/
Author: Ященко И.В. Высоцкий И.Р. Семенов А.Л.
Tags: общее школьное образование общеобразовательная школа математика учебные пособия и учебники по математике подготовка к экзаменам задачи по математике егэ по математике подготовка к егэ
ISBN: 978-5-491-00072-2
Year: 2011
Similar
Text
ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ
ЕДИНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН
ТЕШ?
ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Под редакцией А. Л. СЕМЕНОВА, И. В. ЯЩЕНКО
* НАЦИОНАЛЬНОЕ
ОБРАЗОВАНИЕ
£
федеральный институт педагогических измерении
единый государственный экзамен
ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Под редакцией А. Л. СЕМЕНОВА, И. В. ЯЩЕНКО
30 ВАРИАНТОВ
МОСКВА
НАЦИОНАЛЬНОЕ
ОБРАЗОВАНИЕ
2011
УДК 373.167.1:51
ББК 22.1я721
Е 31
НОУ «Московский Центр непрерывного математического образования (МЦНМО)»
Л в то р ы - сос та в и те л и:
И.Р. Высоцкий. И.В. Ященко
В сборнике использованы задачи, предложенные:
И.Р. Высоцким. Р.К. Гординым. Д.Д. Гущиным, П.И. Захаровым. В.С. Панферовым,
М.Я. Пратусевичем. Д.А. Ростовским. А.Р. Рязановским, И.Н. Сергеевым,
В.А. Смирновым, К.М. Столбовым, А.С. Трепал иным, С.А. Шестаковым,
Д.Э. Шнолем, И.В. Ященко
М сто дол о г и ч ос кос со п ровождс нис
Федерального института педагогических измерений (ФИПИ)
ЕГЭ-2012. Математика : типовые экзаменационные варианты : 30 вариантов /
Е 31 иод рсд. А. Л. Семенова. И. В. Ященко. — М. : Национальное образование, 2011. —
192 с. - (ЕГЭ-2012. ФИПИ - школе).
ISBN 978-5-491-00072-2
Серия «ЕГЭ-2012. ФИПИ — школе» подготовлена разработчиками контрольных измери-
тельных материалов. В сборнике представлены:
• 30 обновленных типовых экзаменационных вариантов для подготовки к экзамену 2012 года;
• типовой бланк ответов ЕГЭ;
• ответы к заданиям всех частей экзаменационной работы;
• решения заданий С;
• критерии оценивания заданий.
Шесть вариантов даны с решениями, позволяющими проверить полноту и точность рас-
суждений читателя.
Большое количество вариантов предоставляет учащимся возможность самостоятельно под-
готовиться к экзамену, а дополнительные материалы — объективно оценить уровень своих
знаний.
Учителя могут использовать типовые экзаменационные варианты для интенсивной под-
готовки учащихся к ЕГЭ, контролировать уровень знаний, планировать систему подготовки
к ЕГЭ.
УДК 373.167.1:51
ББК 22.1я721
ISBN 978-5-491-00072-2
© НОУ «Московский центр непрерывного математического
образования (МЦНМО)», 2011
© ООО «Национальное образование», 2011
Содержание
Введение...................................................4
Инструкция по выполнению работы............................6
Вариант 1 ................................................ 9
Вариант 2.................................................13
Вариант 3.................................................17
Вариант 4.................................................21
Вариант 5.................................................25
Вариант 6 ............................................... 29
Вариант 7.................................................33
Вариант 8 ............................................... 37
Вариант 9.................................................41
Вариант 10................................................45
Вариант 11................................................49
Вариант 12................................................53
Вариант 13................................................57
Вариант 14................................................61
Вариант 15................................................65
Вариант 16................................................69
Вариант 17................................................73
Вариант 18................................................77
Вариант 19................................................81
Вариант 20................................................85
Вариант 21 89
Вариант 22................................................93
Вариант 23................................................97
Вариант 24......................................*........101
Вариант 25...............................................105
Вариант 26...............................................109
Вариант 27...............................................113
Вариант 28...............................................117
Вариант 29...............................................121
Вариант 30...............................................125
Ответы...................................................130
Решения и критерии оценивания заданий части 2............153
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
Введение
Сборник предназначен для подготовки к Единому государственному экзамену по мате-
матике и содержит 30 полных вариантов, составленных в соответствии с демоверсией ЕГЭ
по математике 2012 года. Варианты подготовлены специалистами федеральной комиссии
разработчиков ЕГЭ. При составлении вариантов использовались задания из открытого бан-
ка заданий ЕГЭ (www.mathege.ru). Шесть вариантов даны с решениями, позволяющими
проверить полноту и точность ваших рассуждений. Ответы имеются ко всем заданиям.
В начале сборника представлен типовой бланк ЕГЭ.
Задачи вариантов №№ 21—25 взяты из ЕГЭ 2011 года. С их помощью вы можете по-
пробовать оценить свои силы в уже прошедшем ЕГЭ.
Структура вариантов изменена в соответствии с планирующимися изменениями ЕГЭ
в 2012 году, но общая схема вариантов осталась прежней. Впервые в подготовительные
варианты включены задания по теории вероятностей (В 10).
Если вы планируете получить школьный аттестат и больше никогда не иметь дело
с математикой, эта книга для вас.
Если вы собираетесь поступить в вуз на техническую или социологическую специаль-
ность и вам нужен высокий балл на ЕГЭ по математике, эта книга тоже для вас.
Если вы планируете продолжать свое математическое образование и претендуете
на 90—100 баллов на ЕГЭ по математике, то вам эта книга также будет полезна.
В предлагаемых вариантах задания весьма серьезно различаются по сложности и на-
значению. В нынешних условиях, когда экзамен по математике обязателен для всех вы-
пускников, это единственная возможность удовлетворить потребности всех участников.
Как пользоваться книгой
Если ваша цель — преодолеть минимальный порог, для того чтобы получить аттестат,
вам нужно сосредоточиться на заданиях В1—В5, В10 и В12. Задачи В1, В2, В4, В10
и В12 ориентированы на математические ситуации повседневной жизни. Такие задачи не-
редко приходится решать в магазинах, на вокзалах, в банках, при вызове такси и во вре-
мя ремонта в квартире. Задание В12, несмотря на кажущуюся сложность, требует только
умения подставить данные числа в данную формулу и провести вычисления.
Задание В10 по теории вероятностей. Оно простое, его можно решить, опираясь на ба-
зовую подготовку и здравый смысл.
Задание В5 содержит простейшее уравнение, которое можно решить по наитию, не вы-
полняя преобразований: нужно догадаться. Задачу ВЗ иногда решают без формул, вычис-
ляя площадь фигуры по клеточкам. Это — хороший способ. Если вы уверенно решаете
в каждом варианте 6—7 заданий, то это означает, что вы обладаете минимальной матема-
тической культурой и достигнете своей цели на ЕГЭ.
Если ваша цель — подтвердить свою школьную оценку и самооценку и получить хо-
роший балл по математике для поступления в вуз, тогда ваш экзамен состоит из всех
заданий части 1 (Bl—В14) и заданий Cl, С2. Все эти задания являются стандартными
с точки зрения школьной программы. Помимо заданий практико-ориентированного блока
здесь предлагаются задачи на понимание основных фактов и идей школьного курса мате-
матики, а также задачи, где нужно решить уравнения, найти элементы пространственной
фигуры, исследовать функцию и т.п. Вы достигнете своей цели тренировкой, тренировкой
и тренировкой. Обратите также внимание на задания СЗ и С4. Они, конечно, посложнее,
чем С1 и С2. Здесь уже нужно подумать, пофантазировать.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
Если ваша цель — поступить на математическую специальность и вам нужен очень
высокий балл на ЕГЭ, тогда вы должны уверенно решать все задания части 1 и зада-
ния Cl, С2 (как ни странно, наиболее подготовленные учащиеся часто ошибаются именно
здесь, по небрежности). Вам нужно уметь выполнять (может быть, с некоторыми недоче-
тами) задания СЗ и С4. Основной объект вашего внимания - задание С5, требующее уме-
ния комбинировать геометрические и алгебраические идеи, видеть за уравнением фигуру,
за рисунком - решение уравнений и их систем, умения вообразить взаимное расположе-
ние двигающихся по плоскости линий и фигур.
Задание С6 требует высокой математической культуры, но не очень много специальных
знаний. Все необходимые сведения о целых числах и делимости изучаются в 5—7 клас-
сах. Вопрос не в знаниях, а в том, как их применить. Здесь важно сочетание опыта, фан-
тазии и подготовки. Помощь окажут сборники олимпиадных заданий, популярные мате-
матические статьи и журналы. Небесполезным, надеемся, будет и наш сборник.
Как пользоваться готовыми решениями вариантов
Обратите внимание на то, что некоторые варианты похожи друг на друга. Будем гово-
рить, что такие варианты собраны по одному плану. Если для какого-то варианта приве-
дены решения задач, то варианты, собранные по тому же плану, имеют аналогичные ре-
шения. Можно предложить два способа использования готовых решений при подготовке.
Вы не можете решить задачу: в этом случае посмотрите решение и тщательно разбе-
ритесь в нем. Недостаточно просто прочесть решение и понять, что там написано. Реше-
ния не очень подробные. Нужно проделать самостоятельно все пропущенные выкладки,
понять не только ход решения, но и снять возникающие вопросы «почему так». Когда
вы разберетесь в решении, попробуйте повторить его самостоятельно, но не по памяти,
а воспроизводя все логические шаги и вычисления. Ваш вариант решения будет гораздо
больше по объему, поскольку он будет подробнее. Затем возьмите вариант того же пла-
на, но без решения. И решите аналогичное задание этого варианта, еще раз воспроизводя
все логические построения и вычисления. Наконец, попробуйте изменить решение, может
быть, улучшить его. Попробуйте решить похожую задачу с измененным условием.
Вы решили задание самостоятельно, и ответы совпали. Это не означает, что ваше ре-
шение не содержит упущений или логических ошибок. Сравните свое решение с решени-
ем, предложенным авторами. Попробуйте определить, какое решение вам нравится боль-
ше, разобраться, в чем решения различаются, а в чем схожи. Проверьте, рассмотрели ли
вы все нужные случаи, убедительно ли сумели объяснить все свои построения и преоб-
разования.
Как пользоваться бланками ЕГЭ
Большое число ошибок на ЕГЭ носит технический характер. Эти ошибки связаны с не-
верным заполнением бланков и неразборчивым почерком. Чтобы исключить технические
ошибки и не доводить дело до апелляции, нужно научиться правильно и разборчиво за-
полнять бланки ЕГЭ. Для этого тоже нужна небольшая тренировка. Используйте бланк
для тренировки.
Желаем удачи!
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
Инструкция
по выполнению работы
На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4 часа (240 мин.). Ра-
бота состоит из двух частей и содержит 20 заданий.
Часть 1 содержит 14 заданий с кратким ответом (В1-В14) базового уровня по материа-
лу курса математики. Задания части 1 считаются выполненными, если экзаменуемый дал
верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.
Часть 2 содержит 6 более сложных заданий (С1-С6) по материалу курса математики.
При их выполнении надо записать полное решение и ответ.
Советуем для экономии времени пропускать задание, которое не удается выполнить
сразу, и переходить к следующему. К выполнению пропущенных заданий можно вернуть-
ся, если у вас останется время.
Желаем успеха!
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
Единый государственный экзамен - 2012
“ Ъ1 (Цламк. Mt&iMi №1 IIIIIIIIIHIIIIIIIII
Заполнять гелевой или капиллярной ручкой ЧЕРНЫМИ чернилами ЗАГЛАВНЫМИ ПЕЧАТНЫМИ БУКВАМИ по следующим образцам:
Код
региона
- А А А О О Ё Ё Ё Ё I Т СТО 0 0
Название предмета
Подпись участника ЕГЭ строго внутри окошка.
Резерв 5
Все бланки и листы с контрольными измерительными материалами рассматриваются в комплекте.
Образец написания метки
Номера заданий типа А с выбором ответа из предложенных вариантов
(\71 ЗАПРЕЩЕНЫ исправления в области ответов
Будьте аккуратны. Случайный штрих внутри квадрата может быть воспринят как метка
А2 АЗ А4 А5 А6 А7 А8 А9 А10 А11 А12 А13 А14 А15 А16 А17 А18 А19 А20 А21 А22 А23 А24 А25 А26 А27 А28 А29
А31 А32 АЗЗ А34 А35 АЗб А37 А38 А39 А40 А41 А42 А43 А44 А45
АЗО
А46 А47 А48 А49 А50 А51 А52 А53 А54 А55 А56 А57 Д58 А59 А60
В1
Результаты выполнения заданий типа В с ответом в краткой форме
811
812
813
В14
815
В16
817
818
В19
820
Замена ошибочных ответов на задания типа В
ПЛ IIIIIII1IIII I |ТИ и II I I I II
Ъ|Единый государственный экзамен - 2012
bi (Бланк. отпето!) Ns2
Код
региона
Код
предмета
Название предмета
Резерв - 8
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
Дополнительный
бланк ответов №2
ЛистМ
Перепишите значение полей «код региона», «код предмета», «название предмета» из БЛАНКА РЕГИСТРАЦИИ.
Отвечая на задание типа С, пишите аккуратно и разборчиво, соблюдая разметку страницы.
Не забудьте указать номер задания, на которое Вы отвечаете, например С1.
Условия задания переписывать не нужно.
ВНИМАНИЕ!
Все бланки и листы с контрольными измерительными материалами рассматриваются в комплекте.
0
•
1
ВАРИАНТ 1
Часть 1
Ответом на задания В1-В14 должно быть целое число или конечная деся-
тичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от
номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру,
знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии
с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
В1
В2
Железнодорожный билет для взрослого стоит 820 руб. Стоимость билета для
школьника составляет 50% стоимости билета для взрослого. Группа состоит из
20 школьников и 2 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Свердловске (ныне —
Екатеринбург) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы,
по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наи-
большую среднемесячную температуру во втором полугодии. Ответ дайте в граду-
сах Цельсия.
20
-20
16
12
0
-8
-16
1 ; I
1 1
1 г- 1 х—
—— т-
янв фев мар апр май июн июл авг сен ! 1 окт ноя дек
1 [ 1
-- . • 1 1 1 1 1 1
• - 1
вз
Найдите площадь трапеции, вершины которой име-
ют координаты (1; 1), (10; 1), (8; 7), (5; 7).
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
10
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В4
В магазине одежды объявлена акция: если покупатель приобретает товар на сумму
свыше 10 000 руб., он получает скидку на следующую покупку в размере 10%
уплаченной суммы. Если покупатель участвует в акции, он теряет право возвра-
тить товар в магазин. Покупатель Б. хочет приобрести пиджак ценой 9450 руб.,
футболку ценой 800 руб. и галстук ценой 900 руб. В каком случае Б. заплатит за
покупку меньше всего:
1)
2)
3)
Б. купит все три товара сразу.
Б. купит сначала пиджак и футболку, а потом галстук со
Б. купит сначала пиджак и галстук, а потом футболку со
скидкой.
скидкой.
В ответ запишите, сколько рублей заплатит Б. за покупку в этом случае.
В5
Найдите корень уравнения log5(6 + x) = 2.
В6
В треугольнике АВС угол С равен 90°, cosA = 0,48. Найдите sin В.
В7
Найдите значение выражения:
--+1-I 131,25.
7 3/
В8
На рисунке изображен график функции y = f(x\ Найдите среди точек xv х2, х3,
х4, х5, х6 и х7 те точки, в которых производная функции /(х) отрицательна. В от-
вет запишите количество найденных точек.
У =
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
11
ВАРИАНТ 1
В9
В правильной треугольной пирамиде SABC медиа-
ны основания АВС пересекаются в точке О. Пло-
щадь треугольника АВС равна 2; объем пирамиды
равен 6. Найдите длину отрезка OS,
В10
На экзамене 60 билетов, Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того,
что ему попадется выученный билет.
В11
В цилиндрический сосуд налили 3000 см3 воды. Уровень
воды при этом достиг высоты 20 см. В жидкость полно-
стью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в со-
суде поднялся на 3 см. Чему равен объем детали? Ответ
выразите в см3.
В12
Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону Л(/) = 1 + 112-522,
где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска.
Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 м?
В13
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 483 км и после стоян-
ки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость
теплохода в неподвижной воде равна 22 км/ч, стоянка длится 2 ч, а в пункт от-
правления теплоход возвращается через 46 ч после отплытия из него. Ответ дайте
в км/ч.
В14
Найдите наименьшее значение функции i/ = (x-12)ex11 на отрезке [10; 12].
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
12
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания С1—С6 используйте бланк отве-
тов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное
обоснованное решение и ответ.
С1
Решите уравнение
3sin2x-4cosx + 3sinx-2 = 0.
Укажите корни, принадлежащие
С2
СЗ
отрезку
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1FV
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой E1FV
Решите систему неравенств
lo^logx2x 2)>0
все ребра которой
С4
Дан ромб ABCD с диагоналями АС = 24 и BD = 10. Проведена окружность радиусом
5>/2
2
с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через
вершину В, касается этой окружности и пересекает прямую CD в точке М. Най-
дите СМ.
С5
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение f(x) = 2а + 5 х
имеет 6 решений, где f — четная периодическая функция с периодом Г = 2, опреде-
ленная на всей числовой прямой, причем f(x) = ax, если 0<х<1.
С6
Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной за-
пятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны члены возрастающей последова-
тельности натуральных чисел ап. В результате получилось рациональное число, ко-
торое выражается несократимой дробью, знаменатель которой меньше 100. Найдите
наименьшее возможное значение а*.
о
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
ВАРИАНТ 2
Часть 1
Ответом на задания В1—В14 должно быть целое число или конечная деся-
тичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от
номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру,
знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии
с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
В1
Железнодорожный билет для взрослого стоит 720 руб. Стоимость билета для
школьника составляет 50% стоимости билета для взрослого. Группа состоит из
24 школьников и 4 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?
В2
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Нижнем Новгороде
за каждый месяц 1994 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертика-
ли — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, в каком месяце
средняя температура впервые превысила 10°С. В ответ напишите номер месяца.
20
-16
16
12
8
0
-4
-8
-12
1 J
« — - - - - 1 1
•
1
ЯН0 фее мар апр май июн июл • авг — сен окт ноя дек
1 _ 1 _ 1 1
।
вз
Найдите площадь трапеции, вершины которой име-
ют координаты (1; 1), (10; 1), (9; 7), (6; 7).
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
14
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В4
Строительной фирме нужно приобрести 79 кубометров пенобетона у одного из трех
поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько придется
заплатить за самую дешевую покупку с доставкой (в руб.)?
Поставщик Стоимость пенобетона (руб. за 1 м3) Стоимость доставки (в руб.) Дополнительные условия
А 2650 4400
Б 3200 5400 При заказе на сумму больше 150 000 руб. доставка бесплатно
В 2680 3400 При заказе более 80 м3 доставка бесплатно
Найдите корень уравнения log3 (4 + х) = 3.
В треугольнике АВС угол С равен 90°, cos А = 0,31. Найдите sin В.
Найдите значение выражения:
0,24.
В8
На рисунке изображен график функции y-f{x) и касательная к этому графику,
проведенная в точке х0. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите
значение производной функции у = /(х) + 5 в точке хп.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
15
ВАРИАНТ 2
В9
В правильной треугольной пирамиде SABC медиа-
ны основания АВС пересекаются в точке О. Пло-
щадь треугольника АВС равна 9; объем пирамиды
равен 6. Найдите длину отрезка OS,
В10
На экзамене 40 билетов, Дима не выучил 6 из них. Найдите вероятность того, что
ему попадется выученный билет.
В11
В цилиндрический сосуд налили 1700 см3 воды. Уровень
воды при этом достиг высоты 10 см. В жидкость полно-
стью погрузили деталь. При этом уровень жидкости
в сосуде поднялся на 5 см. Чему равен объем детали?
Ответ выразите в см3.
В12
Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону
h(t) = 1,8 + 1СИ-5£2, где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее
с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 6 м?
В13
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 513 км и после стоян-
ки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость
теплохода в неподвижной воде равна 23 км/ч, стоянка длится 8 ч, а в пункт от-
правления теплоход возвращается через 54 ч после отплытия из него. Ответ дайте
в км/ч.
В14
Найдите наименьшее значение функции у = (х-18)ех 17 на отрезке [16; 18].
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
16
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания С1—С6 используйте бланк отве-
тов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное
обоснованное решение и ответ.
С1
Решите уравнение
2sin2x + cosx + 4sinx + 1 = 0. Укажите корни, принадлежащие
С2
СЗ
С4
С5
С6
отрезку
7л
2
В правильной шестиугольной призме ABCjDEJFA1B1C1jD1E1F1,
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой A±DV
Решите систему неравенств
Зх (4х 1) — 0
21х - 9-7* - 3х + 9<0.
все ребра которой
Дан ромб ABCD с диагоналями АС = 30 и BD =16. Проведена окружность радиусом
4д/2 с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через
вершину В, касается этой окружности и пересекает прямую CD в точке М. Най-
дите СМ.
Найдите все значения параметра а, большие 1, при каждом из которых уравнение
/ (х) = 3а-3 \1х имеет 6 решений, где f — нечётная периодическая функция с пери-
одом 7 = 4, определённая на всей числовой прямой, причем f(x) = 4,5a2((x-l)-l)2,
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каж-
дый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 13 раз больше,
либо в 13 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности рав-
на 6075.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трех членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
2
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
ВАРИАНТ 3
Часть 1
Ответом на задания В1-В14 должно быть целое число или конечная деся-
тичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от
номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру,
знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии
с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
В1
Железнодорожный билет для взрослого стоит 760 руб. Стоимость билета для
школьника составляет 50% стоимости билета для взрослого. Группа состоит из
19 школьников и 3 взрослых. Сколько стоят билеты на всю группу (в руб.)?
В2
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Минске за каждый
месяц 2003 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — темпера-
тура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, в каком месяце средняя тем-
пература впервые превысила 10°С. В ответ напишите номер месяца.
24
20
16
12
8
0
— I — —
-
I ... ...
1
янв фев ма£ —J апр май июн июл авг сен 1 . окт ноя
•- Г" III.
вз
Найдите площадь трапеции, вершины которой
имеют координаты (1; 1), (10; 1), (9; 7), (7; 7).
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
18
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В4
Строительной фирме нужно приобрести 73 кубометра пенобетона у одного из трех
поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько придется
заплатить за самую дешевую покупку с доставкой (в руб.)?
Поставщик Стоимость пенобетона (руб. за 1 м3) Стоимость доставки (руб.) Дополнительные условия
А 2650 4400
2800 5400 При заказе на сумму больше 150 000 руб. доставка бесплатно
в 2680 3400 При заказе более 75 м3 доставка бесплатно
В5
Найдите корень уравнения log6 (4 + х) = 2.
В6
В треугольнике АВС угол С равен 90°, cosA = 0,55. Найдите sinB.
В7
Найдите значение выражения:
В8
На рисунке изображены график функции у = f (х) и касательная к нему в точке
с абсциссой х0. Найдите значение производной функции /(х) в точке х0.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
19
ВАРИАНТ 3
В9
В правильной треугольной пирамиде SABC медиа-
ны основания АВС пересекаются в точке О. Пло-
щадь треугольника АВС равна 2; объем пирамиды
равен 5. Найдите длину отрезка OS.
В10
На экзамене 45 билетов, Федя не выучил 9 из них. Найдите вероятность того, что
ему попадется выученный билет.
В11
В цилиндрический сосуд налили 2900 см3 воды. Уровень
воды при этом достиг высоты 20 см. В жидкость полно-
стью погрузили деталь. При этом уровень жидкости
в сосуде поднялся на 15 см. Чему равен объем детали?
Ответ выразите в см3.
В12
Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = l,8 + 13t-5t2,
где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска.
Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 9 м?
В13
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 240 км и после стоян-
ки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость
теплохода в неподвижной воде равна 16 км/ч, стоянка длится 8 ч, а в пункт от-
правления теплоход возвращается через 40 ч после отплытия из него. Ответ дайте
в км/ч.
В14
Найдите наименьшее значение функции
у -(х-20)ех 19 на отрезке [18; 20].
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
20
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
С1
С2
Решите систему неравенств
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания С1-С6 используйте бланк отве-
тов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное
обоснованное решение и ответ.
Решите уравнение 3sin2x - 3cosx + 2sinx -1 = 0. Укажите корни, принадлежащие
отрезку [-2л; - л].
В правильной шестиугольной призме ABCDEBA1B1C1D1E1F1,
равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой CrD,
все ребра которой
l°giogx2x (9х - 4)> 0
6х - 4 • 3х - 2х + 4<0.
С4
Дан ромб ABCD с диагоналями АС = 48 и BD =14. Проведена окружность радиу-
СОМ
7х/2
с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая
2
через вершину В, касается этой окружности и пересекает прямую CD в точке М,
Найдите СМ.
С5
Найдите все значения параметра а, не меньшие 1, при каждом из которых уравне-
ние
имеет 6 решений, где f — нечетная периодическая функция
с периодом Т = 4, определенная на всей числовой прямой, причем /(х) = 18а2 (|х-1|-1)2,
если 0<х<2.
С6
Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной за
пятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны члены арифметической про-
грессии ап = dn + 2 (d — целое). Из полученной записи удалены минусы, если они
есть. В результате получается рациональное число. Найдите это число.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
ВАРИАНТ 4
Часть 1
Ответом на задания В1-В14 должно быть целое число или конечная деся-
тичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от
номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру,
знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии
с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
Железнодорожный билет для взрослого стоит 560 руб. Стоимость билета для
школьника составляет 50% стоимости билета для взрослого. Группа состоит из
15 школьников и 3 взрослых. Сколько стоят билеты на всю группу (в руб.)?
В2
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Санкт-Петербурге
за каждый месяц 1999 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертика-
ли — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, в каком месяце
второго полугодия средняя температура впервые стала ниже 10°С. В ответ напи-
шите номер месяца.
24
-12
20
16
12
8
0
-4
-8
—1
• 1 - - ] 1
J
* < |-- - -
1
янв фев мар 1 апр - май июн июл авг , । сен окт L . . ноя 1 дек
1
- |_ р 1
L I I
вз
Найдите площадь трапеции, вершины которой
имеют координаты (1; 1), (10; 1), (7; 8), (2; 8).
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
22
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В4
Строительной фирме нужно приобрести 74 кубометра пенобетона у одного из трех
поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько придется
заплатить за самую дешевую покупку с доставкой (в руб.)?
Поставщик Стоимость пенобетона (руб. за 1 м3) Стоимость доставки (руб.) Дополнительные условия
А 2750 4900
3100 5900 При заказе на сумму больше 150 000 руб. доставка бесплатно
в 2780 3900 При заказе более 75 м3 доставка бесплатно
Решите уравнение log3(x2 + х
= log3(x2+ 3
В треугольнике АВС угол С равен 90°,
cosA = 0,41. Найдите sin В.
В7
Найдите значение выражения:
В8
На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к этому графику,
проведенная в точке х0. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите
значение производной функции у = 4f(x)-3 в точке х0.
уь
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
23
ВАРИАНТ 4
В9
В правильной треугольной пирамиде SABC медиа-
ны основания АВС пересекаются в точке О. Пло-
щадь треугольника АВС равна 2; объем пирамиды
равен 4. Найдите длину отрезка OS,
В10
На экзамене 40 билетов, Коля не выучил 4 из них. Найдите вероятность того, что
ему попадется выученный билет.
В11
В цилиндрический сосуд налили 2000 см3 воды. Уровень
воды при этом достиг высоты 8 см. В жидкость полно-
стью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в со-
суде поднялся на 6 см. Чему равен объем детали? Ответ
выразите в см3.
В12
Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t)-2 + 13t-5f2,
где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска.
Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 10 м?
В13
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 375 км и после стоянки
возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость те-
плохода в неподвижной воде равна 20 км/ч, стоянка длится 10 ч, а в пункт от-
правления теплоход возвращается через 50 ч после отплытия из него. Ответ дайте
в км/ч.
В14
Найдите наименьшее значение функции у = (х-22)е* 21 на отрезке [20; 22].
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
24
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
С1
С2
СЗ
С4
С5
С6
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания С1-С6 используйте бланк отве-
тов № 2, Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное
обоснованное решение и ответ.
Решите уравнение 2sin2x - 4cosx + 3sinx - 3 = 0. Укажите корни, принадлежащие
отрезку
В правильной шестиугольной призме A.„F 19 все ребра которой равны 1, найдите
расстояние от точки F1 до прямой АС,
Решите систему неравенств
_ l°glogx2x(6* - 2)> 0
20х - 64 5х - 4х + 64< 0.
Дан ромб ABCD с диагоналями АС = 42 и BD = 40. Проведена окружность радиусом
Юл/2 с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через
вершину В, касается этой окружности и пересекает прямую CD в точке М, Найдите
СМ.
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение f (х) = ia + 2|x/x
™ 16
имеет 4 решения, где f — четная периодическая функция с периодом Т = —, опре-
3
, >. о 8
деленная на всей числовой прямой, причем f(x) = ax , если 0<х<—.
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каж-
дый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 11 раз больше,
либо в 11 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности рав-
на 3887.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трех членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
ВАРИАНТ 5
Часть 1
Ответом на задания В1-В14 должно быть целое число или конечная деся-
тичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от
номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру,
знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии
с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
В1
Железнодорожный билет для взрослого стоит 360 руб. Стоимость билета для
школьника составляет 50% стоимости билета для взрослого. Группа состоит из
16 школьников и 3 взрослых. Сколько стоят билеты на всю группу (в руб.)?
В2
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Симферополе за
каждый месяц 1988 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали —
температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, в каком месяце сред-
няя температура впервые превысила 12°С. В ответ напишите номер месяца.
-2
24
20
18
16
14
12
10
8
4
2
0
1 1 1
'1 1 1 I •
•
*
• 1
; ।
янв с рев мар апр май июн'июл авг сен окт 1 ноя 'дек
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
26
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В4
Найдите площадь трапеции, вершины которой у к имеют координаты (1; 1), (10; 1), (6; 8), (3; 8). 8 1—Д 1 0 1 Л |\ Z1 1 \ /1 । \ / । । \ / । । \ / 1 1 \ / i । \ / । । \ / । । \ / । । \ / । । \ / t । \ / । । \ / । । \ Г 1 1 \ 1 1 \ 1 1 \ 1 1 \ 1 1 Л 1 1 1 1 1 1 1 1 1 X 3 6 Юг
Строительной фирме нужно приобрести 72 кубометра пенобетона у одного из трех
поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько придется
заплатить за самую дешевую покупку с доставкой (в руб.)?
Поставщик Стоимость пенобетона (руб. за 1 м3) Стоимость доставки (руб.) Дополнительные условия
2950 5000
Б 3000 6000 При заказе на сумму больше 150 000 руб. доставка бесплатно
В 2980 4000 При заказе более 75 м3 доставка бесплатно
Найдите корень уравнения log4 (7 + х) = 2.
В5
В6
В треугольнике АВС угол С равен 90°, cos А = 0,24.
Найдите sin В.
В7
Найдите значение выражения:
3
27
В8
На рисунке изображены график функции у = f(x)
и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Най-
дите значение производной функции /(х) в точ-
ке х0.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
27
ВАРИАНТ 5
В9
В правильной треугольной пирамиде SABC медиа-
ны основания АВС пересекаются в точке О. Пло-
щадь треугольника АВС равна 4; объем пирамиды
равен 6. Найдите длину отрезка OS,
В10
На экзамене 40 билетов, Игорь не выучил 2 из них. Найдите вероятность того, что
ему попадется выученный билет.
В11
В цилиндрический сосуд налили 3000 см3 воды. Уро-
вень воды при этом достиг высоты 10 см. В жидкость
полностью погрузили деталь. При этом уровень жидко-
сти в сосуде поднялся на 5 см. Чему равен объем дета-
ли? Ответ выразите в см3.
В12
Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону
h(t) = l,2 + lli-5t2, где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее
с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 6 м?
В13
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 780 км и после стоянки
возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость тепло-
хода в неподвижной воде равна 28 км/ч, стоянка длится 4 ч, а в пункт отправле-
ния теплоход возвращается через 60 ч после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
В14
Найдите точку максимума функции
промежутку
у = (2х — 3) cosx - 2sinx + 10 , принадлежащую
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
28
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания С1-С6 используйте бланк отве-
тов № 2, Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное
обоснованное решение и ответ.
С1
Решите уравнение 5sin2x + 5cosx - 8sinx - 4 = О. Укажите корни, принадлежащие
отрезку
С2
В правильной шестиугольной призме A...FV все ребра которой равны 1, найдите
расстояние от точки В до прямой C^F.
Решите систему неравенств
'logiogx3x (7х - 2) 0
42х - 36 • 7х - 6х + 36<0.
С4
Дан ромб ABCD с диагоналями АС = 80 и BD =18. Проведена окружность радиусом
центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через
вершину В, касается этой окружности и пересекает прямую CD в точке М. Най-
дите СМ.
С5
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
f(x) = |За + 5 \Х имеет 4 решения, где f
четная периодическая функция с пери-
одом Т ~
16
определенная на всей числовой прямой, причем /(х) = (За + 1)х2, если
3
0< х<—.
3
С6
Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной за-
пятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны члены последовательности
an=dnn +21 (d — целое). В результате получается рациональное число. Найдите
это число.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
ВАРИАНТ 6
Часть 1
Ответом на задания В1-В14 должно быть целое число или конечная деся-
тичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от
номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую циф-
ру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии
с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
Bl
Тетрадь стоит 20 руб. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет ку-
пить на 350 руб. после понижения цены на 25% ?
В2
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Свердловске (ныне —
Екатеринбург) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы,
по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наи-
большую среднемесячную температуру в 1973 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.
20
-20
16
12
О
-12
-16
— 1
1
— —— 1
1
1
янв фев • мар апр май июн и юл авг сен окт ноя Дек
L-—
ВЗ
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см
изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его
площадь в квадратных сантиметрах.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
30
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В4
Строительной фирме нужно приобрести 40 кубометров строительного бруса
у одного из трех поставщиков. Какова наименьшая стоимость такой покупки
с доставкой (в руб.)? Цены и условия доставки приведены в таблице.
Поставщик Цена бруса (руб. за 1 м3) Стоимость доставки (руб.) Дополнительные условия
А 3700 10 400
Б 4500 8400 При заказе на сумму больше 150 000 руб. доставка бесплатно
В 3800 8400 При заказе на сумму больше 200 000 руб. доставка бесплатно
В5
Найдите корень уравнения
16
В6
В треугольнике АВС угол С равен 90°, АВ = 40, АС = 4л/б1. Найдите sin А.
В7
Найдите значение выражения
^2+log7 6
В8
На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к нему в точке
с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.
L •*« k i 1 1 1 1______ """4 I
i 1 1 1 1 1 1
! 1 ! J 1 ; 1 — л лм —< о ill1 1 1 1 , 1 : i 1 ; co -1 «м 4k ммам i- - ШМыШ i * IM • MM4^ X - •4
1
Z * 1
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
31
ВАРИАНТ 6
В9
Высота конуса равна 8, а диаметр основания — 30.
Найдите образующую конуса.
В10
Маша включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это вре-
мя по 9 каналам из сорока пяти показывают новости. Найдите вероятность того,
что Маша попадет на канал, где новости не идут.
В11
Прямоугольный параллелепипед описан
около сферы радиусом 17. Найдите его
объем.
В12
Зависимость объема спроса q (единиц) на продукцию предприятия-монополиста от
цены р (тыс. руб.) задается формулой q = 190 - 10р. Выручка предприятия за
месяц г (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p) = q • р. Определите наибольшую
цену р, при которой месячная выручка г(р) составит не менее 880 тыс. руб. Ответ
приведите в тыс. руб.
В13
Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 30 км, одновременно выеха-
ли автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на
50 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если извест-
но, что он прибыл в пункт В на 2,5 ч позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
В14
Найдите наибольшее значение функции у = 24tgx - 24х + 6я - 4 на отрезке
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
32
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания С1—С6 используйте бланк отве-
тов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное
обоснованное решение и ответ.
С1
Решите уравнение 2sin2 х+sinхcosх-3cos2 х = 0. Укажите корни, принадлежащие
отрезку
Зя
С2
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра:
АВ = 24\/3, SC — 25. Найдите угол, образованный плоскостью основания и пря-
мой, проходящей через середины ребер AS и ВС.
СЗ
Решите неравенство log7((5 х - 5)(5 х +16
1)) + log7
log7(513
С4
В треугольнике АВС АВ = 7, ВС = 9, СА = 4. Точка D лежит на прямой ВС так,
что BD : DC = 1:5. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC
и ADB, касаются стороны AD в точках Е и F. Найдите длину отрезка EF.
С5
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств
х - 2у > 1
имеет решения.
С6
Перед каждым из чисел 3, 4, 5, ... 11 и 14, 15, ... 18 произвольным образом ста-
вят знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел перво-
го набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем
все 45 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю сум-
му и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?
О 2012 Федеральный институт педагогических измерений, 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование бее письменного разрешения правообладателей не допускается
ВАРИАНТ 7
Часть 1
Ответом на задания В1—В14 должно быть целое число или конечная деся-
тичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от
номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую циф-
ру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии
с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
В1
Тетрадь стоит 10 руб. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет ку-
пить на 350 руб. после понижения цены на 25% ?
В2
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Нижнем Новгороде
за каждый месяц 1994 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали
температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наибольшую среднеме-
сячную температуру в 1994 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.
20
-16
16
0
-12
1
1
1
—
янв фев мар апр май и юн и юл авг сен окт ноя дек
1
вз
На клетчатой бумаге с клетками размером
1 см х 1 см изображен треугольник (см. рисунок).
Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
34
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В4
Строительной фирме нужно приобрести 40 кубометров строительного бруса у одно-
го из трех поставщиков. Какова наименьшая стоимость такой покупки с доставкой
(в руб.)? Цены и условия доставки приведены в таблице.
Поставщик Цена бруса (руб. за 1 м3) Стоимость доставки (руб.) Дополнительные условия
А 3900 10 700
Б 4700 8700 При заказе на сумму больше 150 000 руб. доставка бесплатно
В 4000 8700 При заказе на сумму больше 200 000 руб. доставка бесплатно
В5
Найдите корень уравнения
В6
В треугольнике АВС угол С равен 90°,
АВ = 30, АС = 3\/19. Найдите sin А.
В7
Найдите значение выражения з3 + 1о&з12
В8
На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к нему в точке
с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
35
ВАРИАНТ 7
В9
Высота конуса равна 5, а диаметр основания — 24.
Найдите образующую конуса.
В10
Маша включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это вре-
мя по трем каналам из тридцати показывают телевикторины. Найдите вероятность
того, что Маша попадет на канал, где телевикторины не идут.
В11
Прямоугольный параллелепипед описан
около сферы радиусом 9,5. Найдите его
объем.
в
В12
Зависимость объема спроса q (единиц) на продукцию предприятия-монополиста от
цены р (тыс. руб.) задается формулой q = 85 - 10р. Выручка предприятия за месяц
г (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p) = q • р. Определите наибольшую цену
р, при которой месячная выручка г(р) составит не менее 260 тыс. руб. Ответ при-
ведите в тыс. руб.
В13
Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 60 км, одновременно выехали
автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 80 км
больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что
он прибыл в пункт В на 5 ч 20 мин. позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
В14
Найдите наибольшее значение функции у = 28tgx - 28х 4- 7л - 4 на отрезке
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
36
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания С1—С6 используйте бланк отве-
тов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное
обоснованное решение и ответ.
С1
Решите уравнение 2sin2 x-7sinxcosx + 5cos2 х = 0. Укажите корни, принадлежащие
отрезку
С2
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра:
АВ = 20V3, SC = 29. Найдите угол, образованный плоскостью основания и пря-
мой, проходящей через середины ребер AS и ВС.
2 -х2+4
Решите неравенство log2((5 - 3)(5
l)) + log2
log2(52-x2 - 2)2.
С4
В треугольнике АВС АВ = 11, ВС = 8, СА = 7. Точка D лежит на прямой ВС так,
что BD : DC =1:6. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC
и ADB, касаются стороны AD в точках Е и F. Найдите длину отрезка EF.
Найдите наименьшее значение параметра а, при котором система неравенств
+ 4 + 2а)2 + (i/+1 + а)2
а + 1|
V80
x-2z/>-l
имеет единственное решение.
Перед каждым из чисел 6, 7, ... 11 и 9, 10, ... 17 произвольным образом ставят
знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого
набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все
54 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю сумму
и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
Bl
В2
ВЗ
ВАРИАНТ 8
Часть 1
Ответом на задания В1—В14 должно быть целое число или конечная деся-
тичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от
номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую циф-
ру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии
с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
Тетрадь стоит 50 руб. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет ку-
пить на 750 руб. после понижения цены на 25% ?
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Минске за каждый
месяц 2003 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — темпера-
тура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наибольшую среднемесячную
температуру в 2003 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.
20
16
12
8
0
1
1
— 1
•
•
-- -! i
янв фев мар апр май июн и юл авг сен окт НОЯ ДОК 1
-
1 1
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см
изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его
площадь в квадратных сантиметрах.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
38
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В4
Строительной фирме нужно приобрести 60 кубометров строительного бруса у одно-
го из трех поставщиков. Какова наименьшая стоимость такой покупки с доставкой
(в руб.)? Цены и условия доставки приведены в таблице.
Поставщик Цена бруса (руб. за 1 м3) Стоимость доставки (руб.) Дополнительные условия
А 4100 10 500
Б 4400 8500 При заказе на сумму больше 150 000 руб. доставка бесплатно
В 4200 8500 При заказе на сумму больше 200 000 руб. доставка бесплатно
В5
Найдите корень уравнения
В6
В треугольнике АВС угол С равен 90°, АВ = 14, АС = 7V3. Найдите sinA.
В7
Найдите значение выражения 53 + logs9
В8
На рисунке изображены график функции у = /(х) и касательная к нему в точке
с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.
П J гп —J 11 1
1 .... 1 1 [ 1
1 1 l i j • i
П ! 1 i 1 1
1 1 1 1
г Ж2 ^х**^
i F 1 1
/ '\ 1 1 1 т 1 1
*0 0 1 X
1 1
1
<£) 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
39
ВАРИАНТ 8
В9
Высота конуса равна 15, а диаметр основания
Найдите образующую конуса.
16.
В10
Люба включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это вре-
мя по четырем каналам из шестнадцати показывают музыкальные клипы. Найди-
те вероятность того, что Люба попадет на канал, где клипы не идут.
В11
Прямоугольный параллелепипед описан
около сферы радиусом 18. Найдите его
объем.
В12
Зависимость объема спроса q (единиц) на продукцию предприятия-монополиста от
цены р (тыс. руб.) задается формулой q = 100 - 10р. Выручка предприятия за
месяц г (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p) = q • р. Определите наибольшую
цену р, при которой месячная выручка г(р) составит не менее 375 тыс. руб. Ответ
приведите в тыс. руб.
В13
Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 30 км, одновременно выехали
автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 80 км
больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что
он прибыл в пункт В на 2 ч 40 мин позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
В14
Найдите наибольшее значение функции у =
16tgx — 16х + 4л - 8 на
отрезке
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
40
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
С1
С2
С4
С5
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания С1—С6 используйте бланк отве-
тов № 2, Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное
обоснованное решение и ответ.
Решите уравнение 3sin2 х + 5 sin х cos х 4-2 cos2 х = 0 • Укажите корни, принадлежащие
отрезку [Зтс; 2л].
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра:
АВ = 2173, SC = 29. Найдите угол, образованный плоскостью основания и пря-
мой, проходящей через середины ребер AS и ВС.
Решите неравенство log3((7 - 4)(7
2
log3(7
2
В треугольнике АВС АВ = 7, ВС — 6, СА = 3. Точка D лежит на прямой ВС так,
что BD : DC =1:7. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC
и ADB, касаются стороны AD в точках Е и F. Найдите длину отрезка EF.
Найдите наибольшее значение параметра а, при котором система неравенств
7(х + 5 + 2а)2 + (~*/+1+а)2
х+2у>-2
к.
имеет единственное решение.
С6
Перед каждым из чисел 4, 5, ... 9 и 11, 12, ... 17 произвольным образом ставят
знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого
набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все
42 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю сумму
и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?
' 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
ВАРИАНТ 9
Часть 1
Ответом на задания В1-В14 должно быть целое число или конечная деся-
тичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов 1 справа от
номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую циф-
ру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии
с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
В1
Тетрадь стоит 30 руб. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет ку-
пить на 950 руб. после понижения цены на 25% ?
В2
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Санкт-Петербурге
за каждый месяц 1999 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертика-
ли — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наибольшую
среднемесячную температуру в 1999 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.
ВЗ
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см
изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его
площадь в квадратных сантиметрах.
1
г
1
ь-
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
42
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В4
Строительной фирме нужно приобрести 40 кубометров строительного бруса у одно-
го из трех поставщиков. Какова наименьшая стоимость такой покупки с достав-
кой (в руб.)? Цены и условия доставки приведены в таблице.
Поставщик Цена бруса (руб. за 1 м3) Стоимость доставки (руб.) Дополнительные условия
А 3700 9900
Б 4000 7900 При заказе на сумму больше 150 000 руб. доставка бесплатно
В 3800 7900 При заказе на сумму больше 200 000 руб. доставка бесплатно
В5
Найдите корень уравнения
64
В6
В треугольнике АВС угол С равен 90°, ВС = 6, АС = 10. Найдите sin В.
В7
Найдите значение выражения 22 + log213
В8
На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к нему в точке
с абсциссой х0. Найдите значение производной функции Дх) в точке х0.
«и И» «А «МЙМ А«аам«амш| yi ч u
5 1 1 .. _j - 1 1
I i i
I
1
1 ........ — Ми»» — —— — ... ... 1
—— Ft- । - т
*0 0 1 1 X
..... ....w,. j ill
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
43
ВАРИАНТ 9
В9
Высота конуса равна 6, а диаметр основания — 16.
Найдите образующую конуса.
Люба включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это вре-
мя по шести каналам из сорока восьми показывают документальные фильмы.
Найдите вероятность того, что Люба попадет на канал, где документальные филь-
мы не идут.
В11
Прямоугольный параллелепипед описан око-
ло сферы радиусом 10. Найдите его объем.
В12
Зависимость объема спроса q (единиц) на продукцию предприятия-монополиста от
цены р (тыс. руб.) задается формулой q = 190 - 10р. Выручка предприятия за
месяц г (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p) = q • р. Определите наибольшую
цену р, при которой месячная выручка г(р) составит не менее 840 тыс. руб. Ответ
приведите в тыс. руб.
В13
Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 40 км, одновременно вы-
ехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает
на 20 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если из-
вестно, что он прибыл в пункт В на 1 ч позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
В14
Найдите наибольшее значение функции у = 24tgx - 24х 4- 6л - 5 на отрезке
тс тс!
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
44
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания С1-С6 используйте бланк отве-
тов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное
обоснованное решение и ответ.
С1
Решите уравнение
2 2
3sin x-4sinxcosx + cos х = 0. Укажите корни, принадлежащие
отрезку
С2
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра:
АВ = 8х/3, SC = 17. Найдите угол, образованный плоскостью основания и пря-
мой, проходящей через середины ребер AS и ВС.
СЗ
Решите неравенство log5((2
- 5)(2-х2+9
- 1)) + log5
> log5(27 *2 -
С4
В треугольнике АВС АВ = 13, ВС = 6, СА = 10. Точка D лежит на прямой ВС
так, что BD : DC =1:8. Окружности, вписанные в каждый из треугольников
ADC и ADB, касаются стороны AD в точках Е и F. Найдите длину отрезка EF.
05
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система
2yj(x -4а)2 + (у- 2а)2 = у](х-8а)2+(у-4а)2
Зх - бу > 2
не имеет решений.
С6
Перед каждым из чисел 4, 5, ... 12 и 10, 11, ... 16 произвольным образом ставят
знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого
набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все
63 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю сумму
и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
ВАРИАНТ 10
Часть 1
Ответом на задания В1-В14 должно быть целое число или конечная деся-
тичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от
номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую циф-
ру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии
с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
Bl
Тетрадь стоит 40 руб. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет ку
пить на 460 руб. после понижения цены на 25% ?
В2
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Симферополе за
каждый месяц 1988 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали —
температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наибольшую среднеме-
сячную температуру в 1988 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.
ВЗ
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см
изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его
площадь в квадратных сантиметрах.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
46
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В4
Строительной фирме нужно приобрести 40 кубометров строительного бруса у одно-
го из трех поставщиков. Какова наименьшая стоимость такой покупки с достав-
кой (в руб.)? Цены и условия доставки приведены в таблице.
Поставщик Цена бруса (руб. за 1 м3) Стоимость доставки (руб.) Дополнительные условия
А 4100 9700
Б 4300 7700 При заказе на сумму больше 150 000 руб. доставка бесплатно
В 4200 7700 При заказе на сумму больше 200 000 руб. доставка бесплатно
В5
Найдите корень уравнения
2х-12
В6
В треугольнике АВС угол С равен 90°, ВС = 12л/б, АВ = 30. Найдите sinB.
В7
Найдите значение выражения 42 + 1о^413
В8
На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к нему в точке
с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
47
ВАРИАНТ 10
В9
Высота конуса равна 12, а диаметр основания — 10.
Найдите образующую конуса.
В1О
Вика включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это вре-
мя по четырнадцати каналам из тридцати пяти показывают рекламу. Найдите ве-
роятность того, что Вика попадет на канал, где реклама не идет.
В11
Прямоугольный параллелепипед описан
около сферы радиуса 4,5. Найдите его
объем.
В12
Зависимость объема спроса q (единиц) на продукцию предприятия-монополиста от
цены р (тыс. руб.) задается формулой q = 50 - 5р. Выручка предприятия за месяц
г (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p) = q • р. Определите наибольшую цену
р, при которой месячная выручка г(р) составит не менее 80 тыс. руб. Ответ приве-
дите в тыс. руб.
В13
Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 40 км, одновременно вы-
ехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает
на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если из-
вестно, что он прибыл в пункт В на 1 ч 20 мин позже автомобилиста. Ответ дайте
в км/ч.
В14
Найдите наибольшее значение функции у = 36tgx - 36х 4- 9л - 4 на отрезке
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
48
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания С1—С6 используйте бланк отве-
тов № 2, Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное
обоснованное решение и ответ.
С1
Решите уравнение 5sin2x-4sinxcosx-cos2x = 0. Укажите корни, принадлежащие
отрезку
С2
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра:
АВ = 15V3, SC = 17. Найдите угол, образованный плоскостью основания и пря-
мой, проходящей через середины ребер AS и ВС,
СЗ
Решите неравенство
log7((3-x2
- 3)(3~l2+16
- 1)) + logy
> log7(313 x -
C4
В треугольнике ABC AB = 9, BC = 10, CA = 5. Точка D лежит на прямой ВС так,
что BD : DC = 3:5. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и
ADB, касаются стороны AD в точках Е и F, Найдите длину отрезка EF,
С5
Найдите наименьшее целочисленное значение параметра а, при котором система
неравенств J
^(11-х-За)2+(у-4а + 4)2
4x + 3j/ <-12
не имеет решений.
С6
Перед каждым из чисел 4, 5, ... 10 и 10, 11, ... 18 произвольным образом ставят
знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого
набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все
63 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю сумму
и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
ВАРИАНТ 11
Часть 1
Ответом на задания В1—В14 должно быть целое число или конечная деся-
тичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от
номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую циф-
ру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии
с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
В1
Аня купила проездной билет на месяц и сделала за месяц 34 поездки. Сколько
рублей она сэкономила, если проездной билет на месяц стоит 207 руб., а разовая
поездка — 21 руб.?
В2
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Свердловске
(ныне — Екатеринбург) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются
месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграм-
ме, сколько месяцев в 1973 году средняя температура была ниже, чем 6°С.
20
-20
16
12
0
-16
-
1 1 —_ 1
• — 1
янв фев мар апр май июн и юл 1 авг сен окт ноя дек
-
— —
1
вз
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см
изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его
площадь в квадратных сантиметрах.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
50
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В4
Для изготовления книжных полок требуется заказать 40 одинаковых стекол в
одной из трех фирм. Площадь каждого стекла — 0,25 м2. В таблице приведены
цены на стекло, а также на резку стекол и шлифовку края. Сколько будет стоить
самый дешевый заказ (в руб.)?
Фирма Цена стекла (руб. за 1 м2) Резка и шлифовка (руб. за одно стекло)
А 415 75
430 65
с 465 60
В5
Найдите корень уравнения 22х 14
64
В6
В треугольнике АВС угол С равен 90°,
АС = 12, cosA = ™
10
• Найдите высоту СН.
В7
Найдите значение выражения
В8
На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к нему в точке
с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
51
ВАРИАНТ 11
В9
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О — центр основания, S —
вершина, SO =15, BD = 16. Найдите боковое ребро SA.
В10
В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 10 черных, 2 желтых и 8 зе-
леных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к
заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси.
В11
Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем ци-
линдра, если объем конуса равен 20.
В12
В ходе распада радиоактивного изотопа, его масса уменьшается по закону
_ t
m(t) = mQ-2 т, где mQ — начальная масса изотопа, t (мин) — прошедшее от началь-
ного момента время, Т — период полураспада в минутах. В лаборатории получили
вещество, содержащее в начальный момент времени тп0 = 60 мг изотопа Z, период
полураспада которого Т = 15 мин. Через какое время после начала распада масса
изотопа станет меньше 15 мг?
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
52
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В13
Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал
с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со ско-
ростью, меньшей скорости первого на 12 км/ч, а вторую половину пути — со ско-
ростью 72 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым ав-
томобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно,
что она больше
В14
45 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Найдите точку минимума функции z/ = 19 + 4x-
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания С1—С6 используйте бланк отве-
тов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное
обоснованное решение и ответ.
Решите уравнение 2sin2x + 3cosx-3 = О. Укажите корни, принадлежащие отрезку
4л; 5л .
С2
В кубе ABCDAaBaCaDa найдите косинус угла между плоскостями ВА1С1 и ВАД\,
СЗ
Решите систему неравенств
С4
Основание равнобедренного треугольника равно 40, косинус угла при вершине ра-
вен
15
17
. Две вершины прямоугольника лежат на
основании треугольника,
а две
другие — на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если известно,
что одна из его сторон вдвое больше другой.
С5
Найдите все значения а, при каждом из которых функция
f(x) = х2 - 3|х - а2| — 5х
имеет более двух точек экстремума.
С6
Произведение всех делителей натурального числа N оканчивается на 399 нулей.
На сколько нулей может оканчиваться число N?
© 2012 Федеральный институт пела готических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
ВАРИАНТ 12
Часть 1
Ответом на задания В1-В14 должно быть целое число или конечная деся-
тичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от
номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую циф-
ру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии
с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
В1
Аня купила проездной билет на месяц
рублей она сэкономила, если проездной
поездка — 19 руб.?
и сделала за месяц 52 поездки. Сколько
билет на месяц стоит 755 руб., а разовая
В2
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Нижнем Новгороде
за каждый месяц 1994 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертика-
ли — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько месяцев
в 1994 году средняя температура была ниже, чем 8°С.
20
-16
16
12
0
1
1
янв фев мар апр май июн и юл авг сен окт ноя дек
•
- -
у - гч
1
1
вз
Найдите площадь четырехугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см
(см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
54
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В4
Для изготовления книжных полок требуется заказать 42 одинаковых стекла в од-
ной из трех фирм. Площадь каждого стекла — 0,25 м2. В таблице приведены цены
на стекло, а также на резку стекол и шлифовку края. Сколько будет стоить самый
дешевый заказ (в руб.)?
Фирма Цена стекла (руб. за 1 м2) Резка и шлифовка стекла (руб. за одно стекло)
А 415 75
В 430 65
С 465 60
Найдите корень уравнения 32х 14
В6
В треугольнике АВС угол С равен 90
АС = 8, cosA=----Найдите высоту СН.
В7
Найдите значение выражения
42
2^°б2 3
В8
Материальная точка М начинает движение из точки А и движется по прямой на
протяжении 10 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки А
до точки М со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси
ординат — расстояние S в метрах.
Определите, сколько раз за время движения скорость точки М обращалась в ноль
(начало и конец движения не учитывайте).
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
55
ВАРИАНТ 12
В9
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О — центр основания,
S — вершина, SB = 13, АС = 24. Найдите длину отрезка SO,
В10
В фирме такси в данный момент свободно 16 машин: 4 черных, 3 синих и 9 бе-
лых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к за-
казчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет черное такси.
В11
Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем ци-
линдра, если объем конуса равен 19.
] В12
В ходе распада радиоактивного изотопа, его масса уменьшается по закону
m(t) -т^-2 Т, где т0 — начальная масса изотопа, t (мин) — прошедшее от началь-
ного момента время, Т — период полураспада в минутах. В лаборатории получили
вещество, содержащее в начальный момент времени т0 = 156 мг изотопа Z, период
полураспада которого Т = 8 мин. Через какое время после начала распада масса
изотопа станет меньше 39 мг?
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
56
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В13
Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал
с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со ско-
ростью, меньшей скорости первого на 11 км/ч, а вторую половину пути — со ско-
ростью 66 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым ав-
томобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше
42 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
В14
Найдите наименьшее значение функции у = 2cosx - 16х + 9 на отрезке
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания С1—С6 используйте бланк отве-
тов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное
обоснованное решение и ответ.
Решите уравнение 2cos2 x-sinx-1 = 0 . Укажите корни, принадлежащие отрезку
-4л; - Зя .
С2
В кубе ABCDAlB1C1D1 найдите синус угла между плоскостями ВА1С1 и BADV
СЗ
Решите систему неравенств
С4
Основание равнобедренного треугольника равно 110, косинус угла при верши-
5 ТТ
не равен —. Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника,
13
а две другие — на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если из-
вестно, что одна из его сторон вдвое больше другой.
С5
Найдите все значения а, при каждом из которых функция
/(х) = х2
имеет хотя бы одну точку максимума.
С6
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каж-
дый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 12 раз больше, либо
в 12 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 8750.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трех членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
ВАРИАНТ 13
Часть 1
Ответом на задания В1—В14 должно быть целое число или конечная деся-
тичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от
номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую циф-
ру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии
с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
В1
Аня купила проездной билет на месяц
рублей она сэкономила, если проездной
поездка — 21 руб.?
и сделала за месяц 46 поездок. Сколько
билет на месяц стоит 755 руб., а разовая
В2
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Минске за каждый
месяц 2003 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — темпера-
тура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько месяцев в 2003 году
средняя температура была отрицательной.
24
20
16
12
8
О
1 1 1 _ . . _J
1 — — 1 - 1
. а ] 1
— «ИМ И|^И
1
янв фев мар апр май и юн и юл авг сен окт ноя
1 1
58
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В4
Для изготовления книжных полок требуется заказать 30 одинаковых стекол в од-
ной из трех фирм. Площадь каждого стекла — 0,35 м2. В таблице приведены цены
на стекло, а также на резку стекол и шлифовку края. Сколько будет стоить самый
дешевый заказ (в руб.)?
Фирма Цена стекла (руб. за 1 м2) Резка стекла (руб. за одно стекло)
А 390 85
В 410 75
С 430 65
2х —14 А
Найдите корень уравнения 2 = —
16
В6
В треугольнике АВС угол С равен 90°, АС = 5, cosA=—. Найдите высоту СН.
В7
Найдите значение выражения
91
nlog2 7
В8
Функция у = f(x) определена на интервале (-4; 4). На рисунке изображен график
ее производной. Определите, сколько существует касательных к графику функции
Дх), которые параллельны прямой у = -2х 4- 4 или совпадают с ней.
у*
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
59
ВАРИАНТ 13
В9
В правильной четырехугольной пирамиде SABD точка О — центр основания, S
вершина, SO = 8, BD = 30. Найдите боковое ребро SC.
В10
В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 2 красных, 9 желтых и 4 зе-
леных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего
к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.
В11
Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем ци-
линдра, если объем конуса равен 21.
В12 В ходе распада радиоактивного изотопа, его масса уменьшается по закону
m(t) = mQ 2 т , где т0 — начальная масса изотопа, t (мин) — прошедшее от на-
чального момента время, Т (мин) — период полураспада. В лаборатории получили
вещество, содержащее в начальный момент времени т0 = 196 мг изотопа Z, период
полураспада которого Т = 4 мин. Через какое время после начала распада масса
изотопа станет меньше 49 мг?
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
60
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В13
Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал
с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со ско-
ростью, меньшей скорости первого на 18 км/ч, а вторую половину пути — со ско-
ростью 108 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым ав-
томобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше
63 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
В14
Найдите наименьшее значение функции у = 4cosx — 9х 4- 9 на отрезке
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания С1—С6 используйте бланк отве-
тов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное
обоснованное решение и ответ.
С1
Решите уравнение 2 sin2 х - cos х -1 = 0 .
Зя; 4л .
Укажите корни, принадлежащие отрезку
С2
В кубе ABCDAlBlClDl найдите косинус угла между плоскостями АВ1С1 и BA1D1.
СЗ
Решите систему неравенств *
С4
Основание равнобедренного треугольника равно 56, косинус угла при вершине
7 „
равен —. Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две
25
другие — на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если известно,
что одна из его сторон вдвое больше другой.
С5
Найдите все значения а, при каждом из которых функция
f(x) = х2 - 3|х - а2
имеет хотя бы одну точку максимума.
С6
Произведение всех делителей натурального числа А оканчивается на 324 нуля.
На сколько нулей может оканчиваться число N?
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
ВАРИАНТ 14
Часть 1
Ответом на задания В1—В14 должно быть целое число или конечная деся-
тичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от
номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую циф-
ру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии
с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
В1
Аня купила проездной билет на месяц и сделала за месяц 31 поездку. Сколько
рублей она сэкономила, если проездной билет на месяц стоит 207 руб., а разовая
поездка — 21 руб.?
В2
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Санкт-Петербурге
за каждый месяц 1999 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертика-
ли — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, на сколько гра-
дусов в среднем май холоднее июля. Ответ дайте в градусах Цельсия.
24
20
16
О
I 1
в
1 1 1
янв фев мар апр май-1 и юн и юл авг сен окт ноя дек
1
вз
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см
изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его
площадь в квадратных сантиметрах.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
62
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В4
Для изготовления книжных полок требуется заказать 30 одинаковых стекол в од-
ной из трех фирм. Площадь каждого стекла — 0,35 м2. В таблице приведены цены
на стекло, а также на резку стекол и шлифовку края. Сколько будет стоить самый
дешевый заказ (в руб.)?
Фирма Цена стекла (руб. за 1 м2) Резка стекла (руб. за одно стекло)
А 450 80
В 470 70
С 500 60
Найдите корень уравнения 54х 6 =
В6
24
В треугольнике АВС угол С равен 90°, АС = 5, cosA -----Найдите высоту СН.
25
Найдите значение выражения
70
На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к нему в точке
с абсциссой %0. Найдите значение производной функции f(x) в точке %0.
1 - ж
Bl я
I д f
£
«
я В Я &
: I j J 4 j
.Л. J
-
1 • i 4.
1
Я 1
# г Я
Л * f
л в я J
" —1 в
• я Z *
♦ и 4 Я Ла
• • и
и
1
1 Я f
1 f 1 Ж /
» а
IJ t f W
!
Л 1 / /
Ж * Ял Я
%.-* 1 1
1 / /
t 1 ft Я / 1
1 1 Я
t 1 --- д • _ _ 4
j ft Я л •
Я Ля
/ / 1
ft Я г • 1
1
Я I •
Я f •
— 1 Я к
i. .. 1. . .. • J 1 Я L L. L . 1
Г у ” " i /7
Я ff " :В
Я J 1/
у
4 • ft 1
..-i.. 1 Л
1 i r
_ -
/ — 1*
1/
1 1 1 r
в
ж D
в в м м а
* г
£ | Я
• L ’ Z A ! J
X/
•
।
1 Ж / а
В f
r
L . ....... ' J 1 В
[ V tf"'" ; 1
• z • ft
V в
V 1
Я В 1
в
В В В
1—bbb^— . I t-- 1
1 1
1 1
11 ft
! । / = I i r 1
z t 1 !
i 1 Z
Ж T .. . .. ... .. 1
_ „ _ л -- -_v ---w ,
a. a
в вг
/ j
>4 * *
a • a
а а
i I Л 1 J L J
<-
. .—
; 1 /
1 t i |
... — - L
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
63
ВАРИАНТ 14
В правильной четырехугольной пирамиде SABC точка О — центр основания, S —
вершина, SD = 10, SO = 6. Найдите длину отрезка АС.
В10
В фирме такси в данный момент свободно 35 машин: 11 красных, 17 фиолетовых
и 7 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе
всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси.
В11
Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем ци-
линдра, если объем конуса равен 12.
В12
В ходе распада радиоактивного изотопа, его масса уменьшается по закону
_ £
m(t) - mQ 2 Т t где тп0 — начальная масса изотопа, t (мин) — прошедшее от на-
чального момента время, Т (мин) — период полураспада. В лаборатории получила
вещество, содержащее в начальный момент времени т0 = 4 мг изотопа Z, период
полураспада которого Т = 2 мин. Через какое время после начала распада масса
изотопа станет меньше 1 мг?
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
64
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В13
Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобилиста. Первый про-
ехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со
скоростью, меньшей скорости первого на 4 км/ч, а вторую половину пути — со
скоростью 30 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым
автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она
больше 20 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
В14
Найдите наибольшее значение функции на отрезке у = 114- 24х — 2х4х на отрезке
[63; 65]
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания С1—С6 используйте бланк отве-
тов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное
обоснованное решение и ответ.
С1
Решите уравнение 2cos2 x-3sin^-4 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку
9л 11л
~2’ 2
С2
В кубе ABCDA.B.С.D. найдите тангенс угла между плоскостями BDD. и AB.D
СЗ
Решите систему неравенств
С4
Основание равнобедренного треугольника равно 36, косинус угла при вершине
12 „
равен —. Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две
13
другие — на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если известно,
что одна из его сторон вдвое больше другой.
С5
Найдите все значения а, при каждом из которых функция
f(x) = х2 - 4\х - а2| - 8х
имеет хотя бы одну точку максимума.
С6
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каж-
дый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 14 раз больше, либо
в 14 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 7424.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трех членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
ВАРИАНТ 15
Часть 1
Ответом на задания В1—В14 должно быть целое число или конечная деся-
тичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от
номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую циф-
ру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии
с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
В1
Аня купила проездной билет на месяц и сделала за месяц 36 поездок. Сколько
рублей она сэкономила, если проездной билет на месяц стоит 207 руб., а разовая
поездка — 22 руб.?
В2
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Симферополе за
каждый месяц 1988 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали —
температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, на сколько градусов
в среднем сентябрь теплее апреля. Ответ дайте в градусах Цельсия.
26
21
18
16
14
12
10
8
6
0
- «« 1 1 J
1
J
1 j
1
• 1
*
u л
1
•
_J
1
•
янв фев мар апр май июн и юл авг сен окт ноя Дек
J
вз
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см
изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его пло-
щадь в квадратных сантиметрах.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
66
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В4
Для изготовления книжных полок требуется заказать 50 одинаковых стекол в од-
ной из трех фирм. Площадь каждого стекла — 0,25 м2. В таблице приведены цены
на стекло, а также на резку стекол и шлифовку края. Сколько будет стоить самый
дешевый заказ (в руб.)?
Фирма Цена стекла (руб. за 1 м2) Резка и шлифовка (руб. за одно стекло)
А 510 70
В 530 60
С 570 50
В5
Найдите корень уравнения 5
25
В6
В треугольнике АВС угол С равен 90°, АС = 12, cosA =
2-/б
• Найдите высоту СН.
5
В7
Найдите значение выражения —------
7log7 4
В8
На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к нему в точке
с абсциссой xQ. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
67
ВАРИАНТ 15
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О -
S — вершина, SO = 12, BD = 18. Найдите боковое ребро SA.
центр основания,
В10
В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 3 белых, 11 синих и 6 се-
рых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к за-
казчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет белое такси.
В11
Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем ци-
линдра, если объем конуса равен 120.
В12
В ходе распада радиоактивного изотопа, его масса уменьшается по закону
t
m(t) = mQ -2 т , где т0 — начальная масса изотопа, t (мин) — прошедшее от на-
чального момента время, Т — период полураспада в минутах. В лаборатории полу-
чили вещество, содержащее в начальный момент времени тп0 = 12 мг изотопа Z,
период полураспада которого Т = 3 мин. Через какое время после начала распада
масса изотопа станет меньше 3 мг?
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
68
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В13
Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобилиста. Первый про-
ехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со
скоростью, меньшей скорости первого на 12 км/ч, а вторую половину пути — со
скоростью 70 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым
автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она
больше 41 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
В14
Найдите наименьшее значение функции у = 8cosx - 17х + 6 на отрезке
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания С1—С6 используйте бланк отве-
тов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное
обоснованное решение и ответ.
С1
Решите уравнение
2sin2x + cosx-1 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку
-5л; -4л
С2
В кубе ABCDA^B ХС AD А найдите тангенс угла между плоскостью AXBD и плоско-
стью, проходящей через середины его ребер АВ, BBV B1Cl, CXDV D^D, DA.
СЗ
Решите систему неравенств
С4
Основание равнобедренного треугольника равно 18,2, косинус угла при вершине
21 тт
равен —. Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две
другие — на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если известно,
что одна из его сторон вдвое больше другой.
С5
Найдите все значения а, при каждом из которых функция
f(x) = х2 — 2\х — а2| - 10х
имеет хотя бы одну точку максимума.
С6
Произведение всех делителей натурального числа N оканчивается на 333 нуля.
На сколько нулей может оканчиваться число А?
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, г 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
ВАРИАНТ 16
Часть 1
Ответом на задания В1—В14 должно быть целое число или конечная деся-
тичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от
номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру,
знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии
с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
В1
Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 3 раза в день в тече-
ние 21 дня. В одной упаковке 10 таблеток лекарства по 0,5 г. Какого наименьше-
го количества упаковок хватит на весь курс лечения?
В2
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Свердловске
(ныне — Екатеринбург) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются
месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграм-
ме, сколько месяцев в 1973 году средняя температура была выше, чем 2°С.
20
-20
16
12
8
0
-16
Г “ —
1 1 1
"1
1 ...
г-р 1
—
1
янв фев мар апр май июн и юл авг сен окт ноя дек
1
’ - • — . ..... - -
--- - -1 * - * —
1
вз
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см
изображена трапеция (см. рисунок). Найдите ее пло-
щадь в квадратных сантиметрах.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
70
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В4
От дома до дачи можно доехать на автобусе, электричке или маршрутном такси.
В таблице показано время, которое нужно затратить на каждый участок пути. Ка-
кое наименьшее время потребуется на дорогу? Ответ дайте в минутах.
1 2 3
Автобусом От дома до остановки автобуса — 15 мин Автобус в пути — 1 ч 55 мин От остановки автобуса до дачи пешком — 10 мин
Электричкой От дома до железно- дорожной станции — 20 мин Электричка в пу- ти 1 ч 10 МИИ От железнодорожной станции до дачи пеш- ком — 45 мин
Маршрутным такси От дома до остановки маршрутного так- си — 20 мин Маршрутное такси в пути — 1 ч 25 мин От остановки марш- рутного такси до дачи пешком 40 мин
В5
Найдите корень уравнения log2(4 —х)=8.
В6
В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 6, cos А = —. Найдите высоту СН.
5
В7
Найдите значение выражения: 24 • 73 :142.
В8
Функция у = определена на интервале (-1; 10). На рисунке изображен гра-
фик функции у = /(х). Найдите среди точек хр х2, ..., х7 те точки, в которых
производная функции f(x) равна нулю. В ответ запишите количество найденных
точек.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
71
ВАРИАНТ 16
В9
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что BD± = 5; ССг = 3;
В1С1 = >/7. Найдите длину ребра АВ.
f
f
В10
Максим с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе трид-
цать кабинок, из них 11 — синие, 7 — зеленые, остальные — оранжевые. Кабин-
ки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что
Максим прокатится в оранжевой кабинке.
В11
Объем конуса равен 32. Через середину высоты параллельно основанию конуса
проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вер-
шиной. Найдите объем меньшего конуса.
В12
При температуре 0°С рельс имеет длину Zo = 20 м. При возрастании температуры
происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, ме-
няется по закону Z(Z°) = Z0(l 4- aZ°), где a = 1,210 5(°С) 1 — коэффициент теплового
расширения, Z° — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс
удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
72
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В13
Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в пункт отправле-
ния, затратив на обратный путь на 4 ч меньше. Найдите скорость лодки в непод-
вижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
В14
Найдите наибольшее значение функции i/ = 4tgx-4x+8 на отрезке
С2
СЗ
С4
С5
С6
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания С1—С6 используйте бланк отве-
тов 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное
обоснованное решение и ответ.
Решите уравнение
7л
-3 = 0» Укажите корни, принадлежащие отрезку
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, най-
дите синус угла между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку А
перпендикулярно прямой BD.
Решите неравенство logx 3 + 2log3x 3 - 6log9x 3 < 0.
Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 9, а ра-
диус вписанной в треугольник окружности равен 4. Найдите радиус окружно-
сти, касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон.
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств
х2 + у2 -1 < -а2 + 2а(х- у + 1)
х2 + у2 -1< За2 -2а(2х-3</ + 4)+1
имеет единственное решение.
Ученик должен был перемножить два трехзначных числа и разделить их произведе-
ние на пятизначное. Однако он не заметил знака умножения и принял два записан-
ных рядом трехзначных числа за одно шестизначное. Поэтому полученное частное
(натуральное) оказалось в три раза больше истинного. Найдите все три числа.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
ВАРИАНТ 17
Часть 1
Ответом на задания В1-В14 должно быть целое число или конечная деся-
тичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от
номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру,
знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии
с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
В1
Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 3 раза в день в тече-
ние 14 дней. В одной упаковке 10 таблеток лекарства по 0,5 г. Какого наимень-
шего количества упаковок хватит на весь курс лечения?
В2
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Нижнем Новгоро-
де за каждый месяц 1994 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертика-
ли — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько месяцев
в 1994 году средняя температура была выше, чем 0°С.
-16
16
12
8
О
-8
-12
1
I
.. —
—1
1
янв С зев мар апр май июн и юл авг сен ОКТ ноя дек
i 1
;
ВЗ
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см
изображена трапеция (см. рисунок). Найдите ее пло-
щадь в квадратных сантиметрах.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
74
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В4
От дома до дачи можно доехать на автобусе, электричке или маршрутном такси.
В таблице показано время, которое нужно затратить на каждый участок пути. Ка-
кое наименьшее время потребуется на дорогу? Ответ дайте в часах.
1 2 3
Автобусом От дома до оста- новки автобуса — 20 мин Автобус в пути — 2 ч 5 мин От остановки автобуса до дачи пешком — 10 мин
Электричкой От дома до желез- нодорожной стан- ции — 25 мин Электричка в пу- ти — 1 ч 45 мин От железнодорожной станции до дачи пеш- ком — 20 мин
Маршрутным такси От дома до оста- новки маршрутного такси — 25 мин Маршрутное такси в пути 1 ч 35 мин От остановки марш- рутного такси до дачи пешком — 40 мин
Решите уравнение 23+х =42х.
В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 72,
cos А =
12
13 '
Найдите высоту СН.
В7
Найдите значение выражения: 77 • 25 : 145.
На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке
с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
75
ВАРИАНТ 17
В9
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что САг = х 38 ; DDr = 5;
ВС = 3. Найдите длину ребра ВА.
В10
Аня с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе двадцать две
кабинки, из них 5 — желтые, 6 — белые, остальные — красные. Кабинки по оче-
реди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Аня про-
катится в красной кабинке.
В11
Объем конуса равен 40. Через середину высоты параллельно основанию конуса
проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вер-
шиной. Найдите объем меньшего конуса.
В12
При температуре 0°С рельс имеет длину Zo = 10 м. При возрастании температуры
происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, ме-
няется по закону l(t°) = Z0(l 4- aZ°), где a =
1,210~5(°С)-1 —
коэффициент теплового
расширения, t° — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс
удлинится на 9 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
76
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В13
Моторная лодка прошла против течения реки 91 км и вернулась в пункт отправле-
ния, затратив на обратный путь на 6 ч меньше. Найдите скорость лодки в непод-
вижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
В14
Найдите наибольшее значение функции у = 9tgx-9x + 7 на отрезке
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания С1-С6 используйте бланк отве-
тов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное
обоснованное решение и ответ.
I С1
Решите уравнение
—---------3 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку
tg2 х tg х
С2
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, най-
дите тангенс угла между плоскостями SAJD и SBD.
СЗ
Решите неравенство 4 logx 4 + 3 log 4 4 + 4 log16x 4 < 0.
С4
Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 18, а ра-
диус вписанной в треугольник окружности равен 5. Найдите радиус окружности,
касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон.
С5
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств
(х +1 - 2а)2 + (у+2а -1)2 < (2а +1)2
(х +1 -г 4а)2 + (у - 6а -1)2 < (9а - 6)2
to
имеет хотя бы одно решение.
С6
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каж-
дый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше, либо
в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 5292.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трех членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
X
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
ВАРИАНТ 18
Часть 1
Ответом на задания В1—В14 должно быть целое число или конечная деся-
тичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от
номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру,
знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии
с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
В1
Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 4 раза в день в тече-
ние 14 дней. В одной упаковке 10 таблеток лекарства по 0,25 г. Какого наимень-
шего количества упаковок хватит на весь курс лечения?
В2
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Минске за каждый
месяц 2003 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — темпера-
тура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько месяцев в 2003 году
средняя температура была выше, чем 6°С.
24
20
16
. . — _
~ . 1
г*“
1
1 •
янв фев мар апр май июн и юл авг сен окт ноя 1
дек
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см
изображена трапеция (см. рисунок). Найдите ее пло-
щадь в квадратных сантиметрах.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
78
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В4
От дома до дачи можно доехать на автобусе, электричке или маршрутном такси.
В таблице показано время, которое нужно затратить на каждый участок пути. Ка-
кое наименьшее время потребуется на дорогу? Ответ дайте в минутах.
1 2 3
Автобусом От дома до оста- новки автобуса — 15 мин Автобус в пути 1 ч 55 мин От остановки автобуса до дачи пешком 10 мин
Электричкой От дома до желез- нодорожной стан- ции — 25 мин Электричка в пути — 1ч 40 мин От железнодорожной станции до дачи пеш- ком — 10 мин
Маршрутным такси От дома до оста- новки маршрутного такси — 25 мин Маршрутное такси в пути — 1 ч 15 мин От остановки марш- рутного такси до дачи пешком — 45 мин
В5
Найдите корень уравнения log2(4-x) = 9.
В6
В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 10, cosA = —. Найдите высоту СН.
В7
Найдите значение выражения: 49 • 56 : 206.
В8
На рисунке изображены график функции i/ = f(x) и касательная к нему в точке
с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.
I г— 1 1 1 it : i I 1 1 У* < 1 1 • 1 1 : t 1 F i j $ ,T., t- t ; I L i
1 L J .... j i IL J 1 ! 1 ' 1 1 : i i
1 1 -j e < . 4 : : ? 1 t : 1 J l!
1 i .1 1... i I J : i 1 I 1 i, < i Lnr L-i • : i . j
i i ill i fl ’J и ~ i- -i
I 1 i i ! * i “1 [ i ;
; — L 1 J '****'' , A 1 \ j • 2 : i ill 1 . ' ' L 1
1 i i i ~*-**^*^ i A- 1 1 / z / ““1 p““““—1 ! ? 1 i i i
J i r i = i 0 W' Г ^°| i t I J ' 1
i i i I I t \ ! 1 I X у ... f j Ji J • ж
i - -r -- V 1 i . E J J 1 i p_„_J i
1 1 1 1 1
- s = s S
"1 1 1 i = г 1 ! I : ; :
—j—1—i— L I I — lJ tww .^«11. liinMwwwi i i :
I Г 1 _ | 1 : V • L_j
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
79
ВАРИАНТ 18
В9
В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX известно, что DBX = ч 26 ; AAj = 1;
DXBX = 3. Найдите длину ребра CD,
В10
Кирилл с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе тридцать
кабинок, из них 8 — фиолетовые, 4 — зеленые, остальные — оранжевые. Кабинки
по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Ки-
рилл прокатится в оранжевой кабинке.
В11
Объем конуса равен 88. Через середину высоты параллельно основанию конуса
проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вер-
шиной. Найдите объем меньшего конуса.
В12
При температуре 0°С рельс имеет длину Zo = 10 м. При возрастании температуры
происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, ме-
няется по закону l(t°) = Z0(l + а£°), где а = 1,2- 10-5(°С)-1 — коэффициент теплового
расширения, t° — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс
удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
80
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В13
Моторная лодка прошла против течения реки 80 км и вернулась в пункт отправле-
ния, затратив на обратный путь на 2 ч меньше. Найдите скорость лодки в непод-
вижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
В14
Найдите точку минимума функции у = —
х +100
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания С1-С6 используйте бланк отве-
тов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное
обоснованное решение и ответ.
С1
Решите уравнение
Зя; 4л .
4-5 = 0» Укажите корни, принадлежащие отрезку
С2
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, угол
между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку В перпендикулярно
прямой AS.
СЗ
Решите неравенство 21ogx 3-31og9 3 + 21og3x 3> 0.
X
С4
Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 25, а ра-
диус вписанной в треугольник окружности равен 12. Найдите радиус окружности,
касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон.
С5
Найдите все положительные значения параметра а, при каждом из которых
система неравенств
не имеет решений.
С6
/ , , \2 . Z \2 . / \2
(х + у + а) +{х-у-а) <(а-1)
(х + у - 2а)2 + (х - у + За)2 < (8а - 5)2
Ученик должен был умножить двузначное число на трехзначное и разделить их
произведение на пятизначное. Однако он не заметил знака умножения и принял
записанные рядом двузначное и трехзначное числа за одно пятизначное. Поэтому
полученное частное (натуральное) оказалось в два раза больше истинного. Найдите
все три числа.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
ВАРИАНТ 19
Часть 1
Ответом на задания В1-В14 должно быть целое число или конечная деся-
тичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от
номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру,
знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии
с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
В1
Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 2 раза в день в тече-
ние 16 дней. В одной упаковке 6 таблеток лекарства по 0,25 г. Какого наимень-
шего количества упаковок хватит на весь курс лечения?
В2
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Санкт-Петербурге
за каждый месяц 1999 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертика-
ли — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько месяцев
1999 года средняя температура была выше, чем 6°С.
24
-12
20
16
12
0
-8
—
1
-
' ——“ 1
•
1
1 ' 1
янв фев мар апр май и юн и юл авг сен окт ноя дек
ВЗ
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см
изображена трапеция (см. рисунок). Найдите ее пло-
щадь в квадратных сантиметрах.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование» распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
82
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В4
В первом банке один сингапурский доллар можно купить за 23,1 рубля. Во вто-
ром банке 110 долларов — за 2530 рублей. В третьем банке 35 долларов стоят
812 рублей. Какую наименьшую сумму (в рублях) придется заплатить за 90 син-
гапурских долларов?
В5
Найдите корень уравнения log6(5-x) = 2.
В6
В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 40, cosA = — . Найдите высоту СН.
В7
Найдите значение выражения: З7 • 44 : 124.
Функция у = f(x) определена на интервале (-4; 4). На рисунке изображен график
ее производной. Определите, сколько существует касательных к графику функции
У = f(x), которые параллельны прямой у = f(x) или совпадают с ней.
В9
В прямоугольном параллелепипеде ABCDAiB1C1Dl
известно, что АС1 = 5; ВВг = \/3; A^D^ = V13.
Найдите длину ребра DC.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, €> 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
83
ВАРИАНТ 19
BIO
Игорь с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе сорок каби-
нок, из них 21 — серые, 13 — зеленые, остальные — красные. Кабинки по очереди
подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Игорь прокатится
в красной кабинке.
В11
Объем конуса равен 152. Через середину вы-
соты параллельно основанию конуса проведено
сечение, которое является основанием меньше-
го конуса с той же вершиной. Найдите объем
меньшего конуса.
В12
При температуре 0°С рельс имеет длину 10 = 15 м. При возрастании температуры
происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, ме-
няется по закону l(t°) = Z0(l 4- aZ°), где a = 1,210-5(°С) 1 — коэффициент теплового
расширения, t° — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс
удлинится на 9 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.
В13
Моторная лодка прошла против течения реки 63 км и вернулась в пункт отправле-
ния, затратив на обратный путь на 2 ч меньше. Найдите скорость лодки в непод-
вижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
В14
Найдите наибольшее значение функции у = 6tgx-6x+6 на отрезке
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания С1-С6 используйте бланк отве-
тов № 2, Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное
обоснованное решение и ответ.
С1
Решите уравнение
Зл\ 5л"
~2’ Т '
Укажите корни, принадлежащие отрезку
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
84
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
С2
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1,
найдите косинус угла между плоскостями SAD и BCF, где F — середина ребра AS.
СЗ
Решите
неравенство 21ogx 5 + 41ogx 5+81og12sx 5>0.
С4
Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 25, а ра-
диус вписанной в треугольник окружности равен 8. Найдите радиус окружности,
касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон.
С5
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств
(х - у + 1g а )2 + (х + у - lg а)2 < (lg а -1)2
(x-y-2\ga)2 + (х + у + 31ga)2 <(l-lg(1000a))2
имеет единственное решение.
С6
Ученик должен был умножить двузначное число на трехзначное и разделить их
произведение на пятизначное. Однако он не заметил знака умножения и принял
записанные рядом двузначное и трехзначное числа за одно пятизначное. Поэтому
полученное частное (натуральное) оказалось в семь раз больше истинного. Найдите
все три числа.
5
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
ВАРИАНТ 20
Часть 1
Ответом на задания В1-В14 должно быть целое число или конечная деся-
тичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от
номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру,
знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии
с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
В1
Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 3 раза в день в тече-
ние 8 дней. В одной упаковке 8 таблеток лекарства по 0,25 г. Какого наименьше-
го количества упаковок хватит на весь курс лечения?
В2
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Симферополе
за каждый месяц 1988 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертика-
ли — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько месяцев
1988 года средняя температура была ниже, чем 17°С.
ВЗ
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см
изображена трапеция (см. рисунок). Найдите ее
площадь в квадратных сантиметрах.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
86
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В4
От дома до дачи можно доехать на автобусе, электричке или маршрутном такси.
В таблице показано время, которое нужно затратить на каждый участок пути. Ка-
кое наименьшее время потребуется на дорогу? Ответ дайте в часах.
1 2 3
Автобусом От дома до оста- новки автобуса — 5 мин Автобус в пути — 2 ч 10 мин От остановки автобуса до дачи пешком 5 мин
Электричкой От дома до желез- нодорожной стан- ции — 10 мин Электричка в пу- ти — 1 ч 50 мин От железнодорожной стан- ции до дачи пешком — 15 мин
Маршрутным такси От дома до оста- новки маршрутного такси — 15 мин Маршрутное такси в пути — 1ч От остановки маршрутного такси до дачи пешком — 70 мин
В5
Найдите корень уравнения log2(6-x) = 5.
В6
В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 30, cos А =
Найдите высоту СН.
В7
Найдите значение выражения: ч32 cos2 - \32 sin2
В8
На рисунке изображены график функции
y = f(x) и касательная к нему в точке с аб-
сциссой х0. Найдите значение производной
функции f(x) в точке х0.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
87
ВАРИАНТ 20
В9
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1Z>1 известно, что BDX = 6; ССГ = 2;
AD = \/7 . Найдите длину ребра
В10
Андрей с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе двадцать
кабинок, из них 9 — белые, 5 — фиолетовые, остальные — оранжевые. Кабинки по
очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Андрей
прокатится в оранжевой кабинке.
В11
Объем конуса равен 86. Через середину высоты параллельно основанию конуса
проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вер-
шиной. Найдите объем меньшего конуса.
В12
При температуре 0°С рельс имеет длину Zo=15 м. При возрастании температуры
происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, ме-
няется по закону l(t°) = Z0(l + а£°), где а = — коэффициент теплового
расширения, t° — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс
удлинится на 6,3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.
В13
Моторная лодка прошла против течения реки 55 км и вернулась в пункт отправле-
ния, затратив на обратный путь на 6 ч меньше. Найдите скорость лодки в непод-
вижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
В14
Найдите наибольшее значение функции у = 13tgx- 13x4-5 на отрезке
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
88
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания С1—С6 используйте бланк отве-
тов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное
обоснованное решение и ответ.
С1
Решите уравнение
----ч-----1 = 0» Укажите корни, принадлежащие отрезку
tg2 х tg х
С2
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1,
найдите косинус угла между плоскостями ABG и CDF, где F — середина ребра
SB, G — середина ребра SC.
СЗ
Решите неравенство 41ogx 4 -31og4x 4 +41ogx 4 > 0.
16
С4
Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 32, а ра-
диус вписанной в треугольник окружности равен 15. Найдите радиус окружности,
касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон.
С5
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств
(-Х - у + log2 а)2 + (—х + у - log2 а)2 < (log2 а -1)2
(-х - г/ - 2 log2 а)2 +(-* + !/+з log2 а)2
<(l-log2(8a))2
С6
имеет единственное решение.
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каж-
дый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 13 раз больше, либо
в 13 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 6075.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трех членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
ВАРИАНТ 21
Часть 1
Ответом на задания В1—В14 должно быть целое число или конечная деся-
тичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от
номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую циф-
ру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии
с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
В1
Теплоход рассчитан на 550 пассажиров и 15 членов команды. Каждая спасатель-
ная шлюпка может вместить 60 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно
быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить
всех пассажиров и всех членов команды?
В2
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Свердловске (ныне —
Екатеринбург) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы,
по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наи-
меньшую среднемесячную температуру в 1973 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.
ВЗ
Найдите площадь трапеции, изображенной на
клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см
(см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
90
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В4
В таблице указаны средние цены (в рублях) на некоторые основные продукты пи-
тания в трех городах России (по данным на начало 2010 года).
Наименование продукта Барнаул Тверь Псков
Пшеничный хлеб (батон) 12 11 11
Молоко (1 литр) 25 26 26
Картофель (1 кг) 16 9 14
Сыр (1 кг) 260 240 235
Говядина (1 кг) 300 280 280
Подсолнечное масло (1 литр) 50 38 62
Определите, в каком из этих городов окажется самым дешевым следующий набор
продуктов: 3 кг картофеля, 1 кг сыра, 3 л подсолнечного масла. В ответ запишите
стоимость данного набора продуктов в этом городе (в рублях).
В5
Найдите корень уравнения: л/29-4х = 3.
В6
В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол С равен 53°,
Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.
угол CAD равен 39°.
В7
Л/3
Найдите cos а, если since =----
2
На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к нему в точке
с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.
У
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
91
ВАРИАНТ 21
В9
В правильной треугольной пирамиде SABC М — середина ребра АВ, S — вершина.
Известно, что ВС = 3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Най-
дите длину отрезка SM.
В10
В11
В12
В13
В14
На тарелке 15 пирожков: 4 с мясом, 9 с капустой и 2 с вишней. Катя наугад вы-
бирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с капустой.
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и вы-
сота которого равны 5,5. Найдите объем параллелепипеда.
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону
zn(t) = 7n0-2 т, где mQ (мг) — начальная масса изотопа, t (мин.) — время, прошед-
шее от начального момента, Т (мин.) — период полураспада. В начальный момент
времени масса изотопа т0 = 92 мг. Период его полураспада Т = 4 мин. Через
сколько минут масса изотопа будет равна 23 мг?
Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 60 км, одновременно вы-
ехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает
на 25 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если из-
вестно, что он прибыл в пункт В на 2 часа 30 минут позже автомобилиста. Ответ
дайте в км/ч.
О О
Найдите наибольшее значение функции у = х + 8х +16x4-23 на отрезке
-13;-3 .
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
92
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
С1
С2
СЗ
С4
С5
Часть 2
Для, записи решений и ответов на задания С1—С6 используйте бланк отве-
тов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное
обоснованное решение и ответ.
Решите уравнение (4cos2 х + 4 cos х - 3) • V5sinx = 0.
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA^B ХС XD ХЕ XF v
ны 2, найдите расстояние от точки В до прямой ArFv
Решите неравенство 71og9(x2 -х- 6)<8 + log9-
все ребра которой рав-
Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от
него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус
окружности, если отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника,
равен 6, а отношение катетов треугольника равно —
4
Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
С6
На доске написано более 35, но менее 49 целых чисел. Среднее арифметическое
этих чисел равно 5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 14,
а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -7.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
ВАРИАНТ 22
Часть 1
Ответом на задания В1—В14 должно быть целое число или конечная деся-
тичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от
номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую циф-
ру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии
с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
В1
Теплоход рассчитан на 700 пассажиров и 20 членов команды. Каждая спасатель-
ная шлюпка может вместить 80 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно
быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить
всех пассажиров и всех членов команды?
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Нижнем Новгороде
за каждый месяц 1994 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали —
температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наименьшую среднеме-
сячную температуру в осенние месяцы 1994 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.
20
-16
16
0
-12
1 1 “
1
. — ♦
- " - 1 1 _
>
янв фев мар апр май июн и юл авг сен окт ноя дек
^7
1
вз
Найдите площадь трапеции, изображенной на
клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см
(см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
4
. 1 см
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
94
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В4
В таблице указаны средние цены (в рублях) на некоторые основные продукты пи-
тания в трех городах России (по данным на начало 2010 года).
Наименование продукта Белгород Ярославль Воронеж
Пшеничный хлеб (батон) 11 15 14
Молоко (1 литр) 23 26 20
Картофель (1 кг) 10 9 13
Сыр (1 кг) 205 240 270
Говядина (1 кг) 240 230 240
Подсолнечное масло (1 литр) 44 58 52
Определите, в каком из этих городов окажется самым дешевым следующий набор
продуктов: 3 л молока, 1 кг говядины, 1 л подсолнечного масла. В ответ запишите
стоимость данного набора продуктов в этом городе (в рублях).
В5
Найдите корень уравнения: х/71-x = 8.
В6
В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол С равен 23°,
Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.
угол CAD равен 49°.
В7
Найдите cos а,
<15
если sma =------и
a g (1,5л; 2л).
В8
На рисунке изображены график функции у = f(x)
и касательная к нему в точке с абсциссой х0.
Найдите значение производной функции f(x) в
точке х0.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
95
ВАРИАНТ 22
В9
середина ребра AC, S — вершина.
В правильной треугольной пирамиде SABC L
Известно, что ВС = 6, a SL = 5. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
В10
В11
В12
В13
В14
На тарелке 16 пирожков: 8 с мясом, 3 с яблоками и 5 с луком. Настя наугад вы-
бирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с мясом.
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и вы-
сота которого равны 19,5. Найдите объем параллелепипеда.
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону
m(f) = m0-2 т » где пг0 (мг) — начальная масса изотопа, t (мин.)
шее от начального момента, Т (мин.) — период полураспада. В
времени масса изотопа mQ = 140 мг. Период его полураспада
сколько минут масса изотопа будет равна 35 мг?
время, прошед-
начальный момент
Т = 6 мин. Через
одновременно вы-
Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 40 км
ехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает
на 25 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если из-
вестно, что он прибыл в пункт В на 1 час 40 минут позже автомобилиста. Отзег
дайте в км/ч.
3 2
Найдите наибольшее значение функции у = х' + 20х +100x4-23 на отрезке [-13; -9].
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
96
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
С1
С2
СЗ
С4
С5
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания С1—С6 используйте бланк отве-
тов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное
обоснованное решение и ответ.
Решите уравнение (6sin2x + 13sinx + 5)-Vllcosx = 0.
В правильной шестиугольной призме АВСОЕЕА&С&Е^, все ребра которой рав-
ны 2, найдите расстояние от точки А до прямой CrDv
Решите неравенство lllog13 х
Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от
него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус
окружности, если отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника
„. 5
равен 24, а отношение катетов треугольника равно — •
Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система
имеет три решения.
С6
На доске написано более 42, но менее 54 целых чисел. Среднее арифметическое
этих чисел равно -7, среднее арифметическое всех положительных из них равно
6, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -12.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
ВАРИАНТ 23
Часть 1
Ответом на задания В1—В14 должно быть целое число или конечная деся-
тичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от
номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую циф-
ру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии
с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
В1
Теплоход рассчитан на 1000 пассажиров и 30 членов команды. Каждая спасатель-
ная шлюпка может вместить 60 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно
быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить
всех пассажиров и всех членов команды?
В2
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Минске за каждый
месяц 2003 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — темпера-
тура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наибольшую среднемесячную
температуру в осенние месяцы 2003 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.
-8
20
16
0
к
^14 * i
ЯНВ фев мар апр май июн । И ЮЛ авг сен окт ноя ПЛ1/
дек
t - - -
вз
Найдите площадь трапеции, изображенной на
клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см
(см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
98
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В4
В таблице указаны средние цены (в рублях) на некоторые основные продукты пи-
тания в трех городах России (по данным на начало 2010 года).
Наименование продукта Владивосток Омск Хабаровск
Пшеничный хлеб (батон) 12 16 12
Молоко (1 литр) 25 24 25
Картофель (1 кг) 18 16 14
Сыр (1 кг) 250 260 260
Говядина (1 кг) 300 295 260
Подсолнечное масло (1 литр) 58 50 65
Определите, в каком из этих городов окажется самым дешевым следующий набор
продуктов: 1 батона пшеничного хлеба, 4 кг картофеля, 1 кг сыра. В ответ запи-
шите стоимость данного набора продуктов в этом городе (в рублях).
В5
Найдите корень уравнения: \/19-Зх = 5.
В6
В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол С равен 38°,
Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.
угол CAD равен 44°.
В7
Найдите cos а
•Joi
если sma =--------
10
В8
На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к нему в точке
с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.
УД
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
99
ВАРИАНТ 23
В9
В правильной треугольной пирамиде SABK К — середина ребра ВС, S — вершина.
Известно, что SK = 4, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 54. Най-
дите длину ребра АС,
В10
В11
В12
В13
В14
На тарелке 15 пирожков: 6 с яблоками, 4 с капустой и 5 с печенью. Варя наугад
выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с яблоками.
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и вы-
сота которого равны 11,5. Найдите объем параллелепипеда.
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону
_ t
тп(^) = 7п0-2 т, где mQ (мг) — начальная масса изотопа, t (мин.) — время, прошед-
шее от начального момента, Т (мин.) — период полураспада. В начальный момент
времени масса изотопа т0 = 96 мг. Период его полураспада Т = 3 мин. Через
сколько минут масса изотопа будет равна 3 мг?
Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 50 км, одновременно вы-
ехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает
на 110 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если из-
вестно, что он прибыл в пункт В на 4 часа 35 минут позже автомобилиста. Ответ
дайте в км/ч.
Найдите наименьшее значение функции у- х3 + 12х2 + 36х + 86 на отрезке [-5; 0].
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
100
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
С2
СЗ
С4
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания С1—С6 используйте бланк отве-
тов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное
обоснованное решение и ответ.
Решите уравнение (8 cos2 х -18 cos х 4- 7) • V-7 sin х = 0.
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA^B^CyD^E^F^
ны 4, найдите расстояние от точки Е до прямой ArFr
/О \
Решите неравенство 51og16 х + 4х-5 <6 + log16
все ребра которой рав-
Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от
него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус
окружности, если отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника,
равен 10, а отношение катетов треугольника равно--
15
Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система
имеет одно решение.
С6
На доске написано более 50, но менее 60 целых чисел. Среднее арифметическое
этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 5,
а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -10.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
ВАРИАНТ 24
Часть 1
Ответом на задания В1—В14 должно быть целое число или конечная деся-
тичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от
номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую циф-
ру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии
с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
В1
Теплоход рассчитан на 800 пассажиров и 20 членов команды. Каждая спасатель-
ная шлюпка может вместить 60 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно
быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить
всех пассажиров и всех членов команды?
В2
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Санкт-Петербурге
за каждый месяц 1999 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертика-
ли — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наименьшую
среднемесячную температуру в 1999 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.
—12
16
О
-8
1
- — - - - 1 1
1 —
-
янв эев мар апр май и юн и юл авг сен окт ноя дек
1
— — —
1
ВЗ
Найдите площадь трапеции, изображенной на
клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см
(см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
102
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В4
В таблице указаны средние цены (в рублях) на некоторые основные продукты пи-
тания в трех городах России (по данным на начало 2010 года).
Наименование продукта Вологда Челябинск Краснодар
Пшеничный хлеб (батон) 16 18 14
Молоко (1 литр) 25 27 23
Картофель (1 кг) 9 16 12
Сыр (1 кг) 240 260 265
Говядина (1 кг) 280 300 280
Подсолнечное масло (1 литр) 65 60 44
Определите, в каком из этих городов окажется самым дешевым следующий набор
продуктов: 2 кг картофеля, 1 кг сыра, 1 л подсолнечного масла. В ответ запишите
стоимость данного набора продуктов в этом городе (в рублях).
В5
Найдите корень уравнения:
716^4* = 2.
В6
В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол С равен 30°,
Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.
угол CAD равен 27' .
В7
Найдите cos а, если sina= и ае (0; 0,5л).
В8
На рисунке изображены график функции
У = f(x) и касательная к нему в точке с
абсциссой х0. Найдите значение производной
функции f(x) в точке х0.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
103
ВАРИАНТ 24
В9
В правильной треугольной пирамиде SABC Р — середина ребра АВУ S — вершина.
Известно, что ВС = 5, a SP = 6. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
В10
В11
В12
В13
В14
S
На тарелке 16 пирожков: 7 с рыбой, 5 с вареньем и 4 с вишней. Юля наугад вы-
бирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и вы-
сота которого равны 1,5. Найдите объем параллелепипеда.
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону
_ t
m(t) = hiq-2 т , где т0 (мг) — начальная масса изотопа, t (мин.) — время, прошед-
шее от начального момента, Т (мин.) — период полураспада. В начальный момент
времени масса изотопа т0 = 80 мг. Период его полураспада Т = 2 мин. Через
сколько минут масса изотопа будет равна 5 мг?
Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 30 км, одновременно вы-
ехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает
на 70 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если из-
вестно, что он прибыл в пункт В на 1 час 10 минут позже автомобилиста. Ответ
дайте в км/ч.
Найдите наибольшее значение функции у = х3 -6х2 + 9х + 5 на отрезке [0,5; 2].
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
104
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
С1
С2
СЗ
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания С1-С6 используйте бланк отве-
тов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное
обоснованное решение и ответ.
Решите уравнение (4sin2 х +12sin х - 7) • V-9 cos ~х = 0.
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA^B^C^D^E^F^,
ны 3, найдите расстояние от точки D до прямой AtBv
Решите неравенство 91ogn
[х2 + 2х - 31 < 10+log!!
все ребра которой рав-
С4
Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от
него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус
окружности, если отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника,
Л 4
равен 4, а отношение катетов треугольника равно — •
Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система
имеет три решения.
С6
На доске написано более 55, но менее 65 целых чисел. Среднее арифметическое
этих чисел равно 7, среднее арифметическое всех положительных из них равно 15,
а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -5.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
В1
В2
ВЗ
ВАРИАНТ 25
Часть 1
Ответом на задания В1—В14 должно быть целое число или конечная деся-
тичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от
номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую циф-
ру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии
с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
Теплоход рассчитан на 850 пассажиров и 20 членов команды. Каждая спасательная
шлюпка может вместить 70 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно
быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить
всех пассажиров и всех членов команды?
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Симферополе за
каждый месяц 1988 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали —
температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наименьшую среднеме-
сячную температуру в осенние месяцы 1988 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.
26 - 9 .
99 -
9Л -
t
j v - । I II
1О 1Л -
10 1 1 -
14
19 -
1 л .
1U
55 -
о
К -
0 /1 -
4 9 _
п
и -2 J янв фев мар апр май июн и юл авг сен окт ноя дек
Найдите площадь трапеции, изображенной на
клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см
(см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
1 1
1 см
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
106
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В4
В таблице указаны средние цены (в рублях) на некоторые основные продукты
питания в трех городах России (по данным на начало 2010 года).
Наименование продукта Воронеж Ставрополь Ярославль
Пшеничный хлеб (батон) 14 11 15
Молоко (1 литр) 20 20 26
Картофель (1 кг) 13 13 9
Сыр (1 кг) 270 215 240
Говядина (1 кг) 240 230 230
Подсолнечное масло (1 литр) 52 44 58
Определите, в каком из этих городов окажется самым дешевым следующий набор
продуктов: 2 батона пшеничного хлеба, 3 кг говядины, 1 л подсолнечного масла.
В ответ запишите стоимость данного набора продуктов в этом городе (в рублях).
В5
Найдите корень уравнения: V16-4x = 6.
В6
В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол С равен 36°,
Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.
угол CAD равен 25°.
В7
Найдите cos а, если sina = ——— и а е (1,5л; 2л).
В8
На рисунке изображены график функции
у = f(x) и касательная к нему в точке с
абсциссой х0. Найдите значение произво-
дной функции f(x) в точке х0.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
107
ВАРИАНТ 25
В9
В правильной треугольной пирамиде SABC Q — середина ребра АВ, В — вершина.
Известно, что ВС = 7, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 42. Най-
дите длину отрезка SQ.
В10
В11
В12
В13
В14
На блюде 35 пирожков: 9 с мясом, 12 с яйцом и 14 с рыбой. Катя наугад выбирает
один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с рыбой.
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус
и высота которого равны 3,5. Найдите объем параллелепипеда.
основания
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону
_ t
m(t) = т0 2 т 1 где mQ (мг) — начальная масса изотопа, t (мин.) — время, прошед-
шее от начального момента, Т (мин.) — период полураспада. В начальный момент
времени масса изотопа mQ = 20 мг. Период его полураспада Т = 9 мин. Через
сколько минут масса изотопа будет равна 5 мг?
Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 60 км, одновременно выехали
автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 30 км
больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что
он прибыл в пункт В на 2 часа 40 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
Найдите наименьшее значение функции у = х3 -16х2 +64х+7 на отрезке [7; 11].
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
108
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания С1-С6 используйте бланк отве-
тов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное
обоснованное решение и ответ.
С1
Решите уравнение (6 cos2 х - 5 cos х - 4) • 7-8 tg х = 0.
С2
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA^B^CJJ^E^F^ все ребра которой рав-
ны 3, найдите расстояние от точки В до прямой
СЗ
Решите неравенство 131og8(x2 + 2x-81<14 + log8
С4
Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от
него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус
окружности, если отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника, pa-
in 12
вен 12, а отношение катетов треугольника равно--
5
С5
Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система
имеет три решения.
С6
На доске написано более 45, но менее 63 целых чисел. Среднее арифметическое
этих чисел равно 5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 18,
а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -9.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений, © 2012 Национальное образование
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
ВАРИАНТ 26
Часть 1
Ответом на задания В1—В14 должно быть целое число или конечная деся-
тичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от
номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру,
знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии
с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
В1
В летнем лагере на каждого участника полагается 50 г сахара в день. В лагере
168 человек. Сколько килограммовых пачек сахара понадобится на весь лагерь на
9 дней?
В2
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Свердловске
(ныне — Екатеринбург) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются
месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграм-
ме, на сколько градусов средняя температура в августе была выше, чем в феврале.
Ответ дайте в градусах Цельсия.
ВЗ
Найдите площадь треугольника, вершины которого
имеют координаты (1; 7), (5; 7), (2; 9).
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
110
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В4
Клиент хочет арендовать автомобиль на сутки для поездки протяженностью
600 км. В таблице приведены характеристики трех автомобилей и стоимость их
аренды. Помимо аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю
поездку. Какую сумму в рублях заплатит клиент за аренду и топливо, если вы-
берет самый дешевый вариант?
Автомобиль Топливо Расход топлива (л на 100 км) Арендная плата (руб. за 1 сутки)
А Дизельное 4 3400
Б Бензин 8 3000
В Газ 11 3000
Цена дизельного топлива — 16 руб. за литр, бензина — 20,5 руб. за литр, газа —
15 руб. за литр.
Найдите корень уравнения Vx + 15 = 2.
В6
В треугольнике АВС угол С равен 90“,
sin А =
11
14
АС = 107з. Найдите АВ,
В7
Найдите значение выражения V48 - V192 sin2 —.
12
В8
На рисунке изображен график функции у -f(x). Найдите среди точек х15х2, х3, х4, х5
и х6 те точки, в которых производная функции /(х) положительна. В ответ за-
пишите количество найденных точек.
У А
У = /(*)
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование» распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
111
ВАРИАНТ 26
В9
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 21л
Найдите высоту цилиндра.
а диаметр основания равен 7.
В10
В11
В12
В13
В14
Родительский комитет закупил 30 пазлов для подарков детям на окончание учеб-
ного года, из них 12 с картинами известных художников и 18 с изображениями
животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность
того, что Вове достанется пазл с животным.
В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 3. Боковые ребра равны —.
Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.
Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением
электроприбора по закону Ома: I =
где U — напряжение (в вольтах), R — сопро-
тивление электроприбора (в омах). В электросеть включен предохранитель, который
плавится, если сила тока превышает 5 А. Определите, какое минимальное сопротив-
ление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 В, чтобы сеть
продолжала работать. Ответ выразите в омах.
Первая труба пропускает на 1 л воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько ли-
тров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 110 л она
заполняет на 1 мин. быстрее, чем первая труба?
Найдите наибольшее
8
значение функции у = 1п(х + 6) - 8х
на отрезке [-5,5; 0].
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
112
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания С1—С6 используйте бланк отве-
тов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное
обоснованное решение и ответ.
С1
Решите уравнение
cos2x - cosx = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку
С2
сз
С4
С6
0-,-
2
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой рав-
ны 1, а боковые ребра равны 2, найдите угол между прямыми SB и CD.
Решите систему неравенств
log2 (100 - х2) < 2 + log2 (х + 1)
log03(2|x + 5 + х -11 - 30)<1.
Окружность S проходит через вершину С прямого угла и пересекает его стороны
в точках, удаленных от вершины С на расстояния 6 и 8. Найдите радиус окруж-
ности, вписанной в данный угол и касающейся окружности S.
Найти все пары х < 0, у > 0, удовлетворяющие системе
2 । 10
f(x)-3 f(y)-2
k
где f — периодическая функция с периодом Т = 2, определенная на всей числовой
прямой, причем /(х) = 4|х| при -1<х<1.
Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной за-
пятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны все целые неотрицательные
степени некоторого однозначного натурального числа р. В результате получается
рациональное число. Найдите это число.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
В1
В2
ВЗ
ВАРИАНТ 27
Часть 1
Ответом на задания В1—В14 должно быть целое число или конечная деся-
тичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от
номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру,
знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии
с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
В летнем лагере на каждого участника полагается 40 г сахара в день. В лагере
160 человек. Сколько килограммовых пачек сахара понадобится на весь лагерь на
6 дней?
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Нижнем Новгороде
за каждый месяц 1994 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертика-
ли — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, на сколько гра-
дусов средняя температура в ноябре была ниже, чем в июле. Ответ дайте в граду-
сах Цельсия.
20 1 art
1 А г,. I
10 1 Э - _ _ I j- - - 1 1
I Z о - !
О Л
Л - ।
и янв фев мар апр май июн июл авг сен окт ноя дек
_ А -
— ч — Я -
О " — ПЭ - I _ ! j
1 А -16 -
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с разме-
ром клетки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
1 СМ
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
114
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В4
Клиент хочет арендовать автомобиль на сутки для поездки протяженностью
600 км. В таблице приведены характеристики трех автомобилей и стоимость их
аренды. Помимо аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю
поездку. Какую сумму в рублях заплатит клиент за аренду и топливо, если вы-
берет самый дешевый вариант?
Автомобиль Топливо Расход топлива (л на 100 км) Арендная плата (руб. за 1 сутки)
А Дизельное 5 3600
Б Бензин 7 3200
В Газ 8 3200
Цена дизельного топлива — 19 руб. за литр, бензина — 20,5 руб. за литр, газа —
16,5 руб. за литр.
В5
Найдите корень уравнения >/2х + 29 = 13.
В6
В треугольнике АВС угол С равен 90°,
sinA = —, АС = 8\/3. Найдите АВ.
В7
Найдите значение выражения
iog313
1°&81
В8
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-9; 4).
Найдите сумму абсцисс точек экстремума функции /(х).
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
115
ВАРИАНТ 27
В9
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 18л , а диаметр основания равен 9.
Найдите высоту цилиндра.
В10
Родительский комитет закупил 30 пазлов для подарков детям на окончание учеб-
ного года, из них 15 с персонажами мультфильмов и 15 с видами природы. По-
дарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Маше
достанется пазл с персонажем из мультфильма.
В11
В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 3. Боковые ребра равны
—. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы,
л
В12
Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением
электроприбора по закону Ома: = гДе — напряжение (в вольтах), R — сопро-
тивление электроприбора (в омах). В электросеть включен предохранитель, который
плавится, если сила тока превышает 16 А. Определите, какое минимальное сопро-
тивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 В, чтобы
сеть продолжала работать. Ответ выразите в омах.
В13
Первая труба пропускает на 4 л воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько ли-
тров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 1020 л она
заполняет на 4 мин. быстрее, чем первая труба?
В14
Найдите наибольшее значение функции
у = ln(x + 8)3 - Зх на отрезке [-7,5; 0].
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
116
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания С1—С6 используйте бланк отве-
тов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное
обоснованное решение и ответ.
С1
Решите уравнение cos4x + cos2x = О. Укажите корни, принадлежащие отрезку
С2
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой
равны 4, а боковые ребра равны Зд/б, найдите угол между прямыми BG и AD, где
G — точка на ребре SC, причем SG :GC = 1:2.
Решите систему неравенств
log2 (49 - х2) < 2 + log2 (х + 1)
logo,4 (2х-3 + х - 8 - 8) < 1.
С4
Окружность S проходит через вершину С прямого угла и пересекает его стороны
в точках, удаленных от вершины С на расстояния 14 и 48. Найдите радиус окруж-
ности, вписанной в данный угол и касающейся окружности S.
С5
Найти все пары (х, у), х>0,
у < 0, удовлетворяющие системе
UW-4 f(y)-l
где f — периодическая функция с периодом Т = 2, определенная на всей числовой
прямой, причем f(x) = 10x при -1<х<1.
С6
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каж-
дый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 12 раз больше,
либо в 12 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности рав-
на 4900.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трех членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
ВАРИАНТ 28
Часть 1
Ответом на задания В1-В14 должно быть целое число или конечная деся-
тичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от
номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру,
знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии
с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
В1
В летнем лагере на каждого участника полагается 40 г сахара в день. В лагере
164 человека. Сколько килограммовых пачек сахара понадобится на весь лагерь на
9 дней?
В2
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Минске за каждый
месяц 2003 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — темпера-
тура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, на сколько градусов средняя
температура в сентябре была ниже, чем в июне. Ответ дайте в градусах Цельсия.
24
-8
20
16
12
8
0
— I 1 —
— - I
1 -
янв фев мар апр май июн июл авг сен окт ——————J ноя
Найдите площадь треугольника, вершины которого
имеют координаты (1; 7), (6; 7), (2; 9).
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
118
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В4
Клиент хочет арендовать автомобиль на сутки для поездки протяженностью
600 км. В таблице приведены характеристики трех автомобилей и стоимость их
аренды. Помимо аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю
поездку. Какую сумму в рублях заплатит клиент за аренду и топливо, если вы-
берет самый дешевый вариант?
Автомобиль Топливо Расход топлива (л на 100 км) Арендная плата (руб. за 1 сутки)
А Дизельное 4 3600
Б Бензин 9 3000
Газ 10 3300
Цена дизельного топлива
14,5 руб. за литр.
16 руб. за литр, бензина — 21 руб. за литр, газа —
В5
Решите уравнение
В6
В треугольнике АВС угол С равен 90°,
• л 3
sin А = —
АС = 6у/7. Найдите АВ.
В7
Найдите значение выражения
logo 8
log8i 8 ’
В8
На рисунке изображен график функции у = f(x). Найдите среди точек
и Xq те точки, в которых производная функции /Чх) отрицательна. В ответ за-
пишите количество найденных точек.
У =
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
119
ВАРИАНТ 28
В9
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 14л , а диаметр основания равен 2.
Найдите высоту цилиндра.
В10
В11
В12
В13
В14
Родительский комитет закупил 30 пазлов для подарков детям на окончание учеб-
ного года, из них 15 с персонажами мультфильмов и 15 с видами природы. По-
дарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Маше
достанется пазл с персонажем из мультфильма.
В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 5. Боковые ребра равны —.
Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы. 71
Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением
электроприбора по закону Ома: / = —, где U — напряжение (в вольтах), R — сопро-
тивление электроприбора (в омах). В электросеть включен предохранитель, который
плавится, если сила тока превышает 20 А. Определите, какое минимальное сопро-
тивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 В, чтобы
сеть продолжала работать. Ответ выразите в омах.
Первая труба пропускает на 1 л воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров
воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 870 л она заполня-
ет на 1 мин. быстрее, чем первая труба?
Найдите наибольшее значение функции у = 1п(х + 3)7-Чх на отрезке [-2,5; 0].
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
120
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания С1-С6 используйте бланк отве-
тов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное
обоснованное решение и ответ.
С1
уравнение
cos2x - sinx = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку
С2
СЗ
С4
Решите
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой
равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите синус угла между прямыми ВМ и DE,
тпе М — середина ребра SC.
Решите систему неравенств
log4(25 - х2) <2 + log4(x + 4)
logo,4(2х + 4 + |х - 6 - 18)< 1.
Окружность S проходит через вершину С прямого угла и пересекает его стороны
в точках, удаленных от вершины С на расстояния 16 и 30. Найдите радиус окруж-
ности, вписанной в данный угол
и касающейся окружности S.
С5
Найти все пары (х, у), х>0, у>
0, удовлетворяющие системе
5
4 f(x) - з
___3__
f(2x+Зу) - 2
(/(2х + Зу) - 2)(Лх) - 3) = 3f (х) - 9,
*
где f — периодическая функция с периодом Т = 2, определенная на всей числовой
прямой, причем f(x) = 5x при -1<х<1.
С6
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каж-
дый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 15 раз больше,
либо в 15 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна
8959.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трех членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
В1
В2
ВЗ
ВАРИАНТ 29
Часть 1
Ответом на задания В1-В14 должно быть целое число или конечная деся-
тичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от
номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру,
знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии
с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
В летнем лагере на каждого участника полагается 40 г сахара в день. В лагере
177 человек. Сколько килограммовых пачек сахара понадобится на весь лагерь на
8 дней?
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Санкт-Петербурге
за каждый месяц 1999 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертика-
ли — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, какой из летних
месяцев был самый холодный. В ответ напишите номер месяца.
24 1 20 - 1А - ! । —
г - 4
I О 17 - ..
IZ о -
о *
Л ч
V _ Л - янв фев мар апр — май июн июл авг сен окт 1 1 ноя дек
— *г — Я - 1
О -12 1
Найдите площадь треугольника, вершины которого
имеют координаты (1; 7), (6; 7), (4; 9).
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
122
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В4
В среднем гражданин А. в дневное время расходует 110 кВт-ч электроэнергии
в месяц, а в ночное время — 155 кВт-ч электроэнергии. Раньше у А. в квартире
был установлен однотарифный счетчик, и всю электроэнергию он оплачивал по
тарифу 2,2 руб. за кВт-ч. Год назад А. установил двухтарифный счетчик, при
этом дневной расход электроэнергии оплачивается по тарифу 2,2 руб. за кВт-ч,
а ночной расход оплачивается по тарифу 0,8 руб. за кВт-ч.
В течение 12 месяцев режим потребления и тарифы оплаты электроэнергии не ме-
нялись. На сколько больше заплатил бы А. за этот период, если бы не поменялся
счетчик? Ответ дайте в рублях.
В5
Найдите корень уравнения д/5х + 10 = 10.
В6
В треугольнике АВС угол С равен 90°,
sin А = —
21
АС = ч 377. Найдите АВ.
В7
Найдите значение выражения
log713
1°&4913
В8
На рисунке изображены график функции у = /(х) и касательная к нему в точке
с абсциссой х0. Найдите значение производной функции /(х) в точке х0.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
123
ВАРИАНТ 29
В9
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 9л
Найдите высоту цилиндра.
а диаметр основания равен 3.
В10
Родительский комитет закупил 30 пазлов для подарков детям на окончание учеб-
ного года, из них 15 с персонажами мультфильмов и 15 с видами природы. По-
дарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Маше
достанется пазл с персонажем из мультфильма.
В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 3. Боковые ребра равны —.
Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы. я
В12
Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением
электроприбора по закону Ома: I = —, где U — напряжение (в вольтах), R — сопро-
тивление электроприбора (в омах). В электросеть включен предохранитель, который
плавится, если сила тока превышает 8,8 А. Определите, какое минимальное сопро-
тивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 В, чтобы
сеть продолжала работать. Ответ выразите в омах.
В13
Первая труба пропускает на 4 л воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько ли-
тров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 672 л она
заполняет на 4 мин. быстрее, чем первая труба?
В14
Найдите наибольшее значение функции
у = ln(x + З)2 -2х на отрезке [-2,5; 0].
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
124
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания С1-С6 используйте бланк отве-
тов № 2, Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное
обоснованное решение и ответ.
Решите уравнение cos4x - sin2x = О. Укажите корни, принадлежащие отрезку О; л .
С2
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой
равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите угол между прямыми SF и ВМ, где
М — середина ребра SC.
СЗ
Решите систему неравенств
<2 + log4(x + 4)
log4(81 -
- 10| - 38) <1.
С4
Окружность S проходит через вершину С прямого угла и пересекает его стороны
в точках, удаленных от вершины С на расстояния 40 и 42. Найдите радиус окруж-
ности, вписанной в данный угол и касающейся окружности S.
С5
Найти все пары (х, у), х > 0, у > 0, удовлетворяющие системе
4(/(х) -1 । 2f(y) + 3
f(x) - 2 f (у) - 2
{(f(y)-2)(f(x)-2) = f(y)-2,
где f — периодическая функция с периодом Т = 2, определенная на всей числовой
прямой, причем /(х) = 3 х
С6
при - 1<х<1.
Первый набор чисел состоит из чисел 2, 4, 8, ... 210. Второй набор состоит из чи-
сел 3, 9, 27, ... З10. Числа разбили на пары. В каждой паре на первом месте чис-
ло из первого набора, а на втором — какое-то число из второго. В каждой паре
два числа умножили друг на друга и полученные произведения сложили. Найдите
наименьшее возможное значение полученной суммы.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
ВАРИАНТ 30
Часть 1
Ответом на задания В1-В14 должно быть целое число или конечная деся-
тичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от
номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру,
знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии
с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
В1
В летнем лагере на каждого участника полагается 70 г сахара в день. В лагере
152 человека. Сколько килограммовых пачек сахара понадобится на весь лагерь на
7 дней?
В2
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Симферополе за
каждый месяц 1988 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали —
температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, в каком месяце про-
изошел самый большой перепад средней температуры по сравнению с предыдущим
месяцем. В ответ напишите номер месяца.
-2
24
20
18
16
14
12
10
8
2
0
1 Г *-|
1 1 -* 1
— । 1 : •
— _
1
J
L .
_! 1
1 -1- 1 1
i
янв фев мар апр май июн июл !авг 'сен окт ноя дек 1
__
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
126
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
ВЗ
Найдите площадь треугольника, вершины которого
имеют координаты (1; 7), (7; 7), (2; 9).
В4
Клиент хочет арендовать автомобиль на сутки для поездки протяженностью
600 км. В таблице приведены характеристики трех автомобилей и стоимость их
аренды. Помимо аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю
поездку. Какую сумму в рублях заплатит клиент за аренду и топливо, если вы-
берет самый дешевый вариант?
Автомобиль Топливо Расход топлива (л на 100 км) Арендная плата (руб. за 1 сутки)
А Дизельное 4 3500
Б Бензин 7 3000
В Газ 11 3000
Цена дизельного топлива — 18 руб. за литр, бензина
14,5 руб. за литр.
18,5 руб. за литр, газа
В5
Найдите корень уравнения \/2х + 37 =7.
В6
В треугольнике АВС угол С равен 90е,
24
sm А = —
29
АС = <265. Найдите АВ.
В7
Найдите значение выражения
log4ll
log64ll’
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
127
ВАРИАНТ 30
В8
На рисунке изображен график функции y = f(x). Найдите среди пяти точек
xv х2, х3, х4 и х5 те точки, в которых производная функции f(x) положи-
тельна. В ответ запишите количество найденных точек.
у*
В9
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 15л , а диаметр основания равен 5.
Найдите высоту цилиндра.
В10
Родительский комитет закупил 40 пазлов для подарков детям на окончание учеб-
ного года, из них 14 с видами природы и 26 с историческими достопримечатель-
ностями. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того,
что Вове достанется пазл с видом природы.
В11
В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 3. Боковые ребра равны —.
Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы. 71
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
128
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В12
Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением
электроприбора по закону Ома: I =—, где U — напряжение (в вольтах), R — сопро-
тивление электроприбора в омах. В электросеть включен предохранитель, который
плавится, если сила тока превышает 11 А. Определите, какое минимальное сопро-
тивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 В, чтобы
сеть продолжала работать. Ответ выразите в омах.
В13
Первая труба пропускает на 3 л воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько ли-
тров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 648 л она
заполняет на 3 мин. быстрее, чем первая труба?
В14
Найдите наибольшее значение функции
у = 1п(х + 6)9 -9х
на отрезке
[-5,5; 0].
Часть 2
Дл,я записи решений и ответов на задания С1—С6 используйте бланк отве-
тов № 2, Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное
обоснованное решение и ответ.
С1
Решите уравнение
[0; л].
cos6x - cos3x = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой
равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите синус угла между прямыми AL и ВМ,
где М — середина ребра SC, L — середина ребра SB.
СЗ
Решите систему неравенств
log4(81
1°&0,7(3
- х2) < 2 + log4 (х + 4)
х + 3| + |х -10|-35) <1.
С4
Окружность S проходит через вершину С прямого угла и пересекает его стороны
в точках, удаленных от вершины С на расстояния 18 и 80. Найдите радиус окруж-
ности, вписанной в данный угол и касающейся окружности S.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
129
ВАРИАНТ 30
С5
Найти все пары (г, у), х > 0, у > 0, удовлетворяющие системе
8/(х) + 3 . 6«г/) + 1
= 6
< 2f(х) -1 3f(y) - 3
(6f(y) - 3}(f(y) -1) = 3f(y) - 3
где f — периодическая функция с периодом Т = 2, определенная на всей числовой
прямой, причем /(х) = |х| при -1<х<1.
Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной за-
пятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны все члены последовательности
ап - 2&Ьг\ где b — целое неотрицательное. В результате получается рациональное
число. Найдите это число.
2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
ОТВЕТЫ
Каждое правильно выполненное задание части 1 оценивается 1 баллом. Задания ча-
сти 1 считаются выполненными верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого
числа или конечной десятичной дроби.
Вариант 1
Ответы к заданиям части 2
Ответы к заданиям части 1
№ задания Ответ
В1 9840
В2 16
ВЗ 36
В4 11 060
В5 19
В6 0,48
В7 200
В8 5
В9 9
вю 0,95
В11 450
В12 1,8
В13 1
В14 -1
№ задания Ответ
С1 2 2 arcsin—+ 2лД л-агс8Ш-- + 2л/г, 3 3 2л 2л + 2л&, —+2л&, k^Z. 3 3 Отрезку принадлежат корни 2л . 2 4л —; л — aresm—; — 3 3 3
С2 2
СЗ (0,4;0,5); (1; 2]
С4 91 221 17 или 7
С5 25 25 а = , а = 11 9
С6 3
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
131
ОТВЕТЫ
Вариант 2
Ответы к заданиям части 2
Ответы к заданиям части 1
№ задания Ответ
В1 11520
В2 6
ВЗ 36
В4 213 750
В5 23
В6 0,31
В7 1,24
В8 0,5
В9 2
В10 0,85
В11 850
В12 0,8
В13 4
В14 -1
№ задания Ответ
С1 -arcsin— + 2nk, л + arcsin—+2л/г, 4 4 л + 2л/г, k eZ. Отрезку принадлежат корни Зя; Зя + arcsin— 4
С2 Л 2
СЗ (1; 2] Us;'- J
С4 119 391 23 ИЛИ 7
С5 2
С6 а) нет; б) да; в) 867
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
132
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Ответы к заданиям части 1
№ «задания Ответ
В1 9500
В2 5
ВЗ 33
В4 197 850
В5 32
В6 0,55
В7 127
В8 -2
В9 7,5
В10 0,8
В11 2175
В12 1
В13 4
В14 -1
Вариант 3
Ответы к заданиям части 2
№ «задания Ответ
С1 тт 5л 1 — + 2ilk, + 2л/г. л-arccos + 2л/г, 6 6 3 arccos — + п + 2 л/?, Z?gZ. 3 Отрезку принадлежат корни 11л . 1. ft 7л ; arccos(—) -2л; 6 3 6
С2 Lt- I cj
сз СО | ЬО | ; (1;2]
С4 425 775 л или —г
С5 1
С6 2 9
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
133
ОТВЕТЫ
Ответы к заданиям части 1
№ задания Ответ
В1 5880
В2 10
ВЗ 49
В4 208 400
В5 3
В6 0,41
В7 -6,56
В8 -3
В9 6
вю 0,9
В11 1500
В12 0,6
В13 5
В14 -1
Ответы к заданиям части 1
№ задания Ответ
В1 3960
В2 5
ВЗ 42
В4 216 000
В5 9
В6 0,24
В7 -8
Вариант 4
Ответы к заданиям части 2
№ задания Ответ
С1 —+ 2л/г, л-arccos—+2л/г, 2 4 з arccos—+ л + 2 л/г, /г g Z. 4 Отрезку принадлежат корни о 5л 2л - arccos(-—); —
С2 v2
СЗ (1 !’ ! (i; з] 2? х J
С4 2S 41 1 или 1189
С5 18 41
С6 • а) нет; б) да; в) 647
Вариант 5
Ответы к заданиям части 2
Ответ
№ задания
-arccos— + 2nk
5л 4
2 л/г,--+ 2л/г, arccos— + 2nk
Отрезку принадлежат корни
4 13л п 4
- arccos—;----; -2л + arccos—
2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
134
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Продолжение табл.
№ задания Ответ
В8 -1
В9 4,5
В10 0,95
В11 1500
В12 1
В13 2
В14 1,5
Продолжение табл.
№ задания Ответ
СЗ <1 I to ч» • СО 1 1-^ ; (1;2]
С4 1271 2009 ИЛИ 49 31
С5 13. 77 69’ 123
С6 7 33
Вариант 6
Ответы к заданиям части 2
Ответы к заданиям части 1
№ задания Ответ
В1 23
В2 18
вз 15
В4 158 400
В5 12
В6 0,7
В7 294
В8 0,25
В9 17
В10 0,8
№ задания Ответ
С1 , 3 л „ -arctg—+ ля, —+ля, иед. 2 4 Отрезку принадлежат корни х 3 5л л arctg 2; 4
С2 х 7 arctg— 48
СЗ (-ОО, -4), (4, +00)
С4 4,5 или 6
С5 а < -6 и а > 6
С6 1 и 1035
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
135
ОТВЕТЫ
Продолжение табл.
В11 39 304
В12 11
В13 10
В14 20
Вариант 7
Ответы к заданиям части 2
Ответы к заданиям части 1
№ задания Ответ
В1 46
В2 16
ВЗ 18
В4 166 700
В5 3
В6 0,9
В7 324
В8 0,25
В9 13
В10 0,9
В11 6859
В12 13
В13 10
В14 24
№ задания Ответ
• С1 5 ти arctg— + л/?, — + л/г, k <=Z. 2 4 Отрезку принадлежат корни 7л 5 о Зл 5 ; arctg -2л; - ; arctg - л
С2 х 21 arctg— 40
СЗ (-со,-2), (2,+оо)
С4 34 6 или „ 7
С5 а = -5
С6 3 и 1161
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
136
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Вариант 8
Ответы к заданиям части 1
№ задания Ответ
В1 20
В2 20
ВЗ 13,5
В4 252 000
В5 13
В6 0,5
В7 1125
В8 0,5
В9 17
вю 0,75
В11 46 656
В12 15
В13 10
В14 8
Ответы к заданиям части 2
№ задания Ответ
С1 2 71 -arctg—+ л/г, + л/г, 3 4 Отрезку принадлежат корни 9л х 2 _ ; -arctg—2 л 4 3
С2 х Ю arctg
СЗ (-оо,-3), (3,+со)
С4 17 5 или „ 8
С5 а 2
С6 1 и 861
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
137
ОТВЕТЫ
Вариант 9
Ответы к заданиям части 1
№ задания Ответ
В1 42
В2 20
ВЗ 22,5
В4 157900
В5 21
В6 0,8
В7 52
В8 0,5
В9 10
В10 0,875
В11 8000
В12 12
В13 20
В14 19
Ответы к заданиям части 2
№ задания Ответ
С1 arctg— + л/г, —+л/г, k <eZ. 3 4 Отрезку принадлежат корни 1 5я 1 о 9л arctg — + л;—; arctg— + 2 л; — 3 4 3 4
С2 х 15 arctg
СЗ (-СС,-3), (3,+со)
С4 9 23 — или — 2 6
С5 а > 0,1
С6 1 и 1323
Вариант 10
Ответы к заданиям части 1
№ задания Ответ
В1 15
В2 24
ВЗ 13,5
В4 172 000
В5 ^7
В6 0,2
В7 208
Ответы к заданиям части 2
№ задания Ответ
С1 1 л -arctg—+ л/г, — + л/г, keZ. 5 4 Отрезку принадлежат корни 13л 1 -л-arctg ; - ; -arctg— 4 4 4
С2 4 arctg 15
СЗ (-ОС, -4), (4, +ос)
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
138
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Продолжение табл.
№ задания Ответ
В8 0,25
В9 13
В10 0,6
В11 729
В12 8
В13 20
В14 32
Продолжение табл.
№ задания Ответ
С4 13 „ 4
С5 а = -42
С6 1 и 1323
Вариант 11
Ответы к заданиям части 1
№ задания Ответ
В1 507
В2 7
вз 15
В4 6900
В5 4
В6 8,4
В7 12
В8 1,5
В9 17
вю 0,4
В11 60
В12 30
В13 48
В14 2
Ответы к заданиям части 2
№ задания Ответ
С1 , 71 Ли?, 3 Отрезку 71 1- 2nk, —+2 ля, k g Z. 3 принадлежат корни 4 13л 4л; 3
С2 /2 V3
СЗ >1;С •); (°:2’
С4 512 или 800
С5 -2 < а < - -1; 1 < а < 2
С6 1, 2, 6
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
139
ОТВЕТЫ
Вариант 12
Ответы к заданиям части 2
Ответы к заданиям части 1
№ задания Ответ
В1 233
В2 7
ВЗ 30
В4 7245
В5 6
В6 6
В7 14
В8 6
В9 5
В10 0,25
В11 57
В12 16
В13 44
В14 11
№ задания Ответ
С1 л 2nk . „ + , Z? ez. 2 3 Отрезку принадлежат корни 19л 23л _ • 6 ’ 6
С2 1 7з
сз ।—। 00 • 1 । 1
С4 1800 или 2178
С5 ->/3 < а < V2; \2 < а < \ 3
С6 а) нет; б) да; в) 1347
Вариант 13
Ответы к заданиям части 2
Ответы к заданиям части 1
№ задания Ответ
В1 211
В2 4
ВЗ 7,5
В4 6465
В5 5
В6 3
№ задания Ответ
С1 2л/г , _ л + , keZ, 3 Отрезку принадлежат корни _ 11л Зл; 3
С2 0
СЗ [-2; 0); (0;1]
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
140
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Продолжение табл.
№ задания Ответ
В7 13
В8 5
В9 17
В10 0,6
В11 63
В12 8
В13 72
В14 13
Продолжение табл.
№ задания Ответ
С4 392 или 512
С5 ->/5<а<л/2; V2 <а <>/5
С6 00 со
Вариант 14
Ответы к заданиям части 2
Ответы к заданиям части 1
№ задания Ответ
В1 444
В2 12
ВЗ 12
В4 7035
В5 1
В6 1,4
В7 14
В8 2
В9 16
вю 0,2
В11 36
В12 4
В13 24
В14 523
№ задания Ответ
С1 + 2nk, +2Tckt keZ. 6 6 Отрезку принадлежат корни 31тг lire 6 ’ 2
С2 1 х/2
СЗ [-2; 0); (0; 1]
С4 450 или 800
С5 1 оГ] & 1 to] • to]
С6 а) нет; б) да; в) 989
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
141
ОТВЕТЫ
Вариант 15
Ответы к заданиям части 2
Ответы к заданиям части 1
№ задания Ответ
В1 585
В2 6
ВЗ 18
В4 9625
В5 2
В6 2,4
В7 14
В8 1,5
В9 15
В10 0,15
В11 360
В12 6
В13 42
В14 14
Вариант 16
Ответы к заданиям части 1
№ задания Ответ
В1 7
В2 6
ВЗ 19,5
В4 135
В5 -252
Ответы к заданиям части 2
№ задания Ответ
С1 л 1 |-л&, arctg—1-2nk, keZ. 4 3 Отрезку принадлежат корни arctg — + 2л; —arctg — + Зл 3 4 3
С2 /2 V3
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений* © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
142
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Продолжение табл.
№ задания Ответ
В6 4
В7 28
В8 2
В9 3
В10 0,4
В11 4
В12 12,5
В13 9
В14 8
Продолжение табл.
СЗ СО 1 to • со 1 1 1 со 1 ос со > )
С4 3( > или 9
С5 (~оо; -1] о [0,25; +00)
167, 334 и 27 889 или
167, 334 и 55 778
Вариант 17
Ответы к заданиям части 1
№ задания Ответ
В1 5
В2 7
ВЗ 13
В4 2,5
В5 1
В6 15
В7 49
В8 0,25
В9 2
вю 0,5
В11 5
В12 75
В13 10
В14 7
Ответы к заданиям части 2
№ задания Ответ
С1 2 л arctg—+ л&, + л&, keZ. 3 4 Отрезку принадлежат корни л ,2 - —; arctg — - л 4 3
С2 у/2
СЗ ( 1 0; — , [4 8; 1), (4; 16] \ 16 J
С4 45 4’ 18
С5 ( 7 —СО! 1 1' ? , [5; +оо)
С6 а) нет; б) да; в) 963
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
143
ОТВЕТЫ
Вариант 18
Ответы к заданиям части 1
№ задания Ответ
В1 12
В2 5
ВЗ 32,5
В4 135
В5 -508
В6 12
В7 64
В8 0,25
В9 4
вю 0,6
В11 11
В12 25
В13 9
В14 -10
Ответы к заданиям части 2
№ задания Ответ
С1 , 2 Л , , -arctg—+nk, + ля, keZ. 5 4 Отрезку принадлежат корни 15л л 2 ; 4л - arctg — 4 5
С2 90°
СЗ ( -- З"1; 3 7 , (1; з ], (9; +оо)
С4 300 или 25
С5 <1 | со to | со
С6 63, 504 и 10 584; 63, 504 и 15 876 или 63, 504 и 31 752
Вариант 19
Ответы к заданиям части 2
Ответы к заданиям части 1
№ задания Ответ
В1 11
В2 7
ВЗ 26
В4 2070
В5 -31
В6 15
В7 27
'* 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
144
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Продолжение табл.
№ задания Ответ
В8 5
В9 3
В10 0,15
В11 19
В12 50
В13 8
В14 6
Продолжение табл.
№ задания Ответ
С4 200 „ или 25 9
С5 ; ^1000 5/1000
С6 18, 144 и 1296 или 18, 144 и 2592
Вариант 20
Ответы к заданиям части 1
№ задания Ответ
В1 6
В2 9
ВЗ 19,5
В4 2,25
В5 -26
В6 36
В7 -4
В8 -1,75
В9 5
В10 0,3
В11 10,75
В12 35
В13 8
В14 5
Ответы к заданиям части 2
№ задания Ответ
С1 71 arctg 6 + nfe, 4-nfe, k^Z. 4 Отрезку принадлежат корни Л arctg6 -л; —; arctg6 4
i 02 7 11
сз Г 1 О) <4 • 4 ' 1; 45 , (16; +оо)
С4 240 или 32
( 05 с 1=; ^8
С6 а) нет; б) да; в) 867
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
145
ОТВЕТЫ
Вариант 21
Ответы к заданиям части 1
№ задания Ответ
В1 10
В2 -20
ВЗ 13
В4 381
В5 5
В6 49
В7 -0,5
В8 0,25
В9 10
В10 0,6
В11 665,5
В12 8
В13 15
В14 23
Ответы к заданиям части 2
Вариант 22
Ответы к заданиям части 2
Ответы к заданиям части 1
№ задания Ответ
В1 9
В2 -4
ВЗ 26
В4 352
В5 7
В6 59
В7 0,25
В8 -1,75
В9 45
№ задания Ответ
С1 С2 — + пп\ - — + 2лтг, п eZ 2 6 4
СЗ [-8;-1); (5; 18]
С4 20 или 14,4
С5 7 или л/45-2
С6 а) 48; б) отрицательных; в) 12
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
146
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Продолжение табл.
№ задания Ответ
В10 0,5
В11 29 659,5
В12 12
В13 15
В14 23
Вариант 23
Ответы к заданиям части 1
№ задания Ответ
В1 18
В2 12
ВЗ 13
В4 328
В5 -2
В6 54
В7 -0,3
В8 0,25
В9 9
вю 0,4
В11 6083,5
В12 15
В13 10
В14 54
Ответы к заданиям части 2
№ задания Ответ
С1 tin; — + 2nn,neZ 3
С2 2-Jl
СЗ I -15;-5); (1; 17]
С4 а 6,25 или 8
С5 2 или 3 + V97
С6 а) 55; б) отрицательных; в) 25
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование» распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
147
ОТВЕТЫ
Вариант 24
Ответы к заданиям части 1
№ задания Ответ
В1 14
В2 -8
ВЗ 28
В4 323
В5 3
В6 96
В7 0,5
В8 -1,25
В9 45
В10 0,25
В11 13,5
В12 8
В13 20
В14 9
Ответы к заданиям части 2
№ задания Ответ
С1 2 +- лтг; - — + 2тгп, п eZ 6
С2 6
СЗ [-10;-3); (1; 12]
С4 8 — или 3 3
Сб 7 или >/б5-2
С6 а) 60; б) положительных; в) 36
Вариант 25
Ответы к заданиям части 2
Ответы к заданиям части 1
№ задания Ответ
В1 13
В2 2
ВЗ 14
В4 756
В5 -5
В6 94
В7 0,2
В8 0,25
№ задания Ответ
С1 2тг тгп; 1- 2лтг, п &Z 3
С2 Зл/7 2
СЗ [-6;-4); (2; 10]
С4 10 или 7,2
С5 8 или 741-3
С6 а) 54; б) положительных; в) 28
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
148
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Продолжение табл.
№ задания Ответ
В9 4
В10 0,4
В11 171,5
В12 18
В13 15
В14 7
Ответы к заданиям части 1
Вариант 26
Ответы к заданиям части 2
№ задания Ответ
В1 76
В2 28
ВЗ 4
В4 3784
В5 -11
В6 28
В7 6
В8 4
В9 3
вю 0,6
В11 31,5
В12 44
В13 11
В14 40
№ задания Ответ
С1 2л/г , _ ,keZ. 3 Отрезку принадлежат корни 0; —; —; 2л 3 3
С2 60°
СЗ (9,3; 10)
С4 4 или 24
С5 1-1-2*, - + 2nl f—1—2fe, -+2п ], V 4 ) 1 4 ; /г = 0,1,2,... « = 0,1,2,...
С6 1 9
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
149
ОТВЕТЫ
Ответы к заданиям части 1
№ задания Ответ
В1 39
В2 20
ВЗ 16
В4 3992
В5 70
В6 14
В7 4
В8 -21
В9 2
В10 0,5
В11 40,5
В12 13,75
В13 34
В14 21
Вариант 27
Ответы к заданиям части 2
№ задания Ответ
С1 тг л/г . „ - +—,kaZ. 6 3 Отрезку принадлежат корни 5л л л п • __ , • • 6 ’ 2’ 6’ 6
С2 . 5>/2 arctg
СЗ 6,4; 7
С4 12 или 112
С5 (1 + 2п, -1,8 - 21), (1 + 2п, -0,2 - 2Z), п, 1 = 0, 1, 2, ...
С6 а) нет; б) да; в) 753
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
150
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Вариант 28
Ответы к заданиям части 2
Ответы к заданиям части 1
№ задания Ответ
В1 60
В2 4
ВЗ 5
В4 3984
В5 -6
В6 24
В7 2
В8 2
В9 7
вю 0,5
В11 112,5
В12 11
В13 30
В14 14
№ задания
Ответ
л 2nk
6+-F
k E.Z.
С1
С2
СЗ
С4
C6
Отрезку принадлежат корни
л 5л Зл 13л
б’ 6 ’ Т’ б’
1
4,4; 5
12 или 80
-0,6 +2m, — +—(п-2т)
/ = 0,1,2,... m = l,2,...
n-2Z = l,2,... n-2m = l,2,...
а) нет;
б) да;
в) 1119
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
151
ОТВЕТЫ
Вариант 29
Ответы к заданиям части 2
Ответы к заданиям части 1
№ задания Ответ
В1 57
В2 8
ВЗ 5
В4 2604
В5 18
В6 21
В7 0,5
В8 -2
В9 3
В10 0,5
В11 9
В12 25
В13 28
В14 4
№ задания
Ответ
С1
С2
СЗ
С4
С5
С6
Л Ttk , „
— +—, k tZ.
12 3
Отрезку принадлежат корни
л 5л. Зл
12’ 12’ Т
х/б
arccos—
4
8,1; 9
24 или 140
6(310-210)
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование» распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
152
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Вариант 30
Ответы к заданиям части 2
Ответы к заданиям части 1
№ задания Ответ
В1 75
В2 11
ВЗ 6
В4 3777
В5 6
В6 29
В7 3
В8 2
В9 3
вю 0,35
В11 18
В12 20
В13 27
В14 45
№ задания Ответ
С1 2 л/г 9 Отрезку принадлежат корни _ 2л 4л 2л 8л °5 9: 9= 3; 9;
С2 /г 4 Г
СЗ 8,35; 9
С4 16 или 180
С5 (1 + 2п, - + 21 1 3 1 + 2п, -- + S 1 з . п = 0, 1, 2,... 771 = 1, 2, 3, ... 1т . 1 = ( > ), 1, 2,...
С6 0,111. • • = 1 9
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
РЕШЕНИЯ И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ
ЗАДАНИЙ ЧАСТИ 2
Оценки заданий части 2 зависят от полноты решения и правильности ответа.
Общие требования к выполнению заданий с развернутым ответом: решение
должно быть математически грамотным, полным, все возможные случаи должны
быть рассмотрены, из него должен быть понятен ход рассуждений учащегося. Ме-
тоды решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За
решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется макси-
мальное число баллов.
Эксперты проверяют математическое содержание представленного решения,
а особенности записи не учитывают.
В критериях оценивания конкретных заданий содержатся общие требования
к выставлению баллов. Однако они не исчерпывают всех возможных ситуаций.
Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.
При выполнении задания экзаменуемый может использовать без доказательства
и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных
пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендованных (допу-
щенных) Министерством образования и науки Российской Федерации.
Вариант 1
С1
Решите уравнение 3sin2x-4cosx + 3sinx-2 = 0. Укажите корни, принадлежащие от-
резку
Решение.
Разложим левую часть на множители:
6sinxcosx - 4cosx + 3sinx -2 = 0;
(2cosx+ l)(3sinx - 2) = 0.
Таким образом, либо cosx = —, либо sinx = —. В первом случае х =
ИЛИ X = -
На отрезок
2л
попадают корни — и
4л
Во втором случае х =
. 2 о , ,
arcsin— + 2л/?, /? е.
На заданный отрезок
попадает корень
л-arcsin—.
Ответ: arcsin— + 2 л/?
л-arcsin—ь 2 л/?
2л
k eZ. Отрезку при-
2
2
3
надлежат корни
2л . 2 4л
—; л - arcsin—; —
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
154
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Критерии оценивания выполнения задания С1 Баллы
Обоснованно получен правильный ответ 2
Тригонометрическое уравнение решено верно, но неверно указаны или не указаны корни, принадлежащие отрезку 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
С2
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA^B^C^D^E^F^,
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой EXFV
все ребра которой
Решение.
Проведем отрезки
BF — проекция BF±
BFr ± ВС и, значит,
BF и BFr. BF Е ВС, поскольку ЛСВА = 120°, a ZABF = 30°.
на плоскость основания. По теореме о трех перпендикулярах
BFr ± E]Fi. Таким, образом искомое расстояние — длина от-
резка BFi.
Рассмотрим треугольник BFF^ Он прямоугольный, BF = л/З, FF^ = 1. По теореме
Пифагора находим: BFi = >/3 + 1 = 2.
Ответ: 2.
Критерии оценивания выполнения задания С2 Баллы
Получен и обоснован верный ответ 2
Верно описана геометрическая конфигурация, построен или описан отрезок, длину которого нужно найти, либо верно описан способ нахождения искомого расстояния, но получен неверный ответ или решение не закончено 1
Решение неверно или отсутствует 0
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
155
РЕШЕНИЯ И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ЗАДАНИЙ ЧАСТИ 2
Решите систему неравенств
loglogx2x(5x-2^0
15х-9-5х -3х +9 <0.
Решение.
Решим первое неравенство.
l°Si+iogl2 - 2) s °
1 2 1
Если 0 < х < —, то 0 < 1 + logx 2 < 1. Получаем: 0 < 5х - 2 < 1. Тогда — < х < —.
1 2 5 2
Если — <х<1, то l + logr2<0. Решений нет.
2 7 сэл
3
Если х>1, то l + logx2>l. Получаем: 5х-2>1. Тогда х>—.
5
Таким образом, первое неравенство выполняется, если 0,4 <х <0,5 или х>1.
Решим второе неравенство:
15х-9-5х-3 х +9<0;
5х(зх-9)-Зх+9<0; (йх-1)(зх-9)<0.
Решение: 0 < х < 2 .
Решение системы: 0,4<х<0,5
или 1 < х < 2.
Ответ: (0,4; 0,5); (1; 2].
Критерии оценивания выполнения задания СЗ Баллы
В представленном решении обоснованно получен верный ответ 3
Верно решены оба неравенства, но решение системы неверно или отсутствует 2
Верно решено только одно из неравенств 1
Решение не закончено или получен неверный ответ (кроме тех случаев, в которых выставляется 1-2 балла; см. выше) 0
С4
Дан ромб ABCD с диагоналями АС = 24 и BD = 10. Проведена окружность ради-
уса
5 72
с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая
2
через вершину В, касается этой окружности и пересекает прямую CD в точке М.
Найдите СМ,
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
156
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Решение.
Пусть точка М лежит между С и D (рис. 1), Р — точка касания прямой ВМ с
данной окружностью, О — центр ромба.
По теореме Пифагора
CD = ^OD2 + ОС2 = 7122+52 =13.
Обозначим ZOBM = a, ZBDC = p. Из прямоугольных треугольников ОРВ и
COD находим, что
ОР 5>/2 -.2
sin a =---=-----= —
ОВ 10 2
a = 45°,
COSp =
OP
CD
5
sinp =
12
13
Применяя теорему
синусов к треугольнику
BMD получим, что
BD
sin ZBMD
DM
sin ZMBD
поэтому
BD sin ZMBD
sin ~ZBMD
MD =
10sin45° _ 5V2
sin(180°-45°-p) " sin(45° + p)
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
157
РЕШЕНИЯ И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ЗАДАНИЙ ЧАСТИ 2
Следовательно,
CM = CD-MD = 13-—= —.
17 17
Пусть теперь точка М лежит на продолжении стороны CD за точку D (рис. 2).
Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
Z.BMD = ABDC - Z.MBD = р - а.
Далее, рассуждая аналогично, получим, что
MD =
130
sin р cos 45° - sin 4 5° cos p
2 12V2 5
I 13 2 13
Следовательно,
CM = CD + MD = 13+— = —
_ 91
Ответ: — или
17
Критерии оценивания выполнения задания С4 Балл
В представленном решении верно найдены обе возможных длины отрезка 3
Рассмотрены оба случая, но верное решение имеется только для одного случая 2
Рассмотрен только один случай и для этого случая верно найдена длина 1
Длины найдены неверно или не найдены 0
C5
Найдите все значения параметра а, при котором уравнение
ровно 6 решений, где f — четная периодическая функция, с периодом
определенная на всей числовой прямой, причем/(х) = ах2, если 0<х<1.
имеет
Т = 2,
Решение.
Если а = 0, то функция /(х) тождественно равна нулю, и ее график имеет
с прямой у = 5х единственную общую точку.
Пусть а>0 (рис. 1). Решение х = 0 есть при всех а. Нужно еще ровно пять
решений. Единственный возможный случай показан на рисунке: прямая проходит
через точку (5;а). Составим уравнение |2а + 5|-5 = а.
Учитывая, что а>0, получим: 9а = -25. Положительных решений нет. Следо-
вательно, случай а>0 невозможен.
Теперь пусть а < 0 (см. рис. 2). Шесть решений есть, только если прямая про-
ходит через точку (-5; а). Составим уравнение:
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
158
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Рис. 1
Рис. 2
2а + 5|-(-5) = а, откуда 2а+ 5 = -^ или
Получаем:
25
или а =---.
9
Ответ:
25
Критерии оценивания выполнения задания С5 Баллы
В представленном решении обоснованно получен верный ответ 4
Ход решения верный, однако, имеется вычислительная ошибка, воз- можно, приведшая к неверному ответу 3
Верно построена схема графика функции, найдено взаимное распо- ложение графика и прямой, дающее шесть решений, однако найдено только одно значение параметра 2
Рассмотрен только один случай и задача решена для этого случая 1
Исследование системы на количество решений ошибочно. Логика ре- шения отсутствует, либо ошибочна 0
С6
Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной за-
пятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны члены возрастающей последо-
вательности натуральных чисел ап. В результате получилось рациональное число,
которое выражается несократимой дробью, знаменатель которой меньше 100. Най-
дите наименьшее возможное значение а3.
Решение.
Очевидно, а3>3, причем а3=3, только если =1 и а2=2, то есть если деся-
тичная дробь начинается: 0,123... (четвертая цифра не ноль).
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
РЕШЕНИЯ И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ЗАДАНИЙ ЧАСТИ 2
Заметим, что таким образом начинается, например, число
т = 10-1 + 2-10”2 +3-10"3 + ...+П10"" +....
Найдем число т и проверим, удовлетворяет ли он условиям задачи. Для этого
запишем сумму подробнее.
т = 10-1 + 10-2 + 10“3 +... + 10-" +... +
+ 10“2 + 10“3+... + 10""+...+
+ 10"3+... + 10~'!+...+
В каждой строке — сумма геометрической прогрессии со знаменателем 10 1.
Получаем:
Получается, что т — рациональное число, и оно представляется дробью со зна-
менателем 81, что меньше ста. Число т удовлетворяет условию задачи и для это-
го числа а3 = 3.
Ответ: 3.
Критерии оценивания выполнения задания С6 Балл
В представленном решении обоснованно получен верный ответ 4
При верном ходе рассуждений решение содержит вычислительную ошибку, возможно, приведшую к неверному ответу 3
Найдено нужное число, доказано, что оно рационально, однако не показано, что знаменатель меньше ста 2
Верными рассуждениями найдено какое-либо число, удовлетворяющее условию задачи, содержащее в указанной позиции не наименьшую цифру 1
Отсутствует доказательство рациональности нужного числа или в ответе записана цифра иррационального числа 0
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
160
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
С1
С2
Вариант 6
Решите уравнение 2sin2 x + sinxcosx-3cos2 х = 0.
Укажите корни,
принадлежа-
Решение.
щие отрезку
Если cos х = 0, то из уравнения следует, что
обе части уравнения на cos2x:
2
Решая это уравнение, находим tgx = l или
sinx = 0, что невозможно. Поделим
Следовательно, х = — + л/г, k е Z или х = - arctg— + л/г, k е Z. На отрезок
5л
попадают корни —
и -arctg—+ л.
Ответ: -arctg—+ л/г, —+ л/г, /ге£. Отрезку принадлежат корни л-arctg—; —
2 4 2 4
Критерии оценивания выполнения задания С1 Баллы
Обоснованно получен правильный ответ 2
Тригонометрическое уравнение решено верно, но неверно указаны или не указаны корни, принадлежащие отрезку 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра:
АВ=24\/3, SC= 25. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой,
проходящей через середины ребер AS и ВС.
Решение.
Пусть N — середина ВС, а М — середина AS.
Прямая AS проецируется на плоскость основания в прямую
AN. Поэтому проекция точки М — точка — лежит на
отрезке AN. Значит, прямая AN является проекцией пря-
мой AM, следовательно, угол M^NM искомый.
ММ± || SO, где О — центр основания, значит, ММ\ —
средняя линия треугольника SAO.
Тогда
МИ, = AN--АО = -AN =--2А/3 — = 24.
2 3 3 2
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
161
РЕШЕНИЯ И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ЗАДАНИЙ ЧАСТИ 2
Кроме того, ММ, = ^.$0 = -^SC2-CO2 =-.
1 2 2 2
Из прямоугольного треугольника ММ-^А находим:
tgZMiNM =
ММг
NMi
48
Ответ: arctg
48
Критерии оценивания выполнения задания С2 Баллы
Обоснованно получен правильный ответ 2
Способ нахождения искомого угла верен, но получен неверный ответ, или решение не закончено 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Решение.
-х2
Пусть t=5 ,0<£<1, тогда неравенство принимает вид:
log? ((* - 5)(б16 i - lj) + log7 Xg 5 > log7 (б131 - 4)2.
5 t 1
ifi 1
£-5<0, поэтому 5 t-l<0, т.е. 0<£<—
log7(£-5)2 >log7(513i-4)
Получаем:
16 ’
16
13
O<Z<C16 ’
0<Z<Crl6'
Тогда 5 < 5 16
16;
Ответ: (-oo, -4), (4
У
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
162
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Критерии оценивания выполнения задания СЗ Баллы
Обоснованно получен правильный ответ 3
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного только конечным числом точек 2
Полученный ответ неверен, но решение содержит переход от исход- ного неравенства к верным рациональным неравенствам 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
С4
В треугольнике АВС АВ = 7, ВС = 9, СА = 4. Точка D лежит на прямой ВС
так, что BD: DC = 1:5. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC
и ADB, касаются стороны AJD в точках Е и F. Найдите длину отрезка EF.
Решение.
Пусть AD=d, BD=x, DC=y. Подсчитывая разными способами
d 4- У—4 d + х — Ч
угольников ADC и ABD, получаем: DE=------------, DF=--------.
2 2
случая.
периметры тре-
Возможны два
Fuc, 1 рис. 2
1. Точка D лежит на отрезке ВС (рис. 1). Тогда х=1,5, у=7,5. Значит,
EF=
2. Точка D лежит вне отрезка ВС (рис. 2). Тогда х=—
45
—. Значит
Ответ: 4,5 или 6.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
163
РЕШЕНИЯ И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ЗАДАНИЙ ЧАСТИ 2
Критерии оценивания выполнения задания С4 Баллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и полу- чен правильный ответ 3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины 2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств
7(х-2а)2 + (I/ -а)2
имеет решения.
х-2у>1
Решение.
Первое неравенство задает на координатной плоскости круг радиуса
а
с цен-
тром в точке (2а; а). Второе неравенство задает полуплоскость с границей х = 2у +
+ 1. Система имеет решения, если круг и полуплоскость имеют общие точки; для
этого расстояние от центра круга до прямой х = 2у + 1 должно быть не больше
радиуса круга. Это расстояние между параллельными прямыми: х = 2у и х = 2у +
+ 1. Рассмотрим треугольник с вершинами (0; 0), (1; 0), (0; -1/2). Его катеты
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
164
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
равны 1
V5 V5
2
получаем:
и 1 2; следовательно, высота, опущенная
Значит, система имеет решение при
|а| > 6, т.е. а < -6 или а > 6.
на гипотенузу, равна
Решая это неравенство,
Ответ: а < -6, а > 6.
Критерии оценивания выполнения задания С5 Балл
Обоснованно получен правильный ответ 4
Решение в целом верное, но содержит вычислительную ошибку, возможно, приведшую к неверному ответу 3
Верно рассмотрено взаимное расположение круга и полуплоскости. Найдено расстояние от центра круга до полуплоскости. При состав- лении или решении условий на параметр допущены ошибки, в ре- зультате которых в ответе либо приобретены посторонние значения, либо часть верных значений потеряна 2
Верно рассмотрено взаимное расположение круга и полуплоскости. Способ нахождения расстояния от центра круга до полуплоскости неверный либо отсутствует 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
С6
Перед каждым из чисел 3, 4, 5, ... 11 и 14, 15, ... 18 произвольным образом ста-
вят знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел перво-
го набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем
все 45 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю сумму
и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?
Решение.
1. Если все числа обоих наборов взяты с плюсами, то сумма максимальна
и равна
АЧ + 11 А '14+1R А
5(3 + ... + 11) + 9(14 + ... + 18) = 5 -9 +9 ---5 =45-23 = 1035.
<2 ) < 2 >
2. Так как сумма нечетная, число нечетных слагаемых в ней нечетно, причем
это свойство суммы не меняется при изменении знака любого ее слагаемого. По-
этому любая из полученных сумм будет нечетной, а значит, не будет равна 0.
3. Значение 1 сумма принимает, например, при следующей расстановке знаков
у чисел:
5(3 + 4 + 5 + 6 + 7-8-9 + 10 + 11) + 9(14-15-16-17 + 18) =
= 5-29 + 9 (-16) = 145-144 = 1.
Ответ: 1 и 1035.
2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
165
РЕШЕНИЯ И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ЗАДАНИЙ ЧАСТИ 2
Критерии оценивания выполнения задания С6 Баллы
Обоснованно получен правильный ответ 4
Ответ правилен, но недостаточно обоснован (например, не доказано, что сумма либо отлична от 0, либо может быть равна 1) 3
Верно найдено наибольшее значение суммы и доказано, что она всегда отлична от 0 2
Верно найдено только наибольшее значение суммы или только дока- зано, что она всегда отлична от 0 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Вариант 11
Решите уравнение 2sin2 х + 3cosx - 3 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку
4л; 5л .
Решение.
Выразив sin2x через cos2x, получим:
2 cos2 x-3cosx + l = 0;
cosx = l или cosx = —;
2
7t
x = 2л/г, k e Z или x = ± — + 2л/?, k e Z.
3
На отрезке [4л; 5л] лежат корни 4л и
13л
3
71 7Т
Ответ: л/г, — + 2л/г, —+ 2л/г, /г eZ. Отрезку принадлежат корни 4л;
13л
3
Критерии оценивания выполнения задания С1 Баллы
Обоснованно получен правильный ответ 2
Тригонометрическое уравнение решено верно, но неверно указаны или не указаны корни, принадлежащие отрезку 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
В кубе ABCDA^Bfi.D^ найдите косинус угла между плоскостями ВА1С1 и BArDv
Решение.
Пусть точка О — центр куба, а М — середина АуВ.
A^D^LA^B, а МО — средняя линия треугольника BAXDV поэтому МОl.A^B.
Треугольник ВАХСХ равносторонний, C^M-LA^B, следовательно, искомый угол равен
углу ОМС г
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
166
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Найдем стороны треугольника OMCV Из треугольника BA1D1 находим ОМ = —;
л/3
из треугольника ВА1С1 находим МС\ =
/3
2
3
—, поскольку
. ОС1 =
2
О — середина диагонали ACV
Теперь применим к треугольнику ОМСГ теорему косинусов:
1 3_3
OM2+(\M2-OCl 4 + 2 4 1 2
cos Z.OMC, =---------— = ——= —г= = J—.
1 2-OMMCj 1 [3 V3
J 2 \ 2 .V2
Ответ:
Критерии оценивания выполнения задания С2 Баллы
Обоснованно получен правильный ответ 2
Способ нахождения искомого угла верен, но получен неверный ответ, или решение не закончено 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
Решение.
Решим первое неравенство. Сделаем замену у = 6х. Тогда у > 0. Получаем:
Значит, у — любое число, кроме 1. Сделаем обратную замену: 6х *1; х^О.
Решим второе неравенство. Получаем:
х2<х + 2; х2-х-2<0; -1<х<2.
Решение системы: -1<х<0, 0<х<2.
Ответ: —1; 0); (0; 2
Критерии оценивания выполнения задания СЗ Баллы
Обоснованно получен правильный ответ 3
Верно решены оба неравенства, но решение системы неверно или отсутствует 2
Верно решено только одно из неравенств 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
С4
Основание равнобедренного треугольника равно 40, косинус угла при вершине ра-
вен —. Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две
17
другие — на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если известно,
что одна из его сторон вдвое больше другой.
Решение.
Пусть вершины К и L прямоугольника KLMN лежат на основании ВС равно-
бедренного треугольника АВС (точка К — между В и L), а вершины М и N — на
боковых сторонах АС и АВ соответственно.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
168
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Обозначим /ВАС = а,
ZABC = ZACB = p. Тогда
15
cos а = —
17
8
sm а = —
17
1
/ \ 1 . 1 + —’
ж о ж пло а1 4. а 1 + cosa 17 .
tgp = tg 90--— = ctg—=—----= —^- = 4.
\ 2 J 2 sma о
17
A
Рис. 1
Предположим, что сторона KL прямоугольника вдвое больше его стороны
Положим KN = х, KL = 2х. Из прямоугольного треугольника BKN находим,
KN.
что
BK = KNctga = -. Тогда LC = BK = -, а так как KL = MN = 2х, то
ВС = BK + KL + LC = - + 2x + ~ = ~x = 40,
4 4 2
откуда х = 16. Тогда KL = 2x = 32. Следовательно,
SKLMN =KL КУ = 16-32 = 512.
Пусть теперь сторона KN прямоугольника вдвое больше его стороны KL.
ложим KL = y, KN = 2у. Из прямоугольного треугольника BKN находим,
ВК = KNctga = ^. Тогда LC = BK = -, а так как KL = MN = y, то
По-
что
BC = BK + KL + LC = - + y + ^ = 2y = 40,
2 2
откуда у = 20. Тогда KN = 2у = 40. Следовательно,
sklmn = KL- KN = 20-40 = 800.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
169
РЕШЕНИЯ И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ЗАДАНИЙ ЧАСТИ 2
Рис. 2
Ответ: 512 или 800.
Критерии оценивания выполнения задания С4 Балл
В представленном решении верно найдены оба возможных значения площади 3
Рассмотрены оба случая, но верное решение имеется только для одного случая 2
Рассмотрен только один случай, и для этого случая верно найдена площадь 1
Площади найдены неверно или не найдены 0
С5
Найдите все значения а, при каждом из которых функция
f(x)=x2 —3| х-а2 | - 5х
имеет более двух точек экстремума.
Решение.
При х>а2 f(x)=x2-8х + 3а2, поэтому график функции есть часть параболы
с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии х=4;
При х<а2 f(x)=x2-2х-3а2, поэтому график есть часть параболы с ветвями,
направленными вверх, и осью симметрии х=1.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
170
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Все возможные виды графика функции f(x) показаны на рисунках.
Рис. 1
Рис. 2
2 9
Обе параболы проходят через точку {а ; f(a )).
Функция y = f(x) имеет более двух точек экстремума, а именно три, в един-
ственном случае (рис. 1): 1<а2 <4, откуда 1<|а|<2.
Ответ: - 2 < а < -1; 1 < а <2.
Критерии оценивания выполнения задания С5 Баллы
Обоснованно получен правильный ответ 4
Получен верный ответ. Решение в целом верное, но либо имеет про- белы (например, не описаны необходимые свойства функции), либо содержит вычислительные ошибки •» 3
Верно рассмотрены все случаи раскрытия модулей. При составлении или решении условий на параметр допущены ошибки, в результа- те которых в ответе либо приобретены посторонние значения, либо часть верных значений потеряна 2
Хотя бы в одном из случаев раскрытия модуля составлено верное ус- ловие на параметр, либо построен верный эскиз графика функции в целом 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
С6
Произведение всех делителей натурального числа N оканчивается на 399 нулей.
На сколько нулей может оканчиваться число N?
Решение.
Разложим N на простые множители: N = 2а23аз5а57а? ...ра₽, где р — наиболь-
ший простой множитель, и аг =0,1,2... Если запись числа N оканчивается п ну-
лями, то или а2=п, а5>п, или, наоборот, а2>п, а5=п.
Оценим количество делителей k числа N:
/г = (а2+1)(а3+1)(а5 + 1)...(ар+1)>(п + 1)2,
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
171
РЕШЕНИЯ И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ЗАДАНИЙ ЧАСТИ 2
при этом k делится на п + 1.
k ( N\
1 случай. Если k четное, то все делители разбиваются на — пар вида <2; —
2 < d J
так, что произведение делителей в каждой паре равно N. Поэтому произведение
k
всех делителей равно N2.
2 случай. Если k нечетное, то k-1 делителей разбиваются на пары указанного
вида, и есть еще один делитель — у/N. И в этом случае тоже произведение всех
k-1 k
делителей: N 2 -Vn = ЛГ2.
Значит, для любого N произведение всех делителей оканчивается — нулями,
2
следовательно, nk = 2-399 = 798. При этом 798 = n/?>n(n + l) , откуда следует, что
п — делитель числа 798, и п<8.
Выпишем все такие n: 1, 2, 3, 6, 7. Из равенства 798 = nk также следует, что
798 делится на п + 1. Поэтому возможно только п=1, 2ип = 6. Для каждого из
этих п подберем подходящее N. Ограничимся простыми множителями 2 и 5. Зна-
чит, нужно подобрать только а2 и а5.
1. а2 = n = 1,
/? = 798:п = 798;
2. а2=тг = 2, Л = 399; 399:3 = 133; а5=132; W = 22-5132.
3. а2=п = 6, fe = 133; 133:7 = 19; а5 = 18; N = 26-518.
Таким образом, для
п нулями, произведение
п = 1, 2, 6 найдены (и даже не все) N, оканчивающиеся
делителей которых оканчивается 399 нулями.
Ответ: 1, 2, 6.
Критерии оценивания выполнения задания С6 Балл
В представленном решении обоснованно получен верный ответ 4
При верном ходе рассуждений решение содержит недостатки (например, не рассматривается случай полного квадрата) 3
Перебором или другим способом найдены все возможные варианты и показано, что для них условие задачи выполняется, однако не доказано, что других вариантов нет 2
Найдено хотя бы одно из возможных значений (но не все) и пока- зано, что для найденных значений условие задачи выполняется 1
Решение отсутствует, или найдены неверные значения, или не показано, что найденные значения удовлетворяют условию 0
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
172
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Вариант 16
Решите уравнение
Укажите
корни,
принадлежащие отрезку
Решение.
Обозначив ---= £, получаем:
tgx
t2-2f-3 = 0;
t = 3 или t = -1;
tgx = — или tgx = -l.
Следовательно, х = arctg— + л/г, k g Z или x = — + л/г, k g Z. На отрезке 2л:
34 L
± 1 11л , 1 „
лежат корни arctg—+ 2л, ----, arctg—+3л.
’ 2
л 1 1 11л
Ответ: + л/г, arctg—+ 2л/г, /г gz. Отрезку принадлежат корни arctg— + 2л;
arctg— + Зл.
Критерии оценивания выполнения задания С1 Баллы
Обоснованно получен правильный ответ 2
Тригонометрическое уравнение решено верно, но неверно указаны или не указаны корни, принадлежащие отрезку 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
С2
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, най-
дите синус угла между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку А
перпендикулярно прямой BD.
Решение.
Пусть точка О — центр основания, а М — середина ре-
бра AS. Поскольку AC ± BD и SO ± BD, плоскость SAC пер-
пендикулярна прямой BD. Это значит, что плоскость SAC и
есть плоскость, проходящая через точку А перпендикуляр-
но BD.
Проведем отрезки MD и МО. Так как треугольник SAD
правильный, MD ± AS. Так как треугольник ASC — равно-
бедренный, ОМ ± AS. Следовательно, искомый угол равен
углу OMD.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
173
РЕШЕНИЯ И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ЗАДАНИИ ЧАСТИ 2
Найдем стороны треугольника OMD
1 ГЛЛ# ОА 1 ЛЖГЧ ' Л Г\ '
OD = —i=9 ОМ = ^ = ~, MD =----AD =—.
V2 V2 2 2 2
По теореме косинусов
cos Z.OMD =
ОМ2+МР2-ОР2
2OMDM
Отсюда sin Z.OMD =
Критерии оценивания выполнения задания С2 Баллы
Обоснованно получен правильный ответ 2
Способ нахождения искомого угла верен, но получен неверный ответ или решение не закончено 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
СЗ
Решите неравенство logx 3 + 21og3x 3-61og9x 3 < 0.
Решение.
Запишем неравенство в виде:
1 2
log3 x log3 2x log3 9x
2 + log3 x
Сделаем замену z/ = log3x
и приведем левую часть к общему знаменателю:
у (у +1)(г/ + 2)
Решая получаем: -2 < у < -1,
— <у<0 или у > 1, следовательно,
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование» распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
174
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Критерии оценивания выполнения задания СЗ Баллы
Обоснованно получен правильный ответ 3
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного только конеч- ным числом точек (включением или исключением границ промежут- ков) 2
Полученный ответ неверен, но решение содержит переход от исход- ного неравенства к верным рациональным неравенствам 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
С4
Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 9, а радиус
вписанной в треугольник окружности равен 4. Найдите радиус окружности, касаю-
щейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон.
Решение.
Пусть AD — высота равнобедренного треугольника АВС, опущенная на его ос-
нование ВС, О — центр вписанной окружности, Р — точка ее касания с боковой
стороной АВ. Тогда АО = AD-OD = 9-4 = 5.
Обозначим ZBAD = а. Из прямоугольного треугольника АОР находим, что
ОР
sin а =--
ОА
—. Тогда
3
cosa = —
5
АР = AOcosa = 5— =
BP = BD = ADtg
а = 9 — = 12.
3
Рис. 1 Рис- 2
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
175
РЕШЕНИЯ И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ЗАДАНИЙ ЧАСТИ 2
Пусть окружность с центром и радиусом гх касается продолжений боковых
сторон АВ и АС в точках F и G соответственно (рис. 1), а также основания ВС.
Тогда D — точка касания, поэтому
BF = BD = 12, AF = АР + PB + BF = 3 + 12 + 12 = 27.
Следовательно,
q =O1F = AFtga = 27~ = 36.
Пусть теперь окружность с центром О2 радиуса г2 касается боковой стороны
АВ, продолжения основания ВС в точке Q и продолжения боковой стороны АС
в точке К (рис. 2). Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссек-
трисе, поэтому АО2 и AD — биссектрисы смежных углов ВАК и DAB, значит,
ZDAO2 = 90°. Тогда ADQO2 — прямоугольник. Следовательно, r2 = O2Q = AD = 9.
Радиус окружности, касающейся боковой стороны АС и продолжений основа-
ния ВС и боковой стороны АВ , также равен 9.
Ответ: 36 или 9.
Критерии оценивания выполнения задания С4 Баллы
В представленном решении верно найдены оба возможных значения радиуса 3
Рассмотрены оба случая, но верное решение имеется только для одного случая 2
Рассмотрен только один случай и для этого случая верно найден радиус 1
Радиусы найдены неверно или не найдены 0
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств
С5
х2 + у2 -1< -а2 + 2а(х-у + 1)
х2 +у2 -1< За2 -2a(2x-3i/+4)+l
ь
имеет единственное решение.
Решение.
Перенесем члены с х и у влево и выделим полные квадраты:
(х - а)2 + (у + а)2 < (а +1)2
(х + 2а)2 + (у - За)2 < (4а -1)2.
На координатной плоскости эти неравенства задают круги, которые имеют
единственную общую точку, если и только если расстояние между их центрами
равно сумме радиусов. Таким образом, надо решить уравнение:
л/9а2+16а2 =
а + 1|+|4а-1
откуда
4а-1|+|а + 1|-5|а| = 0.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
176
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Построим график функции f(a) = |4а-1|+|а + 1|-5|а|.
1
шение уравнения f(a) = 0 таково: а < -1 или а>—.
4
На рисунке видно, что ре-
Ответ:
Критерии оценивания выполнения задания С5 Баллы
Обоснованно получен правильный ответ 4
Решение в целом верное, но содержит вычислительную ошибку, возможно, приведшую к неверному ответу 3
Верно рассмотрено взаимное расположение кругов. Найдено рас- стояние между их центрами. При составлении или решений условий на параметр допущены ошибки, в результате которых в ответе либо приобретены посторонние значения, либо часть верных значений потеряна 2
Верно рассмотрено взаимное расположение круга и полуплоскости. Способ нахождения расстояния между центрами кругов неверный, либо отсутствует 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
С6
Ученик должен был перемножить два трехзначных числа и разделить их произ-
ведение на пятизначное. Однако он не заметил знака умножения и принял два
записанных рядом трехзначных числа за одно шестизначное. Поэтому полученное
частное (натуральное) оказалось в три раза больше истинного. Найдите все три
числа.
Решение.
Обозначим эти
1000а + b = ЗаЬ.
числа за а, b и с. Имеем
1000а + b _ ab
--------= 3---, а
с с
значит
Так как правая часть полученного равенства делится на а, значит, левая
часть тоже делится на а и b = ka. Получаем 1000а + ka = 3/?а2, что равносильно
1000 + k = Ska.
2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
177
РЕШЕНИЯ И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ЗАДАНИЙ ЧАСТИ 2
Обратим внимание, что k не превосходит 9, так как и а и Ъ — трехзначные
числа, а 1000 + k делится на 3. Значит, возможны только варианты k = 2, k = 5,
k = 8.
Если k = 2, то а = 167, b = 334, а с = 27 889 или с = 55 778 (других пятизнач-
ных делителей у ab нет).
Если k = 5, то а = 67, что противоречит условию.
Если k = 8, то а = 42, что противоречит условию.
Ответ: 167, 334 и 278 889 или 167, 334 и 55 778.
Критерии оценивания выполнения задания С6 Баллы
В представленном решении обоснованно получен верный ответ 4
При верном ходе рассуждений решение содержит вычислительную ошибку, возможно, приведшую к неверному ответу 3
Перебором или другим способом найдены все возможные варианты и показано, что для них условие задачи выполняется, однако не доказано, что других вариантов нет 2
Найдена одна из возможных комбинаций чисел и показано, что для найденных значений условие задачи выполняется 1
Решение отсутствует или найдены неверные значения или не пока- зано, что найденные значения удовлетворяют условию 0
Вариант 21
С1
Решите уравнение (4 cos2 x + 4cosx- 3)>/5sinx =0.
Решение.
Если sinx<0, то решений нет.
Если sinx = 0, то х =/гл, neZ.
2 13
Если sinx >0, то 4cos x + 4cosx-3 = 0, откуда cosx = — или cosx = - —.
Уравнение cosx = -^ не имеет решений.
Учитывая, что sinx>0, из уравнения cosx=— получаем: х =—+2лп, neZ.
2 3
Ответ: тип; —+ 2лтг, neZ.
3
Критерии оценивания выполнения задания С1 Баллы
Обоснованно получен верный ответ 2
Верно найдены все значения переменной х, при которых равен нулю первый сомножитель левой части исходного уравнения. Возможно от- бор найденных значений или не произведен или произведен неверно 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
178
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
В правильной шестиугольной призме ABCDEFAlBlClDlE1Fl ,
ны 2, найдите расстояние от точки В до прямой А^.
все ребра которой рав-
Решение.
Так как ABCDEF правильный шестиугольник, то прямые BE и AF парал-
лельны, параллельны также прямые АХЕ} и AF, следовательно, прямые
и BE параллельны. Расстояние от точки В до прямой А^ равно расстоянию
между прямыми А^ и BE ,
В трапеции ВА^Е А^ = 2, BE =4, BAt = EF1 = 2\/2.
тогда FjH = \/7.
Ответ: V7.
Критерии оценивания выполнения задания С2 Баллы
Обоснованно получен верный ответ 2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической зада- че, но получен неверный ответ или решение не закончено 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Решите неравенство 71oge х
Решение.
Преобразуем неравенство:
log9 (х2 - х - 6)7 - log9 + < 8;
х-3
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
179
РЕШЕНИЯ И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ЗАДАНИЙ ЧАСТИ 2
(х - 3)(х + 2) > 0;
log9(x-3)8 <8
(х - 3)(х + 2) > 0.
Решим первое неравенство:
0 < (х - З)8 < 98.
При х 5* 3 получаем:
х-3 <9;
-9 < х - 3 < 9;
-6<х<12.
Решим второе неравенство системы:
х < -2 или х > 3.
Решение системы: -6<х<-2 или 3<х<12.
Ответ: [-6; -2); (3; 12].
Критерии оценивания выполнения задания СЗ Баллы
Обоснованно получен верный ответ 3
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного только ко- нечным количеством значений переменной, при которых определе- ны обе части исходного неравенства 2
Произведен переход от исходного неравенства к неравенствам, ко- торые не содержат логарифмов и являются следствиями исходного неравенства. Возможно ограничения, при которых исходное нера- венство имеет смысл, отсутствуют или найдены неверно 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
С4
Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от
него четырехугольник, в который можно
окружности, если отрезок этой прямой
равен 6, а отношение катетов треугольника
вписать окружность. Найдите радиус
заключенный внутри треугольника,
3
равно —.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
180
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Решение.
Обозначим треугольник АВС. Предположим, что отрезок отсекает от треуголь-
ника АВС треугольник ANM (см. рис. 1).
Обозначим точки касания окружности и прямых Р, Q, Я, S (см. рис. 1). Поэто-
му OQMR и OPCS — квадраты, MQ = РС = г, где г — радиус окружности. Кроме
того, NQ = NP. Значит, NM = NC.
BN — биссектриса угла АВС. Треугольники NMB и NCB равны по гипотенузе
и катету.
Рис. 1
Рис. 2
А
СВ СА
= откуда
NM AM
Пусть СВ = Зх, а СА = 4х. Тогда AM = АВ-ВМ = 5х-3х = 2х. Из подобия треу-
гольников AMN и АСВ получаем: --------=----, откуда — =—. Следовательно,
NM AM 6 2х
х = 4 . Найдем радиус окружности:
2х
Если отрезок отсекает треугольник BNM (рис. 2), то, рассуждая анало-
гично, находим, что ВМ = 5х-4х = х. Из подобия треугольников АСВ и NMB
СА СВ 4х Зх
----=-----, откуда — = —
NM AM-----6 х
х = 4,5. Тогда г = х = 4,5.
Ответ: 4 или 4,5.
Критерии оценивания выполнения задания С4 Баллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и полу- чен правильный ответ 3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины 2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
181
РЕШЕНИЯ И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ЗАДАНИИ ЧАСТИ 2
Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Решение.
Первое уравнение задает на плоскости две окружности tOj и со2 радиуса 2, сим-
метричные относительно оси ординат. Центры этих окружностей — точки С1(4;3)
и С2(-4;3). Второе уравнение — уравнение окружности со радиуса а>0 с центром
С(-1;0).
Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность
со касается одной из окружностей бох и бо2, но не имеет общих точек с другой
окружностью.
Из точки С проведем лучи ССХ и СС2 и обозначим А19 В1 и А2, В2 точки их
пересечения с окружностями и со2 (см. рис.).
Заметим, что СС2<ССХ, поэтому СА2<СА1 и СВ2<СВ1. Значит, если а = СА2,
то со касается со2, но не имеет общих точек с сог Если а = СВ1, то со касается cov но
не имеет общих точек с со2.
CBi = CCj + CjBj = 7(4 +1)2 + З2 +2 = 2 + ч/34.
Сравним СД и CB2: CAj = 7(4 +1)2 + З2 -2 = л/34-2,
СВ2 = 7(4-1)2+ 32+2 = 3\/2 + 2. Получаем САТ<СВ2. Значит, если со касается сох
в точке Аг, то со пересекает со2 в двух точках. Аналогично, если со касается со2
в точке В2, то со пересекает cot в двух точках.
Следовательно, других решений, кроме двух найденных, система не имеет.
Ответ: 3>/2-2 или 2 + \fsi.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование» распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
182
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Критерии оценивания выполнения задания С5 Баллы
Обоснованно получен правильный ответ 4
Получен верный ответ. Решение в целом верное, но либо имеет пробелы (например, не описаны необходимые свойства функции), либо содержит вычислительные ошибки 3
Верно рассмотрены все случаи раскрытия модулей. При составле- нии или решении условий на параметр допущены ошибки, в ре- зультате которых в ответе либо приобретены посторонние значения, либо часть верных значений потеряна 2
Хотя бы в одном из случаев раскрытия модуля составлено верное условие на параметр, либо построен верный эскиз графика функ- ции в целом 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
С6
На доске написано более 35, но менее 49 целых чисел. Среднее арифметическое
этих чисел равно 5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 14,
а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -7.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Решение.
Пусть среди написанных чисел k положительных, I отрицательных и т нулей.
Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его
среднее арифметическое, поэтому 14Z?-7Z + 0-m = 5(Z? + Z + m).
а) Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 7, поэтому k + I +
+ т — количество целых чисел — делится на 7. По условию 35 < k + 1 + т < 49,
поэтому k + Z + т = 42. Таким образом, написано 42 числа.
б) Приведем равенство 14Ze-7Z = 5(/? + Z + m) к виду 9& = 12Z + 5m. Так как т>0,
получаем, что 12Z<9&, откуда l<k. Следовательно, отрицательных чисел больше,
чем положительных.
в) (оценка) Подставим k + l + m = 42 в правую часть равенства
14Z?-7Z = 5(fc + Z + m) :14/e-7Z = 5-6-7,
откуда Z = 2fe-30. Так как Z? + Z<42, получаем:
3/?-30<42, 3/?<72, /?<24,
то есть положительных чисел не более 24.
в) (пример) Приведем пример, когда положительных чисел ровно 24.
Пусть на доске 24 раза написано число 14 и 18 раз написано число —7. Тогда
24-14-18 7 24-2-18
42
= 5. Указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ: а) 42; б) положительных; в) 24.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
183
РЕШЕНИЯ И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ЗАДАНИИ ЧАСТИ 2
Критерии оценивания выполнения задания С6 Баллы
Верно выполнены: а), б), в)(пример), в)(оценка) 4
Верно выполнены три пункта из четырех: а), б), в) (пример), в) (оценка) 3
Верно выполнены два пункта из четырех: а), б), в)(пример), в) (оценка) 2
Верно выполнен один пункт из четырех: а), б), в)(пример), в) (оценка) 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Вариант 26
С1
уравнение
cos2x - cosx = 0. Укажите корни принадлежащие отрезку
Решите
Решение.
Запишем уравнение иначе:
cos2x = cosx.
2nk
Значит, 2х - х + 2nk или 2х = -х + 2л/г, k е Z. Следовательно, х = 2nk или х = ——
О
Отрезку
л 2л
принадлежат корни 0; —
2л/г
4л
Ответ:
2л
___ •
3 ’
Отрезку принадлежат корни 0;
Критерии оценивания выполнения задания С1 Баллы
Обоснованно получен правильный ответ 2
Тригонометрическое уравнение решено верно, но неверно указаны или не указаны корни, принадлежащие отрезку 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
3
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
184
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
С2
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой
равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите угол между прямыми SB и CD.
Решение.
Вместо прямой CD рассмотрим параллельную ей прямую BE. Искомый угол ра-
вен углу SBE. Треугольник SBE равносторонний, поскольку BE = 2. Значит,
ZSBE = 60°
8
F
Ответ: 60°.
Критерии оценивания выполнения задания С2 Баллы
Получен и обоснован верный ответ 2
Верно описана геометрическая конфигурация, построен или описан нужный угол и способ его нахождения, но получен неверный ответ или решение не закончено 1
Решение неверно или отсутствует 0
СЗ
Решите систему неравенств
log2 (100 - х2) <2 + log2 +1)
log03(2 x + 5 + x - 11 - 30) <1.
Решение.
Из первого неравенства находим:
log2 (100 - хг) < log2 (4х + 4); 0 < 100 - х2 < 4х+ 4;
Г-10<х<10
I х2 + 4х - 96 > 0.
Получаем: 8<х<10.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
185
РЕШЕНИЯ И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ЗАДАНИИ ЧАСТИ 2
Решим второе неравенство. Зная, что 8 < х < 10, раскроем модули:
log03(2x + 10-x + ll-30) <1; log0з(х-9)< 1; ^-9 >0,3; х>9,3.
Решение системы: 9,3<х<10.
Ответ: (9,3; 10).
Критерии оценивания выполнения задания СЗ Баллы
В представленном решении обоснованно получен верный ответ 3
Верно решены оба неравенства, но решение системы неверно или отсутствует 2
Верно решено только одно из неравенств 1
Решение не закончено или получен неверный ответ (кроме тех случаев, в которых выставляется 1-2 балла; см. выше) 0
С4
Окружность S проходит через вершину С прямого угла и пересекает его стороны
в точках, удаленных от вершины С на расстояния 6 и 8. Найдите радиус окруж-
ности, вписанной в данный угол и касающейся окружности S.
Решение.
Пусть окружность S с центром О и радиусом R пересекает стороны данного
прямого угла в точках А и В, АС = 8, ВС = 6, искомая окружность с центром Q ка-
сается сторон АС и ВС угла АС В в точках N и К соответственно, а окружности
В — в точке М.
Точка О — центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника
АВС, поэтому О — середина его гипотенузы АВ,
1-10 = 5.
2
Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их каса-
ния, поэтому точки О, Q и М лежат на одной прямой. Опустим перпендикуляр
ОН из центра окружности В на прямую ВС. Тогда ОН — средняя линия треу-
гольника АВС, поэтому ОВГ = ^АС = 4 и СН=-^ВС = 3, а т. к. центр окружности,
вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, то AQCK = 45°, поэтому СК = QK = г.
Опустим перпендикуляр QF из центра искомой окружности на прямую ОН,
Тогда
OF = \OH~FH\ = \OH-QK\ = \4-r\, QF = KH = \r-3
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
186
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
с Н В К
Рис. 2
Рис. 1
Предположим, что искомая окружность и окружность S касаются внутренним
образом (рис. 1). Тогда OQ =ОМ-QM = R-r = 5-г.
Рассмотрим прямоугольный треугольник OFQ. По теореме Пифагора
OQ2 =OF2 +QF2 или (5-7’)2 = (4-/’)2 + (/’-3)2, откуда находим, что г = 4.
Если же искомая окружность касается данной внешним образом (рис. 2), то
OQ = OM + QM = jR + /’ = 5 + ?’. Тогда из соответствующего уравнения (5+г) =
= (4-г)2+(/'-3)2 находим, что /’ = 24.
Ответ: 4 или 24.
Критерии оценивания выполнения задания С4 Баллы
В представленном решении верно найдены оба возможных радиуса 3
Рассмотрены оба случая, но верное решение имеется только для од- ного случая 2
Рассмотрен только один случай и для этого случая верно найден ра- диус 1
Радиусы найдены неверно или не найдены 0
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
187
РЕШЕНИЯ И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ЗАДАНИИ ЧАСТИ 2
С5
Найти все пары (х, у)
х < О, у>0, удовлетворяющие системе
2 , ю _12
f(x)-3 f(y)-2
(f(j/)-2)(f(x)-3) = f(j/)-2,
где f — периодическая функция, с периодом Т = 2, определенная на всей числовой
прямой, причем f(x) = 4 |х
при -1<х<1.
Решение.
Введем обозначения: а = /(х)-3,
b = f(i/)-2. Система принимает вид
Ъа — Ь.
Из первого уравнения следует, что тогда из второго получаем: а = 1. Из
Ю L ч
первого уравнения теперь: — = 10, откуда о = 1.
b
Следовательно, f(x) = 4, f(i/) = 3.
Построим график функции f(x). График — пилообразная ломаная. Наиболь-
шее значение функции f равно 4 и достигается в точках 1 + 2k, keZ. Значение 3
3
функция принимает в точках ±—+2&,k^Z
4
Учитывая условия х<0 и г/>0, получаем:
3 5
x = -l-2k, у =—+2п, у =—+2п, & = 0,1,2,... п = 0,1,2,...
4 4
Ответ:
/г = 0,1,2,... п=0,1,2,...
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
188
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Критерии оценивания выполнения задания С5 Баллы
В представленном решении обоснованно получен верный ответ 4
Ход решения верный, однако, имеется вычислительная ошибка, возможно, приведшая к неверному ответу 3
Верно найдены все значения параметров, но не учтены знаки 2
Найдены значения х и только одна серия значений у 1
Исследование системы на количество решений ошибочно. Логика решения отсутствует, либо ошибочна 0
С6
Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной
запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны все целые неотрицательные
степени некоторого однозначного натурального числа р. В результате получается
рациональное число. Найдите это число.
Решение.
Пусть р> 1. Предположим, что наименьший период полученного рационального
числа равен Т. Тогда Tk — тоже период при любом натуральном k. Пусть первый
период начинается с некоторой по счету цифры, принадлежащей десятичной за-
писи степени рт. Возьмем период такой длины Tk, чтобы эта длина была больше,
чем длина записи рт.
В записи числа рт 1 цифр столько же, сколько в рт или на одну больше. Ана-
логично, число рт+2 длиннее, чем рт не более, чем на две цифры и так далее.
Значит, можно найти такую степень рп > рпг, что п = Tk.
Цифры числа рп занимают весь период — группу длиной Tk.
Тогда в записи следующего числа рп 1 первые Tk цифр тоже образуют
период и должны повторять цифры числа рп.
Получается, что либо pn+1 = рп, либо рп+1 =10рл +а, где а — какое-то одно-
значное число. Последнее равенство невозможно, так как pn+1 < 9рп.
Следовательно, верно рПг1=рп, откуда р-1. Десятичная дробь имеет вид
0,111... = -.
9
Ответ: —.
© 2012 Федеральный институт педагогических измерений. © 2012 Национальное образование.
Копирование, распространение и использование без письменного разрешения правообладателей не допускается
189
РЕШЕНИЯ И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ЗАДАНИЙ ЧАСТИ 2
Критерии оценивания выполнения задания С6 Балл
В представленном решении обоснованно получен верный ответ 4
При верном ходе рассуждений решение содержит устранимый пробел или ошибку в доказательстве 3
Верное в целом рассуждение содержит логическую ошибку, привед- шую к ошибочному выводу об отсутствии решений 2
Найдено нужное число, доказано, что оно рационально, однако не показано, что нет других решений 1
Отсутствует доказательство рациональности нужного числа или в от- вете записано иррациональное число 0
ДЛЯ ЗАМЕТОК
Издание для дополнительного образования
ЕГЭ-2012. ФИЛИ - школе
ЕГЭ-2012. МАТЕМАТИКА
ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ.
30 ВАРИАНТОВ
Под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко
Главный редактор И. Федосова
Заведующая редакцией И. Артюхова
Редактор С. Захаров
Художественный редактор М. Левыкин
Компьютерная верстка С. Птицына, Л. Федерякина
ООО «Национальное образование»
119021, Москва, ул Россолимо, д. 17, стр. 1. тел 788-0075(76)
Подписано в печать 18.07.2011. Бума1 а офсетная Печать офсетная.
Формат 60 хЭО1 <8. Усл. печ. л. 24.0. Тираж 40 000 экз. Заказ 1923.
Республиканское унитарное предприятие
Издательство «Белорусский Дом печати-'.
ЛП № 02330/04941 79 от 03.04.2009.
Пр. Независимости 79, 220013, Минск, Республика Беларусь.