределимости) воз-
можно только путем составления уравнений,
дополняющих число уравнений статики до
числа неизвестных. Эти дополнительные
уравнения учитывают особенности геометри-
ческих связей, наложенных на систему, и
условно называются уравнениями совмест-
ности перемещений. Их составляют пользуясь
методами теории упругого тела.
Глава 1.3
УЧЕТ СИЛ ТРЕНИЯ
13.1. СИЛЫ ТРЕНИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ (СУХОГО ТРЕНИЯ)
Трение скольжения - довольно сложный
процесс, в теоретической механике пользуют-
ся его простейшей схематизацией (рис. 1.3.1):
сила трения может принимать любые
значения от нуля до Fmax, 0 < F < Fmax;
максимальное значение силы трения
равно произведению коэффициента трения /
на силу нормального давления N,
Лпах = Коэффициент трения / (величина
безразмерная) зависит от состояния поверх-
ностей соприкасающихся тел (шероховатости,
материала, температуры, влажности и др.) и
определяется опытным путем. Максимальное
значение силы трения Fmax соответствует
предельному состоянию равновесия, малей-
шее увеличение внешней силы может вызвать
движение;
максимальная сила трения в довольно
широких пределах не зависит от размеров
соприкасающихся поверхностей.
Реакцию R шероховатой поверхности
представим в виде двух составляющих: силы
нормального давления N и силы трения F,
которая перпендикулярна N, R = N + F. Ре-
акция отклонена от силы нормального давле-
ния на не который угол a, tga = F / N .
Если тело лежит на горизонтальной шерохо-
ватой плоскости и на него не действуют
внешние силы (Р = 0) кроме веса, то F = 0.
При приложении силы Р возникает сила тре-
ния F: если Р < Fmax , имеет место равнове-
сие, F = Р. При предельном состоянии рав-
новесия Р = Fmax реакция R отклонена от
вертикали на угол атах, называемый углом
трения. Обозначим атах = <р, тогда
= Fmax / N = f (1.3.1)
И
0 а < ср . (1.3.2)
13.2. РАВНОВЕСИЕ ТЕЛА
ПРИ НАЛИЧИИ СУХОГО ТРЕНИЯ
Равновесие твердого тела при наличии
сухого трения определяется неравенствами,
следующими из неравенства (1.3.2). Равнове-
сие тела на наклонной шероховатой поверх-
ности (рис. 1.3.2) возможно, если выполняет-
ся условие (1.3.2). Равенство (1.3.1) может
быть использовано для опытного определения
коэффициента трения f
При наличии внешней силы Р (рис.
1.3.2, б), если сила Рмала, а угол а большой,
тело будет скользить по наклонной плоскости
вниз; при большой силе Р тело может начать
двигаться вверх. Равновесие возможно, когда
<7(sin а - f cos а) < Р < <7(sin а + f cos а).
Рис. 1.3.1
Рис. 1.3.2
РЕАКЦИЯ СВЯЗИ ПРИ КАЧЕНИИ
25
Рис. 1.3.3
Силы сухого трения используются для
создания клиновых замков, самотормозя-
щихся передач скольжения. Покажем условия
надежной работы клинового замка, скреп-
ляющего балки А и В (рис. 1.3.3). Рассматри-
вая равновесие клина, найдем, что сила, дей-
ствующая на поверхности клина и выталки-
вающая его из гнезда, равна 2Psina, а сила
трения, препятствующая выталкиванию кли-
на, 2/Pcosa. Чтобы замок надежно скреплял
балки, надо, чтобы сила трения была больше
выталкивающей силы, или
tga</. (1.3.3)
Смысл требований к самотормозящейся
передаче скольжения поясним по рис. 1.3.2.
При действии силы Р > G sin а груз может
двигать вверх, при Р = 0 груз остается непо-
движным, если выполняется условие (1.3.3).
Трение нити (каната) о цилиндрическую
поверхность (задача Эйлера) рассматривается
при расчете ленточных тормозов, устройств
крепления с помощью тросов. На рис. 1.3.4
изображен круглый неподвижный барабан,
охваченный нитью, к одному из ее концов
приложена сила Р. Наименьшая сила Q, с
помощью которой можно удержать силу Р,
определяется по формуле Эйлера:
Q = P^f<,
где f - коэффициент трения нити о барабан;
у - угол охвата нити, рад.
При f = 0 имеем Q = Р, при f > О
увеличением угла охвата у можно значитель-
но уменьшить силу Q. Например, при f =
= 0,25 и у = 8я сила Q = 0,002 Р.
133. РЕАКЦИЯ СВЯЗИ ПРИ КАЧЕНИИ
Катящееся тело вдавливает опорную по-
верхность. На поверхности соприкосновения
возникает система распределенных сил (рис.
1.3.5, я), которую можно привести к центру А
и получить две составляющих силы N и F и
момент Мтр (рис. 1.3.5, б), где N - сила
нормального давления, F - сила трения
скольжения, Мтр - момент сопротивления
(трения) качению.
Рис. 1.3.5
26
Глава 1.3. УЧЕТ СИЛ ТРЕНИЯ
Так как распределенные силы, препят-
ствующие качению, расположены впереди
центра колеса, то их можно также заменить
силами N и F (рис. 1.3.5, в). Реакции опор-
ной поверхности на колесо на схемах в и б
эквивалентны, момент сопротивления каче-
нию А/тр = А/3, где 6 - коэффициент сопро-
тивления качению (линейная величина, изме-
ряемая, обычно, в см). Коэффициент § зави-
сит от свойств материалов соприкасающихся
тел и определяется опытным путем. Напри-
мер, для качения колеса по рельсу 6 = 0,005
см, для качения закаленного шарика по зака-
ленной канавке (шарикоподшипник) 5 =
0,001 см.
1.3.4. ВЕДОМОЕ И ВЕДУЩЕЕ КОЛЕСА
Рассмотрим две схемы, широко встре-
чающиеся на практике: схему ведомого колеса
(рис. 1.3.5, в) и схему ведущего колеса (рис.
1.3.6). Ведомому колесу движение сообщает
сила Q, приложенная к его оси. Условия рав-
новесия:
ведомого колеса по скольжению
Q < Лтах =
по качению
Q < А/3 / R. (1.3.4)
Как правило, 8/R«f, поэтому
определяющим для начала движения является
равенство (1.3.4).
Ведущее колесо отличается от ведомого
тем, что движение ему сообщает пара сил с
моментом Л/, сила Q в данном случае пред-
ставляет сопротивление экипажа, которому
ведущее колесо стремится сообщить движе-
ние.
Надо обратить внимание на направление си-
лы F, которая у ведущего колеса направлена в
сторону возможного движения, причем ее
момент относительно центра О противополо-
жен приложенному к колесу моменту М.
Условия равновесия ведущего колеса
F = Q, N = P- M = QR+MTp.
Ведущее колесо не может толкать эки-
паж с силой Q, превышающей Fmax = fN ,
поэтому Cmax = • Максимальный крутя-
щий момент М, который можно подвести к
колесу без его пробуксовки, будет
Mmsa = N(fR + l>).
Если М > Л/тах, то происходит буксо-
вание колеса. Ведущее колесо может сооб-
щать экипажу силу, не превышающую силу
fN скольжения колеса с дорогой (силу по
сцеплению).
РАЗДЕЛ 2
КИНЕМАТИКА
Кинематикой называется раздел теоре-
тической механики, в котором изучается дви-
жение материальных тел независимо от их
массы и причин, вызывающих движение.
Глава 2.1
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
2.1.1. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ.
СКОРОСТЬ, УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ
Материальной точкой называют тело,
размерами которого в условиях данной задачи
механики можно пренебречь и определять его
положение в пространстве геометрической
точкой. Материальная точка с той или иной
степенью приближения моделирует макро-
частицы твердых и упругих тел, жидкостей и
газов, размеры которых таковы, что движения
отдельных точек макрочастицы мало отлича-
ются друг от друга. В ряде случаев в качестве
материальной точки рассматривают тела абсо-
лютно больших размеров, но малых по срав-
нению с частью пространства, в котором про-
исходит движение этих тел. Например, при
исследовании движения звезд, расстояние
между которыми много больше их размеров,
звезды можно принимать за материальные
точки.
Движение точки считается известным,
если можно определить ее положение в про-
странстве в произвольный момент времени.
Положение точки в пространстве находится
тремя основными способами: векторным,
естественным и координатным.
При векторном способе положение точки
определяется с помощью радиуса-вектора г ,
проведенного из неподвижной точи в
точку Л/, движение которой изучается (рис.
2.1.1) . Каждому моменту времени t соответ-
ствует определенное значение г . Уравнение
г = f(t) называется кинематическим уравне-
нием движения точки в векторной форме.
Геометрическое место последовательных по-
ложений точки называется ее траекторией.
Уравнение г - r(t) является векторным
уравнением траектории точки. Так как кри-
вую, которую описывает конец какого-либо
вектора, начало которого все время находится
в одной и той же точке, называют годографом
вектора, то траектория точки является годо-
графом радиуса-вектора г. Основными ки-
нематическими характеристиками движения
точки являются ее скорость v и ускорение w .
При векторном способе задания движе-
ния точки
- dr - dv d2f
V = —, w = —— = — .
dt dt dt2
Вектор v расположен вдоль касательной к
траектории точки. Вектор iv находится в
соприкасающейся плоскости траектории точ-
ки и направлен в сторону вогнутости траекто-
рии.
При естественном способе движение точ-
ки считается заданным, если известна траек-
тория, указана точка О траектории, прини-
маемая за начальную и установлено направ-
ление отсчета положительных дуговых коор-
динат S, избран определенный линейный
масштаб. Уравнение s - s(t) определяет за-
кон движения точки по траектории. Путь ст ,
пройденный точкой за промежуток времени
ti - fj, определяется так:
Рис. 2.1.1
28
Глава 2.1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
h
ст = f |ds| > 0.
6
Каждой точке траектории соответствуют
определенные радиус-вектор г и дуговая
координата s. Следовательно, г можно рас-
сматривать как сложную функцию времени t:
г = г(5) = r[j(f)]
Тогда скорость
-0 dr
где т = — - единичный вектор, направлен -
ds
ный по касательной к траектории, в сторону
отсчета положительных дуговых координат;
vt = 5 - проекция скорости на касательную
к траектории движения точки.
Ускорение точки при естественном спо-
собе задания
_ Jv ..-о 52 -0
W =----- = 5Т +---П
dt р
или
W = ST0 + 5фЛ°,
где л° - единичный вектор главной нормали,
направленной к центру первой кривизны
ds
траектории; р = — - радиус первой кривиз-
дер
ны траектории; ф - угол смежности.
Приведенное выражение для ускорения
можно рассматривать как результат разложе-
ния и> по координатным векторам естествен-
ного координатного базиса:
w = и\т° + wnnQ + wbbQ
или
w = wx+wn+wb,
где wT = s; wn = — = яр, wb = 0 - проек-
Р
цйи вектора и> соответственно на касатель-
ную, главную нормаль и бинормаль;
= л° х т° - единичный вектор бинорма-
ли.
Вектор ivt = s т° называется касатель-
ным или тангенциальным ускорением точки,
а вектор й>л = — л° или wn = ярл° - нор-
Р
мальным ускорением. Поскольку т°±л°,
модуль полного ускорения
Касательное ускорение характеризует
изменение скорости по величине, а нормаль-
ное - по направлению. Если и\ = 0, то дви-
жение равномерное. При = const движе-
ние называется равнопеременным, причем
если (vtwT)>0, то ускоренным, а при
(vtwt)<0 замедленным. В случае равнопе-
ременного движения
vT = v0 + wTZ, s = sQ+уQt + 0,5 w/2,
где v0 = (vT)/=s0, $0 = (s)/=s0.
При координатном способе положение
точки определяется с помощью системы
независимых геометрических параметров
(координат). Примером координатной си-
стемы служит ортогональная система декарто-
вых координат х, у, z (рис. 2.1.2), которые
при движении точки являются однозначными
непрерывными функциями времени. Уравне-
ния х = /i(Z), у = /2(Г), Z = /з(0 движения
точ-ки можно рассматривать и как уравнения
траектории точки М в параметрической фор-
ме, где параметром является время t. Чтобы
найти уравнение траектории в координатной
форме необходимо из уравнений движения
точки исключить время t. При движении
точки по плоскости, например хОу, уравнение
ее траектории F(x,y) = 0.
При движении точки по пространствен-
ной кривой уравнение траектории представ-
ляется в виде двух уравнений цилиндрических
поверхностей, линия пересечения которых и
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ
29
определяет траекторию. Возможны следую-
щие комбинации этих пар поверхностей:
Fi (х,у) = 0; Ф| (х,у) = 0; Vi (х,у) = 0;
F2(x,z) = 0; Ф2О',г) = 0; ч/гО^г) = 0.
w = wxi + wyj + wzk,
где wx = vx = x, wy = vy = y, wz = vz =
Таким образом,
Существует следующая связь между век-
торным, естественным и координатным (в
декартовых координатах) способами задания
движения точки:
г = xi +yj + zK,
где /, j,k - орты координатных осей Ох,
Оу, Oz
Элемент дуги траектории
_ У
Н V*2 +у2+£2
откуда
ds = ±Jdx2 + dy2 +dz2 ,
5 = s0 ± f Jdx2 +dy2 +dz2
о
Выбор знака эквивалентен выбору по-
ложительного направления отсчета дуговой
координаты при неизменяемом направлении
движения точки по ее траектории. Более
сложным является переход от естественного
способа задания движения точки в про-
странстве к координатному. Эта задача сво-
дится к интегрированию некоторого уравне-
ния Риккати. Скорость точки при задании ее
движения с помощью декартовых координат
v = xi + yj +zk • С другой стороны, вектор
скорости v можно разложить по координат-
ным осям v = vx/ + Nyj + vzk, откуда
vx = vy =у, v2 = z.
Модуль вектора скорости и его направ-
ляющие косинусы с осями координат:
Для изучения движения точки по плос-
кости кроме декартовых применяются поляр-
ные координаты. Уравнения движения точки
в полярных координатах имеют вид:
г = /1(П; <Р = Л(О,
где г - расстояние от движущейся точки М до
полюса О (рис. 2.1.3); <р - угол, образуемый
радиусом ОМ с полярной осью Ох.
Эти уравнения являются одновременно
уравнениями траектории точки в параметри-
ческой форме. В координатной форме урав-
нение траектории г - г(<р). Между полярны-
ми, декартовыми, дуговой координатной точ-
ки и ее радиусом-вектором существуют сле-
дующие зависимости:
х = rcostp; у = г sin ср;
s = <s0 ± f ^dr2 + г2<йр;
о
г = гг°,
-о
где г - единичный вектор радиуса-векто-
Разложение вектора ускорения w по
координатным осям Oxyz имеет вид:
Рис. 2.1.3
30
Глава 2.1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
Скорость точки при задании ее движе-
ния с помощью полярных координат
v = rr° + Гфр0
или
-о
где р - единичный вектор, перпендикуляр-
ный г° и направленный в сторону увеличе-
ния угла* (p; vr =rr° = vrr° радиальная;
— 0 -0
Np=ryp =VpP - трансверсальная со-
ставляющая скорости точки; vr = г,
v р = гф - проекции скорости на направле-
ние ради уса-вектора и направление, перпен-
дикулярное к нему. Так как г°± , то
|v| = ^2 +Vp2 = -Jr2 + 'V •
Для определения ускорения точки в по-
лярных координатах используются следующие
формулы-
w = (г - гф2)г° + (др + 2г<р)р°;
w = wr + wp,
где wr = (г - гф2)г0-; wp = (гф + 2г<р)р° -
радиальная и трансверсальная составляющие
ускорения точки; wr = г - гф2; wp = гф +
+2гф - проекции ускорения на направление
радиуса-вектора и направление, перпендику-
лярное к нему.
Модуль ускорения и направляющие ко-
синусы определяются так:
мых параметров, однозначно определяющих
ее положение.
Уравнения движения точки в криволи-
нейных координатах имеют вид
Я. / = 1,2,3.
Радиус-вектор точки и его проекции на
оси декартовой системы координат:
r = r(qi,q2,q3);
х = x(?i. q2. 9з): У = У(<Ь. ?2. 9з);
Z =Z(?i, q2, q3)-
Если в последних трех функциях одна из
криволинейных координат, например qit пе-
ременная, а две другие имеют постоянные
значения 02о, 0зо, то система уравнений сле-
дующая: X = x(qi, 02о, 0зо)» У = У<01» 020»
030)’ г = г(01» 020 » 03о)« Она определяет
координатную линию, соответствующую из-
менению координаты 0]. Подобным образом
определяются координатные линии, соответ-
ствующие изменению 02 и 0з. В каждой точке
пространства пересекаются три координатные
линии, касательные к которым в указанной
точке, проведенные в сторону возрастания
криволинейных координат, называются коор-
динатными осями. Орты координатных осей
, е2, вз определяются следующим образом:
- _ 1 дг . - _ 1 дг . - _ 1 дг
~ dqi ’e2~ Н2 dq2 ,ез~ H3dq3'
где
г-г<р2)2 + (г ф + 2гф)2;
j = 1, 2, 3 - коэффициенты Ляме.
Скорость точки в криволинейных коор-
динатах
V = +q2H2e2 +q3H3e3.
Следовательно, проекции вектора скорости на
координатные оси
Ч=91#ь vft=?2#2; %=?3Я3.
В силу ортогональности рассматри-
ваемой системы криволинейных координат
модуль скорости точки
Криволинейными координатами точки
0/(/ = I, 2, 3) называется система независи-
|v| = V?!2^!2 +Я22Н22 + q32H32.
КИНЕМАТИКА СЛОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ
31
Ускорение точки в криволинейных ко-
ординатах
- dv Г 1 dr - 1 dr -
w = — =--------в| ч---------+
dt [Я| dq{ 1 Н2 dq2 2
1 dr .. tfv у» 1 dr -
Н3 dq3 в3 dt f^Hj dqj Cj'
его проекции на координатные оси
_ tfv____1 dir
Wq' dt H j dqj
0 = 1, 2, 3).
Вследствие ортогональности рассматри-
ваемой криволинейной системы координат
модуль ускорения точки
н=Х2+*%2+%2-
Примером использования полученных
выражений может служить определение ско-
рости и ускорения точки в цилиндрической и
сферической системах координат. Для цилин-
дрической системы координат, в которой
= г, q2 = ф, q3 = z (рис. 2.1.4), имеют
место следующие зависимости:
х = гсобф; у = г8Шф; z = z;
=1; Н2 = r; Н3 =1;
=
sin \p cos \p
vr = Л v<p = пр, V2 = г;
wr=r-np2; и'ф=др + 2др; wz = z-
В сферической системе координат, в
которой q\ = г, g2 = Ф, 03 = Ф (Рис- 2.1.5),
между декартовыми и сферическими коорди-
натами существуют зависимости:
х = г cos ф cos \р; у = гсовфвт \р;
Z = г8Шф;
Я) = 1; #2=rcos\p; Я3=г;
vr = h = rcosvpcp; vv = пр;
. о 2 -2
Wr = Г - /ф COS \р - Пр ,
и> = —!----^(r2<j>cos2 vl
* г cos \р at \ f
2.1.2. КИНЕМАТИКА СЛОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ
Движение точки называют сложным, ес-
ли оно рассматривается одновременно отно-
сительно двух (или нескольких) систем отсче-
та, одна из которых условно полагается непо-
движной. Движение точки относительно
условно неподвижной системы координат
называется абсолютным. Движение точки
относительно системы координат, движу-
щейся относительно неподвижной, называет-
ся относительным, а относительно подвижной
системы координат, с которой в данный мо-
мент совпадает движущаяся точка, - перенос-
ным движением точки.
Абсолютная скорость v точки при
сложном движении равна векторной сумме
относительной vr и переносной ve скоро-
стей:
32
Глава 2.2. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
v = vr+ve;
|v| = + ve2 + 2vevr COS^Ve , Vrj.
Абсолютное ускорение w точки при
сложном движении равно векторной сумме
относительного wr, переносного не и ко-
риолисового we ускорений:
w = wr + we + wc,
где wc = 2сое х vr; сое- мгновенная угловая
скорость подвижной системы координат во-
круг оси, проходящей через ее начало коор-
динат; если подвижная система координат
совершает поступательное движение, то
сое = 0 и wc = 0.
Глава 2.2
КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
2.2.1. ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Положение твердого тела в пространстве
в общем случае определяется шестью незави-
симыми параметрами, т. е. оно имеет шесть
степеней свободы. К простейшим движениям
твердого тела относятся поступательное и
вращательное вокруг неподвижной оси.
Поступательным называется такое дви-
жение тела, при котором произвольная пря-
мая, проведенная в нем, движется параллель-
но самой себе. При поступательном движении
твердого тела скорости и ускорения всех его
точек равны, а траектории конгруэнтны. Та-
ким образом, поступательное движение твер-
дого тела полностью определяется движением
одной его произвольной точки, способы зада-
ния движения которой рассмотрены выше.
Вращательным движением твердого тела
вокруг неподвижной оси называется такое его
движение, при котором некоторая прямая Oz
(ось вращения) принадлежащая телу, остается
неподвижной (рис. 2.2.1). Положение тела
при вращении вокруг неподвижной оси опре-
деляется углом поворота ср, являющимся
линейным углом двугранного угла, образо-
ванного двумя плоскостями, линия пересече-
ния которых совпадает с осью вращения,
причем одна из плоскостей, например N, не-
подвижна, а другая Р движется вместе с те-
лом. Угол <р измеряется в радианах и счита-
ется положительным при повороте тела про-
тив движения часовой стрелки, если смотреть
со стороны положительного направления оси
вращения Oz. Зависимость угла поворота от
времени ф = /(/) называется уравнением
вращения твердого тела вокруг неподвижной
оси. Кинематическими характеристиками
вращения твердого тела вокруг неподвижной
оси являются угловая скорость со и угловое
ускорение е:
со = <р£; е = ф£,
где к - единичный вектор оси вращения От,
|ф| = <о; |ф| = 8 .
Рис. 2.2.1
ДВИЖЕНИЕ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
33
Так как траекториями точек тела при его
вращении вокруг неподвижной оси являются
окружности, расположенные в плоскостях,
перпендикулярных к оси вращения, то при
повороте тела на угол ф для его точки, рас-
стояние которой от оси вращения равно R
(рис. 2.2.2), закон движения по траектории
имеет вид 5 = Лр . Поскольку в этом случае
движение точки оказывается заданным есте-
ственным способом, рассмотренным выше, ее
скорость и ускорение определяются так:
v = 5т° = Яфт;
w = м\т° + w„n°;
2 / 2
= 5 = 7?ф; wn = VV = Ro ,
|w| = We2 + <o4.
Угол a, образованный полным ускоре-
нием и нормальным, находится по формуле
х W. 8
a = arctg—L = arctg—
*n co2
Так как co и e не зависят от положе-
ния точки в теле, то угол а одинаков для
всех его точек. Скорость и ускорение точки
тела, вращающегося вокруг неподвижной оси,
можно определить по формулам:
v = со х г;
где г - радиус-вектор, проведенный из про-
извольной точки, взятой на оси вращения, в
рассматриваемую точку Мтела (рис. 2.2.2).
2.2.2. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
Обобщением движения тела вокруг не-
подвижной оси является движение тела во-
круг неподвижной точки (рис. 2.2.3). Поло-
жение твердого тела, движущегося вокруг
неподвижной точки, определяется тремя не-
2 Зак. 4SS
Рис. 2.2.3
34
Глава 2.2. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
зависимыми углами Эйлера: углом прецессии
Ф, углом нутации 0 и углом собственного
вращения ф. Эти углы задают положение
подвижной системы координат Oxyz, связан-
ной с телом, относительно неподвижной си-
стемы координат OxjyiZb Линия ОК пересе-
чения координатных плоскостей Ох\У\ и Оху
называется линией узлов.
Функциональные зависимости ф = Д(0;
О = Ф = /з(0 называются уравнения-
ми движения твердого тела вокруг неподвиж-
ной точки. Движение тела, имеющего непо-
движную точку, за малый промежуток време-
ни можно представить как поворот на малый
угол вокруг мгновенной оси, проходящей
через неподвижную точку. Угловую скорость
тела в данный момент времени называют
мгновенной. Вектор мгновенной угловой ско-
рости со направлен по мгновенной оси вра-
щения тела. Скорость любой точки М тела
(рис. 2.2.4)
v = со х г ,
где г - радиус-вектор, проведенный из непо-
движной точки 0 в точку тела М, скорость
которой определяется.
Приведенная формула называется фор-
мулой Эйлера:
где е - мгновенное угловое ускорение, на-
правленное по касательной к годографу ш;
8 х г = wBp - вращательное ускорение, ш х
х(ш х г) = Wqc - осестремительное ускоре-
ние;
w = йвр + vvoc;
Геометрическое место мгновенных осей
вращения относительно неподвижной си-
стемы координат называется неподвижным
аксоидом. Геометрическое место мгновенных
осей вращения, отнесенное к подвижной си-
стеме координат, неизменно связанной с те-
лом, - подвижный аксоид. Аксоиды - кониче-
ские поверхности с вершиной в неподвижной
точке. При движении твердого тела вокруг
неподвижной точки подвижный аксоид ка-
тится без скольжения по неподвижному аксо-
иду. Уравнения мгновенной оси вращения
имеют вид
где А = |r| sinl ш , г I - расстояние от точки М
х у Z
(0х (Oj,
до мгновенной оси вращения (рис. 2.2.4).
Ускорение точки тела определяется
следующим образом:
iv = £xr+©xv = £xr+fflx(toxr),
Приведенные уравнения позволяют пр-
иучить уравнения аксоидов путем исключения
из них времени как параметра. Если х, у,
z являются текущими координатами точки
Рис. 2.2.4
СЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ
35
мгновенной оси относительно подвижных
осей, скрепленных с движущимся телом, а
<ох, ©у, (az - проекции угловой скорости
тела на эти оси, то приведенное уравнение
является уравнением подвижного аксоида.
Если вместо подвижных осей координат взять
неподвижные оси, относительно которых
рассматривается движение тела, то получается
уравнение неподвижного аксоида.
2.2.3. СЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ
Если тело одновременно участвует в
нескольких движениях, то его движение на-
зывается сложным. Так, если тело одновре-
менно участвует в нескольких поступательных
движениях, то результирующее движение
также поступательное, а скорость и ускорение
произвольной точки тела равны векторным
суммам соответственно скоростей и ускоре-
ний составляющих движений:
л л
v = £v/; w =
/=1 /=1
где п - число одновременных поступательных
движений, в которых участвует тело.
Если тело одновременно совершает л
вращательных движений вокруг осей, пересе-
кающихся в одной точке, с мгновенными
угловыми скоростями ©/, то результирую-
щим движением в этом случае является вра-
щение вокруг мгновенной оси с угловой ско-
ростью Q, равной векторной сумме угловых
скоростей составляющих вращений:
л
0 = ^5;.
/=1
Совокупность двух одновременных вра-
щений вокруг параллельных осей, угловые
скорости которых «1 и «2 направлены в
одну сторону, может быть заменена одним
результирующим вращением с угловой ско-
ростью Q, направленной в ту же сторону,
что и угловые скорости составляющих враще-
ний:
Q = ©1 +©2 • (2.2.1)
Причем
|o|=|S1|+|»2|.
Мгновенная ось вращения делит рас-
стояние между угловыми скоростями на час-
ти, обратно пропорциональные величинам
данных угловых скоростей внутренним обра-
зом (рис. 2.2.5). Если ©J и ©2 направлены в
разные стороны, то Q определяется из
(2.2.1); при этом |й| = |©i| - |©z|, если
|й||>|®2|.и |п| = |®г|-|®1| при |®2|>|«»i|-
Мгновенная ось вращения делит рас-
стояние между составляющими угловыми
скоростями на части, обратно пропорцио-
нальные заданным угловым скоростям внеш-
ним образом, причем вектор Q направлен в
ту же сторону, что и вектор большей угловой
скорости. Если ©2 = » то движение па-
рой вращения приводит к мгновенному по-
ступательному движению со скоростью (рис.
2.2.6):
36
Глава 2.2. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
где h - вектор, проведенный из произволь-
ной точки, взятой на оси первого вращения, в
произвольную точку, принадлежащую оси
второго вращения.
Свободное движение твердого тела мож-
но представить как сумму двух движений:
поступательного вместе с некоторой точкой О
и вращательного вокруг этой точки. Уравне-
ния движения свободного твердого тела могут
иметь вид:
*о = />('); у« = /г(0; z0 = /з(');
v = /4(0; е = /5(0; ч> = /6(')-
Скорость v и ускорение w произволь-
ной точки свободного твердого тела опреде-
ляются по следующим формулам:
v = v0 + со х г; = iv0 4- ё х г 4- со х (со х г),
(2.2.2)
где v0 - скорость точки О; г - радиус-
вектор точки, проведенный из точки О; со -
угловая скорость тела; vvq - ускорение точки
О; е - угловое ускорение тела.
Плоскопараллельное движение является
частным случаем движения свободного твер-
дого тела. Плоскопараллельным (или пло-.
ским) движением твердого тела называется
такое движение, при котором все его точки
движутся параллельно некоторой неподвиж-
ной плоскости. Изучение плоского движения
тела сводится к изучению движения плоской
фигуры, образованной сечением этого тела
плоскостью, параллельной неподвижной
плоскости. Уравнения движения плоской
фигуры в ее плоскости, а следовательно,
плоского движения твердого тела относитель- лены по одной прямой, перпендикулярной к
но системы координат О\ху имеют вид (рис. плоскости, то
2.2.7):
*о = Л (0; Уо = Л(0. ч> = М),
где ф - угол, который составляет подвижная
ось связанная с телом, с неподвижной
осью О\Х.
Скорость и ускорение произвольной то-
чи тела, совершающего плоское движение,
определяются по формулам (2.2.2). Часто для
точки М тела приведенные формулы записы-
ваются в такой форме (рис. 2.2.8):
v = v0+vM0;
* = w0 +wM0 = w0 +w”M0 +w'M0.
Таким образом, скорость и ускорение
точки М плоской фигуры равны векторным
суммам скорости и ускорения полюса О и
скорости и ускорения точки М при вращении
плоской фигуры вокруг полюса. Так как при
плоском движении векторы ш и е направ-
Рис. 2.2.8
СЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ
37
|^о| = «>2ОМ; |^о| = |8|ОМ;
I^Afol = 0 М Vs2 +<в4.
В каждый момент времени при плоском
движении фигуры в ее плоскости, если
6*0, имеется единственная точка этой
фигуры, скорость которой равна нулю, -
мгновенный центр скоростей (МЦС). Если
МЦС известен (точка Р на рис. 2.2.9), то ско-
рости точек плоской фигуры при ее движении
в своей плоскости вычисляют так же, как и в
случае вращения фигуры вокруг оси, прохо-
дящей через МЦС, с угловой скоростью со , т.
е. скорость точки М плоской фигуры
|ум|-|Б|МР.
При этом вектор v д/ образует с векто-
—> _
ром МР угол п / 2 , откладываемый от v д/
в направлении вращения фигуры. МЦС рас-
положен на перпендикуляре, проведенном из
точки Му на расстоянии МР. Если известны
скорости двух точек плоской фигуры, то
МЦС находится на пересечении перпендику-
ляров к направлениям скоростей этих точек
(рис. 2.2.10). Геометрическое место МЦС на-
зывается центроидой. При плоском движении
образуются две центроиды: неподвижная цен-
троида - геометрическое место МЦС в непо-
движной системе координат; подвижная -
геометрическое место МЦС в системе коор-
динат, скрепленной с движущейся плоской
фигурой. При плоском движении подвижная
центроида катится по неподвижной без
скольжения.
В каждый момент движения плоской
фигуры в ее плоскости, если ш и 8 не равны
нулю одновременно, имеется единственная
Рис. 2.2.9
точка этой фигуры Q, ускорение которой рав-
но нулю (рис. 2.2.11), - мгновенный центр
ускорения (МЦУ). Расстояние от точки М до
МЦУ определяется по формуле
MQ = .
7е2 + о4
При этом вектор Wy образует с векто-
—> е
ром MQ угол а = arctg—- откладывае-
(О2
мый от w у в направлении вращения фигуры
если е > 0, ив противоположном направле-
нии при е < 0. Если МЦУ известен, то уско-
рения точек плоской фигуры при плоском
движении можно определить так же, как и
при вращательном движении плоской фигуры
вокруг оси, проходящей через МЦУ, с угло-
вой скоростью со и угловым ускорением 8 ,
т. е. ускорение точки М
“ ^mq+^mq; 1*м| = mq№ +ш4.
Рис. 2.2.11
РАЗДЕЛ 3
ДИНАМИКА
Глава 3.1
ОБ ОСНОВНЫХ ЗАКОНАХ
КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Аксиомы, или законы движения Ньюто-
на - основы классических механики и физи-
ки - на протяжении прошедших трех столетий
подвергались той или иной критике, но и в
настоящее время они являются надежной
основой теоретической механики и ее техни-
ческих приложений [45]. Однако прочтение и
понимание этих законов различными автора-
ми далеко неоднозначно, о чем свидетель-
ствуют, например, время от времени возни-
кающие среди ученых дискуссии по основам
механики.
Ниже приведены определения и законы
Ньютона. Основное внимание сосредоточено
на современных формулировках законов
Ньютона, анализе принципа Д'Аламбера и
аксиомы освобождаемости.
3.1.1. НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ
По Ньютону теоретическая или
"рациональная механика есть учение о движе-
ниях, производимых какими бы то ни было
силами, и о силах, требуемых для производ-
ства каких бы то ни было движений, точно
изложенное и доказанное"[45]. Под движени-
ем подразумевается механическое движение,
т.е. изменение взаимного положения матери-
альных тел или частей тела с течением време-
ни. В качестве характеристики материаль-
ности тела Ньютон ввел в науку новое поня-
тие - массу тела, определив ее следующим
образом.
"Количество материи (масса) есть мера
таковой, устанавливаемая пропорционально
плотности и объему ее... . Определяется масса
по весу тела, ибо она пропорциональна весу,
что мною найдено опытами над маятниками,
произведенными точнейшим образом" [45].
По Ньютону масса тела неизменна и обладает
свойством аддитивности.
За меру движения Ньютон принял коли-
чество движения. "Количество движения есть
мера такового, устанавливаемая пропорцио-
нально скорости и массе" [45].
"Врожденная сила материи есть прису-
щая ей способность сопротивления, по кото-
рой всякое отдельно взятое тело, поскольку
оно предоставлено самому себе, удерживает
свое состояние покоя или равномерного пря-
молинейного движения. Эта сила всегда про-
порциональна массе и если отличается от
инерции массы, то разве только воззрением
на нее".
"Приложенная сила есть действие, про-
изводимое над телом, чтобы изменить его
состояние покоя или равномерного прямоли-
нейного движения. Сила проявляется един-
ственно только в действии и по прекращении
действия в теле не остается. Тело продолжает
затем удерживать свое новое состояние
вследствие одной только инерции". Обратим
внимание на отмеченное Ньютоном отличие
"силы инерции" от приложенной силы: если
последняя изменяет состояние движения дан-
ного тела, то первая противится в этом дей-
ствующей силе, одновременно стремясь изме-
нить состояние другого тела, действующего на
данное, т.е. сила инерции данного тела не
относится к категории приложенных к нему
ускоряющих сил.
В связи с этим напомним, что Эйлер
считал неудачным выражение "сила инер-
ции"[70]: "Но если под силой понимать ка-
кую-то причину, изменяющую состояние
тела, то здесь ее нужно понимать совсем не в
этом смысле: проявление инерции в высшей
степени отлично от того, которое свойствен-
но... обычным силам. Поэтому для избежания
какой-либо путаницы на этой почве мы
опустим слово "сила" и будем рассматри-
ваемое свойство тел называть просто инерци-
ей".
Ньютон подчеркивал необходимость
разделения понятий пространства и времени
на "абсолютные и относительные, истинные и
кажущиеся, математические и обыденные:
абсолютное, истинное математическое
время само по себе и по самой своей сущ-
ности, без всякого отношения к чему-либо
внешнему, протекает равномерно и иначе
называется длительностью...;
абсолютное пространство по самой
своей сущности, безотносительно к чему бы
то ни было внешнему, остается всегда одина-
ковым и неподвижным" [45].
Дав эти понятия, Ньютон отметил, что
"возможно... не существует (в природе) такого
равномерного движения, которым время мог-
ло бы измеряться с совершенной точно-
стью... . Может оказаться, что в действитель-
ности не существует покоящегося тела, к ко-
торому можно было бы относить места и
СОВРЕМЕННАЯ ТРАКТОВКА ЗАКОНОВ НЬЮТОНА
39
движения прочих". "Истинное абсолютное
движение не может ни произойти, ни изме-
ниться иначе как от действия сил, прило-
женных непосредственно к самому движу-
щемуся телу, тогда как относительное движе-
ние тела может быть и произведено, и изме-
нено без приложения сил к этому телу, доста-
точно, чтобы силы были приложены к тем
телам, по отношению к которым это движе-
ние определяется...".
3.1.2. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ НЬЮТОНА
Аксиомы, или законы движения сфор-
мулированы Ньютоном следующим образом.
"Закон I. Всякое тело продолжает сдер-
живаться в своем состоянии покоя или рав-
номерного прямолинейного движения, пока и
поскольку оно не понуждается приложенны-
ми силами изменить это состояние".
"Закон II. Изменение количества движе-
ния пропорционально приложенной движу-
щей силе и происходит по направлению той
прямой, по которой эта сила действует".
"Закон III. Действию всегда есть равное
и противоположное противодействие, иначе,
взаимодействия двух тел друг на друга между
собою равны и направлены в противополож-
ные стороны".
"Следствие I. При силах совокупных те-
ло описывает диагональ параллелограмма в то
же самое время, как его стороны при раз-
дельных"^].
Эти законы даны Ньютоном как посту-
латы, суммирующие наблюдения и опыт;
частные случаи законов I и II и следствия I
формулировались и до Ньютона рядом уче-
ных (Галилеем и Гюйгенсом), закон III уста-
новлен Ньютоном. Закон инерции был от-
крыт Галилеем при проведении опытов по
движению тел по наклонной плоскости, но у
него этот закон не играл особой роли; Нью-
тон же поставил его во главу угла своей меха-
ники, рассматривая инерцию как общее свой-
ство материи.
На основе аксиом, или законов движе-
ния Ньютон "при помощи математических
предложений" решает многочисленные задачи
"нахождения истинных движений тел по при-
чинам их производящим, по их проявлениям
и по разностям кажущихся движений и, на-
оборот, нахождения по истинным или кажу-
щимся движениям их причин и проявлений",
т. е. решает прямую и обратную задачи меха-
ники. Именно таким путем, опираясь на за-
коны Кеплера, Ньютон установил закон все-
мирного тяготения: два тела притягиваются
друг к другу с силой, прямо пропорциональ-
ной их массам и обратно пропорциональной
квадрату расстояния между ними. Установле-
ние Закона всемирного тяготения позволило
Ньютону построить свою систему Мира.
Основы механики Ньютона завоевали
всеобщее признание далеко не сразу, а в дли-
тельной упорной борьбе, прежде всего, с кар-
тезианцами, последователями Декарта, а так-
же с последователями Лейбница, о чем свиде-
тельствует предисловие Р. Котеса ко второму
изданию "Начал" в 1713 г. При жизни автора
вышло третье издание (в 1726 г.). Все эти
издания - на латинском языке. На англий-
ском языке "Начала" впервые появились в
1727 г., на французском - в 1759 г., на немец-
ком - в 1871 г., на русском - в 1916 г.
В последующие после выхода в свет
"Начал" годы и столетия многими авторами
предпринимались попытки модификации
аксиом Ньютона и в той или иной степени
замены их другими положениями. Однако
"всякая попытка заменить законы Ньютона
кончалась крайней неудачей" [73].
3.1.3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ И
СОВРЕМЕННАЯ ТРАКТОВКА ЗАКОНОВ НЬЮТОНА
Теоретическая механика, как и любая
другая естественная наука, использующая
математические методы, вводит в рассмотре-
ние некоторые идеальные модели реальных
пространства, времени и материальных тел.
Моделями тел в механике являются матери-
альные точки, системы материальных точек,
абсолютно твердые тела, сплошные среды,
созданные в процессе расширения изучаемых
классов движений реальных тел.
Гравитационная масса. Под словом тело
в законах Ньютона понимается теперь сво-
бодная материальная точка, т. е. геометриче-
ская точка, положение и скорость которой не
стеснены какими-либо условиями, обла-
дающая массой т, определяемой по весу Р
тела,
m=P/g, (3.1.1)
где g - ускорение свободного падения.
Постоянная т, определяемая формулой
(3.1.1), называется весомой, или гравитацион-
ной массой тела, моделируемого материаль-
ной точкой.
Модели пространства и времени. В ка-
честве моделей реальных пространства и вре-
мени, которые, как известно, являются фор-
мами существования материи, Ньютон при-
нял простейшие из возможных, постулировав
существование абсолютных пространства и
времени, существующих независимо от мате-
рии и не связанных одно с другим.
Под абсолютным пространством пони-
мается обычное неподвижное трехмерное
евклидово пространство, однородное и изо-
тропное. Опыт подтверждает, что сравнитель-
но небольшие части физического про-
странства можно с большой степенью точ-
ности считать евклидовыми.
Считается, что абсолютное время течет
само по себе от прошлого к будущему и оди-
наково во всех точках пространства и для всех
40
Глава 3.1. ОБ ОСНОВНЫХ ЗАКОНАХ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
наблюдателей, независимо от их положения и
движения. Определение в системе мира по-
ложения абсолютной системы координат и
указание способов измерения абсолютного
времени составляют задачу астрономии и фи-
зики.
Фактически Ньютон в своих исследова-
ниях движений планет связывал абсолютное
пространство с центром тяжести Солнечной
системы и "неподвижными" звездами, а за
единицу абсолютного времени принимал
средние солнечные сутки.
Развитие науки показало, что ньютонов-
ские модели пространства и времени оказа-
лись весьма удачными моделями реальных
пространства и времени, сохранившими свое
значение и в наше время.
Сила. Наблюдения и опыт показывают,
что материальные тела механически воздей-
ствуют друг на друга, т. е. или изменяют дви-
жение, или одно деформирует другое (эти
воздействия взаимны).
Количественная мера механического
взаимодействия тел (или механического дей-
ствия на тело полей), характеризующая вели-
чину и направление действия, называется
силой, обозначаемой связанным вектором F .
Объяснение физической природы сил не вхо-
дит в задачу механики.
Первый закон. Следует подчеркнуть, что
аксиомы Ньютона справедливы в абсолютной
системе отсчета, существование которой по*
существу постулируется первым законом
Ньютона: существует система отсчета, по от-
ношению к которой изолированная (не вза-
имодействующая с какими-либо другими ма-
териальными телами) или неизолированная,
но находящаяся под действием уравновешен-
ной системы сил, материальная точка покоит-
ся или совершает равномерное прямолиней-
ное движение. При этом покой и равномер-
ное прямолинейное движение равноправны и
механически неотличимы; они представляют
собой естественные состояния тел. Способ-
ность материальных тел пребывать в таких
естественных состояниях называется инерци-
ей или инертностью материи.
Рассматривая движение тела по отноше-
нию к абсолютной системе координат, можно
установить, действуют на него силы или нет:
если ускорение равно нулю, то силы не дей-
ствуют, а если тело имеет ускорение, то оно
находится под действием некоторой силы,
т. е. взаимодействует с другими телами.
Второй закон. Под термином количе-
ство движения, о котором говорится во
втором законе, понимается произведение mv
массы т тела на его скорость v = d г/dt.
При действии силы F материальная точка
получает ускорение w = r'r = d v/dt, направ-
ленное по силе. Это означает, что сила F ,
являющаяся мерой механического взаимодей-
ствия тел, представляет собой в механике
Ньютона ускоряющую силу. По определению
Лагранжа, "динамика - это наука об уско-
ряющих и замедляющих силах и о перемен-
ных движениях, которые они должны вызы-
вать"[32].
Математически второй закон Ньютона
выражается уравнением
|И) = А (3.1.2)
которое представляет собою основное уравне-
ние динамики свободной точки. В случае
т = const уравнение (3.1.2) принимает вид
mw = F. (3.1.3)
Согласно этому уравнению ускорение точки
w = F/m пропорционально приложенной си-
ле и обратно пропорционально массе точки.
Таким образом, данная сила вызывает тем
меньшее ускорение точки, чем больше масса,
т. е. масса характеризует инерцию точки, ев
способность сопротивляться изменению дви-
жения.
Инертная масса. Уравнение (3.1.3) по-
зволяет по известным приложенной силе и
ускорению w измерить инертную массу тела
m=F/w, (3.1.4)
обратно пропорциональную ускорению w,
вызываемому данной силой F . Выше форму-
лой (3.1.1) была определена гравитационная
масса, пропорциональная весу тела Р. Как
показывает опыт, гравитационная масса
(3.1.1) численно равна (с точностью до 10-,2)
инерт-ной массе, определяемой формулой
(3.1.4). По современным представлениям мас-
са является одной из существенных характе-
ристик материи - мерой ее как инертных, так
и гравитационных свойств. В то же время
проводится различие между массой тела и
количеством вещества: согласно международ-
ной системе единиц СИ количеством вещест-
ва называется число структурных механически
неделимых единиц вещества; за единицу ко-
личества вещества принят моль, равный 0,012
кг изотопа углерода 12С в невозбужденном
состоянии при нормальной температуре.
Отметим, что с помощью уравнения
(3.1.3) силу можно определять динамически
вызываемым ею ускорением: сила есть век-
торная величина F, приложенная к матери-
альной точке и равная произведению массы т
точки на ее ускорение w.
Таким образом, второй закон Ньютона
дает уравнение, связывающее массу, силу и
ускорение материальной точки, из которого
можно найти одну из входящих в него вели-
чин при известных (из независимых измере-
ний) двух других. Уравнение (3.1.3) позволяет
решать обе основные задачи механики: по
ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
41
данной силе F определить закон движения
материальной точки или по известному зако-
ну движения точки найти вызывающую это
движение силу. В случае F = 0 уравнение
(3.1.3) принимает вид w = 0 или v = const,
вследствие чего некоторые авторы считают,
что первый закон есть частный случай второ-
го закона. В свете ранее сказанного о сущ-
ности первого закона такое мнение непра-
вильно.
Третий закон. Он является основой ме-
ханики системы материальных точек, указы-
вает источник силы, действующей на данное
тело. Этим источником является некоторое
другое тело (или поле), которое, в свою оче-
редь, находится под воздействием первого
тела, т. е. изменение движения данного тела
может происходить лишь в результате его
взаимодействия с некоторым другим телом
или полем. Если воздействие F^ второго
тела на первое условимся называть действием,
а воздействие /21 первого на второе - проти-
водействием, то согласно третьему закону
F12=-F2i- (3.1.5)
Записывая уравнения вида (3.1.3) для двух
взаимодействующих точек с массами т\ и m2,
как
/И]*! =F12> m2w2=F21,
перепишем равенство (3.1.5) в виде
Al =-zn1W|. (3.1.6)
Сила воздействия F21 первого тела на
второе, приложенная ко второму телу, пред-
ставляет собою силу сопротивления измене-
нию движения первого тела, т. е. его силу
инерции.
С учетом (3.1.6) равенство (3.1.5) можно
записать также в виде
Fj2 -'HjWi = 0. (3.1.7)
Равенство (3.1.7) означает, что в каждый
момент времени существует равновесие между
действующей на первое тело силой и его
силой инерции - т\ ivj, приложенной ко
второму телу.
Взаимодействия тел могут происходить в
разнообразных физических условиях, так что
ускорения, получаемые телами в результате
взаимодействия, могут изменяться в зависи-
мости от положения, движения и физическо-
го состояния взаимодействующих тел в весьма
широких пределах, но всегда отношение
ускорений обоих тел остается одним и тем же
при любых опытах с одними и теми же тела-
ми:
wL=
W2 /И1 *
Это отношение представляет собою по-
стоянную величину, характеризующую дан-
ные два тела и может служить для определе-
ния массы одного из взаимодействующих тел,
если масса другого известна.
Таким образом, вторая и третья аксиомы
Ньютона содержат, помимо законов, опреде-
ление способов измерения массы и силы.
Силы, удовлетворяющие второму и третьему
законам, называются ньютоновскими силами
[32].
Четвертый закон. Следствие I из трех ак-
сиом Ньютона в настоящее время принято
называть четвертым законом. Согласно этому
закону, если,на материальную точку А дей-
ствуют одновременно две силы Д и F^,
направленные по сторонам угла А параллело-
грамма, построенного на силах, то эти силы
можно заменить равнодействующей силой F ,
равной диагонали параллелограмма и, наобо-
рот, разложить любую силу F , направленную
по диагонали параллелограмма, на состав-
ляющие. Таким образом, закон сложения сил,
или закон параллелограмма сил
F = Fx+F2, (3.1.8)
представляет собой в то же время закон неза-
висимости действия сил на одну и ту же ма-
териальную точку. Следует отметить, что этот
закон несовместим с функциональной зави-
симостью сил от ускорений точек [49].
3.1.4. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ.
ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ
Наряду с абсолютной системой коорди-
нат в теоретической механике рассматривают
также различные подвижные системы коор-
динат, связанные с каким-либо телом отсчета,
течение времени в которых, а также размеры
абсолютно твердых тел считаются такими же,
как и в абсолютной системе координат. Пред-
ставление о неизменности течения времени
приводит к тому, что в классической механи-
ке принимается возможность мгновенной
передачи взаимодействий или сигналов из
одной точки пространства в другую.
Теорема Кориолиса. Согласно теореме
Кориолиса ускорение w некоторой точки в
ее движении относительно абсолютной си-
стемы координат равно геометрической сумме
трех ускорений
w = wr+we + wc, (3.1.9)
42
Глава 3.1. ОБ ОСНОВНЫХ ЗАКОНАХ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
где wr - ускорение точки в ее движении по
отношению к подвижной системе координат;
we - переносное ускорение, равное ускоре-
нию той точки подвижной системы, с кото-
рой в данный момент совпадает движущаяся
точка; wc - кориолисово (поворотное) уско-
рение, зависящее от угловой скорости ш
подвижной системы и относительной скорос-
ти точки, wc = 2ш х vr.
Уравнение относительного движения.
Уравнение (3.1.3) с учетом (3.1.9) принимает
вид уравнения относительного движения
mwr = F - mwe - mwc, (3.1.10)
описывающего движение точки по отноше-
нию к подвижной системе координат. Это
уравнение отличается от уравнения (3.1.3)
абсолютного движения наличием в его правой
части слагаемых -mwe и - mwc, имеющих
размерность силы и называемых соответ-
ственно силой инерции переносного движе-
ния и кориолисовой силой инерции.
Таким образом, движение по отноше-
нию к подвижной системе координат являет-
ся таким же, как если бы эта система была
неподвижной, а к действующим на точку си-
лам были присоединены переносная и корио-
лисова силы инерции.
Эти силы называются иногда фик-
тивными, так как они возникают не вследст-
вие взаимодействия с другими материальны-
ми телами, а благодаря движению подвижной
системы координат, причем при переходе от
одной подвижной системы к другой они мо-
гут существенно изменяться; третий закон
Ньютона для них места не имеет. Однако эти
силы оказывают воздействия, аналогичные
для обычных физических сил. Силы -mwe,
-mwc имеют определенный физический
смысл: они существуют для наблюдателя, свя-
занного с движущейся с ускорением системой
координат [28].
Принцип относительности Галилея. Если
подвижная система координат движется по-
ступательно, равномерно и прямолинейно, то
= wc = 0 и w = wr . При этом уравнение
(3.1.10) имеет точно такой же вид, как и
уравнение (3.1.3). Физически это означает,
что законы механики в системах координат,
движущихся поступательно, прямолинейно и
равномерно относительно абсолютной си-
стемы, формулируются точно так же, как и в
абсолютной системе, при условии инвариант-
ности времени, и все такие системы отсчета,
называемые галилеевыми или инерциальны-
ми, равноправны и эквивалентны между со-
бой с точки зрения законов механики.
Это составляет содержание принципа
Галилея - принципа относительности класси-
ческой механики, приводящего к отказу от
постулированного Ньютоном абсолютного
пространства, но сохраняющего абсолютное
время.
Преобразование Галилея. Переход от од-
ной инерциальной системы к другой инерци-
альной системе математически выражается
соотношениями вида
r = r' + v/; / = /', (3.1.11)
где г,/ и г', Г - радиусы-векторы одной и
той же точки и время в двух системах коор-
динат, вторая из которых движется относи-
тельно первой с постоянной скоростью v .
Преобразования (3.1.11) носят название
преобразований Галилея. Они оставляют не-
изменным уравнение (3.1.3), т. е. основное
уравнение динамики ковариантно по отноше-
нию к преобразованиям Галилея.
Подвижные системы отсчета, движение
которых отличается от поступательного, пря-
молинейного и равномерного, называются
неинерциальными. В таких системах основное
уравнение динамики (3.1.3) должно быть за-
менено уравнением (3.1.10).
Уравнения движения системы свободных
точек. В случае системы N свободных матери-
альных точек уравнения движения вида (3.1.3)
записываются для каждой из точек системы в
виде
N
у=1
(/ = 1,...,АГ) (3.1.12)
где Fj - равнодействующая внешних сил,
приложенных к z-й точке, источниками кото-
рой являются тела, не входящие в рассматри-
ваемую материальную систему; Fy - внут-
ренние силы взаимодействия между точками
системы, удовлетворяющие третьему закону
Ньютона
^7 = ~Fji > Л/ = 0 •
(/,у = 1,....,ЛГ) (3.1.13)
В силу третьего закона внутренние силы
представляют собою систему сил, эквивалент-
ную нулю:
£Л=°; <зл14>
iJ
3.1.5. ПРИНЦИП Д'АЛАМБЕРА
Движение несвободных тел. Из истории
механики известно, что при переходе к из-
ПРИНЦИП Д'АЛАМБЕРА
43
учению движения тел, связанных между собой
каким-либо образом, например посредством
нитей или стержней, к которым они при-
креплены, возникли большие трудности, об-
условленные тем, что связанные между собой
тела не могут свободно следовать прило-
женным к ним силам, вследствие чего они
развивают между собой воздействия, заранее
неизвестные и изменяющие их движения.
Первой и наиболее простой задачей та-
кого рода исторически оказалась задача о
центре качания физического маятника, реше-
нием которой занимались многие выдающие-
ся ученые (Декарт, Гюйгенс, Бернулли, Гер-
ман и др.), предложившие различные методы.
Особенно интересными оказались методы,
предложенные Я. Бернулли (1703 г.) и Герма-
ном (1716 г.).
По Я. Бернулли движения, которые по-
лучают тела, образующие маятник, как бы
состоят из движений им сообщаемым и из
других движений, которые к ним прибавля-
ются или вычитаются и которые должны
уравновесить одно другое, в результате чего
маятник должен сохранять равновесие. Это
решение Я. Бернулли содержит в себе зерно
принципа Д'Аламбера.
Герман исходил из того, что силы, под
влиянием которых должны двигаться части-
цы, образующие маятник, эквивалентны тем
силам, которые получаются под действием их
тяжести, вследствие чего первые, если напра-
вить их в противоположную сторону, должны
находиться в равновесии с последними.
Позднее Эйлер развил этот метод, а Лагранж
вернулся к нему в данной им формулировке
принципа Д'Аламбера.
Метод Д'Аламбера. Общий метод, с по-
мощью которого можно выразить в виде
уравнений любую проблему механики, был
предложен Д'Аламбером в 1743 г. [22]. Этот
метод базируется на принципе Д'Аламбера,
которому, как никакому из других принципов
динамики, оказалось суждено претерпеть са-
мые разноречивые толкования.
Свой принцип Д'Аламбер высказал, рас-
сматривая задачу о движении систем тел, со-
ударяющихся произвольным образом или
тянущих одно другое при помощи нитей или
жестких стержней. Целью Д'Аламбера, по его
словам, было "показать, каким образом все
задачи динамики можно решать единым и
притом весьма простым и прямым методом,
состоящим в сочетании принципов равнове-
сия и сложения движений" [22].
Суть этого принципа в трактовке Д'А-
ламбера, в более сжатой форме выраженной
Лагранжем, состоит в следующем. "Если
нескольким телам сообщить движения, кото-
рые они вынуждены изменять вследствие
взаимодействий между ними, то... эти движе-
ния можно рассматривать как составленные
из тех движений, которые тела фактически
получают, и из других движений, которые
уничтожаются; отсюда следует, что эти по-
следние должны быть такими, что если бы
тела находились исключительно под их воз-
действием, то они взаимно бы друг друга
уравновесили" [32].
Под движением Д’Аламбер подразумева-
ет скорость с учетом ее направления. Следует
отметить, что в авторской формулировке
принципа Д’Аламбера отсутствует упоминание
о приложенных к телам силах и о силах
инерции.
Рассматривая случай непрерывных дви-
жений, обозначим через w* = Fv/my, уско-
рения точек несвободной материальной си-
стемы в том движении, которое бы они полу-
чили под действием сил Fy,, если бы были
свободными, а через wv фактически полу-
чаемые ими ускорения, тогда ускорения точек
в движениях, которые уничтожаются
("теряются"), определяются разностями
w* - wv . Такие "потерянные" ускорения мо-
гут быть вызваны "потерянными" силами
Pv = /Hv(wJ - wv) = Fv - m^Wy,. (3.1.15)
Принцип Д'Аламбера. Во всяком движе-
нии системы "потерянные" силы в каждый
момент уравновешиваются при посредстве
связей системы [35]. Принцип Д’Аламбера
приводит законы движения связанных тел под
действием заданных сил к законам их равно-
весия под действием "потерянных" сил, т. е.
придает уравнениям динамики форму уравне-
ний статики. Однако неправильно было бы
считать, как это иногда бывает, что принцип
Д'Аламбера сводит задачу динамики к задаче
статики.
Связями, наложенными на механи-
ческую систему, называются ограничения,
стесняющие положения или движения точек
системы. Аналитически связи выражаются
уравнениями (удерживающие связи) или не-
равенствами (неудерживающие связи), связы-
вающими координаты или координаты и ско-
рости точек системы.
Так как под действием заданных сил Fv
точки системы, стесненной связями, движут-
ся, вообще говоря, иначе, чем свободные ма-
териальные точки, то это свидетельствует о
действии на точки системы, кроме сил Fv,
некоторых дополнительных сил Rv, благода-
ря которым выполняются условия, нала-
гаемые связями. Эти силы обязаны своим
происхождением наличию связей и называют-
ся реакциями связей.
44
Глава 3.1 ОБ ОСНОВНЫХ ЗАКОНАХ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Физическими источниками реакций яв-
ляются некоторые материальные приспособ-
ления или механизмы, с помощью которых
так или иначе осуществляются связи [61].
Аксиома связей. Действие связей, нало-
женных на материальную систему, можно
заменить действием реакций. В определении
реакций Rv предполагается полностью уч-
тенным механическое действие связей на си-
стему в том смысле, что связи можно заме-
нить вызванными ими реакциями, при этом
каждую точку системы представить движу-
щейся совершенно свободно под действием
данной силы Fv и реакции Rv [68]. В этом
смысле аксиому связей часто называют ак-
сиомой или принципом освобождаемости.
В согласии с третьим законом Ньютона
реакция связи равна и прямо противоположна
силе, с которой материальная точка действует
на связь. В отличие от заданных сил Fv (ак-
тивных сил) реакции связей Rv (пассивные
силы) заранее неизвестны, так как зависят не
только от осуществляющих связи механизмов,
но и от активных сил и вызванных ими дви-
жений.
Итак, согласно принципу освобождае-
мости материальные точки, стесненные
связями, могут рассматриваться как свобод-
ные при условии приложения к ним, кроме
заданных сил, реакций связи. Тогда в согла-
сии со вторым и четвертым законами Ньюто-
на уравнения движения несвободных точек
можно представить в виде уравнений
mvwv = Fv + Rv,
(v = l,..., л) (3.1.16)
где Ry- равнодействующая реакций связей,
приложенных к v -й точке.
Сравнивая (3.1.15) и (3.1.16), заключаем,
что справедливы равенства
Pv + Rv = 0,
(v = l,..., л) (3.1.17)
которые приводят к следующей перефрази-
ровке принципа Д'Аламбера. При движении
несвободной материальной системы потерян-
ные силы уравновешиваются в каждый мо-
мент реакциями связей.
Перепишем уравнение (3.1.17) в виде
уравнения:
Fy + Sv + Rv = 0,
(у = 1,...,л), (3.1.18)
где Sv = -mvwv для ньютоновой силы инер-
ции точки v.
Равенства (3.1.18) позволяют дать еще
одну формулировку принципа Д'Аламбера.
Если к точкам несвободной системы наряду с
заданными силами Fv приложить силы
инерции Sv, то совокупность этих сил урав-
новешивается реакциями связей Ry.
Эта формулировка принципа Д'Аламбе-
ра, впервые предложенная в курсе механики
Делоне (1856 г.), вошла затем почти во все
учебники, а также легла в основу кинетоста-
тики - раздела технической механики, приме-
няющего методы статики для нахождения
динамических реакций связей, если известен
закон движения системы. Делоне, предложив
прикладывать силу инерции какой-либо точ-
ки к этой же точке, подчеркивал, что эта опе-
рация носит условный характер [68].
Принцип Д'Аламбера составил "эпоху в
механике системы, потому что благодаря ему
оказалось возможным всякую задачу динами-
ки привести к математическому исследова-
нию" [64]. Однако "сам по себе принцип не
является ни новым физическим принципом,
ни каким-либо дополнением к существующим
физическим принципам. Но он представляет
собою удобное сочетание механических рас-
суждений, которое приводит к простому и
весьма изящному способу решения задач**
[52].
Добавим, что все задачи теоретической
механики, решаемые при помощи принципа
Д'Аламбера, можно решить и без него, на-
пример, непосредственно применяя уравне-
ния вида (3.1.16), составленные на основе
принципа освобождаем ости; в этом смысле
принцип Д'Аламбера эквивалентен принципу
освобождаемое™.
Законы Ньютона и принцип осво-
бождаемое™, или принцип Д'Аламбера пред-
ставляют собою фундамент, так называемой,
векторной механики, задача которой состоит
в выявлении всех сил, действующих на каж-
дую материальную точку системы, и после-
дующем исследовании движения точек си-
стемы в трехмерном евклидовом про-
странстве.
Основу другого направления класси-
ческой механики - аналитической механики -
составляют вариационные принципы, т. е.
основные исходные положения, математиче-
ски выраженные в форме вариационных со-
отношений, из которых, как логические след-
ствия, вытекают все уравнения движения и
теоремы механики.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
45
Важным понятием аналитической меха-
ники является понятие виртуального переме-
щения. Элементарные перемещения точек
системы, допускаемые в данный момент вре-
мени наложенными на нее связями, назы-
ваются виртуальными перемещениями. Мате-
матически виртуальные перемещения пред-
ставляются вариациями 5rv радиусов-
векторов rv точек системы.
Связи, наложенные на систему, зависят
от физической природы осуществляющих эти
связи механизмов, вследствие чего характери-
стика связей должна быть введена в механику
в виде некоторой аксиомы, устанавливающей
реально существующие опытные соотношения
[68].
Аксиома идеальности связей. Сумма эле-
ментарных работ реакций удерживающих
связей на произвольном виртуальном пере-
мещении системы равна нулю:
^^•8rv=0. (3.1.19)
V
Эта аксиома представляет собой обоб-
щение известных физических фактов. Случай
неидеальных связей можно свести к случаю
идеальных связей, включая те составляющие
реакций Rv, для которых не выполняется
условие (3.1.19), в число заданных сил.
Исходя из аксиомы идеальности связей,
Лагранж дал новую и плодотворную форму-
лировку принципа Д'Аламбера. Говоря об
этом принципе в авторской форме, Лагранж
отметил, что трудность определения потерян-
ных сил в сложных задачах "делает зачастую
применение этого принципа неудобным и
утомительным. Если бы мы пожелали избе-
жать тех разложений движений, которых тре-
бует указанный выше принцип, то необходи-
мо было бы только наперед установить равно-
весие между силами и вызванными ими дви-
жениями, которые, однако, следовало бы
взять направленными противоположно" [32].
Иными словами означающего, что для
действительного движения под действием
заданных сил материальной системы, стес-
ненной идеальными связями, необходимо и
достаточно, чтобы сумма элементарных работ
заданных сил и сил инерции на всяких вирту-
альных перемещениях была равна нулю.
Принцип Д'Аламбера - Лагранжа яв-
ляется основным вариационным принципом
аналитической динамики; он заключает в себя
всю динамику систем с идеальными связями
(см. гл. 3.11).
Выводы классической механики, осно-
ванной на законах Ньютона и аксиомах свя-
зей, прекрасно подтверждаются практикой и
служат основой научно-технического прогрес-
са во многих областях естествознания и тех-
ники.
Законы Ньютона выдержали проверку
временем. Из всех испытаний классическая
механика неизменно выходила с честью, в
том числе и при коренной ломке наших пред-
ставлений о пространстве и времени, при
создании релятивистской механики, которая,
как оказалось, содержит классическую меха-
нику как первое приближение, когда скорость
V движения тел мала по сравнению со ско-
ростью света. А. Эйнштейн подчеркивал:
"Пусть никто не думает, что великое создание
Ньютона может быть ниспровергнуто теорией
относительности или какой-либо другой
теорией. Ясные и широкие идеи Ньютона
навечно сохранят свое значение фундамента,
на котором построены наши современные
физические представления" [71].
Глава 3.2
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
3.2.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Динамика материальной точки базирует-
ся на втором законе Ньютона или основном
уравнении динамики
mw = F, (3.2.1)
где т и w - соответственно масса точки и ее
абсолютное ускорение; F - результирующая
сил, приложенных к точке.
Это уравнение эквивалентно трем ска-
лярным уравнениям (проекциям на какие-
либо три координатные оси), которые назы-
ваются дифференциальными уравнениями
движения материальной точки. Для ортого-
нальных декартовых осей х, у, Z
mx = Fx (x;y,zY (3.2.2)
В случае криволинейных координат qv урав-
нения движения имеют вид
т
dr
3gv
dt dgv
«у
(v= 1,2,3) (3.2.3)
46
Глава 3.2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
где Fq^ - проекция результирующей силы F
на соответствующую координатную ось,
£v(v = 1, 2, 3). В частности, для цилиндриче-
ских координат
«(р-рФ2) = ^р;
т d / 2\ г
—-Z- Р ф) = F, ;
р at \ / *
mz = Fz,
а для сферических
т^г - г cos2 цлр2 - nj/2 j = Fr;
•2
—”—77 (r 2 со$2 'Иф) = F*;
rcoSM/Л' ' *
J1 d
V dt
rsin м/соБцяр2
= FV.
В проекциях на оси естественного трехгран-
ника Френе - ортогонального репера, состав-
ленного из единичных векторов касательной
т, главной нормали п и бинормали Р тра-
ектории, дифференциальные уравнения дви-
жения точки имеют вид:
dt р
0 = Fp, (3.2.4)
где р - радиус кривизны траектории.
Сила F действующая на частицу, может
зависеть от времени, положения частицы и ее
скорости:
F = F(/,r,v);
Fx = Fx(t,x,y,z-,x,y,z)\ Ff,Ft;
Fq, = (v = 1, 2, 3)
В динамике решаются две основные за-
дачи. В прямой задаче по заданному закону
движения г = г(/) требуется найти дей-
ствующую на частицу силу F(t,r,v) . Диффе-
ренцированием находится ускорение частицы
w, или его проекции, а затем по формулам
(3.2.1), (3.2.2)-сила или ее проекция.
В обратной задаче даны сила F(t,r,v)
и начальные условия: / = /о> г(/о) = го,
v(/0) = v0 или = 0v(*o) = 0v(b
?v(/q) = 9v0 * Требуется найти закон движе-
ния г = г(0 (или qv = qv(t) ) такой, что при
t = /о г(/0) = Го, r(/o) = v0 .Обратная задача
решается интегрированием дифференциаль-
ных уравнений движения.
Если система (3.2.3) допускает преобра-
зование к равносильной системе
^Ф|(';91.?2,й;91.92.«з) = 0 ('“ 1. 2. 3) ,
то она равносильна системе
ф|(';?1.?2.?з;9|Л2Лз) = с(.
(i = 1, 2, 3) (3.2.5)
где Cj - произвольные постоянные.
Соотношения типа (3.2.5), в которых
некоторые функции времени, координат и
скоростей остаются постоянными при движе-
нии, т. е. в силу дифференциальных уравне-
ний движения, называются первыми интегра-
лами уравнений движения.
Дальнейшее интегрирование системы
(3.2.3) позволяет получить функции
Qi = ^/(СС1,С2,Сз,С4,С5,Сб) ,
(i = 1, 2, 3) (3.2.6)
где Cj(J = 1....6) - независимые произ-
вольные постоянные интегрирования.
Уравнение (3.2.6) называется общим ре-
шением данной системы дифференциальных
уравнений движения (3.2.3). Если в системе
функций (3.2.6) произвольные постоянные
заменены некоторыми их частными значе-
ниями, отвечающими, например, условию,
что движущаяся частица в данный момент
должна пройти через данное положение с
данной скоростью, тогда (3.2.6) является
частным решением системы дифференциаль-
йых уравнений движения.
3JЛ. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ.
ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Основные динамические характеристики ма-
териальной точки следующие: вектор коли-
чества движения nw = К ; вектор момента
количества движения или кинетический мо-
мент г х mv =G (где г - радиус-вектор
точки относительно некоторого центра);
1 / Itvn1 - Т кинетическая энергия или жи-
вая сила.
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
47
Теорема об изменении количества движе-
ния. Производная по времени от вектора ко-
личества движения точки равна вектору ре-
зультирующей силы, действующей на точку:
(3.2.7)
at
В проекциях на оси неподвижной декартовой
системы координат имеем
^ = FX (x,y,z)- (3.2.8)
Закон сохранения количества движения.
Если во все время движения F = 0, то К =
= /nv = , т. е. вектор К сохраняется.
Вместе с тем, тх = Kqx (х, у, z). Закон со-
хранил имеет место относительно отдельных
осей, если соответствующие проекции силы
F равны нулю, например: mvx = const, ес-
ли Fx = 0.
Теорема об изменении кинетического мо-
мента. Производная по времени от кинетиче-
ского момента точки относительно некоторо-
го неподвижного центра равна моменту ре-
зультирующей силы относительно того же
центра:
^ = 4pxmv) = rxF = Z. (3.2.9)
dt dt' ’
В проекциях на оси декартовой системы
=i _ =yFi _ =Lx •
(x.y.z) (3.2.10)
Каждое из этих соотношений дает тео-
рему об изменении кинетического момента
точки относительно соответствующей оси.
Векторная величина о = 1 / 2r х v называет-
ся секторной скоростью точки относительного
некоторого центра О. Секторная скорость
характеризует скорость, с которой радиус-
вектор г заметает коническую поверхность с
вершиной в центре О. Секторные скорости
относительно координатных осей (х, у, z)
ах = 1 / 2(yz ~ Zy) Дают скорости заметания
площадей радиусом-вектором проекции точки
в плоскости, ортогональной соответствующей
оси.
Если точка движется в плоскости, на-
пример Оху, то проекцию ог обычно назы-
вают секторной скоростью о точки относи-
тельно начала координат. В полярных коор-
динатах (см2/с) о = 1/ 2р2ф . Если кинетиче-
ский момент точки записать в виде G = 2та ,
то теорема об изменении кинетического мо-
мента принимает вид
2т^~ = L или 2m-^~ = Lx (х, у, z).
at at
Закон сохранения кинетического момента.
Если Z = rxF = O, F#0,to сила F назы-
вается центральной; точка, относительно ко-
торой момент равен нулю - центром силы, а
движение, совершаемое под действием такой
силы, - центральным движением. В этом слу-
чае
— —> _
G = const = Gq .
Итак, в случае центральной силы имеет место
векторный интеграл или три скалярных пер-
вых интеграла дифференциальных уравнений
движения материальной точки. В этом случае
справедливы также равенства
о = у2-; = V2- *)•
2т z 2т
Эти соотношения называются интегра-
лами площадей. Последнее из них удобно
записывается в цилиндрических координатах
(при плоском движении - в полярных):
р2ф = = const.
Следует отметить, что в случае F = О
между шестью первыми интегралами Kqx ,
Коу » > ^Оу > существует одна
зависимость:
^0 ‘ ^0 = KqxGqx + ^Оу^Оу + ^Qz^Oz = 0 •
Теорема об изменении кинетической
энергии. Дифференциал кинетической энер-
гии точки равен элементарной работе дей-
ствующих на нее сил на действительном пе-
ремещении этой точки
d^— =Fdr= Fxdx + Fydy + Fzdz.
Если силы консервативны, т. е. су-
ществует силовая функция U, не зависящая
явно от t, такая что F = grad U,
Fx=dU/dx, Fy-dU/dy, Fz=dU/dz>TO
F - dr = dU и из теоремы следует первый
интеграл энергии:
48
Глава 3.2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
T = U +h,
где h - константа, начальный запас энергии.
Часто рассматривают потенциальную энергию
V = -U + const, которая, как и Ut опреде-
ляется с точностью до произвольного посто-
янного слагаемого. Интеграл энергии прини-
мает вид
Т+Г=Е=А (3.2.11)
и выражает собой закон сохранения полной
механической энергии Е точки. Интеграл
Т = U + h определяет в пространстве 0w
область U + А О, в которой могут происхо-
дить движения точки с заданным значением
постоянной энергии h.
Первые интегралы позволяют упрощать
интегрирование дифференциальных уравне-
ний движения.
3.2.3. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ.
ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
Точка движется прямолинейно, если ее
траектория прямая, которую всегда можно
принять за ось х, так что для любого t
У = 0, z = 0.
Свободная материальная частица описы-
вает прямую линию тогда и только тогда,
когда сила, приложенная к ней, имеет посто;
янное направление, а начальная скорость на-
правлена вдоль силы. Уравнение прямоли-
нейного движения
тх = ЕХ(Г, х, х). (3.2.12)
Рассмотрим простейшие случаи ин-
тегрируемости уравнения (3.2.12).
Пусть Fx - /(х). Тогда интеграл
энергии = f f(x)dx + h или х2 = ср(х).
Характер движения можно определить по
графику функции <р(х). Важным моментом
при построении графика U = f f(x)dx яв-
ляется отыскание множества критических
точек х*, в которых U'(x*) = 0 .
Так как тх = 1/’(х), критические точки
силовой функции (или потенциальной энер-
гии) имеют явный динамический смысл -
каждая из них есть положение равновесия:
движение x(Z) = х* возможно тогда и только
тогда, когда U'(x*) = 0 . Энергия равновесия
равна А* = -t/(x*) = И(х*). Это (-А*) есть
соответствующее критическое значение функ-
ции U. При изменении А область возмож-
ности движения то же меняется. Точки
X/ - x(tj) называются точками остановки
для движения х(0, если х(/,) = 0 и при этом
£/'(*,) * 0- Если U(Xj) = -А , то точка попа-
дает на границу области возможности движе-
ния.
Пусть имеется точка Хр такая, что в ней
ф(х) и <р'(х) одновременно обращаются в
нуль. В этой точке кривая у = ф(х) касается
оси Ох и эта точка является положением рав-
новесия. Если в момент t = 0, х = х0 и
х = 0, то всегда х = х0 и точка находится в
положении равновесия.
Кроме указанного особого случая, су-
ществуют четыре варианта поведения точки в
зависимости от времени:
1) точка непрерывно колеблется вдоль
оси х между точками х = Xj и х = х2 и ее
движение является периодическим. Такое
движение называется либрационным движе-
нием;
2) х -> Xj , когда t -> оо ; такое движе-
ние называется лимитационным движением;
3) х -> оо , или х -> -оо, когда t -> оо ;
4) х -> оо , или х -> -оо, когда t -> tQ.
Выясним, как эти четыре типа движений по-
лучаются из уравнения х2 = ф(х). Область
возможных движений на оси х определяется
условием ф(х) £ 0. Пусть при t = 0, х = Хр,
ф(х0) > 0 и х = ^ф(хр) > 0. Для достаточно
малых значений t скорость х положительна и
t-]*
»о Vvft)
I. Предположим сначала, что точка Хр
лежит между двумя последовательными про-
стыми вещественными нулями Ху х2 функ-
ции ф(х) и X] < х2 . Кривая у = ф(х) пере-
секает ось х в точках X) и х2, и ф(х) > 0 при
Xj <х<х2, причем в точке Xj dy/dx > 0 , а в
точке х2 dy/dx < 0. Поскольку х2 - простой
нуль ф(х), интеграл времени сходится при
х -> х2 , так что материальная точка попадает
в х2 за конечное время. В точке х2 она на
мгновение останавливается, так как у = х2 =
ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
49
= 0, но поскольку х < 0 , начинает двигаться
влево.
Так же устанавливается, что материаль-
ная точка достигает точки х1 за конечное
время, на мгновение останавливается и начи-
нает двигаться вправо. В начальную точку она
возвращается с той же положительной ско-
ростью, с какой она начала движение; движе-
ние происходит за время
т = 2
Движения в интервалах времени, крат-
ных т , повторяются от t = kt до t = (к + 1)т
(движение периодическое с периодом т).
Аналогично для условий t = 0, <р(*о) 0 >
X = -V<p(*o) < 0
II. Предположим теперь, что, удаляясь
от *о > точка подходит к двойному (или более
высокой кратности) нулю (точка а) функции
ф(х). Кривая ф(х) касается оси Ох в точке а.
Пусть ф(х) ~ - (х - а)х интеграл времени
расходится при х -> а , а х -> а при t -> оо .
Если х < 2 , то х -> а при t -> ta < оо .
Пусть на графике ф(х) точка х0 лежит
между простым нулем (xt) и двойным нулем
(а) этой функции: X] < х0 < а. Если в мо-
мент t = 0 имеем х < 0, то х сначала убы-
вает и частица достигает точки xt за конечное
время; после мгновенной остановки в точке
Xi она начинает двигаться вправо и х -> а
при t -> оо .
Если в начальный момент х > 0,
ф(х) > 0 при х > Хо , то точка продолжает
двигаться вправо, при этом имеются две воз-
можности.
III. Если интеграл для t расходится при
х -> оо, то при t -> оо имеем х —> со.
IV. Если интеграл сходится при х -> оо
к значению tg , то при t tg имеем х -» оо .
Аналогично все происходит, когда х £ О
при t = 0, разве что при t -> оо или t tg
возможно х -> -оо.
Итак, во всякой конкретной задаче гра-
фик ф(х) сразу определяет тип движения.
Эта ситуация справедлива вообще для всех
одномерных движений (не только прямоли-
нейных), где полная картина возможных ти-
пов движений видна на фазовом портрете
одномерной системы (или сводимой к одно-
мерной). Другие простейшие случаи интегри-
руемости приведены ниже.
Пусть Fx = /(Г). При t = tg х = х0,
х = Хд. Тогд а
1 ' *
х = х0+х0(/-/0) + — $dt< f f(t)dt
tQ
Пусть Fx=f(x). Уравнение (3.2.12)
легко приводится к соотношению
f mdx . „ „
J = t + С, С = const.
fix)
Если отсюда можно найти х = ф(/ + С), то
х + Q = f ц/(Г + С)Л, Ci = const.
Если этого сделать нельзя, то (3.2.12) можно
представить в виде
f mxdx „ _
J .. = х + С2, С2 = const,
f(x)
отсюда х = ф(х + С2) и
,^Т^)=/ + Сз’ Сз=сопа-
где Сг произвольные постоянные (г=1, 2, 3).
3.2.4. КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
Движение точки в однородном поле сил
тяжести. Траектория тяжелой точки в пустоте
является плоской, так как действующие на
точку силы параллельны. Уравнения движе-
ния материальной точки массы т в однород-
ном поле сил тяжести с ускорением g, если
ось z неподвижной системы координат на-
правлена вертикально вверх, следующие:
тх = 0; ту = 0; mz = -mg .
Пусть при t = tg имеем х = 0, у = у0,
Z = Zg И х = 0, у = Уд, Z = Zg Закон дви-
жения в этой задаче выражается следующими
уравнениями:
у = уо +.уо('-'о);
Z = Z0 + i(t - to) - 1 / 2g(t -10)2 .
50
Глава 3.2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Уравнение траектории
.Zo ,v „ ч gO'-J’o)2
z •= zo + 7—О' - Уо) - т—~2—
Л 2 у1
Задача бросания точки под углом а к го-
ризонту или задача стрельбы. Пусть при t = 0
имеем х0 = Уо = Zo = ° и *0=0, У0 =
= Vo cos а , Zq = Vg sin а . Уравнения траек-
тории
gy^
* = 0, z = Jtga ~ 2 2 •
2Vq cos2 a
Это уравнение вертикальной параболы,
расположенной выпуклостью кверху. Угол
бросания a , при котором точка т должна
попасть в заданную точку вертикальной плос-
кости y*,Z*, определяется двумя значения-
ми, задающими настильную и навесную тра-
екторию попадания:
<8“ =-4-±-LJ-2«''oK +S^r~^
gy gy V I 2vJ 2g
Точки, лежащие выше параболы безо-
пасности, недостижимы ни при каком а при
данной v0:
Максимальная высота подъема точки по
оси Z' Zmax = 1 / sin2 ag/g , максималь-
ная дальность палета на оси у. ymax = vo х
х sin 2а/ g.
Криволинейное движение тяжелой точки в
сопротивляющейся среде. Пусть на тяжелую
точку т, движущуюся в вертикальной плос-
кости Ozy, действует сопротивление среды
R , направленное по касательной к траекто-
рии противоположно скорости. При этом
|я| = m/(v).
Естественные уравнения движения
(3.2.4) имеют вид
(N ГУ X
т— - - mg sin a ;
dt
v2
m— = mg cos a ,
P
где a - угол скорости v с осью у.
Пусть также при t = t0 имеем a = ag ,
Уо = 0, Zq = 0, V = v0 . Уравнения движения
преобразуются к виду
_ = _/(v)-gsma;
at
da _ geos a
dt ” v
или, после исключения /,
d(y cos a) _ v/(v)
da g
Отсюда, в принципе, можно найти
v = ц/(а)< и из второго уравнения:
dt = - V(a)<fa .
geos а
{ J
а0 gcosa
Окончательно, закон движения, если
было получено соотношение ц/(а), выража-
ется уравнениями:
У = ! M/2(a)da;
8 <Х0
1 a
Z = — ! y2(a)tgada .
8 a0
Однако ц/(а) находится приближенно,
кроме следующих классических случаев:
= bv2,av + bv2 (Ньютон, Эйлер);
/(v) = cvn (Бернулли);
/(v) = а + bvn (Д'Аламбер).
Исследование полученных соотношений по-
зволяет сделать следующие выводы:
горизонтальная составляющая скорости
все время убывает;
угол падения точки больше угла вылета;
скорость падения точки меньше скоро-
сти вылета;
траектория точки в сопротивляющейся
среде имеет вертикальную асимптоту.
При a —> -л/2 , t —> 00 имеем
у-»у*= — J v2da<oo.
g-x/2
ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ
51
3.2.5. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И
МАГНИТНОМ ПОЛЯХ
Если материальная точка т несет элек-
трический заряд ±е и помещена в электриче-
ское поле напряженности £, ее движение
аналогично движению точки в однородном
поле тяжести. Достаточно во всех формулах
написать вместо mg силу
F = ±еЁ.
Наличие однородного магнитного поля
напряженности Н приводит к новым эффек-
там.
Пусть материальная точка массы т за-
ряжена положительным зарядом е. Тогда в
магнитном поле напряженностью Н на нее
действует сила Лоренца F = ev х Н . Пусть
поле однородно и постоянно. Дифференци-
альные уравнения движения в проекции на
естественные оси:
т^-е(ухЯ).?;
т— = e(v х л .
Интегрирование этих уравнений пока-
зывает, что траектория точки с зарядом е в
постоянном однородном магнитном поле
напряженности Н имеет постоянный радиус
mv0 _
кривизны р = —„ . — и образует посто-
ez/sincpo
ЯННЫЙ угол Фо с магнитными линиями.
Это - винтовая линия на круговом цилиндре с
осью, параллельной магнитным линиям. Ра-
диус цилиндра
/ПУо5П1фо
г°-----7н~
называют гироскопическим или циклотрон-
ным радиусом, а величину <о = еН/т - цик-
лотронной или гироскопической частотой.
Шаг винтовой линии
, 2л/ИУ0СО8ф0
А = ——
3.2.6. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ. ЗАДАЧА НЬЮТОНА
Центральную силу F(r) будем считать
положительной, если она отталкивающая, и
отрицательной, если она притягивающая. Для
материальной частицы, находящейся под дей-
ствием центральной силы, имеем интеграл
кинетического момента (интеграл площадей)
G = г х mv = с ,
а так же как его следствие интеграл
с г = 0.
Интеграл
cr = cx-x + c>,-y + czz = 0
отражает тот факт, что траекторией точки
служит плоская кривая, плоскость которой
перпендикулярна к кинетическому моменту
"* с
G - с . При этом . 1 представ-
ус? + с? + с?
ляет собой косинус угла наклона плоскости
орбиты к плоскости Оху. Положив z = 0,
имеем уравнение прямой - линии узлов, яв-
ляющейся следом плоскости орбиты на плос-
кости Оху
сх • х + су • у = 0.
Если с = 0, то движение происходит по
прямой. Для центральных сил F(r) всегда
существуют силовая функция U(r) = I F(r)dr
и интеграл энергии
WV2 ГГ/ \ L. WV2 IZ/ X Z.
—— = U(r) + h или —у—+ И(г) = А.
Положим впредь с # 0. Можно считать с =
= cez, с > 0, a ez - орт оси Z, т. е. движение
происходит в плоскости Оху.
Интегралы уравнений движения прини-
мают вид
(ху-ух)=с;
уЦх2 + у2) + v\jx2 + у2 j = h.
В полярных координатах г > 0,
Ф (mod2n), когда х = г cos ф, у = г sin ф
интегралы записываются так:
г2ф = с;
у(г2 +г2ф2)+И(г) = й.
Окончательно интеграл энергии прини-
мает вид
тг2 тс2 fZZ х ,
—- + —=- + И(г) = Л.
2 2г2
52
Глава 3.2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Выражение Ис(г) = —у- + V (г) назы-
2г
вают приведенной потенциальной энергией.
Она полностью определяет изменение r(t) по
формулам одномерного движения, так как
при этом исключается из рассмотрения коор-
дината ф.
В случае центральных сил одной из
важных задач является задача определения
траектории движения г = г(ф) . Вводя новую
1
переменную р = — , интегралу энергии при-
г
дадим вид интеграла энергии в одномерном
движении:
= —
2 с2 VP/ с2
Отсюда можно определять р(ф), а потом
г(ф) в квадратурах. Рассмотрим эту задачу,
когда V = - потенциальная энергия
г
сил ньютоновского притяжения (задача Нью-
тона). Теперь
= _•*«£; С*0.
с2 кру 2 с2
Для таких движений справедливы фор-
мулы Бине:
/7 _ ^,^2.2 Р ,
г = -тс р —у + р I •
1^Ф )
Интегрируя соотношение для -у-,
Цф
имеем фокальное уравнение конического
сечения в полярных координатах:
— р = 1+ 1+----у СО8(ф - фо)
И I тц J
или
Р
1 +есо8(ф - фо) ’
2 . 2Лс2
е = 1 +----у.
тир2
с2
Р = —
И
При 0£е<1, - £ Л < О получа-
ет2
ется эллипс, при е = 1, h = 0 - парабола, при
е > 1, h > 0 - гипербола.
Из интеграла площадей г2ф = с можно
получить
1 ? ?
t - tQ = - f r2dq> .
с Фо
Используя подстановку соз(ф - ф0) =
cos£ -е
1 -ecosE
имеем
рЗ/2
t-to =—-------^у (£-esin£).
Переменная Ф - Фо называется истин-
ной аномалией, переменная Е - эксцентри-
ческой аномалией. Выразить Е через t в эле-
ментарных функциях нельзя. Период обраще-
ния т в эллиптическом движении, если а -
большая полуось эллипса la = , сле-
ч 2h J
дующий:
т = —а271 -е2 =
с
2п 2 Л 2 2па3^2
= -j=cryJl-e^ =—=—.
VPP VP
3.2.7. ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ ТОЧКИ.
РЕАКЦИИ. СИЛЫ ТРЕНИЯ
Пусть уравнение /(г, t) = /(х, у, Z, О
задает регулярную для каждого t поверхность
Ф : grad/|<р* 0. Пусть точка обязана оста-
ваться на поверхности Ф (на нее наложена
связь). Наличие связи обусловливает, по ак-
сиоме связи, появление силы R - реакции
связи. Примем, что взаимодействие точки с
поверхностью такое, что R = Agrad f для
любого t. Такая связь называется гладкой. И
пусть на точку действует заданная сила
F(t, г, г), так что закон Ньютона имеет вид
mr = F + R.
(3.2.13)
ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ ТОЧКИ
53
Система уравнений движения в этом случае
следующая:
тг = F + grad f ;
/(r,0 = 0.
Теорема об изменении кинетической
энергии для движения точки по поверхности
d^- = Fdr + Rdr = F-dr - k—dt
2 dt
ШУ2 IZ 1.
приводит к интегралу энергии ---+ V = h ,
2
если сила F потенциальна и не зависит от t:
F = - grad V , а связь стационарна, т. е.
Движение точки по регулярной гладкой
кривой, заданной системой
/1(П,0 = 0;
/2(пД) = о,
можно рассмотреть аналогично, представляя
реакцию в виде
R = Xjgrad fx + X2grad /2
Теорема об изменении кинетической
энергии
da^.=F.dr-Kx^dt-x2^-dt
/ПУ 2 IZ i.
то же допускает интеграл -+ V = п, если
2
сила потенциальна: F = -gradK(r) и
2L-0, ^- = 0.
dt dt
Пусть гладкая неподвижная кривая за-
дана параметрически, с помощью натурально-
го параметра 5 (длина дуги). Если закон дви-
жения 5 = 5(0 и v = 5(0 , а ускорение в
проекции на оси естественного трехгранника
Френе ёт, ёл, ёр
- - 52-
= «л.
Р
то векторный закон Ньютона эквивалентен
системе естественных уравнений движения:
ms = F,; т— = F„ + R„ ; 0 = Л + Л ,
р
или
dv v2
m~dtSF'' + 0 = F₽+ty-
(3.2.14)
Для нахождения движения по кривой
нужно проинтегрировать одно дифференци-
альное уравнение ms - Fx(s, 5, t), а осталь-
ные два уравнения позволяют найти реакцию
R = R(t) Трудный, но важный случай дви-
жения по кривой представляется, когда надо
учитывать трение, моделирующее воздействие
кривой на точку по направлению касатель-
ной. Сила R = называется силой тре-
ния, а сила Ry = ^R% + R$ - силой нор-
мального давления.
Основными моделями силы трения яв-
ляются:
1) вязкое трение: Д = -|i(v)v , так что
первое уравнение движения имеет вид
= F, - p(v)v ;
2) сухое или кулоново трение, когда ре-
альная кривая характеризуется коэффициен-
том трения к и Д = -Ar|j?v| v/v ; при этом
первое уравнение движения принимает вид
m^- = Ft-/:sgnv|Av|
ИЛИ
ms = - к sgn 5p?v|.
Это уравнение нелинейно и правая часть
имеет разрыв при 5 = 0. Решать его необхо-
димо отдельно для 5 > 0 и. 5 < 0.
Пример. Какую начальную скорость не-
обходимо сообщить точке (тяжелой матери-
альной), которая скользит в горизонтальной
плоскости по окружности радиуса Д чтобы
она сделала точно один оборот?
Сила кулонова трения равна произведе-
нию коэффициента трения на силу нормаль-
ного давления и направлена против направ-
ления скорости (рис. 3.2.1). В подобных зада-
чах возникают ошибки из-за того, что учиты-
вается только одна составляющая нормально-
го давления на кривую, а необходимо исполь-
зовать полную силу, т. е.
Г ^71
N = ^R%+Rp = J|—J +(««)2.
54
Глава 3.2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
где Rn и Яр взяты из уравнений движения
(3.2.14).
Согласно теореме изменения кинети-
ческой энергии
2 I 2 4
. ту , nrv
d—— = -kJ—г—
2 V R2
+ m2g2 ds,
где ds - элемент дуги, равный Rdq> .
После интегрирования получим
vI = 7?gsh (4лД).
3.2.8. ЦИКЛОИДАЛЬНЫЙ И СФЕРИЧЕСКИЙ
МАЯТНИКИ.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
В динамике несвободной точки можно
рассмотреть две интересные задачи: о движе-
нии тяжелой точки по гладким неподвижным
циклоиде и сфере.
Движение точки по циклоиде. Пусть тя-
желая точка движется в вертикальной плос-
кости по циклоиде, обращенной вершиной
вниз. Начало О неподвижной системы коор-
динат Оху поместим в вершине циклоиды, ось
х направим горизонтально вправо, а у - вер-
тикально вверх. Пусть R - радиус производя-
щего круга, ф - угол между вертикальным
радиусом этого круга и радиусом, проведен-
ным к движущейся точке, при ф = 0 точка
находится в начале координат. Параметриче-
ское уравнение циклоиды имеет вид:
х = Я(ф + sin ф);
у = Я(1 - СОБф) .
Согласно условию задачи имеет место
интеграл энергии:
ту2 -myl
---------- = mgyQ - mg у.
Откуда
v2 = vj + 2£Я(С08ф - cos фо) .
Вводя длину дуги кривой s и приняв за
начало отсчета дуг вершину циклоиды, после
интегрирования получаем
где е - произвольная постоянная.
Итак, движение точки по циклоиде яв-
ляется гармоническим колебательным (изох-
роным) с периодом т = 4ny[R/g , не завися-
щим от начальных условий. Более того, дви-
жения к вершине циклоиды обладают тауто-
хронностью: из любой точки So > 0 циклои-
ды материальная точка, отпущенная без на-
чальной скорости (v0 = 0) , придет в верши-
ну, где s = 0, за одно и то же время n^R/g ,
так как закон движения при этих условиях
Можно доказать, что движение по цик-
лоиде обладает свойством брахистохронности:
из всех кривых, соединяющих две точки и
расположенных в одной вертикальной плос-
кости, падение тяжелой точки по циклоиде
происходит за кратчайшее время. Из уравне-
МАЯТНИКИ
55
ния движения в проекции на главную нор-
маль можно получить реакцию R = Rn:
п /«V2
= mg cos 0,5<р +—-------—
п 6 4/?cos0,5(p
или, используя интеграл энергии,
m^4g/?cos2 0,5<р + vj)
4Ясо80,5ф
Сферический маятник. Пусть теперь тя-
желая точка движется по поверхности гладкой
неподвижной сферы радиуса R (сферический
маятник). Выберем начало координат в цен-
тре сферы, ось z направлена вертикально
вверх. Уравнения связи:
в декартовых координатах
х2 +у2 +Z2 -R2 = 0;
в цилиндрических
р2+г2-Л2 = о,
где р - длина радиуса-вектора проекции точ-
ки на плоскость (х, у).
Сила тяжести mg параллельна оси Z,
тем самым относительно этой оси сохраняется
кинетический момент: р2ф = const = А .
Так как сфера неподвижна, сила тяжести
потенциальна, существует также интеграл
энергии
/nv2 ,
= -mgz + h,
где й = —^- + т&0.
В цилиндрических координатах
р2 + р2ф2 + Z2 = -2gZ + Н ,
где Я = 2 h/m.
Исключая в этих выражениях р, р и
Ф, с помощью уравнения связи и интеграла
кинетического момента получим
Исследуем движение при различных на-
чальных условиях. Пусть |zq| < Ry Фо * °»
т. е. А Ф 0. Тогда корни Дг) такие, что
-R < Z\ £ Zq £ Z2 < К < Z3 • Откуда
z2 = -73-(Z - Zl)(z - Z2)(z - z3) •
R2
Правая часть должна быть неотрица-
тельной, кроме того, в соответствии с уравне-
нием связи - R £ Z £ R всегда Z\ £ Z Z2 •
Следовательно, траектория точки заключена
между параллельными кругами Z = Z\ и Z =
= Z2 и последовательно касается каждого из
них, когда z, обращается в нуль (только в эти
моменты).
Дальнейшее интегрирование дифферен-
циального уравнения для Z приводит к эллип-
тическим функциям времени. Интересен
частный случай Z\ = Z2 = Zq, при котором
частица перемещается по горизонтальному
кругу Z = Zq (круговой конический маятник)
и только в нижней половине сферы, т. е. при
отрицательных значениях Z, так как
Ч> - Ч>0 = “ 'о^
Vo
Если выполнено хотя бы одно из усло-
вий |zo| = R, Фо = 0» то точка или находится
в покое при z = ±R, или движется по мери-
диану (ф = const = 0) .
Для гладкой сферы реакция N направ-
лена по нормали, ее величина для сфериче-
ского маятника
W = -m(-,gZ + v2)/.R.
Следовательно, в нижней части сферы
(при Z<0) N < 0 и реакция направлена к
центру сферы; в верхней части сферы реакция
может быть направлена и к центру, и от него
в зависимости от скорости.
С помощью интеграла энергии можно
представить N как функцию только одной
координаты £
N = ^(3gZ - 2gZ0 - vj)
Л
Математический маятник. Частный слу-
чай движения сферического маятника - дви-
жение материальной точки по меридиану,
т. е. по неподвижной окружности, лежащей в
вертикальной плоскости, представляет собой
простой математический маятник. Физически
56
Глава 3.2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
такое движение можно реализовать как
движение материальной точки массы т,
помещенной на одном конце невесомого
нерастяжимого стержня длиной /, другой
конец которого закреплен в плоском ци-
линдрическом шарнире без трения.
Пусть угол отклонения маятника от
вертикали 0 , тогда его скорость v = 0/ , и
первое уравнение системы (3.2.14) дает
уравнение движения математического ма-
ятника:
ml—5- = -mgsin0. (3.2.15)
dt2
Из интеграла энергии имеем
(de}2 g
— = 2-tCos0 + const.
\dt) I
Пусть при 0 = а имеем ~ = 0;
обозначая g/l = со2 , перепишем интеграл:
(dai\2
J = 2<о 2 (cos 0 - cos a), откуда полу-
чаем квадратуру
I-,_____«____________=<*.
°Vsin2 0,5a - sin2 0,50
Она представляет собой эллиптический
интеграл первого рода.
Подстановка sin 0,50 = sin 0,5a sin n
и приводит этот интеграл к виду
J dn
0 V1 - Л2 sin2 п
где модуль к = sin 0,5a .
Чтобы вычислить период колебаний
т, нужно в найденной выше формуле
положить t - л/4, 0 = a , т. е. п = п/2 :
* =
V# ° V1 - к2 sin2 п
Разлагая в ряд этот интеграл и учитывая
значение к, имеем
_ П~( 1 . 2 a 9.4a
Vgl 4 2 64 2 J
Это общее выражение для периода
колебаний при конечных амплитудах, ха-
рактеризуемых величиной a .
3.2.9. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ.
ОБОБЩЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ
Пусть заданы неподвижные прямо-
угольные оси координат Oxyz и подвижные
оси - ортогональный репер 0] £т|£, произ-
вольно движущейся в неподвижном про-
странстве Oxyz. Согласно теореме Корио-
лиса абсолютное ускорение точки
w = wr + we + wc . Уравнение Ньютона
приводит к уравнению относительного
движения точки в подвижном репере
mwr = F - mwe - mwc, (3.2.16)
где (-mwe) = Fe - переносная сила инер-
ции, (-mwc) = FK - кориолисова сила
инерции.
Если р - радиус-вектор точки в осях
01 - ускорение начала подвижной
системы, со - ее мгновенная угловая Ско-
рость, то уравнение (3.2.16) в проекциях на
оси 0| имеет вид
+ а>л£ - a>4n + +
+шлП + - £<о2] - 2т(<олС -<п4т|),
(£ n. С t п;С. <»$. «><;. «Ч. <»л, в>4),
(3.2.17)
где Wq^ .И'отрИ'о^ - проекции вектора
*0(*0> Уо,*о) на 0011 репера 01 ;
F^, , F^ - проекции вектора F, преоб-
разованного к новым координатам
F = F(p, р, Z), на те же оси.
Если точка должна оставаться на
гладкой поверхности /(£, т|, Q, t) = 0 или
гладкой кривой
/1«,П,С0 = 0;
/2«»П,С0 = 0,
уравнение движения (3.2.16) примет
вид
mwr - F - mwe - mwc + Xgrad/
или
mwr = F - mwe - mwc +
+X1grad/f + X2grad/2
Отсюда следуют уравнения относи-
тельного равновесия, например, на кри-
вой:
ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
57
F - mwe + Aqgrad Д + X2grad f2 = 0.
Теорема об изменении кинетической
энергии в относительном движении. Диффе-
ренциал кинетической энергии точки в
относительном движении равен сумме
работ заданной силы, переносной силы
инерции и реакции связи:
d^=
2
= F dp + Fe • dp + Д - dp + +R2 -dp =
.Fdp + Fedp-Xi^-dt-X2^-dt.
(3.2.18)
Кориолисова сила инерции относится
к гироскопическим силам, мощность кото-
рых FK-vr равна нулю. Если сила F
консервативна, т. е. F = gradt/(£, т|, Q ,
ЭД df2 л
связи стационарны: = 0, = 0,
—► —►
ю = со о = const ।, v0 = const 2 , теорема
(3.2.17) допускает обобщенный интеграл
энергии
= 1 / 2/й| о0 х р|2 + U + h.
Пример. Тяжелая материальная точка
массой т может скользить в горизонталь-
ной плоскости по гладкой окружности
радиуса R, вращающейся вокруг одной из
ее точек А с постоянной угловой скоро-
стью со (рис. 3.2.2). Найти относительную
скорость vr точки как функцию положения
на окружности, реакцию окружности и
период малых колебаний около положения
относительного равновесия.
В начальный момент Ф = Фо»
vr = vr0 • Подвижную систему свяжем с
окружностью: начало в точке Л, одна из
осей проходит по АВ.
Величина v г находится по теореме об
изменении энергии в относительном дви-
жении. Относительное перемещение dp
направлено по касательной к окружности,
следовательно, совершает работу только
переносная сила инерции |/е| - /ише| =
= ты2 АВ = 2/исо2 • Абшф / 2 . Тогда
mv2
d—— = Fe dp = 2m- G)2Rsin^ / 2 - Rd(px
хСО5ф/2 и v2 = v20 +2co2/?2 • (cosфо -
- cos ф) .
Реакцию окружности получим из
уравнений движения в проекции на глав-
ную нормаль и бинормаль:
mv2/R - 2m&vr + 2тсо27?8Шф / 2 х
х8тф/2 + 7?л; Q = -mg + R^.
Н
Рис. 3.2.2
58
Глава 3.2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Условие относительного равновесия
F + (-mwe) + R = 0 в проекции на касатель-
ную дает: (-mwe)T = 2mxo2R sin <р / 2 х
х coscp / 2 = 0, т. е. sin<р = 0. Таким обра-
зом, положений относительного равновесия
два: ф = 0; ф = п . Уравнение движения по
окружности
т~^~ = ЗтагЯвШф / 2-совф / 2 ; vr = ф/L
Это уравнение в окрестности 0 имеет
вид ф — со ф = 0, в окрестности п ф +
+со2ф = О. А это и есть уравнение малых
колебаний с периодом Т = 2 л/со .
3.2.10. ПАДЕНИЕ ТОЧКИ НА ЗЕМЛЮ. МАЯТНИК ФУКО
Падение материальной точки m на Землю.
Будем считать, что Земля - однородный шар
массой М, равномерно вращающийся вокруг
неподвижного своего центра 0]. Таким обра-
зом, подвижный репер 0]£т|£ вращается с
угловой скоростью
—►
6 = сое^ = const,
где - орт оси Q .
Теперь
Fe = ~т(Ь х (со х р);
Fc = -2тисо х vr =
_ I dр] _ - dp
=-2/лсо х —— = -2/исох —— .
л
V d Р f
Уравнение движения т—у- = -J х
dt2
Мт- о- /- -ч - - dp
х---ео - /лсо е, х (ег хр) - 2/исо х —7-.
р 44 dt
Силой тяжести mg называется сила, ко-
торая уравновешивается натяжением нити
маятника, покоящегося относительно Земли,
или та сила, с которой покоящаяся на Земле
материальная точка давит на опору. Следова-
тельно, сила тяжести есть векторная сумма
силы гравитации (ньютоновского притяжения
точки к Земле) и переносной силы инерции:
_ мт - 2- /- -х
mg = -f-ер - т(о\ х (е^ х р).
Угол ф, составляемый g с экватори-
альной плоскостью Земли, называется геогра-
фической широтой места. В пределах неболь-
шой окрестности любого места М вблизи по-
верхности Земли ускорение силы тяжести g
(ускорение свободного падения) можно счи-
тать постоянным. Положим р = О\М + d ,
уравнение движения принимает вид
d2d - da
Пусть точка начинает падать с нулевой
начальной скоростью. Так как рассмотрение
имеет смысл в течение небольшого проме-
жутка времени, пока точка не упадет на по-
верхность Земли, нецелесообразно выписы-
вать точное решение уравнения движения.
Разложим решение в ряд Тейлора по t:
5 = 60 +а|/ + -^-в2^2 + 763? +0(/4).
Согласно начальным условиям 50 = dj = 0
^• = а2/ + |аэ?+0(Р);
^у = а2 +а3/ + 0(?).
После подстановки в уравнение движения
d2 + d3f = g- 2со х d2/ + 0(/2),
т. e. d2 = g, d3 = -26 x g .
Итак, в соответствующем приближении
(с ростом /) точка падает вниз с ускорением
g, одновременно отклоняясь на восток и на
юг.
Маятник Фуко. Рассмотрим малые коле-
бания математического маятника на вращаю-
щейся Земле. Точку подвеса О маятника вы-
берем за начало системы координат: ось z
направлена по местной вертикали вверх; ось у
- на восток по касательной к параллели, про-
ходящей через точку О, ось х - на юг, по ка-
сательной к меридиану.
Пусть длина маятника /, его масса т,
угловая скорость Земли 6, географическая
широта точки ф , натяжение нити N. Диффе-
ренциальные уравнения движения маятника
тх = -N хЦ + 2та sin ц/у;
ту = -N у/t -2т со (sin фХ - cos ф£) ;
m ‘z - -N z/l + 2/исо cos \yy-mg.
Для весьма малых колебаний маятника
возле положения равновесия на местной вер-
тикали можно положить z • 4 тогда из первых
Двух уравнений находим
.( dy dx\ 2 2х
= -<о sin ф</(хх +у2).
МЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
59
Вводя полярный радиус г и полярный
угол проекции точки на плоскость 0 и ин-
тегрируя это соотношение, получим
2 Cf 0 2 •
г — - -юг sin ш + const.
dt
При t = 0 полагаем г = 0 , т. е. const = 0 ,
что дает
dQ
—— = -co Sin ш .
dt
Итак, плоскость качания маятника поворачи-
вается с востока через юг на запад и делает
« 2л
полный оборот за время т = —:--.
со Sin ц/
Глава 3.3
ДИНАМИКА СВОБОДНЫХ СИСТЕМ
МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
3J.1. МЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ. СИЛЫ
Механической системой или системой
материальных точек называют выделенную
совокупность материальных точек. Механиче-
ская система считается свободной, если отсут-
ствуют какие-либо ограничения на ее движе-
ние (связи).
В ньютоновской механике пространство,
в котором происходит движение систем мате-
риальных точек ту, трехмерно и евклидово,
Е3, с фиксированной ориентацией. Пусть
начало системы отсчета О, тогда положения
точек однозначно задаются их радиусами-век-
торами rv, проведенными из точки О в дан-
ные точки. Множество Е3 называют прост-
ранством положений системы, а совокупность
пар rv, vv - пространством состояний.
Если в данную систему выделены п ма-
териальных точек т,, i = 1,...» п , то нужно
рассматривать два класса сил, действующих
наточки т,:
1) со стороны точек, не включенных в
систему; такие силы называют внешними
2) со стороны точек, входящих в систе-
му; их называют внутренними F^ .
Включение определенных точек в систе-
му зависит от конкретной задачи. Например,
можно рассматривать движение системы
Солнце - Земля, тогда воздействия со сторо-
ны других планет Солнечной системы и Луны
- внешние силы; если включить в систему
Луну и рассматривать задачу трех тел (Солн-
це - Земля - Луна), то силы взаимодействия
между Землей и Солнцем, Луной и Солнцем,
Луной и Землей будут внутренними.
Силы потенциальны, если существует
функция, называемая потенциальной энерги-
ей И(гу,0 такая, что
Fy = --— или Fy = gradvV ,
дГу
г dV г
TeF^~ dx’Fv>,~
дУ F дУ
dyv’vt~ dzv'
Силовая функция U = -V + const. Сила
F потенциальна тогда и только тогда, когда
ее работа f F • dr по любому пути / зависит
/
только от концов пути и не зависит от формы
пути.
Если вектор Fy - сила, с которой j-я
точка действует на /-ю, а f-я действует на j-ю
силой Fjj, то Fy = -Fjj или Fy + Fjf = О
согласно третьему закону Ньютона.
Если силы взаимодействия зависят от
взаимных расстояний точек, т. е.
fij - f“I'/ ёу - 7
rij
то они потенциальны:
•<J
где - потенциальная энер-
гия взаимодействия материальных точек /И/
и /Иу .
Потенциальная энергия сил всемирного
притяжения
k rU
где у - гравитационная постоянная.
Для внутренних сил справедливы соотноше-
ния:
л л л ,
27<'>=£^=0;
v=l /,;=1 v=l
60
Глава 3.3. ДИНАМИКА СВОБОДНЫХ СИСТЕМ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
3.3.2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
СВОБОДНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМ.
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Если Fv(rv, rv, t) - результирующая
всех сил, действующих на точку v системы,
уравнениями движения этой системы будет
совокупность следующих дифференциальных
уравнений движения всех точек:
mvrv = Fy,[rv, v = 1,..., п. (3.3.1)
Из (3.3.1) можно получить основные теоремы
динамики систем.
Основные динамические характеристики
механических систем относительно Е3 следу-
ющие.
Количество движения системы или им-
пульс
л п
К = /WvVv = — У^ mvrv =
v=l v=l
d .. drr
= _mrc = = imc,
n
где m = mv - масса всей системы; Гд -
V=1
радиус-вектор центра масс; Гг = .
т
Момент количества движения системы
или кинетический момент
G = ^(rvxmvVv).
v=l
Кинетическая энергия системы
п
Т = ]£l/2/nvvJ.
V=1
Теорема об изменении количества движе-
ния системы. Производная по времени от ко-
личества движения системы равна векторной
сумме всех внешний сил:
= (3.3.2)
V=1
Эта теорема с учетом соотношения К = тх
х гс получает формулировку теоремы о дви-
жении центра масс системы: центр масс сис-
темы материальных точек движется как мате-
риальная точка с массой, равной массе систе-
мы, как если бы к ней была приложена ре-
зультирующая всех внешних сил:
»«?С = ЕЛ(е)- (3-3.3)
v=l
Эта теорема дает обоснование модели
материальной точки, которую представляет
геометрическая точка, наделенная массой т.
Теорема об изменении кинетического мо-
мента. Производная по времени от кинетиче-
ского момента относительно неподвижной
точки равна моменту внешних сил относи-
тельно той же точки:
^ = i(rvxFvW)=ZW. (3.3.4)
V=1
Наряду с элементарной работой сил
п
У^ Fv • gf rv удобно рассматривать их мощ-
V = 1
ность:
п п
YFvdfv/dt^^Fv.yv.
V=1 v=l
Теорема об изменении кинетической
энергии. Производная по времени от кинети-
ческой энергии системы равна мощности всех
действующих сил, внешних и внутренних:
или
Для случая твердого тела работа внутренних
сил равна нулю.
Из теорем динамики при определенных
условиях на силы Fv следуют первые инте-
гралы, которые отвечают законам сохранения
в динамике систем.
п
Пусть Fff = 0. Тогда из (3.3.2) име-
V = 1
п
ем Кх = У\ Шу^Су, = const, т. е. импульс сис-
V=1
темы вдоль оси х сохраняется.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СВОБОДНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
61
При этих же условиях из (3.3.3) следует,
что центр масс движется вдоль оси х с посто-
янной скоростью Хс = Хс0 (или покоится),
п
а в общем случае, когда F^ = 0 ,
v=l
- —>
К = KQ= const, a rc = rCot + rCo.
Пусть, например, = 0. Тогда из
(3.3.4) следует, что
п
Gz = ^ту(хуУу - 3\Л) = const.
V=1
По аналогии с динамикой точки этот
интеграл, отвечающий сохранению кинетиче-
ского момента относительно оси Z, называет-
ся интегралом площадей. Если вообще
. - - —►
Г*' = 0 , то G = Gq = const - вектор кине-
тического момента сохраняется.
Пусть силы Fy потенциальны и не за-
висят явно от времени, т. е. Fv =
= -grad v V . Тогда
п
dT = ^Fvdrv=-dV
V=1
И
T + V = h, (3.3.7)
где h определяется начальным запасом меха-
нической энергии; h = То + Ио .
Выражение (3.3.7) - интеграл энергии,
отражает закон сохранения полной механиче-
ской энергии при движении свободных сис-
тем под действием потенциальных сил.
В частности, если силы Fv состоят
только из сил взаимодействия, то система
материальных точек называется замкнутой и
для нее имеют место законы сохранения им-
пульса системы, кинетического момента и
полной механической энергии.
333. ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ В ДВИЖЕНИИ СИСТЕМЫ
ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС
Движением системы относительно цен-
тра масс называется движение относительно
осей Кенига Cx*y*z*, начало которых нахо-
дится в центре масс системы С и оси имеют
неизмененные направления, т. е. они движут-
ся поступательно со скоростью центра масс,
не вращаясь. В этом случае справедливы
формулы Кенига:
G = Gc + гс х mvc ;
Т = Тс +1 / 2mv 2С,
где Gq , Тс - соответственно кинетический
момент и кинетическая энергия системы в ее
движении относительного центра масс, а вто-
рые члены - кинетический момент и энергия
точки С центра масс, если считать сосредо-
точенной в ней массу системы.
В частном случае, когда система - твер-
дое тело,
Tc = l/2(Ap2 + Bq2 + Сг2),
где Л, В, С - главные моменты инерции; р, q,
г - проекции мгновенной угловой скорости
тела на главные оси инерции.
Справедливы также теоремы Кенига об
изменении кинетического момента и кинети-
ческой энергии в движении относительно
центра масс:
d^C = .
dt с ’
где vvC - скорости точек системы в движе-
нии относительно осей Кенига.
3.3.4. УРАВНЕНИЕ МЕЩЕРСКОГО.
ФОРМУЛА ЦИОЛКОВСКОГО
Пусть точка массой m движется относи-
тельно неподвижной системы координат со
скоростью v и отбрасывает от себя частицы с
абсолютной скоростью й. Таким образом,
масса m переменна: m = m(t). Кроме того,
на точку действуют внешние силы Fy.
Уравнение Мещерского движения точки
переменной массы получается из теоремы об
изменении импульса и имеет вид
m— = > Fy + ——(u - v) =
dt v dt
L’ df voth-
62
Глава 3.4. ДИНАМИКА СИСТЕМ НЕСВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
Это уравнение является отправным для
большого класса задач движения точки пере-
менной массы: движения ракет, самолетов с
ЖРД, реактивных судов, тросов или нитей
переменной длины и т. д.
Эффект отбрасывания частиц эквива-
лентен действию на точку т добавочной силы
dm -
-^-vOT , которая называется реактивной си-
лой. Аналогично можно рассматривать и эф-
фект присоединения частиц к точке т.
Как простой пример из уравнения Ме-
щерского получается формула Циолковского
для скорости прямолинейного движения точ-
ки переменной массы без действия внешних
сил:
v = v0 4-уотн1п/и/т0 ,
где /Ио - начальная масса.
Глава 3.4
ДИНАМИКА СИСТЕМ НЕСВОБОДНЫХ
МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
3.4.1. КЛАССИФИКАЦИЯ СВЯЗЕЙ
Ограничения, налагаемые на движение
системы, называются связями. Если эти огра-
ничения налагаются на координаты точек
системы, связи называются конечными, или
геометрическими. Если связи не допускают
только произвольных скоростей точек, они
называются дифференциальными или кине-
матическими.
Односторонние, двусторонние связи. От-
влекаясь от способов реализации связей, ог-
раничения, определяемые ими, можно выра-
жать аналитически равенствами (уравнения-
ми связей) либо неравенствами. Если связи
выражаются уравнениями, они называются
двусторонними удерживающими или неосво-
бождающими. В противном случае - связи
односторонние (неудерживающие, освобожда-
ющие).
Пример. Рассмотрим малое колечко
(точка М), надетое на проволочку, изогнутую
в виде окружности радиуса R (рис. 3.4.1),
представляющую связь. Координаты точки М
2
удовлетворяют уравнению окружности х +
+у2 = R2. Это и есть уравнение связи. Дву-
сторонняя связь препятствует перемещению
точки как внутрь, так и наружу окружности.
Если колечко привязать к точке 0 нерас-
тяжимой нитью длиной R, аналитически связь
представится неравенством х2 + у2 £ R2, т. е.
точка может сходить с окружности внутрь,
освобождаться от связи.
Голономные, неголономные связи. Конеч-
ные связи называются также голономными, а
связи, налагающие условия на скорости точек
системы, - неголономными, если их нельзя
свести к зависимостям между координатами
точек, т. е. нельзя проинтегрировать диффе-
ренциальные уравнения (неравенства), опре-
деляющие эти связи. Если скорости точек
системы в уравнения неголономных связей
входят линейно, связи называют линейными.
В этой главе рассматриваются только такие
неголономные связи. Их уравнения можно
записать в виде
+ Mv + CfvZv) + gi = о,
V=1
(/-1,2...../) (3.4.1)
где n - число точек системы; d*,, с*,, gj
зависят от координат точек и времени.
Для того чтобы /-е уравнение сводилось
к отношению между коэффициентами, доста-
точно, чтобы выполнялись условия
Эод, _ да^ _ . да^ _
дХр дху дур дХу dZp dxv
dOjv _ dgj . db^ _ dbjp Qbjy _ dCjp
dt dxv * дур dyv ' dZp dyv ’
d^iv _ &8i . ^c’tv _ . dc^ _ dgj
dt dyv * dZp dZy * dt dzv
(v, p = 1,2,..., n)
Указанные условия не являются необходимы-
ми условиями интегрируемости, их несоблю-
дение не означает неинтегрируемости i -
уравнения связи, поскольку возможно
существование интегрирующего множителя.
КЛАССИФИКАЦИЯ СВЯЗЕЙ
63
Стационарные, нестационарные связи.
Голономные связи называются стационарны-
ми (постоянными, склерономными), если
время не входит в их уравнения
(неравенства). Связи, зависящие от времени,
называются нестационарными (переменными,
реономными).
Неголономная связь стационарна, если
не зависят от времени коэффициенты Дд,,
b/v, ед, в уравнениях (3.4.1) и gj = 0. Если
g, * 0, связь считается нестационарной, если
даже все коэффициенты , Сд,, g, не
зависят от времени.
Пример. Связь (fj -г2)(^1 -v2)-c/ =
- О может быть представлена в конечном ви-
де, поскольку ее уравнение можно переписать
в виде
^|(Л-Г2)2-с'2] = 0.
Отсюда
|Й - Лг| = 7е'2 + а •
где а - произвольная постоянная.
Пример. Качение шара по плоскости без
скольжения. Отсутствие скольжения означает
равенство нулю скорости точки Р шара, кото-
рой он касается плоскости (рис. 3.4.2),
Vp = 0. Выражая v р по теореме Эйлера,
получаем
rc + со X СР = О ,
где гс - радиус-вектор центра шара; со -
мгно-венная угловая скорость шара.
Отсюда следуют три скалярных уравне-
ния, представленных через координаты век-
торов в неподвижных осях:
хс - Rq = 0;
yc+Rp = l', Zc=Q,
Рис. 3.4.2
где р и q - проекции со на оси соответствен-
но х и у.
Последнее уравнение интегрируется и
дает конечную связь: Zc = const.
Выражая р и q через углы Эйлера, пер-
вые два уравнения перепишем в виде
Хс + А(фcosvpsin0 - Osin vp) = 0;
Ус + А(ф sin vpsinO + 0 cosvp) = 0,
где ф, vp и 0 - углы соответственно собст-
венного вращения, прецессии и нутации. Эти
уравнения неинтегрируемы - связь неголо-
номна.
Следует отметить, что при плоскопарал-
лельном качении шара по прямой х (рис.
3.4.3), уравнения связи Хс - RQ = 0 и Zc -
= 0 интегрируются: хс = RQ + х® , Zc = R ,
т. е. связь голономна.
Аналитическое задание связей. Виртуаль-
ные перемещения. Пусть на точки системы с
радиус-векторами rjxv, yv, Zj, v =
= 1,2,..., n, наложены как голономные, так и
неголономные связи:
xv, yv, zv...0 = 0;
Л
£(<0v*v + Mv+C<vZv) + g/ =0,
V=1
(J = l,2,...,/; i = 1, 2,..., m), (3.4.2)
где / + m < 3n .
Виртуальными перемещениями точек из
данного положения в фиксированный момент
t называются бесконечно-малые перемещения
5rv(5xv, byv, 5zv), допускаемые связями в
данный момент времени, удовлетворяющие
соотношениям
л
^gradv/,-8rv =0;
V=1
64
Глава 3.4. ДИНАМИКА СИСТЕМ НЕСВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
Av ’ “ 0 ’
и = 1, 2,...,/; / = 1, 2,т)
где gradvfj и В^а^Ь^с^) вычисляют-
ся в данном положении в фиксированный
момент t.
Эти соотношения можно представить в
виде
. Sfj .
> —— &XV + -r^-6yv +
£{laxv dyv
0;
п
£ («л.8х„ + Ml'v + c(v8Zv) = 0 • (3.4.3)
(j = 1,2,/ = 1,2.......m)
Пример. Математический маятник имеет
переменную длину. Уравнение связи (рис.
3.4.4) х2 + у2 = /2(f). Виртуальное переме-
щение в положении точки, отвечающем фик-
сированному значению угла ф = ф|, удовлет-
воряет условию
х8х + уЬу = 0, (3.4.4)
где х и у вычисляются при ф = ф|, в фикси-
рованный момент f|j х =/(/|)со8ф|, у =
= /(Г|)8Шф| .
Условие (3.4.4) означает, что виртуаль-
ные перемещения ортогональны вектору с
проекциями Z(/|) cosф|, Z(/|) sin ф| , каса-
тельны к окружности радиуса / (fj) в точке,
соответствующей ф = ф|.
Число степеней свободы. Из соотноше-
ний (3.4.3) / + т виртуальных перемещений
могут быть выражены через остальные Ъп~1-т,
которые можно выбрать произвольно (неза-
висимые вариации, а остальные зависимые).
Число независимых вариаций (проекций вир-
туальных перемещений) называется числом
степеней свободы системы.
Если на систему наложены только ко-
нечные связи, то число степеней свободы
совпадает с числом независимых координат,
через которые выражаются остальные коор-
динаты согласно уравнениям связей. Число
степеней свободы неголономной системы
меньше числа независимых координат на
число неинтегрируемых связей.
Твердое тело. Материальная система, все
точки которой находятся друг от друга на
неизменных расстояниях, называется неизме-
няемой. В случае непрерывного распределе-
ния масс такая система называется твердым
телом.
Уравнения связей можно записать в ви-
де
<Х, - Xj)1 + (у,- - yj)2 + (Zi -Zj)2 =
где x, у, z - декартовы координаты точек тела;
- расстояние между точками с номерами i
и у, при этом / и j принимают все возможные
значения.
Для того чтобы задать положение твер-
дого тела, достаточно знать положение трех
его точек, не лежащих на прямой, следова-
тельно, для определения числа степеней сво-
боды достаточно выписать три следующих
условия постоянства расстояний между этими
точками:
(Х| - х2)2 + 0»| - у2)2 + (zi - z2)2 = /12;
(х2 - х3)3 + 0>2 - у3)2 + (г2 - z3)2 = /23;
(х3 -Х|)2 + Сиз -я)2 +(хз -Zi)2 =(2i •
Условия для виртуальных перемещений
(Xj - ху)(8х, - 8ху) + (у, - yj)(6y, - 8yj) +
+(Zi - Zj )(&Zi - bZj) = 0 (j, j = 1, 2, 3).
На девять проекций виртуальных пере-
мещений наложены три условия: число степе-
ней свободы свободного твердого тела равно
шести. Такой же результат следует из непос-
редственного рассмотрения уравнений связей:
на девять координат наложены три условия,
значит независимых координат шесть. Иначе
обстоит дело, если связи, наложенные на сис-
тем; неголономны. Так, в рассмотренном
выше примере положение шара, катящегося
по шероховатой плоскости без скольжения,
определяется пятью координатами хс , Ус ,
Ф, ц/, 0 . В примере были получены уравнения
КЛАССИФИКАЦИЯ СИЛ
65
связи, а исходя из них, условия на виртуаль-
ные перемещения
8х? + Я(5<р cos ф sin 0 - 80 sin ц/) = 0 ;
бус + Я(5ф sin ц/ sin 0 + 50 cos vg) = 0.
На пять величин 8х^, 8ус > ,
80 наложены три условия. Следовательно,
число степеней свободы шара в данном случае
равно трем.
Связи, наложенные на систему, связы-
вают и скорости, и ускорения точек условия-
ми, которые получаются дифференцировани-
ем уравнений (3.4.2): для ускорений первую
группу уравнений необходимо продифферен-
цировать 2 раза, а вторую - один раз. Полу-
чающиеся условия можно записать в виде
^gradv/y • й>у + D2fj = 0;
V=1
л п д
'Z,Biv wv + '^iBiv :vv+gi =0, (3.4.5)
v=l v=l
(у = 1,2,...,/; / = 1, 2,
где Difj - часть членов второй производной
fj по времени, не* зависящих от ускорений.
3.4.2. КЛАССИФИКАЦИЯ СИЛ. РЕАКЦИИ СВЯЗЕЙ
Несвободная система п точек с массой
mv (v = 1, 2, ..., л), к которым приложены
заданные силы, равнодействующие которых Fv
(Xv,yv,Zv). Если бы система была свобод-
ной, согласно второму закону Ньютона уско-
рения точек определились бы из уравнений
mvwv = Fv, v = 1, 2,п .
Если уравнения связей не являются ин-
тегралами последней системы, то ускорения,
определяемые из нее, не будут удовлетворять
соотношениям (3.4.5). Для того чтобы ускоре-
ния точек несвободной системы, полученные
под действием сил Fv, удовлетворяли связям,
не-обходимо допустить, что наличие связей
является причиной возникновения дополни-
тельных сил, действие которых при мыслен-
ном удалении связей обеспечивает такое же
движение системы, что и при наличии связей.
Эти добавочные силы называют реакциями
связей.
Вводя в рассмотрение реакции связей,
условимся различать две категории сил, дей-
ствующих на точки системы: реакции связей
(пассивные силы) и заданные (активные) си-
лы. Существенное отличие этих категорий сил
состоит в том, что при решении задачи о
движении системы заранее известна зависи-
мость заданных сил от неизвестных кинема-
тических элементов. Примерами таких сил
являются силы всемирного тяготения, упругие
силы, зависящие от положения точки; вязкое
сопротивление, зависящее от скорости точки.
Такие зависимости для реакций связей ука-
зать нельзя до исследования движения, так
как реакции зависят от активных сил и дви-
жения. Поэтому их вводят в уравнения дви-
жения в качестве дополнительных неизвест-
ных.
Принцип освобождаемое™. Уравнения
движения несвободной системы. Введение ре-
акций связей позволяет записать уравнения
движения системы со связями в форме вто-
рого закона Ньютона (уравнений движения
свободных точек):
mvwv = Fv + Ry (v = 1, 2, ..., л), (3.4.6)
где Fv - равнодействующая заданных сил;
Rv- равнодействующая реакций связей, при-
ложенных к точке v.
В этом выражается принцип освобож-
даемости: действие связей, наложенных на
материальную систему, можно заменить дей-
ствием сил - реакций связей. Введенные реак-
ции связей, обеспечивая выполнение условий
(3.4.5) для ускорений, обязаны удовлетворять
1+т уравнениям, полученным из (3.4.5) в
результате подстановки в них значений уско-
рений из (3.4.6). Для определения Зл неиз-
вестных проекций л реакций RV(RVX, Rvy,
Rvz) получается I + т уравнений. Посколь-
ку Зл > / + т задача определения реакций
связей, вообще говоря, не решается. Но она
становится разрешимой для связей идеаль-
ных, для которых сумма элементарных работ
всех реакций связей на любом виртуальном
перемещении системы равна нулю.
Идеальные связи. Определение реакций
связей. Условие идеальности связей (двусто-
ронних)
л
^Av5rv=0. (3.4.7)
V = 1
Используя метод неопределенных множите-
лей, из (3.4.7), (3.4.2) можно получить выра-
жение для реакций связей
/ т
Rv = £Xygradv/y + £ ц,Л, (3-4.8)
у=1 /=1
(v = 1, 2,..., л)
3 З.Ш. 48S
66
Глава 3.4. ДИНАМИКА СИСТЕМ НЕСВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
где Ху и ц, - неопределенные множители.
Реакции какой-либо одной связи определяют-
ся из соотношений
/t‘”=X,gra<|/,„ *-1.2,..../;
R(vr) = цгВп, (г = 1, 2,.... т).
Соотношения (3.4.8) в совокупности с
/ + т условиями на Rv, следующими из
(3.4.5) по подстановке в них выражений для
ускорений из (3.4.6) и (3.4.8), дают систему
/ + т алгебраических уравнений относительно
/ + т неизвестных: Ху и ц,- (j = 1, 2,...» /;
z = 1, 2,..., т).
В случае идеальных связей их реакции
определяются аналитически заданием уравне-
ний связей и активных сил. Если связи не
идеальны, для определения реакций кроме
уравнений связей необходимо вводить допол-
нительные условия на реакции, которые
замкнули бы систему уравнений, получаемых
из (3.4.5); число таких условий должно быть
равно Зп-1 - т . Эти условия берутся обыч-
но из экспериментов; это могут быть, напри-
мер, законы трения.
3.4.3. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ НЕСВОБОДНОЙ '
СИСТЕМЫ
Уравнения Лагранжа первого рода с мно-
жителями. Дифференциальные уравнения
дви-жения системы с идеальными связями
вида (3.4.2) могут быть записаны в виде урав-
нений с неопределенными множителями
(уравнений Лагранжа первого рода)
/ /я
mvwv = Fv + £xygradv/, + ,
у=1 1=1
(v = 1, 2..л) (3.4.9)
или в координатной форме
Y V* 1 У/
= *v + 2Z; + ;
7=1 (=1
/ df- т
У=1 /«1
/WVZV “ Zy + z , hj ~г— + Z , Hiciv •
y = l i=l
(v = 1, 2, n)
Уравнения (3.4.2) и (3.4.9) в совокупно-
сти содержат Зи + / + /и неизвестных: xv,
yv> *v (v = 1, 2,...» л), Xy(J = l, 2,...,/),
ц,(/ = 1, 2,...» m), т. e. по числу уравнений.
Интегрирование этой системы проводят сле-
дующим образом: сначала определяют множи-
тели связей, для которых получают систему
линейных уравнений, подставляя в уравнения
(3.4.5) значения ускорений из (3.4.9). Если
уравнения связей (3.4.2) линейно независи-
мые, полученная система дает возможность
найти множители связей Ху и ц,, как
функции координат и скоростей точек систе-
мы. Подставляя эти выражения в уравнения
(3.4.9), получают систему Зп линейных диф-
ференциальных уравнений второго порядка
относительно Зп неизвестных функций
ху, У у > Zv(v = 1» 2, ..., п). Общее решение
этой системы зависит от 6л постоянных, одна-
ко независимых среди них только 6п - 2 / - /и,
поскольку решения должны удовлетворять
уравнениям связей (3.4.2).
Интегрирование уравнений движения с
множителями для большого числа степеней
свободы представляет достаточно сложную
трудоемкую задачу. Обычно эти уравнения
используют для определения реакций связей,
а закон движения точек системы находят
другими методами (уравнения Лагранжа вто-
рого рода, основные теоремы динамики).
Теорема об изменении количества движе-
ния системы. Производная по времени от ко-
личества движения системы со связями равна
сумме главного вектора внешних активных
сил и главного вектора реакций связей:
= (3.4.10)
или в координатной форме
d п
— ^mvxv=Xe+Rx (x,y,z).
V=1
Выражая вектор количества движения через
скорость центра масс системы, получим
уравнение (3.4.10) можно записать в форме
M^f-^Ft + R или Mwc = Fe + R,
dt ‘ с *
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ
67
где vc и wc - соответственно скорость и ус-
корение центра масс системы.
В таком виде теорема носит название
теоремы о движении центра масс системы:
центр масс движется, как точка массы, рав-
ной массе всей системы, под действием силы,
равной сумме главного вектора внешних ак-
тивных сил и главного вектора реакций свя-
зей. В координатной форме
Mxc=Xe+Rx, (x,y,z). (3.4.11)
Теорема об изменении кинетического мо-
мента системы. Производная по времени от
кинетического момента количеств движения
системы со связями, взятого относительно
неподвижного центра О, равна сумме глав-
ного момента внешних активных сил Mq и
главного момента реакций связей Mq отно-
сительно того же центра:
SPv х »vVv] = М‘ + М*
V=1
В проекциях на оси декартовой системы ко-
ординат это можно записать в виде
где pv(*v, у у, Zy) - радиус-вектор v -й точ-
ки относительно центра масс; vrv(x^, y'v, z'y)
- относительная скорость точки в осях Кени-
га.
В проекциях на оси получаем
d п л
— ^Яу(Уу£у — Zvyv) — ^Уу^у “ j
V=1 V=1
n
+X - z'vRyy) x, y, Z.
V=1
Теорема об изменении кинетической
энергии системы. Кинетическая энергия сис-
Т = £
V=1 2
темы
. Дифференциал кинети-
ческой энергии системы со связями равен
сумме работ активных (внешних и внутрен-
них) сил и реакций связей на действительных
перемещениях точек, к которым они прило-
жены:
л л
rfT = £Fvrfrv + £*v</rv
V=1 V=1
ИЛИ
dT = ^(XydXy + Yydyy + ZydZy) +
V=1
£у^уу) У’
У=1
где XJ, Y*,Z*- проекции равнодействую-
щей внешних активных сил, приложенных к
v -й точке; Rvx, Rvy, Rvz - проекции равно-
действующей реакций связей.
Теорема об изменении кинетического
момента обобщается на случай движения сис-
темы относительно осей, начало которых на-
ходится в центре масс системы и движущихся
поступательно (оси Кенига).
Производная по времени от кинетиче-
ского момента в относительном движении,
взятого относительно центра масс С, равна
сумме главного момента внешних активных
сил Mq и главного момента реакций связей
Mq относительно того же центра:
х «vV'v] = М‘ + ,
Л
(^VX^'V + Куу^Уу + ^V^ZV) •
V=1
Теорема обобщается на движение систе-
мы относительно осей Кенига: в движении
системы относительно осей Кенига, как и в
абсолютном движении, дифференциал кине-
тической энергии равен сумме элементарных
работ всех активных сил и реакций связей на
действительных относительных перемещениях
точек, к которым они приложены:
л л
dT' = ^Fvdp'v +2^vrfPv.
V=1 V=1
где T' - кинетическая энергия относитель-
ного движения; tfp'v- относительные дейст-
вительные перемещения.
Уравнения плоского движения твердого
тела. Они могут быть получены исходя из
основных теорем динамики. Из кинематики
известно, что для определения движения пло-
ской фигуры достаточно знать движение ка-
кой-либо точки тела (полюса) и закон изме-
нения угла поворота фигуры ф. Выбирая за
68
Глава 3.4. ДИНАМИКА СИСТЕМ НЕСВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
полюс центр масс тела, уравнения его движе-
ния на основании теоремы о движении цен-
л л
тра масс имеют вид М ?с = У Fv +
V=1 V=1
или в проекции на прямоугольные оси
л л
v=l v=l
л л
Myc = YY-+XR^-
v—1 v=l
Третье уравнение дает теорема об изме-
нении кинетического момента в осях Кенига:
d п
^S(PvX«vVl] =
V=1
= ^[Pv хЯ]+£[ру x^v]
V=1 V=1
ИЛИ
d п
V=1
л л
= — yvXv) + (xvRvv — yvRvx) •
V=1 V=1
Для твердого тела левая часть преобразу-
л
ется к виду JcV, где Jc = ^mv(x^ +
v=l
+Уу2) - момент инерции плоской фигуры от-
носительно центра масс. Третье уравнение
движения приобретает вид
л
V=1
(3.4.12)
v=l
где Ху, у у - координаты точек в осях Кенига.
3.4.4. ПРИНЦИП Д АЛАМБЕРА И ЕГО СЛЕДСТВИЯ
Силы инерции. Если ввести векторы
5y=-mvwv (v = l, ...,л)
с проекциями
-/ИуХу; -/ИуУу ; - m’zv,
уравнения движения (3.4.6) можно записать в
виде уравнения (3.1.18).
В каждый момент времени равнодейст-
вующие активных сил, сил реакций и сил
инерции уравновешиваются для каждой точки
системы (принцип Д'Аламбера).
Основное уравнение динамики. Если свя-
л
зи идеальны Av • 5rv = 0, то из (3.1.18)
V=1
следует другая форма принципа Д'Аламбера
£ {Fv - mvwvj • бГу = 0, (3.4.13)
V=1
т. е. сумма работ сил инерции и заданных сил
равна нулю на любых виртуальных перемеще-
ниях системы.
Последнее уравнение можно представить
через проекции векторов:
л
£[(А\, - /ИуХу)бХу + (Гу - /ИуУу)5<Уу +
v=l
+(ZV - mvZy)5zv] = 0. (3.4.14)
Принцип Д'Аламбера в форме (3.4.13),
(3.4.14) называют основным уравнением ди-
намики, принципом Д'Аламбера-Лагранжа.
Преимущества уравнений (3.4.13),
(3.4.14) очевидны: в них не входят реакции, т.
е. возникает возможность находить движение
систем, не определяя реакций.
Из (3.4.14) как следствия можно полу-
чить основные теоремы динамики для систем
с идеальными связями так, что в соответст-
вующие уравнения не будут входить реакции
связей.
Теорема об изменении количества движе-
ния. Она следует из (3.4.14), если связи в лю-
бой момент времени допускают поступатель-
ное перемещение системы, как одного твер-
дого тела вдоль некоторого неподвижного
нап-равления (например, Ох), т. е.
бХу = а * 0; 5yv = 5zv = 0,
(v = 1, 2,..., л)
Тогда из (3.4.14) следует
л
£(XV -т^а = 0.
V=1
ПРИНЦИП Д'АЛАМБЕРА И ЕГО СЛЕДСТВИЯ
69
Откуда получаем уравнения
. п п
= Fex
Ш V=l V=1
И
Mxc=fxv = Fa,
V=1
(3.4.15)
аналогичные первым уравнениям из (3.4.10) и
(3.4.11), но без реакций связей.
Если идеальные связи допускают посту-
пательные перемещения системы, как твер-
дого тела, вдоль трех не параллельных непод-
вижных осей, теорема об изменении количе-
ства движения (о движении центра масс) мо-
жет быть записана в векторной форме:
^=Fe и Mwc = Fe. (3.4.16)
at
Центр масс системы движется как точка,
масса которой равна массе всей системы, под
действием всех заданных сил, приложенных в
центре масс.
Закон сохранения количества движения
следует в скалярной форме, из (3.4.15), если
Хе = 0 ив векторной форме из (3.4.16), если
п
Fe = 0. В первом Случае mvxv = const,
V=1
т.е. остается постоянной проекция количества
движения системы на ось х; во втором - в
процессе движения не изменяется вектор
- —>
количества движения, К = const. При этом
центр масс в первом случае движется так, что
проекция его скорости на ось х остается по-
стоянной, во втором - не изменяется вектор
скорости центра масс.
Теорема об изменении кинетического мо-
мента системы с идеальными связями. Она сле-
дует из уравнения (3.4.14), если связи таковы,
что среди виртуальных перемещений в любой
момент времени есть вращение как одного
твердого тела вокруг неподвижной оси
(например Oz). Тогда 5xv = -yvScp ; 5yv =
= xv5<p ; 5zv = 0, &p * 0 и из (3.4.14) следу-
ет
п
- Mv))1» ♦(J'v - = 0
v=l
После преобразований получаем
m^~yvXv + =
V=1
= £(->\Л.+хХ). (3.4.17)
т. е. производная по времени от проекции
кинетического момента системы на ось Oz
при указанных условиях равна сумме момен-
тов внешних активных сил.
Если указанные выше условия выпол-
няются по отношению к трем неподвижным
ортогональным осям, теорема может быть
записана в векторной форме и имеет вид
= Yt i m4Fv х vv] = , (3.4.18)
V=1
где Mq - момент внешних активных сил.
Закон сохранения кинетического момен-
та системы (теорема площадей) следует из
(3.4.17) и (3.4.18) в скалярной и векторной
формах, в случае, если равен нулю в первом
случае момент внешних активных сил относи-
тельно оси Oz и во втором случае - момент
сил относительно начала координат. Тогда
соответственно
GOz = const и Gq = const, (3.4.19)
если связи идеальны и допускают в любой
момент времени вращение вокруг оси Oz, а
внешние активные силы не дают момента
относительно этой оси - кинетический мо-
мент системы относительно этой оси сохраня-
ется (теорема площадей). При выполнении
указанных условий относительно трех осей
сохраняется вектор кинетического момента
системы.
Теорема об изменении кинетической
энергии. Она следует из основного уравнения
динамики в случае, если действительные пе-
ремещения системы находятся среди вирту-
альных: dxv = 5xv; dyv = 5yv; dzv = 5zv.
После преобразований получаем соотношение
л ... . .
V=1
п
= ^i(Xvdxv + Yvdyv+Zvdzv)
V=1
70
Глава 3.4. ДИНАМИКА СИСТЕМ НЕСВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
ИЛИ
Л
rfT = £/vrfrv. (3.4.20)
v=l
Для идеальных связей в случае, если
действительные перемещения находятся среди
виртуальных, дифференциал кинетической
энергии системы равен работе активных сил
на действительных перемещениях точек, в
которых они приложены. В отличие от двух
предыдущих теорем, внутренние силы могут
входить в уравнение, поскольку могут быть
различны действительные перемещения то-
чек, в которых приложены попарно равные и
противоположные силы.
Закон сохранения энергии следует из
уравнения (3.4.20), если силы допускают си-
ловую функцию, не зависящую явно от вре-
мени
t „ dU - dU - dU -
Fv = gradv(/ = — ex + — ey + — ez .
dxv dyv dzv
(3.4.21)
Потенциальная энергия И = -U + const ,
поэтому имеем (3.2.1).
Системы, для которых выполняется за-
кон сохранения энергии, называются консер-
вативными.
3.4.5. ОСНОВЫ КИНЕТОСТАТИКИ
Методом кинетостатики называется фор-
мальный прием написания уравнений движе-
ния в виде уравнений равновесия на основе
принципа Д'Аламбера. Трактуя уравнения
(3.1.18) как условия равновесия сил заданных
Fv, реакций связей Rv и сил инерции Sv =
=-mvwv (v = 1, 2,...» л) в совокупности,
можно аналитически получать уравнения
движения системы как совокупность уравне-
ний равновесия каждой точки:
Fv + Rv+Sv =0. (3.4.22)
(v = 1, 2,..., л)
Обычно методом кинетостатики пользу-
ются в инженерных расчетах для определения
реакций, если движение известно. Необходи-
мыми условиями выполнения (3.4.22) являют-
ся обращение в ноль главного вектора и глав-
ного момента системы векторов Fv, Rv, Sv
( v = = 1, 2,..., л) при приведении к како-
му-либо полюсу О, т. е.
л л п
Ёру х Л] + Ёру х Ry] + £[rv х jv] = О,
V=1 V=1 V=1
(3.4.23)
где rv - радиус-вектор v точки по отноше-
нию к полюсу.
Если рассматриваемая система - твердое
тело, эти условия соответствуют шести усло-
виям равновесия твердого тела, которые в
проекции на оси декартовых координат дают:
X + Rx + sx = о (х, у, г);
ZyYy} + ZyRyy) +
V=1
+ “ ^v^vy) = 0»
где Л, У, Z, Rx, Ry, Rz, Sx, Sy, Sz - проек-
ции результирующих векторов активных сил,
реакций связей и сил инерции, соответствен-
но, a xv, yv, Zy- проекции rv.
Главный вектор сил инерции
л л д п
S = £sv = -£mviJv = --^E»>vVv ,
v=l v=l ai V=1
^Vv
так как и>„ =--—.
v dt
Количество движения
2«vvv = Mvc,
V=1
Л
где M = У mv ; vc - скорость центра масс
V=1
системы материальных точек.
Следовательно,
т. е. главный вектор сил инерции точек мате-
риальной системы равен производной по
времени от количества движения материаль-
ной системы, умноженной на -1.
ОСНОВЫ КИНЕТОСТАТИКИ
71
Главный момент всех сил инерции
Главный момент всех сил инерции равен
производной по времени от момента количе-
ства движения материальной системы, умно-
женной на -1.
Подставляя полученные выражения для
главного вектора и главного момента сил
инерции в уравнения (3.4.23), получим теоре-
мы об изменении количества движения и
момента количества движения материальной
системы.
Пример. Груз весом Р поднимается с
помощью троса, который наматывается на
шкив, укрепленный на оси мотора (рис.
3.4.5). Мотор установлен на горизонтальной
балке. Радиус шкива г, момент инерции вра-
щающихся частей относительно оси мотора J,
их вес Q , а центр тяжести находится на оси.
Пренебрегая весом троса, найти реакции в
опорах А и В, если груз поднимается с уско-
рением w.
( Р Л
Сила инерции груза--------w . Силы
< g J
инерции вращающихся частей имеют главный
вектор, равный нулю (так как их центр тяже-
сти неподвижен), и главный момент, равный
(-Л), где е = w/r .
Так как система плоская, достаточно
написать три уравнения кинетостатики - сум-
мы моментов относительно точек А и В равны
нулю, и сумма проекций всех сил на ось х то
же равна нулю:
-Р(а - r)-Qa + 2RBa + Л -—(а - r)w = 0;
g
Р(а + r) + Qa- 2YAa + Л + —(а + r)w = 0;
g
Хл=0.
Отсюда
R _P(a-r) + Qa t 1 (P(a-r) Л
B 2a 2a I g r)
у P(a + r) + Qa । 1 (P(a + r) | Л
A 2a 2a I g r)
Xa =0.
Первые слагаемые в выражениях для ре-
акций не зависят от движения и называются
статическими. Вторые слагаемые определяют-
ся движением системы и носят название до-
бавочных динамических реакций.
72
Глава 3.5 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ МЕХАНИКУ
Глава 3. 5
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ
МЕХАНИКУ
3.5.1. ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ
Пусть дана система п материальных то-
чек с радиусами-векторами
rv = xv/ + yvj + zjc , v=l, ...» n (где /, J,
к - орты осей неподвижной системы коор-
динат), на которую наложены голономные
связи:
/У(М = °- j = l.....s. (3.5.1)
Предполагается, что 5 функций fj от Зп
аргументов xv, yv, zv независимы, время t
рассматривается как параметр. Поэтому из
(3.5.1) можно выразить 5 координат как
функции Зп - 5 = к остальных величин и вре-
мени t и рассматривать эти Зп-s величин как
независимые, определяющие положение сис-
темы в момент времени t.
Обобщая эту процедуру, можно в каче-
стве таких величин брать к других независи-
мых переменных ..., qk (как правило, это
линейные координаты и углы) таких, что ра-
диусы-векторы можно представить в виде
= - V = l,...,n. (3.5.2)
Эти функции обращают уравнения свя-
зей (3.5.1) в тождества. Предполагается, что
любое положение системы, отвечающее свя-
зям в момент времени может быть получе-
но из (3.5.2) при некотором наборе величин
4i, ..., qk. Функции (3.5.2), а тем самым и
предполагаются непрерывными и
дифференцируемыми.
Введенные указанным образом величи-
ны
<71, qk называются обобщенными (лагран-
жевыми) координатами системы. Производ-
ил.
ные —— = д: называются обобщенными ско-
dt 1
ростами. Они также независимы.
Для системы со стационарными связями
обобщенные координаты можно всегда выби-
рать так, чтобы в (3.5.2) время не входило:
гу = гу(Я,в!....qk), v = l,...,n.
Например, обобщенными координатами
для материальной точки в трехмерном про-
странстве могут служить сферические или
цилиндрические координаты, на плоскости -
полярные. Каждой обобщенной координате qt
ставится в соответствие обобщенная сила Qj
по следующему правилу.
Рассмотрим элементарную работу сил на
виртуальных перемещениях 5rv:
л л к
M = EFv-8rv = £?v.£^89/ =
v=l V=1 /=1
Величины Qi -^\FV' называются
обобщенными силами. Ввиду независимости
обобщенных координат можно вычислять
работу 5Л только на одном нужном вирту-
альном перемещении 5^ * 0 при bqj - 0 ,
j * i. Тогда 5Л = 5Д = Qfiqt и Qi =
= bAi/bqi- Практически Qi находят по ука-
занной процедуре. Если обобщенная коорди-
ната линейная, то обобщенная сила имеет
смысл просто силы, а если угол, - то мо-
мента силы.
3.5.2. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА
Пусть имеется голономная механическая
система п материальных точек, радиусы-
векторы которых rv можно записать в функ-
ции (3.5.2) обобщенных независимых коорди-
нат q\y ..., qk и, может быть, времени t.
Ввиду голономности все 5^/ также не-
зависимы. Дифференциальные уравнения
движения в независимых координатах
91, •••> Qk получаются из общего уравнения
динамики У\{гПу,Пу - F^brv = 0 с учетом
v=l
голономности связей, и вытекающих из (3.5.2)
соотношений
. d
dq, dqt ’ dt dqi dq{ '
Итак
dgt) 9> fa*9'
Так как q/ - независимые координаты, a 5^
произвольные и независимые приращения
координат qj (/= 1, , то равенство ну-
лю может иметь место тогда и только тогда,
когда все коэффициенты при 5^ равны ну-
лю.
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА
73
Поэтому общее уравнение динамики эк-
вивалентно системе уравнений
(з-5-3)
Л dq, dq,
которые называются уравнениями Лагранжа
второго рода или уравнения Лагранжа в неза-
висимых координатах. Система уравнений
Лагранжа в независимых координатах имеет
наименьший возможный порядок: система к
обыкновенных дифференциальных уравнений
второго порядка с к неизвестными функция-
ми от независимого переменного t . Если все
силы Qi потенциальны, т. е. существует по-
тенциальная энергия V = qk> t),
„ dV ж •
так что Qi =--, то можно ввести функ-
dq,
цию
L = T -V = L(qt...qk; qt, .... qk, /),
которая носит название функции Лагранжа.
Уравнения Лагранжа теперь принимают более
простой вид:
rfaL_9L=0 (354)
dt dq, dqi
Реакции связей Rv не входят в уравне-
ния Лагранжа, алгоритмичные при решении
задач механики.
После интегрирования уравнений Ла-
гранжа можно найти rv(0 по формулам
(3.5.2) и, следовательно, vv = rv, wv = rv, и
rv), после чего неизвестные реак-
ции определяются из уравнений Ньютона:
Rv = mvwv - Fv.
Кинетическая энергия в общем случае
имеет вид:
.л 1 л ( к V
г=1уотх2=|у у—?,+—I =
2£ 2£(£а»,” st)
j к к
= Т Е aiJ^J + Е + а0 = Т2 + Т\ + Т0>
1 /,у=1 /=1
где
aij
Zn drv drv Д drv drv
V=1 dqi dqj dqi dt
= l...k.
aQ =
Очевидно, что ay = ау. Для системы co
dr
стационарными связями = 0 и a, = 0,
a0 = 0, T - Тг, т. е. кинетическая энергия
есть однородная квадратичная форма от q, .
У произвольной голономной системы
форма Т2 всегда невырождена,
det(Mt=i*0> (3-5-5)
и при этом положительно определена.
Уравнение Лагранжа в явном виде (опу-
щены члены, не содержащие )
к
^ayqj +... = Qi(qj, qj, t), i = 1,к
У-1
Исходя из условия (3.5.5), их можно
разрешить относительно вторых производных
=Ф, (?*$*> О ' =
При существовании непрерывных част-
ных производных первого порядка у Ф/ (что в
механике предполагается выполненным) дви-
жение голономной системы однозначно опре-
деляется заданием начального положения q®
и начальных скоростей . Рассмотрим об-
щий случай, когда на механическую систему
л W
действуют потенциальные силы-------, опре-
dqi
деляемые потенциальной энергией f), и
непотенциальные силы Qj , так что уравне-
ния Лагранжа имеют вид:
_ зт =_зи
dt dqi dqi dqt +
Можно вычислить производную полной
энергии Е -Т + V в силу уравнений Ла-
гранжа
dE V п ± (т dT dV
/=1
Если ввести L - Т - V , то
( к
к
d dL . r - . dL
di J Qi4i ’ ~di •
Выражение представляет собой
мощность непотенциальных сил. Непотенци-
альные силы называются гироскопическими,
74
Глава 3.5. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ МЕХАНИКУ
если их
( к "I
= о
4 = 1 7
мощность равна
и диссипативными,
нулю
если их
мощность отрицательна или равна нулю
' к '
£<2,?, s о
4=1 у
к
Если Qi = и tij=~tji> то
это необходимо и достаточно для того, чтобы
силы были гироскопическими. Если Qj -
к
= - У 7 и Ьц = bjj, а квадратичная
U=l
форма У by qjQj > 0 , то мощность этих сил
- У (Мк < 0 и силы Qj являются дисси-
пативными. Квадратичная форма
к
f = 1/2 У q^j является диссипативной
функцией Релея. При этом Qj - .
dL
Если У Qjiii = 0, — = 0 , имеет место
обобщенный интеграл энергии
У qj - £ = const.
dqj 41
Возможны также следующие случаи:
система склерономна, тогда
йТ
Т, = То = 0; — = о;
1 0 dt
dE dv.
Л + dt '
dV
система склерономна и = 0 , тогда
-Л =SQ'9';
система консервативна, тогда связи от
времени не зависят (склерономность), все
dV л
силы потенциальны и ----= 0 .
dt
Для консервативной механической сис-
темы при любом движении системы полная
энергия сохраняется (Е = h = const), т. е.
имеет место интеграл энергии
Для склерономной системы при гиро-
скопических силах так же имеет место инте-
грал энергии. Если на такую систему дейст-
вуют диссипативные силы, то при движении
dE
системы < 0, т. е. полная энергия убыва-
ет во время движения, и сама система назы-
вается диссипативной. Можно воспользовать-
ся функ-цией Релея, тогда -— = -2/. При
dt
этом, если f является положительно опреде-
ленной квадратичной формой от qj, то гово-
рят о полной диссипации энергии, когда пол-
ная энергия строго убывает.
3.5.3. ЦИКЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ.
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ. УРАВНЕНИЯ РАУСА
Координата называется циклической,
если она не входит явно в функцию Лагран-
жа:
Уравнения Лагранжа для циклических ко-
ординат приводят к циклическим интегралам
^ = ₽о, а = 5 + 1,...,Л. (3.5.6)
где Ра - произвольные постоянные интегри-
рования.
Введем функцию Рауса R , определен-
ную следующим образом:
A=Z-2?apa> (3.5.7)
где все 9л-|. -"9* выражены через
91.- -.9S>91.<7s. P1+l..Р* - из со-
отношений (3.5.6), т. е.
к = Я(<?|..9,; ?i. • • • ,9,; Рз+1, •••. Р*. О •
Сравнивая вариацию функции R из опреде-
ления (3.5.7) и формальной записи R, прихо-
дим к соотношениям
dL_=dR_а/? _ . dR
dqj dqj ’ dqj dqj ' Ча ЭРа ’
j = 1,..., 5; a = 5 + 1,..., k .
Уравнения Лагранжа для нециклических
координат - уравнения Рауса
d (а/?) 9R ;о
dt[dqj) dqj "
(3.5.8)
ЦИКЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
75
Уравнения Рауса как бы игнорируют
циклические координаты, исключая их из
рассмотрения, и сводят решение исходной
системы уравнений Лагранжа к интегрирова-
нию системы с новой функцией Лагранжа с
меньшим числом степеней свободы (5 < к) .
Значения циклических координат qa
определяются квадратурами:
ча "~\^~dt + c'a ’ a = J + I....к-
При этом необходимо до взятия квадра-
dR
тур в --- все qj и qj заменить функциями
d0a
от 25 + 1 аргументов Cj,C'pj = 1,...» 5 ,
получаемыми в результате интегрирования
системы (3.5.8).
Координаты q^ j = 1, ..., 5 называют-
ся позиционными. Циклические координаты
часто называют скрытыми или игнорируемы-
ми.
Процедура Рауса понижения порядка
системы дифференциальных уравнений дви-
жения является одной из эффективных и
практически применяемой при интегрирова-
нии уравнений движения. При выборе обоб-
щенных координат важно, чтобы некоторые
из них были циклическими, что определяет
существование циклических интегралов
dL п
— = const . Для консервативных систем с
двумя степенями свободы наличие одной
циклической координаты позволяет проин-
тегрировать уравнение движения в квадрату-
рах.
Пример.. Согнутая в виде окружности ра-
диуса г гладкая трубка может без трения
вращаться вокруг вертикальной оси (своего
диаметра) с углом поворота ф . Внутри трубки
находится шарик массой т. Момент инер-
ции трубки относительно оси вращения J .
Трубке сообщается начальная скорость
со о, причем шарик в этот момент находится в
положении относительного равновесия при
значении a = ag (где a - угол, образованный
радиусом, проходящим через шарик, с верти-
кальной осью).
Найти период малых колебаний шарика
около положения равновесия оси, пользуясь
методом Рауса.
Живая сила системы и силовая функция
имеют вид-
Т = у/ф2 +|/и(г2ф2 sin2 a + r2a2);
Координата ф является циклической,
ей соответствует первый интеграл
+ mr2 sin2 ajcp = 0,
где 0 = со о + тг2 sin2 ао)-
Функция Рауса
2
_ Т _. тг
R = L - 0ф = —— + mgr cosa -
02
2^J + mr2 sin2 a)
Уравнение Рауса
_ ЭЯ =0
dt Эф Эф
отвечает системе с одной степенью свободы,
которой соответствуют кинетическая энергия
и силовая функция, определяемые равенства-
ми:
Т, тг2а2 1Г*
Т - —-—; и - mgr cosa -
Р2
2^J + mr2 sin2 a)
Эта система называется приведенной
системой.
Движение по позицицонной координате
а определяется функцией U* , критические
значения которой дают положения относи-
тельного равновесия:
dU* 02тг 2 sin a cos a
—— = -mgr sin a + —---------тг = 0.
* (j + mr2sin2a)2
Такое движение, когда позиционные ко-
ординаты не изменяются, называется стацио-
нарным.
Положения равновесия следующие:
sin a = 0, т. е. cq = 0, аз = п;
-mg[J + mr2 sin2 а) + 02/иг cosa = 0 .
Учитывая значение 0 , из второго соотноше-
ния имеем cosa = —у— при cog £ g/r .
®дГ
Для определения устойчивости положе-
ния относительного равновесия a = ag
рассмотрим знак второй производной U* :
U = mgr cos a .
76
Глава 3.5. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ МЕХАНИКУ
д = -mgr cosa + fi2mr2 (j + mr2 sin2 a)3
да1 ' '
х |cos2a(j + mr2 sin2 a) - mr2 sin2 2a
При a = ao имеем
- mgr + mr2©o cosag = 0 и
d2U* _ mr2<pQ
da2 Q J + mr2 sin2 a
Уравнение малых колебаний шарика
2 .
тг*а ------=-
да2
a .
О
Таким образом, искомый период
N _ 2п I J + та2 sin2 a
©о sina0 J j + /ид2(1 + 3cos2 ao)
3.5.4. ПСЕВДОКООРДИНАТЫ И УРАВНЕНИЯ АППЕЛЯ
Для неголономной системы так же мож-
но ввести обобщенные координаты*
, ..., qk , которые независимы и могут
принимать произвольные значения, но при
этом обобщенные скорости q\,..., qk уже не
могут быть произвольными, они связаны ме-
жду собой соотношениями неголономных
связей.
Пусть на механическую систему п ма-
териальных точек наложены 5 голономных и
g неголономных связей:
+ = 0;₽ = 1.....«;
• функции rv, t .
Согласно выражениям rv = rv (q\,...,
qk, t), (к = Зп - 5) эти связи примут вид
к
= О,
/=1
где р = 1, ...,g; т4р/ , Вр - функции
01» •••> Qk •
Возьмем в качестве независимых вели-
х чин не т скоростей, а т независимых ли-
нейных комбинаций:
к
bj ^^fjiQi, 7 = 1.........т, (3.5.9)
/=1
где fjj = fjj (/, q\, ...» qk).
Потребуем, чтобы эти линейные формы
к
вместе с g линейными формами q,
7=1
образовывали полную систему из к = т + g
линейно независимых форм, т. е. определи-
тель линейной системы отличен от нуля. Ве-
личины п j могут принимать произвольные
значения, они называются псевдоскоростями,
а символы лу - псевдокоординатами. Тогда
всегда можно записать
Qi = */+*;> i = 1......к . (3.5.10)
/=1
В общем случае nj и q, связаны зави-
симостями (3.5.9), (3.5.10), в частности л у
могут совпадать с некоторыми обобщенными
скоростями.
С псевдоординатами связаны обобщен-
ные силы 77/ :
ЬА = £е,59, = XQ^hubni =
/=1 /=1 /=1
т f к А т
= 2 Qi 15л/ = £nfini ,
/=1ч=1 ) /=1
т. е.
к к п я?
1=1 1=1 V=1
В принятых обозначениях можно записать
т
+«/> V=1............п,
/=1
где ^yj, в/ - вектор-функции от /, q\, ..., qk .
Отсюда
Число независимых скоростей
т = Зп - 5 - g ,
где т - число степеней свободы.
т
brv = evjbn/;
/=1
КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
77
V = 1’ •••"’
/=1
где й/ - псевдоускорение.
Введем в рассмотрение энергию ускорений
1 п
= S(t, qh nh й,).
2 v=l
Из общего уравнения динамики можно
получить уравнения движения произвольных
механических систем
= и, (3.5.11)
дп/
носящих название уравнений Аппеля, кото-
рые совместно с g уравнениями связей
к
+5р =0, p.l.
(=1
и соотношениями
к
1 = \,-,т,
/=1
образуют систему дифференциальных уравне-
ний, определяющих движения неголономной
системы.
В развернутом виде
+...= Л„ s = l.....т,
/=1
где все другие члены не содержат л/ и
Л, - Л,(г, д, , й/);
Usi = ust(t, qt) = ^mvevs evl.
V=1
(5,/ = 1,m)
При этом
det(«,/)”,*0.
Задание начального положения системы
и начальных скоростей, удовлетворяющих
голономным и неголономным связям, одно-
значно определяет движение неголономной
системы. Псевдокоординаты могут использо-
ваться и для голономных систем.
Если вместо псевдоскоростей взяты т
независимых обобщенных скоростей
<71» • ••» Ят» 70
8Л = ^а89/=§С/59/;
/=1 /=1
5 = 5(С дк; ..........дт; дь ...,дт).
Уравнения Аппеля имеют вид
^- = 6/, 1 = 1, , т (3.5.12)
а?.
Для голономной системы все q/ будут
независимыми, a Q{ - обычные обобщенные
силы, так что (3.5.12) представляют собой
другую форму записи уравнений Лагранжа
(3.5.3).
3.5.5. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
Переменные q^ Cfc (i = 1, ..., л) на-
зываются переменными Лагранжа, они харак-
теризуют состояние системы qt, q^ в момент
времени t.
Гамильтон предложил другой вид урав-
нений движения в переменных qit Pj
(/ = 1, ..., л) , где обобщенные импульсы
р,=^. (3.5.13)
Переменные q,, Pj называются пере-
менными Гамильтона. Формулы (3.5.13) зада-
ют переход от переменных q, к переменным
Pi (i = 1, ..., п), который называется преоб-
разованием Лежандра функции L(t, qiy q^
по переменным и определяется теоремой
Донкина. Пусть дана некоторая функция
X...» хп) , гессиан которой отличен от
нуля,
и /
det -------
{dXjdxk
п
i, k=i
* 0,
и пусть имеется преобразование переменных,
порождаемое функцией X ,
78
Глава 3.5. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ МЕХАНИКУ
У!=^-> ' = '......«• (3.5.14)
ас,
Тогда существует преобразование, об-
ратное этому преобразованию (3.5.14), кото-
рое тоже порождается некоторой функцией
y(^i.....у»): х-=^7- , = 1......"•
При этом порождающая функция Y об-
ратного преобразования связана с порождаю-
щей функцией X прямого преобразования
формулой
У = Хх1У1~Х’ (3-5.15)
где Y = У(Уь уп), т. е. все X/ должны
быть выражены через у,.
Если функция X содержит пара-
метры cq, ..., ат , т. е. X = X(Xj, ..., хя,
cq, ..., ат) , то Y также содержит эти пара-
метры, т. е. Y = Y О'), ..., уя, cq, ..., аот) и
dY dX
т— > J =1> •••> m •
da j da j
Используем теорему Донкина для пере-
хода к переменным Гамильтона от перемен-
ных Лагранжа, заменяя X на L; х,- на qf; а/
на ft,/; Л на р,; Y = Y (yt, .... у„) на
п
Н = ^QiPi -L = H(t, ft, Pi) и учитывая,
/=1
что якобиан правых частей уравнений (3.5.3)
по переменным q, является отличным от
нуля гессианом функции L
d2L Г
&Qi &Q j у
det
*0,
что справедливо для широкого класса меха-
нических систем общего типа и всегда для
натуральных.
Уравнения Лагранжа второго рода при-
водят в новых переменных к каноническим
уравнениям Гамильтона
_ ЭЯ . dpj дН
dt др, ’ dt dqt
dL dH
и тождеству — =--------.
dt dt
Из (3 5.16) следует, что
(3.5.16)
dH у ГЭЯ dqj , 8H dpA 8H 8H
dt ~ I dqj dt dpt dt J dt dt
(3.5.17)
Система называется обобщенно-консер-
x дН л „ dL л
вативной, если ----= 0. При этом = 0.
dt dt
Исходя из (3.5.17) имеем Я(^/,р/) =
= const = h, где h - произвольная постоян-
ная.
Соотношение Н = h называется обоб-
щенным интегралом энергии, функция Н -
обобщенной энергией. Для произвольных
натуральных систем
н (ft, Pi) = Li - А) = Т2 - То + V • (3-5.18)
Если система склерономна
Т = Т2,То=О и H(qh Pi) = T + V, т. е.
для склерономной натуральной системы
функция Гамильтона H{q^ р,) представляет
собой полную механическую энергию систе-
мы, выраженную в переменных Гамильтона.
Скобки Пуассона. Пуассон ввел косо-
симметрический билинейный оператор двух
произвольных функций ср(/, qh Pj),
ф(/, ft, Pi)-
который называется скобкой Пуассона.
Скобки Пуассона для любых функций
ф(/, ft, й), ф(*> ft, Pi), X(A ft, Pi) об-
ладают следующими свойствами:
кососимметричность
(<р, ф) = -(ф, <р);
линейность
(<р, ац/ + рх) = а(ф, ц/) + 0(ф, х);
тождество Пуассона
( (ф, ф), х) + ( (ф, х), ф) + ( (х, ф), ф) = о;
|(ф,
правило Лейбница,
(ф> 4W2) = Ф1 (ф> Ф2> + Ф2<Ф» Vl);
правило сложной функции
(/(ф........ ф) = £тг(ф<> ф).
КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
79
Если /(/, qit Pi) = const (первый ин-
теграл уравнений Гамильтона), то
dt dt ^{дд, dt dpt dt)
df , yf Э/ 6H df dH\
5z dp> dPi ^i)
= + Я) = 0.
ОТ
Теорема Пуассона. Если f и g интегралы
•уравнений движения, то (/, g) - также инте-
грал этих уравнений. Следует отметить, что
теорема Якоби-Пуассона дает рецептуру по-
лучения полной системы 2п интегралов, так
как дальше можно взять скобку Пуассона от f
и (/*, g), g и (/, g) и т. д. Однако новый инте-
грал может оказаться или тождественно рав-
ным нулю или функцией от предыдущих из-
вестных интегралов, и только при некотором
наборе независимых интегралов /j,..., fi,
I <2п можно получить недостающие до
полной системы интегралы //+|, ..., Дл •
3.5.6. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ,
КРИТЕРИИ КАНОНИЧНОСТИ
Преобразование координат в 2л-мерном
фазовом пространстве (в общем случае содер-
жащее t как параметр);
Q, = Q, (Л 9*> р*). Р, = Р> (Л 9*. р*);
О', к = 1, ...,л) (3.5.20)
(3.5.21)
называется каноническим, если это преобра-
зование переводит любую гамильтонову сис-
тему
дН . дН
9i dpj ' Pi dqi ’
i = 1,...» л
снова в гамильтонову с новой функцией Н :
ЭЯ Ь д&
dPi ’ ' dQi ’
i = 1,
п .
Одной из главных задач в теории кано-
нических преобразований является отыскание
такого преобразования, когда функция Н
имеет более простую структуру чем Н .
Ниже приведены критерии канонично-
сти преобразований.
1. Необходимым и достаточным услови-
ем каноничности преобразования (3.5.20)
является существование функции F(/, qh Pj) и
константы с * 0 таких, что равенство
P,dQt -Hdt = с pidq, - Hdt) - dF
(3.5.22)
тождественно выполняется согласно преобра-
зованию (3.5.20).
Функцию F называют производящей
функцией, а постоянную с валентностью рас-
сматриваемого канонического преобразова-
ния; если с = 1, это преобразование унива-
лентно.
Важным случаем канонических преобра-
зований являются свободные канонические
преобразования, характеризующиеся условием
d(Qt, Q„, 9i, , 9„)| d(Qt
8(Pl....Pn,4l.-.<h')
<?л)
Э(а, ..., Рп)
# 0.
Следовательно, величины
'Ql, ..., Qn независимы и F можно предста-
вить в виде F(f, q,, Pj) = S (t, qit Qj), после
чего из (3.5.22) получим
35 dS D и dS
— - cPi; —z- = -Pt; н = cH + —.
dqi " dQi 1 at
(i = 1, n) (3.5.23)
Уравнения (3.5.23) определяют все сво-
бодные канонические преобразования, кото-
рые можно получить, выбирая различные
производящие функции $(/, Q/) с раз-
ными валентностями с.
Для того чтобы зависящее от времени
преобразование (3.5.20) было каноническим,
необходимо и достаточно, чтобы были кано-
ническими, и притом с одной и той же ва-
лентностью С, все не зависящие от времени t
преобразования, получающиеся из преобразо-
вания (3.5.20) заменой t произвольным значе-
нием /*. Поэтому в критериях каноничности
можно ограничиться преобразованиями, не
содержащими явно переменной t
Q, = Qi <Як> РкУ Pi = Р, (<tk> РкУ
80
Глава 3.5. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ МЕХАНИКУ
3(ft, .... Рк)
(к, i = 1,
, л).
(3.5.24)
2. Для 2л функций ср,-, ц// (/ = 1, ...» п)
от двух переменных q, р можно ввести
скобки Лагранжа:
= $4 к ^к дф*"| =
£{l dq др др dq J
= у £(фьЛа!
кА 8^’Р}
Для 2л функций Qj, Pj из (3.5.24) необ-
ходимо и достаточно для каноничности пре-
образования
[ft- 9*1 = 0; [л. Аг] =°; [ft. Pk]=c5ik’
где 5,* - символы Кронекера; 5,* = 0 при
/ * к ; dik = 1 при / = к .
3. Рассмотрим якобиеву матрицу преоб-
разования (3.5.24)
/ = ^а за за за ' Э?1 dqn dpi дрп
dQ„ 8Q„ dQ„ dQ„ dq\ dqn dpx dpn dPj dPj dPj dPj dq\ ' dqn dpx " dpn
< dq\ dqn dpi dpn,
Рассмотрим также матрицу порядка 2л
Матрицы А, для которых выполняется
условие, приведенное ниже, называются
обобщенно-симплектическими:
АЧА — cl при с * 0, (3.5.25)
где А' - транспонированная матрица, и
det А = ± сп .
Если A'lA — I, то матрицы просто сим-
плектические и det А = ± 1, (с = 1).
Для того чтобы преобразование (3.5.24)
было каноническим, необходимо и достаточ-
но, чтобы соответствущая этому преобразова-
нию якобиева матрица J была обобщенно-
симплектической с постоянной валентностью
с. Для унивалентного преобразования матри-
ца /является просто симплектической. Усло-
вие симплектичности (3.5.25) должно выпол-
няться тождественно относительно всех пере-
менных qit Pi.
Движение любой гамильтоновой систе-
мы может рассматриваться как свободное
унивалентное каноническое преобразование,
т. е. преобразование фазового пространства,
реализуемое с помощью движений любой
гамильтоновой системы, является свободным
унивалентным каноническим преобразовани-
ем.
4. Условия каноничности преобразова-
ния могут быть записаны с помощью скобок
Пуассона в следующем виде:
(ft, &)=0; (/>•,/>*) =0; (Qit Рк) = cbik .
i,k = 1,..., п
Скобки Пуассона инвариантны относительно
унивалентных канонических преобразований,
они вычисляются по одним и тем же форму-
лам в обеих системах координат,
Эф Эц/ Эф Эф | _
У за d^~d^"dQj~
Эф Эф Эф Эф^
дР dPi
что выделяет унивалентные канонические
преобразования среди всех преобразований
фазового пространства.
Практическое значение канонических
преобразований состоит в упрощении уравне-
ний движения, в выборе новых координат в
фазовом пространстве, которые более удобны
для решения задали интегрирования уравне-
ний движения системы, чем, исходные коор-
динаты.
Можно заранее задавать структуру новой
функции Гамильтона Й и пытаться так по-
УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ
81
добрать производящую функцию 5, чтобы
£7 „ 9S
удовлетворялось равенство п = сп + —- .
<Х|, ..., ал, называется полным интегралом
этого уравнения или интегралом Лагранжа,
если выполняется условие
Если в новых координатах Н = 0, то
канонические уравнения интегрируются не-
посредственно:
а?,За*
* 0, /,* = 1......п (3.5.26)
й=а, ;/> =р, (1 = 1, ...,л),
где а,, - произвольные постоянные.
Возвращаясь к каноническому преобра-
зованию, можно выразить все qit как
функции времени t и 2п произвольных посто-
янных cq, р/ , т. е. получить все решения
канонических уравнений Гамильтона.
Можно потребовать, чтобы какие-то ко-
ординаты Qj не входили в новую функцию
Гамильтона. И если удастся подобрать S так,
чтобы удовлетворялось (3.5.23), то ср-ди но-
вых переменных окажутся циклические коор-
динаты, которые можно игнорировать по ме-
тоду Рауса. Если можно все координаты сде-
лать циклическими, задача сведется к элемен-
тарным квадратурам.
Таким образом, метод упрощения урав-
нений движения с помощью канонических
преобразований приводит к поиску функции
5, удовлетворяющей уравнению в частных
dS и л
производных —- + СП =0.
К S всегда можно добавить аддитивную по-
стоянную, так как S явно в уравнение Га-
мильтона-Якоби не входит.
Теорема Якоби. Если S(t, qj, cq) ка-
кой-либо полный интеграл уравнения Га-
мильтона-Якоби, то закон движения голо-
номной системы с заданной функцией Н за-
дается конечными соотношениями:
dS dS а
dq, Pi' да; ₽/
1,
п, (3.5.27)
3.5.7. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ.
РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
Канонические уравнения Гамильтона
(3.5.16) являются уравнениями характеристик
для дифференциального уравнения в частных
производных первого порядка Гамильтона -
Якоби:
^ + Я(/,9;> А) = 0,
О1
dS . ,
гДе Pi - т—, г = 1,...» л .
Это уравнение может быть получено так
же, как необходимое и достаточное условие
для производящей функции S унивалентного
канонического преобразования, приводящего
к системе с тождественно равной нулю функ-
цией Гамильтона и постоянными обобщен-
ными координатами и импульсами. Решение
S(t, Qi, a.j) уравнения Гамильтона - Якоби,
содержащее п произвольных постоянных
где а{-, р/ - произвольные постоянные,
i = 1, ..., п .
Согласно условию (3.5.26) последние п
уравнений (3.5.27) можно разрешить относи-
тельно q, и выразить их в виде функций t и
2п произвольных констант а/, Р/ . Таким
образом, задача интегрирования системы ка-
нонических уравнений Гамильтона сводится к
задаче отыскания некоторого произвольного
полного интеграла уравнения Гамильтона -
Якоби в частных производных первого поряд-
ка.
Одним из эффективных методов нахож-
дения полного интеграла является метод раз-
деления переменных, когда функция Гамиль-
тона имеет специальную структуру.
Пусть некоторая переменная q\ и ее
производная выделены в некоторой связке и
уравнение Гамильтона-Якоби может быть
представлено в виде
dS
SS ( dS ]
— + Я t.f 9ь— ,<72
<л V dq\)
dt
dS
= 0.
dS
Чп’дд2' ’
Тогда полный интеграл представим в
виде
5 = 5] (9Ь cq)+ $*(/, д2,.... д„, а...
где 5|(^, cq) - решение обыкновенного
дифференциального уравнения;
82
Глава 3.5. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ МЕХАНИКУ
5 * - полный интеграл уравнения;
as* „ ( as* as* n
а/ V дЧг дЧп)
вываться последовательно: после первого вы-
деления переменной появляется следующая
связка.
Пусть функция Гамильтона имеет пол-
ную структуру
Я =
Отсюда следует, что если координата q\
ЭН а!
является циклической ---= ОI , то
)
Для получения решения принимаем, что
f = И S = a,?, + S',
где S *- полный интеграл уравнения Гамиль-
тона-Якоби;
as* „ , as*
-^7 + я .......9Я1“ь-г—
at oqi
dS"'
дЯп /
Если циклических координат несколько
(ЭН л ,
----= 0, а = 1, ,
то
/
•S = £“*?*+•?* •
*=1
О ЭЯ л
В частности при --= 0 имеем
а/
^- = -Л; S = -A/ + S* и
dt
и dS
н Яъ • Яп \—
I °Я\
as*") ,
---- = л
ЗЧп)
Следует отметить, что выбор обобщен-
ных координат очень важен для разделения
переменных.
Так, задача Кеплера допускает разделе-
ние переменных в сферических координатах,
и не допускает в декартовых. Многие задачи
физики требуют применения специальных
координат (эллиптических, параболических
или иных, в зависимости от структуры И), с
помощью которых можно получить полный
интеграл уравнения Гамильтона - Якоби в
квадратурах.
Кроме того, следует помнить, что связки
ити выделенные комбинации /мо1уг образо-
При этом будем считать, что
за
при / = 1, 2, ..., п
dV
для разрешения равенств относительно --,
oQi.
Пример. Жесткий невесомый стержень
ОС, закрепленный на одном конце (точка О),
совершает коническое движение вокруг вер-
тикальной оси z под углом 0О (рис. 3.5.1). На
него симметрично и ортогонально насажен
круглый плоский диск массой т, радиусом R,
который без трения может скользить по
стержню ОС и вращаться вокруг него.
Рис. 3.5.1
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
83
Пружина начальной длиной г0 жестко-
стью к соединяет центр С диска с закреплен-
ным концом стержня О.
Найти движение диска методом Гамиль-
тона - Якоби.
Функция Лагранжа системы
Ь = Т-П = 0,5 + Тс - П =
= 1/2m(г2 + г2 sin2 0О ф2) +
. mR2 . 2 • 2 л т^2 ( л \2
+ 1/2 ц/ sm 0О +—— (ф + v|/cos0o)
Согласно изложенному
S = -Л/ + aiv + а2Ф + S*(r);
/ э э
j dS I 4(оц - а2 cos0q) 2а2
I dr ) sin2 0О (4r2 + R2) R2
+ mk(r - r0)2 = 2mh ;
r i 2a о о
S = ] J2m/i--у -mk(r - r0)2 .
V R
-l/2Ar(r-r0)2-
Параметры г,ц/,ф являются обобщен-
ными координатами, им соответствуют обоб-
щенные импульсы Рг, Ру, :
dL
trp'=mr’
dL • 2 л f 2 Р21 •
= =msinz0o rz +— ф +
Эф v к 4 J
т_т — 1 „2 .
“ “ 7— Рг +
2m
+ (ф + vj/cos0o)cos0o;
dL mR2 /. _ \
77 = РФ =——(«P + ycosO ).
Эф * 2 ' 7
Таким образом, функция Гамильтона
2 4(j>„ -^COSOq)2
sin2 0o(4r2 + Л2)
Для нашей системы это полная механи-
ческая энергия в переменных q, р.
Уравнение Гамильтона-Якоби
/35 85 а У /Э5'|2
з5+_1_ ГззУ , Азу зф””80; ) 2latpj
dt 2m \дг) sin2 60(4r2 + R2) R2
+ ^(r-r0)2 =0.
4(at -c^cosOp)2^
sin2 0q (4r2 + R2)
Закон движения определяется системой
(3.5.27).
3.S.8. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
Рассмотрим:
механическую систему с функцией Га-
мильтона H(t, qh Pi) в расширенном фазовом
пространстве - (2л+1)-мерном пространстве
переменных /, qh р,;
трубку фазовых траекторий, т. е. инте-
гральных кривых канонических уравнений,
^.= эя.Ф;. = _ая
dt dp, ' dt dqt
Теорема. Пусть две замкнутые кривые
71 и у2 охватывают одну и ту же трубку
фазовых траекторий уравнений Гамильтона.
Тогда криволинейные интегралы от линейной
п
формы У Pidqi - Hdt по этим кривым оди-
/=1
наковы:
7 = 4 ^,Pid4i-Hdt
Г1 1,=|
= f ^Pid4t~Hdt
У2 Ь=1
(3.5.28)
Интеграл J называется интегральным
инвариантом Пуанкаре - Карта на.
Фазовый поток - преобразование фазо-
вого пространства, задаваемое решениями
канонических уравнений Гамильтона. Пусть
У/ - кривые, составленные из одновремен-
84
Глава 3.5. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ МЕХАНИКУ
ных состояний системы, т. е. лежащие в
плоскостях / = const . Вдоль таких кривых
dt = 0 и
л
4 £ Р^ ” Hdt = Pid4i = 71
у L'=l
У ,=1
(3.5.29)
При преобразовании фазового простран-
ства, осуществляемом фазовым потоком за
время от /о До /ь произвольно выбранный
контур одновременных состояний ytQ пере-
ходит в контур у ; при этом всегда
»«'=' rn'=1
В Ji не входит Н, этот интеграл является
инвариантом для любой гамильтоновой сис-
темы и называется универсальным интеграль-
ным инвариантом Пуанкаре.
Теорема. Если для некоторой системы
дифференциальных уравнений
= Qi ('. Чк< PkY = ?*• Рк)
i,k = 1,..., п
интеграл J\ является инвариантом, то эта
система является гамильтоновой, т. е.
л.=^.р=_ЭЯ
аА ’ ' а?, ’
Теорема Ли Хуачжуна. Если
•/’ = У'Чк’РкМ, + Д(М*>Л)Ф<]
/=1
- универсальный интегральный инвариант, то
Г =cJb
где с - константа; Jj - инвариант Пуанкаре.
С помощью формулы Стокса
У /=1 5 кк 1 к
можно образовать интегральные инварианты
более высоких порядков:
J = J- .. рйФ1
> ФА
означает инвариантность фазового объема в
2л-мерном фазовом пространстве при его
преобразовании, осуществляемом фазовым
потоком. Интегральные инварианты играют
большую роль в построении теории канони-
ческого формализма.
В физических задачах часто используют-
ся инвариант 2п порядка - фазовый объем и
инвариант первого порядка Jb с помощью
которого строится переменная действия, иг-
рающая важную роль для описания общих
свойств многомерного движения и в различ-
ных приближенных методах. С переменной
действия тесно связаны так называемые адиа-
батические инварианты системы.
3.S.9. АДИАБАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ
Пусть задана гамильтонова система .с
функцией H(q,p,ty, jummjua непрерывно
дифференцируемой по медленно изменяюще-
муся параметру X = е/ :
дН дН гт тт / ч
9 = -r-; ₽ = Н = H(q,p, ef).
др dq
(3.5.30)
Величина /(р, q, X) называется адиаба-
тическим инвариантом системы (3.5.30), если
для всякого 5 > 0 существует Eq > 0 такое,
что если 0<е<е0,0</< — ,то
£
|/(р(П,9(0;е / |-/(р(0М(0);0) <8 .
(3.5.31)
Адиабатические инварианты - величины,
асимптотически сохраняющиеся с большой
точностью при достаточно медленном изме-
нении параметров гамильтоновой системы, в
которой величины, вообще независимые,
становятся асимптотическими, при стремле-
нии к нулю скорости изменения параметров,
функциями друг друга.
Рассмотрим маятник переменной длины
/ (/) . Если изменение его длины производить
достаточно медленно, то амплитуда колеба-
ний при возвращении длины к прежнему
значению почти не изменится. Более того,
несмотря на то, что энергия Е и частота ма-
ятника со могут сильно меняться, величина
I = Е/(а будет оставаться почти постоянной
в течение всего процесса.
Инвариантность интеграла
ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ ОБ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМАХ
85
Адиабатические инварианты существуют
и в системах с ударами. При движении упру-
гого шарика между двумя медленно движу-
щимися стенками адиабатическим инвариан-
том является произведение скорости шарика
на расстояние между стенками.
Всякий первый интеграл уравнений
движения является так же адиабатическим
инвариантом, как и первый интегральный
инвариант.
Пусть уравнения Гамильтона с Н =
= Н(р, q, X) имеют при каждом значении
параметра X замкнутые фазовые кривые
Н(р, q, X) = h, окружающие, например, по-
ложение равновесия, в окрестности которого
частота малых колебаний отлична от нуля.
Обозначим через /(р, q, X) площадь,
деленную на 2 п , ограниченную фазовой кри-
вой, проходящей через точку (p,q) при фик-
сированном X. Величина / называется пере-
менной действия. Например, для общего гар-
„ ар2 bq2
ионического осциллятора п = —— + —— ,
фазовая кривая Н = h - эллипс площадью
Inhjab . Частота колебаний со = Jab . Пе-
ременная действия для осциллятора
I = Я/со . Роль X играет пара (а, Ь).
Теорема. Переменная действия / являет-
ся адиабатическим инвариантом гамильтоно-
вой системы с одной степенью свободы. От-
ношение энергии осциллятора к частоте есть
адиабатический инвариант. Доказана также
вечная адиабатическая инвариантность пере-
менной действия в задаче о движении заря-
женной частицы в аксиально-симметричном
магнитном поле.
Для многочастотных систем (л £ 2)
можно ввести лишь понятие почти адиабати-
ческих инвариантов (по Арнольду В. И.): пе-
ременные действия /1» ..., 1п являются поч-
ти адиабатическими инвариантами невырож-
денной гамильтоновой системы, т. е. их изме-
нения малы для большинства начальных ус-
ловий в фазовом пространстве за исключени-
ем множества малой меры.
Адиабатические инварианты нашли
многочисленные приложения в классической
и квантовой физике. Например, при изучении
движения заряженных частиц в магнитных
полях, магнитных ловушках, в задачах высо-
кочастотного удержания плазмы и трансфор-
' мации волн в неоднородных средах и т. д.
3.S.10. ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ ОБ
ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМАХ
Функция F(qhpj) является первым
интегралом системы с функцией Гамильтона
Н тогда и только тогда, когда скобка Пуас-
сона тождественно равна нулю: (F, Н) s 0.
Функции F и Н находятся в инволюции,
если их скобка Пуассона равна нулю. Система
2п обыкновенных дифференциальных урав-
нений является проинтегрированной, если
известны ее 2п первых интеграла. Оказывает-
ся, что для канонической системы дифферен-
циальных уравнений достаточно знать лишь п
первых интегралов.
Теорема Лиувилля. Если в системе урав-
нений Гамильтона с п степенями свободы, т.
е. с 2л-мерным фазовым пространством, из-
вестны п независимых первых интегралов в
инволюции, то система интегрируема в квад-
ратурах (т. е. при помощи алгебраических
операций, обращения функций, интегрирова-
ния и дифференцирования).
Строгая формулировка теоремы Лиувил-
ля такова. Пусть на 2л-мерном симплектиче-
ском многообразии даны п функций в инво-
люции:
/j,..., F„; (Fh Fk) =0, i,k = 1,..., n.
Рассмотрим множество их совместного уровня
= {/] = С],..., Fn = сп
и пусть на Мс п функций Fj независимы:
ran А: ——-
d(Fit...,Fn)
= п.
Тогда имеем:
1) Мс - гладкое многообразие, инвари-
антное относительно фазового потока с
функцией Гамильтона Н = F\ \
2) если Мс компактно и связно, то оно
диффеоморфно л-мерному тору
т" = {(<₽!. •••. <₽n)mod2n};
3) фазовый поток с функцией Гамильто-
на Н определяет на Мс условно-перио-
дическое движение (т. е. в угловых координа-
тах ф], ..., фл)
= =<at(ck) (/,* = !..........л).
4) канонические уравнения с функцией
Гамильтона Н интегрируются в квадратурах.
86
Глава 3.6. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Если каноническая система интегриру-
ется методом Гамильтона - Якоби, то она
имеет п первых интегралов в инволюции.
Фактически теорема Лиувилля охватывает все
проинтегрированные уравнения динамики.
Теорема Лиувилля носит локальный характер.
Однако на практике в механике имеют дело с
аналитическими функциями, поведение кото-
рых в целом определяется поведением в ма-
лом. Поэтому локальные теоремы в итоге
позволяют делать заключения глобального
характера о фазовом потоке.
Далеко не всякая каноническая система
приводится к квадратурам. Обычно нельзя
найти нужного количества первых интегралов,
и не потому, что это сделать технически
сложно, а потому что существуют причины
принципиального топологического характера,
препятствующие интегрируемости.
3.5.11. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРЕПЯТСТВИЯ К
ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
Пусть задана натуральная механическая
система с двумя степенями свободы. Предпо-
ложим, что ее конфигурационное пространст-
во М является замкнутой ориентированной
аналитической поверхностью. Топологически
такие поверхности устроены как сферы с не-
которым количеством g приклеенных ручек.
Число g называется ее родом, оно соответст-
вует максимальному числу непересекающихся
окружностей, по которым можно разрезать
поверхность, не нарушая ее связанности.
Имеется теорема о том, что род двумер-
ного компактного многообразия
(поверхности) конечен и, в частности, род
сферы равен нулю. Пусть q\, q2 - обобщен-
ные координаты на М, Р\%Р2 - канониче-
ские импульсы. Так как система натуральная,
ее функция Гамильтона
Н = Н 2 + Но,
где Н2 - положительно определенная квад-
ратичная форма по импульсам (кинетическая
энергия); Hq зависит лишь от q, (потенци-
альная энергия системы).
Будем считать, что функция Н анали-
тична по д-, qi.
Канонические уравнения Гамильтона
ая . дН
чР* dQi
имеют первый интеграл - интеграл энергии
Я.
Задача точного интегрирования уравнений
Гамильтона упирается в наличие еще одного
интеграла.
Теорема. Если род поверхности М отли-
чен от 0 и 1, т. е. М не гомеоморфна двумер-
ным сфере и тору, то уравнения Гамильтона
не имеют первого интеграла, аналитического
во всем фазовом пространстве и независимого
от интеграла энергии.
Итак, имеют место чисто топологиче-
ские препятствия и интегрируемости: если
конфигурационное пространство обратимой
гамильтоновой системы устроено с топологи-
ческой точки зрения сложнее сферы и тора,
то уравнения Гамильтона неинтегрируемы.
Теорема справедлива и в неориентируемом
случае, при этом дополнительно надо исклю-
чить проективную плоскость и бутылку Клей-
на.
С помощью указанной теоремы доказа-
но отсутствие дополнительного аналитиче-
ского интеграла в задаче о плоском движении
точки в гравитационном поле п неподвижных
притягивающих центров при п > 2. Значени-
ям п = 1 и п = 2 отвечают интегрируемые
задачи Кеплера и Эйлера.
Доказана гипотеза (Козлова В. В.) о то-
пологических препятствиях к интегрируемо-
сти для гамильтоновых систем со многими
степенями свободы: если первое число Бетти
л-мерного конфигурационного многообразия
больше л, то гамильтонова система не может
иметь л независимых аналитических интегра-
лов, попарно находящихся в инволюции.
Глава 3.6
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
3.6.1. ГЕОМЕТРИЯ МАСС
Распределение скоростей. Введем декар-
тову прямоугольную систему координат Охуг,
неизменно связанную с телом, с началом в
некоторой точке О.
Теорема Эйлера - движение свободного
твердого тела в момент времени t приводится
к мгновенному поступательному движению со
скоростью v0 точки О и к мгновенному вра-
щению вокруг точки О с мгновенной угловой
скоростью со так, что скорость произволь-
ной точки М тела с радиусом-вектором R
v = v0 +с6 х R; R = ОМ = {х,у,г}, (3.6.1)
где - координаты точки М.
ГЕОМЕТРИЯ МАСС
87
Эквивалентная матричная запись фор-
мулы (3.6.1)
v = v0 + Rod , (3.6.2)
в которой векторы скоростей представлены в
виде матриц-столбцов своих координат
vx Vox C0x
V = vy vz ; *0 = VOy Voz ; co = C0y
а кососимметричная матрица координат точки
R =
-У
У
-х
О
Распределение (3.6.1) скоростей точек
твердого тела отвечает мгновенному винтово-
му движению тела, т. е. поступательному
движению вдоль некоторой линии L и враще-
нию вокруг этой линии (мгновенной винто-
вой оси). Ее уравнение
v0x + ~®гУ v0y + юz* ~
®х СО^
vOz +соху-со>,х
Геометрическое место осей мгновенного
винта называется аксоидом: в неподвижной
системе координат неподвижный аксоид, в
системе координат, жестко связанной с телом,
подвижный.
Кинетическая энергия. Тензор инерции.
Поместим начало связанной с телом системы
координат в центр С масс тела. Кинетическая
энергия Т тела вычисляется интегрированием
по объему т тела:
Т = i |р(х, у, z)v2dz,
т
где р(х, у, z) - плотность тела.
Используя матричную запись (3.6.2), по-
лучаем
27 = wvcTvc + <ат/с<® »
где m - масса тела; Nq - скорость точки С;
индекс т - транспонирование матрицы.
Центральный тензор инерции тела, мат-
рица
~ J II
“Л*
Jz II
Jc =
J X
- Jxy
~ J ху
образована моментами инерции Jx,Jy,Jz
тела относительно осей x,y,z (соответ-
ственно) и произведениями инерции
Jxy*Jxz*Jyz '>
Jx = Jp(y2 +Z2)A; jxy = jpxy<h.
T T
Величины Jxy>Jxz,Jyz называются
также центробежными моментами инерции.
В скалярной форме
27 = ^(vqc + Vq, + Vq) + Jxcox + JyG)y + -
-2/^0 xC0^ “ ^xz^x^z ~ ^Jyz^y^z ]•
(3.6.3)
Оси, в которых тензор Jс имеет диаго-
нальный вид (= Jyj = 0), называ-
ются главными центральными осями инерции
тела. В этих осях
27 =
= [m(V& + Vq, + Vft) + + Jy«> у + А®*}
Частные случаи следующие:
если тело имеет неподвижную точку О,
то-выбирая за начало системы координат эту
точку, получим в матричной записи
27 = со т/о<о ;
если тело вращается вокруг неподвиж-
ной оси Oz, то
сох = со^ = 0; <ог = со * 0, и 27 = Jz&2 ,
где /о ~ тензор инерции тела для точки О.
Эллипсоид инерции. Поверхность второго
порядка, уравнение которой в главных осях
инерции тела для точки О имеет вид
Jxx2 + Jyy2 + Jzz2 = 1,
определяет так называемый эллипсоид инер-
ции, обладающий следующими свойствами:
расстояние от точки О' на поверхности эл-
липсоида до точки О обратно пропорцио-
нально квадратному корню из момента инер-
ции /оо» тела относительно оси ОО*
Теорема Гюйгенса-Штейнера. Момент
инерции Jx тела относительно какой-либо
оси х равен сумме момента инерции относи-
тельно параллельной, проходящей через
центр С масс, оси х и произведения массы
тела на квадрат расстояния d между осями*
88
Глава 3.6. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Jx = Jx. + md2. (3.6.4)
Момент инерции относительно цен-
тральной оси меньше момента инерции отно-
сительно любой другой параллельной оси.
Количество движения тела. Вектор коли-
чества движения тела
К = |р(х, у, z)vdt = mvc .
т
Из (3.6.3)
г т \ дТ дТ _ дТ
К = gradv Т = 1-—.
С PvCx ^Су ^Cz
Момент количества движения тела. В ка-
честве меры вращательного движения тела
вокруг точки О вводится вектор G кинетиче-
ского момента или момента количества дви-
жения точек тела:
G = Jp(x,y,z)7? х vdi = JpA х (® х R)dr.
т
С помощью матричной записи (3.6.2) полу-
чим
Gq = /0®-
Для вращения вокруг центра С масс тела име-
ем (3.6.3)
х . г \ дТ . дТ , дТ] f,
Gc - > - {/хсох
да>х да>у daz I
~J ху^у ~ *^xz®Z’ “ Ау®х + Jу<йу ~ Jyz^z*
-Jxz^x ~ Jyz®y + A®z| •
В главных центральных осях инерции
тела эти формулы упрощаются:
Gcx ~ J х®х* G(jy = Jydiy; GCz = Jz(az .
Моментом количества движения относи-
тельно оси называется проекция на эту ось
кинетического момента тела относительно
некоторой точки этой оси. Если тело враща-
ется вокруг неподвижной оси Oz, то
®х =®у =0, ®z = ® и
Gz - Л® • (3.6.5 )
Отметим также, что вектор кинетиче-
ского момента может не совпадать с осью
вращения, так как
Gqx = -Jxz® » G$y = . (3.6.6)
3.6.2. ДИНАМИКА СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Уравнения движения. Предположим, что
свободное тело совершает движение под дей-
ствием некоторой системы сил.
1. Уравнения движения представляют
теорема об изменении количества движения
4-К = F (3.6.7)
dt
и теорема об изменении кинетического мо-
мента
^вс = Мс, (3.6.8)
где F - результирующий вектор; Mq - ре-
зультирующий момент системы сил, приве-
денных к точке С (центру ма х тела).
При скалярной записи векторных соот-
ношений (3.6.7), (3.6.8) следует входящие в
них векторы представить проекциями на оси
абсолютной или кениговой системы коорди-
нат.
2. Нередко используется жестко связан-
ная с телом система координат (именно в ней
легко вычислять компоненты вектора Gc ).
Учитывая известную связь между абсолютной
и относительной скоростями изменения од-
ного и того же вектора в разных системах
координат, имеем
+6х£ = F; (3.6.9)
dt
Gq + со х Gq — Мq , (3.6.10)
где все векторы должны быть представлены
своими проекциями на связанные с телом оси
координат.
В скалярной форме
^- + <йукг -<azKy = FX, (3.6.11)
+ <s>yGCz - <s>zGCy = МСх. (3.6.12)
В системе главных центральных осей
инерции тела уравнения (3.6.12) принимают
вид динамических уравнений Эйлера
Jx<bx+(JZ -Jy)<by(bz = Мех- (3.6.13)
3. Кроме жестко связанной с телом
применяются и другие системы Ьсей, в част-
ности такая скорость v0 полюса О которой
или (и) угловая скорость Q ее вращения
ДИНАМИКА СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
89
заданы произвольно. Тогда уравнения движе-
ния тела имеют вид
^ + Qx^ = F; (3.6.14)
Л
^ + ClxG0 + v0*K = Мо, (3.6.15)
где Gq, Mq - соответственно кинетический
момент абсолютного движения и результи-
рующий момент сил относительно точки О,
все векторы представлены своими проекция-
ми на оси подвижной системы координат.
В разных задачах одна из приведенных
форм уравнений движения тела может ока-
заться наиболее удобной для исследователя.
Впрочем, возможны и иные формы уравне-
ний.
Основные задачи. Свободное твердое ге-
ло используется при механико-математи-
ческом моделировании разнообразных явле-
ний природы и объектов техники. Это, на-
пример, движение небесных тел и космиче-
ских аппаратов в поле сил тяготения, дина-
мика летательных аппаратов и внешняя бал-
листика в поле действия сил внешней среды,
динамика неконтактного подвеса. Если на
тело наложены связи, то после освобождения
от них и введения реакций этих связей тело
так же можно считать свободным (методи-
ческий прием).
Как и в других разделах динамики, в
динамике твердого тела возможны две общие
постановки задачи, которые восходят еще к
Ньютону.
При первой постановке (прямой), телу
предписаны некоторые движения, а опреде-
лению подлежат внешние силы, обеспечи-
вающие заданные движения. Различны вари-
анты такой постановки. Активная внешняя
управляющая сила может вычисляться в виде
функции времени (например, при расчетах
программного управления) для единственной
траектории движения - рабочего режима.
Возможно также восстановление харак-
теристики внешнего силового поля (его зави-
симость от положения, скорости и времени)
по семейству траекторий движения.
Ярким примером решения прямой зада-
чи динамики служит установление формулы
для силы всемирного тяготения по траектори-
ям планет, описанным в форме законов Кеп-
лера. К этому же типу задач относится опре-
деление сил реакции связей в тех случаях,
когда можно эту процедуру отделить от нахо-
ждения закона движения.
Вторая постановка задачи динамики
твердого тела (обратная) предполагает задание
результирующих вектора F и момента Мс в
виде функциональной зависимости от мгно-
венного состояния движения тела, например,
векторов vc,® и шести независимых коор-
динат qj(i = 1, ..., 6), определяющих поло-
жение тела. В этом случае система векторных
уравнений (3.6.7)-(3.6.12), дополненная кине-
матическими соотношениями между vc, от и
q,, представляет собой замкнутую систему
дифференциальных уравнений относительно
координат q, .
Простые движения. При решении как
прямой, так и обратной задач динамики твер-
дого тела чаще всего приходится иметь дело с
простыми его движениями: поступательным,
простым или постоянным вращением, пре-
цессионным движением.
Простым вращением называется такое
вращательное движение тела, при котором
вектор от не меняет своего направления как в
неподвижной, так и в связанной системах
координат. Как подвижный, так и неподвиж-
ный аксоиды вырождаются при этом в пря-
мые.
Постоянным (или перманентным) вра-
щением называется такое простое вращение,
при котором величина от постоянна.
Прецессия - вращательное движение,
которое может быть представлено суперпози-
цией двух простых вращений со следующими
свойствами: вектор От] угловой скорости пер-
вого вращения сохраняет свое направление в
связанных осях, а вектор от 2 угловой скоро-
сти второго - в неподвижных осях. Величина
От] называется угловой скоростью собствен-
ного вращения, а величина от2 - угловой
скоростью прецессии. При таком движении
угол между векторами От] и от2 остается
постоянным.
При описании прецессии бывает полез-
но введение подвижной (так называемой по-
лусвязанной) системы координат S Относи-
тельное движение тела в системе S - простое
вращение с угловой скоростью От], а пере-
носное движение самой системы S - простое
вращение с угловой скоростью от 2 •
Регулярная прецессия - такая прецессия,
В КОТОРОЙ ВеЛИЧИНЫ ОТ] и от2 постоянны. В
этом случае подвижный и неподвижный ак-
соиды представляют собой круговые конусы.
90
Глава 3.6. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
3.6.3. ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ
НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ
Пусть твердое тело имеет две неподвиж-
ные точки О и О' и может лишь поворачи-
ваться вокруг неподвижной оси ОО' на угол 0,
т. е. совершать простое вращение. Ось Oz
связанной с телом системы координат Oxyz
направим по линии ОО, а плоскость Ozx про-
ведем через центр С масс тела (ус = 0). Если
точка С лежит на оси ОО', то выбор осей х, у
произволен.
Уравнение вращения. Изменение угловой
скорости (о тела описывается третьим ска-
лярным уравнением системы (3.6.15) с учетом
v0 = 0, Q = со и (3.6.5):
J
. </2е ..
ИЛИ Jz -—£• = Mqz .
(3.6.16)
Это уравнение аналогично уравнению прямо-
линейного движения материальной точки.
Оно интегрируется в квадратурах в случаях,
когда Mqz зависит только от времени t , от
со или от угла 0.
1. Предположим, что Mqz = Mqz((h). В
этом случае уравнение (3.6.16) вращения
представляет собой динамическую систему
первого порядка. Ее фазовое пространство
одномерно - прямая значений со (рис. 3.6.1).
Фазовыми траекториями являются ин-
тервалы этой прямой, на которых функция
Л/ог(со) сохраняет знак, и отдельные точки
со* , в которых Mqz = 0. Направление движе-
ния изображающей точки вдоль траектории
определяется знаком Mqz . Частное решение
со (Z) = со* = const уравнения (3.6.16) описы-
вает постоянное вращение тела.
2. Пусть Mqz зависит как от угловой
скорости со , так и от угла 0 поворота тела:
Уравнение (3.6.16) с учетом 0 = со при-
нимает вид
0 = МОг (0, 0)//г . (3.6.17)
Фазовое пространство - плоскость
(0, 0), каждая точка которой соответствует
некоторому мгновенному состоянию движе-
ния тела. Обычно зависимость M§z от 0 но-
сит 2 л -периодический характер. В этом слу-
чае можно ограничиться областью 0 0 < 2л -
полосой плоскости 0, 0 и “свернуть” ее в
цилиндр, соединяя линии 0 = 0 и 0 = 2л .
Пусть 0* - решение уравнения равнове-
сия Mqz{Q, 0) = 0. Тогда уравнение (3.6.17)
допускает частное решение
0(0 = 0« = const, 0 (Z) = 0,
отвечающее состоянию покоя тела в положе-
нии равновесия.
Пусть
|МОг(0. й)| < м.,
где М* - некоторое положительное число.
Очевидно, что при достаточно большом
значении <d(Zq) начальной угловой скорости
тело совершит хотя бы один оборот. Кроме
того, изменение угловой скорости в течение
этого оборота тем меньше, чем выше ее на-
чальное значение co(Zo) (время одного обо-
рота обратно пропорционально угловой ско-
рости). Иначе, вращение с достаточно высо-
кой угловой скоростью оказывается почти
постоянным.
Физический маятник. Он представляет
собой тяжелое твердое тело, подвешенное на
неподвижной горизонтальной оси Об
(рис. 3.6.2).
Mqz = Mqz(Q, со) .
Mqz^O
' >• <
О
Рис. 3.6.1
Рис. 3.6.2
ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ
91
Свяжем с телом подвижную систему ко-
ординат Oxyz, направив ось z вдоль оси ОО' и
выбрав ось х так, чтобы центр С тяжести тела
оказался в плоскости xz. Положение маятника
определим углом 0 между осью Ох и вертика-
лью. Уравнение вращения (3.6.17) имеет вид
JZG = -mgxc sin 0. (3.6.18)
Это уравнение совпадает с уравнением
(3.2.15) движения математического маятника
длиной / = Jz/mxc , который называется
изохронным данному физическому маятнику.
Положение равновесия маятника как ча-
стное решение 0(/) = 0(/о) = 0* уравнения
(3.6.18) описывается уравнением
Xq sin 0* = 0. Тогда при * 0 существуют
два положения равновесия: 0*j = 0, 0*2 = я .
Одно из них соответствует нижнему располо-
жению центра масс тела, а другое - верхнему.
При = 0 имеем безразличное равновесие
маятника, так как 0* произвольно.
Малые колебания маятника (будем счи-
тать для определенности Xq > 0) исследуем в
окрестности положения равновесия 0*j = 0 с
нижним расположением центра масс. Для
этого линеаризуем уравнение (3.6.18) около
положения 0 = 0 (считая величину 0 малой)
JZQ + mgxcQ = 0.
Это уравнение описывает гармонические
колебания маятника с частотой
v = ylmgxc/Jc •
По теореме Гюйгенса-Штейнера (3.6.4)
Jz = JCz + тхс, где момент инерции Jq
может считаться инвариантом для данного
тела по отношению к изменению параметра
Xf, характеризующего положение оси ОО в
теле. Зависимость частоты v колебаний ма-
ятника от параметра хс выражается формулой
v = -Jg*c/(*C+Л?гЛи).
которая показывает, что частота колебаний
каждого тела при изменении Хс достигает
максимума vmax = ^g(Jcz/m) > когда
xC-^Cz/^ и v(*c)_>0’ если ХС“>°
или Хс -> 00 • Ограниченность частоты отли-
чает колебания физического маятника от ко-
лебаний математического (частота колебаний
последнего может быть сделана сколь угодно
большой).
Почти все малые движения около рав-
новесия 0 = п (с верхним расположением
центра масс) протекают с экспоненциально
растущим отклонением от положения равно-
весия, которое таким образом неустойчиво.
Уравнение (3.6.18) является нелинейным.
Качественное представление о свойствах его
решений дает “фазовый портрет” (см. разд.
3.2.3).
Фазовый портрет - семейство фазовых
траекторий на плоскости 0, 0 (рис. 3.6.3),
которое можно построить с помощью инте-
грала энергии
у/г02 - mgxc cos0 = h (hz-mgxc)-
Естественным параметром семейства
траекторий служит величина h полной энер-
гии маятника. Ввиду периодичности уравне-
ния (3.6.18) по 0 построение ограничено по-
лосой -п £ 0 £ п .
Минимальное значение энергии
4nin = ~т8хС определяет вырожденную фа-
зовую траекторию - точку покоя
(0 = 0, 0 = 0). При < h < h. = mgxc
траектории - замкнутые кривые, охватываю-
щие начало координат. Это траектории коле-
бательных движений около устойчивого ниж-
него равновесия маятника.
92
Глава 3.6. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
При h>h* угловая скорость 0 сохра-
няет знак вдоль фазовой траектории. Поэтому
такое значение энергии отвечает сразу двум
различным траекториям, одна из которых
расположена в полуплоскости 0 > 0, а другая
в полуплоскости 0 < 0. Это траектории вра-
щений. Их угловая скорость переменна, одна-
ко ее перепады тем меньше, чем больше зна-
чение h, т. е. чем выше угловая скорость.
Критическое значение h . определяет пару
особых траекторий - сепаратрис, соединяю-
щих через оборот верхние неустойчивые рав-
новесия. Кроме того, этому же значению
энергии отвечает и вырожденная траектория
0 = 0, 0 = п - точка покоя в верхнем равно-
весии.
Реакции опор. Освободим тело от свя-
зей - опор в точках О и О', заменив их реак-
циями
7? = |7?х, Ry, Rz | и R’ — |7?*, Ry, Rz |.
Прежние обозначения Fx,Fy,Fz,
Mqx »Л7оу сохраним за координатами ре-
зультирующего вектора и результирующего
момента внешних сил, приложенных к телу и
приведенных к точке О. Реакции входят в
оставшиеся пять скалярных уравнений систе-
мы (3.6.15), которые с учетом (3.6.6) прини-
мают вид
-т<а2хс = Fx + Rx + R’x;
z ~ Fy + Fy + Fy’,
0 = Fz+Rz+Rz', (3.6.19)
co /Jz = Mqx - IRy;
co Jxz - IJz - Мцу + IRX\
/ = |OO'|.
Уравнение (3.6.19) определяет лишь
сумму Rz + R^ проекций реакции. Осталь-
ные четыре (Rx,Ry,Rx,Ry) можно предста-
вить в виде суммы двух частей, одна из кото-
рых определяется внешней нагрузкой, т. е.
зависит от Fx,Fy,MQx,MQy,MQz, а вторая,
так называемая динамическая реакция, опре-
деляется величиной со угловой скорости тела.
Для динамической реакции имеем
ах =/хг<о2/(/-тхс); Ry-J^/i-,
R'x=J^2!l\ Ry =-Jjyto1,/l.
Свойства динамической реакции сле-
дующие:
если ось Об - главная ось инерции для
точки О - Jxy = 0), то динамическая
реакция в опоре О отсутствует. Такая ось
называется постоянной осью вращения (в
отсутствии внешней нагрузки опору О' можно
убрать, не нарушая вращения тела);
если ось 00 - главная центральная ось
инерции тела (х£ = 0), то динамическая ре-
акция в обеих опорах отсутствует. Такие оси
называют естественными или свободными
осями вращения тела. Для устранения дина-
мической реакции в опорах быстровращаю-
щихся элементов машин осуществляют их
балансировку.
3.6.4. ПРЕЦЕССИЯ ТЕЛА
Многие объекты техники (в частности,
транспортной) содержат массы, совершающие
относительное вращение или маятниковые
движения. В то же время сами объекты могут
совершать повороты при маневрах и вынуж-
дать указанные массы совершать второе вра-
щение или прецессию. Естественно, возника-
ют вопросы, как о влиянии второго вращения
на относительные колебания тела, так и о
реакциях в опорах.
Относительные колебания физического
маятника. Исследуем движение физического
маятника, ось ОО качания которого соверша-
ет вращение вокруг вертикали ON с постоян-
ной угловой скоростью О (рис. 3.6.4). Введем
связанную систему координат Oxyz, считая
для простоты, что ее оси являются главными
осями инерции тела для точки О и центр С
масс лежит на оси Ох.
Для проекций угловой скорости тела на
связанные оси имеем
(ох = -Qcos0; <ou = -Qsin0; <о7 = 0 .
(3.6.20)
Рис. 3.6.4
ПРЕЦЕССИЯ ТЕЛА
93
Уравнение относительных колебаний
маятника получим, подставив (3.6.20) в третье
уравнение системы (3.6.10):
/г0 - (Jу -JX)Q2 cos0sin 0 = -mgasin 0,
(3.6.21)
где а - |со|.
Положения относительного равновесия
определяются из уравнения
sin - Jу) Q2 cos0 + mga] = 0,
(3.6.22)
которое имеет следующие решения:
0| = 0 и 02,3 = ±71 при любом £2;
mga
04 s = iarccos----2----v при
(Jy-Jx)a2
Я2 > Я2 = mgafyy - /х|.
Влияние вращения оси сказывается в
том, что при некотором значении £2, его уг-
ловой скорости происходит бифуркация
(ветвление) решений уравнения (3.6.22) отно-
сительного равновесия и при £22 > £22 в по-
лосе - л 0 л появляются новые ( по
сравнению с обычным маятником) положения
04,5(£2) равновесия. Однако характер ветвле-
ния существенно зависит от соотношения
между моментами инерции тела (рис. 3.6.5).
Первый интеграл - обобщенный интеграл
энергии (интеграл Якоби - интеграл энергии
относительного движения) уравнения (3.6.21)
имеет вид
-(Jx-Jy)&cx2Q-
-mgacosQ = h- const.
Этот интеграл позволяет изобразить на
фазовой плоскости 0, 0 фазовый портрет
уравнения (3.6.21). При £2 < £2; фазовый
портрет (3.6.21) не имеет качественных отли-
чий от фазового портрета обычного физиче-
ского маятника. Однако при превышении
угловой скоростью значения £2» происходит
перестройка фазового портрета (по сравнению
с физическим маятником), связанная с появ-
лением дополнительных положений равнове-
сия (рис. 3.6.6).
Рис. 3.6.6
94
Глава 3.6. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Если при Jx > Jy дополнительные по-
ложения равновесия O4 5 неустойчивы и от-
вечающие им точки покоя служат точками
пересечения сепаратрис, то в случае Jx < Jy
дополнительные равновесия, наоборот, устой-
чивы. Они охватываются замкнутыми траек-
ториями / малых колебаний. Кроме того, в
этом случае возможны такие колебания, тра-
ектории // которых охватывают обе точки
устойчивого покоя и одну неустойчивую.
Все движения с достаточно высоким
уровнем относительной энергии, независимо
от соотношения между моментами инерции,
носят ротационный характер, как и у обыч-
ного маятника.
Реакция опор при вынужденной прецес-
сии. Представим себе динамически симмет-
ричное тело, совершающее регулярную пре-
цессию таким образом, что точка О его оси
(первая опора) неподвижна (рис. 3.6.7), а
другая точка О' этой оси (вторая опора) рав-
номерно перемещается по окружности с по-
стоянной угловой скоростью Q|. Ось симмет-
рии тела тогда описывает круговую кониче-
скую поверхность с углом раствора 0. Вектор
Qj угловой скорости прецессии сохраняет
направление в пространстве, свяжем с ним
ось Oz\ полусвязанной с телом системы коор-
динат OxtfiZi, вторая ось Oyt которой выбра-
на так, чтобы плоскость Ziyi всегда содержала
ось 00 симметрии тела.
Относительное движение тела в системе
координат Oxtfizi представляет собой
“собственное вращение” с угловой скоростью
О2 вокруг оси ОО (неподвижной в указанной
системе). Повернем теперь систему координат
вокруг оси Ох\ на постоянный угол 0, совмес-
тив ось Oz новой системы с осью ОО. Новая
система координат Oxyz также полусвязана с
телом. Она сама совершает вращение с угло-
вой скоростью Qj, а относительно нее тело
вращается с угловой скоростью О2.
Вычисление реакции в подвижной опоре
О проведем при помощи системы уравнений
(3.6.15) при v0 = 0. Определению подлежат
лишь проекции R'x, R’y этой реакции, так
как проекция R’z , очевидно, неопределима.
Вектор Kq момента количеств движе-
ния имеет проекции:
КОх = 0; Кцу = -JxQjsinO;
Kqz = Jz<&2 + cos0) ♦
Уравнение (3.6.15) имеет вид
[о,, к0] = {/л;, /л;, о), (3.6.23)
где / - координата точки О .
Записав (3.6.23) в скалярном виде, полу-
чим
Rx = 0;
IR'y = (JzQ2^1 “ (Л “ Л)cos0) 6 .
т. е. реакция подвижной опоры О ортого-
нальна направлению перемещения этой опо-
ры. Это одно из проявлений так называемого
гироскопического эффекта.
Представляют интерес следующие част-
ные случаи: при 0 = п/2 имеем
; реакция R'y обращается в
нуль (тело совершает свободную прецессию),
если
JzQ2 ~ (Л “ cos® =0
3.6.5. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА
Пусть на тело наложены такие идеаль-
ные связи, что оно может совершать лишь
плоскопараллельное движение. При этом тело
имеет три степени свободы, а его центр С
масс может двигаться со скоростью vc в
некоторой плоскости, которую примем за
плоскость Сху кениговой системы координат
и Сху связанной. Имеем
сох = ©у = 0; сог = со . (3.6.24)
Уравнения движения. В абсолютной или
кениговой системах координат уравнения
движения (3.6.7), (3.6.8) с учетом (3.6.24)
имеют вид
mvCx. = Fx.; птСу. = Fy.\ Jг.а = MCv.
(3.6.25)
ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА
95
В связанной с телом системе координат
Сху уравнения (3.6.9), (3.6.10) преобразуются к
виду
m(vCx -<ovc>,) = Fx; m(vCy + <ovCx) = Fy;
Jza = MCz- (3.6.26)
В подвижной системе координат, дви-
жущейся со скоростью Vq полюса (в плоско-
сти движения) и угловой скоростью Q (по
нормали к плоскости движения) имеем часть
системы (3.6.14) - (3.6.15):
m(vCx -ClvCy) = fy\ т(уСу +^vCy) = Fy\
+m(yQxvCy - vOyvCx) = MQz .
(3.6.27)
Ротор на гибком валу. Плоскопараллель-
ное движение ротора, симметрично закреп-
ленного на гибком валу (вал Лаваля), служит
типичным примером взаимного влияния ме-
жду поступательным и вращательным движе-
ниями тела.
Уравнения движения ротора получим
следующим образом. Плоскость движения
центра масс ротора примем за плоскость Оху
с началом О в точке пересечения плоскости
линией недеформированного вала (рис. 3.6.8).
Промежуточную подвижную систему Оху вы-
берем таким образом, чтобы ее ось х была
коллинеарна отрезку PC, соединяющему точ-
ку Р крепления вала к ротору с центром С
масс ротора. Таким образом, относительное
движение ротора в системе Оху поступатель-
ное, а система вращается вокруг точки О.
Положение ротора определим координа-
тами х, у его центра масс и углом ф поворо-
та. Будем считать, что в точке Р к ротору
приложены центральная сила со стороны
упругого деформированного вала
Ё\ = -с{х - /, у} и сила вязкого внутреннего
трения в материале вала fy = -я{х, у} • Уч-
тем также силу fy вязкого сопротивления
внешней среды, в которой движется ротор,
считая ее приложенной в точке С:
А = ~ь{х’, у'};
X' = ХСОБф-уБШф; у' = ХБШф + у СОБф.
Используя (3.6.27) v0 = 0, Q = ф полу-
чим уравнения движения ротора
тх - 2тфу + с (х - /) - тф2х +
+(а + b)x - Ьуу = 0;
ту + 2/ифх + су - тф2у +
+(а + Ь)у + дхф = 0; (3.6.28)
j<pMz +/и(х2 + у2)| + т(ху - ух) I = М + МТ,
где М - момент пары сил от двигателя, обес-
печивающего вращение ротора; Мт - момент
сил Fi, /3 относительно точки О.
При установившемся движении будем
считать, что силы от двигателя регулируются
таким образом, чтобы сохранялась постоян-
ной угловая скорость ротора,
Ф (0 = со = const. (3.6.29)
Необходимое для этого значение М оп-
ределяется с помощью последнего уравнения
(3.6.28). При условии (3.6.29) система (3.6.28)
имеет стационарное решение:
х(Г) = х0
сЦс-пио2)
Ь2о2 +(с - та2)2 ’
_______—cl Ь(£)____
Ь2о2 + (с - та2)2
(3.6.30)
Оно существует при любых значениях
0 < со < оо угловой скорости, если b * 0. При
со -> со имеем Xq + у$ -> 0, т. е. центр масс
ротора приближается к оси вращения. В этом
проявляется известное свойство самоцентри-
рования вала Лаваля.
В частном случае отсутствия силы
внешнего трения (д = 0) существует критиче-
ское значение со» - с)т угловой скорости,
при котором система (3.6.27) не имеет ста-
ционарного решения. При этом значении
угловой скорости возникает резонанс между
вращением и колебаниями ротора
(поперечными колебаниями вала).
96
Глава 3.6. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Отметим, что стационарное решение
(3.6.30) описывает перманентное вращение
ротора вокруг неподвижной оси О.
Для оценки устойчивости вращения вве-
дем отклонения С, = х - Xq, Л - У ~ Уо и за-
пишем уравнения возмущенного движения
mi, - 2mov\ + (с - то2 )£ + (д + b)t, - /кот] = 0;
т г] + 2/исо£ + (с - та)2 )т] + (а + д)т] + Ьа£ - 0.
Введем комплексную переменную
и = С, + / т] и запишем систему в виде одного
уравнения
mu + (а + b + 2//псо) й + (с - то2 + /7хо) и = 0.
Его общее решение имеет вид и - ,
где X - корень векового уравнения
/иХ2 + (а + b + 2/ тиса) X + (с - та)2 + ibo) = 0.
(3.6.31)
Если Re X < 0, то невозмущенное дви-
жение и = 0 асимптотически устойчиво. Если
параметры уравнения (3.6.31) принадлежат
границе области устойчивости, то Re X = 0.
Подставив в (3 6.31) X = / зе, разделяя дейст-
вительную и мнимую его части, получаем, что
действительное значение зе должно удовле-
творять двум соотношениям:
-тх2 - 2тох + (с - /иго2) = 0; (а + b)x + Ьо = 0.
Они совместны лишь при
т2о2а2 = с(а + Ь)2 ,
что определяет уравнение границы области
устойчивости. Отметив, что при со =0 невоз-
мущенное движение устойчиво, заключаем,
что устойчивость сохранится, если
со2 <с(а + д)2/(лш2).
Если значение угловой скорости превы-
сит предельное, то возникнут колебательные
поперечные движения ротора (автоко-
лебания) В одном частном случае отсутствия
внешнего трения (Ь = 0, а * 0) вращение
ротора устойчиво лишь при со < со*, т. е. на
докритических частотах вращения. В другом
частном случае отсутствия внутреннего трения
(а = 0, b * 0) вращение ротора устойчиво
при любом значении угловой скорости.
Здесь рассмотрены лишь простейшие
модели воздействия на вращающийся ротор.
Учет влияния электромагнитных сил, гидро-
динамических сил смазочного слоя жидкости,
взаимодействия с воздушной средой и других
факторов приводит к более сложным моделям
и другим условиям устойчивости вращения.
3.6.6. СВЯЗИ С ТРЕНИЕМ
Трение скольжения. Предположим, что
связи, обеспечивающие плоскопараллельное
движение тела, неидеальны и обладают тре-
нием. Это означает, что при относительном
скольжении одного тела по поверхности дру-
гого возникают не только нормальные си-
лы давления между ними, но и касательные
силы - силы трения, которые могут совершать
работу и поэтому должны быть включены в
число активных.
При моделировании движения тел с уче-
том эффектов трения обычно различают два
типа трения - вязкое и сухое (кулоново). При
вязком трении касательные силы зависят
лишь от скорости относительного скольже-
ния. Они могут быть прямо включены в пра-
вую часть системы (3.6.25), (3.6.26) или
(3.6.27). Такие модели применяют обычно при
наличии смазочных слоев между трущимися
телами.
В случае кулонова (сухого) трения каса-
тельные силы связаны с силами нормального
давления некоторыми дополнительными со-
отношениями (носящими эмпирический ха-
рактер). Поэтому для определения движения
тела нельзя ограничиться системой уравнений
(3.6.25), (3.6.26) или (3.6.27). Продемонстри-
руем процедуру учета трения скольжения на
частной задаче о движении однородного тя-
желого кругового цилиндра высотой /
(рис. 3.6.9), опирающегося плоским торцом ст
на горизонтальную плоскость, при отсутствии
иных сил.
Рис. 3.6.9
СВЯЗИ С ТРЕНИЕМ
97
Ось Сх кениговой системы координат
Cxyz направим так, чтобы в рассматриваемый
момент времени она совпадала с вектором v
скорости центра С масс тела. В этой системе
координат тело может совершать вращение с
угловой скоростью со вокруг оси Cz.
Сила N нормальной составляющей ре-
акции опоры является результирующей поля
п(х, у) нормальных давлений на площадке
контакта (системы параллельных сонаправ-
ленных сил) Поле касательных напряжений
т(х,у) = образует плоскую систему
сил Она приводится либо к результирующей
силе Т = , Ту| трения, либо к паре сил с
некоторым моментом Мх (моменту трения).
Величина т касательного напряжения при
скольжении принимается [2, 3] пропорцио-
нальной величине давления (до Поль ительное
эмпирическое соотношение) т = fn (где f -
коэффициент трения, постоянен для всех
точек площадки контакта).
Направление вектора т определяется
направлением скорости скольжения в данной
точке. Поэтому
; Ту = -fn'iyl'/; V = + vj;
vx = v - coy; vу = сох,
где х, у - координаты некоторой точки на
торце цилиндра.
Для результирующей силы Т и ее мо-
мента относительно оси Cz имеем
ТХ = fixd°; Ту =
СТ ст
мхг = Jc«y - л,)*-
ст
Величины Тх,Ту образуют правую
часть системы уравнений (3.6.25) плоскопа-
раллельного движения тела. Для определения
функций л(х,у), тх(х,у), Ту(х,у), необхо-
дима постановка и решение нестационарной
контактной задачи теории упругости с после-
дующим предельным переходом к твердому
телу. В отдельных случаях удается воспользо-
ваться оценками для этого решения [25, 37].
Трение при поступательном скольжении.
Предположим, что цилиндр совершает посту-
пательное движение со скоростью v. Тогда
со = О, Уу = 0, поэтому Ту = 0 и
Тх = - jfn(x,y)dc = -fN - закон Кулона,
ст
Для определения N привлечем послед-
нее из уравнений системы (3.6.14):
N - mg = 0.
Теперь первое уравнение скольжения
тела системы (3.6.25) примет вид v = -fg .
Откуда следует, что из-за трения поступатель-
ное скольжение цилиндра происходит равно-
замедленно и через определенный промежу-
ток времени прекратится. Такой вывод кажет-
ся очевидным, однако он справедлив лишь в
том случае, если Mxz - 0, или
|y/i(x,y)dcr = 0. (3.6.32)
ст
Симметрия поля давлений относительно
плоскости xz может быть отнесена к ожидае-
мым свойствам решения упомянутой выше
контактной задачи теории упругости в соот-
ветствующей постановке. Во всяком случае
(3.6.32) не противоречит первому уравнению
системы (3.6.15):
Tyl + fynda = 0. (3.6.33)
ст
Отметим также, что поле л(х, у) заведо-
мо не обладает симметрией относительно
плоскости yz, поскольку из второго уравнения
(3.6.15)
Txl + jxndc - 0 (3.6.34)
ст
вытекает, что точка 5 приложения силы N
вынесена от оси Cz вперед по ходу скольже-
ния, так как х$ - fl.
Если точка 5 окажется вне опорного
круга, то движение цилиндра не будет посту-
пательным, начнется его вращение вокруг оси
Су, что может привести к опрокидыванию
через передний край опоры.
Трение скольжения при комбинации по-
ступательного движения и верчения. Предпо-
ложим теперь, что v # 0, со # 0, S - точка
приложения нормальной составляющей N
реакции опоры (рис. 3.6.10). Тогда уравнения
(3.6.33), (3.6.34) примут вид
Tx/ + xW=0; (3.6.35)
Tyl + yN = 0. (3.6.36)
4 Зак. 488
98
Глава 3 6 ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Рис. 3.6.10
Естественно предположить, что Тх < 0,
как и в случае поступательного движения.
Тогда jxnda > 0. Если подынтегральную
ст
функцию умножить на положительную и
симметричную относительно плоскости zy
функцию V1, знак интеграла сохранится и
Ту - -fin J/7XV-1cfo < 0.
ст
Следовательно, согласно (3.6.36) у > 0.
Пусть С - проекция точки С на опорную
плоскость, линия С S параллельна линии дей-
ствия силы Т трения. Поскольку направле-
ние вектора т касательного напряжения не
совпадает с линией С S, Т < fmg при со *0.
Итак, влияние верчения проявляется в
том, что неколлинеарность поля скоростей на
опорной площадке уменьшает величину ре-
зультирующей силы трения и неоднородность
поля давлений “порождает” боковую силу Ту.
Следует ожидать, что линия действия силы
Т смещена относительно линии C S, что соз-
даст момент трения верчения, вызывающий
торможение вращения тела.
Трение скольжения при верчении. Пред-
положим, что v = 0, но со * 0, т. е. тело со-
вершает простое вращение вокруг неподвиж-
ной оси Cz (верчение). Для получения оценки
момента трения верчения (без решения кон-
тактной задачи теории упругости) будем счи-
тать давление р (х, у) равномерным: р (х,
у) = Pq . Тогда для оценки момента сил тре-
ния скольжения при верчении (момента тре-
ния верчения) имеем выражение
2
Mxz=±fmgR.
Трение качения. Предположим, что свя-
зи, обеспечивающие плоскопараллельное
движение тела, идеальны, но на тело наложе-
на дополнительная связь, вынуждающая его
скользить своей выпуклой поверхностью по
поверхности другого неподвижного тела.
Пусть эта дополнительная связь неидеальна и
обладает трением. Для определенности огра-
ничимся плоскопараллельным движением
тяжелого кругового цилиндра, опирающегося
боковой поверхностью на неподвижную гори-
зонтальную плоскость с трением (рис. 3.6.11).
Дополнительная связь выражается в том,
что скорость точки А тела, контактирую-
щей с опорной плоскостью, должна быть го-
ризонтальной. Отсюда следует, что скорость
центра масс С - также горизонтальна. Вели-
чины v и со могут быть произвольными. Если
*0, то происходит скольжение. При
= 0 имеет место качение. Пусть возни-
кающая при скольжении горизонтальная сила
Т трения подчиняется сформулированным
выше законам
Уравнения (3.6.25) имеют вид
v -T/m \ со = TR/J : N - mg = 0;
|Г| = /|У|. (3.6.37)
Знак проекции Т силы трения определяется
знаком скорости = v + соR , поэтому
Г = - fmg sgn vA .
Комбинируя уравнения (3.6.37), получим
Рис. 3.6.11
СВЯЗИ С ТРЕНИЕМ
99
а)
Рис. 3.6.12
S)
Следовательно, скорость скольже-
ния равномерно убывает по величине и в
определенный момент времени Zj обратится в
нуль.
Если v (Zj) = 0, то движение тела пре-
кратится; при v(Zj) *0 наступит качение.
Качение тел сопровождается трением
качения. Основным физическим источником
этого сопротивления считают деформацию тел
в окрестности контакта и превращение точки
А или линии контакта в область контакта,
размеры которой тем меньше, чем менее по-
датливы тела. Характер деформации тел в
области контакта определяется их относи-
тельной податливостью. На рис. 3.6.12 две
предельные формы: а) абсолютно твердая
опора при податливом цилиндре; б) абсолют-
но твердый цилиндр на податливой опоре.
Хотя геометрический характер нормаль-
ной и касательной составляющих реакции в
этих случаях различен, все сводится к тому,
что суммарная реакция Я, во-первых, имеет
как вертикальную составляющую ТУ, так и
горизонтальную Г, во-вторых, линия дейст-
вия R пересекает плоскость опоры в некото-
рой точке 5, отстоящей от точки тела, кон-
тактирующей с опорной плоскостью, на рас-
стоянии е (малом, иначе модель абсолютно
твердого тела неприменима).
Уравнения движения тела следующие:
mv = -Т; Ла = TR - TVe; N = mg .
Вместе, с условием качения = v +
+oR = 0 позволяют определить горизонталь-
ную тормозящую силу
Т = m2gRz/(J + mR2).
Если Т < fmg , то в процессе качения
скольжения не возникает.
Моделирование эффектов трения каче-
ния путем постановки и решения нестацио-
нарных контактных задач динамики дефор-
мируемого тела позволяет связать величину е
как с физическими характеристиками тел, так
и со скоростью v движения.
Парадоксы трения. Сила Т сухого трения
связана с силой N нормального давления и
обе они подлежат определению вместе с зако-
ном скольжения из уравнений движения.
Французский ученый Пэнлеве [51] установил,
что возможны такие случаи, когда решение
задачи либо невозможно, либо неоднозначно.
Эти ситуации названы парадоксами трения.
Пример. Твердое тело (колодка), закреп-
ленное на оси О (рис. 3.6.13), находится в
зацеплении с точкой А с вращающимся коле-
сом и прижато к нему с силой F. Торможение
колеса обусловлено силой Т трения скольже-
ния:
Ла = -TR ,
где |Т| = /^|.
Для определения силы N запишем урав-
нение равновесия колодки
Fc + Т' b - N' а = 0.
Учитывая, что N' = N, Т’ = Т , получим
Na-\N\fb=Fc. (3.6.38)
100
Глава 3.6. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Рис. 3.6.13
При f > a/b это уравнение не имеет
решения. Действительно, предположив
N >0, получим N - Fc/(q- fb) <0, т. е.
противоречие. Аналогичное противоречие
вытекает из предположения N <0, так как
тогда N - Fc/{a + fb) > 0. В этом заключает-
ся один из парадоксов трения. Его возможное
разрешение состоит в нарушении зацепления,
либо в мгновенной остановке колеса
(заклини-вание).
Второй парадокс связан с изменением
направления силы F(F < 0) . Теперь при
f > alb уравнение (3.6.38) имеет два реше-
ния для N
= —> о, /V j
a-fb 1
Fc А
---7Г<°-
а + fb )
Следовательно, возможны два значения
для силы трения и два режима торможения.
Невозможно отдать предпочтение какому-
либо из этих режимов на основе чисто логи-
ческих рассуждений. Каждый из них может
оказаться реализуемым при соответствующей
предыстории создания начальных условий
движения. Здесь имеет место нарушение
принципа механического детерминизма.
3.6.7. ДИНАМИКА ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Уравнения Эйлера-Пуассона. Уравнения
движения тяжелого твердого тела массой т
вокруг неподвижной точки О в осях Ох„ на-
правленных по главным осям инерции, и
называемые уравнениями Эйлера-Пуассона,
имеют вид [4, 5]
4 + - Л2> “2“3 = <*3*2 ” Х2ТЗ):
at
(3.6.39)
= <в3Т2 - <®2ТзО. 2, 3) ,
at
(3.6.40)
где Д - главные моменты инерции; (1, 2, 3)
- циклическая перестановка индексов; со, -
проекции абсолютной угловой скорости со
тела на оси (2х/; xz - координаты центра
масс тела; у, - направляющие косинусы не-
подвижной оси ОХ, направленной вертикаль-
но вверх.
В замкнутой системе уравнений Д, X/ -
заданные постоянные величины, а со,, У/ -
переменные, подлежащие определению.
Уравнения Эйлера-Пуассона имеют три
первых интеграла:
энергии
+ Л2<а1 + Л3<о^ + 2mg(X|Y| + х2у2 +
+X3Y3)=Ci; (3.6.41)
площадей
Л|(О|У । + ^2<02Y2 + ^ЗшЗУЗ = С2>
(3.6.42)
геометрический
Y?+Y2+Y3=l (=Сз). (3.6.43)
где С| и С2 - произвольные постоянные.
Произвольная постоянная С3 всегда
равна единице, следовательно, общее решение
уравнений Эйлера-Пуассона должно зависеть
от пяти произвольных постоянных.
Если известно общее решение уравне-
ний Эйлера-Пуассона, то по формулам
0 = arccosy 3, ср = arctg —,
Y2
Ф = * a>^2dt + const (3.6.44)
J Y1+Y2
можно найти углы Эйлера 0, ф, ф и опреде-
лить в каждый момент времени положение
твердого тела, которое будет зависеть от шес-
ти произвольных постоянных. Шестая посто-
янная - из последней формулы.
ДИНАМИКА ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
101
Последним множителем Якоби системы
дифференциальных уравнений
^ = 1/0'1. Д'»). 0=1.2.....л)
называется функция М (уь ^2» •••» Уп)» яв-
ляющаяся решением уравнения в частных
производных
уЗЗД)
Для уравнений Эйлера-Пуассона М = 1.
Поэтому на основании теоремы Якоби [6] для
интегрирования уравнений Эйлера-Пуассона
(п = 6) достаточно к известным трем первым
интегралам (3.6.42), (3.6.43) добавить еще
один.
Дополнительный, не зависящий от вре-
мени первый интеграл при произвольных
Ajt xt найден только в трех случаях, в кото-
рых накладывались определенные ограниче-
ния на распределение масс в твердом теле:
Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. В этих трех
случаях удалось до конца проинтегрировать
уравнения Эйлера-Пуассона.
Случай Эйлера (1758 г.). Он характери-
зуется следующими ограничениями: центр
масс совпадает с неподвижной точкой, т. е.
х, =0, а моменты инерции А, произвольны.
Векторный интеграл G = const (где G -
вектор кинетического момента с проекциями
Л/(0/). Таким образом, вектор кинетического
момента остается постоянным в абсолютном
пространстве и по величине, и по направле-
нию. В подвижных осях OXj постоянство дли-
ны вектора G представляется соотношением
А2®2 + + ^зш3 = ^4 » (3.6.45)
которое является дополнительным первым
интегралом уравнений Эйлера-Пуассона.
Общее решение уравнений Эйлера-
Пуассона в случае Эйлера выражается в эл-
липтических функциях времени (например,
q
при 4 > ^2 > > Лз ) с модулем к:
Ч.
2 2 ^(^-^з) 2
=ц —ТТСЛ т;
Hi (Hj - Л3)
2 2 D(D-A3) 2
®2=Н Т71----2т;
Л2 (Л2 - Л3)
2 2 - D) , 2 ,. . ч
“з =н -тут—т; * =
Л3 (Л! - Л3)
„ ^/)(Л|-Д)(Л2-Лз).
Л| А2 Aj
„2 = ^.. P = R. ,с2 (А'-АМР-Аз)
С4’ q’ (Аг-АзУЛ-Р)
При этом неподвижная ось ОХ$ направ-
лена по неподвижному вектору G ,
у. - Т} - т. - Лз<аз
К'
Геометрическая интерпретация движе-
ния тела в этом случае была предложена Пу-
ансо [5] и вытекала из доказанных им трех
теорем. По этой геометрической интерпрета-
ции строится неподвижная плоскость л, пер-
пендикулярная к неподвижному вектору G и
отстоящая от неподвижной точки О на рас-
стояние 5 = Z)-1/2 . Тогда движение твердого
тела вокруг точки О получится, если заставить
эллипсоид инерции этого тела, уравнение
которого в осях Ох, есть
Дх2 + А2Х2 + Л3х3 = 1, катиться и вертеться
(без скольжения) по плоскости п с угловой
скоростью со = OQ^C^ (где Q - точка каса-
ния эллипсоида инерции и плоскости л).
Во время движения точка касания Q и
симметричная ей относительно центра точка
Q описывают на эллипсоиде инерции неко-
торую кривую, называемую полодией. Поло-
дия, состоящая из двух различных замкнутых
ветвей и лежащая на пересечении двух эллип-
соидов, A^Xi + А2Х2 + А2Х2 - 1 и А2х2 +
+^2 хj + А2х2 = D, является алгебраиче-
ской кривой четвертого порядка.
Семейство полодий двумя эллипсами,
/л3 (А2 — Л3)
ПЛОСКОСТИ которых Xj = ±х3 J -----—
V Al (Al - A3)
(Л1 > А2 > A3) пересекаются по средней оси
эллипсоида инерции, разбивается на две
группы кривых: одни охватывают точку а,
расположенную на пересечении эллипсоида и
прямой, лежащей на оси наибольшего момен-
та инерции; другие - точку с, находящуюся на
пересечении эллипсоида и прямой, лежащей
на оси наименьшего момента инерции
(рис. 3.6.14).
102
Глава 3.6. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
• _ Г1 А3
Ф = ®30 1 ““Г"
к
Регулярной прецессией называется дви-
жение твердого тела, для которого всегда вы-
полняются соотношения 0 = const, ф = const,
ф = const. Здесь и ниже принято
Zs ('о) = •
Случай Лагранжа (1811 г.) [5]. Он имеет
место при условиях А\ = Л2, *1 = *2 = 0»
Х3 *0, т. е. когда эллипсоид инерции есть
эллипсоид вращения, а центр масс лежит на
оси вращения эллипсоида инерции. Дополни-
тельный первый интеграл в этом случае
®3 = ®30» (3.6.46)
а интегралы (3.6.41), (3.6.42) примут следую-
щий вид:
о? +®2 -«Уз =Л;®П1 +®2Г2 -Ьз = *1>
где
a = _2^i:6 = (v_1)ffl3o;v = AzA.
А Л
Общее решение уравнений Эйлера-
Пуассона в случае Лагранжа также выражает-
ся в эллиптических функциях времени, на-
пример, при е3 < -1 < 62 < Узо = q < 1 и
Х3 < 0 имеем
к
<01 = pcoso; ®2 - psino; <о3 = g)30 ;
Кривая, описываемая точкой Q на не-
подвижной плоскости, называется герполоди-
ей. Она не имеет точек перегиба, в общем
случае заключена между двумя концентриче-
скими окружностями, которых она последова-
тельно касается (рис. 3.6.15).
При движении полюсов Земли в случае,
когда эллипсоид инерции есть эллипсоид
вращения, например At = А2, существует
первый интеграл (03 = (О30 = const. Движение
твердого тела в случае Эйлера будет регуляр-
ной прецессией относительно оси, направлен-
ной по вектору G :
0 = arccos-^=?-;
2Z. ч 2. .
У1 = —(®2 +vo>3o®i); У2 = —(-©1 + V(O3oG)2)i
а а
Уз =«1 -(е1 -e2>sin2 V.
где в), ?2’ ез * корни полинома
ф(.1з) = (1 - Гз)(Л + ауз) -
-(*1 +*Гз)2 =“(«1 -ТзХГЗ -«2)(гз ~ез);
v = 0^7“(«l -«3) (t-to) - параметр эллип-
тических функций;
ДИНАМИКА ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
103
Рис. 3.6.16
k- lel-e2.
Vi-e3’
р2 = (А + aej)(l + nsn2v);
кривая будет касаться нижней параллели, а на
верхней параллели иметь точки возврата
(рис. 3.6.16, б);
при
4 <i и ф
b
>0
a -gq
= ®(/-/0)~
a (gj ~ e2>.
h + aex
_________2L
(h + aei)y/a(ei -e2)
г th
’ 1 + nsn2v
кривая будет касаться обеих параллелей
(рис. 3.6.16, в).
В случае Лагранжа регулярная прецессия
имеет место только при определенном огра-
ничении на начальные условия
2cos0qM/q + 2бфо - а = 0,
x = -O,5®3o(v + 1); L = 0,5 (^a - bh).
Из уравнений движения твердого тела в
случае Лагранжа для углов Эйлера 0 и у
. at i at i — у j
(Y3 =COS0)
вытекает, что ось вращения эллипсоида инер-
ции на неподвижной сфере единичного ра-
диуса, центр которой совпадает с неподвиж-
ной точкой О, в зависимости от начальных
условий может описывать три вида кривых:
при > 1, или
b
у <1 И
b
кривая будет попеременно касаться паралле-
лей Ci и С2, которым соответствуют углы
0| = arccose[ и 02 = arccos02 (рис. 3.6.16, а);
при
0
чему соответствует равенство корней и е2
уравнения ф(у3)=0.
Если е2 = е3 , а кроме того
0о = я(гзо = -О,
то во время движения
УЗ ~ Y1 = °Л2 = 0»®1 = °»®2 = ° •
Следовательно, в этом случае происхо-
дит равномерное вращение твердого тела с
угловой скоростью (Озо вокруг оси, содержа-
щей центр масс и направленной вертикально
вверх (спящий волчок).
Кроме регулярной прецессии, существу-
ет псевдорегулярная прецессия, например,
при начальных условиях =0, ®20 = 0 и
при предположении, что <о30 большая вели-
чина. В этом случае разложение выражений
для углов Эйлера 0, <р, ц/ в ряды по степеням
малого параметра р. = следующее:
0 = 0о + ц2 (1 _ cosbt) + 0(ц3);
104
Глава 3.6. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Va л 2sin^ Л/ Зч
н' + н —+ °(н );
Ф = Фо + СО 30z +ОМ-
ОНа мало отличается от соответствую-
щей регулярной прецессии:
Случай Ковалевской (1888 г.). Он имеет
место при условиях Л| = А2 = 2Л3, х2 - 0,
*3=0. В безразмерных переменных
<0|, ®2, ®з» * » определяемых по формулам
©1 = С|©|, ©2 = С|©2, ©з = С|©3,
С1, = г|с?=^|
I Аз J
и при предположении, что Х| <0, дополни-
тельный первый интеграл
. (©? - ©2 + Y|)2 + (2©|©2 + Y1)2 = (= Q)-
(3.6.47)
Интегралы (3.6.41) и (3.6.42) будут иметь вид
2 (©? + ©|) + ©з - 2у| = 6/|; (3.6.48)
2(©|У| + ©2Y2) + ®зУз = 2^ • (3.6.49)
Эти интегралы допускают следующее
геометрическое толкование [8]. Введем точку
В с координатами У1, у2, Уз такими, что
У1 =5? -Si + Y|J У2 = 25?52 + y2;
2у3 = 5? + 45?.
Переписывая интегралы (3.6.47) и
(3.6.48) в виде у? + у2 = к2, у3 - У| = 3/| ,
убеждаемся, что точка В движется по эллипсу,
являющемуся пересечением цилиндра и плос-
кости. Обозначая через b проекцию точки В
на координатную плоскость Х[*2 , а угол,
образованный вектором ОЬ с осью Ох\, через
0, получим 0 = -©з .
Обозначим через а проекцию на плос-
кость Х|Х2 конца единичного вектора, на-
правленного по неподвижной оси Оху через
1 -
©12 - проекцию вектора — © на ЭТУ же
Ч
плоскость; через ф - угол, образованный
_ —>
вектором р = ab с осью Ох\. Тогда получим
следующие соотношения, показывающие за-
висимость ©|, ©2, ©з от положений точек
а, Ь, В .
= у3 - р(1 + cosy) .
С помощью полученных первых инте-
гралов решение уравнений Эйлера-Пуассона
дано в виде алгебраических функций от двух
новых переменных Sj и S2, являющихся ги-
перэллиптическими функциями времени t и
зависящих от пяти произвольных постоянных
[1,9].
Геометрическая интерпретация движе-
ния твердого тела была дана Н. Е. Жуковским
[8]. Однако ввиду большой сложности фор-
мул, выражающих общее решение уравнений
Эйлера-Пуассона в случае Ковалевской [5]
достаточно наглядную геометрическую истину
движения можно получить лишь в случаях
вырождения, когда гиперэллиптические
функции вырождаются в эллиптические.
Одним из наиболее известных случаев
вырождения является случай Делоне (1892 г.),
к = 0 и дополнительный интеграл (3.6.47)
разбивается на два частных интеграла
©J -©2 + У| =0; 2(&i(O2 + Y2 = °-
Все классические первые интегралы
(3.6.41) - (3.6.43) и дополнительные : в случае
Эйлера (3.6.45) в случае Лагранжа (3.6.46) в
случае Ковалевской (3.6.47) - являются поли-
номами по переменным <0|, ©2, ©3,
У|» Y2» Уз-
Впервые Гюссон [5] показал, что не су-
ществует других случаев распределения масс в
твердом теле, при которых дополнительный
первый интеграл был бы полиномиальным и
даже алгебраическим; первый интеграл
Г(©1, ©2, ©з, Y1, ?2, Уз) = х называется
алгебраическим, если он может быть пред-
ставлен в виде
<р0Сл + Ф1СЛ-1 + ... + фл_1С + фл = 0,
где фу (у = 0, 1, ..., л) - полиномы от ©/у,-,
а п - целое число.
ДИНАМИКА ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
105
Поэтому для новых случаев интегрируе-
мости нужно будет искать уже трансцендент-
ные дополнительные первые интегралы.
Некоторые частные случаи интегрируемо-
сти. Кроме общих случаев интегрируемости
(Эйлера, Лагранжа, Ковалевской), существует
ряд случаев интегрируемости, в которых огра-
ничения накладываются не только на посто-
янные Л/, X/, но и на начальные условия.
Такие случаи интегрируемости называются
частными. Упомянем о наиболее известных.
Случай Горячева-Чаплыгина (1900 г.)
предполагает условия At = = 4Лз, х^ = 0,
= 0 и ограничение на начальные условия:
С2 =0. В этом случае при предположении
Х| <0 кроме интегралов (3.6.41) - (3.6.43)
существует дополнительный первый интеграл
©3(со?+С02) + Ал)|Уз = С4; X = —. То’
4
гда, как и в случае Ковалевской, решение
уравнений Эйлера-Пуассона будет выражаться
в гиперэллиптических функциях времени t.
Однако это решение будет зависеть только от
четырех произвольных постоянных [7].
Ввиду большой сложности формул, вы-
ражающих решение при условиях Горячева-
Чаплыгина, достаточно наглядная геометри-
ческая картина движения была получена
лишь для случаев, когда гиперэллиптические
функции вырождаются в эллиптические или
тригонометрические [7, 12].
Случай Бобылева-Стеклова (1893 г.) осу-
ществляется при А\ = 2Л3, Х2 =0, Х3 =0.
При этих условиях уравнениям Эйлера-
Пуассона удовлетворяет частное решение
о>1 - а>10, а>2 = 0, ш3 = -Cfcoforj
'С2 _ ”Ф1П
I ' 4 J
для которого два первых интеграла (3.6.41) и
(3.6.42) вырождаются в один
C1Y3
у 1---= const.
2®10
После добавления к этому интегралу ин-
теграла (3.6.43) решения уравнений движения
можно найти в эллиптических функциях вре-
мени и дать наглядную геометрическую ин-
терпретацию движения [5, 12].
В случае Гесса (1890 г.) при X} = 0
*17^1042 - Л3) + *з7Лз(Л1 -Л2) = 0,
(Л} > Л2 > Л3, А\ < Л2 < Л3)
существует частный интеграл Л^Х) +
+Л3СО3Х3 =0. С помощью этого частного ин-
теграла и классических первых интегралов
(3.6.41) - (3.6.43) решение уравнений Эйлера-
Пуассона сводится к решению одного уравне-
ния. Это уравнение при С2 =0 (С2 - посто-
янная площадей) приводится к квадратурам
[12].
В предположении, что начальная угло-
вая скорость (Од имеет большую величину,
удается найти достаточно наглядную геомет-
рическую картину движения [7].
В случае Гриоли (1947 г.) при
Xi 7-^2 ~ Л3 = Х3 7Лj — Л2, Х2 = 0
U1 > Л2 > Л3)
существуют два частных интеграла Х|(О| +
+X3CD3 = a, to? + ®2 + ®з = Р (гДе а и 0 -
некоторые постоянные).
Полученное с их помощью решение
описывает регулярную прецессию твердого
тела вокруг невертикальной оси. Ось собст-
венного вращения составляет прямой угол с
осью прецессии.
Найденная Гриоли регулярная прецес-
сия является единственной для динамически
несимметричного тяжелого твердого тела,
центр Масс которого не совпадает с непод-
вижной точкой.
Уравнения Эйлера-Пуассона обладают
перманентными вращениями Штауде (1894 г.)
О/ =<оу,, у, = У/о ♦ Прл этом величины у,
должны удовлетворять уравнению (конус
Штауде)
(А2 - А3)ха2Уз+(^з - ^1)Х2ГзТ1 +
+(Л - Л2)х3Г|Г2 =0.
Движением твердого тела будет равно-
мерное вращение вокруг вертикальной оси.
Если величины у,- выбраны, то в общем слу-
чае угловая скорость со определяется по
формулам
ю2 mg(y3x2-У2х3)
(Л2-Л3)у2Уз
(1, 2, 3).
О периодических решениях для быстро-
вращающегося твердого тела. Кроме случаев,
106
Глава 3.6. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
когда уравнения Эйлера-Пуассона приводятся
к квадратурам, Ю. А. Архангельским [7] най-
ден класс периодических решений этих урав-
нений, которые зависят от трех произвольных
постоянных. Решения представляются в виде
сходящихся рядов по малому параметру ц,
обусловленному большой начальной угловой
скоростью (0з0. Преимущество периодического
решения состоит в том, что его особенности,
выясненные для промежутка времени [0, Т],
где Т - период, дают возможность получить
их для любого момента времени. Для этой
цели уравнения (3.6.39), (3.6.40) с помощью
первых интегралов (3.6.41), (3.6.42) приводят-
ся к квазилинейной автономной системе чет-
вертого порядка, обладающей первым инте-
гралом, получающимся из интеграла (3.6.43):
х + Ох = ц2Г(х, х, у, у, х0, х0, Уо, Уо> н);,
у + у = у?Ф(х, х, у, у, х0, х0, yQ, >о. Н),
(3.6.50)
где
п (Л,-Л3)(Л2-Я3).
Л|Л2
^2 mg-jx} +xl + х]
Л3ш30
(Л1 > Л2 > Лз, Ai < А2 < Л3)
F и Ф - сходящиеся в некоторой области сте-
пенные ряды по всем аргументам.
Все найденные с помощью метода ма-
лого параметра Пункаре периодические ре-
шения уравнений (3.6.50), а следовательно,
уравнений Эйлера-Пуассона можно в первом
приближении разбить на три группы, каждая
из которых характеризуется видом зависимо-
стей неизвестных ©,у, от времени t. Для
каждой из этих трех групп находится зависи-
мость углов Эйлера от времени, позволяющая
провести геометрическое исследование дви-
жения.
3.6.8. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА В
НЬЮТОНОВСКОМ ПОЛЕ сил
Уравнения движения. Для движения
твердого тела объемом V и массой m вокруг
неподвижной точки О в ньютоновском поле
сил справедливы уравнения (3.6.15), (3.6.40), в
которых
1Z dU dU
(1, 2, 3) (3.6.51)
где U - силовая функция ньютоновского поля
сил, создаваемая притягивающим центром О\;
U =
- X, fff, __________
и V*2 + 2*(5in + lifi + 5зтз) + + ?2 + ?з
R = 010; q(I;i, £2» £3) ’ плотность твердого
тела в точке с координатами ; X} - грави-
тационный параметр; у, - направляющие
косинусы неподвижной в пространстве пря-
мой 0]0.
Уравнения (3.6.15), (3.6.40) с моментами
(3.6.51) имеют так же три первых интеграла:
интеграл энергии
Л1<о2 + Л2соз + Л3®2 - 2t/(yb у2, уз) = Ci
(3.6.52)
и интегралы (3.6.42) и (3.6.43). Последний
множитель Якоби для этой системы уравне-
ний равен единице.
При предположении, что
R » р х (р = max ^2 +^з
силовую функцию U можно представить в
виде ряда; три уравнения движения с точно-
стью до 0 [(р/л)3] запишутся следующим
образом:
Л| ^L + (?<3 ” /,2)“2“3 = "’«ton - *2Тз) +
+е(Л3 - Л2)у2Гз •
(1,2,3) (3.6.53)
где
gl
м
R2
- ускорение силы тяготения на
расстоянии R от притягивающего центра;
е = 3gt/R
Интеграл энергии (3.6.52) примет вид
4©? + А2а>2 + Л3Ш3 + 2mg} (х,у, + х2у2 +
+X3Y3) + e(4y2 + Л2У2 + Я3уз) = С{
(3.6.54)
НЬЮТОНОВСКОЕ ПОЛЕ СИЛ
107
Таким образом, при е = 0 уравнения
(3.6.53) переходят в уравнения (3.6.39) и, сле-
довательно, задача о движении твердого тела
вокруг неподвижной точки в ньютоновском
поле сил при малом значении £ является
> обобщением классической задачи о движении
тяжелого твердого тела вокруг неподвижной
точки.
Уравнения (3.6.53) и (3.6.40) имеют три
алгебраических первых интеграла (3.6.54),
(3.6.42), (3.6.43) и последний множитель Яко-
би, равный единице. Поэтому, на основании
теоремы Якоби интегрирование этих уравне-
ний сводится к нахождению дополнительного
первого интеграла. Этот интеграл был полу-
чен в двух случаях, являющихся аналогами
случаев Эйлера и Лагранжа.
Аналог случая Эйлера. Он характеризует-
ся только тем, что центр масс тела должен
совпадать с неподвижной точкой, т. е. x-t = 0.
Дополнительный первый интеграл
Л2©2 + А%со2 + Л2©2 -б(Л2Л3уЗ + Л|Л3у2 +
+Л|Л2у3) = С4.
(3.6.55)
и уравнения движения были приведены к
квадратурам Коббом (1899 г.) и затем, не-
сколько иным способом, Е. И. Харламовой
(1959 г.). Квадратуры, связывающие углы Эй-
лера 0, ф, ц/ и время /, имеют очень слож-
ный вид, не позволяющий провести анализ
движения твердого тела в общем случае.
В частности, например в случае Стекло-
ва (1902 г.), такой анализ движения удается
сделать [6]. Решение уравнений (3.6.53) и
(3.6.40) имеет вид
со ? = е ———--sn?x ;
1 DA^-Atf
2 D - А$ 2
2 ПЛ((Л[-ЛП
дДЛ.А (3.6.56)
ЯА3(А[ - Л3)
к - модуль эллиптических функций.
В этих формулах постоянные Л/ играют
роль главных моментов инерции и связаны
определенными соотношениями с истинными
моментами инерции тела
А, (Л1 + Ач - Л3 * 0) . Эти соотношения
зависят от одного произвольного параметра
FK =(А{Ач)~1. Постоянные же
Л/, D(D = \/С\ ,С2 =1) удовлетворяют нера-
венствам А{ > А2 > D > Л3 > 0. Таким обра-
зом, решение (3.6.18) выражается в эллипти-
ческих функциях времени и зависит от трех
произвольных постоянных Iq, D, IV .
Соответствующее движение твердого те-
ла будет движением по Пуансо. Однако это
движение несколько отличается от движения
твердого тела в случае Эйлера. Дело в том,
что, поскольку величины Л/ зависят (через
параметр W ) от начальных условий, то для
каждого набора ©;д надо строить свой
“эллипсоид инерции” с “главными момента-
ми” Л/.
Аналог случая Лагранжа. Он существует
при условиях А\ = Л2, Xj = 0, х2 = 0, х3 * 0
и характеризуется дополнительным интегра-
лом ©3 = ш3о(= С4) . Два классических ин-
теграла (3.6.16) и (3.6.4) примут вид
<»? + <°2 - 2аУз “ Е1Уз = ЛЬ <» 1У1 + <°2У 2 -
-*Гз =*Ь
где а = т^Хз ; b = (v - 1)<о30; v = 4——;
Л1 Л,
Е| = ve; х3 < 0
Введем функцию
ф(.1з) = (1 - Гз)(Л| + 2<хуз + BfTs) -
~(ki + bf 3)2
Л]СО| Л2©э Л3со3
У| = ~У2 = ~7=^» Уз = »
Ve Ve Ve
ч 2 ~ Р)(Ач ~ ^з)
где х = We(/ - /о);« = 2 3 ;
1Л41Л2Л3
к2_(А{-АЫР-А$
(Aj - А$)(А( - D) ’
и предположим, что все четыре корня
е1» е2> е3> е4 полинома Ф(у3) действитель-
ные и различные, причем в| > е2 > е3 > е4 и
УЗО = q •
Тогда решение уравнений движения
(3.6.15) и (3.6.2)
Ш| = pcoso; со2 = psino; ©3 = сэзо»
108
Глава 3.6. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
у, =--------(<02 + УШзо®!);
a+£|Y3
-1 /• ч
Y2 ~ ' V0! -v<030<02);
е2-е4
p = Aj +2ауз 4-ejyj;
о - q0 = -<озо(' - *o) + j"" ' 2 dt'
h p
A = el^l “ Lq = afcj - bh\;
T = 0^7ei(ei -<?j)(*2 -«4> <f ~ <b)
Таким образом, все переменные задачи
находятся как функции времени и зависят от
пяти произвольных постоянных Л), kit
©30, а0» *0 • Сведение этой задачи к квадра-
турам выполнено В. В. Белецким (1957 г.) [5,
46].
Некоторые траектории оси волчка, каче-
ственно дополняющие классический случай
Лагранжа, приведены на рис. 3.6.17.
Лунно-Солнечная прецессия. Из-за эква-
ториального утолщения Земли (экватори-
альный радиус Земли больше полярного на 21
км) и наклона ее оси к плоскости эклиптики
(угол между осью Земли и перпендикуляром к
плоскости эклиптики составляет 23,5° ) сила
притяжения Земли к Солнцу не проходит
через центр 0 масс Земли и, следовательно,
создает момент относительно точки 0. Ана-
логичный момент создает и сила притяжения
Земли к Луне, так как плоскость орбиты Лу-
ны почти совпадает с плоскостью эклиптики.
Выбирая в качестве основных координат
оси Кенига, из которых одну направим пер-
пендикулярно к плоскости эклиптики, а дру-
гую - в точку весеннего равноденствия, мож-
но найти момент М “возмущающих” сил,
например, от Солнца, из правых частей фор-
мул (3.6.53), полагая в них А^ = Л2, X/ = 0,
ЗХг / л л \
'”1=-4-(Л3-Л1)г2г3;
IX
">2 =-^-(4э-А)птз;
К
т3 =0,
где Х^ - гравитационный параметр Солнца;
У/ - направляющие косинусы оси, идущей от
центра Солнца к центру масс Земли.
Считая орбиту Земли вокруг Солнца
круговой радиуса R и обозначая через
п = 2п (рад/год) угловую скорость радиуса-
вектора R Земли в ее орбитальном движе-
нии, получим следующие уравнения, описы-
вающие прецессию и нутацию Земной оси
[13]:
Зл2 (А3 — А\ г .1
Ф = —— —LJ cos 0 [1 - cos 2 (nt - у)];
• Зл2 (А3 — .
0 = - —- —~—L Ism 0 sm 2 (nt - \p),
2Q \ A3 J
Рис. 3.6.17
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
109
где Q = 2п • 366 — рад/год - угловая скорость
4
Земли; - А\)/А$ - 1/305,6.
Осредняя эти уравнения за один год и
учитывая, что за этот период ф изменяется
меньше, чем на 1*, получим средние значения
< ф >с и < 0 >с:
Полагая в первой из полученных фор-
мул 0 = 23,5*, найдем < ф >с = -15,9* в год.
Проводя аналогичные рассуждения для
“возмущающих” сил со стороны Луны, най-
дем < ф >л = -34,5' в год. Поэтому изменение
направления Земной оси в пространстве под
действием “возмущающих” сил со стороны
Луны и Солнца, называемое Лунно-
Солнечной прецессией, и равное
< ф >С + < Ф >л составит 50,4’ в год.
Отсюда время полного оборота Земной
оси вокруг перпендикуляра к плоскости эк-
360 -60-60
липтики равно --------« 26000 лет.
Глава 3.7
ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
3.7.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Гироскопические явления возникают в
механических системах, содержащих быстро
вращающиеся тела - роторы. Гироскопиче-
ские приборы и системы широко применяют-
ся в современной технике. Без гироскопов
немыслима современная навигация и управ-
ление морскими, авиационными и космиче-
скими объектами. Гироскопическую природу
имеют важные динамические особенности
транспортных, энергетических и других агре-
гатов, содержащих роторы. Многие свойства
естественных процессов, в которых участвуют
вращающиеся тела, также носят гироскопиче-
ский характер [13,27, 36, 58].
Специфика гироскопических явлений
обнаруживается в простейшем случае гиро-
скопа Фуко - одного симметричного тела -
ротора, вращающегося вокруг оси динамиче-
ской симметрии (рис. 3.7.1) [13, 36]. Правая
ортогональная система координат неиз-
менно ориентирована в звездном пространст-
ве, начало О расположено в центре масс на
оси динамической симметрии гироскопа. Со-
путствующий, или астатический трехгранник
Oxyz получается из О двумя последова-
тельными поворотами на углы а, Р, приво-
дящими ось к совпадению с осью Oz
динамической симметрии гироскопа. Поло-
жение ротора относительно трехгранника
Oxyz задается углом собственного вращения
ф.
Гироскопические эффекты проявляются
в угловом движении ротора, поэтому уравне-
ния движения составляются в форме уравне-
ния кинетического момента в подвижной
системе Oxyz:.
г
^2-+ ш X <70 = Д), (3.7.1)
at
где ш (шх, со^, сог) - вектор абсолютной
угловой скорости трехгранника, заданный
проекциями на свои оси; Gg(^©x, А(оу,
С(шг + ф)) - вектор кинетического момента
ротора относительно точки О в его абсолют-
ном движении; А, С - экваториальный и по-
лярный моменты инерции ротора;
x,My,Mz) - вектор момента внешних
сил.
Изменение ориентации оси z относи-
тельно Ofy\£ описывается кинематическими
уравнениями, связывающими а, р с
шх, ©j,, . При малых углах а, р эти
уравнения могут быть записаны в виде
110
Глава 3.7. ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
В теории гироскопических систем ши-
роко используются приближенные прецесси-
онные уравнения. Они получаются, если в
состав кинетического момента включить
только те составляющие, которые определя-
ются быстрым вращением ротора. При этом в
(3.7.1) следует принять
Gq = Я (0,0, Я); Н =С(шг +ф), (3.7.3)
где Я - вектор собственного кинетического
момента гироскопа. Прецессионные уравне-
ния принимают еще более простой вид, если
рассматривать случай, когда момент сил, при-
водящих ротор во вращение, уравновешивает-
ся моментом сил сопротивления: Mz =0.
Тогда из (3.7.1), (3.7.3) вытекает Gz = Я =
= С (со z + ф) = const.
Собственная угловая скорость ротора
гироскопа обычно велика (ф»®г) и из-
вестна с высокой точностью. При этом собст-
венный кинетический момент гироскопа Я
можно считать известной величиной.
Уравнения (3.7.1), (3.7.3) в случае
Я = const принимают вид
®хЯ = Л/0 (3.7.4)
Вектор Mq лежит в плоскости Оху, век-
тор Я ориентирован по оси z, вектор <о
образует с Я , Mq правый ортогональный
трехгранник (рис. 3.7.2).
Проекции (3.7.4) на оси Oxyz дают
Но У = Мх
- Нох = Му . (3.7.5)
Прецессионным уравнением (3.7.4) оп-
ределяется правило Резаля (правило Жуков-
ского), которым удобно пользоваться при
решении прямой и обратной задач динамики
гироскопа.
Прямая задача. Пусть в (3.7.4) задан век-
тор момента Mq . По правилу Резаля угловая
скорость <0 прецессии гироскопа под дейст-
вием этого момента будет такой, как будто
ось z стремится совместиться с вектором Mq :
о = Mq /Я . При больших Я она мала.
Отсюда вытекает важное для приложений
следствие: быстро вращающийся гироскоп
медленно изменяет ориентацию в пространст-
ве под действием внешнего момента.
Учет в (3.7.1) экваториальных состав-
ляющих Аох, АОу кинетического момента
не изменяет существенно этого вывода. В
прежнем предположении Mz = 0, Я = const
и из (3.7.1) получаются следующие уравнения:
Аох + Но у = Мх ;
Аоу - Но х = Му . (3.7.6)
Если для простоты оценок принять
Мх, Му = const, то движение гироскопа из
(3.7.6) имеет две составляющие: первая
(оу)\=Мх/Н, (®х)| = -Му/Н в точно-
сти совпадает с угловыми скоростями прецес-
сионного движения из (3.7.5); вторая, нутаци-
онная (<ох)2 , (0^)2 определяется собствен-
ными движениями системы (3.7.6), имеющи-
ми колебательный характер. Частота нутаци-
онных колебаний <он = И/А определяется
из характеристического уравнения системы
(3.7.6). При больших Я значение нутацион-
ной частоты весьма велико.
Таким образом, движение гироскопа
слагается из медленного прецессионного дви-
жения его оси, совершающегося под действи-
ем внешнего момента, и высокочастотных
нутационных колебаний, которые на практи-
ке обычно быстро затухают за счет сил тре-
ния, не учитываемых в уравнениях (3.7.6).
Из (3.7.5), (3.7.6) следует, что при задан-
ных значениях Мх, Mv медленная состав-
л У
ляющая угловой скорости сопутствующего
трехгранника Oxyz определяется однозначно.
ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ
111
Поэтому гироскоп может служить элементом,
задающим требуемую ориентацию в абсолют-
ном пространстве.
Гироскопические системы общего вида
образуются набором гироскопов, объединен-
ных конструктивными элементами и охвачен-
ных электромеханическими цепями управле-
ния. Прецессионные уравнения таких систем
получаются при помощи методов разделения
движений, когда исключаются высокочастот-
ные нутационные и электромеханические
колебания и на систему налагаются сервосвя-
зи, соответствующие “жестким” управлениям
[44]. Сервосвязями называют ограничения на
относительные движения конструктивных
элементов системы, которые реализуются за
счет высокоточных цепей управления с бес-
конечными в пределе коэффициентами уси-
ления. Примерами таких цепей управления
могут служить цепи межрамочной коррекции,
управления платформой индикаторного гиро-
стабилизатора по рассогласованиям от чувст-
вительных элементов и т. п. Если сервосвязей
нет, прецессионные уравнения получаются
при традиционных допущениях вида (3.7.3).
Обратная задача гироскопии. Пусть гиро-
скоп (см. рис. 3.7.1) принудительно вращается
относительно абсолютной системы с
угловой скоростью со . Вектор Mg момента
сил, приложенных в этом движении со сторо-
ны ротора к подшипникам оси собственного
вращения ротора, называется гироскопиче-
ским моментом. Проекции вектора Mg оп-
ределяются из уравнения (3.7.4):
gx _ ^Ох _ pj 0 1
Л/ М — 1 О
В (3 7 7) появляется типичная для гиро-
скопических систем кососимметричная мат-
рица, связывающая проекции векторов Mq и
со.
Из (3.7 7) следует, что при большой ве-
личине Н составляющие гироскопического
момента могут быть велики. Это приводит к
появлению значительных гироскопических
составляющих реакций в подшипниках ро-
торных машин, работающих на подвижном
основании, что позволяет использовать гиро-
скопы в качестве исполнительных устройств,
обеспечивающих задание требуемого момента,
например, в гироскопических успокоителях
качки судов, системах управления ориентаци-
ей космических аппаратов при помощи гиро-
динов и т п Важно отметить, что гироскопи-
ческие моменты реализуются автономно, за
счет внутреннего перераспределения кинети-
ческого момента управляемой системы.
®х
.<°У.
. (3.7.7)
3.7.2. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ
ГИРОСКОПИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ
Разнообразие использования гироскопов
в прикладных задачах, определяется способа-
ми формирования моментов, действующих на
гироскоп.
Гороскоп направления [13, 36]. Гироскоп
устанавливается на подвижном основании
так, что одна из точек ротора может считаться
неподвижной относительно основания. Это
обеспечивается либо бесконтактным (электро-
статическим, магнитным и др.) подвесом,
либо при помощи трехосного карданова под-
веса. Последний, традиционный вариант при-
веден на рис. 3.7.3.
Моменты управления Мх, Му , прило-
женные в осях подвеса, задают прецессию
гироскопа в абсолютном пространстве с тре-
буемой по назначению задачи угловой скоро-
стью. Угловые рассогласования основания с
гироскопом измеряются при помощи датчи-
ков углов поворота а, 0 в осях карданова
подвеса. Таким образом, гироскоп направле-
ния может служить позиционным датчиком
угловой ориентации основания.
Гиромаятник [13, 27, 36]используется в
качестве указателя вертикали на движущемся
объекте. Его основным элементом чаще всего
служит гироскоп в кардановом подвесе. В
случае гиромаятника центр масс кожуха гиро-
скопа, играющего роль внутренней рамки 2,
смещен вдоль оси вращения ротора. Это при-
водит к появлению восстанавливающих маят-
никовых моментов относительно осей подве-
са.
Угловая скорость трехгранника Oxyz в
(3.7.5) складывается из угловой скорости гео-
графического трехгранника, связанного с ме-
стной вертикалью, и угловой скорости кожуха
в его отклонении от вертикали. С погрешно-
стью второго порядка малости
=~~Т + а. =-^- + Р. (3-7.8)
л л
где а, 0 - углы отклонения оси z от вертика-
ли; vx , vy - горизонтальные составляющие
скорости географического трехгранника; R -
радиус Земли.
Их
Рис. 3.7.3
112
Глава 3.7. ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
В правых частях уравнения (3.7.5), запи-
санных с той же точностью,
Мх = -mg! a- ml ;
at
Му = -mgl^ + ml^-.
z at
(3.7.9)
Первые слагаемые в (3.7.9) - это состав-
ляющие маятникового момента, вторые - мо-
мента сил инерции, т - масса гиромаятника,
/ - смещение центра масс относительно точки
пересечения осей карданова подвеса.
С учетом (3.7.8), (3.7.9) уравнения (3.7.5)
можно записать в виде
mldvy\ ,( Н
-H^T)=~mgl[a + -R^V
-Н\а +
ml dNjA
Н dt)
,Г н "I
= -ms/Fw4
(3.7.10)
Собственная частота ©о гиромаятника
определяется из (3.7.10) при vx, \у =0. Из
характеристического уравнения этой системы
п
Возмущения vx, vy и dvx/dt, dvy/dt
вызывают погрешности а,р определения
вертикали - скоростные и баллистические
девиации гиромаятника.
Из (3.7.11) видно, что подбором пара-
метров гиромаятника его собственная частота
может быть сделана малой. При этом высоко-
частотные составляющие скоростных и балли-
стических возмущений в (3.7.10) эффективно
фильтруются.
Подчиним параметры гиромаятника ус-
ловию
-Яфх = -mglqy,
rae^=a+i;^=p+i
Отсюда следует, что гиромаятник шуле-
ровской частоты не имеет баллистических
девиаций. Он совершает конические движе-
ния с размахом, определяемым начальными
условиями, относительно оси, смещенной на
величину скоростной девиации.
У гиромаятника с радиальной коррекци-
ей моменты управления по осям карданова
подвеса формируются специальным коррек-
тирующим устройством так, что в невозму-
щенном движении
Л/х = -ед Му=ка, (3.7.13)
где к - коэффициент коррекции.
Из (3.7.2), (3.7.5), (3.7.13) следует, что
невозмущенное движение по каждой пере-
менной а,р описывается уравнением вида*
та + a = 0; т = И/к .
Ось гироскопа в этом случае движется
из начального положения к вертикали по
кратчайшему радиальному направлению - в
апериодическом режиме с большой постоян-
ной времени т .
Гиротахометр, или гироскопический дат-
чик угловой скорости основания, на котором он
установлен [36). Простейшая схема гиротахо-
метра изображена на рис. 3.7.4. Она может
быть получена из схемы, показанной на рис.
3.7.3, если наружную рамку 1 жестко скрепить
с основанием. Со стороны основания к кожу-
ху 2 приложен упругий момент
Му=-к&, (3.7.14)
развиваемый обычно “электрической” пру-
жиной.
Прецессионные уравнения гиротахомет-
ра получаются из второго уравнения (3.7.5) и
уравнения (3.7.14). Отсюда £0 = Нох .
ml _ Н
Н Rmgl
(3.7.12)
Тогда по (3.7.11), (3.7.12) собственная
частота гиромаятника будет частотой Шулера
w0 ~ ~ 10-3 с-1. При этом урав-
нения (3.7.10) могут быть записаны в одно-
родной форме
Н<ру = -mglyx;
Рис. 3.7.4
ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ
113
Таким образом, сила пружины, изме-
ряемая обычно по силе тока в цепи ее управ-
ления, пропорциональна составляющей сох
угловой скорости основания.
Гирокомпас [13, 27, 36]. Гироскопиче-
ский компас представляет собой трехстепен-
ный неуравновешенный гироскоп в кардано-
вом подвесе, ось наружной рамки которого
устанавливается по вертикали места на по-
верхности Земли. Если кожух гироскопа име-
ет неуравновешенность такую, как на рис.
3.7.5, т. е. центр масс кожуха смещен в на-
правлении, перпендикулярном к оси кожуха
(оси у) и вектору собственного кинетического
момента Н, то в положении равновесия сис-
темы вектор Н оказывается в плоскости ме-
ридиана. Вектор и (рис. 3.7.5) - угловая ско-
рость Земли, а угол ф - широта места.
Проекции абсолютной угловой скорости
кожуха на жестко связанные с ним оси xyz
имеют вид:
сох = a cos р + и sin ф cos р - и cos ф;
(Иу =Р + МСО5ф5Ша.
Моменты, действующие вокруг осей на-
ружной рамки и кожуха, Мх = 0;
Му = -mgl sin р . Прецессионные уравнения
(3.7 5) позволяют записать уравнения гиро-
компаса:
к sin р - bcosр + a cosa sin р
a =-----------------;
cosp
p = -asina, (3.7.15)
где к = mgl /Н ; а = и совф; Ь = и sin ф .
Приравнивая правые части системы
(3.7.15) нулю, получаем положения равнове-
сия sin ao = 0, tgPo = b/(k ± а). Обычно
к » а, b , поэтому Ро « д/Л , т. е. в поло-
жении равновесия вектор собственного кине-
тического момента лежит в плоскости мери-
диана и приподнят над плоскостью горизонта
на угол Ро.
“Экзотические” гироскопы. Попытки за-
менить гироскоп в кардановом подвесе, как
основу гироскопических приборов различного
назначения, какими-либо иными механиче-
скими или физическими системами, обла-
дающими аналогичными свойствами, пред-
принимались по двум направлениям. Во-
первых, закрепление быстро вращающегося
тела в неподвижной точке можно осуществ-
лять, отказавшись от карданова подвеса, на-
пример, при помощи электрических или маг-
нитных полей. Во-вторых, можно отказаться
от ротора, если использовать гироскопические
эффекты в различных средах (например, уп-
ругих, или жидких), или гироскопические
свойства ядер атомов. Наибольшее распро-
странение получили следующие гироскопы.
Электростатический гироскоп - полый
шар, материал которого является проводни-
ком, заключен между системой электродов, на
которые подают различные, зависящие от
положения шара, напряжения и,. В про-
странстве между электродами и шаром - ваку-
ум (рис. 3.7.6). Поскольку силы взаимодейст-
вия между поверхностью шара и электродами
всегда являются силами притяжения, то при
постоянных и, электростатический подвес
всегда неустойчив. Он может быть устойчи-
вым только при введении обратной связи,
позволяющей регулировать и, в зависимости
от положения центра шара относительно
электродов.
Рис. 3.7.6
114
Глава 3.7. ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Шар приводится в быстрое вращение с
угловой скоростью со вокруг оси динамиче-
ской симметрии и ввиду крайне незначитель-
ных возмущающих моментов почти не меняет
положение вектора собственного кинетиче-
ского момента в инерциальном пространстве.
Съем информации о положении оси враще-
ния относительно корпуса осуществляется
обычно оптическими средствами наблюдения
за каким-либо рисунком, нанесенным на по-
верхность шара.
Магнитостатический гироскоп не имеет
принципиальных отличий от электростатиче-
ского. Поддерживающие вращающийся в ва-
кууме шар силы создаются расположенными
вокруг него электромагнитами.
При использовании в качестве материа-
ла ротора пара- или ферромагнетиков, не-
управляемый магнитостатический подвес, как
и электростатический, неустойчив. Устойчи-
вость обеспечивается введением обратных
связей. В случае диамагнетиков силы взаимо-
действия между магнитами и поверхностью
шара являются силами отталкивания и подвес
устойчив без обратных связей. В криогенных
гироскопах при сверхнизких температурах
материал ротора (ниобий) превращается в
идеальный диамагнетик.
Лазерный гироскоп представляет собой
замкнутую оптическую систему, в которой
источник А монохроматического излучения
(рис. 3 7 7) испускает два когерентных, проти-
воположно направленных луча, отражающих-
ся от зеркал В. В оптической среде возникает
интерференционная картина в виде чередую-
щихся светлых и темных полос, которая не-
подвижна относительно инерциального про-
странства, что позволяет измерить изменение
положения корпуса гироскопа в плоскости,
содержащей рассматриваемые лучи света.
Динамически настраиваемый гироскоп
(рис. 3.7.8) представляет собой гироскоп с
обращенной схемой карданова подвеса. Быст-
ро вращающийся ротор А приводится во вра-
щение посредством вала С электродвигателя
при помощи вспомогательных элементов -
промежуточного кольца В и двух пар взаимно
ортогональных упругих связей D. Упругие
связи должны обладать малой жесткостью на
кручение и большой на изгиб. Таким обра-
зом, ротор А может поворачиваться на не-
большой угол р относительно промежуточ-
ного кольца, а кольцо - на угол а относи-
тельно вала. Углы измеряются вокруг осей
скручивания упругих связей.
Уравнения движения ротора в углах а и
Р могут быть получены после линеаризации:
аА + pcoF + (a2Da + k^a = 0;
pF - аа>В + (о2/р + к2а = 0,
где А, В, С, Z), Е, F - некоторые линейные
комбинации моментов инерции ротора и
промежуточного кольца; Л|, к2 - угловые
жесткости упругих связей; со - угловая ско-
рость вала.
Если параметры системы выбирать так,
что
со2/) + к\ = 0; co2F + к2 = 0, (3.7.16)
то уравнения принимают вид
clA + р// = 0; pF - аН = 0.
(Я = ©F)
Гироскоп приобретает свойства свобод-
ного гироскопа при отклонении оси вала от
первоначального положения, в котором она
была ортогональна плоскости ротора, ротор
сохраняет плоскость вращения неизменной в
инерциальном пространстве.
ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ
115
Хотя ротор связан с валом упругими
связями, при условии динамической настрой-
ки (3.7.16) упругие и инерционные эффекты
компенсируют друг друга, и этот вид закреп-
ления ротора моделирует идеальные подшип-
ники по направлениям изменения углов а и
0-
Волновой твердотельный гироскоп
(рис. 3.7.9) представляет собой симметричную
упругую оболочку, жестко закрепленную на
подвижном объекте. Ось чувствительности
гироскопа совпадает с его осью симметрии.
Измерение скорости или угла поворота осно-
вания вокруг оси осуществляется по наблю-
дениям эволюции стоячей волны упругих
колебаний оболочки. На рис. 3.7.10 штрихо-
вой линией показано мгновенное положение
упругой оболочки в процессе ее колебаний на
основной форме, угол у определяет положе-
ние стоячей волны относительно тела оболоч-
ки. Связь угла у с угловой скоростью сох
основания имеет вид:
t
у(Г) = -Л |сох(Г)Л + У0-
0
Коэффициент к (0<£<1) зависит от
геометрии оболочки, например для цилиндра^
к = 2/5, для полусферы к = 0,31.
Прецессия стоячей волны по телу обо-
лочки, порождаемая ее вращением вместе с
основанием, является не единственным типом
ее эволюции. У реального резонатора, на ко-
торый действуют внешние возмущения, стоя-
чая волна, помимо прецессии по резонатору,
испытывает еще три типа эволюции: во-
первых, из-за диссипативных эффектов может
изменяться ее амплитуда; во-вторых, может
изменяться частота колебаний; в-третьих,
стоячая волна может разрушаться, распадаясь
на две несбалансированные, бегущие в проти-
воположные стороны волны.
Эти типы эволюции в гироскопическом
приборе должны быть исключены посредст-
вом введения обратных связей по амплитуде,
частоте и признаку разрушения стоячей вол-
ны. Съем информации осуществляется элек-
трическими или оптическими датчиками пе-
ремещения, управление волной осуществляет-
ся электрическим полем, создаваемым специ-
альными электродами.
Системы гироскопической стабилизации
[27, 36]. Их используют для задания требуе-
мой ориентации объектов различного назна-
чения (танковые пушки, приборные платфор-
мы систем инерциальной навигации и др.). В
зависимости от числа угловых параметров, по
которым осуществляется стабилизация объек-
та, бывают двух- и трехосные гиростабилиза-
торы. По принципу действия различают два
основных типа гиростабилизаторов - индика-
торные и силовые.
В индикаторных системах на стабилизи-
руемом объекте устанавливаются гироскопы
направления, имеющие относительно объекта
три угловых степени свободы. Для двухосной
стабилизации достаточно одного гироскопа,
для трехосной - двух. Моменты управления,
прикладываемые к гироскопам, задают их
прецессию в абсолютном пространстве с тре-
буемыми угловыми скоростями. Угловые рас-
согласования объекта относительно гироско-
пов устраняются пространственной следящей
116
Глава 3.7. ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
системой, исполнительными органами кото-
рой прикладываются моменты к стабилизи-
руемому объекту. Если объект не является
свободным телом, то его кинематическое ос-
вобождение относительно основания, на ко-
тором он расположен, осуществляется при
помощи бесконтактного или карданова подве-
сов В зависимости от назначения системы
кардановы подвесы могут быть двух-, трех-
или четырехосными.
В силовых системах гироскопической ста-
билизации на стабилизируемом объекте уста-
навливаются гироскопы с двумя относитель-
ными степенями свободы. Принцип действия
одноосного стабилизатора может быть пояс-
нен по рис. 3.7.3, когда стабилизируемый
объект считается жестко связанным с наруж-
ной рамкой 1 карданова подвеса. При непод-
вижном основании и малых углах а, 0 пре-
цессионные уравнения движения записыва-
ются в виде (3.7.2), (3.7.5). Под действием
постоянной составляющей Mq момента Мх
ротор гироскопа вместе с внутренней рамкой
2 прецессирует по углу 0 . Эта прецессия
парируется моментом двигателя стабилиза-
ции, который управляется по показаниям
датчика угла 0 .
Таким образом, в (3.7.5)
Mx = Mq~W, (3.7.17)
где к - статический коэффициент усиления
указанной обратной связи.
Из (3.7.2), (3.7.5), (3.7.17) вытекают
уравнения:
Я0 = А/о - *0 ;
-На = Му. (3.7.18)
Стационарное решение (3.7.18) 0=0,
Mq = £0, d = - Му/Н . В установившемся
режиме возмущающий момент полностью
парируется двигателем стабилизации.
В отличие от систем индикаторной ста-
билизации, компенсация возмущения в пере-
ходном режиме осуществляется также за счет
гироскопического момента.
Инерциальные навигационные системы
(ИНС) служат для автономного определения
положения подвижного объекта (самолета,
корабля, ракеты и др.) относительно Земли
или в космическом пространстве. В качестве
исходной информации используются измере-
ния вектора кажущегося ускорения объекта
->
г “* d2r
a = g(r)-^, (3.7.19)
dt2
где а - вектор удельной, отнесенной к еди-
ничной массе, силр, равной сумме сил тяго-
тения и инерции; г - вектор положения объ-
—>
екта относительно центра Земли; g(r) - век-
тор ускорения земного тяготения; d2r/dt2 -
вектор ускорения сил инерции.
Измерения (3.7.19) доставляются блоком
трех однокомпонентных ньютонометров
(акселерометров) либо одним пространствен-
ным ньютонометром. Измерение вектора а
производится в осях трехгранника, ориента-
ция которого в абсолютном пространстве за-
дается гироскопами. Ориентация трехгранни-
ка может сохраняться неизменной в абсолют-
ном пространстве, трехгранник может ориен-
тироваться по земной вертикали. В этих слу-
чаях блок ньютонометров устанавливается на
гиростабилизированной платформе, кинема-
тическая свобода которой относительно под-
вижного объекта обеспечивается трехосным
кардановым подвесом. Блок ньютонометров
может также устанавливаться непосредствен-
но на подвижном объекте. При бескарданном
варианте ИНС ориентация приборного трех-
гранника вычисляется путем интегрирования
кинематических уравнений типа уравнений
Пуассона по информации, доставляемой бло-
ком гироскопических датчиков угловой ско-
рости.
Уравнение (3.7.19) моделируется в бор-
товом вычислителе
—>
e' = M'b)-$L’ <3-720)
где а определено по (3.7.19); Гд - модельный
аналог вектора г ; вектор gg задается моде-
лью поля земного тяготения, заложенной в
вычислитель.
Интегрирование уравнения (3.7.20) при
заданных начальных условиях Гд(0) *
•>
drQ/dt(ty позволяет производить непрерыв-
ное вычисление навигационного вектора Гд *
Погрешности ИНС определяются инст-
рументальными погрешностями ньютономет-
ров и гироскопов, погрешностью задания
модели поля тяготения, погрешностями зада-
ния начальных условий и алгоритма вычисле-
ния. Схемное и конструктивное исполнение
ИНС зависит от конкретных ограничений и
упрощений, возникающих в частных навига-
ционных задачах. Точность ИНС существенно
улучшается за счет привлечения сторонней
астро-, радио- и другой корректирующей ин-
формации. Точность современных ИНС дос-
тигает десятков и сотен метров.
ПОГРЕШНОСТИ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ
117
3.7.3. ПОГРЕШНОСТИ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Погрешности роторных гироскопиче-
ских приборов и систем оцениваются в рам-
ках прецессионной теории при помощи урав-
нений вида (3.7.5):
Н(ау = Л/Х(а, 0, t);
-Н<ах - Му(а, 0, t). (3.7.21)
Углы поворота оси гироскопа а, р оп-
ределяются в зависимости от назначения сис-
темы.
В (3.7.21) принимают:
Н = Н° + ДЯ, <ох = <ох 4- Дсох,
(Ну = coj + Дсо^, а = а0 + Да, 0 = 0° 4- Д0,
где ДЯ, ..., Др - отклонения соответствую-
щих величин от их номинальных значений
Я0,..., 0° - при работе системы без помех,
возмущений и технологических несовер-
шенств изготовления.
Считая отклонения ЛЯ, ...,Др малы-
ми и выделяя в (3.7.21) члены первого поряд-
ка малости по ним, можно получить уравне-
ния
Н°А(ау = -coj ДЯ + Л/х Да + Л/?Д0 + ДЛ/Х ;
-Я°Дсох = со£ДЯ 4- Л/“Да 4- Л/^Др 4- АМу ,
(3.7.22)
где л/;,.... м* - линейные, интегро-
дифференциальные операторы, получающиеся
при варьировании зависимостей Л/х, Му от
а, р , величины ДЛ/Х, АМу слагаются из
аддитивных составляющих погрешностей реа-
лизации Л/х, Му и членов более высокого
по Да, Др порядка.
Уравнения (3.7.22) следует дополнить
уравнениями, которые получаются при ана-
логичном разложении кинематических урав-
нений:
шх = cox(d, 0, а, р); со^, = ©^(d, 0, а, р);
Д(0х =
^]др + д42);
Д(о^ =
да>у
да
Да 4- ... 4- Дсо j?),
(3.7.23)
где Дсох2\ Дсо^ - члены разложения, квад-
ратичного и более высокого порядка малости.
Ргли гармоническая система содержит
несколько гироскопов, то число уравнений
вида (3.7.22), (3.7.23) может увеличиться, но
их структура не изменится.
Возможны два случая.
1. Моменты Мх, Му в (3.7.22) не зави-
сят от а, р . Тогда в динамических уравнени-
ях отсутствуют члены с Да, Др , и они могут
рассматриваться независимо от кинематиче-
ских уравнений. Из (3.7.22) определяются
отклонения Дсох, Дсо^, от номинальных зна-
чений coj,coj. Величины Дсох, Дсо^ назы-
вают угловыми скоростями ухода или скоро-
стями дрейфа.
2. Моменты Мх, Му зависят от а, р .
Тогда отклонения Да, Др определяются из
совместной системы уравнений (3.7.22),
(3.7.23). Величины Да, Др являются девиа-
циями гироскопической системы. Линейная
однородная часть этой системы по
Дсох, Дсо^ , Да, Др возмущается слагаемыми
со^ДЯ, (я°уАН, АМХ, AM у , Дсох2), Д(Оу2).
Наибольшее влияние на погрешности систе-
мы обычно оказывают возмущения
ДЛ/Х, AM v.
Л у
Возмущения ДЛ/Х, АМу вызываются
разнообразными причинами. К главнейшим
из них относятся: дисбаланс, вызывающий
появление моментов, пропорциональных пер-
вой степени перегрузки основания; неравно-
жесткость конструкции, порождающая мо-
менты, пропорциональные квадрату перегруз-
ки; натяжения токоподводов, датчиков угла и
моментов; конвективные течения в поплавко-
вых гироскопах; поступательные и угловые
вибрации основания, вызывающие квадра-
тичные составляющие погрешностей типа
“ухода Магнуса”; трение в осях; разброс зна-
чений масштабных коэффициентов и т. д.
Часть из этих факторов допускает прин-
ципиальную возможность их учета - представ-
ление некоторых составляющих погрешностей
гироприборов в виде функциональных зави-
симостей от тех или иных аргументов: пере-
грузок, температур и др. Такие составляющие
погрешностей Дсох, А<ьу , Да, Др называют
систематическими.
Анализ зависимости систематических
составляющих от их аргументов, измеритель-
118
Глава 3.7. ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
ных и вычислительных возможностей позво-
ляет сформировать модель погрешностей сис-
темы - зависимость Дсох, Дсо^ , Да, Д0 от
степеней перегрузки, температуры в фиксиро-
ванных точках, токов в цепях датчиков и т. д.
По результатам измерений этих величин при
помощи уравнений модели погрешностей
могут быть вычислены оценки
АЛЛА
Дсох,Дсо^, Да, Д0 уходов и девиаций
системы. Окончательная погрешность гиро-
скопической системы определяется неском-
пенсированной частью уходов и девиаций
л л
5сох = Дсох - Дсох, ..., 5р = Д5-Др.
Формирование модели погрешностей
сопряжено со значительными трудностями.
Прецизионность современных гироскопиче-
ских систем такова, что непосредственное
измерение дисбалансов, неравножесткостей и
выявление других несовершенств, вызываю-
щих появление возмущающих моментов, вы-
ходит далеко за пределы метрологических
возможностей. Не поддаются измерению и
сами моменты. Поэтому их эксперименталь-
ные оценки делаются косвенно - по опреде-
лению гироскопических эффектов, вызывае-
мых этими моментами. Так, для гироскопа,
охваченного цепью силовой стабилизации, по
измерению сигнала Лр в цепи обратной свя-
зи можно из (3.7.18) найти постоянную со-
ставляющую момента Mq .
Модель погрешностей гироскопической
системы или ее отдельных блоков формирует-
ся как априорная с неопределенными коэф-
фициентами функциональная зависимость от
перегрузок, токов и т. п. Неопределенные
коэффициенты идентифицируются либо по
результатам калибровочных испытаний, либо
в процессе работы системы. Для этих целей
широко используются методы оптимальной
фильтрации и оценивания. Для современных
гироскопических систем компенсация по-
грешностей с калибровкой и идентификацией
констант модели погрешностей позволяет
повысить точность в среднем на десятичный
порядок.
3.7.4. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Уравнения Томсона-Тэта. Это уравнения
Лагранжа вида
d dL dL ......
(ЗЛ24)
в которых обобщенные силы (гироскопичес-
кие), стоящие в правой части, имеют специ-
альную форму:
Qi
(по j суммирование), где матрица коэффици-
ентов Г = {у#} » зависящих в общем случае
от времени и от обобщенных координат
(У/j-= ....0Я)) является кососим-
метрической, т. е. у у = -у jj .
Присутствие в уравнениях гироскопиче-
ских сил определяет ряд специфических
свойств, что оправдывает выделение этих
уравнений в самостоятельный тип.
Помимо тех случаев, когда исходные
физические силы обладают кососимметриче-
ской структурой по декартовым скоростям,
что приводит к кососимметрической структу-
ре обобщенных сил по обобщенным скоро-
стям, гироскопические силы появляются при
рассмотрении следующих систем.
Системы с циклическими координатами.
После игнорирования циклических координат
функция Рауса таких систем в общем случае
приводится к виду:
= av(q)qiqj + *,(?)?, +<-(?) =
= Ri + R{ + Ло.
Уравнения Рауса можно записать в виде
d dR2 _ dRQ Г dR[ d dR\
dt dq, dq, dq, I dqt dt dfy,
Обозначив L = R^- Rq и учитывая, что
dbj dbj 1 .
<3?, dqj)9j
dRj d dRj
dqj dt dq.
приходим к уравнениям вида (3.7.24), где
Sbj db:
y‘J" а9, ~~dq~'
Системы с нестационарными связями. В
этом случае кинетическая энергия системы в
обобщенных координатах содержит линейную
форму скоростей, что, как и в предыдущем
случае, приводит к появлению в правой части
гироскопических сил.
Свойства гироскопических сил и опреде-
ляющей их матрицы. Мощность гироскопиче-
ских сил на любом действительном движении
равна нулю.
Действительно, W = q^ = (ЦууС^ = О
ввиду кососимметричности матрицы Г. Это
свойство обычно кладется в основу определе-
ния гироскопических сил.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
119
Свойство кососимметричности матрицы
гироскопических сил является инвариантным
по отношению к любым стационарным диф-
ференцируемым заменам обобщенных корди-
нат: (ft.....ft,) -> Й...г„) => Qi =
= q)qj -► Ri=gij(t, r)rj, gy = -gjj
(Ri - обобщенные силы, соответствующие
новым обобщенным координатам).
Гироскопические силы Qj =у y(q)qj с
независящей от времени матрицей Г = {у#}
имеют обобщенный потенциал тогда и только
тогда, когда ее коэффициенты удовлетворяют
тождеству
&1ik । fr» । _0>
3?; 3ft ддк
= 1....л)
В этом случае существует такая скалярная
функция 7(q, q), что гироскопические силы
представляются в виде:
а =м,
d 57 57
dt dq, dq.
Следовательно, гироскопические силы с
любой постоянной матрицей имеют обоб-
щенный потенциал 7 = \/2qjy jjQ j Канони-
ческая форма матрицы Г: существует такое
ортогональное преобразование координат
q-> г с ортогональной матрицей А, что в
новых переменных матрица Г имеет вид:
о
о х2
-Х2 о
о
о,
Гироскопическая матрица нечетного по-
рядка всегда вырожденная:
det Г = det Гт = det(-r) = (-1)" det Г =
= - det Г => det Г = 0.
Устойчивость линейных систем с гироско-
пическими силами [36, 69J Общий вид линей-
ных систем дифференциальных уравнений
второго порядка с постоянными коэффициен-
тами следующий
aijgj + dij4j + Vij4j +',ij9j +cij4j =0
a,j = i..............л)
(по повторяющимся индексам - суммирова-
ние).
В матричной форме
Ад + Dq + Cq + Vq + Cq = 0,
где A = Лт - симметрическая матрица инер-
ционных сил;
D = DT - симметрическая матрица дисси-
пативных и ускоряющих сил;
V = VT - симметрическая матрица потен-
циальных сил;
Г = -Гт - кососимметрическая матрица
гироскопических сил;
С = -Ст - кососимметрическая матрица
неконсервативных позиционных сил.
Неконсервативные позиционные силы
называются также псевдогироскопическими,
или циркулярными, или силами радиальной
коррекции. Формулируемые ниже теоремы
даются в терминах указанных классов сил.
Теорема (Томсон, Тэт). Неустойчивое
положение равновесия консервативной меха-
нической системы (D = 0, С = 0) не может
быть стабилизировано гироскопическими
силами, если число отрицательных корней X
уравнения det(V - ХЕ*) = 0) нечетно. Число
отрицательных корней называется степенью
неустойчивости.
Теорема (Томсон, Тэт). Неустойчивое
положение равновесия консервативной меха-
нической системы может быть стабилизиро-
вано достаточно большими гироскопическими
силами, если степень неустойчивости четна.
Эти две теоремы являются исторически
первыми, в которых изучены возможности
стабилизации механических систем гироско-
пическими силами.
Теорема (Четаев). Изолированное неус-
тойчивое положение равновесия не может
быть стабилизировано добавлением гироско-
пических и диссипативных сил, если послед-
ние обладают полной диссипацией
(ft 4j dij > °. Я * 0)
Из этой теоремы следует, что устойчи-
вость первоначально неустойчивой консерва-
тивной системы, достигнутая введением гиро-
скопических сил, разрушается добавлением
сколь угодно малых диссипативных сил Не-
смотря на этот факт, введение гироскопиче-
ских сил может иметь положительный прак-
тический эффект. Так, если без гироскопиче-
ских сил экспоненциальное нарастание реше-
120
Глава 3.8. ДИНАМИКА ОРБИТАЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
ний определяется конечным показателем экс-
поненты (“катастрофическая неустойчи-
вость”), то введением гироскопических сил
можно добиться, чтобы соответствующие по-
казатели имели порядок нормы диссипатив-
ных сил. И если диссипативные силы малы,
то и неустойчивость проявляется слабо.
Гироскопическая стабилизация, разру-
шаемая диссипативными силами называется
временной, в отличие от обычной устойчиво-
сти (вековой). Если изолированное положе-
ние равновесия устойчиво, то добавление к
системе диссипативных сил с полной дисси-
пацией делает это положение асимптотически
устойчивым, независимо от наличия или от-
сутствия гироскопических сил.
Теорема (Метелицын). Неустойчивая
консервативная система может быть сделана
асимптотически устойчивой добавлением ги-
роскопических, диссипативных и псевдогиро-
скоп и чес ких сил. В последней теореме суще-
ственно, что стабилизирующий эффект не
может быть достигнут, если какой-либо из
перечисленных типов сил отсутствует.
тягивающего центра (задача о движении в
центральном ньютоновском поле). Полагая
массу притягивающего центра гщ = т , а мас-
су второй точки /и2 = 0, будем иметь
ц = fm . (3.8.2)
В задаче о движении спутника планеты
/ц2 «Щ, поэтому в (3.8.1) ц можно при-
ближенно принять в виде (3.8.2).
Уравнение (3.8.1) обладает векторным
интегралом площадей
г х г = с ,
интегралом живых сил
’МН
и векторным интегралом Лапласа
г х с — + X ,
(3.8.3)
(3.8.4)
(3.8.5)
Глава 3.8
ДИНАМИКА ОРБИТАЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
3.8.1. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
Уравнения абсолютного движения. Задача
двух тел состоит в исследовании движения
двух материальных точек, притягивающихся
друг к другу по закону Ньютона. Обозначим:
массы точек Ш\ и /и2; их радиусы-векторы в
некоторой инерциальной системе координат
q и Г2 ; постоянную тяготения f Тогда век-
торные дифференциальные уравнения абсо-
лютного движения запишутся в виде:
Г _ /m2f
Г,"~
Г2~~
Г=7г-?2-
Они обладают шестью первыми интегралами
движения центра масс, тремя интегралами
площадей и интегралом живых сил.
Уравнения относительного движения и их
первые интегралы. Движение одной их точек,
для определенности т2, будем исследовать в
системе координат с началом в точке оси
которой сохраняют неизменные направления
в абсолютном пространстве. Тогда векторное
дифференциальное уравнение относительного
движения запишется в виде:
где ц = /(/и, + т2).
Такой же вид имеют уравнения движе-
ния точки в поле одного неподвижного при-
где v = | г |.
Формулы (3.8.3) - (3.8.5) дают семь ска-
лярных первых интегралов, связанных двумя
зависимостями
с • X = 0, X2 - 2hc2 = ц2 .
Орбиты задачи двух тел и их классифика-
ция. Орбита точки в центральном поле сил -
кривая, лежащая в плоскости, проходящей
через притягивающую точку и перпендику-
лярной к вектору площадей с .
Введем в орбитальной плоскости поляр-
ную систему координат с полюсом в притяги-
вающем центре, направив полярную ось вдоль
вектора Лапласа X. Тогда уравнение орбиты
будет иметь вид
г =----~,
1 + е cos 3
(3.8.6)
где р - фокальный параметр, р = с2/ц;
е = Х/ц = -у/1 + 2Ас2/ц2 - эксцентриситет;
3 - полярный угол, отсчитываемый от векто-
ра Лапласа и именуемый истинной аномали-
ей.
Уравнение (3.8.6) задает коническое се-
чение с фокусом в полюсе.
В зависимости от начальных условий
есть четыре типа траекторий: 1) эллипс -
h < 0, с 0; 2) парабола - h = 0, с 0; 3)
гипербола - h > 0, с 0; 4) прямолинейная -
с = 0.
ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
121
Частный случай эллиптической орбиты -
окружность имеет место при условии
2hc2 + ц2 =0. Связь координат со временем
в эллиптическом движении дается формулой
tgl=
/1 + е
V 1 - е
tgf
где Е - эксцентрическая аномалия (рис. 3.8.1),
вычисляемая из трансцендентного уравнения
Кеплера, Е -еsin Е = М ; М = n(t -х) -
средняя аномалия; т - момент прохождения
через полярную ось (линию апсид); п - сред-
нее движение; п2 = ц/а3.
В гиперболическом движении истинная
аномалия связана с временем группой соот-
ношений:
tg- = —; eshH- -Н = М,
6 2 V е -1 2
где Н - гудерманиан.
В параболическом движении истинная
аномалия находится из уравнения Баркера
ytg3y + tgy-«(r-T)=O,
где п2 = 4ц/р3 .
Первая и вторая космические скорости.
Первая космическая скорость - это наимень-
шая скорость, которую нужно сообщить телу,
чтобы оно стало спутником планеты. Она
равна скорости движения по окружности,
радиус которой равен радиусу планеты, если
последнюю считать шаром:
V] = 7й7я •
(3.8.7)
Если пренебречь составляющей центро-
бежного ускорения, входящего в ускорение
свободного падения g, то вместо (3.8.7) можно
приближенно написать Vj = yfgR . Первая
космическая скорость для Земли - 7,91 км/с.
Вторая космическая скорость - это ско-
рость параболического движения, начинаю-
щегося на поверхности планеты, принимае-
мой за шар: vn = ^2ц/7? , или приближенно
vn = . Вторая космическая скорость
для Земли - 11,2 км/с.
Основные точки, линии и элементы орби-
ты. Пусть начало координат находится в при-
тягивающем центре С, а оси координат
r|, С, направлены неизменным образом в
абсолютном пространстве (рис. 3.8.2). В ди-
намике спутников за основную координатную
плоскость С£г| принимается плоскость эква-
тора планеты некоторой эпохи (ц. Ось ап-
пликат направляется в северный полюс мира,
а ось абсцисс - к точке весеннего равнодейст-
вия % той же эпохи. В динамике межпланет-
ных перелетов за основную координатную
плоскость берется плоскость эклиптики, а ось
абсцисс направляется к точке весеннего рав-
нодействия.
Рис. 3.8.3
122
Глава 3.8. ДИНАМИКА ОРБИТАЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Сначала рассмотрим кеплерову эллипти-
ческую орбиту в ее плоскости (рис. 3.8.3).
Точка О - центр эллипса, точки С, С' - его
фокусы, отрезок АП - большая ось или линия
апсид, ОП - большая полуось, BD - малая ось,
ОВ - малая полуось, П - перицентр, А - апо-
центр. Эти точки называются также апсидами
эллипса. В случае гелиоцентрического движе-
ния перицентр называется перигелием, а апо-
центр - афелием, а в геоцентрическом - соот-
ветственно перигеем и апогеем. При движе-
нии вокруг Луны эти вершины называют со-
ответственно периселений и апоселений.
Аналогично вводятся термины в других слу-
чаях планетоцентрического движения.
Наиболее употребительны обозначения:
ОП = а, ОВ = Ь, ОС = с = -Ja2 - Ь2 ;
эксцентриситет эллипса
фокальный параметр
р = СЕ = л(1 - е2).
Отрезки СП и СА называются соответст-
венно перицентрическим и апоцентрическим
расстояниями. В случае гелиоцентрического
движения - это перигейное и афелийное рас-
стояния, а если центральным телом служит
Земля, то перигейное и апогейное расстоя-
ния.
Перицентрическое и апоцентрическое
расстояния соответственно rjj = а (1 - е) и
гл =а(1 + е).
В гиперболическом движении вводятся:
действительная полуось ОА = а ; мнимая
полуось СВ = b ; эксцентриситет
е = д/л2 + £2 /л«; параметр гиперболы р =
= а (е2 - 1); перицентрическое расстояние
Г/7 = а (е - 1) . Для гиперболической траекто-
рии используется еще прицельное расстояние
I
Лэф = + •
11 vi
Введем величины, характеризующие по-
ложение плоскости орбиты и ориентацию
последней (см. рис. 3.8.2): прямая КК - линия
узлов; ее точки пересечения с небесной сфе-
рой К и К - узлы, причем узел Ку в котором
тело переходит из южного полушария в се-
верное, восходящий, а узел К * нисходящий;
угол между плоскостью орбиты и основной
координатной плоскостью - наклонение
(наклон) /, 0^/^180°; угол между осью
абсцисс и линией узлов - долгота восходящего
узла Q; ориентация орбиты в ее плоскости -
угловое расстояние со перицентра от узла
(этот элемент орбиты называют также аргу-
ментом перицентра).
Вычисление прямоугольных координат.
После определения модуля радиуса-вектора и
истинной аномалии можно вычислить прямо-
угольные координаты в исходной системе
отсчета по формулам:
£ = г (cos и cos Q - sin и sin Q cos i);
Л = r (cos и sin Q + sin и cos Q cos /);
Q = r sin и sin /,
где и = 3 + со - аргумент широты (угловое
расстояние от узла). Если ввести орбитальные
координаты х = г cos 3 , у = г sin 3 и на-
правляющие косинусы
Рх = cosco cos Q - sin co sin Q cos i, •
Py = cos co sin Q + sin co cos Q cos i,
Pz = sin co sin i,
Qx = - sin co cos Q - cos co sin Q cos z,
Qy = - sin co sin Q + cos co cos Q cos i,
Qz = cos co sin /,
то имеем
t, = Pxx + Qxy,
П = PyX + Qyy,
Q = Ptx + Qty.
3.8.2. ЗАДАЧА ДВУХ НЕПОДВИЖНЫХ ЦЕНТРОВ И
ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В ДИНАМИКЕ СПУТНИКОВ
Задача двух неподвижных центров и ее
решение. Задача состоит в изучении движения
материальной точки в поле ньютоновского
тяготения двух неподвижных центров. Пусть
притягивающие центры Q и С] с массами
и m2 находятся в точках (О, О, Д|) и (0, 0, аг)
в неподвижной системе координат Oxyz. Век-
торное дифференциальное уравнение движе-
ния
г = grad С/ ,
где U=^- + ^-. (3.8.8)
И Сг
Причем
ЗАДАЧА ДВУХ НЕПОДВИЖНЫХ ЦЕНТРОВ
123
Г2 =Х2 + у2 +(Z-a.)2t
(/ = 1, 2)
Силовая функция (3.8.8) может быть
разложена в ряд по полиномам Лежандра
/(т1+Я|2) yrnp/lY,
г Яг" Н
(3.8.9)
где у .
/Mj + т2
(3.8.10)
PJ — - полином Лежандра п- го порядка.
Следует отметить, что для тел с осевой
динамической симметрией силовую функцию
притяжения можно представить в аналогич-
ной форме. В планетоцентрической экватори-
альной системе координат она запишется
следующим образом:
? = х2 + у2 + [z-c(a±i)]2;
(i = I, 2)
с и a - некоторые действительные парамет-
ры, для Земли [1] с = 209,729 км, о = -
0,035647.
Решение задачи находится в сжатых
сфероидальных координатах, которые с пря-
моугольными координатами связаны форму-
лами:
х = + с2)(1 - Т|2) cos н*;
у = + с2) (1 - п2) Sin и-;
Z = со + 5т).
Вместо времени t вводится регуляризи-
рующий аргумент т :
t - >о = f(^2 + с2П2)а •
Общее решение задачи дается формула-
ми:
где Го - средний экваториальный радиус пла-
неты; Jn - безразмерные коэффициенты,
выражающиеся через моменты инерции пла-
неты л-го порядка. Для Земли значения па-
раметров, характеризующих ее гравитацион-
ное поле, следующие [59]:
fm = 3,986013 • Ю20 см2/с2; Л) = 637815,5 см;
J2 = 1,082628 •10-2; = -2^380 • 10"6;
Л, =-1,5930-10-*; A-W000 1<r’;
J6 = 5,0200 10'7; =-3,6200 10-’;
J8 = -1Д800 • 10-7; У, = -1,000 • 1(Г7.
В силовой функции (3.8.10) величины
/И1, /И2, а2 можно выбирать так, чтобы
первые три гармоники в (3.8.10) и (3.8.11)
совпадали. Тогда потенциал тяготения двух
неподвижных центров с высокой степенью
точности будет аппроксимировать реальный
потенциал планеты. Наилучшая аппроксима-
ция достигается при комплексно-
сопряженных значениях масс центров и мни-
мом расстоянии между ними, так что вместо
(3.8.9) имеем
f £2 +с2ч2 , „
F (п) = (1 - П2) (2aic2r)2 - 2fma\ + a|) -
-a2;
Ф(О = ($2 + c2)(2a(!=2 - 2/ + a2) +
+c2a2;
где а],<Х2,аз,С1,С2,Сз - произвольные по-
стоянные интегрирования.
Рабочие формулы для вычисления коорди-
нат спутника. Обозначим через atetit
О, со, Mq элементы орбиты задачи двух не-
подвижных центров. Алгоритм вычисления
координат спутника следующий.
1. М. = Mq + п (t - Iq);
" 2 [ П + Гг .
где т - масса планеты; /2 = - 1;
Е = М + е* sin Е + Алу - Aq cos 3 - sin 23;
з = (i + v)ip + соо;
124
Глава 3.8. ДИНАМИКА ОРБИТАЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
♦ ц/ |1 + е Е
t8T = Jr^t8T
где
х(1 -e2)(l-s2^l -е2)(1 -е2)(1 ~s2) +
+ e4s2(i -s2)(i -е2)(з + e2j|;
= c2e2s2 -в4е2(1 - 10s2 + Ils4 + e2s4j.
3. Q = рц/ + Qo + pj sin ц/ + p2 sin 2ц/ +
+P1 cos 3 ,
где
p = -e2(1 + o2ja - -^Е4(б “ 17s2 “ 24e2s2ja;
2
Pl = -2e ea
1 + т[(4-28?)-е2(6 + 7?)]
p2 =
Pl = E2aas(l -e2
3
Х| = уЕ2ст5^4 - 5s2j(l - е2)2 ;
1 + d sin ф
Х2 = --^e2s2(1 -е2)2 х
p'=—L_,
1 + d sin ф
(3.8.12)
v=r2(1+°2)(12’,5s2)+-i84l(288’
где d = e os|l - e2 |_^5 - 6s2 j - e2(l - 2s2jjj •
5. x = p (cos ф cos Q - a. sin ф sin 6 - 0 sin Q);
у = p (cos ф sin Q + a sin ф cos Q + 0 cos Q);
-1296? + 1035?)] - ?(144 + 288 ? -
-510s4)];
Величина Е находится методом итера-
ций (в нулевом приближении Е = М = ц/).
2. £ = а(1 - ecosE);
Е2 Л'2
Ф = $ + —— sin 2d-----— sin 2w ;
8 8
где
К2 = e2s2(1 - е2 + с2) - 4e4s2(i - s2)(l - е2);
Z = co + p' (s sin ф + y),
где p = 2ectos Jl - e2(4 - 5s2 + e2s2)j; у = x
X ](1 - 2s2) - e2[(3 - 12s2 + 10s4) + e2(l - 2s4)]].
В приведенных соотношениях
p = а(1 - e2), s = sin/, a = cos/, e = с/p .
Во всех формулах сохранены члены до
4
е включительно.
3.8.3. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
Неограниченная задача трех тел. Рас-
сматривается движение трех материальных
точек под действием сил взаимного тяготения
Если /и, - масса / -й точки, а rt - ее радиус-
вектор в инерциальной системе координат, то
уравнения движения задачи запишутся в виде
ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
125
т,Г( = gradr/t/,
(/ = 1,2,3) (3.8.13)
где Ц = , >2^ , >1/и3
П2 Г23 Пз
Причем Гу = I г, - Гу I.
Уравнения (3.8.13) допускают десять
первых интегралов:
3
^т,>; =5;
/ = 1
3
= at + b
/=1
в которых а и b - постоянные интегрирова-
ния;
интеграл площадей
3
2/, Х«,^ =с,
/=1
где С - произвольная постоянная;
интеграл живых сил (энергии)
3
2 = 2(1/+Л),
/=1
где h - постоянная интегрирования.
Как показал Брунс, никаких дополни-
тельных алгебраических первых интегралов,
функционально независимых от десяти клас-
сических, задача не допускает.
Ограниченная круговая задача трех тел.
Рассмотрим движение пассивно гравитирую-
шей материальной точки Р в поле тяготения
двух других точек с массами и т2, обра-
щающихся вокруг их общего центра масс по
кеплеровским круговым орбитам с постоян-
ной угловой скоростью. Возьмем декартову
систему координат, основная координатная
плоскость которой совпадает с плоскостью
орбит притягивающих масс, с началом в их
центре инерции. Сообщим системе координат
вращение вокруг оси аппликат с угловой ско-
ростью п, равной среднему движению и
т2, причем ось абсцисс проведем через при-
тягивающие точки. Пусть притягивающие
массы расположены в точках Ci(flj,0,0) и
С2(о2,0>0)» а Г] и г2 - расстояние пассивно
гравитирующей точки от масс соответственно
/И| и т2. Если расстояние между последними
равно а, то
/n2fl _ т^а
т} + т2 ’ °2 п\+ т2'
г? = (х-а,)2 +у2 +Z2.
0 = 1,2)
Уравнения движения точки Р имеют вид
х - 2пу - п2х = U'X\
у+ 2пх - п2у = U'y ; (3.8.14)
А rr fin\ /пъ
где силовая функция и = —L + —-.
П >2
Система (3.8.14) обладает интегралом
Якоби
и2
х2 +у2 +z2 = 2 U + — (х2 +у2) +h .
(3.8.15)
Движение точки происходит в области,
ограниченной поверхностью Хилла (поверх-
ностью нулевой скорости)
„2
а + у(х2+/) + л = о.
Система (3.8.15) допускает равновесные
решения (точки либрации) - два треугольных
лагранжевых решения и L$
х = 1/2(а, +а2); у = ±1/27з(а2 - a,); z =0,
расположенных в вершинах равносторонних
треугольников, и три коллинеарных лагран-
жевых решения Ц, Lq , Lj, расположенных
на линии притягивающих масс у = 0, абсцис-
сы которых определяются из уравнения
п2х + (t^x)y=z=0 = 0- В системе Земля - Луна
- спутник точки либрации представляет прак-
тический интерес.
Качественные свойства лагранжевых
решений обстоятельно изучены, в частности,
решена проблема их устойчивости по Ляпуно-
ву [39].
Ограниченная круговая задача трех тел
применяется в динамике лунных перелетов
[24]. При проектировании орбит * перелета
можно пользоваться методом сфер действия
[65]. Приближенно траекторию заменяют
несколькими “склеенными” дугами кеплеров-
ских орбит. Длины этих дуг определяются
границами гравитационных сфер действия.
126
Глава 3.8. ДИНАМИКА ОРБИТАЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Например, сферой влияния точки Р| относи-
тельно точки Pi называется сфера с центром
в радиуса
p = l,15^^|/iP2|.
3.8.4. УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ В
ОСКУЛИРУЮЩИХ КЕПЛЕРОВСКИХ ЭЛЕМЕНТАХ
Уравнения Ньютона (Эйлера). Рассмат-
ривается движение материальной точки под
действием силы тяготения к центральному
телу и малой по сравнению с ней возмущаю-
щей силы F, так что уравнение движения
имеет вид
i= = -^+F. (3.8.16)
г
При F =0 уравнение (3.8.16) определя-
ет невозмущенное кеплеровское движение, а
при F Ф 0 - возмущенное кеплеровское дви-
жение. Если возмущающая сила потенциаль-
на, то существует такая функция R (г, /) , что
F- grad R. (3.8.17)
Она называется возмущающей или пер-
турбационной.
На общее решение уравнения (3.8.16)
при F Ф 0 можно смотреть как на формулы
преобразования переменных
г = /(/,р,е,/,О,ш,т), г = g(Z,p,e,/,Q,co,T)
от г , г к зависящим от времени перемен-
ным p,e,/,Q,co,T ,
где р,е,/,<2,со,т - соответственно фокальный
параметр, эксцентриситет, наклонение, аргу-
мент перицентра и момент прохождения че-
рез перицентр.
В каждый момент времени формулы
(3.8.17) определяют невозмущенную, так на-
зываемую оскулирующую орбиту. Возмущен-
ная траектория представляет собой огибаю-
щую семейства орбит. Переменные
р,е,/,<2,со,т называются оскулирующими
элементами. Они удовлетворяют уравнениям
Ньютона (Эйлера):
^ = 2гТ;
dt
— = sin 3 • 5 +
dt
cos 3 + — (cos 3 +
P
e) T;
di r ...
— = — cos и • W ;
dt p
dfi sin ы r
dt sin/ p
da cos3 c sin3f
dt e e \ pj
- — sin uctgi • IF ; (3.8.18)
P
= £ » - cos»).?
dt MhL r Jp2
r. fa.
N = 2p2 cos 3 J3
r2 J(l + ecos3)3 ’
где Fr, Fp, Fn - компоненты возмущающей
силы по радиусу-вектору, трансверсали и би-
нормали оскулирующей орбиты.
Часто вместо элементов р, со, т вводят
большую полуось а, долготу перицентра
п = Q + со и среднюю долготу в эпоху
е = л + Mq , где Mq - средняя аномалия в
эпоху.
Тогда соответствующие уравнения в
(3.8.18) следует заменить уравнениями для
новых оскулирующих элементов:
da _ 2а2е sin 3 + 2д2 ?
dt " р + г2
+ — sinz/tg — W ;
Р 2
Л 2г Г. 2 с г . х / ...
— -------VI - e S + — sinw tg — W +
dt p p 2
e
- cos 3 • S + sin 3
T
Уравнения Лагранжа в оскулирующих
элементах. Для случая потенциальных возму-
щающих сил уравнения возмущенного дви-
жения приобретает следующую форму, ука-
занную Лагранжем:
da l dR.
dt па де ’
УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
127
de _ 71 - е2 dR eVl - е2 dR
па2е +
В случае малых эксцентриситетов во из-
бежание потери точности вводятся элементы
орбиты:
h = esin л; к = ecosn .
di _ cos eci dR tg 2
dt na2^l - e2 лд271 - e2
Соответствующие им дифференциаль-
ные уравнения имеют вид
dn de) ’
dh = -Jl-h2-k2( 8R h dR
dt na2 1 + _ /j2 _ ^2 de
dQ _ cos eci dR
dt na2yll-e2 &
dn _ ^2 71 - e2 dR
dt na2y/l-e2 di + na2e de ’
tg2 dR
dt " na da + di +
e71-e2 dR
+™2(i+7T7)
Для случая малых наклонностей вводят
новые оскулирующие элементы, исключаю-
щие потерю точности расчета, р = tgZ sin Q,
g = tg/cosQ, которые удовлетворяют сле-
дующим дифференциальным уравнениям:
dp dR
па2^1 - е
р(1 + />2+?2) /gR *
па2 777(1 + 77777) +
____dR;
na2Jl-h2 -k2 Si
dk Jl-h2-k2(dR к dR
dt \dh 1 + 71 - Л2 - k2
____^2 SR
na2tJ{ - h2 - k2
Гамильтонова форма уравнений возму-
щенного движения в оскулирующих элементах.
Ш. Делоне ввел следующие канонические ос-
кулирующие элементы:
L - т[ца ‘,
I = n(t -т);
G = y]w, g = <o;
Я = 71Фсо8С h = Q.
Они удовлетворяют каноническим урав-
нениям:
= dl dK
dt dl ’ dt dL 9
dG_=dK^. dg _ dK t
dt dg f dt dG'
dH_=dK_ dh __ dK
dt dh ’ dt dH’
dq = \l + P2+<l2f2 dR
dt ’ иа2777 9p
q(l + />2+q2) (SR + SR.
™2777(i+TTTAV) + 98
где новый гамильтониан К = —=- + R .
2L2
Наряду с элементами Делоне часто при-
меняются системы канонических элементов
Пуанкаре:
1) L = ТЙл J X = л/ + е;
о>1 = -л;
128
Глава 3.9. ДВИЖЕНИЕ ИСКУССТВЕННОГО СПУТНИКА
Р2 = “ cos0’ °2 =
2) L = ; X = / + л;
£1 = 72Pi C0SG)b Л1 = 72Pi sillcob
Методы решения дифференциальных
уравнений в оскулирующих элементах можно
найти в [59].
Глава 3.9
ДВИЖЕНИЕ ИСКУССТВЕННОГО
СПУТНИКА ОТНОСИТЕЛЬНО
ЦЕНТРА МАСС
Динамика движения искусственного
спутника относительно центра масс - часть
динамики космического полета, исследующая
вращательное движение неуправляемых кос-
мических аппаратов.
Движение спутника около центра масс
несколько условно разделяют на ротационное
и либрационное. Если кинетическая энергия
вращения спутника существенно превосходит
работу действующих на него моментов сил, то
движение спутника относительно его центра
масс на небольшом интервале времени близко
к невозмущенному движению Эйлера-Пуансо.
Малые возмущения, вносимые моментами
сил, могут накапливаться с течением времени,
приводя к существенной эволюции парамет-
ров этого движения. Движение такого типа
называют ротационным. Если кинетическая
энергия вращения спутника мала по сравне-
нию с работой моментов сил (или сравнима с
ней), то возможно движение либрационного
типа - колебания спутника около некоторого
ориентирующего направления (радиус-вектор
орбиты, вектор магнитной напряженности
земного магнитного поля и др.).
При исследовании движения спутников
около центра масс применяются асимптотиче-
ские методы теории колебаний, теории устой-
чивости, численные методы и другие методы
современного анализа.
ную задачу. Для анализа основных динамиче-
ских эффектов используют приближенное
феноменологическое описание моментов сил.
Аэродинамические силы и моменты [6,9].
В верхних слоях атмосферы Земли спутник
находится в условиях взаимодействия со сво-
бодномолекулярным потоком. Силы и момен-
ты сил определяются характером соударения
молекул с поверхностью спутника и распреде-
лением скоростей отраженных от поверхности
молекул. Можно аппроксимировать взаимо-
действие потока с поверхностью так называе-
мым зеркально-диффузным законом отраже-
ния. При этом часть молекул отражается
диффузно с наивероятнейшей скоростью сг,
направленной по нормали к поверхности, а
часть - зеркально.
Обозначим: п - нормаль к площадке dS
поверхности спутника; гс - вектор из центра
масс спутника в центр площадки dS,
ev = v/v - единичный вектор по направлег
нию вектора v скорости площадки; v = | v |;
е - “коэффициент зеркальности”; v = Jncr ;
р - плотность атмосферы. О числовых значе-
ниях е и v четких данных не существует. Со-
временные оценки даютЕ « 0 0,1, v/v « 0,1.
Полная сила F и полный момент сил
Ма определяются интегрированием выраже-
ний для элементарных сил и моментов по
всей части 5K(ev/i^0) поверхности тела,
омываемой потоком. Интегральные формулы
для силы F и момента сил Ма имеют вид
F = —pv2 J(evn) х
x](l-E)ev +2ъ(ёуП)п + ———
I v J
Ma = Pv2 J(^v^) x
3.9.1. МОМЕНТЫ СИЛ
Моменты сил, действующие на спутник,
зависят от его положения, скорости, - кон-
фигурации распределения масс, свойств мате-
риала, из которого изготовлен спутник, физи-
ческих свойств окружающего спутник про-
странства. Вычисление моментов сил пред-
ставляет самостоятельную, достаточно слож-
х J(1 -E)ev + 2е(evn)n + " уЕ)V”f *rcdS .
(3.9.1)
Входящие в подынтегральное выражение
векторы п , гс являются функциями коорди-
МОМЕНТЫ СИЛ
129
нат текущей точки поверхности. Вектор v
определяется векторной суммой
v = v0 + Q х гс ,
где v0 - скорость движения центра масс
спутника по орбите; Q - угловая скорость
спутника относительно потока.
Обычно предполагается малость величины
А = |n X rc|/v0 «1.
Формулы (3.9.1) либо вычисляются для
конкретных конфигураций спутников, либо
заменяются аппроксимирующими феномено-
логическими формулами.
Пусть спутник имеет форму тела враще-
ния и его центр масс не лежит на оси враще-
ния. Введем полусвязную систему координат
Oxyz, где О - точка оси вращения Oz, отве-
чающая центру тяжести поверхности спутни-
ка; ось у расположена так, что вектор скоро-
сти центра масс спутника компланарен плос-
кости zy. Ось х дополняет систему Oxyz до
правой. Угол атаки между положительным
направлением оси z и вектором Vq обозна-
чим 5. Вектор смещения, проведенный из
центра масс С в начало О полусвязной сис-
темы координат Oxyz, обозначим через
/=/„+/*£. С системой координат Oxyz
свяжем репер единичных векторов i,j,k.
Тогда
Ма = М + М/+Ма,
где М - позиционный момент,
М = pvQ c(S) ev х к + pvq Zv (6) ev x ln;
с(5) = С(5) + 4Гу(5); (3.9.2)
Mi - момент смещения,
Ml = pv2Zv(8)*x7„ (3.9.3)
Mq - диссипативный момент, без учета чле-
г
нов, вызываемых смещением / центра масс,
ма = Pvo х
х {<[- h +7[- h Я + Ц И+*[- Л г + h ?]};
Основным является позиционный мо-
мент. При /л = 0 он нормален к плоскости,
содержащей ось симметрии спутника, и ком-
планарной вектору скорости; его величина
зависит от ориентации спутника только через
угол атаки S. Структура второго члена в (3.9.2)
аналогична структуре первого. Момент сме-
щения (3.9.3) постоянно направлен в спутни-
ке. Это приводит к возможности раскрутки
спутника (авторотационный эффект). Дисси-
пативный момент приводит к рассеянию
энергии вращения спутника.
Силовая функция момента аэродинамиче-
ских сил. Момент (3.9.2) приводит к переори-
ентации спутника без существенной эволю-
ции энергии вращения. Примем аппроксима-
цию Т'у(б) = = const. Тогда момент
(3.9.2) допускает силовую функцию:
U = “Pvo{r?(^ *v) + Jc(cos5)</(cos5)} =
= U(a,a',a")
и может быть представлен с помощью вве-
денной функции U в виде
_ —> _
М = grad^i/ х ev
i' j1
dU dU
да da'
a a'
k'
dU
da"
a"
где a, a', a" - направляющие косинусы век-
тора скорости в осях , связанных со
г
спутником; при этом к' = к, a" = cosS =
= (eNk). Наличие силовой функции U суще-
ственно облегчает анализ движения спутника
под влиянием обладающего этой функцией
момента.
Пример. Для сферы радиуса Rq вычисле-
ния по предыдущим формулам дают для мо-
мента аэродинамических сил выражения
М = х 1 + д0[- 3Q + (Qev)ev|pv0;
1+4(1-е) —
3 voJ
; а0 = (1 - е)^Я4.
7*0 - 7tl?0
Интересно вычислить также аэродина-
мическую силу, действующую на сферу. Ока-
зывается, что
p,q,r - проекции угловой скорости спутни-
ка по полусвязным осям х, у, z; // = /(6);
/ = 1, 2, 3, 4, 5.
F = Л + = -npv3A02 1+1(1-8)21
L 3 vo.
ё, +
5 Зак. 488
130
Глава 3.9. ДВИЖЕНИЕ ИСКУССТВЕННОГО СПУТНИКА
~npv0(l -е)Я,[ёу X
Силе сопротивления Fv отвечает коэф-
фициент аэродинамического сопротивления
4 v
= 2 + —(1-е)— J>2.
3 v0
Сила Fq возникает за счет вращения
спутника с угловой скоростью и приводит к
его “боковому сносу” (эффект Магнуса).
Момент пропеллирования. Несимметрич-
ность формы спутника приводит к качествен-
но новым эффектам. Типичный пример -
аэродинамика спутника, снабженного косо-
симметрично расположенными лопастями
солнечных батарей. Такими спутниками яв-
ляются, например, спутники серии “Протон”.
Набегающий поток, действуя на “пропеллер”
солнечных батарей, раскручивает спутник и
приводит к сложным эффектам в эволюции
ориентации спутника.
Пусть спутник обладает четным числом
2к лопастей батарей, нормали к которым суть
Я/, расстояния от центра батарей до центра
масс спутника rt . Тогда суммарный момент
от этих батарей
2*
М„ = ps.vjj£{(l - е)|ё,л,|ёу х +
/=1
где 5» - площадь одной батареи.
Пусть центры каждой пары противоле-
жащих батарей расположены на линиях, пере-
секающих продольную ось спутника в одной
точке; расстояние от этой точки до центра
масс С равно d; центр масс лежит на про-
дольной оси z* спутника. Пусть а, а', а" -
направляющие косинусы вектора ev в осях
x',y',Z', жестко связанных со спутником.
Тогда феноменологическое описание
момента пропеллирования в проекциях по
осям x',y',z' дается формулами
= pv2S,e{a,C0 -aflj};
Му. = рУд5*{-аС0-a'flj}; (3.9.4)
Mz. = pv^S>oa" ,
где Cq,Oq и зависят только от а"2 (и от
постоянных параметров) или, в простейшей
модели, постоянны.
Формулы (3.9.4) распадаются по харак-
теру влияния на две части: одна с коэффици-
ентом Со обусловлена смещением d и дает
эффекты обычного консервативного типа
наподобие моментов (3.9.2); другая не исчеза-
ет и при d = 0 (и не зависит от d), это мо-
мент пропеллирования, вызывающий новые
эффекты в движении. Этот момент долгопе-
риодическим образом то раскручивает спут-
ник до большой угловой скорости, то мед-
ленно гасит ее. Модель (3.9.4) с постоянным
значением параметров Cq , Oq, наиболее
проста для исследования и удовлетворительно
описывает основные качественные и количе-
ственные особенности движения. При этом с
точки зрения динамики требуется, чтобы
< л0 (можно положить = 0,5л0 , если
лопасти батарей, как у спутника “Протон”,
наклонены к оси спутника на 45°). Кроме
того, Со = 0, если d = 0.
Гравитационный момент. Пусть ег
единичный вектор по направлению из при-
тягивающего центра в центр масс спутника;
его направляющие косинусы относительно
осей репера у жестко связанных со
спутником, обозначим у, у', у”. Обычно
допускают, что i',j',k' - репер главных
центральных осей инерции спутника. Пусть
А, В, С - соответствующие главные централь-
ные моменты инерции спутника; ц = ftnu
гравитационная постоянная (f - универ-
сальная константа тяготения, ти - масса при-
тягивающего центра); Ru - расстояние от при-
тягивающего центра до центра масс спутника.
В проекциях по осям /' ,к' спутника гра-
витационный момент Мг записывается в
виде [6, 7]
Мх.=з-^-(С-В)уГ-,
Му. =3-^(А-ОУЧ- (3.9.5)
Мг. =3-£-(В-А)гг‘.
МОМЕНТЫ СИЛ
131
Выражениям (3.9.5) отвечает силовая
функция
у = -|-^-(лу2+дг'2+ст"2)’
2 Лц
так что (3.9.5) имеет вид
Мт = grad С/ х ёг
i'
ди
ду
J1
аи
т'
к'
аи
W
г"
У
Моменты, создаваемые магнитным полем
[6, 8]. Искусственные спутники, двигаясь по
орбите вокруг Земли, взаимодействуют с маг-
нитным полем Земли. Это взаимодействие
возбуждает момент магнитных сил
Ми = I х Я' , (3.9.6)
где 1 - “магнитный момент” спутника; Н'
- вектор напряженности магнитного поля
Земли.
Простейшее представление вектора Н
отвечает дипольной модели магнитного поля
Земли
Я'=-ЗД£-з(*£ёг)гг],
R
где kg - орт оси магнитного диполя;
Ц£«81О25 эрстед • см3 - магнитный мо-
мент Земного диполя.
В простейшем случае I = 1$к' и мо-
мент магнитных сил (3.9.6) обладает силовой
функцией U - Iq(H' к').
Диссипативные моменты, создаваемые
магнитным полем. При вращении проводящей
оболочки спутника относительно магнитного
поля в оболочке индуцируются вихревые то-
ки, вызывающие диссипацию энергии враще-
ния спутника. Соответствующий момент сил
может быть представлен следующей феноме-
нологической формулой [6]:
М = кН * H*hc+H
(3.9.7)
где Qc - вектор угловой скорости спутника,
Н - вектор напряженности магнитного поля.
Постоянный коэффициент диссипации
к существенно положителен и имеет струк-
туру
k = a.JhlRMi
где J - момент сил инерции спутника; h -
толщина оболочки; RM - удельное объемное
сопротивление материала.
Если Н и RM определены в электромаг-
нитных единицах, то а - безразмерный ко-
эффициент.
Строго говоря, (3.9.7) имеет место лишь
для сферической оболочки, тогда к =
= улд4 Л/Я* , где а - радиус оболочки. В
общем случае при достаточно широких пред-
положениях момент от вихревых токов имеет
структуру, аналогичную (3.9.7), только вместо
постоянного коэффициента к следует рас-
сматривать постоянный тензор К. Формула
(3.9.7) справедлива при ограниченных значе-
ниях угловой скорости Q спутника; если эта
скорость достаточно велика, момент вихревых
токов будет зависеть от Q сложным нелиней-
ным образом.
Световое давление. Величина рс свето-
вого давления на расстоянии R от Солнца
дается формулой
_£о(ЧУ
Ре~ Ля) ’
где Rq - фиксированное расстояние; Eq -
поток энергии на этом расстоянии; с - ско-
рость света.
Пусть R = R', где R' - радиус орбиты
Земли. Тогда Eq/c = рс =4,72 10-2 Па. Взаи-
модействие потока света с поверхностью
спутника аналогично взаимодействию аэро-
динамического потока и может быть описано
формулами (3.9.1) - (3.9.4) при условии:
Q s 0; г s 0; pvg заменяется на р„ ev заме-
няется ортом т направления на Солнце (от
спутника). Тогда эти формулы описывают
воздействие зеркально отражаемого светового
потока на спутнике, причем е - коэффици-
ент отражения (отношение плотности энергии
отраженного потока к плотности энергии
падающего потока). В частности, имеют место
формулы для позиционного момента тела
вращения и эффект пропеллирования.
Приливной момент. В теории вращатель-
ного движения естественных небесных тел
существенную роль играет момент приливных
сил. Феноменологическая форма этого мо-
мента имеет вид [7]
5’
132
Глава 3 9. ДВИЖЕНИЕ ИСКУССТВЕННОГО СПУТНИКА
к
Мпр = Тб"[“ Х *Г1 Х ’ <3-9-8)
К
где к=const; со - относительная (в орбиталь-
ной системе координат) угловая скорость
рассматриваемого небесного тела.
Числовые оценки для типичных искус-
ственных спутников показывают [6], что мо-
менты гравитационных и магнитных сил
сравнимы по величине в широком диапазоне
орбит (высоты над поверхностью Земли
h = 200 4- 3000 км) и имеют порядок
10“2 4- Ю"1 Н ♦ см. Аэродинамические мо-
менты имеют этот же порядок на высотах
300 4- 400 км, но на высотах 200 км аэродина-
мический момент на порядок больше
(1 Н • см), а на высотах 600 км на порядок
меньше. Момент светового давления в окре-
стности Земли для типичных спутников имеет
порядок 10’3 Н • см. На гелиоцентрических
орбитах преобладает влияние момента сил
светового давления.
3.9.2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Приведем запись уравнений движения,
использующую направляющие косинусы.
Пусть Oxyz - орбитальная система координат,
связанная с центром масс спутника так, что
ось z направлена по текущему радиусу-
вектору орбиты, а ось у - по нормали к плос-
кости орбиты. Определим положение главных
центральных осей инерции спутника Ox'y'z'
относительно орбитальной системы координат
таблицей направляющих косинусов.
Оси X' 1 у 1 r
X a a a
У P P’ ₽
z Y Y i
Тогда уравнения движения спутника относи-
тельно его центра масс имеют вид
A^- + (C-B)qr = Mx., (3.9.9)
at
= у'г-y"q + «осе; = a'r-a"q -<ау ;
(1,2, 3)
^ = р'г-р"?, (3.9.10)
at
где р, q, г - проекции абсолютной угловой
скорости спутника по осям Ox'y'z'; А, В, С -
главные центральные моменты инерции; со -
орбитальная угловая скорость; Мх>, Му<, Mz>
- проекции по осям Ox'y'z' моментов сил,
действующих на спутник.
Индексация (1, 2, 3) означает, что невы-
писанные уравнения получаются из выписан-
ных циклической перестановкой. Динамиче-
ские уравнения Эйлера (3.9.9) замыкаются
кинематическими уравнениями (3.9.10). Ки-
нематические уравнения имеют известные
интегралы, связывающие направляющие ко-
синусы: сумма квадратов элементов одной
строки (столбца) матрицы равна единице;
сумма попарных произведений элементов
двух строк (столбцов) равна нулю; каждый
элемент матрицы равен своему алгебраиче-
скому дополнению.
Выбор той или иной формы уравнений
движения определяется характером исследуе-
мой проблемы. Вместо кинематических урав-
нений (3.9.10) употребляются, например, не-
посредственные выражения р, q, г через углы
и угловые скорости. Часто используются
уравнения Лагранжа второго рода. Параметры
Родрига-Гамильтона иногда удобны при чис-
ленном нахождении движения и т. п.
Для анализа ротационного движения
спутника, возмущенного малыми (в каком-
либо смысле) моментами сил удобна система
уравнений движения в эволюционных пере-
менных: £, р, Е, v, <р, \|/ (L - модуль вектора
кинетического момента спутника; р, Е - два
угла, определяющие его положение относи-
тельно эволюционирующей орбиты спутника;
3, Ф, Ф - Эйлеровы углы нутации, собствен-
ного вращения, прецессии в специально вы-
бранной системе координат, одна из осей
которой направлена по вектору Z). Уравне-
ния движения спутника в этих переменных
имеют следующий общий вид [6-8]:
Оф
. А/| 1 dU ctgp dU
Р L £sinpdZ + L ду
-kQ sin 7 cos Z ;
± M2 1 dU
E = т + ~T~----------+
L sin p L sin p dp
+&n[sin7 ctgp sin Z -cos/];
• _ . л . (1 1
3 = L sin 3 sm ф cos ф I — - —
\ А 15
ОРИЕНТАЦИЯ И ЛИБРАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ
133
1 dU ctgS dU
£sin3 Эф L Эф
Mi cos ф - sin ф
L ;
Ф = L cos 3
sin2 ф
А
2 '
COS ф
в .
М\ cos ф + Mi sin ф 1 dU * 1
£sin3 ЭЗ
r sin2 ф cos2 ф^ M\ ж л
Ф = L —+ —г-2- —?- cos ф^З -
А В ) L
М,
-—^-(ctg р + sin ф^Э) -
L»
1 (dU л 3U л Л . sin / . _
v -т— ctgp + —— ctgSl -кл-—smZ,
£ к Эр ЭЗ ) u sin р
где М\>М1>М - проекции по специальным
осям, связанным с вектором L , моментов
внешних сил, не обладающих силовой функ-
цией, U = £/(р,Г,3,ф,ф,/) - силовая функ-
ция для тех моментов внешних сил, которые
ею обладают; р - угол между L и нормалью
к плоскости орбиты; Z - угол между проекци-
ей L на плоскость орбиты и линией узлов;
к^ - постоянная скорость прецессии орбиты
(за счет внешних возмущений); / - постоян-
ный наклон орбиты к опорной плоскости
(например, экватора).
Уравнения несмотря на внешне гро-
моздкий вид очень удобны для применения к
исследованию асимптотических методов ме-
ханики.
Пример. Пусть М\ - Mi = Л/ = 0, а си-
ловая функция U удовлетворяет определен-
ным условиям малости и нерезонансности.
Тогда возмущенное движение описывается с
помощью функции U = С/(р, Z) , являющей-
ся осреднением функции U по независимым
периодам невозмущенного движения Эйлера-
Пуансо и по орбитальному периоду. При этом
оказывается, что L = Lq = const, движение
относительно L можно считать невозмущен-
ным движением Эйлера-Пуансо, и все воз-
мущенное движение сводится к движению
постоянного по величине вектора кинетиче-
ского момента. Это движение описывается
двумя уравнениями:
Lq sin р • р = - —— - Lq sin pkQ sin / cos Z ;
oZ
dU
£osinp-Z = — + LokQ x
Эр
x[sin / sin p cos Z - cos / cos p]. (3.9.11)
Первый интеграл
U(p, Z) + ^q£o(cos/C0SP +
+ sin / sin p sin Z) = const (3.9.12)
описывает множество траекторий вектора
кинетического момента относительно эволю-
ционирующей орбиты. Все траектории в виду
периодичности зависимости U = i/(p, Z) от
аргументов замкнуты.
3.9.3. ОРИЕНТАЦИЯ И ЛИБРАЦИОННОЕ
ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
Гравитационное поле сил [6, 7]. Уравне-
ния (3.9.5), (3.9.9), (3.9.10) движения спутника
в гравитационном поле на круговой орбите
допускают частное решение - относительного
равновесия в орбитальной системе координат.
В этом режиме движения главные централь-
ные оси инерции спутника совпадают соот-
ветственно с радиусом-вектором орбиты, ка-
сательной к орбите и нормалью к плоскости
орбиты. Для устойчивости этого относитель-
ного равновесия достаточно, чтобы большая
ось эллипсоида инерции спутника была на-
правлена по радиусу-вектору орбиты, мень-
шая ось - по нормали и плоскости орбиты,
средняя - по касательной к орбите.
Действительно, уравнения (3.9.5), (3.9.9),
(3.9.10) в случае круговой орбиты допускают
интеграл типа Якоби, который может быть
записан в следующем виде:
Ap2+Bq2 +Сг2+3<»2р-С)72+(Я-С)г'2] +
+<о2[(5-Л)Р2 +(5-С)Р"2] = Ль, (3.9.13)
где ~p,q,r - составляющие относительной
угловой скорости спутника по его главным
центральным осям к' .
В положении относительного равнове-
сия р = <7 = г = у=у' = Р = Р"=0. Это дви-
жение устойчиво, если В > А > С , что как
раз и дает устойчивое распределение главных
центральных осей инерции спутника. Этот
факт используется при конструировании
спутников с гравитационной системой стаби-
лизации [6-8, 46, 56]. Пример естественного
гравитационно-стабилизированного тела
представляет Луна. Необходимые условия
134
Глава 3.9. ДВИЖЕНИЕ ИСКУССТВЕННОГО СПУТНИКА
устойчивости относительного равновесия ши-
ре достаточных и имеют вид:
А >С;(Б-С)(В-Л)>0;
АС + ЗС(В -С) + (В -С)(В - А) > 0 ;
[АС + ЗС(В -С) + (В- С)(В - /I)]2 -
-\f>AC(B-С)(В - А) >0.
Уравнения (3.9.5), (3.9.9), (3.9.10) и опи-
санные условия устойчивости отвечают огра-
ниченной постановке задачи, в которой счи-
тается, что движение около центра масс не
влияет на орбиту спутника, а это не совсем
верно. В гравитационном поле поступатель-
ное и вращательное движения взаимосвязаны
[5, 6] и условия существования и устойчиво-
сти круговой орбиты с относительным равно-
весием спутника на ней более сложные. В
частности, должно выполняться
(невозмущенное движение) условие
a2t/ 1 эи 3~bfrJ
а/?о ад, (в У2
1+Ы
(3.9.14)
где U - силовая функция гравитационного
взаимодействия центра притяжения и спутни-
ка; Rq - радиус невозмущенной круговой ор-
биты.
Это условие можно рассматривать, как
условие орбитальной устойчивости. Для ма-
лых спутников это условие выполняется, так
как взаимосвязь поступательного движения и
вращательного слабая: определяется членами
порядка а/Ro)2. где / - размер спутника.
Однако для системы двух больших тел. усло-
вие (3.9.14) существенно. Например, если
спутник - гантель (две одинаковые весьма
малые массы соединены невесомым стержнем
длины /), то условие устойчивости (3.9.14)
дает следующее ограничение на ее длину:
— с-Л-л/г « 0,318.
2ЯЬ
Если это условие не выполнено, то орбита
гантели неустойчива.
На эллиптической орбите относитель-
ного равновесия не существует, но аналогич-
ную важную роль играют устойчивые перио-
дические колебания около направления ра-
диуса-вектора орбиты. Особенно подробно
исследованы колебания в плоскости орбиты,
описываемые уравнением
. d23 , . d8
(1 +ecosv)—2esin v—+
rfv2 dv
+n2 sin 5 = 4e sin v;
5 = 20; л2 = 3(Л - C)/B , (3.9.15)
где e - эксцентриситет орбиты, независимая
переменная; v - истинная аномалия; 0 - угол
между осью инерции, отвечающей моменту
инерции С и радиусом-вектором орбиты.
Уравнение (3.9.15) исследовалось чис-
ленными и аналитическими методами. На-
пример, асимптотические методы позволили
при малых е найти решение уравнения
(3.9.15) в окрестности главного резонанса в
квазигармоническом виде:
5 = a(v)cos[v + ае(v)].
Переменные амплитуда a(v) и фаза
ae(v) связаны (в первом приближении асим-
птотического метода) интегралом
4е а2 г ... а2
asmae + л-J0(a) + 1-= const
л+ 1------------------------------[4 и J 2
(3.9.16)
где Jq(o) - функция Бесселя нулевого по-
рядка.
Он позволяет исследовать движение на
амплитудно-фазовой плоскости (а, ае). 2л-
периодическим решением уравнения (3.9.13)
соответствуют стационарные точки инте-
гральных кривых (3.9.14), в которых
5 = ±а sin v; л « —,
2 А (а)
где J\(a) - функция Бесселя первого рода
первого порядка.
При этом из 2 л-периодических реше-
ний будет одно (устойчивое) или три (из них
два устойчивых, одно неустойчивое), если
соответственно
(л2 -1)1,5
D = е - — ------- > 0 или D < 0.
13J 2л
Существует серия устойчивых резонанс-
ных вращений спутника со средней абсолют-
ной угловой скоростью Q = Л/2, где
к = 0, ± 1, ± 2, ± 3.... Значение к = 2 (резонанс
1:1) отвечает движениям типа Луны, к = 3
(резонанс 3:2) - типа Меркурия. На рис. 3.9.1
приведены точечные отображения за орби-
тальный период решений уравнения (3.9.15).
ОРИЕНТАЦИЯ И ВИБРАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ
135
В “море” хаотического движения расположе-
ны “острова” регулярных движений, центры
которых отвечают устойчивым резонансным
вращениям. Около цепочек островов приве-
дены отвечающие им резонансы. Расчетные
параметры л2 = 0,1, е = 0,1. В [6, 26, 56] дан
обзор большого количества исследований
уравнения (3.9.15).
При отклонениях от положения устой-
чивого относительного равновесия спутник
совершает пространственные колебания около
этого положения; такие колебания исследова-
ны также достаточно подробно. При малых
амплитудах продольные колебания (вдоль
орбиты) не зависят от поперечных. Для боль-
ших амплитуд становится заметной
“перекачка” колебаний из поперечных в про-
дольные и наоборот, особенно существенная
при соизмеримости частот продольных и по-
перечных колебаний. В этих резонансных
случаях область устойчивости в фазовом про-
странстве может стать весьма узкой, а требо-
вания на начальные данные, обеспечивающие
колебания в нужных пределах, весьма жест-
кими.
Если спутник обладает динамической
симметрией, то на круговой орбите сущест-
вуют такие движения, когда ось симметрии
остается неподвижной во вращающейся орби-
тальной системе координат. При этом ось
симметрии нормальна либо к радиусу-вектору
орбиты, либо к вектору скорости и составляет
постоянный (в частности, нулевой) угол с
нормалью к плоскости орбиты. Совпадение
оси симметрии с нормалью к плоскости орби-
ты возможно и на эллиптической орбите.
Такие движения, их устойчивость, колебания
около них также весьма детально изучены и
могут быть использованы для создания опре-
деленным образом стабилизированных спут-
ников.
Действие моментов сил негравитационной
природы. Аэродинамические силы могут либо
возмущать гравитационную стабилизацию,
либо способствовать ей. Принципиальный
интерес представляет и чисто аэродинамиче-
ская стабилизация по вектору скорости цен-
тра масс спутника. Моменты сил светового
давления могут стабилизировать спутник от-
носительно направления на Солнце, а момен-
ты магнитных сил - относительно вектора
магнитной напряженности магнитного поля
Земли. Ввиду того, что вдоль орбиты вектор
магнитной напряженности меняется неравно-
мерно, точная стабилизация по этому вектору
недостижима. Можно лишь обеспечить устой-
чивые периодические колебания спутника
относительно вектора магнитной напряжен-
ности и притом с достаточно малой амплиту-
дой.
На рис. 3.9.2 изображена амплитуда а
периодических колебаний намагниченного
спутника относительно вектора магнитной
напряженности на круговой полярной орбите
(для дипольной модели магнитного поля Зем-
ли) в зависимости от безразмерного параметра
- относительной намагниченности
где I - магнитный момент спутника; -
магнитный момент Земли; А - момент инер-
ции спутника; ц = fM ; f - универсальная
постоянная тяготения; М - масса Земли.
Рис. 3.9.1
136
Глава 3.9. ДВИЖЕНИЕ ИСКУССТВЕННОГО СПУТНИКА
Рис. 3.9.4
Число периодических решений растет с
ростом а; нижние ветви кривых обеспечивают
колебания с небольшой амплитудой; видны
резонансные зоны значений а. Представляют
также интерес вопросы о магнитных и других
возмущениях гравитационной стабилизации,
о совместном влиянии сил светового давления
и гравитационных и т. д. Например, движе-
ние спутника в плоскости полярной эллипти-
ческой орбиты под действием гравитацион-
ного и магнитного момента описываются
уравнением [8]:
/. ч </20 _ . dQ п2 . __ а -
(1 + ecos v)—=- - 2esin v— + —sin 20----x
dv2 dv 2 2
x[3 cos(0 - u) - cos(0 + w)] = 2e sin v;
м = у + (оя, (3.9.17)
где соя - долгота перигея, отсчитанная от эк-
ватора; остальные обозначения вводились
выше.
На рис. 3.9.3 численным методом точеч-
ного отображения за период 2л построено
множество фазовых траекторий, описываемых
уравнением (3.9.17), для конкретных значе-
ний параметров уравнения: е = 0, п2 = 0,2,
а = 0,05, со = — п/2 . Острова регулярности,
лежащие в море хаотического движения, от-
вечают окрестностям резонансов 2:1
(ориентация спутника в среднем по вектору
магнитной напряженности); 1:1 (ориентация
спутника в среднем по радиусу-вектору) и 0:1
(ориен-тация спутника в среднем вдоль не-
подвижного в пространстве направления оси
земного магнитного диполя).
Отметим экстремальное свойство устой-
чивых резонансных движений. Если К(0, t) -
потенциал моментов внешних сил, действую-
щих на спутник, то функция
V = Нт | JV(0 (00,06,/), t)dt = Й0О,06)
о
имеет минимум на таких и только таких на-
чальных данных Оо,0Ь, которые отвечают
устойчивым резонансным вращениям спутни-
ка. Одна из численных проверок этого утвер-
ждения, носящего характер правдоподобной
гипотезы, изображена на рис. 3.9.4, отвечаю-
щему ситуации предыдущего рисунка. На-
чальные данные, соответствующие центрам
островов на рис. 3.9.3 одновременно отвечают
минимумам на рис. 3.9.4.
3.9.4. СИСТЕМЫ ПАССИВНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ
КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
Стабилизирующее действие гравитаци-
онного и магнитного полей, аэродинамиче-
ского и светового потоков, а также гироско-
пических эффектов для быстровращающихся
космических аппаратов используется в прак-
тике космических полетов для создания сис-
тем пассивной стабилизации по заданным
(подвижным) направлениям в пространстве.
Проблема пассивной стабилизации в значи-
тельной степени - проблема демпфирования,
т. е. создания конструкций демпферов, гася-
щих колебания аппарата, и теоретического
анализа переходных процессов. Первая схема
системы гравитационной стабилизации искус-
ственных спутников была предложена Д. Е.
Охоцимским в 1956 г. Существуют сотни ра-
бот по системам пассивной гравитационной,
магнитной, аэродинамической, световой ста-
билизации [6-9, 43, 46, 56, 57].
Среди последних достижений теории
гравитационной стабилизации отметим иссле-
дование динамики орбитальных комплексов
“Салют-Союз”, у которых взаимодействие
гравитационного момента, непотенциального
РОТАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ
137
момента аэродинамических сил и демпфи-
рующего влияния жидкого наполнения баков
комплекса может приводить (и приводило) к
сложным предельным движениям - колебани-
ям относительно местной вертикали с боль-
шой амплитудой.
С исследованием систем пассивной ори-
ентации связаны также задачи динамики кос-
мических тросовых систем.
3.9.5. РОТАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ
Моменты сил, действующих на спутник,
в ряде случаев обладают силовой функцией:
моменты гравитационных сил, частично сил
аэродинамических, магнитных, светового дав-
ления. Ротационное движение спутника под
действием таких моментов сил, в первом при-
ближении (в смысле асимптотических мето-
дов) определяется осредненной по невозму-
щенному движению силовой функцией.
Сложное возмущенное движение спутника в
этом случае представляет собой суперпозицию
двух движений: быстрого движения Эйлера-
Пуансо относительно вектора кинетического
момента, сохраняющего постоянную величи-
ну, и медленного движения в пространстве
самого вектора кинетического момента. Это
движение вектора кинетического момента для
широкого класса условий описывается урав-
нениями (3.9.11) - (3.9.12) и является перио-
дическим в системе координат, жестко свя-
занной с плоскостью орбиты спутника OS\S2
(рис. 3.9.5). На рис. 3.9.5 учтено одновремен-
ное влияние моментов сил гравитационных,
магнитных, аэродинамических и прецессии
плоскости орбиты относительно неподвиж-
ного в пространстве направления jV.
Для реальных искусственных спутников
период движения вектора кинетического мо-
мента составляет величину порядка от не-
скольких суток до нескольких недель. Перио-
ды Эйлерова движения спутника равны
обычно нескольким минутам.
Отметим некоторые главные эффекты
ротационного движения при простейших
предположениях о структуре возмущающих
моментов для динамически симметричного
спутника [6]. В случае гравитационных воз-
мущений вектор кинетического момента со-
вершает прецессию вокруг нормали к плоско-
сти орбиты на постоянном угловом расстоя-
нии р = pg от нее с угловой скоростью
fib 3 А - С Г 3 . 2 n I
-7- = Т<й0—7— 1--SHT S cospo,
av 2 Lq \ 2 7
(3.9.18)
где v - безразмерное время (истинная анома-
лия); ©о * орбитальная частота (обращение
центра масс спутника по орбите); Lq - модуль
вектора кинетического момента; 3 - посто-
янный угол нутации между осью симметрии
спутника и вектором кинетического момента.
Относительно этого вектора динамиче-
ски симметричный спутник совершает регу-
лярную прецессию. Аэродинамические по-
тенциальные возмущения вызывают прецес-
сию вектора L кинетического момента на
постоянном угловом расстоянии 0 от направ-
ления, параллельного вектору vx скорости
центра масс спутника в перигее орбиты. Ско-
рость этой прецессии составляет величину
dv 2Lq
aJx cos3;
. 1 г p (e + cos v)Vl + e2 + 2e cos v ,
JI =--- I---------------------s-------(tv ,
2л J pK (1 + e cos v)z
(3.9.19)
где Ся = - постоянная площадей орби-
тального движения; R* - перигейный радиус
орбиты; р - текущая плотность атмосферы;
а = aS I - коэффициент аэродинамического
момента, пропорциональный произведению
характерной площади спутника S на его ха-
рактерный размер /; ря - плотность атмосфе-
ры в перигее орбиты.
За счет действия постоянного осевого
магнитного момента /0 спутника вектор L
fifX
прецессирует со скоростью — на постоян-
av
ном угловом расстоянии ж от полюса, на-
правление на которой составляет угол pj с
Рис. 3.9.5
138
Глава 3.9. ДВИЖЕНИЕ ИСКУССТВЕННОГО СПУТНИКА
направлением оси Земли и содержится в
плоскости, нормальной к линии узлов.
При этом
3sin2/ - 2
ctgpi —;
3sm/ cos/
~ n^Er cos + 3cos2 1 > (3.9.20)
oV 2PCn Lq
где P - фокальный параметр орбиты; / - на-
клон орбиты к экватору; цЕ - магнитный мо-
мент магнитного поля Земли (предполагаемое
дипольным, соосным с осью Земли).
Эффекты, описываемые формулами
(3.9.18) - (3.9.20), складываются друг с другом
и с эффектом эволюции орбиты (поворот
плоскости орбиты в пространстве; движение
перигея орбиты в ее плоскости и т. д.). В ре-
зультате получается достаточно сложная кар-
тина прецессионно-нутационного движения
вектора кинетического момента (см.
рис. 3.9.5). На эту картину накладываются
диссипативные эффекты (за счет вихревых
токов, трения об атмосферу и др.). Диссипа-
тивные эффекты приводят к рассеянию кине-
тической энергии вращения спутника. Угло-
вая скорость и модуль вектора кинетического
момента уменьшаются. Движение стремится в
пределе, как правило, к вращению спутника
вокруг оси наибольшего момента инерции
(так что вытянутый спутник опрокидывается,
а сжатый стабилизируется). Описанная карти-
на движения наблюдалась у ряда спутников.
Специальная конфигурация спутника
может стать причиной существенных эффек-
тов в движении около центра масс, не укла-
дывающихся в описанную выше картину. Так,
панели солнечных батарей, кососимметрично
установленные на спутнике, создают аэроди-
намический пропеллирующий момент (3.9.4),
приводящий к долгопериодическим колеба-
L/Lq
ниям угловой скорости спутника (модули
вектора кинетического момента). Эти колеба-
ния могут иметь весьма большую амплитуду
(угловая скорость меняется на порядок), в
результате чего спутник долгопериодическим
образом изменяет режим движения, выходя из
режима закрутки вокруг продольной оси в
режим вращения вокруг поперечной оси и
обратно.
Вместе с этим изменяется долгоперио-
дическим образом угол 0 между вектором L
и направлением v п [91. Для спутников серии
“Протон” периоды этих эффектов составляют
несколько десятков часов. На рис. 3.9.6 пока-
зано изменение относительной величины
L/Lq вектора кинематического момента и
угла 3 между этим вектором и осью спутни-
ка в зависимости от числа оборотов N спут-
ника.
Модель такого движения в среднем об-
ладает свойством сохранять величины:
Lsin 3(ctg3)a = /0; (tg3)2a cos 3 sin2 0 = Co.
(3.9.21)
Постоянный коэффициент a =-------!—
al +a0
зависит от аэродинамических характеристик
спутника. Интегральные кривые (3.9.21) по-
зволяют установить возможность описанных
выше глубоких модуляций величин £, 3, 0 .
Для спутников Земли на высоких орби-
тах или космических аппаратов на гелиоцен-
трических орбитах аналогичные эффекты
может вызвать световой поток. Возникают
долгопериодические изменения ориентации
вектора кинетического момента относительно
направления на Солнце и модуляции величин
£, 3.
20 30
Рис. 3.9.6
/V
О О
Ю
ЧО
РОТАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ
139
Описанная картина движения отвечает
только нерезонансным случаям. Если между
частотами Эйлерова движения, орбитальной
частотой и другими характерными частотами
существуют соотношения, близкие к резо-
нансным, то движение усложняется. Появля-
ются заметные возмущения не только в дви-
жении вектора кинетического момента, как в
нерезонансном случае, но и в величине этого
вектора, и в движении относительно него.
Попадание начальных условий движения на
резонанс маловероятно. Но в процессе эво-
люции движения под влиянием диссипатив-
ных факторов предельное движение может
оказаться резонансным.
Это подтверждают наблюдения естест-
венных небесных тел. Например, вращение
Луны можно трактовать как резонансное
(резонанс 1:1 между частотами вращения и
обращения). Между орбитальной частотой
Меркурия и частотой его вращения существу-
ет резонанс 2:3. Это показывает, что резо-
нансные движения не являются редкими.
Движения специальным образом ориентиро-
ванных искусственных спутников то же мсж-
но трактовать, как близкие к резонансным.
Резонансная теория вращений искусст-
венных и естественных небесных тел позво-
лила выявить множество стационарных (в
смысле приближения асимптотических мето-
дов нелинейной механики) движений, полу-
чивших название "обобщенных законов Кас-
сини”, и условия их устойчивости [7]. Враще-
ния Луны, Меркурия, ряда естественных
спутников планет подчиняются обобщенным
законам Кассини. Дадим постановку приня-
тых допущений и формулировку обобщенных
законов Кассини.
Пусть твердое тело имеет эллипсоид
инерции, близкий к сфере, центр масс тела
движется со средней угловой скоростью Фо
относительно притягивающего центра по ор-
бите, отличающейся от Кеплеровой лишь
постоянной прецессией (со скоростью ка)
нормали к плоскости орбиты вокруг неиз-
менной в пространстве оси прецессии
(наклоненной на угол / к нормали к плоско-
сти орбиты) и постоянным вращением (со
скоростью к^) большой полуоси орбиты в ее
плоскости. На тело действует гравитационный
момент со стороны притягивающего центра.
Тогда среди возможных движений тела суще-
ствуют такие, которые в первом приближении
(в смысле асимптотических методов нелиней-
ной механики) удовлетворяют следующим
обобщенным законам Кассини.
1. Тело вращается равномерно вокруг
своей главной центральной оси с угловой
скоростью
ф = у Ф0 + кт + ка cos(i ± р0),
(£ = 1,2,3, ...)
(3.9.22)
близкой к одному из резонансных значений
(®0 для Луны, Зф0/2 для Меркурия).
2. Ось углового вращения тела и нор-
маль к плоскости орбиты составляют угол ро,
определяемый уравнением
cos р* msin p*ctg Ро + X cos ро = 0, (3.9.23)
где р*, % вполне определенным образом за-
висят от моментов инерции тела и параметров
орбиты.
Существуют два значения ро, удовле-
творяющих уравнению (3.3.23), если
cos2/3 р* + sin2/3 р* > х^3 (3.9.24)
и четыре значения, если знак неравенства в
(3.9.24) противоположный.
3. Ось углового вращения тела, нормаль
к плоскости орбиты и ось прецессии орбиты
лежат в одной плоскости.
4. “Эффект фазового отслеживания”:
при каждом прохождении перицентра фикси-
рованная ось центрального эллипсоида инер-
ции тела образует с линией узлов угол, рав-
ный углу между радиусом-вектором перицен-
тра и этой же линией.
Основными условиями устойчивости яв-
ляются требования, чтобы осевое вращение
происходило вокруг наименьшей оси эллип-
соида инерции, а наибольшая ось отслежива-
ла текущий радиус-вектор (резонанс 1:1, Лу-
на) или при каждом прохождении перицентра
- радиус-вектор перицентра (резонанс 3:2,
Меркурий). Для существования и устойчиво-
сти всех резонансов, кроме 1:1, существенно,
чтобы эксцентриситет орбиты е * 0; условия
устойчивости накладывают так же некоторые
ограничения на величину Pq.
о ъ/ч л/г зя/ь р тг
Рис. 3.9.7
140
Глава 3.10. ТЕОРИЯ УДАРА
За захват естественных небесных тел в
резонансное вращение отвечает прежде всего
приливной момент от центрального тела. На
рис. 3.9.7 изображены фазовые траектории
эволюции обезразмеренной угловой скорости
Q осевого вращения тела и наклонения р оси
тела к нормали к плоскости орбиты под дей-
ствием приливного момента, описываемого
формулой (3.9.8). В пределе движение стре-
мится к прямому вращению с определенной
угловой скоростью вокруг оси, нормальной к
плоскости орбиты.
3.9.6. ВЛИЯНИЕ МОМЕНТОВ СИЛ
ВНУТРЕННЕЙ ПРИРОДЫ
Существенное влияние на движение
спутника около центра масс оказывает жид-
кость, содержащаяся в полостях спутника.
Из-за вязкости жидкости кинетическая
энергия вращения рассеивается; кинетиче-
ский момент сохраняется и спутник стремит-
ся установиться во вращении вокруг оси мак-
симального момента инерции. Задача о дви-
жении спутника с полостями, наполненными
жидкостью, являются самостоятельной главой
динамики. В многочисленных работах рас-
смотрены вопросы устойчивости движения
тела с жидким наполнением, вычислены вре-
мена переходных процессов для разных слу-
чаев, проанализировано влияние формы по-
лостей, внутренних перегородок в полостях, и
т. п. [66].
Пусть, например, спутник содержит
сферическую полость радиуса а, наполненную
ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ ПЛОТНОСТЬЮ Ро и вязко-
стью v, момент внешних сил отсутствует. То-
гда при малых числах Рейнольдса уравнения
Эйлера движения спутника имеют вид [66]:
A dp -L /f R\ п V
A- + (C-B)qr = — р*
х[С(Л - С)(Л + С - В) г2 + В(А - В) X
х(Л + 5-С)92]. (3.9.25)
Причем два других уравнения получают-
ся циклической перестановкой букв
А, В,С, p>q>r . Здесь
8 2 «
А) = 525 в СИЛУ
(3.9.25) величина L вектора кинетического
момента сохраняется, а кинетическая энергия
Т убывает монотонно. Спутник стремится к
вращению вокруг оси максимального момента
инерции. В случае динамической симметрии
спутника характерное время переходного
процесса составляет
t va3c
РоРО^О И “ С|
Наличие твердых подвижных (например,
вращающихся) масс в спутнике вносит доба-
вочные возмущения в его движение. Напри-
мер, для правильного теплообмена внутри
спутника создается принудительная циркуля-
ция газов с помощью вентиляторов; возмуще-
ния такого рода изменяют движение спутника
относительно суммарного вектора кинетиче-
ского момента спутника и подвижных масс;
суммарный вектор кинетического момента
неизменен по величине и направлению. Су-
щественное прикладное значение имеет ис-
пользование вращающихся масс для управле-
ния движением около центра масс, например,
для введения спутника в режим пассивной
стабилизации.
Глава ЗЛО
ТЕОРИЯ УДАРА
3.10.1. ПОНЯТИЕ ОБ УДАРЕ
Ударом называется процесс мгновенного
изменения скорости материальной точки под
действием мгновенных сил. И то и другое
является весьма удобной в расчетах идеализа-
цией той ситуации, когда конечное измене-
ние скорости происходит за малые промежут-
ки времени, при кратковременном действии
больших по значению сил. Понятия “большая
сила” и “малый промежуток времени” имеют
смысл, когда сила сравнивается с другими
силами, действующими на точку, а время - с
характерным временем, таким как период
собственных колебаний, время затухания пе-
реходного процесса и др.
На точку могут действовать только
мгновенные силы. Тогда идеализация при
помощи удара имеет субъективный характер:
время действия силы мало по сравнению со
временем наблюдения, а сила считается
большой потому, что за малое время приводит
к конечным изменениям скорости. Рассмот-
рим действие мгновенных сил на материаль-
ную точку. Движение свободной материаль-
ной точки под действием силы подчиняется
дифференциальным уравнениям
Изменение количества движения мате-
риальной точки за время от tQ до t
t
mr - тгц = J Fdt,
A)
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
141
а импульс силы за это же время
1
j^ = jFdt.
4)
Мгновенной силой, действующей на ма-
териальную точку в момент времени to назо-
вем такую идеализацию большой силы F ,
действующей на малом промежутке времени
t -to, при которой следующий предел имеет
конечное значение:
t
lim [Fdt = J,
t^t0 J
4)
где J - ударный импульс.
Изменение количества движения мате-
риальной точки Д (/иг) = J , т. е. скорость
рассматриваемой точки в момент времени tQ,
в которой действует ударный импульс, изме-
няется скачком.
Отметим, что мгновенная сила за время
действия не производит перемещения матери-
альной точки. Действительно, если еще раз
проинтегрировать исходные дифференциаль-
ные уравнения, то получим
t t
mr - mro = mrQ(t-to) + jdt JFdt,
4) 4)
и при переходе к пределу t t0 имеем
t
mr - mro = 0, поскольку ^Fdt -> J , а
4)
t
jjdt —► 0.
3.10.2. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ УДАРА
Общие теоремы динамики системы ма-
териальных точек могут быть переформулиро-
ваны для случая, когда среди действующих на
систему сил присутствуют мгновенные силы,
следующим образом [ 1 ]:
Теорема об изменении количества движе-
ния при ударе. Аналитическое выражение тео-
ремы в общем случае
dK _ V* - 1 V г
\ V 'V
В левой части стоит производная от ко-
личества движения системы материальных
точек, а в правой - сумма всех внешних сил,
действующих на эту систему. После интегри-
рования от to до t
t
k-k^^Fvdt.
4) v
При t —> to импульсы обычных сил
стремятся к нулю, а мгновенных (в соответст-
вии с принятой выше идеализацией этих сил)
- к ударным импульсам:
к-кй=^.
V
Изменение количества движения систе-
мы материальных точек в момент удара равно
сумме всех внешних ударных импульсов, дей-
ствующих на систему в этот момент.
Теорема об изменении момента количества
движения при ударе. Проинтегрируем от tQ до t
аналитическое выражение для этой теоремы,
записанное в общем случае:
dG d v1 _ д
s jjZSv Х (Wvrv) - Mrc X И-о ,
V
где vv0 - ускорение той точки (полюс), отно-
сительно которой вычисляются момент коли-
чества движения и моменты внешних сил;
гс - радиус-вектор центра масс в системе,
начало которой совпадает с подвижным по-
люсом; rv - радиусы-векторы точек в этой
системе.
В результате имеем
/ /
G - Go = rv х Fvdt - jMrc x wQdt
v 'o
При t -► t0 в правой части остаются
лишь моменты от внешних мгновенных сил:
G -Gq= х Jv.
v
Изменение момента количества движе-
ния системы материальных точек относитель-
но произвольно движущегося полюса в мо-
мент удара равно моменту внешних ударных
импульсов. Эта теорема имеет одинаковое
выражение независимо от того, подвижен или
неподвижен полюс, совпадает ли он с цен-
тром масс или нет.
Общее уравнение динамики системы мате-
риальных точек при ударе. Если система мате-
риальных точек связана голономными связя-
142
Глава 3.10. ТЕОРИЯ УДАРА
ми, то для каждой точки в отдельности изме-
нение количества движения
A(mvrv) = /v
где Jv - ударный импульс внешних сил; Rv
- ударный импульс реакций связей.
Распространим гипотезу Лагранжа об
идеальных связях на случай удара, т. е. будем
считать, что * 5rv — 0.
v
Тогда суммируя изменение количества
движения по всем точкам системы и учитывая
условие идеальности, получим общее уравне-
ние теории удара
£(mvArv-Jv)-8rv =0.
V
Теорема Карно. В теореме Карно рас-
сматривается система связанных материаль-
ных точек, на которую не действуют внешние
ударные импульсы (Jv = 0), но которая в
некоторый момент времени подвержена вне-
запному наложению дополнительных связей,
сохраняющихся в дальнейшем. Такие связи
называются неупругими.
Общее уравнение теории удара в этом
случае имеет вид
wvA rv • 5rv = 0.
V
Положим, что связи не зависят от вре-
мени. Тогда можно выбрать 5rv || krv и
получить
S'"v(':v-':vO)’':v =0-
V
Vг т
или 2,~f = Го - Т},
V
где wv = rv -fvo; То = ?! =
V
= £l/2mvrv2 •
Потеря кинетической энергии при на-
ложении неупругих связей равна кинетиче-
ской энергии потерянных скоростей.
3.10.3. УДАР МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ О ПРЕПЯТСТВИЕ
Препятствие, с которым происходит со-
ударение материальной точки, полагается
неподвижным в некоторой инерциальной
системе координат. Удар называется прямым,
если скорость материальной точки перед со-
ударением направлена по нормали к поверх-
ности препятствия в точке соударения, абсо-
лютно упругим, если скорость материальной
точки при ударе меняется на противополож-
ную (v+ = -v”), абсолютно неупругим, если
после удара точка осталась на поверхности
(v+ =0). Промежуточный случай выражается
гипотезой Ньютона:
v+ = -kv~,
где к - коэффициент восстановления,
Косой удар (рис. 3.10.1). Если скорость
материальной точки перед ударом не направ-
лена по нормали к поверхности, то следует
рассмотреть изменение обеих ее проекций
(движение предполагается плоским). Для про-
екции на нормаль используется как и в случае
прямого удара гипотеза Ньютона:
Vy = -kv~y.
Чтобы связать доударные и послеудар-
ные значения составляющей скорости вдоль
препятствия требуется новая гипотеза. Упот-
ребительными являются две гипотезы. Первая
использует закон Кулона, связывающий нор-
мальную и касательную силы при сухом тре-
нии (гипотеза Рауса), что приводит к соотно-
шению, согласно которому приращение ско-
рости в касательном направлении пропор-
ционально приращению скорости в нормаль-
ном направлении:
< -Vx = /(v* -V-),
где f - коэффициент сухого трения.
Подставляя в это соотношение связь
между нормальными составляющими, полу-
чим - v" = -/(1 + к) У~у , что выражает в
окончательной форме гипотезу Рауса. Другая,
более простая гипотеза основана на предпо-
ложении, что изменение касательной состав-
ляющей скорости пропорционально доудар-
ному ее значению: vJ - v~ = -Xv~ .
ОБ УДАРЕ ШАРОВ
143
Стесненный удар. Это удар несвободной
материальной точки о неподвижное препятст-
вие, т. е. точки, стесненной некоторыми свя-
зями с другими точками. В случае нестеснен-
ного косого удара движение материальной
точки характеризуется равенством угла паде-
ния углу отражения, когда удар абсолютно
упругий, и большим значением угла отраже-
ния для неупругого удара (угол измеряется от
нормали). В случае стесненного удара свойст-
ва равенства указанных углов может не вы-
полняться, даже если удар абсолютно упру-
гий.
Пример (рис. 3.10.2). Две одинаковые
массы, связанные абсолютно жестким неве-
сомым стержнем, совершают плоское движе-
ние. Одна масса сталкивается с неподвижной
преградой, характеризуемой неудерживающей
связью у £0. Перед ударом скорости х,у,ф
произвольны. Требуется найти приращения
этих скоростей Дх, Ду и Дф, возникающие в
результате удара, в предположении, что удар
идеальный (кинетическая энергия системы в
момент удара не меняется).
Материальная точка в момент удара на-
ходится под действием двух мгновенных сил:
одна направлена по нормали к поверхности, с
которой происходит соударение, другая - по
стержню, связывающему две точки, и опреде-
ляет реакцию связи в момент удара. Это и
объясняет более сложную картину движения,
чем в случае свободной материальной точки.
Общий метод решения подобных задач
дан ниже.
Столкновение двух материальных точек.
Рассмотрим простейшую ситуацию, когда
сталкиваются две движущиеся по одной пря-
мой материальные точки. Пусть их массы т\
и /л2, а скорости соответственно V! и v2. Ско-
рости измеряются в той системе отсчета, в
которой центр масс неподвижен.
Из закона сохранения количества дви-
жения соотношение + m2v2 = 0 спра-
ведливо как для доударных скоростей, так и
для послеударных, поскольку внешние мгно-
венные силы отсутствуют. Из этого следует
mi _ + mi +
v2 =~vi; 4 = ---Lvi •
m2 m2
Гипотеза Ньютона для двух сталкиваю-
щихся материальных точек состоит в равенст-
вах Vj = -&vj, v2 = -kv~2 > которые связы-
вают не только скорости точек относительно
их общего центра масс, но и доударную и
послеударную относительные скорости
и = v2 - Vj: и+ = -ки .
Если одно из тел намного больше дру-
гого (mj » /и2), то задача о столкновении
двух точек переходит в задачу о столкновении
точки с неподвижным препятствием.
3.10.4. ОБ УДАРЕ ШАРОВ
Задача об ударе шаров в предположе-
нии, что ударный импульс направлен по об-
щей нормали к поверхностям шаров в точке
касания, сводится к задаче об ударе двух ма-
териальных точек. Действительно, проведя
ось х через центры шаров в момент удара
(рис. 3.10.3), заключаем, что изменения коли-
чества движения любого из шаров в проекции
на ось у равно нулю, следовательно, проек-
ции скоростей шаров на эту ось в процессе
удара изменений не претерпевают. Что каса-
ется проекций этих скоростей на ось х, то
они подчиняются законам, установленным
для удара двух точек.
Рис. 3.10.2
Рис. 3.10.3
144
Глава 3.10. ТЕОРИЯ УДАРА
3.10.5. ТЕОРИЯ УДАРА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Удар по телу, вращающемуся вокруг не-
подвижной точки. Теорема об изменении мо-
мента количеств движения относительно не-
подвижной точки, записанная для твердого
тела в проекциях на жестко связанные с ним
оси имеет вид (уравнение Эйлера):
dG - - - F
—— + (&*G = rxF,
dt
где co - угловая скорость твердого тела; г -
радиус-вектор точки приложения мгновенной
силы F .
Интегрируя это уравнение на интервале
от tQ до Л на котором действует мгновенная
сила, имеем
t t
G - Gq + J co x Gdt = r x | Fdt.
zo zo
Предполагается, что точка приложения
мгновенной силы не перемешается з время
от Го до t. Переходя к пределу, получим
t t
и для изменения момента количеств движе-
ния тела при ударе
G -Gq - г х J .
Изменение .момента количества движе-
ния твердого тела, имеющего неподвижную
точку, под действием ударного импульса,
имеет одинаковый вид, как в проекциях на
неподвижные, так и на связанные с телом
оси Гироскопические свойства тела при ударе
никак не проявляются.
Действие удара на твердое тело, имеющее
неподвижную ось вращения. Рассмотрим твер-
дое тело в системе координат xyz, ось z кото-
рой направлена по оси вращения тела (рис.
3 10.4). Центр масс тела находится в точке
6(£,П,0- В точке Р (а, Ь, с) к телу приложен
ударный импульс J = {Jx, Jy, Jz | .
Найти точку приложения импульса, т. е.
величины а, Ь, с, чтобы ось вращения не ис-
пытывала ударных нагрузок. Такая точка су-
ществует и называется центром удара.
В результате удара первоначально поко-
ившееся тело приобретает вокруг оси z угло-
вую скорость со. По теоремам об изменении
количеств движения
-/исот] = /исо£ = Jy, Jz = 0,
об изменении момента количеств дви-
жения
~J~ —cJу, — JyZ — cJх, J£gCO = JyQ “ J
где m - масса тела; J yz, Ju - моменты
инерции тела относительно соответствующих
осей.
Из условия Jz = 0 следует, что ударный
импульс должен быть перпендикулярен к оси
вращения. Неподвижную систему xyz можно
выбрать так, чтобы ударный импульс лежал в
плоскости ху, кроме того, поворотом этой
системы вокруг оси z можно добиться ортого-
нальности этого импульса оси х. Таким обра-
зом, без ограничения общности можно счи-
тать, что Jz = 0 и Jx = 0. Тогда приведенные
выше соотношения примут вид
-/исот] = 0, гмй, = Jy, - J^a = -cJy,
- JyZ(d = 0.
Откуда т|=0 - центр масс должен лежать
в плоскости, перпендикулярной к ударному
импульсу; Jxz = Jyz =0 - ось вращения
должна быть главной осью инерции тела в
точке О; а = , b - произвольно, с - .
3.10.6. СИСТЕМЫ С ИДЕАЛЬНЫМИ
НЕУДЕРЖИВАЮЩИМИ СВЯЗЯМИ
Пусть рассматривается механическая
система произвольного вида, уравнения Ла-
гранжа которой
Aq + F(t,q,q) = 0, (3.10.1)
на систему наложена односторонняя идеаль-
ная связь
/(ММ, (3.10.2)
где q - матрица-столбец обобщенных коорди-
нат.
Пока система находится вне связи так,
что выполняется строгое неравенство
f (t,q) >0, ее движение описывается уравне-
ниями (3.10.1). В моменты времени, когда
СИСТЕМЫ С ИДЕАЛЬНЫМИ НЕУДЕРЖИВАЮЩИМИ СВЯЗЯМИ
145
/(Г,д)=О, система подвержена действию
дополнительных мгновенных сил N, пред-
ставляющих собой реакции связи. В эти мо-
менты уравнения движения могут быть запи-
саны в виде
Aij + F(t,q,q) = N. (3.10.3)
Будем считать связь (3.10.2) идеальной, а
удар при выходе на связь абсолютно упругим.
Тогда, во-первых, кинетическая энергия сис-
темы
Т=1?тЛ? + ^ + Т0 (3.10.4)
в момент удара разрыва не терпит; во-вторых,
на виртуальных перемещениях системы вдоль
связи реакции работы не совершают,
tfT-5g=0. (3.10.5)
В (3.10.4) и (3.10.5) и далее применяем
для удобства выкладок матричные обозначе-
ния: q - матрица-столбец, q* - транспони-
рованная матрица, т. е. матрица-строка, так,
что q* Aq - квадратичная форма, & q - ли-
нейная форма и т. п.
Виртуальные перемещения обязаны
удовлетворять условию
^6? = 0. (3.10.6)
.. df (df df\
Матрица-строка — = -------, ...,-- ,
\dqi dq„J
определяет нормаль к поверхности
f (t, q) = 0. Компоненты единичного вектора
нормали ё имеют вид
Условие (3.10.6) может быть представле-
но
ет5д=0. (3.10.7)
Из (3.10.5) и (3.10.7) следует
N = пё, (3.10.8)
т. е. реакция связи направлена по нормали к
связи и ее модуль равен п.
Подставим (3.10.8) в (3.10.3) и проинтег-
рируем полученное уравнение за время удара
(ДО:
AAq + |Г(/, q, q)dt-e |л (/) dt. (3.10.9)
аг at
Обозначая ударный импульс
J = jn(t)dt и полагая Д/ малым, так, что в
АГ
(3.10.9) можно пренебречь интегралом
jF(t, q, q)dt, из (3.10.9) получим
АГ
Abq = Je. (3.10.10)
Откуда для приращения обобщенных
скоростей в момент удара следует
Д? = ЛГ*е. (3.10.11)
Для определения ударного импульса
воспользуемся условием непрерывности кине-
тической энергии: Т+ = Т_ , где Т_ - кинети-
ческая энергия системы до удара (до выхода
на связь), подсчитываемая по формуле
(3.10.4), Т+ - кинетическая энергия после
удара, подсчитываемая по формуле
Т+ = 1(9 + Д9)ТЛ(9 + Д?) + Z>T(<? + Д?) + То.
(3.10.12)
Приравнивая (3.10.4) и (3.10.12) и со-
кращая одинаковые члены, получаем
Д q*Aq + у Д qT AAq + дтД q = 0.
Подставляя в это равенство выражения
для приращения скоростей (3.10.11), найдем
уравнение для ударного импульса J:
JeTq + у/2етЛ + JbTA *е = 0.
Исключая нулевое решение, имеем
7 = _2ет(9 + Л 1ЬТ) (3.10.13)
етА
Подставляя это выражение для J в фор-
мулу (3.10.11), получаем окончательно
Ы = _2*Т(? + Л 'b)A-ie (3 1014)
етА е
Эта формула представляет собой общее
решение задачи определения послеударного
состояния произвольной механической сис-
темы по известному доударному в случае иде-
146
Глава 3.10. ТЕОРИЯ УДАРА
ального удара (идеальных связей). В этой
формуле q - доударные скорости, q + Д q -
послеударные, е - единичный вектор нормали
к связи в точке удара, А - матрица квадратич-
ной формы кинетической энергии, дт- коэф-
фициенты линейной формы кинетической
энергии (3.10.4). Если система склерономная
(связи от времени не зависят), то 6Т= 0 и
формула (3.10.14) имеет более простой вид:
Дд = -2 А~‘е. (3.10.15)
етА е
Остановимся на некоторых свойствах
идеального удара в лагранжевых механиче-
ских системах, вытекающих из формул
(3.10.14) и (3 10.15).
1. Для того чтобы падающая скорость
q, отраженная скорость q + Aq и вектор
нормали в точке удара е лежали в одном ли-
нейном многообразии размерности два при
любой q , необходимо и достаточно, чтобы
вектор нормали был собственным вектором
матрицы кинетической энергии в этой точке.
Таким образом, эфйфект стесненного
идеального удара, проявляющийся в наруше-
нии закона “угол падения равен углу отраже-
ния” в обобщенном смысле, определяется
исключительно структурой матрицы квадра-
тичной формы кинетической энергии.
2 Обобщенные импульсы, соответст-
вующие обобщенным координатам, на кото-
рые наложена неудерживающая связь, в мо-
мент выхода системы на связь непрерывны
(теорема Аппеля).
3. В склерономных системах скорость по
той координате, на которую наложена не-
удерживающая связь в момент удара (если
удар идеальный), меняется на обратную.
Пример. Решение задачи о стесненном
ударе (рис. 3.10.2).
Кинетическая энергия
Т =
= /и|х2 + у2 + l(y coscp - a: sin ср) ср + 1/2/2ср21
Матрица кинетической энергии
2m
0
<-/?:/sin ф
0
2m
ml cos ср
А =
-ml sin фл
ml cos ф .
ml2 ,
Обратная матрица
A'1
1
2ml2
I2(2-cos2 ф)
-12 sin ф cos ф
21 sin(p
-/25ШфСО5ф 2/5Шф
/2(2-sin2 ф) -2/со5ф
-2/со5ф 4
Уравнение связи у £ 0, следовательно,
вектор нормали
'О'
ё = 1
Поскольку система склерономна, то вы-
числение b и послеударного состояния произ-
водится по формуле (3.10.15):
eTq = (0,1,0) у =у;
< Ф J
eTA~le = ajj = —(2 - sin2 ф);
2m
--—sin ф cos ф
(2 - sin2 ф)
2m
1
----COS ф
2m >
Откуда
a • 2у
Дх =--------5—Sinфcosф ;
2 - sin ф
Ду =-------(2 - Sin2 <р) = -2у ;
2 - sin ф
4у cos ф
Д Ф =--------=—.
/(2 - sin2 ф)
Приращение скорости у в момент удара
не зависит от угла ф и является таким же,
как и для одной, не связанной материальной
точки. Приращение горизонтальной состав-
ляющей равно нулю для горизонтального и
для вертикального положений стержня в мо-
мент удара. Если / -> оо , то стержень движет-
ся поступательно (Дф = 0) , однако имеется
разрыв как вертикальной составляющей ско-
рости, так и горизонтальной.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
147
Глава 3.11
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
МЕХАНИКИ
Вариационные принципы механики -
исходные положения аналитической механи-
ки, математически выраженные в форме ва-
риационных соотношений, из которых как
логические следствия выводятся все диффе-
ренциальные уравнения движения и законы
механики. Вариационные принципы основы-
ваются на аксиомах или законах движения
Ньютона [45], постулированных для свобод-
ных материальных тел, и аксиомах связей. В
свою очередь, любой из вариационных прин-
ципов можно принять за аксиому и из него
логически вывести законы движения.
Вариационные принципы отличаются
один от другого как по форме и способам
варьирования, так и по общности, но каждый
из них, в рамках приложимости, представляет
собой единую основу и синтезирует механику
соответствующих материальных систем. Тот
или иной вариационный принцип механики
потенциально заключает в себе все содержа-
ние этой области науки и объединяет все ее
положения в единой формулировке.
Вариационные принципы механики по
форме подразделяются на дифференциаль-
ные, характеризующие свойства движения для
любого данного момента времени, и инте-
гральные, характеризующие свойства движе-
ния на любых конечных промежутках време-
ни.
3.11.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ
ПРИНЦИПЫ
Принцип виртуальных перемещении. Этот
принцип применялся еще Галилеем (1665 г.),
однако первый, кто понял общность принци-
па и его полезность для решения задач стати-
ки, был Бернулли (1717 г). Принцип получил
обоснование, существенное развитие и при-
менение в труде Лагранжа [36], считавшего
его основным для всей механики.
Принцип виртуальных перемещений по-
зволяет находить положения равновесия сис-
темы материальных точек, т. е. такие положе-
ния rv = rv(fo), в которых система будет
оставаться все время, если она помешена в
эти положения с нулевыми начальными ско-
ростями vv(70) =0 при условии, что rv(Z(j) -
возможные положения и vv = 0 - кинемати-
чески возможные скорости при любом t.
Здесь rv - радиусы-векторы точек системы
относительно начала О инерциальной систе-
мы координат Oxyz, причем vv = rv . Обозна-
чим через 5rv виртуальные перемещения,
допускаемые в данный момент времени на-
ложенными на систему связями, через
Fv(Z,rg,rg) еС1 заданные активные силы, а
через Ry реакцию связей. Связи предполага-
ются идеальными удерживающими, т. е.
Механическая система находится в рав-
новесии в некотором положении тогда и
только тогда, когда сумма элементарных работ
активных сил на всяком виртуальном пере-
мещении, выводящем систему из рассматри-
ваемого положения, равна нулю в любой мо-
мент времени:
^/v-8rv=0. (3.11.1)
Уравнение (3.11.1) является общим
уравнением статики, сводящим любую задачу
статики к математической задаче исследова-
ния этого уравнения. Для частного случая
потенциальных сил
Fv =grad;(/(r,r|, ..., rN); U(t,rv) еС2 ,
где N - число точек системы, равенство
(3.11.1) принимает вид
bU =0 (3.11.2)
при любом 7, т. е. механическая система, под-
верженная действию потенциальных сил, на-
ходится в равновесии тогда и только тогда,
когда силовая функция имеет стационарное
значение.
Принцип Д'Аламбера-Лагранжа. Для вы-
вода уравнений динамики методами статики
применяется принцип Д’Аламбера (1743 г.)
[22]. Если к действующим на точки матери-
альной системы заданным (активным) силам
и силам реакций связей присоединить силы
инерции - mvwv, то такая система сил будет
находиться в равновесии. Обобщение прин-
ципа Д'Аламбера и принципа виртуальных
перемещений было получено Лагранжем
(1788 г.). Для действительного движения сис-
темы сумма элементарных работ активных сил
и сил инерции на любых виртуальных пере-
мещениях равна нулю в любой момент вре-
мени:
£(Fv-mvwv)-8rv=0. (3.11.3)
V
В принципе Д'Аламбера-Лагранжа срав-
ниваются положения системы в ее действи-
тельном движении с бесконечно близкими
положениями, допускаемыми связями в рас-
сматриваемый момент времени. Соотношение
(3.11.3) определяет зависимость между актив-
ными силами, вызываемыми ими при нало-
женных связях ускорениями и виртуальными
перемещениями. Выражая необходимое и
148
Глава 3.11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
достаточное условие соответствия действи-
тельного движения, являющегося одним из
кинематически возможных движений, задан-
ным активным силам, уравнение (3.11.3) яв-
ляется общим уравнением динамики. Когда
все ускорения wv = О, уравнение (3.11.3)
принимает вид (3.11.1) общего уравнения
статики.
Уравнения движений содержатся в урав-
нении (3.11.3). Для получения полной систе-
мы независимых дифференциальных уравне-
ний динамики достаточно выразить виртуаль-
ные перемещения 5rv через систему незави-
симых перемещений и подставить в уравне-
ние (3.11.3). Таким путем могут быть получе-
ны, например, уравнения Лагранжа, Аппеля и
любая другая система независимых диффе-
ренциальных уравнений движения. Если из
семейства виртуальных перемещений выде-
лить какое-либо одно перемещение и подста-
вить его в уравнение (3.11.3), то полученное
соотношение является или одним из диффе-
ренциальных уравнений движения системы,
или следствием из них. Таким способом мож-
но получить, например, общие теоремы
(законы) динамики: о количестве движения,
моменте количеств движения, кинетической
энергии.
Общие теоремы динамики системы ха-
рактеризуют некоторые свойства движения,
но ни одна из них в общем случае не в со-
стоянии заменить всю систему дифференци»
альных уравнений движения и вполне охарак-
теризовать движение системы.
Принцип Д'Аламбера-Лагранжа является
одним из наиболее общих вариационных
принципов механики, справедливым как для
голономных, так и для неголономных систем.
Все другие вариационные принципы механи-
ки представляют собой или иные формули-
ровки этого принципа, или следствия из него.
Принцип Д'Аламбера-Лагранжа не связан,
однако, с понятием экстремума какой-либо
функции. В нем фигурирует сумма элемен-
тарных работ заданных сил и сил инерции на
бесконечно малом виртуальном перемещении
из заданной конфигурации, не представляю-
щая собой вариации какой-либо функции,
подобно равенству (3.11.2).
Принцип наименьшего принуждения Гаус-
са. Гаусс (1829 г.) предложил новый вариаци-
онный принцип [18], представляющий собой
модификацию принципа Д'Аламбера-Лагран-
жа. Среди всех кинематически возможных
движений рассматриваются мыслимые по
Гауссу движения, удовлетворяющие условиям
наложенных на систему связей и постоянства
rv и vv для рассматриваемого момента вре-
мени t. В момент t + dt имеем
8FV = ±&wv(dt)2;
где dvv и 5vv - изменения скоростей за
промежуток времени dt соответственно для
действительного и какого-либо мыслимого
движений. При этом уравнение (3.11.3) при-
водится к виду
т ( F У
AZ=0;Z = y , (3.11.4)
причем A2Z > 0.
Движение системы материальных точек,
связанных между собой произвольным обра-
зом и подверженных любым влияниям, в ка-
ждое мгновение происходит в наиболее со-
вершенном, какое только возможно, согласии
с тем движением, каким обладали бы эти
точки, если бы они стали свободными, т. е.
движение происходит с наименьшим возмож-
ным принуждением, если в качестве меры
принуждения за время dt принять величину
Z, равную сумме произведений массы каждой
точки на квадрат величины ее отклонения от
того положения, которое она заняла бы, если
бы была свободной. Иначе, в каждый момент
времени t среди всех ускорений, обусловлен-
ных связями, действительными ускорениями
wv различных точек системы будут те, кото-
рые обращают в минимум функцию Z второй
степени относительно ускорений.
Равновесие является частным случаем
общего закона: оно имеет место в том случае,
когда точки не имеют скорости и когда со-
хранение системы в состоянии покоя более
близко к свободному движению в случае уп-
разднения связей, чем к возможным движе-
ниям, допускаемым связями.
Принцип Гаусса представляет собой фи-
зическую аналогию предложенного Гауссом
метода наименьших квадратов теории оши-
бок. Принцип Гаусса эквивалентен принципу
Д'Аламбера-Лагранжа, однако при рассмотре-
нии нелинейных дифференциальных связей
вида (pj(f,rv,rv) = 0 эти принципы по Аппе-
лю и Делассю (1911-1913 гг.) [70], оказались
несовместимыми. Этот вопрос был разрешен
Н. Г. Четаевым (1932-1933 гг.), предложив-
шим определять виртуальные перемещения
для нелинейных связей условиями вида [67]
Xvgrad;<ps -8rv =0.
Из принципа Гаусса следует принцип
наименьших реакций: для действительного
V
движения величина >—— есть минимум.
v v
Принцип Гаусса обобщен на случай ос-
вобождения системы от части связей. Так как
виртуальные перемещения исходной системы
находятся среди виртуальных перемещений
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
149
освобожденной системы, то справедливо со-
отношение:
V
где dvv - изменение скорости за время dt в
освобожденном движении.
Это уравнение с учетом (3.11.4) можно
привести к виду
4й + -456=0, (3.11.5)
гае Adt> ' мер®
V
клонения движения д от движения 5 за вре-
мя dt; аналогично записываются и .
Из уравнения (3.11.5) следуют неравен-
ства
4® < 4зб > (3.11.6)
выражающие теорему. Отклонение действи-
тельного движения d системы от мыслимого 8
(освобожденного действительного 5) движе-
ния меньше отклонения движения 8 от дви-
жения д. Эта теорема доказана Н. Г. Четае-
вым [67]. Теорема, выражаемая вторым из
неравенств (3.11.6), для случая линейных не-
голономных связей высказана Э. Махом
(1883 г.) [40] и доказана Е. А. Болотовым
(1916 г.) [11].
Принцип прямейшего пути Герца. К
принципу Гаусса тесно примыкает принцип
прямейшего пути, постулированный Герцем
(1894 г.) [19] в качестве основного закона
разработанной им механики, в которой в от-
личие от механики Ньютона вместо понятия
силы введены представления о скрытых свя-
зях, скрытых массах и скрытых движениях.
Принцип прямейшего пути (наименьшей
кривизны) Герца заключается в том, что вся-
кая свободная система пребывает в своем
состоянии покоя или равномерного движения
вдоль прямейшего пути.
Под свободной системой понимается
система, не подверженная действию активных
сил. и стесненная только внутренними связя-
ми, накладывающими условия лишь на вза-
имное расположение точек системы. Пря-
мейший путь определяется как такая траекто-
рия, элементарные дуги которой обладают
наименьшей кривизной по сравнению с лю-
быми другими дугами, допускаемыми связями
и имеющими с рассматриваемой элементар-
ной дугой общие начальную точку и каса-
тельную в ней, причем величина Z интерпре-
тируется как кривизна траектории точки, изо-
бражающей положение системы в 3 АГ-мерном
евклидовом пространстве с прямоугольными
координатами <JmyXy, .
Иначе, согласно принципу Герца среди всех
совместимых со связями траекторий действи-
тельная траектория обладает наименьшей
кривизной. Принцип Герца эквивалентен
принципу Гаусса для систем, стесненных ста-
ционарными связями и не подверженных
действию активных сил.
Принцип максимума работы Четаева.
Н. Г. Четаев (1941 г.) предложил следующее
видоизменение принципа Гаусса [67]. Работа
4 =£(^-OTv*v)-(vv+^^A+...
k dt 2 J
V
на элементарном цикле, состоящем из пря-
мого движения в поле заданных сил и обрат-
ного в поле сил, которых было бы достаточно
для создания действительного движения, если
бы механическая система была совершенно
свободной, для действительного движения
имеет (относительный) максимум в классе
мыслимых по Гауссу движений. Принцип
Четаева позволяет расширить характер обыч-
но рассматриваемых механических систем
путем привлечения принципа Карно из тер-
модинамики. Обобщение [70] этого принципа
.на физические системы имеет вид
8 =0>
2 2/nv
где U - внутренняя энергия; Д0 - приток
теплоты [55].
Принцип Журдена. Изложенные прин-
ципы по способам варьирования подразделя-
ются на две группы: в принципах виртуаль-
ных перемещений и Д'Аламбера-Лагранжа
варьируется в некоторый момент времени
положение rv системы, а в принципах Гаус-
са, Герца и Четаева варьируются ускорения
rv системы при постоянных rv и rv. Про-
межуточное место между этими двумя груп-
пами занимает принцип Журдена, в котором
в момент t варьируются скорости rv при по-
стоянных rv. В момент t + dt возможные
перемещения 8rv = brvdt, и уравнение
(3.11.3) принимает вид
2} (Л -mvwv) -6rv =0.
V
150
Глава 3.11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
3.11.2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ
ПРИНЦИПЫ
В интегральных вариационных принци-
пах механики сравнение действительного и
кинематически возможных движений произ-
водится для конечных промежутков времени.
Именно, сравниваются значения некоторых
определенных интегралов (называемых дейст-
вием), вычисляемых для действительного и
кинематически возможных движений, удовле-
творяющих определенным условиям, между
некоторыми двумя конечными положениями
системы. Интегральные вариационные прин-
ципы механики менее общие, чем дифферен-
циальные и применимы главным образом к
голономным системам.
Принцип стационарного действия Гамиль-
тона. Наиболее общим из интегральных
принципов является принцип, установленный
Гамильтоном (1834-1835 гг.) [16] для случая
стационарных голономных связей и обоб-
щенный Остроградским (1848 г.) [47] на не-
стационарные геометрические связи.
Пусть известны положения и Р| го-
лономной системы в моменты времени tQ и
в некотором ее действительном движении под
действием заданных сил и сил реакций. В
этом движении rv будут функциями времени,
которые удовлетворяют связям и принимают
для t = tQ и t = значения, отвечающие
положениям Ро и Р\. Пусть rv + 5rv - неко-
торые функции времени класса С2, достаточ-
но близкие к \(Z), удовлетворяющие связям
и принимающие для t = Zo и t = t\ те же
значения, что и rv(Z). При этом 5rv унич-
тожаются при t = Iq и t = Z] и имеют смысл
виртуальных перемещений. Если считать
Pv = grad^f/ , то для действительного дви-
жения
zi
85=0, S=j(T + U)dt, (3.11.7)
zo
где функционал S - действие по Гамильтону
за промежуток времени Zj - Zo .
Принцип стационарного действия Га-
мильтона (принцип Гамильтона-Остроград-
ского) заключается в следующем: в действи-
тельном движении системы действие по Га-
мильтону имеет стационарное значение по
сравнению с любыми бесконечно близкими
кинематически возможными движениями, для
которых начальное и конечное положения
системы одинаковы с соответствующими по-
ложениями для действительного движения и
время движения одинаково. В случае непо-
тенциальных сил принцип Гамильтона-
Остроградского выражается уравнением
j 8T + ^Fv-8rv dt = O, (3.11.8)
т. е., если rv(Z) - функции времени, соответ-
ствующие действительному движению систе-
мы, то интеграл в (3.11.8) равен нулю для всех
вариаций функций rv(Z), совместимых со
связями и уничтожающихся на обоих преде-
лах интеграла.
Равенства (3.11.7) и (3.11.8) представля-
ют собой необходимые и достаточные условия
для действительного движения системы под
действием заданных сил. Уравнение (3.11.8)
справедливо и для неголономных систем,
однако для последних движение rv + 5rv не
является кинематически возможным; уравне-
ние (3.11.7) несправедливо для неголономных
систем, однако справедливо равенство [49]
zi
|8(Т + (/)Л=0.
zo
Если уравнения геометрических связей
представить в виде
rv = rv(t,qt...q„), n = 3N -к,
где к - число связей, и ввести функцию Ла-
гранжа
L(t, q/, q^ = Т + U ,
ТО
zi
5 = jLdt.
zo
При этом в расширенном (л + 1)-
мерном координатном пространстве
(Z, q\, ..., qn) равенство (3.11.7) соответствует
обычной (непараметрической) задаче вариа-
ционного исчисления при закрепленных кон-
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
151
цах. В (2п + 1) -мерном расширенном фазо-
вом пространстве (Lq^Pj = dL/dq.) равен-
ство (3.11.7) соответствует вариационной за-
даче с полусвободными концами (t и д, -
фиксированы, Р( - свободны), причем
п
S= J Л,
'(А' = | '
где - функция Гамильтона.
Из уравнения (3.11.7) выводятся уравне-
ния Лагранжа
d dL dL
dt dq, dq,
(' = 1...n)
(3.11.9)
и канонические уравнения Гамильтона
dqt _ dH ' dp, _ _ dH
dt dpi ’ dt dqt
(/ = !,..., л) (3.11.10)
Для решения основной задачи динамики
достаточно известной функции действия
t
v(t,qhqiQ) = jLdt. (3.11.11)
ro
Однако для определения функции дей-
ствия по формуле (3.11.11) необходимо зна-
ние закона движения. Чтобы обойти эту труд-
ность, Гамильтон нашел дифференциальное
уравнение
которому удовлетворяет функция действия.
Якоби (1837 г.) [72] показал, что если
известен полный интеграл v(Z,^,a/) урав-
нения (3.11.12), зависящий от п произвольных
постоянных а,, из которых ни одна не явля-
ется аддитивной, то общее решение уравне-
ний (3.11.10) дается равенствами:
dv dv
Pi
(z = l,..., n)
где 0/ - произвольные постоянные.
Принцип стационарного действия Лагран-
жа. Для систем, стесненных стационарными
связями и находящихся под действием потен-
циальных сил, не зависящих явно от времени,
существует интеграл энергии
Е = Т-U = h. (3.11.13)
Благодаря существованию интеграла
можно ограничить множество сравниваемых
кинематически возможных движений, пере-
водящих систему из положения Ро в положе-
ние Р| движениями, при которых полная
механическая энергия Е имеет одно и то же
фиксированное значение h. В этом случае
интеграл (3.11.13) можно рассматривать как
неголономное условие и искать принцип ме-
ханики в виде условного вариационного
принципа. Эту задачу разрешил Лагранж
(1760 г.).
Принцип стационарного действия Ла-
гранжа заключается в следующем: если зада-
ны начальный момент времени /0 и начальное
и конечное положения голономной системы,
для которой существует интеграл энергии, то
для действительного движения
t
8j2TA=0 (3.11.14)
zo
по сравнению с варьированными движениями
между теми же начальным и конечным поло-
жениями и с той же энергией А, что и в дей-
ствительном движении. Символ 5 - вариация
при условии (3.11.13).
Выполнение соотношения (3.11.13) при
постоянном h для всех сравниваемых в прин-
ципе Лагранжа движений налагает опреде-
ленные ограничения на скорости этих движе-
ний и время движения из положения Ро в
положение Р\ зависит от кривой, по которой
совершается движение. Таким образом, прин-
цип Лагранжа (3.11.14) с учетом (3.11.13)
представляет собой условную вариационную
задачу с верхним свободным концом.
Принцип стационарного действия Якоби.
Для рассматриваемых систем исключением
времени t из (3.11.14) с помощью интеграла
энергии (3.11 13) Якоби (1837 г.) [72] получил
новый вариационный принцип механики В
152
Глава 3.11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
обобщенных координатах q{ кинетическая
энергия системы
Пусть заданы метрика координатного
пространства формулой
п
ds2 = Yavd^J - (31115)
Л 7=1
а также конечные положения системы Pq и Р\
в некотором действительном движении сис-
темы. Принцип стационарного действия Яко-
би такой: если заданы начальное и конечное
положения голономной консервативной сис-
темы, то для действительного движения
Л
8 р2(1/+Л)Л = 0 (3.11.16)
Л,
при сравнении со всякими другими беско-
нечно близкими движениями между теми же
самыми начальным и конечным положениями
и с тем же самым постоянным значением
энергии А, что и в действительном движении.
Принцип Якоби приводит задачу изуче-
ния движения голономной консервативной
системы к геометрической задаче отыскания в
римановом пространстве с метрикой (3.11.15)
экстремалей вариационной задачи (3.11.16),
которые представляют собой действительные
траектории системы. Принцип Якоби выявля-
ет тесную связь, существующую между дви-
жениями голономной консервативной систе-
мы и римановой геометрией пространства.
Если движение системы происходит в
отсутствие заданных сил, когда U = 0, то сис-
тема движется вдоль геодезической линии
координатного пространства (<7|, •••, <7л) с
постоянной скоростью. Этот факт является
обобщением закона инерции Галилея. Когда
U *0, разыскание движения голономной
консервативной системы также сводится к
задаче определения геодезических линий в
римановом пространстве с метрикой
п
ds\ = 2(U + A) ds1 = bijdqidqj .
ij=\
Для случая одной материальной точки,
когда линейный элемент ds -элемент евкли-
дова трехмерного пространства, принцип
Якоби представляет собой механический ана-
лог принципа Ферма в оптике.
Уравнения Лагранжа (3.11.9) или урав-
нения экстремалей вариационных принципов
Гамильтона, Лагранжа и Якоби являются не-
обходимыми условиями экстремума соответ-
ствующего интеграла, или действия по Га-
мильтону, Лагранжу, Якоби. В случаях, когда
выполняются достаточные условия минимума,
эти интегралы в действительных движениях
принимают минимальные значения. Вследст-
вие этого интегральные вариационные прин-
ципы механики называются также принципа-
ми наименьшего действия.
Использование интегральных вариаци-
онных принципов механики естественным
образом приводит к понятию обобщенных
решений и расширению классов функцио-
нальных пространств, в которых разыскива-
ются решения задач математической физики.
Вариационные принципы механики ока-
зались применимыми не только к дискретным
материальным системам, но и к системам с
распределенными параметрами, к сплошным
средам; они играют важную роль в теории
поля и в математической физике. С вариаци-
онными принципами механики тесно связаны
оптико-механическая аналогия, теория кано-
нических преобразований, теория групп Ли и
законы сохранения. Вариационные принципы
механики обладают большой эвристической
ценностью, они распространены и на другие
области физики, в частности на теорию отно-
сительности и на квантовую и волновую ме-
ханику, где важную роль играют принципы
наименьшего действия и связанный с ними
лагранжев и гамильтонов математический
формализм.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
153
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аппель П. Теоретическая механика.
Т.1, 2. Физматгиз, 1960. 515, 487 с.
2. Арнольд В. И. Математические мето-
ды классической механики. М.: Наука, 1989.
431 с.
3. Архангельский Ю. А. Аналитическая
динамика твердого тела. М.: Наука, 1977.
328 с.
4. Архангельский Ю. А. Динамика быст-
ровращающегося твердого тела. М.: Наука,
1985. 192 с.
5. Баркин Ю. В., Демин В. Г. Поступа-
тельно-вращательное движение небесных
тел// Итоги науки и техники. Астрономия. Т.
20. М.: ВИНИТИ, 1982. С. 87-207.
6. Белецкий В. В. Движение искусст-
венного спутника относительно центра масс.
М.: Наука, 1965. 416 с.
7. Белецкий В. В. Движение спутника
относительно центра масс в гравитационном
поле. М.: Изд-во МГУ, 1975. 308 с.
8. Белецкий В. В., Хентов А. А. Враща-
тельное движение намагниченного спутника.
М.: Наука, 1985. 288 с.
9. Белецкий В. В., Яншин А. М. Влия-
ние аэродинамических сил на вращательное
движение искусственных спутников. Киев:
Наукова Думка, 1984. 188 с.
10. Березкин Е. Н. Курс теоретической
механики. М.: Изд-во МГУ, 1974. 645 с.
11. Болотов Е. А. О принципе Гаусса
Ц Изв. физ.-мат. об-ва при Казанском ГУ.
1916. Т. 21. Сер. 2. № 3. С. 99-152.
12. Бугаенко Г. А., Маланин В. В., Яков-
лев В. И. Классическая механика. Т. 1, 2. //
Наглядно-дидактические материалы. Пермь:
Изд-во Пермского ГУ, 1989.
13. Булгаков Б. В. Прикладная теория
гироскопов. М.: ГИТТЛ, 1956. 354 с.
14. Бухгольц Н. Н. Основной курс теоре-
тической механики. Т. 1, 2. М.: Наука, 1972.
467, 332 с.
15. Вильке В. Г. Теоретическая механи-
ка. М.: Изд-во МГУ, 1991. 238 с.
16. Гамильтон У. Второй очерк об общем
методе в динамике // Вариационные принци-
пы. С. 234-283.
17. Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналити-
ческой механике. М.: Наука, 1966. 300 с.
18. Гаусс К. Об одном новом общем
принципе механики // Вариационные прин-
ципы механики. М.: Физматгиз, 1959. С. 170-
172.
19. Герц Г. Принципы механики, изло-
женные в новой связи. М.: Изд-во АН СССР,
1959. 387 с.
20. Голубев В. В. Лекции по интегриро-
ванию уравнений движения тяжелого твер-
дого тела вокруг неподвижной точки. М.:
Гостехиздат, 1953. 288 с.
21. Голубев Ю. Ф. Основы теоретиче-
ской механики. М.: Изд-во МГУ, 1992. 525 с.
22. Д' Аламбер Ж. Динамика. М.: Гостех-
издат, 1950. 343 с.
23. Демин В. Г. Движение искусствен-
ного спутника в нецентральном поле тяготе-
ния. М.: Наука, 1968. 352 с.
24. Егоров В. А. Пространственная зада-
ча достижения Луны. М.: Наука, 1965. 224 с.
25. Жуковский Н. Е. Собр. соч. Т. 1.
М.-Л.: ОГИЗ, ГИТТЛ, 1948. 654 с.
26. Заславский Г. М., Сагдеев Р. 3. Вве-
дение в нелинейную физику. М.: Наука, 1988.
368 с.
27. Ишлинский А. Ю. Ориентация, гиро-
скопы и инерциальная навигация. М.: Наука,
1976. С. 670.
28. Китгель Ч., Найг В., Рудеман М.
Берклеевский курс физики. Механика. Т. 1.
М.: Наука, 1983. 479 с.
29. Козлов В. В. Методы качественного
анализа в динамике твердого тела. М.: Изд-во
МГУ, 1980. 232 с.
30. Козлов В. В. Симметрии, топология
и резонансы в гамильтоновой механике.
Ижевск: Изд-во Удмуртского ГУ, 1995. 429 с.
31. Куликов К. А. Изменяемость широт и
долгот. М.: Физматгиз, 1962. 400 с.
32. Лагранж Ж. Л. Аналитическая меха-
ника: Пер. с фр. / Под ред. Л. Г. Лойцянско-
го, А. И. Лурье. М.-Л.: Гостехиздат. Т. 1, 2.
1950. 594, 440 с.
33. Лойцянский Л. Г., Лурье А. И. Курс
теоретической механики. Т. 1, 2. М.: ГИТТЛ,
1954. 352, 452 с.
34. Лурье А. И. Аналитическая механика.
М.: Физматгиз, 1961. 824 с.
35. Ляпунов А. М. Лекции по теоретиче-
ской механике. Киев: Наукова Думка, 1982.
632 с.
36. Магнус К. Гироскоп. Теория и при-
менение. М.: Мир, 1974. 526 с.
37. Мак-Миллан В. Д. Динамика твер-
дого тела. М.: ИЛ, 1951. 467 с.
38. Маркеев А. П. Теоретическая меха-
ника. М.: Наука, 1990. 414 с.
154
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
39. Маркеев А. П. Точки либрации в не-
бесной механике и космодинамике. М.: Нау-
ка, 1978. 312 с.
40. Мах Э. Механика в ее историко-
критическом развитии. СПб.: 1907. 448 с.
41. Механика космического полета /
Г. Л. Гроздовский, Д. Е. Охоцимский,
В. В. Белецкий и др. // Механика в СССР за
50 лет. Т. 1. М.: Наука, 1968. С. 265-319.
42. Моисеев Н. Н., Румянцев В. В. Ди-
намика тела с полостями, содержащими жид-
кость. М.: Наука, 1965. 440 с.
43. Морозов В. М. Устойчивость движе-
ния космических аппаратов // Итоги науки.
Общая механика, 1969. М.: ВИНИТИ, 1971.
С. 8-83.
44. Новожилов И. В. Фракционный ана-
лиз. М.: Изд-во МГУ, 1991. 189 с.
45. Ньютон И. Математические начала
натуральной философии: Пер. с лат. // Собр.
трудов акад. А. Н. Крылова. Т. 7. М.-Л.: Изд-
во АН СССР, 1936. 696 с.
46. Ориентация искусственных спутни-
ков в гравитационных и магнитных полях /
В. Н. Боевкин, Ю. Г. Гуревич, Ю. Н. Павлов,
Г. М. Толстоусов. М.: Наука, 1976. 300 с.
47. Остроградский М. В. Дифференци-
альные уравнения проблемы изопериметров
// Вариационные принципы С.315-387.
48. Павловский М. А., Акинфиева Л. Ю.,
Бойчук О. Ф. Теоретическая механика. Т. 1, 2.
Киев: Вища школа, 1990. 350, 479 с.
49. Парс Л. А. Аналитическая динамика:
Пер. с англ. К. А. Лурье. М.: Наука, 1971.
635 с.
50. Проблемы ориентации искусственных
спутников Земли: Пер. с англ. / Под ред.
С. Ф. Сингера. М.: Наука, 1966. 452 с.
51. Пэнлеве П. Лекции о трении. М.:
ГИТТЛ, 1954. 316 с.
52. Раус Э. Дж. Динамика системы твер-
дых тел. Т. 1. М.: Наука, 1985. 464 с.
53. Ригли У., Холлистер У., Денхард У.
Теория, проектирование и испытания гиро-
скопов. М.: Мир, 1972. С.416.
54. Румянцев В. В. Об устойчивости ста-
ционарных движений спутников. М.: Изд-во
ВЦ АН СССР, 1967. 142 с.
55. Румянцев В. В. О принципе Четаева
// Докл. АН СССР, 1973. Т. 210. № 4.
С. 787-790.
56. Сарычев В. А. Вопросы ориентации
искусственных спутников. Итоги науки и
техники // Исследование космического про-
странства. М.: ВИНИТИ, 1978. 224 с.
57. Сарычев В. А., Овчинников М. Ю.
Магнитные системы ориентации искусствен-
ных спутников Земли // Итоги науки и тех-
ники. Исследование космического простран-
ства. М.: ВИНИТИ, 1965. 104 с.
58. Скарборо Д. Е. Гироскоп. Теория и
применение. М.: ИЛ, 1961. 247 с.
59. Справочное руководство по небесной
механике и астродинамике / В. К. Абалакин,
Е. П. Аксенов, Е. А. Гребенников и др. М.:
Наука, 1976. 862 с.
60. Субботин М. Ф. Курс небесной ме-
ханики. Т. 2. М.: ОНТИ, 1937. 404 с.
61. Суслов Г. К. Теоретическая механи-
ка. М.-Л.: Гостехиздат, 1944. 655 с.
62. Татаринов Я. В. Лекции по классиче-
ской динамике. М.: Изд-во МГУ, 1984. 294 с.*
63. Теоретическая механика. Вывод и
анализ уравнений движения на ЭВМ / В. Г.
Веретенников и др. М.: Высшая школа. 1990.
173 с.
64. Чаплыгин С. А. Собр. соч. Т. IV.
М.-Л.: Гостехтеориздат, 1949. 616 с.
65. Чеботарев Г. А. Аналитические и
численные методы небесной механики. М.:
Наука, 1965. 367 с.
66. Черноусько Ф. Л. Движение твердого
тела с полостями, содержащими вязкую жид-
кость. М.: Изд-во ВЦ АН СССР, 1968, 230 с.
67. Четаев Н. Г. Одно видоизменение
принципа Гаусса // Устойчивость движения.
Работы по аналитической механике. М.: Изд-
во АН СССР, 1962. С. 327-328.
68. Четаев Н. Г. Теоретическая механи-
ка. М.: Наука, 1987. 367 с.
69. Четаев Н. Г. Устойчивость движения.
М.: ГИТТЛ, 1955, 207 с.
70. Эйлер Л. Основы динамики точки.
М.-Л.: ОНТИ, 1938. 500 с.
71. Эйнштейн В. Физика и реальность.
М.: Наука, 1965. 359 с.
72. Якоби К. Лекции по динамике.
М.-Л.: Гостехиздат, 1936. 271 с.
73. Thomson W., Tait Р. G. Treatise on
Natural Philosophy. T. 1, 11 Cambrige. 1879,
1883. 527 c.
ЧАСТЬ II
ТЕРМОДИНАМИКА. ТЕПЛООБМЕН
ВВЕДЕНИЕ
Предмет науки о тепло-массообмене
Теоретическая механика, изучая механические формы движения и взаимодействия
материальных тел, использует в качестве допустимой абстракции понятие материальной
точки.
Материальная система, состоящая из множества материальных точек, может быть
как дискретной, так и сплошной, представляющей непрерывное распределение вещества и
физических характеристик его состояния и движения в пространстве. Простейшим при-
мером сплошной материальной системы или, короче, сплошной среды, являются жид-
кости и газы. Более общий образ изменяемой сплошной среды объединяет в механике как
упругие и пластические, так и жидкие, и газообразные тела.
Раздел теоретической механики, занимающийся движением изменяемых сред, носит
наименование механики сплошных сред, а часть ее, относящаяся к жидким и газообраз-
ным средам, - механики жидкости и газа. Современный этап развития механики жидкости
и газа характеризуется значительно возросшей связью с физикой и химией.
В конце прошлого века наука о движении жидкости распалась на две ветви, почти не
связанные друг с другом. С одной стороны, достигла большего совершенства теоретиче-
ская гидродинамика, исходившая из уравнений Эйлера для описания движения жидкости
без трения. Однако в ряде случаев теоретическая гидродинамика принципиально расхо-
дилась с опытом, особенно, когда приходилось оценивать потери давления в трубах и ка-
налах, или сопротивление движению тел в жидкости. Это побудило инженеров создать
свою прикладную науку о движении жидкости, названную гидравликой.
Лишь в начале XX века немецкий ученый Л. Прандтль сформулировал идею о тон-
ком пограничном слое, который позволил сохранить все методы исследований теорети-
ческой гидродинамики и согласовать полученные ими результаты с огромным эмпириче-
ским багажом инженеров Правда, еще до Прандтля было известно, что резкое расхожде-
ние теории и эксперимента обусловлено пренебрежением классической гидродинамикой
трения жидкости. Были составлены уравнения движения жидкости с учетом трения
(уравнение Навье-Стокса). Однако решить эти уравнения оказалось чрезвычайно трудно,
да и физически истолковать причину столь сильного влияния сил трения для маловязких
жидкостей (типа воздуха и воды) никому не удавалось.
Л. Прандтль показал, что течение в окрестности тела можно разделить на две облас-
ти: одна - это тонкий пограничный слой, где трение играет существенную роль, а вторая -
находится вне этого слоя и там можно трением пренебречь. Помимо физической про-
зрачности этой идеи следует отметить, что она позволила резко упростить математическую
формулировку задачи обтекания тел и получить целый ряд точных решений. Тем самым,
гипотеза Л. Прандтля восстановила связь между теорией и практикой.
Появление авиации, а позже и ракетной техники поставило перед механикой сплош-
ных сред целый ряд новых проблем. Все это привело к чрезвычайно глубокому дробле-
нию этой науки на большое число научных направлений, в каждом из которых создана
своя методология и накоплен обширный расчетно-экспериментальный материал.
156
ВВЕДЕНИЕ
Часто на практике приходится иметь дело с температурами, при которых происходит
диссоциация и ионизация воздуха или других газов, составляющих атмосферу планет, с
разрушением самой поверхности обтекаемого тела, с проблемой тепловой защиты этого
тела.
Сегодня предмет механики жидкости и газа уже нельзя сводить к одному механи-
ческому движению подвижной среды или механическому взаимодействию ее с обте-
каемым телом. Зачастую механическое движение - лишь одна из форм переноса энергии и
массы. В общей гамме физических процессов при рассмотрении подавляющего боль-
шинства реальных физических явлений вопросы теплообмена играют далеко не малую
роль. Достаточно отметить, что диссипация механической энергии рано или поздно при-
водит к изменению температуры взаимодействующих тел, а следовательно, к возникнове-
нию теплообмена между ними.
Теплообмен как наука базируется на фундаменте, название которого термодинамика.
Термодинамика позволяет сформулировать основные принципы наиболее эффективного
преобразования тепловой энергии в механическую.
В свою очередь термодинамика состоит из теории тепловых машин и методов изуче-
ния параметров и термодинамических свойств рабочих тел, используемых в термодинами-
ческих циклах.
История развития термодинамики насчитывает много столетий, но настоящего рас-
цвета она достигла лишь в прошлом веке, найдя широкое применение при решении на-
зревших практических задач техники.
Именно в это время произошел переход от метафизической теории "теплорода” к по-
ниманию принципа эквивалентности теплоты и работы, а следовательно, к точной фор-
мулировке первого начала термодинамики - закона сохранения энергии. В этом плане
следует отметить существенный вклад М. В. Ломоносова (1711-1765 гг.) - первого русско-
го ученого-естествоиспытателя. Его открытия обогатили многие отрасли знаний, а идеи
далеко опередили уровень науки того времени.
Еще в 1747 году М. В. Ломоносов в работе "Размышления о причинах теплоты и
стужи" писал, что тепло является формой движения мельчайших частиц тела. В после-
дующей его работе "Рассуждения о твердости и жидкости тел" (1760 г.) уже сформулиро-
ван закон сохранения энергии: "Ежели где убудет несколько материи, то умножится в
другом месте... ибо тело, движущее своею силою другое, столько же оное у себя теряет,
сколько сообщает другому, которое от него движение получает".
Большой интерес представляет высказывание Ломоносова о "наибольшей и послед-
ней степени холода", состоящей "в полном покое частичек, в полном отсутствии враща-
тельного движения их".
Спустя примерно 100 лет после Ломоносова Р. Клаузиус (1822-1888 гг.) ввел понятие
внутренней энергии рабочего тела и окончательно сформулировал первый закон термоди-
намики, а В. Нернст (1864-1941 гг.) обосновал третий закон о недостижимости абсолют-
ного нуля температур.
Среди исследований, проведенных в пору широкого распространения паровых ма-
шин и заложивших основу термодинамики как науки, приоритет следует отдать работе
молодого француза С. Карно (1796-1832 гг.) "Размышления о движущей силе огня и о
машинах, способных развить эту силу" (1824 г.). Он ввел такие основополагающие поня-
тия термодинамики, как равновесный и круговой процесс (цикл), сформулировал прин-
цип определения работоспособности теплоты. Карно показал, что коэффициент полезного
действия всех тепловых машин зависит от разности температур внутренней и окружающей
сред.
Принцип Карно явился основой для создания У. Томсоном (Кельвином)
(1824-1907 гг.) шкалы термодинамических температур (1848 г.), не зависящей от свойств
вещества, с помощью которого измеряется температура.
ВВЕДЕНИЕ
157
Этот же принцип позволил Р. Клаузиусу в 1865 году обосновать понятие энтропии и
сформулировать принцип возрастания энтропии в необратимых процессах (второе начало
термодинамики).
Теория теплообмена строилась на так называемой феноменологической основе, за-
ключающейся в рассмотрении отдельных явлений как некоторых изолированных законо-
мерностей, которые могут быть описаны математически без раскрытия физической сущ-
ности этих явлений.
Прекрасным примером такого подхода была теория теплопроводности, созданная
Фурье и развитая затем Пуассоном. Одновременно с этим была разработана общая мето-
дология исследования, обработки и обобщения опытных данных, основанная на теории
подобия.
Современный уровень теории теплообмена определяется сочетанием феноменологи-
ческих методов исследований, или изучения тепловых машин в целом, и детальных иссле-
дований тех физических явлений, из которых складываются рабочие процессы.
Особенно быстро развивались те разделы термодинамики, которые непосредственно
связаны с авиационно-ракетной техникой и теплоэнергетикой. В последнее время к ним
добавились биофизические проблемы.
Высокий мировой рейтинг российских работ по теплообмену был связан с работами
крупных научных школ, созданных академиками М. В. Кирпичевым, А. В. Лыковым,
Л. С. Лейбензоном, С. С. Кутателадзе, Г. И. Петровым, Л. И. Седовым, С. С. Стырикови-
чем, В. С. Авдуевским, А. И. Леонтьевым, В. И. Субботиным и многими другими.
В довоенные годы основное внимание ученых было сосредоточено на методах расче-
та тепловых нагрузок в теплообменниках, способах учета процессов кипения и конденса-
ции, возможности определения теплофизических свойств жидкостей и их паров, в том
числе и при экстремальных значениях давления и температуры. В последние десятилетия
важную роль стали играть задачи тепловой защиты.
Овладев тайной поддержания огня, человечество вынуждено было искать и способы
защиты от него: и когда нужно было сохранить тепло в семейном очаге, и когда требова-
лось передать энергию топлива водяному пару в котле - всюду стоял вопрос о выборе оп-
тимальной системы тепловой защиты.
В общем случае тепловая защита - это определенный способ блокирования или
уменьшения потока тепла от окружающей среды к поверхности тела.
В теплоэнергетике, ракетостроении и авиации сталкиваются с необходимостью за-
щиты от мощных тепловых потоков, в сотни и тысячи раз превышающих теплопередачу в
пламени костра. В настоящее время предложены новые принципы тепловой защиты, на-
пример с использованием разрушающих покрытий.
Необходимость в использовании специальной тепловой защиты возникает в тех слу-
чаях, когда незащищенная конструкция под действием тепловых потоков неминуемо
должна разрушиться.
Верхним пределом применяемости самых жаропрочных металлов без тепловой защи-
ты можно считать тепловые потоки порядка 2,5 • 105 Вт/м2, которые приводят к равновес-
ным температурам поверхности, превышающим 1500 К.
Названные величины могут рассматриваться лишь как условная граница, поскольку в
большинстве случаев тепловое воздействие может усугубляться механическими и окисли-
тельными воздействиями, что приводит к разрушению конструкции при существенно
меньших температурах.
Современное развитие энергетики, повышение режимных параметров теплоэнерге-
тических процессов требует разработки новых конструкционных материалов, обладающих
необходимыми теплозащитными свойствами.
Стимулирующее воздействие при этом оказали проблемы энергосбережения. Еще в
1920 году во всем мире расходовалось примерно 2 млрд, т условного топлива. Сегодня, в
конце столетия, для производства электричества, нужд централизованного теплоснабже
ния, промышленности и транспорта требуется сжечь уже более 20 млрд, т условного топ-
лива. Но не секрет, что запасы ископаемого органического топлива весьма ограничены,
да и к тому же сам процесс сжигания далеко не безвреден для человека. Поэтому дальней-
ший бесконтрольный рост потребления топлива может привести к истощению его миро-
вых запасов и экологической катастрофе.
158
ВВЕДЕНИЕ
Рас. 1. Тееденшш нзмеяенкя по годам температуры
на входе в турбкиу ПУ
Таким образом, основной задачей
теплоэнергетики было и остается все-
мерное повышение эффективности
преобразования химической энергии
топлива в полезную работу. В ка-
честве примера можно привести неко-
торые данные о динамике совершен-
ствования газотурбинных энергоуста-
новок в различных странах мира.
На рис. 1 собраны сведения о
температурах на входе в газовую тур-
бину Tg за период с 1950 по 1995 го-
ды. Хорошо видно, что, несмотря на
различие требований к авиационным
и индустриальным (приводным) газо-
вым турбинам, тенденции их совер-
шенствования за 45 лет оказались
весьма схожими.
На рис. 2 аналогичная информация обобщает 20-летний опыт работы фирмы АВВ с
газотурбинными установками серии 13. Повышение температуры Tg на 300 К и одновре-
менное увеличение степени сжатия в компрессоре пк позволили специалистам из АВВ
значительно повысить мощность и коэффициент полезного действия пу газотурбинных
энергоустановок серии 13.
повытешя даклешя в компрессоре
Вторая половина XX века ознамено-
валась мощным прорывом в авиации, ра-
кетной технике и технологиях синтеза ком-
позиционных материалов. Во многом эти
достижения обязаны прогрессу в исследо-
вании проблем тепло- и массообмена. Едва
ли можно назвать какой-либо продукт на-
шей цивилизации, при изготовлении или
применении которого не были бы задей-
ствованы тепловые процессы.
Не только инженерам-теплотехникам,
но всем другим специалистам в области
машиностроения, транспорта, металлургии,
химической и нефтеперерабатывающей
промышленности сегодня требуется досто-
верная информация по тепло- и массопере-
носу. Очевидно, что в одном томе
"Энциклопедии" трудно изложить весь на-
копленный опыт в этом направлении.
Авторы старались прежде всего отоб-
ш изменение КПД газотурбинных энергетических рать те явления и закономерности, которые
установок фирмы АВВ за 20 лет имеют общенаучное значение и составляют
фундаментальную часть теории теплообмена. Вся прикладная информация о конструкции,
методах расчета и проектирования теплообменников, котлов, камер сгорания, сушильных
агрегатов, химико-технологических реакторов, металлургических конверторов и т. п. со-
держится в последующих томах "Энциклопедии" или справочниках узкоспециального наз-
начения.
Раздел 1
ТЕРМОДИНАМИКА
Глава 1.1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И
ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
Термодинамика - это наука о закономер-
ностях превращения энергии.
Термодинамической системой называется
совокупность материальных тел, взаимодей-
ствующих как между собой, так и с окру-
жающей средой; все другие материальные
тела, находящиеся за пределами границ рас-
сматриваемой системы, принято называть
окружающей или внешней средой.
Величины, характеризующие состояние
термодинамической системы, называются
термодинамическими параметрами состояния.
Параметры состояния могут быть интенсив-
ными и экстенсивными. Интенсивными назы-
ваются параметры, не зависящие от коли-
чества вещества в системе (давление, темпера-
тура и др.).
Параметры, зависящие от количества
вещества, называются экстенсивными. Приме-
ром экстенсивных параметров является объ-
ем, который изменяется в данных условиях
пропорционально количеству вещества.
Удельные, т. е. отнесенные к единице коли-
чества вещества, экстенсивные параметры
приобретают смысл интенсивных параметров.
Так, удельный объем, удельная теплоемкость
и т. п. могут рассматриваться как интенсив-
ные параметры.
Наиболее распространенными парамет-
рами состояния являются абсолютная темпе-
ратура, абсолютное давление и удельный объ-
ем (или плотность) тела.
Если хотя бы один из параметров со-
стояния термодинамической системы меняет-
ся, то изменяется состояние системы, т. е.
происходит термодинамический процесс, пред-
ставляющий собой совокупность изменяю-
щихся состояний рассматриваемой системы.
Равновесными называются процессы, пред-
ставляющие собой непрерывную последова-
тельность равновесных состояний системы
(равно-весное состояние системы характери-
зуется, в частности, тем, что все части си-
стемы имеют одинаковые температуру и дав-
ление). Неравновесным называется процесс,
при протекании которого система не находит-
ся в состоянии равновесия (т. е. при протека-
нии процесса различные части системы
имеют различные температуры, давления,
плотности, концентрации и т. д.).
Термодинамика базируется на двух
основных законах и тепловой теореме Нерн-
ста, называемой также третьим законом тер-
модинамики.
Первый закон термодинамики - закон со-
хранения и превращения энергии - является
фундаментальным законом природы, имею-
щим всеобщий характер. Этот закон гласит:
энергия не исчезает и не возникает вновь, она
лишь переходит из одного вида в другой в раз-
личных физических и химических процессах.
Иными словами, для любой изолированной
системы (т. е. такой термодинамической си-
стемы, которая не обменивается с окружаю-
щей средой ни теплотой, ни работой, ни ве-
ществом) количество энергии, заключенной в
этой системе, сохраняется неизменным.
В общем случае подведенная к телу, со-
вершающему термодинамический процесс,
теплота Q расходуется на изменение внутрен-
ней энергии тела U и на совершение работы
L.
Q = &U + L . (1.1.1)
Это же уравнение, записанное в диффе-
ренциальной форме, имеет вид
dQ = dU + dL. (1.1.2)
Здесь и далее принято: теплота, подво-
димая к системе, считается положительной, а
теплота, отводимая от системы, - отрицатель-
ной; соответственно работа, производимая
системой, считается положительной, а работа,
совершаемая над системой, - отрицательной.
Если масса т вещества в системе сохра-
няется постоянной, то уравнения первого
закона термодинамики (1.1.1) и (1.1.2) могут
быть записаны следующим образом:
д = Ди + /; (1.1.3)
dq = du + dl, (1.1.4)
где q - количество теплоты, подводимой к
единице массы вещества (или отводимой от
нее); / - работа, произведенная единицей мас-
сы вещества (или произведенная над этим
количеством вещества).
1.1.1. Характеристика сложных термодинамических систем
Система Обобщенная сила £ Обобщенная координата Х(х) Уравнение работы dL*(d/*) Уравнение состояния Примечание
Магнетики в магнитном -Н - напряженность J (j) - намагниченность -HdJ J = xH зе, x - магнитная
поле внешнего магнитного поля (удельная намагничен- ность) магнетика (-Hdj) j = xH восприимчивость
Диэлектрики в электри- -Е - напряженность Р ( Р) - поляризация -EdP P = aE a - коэффициент
ческом поле внешнего электриче- ского подя (удельная поляризация) диэлектрика (-EdP) P = ^-E 4 л поляризации е - диэлектрическая
проницаемость
Электрический конденса- тор -V - напряжение Z - электрический заряд -VdZ z = cv С - емкость конденсатора
Поверхность раздела фаз -а - поверхностное S - площадь поверхности -a dS - И = 0; dK = 0
натяжение раздела фаз
Газ и жидкость в поле gm - вес тела Z - высота gmdz - -
тяготения
Излучение в полости р - аТ4 /3 - давление излучения V - объем полости pdV=^-dV «V = °r4; p = aT4/3 -
Упругие твердые тела -ц/ - растягивающая / - длина тела -ц/ d/ ц/ = Ее V = const; d V = 0;
сила Е - модуль Юнга
Гальванические элементы -е - ЭДС элемента Z - электрический заряд -e dZ - V = const; d V = 0
Глава 1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
161
Внутренняя энергия тела U складывает-
ся из энергии поступательного и вращатель-
ного движения молекул, составляющих тело,
энергии внутримолекулярных колебаний,
потенциальной энергии сил сцепления меж-
ду молекулами, внутримолекулярной, внутри-
атомной (энергии электронных оболочек ато-
мов) и внутриядерной энергии. Внутренняя
энергия является экстенсивным свойством,
т. е. пропорциональна количеству вещества т
в системе. Величина и = U / т, называемая
удельной внутренней энергией, представляет
собой внутреннюю энергию единицы массы
вещества.
Внутренняя энергия является функцией
состояния, т. е. изменение внутренней энер-
гии тела в каком-либо процессе не зависит от
характера процесса и однозначно определяет-
ся начальным и конечным состояниями тела.
В общем случае работа L складывается
из работы против сил внешнего давления
(работы расширения), связанной с увеличени-
ем объема системы, работы увеличения по-
верхности тела против сил поверхностного
натяжения, работы перемещения тела в поле
тяготения, в электрическом или магнитном
поле и т. д.
Соотношения для расчета каждого из
видов работ структурно одинаковы:
d£ = ydK; (1.1.5)
L=jydY, (1.1.6)
И
где у - обобщенная сила; Y - обобщенная коор-
дината.
Если работа L совершается только про-
тив сил внешнего давления рс, то работа
расширения
dL = pcdV, (1.1.7)
где V - объем системы.
В термодинамике рассматриваются глав-
ным образом равновесные процессы, для ко-
торых справедливо равенство рс = р. Поэто-
му в дальнейшем, за исключением особо ого-
вариваемых случаев, для работы расширения
в данном разделе используется соотношение
d£ = pdH. (1.1.8)
Как следует из (1.1.6) и (1.1.8), работа
расширения равна площади под кривой про-
цесса, изображенного в р, И-диаграмме (рис.
1.1.1) и, следовательно, является функцией
процесса, т. е. зависит от того, каким путем
система переходит от состояния 1 к состоя-
нию 2 (процессы Л, В или С на рис. 1.1.1).
Рас. 1.1.1. Работа расшжрения ър, V -дмаграмме
Если на систему одновременно воздей-
ствуют несколько различных сил, то работа
такой сложной системы равна сумме работ,
производимых системой под действием каж-
дой из сил. Выделяя отдельно работу расши-
рения, получаем
d£ = pdV + d£*, (1.1.9)
где £* - любой вид работы, за исключением
работы расширения.
В расчете на единицу массы вещества
уравнение (1.1.9) примет вид
d/ = pdv + d/*, (1.1.10)
где v = V/m; / = L/m .
С учетом выражений (1.1.9) - (1.1.10)
уравнения первого закона термодинамики
(1.12) и (1.1.4) имеют вид
dQ = dl/ + pdr + d£*;
dq = du + pdv + d/* .
В табл. 1.1.1 приведены выражения для
работы d£* сложных термодинамических
систем
d£* =£dX,
а также значения обобщенной силы £, об-
общенной координаты X и уравнение состоя-
ния.
Для случая, когда единственным видом
работы, которую совершает система, является
работа расширения:
dQ = dU + pdV; (1.1.11)
dq = du + pdv. (1.1.12)
Вводя новую функцию состояния - эн-
тальпию Н (удельную энтальпию А),
H = U + pV, h = u + pv,
из (1.1.11) и (1.1.12) получаем:
dQ = dtf-Kdp, (1.1.13)
dq = dh-vdp. (1.1.14)
6 4SS
162
Глава 1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
Количество подводимой к системе теп-
лоты, как и работа расширения, зависит от
пути, по которому идет процесс, т. е. является
функцией процесса.
Первый закон термодинамики имеет
общий характер и справедлив для любых сис-
тем - и неподвижных, и движущихся. Для
стационарного и одномерного потока газа или
жидкости уравнение первого закона термоди-
намики, записанное для удельных термоди-
намических величин, имеет вид
<1 =
= ( *2 - *1) +(*2 " *?)/2 + *(*2 - *1) + 'техн 1
(1.1.15)
dq = dA + wdw + gdz + d/TCXH , (1.1.16)
где q - теплота, подводимая к потоку извне
(или отводимая от него во внешнюю среду);
w - скорость потока; Z - высота; /техн - тех-
ническая работа потока (примером техниче-
ской работы, совершаемой потоками, может
служить вращение колеса турбины; для пото-
ка электропроводной жидкости в поперечном
магнитном поле - отдача электроэнергии во
внешнюю цепь вследствие магнитогидроди-
намического эффекта и т. д.); g - ускорение
свободного падения.
Если первый закон термодинамики ха-
рактеризует процессы превращения энергии с
количественной стороны, то второй закон
термодинамики характеризует качественную
сторону этих процессов, он определяет их
направленность. Наиболее общая формули-
ровка второго закона термодинамики: любой
самопроизвольный процесс является необрати-
мым.
Обратимыми называются такие процес-
сы, в результате совершения которых в пря-
мом и обратном направлениях термодинами-
ческая система приходит в исходное состоя-
ние и при этом не происходит никаких изме-
нений в окружающей среде. Все остальные
процессы являются необратимыми.
Существует целый ряд других, частных
формулировок второго закона термодинами-
ки: формулировка Клаузиуса - “теплота не
может сама собой переходить от более хо-
лодного тела к более нагретому”; формули-
ровка Планка - “невозможно построить пе-
риодически действующую машину, все дейст-
вие которой сводилось бы к поднятию неко-
торого груза и охлаждению источника”. Со-
гласно последней формулировке для создания
теплового двигателя необходимость иметь как
минимум два тепловых источника.
Аналитическое выражение второго зако-
на термодинамики записывается следующим
образом:
TdSbdQ, (1.1.17)
где знак равенства соответствует обратимым
процессам, а знак неравенства - необрати-
мым; S - энтропия системы. Таким образом,
в случае обратимых процессов
dQ = TdS, (1.1.18)
или в интегральной форме
0= Jr<15, (1.1.19)
•У.
где Q - теплота, подводимая к системе (или
отводимая от нее) в обратимом процессе 1-2.
Энтропия S может быть определена как
S = *lnlF, (1.1.20)
где к - постоянная Больцмана; W - термо-
динамическая вероятность, равная числу мик-
росостояний, реализующих данное макросо-
стояние. Эта зависимость является количест-
венной характеристикой формулировки вто-
рого закона термодинамики, данной Больц-
маном: "природа стремится от состояний ме-
нее вероятных к состояниям более вероят-
ным".
Из соотношений (1.1.2) и (1.1.17) следу-
ет объединенное уравнение первого и второго
законов термодинамики:
TdS'zdU +dL. (1.1.21)
Для обратимых процессов это соотно-
шение имеет вид
TdS = dU + dL. (1.1.22)
Для систем, совершающих помимо рабо-
ты расширения другие виды работ,
TdS^dU + dL + dl?. (1.1.23)
.Если единственным видом работы, ко-
торую совершает система, является работа
расширения, то
TdS = dU + pdV ; (1.1.24)
TdS = dH-Vdp. (1.1.25)
Для сложной термодинамической системы
TdS = dU + '£ydY. (1.1.26)
Соотношения (1.1.24) - (1.1.26) называ-
ют также термодинамическим тождеством.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ
163
Тепловая теорема Нернста, называемая
также третьим законом термодинамики,
определяет поведение термодинамических
функций состояния вблизи температуры абсо-
лютного нуля. Согласно этой теореме вблизи
абсолютного нуля температуры энтропии всех
веществ, находящихся в равновесном состоя-
нии, становятся неизменными и равными
между собой. Это значение энтропии может
быть принято равным нулю. Следствием тре-
тьего закона термодинамики являются: недо-
стижимость температуры абсолютного нуля;
стремление изобарной ср и изохорной су
теплоемкостей к нулю при Т -> ОК . Также
(при Т -> ОК) к нулю стремятся производные
по температуре от обобщенных сил и обоб-
щенных координат и определяемые с по-
мощью этих производных, изобарный коэф-
фициент расширения а = (dv /дТ)р/ v ,
изохорный коэффициент давления
у = (&Р / дТ)у/р , температурные коэффи-
циенты поверхностного натяжения da/dT
иЭДС de /dT.
Удельной теплоемкостью (или просто
теплоемкостью) называют количество тепло-
ты, необходимой для нагрева единицы коли-
чества вещества на один градус.
Теплоемкость, определяемая как
с=?|-2/(7,2-7’|) (1.1.27)
называется средней теплоемкостью, а
c = d$/dT (1.1.28)
- истинной теплоемкостью. Взаимосвязь меж-
ду ними
Т2
с= Jc dT'/CT’z -7i) .
г.
Различают массовую с, объемную С и
мольную с теплоемкости, отнесенные, соот-
ветственно, к единице массы (кг), к единице
объема (м3) и к единице количества вещества
(кмоль). Эти теплоемкости имеют размерно-
сти: Дж/(кг • К), Дж/(м3 • К) и Дж/(кмоль • К).
Очевидно, что
с = Cv -с / М ,
где М - молекулярная масса вещества.
Величина q в выражениях (1.1.27) и
(1.1.28) зависит не только от интервала тем-
ператур, но и от вида процесса подвода теп-
лоты:
сх - dqx /dT .
Наиболее часто на практике использу-
ются теплоемкости при постоянном давлении
ср и постоянном объеме су, называемые
также изобарной и изохорной теплоемкостями-.
cp=dqp/dT, cv = dqv/dT. (1.1.29)
Глава 1.2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ТЕРМОДИНАМИКИ
Рассматривая термическое уравнение со-
стояния v = v(p, Т) - некоторую функцио-
нальную зависимость удельного объема от
давления и температуры, можно получить
выражение, связывающее частные производ-
ные:
(dv/дТ)р (дТ/др), (dp/dv)T = -1.
(12.1)
Аналогичные соотношения можно полу-
чить для любых функций состояния:
и = u(v, Т) ; h = h(p, Т) и т. д.
Уравнение (1.2.1) иногда записывают в
форме взаимосвязи термических коэффици-
ентов а, 07 и у :
а = ргТр, (1.2.2)
где а = (dv / дТ)р/ v - изобарный коэффи-
циент расширения; Pr =-(dv/Эр)/*/v -
изотермический коэффициент сжимаемости;
у = (др /дТ)у/р - изохорный коэффициент
давления.
Применяя принцип независимости сме-
шанной производной от порядка дифферен-
цирования к термодинамическому тождеству
(1.1.24) или (1.1.25), получаем четыре диффе-
ренциальных уравнения, называемых уравне-
ниями Максвелла'.
(dv fds)p=(dT /др),
(dv/dT),=-(ds/dp),-,\
(dv/dT)„ = -(ds/dp)T\ '
(dv/ds)T = (дТ/др),.
Из термодинамического тождества
(1.1.24) или (1.1.25), используя определение
энтальпии и теплоемкостей (1.1.29), а также
г*
164
Глава 1.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ
формулу (1.2.3), можно получить диффе-
ренциальные уравнения, связывающие кало-
рические (Л, м, s, cv, Ср) и термические
(v, Р, Т) свойства:
(du/dv)T=T(dp/dT)y-p;
(dh/dp)T = v-T(dv/дТ)р; (1.2.4)
ср = T(ds/дТ)р; (1.2.5)
cv = T(ds/dT)v;
ср =(dh /дТ)р \ (1.2.6)
су=(Эи/аТ)у; (1.2.7)
cp-Cy = T(dp/BT)y(dv/BT)p, (1.2.8)
(дср /др)т = -T'O’v/ar2),; (1-2.9)
(де, /д»)т = Ttfp/атг)у; (1.2.10)
(ap/av), =^-(ap/av)r;
Су
(av /ар), = (av/эР)т +—(dv /ат)2;
ср
(др/ди), = (др/dvyT+~— (др/дТ)2у
cv
Уравнения (1.2.3), (1.2.4), (1.2.9), (1.2.10)
используются для расчета калорических вели-
чин по известному уравнению состояния:
и(v, Г) = и(v0, Т) + j[ Т(др/дТ)у - р ]dv;
п>
(1.2.11)
р
h(p,T) = h(p0,T) + J[v-T(dv/dT)p ]dp;
Л
(1.2.12)
cp(p, T) = cp(p0, D-T j(a2v/ar2),dp;
Ao
(1.2.13)
V
Су (v. T) = Cy (v0, T) + т J(a2p /ar2), dv:
*0
p
s(P>T) = S(Pq,T) - j(dv/dT)pdp;
Л
(1.2.14)
где u(vq, T), h(p0,T), cp(pQ,T),
cv(vq, T), s(Po<T) - калорические вели-
чины при некотором начальном давлении Ро
или начальном удельном объеме Vq .
Для основных термодинамических вели-
чин можно составить несколько сотен част-
ных производных первого порядка. Число
частных производных второго порядка исчис-
ляется десятками тысяч. Для получения наи-
более употребительных дифференциальных
уравнений можно воспользоваться таблицами
Бриджмена (табл. 1.2.1). В табл. 1.2.1 f -
удельная энергия Гельмгольца (изохорно-
изотермический потенциал):
f = u-Ts, (1.2.15)
ц - удельная энергия Гиббса (изобарно-изотер-
мический потенциал, химический потенциал):
p = h-Ts. (1.2.16)
Табл. 1.2.1 содержит в условном виде
компактную запись формул для наиболее
употребительных частных производных. Каж-
дая строка таблицы означает как бы числи-
тель или знаменатель формулы. В качестве
примера определим частную производную от
энтальпии по температуре при неизменном
объеме, т. е. (dh /dT)v . Из табл. 1.2.1 выпи-
сываем (ЭЛ)у = -v (07 Су + a v) и
(dT)v = -Pj' v . Разделив первое выражение
на второе, получим
(dh/dT)y =Су + av/pr .
Если необходимо рассчитать частную
производную при постоянных u,h, f и ц,
нужно предварительно воспользоваться урав-
нением типа (1.2.1), после чего определить
производную по табл. 1.2.1.
РАВНОВЕСИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ
165
1.2.1. Таблица для расчета частных производных (таблица Бриджмена)
р = const v = const
(дТ)р=1 (dp)v = av
(3v)p = av (ЭГ)„ = -ргу
тр = Ср/т (a»)v = -pr /Т
(ди)р =cp-apv (du)r - - pr vcv
(dh)p~cp (dh)p =-v(Prc„ + av)
= -s-apv (a/)v = prvs
(fy)p = -s (Эц)„ = v(Pr j-av) x
T = const 5 = Const
(dp) г = -1 Op), = -с,/т
(Эу)т' = Рг v (dT)s = -av
(ds)r = a v (3v), =prvc,/T
(ди)т = v(aT-Prp) (Эи), =-pr vcvp/T
(ЭА)г = v(aT - 1) (dh)s =-vcp/Т
(Э/)г =-рг vp (df), =Prv(aTs-pcv)/T
(Эц)т’ = -v (dp.), =-v(cp - a.Ts)/Т
Глава 1.3
РАВНОВЕСИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ
СИСТЕМ И ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ
Равновесие термодинамических систем.
Состояние равновесия характеризуется при
постоянных внешних условиях неизмен-
ностью параметров во времени и отсутствием
в системе потоков. Состояния, не удовлетво-
ряющие данному определению, называются
неравновесными.
Различают состояния устойчивого и не-
устойчивого равновесия, а также метаста-
бильные равновесные состояния. Состояние
устойчивого равновесия характеризуется тем,
что всякое бесконечно малое воздействие
вызывает только бесконечно малое изменение
ее состояния; при устранении этого воздей-
ствия система возвращается в исходное со-
стояние. При состоянии неустойчивого равно-
весия бесконечно малые воздействия вызы-
вают конечные изменения состояния, кото-
рые не исчезают при устранении этих воздей-
ствий. Метастабильное равновесное состояние
- это такое состояние, при котором бесконеч-
но малые воздействия вызывают бесконечно
малые изменения состояния, а некоторые
малые конечные воздействия - конечные из-
менения состояния, которые не исчезают при
устранении этих воздействий.
Условия равновесия термодинамических
систем зависят от условий взаимодействия
систем с окружающей средой.
Для изолированной системы, не обме-
нивающейся с окружающей средой ни теп-
лотой, ни работой, dU = 0 и dK = 0.
Из (1.1.21) следует, что в неравновесных
процессах энтропия возрастает (dS > 0), а в
состоянии равновесия dS = 0 (5 = £max ) »
т. е. энтропия достигает своего максимального
значения.
Условия термодинамического равнове-
сия при различных условиях сопряжения си-
стемы с окружающей средой даны в табл.
1.3.1, в которой F - энергия Гельмгольца
(изохорно-изотермический потенциал), G -
энергия Гиббса (изобарно-изотермический
потенциал):
F = U-TS; G = H-TS.
Величины Я, U, F, G носят назва-
ние характеристических функций. Если из-
вестна характеристическая функция, вы-
раженная через соответствующие, свои для
каждой функции, переменные[U = U(V,S),
Я = Я(р, S),F = F(K, Т) ,G = G(р, Т) ],
можно вычислить любую термодинамическую
величину.
166
Глава 1.3. РАВНОВЕСИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ
Удельный (рассчитанный на единицу
массы) изобарно-изотермический потенциал
(1.2.16) характеризует изменение характери-
стических функций при изменении массы
системы:
(dG /дт)р т = (dF /дт)у^ =
=(ЭЯ/дт)р>з = (ди /дт)у з = ц .
Термодинамические методы анализа по-
зволяют установить критерии устойчивости и
равновесия в изолированной системе. Такими
критериями являются
cv > 0; (1/3.1)
(dp/dv)T<Q. (1.3.2)
Условие (1.3.1) называется условием
термической устойчивости, а (1.3.2) - услови-
ем механической устойчивости.
Различают гомогенные и гетерогенные
системы.
Гомогенной называется такая система,
между любыми частями которой нет поверх-
ностей раздела.
Гетерогенной называется система, со-
стоящая из отдельных частей, разграниченных
поверхностями раздела. Гомогенные области в
гетерогенной системе называются фазами.
1.3.1. Условия термодинамического равновесия
Условия сопряжения Неравновесное состояние Равновесное состояние
V = const, U = const dS>0 dS = 0, $ = ^max
V = const, S = const dU < 0 dt/ = o,
p = const, S = const dH <0 dtf = 0, я = ят,п
V = const, T = const dF < 0 dF = 0, F = ^*min
p = const, T - const dG < 0 dG = 0, = ^min
Критериями равновесия изолированной
однофазной системы являются условия оди-
наковости температур и давлений во всех
точках системы.
Для системы, состоящей из двух (или
более) фаз, граница раздела которых пред-
ставляет собой плоскую поверхность, условия
равновесия заключаются в равенстве темпера-
тур, давлений и химических потенциалов со-
существующих фаз.
Фазовые переходы. Фазовым переходом
называется переход вещества из одной фазы в
другую, сосуществующую с первой. Фазовый
переход вещества из твердой фазы в жидкую
называется плавлением, из жидкой в газооб-
разную - парообразованием, а из твердой в
газообразную - сублимацией. В соответствии с
этим точки фазового перехода называются
точками плавления, насыщения и сублима-
ции, а кривые, образованные этими точками,
- кривыми плавления, насыщения и сублима-
ции. На рис. 1.3.1 это кривые ОА, ОК и ОВ.
Кривая насыщения заканчивается крити-
ческой точкой К. Параметры критической
точки для различных веществ даны в табл.
2.3.2. В точке О (рис. 1.3.1) возможно сосуще-
ствование трех фаз - твердой, жидкой и газо-
образной. Эта точка называется тройной точ-
кой.
Число независимых интенсивных пара-
метров ц/, определяющих состояние термо-
динамической системы (их также называют
степенями свободы системы), устанавливается
правилом фаз Гиббса
ц/ = л-г + 2, (1.3.3)
где п - число компонентов в системе; г - чис-
ло фаз в системе.
Из (1.3.3) следует, что состояние чистых
веществ (п = 1) в однофазной области
(г = 1) определяется двумя параметрами
(у = 2) , а в двухфазной ( г = 2 ) - одним
(у = 1) . Возможно состояние ( ц/ = 0) , в
котором сосуществуют три фазы (г = 3), -
это тройная точка.
Из р, Т-диаграммы (рис. 1.3.1) видно так
же, как изменяется состояние вещества в про-
цессе нагрева при постоянном давлении pj.
Рм AI Жидкая
, / фаза
Твердая рК
фаза JC р/Изобара
pi ~L^P^const~
/О
/ Газообразная
фаза
---------------------
Рис. 1.3.1. Фазовая р, /^-диаграмма
РАВНОВЕСИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ
167
Кривые насыщения и сублимации всегда
имеют в р, Т-диаграмме положительный на-
клон. Для некоторых веществ часть кривой
плавления может иметь отрицательный на-
клон. Такое аномальное поведение кривой
плавления на участке, примыкающем к трой-
ной точке, наблюдается у Н2О, Bi, Sb, Ga,
Si, Ge, Ce, Pu.
Фазовые диаграммы, подобные изобра-
женной на рис. 1.3.1, имеют все чистые ве-
щества, за исключением гелия. У гелия
(рис. 1.3.2) отсутствует тройная точка твердое
тело - жидкость - газ, и при давлениях до
~2,5 МПа при изобарном охлаждении вплоть
до ОК, гелий не кристаллизуется и остается в
жидком состоянии, лишь переходит из нор-
мального (Не!) в сверхтекучее состояние
(Hell). Твердый гелий может существовать
только при давлениях выше 25 бар.
Уравнение Клапейрона - Клаузиуса дает
количественную характеристику фазовых пе-
реходов
йр_ =---<7ф п--- (1.3.4)
dT T(.v2-Vl)
где dp / d Т - производная вдоль линии фа-
зового перехода; q$ п - теплота фазового
перехода; Т - температура фазового перехода;
v2> V1 " удельные объемы сосуществующих
при фазовом переходе фаз.
Величины, входящие в (1.3.4), опреде-
ляются экспериментально и табулируются.
Для приближенного определения давле-
ния насыщения ps считают, что v" » v', а
v" определяют по термическому уравнению
состояния идеального газа (pv = RT). Тогда
hi ps = -г /RTS + Clt (1.3.5)
где R = R IM - удельная газовая постоян-
ная; R =8314 Дж/(кмоль*К) - универсаль-
ная газовая постоянная; М - молекулярная
масса; г - теплота парообразования; Q - кон-
станта.
Константа Q может быть определена,
если известна одна точка на кривой насыще-
ния, например температура нормального ки-
пения (Тн к = Т5 при р = 101325 Па). Если
экспериментальные данные о теплоте парооб-
разования отсутствуют, то г определяется по
приближенному правилу Трутона
г/Тпх=Ы,
где г - в кДж/кмоль; Тн к - в К.
Для приближенного определения давле-
ния на кривой сублимации пользуются фор- .
мулой, аналогичной (1.3.5),
1пр = -0сб / RT + С2 ,
W ?сб " теплота сублимации.
Константа С2 определяется по одной из
точек на кривой сублимации (такой может
быть тройная точка). Если отсутствуют дан-
ные о тройной точке, константу можно опре-
делить, приравняв температуру в тройной
точке температуре плавления.
Для приближенного расчета давления на
кривой плавления обычно используют эмпи-
рическое правило Симона, согласно которому
—--------- = С3 = const,
уж ~ vtb)
а
Р ~ Рн(Т /Тн пл) >
где р - давление на кривой плавления при
температуре Т; Тн пл - температура плавле-
ния при рн = 101 325 Па; С3 - константа,
определяемая из данных по фазовому равно-
весию при высоких давлениях.
Условиями фазового равцовесия для
случая, когда на каждую из двух сосу-
ществующих фаз действуют разные давления,
являются
Т\ = Т2 ; Ц| = ц2 ; р\ = р2 + р* ,
где р* - дополнительное давление.
168 Глава 1.4. ОСОБЕННОСТИ ПОВЕДЕНИЯ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ СОСТОЯНИЯ
При этом
(Зр2 /Зр, )r = V! /v2,
где pj, Pi, V], V2 " давление и удельный
объем первой и второй фаз.
Следствием этого уравнения (впервые
полученного Пойнтингом) является тот факт,
что увеличение давления на одну из находя-
щихся в равновесии фаз приводит к возраста-
нию давления и во второй фазе, причем уве-
личение давления во второй фазе во столько
раз меньше (или больше) приращения давле-
ния в первой фазе, во сколько раз удельный
объем второй фазы меньше (или больше)
удельного объема первой фазы.
В результате установятся давления фаз
v2 *
Р'=Р°+^Р
V1 *
р>=р°+-^р •
где Pq - начальное давление в сосуществую-
щих фазах.
Уравнение Клапейрона-Клаузиуса для
такой системы имеет вид
2 dT 1dT Т
Практический интерес представляет слу-
чай равновесия фаз при искривленной грани-
це раздела между ними. Такие случаи имеют
место в процессах конденсации и парообразо-
вания. Дополнительное давление р* обуслов-
ливается здесь силами поверхностного натя-
жения:
р’ =2а/р,
где р - радиус кривизны границы раздела
фаз; о - поверхностное натяжение.
Например, при конденсации пара дав-
ление в капле жидкости
у" 2 о
Если же учесть, что при невысоких дав-
лениях у" » у' , то
Рж = Ро +2о/р.
и это давление тем больше, чем меньше ради-
ус капли.
Давление в паровой фазе при этом воз-
растет ненамного:
Рп - Ро
у' 2а
у" - у' р
Если у" »у' и пар можно считать
идеальным газом, то
Ро____
V 2а
RT р
Глава 1.4
ОСОБЕННОСТИ ПОВЕДЕНИЯ
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ состояния
1.4.1. ТВЕРДОЕ СОСТОЯНИЕ
Для большинства веществ в твердом
состоянии коэффициент изотермической
сжимаемости обычно не превышает 10*14 -
10'12 Па'1. Поэтому объем твердых тел суще-*
ственно изменяется лишь при сжатии до ог-
ромных давлений (тысячи и десятки тысяч
мегапаскалей).
Изменение объема твердых тел при на-
гревании рассчитывают по изобарному коэф-
фициенту расширения а (1.2.2), назы-
ваемому также коэффициентом объемного
расширения, либо по коэффициенту линей-
ного расширения
О/=1(а//ат)р,
связь между которыми для изотропных тел
имеет вид
а = За/.
Значение а составляет примерно
10'5 Кл и для технических расчетов прини-
мается постоянным. В этом случае
v= v0exp[a(T-T0)].
Температурная зависимость теплоем-
кости твердых тел при низких температурах
описывается уравнением Дебая
cv=3R3(T/&), (1.4.1)
где 3(Т/®) - сложная функция приведен-
ной температуры Т / 0 , не зависящая от
индивидуальных свойств того или иного ве-
щества и одинаковая для всех веществ.
Индивидуальные свойства веществ в
уравнении (1.4.1) проявляются в значениях R
и 0 . Величина 0 носит название характе-
ристической дебаевской температуры и яв-
ляется постоянной для данного вещества
(табл. 1.4.1).
ТВЕРДОЕ СОСТОЯНИЕ
169
1.4.1. Характеристические дебаевские температуры 0 для некоторых элементов
Элемент 0, К Элемент &,к Элемент О, JT
Алюминий 428 j Кремний 645 Селен 90
Аргон 92 Литий 344 Серебро 225
Бериллий 1 440 Магний 400 Стронций 147
Ванадий 380 | Марганец 410 Сурьма 211
Висмут 119 1 1 Медь 343 Таллий 78,5
Вольфрам 400 1 | Молибден 450 Теллур 153
Германий 374 1 1 Натрий 158 Титан 420
Железо 470 Неон 75 Углерод 2 230
Золото 165 Никель 450 Уран 207
Индий 108 Ниобий 275 Хром 630
Кадмий 209 Олово 200 Цезий 38
Калий 91 1 1 Платина 240 Цинк 327
Кальций 230 1 | Ртуть 71,9 Цирконий 291
Кобальт 445 | | Свинец 105
Зависимость cv / R от приведенной
температуры по (1.4.1) представлена на рис.
1.4.1.
При низких температу-
рах (Т < 0,2 O)cv пропорциональна Т3 , а
при высоких температурах она становится
постоянной и равной
су = 3R,
(1.4.2)
что соответствует молярной теплоемкости
cv = 25 кДж/(кмоль • К).
Соотношение (1.4.2) называется законом
Дюлонга и Пти. Необходимо отметить, что
уравнение Дебая и закон Дюлонга и Пти не
дают точного значения су . Их можно приме-
нять только тогда, когда отсутствуют надеж-
ные экспериментальные данные.
Рис. 1.4.1. Зависимость Cv / R от приведенной
температуры по уравнению Дебая
Для твердых тел разность ср - cv обыч-
но весьма мала - примерно 3-5 % значения
Су. Поэтому при не очень точных расчетах
этой разницей можно пренебречь и считать,
что ср а Су. При более точных расчетах
Ср = Су + a2 vT/$Т = Су + 9az vT/$т .
Энтальпия твердого тела при температу-
ре Т определяется экспериментально либо
вычисляется на основе известного значения
энтальпии при какой-либо температуре То и
известных данных по .теплоемкости ср :
Т
Л(7’) = Л(Т0)+ f срйТ.
Зависимостью энтальпии твердого тела
от давления практически можно пренебречь.
Вещество в твердой фазе может суще-
ствовать в виде различных аллотропических
модификаций. Эти модификации отличаются
друг от друга физическими свойствами
(кристаллической структурой, удельным объ-
емом, теплоемкостью и т. д.). При этом каж-
дая модификация существует лишь в опреде-
ленной области параметров состояния и пере-
ход из одной области в другую обладает всеми
признаками обычного фазового перехода. Для
него, в частности, применимо уравнение
Клапейрона - Клаузиуса (1.3.4), в котором
170 Глава 1.4. ОСОБЕННОСТИ ПОВЕДЕНИЯ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ СОСТОЯНИЯ
производная dp/dT берется вдоль погра-
ничной кривой, разделяющей в р, Т-диаграм-
ме твердые фазы.
1.4.2. ЖИДКОЕ СОСТОЯНИЕ
Жидкости в обычном состоянии
слабо сжимаемы, но их сжимаемость все же
выше сжимаемости большинства твердых тел.
Так, для воды при температуре 20 °C изо-
термический коэффициент сжимаемости
07 = 4,58935 • 1О'10 Па’1; это означает, что
при увеличении давления от 0,1 до 100 МПа
удельный объем воды уменьшится на 4,6 %.
Благодаря малому значению ( dv / dp
у жидкостей обычно велика производная
(dp / dT )v, характеризующая интенсивность
изменения давления с изменением темпе-
ратуры при постоянном объеме Жидкости.
Это следует из (1.2.1) - (1.2.2). Напри-
мер, для воды при Т = 50 °C (dp / dT)v =
= 1,006* 106 Па/К, это означает, что при на-
греве на 10 °C заполненного водой гермети-
чески закрытого сосуда давление воды в этом
сосуде возрастает на 10,06 МПа.
Жидкости, как правило, заметно расши-
ряются при нагревании. У некоторых веществ
(например, у воды) имеет место характерная*
аномалия в значениях изобарного коэффици-
ента расширения. Зависимость удельного объ-
ема воды от температуры представлена на
рис. 1.4.2. При температурах менее 3,98 °C у
воды при атмосферном давлении производная
(dv /dT)р <0. При более высоких давлени-
ях максимум плотности (минимум удельного
объема) сдвигается в сторону меньших темпе-
ратур, а при давлениях выше 23 МПа анома-
лия плотности у воды исчезает.
Теплоемкость жидкости определяют
экспериментально или расчетом с помощью
термодинамических соотношений по значе-
ниям других термических или калорических
свойств - энтальпии, плотности и т. д.
Теплоемкость жидкости мало меняется с
изменением давления. Например, изобарная
теплоемкость воды при температуре 20 °C
изменяется только на 5 % при изменении
давления от 0,1 до 100 МПа.
Для большей части технических расчетов
зависимостью теплоемкости жидкости от дав-
ления можно пренебречь. Для расчетов, в
которых требуется повышенная точность,
пользуются (1.2.13), в которой ср(ро,Т) -
изобарная теплоемкость жидкости при атмо-
сферном давлении, определяемая по экспери-
Рмс. 1.4.2. Зависимость удельного объема воды
от температуры
ментальным данным, а производная
(d2v/dT2) вычисляется по термическому
уравнению состояния жидкости. Теплоем-
кость cv при различных давлениях опреде-
ляется по (1.2.14).
Теплоемкость ср с ростом температуры
в зависимости от параметров состояния может
возрастать или убывать. Зависимость ср от
температуры и давления для воды показана на
рис. 1.4.3.
Разница между теплоемкостями ср и
cv для жидкостей обычно невелика. По-
скольку экспериментальное определение теп-
лоемкости cv является значительно более
сложной задачей, чем определение теплоем-
кости ср, целесообразно определять теп-
лоемкость cv жидкости расчетным путем по
известным значениям теплоемкости ср ,
используя для этой цели уравнение (1.2 8)
ТЕРМИЧЕСКИЕ И КАЛОРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕАЛЬНОГО ГАЗА
171
Рис. 1.4.3. Зависимость изобарной теплоемкости воды
от температуры и давления
Значения фигурирующих в этом уравнении
производных термических величин вычисля-
ются из экспериментальных данных р, v, Т-
зависимости жидкости или по уравнению
состояния жидкости.
Зависимость энтальпии жидкости от
температуры и давления определяется диффе-
ренциальными соотношениями (1.2.4) и
(1.2.6), из которых следует, что зависимость
энтальпии от температуры (на изобаре) опре-
деляется изобарной теплоемкостью жидкости
A(pJ2) = A(pJ|)+ JcpdT, (1.4.3)
А
а зависимость от давления (на изотерме) -
термическим уравнением состояния
Аг
А(/>2, T) = h(.Pi, Т)+
А
(1.4.4)
Абсолютное значение энтальпии (так же
как и абсолютное значение внутренней
энергии) не может быть ни измерено, ни вы-
числено термодинамическими методами; экс-
перимент и термодинамический расчет позво-
ляют определить лишь изменение энтальпии
или внутренней энергии вещества. Именно
эта разница и представляет интерес для теп-
лотехнических расчетов. Для расчета измене-
ния энтальпии безразлично, какое состояние
вещества выбрано за начало отсчета энталь-
пии.
1.4.3. ТЕРМИЧЕСКИЕ И КАЛОРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
РЕАЛЬНОГО ГАЗА
В отличие от идеального газа реальный
газ может конденсироваться. Состояния вдоль
нижней (левой) пограничной кривой (линия Ка,
рис. 1.4.4) называются кипящей жидкостью,
вдоль верхней (правой) пограничной кривой
Рис. 1.4.4. Изотермы реального газа в
р, Кдиаграмме
(линия КЬ) - сухим насыщенным паром. Левее
линии Ка - область жидкости, правее КЬ -
область перегретого пара. Область, лежащая
между левой и правой пограничными кривы-
ми, - область влажного (насыщенного) пара.
Точка К - критическая точка. На рис. 1.4.4
показан изотермический процесс перехода
пар - жидкость при различных температурах.
Критическая изотерма в критической точке
имеет горизонтальную касательную и перегиб:
(Эр/ат^ Кр=°; (a2p/av2)r кр=о.
(1.4.5)
Термодинамические свойства кипящей
жидкости обычно отмечаются верхним индек-
сом , а свойства сухого насыщенного пара -
индексом ". Из рис. 1.4.4 видно, что в крити-
ческой точке v" = V’ = vK р, а теплота паро-
образования (1.3.4) г = 0. На рис. 1.4.5 пока-
зана зависимость теплоты парообразования
воды от температуры.
Рис. 1.4.5. Зависимость теплоты парообразования воды
от температуры
172 Глава 1.4. ОСОБЕННОСТИ ПОВЕДЕНИЯ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ СОСТОЯНИЯ
Рис. 1.4.6. Изобары реального газа в V, /"-диаграмме:
а-1 - жидкость; 1-2 - влажный пар;
2-а - перегретый пар
Рис. 1.4.7. Изохоры реального газа в р, /"-диаграмме
На рис. 1.4.6. и 1.4.7 изображены облас-
ти газообразного и жидкого состояний ве-
щества в v, Г- и р, /"-диаграммах.
Влажный пар, представляющий собой
смесь кипящей жидкости и сухого насыщен-
ного пара, характеризуется степенью сухости
х, равной отношению массы сухого насыщен-
ного пара к массе влажного пара. Термодина-
мические свойства влажного пара рассчиты-
ваются по формулам
vx = v' (1 - х) + у"х; hx = h' (1 - х) + h"x ;
sx = 5* (1 - х) + s"x ; их = и' (1 - х) + и"х .
Эти же формулы могут быть использо-
ваны для расчета степени сухости по из-
вестным термодинамическим свойствам
влажного пара.
Характер зависимости энтальпии реаль-
ного газа от давления и температуры показан
на рис. 1.4.8 для воды и водяного пара. На
докритических изобарах энтальпия при пере-
ходе через линию насыщения меняется скач-
Рис. 1.4.8. Зависимость энтальпии воды
к водяного пара от температуры н давления
Рис. 1.4.9. Зависимость изобарной теплоемкости
водяного пара от температуры
при докритических давлениях
ком от h' (энтальпия кипящей жидкости) до
h" (энтальпия сухого насыщенного пара):
г = Л"-Л'. (1.4.6)
Из (1.1.29) следует, что ср внутри двух-
фазной области (включая критическую точку)
имеет бесконечно большое значение.
Зависимость теплоемкости ср реального
газа (водяного пара) от температуры имеет
сложный вид. Повышенное значение теп-
лоемкости вблизи линии насыщения (рис.
1.4.9) объясняется наличием в перегретом
паре при этих параметрах крупных ассоциа-
ций молекул.
При давлениях выше критических изо-
бары теплоемкости ср имеют вид кривых с
максимумом (рис. 1.4.10), причем максимумы
тем выше и острее, чем ближе данная изобара
к критической. Наличие этих максимумов в
надкритической области означает, что при
изобарном переходе (при р > рк р) из жид-
кости в пар необходимо затратить дополни-
тельную энергию, преодолеть тепловой ба-
барьер, являющийся аналогом теплоты паро-
образования г при докритическом переходе В
ТЕРМИЧЕСКИЕ И КАЛОРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕАЛЬНОГО ГАЗА
173
Рис. 1.4.10. Зависимость изобарной теплоемкости воды
и водяного пара от температуры при
сверхкритическмх давлениях
этом заключается одна из особенностей над-
критического состояния. Значения температу-
ры в точках максимумов ср (на изобарах) для
некоторых веществ (так называемые псевдо-
критические температуры) даются в табл.
1.4.2. Первая строчка в этой таблице - крити-
ческие параметры.
Теплоемкость ср определяется либо
экспериментально, либо расчетом по извест-
ным значениям энтальпии (1.2.6) или р, v, Т-
зависимости вещества (1.2.13). При расчете
теплоемкости по (1.2.13) в качестве начально-
го параметра используется теплоемкость при
давлении pQ =0, т. е. в идеально-газовом
состоянии.
Энтальпия реального газа либо опреде-
ляется экспериментально, либо рассчитывает-
ся по известным теплоемкостям ср (1.4.3)
или р, v, Т-данным (1.2.12). В качестве на-
чального давления обычно принимают
Ро =°-
Аналогично внутренняя энергия и изо-
хорная теплоемкость вычисляются по форму-
лам (1.2.7) и (1.2.14), (1.2.4) и (1.2.8).
Теплоемкости ср и cv в идеально-
газовом состоянии рассчитываются методами
квантовой статистики на основе данных о
структуре молекул данного вещества и табу-
лируются. Если же такие данные отсутствуют,
то можно воспользоваться приближенным
значением, полученным из молекулярно-
кинетической теории:
cv=—R; с. =(^+11я,
► 2 р I 2 )
где j - число степеней свободы молекулы газа
(табл. 1.4.3); R - газовая постоянная.
1.4.2. Температуры веществ в точках максимумов изобарной теплоемкости (на изобарах)
н2о СО2 N 2 о2 «Не
р, МПа t, °C р, МПа Г, °C р, МПа t, °C р, МПа t, °C р, МПа t, °C
22,115 374,1 7,383 304,2 3,4 126,2 5,076 154,75 0,22746 5,19
23,5 379,3 8,0 308,1 4,0 129,8 6,0 159,2 о,з 5,5
24,0 381,1 9,0 313,6 5,0 134,6 7,0 163,4 0,4 6,1
25,0 384,7 10,0 318,6 6,0 138,7 8,0 167,1 0,5 6,6
27,5 394,6 11,0 323,1 7,0 142,2 9,0 170,5 0,6 7,0
30,0 402,1 12,0 327,2 8,0 145,1 10,0 173,7 0,7 7,3
35,0 417,4 13,0 330,9 9,0 147,6 11,0 176,5 0,8 7,7
40,0 431,4 14,0 334,3 10,0 149,7 12,0 179,0 0,9 8,1
45,0 444,1 15,0 337,4 11,0 151,4 13,0 181,2 1,0 8,4
50,0 455,4 16,0 340,2 12,0 152,7 14,0 183,2 1,5 10,2
60,0 475,1 17,0 342,8 13,0 153,8 15,0 184,9 2,0 11,7
70,0 493,0 18,0 345,2 14,0 154,5 16,0 186,5 2,5 13,2
80,0 507,0 19,0 347,2 15,0 154,8 17,0 187,9 3,0 14,6
90,0 514,7 20,0 348,8 16,0 154,8 18,0 189,2 3,5 16,0
100,0 526,8 21,0 350,1 17,0 154,6 19,0 190,4 4,0 17,3
125,0 537,7 22,0 351,1 18,0 154,3 20,0 191,4 4,5 18,6
174 Глава 1.4. ОСОБЕННОСТИ ПОВЕДЕНИЯ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ СОСТОЯНИЯ
1.4.3. Теплоемкости и показатель изоэнтропы
газов по молекулярно-кинетической теории
Величина Число атомов в молекуле газа
1 2 3 и более
j 3 5 6-7
cv/R 1,5 2,5 3 - 3,5
c„/R 2,5 3,5 4-4,5
se = cp /cv 1,67 1,4 1,29 - 1,33
1.4.4. ТЕРМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
Термическим уравнением состояния на-
зывается уравнение, связывающее для одно-
родного тела давление р, удельный объем v и
температуру Т.
Термическое уравнение состояния иде-
ального газа - уравнение Клапейрона-Менде-
леева - имеет вид
pv = RT, (1.4.7)
где R = R / М ь- индивидуальная газовая по-
стоянная; R = 8314,51 Дж/(кмоль * К) - уни-
версальная газовая постоянная; М - молеку-
лярная масса газа.
Уравнение (1.4.7) дает тем более точные
результаты, чем меньше плотность газа
(больше температура и меньше давление).
Оно строго лишь при р->0. На рис. 1.4.11
показаны для различных веществ давления,
при которых погрешность определения v по
формуле (1.4.7) равна 0,5 %. При меньших
давлениях погрешность расчета v по (1,4-7)
меньше 0,5 %, при больших давлениях -
больше 0,5 %. Если при расчетах требуется
большая (чем 0,5 %) точность, то предельные
давления должны быть пересчитаны пропор-
ционально уменьшению погрешности.
Рис. 1.4.11. Область применимости
уравнения Клапейрона-Менделеева
Рис. 1.4.12. Область применения
модели идеального газа для расчета энтальпии
Для идеального газа теплоемкости ср и
cv, внутренняя энергия и и энтальпия h за-
висят только от температуры. Расчет термоди-
намических свойств пара дает тем большую
погрешность, чем больше давление. На
рис. 1.4.12 для различных веществ показаны
давления, для которых расчет энтальпии дает
погрешность, равную 2 кДж/кг. При меньших
давлениях погрешность определения энталь-
пии меньше 2 кДж/кг. Как и на рис. 1.4.11,
значения давлений на рис. 1.4.12 могут быть
пересчитаны, если требуется меньшая, чем 2
кДж/кг, погрешность. В том случае, когда
при заданных р и Т погрешность расчета v
(или А) по уравнениям идеального газа вели-
ка, пользуются уравнением состояния реаль-
ного газа.
Одним из наиболее простых термиче-
ских уравнений состояния реального газа
является уравнение Ван-дер-Ваальса
(p + a/v2)(v-b)=RT, (1.4.8)
в котором константа а учитывает парное вза-
имодействие молекул, константа b - соб-
ственный объем молекул.
Изотермы, построенные по уравнению
(1.4.8), для сверхкритических температур
имеют вид, подобный изображенным на
рис. 1.4.4. Изотермы Ван-дер-Ваальса для
докритических температур имеют вид, пред-
ставленный на рис. 1.4.13.
Участок 1-2 соответствует метастабиль-
ному состоянию жидкости (перегретая жид-
кость), а участок 5-4 - метастабильному со-
стоянию пара (переохлажденный пар). Участок
2-3-4 соответствует физически нереализуемым
состояниям, поскольку здесь не выполняется
условие устойчивости (1.3.2). Построение рав-
РАСЧЕТ ЭНТРОПИИ И ЭНТРОПИЙНЫЕ ДИАГРАММЫ
175
Рис. 1.4.13. Изотерма уравнения Ван-дер-Ваальса
новесного участка докритической изотермы
1-3-5 осуществляется из условия равенства
площадей 1-2-3-1 и 3-4-5-3 (правило Максвел-
ла).
Константы уравнения Ван-дер-Ваальса
определяются, как правило, по известным
критическим параметрам из условий (1.4.5).
При этом возникает неопределенная система
уравнений: число неизвестных - два (о и в), а
число уравнений - три: два условия (1.4.5) и
уравнение (1.4.8). В этой неоднозначности
определения коэффициентов и заключается
основной недостаток уравнения Ван-дер-
Ваальса.
Уравнение Ван-дер-Ваальса может быть
записано в безразмерном (приведенном) виде:
(п + 3/й2)(Зй-1) = 8т , (1.4.9)
где л = р / рк р - приведенное давление;
со = v / vK р - приведенный удельный объем;
т = Г / р - приведенная температура.
Уравнение Ван-дер-Ваальса может быть
использовано для расчета термодинамических
свойств веществ, если известны только кри-
тические давление, температура и удельный
объем.
Уравнение Ван-дер-Ваальса является
одной из первых попыток отойти от уравне-
ния состояния идеального газа. Оно непри-
менимо к областям, где вещество обладает
резко выраженными свойствами реального
газа (область вблизи линии насыщения, око-
локритическая область), и тем более - к об-
ласти жидкости.
Теоретически обоснованным уравнением
состояния является вириальное уравнение со-
стояния, предложенное Майером и Боголю-
бовым и справедливое как для области пара,
так и для области жидкости (уравнения, опи-
сывающие и область пара, и область жид-
кости, называют едиными уравнениями состоя-
ния)-.
г='я7=|+~+4+4+- <L4io>
RT v yj
Уравнение (1.4.10) содержит бесконеч-
ное число членов, а его коэффициенты В, С,
D ит. д. (так называемые вириальные коэффи-
циенты) зависят только от температуры. Ко-
эффициенты уравнения (1.4.10) получают
совместной обработкой р, v, Т-данных, при
этом число членов ряда конечно.
Уравнениями типа (1.4.10) описаны тер-
модинамические поверхности многих веществ
как в области пара, так и в области жидкости.
Для описания термодинамических
свойств перегретого пара применяют уравне-
ние
Z = -^ = l + B'/> + C'/>2+Z)'/>3+... ,
1\1
(1.4.11)
которое также называют уравнением состоя-
ния в вириальной форме и вириальные ко-
эффициенты которого (В', С, D* и т. д.)
зависят только от температуры и связаны с
вириальными коэффициентами В, С, D и т.
Д.:
С- С~в2
RT’ &Тг ’
D, Д-ЗЛС + 2Л3
Я4Г4
(1.4.12)
Существует множество локальных уравне-
ний состояния - уравнений, описывающих
часть термодинамической поверхности.
1.4.5. РАСЧЕТ ЭНТРОПИИ И
ЭНТРОПИЙНЫЕ ДИАГРАММЫ
Непосредственно измерить энтропию
невозможно. Ее можно определить только
расчетом с помощью дифференциальных
уравнений термодинамики по известным зна-
чениям других термодинамических свойств.
Для расчета различных термодинамиче-
ских процессов представляет интерес не абсо-
лютное значение энтропии, а ее изменение в
этих процессах. Поэтому обычно пользуются
относительным значением энтропии вещест-
ва, отсчитанным от произвольно выбранной
точки начала отсчета. Как правило, значение
энтропии вещества принимают равным нулю
в том же состоянии, которое принято за нуль
отсчета энтальпии или внутренней энергии.
Так, для воды и водяного пара принимается
равной нулю энтропия воды в тройной точке
(/>=610,8 Па, /=0,01 °C).
176 Глава 1.4. ОСОБЕННОСТИ ПОВЕДЕНИЯ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ СОСТОЯНИЯ
Если известна энтропия в некотором со-
стоянии с параметрами Ро и То (например,
нулевая энтропия в выбранной точке начала
отсчета), то энтропия в состоянии с иными
параметрами р и Т может быть определена с
помощью соотношения
s(p, 7') = *о(/’о>7Ь) +
р т
+ J(&/3/>)rd/> + J(&/3T)pdT,
Ро Т’о
или с учетом (1.2.3) и (1.2.5)
s-s0 =-f(dv/dT)pdp+ J ^-dT.
Po T’o
(1.4.13)
Вычисление интегралов в правой части
уравнения (1.4.13) может быть проведено дву-
мя путями (рис. 1.4.14, а): из точки начала
отсчета (точка О) в точку, для которой нужно
определить значение s (точка А), можно по-
пасть либо по пути 0-1-А, либо по пути 0-2-А.
В первом из этих случаев вначале вычисляет-
ся интеграл при Ро = const и затем интеграл
при Т = const, а во втором случае - вначале
интеграл при То = const и затем интеграл при
р = const. Поскольку энтропия является
функцией состояния, результат будет одним и
тем же.
Уравнение (1.4.13) может быть непо-
средственно использовано для расчета s - Sq
лишь в том случае, когда оба состояния, раз-
ность энтропий в которых вычисляется (точки
О и А на рис. 1.4.14, а), находятся в одной и
той же фазе. Если же точки принадлежат раз-
ным фазам, то это соотношение должно быть
соответствующим образом видоизменено.
Пусть точка 0 (параметры Ро и Tq ) соответ-
ствует состоянию жидкости в тройной точке,
а точка А (параметры р и 7) находится в об-
ласти газообразного состояния вещества (рис.
1.4.14, 6).
Рис. 1.4.14. Возможные пути интегрирования
при расчете энтропии
При переходе через линию насыщения
энтропия вещества меняется на
s"-s' = r/T,
поэтому при расчете по пути 0-1-А
^-•50=^-+ jov/ar^dp,
° То Ро
а при расчете по пути 0-2-3-А
Р
5-50=-f(^/5T)*dp +
Ро
Тг ж, Т г
+ f^-d7’ + ^-+ f^-dT,
Wifi Го “ теплота парообразования в тройной
точке; Ts - температура кипения при давле-
нии р; г - теплота парообразования при тем-
пературе Т5.
Широко используются при анализе и
расчете тепловых процессов Т, s- и Л, 5-диаг-
раммы.
В Т, s-диаграмме (рис. 1.4.15), нижняя
(х=0) и верхняя (х = 1) пограничные
кривые, так же как и в р, v-диаграмме
(рис. 1.4.4), отделяют области жидкости,
влажного и перегретого пара. В критической
точке выполняются условия
(^/Ч.кр=0; (а2Г/аЧ.кр=0’
т. е. критическая изобара, проходящая в
Т, 5-диаграмме через критическую точку с
горизонтальной касательной, имеет в этой
точке перегиб. Площадь под горизонталь-
ным участком докритической изобары, равная
Т (s" - s'), представляет собой теплоту паро-
образования при данном давлении.
Рис. 1.4.15. Т, 5-диаграмма реального газа
СМЕСИ ГАЗОВ. ВЛАЖНЫЙ ВОЗДУХ
177
Рис. 1.4.16. h, 5-диаграмма
На рис. 1.4.16 изображена Л, 5-диаграм-
ма. В этой диаграмме показаны лишь области
газообразного и жидкого состояний вещества,
представляющие наибольший интерес для
теплотехнических расчетов. В Л, 5-диаграмме
несколько необычно положение критической
точки на пограничной кривой; она находится
значительно левее максимума пограничной
кривой. Изобары в h, 5-диаграмме всегда
имеют положительный наклон, поскольку в
соответствии с (1.1.25)
(ЭЛ /дз)р=Т. (1.4.14)
В области насыщения в соответствии с
(1.4.14) изобары являются прямыми, тангенс *
угла наклона которых равен абсолютной тем-
пературе. Из этого соотношения видно, что
кривизна изобары в h, 5-диаграмме всегда
положительна и, следовательно, изобары не
имеют изломов при пересечении пограничных
кривых. Чем выше давление насыщения
(и, следовательно, чем выше температура),
тем круче идет изобара в двухфазной области
h, 5-диаграммы. Именно этим объясняется
характерный веерообразный ход изобар в
двухфазной области (рис. 1.4.16)
В отличие от изобар изотермы пересе-
кают пограничные кривые с изломом и по
мере удаления от верхней пограничной кри-
вой асимптотически приближаются к гори-
зонтали. В Л, 5-диаграмме всегда наносятся
линии постоянной степени сухости
(x=const) в двухфазной области, а иногда и
изохоры.
1.4.6. СМЕСИ ГАЗОВ. ВЛАЖНЫЙ ВОЗДУХ
Газы, образующие смесь, называются
компонентами смеси. Состав смеси задается
либо массовыми g, , либо мольными г, долями:
где mif Nj - масса и число молей /-го ком-
понента смеси; шсм = S'”' . ^см = У Nj -
масса и число молей смеси. Здесь и далее
суммирование ведется по всем компонентам
смеси.
Из определения массовой и мольной до-
лей следует
X = *; X г< =1
Зная мольные доли, можно рассчитать
массовые и наоборот:
_ ri Mj gj / Mj
'"S*'M>'
где Mj - масса моля /-го компонента смеси.
Парциальным давлением /-го компонента
смеси Pi называется давление, которое имел
бы этот компонент, если бы он один занимал
объем смеси. Для смеси идеальных газов
2 А = Ам (1.4.15)
Уравнение (1.4.15) называется законом
Дальтона.
Парциальное давление /-го компонента
можно найти, если известны полное давление
смеси рсм и мольная доля:
Pi = Рем ri •
Парциальным объемом /-го компонента
смеси Vj называется объем, который имел бы
этот компонент, если бы его давление равня-
лось давлению смеси. Для смеси идеальных
газов
Хг(=исм. (1.4.16)
Уравнение (1.4.16) называется законом
Амага.
Кроме массовой и мольной долей смесь
может быть задана объемными далями:
Для идеального газа объемная доля г*
совпадает с мольной Г;.
При расчетах удобно использовать поня-
тие кажущейся молекулярной массы смеси
М^м = тсм / NCM ,
178 Глава 1.4. ОСОБЕННОСТИ ПОВЕДЕНИЯ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ СОСТОЯНИЯ
которая рассчитывается либо через мольные
доли Z):
Л/см М‘г‘-
либо через массовые доли:
^см=1/Х(«-/М0-
Удельная газовая постоянная смеси
рассчитывается по известному значению уни-
версальной газовой постоянной 7? =8314,51
Дж/(кмоль * К):
Дем = Д / ^см •
Удельный объем смеси идеальных газов
может быть определен по уравнению Клапей-
рона - Менделеева
vcm = Дем / Рем »
или, если известны удельные объемы компо-
нентов смеси V, ,
Vcm=£v>«/ (1.4.17)
По формуле типа (1.4.17) можно рассчи-
тать любые удельные (отнесенные к единице
массы) термодинамические функции состоя-
ния, если известны соответствующие функ-
ции всех компонентов смеси. При расчете
мольных (отнесенных к одному молю) термо-
динамических функций состояния в формуле
(1.4.17) необходимо массовую долю gj заме-
нить на мольную Г/. Например, молярная
изобарная теплоемкость смеси рассчитывается
по формуле
Ср,см = У, cp,i ri •
Процесс смешения - процесс необрати-
мый. Возрастание энтропии вследствие сме-
шения, называемое энтропией смешения, для
идеальных газов определяется по формуле
= S &Л1П-Ч-
Влажный воздух, являющийся смесью су-
хого воздуха и водяного пара, представляет
собой частный случай смеси. Так как влаж-
ный воздух используется при давлениях,
близких к атмосферному, то воздух при этих
параметрах можно считать идеальным газом.
Парциальное давление водяного пара во
влажном воздухе обычно не велико, и пар
также можно считать идеальным газом. По-
этому влажный воздух - это смесь идеальных
газов
Так как влажный воздух используется
обычно при атмосферном (барометрическом)
давлении В, то закон Дальтона (1.4.15) имеет
вид
В ~ РвОЗА + Рп •
Парциальное давление пара рп не мо-
жет быть больше давления насыщения ps
при заданной температуре (рп £ р5). Если
давление пара становится больше давления
насыщения, часть водяного пара конденсиру-
ется и влага выпадает из смеси в виде росы.
Влажный воздух, у которого рп = ps, назы-
вается насыщенным-, влажный воздух, у кото-
рого рп < р5 , называется ненасыщенным.
Для характеристики влажного воздуха
используют понятия влагосодержания d и от-
носительной влажности ср:
d = m„ / ; q> = р„ / ps ,
где тп, /Идозд - масса пара и сухого воздуха.
Из уравнения Клапейрона - Менделеева
следует связь между влагосодержанием dn и
давлением пара рп:
d„ = 0,622 Рп ,
В-Рп
ИЛИ
da = 0,622 VPs . (1.4.18)
B-<pps
Максимальное влагосодержание при за-
данной температуре определяется давлением
насыщения
Са> = 0.622 Ps . (1.4.19)
B-Ps
Энтальпия ненасыщенного влажного
воздуха определяется по формуле
h = t + dn (2501 + 1,93Г). (1.4.20)
Если влажный воздух содержит влагу не
только в виде пара, но и в виде жидкости
(туман) или льда (снег), формула (1.4.20) до-
полняется:
h = t + dn (2501 + 1,93/) +
+ 4,19<7Ж / + ^(-335 + 2,1/). (1.4.21)
ОСНОВНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
179
В формулах приняты следующие едини-
цы: h - кДж/кг сухого воздуха; t - °C; dn ,
» ^тв " кг влаги/кг сухого воздуха. Ис-
пользуя формулу (1.4.21), значение dn необ-
ходимо брать максимально возможным, соот-
ветствующим состоянию насыщения (1.4.19).
Процессы с влажным воздухом удобно
анализировать, используя А, ^-диаграмму,
представленную на рис. 1.4.17. Для удобства
пользования оси координат этой диаграммы
развернуты на 135°, значения удельной эн-
тальпии и влагосодержания отнесены здесь к
1 кг сухого воздуха. Выше линии ф = 1 рас-
положена область ненасыщенного, а ниже -
насыщенного воздуха. На диаграмме нанесе-
ны изотермы - прямые линии и линии
Ф = const. Обычно А, ^-диаграмма строится
по формулам (1.4.18) и (1.4.20) для опреде-
ленного барометрического давления, среднего
для данной местности. Диаграмма на рис.
1.4.17 рассчитана для 5=99,3 кПа (745 мм
рт. ст.). Для различных географических райо-
нов рекомендуются следующие барометриче-
ские давления: Душанбе, Ереван - 91,3 кПа
(685 мм рт. ст.); Алматы, Бишкек, Чита -
93,3 кПа (700 мм рт. ст.); Ташкент, Тбилиси -
95,3 кПа (715 мм рт. ст.); Краснодар, Красно-
ярск, Ашхабад - 97,3 кПА (730 мм рт. ст.);
Вильнюс, Нижний Новгород, Иваново, Кеме-
рово, Киев, Кишинев, Минск, Москва, Смо-
ленск, Ульяновск - 99,3 кПа (745 мм рт. ст.);
Баку, Санкт-Петербург, Рига, Таллинн -
Процессы во влажном воздухе. Процессы
нагревания и охлаждения влажного воздуха,
характеризующиеся постоянством влагосо-
держания d, изображаются в А, ^-диаграмме
вертикальной линией; 1-2 - охлаждение; 2-1 -
нагревание (см. рис. 1.4.17).
Температура, при которой в процессе
охлаждения начинает выпадать жидкая фаза
(ф = 1), называется точкой росы (/3 на рис.
1.4.17). При охлаждении до температуры бо-
лее низкой, чем точка росы (на рис.
1.4.17), из влажного воздуха выпадает влага в
количестве t±d = dy - d^ , а воздух при этом
остается насыщенным (ф = 1).
В процессе сушки влажных материалов
энтальпия, как следует из (1.1.15), практиче-
ски не меняется (процесс 7-5 на рис. 1.4.17).
При этом каждый килограмм сухого воздуха
забирает из влажных материалов влагу в ко-
личестве Д <7 = d$ - di.
Глава 1.5
ОСНОВНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ
ПРОЦЕССЫ
Изохорный процесс - это процесс при по-
стоянном объеме ( v = const). Вид изохор ре-
ального газа в р, Т-диаграмме показан на рис.
1.5.1.
В любой точке изохорного процесса, со-
вершаемого идеальным газом, выполняется
условие р / Т = const. Поэтому изохоры иде-
ального газа в р, Т-диаграмме - это прямые
линии, идущие из начала координат.
Работа расширения (1.1.8) изохорного
процесса равна нулю, а теплота рассчитывает-
ся по формуле
Q = “2 - «1 •
Если внутренняя энергия и в таблицах
не дается, она рассчитывается по формуле
и = h - pv. В случае постоянства cv
q = cv (Т2 - Т0 ; s2 - *1 = cv In Т2/ 7] .
При изохорном нагреве влажного пара
характер процесса зависит от удельного объе-
ма. Если в изохорном процессе v2 > vKp
(рис. 1.5.1), то степень сухости х возрастает,
т. е. количество жидкости уменьшается и в
точке b образуется сухой насыщенный пар
(v2 = V"). Дальнейший нагрев происходит
уже в области перегретого пара.
180
Глава 1.5. ОСНОВНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Q = Л2 - Л1
Рис. 1.5.1. Изохоры в области влажного пара
Если же в изохорном процессе
V1 < vk р ♦ то ПРИ нагревании степень сухости
влажного пара сначала увеличивается, а потом
уменьшается до нуля, т. е. в результате изо-
хорного нагрева весь влажный пар сконден-
сируется и в дальнейшем процессе будет идти
в области жидкости.
При изохорном нагреве влажного пара
при v = vK р при приближении к крити-
ческой точке х -> 0,5, а мениск, разделяю-
щий жидкую и паровую фазы, исчезает.
Изобарный процесс - это процесс при по-
стоянном давлении (р = const). На рис. 1.4.6,
1 4.15 и 1.4.16 показан вид изобар в v, Т-; Т,
s- и А, 5-диаграммах реального газа.
В любой точке изобарного процесса, со-
вершаемого идеальным газом, выполняется
условие v / Т = const, т. е. изобары идеально-
го газа в v, Т-диаграмме - это прямые линии,
идущие из начала координат.
Работа расширения изобарного процесса
рассчитывается в соответствии с (1.1.8)
/ = p(v2 - И),
а для идеального газа
l=R(T2-T{).
Теплота изобарного процесса опреде-
ляется из (1.1.14)
В случае постоянства теплоемкости с р
Q = cp (Т2 - 7i); s2 - 5i = ср In Т2 / 1\.
Изотермический процесс - это процесс
при постоянной температуре (Т = const). Вид
изотерм реального газа в р, v- и А, 5-
диаграммах показан на рис. 1.4.4 и 1.4.16.
В любой точке изотермического процес-
са, совершаемого идеальным газом, выпол-
няется условие pv = const, т. е. изотермы
идеального газа в р, v-диаграмме - гиперболы,
а в р, р-диаграмме (р - плотность) - прямые
линии, идущие из начала координат.
Теплота изотермического процесса
определяется из второго закона термодинами-
ки:
q = T(s2-S\); (1.5..1)
изменение внутренней энергии - из опреде-
ления энтальпии:
«2 - "1 = (Л2 - Л1) - (P2V2 - ₽lvl) ;
работа расширения - из первого начала тер-
модинамики:
/ = 9-(и2-И1). (1.5.2)
Для идеального газа и2 = Wj и соотно-
шения (1.5.1) и (1.5.2) преобразуются к виду
q = l = RTin^. = RT
vt P2
а изменение энтропии
s2 - 5i = R In v2/ Vi = R In pi/p2 .
Адиабатный процесс - это процесс, в ко-
тором система не обменивается теплотой с
окружающей средой. В адиабатном обратимом
процессе (1.1.18) энтропия неизменна
(52 = 5j) , в необратимом она возрастает
(52>50. Для изоэнтропных процессов в
ряде случаев можно пользоваться соотноше-
нием
pv® = const, (1.5.3)
где ае = (dh / du)s - показатель изоэнтропного
процесса.
Формула (1.5.3) получена в предположе-
нии ае = const.
Для идеального газа ае = ср / cv и его
можно приближенно определить по табл.
ОСНОВНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
181
1.4.3. Кроме того, для идеального газа спра-
ведливы соотношения
№-1 = const;
1—ае
Тр ® = const.
(1.5.4)
Работа расширения адиабатного процес-
са определяется из (1.1.3):
/ = «I - «2 •
Если справедливо соотношение (1.5.3),
работа расширения записывается как
z Plvl
ае- 1
ас—1
1-(Р2/ Pl) «
а для идеального газа
/ = /?(Tj-T2)/(ae-l).
Техническая работа в потоке для ади-
абатного процесса определяется из (1.1.15):
^твхн = “ ^2 »
а в предположении справедливости (1.5.3) -
по формулам
(1 5.5)
Для идеального газа (1.5.5) упрощается:
тсхн ав-1
Политропный процесс - это процесс, удо-
влетворяющий соотношению
pvn = const, (1.5.6)
где п - показатель политропного процесса -
величина постоянная для данного процесса.
Соотношения между параметрами со-
стояния для политропного процесса идеаль-
ного газа имеют вид
Tv""1 = const;
Тр " = const.
Р
п^О-изобара
Рис. 1.5.2. Политропные процессы в р, V-диаграмме
п-1-изотерма
идеального газа
п*зе- изоэнтропа
ъ
Понятие политропного процесса для
идеального газа обобщает все ранее рассмот-
ренные термодинамические процессы: изо-
термический (л = 1), изобарный (л = 0), изо-
хорный (л = ±оо) и адиабатный (л = ае). На
рис. 1.5.2 представлена р, v-диаграмма, в ко-
торой нанесены кривые различных политроп-
ных процессов.
Работа расширения политропных про-
цессов рассчитывается из соотношений (1.1.8)
и (1.5.6):
! _ /У1
Л- 1
л-1
•-(Р2/ Pl) "
(15.7)
Для идеального газа (1.5.7) упрощается:
1 = Я(Т2-Т{)/(п-\).
В случае, когда политропный процесс
совершается потоком газа или пара, техниче-
ская работа определяется по формулам:
, п 1 / / ч-Л-
/техн =----Г /VI 1~(/»2/ Pl)—’
л — 1 L
(1-5.8)
Для идеального газа (1.5.8) преобразует-
ся к виду
/техн = "Л (Г1
Теплоту политропного процесса рассчи-
тывают по формуле (1.1.3). Для идеального
газа и cv = const
q = c„ (72-70, (1.5.9)
182
Глава 1.5. ОСНОВНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Рис. 1.5.3. Теплоемкость политропных процессов
где сп - теплоемкость политропного процес-
са:
ся=су(л-®)/(л-1). (1.5.10)
Рис. 1.5.4. Обобщенная кривая инверсии
Зависимость сп от п представлена на
рис. 1.5.3. Изменение энтропии политропного
процесса для случая сп - const рассчитывает-
ся по формуле
-S| = c„ln^-.
't
Дросселирование - это необратимый тер-
модинамический процесс перетекания газа
(жидкости) от большего давления к меньше-
му, происходящий без отдачи работы вовне.
При адиабатном дросселировании, если
скорости потока до и после дросселирования
равны,
h2=hx. (1.5.11)
Равенство энтальпий потока до и после
адиабатного дросселирования не означает
постоянства энтальпии. В процессе дроссели-
рования энтальпия сначала падает, а потом
возрастает до первоначального значения.
Так как энтальпия идеального газа зави-
сит только от температуры, условие (1.5.11)
означает, что при адиабатном дросселирова-
нии идеального газа = Д .
При адиабатном дросселировании ре-
ального газа температура может меняться.
Величина аЛ = (дТ / dp)h называется коэф-
фициентом адиабатного дросселирования или
дифференциальным дроссель-эффектом'.
T(dv/5T)f-v v(aT-l)
a. =-----------------------------.
Явление изменения температуры газов и
жидкостей при адиабатном дросселировании
носит название эффекта Джоуля-Томсона.
Изменение температуры вещества при
адиабатном дросселировании
Pi
Т2-Тх= J a* dp
Pl
называется интегральным дроссель-эффектом.
В процессе адиабатного дросселирова-
ния температура может увеличиваться
(а^ <0), уменьшаться (а^ >0) и оставаться
неизменной (а^ =0). Кривая, вдоль которой
d/j =0, называется кривой инверсии.
На рис. 1.5.4 изображена обобщенная
кривая инверсии, с помощью которой по
известным л = р / ркр и т = Т / Ткр мож-
но приближенно определить знак дифферен-
циального дроссель-эффекта. Кривая инвер-
сии на рис. 1.5.4 построена для газа, подчи-
няющегося уравнению Ван-дер-Ваальса
(1.4.8). Необходимо добавить , что во всей
области влажного пара >0.
Процессы сжатия в компрессоре. Ком-
прессором называется машина для сжатия
газов. Несмотря на большие конструктивные
различия компрессоров разных типов, термо-
динамические принципы их действия анало-
гичны.
Если пренебречь разностью кинетиче-
ских энергий потока газа на входе в компрес-
сор и на выходе из него, то из (1.1.15) следует
ОСНОВНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
ИЗ
формула для расчета работы, расходуемой на
сжатие газа в компрессоре:
l = h\-h2+q. (1.5.12)
В случае неохлаждаемого компрессора
q = 0 и формула (1.5.12) упрощается:
(1.5.13)
Если не учитывать трение при сжатии
газа в неохлажденном компрессоре, то в та-
ком процессе энтропия неизменна (процесс
1-2 на рис. 1.5.5). Реальный процесс сжатия в
таком компрессоре сопровождается возраста-
нием энтропии (процесс 1-2д). Как видно из
рис. 1.5.5, трение приводит к возрастанию
работы, затрачиваемой на сжатие газа с
(А2 - А]) до (Л2д - А|). Отношение этих
работ называется внутренним относительным
(или адиабатным) КПД компрессора
'к Л2«"Л1
Откуда работа, затрачиваемая на сжатие
газа в компрессоре с учетом трения,
(1.5.15)
В предположении отсутствия трения и
справедливости соотношения (1.5.3) работу
неохлаждаемого компрессора можно также
рассчитывать по (1.5.5).
Работу обратимого (без трения) сжатия
можно представить как
Р2
/ = - J vdp (1.5.16)
Pi
и изобразить в р, v-диаграмме (рис. 1.5.6)
площадью фигуры 12341. При изотермическом
Рис. 1.5.5. Процессы сжатия газа
в неохлаждаемом компрессоре
Рис. 1.5.6. Влияние процесса сжатия на
работу компрессора
сжатии (процесс 1-2а) работа компрессора
меньше, чем при адиабатном (процесс 1-2с).
Изотермическое сжатие даже при интенсив-
ном отводе теплоты осуществить не удается -
вместо изотермического реализуется полит-
ропное сжатие (процесс l-2b, 1 < п < ае).
Работа компрессора (1.5.16) при полит-
ропном сжатии
(1.5.17)
/ =
Для идеального газа (1.5.17) упрощается:
l = — R(T\-T2).
п — 1
Количество отведенной при этом тепло-
ты определяется по (1.5.9) и (1.5.10).
Для получения больших давлений газа
(р > 1 МПа) обычно используют многосту-
пенчатые компрессоры, в которых сжатие
осуществляется последовательно в нескольких
охлаждаемых цилиндрах. Прежде чем посту-
пить в очередной цилиндр, сжатый газ охлаж-
дается практически до температуры на входе в
первый цилиндр. В р, v-диаграмме (рис. 1.5.7)
изображен процесс сжатия газа в трехступен-
чатом компрессоре. Здесь процессы 1-а, b-c,
d-2 - политропное сжатие газа в 1, 2 и 3-м
цилиндрах; процессы a-b, c-d - изобарное
охлаждение газа в промежуточных теплооб-
менниках. Точки /, b, d, имеющие одинако-
вую температуру Т\ , лежат на одной изотер-
ме
В соответствии с (1.5.17) работа много-
ступенчатого компрессора равна площади
фигуры labcd2341. При одноступенчатом сжа-
тии газа до того же давления р2 затрачиваемая
работа была бы больше и равнялась бы пло-
щади фигуры 1е34. Выигрыш в работе пока-
зан на рис 1.5.7 заштрихованной фигурой
184
Глава 1.6. ПРОЦЕССЫ ТЕЧЕНИЯ ГАЗОВ И ЖИДКОСТЕЙ
V
Рис. 1.5.7. Процесс сжатия газа в трехступенчатом
компрессоре
Промежуточные давления обычно выби-
раются из условия минимума работы много-
ступенчатого компрессора. При этом
PlI / Р\ = Pill / PlI = Р2 / Pill = Popt >
т е. степени повышения давления во всех
ступенях компрессора должны быть одинако-
выми.
Для компрессора с т ступенями
Popt ~ myl Р2 / Р\ >
где Pi, Р2 - начальное и конечное давление
многоступенчатого компрессора.
При оптимальном выборе промежуточ-
ных давлений работа и отведенная теплота
всех ступеней компрессора одинаковы:
h = = 6п ; 01 = 011 = 0111 •
Глава 1.6
ПРОЦЕССЫ ТЕЧЕНИЯ ГАЗОВ И
ЖИДКОСТЕЙ
1.6.1. ОБЩИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ
Выражение первого закона термодина-
мики для потока вещества (1.1.15) справедли-
во для одномерного стационарного потока, в
котором отсутствуют притоки и оттоки ве-
щества на рассматриваемом участке. Стацио-
нарный поток - это поток, характеристики
которого в любой точке не меняются с тече-
нием времени. Одномерный поток - это по-
ток, параметры которого меняются только
вдоль линии тока Скорость потока при этом
принимается в любом сечении как некоторая
средняя, определяемая из соотношения
(1.6.1)
где Й - объемный расход вещества, м3/с;
f - площадь поперечного сечения потока, м2.
Формула (1.6.1) совместно с соотноше-
нием между объемным V и массовым т
расходами, кг/с,
V - тv,
где v - удельный объем вещества потока в
рассматриваемом сечении позволяет получить
уравнение неразрывности (сплошности)
mv - fw. (1.6.2)
Если на рассматриваемом участке потока
отсутствуют притоки и опоки массы, то, оче-
видно, массовый расход вдоль канала менять-
ся не будет, а выражение (1.6.2) преобразуется
к виду
f w
т = -— = const,
v
т. е. для любого сечения такого потока ком-
плекс (fw / v) сохраняет неизменное значе-
ние. В случае течения несжимаемой жидкости
(v = const) в любом сечении потока неизмен-
ной остается величина
f w - const.
Выражение первого закона термодина-
мики для потока вещества (1.1.15) применимо
как для обратимых процессов (без трения),
так и для реальных (необратимых) процессов
течения, характеризующихся выделением теп-
лоты трения. Если предположить, что выде-
ление теплоты трения хотя и изменяет пара-
метры потока, но в каждом сечении они оди-
наковы (т. е. поток продолжает оставаться
одномерным), то такой процесс можно пред-
ставить как непрерывную последовательность
равновесных состояний, т. е. такой необрати-
мый процесс можно считать равновесным
(квази - статически м).
Для таких равновесных процессов с тре-
нием, кроме выражений (1.1.1) - (1.1.12),
можно записать
dq - dA - vdp - dtfTp. (1.6.3)
Приравнивая правые части (1.1.15) и
(1.6.3), получаем уравнение энергий для одно-
мерного стационарного потока
vdp + wdw + g dz + d/TexH +d?Tp = 0.
(1.6.4)
СКОРОСТЬ ТЕЧЕНИЯ
185
Уравнение (1.6.4) для горизонтального
(d? = 0) потока несжимаемой жидкости
(v = const), в котором отсутствуют "вращаю-
щиеся" агрегаты (насос, турбина и т. п., т. е.
d/TeXH =0) и трение (d^Tp = 0), приводится
к виду
р + р w2 / 2 = const, (1.6.5)
где р = 1 / v - плотность вещества потока.
Из выражения (1.6.5), называемого урав-
нением Бернулли, видно, что полное давление
(р + р w2 / 2j , равное сумме статического
(р) и динамического (р w2 / 2) давлений,
постоянно по длине потока. Статическое дав-
ление - это давление, которое показывает
манометр, движущийся вместе с потоком.
Для потока газа, в котором отсутствуют
"вращающиеся" агрегаты (/техн = 0) и можно
пренебречь изменением потенциальной
энергии (gdz=0), уравнение (1.6.4) преоб-
разуется к виду
vdp + wdw + d0Tp = O. (1.6.6)
Для обратимого (без трения) течения
dq = 0, интегрируя (1.6.6), получаем
2 2 ^2
^--^- = -Jvdp. (1.6.7)
Pl
Если термодинамический процесс, со-
вершаемый потоком газа, движущемся без
трения, изображается в р, v-диаграмме линией
1-2, то приращение кинетической энергии
равно заштрихованной площади (рис. 1.6.1).
1.6.2. СКОРОСТЬ ТЕЧЕНИЯ
В общем случае скорость течения может
быть найдена из первого закона термодина-
мики (1.1.15)
^у- = ^- + 9 + Л| +Л2+9(?1 -?2)-/техн-
(1.6.8)
В наиболее часто встречающихся случаях
течения адиабатных потоков (q = 0), в кото-
рых отсутствует техническая работа
(^те хн = 0), а изменением потенциальной
энергии g(Z2 - Z\) можно пренебречь, урав-
нение (1.6.8) упрощается
(l6-9)
т. е. для любого сечения потока комплекс
h - w2 / 2 остается неизменным и равным
энтальпии заторможенного потока h$. Пара-
метры потока при его полном торможении
(и>о =0) называются параметрами торможе-
ния (ho, Pq, Tq и т. д.). Энтальпия торможе-
ния определяется по (1.6.9), а ро и Tq -
решением адиабатного процесса в предполо-
жении отсутствия трения (1.5.3), (1.5.4).
Для увеличения скорости потока ис-
пользуется специальное устройство - сопло
(рис. 1.6.2).
Скорость течения адиабатного потока
при этом определяется из (1.6.9) по одной из
формул
м-2 =72(Ло-Л2), (1.6.10)
Рис. 1.6.1. Процесс течения газа без трения
Рис. 1.6.2. Дозвуковое сопло
186
Глава 1.6. ПРОЦЕССЫ ТЕЧЕНИЯ ГАЗОВ И ЖИДКОСТЕЙ
и»2 = 44,72 7(Ло-Л2), (1.6.11)
где w2, м/с; h в (1.6.10), Дж/кг; h в (1.6.11),
кДж/кг.
Процесс обратимого (без трения) тече-
ния газа в соплах изобразится в Л, s-
диаграмме изоэнтропой 0-2 (рис. 1.6.3).
При наличии трения процесс течения
изобразится кривой 0-2д, а вид формулы для
расчета изменится:
м-w = 44,72 7(Йо-Лм) . (1.6.12)
Отношение скоростей (1.6.12) и (1.6.11)
Ч> = / w2
называется скоростным коэффициентом сопла,
который может изменяться от 0 до 1. Чем
больше трение, тем меньше ф и меньше ско-
рость потока w2#. При ф = 1 трения нет и
процесс течения 0-2 изотропный (рис. 1.6.3).
При ф=0 скорость w2<) =0 (1.6.12), а
h2$ - ^0 > что соответствует процессу ади-
абатного дросселирования (1.5.11).
При расчете течений с трением скорость
вычисляется как
w2d=<pw2, (1.6.13)
а параметры потока в расчетном сечении 2
(см. рис. 1.6.2) по его энтальпии:
h2d ~ Л2 + (1 ~ Ф2)(Ло ~ Лг) •
Выражение (1-ф2) называется коэффи-
циентом потери энергии.
Кроме скоростного коэффициента сопла
используется также расходный коэффициент
сопла ф, равный отношению массовых расхо-
дов газа через сопло, соответствующих не-
Рис. 1.6.3. Процесс течения газа в сопле
обратимому (процесс 0-2д) и обратимому
(процесс 0-2) процессам, изображенным' на
рис. 1.6.3. Используя (1.6.2), получаем
тд v2
Ф = -г- = —Ф •
/и v2d
Так как у2д > v2 (рис. 1.6.3), то ф < ф
Скорость адиабатного потока для обра-
тимого (без трения) течения может быть так-
же рассчитана из (1.6.7) с использованием
формулы (1 5.5)-
w2 = 1 2~^~: ЮЪ 1
V ае - 1 L
(1.6.14)
где зе - показатель адиабаты (1.5.3).
Для идеального газа формула (1.6.14)
преобразуется в
w2 =
2-^-ЛГ0
Ж 1
1 - (Р2 / Ро) *
Рис. 1.6.4. Дозвуковой диффузор
СКОРОСТЬ ЗВУКА
187
Рис. 1.6.5. Процесс течения газа в диффузоре
для случаев <7Т р = 0 (7-2) и <7Т р О (1-2д)
Если в соплах увеличение скорости про-
исходит за счет уменьшения давления в пото-
ке газа (1.6.7), то в диффузорах давление газа
возрастает за счет уменьшения скорости по-
тока (рис. 1.6.4). Из (1.6.9) следует, что эн-
тальпия газа или пара за диффузором
Л2-Л.Х-4’ U-6.15)
где индексом 1 обозначены параметры потока
перед диффузором, а индексом 2 - за ним.
На рис. 1.6.5 линией 1-2 изображен об-
ратимый процесс (без трения), совершаемый
потоком газа в диффузоре. Определение ко-
нечного давления при этом сводится к расче-
ту изоэнтропного процесса 1-2 одним из
известных в термодинамике способов с ис-
пользованием (1.6.15). Реальный процесс в
диффузоре необратим и изображается в Л, s-
диаграмме линией 1-2д. Как видно из рис.
• 6 5, Р2д < Р2 • Причем, чем больше трение,
тем меньше . Максимально возможное
давление газа на выходе из диффузора р$
установится в случае полного изоэнтропного
(процесс 1-0, рис. 1.6.5) торможения потока
до скорости Wq =0. При этом энтальпия Hq
рассчитывается по (1.6.9).
1.6.3. СКОРОСТЬ ЗВУКА
При анализе потоков газа и жидкости
часто возникает необходимость в сопоставле-
нии скорости потока со скоростью распро-
странения звука в изучаемой среде. Ско-
ры тью звука называется скорость распростра-
нения малых возмущений (малыми называют-
ся такие возмущения среды, в которых мест-
ное изменение давления среды - амплитуда
давления - пренебрежимо мало по сравнению
с общим давлением). Скорость звука опреде-
ляется как
а = J (др / Эр), или а = 7 - v2 (Эр / dv)s ,
(1.6.16)
где р = 1 / v - плотность среды; v - удельный
объем.
Уравнение (1.6.16) называется уравнени-
ем Лапласа. Так как все величины, входящие
в (1.6.16) являются функциями состояния, то
и скорость звука также является термодина-
мической функцией состояния и поэтому
определяется для заданной среды только па-
раметрами состояния. Комплекс v(dp / dv)s
(1.6.16) представляет собой величину, обрат-
ную адиабатной сжимаемости. У твердых тел
сжимаемость мала и поэтому скорость звука в
твердых телах составляет несколько тысяч
метров в секунду. Сжимаемость жидкостей
обычно больше сжимаемости твердых тел и
скорость звука в них поэтому меньше, чем в
твердых телах. У газов сжимаемость наиболь-
шая, и скорость звука поэтому составляет
обычно несколько сотен метров в секунду. У
абсолютно несжимаемой среды (v = const)
сжимаемость равна нулю, а скорость звука -
бесконечно большая величина.
Если использовать определение показа-
теля адиабаты (1.5.3), то выражение для ско-
рости звука (1.6.16) примет вид
Рис. 1.6.6. Изолинии постоянных значений скорости
звука для воды и водяного пара
188
Глава 1.6. ПРОЦЕССЫ ТЕЧЕНИЯ ГАЗОВ И ЖИДКОСТЕЙ
а - 7 aepv , (1.6.17)
или для идеального газа, используя выраже-
ние (1.4.7),
а - J xRT ,
т. е. для идеального газа скорость звука про-
порциональна Т^2 и, поскольку R - R / М
(R - универсальная газовая постоянная, М -
молекулярная масса), обратно пропорцио-
нальна М^2
На рис. 1.6.6 показана зависимость ско-
рости звука в воде и водяном паре от давле-
ния и температуры.
1.6.4. ЗАКОН ОБРАЩЕНИЯ ВОЗДЕЙСТВИЯ
Совместное решение уравнений (1.6.2),
(1.6.17), (1.6.4), (1.1.17), (1.2.5) и (1.2.2) позво-
ляет получить соотношение
w -1— = -^_ —+ — d?TP-
' ' f Va cf)
_Ad9__Ld/TexH-4dZ’ (L618)
Cp a£ a£
связывающее различные способы воздейст-
вия на поток (правая часть уравнения) с
изменением скорости потока dw. В урав-
нении (1.6.18) M = w/fl - число Маха,
а = (dv / дТ) / v - изобарный коэффициент
расширения.
Для горизонтального (dz =0) адиабат-
ного (dq - 0) потока газа или пара, движуще-
гося без трения (dgTp = 0) в отсутствии
"вращающихся" агрегатов (турбина, компрес-
сор и т. п., т. е. /техн =0), уравнение (1.6.18)
упрощается
(м2-1)—= ^. (1.6.19)
\ / VV J
Из выражения (1.6.19) следует, что до-
звуковые сопла (dw >0, М < 1) имеют сужи-
вающийся профиль (df < 0). При достиже-
нии потоком скорости звука (М = 1) выпол-
няется условие df = 0. Сверхзвуковые сопла
(dw>0, М > 1) имеют расширяющийся
профиль (df > 0). Другими словами, чтобы
перейти от дозвукового течения к сверхзвуко-
вому, необходимо изменить знак воздействия:
Рис. 1.6.7. Сопло Лаваля
от суживающейся конфигурации перейти к
расширяющейся. Такое сопло, изображенное
на рис. 1.6.7, называемое соплом Лаваля, по-
зволяет получать скорости потока, превы-
шающие скорости звука.
Как следует из (1.6.18), для ускорения
(dw >0) дозвукового потока (М <1) можно
воздействовать на поток, кроме сужения
(df < 0), подводом теплоты (dq > 0) или
отводом работы (d/TexH > 0). Для перехода от
дозвукового потока к сверхзвуковому следует
изменить знак воздействия: либо сделать рас-
ширяющийся канал (df > 0), либо отводить
теплоту (dq < 0), либо подводить работу
(d/TeXH <0). Поэтому уравнение (1.6.18)
называют законом обращения воздействия.
Очевидно, что в уравнении (1.6.18) нельзя
изменить только знак d#Tp, так как теплота
трения всегда положительна.
Используя только тепловое воздействие,
можно в канале постоянного сечения полу-
чить сверхзвуковые скорости. Оставив в пра-
вой части (1.6.18) только член, содержащий
dq, получаем
(M2-1)^ = -Ad9,
\ / W ср
т. е. при дозвуковых скоростях (М <1) для
ускорения потока нужно сначала подводить
теплоту, а по достижении им скорости, рав-
ной скорости звука, изменить знак воздей-
ствия и отводить теплоту. Такое сопло назы-
вается тепловым соплом (рис. 1.6.8)
Из уравнения (1.6.19) следует, что до-
звуковой (М <1) диффузор (dw <0) должен
иметь расширяющуюся (см. рис. 1.6.4) конфи-
гурацию. Для торможения сверхзвукового
потока необходимо иметь суживающийся
канал. После достижения потоком скорости,
равной скорости звука, необходимо изменить
СОПЛО ЛАВАЛЯ
189
1 Q
Q 2
Рис. 1.6.8. Тепловое сопло
знак воздействия и тормозить дозвуковой
поток уже в расширяющемся канале. Таким
образом, конфигурация сверхзвукового диф-
фузора подобна конфигурации сопла Лаваля,
изображенного на рис. 1.6.7.
1.6.5. СОПЛО ЛАВАЛЯ
Обратимый (без трения) процесс тече-
ния газа или пара в сопле Лаваля (рис. 1.6.7)
изображен на рис. 1.6.9 изоэнтропой 0-2. Как
следует из выражения (1.6.19), в минималь-
ном сечении сопла скорость потока должна
сравняться со скоростью звука. Явление, ког-
да скорость потока становится равной скорос-
ти звука, называется кризисом течения. По-
этому параметры газа в минимальном сечении
называются критическими (ркр, Ткр, vKp).
Критические параметры потока могут
быть определены в результате численного
решения уравнения
wKp=a, (1.6.20)
в котором wKp определяется по формуле
(1.6.10), скорость звука а по (1.6.16) или
(1.6.17). Уравнение (1.6.20) может быть реше-
но аналитически в предположении посто-
янст-
ва показателя адиабаты х с использованием
выражений (1.5.3), (1.6.14) и (1.6.17):
Ркр - Ро
(1.6.21)
т. е. критическое отношение давлений
В =^Р- =
Ркр - п
Ро
(1.6.22)
зависит только от показателя адиабаты.
Если значения х получены из молеку-
лярно-кинетической теории газов (см. табл.
1.4.3), то получим: для одноатомных газов
ае = 1,67; ркр =0,487; для двухатомных газов
ае = 1,4; ркр =0,528; для трех- и более атом-
ных газов ае = 1,3; ркр =0,546, т. е. критиче-
ское давление в минимальном сечении сопла
Лаваля примерно в два раза меньше давления
газа перед соплом.
Очевидно, что сопло Лаваля следует
применять при значениях Pq и Ркр, удо-
влетворяющих условию Р2 < Ркр или
Р = Р2 / Ро < Ркр • Если давление за соплом
Р2 таково, что ркр < Р2 < Р\ (или р > Ркр ),
то следует применять суживающееся сопло.
Значения удельного объема v (или плот-
ности р) газа в критическом сечении опреде-
ляется из (1.5.3) и (1.6.22)
(1.6.23)
Критическая скорость потока в мини-
мальном сечении может быть рассчитана как
через критические параметры по (1.6.17), так
и через параметры торможения (параметры
газа перед соплом)
2-^7 Ро”о
£ + 1
(1.6.24)
Критическая температура Ткр может
быть найдена, если известно термическое
уравнение состояния рассматриваемого газа
Ткр = f (рКр» укр) нлн по таблицам термо-
динамических свойств. Для идеального газа
эта задача решается аналитически
Гкр _ 2
То « +1
(1.6.25)
190
Глава 1.6 ПРОЦЕССЫ ТЕЧЕНИЯ ГАЗОВ И ЖИДКОСТЕЙ
Уравнение неразрывности, записанное
для минимального сечения,
^vKp = /minwKp
позволяет рассчитать либо минимальное се-
чение по заданному расходу т, либо т по
известному /min
Скорость газа за соплом Лаваля опреде-
ляется по формуле (1.6.10) или (1.6.11). Если
допустить постоянство показателя адиабаты
ае, то скорость в выходном сечении рассчиты-
вается по формуле (1.6.14), удельный объем -
по (1.5.3), а температура (в случае течения
идеального газа) - по (1.5.4).
Предложенные формулы позволяют вы-
разить скорость потока » удельный объем
V2 и температуру Ti в зависимости от ко-
нечного давления Pi. Иногда бывает удобно
выразить параметры потока на выходе из со-
пла Лаваля (/?2, v2> Р2> в зависимости от
скорости потока w или его безразмерных мо-
дификаций- числа Маха М = W2 / fl2 или
безразмерной скорости X = W2 / wK р (02 -
скорость звука при параметрах потока в вы-
ходном сечении сопла):
= f 1 + ^2м2
Р2 v0 < 2
(1.6.26)
2a = 1+^z1m2,
Г2 2
В табл. 1.6.1 приведены значения, рас-
считанные по (1.6.26) при различных числах
Маха М для газа, у которого ае = 1,4. Как
видно из таблицы, для получения потоков с
большими числами Маха М требуются значи-
тельные перепады давлений, в то время как
абсолютная скорость увеличивается не так
существенно Так при М = 5 скорость потока
лишь в 2,36 больше скорости в минимальном
сечении сопла Лаваля. Как следует из (1.6.14)
и (1.6.24), при М —> оо (р2 -> 0 или
р0->°о) X —» Хпрсд =-^ (ае + 1) / (ж — 1) .
При ае = 1,4 предельное значение Хпрсд = 2,45,
т е. в соплах Лаваля для газа, у которого
1.6.1. Отношения температур,
плотности и давления для потока газа
в зависимости от скорости и^2
( М = W2 / Q2 , X = w2 / wK р ) при ае = 1,4
м
Относитель- 1 2 3 4 5
ный параметр X
1 1,63 1,96 2,14 2,36
Го/Т2 1,2 1,8 2,8 4,2 6,0
Ро/ Pl 1,9 7,8 37 152 529
Ро / Р2 1,6 4,3 13,1 36,2 88,2
Рис. 1.6.10. Процессы течения газа в сопле Лаваля с
частичной конденсацией (1-2) или кристаллизацией (1-
3, 4-5) в потоке
ае = 1,4, невозможно получить скорости пото-
ка, превышающие скорость в минимальном
сечении в 2,5 раза.
При больших числах Маха заметно
уменьшается температура Т2 (табл. 1.6.1).
Так при ае = 1,4 и Tq = 280К Т2 = 100К. При
столь низких температурах возможна конден-
сация, и в потоке появятся капельки жид-
кости (см. процесс 1-2 на рис. 1.6.10). Если
давление за соплом Лаваля ниже давления в
тройной точке, то в потоке возможен процесс
десублимации: образования твердых кристал-
лов непосредственно из газрвой фазы
(процессы 1-3 и 4-5 на рис. 1.6.10). Конден-
сация возможна, когда Р2 < рНас> а десубли-
мация - когда р2 <Рсб (Рнас, Реб - давления
насыщения и сублимации, см. гл. 1.3). В слу-
чае, когда процесс в соплах совершает смесь
газов (например, воздух), в которой каждый
СУЖИВАЮЩЕЕСЯ СОПЛО
191
компонент смеси находится под своим парци-
альным давлением р, (см. § 1.4.6.), конден-
сация воз-можна, когда р, 2 < Рнас« а десуб-
лимация - при Pj 2 < Реб- Для смеси идеаль-
ных газов, когда справедлив закон Дальтона
(1.4 !5), Pj 2 = f"i Рг (Ъ - мольная доля /-го
компонента). При движении в соплах Лаваля
воздуха - многокомпонентного газа, сначала
происходит конденсация водяного пара, затем
кислорода, а после него азота.
Реальный процесс течения газа в сопле
Лаваля сопровождается выделением теплоты
трения и изображается на рис. 1.6.9 кривой
0-2д. Скорость потока на выходе из сопла при
этом вычисляется по (1.6.12) или (1.6.13), а
кризис течения перемещается из узкого сече-
ния в расширяющуюся часть сопла Лаваля.
1.6.6. СУЖИВАЮЩЕЕСЯ СОПЛО
При истечении газа или пара из сужи-
вающегося сопла следует рассмотреть два слу-
чая: во-первых, когда давление за соплом Р2
больше ркр (ркр < Р2 < Ро) и» во-вторых,
когда Р2 < Ркр- Примем в качестве началь-
ных параметров потока параметры торможе-
ния ро, Го, Aq
В первом случае (р2 > ркр = РоРкр)
на срезе сопла устанавливается давление
Р* = Р2 (Рис- 1-6.11) и, чем меньше р2 (при
Ро = const), тем больше скорость истечения
(1.6.11) и расход газа (1.6.2), как это показано
на рис. 1.6.12. Скорость истечения в этом
случае меньше скорости звука.
Рис. 1.6.11. Процесс расширения газа в суживающихся соплах:
°) Р2 > Рк р ’ Ф Р2 < Рк р
192
Глава 1.7. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ
Рис. 1.6.12. Зависимость давления на срезе
суживающегося сопла р , скорости потока W
и расхода Ш от давления за соплом Р2
При достижении давлением за соплом
значения ркр = РоРкр на срезе сопла уста-
навливаются (при обратимом течении) крити-
ческие параметры: ркр (1.6.21), Гкр (1.6.25),
vKp, Ркр (1-6.23) и скорость wKp=a
(1.6.24), равная местной скорости звука.
Если давление за соплом Р2 < ркр, то
в случае обратимого течения на срезе сопла
установятся критические параметры: рк р
(1.6.21), Гкр (1.6.25), vKp, ркр (1.6.23) и
скорость wKp = а (1.6.24), как это показано
на рис. 1.6.11. Эти параметры остаются посто-
янными при изменении давления за соплом
Р2 (рис. 1.6.12).
В случае реального течения (с трением)
процессы течения изобразятся в Л, $-
диаграмме (см. рис. 1.6.11) линиями 0-2д и 0-
А. Соответственно, скорость при этом опреде-
ляется по (1.6.12) или (1.6.13), а расход - по
уравнению неразрывности (1.6.2)
">д = fl wld I vld «ли тд = f2wA I vA,
где /2 " площадь выходного сечения сужи-
вающегося сопла.
Глава 1.7
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ
1.7.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Термодинамическим циклом называется
непрерывная последовательность термодина-
мических процессов, в результате которых
рабочее тело возвращается в исходное состоя-
ние. Различают прямые и обратные циклы.
В прямом цикле (рис. 1.7.1, а) к рабочему
телу подводится большее количество теплоты
<71 (в процессе 1-а-2) при большей темпера-
туре и отводится меньшее количество теплоты
<72 (в процессе 2-Ь-1) при более низкой тем-
пературе; разность этих теплот равна совер-
шенной работе цикла:
/ц =91-92 (1.7.1)
В основе теплосиловых установок лежат
прямые термодинамические циклы: за счет
подвода теплоты q\ совершается полезная
работа /ц.
В обратных циклах (рис. 1.7.1, б) к рабо-
чему телу подводится меньшее количество
теплоты ^2 (в процессе а отводится
Рис. 1.7.1. Прямой (а) и обратный (б)
термодинамические циклы
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
193
большее количество теплоты q\ (в процессе
1-а-2) при более высокой температуре; раз-
ность этих теплот равна затраченной работе
(17 1). Обратные циклы лежат в основе холо-
дильных установок и тепловых насосов
В холодильных установках за счет затраты
работы /и отводится теплота ^2 из холо-
дильной камеры В тепловых насосах подвод
геплоты f/| на нужды теплофикации осу-
ществляется за счет работы /ц . Для обратных
циклов справедливо соотношение (1.7.1).
Процессы, из которых состоит цикл,
могут быть обратимыми и необратимыми.
Если все процессы в цикле обратимы, цикл
называется обратимым. Если хотя бы один
процесс необратим, то и цикл называется
необратимым. Эффективность обратимых
циклов оценивается:
для прямых циклов теплосиловых уста-
новок - термическим КПД
Пг ~ Ai / Q\ — 1 — ^2 ср / 7| ср » 0.7.2)
для обратимых циклов холодильных
установок - холодильным коэффициентом
£ = Q1 / Ai = ^2ср / (Ticp ” ^2ср) » (1-7.3)
для обратных циклов тепловых насосов -
отопительным коэффициентом
^от = Q\ / Ai = ср / (71 ср ” 7^2 ср)» (1-7-4)
где Г| ср = q\ / Д s - средняя температура
подвода теплоты в прямом цикле и отвода
теплоты в обратном цикле; 7^ ср = <7 2 / А 5 ~
средняя температура отвода теплоты в пря-
мом цикле и подвода теплоты в обратном
цикле; Д5 - изменение энтропии в процессе
подвода (отвода) теплоты в цикле.
Для реализации прямых и обратных
циклов необходимы два источника теплоты,
одним из которых, как правило, является
окружающая среда. На рис. 1.7.2 на примере
цикла Карно - цикла, состоящего из двух изо-
терм и двух изоэнтроп, показано, в каком
температурном интервале работают теплоси-
ловые (а) и холодильные (б) установки, теп-
ловой насос (в). На рис. 1.7.2 Тгор и Тхол
- температуры тепловых источников, Tq -
температура окружающей среды. Заштрихо-
ванные площади на рис. 1.7.2 равны величине
полезного эффекта. В обратимом цикле Кар-
но изотермические процессы осуществляются
при температурах верхнего и нижнего источ-
ников Для обратимого цикла Карно термиче-
ский КПД
П^=1-Г2/Г|. (1.7.5)
холодильный коэффициент
ек =7’2/(Т|-Т2) (1.7.6)
и отопительный коэффициент
^=Г|/(Г,-Г2) (1.7.7)
не зависят от. свойств рабочего тела.
Среди всех циклов, реализуемых при за-
данных температурах верхнего и нижнего
тепловых источников, обратимый цикл Карно
имеет наибольшие значения л г» Б и ^от»
определяемые формулами (1.7.5) - (1.7.7).
Эффективность прямого необратимого
цикла оценивается величиной внутреннего
КПД, равного отношению работы этого цикла
к подведенной теплоте.
Формулы (1.7.2) - (1.7.4) дают количе-
ственную характеристику взаимного преобра-
зования теплоты и работы в циклах.
Эксергетический анализ позволяет оце-
нить качественную сторону преобразования
энергии и определить степень термодинами-
ческого совершенства процессов, циклов,
различных установок и их узлов. Вводимое с
этой целью понятие эксергии представляет
собой ту максимальную часть энергии си-
стемы, которая может быть превращена в
работу. Эксергия системы зависит от пара-
метров системы и окружающей среды. Выра-
жение для эксергии теплоты следует из
(1.7.5):
5O=(l-7b/r)0.
где Eq - эксергия теплоты Q; Tq - темпера-
тура окружающей среды; Т - температура
источника теплоты.
Эксергия неподвижного тела и потока
рассчитывается соответственно по формулам
E = U-UQ-TQ(S-SQ)-PQ(VQ-V)-t
Рис. 1.7.2. Цикл Карно - цикл теплосиловой (а) и
холодильной (б) установок, теплового насоса (в)
7 Зак. 4 .S
194
Глава 1.7. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ
Е = И - Hq-Tq(S - Sq) ,
где U, Н, S, V - соответственно внутренняя
энергия, энтальпия торможения, энтропия и
объем системы; Uq, Hq, Sq, Vq - то же при
параметрах окружающей среды Ро, Tq.
Потеря работоспособности установки
вследствие необратимости
В = (*вх ” ^вых) ” ’
где £вх - эксергия потока рабочего тела и
теплоты на входе в установку; £вых - эксер-
гия потока рабочего тела на выходе из уста-
новки, L - полезная работа, совершаемая
установкой.
Эксергетический КПД такой установки
Л экс= / (^вх “ ^вых)
учитывает только потери от необратимости. В
установке, где все процессы обратимые,
Л экс= 1
Для тепловых аппаратов, не производя-
щих полезной работы £, эксергетический
КПД определяется по формуле
Л э к с= ^вых / ^вх •
1.7.2. ЦИКЛЫ ДВИГАТЕЛЕЙ ВНУТРЕННЕГО СГОРАНИЯ
Двигатель внутреннего сгорания (ДВС) -
это тепловая машина, в которой подвод теп-
лоты к рабочему телу осуществляется за счет
сжигания топлива внутри самого двигателя.
Рабочим телом в таких двигателях являются
на первом этапе воздух или смесь воздуха с
легковоспламеняемым топливом, а на втором
этапе - продукты сгорания. В таких двигате-
лях рабочее тело можно рассматривать как
идеальный газ.
На рис. 1.7.3 изображен обратимый цикл
ДВС с подводом теплоты при V = const -
цикл Отто. В процессе 1-2 происходит сжа-
тие (в первом приближении - адиабатное)
смеси воздуха с парами топлива. В точке 2 с
помощью электрической свечи горючая смесь
поджигается. Сгорание при V = const эквива-
лентно изохорному процессу нагревания 2-3.
Образовавшиеся газы, расширяясь, переме-
щают поршень (адиабатный процесс 3-4).
Умень-шение давления в цилиндре ДВС до
атмосферного вследствие открытия специаль-
ного клапана эквивалентно изохорному
охлаждению в процессе 4-1.
Рис. 1.7.3. Цикл Отто
Термический КПД такого цикла
n ,= 1 - 1 / е'"1 ,
где £ = Vj / v2 - степень сжатия; ж - показа-
тель адиабаты.
Зависимость т| t от £ (для ® = 1,35)
представлена на рис. 1.7.4.
Степень сжатия е ограничивается явле-
нием детонации топлива и не превышает в
таких ДВС 10 - 12.
Возможность повысить степень сжатия
е реализуется в ДВС с подводом теплоты при
р = const (в цикле Дизеля). В этом случае
сжимается воздух, температура которого в
результате адиабатного сжатия превышает
температуру воспламенения топлива (процесс
1-2, рис. 1.7.5) В процессе 2-3 происходит
впрыск топлива и его сгорание при р '= const.
Рабочий ход 3-4 и выхлоп 4-1 не отличаются
от таковых в цикле Отто.
Термический КПД двигателя со сгора-
нием при р - const
„ р*-1 1
' г(р-1) е’-1 ’
где р = V3 / v2 степень предварительного
Рис. 1.7.4. Зависимость термического КПД
цикла Отто от степени сжатия
ЦИКЛЫ ГАЗОТУРБИННЫХ УСТАНОВОК
195
Рис. 1.7.6. Термический КПД пила Дизеля
После этого при р = const происходит дого-
рание топлива (процесс 5-5). Далее следуют
рабочий ход и выхлоп.
Термический КПД такого цикла
Хр* -1_____1
X.-1 + хХ(р- 1) Е«-' ’
где Е = V[ / Vj - степень сжатия; р = Vj / V5 -
степень предварительного расширения;
X = Р5 / Pi - степень повышения давления в
изохорном процессе.
Рис. 1.7.7. Цикл Тринклера
1.7 J. ЦИКЛЫ ГАЗОТУРБИННЫХ УСТАНОВОК
Принципиальная схема простой газотур-
бинной установки (ГТУ) приведена на
рис. 1.7.8, а цикл, совершаемый рабочим
телом ГТУ (иногда называемый циклом
Брайтона), - на рис. 1.7.8, б: обратимый цикл
1-2-3-4-1 и цикл с необратимыми процессами
сжатия и расширения 1-2д-3-4д-1. Процессы
2-3 и 4-1 - изобарные.
Обратимые процессы, совершаемые ра-
бочим телом в турбине и компрессоре, изоэн-
тропные; реальные же процессы, сопровож-
дающиеся тернием, необратимы: это процес-
сы 3-4д и 1-2д.
Термический КПД обратимого цикла
простой ГТУ
ч, = <А3 "M-fo (1 /7 8)
Л3 ”Л1
а внутренний КПД цикла с необратимым
сжатием и расширением рабочего тела
_ (А3 - А4д) - (А2д - М _
»3-h2d
(А3 -А4)Пр/ -(/t2 -АО/Пщ-
А3 - А2д
где . Ло/ ‘ внутренние относительные
КПД турбины и компрессора.
Зависимость термического КПД от £ и
р представлена на рис. 1.7.6.
Своего рода "гибридом" циклов Отто и
Дизеля является цикл со смешанным подво-
дом теплоты {цикл Тринклера, называемый
иногда циклом Сабатэ). После адиабатного
сжатия воздуха (процесс 1-2, рис. 1.7.7) до
температуры, превышающей температуру вос-
пламенения топлива, происходит впрыск и
изохорное сгорание топлива (процесс 2-5).
Рис. 1.7.8. Принципиальная схема (а) и
цикл (б) простой ГТУ
196
Глава 1.7. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ
Если теплоемкость ср газов считать по-
стоянной, то формулы (1.7.8) и (1.7.9) можно
преобразовать:
Л,=1-1/т = 1-1/ ;
Ту По, Пы (1 -1 / т) - (т - 1)
' (Гз-ГОп^-ГНг-О ’
где т = Tj / Т\ = - степень повы-
шения температуры при обратимом сжатии в
компрессоре; Р = Р2 / Р\ - степень повыше-
ния давления в компрессоре.
Зависимость т| / и т| t простой ГТУ от
Р (или от т ) приведена на рис. 1.7.9 для
/j = 20 °C, лы = Ло/ - 0,85 и для различ-
ных температур газа перед турбиной Т3 .
Как видно из рис. 1.7.9, существует оп-
тимальная степень повышения давления в
компрессоре. Величина Popt тем больше, чем
больше температура газов перед турбиной
Т3 . На этом же рисунке для сравнения пока-
зан термический КПД ГТУ. Невысокие зна-
чения КПД в значительной степени объясня-
ются высокой температурой уходящих газов
Т4Э (см. рис. 1.7.8, б).
Рис. 1.7.9. Зависимость внутреннего КПД
простой ГТУ от степени повышения давления
в компрессоре Р :
1 - t3 = 750 °C ; 2 - t3 = 850 °C ; 3 - t3 = 950 °C
Рис. 1.7.10. Принципиальная схема (я)
и цикл (б) ГТУ с регенерацией
Принципиальная схема и цикл ГТУ с
регенерацией теплоты представлены на рис.
1.7.10. Из сравнения схемы такой установки
(рис. 1.7.10, а) со схемой ГТУ без регенерации
(рис. 1.7.8, а) видно, что в ней добавлен толь-
ко регенеративный теплообменник Р, в кото-
ром уходящие газы охлаждаются (процесс 4-
6), нагревая при этом воздух, поступающий в
камеру сгорания (процесс 2-5).
Случай, когда газ охлаждается в регене-
ративном теплообменнике до температуры
^6 - ^2д , а ВОЗДУХ нагревается до Т5 = Т43 ,
называется предельной регенерацией. При
этом в теплообменнике от газа к воздуху пе-
редается теплота регенерации
^регД = h4d - ^6 = Л5 “ h2d = h4d ~ h2d •
Предельную регенерацию невозможно
осуществить, так как при этом теплообмен
между газом и воздухом происходил бы с ну-
левым температурным напором и необходимы
были бы бесконечно большие поверхности
теплообмена. В действительности воздух в
регенеративном теплообменнике нагревается
до температуры , меньшей Т5 , а газ ох-
лаждается до температуры , большей .
При этом от газа к воздуху передается теплота
регенерации (рис. 1.7.10, б)
<7 per = h4d ~ h6d = h5d ~ h2d •
Как видно из рис. 1.7.10, 6,
^рег < Я^егЛ, а их отношение называется
степенью регенерации:
а _ ~ _ h5d ~ h2d
Яре?* h4d ~ h2d h4d ~ h2d
Внутренний КПД ГТУ с регенерацией
определяется по формуле
ЦИКЛЫ ГАЗОТУРБИННЫХ УСТАНОВОК
197
(А3 -h4d)-(h2d - А))
Лз - h5d
Зависимость q , от степени повышения
давления в компрессоре 0 для =20 °C;
/3 = 850 °C; Ло/ = Ло/ = °.85 и Для различ-
ных степеней регенерации показана на рис.
1.7 11. Кривая а = 1 соответствует циклу ГТУ
с предельной регенерацией, кривая а = 0 -
циклу без регенерации. На рисунке точкой а
показано состояние, при котором = Т2$\
при меньших значениях т (или 0 ) регенера-
ция возможна, при больших - невозможна.
Чем выше степень регенерации а, тем мень-
ше Popt и тем выше максимальный т| (. Воз-
растание а, как правило, связано с увеличе-
нием поверхности теплообмена и размеров
регенеративного подогревателя. В связи с
этим Popt выбирается из технико-экономиче-
ского расчета всей установки.
В схемах ГТУ с многоступенчатым сжа-
тием и расширением рабочего тела воздух
сжимается в многоступенчатом компрессоре:
после каждой ступени компрессора, кроме
последней, воздух охлаждается почти до тем-
пературы окружающей среды. Аналогично
расширение рабочего тела осуществляется
многоступенчато: после каждой ступени тур-
бины, кроме последней, воздух попадает в
камеры сгорания, где снова нагревается до
максимальной температуры в цикле. Обычно
число ступеней
Рис. 1.7.11. Зависимость внутреннего КПД ГТУ
от степени повышения давления в компрессоре [3
н степени регенерации а
Рис. 1.7.12. Цикл ГТУ с двухступенчатым сжатием
и двухступенчатым расширением рабочего тела
турбины и компрессора не превышает трех.
На рис. 1.7.12 изображен цикл ГТУ с двухсту-
пенчатым сжатием и двухступенчатым расши-
рением рабочего тела.
Внутренний КПД такого цикла (без ре-
генерации) рассчитывается по формуле
П/ =
= (h3 ~ М + (h3a ~ h4a) ~ ~ ~ (h2a ~ h\a)
(Л3 " h2a) + (h3a " М
На рис. 1.7.13 показана зависимость
внутреннего КПД ГТУ с многоступенчатым
сжатием и расширением от степени повыше-
ния давления Р = р2а / Р] для = 20 °C ;
/3 = 850 °C ; пы = Чш- = 0,85.
1 10 50100 5001000 fl
Рис. 1.7.13. Зависимость внутреннего КПД ГТУ
с многоступенчатым сжатием и расширением
рабочего тела от степени повышения давления Р
(первая цифра - число ступеней компрессора,
вторая - турбины)
198
Глава 1.7. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ
Дальнейшее повышение КПД ГТУ воз-
можно при совместном использовании много-
ступенчатого сжатия и расширения рабочего
тела и регенерации теплоты уходящих газов.
Внутренний КПД цикла ГТУ с двухступенча-
тым сжатием и двухступенчатым расширени-
ем и регенерацией теплоты (рис. 1.7.14) опре-
деляется по формуле
Л» =
Необходимо заметить, что значения
КПД на рис. 1.7.9, 1.7.11, 1.7.13, 1.7.15
несколько завышены, так как не учитывались
потери с выходной скоростью и потери дав-
ления в регенеративном теплообменнике и
камере сгорания.
Повышение эффективности ГТУ связы-
вается с ростом температуры газов перед тур-
биной за счет охлаждения ее элементов и
применения новых жаропрочных материалов.
(Л3 - h4) + (h3a + h4a) - (h2 - h[) - (h2a - hia)
(Л3 - Л5) 4- (h3a - Л4)
1 7.4. ЦИКЛЫ ПАРОТУРБИННЫХ УСТАНОВОК
Зависимость внутреннего КПД цикла
ГТУ, изображенного на рис. 1.7.14, от степени
повышения давления 0 = р2а / р\ и степени
регенерации о для = 20 °C; t3 = 850 °C ;
Ло/ = Ло/ ~ 0’85 показана на рис. 1.7.15.
Рис. 1.7.14. Цикл ГТУ с двухступенчатым сжатием,
двухступенчатым расширением рабочего тела
1 5 10 50 100 200 fl
Рис. 1.7.15. Зависимость внутреннего КПД ГТУ
с двухступенчатым сжатием,
двухступенчатым расширением н регенерацией
от степени повышения давления 0
Основу современной стационарной теп-
лоэнергетики и атомной энергетики состав-
ляют паротурбинные установки (ПТУ), ис-
пользующие в качестве рабочего тела воду и
водяной пар. В основе современных ПТУ
лежит так называемый цикл Ренкина (рис.
1.7.16).
Полезная (механическая) работа, совер-
шаемая 1 кг пара в обратимом процессе -в
турбине, равна
/T=Aj-*2;
работа насоса
/н = ,
а подведенная в цикле теплота
Я\ =Л1-Лз-
Тогда термический КПД цикла Ренкина
_ /т -*н _ 01
<7! Л1-ЙЗ
Так как /т » /н (особенно при невы-
соком начальном давлении Р\), в ряде слу-
чаев при расчете термического КПД ПТУ
можно пренебречь работой насоса. В этом
случае
П/ «01 -Л2)/01 -Лг)-
а внутренний КПД цикла Ренкина
Л1 - Л2д Л1 - h2 т т
Л i = ~h-“ Ло» = Л t Ло» .
л1 - Л2 Л| - л2
где Лш = (^1-Лга)/^-Л2) - внутренний
относительный КПД турбины.
Из-за большой конечной влажности па-
ра в турбине давление сухого насыщенного
пара (точка 1 на рис. 1.7.16, б) в цикле Рен-
кина на насыщенном паре не может быть
больше 0,5 МПа; КПД при этом не будет
превышать 20 %.
ЦИКЛЫ ПАРОТУРБИННЫХ УСТАНОВОК
199
Рис. 1.7.16. Принципиальшш схема простой ПТУ (а) и цикл Решшна на насыщенном (б) и перегретом (в) паре
Рис. 1.7.17. Принципиальная схема (в), процесс (ff) и цикл (в), совершаемый водяным паром в установке
с промежуточной сепарацией и двухступенчатым перегревом пара
Повышение параметров сухого насы-
щенного пара должно сопровождаться мерами
по уменьшению влажности пара в турбине:
сепарацией и промежуточным перегревом пара.
На рис. 1.7.17, а изображена принципиальная
схема турбинной установки с промежуточной
сепарацией и двухступенчатым перегревом
пара, на рис. 1.7.17, б - процесс в А, 5-диаг-
рамме, на рис. 1.7.17, в - цикл в Г, $-диа-
грамме.
Сепарация влажного пара - разделение
его на кипящую жидкость и сухой насыщен-
ный пар - условно изображается прямой 3-4.
Процесс 4-5 - перегрев пара в первой ступе-
ни пароперегревателя паром из отбора турби-
ны, имеющим температуру t2 Процесс 5-6 -
перегрев пара во второй ступени свежим па-
ром, имеющим температуру . Процессы 1-3
и 6-7 - процессы расширения пара в турбинах
высокого (ТВД) и низкого (ТНД) давлений.
Повышение средней температуры под-
вода теплоты 7]ср (1.7.2) для увеличения
термического КПД цикла Ренкина на насы-
щенном паре (см. рис. 1.7.16, б) ограничено
параметрами критической точки (для водяно-
го пара /кр = 374 °C). Поэтому увеличение
средней температуры подвода теплоты (а сле-
довательно, и термического КПД) возможно
в цикле Ренкина на перегретом паре (см.
рис. 1.7.16, в).
Из (1.7.2) следует, что для достижения
максимального термического КПД цикла
Ренкина на перегретом паре (рис. 1.7.16, в)
необходимо повышать начальное давление и
температуру (pj, 7\) и понижать конечную
температуру Т2 • Нижняя температура цикла
не может быть ниже температуры окружаю-
щей среды, что определяет конечное давление
р2 =3 + 6 кПа (см. табл. 2.3.3). Максималь-
ная температура в цикле 7\ ограничена жа-
ростойкостью используемых сталей и в на-
стоящее время составляет « 550 °C. Уве-
личение начального давления перегретого
пара при заданной = 550 °C сопровож-
дается возрастанием конечной влажности
пара в турбине.
200
Глава 1.7. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ
При начальном давлении пара Р\ >
> 13 МПа конечная влажность пара превы-
шает допустимую величину и цикл, изобра-
женной на рис. 1.7.16, в, реализован быть не
может. При Pj > 13 МПа как средство борьбы
с конечной влажностью применяют промежу-
точный перегрев пара. Принципиальная схема
ПТУ с промежуточным перегревом пара изоб-
ражена на рис. 1.7.18, а, а цикл, совершае-
мый рабочим телом этой установки, - на рис.
1 7 18, б. Особенностью цикла, изображенного
на рис. 1.7.18, б, является сверхкритическое
начальное давление пара: Р[ > ркр =22,1
МПа.
В отличие от схемы рис. 1.7.16, а здесь
добавлен промежуточный пароперегреватель
(ПП), смонтированный внутри котла КА.
Промежуточный перегрев позволяет увели-
чить термический и внутренний КПД цикла
за счет возрастания средней температуры под-
вода теплоты и уменьшения конечной влаж-
ности. Внутренний КПД цикла может быть
рассчитан по формуле
(hl-ha) + (he-h2)-(h3-hj)
Л ’ (А1 ~лз) + (А« - М
В циклах Ренкина на насыщенном и пе-
регретом паре с целью повышения КПД при-
меняется регенерация теплоты, которая по-
зволяет поднять среднюю температуру подво-
да теплоты за счет увеличения температуры
питательной воды - воды, поступающей в
котел либо в парогенератор.
Принципиальная схема ПТУ с регенера-
тивными отборами пара представлена на рис.
1.7.19, а, а цикл, совершаемый водяным па-
ром этой установки, - на рис. 1.7.19, б. В от-
личие от схемы простой ПТУ (рис. 1.7.16, а)
пар из отборов турбины подается в систему
регенеративных подогревателей РП, в резуль-
тате чего в котел подается питательная вода
при температуре /п в (а не /2 )• Возрастание
средней температуры подвода теплоты 7jcp
при неизменности средней температуры отво-
да теплоты Т2ср приводит к повышению
КПД цикла (1.7.2), который рассчитывается
по формуле
Рис. 1.7.18. Принципиальная схема (а) и цикл (б) ПТУ с промперегревом на сверхкритическое давление пара
°)
Рис. 1.7.19. Принципиальная схема (а) и цикл (б) паротурбинной установки с регенерацией
ЦИКЛЫ ПАРОТУРБИННЫХ УСТАНОВОК
201
п
01 - *2) - S 0*> ~ М
^1 “ . в
где а, =/П///И| - доля пара в /-м отборе;
hjo - энтальпия этого пара; п - число регене-
ративных подогревателей (число отборов па-
ра).
При заданном давлении пара в отборах
доли отборов а, определяются из теплового
баланса регенеративных подогревателей с
учетом их конструкции. Так, для подогревате-
лей смешивающего типа
где / = 1, 2, . л; ао = 0.
При заданных температуре питательной
воды и числе регенеративных подогревателей
выбор давлений отборного пара осуществля-
ется (в первом приближении) исходя из ра-
венства нагрева воды в каждом подогревателе.
Выбор температуры питательной воды
при заданном числе подогревателей опреде-
ляется двумя факторами: с одной стороны,
рост /п в приводит к увеличению средней
температуры подвода теплоты в цикле, а сле-
довательно, и КПД, а с другой, с ростом /п в
увеличиваются температурный напор в каж-
дом подогревателе и как следствие этого -
необратимые потери, что приводит к умень-
шению КПД. Влияние этих двух факторов
приводит к тому, что зависимость внутренне-
го КПД от температуры питательной воды
имеет вид, представленный на рис. 1.7.20.
Здесь температуры /2 и ^о _ в соответствии с
рис. 1.7.19, б.
Число регенеративных подогревателей
выбирается из технико-экономических сооб-
ражений, так как при их увеличении капи-
тальные затраты растут пропорционально л, а
прирост КПД становится все меньше.
Рис. 1.7.20. Зависимость внутреннего КПД
цикла Ренкина от температуры питательной воды
Число регенеративных подогревателей в
современных установках не превышает деся-
ти.
Цикл паротурбинной теплофикационной
установки - установки для комбинирован-
ной выработки электроэнергии и теплоты -
представлен на рис. 1.7.21. Принципиальная
схема этой установки почти такая же, что на
рис. 1.7.16, д, а цикл 7-2-2'-7 (рис. 1.7.21)
почти тот же, что на рис. 1.7.16, в. Отличие
состоит в том, что температура пара после
турбины (точка 2) в теплофикационном
цикле около 100 °C и выше (в отличие от
^2 * 30 + 40 °C на рис. 1.7.16, а роль конден-
сатора выполняет сетевой подогреватель. Есте-
ственно, что из-за увеличения конечного дав-
ления с Pq до Р2 (рис. 1.7.21) работа цикла
уменьшается на величину заштрихованной
фигуры 200'2'2. Взамен этого потребителю
будет отпущена теплота, равная площади
прямоугольника 2'2Ьа2'. Соотношение между
этими площадями можно представить как
- 7b) (sb - saY‘ (sb - sa) = (?2 “ 7Ь): ?2 •
Если принять Tq = 300 К, Т2 = 400 К, то
(Т2 - То): То = 1:4, т. е. за счет 1 кДж элек-
троэнергии потребителю отпускается 4 кДж
теплоты. В этом основное преимущество теп-
лофикационных циклов. В теплофикацион-
ных установках возможен случай, когда весь
пар после турбины направляется в сетевой
подогреватель, как это показано на рис.
1.7.21. Но возможна схема, в которой часть
пара из отбора турбины поступает к сетевым
подогревателям, а остальной поток пара про-
ходит через всю турбину и конденсатор.
Рис. 1.7.21. Цикл паротурбинной
теплофикационной установки
202
Глава 1.7. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ
1.7.5. ЦИКЛЫ ПАРОГАЗОВЫХ УСТАНОВОК
Парогазовыми установками (ПГУ) назы-
ваются комбинированные установки, рабо-
тающие по циклу Ренкина - циклу паротур-
бинной установки (ПТУ) - и циклу газотур-
бинной установки (ГТУ). К настоящему вре-
мени предложено несколько вариантов ПГУ,
отличающихся способом воздействия рабочего
тела одного цикла на рабочее тело другого
цикла. Все эти схемы объединяет одна идея -
использование теплоты уходящих газов ГТУ в
паротурбинной части установки.
Принципиальная схема одной из таких
ПГУ представлена на рис. 1.7.22, а цикл, со-
вершаемый рабочими телами (водяным паром
и воздухом) этой установки, - на рис. 1.7.23.
Предполагается использование только ПТУ
(правая часть рис. 1.7.22) при работе и базо-
вом режиме. Газотурбинная часть установки
(левая часть рис. 1.7.22) включается только
для покрытия пиков нагрузки и работает со-
вместно с ПТУ, как ПГУ.
Паротурбинная часть установки, как и
обычная ПТУ, состоит из паровой турбины
ПТ, конденсатора, питательного насоса Я,
котельного агрегата КА и системы регенера-
тивных подогревателей питательной воды (на
схеме для простоты показан лишь один подо-
греватель РП). При работе в базовом режиме
газотурбинная часть ПГУ не работает, венти-
ли А и С открыты, вентили В закрыты и реге-
неративный подогрев питательной воды осу-
ществляется, как в обычной ПТУ, за счет
теплоты отборного пара, поступающего в РП
через вентиль А.
Цикл, совершаемый водяным паром
этой установки (правая часть рис. 1.7.23),
ничем не отличается от цикла Ренкина на
перегретом паре: процесс 6-7 - адиабатное
расширение пара в турбине, 7-7'- конденса-
ция пара, 7'-8 - подогрев питательной воды в
РП за счет теплоты конденсации (А-8) отбор-
ного пара, 8-6 - подвод теплоты в КА.
Для покрытия пиков нагрузки включает-
ся газотурбинная часть ПГУ, состоящая из
Рис. 1.7.23. Цикл парогазовой установки
компрессора К, камеры сгорания КС и газо-
вой турбины ГТ. При этом закрываются вен-
тили А, С и открываются вентили В (весь
пар, таким образом, проходит через паровую
турбину /77), а подогрев питательной воды
(процесс 7-8) осуществляется за счет теплоты
уходящих газов ГТУ в газоводяном подогрева-
теле ГВП Газы при этом охлаждаются до тем-
пературы Т$ .
Мощность ПГУ складывается из мощ-
ности ПТУ и ГТУ
^пгу ~ ^пту+ ^гту= Атту (^6 ”^7) +
+ Ргту[(ЛЗ-Л4)-(Л2-М-
(1.7.10)
Из рис. 1.7.22. видно, что мощность
ПГУ больше мощности ПТУ вследствие, во-
первых, включения ГТУ и, во-вторых, увели-
чения работы паровой турбины, обусловлен-
ного тем, что отборный пар совершает полез-
ную работу в паровой турбине ПТ, а не ис-
пользуется в системе регенеративного подо-
грева питательной воды.
Рис. 1.7.22. Принципиальная схема парогазовой установки
с подогревом питательной воды уходящими газами газовой турбины
ОБРАТНЫЕ ЦИКЛЫ ХОЛОДИЛЬНЫХ УСТАНОВОК И ТЕПЛОВОГО НАСОСА
203
Подведенная теплота ПГУ складывается
из теплоты йпту» подведенной к водяному
пару в котельном агрегате КА, и теплоты
С1гту, подведенной в камере сгорания:
йпгу ~ йпту+ 21 г ту =
~ ^пту 2*6 ~ ^в) + А* Т у 2*3 ~ •
(1.7.11)
Разделив (1.7.10) на (1.7.11) и введя но-
вую характеристику
т ~ А- т у / т >
равную отношению массовых расходов рабо-
чих тел и называемую кратностью циркуля-
ции, получим
„ r у= +
(Аб -/%) +/и(Лз - Л])
Кратность циркуляции т определяется
из теплового баланса ГВП. Если пренебречь
потерями теплоты в окружающую среду, то
теплота, отданная газом в процессе 4-5, равна
теплоте процесса 7-Л
O4-5 = 27-8;
£)г т у (^4 “ ^*5 ) ~ т у (^8 ~ ^*7 ) »
откуда
/И = Ату/А:ту = 2*8 ~ ^7) / 2*4 ~ ^*5) •
Парогазовые установки могут работать
не только как пиковые электростанции, но и
как базовые. Современные ПГУ имеют более
высокий КПД (—55 %), чем у ПТУ (—40 %).
1.7.6. ОБРАТНЫЕ ЦИКЛЫ ХОЛОДИЛЬНЫХ УСТАНОВОК
и ТЕПЛОВОГО НАСОСА
В воздушной холодильной установке,
принципиальная схема которой изображена
на рис. 1.7.24, хладагент - воздух, охлажден-
ный в результате адиабатного расширения в
Рис. 1.7.24. Принципиальная схема
воздушной холодильной установки
Рис. 1.7.25. Цикл воздушной холодильной установки
детандере / от температуры Т\ до температу-
ры Т2, поступает в охлаждаемый объем 2, из
которого он отбирает теплоту (?2 ПРИ посто-
янном давлении. Компрессор 3 адиабатно
сжимает воздух и подает его в охладитель 4,
где воздух отдает теплоту q\ в окружающую
среду. Цикл воздушной холодильной установ-
ки с обратимыми процессами сжатия и рас-
ширения представлен в Т, s-диаграмме на
рис. 1.7.25. Здесь 1-2 - адиабатное обратимое
расширение в детандере; 3-4 - адиабатное
обратимое сжатие воздуха в компрессоре; 2-3
- изобарный нагрев хладагента в холодильной
камере за счет подвода теплоты (?2 к хлада-
генту от охлаждаемого объема, имеющего
температуру Тц ; 4-1 - изобарный отвод теп-
лоты q\ в окружающую среду, имеющую
температуру Т\.
Согласно определению удельная холодо-
производительность
^2=Л3-Л2; (1.7.12)
отведенная в окружающую среду теплота
9|=Й4-Й1; (1.7.13)
работа компрессора
/К=Л4-Л3; (1.7.14)
работа детандера
/Д=й|-Л2; (1.7.15)
холодильный коэффициент
= ?2 _ ^3 ~ А2
/к-/д (Л4 -Л3)-(Л, -Л2)
Если допустить, что теплоемкость возду-
ха - величина постоянная, то формулы
(1.7.12) - (1.7.15) упрощаются:
2U4
Глава 1.7. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ
42 = ср (Тз -г2);
91 =Ср(Т4-7|);
/к=с,(Т4-7з);
/д=ср(Т,-Т2);
где р = р\ / Р2 - степень повышения давле-
ния в компрессоре; ае = ср / cv - показатель
адиабаты идеального газа.
Из сравнения цикла воздушной холо-
дильной установки с обратным обратимым
циклом Карно, совершаемым в том же интер-
вале температур (цикл 7-2K-J-JK-7), видно, что
холодопроизводительность воздушной холо-
дильной установки ниже (площадь 2-3-Ь-а
меньше площади 2к-5-7>-д), а работа этой
установки больше (площадь 1-2-3-4 больше
площади 7-2к-5-5к). Следовательно, и холо-
дильный коэффициент £ воздушной холо-
дильной установки меньше, чем £к в цикле
Карно, причем £ меньше £к в несколько
раз. Например при Т\ =20 °C, Гц = -5 °C,
Р2 = Рз =°Л МПа е = 2,29, а gK =10»7-
Это объясняется тем, что подвод и отвод теп-
лоты здесь осуществляется не по изотерме, а в
изобарном процессе, в результате чего сред-
няя температура отвода теплоты Tjcp суще-
ственно больше температуры окружающей
среды Т\, а средняя температура подвода
теплоты Т2ср меньше Гц .
Этого недостатка лишен цикл пароком-
прессионной холодильной установки, принци-
пиальная схема которого изображена на рис.
1.7.26, а цикл в Г, 5-диаграмме представлен на
рис. 1.7.27. Хладагентами в таких установках
являются легкокипящие вещества, температу-
ра насыщения при атмосферном давлении у
которых Т5 < 0 °C , а критическая темпера-
тура выше температуры окружающей среды. В
качестве хладагентов используются фреоны
(хлорфторзамещенные метана и этана), амми-
ак и другие. В парокомпрессионной холо-
дильной установке компрессор 3 (рис. 1.7.26)
адиабатно сжимает пар хладагента. Обрати-
мый процесс сжатия - процесс 3-4 на рис.
1.7.27. Далее хладагент охлаждается и конден-
сируется в конденсаторе 4 (рис. 1.7.26), отда-
вая теплоту q\ окружающей среде (процесс
4-1 на рис. 1.7.27). Сконденсировавшийся
хладагент, адиабатно дросселируясь в дрос-
сельном вентиле 7 (рис. 1.7.26), охлаждается
(процесс 7-2 на рис. 1.7.27). В процессе ади-
абатного дросселирования согласно (1.5.11)
Л1 = Л2 . Далее хладагент поступает в холо-
дильную камеру-испаритель 2, где он, испа-
ряясь в процессе 2-3, отводит теплоту <?2 •
Необходимо отметить, что цикл, совершае-
мый парокомпрессионной холодильной уста-
новкой, необратим, так как один из процес-
сов - процесс адиабатного дросселирования 7-
2 необратим. Основные характеристики этой
установки:
удельная холодопроизводительность
42 = h3-h2,
отведенная в конденсаторе теплота
^=Л4-Л1; (1.7.16)
работа цикла, равная работе компрессо-
ра,
/ц=/к=Л4-Лз; (1.7.17)
холодильный коэффициент
е = h3 ~h2 = -hx
/ц — Л3 Л4 — h3
Рис. 1.7.26. Принципиальная схема
парокомпрессионной холодильной установки
Рис. 1.7.27. Цикл парокомпрессионной
холодильной установки
ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕРМОДИНАМИКИ
205
Необходимые для расчета значения эн-
тальпий берутся из таблиц термодинамиче-
ских свойств хладагентов в состоянии насы-
щения (см. разд. 2).
Подведенная теплота q2 на рис. 1.7.27
изображается площадью 2-3-Ь-а, а отведенная
q\ - площадью l-4-b-c. Таким образом, рабо-
та этого необратимого цикла (/ = ^-^2)
будет равна площади 1-4-3-2-а-с-1. Сравнивая
этот цикл с обратным обратимым циклом
Карно в том же интервале температур, видно,
что холодопроизводительность цикла Карно
выше, а работа - меньше. Следовательно, и
холодильный коэффициент [формула (1.7.3)]
парокомпрессионной холодильной установки
меньше, чем в цикле Карно, однако разница
этих коэффициентов не столь существенна,
как в цикле воздушной холодильной установ-
ки. Например, при 1\ = 30 °C и Т2 = -15 °C
холодильный коэффициент парокомпресси-
онной холодильной установки, работающей
на фреоне-12 (CCI2F2) равен 4,72, а в цикле
Карно ЕК = 5,74.
Принципиальная схема и цикл теплово-
го насоса формально ничем не отличаются от
схемы и цикла парокомпрессионной холо-
дильной установки (рис. 1.7.26 и рис. 1.7.27).
Основное отличие заключается в том, что
нижним тепловым источником в тепловом
насосе является окружающая среда, а верх-
ним - тепловой потребитель. Поэтому теплота
q\ (1.7.16) процесса 4-1 в конденсаторе отда-
ется тепловому потребителю, а теплота
процесса 2-3 подводится к рабочему телу в
испарителе из окружающей среды. Работа,
затраченная на реализацию цикла, равная
работе компрессора, определяется по (1.7.17).
Таким образом, отопительный коэффи-
циент теплового насоса (1.7.4) может быть
найден из (1.7.16) и (1.7.17)
ь - /1 _ Л4 - Л1 _ h4-h2
Так как q\ > /ц (1.7.1), то отопительный
коэффициент теплового насоса кт > 1. Для
современных тепловых насосов кт « 3. То
есть, затратив 1 кДж работы (например, элек-
троэнергии), с помощью теплового насоса
можно получить 3 кДж теплоты. В этом ос-
новное достоинство тепловых насосов.
Глава 1.8
ОСНОВЫ
ХИМИЧЕСКОЙ ТЕРМОДИНАМИКИ
Основу химической термодинамики со-
ставляет приложение первого и второго зако-
нов термодинамики, а также тепловой теоре-
мы Нернста к процессам, в ходе которых со-
вершаются химические преобразования.
Под тепловым эффектом реакции пони-
мается количество теплоты, выделяющейся
(экзотермическая реакция) или поглощаю-
щейся (эндотермическая реакция) при неиз-
менных V и Т или при неизменных р и Т.
Различают тепловой эффект изохорно-
изотермической реакции Qv и тепловой эф-
фект изобарно-изотермической реакции Qp .
Из (1.1.11) и (1.1.13) следует, что
Qp = H2-Hx.
Поскольку Н и U являются функциями
состояния, значения Qp и Qv однозначно
определяются соответствующими начальными
и конечными состояниями системы. Изло-
женное составляет основу закона Гесса: тепло-
вой эффект реакции, состоящей из несколь-
ких промежуточных стадий, не зависит от
этих промежуточных стадий или их последо-
вательности, а полностью определяется на-
чальным и конечным состояниями системы.
Следствие из закона Гесса: тепловой
эффект реакции равен алгебраической сумме
те пл от образования продуктов химической
реакции за вычетом суммы теплот образова-
ния исходных веществ:
л к
бр = Х(@р. обр)прод " S(<2p. °бр)исх •
где Qp ogp - теплота образования вещества
(приводится в справочниках); л, к - число
продуктов химической реакции и исходных
веществ.
Аналогичное соотношение можно запи-
сать для теплот сгорания
к п
бр = Х(°р. сгор)исх " Х(^Р. сгор)Прод
Для случая, когда все реагенты обладают
свойствами идеального газа
Qp -Qv = K(V2-V1)T,
206
Глава 1.8. ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕРМОДИНАМИКИ
где R =8314 Дж/(кмоль-К) - универсальная
газовая постоянная; vj, V2 - число молей
исходных веществ и продуктов сгорания.
Если в процессе химической реакции
число молей возрастает, то Qp > Qv; если
количество молей уменьшается - Qp < Qv.
Для химической реакции
V|j4j + V2^2 + ... = + V2^2 + ...
в которой все реагенты (^1,^2...
обладают свойствами идеального газа, можно
получить уравнение, называемое уравнением
Кирхгофа.
к ______
с к ’ иг
Величина Кс называется константой
равновесия и для данной идеально-газовой
реакции зависит от температуры. Если такая
реакция протекает без изменения числа мо-
лей, то константа равновесия может быть
выражена через парциальные давления ком-
понентов Pi'.
/гс-
ИГ ИР-
ир...
dQf
d7
л к
= ZV'eA' -ZV< CP.' •
/=1 / = 1
Аналогичное уравнение можно получить
для теплового эффекта изохорно-изотерми-
ческой реакции
dQv =у
dr
/=1
к
v'i cv,i ~ vi cv,i •
/ = 1
Для гомогенной реакции, участниками
которой являются газообразные вещества,
обладающие свойствами идеального газа,
w
v,4 + у2А2 + ...^Т vjyii' + v'2A2 + ...
wl
Скорость прямой (w) и обратной (Wj)
реакций определяется законом действующих
масс:
w = .[Л2р
м-.-ГгИГ W-
где [Л,], [Л/] - концентрация исходных ве-
ществ и продуктов реакции; vz , v; - стехио-
метрические числа; К, К\ - константы, за-
висящие от химической природы веществ,
температуры и других факторов.
Очевидно, что при химическом равнове-
сии w = Wj и, следовательно,
К [Л.Г [Лгр . -ЛГ.-ргр -Pip ...
откуда
В случае, когда в результате химической
реакции сумма стехиометрических чисел из-
менится на Av, связь между константами
равновесия Кр и Кс определяется по фор-
муле
kc = kp[rt]l\
Химическая реакция частичного или
полного распада вещества на его составные
части называется диссоциацией. Количествен-
ной характеристикой этой реакции является
степень диссоциации а, равная отношению
числа молей первоначально взятого вещества,
распавшегося на продукты диссоциации, ко
всему первоначальному количеству вещества в
молях.
Получим некоторые термодинамические
соотношения для конкретной реакции диссо-
циации двухатомного газа (О2, N2, Н2 и т. д.)
на одноатомный, когда один моль исходного
вещества диссоциирует на два моля продуктов
диссоциации. Для такой реакции в состоянии
равновесия находится (1 - a) Mq молей не-
продиссоциировавшегося газа и 2 а Mq мо-
лей продуктов диссоциации (одноатомного
газа), то есть число молей в состоянии равно-
весия
М = (I - a) Mq + 2 а Mq = (1 + а) Mq .
Концентрация исходного вещества равна
(1 - a) Mq / И , а продуктов диссоциации
2 a Mq / V . Откуда, используя уравнение
Клапейрона-Менделеева (1.4.7), получаем
степень диссоциации
ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕРМОДИНАМИКИ
207
„ 4а2р 1 V 4а2р
с = (1-а2) RT ’ ₽ = (1-а2) '
Как видно из полученных формул, по-
вышение давления (при Т = const, а следова-
тельно, Кр = const) приводит к уменьшению
степени диссоциации. Эти же уравнения по-
зволяют рассчитать степень диссоциации по
известному значению константы равновесия
а = Кр / (Кр ¥ ip).
Мольная энтальпия образовавшейся
смеси определяется в соответствии с (1.4.17)
Ясм = NtHi + N2H2,
где Н\ и Я2 • мольные энтальпии компо-
нентов смеси (соответственно одноатомного и
двухатомного газов) в идеально-газовом со-
стоянии, a 2V| и #2 ’ мольные доли компо-
нентов смеси
Я, = -^ = —-; N2 = .
1 М 1-а 2 М 1+а
Тепловой эффект изобарно-изотер-
мической реакции диссоциации (теплота дис-
социации) определяется как
0*исс = 2Я| - Я2 ,
а теплоемкость диссоциирующего газа
. е?иссГаа'|
ср=оср,1+(1-а)сл2+-^-^^
где Ц1 - молекулярная масса.
Как видно из этого соотношения, теп-
лоемкость такой смеси отличается от теп-
лоемкости смеси нереагирующих идеальных
газов на величину последнего слагаемого за-
писанного выше уравнения.
Раздел 2
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ,
ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
Глава 2.1
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Практически любой расчет теплообмен-
ника, тепловой машины или энергетической
установки требует знания многих физических
параметров рабочих тел (газов и жидкостей)
или конструкционных материалов.
Перечень этих материалов постоянно
увеличивается, как и возрастают требования к
точности измерения физических свойств или
к диапазонам температур или давлений, в
которых они могут использоваться. Для рас-
четов процессов переносов теплоты, массы и
импульса инженер-теплотехник должен хо-
рошо понимать физическую природу явлений,
а также ее зависимость от проектных пара-
метров и, в первую очередь, давления и тем-
пературы. Выбирая с помощью справочных
таблиц величины теплофизических пара-
метров, он должен представлять последствия
того, что табличные данные могут отличаться
от реальных Все теплофизические свойства
веществ отнюдь не являются константами.
Структура и состояние вещества, различные
внешние воздействия могут значительно вли-
ять на числовые значения их теплофизиче-
ских свойств. Тем не менее, существуют об-
щие закономерности для многих классов ве-
ществ в различных их состояниях. В этом
смысле главную задачу энциклопедии можно
сформулировать как описание самых общих
закономерностей изменения теплофизических
свойств в широком диапазоне изменения
температур и давлений.
К теплофизическим свойствам относят
термодинамические свойства, коэффициенты
переноса и спектральные (лучистые) характе-
ристики.
Термодинамические свойства, в свою
очередь, подразделяют на термические (тем-
пература Т, давление р, плотность р, удель-
ный объем V, а также термические коэффици-
енты) и калорические (изобарная ср и изо-
хорная cv теплоемкости, энтальпия Л, внут-
ренняя энергия и, энтропия 5 и др.) свойства.
К термодинамическим свойствам относятся
также скорость звука а и величины, характе-
ризующие фазовое равновесие: давление, теп-
лота фазового перехода и поверхностное-на-
тяжение и. Особенность поведения термоди-
намических свойств веществ в различных
агрегатных состояниях см. § 1.4.1-1.4.4, а при
фазовом равновесии - гл. 1.3, § 1.4.3.
Коэффициенты переноса - коэффициен-
ты теплопроводности X, вязкости т] и диф-
фузий D - являются коэффициентами про-
порциональности в уравнениях Фурье, Нью-
тона и Фика, связывающих, соответственно,
плотность теплового потока qx в направле-
ния х с градиентом температур Т:
qx=-XdT/dx; (2.1.1)
силу сопротивления F сдвигу, возникающую
при относительном движении двух слоев
жидкости или газа площадью S с градиентом
скорости v в направлении нормали к потоку:
F = n53v/an; (2.1.2)
поток частиц j с градиентом концентрации С
этих частиц:
Л =-лас/ах. (2.1.3)
Как следует из этих уравнений, размер-
ность коэффициента теплопроводности X -
Вт/(м * К), коэффициента динамической вяз-
кости п - кг/(м • с) или Па • с, коэффициента
диффузии D - м2/с.
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
209
Кроме коэффициента динамической
вязкости, применяется также коэффициент
кинематической вязкости v = г| / р, имею-
щий размерность м2/с.
Согласно молекулярно-кинетической
теории газов коэффициент теплопроводности
x = lpcvv7, (2.1.4)
где v - средняя скорость движения молекул,
/ - средняя длина свободного пробега моле-
кул.
Формула (2.1.4) справедлива для так на-
зываемого разреженного газа, у которого
d « / « L (d - размер молекул, L - рас-
стояние между стенками, ограничивающими
объем газа). Так как / ~ 1 / р а р ~р, то ко-
эффициент теплопроводности такого газа не
зависит от давления, а зависит только от тем-
пературы: Х~Г°Х (дх > 0,5) .
В реальных газах коэффициент тепло-
проводности - сложная функция давления и
температуры, причем X увеличивается с рос-
том р и Т В плотных газах и жидкостях рас-
стояние между молекулами соизмеримо с
размерами молекул, а скорость передачи
энергии от горячих слоев к холодным близка
к скорости звука. Потому Х~Д (а - скорость
звука); теплопроводность, как и скорость зву-
ка, уменьшается с ростом Т и возрастает при
увеличении давления р.
В общем виде теплопроводность твердо-
го тела может быть представлена как сумма
решеточной и электронной составляющих:
~ ^реш + ^эл •
В диэлектриках, не имеющих свобод-
ных зарядов, перенос энергии осуществля-
ется фононами - квазичастицами, обладаю-
щими энергией колеблющейся системы ато
мов (X = Хрещ ). Для твердых диэлектриков
X « с v / (с - теплоемкость диэлектрика, v -
средняя скорость движения фононов, прибли-
зительно равная скорости звука, / - средняя
длина свободного пробега фононов). При
температурах Т « 0 (0 - температура Дебая)
основную роль играет зависимость теплоем-
кости от температуры, с~ Г3, вследствие чего
теплопроводность увеличивается с ростом
температуры. При Т»0 теплоемкость с
температурой изменяется незначительно, а
определяющим фактором является зависи-
мость / ~ 1 / Т и теплопроводность уменьша-
ется с ростом температуры ( X * 1 / Т ). Таким
образом, в твердых диэлектриках зависимость
X (Г) представляет собой кривую с максиму-
мом.
Электронная составляющая теплопро-
водности определяется движением и взаимо-
действием электронов проводимости. Она
пропорциональна электропроводности о и
температуре Т (закон Видемана-Франца-
Лоренца)
Хэл = £стТ, (2.1.5)
где L - число Лоренца.
Для многих металлов число Лоренца -
' постоянная величина, а Хэл » Х^щ и
X = Хэл. Для полуметаллов и полупроводни-
ков процесс теплопроводности гораздо слож-
нее, чем в металлах и диэлектриках из-за не-
обходимости учета обеих составляющих теп-
лопроводности и наличия дополнительных
эффектов: биполярной диффузии, экситонно-
го лучистого переноса и др. Коэффициент
теплопроводности твердых тел линейно меня-
ется с давлением. Для металлов и минералов
эта зависимость возрастающая.
Коэффициент динамической вязкости
для идеального газа согласно молекулярно-
кинетической теории
n = |vp7. (2.1.6)
Условные обозначения здесь те же, что
и в (2.1.4). Как следует из (2.1.6) коэффици-
ент динамической вязкости не зависит от
давления и пропорционален ТОц (ац > 0,5) .
Вязкость жидкостей обусловлена образо-
ванием полостей, в которые может перемес-
210
Глава 2.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
титься молекула, и энергией активации, необ-
ходимой для создания этих полостей. Энергия
активации и коэффициент динамической
вязкости жидкости уменьшаются с ростом
температуры и уменьшением давления.
Коэффициент диффузии D или само-
диффузии Dc, определяемый из (2.1.3), со-
гласно молекулярно-кинетической теории ра-
вен:
Z)C=±V7. (2.1.7)
Здесь обозначения те же, что и в (2.1.4).
Из (2.1 7) следует, что коэффициент само-
диффузии обратно пропорционален давлению
и пропорционален T°D (ао > 1,5).
В двухкомпонентной газовой смеси по-
токи частиц 1-го и 2-го компонента опреде-
ляются в соответствии с (2.1.3):
у*] = -nDx2dCx / дх \ j2 - -nD2XdC2 I дх,
где п - полная плотность числа частиц;
С], С2 - мольные доли частиц 1-го и 2-го
сортов.
Из очевидности уравнений С] + С2 = 1
и Ji + J1 - 0 следует равенство коэффициен-
тов взаимной диффузии DX2 = D2X, которые
описываются выражением:
£)12 = Z)21 =
= Do (Т/273)0' ехр[-(а2/Г) -(а3/Г2)].
(2.1.8)
При высоких температурах выражение
(2.1.8) превращается в степенную зависимость
Z) = Z>0(r/273)fl* .
Значения Dq, ах, а2 и см. в табл.
2.4.8.
В жидкостях диффузия осуществляется
перескоками молекул из одного положения в
другое. Здесь применимо соотношение
Эйнштейна D -икТ (к - постоянная Больц-
мана, и - подвижность диффундирующих
частиц), согласно которому коэффициент
диффузии в жидкости увеличивается с ростом
температуры. Это обусловлено "разрыхле-
нием" структуры жидкости при нагреве и уве-
личением числа перескоков молекул.
Коэффициент диффузии малой примеси
в жидкости может быть описан эмпирической
формулой
DX2 = КхК2, (2.1.9)
где Кх - коэффициент, зависящий только от
свойств растворенного вещества, К2 - коэф-
фициент, зависящий только от свойств рас-
творителя (Z>i2, см2/с; Кх, К2 см. в табл.
2.4.6 и 2.4.7).
Определив Dx2 при температуре Тх по
формуле (2.1.9), можно найти Dx2 при тем-
пературе Т2:
Dn{T2) = Dn{Tx)^^^-.
V, (7i)
Диффузия в твердом теле может опреде-
ляться обменом местами атомов с вакансия-
ми, атомов с атомами, перемещением атомов
по межузлиям и др. Поэтому коэффициент
диффузии увеличивается с ростом дефектов
кристаллической решетки. Коэффициент
диффузии в твердых телах характеризуется
резким (экспоненциальным) ростом при уве-
личении температуры
DX2 = Z)o ехр(-Е / ЯГ), (2.1.10)
где Е - энергия активации, R - универсальная
газовая постоянная ( Dq , Е см. в табл. 2.2.27-
2.2.29).
К теплофизическим свойствам, характе-
ризующим тепловое излучение тел, относят
степень черноты, равную отношению интен-
сивности излучения реального и абсолютного
черного тела при фиксированной температу-
ре. Различают спектральную (монохроматиче-
скую) еч. и интегральную е степени черно-
ты, которые равны отношению интенсивно-
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
211
стей соответственно при определенной часто-
те излучения v и интегральных интенсивно-
стей во всем диапазоне частот от 0 до оо. В
зависимости от направления излучения рас-
сматривают степень направленного излучения
Еа (для луча, направление которого образует
угол а с нормалью к поверхности), нормаль-
ного излучения ел (для луча, нормального к
поверхности) и полусферического излучения
(для суммарной интенсивности в направ-
лении полусферы).
Степень черноты твердых тел сильно за-
висит от состояния поверхности; у полиро-
ванных материалов е ниже; у неполирован-
ных, окисленных или просто грязных мате-
риалов £ выше.
Глава 2.2
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
ТВЕРДЫХ ТЕЛ
В табл. 2.2.1-2.2.8 приведены теплофи-
зические свойства чистых металлов при раз-
личных температурах. Здесь а - коэффици-
ент линейного расширения (см. § 1.4.1).
Теплофизические свойства сталей даны
в табл. 2.2.9-2.2.12. В отличие от истинных
коэффициентов линейного расширения а и
изобарной теплоемкости ср , здесь приведены
их средние значения в интервале температур
от 20 °C до t
ц 4 ~ Z20 . J Ь - *20
/2о(/-2О) ' р Г-20 ’
где /х, /20, hJt Л20 • Длина образца / и эн-
тальпия h при температурах t (°C) и 20 °C
соответственно.
В обозначении марки стали первые две
цифры указывают среднее содержание углеро-
да в сотых для конструкционных и в десятых
долях процента для инструментальных и кор-
розионно-стойких сталей. Буквы за цифрами
означают: С - кремний, Г - марганец, Н -
никель, П - фосфор, X - хром, К - кобальт,
Т - титан, Ю - алюминий, Д - медь,
В - вольфрам, Ф - ванадий, Р - бор, А - азот,
Б - ниобий, Ц - цирконий, Е - селен. Цифры,
стоящие после букв, указывают примерное
содержание легирующего элемента в целых
единицах.
Отсутствие цифры означает, что содер-
жание этого элемента менее 1,5 %. Буква А,
стоящая в конце марки стали, означает, что
сталь является высококачественной. Марки
конструкционных подшипниковых сталей
начинаются буквой Ш, инструментальных
углеродистых сталей - буквой У, инструмен-
тальных быстрорежущих сталей - буквой Р.
Марки сталей для отливок заканчиваются
буквой Л.
В табл. 2.2.13 приведены средние значе-
ния а, ср и коэффициента теплопровод-
ности чугунов
1*де q - плотность теплового потока (Вт/м2),
создаваемая разностью температур (/ - 20) в
образце длиной /.
Теплофизические свойства медьсодержа-
щих сплавов приведены в табл. 2.2.14-2.2.21.
В марках медьсодержащих сплавов при-
няты следующие буквенные обозначения эле-
ментов: М - медь, Н - никель, Ж - железо,
Мц - марганец, Ц - цинк, С - свинец, А -
алюминий, О - олово, К - кремний, Мш -
мышьяк, Ф - фосфор. Теплофизические
свойства сплавов алюминия - в табл. 2.2.22-
2.2.23, магнитных сплавов - в табл. 2.2.24,
здесь же дан химический состав сплавов.
В табл. 2 2 25 даются теплофизические
свойства титановых сплавов, а в табл. 2.2.26 -
их химический состав.
Коэффициенты формулы (2 1.10) для
коэффициентов диффузии и самодиффузии
приведены в табл 2.2.27-2.2.29. Интегральная
полусферическая степень черноты £/, твердых
тел приведена в табл. 2.2.30.
212
Глава 2.2. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
2.2.1. Теплофизические свойства железа [3, 40, 50]
Г, к р, кг/м3 Ср, кДж/(кг-К) X, Вт/(м-К) а 106, 1/К
100 7868 0,358 - 11,51
200 7864 0,403 - 11,90
250 - 0,425 77,0 12,10
300 7860 0,446 73,2 12,35
350 - 0,468 69,6 12,65
400 7856 0,491 66,0 12,90
450 - 0,513 62,6 13,25
500 7852 0,535 59,3 13,65
600 - 0,580 53,1 14,55
700 - 0,625 47,3 15,50
800 - 0,670 42,1 15,68
900 - 0,715 37,3 15,82
1000 7835 0,758 33,0 14,90
1200 - 0,557 - 13,75
1300 - 0,592 - 13,20
1400 7820 0,626 - 12,65
Примечание. Здесь и далее Т - температура, р - плотность, ср - изобарная
теплоемкость, X - коэффициент теплопроводности, а - коэффициент линейного
расширения.
2.2.2. Теплофизические свойства меди [7, 11, 13, 40, 50]
Г, °C р, кг/м3 Ср, кДж/(кг-К) X, Вт/(м • К) а • 106, 1/К
-190 9000 0,213 0,542 8,7
-150 - 0,292 0,447 12,3
-100 - 0,340 0,420 14,4
-50 - 0,365 0,409 15,6
0 - 0,379 0,403 16,4
20 8930 0,381 0,401 16,7
100 8900 0,399 0,395 17,10
300 8840 0,422 0,381 17,98
600 8700 0,456 0,361 19,52
900 8620 0,482 0,341 21,34
1084 8510 0,533 0,328 22,31
Примечание. Здесь и далее / - температура, ° С .
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
213
2.2.3. Теплофизические свойства алюминия [40, 43, 50]
Г, к р, кг/м3 Ср, кДж/(кг-К) X, Вт/(м-К) а • 106, 1/К
100 2713 0,484 302 17,5
200 2702 0,800 237 20,5
250 2692 - 235 21,5
300 2684 0,904 237 22,5
350 2681 - 240 23,5
400 2678 0,951 240 24,5
450 2672 - - 26,0
500 2665 0,992 236 27,5
550 2656 - - 29,0
600 2645 1,037 230 30,5
650 2632 - - 32,0
700 2616 1,090 225 32,0
800 2565 1,154 218 32,5
900 2515 1,228 210 34,0
2.2.4. Теплофизические свойства никеля [40, 50]
Т,к р, кг/м3 Ср, кДж/(кг-К) X, Вт/(м*К) а • 106, 1/К
100 - 0,423 164 5,4
123 - 0,430 137 7,6
223 - 0,442 102 11,4
293 8900 0,457 91,5 13,3
323 - 0,464 88,0 14,5
373 - 0,470 82,7 15,0
473 8890 0,488 74,1 15,9
573 - 0,502 67,3 16,6
673 8870 0,518 64,8 17,1
773 8870 0,530 67,0 17,5
873 - 0,540 69,3 17,7
973 - 0,551 71,2 17,9
1073 8860 0,565 73,4 18,0
1173 - 0,575 75,6 18,2
1273 8850 0,580 77,7 18,2
1373 - 0,582 79,8 18,3
1473 - 0,584 82,0 18,3
1573 8830 0,586 84,2 18,3
214
Глава 2.2. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
2.2.5. Теплофизические свойства титана [40, 43, 50]
Т, к р, кг/м3 Ср, кДж/(кг-К) X, Вт/(м*К) а Ю6, 1/К
100 - 0,299 30,5 -
123 - 0,337 28,6 -
223 - 0,479 23,7 -
293 4500 0,520 22,0 8,4
373 - 0,542 20,7 -
473 - 0,563 19,8 -
573 - 0,590 19,4 8,0
673 - 0,613 19,4 -
773 - 0,626 19,6 8,0
873 - 0,637 20,0 -
973 - 0,672 20,5 8,0
1073 - 0,783 21,1 -
1173 4320 0,589 21,8 -
1273 - 0,617 22,5 -
1373 - 0,647 23,4 -
1473 - 0,679 24,2 -
1573 - 0,711 25,1 -
2.2.6. Теплофизические свойства ниобия [40, 43, 50]
Г, к р, кг/м3 Ср, кДж/(кг-К) X ^ОО а • 106, 1/К
Вт/(м • К)
100 - 0,187 46 - 7,00
200 - 0,248 48 - 7,06.
300 8570 0,263 50 - 7,12
400 - 0,274 51,7 50 7,19
600 - 0,285 55,2 49 7,42
800 8550 0,293 58,4 48 7,71
1000 - 0,301 61,2 47 8,06
1200 8540 0,311 63,6 47 8,38
1500 - 0,328 66,1 46 8,86
1800 8520 0,350 68,0 46 9,35
2100 - 0,375 69,3 45 9,84
2400 - 0,404 70,7 45 10,32
2700 8490 0,438 72,0 45 10,80
Примечания: 1. Хда - теплопроводность охрупченного ниобия за 1000 ч при
900 °C в вакууме р = 10*3 мм рт. ст. 2. а - средний коэффициент линейного расширения в
интервале температур от 300 К до Т.
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
215
2.2.7. Теплофизические свойства молибдена [10, 14, 24]
Г, к р, кг/м3 Ср, кДжДкг-К) X ^оо а -106, 1/К
Вт/(м • К)
100 - 0,141 - - -
200 - 0,225 151 - -
300 10200 0,249 145 102 5,21
400 - 0,261 140 100 5,30
600 - 0,276 132 95 5,63
800 10190 0,287 124 90 6,03
1000 - 0,297 118 88 6,45
1200 10180 0,368 112 85 6,79
1500 - 0,326 106 82 7,33
1800 10150 0,352 102 80 8,06
2100 - 0,389 98 79 9,29
2400 - 0,438 95 78 11,43
2700 10100 0,498 92 78 -
Примечание. Х^ - теплопроводность молибдена, охрупченного при 1100 °C за
1100 ч в вакууме р = 10‘3 мм рт. ст.
2.2.8. Теплофизические свойства вольфрама [16, 40, 43, 50]
Г, к р, кг/м3 Ср, кДж/(кг-К) X X» а Ю6, 1/К
Вт/(м • К)
100 - 0,131 208 - 4,36
200 - 0,133 186 - 4,40
300 19250 0,134 174 - 4,44
400 - 0,135 159 - 4,49
600 - 0,140 137 115 4,60
800 19310 0,144 125 113 4,73
1000 - 0,148 118 110 4,87
1200 19290 0,151 113 108 5,07
1500 - 0,159 107 104 5,48
1800 19260 0,167 103 101 6,05
2100 - 0,176 98,8 97 6,73
2400 - 0,186 95,7 96 7,56
2700 19180 0,200 93,3 92 8,40
3000 - - 91,4 - -
3300 - - 90,3 - -
Примечание - теплопроводность вольфрама, охрупченного при 1800 К за
1000 ч в вакууме р - 10'3 мм рт ст
216
Глава 2.2. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
2.2.9. Плотность сталей, кг/м3 [35]
Марка стали Температура t, °C
20 100 200 300 400 500 600 700 800 900
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1. Стали конструкционные
1.1. Стали конструкционные, углеродистые качественные
08кп 7871 7846 7814 7781 7745 7708 7668 7628 7598 7602
Юкп 7856 7832 7800 7765 7730 7692 7653 7613 7582 7594
15кп 7850 7827 7794 7759 7724 7687 7648 7611 7599 7584
20кп - 7834 7803 7770 7736 7699 7659 7617 7624 7600
08пс - 7846 7814 7781 7745 7708 7668 7628 7598 7602
Юпс - 7832 7800 7765 7730 7692 7653 7613 7582 7594
15пс 7850 7827 7794 7759 7724 7687 7648 7611 7599 7584
20пс - 7834 7803 7770 7736 7699 7659 7617 7624 7600
25пс 7850 7828 7798 7765 7725 7693 7653 7610 7600 7550
08 7871 7846 7814 7781 7745 7708 7668 7628 7598 7602
10 7856 7832 7800 7765 7730 7692 7653 7613 7582 7594
15 7850 7827 7794 7759 7724 7687 7648 7611 7599 7584
20 7859 7834 7803 7770 7736 7699 7659 7617 7624 7600
25 7820 - - - - - - - - -
30 7850 - - - - - - - - -
35 7826 7804 7771 7737 7700 7662 7623 7583 7600 7549
40 7850 - - - - - - - - -
45 7826 7799 7769 7735 7698 7662 7625 7587 7595 -
50 7810 - - - - - - - - -
55 7280 - - - - - - - - -
60 7800 - - - - - - - - -
15К 7850 - - - - - - - - -
20К 7850 - - - - - - - - -
1.2. Стали конструкционные низколегированные для сварных конструкций
16ГС | 7850 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1.3. Стали конструкционные, легированные
15Г 7810 - - - - - -
20Г 7820 - - - - - -
ЗОГ 7810 - - - - - -
40Г 7810 - - - - - -
50Г 7810 - - - - - -
10Г2 7790 - - - - - -
35Г2 7790 - - - - - -
40Г2 7800 - - - - - -
45Г2 7810 - - - - - -
5ОГ2 7500 - - - - - -
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
217
Продолжение табл. 2.2.9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
15Х 7830 7810 7780 - 7710 - 7640 - - -
20Х 7830 7810 7780 - 7710 - 7640 - - -
ЗОХ 7820 7800 7770 7740 7700 7670 7630 7590 7610 7560
38ХА 7850 - 7800 - - - 7650 - - -
40Х 7850 - 7800 - - 7650 - - - -
45Х 7820 - - - - - - - - -
50Х 7820 - - - - - - - - -
15ХФ 7760 7730 7710 7670 7640 7600 7570 7530 - -
40ХФА 7810 - - - - - - - - -
18ХГТ 7800 - - - - - - - - -
20ХГСА 7760 - - - - - - - - -
20ХГР 7800 - - - - - - - - -
25ХГСА 7850 7830 7790 7760 7730 7690 7650 7610 - -
зохгс 7850 7830 7800 7760 7730 7700 7670 - - -
ЗОХГСА 7850 7830 7800 7760 7730 7700 7670 - - -
ззхс 7640 - - - - - - - - -
38ХС 7640 - - - - - - - - -
40ХС 7740 7720 7690 - 7620 - 7540 - - -
ЗОХМ 7820 7800 7770 7740 7700 7660 - - - -
ЗОХМА 7820 7800 7770 7740 • 7700 7660 - - - -
35ХМ 7820 7800 7770 - 7700 - 7630 - - -
40ХН 7820 7800 7770 7740 7700 - - - - -
45ХН 7820 - - - - - - - - -
50ХН 7860 - - - - - - - - -
12ХН2, 12ХН2А 7880 - - - - - - - - -
12ХНЗА 7850 7830 7800 7760 7720 7680 7640 - - -
20ХНЗА 7850 7830 - 7760 - - 7660 - - -
ЗОХНЗА 7850 7830 7800 7770 7730 7700 7670 7690 7650 7600
12Х2Н4А 7840 7820 - 7760 7710 - 7630 - - -
20Х2Н4А 7850 - - - - - - - - -
40ХН2МА 7850 - - - - - - - - -
18Х2Н4МА 7950 7930 7900 7860 7830 7800 7760 - - -
34XH3M 7830 7810 7780 - 7710 - 7650 - - -
18Х2Н4ВА 7950 7930 7900 7860 7830 7800 7760 - - -
38ХНЗМФА 7900 - - - - - - - - -
38Х2МЮА 7710 - - - - - - - - -
1.4. Стали конструкционные, теплоустойчивые
12МХ 7850 7830 7800 7760 7730 7690 7650 7610 - -
15ХМ 7850 7830 7800 7760 7730 7700 7660 - - -
12X1 МФ 7800 7780 7750 7720 7680 7640 7600 7570 7540 7560
25X1 МФ 7840 - 7790 - 7720 - 7650 - - -
218 Глава 2.2. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Продолжение табл. 2.2.9
Марка стали Температура /, °C
20 100 200 300 400 500 600 700 800 900
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
25Х2М1Ф 7800 7780 7750 7720 7680 7650 7600 - - -
20ХЗМВФ 7800 - - - 7690 7660 7620 - - -
15Х5М 7750 7730 7700 7670 7640 7610 7580 - - -
1.5. Стали конструкционные подшипниковые
ШХ15 7812 7790 7750 7720 7680 7640 - - - -
ШХ15СГ 7650 - - - - - - - - -
1.6. Стали конструкционные рессорно-пружинные
65 7810 - - - - - - - - -
70 7810 - - - - - - - - -
60Г 7810 - - - - - - - - -
65Г 7850 7830 7800 - 7730 - - - - -
60С2 7680 7660 7630 7590 7570 7520 - - - -
60С2А 7680 7660 7630 7590 7570 7520 - - - -
50ХФА 7800 7780 7750 7720 7680 7650 7610 - - -
65С2ВА 7850 - - - - - - - - -
1.7. Стали конструкционные повышенной обрабатываемости
А12 | 7830 | - | - | - | - | - | - |
2. Стали инструментальные
2.1. Стали инструментальные углеродистые
У7, У7А 7830 - - - - - - - - -
У8, У8А 7839 7817 7786 7752 7714 7676 7638 7600 7852 -
У9, У9А 7745 7726 7717 7690 7686 7655 7622 7586 7568 7523
У10, У10А 7810 - - - - - - - - -
У12, У12А 7830 7809 7781 7749 7713 7675 7634 7592 7565 7489
2.2. Стали инструментальные легированные
ХВГ 7850 7830 - 7760 - - 7600 - - -
9ХС 7830 - - - - - - - - -
2.3. Стали инструментальные штамповые
Х12М 7700 - - - - - - - - -
ЗХЗМЗФ 7828 7808 7783 7754 7721 7684 7642 7597 7565 7525
4Х5МФ1С 7716 7692 7660 7627 7593 7559 7523 7490 7459 7438
4Х5МФС 7750 7724 7697 7670 7641 7600 7573 7546 7520 7495
2.4. Стали инструментальные валковые
9Х2МФ 7840 - - - - - - - - -
75ХМ 7900 - - - - - -
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
219
Продолжение табл. 2.2.9
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 '
2.5. Стали инструментальные быстрорежущие
Р6М5К5 8200 - - - - - - - - -
Р9 8300 8300 8300 8200 8200 8150 8100 8100 8100 -
Р9М4К8 8300 - - - - - - - - -
Р18 8800 8700 8650 8600 8550 8500 8500 8500 8450 8400
11РЗАМЗФ2 7900 7900 7900 7850 7800 7800 7750 - - -
Р6М5 8200 8150 8100 8050 8000 8000 7950 7900 7900 -
Р6М5ФЗ 8100 8100 8050 8000 8000 7950 7900 7900 - -
Р9К5 8300 - - - - - - - - -
Р12 8400 8350 8250 8200 8200 8150 8100 8100 8050 -
3. Стали и сплавы коррозионно-стойкие, жаростойкие, жаропрочные, износостойкие
40Х9С2 7630 7610 7580 - 7510 - 7440 - 7390 -
40Х10С2М 7620 7610 - - - - - - 7430 -
08X13 7760 7740 7710 - - - - - - -
12X13 7720 7700 7670 7640 7620 7580 7550 7520 7490 7500
20X13 7670 7660 7630 7600 7570 7540 7510 7480 7450 -
30X13 7670 7650 7620 7600 7570 7540 7510 7480 7450 7460
40X13 7650 7630 7600 7570 7540 7510 7480 7450 7420 -
10Х14АГ15 7900 - - - - - - - - -
12X17 7720 - - - - - - - - -
08Х17Т 7700 - - - - - - - - -
95X18 7750 7730 - - - - - - 7540 -
15Х25Т 7600 - - - - - - - - -
15X28 7630 - - - - - - - - -
25Х13Н2 7680 - - - - - - - - -
10Х14Г14Н4Т 7800 - - - - - - - - -
14Х17Н2 7750 - - - - - - - - -
12Х18Н9 7900 7860 7820 7780 7740 7690 7650 7600 7560 7510
17Х18Н9 7850 - - - - - - - - -
08Х18Н10 7850 - - - - - - - - -
12Х18Н9Т 7900 7860 7820 7780 7740 7690 7650 7600 7560 7510
12Х18Н1ОТ 7900 - - - - - - - - -
08Х18НЮТ 7900 - - - - - - - - -
12Х18Н12Т 7900 7870 7830 7780 7740 7700 7850 7610 - -
20Х2ОН14С2 7800 7760 - - - - 7550 7510 7470 7420
08Х22Н6Т 7700 - - - - - - - - -
20Х23Н13 7820 7790 - - - - 7580 - 7480 -
12Х25Н16Г7АР 7820 - - - - - - - - -
20Х23Н18 7900 - - 7760 7720 7670 7620 7540
220
Глава 2.2. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Продолжение табл. 2.2.9
Марка стали Температура /, °C
20 100 200 300 400 500 600 700 800 900
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И
10Х23Н18 7950 - - - - - - - - -
20Х25Н20С2 7720 7680 - - - - - - 7440 7390
15Х12ВНМФ 7850 7830 7800 7780 7760 7730 7700 7670 - -
20Х12ВНМФ 7850 7830 7800 7780 7760 7730 7700 7670 - -
37Х12Н8Г8МФБ 7850 - - - - - - - - -
45Х14Н14В2М 8000 - 7930 - 7840 - 7760 - 7660 -
40Х15Н7Г7Ф2МС 7800 7770 7720 7680 7630 7580 7530 - -
10Х17Н13М2Т 7900 7870 7830 7790 7750 7700 7660 7620 -
31Х19Н9МВБТ 7960 - - - - - - - -
06ХН28МДТ 7960 - - - - - - - -
ХН35ВТ 8164 - - - - - - - -
ХН35ВТЮ 8040 - - - - - - - -
ХН70Ю 7900 - - - - - - - -•
ХН70ВМЮТ 8600 8570 8540 8510 8470 8430 8390 8340 8290 8240
ХН77ТЮР 8200 8180 8140 8110 8070 8040 8000 7960 7920 7870
ХН78Т 8400 8380 8340 8310 8260 8220 8180 8130 8090 8040
ХН80ТБЮ 8300 - - 8210 8170 8130 8090 8040 7990 -
Х15Н60-Н 8200 - - - - - - - - -
Х20Н80 8400 - - - - - - - - -
Х27Ю5Т 7190 - - - - - - - - -
08Х18Г8Н2Т 7700 - - - - - - - - -
4. Стали для отливок
15Л 7820 - - - - - - - -
20Л 7850 - - - - - - - -
25Л 7830 - - - - - - - -
ЗОЛ 7810 - - - - - - - -
35Л 7830 - - - - - - - -
40Л 7810 - - - - - - - -
45Л 7800 - - - - - - - -
50Л 7820 - - - - - - - -
55Л 7820 - - - - - - -
35ХГСЛ 7800 - - - - - - -
40ХЛ 7830 - - - - - - - -
20ХМЛ 7800 7780 7750 7720 7690 7650 7620 - -
35ХМЛ 7840 - - - - - - - -
32Х06Л 7850 - - - - - - -
08ГДНФЛ 7850 - - - - - - - -
12ДН2ФЛ 7860 - - - - - - * - -
20ХГСНДМЛ 7830 - - - - - - - -
20X1ЗЛ 7740 - - - - - - - - -
40Х24Н12СЛ 7800 - - - - - - - - -
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
221
2.2.10. Средний (в интервале температур от 20 °C до t)
коэффициент линейного расширения сталей, 1/град [8, 14, 35]
Марка стали Температура t, °C
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1. Стали конструкционные
1.1. Стали конструкционные, углеродистые качественные
08кп 12,5 13,4 14,0 14,5 14,9 15,1 15,3 14,7 12,7 13,8
Юкп 12,4 13,2 13,9 14,5 14,9 15,1 15,3 12,1 14,8 12,6
15кп 12,4 13,2 13,9 14,4 14,8 15,1 15,3 14,1 13,2 13,3
20кп 12,3 13,1 13,8 14,3 14,8 15,1 15,2 - - -
08пс 12,5 13,4 14,0 14,5 14,9 15,1 15,3 - - -
Юпс 12,4 13,2 13,9 14,5 14,9 15,1 15,3 - - -
15пс 12,4 13,2 13,9 14,4 14,8 15,1 15,3 - - -
20пс 12,3 13,1 13,8 14,3 14,8 15,1 15,2 - - -
25пс 12,2 13,0 13,7 14,3 14,7 15,0 15,2 12,7 12,4 13,4
08 12,5 13,4 14,0 14,5 14,9 15,1 15,3 14,7 12,7 13,8
10 12,4 13,2 13,9 14,5 14,9 15,1 15,3 12,1 14,8 12,6
15 12,4 13,2 13,9 14,4 14,8 15,1 15,3 14,1 13,2 13,3
20 12,3 13,1 13,8 14,3 14,8 15,1 15,2 - - -
25 12,2 13,0 13,7 14,3 14,7 15,0 15,2 12,7 12,4 13,4
30 12,1 12,9 13,6 14,2 14,7 15,0 15,2 - - -
35 12,0 12,9 13,6 14,2 14,6 15,0 15,2 12,7 13,9 -
40 11,9 12,8 13,5 14,1 14,6 14,9 15,2 12,5 13,5 14,5
45 11,9 12,7 13,4 14,1 14,6 14,9 15,2 - - -
50 11,2 12,0 12,8 13,4 13,9 14,2 14,5 13,4 - -
55 11,0 11,9 12,7 13,4 14,0 14,5 14,8 12,5 13,5 14,4
60 11,0 11,9 - 13,9 14,6 - - - - -
15К - 11,9 12,8 13,2 13,6 13,9 - - - -
20К - 11,9 12,8 13,2 13,6 13,9 - - - -
22К п,о 12,6 13,4 13,6 - - - - - -
1.2. Стали конструкционные низколегированные для сварных конструкций
16ГС Н,1 12,1 12,9 13,5 13,9 14,1 - - - -
09Г2С 11,4 12,2 12,6 13,2 13,8 - - - - -
20ХГ2Ц 12,3 12,3 12,5 13,1 13,5 13,9 14,2 - - -
1.3. Стали конструкционные, легированные
15Г 12,3 - 13,2 - - 14,9 - - - -
20Г 12,5 13,4 14,4 15,1 - 15,2 - - - -
зог 12,6 13,9 14,6 15,0 15,5 15,6 14,8 - - -
40Г 11,1 11,7 12,7 - 14,3 - - - - -
50Г 11,8 12,5 13,2 13,8 14,3 14,8 15,1 12,3 - -
10Г2 11,3 - - 14,7 - - - - - -
Ill
Глава 2.2. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Продолжение табл. 2.2.10
Марка стали Температура /, °C
100 20Q 300 400 500 600 700 800 900 1000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
45Г2 11,3 11,9 12,7 - 14,7 - - - - -
50Г2 11,3 12,2 12,3 - - 14,7 - - - -
15Х 10,2 11,5 12,4 13,0 13,5 14,0 - - - -
20Х 10,5 11.6 12,4 13,1 13,6 14,0 - - - -
ЗОХ 12,4 13,0 13,4 13,8 14,2 14,6 14,8 12,0 12,8 13,8
35Х н,з 12,0 12,9 13,7 14,2 14,6 - - - -
38ХА 12,7 13,1 13,5 13,8 14,2 14,6 - - - -
40Х 11,8 12,2 13,2 13,7 14,1 14,6 14,8 12,0 - -
45Х 12,8 13,0 13,7 - - - - - - -
50Х 12,8 13,0 13,8 - - - - - - -
15ХФ 11.9 12,4 13,1 13,7 14,2 14,5 14,9 - - -
40ХФА 12,1 12,6 13,0 13,3 13,8 14,2 14,6 11,8 - -
18ХГТ 10,0 11,5 12,3 12,8 13,3 13,6 - - - -
20ХГР 11,7 - - 14,6 - - - - - -
25ХГСА 12,2 13,0 13,6 14,0 14,2 14,4 14,5 12,3 - -
ЗОХГТ 10,5 12,0 12,7 13,3 13,8 14,0 - - - -
ЗОХГС 12,0 12,5 12,9 13,2 13,6 13,9 - - - -
30ХГСА 11,7 12,3 12,9 13,4 13,7 14,0 14,3 12,9 - -
ЗЗХС 12,0 12,8 13,4 13,7 14,3 14,7 15,0 12,4 - -
38ХС 12,3 13,1 13,6 13,8 14,2 14,5 14,7 12,5 - -
40ХС 11,7 12,7 13,4 14,0 14,4 14,8 - - - -
30ХМ 11,6 12,5 13,2 13,8 14,3 - - - - -
30ХМА 11,6 12,5 13,2 13,8 14,3 - - - - -
35ХМ 12,3 12,6 13,3 13,9 14,3 14,6 - - - -
38ХМА 12,4 13,1 13,7 14,2 14,5 14,6 14,7 11,2 - -
40ХН 11,8 12,3 13,4 14,0 - - - - - -
45ХН 11,8 12,3 - 13,4 - 14,0 - - - -
50ХН 11,8 - 12,3 13,4 14,0 - - - - -
12ХН2, 12ХН2А 10,5 11,5 11,9 12,4 12,9 13,6 13,9 11,7 - -
12ХНЗА 11,8 13,0 14,0 14,7 15,3 15,6 - - - -
20ХНЗА 11,5 11,7 12,0 12,6 12,8 13,2 13,6 11,2 - -
ЗОХНЗА 10,8 11,5 12,2 12,8 13,2 13,5 - - - -
12Х2Н4А н,о 12,0 13,0 14,7 15,3 15,6 - - - -
20ХН4ФА 11,7 12,7 13,7 - - 15,4 - - - -
40ХН2МА 11,6 12,1 12,7 13,2 13,6 13,9 - - - -
38XH3MA 11,8 12,3 12,7 13,1 13,4 13,7 13,9 10,8 - -
38Х2Н2МА 11,9 12,5 13,1 13,3 13,8 14,1 14,6 11,8 - -
18Х2Н4МА 11,7 12,2 12,7 13,1 13,5 13,9 - - - -
34XH3M 10,8 11,6 12,5 13,3 13,5 13,7 - - - -
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
223
Продолжение табл. 2.2.10
1 2 • 3 4 5 6 7 8 9 10 11
18Х2Н4ВА 11,7 12,2 12,7 13,1 13,5 13,9 - - - -
30ХН2МФА 11,1 11,7 12,3 12,9 13,3 13,7 - - - -
36Х2Н2МФА 12,5 12,8 13,3 13,5 14,0 14,3 14,5 11,0 - -
38ХНЗМФА 12,0 12,5 12,9 13,3 13,6 13,8 13,8 10,7 - -
45ХН2МФА 11,0 11,6 12,1 12,7 13,3 13,7 13,9 11,9 - -
38Х2МЮА 11,5 11,8 12,7 13,4 13,9 14,7 14,9 12,3 - -
1.4. Стали конструкционные, теплоустойчивые
12МХ 11,2 12,5 12,7 12,9 13,2 13,5 13,8 - - -
15ХМ 12,2 13,0 13,3 13,7 14,0 14,3 14,5 13,4 11,2 12,5
12Х1МФ 12,4 13,0 13,6 14,0 14,4 14,7 14,9 14,8 12,0 -
25X1 МФ н,з 11,7 12,8 13,9 14,2 14,4 - - - -
25Х2М1Ф 12,5 12,9 13,3 13,7 14,0 14,7 - - - -
20ХЗМВФ 10,6 11,5 11,8 12,1 12,6 13,0 - - - -
15Х5М 11,3 11,6 11,9 12,2 12,3 12,5 - - - -
1.5. Стали конструкционные подшипниковые
ШХ15 11,9 15,1 15,5 15,6 15,7 - - - - -
ШХ15СГ - 13,4 13,6 - - - - - - -
1.6. Стали конструкционные рессорно-пружинные
65 11,0 11,6 12,3 13,2 13,8 14,2 14,6 14,7 13,9 14,8
70 11,5 12,3 13,0 13,8 - - - - - -
60Г 11,6 11,9 12,9 13,8 - 14,6 - - - -
65Г 11,8 12,6 13,2 13,6 14,1 14,6 14,5 11,8 - -
60С2 11,8 12,7 13,3 13,7 14,1 14,5 14,4 12,2 - -
60С2А 11,8 12,7 13,3 13,7 14,1 14,5 14,4 12,2 - -
70СЗА 11,4 12,3 12,8 13,3 13,7 14,1 14,3 12,8 - -
50ХФА 11,7 12,2 12,9 13,5 14,0 14,4 14,6 13,1 - -
65С2ВА 11,5 12,5 13,0 13,5 13,8 14,3 14,5 13,5 - -
1.7. Стали конструкционные повышенной обрабатываемости
А12 1 Ч>9 1 1 12,5 | 1 - 1 1 14'2 1 - 1 - 1 - 1 -
2. Стали инструментальные
2.1. Стали инструментальные углеродистые
У8, У8А 11,4 12,2 13,0 13,7 14,3 14,8 15,2 14,5 15,2 15,7
У9, У9А 11,3 12,1 12,9 13,6 14,2 14,7 15,2 14,0 - -
У10, У10А 11,5 11,9 12,5 13,0 13,4 13,9 14,3 13,9 15,4 13,3
У12, У12А 10,5 11,8 12,6 13,4 14,1 14,8 15,3 15,0 16,3 16,8
2.2. Стали инструментальные легированные
ХВГ 1 ".о 1 112.° 1 1 13.° 1 13.5 1 “.° 1 *4.5 1 - 1 - 1 -
2.3. Стали инструментальные штамповые
Х12М 10,9 - - 11,4 - 12,2 - - - -
5ХНМ - 12,6 - - - 14,2 - - - -
224
Глава 2.2. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Продолжение табл. 2.2.10
Марка стали Температура /, °C
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2.4. Стали инструментальные быстрорежущие
11РЗАМЗФ2'1 12,8 13,0 13,2 13,4 13,6 13,8 14,0 - - -
11РЗАМЗФ2’2 12,8 11,7 11,7 12,1 12,6 13,1 13,4 - - -
11РЗАМЗФ2'3 12,0 11,9 11,9 12,2 12,6 12,9 12,7 - - -
Р6М5’1 9,7 10,3 10,5 10,8 11,2 11,6 11,9 12,1 - -
Р6М5ФЗ"1 11,0 11,2 11,3 11,4 11,5 11,5 11,6 - - -
Р6М5ФЗ’2 12,5 11,2 11,6 12,2 12,9 13,5 13,8 13,4 - -
Р6М5ФЗ"3 12,0 11,9 11,9 12,2 12,6 12,9 12,7 - - -
Р9’1 10,1 10,3 10,6 10,9 11,2 11,4 11,6 11,8 - -
Р9’2 *4 - 6,5 7,9 8,9 9,9 10,8 11,5 11,4 - -
Р12’1 10,2 10,4 10,7 11,2 11,5 11,7 11,8 - - -
Р12'2’4 - 6,4 7,9 9,1 10,1 10,9 11,5 13,2 - -
Р18’1 10,6 10,7 10,9 11,2 11,5 11,7 11,9 12,0 - -
Р18-2-4 - 7,1 8,5 9,3 10,1 10,9 11,6 13,0 - -
3. Стали и сплавы коррозионно-стойкие, жаростойкие, жаропрочные, износостойкие
40Х9С2 11,1 12,7 - 14,3 - 14,2 - 14,0 - -
40Х10С2М 10,0 н,о н,о 11,0 - - - 11,0 - -
08X13 10,5 Н,1 11,4 .11,8 12,1 12,3 12,5 12,8 - -
12X13 10,2 11,2 11,4 11,8 12,2 12,4 12,7 13,0 10,8 11,7
20X13 10,2 11,2 11,5 11,9 12,2 12,8 12,8 13,0 - -
30X13 10,2 10,9 11,1 11,7 12,0 12,3 12,5 12,6 10,6 12,2
40X13 10,7 11,5 11,9 12,2 12,5 12,8 13,0 13,2 - -
10Х14АГ15 13,9 - - 19,4 - 21,8 - 22,5 - -
12X17 10,4 10,5 10,8 11,2 11,4 11,6 11,9 12,1 - -
08X17Т 10,0 10,0 10,5 10,5 11,0 - - - - -
95X18 11,8 12,3 12,7 13,1 13,4 - - - - -
15Х25Т 10,1 10,7 11,0 11,2 11,3 - - - - -
15X28 10,0 10,5 10,5 11,0 11,0 - - - - -
25Х13Н2 11,6 12,0 12,4 12,8 - - - - - -
10Х14Г14Н4Т 16,0 16,7 17,5 18,4 19,0 19,5 20,1 20,6 21,0 -
14Х17Н2 9,8 10,6 11,8 п,о 11,1 п,з п,о 10,7 11,4 11,5
12Х18Н9 16,5 17,2 17,7 18,1 18,3 18,6 18,9 19,3 19,7 20,2
17Х18Н9 16,0 17,0 17,5 17,9 18,5 18,6 18,9 19,1 19,3 19,5
08Х18Н10 16,0 17,0 17,0 18,0 18,0 - - - - -
12Х18Н9Т 16,6 17,0 17,6 18,0 18,3 18,6 18,9 19,3 19,5 20,1
12Х18Н10Т 16,5 17,0 17,4 17,8 18,2 18,6 18,9 19,3 19,6 19,9
08Х18Н10Т 16,1 - 17,4 - 18,2 - 19,1 - - -
12Х18Н12Т 16,6 17,0 17,2 17,5 17,9 18,2' 18,6 18,9 19,3 -
20Х20Н14С2 16,0 - - - - 18,1 18,3 18,5 18,8 19,0
08Х22Н6Т 9,6 13,8 16,0 16,0 16,4 16,2 16,5 16,7 17,1 -
20Х23Н13 14,9 15,7 16,6 17,1 17,5 17,8 18,2 - - -
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
225
Продолжение табл. 2.2.10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12Х25Н16Г7АР 16,6 16,2 16,8 17,4 18,0 18,3 18,5 18,7 18,9 -
20Х23Н18 14,9 15,7 16,6 17,3 17,5 17,9 17,9 - - -
20Х25Н20С2 16,1 - - - - 17,8 17,8 18,1 18,5 18,8
15Х12ВНМФ 10,5 10,8 Н,1 11,4 11,6 11,8 11,9 12,0 10,7 11,6
20Х12ВНМФ 10,6 10,9 11,2 11,4 11,7 11,9 12,0 12,1 10,7 11,7
37Х12Н8Г8МФБ 15,8 - - - - - - - - -
45Х14Н14В2М - 17,0 - 18,0 - 18,0 - 19,0 - -
40Х15Н7Г7Ф2МС 17,0 17,7 18,4 19,1 20,5 20,8 - - - -
10Х17Н13М2Т 15,7 16,1 16,7 17,2 17,6 17,9 18,2 - - -
31Х19Н9МВБТ 16,6 16,9 17,2 17,5 17,8 18,2 18,5 18,9 19,3 19,7
06ХН28МДТ 10,9 12,9 13,6 14,4 14,9 15,3 16,8 16,3 16,8 -
ХН35ВТ 14,8 15,1 15,5 15,9 16,1 16,6 16,9 - - -
ХН35ВТЮ 12,7 14,1 15,0 15,4 15,8 16,0 16,6 16,8 18,4 -
ХН70ВМЮТ 12,2 12,6 13,2 13,6 14,1 14,5 15,1 15,8 16,5 -
ХН70ВМТЮФ 10,3 11,8 12,5 13,0 13,5 13,7 14,0 14,5 15,0 -
ХН77ТЮР 11,9 12,7 13,0 13,5 13,7 14,0 14,5 15,1 15,8 -
ХН78Т 11,8 12,8 12,8 14,4 14,8 15,8 16,1 16,5 - -
ХН80ТБЮ 13,3 13,5 13,8 14,2 14,5 14,9 15,5 16,2 16,7 17,2
Х27Ю5Т 15,0 - - - - - - - - -
08Х18Г8Н2Т 12,3 13,1 14,4 14,4 15,3 16,6 16,0 16,4 17,2 -
4. Стали для отливок
15Л 11,9 12,5 - 13,6 14,2 - - - - -
20Л 12,2 12,7 13,1 13,5 13,9 14,4 14,9 12,6 12,4 -
25Л 11,5 12,9 13,0 13,2 13,5 - - - - -
ЗОЛ 12,6 13,9 - 15,0 15,6 - - - - -
35Л 11,1 12,0 12,9 13,5 13,9 14,5 14,8 11,9 12,5 -
40Л 12,4 12,6 - 14,5 - 14,6 - - - -
45Л 11,6 - - - - - - - - -
50Л 12,0 12,4 12,8 13,3 13,7 14,1 14,5 12,4 13,3 -
55Л н,о 11,8 - 13,4 - 14,5 - - - -
35ХГСЛ 11,8 12,3 12,8 13,3 13,8 14,1 14,4 12,6 13,3 -
40ХЛ 12,2 12,7 13,1 13,4 13,8 14,2 14,6 11,8 12,6 -
20ХМЛ 10,9 12,4 12,8 13,1 13,6 13,9 - - - -
35ХМЛ 12,2 12,6 13,4 14,3 14,5 14,6 14,7 12,2 12,7 -
32Х06Л 12,4 12,8 13,2 13,6 14,0 14,4 14,7 12,0 12,7 -
08ГДНФЛ 10,3 н,з 12,0 13,0 13,6 14,1 14,4 12,5 13,0 -
12ДН2ФЛ 11,5 12,3 12,9 13,1 13,7 14,2 14,1 10,8 12,6 -
20ХГСНДМЛ 11,0 11,8 12,5 12,9 13,3 13,5 13,6 11,0 12,1 -
20Х13Л 10,0 10,8 н,з 11,7 12,1 12,4 12,6 12,8 10,8 -
12Х18Н9ТЛ 16,8 17,0 17,4 17,7 18,1 18,5 18,9 19,1 19,1 -
40Х24Н12СЛ 18,4 - - - - - - - - 20,6
** В отожженном состоянии.
*2 В закаленном состоянии.
*3 В отпущенном после закалки состоянии.
*4 Средний коэффициент линейного расширения в интервале температур от 100 °C до t.
8 з., -Г8
226
Глава 2.2. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
2.2.11. Средняя (в интервале температур от 20 °C до Г)
удельная изобарная теплоемкость сталей, Дж/(кг* град) [8, 9, 12, 35]
Марка стали Температура f, °C
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1. Стали конструкционные
1.1. Стали конструкционные, углеродистые качественные
08кп 482 498 514 533 555 584 626 695 703 695
Юкп 466 479 - 512 - 567 - - - -
15кп 465 486 515 532 565 586 620 691 708 -
20кп 486 498 514 533 555 584 636 703 703 695
08пс 482 498 514 533 555 584 626 695 703 695
15пс 465 486 515 532 565 586 620 691 708 -
20пс 486 498 514 533 555 584 636 703 703 695
25пс 470 483 - 521 571 - - - - -
08 482 498 514 533 555 584 626 695 703 695
10 466 479 - 512 - 567 - - - -
15 465 486 515 532 565 586 620 691 708 -
20 486 498 514 533 555 584 636 703 703 695
25 470 483 - 521 571 - - - - -
30 470 483 546 563 764 - - - - -
35 469 490 511 532 553 578 611 708 699 -
40 486 497 512 529 550 574 628 674 657 653
45 473 494 515 536 583 578 611 720 708 -
50 487 500 517 533 559 584 - - - -
55 479 487 - 525 571 - - - - -
60 483 487 - 529 - 567 - - - -
15К 470 483 - 525 571 - - - - -
20К 470 483 - 538 571 - - - - -
22К 470 483 - 525 571 - - - - -
1.2. Стали конструкционные низколегированные для сварных конструкций
16ГС | 14701 1 - 1 1 - 1
1.3. Стали конструкционные, легированные
15Г - 496 - 538 - 592 - - - -
20Г - 525 - 554 - 689 - - - -
ЗОГ 470 483 546 601 764 - - - - -
40Г 487 483 - 491 - 575 - - - -
50Г 487 500 517 533 559 584 609 676 - -
45Г2 - 445 428 - - - - - - -
15Х 496 508 525 538 567 588 626 706 - -
20Х 496 508 525 537 567 588 626 706 - -
ЗОХ . 482 496 513 532 555 583 620 703 687 678
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
227
Продолжение табл. 2.2.11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И
40Х 466 508 529 563 592 622 634 664 - -
40ХФА 466 508 529 563 592 621 634 664 - -
18ХГТ 495 508 525 537 567 588 626 705 - -
25ХГСА 496 504 512 533 554 584 622 693 - -
ЗОХГТ 495 508 525 537 567 588 626 705 - -
ЗОХГС 493 504 512 533 554 584 622 693 - -
ЗОХГСА 496 504 512 533 554 584 622 693 - -
ЗЗХС 466 508 529 563 592 622 634 664 - -
38ХС 466 508 529 563 592 621 634 663 - -
ЗОХМ 462 - - - - - - - - -
ЗОХМА 462 - - - - - - - - -
35ХМ 462 - - - - - - - - -
38ХМА 496 508 525 538 567 600 672 697 - -
38Х2МЮА 496 517 533 546 575 609 638 676 - -
50ХН 500 510 560 630 700 800 910 650 610 700 .
12ХН2, 12ХН2А 494 507 523 536 565 586 624 703 - -
12ХНЗА - - - 528 540 565 - - - -
20ХНЗА 494 507 523 536 565 586 624 703 -
ЗОХНЗА 494 504 518 536 558 587 657 703 695 687
40ХН2МА 490 506 522 536 565 - - - - -
38XH3MA 496 508 525 538 567 601 672 697 - -
38Х2Н2МА 490 502 523 532 565 590 615 670 - -
30ХН2МФА 466 508 529 567 588 - - - - -
36Х2Н2МФА 496 508 525 538 567 601 672 697 - -
38ХНЗМФА 496 508 525 538 567 601 672 697 - -
45ХН2МФА 480 500 520 540 555 - - - - -
9Х2МФ 440 460 500 570 680 800 940 1100 500 500
75ХМ 490 500 530 570 640 750 900 700 760 810
1.4. Стали конструкционные, теплоустойчивые
12МХ 473 519 565 594 653 733 888 1365 - -
15ХМ 487 - - - - - - - - -
25X1 МФ 462 - - - - - - - - -
25Х2М1Ф 538 575 609 634 676 735 - - - -
20ХЗМВФ 502 560 610 650 710 750 - - - -
15Х5М 483 - - - - - - - - -
1.5. Стали конструкционные рессорно-пружинные
65 483 - - 525 - - - - - -
70 483 487 - 521 - 567 - - - -
60Г 483 487 - 529 - 575 - - - -
65Г 490 510 525 560 575 590 625 705 - -
60С2 510 510 520 535 565 585 620 700 - -
228
Глава 2.2. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Продолжение табл. 2.2.11
Марка стали Температура °C
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
60С2А 510 510 520 535 565 585 620 700 - -
70СЗА 480 510 520 535 565 585 620 700 - -
50ХФА 490 505 510 530 560 580 620 700 - -
65С2ВА 475 500 510 530 555 580 615 690 - -
1.6. Стали конструкционные повышенной обрабатываемости
А12 470 479 517 1 571 | 1
2. Стали инструментальные
2.1. Стали инструментальные углеродистые
У7, У7А - - 580 664 819 970 710 706 685 -
У8, У8А 477 511 528 548 565 594 624 724 724 703
У12, У12А 469 503 519 536 553 720 611 712 703 69?
2.2. Стали инструментальные штамповые
5ХВ2С 1462 1 - 1462 1 1 - 1 1 - 1 1 «5 | 1 - 1 1 - ! 1 832 1 | 752
2.3. Стали инструментальные валковые
90ХФ | 460 1 500 1 1 5601 1 620 1 16701 1 730 1 1 720 1 | 640 | 650
2.4. Стали инструментальные быстрорежущие
11РЗАМЗФ2*1 430 480 540 610 690 800 1010 - - -
Р6М5*1 440 470 500 550 580 670 910 - - -
Р18*1 420 450 470 510 550 610 690 - - -
3. Стали и сплавы коррозионно-стойкие, жаростойкие, жаропрочные, износостойкие
40Х10С2М - - - 532 561 586 - - - -
08X13 462 - - - - - - - - -
12X13 473 487 506 527 554 586 636 657 666 -
30X13 473 486 504 525 532 586 641 679 691 682
40X13 452 477 502 528 553 578 620 666 691 -
12X17 462 - - - - - - - - -
08X17Т 462 - - - - - - - - -
95X18 483 - - - - - - - - -
15Х25Т 462 - - - - - - - - -
14Х17Н2 462 - - - - - - - - -
12Х18Н9 504 - - - - - - - - -
17Х18Н9 504 - - - - - - - - -
08Х18Н10 504 - - - - - - - - -
12Х18Н9Т*2 469 504 511 521 531 541 550 559 567 575
12Х18Н10Т*2 462 504 511 521 531 541 550 559 567 575
20Х23Н13 538 - - - - - - - -
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
229
Продолжение табл. 2.2.11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
20Х23Н18 538 - - - - - - - - -
45Х14Н14В2М - - 507 511 523 528 - - - -
08Х18Г8Н2Т 462 - - - - - - - - -
4. Стали для отливок
15Л 470 479 - 517 - 571 - - - -
20Л 487 500 517 533 559 588 638 706 706 -
25Л 470 483 - 525 - 571 - - - -
ЗОЛ 470 483 - 525 - 571 - - - -
35Л 470 491 512 533 554 580 613 710 701 -
40Л 470 483 - 525 - 571 - - - -
45Л 470 483 - 525 - 571 - - - -
50Л 479 500 517 542 559 584 617 727 710 -
55Л 479 487 - 525 - 571 - - - -
35ХГСЛ 496 504 512 533 554 584 622 693 689 -
40ХЛ 491 508 525 538 567 588 626 701 689 -
35ХМЛ 479 500 512 529 550 580 617 689 685 -
32Х06Л 491 508 521 533 567 584 622 701 684 -
08ГДНФЛ 483 500 517 529 554 571 613 697 693 -
12ДН2ФЛ 487 504 517 529 559 575 617 689 685 -
20ХГСНДМЛ 491 500 521 533 554 584 622 689 685 -
20Х13Л 470 491 512 533 563 596 643 680 693 -
12Х18Н9ТЛ 512 533 533 542 554 571 580 588 596 -
** В отожженном состоянии.
*2 В интервале температур от 25 °C до t.
2.2.12. Коэффициент теплопроводности сталей, Вт/(м*град) [8, 12, 15, 35]
Марка стали Температура t, °C
20 100 200 300 400 • 500 600 700 800 900
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1. Стали конструкционные
1.1. Стали конструкционные, углеродистые качественные
08кп 63 60 56 51 47 41 37 34 30 27
Юкп - 58 54 49 45 40 36 32 29 27
15кп - 53 53 49 46 43 39 36 32 30
20кп - 51 49 44 43 39 36 32 26 26
08пс - 60 56 51 47 41 37 34 30 27
10 пс - 58 54 49 45 40 36 32 29 27
15пс - 53 53 49 46 43 39 36 32 30
20пс - 51 49 44 43 39 36 32 26 26
25пс 52 51 49 46 43 - - - - -
08 - 60 56 51 47 41 37 34 30 27
230
Глава 2.2. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Продолжение табл. 2.2.12
Марка стали Температура t, °C
20 100 200 300 400 500 600 700 800 900
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
10 - 58 54 49 45 40 36 32 29 27
15 53 53 53 49 46 43 39 36 32 30
20 - 51 49 44 43 39 36 32 26 26
25 - 51 49 46 43 40 36 32 26 27
30 52 51 49 46 43 39 36 32 - -
35 - 49 49 47 44 41 38 35 29 28
40 - 51 48 46 42 38 34 30 25 26
45 - 48 47 44 41 39 36 31 27 26
50 - 68 51 44 43 35 - - - -
55 - 68 55 - 36 32 - - - -
60 - 68 53 - 36 - - - - -
15К - 57 53 - 45 - 38 - - -
20К - 51 49 46 42 39 36 - - -
22К 50 48 46 44 - - - - - -
1.2. Стали конструкционные низколегированные для сварных конструкций
14Г2АФ - 46 44 42 40 36 33 29 - -
10ХСНД - 40 39 38 36 34 31 29 - -
1.3. Стали конструкционные, легированные
20Г - 78 67 48 - - - - - -
ЗОГ - 76 65 53 44 38 - - - -
40Г - 60 53 - 47 24 - - - -
50Г 43 42 41 38 36 34 31 29 28 -
10Г2 - - 38 37 36 - - - - -
35Г2 - 40 38 37 36 35 - - - -
45Г2 - - 45 43 41 35 - - - -
50Г2 - 41 • 40 38 36 35 - - - -
15Х 44 44 43 41 39 36 33 32 32 -
20Х 42 42 41 40 38 36 33 32 31 -
ЗОХ - 47 44 42 39 36 32 29 26 27
35Х - 47 43 40 36 - - - - -
38ХА - 50 46 42 40 37 35 31 - -
40Х 41 40 38 36 34 33 31 30 27 -
15ХФ - 43 42 42 40 36 34 30 - -
40ХФА 37 37 37 36 33 31 31 30 28 -
18ХГТ 37 38 38 37 35 34 31 30 29 -
25ХГСА 35 36 37 37 39 34 32 31 29 -
ЗОХГТ 36 37 36 34 33 31 29 28 28 -
ЗОХГС - 37 41 38 37 36 35 34 32 -
ЗОХГСА 38 38 37 37 36 34 33 31 30 -
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
231
Продолжение табл. 2.2.12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
ззхс 40 38 37 37 35 33 31 29 27 -
38ХС 38 38 37 35 34 33 31 29 28 -
40ХС - - 36 - 35 - 34 - - -
ЗОХМ - 46 44 42 42 39 37 36 32 -
30ХМА - 46 44 42 42 39 37 36 32 -
35ХМ - 41 40 39 37 - - - - -
38ХМА 33 35 38 39 36 34 33 31 27 -
38Х2МЮА 33 33 32 31 20 20 28 27 27 -
40ХН - 44 43 41 39 37 - - - -
45ХН - 45 43 41 40 - - - - -
50ХН - 43 40 39 38 37 36 32 23 24
12ХН2, 12ХН2А 38 38 37 35 33 31 30 29 29 -
12ХНЗА - 31 - - 26 - - - - -
20ХНЗА 36 35 34 33 33 31 31 30 28 -
ЗОХНЗА 34 35 36 36 36 35 31 28 27 -
12Х2Н4А - 25 - - 19 - - - - -
20ХН4ФА - 38 38 37 35 34 31 29 28 27
20Х2Н4А - 24 - - 18 - - - - -
40ХН2МА - 42 41 38' 37 33 31 29 27 -
38XH3MA 36 36 36 35 34 33 31 30 29 -
38Х2Н2МА 38 37 35 35 33 32 30 28 28 -
18Х2Н4МА - 36 36 35 35 34 33 32 30 -
34XH3M - 36 37 37 37 35 31 28 - 27
18Х2Н4ВА - 36 36 35 35 34 33 32 30 -
30ХН2МФА 36 35 35 34 32 31 29 28 27 -
36Х2Н2МФА 36 36 35 35 34 33 31 30 29 -
38ХНЗМФА 34 34 34 33 32 32 30 29 28 -
45ХН2МФА 34 34 33 32 31 30 29 27 26 -
1.4. Стали конструкционные, теплоустойчивые
12МХ - 50 50 50 49 47 46 44 - -
15ХМ - 44 41 41 39 36 34 - 29 29
12Х1МФ - 44 44 42 40 37 35 32 28 28
25X1 МФ - 40 39 38 37 36 35 - - -
25Х2М1Ф - 33 32 30 29 28 - - - -
20ХЗМВФ - 36 33 32 31 30 29 29 - -
15Х5М - 37 36 35 34 33 - - - -
1.5. Стали конструкционные подшипниковые
ШХ15 | - | - | 40 | - | 37 | 32 | - | -
232
Глава 2.2. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Продолжение табл. 2.2.12
Марка стали Температура t, °C
20 100 200 300 400 500 600 700 800 900
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1.6. Стали конструкционные рессорно-пружинные
65 - 68 53 - 36 31 - - - -
70 - 68 52 37 29 - - - - -
65Г 37 36 35 34 32 31 30 29 28 -
60С2 28 29 29 30 30 30 29 29 28 -
60С2А 28 29 29 30 30 30 29 29 28 -
70СЗА 25 26 27 28 29 29 29 28 27 -
50ХФА 40 39 38 37 36 33 31 29 28 -
65С2ВА 27 27 28 29 29 29 29 28 28 -
1.7. Стали конструкционные повышенной обрабатываемости
А12 - 78 67 - 1 - 1 1 - 1 1 1 1 - 1 1 - 1 1 -
2. Стали инструментальные
2.1. Стали инструментальные углеродистые
У7, У7А 46 46 - 41 - - 33 - - 29
У8, У8А - 49 46 42 38 35 33 30 24 25
У9, У9А - 49 48 46 43 40 37 33 - -
У10, У10А 40 44 - 41 - - 38 - - 34
У12, У12А - 45 43 40 37 35 32 28 24 25
2.2. Стали инструментальные штамповые
5ХНМ - 38 40 42 42 44 46 - - -
ЗХ2В8Ф - 25 27 29 40 46 50 - - -
ЗХЗМЗФ 32 34 36 36 36 36 34 34 33 34
4Х5МФ1С 22 25 27 29 30 ' 31 31 31 31 32
4Х5МФС 29 30 30 31 33 31 30 28 26 27
2.3. Стали инструментальные валковые
9Х2МФ - 38 36 34 33 32 30 25 23 21
75ХМ - 45 41 40 39 38 37 35 24 31
90ХФ - 44 42 38 36 33 31 29 27 27
2.4. Стали инструментальные быстрорежущие
11РЗАМЗФ2*1 - 27 28 28 29 29 30 30 - -
11РЗАМЗФ2*2 - 15 18 20 23 25 27 - - -
11РЗАМЗФ2*3 - 26 27 27 28 29 29 - - -
Р6М5*1 - 33 34 35 36 36 37 31 - 36
Р6М5*2 - 13 15 17 19 21 23 - - -
Р6М5*3 - 21 23 25 27 29 31 - - -
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
233
Продолжение табл. 2.2.12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Р6М5К5'1 - 27 28 29 30 32 33 34 - 29
Р6М5К5'3 - 16 18 21 24 27 29 - - -
Р6М5ФЗ'1 - 23 24 26 27 28 29 31 - -
Р6М5ФЗ'2 - 10 13 17 20 24 26 - - -
Р6М5ФЗ’3 - 18 20 21 23 25 26 - - -
Р9К5”1 - 26 28 29 30 30 30 30 - -
Р9К5”2 - 14 16 19 21 24 26 - - -
Р9К5"3 - 20 24 25 26 27 28 - - -
Р9‘3 - 23 25 26 28 30 31 - - -
Р12'3 - 22 24 25 25 27 28 - - -
Р18* *1 - 26 27 28 29 28 27 27 - 27
Р18‘2 - 17 18 21 24 26 27 - - -
Р18'3 - 20 21 22 23 24 26 - - -
Р9М4К8’1 - 25 27 28 29 30 31 32 - 32
Р9М4К8"3 - 18 21 23 26 28 30 - - -
3. Стали и сплавы коррозионно-стойкие, жаростойкие, жаропрочные, износостойкие
40Х9С2 - 17 - 20 - - 22 - 22 -
40Х10С2М 17 18 20 22 22 24 25 26 - -
08X13 - 28 28 28* 28 27 26 26 25 27
12X13 - 28 28 28 28 27 26 26 25 27
20X13 - 26 26 26 26 27 26 26 27 28
30X13 - 26 27 28 28 27 27 27 25 27
40X13 25 26 27 28 29 29 29 28 28 29
12X17 - 24 24 25 26 26 - - - -
08Х17Т 25 - - - - - - - - -
95X18 24 - - - - - - - - -
15Х25Т 17 - - - - - - - - -
15X28 - 21 22 23 23 24 25 - - -
25Х13Н2 18 19 20 22 24 - - - - -
10Х14Г14Н4Т 15 17 18 21 24 30 36 43 51 -
14Х17Н2 21 22 23 24 24 25 26 27 28 30
12Х18Н9 - 16 18 19 20 22 23 25 26 -
17Х18Н9 18 19 20 21 22 24 25 26 27 28
08Х18Н10 17 - - - - - - - - -
12Х18Н9Т - 16 18 20 21 23 25 26 28 29
12Х18Н1ОТ 15 16 18 19 21 23 25 27 26
*! В отожженном состоянии.
*2 В закаленном состоянии.
*3 В отпущенном после закалки состоянии.
234
Глава 2.2. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Продолжение табл. 2.2.12
Марка стали Температура t, °C
20 100 200 300 400 500 600 700 800 900
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
О8Х18Н1ОТ - 16 18 19 - - - - - -
12Х18Н12Т 15 16 18 19 21 23 25 27 26 -
20Х20Н14С2 - 15 17 18 19 21 23 24 26 28
08Х22Н6Т - 15 16 18 20 21 23 24 27 30
20Х23Н13 - - 17 19 21 23 24 27 29 31
12Х25Н16Г7АР 14 15 16 18 19 21 22 24 26 28
20Х23Н18 14 16 - 19 - 22 - - - -
20Х25Н20С2 - 15 - - - 22 24 25 27 29
15Х12ВНМФ - 25 25 26 26 27 27 - - -
20Х12ВНМФ - 25 25 26 26 27 27 - - -
37Х12Н8Г8МФБ - 17 18 20 21 23 25 26 27 29
45Х14Н14В2М 14 16 17 19 20 21 22 24 - -
40Х15Н7Г7Ф2МС - 14 16 18 20 22 24 26 - -
31Х19Н9МВБТ - 15 16 18 20 22 24 25 - -
06ХН28МДТ 13 13 15 17 - 22 24 25 26 -
ХН35ВТ - 13 16 17 19 21 22 24 26 -
ХН35ВТЮ 13 16 18 19 21 23 25 26 28 29
ХН70Ю 12 13 14 16 17 19 21 23 25 -
ХН70ВМЮТ - 12 13 17 19 29 30 30 - -
ХН70ВМТЮФ 9 11 13 15 17 19 21 23 26 28
ХН77ТЮР 13 14 16 17 19 21 24 25 28 31
ХН78Т 14 15 17 19 20 21 23 24 25 -
ХН80ТБЮ - 13 16 18 20 22 24 26 29 -
X2OH8O-II - 14 16 17 19 - 23 - - -
08Х18Г8Н2Т 21 - - - - - - - - -
4. Стали для отливок
15Л - 78 67 - 48 41 - - - -
20Л 54 53 51 48 43 39 35 32 27 27
25Л 51 76 65 44 38 - - - - -
ЗОЛ - 76 65 - 44 38 - - - -
35Л 53 51 49 45 42 39 35 31 27 27
40Л - 60 53 - 47 41 - - - -
45Л - 68 55 - 36 32 - - - -
50Л 48 48 46 44 41 38 34 30 25 26
55Л - 68 55 - 36 32 - - - -
35ХГСЛ 36 37 38 38 37 35 33 32 30 29
40ХЛ 48 46 45 42 39 35 32 28 27 27
35ХМЛ 47 44 42 40 37 34 31 28 27 27
32Х06Л 50 49 46 42 39 36 32 29 26 27
08ГДНФЛ 39 39 39 39 37 35 32 30 28 27
12ДН2ФЛ 37 38 38 38 37 34 32 29 27 27
20ХГСНДМЛ 25 27 28 30 32 3? 33 31 28 28
20X1ЗЛ 21 23 24 25 26 27 27 27 28 28
12Х18Н9ТЛ 15 16 18 19 21 22 24 25 26 27
2.2.13. Теплофизические свойства чугунов [34]
Чугун Химический состав, % (по массе) -100 in6 a20 10 , 1/град х100 C20 ’ C20’ T100 a20 ’ Bt/(m • град) p, т/м3
С Si Mn Дж/(кг • град)
Серый с пластинчатым графитом СЧ10-СЧ18 СЧ20 - СЧ30 СЧ35 3,4 - 3,7 3,0 - 3,5 2,9 - 3,0 1,9 - 2,6 1,0 - 2,2 1,0- 1,1 0,5 - 0,8 0,7 - 1,0 0,7 - 1,1 10*- 11 10 - 11 11,5 - 12,0 502 - 544 502 - 544 502 - 544 586 - 628 586 - 628 628 - 670 40,0 - 54,4 41,8 - 50,2 37,6 - 46,0 6,7 - 7,2 7,0 - 7,3 7,2 - 7,4
Высокопрочный*1 ВЧ35 - ВЧ45 ВЧ60 - ВЧ80 ВЧ100 2,7 - 3,8 3,0 - 3,6 3,2 - 3,6 0,5 - 2,9 2,4 - 2,9 3,0 - 3,8 0,2 - 0,7 0,4 - 0,7 0,4 - 0,7 11,5 - 12,5 10- 11 9- 10 460 - 502 502 - 523 523 - 565 586 - 628 628 - 670 628 - 670 37,6 - 46,0 33,5 - 41,9 29,3 - 37,6 7,1 - 7,2 7,2 - 7,3 7,2 - 7,35
Ковкий КЧ30-6 - КЧ37-12 КЧ45-5 - КЧ65-3 2,4 - 2,9 2,5 - 2,8 1,0- 1,4 1,1 - 1,3 0,2 - 0,6 0,3 - 1,0 10,5 - 11,0 10,3 - 10,8 460 - 511 527 - 544 586 - 628 628 - 670 54,4 - 62,8 50,2 - 54,4 7,2 - 7,24 7,3 - 7,5
Легированный никелевый ЧН20Д2Ш*2 с 35 - 37 % Ni 20 % Ni; 2 % Си 17- 19 1,5 - 2,5 - 460 - 502 17,4 7,5 - 7,7
Хромистый ЧХ16 ЧХ22 ЧХ28 4X32 16 % Сг 22 % Сг 28 % Сг 32 % Сг 9- 10 9- 10 - - 32,5"’ 25,5'3 17,4‘3 19,8’3 7,3 - 7,6 7,3 - 7,6
Кремнистый ЧС5 ЧС15, ЧС17 5 % Si 15 % Si; 17 % Si 14 - 17м 4.7'3 21,0*s 10,5 6,7 - 7,0
Алюминиевый ЧЮ22Ш*2 ЧЮ30 22 % Al 30% Al 17,5'3 22 - 23м - - 15,1 - 28,0*5 6,4 - 6,7
Примечание. Здесь и далее а^, с20, Х20 " сРеДние (в интервале температур от 20 °C до О коэффициент линейного расшире-
ния, изобарная теплоемкость, коэффициент теплопроводности.
41 Химический состав зависит от толщины: при меньших толщинах содержание С и Si больше.
* 2 Ш - с шаровидным графитом.
* 3 В интервале температур от 20 до 200 °C.
* 4 В интервале температур от 20 до 900 °C.
* 5 В интервале температур от 20 до 500 °C.
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
236
Глава 2.2. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
2.2.14. Теплофизические свойства двойных латуней, обрабатываемых давлением [34]
Латунь* Температура начала плавления, °C Р, т/м3 а • 10^ , 1/град х, Вт/(м • град) Дх/(кг-град)
20 °C зоо °с
Л96 1055 8,85 17 18 245 389
Л90 1025 8,78 17,1 18,4 180 398
Л85 990 8,75 18,7 18,7 152 398
Л80 965 8,66 18,8 19,1 142 399
Л70 915 8,61 18,9 19,9 121 377
Л68 909 8,6 19 20 113 377
Л63 900 8,44 20,5 20,6 109 377
Л60 895 8,4 20,7 21 105 377
Л75 980 (Ликвидус) 8,63 - 19,6 -
Л66 905 8,47 - '20,1 120 377
* Двузначное число показывает среднее содержание меди (%) в сплаве, остальное - цинк.
2.2.15. Теплофизические свойства многокомпонентных латуней, обрабатываемых давлением [34]
Латунь* Температура О/-> плавления, С Р, т/м3 а • 10^ , 1/град х, Вт/(м • град) Ср, Дх/(кг-град)
20 °C зоо °с
ЛА85-0.5 1020 8,6 18,6 108,8 377
ЛА77-2 930 8,6 18,3 18,5 113
ЛАЖ60-1-1 904 8,2 21,6 75,3
ЛАН59-3-2 892 8,4 19 83,7
ЛЖМц59-1-1 885 8,5 22 - 100,4
ЛН65-5 960 8,6 18,2 - 58,6
ЛМц58-2 865 8,4 21,2 - 71,2 373
ЛМцА57-3-1 870 8,1 20,1 - 67
ЛО90-1 995 8,75 18,4 18,4 125,6
ЛО70-1 890 8,68 19,7 - 117
ЛО62-1 885 8,5 19,3 108,9
ЛО60-1 885 8,5 21,4 21,4 100,4 377
ЛС63-3 885 8,5 20,5 - 117 377
ЛС74-3 965 8,7 17,5 19,8 121,4
ЛС64-2 910 8,5 20,3 117
ЛС60-1 900 8,5 20,8 20,8 104,7 377
ЛС59-1 900 8,5 20,6 18,25 104,7 377
ЛС59-1В 900 8,5 20,6 18,25 104,7 377
ЛЖС58-1-1 895 8,4 20,4 - 108,9
ЛК80-3 890 8,2 17,0 17,0 87,9 402
ЛМш68-0,05 937 8,6 ' 19,1 20,0 113
ЛАМш77-2-0,05 985 . 8/ 19,2 18,5 134 377
ЛОМш70-1-0,05 949 8,6 19,0 117
ЛАНКМц75-2-2,5-
0,5-0,5:
закалка 940 8,6 18,3 - 92,1 -
старение * - - - 125,6 -
Примечание. Здесь и далее в медьсодержащих сплавах (табл. 2.2.15 - 2.2.21) приня-
ты обозначения элементов: М - медь, Н - никель, Ж - железо, Мц - марганец, Ц - цинк,
С - свинец, А - алюминий, О - олово, К - кремний, Мш - мышьяк, Ф - фосфор.
* За буквой Л (латунь) следуют буквенные обозначения элементов, далее - среднее содер-
жание меди и других элементов (%), остальное - цинк.
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
237
2.2.16. Теплофизические свойства литейных латуней [34]
Латунь’ р, т/м3 X, Вт/(м • град) а • 10^ , 1/град Температура плав- ления, С
ЛЦ16К4 8,3 83,7 17 900
ЛЦ14КЗСЗ 8,6 83,7 17 900
ЛЦ23АбЖЗМц2 8,5 50,2 19,8 900
ЛЦЗОАЗ 8,5 113 - 995
ЛЦ40АЖ 8,5 113 21,6 904
ЛЦ38Мц2С2 8,5 46 20,6 885
ЛЦ35Н2ЖА 8,4 - - 916
ЛЦ40С 8,5 108,8 20,1 885
ЛЦ36Мц2О2С2 8,5 50,2 - 890
ЛЦ40Мц1,5 8,4 71,2 21,2 880
ЛЦ40МцЗЖ 8,5 100,5 22 870
ЛЦ25С2 8,5 100,5 - 920
* За буквой (Л) латунь следуют буквенные обозначения элементов и их процентное со-
держание; (отсутствие числа означает, что содержание элемента менее 1 %).
2.2.17. Теплофизические свойства оловянных бронз, обрабатываемых давлением [34]
Бронза’ Температура плавления, °C •Р, т/м3 а • 10^ , 1/град X, Вт/(м • град)
Ликвидус Солидус 20 °C 300 °C
БрОФ6,5-0,4 - 995 8,8 17,1 19,1 71
БрОФ6,5-0,15 - 995 8,8 17,1 19 71
БрОФ7-0,2 - 900 8,6 17,0 - 42
БрОФ8-0,3 - 880 8,6 17,0 - 41
БрОФ4-0,25 - 1060 8,9 17,6 19,4 84
БрОЦ4-3 - 1045 8,8 18 - 84
БрОЦС4-4-2,5 1018 887 9,0 18,2 - 84
БрОЦС4-4-4 1015 - 9,1 18,1 - 84
* За буквами Бр (бронза) следуют буквенные обозначения элементов и далее через дефис
процентное содержание этих элементов; остальное - медь.
2.2.18. Теплофизические свойства литейных оловянных бронз [34]
Бронза’ Температура О/^ плавления, С р, т/м3 а • 10^ , 1/град X, Вт/(м • град) Ср,Дж/(кг- град)
БрОЗЦ7С5Н1 1022 8,7 17,61 62,8 364,3
БрОЗЦ12С5 998 8,7 - - -
БрО4Ц4С17 970 8,9 - - -
БрО5Ц5С5 - 8,8 19,1 - 393,6
238
Глава 2.2. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Продолжение табл. 2.2.18
Бронза* Температура 0/^ плавления, С р, т/м3 а • 10^ , 1/град X, Вт/(м • град) Ср, Дж/(кг* град)
БрО4Ц7С5 - 8,7 - - -
БрОЮ 1020 8,8 18,5 48,1 368,4
БрО19 880 8,6 18,8 - -
БрОЮФ! 934 8,7 17,3 49 427
БрОЮЦ2 1015 8,5 17,3 55,3 381
БрО8Ц4 1000 8,8 16,6 68,2 355,9
БрО8С12 940 9,1 17,1 - -
БрО5С25 940 - 17,6 58,6 -
БрОбЦбСЗ 967 8,82 17,1 75,4 -
БрО8Н4Ц2 810 8,86 17,61 - -
* За буквами Бр (бронза) следуют буквенные обозначения элементов и их процентное со-
держание; остальное - медь.
2.2.19. Теплофизические свойства безоловянныХ бронз, обрабатываемых давлением [34]
Бронза* Температура плавления, °C р,т/м3 а•106, 1/град х, Вт/(м • град) Ср, Дж/(кг-град)
БрА5 1056 8,2 18,2 88-104,7 -
БрА7 1040 7,8 17,8 79,5 -
БрАЖ9-4 1040 7,5 16,2 58,6 423
БрАЖМц 10-3-1,5 1045 7,5 16,1 58,6 -
БрАЖН 10-4-4 1040 7,5 17,1 75,4 -
БрАМц9-2 1060 7,6 17,0 71,2 461
БрБ2:
мягкая 955 8,2 16,6 83,7 419
состаренная 955 8,23 16,6 104,7 -
деформированная 955 8,23 16,6 75,4 -
БрБНТ1,9 860 8,3 16,5 100,5 -
БрКМцЗ-1 970 8,4 18 37,7 377
БрКН1-3 1050 8,6 16,1 104,7 -
БрМц5 1007 8,6 20,4 41,9- -
‘ За буквами Бр (бронза) следуют буквенные обозначения элементов и далее через дефис
- процентное содержание этих элементов; остальное - медь.
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
239
2.2.20. Теплофизические свойства литейных безоловянных броиз [34]
Бронза* р, т/м3 Температура О/** плавления, С а • 10^ , 1/град X, Вт/(м • град)
БрА10ЖЗМц2 7,5 1045 16 58,6
БрА10Ж4Н4Л 7,5 1040 17,1 75,4
БрА9Мц2Л 7,6 1060 17 71,2
БрА9Ж4 7,6 1040 16,32 58,6
БрСЗО 9,54 954 18,4 142,4
БрА9ЖЗЛ 7,6 1040 16 58,6
БрСу6С12Ф0,3 8,0 - 17,8 46
БрСу6Н2 8,7 1065 17,9 62,8
БрСубФ! 8,5 - 17,3 4,6
БрСуЗНЗЦЗС20Ф 9,1 - 17,4 54,4
* За буквами Бр (бронза) следуют буквенные обозначения элементов и их процентное со-
держание; остальное - медь. Буква Л в конце марки означает, что бронза предназначена для
фасонного литья.
2.2.21. Теплофизические свойства конструкционных медно-никелевых сплавов [34, 50]
Сплав* Температура плавления, С Р, т/м3 X, Вт/(м • град) СР> Дж/(кг • град) а•106 , 1/град
Ликвидус Солидус
Мельхиор:
МНЖМцЗО-1-1 1230 1170 8,9 37,3 - 16
МН19 1190 ИЗО 8,9 38,5 - 16
Манганин
МНМцЗ-12 - - 8,4 21,7 - 16
Константан
МНМц40-1,5 - - 8,9 20,9 - 14,4
Копель
МНМц43-0,5 - - 8,9 24,2 - 14,0
Нейзильбер 1080 - 8,76 27,2-35,6 397,7 16,6
МНЦ15-20
Свинцовый нейзиль- бер МНЦС16-29-1.8 1120 965 8,82 - - -
Куниаль А МНА13-3 1183 1120 8,5 - - -
Куниаль Б МНА6-1,5 - 1145 8,7 - - -
МН95-5 1120 1086 8,7 100,5 376,8 16,4
МНЖ5-1 1120 - 8,7 129,8 - 16,4
’ За буквой М (медно-никелевый сплав) следуют буквенные обозначения элементов и да-
лее через дефис - процентное содержание этих элементов; остальное - медь.
2.2.22. Теплофизические свойства деформируемых сплавов алюминия [34]
Сплав Химический состав’, % (по массе) P, т/м3 a•10®, 1/град X, Вт/(м • град) с₽’ кДж/(кг • град)
при температуре С
100 400 100 400 100 400
АДО > 99,5 А1 2,71 24,0 25,6 226 - - -
АД1 > 99,3 А1 2,71 24,0 25,6 226 - - -
АМц (1,0-1,6) Мп 2,73 23,2 25,0 180 189 1,090 1,30
АМг2 (1,8-2,6) Mg, (0,2-0,6) Мп 2,68 24,2 27,6 159 168 0,963 1,09
АМгЗ (3,2-3,8) Mg, (0,3-0,6) Мп, (0,5-0,8) Si 2,67 23,5 26,1 151 159 0,880 1,05
АМг4 (3,8-4,6) Mg, (0,5-0,8) Мп, (0,02-0,1) Ti, (0,05-0,25) Cr, (0,00025-0,005) Be 2,67 24,3 24,6 138 155 0,963 1,07
АМг5 (4,8-5,8) Mg, (0,3-0,8) Mn, (0,02-0,1) Ti, (0,0002-0,005) Be 2,65 - - 126 147 0,922 1,09
АМг5П (4,7-5,7) Mg, (0,2-0,6) Mn 2,65 24,1 26,2 126 147 0,922 1,05
АМгб (5,8-6,8) Mg, (0,5-0,8) Mn, (0,02-0,1) Ti, (0,0002-0,005) Be 2,64 24,7 27,4 122 138 0,922 1,09
Д18 (2,2-3,0) Cu, (0,2-0,5) Mg 2,76 23,4 24,5 172 193 0,922 1,17
В65 (3,9-4,5) Cu, (0,15-0,30) Mg, (0,3-0,5) Mn 2,80 - - 155 184 0,964 1,17
Д1 (3,8-4,8) Cu, (0,4-0,8) Mg, (0,4-0,9) Mn 2,80 22,9 25,0 130 174 0,922 1,05
Д16 (3,8-4,9) Cu, (1,2-1,8) Mg, (0,3-0,8) Mn 2,80 22,9 - 130 163 0,922 1,17
Д19 (3,8-4,3) Cu, (1,7-2,3) Mg, (0,5-1,0) Mn, (0,0002-0,005) Be 2,76 20,3 - 138 172 0,880 1,09
ВД17 (2,6-3,2) Cu, (2,0-2,4) Mg, (0,45-0,7) Mn 2,75 23,6 25,4 142 172 0,838 0,964
АК4-1 (1,9-2,7) Cu, (1,2-1,8) Mg, (0,8-1,4) Ni, (0,8-1,4) Fe, (0,02-0,1) Ti 2,80 20,8 23,0 146 163 0,797 0,964
АД31 (0,4-0,9) Mg, (0,3-0,7) Si 2,71 23,4 26,7 188 188 0,921 1,05
АДЗЗ (0,15-0,40) Cu, (0,8-1,2) Mg, (0,4-0,8) Si, (0,15-0,35) Cr 2,71 23,2 25,0 151 172 0,945 1,05
АВ (0,1-0,5) Cu, (0,45-0,90) Mg, (0,15-0,35) Mn, (0,5-1,2) Si 2,70 23,5 25,4 180 188 0,797 1,09
АК6 (1,8-2,6) Cu, (0,4-0,8) Mg, (0,4-0,8) Mn, (0,7-1,2) Si 2,75 21,4 23,8 180 189 0,838 1,00
АК8 (3,9-4,8) Cu, (0,4-0,8) Mg, (0,4-1,0) Mn, (0,6-1,2) Si 2,80 22,5 24,5 168 180 0,838 1,09
В95 (1,4-2,0) Cu, (1,8-2,8) Mg, (0,2-0,6) Mn, (5,0-7,0) Zn, (0,1-0,25) Cr 2,85 22,0 - 178 179 0,920 1,09
В93 (0,8-1,2) Cu, (1,6-2,2) Mg, (0,2-0,4) Fe, (6,5-7,3) Zn 2,84 23,8 - 151 163 0,880 1,13
В96ц1 (2,0-2,6) Cu, (2,3-3,0) Mg, (0,3-0,8) Mn, (8,0-9,0) Zn, (0,1-0,16) Zr 2,89 23,9 - 155 167 0,861 1,13
1420 (5,0-6,0) Mg, (0,1-0,3) Si, (0,09-0,15) Zr, (1,9-2,3) Li 2,47 22,2 - 80 83** 1,070 1,24
* Основа всех сплавов - алюминий.
“При 300 °C.
Глава 2.2. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
2.2.23. Теплофизические свойства литейных сплавов алюминия [34]
Сплав Химический состав, % (по массе) (Основа алюминий) P, t/m3 a • 106, 1/град X, Вт/(м • град) кДж/(кг • град)
при температуре, С
100 300 100 400 100 400
АК12 (АЛ2) (10,0-13,0) Si 2,65 21,1 23,3 168 168 0,838 1,00
АК9ч (АЛ4) (0,17-0,3) Mg, (8,0-10,5) Si, (0,2-0,5) Мп 2,65 21,7 23,5 155 155 0,755 0,922
АК7ч, АК7пч (АЛ9, АЛ9-1) (0,2-0,4) Mg, (6,0-8,0) Si, [для АК7пч: (0,08-0,15) Ti] 2,66 21,8 23,8 155 168 0,880 1,05*3
АК8 (АЛ34) (0,35-0,55) Mg, (6,5-8,5) Si, (0,1-0,3) Ti, (0,15-0,4) Be 2,63 20,7 24,4 155 163 0,840 -
АК8М (АЛ32) (0,3-0,5) Mg, (7,5-9,0) Si, (0,3-0,5) Mn, (1,0-1,5) Cu, (0,1-0,3) Ti 2,65 20,4 23,3 - - - -
АМ5 (АЛ 19) (0,6-1,0) Mn, (4,5-5,3) Cu, (0,15-0,35) Ti 2,78 19,5 22,З*1 130 158 0,838 1,13
АК5М (АЛ5) (0,35-0,6) .Mg, (4,5-5,5) Si, (1,0-1,5) Cu 2,68 23,1 23,9 163 176е2 0,838 1,13
АК5Мч (АЛ5-1) (0,40-0,55) Mg, (4,5-5,5) Si, (1,0-1,5) Cu, (0,08-0,15) Ti 2,68 23,1 23,9 163 176*2 0,838 1,13
AMrll (АЛ22) (10,5-13,0) Mg, (0,8-1,2) Si, (0,05-0,15) Ti, (0,03-0,07) Be 2,50 24,5 27,3 88 105 0,880 1,00
АЦ4Мг (АЛ24) (1,5-2,0) Mg, (0,2-0,5) Mn, (0,1-0,2) Ti, (3,4-4,5) Zr 2,74 23,2 25,2 - 117*1 - -
АМгЮ (АЛ27) (9,5-10,5) Mg, (0,05-0,15) Ti, (0,05-0,15) Be, (0,05-0,2) Zr 2,55 24,5 - 89 113 1,050 1,13
АК8МЗч (ВАЛ8) (0,2-0,45) Mg, (7,0-8,5) Si, (2,5-3,0) Cu, (0,1-0,25) Ti, (0,1-0,25) Be, (0,5-1,0) Zn 2,73 22,9 - 130 - 0,920 -
Примечание. В скобках указаны старые марки сплавов.
* • В интервале температур 20 - 400 °C .
* 2 При температуре 300 °C .
* 3 При температуре 350 °C .
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
2.2.24. Теплофизические свойства литейных магниевых сплавов [34]
Сплав Химический состав, % (по массе) (Основа магний) p, т/м3 a ♦ 10^ , l/ipaa (при 200 °C ) X, Вт/(м • град) Ср, ДжДкгтрад)
МЛ 2 (1,0-2,0) Мп 1,80 27,3 134 1047
МЛЗ (2,5-3,5) А1, (0,15-0,5) Мп, (0,5-1,5) Zn 1,78 27,0 105 1047
МЛ4 (5,0-7,0) Al, (0,15-0,5) Мп, (2,0-3,5) Zn 1,83 27,6 80 1047
МЛ5 (7,5-9,0) Al, (0,15-0,5) Мп, (0,2-0,8) Zn 1,81 28,1 79 1047
МЛ6 (9,0-10,2) Al, (0,1-0,5) Мп, (0,6-1,2) Zn 1,81 27,3 79 1047
МЛ8 (5,5-6,6) Zn, (0,7-1,1) Zr, (0,2-0,8) Cd 1,82 27,2 120 1005
МЛ9 (0,4-1,0) Zr 1,76 27,1 118 -
МЛ10 (0,1-0,7) Zn, (0,4-1,0) Zr, (2,2-2,8) Nd 1,78 28,0 113 1047
МЛ 11 (0,2-0,7) Zn, (0,4-1,0) Zr, (2,5-4,0) P3M‘ 1,80’ - 117 1047
МЛ12 (4,0-5,0) Zn, (0,6-1,1) Zr 1,81 27,3 134 963
МЛ15 (4,0-5,0) Zn, (0,7-1,1) Zr, (0,6-1,2) La 1,83 26,9 138 921
МЛ 19 (0,1-0,6) Zn, (0,4-1,0) Zr, (1,6-2 3) Nd, (1,4-2,2) Y 1,79 27,7 88 ИЗО
* РЗМ - элементы, входящие в состав цериевого мишметалла, содержащего не менее 45 % церия.
242 Глава 2.2. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
243
2.2.25. Теплофизические свойства титановых сплавов [34]
t, °C X, Вт/(м • град) ср , кДж/(кг • град) а • 10^ , 1/град
ВТ5 (р = 4400 кг/м3)
20 8,8 - -
100 9,6 0,549 8,3
200 10,5 0,587 8,9
300 11,3 0,633 9,5
400 12,2 0,670 10,4
500 14,2 0,712 10,6
600 15,5 0,758 10,8
ВТ5-1 (р = 4420 кг/м3)
20 8,8 - -
100 9,6 0,503 8,5
200 10,9 0,549 9,3
300 12,2 0,565 9,7
400 13,4 0,587 10,0
500 14,7 0,633 10,3
600 15,9 0,670 10,5
ПТ-7М (р = = 4490 кг/м3)
100 9,3 - 8,8
200 10,5 0,625 8,9
300 11,9 0,659 9,2
400 13,3 0,690 9,4
ОТ4-1 (р = 4550 кг/м3)
20 9,6 - -
100 10,5 0,503 8,0
200 11,3 0,565 8,6
300 12,2 0,633 9,1
400 13,4 0,670 9,6
500 14,7 0,758 9,4
600 16,3 0,842 -
ВТ20 (р = 4450 кг/м3)
100 8,8 0,549 8,8
200 10,1 0,587 8,8
300 10,9 0,633 9,0
400 12,2 0,670 9,2
500 13,8 0,712 9,3
600 15,1 0,758 9,5
244
Глава 2.2. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Продолжение табл. 2.2.25
t, °C X, Вт/(м • град) ср , кДж/(кг • град) а • 10^ , 1/град
ВТ6 (р = 4430 кг/м3)
20 8,4 - -
100 9,2 0,549 8,4
200 10,9 0,587 9,3
300 11,3 0,670 9,8
400 12,2 0,712 10,1
500 13,8 0,796 -
600 15,5 0,884 -
ВТ14 (р = 4520 кг/м3)
20 8,4 -
100 9,2 0,503 8,0
200 10,4 0,549 8,2
300 11,7 0,587 8,5
400 13,0 0,633 8,8
500 13,8 0,670 8,9
600 15,5 0,712 8,7
ВТЗ-1 (р = 4500 кг/м3)
20 8,0 - -
100 8,8 0,461 9,2
200 10,1 0,503 9,8
300 11,3 0,549 10,3
400 12,2 0,620 10,9
500 14,2 0,670 11,4
600 15,5 0,712 11,4
ВТ8(р = 4480 кг/м3)
20 7,1 - -
100 - - 8,3
200 - 0,502 8,6
300 - 0,586 8,7
400 - - 8,8
500 - 0,628 9,0
600 - 0,670 9,1
ВТ22 (р = 4600 кг/м3)
20 8,4 - -
100 9,2 0,545 7,8
200 10,4 0,587 8,3
300 11,7 0,633 8,7
400 13,4 0,670 9,2
500 14,7 0,712 9,7
600 15,9 0,754 9,2
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
245
2.2.26. Химический состав (основа - титан) промышленных деформируемых титановых сплавов [34]
Марка Химический состав, % (по массе)
ВТ-5 (4,3-6,2) А1
ВТ-5-1 (4,3-6,0) А1, (2,0-3,0) Sn
ОТ4-1 (1,0-2,5) Al, (0,7-2,0) Mn
ВТ20 (5,5-7,0) Al, (0,5-2,0) Mo, (0,8-2,5) V, (1,5-2,5) Zr
ПТ-7М (1,8-2,5) Al, (0,5-2,0) Zr
ВТЗ-1 (5,5-7,0) Al, (2,0-3,0) Mo, (0,8-2,3) Cr, (0,15-0,40) Si, (0,2-0,7) Fe
ВТ6 (5,3-6,8) Al, (3,5-5,3) V
ВТ14 (3,5-6,3) Al, (2,5-3,8) Mo, (0,9-1,9) V
ВТ8 (6,0-7,3) Al, (2,8-3,8) Mo, (0,2-0,4) Si
ВТ22 (4,4-5,9) Al, (4,0-5,5) Mo, (4,0-5,5) V, (0,5-2,0) Cr, (0,5-1,5) Fe
2.2.27. Параметры выражения (2.1.10) для коэффициента самодиффузии [38]
Металл Температурный интервал, °C Dq , см2/с Е, кДж/моль
Алюминий 330-460 0,10 128
450-650 1,71 142
Ванадий 880-1356 0,36 308
1356-1833 2,14 896
Вольфрам 2000-2700 0,54 505
2660-3230 42,8 641
а -железо 900-1200 3,60 297
у -железо 1070-1350 1,05 284
1407-1515 6,80 258
S -железо 700-1100 0,48 275
Золото 600-950 0,031 165
850-1050 0,107 177
Кобальт 770-1050 0,50 274
1000-1300 0,20 260
Медь 500-1000 70,0 234
Молибден 1700-1920 2,77 465
1850-2350 0,30 398
Никель 1042-1404 1,9 285
Платина 1250-1725 0,22 278
Свинец 174-322 0,281 101
Серебро 450-900 0,81 191
246
Глава 2.2. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
2.2.28. Параметры выражения (2.1.10) для коэффициента диффузии
малой примеси в меди и никеле [38]
Диффундирующий элемент Температурный интервал, °C Dq , см2/с Е, кДж/моль
В меди:
Железо 446-801 1,40 217
Кобальт 428-804 1,93 227
Никель 470-803 2,70 237
Медь 227-727 70 234
Цинк - 0,34 191
Серебро - 0,63 195
Кадмий - 0,93 189
Золото 427-727 0,15 191
В никеле:
Магний 1100-1300 0,44 234
Алюминий 800-970 1,1 249
1100-1300 1,87 268
Кремний 800-970 10,6 271
1100-1300 1,5 258
Титан 1100-1300 0,86 257
Хром 690-900 0,03 171
1100-1268 1,1 273
Марганец 1100-1300 7,5 281
Железо 900-1500 0,8 255
Кобальт 748-1192 0,75 271
1155-1373 1,11 272
Медь 1054-1359 0,57 258
Молибден 1100-1300 3,0 288
Вольфрам 1100-1300 Н,1 322
Золото 900-1100 2,0 272
2.2.29. Параметры выражения (2.1.10) для коэффициента взаимной диффузии [38]
Диффундирую- щий элемент Диффузионная среда Концентрация диффундирую- щего элемента, атомн. % Температурный интервал, °C Dq , см2/с Е, кДж/моль
1 2 3 4 5 6
Бор а -железо - - 105 260
Углерод Железо 1,1 (масс.) 900-1250 0,486 153
а -железо 0,1-1 (масс.) 750-1250 0,12 136
- - 7,9-10-3 75,8
Кобальт а -железо - - 0,4 226
у -железо - - 1,2 • 105 435
Сталь - - 90 335
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
247
Продолжение табл. 2.2.29
i 2 3 4 5 6
Хром а -железо - - 3 • ю4 343
у -железо - - 1,8-104 406
Сталь - - 10 314
Вольфрам а -железо - - 380 293
у -железо - - 103 377
Сталь - - 13 314
Серебро Медь 3,0 720-800 2,9-Ю2 156
Алюминий Медь 15-21 500-850 7,1 • 10-2 164
Кадмий Медь 3,0 720-860 3,04 • 10-4 99,2
Марганец Медь 8-11,4 400-850 7,2- 10-6 97,1
Никель Медь 7,5-11,8 550-850 6,5 • 10-5 125
Олово Медь 3,9-5,6 400-850 4,1 • 10-3 131
Цинк Медь 6,8-9,7 360-880 з- ю-6 82,5
Медь Серебро 2,0 650-895 5,9 -10-5 104
Алюминий эвтектика 440-540 2,3 146
Латунь (45 % Zn) - - 3,8 • IO-2 104
2.2.30. Интегральная полусферическая степень черноты [33]
Металл Температура, К
100 400 800 1000 1200 1600 2000 2400 2800 3200
Алюминий 0,011 0,032 0,062 - - - - - - -
Ванадий - - - 0,145 0,176 0,222 0,257 - - -
Вольфрам - 0,039 0,081 0,105 0,133 0,195 0,249 0,287 0,314 0,334
Гафний - - - - 0,284 0,304 0,324 - - -
Железо - 0,120’ 0,197 0,235 - - - - - -
Золото 0,016 0,029 0,047 0,056 - - - - - -
Медь 0,022 0,027 0,050 0,058 - - - - - -
Молибден - - - - 0,117 0,166 0,214 0,254 0,282 -
Никель - 0,078 0,120 0,144 0,168 - - - - -
Ниобий - - - 0,116 0,138 0,178 0,212 0,244 - -
Палладий - - - 0,100 0,135 0,179 - - - -
Платина - 0,053 0,103 0,128 0,149 0,183 - - - -
Рений - - - 0,164 0,181 0,225 0,264 0,296 0,318 -
Родий - - - 0,084 0,112 0,150 0,174 - - -
Серебро 0,012 0,022 0,036 0,043 - - - - - -
Тантал - - - 0,132 0,149 0,186 0,224 0,259 0,288 0,311
Титан - - - 0,227 0,251 0,297 - - - -
Цирконий - - - - 0,214 0,248 0,272 - - -
248
Глава 2.3. СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВ ПРИ ФАЗОВОМ РАВНОВЕСИИ
Глава 2.3
СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВ
ПРИ ФАЗОВОМ РАВНОВЕСИИ
В табл. 2.3.1 приведены температуры
плавления и кипения вещества при нормаль-
ном давлении 101 кПа, а также теплоты плав-
ления <7ПЛ и кипения г, а в табл. 2.3.2 - па-
раметры критической точки.
Теплофизические свойства жидкости и
пара в состоянии насыщения, а также коор-
динаты кривой насыщения р (Т) или Т (р)
приведены в табл. 2.3.3-2.3.24. Здесь даны
значения удельного объема v (или плот-
ности р), энтальпии А, энтропии s, изобар-
ной теплоемкости ср , коэффициентов дина-
мической вязкости т| и теплопроводности X,,
а также теплота парообразования г и поверх-
ностное натяжение с . Индексом ' обозначе-
ны свойства жидкости, а " - свойства пара в
состоянии насыщения.
2.3.1. Температуры и теплоты фазовых переходов [31, 36-38, 41, 43-46, 50]
Вещество Химическая формула Атомная (мол.) масса T 1 ПЛ ’ К ^ПЛ ’ кДж/моль ^КИП ’ К г, кДж/моль
1 2 3 4 5 6 7
Азот n2 28,0134 63,14 0,72074 77,35 5,577
Алюминий Al 26,9815 933,61 10,7 2720 293,7
Аргон Аг 39,948 83,78* 1,182 87,28 6,423.
Ванадий V 50,942 2020 23,0 3650 458
Висмут Bi 208,98 544,592 10,9 1832 151,5
н-Водород н-Hi 2,0157 13,947* - 20,397 0,9157
п-Водород п-Нг 2,0157 13,803* 0,1174* 20,28 0,8992
Вольфрам W 183,85 3695 46 5800 799
Галлий Ga 69,72 302,91 5,586 2500 254
Гелий «Не 4,0026 - - 4,215 0,8355
Германий Ge 72,59 1210,3 29,8 3100 334
Железо Fe 55,847 1808 15,5 3300 352
Золото Au 196,967 1337,33 12,77 2973 324,4
Индий In 114,82 429,75 3,27 2348 226
Кадмий Cd 112,40 594,26 6,40 1038 99,87
Калий К 39,102 336,6 2, 321 1027 77,5
Кальций Ca 40,08 1123 8,66 1760 150
Кислород O2 31,9988 54,358* 0,44 90,188 6,784
Кобальт Co 58,9332 1767 15,3 2528 383
Кремний Si 28,086 1696 46,5 2628 394,5
Криптон Kr 83,80 115,76* 1,642 119,76 9,018
Ксенон Xe 131,3 161,35* 2,266 165,03 12,57
Литий Li 6,939 453,69 3,0 1590 148,1
Магний Mg 24,312 922,7 8,95 1393 131,8
Марганец Mn 54,938 1517 14,6 2368 224,7
Медь Cu 63,546 1357,77 13,01 2868 304
Молибден Mo 95,94 2896 40,0 5073 594
Натрий Na 22,9898 371,01 2,598 1163 89,04
Неон Ne 20,183 24,55* 0,328 27,10 1,732
Никель Ni 58,71 1728 17,8 3073 380,6
Ниобий Nb 92,906 2750 31 5173 696
Озон O3 47,9982 80,65 - 161,65 10,66
Олово Sn 118,69 505,08 7,07 2960 290;4
Платина Pt 195,09 2045 21,7 4583 447
СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВ ПРИ ФАЗОВОМ РАВНОВЕСИИ
249
Продолжение табл. 2.3.1
i 2 3 4 5 6 7
Плутоний Ри 244 913 2,76 3500 -
Ртуть Hg 200,59 234,316* 2,295 629,81 59,11
Селен Se 78,96 490,5 5,42 930 -
Сера S 32,064 388,3 1,718 717,82 90,75
Серебро Ag 107,868 1234,93 11,27 2485 254
Свинец Pb 207,19 600,65 4,772 2024 179,5
Стронций Sr 87,62 1043 9,2 1640 138,9
Сурьма Sb 121,75 903,89 20,41 1910 128,2
Таллий TI 204,37 576,7 4,201 1730 162,4
Теллур Те 127,60 722,7 17,5 1263 114,06
Титан Ti 47,90 1944 14,6 3553 430
Уран U 238,03 1408 8,72 4173 412
Хром Cr 51,996 2180 21,3 2915 349
Цезий Cs 132,905 301,59 2,096 958 65,9
Цинк Zn 65,37 692,68 7,28 1180 114,7
Цирконий Zr 91,22 2133 13,7 4653 582
Гексафторид серы SF6 146,05444 222,5* 5,02* - -
Азотная кислота HNO3 63,0129 231,6 10,47 357 -
Серная кислота H2SO4 98,0775 283,5 10,71 569,4 -
Соляная кислота HC1 36,461 159,0 1,992 188,1 16,15
Гидроокись натрия NaOH 39,9972 596 7,8 1663 144,3
Гидроокись калия KOH 56,1094 678 9,4 1600 129
Оксид алюминия AI2O3 101,96 2318 109 3800 -
Оксид азота NO 30,006 109,55 2,3 121,42 13,774
Оксид углерода CO 28,010 68,05 0,836 81,65 6,04
Диоксид углерода CO2 44,010 216,58* 7,95* - 15,23*
Диоксид серы SO2 64,063 197,6 7,401 263,1 24,94
Диоксид кремния SiO2 60,0848 1883 8,52 - -
Диоксид плутония PuO2 276 2500 - 3600 -
Диоксид урана UO2 270,029 3123 78 4000 575
Карбид урана UC 250,041 2720 - - -
Дикарбид урана UC2 262,052 2800 - - -
Хлористый калий KC1 74,555 1044 26,32 1686 161,5
Хлористый кальций CaCl2 110,986 1055 29,36 2273 230
Хлористый натрий NaCl 58,443 1074 28,2 1734 170
Метан CH4 16,0426 90,68* 0,938 111,66 8,186
250
Глава 2.3. СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВ ПРИ ФАЗОВОМ РАВНОВЕСИИ
Продолжение табл. 2.3.1
Вещество Химическая формула Атомная (мол.) масса Т 1 пл » К *7 пл» кДж/моль Т 1 кип» К г, кДж/моль
i 2 3 4 5 6 7
Этан с2н6 30,0694 90,35* 2,857 184,57 14,662
н-Пропан с3н8 44,097 85,47* 2,524 231,07 18,777
н-Буган С4Н1О 58,124 134,8 4,660 272,65 22,39
н-Пентан С5н12 72,151 143,45 8,414 309,25 25,77
н-Гексан С6Н14 86,178 177,85 13,03 341,85 28,85
Этилен с2н4 28,0536 103,97* 3,351 169,38 13,480
Пропилен СзН6 42,081 86,85 3,002 225,4 18,42
Ацетилен С2н2 26,038 191,65' 3,76 189,55 17,27
Бензол СбН6 78,114 278,67 9,837 353,25 30,76
Толуол С7н8 92,141 178,0 - 383,8 33,20
Этилбензол С8Н1О 106,168 178,2 - 409,3 35,59
Метиловый спирт СНзОН 32,042 175,25 3,17 337,75 35,39
Этиловый спирт С2Н5ОН 46,069 158,45 5,02 351,55 38,74
Трифторметан (HFC23) CF3H 70,014 118 4,06 191 16,75
Дифторметан (HFC32) cf2h2 52,024 137 - 221,5 20,37
Фторметан (HFC41) CFH3 34,033 141,4 - 193,5 16,69
Пентафторэтан (HFC125) c2f5h2 120,022 170 - 224,7 18,82
1,1,1,2-тетрафтор- этан (HFC134a) c2f4h2 102,031 172 - 246,7 -
1,1,2,2-тетрафтор- этан (HFC134) c2f4h2 102,031 - - 250,7 21,39
1,1,1 -трифторэтан (HFC143a) c2f3h3 82,041 161,9 6,19 225,6 19,88
Дифторхлорметан (HCFC-22) chf2ci 86,472 115,74* 4,12 232,35 20,15
Трифторметан (HFC-23) CHF3 70,016 117,97* - 191,00 19,49
Этиленгликоль c2h602 62,069 260,75 Н,6 470,55 57,03
Ацетон c3h6o 58,080 176,65 5,72 329,25 29,09
Глицерин СзН8О3 92,095 291,35 18,47 563,65 -
Циклогексан СбН12 84,162 279,75 2,665 353,85 30,08
Дифенил С12Ню 154,214 341,5 18,6 528 47,95
Аммиак NH3 17,031 195,42 5,65 239,74 23,35
Примечание. 7^ , Тюлп - нормальные температуры плавления и кипения; <7^, ,
г - теплоты плавления и парообразования при давлении 101,325 кПа.
* В тройной точке.
СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВ ПРИ ФАЗОВОМ РАВНОВЕСИИ
251
2.3.2. Критические параметры [1, 5, 6. 18, 21, 22, 28, 31, 36-39, 41, 43-46]
Вещество Химическая формула Рк p » МПа Ткр, к ркр,кг/м3
Азот n2 3,400 126,2 313,1
Кислород О2 5,043 154,581 436,2
Водород-нормальный н-Н2 1,298 33,24 30,1
пара-водород п-Н2 1,294 32,99 31,4
Аргон Аг 4,864 150,86 535,7
Неон Nc 2,655 44,40 483 j
Криптон Кг 5,492 209,39 910
Ксенон Хе 5,826 289,74 1100
Гелий «Не 0,22 5,18988 69,323
Ртуть Hg 151 1763 5500
Натрий Na 25,64 2503 207
Калий К 15,8 2280 194
Литий Li 60 3680 126
Оксид углерода СО 3,50 132,9 301
Диоксид углерода С02 7,383 304,20 468
Вода Н20 22,115 647,3 318
Аммиак NH3 11,353 405,5 235
Оксид азота NO 6,55 180 526
Гексафторид серы SF6 3,76 318,7 751
Гексафторид урана UF6 4,61 503 1390
Диоксид серы S02 7,88 430,7 524
Метан CH4 4,626 190,77 163,5
Этан C2H6 4,871 305,33 204,5
н-Пропан C3H8 4,247 369,85 220,5
н-Бутан c4H10 3,75 426,2 228
н-Пентан c5H12 3,37 470,4 232
н-Гексан c6H14 3,03 508,0 234
Этилен c2H4 5.042 282,35 214,2
Пропилен c3H6 4,62 365 233
Ацетилен c2H2 6,24 309 230
Бензол c6H6 4,92 562 304
Толуол c7Hb 4,22 594 290
252
Глава 2.3. СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВ ПРИ ФАЗОВОМ РАВНОВЕСИИ
Продолжение табл. 2.3.2
Вещество Химическая формула Pk p» МПа Т’кр’ K ркр, кг/м3
Метанол СН3ОН 8,096 512,6 272
Этанол С2Н5ОН 6,13 513,95 276
Трифторметан (HFC23) CF3H 4,82 293 525
Дифторметан (HFC32) CF2H2 5,84 351,5 425
Фторметан (HFC41) CFH3 5,86 317,8 296
Пентафторметан (HFC125) C2F5H 3,39 340,9 529
1,1,1,2 - тетрафторэтан (HFC134a) c2f4h2 4,06 374,7 539
1,1,2,2 - тетрафторэтан (HFC134) c2f4h2 3,77 383,4 477
1,1,1 - тетрафторэтан (HFC143a) c2f3h3 4,11 346,3 445
Дифторхлорметан (HCFC-22) chf2ci 4,988 369,30 513
Трифторметан (HFC-23) CHF3 4,82 299,00 525.
Ацетон C3H6O 4,72 508,7 273
Циклогексан c6H12 4,05 553 273
Дифенил С12Ню 4,36 803 343
Примечание. рк р , Тк р, рк р - давление, температура и плотность в критической точке.
2.3.3. Термодинамические свойства воды и водяного пара в состоянии насыщения [22, 37]
A t, °C v' v" A' h" r 5' | s"
МПа м3/кг кДж/кг кДж/(кг*К)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,001 6,982 0,0010001 129,208 29,33 2513,8 2484,5 0,1060 8,9756
0,002 17,511 0,0010012 67,006 73,45 2533,2 2459,8 0,2606 8,7236
0,003 24,098 0,0010027 45,668 101,00 2545,2 2444,2 0,3543 8,5776
0,004 28,981 0,0010040 34,803 121,41 2554,1 2432,7 0,4224 8,4747
0,005 32,90 0,0010052 28,196 137,77 2561,2 2423,4 0,4762 8,3952
0,010 45,83 0,0010102 14,676 191,84 2584,4 2392,6 0,6493 8,1505
0,020 60,09 0,0010172 7,6515 251,46 2609,6 2358,1 0,8321 7,9092
0,030 69,12 0,0010223 5,2308 289,31 2625,3 2336,0 0,9441 7,7695
0,040 75,89 0,0010265 3,9949 317,65 2636,8 2319,2 1,0261 7,6711
0,050 81,35. 0,0010301 3,2415 340,57 2646,0 2305,4 1,0912 7,5951
0,075 91,78 0,0010375 2,2179 384,45 2663,2 2278,8 1,2132 7,4577
0,10 99,63 0,0010434 1,6946 417,51 2675,7 2258,2 1,3027 7,3608
0,12 104,81 0,0010476 1,4289 439,36 2683,8 2244,4 1,3609 7,2996
СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВ ПРИ ФАЗОВОМ РАВНОВЕСИИ
253
Продолжение табл. 2.3.3
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,14 109,32 0,0010513 1,2370 458,42 2690,8 2232,4 1,4109 7,2480
0,16 113,32 0,0010547 1,0917 475,38 2696,8 2221,4 1,4550 7,2032
0,18 116,93 0,0010579 0,97775 490,70 2702,1 2211,4 1,4944 7,1638
0,20 120,32 0,0010608 0,88592 504,7 2706,9 2202,2 1,5301 7,1286
0,25 127,43 0,0010675 0,71881 535,4 2717,2 2181,8 1,6072 7,0540
0,30 133,54 0,0010735 0,60586 561,4 2725,5 2164,1 1,6717 6,9930
0,35 138,88 0,0010789 0,52425 584,3 2732,5 2148,2 1,7273 6,9414
0,40 143,62 0,0010839 0,46242 604,7 2738,5 2133,8 1,7764 6,8966
0,45 147,92 0,0010885 0,41392 623,2 2743,8 2120,6 1,8204 6,8570
0,5 151,85 0,0010928 0,37481 640,1 2748,5 2108,4 1,8604 6,8215
0,6 158,84 0,0011009 0,31556 670,4 2756,4 2086,0 1,9308 6,7598
0,7 164,96 0,0011082 0,27274 697,1 2762,9 2065,8 1,9918 6,7074
0,8 170,42 0,0011150 0,24030 720,9 2768,4 2047,5 2,0457 6,6618
0,9 175,36 0,0011213 0,21484 742,6 2773,0 2030,4 2,0941 6,6212
1,0 179,88 0,0011274 0,19430 762,6 2777,0 2014,4 2,1382 6,5847
1,5 198,28 0,0011538 0,13165 844,7 2790,4 1945,7 2,3144 6,4418
2,0 212,37 0,0011766 0,09953 908,6 •2797,4 1888,8 2,4468 6,3373
3,0 233,84 0,0012163 0,06662 1008,4 2801,9 1793,5 2,6455 6,1832
4,0 250,33 0,0012521 0,04974 1087,5 2799,4 1711,9 2,7967 6,0670
5,0 263,92 0,0012858 0,03941 1154,6 2792,8 1638,2 2,9209 5,9712
6,0 275,56 0,0013187 0,03241 1213,9 2783,3 1569,4 3,0277 5,8878
7,0 285,80 0,0013514 0,02734 1267,7 2771,4 1503,7 3,1225 5,8126
8,0 294,98 0,0013843 0,02349 1317,5 2757,5 1440,0 3,2083 5,7430
9,0 303,31 0,0014179 0,02046 1364,2 2741,8 1377,6 3,2875 5,6773
10,0 310,96 0,0014526 0,01800 1408,6 2724,4 1315,8 3,3616 5,6143
11,0 318,04 0,0014887 0,01597 1451,2 2705,4 1254,2 3,4316 5,5531
12,0 324,64 0,0015267 0,01425 1492,6 2684,8 1192,2 3,4986 5,4930
13,0 330,81 0,0015670 0,01277 1533,0 2662,4 1129,4 3,5633 5,4333
14,0 336,63 0,0016104 0,01149 1572,8 2638,3 1065,5 3,6262 5,3737
15,0 342,12 0,0016580 0,01035 1612,2 2611,6 999,4 3,6877 5,3122
16,0 347,32 0,0017101 0,009330 1651,5 2582,7 931,2 3,7486 5,2496
17,0 352,26 0,0017690 0,008401 1691,6 2550,8 859,2 3,8103 5,1841
18,0 356,96 0,0018380 0,007534 1733,4 2514,4 781,0 3,8739 5,1135
19,0 361,44 0,0019231 0,006700 1778,2 2470,1 691,9 3,9417 5,0321
20,0 365,71 0,002038 0,005873 1828,8 2413,8 585,0 4,0181 4,9338
21,0 369,79 0,002218 0,005006 1892,2 2340,2 448,0 4,1137 4,8106
22,0 373,68 0,002675 0,003757 2007,7 2192,5 184,8 4,2891 4,5748
Примечание. Здесь и далее р - давление, v - удельный объем, h - энтальпия, 5 -
энтропия; верхний индекс ’ означает жидкую фазу; индекс " - паровую фазу.
254
Глава 2.3. СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВ ПРИ ФАЗОВОМ РАВНОВЕСИИ
2.3.4. Теплофизические свойства воды и водяного пара в состоянии насыщения [2, 27, 37]
Г, °C СР ’ кДж/ (кг* К) X', мВт/ (м-К) п'. мкПа * с Рг' мН/м Ср. кДж/ (кг-К) X", мВт/ (м-К) п". мкПа * с Рг"
0,01 4,217 561,0 1792 13,47 75,65 1,864 17,1 9,22 1,01
10 4,193 580,0 1307 9,45 74,23 1,868 17,6 9,46 1,00
20 4,182 598,5 1002 7,00 72,75 1,874 18,2 9,73 1,00
30 4,179 615,5 797,7 5,42 71,20 1,883 18,9 10,01 0,997
40 4,179 630,6 653,2 4,33 69,60 1,894 19,6 10,31 0,996
50 4,181 643,6 537,0 3,47 67,94 1,907 20,4 10,62 0,993
60 4,185 654,4 466,5 2,98 66,24 1,924 21,2 10,93 0,992
70 4,190 663,0 404,0 2,55 64,47 1,944 22,1 11,26 0,990
80 4,197 669,8 354,4 2,22 62,67 1,969 23,0 11,59 0,992
90 4,205 675,1 314,5 1,96 60,82 1,999 24,0 11,93 0,994
100 4,216 678,8 281,8 1,75 58,91 2,034 25,1 12,27 0,996
ПО 4,229 681,3 254,8 1,58 56,96 2,075 26,2 12,61 0,999
120 4,245 683,0 232,1 1,44 54,96 2,124 27,5 12,96 1,00
130 4,263 683,4 213,0 1,33 52,93 2,180 28,8 13,30 1,01
140 4,285 682,9 196,6 1,23 50,85 2,245 30,1 13,65 1,02
150 4,310 681,7 182,5 1,15 48,74 2,320 31,6 13,99 1,03
160 4,339 679,7 170,3 1,09 46,58 2,406 33,1 14,34 1,04
170 4,371 676,8 159,6 1,031 44,40 2,504 34,7 14,68 1,06
180 4,408 673,2 150,2 0,983 42,19 2,615 36,4 15,02 1,08
190 4,449 668,7 141,8 0,943 • 39,95 2,741 38,2 15,37 1,10
200 4,497 663,3 134,4 0,911 37,69 2,883 40,1 15,71 1,13
210 4,551 657,1 127,6 0,884 35,41 3,043 42,1 16,06 1,16
220 4,614 649,8 121,6 0,869 33,10 3,223 44,2 16,41 1,20
230 4,686 641,5 116,0 0,847 30,77 3,426 46,4 16,76 1,24
240 4,770 632,1 110,9 0,837 28,42 3,656 48,7 17,12 1,29
250 4,869 621,5 106,2 0,832 26,06 3,918 51,3 17,49 1,34
260 4,986 609,6 101,7 0,832 23,67 4,221 54,0 17,88 1,40
270 5,13 596,2 97,55 0,839 21,30 4,574 57,1 18,27 1,46
280 5,30 581,4 93,56 0,853 18,94 4,996 60,6 18,70 1,54
290 5,51 565,2 89,71 0,875 16,61 5,51 64,7 19,15 1,63
300 5,77 547,5 85,95 0,906 14,30 6,14 69,6 19,65 1,73
310 6,12 528,7 82,01 0,952 12,04 6,96 75,8 20,20 1,86
320 6,59 509,1 78,45 1,015 9,81 8,05 83,8 20,84 2,00
330 7,25 489,0 74,57 1,106 7,66 9,59 94,7 21,60 2,19
340 8,27 468,6 70,45 1,243 5,59 11,92 110,3 22,55 2,44
350 10,08 445,0 65,87 1,492 3,65 15,95 134,2 23,81 2,83
360 14,99 423,1 60,39 2,140 1,90 26,79 180,6 25,71 3,81
370 53,9 424 52,25 6,642 0,45 112,9 347 29,57 9,62
Примечание. Здесь и в дальнейшем т| - коэффициент динамической вязкости,
Рг = т\ср/ X - число Прандтля, ст - поверхностное натяжение, верхний индекс ' означает
жидкую фазу, а индекс " - паровую фазу.
СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВ ПРИ ФАЗОВОМ РАВНОВЕСИИ
255
2.3.5. Термодинамические свойства воздуха в состоянии насыщения [4, 42]
А Т\ к Т", к Р' р" А' h" г S' S"
МПа кг/м3 кДж/кг кДжДкг-К)
0,025 67,89 71,53 923,91 1,239 120,7 323,1 202,4 2,886 5,812
0,050 72,83 76,16 901,75 2,348 123,3 327,0 203,7 2,922 5,671
0,100 78,55 81,57 875,92 4,451 130,2 331,3 201,1 3,013 5,533
0,200 85,23 87,96 844,70 8,463 140,9 335,9 195,0 3,142 5,398
0,300 89,70 92,25 822,79 12,37 149,0 338,5 189,5 3,234 5,320
0,400 93,15 95,59 805,12 16,25 155,7 340,2 184,5 3,305 5,263
0,500 96,02 98,36 789,90 20,12 161,5 341,4 179,9 3,365 5,218
0,600 98,49 100,75 776,30 24,02 166,6 342,2 175,6 3,416 5,181
0,700 100,68 102,86 763,82 27,95 171,2 342,8 171,6 3,461 5,148
0,800 102,65 104,77 752,22 31,93 175,5 343,1 167,6 3,502 5,119
0,900 104,46 106,51 741,21 35,95 179,5 343,3 163,8 3,540 5,093
1,000 106,12 108,11 730,79 40,05 183,3 343,3 160,0 3,574 5,069
1,500 113,04 114,72 683,05 61,74 199,7 341,9 142,2 3,717 4,966
2,000 118,48 119,87 638,46 86,30 214,0 338,5 124,5 3,834 4,879
2,500 123,03 124,14 592,85 115,46 227,4 333,2 105,8 3,938 4,795
3,000 126,99 127,83 541,00 152,67 241,2 325,6 84,4 4,042 4,704
3,500 130,51 131,08 469,70 207,82 258,0 313,6 55,6 4,164 4,590
2.3.6. Коэффициенты динамической вязкости т| (Па - с) и
теплопроводности X (мВт/(м • К)) воздуха в состоянии насыщения [25]
Г, К т|' • 107 Т|" • 107 К X"
70 2580,4 48,18 149,2 6,66
72 2382,8 49,47 146,9 6,83
74 2204,6 50,75 144,6 6,99
76 2043,8 52,02 142,1 7,16
78 1897,8 53,29 139,5 7,32
80 1764,8 54,57 136,9 7,49
85 1480,5 57,78 129,9 7,90
90 1250,6 61,08 122,5 8,33
95 1062,1 64,55 114,7 8,79
100 905,5 68,32 106,7 9,31
105 773,6 72,55 98,4 9,94
ПО 660,4 77,55 89,8 10,74
115 561,0 83,80 80,8 11,87
120 471,1 92,20 71,4 13,68
125 385,2 104,72 61,6 17,19
128 331,6 116,33 55,9 21,54
256
Глава 2.3. СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВ ПРИ ФАЗОВОМ РАВНОВЕСИИ
2.3.7. Термодинамические свойства диоксида углерода в состоянии насыщения [21, 31]
Г, к А Р' р" h' й" г S' S"
МПа кг/м3 кДж/кг кДж/(кг-К)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
218 0,554 1173,7 14,69 388,9 732,9 344,0 2,667 4,245
220 0,601 1166,7 15,88 392,6 733,7 341,1 2,683 4,234
222 0,652 1159,6 17,17 392,2 734,4 338,2 2,699 4,222
224 0,707 1152,3 18,55 399,2 735,1 335,2 2,715 4,211
226 0,765 1144,9 20,02 403,6 735,8 332,6 2,730 4,200
228 0,827 1137,4 21,59 407,3 736,4 329,1 2,746 4,190
230 0,892 1129,8 23,26 411,0 736,9 325,9 2,762 4,179
232 0,962 1122,0 25,03 414,8 737,4 322,7 2,778 4,168
234 1,036 1114,1 26,92 418,6 737,9 319,3 2,794 4,158
236 1,114 1106,0 28,92 422,4 738,3 315,9 2,810 4,148
238 1,196 1097,8 31,04 426,3 738,7 312,4 2,826 4,138
240 1,282 1089,5 33,29 430,2 739,0 308,8 2,842 4,128
242 1,373 1081,1 35,67 434,2 739,3 305,1 2,858 4,118
244 1,469 1072,5 38,18 438,2 739,5 301,2 2,874 4,108
246 1,570 1063,8 40,84 442,3 739,6 297,3 2,891 4,099
248 1,675 1054,9 43,66 446,4 739,7 293,3 2,907 4,089
250 1,785 1045,9 46,64 450,6 739,8 289,2 2,923 4,080
252 1,901 1036,7 49,79 454,8 739,7 285,0 2,940 4,070
254 2,022 1027,3 53,13 459,0 739,6 280,6 2,956 4,061
256 2,148 1017,8 56,66 463,3 739,5 276,2 2,973 4,051
258 2,280 1008,0 60,40 467,6 739,2 271,6 2,989 4,042
260 2,418 998,1 64,36 472,0 738,9 266,8 3,006 4,032
262 2,562 988,0 68,57 476,5 738,4 262,0 3,023 4,022
264 2,712 977,6 73,03 481,0 737,9 256,9 3,039 4,012
266 2,868 966,9 77,77 485,5 737,5 251,8 3,056 4,002
268 3,031 956,0 82,83 490,2 736,5 246,4 3,073 3,992
270 3,201 944,2 88,21 494,9 735,7 240,8 3,090 3,982
272 3,377 933,2 93,97 499,6 734,7 235,1 3,107 3,971
274 3,561 921,2 100,12 504,5 733,6 229,1 3,124 3,960
276 3,752 908,8 106,73 509,4 732,3 222,8 3,142 3,949
278 3,950 895,9 113,84 514,5 730,8 216,3 3,159 3,937
280 4,157 882,5 121,53 519,7 729,1 209,5 3,177 3,925
282 4,371 868,5 129,86 525,0 727,3 202,3 3,195 3,912
284 4,594 853,7 138,94 530,4 725,1 194,7 3,214 3,899
286 4,826 838,2 148,90 536,0 722,7 186,6 3,233 3,885
288 5,066 821,6 159,89 541,9 719,9 178,0 3,252 3,870
СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВ ПРИ ФАЗОВОМ РАВНОВЕСИИ
257
Продолжение табл. 2.3.7
1 2 3 4 5 6 7 8 9
290 5,316 803,9 172,15 547,9 716,7 168,8 3,272 3,854
292 5,575 784,7 185,97 554,3 713,0 158,7 3,293 3,836
294 5,845 763,6 201,81 561,1 708,7 147,6 3,315 3,816
296 6,124 740,1 220,37 568,3 703,5 132,2 3,338 3,794
298 6,414 713,2 242,84 576,3 697,1 120,8 3,363 3,769
300 6,714 680,9 211,55 585,4 689,0 103,6 3,392 3,737
302 7,026 639,1 312,45 596,4 677,3 80,9 3,427 3,695
2.3.8. Коэффициенты динамической вязкости г| (Па • с) и
теплопроводности X (мВт/(м • К)) диоксида углерода в состоянии насыщения [26]
Т, К Т|" • 10б Т]' • 10б X" X'
220 10,98 253,8 12,19 177,7
225 11,24 232,2 12,66 171,9
230 11,51 212,9 13,17 166,2
235 11,78 195,4 13,72 160,5
240 12,07 179,6 14,32 154,6
245 12,37 165,2 14,98 148,7
250 12,69 152,0 15,72 142,6
255 13,03 135,9 16,56 136,4
260 13,40 128,6 17,51 130,0
265 13,81 118,1 18,63 123,6
270 14,27 108,2 19,95 117,1
272 14,48 104,4 20,54 114,5
274 14,69 100,7 21,18 111,9
276 14,98 97,05 21,88 103,2
278 15,17 95,45 22,63 106,6
280 15,44 89,91 23,46 104,0
282 15,73 86,41 24,36 101,4
284 16,05 82,94 25,36 98,7
286 16,41 79,49 26,47 96,1
288 16,80 76,04 27,72 93,5
290 17,25 72,57 29,15 91,0
292 17,77 69,06 30,80 88,5
294 18,37 65,47 32,76 86,0
296 19,11 61,74 35,17 83,7
298 20,04 57,78 38,30 81,7
300 21,28 53,39 42,83 80,5
302 23,20 48,10 51,14 81,7
9 Зак. Ш
258
Глава 2.3. СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВ ПРИ ФАЗОВОМ РАВНОВЕСИИ
2.3.9. Термодинамические свойства азота в состоянии насыщения [1, 41]
Т, к Р, МПа Р' р" А' А" 1 г 1 | 5"
кг/м3 кДж/кг кДж/(кг*К)
66 0,0206 853,40 1,06 103,1 316,1 213,0 2,520 5,748
68 0,0285 845,77 1,43 106,6 318,0 211,4 2,572 5,681
70 0,0386 837,73 1,89 110,5 319,8 209,3 2,628 5,618
72 0,0513 829,33 2,46 114,6 321,5 206,8 2,686 5,559
74 0,0670 820,61 3,14 118,9 323,1 204,2 2,744 5,504
76 0,0862 811,63 3,97 123,1 324,6 201,5 2,800 5,452
78 0,1094 802,43 4,94 127,4 326,1 198,7 2,855 5,403
80 0,1371 793,04 6,09 131,6 327,5 195,9 2,908 5,357
82 0,1697 783,47 7,43 135,8 328,7 192,9 2,960 5,313
84 0,2079 773,74 8,98 140,0 329,9 189,9 3,010 5,271
86 0,2520 763,85 10,76 144,2 331,0 186,8 3,059 5,230
88 0,3028 753,77 12,79 148,4 331,9 183,5 3,106 5,192
90 0,3608 743,51 15,11 152,7 332,8 180,1 3,153 5,155
92 0,4265 733,03 17,74 156,9 333,5 176,6 3,199 5,119
94 0,5006 722,30 20,71 161,3 334,2 172,9 3,245 5,084
96 0,5836 711,28 24,06 165,6 334,6 169,0 3,289 5,050
98 0,6761 699,93 27,83 170,1 335,0 164,9 3,334 5,016
100 0,7788 688,20 32,06 174,6 335,2 160,5 3,378 4,984
102 0,8923 676,03 36,83 179,2 335,2 155,9 3,422 4,951
104 1,0172 663,33 42,18 184,0 335,0 151,0 3,467 4,919
106 1,1541 650,03 48,21 188,9 334,6 145,8 3,511 4,886
108 1,3038 636,00 55,02 193,9 334,0 140,1 3,556 4,853
ПО 1,4669 621,11 62,74 199,1 333,1 134,0 3,601 4,819
112 1,6441 605,16 71,55 204,5 331,9 127,4 3,647 4,785
114 1,8363 587,91 81,69 210,2 330,3 120,1 3,695 4,748
116 2,0442 568,97 93,53 216,2 328,2 112,0 3,744 4,709
118 2,2689 547,79 107,60 222,7 325,5 102,8 3,796 4,667
120 2,5114 523,42 124,84 229,7 321,9 92,2 3,851 4,620
122 2,7732 494,04 147,07 237,8 317,0 79,3 3,914 4,563
124 3,0564 455,26 178,74 247,6 309,8 62,1 3,989 4,490
126 3,3646 387,91 239,62 263,1 295,5 32,5 4,107 4,364
2.3.10. Коэффициенты динамической вязкости т| (Па • с) и
теплопроводности X (мВт/(м* К)) азота в состоянии насыщения [17]
Т, К Т|' • 107 т]" • Ю7 X' X"
1 2 3 4 5
65 2865,1 46,09 154,6 6,38
66 2717,2 46,94 153,8 6,48
68 2450,4 48,69 151,8 6,67
70 2217,7 50,46 149,3 6,87
СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВ ПРИ ФАЗОВОМ РАВНОВЕСИИ
259
Продолжение табл. 2.3.10
1 2 3 4 5
72 2014,7 52,25 146,4 7,07
74 1837,5 54,04 143,3 7,26
76 1682,7 55,86 139,9 7,46
78 1547,3 57,67 136,4 7,66
80 1428,5 59,438 132,7 7,87
82 1323,6 61,29 129,0 8,07
84 1230,8 63,08 125,2 8,29
86 1148,2 64,87 121,4 8,50
88 1074,0 66,63 117,6 8,73
90 1007,0 68,39 113,8 8,96
92 946,1 70,13 110,0 9,20
94 890,2 71,86 106,3 9,45
96 838,7 73,58 102,6 9,72
98 790,7 75,30 98,9 10,01
100 745,9 77,03 95,3 10,33
102 703,6 78,79 91,6 10,67
104 663,4 80,58 88,0 11,05
106 625,0 82,44 84,4 11,48
108 588,0 84,39 80,9 11,97
ПО 552,2 86,49 77,3 12,55
112 517,2 88,80 73,7 13,24
114 482,8 91,40 70,2 14,09
116 448,5 94,44 66,6 15,19
118 413,9 98,14 63,2 16,65
120 378,2 102,90 59,9 18,73
122 340,2 109,49 56,9 21,93
124 296,9 120,02 54,9 27,55
2.3.11. Термодинамические свойства метана в состоянии насыщения [5, 45]
Т, К А МПа Р' р" К А" г 5' 5"
кг/м3 кДж/(кг*К)
91 0,0122 450,97 0,26 247,2 759,4 542,2 4,254 10,213
100 0,0344 438,19 0,68 247,2 776,3 529,1 4,568 9,859
ПО 0,0882 424,40 1,60 280,4 793,6 513,2 4,883 9,548
120 0,1918 409,72 3,28 315,3 809,0 493,7 5,184 9,299
130 0,3682 393,92 6,02 351,9 822,2 470,3 5,473 9,091
140 0,6426 376,81 10,22 389,8 832,5 442,8 5,749 8,912
150 1,0416 357,92 16,43 429,3 839,2 409,9 6,014 8,747
160 1,5937 336,39 25,54 471,3 841,0 369,7 6,275 8,586
170 2,3300 310,55 39,22 517,5 835,7 318,2 6,541 8,413
180 3,2877 276,29 61,66 572,0 817,8 245,8 6,834 8,199
190 4,5227 212,54 115,30 655,4 761,5 106,1 7,256 7,814
9*
260
Глава 2.3. СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВ ПРИ ФАЗОВОМ РАВНОВЕСИИ
2.3.12. Коэффициенты динамической вязкости т| (Па • с) и
теплопроводности X (мВт/(м • К)) метана в состоянии насыщения [20]
Т, к Т|' • 107 т]" • 107 X' Xм
91 2082,3 35,29 221,8 9,42
95 1811,6 36,39 212,8 9,89
100 1559,8 37,76 203,4 10,49
105 1365,0 39,17 195,0 11,10
110 1207,9 40,61 187,2 11,73
115 1077,9 42,15 179,6 12,37
120 968,6 43,85 172,1 13,03
125 875,4 45,75 164,7 13,71
130 794,9 47,88 157,3 14,44
135 724,7 50,29 150,0 15,21
140 662,6 53,00 142,6 16,04
145 607,0 56,04 135,3 16,96
150 556,6 59,46 128,0 17,99
155 510,3 63,29 120,6 19,15
160 467,4 67,59 113,3 20,50
165 426,9 72,46 105,9 22,10
170 388,2 78,05 98,7 24,09
175 350,2 84,68 91,6 26,71
180 311,9 93,04 85,1 30,60
185 270,6 104,94 80,9 37,95
2.3.13. Термодинамические свойства пропана в состоянии насыщения [46]
Г, к Р. Р' р" h' h" s' S"
МПа кг/м3 кДж/кг кДжДкг-К)
1 2 3 4 5 6 7 8
200 0,02012 615,91 0,5396 357,0 813,5 3,568 5,850
210 0,03592 604,96 0,9235 378,4 825,4 3,672 5,800
220 0,06041 593,75 1,496 400,1 837,3 3,773 5,760
230 0,09656 582,26 2,312 422,3 849,2 3,871 5,727
240 0,1477 570,45 3,436 444,9 860,8 3,967 5,700
250 0,2177 558,28 4,938 468,1 872,5 4,061 5,679
260 0,3103 545,69 6,901 491,8 883,9 4,154 5,662
270 0,4299 532,60 9,418 516,3 895,2 4,245 5,648
280 0,5809 518,93 12,60 541,5 906,2 4,335 5,638
290 0,7680 504,54 16,60 567,5 916,8 4,425 5,630
300 0,9960 489,24 21,59 594,4 926,8 4,515 5,623
310 1,270 472,76 27,82 622,5 936,1 4,605 5,617
СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВ ПРИ ФАЗОВОМ РАВНОВЕСИИ
261
Продолжение табл. 2.3.13
1 2 3 4 5 6 7 8
320 1,596 454,74 35,65 651,8 944,3 4,696 5,610
330 1,979 434,58 45,63 682,8 951,1 4,789 5,602
340 2,427 411,33 58,69 716,0 955,6 4,885 5,589
350 2,948 383,07 76,66 752,2 956,4 4,986 5,569
360 3,550 344,58 104,55 794,1 949,7 5,099 5,531
369 4,180 268,48 169,01 853,8 915,0 5,257 5,423
2.3.14. Коэффициенты динамической вязкости т| (Па • с) и
теплопроводности X (мВт/(м • К)) пропана в состоянии насыщения [30]
Г, К Т]' • Юб Т|" • 10б X' X"
200 290,6 5,32 153,3 7,90
210 256,7 5,58 144,3 8,73
220 227,9 5,84 136,3 9,59
230 203,2 6,09 129,2 10,48
240 181,8 6,35 122,7 11,43
250 163,1 6,61 116,7 12,42
260 146,6 6,88 111,1 13,48
270 131,9 7,17 105,8 14,62
280 118,7 7,47 100,7 15,85
290 106,7 7,81 95,8 17,18
300 95,8 8,19 91,1 18,65
310 85,7 8,62 86,5 20,28
320 76,2 9,14 82,0 22,12
330 67,2 9,78 77,6 24,25
340 58,4 10,60 73,1 26,77
350 49,8 11,75 68,4 29,92
360 40,6 13,60 63,1 34,31
369 28,2 18,30 54,3 42,92
2.3.15. Термодинамические свойства аммиака в состоянии насыщения [18]
г, А Р' р" h' h" г 5' 5"
°C МПа кг/м3 кДж/кг кДж/(кг*К)
-70 0,010920 725,3 0,1108 187,50 1656,76 1469,26 0,6826 7,9150
-60 0,021873 713,91 0,2123 231,20 1674,74 1443,54 0,8925 7,6649
-50 0,040821 702,21 0,3804 275,13 1691,96 1416,83 1,0938 7,4430
-40 0,071689 690,17 0,6439 319,36 1708,26 1388,90 1,2874 7,2446
-30 0,11945 677,81 1,038 363,91 1723,50 1359,59 1,4742 7,0658
262
Глава 2.3. СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВ ПРИ ФАЗОВОМ РАВНОВЕСИИ
Продолжение табл. 2.3.15
t, А О' р" h' h" г 1 5"
°C МПа кг/м3 кДж/кг кДж/(кг-К)
-20 0,19014 665,1 1,605 408,83 1737,53 1328,70 1,6548 6,9035
-10 0,29083 652,0 2,393 454,18 1750,25 1296,07 1,8299 6,7552
0 0,42957 638,5 3,460 500,00 1761,52 1261,52 2,0000 6,6185
10 0,61531 624,6 4,872 546,40 1771,23 1224,83 2,1658 6,4915
20 0,85777 610,2 6,706 593,46 1779,22 1185,76 2,3278 6,3727
30 1,1675 595,1 9,054 641,33 1785,30 1143,97 2,4866 6,2602
40 1,5555 579,2 12,029 690,16 1789,23 1099,07 2,6429 6,1526
50 2,0337 562,8 15,770 740,17 1790,68 1050,51 2,7975 6,0483
60 2,6147 545,2 20,46 791,61 1789,22 997,62 2,9510 5,9455
70 3,3117 526,3 26,36 844,79 1784,24 939,45 3,1045 5,8422
80 4,1390 505,7 33,82 505,70 1774,89 874,73 3,2589 5,7358
90 5,1125 482,8 43,39 958,41 1759,91 801,50 3,4160 5,6231
100 6,2497 456,8 56,00 1020,65 1737,28 716,63 3,5785 5,4990
НО 7,5715 425,7 73,42 1089,13 1703,34 614,21 3,7516 5,3547
120 9,1042 385,5 100,0 1169,40 1649,62 480,21 3,9486 5,1701
130 10,888 314,9 157,2 1288,89 1537,06 248,17 4,2357 4,8512
2.3.16. Коэффициенты динамической вязкости т| (Па • с) и
теплопроводности X (мВт/(м • К)) .аммиака в состоянии насыщения [29]
1, °C Т|' • 106 Г|" • 10* К X"
-70 456,4 5,23 600,6 15,88
-60 386,1 5,78 598,8 16,71
-50 331,1 6,31 591,3 17,62
-40 287,5 6,80 579,8 18,63
-30 252,6 7,26 565,3 19,74
-20 224,2 7,69 548,8 20,96
-10 200,9 8,10 530,8 22,28
0 181,2 8,50 511,8 23,73
10 164,4 8,90 492,4 25,33
20 149,8 9,29 472,5 27,08
30 136,6 9,70 452,3 29,04
40 124,6 10,12 431,8 31,25
50 113,7 10,57 411,7 33,77
60 103,3 11,06 391,4 36,73
70 93,4 11,60 371,0 40,27
80 83,9 12,20 350,3 44,63
90 74,6 12,89 329,3 50,19
100 65,4 13,71 307,6 57,59
110 56,2 14,74 284,4 68,07
120 46,5 16,24 257,8 84,70
130 34,3 19,55 216,9 122,07
2.3.17. Теплофизические свойства трифгорметана CF3H (HFC23) в состоянии насыщения [36]
А Р' р" G г А' А" s' S" 1 < к"
°C МПа кг/м3 мН/м кДж/кг кДж/(кг • К) мкПа * с мВт/(м • К)
-140 0,0006 1620 0,039 26,0 279,4 735,4 1014,8 8,8203 10,919 1024 6,74 174 4,30
-130 0,0021 1593 0,124 24,2 273,3 746,5 1019,8 8,9007 10,810 780 7,20 168 4,85
-120 0,0060 1565 0,330 22,4 267,0 757,8 1024,9 8,9770 10,721 620 7,66 161 5,40
-НО 0,0146 1535 0,762 20,6 260,4 769,4 1029,8 9,0502 10,646 504 8,12 155 5,95
-100 0,0318 1504 1,577 18,8 253,4 781,3 1034,6 9,1207 10,584 405 8,60 148 6,55
-90 0,0628 1470 2,979 17,1 245,7 793,5 1039,2 9,1890 10,531 336 9,10 141 7,20
-80 0,1144 1435 5,227 15,3 237,5 805,9 1043,5 9,2551 10,485 284 9,60 134 7,80
-70 0,1948 1398 8,638 13,6 228,7 818,6 1047,3 9,3189 10,445 243 10,2 127 8,60
-60 0,3135 1358 13,59 11,9 219,3 831,5 1050,8 9,3803 10,409 211 10,7 119 9,45
-50 0,4810 1316 20,56 10,2 209,2 844,5 1053,7 9,4395 10,377 185 П,2 112 10,4
-40 0,7090 1270 30,12 8,60 198,3 857,7 1056,0 9,4964 10,347 163 11,8 104 11,4
-30 1,010 1220 43,08 7,02 186,5 871,1 1057,5 9,5516 10,319 143 12,3 96,5 12,6
-20 1,399 1164 60,58 5,50 173,3 884,8 1058,2 9,6058 10,291 125 13,0 89,5 14,0
-10 1,891 1102 84,41 4,05 158,3 899,4 1057,6 9,6603 10,262 106 13,9 82,5 15,6
0 2,505 1029 117,8 2,70 140,0 915,3 1055,3 9,7175 10,230 91,0 15,0 76,5 17,7
10 3,264 939,4 168,1 1,46 116,0 934,0 1050,0 9,7819 10,192 76,0 16,6 68,5 21,0
20 4,193 808,5 260,9 0,42 78,0 959,3 1037,3 9,8661 10,132 - - - -
2.3.18. Теплофизические свойства дифгорметана CFjHj (HFC32) в состоянии насыщения [36]
t. А Р' р" G г А' Л" s' S" П' ч" к"
°C МПа кг/м3 мН/м кДж/кг кДж/(кг-К) мкПа • с мВт/(м • К)
-70 0,035 1250 1,08 24,8 412,3 229,5 641,8 1,3379 3,3711 537 7,89 165 7,90
-60 0,063 1227 1,90 22,8 401,1 246,7 647,8 1,4205 3,3048 457 8,28 156 8,36
-50 0,109 1202 3,16 20,7 389,6 263,9 653,5 1,4994 3,2466 386 8,68 148 8,85
-40 0,178 1175 5,00 18,8 377,6 281,2 658,9 1,5750 3,1949 329 9,08 140 9,38
-30 0,277 1147 7,59 16,8 365,1 298,6 663,8 1,6476 3,1485 275 9,49 132 9,96
СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВ ПРИ ФАЗОВОМ РАВНОВЕСИИ 263
Продолжение табл. 2.3.18
Г, А р' р" G г А' А" s' S" П' If 1 х"
°C МПа кг/м3 мН/м кДж/кг кДж/(кг-К) мкПа * с мВт/(м • К)
-20 0,413 1118 11,1 14,9 351,9 316,2 668,1 1,7178 3,1065 233 9,91 125 10,6
-10 0,595 1087 15,8 13,1 337,8 333,9 671,8 1,7858 3,0679 198 10,3 119 11,3
0 0,832 1055 22,0 11,3 322,8 351,9 674,7 1,8521 3,0318 167 11,2 112 12,1
10 1,132 1020 30,0 9,58 306,4 370,4 676,8 1,9171 2,9973 143 11,7 106 12,9
20 1,506 982 40,3 7,87 288,5 389,3 677,8 1,9814 2,9636 125 12,2 99,1 13,9
30 1,964 941 53,7 6,22 268,4 409,0 677,5 2,0457 2,9296 108 12,9 92,6 15,1
40 2,518 897 71,2 4,65 245,6 429,8 675,4 2,1107 2,8937 93,6 13,6 86,0 16,5
50 3,182 846 94,9 3,18 218,6 452,1 670,7 2,1781 2,8536 79,9 14,4 79,0 18,2
60 3,974 778 129,3 1,86 184,7 477,1 661,8 2,2510 2,8046 68,7 15,7 76,6 25,3
70 4,916 683 187,9 0,74 135,3 508,2 643,5 2,3387 2,7326 55,8 17,9 75,1 40,3
2.3.19. Теплофизические свойства пентафгорэтана C2F5H (HFC125) в состоянии насыщения [36]
А Р' р" G r 1 1 Л' Л" 5' S" * 1 1 < 1 х"
°C МПа кг/м3 мН/м кДж/кг кДж/(кг • К) мкПа * с мВт/(м • К)
I 2 3 । 1 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-100 0,0036 1560 0,2949 20,4 181,4 264,2 445,7 2,9129 3,9634 978 7,41 101,2 5,51
-90 0,0081 1527 0,6375 18,9 176,9 274,2 451,1 2,9690 3,9371 785 7,82 95,5 6,04
-80 0,0168 1495 1,256 17,4 172,2 284,4 456,7 3,0232 3,9169 651 8,25 90,3 6,57
-70 0,0319 1462 2,289 16,0 167,5 294,9 462,4 3,0757 3,9017 546 8,67 85,6 7,13
-60 0,0561 1429 3,911 14,5 162,6 305,4 468,1 3,1265 3,8904 460 9,11 81,4 7,71
-50 0,0943 1396 6,327 13,1 157,6 316,2 473,8 3,1757 3,8823 389 9,55 77,4 8,31
-40 0,1495 1362 9,779 11,8 152,3 327,1 479,5 3,2235 3,8768 331 10,0 73,7 8,95
-30 0,2268 1327 14,55 10,5 146,8 338,3 485,1 3,2699 3,8733 283 10,5 70,3 9,61
-20 0,3313 1291 20,97 9,17 140,9 349,6 490,5 3,3153 3,8713 244 11,0 66,9 10,3
Глава 2.3. СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВ ПРИ ФАЗОВОМ РАВНОВЕСИИ
Продолжение табл. 2.3.19
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-10 0,4681 1253 29,44 7,91 134,6 361,2 495,8 3,3596 3,8704 211 11,6 63,8 11,1
0 0,6430 1214 40,47 6,68 127,8 373,0 500,7 3,4032 3,8703 184 12,2 60,6 11,9
10 0,8619 1173 54,75 5,48 120,3 385,1- 505,4 3,4462 3,8702 160 12,9 57,6 12,8
20 1,131 1127 73,28 4,32 111,9 397,7 509,6 3,4889 3,8701 138 13,7 54,5 13,7
30 1,458 1077 97,66 3,21 102,4 410,7 513,1 3,5317 3,8689 119 14,5 51,3 14,8
40 1,852 1020 130,8 1,26 91,10 424,5 515,6 3,5753 3,8658 101 15,6 47,9 16,1
50 2,323 948,6 178,8 0,48 76,85 439,5 516,4 3,6210 3,8585 82,8 17,1 47,0 20,3
60 2,885 844,8 262,0 2,18 55,87 457,2 513,1 3,6729 3,8405 63,4 20,0 46,7 29,2
2.3.20. Теплофизическне свойства 1, 1, 1, 2-тетрафторэтана C2F4H2 (HFC134a) в состояли насыщения [36]
t. А Р' р” о, г 1 А' А" S" П' л" v 1 1 v
°C МПа кг/м3 мН/м кДж/кг кДж/(кг*К) мкПа* с мВт/(м*К)
-70 0,0077 1453 0,470 23,1 244,2 300,2 544,4 3,0568 4,2624 781 8,03 128,6 7,47
-60 0,0155 1424 0,902 21,4 238,1 312,7 550,8 3,1171 4,2370 664 8,43 122,0 8,02
-50 0,0289 1395 1,615 19,8 231,8 325,5 557,3 3,1754 4,2167 570 8,84 115,9 8,60
-40 0,0506 1366 2,727 18,2 225,5 338,3 563,8 3,2318 4,2006 492 9,25 110,4 9,19
-30 0,0838 1336 4,382 16,6 219,0 351,3 570,3 3,2863 4,1880 425 9,74 105,2 9,82
-20 0,1325 1306 6,745 15,1 212,3 364,5 576,8 3,3393 4,1782 369 10,2 100,3 10,5
-10 0,2010 1276 10,01 13,6 205,3 377,8 583,1 3,3907 4,1706 322 10,7 95,7 11,2
0 0,2939 1244 14,41 12,1 197,9 391,4 589,3 3,4408 4,1649 282 11,2 91,3 11,9
10 0,4165 1211 20,21 10,7 190,1 405,1 595,2 3,4898 4,1606 249 11,7 87,1 12,7
20 0,5741 1178 27,74 9,24 181,9 419,0 600,9 3,5377 4,1572 220 12,2 83,1 13,5
30 0,7725 1142 37,41 7,86 172,9 433,2 606,2 3,5849 4,1544 195 12,7 79,1 14,4
СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВ ПРИ ФАЗОВОМ РАВНОВЕСИИ
Продолжение табл. 2.3.20
Г, А р' р" о, Л' А" s' S" П' п" К X"
°C МПа кг/м3 мН/м кДж/кг кДж/(кг-К) мкПа * с мВт/(м • К)
40 1,018 1105 49,80 6,52 163,2 447,8 611,0 3,6314 4,1518 172 13,2 75,1 15,4
50 1,317 1064 65,69 5,22 152,5 462,8 615,3 3,6777 4,1488 152 13,8 71,1 16,5
60 1,677 1020 86,33 3,98 140,4 478,4 618,8 3,7241 4,1448 134 14,5 67,1 17,7
70 2,108 969,8 113,8 2,81 126,3 494,7 621,1 3,7712 4,1387 116 15,3 62,8 19,2
80 2,619 909,6 152,5 1,75 109,1 512,3 621,5 3,8208 4,1287 99,5 16,5 61,8 23,6
90 3,225 828,8 213,5 0,83 85,8 532,3 618,1 3,8741 4,1100 82,2 18,4 61,3 31,3
100 3,942 720,1 378,0 0,10 53,6 545,1 598,7 3,8934 4,0503 61,9 21,7 - -
2.3.21. Теплофизические свойства 1, 1, 1-трифторэтана C2F3H3 (HFC143a) в состоянии насыщения [36]
Г, А Р' р" о, г А' Л" * 1 г П' п"
°C МПа кг/м3 мН/м кДж/кг кДжДкг-К) мкПа * с мВт/(м • К)
-100 0,0028 1325 0,167 24,4 .272,5 300,3 572,8 3,0689 4,6448 708 6,90 132,9 6,16
-90 0,0068 1299 0,376 22,6 266,0 313,1 579,2 3,1409 4,5951 594 7,28 125,2 6,69
-80 0,0145 1273 0,765 20,9 259,4 326,2 582,6 3,2104 4,5546 499 7,67 118,3 7,25
-70 0,0284 1246 1,436 19,2 252,6 339,5 592,1 3,2776 4,5216 430 8,06 112,0 7,84
-60 0,0518 1220 2,515 17,5 245,6 353,1 598,7 3,3426 4,4948 373 8,46 106,4 8,45
-50 0,0886 1193 4,158 15,9 238,4 366,8 605,8 3,4054 4,4730 317 8,87 101,1 9,10
-40 0,1437 1165 6,547 14,4 230,8 380,8 611,6 3,4664 4,4554 271 9,29 96,2 9,78
-30 0,2223 1137 9,895 12,8 223,0 394,9 617,9 3,5235 4,4410 236 9,71 91,6 10,5
-20 0,3302 1108 14,45 н.з 214,6 409,3 623,9 3,5832 4,4293 205 10,1 87,2 н,з
-10 0,4739 1078 20,50 9,85 205,7 424,0 629,7 3,6395 4,4195 181 10,6 83,0 12,1
0 0,6597 1047 28,43 8,41 196,2 438,9 635,2 3,6947 4,4112 161 11,5 78,9 13,0
10 0,8948 1014 38,69 7,01 185,8 454,3 640,1 3,7471 4,4037 . 146 12,1 74,9 14,0
20 1,187 978,3 51,96 5,65 174,4 470,1 644,5 3,8030 4,3964 132 12,7 70,9 15,1
30 1,544 939,6 69,22 4,35 161,5 486,6 648,1 3,8569 4,3884 117 13,4 66,9 16,2
40 1,976 895,9 92,13 3,12 146,7 503,9 650,5 3,9114 4,3788 99,3 14,2 62,7 17,6
50 2,494 844,1 123,8 1,99 128,7 522,4 651,1 3,9678 4,3654 79,9 15,3 60,5 21,1
60 3,114 776,5 172,2 1,00 105,0 543,3 648,2 4,0290 4,3437 58,9 17,1 58,6 27,0
70 3,853 652,7 275,9 0,20 62,6 571,7 634,3 4,1099 4,2923 21,6 63,7 52,0
Глава 2.3. СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВ ПРИ ФАЗОВОМ РАВНОВЕСИИ
2.3.22. Теплофизические свойства дифторхлорметана CFjCIH (HCFC22) в состоянии насыщения [28, 36]
Г, А Р' р" о, г />- 1 h" s' S" п' п" К X"
°C МПа кг/м3 мН/м кДж/(кг-К) мкПа * с мВт/(м • К)
-120 0,00023 1621 0,0156 31,7 281,1 368,3 649,3 0,3689 2,2041 - - - -
-110 0,00073 1595 0,0466 29,9 275,1 379,0 654,0 0,4366 2,1226 - - - -
-100 0,0020 1569 0,1198 28,1 269,1 389,7 658,8 0,5003 2,0547 860 7,34 138,9 4,42
-90 0,0048 1543 0,2726 26,3 263,3 400,4 663,7 0,5604 1,9979 700 7,80 134,5 4,82
-80 0,0103 1517 0,5603 24,6 257,4 411,1 668,5 0,6173 1,9501 594 8,26 130,1 5,25
-70 0,0204 1490 1,058 22,9 251.5 421,9 673,4 0,6716 1,9098 506 8,73 125,8 5,70
-60 0,0375 1463 1,863 21,1 245,5 432,7 678,2 0,7236 1,8755 438 9,21 121,5 6,17
-50 0,0645 1435 3,092 19,5 239,4 443,6 683,0 0,7735 1,8463 382 9,70 117,2 6,67
-40 0,1053 1406 4,884 17,8 233,0 454,6 687,6 0,8276 1,8211 336 10,2 113,0 7,19
-30 0,1640 1377 7,398 16,3 226,4 465,7 692,2 0,8681 1,7994 295 10,7 108,8 7,76
-20 0,2455 1347 10,82 14,6 219,5 477,0 696,5 0,9132 1,7803 260 11,2 104,6 8,35
-10 0,3550 1315 15,36 13,1 212,2 488,4 700,6 0,9571 1,7635 233 11,7 100,4 9,00
0 0,4981 1282 21,28 11,6 204,4 500,0 704,4 1,0000 1,7484 210 12,2 96,19 9,69
10 0,6809 1248 28,87 10,1 196,1 511,8 707,9 1,0420 1,7346 188 12,8 91,95 10,45
20 0,9097 1211 38,53 8,66 187,1 523,9 711,0 1,0834 1,7216 170 13,4 87,64 11,3
30 1,191 1172 50,76 7,26 177,3 536,4 713,7 1,1244 1,7091 150 14,1 83,23 12,2
40 1,533 ИЗО 66,25 5,92 166,4 549,3 715,7 1,1653 1,6966 133 14,8 78,69 13,24
50 1,942 1083 86,02 4,64 154,1 562,8 716,9 1,2067 1,6835 118 15,8 74,06 14,43
60 2,427 1031 111,7 3,42 139,9 577,2 717,1 1,2492 1,6690 106 17,0 69,44 15,88
70 2,997 970,2 146,3 2,29 122,8 592,8 715,7 1,2936 1,6516 94,7 18,7 64,69 17,71
80 3,664 894,1 196,2 1,26 101,1 610,5 711,6 1,3422 1,6284 80,9 21,0 59,29 20,41
90 4,442 780,3 283,1 0,38 68,7 632,4 701,2 1,4009 1,5902 63,6 25,7 53,00 27,15
СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВ ПРИ ФАЗОВОМ РАВНОВЕСИИ
2.3.23. Теплофизические свойства 1, 1, 1-трифтордихлорэтана C2F3a2H (HCFC123) в состоянии насыщения [36]
t, А Р' р" а, г />’ 1 | А" s' 5" П' п’ v 1 1 х"
°C МПа кг/м3 мН/м кДж/кг кДж/(кг*К) мкПа* с мВт/(м • К)
-20 0,0124 1521 0,912 20,8 186,0 275,5 461,5 3,1633 3,8997 772 6,53 85,5 7,27
-10 0,0209 1496 1,482 19,5 182,1 285,3 467,5 3,2014 3,8950 675 6,78 82,1 7,70
0 0,0336 1471 2,311 18,2 178,3 295,3 473,5 3,2384 3,8922 592 7,36 79,0 8,15
10 0,0521 1446 3,476 17,0 174,3 305,3 479,6 3,2746 3,8910 521 7,63 76,1 8,60
20 0,0778 1420 5,062 15,8 170,3 315,5 485,8 3,3098 3,8911 460 7,91 73,4 9,07
30 0,1126 1394 7,171 14,6 166,1 325,8 491,9 3,3442 3,8923 406 8,19 70,8 9,55
40 0,1586 1368 9,911 13,4 161,8 336,2 498,0 3,3778 3,8944 360 8,47 68,4 10,0
50 0,2180 1341 13,41 12,3 157,3 346,7 504,0 3,4106 3,8972 321 8,76 66,0 10,6
60 0,2929 1314 17,81 Н,1 152,6 357,3 509,9 3,4428 3,9006 287 9,06 63,8 Н,1
70 0,3857 1286 23,26 10,0 147,7 368,0 515,8 3,4744 3,9044 257 9,36 61,6 11,6
80 0,4990 1257 29,97 8,96 142,5 378,9 521,5 3,5055 3,9085 231 9,68 59,5 12,2
90 0,6354 1227 38,17 7,89 137,0 390,0 527,0 3,5360 3,9128 208 10,0 57,4 12,8
100 0,7975 1195 48,16 6,84 131,2 401,2 532,4 3,5662 3,9171 187 10,4 55,3 13,5
НО 0,9882 1162 60,30 5,82 124,8 412,7 537,5 3,5961 3,9212 168 10,7 53,3 14,1
120 1,211 1127 75,15 4,82 117,9 424,4 542,2 3,6257 3,9250 151 11,1 51,2 14,9
130 1,469 1089 93,46 3,87 110,2 436,4 546,6 3,6554 3,9282 135 11,7 49,1 15,7
140 1,766 1046 116,4 2,96 101,5 448,9 550,4 3,6852 3,9306 120 12,2 46,9 16,5
150 2,107 998,2 146,1 2,10 91,49 461,9 553,4 3,7155 3,9314 105 13,0 46,2 18,9
160 2,497 940,1 186,6 1,33 79,21 475,8 555,0 3,7470 3,9297 89,6 14,0 45,1 21,5
170 2,943 861,8 248,6 0,65 62,60 491,4 554,0 3,7815 3,9227 73,5 16,7 45,5 27,5
180 3,454 695,9 411,1 0,09 27,27 514,1 541,3 3,8306 3,8908 - - - -
Глава 2.3. СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВ ПРИ ФАЗОВОМ РАВНОВЕСИИ
2.3.24. Теплофизические свойства 1-фтор-1,1-дихлорэтана C2FCI2H3 (HCFC141A) в состоянии насыщения [36]
t, А Р' р" о» г А' И" s' S" ч' 1 1 ч" К
°C МПа кг/м3 мН/м кДж/кг кДж/(кг*К) мкПа * с мВт/(м * К)
-20 0,0097 1333 0,540 24,5 250,7 402,9 653,6 3,5030 4,4955 654 8,75 106,3 7,26
-10 0,0164 1312 0,887 23,1 246,1 413,8 659,9 3,5453 4,4822 578 9,10 102,0 7,68
0 0,0268 1292 1,398 21,8 241,3 424,9 666,2 3,5864 4,4515 515 9,43 98,0 8,12
10 0,0419 1271 2,124 20,4 236,5 436,0 672,5 3,6265 4,4631 460 9,78 94,3 8,57
20 0,0633 1250 3,121 19,1 231,6 447,3 678,9 3,6656 4,4566 412 10,1 90,9 9,03
30 0,0926 1229 4,456 17,8 226,6 458,7 685,3 3,7038 4,4517 370 10,5 87,6 9,51
40 0,1317 1208 6,203 16,6 221,4 470,2 691,6 3,7411 4,4482 333 10,8 84,6 10,0
50 0,1827 1186 8,443 15,3 216,0 481,9 697,9 3,7776 4,4460 301 11,2 81,6 10,5
60 0,2477 1165 11,27 14,1 210,5 493,7 704,1 3,8133 4,4447 272 11,6 78,8 11,1
70 0,3289 1142 14,78 12,9 204,7 505,6 710,3 3,8483 4,4443 247 12,0 76,2 11,6
80 0,4287 1120 19,09 11,7 198,6 517,6 716,3 3,8827 4,4445 224 12,4 73,6 12,2
90 0,5497 1096 24,34 10,5 192,3 529,9 722,2 3,9166 4,4453 204 12,8 71,1 12,8
100 0,6943 1072 30,69 9,38 185,5 542,3 727,8 3,9500 4,4464 187 13,2 68,8 13,5
НО 0,8651 1047 38,33 8,25 178,4 555,0 733,3 3,9830 4,4477 170 13,6 66,2 14,1
120 1,065 1021 47,52 7,14 170,7 567,8 738,5 4,0157 4,4491 155 14,1 63,8 14,9
130 1,297 992,6 58,57 6,07 162,4 581,0 743,4 4,0482 4,4503 142 14,6 61,4 15,6
140 1,564 962,9 71,96 5,02 153,3 594,5 747,8 4,0807 4,4511 129 15,1 59,0 16,5
150 1,871 930,6 88,33 4,01 143,3 608,5 751,8 4,1133 4,4513 116 15,9 56,5 17,4
160 2,220 894,7 108,7 3,06 131,9 623,0 754,9 4,1463 4,4503 104 16,7 53,9 18,4
170 2,617 853,6 135,0 2,17 118,7 638,3 756,9 4,1801 4,4475 92,5 17,7 53,4 21,3
180 3,067 803,8 170,6 1,36 102,4 654,8 757,2 4,2158 4,4415 80,4 19,1 52,9 24,9
190 3,578 735,8 225,6 0,66 80,19 673,7 753,9 4,2556 4,4285 67,0 21,5 52,9 33,0
СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВ ПРИ ФАЗОВОМ РАВНОВЕСИИ
270
Глава 2.4. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ И ЖИДКОСТЕЙ
Глава 2.4
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
ГАЗОВ И ЖИДКОСТЕЙ
Теплофизические свойства жидкостей и
паров в состоянии насыщения представлены в
табл. 2.3.3-2.3.24, а в однофазной области в
табл. 2.4.1-2.4.12.
Плотность р, коэффициенты теплопро-
водности А. и изобарной теплоемкости ср
нефтяных масел и масляных смазочно-
охлаждающих технологических средств опи-
саны формулами
р = р20-а1 (Г-20),
Х = Х20 -a2(t-V>), (2.4.1)
ср = с“-в3(Г-20),
коэффициенты которых приведены в
табл. 2.4.1 и 2.4.4. Коэффициенты кинемати-
ческой вязкости v этих же жидкостей пред-
ставлены в табл. 2.4.2. Теплофизические
свойства водных эмульсий даны в табл. 2.4.3,
а коэффициенты формул (2.4.1) р, А. и ср
смазок - в табл. 2.4.4. Теплофизические
свойства высокотемпературных теплоносите-
лей представлены в табл. 2.4.5. Табл. 2.4.6-
2.4.8 позволяют с помощью формул (2.1.8) и
(2.1.9) рассчитать коэффициенты диффузии в
газах и жидкостях. В табл. 2.4.9-2.4.12 даются
теплофизические свойства атмосферных газов.
2.4.1. Коэффициенты формулы (2.4.1) для плотности, изобарной теплоемкости и теплопроводности
нефтяных масел и масляных смазочно-охлаждающих технологических средств (СОТС) [47, 48]
Марка Р20, кг/м3 X20, Вт/(м К) с20 СР • Дж/(кг-К) Д1 • 103 ^2 * Ю3 а3 • 103
1 2 3 4 5 6 7
.. Моторные масла для авиационных двигателей
МС-14 887,8 0,1354 1946 0,689 0,805 0,154
МС-20 893,8 0,1346 1972 0,682 0,854 0,204
2. Рабочие жидкости для гидравлических систем
Масло веретенное АУ | 876,3 | 0,1300 | 1866 1 0,744 | 0,712 | 0,199
3. Энергетические масла
3.1. Турбинные масла
т22 892,8 0,1322 1844 0,759 0,850 0,116
Тзо 896,7 0,1333 1837 0,750 0,985 0,117
3.2. Электроизоляционные масла
Трансформаторное ТКп 904,4 0,1251 1840 0,742 I 1,019 I 0,147
4. Индустриальные масла 4.1. Масла общего назначения
И-5А (И-Л-А-7)* 874,8 0,1290 1950 0,773 0,930 0,170
И-8А (И-Л-А-10)* 858,4 0,1310 1986 0,786 0,734 0,167
И-12А (И-Л-А-22)* 867,6 0,1486 1911 0,749 0,740 0,177
И-20А (И-Г-А-32)* 878,9 0,1511 1900 0,746 0,744 0,182
И-30А (И-Г-А-46)* 887,7 0,1337 1872 0,713 0,701 0,188
И-40А (И-Г-А-68)* 881,3 0,1447 1941 0,713 0,781 0,149
И-50А (И-Г-А-100)* 890,7 0,1438 1880 0,843 0,765 0,171
4.2. Масло для прокатных станов
ПС-28 913,6 0,1370 1830 0,679 0,629 0,174
П-40 920,1 0,1362 1810 0,652 0,615 0,173
4.3. Масла цилиндровые (для машин, работающих на насыщенном паре)
Цилиндровое легкое 11 | 1 915,9 1 1 0,1340 1 1 1950 1 1 0,751 | | 0,951 1 0,170
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ И ЖИДКОСТЕЙ
271
Продолжение табл. 2.4.1
1 2 I 3 1 1 1 1 1 5 I 1 ‘ 1 1 2
мвп 4.4. Приборные масла: 4.4.1. Общего назначения | 895,7 | 0,1300 | 1885 | 0,749 | 4.4.2. Специального назначения (синтетические) 0,938 | 0,192
МАС-35 875,4 0,1840 1989 0,707 0,672 0,148
М-9С 836,0 0,1775 1997 0,750 0,669 0,192
5. Масляные СОТС для обработки металлов резанием
Сульфофрезол 905,7 0,1339 1806 0,616 0,616 0,184
МР-1у 872,5 0,1512 1968 0,722 0,751 0,168
МР-2у 879,5 0,1463 1920 0,769 0,871 0,185
МР-3 887,9 0,1280 1850 0,768 0,600 0,214
МР-4 943,0 0,1278 1682 0,741 0,313 0,141
МР-5у 881,3 0,1481 1872 0,771 0,624 0,181
МР-6 946,3 0,1362 1910 0,728 0,679 0,183
МР-7 879,2 0,1490 1892 0,649 0,731 0,117
МР-10 905,1 0,1493 1952 0,790 0,720 0,170
МР-99 891,6 0,1456 1881 0,738 0,721 0,178
ОСМ-3 897,2 0,1280 1800 0,761 0,884 0,189
ОСМ-5 924,1 0,1437 1840 0,782 0,722 0,164
6. Масляные СОТС для холодной штамповки металлов
Укринол-4 888,6 0,1293 1843 0,727 0,764 0,206
Укринол-5/5 1009,6 0,1349 1732 0,619 0,908 0,203
Укринол-14 882,7 0,1307 1901 0,741 0,943 0,195
ХС-147 1016,8 0,1435 1814 0,740 0,575 0,203
СН-Ц 1028,2 0,1318 1626 0,634 0,758 0,244
СН-М 1110,5 0,1213 1501 0,549 0,648 0,244
7. Масляные СОТС для прокатки металлов
Укринол-202 798,7 0,1287 2074 0,925 1,098 0,141
Укринол-203 809,9 0,1303 2062 0,898 1,100 0,141
Укринол-205 833,8 0,1465 1977 0,854 0,904 0,137
Укринол-207 851,9 0,1489 1965 1,100 0,655 0,127
* Новое обозначение в соответствии с ГОСТ 17479.4-87.
212
Глава 2.4. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ И ЖИДКОСТЕЙ
2.4.2. Коэффициент кинематической вязкости v (мм2/с) нефтяных масел и масляных СОТС
при различных температурах ( °C ) и атмосферном давлении [48]
Марка 20 40 60 80 100 120 140 160 180
Масла:
Веретенное АУ 49,0 18,7 8,98 5,31 3,60 2,63 2,02 - -
Трансформаторное ТКп 20,1 12,2 6,19 3,60 2,18 1,40 1,11 - -
Индустриальное И-5А 12,4 6,77 4,10 2,73 1,96 - - - -
Индустриальное И-8А 20,7 9,47 5,45 3,65 2,37 - - - -
Индустриальное И-12А 46,2 19,1 9,74 5,74 3,78 2,67 2,00 1,57 -
Индустриальное И-20А 84,1 27,2 12,8 7,34 4,67 3,22 2,33 1,88 1,65
Индустриальное И-ЗОА 149 48,9 21,2 Н,1 6,71 4,43 3,14 2,35 1,71
Индустриальное И-40А 215 65,0 26,6 13,4 7,86 5,05 3,52 2,59 2,00
Индустриальное И-50А 269 80,3 32,5 16,2 9,31 5,96 4,12 3,02 2,32
Цилиндровое 11 471 117 40,0 18,5 9,84 5,88 3,95 2,93 2,29
Приборное МВП 33,6 15,8 9,02 5,96 4,32 3,63 - - -
Авиационное МС-14 672 171 61,0 27,7 14,9 9,01 5,97 4,23 3,15
Авиационное МС-20 1100 267 91,4 39,9 20,7 12,2 7,90 5,50 4,04
Индустриальное 20В 104 34,9 15,6 8,38 5,83 3,46 2,49 1,90 -
Индустриальное ВИ-4 10,8 5,82 3,61 2,47 1,82 1,40 - - -
Турбинное Т22 101 33,1 14,9 8,14 4,96 3,33 2,40 1,82 1,43
Турбинное Т30 159 48,5 19,8 10,3 6,09 3,99 2,81 2,10 1,63
ПС-28 2160 463 145 58,8 28,9 16,4 10,3 6,95 -
П-40 3510 676 193 75,1 35,8 19,3 11,8 7,84 -
М-9С 180 66,7 зол 15,8 9,30 6,05 4,25 3,21 2,54
МАС-35 СОТС: 1790 371 124 52,4 26,0 14,9 9,48 6,49 -
МР-1у 62,6 24,5 11,7 6,66 4,24 2,92 2,14 1,65 -
МР-2у 140 43,0 18,0 9,28 5,55 3,65 2,58 1,93 1,51
МР-3 38,8 15,8 8,01 4,74 3,12 2,21 - - -
МР-4 57,4 20,5 9,52 5,51 3,91 - - - -
МР-5у 185 60,2 25,9 13,5 8,01 5,24 3,69 2,74 -
МР-6 140 46,0 18,3 10,9 6,33 - - - -
МР-7 94,7 34,7 15,9 8,82 5,50 3,74 2,71 2,06 1,63
МР-10 70,0 26,3 12,7 7,16 4,55 3,14 2,30 1,77 -
МР-99 124 45,5 21,2 11,7 7,21 4,87 3,50 - -
Сульфофрезол 125 40,6 17,6 9,16 5,58 3,71 2,64 1,96 -
ОСМ-3 14,4 7,04 4,07 2,64 1,86 1,39 1,09 - -
ОСМ-5 76,7 28,0 13,2 7,36 4,63 3,17 2,32 1,77 -
Укринол-4 158 53,6 23,8 12,9 7,05 - - - -
Укринол-5/5 215 119 61,9 32,8 19,5 - - - -
Укринол-14 68,6 25,9 12,8 7,22 4,67 - - - -
Укринол-202 2,72 1,83 1,36 1,06 0,89 - - - -
Укринол-203 2,30 1,63 1,24 1,00 0,89 - - - -
Укринол-205 6,02 3,64 2,45 1,79 1,34 - - - -
Укринол-207 15,5 7,79 4,59 3,01 2,13 - - - -
ХС-147 270 89,2 36,7 19,3 12,9 - - - -
СН-М 799 266 120 61,5 34,0 21,0 13,5 - -
СН-Ц 2770 809 309 152 87,1 53,2 37,9 - -
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ И ЖИДКОСТЕЙ
273
2.4.3. Теплофизические свойства эмульсолов и их водных эмульсий [48]
/, °C р, кг/м3 V , ММ2/с Ср , кДж/(кг • град) X , Вт/(м • град)
Укринол-1, концентрат (100 %)
20 942 336 2,46 0,160
40 928 106 2,62 0,156
60 914 42,8 2,79 0,152
80 900 22,2 2,95 0,148
100 886 10,6 3,12 0,143
3 % (по мас*се) эмульсия
20 996 1,41 4,11 0,571
40 990 0,904 4,11 0,599
60 981 0,645 4,12 0,622
80 969 0,495 4,14 0,640
100 956 0,413 4,16 0,653
5 % эмульсия
20 994 1,80 4,06 0,555
40 988 1,07 4,07 0,583
60 979 0,717 4,08 0,604
80 967 0,566 4,10 0,622
100 954 0,451 4,13 0,635
10 % эмульсия
20 991 2,33 3,94 0,519
40 984 1,39 3,96 0,544
60 974 0,934 3,98 0,565
80 963 0,712 4,01 0,581
100 949 0,566 4,04 0,593
20 % эмульсия
20 983 3,86 3,72 0,461
40 975 2,26 3,75 0,483
60 965 1,61 3,79 0,501
80 954 1,19 3,84 0,515
100 940 0,943 3,88 0,525
Аквол-2, концентрат (100 %)
20 918 254 2,17 0,147
40 904 82,2 2,29 0,144
60 890 34,3 2,42 0,142
80 876 16,5 2,54 0,140
100 862 7,11 2,67 0,138
3 % (по массе) эмульсия
20 996 1,28 4,10 0,576
40 989 0,823 4,10 0,604
60 980 0,602 4,11 0,627
80 969 0,471 4,13 0,645
100 955 0,385 4,15 0,658
274
Глава 2.4. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ И ЖИДКОСТЕЙ
Продолжение табл. 2.4.3
Г, °C р, кг/м3 V , ММ2/С Ср , кДж/(кг • град) X , Вт/(м • град)
5 % эмульсия
20 994 1,47 4,05 0,562
40 987 0,891 4,06 0,590
60 978 0,654 4,07 0,612
80 967 0,511 4,09 0,629
100 953 0,435 4,11 0,642
10 % эмульсия
20 989 1,86 3,93 0,530
40 983 1,06 3,95 0,556
60 973 0,761 3,96 0,576
80 962 0,594 3,98 0,593
100 948 0,480 4,01 0,606
20 % эмульсия
20 981 3,15 3,71 0,469
40 973 1,59 3,73 0,493
60 964 1,02 3,76 0,509
80 952 0,721 3,80 0,523
100 938 0,565 3,83 0,535
НГЛ-205, концентрат (100 %)
20 980 295 2,56 0,270
40 966 91,4 2,61 0,273
60 952 39,2 2,67 0,277
80 938 18,4 2,72 0,290
100 924 8,81 2,77 0,283
3 % (по массе) эмульсия
20 997 1,05 4,13 0,585
40 990 0,690 4,13 0,613
60 981 0,506 4,14 0,636
80 970 0,394 4,15 0,654
100 955 0,322 4,17 0,668
5 % эмульсия
20 996 1,13 4,09 0,576
40 989 0,745 4,09 0,604
60 980 0,541 4,10 0,626
80 968 0,425 4,12 0,644
100 954 0,351 4,14 0,657
10 % эмульсия
20 995 1,42 4,00 0,554
40 988 0,923 4,00 0,581
60 978 0,666 4,01 0,602
80 966 0,502 4,03 0,619
100 952 0,394 4,05 0,632
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ И ЖИДКОСТЕЙ
275
2.4.4. Коэффициенты формул (2.4.1) для плотности,
изобарной теплоемкости и теплопроводности смазок [47, 48]
Смазка р20, кг/м3 А.20, Вт/(м • К) С20 СР ’ Дж/(кг-К) • 103 а2 • Ю3 а3 • 102
1. Антифрикционные смазки
1.1 Смазки общего назначения для обычных температур
Солидол С 936 0,1474 2212 0,590 1,700 1,330
Пресс-солидол С 937 0,1480 2220 0,587 1,689 1,363
Солидол Ж 938 0,1433 2123 0,498 1,617 1,727
Графитная 1107 0,1458 2161 0,415 1,372 1,499
1.2. Смазки общего назначения для повышенных температур
Консталин-2 902 0,1424 1954 0,610 1,006 1,672
1 - 13 928 0,1554 2325 0,560 0,997 1,527
1.3. Смазки многоцелевые
Литол-24 884 0,1440 2098 0,633 1,055 1,749
Фиол-1 875 0,1400 2005 0,583 1,157 1,845
Фиол-2 885 0,1428 2102 0,636 1,085 1,766
Фиол-2М 888 0,1435 2087 0,619 1,050 1,750
Фиол-3 887 0,1440 2076 0,620 1,097 1,826
1.4. Смазки термостойкие
ЦИАТИМ-201 883 0,1450 2100 0,555 1,448 1,714
ЦИАТИМ-203 920 0,1428 2071 0,630 1,078 1,758
Снарядная ВС 911 0,1410 2170 0,604 1,276 1,498
Лита 888 0,1400 • 2007 0,574 1,014 1,878
ГОИ-54П 888 0,1435 2302 0,450 1,835 1,299
1.5. Смазки приборные
ЦИАТИМ-202 886 0,1338 2111 0,677 0,972 1,374
ОКБ-122-7-5 997 0,1559 2113 0,502 0,922 1,154
2. Смазки узкопрофильные (отраслевые)
2.1.. Смазки для электрических машин
ЭШ-176 1 935 1 0,1552 2116 0,677 1 Ы17 | 1,402
2.2. Смазки автомобильные
ЛСЦ-15 918 0,1852 2253 0,776 1,701 1,465
№ 158 986 0,1514 2300 0,530 1,065 1,299
ЛЗ-31 893 0,1330 2045 0,602 1,043 1,424
ШРБ-4 967 0,1394 ИЗО 0,646 1,085 1,620
2.3. Смазки железнодорожные
ЛЗ-ЦНИИ 906 0,1414 2068 0,593 1,114 1,795
Контактная 973 0,2474 2272 0,642 2,000 1,364
2.4. Смазки индустриальные
Униол-2 930 0,1480 2252 0,578 1,107 1,210
КБС 987 0,1644 2244 0,608 1,292 1,337
ЛС-1П 874 0,1392 1994 0,572 1,185 1,835
Сиол 949 0,1430 2052 0,601 1,412 1,623
ИП-1Л 927 0,1456 2213 0,550 1,540 1,260
ИП-1з 928 0,1464 2200 0,552 1,560 1,250
276
Глава 2.4. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ И ЖИДКОСТЕЙ
2.4.5. Теплофизические свойства высокотемпературных теплоносителей [32, 49]
t, °C р, кг/м3 Ср , кДж/(кг • град) 1] • 103, Па • с X, Вт/(м • град)
Дифенильная смесь (73,5 % дифенилоксида С^ИщО + 26,5 % дифенила С^Ню)
20 1060 1,698 - 0,142
60 1028 1,698 1,748 0,137
100 994 1,812 0,986 0,131
140 960 1,926 0,645 0,126
180 923 2,039 0,461 0,120
200 905 2,096 0,399 0,117
220 887 2,153 0,349 0,115
260 850 2,287 0,275 0,109
300 808 2,381 0,223 0,104
340 765 2,495 0,186 0,098
380 722 2,608 0,157 0,093
Дитолил метан (С]$Н|б)
20 982 1,553 4,77 0,130
60 954 1,668 1,56 0,125
100 924 1,783 0,80 0,121
140 894 1,897 0,485 0,117
180 861 2,010 0,372 0,112
200 845 2,067 0,341 0,110
220 828 2,123 0,312 0,108
260 792 2,235 0,259 0,104
280 774 2,291 0,231 0,102
300 - - 0,206 0,099
Комбинированный теплоноситель КТ-2
(50 % дитолилметана CisH16 + 36,8 % дифенилоксида С^НюО + 13,2 % дифенила С^Ню)
20 1010 1,62 4,60 0,129
370 741 2,21 0,161 0,094
Ароматизированное масло АМТ-300
20 969 1,60 154 0,120
60 937 1,73 15,7 0,117
100 913 1,87 5,63 0,114
140 889 2,01 2,20 0,110
180 863 2,14 1,13 0,106
220 835 2,28 0,763 0,102
260 808 2,41 0,536 0,099
300 781 2,55 0,396 0,093
Соляная смесь СС-4 (40 % NaNO2 + 7 % NaNO3 + 53 % KNO3)
150 1976 1,424 17,77 0,441
200 1934 1,424 7,88 0,435
250 1895 1,424 4,57 0,426
300 1856 1,424 3,09 0,393
350 1819 1,424 2,31 0,362
400 1783 1,424 1,83 0,330
450 1748 1,424 1,53 0,298
500 1715 - 1,31 0,266
550 1681 - 1,16 0,235
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ И ЖИДКОСТЕЙ
277
2.4.6. Значения К\ формулы (2.1.9) для растворенных веществ [38]
Вещество /, °C ЛГ1-Ю3 Вещество t, °C Kt 103
Анилин 15 2,178 Нитробензол 15 2,322
Ацетон 15 3,546 Пропанол 15 2,243
Бензол 25 3,460 ТСтрахлорметан 25 3,578
Бромбензол 15 2,403 Трихлорметан 15 3,328
Бромэтан 15 4,025 Толуол 25 3,037
Бутанол 15 2,049 Фенол 5 1,889
Вода 25 2,591 Хлорбензол 15 2,591
Метанол 15 2,861 Этанол 15 2,456
Муравьиная кислота 6 4-'59 Уксусная 1 кислота 25 2,312
2.4.7. Значения К2 формулы (2.1.9) для различных растворителей [38]
Растворитель t, °C к2 ю3 | Растворитель t, °C кг 103
Бензол 15 5,925 Тетрахлорметан 25 4,239
Бромбензол 25 5,094 Толуол 25 6,109
Вода 25 4,151 Хлорбензол 25 5,676
Метанол 15 6,745 Этанол 25 3,831
2.4.8. Коэффициенты формулы (2.1.8) для коэффициента взаимной диффузии газов [38]
Система Do, см2/с «1 а2, К а3, К2 Температурный интервал, К
Гелий - азот 0,6? 3 1,524 - - 77 - 10000
Гелий - оксид углерода 0,613 1,524 - - 77 - 10000
Аргон - азот 0,79 1,519 39,8 - 242 - 10000
Водород - азот 0,66 1,548 -2,80 1067 65 - 10000
Водород - оксид углерода 0,66 1,548 -2,80 1077 65 - 10000
Азот - оксид углерода 0,175 1,576 36,2 3825 78 - 10000
Гелий - кислород 0,45 1,710 - - 244 - 10000
Гелий - воздух 0,62 1,729 - - 244 - 10000
Гелий - диоксид углерода 0,52 1,720 - - 200 - 530
Неон - азот 0,28 1,743 - - 293 - 10000
Неон - оксид углерода 0,22 1,776 - - 195 - 625
Аргон - азот 0,17 1,752 - - 244 - 10000
Аргон - кислород 0,167 1,736 - - 243 - 10000
Аргон - воздух 0,165 1,749 - - 244 - 10000
Аргон - диоксид углерода 0,177 1,646 89,1 - 276 - 1800
Криптон - азот 0,13 1,766 - - 248 - 10000
Ксенон - водород 0,54 1,712 16,9 - 242 - 10000
278
Глава 2.4. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ И ЖИДКОСТЕЙ
Продолжение табл. 2.4.8
Система Dq, см2/с «1 а2, К а3, К2 Температурный интервал, К
Ксенон - азот 0,106 1,789 - - 242 - 10000
Водород - кислород 0,69 1,732 - - 252 - 10000
Водород - воздух 0,66 1,750 - - 252 - 10000
Водород - диоксид углерода 0,56 1,750 11,7 - 200 - 550
Метан - азот 0,20 1,750 - - 298 - 10000
Метан - кислород 0,22 1,695 44,2 - 294 - 10000
Метан - воздух 0,186 1,747 - - 298 - 10000
Азот - кислород 0,182 1,724 - - 285 - 10000
Азот - водяной пар 0,204 2,072 - - 282 - 373
Азот - диоксид углерода 0,208 1,570 113,6 - 288 - 1800
Оксид углерода - кислород 0,175 1,724 - - 285 - 10000
Оксид углерода - воздух 0,182 1,730 - - 285 - 10000
Оксид углерода - диоксид углерода 0,142 1,803 - - 282 - 473.
Кислород - водяной пар 0,207 2,072 - - 282 - 450
Кислород - водяной пар 0,264 1,632 - - 450 - 1070
Кислород - диоксид углерода 0,174 1,661 61,3 - 287 - 1083
Воздух - водяной пар' 0,205 2,072 - - 282 - 450
Воздух - водяной пар 0,260 1,632 - - 450 - 1070
Воздух - диоксид углерода 0,207 1,590 102,1 - 280 - 1800
Воздух - гексафторид серы 0,126 1,576 121,1 - 328 - 10000
Водяной пар - диоксид углерода 0,41 1,500 307,9 - 296 - 1640
2.4.9. Изобарная теплоемкость ср , коэффициенты динамической вязкости т| и
теплопроводности X газообразного воздуха при давлении р = 100 кПа [4, 25, 42]
Т,К Ср , кДж/(кг • К) * 7 Т] Ю'.Пас X* , мВт/(м • К)
! 2 3 4
150 1,011 102,4 14,3
200 1,007 132,8 18,6
220 1,007 144,2 20,2
240 1,006 155,1 21,8
260 1,006 165,6 23,3
280 1,007 175,8 24,8
300 1,007 185,6 26,2
320 1,008 195,1 27,6
340 1,009 204,4 29,0
360 1,010 213,4 30,3
380 1,012 222,1 31,7
400 1,014 230,7 33,0
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ И ЖИДКОСТЕЙ
279
Продолжение табл. 2.4.9
1 2 3 4
450 1,022 251,2 36,3
500 1,030 270,7 39,5
550 1,040 289,3 42,6
600 1,052 307,1 45,7
700 1,075 341,0 51,8
800 1,099 372,9 57,7
900 1,121 403,1 63,5
1000 1,141 432,1 69,2
1100 1,159 459,9 74,7
1200 1,175 486,8 80,1
1300 1,188 512,9 85,3
1400 1,201 538,2 90,3
1500 1,211 562.9 95,2
* В состоянии разреженного газа.
2.4.10. Изобарная теплоемкость ср , коэффициенты динамической вязкости т| и
теплопроводности X газообразного азота при давлении / =100 кПа [4, 17, 41]
Т, К Ср , кДж/(кг-К) А 7 л •10' , Па-с X* , мВт/(м • К)
100 1,069 67,2 9,7
150 1,048 99,2 14,3
200 1,043 128,3 18,6
250 1,042 154,7 22,5
300 1,041 178,8 26,1
350 1,042 201,1 29,4
400 1,045 221,9 32,7
450 1,050 241,6 35,8
500 1,057 260,2 38,9
600 1,075 295,1 44,8
700 1,098 327,5 50,7
800 1,122 357,9 56,4
900 1,146 387,0 62,2
1000 1,168 414,6 67,6
1100 1,187 441,3 73,1
1200 1,204 466,9 78,3
1300 1,219 491,4 83,3
1400 1,232 515,7 88,2
1500 1,244 539,6 93,1
* В состоянии разреженного газа
280
Глава 2.4. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ И ЖИДКОСТЕЙ
2.4.11. Изобарная теплоемкость ср , коэффициенты динамической вязкости Т] и
теплопроводности X газообразного кислорода при давлении р = 100 кПа [6, 19, 44]
Т, к Ср, кДж/(кг*К) ш 7 Т| • 10' , Па*с X* , мВт/(м • К)
100 0,968 74,9 9,3
150 0,920 112,3 14,3
200 0,915 146,7 18,7
220 0,915 159,6 20,4
240 0,915 172.0 22,1
260 0,916 184,0 23,8
280 0,917 195,6 25,3
300 0,920 206,8 26,9
320 0,923 217,7 28,4
340 0,927 228,2 30,0
360 0,931 238,5 31,5
380 0,936 248,5 33,1
400 0,942 258,3 34,6
450 0,956 281,8 38,4
500 0,972 304,1 42,1
600 1,003 345,8 49,5
700 1,031 384,6 56,5
800 1,055 421,0 63,3
900 1,074 455,5 69,8
1000 1,090 488,6 76,0
1100 1,104 520,4 82,0
1200 1,115 551,2 87,8
1300 1,125 581,1 93,4
1400 1,134 610,2 98,9
1500 1,143 638,6 104,4
’ В состоянии разреженного газа.
2.4.12. Изобарная теплоемкость ср , коэффициенты динамической вязкости г, и
теплопроводности X газообразного диоксида углерода при давлении р = 100 кПа [21, 23, 31]
Г, К Ср , кДж/(кг • К) * 7 Т| • 10' , Па*с X* , мВт/(м • К)
1 2 3 4
220 0,786 11,07 10,80
240 0,797 12,06 12,18
260 0,814 13,06 13,63
280 0,833 14,04 15,09
300 0,852 15,01 16,60
320 0,871 15,98 18,14
350 0,899 17,39 20,44
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
281
Продолжение табл. 2.4.12
1 2 3 4
400 0,942 19,67 24,32
450 0,980 21,88 28,26
500 1,015 23,98 32,17
600 1,076 27,93 39,83
700 1,127 31,61 47,29
800 1,169 35,04 54,49
900 1,204 38,25 61,73
1000 1,234 41,28 68,04
1100 1,259 44,20 74,46
1200 1,280 46,99 80,56
1300 1,298 49,66 86,44
1400 1,313 52,21 91,98
1500 1,326 54,73 97,43
* В состоянии разреженного газа.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. ГСССД 4-78. Азот жидкий и газооб-
разный. Плотность, энтальпия, энтропия и
изобарная теплоемкость при температурах
70-1500 К и давлениях 0,1-100 МПа. Таблицы
стандартных справочных данных. М.: Изда-
тельство стандартов, 1979.
2. ГСССД 6-89. Вода. Коэффициент
динамической вязкости при температурах
0-800 °C и давлениях от соответствующих
разреженному газу до 300 МПа. Таблицы
стандартных справочных данных. М.: Изда-
тельство стандартов, 1990.
3. ГСССД 7-79. Техническое железо с
содержанием основного компонента не менее
99,84 %. Теплопроводность и ее температур-
ный коэффициент при температурах от 0 до
720 °C. Таблицы стандартных справочных
данных. М.: Издательство стандартов, 1979.
4. ГСССД 8-79. Воздух жидкий и газо-
образный. Плотность, энтальпия, энтропия и
изобарная теплоемкость при температурах
70-1500 К и давлениях 0,1-100 МПа. Таблицы
стандартных справочных данных. М.: Изда-
тельство стандартов, 1980.
5. ГСССД 18-81. Метан жидкий и газо-
образный. Плотность, энтальпия, энтропия и
изобарная теплоемкость при температурах
100-1000 К и давлениях 0,1-100 МПа. Табли-
цы стандартных справочных данных. М.: Из-
дательство стандартов, 1982.
6. ГСССД 19-81. Кислород жидкий и га-
зообразный. Плотность, энтальпия, энтропия
и изобарная теплоемкость при температурах
70-1000 К и давлениях 0,1-100 МПа. Таблицы
стандартных справочных данных. М.: Изда-
тельство стандартов, 1982.
7. ГСССД 21-81. Медь. Изобарная теп-
лоемкость в диапазоне температур 4-273,15 К.
Таблицы стандартных справочных данных.
М\: Издательство стандартов, 1982.
8. ГСССД 27-81. Сталь инструменталь-
ная быстрорежущая Физические свойства.
Таблицы стандартных справочных данных.
М.: Издательство стандартов, 1982.
9. ГСССД 32-82. Стали 12Х18Н9Т и
12Х18Н10Т. Удельная энтальпия и удельная
теплоемкость в диапазоне температур
400-1380 К при атмосферном давлении. Таб-
лицы стандартных справочных данных. М.:
Издательство стандартов, 1983.
10. ГСССД 39-82. Молибден. Теплопро-
водность в диапазоне температур 200-2600 К.
Таблицы стандартных справочных данных.
М.: Издательство стандартов, 1982.
11. ГСССД 45-83. Платина, кварцевое
стекло КВ и КУ-2, медь. Температурный ко-
эффициент линейного расширения. Таблицы
стандартных справочных данных. М.: Изда-
тельство стандартов, 1984.
12. ГСССД 55-83. Стали для валков го-
рячей и холодной прокатки. Механические и
теплофизические характеристики. Таблицы
стандартных справочных данных. М.: Изда-
тельство стандартов, 1984.
13. ГСССД 56-83. Медь особо чистая
ОСЧ 11-4. Температурный коэффициент ли-
нейного расширения в диапазоне температур
4-90 К. Таблицы стандартных справочных
данных. М.: Издательство стандартов, 1984.
282
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
14. ГСССД 59-83. Молибден, монокри-
сталлическая окись алюминия, сталь
12Х18Н10Т. Температурный коэффициент
линейного расширения. Таблицы стандартных
справочных данных. М.: Издательство стан-
дартов, 1984.
15. ГСССД 67-84. Сталь коррозионно-
стойкая 12Х18Н10Т. Коэффициент теплопро-
водности в диапазоне температур 4-300 К.
Таблицы стандартных справочных данных.
М.: Издательство стандартов, 1985.
16. ГСССД 79-84. Вольфрам. Энтальпия
и теплоемкость в диапазоне температур
1200-2800 К. Таблицы стандартных справоч-
ных данных. М.: Издательство стандартов,
1985.
17. ГСССД 89-85. Азот. Коэффициент
динамической вязкости и теплопроводности
при температурах 65-1000 К и давлениях от
состояния разреженного газа до 200 МПа.
Таблицы стандартных справочных данных.
М.: Издательство стандартов, 1986.
18. ГСССД 91-85. Аммиак жидкий и га-
зообразный. Плотность, энтальпия, энтропия
и изобарная теплоемкость при температурах
60-350 °C и давлениях 0,01-50 МПа. Табли-
цы стандартных справочных данных. М.: Из-
дательство стандартов, 1986.
19. ГСССД 93-86. Кислород. Коэффици-
ент динамической вязкости и теплопровод-
ности при температурах 70-500 К и давлениях
от соответствующих разреженному газу до
100 МПа. Таблицы стандартных справочных
данных. М.: Издательство стандартов, 1987.
20. ГСССД 94-86. Метан. Коэффициент
динамической вязкости и теплопроводности
при температурах 91 - 1000 К и давлениях
от соответствующих разреженному газу до
100 МПа. Таблицы стандартных справочных
данных. М.: Издательство стандартов, 1986.
21. ГСССД 96-86. Диоксид углерода
жидкий и газообразный. Плотность, фактор
сжимаемости, энтальпия, энтропия, изобар-
ная теплоемкость,.скорость звука и коэффи-
циент объемного расширения при температу-
рах 200-1300 К и давлениях 0,1-100 МПа.
Таблицы стандартных справочных данных.
М.: Издательство стандартов, 1986.
22. ГСССД 98-86. Вода. Удельный объем
и энтальпия при температурах 0-800 °C и
давлениях 0,001-1000 МПа. Таблицы стан-
дартных справочных данных. М.: Издатель-
ство стандартов, 1986.
23. ГСССД 101-86. Диоксид углерода.
Коэффициенты вязкости, теплопроводности и
число Прандтля разреженного газа в диапазо-
не температур 150-2000 К. Таблицы стандарт-
ных справочных данных. М.: Издательство
стандартов, 1986.
24. ГСССД 105-87. Молибден. Калори-
ческие свойства твердой фазы от 30 К до тем-
пературы плавления при атмосферном давле-
нии. Таблицы стандартных справочных дан-
ных. М.: Издательство стандартов, 1988.
25. ГСССД 109-87. Воздух сухой. Коэф-
фициенты динамической вязкости и тепло-
проводности при температурах 150-1000 К и
давлениях от соответствующих разреженному
газу до 100 МПа. Таблицы стандартных спра-
вочных данных. М.: Издательство стандартов,
1988.
26. ГСССД 109-87. Диоксид углерода.
Коэффициенты динамической вязкости и
теплопроводности при температурах 200-1000
К и давлениях от соответствующих разре-
женному газу до 100 МПа. Таблицы стандарт-
ных справочных данных. М.: Издательство
стандартов, 1988.
27. ГСССД 142-89. Вода. Поверхностное
натяжение при температурах 0-373,99 °C.
Таблицы стандартных справочных данных.
М.: Издательство стандартов, 1990.
28. ГСССД 157-91. Дифторхлорметан
(хладон R22). Коэффициент теплопровод-
ности в диапазонах температур 173-473 К и
давлений 0,1-5 МПа. Таблицы стандартных
справочных данных. М.: ВНИЦ МВ, 1993.
29. ГСССД Р294-88. Аммиак. Коэффи-
циенты динамической вязкости и теплопро-
водности при температурах 210-500 К и дав-
лениях 0,1-40 МПа. Таблицы рекомендуемых
справочных данных. Деп. во ВНИИКИ № 538
от 31.03.89 г.
30. ГСССД Р295-88. Пропан. Коэффи-
циенты динамической вязкости и теплопро-
водности при температурах 210-500 К и дав-
лениях 0,1-40 МПа. Таблицы рекомендуемых
справочных данных. Деп. во ВНИИКИ № 539
от 14.04.89 г.
31. Алтунин В. В. Теплофизические
свойства двуокиси углерода. М.: Издательство
стан-дартов, 1975. 546 с.
32. Бабиков Ю. М., Рассказов Д. С. Ор-
ганические и кремнийорганические теплоно-
сители. М.: Энергия, 1975. 272 с.
33. Излучательные свойства твердых ма-
териалов. Справочник / Л. Н. Латыев,
В. А. Петров, В. Я. Чеховский и др. М.:
Энергия, 1974. 472 с.
34. Конструкционные материалы. Спра-
вочник / Б. Н. Арзамасов, В. А. Брострем,
Н. А. Буше и др. М.: Машиностроение, 1990.
688 с.
35. Марочник сталей и сплавов. /
В. Г. Сорокин, А. В. Волосникова, С. А. Вят-
кин и др.: Под общ. ред. В. Г. Сорокина. М.:
Машиностроение, 1989. 640 с.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
283
36. Промышленные фторорганические
продукты. Справочное издание / Б. Н. Мак-
симов, В. Г. Барабанов, И. Л. Серушкин и др.
Изд. 2-е, пер. и доп. СПб.: Химия, 1996.
544 с.
37. Ривкин С. Л., Александров А. А. Тер-
модинамические свойства воды и водяного
пара. Справочник. 2-е изд. М.: Энергоатомиз-
дат, 1984. 80 с.
38. Таблицы физических величин. Спра-
вочник. Под ред. акад. И. К. Кикоина. М.:
Атомиздат, 1976. 1008 с.
39. Теоретические основы теплотехники.
Теплотехнический эксперимент. Справочник
/ Под общ ред. чл.-корр. АН СССР
В. А. Григорьева, В. М. Зорина. 2-е изд., пе-
рераб. М.: Энергоатомиздат, 1988. 560 с.
(Теплоэнерге-тика и теплотехника; кн. 2).
40. Теплопроводность твердых тел. Спра-
вочник / А. С. Охотин, Р. П. Боровикова,
Т. В. Нечаева и др. М.: Энергоатомиздат,
1984. 320 с.
41. Термодинамические свойства азота. /
В. В. Сычев, А. А. Вассерман, А. Д. Козлов и
др. М.: Издательство стандартов, 1977. 352 с.
42. Термодинамические свойства воздуха.
/ В. В. Сычев, А. А. Вассерман, А. Д. Козлов
и др. М.: Издательство стандартов, 1978.
276 с.
43. Термодинамические свойства индиви-
дуальных веществ. Справочное издание в 4-х
томах. / Л. В. Гурвич, И. В. Вейц, В. А. Мед-
ведев и др. М.: Наука, т. 3, кн. 1, 1981.
400 с.; т. 4, кн. 2, 1982. 560 с.
44. Термодинамические свойства кисло-
рода. / В. В. Сычев, А. А. Вассерман,
А. Д. Козлов и др. М.: Издательство стандар-
тов, 1981. 304 с.
45. Термодинамические свойства метана. /
В. В. Сычев, А. А. Вассерман, В. А. Загору-
ченко и др. М.: Издательство стандартов,
1979. 348 с.
46. Термодинамические свойства пропана.
/ В. В. Сычев, А. А. Вассерман, А. Д. Козлов
и др. М.: Издательство стандартов, 1989.
266 с.
47. Топлива, смазочные материалы, тех-
нические жидкости. Ассортимент и примене-
ние. Справочное издание. / К. М. Бадыщтова
и др. Под ред. В. М. Школьникова. М.: Хи-
мия, 1989. 432 с.
48. Чередниченко Г. И., Фройште-
тер Г. Б., Ступак П. М. Физико-химические и
теплофизические свойства смазочных мате-
риалов. Л.: Химия, 1986. 224 с.
49. Чечеткии А. В., Занемонец Н. А. Теп-
лотехника. М.: Высшая школа, 344 с.
50. Чиркин В. С. Теплофизические
свойства материалов ядерной техники. Спра-
вочник. М.: Атомиздат, 1968. 484 с.
Раздел 3
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Глава 3.1
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Процессы теплообмена возникают меж-
ду различными телами или отдельными час-
тями одного и того же тела при наличии раз-
ности температур. Понятие теплообмена мо-
жет быть связано с различными физическими
процессами. Различают три основных вида
теплообмена-.
теплопроводность;
конвективный теплообмен;
лучистый или радиационный теплообмен.
Теплопроводность представляет собой пе-
редачу теплоты между непосредственно со-
прикасающимися частями тела. Теплопровод-
ность не связана с макродвижениями тел или
частей тела и осуществляется путем передачи
энергии от одних элементарных частиц тела к
другим вследствие микродвижения этих эле-
ментарных частиц. Для газов, например, та-
кими частицами являются молекулы.
В чистом виде явление теплопровод-
ности наблюдается в твердых телах, в абсо-
лютно неподвижных газах и жидкостях при
условии невозможности возникновения в них
конвективных токов (при отсутствии поля
массовых сил).
В газах и жидкостях явление теплопро-
водности обычно сопровождается рядом дру-
гих физических явлений, например, макро-
движением массы вещества или диффузией
отдельных его компонент и связанным с этим
переносом теплоты.
Конвективным теплообменом называют
процесс переноса теплоты в жидкой или газо-
образной среде с неоднородными полями
температуры и скорости, осуществляемый
макроскопическими частями тела при их пе-
ремещении. Конвективный теплообмен всегда
сопровождается теплопроводностью.
В зависимости от причины, вызывающей
движение жидкости или газа, различают:
а) конвективный теплообмен при сво-
бодном движении среды (свободная или есте-
ственная конвекция);
б) конвективный теплообмен при вы-
нужденном движении среды (вынужденная
конвекция).
Свободная конвекция имеет место, когда
в рассматриваемом объеме возникает разность
плотностей среды. Например, если нагревать
сосуд с жидкостью, то частицы жидкости,
имеющие более высокую температуру
(Т2 >71), вследствие уменьшения их плот-
ности (р2 < Pi) будут всплывать, т. е. вытес-
няться более холодными слоями, и переносить
с собой теплоту. В результате в сосуде воз-
никнут конвективные токи. При прочих рав-
ных условиях интенсивность переноса тепло-
ты будет зависеть от коэффициента объемного
расширения, плотности и вязкости среды.
Вынужденная конвекция (см. разд. 4) воз-
никает тогда, когда движение жидкости или
газа вызвано внешними причинами (насосом,
вентилятором, движением летательного аппа-
рата в атмосфере и др.). В одной и той же
среде теплообмен при вынужденной конвек-
ции протекает значительно интенсивнее, чем
при свободной конвекции и тем более интен-
сивнее, чем при теплопроводности.
Лучистым теплообменом (см. разд. 8) на-
зывается перенос теплоты излучением, обус-
ловленный способностью нагретого тела пре-
вращать часть принадлежащей ему внутрен-
ней энергии в лучистую или в энергию элек-
тромагнитных колебаний, испускаемых телом
в окружающее пространство. Встречая на сво-
ем пути другое тело (вещество), тепловые
лучи частично поглощаются и их энергия
опять превращается в теплоту, а частично
отражаются или проходят сквозь тело
(полупрозрачная среда).
В чистом виде лучистый теплообмен
происходит лишь в условиях глубокого вакуу-
ма, например, между поверхностью космиче-
ского аппарата и другими космическими тела-
ми (планетами, Солнцем и др.). На практике
обычно имеет место сложный теплообмен,
т. е. все три вида теплообмена одновременно.
Пытаясь избежать математических трудно-
стей, общее явление условно делят на три
процесса, каждый из которых изучают от-
дельно, а затем, если интенсивность их соиз-
мерима, переходят к расчету сложного тепло-
обмена.
Температурным полем тела (или системы
тел) называется совокупность значений тем-
пературы. взятая по его объему в любой рас-
сматриваемый момент времени. На практике
встречаются как нестационарные (т. е. изме-
няющиеся по времени), так и стационарные
температурные поля.
Разность температур ДТ = Т\ -Т2 >0,
вследствие которой возникает процесс тепло-
обмена, называется температурным напором.
Все линии или поверхности с одинаковыми тем-
пературами (рис. 3.1.1), называют изотермами
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
285
Рис. 3.1.1. К определению градиента температуры
и формулировке закона Фурье
или изотермическими поверхностями. Наибо-
лее резкое изменение температурного напора
происходит в направлении нормали к изотер-
мической поверхности и называется градиен-
том температуры grad Т. Градиент температу-
ры векторная величина. Принято считать grad
Т положительным, если он направлен в сто-
рону возрастания температуры по нормали к
изотермической поверхности.
Количество теплоты, проходящее через
данную контрольную поверхность в единицу
времени, называется тепловым потоком Q,
кВт. Если контрольная поверхность имеет
единицу площади 1 м2, то тепловой поток
называется удельным или плотностью тепло-
вого потока и обозначается буквой q, кВт/м2.
В 1804 г. французский ученый Био вы-
сказал гипотезу о связи теплового потока и
температурного напора. В 1822 г. француз-
ский математик Ж. Б. Фурье (1768-1830 гг.)
обобщил ее в виде закона, который теперь
носит его имя. Согласно закону Фурье или
основного закона теплопроводности:
q = -X gradT . (3.1.1)
Коэффициент пропорциональности X
называется коэффициентом теплопроводности
и является фундаментальной характеристикой
вещества (см. разд. 2). Знак минус в правой
части уравнения (3.1.1) указывает на то, что
теплота переносится в направлении убывания
температуры, т. е. от нагретого к холодному.
Для одного и того же вещества тепло-
проводность изменяется в довольно широком
диапазоне, прежде всего за счет изменения
температуры. На рис. 3.1.2 представлены наи-
более типичные для практики законы изме-
нения коэффициента теплопроводности в
зависимости от температуры. Теплопровод-
ность при комнатной температуре варьируется
в широких пределах в зависимости от плот-
ности и физической структуры вещества.
Наиболее высокий уровень теплопроводности
имеют металлы и сплавы [2 - 450 Вт/(м-К)].
Самая большая теплопроводность у серебра, а
наименьшая - у висмута. С увеличением тем-
пературы X практически у всех чистых ме-
таллов уменьшается. Зависимость теплопро-
водности металлических сплавов от темпера-
туры, как видно из рис. 3.1.2, имеет довольно
сложный характер. Большое влияние на вели-
чину X оказывают примеси и пористость.
Теплопроводность жидкостей изменяет-
ся в диапазоне от 0,1 до 0,7 Вт/(м • К). С рос-
том температуры она, как правило, умень-
шается (за исключением воды и глицерина).
Теплопроводность строительных и теп-
лоизоляционных материалов имеет значение
0,02 - 2,9 Вт/(м • К). С ростом температуры
она увеличивается.
Теплопроводность газов слабо зависит от
давления, но значительно растет с температу-
рой. За исключением водорода и гелия, теп-
лопроводность газов находится в диапазоне
0,01 - 0,1 Вт/(м-К). Теплопроводность водя-
ного пара существенно зависит от давления.
Теплопроводность для газовых смесей не под-
чиняется закону аддитивности (подробнее о
теплопроводности см. разд. 2).
Рис. 3.1.2, а. Изменение теплопроводности металлов и
их сплавов в зависимости от температуры
286
Глава 3.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Рис. 3.1.2, б. Изменение теплопроводности некоторых
жидкостей в зависимости от температуры:
1 - вазелиновое масло; 2 - бензол; 3 - ацетон;
Рис. 3.1.2, в. Зависимость теплопроводности
от температуры некоторых газообразных веществ:
1 - водяной пар; 2 - углекислый газ; 3 - воздух;
4 - аргон; 5 - кислород; 6 - азот
Дифференциальным уравнением теплопро-
водности называется выраженный в математи-
ческой форме первый закон термодинамики
для тел, процесс взаимодействия которых с
окружающей средой происходит без соверше-
ния какой-либо внешней работы. Если все
теплофизические характеристики тела - не-
прерывные функции координат, то диффе-
ренциальное уравнение теплопроводности
имеет вид:
„ дТ д ( , дТ} д ( , дТ}
дт дх\ дх) ду к ду)
(3|2>
Обычно для твердых веществ теплоем-
кость Су при постоянном объеме называется
просто теплоемкостью С, а удельная мощ-
ность внутренних источников (стоков) тепло-
ты qy измеряется в (Вт/м3).
Здесь предполагается, что твердое тело
изотропно, т. е. его теплопроводность X не
зависит от выбранного направления
(х, У, Z) • Однако для кристаллов и ряда
других веществ допущение о изотропности не
справедливо. В этом случае теплопроводность
не скаляр, а тензор, который можно привести
к трем составляющим (Хх, ку, Хг) , если оси
х, у, Z направить по главным осям анизо-
тропного тела. С помощью преобразования
типа х' = Ху/ Хх уравнение теплопровод-
ности для анизотропных тел приводится к
виду (3.1.2).
Если диапазон рассматриваемых темпе-
ратур (от Ттах до Tmjn) позволяет принять
допущение о постоянстве теплопроводности
X, то уравнение (3.1.2) значительно упро-
щается:
ЭТ = ( д2Т д2Т qv_
9t I дх2 ду2 dz2) Ср
(3.1.3)
Здесь а = - температуропроводность [м2/с].
рС
Температуропроводность характеризует спо-
собность вещества выравнивать температуру и
изменяется от 10-7 (для масел) до 2 • 10"4 м2/с
(для серебра).
Дифференциальное уравнение тепло-
проводности (3.1.2) описывает бесконечное
множество явлений. Чтобы из этих явлений
выделить одно, конкретное, необходимо доба-
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
287
вить условия однозначности, которые содер-
жат геометрические, физические, временные
и граничные условия.
Геометрические условия определяют
форму и размеры тела, в котором протекает
изучаемый процесс.
Физические условия задаются теплофизи-
ческими свойствами вещества X, С, р, из
которого изготовлено тело, а также распреде-
лением и интенсивностью внутренних источ-
ников теплоты qy.
Временные или начальные условия дают
представление о температурном режиме тела в
начальный момент времени т = тд = 0.
Граничные условия определяют особен-
ности протекания процесса на поверхности
тела. Для уравнения теплопроводности гра-
ничные условия делятся на четыре типа (или
рода).
Граничные условия I рода описываются
зависимостью температуры от времени:
Tw (т) в каждой точке поверхности тела.
Граничные условия II рода описываются
зависимостью удельного теплового потока от
времени q$(x) для каждой точки поверх-
ности тел.
Граничные условия III рода предполагают
известными температуру (или энтальпию)
внешней среды Те (или Ие), а также коэф-
фициент теплообмена а , который является
коэффициентом пропорциональности между
тепловым потоком q$ на границе тела и тем-
пературным напором (Te - Tw) :
q0=a(Te-Tw).
Подробнее о коэффициенте теплообмена
в последующих разделах.
Граничные условия IV рода соответствуют
случаю соприкосновения двух твердых тел. В
этом случае при совершенном тепловом кон-
такте оба тела на поверхности имеют одина-
ковые температуры и выполняется равенство
тепловых потоков с каждой стороны:
. ат| _ дт_
дп j дп 2 ’
где индексы 1 и 2 соответствуют двум сопри-
касающимся телам.
Дифференциальное уравнение теплопро-
водности (3.1.2) совместно с условиями одно-
значности может быть решено аналитически
(т. е. в квадратурах или в виде аналитических
функций, дающих зависимость температуры
от координат и времени Т = Т(х, у, Z, т) ,
численно (с помощью ЭВМ) или эксперимен-
тально (с помощью методов физического по-
добия аналогий).
Полученные с помощью модели экспе-
риментальные данные переносят на натурное
изделие с помощью теории подобия.
Теория подобия дает возможность опре-
делить только общий, а не конкретный вид
искомой функции Т = Т(х, у, z, т). Обяза-
тельной предпосылкой подобия физических
процессов является геометрическое подобие
натурного изделия и его модели. Это подра-
зумевает, что при одинаковой форме все раз-
меры модели должны отличаться от натурных
в одно и то же число раз (это число называет-
ся константой подобия).
Подобие двух физических явлений озна-
чает, что в сходственных точках пространства
и в сходственные моменты времени любая
величина ф натурного процесса пропорцио-
нальна однотипной величине ф' модельного
процесса: ф = Сф ф'. Причем константа Сф
не зависит от координаты и времени.
Каждая физическая величина может
иметь свою константу подобия С/, численно
отличную от других, т. е. в общем случае
Ст # Ср # Ср # Ск. Однако, поскольку сами
физические величины связаны между собой
уравнениями типа (3.1.3), то и константы
подобия связаны между собой.
При приведении системы уравнений и
условий однозначности теории теплопровод-
ности к безразмерному виду появляются без-
размерные комплексы, составленные из разно-
родных физических величин. Этим комплек-
сам, называемым критериями (или числами)
подобия, присвоены имена ученых, внесших
значительный вклад в теорию теплообмена.
Критерий Фурье:
с ах
° I2
можно рассматривать как отношение времени
протекания процесса т ко времени пере-
стройки температурного поля /2/а , с, прямо
пропорционального квадрату линейного мас-
штаба рассматриваемого тела и обратно про-
порционального температуропроводности ве-
щества, из которого оно изготовлено.
Соотношение интенсивностей переноса
теплоты во внешней среде и внутри тела ха-
рактеризуется критерием Био:
А
где а - коэффициент конвективного тепло-
обмена, а X - теплопроводность вещества
рассматриваемого тела.
Z8E
Глава 5.Z. ГЕЛЛОВОИ РЕЖИМ ГЕЛА ПРИ ПЕРЕМЕННОЙ ГЕПЛОвОИ НАГРУЗКЕ
Общее решение уравнения теплопро-
водности (3.1.3) можно записать в виде:
Q = f(x,y,z, Fo, Bi) , (3.1.4)
где 0 = (Т - Tq)/ (Tw - То) - безразмерная
температура, х = х/1, у = у/1, Z = z/1 -
безразмерные координаты, То - начальное
значение температуры в теле, a Tw - темпера-
тура поверхности.
В том случае, когда заданы граничные
условия I рода, критерий Био выпадает из
числа определяющих. Для граничных условий
IV рода в число определяющих войдут отно-
шения теплопроводности и температуропро-
водности соприкасающихся тел. Таким обра-
зом, критериальные соотношения (типа 3.1.4)
в теории теплообмена могут отличаться за
счет выбора той или другой системы чисел
подобия. Возможны различные комбинации
этих чисел применительно к конкретным
условиям поставленной задачи. Важно, что в
безразмерной форме математическая форму-
лировка подобных процессов одна и та же,
т. е. функция в соотношении (3.1.4) будет
единой для всех подобных процессов. Если
для натурного и модельного процессов одно-
именные определяющие критерии (Fo, Bi, х,
у, Z) численно равны, то и определяемые
одноименные критерии (в данном случае 0)
будут иметь одинаковую численную величину.
Глава 3.2
ТЕПЛОВОЙ РЕЖИМ ТЕЛА ПРИ
ПЕРЕМЕННОЙ ТЕПЛОВОЙ НАГРУЗКЕ
В большинстве нестационарных тепло-
вых процессов можно выделить три этапа,
характеризующиеся различными режимами,
из которых собственно нестационарными
будут лишь два первых.
На первом этапе поле температур в теле
определяется не только характером теплового
воздействия окружающей среды, но и началь-
ным распределением температуры в теле
Tq(x, у, z) при т =0. Поскольку начальное
температурное поле в общем случае может
быть весьма произвольным, то и тепловой
режим на этом этапе носит характер неупоря-
доченного процесса.
На втором этапе влияние начального
состояния все более и более ослабевает и
дальнейшее протекание процесса управляется
лишь условиями на границе тела, т. е. насту-
пает режим упорядоченного процесса, в част-
ности, регулярный режим.
И, наконец, третий этап соответствует
стационарному или квазистационарному со-
стоянию тела. Это новое равновесное тепло-
вое состояние тела наступает по прошествии
бесконечно большого промежутка времени.
Однако на практике, в частности, для разру-
шающихся теплозащитных покрытий ква-
зистационарное состояние наступает доста-
точно быстро и по всем параметрам оно ни-
чем не отличается от строгого математическо-
го решения стационарной задачи теплопро-
водности.
В этой главе будут рассмотрены два
практически важных решения проблемы не-
стационарной теплопроводности. Первое по-
лучено для полубесконечного тела в одномер-
ной постановке. Это означает, что тепловое
воздействие на тело осуществляется с одной
стороны, а тепловой поток q$ по всей нагре-
ваемой поверхности считается одинаковым. В
действительности условие q$ * f (х) не яв-
ляется строго обязательным. Важно, чтобы
изменение температуры по координате х было
значительно меньше, чем по нормали к по-
верхности тела, т. е. по координате у.
дТ дТ
« .
дх------ду
Проблема фактически сводится к опре-
делению времени достижения поверхностью
некоторой характерной температуры разруше-
ния Тр, а также к расчету профиля темпера-
туры в теле в этот момент. Величина Тр за-
висит от механизма разрушения данного
класса теплозащитных материалов. Может
случиться и так, что эта температура вообще
не будет достигнута на внешней поверхности
при заданных условиях нагрева.
Не ограничивая общности анализа,
можно допустить, что изменение теплового
потока на поверхности неразрушающегося
материала с постоянными теплофизическими
свойствами во времени описывается полино-
мом /1-ой степени:
?о СО = b„ х" + b„_, т"-1 + ... + 4] т + До,
где п - целое число.
С помощью теоремы Дюамеля можно
показать, что температура поверхности будет
связана со временем соотношением
Г” - '('-О ••• (»-« + !)
где С. =--------------
m
(3.2.1)
ТЕПЛОВОЙ РЕЖИМ ТЕЛА ПРИ ПЕРЕМЕННОЙ ТЕПЛОВОЙ НАГРУЗКЕ
289
И наоборот, если известно, что темпера-
тура поверхности изменяется во времени по
закону
rw = d„xn +</„-! т" 1 + ... +</!т + </0.
то для расчета теплового
пригодна формула:
, v 2 X v1 . i
4t>b) = -r=y.dix'
ft
(3.2.2)
На практике можно ограничиться п = 3,
и тогда формулы (3.2.1) и (3.2.2) приобретают
соответственно следующий вид:
Tw Го “
Рис. 3.2.1. Зависимость коэффициентов Л/
в уравнении (3.2.6) от числа Фурье Fo
(3.2.3)
«о СО =
^d2x3 +^d2x2 +dtx .
21
J пат
(3.2.4)
Последнюю формулу удобно использо-
вать при обработке калориметрических экспе-
риментов в высокотемпературных газовых
потоках.
Таким образом, не решая уравнения
теплопроводности, можно оценить, будет ли
достигнута на поверхности температура раз-
рушения Тр. Сравнивая расчетное значение
Гр, полученное по уравнению (3.2.3), с из-
вестной величиной температуры разрушения
материала, можно установить интервал вре-
мени А т, в течение которого Tw ^Тр. Этот
период А т определяет продолжительность
разрушения поверхностного слоя в процессе
нестационарного нагрева.
Зависимость от времени температуры
поверхности Tw по сравнению с тепловым
потоком (множитель Jr в формулах (3.2.1)
или (3.2.3) имеет более высокий порядок.
Расчет профиля температуры или оценка
температуры на заданной глубине / (рис.
3.2.1) сложнее. Если на поверхности тела или
на некотором удалении от нее изменение
температуры описывается уравнением типа
Ti-Го =</3т3+rf2T2+rf!T, (3.2.5)
то в любой плоскости полубесконечного по-
крытия, расположенной на глубине, удален-
ной от исходной на расстояние /, температура
будет описываться следующим соотношением:
Т2 - То = т3Лз + d2 т2А2 + d\ tAi .
(3.2.6)
Здесь множители А, являются функциями
только одного безразмерного критерия Фурье
Fo=ot//2 (рис 3.2.1):
^1
1 J е-1 /(4Fo)
у/ Fo у/ п Fo
(3.2.7)
10 Зак. 488
290
Глава 3.2. ТЕПЛОВОЙ РЕЖИМ ТЕЛА ПРИ ПЕРЕМЕННОЙ ТЕПЛОВОЙ НАГРУЗКЕ
Сопоставляя выражения (3.2.3) и (3.2.6),
можно получить важные рекомендации по
оптимизации материала теплоизоляционного
слоя. При заданном законе изменения тепло-
вого потока Qq (т) = f\ (т) температура по-
верхности зависит от теплофизических
свойств следующим образом:
(Г„-Г0)-(^/1)/2(т).
Температура внутренних слоев при ма-
лых числах Фурье Fo связана с температурой
поверхности:
(Тг - Го) • (Т„ - Го) Fo ~
- (T^/X)(O/Z2 )/3«.
Отсюда следует, что при заданной толщине
слоя / и заданном тепловом потоке <7q(t)
температура внутренней поверхности тем
ниже, чем меньше параметр (7^7Рс) • Учи"
тывая зависимость от квадрата толщины
слоя /, нетрудно показать, что минимальная
масса теплоизолирующего слоя связана с до-
стижением минимального значения параметра
Ja(p/C)
Если принять за глубину прогрева 8Т
координату /, для которой (Т\ - 7q) /
/ ( Tw - То) = 0,05, то при различных законах
изменения Tw получим следующие соотно-
шения:
если Tw = di х ,
если Tw = di^ t
если Tw = d$x\
то 5T = 2<J~ax ,
to 5T = 1,77от ,
to 8T = 1^7flT •
В общем случае 8T ~ К J а т , где мно-
житель пропорциональности К тем больше,
чем медленнее меняется температура внешней
поверхности.
Приведенные в этом разделе формулы
находят широкое применение в различных
задачах инженерной практики. Приведем
лишь два примера, не связанные с проблемой
разрушающейся тепловой защиты.
1. Растекание теплоты по теплопроводной
оболочке от зоны повышенного теплоподвода.
Пусть тепловой поток, поступающий к тонкой
теплопроводной оболочке толщиной 5 , имеет
ступенчатое распределение (рис. 3.2.2, а, б).
Тогда элемент оболочки А будет относительно
перегрет и произойдет растекание теплоты в
боковых направлениях. Задавая произвольный
закон изменения температуры Т\ (т) на гра-
ницах элемента А в виде полинома, получим
соответствующее ему распределение теплового
потока от элемента А к элементам оболочки В
в виде (3.2.2) или (3.2.4).
в р.----L----Н В
Рис. 3.2.2. Распределение теплового потока (а)
и схема расчета температурного поля (б) при неравномерном подводе теплоты;
в - металлические оболочки на теплоизолирующей подложке:
1 - слой металла; 2 - теплоизолятор
ТЕПЛОВОЙ РЕЖИМ ТЕЛА ПРИ ПЕРЕМЕННОЙ ТЕПЛОВОЙ НАГРУЗКЕ
291
Тепловой баланс тонкой оболочки
(элемента А):
t>L^--2qJ> = (qA-qB)L
позволит определить коэффициенты dj по-
линома (3.2.2), если задать величины избы-
точного теплового потока (чд-Чв)
(п + 1) значения времени т . Здесь п - поря-
док полинома, L - длина элемента оболочки
А, а 5 - его толщина.
2. Металлическая оболочка на теплоизо-
лирующей подложке. На практике при расчете
радиационной тепловой защиты или при
колориметрировании высокотемпературных
газовых потоков и радиационного нагрева
(рис. 3.2.2, в) баланс теплоты в металлической
оболочке толщиной 5 записывается в виде
Ч» =(рс)т& (^T„/dt) + qx,
где qw - подведенный тепловой поток, q^ -
утечки теплоты в тепловую изоляцию, индек-
сом т отмечены теплоемкость, плотность,
толщина и температура металлической обо-
лочки. Закон изменения Тм (т) аппроксими-
руется произвольным полиномом (3.2.5), ко-
эффициенты которого связаны с коэффици-
ентами полинома (3.2.4), описывающего зави-
симость от времени qk (т).
Задавая qw в некоторые конкретные
моменты времени т j, можно, используя
уравнение баланса теплоты, найти значения
Гм(ту) ’ а тем самым и рассчитать коэффи-
циенты dt. После этого легко найти измене-
ние во времени теплового потока qk . Можно
решить и обратную задачу. По фиксирован-
ным q^ (ту) из полинома (3.2.2) находят
коэффициенты d, и рассчитывают Т„ (т) и
Ь) •
При высоких температурах Tw необхо-
димо делать второе приближение, вычитая из
qw величину радиационного теплового пото-
ка от стенки е о , найденного по темпера-
туре Tw, полученной в первом приближении.
Регулярные тепловые режимы. Рассмот-
рим процесс охлаждения (нагрева) в среде с
постоянной температурой Те однородного и
изотропного тела, начальное распределение
температур в котором задано известной функ-
цией координат:
при т =0, Tq = /(х, у, z).
Не ограничивая общности, можно считать
температуру окружающей среды Те = 0. Все
теплофизические свойства тела X, р, с также
принимаются постоянными. Дифференциаль-
ное уравнение теплопроводности запишется в
следующем виде:
ае (а2е а2е а2е)
— = а + =oV 0-
I дх2 ду2 dz2 )
(3.2.8)
где B-T/Tq - безразмерная температура,
х, у, z - безразмерные геометрические раз-
меры. Классическим методом решения этой
задачи является метод разделения переменных
(метод Фурье). Идея метода состоит в предпо-
ложении, что решение можно представить в
виде произведения двух функций, одна из
которых зависит от безразмерных координат,
а другая - только от критерия Фурье (безраз-
мерного времени):
0 ( х, у, Z, Bi, Fo) = ф ( х, у, z, Bi )ф( Fo).
Подстановка этого решения в уравнение
(3.2.8) дает
дф -2 1 дф 1 -2
ф—^- = фф ф, откуда — —£- = — Ухф .
dFo ф dFo ф
Здесь слева стоит функция времени, а справа
- только координат. Решение возможно лишь
в том случае, когда обе части равенства соот-
ветствуют постоянной т, не зависящей ни от
времени, ни от координат.
Решение обыкновенного дифференци-
ального уравнения
1 дф
——— = -т имеет следующий вид:
Ф dFo
Ф = Лехр(-тРо),
где А - произвольная константа.
Очевидно, что т > 0, поскольку тело
стремится к тепловому равновесию, при кото-
ром ф не может быть монотонно растущей
функцией времени.
1о
292
Глава 3.2. ТЕПЛОВОЙ РЕЖИМ ТЕЛА ПРИ ПЕРЕМЕННОЙ ТЕПЛОВОЙ НАГРУЗКЕ
1 У
Решение второго уравнения: — V <р =
Ф
= -т с соответствующим граничным услови-
ем зависит от геометрии тела. В теории урав-
нений математической физики доказано,
что нетривиальное решение этого уравнения
возможно лишь для определенных значений
постоянной /и, которые называются соб-
ственными значениями т\, m2,..., тп
(причем, /И1 <Ш2 < ... <тп). Общее реше-
ние исходного дифференциального уравнения
теплопроводности теперь можно записать так:
оо
0 = ^4,<p„exp(-m„Fo), (3.2.9)
Л=1
где фл = Фл ( х, У, Z, Bi) - частное решение,
соответствующее собственному значению тп .
Коэффициенты Ап выбираются из условия
удовлетворения решения начальным услови-
ям, например при Fo = 0:
1 = ^4. <₽»>(*.?. г. В')-
Л=1 •
Все полученные решения для конкретных
задач затабулированы и приводятся в спра-
вочниках.
Анализ общего решения уравнения теп-
лопроводности, представленного соотношени-
ем (3.2.9), позволяет установить некую тен-
денцию. Поскольку константы т, в показа-
телях экспонент представляют собой убы-
вающий ряд чисел: т\ < m2 < т$ < .. . , по-
стольку при достаточной продолжительности
процесса охлаждения (или нагревания), т. е.
при больших числах Фурье, весь ряд сведется,
по существу, к первому члену:
б(х, у, z, Fo) « Ai q>! (х, у, z )e“w‘Fo.
(3.2.10)
Момент времени т R , когда изменение тем-
пературы всех точек тела (Х|, Хз и Х3 на
рис. 3.2.3) можно считать следующим этому
простому закону, называют началом регуляр-
ного режима. После момента т = началь-
ное тепловое состояние тела больше не ока-
зывает влияния на закон изменения темпера-
тур по времени во всех точках.
Рве. 3.2.3. Зависвмость логарифма взбыточной
температуры от времена в тонкой пластане
Рве. 3.2.4. К определению темпа регулярного режима
Логарифмируя выражение (3.2.10), полу-
чим
InO = -mjFo + ln[ Ai (pi (х, у, ?)].
_ dlnO
Следовательно —-----= т\ , т. е. зависимость
dFo
логарифма безразмерной температуры от без-
размерного времени в области регулярного
режима для всех точек тела приобретает ли-
нейный характер, с одинаковым углом накло-
на, равным |3 = aretg/nj (рис. 3.2.4). Величи-
на mi называется темпом охлаждения (или
нагрева).
Рассмотрим несколько простых примем
ров использования соотношений регулярного
режима.
1. Пластина (стенка) с малой толщиной
Л, обогреваемая постоянным тепловым пото-
ком Qq = S = const.
ВЛИЯНИЕ УНОСА МАССЫ С ПОВЕРХНОСТИ НА ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ
293
В этом случае уже для чисел Фурье
Fo>0,5 внутри пластины устанавливается
температурный профиль
т т Sh
T-T0=W\—,
At
где множитель vgj может быть аппроксими-
рован выражением
_ л, 2 1
ц/, =Fo-n + 0^n + у
у ат
(здесь П = т ’ Fo = )•
л А2
2. Шар, радиусом Д при воздействии
постоянного по всей поверхности теплового
потока Qq = S = const.
Уже при числах Фурье Fo = > 0,2
внутри шара устанавливается температурное
распределение
где множитель \|/2 можно записать в виде
ц/2 = 3Fo + — 03 ,
а безразмерная координата т\ = г / R (где г -
расстояние от центра шара).
3. Шар, радиусом Д температура по-
верхности которого Tw возрастает линейно по
т т _ 1 ьл2
1 г=0 ~ ~
о а
На регулярном режиме нагрева (охлаж-
дения) градиент температуры внутри шара
составит
ЭТ , г
--« о— .
дг За
Глава 3.3
ВЛИЯНИЕ УНОСА МАССЫ
С ПОВЕРХНОСТИ НА
ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ
ВНУТРИ ТЕПЛОЗАЩИТНОГО ПОКРЫТИЯ
Физическим прототипом изложенной
ниже расчетной модели является процесс оп-
лавления кристаллических веществ при интен-
сивном аэродинамическом нагреве (рис. 3.3.1).
В самом характере нагрева четко различают
два периода. В первом, при т < тр, темпера-
тура поверхности монотонно возрастает, пока
не достигнет температуры разрушения Тр. На
этом отрезке задача ничем не отличается от
рассмотренных в предыдущей главе, в част-
ности, с их помощью легко рассчитать время
достижения начала разрушения тр, а также
профиль температуры в теле, который сфор-
мируется к этому моменту.
Достигнув температуры разрушения,
кристаллические вещества плавятся и практи-
чески мгновенно сносятся в виде тончайшей
жидкой пленки набегающим потоком газа.
Небольшие толщины пленки расплава на кри-
времени: Tw = Tq + tn . Здесь b = d Tw / dt
называется темпом нагрева (или охлаждения).
В данном случае температурное распре-
деление внутри шара выходит на регулярный
режим при Fo > 0,4 и описывается функцией
гр гр bR^ X
Т = Т0+ч/з----, а = —
а рс
Множитель 4/3 зависит от критерия
Фурье и безразмерной координаты т\ = г / R
следующим образом:
Максимальный перепад температур
внутри шара составляет
Рве. 3.3.1. Модель оплавляющегося тела
с постоянной температурой поверхности Тр = const:
1 - начальное положение поверхности тела;
2 - текущее положение разрушающей
поверхности тела; 0 - точка торможения
294
Глава 3.3. ВЛИЯНИЕ УНОСА МАССЫ С ПОВЕРХНОСТИ НА ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ
сталлических телах обусловлены низкой вяз-
костью расплава. Температура внешней по-
верхности пленки практически не отличается
от температуры разрушения Тр соответ-
ствующей внутренней границе пленки рас-
плава. Как температура разрушения, так и
сопровождающий его тепловой эффект AQ
остаются постоянными во всем интересую-
щим практику диапазоне тепловых потоков.
В нашем анализе мы ограничимся двумя
случаями изменения внешних условий, харак-
терными для практики проведения стендовых
экспериментов. В первом мы будем предпола-
гать постоянство подводимого извне теплово-
го потока (граничное условие II рода):
Qq - Я\ ~ c°nst.
Во втором - примем постоянство коэффици-
ента теплообмена а и температуры набе-
гающего потока Те, что соответствует гра-
ничным условиям III рода в классической
теории теплопроводности, т. е.
Яо = а ( = Я2
При постоянных теплофизических
свойствах материала в неподвижной системе
координат уравнение сохранения энергии в
конденсированной фазе имеет тот же вид, что
и уравнение (3.1.3). Тепловой баланс на
внешней поверхности тела запишется как
(3.3.1)
где линейная скорость перемещения разру-
шающейся поверхности связана с коор-
динатой этой поверхности в неподвижной
системе отсчета следующими соотношениями
¥« = 4“ или 5= fv^dt. (3.3.2)
dt 0J
В начальный момент времени т =0, так
и в последующем на достаточном удалении от
внешней поверхности (у —> оо) температура
тела предполагается постоянной и равной Tq .
Учитывая, что по достижении темпера-
туры Тр тепловой поток в обоих рассматри-
ваемых случаях перестает изменяться, нетруд-
но показать, что линейная скорость переме-
щения разрушающейся поверхности ,
постепенно увеличиваясь, должна достичь
своего постоянного (стационарного) значения
voo I -> V- (рис. 3.3.2). Поскольку этот
1т->оО
Рис. 3.3.2. Характер устаноалешш оазастацаонарных
значений температуры поверхности Tw ,
скорости уноса массы и глубины прогрева бр :
Тр - время установления температуры разрушения;
Tv - время установления постоянной скорости
разрушения; Tg - время установления
постоянной глубины прогрева
переходный процесс закончится лишь через
бесконечно большой отрезок времени, то
обычно говорят не о стационарных, а о так
называемых "квазистационарных" параметрах
разрушения. Соответственно можно указать
такое время ту, по прошествии которого
скорость разрушения Ул приблизится к ста-
ционарному значению с точностью до
некоторого заданного А е (на практике
обычно принимают А е = 0,1 ).
Аналогичный подход можно использо-
вать и при анализе глубины прогрева тепло-
защитного покрытия §7, под которой мы
понимаем расстояние от поверхности разру-
шения до некоторой изотермической поверх-
ности, имеющей температуру Ть , при этом
т4-то = од(Гр-го)-
Количественно характер установления
этих трех важнейших параметров разрушения
показан на рис. 3.3.2.
Введем новую систему отсчета времени
/ = —-1, (3.3.3)
в которой t = 0 соответствует начальный мо-
мент разрушения т = тр.
Для того чтобы исключить необходи-
мость задания граничного условия на пере-
мещающейся поверхности, введем безразмер-
ную координату
ВЛИЯНИЕ УНОСА МАССЫ С ПОВЕРХНОСТИ НА ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ
295
y-sM
х
рс
(3.3.4)
Z =
При всех t £ 0 значение Z = 0 соответ-
ствует поверхности разрушения. Введем далее
безразмерные температуру 6, скорость пере-
мещения разрушающейся поверхности ц и
некоторый параметр тепловой эффективности
разрушающегося материала т:
н = v- (3.3.5)
7р - ?0 2 00
/и = х
де
(3.3.6)
Последний определяет соотношение энер-
гоемкостей двух протекающих в теле процес-
сов: нагрева материала от начальных условий
до температуры разрушения и собственно
разрушения.
С учетом сделанных замен уравнение
(3.1.3) примет вид
30 _ d20 (3 3 7)
dt dz2 "У a dz' ( }
Дальнейшие преобразования удобно
сделать применительно к различным типам
граничных условий. Рассмотрим сначала слу-
чай постоянного теплового потока: 0о = 01 =
= const.
Из уравнения (3.2.3) определим время
тг:
(3.3.8)
Система из дифференциального уравне-
ния, начального и граничных условий имеет
следующий вид:
ае а2е ае
аГ^ + ц,"*;
ае«г)
г=0
0(/, 0) = 1;
Z -> оо, 0 ((, оо) -> 0;
t = 0, 0 (0, z) = /п ierfc( z! 2). (3.3.9)
Баланс теплоты на внешней границе в
новых переменных записывается как условие
определения скорости уноса массы ц (/).
Уравнения и граничные условия (3.3.9) све-
лись к виду, содержащему всего один пара-
метр т, поскольку все другие характеристики
материала и условий нагрева вошли в мас-
штаб времени тр , а также масштабы длины и
температуры. В связи с этим требуется весьма
ограниченный объем численных расчетов для
того, чтобы определить параметры нестацио-
нарного разрушения любых твердых веществ
при разнообразных условиях аэродинамиче-
ского (или радиационного) нагрева.
Режим квазистационарного разрушения,
как предельное состояние, при котором
температурный профиль в подвижной систе-
ме координат перестает изменяться, может
быть описан уравнениями (3.3.9), в которых
дТ/ dt —> 0. При т * 0 существует решение:
0 = ехр [-/и ц z ],
z ч —
ц (Z -> оо) -> и = —1------------
2(1 + т)
- _ т________q\
V“-m + lpc(Tp-T0)’
где у' =y-s(t).
(3.3.10)
Параметры с чертой соответствуют ква-
зистационарному состоянию.
Видно, что при т —> 0 мы получаем
тривиальное решение с нулевой скоростью
уноса массы.
В случае граничного условия III рода,
когда тепловой поток линейно зависит от
температуры поверхности Tw и, кроме того,
определяется еще двумя "внешними" парамет-
рами Те и а , требуется введение двух без-
размерных критериев. Помимо т решение
задачи определяется также критерием Тихо-
нова:
a Jах-?
ае = —-------.
X
Соответственно время tустановления на
поверхности температуры разрушения Тр в
этом случае рассчитывается с помощью еле-
296
Глава 3.3. ВЛИЯНИЕ УНОСА МАССЫ С ПОВЕРХНОСТИ НА ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ
дующей системы уравнений (или графика на
рис. 3.3.3):
ав2 ^РС е2 - Тр “ Tq
хт =----, е erfcae = 1 - -7——- .
Т a2 Te-TQ
(3.3.11)
Температурный профиль в момент t = О
имеет вид
0(0, Z) =
erfc— - е“<г+г> erfc f— + sei ,
2 \2 JjTp-To
а в уравнении сохранения энергии появляется
множитель А:
56 Э20 39 И”1
dt dz1 Sz А
Л = Л(ае) = ^
. -е2
1-е erfc ав
аве епсав
(3.3.12)
Наличие множителя А физически объ-
ясняется отличием времени установления на
поверхности температуры разрушения Тр при
истинном тепловом потоке 02 = а ( Те ~ Tw)
от соответствующего значения при посто-
янном тепловом потоке q$ = ot( Те - Тр).
Очевидно, что до тех пор, пока
Tw < Тр , первый всегда больше второго. По
заданным Те, То и Тр с помощью кривых на
рис. 3.3.3 легко найти ав (а затем и Ту) или А.
Как и в случае q\ = const, при m # 0
существует квазистационарное решение при
t > . Квазистационарное значение ц не
зависит от ав, в то же время уравнение сохра-
нения теплоты на поверхности, из которого
этот параметр вычисляется, содержит А (ав):
ц = + (3.3.13)
Нетрудно убедиться, что квазистацио-
нарное распределение безразмерной темпера-
туры имеет вид:
0(Z) = ехр [ - /ицг / А]. (3.3.14)
Сопоставляя (3.3.13) и (3.3.14), получа-
ем, что квазистационарное ц не зависит от ав:
Й = /я7[2(1 + т)].
Таким образом, квазистационарное зна-
чение скорости уноса массы при любом из
двух рассмотренных типов граничных условий
(определений q ) может быть описано урав-
нением типа (3.3.10) или производным от
него соотношением:
Р*„ =<7о/[с(Тр-То) + ДС]4- (3.3.15)
Сравнивая (3.3.1) и (3.3.15), можно по-
лучить важное для дальнейшего анализа вы-
ражение для теплового потока q^, идущего
на нагрев внутренних слоев теплозащитного
покрытия в квазистационарном режиме раз-
рушения:
Рис. 3.3.3. Зависимость температурного фактора
(Тр-7Ь)/(Ге-Т0) и сомножителя А
от величины параметра ЗВ
” Pcvoo ( Тр - То) .
(3.3.16)
В режиме квазистационарного разруше-
ния глубина прогретого слоя бу может быть
вычислена по формуле
(3.3.17)
С ростом скорости уноса величина
бу резко убывает (рис. 3.3.4).
ВЛИЯНИЕ УНОСА МАССЫ С ПОВЕРХНОСТИ НА ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ
297
Рис. 3.3.4. Зависимость безразмерной толщины
прогретого слоя при квазистационарном
разрушении тела в потоке газа от величины параметра
тепловой эффективности материала т
(увеличение Ш увеличивает квазистационарное
значение скорости поверхностного разрушения VM )
Переходим к анализу результатов расче-
та нестационарного режима. Рассмотрим, как
влияет перемещение внешней поверхности на
температурное поле внутри теплозащитного
покрытия.
При отсутствии уноса массы (т = 0)
рассматриваемая задача во многом напомина-
ет так называемый "автомодельный" режим
прогрева в классической теории теплопровод-
ности, когда температура внешней поверх-
ности все время поддерживается на заданном
постоянном уровне ( Tw = Тр), а в теле рас-
пространяется тепловая волна, и в любой
момент времени профиль температуры опи-
сывается единой функцией Т / Тр = f (£),
где £ = у у/ ах . В принятых нами безразмер-
ных переменных этот режим должен соответ-
ствовать линейной зависимости от -/7 коор-
динаты z любой изотермы Од = const (рис.
3.3.5).
В действительности, как это и учитывает-
ся в постановке задачи, постоянная темпера-
тура Tw = Тр устанавливается на поверхности
не мгновенно, а по истечении некоторого
времени . Поэтому к моменту t = 0 коор-
дината изотермы z(O^) оказывается отлич-
ной от нуля и требуется определенный отрезок
времени / < /^, в течение которого произой-
дет сглаживание начального возмущения, и
режим прогрева станет близким к "автомо-
дельному" (кривая m = 0 на рис. 3.3.5).
Даже небольшой унос массы с внешней
поверхности (например, соответствующий
кривой т=0,1 на рис. 3.3.6) приводит к пе-
рестройке температурного поля и отклонению
его от "автомодельного". Особенно сильно этот
Рис. 3.3.5. Зависимость координаты Z изотермы
0 = 0 от безразмерного времени и параметра Ш
при двух значениях 0д :
а- еь =0,1; б- Qb =0,9;
------автомодельный режим
Рис. З.З.б. Зависимость толщины унесенного слоя 5*
от безразмерного времени t при нестационарном
прогреве н разрушении в высокотемпературном потоке
газа материалов, различающихся параметром Ш
(увеличение Ш уменьшает тепловую
стойкость материала в потоке газа)
фактор проявляется в области высоких темпе-
ратур и при достаточно больших значениях
безразмерного времени /. На рис. 3.3.7 приве-
дены зависимости температуры от времени в
нескольких, фиксированных относительно
первоначальной поверхности, точках ус. При
отсутствии уноса ( m = 0) температура в любой
298 Глава 3.4. УСТАНОВЛЕНИЕ "АВТОМОДЕЛЬНОГО" И КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО ПРОГРЕВА
Рис. 3.3.7. Зависимость температуры О
от безразмерного времени t
в фиксированных точках тела у = ус
точке внутри покрытия асимптотически стре-
мится к температуре внешней поверхности
Гр или к 0 = 1. Появление уноса массы, т. е.
перемещение внешней поверхности приводит
к тому, что любая точка, ранее находившаяся
в толще покрытия, в конце концов оказы-
вается на внешней поверхности и соответ-
ствующая температурная кривая пересекается
с прямой 0 = 1. Тем не менее всегда можно
указать такой отрезок времени нестационар-
ного прогрева и такой интервал температур, в
котором все зависимости 0(ус) от ft сов-
падают друг с другом, каков бы не был унос
массы с внешней поверхности.
Переход от варианта с постоянным теп-
ловым потоком q\ = const к задаче с гранич-
ными условиями III рода 02 = а(Те “ Tw) не
приводит к появлению принципиально новых
результатов, поскольку, как это отмечалось
выше, различие этих двух случаев в итоге, в
основном, сводится к некоторому уменьше-
нию времени установления температуры раз-
рушения тт. Параметр А, зависящий от ае и
входящий в уравнения (3.3.12) и (3.3.15), пре-
вышает единицу не более, чем в 1,5 раза
(см. рис. 3.3.2).
Именно этим объясняется то обстоя-
тельство, что зависимость ц(Х) оказывается
практически одинаковой в обоих рассмотрен-
ных выше случаях задания теплового потока
на границе.
Некоторые выводы, полученные в на-
стоящей главе, в последующем будут широко
использоваться, причем для определения т
удобно исходить из соотношения между
и т, вытекающего из (3.3.10):
2_ =_____дб
т pcv.Jrp
-1. (3.3.18)
В общем случае под 06 понимается
суммарный тепловой поток к непроницаемой
поверхности, имеющей температуру
Р
96 = 90 ~еаТр .
Отмеченные закономерности
присущи
не только материалам, которые плавятся под
воздействием набегающего потока. Если из-
вестна эффективная энтальпия разрушения
Heff любого другого материала (см. разд. 9),
то параметр т может быть приведен в соот-
ветствии с этой энергетической характеристи-
кой процесса разрушения с помощью уравне-
ния
с
т = Т---- / м <3-3-
[яе#-с(Тр-Т0)]
Тем самым удается перенести все полу-
ченные численные результаты на теплозащит-
ные покрытия произвольного состава.
Глава 3.4
ХАРАКТЕРНЫЕ ВРЕМЕНА
УСТАНОВЛЕНИЯ ’’АВТОМОДЕЛЬНОГО”
И КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО
РЕЖИМОВ ПРОГРЕВА
В классической теории теплопровод-
ности широко используется понятие "автомо-
дельности” прогрева, когда единственной пе-
ременной, определяющей процесс распро-
странения теплоты, становится безразмерное
число Фурье Fo = —у или приведенная ко-
У
ордината £ = у / fax . Преимущество такого
подхода заключается не только в уменьшении
числа независимых переменных. Он позволя-
ет также отказаться во время экспериментов
от определения зависимости температуры от
координаты и фиксировать только ее измене-
ние во времени, что является более простой
задачей. Указанное положение лежит в основе
соответствующих методик измерений тепло-
физических свойств материалов.
При наличии уноса массы с внешней
поверхности появляется возможность дости-
жения еще одного характерного режима прог-
рева - квазистационарного. При постоянных
параметрах внешнего воздействия (прежде
всего теплового потока 0О) профиль темпера-
УСТАНОВЛЕНИЕ "АВТОМОДЕЛЬНОГО" И КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО ПРОГРЕВА
299
туры в теле в конце концов перестает изме-
няться во времени, если координату у' от-
считывать от разрушающейся поверхности
/= =y-v00x.
Важнейшей особенностью квазистацио-
нарного режима разрушения является то, что
тепловой поток, идущий на прогрев внутрен-
них слоев qK , уже не зависит от коэффици-
ента теплопроводности вблизи поверхности, а
полностью обусловлен теплосодержанием
прогретого слоя, т. е. в квазистационарном
режиме
=P0Vooc(Tp -То).
°У у=о
При изменении теплоемкости с темпе-
ратурой следует пользоваться более точным
соотношением:
г
7р
=Pov«, JcdT.
Г.
Это очень важное соотношение для ана-
лиза всей проблемы тепловой защиты, по-
скольку тем самым исключается необходи-
мость решения уравнения сохранения энер-
гии в конденсированной фазе и все можно
свести, как показано ниже, к расчету баланса . предыдущей главе этого раздела, показали,
теплоты (3.3.1), являющегося по существу
уравнением для определения температуры
поверхности.
При решении многих практических за-
дач возникает вопрос, нельзя ли использовать
закономерности, присущие автомодельному
или квазистационарному режимам прогрева
для уменьшения математических трудностей,
сопряженных с интегрированием уравнения
теплопроводности. Ответ на этот вопрос свя-
зан с определением соотношения между про-
должительностью реального процесса и неко-
торыми характерными временами установле-
ния: Ту’, Ту, т5, Т^ .
Под характерным временем установле-
ния понимается промежуток времени, необ-
ходимый для достижения того или иного со-
стояния или конкретного значения некоторо-
го безразмерного параметра при заданном
режиме изменения внешних условий. Напри-
мер, часто приходится определять, как долго
продлится период нагрева до начала разруше-
ния внешней поверхности теплозащитного
покрытия при определенном законе измене-
ния теплового потока? Используя связь тем-
пературы поверхности с тепловым потоком,
подводимым извне, определяемую соотноше-
ниями (3.2.1) или (3.2.3), нетрудно показать,
что для нагрева поверхности теплозащитного
покрытия от начальной температуры То до
температуры разрушения Тр потребуется
следующий промежуток времени:
при постоянном тепловом потоке
00 = const величина тр определяется соот-
ношением (3.3.8);
при линейной зависимости q$ = Ь т
тр =3(ТР-То)7яхрс/(4*).
Нетрудно получить аналогичные форму-
лы для других условий нагрева.
Если показано, что при заданных тепло-
вых и газодинамических параметрах внешней
среды разрушение поверхности теплозащит-
ного покрытия имеет место, то в этом случае
следует оценить возможность использования
соотношений, характерных для квазистацио-
нарного режима прогрева. Прежде всего нуж-
но определить время установления этого ре-
жима ту .
Допустим, что в течение достаточно
продолжительного периода времени тепловой
поток на границе тела q$ остается постоян-
ным (так же как и все другие "внешние" па-
раметры). Результаты расчетов, описанные в
что скорость разрушения (т) асимптоти-
чески стремится к некоторому постоянному
значению % , причем для любого заданного
Де > 0 можно указать такое ту , для которого
V» - V» (*)
< Д Е .
Зависимость ту от Де достаточно
сильная: увеличение степени приближения к
асимптоте с 0,1 до 0,05 требует увеличения
времени нагрева xv более, чем вдвое.
Обычно под Ту понимают время уста-
новления скорости разрушения (т), отли-
чающийся от стационарного значения %
менее, чем на 0,1.
На рис. 3.4.1 приведена зависимость
от параметра т, описываемого соотно-
шением (3.3.18), для q$ =0| = const. Эта же
кривая соответствует и второму из рассмот-
ренных ранее случаев:
00 = ^2 = а(Те ~
300 Глава 3.4. УСТАНОВЛЕНИЕ "АВТОМОДЕЛЬНОГО" И КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО ПРОГРЕВА
Рис. 3.4.2. Зависимость функций f и
F от параметров Ш и Ае
Переходя от безразмерного /v к истин-
ному времени xv , получим:
rv = —ту f (т) 11111
tv =^£(г₽-г°)2 F(m)
(3.4.1)
Вид функций f(m) и F(m) дан на
рис. 3.4.2.
УСТАНОВЛЕНИЕ "АВТОМОДЕЛЬНОГО” И КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО ПРОГРЕВА
301
В действительности тепловой поток, как
и другие внешние параметры, может непре-
рывно меняться во времени, поэтому понятие
о квазистационарном режиме разрушения
требует дальнейшего обобщения. Если время
установления постоянной скорости разруше-
ния tv , вычисленное по фиксированному в
любой момент времени т = х* значению qQ
или по q$, определенному на базе измерен-
ных в этот момент соответствующих внешних
параметров, меньше, чем некоторое характер-
ное время изменения самих внешних пара-
метров, то можно говорить о существовании
некоторого обобщенного квазистационарного
режима разрушения на всем интервале нагре-
ва. Иными словами, речь идет о возможности
замены действительного процесса [например,
реальной кривой qQ (х) ] аппроксимирующей
ступенчатой зависимостью. Для каждого
уровня q$ время установления xv должно
быть меньше продолжительности нагрева с
данными постоянными условиями. Очевидно,
что число ступеней зависит от амплитуды
изменения внешних параметров. Опыт пока-
зывает, что в первом приближении разбиение
на ступени можно проводить таким образом,
чтобы переход от одной ступени к другой
изменял соответствующее им квазистацио-
нарное значение скорости разрушения не
более, чем в два раза.
Сравнение различных теплозащитных
материалов проводится в большинстве случаев
на основе данных испытаний в условиях ква-
зистационарного разрушения. При этом из
большой группы теплозащитных материалов
отбираются те, которые обладают наименьшей
весовой скоростью разрушения или макси-
мальной "эффективной энтальпией" Не& .
Поэтому определение времени установления
квазистационарного режима разрушения яв-
ляется одним из основных этапов подготовки
таких экспериментов. Величина xv одно-
значно определяет продолжительность работы
испытательного стенда. Рабочее время, в те-
чение которого проводятся измерения, долж-
но намного превосходить xv , по крайней
мере, в тех случаях, когда скорость разруше-
ния определяется простым взвешиванием
образца до и после эксперимента (разд. 9).
Рассмотрим два других характерных
времени нестационарного прогрева, опреде-
ляющих глубину прогрева, х^ и х5.
Под глубиной прогрева понимают рас-
стояние от нагреваемой поверхности до неко-
торой определенной изотермической плос-
кости Т{, = const. Обычно из всего набора
изотерм выделяют(7^ - Tq) = [ (Tw - То)О,1 ],
что в безразмерных координатах соответствует
=0,1. Положение этой изотермы почти
совпадает с необходимой толщиной теплоизо-
ляционного слоя, поэтому приведенные ниже
численные результаты соответствуют именно
этому значению 0^.
Рассмотрим случай, когда разрушение
внешней поверхности отсутствует (m = 0), а ее
температура после некоторого начального пе-
риода разогрева фиксируется на постоянном
уровне Тр = const. Формального "установле-
ния" теплового режима в теле не происходит,
однако со временем закон изменения глуби-
ны прогрева теплозащитного материала выхо-
дит на автомодельный 67-^?. Наличие
начального периода, когда температура по-
верхности отличалась от постоянного значе-
ния Тр, приводит к тому, что "автомодель-
ный" режим устанавливается не сразу, а по
истечении определенного времени х^. Это
время отвечает периоду сглаживания возму-
щений температурного поля, обусловленных
начальными условиями. Численное интегри-
рование позволило оценить время запаздыва-
ния Х£. При постоянном тепловом потоке
оно равно
х^=10хг. (3.4.2)
При х > х^ можно считать, что внутри тела
распределение температуры описывается
функцией одной переменной £ :
Г (у, х) = Т (£), где £ = у / Jx
(в безразмерной записи £ должно быть заме-
нено на число Фурье),
Fo= (ат/у1 )~(а /
Во всех остальных случаях, когда m 0,
при постоянных внешних параметрах и фик-
сированной температуре разрушения со вре-
менем устанавливается режим квазистацио-
нарного разрушения и прогрева, когда ско-
рость перемещения всех изотерм в теле равна
линейной скорости разрушения внешней по-
верхности. Все температурное поле эквиди-
стантно смещается внутрь прогревающейся
части материала, так что в любой заданный
момент времени глубина прогрева остается
постоянной. Очевидно, что для установления
302 Глава 3 4. УСТАНОВЛЕНИЕ "АВТОМОДЕЛЬНОГО" И КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО ПРОГРЕВА
такого состояния требуется предварительно
выйти на постоянную температуру внешней
поверхности, а затем и на постоянную ско-
рость разрушения материала. Таким образом,
время достижения квазистационарного про-
грева т5 связано с двумя другими характер-
ными временами серией неравенств:
тг <tv <т5.
На рис. 3.4.1 приведены, полученные по
результатам численных расчетов, зависимости
безразмерного времени = ( т8 / тг) ” 1 от
двух определяющих параметров т и ае. Вид-
но, что зависимость /5 и т5 от скорости уно-
са массы (параметра т) имеет вид гиперболы.
С уменьшением т или скорости уда величи-
на /5 увеличивается, причем /5 отличается от
/v на порядок. При умеренных значениях т
(т = 0,5) для установления в теле квазиста-
ционарного профиля температуры требуется в
5-20 раз большее время, чем для получения
постоянной скорости уноса массы. Отметим
также слабую зависимость времени установле-
ния глубины прогрева /5 от характера тепло-
подвода: так кривая 1 на рис. 3.4.1 отвечает
постоянному тепловому потоку q - const, а
кривые 2 и 3 - случаю q^ = а (Те - Tw) при
разных значениях температурного фактора
(Тк-то)/(те-то) или параметра ае.
Полученные выше оценки для характер-
ных значений времени установления темпера-
туры и скорости разрушения позволяют ука-
зать такую глубину заделки термопар Д , при
которой их показания с заданной точностью
могут быть приняты за "автомодельные" или
квазистационарные температуры. Этот вопрос
непосредственно связан с методикой обработ-
ки результатов стендовых испытаний с целью
определения теплофизических характеристик
материала. Использование "автомодельного"
или квазистационарного режима прогрева
позволяет избежать трудоемкой процедуры
численного интегрирования уравнения тепло-
проводности и одновременно дает возмож-
ность установить зависимость температуры от
координаты по известной зависимости темпе-
ратуры от времени в одной фиксированной
точке тела. Именно этим объясняется то, что
оба эти режима широко используются при
экспериментальных исследованиях новых
рецептур теплозащитных покрытий, для кото-
рых отсутствуют данные по теплофизическим
с войствам.
Однако методика эксперимента должна
учитывать необходимость введения поправки
на начальный период установления соответ-
ствующего режима прогрева или разрушения.
Поверхностный слой материала толщиной Д ,
равной глубине проникновения тепловой
волны за время установления т5 или
должен быть исключен из рассмотрения, а
датчики температуры должны устанавливаться
на глубине, большей Д . Эта глубина, в об-
щем случае, складывается из толщины 5(т§)
слоя материала, унесенного с поверхности за
время установления (при т Ф 0), и из теку-
щего значения глубины 3(т5) проникнове-
ния теплоты.
При т = 0 глубина заделки датчиков
температуры определяется только вторым
слагаемым; на основании численных расчетов
она оценивается как
Д« 10 ат-р . (3.4.3)
Толщина унесенного слоя материала
5(т5) обратно пропорциональна параметру т
и в наиболее интересном для практики диапа-
зоне 0 < ZH < 1 может быть аппроксимирована
простым выражением. Если одновременно
учесть и глубину прогрева 37(т5), то полу-
чим следующее соотношение для Д (т§):
д(х8) = s(T5) + 8т (Ts) = 53(fl / v„).
(3.4.4)
При постоянных теплофизических
свойствах материала погрешность этой ап-
проксимации не превышает 20 %. Во всем
рассмотренном диапазоне Ш толщина унесен-
ного слоя $(т5) составляет чуть больше по-
ловины соответствующего значения Д(т5).
Итак, если первоначальная толщина об-
разца больше величины, рассчитанной по
формуле (3.4.4), то процесс нестационарного
разрушения всех слоев, удаленных от началь-
ной поверхности на расстояние, превы-
шающее Д(т5), будет подобен во времени. С
другой стороны, термопара, углубленная на
расстояние Д(т5) от первоначальной по-
верхности, будет фиксировать режим ква-
зистационарного разрушения.
Это важное обстоятельство приходится
иметь в виду при обработке результатов неста-
ционарных экспериментов, когда тепловой
поток и другие внешние параметры непрерыв-
ВЛИЯНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ НА ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ
303
но меняются во времени. В частности, важно
установить ту минимальную толщину тепло-
защитного покрытия, к которой еще можно
применять критерии квазистационарного раз-
рушения (например, использовать понятие
эффективной энтальпии). Эта оценка прово-
дится с помощью двух формул: формулы
(3.4.1), дающей время установления квазиста-
ционарного режима разрушения, и соотноше-
ния (3.4.4) для минимальной толщины квази-
стационарного прогрева. Полное время экс-
перимента должно быть значительно больше
tv , а толщина теплозащитного покрытия
должна превышать Д(т5). При этом как при
расчете tv , так и при оценке Д(т5) необхо-
димо использовать вместо vM максимальное
значение скорости разрушения внешней по-
верхности vM , достигнутое при данном ис-
пытании.
Глава 3.5
ВЛИЯНИЕ ПЕРЕМЕННОСТИ
ФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ НА
ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ ВНУТРИ
ТЕПЛОЗАЩИТНОГО ПОКРЫТИЯ
Простейшее уравнение теплопроводно-
сти с учетом граничного условия на разру-
шающейся поверхности позволяет получить
представление о многих качественных сторо-
нах процесса переноса теплоты внутри по-
крытия, например, о квазистационарном ре-
жиме прогрева, и даже провести некоторые
количественные оценки. В основе любых
оценок нестационарного прогрева заложены
те или иные предположения о зависимости
теплофизических свойств от температуры.
Для разрушающихся теплозащитных ма-
териалов характерны высокий уровень рабо-
чих температур и существенное изменение
структуры материала. Оба этих фактора силь-
но отражаются на теплофизических свойствах
вещества. По степени влияния различных
свойств на температурное поле в материале
следует выделить коэффициент теплопровод-
ности. Изменениями других теплофизических
параметров в инженерной практике часто
пренебрегают Так, хотя плотность может
уменьшаться почти вдвое по мере роста тем-
пературы и разложения части компонент
композиционного материала, на температур-
ное поле влияет не она сама, а произведение
плотности на теплоемкость. У большинства
же реальных теплозащитных материалов теп-
лоемкость с увеличением температуры возрас-
тает и изменение произведения рс, входяще-
го в уравнение теплопроводности, оказывает-
ся в итоге ограниченным. Как правило, оно
отклоняется от первоначального значения
менее, чем в два раза.
Намного шире возможный диапазон из-
менения теплопроводности. Это связано как с
изменением фазового состояния отдельных
компонент и сильным влиянием температуры
на теплопроводность каждой фазы, так и с
появлением при больших температурах до-
полнительной, радиационной составляющей
теплопроводности внутри пор.
Отдельные составляющие твердой фазы
теплозащитного материала могут находиться в
кристаллическом, либо в аморфном состоя-
ниях. Механизм переноса теплоты в этих со-
стояниях разный. Кристаллы подразделяются
на проводники и диэлектрики в зависимости
от того, что является основным носителем
тепловой энергии: электроны или колебания
кристаллической решетки - фононы. В по-
следнем случае проводимость определяется
длиной свободного пробега, т. е. расстоянием,
на котором сохраняется правильная структура
кристаллической решетки или так называе-
мый дальний порядок. Аморфные диэлектри-
ки, у которых зерна кристаллов расположены
хаотично, имеют намного меньшую теплопро-
водность по сравнению с кристаллическими
диэлектриками, у которых структура намного
более упорядочена. При 50К теплопровод-
ность у кристаллического кварца в 150 раз
выше, чем у аморфного кварцевого стекла.
Обычно у твердых непористых материа-
лов различают три участка зависимости ко-
эффициента теплопроводности от температу-
ры (рис. 3.5.1).
Рис. 3.5.1. Общий характер зависимости
коэффициента теплопроводности А. от температуры Т
у твердых, жидких и газообразных веществ:
/ - твердая фаза; // - жидкость; /// - газ;
1 - аморфные вещества; 2 - кристаллические
диэлектрики, 3 - металлы; 4 - жидкости, 5 - газы,
?пл» ^исп - температуры Дебая,
плавления и испарения соответственно,
---------------- аномальный ход Xу
304
Глава 3.5. ВЛИЯНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ НА ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ
В диапазоне очень низких температур А,
резко увеличивается с ростом температуры,
начиная с нулевого значения при 7=0, а
затем начинает падать. Второй участок про-
стирается от максимума теплопроводности до
дебаевской температуры Тр и характеризует-
ся высокими значениями теплопроводности
кристаллических веществ. Обычно дебаевская
температура близка к комнатной, однако есть
целый ряд отклонений. Для бериллия она
равна 1160К, а для алмаза - 1850К.
Для теплозащитных материалов наиболее
важен третий участок области твердого состоя-
ния материала - диапазон высоких температур,
который простирается от температуры Дебая
до температуры плавления или сублимации
данного вещества. В соответствии с данными
на рис. 3.5.1 для большинства чистых веществ
- проводников электричества (в основном, это
металлы) можно принять, что теплопровод-
ность в этом диапазоне практически не меня-
ется с температурой (кривая 3). У кр <сталли-
ческих диэлектриков, например, оксидов
AI2O3, ZrO2 и т. д., теплопроводность в этой
области падает обратно пропорционально тем-
пературе (кривая 2). У большинства аморфных
материалов (стекло, некоторые полимеры)
заметно некоторое увеличение теплопровод-
ности с ростом температуры (кривая 7). От-
меченная выше разность между теплопровод-
ностью кристаллических и аморфных диэлек-
триков быстро убывает с ростом температуры
и в точке плавления исчезает вовсе. Чистые
металлы имеют максимальные значения А,.
Жидкость является промежуточной фа-
зой между твердым и газообразным состоя-
ниями, упорядоченность молекул в жидкости
меньше, чем в твердом веществе, но неизме-
римо выше, чем у газов. Поэтому при плавле-
нии материалов их теплопроводность должна
падать. С ростом температуры упорядочен-
ность строения уменьшается и соответственно
уменьшается коэффициент теплопроводности
(исключение составляет вода, глицерин и
некоторые водные растворы). При температу-
рах, превышающих точку плавления теплоза-
щитных материалов, теплопроводность их
расплава часто связана не столько с молеку-
лярным, сколько с радиационным переносом
теплоты (разд. 8).
Теплопроводность газов в первом при-
ближении пропорциональна произведению
вязкости на теплоемкость при постоянном
давлении, причем с ростом температуры от-
мечается значительное увеличение теплопро-
водности А. практически у всех газов. Для
пористых материалов обычно пренебрегают
вкладом теплопроводности газообразной фазы
по сравнению с теплопроводностью твердой
матрицы
Представленная выше схема изменения
теплопроводности может не соответствовать
поведению реальных теплозащитных материа-
лов. Это связано не только с тем, что при
высоких температурах часть компонент тепло-
защитного материала может переходить из
аморфного состояния в кристаллическое, что
может изменить характер зависимости А. от
температуры. Практически решающим об-
стоятельством оказывается разложение по
мере нагрева части первоначальной массы
вещества и образование дополнительной по-
ристости. Появление внутри покрытия значи-
тельных объемов, заполненных газом, изме-
няет механизм распространения теплоты. При
температурах менее 1000К увеличение порис-
тости -приводит к резкому уменьшению ко-
эффициента теплопроводности, тогда как при
более высоких температурах наличие порис-
тости в материале является причиной много-
кратного увеличения А. (за счет переноса
теплоты излучением). В результате коэффи-
циент теплопроводности типичного теплоза-
щитного материала - стеклопластика не толь-
ко сильно изменяется с температурой, но и
является (рис. 3.5.2) немонотонной функцией.
В этих условиях применимость оценок, ис-
пользующих постоянное значение теплофизи-
ческих свойств, становится довольно пробле-
матичной.
С этой целью была выполнена большая
серия численных расчетов по определению
влияния переменности теплопроводности на
глубину прогрева 5 7. Ограничимся вначале
случаем квазистационарного разрушения с
постоянной температурой внешней поверх-
ности Т = Тр = const и постоянной (задан-
ной) скоростью разрушения . На рис. 3.5.3
представлены некоторые возможные зависи-
мости теплопроводности от температуры.
Рис. 3.5.2. Зависимость коэффициента
теплопроводности коксующегося материала и
ее кусочно-постоянная аппроксимация
ВЛИЯНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ НА ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ
305
Рис. 3.5.3. Возможные температурные зависимости
теплопроводности в прококсованном слое в диапазоне
от температуры физико-химических превращений Т
до температуры поверхности Тр:
Х| = const; Х<2 = ^2^* , Х3 = ;
Х4 =а4Г3; Х5 =а5(Г-Тр) +а6;
Г = 0,5 (Г* + Гр)
При столь значительных расхождениях
как в характере изменения, так и в абсолют-
ной величине теплопроводности можно ожи-
дать больших различий в глубине прогрева
67. Замена действительного к(Т) постоян-
ным (начальным) значением X(7q) приводит
к ошибкам в расчетах З7 в пять и более раз.
Это указывает на важность учета перемен-
ности теплофизических свойств.
В инженерной практике учет зависимос-
ти Х(Т’) при расчете глубины прогрева, по
аналитической формуле
8 т (X') = =—In
ve
Г-Тй,
X'
а = —
рс
(3.5.1)
можно провести (рис. 3.5.4), если температу-
ропроводность а рассчитать на основе неко-
торого характерного значения коэффициента
теплопроводности X' , которое соответствует
действительному Х(Т’) в точке:
т Т' ^р +
/ = / = —-----------= const.
2
Таким образом, при монотонном изме-
нении коэффициента теплопроводности всегда
можно подобрать некоторое постоянное экви-
Рис. 3.5.4. Влияние характера
изменения теплопроводности с температурой на
толщину прококсованного слоя З7 :
З7 [ Х(Т') | - действительное значение толщины;
57 [ X' ] - приближенное значение З7 ,
определенное при постоянном X' = 1(7’') = const;
7*' = 0,5 (Т’* + Т’р). Соответствующие законы
изменения Х(Т’) приведены на рис. 3.5 3
валентное значение X', однозначно связан-
ное с действительным законом Х(Т’), кото-
рое обеспечивает удовлетворительную точ-
ность расчета глубины прогрева.
Если на поверхности покрытия темпера-
тура большую часть времени сохраняется на
одном и том же уровне (например, при раз-
рушении Tw » 7’р = const), то для определе-
ния глубины прогрева можно использовать
одно эквивалентное значение X' , взятое при
среднеарифметической температуре Т' по
т, Tw + Л)
толщине покрытия. / = —— .
Если же температура внешней поверх-
ности Tw (т) существенно переменна во вре-
мени, т е не имеет ярко выраженной
"полки", или если коэффициент теплопро-
водности немонотонно зависит от температу-
ры (зависимость типа представленной на рис.
3 5.2), то целесообразно использовать кусоч-
но-постоянную аппроксимацию зависимости
Х(Т’) Даже при перепаде температур в теп-
лозащитном покрытии в 3300К оказывается
достаточно 4-5-ступенчатой аппроксимации,
причем желательно, чтобы границы выби-
раемых температурных интервалов кусочно-
постоянной аппроксимации при наличии
экстремумов проходили через них, так же, как
и через границы зон физико-химических пре-
вращений материала (рис 3 5 2)
306 Глава 3 6 ВЛИЯНИЕ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИХ ПРЕВРАЩЕНИЙ НА ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ
Используя кусочно-постоянную аппрок-
симацию Х(Г), рассчитывают не только глу-
бину прогрева (интегральную характеристику
прогрева), но и все температурное поле, тол-
щины отдельных зон, например, прококсо-
ванного слоя или пленки расплава
Возможность кусочно-постоянной ап-
проксимации зависимости коэффициента
теплопроводности от температуры существен-
но ослабляет требования к объему и темпера-
турным интервалам измерений теплофизиче-
ских свойств. Указанную аппроксимацию X
можно осуществить и для разлагающихся ма-
териалов.
Глава 3.6
ВЛИЯНИЕ ВНУТРЕННИХ
ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИХ ПРЕВРАЩЕНИЙ
НА ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ В
ТЕПЛОЗАЩИТНОМ МАТЕРИАЛЕ
До сих пор рассматривались однородные
теплозащитные материалы, при нагреве кото-
рых не возникало внутренних источников или
стоков теплоты Большинство разрушающихся
теплозащитных материалов являются компо-
зиционными, причем при нагреве их отдель-
ные компоненты могут претерпевать ряд фи-
зико-химических превращений, еще до выхо-
да на внешнюю поверхность, т. е. при темпе-
ратурах Т <TW .
Схематически этот процесс может быть
описан следующим образом (рис. 3.6.1). Пусть
в некотором интервале температур
(Г -ДТ*)£Г<(т* +ДГ')
происходят физико-химические превращения
одной или нескольких компонент материала.
Через Г* обозначим характерную тем-
пературу внутреннего физико-химического
превращения (например, термического разло-
жения или коксования) Предполагается, что
она является центром температурного интерва-
ла (г* ± ДГ*), в котором может реализовать-
ся тепловой эффект физико-химического пре-
вращения &Q*. изменяться плотность исход-
ного материала, если разложению подверглась
твердофазная компонента или появился пиро-
литический осадок, выделяться некоторое ко-
личество газа (7? , пропорциональное измене-
нию плотности материала. Вне температурного
интервала (г* ± ДТ*) тепловой эффект
Д(2* =0. а выделяющийся при физико-хими-
Рис. 3.6.1. Характер изменения основных
термодинамических параметров процесса разрушения
в зоне внутренних физико-химических превращений
композиционного материала
(отдельные компоненты материала частично
изменяют свое фазовое состояние, причем
поглощается (или выделяется)
определенное количество теплоты)
ческом превращении материала расход газо-
образных продуктов Gg сохраняется посто-
янным и равным его значению на соответ-
ствующей границе зоны реакции (рис. 3.6.1).
Не касаясь физического обоснования
предложенной схемы, подчеркнем главные
тепловые аспекты рассматриваемого явления.
Итак, внутри материала, на неизвестной зара-
нее глубине предполагается существование
теплового стока и источника образования
газов. Последние, фильтруясь затем сквозь
поры вышележащего слоя, отбирают часть
теплоты, как от стенок пор, так и у внешнего
газового потока (тепловой эффект вдува в
пограничный слой). В первом приближении
будем считать, что в любой точке теплоза-
щитного покрытия температура газообразных
продуктов физико-химических превращений
и стенок пор равны (независимо от скорости
фильтрации этих продуктов). Гидравлическим
сопротивлением пористой среды можно пре-
небречь, что исключает накопление газооб-
разных продуктов внутри слоя прореагиро-
вавшего материала.
В действительности внутри теплозащит-
ного покрытия может существовать не одна, а
несколько зон физико-химических превраще-
ний последовательно переводящих ту или
иную компоненту из одного состояния в
другое Например, состав газообразных про-
дуктов термического разложения смолы по
мере их фильтрации в пористом каркасе мо-
жет изменяться. Этот процесс сопровождается
не только дополнительными тепловыми эф-
фектами реакций Д(2* , но и осаждением на
стенках пор твердого остатка в виде пироли-
ВЛИЯНИЕ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИХ ПРЕВРАЩЕНИЙ НА ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ
307
тического углерода. В подобных случаях целе-
сообразно вводить набор температур физико-
химических превращений 7}*, учитывая в
каждом случае соответствующие физико-
химические и тепловые эффекты.
Тепловой эффект Д0* , а также масса
выделившегося при физико-химическом пре-
вращении газа Gg однозначно связаны с
массой исходного материала, находящегося в
зоне превращения. Другими словами, они
должны определяться скоростью перемеще-
ния изотермы Т = Т* в материале в направ-
лении непрогретого слоя. Если обозначить
координату этой изотермы индексом у* , то
скорость ее изменения d у*/ dx должна
складываться из двух слагаемых: линейной
скорости перемещения внешней поверхности
и соответственно всей системы координат -
vM (за счет поверхностного разрушения тела)
и скорости увеличения глубины прогрева в
движущейся с поверхностью системе отсчета
dy*/ dx (если под глубиной прогрева пони-
мать расстояние от внешней поверхности до
изотермы Т = Т*):
^ = V„+^. (3.6.1)
dx Эх
В режиме квазистационарного разрушения
5/ / Эх = 0, а при отсутствии уноса массы с
поверхности исчезает первое слагаемое
(а//с1т)з(а//аг).
Этот же процесс смешения зоны физи-
ко-химических превращений в глубь теплоза-
щитного покрытия можно связать со ско-
ростью изменения температуры в данной точ-
ке во времени
dT дТ дТ
= + v„-. (3.6.2)
dx-----------------------Эх-Эу
Такой двоякий подход к описанию ско-
рости физико-химического превращения об-
условлен различием в существе математи-
ческой формулировки задачи Если тепловой
эффект Д0* непосредственно связан со ско-
ростью изменения массы исходного твердого
вещества
= (3-6-3)
dx k d7 / dx
то расход газообразных продуктов разложения
Gg является интегральной характеристикой,
суммирующей скорости локальных физиче-
ских процессов по всей зоне реакции:
(3.6.4)
Здесь ДЯ* - тепловой эффект физико-
химического превращения.
Параметр Г, введенный в уравнение
(3.6.4), называется параметром газификации и
указывает долю исходного твердого вещества,
которая может перейти в газообразные про-
дукты при данной температуре. Распределе-
ние плотности поперек зоны физико-
химических превращений можно записать
теперь в виде
р,=р0(1-Г). (3.6.5)
Как параметр газификации Г материала, так и
производная (dp/dT) в уравнении (3.6.3)
должны быть определенным образом связаны
с текущей температурой Т. Обычно достаточ-
но хорошее соответствие с действительностью
дают следующие аппроксимационные форму-
лы.
1 ! । Т ~Т*
2 + ДТ*
Гк, 0<Г<Гк,
-Ё£ = р0/(Т,Т') = р0—
dT 4ДТ
(3.6.6)
где Гк - предельный коэффициент газифи-
кации; ДГ* - интервал температур физико-
химического превращения.
Функция f (Т, Г*) нормирована таким
образом, чтобы ее интеграл по всему темпера-
турному интервалу зоны физико-химических
превращений давал
Г+дГ
|/(Т, Г') dT = 1.
Г’-ДГ’
Аппроксимации (3.6.6) справедливы
только внутри зоны физико-химических пре-
вращений, тогда как вне ее следует полагать:
при Г < (г - ДТ') -> Г = 0 , = 0 .
308 Глава 3.6. ВЛИЯНИЕ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИХ ПРЕВРАЩЕНИЙ НА ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ
при т>(г+дг)-»г = гк, (|£) = 0.
Введенные в уравнениях (3.6.3) и (3.6.6)
новые параметры ДЯ* и Гк являются фи-
зико-химическими константами, характери-
зующими данный композиционный теплоза-
щитный материал, и относятся к единице
массы исходного материала. Первая из них -
ДЯ* определяет суммарное количество теп-
лоты, реализуемое при данном физико-
химическом превращении. В отличие от нее
Д0* зависит от скорости физико-химиче-
ского превращения (3.6.3), а потому является
величиной переменной.
Вторая константа Гк определяет пол-
ное количество (долю) газообразных продук-
тов, которые могут выделиться в данном фи-
зико-химическом превращении. Таким обра-
зом, и ДЯ*, и Гк являются интегральными
характеристиками данного процесса.
При выведении уравнения сохранения
энергии для композиционных теплозащитных
материалов при наличии внутренних физико-
химических превращений систему координат
связывают с перемещающейся за счет уноса
массы внешней поверхностью тела. При этом,
как было показано, в уравнении теплопро-
водности появляется дополнительный
"конвектив-ный" член, пропорциональный
у^(дТ / ду) Физически это соответствует
переносу теплоты за счет поступления в дан-
ный элементарный объем единичной массы
твердого вещества со скоростью Уда , равной
скорости разрушения. Аналогично филь-
трующиеся через пористый каркас газообраз-
ные продукты разложения должны поглощать
определенное количество теплоты, пропор-
циональное тем самым в
уравнении теплопроводности появляется вто-
рой конвективный член.
Наконец, третье принципиальное отли-
чие рассматриваемой задачи от классического
уравнения теплопроводности (3.1.3) связано с
объемным стоком теплоты Д0* , обусловлен-
ным тепловым эффектом физико-химических
превращений Суммируя все перечисленное
выше, получим общее уравнение сохранения
энергии внутри разрушающегося композици-
онного теплозащитного материала в следую-
щем виде’
(pc)Z —+ (pc)zVoo —+
от оу
s s ду
(3.6.7)
Индекс Е означает, что теплофизиче-
ские свойства в данном случае соответствуют
совокупной системе: пористая среда плюс
газообразные продукты физико-химических
превращений. Теплопроводность должна учи-
тывать также перенос теплоты излучением в
порах при повышенных температурах. Пара-
метр cg соответствует теплоемкости газооб-
разных продуктов физико-химических пре-
вращений.
Плотность газа, заполняющего пористый
каркас, много меньше плотности твердой
фазы ps, поэтому можно ограничиться сле-
дующим соотношением (см. уравнения 3.6.5):
(рс)Е =(рс)0(1-Г). (3.6.8)
Учитывая соотношение (3.6.3), целесо-
образно объединить член Q* с другими чле-
нами уравнения, пропорциональными
(dr/dt)
[(рс)1 + р0ДЯ'/(Л Г)]х
дТ аг) „ дТ э ( гг)
. Эт ду) +Cg s ду ду\ 1 ду ) '
(3.6.9)
В таком виде уравнение может быть ис-
пользовано для численного счета на ЭЦВМ
(совместно с аппроксимациями (3.6.6) и дан-
ными по физическим свойствам, необходи-
мыми начальными и граничными условиями).
Рассмотрим квазистационарное уравне-
ние теплопроводности (дТ /дх = 0) и пред-
положим, что ширина зоны физико-
химических превращений настолько мала,
что ее можно считать плоской (дТ* —> б)
(рис. 3.6.2). При этом уравнение (3.6.9) пре-
образуется в систему двух уравнений, связан-
ных дополнительным граничным условием на
поверхности раздела - фронте физико-
химических превращений у = у* :
ВЛИЯНИЕ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИХ ПРЕВРАЩЕНИЙ НА ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ
309
Рис. 3.6.2. Схема квазистационарного
разрушения материала при наличии фронта
физико-химических превращений:
1 - поверхность разрушения; 2 - фронт превращения;
3 - неразложившийся материал
d f, dT\ , ч _ dT „ dT
, А I — Р< С V» , + Cg Gg ,
dy k dyj dy s s dy
У </,
d d7^ . . _ dT
xo-r- =(pc)ov«-T-.
dyk dy) dy
у >/.
(3.6.10)
и после него не зависят от температуры, тогда
с учетом (3.6.4), (3.6.5) и граничного условия
(3.6.11) первые интегралы уравнений (3.6.10)
могут быть записаны в следующем виде:
-х‘^=[(рс)‘7°’+с*М7’-г)+
+ (pc)ov»(7” - То) + Ро V., ДЯ’ =
= Росэкв(Т’-7’о)у„+р0 v„ ДЯ’, Т>Т'
-А.о4^ = (рс)оМ7’-7о). Т<Т'.
dy
(3.6.12)
В уравнениях (3.6.12) используется эк-
вивалентная теплоемкость материала, опреде-
ляемая при у £ у* (или Т >Т* ) как
^экв ~ с0 ( 1 ^*) + Cg Г ’
при у > у* или \Т <Т') она переходит в
обычную теплоемкость неразложившегося
вещества сэкв = с0 .
Соотношения (3.6.12) легко обобщаются
на случай произвольной зависимости тепло-
физических свойств от температуры. В част-
ности, можно показать, что при квазистацио-
нарном прогреве и разрушении теплозащит-
ного материала тепловой поток, идущий на
нагрев внутренних слоев, в общем случае за-
писывается как
Индексом с обозначены теплофизические
свойства слоя, расположенного выше фронта
разложения, а индексом 0 - свойства непро-
реагировавшего материала. Граничные усло-
вия на фронте разложения у = у* должны
обеспечивать непрерывность профиля темпе-
ратуры при переходе через фронт разложения,
при этом величина теплового потока должна
претерпевать разрыв, что связано с наличием
теплового эффекта реакции Д/Г* :
Г(у*-0) = Т(у*+0) = Т* ,
,--о
1 dr
dy
= -Ро v» д//'
у’ +0
(3.6.11)
Допустим далее, что теплофизические
свойства как перед фронтом разложения, так
1
у=0
т
ур
= Р0 Voo J ^экв + Р0
Го
(3.6.13)
Анализируя уравнение (3.6.13) можно
сделать два важных вывода для случая квази-
стационарного разрушения:
1. Тепловой поток, идущий внутрь ком-
позиционного теплозащитного материала, за-
висит от перепада температур между внешней
нагреваемой поверхностью и начальным зна-
чением Tq , а также от среднеинтегрального
значения эквивалентной, теплоемкости, учи-
тывающей как теплоемкость пористого карка-
са (твердой фазы), так и теплоемкость запол-
няющих его газообразных продуктов разложе-
ния. Последняя рассчитывается пропорцио-
310 Глава 3.6. ВЛИЯНИЕ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИХ ПРЕВРАЩЕНИЙ НА ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ
нально массовым долям компонент этой газо-
вой фазы.
2. Тепловые эффекты внутренних физи-
ко-химических превращений ДЯ* входят в
тепловой баланс наравне с тепловыми эффек-
тами реакций на поверхности, независимо от
глубины залегания у* соответствующих фрон-
тов реакций.
Очевидно, что уравнение (3.6.13) без
существенных трудностей может быть обоб-
щено на случай нескольких фронтов (или
зон) физико-химических превращений внутри
теплозащитного материала.
Проведем оценку влияния теплового
эффекта ДЯ* и фильтрации газообразных
продуктов разложения на интенсивность пе-
реноса теплоты внутри теплозащитного по-
крытия. Предположим, что можно ввести
некоторое эффективное значение коэффици-
ента теплопроводности, которое позволяет
получить в материале, не претерпевающем
физико-хими-ческие превращения, такое же
температурное поле, как и в композиционном
материале с фронтом разложения. Сравнивая
решения уравнения теплопроводности (3.6.12)
для прококсованного и непро коксован но го
материала можно показать, что
К = j + - Т* г _ Л
V со )
со(г-тоу
Т>Т*. (3.6.14)
Если влияние теплового эффекта реак-
ции ДЯ* ограничено некоторой окрестно-
стью зоны физико-химических превращений,
то поглощение теплоты фильтрующими газа-
ми оказывает тем большее влияние на пере-
нос теплоты внутри теплозащитного покры-
тия, чем больше перепад температур
(Т - Г*) в прореагированной зоне.
Теплоемкость газообразных продуктов
разложения может почти вдвое превосходить
теплоемкость твердого остатка, поэтому вклад
фильтрации оказывается существенным уже
при Г > 0,1 и Т > 2 У* . Учет теплового эф-
фекта физико-химического превращения мо-
жет оказаться существенным лишь при
{дЯу[со(г'-То)]}>0,1.
В прикладных исследованиях иногда
приходится оценивать толщины соответст-
вующих слоев, расположенных между зонами
физико-химических превращений. Представ-
ленные выше уравнения позволяют сделать
такую оценку для толщины прореагировавшей
зоны у* = 5С, лежащей между температурой
разрушения Tw (температурой внешней по-
верхности) и характерной температурой реак-
ции У*.
Если бы при данном физико-
химическом превращении не происходило
выделение газообразных продуктов разложе-
ния и не реализовался тепловой эффект
ДЯ*, то согласно (3.3.17) или (3.5.1) глубина
прогрева, соответствующая положению изо-
термы Т = У*, была бы равна
5с,0 =
Ро v оо с0 У* — Tq
(3.6.15)
Для определения глубины прогрева в
общем случае предположим, что
Т = Лехр[-у/с] + В. (3.6.1-6)
Масштабный множитель с в уравнении
(3.6.16) может быть рассчитан после подста-
новки этого уравнения в систему (3.6.10). При
этом получаем, что при у < 5С
с = к/ { Ро *«> [ Со (! - Л + Cg Г ] | =
~ ^*с/(Ро сэкв) (3.6.17)
Предэкспонентный множитель А в
уравнении (3.6.16) определяется с помощью
двух граничных условий для температуры:
при у = О Т = Tw = А + В,
при у = 8С Т = Т‘ = Ае~&с/С + В,
. К-Г
откуда А =------ i .—:—г •
I - ехр(-8с/е)
Проводя аналогичные выкладки, полу-
чим следующее соотношение для распределе-
ния температуры:
(Т-Т0)/(Г-Т0) =
= exp[-(y-8c)v„/a0], (3.6.18)
где а0 = / РО со •
Теперь, используя два температурных
профиля (3.6.16) и (3.6.18), а также граничное
условие на фронте разложения (3.6.11), можно
установить глубину прококсованного слоя 5С :
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛООБМЕНА
311
т*-т* 1с
1-е'8‘/с с
+ хо I~-Г° v, I = - Ро V, ДЯ*.
к ао )
Окончательно выражение может быть
представлено в виде
&с------Л-------in
РО voo сэкв
1 । Сэкв}
(3.6.19)
Сравнивая выражения (3.6.19) и (3.6.15)
видим, что первое переходит во второе при
Г = 0и ДЯ* =0.
Полученные выше формулы показывают,
что толщина прореагировавшего слоя, так же
как глубина прогрева в однородном материале,
прямо пропорциональна теплопроводности и
обратно пропорциональна скорости поверх-
ностного разрушения vw. Тепловой эффект
реакции ДЯ* влияет на глубину прогрева
лишь в том случае, если он сравним по вели-
чине с теплоемкостью слоя, лежащего ниже
фронта реакции.
Эквивалентная теплоемкость прореаги-
ровавшего слоя учитывает газообразные про-
дукты разложения:
сэкв ~ С0 (1 ~ + Cg Г — Cq + Г (Cg — Cq) .
В формуле (3.6.19) эквивалентная тепло-
емкость входит дважды. Ясно, что влияние
теплоемкости, стоящей под знаком логариф-
ма, невелико. Это позволяет в первом при-
ближении считать глубину прогрева 5С об-
ратно пропорциональной сэкв. Тем самым
наличие газообразных продуктов внутренних
физико-химических превращений материала,
особенно в том случае, когда cg существенно
превышает Cq , позволяет значительно
уменьшить глубину прогрева.
Глава 3.7
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛООБМЕНА
Во многих областях техники эффектив-
ность принимаемых проектно-конструктор-
ских и технологических решений во многом
зависит от глубины достоверности изучения
явлений теплообмена, от адекватности мо-
дельных представлений теплофизических
процессов, протекающих на поверхностях
раздела различных фаз, внутри материалов и
конструкций. При этом все большее значение
придается экспериментальным исследовани-
ям, стендовой и натурной обработке тепловых
режимов и, как следствие, созданию эффек-
тивных методов диагностику идентификации
теплообменных процессов по результатам
экспериментов, испытаний.
Как показали проведенные исследова-
ния, в основу этих методов могут быть поло-
жены решения обратных задач теплообмена
(ОЗТО), причем в ряде случае обратные зада-
чи являются практически единственным сред-
ством получения необходимых результатов.
Методы обратных задач дают возмож-
ность исследовать сложные нестационарные
нелинейные процессы теплообмена, обладают
высокой информативностью, позволяют про-
водить экспериментальные исследования в ус-
ловиях, максимально приближенных к натур-
ным, или непосредственно при эксплуатации
технических систем и в конечном итоге дают
возможность более обоснованно выбирать
проектно-конструкторские и технологические
решения. Поэтому в последнее время в теп-
лофизике и теплотехнике активно развивается
новое научное направление, базирующееся на
методологии обратных задач теплообмена.
Соответствующие методы нашли и продол-
жают находить важные практические прило-
жения в различных областях техники.
Деление задач на прямые и обратные
логично осуществлять, анализируя причинно-
следственные связи в математических моделях
процессов теплообмена. Прикладная матема-
тическая модель для исследования некоторого
процесса переноса теплоты, записанная в
замкнутой форме, включает в себя фундамен-
тальные уравнения - обычно это дифферен-
циальные (с сосредоточенными и распреде-
ленными параметрами) или интегрально-
дифференциальные уравнения, а также гео-
метрическое описание объекта исследования
и соответствующие краевые условия. В такой
модели можно выделить две группы характе-
ристик - причинные и следственные. К при-
чинным характеристикам отнесем функции и
параметры, входящие в граничные и началь-
ные условия, функции и параметры, задаю-
щие коэффициенты уравнений, а также гео-
метрические характеристики областей задания
уравнений. Тогда следственные характеристи-
ки будут описывать состояние исследуемого
процесса - это могут быть параметры полей
температуры, концентрации веществ, скоро-
сти, давления и т. д. Причинные характери-
стики не зависят от следственных проявлений
в том смысле, что первые можно задавать
независимо от вторых и достаточно произ-
вольными величинами.
Выделенные два вида характеристик свя-
заны между собой (через математическую
модель) однонаправленной причинно-следст-
312
Глава 3.7. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛООБМЕНА
венной зависимостью, установление которой
составляет предмет прямой задачи. Наоборот,
если по определенной информации о физиче-
ских полях требуется восстановить некоторые
причинные характеристики, то имеем ту или
иную постановку обратной задачи (ОЗ). Таким
образом, каждой прямой задаче можно сопос-
тавить определенное множество задач обрат-
ных.
При постановке обратных задач обычно
наблюдается нарушение естественных при-
чинно-следственных связей в принятой мате-
матической модели процесса. Поэтому поста-
новки обратных задач, в отличие от прямых,
не могут быть воспроизведены в реальных
экспериментах, т. е. нельзя обратить причин-
но-следственные связи физическим путем -
это можно сделать только в виде математиче-
ской абстракции. Нельзя обратить ход про-
цесса теплопередачи или изменить течение
времени. Поэтому, при математической фор-
мализации это принципиальное свойство об-
ратных задач, как правило, проявляется как
их математическая некорректность, что обу-
словливает необходимость использовать для
решения ОЗ специальные методы.
ОЗТО могут быть классифицированы в
соответствии с тремя основным формами
теплообмена: обратные задачи теплопроводно-
сти, конвективного и радиационного теплооб-
мена, а также те или иные ОЗ сложного теп-
лообмена.
В рамках каждой из этих групп ОЗТО
можно подразделить по типам искомых при-
чинных характеристик. Чаще всего математи-
ческие модели процессов переноса теплоты
описываются уравнениями с частными произ-
водными. Для этих математических моделей,
в общем случае, можно ввести четыре вида
ОЗТО: ретроспективные ОЗ или задачи с об-
ратным временем, заключающиеся в опреде-
лении полей физических процессов в преды-
дущие моменты времени (установлении пре-
дыстории данного состояния процесса); гра-
ничные ОЗ - восстановление величин, входя-
щих в граничные условия (например, в зада-
чах теплопроводности - изменяющиеся во
времени температура и тепловой поток); ко-
эффициентные ОЗ - определение коэффици-
ентов уравнений; геометрические ОЗ - нахож-
дение некоторых геометрических характери-
стик граничной поверхности рассматриваемой
области или координат характерных точек,
линий или поверхностей внутри этой области.
Возможны комбинированные постановки ОЗ,
когда одновременно отыскиваются причин-
ные характеристики разных типов, например,
идентифицируются граничные и начальные
условия, граничные условия и коэффициенты
уравнения и т. п.
Более подробно постановка обратных
задач теплопроводности (ОЗТ) описана ниже.
Рассмотрим в качестве примера задачу тепло-
проводности в двух контактирующих твердых
телах, имеющих разные теплофизические
характеристики. Обозначим области трехмер-
ного пространства, занимаемые этими телами,
через Qj и Q2 . Их общую поверхность кон-
такта обозначим П12, внешние граничные
поверхности этих тел (поверхности тел за
исключением П^) будут П1 и П2 соответст-
венно. Примем, что в общем случае может
происходить изменение геометрических ха-
рактеристик указанных поверхностей с тече-
нием времени (например, вследствие уноса
материала с поверхности тел, линейного рас-
ширения или термической усадки).
Запишем уравнения теплопроводности в
этих телах, полагая, что внутри них действуют
источники теплоты мощностью 5j и 52
соответственно:
С( ЭГ|(£’ т) = div I X, grad Г| (Р, г)] + 5,,
ОТ 1 J
Р eQj, т е(0, tw],
С2 а7’2^>’ т) = div [ Х2 grad Т2 (Р, г)] + S2,
Р eQ2, т е(0, xw],
где Р - координаты (х, у, z); 7j и Г2 -
температурные поля указанных тел; Су, Ху -
объемные теплоемкости и коэффициенты
теплопроводности тел (у = I, 2); т - время;
Tw <-Н30 .
Присоединим к этим уравнениям на-
чальное распределение температуры:
Т| (Р, 0) = TOj (Р), Р^ь
Г2(Р, О) = 7'о2(Р), РеЯ2
и условия сопряжения на поверхности кон-
такта, учитывающие равенство плотностей
тепловых потоков и разрыв первого рода по
температуре:
п12
п,2
X
1 5и12
= Х2^
а«|2
где Л|2 - общая нормаль к П]2 в рассматри-
ваемой точке; R - контактное сопротивление.
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛООБМЕНА
313
Условия на внешней поверхности
еПу, 7 = 1, 2) могут быть заданы не-
сколькими способами. Приведем наиболее
распространенные из них.
Граничное условие первого рода:
Tj(<a, = т).
Граничное условие второго рода:
дТ: (от, т)
= ^«0. X),
где nj - внутренняя нормаль к поверхности П у .
Граничное условие третьего рода:
~*-j ^п- Т) = (Гу (<0’ х) Г*(х))
где ау - коэффициент конвективной тепло-
отдачи между твердым телом и окружающей
средой; Т* - температура окружающей среды.
Если принять hj = ay / Ху ; g = Ay Т*,
это условие можно записать в виде
дТ; (от, т) ~
—----------+ hjTj(e>, т) = gj(a>, т).
Граничные условия, учитывающие теп-
лообмен тела с окружающей средой путем
конвекции и излучения с его поверхности, а
также тепловой поток Sy (Т (со, т)), обу-
словленный другими физико-химическими
процессами (плавлением, испарением, реком-
бинацией атомов и т. д.):
AjdTij т)=аДг>(<а' т>-г^)+
+ еуоТу4(<в, x) + Sj,
где Еу - коэффициент излучения поверхно-
сти Пу ; о - постоянная Стефана-Больцма-
на.
Коэффициенты Су, Ху, Sy, а также
величины R, clj, hj, еу (j = 1, 2) могут
быть приняты константами или, в общем
случае, функциями переменных Т, х, у, z, т.
Прямая задача теплопроводности заклю-
чается в отыскании поля Т (х, у, z, х) в
области Ц (т) kJ Q2 W на отрезке времени
№ т/л1» удовлетворяющего рассмотренным
выше начальному условию и условиям со-
пряжения, а также тем или иным граничным
условиям при заданных причинных характе-
ристиках:
Су, Ху, Sy, ТОу, R, gj, gj, a.j, Г, hj, gj, e.j,
7 = 1,2.
Если какие-то величины из совокупно-
сти причинных характеристик неизвестны и
требуется найти их и поле температур
Т (х, у, Z, х) по известным остальным при-
чинным характеристикам и дополнительным
условиям
T(dh г) = /,(т)р=Г*),
где dj g Qj kJ Q2 ~ фиксированные или из-
меняющие свое положение с течением време-
ни точки, то имеем обратную задачу для урав-
нения теплопроводности.
Выделим постановку обратной задачи,
когда известны не значения температуры в
точках d,, а осредненные с весом
АГу (х, у, z) по некоторым объемам V/ ве-
личины:
7}(т) = — J К,(х, у, z) Т(х, у, z, x)dv.
V: J
v/
Такой случай приходится рассматривать,
если размеры датчиков для измерения темпе-
ратуры в теле нельзя считать пренебрежимо
малыми и модель измерений задана с помо-
щью функций Kj (х, у, z) •
В некоторых (обычно достаточно ред-
ких) случаях может возникнуть необходи-
мость осреднения измерений не только по
пространству, но и по времени, т. е. учета
конечности интервала, в течение которого
фиксируется значение температуры.
Было бы более правильно рассматривать
постановку обратной задачи с учетом включе-
ния в тело измерительных устройств (напри-
мер, термопар), поскольку они вызывают
искажение температурного поля в некоторой
их окрестности. Однако такие задачи оказы-
ваются весьма громоздкими и трудно реали-
зуемыми в вычислительном отношении. По-
этому обычно стремятся поставить экспери-
мент таким образом, чтобы исключить из
рассмотрения искажающее влияние датчиков
(например, максимально уменьшить их раз-
меры, осуществлять вывод электродов термо-
пар по изотермам и т. д.) или учесть это
влияние путем введения поправок в результа-
ты измерений.
Раздел 4
ТЕПЛООБМЕН ПРИ
ВЫНУЖДЕННОЙ КОНВЕКЦИИ
Глава 4.1
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
При полете тел в атмосфере, сжигании
топлива в различных горелках, при истечении
газа через турбины и сопла энергоустановок
происходит взаимодействие высокотемпера-
турной и высокоскоростной струи с различ-
ными по форме телами или элементами кон-
струкций. Результатом такого взаимодействия
являются силовые и тепловые нагрузки, кото-
рые испытывает обтекаемое тело. Аэродина-
мика и газодинамика позволяют рассчитывать
все составляющие силового воздействия пото-
ка, тогда как теория теплообмена должна ус-
тановить уровень или интенсивность нагрузок
тепловых. В действительности, тепловое и
силовое воздействие тесно связаны друг с
другом, но в научном плане удобнее исследо-
вать их по отдельности.
Методы теплового расчета основаны на
законах термодинамики и явлений переноса.
Законы термодинамики определяют ус-
ловия, при которых некая выбранная система
находится в равновесии с окружающей сре-
дой. Однако эти законы не дают ответа на
вопрос, насколько быстро происходит переход
системы к равновесному состоянию. Чтобы
установить время протекания процессов об-
мена тепловой энергией, требуется дополни-
тельная информация, которая дается уравне-
ниями переноса энергии, массы и количества
движения.
Такие уравнения можно записать, если
воспользоваться так называемыми “фунда-
ментальными” (или “первыми”) физическими
началами - законами сохранения массы, ко-
личества движения и энергии в сочетании с
рядом феноменологических соотношений,
определяющих интенсивность потоков соот-
ветствующих величин.
Именно феноменологические соотно-
шения позволяют связать потоки энергии,
массы и импульса с отклонениями опреде-
ляющих параметров от их равновесных значе-
ний. Эти соотношения не могут быть доказа-
ны строго, хотя они и проверены всем накоп-
ленным опытом инженеров-механиков и ин-
женеров-теплофизиков.
В неподвижной среде процессы перено-
са трактуются как результат статистического
усреднения большого числа непрерывно про-
исходящих микроскопических событий, в
которых участвуют молекулы, атомы, ионы,
электроны, фононы и фотоны (см. разд. 2).
Событие - это столкновение элементов, обу-
словленное их непрерывным хаотическим
движением. Феноменологические соотноше-
ния переноса справедливы в том случае, когда
выполняются следующие условия:
1. Число столкновений между элемен-
тарными частицами в выделенном объеме
велико по сравнению с числом соударений
этих частиц с поверхностью, ограничивающей
объем.
2. Среда внутри выделенного объема по-
коится или движется обратимо.
Первое условие нарушается, когда выде-
ленный объем слишком мал, либо давление
газа в среде становится низким.
Второе условие может нарушаться при
возникновении турбулентности и случайных
(стохастических) колебаний всех параметров
течения. Потенциальное (или невязкое без-
вихревое) и ламинарное течения являются
гидродинамически обратимыми.
Пусть L - масштаб обтекаемого тела
(диаметр миделя или длина хорды). Опреде-
лим / как среднюю длину свободного пробега
молекул. Отношение 1/L = Кп называется
числом Кнудсена. Первое условие эквива-
лентно гребованию, что число Кнудсена в
любой точке рассматриваемого объема не
превысит 0,01. В этом случае говорят о при-
менимости модели сплошной среды.
Длина межмолекулярного расстояния в
твердых телах порядка Ю"10 м, поэтому все
твердые тела могут быть описаны в рамках
модели сплошной среды. Это же утверждение
распространяется на капельные жидкости.
Менее однозначно положение с газами. На
рис. 4.1.1 длина свободного пробега молекул в
воздухе представлена в функции от высоты
над поверхностью Земли. На высоте Н = 80 км
величина / ~ 25 мм, что уже не позволяет ис-
пользовать модель сплошной среды при опи-
сании течений вокруг летательных аппаратов
(термин плотные слои атмосферы для Земли
соответствует высотам менее 80 км).
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
315
Рас. 4.1.1. Изменеяяе средней джниы свободного
пробега молекул воздуха с высотой
Феноменологические соотношения пе-
реноса устанавливают связь между такими
макроскопическими параметрами сплошной
среды, как скорость и, температура Т, кон-
центрация примеси q и их градиентами или
приращениями.
Закон переноса импульса (количества
движения), записанный И. Ньютоном в 1687
г., гласит, что на пластине, продольно обте-
каемой жидкостью или газом со скоростью
и, возникает напряжение вязкого трения т
(рис. 4.1.2):
ди
(4.1.1)
Здесь т] - коэффициент вязкости, относящий-
ся к фундаментальным характеристикам жид-
кости или газа (см. разд. 2).
Рис. 4.1.2. Сала вязкого трети при обтекании тела
Закон переноса теплоты был установлен
в 1821 г. и носит имя Фурье. По форме он
подобен соотношению (4.1.1) и связывает
тепловой поток в стенку q$ с градиентом
температуры в потоке:
9о = -^ • (4Ь2)
& у-0
'Здесь А, - теплопроводность, также относя-
щаяся к фундаментальным характеристикам
среды, в которой происходит перенос теплоты
(см. разд. 2).
В том случае, когда среда не является
химически однородной, а представляет собой
многокомпонентную смесь, помимо переноса
импульса и энергии, возникает также и пере-
нос массы /-ой компоненты. Этот процесс
называется массопереносом и характеризуется
законом диффузии Фика (1855 г.):
Ji
n &ci
P,v,=-PO—
(4.1.3)
у=0
Здесь р/, р - парциальная плотность /-й
компоненты и смеси в целом, D - коэффици-
ент диффузии, характеризующий данную
смесь компонент (см. разд. 2), а с, - массовая
концентрация /*-й компоненты:
Ci =
По определению скорость диффузии V/
равна разности между средней скоростью и,
движения частиц /-го сорта и некоторой сред-
ней скоростью течения всей смеси в целом и\
V/ = и, - и .
В качестве последней можно использовать
среднемассовую скорость потока
п
1=1
Учет химической неоднородности при-
водит не только к необходимости рассчиты-
вать коэффициент диффузии для всех компо-
нент смеси, но, что более важно, может резко
повлиять на интенсивность теплопереноса к
поверхности обтекаемого тела. Помимо
“кондуктивной” составляющей теплового по-
тока в соотношении (4.1.2) появляется диф-
фузионная составляющая, посредством которой
переносится теплота рекомбинации и других
химических реакций:
316
Глава 4.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
п
ат
. ат nV* l дс>
дУ у=о tx & у=0
. (4.1.4)
Здесь А/ - теплосодержание (энтальпия) /-Й
компоненты (подробнее об этом параметре в
разд. 1):
Т
h,~ JcpidT + ft®. (4.1.5)
Tr
Особенно важна роль химического вкла-
да в соотношение (4.1.4) при сверх- и гипер-
звуковых скоростях обтекания затупленных
тел, когда за ударной волной перед телом
(рис. 4.1.3) образуется сжатый слой газа, в
котором кинетическая энергия потока пере-
ходит в тепловую. При этом многоатомные
молекулы диссоциируют, т. е. распадаются на
атомы, а при очень высоких скоростях может
наступить ионизация самих атомов, т. е. от-
рыв электронов. Оба этих явления сопровож-
даются значительным поглощением теплоты.
В качестве иллюстрации в табл. 4.1.1 пред-
ставлены данные о тепловых эффектах диссо-
циации и ионизации кислорода и азота
(основных составляющих земной атмосферы)
в сравнении с теплотой испарения воды.
Рис. 4.1.3. Картина течения гиперзвукового потока в
окрестности точки торможения затупленного тела:
1 - ударная волна; 2 - эона невязкого течения за ударной
волной; 3 - пограничный слой; 4 - затупленное тело;
5 - линия перехода через скорость звука; 6 - точка тормо-
жения; А - толщина сжатого слоя; 5 - толщина погранич-
ного слоя; То = Те - температура потока за ударной
волной; 0q - угловая координата; 7^ и - температура
и скорость невозмушенного потока
4.1.1. Тепловые эффекты диссоциации и
ионизации
Моле- кула Тепловой эффект А^ , кДж/кг
Испарение Диссоциация Ионизация
н2о 2280 13430 -
О2 214 15450 41000
N2 200 33400 50000
Процесс, обратный диссоциации, назы-
вается рекомбинацией. Он протекает в облас-
тях с пониженной температурой, например,
на поверхности обтекаемого тела. Химическая
энергия, запасенная в атомах, возвращается в
виде дополнительного тепловыделения (4.1.4)
к стенке. В некоторых случаях химическая
составляющая теплового потока может значи-
тельно превысить ’’кондуктивное” слагаемое.
В соотношение (4.1.4) помимо энталь-
пий отдельных компонент А/ входят также
градиенты всех концентраций (де, /ду). Воз-
никает вопрос: насколько методы равновес-
ной термохимии (см. разд. 1) применимы к
расчету реального состава многокомпонент-
ной смеси, образующейся в различных облас-
тях потока?
Этот вопрос обусловлен тем, что для ус-
тановления равновесия как по составу, так и
по распределению энергии между различны-
ми степенями свободы молекул нужно конеч-
ное время (“время релаксации”)- В общем
случае все процессы являются термодинами-
чески неравновесными, но в плотных газовых
смесях из всех проявлений неравновесности
выделяют, прежде всего, химическую нерав-
новесность, связанную с конечным временем
протекания химических реакций, т. е. с запаз-
дыванием установления состава газовой сме-
си. В том случае, когда скорость химических
реакций в потоке мала по сравнению со ско-
ростью гидродинамического или диффузион-
ного переноса, течение считается заморожен-
ным, т. е. состав газовой смеси принимается
постоянным и совпадающим с тем, что имел
место в начальном сечении. Типичным при-
мером замороженного течения можно считать
реактивное сопло, в котором продукты сгора-
ния топливной смеси разгоняются до сверх-
звуковых скоростей (рис. 4.1.4). Это не ис-
ключает возможности термодинамического
равновесия в газовой смеси на поверхности
самого сопла, где в силу гипотезы прилипа-
ния скорость потока равна нулю.
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
317
Рис. 4.1.4. Схема течения в сверхзвуковом сопле
Степень завершения химических реак-
ций в потоке определяется числом Дамкелера
Da = ^ml^ch» гДе хт ~ характерное время
нахождения частицы в потоке, - харак-
терное время протекания химической реакции.
Последнее обратно пропорционально константе
скорости химической реакции (разд.11).
Лишь в том случае, когда число Da » 1,
т. е. хт » Tcij, концентрации всех компо-
нент газовой смеси однозначно связаны с
локальными значениями давления Р и темпе-
ратуры Т. Уравнения, реализующие эту связь,
представлены:
законами действующих масс для всех ре-
акций;
законом Дальтона;
уравнениями состояния для каждой
компоненты и всей смеси в целом;
уравнениями сохранения относительных
долей всех химических элементов (например,
азота, кислорода, водорода и т. д.).
Существует течение многокомпонентной
смеси газов, когда тепловой поток в стенку не
зависит ни от состава газа, ни от скорости
химических реакций, т. е. при заданных зна-
чениях давления Р и температуры Т будет
одинаковым при замороженном и равновес-
ном режимах течения.
Заменяя дифференциал от температуры
производной от энтальпии с использованием
соотношения (4.1.5), получим вместо (4.1.4)
«о = --Мг|
ср дУ у=о м дУ >=о
(4.1.6)
Здесь Le= pDCpI^ - безразмерное число или
п
критерий Льюиса, ср = ^cpici - теплоем-
/=1
кость замороженной смеси.
Если число Le = 1, то соотношение для
теплового потока не содержит концентраций
компонент газовой смеси или их производных:
1 dh
00=“
(4.1.7)
СР ЭЪ=0
Соотношение (4.1.2) или (4.1.7) фор-
мально очень похоже на соотношение теории
теплопроводности. Это подчеркивает лишь
тот факт, что процессы теплообмена возни-
кают между различными термодинамически-
ми системами при наличии разности темпера-
тур. Но теплопроводность, как один из ос-
новных видов теплообмена, не связана с мак-
родвижением тел относительно друг друга. В
газах и жидкостях массо- и теплообмен обу-
словлены, как правило, перемещением массы
вещества или диффузией отдельных его ком-
понент. При этом возникает конвективный
тепломассообмен, который как и в теплопро-
водности зависит от разности температур, но
также зависит и от скорости относительного
перемещения (или скорости потока жидкости
или газа).
Конвективный теплообмен в общем слу-
чае - это перенос теплоты между некоторой
выделенной поверхностью и движущейся от-
носительно нее текучей средой - жидкостью
или газом.
В качестве выделенной поверхности
конвективного теплообмена обычно рассмат-
ривается поверхность твердого тела, но это
может быть и граница раздела жидкостей или
жидкой и паровой (газовой) фаз.
Если относительное движение жидкости
(газа) и выделенной поверхности теплообмена
вызвано какими-либо внешними побудителями
(насосом, ветром, движением летательного
аппарата), конвекцию называют вынужденной.
Если же движение текучей среды возникает
под действием неоднородностей поля массо-
вых сил (например, гравитация), то такой
процесс принято называть свободной или ес-
тественной конвекцией.
Вынужденная конвекция, в свою оче-
редь, подразделяется по типу течения: на
внутреннюю (поток жидкости ограничен
стенками канала или трубы) и внешнюю (тело
как бы погружено в пространство, полностью
занятое жидкостью или газом). Именно с этих
течений и начинается анализ проблем вынуж-
денной конвекции.
Глава 4.2
ЛАМИНАРНЫЙ РЕЖИМ
ТЕПЛООБМЕНА ПРИ
ВНЕШНЕМ ОБТЕКАНИИ
Одним из наиболее простых случаев
движения жидкости является ламинарное
(слоистое) течение, характерное тем, что от-
сутствует перемешивание между соседними
слоями (рис. 4.2.1). Ламинарный режим тече-
ния наблюдается лишь при относительно ма-
318
Глава 4.2. ЛАМИНАРНЫЙ РЕЖИМ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ВНЕШНЕМ ОБТЕКАНИИ
лых скоростях потока (см. гл. 4.3). Ламинар-
ный режим течения является обратимым и
может быть наиболее строго описан системой
уравнений в рамках модели сплошной среды.
Эти уравнения получают из первых начал -
физических законов сохранения (массы,
энергии и количества движения), в сочетании
с рядом феноменологических законов (урав-
нение состояния (см. разд. 1) и соотношений
переноса).
Законы сохранения применительно к
механике жидкости или газа называются со-
ответственно:
уравнением неразрывности
уравнением движения (j = 1, 2, 3)
ди:
р-эГ
₽ дР
уравнением энергии
(4.2.3)
Здесь Xj - декартовы координаты (х, у, z), т -
время, ср, р, т], X - удельная теплоемкость,
плотность, коэффициент вязкости и тепло-
проводность жидкости, U{ - проекции вектора
скорости v на соответствующие оси коорди-
нат (и, v, w), Р - давление, Т - температура,
Fj - проекции массовых сил на оси координат
(Fx, Fy, Fz), qv - мощность внутренних или
объемных источников энергии.
Рис. 4.2.1. Схема ламинарного течения
Система уравнений (4.2.1) - (4.2.3) соот-
ветствует простейшему случаю течения не-
сжимаемой и однородной жидкости, однако
она дает полное представление о структуре
общих систем уравнений, а, главное, может
быть легко дополнена членами, учитывающи-
ми вязкую диссипацию энергии, сжимаемость
среды или диффузию компонент. С помощью
этой же системы уравнений в гл. 4.3 будут
установлены те принципиальные особенно-
сти, которые присущи турбулентным течени-
ям жидкости.
В дальнейшем будут рассматриваться
только установившиеся или стационарные те-
чения, для которых известно, что все пара-
метры (скорость, давление, температура) не
зависят от времени, а, следовательно, их про-
изводные по времени равны нулю:
дг дх
Для интегрирования системы уравнений
неразрывности, движения и энергии необхо-
димо задать краевые условия, которые вклю-
чают в себя:
начальные условия (если движение не
является стационарным);
граничные условия, которые должны
быть известны как на поверхности обтекае-
мого тела, так и вдали от него, в невозму-
щенной области пространства, занятого жид-
костью.
В рамках модели сплошной среды при-
нято считать, что происходит прилипание час-
тиц жидкости к поверхности тела, т. е. на
границе раздела все три компоненты вектора
скорости течения равны нулю.
Математические сложности, связанные с
решением системы уравнений неразрывности,
движения и энергии, удалось значительно
ослабить с помощью концепции пограничного
слоя, предложенной в 1904 г. Л. Прандтлем в
докладе “О движении жидкости при очень
малом трении” на математическом конгрессе
в Гейдельберге.
Идея Прандтля заключалась в том, что
даже если вязкость жидкости будет очень
ди
мала, касательное напряжение т = -т] —
Эу
вблизи поверхности обтекаемого тела не будет
стремиться к нулю, поскольку градиент ско-
рости по нормали к телу всегда остается
большим (в силу эффекта прилипания). В
очень тонком слое, названном пограничным
слоем или слоем трения, скорость потока
возрастает от нуля до своего полного значе-
ния во внешнем потоке.
Вне пограничного слоя при обтекании
тела маловязкой жидкостью напряжение тре-
ТЕПЛООБМЕН В ОКРЕСТНОСТИ ПЕРЕДНЕЙ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ
319
ди
ния т = —т|— тем меньше, чем меньше гра-
ду
диент скорости, т. е. в пределе оно будет бес-
конечно малой величиной по сравнению с
силами инерции или давления. Это обстоя-
тельство и позволяет для теоретического ис-
следования разбить все поле течения на две
области (рис. 4.2.2):
область тонкого пограничного слоя, в ко-
торой следует учитывать силы трения;
область внепограничного слоя, в которой
силами трения ввиду их малости можно пре-
небречь и поэтому с большой степенью точ-
ности применять здесь закономерности тео-
рии идеальной (невязкой) жидкости.
Жидкость, заторможенная в погранич-
ном слое, не во всех случаях Прилегает ко
всей поверхности обтекаемого тела. Бывают
случаи, когда пограничный слой сильно
утолщается вниз по течению и при этом в
нем возникают возвратные токи. В таких слу-
чаях говорят, что пограничный слой оторвал-
ся от обтекаемого тела. Такого типа явления
характерны прежде всего для плохо обтекае-
мых тел, за кормой которых отчетливо видно
образование застойной зоны и мощного вих-
ревого следа. Оторвавшийся пограничный
слой, а также застойная зона сильно влияют
на распределение давления в кормовой части
тела и его отличие от расчетов по теории иде-
альной жидкости. В этих случаях концепция
пограничного слоя уже непродуктивна.
Вначале теория пограничного слоя раз-
вивалась, главным образом , в приложении к
ламинарному течению, но уже в 1925 г. тот же
Прандтль предложил еще одну гипотезу о
пути турбулентного перемешивания. Это дало
возможность использовать предложенное еще
в 1880 г. О. Рейнольдсом понятие кажущегося
турбулентного трения для замыкания системы
уравнений турбулентного пограничного слоя
(см. гл. 4.4).
В послевоенные годы теория погранич-
ного слоя, благодаря использованию совре-
менной вычислительной техники, не только
обеспечила блестящее решение проблемы
тепловой защиты спускаемых космических
аппаратов, но и достигла такой степени со-
вершенства, что позволила построить целый
ряд общих закономерностей для всей проблемы
теплообмена при вынужденной конвекции.
Весь колоссальный набор практически
важных задач можно свести к двум случаям:
теплообмен в окрестности передней
критической точки;
теплообмен в безградиентном потоке на
плоской пластине.
Оба случая хорошо поддаются экспери-
ментальному изучению, что позволяет провес-
ти полноценное сравнение теории с опытом.
4.2.1. ТЕПЛООБМЕН В ОКРЕСТНОСТИ ПЕРЕДНЕЙ
КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ
Рассмотрим сверхзвуковое обтекание за-
тупленного осесимметричного тела с радиу-
сом кривизны Rn (рис. 4.1.3). Отошедшая
ударная волна 1 плотно облегает носовое за-
тупление, причем минимальная толщина сжа-
того за ударной волной слоя газа Д прибли-
женно оценивается простым уравнением:
У + 1 Mi(y + 1)
(4.2.4)
Здесь у = cplcv - отношение теплоемкости
при постоянном давлении ср к теплоемкости
при постоянном объеме cv или показатель
адиабаты (см. разд.1), скорость и темпе-
ратура 7^,, число Маха и скорость звука
а-^ в невозмущенном потоке связаны друг с
другом формулами
м„ а„ = y/tRT^/a , (4.2.5)
где ц - молекулярная масса смеси газов, R -
универсальная газовая постоянная.
За ударной волной 7 поток постепенно
разгоняется от нулевого значения скорости в
критической точке 6 до скорости, равной
локальному значению скорости звука as на
так называемой звуковой линии. Звуковая ли-
ния 5 делит всю область течения за ударной
волной на до- и сверхзвуковую. Весьма важ-
ное значение в проблеме теплообмена имеет
положение точки (S ), которая называется
звуковой точкой и образуется при пересечении
звуковой линии с поверхностью тела.
Рис. 4.2.2. Схема разделения поля течения около тела на внешний поток и пограничный слой
320
Глава 4.2 ЛАМИНАРНЫЙ РЕЖИМ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ВНЕШНЕМ ОБТЕКАНИИ
Распределение давления на выпуклых
телах, обтекаемых сверхзвуковым потоком,
описывается с помощью модифицированной
формулы Ньютона:
AjJk = cos2<p, (4.2.6)
И) “ ^00
где ср - угол между нормалью к рассматри-
ваемой элементарной площадке на поверхно-
сти тела и осью симметрии, которая в данном
случае совпадает с вектором скорости набе-
гающего потока .
Давление заторможенного потока Pq
при больших сверхзвуковых скоростях Vw
пропорционально произведению
Pd“P»V2. (4.2.7)
В соответствии с законами изоэнтропи-
ческого разгона газа в сечении (5) на звуко-
вой линии (при Ме = М5 = 1)
Ре(Ме = 1) = Ро'
__у
7 + 1 Y-1
2
(4.2.8)
При высоких температурах Tq, возникающих
при торможении газа за сильной ударной
волной, все термодинамические свойства, .в
том числе и теплоемкости ср и cVt могут отли-
чаться от их значений при комнатных темпе-
ратурах. К тому же сильное влияние на них
имеют различные физико-химические пре-
вращения, например, реакции диссоциации и
ионизации. Результат расчета по формулам
(4.2.6) и (4.2.8) дает практически близкие зна-
чения угловой координаты звуковой точки
Ф5 даже при вариации показателя адиабаты у
в диапазоне 1,1-1,4 (что покрывает для воз-
духа интервал температур 500-10000 К).
Звуковая точка находится в интервале
36^ф5 £ 41°, а поскольку скорость звука в
этом сечении а5 однозначно связана с тем-
пературой заторможенного потока Т$ или
энтальпией торможения Яд:
I 'Г
2yRTj
(г + l)g
~М-
постольку скорость потока на внешней гра-
нице пограничного слоя ие и ее градиент
(di/e/dx) считаются известными:
(dw-'l (dwp'l as JHb
j ед I c I I c I ед । u..—- ¥ ф
' 'x-0 ’ 'x-0 <bRM RN
(4.2.9)
Энтальпия торможения с высокой точ-
ностью рассчитывается именно для условий
входа спускаемых аппаратов в атмосферу,
когда число Маха » 1:
И2 И2
НЬ=срТя+-2-*-£-. (4.2.10)
В диапазоне больших сверхзвуковых
скоростей обтекания затупленных тел расче-
ты всех параметров на внешней границе по-
граничного слоя могут быть сделаны с доста-
точно высокой точностью.
Если ударный слой газа формирует газо-
динамическую картину течения^ То погранич-
ный слой у поверхности тела, составляющий
при обычных условиях лишь малую часть
ударного, определяет полностью тепло- и
массообмен.
В общем случае над телом формируются
пограничные слои нескольких типов
(рис. 4.2.3). В одном из них - гидродинамиче-
ском - продольная составляющая скорости
изменяется от величины ие(х) в невязком
потоке до нуля на самой поверхности тела. В
другом - температурном - происходит изме-
нение температуры от Те до Tw на теле. Су-
ществует целый набор диффузионных или
диффузионных пограничных слоев, в которых
концентрации одних компонент (например,
молекул) могут убывать по мере удаления от
стенки, а других (например, атомов), наобо-
рот, увеличиваться.
Толщины всех этих слоев 5, 5С
могут отличаться друг от друга произвольным
образом, но все они, как правило, много
меньше толщины ударного слоя Д или тем
более размера тела R^.
Рис. 4.2.3. Схема течения в пограничном слое и
профили скорости, температуры и концентраций:
1 - профиль концентрации вдуваемых компонент;
2 - то же для компонент набегающего потока
ТЕПЛООБМЕН В ОКРЕСТНОСТИ ПЕРЕДНЕЙ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ
321
В окрестности передней критической
точки затупленного тела, обтекаемого высоко-
скоростным и высокотемпературным потоком
газа, пограничный слой является ламинарным
и многокомпонентным. Допустим, что хими-
ческие реакции в нем заморожены, т. е. со-
став в каждой точке изменяется лишь за счет
конвекции и диффузии отдельных компонент.
Смесь газов считают бинарной, т. е. для опи-
сания диффузии используют всего один ко-
эффициент Z>i2> который с помощью закона
Фика свяжет поток массы /-й компоненты с
градиентом ее концентрации:
Л = РЛ; = -РС/А: |“1о8с' = •
(4.2.11)
С помощью математически четких оце-
нок устанавливают ряд закономерностей про-
цессов тепло- и массообмена в многокомпо-
нентном пограничном слое. Особое внимание
уделяют выявлению сходных черт у физиче-
ски разнородных процессов: переносов им-
пульса, массы и энергии. При этом по необ-
ходимости делают различные допущения,
справедливость которых затем проверяют при
сопоставлении с результатами строгих чис-
ленных расчетов.
Результативность и значимость подоб- •
ного подхода к исследованию закономерно-
стей тепло- и массообмена не ограничивается
лишь окрестностью критической точки затуп-
ленного тела. Пограничный слой на поверх-
ности обтекаемого тела обладает существен-
ной консервативностью по отношению к про-
явлению многих дестабилизирующих факто-
ров, как со стороны неравновесных процессов
внутри слоя, так и при неравномерности гра-
ничных условий. Закономерности, обнару-
женные в ламинарном пограничном слое, во
многих случаях оказываются применимы и к
турбулентному. В отличие от ламинарного для
турбулентного пограничного слоя до сих пор
отсутствует возможность строгого численного
исследования.
Если и и v - компоненты вектора скоро-
сти течения в пограничном слое, г(х) - рас-
стояние от оси симметрии до рассматривае-
мой точки (см. рис. 4.2.3), то уравнения со-
хранения массы и количества движения запи-
сываются в следующем виде:
{к = 0 - плоское течение z л ~
, (4.2.12)
к = 1 - осесимметричное,
ди ди д ( ди ] дРе
P«-z- + pv— = — Пт- --7х- (4.2.13)
дх ду ду к ду) dx
Эти уравнения справедливы как для однород-
ного газа, так и для многокомпонентной сме-
си. Но во втором случае необходимо допол-
нительно записать уравнения сохранения для
каждой из ее компонент:
dCj dCt д ( п дсЛ
Р"*? + pvaT = ad pZ>12 «7 ’ ' = -• п-
дх ду дух ду )
(4.2.14)
Уравнение сохранения энергии имеет ту
же форму балансового соотношения, что и
(4.2.13) или (4.2.14). В его правой части стоят
члены, описывающие диссипацию механиче-
ской энергии - работы сил вязкости и давле-
ния:
ggx , । ud/e
дх ду dx
(4.2.15)
Проекции вектора теплового потока на
координатные оси имеют различные выраже-
ния, поскольку в продольном направлении
явно преобладает конвективный перенос теп-
лосодержания (энтальпии), а в поперечном с
ним конкурируют теплопроводность и диффу-
зия:
qx=puh, (4.2.16)
9, = рУЛ_х.^_рА2£л.^.
z /=1 z
(4.2.17)
или, заменяя температуру на энтальпию,
9у = pvA ’ +р0|2°" ь1)£hi ’
(4.2.18)
где ср - теплоемкость “замороженной’’смеси,
поскольку она соответствует режиму неиз-
менного состава газа dct = 0. Подставляя вы-
ражения qx и qy в (4.2.15), получаем урав-
нение энергии в виде
dh dh д [ X dh
pu — + pv — = —I ------
дх ду dy \cp dy
2
dx
(4.2.19)
И Зак. 485
322
Глава 4.2. ЛАМИНАРНЫЙ РЕЖИМ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ВНЕШНЕМ ОБТЕКАНИИ
Сделаем еще одну подстановку, заменив в
этом уравнении термодинамическую энталь-
пию на полную, или энтальпию торможения
Hq = h + (и2/2). Для этого умножим уравне-
ние движения (4.2.13) на проекцию вектора
скорости потока и и сложим его с уравнением
энергии (4.2.19):
ри^ + рЛ^ = Дл^_
дх ду дУ\Ср J
<4-2М>
ду I РгДэу;
В уравнении (4.2.20) появилось два без-
размерных параметра: число Прандтля
Рг = (т|Ср/X) и Льюиса Le = (pD^c^/X).
Решение уравнения (4.2.20) зависит от того,
насколько эти параметры близки единице.
Если число Рг = 1 и число Le = 1, то
уравнение энергии формально не содержит
членов, связанных с диффузионным перено-
сом и диссипацией механической энергии..
Уравнения (4.2.14) и (4.2.20) полностью по-
добны (к/ср = т| или Рг = 1), а значит долж-
ны быть подобны и их решения, если соот-
ветствующим образом преобразовать их с
учетом граничных условий:
(^6 “ ^w)/(^e “ = “ ci,w)/(ci,e “ c/,w) •
Это подобие можно распространить и на ре-
шение уравнения движения, если допустить
формальное равенство нулю градиента давления:
и _ ^6 ~ _ ci ~~ (4221)
ие(х) Hg—hy, ci,e~ci,w
Полученная тройная аналогия, несмотря на
принятые при ее выводе допущения, широко
используется при анализе не только ламинар-
ного, но и турбулентного пограничных слоев.
С помощью точных численных расчетов сис-
темы уравнений ламинарного многокомпо-
нентного пограничного слоя в окрестности
критической точки затупленного тела эту ана-
логию можно уточнить:
где индексом w отмечены значения градиен-
тов на стенке, а с учетом uw = 0 производная
’ ФУНКЦИЯ F^Pg/tix)
учитывает продольный градиент давления
(рис. 4.2.4). С помощью (4.2.18) получим со-
отношение для теплового потока к поверхно-
сти тела при числе Le = 1:
X (дН(Л =__X_f^f|
ср{ду)№
= у- (Яе-М (4.2.22)
^СР'о
В правой части этого соотношения записана
общепринятая модификация формулы Нью-
тона, использующая понятие коэффициента
теплообмена а<). По тому же образцу выпи-
шем соотношения для потока массы /-го ком-
понента смеси газов на поверхности обтекае-
мого тела:
J0 = Р/V/
“ 0о(с/,е ci,w) •
(4.2.23)
Касательное напряжение - трение
Рис. 4.2.4. Влияние градиента давления ня аналогию
. | v ] 6ие
Рейнольдса: К = —v —
\и2) а*
ТЕПЛООБМЕН В ОКРЕСТНОСТИ ПЕРЕДНЕЙ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ
323
Все три перечисленных параметра не
являются независимыми, поскольку имеет
место подобие профилей:
$0 =
т0(Яе-М
Ргне
1ЛИ
Ро _ т0
Le Ргие '
(4.2.24)
В инженерной практике получило рас-
пространение безразмерное соотношение -
аналогия Рейнольдса:
St=yCy/Pr, (4.2.25)
где число Стентона
st = Яо/[реие(Не -*»,)] = (а/ср)й1(реие),
а безразмерный коэффициент трения
С/ =ХоДРе"еЛ]-
Практическое значение аналогии заклю-
чается в том, что она позволяет определить
закономерности тепло- и массообмена с по-
мощью решения значительно более простой
задачи: определения закона трения в некото-
рых подобных условиях обтекания.
В первом приближении закон трения
можно установить, даже не прибегая к чис-
ленному счету. Для этого с помощью системы,
уравнений пограничного слоя (4.2.13), (4.2.14)
и (4.2.20) определяют толщины динамиче-
ского, температурного и концентрационного
пограничных слоев. Сопоставляя масштабы
характерных величин конвективных членов с
членами, содержащими коэффициенты вязко-
сти, диффузии и теплопроводности, получим
2
RN 52 VRe
где Re = ^Ue^N >
Л
~ р£)12 _> 5/5с ~ constV^ ,
rN 5‘
где Sc = —,
РП12
RN ср Sf
_ Кр
где Рг =
> б/бу* ~ const>/Рг ,
5т ISc Sc 1
бГ VPr ,ГДе Рг Le
Помимо уже известных безразмерных
критериев - Прандтля и Льюиса - в эти соот-
ношения вошли числа Рейнольдса Re и
Шмидта Sc. Эти критерии, наряду с числом
Маха, определяющим газодинамическую кар-
тину течения, являются параметрами подобия.
При одинаковых значениях соответствующих
критериев в двух различных вариантах обте-
кания как явление в целом, так и отдельные
его параметры в сходственных точках подобны.
Числа Рг, Sc и Le содержат информа-
цию лишь о термодинамических и перенос-
ных свойствах газовой смеси, обтекающей
тело. Они могут изменяться по толщине по-
граничного слоя или вдоль тела, например,
при вариации температуры. На рис. 4.2.5
представлена зависимость от температуры
чисел Прандтля, Шмидта и Льюиса, рассчи-
танная в предположении термодинамического
равновесия воздуха при р = 10 кПа. Видно,*
что число Рг сравнительно слабо изменяется
при изменении температуры, оставаясь мень-
ше единицы. Что касается двух других крите-
риев, то в этом диапазоне температур они
нигде не отличаются от единицы более, чем в
1,5 раза. Их изменение обусловлено падением
плотности вдвое при полной диссоциации
воздуха.
Рис. 4.2.5. Изменение чисел Рг = Т|Ср/Х и
Le = pDyCplK в зависимости от
температуры при р/ро = Ю*2.
Pg - плотность газа при нормальных условиях
11*
324
Глава 4.2. ЛАМИНАРНЫЙ РЕЖИМ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ВНЕШНЕМ ОБТЕКАНИИ
Возвращаясь к вопросу о законе трения,
применим тот же метод масштабных оценок.
Трение на поверхности тела, обтекаемого
высокоскоростным потоком газа, может быть
рассчитано через толщину динамического
пограничного слоя
ди
хо=”^
W °
Теперь критериальная зависимость теп-
лообмена от числа Рейнольдса, а точнее без-
размерный коэффициент теплообмена - число
Нуссельта Nu как функция Re - примет вид:
Nu = ~VRe
X PrXu,
(4.2.26)
Nu
или . = const.
VRe
Константу пропорциональности в этом
соотношении можно найти лишь с помощью
экспериментов или численных расчетов.
Наиболее обстоятельные расчеты тепло-
обмена в окрестности точки торможения за-
тупленного тела провели Фей и Ридделл. Ими
получена следующая аппроксимационная
зависимость для воздуха:
Л2. = 0,763 Рг°-4| 1
V Re \ Рн'Лн')
l + (Le’’-l)M.
"е,
(4.2.27)
где показатель степени п при числе Льюиса
равен 0,63 для замороженного пограничного
слоя и пж0,52 - для равновесного. Теплота
диссоциации hd определяется как произведе-
ние теплоты образования атомов на раз-
ность концентраций атомов поперек погра-
ничного слоя: hd = Л® (сА е -cA w).
При равенстве чисел Прандтля и Льюиса
Pr = Le = 1 отличие аппроксимационного
соотношения (4.2.27) от простейшего выраже-
ния (4.2.26) сводится к учету переменности
комплекса (рт|) при изменении температуры
от Те на внешней границе пограничного слоя
до Ту, на стенке (рис. 4.2.6).
Размерное выражение для теплового по-
тока имеет вид:
’0 = (“/с₽)0(Яе - М = 0.763 Рг0'6(реПе)0Л *
X
X
\ UA / X ' п.
x«0L *J
х(Я, -h„). (4.2.28)
Отсюда следует слабая зависимость коэф-
фициента теплообмена (u/cp)Q от температуры
стенки Tw [показатель степени 0,1 при (рг^)].
Рис. 4.2.6. Зависимость Рл/РкЛк и Ре/Р в
пограничном слое в окрестности лобовой точки от *
относительной энтальпии (Н/Не).
Условия в лобовой точке взяты для разных высот
при скорости полета 6000 м/с; Гж=300 К.
Расчетные точки: А - 35000 м; 0 - 21400 м; о - 7600 м
Влияние размера тела на теплообмен
qo-i/jR^ вытекает из соотношения (4.2.9)
для (du, /<Ьс)х.о
Как следует из соотношений (4.2.7) и
(4.2.10), с ростом скорости обтекания тела
зависимости давления и энтальпии затормо-
женного потока от условий в набегающем
потоке значительно упрощаются
э v2
P(j = Pe(x = 0)«p«>v2, Яе»-у
Это обстоятельство позволяет выявить
главные определяющие параметры теплооб-
мена и представить соотношение (4.2.28) в
виде аппроксимации по двум переменным:
давлению Ре и скорости ve (либо энтальпии
Я,)
q0 « 4,410-*7?,/ЯлгЯ, [кВт/м2],
где Ре в Па, RN в м, Не в кДж/кг.
Справедливость такого подхода под-
тверждается сравнением результатов расчет-
ных и экспериментальных работ, изображен-
ных на рис. 4.2.7. Данные расчетов для замо-
роженного течения в пограничном слое сис-
тематически превышают результаты равновес-
ного расчета, однако экспериментальные дан-
ные заполняют все пространство между двумя
расчетными кривыми.
ТЕПЛООБМЕН В ОКРЕСТНОСТИ ПЕРЕДНЕЙ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ
325
Рис. 4.2.7. Зависимость теплового потока от
скорости полета:
1 - замороженный пограничным слой;
2 - равновесный; 3 - экспериментальные данные
Результаты всех представленных выше
расчетов относились к так называемым ката-
литическим стенкам, что соответствует пол-
ной рекомбинации атомов, диффундирующих
к поверхности тела. Механизм рекомбинации
довольно сложен. Она зависит от концентра-
ции атомов, плотности и энтальпии газа в
пограничном слое, размера тела и т. д. Свой-
ства материала стенки проявляются через
параметр К*, который называется каталитиче-
ской активностью по отношению к данному
типу реакции. Если речь идет о рекомбина-
ции атомов кислорода или азота, то металлы
имеют высокую каталитическую активность, а
керамики, особенно кварцевое стекло, низкую.
На рис. 4.2.8 приведена зависимость от-
носительного теплового потока от параметра
каталитической активности К*. При Kw,
приближающемся к нулю, рекомбинация не
происходит, а, следовательно, концентрация
атомов остается той же, что и на внешней
границе пограничного слоя сЛ е Ре-
ально пограничный слой находится частично
в замороженном, частично в равновесном
состоянии. При любых свойствах стенки для
того, чтобы слой перешел от полностью замо-
роженного к полностью равновесному со-
стоянию параметр Kw должен измениться в
10000 раз (рис 4.2.8). Поскольку плотность
газа достаточно сильно влияет на механизм
рекомбинации, то изменение Kw в 104 раз
эквивалентно уменьшению плотности в 102
раз. Именно поэтому основной участок тор-
можения космических аппаратов многоразо-
вого использования (типа “Шаттл”) находится
почти на 30 км выше над поверхностью Зем-
ли, чем у “Союза” или “Аполлона”.
Интенсивность теплообмена в критиче-
ской точке затупленного тела зависит от гра-
диента скорости (d«e/dx)xe0. Но этот пара-
метр, в свою очередь, является функцией
размера тела (уравнение 4.2.9), а также формы
тела. Так в дозвуковых потоках отличие гра-
диента скорости (d«e/dx)Xe0 сферических и
плоских торцев составляет почти 2,4 раза, но
с ростом числа Маха набегающего потока оно
увеличивается до 4-х раз. Поэтому при всех
прочих условиях тепловой поток в критиче-
ской точке плоского торца будет в 1,5-2 раза
меньше, чем полусферического.
Характер распределения теплового пото-
ка вдоль поверхности тела, в основном, опре-
деляется ходом относительного изменения
давления Ре(х)/Ре(х = 0) . В отличие от теп-
левого потока давление всегда падает по мере
удаления от точки торможения (критической
точки). Однако тепловой поток может как
уменьшаться, так и возрастать, что хорошо
видно из сравнения результатов, представлен-
ных на рис. 4.2.9 и 4.2.10. На каждом из них
фактор теплообмена (отношение Nu/VRe )
построен в функции координат. На рис. 4.2.9
это угловая координата для сферы ф, а на
рис. 4.2.10 - безразмерная длина вдоль плос-
кого торца х. Дополнительно на первом
рисунке показана степень влияния темпера-
турного фактора, т. е. отношения температуры
стенки Tw к температуре заторможенного
потока Tq . На обоих рисунках распределение
давления изображено пунктирной линией.
326
Глава 4.2. ЛАМИНАРНЫЙ РЕЖИМ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ВНЕШНЕМ ОБТЕКАНИИ
Рис. 4.2.9. Изменение фактора теплообмена вдоль
образующей сферы ( T^/Tq = 0,2; 0,4; 0,6; 1,0 )
Рис. 4.2.10. Изменение фактора теплообмена на
поверхности плоской передней кромки
осесимметричного тела при ламинарном режиме
течения
В случае обтекания сферы равновесно
диссоциированным гиперзвуковым потоком
воздуха при отсутствии излучения распреде-
ление теплового потока описывается зависи-
мостью
Яо(х)/Яо(х = 0) = 0,55 + 0,45 cosф , (4.2.29)
где ф - угловая координата рассматриваемой
точки тела.
Есть еще одно обстоятельство, отли-
чающее теплообмен в критической точке от
теплообмена на боковых поверхностях любых
тел. Это обстоятельство связано с профилем
температуры в пограничном слое.(рис. 4.2.11).
В ближайшей окрестности критической точки
максимум температуры, равно как и макси-
мум энтальпии, приходится на внешнюю гра-
ницу пограничного слоя. Но чем выше ско-
рость потока, тем значительнее становится
кинетическая энергия газа по сравнению с
его внутренней энергией. В результате дисси-
пации кинетической энергии и при работе
сил давления в пограничном слое происходит
выделение теплоты. Поэтому на теплоизоли-
рованной стенке температура может
Рис. 4.2.11. Распределение температуры в
пограничном слое при М >1:
1 - яо >0; 2 - яо - 0; з - 4q <о
оказаться выше, чем статическая температура
обтекающего тело газового потока (кривая 2
на рис. 4.2.11). В этом плане традиционная
форма записи теплового потока
Qq = а(Те- Ту,) , принятая для большинства
инженерных приложений, в высокоскорост-
ных потоках, абсолютно неприемлема. Темпе-
ратура Те должна быть заменена на некую
эффективную температуру Тг, численно сов-
падающую с температурой теплоизолирован-
ной стенки. Она носит название температуры
восстановления.
Как показали экспериментальные и рас-
четные исследования, для всех случаев, когда
число Прандтля Рг отлично от единицы, в
теплоту на стенке преобразуется только часть
кинетической энергии. Максимально дости-
жимая при этом температура
и2
Тг=Те+г—£— (4.2.30)
2ср
и будет той величиной, которая характеризует
температурный напор в пограничном слое:
qv = a(Tr - Tw). При любом коэффициенте
теплообмена для теплоизолированной стенки
$0 =0.
Коэффициент восстановления температу-
ры г зависит от характера преобразования
кинетической энергии и от соотношения
толщин динамического и температурного
пограничных слоев. Для газов при ламинар-
ном течении обычно принимают г = 4Рг .
Температура восстановления Тг для всех газов
с числами Рг < 1 будет немного ниже темпе-
ратуры торможения.
ТЕПЛООБМЕН НА ПОВЕРХНОСТИ ПЛАСТИНЫ
327
4.2.2. ТЕПЛООБМЕН НА ПОВЕРХНОСТИ ПЛАСТИНЫ
Продольно обтекаемая ламинарным по-
током пластина является одним из наиболее
распространенных элементов поверхностей в
авиации и энергетике. Даже начальный уча-
сток каналов или труб можно рассматривать
как пластину.
На рис. 4.2.12 схематично показан по-
граничный слой на плоской пластине, обте-
каемой равномерным набегающим потоком. В
отличие от критической точки затупленного
тела такое течение безградиентно, а скорость
ие на внешней границе пограничного слоя
остается постоянной в любом сечении х При
такой формулировке задачи нет характерного
масштаба длины, поэтому профили скорости
и профили температуры подобны самим себе,
т. е. описываются некими функциями, в ко-
торых аргументом является не координата у, а
отношение у/Ь(х), где 5(х) - толщина по-
граничного слоя.
Как было показано выше из анализа
уравнений ламинарного пограничного слоя
толщина пограничного слоя
S(x) —= [nx/pu,]0,5,
vKe
поэтому введем в рассмотрение новую
“автомодельную” переменную
/ \0,5
5 = =у/2[М .
С целью упростить систему уравнений, а
точнее, чтобы избавиться от необходимости
рассматривать уравнение неразрывности до-
пустим, что существует функция тока
у(х,у), с помощью которой компоненты
вектора скорости и, v могут быть представле-
ны как
Pic. 4.2.12. Гидродинамический пограничный слой
на пластине
При постоянных физических свойствах
жидкости или газа уравнения движения и
энергии становятся независимыми, что по-
зволяет интегрировать их порознь. Если запи-
сать функцию тока как
/ \0,5
I Ъиех I
кр =-!-£_ ф,
V Р J
то уравнение (4.2.2) преобразуется к виду
Ф"' + ФФ"=О. (4.2.31)
Граничные условия для функции ф не-
трудно сформулировать на базе традиционных
условий прилипания на стенке и = v = 0 и
асимптотического стремления продольной
компоненты скорости и к ее значению в не-
возмущенном потоке:
при £ = 0; Ф = 0; ф' =0,
при £ -> оо; ф' = 2. (4.2.32)
Численное решение нелинейного дифферен-
циального уравнения (4.2.31) с граничными
условиями (4.2.32) используют для нахожде-
ния профиля скорости и/ие = ф'/2 , а также
толщины пограничного слоя 8(х), которую
определяют как координату £ , при которой
и = 0,99t/e.
На рис. 4.2.13 представлено распределе-
ние (и/ие) = Г(£) , откуда нетрудно получить
для толщины пограничного слоя 8 следующее
соотношение:
5xRe^5, (4.2.33)
Рис. 4.2.13. Распределение скоростей в ламинарном
пограничном слое на пластине:
о - по измерениям Никурадзе; - - расчет по Блазису
328
Глава 4.2. ЛАМИНАРНЫЙ РЕЖИМ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ВНЕШНЕМ ОБТЕКАНИИ
К числу определяемых параметров отно-
сится сопротивление вязкого трения:
аДф'Чо).
4 V пх
После вычислений ф” оказалось рав-
ным 1,332. Поэтому отношение
г0(х)/(Р^) = 0,332 Re^5. (4.2.34)
Трение убывает вдоль пластины пропор-
ционально X'0,5, что обусловлено нарастанием
толщины пограничного слоя 5~ х0»5 и, соот-
ветственно, уменьшением поперечного гради-
ента скорости (ди/ду). Вводя безразмерный
коэффициент трения Cj = 2tq/(pi/2), полу-
чим:
Cf =0,664/7^7- (4.2.35)
В отличие от течения в окрестности
критической точки затупленного тела, обте-
кание пластины не имеет строгого математи-
ческого описания при х =0. Трение стремит-
ся к бесконечности при х -> 0, нарушается
основное допущение теории пограничного слоя
д2ы <Ри
ах2 ду2
Реальная картина обтекания пластины в
области, прилегающей к кромке пластины,
может быть установлена только при решении
полной системы уравнений Навье-Стокса.
Существует минимальное значение х = Oq, по
достижении которого теория пограничного
слоя не адекватно отражает реальный про-
цесс. Этому значению Oq соответствует число
Рейнольдса
Re = £fi£?o =40.
Ч
В этом смысле можно говорить о нижней
границе применимости теории пограничного
слоя при числах Re < 40.
Верхняя граница применимости опреде-
ляется либо переходом от ламинарного режи-
ма течения к турбулентному (см. гл. 4.3), либо
положением точки отрыва пограничного слоя.
Если температура поверхности пластины
Tw отличается от температуры набегающего
потока то над пластиной формируется
температурный (или тепловой) пограничный
слой. Уравнения температурного погранич-
ного слоя решены в предположении, что теп-
лофизические свойства жидкости или газа
являются постоянными.
Как было установлено ранее, профили
скорости и температуры подобны при числе
Прандтля Рг = 1. При Рг > 1 тепловой погра-
ничный слой тоньше Гидродинамического, а
при Рг < 1 - толще. Величина коэффициента
теплоотдачи на поверхности пластины может
быть определена из соотношения
причем результаты численных расчетов с высокой
точностью аппроксимируются зависимостью
Nu/7Re7 = 0,332 З/Рг. (4.2.36)
Сравнивая критериальные соотношения
теплообмена (4.2.36) и (4.2.27), можно сделать
следующие заключения.
1. При переходе от безградиентного об-
текания пластины с постоянной скоростью
набегающего потока ие к течению в окрестно-
сти критической точки затупленного тела, где
скорость ие = 0х , структура критериальной за-
висимости не изменилась: Nu/VRe = сРгл,
но числовой коэффициент пропорционально-
сти с увеличился более, чем в два раза, а по-
казатель степени п при числе Прандтля также
возрос с 0,33 до 0,4.
2. Учет переменности теплофизических
свойств жидкости можно провести, если фак-
тор теплообмена (Nu/7Re) домножить на
коэффициент, определяющий перепад произ-
ведения вязкости на плотность (рт|) поперек
пограничного слоя. Аналогично, т. е. методом
мультипликативных поправок, проводится
учет физико-химических процессов, проте-
кающих внутри пограничного слоя и на по-
верхности обтекаемого тела.
3. Сохранение, в основном, некоей ске-
летной структуры критериальных соотноше-
ний теплообмена говорит о консервативности
пограничного слоя к различным, дестабилизи-
рующим факторам, таким как продольные
градиенты давления и поперечные перепады
температур, степень химической неравновес-
ности и геометрическая форма тела.
4.2.3. ТЕПЛООБМЕН НА ПОВЕРХНОСТИ
КЛИНОВИДНЫХ ТЕЛ
Все основные методические приемы,
развитые при решении проблемы теплообме-
на в ламинарном пограничном слое на пла-
стине
ТЕПЛООБМЕН НА ПОВЕРХНОСТИ КЛИНОВИДНЫХ ТЕЛ
329
Рис. 4.2.14. Семейство клиновидных тел с
различными углами при вершине
можно использовать в том случае, когда ско-
рость на внешней границе пограничного слоя
описывается семейством степенных законов
ие = С\Хт .
На рис. 4.2.14 изображено семейство
плоских тел (клиньев), которые соответствуют
данному закону изменения скорости ие(х).
Если угол раствора клина 0 измерять в радиа-
нах, то показатель степени т выражается че-
рез р следующим образом:
Р о 2т
т = -2-—, р =-----.
2-Р т +1
Рис. 4.2.15. Распределение скоростей в
пограничном слое над поверхностью клиновидных тел
В том случае, когда Р = 0, клин вырож-
дается в пластину, продольно обтекаемую
потоком. Если Р = 1 (или угол равен
180° = л), то происходит поперечное натека-
ние бесконечного плоского потока на пло-
скую преграду (или плоский торец).
На рис. 4.2.15 и 4.2.16 показаны реше-
ния уравнений пограничного слоя для раз-
личных значений Р и чисел Прандтля. При
этом считалось, что все теплофизические
свойства жидкости постоянны. В отличие от про-
дольно обтекаемой пластины здесь использована
модифицированная независимая переменная
_ - 2 5 = У I ।
‘ V2 " Р 4х'
Для изотермической поверхности клина,
температура которого Tw известна, Э. Эккер-
том получен набор численных решений, результа-
ты которых аппроксимированы соотношением
Рис. 4.2.16. Распределение температуры в тепловом
пограничном слое клиновидных тел
при =const при разных значениях числа Рг и р
Критериальное уравнение теплообмена,
по-прежнему, сохраняет свой канонический
вид:
Nu/TRe? = Cj/TW • (4.2.38)
ао =
Яо
т„-те
(4.2.37)
где С2 = 0,56 (р + О,2)0,1 рг0333*0.067р-0,02брг
330
Глава 4.3. ПЕРЕХОД ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ В ТУРБУЛЕНТНОЕ
Глава 4.3
ПЕРЕХОД ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ В
ТУРБУЛЕНТНОЕ
О. Рейнольдс в 1883 г. эксперименталь-
но доказал наличие двух качественно различ-
ных режимов течения жидкости: ламинарного
и турбулентного. При этом он впервые смог
сформулировать и численно определить кри-
терий перехода из одного режима в другой.
На рис. 4.3.1 представлена схема его
экспериментальной установки, до сих пор
действующей в одной из лабораторий Манче-
стерского университета. Прозрачная жидкость
вытекает из бака постоянного уровня 1 по
стеклянной трубе 2 Струйка той же подкрашен-
ной жидкости, но подкрашенной подается из
бачка 4 для визуализации характера течения ос-
новной жидкости в трубе 2 Постепенно открывая
кран 5, можно менять расход жидкости рн, а вме-
сте с ним и безразмерное число (pud)/r\.
При достижении вполне определенного
расхода (ри)^ поведение подкрашенной
жидкости резко меняется:
- до этого предела оно было спокойным,
установившимся и ламинарным, т. е. слои-
стым, а диффузионное размывание границ
было столь медленным, что на конечной дли-
не трубы 2 его было трудно заметить;
- в момент достижения критического
расхода (ри)р струйка подкрашенной жидко-
сти стала резко отклоняться от прямолинейной
траектории движения и уже на малом расстоянии
от места подачи полностью перемешалась с ос-
новной жидкостью. Этот режим беспорядочного,
бурного течения был назван турбулентным.
Последующие опыты показали, что пе-
реход от ламинарного течения к турбулентно-
му сопровождается увеличением сопротивле-
ния и интенсификацией теплообмена как
между слоями самой жидкости, так и между
жидкостью и стенками трубы, в которой она
течет. Это можно объяснить лишь тем, что
часть поступательной энергии потока преоб-
разуется в энергию вихревого течения
(происходит генерация или порождение тур-
булентности). За счет вязкости в дальнейшем'
энергия турбулентных вихрей преобразуется в
теплоту, т. е. происходит диссипация механи-
ческой энергии в тепловую.
В отличие от ламинарного движения, в
котором переносы количества движения, теп-
лоты и массы могут быть описаны простыми
соотношениями пропорциональности (законы
Ньютона, Фурье и Фика), причем коэффици-
енты пропорциональности (вязкость, тепло-
проводность и диффузия) являются фунда-
ментальными характеристиками вещества, в
турбулентном потоке такой подход неправо-
мерен. Здесь нет линейных связей между по-
токами и градиентами скорости, температуры
или концентрации.
Рис. 4.3.1. Схема опыта Рейнольдса:
а - ламинарное течение; б - турбулентное;
в - переходное; 1 - бак постоянного уровня;
2 - трубка; 3 - кран; 4 - бачок
На основании опытов при различных
значениях плотности р и вязкости жидкости
т|, скорости ее течения и, а также диаметра
трубы d Рейнольдс установил, что переход от
ламинарного течения к турбулентному не
определяется величиной какого-либо одного
из этих параметров вне связи с другим. Пере-
ход всегда наступал лишь при достижении
примерно одинаковой величины безразмер-
ного комплекса (рш//т|) » 2300. Позже без-
размерное отношение различных физических
параметров (pud/ц) было названо числом
Рейнольдса, a ReZr = 2300 (для гладких труб)
получило название критического числа Рей-
нольдса перехода от ламинарного к турбу-
лентному режиму течения жидкости.
Число Re^. в сильной степени зависит
от многих случайных факторов: тряски и ше-
роховатости поверхности трубы, поперечных
конвективных токов, вызванных нагревом, от
формы или кривизны канала и т. д. Тщатель-
ным исключением всевозможных возмущений
удалось затянуть переход в трубах до
Re/r = 40000 и это еще не является пределом.
При любом числе Рейнольдса в диапазоне от
2300 до 40000 ламинарный режим течения
оказывается крайне неустойчивым: достаточ-
но малейшего возмущения потока и происхо-
дит бурная турбулизация. Если, уже получив
турбулентный поток, начать плавно снижать
расход жидкости, то ламинарное течение вос-
становится ни при том же числе Рейнольдса,
при котором возникла турбулентность, а при
значительно меньшем, близком к 2300. Дру-
гими словами, обнаруживается неэквивалент-
ПЕРЕХОД ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ В ТУРБУЛЕНТНОЕ
331
ность прямого и обратного переходов, кото-
рая называется гистерезисом перехода. Также
отмечено, что при Re < 2000 даже весьма
значительные возмущения потока со време-
нем сами затухают и восстанавливается лами-
нарное течение.
Выше критического числа Рейнольдса
имеется некоторая зона внутри трубы, когда
параметры течения как бы попеременно де-
монстрируют признаки ламинарного (спокой-
ного) и турбулентного (пульсирующего) ха-
рактера. В расчетах вводят специальный ко-
эффициент перемежаемости Г , который ана-
логичен некоему рейтингу, с которым при
суммировании учитываются закономерности
ламинарного и турбулентного течений. Ши-
рина такой зоны может быть соизмерима с
протяженностью ламинарного течения в тру-
бе. Это обусловило необходимость использо-
вания двух критических значений числа Рей-
нольдса:
Re^ j - число Рейнольдса начала пере-
хода;
" число Рейнольдса конца пере-
хода, когда турбулентный режим течения
полностью разовьется или установится.
В диапазоне от Re^i до Яе^д законы
трения и теплообмена резко отличаются как
качественно, так и количественно от анало-
гичных законов в ламинарном или турбулент-
ном потоках.
Сделано немало попыток теоретически
осмыслить явление перехода. Одна из самых
первых сводилась к идее объяснить переход
потерей устойчивости регулярного поступа-
тельного движения жидкости. В этом плане
целесообразно еще раз обратиться к визуаль-
ным картинам, полученным Рейнольдсом. На
врезке рис. 4.3.1 показаны траектории движе-
ния подкрашенной струйки жидкости. Обра-
щает на себя внимание огромное различие в
структуре завихренности. Если в начальной
стадии зарождения турбулентности амплитуда
отклонения траектории подкрашенной струй-
ки соизмерима с диаметром всего канала, то с
увеличением числа Рейнольдса размер турбу-
лентного моля или комка становится все
меньше. На рис. 4.3.2 представлена схема раз-
вития некоторого изначально заданного воз-
мущения, подобная образованию волн на
поверхности воды. За счет различия скоростей
движения соседних частиц образуются гребни,
которые при опрокидывании фронта волны
создают множество комков, имеющих различ-
ные размеры и скорости вращения.
Любая такая идеализация не в состоя-
нии дать строгое количественное представле-
ние о принципе зарождения турбулентности.
Но применительно к вынужденной конвек-
ции в любом случае можно разложить все
параметры потока на основные, характери-
зующие его как целое, и на пульсационные,
случайные добавки, которые могут возникать
и исчезать. Будем обозначать составляющие
скорости такого среднего движения й), дав-
ления р, температуры Т и плотности р, а
составляющие пульсационного движения обо-
значим теми же буквами, но со штрихом.
Тогда действительные или актуальные пара-
метры потока запишутся в виде
и, = Uj + и-, р = р + р', Т = Т + Т',
р = р + р'. (4.3.1)
Осредненное значение должно быть свя-
зано с действительным по правилу
т0+Ат
й = (1/(Дт)) Ju(/)d/,
’о
причем интегрирование необходимо выпол-
нять для столь большого интервала времени
Дт , чтобы среднее значение от Дт не зави-
село.
При развитом турбулентном течении за-
висимость пульсаций от места и времени
чрезвычайно сложная и в своих деталях пока
совершенно неизвестна. Поэтому к турбу-
лентности применяют общие для любого сто-
хастического процесса мерки. Так, среднее
квадратичное значение пульсационной со-
ставляющей
Рис. 4.3.2. Потеря устойчивости ламинарного течения:
а - случайное возмущение; б - развитие случайного возмущения; в - турбулентное движение
332
Глава 4.3. ПЕРЕХОД ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ В ТУРБУЛЕНТНОЕ
Хо+Дт
(й')2 = (1/(Дг))
*0
а отношение называют относи-
тельной пульсацией скорости. Среднее ариф-
метическое из средних квадратичных значе-
ний трех составляющих пульсаций, т. е. вели-
чина
отнесенная к средней скорости течения, на-
зывается степенью турбулентности потока и
обозначается символом Ти:
Tu»J|[(5?)2+(ffi)2*R2]/q. (4.3.2)
Здесь предполагается, что направление тече-
ния совпадает с осью х, поэтому две другие
компоненты среднего течения «2 = «з = 0.
Наряду со степенью турбулентности Ти
важную роль в теории турбулентности играет
энергия пульсационного движения е:
Е = (4.з,3)
и масштаб турбулентности L. Параметр L
можно рассматривать как меру пространст-
венной протяженности турбулентного комка,
под которым теперь понимается масса жидко-
сти, движущейся как одно целое.
Масштаб турбулентности наиболее
сложный параметр, характеризующий турбу-
лентное течение. Довольно легко определяют-
ся лишь его предельно возможные значения.
Так при течении в трубе масштаб турбулент-
ности L не может превысить диаметр трубы
rf, а в пограничном слое - толщину погранич-
ного слоя 5. При испытаниях в аэродинами-
ческих трубах масштаб турбулентности можно
варьировать, если перед моделью располагать
специальные сетки из проволоки или стерж-
ней. Размер ячейки или диаметр стержня и
будут определять масштаб турбулентности.
Для определения границы перехода ла-
минарного течения в турбулентное были
предложены два теоретических подхода:
путем вычисления изменения во време-
ни энергии пульсационного движения е (так
называемый энергетический метод);
путем вычисления динамики нарастания
возмущений во времени (метод малых колебаний).
Согласно энергетическому методу ос-
новное движение считается устойчивым, если
производная от энергии пульсационного дви-
жения в любом сечении потока является от-
рицательной. Но, поскольку энергетический
баланс должен учитывать такие составляющие
как диффузия турбулентности и ее диссипа-
ция, то требуется большой объем дополни-
тельной априорной информации для получе-
ния конкретных результатов.
При использовании метода малых коле-
баний допускаются только такие возмущения
параметров потока, которые совместимы с
дифференциальными уравнениями Навье-
Стокса или пограничного слоя при ламинар-
ном режиме течения. Основные результаты
удалось получить лишь для простейших тече-
ний, типа слоистых с профилем скорости,
зависящим от одной координаты.
Сечение, в котором ламинарный погра-
ничный слой становится неустойчивым, не
совпадает с сечением, где наступает турбу?
лентный режим течения. Ниже по течению от
точки потери устойчивости начинается нарас-
тание некоторых возмущающих колебаний,
которое должно завершиться с течением вре-
мени переходом от ламинарной формы к тур-
булентной. Но механизм нарастания возму-
щений в деталях еще не выяснен, что затруд-
няет оценку расстояния между точкой потери
устойчивости и точкой перехода.
Насколько далеко могут отстоять эти две
точки в реальных условиях зависит не только
от интенсивности нарастания возмущений
внутри самого пограничного слоя, но и от
степени турбулентности во внешнем потоке.
В малошумной аэродинамической трубе
путем пропускания воздуха через очень боль-
шое число успокоительных сеток удалось до-
вести среднюю пульсационную скорость до
крайне низкого значения
TuM = ^(i?')2+(v-)2+(»v')2/^I =0,02%.
На рис. 4.3.3 критические числа Рей-
нольдса, определяющие начало и конец пере-
хода ReZr | и ReZr д» даны в зависимости от
степени турбулентности набегающего потока
Tu®. С уменьшением степени турбулентности
критическое число Рейнольдса Rerrj сильно
возрастает, пока не выйдет на величину 310б,
после Чего дальнейшее увеличение не отмеча-
ется. Это означает, чтб существует верхняя
граница критического числа Рейнольдса, при-
сущая собственно пограничному слою на пла-
стине. За счет внешних возмущающих факто-
ров эту границу можно значительно снизить.
ПЕРЕХОД ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ В ТУРБУЛЕНТНОЕ
333
Существуют факторы, благоприятно
действующие на устойчивость пограничного
слоя. Это отрицательный градиент давления
(dpg/dx), либо отсос пограничного слоя,
которые способны стабилизировать течение в
тонком пристенном слое. Поэтому величина
критического числа Рейнольдса Re^ i в дру-
гих условиях может оказаться и ниже, чем 3106.
На рис. 4.3.3 указаны обе границы пере-
ходной зоны от ламинарного режима течения
к турбулентному. Ниже описан метод измере-
ний, с помощью которого такие данные мож-
но получить.
Этот метод основан на принципиальном
различии профилей скорости в ламинарном и
турбулентном пограничных слоях (рис. 4.3.4).
Измеряя на одном и том же расстоянии от
стенки с помощью трубки полного напора
давление торможения и сопоставляя его со
статическим давлением, можно получить дан-
ные о локальных значениях скорости жидко-
сти. Пока трубка полного напора движется по
ламинарному пограничному слою, показания
датчика фиксируют монотонное падение ско-
рости вниз по течению (рис. 4.3.5). Это связа-
но с утолщением пограничного слоя. В зоне
перехода, как видно на рисунке, скорость
резко возрастает за счет большей наполнен-
ности турбулентных профилей скорости по
сравнению с ламинарными. Но после завер-
шения формирования полностью развитого
турбулентного режима течения, датчик опять
будет фиксировать монотонное падение ско-
рости по длине пластины.
Рис. 4.3.3. Влияние степени турбулентности
набегающего потока на критические
числа Рейнольдса перехода
Рве. 4.3.4. Профиля скорости в последовательных
сечениях (7-6) ламинарного (сплошные линии) и
турбулентного (пунктирные линии) пограничного слоя
на пластине (точки 4-4 соответствуют измеренным
значениям на высоте 4)
Рис. 4.3.5. Результаты измерений в пограничном слое
по методу, представленному на рис. 4.3.4,
при различных числах Re и безразмерных
координатах (x/L)
334
Глава 4.3. ПЕРЕХОД ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ В ТУРБУЛЕНТНОЕ
На рис. 4.3.5 область слева от верти-
кальной прямой соответствует ламинарному
пограничному слою, а за серией штрихов
справа находится область развитого турбу-
лентного течения. Набор значков соответству-
ет течениям с различными числами Рейнольд-
са Rc^ = = , где L - полная длина
пластины. Экспериментальное определение
точки перехода заключает в себе некий про-
извол, поскольку эмпирические кривые, про-
веденные по экспериментальным точкам,
имеют относительно пологий минимум. По-
этому оптимальным следует считать исполь-
зование методов измерений, основанных на
различных физических принципах. Например,
сочетание гидродинамических методов.с теп-
ловыми в одних и тех же условиях испытаний
позволит значительно повысить точность из-
мерения первого критического значения
Rerr i, так как тепловой поток в момент пе-
рехода меняется намного резче.
В качестве иллюстрации на рис. 4.3.6
приведены результаты калориметрирования
модели лопатки газовой турбины при различ-
ных числах Рейнольдса Rc^ и степенях тур-
булентности набегающего потока. Самые
нижние кривые соответствуют минимальным
значениям числа Rc^ и степени турбулент-
ности ТЦда. Точка “0” соответствует перед-
ней кромке лопатки, где при ламинарном
пограничном слое наблюдается максимальный
тепловой поток. Слева от нулевой точки на
рисунке даны результаты для поверхности
сжатия лопатки /"корытце”/» а справа - для
поверхности разрежения /’’спинка”/. Увели-
чение числа Рейнольдса до следующего уров-
ня откликается переходом режима течения на
спинке и слабым ростом теплового потока -
на корытце (причем на нижней поверхности
переходный режим сохраняется вплоть до
задней кромки).
<l(S)/a(S=O)
-(S/LJ-0.8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,0- 0,6 0,8+(S/L)
Re-10~6(n’) Tu№(7o)
0,4
0,8
0,8
1,2
1,0
1,0
4,0
4.0
Рис. 4.3.6. Относительный тепловой поток на
поверхности лопатки при различных условиях обтекания
ПЕРЕХОД ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ В ТУРБУЛЕНТНОЕ
335
Увеличение степени турбулентности на-
бегающего потока с 1 до 4% тут же отзывается
на корытце, поскольку здесь градиент давле-
ния меньше, чем на спинке. И лишь при
дальнейшем росте числа Rc^ и высоком
уровне турбулентности набегающего потока
Тию = 4% распределение тепловых потоков
приобретает более или менее симметричный
вид на обоих сторонах лопатки газовой тур-
бины. График на рис. 4.3.5 построен в отно-
сительных величинах, поэтому не так ощути-
мы абсолютные уровни тепловых потоков при
различных наборах внешних параметров Re^
и Тида . Не только числа Рейнольдса Re,rj и
ReZr>2« но и уровни максимальных тепловых
потоков в передней критической точке суще-
ственно изменяются при увеличении степени
турбулентности.
Для того чтобы понять, каким образом
турбулентность потока оказывает влияние на
теплообмен, необходимо сформулировать
физическую модель этого явления. Во внеш-
нем потоке существует целый спектр масшта-
бов турбулентности. Однако на теплообмен
влияют лишь относительно крупные вихри,
проникающие в пограничный слой. Более
точно этот тезис звучит так: размеры вихрей
должны быть соизмеримы с толщиной погра-
ничного слоя, чтобы существенно изменить
переносные свойства ламинарного погранич-
ного слоя в окрестности критической точки
затупленного тела. Масштаб турбулентности
обратно пропорционален частоте турбулент-
ных пульсаций, поэтому очень крупные моли
должны оказывать слабое влияние на тепло-
бмен затупленного тела с диаметром dt но с
ростом диаметра критический размер моля
тоже растет.
Взаимодействие дозвукового потока с
телом теоретически начинается на бесконечно
большом расстоянии. Однако измерения по-
казывают, что заметное изменение парамет-
ров турбулентности начинается с расстояния,
примерно равного диаметру обтекаемого тела.
Интенсивность турбулентности увеличивается,
поскольку средняя скорость потока падает до
нуля на поверхности тела, а пульсационная
составляющая изменяется медленнее. Мас-
штаб турбулентности также уменьшается по
мере приближения к телу, о чем свидетельст-
вуют данные измерения частоты турбулент-
ных пульсаций.
Результаты экспериментальной проверки
изложенной выше модели воздействия турбу-
лентного потока на теплообмен в критиче-
ской точке затупленного тела представлены на
рис. 4.3.7. Видно, что при относительно неболь-
шой степени турбулентности Тию =2,7% на телах,
диаметр которых составлял 5-8 мм, получено
значительное увеличение теплообмена неза-
висимо от формы затупления. Масштаб тур-
булентности задавался в набегающем потоке с
помощью сетки, размер которой составлял
£ ю= 1,9 мм. Для размера тела d>lQLa3
влияния турбулентности на теплообмен не
отмечено.
Попытка связать в единый комплекс
масштаб и интенсивность турбулентности
была предпринята Г. Тейлором еще в довоен-
ные годы. Он показал, что таким объединен-
ным параметром должно выступать произведение
=Tu«,(rf/Z«,)0>2,
где d - диаметр тела, L „ • масштаб турбу-
лентности или размер турбулизирующей ре-
шетки. На рис. 4.3.8 показана связь безраз-
мерной координаты точки перехода (xtr/d)
ламинарного слоя в турбулентный от ком-
плексного параметра при обтекании тур-
булентным потоком эллиптического цилинд-
ра. Из этого графика видно, что при малых
значениях параметра Тейлора внешние воз-
мущения слабо влияют на длину ламинарного
участка пограничного слоя и точку его пере-
хода в турбулентный: здесь все определяется
внутренней устойчивостью самого слоя. Од-
нако после достижения некоторого критиче-
ского значения влияние внешнего турбу-
лизированного потока резко усиливается, а
длина ламинарного участка быстро сокращается.
Рис. 4.3.7. Увеличение теплообмена в критической
точке торца () и сферы (О) в зависимости от их диа-
метра при неизменном масштабе турбулентности набе-
гающего потока L «, =1,9 мм и Ти =2,7%
336
Глава 4.3. ПЕРЕХОД ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ В ТУРБУЛЕНТНОЕ
ростом комплексного параметра
4.3.1. ВЛИЯНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ И ФОРМЫ
ПОВЕРХНОСТИ НА ТОЧКУ ПЕРЕХОДА
Общее влияние теплообмена на точку
перехода ламинарного течения в пограничном
слое в турбулентное такое, что при охлажде-
нии стенки (Tw/Te)<\ значение критиче-
ского числа Рейнольдса Rerr j увеличивается,
а на нагретой стенке (TwjTe) > 1 - уменьша-
ется.
Примерный характер зависимости, пред-
сказываемый теорией и согласующийся с экс-
периментом, представлен на рис. 4.3.9. Но
одновременный учет нескольких определяю-
щих факторов (например, охлаждение стенки
и ее шероховатость) могут резко изменить
прогнозируемые результаты. В качестве при-
мера на рис. 4.3.10 дана зависимость Rerrj от
Т^/Те на шероховатой поверхности острого
конуса с углом при вершине 10°. Существо-
вание режимов обратного влияния охлажде-
ния, когда Rerr уменьшается при снижении
7^ /Те , может быть качественно объяснено
тем, что при сильном охлаждении погранич-
ный слой утоньшается и влияние шероховато-
сти проявляется сильнее.
Исследования в потоках с продольными
градиентами давления 6Ре/6х Ф 0 обнаружи-
вают общую тенденцию стабилизации лами-
нарного режима в ускоряющихся течениях
(dP/dx) <0 и, соответственно, ранней турбу-
лизации в замедляющихся.
Рис. 4.3.9. Зависимость критического числа
Рейнольдса от температурного фактора
Рис. 4.3.10. Влияние охлаждения и
шероховатости на Rerr:
7 - гладкая поверхность;
2 - h =0,025 мм;
3 - h =0,05 мм; 4 - h =0,075 мм
Влияние числа Маха при отсутствии те-
плообмена на критическое число Рейнольдса
Rerr недостаточно ясно. Тщательные изме-
рения, проведенные на гладких пластинах
ВЛИЯНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ И ФОРМЫ ПОВЕРХНОСТИ НА ТОЧКУ ПЕРЕХОДА
337
Рис. 4.3.11. Влияние числа Маха на переход в
пограничном слое
ного слоя 8 не всегда удобно из-за нечеткого
определения ее значения. Поэтому общепри-
нято в качестве линейного размера использо-
вать при расчете критических значений числа
Рейнольдса перехода Re^i и Re^ инте-
гральные величины: толщину вытеснения 8* ,
толщину потери импульса 8** или толщину
потери энергии 87**.
Толщина вытеснения определяется как
Интегрирование от 0 до « означает, что
значение верхнего предела интеграла превы-
шает значение толщины пограничного слоя 8 .
Физический смысл толщины вытесне-
ния следует из выражения
00
8*Ре«е = J(Pe“e -p«)dy.
(ue = const) при Mx = 0, позволили устано-
вить нижнюю границу критического числа
Рейнольдса в диапазоне ЗЮ5+5Ю5. Верхняя
граница, достигнутая в специальных опытах в
особенно равномерных потоках (Тида ^0,1%),
находится в диапазоне 3-10М-106. Из экспери-
ментов получено (рис. 4.3.11), что при возрас-
тании числа Маха до 3,5 критическое число
Рейнольдса снижается, а при дальнейшем
увеличении до Мда =5 начинает медленно
возрастать. Однако, это может быть также
объяснено изменением условий опыта при
возрастании числа Маха. Есть гипотеза, что
влияние степени турбулентности набегающего
потока Тида на критическое число Re/r ос-
лабевает при больших числах Маха.
Использование продольной координаты
х в качестве линейного размера при расчете
критического числа Рейнольдса неоправдано
хотя бы потому, что величина Re/r отличает-
ся на два-три порядка при сравнении течения
на пластине и в трубе. Достаточно использо-
вать при расчете на пластинах вместо коорди-
наты .х толщину пограничного слоя
б = 5^(трс)(рие) , чтобы данные по Re/r на
пластинах и в трубах оказались сопоставимыми.
Но и использование в качестве линей-
ного размера условной толщины погранич-
Справа от знака равенства стоит выра-
жение, показывающее насколько уменьшился
расход жидкости, протекающий вдоль по-
верхности тела через данное сечение, из-за
образования пограничного слоя и эффекта
прилипания и = 0 на стенке. Из-за уменьше-
ния расхода линии тока вблизи поверхности
тела отклоняются от его поверхности так, как
это было бы при обтекании идеальной жид-
костью более толстого тела (рис. 4.3.12).
Отсюда следует, что толщина вытесне-
ния представляет собой некоторое условное
расстояние, на которое нужно отодвинуть
стенку, чтобы при обтекании тела идеальной
жидкостью получить распределение давления
таким же, как при обтекании истинного кон-
тура тела вязкой жидкостью.
Следующая интегральная характеристика
пограничного слоя - толщина потери импуль-
са 8** - выражается формулой
8“ = - -“Ъу. (4.3.5)
JPe«eV “J
Рис. 4.3.12. Схема отклонения линий тока
внутри пограничного слоя:
/ - граница слоя; 2 - линии тока
338
Глава 4.3. ПЕРЕХОД ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ В ТУРБУЛЕНТНОЕ
Величина 5** характеризуетпотерю ко-
личества движения из-за трения. Физический
смысл толщины потери импульса 5** хорошо
виден при анализе интегрального соотноше-
ния, полученного из уравнения сохранения
количества движения для плоской пластины
/
Ре«е8~ = podx,
О
где / - длина пластины. Отсюда следует, что
толщина потери импульса определяет сум-
марное сопротивление трения на всей обте-
каемой поверхности. Для тел более сложной
формы, чем плоская пластина, толщина 5**
характеризует все потери количества движе-
ния, связанные с вязкостью и диссипацией
энергии в пограничном слое.
В качестве интегральной характеристики
теплового слоя используется толщина потери
энергии . В общем случае высокотемпера-
турного и высокоскоростного обтекания тела
(4.3.6)
J реие пе - nw
где Н = А + (и2/?) ‘ энтальпия заторможен-
ного потока, индекс е соответствует течению
на внешней границе пограничного слоя, w -
Т
на стенке, А = jcp dT - энтальпия газа.
Толщина потери энергии 87, напри-
мер, при обтекании пластины характеризует
количество теплоты, потерянное погранич-
ным слоем путем теплоотвода в стенку на
участке от начала развития пограничного слоя
до рассматриваемого сечения х = /:
/
МЖ -Л»)8г = J?0<ix.
о
При расчете интегральных толщин 8*,
8**, 8^ учитывается вся предыстория по-
граничного слоя с учетом распределения дав-
ления и температуры потока вдоль поверхно-
сти тела, а также условий теплообмена на
стенке. Введение этих толщин в критические
числа Рейнольдса Re^i и придает
последним необходимую универсальность. В
инженерных расчетах обычно точка перехода
ламинарной формы течения в турбулентную
определяется по Reg.. = 200, причем в ка-
честве линейного масштаба используется
толщина потери импульса. На рис. 4.3.13 по-
казано, что для лопаток газовых турбин нача-
ло перехода действительно можно отнести к
Reg.. tr = 200, но лишь при достаточно высо-
ких числах Рейнольдса Rc^. На основе дан-
ных, полученных при испытаниях шерохова-
тых непористых тонкостенных моделей в ги-
перзвуковой аэродинамической трубе были
предложены модификации критерия перехода.
4.3.2. ВЛИЯНИЕ НА ПЕРЕХОД ШЕРОХОВАТОСТИ
СТЕНКИ
Рис. 4.3.13. Обобщенная зависимость критического
числа Рейнольдса перехода от степени
турбулентности и числа Рейнольдса
набегающего потока, а также пмфиля лопатки
В настоящее время отсутствуют теорети-
ческие модели, описывающие влияние трех-
мерных неоднородностей на ламинарно-
турбулентный переход пограничного слоя.
Подавляющая часть публикаций - это экспе-
риментальные работы. Исследования перехода
на шероховатых поверхностях начались еще в
довоенные годы по заказу авиации. Стремясь
увеличить радиус действия стратегических
бомбардировщиков, ученые и конструкторы
пытались исключить турбулизацию погранич-
ного слоя на крыльях и фюзеляже и тем са-
мым минимизировать трение. Основные ре-
зультаты работ немецких аэродинамиков
опубликованы Драйденом в 50-х годах. Они
относятся к так называемым двумерным не-
ровностям на телах типа крыльев. В качестве
определяющего геометрического критерия
Драйден ввел отношение высоты шероховато-
ВЛИЯНИЕ НА ПЕРЕХОД ШЕРОХОВАТОСТИ СТЕНКИ
339
сти к к толщине вытеснения невозмущенного
пограничного слоя 8*. Толщина вытеснения
определялась в точке расположения неровно-
сти Хк по формуле, полученной для течения
на плоской пластине,
8J = 1,721
хк
VRe*.
•Re*»
U'Xk
vk
Обобщение экспериментальных данных
проводились по трем параметрам: числу Рей-
нольдса в точке установления турбулентного
режима течения Xtr
Re/r -
U'X„
v*
относительной высоте шероховатости ^/8*j
и безразмерной координате места расположе-
ния шероховатости (Хк/к). Результаты
При малой высоте неровностей
^/sjj<0,4 наблюдается сильное влияние аку-
стического фона в аэродинамической трубе на
число Рейнольдса перехода ReZr.
Чтобы ослабить влияние акустического
фона на корреляционную зависимость Re/r от
относительной высоты неровности ^/8jj, еще
Драйден предложил ее модификацию в виде от-
ношения чисел Рейнольдса перехода на шерохова-
той Re^ и гладкой Re^ o поверхностях. Она
является универсальной функцией от высоты
шероховатости ^/8jj, поскольку исключается
зависимость от координаты (Хк/к) даже при
малых значениях высоты к (рис. 4.3.15).
обобщения изображены на рис. 4.3.14 в виде
зависимости Re», от (*/б*) для ряда значе-
ний координаты (Х/с/к). При малых высотах
шероховатости, когда
(A:/8j)<0,4,
зависи-
мость Re^oT (£/8j j существенно расслаивается.
Однако в среднем диапазоне относи-
тельных высот шероховатости
0.4<(л/8*) < 1,2
существует универсальная зависимость, кото-
рую можно описать функцией
или
Re* =^- = 900.
v.
Этот факт подсказывает другой способ
обработки экспериментальных данных, когда
число Рейнольдса по координате начала тур-
булентного режима Xtr заменяется на число
Рейнольдса по толщине вытеснения 5* в точке
расположения шероховатости или неровности.
Возмущения течения, вызванные неров-
ностью, не всегда приводят к установлению
турбулентного режима непосредственно за
этой неровностью. Поэтому критерий
Re* =900 является лишь порогом, ниже ко-
торого шероховатость высоты к может и не
вызывать переход в пограничном слое.
।
0 0,4 0,8 1,2 к
Рис. 4.3.14. Зависимость критических значений
чисел Рейнольдса перехода от
относительной высоты шероховатости
(пунктиром изображена зависимость ReK =900,
сплошными линиями - аппроксимации
экспериментальных данных в различных
аэродинамических трубах)
Рис. 4.3.15. Модифицированная корреляция Драйдена
340
Глава 4.4. ТУРБУЛЕНТНЫЙ РЕЖИМ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ВНЕШНЕМ ОБТЕКАНИИ
Механизм турбулизации пограничного
слоя за трехмерной неровностью существенно
отличается от турбулизации за двумерной
шероховатостью. При этом за преградой фор-
мируются подковообразные вихри, которые
затем сливаются в турбулентные пятна и об-
разуют турбулентный клин с вершиной, упи-
рающейся в элемент шероховатости. Турбули-
зация пограничного слоя за трехмерной изо-
лированной неровностью обусловлена разру-
шением формирующегося за ней следа. При
переходе к сверхзвуковому режиму течения
двумерная неровность становится менее эф-
фективным турбулизатором, чем трехмерная.
Определяющим является не число Маха в
набегающем потоке Мда, а локальное значе-
ние числа Маха на внешней границе погра-
ничного слоя Ме (для затупленных конусов
Ме £ 3 даже при гиперзвуковом Мда = 15).
Течение на затуплениях развивается в
условиях больших отрицательных (благо-
приятных) градиентов давления. Это сильно
снижает эффективность турбулизации погра-
ничного слоя за неровностью. При гиперзву-
ковом обтекании скачок уплотнения распо-
лагается близко к поверхности и также оказы-
вает определенное влияние на течение в по-
граничном слое.
В настоящее время накоплен богатый
эмпирический материал по ламинарно-
турбулентному переходу на затупленных на-
конечниках с шероховатой поверхностью.
Сами неровности образуются при выгорании
теплозащитных покрытий, поэтому возникает
серьезная проблема по статистической обра-
ботке таких шероховатостей. Результаты
многих работ, полученных как в аэродинами-
ческих трубах, так и на баллистических стен-
дах, удалось сгруппировать и обобщить с ис-
пользованием одинаково определенной высо-
ты шероховатости.
В качестве таковой принимается вели-
чина Л”з0, т. е. высота, которую превышает
30% элементов шероховатости. Результаты
могут быть описаны эмпирической зависимо-
стью
„ _f500Z’1>5, 1 i Z 5 10,
s"'f= 1500, Z<1,
где Z = — ------7------г .
8** Тк l + 35O(k/RN)
Как видно, число Рейнольдса подсчита-
но не по толщине вытеснения 8* , а по тол-
щине потери импульса 8** в рассматривае-
мой точке X на затуплении. Дополнительно
введем в рассмотрение температурный фак-
тор, т. е. отношение температуры Те на
внешней границе пограничного слоя к темпе-
ратуре поверхности Tw.
Рис. 4.3.16. Сводная зависимость критического
числа Рейнольдса от высоты шероховатости,
температурного фактора и кривизны
затупленного тела
Для учета стабилизирующего влияния
кривизны поверхности относительная толщи-
на шероховатости к/b** еще поделена на
(1 + 350£//fyy) , где Rjq - радиус кривизны
залупленного носка. На рис. 4.3.16 представлена
сводка всех экспериментальных результатов.
Глава 4.4
ТУРБУЛЕНТНЫЙ РЕЖИМ
ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ВНЕШНЕМ
ОБТЕКАНИИ
Турбулентное течение является наиболее
распространенной формой движения различ-
ных жидкостей и газов. Теплообмен между
обтекаемой стенкой и потоком, как и при
ламинарном режиме, осуществляется через
пограничный слой, который оказывает ос-
новное сопротивление переносу энергии.
Всего лишь несколько процентов суммарной,
кинетической и тепловой энергии набегаю-
щего потока преобразуется в теплоту, посту-
пающую внутрь обтекаемого тела.
Но в отличие от ламинарного турбу-
лентный пограничный слой имеет весьма
сложную внутреннюю структуру, особенно в
непосредственной близости от стенки (рис. 4.4.1),
где четко прослеживаются рудименты лами-
нарного пограничного слоя. В турбулентных
потоках значения скорости, давления и тем-
пературы непрерывно пульсируют. Это видно
даже на фотографиях пристенных слоев, где
внешняя граница отчетливо отображается за
счет рассеяния параллельных световых пуч-
ков. Эта граница беспорядочно колеблется со
временем в пределах 0,4 - 1,2 от средней тол-
щины пограничного слоя.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕНОСА
341
Ламинарный Перепад- Турбулентный
пограничный нал пограничный слой
Рис. 4.4.1. Ламинарный, переходный и турбулентный
пограничные слои
В то же время турбулентность, как про-
цесс, не является какой-либо коьией хаотиче-
ского (броуновского) движения молекул. Она
имеет все признаки вихревых потоков, но
таких, в которых наряду с крупными вихре-
выми структурами существует множество
мелких и сверхмелких, масштабы которых
составляют целое спектральное распределе-
ние. Хорошим визуальным образом турбу-
лентных течений является истечение дыма из
высоких заводских труб в тихий морозный день.
Благодаря большой интенсивности тур-
булентного перемешивания эти течения обла-
дают повышенной способностью к передачам
теплоты, импульса и пассивных примесей
(диффузии), рассеиванию звуковых и элек-
тромагнитных волн, ускоренному протеканию
химических реакций (в частности, горения).
Переход от ламинарной формы течения в
турбулентную зависит от многих факторов,
таких, как число Рейнольдса потенциального
(т. е. безвихревого) течения, градиент давле-
ния в нем, характеристики обтекаемой по-
верхности (в частности, ее шероховатость),
наличие или отсутствие теплообмена между
стенкой и потоком, уровень внешних возму-
щений (свободная турбулентность).
Всегда существует некое значение числа
Рейнольдса, выше которого течение в погра-
ничном слое можно считать уже сформиро-
вавшимся турбулентным.
Принято считать, что в случае гладкой
пластины с острой передней кромкой и сла-
бой турбулентности набегающего потока
(Ти< 1%) переход происходит при достижении
локального значения числа Рейнольдса
Rex = > 3 Ю5. В реальных условиях
П
неопределенность с точкой отсчета начала
существования развитого турбулентного по-
граничного слоя вносит большой разброс в
экспериментальные и расчетные данные.
Иногда предпринимается попытка установить
так называемое “виртуальное” начало турбу-
лентного пограничного слоя.
Если виртуальное начало турбулентного
пограничного слоя соответствует координате
Хо, отсчитываемой от передней кромки пла-
стины, то среднее значение толщины этого
слоя нарастает быстрее, чем это должно было
происходить в соответствии с уравнениями
ламинарного пограничного слоя (см. гл. 4.1).
Если по-прежнему принять за толщину по-
граничного слоя 8 расстояние от стенки, на
котором осредненное значение скорости со-
ставляет 0,99 от скорости внешнего потенци-
ального течения над пластиной ие, то
Re5 = 0,37х х Re^8_x°)» га® слева число Рей-
нольдса подсчитано по толщине погранич-
ного слоя 8, а справа - по разности коорди-
нат (х-хо), т. е. по расстоянию от виртуаль-
ного начала турбулентного режима течения.
Толщина турбулентного пограничного слоя
зависит от локального значения числа Рей-
нольдса в степени 0,8, а не в степени 0,5, как
при ламинарном режиме течения. Поэтому
при прочих равных условиях турбулентный
пограничный слой имеет большую глубину,
чем ламинарный. Но на этом различия не
заканчиваются.
В гл. 4.2 было показано, что законы
трения и теплообмена определяются динами-
кой нарастания толщины пограничного слоя.
Поэтому в критериальных соотношениях фак-
тор теплообмена, например, уже не зависит от
скорости потока: Nu/VRe # На той
же пластине, чем больше толщина погранич-
ного слоя, тем меньше интенсивность тепло-
обмена, или тепловой поток q$ .
В турбулентном пограничном слое на
пластине тепловой поток всегда выше, чем в
ламинарном, хотя турбулентный слой и явля-
ется более толстым, чем ламинарный при тех
же условиях обтекания. Фактор теплообмена
имеет другую запись: Nu/Re0,8
4.4.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И МОДЕЛИ
ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕНОСА
В отличие от ламинарного пограничного
слоя, в котором режим течения можно счи-
тать стационарным, течение в турбулентном
пограничном слое всегда неустановившееся, а
стационарность выполняется (возможно)
только для осредненного по времени движе-
ния. Сами уравнения Навье-Стокса, допол-
ненные уравнением неразрывности и энер-
гии, являются достаточными (т. е. не содер-
342
Глава 4.4. ТУРБУЛЕНТНЫЙ РЕЖИМ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ВНЕШНЕМ ОБТЕКАНИИ
жат каких-либо чрезмерных упрощений) для
описания нестационарных течений, включая
турбулентные. Но неопределенность краевых
условий для всех точек пространства, занятого
движущейся средой, не позволяет решить их в
полном объеме даже для простейшей геомет-
рии обтекаемого тела.
Существует множество попыток найти
приближенное решение уравнений Навье-Сгокса.
Одна из самых продвинутых заключается в их
линеаризации и последующем осреднении.
Первую попытку в этом направлении
предпринял еще О. Рейнольдс. Он предполо-
жил, что уравнения Навье-Стокса соответст-
вуют действительному (актуальному) движе-
нию жидкости при любом режиме течения.
Все физические параметры потока он записал
в виде суммы осредненной ф и пульсацион-
ной ф' составляющих: ф = ф + ф' . Были сфор-
мулированы следующие правила осреднения:
(ф| +Ф2) = Ф| + Ф2> (ф|Фг) = Ф|Ф2 • (4.4.1)
Под осредненным значением подразумевается
т+Дт
Ф=-^ jvdr, (4.4.2)
т
причем интервал осреднения Ат представля-
ет собой достаточно большой промежуток
времени, чтобы сама величина ф уже не за-
висела от величины интервала осреднения Ат .
Если подставить в систему уравнений
(4.1.1) - (4.1.3) из первой главы вместо ком-
понент скорости и, и температуры Т их мгно-
венные значения в указанном выше смысле,
то после операции усреднения система урав-
нений примет вид:
уравнение неразрывности
(4.4.3)
уравнение движения
„ дР
= pF‘-aZ
(4.4.4)
уравнение энергии
-рсри-Т' + ?v. (4.4.5)
В уравнениях (4.4.3) - (4.4.5) под знаком
производной появились новые слагаемые:
дополнительные напряжения трения типа
pu'iU'j и дополнительный тепловой поток
pCpU'iT'. Эти дополнения и есть математи-
ческое выражение тех новых физических явле-
ний, которые возникают вследствие турбу-
лентного перемешивания среды. Решение
прикладных задач будет неполным до тех пор,
пока не будет познана закономерность турбу-
лентной структуры потока и не получены
феноменологические соотношения типа зако-
нов Ньютона, Фурье и Фика для обычного
(вязкого) трения, теплового потока и диффу-
зионного потока (см. гл. 4.2).
Рис. 4.4.2. Распределение турбулентных пульсаций и осредненной скорости в
пограничном слое на плоской пластине
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕНОСА
343
На рис. 4.4.2 показано изменение по
толщине пограничного слоя на плоской пла-
стине амплитуды колебаний трех компонент
скорости их, иу, иг. Видно, что они разные по
значению, хотя имеют общие качественные
закономерности. Понятно, что допущение об
изотропной турбулентности, широко исполь-
зуемое в теории, имеет весьма относительную
применимость. По мере приближения к стен-
ке резко увеличивается как степень турбу-
лентности, так и градиент всех пульсацион-
ных составляющих. Это означает, что при
численном моделировании шаг сетки должен
составлять тысячные доли толщины погра-
ничного слоя, что представляет сегодня самую
серьезную проблему.
Вблизи обтекаемых поверхностей спектр
турбулентности отличается большим разнооб-
разием. Поскольку процессы переноса, в том
числе и теплопереноса, в основном, обеспе-
чиваются крупномасштабными вихревыми
структурами (их называют молями или комка-
ми), проблема будет значительно упрощена,
если пренебречь мелкими вихрями.
Порождение турбулентности неразрывно
связано с диссипацией турбулентной (вихре-
вой) энергии. Поэтому модель процесса, в
которой не учитываются процессы диссипа-
ции, а они, в основном, связаны с мелкомас-
штабными вихревыми структурами, будет не
только не полной, но и не достоверной.
Турбулентность, как особое состояние
движущейся среды, носит не только неста-
ционарный пульсирующий характер, но и
является сугубо пространственной или трех-
мерной. Стенка всегда гасит турбулентность,
поэтому движение жидкости в замкнутых
каналах, обтекание тел бесконечным потоком
и струйные течения имеют не меньше разли-
чий, чем общих черт.
На самой поверхности тела новые сла-
гаемые в уравнениях (4.4.4) и (4.4.5), а имен-
но UjU'j и I//T' равны нулю, но это не озна-
чает, что трение и тепловой поток могут быть
подсчитаны в пренебрежении турбулентно-
стью. Подобно тому, как конвекция много-
кратно усиливает теплоперенос по сравнению
с теплопроводностью твердых тел, также и
диссипация пульсационной энергии в непо-
средственной близости от стенки (см. рис. 4.4.2)
оказывает влияние на профиль скорости и
температуры осредненного движения.
Осредненные уравнения сохранения
массы, количества движения и энергии (4.4.3)
- (4.4.5) в турбулентном потоке оказываются
незамкнутыми, так как в них появились чле-
ны, содержащие неизвестные величины пуль-
саций скорости и температуры. В связи с
этим большое распространение получили так
называемые полуэмпирические теории турбу-
лентности, в основу которых положено допу-
щение о том или ином виде связи между пе-
реносимой турбулентными пульсациями ве-
личиной (количество движения, количество
теплоты) и соответствующими параметрами
осредненного потока.
Основы полуэмпирических теорий тур-
булентности заложены еще Прандтлем и Тей-
лором. Многое в них исходит из аналогии с
ламинарным течением. Перечислим лишь
самые важные постулаты.
Постулат первый (гипотеза М. Буссине-
ска) состоит в том, что турбулентное напря-
жение трения, как и молекулярно-вязкостное
ньютоновское трение, может быть отнесено к
градиенту скорости осредненного течения
.Зм
ХТ =
(4.4.6)
у=0
Но если в ламинарном потоке А отождествля-
ется с динамической вязкостью т|, которая
является физической характеристикой дви-
жущейся среды, то в турбулентном
А = т| + Т]т, где г|т или кажущаяся вязкость
зависит от среды и от параметров ее движе-
ния, в частности, того же градиента осред-
ненной скорости (дй/ду).
Постулат второй (гипотеза Прандтля) со-
стоит в том, что турбулентная часть напряже-
ния трения в соотношении (4.4.6) может быть
представлена как
ди
ду
*Т = -р(“;«у) = р/2
ди
Зу л
z у=0
, (4.4.7)
где модуль от производной скорости согласо-
вывает знак градиента скорости и знак самого
касательного напряжения.
Рассуждения Прандтля были физически
достаточно простыми. Пусть имеется плоское
срезывающее течение с распределением ско-
рости й(у), изображенное на рис. 4.4.3. Пе-
ремещение турбулентного моля (или комка)
вверх по оси у соответствует положительной
пульсации нормальной компоненты скорости
(+v') и создает отрицательное приращение
импульса (pv')(-u') = -pv'u'.
Напротив, перемещение того же моля
вниз по оси у соответствует отрицательной
пульсации (-v') и положительному прира-
щению компоненты скорости (+W) . Тем не
менее и в этом случае приращение импульса
отрицательное: (-pv')(+i/') = -pv'w'.
344
Глава 4.4. ТУРБУЛЕНТНЫЙ РЕЖИМ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ВНЕШНЕМ ОБТЕКАНИИ
Рис. 4.4.3. Перенос импульса при турбулентных
пульсациях скорости
Возникающее в каждом из указанных
случаев положительное касательное напряже-
ние тт = -р(м'у') складывается с положи-
сопоставления соотношений (4.4.7) и (4.4.8),
турбулентная составляющая трения стремится
к нулю. Другими словами, в ближайшей окре-
стности стенки существует слой, где закон
трения является чисто ламинарным
дй
xttiXL=~^'
ду
Этот слой называется ламинарным подслоем.
Тем самым как бы исключается из рассмотре-
ния такое важное для теории понятие, как
толщина турбулентного пограничного слоя.
Напомним, что применительно к ламинар-
ным пограничным слоям на пластине или
клине толщина ламинарного пограничного
слоя была использована как масштаб длины
при построении автомодельной независимой
переменной £. Блестящий выход из этого
тупика, предложенный Прандтлем, состоял в
том, чтобы заменить линейный масштаб на
масштаб скоростной.
Согласно экспериментальным данным, в
том числе и представленным на рис. 4.4.2,
максимум кажущегося турбулентного каса-
тельного напряжения находится столь близко
от стенки, что вполне приемлемо положить
этот максимум просто равным величине тре-
ния на стенке:
тельным ламинарным или вязкостным каса-
тельным напряжением.
Выбрасывание турбулентных молей
вверх или вниз со скоростью (v') приводит к
образованию между ними расстояния тем
большего, чем выше приращение скорости
несущего потока (и'). В силу неразрывности
Gt)
' T'max
= р/2
ди
дУ
(4.4.9)
потока это позволяет считать, что пульсации
поперечной (v') и продольной (и') компо-
нент скорости имеют один и тот же порядок
величины |v'| =
число
|ц'| =. число /
ди
ду
Структура формулы (4.4.9) такова
т = p|i/||v| = Pv*, что позволяет принять в
качестве меры интенсивности турбулентных
пульсаций в пограничном слое величину v;,
определяемую как
v.=<Ajp. (4.4.10)
/ - условная длина пути смешения, которая
дает среднестатистический пробег турбулент-
ного моля. Отсюда нетрудно получить, формально
перемножив (v') на (и'), широко известное
соотношение для кажущегося трения (4.4.7).
Выясним порядок значения величины /
или длины пути смешения. Поскольку на
самой стенке никакое поперечное движение
невозможно, т. е. / = 0, то самое простое, что
можно допустить
(4.4.8)
где к - некая константа, характеризующая
саму природу рассматриваемого явления. В
последствии показано, что для турбулентного
пограничного слоя к = 0,4.
Постулат третий (о динамической скоро-
сти) также был высказан Прандтлем. По мере
приближения к стенке, как это следует из
Параметр v„ называется динамической
скоростью. Он играет важную роль в обобще-
нии экспериментальных и расчетных данных
применительно к турбулентному погранично-
му слою. Это внутренний масштаб проблемы,
связывающий интенсивность турбулентного
смешения внутри пограничного слоя с легко
измеряемым параметром на поверхности об-
текаемого тела .
Универсальный профиль скорости в турбу-
лентном пристенном течении получили также
с использованием третьего постулата Л.
Прандтля. По аналогии с ламинарным погра-
ничным слоем выбрано и выражение для без-
размерной координаты
у+ = РЫ. = Ке_. (4.4.11)
/ = ку ,
, где
« tw.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕНОСА
345
Эта величина является числом Рей-
нольдса, рассчитанным по текущему значе-
нию поперечной координаты (толщины слоя),
причем вместо скорости в невозмущенном
потоке ие использована скорость V,.
Далее, следуя Прандтлю, введем допу-
щение о том, что касательное напряжение
трения постоянно (не только в районе макси-
мума тт „до, но и в более широкой зоне, о
которой будет сказано ниже). Тогда, подставив
(4.4.8) в (4.4.9), нетрудно получить уравнение
2 I2 21 &U |
v; = к у —
интеграл которого
(./<•) О/»)
-1пр
(4.4.12)
где Р - безразмерная произвольная постоян-
ная, которая может быть определена только
экспериментально.
Логарифмический закон изменения ско-
рости по толщине с физической точки зрения
может рассматриваться как асимптотический,
поскольку при его выводе мы полностью пре-
небрегали ламинарным слагаемым в касатель-
ном напряжении т , а учитывали только тур-
булентную составляющую (4.4.9). По этой
причине логарифмический закон скорости не
должен совпадать с данными измерений в
непосредственной близости от стенки.
В ламинарном подслое, там где лами-
нарные касательные напряжения играют су-
щественную роль
ди и
С учетом того, что = pvj , в ламинарном
подслое справедливо линейное распределение
скорости по толщине: (w/v*) С® РУУ*/л • Это
полностью соответствует экспериментальным
результатам, представленным на рис. 4.4.4.
По кривым, изображенным на рис. 4.4.4,
видно, что до (pyv./r|) <5 турбулентное тре-
ние ничтожно мало по сравнению с ламинар-
ным. В диапазоне 5 < (рУ*у/т]) < 40 лами-
нарная и турбулентная компоненты трения
одного порядка. Наконец, для (рУ*у/т]) > 40
ламинарное трение ничтожно мало по срав-
нению с турбулентным.
Отсюда следует, что для гладкой стенки
толщина ламинарного подслоя равна
8£в5^-. (4.4.13)
Однако совпадение логарифмического закона
распределения скорости с экспериментом
нарушается и вдали от стенки, по мере при-
ближения к внешней границе пограничного
слоя из-за слишком категоричного допущения
Прандтля о том, что трение является величи-
ной постоянной. Независимые измерения
касательного напряжения в пограничном слое
над пластиной и в трубах показали, что тре-
ние почти линейно убывает с расстоянием от
стенки (рис. 4.4.5). Но парадокс заключается
в том, что одно отклонение от реальной кар-
тины как бы уравновешено другим отклоне-
нием, связанным с соотношением (4.4.8). В
качестве иллюстрации на рис. 4.4.6 приведено
распределение длины пути смешения вдоль
диаметра гладкой трубы при различных чис-
лах Рейнольдса Re. В качестве масштаба по
оси абсцисс и оси ординат принят радиус
трубы R. Для того чтобы получить этот ре-
зультат, необходимо было одновременно из-
мерить и касательное напряжение и скорость
по всему сечению потока.
Рис. 4.4.4. Универсальный закон распределения
скоростей в трубе, плоском канале и
пограничном слое.
Разными значками отмечены результаты
опытов разных авторов: а - линейный закон;
b - логарифмический закон; точки и D\
ограничивают область отклонения от
этих законов
/и
346
Глава 4.4. ТУРБУЛЕНТНЫЙ РЕЖИМ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ВНЕШНЕМ ОБТЕКАНИИ
Рис. 4.4.5. Измерения величины и'ч’,
касательного напряжения т/р и
коэффициента корреляции \у
по ширине канала
Рис. 4.4.6. Распределение длины пути перемешивания
вдоль диаметра гладкой трубы при
различных числах Рейнольдса
Попытки ввести “демпфирующий”
множитель в прандтлевскую длину пути сме-
шения предпринимали многие исследователи,
но наиболее удачной является формула Е.
Ван-Дриста:
/ = ку [1 - exp(-pv*y/(26t]))j. (4.4.14)
Логарифмический закон распределения
скорости выведен для такого турбулентного
течения, в котором учитывается только турбу-
лентное касательное напряжение, а вклад
ламинарного игнорируется. Такое допущение
оправдано лишь при сравнительно больших
числах Рейнольдса. При меньших числах
Рейнольдса ламинарное трение необходимо
учитывать не только в очень тонком присте-
ночном слое, но и во всех других областях.
На основе опытов вместо логарифмического
(4.4.12) выведен степенной закон
±_ = с| £Ы.|
Ve I П J
(4.4.15)
причем показатель степени п слабо убывает с
ростом числа Рейнольдса (результаты для
течений в гладких трубах):
Число 4 х 2,3 ж 1,3 х 1,1 х 3,2 х
РЬйнольаса Re... *-Ю3 xiO4 xiO5 xio6 xio6
Показатель I /л
в степенном
”ШНе<4А,5)- 6.0 6.6 7.0 ».» 10
Большое преимущество логарифмиче-
ского закона распределения скорости перед
степенными состоит в том, что он является
предельным для очень больших чисел Рей-
нольдса, а потому может быть экстраполиро-
ван на диапазон чисел Рейнольдса, лежащий
за пределами выполненных измерений.
Именно поэтому логарифмический закон
распределения называется универсальным.
4.4.2. МЕТОДЫ ТЕПЛОВОГО РАСЧЕТА
Отсутствие строгой модели турбулент-
ного перемешивания и, как следствие, недос-
таточность математического описания не по-
зволили создать столь же достоверные методы
теплового расчета, как при ламинарном ре-
жиме течения в пограничном слое. Однако
потребности практики, прежде всего авиаци-
онно-ракетной техники, настоятельно требо-
вали разработки инженерных, в какой-то ме-
ре даже интуитивных методов, основанных на
большом опыте экспериментальной отработки
и на понимании внутренних логических свя-
зей в явлениях тепло- и массообмена. Такие
методы теплового расчета были созданы во
многих научных центрах.
Прежде чем перейти к описанию этих
методов, сделаем ряд общих замечаний. При
анализе тепло пере носа в ламинарном погра-
ничном слое (см. гл. 4.2) удалось установить
целый ряд закономерностей, справедливых
для различных условий в набегающем потоке,
на телах различной геометрической формы. И
хотя турбулентный перенос массы, импульса
МЕТОД ЭФФЕКТИВНОЙ ДЛИНЫ
347
и энергии является, как правило, намного
более интенсивным, чем ламинарный, боль-
шинство этих закономерностей в полной мере
присущи и течениям с развитой турбулентно-
стью.
1. Аналогия между тепло-, массообмевом
и трением. Если коэффициент теплообмена
(а/ся)о ~ ~ М ’ коэФФиниент массо-
обмена Ро = - Q.w]» трение на стенке
tq = ~ц(ди/ду), а скорость на внешней гра-
нице пограничного слоя ие, то существует
тройное равенство
(«/ср)о = ₽0 = ч/“е • (4.4.16)
Строго оно выполняется в безградиентном
потоке (dp/dx) = 0 при Le = Pr = l. Можно
ввести коэффициенты-поправки, учитываю-
щие отклонения в триаде равенств при нали-
чии градиента давления, числах Le и Рг, от-
личных от единицы.
С использованием безразмерных крите-
риев - числа Стентона St = “ ^)]
коэффициента
- аналогия
трения
Рейнольдса
между трением и теплообменом, как частный
случай (4.4.16), записывается в виде
cf = 2St.
(4.4.17)
2. Переменность теплофизическнх свойств
жидкости или газа. Если принять за прототип
обтекание данного тела несжимаемой жидко-
стью с постоянными теплофизическими свой-
ствами, то все многообразие реальных про-
цессов, связанных с неоднородностью физи-
ческих и химических процессов (включая
переменность свойств, неравновесные хими-
ческие реакции, вдув инородных компонент и
т. д.), можно описать тем же критериальным
законом теплообмена, где фактор теплообме-
на (для ламинарного режима это отношение
Nu/VRe ) снабжается мультипликативными
поправками, причем каждый из поправочных
множителей ц/|, vp2..Wn учитывает ка-
кой-либо один из установленных выше отли-
чительных факторов. Поскольку показатель
степени при числе Рейнольдса в факторе теп-
лообмена совпадает с показателем степени в
законе роста толщины пограничного слоя
Reg = Q Re" _ х , то общее критериальное
соотношение для теплообмена в турбулентном
пограничном слое должно иметь вид:
Nu/r4»=c,W2...W(1. (4.4.18)
3. Принцип локального подобия. На телах
самой различной геометрии (критическая
точка затупленного тела, продольно-
обтекаемая пластина или клин) законы теп-
лообмена имеют формально одно и то же
критериальное выражение, а вся специфика
сводится к отличию в константе пропорцио-
нальности (точнее поправочному множите-
лю), учитывающему градиентность парамет-
ров набегающего потока (давления, скорости
или температуры). Законы трения и теплооб-
мена для ламинарного пограничного слоя
достаточно консервативны и к изменению
граничных условий. Например, взяв за основу
решения, найденные для изотермической
= const) продольно обтекаемой пластины
(це = const), можно распространить их на
более сложные граничные условия.
4. Принцип консервативности. За исклю-
чением областей вблизи точки отрыва погра-
ничного слоя законы теплообмена и трения
могут быть получены с приемлемой точно-
стью, если профили скорости и температуры в
пограничном слое аппроксимировать просты-
ми функциями, удовлетворяющими гранич-
ным условиям. Это можно сформулировать
как принцип консервативности пограничного
слоя по отношению к локальному несоответ-
ствию расчетных и реальных параметров те-
чения внутри него. Выше уже было показано,
что экспериментальные данные для турбу-
лентного пограничного слоя могут быть ап-
проксимированы степенными законами рас-
пределения скорости и температуры по при-
веденной координате (pv#y/r]). Эти распре-
деления (4.4.15) широко использованы во
многих инженерных методах теплового расче-
та, в том числе и представленных ниже.
Различие между тем или иным инже-
нерным, полуэмпирическим методом расчета
теплообмена и трения в условиях турбулент-
ного пограничного слоя сводится к характеру
и объему использованной ими априорной
информации.
4.4 J. МЕТОД ЭФФЕКТИВНОЙ ДЛИНЫ
Суть метода заключается в том, что лю-
бому сечению х пограничного слоя на рас-
сматриваемом теле (рис. 4.4.7), в котором
известны термогазодинамические параметры
потока Те(х), ие(х) и ре(х) ставится в соот-
348
Глава 4.4. ТУРБУЛЕНТНЫЙ РЕЖИМ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ВНЕШНЕМ ОБТЕКАНИИ
ветствие пластина эффективной длины xefl- ,
с теми же параметрами невязкого (внешнего)
обтекания Те, ие, ре. По определению эф-
фективной длины общее количество теплоты
Qq , ушедшее из пограничного слоя при об-
текании пластины на длине xcff и рассмат-
риваемого тела с заданной геометрией R(x)
на длине х должно быть одинаковым:
Оо =
J ^odx = 2л |/tyodx .
о о
(4.4.19)
В качестве априорной информации при-
нимается критериальное уравнение для теп-
лообмена на пластине, обтекаемой сжимае-
мым газом с известными параметрами
ие = const; Те, ре. В размерной записи закон
теплообмена для пластины имеет вид:
/ \0,8 о,2
q0 = 0.0296 Рг^м>гЬИ<{,2П|> х
xcff
<4Л2°)
* ги>
где поправка на переменность теплофизиче-
ских свойств
'Рт
-1 Л0»11
+ , (4.4.21)
а г - коэффициент восстановления, который
обычно принимается равным г - %]Prw . Ин-
декс tv соответствует параметрам на стенке,
индекс е в набегающем потоке. Число Пран-
дтля Рг = х\ср!\, теплоемкость заморожен-
ной смеси сям. , а также показатель адиабаты
pw
у считаются известными. Ме - число Маха
набегающего потока.
Если температура стенки Tw = const, то
подставляя (4.4.20) в основное уравнение ме-
тода эффективной длины (4.4.19), получим
связь между действительной и эффективной
координатами х и х^д-. Для этого дифференци-
руем (4.4.19) по х, учитывая, что фактор теп-
лообмена Nu/Re0,8 , а также перепад темпе-
ратур (Те - Tw) в пограничном слое на пла-
стине и рассматриваемом теле совпадают.
После дифференцирования по х получим
^(1,25Я(х)?0хе|г) = Rq0,
откуда следует
х
|«5/4pM,uedx
^ = \5/4ou • <4-4'22)
" Pwue
Дальнейший расчет теплового потока на рас-
сматриваемом теле проводится по формуле
(4.4.20) для плоской пластины, где вместо хе/
подставляется выражение (4.4.22).
В числителе (4.4.22) стоит интеграл от
известной функции от х, в знаменателе - те-
кущее значение подынтегральной функции.
Рассмотрим несколько примеров.
1. Конус, обтекаемый сверхзвуковым потоком
без угла атаки. В этом случае ие - const,
ре = const, pw = const, R = xsin0K , где
0K - полуугол при вершине конуса. С помо-
щью (4.4.22) получим
4
*eff= jX.
Как видно, эффективная длина на кону-
се значительно меньше, чем на пластине. Из
формулы (4.4.20) следует, что тепловой поток
на конусе при тех же значениях параметров
набегающего потока в 1,175 раза больше, чем
на пластине той же длины. Физическое объ-
яснение этому состоит в том, что линии тока
при удалении от вершины расходятся и на-
растание пограничного слоя происходит мед-
леннее.
2. Течение в окрестности критической
точки затупленного тела. Для плоского тела
R = const, Ug = 0х, р « const, pw = const,
и, следовательно, xeff = 0,5х .
МЕТОД ЭФФЕКТИВНОЙ ДЛИНЫ
349
Для осесимметричного тела ие = 0х ,
ре « const, ре « const, Rtf ж х,Ме » О, а ве-
4
личина xeff = —х. Выражение для тепло-
вого потока принимает следующий вид:
<7о = 0,0375 Pr^7 pwueCpW(To -Tw) х
2 А-0’2/ \°>6
х₽£-Р |Р£-| . (4.4.23)
\ Ли» J 'Ри»7
При использовании (4.4.23) следует
иметь в виду, что она справедлива только в
окрестности критической точки, где можно
пренебречь изменением плотности pw в за-
висимости от координаты х. Для сфериче-
ского или цилиндрического затупления гра-
диент скорости потока 0 может быть связан
со скоростью звука в точке торможения Oq
или в звуковой точке а5 :
Здесь коэффициент пропорциональности С
приблизительно определяется отношением
давления набегающего потока рт и давлени-
ем заторможенного потока pfa:
С2 • (1 - Р«>/Ро)
При увеличении радиуса затупления R#
тепловой поток в сходственных точках с оди-
наковыми угловыми координатами х = x/RN
уменьшается обратно пропорционально
К-
Непосредственно в критической точке
турбулентный тепловой поток по расчету ра-
ки нулю, поскольку скорость ие = 0. Интен-
сивность ламинарного теплообмена (см. гл.
4.2) имеет в критической точке всегда конеч-
ное значение.
Если число Рейнольдса определить через
скорость звука в точке торможения
ReH,0 = Oq P^N /Ли» » а число Нуссельта
Nuw0 =
Qqrn
МГ0 ~TW)
то критериальное уравнение свяжет между
собой фактор теплообмена с числом Прандтля
и поправкой на переменность плотности
/ \0,6
Nuw0/Re“-g = А Рг0-43 х0-6 (2/у)0’4 ;
\Ри»/
здесь х = x/Rn - угловая координата на
поверхности затупления, А = 0,0375.
3. Течение и теплообмен на осесиммет-
ричном затупленном теле. Рассмотрим обтека-
ние затупленного тела высокоскоростным
потоком воздуха с числом Маха, значительно
превышающим единицу. Температура затор-
моженного потока То и температура на
Внешней границе пограничного слоя Те зна-
чительно превышают температуру охлаждае-
мой стенки Tw . Давление вдоль поверхности
такого тела Ре изменяется весьма значитель-
но. В первом приближении его можно при-
нять соответствующим модифицированному
ньютонианскому приближению (4.2.6). Изме-
нение плотности (р^/Рн-о) = (Ре/Рй)» а из"
менение скорости определяется по формулам
изоэнтропийного течения. В этих условиях
целесообразно трансформировать критериаль-
ное соотношение для теплообмена, выделив
переменные вдоль поверхности тела величи-
ны: скорость ие и плотность р^. Соотношение
для теплового потока на пластине (4.4.20)
после введения в него параметра
Rew0 = аоРи»^/Ли» принимает вид
Nuy0
р,»0,8 рг0,43
Ксн»0 РГ ^Т
( А0’8
= 0,0296 -2*- х
'Ри»0/
(4.4.24)
Здесь Rewo - постоянный параметр, соответ-
ствующий течению в самой критической точ-
ке. Поэтому комплекс, стоящий в левой части
соотношения (4.4.24), представляет собой
относительный тепловой поток, а справа сто-
ят известные функции продольной координа-
ты х или угловой координаты х = x/Rn .
На рис. 4.4.8 и 4.4.9 представлены рас-
четные зависимости для сферического и
плоского торцев. Для сравнения на рис. 4.4.10
приведены два варианта расчета ламинарного
и турбулентного теплообмена на полусфери-
ческом залупленном теле, отличающихся чис-
лом Рейнольдса Rew0.
350
Глава 4.4. ТУРБУЛЕНТНЫЙ РЕЖИМ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ВНЕШНЕМ ОБТЕКАНИИ
Ре/Ро Nuwo/Рг 0^г)
Рис. 4.4.8. Распределение давления и коэффициента
теплоотдачи вдоль образующей сферического затупле-
ния при турбулентном режиме
Рис. 4.4.9. Распределение давления и коэффициента
теплоотдачи вдоль образующей плоского затупления
при турбулентном режиме
Рис. 4.4.10. Сравнение коэффициентов теплоотдачи
на сфере при ламинарном (7) и турбулентном (2)
режимах течения:
-----Rew0 =81 о6,
.....Rew0 = 1,3 ю7
Как видно, при уменьшении числа Рей-
нольдса турбулентный тепловой поток снижа-
ется сильнее, чем ламинарный, а при
Rewo w 1,5Ю5 максимальные значения ко-
эффициента теплоотдачи при ламинарном и
турбулентном режимах течения примерно
равны.
Поскольку комплекс (pwMe) имеет мак-
симум при переходе через скорость звука,
постольку тепловой поток в турбулентном
пограничном слое всегда будет иметь наи-
большее значение в звуковой точке или в
критическом сечении сопла.
Влияние переменности теплофизических
свойств по методу эффективной длины пред-
лагается в общем случае учитывать поправоч-
ным множителем
/ т \ 0,4 Z ч0,11
Ч/т=Ш 1 + г^М7 .(4.4.25)
Для самых различных газовых смесей,
отличающихся широким спектром теплофи-
зических параметров, расчетные данные по
тепловому потоку в критическом сечении
сопла показывают приоритетное влияние дав-
ления. Например, в критическом сечении
сопла для двух топливных пар: кислород +
водород и кислород + керосин, эти зависимо-
сти приближаются к qQ max со , притом
тем быстрее, чем выше температура в камере
сгорания Tqq.
4.4.4. МЕТОД ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ЗАКОНОВ ТРЕНИЯ И
ТЕПЛООБМЕНА
Этот метод использует ряд априорных
соотношений. Прежде всего, это так называе-
мые степенные законы сопротивления. Если
использовать традиционную форму представ-
ления безразмерного коэффициента трения
Суд = 2тоДреНе) и безразмерного коэффи-
циента теплообмена, называемого также чис-
лом Стентона
ch,Q = St0 = Я^1\Реиеср(Те ~ , то степен-
ные законы трения и теплообмена записыва-
ются в виде
с/о = B(Re’-)-m, St0 = -Pr-°”(ReF)-'".
(4.4.26)
Во-первых, при этом выполняется аналогия
Рейнольдса с поправочным множителем, за-
висящим от числа Прандтля
Су0 = 2St0 • Рг0,75 .
Во-вторых, степенные законы сопротивления
и теплообмена получены с использованием
степенной аппроксимации для профиля скорости
МЕТОД ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ЗАКОНОВ ТРЕНИЯ И ТЕПЛООБМЕНА
351
w/v* = const (pv.y/п)л ,
где при /1 = 1/7 В = 0,0252, т = 0,25; при
я = 1/9 В = 0,019, т = 0,2.
В-третьих, предполагается, что относительные
законы сопротивления и теплообмена, записан-
ные в вице
* = (c//c/o)Re... V, = (St/St0)Rer-
(4.4.27)
(где Cj-q и St0 - соответствуют условиям об-
текания пластины изотермическим потоком
несжимаемой жидкости), практически не за-
висят от числа Рейнольдса Re, если Cf и
Су0, а также St и St0 вычисляются при одних
и тех же значениях
Re** = Р<“<8**, Rey = Р>Ц>5Г . (4.4.28)
Че Ч
С учетом всех перечисленных предпосы-
лок можно рассчитать Cf и St для произ-
вольных условий в набегающем потоке и на
стенке, т. е. получить истинные законы теп-
лообмена и сопротивления с помощью инте-
гральных соотношений импульсов и энергии.
Последние получаются из уравнений движе-
ния и энергии (4.4.2) - (4.4.3) при интегриро-
вании их по координате у.
^(Ре«еЛ8**) + Ре“Ж* х
х(. + Н’)£ = *о.
£(я« - ЦрлЮг’j = *<?о. (4.4.29)
пе Н* = 5*/5** - формпараметр.
С помощью величин ц/ и учитыва-
ется различные особенности реальных тече-
ний, отличающие их от “стандартных”: не-
вотермичность ц/т и сжимаемость ц/м , вдув
породного газа в пограничный слой ц/в,
фадиент давления и другое,
Ч^ = Ч/тЧ/мЧ/в- (4.4.30)
Для каждого из поправочных множитс-
хй найдена функциональная связь с пара-
грамм задачи:
Vt ~ + » где = Не »
Ч/м
г = V₽r ,
4<в =(1-*/*.)2,
- ('w/Peu«(St)o “^'н'/(а/Ср)0 “ •
=т^М+^]/['-^-Ч
Заменяя 5* на Refi.., интегральные соотно-
шения привели к виду
dRe'
dx
Re** due
uf dx
+ Re--dlnr=R
dx L
Gw
РЛ
dRer** Re" d(#g -
dx +(He-hw) dx
n „ dlnr n Gw )
+ Кег-_ = КЦ8‘т+^.
В результате интегрирования любого из
них находят зависимость Re**(x) или
Re"(x), а затем и значения су(х) или
St(x). Решение второго интегрального уравнения
не обязательно, поскольку существует связь между
Cj- и St согласно аналогии Рейнольдса.
На рис. 4.4.11 представлено сравнение ре-
зультатов расчета по методу эффективной длины и
методу относительных законов применительно к
течению в сопле ракетного двигателя. Там же
нанесены экспериментальные данные.
Рис. 4.4.11. Изменение коэффициента
теплообмена вдоль сопла при турбулентном
пограничном слое ( Pqq = 5 МПа):
1 - расчет по модели Кутателадзе - Леонтьева;
2 - расчет по модели Авдуевского
352
Глава 4.4. ТУРБУЛЕНТНЫЙ РЕЖИМ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ВНЕШНЕМ ОБТЕКАНИИ
4.4.5. МЕТОД “ЛОКАЛЬНОГО ПОДОБИЯ”
Фактически во всех полуэмпирических
теориях турбулентности предполагается (явно
или неявно) существование некоторого внут-
реннего равновесия в структуре турбулентно-
сти. Сама гипотеза Прандтля для турбулент-
ного течения равнозначна предположению о
том, что характеристики турбулентности в
каждой точке потока целиком определяются
только локальными характеристиками осред-
ненного течения вблизи этой точки.
Согласно модели турбулентности для
турбулентных коэффициентов вязкости и
теплопроводности Х7 справедливы зависи-
мости:
Рис. 4.4.12. Распределение турбулентного числа
Прандтля (а) при течении в трубе
при Рг = 0,01 (/), 1(2) и 10(3)
Пг = р/2
ди
ду
= cpPl h
ди
ду
(4.4.31)
где /, /| - длины пути перемешивания для
импульса и теплоты. Для вычисления значе-
ний / и /| предложены различные формулы,
например, / = ку, /] = /, к = 0,4.
На основе анализа экспериментальных
данных о структуре пограничного слоя В. М.
Иевлевым развита полуэмпирическая теория,
которая применима для решения широкого
круга задач. Окончательные результаты его
анализа можно свести к следующим форму-
лам, дающим отношение турбулентных и* мо-
лекулярных вязкостей Пт’/п и турбулентное
число Прандтля Рг^ = г\тср1^т :
Чт/ч = -ЗЗ + -J14.4 + (р/г TVp/Ч)2 .
(4.4.32)
Ргг = Чт7ч *
X -(1/Pr) + V(l/Pr)2 + 1.25(пг/чХ667 + Чт/ч) •
(4.4.33)
где /7 - масштаб турбулентности.
Вдали от стенки, когда pItJi/p!^ »
1, тогда л7 ® /7-/гр » что соответствует вто-
рому постулату теории турбулентности и
формуле Прандтля для пути смешения (4.4.7).
Для обеспечения согласия расчетов по
формулам (4.4.32) и (4.4.33) с опытными дан-
ными необходимо задаться приемлемым зна-
чением масштаба турбулентности /7. Можно,
например, использовать формулу Никурадзе
для длины пути смешения в трубе, заменив в
ней радиус трубы на толщину пограничного
слоя.
1Т/Ь = 0,14 - 0,08(1 - (у/8)]2 - 0,06 [1 - (у/8)]4 .
Тем самым система уравнений (4.4.3) -
(4.4.5) будет замкнутой, поскольку кажущиеся или
турбулентные составляющие трения и теплового
потока могут быть вычислены по соотношениям
-p(^) = 4rg,-(^^) = *r^.
На рис. 4.4.12 дано распределение числа
Прандтля турбулентного при течении в трубе
жидкостей со следующими значениями числа
Прандтля молекулярного: кривая 1
Рг=0,01, кривая 2 - Рг = 1 и кривая 3 -
Рг = 10 . Величина РГ7 зависит от числа Рг
только у стенки, где большую роль играют
процессы молекулярного переноса, а турбу-
лентный перенос, определяемый кажущейся
вязкостью т]7 , еще не очень велик по срав-
нению с молекулярным. В связи с этим удоб-
но представлять РГ7 в зависимости от отно-
шения ‘Пт'/'П . Ясно, что при Рг « 1 (жидкие
металлы) коэффициент турбулентного пере-
носа теплоты Х7 меньше турбулентного ко-
эффициента трения т]7 , так как турбулентные
пульсации температуры будут сглаживаться из-за
влияния большой теплопроводности, т. е. npi
Рг « 1 будет РГ7 » 1 вблизи стенки.
На рис. 4.4.13 дана расчетная зависи-
мость числа Нуссельта Nu = /(Ре) для жид-
ких металлов и сравнение ее с опытными
данными различных авторов. Число Пекле
Ре = Re- Рг .
На рис. 4.4.14 представлено сравнение
расчетных и экспериментальных данных npi
вдуве газа через пористую пластину. Здес,
/(peweSt) = Gw - безразмерная скорость
вдува, Sto - число Стентона на непроницае
мой пластине (без вдува).
ДВУХСЛОЙНАЯ МОДЕЛЬ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
353
Рас. 4.4.13. Расчетная зависимость Nu = /(Ре) для
жидких металлов и сравнение ее
с опытными данными различных авторов
Рис. 4.4.14. Теплообмен при вдуве газа через
пористую пластину
4.4.6. ДВУХСЛОЙНАЯ МОДЕЛЬ ТУРБУЛЕНТНОГО
ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
При расчетах турбулентного теплообме-
на на телах сложной геометрической формы
(например, лопатках газовых турбин) исполь-
зуют ту же систему основных уравнений, что
и при анализе ламинарного теплообмена, а
именно, уравнения неразрывности, сохране-
ния количества движения и энергии, допол-
нен. ше уравнением состояния:
£(p") + ^(pv) = 0
ди ди дре д ( ди\
рн—+ pv— = —f*-*— Пт v
дх ду дх ду\ L ду)
дТ дТ дре
рис»^+ру'с"^=и-^+
RT
р=р^т-
Здесь представлены уравнения для плоского
течения, причем система координат х, у нор-
мально связана с обтекаемой поверхностью.
Отличие турбулентного течения от ла-
минарного сводится к тому, что коэффициен-
ты переноса - вязкость и теплопроводность -
представляются в виде суммы молекулярного
(Л, X) и эффективного, кажущегося или тур-
булентного слагаемого (qz, Xz) :
’ll = n + ХЕ = Х + ГХ,,
причем весовой коэффициент или множитель
Г, называемый коэффициентом продольной
перемежаемости, сложным образом зависит от
всей предыстории развития пограничного
слоя в некоторой окрестности точки перехода
xtr от ламинарного к турбулентному режиму
течения в пограничном слое.
В современной интерпретации переход
трактуется как накопление турбулентных пя-
тен, плотность распределения которых и опи-
сывается коэффициентом перемежаемости Г:
= 1 - ехр - Ф(х - xtr
X
) /('/"«)<Ьс
Xlr
X > Xtr
Ф = 3и 3Re;134/(five)2 , В = 60 + 4.68A/J’92.
Как и при ламинарном течении в погра-
ничном слое предполагается, что все парамет-
ры невязкого течения вне пограничного слоя
известны. К ним относятся: Ue(x) - скорость
потока, Ree и Ме - числа Рейнольдса и
Маха, а также локальное значение динамической
вязкости в обтекающем тело потоке ve(x).
Традиционным образом задаются и гра-
ничные условия. На самой поверхности тела -
это условие прилипания:
при у = 0 и = v = О, Т = Tw(x).
На внешней границе пограничного слоя он асим-
птотически переходит в невязкое течение:
при у -> оо и ие(х), Т -> Те(х).
В продольном направлении, вдоль поверхно-
сти тела, коэффициент перемежаемости Г
обеспечивает плавное изменение характери-
стик течения от ламинарных к турбулентным.
Вопрос об определении точки начала перехо-
да xtr обсуждался в предыдущей главе.
В послевоенные годы большое распро-
странение, особенно среди инженеров, полу-
чила двухслойная модель турбулентного, по-
граничного слоя. Она выгодно отличается от
других малым числом эмпирических кон-
стант, высокой универсальностью и физиче-
ской прозрачностью.
12 Зак. 488
354
Глава 4.4. ТУРБУЛЕНТНЫЙ РЕЖИМ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ВНЕШНЕМ ОБТЕКАНИИ
Суть ее наиболее четко сформулировал
Клаузер еще в 1956 году.
В каждом поперечном сечении х = const
весь пограничный слой можно представить в
виде двух областей, толщина каждой из кото-
рых зависит от числа Рейнольдса. Внутренняя
область включает в себя вязкий или ламинар-
ный подслой, переходную область и зону с лога-
рифмическим профилем безразмерной скорости
(w/ve) = (l/£)lg|- + В, к = 0,4,
5=>v./v, V = T]/p.
Единственным, но универсальным мас-
штабом для всей внутренней области оказа-
лась динамическая скорость v„ связанная с
локальным значением трения на стенке
соотношением:
V. = VTH-/P •
Масштаб длины /v образован делением
динамической вязкости на динамическую
скорость: /v = v/v* .
Всюду, где справедливо логарифмиче-
ское распределение скорости по координате
£, кажущаяся или турбулентная вязкость
является линейной функцией координаты у.
Это следует из формулы Прандтля
,2 3“ _ ь.2 2
ду]~ У ду
= kv.y.
Стремясь расширить область примене-
ния линейной зависимости вязкости vt от
координаты и на переходную зону, где реаль-
ное значение безразмерной скорости меньше
предсказанного логарифмической зависимо-
стью, вводят так называемый демпфирующий
множитель. Д. Ван-Дрист (Van-Drist) предло-
жил записать этот множитель в виде
D = [1 - ехр(- £/Л)]л, А =26, п = 2.
Однако, расчеты указывают, что при та-
кой записи демпфирующего множителя, верх-
няя граница переходной области будет соответст-
вовал» координате = (yv*/v) = 140. На
рис. 4.4.15 показано, что обобщение экспери-
ментальных данных (сплошная кривая) дает для
верхней границы значение =30+40. Эго дало
основание Л. Г. Лойцянскому для корректиров-
ки демпфирующего множителя. Вместо фор-
мулы, предложенной Ван-Дристом, рекомен-
дуется понизить степень п с двух до единицы.
Расчетное значение границы переходной об-
ласти окажется при этом в окрестности
=50.
Рас. 4.4.15. Профили скоростей ф = н/v* в пере-
менных закона стенки при различных
числах Рейнольдса:
/- Re** =320, 2 - 500, 5- 1000, 4- 1500,
5 - 2000, б- 5000, 7- 10000
Рис. 4.4.16. Профили эффективной (турбулентной)
вязкости при различных числах Рейнольдса:
1 - Re** = 320, 2 - 500, 3 - 1000, 4 - 1500,
5 - 2000, 5-5000, 7- 10000
Турбулентное слагаемое vr в суммарной
вязкости на границе между внутренней и
внешней областями развитого турбулентного
пограничного слоя на один-два порядка пре-
вышает ламинарное (молекулярное) слагаемое
v. Это хорошо видно на рис. 4.4.16, где соб-
раны данные расчетов для различных чисел
Рейнольдса. Там же показано, что относи-
тельная толщина внутренней области убывает
с ростом числа Рейнольдса и почти в 10 раз
меньше толщины внешней области.
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
355
В гидродинамическом отношении внеш-
няя область турбулентного пограничного слоя
- это область существования крупномасштаб-
ных вихревых структур. Не считая самой пе-
риферии пограничного слоя, распределение
турбулентной вязкости в этой области почти
однородное. Как следует из рис. 4.4.16, уро-
вень “плато” или максимального значения
турбулентной вязкости сильно повышается с
ростом числа Рейнольдса. Предпринималось
немало попыток найти универсальный мас-
штаб для описания этого “плато”, включая
толщину пограничного слоя, скорость на его
внешней границе и т. д. Однако наилучшее
согласие с экспериментальными данными
показала формула
vz = к = const, (4.4.34)
где 5* - толщина вытеснения, а у - попра-
вочный множитель в форме Клебанова, учи-
тывающий явление перемежаемости вблизи
внешней границы пограничного слоя:
У=[1 + 5Ху/8)6]’’.
Сращивание двух распределений турбу-
лентной вязкости vt на границе, разделяю-
щей внутреннюю и внешнюю области турбу-
лентного пограничного слоя происходит есте-
ственным образом, если толщина у внутрен-
ней области равна толщине вытеснения 5* , а
константа к в соотношении (4.4.34) равна
кармановскому значению к = 0,4.
Коэффициент турбулентной теплопро-
водности X, определяют, через турбулентную
вязкость т], и турбулентное число Працдгля Рг,:
X, = x\tCp/Prt ,
причем, как правило, полагают Рг, = 0,9.
Глава 4.5
ТЕПЛООБМЕН НА ПРОНИЦАЕМЫХ
ПОВЕРХНОСТЯХ
43.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
При вдуве охладителя через пористую
поверхность в пограничный слой происходит
утолщение этого слоя и одновременно дефор-
мируются профили скорости и температуры (рис.
4.5.1). Нетрудно показать из уравнения сохране-
ния количества движения (см. гл. 4.2), что про-
филь скорости при наличии вдува должен
иметь точку перегиба. Действительно,
Pvw7" = nJ—Г >°-
\ду2)к
Поскольку первая производная от ско-
рости, пропорциональная трению , поло-
жительна, то и вторая производная (а2и/а>>2)
также больше нуля. Отсюда тангенс угла накло-
на профиля скорости по координате
tga = ди/ду вблизи стенки должен возрас-
тать с увеличением у, тем самым в зависимо-
сти скорости от координаты появится точка
перегиба, ибо на границе пограничного слоя
tga -> 0.
Подача газа через стенку приводит к за-
тормаживанию газового потока, причем тем
сильнее, чем меньше его кинетическая энер-
гия. Поэтому у стенки эффект вдува должен
быть выше. Между защищаемой поверхно-
стью и высокотемпературным газовым пото-
ком образуется слой газа, который не только
изменяет процесс теплообмена, но даже воз-*
действует на толщину сжатого слоя и характер
течения в нем. На рис. 4.5.2 показано распре-
деление линий тока при отсутствии и нали-
чии вдува газообразных продуктов в погра-
ничный слой. В случае непроницаемой стен-
ки (рис. 4.5.2, а), текущий в вязком сжатом
слое газ полностью состоит из газа набегаю-
щего потока, прошедшего через ударную вол-
ну. Если вдоль поверхности тела осуществля-
ется равномерный вдув газа, то слой в непо-
средственной близости от поверхности состо-
ит из вдуваемого газа. Из рисунка видно, что
при 10 и 50%-ом вдуве охладителя появляется
некая разделяющая линия тока, с одной сто-
роны которой находится охладитель, а с дру-
гой - газ набегающего потока. На рис. 4.5.2, в
можно наблюдать утолщение сжатого слоя и
заметное изменение картины линий тока, т. е.
интенсивный вдув приводит к тому, что
внешний поток обтекает не исходное тело, а
некоторое новое тело той же фюрмы, но с
большими размерами.
Рис. 4.5.1. Профиль скорости и температуры в
поперечном сечении пограничного слоя при вдуве
вещества через пористую стенку
(5j - толщина пограничного слоя при отсутствии
вдува, &2 * толщина пограничного слоя при вдуве)
12*
356
Глава 4.5. ТЕПЛООБМЕН НА ПРОНИЦАЕМЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
Рис. 4.5.2. Линии тока в сжатом слое при наличии и отсутствии вдува:
PwV w ~ OWV w
а - вдув отсутствует; б - равномерный вдув, —--= 0,1; в - равномерный вдув, = 0,5;
Ре“е Ре"е
1 - обтекаемое тело; 2 - ударная волна;
3 - разделяющая линия тока
Поступающий в пограничный слой ох-
ладитель может вступать в многочисленные
химические реакции с компонентами набе-
гающего потока. Это усложняет расчет погра-
ничного слоя, требуется обязательный учёт
многокомпонентное™ смеси, различия в коэф-
фициентах диффузии, а также в других перенос-
ных свойствах отдельных ее составляющих.
Вдуваемый газ, проникая в пограничный
слой, нагревается от температуры поверхности
Tw до некоторой температуры газа в набе-
гающем потоке. Если вдуваемый газ тот же,
что в набегающем потоке, то по аналогии с
прогревом твердых веществ можно предполо-
жить, что поглощение теплоты за счет вдува
будет описываться следующим выражением:
Яй - 4w - 9в = - h^,), (4.5.1)
где qQ и qw - тепловые потоки соответственно
к непроницаемой и проницаемой поверхно-
стям, a q9 - тепловой эффект вдува.
Параметр у, обычно называемый коэф-
фициентом вдува, характеризует способность
охладителя снижать тепловой поток к поверх-
ности. Степень нагрева газообразного охлади-
теля в пограничном слое существенно связан
с режимом течения основного потока, харак-
тером перемешивания основного потока и
охладителя, физическими свойствами охлади-
теля и набегающего газа и т.д. В результате у
отличен от 1.
Из уравнения (4.5.1) легко получить
связь между коэффициентом теплообмена
(a/Cpj* и безразмерным расходом охладите-
ля Gw = (7w/(a/Cp)^ :
С помощью приведенной линейной
формулы можно также учитывать и различие
физических свойств охладителя и набегаю-
щего газового потока. Действительно (см. гл.
4.2) на интенсивность теплообмена на непро-
ницаемой поверхности qQ влияют следующие
физические параметры газа: теплоемкость ср,
теплопроводность А, плотность р, коэффици-
ент диффузии D\2 и вязкость q. Согласно
молекулярно-кинетической теории у идеаль-
ных газов при постоянных давлении ре и тем-
пературе Те все упомянутые характеристики
представляют собой функции одной физиче-
ской величины - молекулярной массы р :
Ср «Й |;Х»ц-°-5;р»н;2)12 • jT0'5;
При этом теплопроводность, коэффици-
ент диффузии и вязкости зависят также от
эффективного диаметра столкновений, а теплоем-
кость - от числа степеней свободы молекулы (при
условии, что число атомов в молекулах набегаю-
щего и вдуваемого газов - одинаково).
ВДУВ ПРИ ЛАМИНАРНОМ РЕЖИМЕ ТЕЧЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
357
Поскольку все указанные свойства газов
являются функцией молекулярной массы, то
в рассматриваемой постановке задачи влияние
природы вдуваемого газа на теплообмен выра-
зится через отношение молекулярных масс
вдуваемого и набегающего газов. Тогда коэф-
фициент вдува запишется как
г = а(йг/цк)4. (4.5.3)
Несмотря на некоторую упрощенность
такого подхода, большинство эксперимен-
тальных и расчетных работ говорит о пред-
почтительности использования молекулярной
массы в качестве параметра, характеризую-
щего индивидуальные свойства вдуваемого и
набегающего газов, по сравнению со всеми
другими возможными параметрами. Анализ
имеющихся расчетных работ показывает, что
ни одной из следующих величин:
Ср, X, р, Z>i2> Л нельзя приписывать опреде-
ляющую роль во влиянии на теплообмен при
вдуве различных газов. Эти же расчеты пока-
зывают, что параметр вдува у не зависит ни от
температурного фактора, ни от скорости обте-
кания или давления торможения. Все указанные
факторы при анализе эффективности вдува учи-
тываются коэффициентом теплообмена (а/ср)0 •
4.5.2. ВДУВ ПРИ ЛАМИНАРНОМ РЕЖИМЕ ТЕЧЕНИЯ В
ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
На рис. 4.5.3 представлены результаты
численных расчетов влияния вдува инород-
ных газов в набегающий поток воздуха на
теплообмен в точке торможения затупленного
осесимметричного тела. Видно, что тепловые
потоки при вдуве водорода и паров двуокиси
кремния довольно сильно отличаются. Обра-
ботка результатов расчета позволила рекомен-
довать следующую аппроксимационную фор-
мулу для коэффициента вдува в ламинарный
пограничный слой у /:
П=ОДб(йг/й„)0-1 2’. (4.5.4)
Иногда вводят поправку к выписанному со-
отношению, учитывающую различие температур
(энтальпий) на стенке и в набегающем потоке:
1 = 1! = <’.б(йе/Й»)0’27(Лн./^«)‘0,03
(4.5.5)
Значения у| и диапазон изменения
Gw, в пределах которого зависимость qw /q$
на рис. 4.5.3 остается линейной при вдуве
различных газов приводятся в табл. 4.5.1.
Влияние формы обтекаемого тела на параметр
вдува приведено в табл. 4.5.2. Зависимость
Qw/Qq от Gw остается линейной при
Qw/Qq >0,5. ^ак показывают расчеты и экспе-
рименты с разрушающимися теплозащитными
материалами, тепловой поток к стенке не обраща-
ется в нуль даже при высоких скоростях вдува
газообразных компонент. На рис. 4.5.4 представ-
лены результаты расчета разрушения графита в
диссоциированном потоке воздуха.
4.5.1. Коэффициенты вдува различных газов в
воздух (ламинарный пограничный слой)
Вдуваемый газ 71 Диапазон, отвечающий линейному изменению tfw/tfo Макси- мальная погреш- ность У/, %
Воздух 0,65 -0,5 - 1,0 10
н2 1,90 0 - 0,4 10
Не 1,03 0 - 0,75 10
СО2 0,67 0-0,8 5
SiO2 0,50 0 - 1,3 5
4.5.2. Влияние формы тела на величину
постоянного множителя а в формуле (4.5.3)
Геометрия тела Множитель а
Пластина, конус Точка торможения осесиммет- 0,8 0.6
ричного тела Точка торможения в плоском потоке (клин)
0,55
Острый конус под углом атаки 0,6
Можно сделать следующие выводы:
1. Учет химических реакций на поверх-
ности, через которую газообразные продукты
поступают в пограничный слой, не изменил
принципиально вида зависимости теплового
потока от расхода этих продуктов Gw .
Рис. 4.5.3. Влияние иа теплообмен в потоке воздуха
вдува различных газов: 1 - водород; 2 - гелий;
3 - воздух, углекислый газ;
4 - двуокись кремния (пары)
358
Глава 4.5. ТЕПЛООБМЕН НА ПРОНИЦАЕМЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
Рис. 4.5.4. Влияние вдува продуктов разрушения
графита в воздушной среде на теплообмен
Рис. 4.5.5. Зависимость относительного теплового
потока от безразмерной скорости уноса массы Gw при
разрушении графита в смеси водорода и азота
2. Начальный линейный участок зави-
симости qw(Gw) сменяется на криволиней-
ный; с ростом Gw зависимость асимптотиче-
ски стремится к нулю.
По первому из них следует сделать до-
полнительные пояснения. В отличие от вдува
однородных, химически нейтральных газов,
разрушение теплозащитных материалов обыч-
но связано не только с подачей компонент в
пограничный слой, но и с отсосом на поверх-
ности определенных составляющих набегаю-
щего потока. В рассмотренном выше варианте
с графитом такой отсасываемой компонентой
был кислород воздуха.
При отсосе тепловой поток также изме-
няется, однако в отличие от вдува, величина
qw с ростом Gw увеличивается. В остальном
все отмеченные ранее эффекты, в том числе и
зависимость от молекулярной массы газа,
сохраняются полностью.
Если увеличение теплового потока при
отсосе легкого газа из набегающего потока
превзойдет снижение величины qw за счет
вдува продуктов химической реакции, образо-
вавшихся на поверхности, то несмотря на
положительный результирующий расход ком-
понент с поверхности тепловой поток по мере
приращения Gw будет увеличиваться. Резуль-
таты расчетов горения углерода в смеси водо-
рода и азота, представленные на рис. 4.5.5,
иллюстрируют отмеченную особенность. На
поверхности графита образуется ацетилен с
молекулярной массой Йс2Н2 = ПРИ этом
из внешнего потока через пограничный слой
отсасывается водород с йн2 =^. Из рисунка
видно, что темп увеличения теплового потока
с ростом расхода углерода постепенно замед-
ляется. Это связано с тем, что гетерогенное
горение углерода на поверхности сменяется
на гомогенную реакцию углерода с водородом
в пограничном слое, тогда как на поверхности
начинается сублимация углерода. Перенос
фронта реакции в глубину пограничного слоя
снижает влияние водорода.
Рассмотренный пример указывает на
важность расчета коэффициента вдува для
смесей газов с учетом определенных сопутст-
вующих факторов. Попытка описать эффект
вдува смеси той же формулой (4.5.4), заменив
в ней молекулярную массу одиночного газа
на молекулярную массу смеси pj не-
пригодна хотя бы потому, что при этом не
может быть объяснен факт увеличения тепло-
вого потока, представленный на рис. 4.5.5.
Более правомерным представляется расчет
коэффициента вдува смеси у как средне-
арифметического из значений коэффициентов
у,- для отдельных компонент, взятых с весом,
равным относительным расходам этих компо-
нент с учетом знака (Gj >0 при вдуве и
Gj < 0 при отсосе). Тогда
где G„ = ^Gj.
Если на поверхности происходит вдув
сразу нескольких компонент, то это соотно-
шение равносильно аддитивному учету эф-
фекта вдува каждой из них:
^ = l-[rlGl+r2G2+...]. (4.5.6)
АНАЛОГИЯ МЕЖДУ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНОМ И ТРЕНИЕМ
359
Рис. 4.5.6. Универсальная зависимость относительного
теплового потока от приведенного расхода
газообразного охладителя yGw
Накопленный в процессе численных
расчетов опыт позволил обобщить их резуль-
таты в виде некоторой универсальной зависи-
мости от приведенного расхода охладителя.
Оказалось, что не только на участке линей-
ного изменения , но и в области, где
кривая асимптотически стремится к нулю, в
зависимость теплового потока от расхода ох-
ладителя входит один и тот же параметр у.
Поэтому если использовать в качестве аргу-
мента произведение yGw, то полученная
зависимость для коэффициента теплообмена
(рис. 4.5.6) оказывается единой для всех газов
и может быть описана простыми аналитиче-
скими выражениями. Можно рекомендовать
двухступенчатую аппроксимацию для коэф-
фициента теплообмена:
1 - уС/^.если -0,3< yGw < 0,4
1,012-1,16(yGw) + 0325(yGb,)2,
если -0,4<y(7w < 1,2.
(4.5.7)
Для оценочных расчетов достаточно бо-
лее простой приближенной зависимости
Vb = I^yGh,)2 + tGw +lj. (4.5.8)
В последние годы значительный интерес
проявляется к проблемам, связанным с ин-
тенсивным вдувом, когда массовая скорость
вдуваемого газа сравнима с удельным расхо-
дом газа в набегающем потоке (расходом газа
набегающего потока, отнесенным к единице
обтекаемой поверхности тела). Прежде всего
это связано с тем, что при больших вдувах
происходит практически полное оттеснение
внешнего потока от стенки. При этом погра-
ничный слой можно считать состоящим из
двух частей: внутреннего слоя с почти посто-
янными температурой и составом газа и
внешнего, в котором температура и скорость
увеличиваются, достигая соответствующих
значений в невозмущенном потоке. Случай
больших скоростей вдува интересен в связи с
проблемой входа тел в атмосферы планет со
скоростью, равной второй космической или
превосходящей ее, при которой радиацион-
ные тепловые потоки к телу достигают значи-
тельных величин.
4.5.3. АНАЛОГИЯ МЕЖДУ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНОМ
И ТРЕНИЕМ
Коэффициент массообмена из аналогии*
процессов массо- и теплообмена определен в
гл. 4.2 как отношение диффузионного потока
массы данной компоненты д к разности кон-
центрации ее в пограничном слое
(сд,е “ Q,w) • Там же было выведено соотно-
шение, связывающее коэффициенты массо- и
теплообмена на непроницаемой поверхности:
Ро=(а/с,)о(Ье)л, (4.5.9)
где Le - число Льюиса для данной компонен-
2
ты, л = —.
3
Расчеты показывают, что характер зави-
симости 0 от расхода вдуваемой компоненты
оказывается таким же, как и для коэффици-
ента теплообмена. Это позволяет распростра-
нить аналогию между процессами тепло- и
массообмена на случай вдува массы в погра-
ничный слой. Снижение коэффициента теп-
лообмена происходит немного быстрее и он
более чувствителен к молекулярной массе
вдуваемой компоненты. В качестве примера
на рис. 4.5.7 представлены расчеты зависимо-
сти коэффициентов тепло- и массообмена от
расхода газов для ряда теплозащитных мате-
риалов: графита, фенольного найлона, поли-
тетрафторэтилена (фторопласта) и компози-
ционного'теплозащитного материала, исполь-
зованного на космическом аппарате
“Аполлон”. Приведенные зависимости соот-
ветствуют широкому диапазону изменения
внешних условий обтекания, энтальпия тор-
можения меняется от 5-104 до 1,5-10s кДж/кг,
давление торможения от 0,2-10s Па до НО5
Па и т. д.
360
Глава 4.5. ТЕПЛООБМЕН НА ПРОНИЦАЕМЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
Рис. 4.5.7. Зависимость коэффициентов тепло- (а) и массообмена (б) от безразмерной скорости вдува
при разрушении теплозащитных материалов:
/ - графит; 2 - фенольный найлон,
3 - теплозащитный материал космического корабля “Аполлон”; 4 - политетрафторэтилен
В этом диапазоне внешних условий мо-
лекулярная масса вдуваемых продуктов раз-
рушения у различных материалов меняется в
следующих пределах: графит - от 30 до 28,
фторопласт - от 98 до 84, фенольный найлон
- от 22 до 14, а материал “Аполлона” - от 22
до 17. У всех материалов, за исключением
фторопласта, кривые изменения коэффициен-
та теплообмена (рис. 4.5.7,о) достаточно близ-
ки (угол наклона на линейном участке соот-
ветствует у = 0,6). Что касается коэффици-
ента массообмена, то расслоение кривых не-
сколько большее (рис. 4.5.7,б), а угол их на-
клона - выше.
В этом случае результаты расчетов мож-
но обрабатывать по двум различным методи-
кам. Во-первых, можно ввести новый коэф-
фициент вдува, определяющий наклон ли-
нейного участка зависимости коэффициента
массообмена от расхода Gw ,
- "I0,55
Р»/Ро = v(rpGw). где Гр = 0,70
(4.5.10)
Как постоянный множитель, так и пока-
затель степени у отношения молекулярных
масс выше значений аналогичных параметров
в формуле (4.5.4).
Согласно второй методике следует, со-
хранив общий вид аналогии между тепло- и
массообменом, учесть наличие вдува в показа-
теле степени при числе Льюиса. Проверка
соотношения (4.5.9) для тех же материалов,
что и на рис. 4.5.7, показана на рис. 4.5.8.
Видно, что сильнее нарушается связь между
коэффициентами и числом
Льюиса для фенольного найлона, продукты
разрушения которого в рассматриваемом диа-
пазоне внешних условий обтекания имеют
число Льюиса порядка 0,6-0,7. У графита чис-
ло Le близко к единице и отклонение от форму-
лы (4.5.9) не превышает 4%. На основании этих
результатов предложена следующая поправка к
показателю степени при числе Льюиса:
2 —
п = - + 1,30,.
3 *
Приведенные выше соотношения не яв-
ляются достаточно обоснованными и обще-
принятыми. Иногда предлагается другая зави-
симость между указанными коэффициентами
и величиной расхода и молекулярной
массой и* вдуваемой компоненты:
₽7|(“М] = АЛ2. (4.5.11)
Рис. 4.5.8. Отклонения от формулы (4.5.9) при
наличии вдува продуктов разрушения
теплозащитных материалов:
1 - графит; 2 - фенольный найлон
ВДУВ ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ РЕЖИМЕ ТЕЧЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
361
Рассмотрим влияние вдува на изменение
поверхностного трения xw/xq , где Tg - тре-
ние на непроницаемой поверхности.
Зависимость поверхностного трения
т^/тд от безразмерного расхода вдуваемого
газа не является универсальной. Она опреде-
ляется также температурным фактором
Tw/Te (рис. 4.5.9). Видно, что влияние вдува
на трение тем сильнее, чем меньше величина
температурного фактора. На практике при
использовании теплозащитных систем
Tw/Tg «1, а аналогия между трением и теп-
лообменом выполняется с приемлемой точно-
стью.
Влияние рода вдуваемого газа на по-
верхностное трение можно проследить по
кривым 7-5 на рис. 4.5.9.
При вдуве смеси газов результирующее
снижение поверхностного трения можно оп-
ределить по формулам, аналогичным приме-
няемым в расчетах теплового потока, уравне-
ние (4.5.6).
Все представленные выше результаты
относились к окрестности точки торможения
затупленных осесимметричных тел. Значения
множителя “а” в формуле для расчета коэф-
фициента вдува у (4.5.3) для различных гео-
метрий обтекаемого тела близки между собой
(см. табл. 4.5.2).
Рас. 4.5.9. Влияние вдува на поверхностное трение:
1 - водород; 2 - гелий; 3 - моноокись углерода СО;
5-двуокись кремния SiO2, все при ре = 1(Р Па.
Воздух: 4- ре = 103 + 105 Па;
Те = 6000 + 8000 К; Т„ = 300 К;
6- ре = Ю5 Па; Те = 4000 К; Т„ = 300 К;
7- ре = 104 Па; Те = 310 К; Tw = 300 К;
8- ре = 105 Па; Те = 300 К; Tw = 300 К
4.5.4. ВДУВ ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ РЕЖИМЕ ТЕЧЕНИЯ В
ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
Рассмотрим вкратце характеристики
турбулентного пограничного слоя на прони-
цаемой поверхности. Теоретическое решение
этой задачи ввиду ее сложности в настоящее
время отсутствует. Поэтому большое значение
придается накоплению опытных данных.
Большие технические трудности, связанные с
проведением соответствующих эксперимен-
тов, приводят во многих случаях к значитель-
ным погрешностям (до 100%), о чем свиде-
тельствует большой разброс эксперименталь-
ных точек, полученных различными авторами
в сходных условиях (рис. 4.5.10).
В работах В. П. Мугалева получены об-
ширные сведения по параметрам течения в
турбулентном пограничном слое при наличии
вдува и о влиянии отдельных параметров
(чисел М, Re, свойств вдуваемого газа и т. д.)
на теплообмен. В опытах измерялись профи-
ли скоростей, температур, концентраций,
плотностей в пограничном слое, изучалось
влияние на теплообмен на плоской пористой
пластине изменения параметров потока и
интенсивности вдува в широком диапазоне.
Проведенные эксперименты в широком
диапазоне числа Маха от 0£ М £ 3,7 и чисел
Рейнольдса 105< Rex £ 107 показали, что в
указанном диапазоне изменения чисел Re,
степень деформации профилей скорости,
температуры и концентрации при вдуве не
влияет на зависимости
^ = /(Gw).
Ряс. 4.5.10. Экспериментальные данные по
эффекту вдува - снижению теплового потока к
пористой стенке в зависимости от безразмерного
расхода охладителя Gw = :
1 - 3 - различные теоретические модели
362
Глава 4.5. ТЕПЛООБМЕН НА ПРОНИЦАЕМЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
На основе анализа опытных данных по
влиянию вдува на теплообмен В. П. Мугалев
предложил простую аппроксимационную
формулу для расчета тепловых потоков
(кривая 1 на рис. 4.5.10):
^ = 1-0,1/^ Gw, (4.5.12)
Я0 \ Hw J
где b = 0,35 при 0< (pe/pw) < 1; b = 0,7 при
1<(йе/йш)<8; ^=1 при (йе/йн,) = 14,5.
Полученная формула применима при условии
(9w/9o)>O-6
Для учета влияния вдува массы в турбу-
лентный пограничный слой применяют также
формулу, хорошо аппроксимирующую экспе-
риментальные результаты для воздуха и гелия
(кривая 2 на рис. 4.5.10) при Rex -ЮМО6 для
интенсивностей вдува (йе/Йн’)^ <8:
Qw/Qo = exp -037
(4.5.13)
На рис. 4.5.12 показано сравнение рас-
четных и опытных данных по влиянию на
трение вдува различных газов в турбулентный
пограничный слой воздушного потока. Видно,
что ниже всех располагаются данные для ге-
лия, молекулярная масса которого минимальна.
Изменение коэффициента поверхност-
ного трения при вдуве газов в турбулентный
пограничный слой можно учитывать следую-
щим выражением (рис. 4.5.12):
Рис. 4.5.11. Влияние состава вдуваемого газа на
интенсивность теплообмена на пластине при
турбулентном режиме течения в пограничном слое
Рис. 4.5.12. Влияние вдува в воздушный турбулентный
пограничный слой иа коэффициент
поверхностного трения:
/, 2, 3 - расчет по формуле (4.5.15);
4, 5, 6 - эксперимент; /, 4 - гелий;
2, 5 - воздух; 3, 6 - фреон-12
Если свойства вдуваемого газа и набе-
гающего потока одинаковы, то формула для
расчета коэффициента трения упрощается:
ст f
—— = exp---—
Ч I 2 >
(4.5.15)
Некоторые особенности проявляются
при вдуве через перфорированные поверхно-
сти. Требования к размеру и частоте перфо-
рации, как правило, зависят от толщины по-
граничного слоя. Необходимо, чтобы диаметр
отверстия г, через которое вдувается охлаж-
дающий газ, был меньше толщины слоя 5, а
расстояние между соседними отверстиями не
превышало 56. Как показали эксперименты,
при турбулентном пограничном слое перфо-
рированное охлаждение равнозначно порис-
тому при Gw < 0,5.
Однако при больших расходах или более
редкой перфорации эффективность перфори-
рованного охлаждения оказывается ниже, чем
пористого.
В заключение сравним эффективность
массообменного (пористого) и конвективного
(трубчатого) охлаждения. Для последнего
предположим идеальный вариант: бесконечно
большой коэффициент теплоотдачи к охлаж-
дающей жидкости и отсутствие перепада тем-
ператур в нагреваемой стенке, что позволяет
считать энтальпию жидкости на выходе из
трубы, равной ее значению при температуре
нагреваемой поверхности Tw. Отсюда
<?0 = ^к(Лн. - Ао) •
При пористом охлаждении этот же теп-
ловой поток потребует следующего расхода
охладителя-
СТРУКТУРА ПОРИСТЫХ МАТЕРИАЛОВ И ГИДРОДИНАМИКА ТЕЧЕНИЯ В ПОРАХ
363
<7о “ “ Ab) + <7вд -
= <7м[(Аи>-Ао) + У(Ле-Аи>)].
Откуда
Gu/GK = 1/{1 + т[(Яе - А,)/(Д» - Ло)]} .
т. е., чем выше энтальпийный напор в набе-
гающем потоке, тем эффективнее пористое
охлаждение. При скорости палета около 8 км/с
эти два расхода отличаются на порядок.
4.5.5. СТРУКТУРА ПОРИСТЫХ МАТЕРИАЛОВ И
ГИДРОДИНАМИКА ТЕЧЕНИЯ В ПОРАХ
Механизм пористого охлаждения скла-
дывается в общем из двух процессов: внут-
реннего теплообмена, во время которого газ
отбирает теплоту от пористой стенки при
фильтрации к внешней поверхности, у внеш-
него теплообмена, когда охлаждающий газ,
покинув стенку, диффундирует через погра-
ничный слой, разбавляя и оттесняя от по-
верхности высокотемпературный газовый
поток. Именно этот второй процесс обеспе-
чивает более высокую эффективность порис-
того охлаждения по сравнению с системами
накопления теплоты.
Рассмотрим некоторые общие свойства
пористых систем. Под пористой средой обыч-
но понимают твердое тело, содержащее пус-
тые промежутки (поры), распределенные бо-
лее или менее равномерно по объему тела.
Основной характеристикой такой среды
является пористость. Объемная пористость
материала П обычно определяется как отно-
шение объема пор Ип к объему тела Ио
Я = ип/го.
Поскольку основная часть общего объема
материала занята частицами твердого каркаса,
то отсюда следует:
дели, в основе которых лежит либо представ-
ление о порах тела как о капиллярных ци-
линдрических трубах, либо пористое тело
рассматривается как система сферических
частиц, которые могут быть и пустотелыми.
Эти шары могут быть уложены различным
образом. Известно, что наибольшая порис-
тость получается при использовании одинако-
вых по размеру сферических зерен.
От вида укладки и геометрии частиц за-
висит величина и форма капилляров между
ними. Пористость среды, состоящей из сфе-
рических частиц одинакового диаметра опре-
деляется только видом укладки. Кубическая
укладка (рис. 4.5.13, а) характеризуется по-
ристостью 0,476, а при наиболее плотной -
ромбической упаковке (рис. 4.5.13, 6) порис-
тость снижается до 0,259. Это значение соот-
ветствует теоретически минимальной порис-
тости при упаковке сфер без их деформации.
В реальных материалах практически
всегда имеются зерна различных размеров,
что заметно снижает пористость и размер пор.
Например, при ромбической упаковке диа-
метр поры, образованной четырьмя шарами
диаметром d3, равен 0,156 d3, тремя шарами
диаметром d3 и одним шаром диаметром
0,5 d3- 0,118 d3, при добавлении второго шара
малого диаметра размер поры снижается до
0,094 d3. Особенно резко пористость снижает-
ся в тех случаях, когда мелкие частицы распо-
лагаются в порах, образованных крупными
зернами.
Для оценки действительной пористости
обычно используется ее связь с плотностью
Р, = ро(1 - 77) или 77 = 1 - (pj/po) •
Пористые материалы обладают развитой
внутренней поверхностью. Обычно указывают
удельную поверхность, под которой понимают
суммарную площадь поверхности внутренних пор,
приходящуюся на единицу объема материала:
/уд = площадь пор/объем тела.
В частности, для пористых материалов с
каркасом из сферических частиц диаметром
dy пористость можно определить из выраже-
ния
где ЛГЭ - число частиц в единице объема.
Существует ряд экспериментальных ме-
тодик определения пористости различных
материалов.
Для описания структуры пористых тел
используются, как правило, упрощенные мо-
Рис. 4.5.13. Модели структуры пористых материалов:
а - кубическая упаковка; б - ромбическая;
в - плетеная сетка из волокон; 1 - основная нить;
2 - крепящая нить
364
Глава 4.5. ТЕПЛООБМЕН НА ПРОНИЦАЕМЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
Очевидно, что у проницаемых материа-
лов, обладающих мелкозернистой структурой,
удельная внутренняя поверхность намного
больше, чем у материалов с крупнозернистой
структурой. У материалов, спрессованных из
сферических частичек, внутреннюю поверх-
ность нетрудно подсчитать:
/уд =
аз
Удельная поверхность играет важную
роль при расчете теплообмена между твердым
каркасом и охлаждающим веществом. Можно
получить формулы для расчета пористости и
внутренней поверхности теплообмена в пле-
теных материалах, однако число входящих в
эти формулы параметров резко возрастает
(диаметры основной и крепящей нитей, число
основных нитей на единицу длины материала,
и т. д ). В действительности, как частицы в
зернистых материалах, так и проволоки в
плетеных структурах при нагрузке могут де-
формироваться, поэтому значения как П, так
и /оказываются меньше расчетных. С другой
стороны, при диаметрах частиц более 20 мкм
не удается достигнуть их достаточно плотной
упаковки и поэтому / превышает расчетное
значение. В итоге у зернистых материалов
действительная величина / может отклоняться
почти в 2 раза вверх или вниз относительно*
теоретического значения. Плетеные материа-
лы в этом отношении намного стабильнее
(отклонения от расчетных значений не пре-
вышают 30%).
Пористый материал должен обладать
максимальной проницаемостью для охладите-
ля, высокой прочностью, позволяющей изде-
лию выдерживать перепад давления между
охладителем и набегающим потоком, доста-
точно равномерной проницаемостью по по-
верхности изделия, развитой теплоотдающей
поверхностью между пористым каркасом и
охладителем, возможностью достижения по-
верхностью высокой температуры.
Металлические пористые материалы
обычно получают прессованием порошков со
сферическими частицами или плетением во-
локнистых изделий (рис. 4.5.13, в).
Для обеспечения хорошей механической
прочности пористые материалы подвергаются
специальной термообработке (спеканию) при
температуре порядка 0,8 - 0,9 температуры
плавления. Зерна порошка, как правило,
имеют собственную остаточную пористость,
лежащую в пределах 8 - 15%. Поэтому для
получаемых из таких порошков материалов
характерно наличие пор как между частица-
ми, так и внутри последних. Практически
суммарная пористость металлических порис-
тых тел изменяется в довольно узких преде-
лах, составляя 30 - 40%.
Наиболее употребляемыми материалами
при создании проницаемых изделий являются
такие металлы, как коррозионно-стойкая
сталь, вольфрам, никель. Кроме чистых ме-
таллов, для изготовления пористых тел ис-
пользуются различные карбиды, керамики и
некоторые другие вещества. В этом случае
пористая структура формируется в результате
предварительного введения в материал и по-
следующего выжигания различных добавок.
Такой метод позволяет получать материалы с
пористостью до 50 - 60%.
Плетеные материалы имеют ряд важных
преимуществ перед порошковыми: их проч-
ность намного выше; технологически легко
получить материал с заданной и притом дос-
таточно равномерной пористостью
(определяется типом исходной сетки); ис-
пользуя намотку, можно формировать изде-
лия любых размеров.
4.5.6. ТЕПЛООБМЕН МЕЖДУ ПОРИСТОЙ МАТРИЦЕЙ И
ФИЛЬТРУЮЩЕЙСЯ ОХЛАЖДАЮЩЕЙ ЖИДКОСТЬЮ
Рассмотрим процессы, определяющие
эффективность пористого охлаждения. Охла-
дитель поступает к нижней поверхности по-
ристой стенки с температурой То и расходом
Gc (рис. 4.5.14). Навстречу ему от внешнего
потока по твердым перемычкам, образующим
стенки пор, распространяется теплота с по-
мощью молекулярной теплопроводности. По-
сле достижения стационарного состояния в
теле и в газе устанавливаются соответствую-
щие температурные профили: Ts(y) и Тс(у).
Связь между ними определяется интенсивно-
стью внутреннего теплообмена в порах, т. е.
коэффициентом оц,.
Для расчета пористой системы охлажде-
ния необходимо знать коэффициент тепло-
проводности пористой матрицы, расход газа и
коэффициент внутреннего теплообмена оц,.
Рис. 4.5.14. ПереиЬс теплоты и массы в пористом
материале:
qx - теплота, передаваемая теплопроводностью,
Гс(у) - профиль температуры в охладителе,
Г/у) - профиль температуры в пористой стенке,
Gc - расход охладителя
ТЕПЛООБМЕН МЕЖДУ ПОРИСТОЙ МАТРИЦЕЙ И ФИЛЬТРУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТЬЮ
365
Рис. 4.5.15. Упрошенные схемы для расчета
теплопроводности пористых материалов
Рассмотрим особенности движения жид-
кости через пористые системы. Скорость те-
чения охладителя в порах при заданном пере-
паде давления Др поперек пористой стенки
толщиной h может быть установлена с помо-
щью закона Дарси
v = ^. (4.5.16)
Т] Л
Коэффициент вязкости т| зависит от ти-
па охладителя, а коэффициент проницаемости
Кп определяется структурой пористого материала.
При увеличении расхода газа с помощью
уравнения (4.5.16) уже невозможно правильно
описать картину течения. В этом случае ис-
пользуется уравнение
= an + ^-v, (4.5.17)
flV g
те первое слагаемое соответствует закону
Дарси, а второе учитывает инерционную со-
ставляющую сопротивления в криволинейных
каналах переменного сечения. Для металличе-
ских пористых сред коэффициенты аир могут
бьпъ вычислены по эмпирическим формулам:
_ 7,22 1017 _ 1,26 • 1012
а= л381 ;₽= Л6-35 ’
Пористый материал условно можно рас-
сматривать как систему, состоящую из чере-
дующихся между собой плоских слоев твер-
дого и газообразного веществ.
При этом обычно анализируются два
предельных случая.
В первом варианте тепловой поток пере-
дается перпендикулярно слоям. Иначе говоря,
термическая связь между отдельными элемен-
тами тела в направлении потока теплоты со-
вершенно отсутствует (рис. 4.5.15, а).
Во втором случае тепловой поток на-
правлен параллельно слоям, т. е. условия кон-
такта между отдельными частицами в направ-
лении потока тепла идеальные (рис. 4.5.15, б).
Формулы для теплопроводности пористых
тел, соответствующие этим двум случаям,
имеют следующий вид:
= (ЬсМДа-сО - П) - ; (4.5.18)
= 1,(1 - Л) + ХсП , (4.5.19)
где X, и - соответственно коэффициенты
теплопроводности твердой и газовой фаз; П -
пористость материала, выраженная в долях.
Теплопроводность металла X, , из кото-
рого изготовляется пористый каркас, намного
превосходит теплопроводность газа, запол-
няющего поры, поэтому формулу (4.5.19)
можно упростить до следующей зависимости:
ХЕ = М1-Л). (4.5.20)
Таким образом, модель пористого тела в
виде параллельных тепловому потоку твердых
пластин приводит к линейной зависимости
коэффициента эффективной теплопроводно-
сти от величины пористости.
В случае пористых систем нельзя точно
определить всю омываемую поверхность, по-
этому принято относить общее количество
поглощенной теплоты к единице объема по-
ристого тела и разности температур в нем.
Рассматривая теплообмен поверхности пор с
протекающим через них охладителем как сток
теплоты мощностью qy, кВт/м3, можно запи-
сать выражение для коэффициента внутрен-
него теплообмена, отнесенного к единице
объема пористого материала, как
av =qN/^T. Так же как и в случае конвек-
тивного теплообмена при внешнем обтека-
нии, интенсивность внутреннего теплообмена
можно выразить с помощью критериальных
соотношений:
Nurf = /(Rerf,Prc, П),
где в число Нуссельта Nurf = avdj/x.c вхо-
дит коэффициент av . В качестве характер-
ного размера выбирают некоторый условный
диаметр пор dp, определяемый эмпирическим
соотношением: dp = (10077)~3,9 м . Сущест-
вующие экспериментальные данные показывают
„ GcdD
(рис. 4.5.16), что при 1 < Rerf =-£ 100 име-
Пс
ет место соотношение Nuj « 0,1 Rerf Ргс или
X/. С ПС^С
av = 0,1 ^-^ = 0,1-^ / .
т]с dp Ргс dp
366
Глава 4.5. ТЕПЛООБМЕН НА ПРОНИЦАЕМЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
Рис. 4.5.16. Экспериментальные данные различных
авторов (7 - 4) по зависимости интенсивности внутрен-
него теплообмена Nu^ в пористой структуре от расхода
охладители (числа Рейнольдса Re^)
Однако, когда числа Рейнольдса больше
100 (т. е. при больших расходах газа) закон
теплообмена меняется на
Nuj » 0,6 ReJ’7 Рг®’7 .
Влияние теплофизических свойств охла-
дителя на интенсивность теплообмена внутри
пористого тела можно учесть с помощью чис-
ла Прандтля, которое согласно полученным
данным входит в критериальное уравнение
теплообмена в той же степени, что и число
Рейнольдса.
Для расчета теплообмена в пористой
среде необходимо записать вместо одного
уравнения теплопроводности, как это имеет
место в сплошном твердом материале, два
уравнения переноса теплоты для каждой фазы
в отдельности (газа и твердой матрицы).
Связь между ними осуществляется уравнением
теплоотдачи с коэффициентом теплообмена av .
Рис. 4.5.17. Зависимость безразмерного критерия эф-
фективности ц/ от параметра К при различных
предположениях относительно законов внутреннего
теплообмена Nu^ = /(Re^,Pre) и теплообмена на
входе в пористую матрицу Stcn = f (формы входа)
1 dy
При установившемся тепловом режиме
внутри проницаемой стенки формируются два
температурных профиля: Ts (у) - для твердой
пористой матрицы и Тс (у) - для потока
фильтрующегося охладителя. Они описывают-
ся системой уравнений:
d2T
М1-Л)^- = а¥(7>тс),
jZ'T' fl т*
Здесь П - пористость, оц, - коэффициент объ-
емного внутреннего теплообмена, с^, Gc -
теплоемкость и расход охладителя.
Граничные условия на входе в пористую
матрицу (у = 0) допускают конвективный
теплообмен между охладителем и первым
слоем волокон, образующих пористый каркас:
= ^tnGccpC(Ts — Tc)y=Q .
у=0
Граничные условия на выходе из порис-
той стенки учитывают эффект вдува - сниже-
ние конвективного теплообмена при подаче
охладителя в пограничный слой [см. формулы
(4.5.1), (4.5.7) или (4.5.12)]:
^ = !-гёс.
Здесь - тепловой поток на непроницаемой
стенке, у - коэффициент вдува,
Gc = Gd^lcp)Q = Gc/[pe6/eSt0] - безраз-
мерный расход вдуваемого газа.
Малая толщина пористой стенки ставит
остро вопрос о достоверности существующих
моделей сопряженного теплообмена, в част-
ности, о надежности экспериментальных дан-
ных по эффекту вдува в ламинарном и турбу-
лентном пограничном слое и по значению
коэффициента внутреннего теплообмена av
между фильтрующимся охладителем и порис-
той матрицей.
Принципиальное отличие данной моде-
ли тепло-массопереноса в пористой среде от
других моделей заключается в том, что учиты-
вается не только теплопроводность матрицы
Xj , но и теплопроводность охладителя .
Кроме того, постулируется, что на внешней
(нагреваемой) стороне пористой оболочки
температура охладителя Tc|^=/j = и тем-
пература матрицы Т,|^жЛ = совпадают-
ТЕПЛООБМЕН МЕЖДУ ПОРИСТОЙ МАТРИЦЕЙ И ФИЛЬТРУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТЬЮ 367
T'cw - ?sw • Только при таком допущении
можно исключить необходимость учета тем-
пературной шероховатости в пограничном
слое, продольный масштаб которой меньше
толщины пограничного слоя, а амплитуда
соизмерима с перепадом температур в этом слое.
Получено аналитическое решение сис-
темы уравнений, которое позволяет рассчи-
тать разность температур между охладителем
и матрицей в любой точке проницаемой стен-
ки (Ts - Тс) , а следовательно определить
интегральное количество теплоты, отобранной
охладителем при фильтрации через прони-
цаемую матрицу. Удобно ввести безразмерный
критерий эффективности проникающего ох-
лаждения в форме:
h
jav(Ts - Tc)dy
V = -------------
Qw
Установлено, что ц/ - является функци-
ей трех безразмерных параметров
R = Rerf РгЖ Кс = и
^с^рс
W др
ХД1-Л) R
К - R
Здесь Rerf = , рГ(, = д . тол.
т]с Хс
шина проницаемой стенки, d - характерный
диаметр пор, т|с, с^, Хс - вязкость, тепло-
емкость и теплопроводность охладителя. При
значениях К £4,0 критерий эффективности
у зависит от толщины пористой стенки,
точнее отношения h/d (рис. 4.5.17). При
больших значениях параметра К критерий ц/
стабилизируется, в том смысле, что дальней-
шее увеличение А не приводит к его измене-
нию, однако Ц/st зависит от отношения па-
раметров К/Кс (рис. 4.5.18). Пороговое зна-
чение К = 4,0 соответствует тому обстоятель-
ству, что на входе в проницаемую стенку тем-
пература охладителя 7^=0 и матрицы
4=0
достаточно близки к начальной темпе-
ратуре охладителя Го, поэтому теплообмен на
входе не оказывает существенного влияния на
тепловой режим всей пористой оболочки (т. е
критерий St^ выпадает из числа определяющих)
Рис. 4.5.18. Зависимость стабилизированного значения
критерия эффективности ц/st от
отношения параметров K/IQ
(1 - область параметров, характерных
4 8 12 Gc
Рис. 4.5.19. Экспериментальные данные по эффекту
вдува при различной поверхностной пористости IJW
(относительной площади отверстий на поверхности
модели): I7W =^(dp/s)2
Полученное решение позволяет объяс-
нить известные противоречия эксперимен-
тальных данных как по эффекту вдува,
так и по критериальным соотношениям
для внутреннего теплообмена типа Nuv =
= /(Re^, Ргс) . На рис. 4.5.19 представлен
эффект вдува в турбулентный пограничный
слой. Экспериментальные данные по зависи-
мости теплового потока на пористой поверх-
ности qw от безразмерного расхода вдуваемого
газа Gc имеют очень большой разброс. Также
сильно различаются и расчетные кривые,
представленные в литературе (кривые 7, 2, 3
на рис. 4 5.10).
368
Глава 4.5. ТЕПЛООБМЕН НА ПРОНИЦАЕМЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
Рнс. 4.5.20. Профили температуры в пористой стейке
для охладителя (кривая 2) и твердой матрицы
(кривая 3). Кривая 1 соответствует расчету в
условиях теплового равновесия (av —> ос)
v = (T-Tw)/(T,-Tce)
Столь значительный разброс эксперимен-
тальных данных по существу не позволяет досто-
верно оценить технические параметры системы
проникающего охлаждения. Поэтому требуется
тщательный анализ точности измерений и воз-
можных причин неадекватности использованных
в экспериментах моделей.
На рис. 4.5.19 представлены эксперимен-
тальные результаты при больших расходах охлади-
теля, причем кривые 2-4 оорщзлякк результаты
измерений на проницаемых моделях, отличаю-
щихся только размером отверстий dp и расстояний
между ними s. Изменением степени перфорации,
варьировали относительную площадь отверстий на
поверхность модели от 0,36 (кривая J) до 0,12
(кривая 2) и далее до 0,03 (кривая /). Кривая 4
дает представление об эффекте вдува через порис-
тую поверхность с Ilw = 0,45. Она близка к рас-
четной кривой 2 на рис. 4.5.10. При одном и том
же расходе вдуваемого газа Gc эффект вдува
сильно ослабляется по мере увеличения степени
перфорации.
При высокой интенсивности вдува отдель-
ные струи, вытекая из отверстий с большой ско-
ростью, как бы “протыкают” пограничный слой,
не производя существенной перестройки темпера-
турных или скоростных полей в пристенной эоне.
Отсюда следует, что перфорированные оболочки,
тем более с редким шагом перфорации, не могут
обеспечил» эффективную систему тепловой защиты.
На рис. 4.5.20 приведены расчетные профи-
ли температуры при высокой интенсивности
фильтрации, Gc - 3. Толщина проницаемой
стенки составляет всего 1 мм, тем не менее даже
ее хватило, чтобы сработать весь имеющийся пе-
репад температур в охладителе. Кривая 1 соответ-
ствует расчету в условиях теплового равновесия,
когда температурные распределения в твердой и
газообразных фазах совпадают {Т5 =Т^.
Степень температурной неравновесности
в проницаемых оболочках при больших вду-
вах весьма существенна, а градиенты темпера-
тур у внешней поверхности - велики. В этом
плане нельзя достоверно оценить тепловые
потоки qw, измеряя перепад температур на
входе и выходе из пористой стенки, особенно
при высоких расходах охладителя. Сравнивая
различные данные по эффекту вдува, пред-
почтение следует отдать тем из них, которые
получены на разрушающихся калориметрах (в
частности, на сублимирующих материалах).
Только в этом случае отсутствует температур-
ная неравновесность как внутри калориметра,
так и на его поверхности.
Из экспериментальных данных, обрабо-
танных в виде критериальной закономерности
Nuj = с ReJ , следует, что в диапазоне малых
чисел Рейнольдса Re^ < 10 расхождение
опытных данных увеличивается по мере
уменьшения Re (рис. 4.5.16). Показатель сте-
пени п в критериальном законе варьируется
от 0 до 1,3, что значительно превышает диа-
пазон изменения п при течениях в трубах.
Также обнаруживается, что интенсивность
внутреннего теплообмена зависит от толщины
пористой стенки, точнее отношения (h/dp)
(рис. 4.5.21). Численные расчеты по модели,
описанной выше, позволяют сделать опреде-
ленные заключения о причинах такой ситуации.
Nu,/
Рис. 4.5.21. Экспериментальные данные по
влиянию относительной толщины пористой стенки
f h
—— на интенсивность внутреннего
теплообмена в ней:
Nurf = Jo,0098 + 0,1 l(rfp/Л)] ReJ;3 Рг3'3
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
369
Рис. 4.5.22. Профили температуры в твердой матрице
(/) и охладителе (2 и J) при различных
интенсивностях внутреннего теплообмена:
кривая 2 при NUj = 4,
кривая 3 при NUj = 0,1 Rerf Ргс
практически одинаковые значения критерия
эффективности vp (рис. 4.5.23). Этот критерий
значительно увеличивается по мере роста
толщины пористой стенки (h/d).
Масштабный эффект соответствует при-
близительно двухкратному росту vp при увели-
чении безразмерной оболочки (h/d) в 4 раза
(рис. 4.5.23). В экспериментах, результаты
которых изображены на рис. 4.5.21, толщина
оболочки варьировалась почти в том же диа-
пазоне. Механизм влияния масштаба состоит
в том, что при малых числах Рейнольдса
(Rej « 1) и толщинах оболочки, измеряемых
несколькими миллиметрами, критерий vp ока-
зывается существенно меньше единицы. Это
означает, что меньшая часть теплового потока
qw передается охладителю через теплообмен
внутри пор, тогда как вклад теплопроводно-
сти охладителя и теплообмена на входе в по-
ристую структуру оказываются определяющи-
ми.
проникающего охлаждения ф
Сравним результаты, представленные на
рис 4.5.22 и 4.5.23. На первом из них изобра-
жены профиль температуры в пористой мат-
рице (кривая 7) и два варианта расчета темпе-
ратурного распределения в охладителе. Сна-
чала расчет сделан для стабилизированного
ламинарного течения в трубе с Nu = const
(кривая 2), а затем для эмпирически подоб-
ранной закономерности Nu^ = 0,1 Re^ Ргс
(кривая 5). Несмотря на существенное отли-
чие температур охладителя, оба варианта дают
Глава 4.6
ТЕПЛООБМЕН ПРИ ВЫНУЖДЕННОЙ
КОНВЕКЦИИ В ТРУБАХ
4.6.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Напорное или вынужденное движение
жидкости в трубах используется в подавляю-
щем большинстве теплообменных устройств.
И хотя гидродинамика этих течений сравни-
тельно проста, тем не менее законы теплооб-
мена в трубах имеют ряд отличительных осо-
бенностей, не позволяющих считать их неким
частным случаем рассмотренных выше зако-
нов вынужденной конвекции при внешнем
обтекании. Прежде всего, в трубах нет деле-
ния потока на пограничный слой и невязкое
течение. Строго говоря, такое деление можно
провести лишь для входной части трубы или
канала, но с удалением от входа процессы
гидродинамики и теплообмена приобретают
новые особенности.
Если при внешнем обтекании имеют де-
ло в основном с газами, то в теплотехнике
более распространено течение капельной
жидкости. Вода, масло или расплавленные
металлы, используемые в качестве теплоноси-
телей, отличаются от газов не только величи-
ной коэффициента вязкости т], но и сильной
зависимостью его от температуры. На рис. 4.6.1
представлены данные по некоторым жидко-
стям в сравнении с аналогичными данными
для газов. * Расплавленные металлы имеют
относительно низкие значения коэффициента
370
Глава 4.6. ТЕПЛООБМЕН ПРИ ВЫНУЖДЕННОЙ КОНВЕКЦИИ В ТРУБАХ
вязкости т|, но отличаются от других веществ
по значениям коэффициента теплопроводности X.
Отличия от газов либо по коэффициенту
вязкости, либо по коэффициенту теплопро-
водности приводят к тому, что числа Прандт-
ля жидких теплоносителей принципиально не
совпадают с единицей (см. табл. 4.6.1), а это
значит, что подобие профилей скорости. и
температуры не имеет места (см. гл. 4.2).
Влияние температурного фактора (Tw/Te)
или переменности теплофизических свойств на
законы теплообмена и зрения также различны.
4.6.1. Изменение чисел Прандтля различных
жидкостей в зависимости от температуры
Рис. 4.6.1. Зависимость вязкости жидкостей и газов
от температуры:
1 - масло; 2 - воздух; 3 - керосин,
4 - водород; 5 - вода
Поскольку отношение толщин теплового
и динамического пограничных слоев 5у/5
обратно пропорционально числу Прандтля
(см. гл. 4.2), постольку в жидких металлах
тепловой пограничный слой намного толще
динамического, а у воды или масла - наобо-
рот. И только в газах эти два слоя приблизи-
тельно совпадают по толщине.
Исторически исследования в трубах
предшествовали работам по теплообмену при
внешнем обтекании. За сто лет накоплен ог-
ромный опыт, изучены десятки жидкостей,
сотни различных по геометрии каналов от
тонких плоских зазоров до труб звездчатых
или оребренных. Подавляющее большинство
всех полученных закономерностей являются
эмпирическими и применимыми лишь в уз-
ком диапазоне определяющих параметров.
Велик и разброс экспериментальных результатов.
Основное внимание в этой главе будет
уделено цилиндрическим трубам с круглым
поперечным сечением. В некоторых случаях
будут представлены данные для труб с други-
ми формами поперечного сечения, однако
можно воспользоваться для пересчета прави-
лом эквивалентного диаметра сечения
deq=4S/P,
где S и Р - площадь и периметр проходного
сечения. В случае кольцевых сечений deq рав-
но разности диаметров внешней и внутренней
труб, а для течения между неограниченными
пластинами deq равно высоте зазора h.
Рис. 4.6.2. Гидродинамика потока в трубе при
ламинарном (а) и турбулентном (б) течениях
В самом общем случае установившееся
течение несжимаемой жидкости в круглой
цилиндрической трубе (рис. 4.6.2) описывает-
ся системой из двух уравнений:
р"£ = ’7^г(/ад’А= Kdr
дх RdR ri, (4.6.1)
у-(Р + Р"2) =
, дх К дК
Здесь х - продольная координата, совпадаю-
щая с осью трубы, R = — - безразмерный
г0
радиус трубы, отсчитываемый от ее оси,
р, Ср, П, X - плотность, теплоемкость, ко-
эффициенты вязкости и теплопроводности
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
371
жидкости, А, р - энтальпия и давление, а
плотность теплового потока q и касательное
напряжение (трение) т записаны с использо-
ванием гипотезы Буссинеска (см. гл. 4.4) для
общего случая ламинарно-турбулентного те-
чения:
м ч дТ . .ди
? = -(Х + М—,г = -(Л + пт)^.
(4.6.2)
Общее решение (в квадратурах) системы
уравнений (4.6.1) будет дано ниже.
При равномерном распределении скоро-
сти во входном участке на стенках канала под
действием сил вязкости начинают формиро-
ваться пограничные слои, толщина которых с
удалением от входа увеличивается до тех пор,
пока пограничные слои не сомкнутся между
собой (рис. 4.6.2). На этом участке скорость
течения на внешней границе пограничного
слоя (или в невязком ядре потока) ие даже
увеличивается по сравнению со скоростью и$.
После прохождения теплоносителем се-
чения, в котором пограничные слои смыка-
ются, в канале устанавливается постоянное
распределение скоростей (рис. 4.6.3) или так
называемый “параболический” профиль ско-
рости, который не зависит от координаты х, а
в случае изотермического течения полностью
определяется геометрической формой попе-
речного сечения. Такое течение называется
гидродинамически установившимся, а сам
участок трубы длиной х - называется
гидродинамическим начальным участком.
Профиль скорости и распределение ка-
сательного напряжения за участком гидроди-
намической стабилизации х > Iql для ла ии-
нарного режима течения в круглой трубе опи-
сывают с помощью решения второго из урав-
нений (4.6.1). Поскольку ди/дх =0, а на
стенке
трубы (в силу прилипания) скорость и = 0, то
для изотермического течения с т| = const
профиль скорости описывается параболой
« = ^-;£(1-Я2),Я = —, (4.6.3)
4т] dx г0
а трение линейно убывает по мере приближе-
ния к оси трубы, где в силу симметрии
du/dR = О
ди ( 1 rQ dp D dp
т = -— = -z—^R, -г- - const.
dR\rQJ 2 dx dx
(4.6.4)
Среднемассовая скорость потока в трубе рав-
на
1 г° „2 ,
“в = ~ I2яиг йг = ~-т- <4-6-5)
"'о О 8,1
и тогда из уравнений (4.6.3) и (4.6.5) получим •
и-2и,[1-Я2]. (4.6.6)
Таким образом, при ламинарном установив-
шемся течении скорость потока на оси трубы
в два раза больше среднемассового значения
скорости. При заданном расходе жидкости G
среднемассовая скорость равна расходу, де-
ленному на плотность жидкости:
«в = C/<P’t'O)
В газодинамике давление обычно отно-
сят к скоростному напору (см. гл. 4.2), поэто-
му градиент давления, начиная с Дарси, со-
поставляют с отношением скоростного напора
и диаметра канала:
<4-6-7)
372
Глава 4.6. ТЕПЛООБМЕН ПРИ ВЫНУЖДЕННОЙ КОНВЕКЦИИ В ТРУБАХ
Здесь Q - коэффициент гидравлического со-
противления трубы, который на основании
(4.6.5) удобно связать с числом Рейнольдса
= рМ/п
C, = M/Rcd. (4.6.8)
Для каналов некруглого сечения зависимость
£(Re) имеет тот же характер, но числовой
множитель пропорциональности будет дру-
гим. Так для каналов с равносторонним тре-
угольным сечением £ Rerf = 53, для кольце-
вых каналов Q Red меняется от 80 до 96 при
изменении соотношения диаметров d\/di от
0,01 до 1,0, а в прямоугольных каналах
£ Rerf = 57+85 при изменении отношения
сторон от 1 до 10. Во всех случаях в качестве
определяющего размера для числа Рейнольдса
принимается эквивалентный диаметр d -deq.
На всем протяжении начального участка
/од скорость потока на оси увеличивается от
Uq до цтах = 2мв, а следовательно, перепад
давления Др, затраченный на эту перестрой -
1 2 2
ку потока, будет равен Др = — рО/тах ~ wo) •
Сравнивая падение давления для всей длины
начального участка канала с сопротивлением
полностью стабилизированного течения
(4.6.8.), можно показать, что
4р/(|р“Ь21 + кр<
/ '2 ) deq
где Кр - параметр, учитывающий дополни-
тельные потери давления в начальном участ-
ке. Для плоских каналов при увеличении от-
ношения сторон от h/b = 0 до h/b = 1 вели-
чина Кр возрастает от 0,69 до 1,55. Еще зна-
чительнее колеблется безразмерная длина
начального участка: для плоских каналов
отношение Rerf) изменяется от
0,0059 до 0,033. С учетом изменения физиче-
ских свойств жидкости на начальном гидро-
динамическом участке различие в величине
/0£ будет еще заметнее.
Из этого следует вывод, что длина на-
чального участка может колебаться в больших
пределах. Для круглых труб при изотермиче-
ских условиях рекомендуется принимать
4)£ = 0,06 Rerf^eg),
но по достижении Re^ £ 2300 величина
не превьниает 45*/.
4.6.2. ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ.
ПОСТОЯННАЯ ТЕМПЕРАТУРА СТЕНКИ ТРУБЫ
Хорошо известная задача Гретца-
Нуссельта о теплоотдаче при течении несжи-
маемой жидкости с постоянными физически-
ми свойствами в круглой трубе, с постоянной
по длине температурой стенки Tw - const и пол-
ностью развитым параболическим профилем ско-
рости численно решалась многими авторами.
При теплообмене между стенками кана-
ла и жидкостью, движущейся в нем, происхо-
дит нагрев или охлаждение пристенных слоев.
Уже в начальной части канала у стенки обра-
зуется тепловой пограничный слой, а в цен-
тре - ядро потока, температура которого равна
температуре жидкости То на входе в канал
(рис. 4.6.4). По мере удаления от входа тол-
щина температурного пограничного слоя рас-
тет, а сечение ядра сокращается. Наконец, в сече-
нии х - fa изотермическое ядро исчезает.
Хотя в дальнейшем температура жидко-
сти на оси Т - Tf может изменяться,
безразмерный профиль температуры
для несжимаемой
жидкости остается неизменным по всей длине
канала х > fa . Для стабилизированного гид-
родинамически ламинарного течения про-
филь скорости описывается соотношением
(4.6.6), поэтому уравнение сохранения энергии
(4.6.1) примет вид (при X и ср - постоянных)
<4-6-9>
Рис. 4.6.4. Изменение коэффициента теплоотдачи
по длине трубы
ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ. ПОСТОЯННАЯ ТЕМПЕРАТУРА СТЕНКИ
373
Здесь введены безразмерные параметры:
6 = j? , R = —, X =
Tw — Т3 Гд </Ре
Ре = ^,а = х/(рСр).
В результате решения дифференциаль-
ного уравнения (4.6.9) методом разделения
переменных 0 = получена функ-
циональная связь между различными пара-
метрами задачи, в том числе и критериальное
уравнение теплообмена Nu = a.d/'k = F(X),
которое изображено на рис. 4.6.5 (кривая 7).
Как видно из рис. 4.6.5 с увеличением
безразмерного числа Х/2 = Pe'^x/d) крите-
рий Нуссельта уменьшается и асимптотически
приближается к постоянному значению
Nu -> Nuw = 3,66 . Отсюда следует, что про-
исходит тепловая стабилизация течения жид-
кости, в результате которой уже далеко за
пределами точки смыкания пограничных сло-
ев коэффициент теплообмена а перестает
зависеть от гидродинамических параметров
(скорости ц, давления р или плотности р в жидко-
сти), но полностью определяется теплопроводно-
стью жидкости X и диаметром трубы &.
при х -> оо а -> ада = 3,66 k/d . (4.6.10)
Это первое принципиальное отличие течений
в каналах от течений на плоской пластине
или клине, где ни при каких режимах лами-
нарного обтекания не наблюдалось фиксации
параметров теплообмена.
Второе принципиальное отличие заклю-
чается в самом характере изменения числа
Нуссельта от безразмерной координаты х по
мере ее асимптотического уменьшения. В
отличие от степени 0,5 при обтекании пла-
стины в трубных течениях показатель степени
уменьшается до 0,33:
Nu = l,077j/pe— для Ре— > 102
V х х
Рис. 4.6.5. Изменение Nu по длине трубы при
Т„ =const (/) и =const (2)
В этом также проявляется влияние стабили-
зированного ламинарного течения, когда
профиль скорости (4.6.6) сохраняется неиз-
менным по длине.
Длину трубы, на которой происходит
теплообмен, можно разделить на два участка.
На первом участке, называемом начальным
термическим, происходит формирование
профиля температуры 0 = , а
число Нуссельта убывает по длине. На втором
участке, где теплообмен стабилизировался,
профиль температуры зависит только от те-
кущего значения радиуса R, но остается не-
изменным для любой длины х > lQt . Если
принять за lQt ту координату х, при которой
число Нуссельта отличается от 3,66 менее,
чем на 1%, то
lQt/d = 0,055Ре, где Ре = Rerf Рг.
(4.6.12)
При одном и том же числе Рейнольдса
Rerf длина участка тепловой стабилизации
Iqi определяется числом Прандтля теплоно-
сителя Рг (рис. 4.6.6). Для газов с Рг « 1 ве-
личина lQt достигает приблизительно 100
диаметров (или калибров) трубы, для капель-
ных жидкостей с числами Прандтля как у
воды (Рг « 10), эта длина может превысить
500 калибров, а для масла - несколько тысяч,
т. е. в теплообменниках на капельных жидко-
стях режим теплоотдачи практически всегда
нестабилизированный.
Чтобы проследить как влияют гранич-
ные условия на теплообмен между стенкой и
теплоносителем в трубе, заменим условие
Tw = const на ^0 =const.
Рис. 4.6.6. Изменение Nu по длине трубы при
Re =2-103 н разных числах Рг
374
Глава 4.6. ТЕПЛООБМЕН ПРИ ВЫНУЖДЕННОЙ КОНВЕКЦИИ В ТРУБАХ
4.6J. ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ.
ПОСТОЯННЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК НА СТЕНКЕ ТРУБЫ
В этом случае в качестве безразмерной
температуры удобно использовать величину
0 = (Г - 7у|Д^о<//Х]. Приняв, как и раньше,
стабилизированный профиль скорости (4.6.6),
получим решение задачи (4.6.9) для сечения,
удаленного от входа трубы на расстояние не
меньшее^чем /0£ или /д/, в следующем виде:
0 = 2Х + 0.5Я2 - 0.125Я4 - (7/48), Д'= ^-7
1 с а
Температура стенки теперь растет с расстоянием х
0(Я = 1) = 0В, =2Х + ^.
48
Графическое представление профиля темпе-
ратуры 0(Х, R) и зависимости температуры
стенки 0», от координаты Хдано на рис. 4.6.7.
Предельное или стабилизированное зна-
чение коэффициента теплообмена ада можно
получить из числа Нуссельта:
Nu(x -> ») = Nu„ = = ур « 4,36,
(4.6.13)
а длину участка стабилизации определит ус-
ловие
/Of/d = 0,07Ре = 0,07 Rerf Рг. (4.6.14)
До наступления стабилизации коэффи-
циента теплообмена х < lQt критериальное
соотношение Nu(X) можно представить как
х. ad , 1 xV1^3 n x ,л ,
Nu = — = 13 — —I ,где Pe — £ 10’3.
л \re a J a
(4.6.15)
График этой функции представлен на
рис. 4.6.5 в сравнении с решением задачи для
постоянной температуры стенки (кривая 2).
Как видно из приведенных результатов теоре-
тического решения теплообмен в трубе при
qo = const имеет большую интенсивность, чем
при Tw=consL
На практике разность температур стенки
и потока может оказаться столь существен-
ной, что теплофизические свойства жидкости
уже нельзя считать постоянными. Прежде
всего это относится к вязкости, которая у
капельных жидкостей резко убывает с ростом
температуры. На основании эксперименталь-
ных и теоретических исследований в критери-
альные уравнения типа (4.6.11) или (4.6.15)
вводят поправочный множитель 4/7 =
= [л(^)/л(7/)] Л • Показатель степени п
несколько различается для разных задач. Если
температура стенки выдерживается постоян-
ной, то п = \/1, а для постоянного теплового
потока qQ = const показатель п возрастает до
п = 1/6 .
Влияние геометрической формы канала
проявляется как на предельных значениях
коэффициента теплообмена аи, так и на
длине участка стабилизации /0/ , однако об-
щий функциональный тип критериальных
законов не изменяется.
Рис. 4.6.7. Распределение температуры по радиусу и длине трубы при =const
ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ТРУБЕ
375
4.6.4. ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ТРУБЕ
Рейнольдса основного потока). В этом случае
Общие положения. Многочисленные
экспериментальные исследования показыва-
ют, что при изотермическом течении в круг-
лых трубах критическое число Рейнольдса
ReZr ।, при котором начинается переход от
ламинарного режима течения к турбулентно-
му, составляет 2300. Полностью развитое тур-
булентное течение в технически гладких тру-
бах обычно устанавливается при
ReZr 2 = ?UeX > 10000. Течение в интервале
Л
ReZr । < Re < Rezr 2 называется переходным
и является неустойчивым (см. гл. 4.3).
Смена ламинарного и турбулентного со-
стояний проходит через неравномерные про-
межутки времени, которые приближенно
можно описать с помощью коэффициента
перемежаемости Г. Если в данном сечении
трубы коэффициент Г достаточно мал, то
течение в своей основе ламинарное с редкими
всплесками турбулентности, которые к тому
же быстро затухают. Если же Г близок к еди-
нице, то течение в целом пульсирующее, вих-
ревое, но кратко могут возникать периоды
временной стабилизации (“прояснения”). На
рис. 4.6.8 представлена схематично зависи-
мость коэффициента перемежаемости Г от
текущей координаты х в трубе при различных
числах Рейнольдса.
В трубах, сечения которых имеют узкие
угловые зоны, возможно одновременное су-
ществование ламинарного и турбулентного
режимов течения. Там где сечения сильно
заужены, возникают ламиниризованные за-
медленные области (даже при высоких числах
эквивалентный диаметр deq =
уже не
может выступать в качестве универсального
масштаба длины, поскольку из всей площади
поперечного сечения как бы исключается
область с “аномальным” режимом.
На величину критического числа Рей-
нольдса Re,r i или Re,,.^ влияет наличие
конфузорных или диффузорных участков тру-
бы: при торможении число ReZr д уменьшает-
ся, а при доразгоне - увеличивается. Для гну-
тых круглых труб с уменьшением радиуса гиба
значение ReZr увеличивается. В этом сказывается
стабилизирующее влияние центробежной силы.
Течение жидкости в условиях теплооб-
мена может существенно отличаться от изо-
термического за счет изменения теплофизических
свойств, особенно вязкости. На рис. 4.6.9 пред-
ставлены результаты численного счета тече-
ния масла МС-20 при одновременном нагреве
или охлаждении стенки трубы. На рисунке
показаны профили температуры, скорости и
массового расхода (рм), а также теплового
потока q. При нагреве, когда температура
масла растет от стенки к оси, а вязкость, на-
оборот, падает, профиль скорости становится
более заполненным, склонным к более ста-
бильному режиму течения. Несмотря на неко-
торое уменьшение плотности с ростом темпе-
ратуры, профиль расхода (рм) также стано-
вится более наполненным. Количество тепло-
ты, переносимой жидкостью (срри) увеличи-
вается, распределение теплового потока при-
ближается к линейному.
Рис. 4.6.8. Зависимость коэффициента перемежаемости Г в трубе от
текущей длины х при различных числах Рейнольдса
376
Глава 4.6. ТЕПЛООБМЕН ПРИ ВЫНУЖДЕННОЙ КОНВЕКЦИИ В ТРУБАХ
в)
Рис. 4.6.9. Распределение параметров масла
по радиусу трубы:
а - температуры; б - скорости; в - массовой скорости;
г - плотности теплового потока (То и uq - значения на
оси трубы); =0,163; 0,460; 3,82; 51,3
соответственно;-------- постоянные физические
свойства
Иная картина наблюдается при охлаж-
дении. Большая часть массового расхода жид-
кости (ри) протекает в приосевом ядре пото-
ка, что резко перестраивает распределение
тепловых потоков и снижает теплообмен со
стенкой. Очевидно, что условия для срыва
ламинарного режима течения в этих двух слу-
чаях должны быть совершенно отличными,
что и подтверждается экспериментально.
Зависимости вязкости от температуры у
газов и жидкостей имеют противоположный
характер, что весьма затрудняет обобщение
экспериментальных данных и возможности
переноса результатов, полученных для газо-
вых течений, на капельные жидкости.
Очень большое влияние на значение
критического числа Рейнольдса оказывает
форма входного участка трубы. При хорошем
скруглении входа и отсутствии других возму-
щений можно увеличить ReZr । почти в два
раза. Длина начального участка трубы, кото-
рый требуется создать для затухания началь-
ных возмущений, от 50 до 100 диаметров (или
калибров) трубы. Все это говорит о том, что в
прикладных задачах чаще приходится сталки-
ваться с турбулентными режимами течения в
трубах, чем с ламинарными.
4.6.5. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЙ В ТРУБАХ
При турбулентном режиме течения в
трубах профиль скорости по поперечной ко-
ординате (радиусу г) более заполнен, чем при
ламинарном (рис. 4.6.10), однако он не стаби-
лизируется после достижения какого-либо
сечения. В этом смысле турбулентный режим
предъявляет более высокие требования к ре-
шению гидродинамической части задачи. Для
описания поля скоростей в турбулентном ядре
потока часто используют степенной закон
U(r)/uf(r = 0) = (у/го)17".
где у = (г - Го) - расстояние от стенки тру-
бы. Если теперь, используя степенной закон,
подсчитать величину среднемассовой скорости
"в/“/(' = 0) =-----^7-----Г • 0.6.16)
7 ' (л + 1)(2л + 1)
то по измерению отношения среднемассовой
и максимальной скорости потока в различных
сечениях можно выбрать оптимальное значе-
ние показателя степенного закона п. Однако,
как видно из данных, представленных на рис.
4.6.11, показатель степени п будет зависеть от
числа Рейнольдса даже при Re > 108. Это и
является доказательством того факта, что в
отличие от параболического профиля в лами-
нарном потоке при турбулентном режиме
течения нет стабилизированного распределе-
ния скорости по радиусу трубы.
Различие между максимальной скоро-
стью на оси трубы Uf и среднемассовой скоро-
стью иъ становится столь малым при высоких
числах Рейнольдса, что им можно было бы
пренебречь в инженерных расчетах, если бы
тепловой поток и трение не зависели от мо-
дели турбулентности, а точнее от градиента
скорости (ди/дг), который требуется знать
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЙ В ТРУБАХ
377
при вычислении “кажущихся” значений ко-
эффициентов теплопроводности и вязкости:
Ху и т|Г • Именно поэтому гидродинамиче-
ские особенности турбулентных потоков играют
первостепенную роль в проблеме теплообмена.
Основное изменение скорости происхо-
дит в пристенной области, занимающей менее
15% радиуса трубы.
Согласно современным представлениям
(см. гл. 4.4) в этой весьма узкой зоне различа-
ют три подобласти, каждая со своим распределе-
нием скорости и своей ролью в теплообмене:
ламинарный подслой, толщина которого
составляет около 0,001 ст радиуса трубы,
а профиль скорости близок к линейному. При
числе Рейнольдса Re^ £ 105 в этом ламинарном
подслое скорость потока возрастает от нуля до
20% своего максимального значения;
о,г—/•
0 0,2 (р 0,6 0,3 У
Рис. 4.6.10. Распределение скоростей в гладкой трубе
при различных числах Рейнольдса (по Никурадзе):
/ - турбулентное; 2 - ламинарное; Re < 2300
Рис. 4.6.11. Зависимость относительной
скорости от Rep:
О - эксперимент, — - расчет
промежуточный или буферный слой,
верхняя граница которого находится где-то на
отметке 0,01 от радиуса трубы, а распределе-
ние скорости можно аппроксимировать лога-
рифмом от координаты. Внутри буферного
слоя скорость набирает почти 50% своего
максимального значения;
турбулентный подслой, в котором моле-
кулярный коэффициент вязкости л пренеб-
режимо мал по сравнению с коэффициентом
“кажущейся” вязкости т|Т» а профиль скорости
описывается универсальным (логарифмическим)
распределением.
Оставшиеся 85% радиуса трубы заняты
турбулентным ядром потока, структура кото-
рого может меняться в различных каналах,
струйных или пристенных пограничных сло-
ях, сама же осредненная скорость при этом
меняется сравнительно мало. При обтекании
поверхности неограниченным потоком на
жидкость, находящуюся вдали от тела, не
влияют процессы, которые происходят у по-
верхности. В то же время в замкнутых грани-
цах канальных течений размеры самых круп-
ных турбулентных вихрей не могут превышать
диаметра проходного сечения, а процессы на
одной стенке оказывают влияние на процес-
сы, происходящие на противоположной по-
верхности. Именно эта обратная связь приво-
дит к различию профиля скорости в погра-
ничном слое на пластине и в турбулентном
ядре течения в трубе.
Но как на пластине, так и внутри трубы
основной источник турбулентности находится
на границе вязкого ламинарного подслоя,
поэтому масштаб для интенсивности турбу-
лентных пульсаций может быть связан только
с некоторым параметром на поверхности тру-
бы, а не со скоростью на оси потока (или вне
пограничного слоя, например, с величиной ие
для пластины). Согласно гипотезе Прандтля,
этот масштаб турбулентных пульсаций опре-
деляется динамической скоростью v„ которая
прямо пропорциональна трению на стенке:
v,=7WP- (4.6.17)
Во многих случаях динамическая ско-
рость - это универсальный скоростной мас-
штаб, который можно применять для многих
параметров канальных течений. Поле скоро-
стей будет универсальным, если V, взять как
масштабный множитель скорости и+ = и/и,
и как масштаб длины при расчете безразмер-
ной координаты = (pv.y/i]). В таком
представлении закон распределения скорости
имеет универсальный вид, и при графическом
отображении все точки при любых значениях
числа Re > 104 располагаются около одной
кривой (рис. 4.6.12).
378
Глава 4.6. ТЕПЛООБМЕН ПРИ ВЫНУЖДЕННОЙ КОНВЕКЦИИ В ТРУБАХ
Рис. 4.6.12. Распределение скорости при турбулентном
течении жидкости в трубе
В настоящее время наиболее распро-
странено описание полного профиля скоро-
сти в трубе при установившемся движении
тремя уравнениями:
при у* £ 5 скорость и+ = у+ (ламинарный
подслой);
при5<у+£30 и+ = -3,05 + 5 In у* (буферный
слой);
при у* > 30 и* = 5,5+2,5 In (турбулентный
слой и турбулентное ядро потока).
Эти уравнения соответствуют так назы-
ваемой трехслойной модели течения. При
определении турбулентной вязкости т|г из урав-
нения
они дают разрыв на границе слоев, так как терпит
ди ди
разрыв производная — или — в точках со-
пряжения аппроксимирующих зависимостей.
Рейхардт предложил единую зависи-
мость для описания профиля скорости от
стенки до оси, которая также часто использу-
ется в инженерных расчетах
и*.2<51п[(1 + олг)^?
(4.6.19)
Здесь R = г/г§ .
При этом для определения турбулентной вяз-
кости с помощью двух уравнений (4.6.18) и
(4.6.19) получена зависимость:
при у* £50 Пт/Л =°,4^У+ - llth^+/lljj;
при у+ > 50 г)/’/л =0,133 у+[о,5 + Я2][1 + Я].
(4.6.20)
Вся проблема свелась к конкретизации в
том или ином приложении величины дина-
мической скорости V,. Но согласно уравнени-
ям (4.6.4) и (4.6.7) для трубных течений суще-
ствует однозначная связь между трением на
стенке, среднемассовой скоростью ил и коэф-
фициентом гидравлического сопротивления £:
х0=|р«Г (4.6.21)
О
Рис. 4.6.13. Закон сопротивления для течения
в гладко* трубе:
1 - ламинарное течение; 2 - турбулентное течение (по Блазиусу);
J - турбулентное течение (эксперимент)
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЙ В ТРУБАХ
379
Ранее полученное уравнение (4.6.8) для
коэффициента гидравлического сопротивле-
ния £ выполняется только для ламинарного
режима течения в трубе. На основании обоб-
щения массива экспериментальных данных
для чисел Re £ 105 Блазиус получил аппрок-
симационную формулу
С = 0316 ReJ1/4. (4.6.23)
На рис. 4.6.13 показана зависимость
Блазиуса (кривая 2) в сравнении с другими
экспериментальными данными, в том числе и
для чисел Рейнольдса Re^ > 105. Формула
Блазиуса начинает давать заниженные резуль-
таты при больших числах Re j. Белее универ-
сальная зависимость изображена на рис. 4.6.13
под номером 3:
; = (l321nRed-l,64)*2. (4.6.24)
Теплообмен при турбулентном течении в
трубе рассчитывают по тем же уравнениям
(4.6.1), что и при ламинарном режиме тече-
ния, но с учетом в выражениях (4.6.2) для
теплового потока и трения коэффициента
турбулентной вязкости т|Г и теплопроводно-
сти . Например, для постоянного тепло-
вого потока на стенке qQ = const и при посто-
янных теплофизических свойствах жидкости
можно представить решение уравнения со-
хранения энергии в виде интеграла Лайона:
М Ъ
! J(«/uB)AdA dR
Nil'1 = 2 ------ -, R = —.
о[1+(Рг/РггХ’1г/п)]Л го
(4.6.25)
Для того, чтобы воспользоваться этим
интегралом, дающим точное выражение для
коэффициента теплоотдачи ao = (X/k/)Nu ,
необходимо иметь:
профиль скорости (ц/цв) в любом сече-
нии трубы;
отношение коэффициентов турбулент-
ной и молекулярной вязкостей (‘Пт’/л);
турбулентное число Прандтля Ргу, кото-
рое позволяет связать между собой отношения
коэффициентов теплопроводности и вязкости в
ламинарном и турбулентном течениях:
Pr/Prr=(n/nr)(W)- (4.6.26)
Точность расчетов теплоотдачи определяется,
главным образом, степенью достоверности
наших знаний о коэффициенте турбулентной
вязкости т|Т и турбулентном числе Прандтля
Ргу = Чтср/^Г ’ поскольку интеграл, стоя-
щий в числителе соотношения (4.6.25) слабо
зависит от степени приближения расчетного
профиля скорости к реальному. Достаточно
воспользоваться степенной зависимостью для
описания профиля скорости в турбулентном
ядре потока
u(r)/uz(r = 0) = (у/ъ)'1” = [(г - 'й)/'й]1/Я.
(4.6.27)
где показатель степени п может быть подоб-
ран с помощью рис. 4.6.11 и уравнения
(4.6.16), которое связывает отношение сред-
немассовой цв и максимальной Uf скоростей
потока с этим показателем степени п.
В подавляющем большинстве приклад-
ных задач для расчета турбулентной вязкости
применяют формулы (4.6.20), которые осно-
ваны на универсальном профиле скорости,
записанном в аппроксимации Рейхардта
(4.6.19). Ограничения на использование уни-
версального профиля скорости и связанных с
ним аппроксимаций для турбулентной» вязко-
сти типа (4.6.20) могут появиться в том слу-
чае, когда турбулентность анизотропна. Силь-
ная неизотропность наблюдается в каналах
сложной формы в виде вторичных течений и
крупномасштабных вихрей, сильной неравномер-
ности касательных напряжений по периметру или
ламинариэованных эон в узких частях канала.
Обычно в расчетах для неметаллических
жидкостей турбулентное число Прандтля
принимается равным единице. Б. С. Петухов
с сотрудниками выполнил рассмотренным
методом расчеты стабилизированной теплоот-
дачи, а результаты представил в виде обоб-
щенной зависимости
Nu--------(WK «eft . (462!|
где К\ = 1 = 900/Re , а гидравлическое сопро-
тивление трубы £ определяется по формуле
(4.6.24).
Среднее отклонение экспериментальных
значений от рассчитанных составляет ±5% в
интервале 4103 < Re < 5-106 и числах Прандт-
ля Рг от 0,5 до 5000.
Если числа Рейнольдса превышают
10000, то формула Петухова совпадает с более
упрощенной формулой Михеева
Nu = 0,021 Re03 Рг0-43. (4.6.29)
380
Глава 4.6. ТЕПЛООБМЕН ПРИ ВЫНУЖДЕННОЙ КОНВЕКЦИИ В ТРУБАХ
Формула (4.6.28) перейдет в (4.6.29) в
том случае, когда коэффициент гидравличе-
ского сопротивления £~Re’0»2.
Влияние переменности теплофизических
свойств на теплообмен проявляется по-
разному для капельных жидкостей и газов. В
жидкостях с изменением температуры сильно
изменяется только вязкость, тогда как осталь-
ные свойства меняются слабо. Это позволяет
для всех неметаллических жидкостей ввести
единую поправку в закон теплообмена:
Nur/Nur=cona =[n(rw)/ii(r/)]". Показа-
тель степени п в этой поправке зависит от
направления теплового потока: при нагрева-
нии жидкости п = - 0,11, а при охлаждении
л = -0,25.
Значительно сложнее обстоит дело в
случае газовых теплоносителей. Физические
свойства газа в зависимости от температуры
можно выразить с помощью приближенных
степенных уравнений
(п/По) = (7’/То)Л’;(р/Ро) = (7’/То)^;
(A/X0) = (T/T0f; (%/c,)0=(T/T0f.
(4.6.30)
Учет переменности физических свойств
сведется к соотношению вязкостного пара-
метра лп и комбинации остальных показате-
лей степени nptn^ и пс. В. А. Кургановым и
Б. С. Петуховым предложено свести три по-
следних параметра в комплекс
а = -О^ЗЛр - 033лх - 0Д5лс ,
а тогда учет переменности свойств можно
провести с помощью аналитической формулы
Nur/Nuy.cons, = ехр{- АГ7-[аф + ллФ|Кг]},
(4.6.31)
где введены обозначения
1 25
Ф = 1 -ехр(-ЮХ); Ф! =Y^-.
у — % К —
lOOrf ’ Т '
Значения комплексного параметра а и
показателя лп даны в табл. 4.6.1 для некото-
рых газов.
4.6.1. Значения комплексного параметра а и показателя для некоторых газов
Параметр Газ
одноатомный двухатомный СО2 Н2О сн4 NH3
а 0,3- 0,26 0,09 0,013 -0,097 -0,04
0,67 0,70 0,77 1,18 0,71 0,92
Зависимость местного числа Нуссельта
от чисел Рейнольдса и Прандтля практически
одинакова при постоянной температуре стен-
ки и при постоянном тепловом потоке на
стенке (в отличие от ламинарного режима
течения в трубе). Но для жидких металлов, у
которых число Рг«1, значение Nu при
= const могут отличаться от случая
Tw = const на 15-25%, т. е. почти так же, как
при ламинарном течении жидкости в трубе.
4.6.6. КАНАЛЫ С ЕСТЕСТВЕННОЙ И
ИСКУССТВЕННОЙ ШЕРОХОВАТОСТЬЮ
Классические исследования сопротивления в
трубах с песочной шероховатостью, выпол-
ненные еще в 30-х годах И. Никурадзе, по-
зволили установить режимы проявления ше-
роховатости, а также выявить характер воз-
действия шероховатости на пограничный слой
(рис. 4.6.14). На шероховатой поверхности
крупномасштабная структура турбулентного
ядра потока качественно остается той же, что
и на гладкой поверхности, но увеличивается
частота появления вихрей, а следовательно,
интенсивность турбулентных пульсаций на
границе ламинарного подслоя и буферного
слоя. Профили скорости из-за сильного уве-
личения поверхностного трения на шерохова-
той поверхности и связанного с этим роста
динамической скорости V. как бы смещаются
параллельно самим себе вправо по оси абсцисс.
Известно, что если характерная высота
шероховатости Ks такова, что элементы шеро-
ховатости полностью погружены в ламинар-
ном подслое (AjpV./ii) <5, то закономерно-
сти переноса количества движения (трение) и
теплоты (теплообмен) не изменяются. Напро-
тив, если шероховатость имеет размеры Ks
такие, что К5рУ*/т\ > 70, то наступает режим
полного проявление шероховатости, при ко-
тором число Рейнольдса уже не влияет на
сопротивление (рис. 4.6.14). Однако при этом
нарушается аналогия между теплообменом и
трением (см. гл. 4.2).
КАНАЛЫ С ЕСТЕСТВЕННОЙ И ИСКУССТВЕННОЙ ШЕРОХОВАТОСТЬЮ
381
Ряс. 4.6.14. Вляяпм высоты вероховатостн на закон сопротивлеяяя в трубах
Рис. 4.6.15. Влияние высоты выступов к на
коэффициент гидравлического
сопротивления н число St:
пунктир - гладкая труба
На рис. 4.6.15 показано влияние высоты
элементов шероховатости (выступов) на ко-
эффициент гидравлического сопротивления £
и число Стентона St s -Ту)]
при течении в трубах (пунктиром показаны
данные для гладкой трубы). Хорошо видно,
что увеличение относительной высоты высту-
пов не только изменяет наклон зависимости
£(Re), но резко увеличивает сопротивление.
Закон теплообмена, по крайней мере, при
высоких числах Рейнольдса остается тем же,
хотя интенсификация теплообмена в 1,5-2
раза имеет место.
Перед конструкторами теплообменных
аппаратов стоит задача добиться минималь-
ных габаритов и массы аппарата при ограни-
чениях на перепад давления в теплоносителе
или на гидравлические потери. Интенсифи-
кация теплообмена в каналах - реальный путь
к уменьшению габаритных размеров и массы
аппарата. Анализ представленных выше ре-
зультатов показывает, что большая часть тем-
пературного напора срабатывается в тонком
пристенном слое. Этот слой тем тоньше, чем
больше число Прандтля.
Значит искусственная турбулизация
должна увеличивать интенсивность турбу-
лентных пульсаций только в этом тонком
слое, но не турбулизировать все ядро, чтобы
не росло гидравлическое сопротивление.
Этого можно добиться созданием небольших
отрывных зон (вихрей), расположенных около
стенки на определенных расстояниях по дли-
не канала (рис. 4.6.16). При слишком частом
расположении таких вихрей энергия возни-
кающих на них пульсаций скорости не успе-
вает затухать на пути до следующего вихря и,
в основном, диффундирует в ядро потока.
Именно так происходит на стенках с грубой
шероховатостью, где теплообмен растет слабо,
а сопротивление - существенно.
382
Глава 4.6. ТЕПЛООБМЕН ПРИ ВЫНУЖДЕННОЙ КОНВЕКЦИИ В ТРУБАХ
Рк. 4.6.16. Профиль трубки
На рис. 4.6.16 изображена трубка, по-
верхность которой накатана роликами, в ре-
зультате чего на внутренней стенке образова-
ны выступы (диафрагмы) с плавной конфигу-
рацией.
На рис. 4.6.17 представлена зависимость
степени интенсификации теплообмена (по
отношению к гладкой трубе и числу Nuq) от
числа Рейнольдса Re для различных размеров
диафрагм, или отношений диаметров диа-
фрагмы d к диаметру гладкой трубы D. Пунк-
тиром изображена линия пороговых чисел
Рейнольдса Re = Re* , при которых отноше-
ние Nu/Nuq перестает увеличиваться с рос-
том числа Рейнольдса. Дополнительная ин-
тенсификация теплоотдачи в этом случае ма-
ла, а гидравлические потери продолжают расти.
Рис. 4.6.17. Влияние числа Re на эффективность
интенсификации теплообмена: 1 - Re = Re* (граница
слабой зависимости Nu/NUq от Re);
2- d/D = 0,983; t/D = 0,5; 3 - d/D^ 0,966;
t/D = 0,5;4- d/D = 0,943; t/D = 0,5;
5- d/D = 0,912; t/D = 1,0; 6- d/D = 0,92;
t/D = 0,5, 7- d/D = 0,875; t/D = 0,5
Раздел 5
ТЕПЛООБМЕН В ГЕТЕРОГЕННЫХ ПОТОКАХ
Глава 5.1
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Мельчайшие твердые или жидкие части-
цы, разгоняясь в газовых потоках, способны
при столкновении с преградами вызывать
значительное увеличение теплообмена и раз-
рушение на поверхности этих преград. В от-
личие от теплового или химического такое
разрушение называется эрозионным. Эрозия
существенно осложняет проектирование энер-
гетических и транспортных систем.
Частицы попадают в газовый поток вследст-
вие естественных или искусственных причин. В
атмосфере Земли и других планет всегда присут-
ствует пыль или облака, содержащие жидкие
(дождь) или твердые (снег, град) частицы. В отли-
чие от природных атмосферных образований час-
тицы искусственного происхождения могут иметь
весьма причудливые, в том числе и сильно вытя-
нутые формы, а платность их может значительно
превосходить платность воды.
Изучению механики и физики много-
фазных систем в последние годы уделяется
значительное внимание. Как и во всякой
сложной проблеме, исследования проводятся
по нескольким направлениям, имеющим
свою специфику как при теоретическом опи-
сании, так и при их экспериментальном на-
блюдении.
В этом разделе главное внимание будет
уделено стационарным многофазным потокам,
в которых несущая (газообразная) фаза и дис-
кретная фаза (жидкие или твердые частицы)
имеют одно и то же направление своего дви-
жения. В ближайшей окрестности преграды это
правило может нарушаться вследствие отраже-
ния падающих частиц, но силы аэродинамиче-
ского сопротивления со стороны газового по-
тока достаточно быстро восстанавливают пер-
воначальное направление полета частиц.
В подавляющем большинстве приложе-
ний мы имеем дело только с двумя фазами:
газообразной и конденсированной. Однако
термин "двухфазное течение" менее коррек-
тен, чем "гетерогенное течение". Объясняется
это тем, что в паровой энергетике под двух-
фазным понимается течение, в котором при-
сутствуют вода и пар, т. е. вещества одного
химического состава. Мы же в дальнейшем
будем рассматривать в качестве газообразной
фазы вещества, не имеющие с дискретной
фазой ничего общего (хотя небольшое при-
сутствие испарившихся компонент в газовой
смеси не исключается).
В процессе совместного движения обе
компоненты гетерогенной системы обмени-
ваются энергией и импульсом, что может
явиться причиной плавления, горения или
испарения частиц, т. е. различных физико-
химических превращений, в результате кото-
рых размеры и форма частиц могут изменить-
ся. Осаждение частиц на поверхность обте-
каемого тела может привести, с одной сторо-
ны, к их прилипанию и исчезновению из
потока, а с другой, к эрозии поверхности и
выбросу в поток новых частиц. Все эти про-
цессы говорят о том, что реальные гетероген-
ные потоки должны быть полидисперсными,
т. е. им свойственна функция распределения
частиц по размерам и массе.
Функцию распределения по радиусу
f(r) сферических частиц можно записать в
дифференциальной или интегральной форме.
Если пересчитать число частиц f (г) , размер
которых укладывается в интервал от г до
г + dr в единице объема, то функция f (г)
будет называться дифференциальной функци-
ей распределения. Как правило, эта функция
нормируется на общее число частиц в едини-
це объема, поэтому
00
J/(r)dr = 1,
О
где символы оо и 0 условно придаются наи-
большим и наименьшим размерам частиц.
Соответственно, можно построить интеграль-
ную функцию распределения частиц
г
J(r) = J/(r)dr,
О
которая определяет число или долю частиц,
размеры которых заключены в диапазоне от О
до г. Если дифференциальная функция рас-
пределения обычно имеет максимум, то инте-
гральная J (г) монотонно возрастает от нуля
(рис. 5.1.1).
Функции распределения /(г) и /(г)
трудно сравнивать при анализе различных
полидисперсных систем, поэтому на практике
используют целый набор метрик или средних
радиусов частиц:
384
Глава 5.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Рис. 5.1.1. Схематическое представление
дифференциальной f (г) и интегральной J (г)
функций распределения частиц по размеру Г
среднеарифметический радиус
со /со
По = ftfXOdr / |/(r)dr,
о /о
среднеквадратичный радиус
Гго = J J''2/(r)dr / pf(r)<ir,
I о /о
среднемассовый радиус (масса частицы
т ~г3 )
со ./со
= JH/Wdr / |r3/('’)d''.
о /о
среднеповерхностный радиус (по анало-
гии со среднемассовым радиусом)
со /со
Ъг = jr3f(r)dr / Jr2/(г) dr,
о /о
медианный размер облака частиц, т. е.
такой радиус г^, который разделяет массу
частиц всех размеров на две равные части:
Л, 2 СО
jr3f(r)dr = — jr3f(r)dr.
о 2 о
Средние радиусы частиц отличаются
друг от друга довольно заметно. Примем для
простоты самый простой закон распределения
- равновероятностный f (г) = const во всем
диапазоне размеров от 0 до . В этом случае
среднеарифметический размер Гю = 0,5 ,
среднеквадратичный ?20 = 0,58 , среднемас-
совый Г43 = 0,8 , среднеповерхностный
/*32 = 0,75 , а медианный Г\/2 = 0,84 . Для
частиц несферической или неправильной
формы, как правило, вводят эквивалентный
диаметр частиц deq =[6Vp/n]3 , где vp -
объем частицы.
Аналогично размерам часто осредняют и
все остальные характерные параметры гетеро-
генного потока. Среднемассовые значения
скорости и температуры частиц устанавли-
ваются соотношениями:
00
V, = jvp(m)g(m)dm,
о
00
Тр = [гр (т) g(m)dm,
о
где под g(m) понимается нормированная
функция распределения по расходам отдель-
ных фракций частиц с массами от т до
т + dm.
Для того чтобы охарактеризовать со-
стояние гетерогенного потока в определенный
момент времени, нужно задать координаты и
скорости всех частиц. Поскольку каждое
столкновение частиц друг с другом или со
стенкой приводит к мгновенному изменению
траектории их полета и скорости, то требуется
знать форму, распределение массы внутри
каждой частицы и законы обмена импульсом
при столкновениях. Ясно, что для гетероген-
ных систем, содержащих большое число час-
тиц, выполнить все эти условия совершенно
нереально.
Выход из этой ситуации можно искать в
разработке концепции взаимопроникающих
континуумов. Современная версия этой кон-
цепции основана на следующих предположе-
ниях:
1. Каждый из таких континуумов соот-
ветствует определенной фазе (газообразной
или конденсированной) и характеризуется в
каждой точке пространства средним значени-
ем плотности р или pvp, скорости V или
Np и температуры Т или Тр .
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
385
2. Внутри континуума частиц отсутствует
их прямой контакт друг с другом, а все их
поведение описывается некими осрсдненны-
ми условиями взаимодействия несущей и
дискретной фаз. В качестве аргумента в усло-
вия взаимодействия входит скоростное и тем-
пературное запаздывание или скольжение
фаз:|У-У,|и|Т-Т,|.
3. Функциональный вид условий взаимо-
действия двух взаимопроникающих контину-
умов принимается тем же, что и законы сопро-
тивления и теплообмена между бесконечным
равномерным потоком и телом, имеющим ту
же форму, что и типовая частица.
По мере приближения к преграде все
больше проявляется несимметрия воздействия
газа на частицу. Поэтому приходится вводить
так называемые "законы стенки" при расчете
сопротивления или учитывать термофорез
внутри теплового пограничного слоя.
Очень важны эксперименты, которые
указывают пределы применимости теории,
основанной на принятых допущениях. Мы
остановимся только на двух из них.
Прост в реализации и достаточно нагля-
ден опыт, проведенный американскими ис-
следователями. На рис. 5.1.2 показана схема
их экспериментальной установки. Идея экс-
перимента состояла в измерении рассеивания
частиц, падающих свободно в сосуде с водой
или этиленгликолем. По характеру искажения
траектории падения (т. е. отличию ее от вер-
тикали) можно было судить о степени взаим-
ного влияния сферических частиц, вызванно-
го вихревыми образованиями в следе за ними.
Скорость свободного падения частиц из-
менялась от 0,12 до 0,73 м/с, что позволило
варьировать в эксперименте числом Рейнольд-
> 'г <
Pic. 5.1.2. Схема экспериментальной установи
для исследования рассеивания частиц
са, подсчитанным по диаметру частиц, в диа-
пазоне от 50 до 1500.
Система подачи частиц через верхнее
днище сосуда позволяла изменять расстояние
1р между ними от 1,36 до 12 диаметров dp .
Результаты экспериментов показали, что
интерференция частиц проявилась лишь при
высоких числах Рейнольдса Re^, и умерен-
ных расстояниях (lp/dp} между частицами.
При Rep =50 во всем диапазоне 1р/ dp
влияние впереди летящих частиц не обнару-
жено. При Re^ = 380 это влияние прояви-
лось лишь в самой начальной части следов, а
именно при lp I dp £4. И даже при
Rep= 1500 взаимное влияние оказалось
весьма слабым всюду за пределами зоны
1р/ dp £ 8,0. На рис. 5.1.3 все пространство в
координатах ip/dp и Re^ условно разде-
лено на зоны присутствия и отсутствия ин-
терференции частиц.
Известно, что в донной области сферы
вихревое кольцо образуется уже при
Rep « 10. С увеличением числа Рейнольдса
до 150 вихрь отделяется от сферы и сносится
потоком. Постепенно след становится турбу-
лентным, причем степень и масштаб турбу-
лентности падают по мере удаления от сферы.
Длина следа при высоких числах Рейнольдса
измеряется десятками и сотнями калибров
или диаметров частиц. Очевидно, что на час-
тицы, попавшие в след, повлиять могут лишь
те вихри, размер которых соизмерим с разме-
ром частицы, или, по крайней мере, с толщи-
ной пограничного слоя, нарастающего на ее
поверхности. Слишком мелкие пульсации га-
сятся на частицах, а слишком крупные как бы
огибают их. В любом случае описанный выше
эксперимент дает представление о том, что
Рис. 5.1.3. Область интерференции частиц
в гетерогенном потоке
13 Зак. 48S
386
Глава 5.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
интерференция частиц в гетерогенном потоке
является короткодействующей, а учет ее сле-
дует проводить, когда объемная концентрация
частиц превысит пороговое значение
Рр > р* , связанное с относительным расстояни-
ем (1р/dp) соотношением Рр = ( dp/ 1р)3 .
При практическом использовании данных,
представленных на рис. 5.1.3, необходимо
помнить, что число Рейнольдса рассчитано по
относительной скорости частиц | V - Vp|, а
как следует из дальнейшего, скольжение фаз
резко убывает с уменьшением размера частиц
dp или их плотности Рр .
На рис. 5.1.4 и 5.1.5 представлены ре-
зультаты эксперимента, проведенного в Си-
бирском отделении Российской академии
наук. В отличие от японских исследователей,
в Сибири объектом наблюдения было выбра-
но сверхзвуковое сопло, в котором равномер-
но высеивались сферические частицы, из-
Рис. 5.1.4. Влияние концентрация частиц оргстекла
Рр на изменение вдоль сопла скорости несущей (3)
. и дискретной (/, 2) фаз:
Рис. 5.1.5. Влияние концентрации частиц бронзы Рр
на изменение вдоль сопла скорости несущей (3, 4)
и дискретной (/, 2) фаз:
/,3- рр =5-10-3; Д 4-8-10*
готовленные из различных материалов: брон-
зы, ликоподия и органического стекла. Это
позволило значительно варьировать плот-
ностью самих частиц рр и платностью рас-
пределения их в объеме гетерогенного потока,
связанной с объемной концентрацией рр и
плотностью рр соотношением рур = Рр рр .
В расширяющейся части сверхзвукового
сопла, на расстоянии х от критического сече-
ния, в котором число Маха достигало едини-
цы, методами лазерно-допплеровской анемо-
метрии измерялась скорость несущей фазы
(воздуха) и скорость дискретной фазы (час-
тиц). На рис. 5.1.4 сравниваются данные для
газа и частиц из оргстекла, а на рис. 5.1.5 для
газа и частиц бронзы. Видно, что увеличение
объемной концентрации относительно легких
частиц оргстекла с рр от 10'3 до 6 • 10'3 ни-
как не отразилось на скорости течения газа в
сопле. Для бронзовых частиц увеличение Рр
с 8 • 10'4 (кривые 2 и 4 на рис. 5.1.5) до 5 • 10'3
(кривые 7 и 3) не только понизило скорость
газового потока, но и скорость самих частиц.
Сравнение результатов численного расчета с
экспериментальными данными позволяет устано-
вить границы применимости модели взаимопро-
никающих континуумов и стандартной кривой
сопротивления для одиночной сферической час-
тицы. До порогового значения объемной кон-
центрации частиц Рр = 10*3 изменение рр не
отражается на параметрах газа и самих частиц.
Переход через пороговое значение рр проявляет-
ся в уменьшении скорости несущей фазы и час-
тиц, т. е. начинает проявляться эффект "стеснен-
ности" потока.
Этот результат соответствует относи-
тельному расстоянию между частицами
lp/dp = 10, что согласуется с данными аме-
риканских исследователей при высоких чис-
лах Рейнольдса Rep. Для легких частиц
(вода, полимеры) пороговое значение рр
может быть увеличено в несколько раз.
Из этого следует, что движение летательных
аппаратов даже сквозь мощные ливневые
облака, в которых плотность распределения
жидких капель, называемая водностью,
составляет порядка pVp«5-10*3 кг/м3, не
может привести к появлению эффекта
"стесненности" гетерогенного потока, так как
Рр = Pvp/Pp и 5 • 10А
СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ В ГАЗОВОМ ПОТОКЕ НА ИЗОЛИРОВАННУЮ ЧАСТИЦУ
387
Глава 5.2
ГАЗОДИНАМИКА
ГЕТЕРОГЕННЫХ ПОТОКОВ
В рамках модели взаимопроникающих
континуумов система уравнений, описы-
вающая их совместное движение, имеет сле-
дующий вид:
₽,=₽(!-₽,),
^- + v(p2V2) = 0, Р2 =Рр₽, =Pvp>
p1^L = _(1_P/,)Vp-712,
(5.2.1)
p2^- = -PpVp+712,
Pl = -V(v* (1 - ₽,)p) - p- V27|2 - ?I2,
P2 = _₽/Л2д P+ Vlf\2 + 912 •
Здесь индексы 1 и 2 соответствуют несущей и
дискретной фазам, рр, - плотность мате-
риала частиц и их объемная концентрация,
/12» 012 " параметры, характеризующие си-
ловое и тепловое взаимодействие между фа-
зами, Е\ и £2 " внутренняя энергия газа и
частиц. Уравнения (5.2.1) - уравнения сплош-
ной среды, описывающие движение смеси в
целом.
Поскольку давление р в гетерогенной
смеси создается только газом, уравнение со-
стояния имеет стандартный для идеальной
жидкости вид:
R ГТ,
Pi = Pl—71,
Pi
где R - универсальная газовая постоянная,
ц - молекулярная масса газа.
Соотношения для силового и теплового
взаимодействия фаз содержат в явном виде
величины скоростного и температурного
скольжения фаз:
/12 = Ф1 »
где Ф1 = Ф (dp, форма часиц,
Re,, М,, К„, (V, - V2)),
012 = Ф2 (dp » Форма частиц,
Re,,M,,Pr,K„,(77 -72)).
Функции ф| и Ф2 в общем случае могут
зависеть от формы и размера частиц, давле-
ния, скоростей и температур обоих фаз.
Граничное условие для скорости газовой
фазы состоит в обращении на стенке этой
скорости в нуль (условие прилипания). Для
частиц задаются только начальные значения
скорости на границе рассматриваемого объе-
ма. Если сжимаемостью газа можно прене-
бречь, то решение уравнения движения не
зависит от уравнения энергии. В этом случае
первых четырех уравнений в системе (5.2.1)
достаточно для определения неизвестных Vj,
V2> р2 пр.
5.2.1. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ В ГАЗОВОМ ПОТОКЕ
НА ИЗОЛИРОВАННУЮ ЧАСТИЦУ
В стационарном потоке газа частицы
могут двигаться только за счет аэродинамиче-
ских сил, возникающих при обдуве газом.
Такие силы пропорциональны разности абсо-
лютных скоростей газового потока V и час-
тиц Vp и обычно записываются в виде про-
изведения относительного скоростного напо-
pa p|V-V,|(V-V,)/2 на площадь миде-
левого сечения частицы Sp и коэффициента
сопротивления С в :
^4c*mv-vpI(v-v₽)-
Частица ускоряется потоком газа в том слу-
чае, когда разность (V - Vр) > 0, т. е. ско-
рость частицы меньше, чем скорость газа.
По существу все особенности взаимо-
действия газа и частиц сведены в коэффици-
енте сопротивления CD. Чтобы определить
его, необходимо решить систему уравнений
сохранения массы, количества движения и
энергии жидкости (или газа), обтекающих
тело (или систему тел), форма которых соот-
ветствует частицам. Такая система уравнений
представляет собой фундаментальную систему
уравнений Навье-Стокса. Решение этой си-
стемы уравнений получено лишь в ряде част-
ных случаев при весьма серьезных допущениях.
Во-первых, считается, что частиц в по-
токе так мало, что они никак не влияют друг
на друга. Эта модель движения описывает
обтекание одиночной частицы и необходимо
13*
388
Глава 5.2. ГАЗОДИНАМИКА ГЕТЕРОГЕННЫХ ПОТОКОВ
установить границы ее применимости, учиты-
вающие эффект ’’стесненности” потока. Во-
вторых, предполагается, что масштаб про-
странственного изменения поля скоростей в
жидкости много больше размера самой части-
цы. В этом случае приближенно можно счи-
тать, что в каждый данный момент времени
частица движется в однородном потоке. В-
третьих, форма частицы, как правило, при-
нимается сферической, что исключает необ-
ходимость рассматривать ее вращение относи-
тельно центра массы.
С учетом указанных допущений удалось
получить ряд аналитических решений уравне-
ний Навье-Стокса. Так Г. Стокс рассчитал
распределения скорости и давления при рав-
номерном движении шара в однородной среде
для предельного случая, когда силы трения
значительно больше, чем силы инерции. Он
получил следующее выражение для силы со-
противления среды движению шара
F,=6w,(V-V,).
Отсюда для коэффициента сопротивления
CD нетрудно получить соотношение Сд =
= 24/Rep , где Rep = p(Vp - V)dpl т], dp -
диаметр частицы [sр - ndp / Ь ), т] - вяз-
кость жидкости (газа).
Сравнивая результаты измерений с рас-
четами по формуле Стокса, можно установить
зависимость погрешности этой формулы от
числа Рейнольдса Re^:
.............. 0,1 0,5 1,0 2,0
Отклонение, %..... 1,5 6,5 12,0 23,0
На практике рекомендуется использовать эту
формулу Стокса для расчета силы сопротив-
ления Fp (или коэффициента сопротивления
С/)) в диапазоне чисел Рейнольдса
Rep <0,5. Имеется ограничение в примене-
нии формулы Стокса и для очень мелких
частиц. Если длина свободного пробега моле-
кул 1т в жидкости соизмерима с размером
самой частицы гр , то у поверхности частицы
возникает скачок скорости, что эквивалентно
"проскальзыванию” частицы относительно
среды. Для этого случая Кенингемом была
вычислена поправка к формуле Стокса
F,=6w, (V-V,)/(l + 4/w/r,).
Для воздуха при температуре t = 23 °C и
давлении р = 101 кПа 1т =0,94-10"7 м. По-
стоянная А зависит от свойств поверхности
частицы. Так для жидких частиц (капель)
А « 0,86, а для шероховатых и твердых А
может уменьшиться до 0,7. Поправка Кенин-
гема становится существенной для частиц,
размер которых гр < 1Мт, т. е. для субмик-
ронных частиц.
Выражения, аналогичные формуле
Сток-са для шара, были получены для неко-
торых других форм тела, например, цилиндра
и эллипсоида. Все эти соотношения справед-
ливы в случае равномерного движения час-
тиц. Но на практике либо скорость газового
потока, либо скорость самих частиц в нем
непрерывно изменяются со временем.
Вследствие нестационарност скорост Ур (?) в
формуле Стокса появляются два дополни-
тельных слагаемых
г с Л/ /л • ’ 3 dV₽
Fp=- 6m}rp'Vp(t) + --pnrp--^- +
+ 6r}
V'(t)dt
J t-X
В этой формуле первый член соответ-
ствует обычному Стоксовскому сопротивле-
нию. Второй член отражает влияние так на-
зываемой присоединенной массы, поскольку
он аналогичен с точностью до числового
множителя инерционному члену в законе
Ньютона (mdV/df), однако вместо плотности
частицы рр в него входит плотность жид-
кости р . По существу он означает увеличение
расчетной массы частицы. Этот член в отли-
чие от остальных не зависит от вязкости жид-
кости и сохраняется, если рассчитывать дви-
жение шара в идеальной жидкости. Наконец,
третий член называется силой Бассэ. Он от-
ражает влияние предыстории движения сфе-
ры. Из структуры подынтегрального выраже-
ния следует, что влияние это мало для всех
моментов времени, удаленных от рассматри-
ваемого.
В общем случае на частицу в безгранич-
ном потоке могут действовать и другие силы:
сила Архимеда, если плотность жидкости до-
статочно велика по сравнению с плотностью
материала самой частицы, сила тяжести
Fg = mg, сила, обусловленная действием
электрического поля Fq = Eqt где q - заряд
СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ В ГАЗОВОМ ПОТОКЕ НА ИЗОЛИРОВАННУЮ ЧАСТИЦУ
389
частицы. Движение одиночной частицы в
однородном потоке описывается уравнением
|ягрРр - - jcppw-; | V - уДу - V,)-
4 " V') + 6 'Г™ Х
где ^7*/ - обозначает все силы, прило-
женные со стороны внешнего потенциального
поля (например, гравитационного или элек-
трического), V и N р - вектора скорости
потока жидкости и самой частицы.
С целью оценить влияние отдельных
членов в уравнении движения рассмотрим два
частных случая.
1. Движение частицы в однородном гра-
витационном или электрическом поле. Пусть
масса частицы тр , ее заряд q. Частица начи-
нает движение из состояния покоя Nр$ = 0 в
неподвижной среде воздуха. При числах Рей-
нольдса Rep <0,5 воспользуемся законом*
сопротивления Стокса. Уравнение движения
рассмотрим в следующей записи:
dVD
^Fi = Eq±mpg.
Решение уравнения имеет вид Vp =
= V* (1 - е , где установившееся значе-
ние скорости частицы под действием элек-
трического поля и силы тяжести равно
v* Eq± mpg
р 6пцгр
при Rep < 0,5, •
ат- постоянная времени, которая для сфе-
рических частиц записывается как
б7П]Гр 2 Т]
Постоянная времени определяет характерное
время изменения скорости частицы. Напри-
мер, это же время характеризует тормозной
путь, пройденный частицей до полной оста-
новки, когда она, обладая начальной ско-
ростью Vp0, попадает в неподвижную среду
(например, воздух). Действительно, для этого
случая уравнение движения
имеет решение Np = Vp0 ехр(-//т ) . Путь,
пройденный частицей до полной остановки
/р = Jvp0 ехр(-//т )d/ = Vp0 Т •
о
Параметр 1р носит название длины инерци-
онного пробега. Постоянная времени частицы
т играет важную роль в анализе любого кри-
волинейного движения частиц, поскольку она
определяет их инерционные свойства.
Установившееся значение скорости час-
тицы под действием одной силы тяжести на-
зывается скоростью седиментации
y = v
* 4 6т\гр
•Ч-
Если значение чисел Re^ выходит за
пределы применимости закона Стокса, то
необходимо воспользоваться какой-либо ап-
проксимацией "стандартной" кривой сопро-
тивления Cjp^Rep) (рис. 5.2.1). Эта кривая
получена в результате обобщения многочис-
ленных и достаточно точных экспериментов
для шара, обтекаемого потоком жидкости.
При Rep < 500 вероятная погрешность стан-
дартной кривой не превышает 3-4 %. Извест-
но большое число более или менее удачных
аппроксимаций "стандартной" кривой в раз-
личных диапазонах чисел Рейнольдса.
Для дозвуковых значений относительной ско-
f V - V А
рост движения частиц I М - =--------— < 1 :
\ ? /7 I
X 4,33 +1,567 ехр -0,247
/V ReP
390
Глава 5.2. ГАЗОДИНАМИКА ГЕТЕРОГЕННЫХ ПОТОКОВ
4,5 + 0,38 (о,03 Re,+ 0,48,/Re,
1 + 0,03 Re,+ 0,48,/Re,
выше значениями Сд (1) и Сд (1,75) при
произвольном числе Rep и показателе ади-
абаты у :
+ 0ДМ^+0,2М* exp
1-exp
OjM,
7R*₽ >
CD = Сд(1) + |(М, - 1)[СО(1,75) - CD(1)].
f M,j
I Re,J
Если число Маха Мр <0,3, т. е. поток несу-
щей фазы можно считать несжимаемым, то
применима более простая аппроксимация:
Ср =-^ + -7^=+ 0,25.
Re, JR^
Для сверхзвуковых значений относительной
скорости движения частиц (Мр > 1,75):
2. Движение сферической частицы из
состояния покоя под действием постоянной
силы, но с учетом интегрального члена (силы
Бассэ). Уравнение движения (Rep <0,5)
принимает вид
mp-^ = '£Fi-6m'rpyp-
(dv,/d/)de
5
Для промежуточной сверхзвуковой области
1 £ Мр £ 1,75 коэффициент сопротивления
Cj) определяется с помощью интерполяци-
онной формулы между двумя указанными
Введем новые переменные /j = t/т, Vj =
= Vp/V* , где т - постоянная времени,
Vp = Fj / 6 7ГГ|Гр - установившаяся ско-
рость частицы. В этих переменных решение
уравнения движения имеет вид
Рис. 5.2.1. Стандартная кривая сопротивления сферических (/) и цилиндрических (2) частиц
ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА СОПРОТИВЛЕНИЯ ЧАСТИЦ НЕПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЫ
391
Vj = 1 - e~tl + e~tl 1 - cosp/j - ysinpfi
1 e”^1 "e) sin (fi - 0) dO
7 j 7?
где параметр 0 = ^~9p/~2p^ (для воздуха при
стандартных условиях и частиц с плотностью
рр = 10 кг/м3 р = 0,0736). Если обозначить
через V2 - скорость частиц, рассчитанную по
уравнению без учета интегрального члена, то
относительная погрешность
вызванная пренебрежением интегральным
чле-ном (силой Бассэ) в уравнении движения
не превышает 4 %.
С учетом представленных примеров рас-
чета можно утверждать, что и в общем случае
нестационарного движения частиц в однород-
ном потоке влиянием силы Бассэ можно пре-
небречь. Если плотность жидкости много
меньше плотности самих частиц (р « рр) ,
то можно не учитывать также эффект присое-
диненной массы и силу Архимеда.
5ЛЛ. ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ
в НЕОДНОРОДНОМ ПОТОКЕ
Рассмотрим степень влияния неодно-
родности потока жидкости на траектории
частиц. Если сферическая частица движется
вблизи стенки или какой-либо другой твердой
поверхности, то эта поверхность оказывает
влияние на структуру течения, образованного
движущейся сферой. Теоретические расчеты
показывают, что влияние стенок сводится к
увеличению сопротивления среды на множи-
тель [ 1 + Ьгр / у], где b - коэффициент, зави-
сящий от формы и размера стенки, у - рас-
стояние от стенки. Если стенка плоская, то
b «0,56.
Было доказано, что в любом неоднород-
ном потоке сфера вращается. Если допустить,
что вблизи стенки профиль скорости потока
жидкости близок к линейному V(y) =
= 0{У + 02, то скорость вращения сферы
о = (1/2) dV/dy = (1/2) О[. Однако из расче-
тов не следует, что вращение частиц приводит
к какому-либо заметному изменению сопро-
тивления среды движению частицы. Но как
эффект второго порядка малости, вращение
вызывает появление малых поперечных сил,
смещающих частицы в направлении, перпен-
дикулярном потоку. Этим силам присвоено
наименование сил Сефмена (Saffman) и Маг-
нуса.
При движении свободно вращающейся
частицы в потоке со сдвигом возникает попе-
речная сила Сефмена
fs = cs г)(v - v,)Vav/sT, с, = 6,46.
При вращении частицы в однородном потоке
также возникает поперечная сила - сила Маг-
нуса
Fm =CmP'p[V/> хю|,
где оо - угловая скорость вращения.
Следовательно, сила Сефмена как бы
сепарирует частицы. Изменение знака этой
силы внутри пограничного слоя снижает кон-
центрацию мелких частиц у поверхности тела,
но увеличивает ее во внешней части погра-
ничного слоя. При этом создается пелена,
стелющаяся вдоль поверхности тела. Траекто-
рии даже одинаковых частиц могут пересечься
и значительно возрастает вероятность их со-
ударения.
5.2 J. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА СОПРОТИВЛЕНИЯ
ЧАСТИЦ НЕПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЫ
Если для сферических частиц получены
достаточно точные зависимости, позволяю-
щие рассчитать коэффициент сопротивления
Cd , то для большинства природных твердых
частиц существуют лишь поправочные коэф-
фициенты, учитывающие несферичность их
геометрии. При этом вводится два поправоч-
ных коэффициента: динамический X'i и гео-
метрический К 2 :
= 0>/0)сф » = Sp/Sp&b •
Здесь Sр - площадь поверхности частицы
при том же объеме, что и сфера.
Как видим, динамический коэффициент
учитывает отличие коэффициента сопротив-
ления реальной частицы от аналогичного
параметра для сферы. Очевидно, что между
динамическим и геометрическим коэффици-
ентами должна существовать связь, которая
однако не является универсальной. Так для
Стоксовского режима с числами Рейнольдса
менее 0,05 рекомендуется соотношение
а для автомодельной области чисел Рейнольдса
2 • lO3^ Rep £ 2 • 105 динамический коэффи-
392
Глава 5.2. ГАЗОДИНАМИКА ГЕТЕРОГЕННЫХ ПОТОКОВ
циент « 12,4-(11,4/^2) • Область автомо-
дельности по числу Рейнольдса, указанная
выше для сферических частиц, начинается
тем раньше, чем выше геометрический по-
правочный коэффициент К2 . Так для
К2 =1,18 (например, для речного или мор-
ского окатанного песка) начало автомодель-
ности смещается до Rep = 350. Для частиц
песка с острыми гранями К2 = 1,5 и начало
автомодельности отмечают уже при
Rep = 200.
Предельно высокие значения геометри-
ческих коэффициентов обнаружены у уголь-
ных частиц (до трех). В целом, чем менее
компактна частица, т. е. чем сильнее разли-
чаются размеры, полученные по трем ортого-
нальным направлениям, тем больше К2 •
5.2.4. СОПРОТИВЛЕНИЕ И ДРОБЛЕНИЕ
КАПЕЛЬ ЖИДКОСТИ В ГАЗОВОМ ПОТОКЕ
Капли жидкости или расплава сохраняют
форму, близкую к сферической, только при
бесконечно малой относительной скорости их
движения. По мере увеличения скоростного
напора газового потока форма капли резко
деформируется. На рис. 5.2.2 показана эпюра
давлений, действующих на омываемую пото-
ком каплю, а на рис. 5.2.3 - схема деформации
капли под действием этой эпюры давлений.
Сначала квазисферическая форма капли пре-
вращается в эллиптическую, причем большая
ось эллипсоида оказывается перпендикулярной
направлению потока. В кормовой области раз-
вивается мощное отрывное течение, которое
еще больше увеличивает перепад давления на
середине капли. В результате образуется пара-
шютная форма, а сердцевина как бы продавли-
вается вниз по потоку. Развитие внутреннего
циркуляционного движения жидкости в капле
приводит к потере устойчивости и дроблению
капли. Начальная фаза деформационного про-
цесса может быть описана двумя критериями
подобия: Вебера и Струхаля.
Рис. 5.2.3. Модель деформирования капли
Число Вебера представляет собой отно-
шение скоростного напора или давления тор-
можения потока к силе поверхностного натя-
жения жидкости о :
Ро | V, - V |2 dp Ph d.
---!-------!--- « ----—
О О
Число Струхаля Sh = —;-------г свя-
z|V,-v|
зывает время разрушения капли т с ее раз-
мером dp и скоростным скольжением капли
относительно газового потока | Nр - V |. Мо-
мент разрушения капли фиксируется с боль-
шой погрешностью, поскольку он часто сов-
падает с волнением на ее поверхности и сры-
вом мельчайших брызг с гребешков волн. Тем
не менее можно установить, что число Стру-
халя в момент разрушения зависит от отно-
шения плотности заторможенного потока р0
и плотности жидкости Рр :
/ ч0,5
Sh = 4- —
\РР/
Рис. 5.2.2. Эпюра давлений, действующих на каплю,
омываемую потоком газа
В широком диапазоне чисел Маха показано,
что константа пропорциональности к в этом
соотношении варьируется от 1,5 до 3,5.
Иногда вместо числа Струхаля вводят
безразмерное время разрушения капли:
т| V - V\( • А0,5
T=-i—j---1^2- = А: = 1,5+ 3,5.
На рис. 5.2.4 представлено множество
экспериментальных данных по безразмерному
времени разрушения капель различных жид-
ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ В ГАЗОДИНАМИЧЕСКОЙ ТРУБЕ
393
костей в широком диапазоне изменения чи-
сел Вебера. Ранее была попытка найти неко-
торое постоянное значение критического чис-
ла Вебера, не рассматривая детально физиче-
ские процессы, происходящие при дроблении
капель. Расхождение критических чисел We
оказалось очень большим: от 2,2 до 32. Со-
временные представления трактуют процесс
дробления, как сложный, в котором присут-
ствуют деформация формы, распыление с
поверхности и, наконец, объемный взрыв или
катастрофическое разрушение капель при
числах Вебера, превышающих 20000. Послед-
нее характерно для капель, пересекающих
фронт головного скачка, образующегося перед
телом, движущимся со сверхзвуковой ско-
ростью (точнее со скоростью, превышающей
скорость звука не менее, чем в три раза). Ка-
тастрофическое или взрывное разрушение
связано с отражением ударной волны внутри
капли от ее тыльной поверхности и образова-
нием области разрежения. Из рис. 5.2.4 вид-
но, что зависимость безразмерного времени
разрушения Т от числа Вебера здесь может
быть описана слабо падающей функцией
Рис. 5.2.5. Зависимость относительного коэффициента
сопротивления водяных капель от числа We:
1 - dp = 0,140 мм; 2 - 0,186 мм;
3 - 0,104 мм; 4 - 0,162 мм; 5 - 0,166 мм;
6 - по данным К. Берда и X. Р. Прупахера
Если ввести относительный коэффици-
ент сопротивления капли, который показы-
вает степень увеличения ее коэффициента
сопротивления Ср по сравнению с твердой
сферой Сро , то большинство авторов склон-
ны считать, что (Ср/Сро) зависит от числа
Вебера (рис. 5.2.5):
Ср = CD/CD0 « exp (о,03 We1 * *-5).
5.2.5. ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ
в ГАЗОДИНАМИЧЕСКОЙ ТРУБЕ
Определяющее значение при исследова-
нии эрозии поверхностей в гетерогенных по-
токах имеет целенаправленный и корректно
обработанный эксперимент. В этой связи
стоит рассмотреть подробнее хотя бы один из
возможных способов моделирования - уско-
ряющие трубы постоянного сечения, чтобы
выявить и оценить возможные методические
особенности такого эксперимента. Допустим,
что все частицы являются твердыми недефор-
мируемыми сферами с диаметром dp и плот-
ностью Рр . Рассмотрим движение одиночной
частицы в газовом потоке, имеющем посто-
янные значения плотности р, скорости V и
вязкости т| по всей длине трубы. Уравнение
движения одиночной частицы в высокоско-
ростном газовом потоке имеет вид
г dV
С учетом стационарности потока —— =
ат
,-.dV
= V ——, поэтому окончательная запись
dx
уравнения такова
dv, _ 3 cpp|y-V/>|(y-Vp)
dx 4 dpPpNp
(5.2.2)
Значение коэффициента Ср в общем
случае зависит от нескольких безразмерных
критериев подобия, важнейшими из которых
являются числа Рейнольдса и Маха
d,pJv-V,| |V-V.|
Re =_L_£J--------LL, M. =!------£1.
r r| p a
394
Глава 5.2. ГАЗОДИНАМИКА ГЕТЕРОГЕННЫХ ПОТОКОВ
Важно подчеркнуть, что в оба критерия вхо-
дит относительная скорость полета частиц
| V - Vp | , которая при прочих равных усло-
виях может изменяться в широких пределах,
обусловив так называемую скоростную нерав-
новесность гетерогенного потока или
"скольжение фаз". В диапазоне малых чисел
Маха и малых чисел Рейнольдса коэффици-
ент сопротивления Ср аппроксимируется,
как правило, стоксовским приближением
Ср = = 24/ Re. Однако с ростом числа Рей-
нольдса (Rep £ 1) характер зависимости
изменяется, что требует учета дополнительных
членов. В качестве первого приближения при
малых числах Маха Мр используют следую-
щее соотношение
С = 21Д2 + 63- 25.
Re,
Далее определяют параметры движения час-
тиц любого размера в заданном поле скоро-
стей газового потока. Такой подход предпола-
гает, что концентрация частиц столь мала, что
они не оказывают какого-либо влияния друг
на друга и на параметры несущего газового
потока.
Примем следующие обозначения:
рх
Х = “Ъ“
- безразмерная координата,
V - V,
- относительная скорость скольжения фаз,
Rep =
pV£p
П
Уравнение движения частицы (5.2.2) в канале
с постоянной скоростью примет теперь такую
форму
dn 3 +
dx 16 г| -1
Решением этого уравнения является зависи-
мость х от z =
д? -<
х = —
3 [а! (а\ - а2)
ln(z -aj)-
2 *1*
-----72"1 Jn(g-a2) —InZ
a2(a1-a2) cqaj
где cq и a2 - корни уравнения a2 + ba +
+c = 0.
Полученное решение позволяет опреде-
лить длину канала с постоянной скоростью
газа V, в котором частицы с диаметром dp и
плотностью рр могут разогнаться от скорос-
ти т|о = 1 до любого т|. Результаты расчетов,
представленные на рис. 5.2.6, показывают, что
изменение диаметра частиц dp требует уве-
личения длины ускоряющей трубы как за счет
пропорционального изменения числа Рей-
нольдса, так и за счет длины канала х =
= х(рр/ p)dp . Например, рост диаметра час-
тицы dp с 20 до 200 мкм требует увеличения
длины ускоряющей трубы (рис. 5.2.7) почти на
два порядка. В том случае, когда поток частиц
не является монодисперсным, спектр их ско-
ростей в данном сечении канала может ока-
заться весьма размытым, что и является одной из
- характерное значение числа Рейнольдса,
рассчитанное по параметрам газового потока
и диаметру частиц dp ,
. 25,2 84,48
b - -=-2— и с = —-—
Rep Rep
- постоянные параметры в зависимости для
коэффициентов аэродинамического сопро-
тивления частиц в потоке Ср , который мы
запишем теперь так
Сд =7-(л + */п +с).
Рис. 5.2.6. Зависимость относительной
скорости скольжения частиц в цилиндрической
ускоряющей трубе от ее безразмерной дойны X
ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ В ГАЗОДИНАМИЧЕСКОЙ ТРУБЕ
395
Рис. 5.2.7. Динамика разгона частиц с плотностью
рр = 2450 кг/м3 в ускоряющей цилиндрической трубе:
1 - V = 305 м/с; dp = 20 мкм;
2 - 305, 200; 5-122, 20; 4 - 122, 200
Скорость газа за ударной волной становится
существенно дозвуковой, причем чем выше
скорость набегающего гетерогенного потока,
тем сильнее отличается скорость частиц Vр2
от скорости газа V2 . Пренебрегая V2 по
сравнению с Ур2 в уравнении движения
частицы (5.2.2), получим аналитическое ре-
шение для скорости частицы за скачком в
следующем виде:
Vp2 = VP| exp
3 Сдр;Х
4 PpdP-
(5.2.4)
существенных погрешностей при обработке
экспериментальных результатов. Неучет этого
обстоятельства приводит не только к большо-
му разбросу, но и к противоречивости экспе-
риментальных данных, особенно при анализе
влияния диаметра частиц на интенсивность
эрозионного разрушения.
Еще одна серьезная проблема связана с
разделением частиц по параметрам в процессе
торможения перед препятствием. Допустим,
что лобовая поверхность препятствия близка
к полусферической с радиусом затупления
Кц. В сверхзвуковом потоке перед затуплен-
ным препятствием образуется отошедшая
ударная волна (рис. 5.2.8), причем толщина
сжатого слоя газа А связана с радиусом R^
и отношением плотностей на скачке уплотне-
ния
-^—•0,8—. (5.2.3)
*N Р2
Рис. 5.2.8. Схема торможения газа и частиц в
ударном слое перед обтекаемым телом
При соударении с поверхностью тела х = А
скорость частиц с учетом (5.2.3) и (5.2.4) со-
ставит
vp» = = ехР I - 0-6 Cd
У pl к
Pl rn
Рр dp >
(5.2.5)
Результаты расчетов по уравнению (5.2.5)
даны на рис. 5.2.9.
Обобщая результаты расчетов, можно
показать, то при выполнении неравенства
CD
Pi Rn
Р2 dP
<0,1,
торможением частиц, а также отклонением их
траектории от прямолинейной в сжатом слое
газа можно пренебречь. Другими словами,
только относительно крупные частицы имеют
одинаковые значения скорости и угла встречи с
ударной волной и поверхностью тела. Мел-
Рис. 5.2.9. Изменение скорости соударения с преградой
и времени пребывания частиц в ударном слое Тд
в зависимости от его толщины и размера частиц:
/- р,/р2 = Ю 3; 2- 10-4;
pw = Vpw /Vpl ’ ТД = ТД Vр\/ Д
396
Глава 5.2. ГАЗОДИНАМИКА ГЕТЕРОГЕННЫХ ПОТОКОВ
Рис. 5.2.10. Торможение и нагрев в ударном слое
перед обтекаемым телом частиц AI2O3 размером dp :
1- 10, 2- 50, J- 150 мкм
кие частицы, диаметр которых измеряется
единицами и десятками микрон, могут суще-
ственно изменить свою траекторию, а также
время нахождения тд и следовательно, тем-
пературу нагрева при полете в сжатом слое
газа (рис. 5.2.9 и 5.2.10).
Следующий пример расчета относится к
течению гетерогенной смеси вдоль разгонного
сопла. В отличие от течений в ускоряющей
трубе и за головным скачком перед затуплен-
ным телом, здесь нельзя считать скорость газа
постоянной или пренебрежимо малой. По-
этому алгоритм расчета строится в два этапа: '
решение системы уравнений для чисто
газового или однофазного течения;
определение параметров частиц, движу-
щихся в потоке газа с известными характери-
стиками.
Такой расчет можно сделать только с
привлечением вычислительной техники. По-
скольку сверхзвуковые течения не могут быть
изотермическими в дополнение к задаче о
расчете поля скоростей в гетерогенном пото-
ке, необходимо решать и тепловую задачу.
Сами частицы в силу их малости и относи-
тельно высокой теплопроводности считаются
равномерно прогретыми, т. е. имеющими
одно значение температуры Тр . Рассматривая
монодисперсное облако частиц сферической
формы и пренебрегая радиационным перено-
сом энергии в объеме, уравнение энергии
запишется в виде
-^Рр = andp (ГР - т) - ТР
Здесь а - средний коэффициент теплообме-
на по всей поверхности частицы, 8 - степень
ее черноты, Ер -сТр - внутренняя энергия
частицы (в расчете на единицу массы). Для
определения коэффициента теплоотдачи а
можно использовать критериальное соотно-
шение
Nu = 2
exp (-Mf)
0,46 Re®-55 Pr033x
x 0,666 + 0333 exp -17
Здесь Nu = a.dp/\ , Pr = ^Cpfk , X , cp -
теплопроводность и теплоемкость газа.
На рис. 5.2.11 и 5.2.12 представлены ре-
зультаты численного расчета изменения без-
Рис. 5.2.11. Изменение вдоль разгонного тракта
относительной скорости газа Vj / V* и частиц AI2O3
Nр / V* ( - скорость звука в
критическом сечении сопла)’
1 - dp = 10 мкм; 2 - 50; 3 - 150; 4 - 500
Рис. 5.2.12. Изменение вдоль разгонного тракта
температуры газа Т\ и частиц AI2O3 размером dр :
1 - 40 мкм, 2 - 60; 3 - 100, 4 - 150;
5- 200; 6- 500, 7- 1000
ИНЕРЦИОННОЕ ОСАЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ НА ПОВЕРХНОСТЬ ОБТЕКАЕМОГО ТЕЛА
397
Рис. 5.2.13. Схема разгонного тракта:
1 - форсуночная головка; 2 - камера сгорания; 3 - разгонное сопло; 4 - цилиндрический насадок
размерных скорости и температуры частиц
вдоль разгонного участка сверхзвукового со-
пла, схема которого показана на рис. 5.2.13
(Д- диаметр критического сечения сопла).
Еще в дозвуковой части сопла частицы с
диаметром dp < 200 мкм успевают нагреться
до температуры газа в форкамере Тэд, однако
в сверхзвуковом раструбе все частицы с диа-
метром dp <100 мкм начинают постепенно
охлаждаться (терять часть своей внутренней
энергии за счет теплообмена с относительно
холодным газом). Более крупные частицы с
диаметром dp > 100 мкм в силу инерцион-
ности оказываются как бы "замороженными".
В момент соударения с поверхностью
тела (рис. 5.2.14) величины скорости (7) и
температуры (2) различных частиц достаточно
сложно и немонотонно связаны со значения-
ми температуры 7до и скорости V» газа, а
также с диаметром этих частиц dp . Неучет
этого обстоятельства также сильно влияет на
погрешность обработки результатов испыта-
ний.
Суммируя результаты анализа газодина-
мики гетерогенных потоков, выделим сле-
дующие безразмерные критерии, определяю-
щие "скольжение фаз" или степень скорост-
ной неравновесности в потоке:
Рис. 5.2.14. Влияние размера частиц иа их температуру
и скорость соударения с моделью диаметром 40 мм
число Рейнольдса
число Маха М = -----------,
а
объемная или массовая zp кон-
центрация частиц,
безразмерный параметр релаксации
Ср—где L - характерный размер объ-
Рр df
екта испытаний.
Первые два из этих параметров влияют,
в основном, на коэффициент аэродинамиче-
ского сопротивления частиц Ср. Движение
частиц в газовом потоке может сопровождать-
ся их соударениями как между собой, так и со
стенками каналов. Это приводит к значитель-
ному изменению первоначальной формы и
размеров частиц, а следовательно, коэффициента
сопротивления Ср и параметра релаксации.
5.2.6. ИНЕРЦИОННОЕ ОСАЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ
НА ПОВЕРХНОСТЬ ОБТЕКАЕМОГО ТЕЛА
Одно из самых важных отличий гетеро-
генных потоков от чисто газовых состоит в
разделении фаз на поверхности обтекаемого
тела и инерционном осаждении частиц. На
рис. 5.2.15 приведены линии тока частиц при
сверхзвуковом обтекании сферы гетерогенным
потоком. Различие между верхней и нижней
картинкой в размере частиц. На рис. 5.2.15, а
сфера, диаметр которой 1 м, обтекается пото-
ком, в котором дискретная фаза представлена
частицами с радиусом 10 мкм, на рис. 5.2.15,
б та же сфера обтекается частицами, радиус
которых 1 мкм.
Как видим, область, засеянная частица-
ми, резко уменьшается с уменьшением разме-
ра гр . Если частицы с радиусом 10 мкм, имея
большой инерционный запас, не смогли обо-
398
Глава 5.2. ГАЗОДИНАМИКА ГЕТЕРОГЕННЫХ ПОТОКОВ
Рис. 5.2.15. Траектории частиц при сверхзвуковом
обтекании сферы гетерогенным потоком:
а - Гр = 10 мкм; б - Гр = 1 мкм
гнуть преграду во всем диапазоне углов Q,
вплоть до 45°, то более мелкие частицы вы-
пали лишь в узкой зоне Q £ 5°. Очевидно,
всегда можно указать такой размер частиц
гр , которые вообще не выпадают на преграду.
Следовательно, можно сформулировать
две целевые задачи:
определить критические условия инер-
ционного осаждения, которые разделяют все
многообразие гетерогенных потоков на пото-
ки с инерционным осаждением и без него;
рассчитать коэффициент осаждения Ks ,
под которым понимают отношение плотности
тока частиц G pw , попадающих на поверх-
ность обтекаемой преграды, к плотности тока
частиц в набегающем потоке V.
Определение критических условий
осаждения частиц представляет интерес для
многих современных технологий, прежде
всего, напыления и окраски поверхностей,
исследования аэрозолей.
Будем считать, что частицы достаточно
мелкие, а концентрация их сравнительно не-
велика, чтобы не учитывать влияние частиц
на течение газа и их взаимодействие друг с
другом. Если скоростное скольжение фаз
|V-Vp| невелико, то число Рейнольдса
Re = P^ ^p\dp/ j* этом случае
/ И
можно использовать стоксовское приближе-
ние ДЛЯ СИЛЫ СОПрОТИВЛеНИЯ /р = б7СТ|Гр х
х| V - Vp|, а все остальные силы, действую-
щие на частицу, считать аддитивными добав-
ками. Все эти дополнительные силы обязаны
своим происхождением течению в погранич-
ном слое, где появляется поперечный гради-
ент скорости несущего потока.
Во-первых, это подъемная сила
Сеффмена для свободно вращающейся части-
цы в сдвиговом потоке, которая может быть
записана в следующем виде
г х 21 11 р ди ]
=6,46г|г; u-u. ——
Во-вторых, вблизи поверхности тела обычная
сила Стокса должна быть усложнена, по-
скольку на расстоянии нескольких радиусов
частицы от твердой поверхности начинает
проявляться неоднородность течения газа
вокруг частицы. Этот "эффект стенки" для
стоксовской частицы состоит в многократном
увеличении коэффициента сопротивления по
сравнению с обтеканием ее безградиентным
потоком. В этом случае
- 16 уД 16 у,Г2*’
Fwy + FDy,
' SypJ
где ур - расстояние от стенки до центра час-
тицы, a и Ffy есть х- и у- компоненты
обычной силы сопротивления Стокса:
Fox = ф(“-«,). /> = ф(у-у,),
И, в-третьих, на частицу в неизотерми-
ческом потоке действует еще одна сила, но не
гидродинамической, а молекулярно-кинети-
ческой природы: это - термофоретическая
сила Ft. Она обусловлена более высоким
значением импульса молекул, "бомбардирую-
щих" частицу с горячей стороны. Существует
несколько формул для термофоретической
силы, мы же используем здесь одну из них,
предложенную Броком:
ИНЕРЦИОННОЕ ОСАЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ НА ПОВЕРХНОСТЬ ОБТЕКАЕМОГО ТЕЛА
399
рТ
х
в которой константы имеют следующие зна-
чения: Q = 1,17, С, =2,18, Ст = 1,14, X и
Хр - коэффициенты теплопроводности газа
и частиц соответственно, / = 2 г\/ рс , с =
= ^RT/n.
Ясно, что для крупных частиц, на дви-
жение которых пограничный слой почти не
влияет, учет дополнительных сил не имеет
смысла. Ситуация резко изменяется для мел-
ких частиц, которые сильно тормозятся перед
телом и с малой скоростью входят в погра-
ничный слой.
Рассмотрим в качестве иллюстрации об-
текание сферы радиусом сверхзвуковым
потоком смеси совершенного газа и мелких
сферических частиц. Все поля определяющих
параметров несущего газа считаются из-
вестными. Система уравнений для расчета
движения дисперсных частиц в криволиней-
ной системе координат, в которой ось х на-
правлена вдоль контура сферы, а у по норма-
ли к нему, будет записана в виде:
ир\Р—
Rn +Ур
[dv, u2p
4 dx RN + У p
- F[)y + F^y + Fs + Ft,
- Fdx + Fwx »
причем справедливы кинематические соотно-
шения
dx, RNup dyp
dt RN + yp ’ dx Vp
На головной ударной волне, возникшей перед
обтекаемой сферой, задается скорость частиц,
равная скорости набегающего газового пото-
ка, и координата хра0 точки пересечения
частицей фронта скачка.
На рис. 5.2.16 представлен набор траек-
торий частиц, размер которых, отнесенный к
радиусу сферы R//, изменялся от 4 • 10’6
(рис. 5.2.16, а) до 4,4 • Ю"6 (рис. 5.2.16, б).
Кривые с номерами от 1 до 15 соответст-
вуют частицам, координата входа которых на
фронте скачка изменялась последовательно:
xp«,/RN • 103 =0,2; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10;
11; 12; 13; 14. В узком интервале размеров
частиц тип их траектории изменился весьма
значительно: от своеобразного "отталкивания"
внутри пограничного слоя до падения на по-
верхность тела и прилипания к ней. Траекто-
рии частиц с относительным размером
Гр/Rtf = 4* К)-6-после отражения сходятся в
узкий пылевой "нож”, в котором концентра-
ция частиц Zp может оказаться высокой, а
траектории будут пересекаться.
В рассмотренном примере расчета зало-
жена схема исчезновения частиц в момент
касания стенки. Однако, в реальных гетеро-
генных потоках условия соударения частиц с
поверхностью могут отличаться большим раз-
нообразием: от рикошета до диффузного от-
ражения с потерей части их кинетической
энергии. В этом состоит еще одна возмож-
ность создания в пограничном слое зоны по-
вышенной концентрации частиц и интенси-
фикации конвективного теплообмена между
гетерогенным потоком и обтекаемым телом
.(см. гл. 5.3).
Рис. 5.2.16. Траектории частиц в окрестности
критической точки сферы радиуса Rjq = 1 м
[(Tw/To) = 2.o] с относительным размером:
a - rpjRN =4’10*6; б- Гр/Rfj =4,4-IO6
400
Глава 5.2. ГАЗОДИНАМИКА ГЕТЕРОГЕННЫХ ПОТОКОВ
Обобщая численные расчеты по услови-
ям критического осаждения частиц на по-
верхности тела, обычно вводят число Стокса
2
stk=2£^*
9 П
Эр
х,у=0
Установлено, что в идеальной жидкости,
т. е. без образования пограничного слоя и
учета броуновской диффузии поверхность
преграды достигают только те частицы, для
которых число Стокса превышает 0,25. Чем
толще пограничный слой, тем выше критиче-
ское число Стокса. Известно, что толщина
ламинарного пограничного слоя 5 возрастает
в окрестности точки торможения затупленно-
го тела обратно пропорционально числу Рей-
нольдса RCqq = (pV)^ Rtf I т|. В том же на-
правлении действует вдув газа через поверх-
ность обтекаемого тела. Это хорошо видно на
рис. 5.2.17, где обобщены результаты числен-
ных расчетов для набора чисел Рейнольдса
Re*, от 100 до 100 000 и относительных ин-
тенсивностей вдува (Vw/ Уда) от нуля до 0,6.
Здесь Stk* - критическое число Стокса нача-
ла осаждения частиц, Vw и - нормаль-
ная компонента скорости газа при вдуве' и
скорость газового потока вдали от тела.
Рассмотрим далее вклад отдельных со-
ставляющих суммарной силы, действующей на
частицу в окрестности поверхности тела. На
рис. 5.2.18 показано, как изменяются траекто-
рии частицы с учетом силы Сеффмена Fs.
Видно, что сила Сеффмена меняет знак при
полете частицы в пограничном слое. Первона-
чально продольная компонента скорости час-
Рис. 5.2.17. Влияние вдува газа через поверхность тела
с интенсивностью / Уда и числа Рейнольдса
набегающего потока Re^ на критическое
число Стокса:
1- Re« = 102, 2- 1(Р, 3- 104, 4- 105
тиц ир меньше, чем соответствующий пара-
метр несущей фазы, а сила Сеффмена на-
правлена от стенки. По мере продвижения
частицы в глубь пограничного слоя величина
и уменьшается и разность (и - ир} меняет
знак. Теперь сила Сеффмена действует уже в
направлении к стенке. Именно благодаря
действию подъемных сил у мелких частиц,
для которых Stk < Stk* происходит перерас-
пределение их концентрации по толщине
пограничного слоя (см. рис. 5.2.16, а).
На рис. 5.2.19 дан пример влияния тер-
мофоретической силы на траекторию мелкой
частицы, имеющей размер гр = 3,5 • 10-6 Адг .
Кривая 1 соответствует обтеканию холодного
тела, температура поверхности которого Tw
ниже температуры торможения потока Tq .
Рис. 5.2.18. Траектории частиц вблизи
поверхности обтекаемого тела:
1 - без учета силы Сеффмена; 2 - с учетом этой силы
Рис. 5.2.19. Влияние термофореза на
траектории частицы в зависимости от
величины температурного фактора
(Re« = ю7, Гр = з,5 • io-6, Zpoo = ю-4)
/- Tw/Ti =0,4; 2- 1,2; 3- 2,0
ВЛИЯНИЕ ВДУВА ИНОРОДНОГО ГАЗА НА ЗАЩИТУ ОТ ЭРОЗИИ В ПОТОКЕ
401
Координата входа частицы Хр^/ Rn = Ю"4»
т. е. она находится вблизи оси потока и сила
Сеффмена пренебрежимо мала по сравнению
с другими составляющими межфазной силы.
На траекториях, изображенных кривыми 2 и
5, пренебрежимо малое влияние оказывают
силы, учитывающие "эффект стенки" ,
поскольку вследствие термофореза частицы не
вошли в зону их влияния. Обе эти траектории
соответствуют обтеканию горячей стенки,
когда отношения (Tw /Tq) > 1.
Зависимость коэффициента осаждения
Ks от размера частиц вблизи критического
режима Stk = Stk* также весьма чувстви-
тельна к термофорезу. На рис. 5.2.20 показано
влияние температурного фактора Tw/Tq на
коэффициент осаждения Ks потока па-
дающих частиц в критической точке (число
Кеда = 107). Для всех размеров частиц выше
критического гр>гр все кривые Ks(rp)
расслаиваются по температурному фактору,
тогда как при Tw /Tq > 1 осаждения нет
(Ks =0). Подобный вид зависимости
^(гр) полностью определен действием*
силы термофореза, неучет которой в модели
силового взаимодействия приводит к каче-
ственно неверным результатам.
Влияние пограничного слоя значительно
лишь при числах Стокса, не намного превы-
шающих критическое значение Stk* = 0,25.
Рис. 5.2.20. Влияние температурного фактора
на коэффициент осаждения Кs потока частиц
в критической точке ( Re^ = 107):
/- Tw/Tq =0,4; 2-0,8; 3- 1,2; 4-2,0
Но уже при Stk > 0,5 даже при большой
толщине пограничного слоя (Rew = 100)
снижение коэффициента осаждения Ks за
счет деформации траектории частиц в погра-
ничном слое составляет не более 15 %. Тем не
менее даже для крупных частиц пограничный
слой с учетом эффекта вдува может суще-
ственно повлиять на скорость удара Vpw.
5.2.7. ВЛИЯНИЕ ВДУВА ИНОРОДНОГО ГАЗА
НА ЗАЩИТУ ОТ ЭРОЗИИ В ПОТОКЕ
Создать эффективную систему защиты
от эрозионного воздействия гетерогенного
потока оказалось чрезвычайно сложно, по-
этому среди многих других вариантов целесо-
образно рассмотреть и чисто газодинамиче-
ский метод защиты. Он заключается в том,
чтобы увеличить толщину слоя газа, в кото-
ром происходит торможение падающих час-
тиц. Выше уже было показано, что эффек-
тивным средством снижения скорости удара
является сжатый слой газа за скачком, возни-
кающим перед затупленным телом в сверх-
звуковом потоке.
Баланс расходов газа до и после ударной
волны позволяет легко получить прибли-
женное соотношение для относительной тол-
щины сжатого слоя (Д|/Л^) при отсутствии
вдува инородного газа:
44- = ол(/г,/лх)(р„/Р2).
Здесь Rs и Rtf - радиусы кривизны ударной
волны и обтекаемого тела, а рда и Р2 - плот-
ности газа до и после скачка (рис. 5.2.21).
Отсюда нетрудно получить известные соот-
ношения для полусферического затупления
41- » 0,78 (ря/р2)
и для плоского торца
» 2 (Р«о/Р2)
KN
Воспользуемся подобным же методиче-
ским приемом при наличии интенсивного
вдува инородного газа через поверхность об-
текаемого тела. Вдуваемый газ оттесняет
основной поток на некоторое расстояние А 2
от поверхности тела. Для простоты примем, что
граница раздела инородного газа и основного
потока за ударной волной образует криволи-
нейную поверхность, эквидистантную поверх-
402
Глава 5.3. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН В ЗАПЫЛЕННОМ ПОТОКЕ
Рас. 5.2.21. Влияние вдува газа через поверхность тела
на торможение частиц в ударном слое
ностям тела и ударной волны, т. е. все три
радиуса кривизны приблизительно равны:
Rs « « Rtf . На контактной поверхности
раздела разрыва давления нет, поэтому с
помощью интеграла Бернулли в несжимае-
мой жидкости Р2 + I/2P2V2 = Рз + I/2P3V3 ,
(^2 = Рз) получим соотношение для скоро-
стей сталкивающихся потоков: V3 =.
- ^2 J Р2/Рз • Для окрестности критической
точки = Rtf sin ф имеем V2 = sin ф , а
из баланса расходов внутри слоя, содержа-
щего вдуваемый газ Vwr = 2 A2V3 •
Отсюда получаем для толщины оттес-
ненного слоя
"fy = Vw/ (2 7р«/Р2 )
или для отношения толщин
= (V»/ V«)( Р2 / Pl ) V Рз/ Р2 •
Для высоких сверхзвуковых чисел Маха набе-
гающего потока справедливо приближение
Р2/Р00 _>(y+1)/(Y“1)» а с помощью
уравнения состояния идеального газа
р/р = RT/ц нетрудно заменить отношение
плотностей Р3/Р2 на отношение температур
Т6/Т„.
Окончательное выражение для коэффи-
циента ц/ = Д2М1 имеет вид:
А2
У = А =
Д1
1т -V I ) (v«J-
Ранее было получено аналитическое решение
для степени снижения скорости частиц в
сжатом слое газа, образующемся за ударной
волной перед сферическим телом размером
R#. С учетом увеличения толщины сжатого
слоя на величину (ц/ + 1) скорость ударяю-
щихся частиц, имеющих диаметр dp, плот-
ность рр и скорость в невозмущенной телом
области потока Vра0, можно оценить соот-
ношением:
V
Y ри>
V
’ рао
= ехр
-0,б(ч/ + 1)Ср .
Допущение об эквидистантности кон-
тактной поверхности раздела вдуваемого газа,
основного потока и поверхности тела несколь-
ко снижает толщину оттесненного слоя.
Глава 5.3
КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН
В ЗАПЫЛЕННОМ ПОТОКЕ
Анализ экспериментальных данных по
обтеканию различных тел гетерогенным пото-
ком позволяет в первом приближении клас-
сифицировать те дополнительные факторы в
конвективном теплопереносе, которые прояв-
ляются из-за наличия в потоке твердых частиц:
интенсификация теплопереноса от вы-
сокотемпературного потока вследствие нару-
шения ламинарной структуры пристеночного
течения падающими частицами;
ускорение перехода ламинарного режи-
ма течения в пограничном слое в турбулент-
ный и интенсификация теплопереноса
вследствие образования кратеров на экспони-
руемой поверхности (особое влияние оказы-
вает шероховатость с острыми кромками);
интенсификация теплопереноса отско-
чившими частицами, а также продуктами
эрозионного разрушения поверхности тела,
которые достигают фронта головной ударной
волны и нарушают газодинамическую струк-
туру течения (рис. 5.3.1).
Экспериментальное исследование кон-
вективного теплообмена в условиях обтекания
КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН В ЗАПЫЛЕННОМ ПОТОКЕ
403
Рас. 5.3.1. Схема взаимодейовия частей
с ударным слоем и разрушаемой поверхностью
гетерогенным потоком затруднено, поскольку
измеряемый на стенке тепловой поток qtest,
как правило, состоит из двух компонент: теп-
лоты, переносимой самими частицами, и теп-
лового потока от газа в присутствии частиц
(радиационный тепловой поток от объема,
занятого гетерогенной средой, пренебрежимо
мал по сравнению с двумя указанными выше
компонентами):
Qtest ~ (а/ср)х (^е ” + Qs ’
Тепловой поток от частиц, оседающих на
поверхности тела, можно выразить через их
энергию и расход Gpw :
Qs
ты измеренного теплового потока можно в
том случае, когда модель нагрета до
Tw=Tt»T6.
Такие испытания были проведены и их
результаты представлены на рис. 5.3.2. В диа-
пазоне скоростей газовой компоненты гетеро-
генного потока от 900 до 2500 м/с и размеров
частиц от 100 до 200 мкм установлено, что на
поверхности титановой модели коэффициент
тепловой аккомодации Ка *0,7. В других
исследованиях на моделях, изготовленных из
неметаллических материалов, были получены
значения Ка порядка 0,3 (однако при этом
поверхность модели имела следы эрозии).
Влияние взвешенных в потоке частиц на
переход ламинарного пограничного слоя в
турбулентный также показало неоднознач-
ность этого явления. Эксперименты проводи-
лись на воде с моделями диаметром 50 мм.
Размеры частиц варьировались от 13 до 120
мкм. Установлено, что частицы небольших
размеров (до 50 мкм) практически не оказы-
вают влияния на переход в пограничном слое.
Частицы большего размера снижают число
Рейнольдса перехода, причем с ростом кон-
центрации частиц это влияние, как правило,
усиливается. При таком размере частиц в
условиях эксперимента след, образованный за
частицей, должен стать турбулентным.
При сравнении экспериментальных ра-
бот по влиянию на конвективный теплообмен
концентрации дисперсной фазы приводится
не массовая Zp, а расходная концентрация
примеси Хр, которая связана с Zp соотно-
шением = Gp/G = zp (Vp/V).
Отличие тем значительнее, чем выше
скольжение фаз или больше отношение ско-
Здесь Ка - коэффициент тепловой аккомо-
дации, а энергия частиц состоит из кинети-
ческой и внутренней, подсчитанной относи-
тельно температуры тела Tw.
Коэффициент тепловой аккомодации
учитывает, что при ударе частицы могут
успеть передать экспонируемой поверхности
не всю свою энергию. Коэффициент Ка
зависит от фазового состояния частиц, нали-
чия на поверхности тела пленки расплава или
шероховатости, угла встречи и многих других
факторов.
Поскольку конвективный теплообмен
между газом и обтекаемым телом зависит от
разности температур заторможенного потока
Tq и стенки Tw, то разделить две компонен-
Рнс. 5.3.2. Зависимость тепловой энергии,
аккумулированной телом qs , от кинетической
энергии Ер потока падающих частиц
404
Глава 5.3. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН В ЗАПЫЛЕННОМ ПОТОКЕ
роста частиц Np к скорости газовой несущей
среды V. При течениях в трубах многие авто-
ры отметили падение интенсивности тепло-
обмена в диапазоне расходных концентраций
примеси до 5.
На рис. 5.3.3 представлены результаты
подобных экспериментов для двух размеров
частиц (30 и 200 мкм) и двух значений числа
Рейнольдса Rep, рассчитанных по диаметру
трубы D. При ламинарном режиме течения в
трубах подобных аномалий йе отмечено, что
послужило основанием для утверждения о
демпфирующем влиянии частиц на турбу-
лентные пульсации скорости и температуры в
трубе.
При дальнейшем увеличении расходной
концентрации примеси Хр > 5 в подавляю-
щем большинстве экспериментов отмечен
монотонный рост теплового потока от запы-
ленной среды к стенкам. Если считать, что
скоростное запаздывание частиц в трубах не-
велико, то можно было бы формально заме-
нить гетерогенный поток на эффективный
однофазный поток или течение псевдогаза с
эффективными значениями плотности и теп-
лоемкости:
Рср + Рур с
Peff “ Р + Pvp » cp,eff ~
Р Рур
Тогда для расчета конвективного теплового
потока и трения можно попытаться использо-
вать классические критериальные законы, в
которые ввести модифицированные числа
Рейнольдса, Прандтля и газовой постоянной
Re«#------— • Pr«#- x •
Pe#
Рас. 5.3.3. Зависимость коэффициента теплообмена
от расходной концентрации частиц Хр
в гетерогенном потоке в трубе:
О, □ - 30 мкм, •, - 200 мкм,
о, • - Rep =1,3-10*, □, - Rep = з • io*
Помимо влияния стенок на траектории
и скоростное запаздывание частиц, показатель
степени, с которым входит концентрация
частиц в большинство эмпирических формул,
всегда меньше 0,8, который характерен для
законов турбулентного теплообмена в трубах:
Nu ~ е0,8 Рг0,4. Даже если сравнивать в од-
них и тех же условиях потоки с крупными и
мелкими частицами, то у последних концент-
рация влияет в большей степени, чем у круп-
ных. Например, в работах Московского
энергетического института получено, что для
частиц, имеющих dp £65 мкм, расходная
концентрация увеличивает число Нуссельта
I \0’33
как (Хр I » а ши более крупных, у которых
130£<7р£290 мкм, эта же поправка имеет
/ \О,25
степень ^Хр)
В любом случае можно принять, что из-
менение теплового потока в трубах за счет
добавления конденсированных (твердых) час-
тиц составляет не более двух раз. Оно выше
для мелких частиц по сравнению с крупными,
для каналов большего диаметра по сравнению
с узкими, но в то же время для участков с
меньшими числами Рейнольдса по сравнению
с более удаленными от входа в трубу. К сожа-
лению, в литературе отсутствуют аппроксима-
ционные соотношения, позволяющие единым
образом учесть все перечисленные параметры
при расчете конвективного теплообмена в
трубах или каналах.
То, что при внешнем обтекании модели
тепловые потоки в запыленных средах могут
возрасти в 5 или 10 раз, узнали совершенно
случайно, когда на ракетной трассе в Холло-
мане сгорела титановая модель. Все известные
до этого расчетные соотношения не предска-
зывали такой ситуации. С тех пор появилось
множество расчетных и экспериментальных
работ в этом направлении и сегодня это -
одно из самых интересных проявлений ин-
тенсификации ламинарного теплообмена. На
рис. 5.3.4 представлены результаты измерения
теплового потока в окрестности критической
точки затупленной модели. Форма переднего
торца модели могла быть сферической или
плоской. Скорость набегающего потока соот-
ветствовала числам Маха от 6 до 9. Числа
Рейнольдса, рассчитанные по диаметру моде-
ли, варьировались от 3 • 104 до 8 • Кг. Размер
частиц из карбида кремния или окиси магния
составлял в основном 100 мкм.
Теплообмен - конвективный, поскольку
с ростом температуры стенки тепловой поток
монотонно падает. Однако, при установлении
равенства температуры стенки Tw и темпера-
КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН В ЗАПЫЛЕННОМ ПОТОКЕ
405
Рис. 5.3.4. Замсамость от температуры поверхности
Tw теплового потока qtest, измеренного в чистом 1
гетерогенном 2 потоках. Уровень 3 соответствует
кинетической энергии потока падающих частиц,
4 - измеренный поток аккумулированного тепла
туры торможения набегающего потока Tq
интенсивность теплообмена не стала равной
нулю. Рассогласование оказалось равным 0,7
от кинетической энергии потока падающих
частиц, после чего во все последующие расче-
ты вводится коэффициент аккомодации, рав-
ный 0,7, а конвективной считается только
часть измеренного теплового потока:
«£=<?,«, -0,7^"^ Г (5.3.1)
На рис. 5.3.5 в зависимости от числа
Рейнольдса, рассчитанного по параметрам
набегающего потока, построено отношение
коэффициентов теплообмена в запыленном и
чистом потоках. Массовая концентрация час-
тан Zp» составляла 0,1 %. Как видим, все
экспериментальные точки оказались выше
кривой роста за счет замены ламинарного
теплообмена Nu£~Re0,5 на турбулентный
коэффициент теплообмена в гетерогенном потоке
Nu т ~ Re0,8: Nu L /Nu T ~ Re0,3 . Действи-
тельный рост теплового потока в эксперимен-
тах в 2-3 раза выше.
На теплообмен влияет концентрация
примеси. При экспериментах в аэродинами-
ческой трубе адиабатического сжатия устано-
влен нижний предел zp<t3 =0,05 %, когда
частицы еще интенсифицируют теплообмен.
В работе Данбар и др., опубликованной в
журнале "Ракетная техника и космонавтика"
(1976, № 7) на тонкостенных графитовых
моделях были получены более высокие тепло-
вые потоки, чем на моделях из титана. По-
этому необходимо учитывать не только поток
падающих частиц, но и частиц, выбитых
из поверхности за счет эрозии. Исходя из
этого построено эмпирическое соотношение
для тепловых потоков в окрестности крити-
ческой точки затупленных тел, связывающее
число Стентона St2 = q^/ -h^) с
относительной концентрацией частиц Хр =
= PvpV<,„(l + G)/(peV„):
Sts =0,098х®’317. (5.3.2)
Здесь интенсивность эрозии поверхности тела
G = Сег/Ср . Несмотря на то, что расходная
концентрация частиц в потоке X р менялась от
I до 10 % признаков "насыщения", т. е. сни-
жения темпов увеличения теплообмена с рос-
том концентрации Хр» нет
Среднеквадратичный разброс экспери-
ментальных данных относительно расчетной
зависимости (5.3.2) составил 36 %, к тому же
она не допускает предельного перехода при
Хр->0. Парадоксальным кажется и отсут-
ствие в этом соотношении для параметров
теплообмена числа Рейнольдса.
На рис. 5.3.6 показано относительное
увеличение скорости разрушения G стекло-
пластика в потоке продуктов сгорания ракет-
ного двигателя, содержащих частицы от 6 до
60 мкм. Увеличение концентрации частиц от
0,685 до 1,5 % удваивает скорость разруше-
ния, тогда как дальнейший рост концентра-
ции втрое не дал и 50 %-ного увеличения
уноса массы.
В Институте высоких температур Рос-
сийской академии наук разработана теорети-
ческая модель для расчета тепловых потоков в
окрестности критической точки затупленного
тела, обтекаемого гетерогенным сверхзвуко-
вым потоком с концентрацией частиц zpoo не
406
Глава 5.3. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН В ЗАПЫЛЕННОМ ПОТОКЕ
Рис. 5.3.6. Зависимость скорости уноса
массы стеклопластика Gt от размера 2гр и
кошцтриая %р частиц AI2O3 в гетерогенном потоке
более 1 %. Базой данных для этой модели
явились эксперименты, проведенные в сле-
дующем диапазоне определяющих парамет-
ров: 2,6£МОО£4,2, 0,4* 10б£ Re^ £5• 106,
20£ dp £250 мкм, 0,l£zpoo£l %. Модели
представляли собой полусферические или
плоские торцы с диаметром от 40 до 80 мм.
На рис. 5.3.7 представлена первичная
информация о результатах измерений для
одного диаметра частиц. В качестве аргумента
использована плотность массового потока
частиц Gp*. Массив экспериментальных
точек с ростом концентрации частиц расслаи-
вается по признаку формы экспонируемого
тела (полусферическая или плоская - "диск").
Теоретическая модель теплообмена в
окрестности критической точки затупленного
тела построена на нескольких гипотезах, ко-
торые затем апробируются с помощью приве-
денных результатов испытаний.
Рас. 5.3.7. Зависимость тепловых потоков от плотности
потока массы частиц размером dp = 100 мкм:
1 - модель с плоским торцом; 2 - с полусферическим
затуплением; 3 - радиус модели 40 мм; 4 - 20
Возрастание конвективного теплообмена
q% по отношению к соответствующему зна-
чению в незапыленном потоке q$ или раз-
ность А^ = - q$ обусловлены изменением
поля течения в пограничном слое обтекаемого
тела. Толщина этого слоя
8 = Лх/ /Йё7 =
определяется плотностью р2 и вязкостью т|2
газа за ударной волной, а также градиентом
скорости потока на внешней границе погра-
ничного слоя р = (dwe/ d*)x_0 • Безразмер-
ный коэффициент А учитывает сжимаемость
(число Маха), а также температурный фактор
потока. Применительно к условиям испыта-
ний 4,4 £ А £5,7.
Скорость ие в окрестности критической
точки (вплоть до звуковой точки) является
линейной функцией продольной координаты
х. поэтому р = (due/ dx)x=0 = а0/ (RNq>N),
где aQ - скорость звука в заторможенном
потоке, R# - радиус модели, а срдг - коэф-
фициент формы (для сферы фдг =0,44, для
диска ср^ =1).
В теоретической модели принимается,
что приращение теплового потока является
линейной функцией кинетической энергии
частиц:
д? = 9s - до = . (5-3.3)
где р5 - масса частиц, находящихся в едини-
це объема пристенного слоя. В этом соотно-
шении не учитывается различие температур
частиц Тр и поверхности обтекаемого тела
Tw, поскольку в сверхзвуковом потоке изме-
нение кинетической энергии намного превы-
шает изменение внутренней энергии частиц.
На моделях после испытаний не обнаружено
никаких следов расплава корунда (AI2O3),
который был использован в качестве дис-
персной фазы.
Рассмотрим далее баланс массы частиц в
пограничном слое в некоторой окрестности х
в районе передней критической точки.
По нормали к поверхности поступает поток
массы частиц Gpioc^ , а по касательной к ней
через пограничный слой выносится расход
КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН В ЗАПЫЛЕННОМ ПОТОКЕ
407
Р5ир л&с) • Таким образом, плотность об-
лака частиц в единице объема пограничного
слоя
p8=Gpx/2up8 (5.3.4)
и обратно пропорциональна скорости расте-
кания частиц ир. Движение частиц, по каса-
тельной к экспонируемой поверхности, обус-
ловлено силой аэродинамического сопротив-
ления и описывается уравнением
ltd’ updup nd2 (и»-Up)2
~6----dx----С°—р2---------2----'
(5.3.5)
где dp и рр - диаметр и плотность частицы,
а Сd - коэффициент ее аэродинамического
сопротивления, зависящий от числа Рей-
нольдса и числа Маха относительного движе-
ния. В силу инерционности частиц в малой
окрестности критической точки ир « ие .
Это позволяет получить аналитическое реше-
ние уравнения движения частицы
(516)
Подставляя решение для ир и зависимость
для 8 (5.3.4), получим соотношение для
плотности
= GpJdp4<PN I Рр
Р8 Л /2 x/Rn У CpT]2fl*
(5.3.7)
верхностью модели Vpw могла изменяться в
некоторых пределах в зависимости от размера
и формы модели, а также ее положения Iq
относительно среза сопла (рис. 5.3.8), было
принято решение пересчитать все полученные
экспериментальные данные на некое "приве-
денное" значение скорости V^, = 1000 м/с:
V^=V^/V^.
На рис. 5.3.9 представлены приведенные
к одной скорости V^, приращение теплово-
го потока Дф = Фе - Фо в виДе функции
от диаметра частиц dp. Расход частиц
здесь выдерживается почти на одном уровне
Gp =6 кг/м2-с, что соответствует массовой
концентрации примеси в набегающем потоке
Zp ~GpI Р« = 4 * 10‘3- Расстояние моде-
лей от среза сопла /0 =130 мм соответствова-
ло давлению pfr = 3,2 МПа. Как на плоском, так
Соответственно приращение теплового
потока Дф = Фе ~~ Фо > вызванное наличием
инерционных частиц в пограничном слое,
должно быть пропорционально следующему
комплексу определяющих параметров:
Рас. 5.3.8. Скорость соударения частиц
с поверхностью модели в критической точке:
/ - сфера R/j = 40 мм; 2 - сфера Rtf = 20 мм;
3 - диск R = 40 мм; 4 - диск R = 20 мм;
5- Iq =50 мм; <5- 130, 7- 200
Дф = ф
Л 7 x/Rn
Рр
CpT]2fl*
(5.3.8)
Ниже приводится сравнение теории с экспе-
риментальными данными, полученными при
испытаниях в высокоскоростных гетероген-
ных потоках моделей различной формы и
размера в широком диапазоне расходов дис-
персной примеси Gp , диаметров частиц dp
Рис. 5.3.9. Влияние размера частиц .
на тепловые потоки на полусфере (7)
и плоском торце (2). Давление торможения
Pq = 3,2 МПа, расход частиц: Gpw — 6 кг/м2 • с
и давления заторможенного потока р$. По-
скольку скорость соударения частиц с по
408
Глава 5.3. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН В ЗАПЫЛЕННОМ ПОТОКЕ
и на полусферическом затуплении в крити-
ческой точке модели теплообмен возрастал
пропорционально корню квадратному из диа-
метра частиц dp, что совпадает с формулой
(5.3.8). Степень усиления теплообмена связа-
на прежде всего с инерционностью частицы,
способностью газа в пограничном слое уно-
сить ее от точки контакта. Чем больше диа-
метр частиц, тем больше присоединенная к
ним масса высокотемпературного газа прони-
кает в пристенный слой, тем больше локаль-
ные объемы возмущенного течения.
Представляет интерес и распределение
теплового потока вдоль экспонируемой по-
верхности модели. На рис. 5.3.10 и 5.3.11 да-
ны распределения относительных тепловых
потоков вдоль образующей полусферической
модели. На рис. 5.3.10 масштабом было выбра-
но значение 0о в критической точке при обгека-
Рис. 5.3.10. Сравнение распределений тепловых
потоков на поверхности полусферы в незапыленном (7)
и гетерогенном (2-4) потоках с содержанием частиц
Gp = 10 кг/м2 • с и различными диаметрами частиц:
2 - dp = 250 мкм, 3 - 100, 4 - 20;
00 - тепловой поток в критической точке
Рис. 5.3.11. Степень интенсификации теплообмена
в гетерогенном потоке
( Gp = 10 кг/м2 • с, Zp = 0,66 %)
по сравнению с незапыленным потоком:
1 - dp = 20 мкм, 2 - 100, 3 - 250;
00а ‘ локальные тепловые потоки
нии тела незапыленным потоком. Нижняя
кривая четко обозначает наличие двух режи-
мов течения в пограничном слое: ламинарно-
го и турбулентного, причем максимум тепло-
вого потока в турбулентном слое приходится
на звуковую точку, имеющую координату
x/Rn =0,42 (а = 25е). При натекании гете-
рогенного потока максимум теплообмена во
всех случаях находится в критической точке.
На рис. 5.3.11 безразмерное отношение
тепловых потоков получено при использова-
нии в качестве масштаба локальных значений
00а в тех же точках поверхности для обтека-
ния незапыленным потоком. При концентра-
ции примеси всего 0,66 % усиление теплооб-
мена в критической точке составило 6 раз для
крупных частиц с dp =250 мкм. По мере
продвижения вдоль образующей коэффициент
усиления резко падает, что согласуется с дан-
ными, полученными с помощью формулы
(5.3.8) для Р8=/(1/д/х). На рис. 5.3.11
видны границы применимости соотношения
(5.3.8). Для мелких частиц (dp £ 20 мкм)
усиления теплового потока не происходит
всюду по потоку ниже звуковой точки. По-
этому применимость изложенной выше моде-
ли усиления теплообмена при лобовом обте-
кании гетерогенным потоком ограничена
диапазоном х/<0,4 и dp/R^ > Ю*4. В
турбулентном пограничном слое характер
интенсификации теплообмена при наличии
частиц имеет более стабильный характер,
слабо изменяясь вдоль поверхности модели во
всем диапазоне углов соударения от 25 до 80°.
Влияние размера и формы обтекаемого
тела на интенсификацию теплообмена Д0,
согласно экспериментальным данным, можно
считать достаточно слабым (см. рис. 5.3.7).
Так, увеличение радиуса сферы в 2 раза прак-
тически не отразилось на величине Д0 (или
0£) при Gp > 10 кг/м2 • с, что соответствует
концентрации примеси zp = 0,66 %. Более
существенно проявляется влияние формы, но
оно сводится к постоянному коэффициенту
пропорциональности в зависимости 0£ от
Gp. Теоретическая модель связывает это
влияние с различиями в градиенте скорости
Р = (due/<bc)x! 0; на плоском торце 0 в 2,3
раза меньше, чем на полусфере, что снижает
вентиляционную способность течения в по-
граничном слое.
ПОРОГОВЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ЭРОЗИОННОГО РАЗРУШЕНИЯ
409
Единственный физический параметр,
влияние которого не удалось объяснить с
помощью аналитической формулы (5.3.8) -
это давление торможения газового потока .
На рис. 5.3.12 представлены эксперименталь-
ные данные по приращению теплового потока
Ag = q% - до ПРИ обтекании полусферы с
Rff =40 мм гетерогенным потоком, размер
частиц в котором составлял dp =100 мкм.
Изменение давления торможения р$ дости-
галось в испытаниях за счет перемещения
модели вдоль оси потока на расстояние от 50
до 200 мм. Число Маха газового потока уве-
личивалось при этом с 2,6 до 4,2, а скорость
соударения частиц с преградой от 1288 до
1367 м/с. После внесения нормирующих по-
правок на скорость соударения и чис-
ло Маха (А) экспериментальные данные ука-
зали на зависимость Дд от р$ приблизи-
* / , \0.25
тельнокак Дд~(Ро)
Несоответствие теории с экспериментом
можно объяснить погрешностью определения
скорости частиц ир по уравнению (5.3.5), в
правой части которого завышалось значение
аэродинамической силы. В действительности
(ие “ ир) < ие » 410 соответственно уменьшит
реальное значение ир и увеличит р8 по
сравнению с аналитической зависимостью
(5.3.7). Ясно также, что уровень погрешности
(5.3.7) будет возрастать с ростом плотности
газа или давления р$ за ударной волной.
Поскольку давление в экспериментах варьи-
ровалось почти на порядок величины, эмпи-
рическая поправка, учитывающая этот параметр,
^/(ГД)3,
МВт/м 2
80
40-1-------------------------------
0 20 40 р',105Н/м2
Рас. 5.3.12. Влияние давления
торможения гетерогенного потока
(Gp =10 кг/м2 • с, dp = 100 мкм)
п тепловой поток в окрестности критической точки
полусферической модели с радиусом затупления
Rpf =40 мм
Рис. 5.3.13. Обобщенная зависимость для
интенсификации теплообмена в критической точке
моделей, обтекаемых гетерогенным потоком
В - bqRTf) g
-Zo^v’^Pb)0’75
определена с достаточной точностью. На
рис. 5.3.13 представлена сводка всех экспери-
ментальных данных. Коэффициент пропор-
циональности ц/ = 1,3 • Ю*7. (Он соответствует
тангенсу угла наклона линии, аппроксими-
рующей все результаты измерений в перемен-
ных, указанных в уравнении (5.3.8).)
Глава 5.4
ЭРОЗИЯ ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛ
В ГЕТЕРОГЕННОМ ПОТОКЕ
5.4.1. ПОРОГОВЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ
ЭРОЗИОННОГО РАЗРУШЕНИЯ
Под термином "эрозионное разрушение"
подразумевается процесс уноса массы како-
го-либо материала (преграды) под действием
потока падающих частиц, которые могут быть
либо жидкими, либо твердыми.
Определяющее значение для процесса
эрозионного разрушения имеет скорость со-
ударения Vp и угол встречи частиц с
преградой. Оба эти параметра могут претерпе-
вать значительные изменения в сжатом за
ударной волной слое газа. Расчет их должен
производиться с максимально возможной
точностью по уравнениям 5.2.1.
Проблема соударения деформируемых
тел, как и любая другая физическая проблема,
имеет относительно простые решения в неко-
торых асимптотических случаях. Одним из та-
ких случаев является диапазон скоростей со-
ударения 103 + 5* 103 м/с> Когда, согласно экс-
периментальным данным, глубина кратера от
удара одиночной частицы и унесенная масса
410
Глава 5.4. ЭРОЗИЯ ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛ В ГЕТЕРОГЕННОМ ПОТОКЕ
пропорциональны* кинетической энергии
ударника. Коэффициент пропорциональности
в этой зависимости, называемый эффек-
тивной энтальпией эрозионного разрушения
Нег, является некоторой физической харак-
теристикой материала преграды.
При скоростях значительно менее
103 м/с все параметры процесса эрозии изме-
няются достаточно сложно, причем прояв-
ляется различие, обусловленное не только
материалом преграды, но и материалом са-
мого ударника. При скоростях порядка 104
м/с, согласно утверждению некоторых иссле-
дователей, возможны аномалии из-за испаре-
ния ударника.
Механизм эрозионного разрушения
складывается из многих элементарных физи-
ческих процессов. В связи с этим устанавли-
вают некие границы или "пороги", по дости-
жении которых можно пренебречь влиянием
тех или других факторов и, соответственно,
использовать более простые функциональные
соотношения. Опыт экспериментальных ис-
следований эрозии позволяет ввести как ми-
нимум три таких пороговых значения, а
именно: для выпавшей массы т*р , скорости
соударения частиц V*, а также для темпера-
туры преграды Т/.
Дадим физическую интерпретацию каж-
дого из этих пороговых значений, а также
схематично изложим основные закономерно-
сти процесса эрозионного разрушения.
Первичная информация при экспери-
ментальном изучении эрозии обычно пред-
ставляется в виде "кинетической кривой",
аргументом которой является поток массы
частиц на единицу экспонируемой площади
преграды тр , кг/м2, а измеряемой (искомой)
величиной - потеря массы тег, кг/м2. Если
процесс взаимодействия протекает при посто-
янной скорости соударения , то типичный
вид кинетической кривой соответствует рис.
5.4.1.
Характерно, что даже при постоянной
скорости соударения частиц с поверхностью
преграды Ур потеря массы тег не является
линейной функцией массы выпавших частиц
тр . В начальной стадии процесса происхо-
дит накопление повреждений и перерождение
подповерхностного слоя (за счет появления
микротрещин и отслоений). Поэтому без-
размерная скорость разрушения (или ин-
тенсивность эрозионного разрушения) G =
Рас. 5.4.1. Схема установления процесса эрозии
с увеличением массы выпавших частиц
Рис. 5.4.2. Типичный вад процесса установления
интенсивности эрозионного разрушения G при
увеличении массы выпавших частиц тр
= &mer! 6тр в начале монотонно увеличи-
вается (рис. 5.4.2). После ряда последователь-
ных соударений наступает насыщение, а точ-
нее, установление процесса эрозионного раз-
рушения, когда унос массы от разных частиц
одинаков. На установившемся режиме эрозии
при Vp = const
5 = 4^» —= const. (5.4.1)
d/Ир /Ир
Пороговое значение массы выпавших
частиц /и* , по достижении которого интен-
сивность эрозионного разрушения устанавли-
вается ^(7 -> const^ , связано со скоростью
соударения Vp уравнением
= (5.4.2)
ПОРОГОВЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ЭРОЗИОННОГО РАЗРУШЕНИЯ
411
*
где а - некоторая константа для данного
класса материалов. Диапазон изменения этой
константы при переходе от одного класса
материалов к другому по данным экспери-
ментальных исследований сравнительно узок:
105 £ а £ 106 Дж/м2. Поэтому для оценки
границы неустановившегося режима раз-
рушения в последующем принимается
а = 106 Дж/м2.
Скорость соударения Np сильно влияет
на интенсивность установившегося эрозион-
ного разрушения G . Используя закон сохра-
нения энергии, можно получить следующее
соотношение:
= тег Нег
в V2
(5.4.3)
Здесь введены два новых параметра: Нег -
эффективная энтальпия эрозионного разру-
шения; т| - коэффициент преобразования
кинетической энергии соударения частиц в
энергию разрушения материала преграды.
Коэффициент т| должен зависеть от
скорости соударения Np. Чем меньше ско-
рость, тем большая часть кинетической
энергии частицы успевает рассеяться в виде
энергии упругих колебаний в преграде и в
конце концов переходит в тепло. Наоборот,
при большой скорости Vp преобладают про-
цессы разрушения над диссипацией энергии в
неповрежденной части материала преграды.
Зависимость т| от Np имеет асимптотиче-
ский характер (рис. 5.4.3).
Однако всегда можно указать такое зна-
чение V*, при достижении которого значение
Рк. 5.4.3. Ъппгашй вад кзменешя параметра Т]
со скоростью удара Np
коэффициента т| приближается к единице с
заданной точностью. Иногда бывает удобно
выделить весь скоростной интервал
V*j существенного изменения коэф-
фициента т|. Если принять за характерные
значения т| =0,1 и т| =0,9, то согласно экс-
периментальным данным для ряда материалов
существует приближенное равенство
(5.4.4)
Это соотношение имеет физическое
подтверждение, основанное на рассмотрении
упругопластической деформации в одно-
родных материалах (типа металлов) при одно-
кратном соударении с твердыми частицами.
Значение скорости может быть принято
за условную границу начала эрозионного раз-
рушения. Для установившегося режима вза-
имодействия с облаком твердых частиц в ка-
честве первого приближения можно брать
м 100 м/с для полимерных и композици-
онных материалов и Vcr «200 м/с - для
большинства металлов (при рр = 3000 кг/м3).
Зависимость T](Vp) может быть ап-
проксимирована функцией типа
л=1-ехр-%^’ v'>v-
(5.4.5)
При малой скорости удара (Vр < в
основном происходит упругопластическая
деформация материала преграды без уноса
массы. В диапазоне < Np < V* суще-
ственное влияние на интенсивность разруше-
ния еще оказывают прочностные характери-
стики материала преграды. И, наконец, при
Vp > V* устанавливается так называемый
гидродинамический механизм эрозионного
разрушения. Единственным параметром про-
цесса здесь является эффективная энтальпия
разрушения Нег:
Я„ = У2/(2С). (5.4.6)
Подобно теплоте плавления она не зависит от
уровня энергетического воздействия (а точ-
нее, от скорости соударения Vp). Однако
эффективная энтальпия Нег - более слож-
412
Глава 5.4. ЭРОЗИЯ ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛ В ГЕТЕРОГЕННОМ ПОТОКЕ
ный параметр, чем теплота плавления, по-
скольку Нег зависит от структуры (для ком-
позиционных материалов), а также соотноше-
ния прочностных параметров частицы и пре-
грады. Далее будут приведены зависимости,
позволяющие оценить уровень эффективной
энтальпии эрозионного разрушения различ-
ных материалов. Как правило, этот параметр
точно можно определить лишь эксперимен-
тально.
Параметры эрозионной стойкости боль-
шинства материалов слабо изменяются до
температуры, равной половине температуры
плавления. Именно этим объясняется то, что
диссипация части энергии удара в неповреж-
денной части материала почти не отражается
на величине эффективной энтальпии Нег .
Наконец, третье пороговое значение от-
носится к температурной шкале и характери-
зует эрозионную стойкость материала прегра-
ды. Известно, что нагрев, или повышение
температуры преграды влияет на интенсив-
ность ее эрозионного разрушения весьма не-
равномерно (рис. 5.4.4).
Однако при высоких тепловых нагрузках
возможно существенное изменение Нег.
Мерой сравнения интенсивности теплового и
эрозионного воздействия является среднеин-
тегральная температура Ts, которая учиты-
вает скорость как эрозионного, так и тепло-
химического разрушения, глубину кратера, а
следовательно, и размер частиц, теплофизиче-
ские и другие параметры материала преграды
(см. ниже). Пороговое значение среднеинте-
гральной температуры Г/ характеризует
верхнюю границу диапазона, в котором ин-
тенсивность эрозионного разрушения' практи-
чески не зависит от нагрева. Если Ts < Г/ , то
Рис. 5.4.4. Зависимость интенсивности уноса
от температуры для различных материалов:
1 - титановый сплав Ti6-4, Vp = 150 м/с;
2- сплав INCO-718, Vp = 150 м/с;
3 - сталь Ст.З, Vp = 48 м/с
(кварцевый песок, dp = 0,5...0,8 мм)
все параметры эрозионного разрушения мож-
но принять постоянными (рис. 5.4.4) и опре-
делять их экспериментально при испытаниях
холодных образцов. Когда Т5 > Т*, необхо-
димо учитывать температурную поправку в
Нег и других параметрах эрозионной стой-
кости материалов.
5.4.2. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ
МОДЕЛЬ ЭРОЗИОННОГО РАЗРУШЕНИЯ
Однопараметрическая модель эрозии до-
статочно удовлетворительно описывает реаль-
ный механизм уноса массы при Vp > V* и
Ts < т;.
Установившийся режим разрушения. Как
показано выше, этот режим наступает, когда
масса частиц, выпавших на единицу площади
экспонируемой поверхности, превышает не-
которое пороговое значение:
. 2а' 2 • 106 , ,
'"p>'"₽=-Ure-U2--Kr/M-
v₽ v₽
При этом процесс перерождения подповерх-
ностного слоя уже закончен, интенсивность
эрозии (безразмерная скорость эрозионного
разрушения) G зависит только от скорости
соударения частиц с преградой:
g ~ Ур
/Ир 2 Нег
(5.4.7)
Здесь учитывается, что коэффициент преобра-
зования энергии удара т| —> 1, поскольку Np
превышает пороговое значение. При скорости
Vp < V* расчет по формуле (5.4.7) может
привести к некоторому завышению интен-
сивности уноса массы (рис. 5.4.5).
При длительном (многократном) воз-
действии твердых частиц пороговая скорость
V* обычно не превышает 200 + 400 м/с
(для плотности частиц рр = 3000 и рр =
= 1000 кг/м3).
Эффективная энтальпия эрозионного
разрушения Нег является важнейшей харак-
теристикой процесса и единственным пара-
метром данной модели. Согласно экспери-
ментальным данным она практически не за-
висит от скорости удара Np, слабо изменяет-
ся при варьировании размеров и формы час-
тиц.
ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭРОЗИОННОГО РАЗРУШЕНИЯ
413
Рис. 5.4.5. Типичный вид зависимости от
скорости удара Ур интенсивности эрозионного
разрушения G при одно- н многократном
соударении частиц с преградой
Эффективная энтальпия разрушения
различна у разных классов материалов. Дру-
гой аналогичный параметр - эффективная
энтальпия теплохимического разрушения
Heff, определяется как
Н
где - (а/ср)0 (^е ~ ^н-) " конвективный
тепловой поток к разрушающейся поверх-
ности, температура которой Т = Tw ; еоТ^ -
обратное излучение поверхности; Gt - массо-
вый расход унесенного вещества.
При больших скоростях набегающего
потока числитель выражения можно упрос-
тить, поскольку. Не » V^/ 2 » :
где безразмерная скорость разрушения G -
= Gt/(a/cp)o-
Сравнивая оба определения эффек-
тивных энтальпий, отметим их формальное
сходство, однако величина Нег , как правило,
во много раз меньше Не&. Объясняется это
принципиальным различием механизмов теп-
ловой и эрозионной защиты. Действительно,
для теплозащитных материалов в условиях кон-
вективного нагрева справедливо соотношение
Heff = co(^>v - 7Ь) + Г[ + y(He - Aw)]-
(5.4.9)
Эффективная энтальпия Heff складывается
из теплоты, затраченной на нагрев и плавле-
ние материала [ Cq (Tw - То)], испарение
(FAQW) и вдув в пограничный слой
[ у Г (Яе - Л^)] части (Г ) из общей массы
унесенного вещества Gt.
При ударе дискретными частицами
практически отсутствует механизм блокиро-
вания подведенной энергии, аналогичный
вдуву, почти не реализуется теплота испаре-
ния, а плавление, заменяется разрывом лишь
отдельных механических связей. Последнее
особенно принципиально для армированных
композиционных материалов с «-мерными
связями. Армирующие волокна составляют
лишь часть (ф) общей массы композицион-
ного материала. Исходя из этого, эффек-
тивная энтальпия эрозионного разрушения
армированных композиционных материалов
ЯеГ«^с°(Тк-То)- (5.4.10)
Справедливость такой оценки, при ко-
торой Нег тем выше, чем выше температура
плавления материала, подтверждается экспе-
риментально (рис. 5.4.6). Для стеклопластиков
и ряда других теплозащитных материалов
Нег =300 + 500 кДж/кг, тогда как в условиях
конвективного нагрева они обычно имеют
Heff = 3000 +5000 кДж/кг при одинаковых
скоростях обтекания двухфазным и "чистым"
потоком. Было предпринято немало попыток
связать эффективную энтальпию эрозионного
разрушения металлов с их прочностными
характеристиками, например, твердостью.
Обработка экспериментальных данных пока-
зывает, что Яег=2,5*105 (HB/pq) кДж/кг,
где НВ - твердость, а ро - плотность мате-
риала преграды, кг/м3. Однако для сплавов и
специально обработанных материалов не су-
ществует столь простой связи Нег не только
с твердостью, но и вообще с другими проч-
ностными параметрами.
Неустановившийся режим разрушения.
Если выпавшая масса частиц тр меньше
тр, которая определяется из условия
тр Уд = 2 • 106 Дж/м2, то как интенсивность
414
Глава 5.4. ЭРОЗИЯ ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛ В ГЕТЕРОГЕННОМ ПОТОКЕ
иногда применяется параметр перекрытия
Кр, который равен отношению суммы пло-
щадей миделя всех частиц Spi , достиг-
ал
ших поверхности тела за определенный про-
межуток времени, к площади миделя самого
тела Sff:
kp=YSp>!Sn-
Рве. 5.4.6. Зависимость объема кратера
Vcr (мм3) от температуры плавления Тт
различных металлов, испытанных на эрозию,
при углах падения частиц 6^ = 20° и
скорости соударения частиц 137 м/с
(dp- диаметр частицы в мм)
разрушения G , так и эффективная энтальпия
Нег уже не являются постоянными даже при
постоянной скорости соударения Np. Экспе-
риментальные данные показывают, что на
этом участке кинетической кривой удовлетво-
рительную точность дают квадратичная ап-
проксимация для mer или линейная для
G(mp). Удобно представить эти зависимости
в безразмерном виде
(mer/mpr) = ('»p/m'pf ,
в/б(т'р)~(тр/т*р).
(5.4.11)
Отсюда нетрудно получить, что
. я _nfsvr
mer“er ~ у I
где т] определено в (5.4.5), а толщина уне-
сенного слоя материала S*r за период уста-
новления:
5* =^l = _£2L_
е Ро 2Яегр0
(5.4.12)
В практике экспериментальных исследо-
ваний вместо массы выпавших частиц тр
Для сферических частиц с диаметром dp,
средней плотностью распределения их в про-
странстве pv при длине участка траектории L
получим следующее равенство:
(5.4.13)
Это соотношение позволяет пересчитать ранее
полученные зависимости для /и* на порого-
вое значение К*р:
_ ЗЮ6
^=°’6+^tV <5-414>
Рр dp Np
Здесь дополнительно учтено, что существует
физический предел для коэффициента пере-
крытия К*р равный 0,6. Если расстояние
между частицами превышает 1,5 их диаметра
dp, то процесс эрозионного разрушения не
будет установившимся.
Рассмотрим процесс эрозионного раз-
рушения преграды при соударении с одиноч-
ной частицей. Если формально ввести эффек-
тивную энтальпию разрушения с помощью
соотношения Нег (1) = V*/ £ 2 G (l)j , то в
отличие от установившегося процесса эрози-
онного разрушения в потоке частиц, который
характеризовался эффективной энтальпией
Нег, параметр Her (1) должен зависеть от
размера частицы. Рассмотрим это явление,
называемое масштабным эффектом, на при-
мере сферических частиц. Удельный массо-
вый поток тр (1) равен отношению массы
частицы к площади ее миделя:
тр (О — (mp/Sp) — (2/3) Рр dp.
ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭРОЗИОННОГО РАЗРУШЕНИЯ
415
Рис. 5.4.7. Влияние размера частиц dp на отличие эффективной энталыш эрозии
при однократном ударе Нег (/) установившемся процессе разрушения Нег
Представленная на рис. 5.4.2 кинетиче-
ская зависимость безразмерной скорости уно-
са массы от массы выпавшей частицы позво-
ляет связать G (1) с установившимся значе-
нием G :
G(l) = G [m, (1)/ mJ] = GЗа* .
Теперь нетрудно получить отношение эффек-
тивных энтальпий однократного и группового
(установившегося) разрушений:
М = 1 + 1. где„ = ^ = £г^₽.
tier п т*р За*
(5.4.15)
Как видим, воздействия потоков частиц
и одиночной частицы различаются как коли-
чественно, так и качественно. На рис. 5.4.7
показано, что для всех частиц с размерами,
меньшими некоторых пороговых значений
dp < d*p = За* / рр Vp , эффективная эн-
таль-пия Нег{\) оказывается выше устано-
вивше-гося значения Нег. Это значит, что
пропорционально уменьшается повреждение
преграды или размеры кратера.
При любой заданной скорости соударе-
ния Vр значение d*p делит все множество
частиц на две области: мелких, для которых
существенным является масштабный эффект,
и крупных, где все процессы эрозионного
разрушения не зависят от размера частиц.
5.4.3. ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
ЭРОЗИОННОГО РАЗРУШЕНИЯ
Область применения двухпараметри-
ческой модели эрозионного разрушения -
малые и умеренные скорости соударения час-
тиц, не более 1000 м/с. В этом диапазоне
условий взаимодействия, как правило, нет
необходимости учитывать факторы теплоси-
лового воздействия окружающей среды.
Основное отличие данной модели от од-
нопараметрической, в которой использовано
свойство пропорциональности интенсивности
эрозионного разрушения и кинетической
энергии потока частиц, сводится к учету не-
которой поправки, уменьшающей скорость
уноса массы во всем диапазоне скоростей
удара, меньших порогового значения V*p.
На рис. 5.4.8 представлен типичный вид
зависимости безразмерной скорости уноса мас-
сы G = dmer/ dmp металлической (алюми-
ниевой) преграды от скорости соударения Vp
с множеством мелких твердых частиц. Сфери-
ческие частицы с диаметром dp = 1,58 мм
имели плотность рр = 14500 кг/м3. Процесс
эрозионного разрушения полностью устано-
вился при всех значениях скорости удара, что
подтверждается анализом соответствующих
кинетических кривых.
На рис. 5.4.8 достаточно четко можно
выделить три диапазона независимой пере-
менной Vp, в каждом из которых изменяется
не только безразмерная скорость разрушения
G, но, что более существенно, даже наклон
кривой. Вначале, при малых скоростях удара
416
Глава 5.4. ЭРОЗИЯ ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛ В ГЕТЕРОГЕННОМ ПОТОКЕ
Рис. 5.4.8. Зависимость безразмерной скорости
уноса массы алюминиевой преграды от скорости
соударения с потоком твердых частиц размером
dp - 1,58 мм и плотностью рр = 14500 кг/м3
(0 < Vp < Vcr), безразмерная скорость уноса
массы почти пропорциональна квадрату ско-
рости, но величина ее остается весьма малой,
не более 10’3. Затем, в интервале от Vcr до
Ур G сильно зависит от Ур, но после до-
стижения порогового значения скорости удара
V* зависимость опять стремится к
квадратичной по асимптотическому закону.
Имеющиеся экспериментальные данные,
(довольно разрозненные), свидетельствуют о
существовании некоторой зависимости между
двумя отмеченными выше характерными зна-
чениями скорости: V* » 2 Усг. При скорости
удара Ур выше порогового значения V*
единственным параметром процесса эрозион-
ного разрушения является эффективная эн-
тальпия Нег. По традиции этот диапазон
называется областью гидродинамической мо-
дели разрушения. Переходный участок скоро-
стей Усг <Ур <Ур представляет большой
практический интерес для многих техниче-
ских приложений. Резкий излом зависимости
безразмерной скорости разрушения от ско-
рости удара ^(Vp) при достижении критиче-
ского значения Ур > Усг является удобной
отправной точкой для построения расчетной
схемы определения этого критерия. К тому же
сильная зависимость G'(Vp) в окрестности
Усг и справа от нее уменьшает ошибки при
определении этого параметра в качестве
"начала эрозионного разрушения". Действи-
тельно, задавшись априорным значением
GCr = Ю'3, можно удовлетворить и требова-
ния практики и получить простой способ
анализа экспериментальной информации.
Подавляющее большинство эксперимен-
тальных данных показывает, что при устано-
вившемся эрозионном разрушении в потоке
частиц критическая скорость Усг соответ-
ствующая Ger = Ю'3, так же, как и эффек-
тивная энтальпия Нег , практически не зави-
сит от размеров частиц, но существенно из-
меняется при изменении их плотности. Так
же как эффективная энтальпия, критическая
скорость Усг зависит от числа соударений:
по крайней мере, при однократном ударе
мелких частиц разрушение начинается при
скоростях, значительно превышающих "уста-
новившееся" значение критической скорости
разрушения тех же материалов в потоке частиц.
Поскольку критическая скорость про-
порциональна эффективной энтальпии раз-
рушения, а эффективные энтальпии при од-
нократном и групповом соударении частиц
могут различаться весьма значительно, необ-
ходимо различать критическую скорость уста-
новившегося процесса разрушения в потоке
частиц Усг и критическую скорость разру-
шения от однократной мелкой частицы
V*
Уд (О . Я„(1) . 1 30*
Усг V Vp^dp’
dp <dp.
Приравнивая в этом соотношении Ур и
Vcr(l), получим (с учетом функциональной
зависимости для установившегося процесса):
z ф \0,25
Усг (0 = (Усг)0,5 Му «
\ppapj
« 20
0,25
(5.4.16)
Результаты расчетов по этой формуле
нанесены на рис. 5.4.7 пунктиром, который
ограничивает сверху область значений эффек-
тивной энтальпии разрушения при однократ-
ном соударении. В качестве критической ско-
рости установившегося процесса эрозионного
разрушения в потоке частиц Усг была приня-
УНОС МАССЫ ПРИ СОВМЕСТНОМ ЭРОЗИОННОМ И ТЕПЛОВОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
417
та скорость 100 м/с, что соответствует поряд-
ку величин для композиционных материалов.
Изменение критической скорости "нача-
ла эрозионного разрушения" Vcr(l) с ростом
диаметра частиц пропорционально
определяет существо масштабного эффекта и
является косвенной проверкой всей физи-
ческой модели процесса. Несмотря на огра-
ниченность экспериментальных данных,
можно считать вполне удовлетворительным
соответствие расчетных результатов опытным.
В качестве простейшей аппроксимаци-
онной зависимости между интенсивностью
эрозионного разрушения и скоростью удара,
справедливой во всем диапазоне Vp £ Vcr
(на переходном и гидродинамическом участ-
ках), можно использовать зависимость
<7 = п
V2
2Яег
= 1 - ехр
Усг-У,
0,5 Исг
V2
2Яе/
(5.4.17)
Здесь учтено, что пороговое значение скорос-
ти удара V* вдвое превышает критическое
Vcr, а также то, что при Vp £ Vcr интен-
сивность эрозионного разрушения пренебре-
жимо мала. Аппроксимационное соотношение
пременимо как для установившегося процесса
при многократном соударении с частицами,
так и для описания уноса массы от одиночно-
го удара, если только заменить параметр Нег
на Нег (1), a Vcr на Vcr(l).
5.4.4. УНОС МАССЫ ПРИ СОВМЕСТНОМ
ЭРОЗИОННОМ И ТЕПЛОВОМ ВОЗДЕЙСТВИИ ПОТОКА
При совместном теплоэрозионном воз-
действии потока на поверхность тела уноси-
мая масса складывается из массы, получаемой
в результате распределенного равномерно по
поверхности теплового или теплохимического
разрушения, и массы, выбрасываемой в мес-
тах падения частиц. Высокая интенсивность
теплопередачи в двухфазных потоках, нару-
шение гладкости поверхности многочислен-
ными кратерами, вероятно, исключают обра-
зование пленки расплава материала преграды
или, по крайней мере, ее регулярное течение
под действием сил давления и трения.
Рассмотрим два крайних случая. Пусть
вначале размеры кратеров столь малы, что
они не оказывают существенного влияния на
тепловой режим поверхностного слоя, унос
массы которого происходит в виде продуктов
сублимации, термического разложения или
химического взаимодействия с газообразной
составляющей набегающего потока. В этом
случае можно допустить, что скорость уноса
массы при совместном теплоэрозионном воз-
действии гетерогенного потока является сум-
мой двух независимых процессов:
Gl. = Gt + Ger =
(«М(яе -м- v;
я*# +
(5.4.18)
Для расчета интенсивности протекания
каждого из этих процессов можно воспользо-
ваться энергетическими параметрами: эффек-
тивной энтальпией теплохимического разру-
шения Hgff и эффективной энтальпией эро-
зионного разрушения Нег.
Кроме этого, при определении скорости
уноса массы требуется знать температуру раз-
рушаемой поверхности Tw . Она должна либо
задаваться с помощью экспериментальных
исследований, либо определяться из баланса
энергии на разрушающейся поверхности при
квазистационарном режиме
(а/ср)х (^е ~ ~ ~ (Gt + Ger)c0 * х
х ~ ^о) + Gt [ AQw + У (Не ~ hw )]
(5.4.19)
и кинетической зависимости Gt = f(Tw).
Суммарный тепловой эффект поверх-
ностных процессов &QW определяется в рам-
ках модели чисто теплохимического взаимо-
действия (он приравнивается к теплоте суб-
лимации, разложения, горения или химиче-
ского взаимодействия). Коэффициент вдува
у в гетерогенном потоке целесообразно при-
нять равным его значению для турбулентного
пограничного слоя =0,2, поскольку части-
цы интенсивно перемешивают пристенный
слой газа и ускоряют переход ламинарного
режима течения в турбулентный. Тем не ме-
нее вопрос об эффекте вдува в гетерогенном
пограничном слое еще требует дополнитель-
ного исследования и анализа.
Конкретное значение температуры раз-
рушающейся поверхности Tw играет прин-
ципиальную роль не только при расчете теп-
ловой доли уноса массы, но является также
важным параметром эрозионного разрушения.
Многочисленные экспериментальные данные
14 Зас. 488
418
Глава 5.4. ЭРОЗИЯ ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛ В ГЕТЕРОГЕННОМ ПОТОКЕ
свидетельствуют о том, что при повышении
температуры внутренних слоев материала до
величин порядка температур плавления или
размягчения, интенсивность эрозионного раз-
рушения резко возрастает.
На рис. 5.4.9 приведены зависимости
относительной скорости разрушения титано-
вого (кривая 7) и хромоникелевого (кривая 2)
сплавов от безразмерной температуры
[G'r/G'r (М] = f(Ttrl Т„), где Тт - тем-
пература плавления металлов. Согласно этим
данным эффективная энтальпия эрозионного
разрушения Нег = / 2 G является убы-
вающей функцией температуры поверхност-
ного слоя на глубине кратера Тег .
Рис. 5.4.9. Характерный вид зависимости интенсивности
эрозионного разрушения модели от ее температуры Тег
(Тт - температура плавления материала модели,
То - комнатная температура)
Рис. 5.4.10. Схема взаимодействия одного
эшелона частиц с поверхностью преграды
при теплоэрозионном воздействии
Однако остается открытым вопрос о
том, как выбирать значение температуры Тег ,
если профиль температуры в теле достаточно
крутой (рис. 5.4.10) или, точнее, глубина кра-
тера от удара частицей h соизмерима с глуби-
ной прогретого слоя Sz. Другими словами,
эрозионное разрушение может захватывать
слои с температурой от Tq до Тт. Известно,
что с ростом скорости уноса массы глубина
прогретого слоя материала 8, убывает:
Sj-flo/V» • Здесь aQ - коэффициент темпе-
ратуропроводности материала; Vw - линей-
ная скорость перемещения разрушающейся
поверхности.
Размеры кратера, в частности его глуби-
на Л, напротив, увеличиваются при заданном
размере частиц пропорционально скорости
удара: (Л/ ~ N* , причем показатель сте-
пени п меняется в диапазоне 0,7+1,5 для раз-
личных материалов преграды и различных
диапазонов скорости.
По мере увеличения размеров частиц
или роста скорости соударения в гетероген-
ном потоке всегда наступит такое состояние,
когда температура дна кратера окажется суще-
ственно ниже температур теплохимического
разрушения. В этом случае теплохимическое
разрушение прекратится, несмотря на высо-
кий уровень конвективного теплового потока
(коэффициента теплообмена (а/ ср^ ).
Для оценки диапазона параметров,
определяющих такой ход процесса теплоэро-
зионного разрушения в высокоскоростном
гетерогенном потоке, рассмотрим следующую
модель процесса. В основе ее лежит система
уравнений, описывающих нестационарный
прогрев и разрушение теплозащитного мате-
риала:
дТ дТ
Р0с0 -Z- = Росо Чо 3“ +
от ду
д (\ ЭТА
ЭуГ0 ду) ’
PoVw=C7/; (5.4.20)
при Т,=о = Tw < Tm
+ eoT* ;
при Т,в0 = Tw = Tm
УНОС МАССЫ ПРИ СОВМЕСТОМ ЭРОЗИОННОМ И ТЕПЛОВОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
419
G,=
+ -еаТ*
_______________________у«0___________
( Tw
H'ff- pod Г
I Го J
при у -» оо Т -» Tq ;
при т = О
Т-То
Tm-T0
(5.4.21)
Начальный профиль температуры в теле задан
в виде экспоненты от координаты, соответ-
ствующей квазистационарному разрушению.
Пренебрегая различными неодномерны-
ми и нестационарными эффектами ударного
воздействия частиц, примем следующую
схему. Выпадение частиц равновероятно для
всех элементарных площадок на поверхности
тела, а частота их соударений достаточно ве-
лика, чтобы перераспределение энергии вдоль
поверхности не учитывать.
Допустим, что все частицы в про-
странстве сгруппированы в некие эшелоны,
последовательно подходящие по нормали к
поверхности тела. Количество частиц в эше-
лоне выбираем таким образом, чтобы обеспе-
чить полное перекрытие поверхности тела
(коэффициент перекрытия Кр = 1, см. вы-
ше). В процессе взаимодействия с преградой
каждый такой эшелон частиц мгновенно сно-
сит слой материала глубиной h. Строго гово-
ря, коэффициент перекрытия должен рассчи-
тываться не по диаметром миделя частиц, а
по диаметрам кратеров от их ударов. Поэтому
для определенности примем, что диаметры
кратеров равны их удвоенной глубине
dcftalh. к тогда можно связать интеграл
времени между последовательными ударами
ter и глубину кратера Л со скоростью уноса
массы G, плотностью частиц рр и их диа-
метром dp (для сферических частиц):
Скорость соударения Nр должна определять-
ся с учетом торможения частиц в сжатом за
ударной волной слое газа.
При заданных значениях dp, pvpi рр,
Her и Vp определение глубины кратера h и
времени между последовательными соударе-
ниями не составит труда. Введение характер-
ных параметров разрушения хег и h пред-
ставляется в данном случае более удобным,
чем интенсивность эрозии Ger, поскольку
процесс прогрева и разрушения теплозащитно-
го материала также полностью характеризуется
двумя масштабными параметрами: xt - време-
нем достижения на поверхности тела темпера-
туры разрушения Тт при заданном уровне
конвективного теплообмена q^ = (а/ ср)^ х
х(Яе и 5/ - глубиной прогретого слоя
при квазистационарном разрушении со ско-
ростью Уда (или скоростью уноса массы Gt).
Воспользуемся простейшими аналитиче-
скими представлениями этих параметров раз-
рушения теплозащитных материалов, которые
получены при постоянстве теплообмена на
поверхности = const, постоянстве теплофи-
зических свойств самого материала (Хо, р0,
с0) и постоянстве скорости разрушения:
т я . (Тт-Т0)2
xt “ ~7 ^0Р0с0 5---
4 ?!
' V„ 1Т8-ТО/
£
Ро
(5.4.23)
Здесь 7g обозначена нижняя температурная
граница прогретого слоя материала (рис.
5.4.10). Поскольку интенсивность уноса массы
Gt прямо пропорциональна величине кон-
вективного теплового потока q^ , можно счи-
G V2
Ро^ = Ger xer; Ger - р ;
тать глубину прогретого слоя 8t масштабом
теплового воздействия. С другой стороны,
время достижения температуры разрушения
nd^r ndp не только зависит от теплового потока, но
Gp^er = Рр » ^сг = 2 Л, Gp = PypVp. и от теплофизических свойств материала
преграды и ее способности противостоять
(5.4.22) нагреву (пропорциональной температуре раз-
14’
420
Глава 5.4. ЭРОЗИЯ ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛ В ГЕТЕРОГЕННОМ ПОТОКЕ
рушения Тт). Поэтому величина xt - это
масштаб, характеризующий тепловую стой-
кость материала преграды. Можно предполо-
жить, что соотношение временных (*t/xer) и
пространственных (Л/8Х) масштабов явится
удобной и наглядной формой представления
результатов при совместном теплоэрозионном
воздействии гетерогенного потока на матери-
ал обтекаемого тела.
Послойный снос прогретого материала
приводит к мгновенному падению температу-
ры поверхности (рис. 5.4.10) и, как следствие,
к прекращению теплового или теплохимиче-
ского уноса массы. В течение некоторого
времени, пропорционального xt, после удара
частицы происходит конвективный нагрев
неразрушающейся поверхности с интенсив-
ностью q% = (Яе - hw)- Если этот
период времени больше интервала тег между
последовательными соударениями, то тепло-
вое разрушение так и не начнется, а суммар-
ный унос будет включать только эрозионное
разрушение. В противном случае тепловой
унос будет иметь место, но лишь после уста-
новления температуры разрушения и до нача-
ла следующего соударения. Понятно, что ин-
тенсивность такого уноса за некоторый ко-
нечный промежуток времени должна быть
меньше, чем при отсутствии ударного воздей-
ствия частиц.
Некоторые результаты численного счета
выписанной системы уравнений в широком
диапазоне определяющих параметров пред-
ставлены на рис. 5.4.11 и 5.4.12. На первом из
них показано падение интенсивности тепло-
вого разрушения алюминиевого сплава при
сокращении времени между последователь-
ными ударами частиц. Кривые 1 и 2 соответ-
ствуют изменению величины уноса массы
(глубины кратера) при ударе каждой частицы
(A/Sr) от 0,07 до 0,21.
С целью обобщения полученных данных
для других условий взаимодействия результа-
ты расчетов приведены к безразмерному виду
с использованием временных и простран-
ственных масштабов, характерных для данной
проблемы. При любых сочетаниях пара-
метров, соответствующих области, располо-
женной выше кривой на рис. 5.4.12, тепловой
унос массы играет пренебрежимо малую роль
при совместном теплоэрозионном воз-
действии гетерогенного потока.
В результате анализа различных схем
процесса теплоэрозионного взаимодействия
гетерогенного потока с материалами преграды
можно выделить четыре основных расчетных
Рис. 5.4.11. Падение интенсивности теплового
разрушения алюминиевого сплава при сокращении
времени между последовательными ударами частиц:
/- Л/8Г =0,07; 2-0,21
Рис. 5.4.12. Условная граница раздела
теплоэрозионного (область II) н чисто
эрозионного (область I) механизмов разрушения
варианта, дающих оценку с последовательно
убывающей величиной суммарной скорости
уноса массы :
1) независимый учет тепловой и эрози-
онной составляющих уноса массы с поправ-
кой на интенсификацию теплообмена за счет
частиц и использование эмпирических данных
по изменению эффективной энтальпии эрози-
онного разрушения с температурой Her (Т);
2) независимый учет тепловой и эрози-
онной составляющих уноса массы без по-
правки на интенсификацию теплообмена в
гетерогенном потоке и переменность эрози-
онных параметров в зависимости от степени
нагрева Her = const;
3) расчет теплоэрозионного разрушения
по методике, изложенной выше и позволяю-
щей учитывать нестационарный характер теп-
лового разрушения в промежутке между дву-
мя последовательными ударами частиц;
УНОС МАССЫ ПРИ СОВМЕСТНОМ ЭРОЗИОННОМ И ТЕПЛОВОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
421
4) допущение об отсутствии тепловой
составляющей уноса массы на основании
оценки безразмерных параметров (т//тег) и
(й/S,) и использовании кривой на рис.
5.4.12.
Первая из перечисленных расчетных мо-
делей будет лучше соответствовать действи-
тельности при умеренных скоростях удара и
малых размерах частиц. Напротив, последняя,
четвертая схема ближе к реальному характеру
процесса взаимодействия при высоких скоро-
стях соударения, больших концентрациях и
размерах выпадающих частиц. Немаловажную
роль играет и величина тепловых характери-
стик материала преграды, прежде всего теп-
лофизических свойств (температуропровод-
ности).
На основании анализа результатов рас-
Рис. 5.4.13. Профиль температуры
внутри стеклопластика (сплошные линии) н
металла (пунктир) при различных значениях
плотности потока массы частиц Gp
чета температурного состояния поверхностно-
го слоя материалов установлено, что форма
кратеров, образующихся в процессе эрозион-
ного разрушения в запыленном потоке, слабо
влияет на суммарную скорость уноса. Прин-
ципиальное значение имеет лишь соотноше-
ние между глубиной и диаметром кратера. В
последующем анализе это соотношение при-
нимается равным 1:2, что подтверждается. В случае квазистационарного процесса разру-
результатами испытаний.
На рис. 5.4.13 показано изменение про-
филя температуры внутри стеклопластика и
углепластика в зависимости от плотности
массового потока частиц (Gp измеряется в
кг/м2,с). Небольшое различие температуры
поверхности в этих вариантах является след-
ствием интенсивного теплообмена при обте-
кании тела запыленным потоком и близости
Тт к температуре заторможенного газа 7q .
В стеклопластике, имеющем высокие гради-
енты температуры, изменение потока массы
падающих частиц приводит к полному сносу
прогретого слоя материала, т. е. глубина кра-
тера h становится больше глубины прогретого
слоя 5Z. Иная картина на металле,обладающем
высоким уровнем коэффициентов теплопро-
водности Хо и температуропроводности Пд.
Даже при высоких уровнях потока массы па-
дающих частиц Gp температура на глубине
кратера несущественно отличается от темпе-
ратуры на поверхности материала.
В качестве обобщенной характеристики
теплового состояния материала преграды в зо-
не, равной глубине кратера, введем среднеин-
тегральное значение температуры
h
Ts=^\T(y)Ay.
п о
(5.4.24)
шения среднеинтегральное значение темпера-
туры имеет следующее аналитическое пред-
ставление
е _ - го = _2о_ 1_ехр| _A£oGz ]
1 Tw-T0 Ac0Gz[ ₽l l0 j.
(5.4.25)
Однако квазистационарный режим раз-
рушения может устанавливаться лишь в том
случае, когда размер эрозионного повреждения
h много меньше глубины прогретого слоя bt.
В действительности можно ожидать периодиче-
ское изменение температурного поля внутри
преграды в момент соударений ее с частицами.
В случае отсутствия уноса массы между удара-
ми частиц за время тег и при постоянных
начальных Т (у) = Tq = const и граничных
(а/ср)Е = const условиях, т. е. когда частицы
полностью сносят при ударе прогретый слой
(Л £ 5Z), выписанная система уравнений
(5.4.20) имеет аналитическое решение
422
Глава 5.4. ЭРОЗИЯ ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛ В ГЕТЕРОГЕННОМ ПОТОКЕ
= exp(Bi2Fo)erfc(Bi VF^).
(5.4.27)
Здесь критерии Био Bi = аЛДо и Фурье
Fo = floTer А2 определяются по глубине кра-
тера h и времени между ударами частиц тег .
В промежутке от относительно малых
глубин кратеров (Л «5Z) до относительно
больших (Л » 5,) необходимо использовать
выписанную систему уравнений (5.4.20). Од-
нако, сравнивая линейную скорость эрозион-
ного разрушения (А/тег) с параметром, ха-
рактеризующим скорость распространения в
материале преграды тепловой волны (5z/tz) ,
удалось получить критерий теплового подобия
при теплоэрозионном воздействии гетероген-
ного потока, который позволяет оценивать
среднеинтегральную температуру во всем диа-
пазоне изменения глубин кратеров. Он пред-
ставляет собой произведение временных и
пространственных масштабов и равен
bt'er
(5.4.28)
С физической точки зрения этот энергетиче-
ский критерий представляет собой отношение
количества рассеянной вследствие эрозионно-
го разрушения тепловой энергии поверхност-
ного слоя толщиной h к количеству нако-
пленной тепловой энергии в прогретом слое
8,-
Обработка многочисленных результатов
экспериментальных и расчетных исследова-
ний позволила установить единую зависи-
мость безразмерной среднеинтегральной тем-
пературы 05 от числа Е (рис. 5.4.14). Зависи-
мость аппроксимируется следующим соотно-
шением:
А = -
s Tw-T0
= exp (-0,1342£ - 1,2787£2 + 0,906Е3 - 0,2£4|
(5.4.29)
Рис. 5.4.14. Зависимость безразмерной средненнтегральной температуры
подповерхностного слоя материалов от критерия Е
УНОС МАССЫ ПРИ СОВМЕСТНОМ ЭРОЗИОННОМ И ТЕПЛОВОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
423
Число Е является третьей фундамен-
тальной характеристикой взаимодействия
высокотемпературного гетерогенного потока с
обтекаемым телом. Оно позволяет оценить
среднеинтегральную температуру Т5 по ре-
зультатам экспериментальных исследований.
Пороговое значение Е* « 1 разделяет рис.
5.4.14 на две области, характерные для тепло-
эрозионного (е < Е*) и чисто эрозионного
(Е > Е*) механизмов разрушения. В послед-
нем тепловой составляющей уноса массы
можно пренебречь (Gt « Ger). На этом же
рисунке приведены результаты обработки
экспериментов по методике, использующей
квазистационарную формулу (5.4.25)
(штриховая линия) и аналитическое решение
системы (5.4.26, 5.4.27) (штрихпунктирная
линия).
На рис. 5.4.15 и 5.4.16 приведены в ка-
честве примера обработанные по методике
данного параграфа экспериментальные дан-
ные, полученные для стеклопластика и угле-
род-углеродной композиции (УУКМ). Эти
данные показывают влияние температуры
поверхностного слоя Ts, размеров частиц dp
и давления торможения на эрозионное
разрушение материалов, а точнее на основ-
ную характеристику процесса - эффективную
энтальпию Нег.
Рис. 5.4.15. Зависимость эффективной энтальпии разрушения стеклопластика от среднеинтегральной температуры
прогрева поверхностного слоя, размера частиц и давления торможения:
/ \ 100
О, □ - давление торможения р$ « 1,2 МПа; И - 2,3; Q - 6,8; - 8,0(/тег)0 - эффективная энтальпия,
измеренная для частиц размером dp « 100 мкм при давлении торможения р'ц « 1,2 МПа и темперегтуре Т5 « 300 К
Рис. 5.4.16. Зависимость эффективной энтальпии разрушения углерод-углеродпой композиции от
среднеинтегральной температуры прогрева поверхностного слоя, размера частиц и давления торможения:
О, □ - давление торможения р'ц «1,2 МПа; - 8,0 - эффективная энтальпия,
полученная для частиц размером dp « 100 мкм при давлении торможения р$ « 1,2 МПа и темперегтуре Ts » 300 К •
424
Глава 5.4. ЭРОЗИЯ ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛ В ГЕТЕРОГЕННОМ ПОТОКЕ
Увеличение размеров частиц в гетеро-
генном потоке приводит к резкому уменьше-
нию температуры прогретого слоя и одновре-
менно к уменьшению эффективной энталь-
пии эрозионного разрушения обоих материа-
лов. Здесь проявляется так называемый мас-
штабный эффект, о котором говорилось вы-
ше.
Изменение давления торможения никак
не сказывается на Нег стеклопластика
при небольших размерах частиц в потоке
dp < 10 мкм. При dp = 50 мкм оно не ска-
зывается на процессе разрушения при
Ро = 1,2 и 2,3 МПа, но приводит к расслое-
нию кривых при Ро > 6,8 МПа. При больших
размерах частиц кривые расслаиваются и при
малых давлениях торможения. Этот эффект
связан с появлением при больших давлениях
Ро вследствие трения и касательных напря-
жений газомеханической составляющей уноса
массы, т. е. выветривания поверхностного слоя
материалов, целостность которого нарушена
ударами частиц. Увеличение давления и повы-
шение размера частиц в потоке приводят к росту
этой составляющей суммарного уноса массы.
Таким образом, физическая модель эро-
зионного разрушения материалов основывает-
ся на трех фундаментальных энергетических,
характеристиках Нег, а* и Е, достаточных
для описания всего многообразия процессов
взаимодействия гетерогенных потоков с раз-
личными элементами конструкций и агрега-
тами энергетического и транспортного маши-
ностроения.
5.4.5. ВНЕДРЕНИЕ ОДИНОЧНЫХ ЧАСТИЦ
В ТЮЛУБЕСКОНЕЧНЫЕ ПРЕГРАДЫ
Если плотность распределения частиц в
пространстве, окружающем тело, настолько
мала, что за все время воздействия кратеры от
их ударов не перекрываются, то процесс эро-
зии является неустановившимся, а каждый
удар считается независимым. Но и при боль-
шой концентрации частиц в потоке может
сложиться ситуация, когда отдельные, сверх-
крупные частицы производят разрушение
преграды на такую глубину, куда не проникли
волны сжатия от предшествующих мелких
частиц. В этом случае образование кратера
также идет по сценарию "независимого" собы-
тия.
Внедрение одиночных частиц в преграду
исследовано в артиллерии в диапазоне скоро-
стей удара от сотен метров в секунду до
нескольких километров в секунду. В отличие
от других видов механического движения,
внедрение отличается сложным, нелинейным
характером изменения сопротивления как по
времени, так и по координате. На рис. 5.4.17
представлен типичный вид зависимости от
времени давления в точке контакта ударника
и преграды, а на рис. 5.4.18 схематично изоб-
ражены различные варианты формы ударни-
ков и геометрия получающихся кратеров.
Рис. 5.4.17. Типичный вид зависимости давления на
контактной поверхности от времени соударения:
I - нестационарная фаза; II - первичная фаза;
III - вторичная фаза ("последействие”);
IV - фаза упругого изменения размеров кратера
б) в)
Рис. 5.4.18. Варианты формы частиц:
а - удлиненный цилиндр с плоским торцом; б - сфера;
в - компактный цилиндр с конической головной частью
ВНЕДРЕНИЕ ОДИНОЧНЫХ ЧАСТИЦ В ПОЛУБЕСКОНЕЧНЫЕ ПРЕГРАДЫ
425
Как видно, в начальной фазе соприкос-
новения ударника с преградой возникает пик
давления, генерируемый ударными волнами
внутри мишени. Затем начинается период
относительной стабилизации (фаза II), когда
увеличивается глубина проникания, но одно-
временно происходит уменьшение длины
ударника 1р. Начиная с момента полного
израсходования массы ударника, наступает
фаза III, когда размеры кратера расширяются
за счет инерции вещества преграды (этот
процесс называется последействием). Нако-
нец завершает процесс внедрения быстрозату-
хающий колебательный режим (фаза IV), ког-
да размеры кратера последовательно умень-
шаются и возрастают. С целью построения
обобщенной модели кратерообразования вве-
дем две пары геометрических размеров:
для ударника это диаметр dp и длина 1р;
для преграды это глубина кратера h и
его максимальный диаметр на уровне перво-
начальной поверхности преграды d.
Если обозначить относительное удлине-
ние ударника К - Iр/dр , то оказывается,
что этот параметр влияет не только на чис-
ленные значения h/lp или h/d, но даже на
сам тип зависимостей между этими парамет-
рами и скоростью удара Np. На рис. 5.4.19 и
5.4.20 обобщаются данные по безразмерной
глубине h/lp и отношению глубины кратера
h к его диаметру d при различных значениях
скорости удара Np и параметра К. Как ви-
дим, глубина кратера с ростом скорости Nр
стремится к длине ударника 1р, но только в
том случае, когда К > 10. С другой стороны,
кратер становится полусферическим, т. е.
h -> d/2 только для компактных частиц, у
которых К « 1 (например, сферических).
Известна гидродинамическая аналогия
между внедрением твердых частиц в преграду
и ударом струи жидкости по поверхности
бассейна, занятого другой жидкостью. Реше-
ние, полученное с использованием гидроди-
намической аналогии, дает постоянное значе-
ние h/ 1р - ^Рр/Ро • Оно отмечено штрих-
пунктирной линией на рис. 5.4.19 и 5.4.20.
Предельный переход к гидродинамической
модели внедрения правомерен не для любой
формы частицы-ударника, а лишь для
К > 10, т. е. удлиненных форм, когда режим
внедрения можно считать установившимся.
В отличие от газов или жидкостей, об-
щее сопротивление внедрению в твердые сре-
ды складывается из двух составляющих, одно
из которых имеет конечное значение даже
при бесконечно малой скорости Nр, а второе
- пропорционально скорости Nр в некоторой
степени, например:
о у2
/^Но+Ср^Гв-г.. (5.4.30)
Постоянное сопротивление деформиро-
ванию твердой среды Но можно легко сопо-
ставить с твердостью НВ, однако, как прави-
ло, Но >НВ за счет влияния динамических
эффектов. Рекомендуется брать вместо Но
величину, равную (1,5-5-2) НВ, однако лучше,
если оно определено экспериментально (см.
ниже).
Рис. 5.4.19. Влияние удлинения К - I р jd р
цилиндрического стального ударника на зависимость
относительной глубины кратера от скорости удара Nр
Рис. 5.4.20. Влияние степени удлинения К = I р jdр
стальных (0110W2) стержней на зависимость
относительной глубины кратера от скорости удара
по стальной (Ст.З) преграде
426
Глава 5.4. ЭРОЗИЯ ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛ В ГЕТЕРОГЕННОМ ПОТОКЕ
Что касается второго слагаемого в фор-
муле (5.4.30), то здесь следует сделать два
замечания. Во-первых, площадь миделевого
сечения Sp , в отличие от гидродинамики, не
является известной или заданной в задачах о
внедрении ударника в мишень. Лишь при
малых значениях скорости удара Ур и для
прочных ударников можно считать Sp соот-
ветствующим геометрической форме и перво-
начальному размеру ударника. Во-вторых,
коэффициент сопротивления Сд не соответ-
ствует "стандартным" значениям для этого
параметра, принятым в механике жидкости
или газа. Так при внедрении в преграду, как
показал эксперимент, форма хвостовой части
ударника не играет никакой роли, ибо в ме-
талле образуется несмыкающаяся каверна.
Если преграда представляет собой пластичный
материал (например, металл), то зона боль-
ших деформаций в преграде оказывается рез-
ко локализованной вблизи контактной по-
верхности, что принципиально отличает до-
звуковое обтекание жидкостью от движения
ударника в преграде. Однако существует диа-
пазон условий, при которых конкретная ве-
личина Ср не существенна для определения
характеристик внедрения.
Рассмотрим удар сферической частицы
радиусом гр и плотностью рр по полу-
бесконечной преграде с плотностью ро •
Уравнение движения имеет вид:
т -Г - Н j. С 9 Ро р
Пусть Ср является постоянной величиной.
При внедрении сферы до глубины h < гр
площадь контактной поверхности изменяется
по закону Sp = 7th ^2 гр - Л) . В этом случае
решение уравнения движения имеет вид
Об» = 2 г/>):
_л_у
2 Рр 1 |п | । + ^ДРО^р
3 Ро Ср I 4 Hq
При малых скоростях удара Nр, вид решения
можно упростить:
£-Жу'- (5лз|)
Здесь следует обратить внимание на два об-
стоятельства. Решение (5.4.31) не зависит от
принятого постоянного значения Ср . Наклон
прямой в координатах "глубина кратера - ско-
рость удара” однозначно связан с плотностью
и динамической твердостью Но материала,
из которого изготовлена преграда. Именно
это, второе, обстоятельство может быть ис-
пользовано для экспериментального опреде-
ления Hq.
В табл. 5.4.1 для различных материалов
представлено сравнение статической НВ и
динамической Hq твердостей, измеренной
при скорости удара Nр » 100 м/с.
На рис. 5.4.21 дана экспериментальная
зависимость глубины кратера от скорости
удара в случае соударения стальных ударни-
ков со свинцовыми преградами. В области
малых скоростей Ур глубина кратера h ли-
нейно возрастает с увеличением Nр, как это
следует из теоретической модели (5.4.31).
Максимум глубины h соответствует Ур »0,7
км/с. Начиная с этого значения скорости
Vp, ударник деформируется, увеличивается
площадь его миделевого сечения Sp, что
сразу уменьшает глубину внедрения. При
Vp > 0,8 км/с зависимость глубины кратера h
от скорости удара приобретает нелинейный
характер. В литературе принято считать ско-
рость Vp = 1000 м/с условной границей или
порогом высокоскоростного удара.
5.4.1. Сравнение статической и динамической твердостей для различных материалов
Материал преграды
Твердость,
кг/мм2 Медь Алюминий Свинец Дюралюминий Технически чистое железо
Статическая, НВ 45 30 - 5 ПО 90
Динамическая, Hq 72 56 ~8 140 200
ФИЗИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЗАРОЖДЕНИЯ И РОСТА КРИСТАЛЛОВ
427
Рис. 5.4.21. Зависимость глубины кратера от
скорости удара стального шара по свинцовой преграде
За порогом высокоскоростного удара на
поверхности контакта частиц с преградой
развивается давление, многократно превы-
шающее предел текучести обоих материалов
(ударника и преграды). Внутри преграды об-
разуется кратер, по стенкам которого в виде
полой трубки растекается материал ударника.
Длина ударника / изменяется от первоначаль-
ного значения 1р до нуля в соответствии с
законом
где и - скорость перемещения контактной
поверхности внутрь преграды, а V - скорость
движения ударника. И хотя априори процесс
внедрения не считается стационарным, во
многих теоретических моделях допускается
существование интеграла Бернулли в виде
г4рЛ^-и)4ро“2+л’
где Y и R - динамическая прочность материа-
лов, из которых изготовлены ударник и пре-
града. Но даже в такой упрощенной поста-
новке аналитическое решение удается полу-
чить лишь в частных случаях, например, ког-
да Y = R . Оно имеет следующий вид:
Azziri-expf-BV^l, (5.4.32)
где Ц = ^Ро/Рр , В = црр/ 2Г(1 + ц). Если
Vp -> оо, точнее В Vp >3, то соотношение
(5.4.32) позволяет получить предел, предска-
занный гидродинамической моделью, а имен-
но h/lp -> ^рр/ро . Но в диапазоне умерен-
ных скоростей соударения глубина кратера
монотонно изменяется с ростом Vp. Исполь-
зуя параметры динамической прочности Y и
R, как параметры идентификации, удается
удовлетворительно описать эксперименталь-
ные зависимости, полученные для различных
пар материалов ударника и преграды.
Суммируя все сказанное по механи-
ческой и гидродинамической моделям внед-
рения, можно утверждать, что глубина крате-
ра h определяется следующими безразмерны-
ми комплексами или критериями подобия:
отношением удельной кинетической
энергии ударника рр Ур / 2 к динамической
твердости Но или динамической прочности
преграды У;
отношением плотности ударника и пре-
грады Pp/ро или параметром ц = ^р0/рр ;
удлинением ударника К = Iр /dр ;
коэффициентом формы головной части
ударника или коэффициентом сопротивления *
CD.
Значительное превышение гидродина-
мического предела проникания возможно
даже в диапазоне умеренных скоростей Nр
как для коротких ударников с К < 10 за счет
эффектов нестационарное™, так и в случае
существенного превышения динамической
прочности Y по сравнению с динамической
прочностью материала преграды.
Удар частиц под углом 0 < л/2 вносит
свои коррективы в закономерности кратеро-
образования. Однако теория этого процесса
еще слабо разработана и, в основном, про-
блема решается экспериментально.
Глава 5.5
МЕХАНИЗМ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ
И АМОРФИЗАЦИИ РАСПЛАВЛЕННЫХ
МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ
В ГАЗОВОМ ПОТОКЕ
5.5.1. ФИЗИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЗАРОЖДЕНИЯ
И РОСТА КРИСТАЛЛОВ
Аморфные металлы обладают в отличие
от металлов обычной кристаллической струк-
туры рядом уникальных свойств. Они отли-
чаются высокой твердостью и коррозионно-
стойкостью (подобно оксидным стеклам) и
прекрасными магнитно-электрическими свой-
ствами. Область их применения постоянно
расширяется по мере роста числа новых ме-
таллических соединений, которые удалось
перевести в аморфное состояние.
428
Глава 5.5. МЕХАНИЗМ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ И АМОРФИЗАЦИИ
Сама возможность аморфизации зависит
от темпов охлаждения расплава в момент за-
твердевания. Современные технологии захо-
лаживания в состоянии обеспечить темп
охлаждения dT/dt = b до миллиона градусов
в секунду. Это достаточно для аморфизации
многих сплавов, однако для чистых металлов,
как считают металловеды, требуются темпы
охлаждения на два-три порядка выше.
Одним из перспективных методов полу-
чения аморфных металлов является охлажде-
ние мелкодисперсных частиц расплава
встречным высокоскоростным потоком хо-
лодного газа. Есть одно обстоятельство, вы-
годно отличающее этот метод от охлаждения
на твердой подложке. Как показано во многих
публикациях, охлаждение на подложке со-
пряжено с введением в расплав инородных
частиц - центров кристаллизации. Они в со-
стоянии резко усилить интенсивность заро-
дышеобразования и тем самым перевести
процесс кристаллизации из гомогенного в
гетерогенный. При этом резко ухудшается
способность металлов к аморфизации.
Гетерогенная кристаллизация практиче-
ски не возникает при использовании газоди-
намического охлаждения, когда капли разме-
ром 1-10 мкм распыляются в высокоскорост-
ном потоке холодного газа.
Процесс аморфизации можно предста?
вить как режим охлаждения Т (т), при кото-
ром во всем диапазоне изменения Т от тем-
пературы плавления Тт до температуры
"стек-лования" Tq доля кристаллической
фазы в затвердевшем металле не превы-
сит заданного малого значения, например,
< 10-6. В рамках вероятностной Модели,
предложенной А. И. Колмогоровым, X опре-
деляется следующим уравнением
X (т) = 1 - ехр
На тех стадиях процесса кристаллиза-
ции, когда доля закристаллизовавшегося ве-
щества невелика, для ее определения может
быть использовано приближение "свободного
роста кристалла":
(5.5.2)
В случае гомогенного зародышеобразо-
вания в стационарном режиме зависимость
J (Г) описывается соотношением
kTNv 16то3(Т)
----т—— ехр ---------3_£_
Зтса^т1(Л ЗШС,2(Г)
(5.5.3)
Здесь к - постоянная Больцмана, Nv - сред-
нее число атомов в единице объема материн-
ской фазы, ац - среднее межатомное рас-
стояние, т](Т) - вязкость расплава, ст (Г) -
поверхностное натяжение на границе кри-
сталл-расплав, A(7V - разность свободных
энергий жидкого и кристаллического вещест-
ва при температуре Г, отнесенная к единице
объема.
Зависимость линейной скорости роста
кристалла от температуры имеет следующий
вид:
1 - ехр----
Зпа^(Г) 1‘'"'*'KT/vmy
(5.5.4)
Здесь/- доля мест на поверхности кристалла,
доступных для дальнейшего присоединения
атомов, R - универсальная газовая постоян-
ная.
Для определения частоты зародышеобра-
зования и скорости роста кристаллов иногда
используют упрощенную форму записи ука-
занных уравнений
(5.5.1)
kTNv
3^г)(Г)
ехр
1,07
дг2 г3
где А'(т) - объемная доля закристаллизо-
вавшегося вещества в зависимости от времени
т , J (Т) - частота образования критических
зародышей в единице объема, и (Т) - линей-
ная скорость роста кристаллов, Т - темпера-
тура (К).
«(Т) =
fkT
Зпао п(Л
RT )
(5.5.5)
где Tr=T/Tm, &Tr =(Tm-T)/Tm . При
температурах, близких к температуре стекло-
ЗАТВЕРДЕВАНИЕ КАПЕЛЬ РАСПЛАВА В ВЫСОКОСКОРОСТНОМ ПОТОКЕ ГАЗА
429
вания То, зависимость вязкости от темпера-
туры описывается соотношением Фогеля-
Фулчера:
П(т(Т) = Л(техр^Э^- <5-56>
/ -/0
Соотношения (5.5.1-5.5.6) позволяют
описать процесс изменения во времени доли
кристаллов в объеме охлаждаемой частицы,
если известно, как изменяется со временем ее
температура.
На рис. 5.5.1 на примере никеля показа-
на динамика нарастания со временем доли
кристаллического вещества, отнесенной к ее
асимптотическому значению Х% при т -> оо.
Кривые 1-3 соответствуют постоянным скоро-
стям охлаждения 2*108, 5 • 108 и 2*109 К/с
(Jz =0,75-10-2, 0,19-10-3 и 0,75 ЧО-6 соот-
ветственно). На рис. 5.5.2 результаты расчетов
представлены в виде безразмерных зависимо-
стей 7 (Г), и (Г), Х(Т).
Рис. 5.5.1. Динамика изменения доли кристаллов X
при различных темпах охлаждения
5.5.2. ЗАТВЕРДЕВАНИЕ КАПЕЛЬ РАСПЛАВА
В ВЫСОКОСКОРОСТНОМ ПОТОКЕ ХОЛОДНОГО ГАЗА
Для описания процесса охлаждения и
получения зависимости Т = Г (т) для капель
расплава в высокоскоростном встречном по-
токе охлаждающего газа используют сле-
дующую систему обыкновенных дифференци-
альных уравнений, включающую уравнение
движения
= 7 (5.5.7)
ат
и уравнение теплового баланса
= (5.5.8)
где и - скорость частицы относительно сре-
ды, f - сила, действующая на частицу, cs -
удельная теплоемкость материала частицы,
Т5 - средняя по объему температура частицы,
т .- время, q - отток теплоты от частицы в
единицу времени, ms - масса частицы.
Сила f включает силу аэродинамиче-
ского сопротивления
•2
Л = -^-О>Р«|«|. (5.5.9)
О
Здесь d - эффективный диаметр капли (диа-
метр сферической частицы равного объема),
Сд - коэффициент сопротивления, р - плот-
ность газа. Отток теплоты от частицы может
быть определен с помощью соотношения
? = аш/2(Т,-Тг) + еад11</2Т14 +
+ (я</3/б)яти<1А7<Ь, (5.5.10)
Рис. 5.5.2. Зависимость от температуры скорости
образования J и скорости роста кристаллов й ,
а также доли закристаллизовавшегося вещества X
где а - средний по всей поверхности капли
коэффициент теплоотдачи, Тг - температура
торможения газа, е - коэффициент черноты
поверхности, О/> - постоянная Стефана-
Больцмана, Нту - теплота кристаллизации,
приходящаяся на единицу объема.
Для определения коэффициента тепло-
отдачи может быть использовано соотноше-
ние, обладающее наиболее широким среди
других известных эмпирических соотношений
диапазоном применимости 0<Re<104,
0 < М < 6, М/ Re < 0,5:
430
Глава 5.5. МЕХАНИЗМ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ И АМОРФИЗАЦИИ
Nu = 2
ехр(-М)
0,459 Re0,55 Рг033 х
(5.5.11)
Здесь Nu - число Нуссельта, связанное с
коэффициентом теплоотдачи а формулой
Nu = со// X, X - коэффициент теплопровод-
ности газа, Рг = т|ср / X - число Прандтля, ср -
теплоемкость газа при постоянном давлении.
Коэффициент сопротивления хорошо
известен для твердых сферических частиц.
Использование этих данных при расчете дви-
жения жидких капель требует учета возмож-
ности деформации и распада последних под
действием газового потока. Возрастание ко-
эффициента сопротивления жидких капель по
отношению к твердым сферам равного объема
вследствие их деформации предлагается учи-
тывать с помощью соотношения
Cdi ~ С Ds exp
где Cj)i, CDs - коэффициенты сопротивле-
ния жидкой капли и твердой частицы соот-
ветственно; We = d рм2/ G/g - число Вебера,
G/g - коэффициент поверхностного натяже-
ния на границе жидкой и газовой фаз. Одна-
ко, как показывают результаты эксперимен-
тальных исследований, коэффициент сопро-
тивления деформирующихся и дробящихся
капель не превышает значения CD - 2.
Соотношения (5.5.1)-(5.5.11) вместе с
уравнением состояния газа р/ р = RT/^i, где
ц - его молекулярная масса, представляют
собой замкнутую систему уравнений, позво-
ляющую определить движение, изменение
средней температуры, а также объемную долю
кристаллического вещества для жидкой час-
тицы, имеющей в начальный момент времени
т = 0 скорость и = Uq относительно газа и
постоянную по всему объему капли темпера-
туру тт.
С помощью этих соотношений на при-
мере никеля был исследован процесс охлаж-
дения и затвердевания жидких металлических
Рис. 5.5.3. Типичные зависимости от времени
приведенных температуры Т , скорости и и
доли закристаллизовавшегося вещества X
(при Хъ = 0,463 • 10-2) для капли расплава Ni
размером d - 1 мкм (при давлении окружающей
среды р — 0,5 МПа), движущейся со
скоростью U (при Uq = 1000 м/с)
частиц в зависимости от их размеров, началь-
ной температуры, теплофизических свойств,
скорости метания и параметров газовой среды.
На рис. 5.5.3 представлены типичные за-
висимости приведенных температуры Т =
- Т/Тт , скорости капли и = u/uq и объем-
ной доли кристаллического вещества X -
- Х/Хъ для случая d = 1 мкм, давление
внешней среды р - 0,5 МПа, Uq = 1000 м/с.
Здесь Тт - температура плавления, Uq - на-
чальная скорость капли, Х^ - доля кристал-
лического вещества по завершении процесса
кристаллизации.
Влияние давления внешней среды на
основные характеристики рассматриваемого
процесса показано на рис. 5.5.4, 5.5.5. На
рис. 5.5.4 представлены зависимости Г, й и
X от времени для трех различных значений
р. На рис. 5.5.5 показана зависимость Х% от
давления внешней среды. Видно, что повы-
шение р при прочих равных условиях способ-
ствует снижению доли закристаллизо-
вавшегося вещества. Однако, с ростом давле-
ния эффективность влияния этого параметра
снижается, повышение плотности газа одно-
временно повышает сопротивление движе-
нию, что приводит к уменьшению скорости
капли и, в итоге, к некоторому уменьшению
коэффициента теплоотдачи.
ЗАТВЕРДЕВАНИЕ КАПЕЛЬ РАСПЛАВА В ВЫСОКОСКОРОСТНОМ ПОТОКЕ ГАЗА
431
Рис. 5.5.4. Влияние давления на зависимость
от времени приведенной температуры Т и
доли закристаллизовавшегося вещества X
для капли расплава, движущейся со скоростью U :
/- р=0,3 МПа; Хъ = 0,195-10-2;
2 - 0,6; 0,353 • IO-2; 3 - 0,9; 1,01-10-2
Рис. 5.5.5. Влияние давления
на долю закристаллизовавшегося вещества
Рис. 5.5.6. Влияние начальной скорости
на долю закристаллизовавшегося вещества
На рис. 5.5.6 продемонстрировано влия-
ние на те же характеристики процесса началь-
ной скорости капли Uq для случая р = 0,5 МПа,
d = 1 мкм. Кривая имеет минимум при неко-
Рис. 5.5.7. Влияние дпаметра частиц
на долю закристаллизовавшегося вещества
торой начальной скорости Uq « 1800 м/с. Это
связано с возрастанием температуры тормо-
жения сверхзвукового потока, что приводит, в
конечном итоге, к прекращению охлаждения
капли набегающим газом.
Влияние диаметра капли на рассмотрен-
ные выше параметры показано на рис. 5.5.7
(р = 0,5 МПа, Uq = 1000 м/с). Видно, что
уменьшение диаметра капель в два раза при-
водит к понижению доли закристаллизо-
вавшегося вещества примерно на два порядка
величины.
Таким образом, изменение диаметра
микрочастиц позволяет наиболее эффек-
тивным образом, по сравнению с другими
регулируемыми экспериментатором парамет-
рами, влиять на интенсивность процессов
кристаллизации. При этом, однако, в целом
доля закристаллизовавшегося вещества яв-
ляется очень чувствительной величиной, зна-
чительно изменяющейся при относительно
небольшой вариации и других определяющих
параметрах.
Существует другая реализация идеи га-
зодинамического охлаждения, которая может
быть достаточно легко осуществлена на прак-
тике, а именно такая, когда охлаждение час-
тиц происходит в струе, истекающей из ре-
зервуара, содержащего сильно охлажденный
газ под высоким давлением (рис. 5.5.8). При
этом предполагается, что расплавленные час-
тицы подаются с высокой поперечной ско-
ростью в зону истечения, где струя еще не
успела расшириться, и давление достаточно
высоко. Изменяя давление газа pQg в реси-
вере, можно управлять параметрами газа в той
области, где происходит затвердевание мик-
рочастиц.
432
Глава 5.5. МЕХАНИЗМ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ И АМОРФИЗАЦИИ
Рис. 5.5.9. Зависимость от времени температуры
частиц сплава Feg9Bn размером d = 5 мкм
при вводе их в струю в зависимости от
положения точки ввода Yq - Ya , мм:
1- 1; 2-3; 3- 6, 4-9; 5-12.
Остальные параметры процесса: Xq = 1 мм,
Vy0 = 200 м/с, pg0 = 3,5 МПа, Tg0 = 300 К,
pge =0,1 МПа, Tge =300 К, Mi =1,5
Рис. 5.5.8. Схема реализации
метода газодинамического охлаждения
При рассматриваемом способе охлажде-
ния частиц параметры встречного потока газа
будут изменяться в зависимости от положения
частицы внутри струи, а, следовательно, пе-
ременным будет и темп охлаждения. В то же
время, как показано выше, кристаллизация
происходит, в основном, в достаточно узком
диапазоне температур, когда одновременно
достаточно высоки и скорость зародышеобра-
зования J и скорость роста кристаллов U.
В связи с этим объемная доля кристал-
лического вещества будет существенно зави-
сеть от того, в каком температурном интерва-
ле будет достигаться наивысшая скорость
охлаждения. Это подтверждают приведенные
ниже результаты численного моделирования.
На рис. 5.5.9, 5.5.10 показано изменение
температуры частиц сплава Feg9Bn и скорости
их охлаждения в зависимости от времени для
пяти различных положений точки начала
движения частицы. Здесь pgQ, TgQ - пара-
метры торможения газа в ресивере, pge, Tge
- давление и температура внешней среды,
М] - число Маха на срезе сопла,
Xq, Ко “ ~ координаты точки бросания
частицы по отношению к срезу сопла, V^q -
начальная скорость частицы, Ya - полуши-
рина среза сопла. На рис. 5.5.11 для тех же
режимов показана корреляция скорости
охлаждения b с температурой, а на рис. 5.5.12
- сопоставлена температура с изменением X
вдоль траектории движения частицы. Хорошо
видно, что в варианте 4 степень кристаллиза-
циии %£ - минимальна, хотя скорость
охлаждения Ь при этом не является макси-
мальной.
Рис. 5.5.10. Зависимость от времени скорости
охлаждения частиц сплава Feg9Bn размером
d = 5 мкм при вводе их в струю в зависимости
от положения точки ввода. Цифры соответствуют
вариантам расчета на рис. 5.5.9
Рис. 5.5.11. Сопоставление температуры и
скорости охлаждения частиц сплава Fe^B) j
размером d = 5 мкм. Цифры соответствуют
вариантам расчета на рис. 5.5.9
ЗАТВЕРДЕВАНИЕ КАПЕЛЬ РАСПЛАВА В ВЫСОКОСКОРОСТНОМ ПОТОКЕ ГАЗА
433
X
0,3
0,2
0,1
0,0
800 1000 1200 1400 Г, К
Рис. 5.5.12. Сопоставление температуры и
доли закристаллизовавшегося вещества в
частицах Feg9 В । ^Цифры соответствуют
вариантам расчета на рис. 5.5.9
На рис. 5.5.13 представлена зависимость
доли закристаллизовавшегося вещества от раз-
мера частицы d для сплава Р89Вц при
Yq - Ya =6 мм и приведенных выше значени-
ях остальных параметров. Видно, что с ростом
диаметра доля кристаллической фазы, как сле-
довало ожидать, возрастает. Однако, в отличие
от случая закалки капель расплава в покоя-
щейся среде, при использовании в качестве
охлаждающей среды газа, проходящего через
волну разрежения, зависимость Х^ (d) оказы-
вается не монотонной. Это связано с тем, что
охлаждение частиц разного размера происходит
с различной скоростью. Поэтому максималь-
ные значения скорости охлаждения различных
по размеру капель будут приходиться на раз-
личные значения температуры. Для данных
условий движения частиц только для капель
размером d « 3,7 мкм будут выполняться усло-
вия оптимального охлаждения. Этим объяс-
няется появление на кривой (d) миниму-
ма в окрестности d « 3,7 мкм (рис. 5.5.13).
Конкретная реализация описанной тех-
нологии аморфизации металлических частиц
осуществляется следующим образом (рис.
5 5 14). Порошок исходного металла поступает
по материалопроводу 3 в плазменный реактор
/ В результате воздействия дуги зажигаемой
между угольным катодом 2 и реактором-
анодом 1 порошок плавится. Реактор 1 при-
водится во вращение газовой турбиной 4. Под
воздействием центробежных сил тонкая рас-
плавленная пленка металла перемещается
вдоль стенок реактора и попадает на горизон-
тальный диск, с внешнего обода которого она
распыляется в виде мелких жидких капель
металла со скоростью V$-o . Скоростью вра-
Рис. 5.5.13. Влияние начального диаметра частиц на
долю закристаллизовавшегося вещества сплава Fe89Bi ।
Остальные параметры на рис. 5.5.9
Рис. 5.5.14. Конструктивная схема установки
для получения порошков металлов
и сплавов в аморфном состоянии
щения реактора регулируется размер обра-
зующихся капель в пределах 2-5 мкм. Этот
режим отрабатывается экспериментально в
ходе доводки стенда для каждого аморфизи-
руемого металла.
На некотором расстоянии от обода диска
расположено кольцевое сопло 5, из которого
истекает со сверхзвуковой скоростью холодный
инертный газ, например, азот с температурой
близкой к температуре кипения Скорость по-
падающих в струю капель металла V^q доста-
точна, чтобы капля пересекла газовый поток, а
теплообмен таков, что капля затвердевает в
аморфном состоянии Полученный порошок
аморфного металла собирается в коллекторе 6,
а отработанный азот после торможения в коль-
цевом диффузоре 7 - в коллекторе 8. Азот из
коллектора 8 вместе с оставшимися в нем час-
тицами проходит многослойный сетчатый
фильтр, где нагревается до комнатной темпера-
туры, а затем поступает в систему душирования
с водяными радиальными струями Обе эти
системы предназначены для разделения несу-
щего газа от остатков затвердевших частиц
Раздел 6
ТЕПЛООБМЕН ПРИ КИПЕНИИ
Глава 6.1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Кипение - процесс парообразования, ха-
рактеризующийся возникновением свободных
поверхностей раздела фаз внутри жидкости,
нагретой выше температуры насыщения Ts.
Кипение возможно во всем температурном
интервале между тройной и критической точ-
ками для данного вещества. В процессе фазо-
вого превращения поглощается теплота паро-
образования. Поэтому процесс кипения все-
гда связан с подводом теплоты к кипящей
системе.
Различают кипение жидкости на твердой
поверхности теплообмена и кипение внутри
объема жидкости.
Для поддержания стационарного про-
цесса кипения в первом случае требуется не-
прерывный подвод теплоты от поверхности к
жидкости (эта теплота может выделяться
внутри твердой стенки, например, за счет
пропускания через нее электрического тока
или при выделении теплоты в тепловыде-
ляющем элементе гетерогенного ядерного
реактора, или подводиться ко второй поверх-*
ности этой стенки, например, при ее обогреве
конденсирующимся паром или горячей водой,
находящейся при высоком давлении). При
этом паровые пузыри образуются на стенке.
Во втором случае, при кипении внутри
объема жидкости (объемном кипении), паро-
вая фаза возникает спонтанно непосредствен-
но в объеме жидкости в виде отдельных пу-
зырей. Объемное кипение может иметь место
только при значительном перегреве жидкости
относительно температуры насыщения при
данном давлении. Значительный перегрев
может быть при быстром сбросе давления в
сосуде или в канале. Объемное кипение воз-
можно также при наличии в жидкости внут-
ренних источников тепла (например, в гомо-
генном ядерном реакторе).
Пузыри, возникающие на стенке или в
объеме жидкости, под действием гравитации
совершают свободное движение. Если объем
жидкости велик и стенки сосуда не препятст-
вуют удалению пузырей от твердой поверхно-
сти и их дальнейшему движению, то говорят,
что происходит кипение в большом объеме.
В технике в основном имеют дело с
процессами кипения на твердых поверхностях
нагрева (рис. 6.1.1).
К горизонтальной поверхности, контак-
тирующей с жидкостью, подводится теплота.
Для возникновения процесса кипения необ-
ходимы два условия- некоторый перегрев
жидкости относительно температуры насыще-
ния и наличие центров парообразования. При
подводе теплоты от стенки очевидно, что
максимальный перегрев жидкости будет непо-
средственно около этой стенки. На ней же
находятся центры парообразования в виде
отдельных элементов шероховатости (высту-
пов, впадин), а также пузырьков воздуха. По-
этому образование пузырьков пара происхо-
дит преимущественно на поверхности тепло-
обмена.
Образующиеся на стенке паровые пузы-
ри растут за счет испарения жидкости на их
поверхности. При этом подъемная сила, про-
порциональная объему пузыря, растет про-
порционально кубу его диаметра. Сила по-
верхностного натяжения, препятствующая
удалению пузыря от стенки, пропорциональна
периметру пузыря, т. е. его диаметру. Поэто-
му с ростом пузыря наступает момент его
отрыва от стенки: пузырь движется вверх
(рис. 6.1.1, а). Если жидкость вдали от стенки
недогрета, пузырь, оторвавшийся от стенки,
может сконденсироваться. Если же эта жид-
кость нагрета до температуры насыщения, то
пузырь не конденсируется и достигает зеркала
жидкости.
Кипение, при котором пар образуется в
виде периодически зарождающихся и расту-
щих пузырей, называется пузырьковым кипени-
ем.
С ростом теплового потока на стенке
количество образующихся пузырей увеличи-
вается, что затрудняет их отвод от поверхно-
сти. При увеличении теплового потока пузы-
ри у стенки сливаются и образуют сплошной
паровой слой, периодически прорывающийся
в объем жидкости. Такой режим кипения, при
котором жидкость отделена от поверхности
нагрева сплошной паровой пленкой, называ-
ется пленочным (рис. 6.1.1, б).
При переходе от пузырькового к пле-
ночному или от пленочного к пузырьковому
режиму кипения возможно существование
промежуточного режима кипения, когда на
части поверхности имеет место пузырьковое,
на части - пленочное кипение (рис. 6.1.1, в).
Такой режим кипения называется переходным.
Между температурным напором А Г =
= Tw - Ts, где Tw - температура стенки, Ts -
температура насыщения, и плотностью тепло-
вого потока на стенке qw существует связь,
называемая кривой кипения (рис. 6.1.2). При
малых температурных напорах перегрев жид-
кости вблизи стенки .недостаточен для зарож-
дения пузырей пара и имеет место однофазный
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
435
Рже. 6.1.1. Виды кипения:
1 - жидкость; 2 - паровые пузыри; 3 - пленка пара около стенки
конвективный теплообмен (отрезок Од). На-
пример, при атмосферном давлении для нача-
ла кипения воды необходим температурный
напор ДТ * 4 °C. Затем наступает область
пузырькового кипения и зависимость q от
ДТ становится более сильной (отрезок al на
рис. 6.1.2). Иногда эту область делят на две -
область неразвитого пузырькового кипения
(отрезок ab), когда число центров парообра-
зования на стенке мало, и область развитого
пузырькового кипения (отрезок ЬГ), когда
число центров парообразования велико и
устойчива их работа. При этом q ~&Тп, где
л = 3 + 3,3 .
Коэффициент теплоотдачи при кипении
принято относить к разности температур
стенки и насыщения жидкости, т. е.
а = 9/(Гн, -Ts). (6.1.1)
При этом а~ДТл~| , т. е. возрастает с
ростом ДТ в степени 2-2,3, что намного
больше, чем при однофазной свободной кон-
векции.
436
Глава 6.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
При дальнейшем росте А Г увеличива-
ются число центров парообразования и часто-
та образования пузырей, что затрудняет их
отвод от стенки и поступление жидкости к
поверхности. При этом происходит слияние
пузырей, с ростом А Г плотность теплового
потока на стенке уменьшается, наступает пе-
реходный режим кипения (отрезок 1 - 2 на
рис. 6.1.2). Попадая на стенку, жидкость
вскипает взрывообразно. С ростом А Г кон-
такт жидкости с поверхностью становится
менее продолжительным и в момент перехода
к пленочному кипению полностью прекраща-
ется. На стенке образуется сплошная. пленка
пара. При этом плотность теплового потока q
растет примерно пропорционально темпера-
турному напору, так как теплота от стенки к
жидкости передается теплопроводностью че-
рез пленку пара. Затем рост q с увеличением
А Г становится более сильным из-за роста
излучения между стенкой и жидкостью через
прозрачную паровую пленку. На кривой ки-
пения пленочному кипению соответствует
отрезок 2 - 2 ' - с.
Точки 1 и 2 на кривой кипения называ-
ются критическими. Первой критической точ-
кой называется предельная точка 1 существо-
вания пузырькового режима кипения. Соот-
ветствующая ей плотность теплового потока
<7кр1 называется первой критической, а темпе-
ратурный напор А7\р1 - первым критиче-
ским. Это, соответственно, максимальные
значения q и А Г, при которых возможен
пузырьковый режим кипения.
Второй критической точкой называется
предельная точка существования пленочного
режима кипения. Соответствующая ей плот-
ность теплового потока <7кр2 называется второй
критической, а температурный напор А Т кр2 -
вторым критическим. Это, соответственно,
минимальные значения q и ДГ, при которых
возможен пленочный режим кипения. '
Критические плотности тепловых пото-
ков 0кр1 и 0кр2 зависят от физических свойств
жидкости, от состояния поверхности нагрева.
В области пузырькового кипения коэф-
фициент теплоотдачи а увеличивается с рос-
том температурного напора. В переходной
области, так как с ростом А Г плотность теп-
лового потока уменьшается, еще сильнее с
ростом А Г должен уменьшаться коэффици-
ент теплоотдачи. В области пленочного кипе-
ния коэффициент теплоотдачи с ростом АГ
увеличивается, однако слабее, чем при пу-
зырьковом кипении.
Организовать постепенный переход пу-
зырькового кипения в пленочное, т. е. осуще-
ствить режим переходного кипения, показан-
ный на рис. 6.1.2, можно только при задании
температуры поверхности Tw (или темпера-
турного напора А Г). Дело в том, что осуще-
ствить кривую кипения q = можно
двумя способами: регулированием плотности
теплового потока q на поверхности или регу-
лированием температуры поверхности Tw.
Первый способ осуществляется электри-
ческим обогревом поверхности. При этом мы
задаем плотность теплового потока q, а тем-
пература поверхности Tw определяется ин-
тенсивностью теплообмена от стенки к жид-
кости (рис. 6.1 3, а). При увеличении q в ре-
жиме пузырькового кипения растет А Г до
первой критической точки 1. При превыше-
нии критической плотности теплового потока
переход пузырькового режима кипения в пле-
ночный будет характеризоваться скачкообраз-
ным уменьшением теплоотдачи, при этом
произойдет скачкообразное увеличение тем-
пературы поверхности Tw (температурного
напора ДГ) (точка А на кривой кипения).
При дальнейшем росте q будет расти темпера-
турный напор в соответствии с закономерно-
стями пленочного кипения.
Рис. 6.1.3. Кривые кипения при рамичных способах обогрева
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
437
При электрическом обогреве момент пе-
рехода от одного режима кипения к другому
определяется по резкому повышению темпе-
ратуры стенки. Нередко это повышение тем-
пературы бывает столь большим, что ведет к
расплавлению и разрушению поверхности
теплообмена. Это явление называют кризисом
пузырькового кипения.
Если после возникновения пленочного
кипения снизить плотность теплового потока
q, то переход обратно к пузырьковому режиму
произойдет лишь при <7кр2, минимальной
плотности теплового потока пленочного ки-
пения (точка 2). Переход будет сопровождать-
ся скачкообразным уменьшением температу-
ры Tw (температурного напора А Т) (точка В
на кривой кипения). При дальнейшем сниже-
нии q в соответствии с закономерностями
пузырькового кипения будет падать темпера-
турный напор. Таким образом, при задании
плотности теплового потока q (электрический
обогрев) возникает своеобразный тепловой
гистерезис.
Второй способ обогрева предполагает за-
дание температуры поверхности Tw, что осу-
ществляется при паровом обогреве стенки
(изменением давления конденсирующегося
пара можно менять температуру поверхности
теплообмена со стороны кипящей жидкости).
При этом осуществляются стационарные ре-
жимы кипения, а температурный напор не
будет зависеть от интенсивности теплообмена
кипящей жидкости. Поэтому тепловой поток,
отводимый от поверхности в переходной об-
ласти, будет зависеть от интенсивности теп-
лообмена, и q будет уменьшаться по мере
уменьшения коэффициента теплоотдачи (рис.
6.1.3, б). При этом мы можем полностью
осуществить всю кривую кипения как при
увеличении А Г. так и при его уменьшении.
Этот же способ обогрева, когда задается
температура поверхности, осуществляется в
нестационарных режимах кипения, имеющих
место в процессах закалки изделий, аварийно-
го охлаждения тепловыделяющих элементов
мерных реакторов, при захолаживании маги-
стралей и элементов криогенных двигателей.
Кипение здесь идет за счет теплоты, ак-
кумулированной в стенках.
Захолаживанием называется процесс ох-
лаждения стенок до температуры насыщения
криогенных жидкостей. Этот процесс необхо-
дим для начала работы криогенных двигате-
лей и установок, так как, только захолодив до
температуры насыщения поверхности трубо-
проводов и других элементов двигателей и
установок, можно обеспечить течение по ним
криогенных жидкостей. Изменение во време-
ни температуры захолаживаемой поверхности
Tw показано на рис. 6.1.4, где То - начальная
температура стенки, Т5 - температура насы-
щения, 7, 2, 3 - области пленочного, переход-
ного и пузырькового кипения соответственно.
Поскольку начальная температура стенки
Tq > Гкр2, в начале процесса захолаживания
режим кипения будет пленочным с низкой
интенсивностью теплоотдачи. Поэтому про-
цесс захолаживания идет медленно. По дос-
тижении стенкой температуры Гкр2 наступит
переходный режим кипения, интенсивность
теплообмена увеличится, темп падения тем-
пературы возрастет. По достижении стенкой
температуры Ткр| переходный режим сменит-
ся пузырьковым, теплоотдача увеличится,
возрастет и темп падения Tw. При приближе-
нии Tw к температуре насыщения жидкости
Т5 кипение прекратится, теплоотдача умень-
шится и кривая Tw(x) плавно приблизится к
Т5. Таким образом, в процессе захолажива-
ния осуществляются все три основных режи-
ма кипения.
Как видно из сказанного, переходное
кипение имеет место между точками 7 и 2
кривой насыщения (см. рис. 6.1.2), т. е. между
точками кризиса пузырькового (ДТкр|, <?Кр1)
и пленочного (ДТкр2, </кр2) кипения. При
переходном кипении dq / дЛТ < 0 . Такая
классификация режимов кипения принята в
большинстве учебников и монографий.
Есть и другой подход к определению пе-
реходной области кипения, основанный на
том факте, что в этой области ни пузырьковое
, ни пленочное кипение не являются устой-
чивыми (по гидродинамическим или термо-
динамическим причинам). Тогда границами
области переходного кипения будут точки 7'и
2'(рис. 6.1.2), в которых пузырьковое и пле-
ночное кипение начинают терять свою устой-
чивость. Точка 7'характеризуется появлением
на поверхности нагрева локальных нестабиль-
ных сухих пятен при росте А Г. Точка 2'ха-
рактеризуется появлением локальных неста-
бильных холодных пятен на поверхности на-
грева при уменьшении А Г. Этот подход был
438
Глава 6.2 МЕХАНИЗМ ПАРООБРАЗОВАНИЯ ПРИ ПУЗЫРЬКОВОМ КИПЕНИИ
Для расчета стационарных и нестацио-
нарных процессов теплообмена при кипении
необходимо знание закономерностей теплооб-
мена для всех трех режимов кипения, а также
критических тепловых потоков <7кр| и <7кр2-
Глава 6.2
МЕХАНИЗМ ПАРООБРАЗОВАНИЯ
ПРИ ПУЗЫРЬКОВОМ КИПЕНИИ
6.2.1. ОБРАЗОВАНИЕ ПАРОВЫХ ПУЗЫРЕЙ
Процесс пузырькового кипения является
термически неравновесным, так как для воз-
никновения и роста парового зародыша внут-
ри жидкости или на стенке жидкость должна
быть перегрета, т. е. иметь температуру Тж
выше температуры насыщения Т5 для данно-
го давления жидкости.
Разность Гж - Т5 называется перегревом
жидкости.
Перегрев жидкости ограничен предель-
ной температурой перегрева жидкости ТПр,
зависящей от ее давления. При достижении
жидкостью температуры Гпр вероятность воз-
никновения паровой фазы в жидкости близка
к единице.
Паровая фаза возникает в результате
разрежения молекул при их случайной флуктуа-
ции. Но для равновесного существования па-
рового пузыря в жидкости давление рп в нем
из-за поверхностного натяжения должно быть
выше, чем давление в окружающей его жид-
кости рж.
Минимальный радиус равновесного пу-
зыря, соответствующий данному перегреву
жидкости ДГ = Тж - Т5(рж) ,
р = 2орж (d 7^ _ 2ГД (рж )<т
min дт(рж-Рп)1аД фпдг ’
(6.2.1)
где г - теплота парообразования; о - коэффи-
циент поверхностного натяжения жидкости.
Как видно из формулы (6.2.1), Rmjn
уменьшается при увеличении перегрева жид-
кости Д7\ При больших ДГ минимальный
радиус пузыря Rmjn уменьшается настолько,
что возможно самопроизвольное возникнове-
ние пузырей в объеме, в результате флуктуа-
ций плотности Жидкость при этом становит-
ся неустойчивой, достигнув температуры пре-
дельного перегрева.
Если R < Rmin , то образовавшийся пу-
зырь захлопнется, если R > Rmin , он будет
расти за счет испарения в него окружающей
жидкости. Это можно подтвердить термоди-
намическим анализом процесса образования
парового пузыря. Процесс пойдет в сторону
уменьшения термодинамического потенциа-
ла ДФ.
В случае неустойчивого равновесия с
окружающей пузырь перегретой жидкостью
термодинамический потенциал максимален.
Радиус такого пузыря иногда называют кри-
тическим. Ранее его определяли как мини-
мально необходимый радиус пузырька Rmjn.
Его можно найти из условия Э(ДФ) / dR = 0:
R 20
Рп'Фж “ Фп)
Для пузырька с R = Rmin имеем
4 7
АФтах = у ft/min0 ♦
Связь приращения термодинамического
потенциала и радиуса пузырька показана на
рис. 6.2.1 для трех значений температуры жид-
кости: Тж = Ts, Тж = ГЖ1 и Тж = ТЖ2 ,
причем Ts < ГЖ| < ТЖ2 (стрелками, направ-
ленными влево, обозначен процесс конденса-
ции, вправо - рост пузырька). Поскольку сис-
тема стремится к уменьшению термодинами-
ческого потенциала, то пузырьки в зависимо-
сти от своего радиуса будут конденсироваться
(R -> 0 при R<Rmin)* расти (при
R > Rm,n ) или находиться в состоянии неус-
тойчивого равновесия (при R = Rmjn). При-
ращение термодинамического потенциала
ДФтах , необходимое для образования в пе-
Рис. 6.2.1. Зависимость приращения
термодинамического потенциала от его радиуса
в процессе образования парового пузыря
ОБРАЗОВАНИЕ ПАРОВЫХ ПУЗЫРЕЙ
439
а)
Рис. 6.2.2. Характерные варианты возникновения зародышей паровых пузырьков на реальной поверхности:
т - твердое тело; ж - жидкость; п - паровой пузырек
регретой жидкости пузырька минимального
(критического) размера, есть тот потенциаль-
ный барьер, преодолев который можно полу-
чить устойчивую паровую фазу. Чем больше
Гж, тем меньше ДФтах и меньше 7?mjn.
Для оценки вероятности вскипания пе-
регретой жидкости вводится понятие частоты
образования зародышей J, т. е. числа зароды-
шей, образующихся в единице объема в еди-
ницу времени. На основании молекулярно-
кинетической теории она может быть при
данной температуре Гж рассчитана по форму-
ле Деринга - Фольмера
тг 16ло3
*7Г"з<:Тж(Л-р)2
(6.2.2)
где т = 1,66 • 10 27 М кг - масса молекулы
(М - относительная молекулярная масса);
к = = 1,38 • 10“23 Дж/К - постоянная Больц-
мана; г - теплота парообразования.
При приближении температуры жидко-
сти к Тпр частота спонтанного образования
зародышей резко возрастает В экспериментах
В П Скрипова значения Тпр совпали с рас-
считанными по уравнению (6.2.2) при
J = 1037 1/(м3с)
Пузырьки возникают на греющей стен-
ке Следовательно, существуют факторы, об-
легчающие образование пузырьков на стенке.
Для перегрева в 16-17 °C по формуле (6.2.1)
Ят}п ~ 2,5 • 10-3 мм, что примерно в 104 раз
больше радиуса спонтанных зародышей.
Возможность образования пузырьков на
стенке. Вероятность возникновения парового
зародыша радиусом 7?min для данного пере-
грева жидкости тем выше, чем меньше изо-
термическая работа расширения на преодоле-
ние внешнего давления (р - ps)V и сил по-
верхностного на-тяжения &F , где F - пло-
щадь поверхности парового зародыша, V - его
объем.
Последний множитель в (6.2.2) есть
/ Л . \
expl — , т. е. Hmin - работа, затрачи-
\ /С / J
ваемая на образование зародыша.
Для парового зародыша получим
^min “ n ft/min + “
*'min $
= |™*.nin =^F, (6.2.3)
т. е. Hmin = ДФтах
Выделим три наиболее характерных ва-
рианта механизма возникновения зародышей
паровых пузырьков на реальной поверхности:
зародыш возникает на твердой поверхности
(рис. 6.2.2, а, локальный адгезионный отрыв
жидкости от смоченной поверхности твердого
тела); зародыш возникает в объеме жидкости
(рис. 6.2.2, б, граница жидкости с твердым
телом не нарушается, когезионный разрыв в
массе жидкости); смешанный, адгезионно-
когезионный вариант (рис. 6.2.2, в).
При одинаковых размерах этих зароды-
шей затрата работы на их возникновение раз-
лична.
Рассмотрим взаимодействие жидкости с
поверхностью твердого тела. Прочность связи
(адгезия) между поверхностными слоями
440
Глава 6.2. МЕХАНИЗМ ПАРООБРАЗОВАНИЯ ПРИ ПУЗЫРЬКОВОМ КИПЕНИИ
жидкости и твердого тела характеризуется
работой, которую необходимЬ затратить, что-
бы разъединить соприкасающиеся поверхно-
сти. В случае отрыва жидкости от твердого
тела пространство между ними заполняет газ.
Работу адгезии, приходящуюся на единицу
поверхности раздела, можно выразить через
коэффициенты поверхностного натяжения
^а = °т.г + стж.г “ стт.ж • (6.2.4)
Коэффициенты поверхностного натяже-
ния представляют собой работу, затрачивае-
мую на образование единицы поверхности
раздела двух разнородных тел: твердого тела и
газа стт г , жидкости и газа стж г , твердого
тела и жидкости стт ж . Соотношение между
сттг » стж.г и стт.ж можно установить из
условия равенства сил, действующих вдоль
поверхности тела на линии контакта трех фаз
(рис. 6.2.3):
стт г “ стт.ж = стж.г cosO , (6.2.5)
где 0 - краевой угол или угол смачивания (угол,
образованный плоской поверхностью твердого
тела и плоскостью, касательной к поверхно-
сти жидкости, граничащей с телом).
Подставив (6.2.5) в (6.2.4), получим вы-
ражение для работы адгезии
Ла = стж.г0 + COS6) .
Из уравнения (6.2.5) следует, что если
стт г > сттж , т. е. поверхностное натяжение
между твердой поверхностью и газом больше,
чем между твердой поверхностью и жидко-
стью, то краевой угол 0 < 90°; в этом случае
жидкость смачивает твердую поверхность.
При сттг < сттж краевой угол 0 > 90°; жид-
кость не смачивает твердую поверхность.
Если 0 -> 180° (при этом -стж г £
£сттг-сттж), то имеет место абсолютная
несмачиваемость жидкостью твердой поверх-
ности, на поверхности тела образуется тонкая
пленка адсорбированного газа. При этом
Аа -> 0 . Если 0 -> 0 (при этом стт г >
> СТТ.Ж + стж.г ) ’ то жидкость ПОЛНОСТЬЮ или
абсолютно смачивает твердую поверхность,
неограниченно растекаясь по ней. В этом
случае газ соприкасается только с жидкостью.
При этом равновесие, определяемое уравне-
нием (6.2.5), никогда не устанавливается, а
работа адгезии Аа -> 2стж г , т. е. работа,
необходимая для отделения жидкости от по-
верхности твердого тела, практически соот-
ветствует разрыву жидкости.
При адгезионном отрыве работа для
преодоления сил взаимодействия молекул
жидкости и твердого тела
Aa = ст(1 + cos0)Fa ,
а работа когезии - преодоления сил взаимо-
действия молекул жидкости
Ак = 2oFK,
где ст = стж г - коэффициент поверхностного
натяжения жидкости; Fa - площадь поверхно-
сти разрыва жидкости с твердым телом; FK -
площадь поверхности разрыва в жидкости.
В случае адгезионно-когезионного вари-
анта образования зародыша работа образова-
ния
^ак = °((1 + cos0)Fa + 2FK]. (6.2.6)
Если Fa = FK , то
Аа / Ак = (1 + COS0) / 2.
При 0 —> 0 cos0 —> 1 и Аа = Ак . При
Рис. 6.2.3. Схема равновесия сил, действующих вдоль
поверхностей раздела на линии контакта трех фаз
0 -+ 9O°cos0 = 0 и Аа = у Ак . При любом
краевом угле 0 < 0 < 180° получим Аа < Ак,
т. е. работа, необходимая для образования
пузырька на твердой поверхности, меньше
работы, необходимой для образования пу-
зырька в жидкости. В реальных условиях при
нагреве жидкости, омывающей поверхность
твердого тела, возникновение зародыша более
вероятно путем адгезионного разрыва в наи-
более нагретых точках поверхности твердого
ОБРАЗОВАНИЕ ПАРОВЫХ ПУЗЫРЕЙ
441
тела. Если пузырек образуется не на плоской
стенке, а в микроуглублении (см. рис. 6.2.2,
а), то площадь поверхности FK и, соответст-
венно, необходимый перегрев будут несколь-
ко меньше.
Перегрев, необходимый дм возникнове-
ния зародышей. Для количественных оценок
необходимого для возникновения зародышей
перегрева можно из (6.2.1) получить
&T = TW- Ts(px) = 2аТ^р»'>, (6.2.7)
HPn^min
где Tw - температура стенки.
Вообще процесс зародышеобразования
определяет перегрев жидкости Д Т = TW -Т5 .
Существуют различные модели возник-
новения зародышей паровых пузырьков у ре-
альной поверхности. Наиболее интересная
модель, учитывающая реальную структуру
поверхности и позволяющая объяснить явле-
ния начала или прекращения действия цен-
тров парообразования, предложена И. 3. Коп-
пом (рис. 6.2.4). На основе данных о неодно-
родности реальных поверхностей и микро-
структуре межфазных границ, а также по ре-
зультатам экспериментальных исследований
установлено, что размеры возникающих заро-
дышей паровой фазы R3 могут изменяться от
flmin (уравнение (6.2.1)) до Ятах = Ry (Ry -
радиус устья впадины микроструктуры).
Из уравнения (6.2.7) следует, что прямо
или косвенно на возникновение устойчивых
зародышей паровой фазы могут оказывать
влияние все факторы, определяющие взаимо-
действие жидкости с поверхностью твердого
тела, температурный напор и режимные харак-
теристики. К таким факторам относятся пара-
метры жидкости (рж, Тж, , Хж, рж);
микроструктура и свойства поверхности твер-
дого тела (pw, , cw); наличие газообраз-
ных, растворенных или твердых примесей в
жидкости; скорость конвективного движения
жидкости около стенки, форма и размеры
поверхности теплообмена, метод нагрева,
скорость изменения во времени температуры
стенки и других режимных параметров.
В соответствии со статистическим рас-
пределением впадин микрорельефа реальной
поверхности раздела, каждому значению одно-
го из определяющих процесс зародышеобразова-
ния параметров (например, р или ДГ ) со-
ответствует определенный диапазон возмож-
ных радиусов зародыша R3.
Рис. 6.2.4. Схема модели возникновения зародышей
паровых пузырьков у реальной поверхности
(модель И. 3. Коппа)
Независимо от физических свойств жид-
кости, общая картина взаимозависимости
параметров, характеризующих образование
устойчивых зародышей в связи с состоянием
поверхности, в координатах р - R одинако-
ва. Из этого следует возможность описания
ограниченной области реализации пузырько-
вого кипения жидкостей в зависимости от
геометрии шероховатости поверхности и фи-
зических свойств жидкости, определяемых
давлением, как показано на рис. 6.2.5 в коор-
динатах: R - необходимый максимальный
радиус впадин шероховатости; р - давление.
С правой и левой сторон область воз-
можной реализации поверхностного пузырь-
кового кипения ограничивается размерами
впадин шероховатости на теплоотдающей
поверхности. Если R меньше предельно ми-
нимальных размеров впадин, для парообразо-
вания не нужны центры; если R больше мак-
симального размера впадин, то пузырьковое
кипение невозможно из-за невозможности
возникновения устойчивых зародышей. По
мере уменьшения размеров впадин шерохова-
тости, для того чтобы они стали активными
центрами парообразования, необходимо более
высокое давление, и, наоборот, при некото-
ром низком давлении процесс кипения на
поверхности с технической шероховатостью
уже не может быть реализован.
Сверху и снизу область возможной реали-
зации поверхностного пузырькового кипения
ограничивается необходимым минимальным
перегревом жидкости и максимально возможным
442
Глава 6.2. МЕХАНИЗМ ПАРООБРАЗОВАНИЯ ПРИ ПУЗЫРЬКОВОМ КИПЕНИИ
Зокрити-
ческая oi-
, лесть
Гжиухор фаза
неустойчива)
Тйтроовр
мания не .
думыы центру
4
невозможно (#&* nepetpeda
жидкости о/оноснтельмо
температуры насыщения,
_ поспорим»*» бая пара-
овраеовакия)
I1
§1
Si
^ШГ'4*
Ч 5 *rf«M0X*0
\\Сровмеры
^nuut шеро-
ч < хооапетц
ч S Горыме ноов-
чсмм/мыг для
ч* возникновения
\ч_ устойчивых
Ч зародышей)
Устойчивоепузырьковое
кипение невозмсуено.
Пере сред стенки относи-
тельно температуры насы-
щен ин Влльше неадсодимьго
для действия ЦП о, т.е. кипение
не имеет смысла
•§1
&1
Моьекулярныо Область Область шероховатости при Область тыс- Область,
размеры микрзшо- спеиральмой обработке миуескои иекусствен-
рохлоатости поверхности поверхности нар шерохо-
ватости
А необходимый
шереаоВепасти
Рис. 6.2.5. Область реализации пузырькового кипения жидкостей в координатах:
R - необходимый максимальный радиус впадины шероховатости; р - давление
перегревом. Выше границы минимального
необходимого перегрева кипение невозможно
из-за отсутствия перегрева жидкости относи-
тельно температуры насыщения, необходимо-
го для парообразования. Ниже границы мак-
симально возможных перегревов устойчивое
пузырьковое кипение невозможно (перегрев
стенки относительно Т5 больше необходимо-
го для действия центров парообразования,
т. е. обсуждение процесса кипения не имеет
смысла). По мере приближения к критиче-
ской точке необходимый перегрев уменьшает-
ся, а в критической точке, естественно, обра-
щается в нуль.
Влияние свойств поверхности теплообме-
на. Для учета теплофизических свойств со-
прикасающихся сред в нестационарных теп-
ловых процессах был введен так называемый
коэффициент тепловой активности
е = ^рск ,
где р, с, X - плотность, теплоемкость и теп-
лопроводность. Процесс кипения на поверх-
ности является по своей природе нестацио-
нарным, так как при образовании, росте и
отрыве пузырьков вблизи стенки ее темпера-
тура колеблется. С ростом ew = -JpwcwXw
увеличивается теплоаккумулирующая способ-
ность поверхности, а следовательно, умень-
шаются колебания температуры, определяю-
щие процесс зародышеобразования.
Влияние примеси газов. Источниками га-
зовых примесей в жидкости, получающей
теплоту от твердой поверхности, могут быть
газы, растворенные в жидкости, а также ад-
сорбированные на поверхности твердого тела.
При наличии газа равновесный размер
зародыша меньше, чем при отсутствии газа.
При задании перегрева жидкости из парогазо-
вых зародышей с R > RKp образуются пузыри,
которые продолжают расти. При этом пере-
гревы жидкости, требуемые для роста газовых
зародышей, значительно меньше предельного
перегрева жидкости. Поэтому наличие в жид-
кости коллоидных растворов макроскопиче-
ских газовых пузырей может привести к объ-
емному кипению жидкости при сравнительно
небольших ее перегревах.
Зародышами также служат скопления
пара или газа в небольших трещинах и углуб-
лениях на твердой поверхности.
Из уравнения (6.2.6) следует, что акти-
вация таких зародышей, даже чисто паровых,
при cos0<0 происходит при значительно
меньших перегревах жидкости, чем на глад-
кой стенке и тем более в объеме.
Для возникновения процесса кипения
при сравнительно небольших перегревах жид-
РОСТ ПУЗЫРЯ НА ПОВЕРХНОСТИ НАГРЕВА ПРИ КИПЕНИИ
443
кости необходимо наличие углублений, за-
полненных паром или газом. Они будут слу-
жить центрами парообразования. Когда тем-
пература стенки и жидкости достигнет необ-
ходимого перегрева, пузырь в углублении
начнет расти, оставаясь некоторое время на
поверхности.
Таким образом, на стенке, погруженной
в жидкость, в порах практических всегда су-
ществуют зародыши пара. Для начала кипе-
ния необходимо, чтобы
дт = tw - т,(р,) i. ,
ФпЛу
где Ry - радиус устья поры; чем меньше ра-
диус устья поры, тем требуется больший пере-
грев для ее активации.
С ростом температуры стенки в число
действующих центров парообразования вклю-
чаются мелкие поры. Следовательно, с ростом
температуры стенки увеличивается число дей-
ствующих центров парообразования.
Число активных центров парообразова-
ния увеличивается с ростом плотности тепло-
вого потока q на стенке
N~ qn,
где п = 1 + 2,12,'. причем п тем больше, чем
больше q.
6.2.2. РОСТ ПУЗЫРЯ НА ПОВЕРХНОСТИ НАГРЕВА
ПРИ КИПЕНИИ
Процесс роста пузыря, находящегося в
объеме жидкости, определяется такими фак-
торами, как инерционное и вязкое сопротив-
ление жидкости росту пузыря, возможности
подвода теплоты к поверхности пузыря для
обеспечения испарения поверхности, давле-
ние жидкости, поля температур и скоростей в
жидкости, гравитационное поле. Если радиус
пузыря R > Якр, то пузырь растет.
При пузырьковом кипении на форму
пузыря оказывает влияние твердая поверх-
ность.
Временем роста парового пузыря тр на-
зывается время от момента зарождения пузы-
ря до его отрыва от стенки. Затем в течение
некоторого времени тв, называемого време-
нем выжидания, происходит восстановление
перегрева жидкости около стенки, необходи-
мого для новой активации парового зароды-
ша.
Накопленные к настоящему времени
опытные данные позволяют следующим обра-
зом описать этот процесс. При отрыве паро-
вой пузырь увлекает за собой слой перегретой
жидкости, и стенка в месте парообразования
приходит в контакт с холодной жидкостью.
При этом температура стенки и жидкости в
месте их контакта примет некоторое проме-
жуточное значение Тф между начальными
температурами жидкости Гжо и стенки Twq .
Из решения одномерной задачи неста-
ционарной теплопроводности для полубеско-
нечных слоев жидкости и стенки:
^гр ~^ж0_____________1__________
Лю - Гж0 1 + ^(рсХ)ж / (рсХ)н,
Слой жидкости и стенку можно считать
полубесконечными, если за рассматриваемое
время контакта тк их толщины 5Ж и 5W
таковы, что критерии Фурье FoM =
= < 0,25 и Fow = -^*^-<о,25.
Если (рсХ)ж = (pcX)w , то Гф =
= 0»5(7'wq + 7\co) •
Если (рсХ)ж » (рсХ)и,, то Тф = Тжо.
Если (рсХ)ж « (pcX)w , то Тф = Twq .
В течение времени выжидания за счет
подвода теплоты от соседних участков стенки
или тепловыделения в ней температура стен-
ки и прилегающей к ней жидкости растет. За
это время прогреется слой жидкости толщи-
ной 5Ж = 7ялжтв и восстанавливаются ус-
ловия, необходимые для зарождения пузыря
пара.
Зародившийся паровой пузырь отталки-
вает от стенки перегретый слой жидкости и
растет. Форма пузыря зависит от соотноше-
ния между силами вязкости, поверхностного
натяжения и инерции. Возможные схемы
роста парового пузыря показаны на рис. 6.2.6
(где *1 < *2 < т3 ; Sq = с^ажт ). В случае
преобладания силы поверхностного натяже-
ния пузырек имеет сферическую форму (рис.
6.2.6, а). Если скорость роста пузыря велика,
что характерно для кипения при атмосферном
давлении и в вакууме, то преобладают инер-
ционные силы, рост пузыря происходит взры-
вообразно и его форма напоминает полусферу
(рис. 6.2.6, 6). Этот полусферический пузырь
отделен от стенки микрослоем жидкости,
утолщающимся от центра к периферии пузы-
ря. Этот микрослой имеет незначительное
термическое сопротивление, интенсивно ис-
паряется, обеспечивая высокую скорость рос-
та пузыря.
444
Глава 6.2. МЕХАНИЗМ ПАРООБРАЗОВАНИЯ ПРИ ПУЗЫРЬКОВОМ КИПЕНИИ
Перегретый,
слой
жидкости
a) f)
Рве. 6.2.6. Схемы роста парового пузырька
В первом случае необходимая для испа-
рения жидкости теплота подводится от пере-
гретых слоев жидкости, окружающих пузырь,
во втором - через тонкий слой жидкости,
отделяющий пузырь от стенки. В действи-
тельности оба способа могут реализовываться
сразу (кроме того, если перегретый слой жидко-
сти между пузырем и стенкой достаточно тол-
стый, возможен подвод теплоты непосредст-
венно от него). При малых давлениях, из-за
малой плотности пара, пузырь растет быстро
и под действием инерционных сил деформиру-
ется из сферического в полусферический. В этом
случае преобладает второй путь подвода теплоты.
Тогда зависимость радиуса полусфериче-
ского пузыря от времени можно представить
уравнением Купера и Вьюнка
7? =
Ja ц, ^дж т"
0,4ЛРгж + ~ * 2 (рсХ)ж (pcX)w_ 1/2
а Та Рж(^жО Тз)срж.
где число Якоба JaM =----------------£— ;
Рп''
, Ржсрж(ЛуО-Л) «
Jaw =-----—-----------; Ргж - число Пранд-
Рпг
тля для жидкости; Tmq и TwQ - начальные
температуры жидкости и стенки; дж - темпе-
ратуропроводность жидкости.
Первое слагаемое - вклад от испарения
микрослоя над пузырем, второе слагаемое - от
охлаждения перегретой жидкости на внешней
поверхности пузыря.
Результаты расчетов по этой формуле
при кипении воды при давлении ps =
= 105 +107 Па на серебряной поверхности
[(рсХ)ж / (pcX)w J -> 0 удовлетворительно сог-
ласуются с данными эксперимента. Экспери-
ментальные данные для кипения воды
(Ps = +1°7 Па), бензола (ps = 105 + 1,5 х
х 106 Па) и этанола (ps = 105 + 3,4 • 105 Па)
на серебряных и медных поверхностях
(Tw » const), согласуются с эмпирической
формулой В. В. Ягова
7? / ^ажт = у1аж + ^у23аж + 123аж »
где у = sin2 0[(1 + cos0)2(2 - cos©))"1; 0 -
краевой угол.
6.2.3. ОТРЫВНЫЕ ДИАМЕТРЫ ПУЗЫРЕЙ
Пузырек пара, находящийся на стенке,
испытывает воздействие различных сил: силы
поверхностного натяжения Fc; подъемной
силы /4; силы неуравновешенного давления
столба жидкости, обусловленной разно-
стью давлений над криволинейной поверхно-
стью Fp;
силы гидравлического сопротивления бы-
строму перемещению границы пузырька Fw ;
силы вязкости жидкости ;
силы инерции присоединенной к движе-
нию границы раздела фаз массы жидкости Fj;
силы динамического воздействия обра-
зующегося пара Fj (если генерация пара
происходит только в нижней части пузыря);
силы вынужденного движения потока
жидкости вдоль стенки Fy .
Следует отметить некоторую условность
рассмотрения уравнений баланса сил, дейст-
вующих на пузырь. Поверхность пузыря в про-
цессе его роста и отрыва все время деформи-
руется, а часть сил, действующих на пузырь,
приложена к его поверхности.
ЧАСТОТА ОТРЫВА ПУЗЫРЕЙ
445
Рис. 6.2.7. Зависимость отрывного диаметра пузыря
от давления
Учет сил Fj и Fd (помимо Fo и FA
позволил И. 3. Коппу получить приближенное
выражение для отрывного диаметра пузыря
Аир = 1,06я{а4/5/Г3/51(рж -Рп)*Г1/5} .
(6.2.8)
справедливое для широкого диапазона изме-
нения режимных параметров. Это видно из
рис. 6.2.7, где представленная зависимость
сравнивается с экспериментальными данными
при кипении воды на горизонтальных метал-
лических поверхностях: /-5 - соответственно
данные Д. А. Лабунцова; В. И. Толубинекого
и Ю. И. Островского; В. М. Бори шанского;
Н. Н. Мамонтовой; Р. Коула; 6 - по уравнению
Фритца при 0 = 35°, 7 - по уравнению (6.2.8).
В области высоких давлений, а для не-
которых жидкостей и вблизи атмосферного
давления результаты расчета по этой зависи-
мости согласуются с наблюдаемыми отрывны-
ми диаметрами пузырьков DOTp < 0,1 мм, отде-
ляющихся от межфазной границы за счет дина-
мических сил. С зависимостью (6.2.8) согласуют-
ся результаты исследования кипения фреонов,
криогенных жидкостей, жидких металлов.
6.2.4. ЧАСТОТА ОТРЫВА ПУЗЫРЕЙ
Рост пузырька на стенке сопровождается
понижением температуры стенки под пузырь-
ком и окружающей его жидкости. От зарож-
дения до отрыва пузырька проходит время,
называемое временем роста тр . После отрыва
пузырька и до появления на поверхности
следующего необходимо некоторое время тв ,
в течение которого происходит прогрев при-
стенного слоя жидкости. Таким образом, час-
тота отрыва пузырьков
f = I / (гв ** Тр) •
При исследовании процесса кипения
иногда пользуются произведением /0отр,
которое имеет размерность скорости и по
существу может рассматриваться как средняя
скорость роста пузыря. Она остается постоян-
ной в широком диапазоне изменения тепло-
вых нагрузок.
Для средней скорости роста пузырьков
В. И. Толубинеким предложено приближен-
ное эмпирическое соотношение
fD^ = 036 • юЛРкр / Р)1,4 м/с.
Это соотношение справедливо для органиче- .
ских и криогенных жидкостей в интервале
давлений 0,01 < р / ркр < 0,4.
Глава 6.3
ТЕПЛООБМЕН ПРИ ПУЗЫРЬКОВОМ
КИПЕНИИ В БОЛЬШОМ ОБЪЕМЕ
Процесс пузырькового кипения опреде-
ляется сложным взаимодействием нестацио-
нарных процессов зарождения, роста, отрыва
и всплытия паровых пузырей, теплоотдачи
при свободной и вынужденной конвекции от
стенок к жидкости, нестационарной тепло-
проводности в зоне центров парообразования,
процессами взаимодействия большого числа
пузырей при одновременном их росте, гео-
метрией и теплофизическими свойствами
поверхности, теплофизическими свойствами
теплоносителя и т. д.
Ввиду исключительной сложности и не-
достаточной изученности этих процессов по-
строение расчетных зависимостей опирается
главным образом на представления о физиче-
ском механизме процесса, на методы теории
подобия и экспериментальные результаты.
Основная проблема аналитического опи-
сания процесса кипения связана с определе-
нием границ раздела. При рассмотрении пле-
ночной конденсации или пленочного кипе-
ния обе фазы образуют непрерывные потоки
с одной отчетливо выраженной поверхностью
раздела. При пузырьковом кипении компо-
ненты потока раздроблены на многочисленные
пузыри, капли, пленки и т. д. Конечно, для лю-
бого дифференциального объема каждого из та-
ких дискретных элементов системы справед-
ливы общие уравнения движения, неразрыв-
446
Глава 6.3. ТЕПЛООБМЕН ПРИ ПУЗЫРЬКОВОМ КИПЕНИИ В БОЛЬШОМ ОБЪЕМЕ
ности и энергии. Также на границе раздела
фаз для любой дифференциальной площадки
можно записать условия теплового и механи-
ческого взаимодействия фаз. Однако вследст-
вие боль-шого числа дискретных элементов
системы, их непрерывного возникновения,
роста и деформации в процессе движения и
теплообмена весь такой двухфазный поток в
целом должен характеризоваться некоторыми
специальными вероятностными законами
поведения системы многих неустойчивых
элементов.
Последовательные аналитические мето-
ды для анализа таких систем в настоящее
время отсутствуют. Применение методов тео-
рии подобия требует ввода определенных
безразмерных параметров процесса. Такой
общий метод, введенный С. С. Кутателадзе,
основан на допущении о том, что в целом все
взаимодействия в двухфазном потоке любой
сложности при пузырьковом кипении, для
каждой его отдельной области, описываются
теми же уравнениями, что и для системы с
одной непрерывной поверхностью раздела.
Вследствие этого критерии подобия могут
выводиться из этих уравнений для всей слож-
ной системы в целом. Дополнительно необхо-
димо лишь ввести уравнения или параметры,
определяющие размеры паровых пузырей и
вероятность их распределения в пространстве,
исходя из того, что сначала вся теплота от
стенки передается жидкости, а затем в про-
цессе испарения - в паровые пузыри. Поэтому
предполагается, что решающее значение име-
ют условия распространения теплоты в жид-
кой фазе. Распределение всех имеющихся на
поверхности возможных центров парообразо-
вания определяется количеством растворен-
ных в жидкости газов, величиной 5/ и фор-
мой микрошероховатости, процентным рас-
пределением микрошероховатостей различно-
го размера л,- и степенью вероятности их на-
хождения в данной области поверхности нагрева.
Систему основных уравнений для выво-
да критериев подобия процесса теплообмена
при пузырьковом кипении можно записать в
виде:
1) уравнения энергии в несжимаемой
жидкой фазе:
Г/ ч г
«(Рп - Рж) - gradpn + цп V2H-n = рп ;
+ div(pnH>n) = 0 ;
4) условия теплового взаимодействия на
границе раздела фаз (индекс 5 ):
(6.3.1)
Т —Т । Тп (Рж Рп) 2орж
ФжРп _^(рж ~Рп)
^ж (ЭТУ 12крп
2 Рп
(6.3.2)
где уравнение (6.3.1) представляет собой ра-
венство тепловых потоков по обе стороны
границы раздела фаз; wnn - скорость пара по
нормали п к поверхности раздела; уравнение
(6.3.2) определяет температуру насыщения на
границе с учетом радиуса кривизны поверхно-
сти R и кинетики процесса испарения (тем-
пература на границе раздела фаз должна увели-
чиваться, так как для некомпенсированного
испарения жидкости в паровой пузырь необхо-
димо, чтобы давление пара у поверхности раз-
дела было больше давления в ядре пузыря);
5) условия механического взаимодейст-
вия на границе раздела фаз:
2о
Рпз ~ Ржз + —R »
г г
WHS “ ^Ж5 »
где wn5 , и>Ж5 - скорости пара и жидкости на
границе раздела.
Масштаб для отрывного радиуса пузы-
рей ^отр ♦
2) уравнений движения и неразрывности
несжимаемой жидкой фазы:
г , г Dww
£Рж “ ВгаФ>ж + Рж И'ж - Рж »
divwM = 0;
3) уравнений движения и неразрывности
для паровой фазы:
В условия однозначности рассматривае-
мого процесса входят физические свойства
(«ж. Рж» Рж Л ж. Рп» Рп. <0 . параметры
насыщения (ps,Ts)> температурный напор
(ДТ = Tw - Ts) или плотность теплового по-
ТЕПЛООБМЕН ПРИ ПУЗЫРЬКОВОМ КИПЕНИИ В БОЛЬШОМ ОБЪЕМЕ
447
тока на стенке q, ускорение свободного паде-
ния g, геометрические размеры системы и, в
случае вынужденного течения, скорость жид-
кости и>ж0.
В качестве характерного размера /0 для
большого объема обычно принимают посто-
янную Лапласа
£(Рж - Рп) ’
пропорциональную отрывному диаметру пузыря.
Получаемый из уравнения (6.3.1) Крите-
„ q -
рий —-— показывает, что масштабом ос-
'РпИ'п
редненной скорости течения паровой фазы
является скорость парообразования
< = 9/(Фп)-
Это условная величина, равная скорости
пара, которая была бы около стенки, если бы
образующийся пар занимал все сечение.
В общем случае при задании в качестве
независимой переменной температурного
напора А Г из вышеприведенной системы
критериев С. С. Кутателадзе получил следую-
щую систему критериев, составленных из
условий однозначности (с учетом
qw = аЛТ):
Nu = ^2- = /.
лж
Ргж;
13/2
g
vi 1£<Рж - Рп).
(| _ Рп . Q.
I Рж/ £(рж -рпУо ’ v
Фп
срж^^Рж
JZ . JZ . я 1в(Рж Рп) . „
, ni
(633)
При задании плотности теплового
потока на стенке qw в уравнение (6.3.3) вме-
сто параметра -— войдет параметр
сдж^^Рж
Qw I ° _ _ wn/p
Фплж 1 &(Рж - Рп) аж
В уравнении (6.3.3)
ОРп)2 .
сдж Тпрж-Jga(px - рп)
и _______Р_____
л р ~ I--------
у£°(Рж - Рп)
0 - угол смачивания, а = qw / (Tw - Ts).
Наряду с характерным размером Iq ино-
гда используется размер
у* _ сджРжстЛ
(Фп)2
являющийся функцией температуры насыще-
ния Т5 и пропорциональный размеру пузыря
в момент его зарождения.
Как видно из (6.3.3), определяющее
влияние на интенсивность теплообмена ока-
зывают характеристики механизма образова-
ния зародышей, их роста и отрыва, опреде-
ляемые реальной границей раздела фаз. Мик-
роструктура, частота и совокупность теплофи-
зических свойств поверхности теплообмена
оказывают влияние на критерии, определяю-
щие теплоотдачу:
Qw I_____2.___= .
Фп°Ж V £<Рж - Рп) Фпаж
Фп . г
Сржд7Рж ’ Т
Эта роль может быть как прямой, так и
косвенной, вследствие изменения условий
взаимодействия жидкости и поверхности при
образовании паровых пузырьков.
Влияние стенки на теплообмен при кипе-
нии дополнительно учитывается параметром
J ; * , являющимся отношением коэффици-
V (pc^-)w
ентов тепловых активностей жидкости и стенки.
С помощью безразмерных параметров
(6.3.3) рядом авторов проведена обработка
большого числа опытных данных, полученных
при кипении различных теплоносителей. Как
правило, авторы при получении обобщающих
зависимостей учитывают одни стороны про-
цесса кипения и не учитывают другие. На-
пример, не учитываются нестационарное теп-
ловое взаимодействие жидкости со стенкой в
процессе роста паровых пузырей, шерохова-
тость поверхности, угол смачивания.
Рассмотрим некоторые из этих зависи-
мостей. Широкое распространение получила
обобщающая зависимость С. С. Кутателадзе
448
Глава 6.3. ТЕПЛООБМЕН ПРИ ПУЗЫРЬКОВОМ КИПЕНИИ В БОЛЬШОМ ОБЪЕМЕ
^- = 7,Q.iO~4| ML-
х(РГж)0-35
( \°>7
р
-Рп)&>
При получении своей обобщающей зави-
симости Д. А. Лабунцов считал, что при раз-
витом пузырьковом кипении процесс в ос-
новном определяется термическим сопротив-
лением микропленки жидкости, находящейся
на стенке под пузырем. Теплота через эту
пленку передается теплопроводностью. Ко-
эффициент теплоотдачи определяется через
эффективную толщину пленки жидкости. На
основе обобщения опытных данных Д. А. Ла-
бунцов получил уравнение
г р У/3
х—9»/3.
описывающее опытные данные при кипении
воды, этилового спирта, аммиака, фреонов. На
основе дальнейшего развития модели Д. А. Ла-
бунцова В. В. Ягов получил новое соотноше-
ние. Он учел интенсивный сток теплоты, обу-
словленный испарением жидкой пленки по
границам сухих пятен - центров парообразо-
вания. Итоговое соотношение имеет вид
за больших /?кр наблюдается неустойчивый
режим кипения с небольшим числом центров
парообразования. Для возникновения кипе-
ния требуются значительные перегревы жид-
кости. Неустойчивость кипения приводит к
тому, что амплитуды пульсаций температуры
стенки при кипении щелочных металлов зна-
чительно больше, чем при кипении неметал-
лических жидкостей. С ростом давления про-
цесс кипения стабилизируется, чаще наблю-
дается развитый режим кипения.
Для расчета коэффициентов теплоотдачи
при развитом кипении натрия, калия и цезия
на горизонтальной плоскости при qw < qK р|
можно использовать зависимость В. И. Суб-
ботина и др.
где С = 1,06 и п = 0,45 при ps / Ркр =
= 4 • 10‘5 + 10‘3 ; С = 0,13 и л = 0,15 при
Рз / Ркр = К»"3 - Т-' Ю-2 •
Представленные выше зависимости не
учитывают влияния на теплоотдачу шерохова-
тости поверхности. Приведенные на рис. 6.3.1
данные Беренсона по кипению пентана на
горизонтальной медной поверхности показы-
вают, что способ обработки поверхности
влияет на коэффициент теплоотдачи (кривые
кипения соответствуют обработке поверхнос-
ти грубой наждачной шкуркой (/), мелкой
, <л-4 ХжДГ3 [, гДГ 1
qw = 3,43 • 10 * - 1 + ~ , х
ужаТ, I 2RT})
х(1 + Vl + 800В + 400В) ,
где ДГ = TW-TS, R - газовая постоян-
ная пара. Параметр В = [г(рпУж )3/21/
представляет собой безраз-
мерную комбинацию из теплофизических
характеристик теплоносителя. Он более точ-
но, чем комплекс рп / (рж - рп), отражает
влияние давления на интенсивность теплооб-
мена при кипении.
Жидкие металлы отличаются от других
теплоносителей высокими температурами
насыщения, высокой теплопроводностью,
хорошей смачиваемостью поверхности тепло-
обмена. Поскольку их кипение имеет место
при давлениях, близких к атмосферному, из-
2 Ч 6 0 <0 20 40 ТиГТ$ °C
Рис. 6.3.1. Данные Беренсона по кипению пентана на
горизонтальной медной поверхности при различных
способах обработки этой поверхности
КРИЗИС ПУЗЫРЬКОВОГО КИПЕНИЯ В БОЛЬШОМ ОБЪЕМЕ
449
наждачной шкуркой (2), шлифовкой (3), по-
лировкой (4). Более высокому классу чистоты
поверхности соответствуют более высокие
температурные напоры при тех же qw . Объ-
ясняется это тем, что для активации центров
парообразования, располагающихся в круп-
ных порах шероховатой поверхности, требует-
ся меньший перегрев.
Как уже отмечалось, на коэффициент
теплоотдачи оказывают влияние и теплофизи-
ческие свойства материала стенки. Рост пу-
зырька на стенке сопровождается местным
снижением температуры стенки. Чем выше
cw и материала стенки, тем менее ин-
тенсивным будет снижение температуры. По-
этому с ростом коэффициента тепловой ак-
тивности стенки возрастает и ко-
эффициент теплоотдачи. Особенно сущест-
венно влияют на теплоотдачу теплофизиче-
ские свойства материала стенки при кипении
криогенных жидкостей, так как у используе-
мых в технике конструкционных материалов
при низких температурах значения комплекса
^(pcX)w различаются более существенно.
При кипении воды и органических жидкостей
влияние материала стенки менее значительно
и обычно не учитывается.
Полуэмпирическая зависимость Е. В. Аме-
тистова и В. А. Григорьева, полученная для
обычных и криогенных жидкостей, учитывает
тепловое нестационарное взаимодействие
пузыря со стенкой и наличие парового пятна
у основания. Эта зависимость имеет вид:
qw = 0,9 • I0-4 А3 Г,)2 х
А + С
(6.3.4)
где С = 712 . ...;
y(pcX)w
л _ а с Хж(Г, Ts) 200 Хж
71 — UjJ ' ' . .... - —... т
Фп
п I2
200Хж
+ J m Л<е|)- I,
V Фп
4Хж(Г- r^/2(e2)fi-
Фп \
к
^sinOy,
(рсХ)ж
(pcX)w
sinOj
7 X 0,1 2
К= Рг®25;
f (Q)=__________Sin6l________ .
2 1 (1 + COS0|)2(2- COS0|) ’
/i(0|) =/2<0|)sin0|,
где Gy - динамический (в процессе роста
пузыря на границе сухого пятна) угол смачи-
вания. Из опытов для обычных и криогенных
жидкостей 0| « 60°.
Формула (6.3.4) получена для достаточно
толстых / 5J, < 0,25 , где тр - время
роста пузыря) поверхностей нагрева с обыч-
ным классом шероховатости. Она хорошо
учитывает влияние сочетания теплофизиче-
ских свойств жидкости и стенки, которое
особенно сильно сказывается при кипении
криогенных жидкостей.
Глава 6.4
КРИЗИС ПУЗЫРЬКОВОГО КИПЕНИЯ
В БОЛЬШОМ ОБЪЕМЕ
Существующие теории кризиса кипения
рассматривают лишь отдельные его аспекты.
В гидродинамической теории, впервые
предложенной С. С. Кутателадзе в 1950 г. ле-
жит предположение о том, что кризис кипе-
ния есть следствие нарушения гидродинами-
ческой устойчивости процесса.
Рассмотрим протекание кризиса пузырь-
кового кипения на неограниченной равно-
мерно обогреваемой пластине, обращенной
вверх.
С увеличением температурного напора
растет число действующих центров парообра-
зования и частота отрыва пузырей. Увеличе-
ние частоты приводит к слиянию пузырей,
образующихся в одном центре, в столбики
пара, увеличение числа центров вызывает
слияние пузырьков, возникающих в соседних
центрах, что приводит к образованию на по-
верхности нагрева нестабильной паровой
пленки. При больших плотностях теплового
потока q вместо одиночных пузырей от по-
верхности нагрева движутся непрерывно
струйки пара, а в промежутках между ними
навстречу им движется жидкость. При этом
образующийся пар затрудняет доступ жидко-
сти к поверхности нагрева. С ростом q увели-
чивается скорость пара, и при некоторой
плотности теплового потока, называемой пер-
15 3.IK. 4S8
450
Глава 6.4. КРИЗИС ПУЗЫРЬКОВОГО КИПЕНИЯ В БОЛЬШОМ ОБЪЕМЕ
вой критической , встречный поток пара
начинает оттеснять жидкость от стенки. Ме-
няется структура пристеночного слоя, пу-
зырьковый режим кипения сменяется пере-
ходным, снижается коэффициент теплоотда-
чи. Если мощность обогрева стенки задана,
нарушается баланс между количеством тепло-
ты, выделенной в стенке и снимаемого кипя-
щей жидкостью. При этом быстро растет тем-
пература стенки. Кризис теплоотдачи завер-
шается переходом к пленочному режиму ки-
пения.
Исходя из представленной схемы про-
цесса, С. С. Кутателадзе предположил, что в
силу гидродинамической природы кризис оп-
ределяется совместным действием сил инер-
ции, термогравитационных сил и сил поверх-
ностного натяжения. Влияние сил вязкости счи-
тается несущественным вследствие сильного пе-
ремешивания жидкости и пара и высокой степе-
ни турбулентности в пристеночном слое вблизи
эоны кризиса. Силы инерции, термогравитаци-
онные силы и силы поверхностного натяжения
соответственно пропорциональны pn^n / *»
#(рж ~Рп) и Эти параметры позво-
ляют получить два безразмерных числа:
Рп*п и g
«(Рж-Рп)/ к(рж -Рп)/2
При кипении на достаточно большой
поверхности критическая плотность теплового
потока не должна зависеть от линейного раз-
мера системы / . Скомбинировав безразмер-
ные числа таким образом, чтобы исключить
линейный размер / , и приняв вместо дейст-
вительной скорости пара wn среднюю ско-
рость парообразования qw / (фп), С. С. Ку-
тателадзе получил уравнение
.. ... .5КР.!.. - = = const. (6.4.1)
ЧРп?ст(Рж -Рп)«
Сопоставление этого уравнения с опыт-
ными данными показывает, что К - действи-
тельно постоянная величина, равная 0,13-0,16.
По гидродинамической теории кризиса весь
тепловой поток дкр] идет на испарение и
отводится паром. Это справедливо для воды
при высоких давлениях. Для жидких метал-
лов, кипящих обычно при давлениях
Р << Ркр и обладающих высокой теплопро-
водностью, это допущение несправедливо, так
как значительная доля теплоты q* отводится
жидкостью. В. И. Субботиным с сотрудниками
была введена поправка, учитывающая перенос
теплоты конвективными токами в жидкости:
(6.4.2)
Из сопоставления уравнения (6.4.2) с
опытными данными, полученными при ис-
следовании кризиса в большом объеме на-
трия, калия, цезия и рубидия при
р = 10“3 + 0,35 МПа, найдено
Я ж / Яп ~(Рс / Ркр)<Рз / Ркр)-^’ »
где рс = 4,5 МПа для развитого кипения и
рс = 1,8 МПа для неустойчивого кипения;
К = 0,14.
Результаты исследования термодинами-
ческого характера кризиса пузырькового ки-
пения и влияния нестационарных факторов
показали, что в окол©критических режимах
центральная часть поверхности под растущим
пузырем высыхает. От этой части поверхности
паром отводится значительно меньше тепло-
ты, чем жидкостью, и температура этой части
поверхности растет тем быстрее, чем (при
заданном тепловыделении) тоньше стенка
(меньше ее теплоемкость) и меньше перетеч-
ки теплоты теплопроводностью в область,
смоченную жидкостью.
Если температура сухого пятна превысит
Гкр за время роста пузыря, то последующий
контакт с жидкостью в этом месте после от-
рыва пузыря окажется невозможным до тех
пор, пока из-за перетечек теплоты и охлажде-
ния через пленку пара локальная температура
поверхности не упадет до значений, допус-
кающих контакт с жидкостью. Эксперименты
показали, что при qw , близких к </кр[ , цен-
тральная часть парового пятна может оста-
ваться несмоченной в течение времени, в 10 и
более раз превышающего время роста пузыря.
Анализ этих экспериментов с учетом не-
стационарного взаимодействия жидкости и
пара со стенкой позволяет заключить, что
<7кр1 пропорционально .
т/и ^тах
(рсХ)ж « п
; , где ow - толщина стенки; лтах -
(pCA/iy
максимальный радиус сухого пятна под пузы-
рем; х,„ - время его достижения, а также что
qK р| зависит от распределения источников в
нагревателе и его геометрии.
ТЕПЛООБМЕН ПРИ ПЛЕНОЧНОМ КИПЕНИИ В БОЛЬШОМ ОБЪЕМЕ
451
Когда кризис определяется термодина-
мическими причинами, он характеризуется не
значением , а значением ДТ^ =
= ^кр! ~ Т$' Таким образом, кризис пузырь*
кового кипения помимо гидродинамических
явлений в значительной степени определяется
условиями начального нестационарного теп*
лообмена между стенкой, жидкостью и паро-
вым пузырем и возможностью контакта жид-
кости со стенкой.
Анализ экспериментальных данных по
кризису кипения недогретой жидкости, при
ослабленной и повышенной гравитации, при
быстром росте тепловыделения, при кипении
на поверхностях с низкотеплопроводными
покрытиями показывает, что кризис может
определяться разными условиями или их со-
четанием. В зависимости от того, какие из
этих условий в данном случае являются опре-
деляющими, значения ^кр1 и Д7,ф| могут
изменяться в широких пределах.
Если кризис гидродинамический, то он
определяется предельным значением плотно-
сти теплового потока </кр|. Это тепловой по-
ток, при котором пузыри пара до их отрыва
сливаются в .конгломераты, под которыми
микропленка жидкости высыхает и образуют-
ся области пленочного кипения. Эти области
могут потом разрушиться и возникнуть в*
другом месте. Если кризис термодинамичес-
кий, то он определяется предельным значением
температурного напора (Тп - 7\)пред = Гкр| -
-Ts. Это температурный напор, при котором
в процессе роста паровых пузырей или не-
скольких слившихся пузырей микрослой
жидкости успевает испариться и температура
стенки (сухого пятна) после отрыва пузыря
некоторое время исключает новый контакт с
жидкостью. Таким образом, при
(Tw -Ts)> (Ткр| - Г,) образуются участки
пленочного кипения, возникает переходное
кипение, а при (Tw -Ts) < (Т^-Т,) кон-
такт жидкости со стенкой восстанавливается и
процесс переходит в развитое пузырьковое
кипение.
В модели кризиса пузырькового кипе-
ния, предложенной В. В. Яговым, критиче-
ская плотность теплового потока для низких
давлений определяется как
^кр1н =
„ r*7'3W7$3hV3S РгУ'4 ?2'35
* T^c^R'9^7
(6.4.3)
Константа К\ = (0,1 + 1)4у<7 на основе
оценки порядка величины толщины жидкой
пленки 5q и /с по опытным данным. Сопос-
тавление с опытными данными, полученными
при исследовании кризиса кипения воды,
этанола, пентана, гексана, ацетона, бензола,
хладона-113, жидких металлов, показывает,
что формула (6.4.3) согласуется с результатами
экспериментов при К\ = 0,42.
При высоких давлениях (р/р*р £ 0,05)
<7кр1в = *2'Рп/5<’2/51£(Рж -Рп)/Рж11/5 .
(6.4.4)
где цж - динамическая вязкость жидкости.
Константа К2 получается на основе оценки
величин 5q , /с, по опытным данным.
Эти оценки дают К2 = Ю”4^5 + 10“8^5 . Со-
поставление формулы (6.4.4) с опытными зна-
чениями 0)ф1в при р / Ркр £ 0,05 для раз-
личных жидкостей позволило принять К2 =
= 0,055 , что согласуется с оценкой порядка
величины К2 •
Для широкой области давлений В. В.
Яговым получено интерполяционное уравне-
ние
4кр1 =(4^|2н +^?в)2/5> <6-4-5)
в котором ^KpiH и 9кр|в рассчитываются по
формулам (6.4.3), (6.4.4) с константами К\ =
= 0,42 и К2 = 0,055 . Расчет по (6.4.5) согла-
суется с опытными данными для воды, спир-
тов, углеводородов, хладона-113, криогенных
жидкостей и жидких металлов при
Р/ Рк»~ 1.75 10‘5 +0,94.
Глава 6.5
ТЕПЛООБМЕН ПРИ ПЛЕНОЧНОМ
КИПЕНИИ В БОЛЬШОМ ОБЪЕМЕ
Теплообменные процессы, сопровожда-
ющиеся пленочным кипением, распростране-
ны в металлургии при термообработке метал-
лов, в радиоэлектронике при термостатирова-
нии электронного оборудования, в энергети-
ке, в криогенной технике, в ракетно-кос-
мической технике. Это вызвало рост числа
теоретических и экспериментальных работ,
15’
452
Глава 6.5. ТЕПЛООБМЕН ПРИ ПЛЕНОЧНОМ КИПЕНИИ В БОЛЬШОМ ОБЪЕМЕ
посвященных исследованию теплообмена при
пленочном кипении.
6.5.1. МЕХАНИЗМ ПЛЕНОЧНОГО КИПЕНИЯ
Как известно, при пленочном кипении
жидкость отделена от поверхности сплошной
паровой пленкой. Сложность процесса обу-
словлена рядом его принципиальных особен-
ностей. Поверхность раздела фаз может быть
непрерывной или дискретной, устойчивой
или неустойчивой, причем ее изменения во
времени и пространстве носят случайный ха-
рактер. Форма поверхности зависит от многих
параметров, что создает значительные трудно-
сти при математическом описании пленочно-
го кипения. Процессы движения и теплооб-
мена могут иметь нестационарный характер,
возможно существование метастабильных сос-
тояний двухфазной системы (перегретая жид-
кость, переохлажденный пар). Движение па-
ровой пленки и жидкости может быть не
только ламинарным, но и турбулентным.
Весьма сложной является проблема математи-
ческого описания механизма турбулентности
при взаимодействии фаз на границе их раздела.
Рис. 6.5.1. Схема пленочного кипения неподогретой
жидкости на вертикальной поверхности в большом
объеме
Механизм пленочного кипения в боль-
шом объеме может быть представлен следую-
щим образом. Поверхность нагрева с темпера-
турой Tw » Ts отделена от жидкости слоем
пара. На рис. 6.5.1 показана модель пленоч-
ного кипения недогретой жидкости на верти-
кальной поверхности. Граница раздела фаз
может быть гладкой, стабильной или волно-
образной, колеблющейся в зависимости от
соотношений между температурным напором
(Tw -Ts) и недогревом жидкости (Т5 - Гж).
Снимаемый со стенки тепловой поток
передается через паровую пленку к границе
раздела фаз, где расходуется на испарение и
прогрев жидкости. Процесс саморегулируется
таким образом, чтобы при любой температуре
стенки Tw обеспечить падение температуры в
пленке пара до температуры насыщения Т5
на поверхности раздела фаз. Теплоотдача оп-
ределяется условиями отвода образующегося,
пара в поле массовых сил и гидродинамикой
колебаний поверхности раздела фаз с парооб-
разованием на ней.
Колебания поверхности раздела фаз вы-
зываются гидродинамической неустойчиво-
стью двухфазной системы, в которой пар на-
ходится сбоку от жидкости или снизу.
При постоянном недогреве с увеличени-
ем температурного напора происходит увели-
чение интенсивности колебаний поверхности
раздела. Это объясняется ростом градиента
температуры у поверхности нагрева, вызы-
вающим более интенсивное испарение на
гребнях волн. Усиление колебаний приводит
к росту нормальных к стенке составляющих
скорости и к интенсификации турбулентного
переноса в паре и в жидкости. При кипении
недогретой жидкости с ростом температурно-
го напора растет как суммарный тепловой
поток qw, так и тепловой поток дж , идущий
на прогрев жидкости.
При постоянном температурном напоре
увеличение недогрева приводит к уменьше-
нию толщины паровой пленки и к снижению
интенсивности колебаний границы раздела
фаз. Это связано с тем, что с ростом недогре-
ва увеличивается тепловой поток, идущий
через паровую пленку к жидкости. Поэтому
увеличивается градиент температуры в паро-
вой пленке и дж , уменьшается ее толщина.
Снижение интенсивности колебаний границы
раздела фаз связано с тем, что с ростом не-
догрева происходит более интенсивная кон-
денсация пара во впадинах волн. Следова-
тельно, при достаточном большом недогреве
поверхность раздела фаз может стать практи-
чески гладкой.
ОДНОМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА
453
6.5.2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
ПЛЕНОЧНОГО КИПЕНИЯ
Трехмерное математическое описание
пленочного кипения при естественной кон-
векции представляет собой систему уравнений
гл. 6.3 и следующих уравнений:
1) уравнение энергии для паровой фазы
или
' дТ 1
Рпсрп + (wn»Тп) = Хп V2 Тп ;
2) уравнение теплопроводности для
стенки
дТ
Pwcw = div(XwgradTw) + qv ,
ox
где qv - объемная плотность внутренних ис-
точников теплоты в стенке;
3) условие сопряжения на границе стен-
ка - поток
wn =0
где п - нормаль к стенке;
4) уравнение баланса массы на границе
раздела фаз
Рп^пл = Рж^жл »
где п - нормаль к поверхности раздела.
Условия теплового взаимодействия на
границе раздела фаз принимают вид
л дТж . дТп
“ ^Ж = Фп^ПЛ " Qn + Я луч »
т„ ~тж = Та.
При высоких температурах приходится
учитывать лучистый поток q луч с поверхно-
сти раздела фаз в пар и отвод теплоты тепло-
проводностью в пар. Уравнение (6.3.2) упро-
щается, так как радиус кривизны поверхности
раздела R -> со и можно пренебречь увеличе-
нием температуры на границе раздела фаз из-за
некомпенсированного испарения жидкости.
Граничные условия зависят от конкрет-
ных условий задачи.
Для некоторого момента времени ?о
должно быть задано начальное распределение
в пространстве , wn, р , Тж, Тп , Tw .
В качестве условий однозначности должны
быть заданы физические свойства (р, ц,
X) как функции температуры и давле-
ния, физические свойства стенки
(pw,cw,Xw), зависимости Ts(p), r(TJ ,
о(Т,) вектор поля массовых сил, геометрия
системы.
Теоретические решения большинства
практически важных нестационарных трех-
мерных сопряженных задач в настоящее вре-
мя невозможны как из-за вычислительных
трудностей, так и из-за незамкнутое™ систе-
мы уравнений для турбулентных двухфазных
потоков. Поэтому данная система уравнений
применима в основном для получения крите-
риев подобия.
6ЛJ. ОДНОМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА
Пленочное кипение может быть пред-
ставлено моделью с раздельным описанием
фаз, когда уравнения неразрывности, движе-
ния и энергии для каждой фазы записывают-
ся раздельно с граничными условиями на
границе раздела фаз. При раздельном одно-
мерном описании процессов в двухфазной
среде предполагается, что все параметры пара
и жидкости меняются лишь по длине канала
или по длине поверхности и во времени, но
постоянны по сечению. Для этого вводятся
понятия среднерасходных скоростей пара wn
и жидкости н>ж и среднемассовых энтальпий
пара /п и жидкости /ж . Систему уравнений
для одномерного описания двухфазных пото-
ков можно получить как обобщение анало-
гичной системы уравнений для однофазного
потока.
Рассмотрим процесс пленочного кипения
недогретой жидкости на вертикальной поверхно-
сти в большом объеме (см. рис. 6.5.1). Помимо
одномерной модели принимаются следующие
дополнительные допущения: процесс стацио-
нарный, поверхность нагрева изотермическая,
среднестатистическая граница раздела фаз
гладкая, поперечное сечение жидкости Гж
бесконечно велико, среднерасходная скорость
жидкости равна нулю, теплофизические свой-
ства пара и жидкости постоянны.
При этом одномерная система уравне-
ний неразрывности, движения и энергии для
пара примет вид
d(wn8) _ ?исп. .
Рп dz г '
Pn»*n-^- + -5-------£-----(Рж-Рп)*-
454
Глава 6.5. ТЕПЛООБМЕН ПРИ ПЛЕНОЧНОМ КИПЕНИИ В БОЛЬШОМ ОБЪЕМЕ
“ Qw ” (*7исп + *7ж) •
Замыкающие условия для определения
коэффициентов трения и теплоотдачи прини-
маются в виде
ам>
Рп^рп^п
агр
Pncpnwn
/ з \ п
аж^ _ р I я дт
~Вз Гн
лж \ кж°ж /
где aw — Qw / J arp “ Qw I (Tn -
-Ts); аж = 0Ж / (Ts - Тж) - коэффициенты
теплоотдачи между стенкой и паром, паром и
поверхностью раздела фаз, между поверхно-
стью раздела фаз и жидкостью соответствен-
но; Суй,, - коэффициенты трения пара
на стенке и на поверхности раздела фаз,
ДТН - недогрев жидкости.
6.5.4. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ
ИССЛЕДОВАНИЙ
Исходя из экспериментального факта -
независимости теплоотдачи от вертикальной
координаты, можно получить т = 1 / 2 ;
п = 1 / 3. Эмпирические константы В|, В2,
находились на основе опытных данных
по теплоотдаче при пленочном кипении на-
сыщенной жидкости (</ж = 0) на вертикаль-
ных поверхностях. Для этого случая имеем:
Nu^/^.^.KJPr^Ra!/3,
где
f(B В К ) в'/ЗВг Г| .
f(Bl,B2,K„) д1+д2[|+д1 +
2 г ^2 / А
2 nKn+\ + B2/Bi
С наименьшей погрешностью экспери-
ментальные данные описываются этой зави-
симостью при 2?| = В2 = 0,455 , т. е. расчет-
ная формула для теплоотдачи имеет вид
( тг Г1/3
Nu" = °’М1 + глН Рг"2/3 Ra"/3 •
к 8+4Лп;
~ ЬГ Cpn(Ts Т’жо) р gh3
Здесь Ап = —-------------; кап =—------х
г vnan
Ржо ~ Рпд
Рги
Для практических расчетов при
Кп 0,6 можно использовать более простую
зависимость:
Nun = 0,18Ra}/3.
Данная формула обобщает также резуль-
таты экспериментов по пленочному кипению
насыщенной жидкости на сферах и цилиндрах
диаметром Z) » /кр, где /кр критическая
длина волны колебаний границы раздела фаз: -
/кР=Ч(Рж-Рп)
Теплоотдача при пленочном кипении
насыщенной жидкости на горизонтальной
пластине описывается эмпирической форму-
лой Кларка
Nun =0,jRanl*y/r"]l/2
к А п /
где в качестве характерного размера принята
критическая длина волны /кр .
Теплоотдача при пленочном кипении в
большом объеме обычных и криогенных на-
сыщенных жидкостей на шарах, горизонталь-
ных и вертикальных цилиндрах, пластинах,
характерный размер которых / » /к р , обоб-
щается единой зависимостью
Nun = = 0,155fGa х
Х.п V " Р
1 + о,34епу/3
X Ргп-------“-I
tt/Kn
Здесь Nun = —— =
0п ) ’
9wI*p па =
МТ’н.-Г,)’ п
= _ число Галилея; 0П
vn
КРИЗИС ПЛЕНОЧНОГО КИПЕНИЯ
455
-Т5) / г - безразмерный температурный на-
пор; Р = Рп / Рж •
За характерную температуру в этой фор-
муле принята Тп - 0,5(Tw +TS) .
Формула верна при
0,2 • 10s 2 Ga„ Ргп 2 53 • ю’;
Р
0,12 £ 6П £ 8,5 .
Для практических расчетов теплоотдачи
при пленочном кипении недогретой жидкости
в условиях естественной конвекции можно
использовать формулу
Nun =0,18Ra}/3exp(-^) +
+ 0,13RaJ/3
ж E
обобщающую имеющиеся опытные данные
с погрешностью, не превышающей ±25 %.
Rh3
Здесь Яаж - Рж(^5“^ж0)» Е~
Хп(7\ -т5)
= -———*=—рж - коэффициент объем-
ах (As “ *ж0)
ного расширения жидкости.
Глава б.б
КРИЗИС ПЛЕНОЧНОГО КИПЕНИЯ
Модели кризиса пленочного кипения
основываются либо на гидродинамическом,
либо на термодинамическом подходе к меха-
низму явления.
Согласно гидродинамической теории
момент наступления кризиса пленочного ки-
пения (2-го кризиса кипения) определяется
нарушением устойчивости паровой пленки
под воздействием масс жидкости, стремящих-
ся прорваться к поверхности нагрева сквозь
паровой слой. При этом заведомо предполага-
ется, что контакт жидкости со стенкой термо-
динамически возможен. Поэтому величиной,
определяющей кризис пленочного кипения в
гидродинамических теориях кризиса, является
*?кр2
скорость парообразования —— или просто
ЛРп
0кр2 •
При q„ » течение слоя пара ус-
тойчиво и граница раздела четко очерчена.
По мере уменьшения плотности теплового
потока граница раздела между жидкостью и
паром начинает пульсировать. При плотно-
стях теплового потока, близких к q^pl, паро-
вой слой теряет свою форму и сильно колеб-
лется; устойчивость его существенно умень-
шается.
Второй кризис (прекращение пленочного
кипения) выражается в распаде парового слоя
и установлении на поверхности нагрева карти-
ны, характерной для обычного пузырькового
кипения. Прекращение пленочного кипения
обусловливается нарушением устойчивости
сплошного парового слоя вследствие недоста-
точно интенсивного снабжения его паром.
При пленочном режиме кипения по-
верхность раздела фаз, а следовательно, и
свободная энергия двухфазного граничного
слоя меньше, чем при пузырьковом кипении.
Поэтому при тех же значениях скорости па-
рообразования паровой слой более устойчив,
чем двухфазный граничный слой при пузырь-
ковом кипении. Поэтому пленочное кипение
сохраняется и при q„ < </кр| . Таким образом,
0кр2 < <7кр| . С. С. Кутателадзе получил фор-
мулу:
9кр2 / ['•7М/«(Рж -Рп)«] = *2 =
= 0,022 + 0,042 ,
причем
=4а=c°nst=°-17+°.22
0кр1 А|
В случае термодинамического характера
кризиса определяющей величиной является
предельная температура метастабильного пе-
регрева жидкости Тпр , которая соответствует
границе термодинамически устойчивых со-
стояний.
В. П. Скрипов высказал гипотезу, что
поскольку контакт жидкости со стенкой воз-
можен при Tw < Тпр, то Ткр2 может быть
близкой к Тпр. Его эксперименты по кипе-
нию в сфероидальном состоянии подтверди-
ли, что Гкр2 (температура, соответствующая
максимальному времени испарения капель)
близка к Гпр. При этом Тпр определялась
из уравнения Ван-дер-Ваальса; при
27
Р « Ркр » Л1р w Гкр , где ркр , Гкр -
критические давление и температура.
456
Глава 6.6. КРИЗИС ПЛЕНОЧНОГО КИПЕНИЯ
Температура поверхности стенки в мес-
тах контакта с жидкостью при распростране-
нии кризиса существенно зависит от переноса
теплоты по стенке и тепловыделения в ней.
Поэтому процессы теплопроводности в стенке
также могут влиять на кризис кипения.
Таким образом, для возникновения кри-
зиса пленочного кипения необходимо выпол-
нение по крайней мере двух условий для кон-
тактов жидкости со стенкой: гидродинамиче-
ского и термодинамического. Если термоди-
намические условия допускают контакт жид-
кости со стенкой (температура в месте кон-
такта жидкостей со стенкой Гф ниже пре-
дельной температуры перегрева жидкости
Тпр, т. е. Тф < Тпр ), но контакт не проис-
ходит по гидродинамическим причинам
(паровая пленка еще не потеряла своей ус-
тойчивости), то кризис пленочного кипения
будет гидродинамическим. Например, такая
ситуация может быть при пленочном кипении
на горизонтальной поверхности, обращенной
вниз, или в верхней части горизонтального
трубопровода при движении в нем расслоен-
ной парожидкостной смеси. Если же пленка
пара уже неустойчива, а температура стенки в
местах контакта больше предельной темпера-
туры, т. е. Tw > Гпр , то кризис будет термо-
динамический. Он произойдет лишь тогда,
когда начнет выполняться условие
Тф < Тпр. Все это осложняется нестацио-
нарными теплофизическими процессами
взаимодействия со стенкой. Термодинамиче-
ский характер носит кризис пленочного ки-
пения в условиях вынужденного течения и на
вертикальных и горизонтальных поверхностях
в условиях свободной конвекции, когда гид-
родинамическая возможность контакта греб-
ней волн и капель со стенкой обеспечена
даже при температуре стенки, значительно
превышающей температуру предельного пере-
грева жидкости Тпр.
Некоторую температуру , устанав-
ливающуюся в месте случайного контакта
жидкости со стенкой, в первом приближении
можно получить из решения одномерной
задачи нестационарной теплопроводности для
полубесконечных слоев жидкости и стенки с
начальными температурами Гжо и Twq .
Экспериментальные исследования кри-
зиса пленочного кипения в условиях неста-
ционарного охлаждения показали, что он
носит термодинамический характер. Величина
Гкр2 существенно зависит от теплофизиче-
ских свойств материала стенки и в ряде слу-
чаев превышает не только температуру пре-
дельного перегрева жидкости Гпр , но и кри-
тическую температуру вещества Ткр.
Согласно термодинамической модели
кризиса, созданной Э. К. Калининым с сот-
рудниками, при пленочном кипении вследст-
вие неустойчивости границ раздела фаз тер-
модинамическая возможность контакта от-
дельных капель и гребней волн со стенкой
достигается при температуре стенки, значи-
тельно превышающей температуру предельно-
го перегрева жидкости Гпр. Крупные волны
на поверхности раздела фаз, особенно низко-
частотные, соизмеримы по амплитуде с тол-
щиной пленки пара, вызывают колебания
температуры стенки и теплового потока в
области устойчивого пленочного кипения
(Гф »Гпр), что приводит к увеличению
средней теплоотдачи. В этом случае кризис
пленочного кипения определяется термодина-
мическими условиями возможности контакта
жидкости со стенкой. Температура на поверх-
ности теплообмена в месте контакта резко па-
дает, а температура жидкости растет до значе-
ния температуры в месте контакта .
Если Тф > Тпр , то происходит взры-
вообразное вскипание тонкого слоя жидко-
сти, коснувшейся стенки. Взрывообразное
вскипание также развивается во времени, и
ему может предшествовать контакт жидкости
со стенкой.
Оценки показывают, что время, тре-
бующееся на образование, рост и слияние
пузырей (т. е. на прекращение контакта жид-
кости), для криогенных жидкостей при
Tw » Тпр составляет 10-3 + 10-7 с. При
этом со стенки снимается определенное ко-
личество теплоты на прогрев и испарение
жидкости в тонком пристеночном слое. Сле-
дует учитывать, что и после взрывообразного
вскипания интенсивный теплообмен не пре-
кращается до тех пор, пока силы давления
образующегося пара не преодолеют силы
инерции жидкости, т. е. пока снова не увели-
чится толщина пленки пара.
При Тф < Тпр жидкость будет нахо-
диться в контакте со стенкой определенное
время тк , в течение которого со стенки сни-
мается теплота, идущая на прогрев и испаре-
ние жидкости в тонком пристеночном слое.
С уменьшением температуры стенки число
таких контактов растет и продолжительность
времени тк для единичного контакта может
увеличиваться. Локальный тепловой поток в
местах контактов возрастает за счет нестацио-
нарной теплопроводности и успевающего раз-
КРИЗИС ПЛЕНОЧНОГО КИПЕНИЯ
457
Рис. 6.6.1. Зависимость температуры кризиса пленочного кипении Тк р2 от отношении
коэффициентов тепловой активности жидкости и стенки
д/(рСХ,)ж / (Р^Миг
виться пузырькового кипения. Длительность
контакта тк и доля поверхности, контакти-
рующей с жидкостью, тем больше, чем боль-
ше отношение коэффициентов тепловых ак-
тивностей еж / ew. Теплота, снимаемая с
площади контакта только теплопроводностью,
значительно больше теплоты, снимаемой с
такой же площади в пленочном режиме ки-
пения. Поэтому даже при малом значении
относительной площади поверхности, контак-
тирующей с жидкостью, теплосъем с нее мо-
жет заметно увеличить среднюю плотность
теплового потока qw .
В качестве кризиса пленочного кипения
обычно фиксируется среднестатистическая
температура стенки Гкр2 в момент, когда qw
проходит минимум или начинает заметно
расти за счет интенсивности теплосъема в
местах контактов жидкости со стенкой.
Экспериментальные исследования термо-
динамического кризиса пленочного кипения
проводились на азоте, кислороде, фреонах-12,
13, 22, воде в большом объеме и на жидком
азоте при вынужденном течении. Критический
температурный напор ДГкр2 = Гкр2 - Ts не
зависит от размеров / нагревателя, от шеро-
ховатости поверхности нагрева в диапазоне
высот микронеровностей 0,5-300 мкм, от ско-
рости жидкости и>ж в условиях вынужденного
течения (при и>ж £ 8 м/с) и от нестационар-
ное™ процесса. Температурный напор ДГкр2
повышается при уменьшении тепловой ак-
тивности материала стенки. Зависимость
ДГкр2 / (Т’кр “ Лк) от безразмерного ком-
|(рсХ.)ж х- Л < f Л
плекса --------— показана на рис. 6.6.1: 7, 2
у (p<*)w
- данные для азота при естественной и выну-
жденной конвекции; 3 - данные для воды.
Полученная зависимость объясняется тем, что
с уменьшением тепловой активности стенки в
месте ее контакта с жидкостью падение тем-
пературы стенки увеличивается из-за умень-
шения притока теплоты от соседних участков
стенки, не контактирующих с жидкостью.
Меньше будет и нагрев стенки после прекра-
щения ее контакта с жидкостью. Поэтому при
следующем контакте с жидкостью более низ-
кая температура стенки обеспечит увеличение
времени тк. В результате кризис наступает
при более высокой температуре стенки, т. е.
увеличивается Д Ткр2. Этот напор также по-
вышается при уменьшении угла наклона по-
верхности нагрева от 180°до 0, при снижении
давления и увеличении недогрева жидкости.
Опытные данные по температурному напору
ДГкр2 с погрешностью не более ±30 %
обобщены формулой
А Лер 2 _ Ткр2 ~ Л _
Т’кр “ Лк Т’кр “ Лк
0,16+2,5 4|(рсХ)ж + (рСХ)ж
V (PeMw (p^)w
Л . J + cosG
х (1 + 0,13cosy)-------,
где у - угол наклона поверхности нагрева;
0 - угол смачивания жидкости.
458
Глава 6.7. ПЕРЕХОДНОЕ КИПЕНИЕ
Данная формула получена для
7(рсХ)ж / 7(рЛ)». = 5 • Ю"3 +1; е < 55°; у =
= 0 + 180°; /^(Рж -Pn)«/° 5; Рп»п /
/(Рж«6) < Ю; р / Ркр = 0,005+0,63; (7^ -
-Л)/(Ткр-Гж)2и.
Для тонких стенок и покрытий в этой
формуле вместо ew = J(pck)w используется
эффективный коэффициент тепловой актив-
ности Едф .
Глава 6.7
ПЕРЕХОДНОЕ КИПЕНИЕ
При переходном кипении (область III
между точками 1 и 2 на рис. 6.1.2) на поверх-
ности нагрева в каждый момент времени
имеются смоченные и сухие участки и каждая
точка поверхности попеременно контактирует
то с жидкостью, то с паром. Фактически об-
ласть переходного кипения лежит между точ-
ками 1 и 2 (см. рис. 6.1.2). При достижении
точки 1 на части поверхности возникает
неустойчивая паровая пленка, что ведет к
снижению темпа роста qw при увеличении
ДТ = Tw - Ts . Так как теплосъем с поверх-
ности, занятой паровой пленкой, падает по
мере ее роста, то и qw , пройдя через макси-
мум в точке 7, начинает падать. С ростом Д Т
тепловой поток достигает минимума в точке 2,
когда почти на всей поверхности имеет место
пленочное кипение. Точка 2 характеризуется
появлением локальных нестабильных холод-
ных пятен на поверхности нагрева при
уменьшении ДТ (появление условий для
контакта жидкости со стенкой), т. е. стабиль-
ное пленочное кипение имеет место в области
2 С (см. рис. 6.1.2). Обозначим плотность
теплового потока и температурный напор в
точке / символами q* и Д Г* = Т\ -Ts, в
точке 2 - q2 и Д Т2 - Т2 - Т5 .
Из эксперимента известно, что в среднем
Q\ / 0кр1 ~ и (Г| ” Ts) / (7"кр1 - Ts) =
= 0,78.
Экспериментальное определение точек
1 и 2 и, следовательно, величин q*, Т*,
<72, Г2* крайне сложно, поэтому обычно
фиксируют и принимают за границы пере-
ходного кипения точки 7 и 2 и соответствую-
щие им значения , Гкр1 , ?кр2, Т^2
Рассмотрим физическую модель пере-
ходного кипения, предложенную Э.К. Кали -
ниным с сотрудниками. При высоких зна-
чениях температуры стенки жидкость отде-
лена от поверхности нагрева пленкой пара
(область устойчивого пленочного кипения).
С уменьшением Т„ паровая пленка утончает-
ся, при этом колебания границы раздела фаз
могут привести к контакту жидкости со стен-
кой. В местах контакта с горячей стенкой
жидкость прогревается и затем, по достиже-
нии определенного перегрева прилегающего к
стенке слоя жидкости, возникают устойчивые
зародыши паровой фазы. Затем паровые пу-
зыри растут, сливаются в сплошную пленку и
оттесняют жидкость от поверхности нагрева.
Образовавшаяся при этом паровая пленка
гидродинамически неустойчива, что опять
приводит к контакту жидкости со стенкой, и
процесс повторяется.
По мере уменьшения температуры стен-
ки увеличивается длительность контакта жид-
кости с поверхностью и интенсивность тепло-
обмена в переходной области возрастает от
низких значений, характерных для пленочно-
го кипения, до высоких значений, характер-
ных для пузырькового кипения. При даль-
нейшем снижении Tw число образующихся
паровых зародышей уменьшается, растущие
паровые пузыри достигают отрывного размера
до того, как произошло бы их слияние, и
переходное кипение сменяется устойчивым
пузырьковым кипением. В переходной облас-
ти кипения средняя по времени интенсив-
ность теплоотдачи на каждом участке поверх-
ности нагрева зависит от средней длительно-
сти его контакта с жидкой и паровой фазами
кипящей среды и от характеристик теплооб-
мена на каждом этапе процесса.
Из сопоставления с данными экспери-
ментов были получены следующие безразмер-
ные выражения для оценки времени прогрева
жидкости за счет теплопроводности тт, вре-
мени от возникновения паровых зародышей
до образования сплошной пленки пара тсл и
времени существования паровой пленки на
стенке тп :
1 т Pnsr^Tw _
4вжТт[а(1 + COS0J7; ‘
= 49ofI + 0,025 РжС/’жА7’11 ;
I PnZ )
ИНТЕНСИФИКАЦИЯ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ КИПЕНИИ
459
1
7ажтс
4
о(1 + cos0)T,
= 134 '°6f1 + 0,025
Jaj, I Рш' .
Ржслж(^ш - Л)
где Jaw =---—----------число Якоба.
Рп'
/ з\'/4 *т
тп|Ь^_] = 21 • 106х
I ° / г
хЬ1М1 + о,04Р*<7’*А7*| ,
Рж^О рп*г /
где A7L, = Tw - Ts; ДТ. = Ts - 7Ж .
Видно, что с уменьшением ДТШ время
тт и время Тед увеличиваются, а тп умень-
шается.
Глава 6.8
ИНТЕНСИФИКАЦИЯ ТЕПЛООБМЕНА
ПРИ КИПЕНИИ
Целью интенсификации теплообмена
при кипении является увеличение коэффици-
ентов теплоотдачи при пузырьковом и пле-
ночном режимах кипения, увеличение макси-
мального теплового потока при пузырьковом
кипении фкр| и минимального теплового
потока при пленочном кипении фкр2^ повы-
шение соответствующих критических темпе-
ратурных напоров ДГ^ и ДТ’кр2 (т. е.
сдвиг кривой кипения в область более высо-
ких температурных напоров и тепловых пото-
ков).
Необходимо отметить, что возможности
интенсификации теплообмена при кипении
гораздо больше, чем в однофазных потоках.
Так, коэффициент теплоотдачи при пленоч-
ном кипении удается увеличить до 10 раз, а
9кр1 " болсс чем в 3 раза.
Наряду с перспективным методом ин-
тенсификации теплообмена при кипении с
помощью искусственной турбулизации потока
используются методы закрутки потока или
вращение поверхности теплообмена, нанесе-
ние на поверхность теплообмена тонких по-
крытий из низкотеплопроводного или порис-
того материала, устанавливаются неизотерми-
ческие ребра.
Применение винтовых вставок и других
методов закрутки потока приводит к улучше-
нию поступления жидкости к поверхности
нагрева и, следовательно, к увеличению кри-
тической плотности теплового потока. При
достаточно хорошей закрутке потока кризис
пузырькового кипения определяется термоди-
намическими, а не гидродинамическими при-
чинами. Благодаря этому можно на порядок
увеличить критическую плотность теплового
потока. В настоящее время уже достигнуто
увеличение <7Kpi в 2,6 раза. Применение спи-
ральных вставок при пленочном кипении
интенсифицирует теплоотдачу в 3-3,5 раза.
Нанесение на поверхность теплообмена
низкотеплопроводных покрытий приводит к
кризису пленочного кипения при больших
температурных напорах и к перестройке его в
переходное кипение, при котором теплоотда-
ча существенно выше. Покрытия толщиной
40-100 мкм из фторопласта, эмали, клея по-
зволяют в 2-3 раза повысить теплоотдачу за
счет перевода пленочного кипения в переход-
ное. В частности, нанесение таких низкотепло-
проводных покрытий на внутреннюю поверх-
ность трубы позволяет в 3 раза уменьшить вре-
мя ее захолаживания за счет увеличения >
уменьшения доли пленочного кипения и уве-
личения долей переходного и пузырькового
кипения в процессе захолаживания.
Применение пористых покрытий дает
возможность увеличить теплоотдачу при пу-
зырьковом кипении в 2-4 раза, а тепловой
поток - в 2-3 раза. Объясняется это тем, что
на пористых поверхностях при пузырьковом
кипении уменьшаются отрывные диаметры
пузырей, образующихся внутри пор. Однако
существует одно ограничение - этот метод
применим только для чистых жидкостей, не
оставляющих накипи. Поэтому его нельзя
использовать для такого широко применяемо-
го теплоносителя, как вода, которая всегда
содержит различные соли.
Для охлаждения поверхностей успешно
сочетают оребрение с нанесением на ребра
низкотеплопроводных покрытий. Такие ребра
принято называть неизотермическими. За счет
снижения температуры стенки ребер по срав-
нению с температурой основания на части
поверхности ребра удается получить переход-
ное и пузырьковое кипение с большим коэф-
фициентом теплоотдачи. Такие оребренные
поверхности успешно используются, напри-
мер, для охлаждения радиоэлектронного обо-
рудования, погруженного в кипящую жид-
кость.
Для охлаждения высокотемпературных
поверхностей и элементов криогенных систем
с успехом используется струйное охлаждение
в режиме кипения теплоносителя на поверх-
ности теплообмена.
Раздел 7
ТЕПЛО- И МАССООБМЕН
ПРИ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИХ ПРЕВРАЩЕНИЯХ
Глава 7.1
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Теплообмен между телом и обтекающим
его потоком может явиться причиной изме-
нения не только температурного, но и фазо-
вого состояния этого тела. При достижении
на поверхности температуры Tw Тр может
начаться плавление, сублимация, термическое
разложение полимеров или горение химиче-
ски активных составляющих материала, из
которых изготовлено обтекаемое тело. Суще-
ствуют различные физические закономерно-
сти, определяющие как "пороговое” значение
температуры , так и интенсивность уноса
массы с поверхности тела, обтекаемого высо-
котемпературным или высокоскоростным
газовым потоком.
Разрушающиеся теплозащитные покры-
тия широко используются для защиты спус-
каемых космических аппаратов, зондов, камер
сгорания ракетных двигателей, их сопел и во
многих других случаях.
Процесс абляции или поверхностного
разрушения интересен и с научной точки
зрения хотя бы потому, что он позволяет
"визуализировать" картину теплового и сило-
вого воздействия потока, легко и просто по-
строить распределение параметров теплосило-
вого нагружения вдоль поверхности обтекае-
мого потоком тела.
В данном разделе дан краткий обзор ос-
новных аспектов взаимодействия разрушаю-
щихся покрытий с высокотемпературным
газовым потоком. Изложение ограничено
случаем конвективного теплообмена, хотя сам
механизм воздействия потоков энергии на
материал имеет много общего как при кон-
вективном, так и при радиационном тепловом
нагружении тела.
Интенсивность протекания большинства
физико-химических превращений резко уве-
личивается с ростом температуры и зависит от
массообмена в пограничном слое над поверх-
ностью обтекаемого тела. В свою очередь,
газообразные (летучие) продукты физико-хи-
мических превращений, попадая в погранич-
ный слой, существенно влияют на интенсив-
ность тепло- и массообмена в нем.
Таким образом, задача становится со-
пряженной, требующей одновременного рас-
смотрения взаимосвязанных процессов в га-
зовой и конденсированной фазах.
Несмотря на то, что приоритет в изуче-
нии данной проблемы принадлежит экспери-
менту, роль математического моделирования
также весьма значительна. Это связано с тем,
что физический эксперимент требует больших
материальных и технических затрат, а резуль-
таты его зависят от большего числа опреде-
ляющих параметров, что затрудняет их обра-
ботку и обобщение.
Данные экспериментальной отработки
теплозащитных покрытий разрушающегося
типа, накопленные к настоящему времени,
указывают на то, что не все физико-
химические превращения в материале и не
все компоненты, входящие в состав компози-
ционных покрытий, одинаково сильно влия-
ют на суммарные характеристики процесса
разрушения, такие как массовая скорость
разрушения (7^ или температура разрушаю-
щейся поверхности Tw. Именно этот опыт
позволяет утверждать, что существует некото-
рое ограниченное число моделей или меха-
низмов разрушения, которые с успехом по-
зволяют рассчитывать и сопоставлять характе-
ристики теплозащитных покрытий в различ-
ных, в том числе и переменных, условиях
обтекания. Этот механизм обычно связан с
какой-либо одной компонентой, весовое со-
держание которой в материале достаточно
велико, либо она в состоянии образовать ме-
ханически прочный каркас, имеющий лучшие
среди других компонент способности проти-
востоять аэродинамическому воздействию
потока при высоких температурах.
Что касается остальных компонент ком-
позиционного материала, то их роль в про-
цессе разрушения, конечно, не сводится к
роли некоторого теплоемкого балласта. За
счет обратной химической или физической
связи они воздействуют на унос массы опре-
деляющей компоненты. Скорость разрушения
всех "неопределяющих" компонент может
быть намного меньше ее возможного значе-
ния при данных условиях обтекания. Указан-
ное различие достигается за счет теплового,
гидродинамического или диффузионного со-
противления пористого каркаса из опреде-
ляющей компоненты, внутри которого проте-
кает разрушение всех остальных компонент.
Для исследования физических законо-
мерностей механизма разрушения очень удо-
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
461
бен метод выделения простых по составу ма-
териалов - аналогов, у которых унос массы
единственной (и определяющей) компоненты
не претерпевает побочного влияния приме-
сей. При переходе к реальным теплозащит-
ным покрытиям удается сохранить те же про-
стые функциональные зависимости для опре-
деляющих параметров разрушения, которые
получены для аналогов, однако все исполь-
зуемые в них константы или характеристики
должны быть скорректированы на основании
специальных экспериментальных исследова-
ний. Такой подход вовсе не исключает необ-
ходимости учета взаимодействия между от-
дельными компонентами сложного теплоза-
щитного материала, однако, как будет пока-
зано ниже, учет этот необходим для уточне-
ния отдельных диапазонов, а не всей законо-
мерности, полученной с помощью правильно
подобранного аналога.
Исходя из специфики наиболее часто
встречающихся на практике теплозащитных
материалов, целесообразно классифицировать
механизмы их разрушения следующим образом:
1) сублимация;
2) термическое разложение;
3) химическое взаимодействие на по-
верхности;
4) объемно-поверхностное химическое
взаимодействие;
5) оплавление;
6) оплавление при наличии химического
взаимодействия.
Первые четыре класса механизмов раз-
рушения можно отнести к группе термохими-
ческого взаимодействия, тогда как два по-
следних представляют собой примеры хими-
ко-механического воздействия набегающего
газового потока на подповерхностный слой
теплозащитного покрытия. Четвертый и шес-
той классы механизмов разрушения типичны
для композиционных материалов на основе
оксидов и коксующихся органических свя-
зующих, например, стеклопластиков, состоя-
щих из компонент с сильно различающимися
физико-химическими свойствами. В даль-
нейшем мы будем называть такие материалы
кратко композитами, в отличие от углепла-
стиков, химические свойства обоих главных
составляющих которых достаточно близки.
Такое в значительной мере условное деление,
не претендуя на полное описание всех воз-
можных вариантов взаимодействия как внут-
ри, так и на поверхности теплозащитного
материала, позволит сосредоточить внимание
на наиболее сильных проявлениях взаимного
влияния отдельных компонент композицион-
ного материала друг на друга.
Прежде чем перейти к анализу каждого
из перечисленных механизмов разрушения,
необходимо установить некоторые критерии
сравнения эффективности теплозащитных
покрытий. Для этого необходимо рассмотреть
Теплоемкости материй/и c(T^~Tj
Рис. 7.1.1. Схема распределения теплоты
(тепловой баланс) на поверхности
разрушающегося теплозащитного материала
процесс разрушения с точки зрения термоди-
намики. Все многообразие физико-химичес-
ких превращений и взаимодействий, из кото-
рых складывается унос массы и прогрев теп-
лозащитного покрытия, можно разбить на*
четыре группы явлений, определяемых свои-
ми закономерностями (рис. 7.1.1):
а) поглощение теплоты за счет теплоем-
кости при нагреве материала от начальной
температуры Го до температуры разрушения
T'w = ’
б) переизлучение теплоты от нагретой
поверхности ест Т*;
в) поглощение теплоты при фазовых или
физико-химических превращениях GW&QW;
г) эффект снижения конвективного теп-
лового потока при вдуве газообразных про-
дуктов разрушения в пограничный слой газо-
вого потока ("эффект вдува").
Полнота и строгость классификации за-
висят от целого ряда дополнительных ограни-
чений, среди которых следующие:
не т внешних источников охлаждения те-
ла, обтекаемого высокотемпературным пото-
ком газа;
период изменения тепловой нагрузки на
тело со стороны потока много больше харак-
терного времени релаксации физико-хими-
ческих процессов на поверхности и внутри
тела;
вр емя воздействия потока на тело столь
велико, что наступает стационарный режим
разрушения его поверхности;
толщина оболочки обтекаемого тела
больше глубины прогретого слоя.
Снижение конвективного теплового по-
тока при вдуве газообразных продуктов с раз-
рушающейся поверхности является принци-
пиальной особенностью и важнейшим пре-
имуществом способа тепловой защиты с по-
мощью физико-химических превращений
462
Глава 7.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
(уноса массы). Отличие теплового потока на
непроницаемой поверхности от соответст-
вующего параметра при наличии вдува qw
пропорционально расходу вдуваемых компо-
нент Gw и перепаду энтальпий в погранич-
ном слое (Не - Ац,):
Qq ~ Qw ~ Qro. ~ ~ ^w) • (7.1.1)
Коэффициент вдува у в данном линейном
приближении зависит от отношения молеку-
лярных масс вдуваемых продуктов и набегаю-
щего газового потока, но, в основном, опреде-
ляется режимом течения в пограничном слое.
Так для ламинарного пограничного слоя в
инженерной практике принимают постоянное
для всех вдуваемых газов значение у = 0,6,
тогда как в турбулентном пограничном слое
коэффициент вдува снижается до у = 0,3 + 0,2 .
Отнесенный к единичному расходу, эф-
фект вдува оказывается тем значительнее, чем
выше перепад энтальпий (теплонапряжен-
ность) в набегающем потоке газа. При больших
энтальпиях торможения Не > 30 МДж/кг
эффект вдува превосходит все другие возмож-
ности рассеивания или поглощения теплоты
на разрушающейся поверхности. Это приво-
дит к тому, что при высоких скоростях или
температурах набегающего потока именно эф-
фект вдува определяет характер зависимости и
величину основных параметров уноса массы.
Проведенный анализ показывает, что
процесс разрушения теплозащитных материа-
лов складывается как результат некоторого
равновесия уровня внешнего воздействия со
стороны набегающего потока и способности
материала отводить или рассеивать теплоту.
Особенность процесса разрушения мате-
риала заключается в том, что здесь неразрыв-
но связаны внешняя (теплообмен и трение) и
внутренняя (теплопроводность) задачи. Для
большинства разрушающихся материалов
важнейшими параметрами являются размер-
ные значения давления в окружающей среде
ре и температуры внешней поверхности Tw.
Это объясняется тем, что протекание химиче-
ских реакций или Сизовых превращений су-
щественно зависит от уровня давления и тем-
пературы. Пропорциональное изменение этих
двух параметров не просто изменяет скорость
разрушения, а полностью заменяет один ме-
ханизм уноса массы на другой.
Наиболее полно и наглядно задача срав-
нения теплозащитных свойств разрушающих-
ся покрытий решается при квазистационар-
ном режиме прогрева, когда скорости пере-
мещения всех изотерм внутри материала сов-
падают со скоростью поверхностного разру-
шения. Независимо от характера протекания
внутренних физико-химических превращений
и их числа эффективность всего теплозащит-
ного покрытия в этом случае определяется
тепловым балансом на разрушающейся по-
верхности:
9о= тт- (Яе-Лш) = баТ*+?вд+?х +
^Р'о
+GwbQw = еаТ* + tG„(He - Л») +
+Gsc(Tw - То) + GwEQv . (7.1.2)
Эффект вдува здесь рассматривается в линей-
ном приближении и введено обозначение
для суммарного теплового эффекта по-
верхностных процессов. Последний включает в
себя не только теплоты испарения (сублима-
ции) всех испаряющихся компонент, но и теп-
ловые эффекты взаимодействия всех составля-
ющих материала друг с другом и с компонен-
тами набегающего газового потока (горение,
реакции разложения, диссоциации и т. д.).
Суммарная скорость разрушения мо-
жет значительно отличаться от расхода с поверх-
ности газообразных компонент Gw (за счет
того, что часть материала сносится потоком в
виде жидкой расплавленной пленки или от-
дельных капель, а также в результате эрозии
твердых частиц). Поэтому вводят еще один
характерный параметр - долю газообразных
продуктов разрушения в общем уносе массы:
r = GwIGz.
Задача теоретического анализа механизма
разрушения теперь может быть конкретизиро-
вана в следующем: определить значения па-
раметров Г и &QW для всех необходимых
условий внешнего воздействия. Введение их
позволяет использовать для сравнительной
оценки и отбора различных теплозащитных
материалов весьма удобную характеристику -
эффективную энтальпию Hejj :
=^-?Ь) +
^Qw+i(He-hw)\. (7.1.3)
В отличие от термодинамической энталь-
пии вещества при заданной температуре эф-
фективная энтальпия учитывает, что не весь
материал переходит в газообразное состояние,
даже если на поверхности существуют условия,
благоприятные для фазового перехода. Кроме
того, эффективная энтальпия включает в себя
фактор взаимодействия материала с внешней
средой - эффект вдува, который не может быть
отнесен к термодинамическим характеристикам
конденсированного вещества.
СУБЛИМАЦИЯ
463
Определенная универсальность по
отношению к форме и размерам тела (в отли-
чие от теплового потока Qq) позволяет исполь-
зовать ее как параметр соответствия стендо-
вых экспериментальных исследований и усло-
вий натурного разрушения. Эта характеристи-
ка сравнения различных теплозащитных мате-
риалов измеряет ту "цену", которую приходится
платить данному теплозащитному материалу за
блокирование подведенной извне теплоты.
Само определение эффективной энтальпии
разрушения H# показывает, что во всех случаях,
когда Г # 0, она должна существенно увеличи-
ваться с ростом энтальпии заторможенного по-
тока Яг Параметры набегающего потока могут
повлиять на Я^г также через изменение темпе-
ратуры разрушающейся поверхности Tw , доли
уноса в газообразном виде Г и суммарного
теплового эффекта поверх-ностных процессов
AQW * Два последних параметра весьма сущест-
венно отражаются на значении и характере из-
менения Не^ в частности, у материалов, активно
взаимодействующих с кислородом воздуха, боль-
шой отрицательный тепловой эффект
приводит к тому, что и вся эффективная энталь-
пия оказывается отрицательной.
В этом случае единственной удобной для
практического использования характеристи-
кой процесса разрушения становится безраз-
мерная скорость уноса массы
= ^/(а/ср)0 ;
HeffGz = (Ht - М - .
(ТА А)
Помимо преимущества сохранения всегда
одного и того же знака G% не требует изме-
рения температуры поверхности Tw и оптиче-
ских характеристик (б) в ходе эксперимен-
тальных исследований. Однако, в отличие от
Heff, безразмерная скорость разрушения
чувствительнее к изменению размера и фор-
мы тела, поскольку при малых конвективных
тепловых потоках они оказываются соизме-
римыми с излучением от поверхности боГ*.
При переменных внешних тепловых усло-
виях понятие о квазистационарности может
оказаться неприемлемым, поэтому использова-
ние Heff некорректно. Результаты расчетов и
экспериментов показывают предпочтительность
использования в этом случае зависимости типа
ЩГ„,Ре).
Глава 7.2
СУБЛИМАЦИЯ
Сублимирующие материалы в процессе
нагрева непосредственно переходят из твердо-
го состояния в газообразное. Но такое пове-
дение не является неотъемлемой характери-
стикой данного материала, а определяется
диаграммой его состояния (рис. 7.2.1). Суще-
ствует давление р* (при наличии смеси газов
- это парциальное давление паров материала
над поверхностью), которому соответствует
тройная точка системы пар-расплав-твердая
фаза. Если р > р*, то при нагреве материал
из твердой фазы перейдет в жидкую, и наобо-
рот, при р < р* он непосредственно перехо-
дит в газ или сублимирует. Для системы вода-
лед величина р* = 660,5 Па, для графита
р* = = 105-105 Па, причем Т* в этом слу-
чае превышает 4000 К.
Сублимирующие теплозащитные мате-
риалы относятся к классу простейших покры-
тий, у которых в процессе нагрева происходит
только одно физико-химическое превраще-
ние: переход вещества из твердого состояния
в газообразное. Если допустить, что теплофи-
зические свойства твердого вещества слабо
зависят от температуры, то при квазистацио-
нарном разрушении распределение темпера-
туры в полубесконечном слое материала име-
ет следующий вид:
(7 - TO)/(TW - То) = exp[-v„ у/а\,
a = Л/(рс).
Таким образом, решение о выборе толщин
прогретого и унесенного слоев сводится к
отысканию второй зависимости между темпе-
ратурой поверхности Tw и скоростью уноса
массы Gw = pv^. Эту функцию GW(TW) мож-
но определить методами кинетической теории
газов, привлекая соотношения теории погра-
ничного слоя.
Рис. 7.2.1. Диаграмма состояния ("сухой" лед - СОз)
464
Глава 7.2. СУБЛИМАЦИЯ
В случае термодинамического равнове-
сия на поверхности раздела твердой и газооб-
разной фаз имеют место два противополож-
ных процесса (рис. 7.2.2): сублимация и кон-
денсация. Кинетическая теория газов дает
следующее выражение для массы молекул,
оставшихся на плоской поверхности после
соударения (в единицу времени на единице
площади):
где Оу, - доля задерживающих, "липких"
столкновений молекул газа с твердой поверх-
ностью, Ру, - давление в облаке паров, pv -
молекулярная масса паров. В случае замкну-
того объема, когда нет утечек молекул в ок-
ружающее пространство и когда устанавлива-
ется термодинамическое равновесие, пред-
ставленный выше поток будет соответствовать
как скорости конденсации, так и массовому
расходу испаряющихся компонент. В этом
случае давление в облаке паров называется
давлением насыщенного пара и определяется
уравнением Клапейрона-Клаузиуса для кри-
вой фазового равновесия:
Pv ~ = ехр[/> - А0исп Hv/(^^w)] •
Таким образом, давление насыщенного пара и
<—
скорость испарения Gw полностью опреде-
ляются температурой поверхности Tw.
Коэффициент av, называемый также ко-
эффициентом аккомодации или испарения,
определяется обычно с небольшой точностью
и для чистых веществ. Поэтому измерение
действительного его значения для реальных
теплозащитных материалов представляет одну
из проблем современной техники.
При воздействии высокотемпературного
газового потока на разрушающиеся материалы
за счет диффузионного и конвективного выно-
са продуктов сублимации в набегающий поток
парциальное давление pv пара над поверхно-
стью отличается от давления насыщенных па-
ров р* (Tw). При этом конденсация не вос-
полняет потерь массы, связанных с испарени-
ем, в результате чего образуется поток вещест-
ва, называемый массовым расходом сублима-
ции (или короче, скоростью сублимации):
Gw ~ Gw Gw - Qy/tPy p^l^2it _ Tw .
(7.2.1)
Выписанное уравнение называется уравнени-
ем Кнудсена-Ленгмюра и справедливо строго
только при отсутствии посторонних газов и
малой плотности молекул в облаке паров.
Однако оно широко используется и для опи-
сания процесса разрушения, причем под
понимают парциальное давление испаряющих-
ся компонент.
Величина д, может быть рассчитана с
помощью баланса массы на границе раздела
материала и пограничного слоя:
Gw = ci^yGw — P(c/te - С, w) .
Используя аналогию между тепло- и массо-
обменом р = (a/cp)w , а также связь между
парциальным давлением и массовой концен-
трацией:
с, = (лй/)/(лй£)
и принимая во внимание, что продукты испа-
рения отсутствуют в набегающем газовом
потоке cv е - 0, получим для скорости кон-
вективного выноса молекул с разрушающейся
поверхности
Рис. 7.2.2. Характер протекания сублимации
и конденсации при наличии переноса массы
в окружающую среду
. (7.2.2)
PeHZ PvHv
Вместе с уравнением Кнудсена-Лангмюра это
соотношение позволяет установить искомую
зависимость GW(TW). Исключив из двух уравне-
ний скорость Gw , можно оценить, насколь-ко
сильно отличается в процессе сублимации ис-
тинное давление от давления насыщенного пара:
(pi/py'i-i =
/ а„^-(ре - д.)
Uv
СУБЛИМАЦИЯ
465
Рис. 7.2.3. Степень диссоциации молекул двуокиси
кремния (кварцевого стекла) в зависимости от
температуры Tw при вариации параметров внешнего
обтекания [давления и коэффициента
массообмена (а / Ср)д]:
/- (а/ср)0 +/>е = 0,1 + 0,1 105 .
2 - 0,1 + 0,5 • 105 ; 3- 1,6 + 1,6 • 105
При давлениях в набегающем потоке ре, близких
к атмосферному, степень неравновесности испа-
рения оказывается сравнительно небольшой
(порядка нескольких процентов), однако поло-
жение резко изменяется при уменьшении давле-
ния ре , либо при наличии химических реакций
с участием молекул испарившихся компонент.
Действительно, скорость испарения огра-
ничена сверху предельно допустимой величиной
<i ^н’.тах “ ауРу / — Tw >
V Hv
тогда как скорость исчезновения паров в ре-
зультате химической реакции может быть
сколь угодно велика. Например, рассмотрим
процесс испарения расплава двуокиси крем-
ния SiO2 .Схему протекающих при этом про-
цессов можно представить так:
SiO2 (расплав) SiO2 (газ)
SiO2 SiO + 0,5 О2
О2 2 О.
Полное давление паров в этом случае равно
Ру = PsiO2 + PSiO + ?О2 + Ро ’
где ?о2 и РО " только та часть парциаль-
ного давления кислорода, которая связана с
диссоциацией двуокиси кремния. Нетрудно
показать, что полное давление паров можно
представить также в виде:
Ру = PsiO2 + PSio[2 “ V(2 + *)]»
где к = р0/Р02
Отличие парциального давления pSi0 от pSi0
так же как и Ро2 от р$ в соответствии с за-
конами действующих масс будет тем сильнее,
чем меньше содержание кислорода у разру-
шающейся поверхности:
Psio/Psio, = k\(T'w')/^Po2 ;
Ро/Ро2 = k2(Tw)/p0
Здесь к\ и ki - константы равновесия, зави-
сящие только от Tw Отсюда видно, что чем
меньше набегающий поток газа содержит
свободного кислорода по отношению к
"собственному" кислороду, образующемуся
при диссоциации SiO2 , тем выше будет пол-
ное давление паров и тем сильнее неравно-
весность испарения. В пределе для нейтраль-
ной атмосферы pv -> 2pSiO , а степень не-
равновесности сублимации может быть очень
высока (рис. 7.2.3)
Уравнений (7 2.1) и (7.2.2) достаточно,
чтобы получить кинетическую зависимость
GW(TW), если определить как коэффициент
теплообмена на разрушающейся
поверхности связан с на неразру-
шающейся (непроницаемой или калоримет-
рической) поверхности.
Результаты точных численных решений,
подтвержденные экспериментом, допускают
две возможные аппроксимации величины
снижения интенсивности теплообмена на
поверхности при вдуве через нее газа с расхо-
дом Gw (рис. 7.2.4). Первая из них линейная:
Рис. 7.2.4. Две возможные аппроксимации
эффекта вдува
466
Глава 7.2. СУБЛИМАЦИЯ
(а/СЛ _
ч/М^о=ггг = 1-^
Мо
где Gw=Gw/(a/cp)0> (7.2.3)
а вторая - квадратичная:
г ____ 2 __ п-!
Qw / Qq — +Y^>v +1 »
(7.2.4)
причем, коэффициент вдува у в уравнениях
(7.2.3) и (7.2.4) один и тот же. Он зависит от
режима течения в пограничном слое
(ламинарный или турбулентный), а также от
отношения молекулярных масс вдуваемого
газа и набегающего потока.
С точностью до разброса эксперимен-
тальных данных линейная и квадратичная
аппроксимация совпадают в диапазоне
(У^иг) < 0»65 , а при более высоких расходах
вдуваемых компонент предпочтительней ока-
зывается формула (7.2.4).
Пример численного решения системы
уравнений (7.2.1) - (7.2.3) дан на рис. 7.2.5,
Причем давление насыщенного пара p$(Tw)
здесь представлено в виде
7>v ~> ^гпах
AQwHv
Ь - In
Mi-г)
(7.2.6)
Как следует из анализа результатов чис-
ленных решений для различных классов мате-
риалов, стабилизация температуры разрушаю-
щейся поверхности связана с достижением оп-
ределенного уровня скорости уноса массы Gw .
С целью установить количественные за-
кономерности рассмотрим баланс теплоты на
разрушающейся поверхности:
“ (a/cp)w(He
= ыТ* + G,„[c(rw - To) + де„] • (7.2.7)
При достаточно высоком уровне тепло-
вого воздействия, когда температура разру-
шающейся поверхности Tw "стабилизируется",
как правило, лучистый перенос ест 7^ пре-
небрежимо мал по сравнению со вторым чле-
ном в правой части уравнения (7.2.7). Решая
совместно (7.2.3) и (7.2.7), получим:
р1(Т„) = ыр
(7.2.5)
-У - 7^е ^w)
(a/cp)Q Н^+у(Не-^)
Весьма характерным является факт
"стабилизации" температуры сублимирующей
поверхности тела Tw при высоких значениях
безразмерной скорости уноса массы Gw =
= Gw/(a /Ср)0 • Можно показать, что асимп-
тота, к которой стремится температура Tw, с дос-
таточной точностью рассчитывается по уравнени-
ям (7.2.1) и (7.2.3), если заменитьpv на p$(Tw)
7Z
1 +YZ ’
(7.2.8)
где Н* = c(Tw - 7q) + &QW » const , а без-
размерная энтальпия z = {He -
Если использовать квадратичную аппрок-
симацию эффекта вдува (7.2.4), то в диапазоне
у Gw > 0,65 можно получить другое аналитиче-
ское решение
Рис. 7.2.5. Характер стабилизации температуры
поверхности при сублимации материала
в газовом потоке
> = 30______1
Ы (yz)2/3J 9’
(7.2.9)
На рис. 7.2.6 построены оба решения (7.2.8)
и (7.2.9) как функции безразмерного комплекса
(yz). Там же нанесены экспериментальные дан-
ные, полученные при испытаниях в высокотемпе-
ратурном потоке воздуха тефлона (фторопласта),
стеклопластика, кварцевой керамики и графита. В
диапазоне (yz) < 3,0 оба решения (7.2.8) и (7 29)
удовлетворительно совпадают друг с другом и с
экспериментальными данными.
По результатам этой главы можно сде-
лать следующие выводы:
1. В режиме сублимации различных ма-
териалов в высокотемпературном газовом по-
ТЕРМИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
467
Рис. 7.2.6. Обобщенная зависимость скорости уноса
массы (сублимации) материала от относительной эн-
тальпии газового потока у Z
V - тефлон, ▲ - стеклопластик, □ - кварцевое стекло,
О - графит, 1 - по (7.2.8), 2 - по (7.2.9)
токе безразмерная скорость разрушения (yGw)
может быть представлена в виде универсальной
функции от относительной энтальпии (yz).
2. "Стабилизация" температуры поверх-
ности сублимирующего тела Tw связана с
резким убыванием производной (dG^/dz) в
области (yz) » 1 , что обусловлено эффектом
вдува. Например, при увеличении у z вдвое
от 5 до 10 функция уGw растет менее чем на
30 %, что равносильно изменению температу-
ры поверхности сублимирующего тела при-
близительно на 1 %. Чем меньше термодина-
мическая энтальпия материала Н , тем рань-
ше на шкале полных энтальпий набегающего
потока Не наступает режим "стабилизации"
температуры разрушающейся поверхности.
Глава 7.3
ТЕРМИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
Переход материала из твердого состояния в
газообразное может осуществляться не только в
результате физического превращения - сублима-
ции, но и в результате химических реакций тер-
мического разложения. Хотя оба процесса уноса
массы внешне похожи, они имеют совершенно
различную природу (в частности, в последнем
случае нет такого понятия как давление насы-
щенного пара, являющегося по существу дви-
жущей силой процесса сублимации).
Но главное отличие термического разло-
жения от сублимации заключается в том, что в
первом случае процесс протекает в объеме, хотя
и достаточно малом по толщине теплозащитного
слоя, а во втором случае происходит поверхно-
стный процесс. Как и всякая химическая реак-
ция, термическое разложение описывается кине-
тикой, однако в нее входит лишь одна концен-
трация - исходной компоненты:
В большинстве случаев порядок реакции
близок к h = I , поэтому при постоянной тем-
пературе Т = 7} концентрация реагирующего
вещества убывает со временем экспоненциально:
X = (р / Ро) = 1 - ехр(-Ат);
к = Вехр(-Е / RTj).
Подобные зависимости называются кинетиче-
скими кривыми.
В данной главе рассмотрены процессы,
связанные с термическим разложением впол-
не определенного класса материалов - термо-
пластиков. Это полимеры, которые при на-
гревании способны размягчаться (переходить
в пластическое состояние), а при остывании -
вновь затвердевать. При монотонном повы-
шении температуры термопласты плавятся, а
затем цепь макромолекулы распадается на
отдельные звенья, вплоть до мономера. Резко
отличны от них термореактивные полимеры,
которые при нагревании переходят в неплав-
кое и нерастворимое состояние (часто назы-
ваемое "коксом"). Последние широко исполь-
зуются как связующие в композиционных
теплозащитных материалах.
Термопластики объединяют десятки
очень непохожих по свойствам полимеров,
таких как полиэтилен, полистирол и фторо-
пласт. Это полимеры линейного строения со
степенью полимеризации до 104. К термопла-
стикам близко примыкают каучуки (карбо-
цепные и силиконовые), которые также при
разложении целиком переходят в газовую
фазу. В процессе разложения всех этих поли-
меров, начинающемся при 700-800 К, погло-
щается довольно много теплоты - это тепло-
вой эффект термического разложения L.
Разрушение термопластиков может идти
двумя путями:
а) деполимеризацией, при которой от
конца макромолекулы отрываются отдельные
звенья - мономеры;
б) разрывом макромолекул по закону случая.
Первый путь характерен для полифор-
мальдегида (ПФ), тогда как у полиэтилена
первичный выход мономера не превышает
1 %. Это приводит к большому разнообразию
в молекулярных массах вдуваемых компонент
и сложному взаимодействию этих компонент
с набегающим газовым потоком (рис. 7.3.1).
Некоторые термопластичные полимеры
при нагревании меняют коэффициент про-
пускания (просветляются), поэтому целесооб-
разно учитывать возможность лучистого пере-
носа теплоты, наряду с молекулярной тепло-
проводностью в конденсированной фазе:
468
Глава 7.3. ТЕРМИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
Рис. 7.3.1. Схематическое представление механизма
взаимодействии термопластичного полимера с высоко-
температурным потоком воздуха
_ ат ,а2т
G^C—— - --Г +
dy dy2
5я
-^йеХр(-^ '
(7.3.2)
Уравнение (7.3.2) написано в квазистацио-
нарном приближении, поскольку подавляю-
щее большинство термопластиков имеет
весьма низкие значения коэффициента теп-
лопроводности и температуропроводности, а
следовательно, малые времена установления
квазистационарного разрушения. Малый пе-
репад температур по толщине прогретого слоя
термопластиков (менее 1000 К) делает прием-
лемым предположение о постоянстве тепло-
физических свойств. Появление члена в урав-
нении, учитывающего поглощенный лучи-
стый тепловой поток (5д - длина свободного
пробега излучения), связано с тем, что про-
дукты разрушения термопластиков, нагрева-
ясь в высокотемпературном пограничном
з, могут давать существенную прибавку в
ютовой поток за счет излучения qR.
Суммарное количество подведенной к
разрушающейся поверхнос* • теплоты опреде-
ляет в квазистационарном ..риближении ско-
рость разложения:
4w +Як = (<*/<: р)„(Не -hw) + qR =
= Gz[£ + C(rw-r0)]
Граничное условие на разрушающейся
поверхности включает только конвективную
часть теплового потока:
при у -> 0 :
- X(dT/dy) = qw = [(а/с,)о --М,
поскольку процессы с объемным поглощением
лучистой энергии исключаются из рассмотрения
при стремлении элементарного объема к нулю.
Наконец, полная скорость выхода газо-
образных продуктов термического разложения
определяется интегрированием кинетического
уравнения по глубине прогретого слоя:
Gz = Pov» = J (dp I dt)dy =
0
= J p0£exp(- E/RT)6y.
о
Согласно кинетическому уравнению
плотность материала на внешней поверхности
должна стремиться к нулю, однако это не под-
тверждается экспериментальными наблюде-
ниями. Объяснение этого парадокса связано с
природой термопластиков, сильно размягчаю-
щихся при нагреве. Вероятно, мельчайшие
газообразные пузырьки просачиваются из глу-
бинных слоев к поверхности, или непрерывно
заливаются расплавленным веществом. Соглас-
но этому обстоятельству плотность термопла-
стичных материалов предполагается близкой к
начальной по всему прогретому слою (р « ро).
Низкие коэффициенты теплопровод-
ности X, большие энергии активации Е и
предэкспонентные множители В (В* 108)
приводят к тому, что зона термического раз-
ложения термопластов оказывается весьма
тонкой и занимает на температурном профиле
всего лишь 40+50 - градусный диапазон. В
связи с этим внутри этой зоны можно пре-
небречь всеми видами поглошения теплоты
(за счет теплоемкости или излучения) и упро-
стить уравнение теплопроводности:
X(d2r/dy2) = р0Я£ехр(-£/ЛТ).
Решение его имеет следующий вид (сов-
местно с уравнением для скорости разрушения):
г х _ ехр[~
(/ У \ i W / — f 1
Jc(Tw - Tq) + L/2
Представленное выражение и есть иско-
мая зависимость G%(TW). Вместе с балансом
теплоты на разрушающейся поверхности эта
ТЕРМИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
469
Рис. 7.3.2. Сравнение экспериментальных и расчетных
данных по величине безразмерной скорости уноса
массы фторопласта в потоке воздуха с различными
значениями энтальпии торможения Не и давления
Молекулярная масса продуктов разрушения gv
принята: 1 - 100; 2 - 200; 3 - 600; 4 - 800
зависимость позволяет установить скорость и
температуру разрушения термопластичных
полимеров.
В том случае, когда конвективный поток
исчезающе мал по сравнению с радиацион-
ным (например, за счет эффекта вдува), мож-
но получить простое явное выражение для
температуры поверхности:
Tw =(Е/Я)1п(р0£5л B/qR).
В общем случае при определении темпе-
ратуры поверхности разлагающихся материа-
лов, как и при сублимации, требуется привле-
чение теплового баланса на разрушающейся
поверхности. При этом необходимо учесть не
только эффект блокирования теплового пото-
ка при вдуве продуктов разрушения, но и
возможность их химического взаимодействия
с компонентами набегающего газового потока
("горение").
Если принять для эффекта вдува про-
стейшее линейное приближение
(a/c,)w = (a/cp)0 -0,6(це/ц7)0'246Е ,
а диффузию молекул кислорода рассматривать
в приближении аналогии коэффициентов
тепло- и массопереноса:
0 = (a/cp)w »
то максимально возможное количество молекул
кислорода, поступающих к разрушающейся
поверхности термопластов, оценивается как
Л)2 ~ Р(сО,е ” cO,w) (a/cp)wcO,e =
= Ь№/Ср)„ .
В связи с этим тепловой поток к разрушаю-
щейся поверхности, если оставить в стороне
Рис. 7.3.3. Сравнение экспериментальных данных по
безразмерной скорости уноса массы фторопласта
с расчетными, учитывающими (кривая 1) и
иеучитывающими (кривая 2 ) тепловой эффект
горения продуктов разрушения с кислородом воздуха
необходимость учета излучения, можно пред-
ставить в следующей записи:
[<«/ср0 -O.6(Me/»*v)O’2*<7z][<J^« +
+ 0,21 ДОо, ] = <7£[c(Tw - Го) + i]
Эго соотношение и является искомым уравне-
нием, дающим вторую необходимую связь ско-
рости разрушения с температурой поверхности.
На рис. (7.3.2) и (7.3.3) представлены ре-
зультаты расчетов и экспериментальные дан-
ные для фторопласта-4 (ФТ-4) применительно
к разрушению в воздухе. Видно, что учет за-
висимости молекулярной массы продуктов
разложения от давления в окружающей среде,
а также введение теплового эффекта горения
этих продуктов в пограничном слое AQq2 >
позволяет существенно сблизить расчетные и
измеренные значения скорости уноса массы.
Тем не менее в настоящее время нельзя
считать, что процесс разрушения термопласти-
ков изучен достаточно хорошо. На рис. 7.3.4
представлены результаты сравнения для поли-
метилметакрилата, причем поправка на учет
Рис. 7.3.4. Сравнение расчетной (кривая) и экспери-
ментальной (точки) зависимостей скорости
разрушения оргстекла от энтальпии Не
470 Глава 7.4. ХИМИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ НА ПОВЕРХНОСТИ (ГОРЕНИЕ ГРАФИТА)
горения продуктов термического разложения
не потребовалась. Следовательно, не все про-
дукты термического разложения тер-
мопластиков вступают в химическое взаимо-
действие с кислородом в непосредственной
близости от разрушающейся поверхности.
До сих пор нет полной ясности и с про-
цессом самого разрушения подповерхностного
слоя. Достаточно отметить явление так назы-
ваемых рельефных узоров на поверхности,
замеченных многими исследователями при
экспериментальном изучении разрушения
конусов из термопластиков, помешенных в
высокотемпературный и высокоскоростной
поток газа. Есть предположение, что природа
этих узоров связана с взаимодействием слабой
турбулентности в пограничном слое с мате-
риалом, находящимся в размягченном, пла-
стическом состоянии.
Глава 7.4
ХИМИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
НА ПОВЕРХНОСТИ (ГОРЕНИЕ ГРАФИТА)
Химическое взаимодействие материала с
газовым потоком весьма многообразно, что
связано с колоссальным числом различных
сочетаний из компонент материала и обте-
кающего газа. Ограничимся моделью химиче-
ского взаимодействия между углеродом и
воздухом, поскольку углерод - непременная
составляющая любого органического материа-
ла или связующего.
Имеющиеся в литературе данные свиде-
тельствуют, что реакция между графитом и
кислородом воздуха является гетерогенной, т.
е. соединение их происходит в твердой фазе и
нет необходимости в предварительной субли-
мации графита. F для того, чтобы эта реак-
ция произс ила, кислород должен диффунди-
ровать через пограничный слой к поверхно-
сти, а конечные продукты реакции должны
уходить от стенки в поток.
Скорость химического взаимодействия в
целом определяется скоростью самого мед-
ленного из элементарных процессов: диффу-
зии атомов и молекул кислорода в газообраз-
ном пограничном слое, адсорбции их графи-
товой поверхностью, собственно химической
реакции, десорбции продуктов реакции и
обратной диффузии через пограничный слой.
При низких температурах поверхности таким
определяющим процессом является собствен-
но реакция между кислородом и углеродом на
реагирующей поверхности. Этот начальный
режим взаимодействия называется кинетиче-
ским и формально описывается с помощью
степенного закона Аррениуса:
(7к=(7я = Я(/>о2)*ехр(-£/ЯТк).
По данным различных авторов и для различ-
ных марок графитов порядок реакции изме-
няется от нуля до единицы, энергия актива-
ции Е от 33 до 250 кДж/моль, а предэкспо-
нентный множитель В изменяется на не-
сколько порядков. Однако для наиболее плот-
ных теплозащитных марок графита, а также и
для пирографита порядок реакции h = 0,5 ,
энергия активации Е = 190 кДж/моль. Спе-
цифика материала наиболее сильно проявляет-
ся в предэкспонентном множителе В. При рас-
четах он принимается равным 3109 кг (м2 сх
хатм.'0’5) - для технического графита и 2-105 кг
(м2сатм/0’5) - для пирографита. Первое из
приведенных значений для краткости имену-
ют "быстрой", а второе - "медленной" кинети-
кой. Между двумя этими предельными значе-
ниями и укладываются в основном все
имеющиеся марки теплозащитных модифика-
ций графитов. При низких температурах по-
верхности и, следовательно, при малых ско-
ростях горения диффузионный поток кисло-
рода успевает восполнять его расход на по-
верхности, поэтому концентрация кислорода
Aq2 w мало отличается от своего значения в
набегающем потоке Xq2 е «0,21 . Соответст-
венно можно переписать кинетическое уравне-
ние в таком виде, чтобы результаты расчета не
зависели от давления в пограничном слое ре:
6fl/т[Ре = ЕХо2,вехр(-Е//?7;),
*о2,е «0,21 .
Зависимость скорости реагирования (или уно-
са массы) от температуры поверхности Tw
резкая, экспоненциальная. Даже небольшое
возрастание температуры приводит к нехватке
кислорода, поскольку возможности диффузии
ограничены коэффициентом массообмена,
пропорциональным коэффициенту теплооб-
мена (а/СрУц . Поэтому в развитии процесса
разрушения должен наступить кризис, причем
суммарная скорость процесса уже не будет
зависеть от температуры поверхности, а ста-
нет лимитироваться диффузией атомов и мо-
лекул кислорода в пограничном слое.
В диапазоне умеренных температур по-
верхности графит реагирует, в основном,
только с кислородом воздуха:
С + О = СО (реакция КО;
С + О2 = СО2 (реакция К2)
ХИМИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ НА ПОВЕРХНОСТИ (ГОРЕНИЕ ГРАФИТА)
471
Рис. 7.4.1. Зависимость скорости разрушения графита
от температуры поверхности Tw в кинетическом и
диффузионном режимах горения :
1 - расчет по "быстрой" кинетике;
2 - расчет по "медленной" кинетике
Однако с ростом температуры все большую
активность начинает проявлять также и азот
(особенно атомарный):
С + N = CN (реакция Кз);
2С + N2 = C2N2 (реакция Кд).
В каждом отдельном интервале определяю-
щих параметров, как правило, выделяют одну
преобладающую реакцию. Переход от одной
реакции к другой можно проследить по на-
рушению. монотонного характера увеличения
скорости уноса массы графита.
Проиллюстрируем последнее утверждение
на примере кинетического режима окисления. В
начальной стадии взаимодействия, при низких
скоростях реакции, преобладает горение с образо-
ванием СОг (реакция К2). На рис. 7.4.1 этот уча-
сток роста затем сменяется "полкой" на зависимо-
сти скорости уноса массы Gw от температуры
поверхности Tw, которая связана со сменой опре-
деляющей реакции на реакцию К\. На рис.
742 показано, что смена определяющей реакции
вызвана исчезновением кислорода вблизи разру-
шающейся поверхности, в результате чего ско-
рость разрушения оказывается лимитированной
тем расходом кислорода, который диффундирует
через пограничный слой. Затем наступает второй
этап, когда определяющую роль начинает играть
опять кинетика реакции, только с образованием
более бедного кислородом соединения СО. Эго
связано с тем, что подходящий за счет диффузии
кислород в состоянии связать вдвое больше угле-
рода, чем прежде, а поэтому на какое-то время
скорость диффузионного подвода оказывается
больше кинетических возможностей реакции
горения на поверхности.
Лишь при температуре поверхности по-
рядка 2700 К при "медленной" и при 1800 К -
при "быстрой" кинетике реакции оконча-
тельно наступает режим горения, контроли-
руемый диффузией. Диффузионное горение
является областью сильного взаимодействия
потока газа с материалом, когда необходимо
учитывать характер течения в пограничном
СТ.
О.д
0А
0
W00 1500 2000 т^к
Рис. 7.4.2. Изменение состава газа на поверхности
графита с ростом температуры Tw
слое и скорости образования отдельных ком-
понент, размер и форму тела, коэффициенты
диффузии и все возможные продукты реак-
ции, число которых достигает десятков. Тем
не менее, именно на примере горения графи-
та показано, что в диффузионном режиме
скорость уноса массы удовлетворительно опи-
сывается соотношением
= GD = (Йс/Йо)(“/Ср)>. ?О.е
Это соотношение справедливо лишь тогда,
когда выполняются два основных предполо-
жения: аналогия между тепло- и массообме-
ном Р = (a/cp)w и возможность сведения
всех путей химического взаимодействия к
одному - образованию окиси СО.
Выше было показано, что концентрация
кислорода на реагирующей поверхности гра-
фита стремится к нулю, поэтому диффузион-
ный поток его, направленный к стенке,
•А? = Р(сО,е “ сО,м>) % (а/сp)wcO,e •
Этот поток в соответствии с реакцией уно-
сит углерод пропорционально отношению
молекулярных масс каждого из реагентов
Йс/Йо * Учитывая малость расхода вдуваемых
компонент, можно принять для эффекта вду-
ва линейное приближение. Унос массы в ре-
жиме диффузионного горения может быть
описан следующим простым уравнением
Gw = Gw/(a/cp)Q =
= Со,е®с/Йо)/[1 + 7?О,е(Йс/Йо)]
Безразмерная скорость уноса массы графита
не является постоянной, поскольку с ростом
температуры поверхности все большую роль в
механизме разрушения начинают играть ре-
акции углерода с азотом (К3, /ц), и аналогия
между коэффициентами тепло- и массообме-
на должна учитывать некоторую переменную
поправку - число Льюиса:
₽ = (a/cp)wLe0’7, Le = pDncp/\
472 Глава 7.4. ХИМИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ НА ПОВЕРХНОСТИ (ГОРЕНИЕ ГРАФИТА)
В зависимости от состава набегающего потока
и выбора преобладающей компоненты на
поверхности графита, число Льюиса может
несколько менять свое значение, что приво-
дит к отличию в безразмерной скорости уноса
массы в режиме диффузионного горения поч-
ти на 25 %. Тем не менее рассмотренная
выше схема весьма наглядна в физическом
отношении и достаточно удобна для проведе-
ния инженерных расчетов.
При диффузионном режиме горения гра-
фита температура его поверхности близка к рав-
новесному значению, поскольку из всех членов
теплового баланса на разрушающейся поверхно-
сти два Наиболее существенных - тепловой эф-
фект горения и эффект вдува - имеют при-
близительно равные значения и противопо-
ложные знаки. При атмосферном давлении
азот начинает интенсивно взаимодействовать
с графитом уже при температуре его поверх-
ности, равной 2800 К, тогда как сублимация
графита становится существенной при темпе-
ратуре 7^ превышающей 3300 К. Окисление
при сублимации происходит не на самой по-
верхности графита, а в пограничном слое,
причем состав газа вблизи этой поверхности
представлен, в основном, продуктами испаре-
ния - С, Сз и т. д., тогда как кислородо- и
азотосодержащие компоненты оттеснены на-
ружу. Именно эти особенности заставили
выделить режим окисления при сублимации. -
как третий режим химического взаимодейст-
вия. Тем не менее между диффузионным и
сублимационным режимами много общего, пре-
жде всего зависимость процесса от состава газа и
размеров тела. Но есть и принципиальные раз-
личия, например, при сублимации определяю-
щее значение имеет температура поверхности.
Полная скорость сублимации определя-
ется как сумма скоростей сублимации отдель-
ных соединений углерода (С, С3, С4, ..., С^),
рассчитанных по кинетическому уравнению
Кнудсена-Ленгмюра. При этом необходимо
задавать коэффициенты аккомодации для
каждого из соединений. Однако при оценке
поведения графита в режиме сублимации
встречаются большие трудности, связанные с
неопределенностью термодинамических свойств
паров при температурах выше 3000 К. Согласно
расчетам скорость сублимации Gs тем больше
скорости диффузионного горения в воздухе
(7р, чем выше температура и меньше давле-
ние:
Gs/gd = 0,15 + 2,4 • 106pJ°’67 exp[-61400/Tw]
(здесь ре в кг/см2, а Т - в К).
На рис. 7.4.3 представлено сравнение
экспериментальных данных с результатами
расчетов по нескольким методикам. Видно,
Рис. 7.4.3. Сравнение экспериментальных
данных по зависимости скорости разрушения графита
от температуры поверхности (3)
с результатами расчетов (J-4), проведенных
по различным методикам
что несовпадение расчетов с экспериментом
достаточно заметное, что создает определенные
трудности переноса результатов стендовых экс-
периментов на натурные условия. Влияние
состава газовой смеси на скорость сублимации
проявляется прежде всего через отношение
молекулярных масс паров и набегающего потока
(pv/pe), хотя в некоторых случаях не исклю-
чено влияние химического взаимодействия на
переходном режиме от диффузионного к суб-
лимационному участкам (рис. 7.4.4).
При температурах поверхности выше
3700-4000 К некоторые исследователи замеча-
ли на поверхности графита следы выкраши-
вания и механической эрозии в виде отдель-
ных частиц.
При наличии в набегающем потоке кис-
лородосодержащих компонент, типа СО2,
Н2О, ОН и т. д., взаимодействие их с графи-
том протекает по тем же законам, что и в
воздухе. Если набегающий поток представля-
ет собой смесь таких компонент, то можно
Рнс. 7.4.4. Зависимость скорости сублимации графита
от температуры при обтекании его различными газами
ОБЪЕМНО-ПОВЕРХНОСТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ (РАЗРУШЕНИЕ КОМПОЗИТОВ)
473
представить суммарную скорость уноса массы
как сумму индивидуальных скоростей, обу-
словленных взаимодействием с каждой из
способных к реагированию компонент.
В диффузионном режиме окисления
графита в потоках, состоящих из нескольких
кислородосодержащих компонент, можно
приблизительно описать скорость разрушения
следующим соотношением:
= (a/cp)»v Дя ,
_ п _
вт = ис Ec.7(v/H,)-
1=1
Параметр Вт называют окислительным по-
тенциалом газового потока, q, jl/ - концен-
трация и молекулярная масса соответствую-
щей кислородосодержащей компоненты в
набегающем потоке, a vf* - стехиометриче-
ский коэффициент ее реакции с углеродом,
Йс - молекулярная масса углерода.
В кинетическом режиме окисления гра-
фита различными газообразными компонен-
тами ряд исследователей отметили появление
"аномальной" зависимости константы скоро-
сти реакции от температуры, когда в диапазо-
не температур от 1500 до 2600 К, вопреки
общепринятым представлениям химической
кинетики, скорость убывала с ростом темпе-
ратуры. Достаточно убедительного объяснения
этого парадокса до сих пор не предложено.
Необъяснимым остается смещение максимума
на температурной кривой константы скорости
окисления в зависимости от внешних усло-
вий, влияние величины пористости и ряд
других факторов.
Имеются трудности и в переносе пред-
ставленных результатов на случай разрушения
углепластиков, содержащих коксующиеся
связующие.
Разложение органического связующего в
композиционных теплозащитных материалах
или углепластиках приводит к образованию
значительных масс газообразных продуктов с
высоким содержанием углерода. По мере их
фильтрации через пористый коксовый остаток
часть углерода может выпасть в виде пироли-
тического налета на стенках пор, однако при
больших скоростях истечения газа большая
часть этих продуктов попадает в пограничный
слой с замороженным составом.
В результате в пограничном слое оказы-
вается ряд легких углеводородных газов, ко-
торые могут серьезно отразиться на величине
окислительного потенциала набегающего га-
зового потока. Неучет этого обстоятельства
приводит к значительным расхождениям рас-
четных и экспериментальных данных по ско-
рости уноса массы углепластиков и других
композиционных материалов с большим со-
держанием органического связующего.
Глава 7.5
ОБЪЕМНО-ПОВЕРХНОСТНОЕ
ХИМИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
(РАЗРУШЕНИЕ КОМПОЗИТОВ)
Большинство реальных теплозащитных
материалов являются композиционными и
обычно состоят из наполнителя и связующего.
Рассмотрим армированные пластики, а в
частности стеклопластик с 30 %-м содержани-
ем фенольно-формальдегидной смолы. Этот
состав гарантирует преобладающую роль стек-
ла в механизме разрушения, однако под
влиянием смолы он значительно трансформи-
руется.
Через поверхность стеклопластика в
пограничный слой могут поступать три типа
компонент:
1) летучие продукты термического разло-
жения связующего, которые при высоких тем-
пературах представлены в основном СО и Н2;
2) испарившиеся молекулы стекла БЮг;
3) продукты сгорания углерода (твердого
остатка разложившегося связующего - кокса).
Скорости всех трех процессов - испаре-
ния, термического разложения и горения
взаимосвязаны:
= ^sio2 + Gc + Gg; ^sio2 = Фзю2^»у;
(7C = <$qGw = [фсмО - ^>/(1 - Фсм)]^8Ю2
Здесь Фзю2 - весовое содержание стекла, а
Фсм и ' весовое содержание и коксовое
число (доля твердого остатка) связующего.
Ограничимся случаем квазистационарного
разрушения, когда глубина прогрева перестает
изменяться со временем. Как и в случае од-
нородного стекла кремнезем поступает в по-
граничный слой при разрушении стеклопла-
стика за счет неравновесного испарения. Од-
нако наличие на поверхности свободного
углерода может существенно изменить этот
процесс. Значительная доля испарившихся
молекул S1O2 диссоциирует в пограничном
слое, причем скорость этой реакции зависит
от парциального давления кислорода ро2 :
SiO2 SiO + 1/2 О2 ;
(PSio/PSiO2) = ^l(Tw)/^PO2 •
474 Глава 7.5. ОБЪЕМНО-ПОВЕРХНОСТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ (РАЗРУШЕНИЕ КОМПОЗИТОВ)
Сгорание углерода приводит к мощному стоку
молекул кислорода, так что с увеличением
выхода частиц кокса на поверхность должна
резко возрасти доля продиссоциировавших
молекул кремнезема, а с нею и скорость ис-
парения (см. гл. 7.2). Это образует первую
химическую связь испарения с горением, однако
существует и обратная связь, поскольку уве-
личение скорости испарения требует соответ-
ственного увеличения общей скорости уноса
массы, а, следовательно, увеличивает вынос
углерода на поверхность тела.
В пограничном слое над разрушающим-
ся стеклопластиком могут присутствовать до
50 химических соединений, однако термоди-
намический анализ позволяет выделить ряд
важных закономерностей и существенно уп-
ростить задачу. Эти закономерности вытекают
из сравнения констант равновесия kt в зако-
нах действующих масс и показывают, что во
всем практически важном интервале темпера-
тур Tw справедливы соотношения:
РСО/РСО2 «°.1 PSio/PSiO2 ;
Рсо/РСО2 * 1()5 Psi /Psio ;
Psio/psio2 * !°6 PSi/PSiO •
Это означает, что маловероятно одновремен-
ное присутствие таких компонент, как SiOa и
Si, СО2 и Si. Установлено три режима испа-
рения стекла в стеклопластике, обтекаемого
высокотемпературным газовым потоком:
1. В диапазоне малых скоростей разру-
шения, когда концентрация кислорода у по-
верхности еще мало отличается от содержания
его в набегающем потоке Со,» ю = 0»23 ,
степень диссоциации молекул SiOs невелика
и состав продуктов разрушения представлен, в
основном, Si(>2, SiO и СО2. Также можно
принять, что парциальное давление PsiO2
мало отличается от давления насыщенного
пара р sio2(^w) • так 470 произведение pvpv
(см. гл. 7.2) можно представить в виде
PvHv = HSiO2 (PSiO2 + PSio) =
= HSiO2PSiO2(^v)p + *| ] •
С поправкой на долю стекла в материале
(pSiO2 скорость испарения можно рассчитать
по обычным для однородного стекла форму-
лам сублимации:
Gw = Pv Ну/^Ф5Ю2Ре^Е *“ 0 *“ Y)PvHv | •
(7.5.1)
2. В диапазоне умеренных скоростей
разрушения концентрация кислорода у по-
верхности стеклопластика быстро падает и его
оказывается недостаточно, чтобы связать весь
выносимый на поверхность углерода (кокс) до
двуокиси СО2. Это связано с тем, что макси-
мально возможный диффузионный поток
кислорода со стороны набегающего течения
воздуха ограничен величиной
Jo < ₽Со,е • ёо,е
Поэтому при вполне определенном содержа-
нии углерода в исходном материале
(фС > 0»2) парциальное давление СО станет
явно преобладать над давлением СО2, а это
приведет к изменению состава продуктов раз-
рушения, теперь они будут представлены но-
вой триадой:
SiO; СО2; СО (нет 8Юг).
3. При Рсо/Рсо2 !°4 дефицит ки-
слорода, требуемого для сжигания выноси-
мого на поверхность углерода, может быть
покрыт лишь за счет полной диссоциации
молекул стекла. В продуктах разрушения по-
является кремний Si и становятся возможны-
ми самые различные реакции кремния с угле-
родом и даже водородом, который входит в
состав органических связующих. Истинный
состав смеси газов рассчитать весьма трудно,
однако намного упрощается вычисление ско-
рости испарения стекла. Практически полное
исключение из продуктов разрушения двуоки-
си кремния SiO2 позволяет использовать мак-
симально возможное значение для скорости
испарения - скорость сублимации в вакууме:
GsiO2 = flPSiO2 (Tw)/^2nR Tw/pSio2
(это формальное совпадение с сублимацией в
вакууме означает лишь отсутствие обратного
процесса - конденсации стекла, связанного с
исчезновением в облаке паров молекул стекла).
Переход от одного режима испарения к
другому происходит не мгновенно, однако гра-
ницы переходных режимов достаточно узки и
их можно указать с приемлемой для инженер-
ных расчетов точностью. Этот переход обуслов-
лен кризисом в балансе массы кислорода на
разрушающейся поверхности стеклопластика.
Как только скорость уноса массы Gw пре-
высит некоторое критическое значение ,
для окисления углерода в поверхностном слое
до СО2 оказывается недостаточно всего ки-
слорода, как диффундировавшего извне, так
ОБЪЕМНО-ПОВЕРХНОСТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ (РАЗРУШЕНИЕ КОМПОЗИТОВ)
475
и полученного при однократной диссоциации
стекла Si(>2 до SiO:
Р^О.е + <^(ФО + ФО2 Po/HSiO2 ) «
= б£Р(Фс2мо / Рс + ОЗфн Но/ин) •
Отсюда
G<'>»G<'>/(a/cp0 =
= ?О,е icQ e + 2<рс(ро / Ис) +
+ ОЛ<РН (ро / Рн ) - Фо “ ФБЮ. =----
HSiO2
Зависимость (7.5.2) справедлива тогда, когда
конечным продуктом окисления является СОз
или £ = (Рсо / Рсо2) = 0 • Из термодинами-
ческих оценок завершение однократной дис-
социации S1O2 имеет место при £ = 1. В слу-
чае произвольно заданного £ оценка для
примет вид:
GJ1’ = Со,4^0,» + (2 + О / (1 + О X
*Фс(Йо / йс) + °.5Фн(Йо / Йн) -
"Фо - Ф5ю(Йо / HSio)] 1
(7.5.3)
Здесь учитывают, что реальные органические
связующие (в том числе и фенольно-
формальдегидная смола) имеют в своем со-
ставе помимо углерода фс определенное
количество водорода Фц и кислорода фо-
Так для стеклопластика на фенольно-
формальдегидном связующем принимают
9sio2 = Фс = 0,23; фн = о,о2; фо = 0,05.
Аналогичным образом можно установить
и границу между вторым и третьим режимами
испарения стеклопластика. Если для окисле-
ния всего выносимого на поверхность углеро-
да до СО уже недостаточно однократной дис-
социации S1O2, то соответствующее значение
скорости уноса массы Gw дает второе крити-
ческое значение:
&Р = СО,е[г Со.е + Фс(?О / Нс) ~
“ ФО - Ф8Ю2 6*0 / J*SiO2)] (7.5.4)
Точнее, соответствует Psi//Ъю w 10~2 »
когда в соответствии с термодинамическими
оценками р$Ю2 « PSiO , РСО « Рсо2 > а
PSi2 мало. Для приведенного выше состава
стеклопластика в табл. 7.5.1 даны значения
критических параметров.
7.5.1. Влияние режима течения
на критические значения скорости уноса массы
7.5.2)
Режим течения в пограничном слое GW« = 0) - 1)
Ламинарный, у =0,6 0,3 0,4 1,1
Турбулентный, У = 0,2 0,4 0,5 2,2
Варьирование параметром позволяет уста-
новить возможную ширину переходного ре-
жима между первым и вторым диапазонами
изменения скорости испарения стеклопласти-
ка. Обращает на себя внимание слабая зави-
симость от режима течения в пограничном
слое (или от величины коэффициента вдува
у ) значения G^ , тогда как граница второго
и третьего диапазонов существенно отодвига-
ется в турбулентном пограничном слое.
Из выражения для G^ нетрудно уста-
новить, каков должен быть состав материала,
чтобы на его поверхности мог быть реализо-
ван третий режим испарения (или макси-
мально возможная скорость испарения при
данной температуре Tw). Для этого достаточ-
но, чтобы выражение в квадратных скобках
было положительно:
[фС ~6*С / ?о)Фо] / Ф8Ю2 >
> 6*с / HSio2) = 0,2 . (7.5.5)
Для рассматриваемого типа стеклопластиков
это означает, что содержание углерода в свя-
зующем Фс > 0,2 (при фо = 0,05 ).
Влияние горения коксовых частиц на
зависимость скорости испарения стекла от
температуры немонотонно.
На первом интервале Gw £ G^ все
стеклопластики имеют общий характер зависи-
мости GW(TW), а влияние состава отразится
лишь на значении предельного параметра G^
476 Глава 7.5. ОБЪЕМНО-ПОВЕРХНОСТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ (РАЗРУШЕНИЕ КОМПОЗИТОВ)
Рис. 7.5.1. Сравнение зависимостей скорости
испарении стеклопластика и кварцевого стекла от
температуры поверхности при различных значеиинх
отношении ре к (а/ Сp)q (кварц при
Ре / (а / ср)о ~ 1q5 Па с/кг-м2)
На втором интервале £GW £ G^
наличие в поверхностном слое стеклопластика
свободного углерода приводит к резкой ин-
тенсификации испарения и значительному
отличию скоростей уноса массы стеклопла-
стика от кварцевого стекла (рис. 7.5.1).
В том случае, когда содержание углерода
в материале достаточно велико, может насту-
пить третий режим испарения - с максималь-
но возможным по кинетической теории зна-
чением G^TW). Знание предельных значений
ё<'> и gJ2>. а также самих функций
на первом и третьем режимах раз-
рушения позволяет обнаружить, что при оп-
ределенном соотношении внешних парамет-
ров: давлении торможения ре и коэффициенте
теплопередачи (а/Ср)о зависимость скоро-
сти уноса массы от температуры Tw неодно-
значна. Это связано в тем, что на первом ре-
жиме Gw, помимо температуры, включает в
себя в качестве определяющего параметра
давление ре, тогда как на третьем режиме
безразмерное отношение Gw зависит от тем-
пературы и коэффициента теплопередачи
(а/Ср)0. В частности, для случая раз-
рушения стандартного стеклопластика с
q>SiO2 ~ в ламинарном пограничном слое
второе значение критической температуры
Рис. 7.5.2. Зависимости критических значений
температур и от параметров набегающего
воздушного потока: давлении торможении ре и
коэффициента теплопередачи (а / С р)о
Т<2} (рис. 7.5.2) ниже первого при
Ре / (« / ср)о £ 0,5 • 105 (Па с)/(кг м2).
Указанное обстоятельство отражается на
параметрах разрушения не только количест-
венно, но и качественно. В противополож-
ность кварцевому стеклу эффективность раз-
рушения стеклопластика возрастает с увели-
чением давления ре, а температура поверх-
ности Tw при больших энтальпиях торможе-
ния Не уменьшается, а не увеличивается
(рис. 7.5.3), как при испарении.
Рис. 7.5.3. Изменение температуры поверхности
от энтальпии торможении Не при испарении
стеклопластика и кварцевого стекла в потоке воздуха
ОПЛАВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ, ПРОТЕКАЮЩЕЕ В ПОДПОВЕРХНОСТНОМ СЛОЕ
477
Глава 7.6
ОПЛАВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ,
ПРОТЕКАЮЩЕЕ
В ПОДПОВЕРХНОСТНОМ СЛОЕ
Лишь при взаимодействии поверхности те-
плозащитного покрытия с интенсивным лучи-
стым тепловым потоком можно представить
такую ситуацию, когда нагрев тела не будет со-
провождаться одновременным силовым и хими-
ческим воздействием окружающей среды. В по-
давляющем большинстве практически встре-
чающихся ситуаций тепловое, силовое и химиче-
ское воздействия происходят одновременно.
Помимо внешнего силового воздействия
потока для многих теплозащитных материалов
учитывают силы внутреннего происхождения,
т. е. силы, обусловленные структурой и соста-
вом самого материала. Сюда относятся силы
внутреннего давления, возникающие при
фильтрации газообразных продуктов термиче-
ского разложения органических составляющих
через тугоплавкий или термостойкий пористый
каркас. Кроме того, существенное значение
приобретают в некоторых случаях термические
и усадочные напряжения во внутренних слоях,
которые также могут явиться причиной нару-
шения сплошности материала и выноса в по-
ток отдельных частиц.
Процессы, протекающие в тонком под-
поверхностном слое могут оказать решающее
значение и на полноту реализации тепловых
эффектов поверхностных реакций. Так за счет
изменения вязкости расплава на реальных
стеклопластиках по сравнению с однородным
стеклом температура поверхности может ока-
заться недостаточной для испарения и боль-
шая часть материала будет снесена с поверх-
ности при минимальном теплозащитном эф-
фекте. В других условиях температура газооб-
разных продуктов термического разложения
связующего, выходящего из пористого про-
коксованного слоя, может оказаться так низ-
ка, что на разрушающейся поверхности поя-
вится тепловая “шероховатость” и будет на-
рушено регулярное течение в пограничном
слое.
Все это требует разработки специальных
методов расчетов физико-химических процес-
сов, протекающих в подповерхностном слое и
проведения тонких экспериментальных ис-
следований. Положение усугубляется тем, что
прямые измерения в подповерхностном слое
практически невозможны из-за высокого
уровня температур и быстротечности проте-
кания всех процессов, поэтому судить о ха-
рактере этих процессов можно лишь на осно-
вании сравнения расчетных и измеренных
значений некоторых суммарных параметров,
таких как скорость уноса массы или темпера-
тура разрушающейся поверхности.
Большинство веществ при умеренных
давлениях, прежде чем перейти в газообразное
состояние, проходят фазу расплава. Сам про-
цесс плавления в потоке высокоэнтальпийного
газа существенно зависит от того, к какому
классу - кристаллическому или аморфному
принадлежит данное вещество. Кристалличе-
ские вещества плавятся при постоянной темпе-
ратуре =Тт, при достижении которой
вязкость вещества резко уменьшается до столь
малых значений, что вся расплавленная масса
сносится с поверхности материала под действи-
ем аэродинамических сил практически мгно-
венно. Температура внешней поверхности та-
кой пленки мало отличается от Тт , а толщина
ее весьма мала.
Аморфные материалы, к которым отно-
сится и стекло, не имеют четко выраженной
точки (температуры) плавления, а размягчают-
ся постепенно, причем вязкость расплава экс-
поненциально убывает с ростом температуры.
Это обстоятельство приводит к тому, что в
отличие от кристаллических веществ, аморф-
ные могут значительно перегреться относи-
тельно температуры размягчения, а при этом
значительная часть расплава перейдет в пар
(испарится). Иными словами, при аэродинами-
ческом нагреве аморфных веществ и стекол, в
частности, в поверхностном слое имеют место
сразу два фазовых превращения, причем каж-
дое не связано с какой-то фиксированной тем-
пературой, а может протекать в широком ин-
тервале температур, в зависимости от заданных
условий силового и теплового нагружения. Для
примера на рис. 7.6.1 показан характер измене-
Рнс. 7.6.1. Возрастание с увеличением давления ре
(сдвигающих напряжений) различия между температу-
рой начала разрушения Tj н температурой внешней
поверхности Tw кварцевого стекла в высокотемпера-
турном потоке воздуха
478 Глава 7.6. ОПЛАВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ, ПРОТЕКАЮЩЕЕ В ПОДПОВЕРХНОСТНОМ СЛОЕ
ния температуры размягчения (начала образо-
вания расплава) и температуры внешней по-
верхности (испарения) при изменении давле-
ния торможения ре в окрестности критиче-
ской точки затупленного образца из кварце-
вого стекла (при фиксированном значении
энтальпии торможения Не).
Применительно к теплозащитным мате-
риалам жидкая пленка на поверхности может
образоваться в результате трех причин:
1) плавления исходного материала или его
составляющих (металлы, стекло, армированные
пластмассы - стеклопластики, термопласты);
2) образования жидкой фазы в результате
термического разложения исходного материала
(при разложении хризотиласбеста образуются
оксиды, способные образовать капли расплава:
H4Mg3Si2O9 -► 2Н2О + 3MgO + 2SiO2 ;
3) образования жидкой фазы вследствие
химического взаимодействия материала тела с
внешним потоком:
SiC(TB) + 3 / 2О2 -► SiO2(x) + СО.
Как правило, толщина жидкой пленки
на поверхности разрушающегося тела весьма
мала, тем не менее она оказывает серьезное
влияние на процесс разрушения, в частности,
за счет сцепления отдельных частиц поверх-
ностного слоя, предотвращающего их эрози-
онное выдувание потоком или за счет экра-
нирования материала от химически активных
компонентов внешней среды.
Общая постановка задачи о плавлении
материала в высокотемпературном потоке газа
приводит к совместному решению системы
уравнений, выражающих законы сохранения
массы, количества движения и энергии соот-
ветственно для газообразной, жидкой и твер-
дой фаз. Однако, вследствие большого разли-
чия в вязкостях, скорость движения расплава
на несколько порядков отличается от скоро-
сти набегающего потока и поэтому обратным
влиянием расплава на течение в пограничном
слое газа можно пренебречь. В этом случае
задача существенно упрощается и можно
принять за величины теплового потока qw и
трения xw на поверхности пленки их значе-
ния на аналогичной неподвижной поверхно-
сти, но с поправкой на эффект вдува (гл. 7.2).
Даже у столь вязких расплавов, как рас-
плавленное кварцевое стекло, толщина пленки
значительно меньше глубины прогрева тела,
или тем более размеров самого тела, поэтому
система уравнений, описывающих течение
пленки имеет обычный вид уравнений лами-
нарного пограничного слоя. Плотность рас-
Рис. 7.6.2. Модель процесса разрушения (оплавления)
стеклообразного материала в высокотемпературном
газовом потоке, обтекающем окрестность точки
торможения затупленного тела:
7 - пограничный слой газового потока;
2 - жидкая пленка расплава, стекающая
под действием сдвигающих сил газового потока;
3 - твердое тело
плава практически не зависит от температуры,
поэтому течение можно считать несжимае-
мым. Принимается также постоянное значе-
ние для теплоемкости и теплопроводности
расплава поперек пленки. Тогда в системе
координат, связанной с внешней поверхно-
стью тела и началом отсчета в критической
точке (рис. 7.6.2), уравнения неустановивше-
гося движения жидкой пленки расплава стек-
лообразного материала приобретают следую-
щий вид:
£(~) + ^(^) = 0, (7.6.1)
0 = + + (7-б-2)
dx ду к ду)
дТ дТ дТ X д2Т .....
—+ « —+ v—=-------------------—. (7.6.3)
дх дх ду рс ду
Здесь г = г(х) - расстояние от оси симмет-
рии, Fx - массовые силы (например, при
торможении аппарата в атмосфере), X, р, с
и т|(Т) - теплопроводность, теплоемкость,
плотность и вязкость соответственно.
В отличие от уравнений газодинамиче-
ского пограничного слоя в данном случае
учитывают, что скорости течения в пленке
расплава достаточно малы, чтобы можно было
ОПЛАВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ, ПРОТЕКАЮЩЕЕ В ПОДПОВЕРХНОСТНОМ СЛОЕ
479
Рис. 7.6.3. Зависимость безразмерной скорости оплавления кварцевого стекла от энтальпии
торможения Не при различных значениях давления торможения ре и степени черноты поверхности Е
пренебречь инерционными членами типа
ди ди
и—, — , а также диссипативными членами
дх дх
а Га \2
dp- ( ди 1
в уравнении энергии типа и —- , п —
дх \ду)
На внешней поверхности расплавленной
пленки необходимо учитывать возможность
испарения части вещества:
(pv)y=O = = [(а / cp)oPvM>v] / [PeHz ~
-(1 - yJPvMv] - (а / cp)of(pt,Tw),
тогда как теплота, поступающая внутрь плен-
ки, определяется балансом
-мат / аУ)/ж0 = [(« / «,)о - - М -
av / ау|уж0 -> 0 , ИЛИ V ->
Наиболее простой вид имеет решение
выписанной выше системы уравнений и гра-
ничных условий в квазистационарном при-
ближении в окрестности критической точки
затупленного тела, когда
г « х ; дТ / дх « 0;
(dp,/dx) =qx, xv=c2x,
где С| и С2 - постоянные.
Для получения аналитического решения сдела-
ем два предположения. Первое о том, что рас-
пределение вязкости поперек пленки расплава
подчиняется экспоненциальной зависимости:
п/п» =ехр(у/5); п» =n(Tw),
GW^QW — Qin
и выполняется равенство сил трения
= n(a«/ay)/=0-
Поскольку нижняя граница пленки не имеет
четкого температурного предела, целесообраз-
но ставить граничные условия на большом
удалении от внешней поверхности:
у оо: Т(т,оо) -> То , м(т,оо) -> 0,
где 5 - некоторая приведенная “толщина”
пленки. Во-вторых, примем, что действитель-
ный закон изменения вязкости с температу-
рой т| = ехр[(а / 7) + 0] можно аппрокси-
мировать степенным приближением:
(п/ Пн.) = [(Г - То) / (Т„ - То)]’"
Параметр соответствия п принимает вид: п =
= а / Tw .
480 Глава 7.6. ОПЛАВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ, ПРОТЕКАЮЩЕЕ В ПОДПОВЕРХНОСТНОМ СЛОЕ
Рис. 7.6.4. Изменение температуры поверхности Tw с энтальпией Не и давлением ре заторможенного потока
(расслоение кривых путем варьировании степенью черноты £ , см. рис. 7.6.3)
При таких предположениях нетрудно
проинтегрировать уравнения движения плен-
ки и получить выражения для компонент
скорости:
и(х,у) = expt-д' / 5)n;,[Tw5 - р'хЬ2(у / 5 +1)],
= pVoo = Gw + (2р82 / i]w) *
xtdtjy /dx)-25(d2pe /dx2). (7.6.4)
Последнее соотношение дает необходи-
мую связь скорости разрушения с температу-
рой поверхности Tw (через вязкость Т|ц, и
толщину 5).
Тепловой баланс на разрушающейся по-
верхности позволяет получить недостающее
соотношение для 5:5 = X(TW - То) / (л<7/л) •
На рис. 7.6.3, 7.6.4 и 7.6.5 представлены
типичные зависимости скорости уноса массы,
температуры поверхности и доли испарения Г
от параметров набегающего газового потока:
давления ре и энтальпии Не. Постепенное
увеличение доли вещества, унесенного в газо-
образном виде, происходит по мере увеличе-
ния теплонапряженности потока - энтальпии
торможения Не . На разрушающейся поверх-
ности стекла протекают два конкурирую-
щих процесса: сдвиг массы под действием
Рис. 7.6.5. Изменение доли испарения Г а общем уносе массы кварцевого стекла
при увеличении энтальпии Не и давлении ре
ОПЛАВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ, ПРОТЕКАЮЩЕЕ В ПОДПОВЕРХНОСТНОМ СЛОЕ
481
Рис. 7.6.6. Зависимость эффективной энтальпии раз-
рушения кварцевого стекла от энтальпии заторможен-
ного потока при ламинарном (/) и турбулентном (2)
режимах течения в пограничном слое
силовой нагрузки - аэродинамического давле-
ния и трения, а также перегрев верхнего слоя
этой сдвигающейся массы и ее испарение. В
зависимости от соотношения сил и теплового
потока в каждом конкретном случае преоблада-
ет либо течение расплава, либо процесс испа-
рения. В ламинарном пограничном слое в ок-
рестности критической точки соотношение
внешних нагрузок таково, что плавление пре-
обладает даже при высоких значениях энталь-
пии Не (рис. 7.6.5). Иное положение в окре-
стности звуковой точки полусферического
затупления, где при достаточно высоких дав-
лениях ре возможен турбулентный погра-
ничный слой, а, следовательно, существенное
увеличение теплопередачи при почти том же
уровне сдвигающих напряжений. На рис. 7.6.6
представлены расчеты зависимости эффек-
тивной энтальпии разрушения Heff от эн-
тальпии торможения Не как для ламинар-
ного, так и турбулентного пограничного слоя
(уровень теплового потока в последнем втрое
выше). Видно, что при умеренных значениях
энтальпии Не эффективность оплавления
стекла в турбулентном пограничном слое су-
щественно выше (за счет большей доли испа-
рения Г), хотя при дальнейшем увеличении
Не эта разность нивелируется (это связано с
эффектом вдува).
Теми же причинами объясняется широ-
ко известный факт “замерзания” пленки рас-
плава, попадающей с затупления на боковую
поверхность конуса или державки модели при
испытаниях в высокотемпературных газовых
потоках. Расчеты полностью подтверждают,
что на боковых поверхностях осесимметрич-
ных и плоских тел в условиях очень малых
градиентов давления силы трения уже не в
Ряс. 7.6.7. Изменение температуры поверхности Tw и скорости оплавления кварцевого стекла от времени
при различных предположениях относительно профиля скорости в расплавленной пленке
(все параметры отнесены к квазистационарным значениям)
16 Зак. 488
482
Глава 7.7. ОПЛАВЛЕНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ХИМИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
состоянии сдвигать пленку расплава ‘ вязких”
стекол, типа кварцевого, основным процессом
на разрушающейся поверхности становится
испарение. Это существенно упрощает рас-
четную схему разрушения.
До сих пор рассматривалось лишь ста-
ционарное разрушение стеклообразного мате-
риала. Однако, в большинстве приложений
имеют дело либо с нестационарностью гра-
ничных условий (движение космического
аппарата по траектории спуска в атмосфере),
либо с кратковременностью пребывания дан-
ного образца материала в стационарном пото-
ке газа (например, при экспериментальном
исследовании на лабораторных установках).
Применительно к более простой второй про-
блеме были проведены специальные расчеты,
которые показали, что процесс установления
стационарного режима определяется не харак-
тером течения в весьма тонкой пленке рас-
плава, а процессом распространения теплоты
внутри твердого тела, внешняя поверхность
которого перемешается со скоростью разру-
шения. Иными словами, кинетические изме-
нения в пленке происходят значительно бы-
стрее тепловых изменений в твердом теле.
Это утверждение подтверждается результатами
численных расчетов (пунктирная линия на
рис. 7.6.7).
Кристаллические вещества уступают
аморфным по эффективности разрушения за
счет слабого перегрева пленки расплава и,
следовательно, малой доли испарения Г в
уносе массы. Последнее связано с малой вяз-
костью расплава. В то же время некоторые
кристаллические вещества, например, туго-
плавкие металлы, часто используются для
высокотемпературных исследований.
Ограничимся случаем квазистационар-
ного разрушения. Основное допущение сво-
дится к малости и постоянству вязкости рас-
плава. Первая часть этого допущения позво-
ляет предположить, что профиль скорости
м(у) близок к линейному и сама пленка дос-
таточно тонка. Вторая часть допущения по-
зволяет проинтегрировать уравнение движе-
ния (7.6.2) - (7.6.4):
и(х,у = 0) =
= “» = П-'[тн.6 + (Аре / dx)(82 / 2) ], (7.6.5)
причем толщина пленки расплава 5(х) свя-
зана с тепловым потоком, проходящим внутрь
пленки qjn = -c(Tw - Tq) уравнением:
7’w-T/„=(<7to8)/X. (7.6.6)
а скорость плавления может быть вычислена
как
Gj = qin[L + c(Tin - То) + 0,6c(Tw - T/n)f'.
(7.6.7)
Иными словами, поглощенная пленкой
энергия составляет около 60 % теплоты, по-
требного для нагрева всей расплавленной
массы от Тт до Т = Tw . Замыкает эту систе-
му баланс массы в пленке, учитывающий
возможность частичного испарения расплава
с расходом G = GW(TW):
PM = (2/ro)U*(Gs-Gw)dx;
о
(7.6.8)
здесь Го(х) - радиус поперечного сечения
осесимметричного тела, к = 0 - для плоско-
го, к = 1 - для осесимметричного течения.
Величина трения определяется с помощью
аналогии Рейнольдса:
tw = (а / Cp)wue РГц/ ;
скорость испарения GW(TW) - по обычным
соотношениям сублимации в газовом потоке.
Таким образом, система уравнений (7.6.5) -
(7.6.8) позволяет рассчитать толщину 5 , тем-
пературу Tw и скорость внешней поверхно-
сти uw пленки расплава на кристаллическом
веществе, имеющем температуру плавления
Тт и теплоту плавления L.
Глава 7.7
ОПЛАВЛЕНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ
ХИМИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Существует ряд веществ, у которых по-
явление расплавленной фазы на поверхности
обусловлено химическим взаимодействием.
Например, при окислении карбида кремния в
высокотемпературном потоке воздуха на его
поверхности может образоваться пленка рас-
плавленного стекла SiO2- Более характерны
такие варианты, когда плавление и химиче-
ское взаимодействие протекают параллельно,
корректируя взаимно скорости друг друга.
Типичным примером являются стеклопласти-
ки. Если содержание связующего в таком мате-
ОПЛАВЛЕНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ХИМИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
483
риале достаточно велико, то определяющую
роль в его разрушении играет прочный кок-
совый остаток. Расплавленный кварц удержи-
вается внутри пористого коксового остатка за
счет капиллярных сил. По мере разрушения
кокса аэродинамическими сдвигающими на-
пряжениями кварцевый наполнитель получает
возможность либо испариться, либо образо-
вать на поверхности капли расплава, которые
также сносятся потоком.
Таким образом, в этом случае поверх-
ность материала не покрыта сплошной плен-
кой расплава, тем не менее разрушение кокса
и кварца нельзя считать независимыми. По-
мимо гетерогенного взаимодействия большое
значение для установления истинной скоро-
сти горения кокса имеет испа рение двуокиси
кремния S1O2, сопровождающееся диссоциа-
цией молекулы и освобождением кислорода.
Именно за счет этих дополнительных процес-
сов взаимодействия наполнителя с углеродом
можно объяснить, почему зависимость скоро-
сти уноса массы асботекстолита как качест-
венно, так и количественно отличается от
зависимости скорости уноса массы от темпе-
ратуры для графита.
Если рассмотреть другой крайний случай,
когда содержание смолы в материале невелико,
то определяющую роль в механизме разруше-
ния будет играть плавление и испарение квар-
цевого стекла. Однако отличие от оплавления
однородного стекла будет происходить как за
счет физических явлений, так, в особенности
за счет химического взаимодействия стекла с
коксом и набегающим потоком.
Частички кокса состоят почти целиком из
углерода, поэтому при температуре плавления
стекла они остаются твердыми. Растекающаяся
пленка стекла взламывает пористую структуру
прококсованного слоя и уносит эти частички с
собой. Пока содержание смолы в материале
мало, расплав кремнезема надежно обволаки-
вает частицы кокса и не дает им окисляться
кислородом. Однако по мере увеличения со-
держания смолы возрастает роль окисления.
Одновременно увеличивается загромождение
течения расплава частицами кокса, что учиты-
вается введением эффективной вязкости:
Че / nsiOj = ехр[2,5хя / (1 - 135хп)],
где хп - объемное содержание примесей.
Физическая модель разрушения должна
включать процессы внутреннего теплопогло-
щения и фильтрации, связанные с термиче-
ским разложением связующего (гл. 7.3). По-
явление значительной пористости, в том чис-
ле и внутри пленки расплава, приводит к
снижению молекулярной теплопроводности
стеклопластика по сравнению с однород-
ным стеклом, но, что еще важнее, делает его
менее прозрачным для излучения. В результа-
те коэффициент эффективной теплопровод-
ности уменьшается даже сильнее, чем .
Итак, добавление связующего в стекло-
образный материал увеличивает вязкость рас-
плава и снижает эффективный коэффициент
теплопроводности, что по формулам преды-
дущей главы должно увеличить долю газифи-
цировавшего вещества в общем уносе массы.
Необходимо также учесть увеличение эффекта
вдува за счет газообразных продуктов терми-
ческого разложения.
Возможны два варианта химических ас-
пектов, влияющих на оплавление. В первом
взаимодействие углерода со стеклом происхо-
дит только на поверхности - через паровую
фазу. Во-втором - допускается гетерогенное*
взаимодействие. Рассмотрим особенности ге-
терогенных реакций, т. е. таких реакций, ко-
торые не требуют перехода одной или обоих
участвующих в них компонент в газообразное
состояние. Твердофазные реакции имеют
обычно сложный, многостадийный характер,
вследствие чего кинетические константы мо-
гут отличаться при различных условиях нагре-
ва. Однако экспериментальные данные огра-
ничены в настоящее время случаем изотерми-
ческого нагрева и весьма противоречивы.
Наиболее полное исследование процесса
твердофазного взаимодействия проведено на
примере восстановления молекул стекла SiO2
углеродом С. Процесс протекает по схеме:
8Ю2(тв) + С(тв) SiO(ra3) + СО(газ),
хотя при меньших температурах в качестве
промежуточного продукта может образовы-
ваться твердый карбид кремния SiC. При
стехиометрическом соотношении компонент
скорость взаимодействия зависит от реакци-
онной поверхности стекла, за счет чего в ре-
альных стеклопластиках она может быть на-
много ниже.
Экспериментальные данные образуют
два набора кинетических констант, соответст-
венно, для максимальной и минимальной
скорости взаимодействия:
(Е / Я), = 34720 К , 5, = 5 • Ю6с'*;
(Е / R)z = 27750 К , Вг =910с'*.
На рис. 7.7.1 показано, как смещается в об-
ласть высоких температур при повышении
16*
484
Глава 7.7. ОПЛАВЛЕНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ХИМИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Рис. 7.7.1. Зависимость температур начала
(Сн = 0,1) и конца (Ск = 0,9) реакции взаимодей-
ения стекла с углеродом от скорости разрушения стек-
лопластика при различных предположениях
относительно кинетических констант
Рнс. 7.7.2. Сравнение результатов расчета эффектив-
ной энтальпии разрушения стеклопластика при различ-
ных энтальпиях торможения в зависимости от принятой
схемы уноса углерода механического (/), поверхност-
ного (2) и гетерогенного (3)
темпа нагрева область протекания реакции
восстановления стекла (при квазистационар-
ном разрушении темп нагрева прямо связан
со скоростью линейного перемещения по-
верхности Уда ).
дТ / дх = Уда / а(Т -TQ) , а = А. / рс.
При достаточно малых скоростях разру-
шения практически весь имеющийся в мате-
риале углерод успевает прореагировать до
начала поверхностнрго испарения стекла.
Напротив, при больших скоростях уноса мас-
сы основная часть углерода сгорает при взаи-
модействии с парами стекла и кислородосо-
держащими компонентами набегающего по-
тока. Таким образом, гетерогенное или твер-
дофазное взаимодействие принципиально
влияют на механизм разрушения стеклопла-
стиков, прежде всего в области малых тепло-
вых потоков или умеренных энтальпий тор-
можения Не. Энергоемкость этих реакций
высокая: на 1 кг массы сгорающего углерода
поглощается почти 55 МДж теплоты. Следст-
вием этого является существенная деформа-
ция температурного профиля в разрушаю-
щемся материале, а также резкое повышение
эффективности разрушения.
Принципиальной особенностью гетеро-
генного взаимодействия стекла и углерода
является возможность осаждения на поверх-
ности пленки конденсированного стекла. При
избытке кислорода во внешнем потоке посту-
пающая изнутри окись SiO может быть окис-
лена до SiOj. В том случае, когда давление
насыщенного пара окажется меньше парци-
ального давления двуокиси кремния PsiO2
часть ее конденсируется на поверхности в со-
ответствии с кинетикой Ленгмюра - Кнудсера.
Если конденсат находится в расплавленном
состоянии, то дальнейшее протекание поверх-
ностных процессов определяется уровнем ме-
ханического воздействия набегающего потока.
Увеличение скорости газификации и одно-
временное снижение роли оплавления (за
счет изменения температурного профиля при
внутреннем поглощении теплоты) приводят к
тому, что суммарная скорость уноса массы
при гетерогенном взаимодействии оказывает-
ся ниже, чем при поверхностном разрушении.
При высоких тепловых нагрузках на матери-
ал, когда пленка расплава полностью исчезает
с разрушающейся поверхности, гетерогенное
взаимодействие уже не изменяет принципи-
ально зависимости скорости уноса массы от
температуры поверхности Gw (Tw) .
Наложение силового и термохимиче-
ского воздействия набегающего потока может
привести к некоторым принципиальным осо-
бенностям разрушения стеклопластиков. В
качестве иллюстрации приведем результаты
сравнения скорости уноса массы и температу-
ры поверхности, рассчитанных по всем трем
моделям, включая ’’механический унос угле-
рода”, который соответствует течению пленки
расплава с загромождающими примесями.
На рис. 7.7.2, 7.7.3, 7.7.4 представлены ре-
зультаты расчетов при давлении торможения
ре = 105 Па и радиусе кривизны в окрестно-
сти критической точки = 7 мм. Режим
течения предполагается ламинарным. Видно.
ОПЛАВЛЕНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ХИМИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
485
Рис. 7.7.3. Зависимость температуры поверхности
Tw от энтальпии заторможенного потока Не
(обозначения те же, что и на рис. 7.7.2)
Рис. 7.7.5. Зависимость скорости разрушения
стеклопластика от энтальпии торможения потоков
газов различного состава
что по мере усложнения схемы взаимодейст-
вия углерода температура поверхности Tw
снижается по отношению к кварцевому стек-
лу тем сильнее, чем выше энтальпия тормо-
жения Не.
туры, поэтому характерного провала на кри-
вой Tw(He) в модели поверхностного горе-
ния не отмечается, и он сохранился только
при гетерогенном взаимодействии.
При малых энтальпиях Не на первый
план выходит эффект выделения теплоты при
горении, и температура поверхности в моделях,
учитывающих взаимодействие углерода, оказы-
вается несколько выше. Появление пленки рас-
плава снизило роль эффекта неоднозначности в
зависимости скорости испарения от темпера-
Рис. 7.7.4. Сравнение результатов расчета доли испаре-
ния Г8Ю2 при различных энтальпиях торможения
в зависимости от принятой схемы уноса углерода
(см. рис. 7.7.2)
Рис. 7.7.6. Изменение доли испарения Г стекла
в механизме разрушения стеклопластика
при увеличении энтальпии торможения потоков газов
различного состава
486
Глава 7.7. ОПЛАВЛЕНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ХИМИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Результаты численных расчетов показы-
вают, что при высоких значениях энтальпии
торможения Не относительный вклад раз-
личных процессов взаимодействия углерода
со стеклом в эффективность разрушения
снижается, уступая эффекту вдува. Это объяс-
няется тем, что во всех рассмотренных моде-
лях доля испарения Г стремится к единице,
чем, стеклопластики принципиально отлича-
ются от кварцевого стекла, у которого даже
при высоких Не значительная масса уносит-
ся в пленке расплава. Этим же можно объяс-
нить и тот факт, что различие между рассмот-
ренными моделями взаимодействия намного
слабее при турбулентном режиме течения в
пограничном слое.
Поведение стеклопластиков в газовых
потоках различного химического состава по-
казано на рис. 7.7.5, 7.7.6. Учитывая различия
в теплоемкостях набегающих газовых пото-
ков, удобно представить результаты в виде
зависимости от перепада энтальпий над раз-
рушающейся поверхностью а не
просто от энтальпии торможения Не.
Результаты расчетов показали, что чем
больше в потоке кислородосодержащих ком-
понент, тем ниже эффективность разрушения
Hgff. Это связано с замедлением диссоциа-
ции паров стекла, а, следовательно, со сни-
жением скорости и доли испарения. Исклю-
чение составляет углекислый газ СОг, кото-
рый хотя и имеет окислительный потенциал
выше, чем воздух (?о,е = 036 для СОг про-
тив 0,23 у воздуха), тем не менее эффектив-
ность разрушения в СО2 вначале выше. Это
объясняется тем, что при низких температу-
рах поверхности в углекислом газе не реали-
зуется отрицательный тепловой эффект горе-
ния кокса до СО2 (учитывая избыток его в
набегающем потоке) (см. рис. 7.7.5).
В инертной атмосфере пленка расплава
практически не образуется (Г « 1), что также
является принципиальной особенностью
стеклопластиков на органических связующих
с большим выходом углерода.
Раздел 8
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ И МЕТОДОВ
РАСЧЕТА ТЕПЛООБМЕНА ИЗЛУЧЕНИЕМ
Глава 8.1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ,
ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ [5]
Под термином излучение в теории тепло-
обмена понимается совокупность электромаг-
нитных волн или фотонов различной частоты,
распространяющихся в пространстве или фи-
зических средах и способных взаимодейство-
вать с веществом в различных его формах.
Термин "излучение" имеет два смысла: пер-
вый характеризует излучение как форму пе-
реноса энергии (radiation), второй эквивален-
тен термину "испускание" (emission).
Тепловое излучение - это электромагнит-
ное излучение, энергия которого получена за
счет возбуждения тепловым движением ато-
мов, молекул и других частиц вещества. Об-
щей количественной мерой всех форм движе-
ния материи является энергия. Тепловое из-
лучение может переходить в разнообразные
формы энергии, однако основной формой
превращения является переход в форму теп-
лового хаотического движения атомов и мо-
лекул и обратный переход внутренней энер-
гии частиц в излучение. Этот процесс пре-
вращения энергии в совокупности с процес-
сом переноса излучения и называется тепло-
обменом излучения. Ниже даны основные
понятия и термины, определяющие эту форму
теплообмена, а также часть терминов, исполь-
зуемых в детальных исследованиях и расчетах
теплообмена излучением.
Энергия теплового излучения - энергия,
переносимая электромагнитным излуче-
нием, полученным за счет возбуждения
тепловым движением частиц вещества. Энер-
гия теплового излучения имеет размерность
любой из форм энергии и обозначается И';
[JP] = М1?Т2.
Мерой интенсивности теплового воздей-
ствия является количество энергии, перено-
симой или поглощаемой за единицу времени,
т. е. скорость передачи энергии. Эту величи-
ну, эквивалентную мощности, принято назы-
вать потоком излучения Q.
Поток излучения - количество энергии,
переносимой излучением за единицу времени
через произвольную поверхность,
Q = dW/dx; [Q] = .
Размерность потока излучения соответствует
размерности мощности. Единицей потока
излучения в СИ является мощность в 1 ватт:
1 Вт = кг-м2/с3 = Дж/с. Потоки теплового
излучения в зависимости от физического
процесса взаимодействия излучения и ве-
щества подразделяются на: собственный, т. е.
излученный телом во всех направлениях; па-
дающий, т. е. приходящий со всех направле-
ний на поверхность; отраженный, т. е. отра-
жаемый телом во всех направлениях назад;
пропущенный, т. е. прошедший сквозь тело во
всех направлениях; поглощенный, т. е. поток,
перешедший из формы излучения в форму
теплового движения атомов и молекул погло-
щающего тела; исходящий - сумма собственно-
го, отраженного и пропущенного потоков;
результирующий - разница собственного и
поглощенного потоков, т. е. поток, остаю-
щийся в теле и идущий на изменение его
внутренней энергии в результате процессов
испускания и поглощения; ослабленный - сум-
ма поглощенного и рассеянного потоков,
разность падающего и пропущенного пото-
ков, аналог пропущенного потока для частиц,
волокон, объемов и выражает общую потерю
энергии; рассеянный - часть падающего на
объем или частицу потока, рассеянного по
всем направлениям, аналог отраженного по-
тока применительно к излучению объемов и
дискретных препятствий излучению.
Различные виды потоков связаны между
собой соотношениями, вытекающими из
уравнения баланса потоков как формы закона
сохранения энергии.
Распределения излучения в простран-
стве, во времени и по спектру характеризуют-
ся плотностями распределения, т. е. отноше-
нием изменения фактора в элементарном
интервале аргумента к величине этого интер-
вала (табл. 8.1.1).
Объемная плотность потока излучения т|
- это отношение потока излучения элемента
объема в пределах полного сферического угла
в 4 л к величине этого элемента объема:
n = dQ/dK = d2»7(dKdr);
[ч] = l-'mt3.
488
Глава 8.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
8.1.1. Сводная таблица энергетических характеристик
Термин Размерность Математическое определение Краткое определение
Поток излучения Q, Вт 1?МТ~3 dlF/dr Энергия, переносимая из- лучением за единицу вре- мени через произвольную поверхность
Поверхностная плот- ность потока излуче- ния Е, Вт/м2 МТ'3 dQ/dF Поток излучения через единичную поверхность
Объемная плотность потока излучения т|, Вт/м3 L~XMT~3 dO/dK Поток, излучаемый, погло- щаемый или пропущенный единицей объема
Угловое распределение потока излучения J, Вт/ср L-3MT-3Q-X dO/do Поток, излучаемый, про- пущенный или поглощае- мый в единице телесного угла
Интенсивность излуче- ния Z, Вт/(м2 • ср) МТ'3£ГХ dE/do Поток через единицу по- верхности в единице телес- ного угла
Энергетическая яр- кость Д Вт/(м2 • ср) мт-3сгх dE/ (dco cos0) Поток через единичную поверхность, нормальную к направлению излучения в единице телесного угла
Объемная интенсив- ность излучения (коэффициент объем- ного излучения) у, Вт/(м3 • ср) ь-хмт-3а-х dri/dco Объемная плотность потока излучения в единице телес- ного угла
Объемная плотность энергии излучения w, Дж/м3 L~XMT~2 dFF/dK Энергосодержание единицы объема, содержащего излу- чение
Поверхностная плот- ность энергии излуче- ния Я, Дж/м2 МТ'2 dlF/dF Энергия излучения, погло- щаемая или пропускаемая единицей поверхности
Спектр - это полная совокупность мо-
нохроматических электромагнитных волн или
однородных квантов одинаковой энергии, на
которую можно разложить данное излучение.
Отдельные составляющие спектра различают-
ся положением излучения на спектральных
шкалах.
Частота колебаний v - число полных
колебаний за единицу времени. Частота об-
ратно пропорциональна периоду колебаний,
т. е. длительности одного полного колебания
v = 1/ Тх ; [v] = Г/1. За единицу частоты
принят 1 герц, т. е. частота, при которой одно
колебание совершается за 1 секунду.
Длина волны X - расстояние, на которое
смещается поверхность одинаковой фазы
волны за одно полное колебание, двигаясь со
скоростью распространения волны в среде v.
Размерность [X] = L, единица в СИ 1
м, чаще используется 1 микрон = 10*6 м = 1
мкм. По диапазонам длин волн излучение
классифицируется на: ультрафиолетовое излу-
чение, X = 0,05 + 0,4 мкм; видимое излучение
(свет) X = 0,4 + 0,76 мкм; инфракрасное из-
лучение, X = 0,76 + 1000 мкм; тепловое и пу-
чение, X = 0,1 + 1000 мкм.
Тепловое излучение теоретически со-
держит колебания любой длины волны от О
до оо, однако вклад в общую энергию боль-
ших и малых частот крайне низок, поэтому
выделен диапазон X , имеющий практическое
значение для вычисления W.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
489
Для спектральных шкал еще использу-
ются: циклическая частота со о = 2 7tv, волно-
вое число v = 1/Х, логарифм частоты In v.
Волновое число v - величина, обратная
длине волны, которая показывает, сколько
длин волн укладывается в единице длины.
Измеряется обычно в см*1. Применяется в
прикладной спектроскопии.
Рассмотренные шкалы связаны между
собой соотношениями
Xv = с0; X v = 1; cq7\ = X; Cqv = v.
Распределение энергии излучения по спек-
тру - отношение энергии излучения,
переносимой в бесконечно малом спектраль-
ном интервале, к ширине этого интервала в
одной из шкал спектра:
H^dHVdX; FFv = dJF/dv;
H^ = dH'/dv.
Размерность спектрального распределения
зависит от размерности спектральной шкалы
[И^] = MLT~2 (СИ - Дж/мкм); [И',] =
= М1?Т-Х (Дж • с); [И^] = М1?Т~2 (Дж • см).
Энергия в координатах спектральной плотно-
сти энергии изображается как площадь под
кривой спектрального распределения:
*-2
dlF = IPxdX; Д»К = pKxdX;
IF = JlFxdX..
0
Спектральная плотность потока излуче-
ния - отношение потока излучения в бес-
конечно малом спектральном интервале к
величине этого интервала в одной из спек-
тральных шкал
eX=d(2/dX; (2v=d(?/dv;
&=d(2/dv.
Размерность спектральной плотности потока
зависит от размерности спектральной шкалы:
|ех] = MLT3 (СИ - Вт/мкм); [&] =
= М£27-2 (Вт-с); [(27] = М1?Т~3 (Вт см)
Поглощение, отражение, преломление,
пропускание и рассеяние излучения происхо-
дят при взаимодействии излучения и вещест-
ва. Параметры, определяющие эти процессы
как свойства вещества, называются радиаци-
онными характеристиками. Поток излучения,
падающий на поверхность тела, частично
отражается по всем направлениям, частично
проходит через границу поверхности, прелом-
ляясь при этом, частично поглощается телом,
т. е. переходит в другие виды энергии. На
основе баланса потоков как формы закона
сохранения энергии для элемента поверхно-
сти dF при всестороннем падении излучения
можно записать
^пад “ ^отр +
+
огл
Разделив на Епад, получим
^отр + ^погл
^пад ^пад
Fnp
^пад
Поглощательной способностью а называ-
ется отношение поглощенного потока к пото-
ку излучения, падающему на полупространст-
ва и равномерно распределенному в пределах
телесного угла 2л.
Если излучение падает из одного на-
правления в пределах элементарного телесно-
го угла d<o , поглощательная способность
называется направленной и обозначается .
При падении излучения из полупро-
странства поглощательная способность назы-
вается полусферической а.
Если излучение падает в пределах ко-
нечного телесного угла со < 2 л , поглоща-
тельная способность называется локальной
ai. При всестороннем падении излучения из
пространства поглощательная способность
называется сферической и обозначается
или а°. При неравномерном по углу распре-
делении излучения поглощательная способ-
ность зависит не только от свойств вещества,
но и от свойств падающего потока. В этом
случае к термину добавляется прилагательное
"эффективная" - эффективная поглощательная
способность, обозначаемая а, .
Отражательной способностью г называ-
ется отношение отраженного в полупростран-
ство потока излучения к падающему в преде-
лах полусферы потоку излучения. Отража-
тельная способность этого вида называется
полусферически-полусферической, двуполу-
сферической или просто полусферической и
обозначается г По угловым условиям паде-
ния и отражения отражательные способности
классифицируются на-
490
Глава 8.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
направленные - если поток падающего
или отраженного излучения сосредоточен в
элементарном телесном угле da> ;
полусферические - если поток падающего
или отраженного излучения находится в пре-
делах полного полусферического угла 2 п ;
локальные или конические - в пределах
конечного телесного угла ©£ , меньшего, чем
полный полусферический угол 2 п .
Кроме полусферической отражательной
способности г сочетание угловых условий
падения и отражения дает еще три основных
вида отражательных способностей:
двунаправленную отражательную способ-
ность г0> 0-, для которой и падение и отра-
жение излучения ограничены пределами da> ;
направленно-полусферическую отража-
тельную способность, для которой падение - в
угле da> , а отражение - в пределах 2 п : г0 2я I
полусферически-направленную отража-
тельную способность г2я, е •
Проходя через границу веществ, излуче-
ние испытывает изменение направления, на-
зываемое преломлением. Преломление опре-
деляется изменением скорости распростране-
ния излучения при переходе границы ве-
ществ. Мерой скорости распространения яв-
ляется показатель преломления, показываю-
щий, во сколько раз скорость излучения в
вакууме больше скорости в среде л,- = СоЛ/ •
Относительным показателем преломления
называется отношение двух скоростей в гра-
ничащих средах, равное отношению их абсо-
лютных показателей преломления:
«21 = «г/«1 = V|/v2 ;
л12 - п\/п2 = v2/vl = sin01/sin 02
Преломление излучения, как правило, неот-
делимо от его поглощения. Вещество, пре-
ломляющее и отражающее излучение, обяза-
тельно его поглощает. Если поглощением
нельзя пренебречь, показатель преломления
записывается в комплексной форме:
т - п - ix. Он выражает затухание амплиту-
ды электромагнитных колебаний, т. е. погло-
щение
Учитывая, что интенсивность пропорцио-
нальна квадрату амплитуды, обозначим a =
= 4 л®/Х. Эта формула связывает показатель
поглощения (затухания) ае с коэффициентом
поглощения среды a .
8.1.1. ПОГЛОЩЕНИЕ И
РАССЕЯНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ОБЪЕМЕ
При поглощении излучения на некото-
ром отрезке пути луча dZ часть энергии по-
глощается, т. е. переходит в другие формы
энергии. Относительная убыль потока энер-
гии пропорциональна пути, проходимому
излучением в поглощающей среде,
dZdm dZ ..
7dT = T = -ad/
(8.1.1)
Коэффициент пропорциональности, имею-
щий размерность [a] = Z-1, называется ко-
эффициентом поглощения для данной среды.
Коэффициент поглощения a - отноше-
ние доли излучения, поглощенного на эле-
ментарном отрезке пути, к длине отрезка пу-
ти:
1 di . Г 1 _ г-1
7а7’ И'1 •
В СИ единицей а является м*1. Коэффици-
ент а является не только константой среды,
но и зависит от параметров состояния. При
неравномерном поле параметров пользуются
средним значением по длине пути потока
излучения:
/
Величина, обратная коэффициенту (a), Lq -
= 1/(а), имеет размерность длины и в кван-
товой интерпретации является средней длиной
свободного пробега фотона. Она называется
также вероятностью выживания кванта. Для
многокомпонентной смеси при отсутствии
взаимного влияния компонентов
а2 = а, . Для плоского слоя решение
уравнения (8.1.1) называется законом Бугера:
Е = Eq exp /со
° /,(/') =ехр
/"
- j <av)d7 ;
= Eq exp /со
2лж ,
ехр --г-1
А»
dv = ехр( - <av)/).
(8.1.2)
ПРОПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ
491
Поглощательная способность плоского слоя
для однонаправленного потока I dm
av = 1 -dy, = 1 -ехр(- <<xv>/).
Для полусферического потока каждый из
элементарных потоков проходит поглощаю-
щий слой под своим углом dze = d//cos0 .
Поглощение в этом случае определяется инте-
грированием по полупространству:
</v = 2F3(<av>/); а = l-2F3(<av>/),
где E3((av)Z) - интегроэкспоненциальная
функция;
i *
Для объемов произвольной формы поглоща-
тельная способность может быть сведена к
поглощательной способности полусфериче-
ского объема с эквивалентным радиусом Л,:
av =l-exp(-<av>A3).
Коэффициент поглощения а является свой-
ством элементарного объема dK В объеме за
поглощение ответственны центры поглоще-
ния (атомы, молекулы, частицы), и интенсив-
ность поглощения зависит от их концентра-
ции в единице объема поглощающей среды:
“< = ° fin = Kfif = ; tts = 2 a, .
i
где Cn - числовая концентрация центров
поглощения в единице объема [Сл] = С* , в
СИ измеряемая в м*3. В этом случае о выра-
жается как м2/шт., т. е. имеет физический
смысл затеняющей площади, приходящейся
на один центр поглощения; Ср и Ср - эф-
фективные поверхности частиц или их попе-
речные сечения в единице объема среды. В
этом случае удельное поглощение единицей
поперечного сечения частицы или центра
поглощения выражается фактором поглоще-
ния Kf , а удельное поглощение единицей
поверхности - сферическим фактором погло-
щения Kf. Факторы поглощения - безраз-
мерные величины. Их можно представить как
отношение сечения поглощения к попереч-
ному сечению частицы для К или как отно-
шение поверхности затенения частицы к пол-
ной поверхности частицы для К°. Для сфе-
рической поверхности К = 4 ЙГ°.
Если концентрация выражена через мас-
су частиц в единице объема ц, кг/м3, то
поглощение выражается удельным массовым
поперечным сечением поглощающих центров,
приводящихся на единицу массы вещества к,
м2/кг. Если известны размеры и форма час-
тиц, переход между концентрациями различ-
ных видов не вызывает затруднений:
Концентрация может быть выражена и в
единицах давления в соответствии с уравне-
нием состояния Р = Рм RT . Давление в
этом случае эквивалентно мольной концент-
рации (рм -rn/MV). Коэффициент погло-
щения при данной концентрации выражается
как удельный, на единицу давления
a = К рр и его называют парциальным
коэффициентом. Единицы измерения Кр:
м*1 • Па*1; см*1 • МПа*1; см*1 • атм*1.
Рассеяние излучения. Перенос излучения
в объеме среды, как правило, связан с про-
цессом рассеяния, который обусловлен опти-
ческими неоднородностями. Влияние рассея-
ния на перенос энергии излучения связано с
изменением направления распространения
излучения при взаимодействии с теми или
иными оптическими неоднородностями.
В технических задачах основной тип не-
однородности связан с наличием дисперсной
фазы. Для газовой среды характерно молеку-
лярное рассеяние, которое в технических за-
дачах пренебрежимо мало. Подробнее вопро-
сы рассеяния рассмотрены в гл. 8.3.
8.1.2. ПРОПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ
Пропускателъной способностью d назы-
вается отношение потока излучения, пропу-
щенного элементом среды толщиной /, к па-
дающему потоку. Для пропускания границей
направленного излучения при отсутствии
рассеяния применяется обозначение d$, для
направленного пропускания слоем среды
применяется обозначение d^ . Для каждого зна-
492
Глава 8.2. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
чения угла падения dQ и ге имеют свои зна-
чения. Для пропускания полусферического
потока границей при направленном падении
излучения применяется обозначение </е,2я> а
при полусферическом падении излучения d.
Для пропускания плоским слоем применяют-
ся обозначения d^n и ^сл соответственно.
Пропускание плоского слоя при направ-
ленном падении излучения d^1 формируется
в процессе многократных отражений
_(1-ге)2ехр(-аЛ,)
1 - ге2 exp(-2a/fe)
где - длина пути луча, упавшего на слой
под углом 0, Bq =7/cos3; 3 - угол пре-
ломления, связанный с углом падения 0 за-
коном Снеллиуса; ге - отражательная спо-
собность границы.
Глава 8.2
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ
ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ [5]
Термодинамическое равновесие. Процесс
теплового излучения связан с последователь-
ным превращением кинетической энергии
частиц вещества в энергию их возбужденного
состояния и затем в энергию электромагнит-
ного излучения. При этом из рассмотрения
исключаются случаи, когда процессы взаимо-
действия излучения и вещества вызывают
какие-либо изменения в телах (ионизацию,
электрическую поляризацию, изменение
свойств, химические реакции, фазовые пере-
ходы и др.), неравновесные процессы излуче-
ния (люминесценция, хемилюминесценция,
рекомбинационное, ударное и когерентное
испускание), а также различные формы взаи-
модействия фаз излучения.
Основные законы теплового излучения
определяют свойства термодинамически рав-
новесного излучения, т. е. такого излучения,
которое находится в состоянии равновесия с
испускающей его системой молекул стенки
замкнутой полости. Акты испускания и по-
глощения принимаются статистически неза-
висимыми, а излучение - деполяризованным.
Стенки полости принимаются непрозрачными
и неподвижными, адиабатически изолирован-
ными от окружающей среды.
Физической моделью замкнутой области
пространства, в которой излучение находится
в термодинамическом равновесии с испус-
кающим его веществом стен, ограждающих
это пространство, является модель абсолютно
черного тела.
Под абсолютно черным телом (АЧТ) по-
нимается такое условное тело, которое полно-
стью поглощает все падающее на него излу-
чение, независимо от направления его рас-
пространения, спектрального состава и со-
стояния поляризации. Фундаментальные за-
коны теплового излучения, характеризующие
основные свойства равновесного излучения,
формулируются как законы излучения абсо-
лютно черного тела.
Излучение стен полости характеризуется
плотностью потока энергии излучения Е и
распределением ее по спектру = .
Задачей термодинамического рассмотре-
ния равновесия в полости является отыскание
зависимости объемной плотности энергии от
параметров состояния и ее спектрального
распределения как наиболее вероятного в
условиях термодинамического равновесия.
Термодинамическим равновесием называ-
ется такое состояние системы, адиабатически
изолированной от окружающей среды, при
котором объемная плотность энергии для
любой точки системы не меняется во време-
ни, а термодинамические параметры, опреде-
ляющие состояния для любых элементов сис-
темы, равны между собой. При этом внутри
полости между любыми ее элементами отсут-
ствует результирующий теплообмен.
Температура в каждой произвольной
точке поля излучения в состоянии термоди-
намического равновесия одинакова.
8.2.1. ЗАКОН КИРХГОФА
Закон Кирхгофа описывает одно из наи-
более общих свойств теплового равновесного
излучения. Он устанавливает связь между
способностью тела испускать и поглощать
энергию излучения. В соответствии с усло-
виями термодинамического равновесия в лю-
бой точке АЧТ выполняется требование ра-
венства испускаемого потока излучения по-
глощаемому потоку. Следовательно, в услови-
ях термодинамического равновесия отноше-
ние спектральной плотности испускаемого
потока излучения к спектральной поглоща-
тельной способности тела является одинако-
вым для всех тел и равным спектральной
плотности потока излучения АЧТ при той же
температуре:
гизл гизл
А1,Х = ^2,Х
al,X а2,А
= ^ = Е 7).
ап,\
ЗАКОН ЛАМБЕРТА
493
Сформулированный закон, известный
как закон Кирхгофа, относится к излучению в
узком спектральном интервале.
Для излучения в полном спектре при
термодинамическом равновесии отношение
интегральной плотности потока излучения к
интегральной поглощательной способности
тела является одинаковым для всех тел и рав-
ным интегральной плотности потока излуче-
ния АЧТ при той же температуре:
?изл £изл £изл
П| а2 ап
= ^ачт (7).
Из закона Кирхгофа вытекает ряд след-
ствий, имеющих большое практическое зна-
чение.
Первое следствие определяет соотноше-
ние между излучательной способностью
(степенью черноты) тела и его поглощатель-
ной способностью. Если выразить спектраль-
ную плотность излучения тела как долю излу-
че- ния черного тела при той же температу-
ре, назвав эту долю излучательной способно-
стью (степенью черноты) елд = »
при Тп = Тдчт, то в соответствии с законом
Кирхгофа можно написать
*!Д Е2Д г АЧТ
-— = -—= дчт=— ----------;
а1Д а2,\ ап,Х
£1,Х _ е2Д _ £лД _ t
а1Д а2Д алД
В условиях термодинамического равно-
весия спектральная излучательная способ-
ность равна поглощательной способности при
той же длине волны и температуре =8^.
Это следствие дает возможность рассчитывать
излучаемую телом энергию при известной
спектральной поглощательной способности и
универсальной функции излучения АЧТ:
Второе следствие. Из всех тел при одной
и той же температуре абсолютно черное тело
обладает максимальным спектральным излу-
чением для всех длин волн, поскольку оно
имеет поглощательную способность = 1,
а у остальных веществ ак £ 1.
8.2.2. ЗАКОН СТЕФАНА - БОЛЬЦМАНА
Закон Стефана - Больцмана устанавли-
вает для равновесных условий связь инте-
грального полусферического потока излуче-
ния элемента поверхности АЧТ с его абсо-
лютной температурой. Плотность потока рав-
новесного излучения элемента поверхности
АЧТ пропорциональна четвертой степени
абсолютной температуры:
Е0=в0Т4,
где со - 5,67032 • 10’8 Вт/(м2 • К4) - постоян-
ная Стефана - Больцмана.
Закон Стефана - Больцмана впервые
был установлен экспериментально Стефаном
(1879 г.) и обоснован теоретически Больцма-
ном (1884 г.) и Планком (1901 г.).
8.2.3. ЗАКОН ЛАМБЕРТА
Закон Ламберта определяет угловое рас-
пределение равновесного излучения. Вследст-
вие равновероятности испускания излучения
по всем направлениям в АЧТ в каждой точке
объема и поверхности распределение потока
излучения во всех направлениях одинаково
(изотропно)
= dQ/dFN dco = const.
Таким образом, энергетическая яркость
излучения элементарной площадки АЧТ не
зависит от угла испускания.
При использовании соотношения между
яркостью и интенсивностью излучения
dFy = dFcosO или /е = BcosQ приходят к
формуле закона Ламберта для интенсивности
/е = /дг cos0 = BcosQ .
Интенсивность излучения единицы поверхно-
сти в каком-нибудь направлении пропорцио-
нальна косинусу угла между этим направле-
нием и нормалью к поверхности N.
Закон Ламберта строго справедлив лишь
для поверхности АЧТ в состоянии равнове-
сия, излучение же неизотермической полости
закону Ламберта принципиально не подчиня-
ется. Однако допущение о справедливости
закона Ламберта для реальных тел настолько
упрощает расчеты, что до последнего времени
этот закон обычно используется и для реаль-
ных тел.
494
Глава 8.2. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
8.2.4. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ
АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА. ЗАКОН ПЛАНКА
Спектральное распределение энергии
излучения АЧТ было найдено Планком в 1900
г. на базе представления о квантовом испус-
кании отдельных микроизлучателей. С кван-
товой точки зрения интенсивность излучения
определена вероятностью перехода атома из
одного состояния в другое. Число атомов Nm
с энергией в состоянии равновесия
определяется формулой Больцмана
Nn = АГ «a-expf-ljy ,
S к* '
где N - число атомов в единице объема; gm -
статистический вес энергетического уровня
Wm при температуре Г, к - постоянная
Больцмана. При переходе п -> т атом ис-
пускает квант энергии Av (А - постоянная
Планка):
^й.= «ш.ехр
Nn Sn
кТ )
Среднее число переходов в единицу времени
определяется вероятностными коэффициен-
тами Эйнштейна:
Для потока излучения единицы поверхности
£q,v» Вт/(м2-Гц) формула Планка записы-
вается в виде
г 2nAv3 1
°’v = exp(*v/Jtr)-r
где с о - скорость света.
20000К 25000 30000
t !_____ i - 1 1 I 1 1 ! I - 1 I !!•.! 1 __i . 1.1 .J
0,1 0,2 0,3 0,i 3,60,81 2 3 ч 5 6 8 Ю 20 30 60 80100
Длина волны Х,|икм
Рис. 8.2.1. Спектральное распределение излучения абсолютно черного тела (АЧТ)
в логарифмических координатах
ЗАКОН СМЕЩЕНИЯ ВИНА
495
В спектральной шкале длин волн для яркости
ВОх, Вт/(м3-ср), используемой в пиромет-
рии, формула Планка записывается с посто-
янными С| и С2:
= ^-|ехр(с2ДТ)-1Г',
7t u J
гае q = 2n*cJ =3,741832-10-'« Вт-м2; с2 =
= hCft/k = 1,438786 • 10'2 м* К. Здесь учтено,
что для равновесного излучения АЧТ спра-
ведлив закон Ламберта, следовательно,
*0Д = = *Д)Д •
В спектральной шкале волновых чисел
v, см-1, часто используемой при расчетах
переноса излучения в газах, формула Планка
обычно записывается для интенсивности
/0,v» Вт/(м2 • см-1 • ср),
/о, 5 = 11,9086 (v/1000)3
ние Планка представлено на рис. 8.2.1. Из
формулы Планка непосредственно вытекают:
закон смещения Вина, определяющий поло-
жение максимума излучения, законы излуче-
ния Рэлея - Джинса и Вина как предельные
случаи при больших и малых значениях
аргумента XT, а также закон Стефана -
Больцмана.
8.2.5. ЗАКОН СМЕЩЕНИЯ ВИНА
Этот закон, установленный одновремен-
но В. Вином и Б. Галициным в 1893 г., может
быть выведен путем дифференцирования
формулы Планка по спектральной координате
и приравнивания производной нулю, в ре-
зультате чего получается выражение
ХтахТ = 2897,82 мкм • К,
из которого следует, что с увеличением тем-
пературы максимум излучения АЧТ смещает-
ся в сторону более коротких длин волн. Из
рис. 8.2.2 видно, что координата ХтахТ де-
лит кривую Планка на 2 части: на коротко-
волновую часть (25 % площади) и на длинно-
волновую (75 %).
В логарифмической шкале распределе-
Х.Т,мкм-К
Рис. 8.2.2. Распределение энергии излучения АЧТ в процентных долях
от общей энергии излучения в зависимости от X Т
496
Глава 8.2. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Подставив Хтах в закон Планка, полу-
чим значение максимальной спектральной
плотности излучения:
Eg1? = 21,2 Д-Т5 = 1,286 10*5 Т5 Вт/м3.
с2
г _ °[ 2nAcjj2v3dv
°“ J exp(*v/XT)-l
2nfc4 °f = 2л£4 4
Л3с02 je^-1 15Л3с2
8.2.6. ЗАКОН РЭЛЕЯ - ДЖИНСА
Из формулы Планка можно получить
некоторые упрощенные предельные выраже-
ния. При больших значениях (XT » с2) ряд
ехр(с2/ХТ) -1 =
= 1 + ^_ + ±f^2 + ...+±f^_y_ !
XT 2!lxrJ nllxrJ
можно ограничить вторым членом с2/ХТ,
Е _£L_l!_____£lZ
л (хт)4 с2 X4
Видно, что для постоянной длины вол-
ны спектральная плотность потока линейно
возрастает с температурой. Для XT > 8 • 105
мкм * К эта формула дает ошибку менее 1 %.
Закон Вина. Если XT«с2, т. е.
ехг »1, то формула Планка переходит в
часто используемое в пирометрии прибли-
женное выражение
А(ХТ) 2С|
т5 (ХТ)5ехр(с2/ХТ)'
которое иначе называют законом излучения
Вина. Формула Вина имеет погрешность ме-
нее 1 % при XT <3000 мкм* К. Этот закон
часто используют для определения излуча-
тельной способности по яркостной темпера-
туре Тя, которая определена как температура
АЧТ, имеющего одинаковую спектральную
энергетическую яркость с излучением реаль-
ного тела:
А(Гя) = ех^(Т); In = %- .
Интегрирование распределения Планка.
Между законами Планка и Стефана - Больцмана
существует естественная взаимосвязь Eq =
ОО
= |Egt3ldX, позволяющая найти численное
О
значение константы од
где £ = Ci/XT;
2nfc4 л4
3 2-----= Qg _ постоянная
Л Cg 15
Стефана - Больцмана.
Плотность потока излучения в заданном
спектральном интервале численно равна пло-
щади под кривой распределения Планка в
том же интервале, а интегральная плотность
потока Eq - полной площади под кривой при
данной температуре. Если в качестве аргумен-
та взять XT , а в качестве функции Eg/Т5 ,
то графики для разных температур сольются в
одну общую кривую, представленную на рис.
8.2.2.
£0 С|(ХТ)~5
Т5 ехр(с2/ХТ)-1
Удобство этой формы в том, что доля общей
площади под кривой, т. е. доля энергии АЧТ
в интервале будет едина для всех температур.
Излучение абсолютно черного тела в спек-
тральных интервалах. Излучение в конечном
спектральном интервале выражается долей от
интегрального потока излучения Eg = <3qT* ,
испускаемого в участке спектра Х| - Х2 или
0-Х:
= /о-Х2 “ /Ь-Aj •
Функции /д-х, называются функцией
излучения первого рода и используются
обычно в форме таблиц с постоянным шагом
по X при фиксированной температуре. В дру-
гой форме таблиц используется в качестве аргу-
ОСОБЕННОСТИ ИЗЛУЧЕНИЯ РЕАЛЬНЫХ ТЕЛ
497
мента XT также с постоянным шагом, что
позволяет придать таблицам более универсаль-
ный характер. Более удобны таблицы с посто-
янным вкладом спектральных зон в поток -
они предпочтительнее в процессах осреднения
zO.Ol г 0,01
спектральных характеристик = JqLx2 ”
/•0,01
“•/0-х, ’
8.2.7. ОСОБЕННОСТИ ИЗЛУЧЕНИЯ РЕАЛЬНЫХ ТЕЛ
Законы Планка и Ламберта описывают
излучение идеализированного объекта - черно-
го тела. Как спектральное, так и угловое рас-
пределения излучения этого объекта полностью
определены этими законами. Излучение реаль-
ных тел в той или иной степени отличается от
излучения АЧТ и зависит от ряда конкретных
характеристик тела (состояния поверхности,
микроструктуры, толщины слоя и т. д.). Это
происходит потому, что элементарные излуча-
тели реальных тел и сред не имеют одинаковой
вероятности испускания всех частот, как у чер-
ного тела. Для таких тел распределение моле-
кул по скоростям может отличаться от макс-
велловского, а распределение излучателей по
возбужденным уровням - от распределения
Больцмана. Поэтому реальные вещества обла-
дают большим разнообразием радиационных
свойств с существенной зависимостью их от
многих параметров и условий, зачастую не
имеющих аналитического описания. Для вы-
ражения особенностей излучения реальных тел
используются три подхода.
Первый - квантово-аналитический, опи-
рающийся на квантово-механическое описа-
ние излучения отдельных молекул-излучате-
лей, их статистическое объединение в один
излучающий ансамбль и совокупное опреде-
ление излучения суммарного конгломерата на
базе уравнений переноса излучения с учетом
геометрической структуры объектов. Наи-
больших успехов этот подход достиг в описа-
нии излучения некоторых двухатомных газов.
Применительно к твердому телу этот подход
встречает пока непреодолимые трудности.
Второй подход - феноменологический -
основной метод описания экспериментов. Он
описывает радиационные свойства, выражая
их как отношение к черному телу в качестве
эталонного. Поэтому имеется возможность
использовать строгие характеристики, полу-
ченные для черного тела, обеспечивая прове-
дение расчетов. Вместе с тем из-за разнообра-
зия условий обычно используются осреднен-
ные характеристики, что, естественно, прида-
ет справочным данным лишь приближенный
характер. Определенные трудности вызывает
и многообразие радиационных свойств ве-
ществ, резко различающихся по своим
свойствам друг от друга: газы и металлы, ке-
рамика и пластики, пыль и композиционные
материалы, многослойные покрытия и си-
стемы геометрических полостей. Кроме того,
одно и то же вещество может иметь совер-
шенно различные характеристики при разных
состояниях поверхности, а также в монолите
и в диспергированном состоянии. Поэтому
необходимо подробное описание конкретного
вещества, его состояния и условий экспери-
мента, а также следует относиться с осторож-
ностью к справочным данным.
Третий подход - модельный. Основан на
сочетании физического описания радиацион-
ных свойств при помощи модели вещества на
базе знания точных физических констант и
использования этих модельных характеристик
в уравнениях переноса излучения. Наиболь-
ших успехов этот метод достиг в описании
излучения металлов и дисперсных систем. К
одной из модификаций третьего подхода от-
носится и идеализация функциональных за-
висимостей с целью упрощения расчетов. К
этому методу моделирования радиационных
свойств относится модель серого тела, долгое
время господствовавшая в сфере инженерных
расчетов теплообмена излучением. Для моде-
ли серого тела сохраняются спектральное и
угловое распределения излучения такими же,
как у черного тела, уменьшая его в одинако-
вое число раз для всех длин волн и углов.
Излучение реальных тел характеризуется
двумя распределениями, отличными от черно-
го: спектральным и угловым. Тела, чьи соб-
ственные спектральные распределения излу-
чения отличаются от распределения для АЧТ,
называются селективными или несерыми. Те-
ла, имеющие угловое распределение излуче-
ния, отличающееся от углового распределения
по закону Ламберта, называются анизотроп-
ными или неламбертовыми.
Спектральная излучательная и поглоща-
тельная способности. Два свойства АЧТ выде-
ляют его излучение на особое место эталона.
Первое из них связано с тем, что все спек-
тральные радиационные характеристики
определяются только одним параметром со-
стояния - температурой и не зависят от дру-
гих параметров системы. Второе свойство
связано с тем обстоятельством, что все спек-
тральные распределения для АЧТ соответ-
ствуют максимально возможному тепловому
излучению тел при заданной температуре.
Излучательная способность реальных тел при
этом определяется как доля излучения АЧТ
при заданной температуре в любом спек-
тральном интервале. Спектральной излуча-
тельной способностью (степенью черноты)
тела называется отношение плотности
потока энергии, испускаемой данным телом в
бесконечно малом спектральном интервале, к
498
Глава 8.2. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
плотности потока энергии черного тела, ис- Металлы. Для металлов характерно
пускаемой в том же спектральном интервале уменьшение спектральной степени черноты в
и при той же температуре. сторону длинных волн (рис. 8.2.3).
0,2 0,25 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,6 0,9 1,0 1,2 1,51,32,0 2,4
* х0,2 0,2b 0,3 0,4 0,5 0,5 0,7 0,3 0,0 1,0 1,2 1,4 l,b 1,5 2,0 Л,мкм
X, дт
Рис. 8.2.3. Спектральная степень черноты вольфрама при различных температурах (а) н
спектральный коэффициент черноты металлов в зависимости от длины волны 1 (б):
1 - А1, анодированный; 2 - Ti после выдержки при 810 К в течение 300 ч; 3 - Ti необработанный
ОСОБЕННОСТИ ИЗЛУЧЕНИЯ РЕАЛЬНЫХ ТЕЛ
499
Рис. 8.2.4. Интегральшя степень черноты (по нормам) металлов н диэлектриков
в зависимости от температуры поверхности Tw , К:
1 - графит, 2 - углерод, 3 - жаростойкий кирпич, 4 - керамическая глазурь,
5 - AI3O3 и Z1O2 (на металле), 6 - кварц
(а) Е
(б) Е
За счет смещения максимума излучения
с ростом температуры в область коротких
длин волн (закон Вина) интегральная степень
черноты металлов, как правило, увеличивает-
ся с ростом температуры (рис. 8.2.4).
Значительно отличаются от закона Лам-
берта также угловые распределения инте-
гральной степени черноты (рис. 8.2.5).
Полупроводники. В зависимости от типов
и концентрации носителей радиационные
свойства у полупроводников изменяются в
широких пределах, однако их определяют
всегда две особенности: наличие двух типов
поглощения (собственных частот) в ультра-
фиолетовой и инфракрасной областях с ок-
ном полупрозрачности в ближней И К-области
и существенная температурная зависимость
для числа носителей, а следовательно, и для
оптических свойств.
Диэлектрики. Наиболее характерной осо-
бенностью является наличие зон прозрач-
ности в видимой, ближней и средней ИК-
областях с резкой границей поглощения. Та-
ковы SiOi, AI2O3, СаО и другие материалы,
широко используемые в промышленности.
Отмечается очень высокая чувствительность
радиационных свойств к наличию примесей,
особенно Мп и Fe, резко увеличивающих
поглощение в И К-области (рис. 8.2.6).
Деление на проводники, полупроводники
и диэлектрики проведено условно по стати-
ческой электропроводности (или удельному со-
противлению): проводники 10‘8 - 10*5 Ом*м;
полупроводники 10^ - 1049 Ом • м; диэлектрики
10+7 - Ю+17 Ом • м. Условность такого деления
для оптических свойств очевидна, так как оно
отражает лишь концентрацию свободных носи-
телей. Кроме того, многие диэлектрики (огне-
500
Глава 8.2. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Рис. 8.2.6. Спектральная зависимость степени черноты керамики
(шамота н с содержанием Mg и Fe с заметным окном проницаемости излучения)
............обмазка с содержанием Mg и Fe; И hl - изменение спектра шамота с Г[71];
-----спектр шамота (900 К); -О-О-О- - прокаленный шамот (1300 К); О--О--О- - пеноалунд
Рис. 8.2.7. Температурная зависимость
края полосы поглощения диэлектрика AI2O3
при температурном увеличении:
1 - 4 - 200; 150; 100; 50 °C
упорные оксиды) становятся при нагреве по-
лупроводниками, т.е. увеличивают свою про-
водимость в 10s раз, но и проводниками
(например, штифт Нернста).
На рис. 8.2.7 показано влияние темпера-
туры на спектральное распределение Е; .
8.2.8. ОСОБЕННОСТИ ИЗЛУЧЕНИЯ ГАЗОВ
Основной особенностью излучения газов
является ярко выраженный селективный ха-
рактер их испускания в виде линий и полос,
положение и форма которых зависят от тем-
пературы и концентрации каждого газа. На
рис. 8.2.8 представлены форма и положение
полос основных излучающих газов в продук-
тах сгорания по данным Эдвардса. Наиболь-
ший вклад в излучение в промышленном
диапазоне температур вносят трехатомные
молекулы Н2О, СО2, SO2- Положение полос
на спектральной шкале соответствует опреде-
ленным видам колебаний: электронным, ко-
лебательным, колебательно-вращательным и
вращательным типам изменения энергетиче-
ского внутреннего состояния молекулы газа и
является индивидуальным для каждого газа.
Полосы имеют сложную структуру и состоят
из системы линий, которые группируются
вокруг основного перехода. Это происходит в
соответствии с комбинационным принципом
образования полос: если есть частоты V| и
V2, то обязательно присутствует и частота
v3 = = Vj + v2 , поэтому при наличии груп-
пы малоотстоящих друг от друга вращатель-
ных линий, каждый колебательный переход
расщепляется на группу частот, образующих
полосу.
Каждая линия полосы имеет сложный
профиль, зависящий от давления и темпера-
туры.
На рис. 8.2.9 представлена скелетная
структура колебательных линий, образующих
полосы СО2 в средней инфракрасной области
спектра. Каждая из показанных линий в свою
очередь расщеплена на дополнительную си-
стему вращательных линий. Фундаментальная
полоса СО2 2,7 мкм состоит приблизительно
ОСОБЕННОСТИ ИЗЛУЧЕНИЯ ГАЗОВ
501
а)
5000
CL у
0,6
о7г
о
^00 5000 6000 7000 8000
в)
Рнс. 8.2.8. Полосы поглощения СО2, Н2О, СН4 :
а - в ближней инфракрасной области спектра 1600-5000 см*’ при 2250 К;
б - в средней инфракрасной области спектра 450-1000 см*1 при 2250 К;
в-в коротковолновой инфракрасной области спектра 4400-9000 см*1 при 2250 К
502
Глава 8.2. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Рис. 8.2.9. Структура колебательных переходов молекулы СО2 при Т = 300 К
из 250 отдельных линий. Учет этой структуры
необходим при расчете теплообмена в неизо-
термических слоях газа. Все колебания кван-
тованы, т. е. энергия принимает только дис-
кретные значения.
Начальный естественный контур линий
поглощения наблюдается редко (при поглоще-
нии излучения холодным газом). С ростом
температуры возрастает роль столкновений и
других механизмов перераспределения энер-
гии. Это приводит к уширению спектрального
профиля линии. Отдельные механизмы этого
уширения поддаются аналитическому учету
(рис. 8.2.10).
10 \
3100 32G0 3300 3W0 3500 3500 V, см'1
Рис. 8.2.10. Удельный коэффициент поглощения Kv
аля полосы СО2 2,7 мкм
Особенности инженерных методов расчета. В
настоящее время в инженерной практике при-
меняется совокупность различных по сложности
расчетных методов определения радиационных
характеристик газов - от приближенных до чис-
ленного моделирования сложных эффектов.
Методы расчетов подразделяются по уровню
детализации учета спектральных свойств газа:
интегральные по спектру характеристики
(серое приближение);
ступенчатое приближение полос спектра
(квазисерое и квази селективное);
учет полного спектра огибающей и ее
температурной зависимости (см. рис. 8.2.9);
модели полос (учет структурных свойств
полосы);
полный селективный расчет с учетом
каждой линии и всех особенностей реального
спектра.
Интегральная степень черноты для каждо-
го газа определяется из номограмм, которые
строятся по экспериментальным данным. Но-
мограмма дает значение интегральной излуча-
тельной способности газа Есо2 » еН2О и т- Л
в зависимости от температуры при различных
давлениях и длинах пути луча. Это же значение
применяется в расчетах и для поглощательной
способности относительно спектра АЧТ при
той же температуре, что и у газа. Номограммы,
как и модели полос, часто строятся при еди-
ничных значениях параметров: парциального
давления, длины пути луча и т. д.
На рис. 8.2,11 представлена система ра-
бочих графиков этих номограмм с поправоч-
ными коэффициентами. Рис. 8.2.11 построен
для общего давления смеси СО2 и прозрачно-
го газа 0,101 МПа.
ОСОБЕННОСТИ ИЗЛУЧЕНИЯ ГАЗОВ
503
Рис. 8.2.11. Излучательная способность СО2 , р = РсО2 * Ро =-0*101 МПа
Рнс. 8.2.12. Поправочный коэффициент РсО2 для пересчета излучательной способности СО2
при PQ ~ 0,101 МПа в излучательную способность при р , МПа
504
Глава 8.3. РАДИАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЧАСТИЦ
На номограмме даны кривые зависимо-
сти излучательной способности газа СО2 в
зависимости от температуры. Каждый график
соответствует значению произведения парци-
ального давления на толщину слоя, выражен-
ному в ат • см, что соответствует переводному
коэффициенту 100 см-ат = 0,0981 м*МПа.
Полученное значение излучательной способ-
ности не является окончательным. По
рис. 8.2.12 находится поправка PcOj °бще-
го давления, отличающегося от р =0,101 МПа.
С учетом поправки 8со2 = еСО^ Рсо2 • ^и"
зический смысл этих поправок - учет ушире-
ния полос излучения, зависящего не только
от давления, но и от состава газа. В целом эти
уточнения являются обобщением экспери-
мента и в достаточной степени приблизитель-
ны.
Глава 8.3
РАДИАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ЧАСТИЦ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ
РАСЧЕТЕ ТЕПЛООБМЕНА ИЗЛУЧЕНИЕМ
В ДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМАХ
При расчете поглощения и рассеяния
теплового излучения в дисперсных системах*,
содержащих большое количество отдельных
частиц, обычно предполагается, что взаимо-
действие электромагнитной волны с каждой
частицей происходит независимо. В этом слу-
чае радиационные характеристики элементар-
ного объема среды, фигурирующие в уравне-
нии переноса излучения, легко рассчитывают-
ся по свойствам индивидуальных частиц. При
высокой концентрации частиц аддитивность
как рассеяния, так и поглощения может на-
рушаться, однако во многих практически
важных случаях взаимным влиянием частиц
можно пренебречь. В качестве условной гра-
ницы независимого рассеяния, на которой
погрешность этого приближения составляет ~
5 %, принимается среднее расстояние между
поверхностями хаотически расположенных
частиц <70 = (0,3 ч- 0,5)X (X- длина волны
излучения). При d > d$, как показывают
экспериментальные исследования, допустимо
использование гипотезы независимого рас-
сеяния. Величина d$ , строго говоря, зависит
от свойств частиц Известны примеры доста-
точно плотных дисперсных систем (даже из
соприкасающихся частиц), для которых гипо-
теза о независимом поглощении и рассеянии
оказалась оправданной при расчетах собст-
венного теплового излучения. В задачах о
рассеянии внешнего (особенно, направленно-
го и когерентного) излучения эффекты зави-
симого рассеяния, а также взаимодействия
полей, рассеянных отдельными частицами,
как правило, более значительны.
В волокнистых материалах, даже при
высокой пористости, расстояние между во-
локнами может быть невелико и волокна ка-
саются друг друга. Поэтому при расчете ра-
диационного теплообмена, играющего важ-
ную роль в таких материалах, следует крити-
чески относиться к допущению о независи-
мом рассеянии излучения отдельными волок-
нами. Сравнение расчетов с эксперименталь-
ными данными для материалов из хаотически
ориентированных кварцевых волокон показа-
ло, что эффекты зависимого рассеяния при
плотности материала ~ 100 кг/м3 незначитель-
ны. Аналогичный результат был получен при
сравнении с экспериментом для материала из
ультрадисперсных металлизированных воло-
кон, отличающихся значительно более интен-
сивным рассеянием.
Расчет взаимодействия электромагнит-
ной волны с отдельной частицей обычно про-
водится с использованием строгой теории для
сферических частиц или цилиндрических
волокон. Чаще всего используется классиче-
ское решение Г. Ми для однородной сферы
(так называемая теория Ми), в котором ха-
рактеристики поглощения и рассеяния пред-
ставляются в виде разложения по парциаль-
ным волнам. Расчеты по формулам теории
Ми требуют вычисления функций Риккати-
Бесселя высокого порядка, что связано с оп-
ределенными математическими трудностями.
В настоящее время опубликованы достаточно
надежные алгоритмы как для однородных, так
и для двухслойных сферических и цилиндри-
ческих частиц, которые могут быть использо-
ваны при расчетах радиационных характери-
стик дисперсных систем.
При решении задач теплообмена излу-
чением, как правило, нет необходимости в
строгом описании переноса излучения и
можно сделать следующие принципиальные
упрощения:
- благодаря хаотической поляризации
теплового излучения можно пользоваться не
векторным, а скалярным уравнением перено-
са излучения, пренебрегая поляризационны-
ми эффектами;
- если преобладает собственное тепловое
излучение среды, а не рассеяние внешнего
излучения, то даже для оптически тонких
объемов можно ограничиться транспортным
приближением, когда индикатриса рассеяния
представляется в виде суммы изотропной
компоненты и рассеяния вперед.
В результате, вместо полных расчетов по
теории Ми с определением индикатрисы и
матрицы рассеяния достаточно ограничиться
РАДИАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЧАСТИЦ
505
вычислением следующих двух величин: фак-
тора эффективности поглощения Qa и тран-
спортного фактора эффективности рассеяния
Qfsr = Qs (1 - ц). Здесь ц = cosB - средний
косинус угла рассеяния, или фактор асиммет-
рии рассеяния (угол 0 отсчитывается от на-
правления падающего излучения). При опи-
сании оптических свойств частиц используют-
ся также простой и транспортный факторы
эффективности ослабления: Qt = Qa + Qs и
Q\r =Qa + Qsr =Qt ~ Qs& Безразмерные
ве-личины Qa и Qfsr, по определению, пред-
ставляют собой отношения соответствующих
эффективных сечений поглощения и рассея-
ния к площади поперечного сечения частицы.
Транспортный фактор эффективности рассея-
ния Qfsr, в отличие от Qs , учитывает анизо-
тропию рассеяния. Если поток рассеянного
частицей излучения в переднюю и заднюю
полусферы одинаков, то ц = 0 и Q1' = Qs,
как при изотропном рассеянии. Во многих
случаях индикатриса рассеяния оказывается
сильно вытянутой вперед (ц -> 1). При этом
роль рассеяния уменьшается, что учитывается
в транспортном приближении: Q*sr « Qs .
Возможность использования транспорт-
ного приближения при расчете теплообмена
излучением в дисперсных системах является
весьма важной, поскольку индикатрисы рас-
сеяния для частиц - весьма сложные осцил-
лирующие функции и их полное описание в
задачах переноса излучения приводит к зна-
чительному усложнению вычислений. Тран-
спортное приближение может применяться не
только в задачах о собственном тепловом из-
лучении среды, но и в более сложных случа-
ях, например, при расчете интегральных (по
углу) характеристик поля излучения при по-
глощении и рассеянии направленного внеш-
него излучения.
Для однородной сферической частицы
факторы Qa и Qfsr являются функциями
всего двух независимых параметров - пара-
метра дифракции х = 2nr/Х (г - радиус
частицы) и комплексного показателя прелом-
ления материала частицы т - п- ik (п -
показатель преломления, к - показатель по-
глощения, зависят от длины волны и от тем-
пературы). В случае оптически неоднородных
(например, двухслойных или полых) частиц
появляются аналогичные дополнительные
параметры. Радиационные характеристики
цилиндрического волокна более сложны, по-
скольку зависят от его ориентации относи-
тельно направления падающего излучения.
Решение Ми значительно упрощается в част-
ном случае рассеяния Рэлея (х « 1,
|/и|х « 1), в пределе геометрической опти-
ки (х » 1), для “оптически мягких” частиц
фи - 1|« 1, | т - 1 |х « 1), когда примени-
ма теория Рэлея - Ганса, а также для непогло-
щающих (к = 0) или полностью отражающих
оо) частиц. Для частиц, размеры кото-
рых одного порядка с длиной волны излуче-
ния, неприменимы некоторые понятия класси-
ческой теории теплового излучения. В част-
ности, формально введенная степень черноты
частицы может оказаться больше единицы.
В качестве спектральных радиационных
характеристик дисперсных систем обычно
используются коэффициент поглощения ах
и транспортный коэффициент рассеяния ,
имеющие размерность м’1, а также альбедо
среды coj = Рх/(ал + Рх ) • Л714 монодис-
персной системы сферических частиц
|ах, рН = 0,75-£-{а, Q'f\lr.
Здесь р, рм - массовая концентрация частиц
и плотность материала частиц. Вместо объем-
ных коэффициентов ах, бывает удобно
пользоваться массовыми коэффициентами
Е'г} = |ах, Рх}/р, измеряемыми в
м2/кг.
Несмотря на небольшое количество не-
зависимых параметров, спектральные зависи-
мости радиационных характеристик частиц
исключительно разнообразны. Для иллюстра-
ции этого утверждения ниже представлены
несколько примеров, имеющих практическое
значение в различных приложениях теории
теплообмена излучением.
Частицы расплавленного оксида алюми-
ния: преобладание рассеяния. Частицы оксида
алюминия AI2O3, содержащиеся в продуктах
сгорания металлизированных топлив, во
многом определяют теплообмен излучением в
ракетных двигателях.
На рис. 8.3.1 показаны типичные спек-
тральные зависимости массового коэффици-
ента поглощения и массового транспортного
коэффициента рассеяния для полидисперсной
системы из частиц расплавленного оксида
506
Глава 8.3. РАДИАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЧАСТИЦ
Рис. 8.3.1. Радиационные характеристики полидисперсной системы частиц оксида алюминия
алюминия с температурой Т = 3000 К. Ком-
плексный показатель преломления AI2O3 рас-
считывался по приближенным формулам. В
рассматриваемом спектральном диапазоне
показатели преломления и поглощения моно-
тонно изменяются от значений п =2,01,
к = 0,0025 до п = 1,53, к = 0,019. Функция
распределения частиц по радиусам F (г) =
= 13,5 г2 ехр(-Зг) (г - в микронах). По рис.
8.3.1 видно, что практически по всему спектру
теплового излучения рассеяние значительно
больше, чем поглощение и имеет отчетливо
выраженный максимум в ближней инфрак-
расной области. Преобладание рассеяния свя-
зано с малыми значениями показателя по-
глощения оксида алюминия, а максимум
объясняется интерференцией дифрагирован-
ной и прошедшей волны при рассеянии излу-
чения частицей. Для слабопоглощающих час-
тиц с к « п вместо теории Ми можно вос-
пользоваться приближенными формулами, что
почти на порядок сокращает время вычислений.
При этом, как видно по рис. 8.3.1, точность
расчетов остается достаточно высокой.
Частицы сажи: сравнение сферических и ци-
линдрических частиц. Частицы сажи являются
одной из самых распространенных компонент
дисперсных систем, в которых перенос теплоты
происходит при значительном вкладе теплового
излучения. В частности, при сжигании природ-
ного газа или мазута образуется большое количе-
ство частиц сажи, которые вместе с газами Н2О
и СО2 определяют условия радиационного теп-
лообмена в топке. Химический состав и структу-
ра частиц сажи сложным образом связаны как с
составом топлива, так и с условиями горения. В
силу этого комплексные показатели преломле-
ния сажи могут сильно отличаться для разных
условий. На основании обзора эксперименталь-
ных данных можно утверждать, что в наиболее
интересном спектральном диапазоне 0,4 < X < 4
мкм показатели преломления и поглощения
сажи монотонно возрастают при увеличении
длины волны (независимо от температуры) от
значений п = 1,5+2, к = 0,5+0,7 до п = 2,5+3,
к = 1,5+2,5. Из-за очень малых размеров частиц
(как правило, г <0,1 мкм) для большинства
частиц в инфракрасной области выполняются
условия рассеяния Рэлея, когда поглощение
значительно преобладает над рассеянием. При-
ближение Рэлея значительно проще, чем общая
теория для частиц произвольного размера (в
частности, QqI г = const и коэффициент погло-
щения не зависит от распределения частиц по
размерам). В то же время, именно в рэлеевском
пределе наиболее сильно проявляется влияние
формы частиц. Частицы сажи могут значительно
отличаться от сферических (встре-чаются, напри-
мер, вытянутые частицы, больше похожие на
цилиндры) и вопрос о влиянии формы частиц на
радиационные характеристики сажи представля-
ет практический интерес. Спектральные зависи-
мости массового коэффициента поглощения для
сажи, состоящей из сферических и хаотически
ориентированных цилиндрических частиц, пока-
заны на рис. 8.3.2. Видно, что наиболее суще-
ственное отличие дисперсной системы из цилин-
дрических частиц заключается в гораздо более
медленном убывании коэффициента поглощения
с увеличением длины волны излучения. Физи-
ческая причина этого отличия состоит в более
сильном поглощении компоненты излучения,
РАДИАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЧАСТИЦ
507
Длина волны, X (мкм)
Рис. 8.3.2. Поглощение инфракрасного излучения частицами сажи:
а - сферические частицы; б - хаотически ориентированные цилиндрические частицы
Рис. 8.3.3. Инфракрасные радиационные характеристики золы
поляризованной в плоскости, параллельной
оси цилиндрической частицы. Расчеты по
теории Ми для частйц радиусом г = 0,1 мкм,
результаты которых также приведены на рис.
8.3.2, позволяют оценить отклонение от тео-
рии Рэлея.
Частицы золы: резкое спепралыюе изме-
нение радиационных характеристик. Частицы
золы играют важную роль в радиационном
теплообмене при сжигании угольной пыли.
Зола состоит, главным образом, из оксидов
металлов (обычно 60-70 % SiO2 и 20-30 %
AI2O3). Влияние химического состава на ком-
плексный показатель преломления золы иссле-
довалось экспериментально. Как и для состав-
ляющих золу оксидов, область прозрачности
золы ограничена и при X > 7 мкм имеется зона
сильного поглощения с к ~ 1. На рис. 8.3.3
показаны спектральные зависимости массовых
коэффициентов поглощения и рассеяния для
золы из сферических частиц радиусом
г = 5 мкм. Наиболее интересная особенность
- резкое уменьшение рассеяния в районе
X = 8 мкм, где выполняются условия приме-
нимости теории Рэлея-Ганса. Значительное
увеличение коэффициента поглощения при
X > 4 мкм объясняется увеличением показате-
508
Глава 8.3. РАДИАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЧАСТИЦ
Х=4мкм
6м км
Рис. 8.3.4. Индикатриса рассеяния излучения частицей золы радиусом 5 мкм
Длина волны, > (мкм)
Рис. 8.3.5. Влияние тонкой оболочки из кремния на рассеяние излучения кварцевым волокном
при освещении по нормали к оси волокна
ля поглощения: т = 1,5 - 0,0003/ при X = 4 мкм
и т = 1,4 - 0,005/ при X = 6 мкм. Анализ рас-
четных данных показывает, что, несмотря на
примерно постоянную величину E*sr, увели-
чение поглощения оказывает существенное
влияние на рассеяние излучения: фактор
асимметрии рассеяния ц возрастает от 0,50
до 0,81, т. е. индикатриса рассеяния становит-
ся более вытянутой вперед (см. рис. 8.3.4)
несмотря на уменьшение параметра дифрак-
ции в 1,5 раза. Данный пример изменения
индикатрисы рассеяния показывает ошибоч-
ность распространенного мнения об увеличе-
нии доли рассеяния вперед при увеличении
параметра дифракции. Приведенные выше
значения ц говорят о важности учета анизо-
тропии рассеяния: транспортный коэффици-
ент рассеяния оказывается меньше обычного
коэффициента рассеяния в два-три раза.
Кварцевые волокна с оболочкой из крем-
ния: значительное увеличение рассеяния в
ближней инфракрасной области спектра. Каче-
ство высокопористых волокнистых материа-
лов, используемых для тепловой изоляции,
зависит от радиационных характеристик во-
локон, особенно при работе в вакууме. Один
из способов повышения коэффициента рас-
сеяния в ближней инфракрасной области -
нанесение на волокна тонкого покрытия из
непоглощающего материала с высоким пока-
зателем преломления. На рис. 8.3.5 показаны
спектральные зависимости транспортного
фактора эффективности рассеяния кварцевого
волокна с оболочкой из кремния. Радиус во-
локна г = 2 мкм, включая толщину оболочки
0,2 мкм. Используемые в расчетах спектраль-
ные зависимости показателей преломления и
поглощения кварца, показанные на рис. 8.3.6,
соответствуют аппроксимации эксперимен-
тальных данных. Для кремния приняты по-
стоянные значения к = 0, п = 3,42.
По рис. 8.3.5 видно, что однородное
кварцевое волокно достаточно сильно рассеи-
вает излучение на длине волны X = 9 мкм,
когда показатель преломления кварца равен
единице и рассеяние обусловлено только
ТЕПЛООБМЕН МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ
509
Рис. 8.3.6. Спектральные зависимости показателей преломления и поглощения для кварца
сильным поглощением излучения. Тонкая
кремниевая оболочка уменьшает рассеяние,
обусловленное поглощением, но зато в
несколько раз увеличивает рассеяние в диапа-
зоне X < 8 мкм, что представляет интерес для
улучшения характеристик волокнистой тепло-
вой изоляции космических аппаратов.
Приведенные расчетные данные по по-
глощению и рассеянию излучения различны-
ми частицами и дисперсными системами ука-
зывают на нетривиальную связь между опти-
ческими свойствами материала частиц и дис-
персной системы: при монотонных спек-
тральных зависимостях л(Х), к (к) кривая
рассеяния Е* (X) на рис. 8.3.1 имеет сильно
выраженный максимум, при этом массовый
коэффициент поглощения падает с увеличе-
нием длины волны, несмотря на то, что пока-
затель поглощения возрастает почти на поря-
док; как видно по рис. 8.3.2, коэффициент
поглощения сажи из вытянутых частиц может
быть в несколько раз выше, чем из частиц,
близких к сферическим. Резкое спектральное
изменение показателей преломления и по-
глощения вызывает значительное и, вообще
говоря, немонотонное изменение характери-
стик дисперсной системы (см. рис. 8.3.3-
8.3.5), а оптическая неоднородность поверх-
ностного слоя частицы, как показано на рис.
8.3.5, может сильно влиять на рассеяние из-
лучения.
Несмотря на сложную зависимость ра-
диационных характеристик от дисперсного
состава и оптических свойств материала час-
тиц, в ряде случаев даже при невысокой точ-
ности исходных данных процесс теплообмена
излучением в дисперсной системе удается
рассчитать достаточно надежно. Такой резуль-
тат связан с интегральной (по спектру и по
углу) природой обычно определяемых вели-
чин - интегральной плотности потока тепло-
вого излучения и дивергенции потока излуче-
ния, которые фигурируют в большинстве за-
дач теплообмена.
Глава 8.4
РАДИАЦИОННЫЙ ТЕПЛООБМЕН
МЕЖДУ ТЕЛАМИ
При исследовании радиационного теп-
лообмена между твердыми телами пользуются
двумя методами: методом многократного от-
ражения и так называемым методом сальдо.
Преимущество первого метода состоит в
том, что он наглядно вскрывает механизм
протекания лучистого переноса теплоты от
одного тела к другому. Однако при этом при-
ходится выполнять достаточно громоздкие
выкладки.
Метод сальдо базируется на использова-
нии понятия эффективного или полного по-
тока излучения Eeff . Применим метод сальдо
к расчету переноса лучистой энергии в тон-
ком зазоре.
8.4.1. ТЕПЛООБМЕН МЕЖДУ
ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ
Допустим, что поверхность твердых тел
является серой, т. е. степени их черноты (Е|
и £2) и поглощательные способности (cq и
а2) не зависят от температуры и длины вол-
ны. Собственное и отраженное излучение
всех тел, между которыми происходит лучис-
тый теплообмен, подчиняется закону Ламбер-
510
Глава 8.4. РАДИАЦИОННЫЙ ТЕПЛООБМЕН МЕЖДУ ТЕЛАМИ
та. Тела непрозрачны, имеют изотермические
поверхности. Среда между телами, напротив,
прозрачна для излучения (т. е. является диа-
термической). С помощью приборов или
органов чувств регистрируется вместе с
собственным излучением также и отраженное
(рис. 8.4.1, а)
Eeff = Е2 +(! -а)Е|.
Если взять две бесконечные серые плас-
тины, температура которых 7| и Т2 не рав-
ны друг другу, то между ними возникает теп-
лообмен. При стационарных условиях лучис-
тый тепловой поток от более горячей (7|)
пластины к относительной холодной (Т2)
запишется в виде:
Q\2 = Eleff - E2eff, (8.4.1)
где Eieff и E2eff - полные плотности потока
излучения первой и второй пластин
Eleff = Е1 +0 “а1)^2е#>
E2eff = Е2 +(1 -а2) Eieff ,
откуда следует
г "1 V
. _ Ej + (1 -а2)В|
’2eff Н1 -“1)0-“2)'
Подставляя эти выражения в уравнение
(8.4.1), получим
„ Eicl2-E2cli
Q\2 =--------------•
«1 + а2 -aja2
Экраны
а) б) в)
Рис. 8.4.1. Две плоскопараллельные пластины (а),
тело и оболочка (б), тепловые экраны (в)
Согласно закону Стефана - Больцмана Е\ =
= ЕрТ4 , Е2 =е2о724, а в соответствии с
законом Кирхгофа Ej = cq, е2 = a2 . Следо-
вательно, поток теплового излучения в систе-
ме двух серых параллельных пластин беско-
нечной протяженности равен:
Е1 е2
где приведенная степень черноты системы тел
ez =[(1/б1) + (1/е2)-1]’1. (8.4.2)
8.4.2. ТЕПЛООБМЕН МЕЖДУ ДВУМЯ
ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫМИ
АБСОЛЮТНО ЧЕРНЫМИ ТЕЛАМИ
Выделим на поверхности каждого тела
элементарные площадки d/j и dF2 (рис.
8.4.1, б). Яркостью излучения Bq называется
количество энергии 6Q , излучаемое единицей
площади поверхности, расположенной перпен-
дикулярно направлению излучения, в единицу
времени, в единице телесного угла dQ :
Во = . --- (8.4.3)
dQdFcostp
Из закона Ламберта следует, что яркость из-
лучения абсолютно черных поверхностей не
зависит от их формы, и угла визирования, т.
е. Bq = const. Плотность потока излучения
АЧТ Eq связана с яркостью его излучения
Eq = kBq . Результирующий поток теплового
излучения с элементарной площадки d/j на
элементарную площадку другого тела dF2
можно записать в виде:
d(?i2 = d0i_>2 ~d02->! =
о(Т|4 -Т24)
—*----=----^(dF| cosq>|)(dF2 cos<p2).
nr
(8.4.4)
Проинтегрировав (8.4.4) по обеим поверхно-
стям F\ и F2, получаем поток теплового
излучения от первого тела ко второму
ТЕПЛООБМЕН МЕЖДУ ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫМИ ТЕЛАМИ
511
О12=а(т,4-Г24)я12.
где Я|2
COS<P| COS<P2 df| df2 Я|2 =
nr1
1 а
= #2! являются геометрической характери-
стикой системы тел и называются взаимной
поверхностью.
Другой геометрической характеристикой
системы является коэффициент облученности
<р. Коэффициентом облученности, или угло-
вым коэффициентом называется отношение
потока излучения одного тела, падающего на
другое тело, к полному полусферическому
потоку излучения первого тела.
Коэффициенты облученности ф в отли-
чие от Я|2 безразмерны и для каждого из
двух тел индивидуальны:
Ф|2 = С?1-»2/й » Ф21 = ^2->|/02 > (8.4.5)
где Qi = EqiF\ = o7’|4/'i, Q2 = .
Коэффициент облученности пропорцио-
нален взаимной поверхности излучения Я|2:
Ф|2=-^Р Ф2|=^1'' (8’4’6)
Поскольку Я|2 = Я21 , ПОСТОЛЬКУ ф|2 =
= Ф21 (^2/^1) • Расчетная формула для лу-
чистого потока между двумя АЧТ, имеющими
соответственно температуры поверхности Т\
и Т2 , принимает следующий вид:
012 = а(т|4 - Т24)л ф2 = а(г4 - T24)f2 <₽21
ИЛИ
Й2 = С1Ф12 ~ С2Ф21 • (8.4.7)
Для наиболее простых случаев, часто встре-
чающихся в технике, коэффициенты облу-
ченности ф|2» Ф21 и взаимные поверхности
излучения Я|2 рассчитаны и приводятся в
справочниках, а также на рис. 8.4.2.
Для примера рассмотрим тепловое излу-
чение между телом и оболочкой (см. рис.
8.4.1, ф.
Внутреннее тело имеет площадь поверх-
ности Fj, температуру Т\. Все излучение с
поверхности тела 1 попадает на поверхность
тела 2. Излучение же с тела 2 только частично
Рис. 8.4.2. Угловые коэффициенты для
часто встречающихся схем расположения
излучающих поверхностей
попадает на поверхность тела У, другая часть
этого излучения проходит мимо тела 1 и об-
лучает собственную поверхность. Это часть
излучения характеризуется коэффициентом
самооблучения Ф22 • Температура 7\ выше
температуры оболочки Т2. Полный поток
теплового излучения, посылаемый телом 1 в
единицу времени,
Q\eff = Cl + 0 - а1)ф21О2е#
и, соответственно, поток от второго тела
Qleff = (?2 + 0 - аг) Qleff + 0 - а2)ф2202е#»
где Q| и Q2 - собственные потоки теплового
излучения тел, сц и (Х2 - поглощательные
способности тел.
Результирующий лучистый тепловой по-
ток от тела 1 к телу 2
Cl2 = Q\eff -Ф2!02е# »
где Ф21 - коэффициент облученности, при-
чем Ф21 дополняет Ф22 до единицы:
Ф21 + Ф22 = 1-
512
Глава 8.4. РАДИАЦИОННЫЙ ТЕПЛООБМЕН МЕЖДУ ТЕЛАМИ
После несложных преобразований получим
gfr,4 -ф21(/-2/Л)т24 ]
12 (*/Е1) + Ф21 0/е2) - Ф21 1
(8.4.8)
Сравнивая соотношения (8.4.2) и (8.4.8), об-
ратим внимание на отличие приведенных
коэффициентов излучения ez в плоском
зазоре между параллельными бесконечными
пластинами и в зазоре между оболочкой и
телом произвольной формы. Из (8.4.8) следу-
ет, что в варианте оболочки
={(>/«! ) + Ф2|[(>Л2)-|]) '
Для того, чтобы найти коэффициент облучен-
ности <Р21» предположим, что система нахо-
дится в термодинамическом равновесии, т. е.
7j = 7^2 = Г , а результирующий тепловой
поток ()|2 равен нулю. Тогда из (8.4.8) следует
1-ф2|(^2/Л) = ° “Л" Ф21=Л/^2-
С учетом этого выражение (8.4.7) в общем
случае преобразуется к виду
012 = а(т4 - Г/)/},
где
<4 = {(1/е,) + (fi/F2) [(1/е2) -1]}'* (8.4.9)
В частном случае, когда площади по-
верхности тел Fi и ^2 близки по величине,
приведенная степень черноты в зазоре между
телом и оболочкой (8.4.9) ничем не отличает-
ся от приведенной степени черноты в
плоском зазоре между двумя параллельными
бесконечными пластинами (8.4.2). При этом
все излучение с оболочки тела 2 попадает на
тело /, т. е. Ф21 = 1- Если одно тело мало по
сравнению с другим (Fj « F2) , то значение
коэффициента облученности Ф21 6 « Е| .
Аналогичный результат имеет место незави-
симо от соотношения площадей Fj и F2,
когда оболочка является абсолютно черным
телом (е2 = 1)- Такого типа рассуждения за-
ложены в основу модели, используемой в
пирометрии.
8.4.3. ВЛИЯНИЕ ЭКРАНА НА ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН
Для защиты от теплового излучения
обычно применяют экраны, расположенные
между взаимно излучающими поверхностями.
В этом случае приведенная степень черноты
системы двух поверхностей с расположенны-
ми между ними экранами снижается. Экраны
устанавливают ортогонально направлению
лучистого потока и изготовляют из материа-
лов с малой поглощающей способностью а,
или большой отражательной способностью р/
(полированные тонкие листы из меди, алю-
миния и других материалов). На рис. 8.4.1, в
изображен простейший вариант установки
экрана между двумя длинными плоскими
поверхностями, выполненными из одного
материала с равными степенями черноты
Е| = Е2 = е . Пусть Т\ > Т2 , тогда результи-
рующий тепловой поток между исходными
поверхностями (без дополнительного экрана)
равен
0|2=е1а(т14-Г24),
где Ej = 1/[(2/е) - 1].
Поместим между этими пластинами два
тонких непрозрачных экрана, выполненных из
одного и того же материала (ез = £4 = еэ) .
Экраны являются тонкими и высокотепло-
проводными, что обеспечивает выравнивание
температур по всей их толщине, поэтому Т3
и Г4 - это некие осредненные температуры,
которые установятся на обеих поверхностях
каждого экрана. Внутри рассматриваемой
системы из четырех поверхностей устанавли-
ваются стационарные потоки теплового излу-
чения, проходящие через все экраны:
О|(2э)=41,‘’(7'|4-7’з4) =
= Е<?> а(т34 - Т44) = е<?> а(т4 - Т24).
Здесь е^ - приведенная степень черноты
/-го зазора.
Исключив из уравнения температуры
экранов Г3 и Г4, получим тепловой поток в
системе с двумя экранами:
-----------_ т24).
[(2/е)-1] + £[(2/еэ)-1р
/=1
ТЕПЛООБМЕН В ИЗЛУЧАЮЩЕЙ И ПОГЛОЩАЮЩЕЙ СРЕДЕ
513
При наличии п экранов, выполненных из
одного и того же материала (е = еэ), поток
теплового излучения уменьшается пропор-
ционально
off (У*Н
0|2 [ (2/е) - 1 ] + л[ (2/еэ) - 1 ]
(8.4.10)
Если экраны и основные стенки выполнены
из одного и того же материала (е = еэ), то
соотношение (8.4.10) значительно упрощается
Off =_!_
012 Л + 1 ’
т е величина лучистого теплового потока
между стенками уменьшается в (л + 1) раз.
Но даже в варианте с двумя экранами за
счет подбора степени черноты экрана надле-
жащим образом можно добиться ощутимого
результата. Пусть, например, степень черноты
основных поверхностей Е| = Е2 = е = 0,8, а
для экранов удалось выбрать материал Е3 =
= е4 = еэ =0,1.
Расчет по формуле (8.4.10) дает прекрас-
ный результат
Off __L
<?12 26,3 ’
т е тепловой поток снижается более, чем в
26 раз. Из этих примеров видно, что тепловые
экраны целесообразно делать многослойными
и из материалов, имеющих малую степень
черноты (или высокую отражательную спо-
собность). Известная марка тепловой изоля-
ции (ЭВТИ) состоит из десятков тонких алю-
миниевых листов фольги и надежно защищает
все агрегаты межпланетных космических ап-
паратов как от солнечного перегрева, так и от
космического холода.
Глава 8.5
ТЕПЛООБМЕН В ИЗЛУЧАЮЩЕЙ
И ПОГЛОЩАЮЩЕЙ СРЕДЕ
Газы обладают способностью излучать и
поглощать лучистую энергию. Для разных
газов эта способность различна. Для тепло-
технических расчетов наибольший интерес
представляют пары воды и диоксид углерода.
Эти газы входят в состав продуктов сгорания
при сжигании различных видов топлива.
Излучение и поглощение газов имеют
объемный характер. Поэтому такие факторы,
как размеры и форма излучающего слоя, одно-
родность его температуры, существенны при
описании излучения газов. Спектры излуче-
ния - поглощения газов в отличие от твердых
тел имеют селективный характер. Процессы
излучения и поглощения происходят лишь
внутри ряда дискретных полос спектра; при
других длинах волн (частотах) газ ведет себя
как прозрачная диатермическая среда.
Для наглядного представления процесса
переноса энергии в объеме излучающего газа
удобно рассматривать излучение как поток
частиц - фотонов, движущихся по прямолиней-
ным траекториям со скоростью света с и обла-
дающих разной энергией hv. Часть фотонов
"захватывается” молекулами газа, что приводит
к повышению энергии газа, т. е. его нагрева-
нию. При этом молекулы газа "захватывают"
лишь те фотоны, частоты которых отвечают
полосам поглощения в спектре газа. Фотоны
других частот (энергий) пролетают газовый
объем без взаимодействия с веществом. Так
осуществляется процесс поглощения лучистой
энергии в объеме газа. Одновременно с про-
цессом поглощения энергии происходит обрат-
ный процесс - излучение энергии объемом
газа. Вследствие хаотического теплового дви-
жения газовых молекул, их вращения, колеба-
ний атомов отдельные многоатомные молекулы
газа получают избыток энергии по сравнению
со средним его уровнем. Избыток энергии мо-
жет затем самопроизвольно излучаться в форме
"рождающихся" фотонов в окружающее про-
странство. Этот механизм определяет собствен-
ное излучение газового объема. В связи с тем
что в любом макроскопически малом объеме
газа его состояние обычно весьма близко к
термодинамически равновесному состоянию,
каждый элементарный объем газа излучает
фотоны по всем направлениям пространства с
примерно одинаковой интенсивностью. Иначе
говоря, пространственное распределение соб-
ственного излучения элемента газового объема
имеет обычно характер, близкий к изотропному.
Протекающие одновременно процессы
поглощения и излучения определяют структу-
ру основного закона переноса лучистой
энергии в излучаюше-поглошающей среде:
d/v=ev(JOv-/v)d/, (8.5.1)
где Jv - спектральная интенсивность излуче-
ния в направлении оси /; av - спектральный
коэффициент поглощения, определяемый как
относительное уменьшение спектральной
интенсивности излучения на единице длины
пути луча. Этот коэффициент представляет
собой физическую характеристику газа и за-
17 Зас 488
514
Глава 8.5. ТЕПЛООБМЕН В ИЗЛУЧАЮЩЕЙ И ПОГЛОЩАЮЩЕЙ СРЕДЕ
висит от его природы, температуры, давления,
а также частоты излучения v; вне полос из-
лучения-поглощения спектра ау =0; обрат-
ная величина 1 /ау равна средней длине пробе-
га фотонов с энергией Av до момента их по-
глощения;
j _ ^0у _ _______1______
Ov л с2 ехр(Лу/£Г)-1
- спектральная интенсивность излучения АЧТ
при температуре газа внутри элементарного
объема пространства.
Соотношение (8.5.1) представляет собой
уравнение энергетического баланса для эле-
ментарного объема пространства в форме
цилиндра длиной dl и единичной площадью
основания (рис. 8.5.1).
Частные случаи уравнения:
1) лучистое равновесие: Jqv = Jy в
каждой точке газового объема, dJy/dl = 0,
температура газа в объеме постоянна;
2) чисто поглощающий изотермический
плоский слой газа; температура газа поддер-
живается постоянной и столь низкой, что
собственное излучение всюду существенно
меньше внешнего (J$y « Jy). Внешнее из-
лучение частично поглощается в слое, час-
тично проходит через слой. Ослабление па-
дающего монохроматического излучения в
зависимости от толщины слоя / определяется
Jv(r) = Jv(0)e-a’'. (8.5.2)
Соотношение (8.5.2) называется законом
Бугера; безразмерная величина ау1 есть спек-
тральная оптическая толщина слоя газа;
3) чисто излучающий изотермический
плоский слой газа; внешнее излучение отсут-
ствует. Интенсивность излучения с поверх-
ности плоского слоя Jy (/) по нормали к
поверхности определяется процессами излу-
чения всех слоев газа с учетом поглощения
излучения в объеме газа:
Рис. 8.5.1. Изменение интенсивности излучения в
излучающе-поглощаюшей среде ив длине dl
jv(D = jOv[i-ea^.
(8.5.3)
Из (8.5.3) следует, что спектральная интенсив-
ность излучения оптически толстого слоя газа
(ау! « 1) приближается к излучению АЧТ.
При высоких скоростях полета в атмо-
сфере затупленного тела радиационный теп-
ловой поток к его поверхности становится
доминирующим в тепловом балансе (рис.
8.5.2). Этот вывод зависит от радиуса затупле-
ния тела: с уменьшением радиуса R радиаци-
онный тепловой поток должен уменьшаться
пропорционально уменьшению толщины
ударного слоя.
На рис. 8.5.3 представлены результаты
численных расчетов интенсивности теплооб-
мена в высокотемпературном газовом потоке
к телам различных размеров.
Обращает на себя внимание принципи-
ально разное влияние радиуса кривизны тела
R на конвективный и радиационный тепло-
обмен. Если логарифм конвективного тепло-
вого потока 1g 0о при всех рассмотренных
температурах заторможенного газового потока
практически линейно убывает с увеличением
логарифма радиуса R, то зависимость лога-
рифма радиационного теплового потока
lg qp от этого же параметра можно прибли-
женно считать линейной лишь при малых Те.
Это связано с увеличением оптической тол-
щины сжатого слоя газа и с ростом эффекта
самопоглощения.
Рис. 8.5.2. Сравнение радиационного (/) и
конвективного (2) тепловых потоков в
точке торможения затупленного тела с радиусом
R = 4,6 м при различных скоростях полета
ТЕПЛООБМЕН В ИЗЛУЧАЮЩЕЙ И ПОГЛОЩАЮЩЕЙ СРЗДЕ
515
Рис. 8.5.3. Зависимость конвективного (а) и лучистого (б) тепловых потоков от радиуса кривизны R
в окрестности точки торможения сферического тела при различных температурах заторможенного потока Те:
1 - Те = 6 600 К; 2-9650 К; 3- 12 000 К; 4- 15 000 К; R в м, qK и qR в кВт/м*
б)
Как и конвективный тепловой поток
при ламинарном пограничном слое, радиаци-
онный тепловой поток на неразрушающейся
поверхности достигает своего максимального
значения в окрестности точки торможения.
Поэтому подавляющее большинство опубли-
кованных работ, посвященных лучисто-
конвектив-ному тепловому воздействию в
высокотемпературном или высокоскоростном
газовом потоке, относится именно к точке
торможения затупленного тела. Немаловажно
и то, что в этой области расчетные модели
базируются на уравнениях, которые допуска-
ют ряд важных упрощений. Это прежде всего
допущение о ламинарности течения в погра-
ничном слое и, что особенно важно для ана-
лиза теплового излучения, допущение о том,
что сжатый слой газа можно принять полу-
бесконечным и плоскопараллельным. Условие
симметрии течения относительно оси тела
позволяет ввести в уравнения сохранения
количества движения и энергии автомодель-
ные независимые переменные и тем самым
облегчить решение задачи.
Современные теоретические исследова-
ния излучающего сжатого слоя можно, вооб-
ще говоря, разбить на несколько категорий,
исходя из заложенной в них модели переноса
излучения. При использовании модели про-
зрачного газа предполагается, что элементы
газа излучают, но не поглощают энергию
(рис. 8.5.4, а). Другая модель учитывает, что
Рис. 8.5.4. Модели лучистого переноса в сжатом слое:
а - прозрачный газ; б - самопоглошающий газ;
в - прозрачный с высвечиванием;
г - самопоглошающий с высвечиванием
элементы газового объема не только излуча-
ют, но и поглощают часть лучистой энергии,
испускаемой соседними элементами сжатого
слоя (рис. 8.5.4, б). Влияние самопоглощения
для серого газа (когда принят постоянный для
всех длин волн коэффициент поглощения)
оказывается существенно иным, чем для не-
17'
516
Глава 8.5. ТЕПЛООБМЕН В ИЗЛУЧАЮЩЕЙ И ПОГЛОЩАЮЩЕЙ СРЦДЕ
серого, селективно поглощающего газа. Чис-
ленные расчеты показали, что даже в инже-
нерной практике обязательно следует учиты-
вать зависимость коэффициента поглощения
от длины волны. Это связано с тем, что вве-
дение некоторого среднего коэффициента
поглощения (например, осреднение по План-
ку) приводит к большим погрешностям в оп-
тической толщине сжатого слоя.
Указанные три модели излучающего
слоя подразделяются далее в зависимости от
характера учета взаимодействия поля течения
газа с лучистым переносом энергии. Это свя-
зано с существенной неадиабатичностью поля
течения за ударной волной, вызванной ’’выс-
вечиванием** части энергии элементарных
объемов в газе (рис. 8.5.4, в). При этом про-
исходит охлаждение сжатого слоя, профиль
температуры становится неоднородным, что в
свою очередь влияет на интенсивность радиа-
ционного теплового потока.
Самопоглощение несерого газа можно
учесть, вводя в выражение для радиационного
теплового потока эффективную степень чер-
ноты газа
Чк = (8-54>
Данные по эффективной степени черно-
ты различных газов в зависимости от темпе-
ратуры, давления и толщины изотермического
сжатого слоя / представлены в гл. 8.2.
Учет высвечивания газа за ударной вол-
ной также можно осуществить достаточно
простым методом. Сначала рассмотрим случай
прозрачного газа. Без учета высвечивания
радиационный тепловой поток к поверхности
тела от сжатого слоя толщиной / равен:
Чк = ЕкЦ2, (8.5.5)
где Ец = 4Кп<зТе определяет лучистую
энергию, испускаемую в единицу времени
единичным объемом газа при температуре,
соответствующей равновесным условиям за
прямым скачком уплотнения. Параметр Кп
характеризует средний планковский коэффи-
циент поглощения газа. Для заданного соста-
ва газа в условиях местного термодинамиче-
ского и химического равновесия Кп является
функцией локальной плотности и температуры.
Предположение о прозрачности газа по-
зволяет получить правильные результаты
лишь в случае малой оптической толщины
сжатого слоя:
/
(x)dx < 0,01; 0 < X < оо ,
0
где - спектральный объемный коэффи-
циент поглощения, который является физи-
ческой характеристикой данного газа и зави-
сит от температуры и плотности.
На практике столь малые оптические
толщины в сжатом слое воздуха достигаются
при скоростях полета Уда <9 км/с, когда
влияние излучения только начинает прояв-
ляться.
При численных расчетах обычно учиты-
вается непрерывное излучение и излучение в
молекулярных полосах высокотемпературного
воздуха. Основными механизмами, опреде-
ляющими сплошное излучение, являются
рекомбинация ионов атомарного азота и кис-
лорода (свободно-связанные переходы) и
ускорение свободных электронов вблизи ио-
нов и нейтральных атомов (свободно-свобод-
ные переходы).
Однако существует еще один механизм
излучения, а именно излучение в спектральных
линиях атомов, обусловленное сотнями раз-
личных связанно-связанных переходов атомар-
ных компонент. Результаты расчетов, прове-
денных в подтверждение этого явления, пока-
зали, что излучение в линиях атомов в дей-
ствительности может вносить примерно такой
же вклад в радиационный тепловой поток от
сжатого слоя, что и континуальное излучение.
Установлено, что вклад этого излучения
тем выше, чем меньше толщина излучающего
слоя (или размер аппарата, перед которым
возникает сжатый слой), а также чем больше
высота полета (или меньше давление ре) и
выше скорость . При изменении скорости
полета Уда от 10 до 16,5 км/с, высоте полета
57-67 км и при радиусе кривизны аппарата
R - 0,003 м рост излучения в атомных ли-
ниях приводил к увеличению радиационного
теплового потока в 3,6- 5,5 раза, однако при
R = 3 м вклад излучения атомных линий
снижался до 0,53-0,9 от радиационного теп-
лового потока, учитывающего только конти-
нуальное излучение.
Причина такого поведения кроется в
механизме самопоглощения несерого газа.
Если не учитывать самопоглощение, то
основная часть энергии излучения приходится
на ’’вакуумный ультрафиолет” (X ^0,19 мкм).
Однако именно в коротковолновой части
спектра оптическая толщина сжатого слоя
оказывается весьма большой (половина кон-
тинуального излучения поглощается уже на
расстоянии в 1 см). Поэтому для тел большо-
го размера, у которых сжатые слои составляют
многие сантиметры, доля вакуумного ультра-
фиолета оказывается не так уж велика (рис
8.5.5).
ТЕПЛООБМЕН В ИЗЛУЧАЮЩЕЙ И ПОГЛОЩАЮЩЕЙ СРЕДЕ
517
Рис. 8.5.5. Относительный вклад различных спектраль-
ных интервалов в суммарный радиационный поток q^ :
1 - Те = 11 000 К, R = 3 м, Ре = 1 -105 Па;
2 - Те = 14 000, R = 3, ре = 105;
3 - Те = 14 000, R = 0,3, ре = 104;
4 - Те = 14 000, R = 0,3, ре = 105;
5 - Те = 14 000, R = 3, ре = 10б;
6 - Те = 17 000 К, R = 3 м, ре = 106 Па
Для случая обтекания тела радиусом R = 3 м
при температуре заторможенного потока
Те = 14 000 К на вакуумный ультрафиолет
приходится лишь около 30 % суммарного
радиационного теплового потока.
С другой стороны, при большей длине
волны (кварцевый ультрафиолет, видимый и
инфракрасный диапазоны спектра) сжатый
слой можно считать практически прозрачным
для излучения. По крайней мере увеличение
размера сжатого слоя пропорционально уве-
личивает радиационный тепловой поток в
этом спектральном интервале.
Именно эти особенности нашли свое
отражение в результатах численных расчетов,
учитывающих излучение атомов в линиях.
Хотя спектральный коэффициент излучения и
возрастает при этом весьма существенно, ра-
диационный тепловой поток увеличивается
относительно мало.
В настоящее время принято увеличивать
в 1,5 раза величину радиационного теплового
потока, рассчитанного для сплошного излуче-
ния, с тем, чтобы учесть излучение атомов в
линиях.
Оставаясь в рамках модели прозрачного
газового слоя, в некоторых случаях приходит-
ся учитывать возможную неадиабатичность
излучающего объема, которая связана с выно-
сом части энергии (высвечиванием). Эффект
высвечивания сжатого слоя, приводящий к
падению температуры единичного газового
объема, тем сильнее будет влиять на радиаци-
онный тепловой поток фд, чем выше отно-
шение излучения адиабатического слоя
(^л)ад к полной энергии газового потока:
г eri
0»5pooV« 0^pwV«’
где 0,5 Poo- полная кинетическая энергия
потока, приходящаяся на единицу площади
поверхности тела. При этом радиационный
тепловой поток к телу может быть вычислен с
помощью простого соотношения
Вид функции радиационного охлажде-
ния /(Г) представлен на рис. 8.5.6. Числен-
ные расчеты показали, что она не зависит от
излучательных характеристик газа, более того,
/(Г) оказывается практически одинаковой
для различных газовых смесей.
Расчеты для обоснования универсаль-
ности такого представления фактора радиаци-
онного охлаждения (высвечивания) проведе-
ны для несерого самопоглощающего газа при
изменении произведения толщины сжатого
слоя на давление торможения на несколько
порядков. Тем самым показано, что измене-
ние оптической толщины излучающего объе-
ма не приводит к нарушению установленной
зависимости.
Действительное значение радиационного
теплового потока будет меньше адиабатиче-
ского значения (^я)ад в /(Г) раз.
Рис. 8.5.6. Зависимость степени высвечивания ударного
слоя от параметра радиационного охлаждения Г
518
Глава 8.6. ПЕРЕНОС ЛУЧИСТОЙ ЭНЕРГИИ В ПОЛУПРОЗРАЧНЫХ СРВДАХ
Рис. 8.5.7. Зависимость радиационного
теплового потока от размеров тела
при расчете по моделям излучения:
1 - прозрачный газ; 2 - самопоглошающий несерый
газ; 3 - прозрачный газ с учетом высвечивания;
4 - самопоглошающий несерый газ с высвечиванием;
5 - то же с учетом излучения атомов в линиях
Задача инженерного расчета прежде всего
сводится к достаточно строгому расчету адиаба-
тического радиационного теплового потока, т.
е. интенсивности излучения от сжатого слоя
толщиной / в предположении постоянства тем-
пературы и давления поперек него.
Поскольку толщина сжатого слоя / при
заданной скорости гиперзвукового полета
прямо пропорциональна размеру тела R, то
формула (8.5.5), соответствующая модели про-
зрачного газа, приводит к линейной зависи-
мости радиационного теплового потока от
радиуса кривизны затупленного тела (кривая
1 на рис. 8.5.7).
Учет несерого самопоглощения (кривая
2 на рис. 8.5.7) и радиационного высвечива-
ния как прозрачного (кривая 5), так и несеро-
го самопоглощающего газа (кривая 4) приво-
дит к существенному уменьшению радиаци-
онного теплового потока к поверхности тела
по сравнению с расчетами по формуле (8.5.5)
для прозрачного адиабатического сжатого
слоя. При этом все указанные эффекты суще-
ственно увеличиваются по мере возрастания
размеров тела (радиуса кривизны R).
Все перечисленные выше эффекты ока-
зывают сильное влияние на зависимость ра-
диационного теплового потока qp от скорос-
ти полета. Если расчеты по модели прозрач-
ного сжатого слоя с постоянными параметра-
ми показывали, что радиационный поток qp
возрастает пропорционально скорости полета
в десятой степени: <7/?~V10, то согласно по-
следним данным, учитывающим несерое са-
мопоглощение и радиационное охлаждение,
показатель степени при скорости полета ле-
жит между 3 и 5.
Глава 8.6
ПЕРЕНОС ЛУЧИСТОЙ ЭНЕРГИИ
В ПОЛУПРОЗРАЧНЫХ СРЕДАХ
Полупрозрачные материалы нашли широ-
кое применение в технике в качестве термо-
регулирующих и радиопрозрачных покрытий,
для внешних слоев элементов солнечных ба-
тарей, для тепловой защиты летательных ап-
паратов (например, тефлон, полистирол,
стеклопластики). Зачастую они первоначально
могут не пропускать тепловое излучение, но в
процессе нагрева либо "просветляются'*, либо
образуют на внешней поверхности пленку
расплава из полупрозрачного компонента
покрытия.
Наличие лучистого теплообмена в слое
приводит к иным качественным и количе-
ственным зависимостям в механизме тепло-
проводности. Попытка учесть эту особенность
известна как "эффективная теплопровод-
ность", которую суммируют с молекулярной
теплопроводностью (Хг +1) при расчете
глубины прогрева или скорости разрушения
полупрозрачных материалов. Эффективная
теплопроводность определяется всем
профилем температуры в теле, или, по край-
ней мере, той его частью, где оптические ха-
рактеристики - показатель поглощения и
рассеяния Рх вещества отличны от бесконеч-
ности.
К сожалению, экспериментальные дан-
ные по оптическим характеристикам веществ
весьма ограничены и противоречивы. Они
изменяются с температурой, зависят от нали-
чия примесей или пористости, ионизирую-
щего излучения и даже технологии изготовле-
ния материала. Поэтому при исследовании
теплопереноса в полупрозрачных материалах
часто делают заведомо грубые допущения,
такие, например, как оптически "серое" при-
ближение. Несмотря на это многочисленные
расчеты позволяют установить ряд ин-
тересных закономерностей.
Математическая модель полупрозрачно-
го слоя, используемая в расчетах, базируется
на следующих основных допущениях:
ПЕРЕНОС ЛУЧИСТОЙ ЭНЕРГИИ В ПОЛУПРОЗРАЧНЫХ СРЕДАХ
519
1. Слой представляет собой бесконечную
в направлении продольной оси х плоско-
параллельную пластину.
2. Поле температур в теле одномерное в
направлении оси у т. е.
3. Отражение от границ слоя соответ-
ствует предельным случаям (зеркальному или
диффузионному), при этом внешняя граница
(у = 0) считается прозрачной, а внутренняя
(У = 8 ) - непрозрачной.
Влияние внутреннего теплового излуче-
ния на распределение температуры Т(у) за-
ключается в том, что в слое происходит охлаж-
дение относительно горячих областей и нагрев
за счет поглощения в холодных областях.
Рассмотрим вначале чисто поглощаю-
щую среду с постоянным (по спектру) коэф-
фициентом поглощения К^- К. Нагрев с
внешней стороны осуществляется конвек-
тивным тепловым потоком Qq , который фор-
мирует внутри тела экспоненциальный про-
филь температуры. В безразмерной форме он
имеет вид 0 = 0(т|), где q - безразмерная
толщина слоя.
На рис. 8.6.1 представлено для сравнения
пять вариантов расчета. Пунктирной линией
изображены варианты с нулевым и бесконеч-
ным коэффициентами поглощения (К = 0,
К = оо). Максимальная глубина прогрева
достигается при весьма умеренных значениях
коэффициента поглощения К = 100 м-1. При
этом изменения происходят во всех темпера-
турных интервалах, как в высокотемператур-
ном (где профиль становится более крутым),
так и в низкотемпературном. Наличие зон с
высокими градиентами температур, значи-
тельное увеличение глубины прогретого слоя
- все это представляет серьезную опасность
для любой теплонапряженной конструкции.
По сравнению с вариантом 2 оба альтерна-
тивных варианта 1 и 3 (рис. 8.6.1) как бы
стремятся каждый к своему пределу с нуле-
вым и бесконечным коэффициентом погло-
щения. Малые значения коэффициента погло-
щения (наличие зон просветления вещества),
вероятно, даже более существенны для оценки
теплового состояния, чем учет переменности с
температурой коэффициента молекулярной
теплопроводности материала Х(Т).
Поскольку собственное излучение мате-
риала пропорционально величине коэффици-
ента поглощения К, то при слишком малых
значениях последнего охлаждение поверхност-
Рис. 8.6.1. Профили температуры
в чисто поглощающей среде:
Те = 3000 К; ре = 10* Па; R = 0,007 м;
1 - к = 10 м1; 2 - к = 100 м1; 3 - к = 1000 м1;
......к = 0 и к = 00
ных слоев излучением оказывается несуще-
ственным.
С ростом К интенсивность охлаждения
усиливается, но, одновременно с этим
уменьшается длина свободного пробега излу-
чения, так что в радиационном теплообмене
принимают участие лишь близкие друг другу
зоны вещества. Как следствие этого ширина
охлаждаемой зоны сужается, а нагреваются
слои, ближе лежащие от внешней поверх-
ности. Профиль температуры принимает ха-
рактерную форму с двумя точками перегиба
(вариант 2).
Рассеяние теплового излучения играет в
радиационном теплопереносе вторичную
роль, выравнивая профиль лучистых потоков
по направлениям. Путь луча при этом стано-
вится зигзагообразным, а значит и более длин-
ным, что уменьшает суммарную длину сво-
бодного пробега излучения 5Г. Величина
лучистых потоков (а значит и профиль темпе-
ратуры) в подповерхностном слое изменяется
незначительно, причем в основном лишь из-
за того, что облегчается выход фотонов во
внешнее пространство. Напротив, влияние
коэффициента рассеяния 0 на затухание
лучистого теплопереноса и профиль темпера-
туры в глубинных слоях весьма значительно.
На рис. 8.6.2 дано сравнение темпера-
турных профилей внутри полупрозрачного
материала с постоянным коэффициентом
поглощения К и тремя различными по вели-
чине коэффициентами рассеяния 0 , точнее
различным отношением 0/ЛГ = у .
Сравнивая данные, представленные на
двух последних рисунках, можно утверждать,
что рассеяние лучистой энергии имеет влияние
лишь на области достаточно протяженные,
вдали от границ слоя. Значительная коррекция
температурного поля в полупрозрачных средах
происходит при наличии внешнего лучистого
520
Глава 8.6. ПЕРЕНОС ЛУЧИСТОЙ ЭНЕРГИИ В ПОЛУПРОЗРАЧНЫХ СРЕДАХ
при фиксированном коэффициенте поглощения к
в чисто поглощающей среде:
Те = 8000 К; ре = 105 Па; R = 0,007 м;
qR = 60000 кВт/м2;
1 - к = 10 м1; 2 - к = 316 м-ь 3 - к = 1780 м*1;
4- к = 5620 м*1; 5- к = 17800 кг1
воздействия. На рис. 8.6.3 даны результаты
расчета при наличии совместного радиацион-
но-конвективного теплового потока на внеш-
ней поверхности тела. Лишь при очень малых
значениях коэффициента поглощения К (ва-
риант 2) профиль температуры является мо-
нотонным с максимумом на внешней поверх-
ности.
По мере роста К происходит все более
значительное искривление профиля темпера-
туры, причем максимум температуры при-
ближается к внешней поверхности. Такое
распределение температуры в полимерных
покрытиях ведет к их растрескиванию и пу-
зырению, а в стеклах - к помутнению и поте-
ре прозрачности.
Расчеты показали, что изменение темпе-
ратуры внешней поверхности происходит
в пределах порядка 10 %, но значительно важ-
нее учесть отличие в интегральной степени
черноты ew , связанное прежде всего с изме-
нением оптической толщины излучающего
слоя . Чтобы проанализировать этот эф-
фект, рассмотрим упрощенную модель явле-
ния.
Пусть по всему излучающему слою тем-
пература является постоянной Т = Т*, а гра-
ницы - не отражают падающее на них излуче-
ние. На рис. 8.6.4 показана зависимость нор-
мальной и полусферической степени черноты
е от оптической толщины т5 при нескольких
значениях числа Шустера (см. ниже). Инте-
гральная степень черноты определяется как
отношение выходящего из слоя (по нормали,
либо во всей полусфере) потока излучения к
потоку излучения абсолютно черного тела
(о Г4). Оптической толщиной слоя т5>х на-
зывается по определению величина
6
Ч х = рМУ.
о
где 5 - геометрическая толщина слоя, Кк -
спектральный коэффициент поглощения ве-
щества.
И, наконец, число Шустера (или альбе-
до) среды определяется уравнением
&Х =----,
^х+Рх
где 0^ - коэффициент рассеяния.
Степень черноты среды, альбедо кото-
рой отлично от нуля, ни при каких оптиче-
ских толщинах слоя не станет равной
единице.
Рис. 8.6.4. Степень черноты плоского
изотермического слоя:
- нормальная;------- полусферическая
ИЗМЕРЕНИЕ ТЕМПЕРАТУР В ЧАСТИЧНО ПРОЗРАЧНЫХ МАТЕРИАЛАХ
521
Степень черноты плоского слоя тем меньше,
чем больше альбедо (т. е. чем значительнее
роль рассеяния в суммарном коэффициенте
ослабления излучения + Рх) • Чем боль-
ше альбедо среды, тем при больших значени-
ях оптической толщины тх достигается мак-
симальная степень черноты плоского излу-
чающего слоя.
Глава 8.7
ИЗМЕРЕНИЕ ТЕМПЕРАТУР
В ЧАСТИЧНО ПРОЗРАЧНЫХ МАТЕРИАЛАХ
Необходимость в измерении температу-
ры в частично прозрачных материалах возни-
кает в процессах варки и термообработки
изделий из стекла, в технологических процес-
сах изготовления изделий из этих материалов,
при выращивании кристаллов и в ряде других
случаев. Существующие методы измерения
температур в частично прозрачных материалах
можно разделить на контактные и бескон-
тактные.
В контактных методах так же как и при
измерении температур в непрозрачных мате-
риалах используются контактные датчики -
термопары и термометры сопротивления.
Одна из основных особенностей изме-
рения температур полупрозрачных материалов
этим методом состоит в том, что температура
чувствительного элемента (датчика) опреде-
ляется не только температурой самого мате-
риала в месте установки датчика, но также
сложным радиационным теплообменом с
проходящим через материал внешним пото-
ком излучения и собственным излучением
участков системы в окрестности датчика. Это
может приводить к большему отличию темпе-
ратуры чувствительного элемента Тд от истин-
ной температуры материала Ти, которую он
имел бы в месте установки датчика при его от-
сутствии там. Разность температур (Тд - Ти)
принято называть абсолютной методической
погрешностью измерения температуры.
Указанная погрешность возрастает с
увеличением размера чувствительного элемен-
та, спектральной области прозрачности иссле-
дуемого материала и возрастанием различия в
температурах отдельных участков системы
датчик температуры - изучаемый образец.
Большое влияние на величину погрешности
измерения температуры оказывают оптиче-
ские характеристики поверхности датчика и
длины термоэлектродов, расположенных в
изотермической плоскости.
Оценки методической погрешности из-
мерения температур в частично прозрачных
материалах контактными датчиками показы-
вают, что этот метод следует применять доста-
точно осторожно, соблюдая при этом реко-
мендации, направленные на уменьшение ме-
тодической погрешности. Метод дает хорошие
результаты и оказывается эффективным при
измерении температур полупрозрачных мате-
риалов с сильным рассеянием.
Методическая погрешность измерения
во многом зависит от сочетания теплофизиче-
ских и оптических свойств датчика темпера-
туры и исследуемого полупрозрачного мате-
риала. Приведенные ниже примеры иллю-
стрируют некоторые частные случаи этого
общего заключения. На рис. 8.7.1 показано
влияние относительного коэффициента теп-
лопроводности = Хд/Хм (отношение
коэффициента теплопроводности материала
датчика к коэффициенту теплопроводности
полупрозрачного материала, температура ко-
торого измеряется) на относительную по-
грешность измерения температуры
Т -Т
7 м г 7д
Тмг ’
где Тм г - температура исследуемого материала
в месте установки датчика при его отсутствии
.там, Тд - средняя температура датчика.
Расчеты стационарного температурного
поля выполнены для схемы измерения, пока-
занной на рис. 8.7.2.
Температура поверхности образца из
кварцевого стекла определялась из расчета
для толщины пластины h - 1 мм; плот-
ности
Рис. 8.7.1. Влияние относительного коэффициента
теплопроводности на погрешность
измерения температуры:
--------без учета поглощения излучения;
---------- с учетом поглощения излучения
в материале образца;
1- Bi =аА/Хм =0,027; 2- Bi =0,034;
3- Bi =0,54 и 4- Bi =2,7
522
Глава 8.7. ИЗМЕРЕНИЕ ТЕМПЕРАТУР В ЧАСТИЧНО ПРОЗРАЧНЫХ МАТЕРИАЛАХ
'“Ч^^ *Ч*,о
Рас. 8.7.2. Схема измерения температуры образца
из полупрозрачного материала, к фронтальной
поверхности которого поступает тепловой ноток
плотностью q^ в виде суммы конвективной qc о
и радиационной составляющей q&Q
потока =5 МВт/м2; соотношения
^до/^Е.О = 0,5= л . С тыльной стороны
пластина охлаждается жидкостью с темпера-
турой То =20 °C, Bi =0,027 + 2,7; коэффи-
циент поглощения % =0,01 1/мм; поглоща-
тельная способность датчика принята равной
нулю, Ед = 0. Из рис. 8.7.2 видно, что погреш-
ность измерения с увеличением возраста-
ет, стремясь к постоянной величине, значение
которой определяется условиями охлаждения.
Она обращается в ноль при Кх = 0, что соот-
ветствует условию отсутствия датчика в рас-
сматриваемом месте поверхности образца.
Влияние коэффициента поглощения в этом
частном примере проявляется незначительно.
Погрешность измерения температуры в
полупрозрачных материалах в сильной степени
зависит от поглощательной способности поверх-
ности датчика. Для случая измерения стацио-
нарной температуры в чисто поглощающем ма-
териале эта зависимость показана на рис. 8.7.3.
Видно, что лишь в диапазоне % > 1 и
0 < ед <= 0,5 погрешность измерения темпе-
ратуры составляет ±10 %, возрастая с умень-
шением %. При больших значениях
(Кк > 1), как показывают соответствующие
расчеты, она может достичь 60 % и более.
Наиболее ярко различие в погрешностях
измерения температур полупрозрачных и не-
прозрачных материалов проявляется в неста-
ционарном процессе прогрева материала, если
в составе внешнего, подводимого к нему по-
тока, присутствует радиационная составляю-
щая. В первые моменты времени после начала
материала и поглощательной способности поверхности
датчика на относительную погрешность измерения
стационарной температуры при = 1;
Bi =2,7; П = 9я,о/9х,О =°-5
процесса прогрева погрешности измерения и
в том и в другом случаях имеют тенденцию к
возрастанию. Отличие состоит в том, что в
полупрозрачном материале при определенных
условиях датчик может фиксировать бдльшую
температуру, чем та, которую имел бы мате-
риал в месте его установки при отсутствии
там датчика. Это объясняется тем, что датчик
может нагреваться потоком теплового излуче-
ния, проникающим к нему через материал,
задолго до того, как до него дойдет поток
теплоты за счет кондуктивного переноса
энергии, рис. 8.7.4, где
5 J’
7д ^м.г
Гм.г “ *0
Рис. 8.7.4. Относительная погрешность измерения
температуры в материале (фторопласт-4) в
зависимости от времени прогрева для
разной глубины установки термопары:
—- 2,5 мм;------------ 5 мм
ИЗМЕРЕНИЕ ТЕМПЕРАТУР В ЧАСТИЧНО ПРОЗРАЧНЫХ МАТЕРИАЛАХ
523
Таким образом, при измерении темпера-
туры в полупрозрачных материалах с по-
мощью контактных датчиков изменяется не
только величина погрешности измерения, но
и ее знак. Для термопар, имеющих поглоща-
тельную способность поверхности ед > 0, в
начальные моменты времени за счет разогрева
спая термопары проникающим потоком излу-
чения регистрируемая температура выше ис-
тинной и знак величины погрешности изме-
рения положительный. В последнем примере
плоский образец из фторопласта-4 нагревался
радиационным потоком с фронтальной сто-
роны, на которой имел место радиационно-
конвективный теплообмен с окружающей
средой. Противоположная сторона образца,
через которую перпендикулярно к ней вводи-
лась в глубь материала термопара с тепловой
и электрической изоляцией, была теплоизо-
лирована.
Для уменьшения методической погреш-
ности измерения температуры полупрозрачно-
го материала контактными датчиками спра-
ведливы рекомендации, полученные для не-
прозрачных материалов - уменьшение диа-
метров термоэлектродов и укладка их в изо-
термической поверхности. Строгая количе-
ственная оценка методической погрешности
измерения температуры в полупрозрачном
материале при различном сочетании оптиче-
ских и теплофизических свойств материала и
датчика может быть получена лишь на основе
решения, как правило, трехмерной сопря-
женной задачи радиационно-кондуктивного
теплообмена в системе "испытуемый материал
- датчик температуры" с учетом эффектов
поглощения, рассеяния и собственного излу-
чения материала. Без такой оценки примене-
ние контактных датчиков для измерения тем-
пературы полупрозрачных материалов не по-
зволяет контролировать полученный резуль-
тат.
В технологических процессах производ-
ства изделий из полупрозрачных материалов и
процессах их термической обработки широкое
распространение получил бесконтактный ме-
тод определения температур. Этот метод дает
хорошие результаты при измерении темпера-
туры поверхности или температуры изотерми-
ческого слоя частично прозрачного материа-
ла, в котором отсутствует кондуктивный пе-
ренос теплоты.
Существует несколько разновидностей
бесконтактного метода, среди которых следует
выделить метод инфракрасной пирометрии и
оптические методы измерения температур. По
существу обе указанные разновидности бес-
контактного метода являются оптическими,
поскольку в их основе лежит использование
тех или иных оптических свойств исследуе-
мого материала.
Рис. 8.7.5. Область пропусками промышленных стекол
разной толщины (от 1,79 до 6,20 мм) - заптрнхованнаа
область; отражение стекла - пунктирная кривая
Чувствительные элементы пирометров,
применяемых в инфракрасной пирометрии,
воспринимают излучение от исследуемого
материала в диапазоне длин волн, в котором
материал практически не прозрачен и его
собственное излучение близко к излучению
черного тела. Для большинства типов стекол
этот спектральный диапазон лежит в области
спектра между 4,2 и 8,0 мкм. В этом интерва-
ле длин волн стекла излучают как черное тело
с коэффициентом черноты около 0,96. Ис-
ключение составляют некоторые виды специ-
альных оптических стекол. Начиная с 8 мкм
и далее, сильно возрастает отражение поверх-
ности стекла, что вызывает искажение изме-
ряемой температуры, рис. 8.7.5.
Рассматриваемый пирометр имеет пре-
делы измеряемых температур 300 - 1200 °C;
чувствительность не менее 0,1 %, погреш-
ность измерения не более ± i %.
На выбор спектрального диапазона для
измерения температур полупрозрачных мате-
риалов оказывает влияние температурная за-
висимость оптических свойств материала в
области непрозрачности. Но данные о таких
зависимостях для большинства полупрозрач-
ных материалов в этой области спектра весь-
ма ограничены. В табл. 8.7.1 приведены отра-
жательные способности и спектральные ин-
тервалы, которые рекомендуется использовать
при создании пирометров для измерения тем-
ператур отдельных полупрозрачных материа-
лов.
Изложенный подход к измерению тем-
пературы хорошо зарекомендовал себя при
измерении температур поверхности или изо-
термического слоя полупрозрачных нерассеи-
ваюших материалов. Принципиально этот же
метод пригоден и для измерения температур
полупрозрачных рассеивающих материалов. В
этом случае, как и в предыдущем, значение
коэффициента поглощения материала %
должно быть достаточно большим, а коэффи-
циент преломления приближаться к единице.
524
Глава 8.7. ИЗМЕРЕНИЕ ТЕМПЕРАТУР В ЧАСТИЧНО ПРОЗРАЧНЫХ МАТЕРИАЛАХ
8.7.1. Рекомендуемые спектральные интервалы и величины отражательной способности
для измерения температуры полупрозрачных материалов
Материал Х01, мкм Хо2. мкм Отражательная способность в этом интервале рх
Кварцевое стекло 4,7 7,6 0,04 - 0,01
Лейкосапфир 7,3 10,2 0,025 - 0,04
Оксид магния 11,5 12,3 0,05
Фтористый литий 9,8 12,2 0,02 - 0,04
Фтористый кальций 11,2 15 0,03 - 0,015
Фтористый барий 13,4 23 0,03
Фтористый натрий 16,3 18,4 0,03
В применяемых для этой цели пирометрах
коротковолновая граница используемого
спектрального диапазона должна быть распо-
ложена в более дальней области спектра. Для
сильно рассеивающих полупрозрачных мате-
риалов бесконтактный метод измерения тем-
ператур может быть с успехом заменен кон-
тактным с применением термопар.
Бесконтактный метод измерения темпе-
ратур целесообразно использовать и при из-
мерении температурного состояния частично
прозрачных пластиков и ряда твердых орга-
нических веществ. В этом случае для создания
пирометра может быть использована одна из
интенсивных полос поглощения в спектре
пропускания материала при условии, что
произведение коэффициента поглощения на
толщину слоя > 5.
При использовании пирометров необхо-
димо учитывать влияние ослабления излуче-
ния в окружающей среде, вызванное погло-
щением его парами воды и углекислого газа, а
также ряд других технических требований.
Оптические методы измерения темпера-
турного состояния полупрозрачных сред
основаны на использовании зависимости по-
казателя преломления или коэффициента
поглощения от температуры в области, где
материал обладает высокой прозрачностью.
Большой недостаток этих методов состоит в
том, что для определения температуры иссле-
дуемого объекта по найденным значениям
показателя преломления или коэффициента
поглощения необходимо иметь эксперимен-
тально полученные зависимости (Т) и
Хх (Т). Изучаемый объект не должен содер-
жать рассеивающих центров и быть гомоген-
ным. Из-за этих и ряда других недостатков
оптические методы имеют ограниченную об-
ласть применения в исследованиях темпера-
турного состояния твердых тел. Достоинство
этих методов состоит в малой инерционности
и в возможности работать с потоками излуче-
ния небольшой интенсивности.
Раздел 9
ТЕПЛОВАЯ ЗАЩИТА
Глава 9.1
МЕТОДЫ ТЕПЛОВОЙ ЗАЩИТЫ
ч
Взаимодействие нагретого газа с тепло-
защитными покрытиями обусловлено проте-
канием многочисленных и взаимосвязанных
процессов. Теоретическое решение этой про-
блемы в общем случае должно основываться
на решении системы дифференциальных
уравнений, описывающих явление нестацио-
нарного тепломассопереноса в системе газ -
тело. Этими уравнениями являются уравне-
ния внешней газодинамики, уравнения лами-
нарного или турбулентного пограничных
слоев в многокомпонентных реагирующих
газовых смесях, уравнения нестационарной
теплопроводности внутри многослойных теп-
лозащитных покрытий, а также уравнения
кинетики поверхностного взаимодействия.
Решение задачи в такой сложной сопря-
женной постановке с учетом неодномерности
протекания большинства процессов представ-
ляет в настоящее время трудности с матема-
тической и вычислительной точек зрения. К
тому же исходная физическая модель данного
комплексного явления еще не полностью
ясна, а коэффициенты переноса и другие
физико-химические параметры не достаточно
достоверны.
Тем не менее практическая важность
решения проблемы тепловой защиты стиму-
лировала появление за последние годы боль-
шого числа теоретических и эксперименталь-
ных исследований как в направлении выяс-
нения главных факторов, влияющих на про-
цессы взаимодействия нагретого газа и мате-
риала покрытия, так и в направлении разра-
ботки методов расчета или средств экспери-
ментального изучения.
При конструктивном решении проблемы
тепловой защиты были предложены различные
схемы, включая и такие, в которых используют-
ся реагирующие или сублимирующие и плавя-
щиеся материалы, т. е. материалы, разрушение
которых в процессе нагрева заранее предполага-
ется и происходит упорядоченным образом.
При применении таких веществ их эф-
фективная теплоемкость намного увеличи-
вается за счет использования теплот химиче-
ского взаимодействия или фазовых превраще-
ний. Защитное действие может также оказы-
вать и вдув газообразных продуктов разруше-
ния в пограничный слой набегающего потока,
приводящий к существенному снижению
подведенного теплового потока. В задачу кон-
структора тепловой защиты входит сопостав-
ление большого числа вариантов, что связано
не только с анализом разного типа теплоза-
щитных систем, но и с необходимостью вы-
бора оптимальной формы защищаемой по-
верхности, а в некоторых случаях и закона
изменения внешних параметров обтекания.
Описанные в этой главе методы приме-
нимы для анализа и разработки тепловой за-
щиты разных конструкций независимо от их
назначения. Это могут быть стенки сопла или
высокотемпературного энергетического уст-
ройства, а также внешние поверхности лета-
тельного аппарата, возвращающегося на Зем-
лю из космического полета. При анализе раз-
личных видов взаимодействия материала с
набегающим потоком газа отдельно рассмат-
риваются явления, протекающие внутри теп-
лозащитного покрытия, и процессы, связан-
ные с поступлением продуктов разрушения
этого покрытия в ламинарный или турбу-
лентный пограничный слой и химическим
взаимодействием между компонентами набе-
гающего потока и продуктами разрушения.
На основе накопленного опыта вырабо-
таны строгие критерии отбора, позволяющие
заменить эмпирический подход целенаправ-
ленным поиском систем, оптимальным обра-
зом отвечающих заданным условиям. Это
требование особенно важно для разру-
шающихся теплозащитных материалов, коли-
чество которых резко растет в связи с про-
грессом в области органической химии и ма-
териаловедения. При этом возникла потреб-
ность в разработке теории (механизма) про-
цессов разрушения и прогрева теплозащитных
материалов, в теоретическом исследовании
влияния состава различных классов покрытий
на параметры разрушения, в обобщении ре-
зультатов стендовых исследований и создании
новых методик эксперимента.
Необходимость в использовании специ-
альной тепловой защиты возникает в тех слу-
чаях, когда незащищенная конструкция под
действием тепловых потоков неминуемо
должна разрушиться. Верхним пределом при-
менимости самых жаропрочных металлов без
тепловой защиты можно, по-видимому, счи-
тать тепловые потоки порядка 2,5* 105 Вт/м2,
которые приводят к равновесным температу-
рам поверхности, превышающим 1500 К. На-
званные величины могут рассматриваться
лишь как условная граница, поскольку в
большинстве случаев тепловое воздействие
526
Глава 9.1. МЕТОДЫ ТЕПЛОВОЙ ЗАЩИТЫ
может усугубляться механическими и окисли-
тельными воздействиями, что приводит к
разрушению конструкции при существенно
меньших температурах.
В настоящее время известно шесть
основных способов отвода (поглощения) теп-
лоты: теплопроводностью с использованием
теплоемкости конденсированных веществ,
конвекцией, массообменом, излучением, с
помощью электромагнитных полей и, нако-
нец, за счет физико-химических превраще-
ний. На практике часто встречается комбина-
ция двух или более указанных выше способов.
Каждый из этих способов или их сочетание
могут быть реализованы в виде различных
методов тепловой защиты в зависимости от
конкретного конструктивного оформления.
9.1.1. ПОГЛОЩЕНИЕ И НАКОПЛЕНИЕ
ТЕПЛОТЫ КОНДЕНСИРОВАННЫМИ ВЕЩЕСТВАМИ
Способность некоторых материалов лег-
ко отводить теплоту от нагретых поверхностей
хорошо известна и находит широкое приме-
нение уже сотни лет. Системы с накоплением
теплоты являются низкотемпературными, ибо
они работают при температурах ниже точки
плавления поглощающего теплоту материала.
Теплота отводится от поверхности теплопро-
водностью в соответствии с законом Фурье
где X - коэффициент теплопроводности;
Т - температура; п - нормаль к изотерме.
Максимальное количество теплоты, ко-
торое может поглотить такая система (рис.
9.1.1, а), определяется выражением
Гпл
Q = m JcdT = cm(T„-T0),
То
где m - масса вещества; с - его теплоемкость;
Тт - температура фазового превращения
(плавления); То - начальная температура.
Следовательно, эффективность данного
принципа отвода теплоты тем выше, чем
больше теплоемкость материала, его тепло-
проводность X и температура плавления или
сублимации Тт.
На практике широко используются ме-
таллы, имеющие более высокие по сравнению
с другими веществами значения коэффициен-
та теплопроводности, что обеспечивает усвое-
ние ими теплоты относительно равномерно
по всей массе материала.
Рис. 9.1.1. Тепловая защита, использующая поглощение тепла за счет теплоемкости (а)
и конвективного охлаждения (0, •):
1 - теплопоглощающий материал; 2 - защищаемый объект; 3 - форсунка;
4 - охлаждающая пленка; 5 - охлаждаемая стенка
КОНВЕКТИВНОЕ ОХЛАЖДЕНИЕ
527
9.1.1. Материалы, используемые в качестве поглотителей теплоты
Материал х при 20 °C, Вт/(м-К) с при 20 °C, кДж/(кг-К) Тт,к 2. кДж/кг р при 20 °C, кг/м3
МёЬь 386 0,37 1370 450 8950
Алюминий 293 0,92 950 650 2700
Железо 78 0,45 1800 790 7870
Молибден 148 0,25 2990 975 10200
Вольфрам 150 ‘ 0,08 3640 1790 19300
Бериллий 167 2,18 1640 3690 1820
Графит 130 1,63 3770 9550 2190
Классическая теория теплопроводности
показывает, что равномерное распределение
температуры между наружными и внутренни-
ми слоями возможно при критериях Био,
меньших единицы, Bi = /( A.Tw/8), где
- подведенный тепловой поток, Тт -
максимально допустимая температура стенки,
а 8 - ее толщина. Чем меньше критерий
Био, тем вероятнее, что теплота пройдет
"транзитом" через стенку прежде, чем на ее
поверхности будет достигнута температура
разрушения. Можно показать, что нецелесо-
образно использовать металлические стенки
толщиной более 25-50 мм.
В табл. 9.1.1 приведены свойства некото-
рых веществ, представляющих интерес в ка-
честве теплопоглощающих материалов. Теп-
лоемкость материала является важным пара-
метром, но ее величина может значительно
изменяться с изменением температуры, поэто-
му при расчетах удобней пользоваться значени-
ем общего количества теплоты 2, затраченного
на нагрев материала от начальной температуры
То до точки плавления Тт .
Важными факторами, которые следует
иметь в виду при выборе того или иного ма-
териала в качестве поглотителя теплоты, яв-
ляются его механическая прочность при вы-
соких температурах, а также однородность.
Так хрупкий графит менее предпочтителен
чем медь, которая часто используется на
практике благодаря ее хорошей технологич-
ности, дешевизне и высокому коэффициенту
теплопроводности, исключающему неравно-
мерность нагрева изделий. Верхний темпера-
турный предел применимости металлов обыч-
но намного ниже Тт из-за окисления.
9.1.2. КОНВЕКТИВНОЕ ОХЛАЖДЕНИЕ
Конвективное охлаждение состоит в том,
что от обогреваемой горячим потоком стенки
теплота передается охлаждающей жидкости или
газу (рис. 9.1.1, б, в). Перепад температуры в
стенке определяется при заданной ее толщине
8 выражением Tw\ - Tw2 - / ^ • Тепло-
вой поток в стационарных условиях опре-
деляется расходом охладителя т , его теплоем-
костью с и перепадом температуры Tw2 ~ То:
QqS = cm^TW2 - То),
где S - площадь теплоотдающей поверх-
ности.
Среди газообразных охладителей своей
теплоемкостью выделяется водород (с = 14,5
кДж/кг), на практике чаще используются
жидкости: вода, спирт и т. д.
При высоких температурах стенки для
охлаждения могут применяться расплавлен-
ные металлы (натрий, литий). Жидкий металл
на охлаждаемую стенку можно подавать с
помощью форсунок (рис. 9.1.1, в).
В зависимости от способа рассеяния
теплоты в окружающее пространство системы
конвективного охлаждения подразделяются на
замкнутые и разомкнутые. Обязательным
элементом замкнутой системы охлаждения
является теплообменник, в котором охлади-
тель, получающий теплоту от горячей стенки,
рассеивает его в окружающую среду или пе-
редает другому теплоносителю. В этом случае
необходимое количество охладителя не зави-
сит от времени эксплуатации системы.
Для снижения перепада температуры в
стенке и улучшения условий отвода теплоты
материал стенки должен обладать большой
теплопроводностью. Лучшими материалами для
этих целей являются медь, молибден. Данный
способ не применим, когда температура по-
верхности превышает температуру плавления
или когда происходит эрозия стенки.
Расширить интервал допустимых тепло-
вых потоков при достаточно интенсивном
подводе теплоты от горячих газов можно за
счет использования теплоты фазового пре-
вращения (испарения) охладителя на поверх-
528
Глава 9.1. МЕТОДЫ ТЕПЛОВОЙ ЗАЩИТЫ
ности (рис. 9.1.1, в). Так, теплота испарения
расплавленного лития составляет около
20 500 кДж/кг, литий кипит при 1590 К (при
105 Па).
Конвективное охлаждение часто исполь-
зуется в камерах сгорания жидкостных ракет-
ных двигателей, а также в стационарных вы-
сокотемпературных промышленных установ-
ках (плазмотронах и др.). Здесь применяются
системы трубчатого охлаждения, состоящие из
разветвленной сети каналов или труб, распо-
ложенных под нагреваемой поверхностью и
находящихся в тесном контакте с ней. Через
трубы непрерывно прокачивается жидкий или
газообразный охладитель. Максимальное ко-
личество теплоты, поглощенное такой систе-
мой, зависит от теплопроводности материала
стенки, расхода и теплоемкости охладителя. В
ЖРД применяется обычно система разомкну-
того типа; использованное в качестве охлади-
теля топливо поступает затем в камеру сгора-
ния двигателя и там сгорает.
9.1.3. МАССООБМЕННЫЙ ПРИНЦИП ОХЛАЖДЕНИЯ
Этот принцип поглощения теплоты мо-
жет быть реализован в виде пористого, пле-
ночного или заградительного охлаждения. Все
они находят широкое применение для защиты
как от радиационного, так особенно от кон-
вективного нагрева. При вводе холодного газа
или жидкости непосредственно в пристеноч-
ный слой набегающего потока толщина этого
слоя увеличивается, происходит оттеснение
горячего газа от защищаемой поверхности, в
результате чего интенсивность теплообмена
на поверхности снижается. Преимущества
этого принципа защиты перед другими обус-
ловлены, во-первых, сохранением внешней
формы защищаемого тела и, во-вторых, воз-
можностью поддержания температуры по-
верхности на желаемом уровне с помощью
соответствующего регулирования расхода
охладителя.
Рассмотрим сначала пленочное охлажде-
ние. Горячий газ движется вдоль стенки, по-
крытой пленкой охлаждающей жидкости,
которая поступает через одну или несколько
щелей или отверстий, выполненных на неко-
тором расстоянии друг от друга вдоль поверх-
ности (рис. 9.1.2, а). Температура поверхности
тела не будет превышать температуру кипения
жидкости до тех пор, пока существует пленка
на поверхности. В ракетной технике в ка-
честве охладителя может быть использовано
жидкое ракетное топливо.
Рис. 9.1.2. Тепловая защита массообменом:
а - пленочное охлаждение; б и в - заградительное охлаждение; г - пористое охлаждение;
1 - основное твердое топливо; 2 - твердое топливо с низкой температурой горения;
3 - зона холодного пограничного слоя; 4 - зона горячего газа
МАССООБМЕННЫЙ ПРИНЦИП ОХЛАЖДЕНИЯ
529
Эффективность пленочного охлаждения
зависит от способа подвода охладителя, угла
подачи, свойств охладителя, состояния защи-
щаемой поверхности (наличие загрязнений,
шероховатость) и числа щелей или отверстий
на единицу длины поверхности. При увели-
чении числа щелей температура стенки стано-
вится более равномерной.
Пленочное охлаждение используется
обычно как дополнительное средство защиты
стенок камер сгорания и сопл жидкостных
ракетных двигателей, когда конвективное
охлаждение не обеспечивает необходимого
снижения температуры стенок.
Еще одной разновидностью тепловой за-
щиты массообменом является заградительное
охлаждение. При заградительном охлаждении
защищаемая стенка изолируется от горячего
потока слоем холодного газа, который подво-
дится к поверхности через щели или отверстия
(рис. 9.1.2, 6). В случае подачи охлаждающего
газа через щель его желательно вводить по ка-
сательной к защищаемой поверхности, чтобы
затянуть процесс перемешивания газовых по-
токов. Протяженность защищенной поверх-
ности пластины при подаче охладителя пер-
пендикулярно в несколько раз меньше, чем в
случае тангенциальной подачи. Число щелей
или перфораций на единицу длины выбирается
обычно эмпирическим путем, при этом стре-
мятся, чтобы струйка газа из каждой щели или
отверстия экранировала элемент поверхности
между соседними точками ввода газа. Принято,
что шаг перфораций должен быть порядка пяти
толщин пограничного слоя в данной точке, а
диаметр отверстия меньше этой толщины. На
практике используются обычно отверстия диа-
метром 1 - 2 мм.
Наиболее эффективными охладителями,
как будет показано ниже, являются вещества,
обладающие максимальной удельной теп-
лоемкостью и образующие газообразные про-
дукты с минимальной молекулярной массой.
В табл. 9.1.2 приведены основные предпола-
гаемые охладители.
Систему заградительного охлаждения
можно использовать в ракетных двигателях на
твердом топливе для защиты внутренних по-
верхностей сопл, когда требуется обеспечить
постоянный контур критического сечения
сопла. Увеличение критического диаметра
сопла на 5 % вызывает падение давления в
камере сгорания на 15-20 %, что приводит к
снижению реактивной силы и удельного им-
пульса. Необходимый для защиты газ с отно-
сительно низкой температурой получается
при сгорании специального топлива, неболь-
шое количество которого размещается перед
входом в сопло (рис. 9.1.2, в).
Эффективным способом тепловой защи-
ты является пористое охлаждение. Одним из
его преимуществ является равномерная пода-
ча охладителя через поверхность. В ряде слу-
чаев, представляющих интерес для практики,
приходится иметь дело с весьма большими
интенсивностями вдува. Последние бывают
необходимы в случае химически агрессивных
набегающих потоков, при создании защитной
лучепоглощающей завесы и т. д. Здесь мы
рассмотрим только физические основы по-
ристого охлаждения.
Проходя через поры (рис. 9.1.2, г), охла-
дитель отбирает теплоту от стенки, а выйдя на
поверхность, снижает интенсивность тепло-
обмена между горячим газом и стенкой. Оба
эти фактора ведут к понижению температуры
пористой стенки Охладителем может быть газ
или жидкость. Предпочтение обычно отдается
газообразным веществам из-за более высоких
рабочих температур и меньшего перепада
давления при их течении через поры. Если
охлаждающий агент - жидкость, то при ее
испарении поглощается скрытая теплота фа-
зового перехода.
9.1.2. Свойства охладителей
Вещество Молекулярная масса Удельная теплоемкость Ср , кДж/(кг’К), Т = 370 К
Водород 2 14,45
Гелий 4 5,20
Вода (пар) 18 2,14
Аммиак NH3 17 2,22
Азот 28 1,03
Воздух 29 1,00
Метиловый спирт СН3ОН 32 1,72
Аргон 40 0,52
Двуокись углерода 44 0,91
Глицерин СзНвОз 92 2,40
530
Глава 9.1. МЕТОДЫ ТЕПЛОВОЙ ЗАЩИТЫ
Во многих приложениях немаловажная
роль отводится химическому составу вду-
ваемого газа. Так, для кромок крыльев и ру-
лей в сверхзвуковом потоке представляет
опасность не только тепловой нагрев, но и
окисление поверхности набегающим потоком.
Поэтому в последнее время большое внима-
ние уделяют такому газообразному охладите-
лю, как аммиак. Обладая хорошей теплоем-
костью, он, кроме того, попав в пограничный
слой, связывает кислород:
4NH3 +ЗО2 » 2N2 +6Н2О.
Образовавшаяся вода и азот практически
инертны по отношению к материалам по-
ристой матрицы.
Одной из разновидностей пористого
охлаждения является так называемое само-
охлаждение. Появление высококалорийных
алюминизированных топлив с температурой
горения свыше 2800 К для ракетного двигате-
ля твердого топлива вызвало необходимость
создания новых эрозионно стойких материа-
лов для вкладышей горла сопла. Температура
стенки сопла превышает рабочую температуру
неохлаждаемого вольфрама. Однако, напол-
няя или пропитывая пористый вольфрам
другим материалом, который может испарять-
ся при меньшей температуре, поглощая при
этом теплоту, можно добиться снижения тем-
пературы стенки. Составной вкладыш работа-
ет как поглотитель теплоты до тех пор, пока
температура его поверхности не достигнет
точки кипения или разложения заполняющей
фазы. Тогда начинается его испарение с обра-
зованием зоны пористого вольфрама, через
которую фильтруется парообразный охлади-
тель. Пар отбирает дополнительное количе-
ство теплоты от пористого вольфрама, пони-
жая таким образом температуру поверхности.
Выбор охладителя и пористости матрицы за-
висит от условий работы. Такие охладители,
как серебро, медь, цинк и гидрид лития, при-
влекли наибольшее внимание.
По расходу охладителя на единицу за-
щищаемой поверхности пористое охлаждение
более эффективно, чем рассмотренные ранее
способы тепловой защиты. Но использование
пористого охлаждения требует изготовления
пористых стенок по довольно сложной техно-
логии. Кроме того, при эксплуатации такой
системы необходимо принимать меры для
очистки охладителя, чтобы избежать засоре-
ния пор. В настоящее время пористое охлаж-
дение применяется в ракетных двигателях на
водородном топливе, авиационных двигате-
лях, электродуговых подогревателях газа, маг-
нитно-гидродинамических установках, тепло-
обменных аппаратах и т. д.
9.1.4. РАДИАЦИОННОЕ ОХЛАЖДЕНИЕ
Этот метод тепловой защиты использует
способность нагретой поверхности излучать
теплоту. Поступающий к поверхности конвек-
тивный или радиационный тепловой поток
повышает ее температуру. На основании вто-
рого закона термодинамики можно показать,
что существует предельное количество энер-
гии, которое может излучаться телом при
данной температуре и при данной длине вол-
ны. Источник такого излучения называется
абсолютно черным телом. В соответствии с
формулой Стефана - Больцмана интеграл от
плотности потока излучения по всем длинам
волн равен:
00
<7я = JW)<iX. = >«2aT4,
о
где а = 5,67 • 10-8 Вт/(м2 • К4).
Показатель преломления п относится к*
среде, окружающей абсолютно черное тело.
Для газов и вакуума п = 1.
Реальные вещества не являются абсо-
лютно черными телами, а при каждой длине
волны излучают лишь часть , равную
ЕхА Коэффициент ex называется спек-
тральной излучательной способностью или,
проще, спектральной степенью черноты.
Спектральное значение степени черноты
следует отличать от интегральной степени
черноты:
Излучаемый тепловой поток равен:
=еаТ4.
В табл. 9.1.3 приводится сводка значе-
ний интегральной степени черноты некото-
рых материалов как при стандартной, так и
при повышенных температурах.
В основе радиационного метода охлаж-
дения заложена идея равенства подведенного
теплового потока q§ и излучаемого обратно с
нагретой поверхности теплового потока .
Температура поверхности, при которой дости-
гается это равенство, называется равновесной
и может быть вычислена с помощью соотно-
шения eg . При этом предпола-
гается, что теплоотвод внутрь покрытия равен
нулю.
РАДИАЦИОННОЕ ОХЛАЖДЕНИЕ
531
9.1.3. Степень черноты некоторых материалов
Материал Tw, °C Интегральная степень черноты Е
Алюминий:
полированный 200-600 0,04-0,06
окисленный 100-500 0,2-0,33
Вольфрам 700 0,15
» Медь: 2800 0,39
полированная 100 0,02
окисленная Серебро: 40 0,76
полированное 40 0,01
окисленное Никель: 40-550 0,02-0,04
полированный 40-250 0,05-0,07
окисленный Сталь: 40-250 0,35-0,49
полированная 40 0,07
окисленная 40 0,8
Асбест (асбоцемент) 40 0,96
Бетон грубый 40 0,94
Бумага белая 40 0,95-0,98
Вода, слой 1 мм и более 40 0,96
Дерево (дуб, ель) 40 0,82-0,9
Кварц Кирпич: 40-550 0,89-0,58
красный грубый .40 0,93
огнеупорный шамотный 1000 0,59-0,75
Резина 40 0,86-0,94
Стекло кварцевое 2 мм 250-550 0,94-0,75
Тефлон 100 0,1
Понятно, что равновесная температура
поверхности не может быть выше температу-
ры разрушения данного типа покрытия 7j ,
поэтому максимальный тепловой поток, кото-
рый может быть снят с поверхности методом
радиационного охлаждения, ограничен вели-
чиной
В качестве конструкционных материалов
для систем с радиационным охлаждением
применяются тугоплавкие металлы - молиб-
ден, вольфрам и др., однако в окислительной
среде, в том числе и в воздухе, температура их
разрушения 7j оказывается намного ниже
температуры плавления.
Принципиально возможна защита и от
радиационных тепловых потоков. Так, в от-
крытом космосе используются терморегули-
рующие покрытия, обладающие низкими сте-
пенями черноты (или коэффициентами по-
глощения) в видимом диапазоне спектра, на
который в основном приходится изучение
Солнца, и большими в инфракрасной
области, где они излучают сами (учитывая
низкую температуру поверхности).
Система радиационного охлаждения
может быть выполнена трехслойной с тем,
чтобы избавиться от основного недостатка
высокотемпературных металлов - способности
их к интенсивному окислению в воздухе. Для
уменьшения этого несущий (конструкцион-
ный) слой из тугоплавкого металла покры-
вается различными силицидами (WSii, MoSii)
или оксидами. Покрытие толщиной 50 мкм из
MoSii обеспечивает защиту молибдена от
окисления при температуре 1900 К в течение
нескольких часов и к тому же позволяет уве-
личить степень черноты. Наконец, с внутрен-
ней стороны покрытия (рис. 9.1.3) оно по-
крывается теплоизолятором (например, пено-
керамикой).
Радиационный метод тепловой защиты
применяется в гиперзвуковой авиации и в
ракетной технике для охлаждения высту-
пающих частей, насадков, крыльев и выхлоп-
ных раструбов сопл.
532
Глава 9.1. МЕТОДЫ ТЕПЛОВОЙ ЗАЩИТЫ
Рис. 9.1.3. Схема радиационного охлаждения:
1 - защитный слой; 2 - слой металла; 3 - изоляция
В заключение параграфа несколько слов
о модификации этого способа применительно
к таким условиям аэродинамического нагрева,
когда излучение набегающего потока соизме-
римо или выше по интенсивности конвек-
тивного теплового воздействия. В этом случае
целесообразно переизлучать тепловую энер-
гию не с поверхности теплозащитного покры-
тия, а из пограничного слоя.
При защите поверхностей массообменом
пограничный слой является практически про-
зрачным для падающего излучения. По этой
причине вдув газа в пограничный слой не
может быть эффективным средством защиты
от интенсивного радиационного нагрева.
В этом случае следует "зачернять" погранич-
ный слой, увеличивая его коэффициент
ослабления излучения. С этой целью в погра-
ничный слой вводят различные присадки,
добиваясь снижения величины падающего на
поверхность радиационного теплового потока.
Наибольшего ослабления следует ожи-
дать при вводе в пограничный слой газопыле-
вого потока с большим числом распределен-
ных в нем микрочастиц, т. е. при создании
"непрозрачных" экранов. В этом случае про-
исходит ослабление энергии не только за счет
поглощения, но в еще большей степени за
счет отражения и рассеяния излучения.
9.1.5. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ
ТЕПЛООБМЕНА
Для регулирования температуры внеш-
ней поверхности можно использовать методы
электрического или магнитного воздействия
на плазму, обтекающую защищаемую поверх-
ность. Магнитогидродинамический способ
требует создания поля сил в ионизированной
плазме, обтекающей тело (проблема анало-
гична задаче удержания плазмы при управ-
ляемой термоядерной реакции). Магнитное
поле, воздействуя на слой сжатого газа, в со-
став которого входят, кроме нейтральных
молекул и атомов, электрически заряженные
ионы и электроны, увеличивает расстояние
между ударной волной и поверхностью тела.
Это приводит к росту пограничного слоя, а
следовательно, к уменьшению градиентов
скорости и температуры.
Термоэлектрический способ основан на
поглощении теплоты и преобразовании его в
другую форму энергии, например электри-
ческую.
Примером устройства, использующего
этот способ преобразования энергии, является
всем хорошо известная термопара. Однако
как магнитогидродинамический, так и термо-
электрический способы уменьшения тепловых
потоков к поверхности тела, несмотря на всю
свою привлекательность, еще очень слабо
изучены, особенно в условиях высокой ин-
тенсивности теплообмена.
9.1.6. ОХЛАЖДЕНИЕ ТЕЛ ЗА СЧЕТ
ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИХ ПРЕВРАЩЕНИЙ
НА ИХ ПОВЕРХНОСТИ (АБЛЯЦИЯ)
Использование фазовых превращений -
плавления и испарения или сублимации -
открывает перспективы существенного улуч-
шения теплозащитных свойств систем охлаж-
дения.
Любое фазовое превращение, как прави-
ло, сопровождается значительным тепловым
эффектом (количество теплоты, требуемое для
перевода 1 кг вещества из одного состояния в
другое). Величина теплового эффекта связана с
температурой фазового превращения. Так, для
большинства чистых металлов &Qm = КуТт ,
где К\ - 10,0 кДж/(г-атом • К). При плавлении
происходит частичное ослабление межатомных
связей, поэтому по своей тепловой эффектив-
ности оно намного (в 10-20 раз) уступает испа-
рению, когда рвутся все связи кристаллической
решетки и атомы становятся практически неза-
висимыми друг от друга. Согласно правилу
Трутона теплота испарения определяется как
AQv ~ »
где К2 =80-5- 90 кДж/(моль • К). Температура
испарения (Tv) часто вдвое превышает тем-
пературу плавления (табл. 9.1.4).
На разрушение материала затрачивается
значительная часть теплоты, поступающего к
поверхности тела извне, в результате лишь
малая его часть отводится внутрь материала
теплопроводностью. При высоких температу-
рах в пограничном слое может происходить
многократная диссоциация и ионизация про-
дуктов уноса, что связано с дополнительным
поглощением теплоты.
Сложным и вместе с тем очень важным
является выявление механизма разрушения,
т. е. установление определяющих элементар-
ных физико-химических процессов, имеющих
место при разрушении теплозащитного мате-
ОХЛАЖДЕНИЕ ТЕЛ ЗА СЧЕТ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИХ ПРЕВРАЩЕНИЙ
533
9.1.4. Теплота фазовых переходов отдельных материалов
Материал Тепловые эффекты и температуры фазовых превращений Теплота, поглощенная при нагревании до 5000 К, кДж/кг Эффективность поглощения теплоты испарения (относительная доля)
кДж/кг Т 1 m > К до,. кДж/кг Г,, к
Вода (лед) 335,0 273 2262 373 62850 0,00
Медь 205 1350 7374 2570 - 0,05
Бериллий - 1570 - 3170 41860 0,06
Литий 668 460 24510 1470 - -
Двуокись кремния - 1970 8589 2770 20930 0,22
риала. На практике далеко не все вещества,
обладающие высокими значениями теплоты
испарения, могут быть использованы в ка-
честве теплозащитных материалов. В послед-
ней графе табл. 9.1.4. приведены данные по
эффективности использования теплоты испа-
рения различных веществ при определенных
условиях аэродинамического нагрева. Низкие
значения эффективности у воды и металлов
связаны с тем, что при плавлении они обра-
зуют пленку с очень низким значением вяз-
кости расплава, которая практически мгно-
венно сдувается с поверхности набегающим
потоком газа. Поэтому важно не только вы-
брать вещество с высоким тепловым эффек-
том испарения, но и разработать систему мер,
обеспечивающих обязательную реализацию
этого эффекта при разрушении поверхности.
Строго говоря, разрушающиеся тепло-
защитные системы являются комбинирован-
ными, поскольку они поглощают теплоту и
одновременно с этим блокируют падающий
тепловой поток за счет вдува газа в погранич-
ный слой (как это имеет место в массообмен-
ных способах охлаждения); кроме того, они
излучают теплоту с нагретой поверхности, как
и в радиационном охлаждении. Сам принцип
разрушающейся тепловой защиты немыслим
без фазового или, в общем случае, физико-
химического превращения, приводящего к
переходу части материала в газообразное со-
стояние.
Общие требования к теплозащитным си-
стемам, базирующимся на физико-хими-
ческих превращениях, можно сформулировать
следующим образом. Теплозащитные мате-
риалы должны:
1) поглощать большое количество тепло-
ты при физико-химических превращениях;
2) иметь высокое значение объемной
теплоемкости рс;
3) обладать хорошей прочностью при
высоких температурах для обеспечения не-
большого механического уноса массы;
4) по возможности иметь высокую тем-
пературу разрушающейся поверхности и
большое значение степени черноты е ;
5) образовывать при разрушении газооб-
разные продукты с малой молекулярной мас-
сой для эффективного снижения конвек-
тивного теплового потока;
6) при образовании жидкой пленки ее •
вязкость должна быть значительной.
Кроме того, технология изготовления
покрытия должна быть простой, покрытие
дешевым и сохранять свои свойства при дли-
тельном хранении на воздухе.
Трудно найти материал, одновременно
удовлетворяющий всем требованиям. Поэтому
выбор проводится в зависимости от конкрет-
ных условий.
Разрушающиеся теплозащитные системы
благодаря большому числу располагаемых
материалов, в частности полимеров, практи-
чески не имеют ограничений ни по макси-
мальному тепловому потоку, ни по суммар-
ной подведенной теплоте. Кроме того, в от-
личие от систем пористого охлаждения они
обладают высокой степенью надежности, са-
морегулированием расхода вещества в зави-
симости от интенсивности теплообмена, не
требуют применения вспомогательных систем
(насосов, трубопроводов, клапанов, распреде-
лителей и т. д.). Разрушающиеся теплозащит-
ные материалы используются для защиты
космических аппаратов, камер сгорания ра-
кетных двигателей и т. д.
На рис. 9.1.4 дана диаграмма, иллюстри-
рующая области применения тепловой зашиты.
Системы с накоплением теплоты имеют огра-
ничения как по суммарному количеству подве-
денной теплоты, так и по максимальному
удельному тепловому потоку (из-за ограничен-
ности коэффициента теплопроводности).
Системы радиационного охлаждения
ограничены по максимальному удельному теп-
ловому потоку, но практически могут работать
при произвольном суммарном теплоподводе
. Вся область справа и вверх от пре-
534
Глава 9.2. ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОЦЕССА РАЗРУШЕНИЯ
кДж/м2
Рис. 9.1.4. Сравнение различных методов тепловой защиты
(области применения различных методов защиты
в зависимости от суммарного количества подведенного тепла и удельного теплового потока q$ )
дельных кривых может быть реализована
лишь при пористом и разрушающемся прин-
ципах тепловой защиты.
Глава 9.2
ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ПРОЦЕССА РАЗРУШЕНИЯ
ТЕПЛОЗАЩИТНЫХ ПОКРЫТИЙ
9.2.1. ПОНЯТИЕ ОБ ОПРЕДЕЛЯЮЩЕМ
МЕХАНИЗМЕ РАЗРУШЕНИЯ
Принцип работы разрушающихся тепло-
защитных систем характеризуется потерей
поверхностного слоя (или разложением одной
из компонент материала) ради сохранения
благоприятного теплового режима внутренних
слоев и самой защищаемой конструкции.
Разрушение поверхностного слоя происходит
в результате различных физико-химических
превращений под воздействием подводимых к
поверхности конвективных и радиационных
тепловых потоков, диффузионных потоков
химически активных компонент, а также под
действием сил давления и трения. Химиче-
ские реакции могут протекать как при
участии компонент набегающего потока, так
и независимо от них. Кроме того, на поверх-
ности теплозащитного покрытия под действи-
ем внутреннего давления или внешних сил, а
также вследствие термических напряжений
может иметь место эрозия - механический
унос в виде отдельных частиц.
Использование разрушающихся тепло-
защитных систем имеет существенные пре-
имущества перед другими способами тепловой
защиты. Главное из них заключается в само-
регулировании процесса, т. е. в изменении
массового расхода материала покрытия при
изменении тепловой нагрузки. Процессы раз-
рушения сопровождаются фазовыми и хими-
ческими превращениями, а также вдувом в
набегающий поток продуктов разрушения.
Благодаря этим факторам указанный тип по-
крытий существенно превосходит по эффек-
тивности системы, работающие на принципе
поглощения тепла.
Механизм разрушения является по су-
ществу схематической моделью, фиксирую-
щей количество и вид важнейших физико-
химических процессов, сопровождающих унос
массы теплозащитного материала, и позво-
ляющей рассчитывать и сопоставлять характе-
ристики теплозащитного покрытия в различ-
ных условиях.
По способу рассеяния или поглощения
теплоты их целесообразно разбить на сле-
дующие четыре группы:
ПОНЯТИЕ ОБ ОПРЕДЕЛЯЮЩЕМ МЕХАНИЗМЕ РАЗРУШЕНИЯ
535
а) аккумуляция теплоты веществом при
нагреве до температуры разрушения (теплоем-
кость);
б) излучение от нагретой поверхности;
в) поглощение тепла при фазовых или
физико-химических превращениях;
г) снижение конвективного теплового
потока к поверхности при вдуве газообразных
продуктов разрушения в пограничный слой.
Фазовые превращения являются одним
из самых эффективных способов поглощения
теплоты, особенно переход в газообразное
состояние, поскольку теплота сублимации
почти на порядок превосходит теплоту плав-
ления. Кроме того, отвод газифицированного
вещества сопровождается вдувом массы в
пограничный слой. С этих же позиций необ-
ходимо рассматривать и химическое взаимо-
действие отдельных компонент внутри мате-
риала между собой, а также с компонентами
набегающего потока. Во многих случаях хи-
мические реакции протекают с выделением
теплоты, что ухудшает тепловой баланс в по-
верхностном слое. Тем не менее образование
в результате этих реакций больших масс газо-
образных продуктов считается положитель-
ным явлением, так как оно ведет к снижению
доли механически унесенного материала с
поверхности и вдуву газа в пограничный слой.
Снижение конвективного теплового по-
тока при вдуве газообразных продуктов с раз-
рушающейся поверхности является важней-
шей принципиальной особенностью данного
способа тепловой защиты, определяющей ее
преимущества перед другими методами. Как
было установлено в разд. 4, разность между
тепловыми потоками к непроницаемой по-
верхности и к поверхности с расходом массы
через нее в первом приближении равна
Qq ~ Qw = = Y Gw (Не ~ ^w) •
Коэффициент у в линейной аппрокси-
мации зависит от отношения молекулярных
масс вдуваемых продуктов и набегающего
газового потока, но прежде всего он является
функцией режима течения в пограничном
слое. В инженерной практике с учетом реаль-
ного состава продуктов разрушения для лами-
нарного пограничного слоя принимают по-
стоянное значение ул =0,6, в турбулентном
пограничном слое коэффициент вдува при-
близительно втрое меньше, и его принимают
равным ут =0,2.
Тепловой эффект вдува возрастает по ме-
ре увеличения теплонапряженности внешнего
обтекания (перепада энтальпий). При больших
энтальпиях торможения Не > 30 000 кДж/кг
вдув по своей эффективности превосходит все
другие способы рассеяния и поглощения теп-
лоты на разрушающейся поверхности.
Программа поиска оптимальных тепло-
защитных систем должна сводиться к термо-
динамическим расчетам различных рецептур
и выбору материалов с максимально высоки-
ми температурой и теплотой сублимации или
газификации. Однако в действительности при
таком подходе приходится считаться с рядом
серьезных ограничений, обусловленных спе-
цифическими особенностями воздействия
аэродинамического потока высокотемпера-
турного газа на материал. Обычно вводят два
параметра: Г и AQW , которые характеризуют
степень реализации заложенных в материале
"термодинамических" возможностей при за-
данных параметрах внешнего обтекания.
Первый из них Г называется коэффици-
ентом газификации. Рассмотрим, как изме-
няются его значения на примере стеклообраз-
ных теплозащитных материалов.
Большинство веществ при умеренных
давлениях, прежде чем перейти в газообраз-
ное состояние, проходят фазу расплава.
Сам процесс плавления в потоке высо- *
котемпературного газа существенно зависит
от того, является ли данное вещество кри-
сталлическим или аморфным. На практике
широко используются стеклообразные мате-
риалы, относящиеся к классу аморфных ве-
ществ. Они не имеют четко выраженной точ-
ки (темпера-туры) плавления, а размягчаются
постепенно, причем вязкость расплава экспо-
ненциально убывает с ростом температуры.
Это обстоятельство приводит к тому, что
аморфные вещества могут значительно пере-
греться относительно температуры размягче-
ния, при этом значительная часть расплава
перейдет в пар (испарится). Иными словами,
при аэродинамическом нагреве аморфных
веществ вообще и стекол, в частности, в по-
верхностном слое имеют место сразу два фа-
зовых превращения, причем каждое не связа-
но с какой-то фиксированной температурой,
а может протекать в широком температурном
интервале в зависимости от заданных уровней
динамической и тепловой нагрузок.
Массовая скорость испарения при ин-
тенсивном нагреве определяется температурой
поверхности и давлением (при заданных раз-
мерах и форме тела). От этих же параметров в
первом приближении зависит и доля вещест-
ва, унесенного в жидком виде. Действительно,
в окрестности точки торможения давление
непосредственно определяет уровень сдви-
гающего воздействия потока (силы трения и
распределенное нормальное давление), а тем-
пература поверхности - вязкость расплава.
Поэтому для каждого конкретного стеклооб-
разного материала можно построить соответ-
ствующую диаграмму (рис. 9.2.1), на которой
будут изображены области преимущественного
протекания того или иного фазового превра-
536
Глава 9.2. ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОЦЕССА РАЗРУШЕНИЯ
Рис. 9.2.1. Диаграмма механизмов разрушения
стеклообразных материалов:
1 - материал не разрушается; 2 - плавление;
3 - плавление с испарением (Г < 0,5);
4 - испарение со следами пленки (Г> 0,5);
5 - давление паров выше давления
окружающей среды ре
щения. Для кварцевого стекла можно при-
нять, что при температурах поверхности ниже
2000 К оно практически не разрушается в
потоке газа. При давлениях выше атмосфер-
ного существует ограниченный интервал тем-
ператур Tw, когда кварцевое стекло плавится
почти без испарения. Наиболее характерный
режим разрушения - плавление с испарением.
В этой области параметр Г в зависимости от
температуры и давления изменяется от 0 до
0,5. В диапазоне малых давлений доля испа-
рения может превысить Г = 0,5.
При очень высоких Tw и малых ре
возможно столь интенсивное испарение, что
произойдет оттеснение пограничного слоя
испаряющейся компонентой и вблизи по-
верхности тела dp/dy станет отличным от
нуля, т. е. давление паров превысит внешнее
давление. На практике этот режим может
реализоваться лишь при интенсивном подводе
теплоты излучением.
Для большинства других теплозащитных
материалов также вводится параметр Г. Он
показывает, что часть массы уносится в жид-
кой фазе либо в виде твердых частиц. Этот
параметр не может быть принят постоянным
для каждого материала, поскольку он суще-
ственно зависит от параметров обтекающего
потока. Таким образом, параметр Г характе-
ризует степень реализации в конкретных
условиях возможностей, заложенных в мате-
риале и связанных с переходом последнего в
газообразное состояние.
Рассмотрим теперь на примере графита
понятие "суммарного теплового эффекта по-
верхностных процессов" . Графит при
умеренных давлениях не образует расплава,
т. е. величина Гу него практически не отли-
чается от единицы. Однако количество тепло-
ты, поглощаемой поверхностью графита в
газовом потоке, может быть намного меньше
теплоты сублимации. Это связано с тем, что
на поверхности графита могут протекать не
только сублимация, но и целый ряд химиче-
ских реакций, тепловой эффект которых от-
личается от теплоты сублимации. Указанная
разница зависит не только от параметров и
состава набегающего газового потока, но даже
от размеров тела.
Разрушение графита начинается задолго
до достижения температуры сублимации, и
оно вызвано высокой реакционной способ-
ностью графита во многих газовых средах,
особенно в кислороде и воздухе (рис. 9.2.2).
При температурах поверхности до 1100 К
на воздухе и до 1400 К в парах воды (пунктир
на рис. 9.2.2) разрушение графита, как прави-
ло, целиком определяется кинетикой реак-
ции, т. е. скорость разрушения экспоненци-
ально меняется с температурой поверхности
Tw. После небольшого переходного участка
начинается область, где процесс разрушения
лимитируется скоростью встречной диффузии
окислителя и продуктов разрушения в много-
компонентном пограничном слое; в этом слу-
чае скорость разрушения слабо зависит от
температуры поверхности, которая может
меняться от 1200-1600 до 2400-3800 К в зави-
симости от давления (рис. 9.2.3). Это область,
где необходимо учитывать размеры и форму
тела, значения коэффициентов диффузии и
возможные продукты реакций всех компо-
нент, число которых может достигать
нескольких десятков. И лишь при высоких
температурах все большую роль в уносе массы
графита начинает играть собственно процесс
сублимации, который зависит от давления
окружающей среды ре . Скорость уноса мас-
сы ^vrnnHP.Miiunпкил птплстлрт г Т
Рис. 9.2.2. Диаграмма механизмов разрушения графита
в потоке воздуха:
1 - кинетическое окисление;
2 - диффузионное окисление; 3- сублимация;
4- область, где давление паров выше давления
окружающей среды ре
КРИТЕРИИ СРАВНЕНИЯ РАЗРУШАЮЩИХСЯ ТЕПЛОЗАЩИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
537
Рис. 9.2.3. Зависимость скорости разрушения графита
от температуры поверхности Tw и
давления окружающей среды ре :
1 - кинетическое окисление;
2 - диффузионное окисление; 3 - сублимация;
- скорость разрушения в режиме 2
Экспериментальные данные указывают
на возможность частичного механического
разрушения графита - эрозии в виде пыли-
нок, поэтому нельзя принимать коэффициент
газификации Г = 1.
При низких температурах поверхности
тепловой эффект разрушения не только силь-
но отличается от теплоты сублимации (в слу-
чае окисления он может стать даже отрица-
тельным), но и существенно зависит от соста-
ва газа в пограничном слое (в частности, от
соотношения таких компонент, как СО, СО2,
CN, СН4, С2Н2 и т. д.).
Задача теоретического анализа тепловой
защиты состоит не только в том, чтобы по-
строить модель процесса или выявить так на-
зываемый определяющий механизм разруше-
ния, но и в том, чтобы на основании этой мо-
дели уметь рассчитывать для конкретных усло-
вий обтекания величины Г и . Введение
двух этих параметров позволяет использовать
для сравнительной оценки и отбора различных
теплозащитных материалов весьма удобную
характеристику разрушения - эффективную
энтальпию Heff, речь о которой пойдет ниже.
9.2.2. КРИТЕРИИ СРАВНЕНИЯ РАЗРУШАЮЩИХСЯ
ТЕПЛОЗАЩИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
Проведенный выше анализ показал, что
разрушение теплозащитных материалов скла-
дывается как результат некоторого равновесия
уровня внешнего воздействия со стороны
набегающего газового потока и способности
материала отводить или рассеивать теплоту. В
газодинамике и теории теплообмена принято
характеризовать условия течения набором
безразмерных критериев, таких как числа
Маха, Рейнольдса, Нуссельта, Прандтля или
Льюиса (см. разд. 4). С другой стороны, усло-
вия нестационарного прогрева твердых нераз-
рушающихся тел также характеризуются неко-
торыми безразмерными критериями - числа-
ми Фурье, Био и рядом других. По аналогии
можно поставить вопрос о поиске критерия
для процесса разрушения.
Особенность процесса разрушения мате-
риала заключается в том, что здесь неразрыв-
но связаны внешняя (теплообмен) и внутрен-
няя (теплопроводность) задачи, т. е. задача
становится сопряженной. Кроме того, для
большинства разрушающихся материалов
важнейшими определяющими параметрами
являются размерные значения давления в
окружающей среде ре и температуры внеш-
ней поверхности Tw. Это объясняется тем,
что протекание химических реакций или фа-
зовых превращений (например, испарения
или сублимации) существенно зависит от
уровня давления и температуры. Изменение
указанных параметров не просто изменяет
уровень скорости разрушения, но и полнос-
тью заменяет один механизм разрушения
другим (см. рис. 9.2.2 и 9.2.3).
Все это существенно затрудняет модели-
рование процесса разрушения теплозащитных
материалов, поэтому на практике принято
говорить не о моделировании, а о воспроиз-
ведении основных определяющих параметров,
прежде всего энтальпии и давления затормо-
женного потока.
С другой стороны, интенсивность про-
текания многих физико-химических превра-
щений определяется теплофизическими и
кинетическими характеристиками материала,
его составом, а в некоторых случаях и техно-
логией изготовления. В связи с этим необхо-
димы критерии сравнения способности раз-
личных теплозащитных материалов рассеивать
и поглощать подведенный извне тепловой
поток, одинаково применимые при теорети-
ческом и экспериментальном исследованиях
для материалов с простыми механизмами
разрушения, а также и для тех покрытий, у
которых при нагреве имеет место сложная
комбинация различных превращений.
Наиболее полно и наглядно задача срав-
нения многочисленных теплозащитных по-
крытий решается при квазистационарном
разрушении, когда скорости перемещения
всех изотерм или фронтов разрушения внутри
материала совпадают со скоростью перемеще-
ния внешней поверхности. В этом случае
теплота, затрачиваемая на нагрев внутренних
слоев q^ , не зависит от коэффициента теп-
лопроводности материала (разд. 3), и опредс-
538
Глава 9.2. ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОЦЕССА РАЗРУШЕНИЯ
ляется не температурным полем, а внутрен-
ним теплосодержанием нагретого слоя. Таким
образом, независимо от предыстории нагрева,
эффективность данного теплозащитного по-
крытия может быть охарактеризована тепло-
вым балансом на разрушающейся поверх-
ности:
(Не ~ h») = + Gw &QW +
^cp'q
+Явд + Як - есуТ^ + Gw bQw +
+ У (Не ~ + с ” То) •
(9.2.1)
Видно, что в отличие от неразру-
шающихся теплозащитных покрытий подве-
денный извне конвективный тепловой поток
(подведенный радиационный поток не учиты-
вается) в данном случае расходуется не только
на излучение нагретой поверхности со 7^ и
на увеличение теплосодержания материала,
но и на поверхностные физико-химические
превращения с расходом массы Gw и тепло-
вым эффектом &QW. Кроме того, интенсив-
ность теплообмена снижается за счет вдува
газообразных продуктов разрушения в погра-
ничный слой.
Последний член в уравнении теплового
баланса (9.2.1) может быть записан в пред-
ставленном виде лишь при допущении ква-
зистационарности процесса разрушения. При
переменной тепловой нагрузке это допущение
будет приводить к занижению тепловых пото-
ков, идущих внутрь покрытия. Тепловой эф-
фект вдува учитывается уравнением (9.2.1) в
линейном приближении, которое справедливо
при yGw <0,6, где Gw = Gwj (а/сД •
Если обозначить долю газообразных
продуктов разрушения в общей унесенной
массе вещества через Г:
r = Gw/Gz, (9.2.2)
то из теплового баланса на разрушающейся
поверхности (9.2.1) можно получить некую
характеристику энергоемкости разрушения в
виде
Heff-90 =c(Tw-T0) +
QE
+ Г[дев,+т(Яе-Ли,)]. (9.2.3)
Поскольку Нф имеет размерность эн-
тальпии, она хотя и не является термодина-
мическим параметром, но получила название
эффективной энтальпии разрушения данного
теплозащитного материала. По ней можно
судить о том, что не весь материал переходит
в газообразное состояние, даже если на по-
верхности существуют условия, благоприят-
ные для фазового перехода. Кроме того, эф-
фективная энтальпия учитывает взаимодей-
ствие материала с внешней средой - эффект
вдува, который, конечно, не может быть от-
несен к термодинамическим характеристикам
конденсированных веществ.
Эффективная энтальпия определяет ко-
личество теплоты, которое может быть
"блокировано" при разрушении единицы мас-
сы покрытия, поверхность которого имеет
температуру Tw, в результате действия всех
сопутствующих этому разрушению физико-
химических процессов. Эффективная энталь-
пия является весьма наглядной характеристи-
кой для сравнения различных теплозащитных
материалов. Чем выше эффективная энталь-
пия, тем лучше теплозащитный материал.
В отличие от теплового потока, величи-
на которого при заданных параметрах набе-
гающего газового потока (ре и Не ) обратно
пропорциональна J R# , где - размер
тела, эффективная энтальпия ни от формы,
ни от размера тела в явном виде не зависит.
Это позволяет использовать ее как параметр
соответствия условий стендовых эксперимен-
тальных исследований условиям натурного
разрушения.
Менее удобной представляется другая
форма определения эффективной энтальпии,
которая иногда встречается в литературе:
I/O _ Яо _ и . еоТ"^
Н*-Ъ~ * ~ёГ
Ввиду зависимости суммарной скорости
уноса массы (как и теплового потока q$)
от размеров тела второе слагаемое также ока-
зывается зависящим от R^, а поэтому пере-
нос значений Hgff> полученных при одних
размерах моделей, на тела других размеров
неправомерен.
Из определения эффективной энтальпии
разрушения Heff, уравнения (9.2.3), видно,
что во всех случаях, когда Г Ф 0, она должна
существенно увеличиваться с ростом энталь-
пии заторможенного потока. Параметры набе-
гающего потока могут влиять на Heff также
через изменение температуры разрушающейся
КРИТЕРИИ СРАВНЕНИЯ РАЗРУШАЮЩИХСЯ ТЕПЛОЗАЩИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
539
поверхности Tw, доли уноса в газообразном
виде Г и суммарного теплового эффекта по-
верхностных процессов &QW. Если влияние
температуры поверхности можно считать до-
статочно ограниченным из-за малости вклада
члена с (Tw - Tq) , то два других параметра
весьма существенно изменяют не только ко-
личественную, но и качественную зависи-
мость Heff от Не. Для иллюстрации этого
важного положения снова вернемся к рас-
смотренным выше примерам стеклообразных
и графитоподобных материалов.
У стеклообразных материалов суммар-
ный тепловой эффект поверхностных про-
цессов меняется относительно хлабо. Так,
для кварцевого стекла можно принять
Д0И, * 11 000 кДж/кг. Напротив, доля про-
дуктов испарения Г в зависимости от интен-
сивности подвода теплоты, а точнее, энталь-
пии заторможенного потока Не возрастает
от 0 до величин, близких к единице. В соот-
ветствии с формулой (9.2.3) эффективная
энтальпия разрушения при любом постоян-
ном Г (например, Г = 0,3) линейно возраста-
ет с ростом Не (рис. 9.2.4). Ввиду перемен-
ности Г мы получаем некоторую криволиней-
ную зависимость Heff от Не, которая пере-
секает прямую постоянного Г = 0,3. Разру-
шение стекла начинается лишь при Т >Tj -
некоторой температуры размягчения, поэтому
при Не < = hw (Tj) понятие эффек-
тивной энтальпии теряет смысл.
У графитоподобных материалов доля гази-
фикации практически постоянна и близка к
единице. Однако суммарный тепловой эффект
поверхностных процессов меняется от отрица-
тельных значений при горении согласно реак-
ции С + О2 = СО2 или при неполном окисле-
нии С + О = СО до положительной теплолы
сублимации Д(\ , которая у графита выше, чем
у любого другого материала (рис. 9.2.5). Если
Aft, = 0, то при Г = 1 эффективная энтальпия
линейно возрастает от минимального значения,
равного количеству теплолы, поглощенной за
счет теплоемкости при нагреве до температуры
начала разрушения: c(Td - То) .
Если Д0И, = Дфу » то получается другая
прямая, параллельная первой, но расположенная
намного выше ее. Наконец, действительная за-
висимость Hgff от Не асимптотически стре-
мится к верхней прямой, но при малых энталь-
пиях торможения дает даже отрицательные зна-
чения Hgff, поскольку выделяющаяся теплота
сгорания по величине превосходит поглощение
теплолы теплоемкостью. Допол-нительное выде-
ление теплолы при горении на поверхности при-
водит к ее значительному перегреву, в результате
чего температура поверхности графитоподобных
материалов может превышать равновесную тем-
пературу теплоизолированной стенки из нереа-
гирующего материала.
от энтальпии заторможенного потока Не для стеклообразных материалов (д Qw « const):
/ - Г =0,3, Д0и, =0;2- Г = 0,3, &QW = const; 3 - действительная зависимость при Г = f(He)
540
Глава 9.2. ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОЦЕССА РАЗРУШЕНИЯ
а)
Рис. 9.2.5. Зависимость суммарного теплового эффекта поверхностных процессов &QW (а) н эффективной
энтальпии Heff (6) от энтальпии заторможенного потока Не для графнтообразных материалов (Г » 1):
1 - = 0; 2 - Д Qw = Дфу J 3 ’ действительная зависимость при Д Qw = f (Не)
Для второго из рассмотренных классов
материалов понятие эффективной энтальпии
малопригодно в практическом использовании,
поскольку зависимость Heff от Не знакопе-
ременна. Поэтому при обработке расчетных и
экспериментальных результатов Часто исполь-
зуют безразмерную скорость разрушения:
G£=Gr/(a/c,)0.
Ее преимущество состоит в том, что за-
висимость (?£ от Не всегда положительна и,
кроме того, для ее определения не требуется
измерения температуры и оптических свойств
поверхности, что существенно облегчает об-
работку экспериментальных данных, особен-
но при малых перепадах энтальпии в погра-
ничном слое Не ~hw.
При выборе режима сравнительных ис-
пытаний теплозащитных материалов целесо-
образно выбирать величину энтальпии тор-
можения, соответствующую натурному диапа-
зону энтальпий, иначе сравнение различных
материалов будет неправомерным из-за раз-
личия механизмов разрушения.
Коэффициент вдува у различен в лами-
нарном и в турбулентном пограничных слоях
(это связано с влиянием режима течения в
пограничном слое), причем в первом случае он
втрое выше. Следовательно, наклон зависимос-
ти Heff от в турбулентном потоке будет
намного меньше, однако по абсолютным зна-
чениям она может находиться как выше, так и
ниже соответствующей зависимости для лами-
нарного пограничного слоя (рис. 9.2.6). Это
связано с тем, что при прочих равных услови-
ях тепловой поток к поверхности при турбу-
лентном пограничном слое оказывается
несколько выше, чем при ламинарном. По-
этому и температура поверхности разрушения
оказывается выше, что приводит к более пол-
Рис. 9.2.6. Сравнение зависимостей эффективной эн-
тальпии разрушения Heff от
энтальпии торможения Не при ламинарном
и турбулентном режимах течения
в пограничном слое (Г # 1):
а = Qt / - отношение тепловых потоков при
ламинарном и турбулентном режимах течения;
1 - ламинарный; 2 - турбулентный
МЕХАНИЗМ РАЗРУШЕНИЯ ТЕПЛОЗАЩИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
541
ной реализации тепловых эффектов, связан-
ных с газификацией вещества. Особо значи-
тельно повышение эффективности разруше-
ния при турбулентном обтекании стеклооб-
разных теплозащитных материалов.
Результаты экспериментальных исследо-
ваний теплозащитных материалов часто пред-
ставляют в виде линейной зависимости эф-
фективной энтальпии Heff от энтальпии
торможения Не :
Heff=a + bHe\ а и b - const. (9.2.4)
Если допустить, что остальные парамет-
ры набегающего газового потока (кроме эн-
тальпии Не \ а также изменение температу-
ры поверхности Tw не могут существенно
повлиять на уравнение (9.2.4), то можно рас-
считать толщину унесенного слоя материала
А при изменении теплового потока q$ во
времени:
д= Jpx/Po)<h= J9°о~нТ^ dT
(9.2.5)
Интервал времени Т2 - Т] отличается от *
полного времени теплового воздействия тк,
поскольку требуется определенный период
на прогрев теплозащитного покрытия до на-
чала поверхностного разрушения Т] = тр
(см. разд. 3), а также существует интервал
тк - *2 » к°гДа подводимого теплового потока
может оказаться недостаточно для продолже-
ния разрушения и материал будет остывать.
При расчетах по формуле (9.2.5) темпе-
ратура разрушающейся поверхности использу-
ется как параметр. В отличие от эффективной
энтальпии разрушения, которая в основном
зависит лишь от энтальпии заторможенного
потока, температура разрушающейся поверх-
ности в большой мере является функцией
давления ре, определяющего коэффициент
теплообмена.
9.2.3. НЕСТАЦИОНАРНОЕ РАЗРУШЕНИЕ
ТЕПЛОЗАЩИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
При переменных внешних тепловых
условиях разрушение теплозащитных мате-
риалов уже не может оцениваться критериями
типа эффективной энтальпии. Это связано не
только с тем, что тепловой поток q-^ , идущий
на прогрев внутренних слоев, может сильно
отличаться от своего квазистационарного зна-
чения Gj c(Tw - Tq) , но и с тем, что массо-
вые доли компонент на разрушающейся по-
верхности могут отличаться от исходного со-
става теплозащитного материала (второе об-
стоятельство является более существенным).
Оно вызвано различиями в скоростях пере-
мещения характерных изотерм внутри мате-
риала при нестационарном нагреве.
Например, скорость выхода газообраз-
ных продуктов термического разложения свя-
зующего вещества определяется скоростью
перемещения изотермы Т = Т*. Если эта
скорость существенно превосходит скорость
перемещения внешней поверхности, то кон-
центрация газообразных продуктов разложе-
ния смолы у поверхности может оказаться
столь значительной, что изменится характер
протекания поверхностных процессов - горе-
ния и испарения.
Глава 9.3
МЕХАНИЗМ РАЗРУШЕНИЯ
ТЕПЛОЗАЩИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
В УСЛОВИЯХ РАДИАЦИОННО-
КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛОВОГО
ВОЗДЕЙСТВИЯ
Появление радиационной составляющей
в тепловом балансе на поверхности теплоза-
щитного покрытия заставляет полностью пе-
ресмотреть модели разрушения, изложенные в
предыдущем параграфе. Это связано прежде
всего с изменением соотношения между теп-
ловым и динамическим воздействиями на
теплозащитное покрытие.
Уровень динамического воздействия за-
висит от градиента давления в набегающем
потоке dpe/ dx , а также силы трения .
Последняя через аналогию Рейнольдса связа-
на* с конвективным тепловым потоком qw .
Градиент давления также определяет величи-
ну теплового потока, но только для непрони-
цаемых поверхностей. При наличии вдува
происходит снижение конвективного теплово-
го потока и трения, но градиент давления
практически не изменяется.
Неизменность (постоянство) соотноше-
ния между тепловым и динамическим воздей-
ствиями при конвективном теплообмене при-
водит к тому, что безразмерная скорость уно-
са массы или эффективная энтальпия оплав-
ляющихся материалов почти не зависит от
размеров тела, хотя 'уровень как теплового,
так и динамического воздействия при увели-
чении радиуса кривизны с 0,007 до 1 м
изменяется на порядки.
542
Глава 9.3. МЕХАНИЗМ РАЗРУШЕНИЯ ТЕПЛОЗАЩИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
Рис. 9.3.1. Изменение конвективного (а) н суммарного (б) тепловых потоков
при увеличении размера тела R^ для различных теплозащитных материалов:
/ - непроницаемая поверхность; 2 - графит; 3 - фенольный найлон;
4 - политетрафторэтилен; 5 - кривая изменения чисто радиационного потока
Радиационный тепловой поток в отли-
чие от конвективного потока, трения и гради-
ента давления резко увеличивается с ростом
размеров тела (рис. 9.3.1), при этом одновре-
менно возрастает и скорость уноса массы.
Начиная с Gw «3, конвективный поток теп-
лоты и диффузионный поток массы к поверх-
ности теплозащитного покрытия равны нулю
(при ламинарном режиме обтекания). Одно-
временно прекращается действие трения со
стороны набегающего потока. Таким образом,
единственными составляющими аэродинами-
ческого воздействия при Gw «3 остаются
радиационный тепловой поток q^ и градиент
давления 6ре/dx. Вдув газообразных про-
дуктов разрушения, если они не обладают
высокими коэффициентами поглощения,
слабо уменьшает интенсивность подводимой
энергии излучения.
В этих условиях можно считать, 'что
определяющий механизм разрушения боль-
шинства теплозащитных материалов должен
включать либо сублимацию, либо термическое
разложение.
Действительно, отсутствие химически
активных компонент набегающего газового
потока исключает диффузионный режим го-
рения графита. Отсутствие трения и малые
градиенты давления (при больших R^) бла-
гоприятствуют интенсивному перегреву плен-
ки расплава стеклообразных материалов и ее
полному испарению. В случае композицион-
ных материалов взаимодействие отдельных
составляющих (стекло и кокс) также должны
стимулировать выход на третий (сублима-
ционный) режим разрушения.
Итак, скорость разрушения различных
теплозащитных материалов может опреде-
ляться лишь двумя параметрами: суммарным
тепловым эффектом поверхностных процес-
сов &QW и коэффициентом поглощения
Kaw. Последний зависит не только от спек-
трального распределения степени черноты
разрушающейся поверхности бх(Х) , но и от
спектра падающего радиационного теплового
потока ^д(Х):
00
pxWtfJuWd*
, (9.3.1)
Яя
00
где gR = ряд (X)dX.
О
Баланс теплоты на разрушающейся по-
верхности в случае высоких радиационных
тепловых потоков упрощается до следующего
выражения:
Я Я ^a,w = Gw &Qw + “ Го) + E&TW .
В том случае, когда механического раз-
рушения материала не происходит, суммарная
скорость уноса массы G% равна скорости
поверхностного разрушения (сублимации)
Gw и можно ввести энтальпию разрушения
материала при интенсивном радиационном
тепловом воздействии (по аналогии с эффек-
тивной энтальпией для конвективного тепло-
вого потока):
МЕХАНИЗМ РАЗРУШЕНИЯ ТЕПЛОЗАЩИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
543
(Е I *г4
т—Г7”
^a,wj
^a,w
(9 3 2)
^а,м> ^a,w
В табл. 9.3.1 представлены результаты
оценки величины IR для различных веществ
в предположении, что они непрозрачны в
диапазоне длин волн X от 0,2 до 1 мкм. Ана-
лиз данных таблицы позволяет сделать пара-
доксальный вывод: при интенсивном радиа-
ционном тепловом воздействии энтальпии
разрушения графита и фторопласта
(разлагающе-гося полимера) оказались близ-
кими, причем величина их почти втрое
меньше, чем у оксидов (SiOj и MgO). Скорос-
ти уноса массы графита и оксидов будут раз-
личаться не так сильно, как величины IR.
Это связано с тем, что температуры разруше-
ния у этих веществ различны и соответствен-
но различаются числители в формуле (9.3.2).
Однако при высоких радиационных теп-
ловых потоках влияние температуры поверх-
ности быстро убывает. Действительно, макси-
мальное значение температуры разрушения
существующих материалов можно оценить по
температуре графита в тройной точке, равной
4200 К. При этом « 18000 кВт/м2. Учи-
тывая, что у реальных материалов при высо-
ких температурах E«/fa>w, получаем, что
при qR > 100 000 кВт/м2 (уровень тепловых
потоков, соответствующий спуску в атмосфе-
ре Юпитера) различия в температуре разру-
шающейся поверхности отдельных классов
теплозащитных материалов уже не играют
принципиального значения.
9.3.1. Характеристики разрушения
различных веществ при интенсивном
радиационном тепловом воздействии
Материал Н, кДж/кг [см. (9.3.2)! Q w * лля 0,2 < X < 1, мкм ^7? > кДж/кг
Графит 30 000 0,85 35 000
Кварц 13 000 0,2 75 000
Окись 13 000 0,13 115 000
магния
Фторо- 3 000 0,1 30 000
пласт
Итак, чем выше интенсивность радиа-
ционного теплового воздействия, тем более
существенную роль играет коэффициент по-
глощения разрушающейся поверхности.
Попытки создать экраны с высокой от-
ражательной способностью уже неоднократно
описаны в литературе. При этом можно идти
двумя путями. Первый вариант предусматри-
вает совмещение блокирования конвективно-
го теплового потока (за счет вдува газообраз-
ных продуктов разрушения) с высокой отра-
жательной способностью разрушающегося
материала (примером может служить фторо-
пласт). Во-втором варианте предлагается ис-
пользовать двухслойные покрытия. В част-
ности, можно применить кварцевое стекло с
подслоем из серебра. Кварцевое стекло, обла-
дая высоким тепловым эффектом сублима-
ции, эффективно блокирует конвективную
составляющую теплового потока. Однако оно
является полупрозрачным в оптическом диа-
пазоне излучения, в результате чего значи-
тельная часть радиационного теплового пото-
ка проходит внутрь материала. В итоге про-
филь температуры внутри покрытия из квар-
цевого стекла существенно зависит от его
приведенного коэффициента поглощения Ка
(рис. 9.3.2), а скорость уноса массы и глубина
прогрева могут изменяться при этом в
несколько раз.
Чтобы исключить вредные последствия
полупрозрачности кварцевого стекла, со сто-
роны внутренней поверхности покрытия
можно поставить металлическое зеркало с
высокой отражательной способностью (рис.
9.3.3, б).
Кварцевое стекло прозрачно в области
длин волн от 0,2 до 2,3 мкм. Если использо-
вать в качестве зеркала серебро, то оно
эффективно отражает при X > 0,4 мкм. Такая
Рис. 9.3.2. Профиль температуры в кварцевом стекле
при различных значениях коэффициента поглощения
материала Ка (qR/ q0 =3, ре = 104 Па)
544
Глава 9.4. СПОСОБЫ ТЕПЛОВОЙ ЗАЩИТЫ
а) б)
Рис. 9.3.3. Способы тепловой защиты от совместного конвективно-радиационного теплового потока:
а - отражение разрушающейся поверхностью; б - отражение внутренней поверхностью покрытия
система должна успешно противостоять не
только тепловому воздействию сжатого
слоя, но и лазерному облучению с энергией
до 200 000 кВт/м2.
Возвращаясь к первому из рассмотренных
вариантов (рис. 9.3.3, о), отметим, что главную
трудность представляет проверка сохранения
поверхностью хорошей отражательной способ-
ности при ее интенсивном разрушении. Так,
нитрид бора, имеющий в стандартных условиях
отражательную способность выше 0,9, в про-
цессе его испытания при совместном конвек-
тивном и радиационном нагреве снизил отра-
жательную способность до 0,55.
В связи с этим особое значение приоб-
ретает экспериментальная отработка теплоза-
щитных материалов в условиях интенсивного
радиационного нагрева. Для этой цели ис-
пользуются различные радиационные и гелио-
установки. В процессе таких .испытаний необ-
ходимо измерять оптические характеристики
разрушающейся поверхности, ее температуру
Tw и скорость уноса массы G% . Строя зави-
симости скорости уноса массы от величины
радиационного теплового потока, поступив-
шего через разрушающуюся поверхность
QR “( Е/ »
можно определить величину энтальпии разру-
шения 1д. Она соответствует наклону прямо-
линейного участка зависимости G% (q^) , кото-
рый устанавливается у любого теплозащит-
ного материала при достаточно высоком ра-
диационном тепловом потоке. В тех случаях,
когда измерение температуры разрушающейся
поверхности затруднено, ее можно оценить,
исходя из определяющего механизма разруше-
ния - сублимации основной компоненты дан-
ного композиционного материала. Для стек-
лопластиков такой компонентой является
стекло SiOj, а скорость сублимации связана с
температурой выражением (см. гл. 7.2)
г „ °v/,SiO2(7») /о-1-п
= Gw = ।— (9.3.3)
2п ^-Tw
у HSiOj
Использовать экспериментальные дан-
ные для определения /д или рассчитывать
температуру поверхности по формуле (9.3.3)
можно только в том случае, когда конвектив-
ный тепловой поток практически полностью
блокирован газообразными продуктами раз-
рушения, т. е. например для ламинарного
пограничного слоя при
GW = Gw/(a/cp)Q > 1 /у « 1,7;
здесь у - коэффициент вдува в линейном
приближении.
Глава 9.4
СПОСОБЫ ТЕПЛОВОЙ ЗАЩИТЫ
ПРИ СОВМЕСТНОМ ДЕЙСТВИИ
РАДИАЦИОННОГО И КОНВЕКТИВНОГО
ТЕПЛОВЫХ ПОТОКОВ
Принципиальное отличие тепловой за-
щиты материала от радиационного теплового
потока состоит в резком снижении эффек-
тивности защитного действия вдува. При воз-
СПОСОБЫ ТЕПЛОВОЙ ЗАЩИТЫ
545
действии конвективного теплового потока
основная часть теплоты отражается за счет
вдува, причем с ростом энтальпии затормо-
женного потока пропорционально возрастает
указанный эффект. При Не £ 30 000 кДж/кг
и ламинарном пограничном слое тепловой
эффект вдува превосходит все остальные за-
траты теплоты на разрушающейся поверх-
ности. Вдуваемые газообразные продукты как
бы оттесняют высокотемпературный набе-
гающий газовый поток, уменьшая не только
тепловое, но и химическое, диффузионное и
механическое (за счет сил трения) воздей-
ствие потока на поверхность теплозащитного
покрытия.
Если при наличии внешнего излучения
коэффициенты поглощения вдуваемых паров
и набегающего потока близки, то эффектив-
ность вдува весьма мала и связана лишь с
некоторым утолщением низкотемпературной
части сжатого слоя. На рис. 9.4.1 приведено
сравнение эффективности вдува газообразных
продуктов разрушения покрытия в части
снижения конвективного и радиационного
тепловых потоков на поверхности сферы ра-
диусом 1 м, обтекаемой воздухом с темпера-
турой торможения Те = 12 000 К (свойства
паров и воздуха одинаковы). Видно, что
влияние вдува на радиационный поток на
порядок слабее, чем на конвективный.
Излучение высокотемпературного сжато-
го слоя как бы пронизывает пограничный
слой и почти без изменения попадает на по-
верхность тела. Указанное положение приво-
дит к тому, что из всех слагаемых эффек-
тивной энтальпии разрушения при конвек-
тивном нагреве в случае совместного конвек-
тивно -радиа-ционного теплового воздействия
при преобладающем вкладе излучения сохра-
няет свое значение лишь "термодинами-
ческая" составляющая.
Рис. 9.4.1. Тепловой эффект вдува
при радиационном (/) и конвективном (2) нагревах
и равных скоростях уноса массы
С другой стороны, при интенсивном ра-
диационном нагреве появляются новые спо-
собы отражения теплоты, которые не могли
использоваться в условиях конвективного
нагрева. Рассмотрим три из них, наиболее
полно освещенные в отечественной и зару-
бежной литературе:
поглощение падающего радиационного
теплового потока вдуваемыми в пограничный
слой газами с высокими коэффициентами
поглощения;
рассеяние падающего радиационного
потока с помощью впрыска в пограничный
слой мельчайших частиц;
отражение энергии излучения поверх-
ностью теплозащитного покрытия с надлежа-
щими оптическими свойствами.
Каждый из этих способов имеет очевид-
ные преимущества перед другими, но у каж-
дого есть и свои технические трудности реа-
лизации. Вероятно, поэтому наиболее опти-
мальной окажется некоторая комбинация
двух или трех способов отражения радиаци-
онного теплового потока в одной системе
тепловой защиты.
Вдув и диффузия сильно поглощающих
(и излучающих) молекул, атомов и ионов с
разрушающейся поверхности в излучающий
сжатый слой могут изменить не только вели-
чину радиационного теплового потока, па-
дающего на эту поверхность, но и, что даже
более существенно, спектр излучения. При
высоких значениях скорости уноса массы про-
дукты разрушения концентрируются в сравни-
тельно однородном по температуре пристеноч-
ном слое, выше которого находится зона сме-
шения, переходящая в слой газа, представлен-
ный лишь компонентами набегающего газового
потока (рис. 9.4.2). Таким образом, наблюдае-
мая картина может быть интерпретирована как
оттеснение пограничного слоя (в котором про-
исходит смешение вдуваемых компонент с
компонентами набегающего потока) от разру-
шающейся поверхности.
Очевидно, что в режиме оттеснения
безразмерные скорости разрушения Gw =
= Gwj (а I ср^ столь высоки, что можно
полностью пренебречь величиной конвек-
тивного теплового потока. При малых скоро-
стях уноса массы вдув может, наоборот, при-
вести к увеличению конвективного теплового
потока, что связано с поглощением энергии
излучения продуктами разрушения и увеличе-
нием температуры во внешней части погра-
ничного слоя. Компоненты с высокими коэф-
фициентами поглощения, нагреваясь, сами
могут начать испускать излучение. За счет
смещения спектрального распределения коэф-
фициентов поглощения при повышении тем-
18 Ча к 488
546
Глава 9.4. СПОСОБЫ ТЕПЛОВОЙ ЗАЩИТЫ
Рис. 9.4.2. Профили концентраций (о)
и температур (б) при интенсивном адуве
продуктов разрушения при совместном
радиационно-конвективном нагреве
а)
Рис. 9.4.3. Снижение радиационного теплового потока Qr/
при вдуве газообразных продуктов разрушения с расходом Gw :
а - вдув продуктов разрушения графита в воздухе; б - вдув в атмосфере Юпитера
ч./я to
о
о
□ □ 1
G g ₽ -5 °D 1
пературы излучение внешней части погранич-
ного слоя будет беспрепятственно проходить
через "окна" спектра пропускания пристеноч-
ного слоя и достигать поверхности тела.
Как видим, проблема экранировки ра-
диационного теплового потока сильно погло-
щающими компонентами, вдуваемыми через
поверхность, достаточно сложна и многогран-
на. Расчеты, проведенные для случая вдува
газов с оптическими свойствами, подобными
атому и молекулам углерода и углекислого
газа, позволили получить некоторую ап-
проксимацию для оценки теплового эффекта
"радиационного" вдува, которая изображена
на рис. 9.4.3.
Параметром вдува здесь является отно-
шение расхода вдуваемой компоненты Gw к
удельному расходу набегающего газового по-
тока ро, . Видно, что при достижении
сравнимых величин скорости уноса массы и
расхода внешнего газа удается снизить радиа-
ционный тепловой поток более чем в 2 раза.
Подобная интерпретация влияния вдува
пока не является общепризнанной. Иногда
предлагается в качестве множителя в параметр
вдува ввести давление за ударной волной
СПОСОБЫ ТЕПЛОВОЙ ЗАЩИТЫ
547
(рис. 9.4.3, б). Параметр вдува при этом будет
иметь вид: Gw ре / р» К» . Такая модифика-
ция, вызвана тем, что с увеличением давления
газ становится более поглощающим, что пло-
хо учитывается в первом варианте.
Вдув инородных газов позволяет пере-
строить спектральное распределение падаю-
щего радиационного теплового потока. Ос-
новная доля энергии излучения сжатого слоя
приходится на ультрафиолетовый диапазон
спектра, прежде всего на область вакуумного
ультрафиолета. Однако, как будет показано
ниже, блокирование излучения в этом диапа-
зоне представляет большие трудности во
многих вариантах тепловой защиты, которая
успешно противодействует излучению в об-
ласти больших длин волн.
Если вдувать через поверхность тела
вместе с продуктами разрушения газообраз-
ные компоненты, обладающие высокими ко-
эффициентами поглощения в вакуумном уль-
трафиолете, то они "срежут" излучение в этом
диапазоне. При этом продукты вдува нагре-
ются до температур в несколько тысяч граду-
сов и сами смогут излучать энергию в направ-
лении поверхности тела. Иными словами, в
определенных спектральных интервалах воз-
никнет вторичное излучение вдуваемых про-
дуктов разрушения. Тем не менее это вторич-
ное излучение будет менее опасным, ибо
вследствие различия температуры торможения
набегающего потока и температуры оттеснен-
ного пограничного слоя оно в соответствии с
законом смещения Вина будет происходить в
основном в видимом или даже в инфракрасном
диапазоне спектра. Несмотря на схематичность
и определенную приближенность подобных
рассуждений, они помогают понять принцип
отбора газов, наиболее перспективных для бло-
кировки падающей лучистой энергии.
В системах тепловой защиты от радиа-
ционного теплового потока в воздухе могут
применяться пары лития, магния, бора, алю-
миния и некоторые другие газообразные про-
дукты, имеющие коэффициенты поглощения
в вакуумном ультрафиолете более высокие,
чем кислород. Эффективность применения
этих газов зависит от их концентрации в от-
тесненном пограничном слое, а точнее, от
оптической толщины этого слоя. Последнюю
нетрудно рассчитать, если значения концент-
рации и температуры в пограничном слое
принять постоянными (см. рис. 9.4.2), а также
использовать результаты численных расчетов
по зависимости толщины этого слоя от ин-
тенсивности вдува Gw.
Переходим ко второму способу защиты
от радиационного теплового потока, который
основан на ослаблении излучения за счет
вдува в пограничный слой газопылевого обла-
ка с большим числом распределенных в нем
микрочастиц. При этом эффективность такой
защиты определяется не столько увеличением
коэффициента поглощения смеси, сколько
значительным возрастанием доли отраженной
и рассеянной энергии.
Существует много способов создания га-
зопылевых облаков. В высокотемпературном
пограничном слое проще всего получить рас-
пыленные микрочастицы как продукты хими-
ческой реакции разложения. Например, при
вдуве в пограничный слой продуктов разру-
шения некоторых термопластов или при по-
даче газов типа метана или ацетилена при
определенных условиях можно получить час-
тицы твердого углерода (сажи).
Наконец, тугоплавкие порошки можно
вдувать через проницаемую поверхность или
вводить внутрь сублимирующего или разла-
гающегося теплозащитного покрытия. По
мере уноса массы последнего частицы по-
рошка будут освобождаться и вноситься
внутрь пограничного слоя током газообразных
продуктов разрушения.
Подаваемая с поверхности аппарата га-
зовзвесь должна иметь достаточную степень
черноты для эффективного ослабления ра-
диационного потока и небольшую молеку-
лярную массу для снижения конвективного
теплового потока. В качестве такой смеси
можно использовать водород с добавками
щелочных металлов, сажистых или твердых
металлических частиц. Гидродинамика газо-
взвесей в пограничном слое достаточно слож-
на, поскольку следует учитывать непрерывное
поступление частиц через проницаемую по-
верхность, их нагрев за счет поглощенного
радиационного теплового потока и теплооб-
мена с окружающим газом, постепенное ис-
парение и, наконец, полное исчезновение.
Скорость испарения вначале определяется
только температурой поверхности частиц, а
затем при некотором минимальном диаметре
частицы начинает зависеть и от ее размера.
Температура частиц, даже очень маленьких,
при больших радиационных потоках может
отличаться от температуры окружающего газа.
В связи со сложностью задачи ее теоре-
тическое решение еще не точно, а результаты
экспериментальных исследований неполны.
Однако опыт, накопленный при анализе рас-
сеяния энергии при наличии оптических не-
однородностей среды (например, в метеоро-
логии, астрофизике и акустике), позволяет
сделать определенные заключения и в случае
тепловой защиты от интенсивного радиаци-
онного теплового потока.
Причиной рассеяния энергии является
оптическая неоднородность, создаваемая при-
сутствием инородных частиц, обусловливаю-
щих непостоянство комплексного показателя
18
548
Глава 9.4. СПОСОБЫ ТЕПЛОВОЙ ЗАЩИТЫ
преломления. Теорию рассеяния энергии на
частицах, много меньших длины волны па-
дающего света, создал Релей. Для видимого
света (X » 0,5 мкм) верхним пределом приме-
нимости теории Релея служит размер частиц
порядка 0,03 мкм, а нижним - размер моле-
кулы. Полное аналитическое решение задачи
рассеяния излучения сферическими частица-
ми, сравнимыми по размерам с длиной волны
падающего света, было получено Ми в 1908 г.
Известны многие работы, в которых вы-
полнены расчеты коэффициентов ослабления
по основании формул, полученных Ми для
сферических частиц различных размеров с
разными комплексными показателями пре-
ломления. Наиболее обстоятельны таблицы
Кроми, в которых приведены коэффициенты
рассеяния и ослабления для частиц с такими
комплексными показателями преломления, в
которых действительная часть не меньше
мнимой. Однако для металлических частиц
соотношение мнимой и действительной
частей противоположное, поэтому для них
эти таблицы неприменимы.
Суммируя некоторые результаты прове-
денных исследований, можно сделать сле-
дующие выводы. Ослабление, характеризуе-
мое коэффициентом К, складывается из двух
составляющих. Первая - это собственно по-
глощение падающей извне энергии в двух-
фазной среде. Характеристикой этого погло-
щения является коэффициент Ка. Вторая
составляющая ослабления - рассеяние энер-
гии на частицах, характеристикой которого
является специальный коэффициент Ks .
Рассеяние происходит в том случае, ког-
да размер препятствия d имеет тот же поря-
док, что и длина волны падающего излучения.
Ослабление энергии на малых частицах
(d«X) происходит главным образом за
счет поглощения, тогда как рассеянием мож-
но пренебречь. Для больших частиц (d » X)
коэффициент ослабления К перестает зави-
сеть от диаметра частиц и стремится к двум.
Применение больших частиц невыгодно, по-
скольку в этом случае процесс поглощения
радиационного теплового потока полностью
подобен поверхностному разрушению тепло-
защитного покрытия с тем же коэффициен-
том поглощения (т. е. теряется преимущество
газовзвеси перед слоем частиц, уложенных на
поверхности).
В качестве примера на рис. 9.4.4 приве-
дены результаты расчетов по теории Ми ко-
эффициентов ослабления К, поглощения Ка
и рассеяния Ks радиационной энергии на
сферических частицах железа с показателем
преломления, равным 1,27-1,37 при различ-
nd
ных параметрах р = —.
Л
Пограничный слой с введенными в него
мельчайшими частицами эффективно ослаб-
ляет падающий радиационный тепловой по-
ток только в узком диапазоне изменения па-
раметра 1 £ р < 6.
При р = 20 эффективность рассеяния в
4-5 раз ниже, чем в указанном диапазоне.
Полученные здесь количественные соотноше-
ния опираются на вполне определенные чис-
ленные значения комплексного показателя
преломления, поэтому для других веществ
результаты могут несколько изменяться.
Общий вывод останется прежним: раз-
меры частиц вдуваемых порошков должны
быть одного порядка с длиной волны, соот-
ветствующей максимуму интенсивности све-
чения сжатого слоя. Если учесть, что приме-
нительно к полету в атмосфере со скоростями
выше второй космической максимум излуче-
ния приходится на вакуумный ультрафиолет
(X =0,1 мкм), то понятно, сколь малы долж-
ны быть размеры частиц газовзвеси.
На практике приходится иметь дело не с
монодисперсной средой, а с порошками, ха-
рактеризуемыми распределением частиц по
размерам. В процессе движения частиц от раз-
рушающейся поверхности происходит резкое
изменение их размеров вследствие сублимации
(испарения). Реальные оптические характери-
стики облака частиц могут существенно отли-
чаться от рассчитанных по формулам, справед-
Рис. 9.4.4. Коэффициенты ослабления К,
поглощения Ка и рассеяния К5 сферических
частиц железа при различных параметрах р = nd/ X
МЕТОДЫ ТЕПЛОВОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
549
изолированной частице. И, наконец, получе-
ние частиц размером много меньше одного
микрона и распыление подобного порошка
представляют значительные технические
трудности.
Все эти проблемы ограничивают область
применимости данного способа тепловой за-
щиты при интенсивном радиационном тепло-
вом воздействии в сжатом слое воздуха.
Для третьего способа тепловой защиты
требуется разработка специальных покрытий,
обладающих высоким коэффициентом отра-
жения по отношению к падающему извне
радиационному потоку и сохраняющих этот
коэффициент (см. гл. 9.3).
Глава 9.5
МЕТОДЫ ТЕПЛОВОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
В общем объеме работ по созданию теп-
ловой защиты газодинамические испытания
играют доминирующую роль. Внедрение
прогрессивных конструктивных решений,
экономия средств и времени при разработке
новой техники, повышение ее надежности и
экономичности во многом основываются на
совершенствовании экспериментальных уста-
новок, увеличении объема и качества стендо-
вых испытаний.
Для решения проблем теплозащиты ис-
пользуются установки различных типов: аэро-
динамические (газодинамические) трубы с
различными подогревателями, ударные трубы,
баллистические стенды, стендовые газогенера-
торы, центробежные стенды.
Каждая из этих установок представляет
собой комплекс устройств и оборудования, как
правило, единичного изготовления со слож-
ными рабочими процессами. Вместе с тем каж-
дая установка лишь частично моделирует соче-
тание параметров "энтальпия торможе- ния -
состав среды - давление торможения - число
Re - число М - уровень сдвигающих напряже-
ний" при необходимой продолжительности
испытания и достаточных размерах модели. В
случае гетерогенного потока появляется еще
один важнейший параметр взаимодействия -
скорость конденсированной фазы.
Проведенный в предыдущих разделах
анализ конвективного и радиационного теп-
лового воздействия и различных механизмов
разрушения позволяет указать параметры га-
зового потока, воспроизведение которых важ-
но при экспериментальной отработке тепло-
защитных материалов. Среди них параметры,
влияющие на механизм разрушения в услови-
ях конвективного нагрева:
1. Энтальпия заторможенного потока га-
за Hq (для окрестности точки торможения
затупленного тела Hq = Не).
2. Химический состав набегающего газо-
вого потока, в особенности концентрация
химически активных компонент.
3. Давление заторможенного потока газа
Pq (в окрестности точки торможения затуп-
ленного тела Pq = ре).
4. Режим течения в пограничном слое -
ламинарный или турбулентный.
5. Уровень сдвигающих напряжений на
разрушающейся поверхности - градиент дав-
(
ления и трения, и •
При анализе совместного конвективного
(?0 и лучистого qR теплового воздействий на
материал появляются дополнительные опре-
деляющие параметры, причем главные из них
- отношение тепловых потоков (чк/Яо) и
энтальпия торможения Hq .
В задачах о разрушении стыков различ-
ных покрытий или об излучении продуктов
разрушения становится существенной толщи-
на пограничного слоя. Наконец, при экспе-
риментальной отработке теплоизоляции важ-
но воспроизвести величину подведенного
теплового потока.
Габариты модели должны быть доста-
точно большими, чтобы исключить неодно-
мерность прогрева материала и зависимость
результатов испытаний от соотношения между
различными элементами структуры материала
и размером модели.
Так как при лабораторной отработке
теплозащитных материалов обычно не удается
смоделировать сразу все перечисленные осо-
бенности теплового и силового воздействий,
то выбирают такую методику, которая позво-
ляет воспроизводить наиболее важные пара-
метры набегающей среды. Ставится задача о
частичном моделировании одного или
нескольких параметров и о переносе результа-
тов отдельных экспериментальных исследова-
ний на натурные условия с помощью теоре-
тических моделей разрушения. Это требует
осуществления комплексных программ испы-
таний и сравнения результатов, полученных в
различных схемах испытаний.
Рассмотрим основные схемы установок
для проведения экспериментов по исследова-
нию разрушения теплозащитных материалов в
высокотемпературных потоках газа. Все схемы
можно разбить на четыре класса: схемы для
испытаний в дозвуковой струе (рис. 9.5.1,
а, в), в сверхзвуковой струе (рис. 9.5.1, б, г),
в щелевых каналах (рис. 9.5.1, д-ж), в каналах
или профилированных соплах (рис. 9.5.1,
и, к). Кроме того, испытания в струях могут
проводиться при закрытой рабочей части
(аэродинамическая труба) и в свободной
струе, истекающей в атмосферу.
18вЗак. 488
550
Глава 9.5. МЕТОДЫ ТЕПЛОВОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Рис. 9.5.1. Принципиальные схемы установок дм испытаний образцов теплозащитных материалов
в потоке нагретого газа в процессе разрушения:
а - испытания в дозвуковой свободно расширяющейся струе; б - разрушение образца в сверхзвуковой свобод-
но истекающей струе; в - испытания в дозвуковом потоке закрытого типа; г - аэродинамическая труба с
электродуговым нагревом газа; д - испытание образцов в щелевых каналах (сопле-кожухе);
е - испытания крупных моделей с поджатием горячего газа к поверхности образца холодным потоком;
ж - испытания конических моделей с охлаждаемым носиком; з - испытания образцов в условиях
радиационно-конвективного нагрева; и - испытания образца в виде цилиндрического канала;
к - испытания модели в виде профилированного канала; л - формы торцов образцов после испытаний;
1 - сопло; 2 - исследуемый образец; 3, 4 - следящая кинокамера; 5, 6 - пирометры для измерения яркостной
и цветовой температуры; 7 - защитный кожух; 8 - термопары; 9 - ударная волна; 10 - охлаждаемый или
разрушающийся защитный конус; 11 - кожух; 12 - вывод к вакуумным насосам; 13 - газовый "кожух”;
14 - эллиптическое зеркало; 15 - эллипсоид; 16 - конус с полусферическим затуплением;
17 - плоская поверхность с закругленной фаской; 18 - цилиндрическая поверхность
со сферическим сегментом; 19 - форма торца при разрушении в турбулентном пограничном слое
МЕТОДЫ ТЕПЛОВОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
551
Испытания в дозвуковой свободной
струе по схеме на рис. 9.5.1, а ограничены
обычно точкой торможения, причем размер
модели d может почти в 1,5 раза превышать
диаметр среза сопла D. Это объясняется осо-
бенностями распределения давления при на-
текании дозвуковой струи на бесконечную
пластину.
Недостатком такой схемы является ин-
тенсивное перемешивание периферийной
зоны струи с окружающей средой, что огра-
ничивает возможность испытаний материала в
различных средах.
В схеме на рис. 9.5.1, б требуется, чтобы
давление в форкамере превышало атмосфер-
ное более чем в раз. Тогда
с помощью профилированного сопла можно
получить сверхзвуковое обтекание модели.
Обычно используют сопла на числа М = 2.
Это позволяет избавиться от влияния держав-
ки на параметры обтекания и в то же время
иметь достаточно высокое давление торможе-
ния перед моделью, а следовательно, и высо-
кий тепловой поток. Эксперимент организу-
ется так же, как и в предыдущем случае.
Основная область применения этой схемы -
измерение квазистационарных параметров
разрушения.
Метод моделирования обтекания затуп-
ленных тел с помощью сопла-кожуха показан
на рис. 9.5.1, д. Эта схема выгодно отличается
тем, что практически весь горячий газ уча-
ствует в теплообмене. Благодаря этому нагре-
вается значительная часть боковой поверх-
ности модели, и тем самым тепловой потен-
циал струи из подогревателя используется
значительно полнее. Такая схема позволяет
испытывать модели больших размеров, чем в
предыдущих вариантах. Недостатком схем с
твердыми стенками кожуха (щелевой канал)
является большая чувствительность распреде-
ления давления в зазоре к уносу массы тепло-
защитного покрытия. Это привело к разра-
ботке струйных "кожухов" (схема рис. 9.5.1, е).
В данном случае внутренняя струя горячего
газа прижимается к испытываемой поверх-
ности внешним холодным потоком газа.
Влияние режима течения и сдвигающих
усилий при разрушении теплозащитных мате-
риалов можно исследовать по схеме на рис.
9.5.1, ж. Если критическое сечение находится
у основания конуса или клина, то образец
испытывается дозвуковым потоком. При пе-
ремещении критического сечения в цилин-
дрическую часть сопла обтекание проводится
сверхзвуковым потоком. При расположении
критического сечения в середине конуса мак-
симальный градиент давления вдоль поверх-
ности составляет р / L , что в 2 раза превы-
18в*
шает градиент давления, который можно по-
лучить в первых двух случаях. Перемещения
критического сечения вдоль поверхности об-
разца можно достигнуть изменением угла
раствора между образующими модели и сопла.
Для сохранения в процессе испытания посто-
янной площади критического сечения соот-
ветствующие места в образце должны заме-
няться неразрушающимися охлаждаемыми
медными вставками.
Испытания при течении в цилиндриче-
ских каналах (схема на рис. 9.5.1, и) исполь-
зуются, во-первых, для изучения специфики
внутренних задач и, во-вторых, для получения
переходного или турбулентного режимов те-
чения в пограничном слое (и больших вели-
чин поверхностного трения), которых невоз-
можно достигнуть при экспериментах в
окрестности точки торможения затупленного
тела. Основная трудность в проведении экс-
периментов по этой схеме заключается в
сложности измерения текущих значений ско-
рости перемещения поверхности раздела по-
крытие - газовый поток.
Если при внешнем обтекании измерение
координат разрушающейся поверхности мож-
но произвести достаточно точно, то при внут-
реннем режиме испытаний нужны особые
приемы. Один из них - газодинамический,
применяемый для определения скорости уве-
личения размера наиболее узкого проходного
сечения (критического сечения).
Для этого делается два критических се-
чения, в каждом из которых устанавливается
скорость звука. Важно, чтобы давление в ка-
мере между этими сечениями было столь ве-
лико, что, несмотря на обгорание одного из
них, расход газа оставался бы неизменным.
Давление в промежуточной камере будет при
этом однозначно характеризовать площадь
поперечного сечения сопла из исследуемого
разрушающегося материала:
=Р2^2акр,2-
Второй способ связан с использованием
рентгеновских лучей. Если размер втулки из
теплозащитного материала позволяет полу-
чить снимок в плоскопараллельном пучке, то
удается зафиксировать не только поверхность
раздела, но и все зоны изменения плотности.
Приведенные различные схемы иллю-
стрируют многообразие условий испытаний
теплозащитных материалов. Эксперименталь-
ная установка и схема испытаний выбираются
в зависимости от назначения теплозащитных
покрытий и требований к ним по продолжи-
тельности и интенсивности нагрева. Проведе-
ние испытаний на различных установках и по
* различным методам испытаний во многих
случаях затрудняет сравнение результатов,
полученных различными исследователями.
552
Глава 9.5. МЕТОДЫ ТЕПЛОВОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Рассмотрим основные методы проведе-
ния экспериментов. Поскольку электродуго-
вые установки не обеспечивают полного мо-
делирования натурных условий разрушения
теплозащитных материалов, исследуется
влияние на разрушение каких-либо одних
важнейших параметров при постоянстве дру-
гих. Можно выделить несколько эксперимен-
тальных методов, с помощью которых выяс-
няется влияние:
энтальпии заторможенного потока,
Не =var;
давления заторможенного потока,
Ре =уаг;
химического состава набегающего потока;
состава материала содержания напол-
нителя (связующего) при Не - const.
Модель для испытаний, как правило,
выбирается в виде осесимметричного тела,
обычно цилиндра или конуса с различной
формой торца. Ввод образца в поток произво-
дится после того, как электродуговая установ-
ка вышла на стационарный режим работы.
Модель устанавливается на определенном
расстоянии от среза сопла /.
Расстояние / обычно не превышает
нескольких диаметров сопла. Следует учиты-
вать удобства расположения аппаратуры для
измерения основных параметров теплозащит-
ных материалов, а также необходимость обес-
печения требуемых тепловых и газодинамиче-
ских условий (равномерность распределения
тепловых и других параметров на рабочем
участке струи). Модель устанавливается по
оси струи и должна полностью находиться в
набегающем потоке.
Если диаметр образца меньше диаметра
сопла на срезе, т. е. d/ D <1, то при этом
особое значение приобретает теплоизоляция
образца с боковой поверхности. Для этого
используют как охлаждаемые, так и разру-
шающиеся конусы (рис. 9.5.1, в), из которых
испытываемая модель должна выступать не
более чем на 1-5 мм. При использовании
охлаждаемых конусов-державок необходимо
иметь следящую систему, которая по мере
уноса массы подает разрушаемый торец об-
разца в заданную плоскость и поддерживает
постоянным расстояние между срезом сопла и
образцом. Для этого применяют различные
оптические и рентгеновские устройства.
Продолжительность испытаний опреде-
ляется временем, необходимым для измере-
ния важнейших величин в условиях квази-
стационарного разрушения. Отключение
установки проводится либо после отработки
установленного периода времени, либо по
показанию термопары, вмонтированной в
тепло-приемник на обратной поверхности
модели (рис. 9.5.1, а).
Для изучения динамики протекания раз-
личных явлений на поверхности можно ис-
пользовать высокоскоростную микроки-
носъемку (рис. 9.5.1, а). Перемещение разру-
шающейся поверхности также фиксируется с
помощью кинокамеры, устанавливаемой в
плоскости торца модели. Наблюдение за про-
цессами на поверхности, образованием обуг-
ленного слоя, поведением пограничного слоя
сильно затруднено большой яркостью излуче-
ния поверхности и пристеночного газового
слоя. Необходимо использовать специальную
технику съемки, применять светофильтры,
голографические и рентгеновские методы
измерений и т. д.
Важнейшим параметром, характеризую-
щим и определяющим различные кинетиче-
ские процессы на разрушающейся поверх-
ности, является ее температура Tw . Знание ее
также необходимо для пересчета результатов
измерения с помощью калориметра тепловых
потоков на условия разрушающихся теплоза-
щитных материалов.
Температуру разрушающейся поверх-
ности для некоторых материалов удается из-
мерить с помощью микротермопар, заделан-
ных внутри покрытия и выходящих на по-
верхность при уносе вышележащего слоя.
Представленные в виде зависимости безраз-
мерной скорости разрушения от температуры
Tw результаты экспериментов позволяют
установить внутренние закономерности про-
цесса.
На рис. 9.5.2 показана зависимость ско-
рости уноса массы типичного коксующегося
материала от температуры поверхности и хи-
мического состава набегающего потока. Вид-
но, что увеличение содержания кислорода в
набегающем потоке существенно увеличивает
унос массы, особенно при росте температуры.
Экспериментально установлено, что скорость
уноса массы материалов является функцией
температуры независимо от способа подвода
теплоты - конвективного, радиационного или
совместного.
К тыльной стороне модели могут быть
подведены электроды термопар и установлены
калориметры для определения изоляционных
свойств покрытия, т. е. количества теплоты,
проходящего через прогретый слой.
По данным крупномасштабной съемки
можно судить также о механизме разрушения
исследуемого материала, степени покрытия его
поверхности пленкой расплава и т. д. Незави-
симо от первоначальной конфигурации при
установлении квазистационарного режима раз-
рушения торец образца принимает постоянную
форму. В зависимости от соотношения диа-
метров образца и сопла, теплофизических
МЕТОДЫ ТЕПЛОВОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
553
Рис. 9.5.2. Влияние химического состава
набегающего потока и температуры поверхности
иа скорость уноса массы типичного
коксующегося теплозащитного материала:
1 - аргон; 2 - азот; 3 - воздух; 4 - кислород
Рис. 9.5.3. Влияние формы торца образца на градиент
скорости Р = due/ dx при сверхзвуковом обтекании:
d = 2b; т = а/Ь\ ок р - скорость звука
и других свойств материала она может был»
различной: плоской, полусферической, эл-
липсоидной с отношением полуосей пример-
но до 2 и др. (см. рис. 9.5.1, л).
Знание формы поверхности образца не-
обходимо для учета ее влияния на тепловой
поток, которое проявляется через градиент
скорости р = due/ dx (рис. 9.5.3). Таким обра-
зом, форма и диаметр модели определяют гра-
диент скорости на ее поверхности. Поэтому
калориметр должен иметь ту же самую форму и
размеры, как и разрушающаяся модель.
При испытаниях в дозвуковой струе,
когда d < D , образец может приобрести при
разрушении сложную форму передней части
(см. рис. 9.5.1, л). Появление "шейки" на бо-
ковой поверхности связано с присоединением
потока после разворота в угловой точке. Это
вызывает увеличение местной скорости уноса
массы, которая пропорциональна локальному
коэффициенту теплообмена. При турбулент-
ном режиме течения в пограничном слое над
моделью ее поверхность в процессе разруше-
ния приобретает свои отличительные особен-
ности (см. рис. 9.5.1, поз. 19).
Результаты экспериментальных исследо-
ваний теплозащитных материалов в режиме
квазистационарного разрушения обычно
представляют в виде зависимостей
ИЛИ
ёЕ=С1/(а/с/,)0=/2(Яе,р<г),
(рис. 9.5.4)
Рис. 9.5.4. Сравнение параметров разрушения
тефлона (/), стеклопластика (2) н графита (3)
в широком диапазоне энтальпий
заторможенного потока Не
554
Глава 9.6. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВОГО РЕЖИМА ЛОПАТОК ГАЗОВЫХ ТУРБИН
ИЛИ
Qw/Qq - /з »
где Gw = Gw j (а / ср .
В условиях нестационарного разрушения
эти зависимости не могут служить характери-
стиками теплозащитного материала. Измере-
ние внутренних температур позволяет в этом
случае получить сведения о теплофизических
свойствах материала и кинетике гетерогенных
физико-химических превращений.
При сравнительных испытаниях исполь-
зуют критерий эффективности, равный массе
теплозащитного покрытия, необходимой для
поддержания температуры последующего кон-
струкционного слоя на заданном уровне
(например, 400 К) и отнесенной к единице
площади поверхности.
Глава 9.6
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВОГО РЕЖИМА
ЛОПАТОК ГАЗОВЫХ ТУРБИН
В научном плане проблема создания но-
вого поколения парогазотурбинных энергети-
ческих установок может быть представлена в
виде ряда взаимосвязанных задач в области
тепло- и массообмена, газовой динамики,
прочности и материаловедения.
Ядром проблемы является необходи-
мость обеспечения эффективного охлаждения
сопловых и рабочих лопаток газовой турбины,
обтекание которых характеризуется много-
факторным воздействием высокотемператур-
ного потока. При этом существенным оказы-
вается не только уровень тепловых нагрузок,
но и их неравномерное распределение по
обводу профиля лопаток.
Теплообмен лопаток газовых турбин ха-
рактеризуется высоким уровнем турбулент-
ности набегающего потока, большой кривиз-
ной поверхности, значительным градиентом
давления. Решающее значение для определе-
ния интенсивности теплообмена имеет пере-
ход от ламинарного режима течения к турбу-
лентному в пограничном слое на поверхности
лопатки турбины. В связи с этим рассмотрим
факторы, как ускоряющие этот переход, так и
приводящие к его затягиванию.
Как следует из рис. 9.6.1, увеличение
степени турбулентности Ти от 1,3 до 7,5 %
снижает число Рейнольдса установления тур-
булентного режима при обтекании пластины
более чем на порядок: с 106 до 10s. Одновре-
менно несколько возрастает интенсивность
теплообмена по сравнению с асимптоти-
ческой зависимостью для турбулентного по-
граничного слоя.
; В качестве иллюстрации на рис. 9.6.2
представлено обобщение экспериментальных
данных, полученных на моделях лопатки при
изменении числа Рейнольдса и уровня пульса-
ций скорости в набегающем потоке (степени
турбулентности Ти). Увеличение единичного
числа Рейнольдса вдвое (с 0,4* 106 до 0,8* 106)
привело к переходу ламинарного режима те-
чения в пограничном слое над выпуклой час-
тью лопатки ("спинки”) в турбулентное, тогда
как данные колориметрирования на противо-
положной поверхности ("корытце”) оказались
в обоих вариантах достаточно подобными,
т. е. ламинарный режим течения сохранился
почти полностью.
Вариант 3 отличается от варианта 2
лишь повышенной степенью турбулентности.
Здесь, наоборот, более чувствительно течение
над поверхностью сжатия ("корытце”), причем
режим течения представлен всеми тремя ти-
пами: ламинарным, переходным и турбулент-
Рис. 9.6.1. Влияние степени турбулентности на теплообмен на пластине
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВОГО РЕЖИМА ЛОПАТОК ГАЗОВЫХ ТУРБИН
555
q(S)/?(S-0)
-(S/I) -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8+(S/b)
Рис. 9.6.2. Относительный тепловой поток иа поверхности лопатки при различных условиях обтекания:
1 - Re = 0,4 • 106 , Ти = 1,0 %; 2 - Re = 0,8 106 , Ти = 1,0 %;
3- Re = 0,8 • 106, Ти =4,0 %; 4- Re = 1,2 • 106, Ти =4,0 %
ным. Результаты колориметрирования на по-
верхности "спинки" в вариантах 2 и 3 доста-
точно близки.
В варианте 4 Re = 1,2 • 106 и Ти =4,0 %
- распределения тепловой нагрузки на обоих
поверхностях лопатки приближаются к сим-
метричным. Столь неординарное изменение
интенсивности теплообмена приводит к зна-
чительным перекосам температуры по телу
лопатки. Задача системы охлаждения заклю-
чается в том, чтобы снизить температуру по-
верхности до приемлемого (по условиям тер-
мопрочности) уровня, а также в том, чтобы
скомпенсировать указанную выше неравно-
мерность тепловых потоков.
Одним параметром - степенью турбу-
лентности нельзя описать все многообразие
явлений теплопереноса в турбулизованных
потоках. С практической точки зрения, в
частности, при изучении теплопереноса на
поверхности лопаток газовых турбин важно
обратить внимание на непропорциональность
изменения теплового потока в различных
зонах пограничного слоя.
Ускорение потока затягивает переход
ламинарного режима течения в турбулентный,
т. е. действует в противоположном направле-
нии по сравнению с турбулентностью набе-
гающего потока.
Для характеристики ускоренных потоков
используются два параметра: градиент скорос-
ти р = (due/cLs) и безразмерный параметр
ускорения К:
К = (₽v)/ “«=(₽/"«)/ Re<‘).
где Re(l) = ие / v - единичное число Рей-
нольдса.
Параметр ускорения К можно опреде-
лить, не решая уравнения пограничного
слоя, по известным распределениям газоди-
намических параметров потока в межлопа-
точном зазоре.
556
Глава 9.6. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВОГО РЕЖИМА ЛОПАТОК ГАЗОВЫХ ТУРБИН
1 - нагревательные элементы; 2 - термопары
Для экспериментального определения
локальных характеристик теплообмена изме-
рительные секции испытуемой лопатки разде-
лены друг от друга теплоизолирующими
вставками (рис. 9.6.3). В каждой измеритель-
ной секции отфрезерованы три канавки: одна
- средняя для нагревательного элемента и две
по бокам - для размещения термопар. Нагре-
ватели состоят из двух нихромовых проводов
диаметром 0,15 мм, вставленных вместе с
изоляцией из окиси магния в трубочку из
инконеля диаметром 1 мм. Внутренняя часть
лопатки и теплоизолирующие щели заполне-
ны эпоксидной смолой.
Метод измерения состоит в том, чтобы
поддерживать температуру всех нагреватель-
ных элементов одинаковой (на 30-50 К выше
температуры набегающего потока). Выделяе-
мая омическая теплота и соответствующие
локальные характеристики теплообмена на
внешней поверхности лопатки вычисляются
по результатам измерения электрического
тока в цепи каждого нагревателя. Имитация
турбулентности набегающего потока при из-
мерениях локальной интенсивности теплооб-
мена на лопатках проводилась с помощью
турбулизируюших сеток.
Анализ результатов тепловых измерений
на вращающихся лопатках показывает, что
при оценке интенсивности теплообмена необ-
ходимо учитывать локальное значение степе-
ни турбулентности в соответствующем сече-
нии межлопаточного зазора. Можно допус-
тить, что
Ти / Ти„ = [и„/ / [ие/ 7*],
где к - локальное значение кинетической
энергии турбулентности; к^ - тот же пара-
метр в набегающем потоке. Расчеты показы-
вают, что к уменьшается примерно на 10 %
по длине лопатки турбины. Это позволяет
определить локальную интенсивность турбу-
лентности через отношение скоростей невяз-
кого потока
Ти/ТЦда = и^/ие .
Резкое падение уровня турбулентности
потока всюду, за исключением окрестности
критической точки, указывает на то, что
влияние этого параметра на теплообмен не
может быть значительным, особенно на по-
верхности разрежения (спинке) лопатки.
Именно этим объясняется затягивание пере-
хода от ламинарного режима течения в погра-
ничном слое к турбулентному на поверхности
разрежения лопатки. Однако сразу после по-
тери устойчивости пограничного слоя нарас-
тание тепловой нагрузки происходит очень
резко, что представляет серьезную проблему
для обеспечения термопрочностного режима
лопатки. Если турбулентность внешнего пото-
ка невелика, то возможна "реламиниризация”
турбулентного пограничного слоя. Подавле-
ние турбулентности в пограничном слое на-
блюдается лишь в том случае, когда параметр
ускорения К превысит значение 3 • 10-6.
На рис. 9.6.4 представлено сравнение
распределений тепловой нагрузки вдоль по-
Рис. 9.6.4. Сравнение эпюры тепловой нагрузки на поверхности лопатки газовой турбины
при различных значениях числа Рейнольдса Re и степени турбулентности Ти :
/- Re = 0,55- IO6; 2- Re = 1,11 • IO6; 3- Re = 1,67 • 106
МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОГО ПОТОКА
557
верхности лопатки при низкой и повышенной
степенях турбулентности. Штриховкой отме-
чены области повышенных и пониженных
тепловых потоков при числе Re = 1,67 • 10б и
вариации степени турбулентности в диапазоне
Ти = (0,2 + 4,0) %. С уменьшением числа Re
картина остается подобной, но менее вырази-
тельной.
Точка перехода пограничного слоя от
ламинарного к турбулентному режиму тече-
ния хорошо видна, когда тепловой поток рез-
ко возрастает по мере движения вдоль навет-
ренной ("корытце") или подветренной
("спинка") поверхностей лопатки. При более
высокой степени турбулентности точка пере-
хода смещается к передней кромке. Наиболь-
шую чувствительность к росту степени турбу-
лентности Ти имеет зона ламинарного погра-
ничного слоя, тогда как при турбулентном
режиме течения это влияние не велико. С
ростом степени Ти пропадает характерный
"заброс" теплового потока в конце переходно-
го режима течения.
Оценивая представленные на рис. 9.6.4
экспериментальные результаты, можно
утверждать, что турбулентность набегающего
потока сглаживает распределение тепловой
нагрузки вдоль обоих поверхностей лопатки
газовой турбины. Этот факт облегчает проек-
тирование высоконагруженных лопаток. Од-
нако в окрестности передней кромки (в об-
ласти ламинарного режима течения) увеличе-
ние степени турбулентности Ти неблагопри-
ятно сказывается на тепловом режиме и, как
следствие, на увеличении потребного расхода
охладителя. Именно этот факт и стимулирует
исследователей к разработке новых физиче-
ских моделей ламинарного пограничного слоя
в турбулизованных потоках.
Глава 9.7
МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ
ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОГО
ГАЗОВОГО ПОТОКА
Ценность экспериментальных результа-
тов, возможность использования их при рас-
чете реальных конструкций и для сравнения с
теоретическими расчетами в большой степени
зависят от точности и надежности методов
измерения параметров высокотемпературного
потока газа.
Одним из основных параметров набе-
гающей среды является энтальпия. Существу-
ет несколько методов измерения энтальпии.
Обычно определяют среднемассовые значения
энтальпии для всей рабочей среды. Наиболее
точным является газодинамический метод
измерения энтальпии или метод истечения
через критическое сечение.
Допустим, что течение в сопле является
одномерным и изоэнтропическим, тогда эн-
тальпию торможения можно выразить через
давление торможения Pq , массовый расход G
и площадь критического сечения сопла FK р .
Графически эта зависимость для воздуха при
температурах от 2000 до 8000 К представлена
на рис. 9.7.1. Аналогичные зависимости мож-
но рассчитать для газовой среды любого со-
става.
Таким образом, измеряя давление тор-
можения, зная массовый расход газа и пло-
щадь критического сечения, определяют
среднее значение энтальпии торможения по-
тока:
Я6 = /(^-1 •
V о J
При использовании этого метода тре--
буется, чтобы коэффициент расхода сопла
был примерно равен 1.
В тех конструкциях электродуговых по-
догревателей, где горячий газ поступает в
сопло, имея тангенциальную составляющую
скорости, значение коэффициента расхода
сопла для нагретого газа неизвестно и может
заметно отличаться от 1. Исследования пол-
ной энергии газа в таких подогревателях
можно проводить с помощью специального
калориметра или энтальпиемера.
Рис. 9.7.1. Зависимость энтальпии торможения
воздуха Hq (кДж/кг) от давления торможения
Pq (Па) и удельного расхода через критическое
сечение сопла G / FK р -— [кг/(м2 • с • Па)]
Pq
558 Глава 9.7. МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОГО ПОТОКА
Наиболее точным методом определения
среднемассовой энтальпии и ее профиля в
заторможенном потоке является измерение с
помощью энтальпиемера (рис. 9.7.2), пред-
ставляющего по сути дела датчик измерения
стационарного теплового потока от струйки
газа с известным расходом, попадающей
внутрь трубки. Энтальпия определяется про-
стым калориметрическим балансом теплоты.
Если известно приращение температуры воды
внутри охлаждаемого калориметра, то энталь-
пия торможения газа на входе связана с эн-
тальпией на выходе (Яизм) соотношением:
#6 = ^изм + / <?в »
где Qq = cpGB (7\ -Ti)j F - тепловой поток
к внутренней поверхности трубки, кВт/м2;
F - площадь этой поверхности, м2; (7В -
pac-ход охлаждающей воды.
Иногда среднемассовая энтальпия струи
определяется как разность общей мощности
подогревателя и суммарных потерь в охлаж-
даемые элементы и сопло подогревателя, де-
ленная на массовый расход газа.
Для измерения энтальпии потока в доз-
вуковой струе можно также использовать
газодинамический метод, применяя специ-
альный насадок, схема устройства и установка
в поток которого показаны на рис. 9.7.3.
Струйка газа из потока поступает в мерное,
охлаждаемое водой сопло 1. Из сопла газ по-
падает в камеру 2, где охлаждается до темпе-
ратуры, близкой к стандартной. На выходе из
камеры установлено второе мерное сопло 3.
Разрежение в камере создается эжектором 5.
Режим работы эжектора выбирается таким,
чтобы при заданных диаметрах критических
сечений сопл перепад давлений на каждом
сопле обеспечивал звуковое течение газа. Пе-
репады давлений на соплах контролируются
измерением давлений в камерах 2 и 4. По
результатам измерений определяется массо-
вый расход газа через критическое сечение.
Зная полное давление газа в потоке, опреде-
ляют энтальпию торможения потока.
Иногда энтальпию определяют пересче-
том по измеренной величине конвективного
теплового потока к охлаждаемому водой кало-
риметру, устанавливаемому в мерном участке
струи. При этом используют соотношение Фея
и Ридделла для конвективного теплового пото-
ка в окрестности точки торможения. По-
скольку на величину теплового потока суще-
ственное влияние могут оказывать такие фак-
торы, как распределение давлений по поверх-
Рис. 9.7.2. Схема энталышемера и распределение параметров по сечению струи:
1 - набегающий поток; 2 - термопара; 3 - газ к расходомеру;
4 - термопары для измерения подогрева воды; 5 - подвод и сток воды
Рис. 9.7.3. Схема насадка для измерения энтальпии потока газодинамическим методом
МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОГО ПОТОКА
559
ности модели, степень турбулентности набе-
гающего потока, каталитичность поверхности,
то к этому методу следует прибегать лишь
тогда, когда оценено влияние всех указанных
факторов.
Тепловой поток к непроницае-
мой стенке может быть определен нескольки-
ми методами. Наиболее распространенными
являются метод охлаждаемого калориметра и
нестационарный (экспоненциальный) метод.
В первом случае калориметр представля-
ет собой полый медный цилиндр, внутри ко-
торого осуществляется проток охлаждающей
воды (рис. 9.7.4, а).
Принцип действия его состоит в сле-
дующем. Рабочий элемент, имеющий в месте
охлаждения толщину примерно 2-3 мм, на-
гревается потоком газа и передает теплоту
омывающей его воде. С боковой стороны
рабочий элемент защищается охлаждаемым
медным конусом. Для уменьшения перетоков
теплоты в охранный конус калориметр изоли-
руется от него слоем изолятора или газовым
зазором вдоль всей боковой поверхности;
толщина зазора составляет примерно 0,2-0,5
мм.
При заданном расходе воды тв и из-
вестных размерах калориметра для расчета
величины теплового потока необходимо из-
мерить только подогрев охлаждающей воды
А/в. Если пренебречь утечками теплоты с
нерабочих поверхностей калориметра, то
средний удельный тепловой поток к поверх-
ности калориметра определяется как
сл тл А Гн
«о --“-к-
где F - площадь рабочего элемента калори-
метра.
При расчете теплового потока к поверх-
ности теплозащитного покрытия необходимо
вводить поправочный коэффициент на отли-
чие температуры поверхности калориметра от
температуры поверхности образца.
Рис. 9.7.4. Схемы калориметров:
а - стационарный водоохлаждаемый калориметр;
б - экспоненциальный неохлаждаемый калориметр;
/ - рабочий элемент; 2 - державка; 3 - подвод и
отвод воды; 4 - изолятор; 5 - термопара
Другой метод измерения количества
теплоты, получаемого от нагретой струи газа,
основывается на определении скорости нагре-
ва изолированного элемента (см. рис. 9.7.4,
б), выполненного из материала с хорошей
теплопроводностью (обычно из меди):
dT
00 - ск >
где тк - масса калориметра; ск - его теп-
лоемкость; dT/dx - скорость нагрева кало-
риметра. Этот метод называют обычно экспо-
ненциальным. На задней теплоизолированной
стороне калориметра зачеркивается термопа-
ра, позволяющая фиксировать рост темпера-
туры во время нагрева. Величина dT/dx
определяется на линейном участке зависимос-
ти температуры от времени. Суммарная по-
грешность обоих методов определения тепло-
вых потоков обычно составляют 10-20 %.
Экспериментальные данные по теплооб-
мену в дозвуковой струе воздуха с энтальпией
заторможенного потока (12+25)103 кДж/кг по-
казывают, что соотношение между тепловыми
потоками к модели с плоским торцом 0оп и
полусферическим затуплением фос несколько
иное, чем при сверхзвуковом. Так, для моде-
лей диаметра 14 мм при диаметре сопла
D =20 и 26 мм 0ос/?Оп = 1’45 вместо 2 при
сверхзвуковом обтекании.
Безразмерный градиент скорости в рай-
оне точки торможения, который входит в фор-
мулу для теплового потока, определяется как
р = ₽*=Ы А.
ие k dx Jx=0 ие
Исследования показывают, что величина
Р в дозвуковых струях зависит от соотноше-
ния между диаметром модели d и диаметром
сопла Д равна начальному диаметру струи.
На рис. 9.7.5 в качестве примера показано
распределение скорости на торце цилиндра,
обтекаемого в продольном направлении до-
звуковой струей при разных соотношениях
диаметра цилиндра d и струи D.
Струя высокотемпературного газа обыч-
но имеет конечные размеры, соизмеримые с
размером модели. Зависимость относительно-
го теплового потока к поверхности цилиндри-
ческих моделей с плоским затуплением,
имеющих диаметр d = 14, 20, 30 и 40 мм, при
диаметре выходного сечения сопла подогрева-
теля D = 20 мм приведена на рис. 9.7.6. Зна-
чения тепловых потоков, измеренные в окре-
560
Глава 9.7. МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОГО ПОТОКА
Рис. 9.7.5. Изменение относительной скорости
по образующей плоского торца цилиндра
при его обтекании дозвуковой струей:
Рис. 9.7.6. Зависимость теплового потока Qq от отно-
шения диаметра сопла D к диаметру модели d
Одной из причин, вызывающих увели-
чение теплового потока в окрестности точки
торможения модели, обтекаемой дозвуковым
потоком, может быть турбулизация потока. В
высокотемпературных струях, получаемых с
помощью электродугового нагрева, причиной
турбулизации потока может быть способ на-
грева газа электрической дугой. Например,
пульсации температуры и давления в струе
могут происходить из-за колебаний электри-
ческих параметров. На рис. 9.7.7 приведены
результаты исследования влияния степени
турбулентности Ти набегающего на модель
дозвукового потока на интенсивность тепло-
обмена в районе точки торможения при чис-
лах Рейнольдса Re = (1,4+2,2) • 105. Под сте-
пенью турбулентности Ти понимается отно-
шение среднеквадратичной пульсационной
составляющей скорости к скорости исте-
кающей струи. Из рисунка следует, что зна-
чения тепловых потоков в районе точки тор-
можения могут в 1,5-2 раза превышать рас-
четные.
При измерении температуры
набегающего потока широко применяются
спектрально-оптические методы, для чего
необходимо предварительно исследовать спек-
тральные характеристики потока.
Известны абсолютный и относительный
спектроскопические методы измерения. С
помощью их можно отдельно измерить тем-
пературы нейтральных частиц, ионов и элек-
тронов. Эти температуры совпадают только в
случае термодинамического равновесия.
Измерение температуры по абсолютной
интенсивности спектральных линий связано с
большими трудностями, обусловленными в
большинстве случаев отсутствием данных по
вероятностям переходов, необходимостью
дополнительного измерения или расчета аб-
солютной концентрации атомов и использо-
ванием достаточно надежного эталонного ис-
стности точки торможения для указанных диа-
метров, отнесены к значению теплового потока
для модели диаметром 14 мм. Видно, что при
увеличении диаметра модели от 14 до 40 мм
тепловой поток уменьшается примерно на 8 %.
Так как величина теплового потока в окрест-
ности точки торможения при прочих равных
условиях пропорциональна ^(due/dx)0 , то
по значениям теплового потока можно судить
об изменении градиента скорости в точке тор-
можения при изменении относительных разме-
ров среза сопла подогревателя и диаметра мо-
дели.
Обычно на практике при испытаниях
теплозащитных материалов отношение d/D
лежит в пределах 1-1,5.
Рис. 9.7.7. Зависимость теплового потока в точке тор-
можения модели q3 от степени турбулентности Ти
набегающего дозвукового потока
( Qq - тепловой поток при Ти = 0)
МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОГО ПОТОКА
561
точника. Эти затруднения отпадают при из-
мерении температуры по относительной ин-
тенсивности спектральных линий.
Температуру струи можно также опреде-
лить, используя уравнение Саха для ионизи-
рованного газа, связывающее число электро-
нов, ионов и нейтральных атомов с темпера-
турой.
Наиболее широкое распространение в
последнее время получила методика измере-
ния плотности ионов и электронов по ушире-
нию водородных линий серии Бальмера.
Важной характеристикой газового пото-
ка является его скорость. Помимо
обычных газодинамических методов ее опре-
деления (с помощью трубки Пито) для изме-
рения локальной скорости применяется метод
фоторегистрации (фоторазвертки) неоднород-
ностей плазменной струи. Он основан на том,
что газ на выходе из сопла подогревателя со-
стоит из чередующихся горячих и относи-
тельно более холодных областей. Светимость
газа резко меняется с изменением температу-
ры. При измерении скорости этим методом
движение потока осуществляется перпендику-
лярно перемещению кинопленки, в результа-
те чего на ней получаются наклонные следы.
Определение скорости струи сводится к изме-
рению угла наклона следов неоднородностей
при известной линейной скорости перемеще-
ния пленки и масштабе изображения.
На процесс термического разрушения
теплозащитных материалов большое влияние
оказывает распределение давления на разру-
шающейся поверхности. Знание его необхо-
димо для определения силового воздействия
потока на поверхность модели. Кроме того,
по измеренному распределению давления
можно найти значение градиента скорости в
окрестности точки торможения, знание кото-
рого необходимо при расчете теплового потока.
Измерение температуры на
поверхности разрушающе-
гося теплозащитного покрытия
оптическими методами имеет следующие от-
личительные особенности:
образец находится в горячей струе, ко-
торая может испускать и поглощать излуче-
ние;
на поверхности моделей существует по-
граничный слой, в котором присутствуют
пары разрушающегося материала, которые
испускают и поглощают излучение.
Поэтому, прежде чем приступать к из-
мерениям температуры моделей, необходимо
иметь данные о спектре пропускания струи и
о спектре излучения паров в пограничном
слое. Это позволит найти окна прозрачности,
т. е. спектральные интервалы, где интенсив-
ности излучения и поглощения пограничного
слоя и самой струи малы и где можно надеж-
но измерять температуру поверхности модели.
Среди оптических методов определения
температуры поверхности наиболее распро-
страненными являются яркостный и цветовой
методы: = Г-1 --^-1пех (табл. 9.7.1) и
С1
= Г-1 - 1п(еХ1 / %) / [с2 (I / X, -1 / Х2)]
(табл. 9.7.2). Они успешно применяются для
измерений температуры образцов теплоза-
щитных материалов в электродуговых уста-
новках.
При использовании фотоэлектрического
варианта яркостного и цветового методов с
применением пирометров появляется воз-
можность непрерывного контроля температу-
ры модели в выбранных участках спектра.
Вследствие этого испытания образцов можно
проводить по заданной заранее программе.
Кроме того, при фотоэлектрических измере-
ниях с использованием малоинерционных
спектрометров появляется возможность не-
прерывного сканирования по длинам волн
всего спектра излучения в целом.
В этой связи заслуживает внимания ме-
тод оценки температуры поверхности без оп-
ределения Ех- В этом методе абсолютные
интенсивности излучения регистрируются в
широком интервале длин волн Х=0,4-г 15
мкм. Затем спектр излучения наносится на
сетку кривых излучения черного тела. Кривая
черного тела, которая касается эксперимен-
тальной кривой излучения и лежит выше ее
при всех других длинах волн, дает макси-
мальную яркостную температуру, которая
является нижним пределом температуры раз-
рушающейся поверхности. Почти каждый
материал имеет, по крайней мере, одну об-
ласть длин волн, в которой его степень чер-
ноты близка к единице (е^ «0,95) независи-
мо от температуры поверхности. Для таких
оксидов, как окись магния, двуокись цирко-
ния и окись бериллия, область максимальных
значений ех находится между 8 и 10 мкм, у
металлов - в ультрафиолетовой области, у
термопластов (фторопласт, полиэтилен) высо-
кая степень черноты наблюдается при X > 3
мкм.
С ростом X значение яркостной темпе-
ратуры все более удаляется от истинной, и
при X > 3 мкм, даже если ех « 0,95, погреш-
ность в определении температуры разрушения
может быть весьма значительной.
Разработка методов измерения истинной
температуры поверхности, является наиболее
сложной проблемой пирометрии, так как свя-
зана с трудностями, имеющими принципи-
альный характер.
562
Глава 9.7. МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОГО ПОТОКА
9.7.1. Яркостная температура образца Тя при различных истинных температурах Г,
длинах волн X и степени черноты
т, к Тя , К при 1, мкм
0,30 0,45 0,66 1,00
1800 1700 1653 1590 1500 0,2
1741 1712 1675 1620 0,4
1766 1750 1730 1695 0,6
1786 1780 1770 1753 0,8
1800 1800 1800 1800 1,0
2000 1872 1820 1744 1634 0,2
1928 1892 1845 1774 0,4
1956 1940 1910 1866 0,6
1980 1972 1960 1940 0,8
2200 2050 1990 1890 1762 0,2
2110 2070 2010 1930 0,4
2145 2120 2090 2040 0,6
2180 2160 2150 2125 0,8
2400 2220 2140 2040 1892 0,2
2300 2250 2180 2080 0,4
2340 2310 2280 2215 0,6
2380 2360 2345 2320 0,8
2600 2390 2300 2140 2010 0,2
2480 2420 2345 2230 0,4
2530 2500 2460 2385 0,6
2570 2560 2540 2500 0,8
2800 2560 2455 2320 2130 0,2
2660 2595 2510 2380 0,4
2720 2680 2630 2545 0,6
2770 2750 2720 2680 0,8
3000 2725 2610 2460 2245 0,2
2840 2770 2665 2520 0,4
2910 2865 2805 2710 0,6
2965 2940 2920 2870 0,8
Общеизвестный способ определения
температуры с помощью сверления глубокой
выемки в образцах (полости "черного тела")
не может быть использован, так как для раз-
рушающих теплозащитных материалов харак-
терны высокие температурные градиенты в
поверхностном слое (1000 К/мм). Тем самым
температура на поверхности всегда выше, чем
внутри полости. Поэтому для измерений ис-
тинной температуры поверхности можно
применять лишь методы, основанные на ис-
пользовании стороннего источника света (для
непрозрачных материалов).
В одних случаях сторонний источник
света используется для того, чтобы воспол-
нить существующий недостаток "черноты из-
МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОГО ПОТОКА
563
9.7.2. Цветовая температура образца при различных значениях истинной температуры Т
и отношения степени черноты е^ /е^ для красно-синего диапазона спектра
(Х| = 0,66 мкм; Хз ~ 0’46 мкм)
т, к Тцв , К при EXl /еХ2
0,90 0,925 0,95 0,975 1,000 1,025 1,050 1,075 1,10
1800 1840 1830 1820 1810 1800 1790 1785 1778 1770
2000 2045 2035 2020 2010 2000 1990 1980 1970 1960
2200 2250 2240 2220 2210 2200 2185 2180 2160 2150
2400 2470 2450 2440 2420 2400 2390 2370 2360 2350
2600 2680 2660 2640 2620 2600 2585 2570 2550 2540
2800 2900 2865 2840 2820 2800 2780 2765 2740 2720
3000 3110 3080 3050 3025 3000 2980 2960 2940 2920
лучения" поверхности и тем самым ис-
кусственно имитировать на поверхности усло-
вия, соответствующие излучению черного
тела (метод обращения для самоизлучающей
поверхности). Яркостная температура, изме-
ренная в момент обращения, соответствует
истинной температуре.
В других случаях сторонний источник
света используется для того, чтобы измерить
коэффициент отражения, а следовательно,
поверхности (рефлектометрический метод).
Если при этом одновременно измерить также
и Тя образца, то значение истинной темпе-
ратуры получается расчетом по формуле для
яркостной температуры.
Температура внутри ма-
териала может служить важнейшей ис-
ходной информацией.
Широкое применение для измерения тем-
пературных полей получил контактный метод, в
котором чувствительный элемент (термопара)
находится в непосредственном соприкосновении
с теплозащитным материалом.
Особо важное значение отводится оцен-
ке возможных погрешностей измерения. Это
связано с тем, что при исследовании прогрева
теплозащитных материалов возникают допол-
нительные специфические источники по-
грешностей, обусловленные:
существенным различием коэффициен-
тов теплопроводности термопары и самого
материала (например, при Т = 300 К тепло-
проводность хромель-алюмелевой термопары
больше теплопроводности стеклопластиков
почти на два порядка);
происходящими в материале при нагреве
физико-химическими превращениями.
К основным возможным источникам
погрешности при измерении нестационарных
температурных полей внутри теплозащитных
материалов следует отнести:
неточность градуировочной характери-
стики термопары;
отклонение характеристики термопары
от стандартной (градуировочной) из-за воз-
действия продуктов разложения теплозащит-
ных материалов при высоких температурах;
некачественное изготовление спая (осо-
бенно у высокотемпературных термопар типа
вольфрам-вольфрамрениевых) и ненадежность
теплового контакта термопары с исследуемым
материалом;
искажение температурного поля в ре-
зультате теплообвода по термоэлектродам и
наличие инородного тела (термопары) внутри
материала;
шунтирование термопары в электропро-
водящей зоне (характерно для коксующихся
теплозащитных материалов).
В настоящее время для измерений
в основном используются следующие термо-
пары: вольфрам-вольфрамрениевые (ВР5/20,
ВР5/20) до 2400-2500 К, платино-платино-
родиевые (Pt/PtRh) до 1800-1900 К, хромель-
алюмелевые (ХА) до 1600-1700 К, хромель-
копелевые (ХК) - до 1100 К и некоторые
другие.
Проведем краткий анализ перечислен-
ных выше погрешностей. Первая группа зави-
сит от метода градуировки и легко опреде-
ляется по ГОСТу для данного типа термопа-
ры. Например, для ХА при Т = 1600 К она
составляет 0,7 %, а для ВР5/20 при Т = 2300
К - 1 %. Вторая обусловливает одноразовое
кратковременное использование термопар
при наличии разлагающихся материалов. Сле-
дующую погрешность обычно сводят к мини-
муму, используя стыковую сварку термоэлек-
тродов и применяя специальные способы
размещения термопар внутри материала (до
564
Глава 9.7. МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОГО ПОТОКА
или после полимеризации материала). При
этом важным является контроль качества за-
делки и определение координаты расположе-
ния термопары с помощью рентгеноскопии.
Последние две группы погрешностей
наиболее специфичны для измерений темпе-
ратуры внутри теплозащитных материалов.
Искажение температурного поля связано с
различием теплофизических свойств теплоза-
щитного материала и термопары, а также
большими градиентами температуры по глу-
бине, характерными для условий работы по-
крытия. Практически при измерении темпе-
ратуры внутри теплозащитных материалрв без
специально предусмотренных мер величина
рассматриваемой погрешности может дости-
гать 15 % и более. Для уменьшения этой по-
грешности обычно используют микротермо-
пары и располагают их в материале так, чтобы
часть термопары со спаем общей длиной /
лежала в изотермической плоскости (рис.
9.7.8). На основании решения трехмерной
задачи теплопроводности с переменными
теплофизическими свойствами и эксперимен-
тальных исследований, в которых измерялось
распределение температуры вдоль термоэлек-
трода, можно рекомендовать для ХА термопар
брать параметр l/d^. 30, а для ВР5/20 термо-
пар l/d >50 (d - диаметр термоэлектрода).
Последняя группа погрешностей харак-
терна для коксующихся материалов, когда-
материал по достижении некоторого значения
температуры Гн п (температуры начала про-
водимости) становится электропроводным.
Полностью исключить эту погрешность при
Т > 1800 К, не нарушив истинного распреде-
ления температуры внутри тепловой защиты,
19
I
п
Рис. 9.7.8. Схема расположения термопар
внутри теплозащитного покрытия:
П - поверхность разрушающегося покрытия;
1 - электропроводящий слой кокса;
2 - прококсованный слой, 3 - прогретый материал;
4 - исходный материал; 5 - термоэлектроды
Рис. 9.7.9. Зависимость погрешности
измерения температуры внутри
коксующегося материала от диаметра термопары:
1 - погрешность градуировки термопары;
2 - погрешность тарировки и расшифровки
осциллограммы; 3 - погрешность, связанная с
искажением температурного поля при введении в
материал инородного тела и с оттоком теплоты по
термоэлектродам; 4 - погрешность шунтирования;
5 - суммарная погрешность
невозможно, так как при температурах выше
1800-1900 К у всех существующих электро-
изоляционных покрытий удельное сопроти-
вление значительно уменьшается. В настоя-
щее время считается предпочтительным ис-
пользовать в высокотемпературной зоне тер-
мопары ВР5/20 без электроизоляционного
покрытия, при этом для конкретных условий
нагрева их диаметр следует выбирать исходя
из минимума погрешности, связанной с шун-
тированием электродов и остальными рас-
смотренными выше процессами (рис. 9.7.9).
Для оценки влияния шунтирования
можно рекомендовать расчетно эксперимен-
тальную методику, согласно которой погреш-
ность измерения для частного случая / =0
определяется выражением
8Г = ДГ£(1-7),
где
Р..
5 ’
5 Г - разность между истинной (Гист) и
измеренной в сечении х = 0 температурой;
Д7д - разность между Гист (х = 0) и темпе-
МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОГО ПОТОКА
565
ратурой, соответствующей началу проводимос-
ти системы электрод - кокс - электрод ( Тн п );
р - удельное сопротивление материала тер-
моэлектродов; S - площадь поперечного сече-
ния термоэлектродов; L - толщина электро-
проводящего слоя кокса; RK - сопротивление
электропроводящего слоя кокса.
Температура Тн п зависит от темпа
нагрева b и при b £50 К/с достигает
1600-1800 К.
В случае / * 0 формула несколько
усложняется из-за появления добавочного
члена, обусловленного наличием изотермиче-
ского участка термопары.
При исследовании коксующихся мате-
риалов целесообразно использовать термопа-
ры диаметром 0,1-0,2 мм. При исследовании
материалов типа полиэтилена уменьшение
диаметра используемых термопар может быть
ограничено их механической прочностью.
В случае изготовления термопар способом
напыления следует учитывать возможное из-
менение термо-ЭДС при толщине напылен-
ного термоэлектрода, соизмеримой с длиной
свободного пробега электрона.
Унос покрытия. Для измерения скорости
линейного разрушения образцов теплозащит-
ных материалов используются как оптиче-
ские, так и различные физические методы.
Фотографирование в собственном или прохо-
дящем от стороннего источника свете дает
большой объем информации не только о пе-
ремещении локальных точек образца при его
разрушении, но и о динамике изменения
формы поверхности, что очень важно для
введения поправки на изменение градиента
скорости р или теплового потока , зави-
сящего от формы тела (см. рис. 9.5.3).
Фотографирование во многих случаях
затруднено либо из-за непрозрачности потока
для оптического излучения, либо из-за за-
светки изображения парами теплозащитного
материала. Как выход из положения можно
рассматривать обмер образца до и после экс-
перимента. Однако этот способ не применим
в случае нестационарного разрушения. Кроме
того, некоторые материалы, особенно на ор-
ганических связующих, могут "распухать" в
начальной стадии экспонирования, что вно-
сит значительную погрешность в измерения
толщины унесенного слоя по методу "до и
после" испытания. Аналогичные ошибки воз-
никают при определении уноса массы с по-
мощью взвешивания образцов (потеря массы
образца содержит две составляющие: поверх-
ностное разрушение и объемное - за счет
термического разложения отдельных компо-
нент, например органического связующего).
Термопары и световоды, заделанные на
различных глубинах от исходной поверхности
образца, также используются для получения
информации о скорости перемещения по-
верхности разрушения. Однако отождествить
момент обнажения спая термопары и торца
световода оказывается не всегда возможным.
Известны случаи измерения скорости разру-
шения термопластичных материалов с по-
мощью микротермопар. Толщина термоэлек-
тродов составляла не более 10 мкм, в резуль-
тате чего после выхода на разрушающуюся
поверхность они оставались прижатыми к
поверхности набегающим газовым потоком.
Измерения скорости перемещения по-
верхности разрушения с помощью рентгенов-
ской техники или методом меченых атомов
широко применяются в гетерогенных пото-
ках, где уровень прозрачности окружающей
среды не позволяет проводить фотографиро-
вание в оптическом диапазоне. К сожалению,
оба эти метода требуют серьезной доводки
для повышения четкости изображения по-
верхности на фотопластинке.
Вариантом дистанционного зондирова-
ния является радиолокационный метод, при-
чем радиопередатчик может находиться в
толще исследуемого материала, а источником
его питания служит сигнал от термопары или
калориметра.
566
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абрамович Г. Н. Прикладная газовая
динамика. 4-е изд. испр. и доп. М.: Наука,
1975. 888 с.
2. Алемасов В. Е., Дрегалин А. Ф., Ти-
шин А. П. Теория ракетных двигателей. М.:
Машиностроение, 1989. 463 с.
3. Алифанов О. М. Обратные задачи
теплообмена. М.: Машиностроение, 1988.
280 с.
4. Белов И. А., Кудрявцев Н. А. Тепло-
отдача и сопротивление пакетов труб. Л.:
Энергоиздат, 1987. 222 с.
5. Блох А. Г., Журавлев Ю. А., Рыж-
ков Л. Н. Теплообмен излучением: Справоч-
ник. М.: Энергоатомиздат, 1991. 431 с.
6. Волков Э. П., Зайчик Л. И., Першу-
ков В. А. Моделирование горения твердого
топлива. М.: Наука, 1994. 320 с.
7. Галин П. М., Кириллов П. Л. Тепло-
массообмен (в ядерной энергетике). М.:
Энергоиздат, 1987. 375 с.
8. Дейч М. Е., Филиппов Г. А. Газоди-
намика двухфазных сред. 2-е изд. М.: Энерго-
издат, 1981.
9. Иевлев В. М. Турбулентное движение
высокотемпературных сплошных сред. М.:
Наука, 1975. 256 с.
10. Исаченко В. П., Осипов В. А., Суко-
мел А. С. Теплопередача. М.: Энергия, 1981.
416 с.
11. Калинин Э. К., Дрейцер Г. А., Яр-
хо С. А. Интенсификация теплообмена в ка-
налах. М.: Машиностроение, 1990. 200 с.
12. Карташев Э. М. Аналитические ме-
тоды в теории теплопроводности твердых тел.
М.: Высшая школа, 1985. 480 с.
13. Кириллин В. А., Сычев В. В.,
Шейндлин А. Е. Техническая термодинамика.
4-е изд. М.: Энергоатомиздат, 1983.
14. Кириллов П. Л., Юрьев Ю. С., Боб-
ков В. П. Справочник по теплогидравличе-
ским расчетам. М.: Энергоатомиздат, 1984.
295 с.
15. Кутателадзе С. С., Накоряков В. Е.
Тепломассообмен и волны в газожидкостных
системах. Новосибирск: Наука, 1984. 300 с.
16. Кутателадзе С. С. Основы теории
теплообмена. М.: Атомиздат, 1979. 416 с.
17. Кутателадзе С. С., Леонтьев А. И.
Теплообмен и трение в турбулентном погра-
ничном слое. М.: Энергоатомиздат, 1985.
320 с.
18. Леонтьев А. И., Волчков Э. П., Лебе-
дев В. В. и др. Низкотемпературная плазма.
Т. 15. Тепловая защита стенок плазмотронов.
Новосибирск: Ин-т теплофизики СО РАН,
1995. 336 с.
19. Лойцянский Л. Г. Механика жид-
кости и газа: Учебник для вузов. 6-е изд.,
исправ. и доп. М.: Наука, 1987. 840 с.
20. Локай В. И. Бодунов М. Н., Жуй-
ков В. В., Щукин А. В. Теплопередача в
охлаждаемых деталях газотурбинных двигате-
лей летательных аппаратов. М.: Машино-
строение, 1985. 211 с.
21. Лыков А. В. Теория теплопровод-
ности. М.: Высшая школа, 1967. 599 с.
22 Михеев М. А. Основы теплопередачи.
М.: Госэнергоиздат, 1956. 599 с.
23. Новиков И. И. Термодинамика. М.:
Машиностроение, 1984. 592 с.
24. Новиков И. И., Воскресенский К. Д.
Прикладная термодинамика и теплопередача.
М.: Атомиздат, 1977. 349 с.
25. Основы теплопередачи в авиацион-
ной и ракетно-космической технике: Учебник
для вузов / В. С. Авдуевский, Б. М. ГалицеЙ-
ский, Г. А. Глебов и др. М.: Машинострое-
ние, 1992. 519 с.
26. Панкратов Б. М., Полежаев Ю. В.,
Рудько А. К. Взаимодействие материалов с
газовыми потоками. М.: Машиностроение,
1976. 224 с.
27. Петухов Б. С. Теплообмен в движу-
щейся однофазной среде. М.: Изд-во МЭИ,
1993. 350 с.
28. Петухов Б. С., Генин Л. Г., Кова-
лев С. А. Тепломассообмен в ядерных энерге-
тических установках. М.: Энергоатомиздат,
1986. 470 с.
29. Полежаев Ю. В., Шишков А. А. Газо-
динамические испытания тепловой защиты:
Справочник. М.: Промедэк, 1992. 248 с.
30. Полежаев Ю. В., Юревич Ф. Б. Теп-
ловая защита. М.: Энергия, 1976. 391 с.
31. Присняков В. Ф. Кипение. Киев:
Наукова Думка, 1988. 238 с.
32. Седов Л. И. Методы подобия и раз-
мерности в механике. М.: Энергия, 1969.
312 с.
33. Репухов В. М. Теория тепловой за-
щиты стенки вдувом газа. Киев: Наукова
Думка, 1980. 296 с.
34. Справочник по теплообменникам в
2-х томах: Пер. с англ, под ред. Б. С. Петухо-
ва, О. Г. Мартыненко и др. М.: Энергоато-
миздат, 1987. 560 и 352 с.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
567
35. Стырикович М. А., Мартынова О. И.,
Миропольский 3. Л. Процессы генерации пара
на электростанциях. М.: Энергия, 1962. 312 с.
36. Сударев А. В., Антопольский В. И.
Камера сгорания газотурбинных установок.
Теплообмен. М.: Машиностроение, 1985.
272 с.
37. Теоретические основы теплотехники.
Теплотехнический эксперимент. Справочник
под ред. В. А. Григорьева и В. М. Зорина.
2-е изд. М.: Энергоатомиздат, 1988. 560 с.
38. Теория тепломассообмена / Под ред.
А. И. Леонтьева. М.: МГТУ, 1997. 683 с.
39. Теплотехника. Под ред. В. И. Круто-
ва. М.: Машиностроение, 1986. 432 с.
40. Термодинамические и теплофизиче-
ские свойства твердых ракетных топлив и их
продуктов сгорания / Под ред. В. Е. Алемасо-
ва. М.: Изд-во МО СССР, 1977. 318 с.
41. Термодинамические свойства индиви-
дуальных веществ. Справочник в 4-х томах
под ред. В. П. Глушко. М.: Наука, 1988.
42. Техническая термодинамика. Под
ред. В. И. Крутова. М.: Высшая школа, 1981.
472 с.
43. Шлихтинг Г. Теория пограничного
слоя: Пер. с нем. М.: Наука, 1974. 712 с.
44. Юдаев Б. Н. Техническая термоди-
намика. Теплопередача. Учеб, для неэнерге-
тич. спец, втузов. М.: Высшая школа, 1988.
479 с.
45. Яненко Н. Н., Солоухин Р. И., Папы-
рин А. Н., Фомин В. М. Сверхзвуковые двух-
фазные течения в условиях скоростной не-
равновестности частиц. Новосибирск, "Нау-
ка", 1980. 160 с.
46. International Encyclopedia of Heat and
mass Transfer. Ed. by G. F. Hewitt, G. L. Shires
and Y. V. Polezhaev. CRC Press. USA, 1977,
1327 p.
47. Van de Hulst H. C. Light Scattering by
Small Particles, Wiley, New York, 1957 (Ван де
Хюлст Г. Рассеяние света малыми частицами.
М.: Изд. иностр, лит., 1961.)
ТЕРМИНОЛОГИЯ
Исследованием теплообмена и термоди-
намики занимаются специалисты различных
школ и направлений, поэтому существует
потребность единого толкования и понима-
ния основных понятий и представлений.
Предлагаемый ниже словарь, не претендую-
щий на абсолютную строгость и полноту,
имеет своей целью исключить неоднознач-
ность и нечеткость понимания важнейших
терминов, часто используемых в данном томе.
Автомодельные переменные - специально
подобранная комбинация физических незави-
симых переменных (координат, времени) и
определяющих параметров процесса, позво-
ляющая уменьшить число независимых пере-
менных профиля скорости, температуры или
концентрации. Режим течения процесса на-
зывается автомодельным, если он описывает-
ся с помощью автомодельных переменных.
Адиабатный процесс совершается в физи-
ческой системе, не получающей теплоту извне
и не отдающей ее, т. е. отсутствует теплооб-
мен рабочего тела с внешней средой.
Аналогия (дословно "сходство") - сопос-
тавление одного физического процесса с по-
добным ему процессом другой физической
природы. Существуют два вида аналогий.
Первый основан на единстве математического
описания процессов (аналогия Рейнольдса,
аналогия между тепло- и массообменом).
Второй вид требует интуитивного выделения
определяющего физического явления, на ос-
новании которого и проводится сопоставле-
ние двух разнородных процессов.
Атомная электростанция - электростан-
ция, в которой ядерная энергия преобразуется
в электрическую.
Аэродинамический нагрев - нагрев по-
верхности тела, движущегося в воздухе со
скоростями, существенно превышающими
скорость звука-. При столкновении тела с мо-
лекулами газа происходит постепенный пере-
ход кинетической энергии тела в тепловую
энергию газа. В зависимости от формы тела
большая часть теплоты может выделиться
либо в сжатом слое за ударной волной, либо
непосредственно у поверхности тела в погра-
ничном слое. Максимальная температура, до
которой может нагреться газ в окрестности
движущегося тела, близка к так называемой
температуре торможения. Уже при скорости
палета, втрое превышающей скорость звука,
перепад температур между газом и поверхно-
стью тела достигает почти 500 К. Этот пере-
пад в дальнейшем увеличивается пропорцио-
нально квадрату скорости полета, поэтому
передача теплоты от газа к телу происходит не
только за счет конвективной, но и за счет
радиационной теплоотдачи. Защита от аэро-
динамического нагрева составляет серьезную
проблему в ракетной технике. В литературе
термин аэродинамический нагрев иногда рас-
пространяют на случай обтекания тела газом
произвольного состава (а не только воздухом).
Бинарный цикл - термодинамический
цикл, осуществляемый двумя рабочими телами.
Вдув - процесс подачи газа в погранич-
ный слой набегающего потока по нормали к
проницаемой поверхности тела. Термин
"проницаемая" подразумевает поверхность с
бесконечно большим числом отверстий, рас-
стояние между которыми много меньше тол-
щины пограничного слоя над ней. Вдув газа
эффективно перестраивает течение в погра-
ничном слое, уменьшая градиенты скорости,
температуры и концентрации, что, в конеч-
ном счете, снижает тепловые и диффузионные
потоки к стенке, а также величину трения.
Вентиляция - регулируемый воздухооб-
мен в помещениях.
Вторичные энергетические ресурсы -
энергетический потенциал отходов, побочных
и промежуточных продуктов, образующихся в
технологических агрегатах (установках), кото-
рый не используется в самом агрегате, но
может быть частично или полностью исполь-
зован для энергоснабжения других агрегатов.
Вынужденная конвекция возникает под
действием внешних поверхностных сил, при-
ложенных на границах системы, или под дей-
ствием однородного поля массовых сил, дей-
ствующих в жидкости внутри системы. Выну-
жденная конвекция может осуществляться
также за счет запаса кинетической энергии,
полученной жидкостью вне рассматриваемой
системы.
Газотурбинная установка - конструктив-
но-объединенная совокупность газовой тур-
ТЕРМИНОЛОГИЯ
569
•ины, компрессора, камеры сгорания, газо-
оздушного тракта, системы управления и
вспомогательных устройств.
Газотурбинный двигатель - тепловая ма-
шина, предназначенная для преобразования
жергии сгорания топлива в кинетическую
•нергию реактивной струи и (или) в механи-
<ескую работу на валу двигателя, основными
Дементами которой являются компрессор,
.амера сгорания и газовая турбина.
Гиперзвуковое обтекание * обтекание тела
потоком газа с такой скоростью, при которой
за ударной волной газ уже нельзя считать
однородной средой. Так, при скоростях обте-
кания воздухом, в шесть раз превышающих
скорость звука, температура торможения ока-
зывается достаточной, чтобы началась интен-
сивная диссоциация молекул кислорода.
Горение - химический процесс соедине-
ния топлива с окислителем, сопровождаю-
щийся интенсивным тепловыделением и рез-
ким повышением температуры продуктов
сгорания.
Градиент температуры - вектор, численно
равный производной от температуры по на-
правлению нормали к изотермной поверхности.
Двигатель внутреннего сгорания - тепло-
вой двигатель, внутри которого происходит
сжигание топлива и преобразование части вы-
делившейся теплоты в механическую работу.
Деструкция (полимеров) - разрушение
макромолекул под действием теплоты, влаги,
света и т. д. В результате деструкции происхо-
дит уменьшение молекулярной массы поли-
мера, часто сопровождаемое изменением аг-
регатного состояния (переход из твердого в
жидкое или газообразное состояние). Обычно
в полимере происходит одновременно не-
сколько видов деструкционных процессов, но
применительно к теплозащитным покры-
тиям - это термическая и термоокислительная
деструкция.
Диссоциация - процесс распада молекул
газа на несколько более простых частиц
(молекул, атомов, радикалов или ионов). Сре-
ди различных видов диссоциации для целей
данной книги важна лишь термическая дис-
социация, происходящая при повышении
температуры. Количественной характеристи-
кой диссоциации служит степень диссоциа-
ции - отношение числа распавшихся молекул
к их общему числу.
Диффузионный или молекулярный перенос
массы - перенос массы, обусловленный диф-
фузией.
Диффузионный режим разрушения - ре-
жим поверхностного разрушения теплозащит-
ных покрытий, скорость которого определяет-
ся скоростью диффузии химически активных
компонент набегающего газового потока в
пограничном слое. Характерной чертой этого
режима разрушения является слабая зависи-
мость безразмерной скорости уноса массы от
температуры поверхности.
Диффузия (дословно "растекание") - вза-
имное проникновение соприкасающихся ве-
ществ друг в друга вследствие теплового дви-
жения частиц. Диффузия происходит в на-
правлении падения концентрации и ведет к
выравниванию распределения вещества в объ-
еме, но может быть и следствием неравно-
мерных полей температуры, давления и дру-
гих параметров. В пограничном слое много-
компонентного газа определяющее значение
имеет в основном концентрационная диффу-
зия.
Естественная (свободная) конвекция воз-
никает под действием неоднородного поля
внешних массовых сил (сил гравитационного,
инерционного, магнитного или электриче-
ского поля), приложенных к частицам жидко-
сти внутри системы.
Закон Кирхгофа: отношение плотности
потока излучения серого тела к его поглоща-
тельной способности не зависит от природы
тела и равно плотности потока излучения абсо-
лютно черного тела при той же температуре.
Закон Стефана - Больцмана: плотность
потока излучения абсолютно черного тела
пропорциональна четвертой степени абсолют-
ной температуры.
Изобарный процесс - процесс, происхо-
дящий в физической системе при постоянном
внешнем давлении.
Изотермный процесс - процесс, происхо-
дящий в физической системе при постоянной
температуре.
Изохорный процесс - процесс, происхо-
дящий в физической системе при постоянном
объеме.
Испарение - одно из проявлений физи-
ко-химического превращения, при котором
вещество со свободной поверхности жидкости
переходит в газообразное состояние. Этот
переход сопровождается поглощением тепло-
вой энергии - теплоты испарения AQV. При
каждом заданном значении температуры меж-
ду жидкостью и ее паром может установиться
равновесие, характеризуемое определенной
величиной давления насыщенного пара. В
этом случае расход вещества, испаряющегося
19 3.IK. 488
570
ТЕРМИНОЛОГИЯ
с поверхности, равен расходу вещества, пере*
ходящего обратно из газа в жидкость. По-
следний процесс называется конденсацией.
Кинетика химическая - учение о скоро-
сти химической реакции, являющееся одним
из разделов физической химии. Химическая
реакция может протекать гомогенно, т. е. в
объеме фазы, и гетерогенно, т. е. на границе
раздела фаз. Под кинетикой реакции пони-
мают зависимость скорости данной реакции
от концентрации веществ, температуры и
других параметров.
Кинетический режим разрушения - режим
поверхностного разрушения теплозащитных
покрытий, подвергнутых конвективному или
радиационному тепловому воздействию, ско-
рость которого в основном определяется ки-
нетикой реакции взаимодействия вещества
покрытия и химически активных компонент
набегающего газового потока. Характерной
чертой этого режима разрушения является
сильная (экспоненциальная) зависимость
скорости уноса массы от температуры. В от-
личие от режима сублимации скорость разру-
шения здесь существенно зависит от содержа-
ния в потоке химически активных компонент.
Частным случаем кинетического режима, ко-
гда реакция имеет нулевой порядок, может
считаться деструкция полимеров.
Конвективный тепловой поток - мера ин-
тенсивности (плотности) конвективного теп-
лообмена на поверхности тела, обтекаемого
высокотемпературным и высокоскоростным
потоком газа, равная количеству теплоты,
поступившему за единицу времени к единице
площади поверхности обтекаемого тела
(кВт/м2). Обобщая формулу Ньютона на слу-
чай обтекания тела диссоциированным или
ионизированным газовым потоком, конвек-
тивный тепловой поток к непроницаемой и
нереагирующей поверхности записывают в
виде: =(в/О>)0(Я,где (a/Q>)0 -
коэффициент теплообмена - является газоди-
намическим параметром теплообмена, т. е.
учитывает влияние распределения скорости в
набегающем потоке и режим течения в по-
граничном слое. Напротив, (Не - - пе-
репад энтальпий в пограничном слое - термо-
динамический параметр теплообмена, кото-
рый учитывает состав газа и температурный
напор в пограничном слое. Несмотря на ус-
ловность подобного разделения, оно широко
используется на практике и позволяет упро-
стить обработку результатов эксперименталь-
ных и теоретических исследований.
Конвективный теплообмен - в общем слу-
чае процесс переноса теплоты в жидкой или
газообразной среде с неоднородным распре-
делением скорости, температуры и концен-
трации, осуществляемый совместным дейст-
вием двух механизмов: перемещением макро-
скопических частиц среды и тепловым дви-
жением микрочастиц. Первый из этих меха-
низмов называется конвективным переносом,
тогда как второй - молекулярным. В свою
очередь применительно к теплообмену по-
следний механизм подразделяется на тепло-
проводность и диффузию. Влияние конвек-
тивного переноса на теплообмен проявляется
в зависимости от величины и направления
скорости течения среды, от профиля скорости
в потоке и от режима течения (ламинарного
или турбулентного). Влияние молекулярного
переноса на теплообмен проявляется в зави-
симости от состава и термодинамических и
переносных свойств компонент газового по-
тока. В технических приложениях иногда
проводят дальнейшее дифференцирование
терминов и используют понятия "теплоотдача"
и "теплопередача". Под теплоотдачей подра-
зумевают теплообмен между твердым телом и
омывающей его жидкой или газообразной
средой, теплопередачей - теплообмен между
жидкими или газообразными средами, разде-
ленными твердой стенкой.
Кондиционирование - создание и автома-
тическое поддержание в закрытых помещени-
ях температуры, относительной влажности,
чистоты, состава, скорости движения воздуха.
Константы подобия - отношения одно-
родных физических величин в сходственных
точках модели и натурного объекта.
Котел - конструктивно объединенный в
одно целое комплекс устройств для получения
пара или для нагрева воды под давлением.
Котельная установка - совокупность кот-
ла и вспомогательного оборудования.
Коэффициент газификации (обозначается
Гу безразмерный) - одна из важнейших харак-
теристик процесса разрушения оплавляющих-
ся теплозащитных материалов, равная отно-
шению расхода массы в газообразном виде к
полному уносу массы. Обобщая на другие
классы теплозащитных материалов, коэффи-
циентом газификации называют параметр,
определяющий долю материала, унесенного в
газообразном виде.
Коэффициент избытка воздуха - отноше-
ние действительного количества воздуха, по-
даваемого для организации процесса горения,
к теоретически необходимому количеству.
ТЕРМИНОЛОГИЯ
571
Коэффициент облученности - отношение
потока излучения первого тела, падающего на
второе тело, к потоку полного полусфериче-
ского излучения первого тела.
Коэффициенты переноса - физические
параметры среды, характеризующие интен-
сивность протекания в ней тех или иных яв-
лений переноса (диффузия, теплопровод-
ность, вязкость). Введение коэффициентов
переноса основано на допущении о линейной
зависимости потоков массы, количества дви-
жения и энергии от градиентов концентра-
ции, скорости и температуры. Размерность
коэффициентов переноса: диффузии - м2/с,
теплопроводности - кВт/(м-К), вязкости -
(Па • с).
Критериальные уравнения подобия
функциональные зависимости между крите-
риями подобия, характеризующими явление.
Критерии подобия - безразмерные числа,
составленные из размерных физических вели-
чин, определяющих рассматриваемые физиче-
ские явления.
Ламинарное течение - упорядоченное те-
чение жидкости или газа, при котором они
перемещаются как бы слоями, параллельными
направлению течения. Особенно важное
практическое значение имеет ламинарное
течение в пограничном слое, образующемся
на поверхности тел при обтекании их газом
или жидкостью. С увеличением скорости те-
чения жидкости, начиная с некоторой точки
на поверхности тела, ламинарное течение
может перейти в неупорядоченное турбулент-
ное течение в пограничном слое.
Ламинарный режим течения - режим
движения жидкости, при котором возможны
стационарные траектории ее частиц.
Лучистый теплообмен - теплообмен, обу-
словленный превращением внутренней энер-
гии вещества в энергию электромагнитных
волн, распространением их в пространстве и
поглощением энергии этих волн веществом.
Массообмеи - самопроизвольный необ-
ратимый процесс переноса массы данного
компонента в пространстве с неоднородным
полем концентрации (химического потенциа-
ла). По аналогии с теплообменом на поверхно-
сти тела, обтекаемого высокотемпературным
газовым потоком, интенсивность массообмена
в многокомпонентном пограничном слое опи-
сывается формулой ji = е ’ где
р - коэффициент массообмена.
МГД-генератор - установка прямого
преобразования тепловой энергии в электри-
ческую в результате возникновения тока в
плазме, движущейся поперек магнитного поля.
Механизм разрушения - схематическая
модель поведения теплозащитного покрытия
в высокотемпературном и высокоскоростном
потоке газа, указывающая количество и вид
важнейших физико-химических процессов,
сопровождающих унос массы этого покрытия.
Механизм разрушения необходим для расчета
и сопоставления характеристик теплозащит-
ных покрытий в различных условиях.
Необратимый процесс - процесс, кото-
рый может самопроизвольно протекать только
в одном направлении.
Неравновесный процесс - процесс, вклю-
чающий неравновесные состояния.
Обратимым процессом называется такой
процесс, который может происходить как в
прямом, так и в обратном направлении, при-
чем при возвращении в первоначальное со-
стояние (при изменении внешних условий в
противоположной последовательности) систе-
ма проходит все равновесные состояния пря-
мого процесса, но в обратном порядке.
Оплавление - процесс разрушения стек-
лообразных материалов в высокотемператур-
ном и высокоскоростном газовом потоке. В
отличие от плавления при нагреве кристалли-
ческих веществ оплавление стеклообразных
или, в общем случае, аморфных веществ, не
имеющих фиксированной точки плавления,
характерно наличием двух фазовых превра-
щений: размягчением твердой фазы до жид-
кого состояния и переходом некоторой части
расплава в пар. Второе из указанных превра-
щений обусловлено сильной зависимостью
вязкости расплава от температуры и перегре-
вом внешней поверхности расплава относи-
тельно температуры размягчения (который
достигает в зависимости от уровня тепловых
потоков и сдвигающих напряжений несколь-
ких сотен градусов). Отношение уноса масс в
жидком и газообразном виде описывается
коэффициентом газификации.
Отопление - искусственный обогрев по-
мещений с целью возмещения в них тепловых
потерь и поддержания на заданном уровне
температуры, отвечающей чаще всего услови-
ям теплового комфорта для людей, а иногда
требованиям технологического процесса.
Охлаждение - отвод теплоты от тел и пере-
дача ее другим телам или в окружающую среду.
Параметры состояния - физические ве-
личины, однозначно характеризующие со-
стояние термодинамической системы и не
зависящие от предыстории системы.
19*
572
ТЕРМИНОЛОГИЯ
Параметры торможения (заторможенного
потока) * основные характеристики набегаю*
шего газового потока при исследовании рабо-
тоспособности тепловой защиты. Энтальпия
(или температура) торможения характеризует
уровень энергетического воздействия на мате-
риал, в частности, энтальпийный (темпе-
ратурный) напор в пограничном слое. Давле-
ние торможения определяет уровень силового
воздействия, а также при заданной форме
тела - величину коэффициента теплообмена.
Паровая и газовая турбины - турбины, в
которых в качестве рабочего тела использует-
ся соответственно пар и газ.
Парообразование - процесс перехода ве-
щества из конденсированной фазы (жидкой
или твердой) в газовую.
Паротурбинная установка - энергетиче-
ская установка, включающая паровые котлы и
паровые турбины.
Парциальное давление - давление, кото-
рое имел бы газ, входящий в состав газовой
смеси, если бы он один занимал объем, рав-
ный объему смеси при той же температуре.
Первая критическая плотность теплового
потока - максимально возможная (при данных
условиях) плотность теплового потока при
пузырьковом кипении.
Передача энергии в результате обмена
хаотическим, ненаправленным движением
микрочастиц называется теплообменом, а
количество передаваемой при этом энергии -
количеством теплоты, теплотой процесса или
теплотой.
Плазма - частично или полностью иони-
зованный газ, в котором плотности положи-
тельных и отрицательных зарядов практиче-
ски одинаковы.
Пленочная конденсация - образование
сплошной пленки конденсата на смачиваемой
поверхности.
Пленочный режим кипения - режим, при
котором на поверхности нагрева образуется
сплошная пленка пара, периодически проры-
вающегося в объем жидкости.
Плотность потока излучения - количество
энергии излучения, проходящее в единицу
времени через единицу площади поверхности
в пределах полусферического телесного угла.
Пограничный слой - тонкий слой над по-
верхностью обтекаемого газом тела, в котором
силы вязкости соизмеримы с инерционными
силами, а продольная составляющая скорости
изменяется от нуля до значения скорости
набегающего газового потока. За толщину
слоя выбирается такое расстояние, на кото-
ром скорость достигает 99 % своего значения
во внешнем потоке. Аналогично определяют-
ся пограничные слои для температуры и кон-
центрации.
Политропным процессом называется та-
кой термодинамический процесс изменения
состояния физической системы, при котором
в течение всего процесса сохраняется посто-
янство теплоемкости.
Пузырьковый режим кипения - режим,
при котором пар образуется в виде периоди-
чески зарождающихся и растущих пузырьков.
Рабочее тело - газообразное, жидкое или
плазменное вещество, с помощью которого
осуществляется преобразование какой-либо
энергии при получении механической работы,
холода, теплоты.
Равновесный процесс - процесс перехода
термодинамической системы из одного рав-
новесного состояния в другое, столь медлен-
ный, что все промежуточные состояния мож-
но рассматривать как равновесные.
Радиационный (лучистый) тепловой
поток - мера интенсивности (плотности) ра-
диационного теплообмена на поверхности
тела, обтекаемого высокотемпературным по-
током газа. Радиационный тепловой поток
дополняет (а в некоторых случаях и превосхо-
дит) конвективный тепловой поток по мере
того, как возрастают температура и плотность
излучающего газового объема. В отличие от
конвективного теплообмена интенсивность
радиационного воздействия возрастает при
увеличении размеров обтекаемого тела, экра-
нирующее действие вдуваемых паров очень
слабо зависит от их расхода.
Ракетный двигатель - двигатель, исполь-
зующий для работы только вещества и источ-
ники энергии, имеющиеся в запасе на аппа-
рате.
Регенерация - использование теплоты
отходящих газообразных продуктов сгорания
для подогрева поступающего газообразного
топлива, воздуха или их смеси.
Рекомбинация - процесс, обратный дис-
социации.
Рециркуляция - возврат части воздуха
или уходящих газов в сушильную камеру или
топку.
Система теплоснабжения - совокупность
устройств, являющихся источниками теплоты,
тепловых сетей, систем распределения и ис-
пользования (абонентских вводов и потреби-
телей теплоты).
Скорость уноса массы - основная харак-
теристика процесса разрушения теплозащит-
ТЕРМИНОЛОГИЯ
573
ных покрытий в высокотемпературном газо-
вом потоке, равная произведению плотности
материала покрытия на скорость линейного
перемещения его внешней поверхности. От-
ношение скорости уноса массы к коэффициен-
ту теплообмена на непроницаемой поверхно-
сти, называемая безразмерной скоростью уноса
массы (разрушения), является удобным пара-
метром представления результатов для химиче-
ски активных теплозащитных материалов.
Сопло - канал, в котором происходит
расширение газа с уменьшением давления и
увеличением скорости его движения.
Сопло Лаваля - комбинированное сопло
с суживающейся и расширяющейся частями,
применяемое для получения скоростей газа
больше скорости звука.
Спектральная плотность потока излучения
- отношение плотности потока излучения,
испускаемого в бесконечно малом интервале
длин волн, к величине этого интервала.
Степень турбулентности - отношение
средней квадратичной пульсации составляю-
щих вектора скорости в данной точке к ос-
редненной скорости невозмущенного потока.
Степень черноты тела - отношение плот-
ностей потока излучения серого тела и абсо-
лютно черного тела при той же температуре.
Ступень - это совокупность неподвиж-
ного соплового аппарата и вращающегося
рабочего колеса (в турбине) или вращающего-
ся рабочего колеса и неподвижного спрям-
ляющего аппарата (в компрессоре).
Сублимационный режим разрушения - ре-
жим поверхностного разрушения теплозащит-
ных материалов в условиях интенсивных кон-
вективных и радиационных тепловых воздей-
ствий, скорость которого определяется значе-
нием скорости сублимации основных компо-
нент материала. На этом режиме разрушения
скорость уноса массы экспоненциально зави-
сит от температуры поверхности, что приво-
дит к слабому изменению этой температуры в
широком интервале варьирования тепловых
потоков (при постоянном давлении).
Сублимация - переход вещества из твер-
дой фазы в газообразную, минуя жидкую фа-
зу. Сублимация вместе с испарением состав-
ляют две разновидности парообразования.
Сушка - процесс удаления жидкости
(чаще влаги) из различных материалов.
Температура разрушения - в узком смыс-
ле - это температура начала поверхностного
разрушения данного теплозащитного покры-
тия в некотором диапазоне внешних парамет-
ров среды. В широком смысле - это любое
значение температуры поверхности разру-
шающегося теплозащитного покрытия.
Температурное поле - совокупность зна-
чений температуры во всех точках тела (или
пространства) в некоторый фиксированный
момент времени.
Тепловая защита - это определенный
способ блокирования или уменьшения потока
теплоты от окружающей среды к поверхности
тела. Среди шести известных принципов от-
вода или поглощения теплоты от внешней
поверхности тела наиболее широкий диапазон
практического использования имеют те, что
основаны на использовании эффектов вдува и
физико-химических превращений.
Тепловая электростанция - электростан-
ция, преобразующая химическую энергию
топлива в электрическую энергию и теплоту.
Тепловой поток - количество теплоты,
переданное через произвольную поверхность
в единицу времени.
Теплообмен - самопроизвольный необра-
тимый процесс переноса теплоты в простран-
стве с неоднородным распределением темпе-
ратуры.
Теплоотдача - конвективный теплообмен
между движущейся средой и поверхностью ее
раздела с другой средой (твердым телом, жид-
костью или газом).
Теплопроводность - одна из разновидно-
стей теплообмена, в основе которой лежит
процесс распространения теплоты от более
нагретых элементов среды к менее нагретым,
не связанный с макроскопическими переме-
щениями частиц среды или электромагнит-
ными излучениями.
Теплоснабжение промышленных предпри-
ятий - снабжение теплотой с помощью тепло-
носителя систем отопления, вентиляции, го-
рячего водоснабжения промышленных зданий
и технологических потребителей.
Теплота сгорания - количество теплоты,
выделяющееся при полном сгорании топлива.
Теплофикация - централизованное теп-
лоснабжение на базе комбинированного про-
изводства электроэнергии и теплоты на ТЭЦ.
Термический КПД - отношение полезно
использованной в цикле теплоты (или полу-
ченной работы) ко всему количеству теплоты,
затраченной на цикл.
Термический начальный участок - участок
трубы, на котором поле температуры зависит
от условий на входе в трубу.
Термодинамика - наука о наиболее об-
щих свойствах макроскопических физических
систем, находящихся в состоянии термодина-
мического равновесия, и о процессах перехо-
да между этими состояниями.
574
ТЕРМИНОЛОГИЯ
Термодинамический никл - круговой про-
цесс, осуществляемый термодинамической
системой.
Термодинамической системой называется
совокупность макроскопических тел, которые
могут взаимодействовать между собой и с
другими телами, составляющими внешнюю
среду, в виде обмена энергией или веществом.
Термодиффузия - перенос вещества под
влиянием градиента температуры.
Техническая термодинамика - раздел тер-
модинамики, занимающийся приложениями
законов термодинамики в теплотехнике.
Течение замороженное и равновесное -
два предельных случая течения многокомпо-
нентных смесей газов, отличающихся соот-
ношением скоростей химических реакций и
газодинамического или диффузионного пере-
носа.
Турбореактивный двигатель - ГТД, в ко-
тором энергия топлива преобразуется в кине-
тическую энергию струй газов, вытекающих
из реактивного сопла.
Турбулентное течение - форма течения
жидкости или газа, при которой отдельные
макрочастицы совершают неупорядоченное,
неустановившееся движение по сложным
траекториям, что приводит к интенсивному
перемешиванию между слоями движущейся
жидкости. В условиях турбулентного течения
в пограничном слое интенсивность конвек-
тивного теплообмена оказывается существен-
но выше, а эффект уменьшения теплового
потока при вдуве охладителя через проницае-
мую стенку намного ниже, чем в ламинарном
пограничном слое.
Турбулентный режим - режим движения
жидкости с хаотически изменяющимися во
времени траекториями частиц, при котором в
потоке возникают нерегулярные пульсации
скорости, давления и температуры, неравно-
мерно распределенные в потоке.
Ударная волна - скачок уплотнения, воз-
никающий перед телом, движущимся со
сверхзвуковой скоростью, при прохождении
через который резко увеличивается плотность,
давление и температура. Область, находящая-
ся между ударной волной и поверхностью
тела, называется сжатым слоем.
Уравнение состояния - уравнение, выра-
жающее связь между параметрами равновес-
ного состояния термодинамической системы.
Условия однозначности к системе урав-
нений, описывающих явление теплоотдачи,
состоят из геометрических, физических, гра-
ничных и начальных условий.
Условное топливо - топливо, теплота сго-
рания которого принята равной 29,35 МДж/кг.
Участок стабилизированного теплооб-
мена - участок трубы, на котором поле темпе-
ратуры практически не зависит от распреде-
ления температуры в начальном сечении
обогреваемого участка.
Физико-химическое превращение - явле-
ние, приводящее к изменению агрегатного
состояния вещества или его химического со-
става и сопровождающееся поглощением оп-
ределенного количества теплоты LQ.
Физическое подобие - соответствие меж-
ду физическими процессами, выражающееся в
тождественности их безразмерных математи-
ческих описаний.
Фильтрационный перенос массы - кон-
вективный перенос, обусловленный гидроди-
намическим движением газа, пара и жидкости
в пористой среде под влиянием внешних сил
и перепада давлений.
Цикл Карно - обратимый круговой про-
цесс, в котором совершается наиболее полное
превращение теплоты в работу (или работы в
теплоту).
Электрическая станция - предприятие
или установка, вырабатывающая электро-
энергию путем преобразования других видов
энергии.
Эффективная энтальпия разрушения - ос-
новная характеристика энергоемкости уноса
массы с поверхности разрушающихся тепло-
защитных покрытий, которая включает в себя
не только количество теплоты, поглощенное
при нагреве, термических и фазовых превра-
щениях единицы массы материала, но и теп-
ловой эффект блокирования подведенного
конвективного теплового потока при вдуве
газообразных продуктов разрушения в погра-
ничный слой.
Эффективный КПД - отношение количе-
ства теплоты, эквивалентной полезной работе,
к количеству теплоты, затраченной на полу-
чение этой работы.
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Перевод величин из британской системы единиц в систему СИ
Параметр Британская система единиц Система СИ
Длина 1 yd (ярд) « 3 ft (фут) = 36 in (дюйм) 0,914 м
1Л 0,304 м
1 in 0,0254 м
Площадь Ifi2 0,093 м2
Объем 0,028 м3
Масса 1 lb 0,454 кг
1 OZ 28,4 г
Плотность 1 Ib/ft 16,02 кг/м3
Давление 1 lb/ft 4,88 кг/м2 = 48 Па
1 lb/in2 (psi) 0,07 кг/см2 = 6,9-103 Па
Коэффициент вязкости lb • sec/ft 478,8 пз = 47,9 Пас = 4,88 (кгс)/м2
Температура t'F [0,556t°F + 17,8], °C
t°R [0,556К
Количество теплоты 1 BTU (британская тепловая единица) 0,252 ккал = 1,05 кДж
Тепловой поток 1 ВТи/(/Я h) 2,71 ккал/(м2 ч) = 11,3 кДж/(м2 ч)
1 ВТи/(/Я sec) 2,71 ккал/(м2 с) =11,3 кВт/м2
Коэффициент теплопроводности BTUinftfth °F) 1,4 10-4 кВт/(м град)
BTU/(fth°F) 1,7 10'3 кВт/(м град)
576
ПРИЛОЖЕНИЯ
2. Основные свойства тугоплавких материалов
Химическая формула Темпе- ратура плав- ления, К Плот- ность, г/см3 Моле- куляр- ная масса Удельное электро- сопротив- ление, Омм/мм2 Тепло- провод- ность при 300 К, Вт/(мК) Теплоемкость, кДж/(кгград) Коэффици- ент терми- ческого расшире- ния (х10б), 1/К Температу- ра начала окисления в воздухе, К
W 3695 19,25 184 5,03 174 0,134 4,44 1000
WC 3100 15,6 196 19,2 29,3 0,184 5,84 800-1100
Ti 1944 4,5 48 - 22,0 0,528 8,44 -
TiC 3400 4,9 60 52,5 24,2 0,561 7,44 1400-1500
TiN 3500 5,2 62 25,0 53,5 0,435 9,35 1300-1500
TiB2 3250 4,45 70 14,4 67,5 0,63 8,1 1400-1600
Та 3290 16,6 181 - 73,4 0,141 6,57 -
TaC 4100 14,5 193 42,1 22,1 0,188 8,3 1200-1300
TaN 3320 13,8 195 - 23,3 0,21 3,6 -
ТаВ2 3400 11,7 203 - 30,2 - 5,12 -
Si 1696 2,3 28 - 23,5 - - -
SiC 2900 3,2 40 5107 8,3 - - 1500-1700
Nb 2750 8,57 93 17,1 50 0,263 (при 300 К) 0,301 (при 1000 К) 7,12 (при 300 К) -
NbC 4030 7,56 105 51,1 14,4 0,356 6,5 1200-1300
NbN 2600 8,4 107 - 10,5 0,4 10,1 -
NbB2 3300 6,0 115 34 46,6 - 8,0 1100-1200
Mo 2896 10,2 96 - 145 0,249 5,2 -
Mo2C 2700 9,18 204 - 6,7 - 7,8 -
BN 3300 2,3 25 - 32 0,49 - -
МогВз 2400 8,6 247 - 74,4 0,3 - -
MoSi2 2310 6,3 152 - 81,4 0,39 5,1 -
Графит П-0,25 5000 1,7 12 - 130 0,71 1,6-3,4 1200
Пирографит 5000 2,2 12 - 1,9 0,96 0,05-0,09 1500
SiO2 2300 2,2 60 - 1,4 0,89 - -
ZrC 3800 6,9 103 50 20,5 - 6,7 1300-1500
ПРИЛОЖЕНИЯ
577
3. Основные свойства полимерных материалов
Свойства Поли- этилен Поли- пропилен Поли- стирол Поли- формаль- дегид Поли- акри- латы* Поли- амид- капрон Фторо- пласт*
Плотность, г/см3 0,94 0,91 1,05 1,42 1,2 1,5 2,2-2,4
Теплостойкость по Мартенсу, ‘С 110 140 80 110 90 55 250
Теплопроводность, Вт/(м К) 0,3 - 0,1 - 0,2 0,25 0,25
Теплоемкость, Дж/(гК) 2,5 1,9 1,3 1,5 1,7 1,9 1,0
Горючесть Слабая Горит Сла- бая Не горит
Температура переработки 200 | 250 200 | 215 | 180 200 350
Свойства Связующее фенолформальдегидное Эпок- сидная смола Силико- новая смола
Наполнитель
Нег Хлопок Асбест Стекло
Плотность, г/см3 1,25 1,4 1,6 1,7 1,2 1,6
Теплостойкость по Мартенсу, ‘С 110 140 250 280 140 360
Теплопроводность, Вт/(м К) 0,2 0,23 0,4 - 0,17 0,17
Теплоемкость, Дж/(гК) 1,7 1,35 1,15 1,35 - 1,15
Горючесть Горит Не горит Горит Не горит
Температура отвердения, *С 170 150-180 20-210 180
* Полиакрилаты называют также плексигласом, фторопласт - тефлоном.
4. Температуры образования жидких эвтектик (*С) для различных комбинаций оксидов
Окислы A12O3 BeO MgO SiO2 ZrO2
А12О3 2050 1900 1930 1545 1700
ВеО 1900 2530 1800 1670 2000
MgO 1930 1800 2800 1540 1500
SiO2 1545 1670 1540 1710 1675
TiO2 1720 1700 1600 1540 1750
ZrO2 1700 2000 1500 1675 2700
578
ПРИЛОЖЕНИЯ
5. Температура начала реакций различных комбинаций тугоплавких веществ в вакууме (*С)
Вещество W Мо с А12О3 ВеО MgO SiO2 ZrO2
W - 2300 1500 2000 2100 2000 1600 2100
Мо 2300 - 1600 2000 1900 1800 1500 2150
С 1500 1600 - 1800 2300 1800 1400 1800
б. Теплофизические характеристики стеклопластиков на основе
термообработанной кремнеземной ткани
Связующее Температура обработки ткани, К Плотность, кг/м3 Пористость Я, % Коэффициент теплопровод- ности при 20 ’С, ВтДмград) Теплоемкость при 20 ’С, кДжДкгтрад)
Фенольное (ФН) Без термо- обработки 1430 - 0,25 1,05
600 1500 24 0,24 1,0
900 1480 20 0,27 1,05
Кремнийорганическое 600 1520 22 0,24 0,9
(К-4) 900 1500 17 0,26 0,88
Эпоксидное (ЭД1-10) 900 1630 6 0,37 1,10
Теплофизические и кинетические параметры прогрева и разрушения стеклопластика на фенольном
связующем:
Теплоемкость газообразных продуктов разложения связую-
щего cg, кДж/(кгК)................................................ 3,1
Теплоемкость расплавленного слоя Q, кДж/(кгК)..................... 1,0
Плотность расплавленного слоя р£, кг/м3 Коэффициент теплопроводности расплавленного слоя , Вт/(мК) Вязкость расплавленного слоя Ц£ , Н с/м2 Парциальное давление паров (равновесное) pv , Па Тепловой эффект реакции взаимодействия углерода с дву- окисью кремния (на 1 кг конечных продуктов) ДЯд , кДж/кг Тепловой эффект испарения стекла ДЯИСП , кДж/кг Тепловой эффект пиролиза связки ДЯ (на 1 кг газообраз- ных продуктов), кДж/кг Энергия активации Е/R, К , Предэкспонентный множитель Д кг/(см2) 2 250 2,9 0,1 ехр [(3800 / Т,К) - 17] 105 ехр [-(57800 / Т, К) + 18,48] 5 850 10 200 1 030 46 000 1,25 Ю8
ПРИЛОЖЕНИЯ
579
Атомный номер
589
ПРИЛОЖЕНИЯ
9. Зависимостъ от температуры
спектральной стелена черноты
(при X = 0,665 мкм) тугоплавких металлов
10. Изменение с температурой
интегральной нормальной степени черноты
тугоплавких металлов
11. Характер изменения с температурой
величины удельной теплоемкости некоторых наиболее
распространенных тугоплавких оксидов
12. Изменение с температурой коэффициента
теплопроводности тугоплавких оксидов
при теоретическом значении плотности (кг/м3):
ВеО « 3030; А12О3 « 3970; MgO « 3580
13. Изменение с температурой коэффициента теплопроводности тугоплавких оксидов
при теоретическом значении плотности (кг/м3):
SiO2 в 2200, ZrO2 = 6100; 1 - суммарное значение; 2 - за вычетом лучистой составляющей
ПРИЛОЖЕНИЯ
581
Зависимость коэффициента теплопроводности окиси магния от пористости П
при различных температурах: а - Т = 1700 К; б - 1300 К; в - 900 К; г - 500 К
Зависимость коэффициента теплопроводности окиси
циркония от пористости П при различных температурах
Зависимость коэффициента теплопроводности окиси
алюминия от пористости П при различных температурах
Вт'(м К)
О 10 20 30 40 50 60 70 80 %
Вт/(м К)
3
2
I
О
Вт/(м • К)
О 10 20 30 40 50 60 70 80 %
582
ПРИЛОЖЕНИЯ
<— Зависимость теплопроводности смеси SiOj н AijOj
от пористости П и состава (при Т = 800 К)
----А1,03
Зависимость от температуры коэффициента теплопроводности
дисперсных графитовых материалов - графитовой крупки
с плотностью 800-1000 кг/м3 и графитового войлока
с плотностью 40-120 кг/м3
Зависимость теплопроводности асбеста
от плотности р
U и 2 - различные технологии изготовления)
Зависимость теплопроводности стекловаты
Влияние пористости на
теплопроводность эпоксидной (/)
и полиэфирной смол (2)
Зависимость коэффициента теплопроводности стеклотекстолита
на эпоксидной смоле от пористости Пи массового содержания стекла <р:
1 - <р = 0,7; 2 - ф - 0,6
ПРИЛОЖЕНИЯ
583
Зависимость теплопроводмостн пенобетона
Зависимость от температуры коэффициента теплопроводности
политетрафторэтилена (ФТ-4) при различных
плотностях р (кг/м3) или степенях кристалличности К’.
1 - р « 2300, К = 100 %; 2 - р = 2250, К « 83 %;
3 - р « 2200, К = 66 %; 4 - р = 2180, К = 60 %\
5- р ж 2140, К =46%; 6- р = 2100, К = 33 %;
7- р « 2050, К ж 16 %; 8- р « 2000, К = 0
14. Зависимость от температуры плотности различных стеклопластиков
в эоне разложения органического связующего при различных темпах нагрева:
а - стеклопластик АГ-4С; 1 - 6 -> 0; 2 - Ь*3;3- 6 = 10 К/с;
б - стеклопластик СП-ЗЭ; 1 - Ь ж 7; 2- Ь= 3- b = 0,4; 4 - b -> 0 К/с
15. Изменение с температурой ктиффшанчпа теллопроволюстн (и) и теплоемкости (0) асботексголгга
в зоне разложения органического связующего при различных темпах нагрева:
1 - темп нагрева, 6 -> 6; 2 - при монотонном нагреве
584
ПРИЛОЖЕНИЯ
16. Изменение с температурой коэффициента теплопроводности (а) н
объемной теплоемкости (б) стеклопластика СП-ЗЭ при монотонном нагреве с темпом b = 0,66 К/с
(заштрихованная зона разброса экспериментальных данных)
17. Сравнение зависимостей от температуры коэффициента
теплопроводности некоторых марок пористых графитов:
ПЭ-60 - Л = 60 %, р = 870 кг/м3; ПЭ-25 - Л = 54 %,
р = 1040 кг/м3; ЛЭ-15 - П = 44 %, р = 1000 кг/м3;
ЛЭ-40 - П = 40 %, р = 1330 кг/м3; РВ - П = 27 %,
Зависимость теплопроводности
пнрографита от температуры:
1 - материал термообработан при
Т = 3200 К (толщина стенки 20 мм);
2 - то же, что и 1 (без термообработки);
3 - материал термообработан при
Т = 3200 К (толщина стенки 10 мм);
4 - то же, что и 3 (без термообработки)
18. Связь между плотностью р н коэффициентом
теплопроводности стеклопластиков
на различных связующих:
1 - полиэфирное; 2 - эпоксидное;
3 - фенолформальдегидное связующее
19. Зависимость коэффициента теплопроводности
стеклометаллических пластиков на основе эпоксидной смолы
ЭД-5 от объемного содержания V медного волокна (7)
н порошков меди, алюминия или железа (2)
ПРИЛОЖЕНИЯ
585
20. Зависимость от температуры спектрального значения е
(при 1 = 0,665 мкм) и интегральной нормальной
степени черноты е оксидов алюминия АДОз и малой MgO
Сравнение зависимостей от температуры
интегральных нормальных степеней черноты
оксидов кремния S1O2, циркония ZrOj н
различных марок графита н пирографита С
Значения нормальной интегральной излучательной способности металлов
Металл и состояние его поверхности Температура, К
300 500 700 1000 1300 1600 2000
Никель Гладкая неокисленная 0,020 0,061 0,088 0,128 0,168
Гладкая окисленная 0,453 - - - - - -
Кобальт Гладкая неокисленная 0,25 0,40 0,69
Железо Гладкая неокисленная 0,030 0,28 -
Гладкая окисленная 0,480 - 0,50 - - - -
Вольфрам Гладкая неокисленная 0,131 0,174 0,225
Молибден Гладкая неокисленная 0,119 0,152 0,194
Хром Гладкая неокисленная 0,07 0,06 0,10 0,25 0,47
Медь Гладкая неокисленная 0,014 0,011 0,018
Золото Гладкая неокисленная 0,021 0,022 0,023 0,025 0,027
Платина Гладкая неокисленная 0,037 0,040 0,066 0,107 0,138 0,162 0,184
Палладий Гладкая неокисленная - - - 0,089 0,126 0,162 -
586
ПРИЛОЖЕНИЯ
Значения спектральной полусферической степени черноты металлов
в различных температурных диапазонах
Металл и состояние его поверхности Температурный интервал, К 1, мкм
0,5 1,0 1,5 2,0 3,0 4Т° 5,0 7i° 10,0
Алюминий Гладкая неокисленная 295 0,09 0,06 - 0,04 0,03 0,02 - 0,02 0,02
Гладкая 599-805 - - - 0,10 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03
окисленная
Никель Гладкая 293 0,069 0,056 0,051 0,045 0,037
неокисленная 1100-1400 - 0,08 0,08 0,07 0,06 0,05 - - -
Гладкая 1300-1500 - 0,30 0,28 0,23 0,19 0,16 - - -
окисленная
Кобальт Гладкая 293 - - 0,060 0,050 0,043 0,039
неокисленная 1100-1500 - - 0,24 0,22 0,18 - - - -
Железо Гладкая 295 0,40 0,31 0,20 0,15 0,10 0,08 0,05
неокисленная 1100-1500 - 0,32 0,27 0,25 0,20 0,19 0,16 0,15 -
Вольфрам Гладкая 1200-1800 0,47 0,38 0,28 0,20 0,13 0,10 0,09
неокисленная 2000-2600 0,45 0,37. 0,29 0,23 0,17 0,15 0,13 - -
Молибден Гладкая 293 0,518 0,448 0,235 0,125 0,082 0,073 0,060
неокисленная 1000-1400 0,43 0,31 0,19 0,13 0,08 0,06 0,05 - -
1600-2000 0,41 0,32 0,23 0,18 0,12 0,09 0,08 - -
Хром Гладкая 293 0,42 0,43 0,33 0,30 0,10
неокисленная
Медь Гладкая 293 0,45 0,05 0,04 0,03 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02
неокисленная 500-1000 0,06 0,06 0,06 0,05 0,04 0,03 - - -
1100-1400 0,14 0,05 0,05 0,04 0,03 0,03 0,03 0,03 0,04
Золото Гладкая 293 0,63 0,05 0,04 0,04 0,03 0,03 0,03 0,03 0,02
неокисленная
Серебро Гладкая
неокисленная 293 0,080 0,030 - 0,025 0,020 0,020 0,020 0,020 0,015
Платина Гладкая 200-300 0,39 0,25 0,22 0,16 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03
неокисленная 800-1300 - 0,19 0,15 0,12 0,11 0,08 0,08 0,07 0,06
ПРИЛОЖЕНИЯ
587
Значения интегральной степени черноты оксидов (для стекол н кристаллов) ея
Оксид и вид образца Температура, К
300 500 700 1000 1500 2000
Диоксид кремния Стекло (толщина 10 мм) 0,80 0,75 0,60 0,48
Чистый оксид (порошок) - - 0,68 0,56 - -
Кристаллический кварц (бесконечные толщины) - - - - 0,40 -
Оксид алюминия Спеченный порошок Оксид магния 0,85 0,75 ' 0,65 0,51 0,41 -
Спеченный порошок 0,72 0,67 0,55 0,42 0,29 0,36
Оксид кальция Спеченный порошок Оксид железа - - - - 0,27 -
Спеченный порошок - - - - 0,80 -
Оксид циркония Спеченный порошок - 0,70 0,59 0,42 0,38 0,55
Значения спектральной степени черноты оксидов при различных температурах
Оксид и температурный диапазон 1, мкм
0,5 1,1 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 10,0
Диоксид кремния Стекло, 293 К 0,06 0,04 0,06 0,05
(отражательная способность) То же, 500 К 0,04 0,05 0,48 0,74 0,75 0,77 0,74
(толщина 2 мм) Тоже, 811 К - 0,60 0,80 0,97 0,97 0,96 0,87
(толщина 1,6 мм) Кристобалит, 293 К 0,25 0,11 0,09 0,10 0,12 - - - - -
Оксид алюминия 298 К 0,3 0,2 0,2 0,2
923 К - 0,40 0,44 0,48 0,50 0,55 0,71 0,85 0,90 0,98
1273 К - 0,10 0,10 0,10 0,10 0,15 0,45 0,85 0,97 0,98
Оксид магния 298 К 0,05 0,06 0,07 0,10 0,30 0,22 0,21 О,5±О,2 0,2±0,1 0,15±0,10
Оксид железа Fe2O3 298 К 0,72 0,80
Fe3O4 300 К - - - - 0,68 0,66 0,65 0,65 0,64 0,62
Примечание. Значение образцов, кроме стекол, для порошков и спеченных
порошков.
588
ПРИЛОЖЕНИЯ
11. Значения спектральной степени черноты шамотных огнеупоров при различных температурах
(поверхность в состоянии поставки, нагрев на воздухе)
1, мкм Белый шамот Коричневый шамот
293 К 800-1500 К 800-1500 К
1,0 0,05-0,40 0,20-0,32 0,25-0,65
1,5 0,08-0,30 0,15-0,30 0,30-0,65
2,0 0,10-0,31 0,18-0,30 0,40-0,60
2,5 0,30-0,50 0,32-0,42 0,50-0,60
3,0 0,33-0,75 0.35-0,70 0,53-0,65
3,5 0,40-0,45 0,37-0,54 0,57-0,67
4,0 0,38-0,48 0,45-0,55 0,60-0,70
4,5 0,55-0,70 0,55-0,80 0,65-0,72
5,0 0,75-0,90 0,70-0,90 0,70-0,80
6,0 0,80-0,95 0,75-0,95 0,75-0,90
7,0 0,90-0,98 0,85-0,97 0,80-0,95
8,0 0,85-0,98 0,85-0,98 0,80-0,95
Примечание. В белом шамоте массовое содержание "красящих" оксидов не более
2,0 %, в коричневом шамоте - не менее 2,0 %; первая цифра в диапазоне изменения пред-
ставляет материал с массовым содержанием SiC>2 60-70 %, a AI2O3 - 25-35 %, вторая цифра -
SiC>2 - 50-45 %, AI2O3 - 40-50 % и наличием кристаллизационной воды.
Значения интегральной степени черноты шамотных огнеупоров при различных температурах
(поверхность в состоянии поставки, нагрев на воздухе)
Г, К Белый шамот Коричневый шамот
293 0,90-0,80 0,95-0,80
800 0,40-0,70 0,40-0,70
1000 0,35-0,60 0,40-0,65
1200 0,30-0,50 0,38-0,60
1400 0,25-0,42 0,35-0,60
ПРИЛОЖЕНИЯ
589
Значения спектральной степени черноты магнезитовых и глиноземистых огнеупоров
при температурах 1000-1700 К (поверхность в состоянии поставки, нагрев на воздухе)
Тип образца 1, мкм
1,0 1,5 2,0 3,0 5,0 6,0
Магнезит - 0,55-0,65 0,50-0,60 0,45-0,55 0,50-0,65 0,65-0,75
Магнезитохромит - 0,55-0,65 0,60-0,70 0,65-0,75 0,70-0,80 0,70-0,80
Хромомагнезит - 0,75-0,85 0,75-0,85 0,75-0,85 0,80-0,90 0,85-0,90
Глиноземистый 0,30-0,40 0,30-0,50 0,30-0,60 0,35-0,75 0,70-0,80 0,90-0,95
Примечание. Разброс значений обусловлен различием в марках огнеупоров.
Значения спектральной степени черноты огнеупоров
при нагреве в среде с недостатком кислорода (Г = 1400 К)
Тип огнеупора 1, мкм
1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 5,0 6,0 7,0
Коричневый шамот 0,78 0,72 0,70 0,68 0,65 0,68 0,72 0,90 0,95 0,95
Глиноземистый огнеупор 0,61 0,57 0,51 0,48 0,46 0,49 0,51 0,80 0,95 0,98
Динас 0,90 0,88 0,85 0,84 0,83 0,83 0,85 0,94 0,98 0,96
Магнезит 0,49 0,41 0,38 0,35 0,32 0,34 0,35 0,42 0,61 0,70
Значения интегральной степени черноты огнеупоров
при нагреве в среде с недостатком кислорода
Тип огнеупора Температура, К
1100 1200 1300 1500
Коричневый шамот 0,75 0,72 0,71 0,69
Глиноземистый огнеупор 0,65 0,63 0,62 0,61
Динас 0,85 0,85 0,85 0,86
Магнезит 0,42 0,42 0,42 0,42
Магнезитохромит - - 0,70 0,61
590
ПРИЛОЖЕНИЯ
Значения интегральной степени черноты золовых отложений и шлаков теплоэнергетики
Тип образца Температура, К
600 800 1000 1200 1400
Зола:
антрацитового штаба (Донбасс) 0,96 0,92 0,86 0,77 0,66
печорского угля 0,87 0,81 0,75 0,66 -
интинского угля 0,79 0,75 0,71 - -
подмосковного угля 0,87 0,83 0,81 - -
назаровского угля (Канско-Ачинский бассейн) 0,85 0,81 0,78 - -
мазута - 0,93 0,88 - -
ирша-бородинекого угля (Канско-Ачинский бассейн) 0,80 0,78 0,74 0,68 -
березовского угля (Канско-Ачинский бассейн) - 0,72 0,62 0,58 0,55
Шлак березовского угля - - - - 0,62 0,60 (1600 К)
Котельные шлаки (обобщение для углей Европейской части России) - - - 0,75 0,71 0,60 (1600 К)
Зола австралийского угля 0,7 0,5 0,4 0,5 0,8*
Зола английского угля 0,65 0,58 0,50 0,39 0,75*
Первичные отложения энергетиче- ских углей - • 0,82 0,71 0,65 0,61
* Сплавленная зола.
Значения спектральной степени черноты золовых отложений и шлаков теплоэнергетики
Тип образца и температурный диапазон 1, мкм
0,5 Ь0 Ь5 2,0 ¥ 4Т° ¥ 6,0
Зола:
антрацитового штыба (Донбасс), 1200-1300 К 0,12 0,28 0,50 0,60 0,71 0,78 0,82 -
подмосковного и печорского углей, 1200-1300 К 0,28 0,32 0,40 0,51 0,71 0,91 - -
углей березовского месторождения Канско-Ачинского бассейна:
900-1200 К - 0,54 0,57 0,62 0,59 0,64 0,74 0,75
1200-1400 К - 0,48 0,52 0,56 0,55 0,60 0,69 0,68
углей Ирша-Бородинского месторождения Канско-Ачинского бассейна, 1100-1200 К - 0,56 0,59 0,64 0,60 0,66 0,76 0,76
ПРИЛОЖЕНИЯ
591
Значения е для сталей и высокотемпературных сплавов
при различных температурах и состоянии поверхности
Марка сплава и состояние поверхности Температура, К
300 500 700 900 1100 1300
Малоуглеродистая сталь Гладкая неокисленная 0,11 0,14 0,18 0,22 0,27 0,29
Окисленная после механической обработки - 0,88 0,90 0,94 0,93 -
Коррозионно-стойкая сталь Гладкая неокисленная 0,155 0,162 0,175 - - -
Гладкая слабо окисленная 0,40 0,50 0,50 0,53 - -
Сильно окисленная после механической 0,80 0,75 0,76 0,82 -
обработки Жаростойкие сплавы Гладкая с плотной оксидной пленкой - 0,16 0,19 0,33 - -
Значения интегральной степени черноты графита и карбида кремния
(шлифованная поверхность)
Материал Температура, К
500 900 1300. 1700 2000 2300 2600 3000
Графит - - 0,78 0,80 0,80 0,81 0,81 0,83
Карбид кремния 0,88 0,90 0,88 0,84 0,90 0,93 - -
Значения спектральной степени черноты графита и карбида кремния
(шлифованная поверхность)
Материал Температурный диапазон 1, мкм
0,5 1,0 2,0 5,0 6,0 7,0
Карбид кремния 395-1375 К - 0,82 0,85 0,86 0,90 0,90
Графит 293 К 0,96 0,87 0,81 - - -
1400-2300 К 0,86 0,86 0,86 0,83 0,82 0,81
предметный указатель
Часть I. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Автоколебания ротора - Оценка устойчивости
вращения 96
Акселерометр - Инерционная навигационная
система 116
Аксиома идеальности связей - Основные законы
классической механики 45
- связей (принцип освобождаемое™ мате-
риальной точки) 44
Аксоид 34, 87
Аналитическая механика 72
Аналог случая Лагранжа - Динамика твердого
тела 107
- Эйлера - Динамика твердого тела 107
Аномалия истинная 52, 120
- средняя 121
- эксцентричная 121
Апоселений - Движение тела вокруг Луны 122
Апоцентр гелиоцентрического движения (афе-
лий) 122
Апогей - Геоцентрическое движение 122
Аппеля теорема - Теория удара 146
- уравнения - Движение произвольных ме-
ханических систем 77
Апсиды эллипса - Элементы орбиты 122
Арка трехшарнирная - Связи 19
Афелий (см. апоцентр гелиоцентрического дви-
жения)
Балка - Действие распределенных сил 22 -
Примеры определения сил реакций 18, 19
- жесткая - Расчет 24
Бине формула - Действие центральных сил на
точку 52
Бобылева - Стеклова случай - Движение тяжелого
твердого тела 105
Буксование колеса - Условие 26
Вал Лаваля - Уравнения движения 95
Валентность канонического преобразования 79
Вариньона теорема - Моменты силы относитель-
но оси 13
Вектор количества движения - Динамика матери-
альной точки 46
- момента количества движения (кине-
тический момент) 46
Верчение твердого тела - Трение скольжения 98
Взаимодействие тел - Законы Ньютона 41
Вращение свободного твердого тела быстрое -
Периодические решения 106
- перманентное (постоянное) 89
- Штауде 105
- простое 89
- вокруг неподвижной оси 90
Время абсолютное 39
Высота подъема материальной точки максимальная 50
Галилея преобразование - Основные законы
классической механики 42
- принцип относительности (принцип от-
носительности классической механики) 42
Гамильтонова система - Интегральные инвариан-
ты 84
Геометрия масс 86
Герполодия - Динамика тяжелого твердого
тела 102
Гесса случай -Динамика тяжелого твердого
тела 105
Гипотеза Ньютона для двух сталкивающихся ма-
териальных точек 143
- при ударе 142
Гипотеза Рауса при ударе 142
Гирокомпас 113
Гироскоп волновой твердотелый 115
- динамически настраиваемый 114
- в карданном подвесе 111
- лазерный 114
- магнитостатический 114
- направления 111, 115
- свободный 114
- Фуко 109
- "экзотический" 113
- электростатический 113
Гиростабилизатор 115
Гиростабилизированная платформа 116
Гиромаятник 111
- с радиальной коррекцией 112
- шулеровской частоты 112
Гиротахометр 112
Главный момент системы сил 14
- вектор системы сил 14
Годограф радиуса-вектора 27
Горячева - Чаплыгина случай - Динамика тяже-
лого твердого тела 105
Гравитационная постоянная 59
Гриоли случай - Динамика тяжелого твердого
тела 105
Гюйгенса - Штейнера теорема - Геометрия масс
87, 91
Давление - Равнодействующая равномерно-
распределенных сил 23
- световое - Движение искусственного
спутника 131
Д'Аламбера метод - Движение несвободных тел 43
- принцип 42, 43, 147
Д'Аламбера - Лагранжа принцип 45, 147
Движение возмущенное в оскулирующих кепле-
ровских элементах 126
- гибкого ротора установившееся 95
- гиперболическое - Задача двух тел 122
- под действием центральных сил - Дина-
мика материальной точки 51
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
593
- диска - Определение методом Гамильтона
- Якоби 83
- либрационное - Прямолинейное движе-
ние точки 48
- лимитационное - Прямолинейное движе-
ние точки 48
Движение материальное точки - Кинематика 27
- криволинейное - Динамика 49
- по меридиану - Динамика 55
- несвободной 52
- относительное в подвижном репере - Ди-
намика 56
- в поле ньютоновского тяготения двух не-
подвижных центров 122
- по циклоиде 54
- эллиптическое 52
Движение невозмущенное Эйлера - Пуансо -
Динамика космического полета 128
- орбитальное 120
- относительное точки - Основные законы
классической механики 41
- плоскопараллельное твердого тела - Ки-
нематика 36
- по Пуансо - Динамика твердого тела в
ньютоновском поле сил 107
- ротационное искусственного
спутника 137
- свободное тела - Кинематика 36
Движение спутника либрационное 128
- ротационное 128
Движение твердого тела винтовое - Динамика 87
- вращательное - Кинематика 32
- плоскопараллельное - Динамика 94
- поступательное - Кинематика 32
- простое - Динамика 89
Движение точки - Векторный способ задания 27
- естественный способ задания 27
- координатный способ задания 28
- центральное - Динамика 47
- сложное - Кинематика 31
Девиации гиромаятника 112
Действие удара на твердое тело, имеющее непод-
вижную ось вращения 144
Делоне случай 104
Динамика 38
- движения искусственного спутника отно-
сительно центра масс 128
- материальной точки 45
- орбитального движения 120
- свободного твердого тела 88
- твердого тела 86
- тяжелого твердого тела 100
Долгота перигея 136
Донкина теорема 77
Задача бросания точки под углом а к гори-
зонту 50
Задача гироскопии обратная 111
- прямая 110
Задача о движении спутника планеты 120
- двух неподвижных центров и ее приложе-
ния в динамике спутников 122
- двух тел орбитального движения 120
Задача трех тел - Динамика орбитального движе-
ния 124
- круговая ограниченная 125
- неограниченная 124
Задачи статики - Последовательность
решения 16
Заделка - Силы реакции 16
Закон движения точки по траектории 27
- Кулона при ударе 142
Закон сохранения кинетического момента 47
- количества движения 47
- полной механической энергии
точки 48
Законы движения Ньютона 38-41
- обобщенные Кассини - Ротационное
движение искусственного спутника 139
Замок клиновой - Условия надежной работы 25
Изменение количества движения системы ма-
териальных точек в момент удара 141
Импульс ударный 141
Инвариант интегральный Пуанкаре 84
- Пуанкаре - Картана 83
Инварианты адиабатические гамильтоновой сис-
темы 84
- интегральные 83
Интеграл площадей 51
Интеграл энергии 51
- обобщенный 57, 78
- первый 47
Карно теорема - Теория удара 142
Кинематика 27
Кинетостатика 44, 70
Классификация сил 65
Клин - Сила, действующая на поверхности 25
Кориолиса теорема - Динамика материальной
точки 41
Ковалевской случай -Динамика тяжелого твердого
тела 104
Колебания устойчивые периодические около на-
правления радиуса-вектора орбиты 134
Колебания физического маятника - Вращение
твердого тела вокруг неподвижной оси 91
- относительные 92
Колеса - Учет сил трения 26
Количество движения свободной механической
системы 60
- твердого тела 88
Координата дуговая 28
- точки 29
Координата циклическая 74
Координаты декартовы точки 28
- дуговые точки при естественном способе
задания движения 27
Координаты криволинейные - Уравнение динами-
ки 45
- точки 30
Координаты обобщенные 72
- позиционные 75
- полярные точки 29
- прямоугольные - Динамика орбитального
движения 122
- спутника - Рабочие формулы 123
- сферические точки 31
594
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Кориолиса теорема 56
Коэффициент восстановления - Теория удара 142
- сопротивления качению 26
- трения 24, 53
Критерии каноничности 79
Кронекера символы - Канонические преобразова-
ния 80
Кулоново трение - Движение несвободной точки 53
Лагранжа случай по ограничениям на распре-
деление масс в твердом теле 102
Лежандра полином - Задача двух неподвижных
центров 123
Линия апсида - Задача двух тел 121
Лиувиля теорема об интегрируемых системах 85
Ли Хуачжуна теорема об интегральных инвариан-
тах 84
Лоренца сила - Движение точки в электрическом
и магнитном полях 51
Ляме коэффициенты - Уравнение движения точки
в криволинейных координатах 30
Масса гравитационная 39
- инертная 40
Матрицы обобщенно-симплектические - Кано-
нические преобразования 80
- сим плектические 80
Маятник круговой конический 55
- математический 55 - Виртуальные пере-
мещения 64
- переменной длины 84
- сферический 55
- Фуко 58
Мгновенный центр скоростей (МЦС) 37
- ускорения (МЦУ) 37
Метод кинетостатики 70
Механика аналитическая 44
- векторная 44
Механическая система материальных точек голо-
номная 72
Модели пространства и времени 39
- тел в механике 39
Моделирование движения тел с учетом трения 96
Модель погрешностей гироскопических систем 118
Момент гироскопический 111
- гравитационный 130
Момент кинетический (см. вектор момента коли-
чества движения)
- свободной механической системы 60
Момент количества движения системы материаль-
ных точек относительно произвольно движуще-
гося полюса в момент удара 141
- твердого тела 88
Момент магнитных сил 131
Момент пары сил алгебраический 13
- векторный 13
Момент приливной 131
- пропеллирования - Феноменологическое
описание 130
Момент силы алгебраический 12
- векторный относительно точки 12
- относительно оси 13
Момент сопротивления качению 25
- управления, прикладываемый к гироскопу 115
Моменты диссипативные, создаваемые магнитным
полем 131
Моменты сил в верхних слоях атмосферы Земли 128
- внутренней природы 140
- действующие на спутник 128
- негравитационной природы, действующие
на спутник 135
- относительно прямоугольных координат-
ных осей 13
- светового давления 135
Моменты, создаваемые магнитным полем 131
Направление реакций связи 14
Нить - Сила реакции 15
Ньютоновские модели пространства и времени 39, 40
Ньютонометр (см. акселерометр)
Орбита - Ориентация 122
- невозмущенная круговая 134
- оскулирующая 126
- эллиптическая - Частный случай 121
Ориентация трехгранника 116
Оси инерции тела главные центральные 87
- Кенига 61
Ось вращения постоянная 92
- гироскопа 112
- мгновенная винтовая 87
Падение материальной точки на Землю 57
Парадоксы трения 99
Параметр фокальный 120
Переменные Гамильтона 77
Перемещения виртуальные 44, 63
Перигей - Геоцентрическое движение 122
Перигелий - Гелиоцентрическое движение 122
Период колебаний 56
- Чандлера 102
Периоды Эйлерова движения спутника 137
Периселений - Движение вокруг Луны 122
Перицентр (см. перигелий)
Поверхность гладкая - Сила реакции 14
- Хила - Ограниченная круговая задача трех
тел 125
Погрешности инерциальных навигационных
систем 116
Подвес гироскопического устройства 111
Подвесы кардановы гиростабилизатора 116
Подпятник - Сила реакции 15
Поле магнитное 51
- напряженности 51
- сил гравитационное 133
- тяжести 49, 51
Полодия 101
Положение материальной точки в пространстве -
Способы нахождения 27
- относительного равновесия физического
маятника 93
- плоскости орбиты 122
Потеря кинетической энергии при ударе 142
Правило Лейбница - Свойство скобок Пуассона 78
- Резаля (Жуковского) ПО
Преобразования канонические 79
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
595
Препятствия топологические к интегрируемости
для гамильтоновых систем 86
- при ударе 142
Прецессия Лунно-Солнечная 108
- регулярная 102
- свободного твердого тела 89
- стоячей волны по телу оболочки 115
- твердого тела 92
Прецизионность гироскопических систем 118
Приведение системы сил к центру 14
Принцип виртуальных перемещений 45, 147
- Д' Аламбера и его следствия 68
- Д' Аламбера - Лагранжа 68, 147
- Журдена 149
- максимума работы Четаева 149
- наименьшего принуждения Гаусса 148
- освобождаемое™ 65
- относительности классической механики
(см. Галилея принцип относительности)
- прямейшего пути Герца 149
Принцип стационарного действия Гамильтона 150
- Лагранжа 151
- Якоби 151
Принципы вариационные 44
- интегральные 150
- механики 147
Пространства состояний механической системы 59
Пространство абсолютное 39
- положений механической системы 59
Псеедоординаты 76
Псевдоскорость 76
Псевдоускорение 77
Пуассона скобки 78
- теорема 79
Равновесие тела на наклонной поверхности 24
- при наличии сухого трения 24
Радиус гироскопический (циклотронный) 51
- планеты средний экваториальный 123
Радиус-вектор 27
- полярной системы координат 29
Распределение скоростей 86
Рассогласование угловое основания с гороскопом 111
Расстояние апоцентрическое 122
- при движении вокруг Земли 122
- перицентрическое 122
Реакции опор при вынужденной прецессии 94
- твердого тела 92
- опорной поверхности на колесо 26
Реакции связей 14-16, 65
- системы 43
Реакция связи материальной точки 52
- шероховатой поверхности 24
Резонатор 115
Род поверхности 86
Ротор на гибком валу 95
Роторы 109
Свойства гироскопических сил и определяющей
их матрицы 118
Связи - Классификация 62-66
- геометрические 62
- голономные 62
- двусторонние 62
- идеальные 65
- конечные 62
- наложенные на механическую систему 43
- неголономные 62
- нестационарные 63
- односторонние 62
- системы материальных точек 62
- стационарные 63
- с трением твердого тела 96
Связь гладкая 52
Сила 40 - Статика 12
- внешняя 12
- внутренняя 12
- выталкивающая клин из гнезда 25
- гироскопическая 57
- инерции 56
- кулонова трения 53
- мгновенная 144
- нормального давления 24, 25, 53
- равнодействующая 12
- реактивная 62
- реакции 14
- составляющая 12
Сила трения 24, 53
- скольжения 25
Сила тяжести 57
- центральная 51
Силы аэродинамические в верхних слоях атмо-
сферы Земли 128
- внешние механической системы 59
- внутренние механической системы 59
- гироскопические 73, 119
- диссипативные 74, 119
- инерции 68
- мгновенные, действующие на точку 140
- неконсервативные позиционные (псев-
догироскопические) 119
- параллельные, действующие на твердое
тело 18
- "потерянные" - Принцип Д Аламбера 43
- распределенные 22
- сухого трения 25
Система балочная статически определимая - Рас-
чет 20
Система гороскопической стабилизации 115
- индикаторная 115
- инерциальная навигационная 116
- силовая 116
Система координат абсолютная 40
- декартова прямоугольная для твердого те-
ла 86
Система материальных точек (механическая сис-
тема) 59
- обобщенно-консервативная 78
- пассивной стабилизации 136
- свободная 149
- сил, действующих на твердое тело 17
- статически неопределимая 23
- стержневая статически определимая -
Расчет 21
- сходящихся сил 16
Система тел статически определимая - Условия
равновесия 19
- плоская 19
596
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Системы гироскопические - Погрешности 117
- с идеальными неудерживаюшими связя-
ми 144
- с нестационарными связями 118
- с циклическими координатами 118
Скорости космические 121
- обобщенные 72
Скорость точки - Естественный способ задания
движения 28
- секторная 47
Скорость угловая твердого тела 32
- прецессии 89
Сложение движений твердого тела 35
Случаи интегрируемости частные 105
Сопротивление среды 50
Стабилизатор одноосный гироскопа 116
Стабилизация гироскопическая 120
- гравитационная искусственных спутни-
ков 136
- механических систем гироскопическими
силами 119
- пассивная космических аппаратов 136
Статика 12 - Последовательность решения задач 16
Степень неустойчивости консервативной механиче-
ской системы 119
Стержень невесомый с шарнирами на концах -
Силы реакции 16
Столкновение двух материальных точек 143
Схема обращения карданова подвеса 114
Тело гравитационно-стабилизированное 133
- катящееся - Система распределенных сил 25
- материальное - Статика 12
- свободное - Условия равновесия 16
Тело твердое - Движение вокруг неподвижной
точки 33 - Кинематика 32 - Материальная систе-
ма 64 - Равновесие 17
- свободное - Основные задачи динамики 89
Тензор инерции тела центральный 87
Теорема об изменении кинетического момента 47
- свободного твердого тела 88
- свободной механической системы 60
Теорема об изменении кинетической энергии 47 -
Следствие принципа Д’Аламбера 69
- механической системы 60
- несвободной системы 67
- в относительном движении 57
Теорема об изменении количества движения 47 -
Следствие принципа Д’Аламбера 68
- несвободной системы 66
- свободного твердого тела 88
- свободной механической системы 60
- при ударе 141
Теорема об изменении момента количества движе-
ния несвободной системы 67
- системы с идеальными связями - Следст-
вие принципа Д'Аламбера 69
- при ударе 141
Теоремы положения равновесия консервативных
механических систем 119, 120
Теория гироскопических систем 118
- удара твердых тел 144
Точка материальная 27
- приложения ударного импульса 144
Траектории фазовые 90
Траектория гиперболическая 122
- орбитального движения - Типы 120
- орбитальная возмущенная 126
- стрельбы 50
- точки 27 - Векторное уравнение 27
Трение вязкое 96
- качения 98
- нити (каната) о цилиндрическую поверх-
ность 25
- при поступательном скольжении твердого
тела 97
Трение скольжения 24, 96
Трение скольжения твердого тела 96
- при верчении 98
- при комбинации поступательного движе-
ния и верчения 97
Трехгранник Френе 46, 53
Угол нутации постоянный 137
- трения 24
Удар 140
- абсолютно упругий 142
- идеальный в лагранжевых механических
системах 146
Удар косой 142
- нестесненный 143
Удар материальной точки о препятствие 142
- прямой 142
- стесненный 143
- по телу, вращающемуся вокруг непод-
вижной оси 144
- шаров 143
Узел фермы - Равновесие 22
Узлы - Небесная сфера 122
Уравнение векторное траектории точки 27
- вертикальной параболы движения мате-
риальной точки 50
- вращения твердого тела 32, 90
- второго закона Ньютона 40
- движения точки переменной массы Ме-
щерского 61
Уравнение динамики общее (уравнение Лагранжа
второго рода) 73
- основное 45, 68
- системы материальных точек при ударе 142
Уравнение Лагранжа для циклических координат 74
- в явном виде 73
Уравнение кинематическое движения точки 27
- относительного движения 42
- параметрическое циклоиды 54
- прямолинейного движения свободной ма-
териальной точки 48
- теории удара 142
- траектории материальной точки 50
- трансцендентное Кеплера 121
Уравнения абсолютного движения двух орбиталь-
ных тел 120
Уравнения Гамильтона 78
- канонические 151
Уравнения Гамильтона - Якоби 81
- гирокомпаса 113
Уравнения движения искусственного спутника 132
- материальной точки в однородном поле
сил тяжести 49
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
597
- в ньютоновском поле сил 106
- ротора на гибком валу 95
- свободного твердого тела 88, 89
- свободных механических систем 60
- системы свободных точек 42
Уравнения движения точки в криволинейных ко-
ординатах 30-31
- в ортогональной системе координат 28
- в полярной системе координат 29
Уравнения канонические Гамильтона 81
Уравнения Лагранжа второго рода (см. уравнение
динамики общее) 72
- для нециклических координат (см. урав-
нение Рауса)
- в оскулирующих элементах 126
- первого рода с множителями - Движение
несвободной системы 66
Уравнения Ньютона (Эйлера) 126
- относительного движения двух орбиталь-
ных тел и их первые интегралы 120
- плоского движения твердого тела 67
- плоскопараллельного движения твердого
тела 94
- Рауса 74
- связей твердого тела 64
- Томсона - Тэта 118
- Эйлера - Пуассона 100
Ускорение кориолисово (поворотное) 42
- переносное 42
- точки - Естественный способ задания
движения 28
- угловое вращения твердого тела 32
Условие идеальности связей 65
- орбитальной устойчивости 134
Условия необходимые и достаточные для дейст-
вительного движения системы под действием
заданных сил 150
- устойчивости относительного равновесия
необходимые 133
Устойчивость орбитальная 134
- линейных систем с гироскопическими
силами 119
Фазовый портрет 91
Фазовый поток 83
Ферма плоская - Расчет 22
Фигура плоская - Движение вокруг полюса 36
Физический маятник (тяжелое твердое тело) 90 -
Уравнение положения равновесия 91
Формула Стокса 84
- Циолковского 62
Формулы Кенига 61
Форма уравнений возмущенного гамильтонова
движения 127
Функции времени эллиптические 55
Функция Лагранжа 73
Функция Рауса 74
Часть II. ТЕРМОДИНАМИКА ТЕПЛООБМЕН
Абляция 532
Абсолютно черное тело 492
Автомодельности область 298
Адиабата 180
Аморфизация 427
- систем с циклическими координатами 118
Функция Релея диссипативная 74
- силовая момента аэродинамических сил 129
Характеристики динамические материальной
точки 46
- кинематические движения точки 27
Центр качания физического маятника 43
Центр масс системы точек 60
- твердого тела 88
Центр приведения сил 14
- силы 47
Центроида 37
Циклотрона (гироскопическая частота) 51
Цилиндр круговой - Пример равновесия 17
Частота гармонических колебаний физиче-
ского маятника 91
- гироскопическая (см. циклотрона)
- орбитальная 137
- собственная гиромаятника 112
- Шулера 112
Число степеней свободы механической системы 64
Шаг винтовой линии 51
Шарнир - Связи 19
- сферический - Сила реакции 15
- цилиндрический - Сила реакции 15
Широта места географическая Земли 58
Эйлера задача 25
- случай по ограничениям на распределе-
ние масс в твердом теле 101
- теорема 86
- углы 33
- формула 34
Эксцентриситет орбиты 134
Элементы Делоне 127
- орбиты 121
- Пуанкаре 127
Эллипсоид инерции 87
Энергия кинетическая до удара и после удара 145
- в общем случае 73
- свободной механической системы 60
- твердого тела 87
Энергия потенциальная механической системы 59
- приведенная 52
- сил всемирного тяготения 59
- сил ньютоновского притяжения 52
Энергия равновесия 48
Эффект авторотационный 129
- Магнуса 130
Явления гироскопические 109
Якоби теорема 81
Анализ размерностей 427
Аналогия между тепло-массообменом и трением
322, 359
- Рейнольдса 323
Аэродинамическая труба 549
598
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Баланс тепловой 159, 294, 462, 538
Бинарная смесь 321
Вдув газа 355, 546
Влажный воздух 177
Внедрение 424
Возникновение турбулентности 330
Волны разрежения 432
Время установления 142
Высота шероховатости 340
Вязкий подслой 344, 377
Вязкость 209, 315, 369
- кажущаяся (турбулентная) 343, 353
- кинематическая 211
Газ идеальный 174
Газогенератор 549
Гетерогенный поток 166
Гидравлическое сопротивление 378
Гипотеза Працдгля о пути перемешивания 343
- о пограничном слое 318
Глубина прогретого слоя 294
Градиент давления 322
- скорости 320,349
- температуры 285
Давление полное 185
- статическое 185
- парциальное 177
- торможения 185, 320
Движение осредненное 370
- одномерное 184
Двухфазный поток 383
Диаметр гидравлический 370
Диссипативная функция 321
Диссоциация 206, 316
Диссоциированный газ 316
Диффузия 315
Диффузионный поток 315
Диффузионный режим горения 473
Длина волны 488
- начального участка трубы 371, 373
- пути смешения 344, 346,352
- эффективная 348
Длина свободного пробега излучения 490, 514
- молекулы 314
- частицы 389
Дросселирование 182
Жидкость идеальная 319
- капельная 369, 380
Закон Дальтона 177
- действующих масс 206
- диффузии Фика 315
- обращения воздействия 190
- поглощения Бугера 490, 514
- смешения Вина 495
- сопротивления Блазиуса 379
- теплопроводности Фурье 285, 315
- трения Ньютона 315
Закон излучения Планка 494
- Кирхгофа 492
- Стефана-Больцмана 493
Затухание турбулентности 330
Звуковая линия 319
Звуковая точка 319
Излучение газа 487
- стенки 497
Изохорный процесс 179
Изобарный процесс 180
Изотермический процесс 180
Интеграл Бернулли 185
- Лайона 379
Интегральная интенсивность излучения 496
- степень черноты 502, 530
Интенсивность пульсаций скорости 332
- турбулентности 332
Интенсивность излучения 488
- абсолютно черного тела 494
Интенсификация теплообмена 381, 459
Калориметр 135, 559
Калориметрпрование 135, 559
Касательные напряжения 322
Кипение 434
Конвективный теплообмен 284
Конвекция вынужденная 284
- свободная (естественная) 284
Коэффициент аккомодации 464
- восстановления 326
- вязкости 209, 315
- газификации 538
- гидравлического сопротивления 372
- диффузии 209, 315
- излучательной способности 493, 497
- лобового сопротивления 389
- отражательной способности 489
- поглощения 490, 542
- полезного действия 193, 195, 198
- пропускательной способности 491
- теплообмена 322
- теплопроводности 210, 285
- температуропроводности 285
- трения 323
- эффективности превращения энергии 411
Кривая кипения 434
Кривизна поверхностей 319
Кристаллизация 428
Критическое значение скорости 189
Критерий Маха 319
- Прандтля 322
- Рейнольдса 323
Ламинарнзация потока 375
Ламинарное течение 317
Ламинарный пограничный слой 318
Линии спектральные 500
Логарифмический профиль скорости 345, 378
Локальное значение коэффициента теплообмена
322, 329, 356
- термодинамическое равновесие 316
Лучистый теплообмен (тепловое излучение) 487
Масштаб турбулентности 332
Масштабный эффект 415
Многофазная среда 397
Моделирование полное 549
- тепловое (локальное) 554
- частичное 549
Модель 552
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
599
Нагрузки теплосиловые 484
Напряжение касательное (трение) 315
Неизотермичность поверхности 285
Нестационарный прогрев 288
Обратная задача 311
Обратные циклы 203
Обтекание пластины 327
- лопатки 334
- тела вращения 316, 320, 349
- в окрестности критической точки 316, 348
Одномерное уравнение 288
Оплавление материала 477
Определяющий параметр 324
Осаждение 398
Осесимметричное уравнение 321
Отражение диффузионные 519
- зеркальное 519
Отрыв пограничного слоя 319
Отрывной пузырь 444
Отсасывание из пограничного слоя 358
Охлаждение 376
Падение давления 372, 551
Параметр вдува 351
- газификации 309
- каталитической активности 325
Перемешивание турбулентное 330, 375
Перепад давления 372
- концентрации 322
- температуры 326
- энтальпии 322
Переход ламинарного течения в турбулентное 330 *
Плавление (оплавление) материала 477
Плазмотрон 532
Пластина плоская 327
Плотность газа 185, 189
- частицы 387, 407, 426
- потока энергии 487
Политропный процесс 183
Пограничный слой гидродинамический 319
- диффузионный (концентрационный) 320
- температурный (тепловой) 320
- ламинарный 318
- турбулентный 318
Подобие масштабное 538
- профилей скорости, температуры и кон-
центрации 322
- тепловое 552
Подогреватель электродуговой 532
Показатель адиабаты 180
- преломления 490
Пороговое значение скорости 409
Постоянная Больцмана 494
- газовая 319
- Планка 494
Поток бинарной смеси газов 321
- излучения 487
- неравновесный 316
- равновесный 317
- частиц 410
Превращение физико-химическое 461
Прогретый слой 294
Профиль концентрации 320
- скорости 320, 327, 344, 371, 376, 377
- температуры 320, 326, 329, 374, 376
Пузырьковое кипение 438
Равновесие термодинамическое 165, 184
Радиационный тепловой поток - Поток теплового
излучения на стенке 510, 514
Разрушающаяся тепловая зашита 532
Разрушение теплохимическое 473, 484
- эрозионное 409
Распределение давления вдоль поверхности тела 320
- скорости на внешней границе погранич-
ного слоя 329
- скорости на оси канала 371, 372
Расходный коэффициент сопла 186
Расчет теплообмена точный 324
- приближенный 346
Реакция гетерогенная 483
- гомогенная 465
- химическая 208
Режим течения ламинарный 317, 330
- турбулентный 330, 340
Решения уравнений пограничного слоя "подоб-
ные" 322
- "автомодельные" 327,329
Сжимаемость газа 318
Сила вязкости 315, 388
- инерции 389, 397
- массовая 388
- Магнуса 391
- касательная (трение) 315
- нормальная (давление) 318
- подъемная 391
- Сефмена 391
Скачок уплотнения 316
Скоростной коэффициент сопля 188
Скорость динамическая 344
- диффузии 315
- звука 187,319
- критическая 189
- седиментации 389
- среднемассовая 371
- уноса массы безразмерная 463, 540
- химических реакций 467, 470, 483
- эрозионного разрушения, безразмерная 412
След за телом 319, 385
Слой пограничный 318
Сопло Лаваля 189, 317
Сопротивление лобовое (шара) 389
Спектральная интенсивность излучения 497, 500
Стенка адиабатическая (теплоизолированная) 326
- изотермическая 372
Степень турбулентности набегающего потока 332
- черноты 493, 496, 530
- шероховатости 340, 380
Сублимация 463
Сублимационный режим горения 472
Суммарный тепловой эффект поверхностных про-
цессов 539
Температуря безразмерная 374
- определяющая 307
- цветовая и яркостная 561
Температурный напор 284, 326
- фактор 370
600
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Теплоемкость газов 163, 173, 211, 317 - жидкостей 170, 211 - твердых веществ 168, 210 - на клине (конусе) 328 - на начальном участке канала 373 - на пластине 327 - на полусферическом затуплении 319 Теплообмен в трубах 369 Теплообменники 369, 381 Теплопередача 158 Теплопроводность газов 208, 211, 286 - жидкостей 211, 286 - твердых веществ 210, 285 Теплота образования 205, 316 - реакции 205 - физико-химических превращений 307, 462 Термопара 563 Течение ламинарное 317 - переходное 330 - турбулентное 330, 340 Толщина вытеснения 337, 339 - пограничного слоя 320 - потери импульса 337 Траектория частиц 385 Турбулентность свободная 335 Фазовое состояние вещества 166, 463 Физико-химические превращения 166, 462 Формпараметр 351 Форкамера 551 Фоторегистрация 552 Цикл Карно 193 - обратный 193 - термодинамический 192 Число Био 131 - Вебера 392 - Дамкера 317 - Льюиса 317, 322 - Маха 188, 319 - Нуссельта 324 - Пекле 352, 373 - Стентона 323 - Струхаля 392 - Шмидта 323 Число Прандтля 322 - турбулентное 352, 379 Число Рейнольдса 323 - критическое 330
Удар частицей 424 Уравнение Бернулли 187 - движения 318 - диффузии 321 - Навье-Стокса 341 - неразрывности 185,318 - переноса излучения 513 - пограничного слоя 318 - состояния 174, 387 Уравнение сохранения импульса 318 - массы 318 - энергии 286, 318 - теплового баланса 462 Условие локального термодинамического равно- весия 166 - однозначности 287, 318 Шероховатость 380 Щелевой канал 550, 551 Экранирующий эффект 405, 546 Энергия внутренняя 159 - кинетическая 185 Энтальпия статическая 169, 316, 338 - полная 185 - торможения 185, 320, 338 - эффективная 303, 412, 462 Эрозия 409 Ядро потока 371 Яркостная температура 561
СПРАВОЧНОЕ ИЗДАНИЕ
Колесников Константин Сергеевич, Румянцев Валентин Витальевич, Леонтьев Александр Иванович,
Полежаев Юрий Васильевич и др.
МАШИНОСТРОЕНИЕ. ЭНЦИКЛОПЕДИЯ
ТОМ 1-2
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. ТЕРМОДИНАМИКА. ТЕПЛООБМЕН.
Редакторы: 3. М. Рябкова, С. М. Макеева Художественный редактор Т. Н. Галицына Оформление художника Т. Н. Погореловой Корректрры: Л. Е. Сонюшкина, Л. А. Ягупьева
Инженеры по компьютерному макетированию: М. Н. Рыжкова, И. В. Евсеева, М. А. Филатова
Лицензия ЛР № 080003 от 12.09.96 г.
Сдано в набор 6.07.98 г. Подписано в печать 22.02.99 г.
Формат 70x100/16. Бумага офсетная. Усл.печл. 48,75. Усл.кр.-отт. 48,75. Тираж 530 экз. Заказ 488 Гарнитура Times ЕТ. Печать офсетная Уч.-изд.л. 61,98.
Издательство "Машиностроение", 107076, Москва, Б-76, Стромынский пер., 4
Оригинал-макет подготовлен в издательско-полиграфическом центре
Тамбовского государственного технического университета
392032, г. Тамбов, ул. Мичуринская, 112, корп. Б
Отпечатано в АООТ "Политех-4". 129110,Москва,ул.Б. Переяславская,46