НЕКОММУТАТИВНЫЕ КОЛЬЦА

И. ХЕРСТЕЙН
The Carns Mathematical Monographs

NUMBER FIFTEEN

NONCOMMUTATIVE
RINGS

By

I. N. HERSTEIN

Professor of Mathematics
University of Chicago

Published by

THE MATHEMATICAL ASSOCIATION OF AMERICA

Distributed by

JOHN WILEY AND SONS
И. ХЕРСТЕЙН

НЕКОММУТАТИВНЫЕ
КОЛЬЦА

Перевод с английского

Е. Н. Кузьмина

Под редакцией

А. И. Ширшова

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»

Москва 1972
УДК 519.49

Книга известного американского математика
Херстейна является введением в теорию ассоциа-
тивных колец. Простотой изложения и удачным
подбором материала она привлекает внимание
как алгебраистов, так и математиков других
специальностей. Несмотря на элементарный в це-
лом характер, книга затрагивает ряд довольно
серьезных результатов, полученных в недавнее
время. Большое внимание уделяется приложе-
ниям, особенно в теории представлений групп.
Книга будет полезна студентам, аспирантам и
преподавателям университетов и педвузов.

Редакция литературы по математическим наукам

2-2-3

22-72
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Современная теория колец представляет собой доста-
точно развитую математическую дисциплину. Так, например,
монография Н. Джекобсона, относящаяся лишь к одной ее
области (Structure and representations of Jordan algebras,
American Mathematical Society, 1968, Providence, Rhode
Island), содержит около 450 страниц, хотя не включает
многих достижений последних лет. Весьма развита и теория
алгебр Ли.

Классическая часть теории колец, а именно теория ас-
социативных колец знакома советскому читателю в ос-
новном по монографии Н. Джекобсона „Строение колец"
(ИЛ, М., 1961), которая предназначена для достаточно ква-
лифицированного читателя. Предлагаемая книга Херстейна
является, по-видимому, промежуточным звеном между „на-
чальным" и „высшим" образованием.

Она требует от читателя достаточно мало предваритель-
ных сведений, которые можно было бы включить в книгу,
не увеличивая существенно ее объема.

Написана книга ясно, легким стилем, и думается, что она
будет полезна не только студентам и аспирантам, избрав-
шим алгебру своей специальностью, но и многим математикам,
пожелавшим ознакомиться с теорией ассоциативных колец.

Для алгебраистов же будет интересным то обстоятельство,
что в этой книге выпукло показано, например, единство
теории колец и теории групп.

Здесь нашла себе место теория представлений (конечных)
групп, обычно излагаемая в теории групп (см., напр., М. Холл,
Теория групп, ИЛ, М., 1962).

В отборе и оценке результатов заметно чувствуются
вкусы автора, хотя этого, конечно, трудно избежать.

При переводе и редактировании допущены незначитель-
ные отступления от оригинала; в частности, несколько попол-
нен список литературы.

А. И. Ширшов
Памяти моего отца

ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта книга не является трактатом по теории колец. Цель
ее — ознакомить читателя с отдельными понятиями, мето-
дами и результатами, дающими некоторое представление
о той части алгебры, которая связана с некоммутативными
кольцами1). Многие весьма важные разделы теории колец
в книге не затронуты либо упомянуты вскользь. В то же
время ряд вопросов излагается довольно детально.

Для понимания книги требуется немногим более того,
что содержится в хорошем вводном курсе алгебры. Может
быть, следует пояснить, что именно я ожидал бы от такого
курса. Для начала нужно знакомство с некоторыми из основ-
ных структур алгебры — группами, кольцами, полями, век-
торными пространствами — и основными теоремами о них.
Желательно свободное владение такими понятиями, как
гомоморфизм, факторструктура, и первыми теоремами о гомо-
морфизмах. Нужно хорошо знать линейную алгебру — основ-
ные теоремы о линейных преобразованиях векторных про-
странств. Этот тип материала можно найти во многих книгах,
например в монографии Биркгофа и Маклейна ,,А Survey
of Modern Algebra“ или в моей книге „Topics in Algebra" 2).

Кроме упомянутых выше стандартных сведений, я буду
часто использовать различные результаты теории полей. Все
они содержатся в главе по теории полей книги Ван-дер-Вар-
дена „Современная алгебра"3 * s). Мой совет читателю, встре-
тившему в доказательстве ссылку на неизвестный ему ре-
зультат из теории полей, — обращаться за разъяснением
к книге Ван-дер-Вардена. Наконец, я постоянно буду исполь-
зовать лемму Цорна и аксиому выбора.

Значительная часть материала этой книги содержится
в двух выпусках моих лекций, изданных Чикагским

‘) Автор имеет в виду ассоциативные, но не обязательно коммута-
тивные кольца.— Прим, перев.

2) См. также монографии А. Г. Куроша „Лекции по общей алгебре",

Физматгиз, М., 1962, и А. И. Мальцева „Основы линейной алгебры",

„Наука", М., 1970. — Прим. ред.

s) Или в книге Ленга „Алгебра" („Мир", М.» 1967). — Прим. ред.
университетом. Часть работы по отбору материала и его обра-
ботке была выполнена в ходе чтения курса лекций, органи-
зованного Американской математической ассоциацией, кото-
рый я прочитал летом 1965 г. в Боудойн-колледже (Bowdoin
College) группе математиков, работающих в различных кол-
леджах и малых университетах. Я хотел бы поблагодарить
слушателей этого курса за их терпение и энтузиазм.
Я хотел бы также поблагодарить и многих других: Натана
Джекобсона и Ирвинга Капланского за ту роль, которую
они и их работы сыграли в моем формировании как мате-
матика, Шимшона Амицура за многие прекрасные часы,
которые мы провели вместе, работая и обсуждая теорию
колец, моих студентов Клаудио Прочези и Ланса Смолла
за составление записей в Боудойне и за их стимулирую-
щие замечания и предложения, способствовавшие улучше-
нию книги.
Глава 1

РАДИКАЛ ДЖЕКОБСОНА

В этой главе будут сделаны первые шаги, ведущие
к построению общей структурной теории ассоциативных
колец. Цель любой структурной теории состоит в описании
некоторых общих объектов через более простые — более
простые в каком-то ощутимом смысле,—быть может, более
конкретные или легче поддающиеся изучению. После того
как принято решение о выборе типа более простых объек-
тов, приобретает особую важность вопрос о способе сведе-
ния общего объекта к более простым и о том, как эти
последние соединяются между собой, приводя к исход-
ному общему объекту.

При реализации этой программы могут представиться
различные варианты, различные кандидаты на роль про-
стых объектов. Тогда из различных возможных подходов
следует выбрать тот, который позволяет развить наиболее
плодотворную, богатую глубокими результатами теорию.
В случае колец не вызывает, по-видимому, сомнения, что
структурная теория, предложенная Джекобсоном, удовле-
творяет поставленным требованиям. Лучшим подтверждением
этого замечания служит обилие прекрасных теорем, полу-
ченных с помощью методов упомянутой теории.

§ 1.1.	Модули

Существенным для дальнейшего — а в действительности
важным для всех разделов алгебры — является понятие
модуля над кольцом R, или, короче, /?-модуля. Точнее
говоря, под Af-модулехМ мы будем подразумевать правый
/^-модуль М, так как будем предполагать, что элементы
из R действуют на М справа, /^-модуль — это, грубо говоря,
векторное пространство над кольцом R; более формально
/?-модуль определяется следующим образом.

Определение. Аддитивная абелева группа М называется
R-модулем, если определено отображение M^R-^M (пере-
водящее (т, г) в mr), такое, что
(1)	т (а + Ь) — та + mb,

(2)	(гщ + т2) а = т{а + т2а,

(3)	(та) b = m (ab)

для любых т, тъ т2^М и любых a, b R.

Если кольцо R имеет единицу 1 и тЛ=т для всех
т е М, то 7?-модуль М называют унитарным!).

Заметим, что приведенное выше определение говорит
о том, что элементы кольца индуцируют эндоморфизмы
аддитивной абелевой группы М и, кроме того, что эти
индуцированные эндоморфизмы по отношению к сложению
и умножению ведут себя именно так, как нужно. Короче
говоря, R гомоморфно вложено в кольцо всех эндоморфиз-
мов аддитивной группы М, Для унитарных модулей возни-
кает дополнительное условие, что единице кольца R соот-
ветствует тождественный эндоморфизм.

В математике имеется очень много примеров модулей;
мы ограничимся пока двумя примерами, которые строятся,
исходя из самого кольца 7?.

Пусть 7? — произвольное кольцо и р — правый идеал в R.
Мы наделяем р естественной структурой 7?-модуля, опре-
деляя действие 7? на р как умножение элементов из р на
элементы из 7?. Проверка корректности этого определения
является не чем иным, как подтверждением того факта, что
р — правый идеал в 7?.

Используя р, мы можем построить еще один 7?-модуль.
Пусть 7?/р —- факторгруппа 7? по р, где R и р рассматри-
ваются как группы по сложению; ее элементами являются
множества х + р, где х ее 7?. Конечно, 7?/р не будет, вообще
говоря, кольцом (оно будет кольцом лишь в том слу-
чае, когда р — двусторонний идеал в 7?); тем не менее 7?/р
обладает структурой 7?-модуля. Мы получим ее, полагая
(х +р)г = хг +Р для любых х + р е 7?/р и ге=7?. Так как
р — правый идеал в 7?, то действие 7? на 7?/р определено
корректно, а различные аксиомы модуля проверяются совер-
шенно автоматически* 2).

Само собой разумеется, векторные пространства над
полями также являются примерами модулей, причем устроен-
ных очень просто. Здесь мы обнаруживаем, что лишь нуле-
вой элемент поля может аннулировать ненулевой вектор.

*) Или унитальным, Прим, перев.

2) Описанная здесь конструкция модуля 7?/р является частным слу-
чаем конструкции фактормодуля M/N (М и N суть /^-модули, JV s М),
когда R рассматривается как модуль над самим собой, ар — как под-
модуль в R. — Прим, перев.
Для модуля М над произвольным кольцом 7? положение
может быть совершенно иным. Может оказаться, например,
что в R существует такой элемент г =^= О, для которого
Мг = (0). Отметим случай, когда R не содержит таких эле-
ментов. Будем говорить, что М — точный R-мо^улъ (или
что R действует на М точно), если равенство Мг = (0) имеет
место тогда и только тогда, когда г = 0. Теперь мы можем
предложить меру отсутствия точности кольца R на М.

Определение. Если М есть /^-модуль, то

А (М) = {х R\Мх = (0)}.

Лемма 1.1.1. А (М) — двусторонний идеал кольца R.
Кроме того, М — точный R/A(M)-мoдyль !).

Доказательство. Из аксиом /^-модуля немедленно
следует, что А (А4) — правый идеал в R. Для того чтобы
убедиться, что А (М) —левый идеал, будем рассуждать сле-
дующим образом: если г е R и а е А (М), то М (га) = (Mr) a s
s Ма £ (0), следовательно, га е А (М). Итак, А (М) — дву-
сторонний идеал кольца R.

Превратим М в /?/А(7И)-модуль, определяя действие эле-
мента г+А(7И)е/?/А(Л1) на пг^М равенством m(r + А(Л1))==
«= /иг. Если г + А (М) = г' + А (М), то г — г' <= А (М), откуда
m(r — rz) = 0, mr = mrf для всех msAI. Тогда по опреде-
лению m (г + А (М)) = m (rr + А (М)), т. е. действие кольца
RjA (М) на М определено корректно. Проверить, что это
действие определяет на М структуру R/А (М)-модуля, пре-
доставляется читателю. Наконец, чтобы убедиться в точно-
сти этого модуля, заметим, что из равенства m(r + А (М)) = 0
для всех m е М следует по определению, что mr = 0, т. е.
г g А (М). Это означает, что нулевой элемент кольца R/А (М)
является единственным элементом, аннулирующим М.

Формализуем теперь некоторые замечания, сделанные
ранее. Пусть М, как прежде, 7?-модуль; для любого a^R
определим отображение Та: М->М, полагая mTa*=ma для
всех т s М. Тогда Та будет эндоморфизмом аддитивной
группы М, т. е. (tni + т2) тхТа + т2Та для любых mb
т2 М. Пусть Е (7И) — множество всех эндоморфизмов адди-
тивной группы М. Для любых ср,	обычным обра-

зом определяется их сумма ф + ф и произведение фф: m(qp +
+ ф) = тер + тф, т(фф) = (тф)ф; относительно этих опера-
ций Е (7И) является кольцом.

!) При естественном определении структуры R/А (М)-модуля на
/^-модуле М. — Прим, перев.
Рассмотрим отображение Г:	Е(М), переводящее а в Га;

из определения /^-модуля немедленно следует, что Т (а + /?) =
= Т (а) + Т (Ь), Т (ab) — Т(а)Т (Ь), т. е. Т — кольцевой гомо-
морфизм R в Е (Л4). Чему равно ядро КегГ гомоморфизма Г?
Если а е А (М), то Ма — (0), следовательно, Та = 0, a s Кег Г.
Обратно, если аеKer Т, то Та = 0, Ма = МТа = (0), а^А (Л4),
так что Ker Т = А(М). Отсюда следует, что образ кольца R
в Е(М) изоморфен RIA(M). Нами доказана

Лемма 1.1.2. RjA(M) изоморфно подкольцу кольца Е(М).

Эта лемма показывает, в частности, что если М — точ-
ный /^-модуль, то, так как Л(М) = (0), кольцо R изоморфно
подкольцу кольца Е(М), и мы можем рассматривать R
как некоторое кольцо эндоморфизмов аддитивной группы М.

Зная действие R на М, мы получим некоторое множе-
ство элементов Та^ Е (Л1), где а пробегает кольцо R. Как
расположены эти элементы в £(Л1)? Более точно, какие
элементы из Е (Л4) перестановочны со всеми Га? Множество
таких элементов образует, конечно, подкольцо в Е(М).

Определение. Централизатором кольца R на М назы-
вается кольцо

С (М) = {ф е Е (М) | Таф = фГа для всех а /?}.

Если е С (М), то для любых m е М и а е R

(тф) а = (тф) Та = (тГа) ф = (та) ф,

т. е. ф —не только эндоморфизм аддитивной группы М, но
и гомоморфизм М в себя как /^-модуля. В результате мы
обнаруживаем, что С (М) — это кольцо всех модульных эндо-
морфизмов М.

Без лишних уточнений ясно, что такое подмодуль,
фактормодуль, гомоморфизм модулей. Точно так же ясно,
что обычные теоремы о гомоморфизмах полностью перено-
сятся со случая векторных пространств в нашу более общую
ситуацию.

Выделим специальный тип /^-модулей.

Определение, /^-модуль М называется неприводимым,
если А17?=И=(0) и подмодулями модуля М являются лишь
(0) и М.

Централизатор на неприводимом /^-модуле М имеет особое
строение; оно выясняется классическим результатом, извест-
ным под названием леммы Шура.

Теорема 1.1.1 (лемма Шура). Если М — неприводимый
R-модуль, то С (М) — тело.
Доказательство. Все, что надо сделать для дока-
зательства теоремы — это показать, что любой ненулевой
элемент 0 из С(М) имеет обратный в С(Л4). Более того,
достаточно показать, что 0 обратим в Е(М). В самом деле,
если существует 0“1^£'(Л4), то из равенства QTa — TaQ не-
медленно следует, что Т^1 — 9~1Та, т. е. 0”1^С(М).

Пусть 0^С(М), 0=7^0, если M0 = IF, то для любого
имеем Wr = WTr = (Ж) Тг = (МТГ) 0 <= Ж = IF, сле-
довательно, IF — подмодуль в М. Так как 0^=0, то Ж^(0)
и из неприводимости модуля М следует, что Ж — М, т. е.
0 — эпиморфизм.

В то же время 0 — мономорфизм. В самом деле, легко
видеть, что Кег 0 — подмодуль модуля М и не совпадает
с Mf так как 0=^=0. Следовательно, Кег0 = (О). Будучи
одновременно эпиморфизмом и мономорфизмом, 0 является
изоморфизмом и обладает обратным 0“”1е£’(Л4). Тем самым
лемма Шура доказана.

Остановимся на некоторых примерах, иллюстрирующих
лемму Шура.

Пусть F — поле, а /’„ — кольцо всех (п X ^-матриц1)
над F. Обозначив через V /г-мерное векторное простран-
ство строк с координатами из F, будем рассматривать Fn
как кольцо линейных преобразований пространства F. Если
А — подмножество в Fn, то через А обозначим подалгебру2),
порожденную множеством _А. Ясно, что V — точный ^-мо-
дуль, а значит, и точный Д-модуль. Кроме того, V — одно-
временно унитарный и неприводимый ./„-модуль.

Множество матриц А называется неприводимым, если F
неприводимо как Д-модуль. В матричных терминах это
равносильно тому, что не существует обратимой матрицы
S е Fn, такой, что

для любых а е А (по диагонали стоят квадратные клетки
фиксированного порядка). Централизатором__ множества А
(или, что то же самое, централизатором Д) на V будет
множество всех матриц из Fn, перестановочных с каждой
матрицей из Д.

2) То есть квадратных матриц порядка п. — Прим, перев.

2) Определение алгебры над полем F приводится в § 2 этой гла-
вы. — Прим, перев.
В случае когда F —• алгебраически замкнутое поле, един-
ственным телом, содержащим F в своем центре и конечно-
мерным над F, является само F (мы покажем это позже).
Следовательно, в этом частном случае централизатор непри-
водимого множества матриц состоит только из скалярных
матриц *). Это и есть классическая форма леммы Шура.

Приведем два интересных примера.

(1)	Пусть F —поле действительных чисел и рассмотрим
в F2 матрицу

/О -1\
а Ai о/
Так как а не имеет действительных характеристических
корней, то множество Л = {а} неприводимо* 2). Что будет его
централизатором? Из соотношения

а	р\/0	— 1\	/О	— 1 \ (а

у	б / \ 1	0/	\ 1	0 Ду	б/

находим а = б, р = — у, следовательно, централизатор мно-
жества А состоит из всех матриц вида

/ а —р\

\Р а/

и изоморфен полю комплексных чисел.

(2)	Пусть F — снова поле действительных чисел; рас-
смотрим в F4 матрицы

(О —1 0	0\ /ОО -1 0\

1	00	0 1	,	| 0	0	о 1 I

0	00—1 Г	11	О	001

0	0 10/	\0	—1	о о/

Предоставляем читателю проверить, что множество Л = {а, Ь]
неприводимо и что его централизатор состоит из всевозмож-
ных матриц вида

(а —Р ——у —б \
раб —у |
у —б а Р Г

б у —Р а/

0 Будучи подалгеброй алгебры Fnf централизатор неприводимого
множества матриц А является конечномерной алгеброй над F и содер-
жит в своем центре скалярные матрицы (матрицы вида а/, где I — еди-
ничная матрица, а а — элемент из F), образующие подполе, изоморфное
полю F. — Прим, перев.

2) Из приводимости А вытекало бы существование одномерного
инвариантного относительно а подпространства, — Прим, перев.
Это — тело размерности 4 над полем действительных чисел,
изоморфное телу кватернионов.

Мы закончим этот параграф внутренним описанием всех
неприводимых модулей над данным кольцом R.

Лемма 1.1.3. Если М — неприводимый R-модуль, то М
изоморфен (как модуль) модулю R/p для некоторого макси-
мального правого идеала р в R. Далее, существует элемент
а<= R, такой, что х — ах е р для всех х R. Обратно, если
р — максимальный правый идеал, удовлетворяющий указан-
ному выше условию, то R-модуль R/p неприводим.

Доказательство. Так как модуль М неприводим, то
по определению MR=£(0). Так как множество S = {us
е М | и# = (0)} является подмодулем в М, отличным от М,
оно должно быть равно (0). Это эквивалентно тому, что
если пг е М, т=£0, то mR=£(0). Но mR — подмодуль в М,
следовательно, mR = M. Определим отображение Tf: R->M,
полагая Ч? (г) = тг для любого reR. Сразу видно, что Т
является гомоморфизмом /^-модулей; из равенства mR = М
следует, что этот гомоморфизм сюръективен. Далее, р =
= KerW = {х е R\mx = 0} является правым идеалом в R\
стандартная теорема о гомоморфизмах показывает, что М
изоморфен как ^-модуль модулю R/p.

Любой правый идеал кольца R, строго содержащий р,
отображается посредством Т в подмодуль модуля М. Но
М неприводим, следовательно, р — максимальный правый
идеал кольца R. Построим теперь требуемый элемент а.
Так как mR = M, то существует элемент a^R, такой, что
та — т. Тогда для любого х е R имеем тах — тх, т(х —
— ах) = 0. Следовательно, х — ах е р.

Доказательство обратного утверждения оставляем чита-
телю.

§ 1.2. Радикал кольца

При построении структурной теории для какой-либо ка-
тегории алгебраических объектов желательно знать, какие
классы объектов можно считать „хорошими" и насколько
произвольный объект этой категории отличается от „хоро-
шего". Кроме того, желательно иметь какой-то способ пе-
рехода от произвольных объектов к „хорошим".

С этой целью и вводится радикал кольца. Если радикал
кольца равен (0), то такое кольцо допускает довольно конк-
ретное описание с помощью колец специального вида, ко-
торые зачастую легче поддаются изучению. Если же ради-
кал отличен от (0), то он является идеалом, факторкольцо
по которому имеет нулевой радикал. Таким образом, для
того чтобы изучить произвольное кольцо, мы отсекаем от
него некоторую часть, а именно радикал, причем эта часть
не должна быть слишком большой, чтобы сама по себе
была доступна для изучения. В то же время мы хотим
отсечь достаточно много, чтобы объект, получаемый в ре-
зультате, также поддавался описанию.

Приводимое ниже определение радикала восходит к тео-
рии представлений групп. В классической теории конечно-
мерных алгебр радикал определялся совершенно иначе.
Ниже будет показано, однако, что в классическом случае
эти радикалы совпадают.

Определение. Радикалом кольца R называется совокуп-
ность элементов из /?, которые аннулируют все неприводи-
мые /^-модули, или само кольцо /?, если неприводимых
^-модулей не существует. Радикал кольца R обозначается
через /(/?).

Существует много видов радикалов; тот, который мы
только что определили и будем постоянно использовать,
часто называют радикалом Джекобсона.

По определению J(R) = р) А (М), где М пробегает все-
возможные неприводимые ^-модули1). Так как А (М) — дву-
сторонние идеалы в R, то J(R) автоматически оказывается
двусторонним идеалом кольца R. Для полной ясности сле-
довало бы назвать J (/?) правым радикалом R, так как он
определен с помощью правых /^-модулей. Аналогичное опре-
деление можно дать для левого радикала. К счастью, они
совпадают, поэтому мы будем пренебрегать таким разли-
чением левого и правого.

Согласно лемме 1.1.3, каждый неприводимый /^-модуль
получается как модуль R/p, где р — максимальный правый
идеал кольца R, обладающий одним дополнительным свой-
ством: существует такой элемент а^ R, что х — ах е р для
всех х е R. Этим оправдывается следующее

Определение. Правый идеал р кольца R называется ре-
гулярным2), если существует такой элемент a^R, что
х —- ах е р для всех х е R.

Понятно, что если R имеет единицу (или хотя бы левую
единицу), то всякий правый идеал является регулярным.

!) В силу леммы 1.1.3 достаточно ограничиться модулями вида
Rip. — Прим, перев.

2) Или модулярным — ср. с книгой Н. Джекобсона „Строение ко-
лец". — Прим. пере^.
Определение. Если р —правый идеал в R, то

(р : Д’) = {хе R|Rx = р}.

Пусть р — максимальный правый идеал в R, предполо-
жим, что он регулярен, и пусть М = 7?/р. Каким будет
А(7И)? Если х^А(М), то 7Их = (0), т. е. (г4-р)х = р для
всех г е У?. Последнее означает, что Rx р; следовательно,
А(М) (р: 7?). Аналогично, (р : R) А (М), откуда А(7И) =
= (р:7?). Так как р регулярен, то существует элемент
а е 7?, такой, что х — ах е р для всех х е А В частности,
если хе(р:/?), то ах е р и, следовательно, хер. Мы ви-
дим, таким образом, что А (М) — (р *. 7?) — наибольший дву-
сторонний идеал кольца 7?, лежащий в р. В силу леммы
1.1.3 имеет место следующая

Теорема 1.2.1. 7 (7?) = П (р : 7?), где р пробегает все регу-
лярные максимальные правые идеалы кольца R, а (р .’ 7?) —
наибольший двусторонний идеал из R, лежащий в р.

Мы хотим усилить этот результат. Для этого нам потре-
буется следующая

Лемма 1.2.1. Если р — регулярный правый идеал кольца
R, то р можно вложить в максимальный правый идеал,
который также регулярен.

Доказательство. Пусть а — такой элемент из 7?, что
х-ахер для всех хеТ?, и W —множество всех собствен-
ных правых идеалов из 7?, содержащих р. Если р' е Эй, то
а ф р'; в противном случае имели бы ах е р', х- ах е р е
c=pz, откуда pz ~ R, В частности, а ф. р. Поэтому к 21?
можно применить лемму Цорна. Пусть р0 — максимальный
элемент из 2)?; р0, конечно, регулярен, так как х~ахЕ рс р0,
Кроме того, р0 — максимальный правый идеал в 7?. Лемма
доказана.

Лемма устраняет, между прочим, двусмысленность в выра-
жении „максимальный регулярный правый идеал", которым
мы часто будем пользоваться.

Теперь мы в состоянии охарактеризовать радикал кольца
в терминах самих максимальных правых идеалов р, а не
идеалов (р: 7?), фигурирующих в теореме 1.2.1.

Теорема 1.2.2. J (7?)=Пр, где р пробегает все максимальные
регулярные правые идеалы кольца R.

Доказательство. По теореме 1.2.1 J (7?) = П (Р: Ю,
а так как (р: R) р, то J(7?)^f)p. С другой стороны, пусть
Пр = т и х — произвольный элемент из т. Покажем, что
множество {ху + у \у R} совпадает с R. Если бы это было
не так, то рассматриваемое множество было бы регулярным
правым идеалом (а= — х) и по лемме 1.2.1 включалось бы
в некоторый максимальный регулярный правый идеал р0.
Так как хе Пр, то, в частности, хер0; тогда ху р0
и у е ро для всех у R — противоречие. Следовательно,
{ху + у \у R} — R и для некоторого w е R имеем xw ^-w —
= —х, т. е. х + w + xze> — 0.

Если т Z (R), то для некоторого неприводимого ^-мо-
дуля М мы должны иметь Мх=/=(0), а значит, и тх =# (0) для
некоторого т е М. Как ненулевой подмодуль модуля М, мно-
жество тх должно совпадать с М, значит, для некоторого
/ет имеет место равенство mt — —- т. По только что доказан-
ному существует элемент s^R, такой, что t + s + ts — 0.
Вычисляя 0 = m(s +1 + ts) — ms + mt + mts = ms — m — ms==
= — m, получим m = 0, что противоречит условию тх (0).
Полученное противоречие доказывает теорему.

В ходе доказательства теоремы мы обнаружили, что
для каждого х е П р = / (7?) существует такой элемент у е
что х + у + ху = 0. Попытаемся охарактеризовать J (R) с по-
мощью этого формального свойства. Именно этот подход
и был использован в оригинальной статье Джекобсона,
где впервые была развита теория, которой мы сейчас зани-
маемся.

Определение. Элемент a^R называется право-квазирегу-
лярным, если существует такой элемент а' е R, что а + а' +
+ ^'==0. Элемент а' называется правым квазиобратным
для а.

Мы можем аналогично определить левую квазирегуляр-
ность. Заметим, что если R имеет единицу 1, то элемент а
право-квазирегулярен тогда и только тогда, когда 1 + а
обратим справа в R. Правый идеал в R называется право-
квазирегулярным, если таким является каждый его элемент.

В ходе доказательства теоремы 1.2.2 мы установили в дей-
ствительности два добавочных факта:

(1)	Идеал J (R) право-квазирегулярен.

(2)	Если рправо-квазирегулярный идеал кольца /?, то
р J (R) (доказательство включения те/ (R) переносится
без изменений на р).

Следовательно, уже доказана

Теорема 1.2.3. J (R)—правый право-квазирегулярный идеал
в R и содержит все правые право-квазирегулярные идеалы
кольца R\ другими словами, J (R) — единственный максималь-
ный право-квазирегулярный правый идеал в R,
Предположим, что некоторый элемент ае/? имеет одно-
временно и левый, и правый квазиобратный. Существуют,
значит, такие элементы Ь, с R, что а 4- b 4- Ьа = 0, а-\-
4-с 4-ас = 0. Тогда ba + Ьс 4~ Ьас = 0 и ас + Ьс + Ьас = О,
откуда Ьа = ас. В соединении с равенством а 4~ Ь 4- Ьа=
= а 4- с 4" ас (=0) это дает Ь = с, т. е. левый и правый
квазиобратные для а совпадают.

Пусть теперь	тогда существует а'R, такой,

что а 4- аг 4- аа' = 0. Так как а, аа'	то находим,

что и a' J (R). Тогда существует а"	такой, что &z4-

4“ а" 4~ ага" = 0. Таким образом, а' имеет правый квазиоб-
ратный а" и левый квазиобратный а\ по предыдущему заме-
чанию они совпадают, а” —а. Отсюда а' а + а'а — 0, так
что а' является не только правым, но и левым квазиобрат-
ным для а. Мы показали, что J (/?) — лево-квазирегулярный
идеал в R.

Это и позволяет нам отрицать существование различий
между правым и левым радикалами. Используя левый ана-
лог теоремы 1.2.3, устанавливаем, что правый радикал,
будучи лево-квазирегулярным, содержится в левом радикале.
Точно так же левый радикал содержится в правом, стало
быть, они совпадают, и нам не надо больше беспокоиться
об этом. В качестве следствия отметим, что пересечение всех
максимальных регулярных правых идеалов кольца равно
пересечению максимальных регулярных левых идеалов.

Иногда можно проверить, что правый идеал право-ква-
зирегулярен, явным вычислением квазиобратных для его эле-
ментов.

Определение, а) Элемент а е R называется нильпотент-
ным, если aw = 0 для некоторого целого числа m > 0. б) Пра-
вый (левый, двусторонний) идеал называется ниль-идеалом,
если каждый из его элементов нильпотентен. в) Правый
(левый, двусторонний) идеал р называется нильпотентным,
если существует целое число m > 0, такое, что аха2 ... ат — 0
для любых аь ..., ат е р.

Если I, J — два правых (левых, двусторонних) идеала в R,
то через IJ мы обозначаем аддитивную подгруппу в R, поро-
жденную элементами вида ab, где b^J. Тогда IJ —
также правый (левый, двусторонний) идеал кольца R. По
индукции определяется Z1 — I, Г ~	• I. При этих опре-

делениях правый идеал р нильпотентен, если pw = (0) для
некоторого т > 0.

В то время как нильпотентный правый идеал является,
конечно, правым ниль-идеалом, правый ниль-идеал не обя-
зан, вообще говоря, быть нильпотентным. Ряд интересных
теорем теории колец посвящен доказательству нильпотент-
ности ниль-идеалов при некоторых условиях на кольцо. С не-
которыми теоремами такого типа мы встретимся в этой книге.

Пусть ат = 0, и положим

Ь = ~а-\-а2-а3+ ... + (-l)m-4m-1.

Простое вычисление показывает, что а ab —0. Следо-
вательно, каждый правый ниль-идеал является право-квази-
регулярным. Ввиду теоремы 1.2.3, находим, что справедлива

Лемма 1.2.2. Каждый правый (левый) ниль-идеал лежит
в J(R).

Напомним, что алгебра А над полем F — это векторное
пространство над F, в котором умножение определено так,
что относительно сложения и умножения А является коль-
цом, а структура векторного пространства на А связана с коль*
цевой структурой соотношениями

a (ab) — (аа) b — a (ab)

для любых а, b е Л, а F. Если А имеет единицу 1, то эле-
менты вида а1 — ркаляры — лежат в центре Л. Независимо
от того, есть в Л единица или нет, отображения Га, La: А~> Л,
определенные равенствами хТа — ха, xLa = ax, являются
линейными преобразованиями пространства Л. Идеалы, гомо-
морфизмы и т. д. для алгебры Л естественно определять так,
чтобы обе структуры на Л —кольцевая и векторная — высту-
пали каждый раз согласованно. Например, идеал должен
быть подпространством. Действуя в этом духе, мы могли бы
перенести все, что сделали для колец, на алгебры и опреде-
лить радикал Л как алгебры. Возникает сомнение, не будет ли
он отличаться от радикала Л как кольца. Мы покажем, что
они на самом деле совпадают.

Пусть р — максимальный регулярный правый идеал Л как
кольца. Утверждается, что р — подпространство простран-
ства Л над F. Допустим противное, Fpgtp. Тогда Fp—-пра-
вый идеал в Л (быть может, несобственный) и из максималь-
ности р заключаем, что Л — Fp + p. Отсюда Л2 = ^р +
+ р) Л (Fp) Л + рЛ р ^Л) + рЛ s р. Так как р регулярен,
то существует элемент а е Л, такой, что х — ах е р для всех
х е Л; но ах^. Л2^р, что приводит нас к равенству р—Л—
противоречие. Итак, любой максимальный регулярный пра-
вый идеал Л как кольца является максимальным регуляр-
ным правым идеалом Л как алгебры. Значит, в силу теоремы
1.2.2 совпадают и радикалы Л как алгебры и как кольца.

Пусть кольцо R профакторизовано по его радикалу /(F)-
Тогда возникает естественный вопрос: каким будет радикал
факторкольца R/J (R)? Простой и исчерпывающий ответ на
этот вопрос дает

Теорема 1.2.4. J(R/J (R)) = (0).

Доказательство. Пусть R — R/J (R) и р — какой-либо
максимальный регулярный правый идеал в R. Мы знаем,
что p^Z (R); по обычной теореме о гомоморфизмах p=p//(R)—
максимальный правый идеал в R. Он регулярен, так как
если х-ахЕр, то х — ах^р для всех х R. Так как
j(7^) = p|p, где р пробегает все максимальные правые идеалы
кольца R, то, переходя к гомоморфным образам, получим
(О)=Г|р- По теореме 1.2.2 J (R) совпадает с пересечением всех
максимальных регулярных правых идеалов кольца R и пото-
му лежит в Пр, откуда и следует требуемый результат.

Свойство радикала, установленное теоремой (.2.4, является
лишь одним из множества свойств, присущих радикалам.
Общее изучение свойств радикалов было выполнено Куро-
шем и Амицуром. Еще два свойства радикала Джекобсона
относятся к радикалам идеалов кольца R и матричных колец
над R. В следующих двух теоремах мы выведем эти свой-
ства, но сначала дадим

Определение. Кольцо R называется полупростым, если
7(Я) = (0).

Теорема 1.2.4 утверждает в этих терминах, что кольцо
R/J (R) полупростое. Чтобы избегать громоздких фраз, мы
будем двусторонние идеалы называть просто идеалами.

Лемма 1.2.3. Произвольный идеал А полупростого
кольца R полупрост1).

Доказательство. Пусть /(A)=H=(0), тогда Z(A)R —
правый идеал кольца R и Ix — J (A) R 0, так как в про-
тивном случае /(А) — нильпотентный правый идеал кольца R.
По той же причине 4=^=0. НоI^J (A) RJ (A) R^J (A)A^J (А),
следовательно, каждый элемент из 4 имеет правый квази-
обратный. В то же время — правый идеал кольца R, что
противоречит предположению о полупростоте R.

Теорема 1.2.5. Если А — идеал кольца R, л'о J (A)==J (R) П А.

Доказательство. Если а е J (R) П А, то, будучи эле-
ментом из J (R), а право-квазирегулярен. Если а'— правый

!) Лемма 1.2.3 и ссылка на нее в доказательстве теоремы 1.2.5
добавлены при переводе. — Прим, иерее.
квазиобратный для а, то а' — — а — аа'А, так как Л—идеал
в R. Отсюда J (R) ("| А — правый право-квазирегулярный
идеал в А и, значит, 7(7?)(]А = 7(А) по теореме 1.2.3.

При естественном гомоморфизме 7? R==R/J (R) образом
идеала А будет идеал А = A/J (R) П А кольца R; так как
кольцо 7? полупросто, то по лемме 1.2.3 идеал А также по-
лупрост. Образом квазирегулярного идеала 7(A) при гомо-
морфизме А-+ А = A/f(R)(] А является квазирегулярный
идеал кольца А; так как кольцо А полупросто, то J (А) ото-
бражается в (0), следовательно, 7 (A) s J (R) f| А. Два про-
тивоположных включения дают нам требуемый результат:
7 (А) = 7 (7?) Л А.

Утверждение теоремы 1.2.5 становится ошибочным, если
предполагать только, что А — односторонний идеал. Пусть,
например, R = F2, где F — произвольное поле. Легко пока-
зать, что R не имеет нетривиальных идеалов и что 7 (7?)=(0)5).
Пусть р — множество матриц вида

a
0 0/’

где а, р <= F-, тогда р — правый идеал в R и легкая про-
верка показывает, что

/0

(о oh/<p)'

следовательно, 7 (р) У= (0) = р Q 7 (Д).

Другим основным свойством радикала является его пове-
дение при переходе от кольца R к кольцу Rn всех матриц
порядка п над R. Соответствующий результат формули-
руется следующим образом.

Теорема 1.2.6. 7 (7?„) = 7 (/?)„.

Доказательство. Пусть М—неприводимый 7?-модуль,
тогда

ТИ^ _ {	. t ГПп) |	(= M)

можно естественным образом рассматривать как 7?„-модуль.
При этом М(п> является неприводимым 7?„-модулем —
мы предлагаем читателю ^убедиться в этом самостоятельно.
Если (аг/)е7(7?п), то для любых т{^М

(mt, ..., тп)(ai() = (0, ..., 0);

2) Это верно для любых Fa> п^ \. — Прим. перев.
отсюда Л1аг;- = (0), следовательно, а{1 ^J(R'). Мы показали,
что J(Rn)<= J (R)n.

Теперь мы хотим доказать, что J (/?)„ s J (/?„); для этого
мы докажем, что J (R)n ~ квазирегулярный идеал в Rn. Рас-
смотрим множество pi матриц вида

/«п

I °

\0

«12 • • • «1л

О ... о

о ... о

где ан, ..., а1пе/(/?); pj —правый идеал в Rn. Если

ЙГ р1(

где ап + ац + ацац = 0, то IT = X + У + XY — треугольная
матрица с нулями на главной диагонали, следовательно,
IFrt==0. Будучи нильпотентным, элемент W квазирегулярен.
Пусть W + Z + WZ = 0, тогда 0 =Х + Y + Z + XY + XZ +
+ YZ + XYZ = X~Y (Y 4- Z + YZ) + X(Y + Z + KZ), так что X
право-квазирегулярен. Мы показали, что pi — правый право-
квазирегулярный идеал в Rn, т. е. р( s J (Rn). Аналогично
доказывается, что правые идеалы р; (/=2, ..., п), состоящие
из матриц вида

0	0	... 0
0	0	... 0
«XI	«/2	• • •
0	0	... 0

где aij^J(R), также право-квазирегулярны. Так как/(/?)„=
= Р] + ... +р„, pi(=J(Rn) и идеал J(Rn) замкнут относи-
тельно сложения, то J(R)n^J(Rn). Теорема доказана.

§ 1.3.	Артиновы кольца

Выясним, какой смысл и значение приобретают некото-
рые из изложенных выше результатов в той классической
ситуации, которая изучалась в теории колец ранее.
Определение. Кольцо называется артиновым справа, если
любое непустое множество его правых идеалов имеет мини-
мальный элемент.

Ради краткости будем опускать слово „справа" и назы-
вать артиновы справа кольца артиновымих). Артиновы
кольца допускают эквивалентное определение в терминах
убывающих цепей правых идеалов. Это отражено в следую-
щем замечании.

Замечание. Кольцо R является артиновым тогда и только
тогда, когда любая убывающая цепь правых идеалов
Р! р2 ... эртз ... обрывается, т. е. когда, начиная
с некоторого номера т, все идеалы pz (f^m) равны.

Проверим это утверждение. Пусть pj ^ ... ^ рш з ... —
убывающая пень правых идеалов кольца /?. Если R арти-
ново, то множество 2)1 = {pj имеет минимальный элемент pm.
Для всех / >т имеем рт2рг-, и так как рт — минимальный
элемент в 2)1, то рт = рг- (/> m).

Пусть, обратно, R удовлетворяет условию обрыва убы-
вающих цепей правых идеалов и Эй — произвольное непустое
множество правых идеалов кольца R. Выберем р! <= Эй;
тогда р} либо является минимальным в Эй, либо нет. Если
он не минимален, то р} еэ р2 для некоторого р2 ЭЙ. Теперь
р2 либо минимален, либо нет. Продолжая этот процесс, по-
лучим иепь р} zd р2 zd .. . гэ pm zd ... . По предположению
эта цепь должна на некотором шаге оборваться, и мы по-
лучаем минимальный элемент в Эй. Следовательно, R
артиново.

Заметим, что в доказательстве эквивалентности двух
формулировок понятия артинова кольца использовалась
аксиома выбора.

Приведем некоторые примеры артиновых колец.

(1)	Любое тело артиново — в самом деле, оно не имеет
нетривиальных правых идеалов.

(2)	Кольцо всех (п X п)-матриц над телом артиново.
Предлагаем читателю проверить — это нетривиально, —
что если R артиново, то тем же свойством обла-
дает Rtl.

(3)	Конечная прямая сумма артиновых колец снова
артинова.

показывает пример кольца матриц вида

Артиново справа кольцо R может не быть артиновым слева, как
а 0\

, где а, р — рациональ-
Р О/

ные числа. — Прим, перев.
(4)	Если А — конечномерная алгебра над полем, то она
артинова как алгебра, т. е. удовлетворяет условию
минимальности для правых идеалов А как алгебры.
Как кольцо конечномерная алгебра может и не быть
артиновой. Простым примером такой алгебры является
Fa, где F — поле рациональных чисел и и2 = 0.

(5)	Гомоморфный образ артинова кольца — также арти-
ново кольцо.

Радикал в артиновых кольцах очень специфичен. А именно,
имеет место следующая теорема.

Теорема 1.3.1. Если кольцо R артиново, то /(/?) — ниль-
потентный идеал.

Доказательство. Положим /==/(/?), и рассмотрим
убывающую цепь правых идеалов /	з Jn з ... .

Так как кольцо R артиново, то для некоторого /г>0 будем
иметь равенства /п = Д+1 = ... = /2/г=... . Мы хотим
доказать, что Г* = (0).

Рассмотрим множество W — {х е R | xJn = (0)}; это мно-
жество является двусторонним идеалом в R. Если W^Jn,
то Jn • Jn — J2tl = (0), Jn = J2n = (0), и требуемое утверждение
доказано.

Пусть W 55 Jn', приведем это предположение к противо-
речию. Рассмотрим факторкольцо R = R!W. При канониче-
ском гомоморфизме R->R идеал 1п переходит^ в идеал
Д (0) кольца R, Jn s J (R). Так как кольцо 7? артиново,
то существует некоторый минимальный правый идеал р^=(0)
кольца R, лежащий в Jn. Рассматривая р как модуль^над R,
получим, что либо модуль р неприводим, либо pR — (0).
В обоих случаях р7п = (0). Переходя к прообразам в коль-
це R, получим последовательно pJn^W, pJn • Jn =~pJ2n = (0),
а так как J2n = Jn, то рГг = (0), p S W. Тогда p = (0), что
противоречит определению p. Теорема доказана.

В качестве немедленного следствия теоремы получается
хорошо известный результат, доказанный впервые Гопкинсом.

Следствие. Если кольцо R артиново, то любой его ниль-
идеал {правый, левый или двусторонний) нильпотентен.

Доказательство. В силу леммы 1.2.2 любой одно-
сторонний ниль-идеал р кольца R лежит в J (R). Так как
идеал J (R) нильпотентен, то то же самое верно и для р.

Можно дать простое независимое доказательство след-
ствия. Пусть р —правый ниль-идеал в R. Убывающая цепь
рзр22 ... зр" з ... обрывается, поэтому для некоторого
п > О будем иметь B = pn = pn+I = ..В = В2. Если ВтЦО),
то из условия В2 — В =7^(0) следует, что существует такой
элемент b е В, для которого ЬВ ф (0). Выберем &ое В так,
чтобы правый идеал &0В был минимальным в множестве
ненулевых правых идеалов вида ЬВ (6еВ). Так как Ь^В =
— bQB2 =/= (0), то существует такой элемент с е В, что
bQcB ф (0). Но Ь^сВ S &0В; из минимальности Ь§В следует
поэтому, что Ь$сВ = Ь0В. В частности, для элемента Ь^с^Ь^В
существует такой элемент хеВ, что Ь^с-Ь^сх. Умножая
обе части последнего равенства справа на х, получим
Ьос — bQcx — bQcx2 = ... = bocxm = 0, так как хт — 0 для
достаточно большого т. Равенство Ь$с = 0 противоречит
условию Ь^сВ (0), поэтому В — (0), и правый идеал р
нильпотентен *).

Результаты, к которым мы сейчас перейдем, несколько
нарушают последовательность изложения. Тем не менее
кажется, что именно здесь для них подходящее место.

Предварительно сделаем одно простое замечание. Пусть
R — произвольное кольцо и р =^= (0) — нильпотентный правый
идеал в R. Если Яр (0) и рт — (0), то Яр — двусторонний
идеал в R и, кроме того,

(№Г = яр/?р ... /?р м (р/?) (р/г)... (р/?) р s Rem = (0).

Если же /?р = (0), то р — двусторонний идеал в R. Таким
образом, в обоих случаях оказывается^ что если R содержит
ненулевой нильпотентный правый идеал, то R содержит не-
нулевой нильпотентный двусторонний идеал. Предположение
о справедливости аналогичного результата для ниль-идеалов
известно под названием гипотезы Кёте. Остается открытым
вопрос, верна ли эта гипотеза, т. е. верно ли, что всякое
кольцо, содержащее ненулевой односторонний ниль-идеал,
содержит также ненулевой двусторонний ниль-идеал.

Определение. Элемент е #= 0 кольца R называется идем-
потентом, если е2 — е.

Лемма 1.3.1. Пусть R — кольцо, не имеющее ненулевых
нильпотентных идеалов, и р =/= (0) — минимальный правый

!) Для того чтобы охватить случай левых ниль-идеалов, рассужде-
ния автора можно дополнить следующим образом. Если р—левый ниль-
идеал в Я, то для любого хе р множество xR будет правым ниль-идеа-
лом и, следовательно, правым нильпотентным идеалом. Учитывая, что
сумма правых нильпотентных идеалов является правым нильпотентным
идеалом, получим, что рЯ — правый ниль-идеал. Но тогда правый идеал
рЯ нильпотентен, следовательно, нильпотентен и левый идеал р.—
Прим, перев.
идеал в R. Тогда р = е/? для некоторого идемпотента
e^R.

Доказательство. Согласно сделанному выше заме-
чанию, р2 У= (0), следовательно, существует такой элемент
хер, что хр=й=(0). Так как хр — правый идеал, лежащий
в р, то из минимальности р следует, что хр —р. В част-
ности, х — хе для некоторого еер. Отсюда хе = хе2,
х(е — е2) = 0. Если р0 = {а е р | ха = 0}, то р0 — правый идеал
кольца R, лежащий в р. Кроме того, р0 р, так как в про-
тивном случае хр = (0). Следовательно, ро = О. Так как
е~е2ер0, то е — е2, т. е. е —идемпотент кольца R, лежа-
щий в р. Далее, eR р, и так как 0 =0= е = е2 е е7?, то
eR (0). Следовательно, р = ^, что и требовалось доказать.

Выше было показано, что если правый идеал артинова
кольца состоит из нильпотентных элементов, то такой идеал
нильпотентен. А что можно утверждать в противоположном
случае, когда правый идеал содержит хотя бы один нениль-
потентный элемент? Мы хотим доказать, что тогда он дол-
жен содержать идемпотент. Для этого нам понадобится
одна лемма, которая представляет интерес и сама по себе.

Лемма 1.3.2. Пусть R — произвольное кольцо и для не-
которого a^R элемент а2 — а нильпотентен. Тогда либо
элемент а нильпотентен, либо существует такой полином q(x)
с целыми коэффициентами, что элемент e — aq(a) является
идемпотентом.

Доказательство. Пусть (a2 — a)k = 0; раскрывая
скобки, получим ак = ак+1р(а), где р (х) — полином с целыми
коэффициентами. Подставим значение ак из этого равенства
в его правую часть, тогда получим

ak = ak • ар (а) = ak [ар (я)]2.

Повторяя этот процесс, находим ak = ak • [ар (а)р = a2k • р (a)k.
Если ak ф 0, то е = с^р (а)к =£ 0, и

е2 — [a2kp(a)k] р (а)к — акр (а)к = е.

Теперь мы можем доказать упом'янутое выше утверждение.

Теорема 1.3.2. Если кольцо R артиново и р =И= (0) — не-
нильпотентный правый идеал в R, то р содержит ненулевой
идемпотент.

Доказательство. Так как р ненильпотентен, то по
теореме 1.3.1 р eg J (/?). Положим R — R/J (R); кольцо R полу-
просто и поэтому не имеет нильпотентных идеалов. Пусть
р —образ р в /?. Так как р^О, товр содержится мини-
мальный правый идеал р0 кольца 7?; по лемме 1.3.1 р0 = ё7?
для некоторого идемпотента ё е р0. Пусть а е р ~ элемент,
образ которого при гомоморфизме R-+R равен ё, тогда
а2 — а отображается в 0 е 7?. Следовательно, а2 — а лежит
в 7(7?) и является нильпотентным элементом. Так как для
любого k>Q имеем ak — ek ~ ё Q, то элемент а нениль-
потентен. Для завершения доказательства теоремы остается
применить лемму 1.3.2.

Раз уж мы занялись идемпотентами, то не кажется
слишком странным выяснить строение кольца eRe, где
е — идемпотент в 7?1). Это кольцо тесно связано с R. Вычи-
слим его сначала в одном частном случае. Пусть 7? = ЛД,
где А — произвольное кольцо с единицей 1, и пусть

О

— идемпотентная матрица ранга г. Прямое вычисление по-
казывает, что eRe состоит из матриц вида

где а е Аг, так что eRe ~ Аг,

Теорема 1.3.3. Пусть R — произвольное кольцо и е — идем-
патент в R, Тоеда J (eRe)~ eJ (R) е.

Доказательство. Пусть М — неприводимый 7?-модуль.
Мы утверждаем, что либо Me — (0), либо Me — неприводи-
мый е7?е-модуль. В самом деле, предположим, что Ме=£(0),
и пусть me е Me, те=А=0, Тогда (те) (eRe) = meRe; так как
7?-модуль М неприводим и те 0, то meR = М и, следова-
тельно, meRe — Me, Эго означает, что Me — неприводимый

J) Целесообразность изучения кольца eRe объясняется тем, что оно
является одной из компонент пирсовского разложения R относительно е. —
П рим пере в
е/?е-модуль. По определению MeJ (eRe) = (0), а так как
е — единица кольца eRe, то eJ (eRe) = J (eRe). Другими сло-
вами, если Me (0), то MJ (eRe) = (0). Если же Me = (0),
то тем более MJ (eRe) — MeJ (eRe) = (0). В любом случае
неприводимый 7?-модуль М аннулируется кольцом J (eRe),
следовательно, J (eRe)^J (R). Отсюда заключаем, что J (eRe)=
== eJ (eRe) e^eJ (R) e *).

Обратно, если a^ eJ (R) e, то, будучи элементом из J (R),
а имеет двусторонний квазиобратный а'. Умножая равенство
а-\-а' + аа' = 0 на е слева и справа и учитывая, что еа =
= ае = а, получим а-\~ еа'еаеа'е = $. Так как квазиобрат-
ный для а определен однозначно, то a' — еа'е. Мы показали,
что каждый элемент из eJ(R)e имеет квазиобратный в eRe;
кроме того, eJ(R)e является, очевидно, идеалом в eRe. Сле-
довательно, eJ (R)e h= J (eRe). Из двух противоположных
включений следует теперь требуемое равенство: J (eRe) —
= eJ (R) е.

Продолжим изучение взаимосвязей между R и eRe.
Можно ли выявить какие-то особые свойства кольца eRe,
если е удовлетворяет каким-то дополнительным условиям?
Одним из ограничений на е может служить ограничение на
вид правого идеала eR.

В этом направлении доказывается

Теорема 1.3А. Пусть R — кольцо, не имеющее ненулевых
нильпотентных идеалов, и е — ненулевой идемпотент из R.
Тогда eR — минимальный правый идеал eRe том и только
в том случае, когда eRe — тело.

Доказательство. Допустим, что p = eR — минималь-
ный правый идеал в R. Если еае се eRe, еае =# 0, то (0) =/=
eaeR eR, откуда eaeR = eR. Следовательно, существует
элемент х R, такой, что еаех — е - е — е. Тогда (еае) (ехе)=е
и eRe — тело с единицей е * 2).

Пусть, обратно, eRe — тело, тогда мы утверждаем, что
р = е^ — минимальный правый идеал в/?. Действительно,
пусть р0 Ф 0 — правый идеал R, лежащий в р. Тогда рое=И= (0),
так как в противном случае р^ рор = p^eR — (0), что невоз-
можно в кольце без нильпотентных идеалов. Выберем в р0
такой элемент а, чго ае =£= 0. Так как е — левая единица
для р, то ае — еае е eRe и существует элемент х е eRe,

J) Если неприводимых /^-модулей не существует, то / (7?) = R, и
включение J (eRe) £ eJ (R) е = eRe очевидно. — Прим, перев

2) Предполагается известным, что если в некотором кольце R с еди-
ницей каждый элемент а, отличный от 0, имеет правый обратный, то
R — тело. — Прим, перев.
такой, что аех — е. Следовательно, е aR s р0 и p = e/?sp0,
т. е. р — действительно минимальный правый идеал в R.

Следствие. Если R не имеет ненулевых нильпотентных
идеалов и е — идемпотент в R, то eR — минимальный пра-
вый идеал в R тогда и только тогда, когда Re — минималь-
ный левый идеал.

Доказательство. Ясно, что если в предыдущей тео-
реме мы заменим „правое" на „левое", то получим, что Re
является минимальным левым идеалом тогда и только тогда,
когда eRe — тело, и, следовательно, тогда и только тогда,
кргда eR — минимальный правый идеал кольца R.

§ 1.4. Полупростые артиновы кольца

До сих пор мы изучали радикал кольца, а теперь на-
правим внимание на кольца, радикал которых наиболее три-
виален, а именно равен (0). Общее изучение таких колец
мы отложим до следующей главы, ограничиваясь пока слу-
чаем полупростых артиновых колец.

Однако прежде чем приступить к их изучению, мы хо-
тели бы установить, что такие кольца действительно, так
сказать, существуют в природе. Ниже будет доказана чрез-
вычайно важная классическая теорема Машке, которая по-
казывает, что некоторый естественным образом определяемый
класс колец состоит из полупростых артиновых колец.

Пусть Т7—-поле и G — конечная группа порядка o(G).
Под групповой алгеброй F (G) группы G над F понимается
совокупность элементов вида S a^gi, где az е F, gt е G,
причем элементы группы G считаютёя линейно независимыми
над F, сложение элементов из F(G) определяется естествен-
ным образом, а для их умножения используются законы
дистрибутивности и вычисление произведений gigj, совпа-
дающее с их вычислением в G.

Теорема Машке формулируется следующим образом.

Теорема 1.4.1. Пусть G — конечная группа порядка o(G),
F — поле характеристики 0 или конечной характеристики
р^ o(G). Тогда алгебра F (G) полупроста.

Доказательство. Если «gF(G), то определим ото-
бражение Та: F(G)->F(G) равенством хТа = ха для всех
х е F (G). Это так называемое правое регулярное предста-
вление алгебры F(G).

Немедленно проверяется, что Та есть F-линейное преобра-
зование пространства F(G). Более того, отображение
¥: а-+Та является изоморфизмом алгебры F(G) в алгебру
линейных преобразований векторного пространства F (G)
над F. Преобразование Та представим матрицей, выбирая
элементы группы G в качестве базиса пространства F(G)
над F. Заметим, что если g — элемент группы G, отличный
от 1, и tr Tg — след матрицы Tg, то 1гГ<, = 0. Кроме того,
tr7’1 = o(G).

Пусть J — радикал алгебры F (G). Так как F (G) конечно-
мерна над F, то она артинова (как алгебра) и ее радикал /
нильпотентен по теореме 1.3.1. Предположим, что 0=#х =
—	+ ••• + angn е F Так как J — идеал b.F(G), то, умно-

жая х на подходящий элемент g-\ можем предполагать без
ограничения общности, что * = а1+<х2§2+ ••• + angn, где
а[ =# 0.

Так как хе/, то х нильпотентен, следовательно, Тх—
нильпотентное линейное преобразование. Хорошо известно,
что след нильпотентного преобразования должен быть равен 0.
Вычисляя tr Txt получим

tr = tr + ... +antrTgn = altrTl=alo(G).

Но a! #= 0 и в условиях теоремы о (G) =# 0 в F. Это противо-
речит равенству tr Тх — 0, следовательно, J ~(0).

Заметим, что алгебра F (G) определенно не будет полупро-
стой, если F имеет характеристику р, делящую o(G). В самом
деле, рассмотрим элемент а = 2 g F(G). Тогда а ф 0 и ха=
g^G

^=ах~а для любого хеС. Следовательно, а лежит в центре
алгебры F(G). Кроме того, a2 = a^g~o(G)a — 0f так как
p|o(G). Идеал F(G)a удовлетворяет условию (77(G)a)2 =
^=F(G)aF(G)a = F(G)2a2 — (0). Поскольку F (G) содержит
ненулевой нильпотентный идеал, то она не может быть полу-
простой.

В частном случае, когда F — поле комплексных чисел
или некоторое его подполе, можно привести другие сообра-
жения, которые могут заинтересовать читателя. Наметим
общую схему рассуждений, оставляя читателю некоторые
детали доказательств.

Пусть F — поле комплексных чисел и Г — F (G), где
G — конечная группа. Если a eF, то через а будем обозна-
чать комплексно-сопряженное число. Определим отображе-
ние алгебры Г в себя, переводящее элемент х — 2 azg^
в элемент х* — 2 Легко проверяются следующие свой-
ства этого отображения:

(1)	х** = х,

(2)	(ах + $у)* = ах* + $у* (а, ₽ ge F)9

(3)	(хуУ = у*х*.
Если % = «А то хх* = 21 «г |2 + S поэтому ра-
^=н=1

венство хх* = 0 влечет за собой S | аг \2 = 0; тогда-каждое
at = 0 и, следовательно, х = 0. Пусть и е J, тогда ии — v^J.
Кроме того,	Так как v е /, то элемент v должен

быть нильпотентным. Пусть vm = 0. Если k — такое целое
число, что 0 < k < m^.c2k, то из равенств 0 = v2k = (vk) (ufe)*
следует vk = 0, т. е. показатель т в равенстве vm = 0 может
быть уменьшен. Отсюда ^ = 0, т. е. ии —Q. Но тогда ^=0,
следовательно, J = (0), и алгебра F(G) полупроста.

Только что изложенная схема рассуждений может быть
использована и в случае, когда G — произвольная группа,
не обязательно конечная. Если F — поле комплексных чисел,
то удается доказать, что алгебра F(G) полупроста. Для
этого F (G) реализуют как кольцо операторов на гильберто-
вом пространстве. Впервые это заметил Риккарт. Амицур и,
независимо, автор доказали полупростоту групповой ал-
гебры F (G) для любой группы G над несчетным полем F
характеристики 0. Если поставить вопрос о полупростоте
алгебры F(G) для любой группы G и любого поля F харак-
теристики 0, то можно показать, что для положительного
ответа йа вопрос было бы достаточно получить такой ответ
в частном случае, когда F — поле рациональных чисел.

По-видимому, представился удобный момент, чтобы от-
метить некоторые другие открытые вопросы о строении ал-
гебры F(G) для произвольной группы G. Начнем с вопроса,
который только что был затронут.

(1)	Будет ли алгебра F (G) полупростой для любого
поля F характеристики 0?

(2)	Будет ли алгебра F(G) полупростой для любого
поля F, если G не имеет элементов конечного порядка?

(3)	Будет ли F (G) алгеброй без делителей нуля, если G
не имеет элементов конечного порядка?

(4)	Пусть F(G) — алгебраическая алгебра, т. е. каждый
элемент из F (G) является корнем некоторого поли-
нома над F. Будет ли тогда группа G локально ко-
нечной? Группа G называется локально конечной, если
любое ее конечное подмножество порождает в G ко-
нечную подгруппу. Положительный ответ получен
нами в случае, когда F — поле характеристики 0.
Для полей конечной характеристики р 0 проблема
остается открытой.

(5)	Будет ли G локально конечной, если каждый элемент
из F(G) имеет вид & + /г, где aeF, а п — нильпо-
тентный элемент? Это частный случай четвертого во-
проса. Легко показать, что F должно иметь характе-
ристику р =# 0 и что каждый элемент из G должен
иметь конечный порядок, являющийся степенью р.
В недавнее время ряд работ о групповых алгебрах для
произвольных групп опубликовали Амицур, Ауслендер, Ма-
клафлин, Пассман и Вильамайер.

Перейдем к изучению полупростых артиновых колец. Из
леммы 1.3.1 сразу следует, что минимальные правые идеалы
в таких кольцах порождаются идемпотентами. Однако можно
и не требовать, чтобы правый идеал был минимальным.

Теорема 1.4.2. Пусть R — полупростое артиново кольцо
и р ¥= (0) — правый идеал в R. Тогда p — eR для некоторого
идемпотента е из R.

Доказательство. Так как кольцо R полупросто, то р
не может быть нильпотентным. По теореме 1.3.2 р содержит
ненулевой идемпотент. Каждому идемпотенту е е р поставим
в соответствие множество А (е) — {х е р | ех — 0}. Тогда А (е) —
правый идеал в R. Множество правых идеалов А(е) непусто
и потому имеет минимальный элемент А(е0).

Если А(е0) = (0), то из равенства е0 (х — еох) = 0 для
любого хер следует, что х — еох — 0, х — е^х. Но тогда,
очевидно, р = е0Р — e§R ™ Р (последнее включение объясняется
тем, что еоер), откуда р = е07?.

Предположим, что А(ео)¥=(О). Мы хотим доказать, что
это предположение приводит к противоречию. Так как А (е0)—
ненулевой правый идеал кольца R, то А(е0) содержит идем-
потент eh По определению ej е р и еое1=О. Рассмотрим
элемент е — е0 +	— e^Q е р. Прямое вычисление легко

показывает, что е — идемпотент. Из соотношения ее1=е1=#0
следует, в частности, что е =# 0. Пусть теперь ех = 0 для
некоторого хер, тогда еоех = О. Но еое = ео, следовательно,
еох = 0, х е А (е0), А (е) е А (е0). Так как ej е Д (е0) и е^А (е),
то А(е) строго содержится в А(е0). Но это противоречит
минимальности А(е0). Таким образом, случай А (е0) =^= (0) не-
возможен, и теорема доказана.

Теорема имеет два весьма интересных следствия, каждое
из которых само по праву может считаться теоремой.

Следствие 1. Если R — полупростое артиново кольцо и
А—идеал в R, то A~eR~ Re, где е — идемпотент из центра R.

Доказательство. Так как А— правый идеал в R,
то A = eR> где е — некоторый идемпотент. Мы хотим дока-
зать, что х = хе для всех х е А. Рассмотрим множество
В — {х — хе\х е A} s А, В — левый идеал кольца R.

2 Зак 215
Очевидно, Be ~ (0), еА = Л, следовательно, В2^ВА = ВеА = (0)
и, так как R не содержит нильпотентных односторонних
идеалов, В = (0). Таким образом, е — двусторонняя единица
в А, А = Ае s Re е А, А = Re.

Если x^R, то ех е А, и так как е — правая единица
в А, то ех — ехе. Аналогично, хе = ехе для любого х R.
Следовательно, ех = хе и е принадлежит центру кольца R.

Следствие 2. Полупростое артиново кольцо имеет единицу.

Доказательство. Этот результат непосредственно
вытекает из следствия 1, если заметить, что кольцо R является
идеалом самого себя, и положить A = R.

Заметим, что существование единицы в полупростом арти-
новом кольце априори вовсе не очевидно. Рассмотрим в связи
с этим одну родственную проблему.

Кольцо R называется кольцом без кручения, если в его
аддитивной группе нет элементов конечного порядка !). Мы
намереваемся доказать, что любое артиново кольцо без кру-
чения содержит правую единицу независимо от того, полу»
просто это кольцо или нет. Сначала установим некоторые
вспомогательные результаты.

Лемма 1.4.1. Пусть R — артиново справа кольцо без кру-
чения. Тоеда справедливы следующие утверждениях

(1)	Если xR — ifl) для некоторого х е R, то х = 0.

(2)	Если m — целое число, отличное от 0, то mR = R (и,
следовательно, R алгебра над полем рациональных чисел).

(3)	Если J — радикал кольца R, то R/Jk — кольцо без
кручения для любого k J>1.

Доказательство. (1) Если х7? = (0), х У= 0, то 1п —
^{k2rtx\k целое} — правый идеал в R. Так как R без кру»
чения, то цепь правых идеалов

10 zd Ц /2	...

строго убывает, что противоречит артиновости кольца R.

(2)	Если m — целое число, отличное от 0, то рассмотрим
убывающую цепь идеалов

э mR з m2R э ... .

На каком-то шаге эта цепь должна стабилизироваться. Пусть,
например, mkR^mk+xR. Используя отсутствие кручения в R,
получим отсюда, что R — mR. В частности, для любого дан-
ного элемента х е R существует элемент у, такой, что х — ту.

Такие кольца обычно называют кольцами характеристики 0. —
Прим, перев.
Элемент у определен однозначно и может быть записан
в виде — х. Легко проверить, что при этом на 7? возникает
структура алгебры над полем рациональных чисел Q.

(3)	Так как R — алгебра над Q, то ее радикал, как было
йоказано ранее, также является алгеброй над Q. Тем же
свойством обладают и все степени радикала. Отсюда следует,
что R/Jk —- также алгебра над Q и поэтому не имеет кручения.

Некоторый самостоятельный интерес представляет сле-
дующая

Лемма 1.4.2. Пусть R —кольцо, в котором равенство
xR = (0) влечет за собой x = Q, и пусть А, В — такие идеалы
кольца R, что

(1)	R/А имеет правую единицу,

(2)	R/В имеет левую единицу,

(3)	ЛВ = (0).

Тогда R имеет правую единицу.

Доказательство. Пусть при канонических гомомор-
физмах элемент е <= R отображается в правую единицу из
R/А, а элемент f е R — в левую единицу из R/В. Тогда для
любых х, y^R справедливы включения х — хе^А, y—fy^B.
Отсюда следует, что (x—xe)(y—fy)<^AB = (0), или ((x—xe)f —
— (х — хе)) R = (0). Но тогда в силу условия леммы для
любого х <= R справедливо равенство (х — хе) f — (х — хе) — 0,
или х = х(е + f — ef). Элемент e-f-f — ef является искомой
правой единицей.

Теперь у нас есть вся информация, которая нужна для
доказательства упомянутой выше теоремы.

Теорема 1.4.3. Артиново кольцо без кручения имеет пра-
вую единицу.

Доказательство. Пусть J — радикал кольца R', уже
известно, что I должен быть нильпотентным. Индексом ниль-
потентности идеала J называется такое целое число k^\,
что Jk = (0), Л-1 #= (0). Пусть k — индекс нильпотентности
идеала /; воспользуемся индукцией по k.

Если k — l, то / = (0); тогда кольцо R полупросто и,
согласно следствию 2 теоремы 1.4.2, имеет единицу.

Предположим, что k > 1, и положим = Ради-
кал кольца R равен JIJk~x и имеет индекс нильпотентно-
сти k — 1. По предположению индукции R имеет правую
единицу. С другой стороны, факторкольцо R/J полупросто
и артиново, поэтому R/J имеет левую единицу. Так как
= о, то мы можем применить предыдущую лемму,
полагая А = Л~1, B = J. Тем самым существование правой
единицы в R доказано.

Вернемся к полупростым артиновым кольцам. Пусть
R — такое кольцо и А =£ (0) — идеал в R. По следствию 1
теоремы 1.4.2 A — eR = Re, где е — центральный идемпотент
в R. По следствию 2 той же теоремы R имеет единицу 1.

Если дан элемент x^R, то х = хе + х (1 — е), следова-
тельно, 7? = Re + R (1 — е). Это так называемое пирсовское
разложение кольца R относительно е. Так как 1 — е лежит
в центре кольца R, то 7? (1 — е) — идеал в 7?. Кроме того,
Re П R (1 ~ е) — (0), так как, взяв любой элемент х из рас-
сматриваемого пересечения, получим, с одной стороны, хе = х,
а, с другой стороны, хе = 0. Итак, R разлагается в прямую
сумму идеалов Re и 7?(1 — е)\ в частности,

А = 7?е~Ш(1-е).

Будучи гомоморфным образом артинова кольца, кольцо А
само артиново. С другой стороны, по лемме 1.2.3 А —полу-
простое кольцо. Нами доказана

Лемма 1.4.3. Любой идеал полупростого артинова кольца
является полупростым артиновым кольцом.

Определение. Кольцо R называется простым, если 7?2=^= (0)
и R не имеет идеалов, отличных от (0) и R.

Условие R2 Ф (0) в последнем определении наклады-
вается для того, чтобы избежать тривиальной возможности,
когда аддитивная группа R —- циклическая простого порядка р,
а произведение любых двух элементов из R равно 0. Если R
имеет единицу, то очевидным образом доказывается, что из
простоты следует полупростота J). Известен пример простого
кольца, совпадающего со своим радикалом. Этот пример
указал Сансяда. До результата Сансяды вопрос о суще-
ствовании простых радикальных колец оставался открытым 2).
Предоставим читателю доказать, что простое артиново кольцо
должно быть полупростым.

Приведем изящный пример простого кольца, которое не
имеет делителей нуля и в то же время не является телом.
Пусть F —- поле характеристики 0, a R —• кольцо полиномов
вида	Равенство и сложение в R опреде-

!) Так как / — идеал в R, то простое кольцо либо полупросто, либо
радикально. Но кольцо с единицей не может быть радикальным, так как
элемент —1 не имеет квазиобратного. — Прим, перев.

2) В настоящее время остается открытым вопрос о существовании
простого ниль-кольца. — Прим, перев.
ляются обычным образом, скаляры (элементы поля F) лежат
в мультипликативном центре кольца R, и, кроме того, ум-
ножение подчиняется правилу коммутации ху ух — 1.
Тогда R — простая ассоциативная алгебра без делителей
нуля, не являющаяся телом. Проверку указанных свойств
алгебры R предоставляем читателю.

Рассуждения, использованные в доказательстве леммы
1.4.3, мы используем и дальше. Пусть А #= (0) — минималь-
ный идеал полупростого артинова кольца /?. Мы утверждаем,
что А—-простое кольцо. Ясно, что А* 2 =А (0). Если В=^(0)~-
идеал кольца А, то АВА — идеал кольца R, лежащий в В.
Так как А — кольцо с единицей, то АВА =А= (0). Из мини-
мальности идеала А и включений А зй з АВА следует,
что А = В. Таким образом, А — простое артиново кольцо.

В процессе доказательства леммы 1.4.3 было показано,
что R — АА- Tq, где Т0““ВДеал кольца R, и, согласно той
же лемме, То — полупростое артиново кольцо. Выберем в То
минимальный идеал А{ кольца R. Мы уже знаем, что А{ —-
простое артиново кольцо и что То расщепляется в прямую
сумму Т0=А1 4- Т{. Продолжая этот процесс, получим идеалы
А = А0, А1? ..., А^, ... кольца R, которые являются про-
стыми артиновыми кольцами и удовлетворяют условию, что
сумма Ао + Ai + ... + Ak является прямой для любого &>0.

Мы утверждаем, что для некоторого k

R — Ао 4- ... 4- Ak.

Действительно, в противном случае последовательность
идеалов

А +	" А[ 4- А24- ..., ..., Rm —

—	4- Am+1 4- ...

в кольце R была бы бесконечной строго убывающей, что
противоречит условию обрыва убывающих цепей !). Нами
доказана известная теорема, принадлежащая Веддербарну:

Теорема 1.4.4. Полупростое артиново кольцо есть прямая
сумма конечного числа простых артиновых колец 2).

Благодаря этой теореме структура полупростых артино-
вых колец была бы вполне выясненной, если бы мы могли
охарактеризовать простые артиновы кольца. Это будет сде-
лано в следующей главе посредством другой известной тео-
ремы Веддербарна.

!) Можно заметить, что /?1 = Г0, 7?2 —и т. д. — Прим, перев.

2) Оригинальная теорема Веддербарна относилась к конечномерным
алгебрам над полем. Приведенная здесь более общая формулировка тео-
ремы Веддербарна принадлежит Артину. — Прим, перев.
В связи с теоремой 1.4.4 естественно возникает вопрос
о единственности указанного в ней разложения. На этот
вопрос отвечает следующая

Лемма 1.4.4. Если R —- полупростое артиново кольцо и
R = Д-Р ... + Ak, где Ai — идеалы, являющиеся простыми
кольцами, то At пробегает множество всех минимальных
идеалов кольца R.

Доказательство. Пусть В#=(0) —- минимальный идеал
кольца R. Так как R имеет единицу, то RB =/= (0). Но
RB = A{BA- ... A-AkB, следовательно, для некоторого i
будем иметь AtB #= (0). Далее, AtB — идеал кольца R, ле-
жащий в Ар, в силу минимальности А/ имеет место равен-
ство AiB = At. По тем же соображениям А/В = В. Следова-
тельно, В = Д. Мы показали, что В совпадает с одним из
идеалов At, тем самым лемма доказана *).

Как показывает теорема 1.3.1 и ее следствие, при нали-
чии условия обрыва убывающих цепей правых идеалов
правые ниль-идеалы оказываются на самом деле нильпо-
тентными. Мы завершим эту главу доказательством анало-
гичного результата, что при наличии условия обрыва воз-
растающих цепей правых идеалов правые ниль-идеалы также
обязаны быть нильпотентными. Этот результат является
частным случаем одной теоремы Левицкого. Последующие
работы показали, что справедливы гораздо более общие
утверждения. Одно из обобщений результата Левицкого
получено, например, в статье Херстейна и Смолла.

Определение. Кольцо называется н'ётеровым справа, если
любое непустое множество его правых идеалов имеет мак-
симальный элемент (по включению).

Полезно отметить, что нётеровы справа кольца можно
было бы определить эквивалентным образом как такие кольца,
в которых выполнено условие обрыва возрастающих цепей
правых идеалов. Заметим также, что аналогичное опреде-

J) Лемма остается справедливой, если не предполагать ни полупро-
стоты кольца R, ни артиновости, ни даже ассоциативности. Действительно,
доказательство леммы может быть проведено следующим образом. Если
В =/= (0) — минимальный идеал кольца R, то рассмотрим произвольный
элемент хеВ, отличный от 0. Представим х в виде х==х1+ ... + xki
где xt е Лр тогда хотя бы один из элементов х. также отличен от 0.
Покажем, что В = Лг-. Если В П Л/ =/= (0), то, так как В П Л^ = Л/ — идеал
кольца 7?, будем иметь равенства В == В П Ai = Л/. Пусть В П Л/ = (0);
приведем это предположение к противоречию. Так как AtB В{]А[,
BAt В П Лг-, то AtB = В Ai == (0). В частности, хЛ/ = Лг-х = (0). Но тогда

= Л^х. = (0), что противоречит простоте кольца Л/. — Прим, перев.
ление можно дать для колец, нётеровых слева. Существуют
кольца, которые нётеровы справа, но не нётеровы слева.
Мы приведем здесь два примера таких колец.

1.	Пусть Q — поле рациональных чисел и Q(x) —поле
рациональных функций над Q от переменной х. Определим
мономорфизм a: Q (х) -> Q (х), полагая а (г (х)) = г (х2). Пусть R
состоит из правых полиномов от у с коэффициентами в Q(x),
т. е. из выражений вида	где rf(x)eQ(x). Равен-

ство и сложение в R определяются обычным образом, а ум-
ножение подчинено правилу г (х) у = уа (г (х)). Легко пока-
зать, что каждый правый идеал в является главным, так
что кольцо R нётерово справа. В то же время R не является
нётеровым слева.

2.	Пусть А — коммутативная нётерова область целостно-
сти, не являющаяся полем (например, кольцо целых чисел),
и пусть F — поле частных для А. Рассмотрим кольцо R.
образованное матрицами вида

а а

О ₽

где ае Л, a, peF, с естественными операциями сложения
и умножения. Легко показать, что кольцо R нётерово справа,
но не нётерово слева *). Это простое семейство примеров
указано Смоллом.

Херстейн использовал последний пример для отрицатель-
ного решения одной проблемы теории колец. Существовала
гипотеза, что пересечение всех степеней радикала в нётеро-
вом справа кольце равно (0). Пусть А —кольцо всех рацио-
нальных чисел, имеющих нечетные знаменатели. Предостав-
ляем читателю проверить, что J (А) совпадает с множеством
всех рациональных чисел, числители которых четны, а зна-
менатели нечетны. Полем частных для А и для J (А) будет
поле рациональных чисел Q. Пусть R — кольцо, построенное
по схеме примера 2, т. е. j?—-кольцо матриц вида

а а

0 р

где а е А, а, р е Q. Предоставляем читателю доказать, что

!) Следует рассмотреть левые идеалы

вида

где М — под-

модуль Л-модуля Л и использовать тот факт, что F не является конечно
порожденным Л-модулем. — Прим, перев.
и, следовательно,

0 Q\

О О/



для любого Таким образом,

т«Но »)•

что опровергает упомянутую выше гипотезу. Было бы инте-
ресно доказать ее или опровергнуть для колец, которые
одновременно нётеровы справа и нётеровы слева.

Докажем теперь теорему Левицкого. Приводимое ниже
доказательство принадлежит Утуми.

Теорема 1.4.5. Пусть А — односторонний ниль-идеал
в нётеровом справа кольце R. Тогда А нильпотентен.

Доказательство. Так как кольцо R нётерово справа,
то R содержит максимальный нильпотентный идеал N. Мы
хотим доказать, что A s N. Пусть А N. Переходя к фак-
торкольцу R = R/N, получим такую ситуацию: R нётерово
справа, не имеет ненулевых нильпотентных идеалов и содер-
жит односторонний ниль-идеал А^(0). Остается доказать,
что такая ситуация на самом деле невозможна. Другими
словами, мы можем предполагать без ограничения общности,
что кольцо R не имеет ненулевых нильпотентных идеалов,
но содержит односторонний ниль-идеал А (0).

Если « е Л, а 0, то U = Ra — левый ниль-идеал в R *).
Действительно, если А — левый идеал, то U А, и так как
А —левый ниль-идеал, то тем же свойством обладает U.
Если А —правый идеал, то для любого элемента и = ха^ U
будем иметь и1 — х (ах)п~' а. Так как ах е А, то для доста-
точно большого п отсюда следует ип = 0.

Для любого и U положим г (и) — {х е R | их = 0}; г (и) —
ненулевой правый идеал в R. Так как кольцо R нётерово
справа, то в U существует элемент uQ 0, для которого
правый идеал r(uQ) будет максимальным среди идеалов
такого вида. Ясно, что для любого x^R имеет место вклю-
чение г (xuQ) э r(uQ). Следовательно, если хи0 #= 0, то, учи-
тывая, что xuq^U, получим в силу максимальности r(uQ)9
что r(xu0) = r(uQ). Пусть у <= R, уи0=т^0. Тогда существует
такое £>1, что (yu0)k = 0, (yu^k~~x 0. Так как элемент

9 Следует заметить также, что U ф (0). Действительно, если U —
~ Ра — (0), то идеал /, порожденный элементом а, нильпотентен; более
точно, /2 = (0). — Прим, перев.
(yu^k 1 может быть записан в виде xuQ, то r((yu$)k —
Но уи$ лежит в r((^0)fe~1), следовательно, ущ^г {и^, т. е.
^о(#Ц}) = О. Если yuQ — 0, то и подавно щ(уи^)==^, так что
равенство ио^о = О справедливо для всех y^R. Отсюда
следует, что u$R — нильпотентный правый идеал кольца R.
Поскольку R — кольцо без нильпотентных идеалов, то
uQR = (0). Но тогда множество {t^R \tR=(O)} является нену-
левым нильпотентным идеалом (содержащим uQ). Полученным
противоречием завершается доказательство теоремы.

ЛИТЕРАТУРА 9

1.	Ам ицу р (Amitsur S. A.), A general theory of radicals, I, Amer.
J. Math., 74 (1952), 774—776.

2.	—-—, A general theory of radicals, II, Amer. J. Math., 76 (1954),
100—125.

3,	—----, A general theory of radicals, III, Amer. J. Math., 76 (1954),

126—136.

4.	---— , Radicals of polynomial rings, Canad. J. Math., 8 (1956), 353—

361.

5.	—----, Algebras over infinite fields, Proc. Amer. Math Soc., 7 (1956),

35—48.

6.	-----s Semi-simplicity of group algebras, Michigan Math. J., 6 (1959),

251__253

7.	Артин, Несбитт, Тролл (Artin E., Nesbitt C., Thrall R.),
Rings with minimum conditions, University of Michgan, 1944.

8.	Ауслендер (Auslander M.), On regular group rings, Proc. Amer.
Math. Soc., 8 (1957), 658—664.

9.	В и л ь а м а й е р (V i 11 a m а у о г О.), On the semi-simplicity of group
algebras, Proc. Amer. Math. Soc., 9 (1958), 621—627.

10.	Джекобсон (Jacobson N.), Structure of rings, Amer. Math. Soc.
Colloq. Publ., 37, 1964. (Русский перевод первого издания 1956 г.:
Джекобсон Н., Строение колец, ИЛ, М., 1961.)

11.	----, Radical and semi-simplicity for arbitrary rings, Amer. J. Math.,

67 (1945), 300—320.

12.	Курош А. Г., Радикалы колец и алгебр, Мат. сб., 33 (75) (1953),
13—23.

13.	Левицкий (Levitzki J.), On multiplicative systems, Compositio
Math., 8 (1950), 76—80.

14.	Маклафлин (McLaughlin J.), A note on regular group rings,
Michigan Math. J., 5 (1958), 127—128.

15.	Па сема н (Passman P. S.), Nil ideals in group rings, Michigan
Math. J., 9 (1962), 375—384.

16.	С а н с я д a (S a s i a d a E.), Solution of the problem on the existence
of a simple radical ring, Bull. Acad, polon. sci., Ser. math., astronom.,
phys., 9, № 4 (1961), 257.

17*	. Санс я да, Кон (Sasiada Е., Cohn Р. М.), An example of
a simple radical rings, /. Algebra, 5, № 3 (1967), 373—377.

18.	Смолл (Small L.), An example in Noetherian rings, Proc. Nat.
Acad. Sci. USA, 54 (1965), 1035.

9 Звездочкой отмечены работы, добавленные при переводе.
19.	Уту ми (Utumi Y.), A theorem of Levitzki, Amer. Math Monthly,
70 (1963), 286.

20.	X e p с т e й н (H e r s t e i n I. N.), Theory of rings, University of Chi-
cago, Math Notes, 1961.

21.		, A theorem of Levitzki. Proc. Amer. Math. Soc., 13 (1962), 213—

214.

22.		, A counter-example in Noetherian rings, Proc. Nat. Acad. Sci.

USA, 54 (1965), 1036—1037

23.	Херстейн, Смолл (Herstein I. N. and Small L.), Nil rings
satisfying certain chain conditions, Canad. J. Math., 16 (1964), 771—776.
Глава 2

ПОЛУПРОСТЫЕ КОЛЬЦА

Радикал был определен для того, чтобы отделить от
кольца некоторую сложно устроенную часть, такую, что
кольцо, получаемое в результате (факторкольцо по ради-
калу), допускало бы дальнейшее тонкое расчленение. Образ-
цом такого расчленения служат прекрасные теоремы Веддер-
барна, относящиеся к случаю артиновых колец.

Успехи в реализации этой схемы допускают в какой-то
степени объективную оценку по получаемым в конечном
счете результатам. Некоторое время мы посвятим изучению
полупростых колец. После этого в нашем распоряжении
окажутся средства для решения ряда теоретико-кольцевых
вопросов. В постановке этих вопросов производные понятия
радикала, полупростоты и т. п. не играют никакой роли,
тем не менее решение их существенно опирается на исполь-
зование этих понятий.

Полученные теоремы мы будем применять по возможности
к классическому случаю артиновых колец, получая в каче-
стве следствия многие хорошо известные результаты.

§ 2.1. Теорема плотности

Начнем с одного из основных понятий в структурной
теории колец. Специального вида кольца, которые мы сей-
час введем, играют в общем случае ту же роль, что и про-
стые кольца в случае артиновых колец.

Определение. Кольцо R называется примитивным, если
оно обладает точным неприводимым модулем.

В действительности следовало бы говорить о кольцах,
примитивных справа, так как рассматриваются только пра-
вые модули. Аналогично можно было бы определить кольца,
примитивные слева. Эти два понятия различны, как пока-
зал недавно Бергман, построивший пример кольца, прими-
тивного справа, но не примитивного слева.

Если М — неприводимый /^-модуль и А (М) — {х е 7? | Мх=
= (0)}, то, согласно лемме 1.1.1, кольцо R/A(M) примитивно.
В частности, если р — максимальный регулярный правый
идеал в R и М = 7?/р, то А (М) — (р .* 7?) и по предыдущему
замечанию 7?/(р : 7?) — примитивное кольцо. Идеал (р : 7?)
является наибольшим двусторонним идеалом кольца Я, ле-
жащим в р; если R содержит такой максимальный регуляр-
ный правый идеал р, что в р нет отличных от (0) двусторон-
них идеалов кольца 7?, то кольцо 7? примитивно, и обратно.
Примитивное кольцо R должно быть, в частности, полупро-
стым. Действительно, J (R) = Г) (р : R), где р пробегает мно-
жество всех максимальных регулярных правых идеалов
кольца R. Если для одного из таких р идеал (р : R) равен (0),
то тогда и J (7?) = (0), т. е. кольцо R полупросто. Если при-
митивное кольцо R коммутативно, то оно должно быть
полем, так как тогда оно одновременно полупросто и не
содержит нетривиальных идеалов *)•

Объединим предшествующие замечания в виде следую-
щей теоремы.

Теорема 2.1.1. Кольцо R примитивно тогда и только
тогда, когда в R существует максимальный регулярный пра-
вый идеал р, такой, что (р : 7?) = (0). В этом случае кольцо R
полупросто] если, кроме того, кольцо R коммутативно, то
оно должно быть полем.

Мы уже отмечали выше, что существуют примеры про-
стых колец, совпадающих со своим радикалом. Если же
простое кольцо полупросто, то тривиально доказывается, что
оно примитивно. Таким образом, примитивность является
обобщением простоты, за исключением некоторых патологи-
ческих случаев.

Пусть R — примитивное кольцо и М — точный неприво-
димый модуль над R. Если А = С (М) —- централизатор
кольца R на 7И, то по лемме Шура (теорема 1.1.1) А —тело.
Мы можем рассматривать М как правое векторное про-
странство над А, интерпретируя ma (т М, а е А) как ре-
зультат действия на m элемента аеЕ(7И).

Определение. Говорят, что кольцо R действует на М плотно
(или что кольцо R плотно на М), если для любого нату-
рального числа п, любых элементов t^, ..., vn из М, линейно
независимых над А, и любых wif ..., wn^M существует
такой элемент r^R, что vtr — Wi (7=1, ..., ri).

Заметим, что в случае, когда пространство М конечно-
мерно над A, a R действует на М точно и плотно одновре-

х) Если р — такой максимальный регулярный правый идеал в 7?, что
(р : 7?) = (0), то в силу коммутативности р — двусторонний идеал в R и
(р : 7?) == р. Отсюда р = (0), т. е. идеал (0) максимален. — Прим, перев.
менно, кольцо R должно быть изоморфно кольцу Ношд (7И, Л1),
или кольцу Кп всех матриц порядка п над телом Д', где
п = сНшд7И, а Д'— тело, антиизоморфное телу Д. Таким
образом, понятие плотного кольца линейных преобразований
является обобщением понятия кольца всех линейных преоб-
разований. Можно несколько развить эти соображения.
Если множество М снабжено дискретной топологией,
а Ноп1д(Л1, М) — компактно-открытой топологией, то 7? дей-
ствует на М плотно тогда и только тогда, когда R — плот-
ное подмножество в Ношд (7И, 7И) в смысле этой топо-
логии.

Основой всей структурной теории является так назы-
ваемая теорема плотности, принадлежащая Джекобсону и
Шевалле.

Теорема 2.1.2 (теорема плотности). Пусть R —примитив-
ное кольцо, М — точный неприводимый R-модуль и Д ~С (Л4).
Тогда R —плотное кольцо линейных преобразований про-
странства М над Д.

Доказательство. Заметим сначала, что для дока-
зательства теоремы достаточно показать, что если V — ко-
нечномерное подпространство пространства М над Д и
т —элемент из М, не принадлежащий V, то существует
такой элемент r^R, что Уг = (0) и mr Ф 0.

Действительно, пусть всегда можно отыскать такой эле-
мент г. Тогда mrR =^= (0) и в силу неприводимости М из
этого вытекает, что mrR = М. Следовательно, мы можем
найти такой элемент s е R, что mrs — произвольный наперед
заданный элемент из М, в то время как 7л$ = (0). Если
даны элементы vt, ..., vn^M, линейно независимые над Д,
и произвольные элементы wh ..., wn^M, то через Vt
обозначим линейное подпространство в М, порожденное
всеми Vf при j /. Так как vt^.Vi, то существует такой
элемент е R, что vJi = wi, V= (0). Полагая / = ^4- ...
... будем иметь vtt = wi для z = l, п, устана-
вливая тем самым плотность кольца R на М.

Докажем теперь, что если V — конечномерное подпро-
странство пространства М над ДитеЛ!, mfiV, то суще-
ствует элемент r^R, такой, что Уг = (0) и тг 0. Для
доказательства воспользуемся индукцией по размерности И
над Д.

Утверждение тривиально, если dimAK = 0, И = (0). Пусть
1/ = 1/0 + ^Д, где dimy0 = dim (У) — 1 и w^V0. По предпо-
ложению индукции если A (Vo) — {х R | Vox = (0)}, то для
любого т ф Ио существует такой элемент г е А (Ио)> что
тг 0. Другими словами, если тЛ(У0) —(0), то
Множество Л(1/о) является правым идеалом в и так
как w 0, то wA (Vo) у= (0). Так как wА (Ко) — подмодуль
модуля М, то wA(VQ) = М. Допустим, что существует эле-
мент т<=М, тфУ, такой, что из равенства Иг = (0) сле-
дует тг = 0. Мы хотим привести это предположение к про-
тиворечию. Определим отображение т:2И->Л1, полагая
хх = та для любого х е М, если х — wa, где а е Л (Уо).
Проверим, что т определено корректно. Если х —0 = zw,
где аеЛ(Уо), то 7я = (0), следовательно, по условию та = 0.
Отсюда хх = та — 0, это и означает, что т определено кор-
ректно.

Ясно, что теЕ(ТИ). Далее, если x — wa, где а^А(у^,
то для любого г е R имеем xr = (wa) r==w (аг), где аг ее А (Fo).
Следовательно, (хг) х — т (аг) — (та) г=Ахх) г. Отсюда х е А=
— С(Л4). Но тогда для любого элемента a^A(V^ справед-
ливы соотношения ma — (wa)x = (wx)a, (tn — wx) а = 0. По
предположению индукции последнее соотношение влечет за
собой, что т — же70, т. е.

т ge Уq №х £= Ео НН эд/А == У •

Мы пришли к противоречию с предположением, что т^У.
Полученным противоречием доказательство теоремы завер-
шено.

После того как установлен этот результат, становится
ясным путь к доказательству целого ряда других теорем.
Но сначала заметим, что справедливо и обращение тео-
ремы 2.1.2. Можно даже утверждать, что если У— вектор-
ное пространство над телом D, a R — кольцо линейных пре-
образований пространства У, действующее на V транзитивно
(т. е. для любого элемента v 0 из V и любого w ge V суще-
ствует такой элемент г е R, что vr — w), то кольцо R при-
митивно. В самом деле, так как R — кольцо линейных пре-
образований пространства V, то У —точный R-модуль. Из
транзитивности действия R на V следует, что R-модуль V
неприводим. Таким образом, У —точный неприводимый
R-модуль, и кольцо R по определению примитивно. Центра-
лизатор кольца R на У может и не совпадать с D. Разу-
меется, D лежит в централизаторе кольца R, но включение
может быть действительно строгим. Напомним, что это явле-
ние нам уже встречалось при рассмотрении примеров, пред-
шествующих лемме 1.1.3.

Предположим, однако, что R — дважды транзитивное
кольцо линейных преобразований векторного пространства V
над телом D. Под этим мы подразумеваем, что для любых
v2^V, линейно независимых над D, и любых wlf w2^V
существует такой элемент reR, что vp = wi9 i — 1, 2. Тогда,
как мы видели выше, R — примитивное кольцо с К в каче-
стве точного неприводимого /^-модуля. Что будет цетрализа-
тором А кольца R на V? Как и прежде, DsA; по лемме
Шура А —тело.

Покажем, что А = £>. Предположим противное: пусть
tgA, тфд и v =^= 0 — элемент из V. Если v и vx линейно
зависимы над Z), то г>т = va для некоторого ае/). Отсюда
и(т —а) = 0, т — а = 0, т = а^Р, что противоречит вы-
бору т. Следовательно, с и vx линейно независимы над D.
Тогда, так как кольцо R дважды транзитивно, существует
такой элемент г R, что w = 0, (ут)г#=0. Но теД, сле-
довательно, (vx) г — (vr)x = 0. Полученное противоречие пока-
зывает, что A — D. Согласно теореме плотности, заключаем
далее, что кольцо R n-кратно транзитивно на V для лю-
бого п, для которого в V найдется п линейно независимых
над D элементов. Подытожим эти замечания:

Теорема 2.1.3. Если R — дважды транзитивное кольцо
линейных преобразований векторного пространства V над
телом D, то кольцо R плотно наУ и централизатор кольца R
на V совпадает с D.

Теорема плотности позволяет нам сделать ряд заключе-
ний о примитивных кольцах и установить связь примитив-
ных колец с матричными кольцами.

Теорема 2.1.4. Пусть R —- примитивное кольцо. Тогда для
некоторого тела А' либо кольцо R изоморфно кольцу
(кольцу 'всех (п X п)~ матриц над телом А'), либо для любого
натурального m существует подкольцо Sm в R, которое гомо-
морфно отображается на lxm.

Доказательство. R действует как плотное кольцо
линейных преобразований на некотором векторном простран-
стве V над телом А. Если V конечномерно над А, то плот-
ность кольца R на V означает, что R изоморфно кольцу
всех А-линейных преобразований пространства К, т. е.
кольцу Ап, где п —сНшдУ, а А —тело, антиизоморфное
телу А.

Если пространство V над А бесконечномерно, то для лю-
бого натурального пг существуют линейно независимые над А
элементы v{, ..., vm^V. Пусть Ут = щ&-\~ ... + ишА и
Sm = {х Я I Утх Теорема плотности утверждает тогда,
что любое А-линейное преобразование пространства Ут инду-
цируется некоторым элементом кольца Sm. Если обозначим
Wm = {х $т I УщХ = (0)}, то, согласно предыдущему, будем
иметь изоморфизм Sm!Wm ~ Ношд	Vm). Остается заме-

тить, что кольцо Ношд(7т, Vт) изоморфно кольцу Д^.

Распространим на некоммутативные кольца одно понятие,
хорошо известное в теории коммутативных колец. Семейство
колец, которое мы сейчас определим, содержит все прими-
тивные кольца.

Определение. Кольцо R называется первичным, если из
равенства п7?6==(О) для некоторых элементов а, b е Я сле-
дует, что п = 0 или 6 = 0.

Легко проверяется, что первичность эквивалентна некото-
рым другим условиям, которые перечислены в приводимой
ниже лемме. Доказательство леммы предоставляем читателю.

Лемма 2.1.1. Кольцо R первично тогда и только тогда,
когда оно удовлетворяет одному из следующих условий:

(1)	Правый аннулятор любого ненулевого правого идеала
кольца R равен (0).

(2)	Левый аннулятор любого ненулевого левого идеала
кольца R равен (0).

(3)	Если А, В — идеалы кольца R и АВ — (0), то либо
Л = (0), либо В = (0).

В одной из следующих глав будет показано, что первич-
ные кольца при подходящих условиях могут быть охаракте-
ризованы весьма глубоко. Это является содержанием пре-
красной теоремы, принадлежащей Голди. А пока докажем
следующую лемму.

Лемма 2.1.2. Любое примитивное кольцо первично.

Доказательство. Пусть р =/= (0) —- правый идеал в R,
и предположим, что рп = (0) для некоторого элемента a^R.
Так как кольцо R примитивно, то оно действует точно и не-
приводимо на некотором 7?-модуле М. Из точности модуля М
следует, что Л1р ф (0), а из его неприводимости — что Afp = М.
Тогда N[a — Мра — М (0) = (0), следовательно, а = 0 и кольцо R
первично.

Из первичности кольца R следует, что его центр должен
быть областью целостности, — он может быть и нулевым.
В самом деле, если Z — центр первичного кольца R и ab — Q
для некоторых a е Z, b R, причем b ф 0, то (0) = /?а6 =
= aRb, тогда из первичности кольца R следует, что а — 0.
Таким образом, имеет место

Лемма 2.1.3. Если а — ненулевой элемент из центра пер-
вичного кольца R, то а не является делителем нуля в R.
В частности, центр первичного кольца является областью
целостности. Поэтому центр примитивного кольца — также
область целостности.

Для любой области целостности I =£ (0) существует при-
митивное кольцо, центр которого совпадает с I. В самом
деле, обозначим через F поле частных для / и рассмотрим
кольцо R бесконечных матриц над F вида

А

б

6

где 6е / и Ап —• произвольная (п X п)-матрица над F (п про-
бегает все натуральные числа). Простое вычисление показы-
вает, что центр кольца R состоит из диагональных матриц,
у которых на главной диагонали стоит некоторый элемент
бе/. Следовательно, центр кольца R изоморфен /. Кроме
того, легко проверяется, что кольцо R примитивно. Предла-
гаем читателю построить примитивное кольцо, центр кото-
рого равен (0).

Пусть 7? — произвольное кольцо и Е (R) —- кольцо эндо-
морфизмов аддитивной группы кольца R. Если а е R, то
определим, как прежде, отображения Та- R~>R (хТа = ха)
и La: R—>R (xLa — ах). Для любых a, b е R отображения Та,
Lb принадлежат E(R). Обозначим через В (R) подкольцо
в E(R), порожденное элементами вида Та, Lb, где а, Ь про-
бегают кольцо R. Кольцо B(R) часто называют кольцом
умножений кольца R.

Йсно, что аддитивная группа кольца R является моду-
лем над В (В); В (В)-подмодули этого модуля представляют
собой не что иное, как двусторонние идеалы кольца R. Та-
ким образом, R является неприводимым В(В)-модулем тогда
и только тогда, когда R — простое кольцо. Рассмотрим вопрос
о централизаторе кольца В (В) на В; это один из существен-
ных инвариантов кольца R.

Определение. Центроидом кольца R называется множе-
ство элементов из E(R), перестановочных со всеми элемен-
тами из В (В).

Лемма 2.1.4. Если R2 = R, то центроид кольца R комму-
тативен.
Доказательство. Пусть а, т принадлежат центроиду
кольца /?. Тогда для любых х, у е R имеют место равенства

(ку) о = (хТу) о = (ха) Ту = (ха) у =

= (yLx) а = (уо) Lx — x (z/а);

(ху) (ат) = [(ха) у] т = (ха) (ух) = (х (ух)) а = (ху) (та).

Следовательно, (х//)(ат —та)==0. Так как R2 = R, то любой
элемент и е R может быть представлен в виде и = 2 xyji
(xt, yt^R), следовательно, ц(ат —та) = 0, т. е. ат —та = 0.
Лемма доказана.

Если R — простое кольцо, то о его центроиде можно ска-
зать намного больше. Прежде всего R2 — R, поэтому центроид
кольца R коммутативен. Учитывая, далее, что простота
кольца R эквивалентна неприводимости R как В (^)-модуля,
заключаем на основании леммы Шура, что центроид кольца R
должен быть телом. Сочетание этих двух свойств показы-
вает, что центроид любого простого кольца R является
полем. Кольцо R имеет естественную структуру алгебры над
этим полем. Таким образом, каждое простое кольцо является
простой алгеброй над своим центроидом. Предположим
дополнительно, что центр Z кольца R отличен от (0). Если
z е Z, z =Д 0, то Rz — ненулевой двусторонний идеал в R,
следовательно, Rz = R. Отсюда быстро выводится, что
кольцо R имеет единицу 1. Обозначим центроид кольца R
через Если а е Z, то легко видеть, что Та е соответ-
ствие а->Та определяет изоморфное отображение кольца Z
на некоторое подкольцо кольца Пусть a — произвольный
элемент из <2; тогда для любого г <= R имеют место равен-
ства

га — (1г) а — (И) а = (la) г — г (1а).

Обозначим 1а — а, тогда из предыдущих равенств следует,
что a^Z и го = га, т. е. в — Та. Таким образом, кольца Z
и SL изоморфны; в частности, мы можем заключить, что
кольцо Z является полем. Если кольцо R рассматривается
как алгебра над полем %, то элементы из %£> целесообразно
отождествлять с элементами центра Z, используя соответ-
ствие a-*al. Объединим эти замечания в виде следующей
теоремы.

Теорема 2.1.5. Если R —простое кольцо, то его центроид
является полем и кольцо R можно рассматривать как ал-
гебру над этим полем. Если, кроме того, центр кольца R
отличен от (0), то он совпадает с центроидом кольца R.
В заключение этого параграфа остановимся на знамени-
той теореме Веддербарна. Она явилась основой многих успе-
хов алгебры. Из нее исходит вся теория представлений групп.
Фактически в алгебре очень мало таких мест —по крайней
мере связанных с некоммутативными кольцами, —- где бы не
чувствовалось влияние этой теоремы. Теорема Веддербарна
будет получена как следствие теоремы плотности. Перво-
начальный результат Веддербарна относился к конечномер-
ным простым алгебрам; Артин распространил его на про-
стые кольца с условием минимальности для правых идеа-
лов.

Теорема 2.1.6. (Веддербарн — Артин). Пусть R —простое
артиново кольцо. Тогда кольцо R изоморфно кольцу всех
матриц порядка п над некоторым телом. При этом п опре-
делено однозначно, а тело — с точностью до изоморфизма.
Обратно, для любого тела D кольцо Dn является простым
артиновым кольцом.

Доказательство. Сначала покажем, что кольцо R
примитивно. Так как R артиново, то J (R) — нильпотентный
идеал кольца R, а так как R2 — R, то кольцо R ненильпо-
тентно. Следовательно, J (7?) R, J (7?) = (0). Поскольку
кольцо R полупросто и просто одновременно, то R прими-
тивно. Пусть М — точный неприводимый модуль над R, тогда
М — векторное пространство над телом D, где D — С(М) —
централизатор кольца R на М.

Мы утверждаем, что пространство М конечномерно над Z).
В самом деле, если ..., vm, ...—линейно независимые
над D элементы из М, то рассмотрим правые идеалы pw =
~{х е R | = 0, /=1, ..., m}. Ясно, что имеют место
включения р! р2	Pm — • • • • Из теоремы плотности

следует, что эти включения являются строгими. Но так как
кольцо R артйново, то оно не может иметь бесконечной
строго убывающей цепи правых идеалов. Следовательно,
Рп = (0) для некоторого п и линейно выражается через

..., vn. Тем самым доказано, что пространство М конечно-
мерно над D.

Как уже отмечалось ранее, в конечномерном случае
плотность кольца 7? на М означает, что R — кольцо всех
линейных преобразований модуля М и, следовательно, изо-
морфно кольцу Drn, где /г — размерность пространства 7И
над D.

Остается доказать единственность п и D. Другими сло-
вами, нужно доказать, что если Z)mc^Art, где D, А —два
тела, то т — п и D ~ А (напомним, что знак ~ указывает
на изоморфизм).
Пусть

(1 0 ... О\

° 00 s °-

о о ... о/

ф —изоморфизм кольца Dm на кольцо Ап и f — q(e). Тогда,
так как eDm — минимальный правый идеал кольца Dm,
будет минимальным правым идеалом кольца Ап. Элемент f
является идемпотентом, поэтому существует такой автомор-
физм кольца А„, при котором f переходит в матрицу вида

1г 0\

О Of

где 1Г — единичная матрица порядка г. Без ограничения
общности можем считать, что такой вид имеет сам эле-
мент f. Из того, что /Ал является минимальным правым
идеалом в Ап, следует, что г=1 (докажите!). Далее, D ~
~ eDme ^fknf А, откуда следует изоморфизм тел D и А.
Учитывая, наконец, что eDm является пространством размер-
ности т над D, а /Art — пространством размерности п А,
находим в силу изоморфизма, что числа тип совпа-
дают !).

Обращение теоремы предоставляем доказать читателю.

Из теоремы Веддербарна вытекают важные следствия
для многих частных случаев артиновых колец. Начнем
с того, что, согласно теореме 1.4.4, любое полупростое арти-
ново кольцо является прямой суммой конечного числа про-
стых артиновых колец. Отсюда в силу теоремы 2.1.6 полу-
чаем следующую окончательную структурную теорему для
таких колец.

Теорема 2.1.7. Если R — полупростое артиново кольцо,
то Anj 4- ... 4- А^, где А(г) (Z — 1, ..k) — некоторые
тела, а А„> — кольцо всех (п. X п^-матриц над А(г).

Существуют ли обстоятельства, при которых о кольце R
можно сказать нечто большее, а именно более точно опреде-
лить структуру» тел А(1)? Одним из таких случаев является
случай конечномерных простых алгебр над алгебраически
замкнутым полем. Нам понадобится одно определение и
лемма.

2) Правый идеал целесообразно рассматривать как левое век-
торное пространство над телом а правый идеал eDm — как левое
векторное пространство над телом еЬ^е, — Прим, перев.
Определение. Пусть А — алгебра над полем F; элемент
ае /1 называется алгебраическим над F, если существует
ненулевой полином р (х) е F [х], такой, чтор(а) = 0. Гово-
рят, что А — алгебраическая алгебра над F, если каждый
ее элемент является алгебраическим над F.

Заметим, что если алгебра А конечномерна над F, то она
будет алгебраической над F. В самом деле, если а е А и
n = dimF А, то гг4- 1 элементов а, а2, ..an+l линейно зави-
симы над F. Таким образом, а^а + ••• + ara+ia"+1 = 0, где
ajeF и не все а2 равны 0. Но в таком случае а является
корнем ненулевого полинома p(x) = a1x-j- ... +an+1xn+1
из F[x].

Лемма 2.1.5. Пусть F — алгебраически замкнутое поле,
a D — тело, являющееся алгебраической алгеброй над F.
Тогда D = F.

Доказательство. Так как D — алгебра над F, то F
лежит в центре тела D. Пусть а е D и р(х) — такой поли-
ном из F[x], что р(а) = 0. Так как поле F алгебраически
замкнуто, то р (х) = Ц (х — Л(), где Л2 е F. Тогда р(и) =
= Л (а —- Лг) = 0, и так как D — тело, то хотя бы один из
сомножителей а — должен быть равен 0. Отсюда a = Ti'=F,
следовательно, D = F.

Эта лемма позволяет придать чрезвычайно простой вид
теоремам 2.1.6 и 2.1.7 в случае полупростых конечномерных
алгебр над алгебраически замкнутым полем.

Теорема 2.1.8. Пусть F — алгебраически замкнутое поле
и А — конечномерная полупростая алгебра над F. Тогда
А Fnt 4- ... 4- Fnk-

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай
простой алгебры Д. Тогда А ~ Д„, где А — тело, являющееся
конечномерной алгеброй над F. Согласно лемме 2.1.5, A = F
и, следовательно, А Fn.

Полезно отметить одно простое следствие теоремы 2.1.8.
Центр прямой суммы колец является, очевидно, прямой сум-
мой центров этих колец. С другой стороны, центр алгебры Fn.
одномерен (он состоит из скалярных матриц вида а!п, где
а е F, 1п. — единичная матрица). Поэтому если А = Fn 4- ...
... 4- Fnk и Z — центр алгебры А, то dimF Z — k.

Следствие. В условиях теоремы. 2.1.8 число прямых сла-
гаемых алгебры А равно размерности центра А над F.
Это замечание окажется полезным, когад мы будем изу-
чать представления конечных групп.

Из теоремы 2.1.8 немедленно следует описание структуры
групповой алгебры для конечной группы. Так как этот ре-
зультат представляет большой интерес и имеет самостоятель-
ное значение, мы выделим его в виде теоремы.

Теорема 2.1.9. Пусть G — конечная группа порядка o(G)
и F - алгебраически замкнутое поле характеристики 0 или
характеристики p^o{G). Тогда F (G) ~ РП{ 4- ... 4- Fnk-

Доказательство. Согласно теореме Машке (теорема
1.4.1), алгебра F (G) в данных условиях полупроста. Даль-
нейшее следует из теоремы 2.1.8.

В частности, если F — поле комплексных чисел, то груп-
повая алгебра F(G) приобретает этот очень простой вид.
Мы будем пользоваться этим для получения обильной инфор-
мации о представлениях и характерах конечных групп.

§ 2.2.	Полупростые кольца

Получив в предыдущем параграфе вполне удовлетвори-
тельное описание примитивных колец, мы попытаемся те-
перь связать структуру полупростых колец со структурой
примитивных. Чтобы достичь этой цели, обобщим сначала
понятие прямой суммы.

Напомним, что прямым произведением (или полной прямой
суммой) колец jRy (у пробегает некоторое множество индек-
сов /) называется множество

П	и tfyl f (y) е для всех

уе/ I	уе/

Структура кольца на П определяется равенствами
y^/

(f + g) (Y) = f (Y) + g (y)> (fg) (y) = f (Y) g (y)-

Через nY обозначим проекцию кольца П Ry на Ry-

Определение. Кольцо R называется подпрямой суммой
колец /?v, уе/, если существует мономорфизм ф: R-> Ц RV1
такой, что /?фл¥ = Т?¥ для всех уе/.

Непосредственно проверяется следующий результат:
Лемма 2.2.1. Пусть R — некоторое кольцо, г|у 7?-->7?Y—
гомоморфизмы кольца R на Rv (у е /) и ф: 7? —> Ц T?Y — го-
моморфизм, составленный из гомоморфизмов ф?. Положим
t/Y = Keri[)Y. Тогда — мономорфизм (и, следовательно, R—
подпрямая сумма колец Иф в том и только в том случае,
когда f) t/Y = (0).

Определение. Говорят, что кольцо R подпрямо неразло-
жимо, если пересечение всех его ненулевых идеалов отлично
от нуля.

Это определение означает просто, что кольцо R не до-
пускает нетривиального представления в виде подпрямой
суммы.

ЛемМа 2.2.2. Каждое кольцо может быть представлено
как подпрямая сумма подпрямо неразложимых колец.

Доказательство. Для любого элемента а =^= 0 из R
обозначим через С7а идеал кольца R, максимальный по от-
ношению к свойству не содержать элемент а. Такой идеал
существует по лемме Цорна. Ясно, что f) Ua = (0), так что
сх =#= О

R — подпрямая сумма колец R/Ua. Покажем, что каждое
из колец RIUa подпрямо неразложимо. Действительно,
а+ Ua — ненулевой элемент кольца RIUa, лежащий во всех
ненулевых идеалах из RIUa.

Приведем еще одну теорему о представлении колец
в виде подпрямой суммы.

Лемма 2.2.3. Пусть R — кольцо, не содержащее ненуле-
вых ниль-идеалов. Тогда R —подпрямая сумма первичных
колец.

Доказательство. Пусть а — произвольный нениль-
потентный элемент из 7? и Wа — идеал кольца R, макси-
мальный по отношению к свойству не содержать ни
одной из степеней а11 элемента а. Если А, В — идеалы,
строго содержащие W а и такие, что АВ Wa, то ап' е А,
аП2 е В, откуда аП1+"2 АВ s Wа, что невозможно. Следова-
тельно, факторкольцо Ra = RIWa первично. Если а пробе-
гает все ненильпотентные элементы кольца R, то Р) W а
а
является ниль-идеалом и, следовательно, равно (0). Таким
образом, — подпрямая сумма первичных колец Ra.
Заметим, что Ra обладает одним дополнительным свой-
ством. Если а — образ элемента а в Ra и U — ненулевой
идеал в Ra, то anW U — т. е. степени элемента а попадают
во все ненулевые идеалы кольца Ra.

Пусть теперь 7? — полупростое кольцо. По теореме 1.2.1
J (R) = П(р : R), где р пробегает все максимальные регуляр-
ные правые идеалы кольца R. Следовательно, П(р : R)=(0).
Согласно лемме 2.2.1, R является подпрямой суммой колец
7?/(р: R). В то же время, как показывает, например,
теорема 2.1.1, факторкольцо 7?/(р: R) примитивно. Сле-
довательно, R является подпрямой суммой примитивных
колец.

Пусть, обратно, некоторое кольцо R есть подпрямая
сумма примитивных колец RK — R/UK; тогда Г|£4 = (0).
Так как все кольца RK примитивны, то они, в частности,
полупросты. Образом идеала J (R) при естественном гомо-
морфизме R-+RK будет квазирегулярный идеал кольца RK,
следовательно, J (7?) отображается в (0). Отсюда заключаем,
что J(R)^UK для любого %. Но тогда J(7?) Q L\ = (0) и
кольцо R оказывается полупростым. Нами доказана

Теорема 2.2.1. Кольцо R полупросто тогда и только тогда,
когда оно является подпрямой суммой примитивных колец.

Так как коммутативное примитивное кольцо является по-
лем, то в качестве частного случая получаем

Следствие. Коммутативное полупростое кольцо является
подпрямой суммой полей.

Полученная выше структурная теорема для полупростых
колец является слишком общей. Заметим, что даже прими-
тивность не дает нам полной информации о кольце — строе-
ние плотного кольца линейных преобразований может быть
довольно загадочным. Следовательно, те части, из которых
составляется,подпрямая сумма, сами по себе могут оказаться
достаточно сложными. С другой стороны, большая степень
свободы заключена и в понятии подпрямой суммы. К числу
его свойств не относится, например, единственность. Так,
кольцо целых чисел представляется в виде подпрямой суммы
полей GF(p) (целых чисел по модулю простого числа р) для
любого бесконечного множества простых чисел р.

Однако было бы совершенно нереально и надеяться на
исчерпывающую структурную теорему. Под крышей полу-
простоты собралось много странных и непохожих друг на
друга созданий. Тем не менее, несмотря на все эти недо-
статки, структурные теоремы с большим успехом использо-
вались для доказательства ряда результатов, относящихся
к произвольным кольцам.

Приступая к решению теоретико-кольцевой проблемы,
можно действовать по следующей программе. Сначала дока-
жите теорему для тел (что может завести вас в арифмети-
ческие вопросы теории полей). Затем переходите к прими-
тивным кольцам, сводя утверждение с помощью теоремы 2.1.4
к матричным кольцам. Отсюда получите результат для по-
лупростых колец. Теперь мы знаем теорему для кольца
/?// (/?); остается лишь выяснить вопрос для радикала,
чтобы получить решение задачи для самого кольца /?. Все
эти шаги могут быть сопряжены с преодолением трудностей,
особенно первый и последний. Так и должно быть, потому
что иногда эта техника не дает результата. Тем не менее
она представляет собой специфическую программу действий,
которая достаточно часто приводила к успеху для того,
чтобы оправдать свое существование.

Рассмотрим на одном примере, как реализуется эта про-
грамма. Задача, которой мы сейчас займемся, имеет до-
вольно надуманный характер и малоинтересна. Кроме того,
она содержится как весьма частный случай в общей тео-
реме, которую мы докажем позднее. Но несмотря на эти
оговорки, она все же хорошо освещает тот метод, о котором
говорилось выше. Тот же метод мы используем позднее
в интересной и естественной ситуации.

Пусть 7? — кольцо, в котором для любых элементов а, Ь
справедливо равенство (ab — ba)3 = ab — Ьа (условие, разу-
меется, довольно искусственное). Мы хотим доказать, что
кольцо R коммутативно.

Допустим сначала, что R является телом. Если ab—Ьа=^0,
то из равенства (ab — ba)3 — ab — Ьа следует, что (ab — Ьа)2=\
и, далее, аЬ — Ьа—± \. В любом случае элемент ab — ba
лежит в центре Z кольца R. Если ab — Ьа — а #= 0, то из
включения a(ab) — (ab)a се Z следует, что аа е Z.

Учитывая, что а =# О, находим тогда, что ае/, и, сле-
довательно, ab -— Ьа — О Ф а. Полученное противоречие по-
казывает, что в случае, когда R тело, оно на самом деле
будет полем.

Предположим теперь, что кольцо R примитивно. Если R
не является телом, то, используя теорему 2.1.4, заключаем,
что для некоторого п > 1 и некоторого тела D кольцо Dn
будет гомоморфным образом подкольца кольца R. Так как
тождество (ab — ba)3 = ab — Ьа выполняется в подкольцах
кольца R и сохраняется при гомоморфизмах, то оно должно
выполняться и в кольце Dn. Но при п > 1 это явно
невозможно, так как, например, матрицы

О 1 0 ... О

О О О ... О

О О О ... О

удовлетворяют соотношениям ab — Ьа = Ь, Ь2 = 0, откуда
Q = (ab —- ba)3 =# ab ~~ ba. Таким образом, мы установили, что
если кольцо R примитивно, то оно обязано быть телом и,
следовательно, должно быть коммутативным.

Любое полупростое кольцо R является подпрямой суммой
примитивных колец 7?ф, каждое из которых есть гомоморф-
ный образ кольца R. Соотношение (ab— Ьа)3 = аЬ— Ьа со-
храняется в 7?ф, приводя к коммутативности последнего.
Тогда и R как подкольцо прямого произведения коммута-
тивных колец должно быть коммутативным.

Пусть, наконец, — произвольное кольцо, удовлетворя-
ющее нашему тождеству. Тогда факторкольцо R/J (R) удо-
влетворяет тому же условию и, кроме того, полупросто. Сле-
довательно, кольцо R/J(R) коммутативно. Но тогда комму-
татор ab — Ьа произвольных элементов а, Ь из R лежит
в J(R). Поскольку (ab — ba)3 = ab — Ьа и ab — ba <= J (R),
то мы приходим к заключению, что ab — Ьа — 0. Действи-
тельно, если их = и для некоторых элементов и R, х е J (R),
то и — 0 (докажите!). Таким образом, утверждение, которое
мы хотели доказать, полностью доказано.

§ 2.3.	Применения теоремы Веддербарна

Как мы уже отмечали выше, теорема Веддербарна, дающая
столь ясное описание структуры простых и полупростых ар-
тиновых колец, находит многочисленные применения в самых
различных областях алгебры. Одно из широких ее примене-
ний связано с изучением представлений конечных групп; к де-
тальному обсуждению этих вопросов мы перейдем несколько
позднее. В настоящем параграфе мы рассмотрим два других
применения теоремы Веддербарна. Одно из них устанавли-
вает связь между строением алгебры в целом и локаль-
ными свойствами ее базисных элементов. Другое решает
проблему Бернсайда для групп матриц.

Следующая изящная теорема также принадлежит Вед-
дербарну и содержится в одной из последних опубликован-
ных им работ.
Теорема 2.3.1. Пусть А — конечномерная алгебра над по-
лем F. Предположим, что А имеет базис над F, состоящий
из нильпотентных элементов. Тогда алгебра А сама нильпо-
тентна.

Доказательство. Пусть {щ, ..., ип}—базис алгебры А
над F, такой, что каждый из элементов щ нильпотентен.
Заметим сначала, что без ограничения общности поле F
можно предполагать алгебраически замкнутым. В самом
деле, пусть F — алгебраическое замыкание поля F и А =
= A®fF. Тогда алгебра А имеет базис {щ ® 1} над полем F.
Каждый из элементов щ ® 1 нильпотентен, и если бы мы
смогли доказать, что алгебра А нильпотентна, то отсюда по-
лучили бы, что алгебра А, изоморфная алгебре Л® 1, также
нильпотентна.

Итак, будехМ предполагать, что поле F алгебраически
замкнуто. Докажем нильпотентность алгебры Л, используя
индукцию по размерности.

Если сИтЛ=1, то A = F-ulf и из нильпотентности эле-
мента щ немедленно следует нильпотентность алгебры Л.

Предположим, что теорема верна для всех алгебр, раз-
мерность которых меньше п, и пусть dim Л =/г. Рассмотрим
радикал J (Л) алгебры Л. Если /(Л) = Л, то алгебра Л ниль-
потентна, и все доказано. Допустим, что J (Л) =# Л; мы хотим
привести это предположение к противоречию. Если J (Л)^(О),
то факторалгебра Л//(Л) имеет нильпотентный базис, со-
стоящий из элементов щ + J (Л), и dim Л/J (Л) < п. По
предположению индукции алгебра Л/J (Л) должна быть
нильпотентной. Но это невозможно, так как она является
полупростой. Мы должны, следовательно, предположить, что
/(Л) = (0), т. е. что алгебра Л полупроста. По теореме 1.4.4
алгебра Л разлагается в прямую сумму А — А^А- ... + Ak,
где Ai — простые алгебры (/=1, ..., k). Если k > 1, то
dim Л1 < п, и так как алгебра Ах является гомоморфным
образом алгебры Л, то А{ имеет нильпотентный базис. По
предположению индукции алгебра А{ нильпотентна; но тогда
она является нильпотентным идеалом алгебры Л, что проти-
воречит полупростоте Л. Следовательно, А = 1, т. е. Л —
простая алгебра.

Так как F —- алгебраически замкнутое поле и Л —конеч-
номерная простая алгебра над F, то по теореме 2.1.8 A~Fm
для некоторого пг. Таким образом, Fm имеет базис, состо-
ящий из нильпотентных элементов at (i = 1, ..., m2). Но каж-
дая нильпотентная матрица имеет след, равный 0. Поэтому
и любая линейная комбинация нильпотентных матриц должна
иметь след, равный 0. Поскольку элементы образуют
базис алгебры Fm,
из Fm имеют след,
так как, например,

то отсюда заключаем, что все матрицы
равный 0. Но это, очевидно, неверно,
след матрицы

равен 1. Тем самым теорема полностью доказана.

Вместо того чтобы рассматривать алгебры над полями,
можно было бы рассматривать алгебры над произвольными
коммутативными кольцами. Для этого случая Херстейн,
Прочези и Смолл доказали следующее утверждение. Пусть
А — алгебра над коммутативным кольцом С,«которая конечно
порождена как С-модуль. Если А имеет систему образующих,
состоящую из нильпотентных элементов, то алгебра А ниль-
потентна. Этим достигается обобщение только что доказан-
ной теоремы Веддербарна. Можно было бы попытаться обоб-
щить ее еще в другом направлении. Например, можно по-
ставить вопрос о нильпотентности артинова кольца, каждый
элемент которого является суммой нильпотентных элементов.
Эта проблема была поставлена Капланским; отрицательный
ответ на нее дал Харрис.

Обратимся к групповым алгебрам. Пусть G — группа по-
рядка рт, где р — простое число, и пусть F — поле характе-
ристики р. Мы уже знаем, что алгебра F(G) не полупроста.
Но чему равен ее радикал? На этот вопрос отвечает

Теорема 2.3.2. Если G имеет порядок рт и F — поле ха-
рактеристики р, то радикал алгебры F (G) имеет размер-
ность pm — 1 и имеет базис из элементов вида g — 1, где
g^G, g=^= 1. Короче говоря, J (F (G))={2 ^igi^P (G) |2 <х/=0}.

Доказательство. Положим U — {х — S е
<= F(G) l2az = 0}. Ясно, что U является идеалом алгебры
F(G) — его называют пополняющим идеалом — и имеет базис
из элементов вида g — 1, где geG. Для каждого элемента
g^G имеет место равенство (g — 1) = g — 1 = 1 — 1 = 0.
Так как идеал U обладает базисом из нильпотентных элемен-
тов, то в силу теоремы 2.3.1 идеал U и сам нильпотентен. Сле-
довательно, U^j{F (G)). Так как, с другой стороны, U — мак-
симальный идеал в F(G), то/(F(G)) = G. Теорема доказана.

Теорема Веддербарна оказывается полезным инструментом
и для изучения групп матриц. Напомним, что множество S
линейных преобразований векторного пространства V назы-
вается неприводимым, если в V нет нетривиальных подпро-
странств, инвариантных относительно S. В противном случае
говорят, что S приводимо. Если S — множество (п X п)-матриц
над полем, то S будет приводимым тогда и только тогда,
когда существует обратимая матрица, такая, что для всех
a^S имеют место равенства вида

а11	Л12 j

О #22 /

где ан, а22 — квадратные подматрицы фиксированного по-
рядка. Под полугруппой матриц мы будем понимать непу-
стое множество матриц, замкнутое относительно матричного
умножения.

Теорема 2.3.3. Пусть S — неприводимая полугруппа
(п X п\матриц над полем F, и предположим, что tr а (т. е.
след матрицы а) принимает ровно k различных значений,
когда а пробегает множество S. Тогда если F — поле харак-
теристики 0 или алгебраически замкнутое поле произвольной
характеристики, то полугруппа S конечна и содержит не
более kn2 элементов !).

Доказательство. Пусть А — {5 «Л Л S} —
линейная -оболочка множества S. Так как S — полугруппа,
то А — подалгебра в Fn. Далее, А действует точно и непри-
водимо на пространстве V, где V есть /г-мерное пространство
строк над полем F, так как само S неприводимо. Если А—
централизатор А на V, то А будет телом, конечномерным
над F, и по теореме плотности Л ~ Аг. В частности, алгебра А
проста.

Определим на А билинейную форму (х, y) = tr(xy), тогда,
как известно, (х, у) = (у, х). Кроме того, из ассоциативности А
следует, что (ху, z) = (х, yz) для любых х, у, z е А. Пока-
жем, что форма (х, у) невырождена. В самом деле, если
Л1 = (х е А | (х, у) = 0 для всех у А} =А= (0), то для любых
х е Л1 и любых у, г g Л

(ху, z) = (х, yz} = 0, (ух, z) = (z, ух) = (zy, х) = 0,
откуда следует, что А1 —• ненулевой двусторонний идеал в Л.
Так как алгебра Л проста, то А —А1, т. е. tr (ху) — 0 для

!) При переводе формулировка теоремы 2.3.3 несколько уточнена. Со-
ответствующей корректировке подверглось и доказательство. — Прим,
перев.
всех х, у А. Так как А содержит единицу Дг, то, в част-
ности, при х = у = /п получим tr/rt = n • 1 =0, что невоз-
можно, если F — поле характеристики 0. Если же F —
алгебраически замкнутое поле произвольной характеристики,
то по теореме 2.1.8 A = Fn и утверждение, что tr (ху) — 0
для всех х, у е А, снова легко опровергается. Итак, форма
(х, у) невырожденна.

Выберем в А базис из элементов ..., sm, принадле-
жащих S. Так как A^Fn, то rn^Zn2. Если x^S, то упо-
рядоченный набор [(х, Sj), ..., (х, sm)] можно рассматривать
как m-мерный вектор с координатами из F. Каждая компо-
нента этого вектора принимает по условию не более k зна-
чений, следовательно, имеется не более km таких т-векто-
ров. Остается проверить, что каждый элемент х S одно-
значно определяется своим m-вектором. Пусть х = Л1$1 + ...
...	где A/G-f, тогда систему соотношений (х, 5^ =

= рь ..., (х, sm) = p/n можно рассматривать как систему
линейных уравнений относительно Определитель этой
системы совпадает с определителем формы (х, у), а так как
форма невырожденна, то ее определитель отличен от 0.
Следовательно, коэффициенты в разложении х по базису
алгебры А, действительно, однозначно определяются т-век-
тором (р1? ..., pm). Итак, S содержит не более km элементов,
где пг = dimF Л^п2. Теорема доказана.

Теорема 2.3.3 позволяет уточнить свойства некоторых
матричных групп над полями характеристики 0.

Теорема 2.3.4. Пусть G — мультипликативная группа
(п X п)-матриц над полем F характеристики 0. Предполо-
жим, что существует положительное число N, такое, что
aN—\ для любого a^G, Тогда G — конечная группа.

Доказательство. Используем индукцию по п. Если
п=1, то G — подгруппа мультипликативной группы ненуле-
вых элементов поля F. Так как уравнение х^=1 имеет
в поле F самое большее N корней, то группа G должна
быть конечной.

Предположим, что утверждение теоремы верно для муль-
типликативных подгрупп в Fm при пг < п и что G cz Fn удо-
влетворяет условиям теоремы. Если а G, то из соотноше-
ния aN = 1 следует, что все характеристические корни
матрицы а должны быть корнями TV-й степени из 1, поэтому
их —конечное число. Так как след матрицы а равен сумме
ее характеристических корней, то tr а принимает лишь ко-
нечное число значений на G. Если G — неприводимая группа
матриц, то по предыдущей теореме группа G конечна.
Предположим, что G приводима. Изменяя подходящим
образом базис векторного пространства И, на котором дей-
ствует группа G, мы можем привести все матрицы ае G
к виду
«1 ьх
О Ch

где at е Fm, а2 <= Рп~т и 0 < т < п. Простая проверка по-
казывает, что соответствующие матрицы а{ образуют под-
группу G\ в Fm, а матрицы а2 — подгруппу G2 в Fn_m, при-
чем af=l для всех at е Gp i=l, 2. По предположению
индукции группы G] и G2 конечны.

Если даны матрицы Я] Gb а2 е G2, то мы утверждаем,
что существует самое большее одна матрица Ьх размеров
/п X (« — tn), такая, что

n j €= G .

\0 a2J

В самом деле, допустим, что

и Ф ct. Тогда матрица

— «Г1 W1
«г-1

также принадлежит G. Вычислим произведение

а1 ^1 \ / а1 1 al ”cla2 \ f (^1	с1)а2 1

О я2Д 0	а2->	/	\0 1п_т

Поскольку последняя матрица является элементом группы G,
то она должна иметь конечный период. Но в случае харак-
теристики 0 матрица вида

о

w

In-m

имеет конечный период лишь при w = 0. Таким образом,
(&j — Cj)fl7l = O, откуда bl = cl.

Итак, каждой паре элементов Oj е Gb а2еС, отвечает
не более одного элемента из G, следовательно, группа G
конечна и o(G) ^o(G]) • o(G2).
Заметим, что теорема неверна в случае характеристики
р 0. Пусть, например, F — бесконечное поле характери-
стики р и G — подгруппа в F2, состоящая из матриц вида

1

0

а

1

Тогда группа G бесконечна; в то же время

1	аУ —Р р(Р_Р 0>|

0 1/	\0 1 / \0 1/

Мы готовимся перейти к решению проблемы Бернсайда
для матричных групп. Предварительно отметим, однако, не-
сколько более общих проблем различной степени сложности.

Определение. Группа G называется периодической, если
каждый ее элемент имеет конечный порядок.

Определение. Группа G называется локально конечной,
если любая ее конечно порожденная подгруппа конечна.

Ясно, что локально конечная группа будет периоди-
ческой. Верно ли и обратное? Это и есть проблема Берн-
сайда. Мы сформулируем ее в двух вариантах.

(1)	Общая проблема Бернсайда. Будет ли каждая перио-
дическая группа локально конечной?

(2)	Ограниченная проблема Бернсайда. Пусть G — пе-
риодическая группа, для которой существует такое N > 0,
что xN=l для всех х е G. Будет ли тогда G локально ко-
нечной?

Состояние этих проблем таково.

(1)	Из результатов работы Е. С. Голода и И. Р. Шафа-
ревича вытекает отрицательное решение общей про-
блемы Бернсайда. Этим результатам посвящена
последняя глава настоящей книги.

(2)	П. С. Новиковым анонсировано существование беско-
нечной группы Gn с двумя образующими и тожде-
ством xyv=l. Утверждается, что такая группа суще-
ствует для любого N^72. Однако полное доказа-
тельство до сих пор не было опубликовано *).

Однако для матричных групп сам Бернсайд установил,
что общая проблема Бернсайда решается положительно.
Заметим, что, согласно теореме 2.3.4, периодическая группа

!) Отрицательное решение ограниченной проблемы Бернсайда (с под-
робными доказательствами) для любого нечетного N 4381 изложено
в совместной работе П. С. Новикова и С. И. Адяна (см. Изв. АН СССР,
сер. матем., 32 (1968), 212—244, 251—524, 709—731). — Прим, перев.
матриц, порядки элементов которой ограничены, в случае
характеристики 0 оказывается конечной, если даже не пред-
полагать, что она конечно порождена. Теперь мы займемся
решением упомянутой проблемы для матричных групп, сле-
дуя схеме доказательства, которую указал Капланский
в своих „Заметках по теории колец“.

Лемма 2.3.1. Пусть G — группа, a N — ее нормальная
подгруппа, такие, что N и G/N локально конечны. Тогда G
локально конечна.

Доказательство. Пусть S = {gb ..., gn} — произволь-
ное конечное множество элементов группы G; мы должны
доказать, что они порождают конечную подгруппу в G. Без
ограничения общности можем предполагать, что для каждого
g. S элемент gT1 также принадлежи^ S. Обозначим через g.
образы элементов gi в G/N; тогда по предположению они
порождают конечную подгруппу в G/N. Пусть это будет
подгруппа (gb .gn, gn+b .... gt} и g„+1, gt — неко-
торые прообразы в G элементов gn+1, gt соответственно.
Для любых i, j (1	будем иметь gigi = uijgk для

некоторого k и иц^И. Пусть С/ —подгруппа в N, поро-
жденная множеством {uij\l^i, j^t}. Из локальной конеч-
ности группы N следует, что подгруппа U конечна. Для
произвольных элементов gi, gh gm^S имеют место ра-
венства gigjgm = Uijgkgm = UijUkrng™, т. е. произведение gigjgm
имеет вид ugw, где u<=U. Аналогично, любое слово от
образующих ^-еЗ представляется в виде ugK, где u<=U,
Следовательно, подгруппа, порожденная множест-
вом S, конечна и порядок ее не превосходит t • о (£/).

В силу этой леммы весьма легко решается проблема
Бернсайда для разрешимых групп.

Лемма 2.3.2. Всякая разрешимая периодическая группа G
локально конечна.

Доказательство. В силу разрешимости группы G
существует конечная убывающая цепь, подгрупп

G = Go => Gi => ...□<?» = (1),
где каждая из подгрупп Gi нормальна в Gi^ и фактор-
группы Gi-JGi абелёвы. При этом каждая из подгрупп Gi
и факторгрупп Gi^lGi периодическая. Ясно, что абелева
периодическая группа локально конечна; последовательно
применяя лемму 2.3.1, мы можем пройти по данной цепи
подгрупп от ее конца к началу, получая в итоге, что группа G
локально конечна.
Нам понадобится еще один вспомогательный результат.

Лемма 2.3.3. Любая группа обратимых треугольных мат-
риц над полем разрешима.

Доказательство. Поскольку подгруппа разрешимой
группы разрешима, то достаточно доказать, что разрешима
группа всех обратимых треугольных матриц степени п. Для
того чтобы убедиться в ее разрешимости, рассмотрим по-
следовательность групп вида

и т. д. Каждая из групп Gz нормальна в Gz_b фактор-
группы Gi-JGi абелевы и Gn = (l). Таким образом, группа
треугольных матриц разрешима.

Теперь мы сделаем решающий шаг в подготовке к дока-
зательству теоремы Бернсайда. Конечная порожденность будет
связана с ограниченностью порядков элементов периоди-
ческой группы матриц.

Лемма 2.3.4. Пусть G — конечно порожденная периоди-
ческая группа матриц над полем F. Тогда существует такое
целое положительное число N, что aN = 1 для любого ха-
рактеристического корня а любого элемента а^ G.

Доказательство. Пусть G czFk порождается эле-
ментами аъ ..., аг. Если Р — простое подполе поля F, то
через Fr обозначим поле, полученное присоединением к Р
всех матричных элементов матриц al9 ..., аг. Ясно, что тогда
матричные элементы для любого a^G лежат в Д. Так как
поле F} конечно порождено над Р, то существует подполе К
в Fif чисто трансцендентное над Р и такое, что —
==т<оо. Используя регулярное представление поля F{
над Д, можно записать элементы F{ в виде (тХ ^-мат-
риц над Д. Заменяя этими матрицами матричные эле-
менты в матрицах а е G, мы реализуем G как группу
(mk X /п£)-матриц над полем К. Другими словами, мы можем
рассматривать группу G как подгруппу в Kt, где “ 1 еко-
торое натуральное число, а К — конечно порожденное чисто
трансцендентное расширение простого поля Р.

Пусть а — характеристический корень произвольного эле-
мента aeG; поскольку G — периодическая группа, то а—ко-
рень из единицы и потому алгебраичен над Р. Используя
вложение G в Kt ш теорему Гамильтона — Кэли, замечаем,
что любой элемент из G является корнем полинома над К,
степень которого равна t. Следовательно, а также является
корнем полинома степени t с коэффициентами из поля ТС
Так как а алгебраичен, а К чисто трансцендентно над Р, то
отсюда следует, что степень а над Р не превосходит t.

Дальнейшие рассуждения разбиваются на два случая
в ^зависимости от характеристики поля Р.

(1)	Пусть Р — конечное поле из р элементов (р — простое
число). Как только что было установлено, [Р(а): P]^t, сле-
довательно, Р (а) — конечное поле, содержащее ph элементов,
где h^it. Тогда -1 = 1 и, так как h^t для любого ха-
рактеристического корня а любого элемента из G, получаем
требуемое утверждение.

(2)	Пусть характеристика поля Р равна 0. Тогда Р —поле
рациональных чисел, а характеристические корни элементов
группы G лежат в расширениях поля Р, степень которых
над Р не превосходит t. Минимальным полиномом для перво-
образного корня п-й степени из 1 является полином деления
круга, который неприводим и имеет степень <р(п) над Р.
Поскольку функция ср (п) — функция Эйлера — неограниченно
возрастает вместе с ростом п, то из условия ф(п)^/ сле-
дует, что в нашем распоряжении имеется лишь конечное
число корней из 1. Таким образом, характеристические корни
элементов из G пробегают конечное множество корней из 1;
поэтому существует такое целое положительное число N, что
aN=\ для любого из рассматриваемых корней.

Теперь у нас есть все, что требуется для доказательства
обещанной теоремы.

Теорема 2.3.5 (Бернсайд). Периодическая группа матриц
над произвольным полем F локально конечна.

Доказательство. Пусть G* cz Fn — периодическая
группа матриц. Используем индукцию по п.

Если п=1, то G* cz F, группа G* абелева и результат
тривиален. Предположим, что теорема верна для матриц,
порядки которых меньше п.
Если G* — периодическая группа матриц из Fn, то через G
обозначим произвольную конечно порожденную подгруппу
в G*. Мы хотим доказать, что группа G конечна/Если поле F
не является алгебраически замкнутым, то расширим его до
алгебраически замкнутого; ясно, что это не влияет на основ-
ные предпосылки: группа G остается периодической и конечно
порожденной.

По лемме 2.3.4 существует такое целое число N > 0, что
а^=1 для любого характеристического корня а любого эле-
мента из G. Следовательно, trg принимает лишь конечное
число значений на группе G. Если G — неприводимая группа
матриц, то, применяя теорему 2.3.3, заключаем, что группа G
конечна.

Пусть G приводима; с помощью подходящего изменения
базиса приведем все матрицы ge G к виду

/gi 0 \

Ul g2r

где gi е Fm, g2 е Fn-m и 0 < m < п. Соответствующие ма-
трицы g{ порождают периодическую группу G^ по предпо-
ложению индукции группа G} локально конечна. (Более того,
она конечно порождена и потому на самом деле конечна.)
То же самое верно для группы G2 с= Fn-m, порожденной
матрицами g2.

Определим отображение гр

I b, g2 / \ о	'

Легко видеть, что ф является гомоморфизмом группы G на
конечную группу. Ядро гомоморфизма ф состоит из треу-
гольных матриц; по лемме 2.3.3 группа Кег ф разрешима.
С другой стороны, как подгруппа периодической группы G
группа Кегф будет периодической. Но тогда в силу
леммы 2.3.2 группа Кегф локально конечна. Так как группы
Кегф и G/Кегф обе локально конечны, то по лемме 2.3.1
G сама локально конечна. Вспоминая, что G — конечно по-
рожденная группа, заключаем отсюда, что G на самом деле
конечна. Следовательно, группа G* локально конечна. Тео-
рема доказана.

Довольно широкое обобщение этой теоремы было полу-
чено Херстейном и Прочези. Ими доказан следующий ре-
зультат. Пусть R — кольцо с единицей, удовлетворяющее
полиномиальному тождеству, и G — периодическая подгруппа
мультипликативной группы обратимых элементов кольца R.
Тогда группа G локально конечна.
ЛИТЕРАТУРА

1.	Бергман (Bergman G.), A ring primitive on the right but not on
the left, Proc. Amer. Math. Soc., 15 (1964), 473—475.

2	Веддербарн (Wedderburn J. H. M.), On hypercomplex num-
bers, Proc. bond. Math. Soc., 6 (1908), 77—117.

3.	----, Note on algebras, Ann. of Math., 38 (1937), 854—856.

4*	Г о л о д E. С., О ниль-алгебрах и финитно-аппроксимируемых груп-
пах, Изв. АН СССР, сер. матем., 28 (1964), 273—276.

5	Голод Е. С., Шафаревич И. Р., О башне полей классов, Изв.
АН СССР, сер. матем., 28 (1964), 261—272.

6	Джекобсон (Jacobson N.), Structure of rings, Amer. Math. Soc.
Colloq Publ., 37, 1964. (Русский перевод 1-го издания 1956 г.: Дже-
кобсон Н., Строение колец, ИЛ, М., 1961.)

7.	----, Radical and semi-simplicity for arbitrary rings, Amer. J. Math.,

67 (1945), 300—320

8.	Капланский (Kaplansky I.), Notes on ring theory, Univ, of
Chicago, Math Lecture Notes, 1965.

9*. К о с т p и к и н А. И., О проблеме Бернсайда, Изв. АН СССР, сер.
матем., 23 (1959), 3—34.

10*. Новиков П. С., О периодических группах, ДАН СССР, 127 (1959),
749—752.

11*. Новиков П. С., Адян С. И., О бесконечных периодических груп-
пах, Изв. АН СССР, сер. матем., 32 (1968), 212—244, 251—524, 709—
731.

12.	Прочези (Р г осе si С.), On the Burnside problem, J. of Algebra, 4
(1966), 421—426

13.	Харрис (Harris B), Commutators in division rings, Proc. Amer.
Math. Soc., 9 (1958), 628—630.

14.	Хер стейн (Hers te in I. N.), Theory of rings, University of Chi-
cago, Math. Lecture Notes, 1961.

15.	X e p с т e й н, Смолл (H e r s t e i n I. N , Small L.), Nil rings
satisfying certain chain conditions: an addendum, Canad. J. Math., 18
(1966), 300-302.
Глава 3

ТЕОРЕМЫ КОММУТАТИВНОСТИ

В предыдущих двух главах был выявлен общий подход
к теоретико-кольцевым проблемам. Этот подход оказывается
особенно эффективным, если его применяют для доказатель-
ства того, что кольцо, подчиненное надлежащим условиям,
коммутативно или в определенном смысле близко к комму-
тативному. Причиной тому служит тривиальное обстоятель-
ство, что подкольцо прямого произведения коммутативных
колец само должно быть коммутативным. Теоремам комму-
тативности и посвящена настоящая глава. Доказательства
этих теорем существенным образом опираются на общую
структурную теорию. Как уже отмечалось выше, трудности
при таком подходе встречаются в основном на двух этапах,
а именно: на первом, когда устанавливают некоторый ре-
зультат для тел, и на последнем, когда рассматривают ра-
дикал. Этот круг вопросов, вместе с вопросами, относящи-
мися к кольцам с полиномиальными тождествами (речь о них
пойдет позднее), представляет собой, по-видимому, ту область
теории колец, в которой общая структурная теория применя-
лась наиболее успешно.

§ 3.1.	Теорема Веддербарна и некоторые ее обобщения

В 1905 году Веддербарн доказал, что всякое конечное
тело является полем. Помимо внутренней красоты этого
результата он играет важную роль в различных вопросах
алгебры, например в теории представлений групп и в теории
алгебр. На нем основывается единственное известное дока-
зательство того факта, что в конечных проективных плоско-
стях из справедливости теоремы Дезарга вытекает справед-
ливость теоремы Паппа. Для нас теорема Веддербарна по-
служит отправной точкой в изучении различных условий,
которые влекут за собой коммутативность кольца.

Начнем с одной леммы.

Лемма 3.1.1. Пусть D — тело характеристики р =И= 0 и
Z — центр D. Предположим, что a^D, аф. Z, и ар —а
для некоторого п 1. Тогда существует элемент хеД такой,
что xax^ — ai^a для некоторого целого числа i.

Доказательство. Определим отображение 6: D -> D,
полагая хб — ха — ах для любого xgD. Поскольку характе-
ристика тела D равна р =£ 0, то простое вычисление пока-
зывает, что хбр = хар — арх. Точно так же xbpk = xapk — apkx
для любого k^Q.

Пусть Р — простое подполе в Z; так как элемент а алге-
браичен над Р, то поле Р(а) конечно и имеет, скажем, рт
элементов. Тогда ар = а, следовательно, хдр =хар —
— ар х — ха — ах — х& для любого х D, т. е. бр — 6.

Если Л Р (а), то (Хх) 6 = (Лх) а — а (Лх) = Л (ха ~ ах) —
= Х(хб), так как элементы а и Л перестановочны. Обозначая
через К! отображение D->D, переводящее х в Кх, получаем,
что Л/ и 6 коммутируют для любых К^Р(а). Полином
tp —t разлагается над Р(а) на линейные множители: tp —
— t = Д (t — Л); из перестановочности Л/ и б следует, что
А е Р (й)

0 = 6^- 6= П (б —V). Так как a^Z, то 6 =# 0. Пусть
К s Р {а)

k — наименьшее число, для которого существуют такие
..., Kk^P(d), что 6(6—^/) ... (б — Х&/) = 0. Согласно
предыдущему, такое число k существует, причем fe^l, так
как б#= 0. Если ...,	<=Р(а) выбраны так, как указано,

то для некоторого элемента г е Р будем иметь гб (б — hj) ...
... (б —	— w 0, в то время как w (б ~ %kI) — 0, т. е.

wa — aw = hkw. Поскольку 0, то из последнего равен-
ства следует, что waw~1==a-\- ^k^P(a), причем waw~l а.

Поле Р(а) конечно, поэтому его мультипликативная
группа является циклической и, следовательно, любые два
ненулевых элемента из Р(а), имеющие одинаковый мульти-
пликативный порядок, являются степенями друг друга. Та-
ким свойством обладают, очевидно, элементы а и waw~l.
Поэтому waw~1 = ai для некоторого z. Лемма доказана.

Эта лемма обеспечивает нас необходимыми средствами
не только для доказательства теоремы Веддербарна, но и
для перехода от нее к прекрасному результату Джекобсона.

Теорема 3.1.1 (Веддербарн). Всякое конечное тело является
полем.

Доказательство. Пусть D — конечное тело и Z — его
центр. Если простое подполе в Z состоит из р элементов,
то D имеет характеристику р и может рассматриваться как
линейное пространство над Z. Следовательно, D состоит из
q~pn элементов. Используем индукцию по п, считая, что
все тела порядка pk, где k < п, коммутативны.

Если а, b — такие элементы из D, что ab ф Ьа, то b*a — ab*
тогда и только тогда, когда b* е Z. Действительно, так как
N (Ь*) ~ {х е D | xb* = Ь*х} является подтелом в D, содержа-
щим а и Ь, то Nib*) некоммутативно; по предположению
индукции N (Ь*) должно совпадать с D, а это и значит, что
Ь* е Z.

Если ueD, то через пг(и) обозначим наименьший поло-
жительный показатель, такой, что е Z. Выберем в D
элемент аф-Z с наименьшим значением m(a) — r. Очевидно,
r — простое число. По лемме 3.1.1 существует такой элемент
х е D, что хах~} — а1 #= а. Следовательно, xkax~k — aik; в ча-
стности, при k = r— 1 будем иметь	— Ха, где

/.gZ, так как 1Г~' = \ (modг). Учитывая, что ха ф= ах и
хг-1 ф Z (в силу минимальности г), заключаем отсюда, что
хг~'а ф ахг~\ т. е. Лу=1. Полагая хг~х — Ь, получим
bab'1 = Ка, следовательно, 7.r ar — (bab~')r — barb~l —-аг ==\.
Это приводит к равенствам brab~r = 7.ra == a, bra = abr, сле-
довательно, br^Z. Обозначим ar = aeZ, &r = peZ.

Мы утверждаем, что если иц-^-щЬ-}- ... + иг_\Ьг~1 = 0,
где uj eZ(а), то все элементы щ равны, нулю. В самом деле,
пусть соотношение и0 + щЬ™1 + ... + akbmk = 0 (0 < /^ < ...
... < tnk<r) имеет наименьшее число слагаемых; сопрягая
его с а и замечая, что а~хЬа — М>, a~1bka = 7.kbk, получим
«0 +	+ ... + ukKmkbmk — 0. Вычтем одно соотноше-

ние из другого; так как Л, #= I иХ'=1, где г — простое число,
то Л/=# 1 при 1 i < г; таким образом, возникает более
короткое соотношение, аналогичное исходному, что невоз-
можно. Аналогично проверяется, что если t»0 + v{a + ...
... + wr_1ar~l =0, где vt ^Z(b), то все элементы щ равны 0.
В частности, полиномы f — а и f — р будут минимальными
полиномами над Z для anb соответственно. Следовательно,

[Z(a):Z] = [Z(b):Z] = r.

Отображение <р: Z(a)->Z(a), переводящее х в bxb~l,
является нетождественным автоморфизмом поля Z(a), при
котором элементы из Z остаются неподвижными. Так как
<р—автоморфизм порядка г и [Z(a)'. Z\=r, то степенями авто-
морфизма <р исчерпываются все автоморфизмы поля Z (а)
над Z. Хорошо известно и легко доказывается (докажите!),
что из конечности Z(a) следует возможность представления
любого элемента и е Z в виде и = хер (х) ... фг-1 (х), где
х — некоторый элемент из Z (а)]) В частности, р-1 = уер (у)...
... фг-1 (у) для некоторого у е Z (а). Но тогда

(1 — i/6)(l +yb + г/<р(г/)&* 2+ ... + Й (#)••• фг-2 (#) 6г-1)==

= 1 — УФ (у) Фг-1 (у) Ьг = о,
откуда следует, что либо 1—yb — O, либо 1 +	+

+ УУ (у) Ь2 + • • - + УФ (у) • • • фГ”2 (у)	— 0. Поскольку эле-

мент у принадлежит полю Z(a), то ни один из указанных
случаев, как показано выше, не возможен. Получено про-
тиворечие, и теорема доказана2).

Из теоремы Веддербарна непосредственно вытекает сле-
дующая

Лемма 3.1.2. Если D — тело характеристики р У= 0 и
G — конечная мультипликативная подгруппа в D, то группа G
абелева (и, следовательно, циклическая).

Доказательство. Пусть Р — простое подполе тела D
и А = {2 aigi\ Л	Ясно, что Л —конечное под-

кольцо в D. Поэтому А будет подтелом и, следовательно,
подполем. Так как ОеЛ, то получаем утверждение леммы.

Теорема Веддербарна и предыдущая лемма позволяют
нам заключить, что коммутативность может быть выведена
из значительно более общих предпосылок. В итоге коммута-
тивность выглядит скорее следствием алгебраических усло-
вий на элементы, чем условия конечности системы в целом.

Лемма 3.1.3. Пусть D — тело, в котором для любого
a^D существует натуральное число п(а)>\, такое, что
ап{а) — а^ Тогда тело D коммутативно.

Доказательство. Так как 2еД и 2^ — 2 для неко-
торого m > 1, то D имеет конечную характеристику р. Если D
не коммутативно и Z — центр D, то существует элемент а

9 В качестве образующего группы Галуа поля Z (а) над Z можно
взять вместо ф автоморфизм ф: х i—> хр , где рт — порядок поля Z,
после чего элемент и приобретает более удобную форму.— Прим, перев.

2) Хорошо известно более простое доказательство теоремы Веддер-
барна. А именно, из разложения мультипликативной группы тела D
на классы сопряженных элементов сразу вытекает равенство qn—\=q—
— 1+V-^-----L=^ — 1	где qn = o(D)\ q — о (Z); ki | n;

i q l~ 1

Ф/г(х)-л-й полином деления круга. Однако при п>1 <&n(q)>q — 1 и
не может быть делителем числа q — 1. — Прим. ред.
из D, не лежащий в Z. Пусть Р —простое подполе в Z. Так
как элемент а алгебраичен над Р, то поле Р(а) конечно и
состоит, скажем, из ps элементов. Тогда ар =а и выполнены
все предпосылки леммы 3.1.1. Следовательно, существует
такой элемент b е D, что bab~{ = а =£ a, ba = а1Ъ. Последнее
соотношение вместе с условием, что а и Ъ имеют конечный
период, влечет за собой конечность мультипликативной груп-
пы G, порожденной элементами а и Ь. Согласно лемме 3.1.2,
группа G абелева; но это невозможно, так как противоречит
условию ab =/= Ьа. Лемма доказана.

Теперь ясен путь к доказательству замечательной тео-
ремы Джекобсона, представляющей собой чрезвычайно ши-
рокое обобщение теоремы Веддербарна.

Теорема 3.1.2. (Джекобсон). Пусть R — кольцо, в котором
для любого a^R существует натуральное число п(а)>\,
такое, что ап^ = а. Тогда R будет коммутативным.

Доказательство. Заметим сразу же, что R полу-
просто. В самом деле, если a^J(R), то равенство ап^ = а
можно записать в виде а = ах, где х = ап^~~х J (R). Но
тогда, как отмечалось в конце § 2.2, будем иметь а=0;
следовательно, J (Р) = (0).

По теореме 2.2.1 R является подпрямой суммой прими-
тивных колец Ра; каждое из колец Ра как гомоморфный
образ кольца R удовлетворяет условию ап{а} = а. Тому же
условию удовлетворяют, очевидно, любые подкольца в Ра
и их гомоморфные образы.

Согласно теореме 2.1.4, для каждого Ра существует такое
тело D, что либо Ra^.Dn (n^l), либо для каждого т^1
Dm является гомоморфным образом некоторого подкольца
из Ra. Отсюда заключаем, что если Ra не изоморфно телу D,
то для некоторого k > 1 в кольце Dk выполнено свойство
ап(а) = а, п(а)> 1, для всех элементов a^Dk. Ясно, что это
свойство нарушается для элемента

010...

ООО...

ООО...

удовлетворяющего равенству а2 = 0. Следовательно, Ra
является телом и по лемме 3.1.3 должно быть коммутатив-
ным. Но тогда кольцо Р коммутативно как подпрямая сумма
коммутативных колец.
Переход от леммы 3.1.3 к теореме 3.1.2 можно было бы
совершить и не пользуясь структурной теорией, простые эле-
ментарные соображения этого типа могут быть найдены в [17].

В том виде, как она доказана, теорема обладает одним
недостатком: хотя она и устанавливает коммутативность, но
лишь очень немногие коммутативные кольца действительно
удовлетворяют условию теоремы. По этой причине мы попы-
таемся расширить ее так, чтобы условия, налагаемые на
кольцо, автоматически выполнялись в любом коммутативном
кольце и чтобы из них в свою очередь можно было вывести
коммутативность. Ниже будет получен целый ряд таких обоб-
щений; первым из них является

Теорема 3.1.3. Пусть R — кольцо, в котором для любых
X, у ^R существует такое целое число п(х, у) > 1, что
(ху	= ху — ух. Тогда R будет коммутативным.

Сначала докажем эту теорему в частном случае, когда
кольцо R является телом.

Лемма 3.1.4. Пусть D — тело, удовлетворяющее условию
теоремы 3.1.3. Тогда оно коммутативно.

Доказательство. Пусть а и Ь — такие элементы из D,
что с = ab — Ьа =£ 0; по условию ст = с для некоторого т > 1.
Если Z — центр тела D и O^Z^Z, то kc=(ka)b—b(ka). Сле-
довательно, существует такое п> 1, что (Лс)п = ^с. Положим,
q = (m~~ 1)(п— 1) + 1, тогда cQ = c и (Zc)^ = Zc, следова-
тельно, (V —Z)c = 0. Учитывая, что D является телом, за-
ключаем отсюда, что V —Z = 0; таким образом, для каждого
/, eZ существует такое q>l, что kq = Ясно, что в этом
случае Z имеет конечную характеристику р =/= 0. Через Р
обозначим простое подполе поля Z.

Мы утверждаем, что если тело D некоммутативно, то
элементы а и Ь можно выбрать таким образом, что элемент
с = ab — Ьа не только отличен от 0, но даже не лежит в Z.
Действительно, допустим противное. Тогда все коммутаторы
принадлежат Z, в частности, се/и =	—(a&)a^Z,

откуда а е Z, что противоречит условию с =й= 0.

Итак, мы можем предположить, что с = ab — Ьа ф Z. Так
как элемент с алгебраичен над полем Р, то ср ~с для не-
которого k > 0. Для элемента с выполнены все условия
леммы 3.1.1, следовательно, существует такой элемент х е D,
что хсх~г = с1=£с, т. е. хс = с*х=£сх. Отсюда d = хс — сх =Д 0;
в то же время de — (хс) с — с (хс) = с1 (хс — сх) — c'd. Будучи
коммутатором, элемент d имеет конечный период, кроме
того, dccFx = cl с. Но тогда мультипликативная подгруппа
в D, порожденная элементами с и d, конечна и, согласно
лемме 3.1.2, должна быть абелевой. Так как cd^=dc, то мы
приходим к противоречию, и лемма доказана.

Теперь мы можем завершить доказательство теоремы 3.1.3.

Пусть R — кольцо, в котором (ху — ух)п (х’у} = ху — ух
для любых х, у gR. Если R полупросто, то оно изоморфно
подпрямой сумме примитивных колец Ra, которые, будучи
гомоморфными образами кольца R, удовлетворяют тому же
условию, что и R. Нам достаточно доказать, что каждое
из Ra коммутативно; иными словами, мы можем предпола-
гать, что R примитивно.

В этом случае может оказаться, что R~ D, где D — не-
которое тело, и тогда применима лемма 3.1.4. Если же R
не является телом, то для некоторого k > 1 кольцо матриц Dk
над телом D должно быть гомоморфным образом некоторого
подкольца кольца R и, следовательно, удовлетворять условию
теоремы. Мы хотим показать, что последнее невозможно.
Действительно, легко видеть, что требуемое условие нару-
шается для матриц

так как ab — Ьа — Ь=^0, Ь2 — 0. Таким образом, если кольцо R
полупросто, то оно должно быть коммутативным.

Пусть теперь R — произвольное кольцо, удовлетворяющее
условию теоремы. Тогда тому же условию удовлетворяет
факторкольцо R/J(R); так как оно полупросто, то по дока-
занному оно должно быть коммутативным. Следовательно,
ху — ух (R) для любых х, у t=R. С другой стороны,
(ху — ух)п(х’у} — ху — ух. Отсюда можно заключить (подобно
тому как это делалось ранее в аналогичной ситуации), что
ху — ух = 0. Другими словами, мы показали, что кольцо R
коммутативно.

Этот результат легко распространяется на высшие ком-
мутаторы. Определим по индукцци [xb х2] = Xi%2 — x2xi,
[xb ..., x7n] = [[x1, ..., X/n-i], xm\ (m>2). Тогда, внося оче-
видные изменения в только что изложенные рассуждения,
можно доказать, что справедливо следующее предложение.

Пусть R — кольцо, в котором для любых х19 ..., xm(=R
(tn — фиксированное число) существует такое целое число
nlx^ ..., х1П) > 1, что [хь ..хт] ( !’•••’ ^ = [%1, ..хт].
Тогда R удовлетворяет тождеству [х}, xm] = Q. Если,
кроме того, кольцо R полупросто (на самом деле достаточно
предполагать, что R не имеет ненулевых ниль-идеалов), то R
будет коммутативным *).

§ 3.2.	Специальные типы колец

Результаты, полученные в предыдущем параграфе, мы
обобщим в нескольких направлениях. Одновременно будет
достигнуто обобщение результатов, полученных из других
соображений. Нам потребуются некоторые хорошо известные
сведения из теории полей.

Пусть даны поля R и F, причем К является алгебраи-
ческим расширением поля F. Элемент а <= К называется се-
парабельным над F, если его минимальный полином над F
не имеет кратных корней. Так как полином р(х) имеет крат-
ные корни тогда и только тогда, когда р(х) и dp^x^dx имеют
общий множитель,^ отличный от константы, то неприводимый
полином имеет кратные корни лишь тогда, когда dp(x)/dx = 0.
В случае характеристики 0 это означает, что многочлен р(х)
является константой; следовательно, любой элемент из Д
оказывается сепарабельным над F. В случае характеристики
р¥=’О условие dp{x)ldx = Q означает, что р(х} = g(xp). Если
а — элемент поля Д, то можно найти такое целое число k ^0,
что элемент apk сепарабелен над F. Может оказаться, однако,
k

что при этом ар е F. В этом случае элемент а называется
чисто несепарабёльным над F. В частности, чисто несепа-
рабельным над F является любой элемент поля F. Множе-
ство всех чисто несепарабельных элементов над F образует
подполе поля R. Точно так же — но это гораздо более глу-
бокое утверждение — все сепарабельные над F элементы
образуют подполе в Д. Если До —поле из двух элементов и
F = Fq (х) — поле рациональных функций от переменной х

!) Решающим соображением при переходе к указанному обобщению'
является следующая простая лемма, которую автор не счел нужным фор-
мулировать, но, по-видимому, имел в виду: Пусть D — тело с центром Z
и для любых Xi, ..., хт^ D элемент [xlf ..., хт] принадлежит Z (т^2).
Тогда D удовлетворяет тождеству [хь ..., хт} = 0. Более того, тело D
должно быть коммутативным. (Доказательство. Пусть и =
= [х1, ..., хт] — отличный от 0 элемент из Z и а==[х1, ...,
Тогда аи = а (ахт — хта) = [а, ахт] = [хь ..., xw-i, ахт] е Z, откуда
о е Z, и = 0 — противоречие. Итак, D удовлетворяет тождеству
[Х1, ..., хт] =0, т. е. для любых хь ..., хт_х е D элемент [хь ..., xm_J
принадлежит Z. Используя индукцию по т, получаем, что тело D ком-
мутативно.) — Прим, перев.
над Го, т0 легко видеть, что поле К = F (г/), где у2 = х, будет
чисто несепарабельным расширением поля F.

Возвращаясь к обсуждению вопросов коммутативности,
начнем с одного результата из теории полей, принадлежа-
щего Капланскому.

Лемма 3.2.1. Пусть поле К является расширением поля F,
7< Ф F, и предположим, что для любого существует
натуральное число п(а), такое, что an{a}^F. Тогда спра-
ведливо одно из следующих утверждений*.

(1)	К чисто несепарабельно над F.

(2)	/С имеет простую характеристику и алгебраично над
своим простым подполем Р.

Доказательство. Если К чисто несепарабельно над F,
то нечего доказывать.

Предположим, что поле К не является чисго несепара-
бельным над F, т. е. существует элемент а е К, сепарабель-
ный над F и такой, что a^F, Поскольку ап <= F для неко-
торого п > 0, то элемент а алгебраичен и сепарабелен над F;
следовательно, поле F (а) можно вложить в конечное нор-
мальное расширение L поля F. Из нормальности L следует,
что существует автоморфизм ф поля L, оставляющий эле-
менты поля F на месте и такой, что b = ф (а) а. Так как
Ьп = ф (а)п = ф (ап) и an<=F, то bn — an, откуда находим, что
b = va, где v — некоторый корень n-й степени из 1, отличный
от 1. Замечая, что b + 1 = ф(а + 0 и что (a	для

некоторого m > 0, получим далее b + 1 = ц (а + 1), где ц —
некоторый корень m-й степени из 1. Покажем, что ц У= v.
Действительно, в противном случае имелись бы равенства
b + 1 = va + 1 = v (а + 1), откуда v = 1. Итак, ц =£ v; из соот-
ношения va + 1 = ц (а + 1) следует, что а = (1 •— ц)/(ц — v).
Так как элементы ц, v алгебраичны над простым подполем
Р F, то тем же свойством обладает элемент а.

Пусть f — произвольный элемент из F, тогда элемент
сепарабелен над F и a-]~f^F. Следовательно,
элемент а + f алгебраичен над Р, а тогда и f алгебраичен
над Р. Мы показали, что поле F алгебраично над своим
простым подполем Р. Так как поле К алгебраично над F,
то отсюда следует, что К алгебраично над Р.

Осталось показать, что Р имеет характеристику р =/= 0.
Пусть Lo — конечное нормальное расширение поля Р, содер-
жащее элементы а и Ь. Так как L нормально над Р, то
можно считать, что L0£L. Повторяя предыдущие рассужде-
ния, получим, что для любого целого i имеет место равен-
ство b + i' =	+ i)t где — некоторый корень из 1, ле-
жащий в L. Если характеристика поля Р равна 0, то все
попарно различны. Кроме того, р,£ = (Ь + 0/(# + О ^о- Но
это невозможно, так как Lo имеет конечную степень над Р.
Лемма доказана.

При изучении алгебр с делением очень часто бывают
нужны сепарабельные элементы. К счастью, их существова-
ние можно доказать при весьма общих предпосылках.
Результат, который мы сейчас докажем, впервые был уста-
новлен Эмми Нётер для случая конечномерных алгебр
с делением; Джекобсон снял предположение о конечномер-
ности, заменив его алгебраичностью.

Теорема 3.2.1. Если тело D некоммутативно и является
алгебраической алгеброй над своим центром Z, то D содержит
элемент, сепарабельный над Z и не лежащий в Z,

Доказательство. Если характеристика D равна О,
то нечего доказывать, так как тогда любой элемент из D
сепарабелен над Z. Поэтому предположим, что D имеет
характеристику р =# 0. Если теорема неверна, то D будет
чисто несепарабельным над Z, т. е. для любого х eD най-
дется такое целое число п(х)^0, что xprt(x)^Z. Следова-
тельно, найдется элемент а <= D, такой, что ар е Z и а ф. Z.
Определим отображение 6: D—>D, полагая хб — ха — ах\
тогда х§р — хар — арх — 0. В то же время 6 =^= 0, так как a^Z.
Пусть г/б =# 0; согласно предыдущему, найдется такое k > I,
что у£Р = 0, z/б^"1	0. Положим x = ybk~x\ так как k > I,

то элемент х можно представить в виде x = w& = wa — aw,
С другой стороны, хб = 0, ха = ах. Поскольку D является
телом, то мы можем представить элемент х в виде х = аи.
Так как элементы а и х перестановочны, то а будет пере-
становочным и с элементом и. Итак, имеем равенство
au — wa — aw, из которого находим а — (wa — aw) u~l =
= (wu~1) а — a(wu~*) = ca — ас, где c — wu~{. В свою очередь
отсюда следует, что с — 1 -j-aca"-1. Мы предположили, что D

t

чисто несепарабельно над Z; следовательно, eZ для
t	pt	pt

некоторого /^0. Но тогда ср — (1 + аса-1) = 1 + (аса-1) =
t -1	1

= 1 + аср а = 1 + ср , и мы приходим к абсурдному заклю-
чению, что 0=1.

Два предыдущих результата позволяют нам получить
теорему, которая обобщает одновременно теорему Джекоб-
сона (теорему 3.1.2) и теорему Нётер — Джекобсона (теорему
3,2.1). Первоначально она была доказана Дацланским для
полупростых колец, В приводимой ниже форме теорема
доказана автором.

Теорема 3.2.2. Пусть R —кольцо с центром Z, и предпо-
ложим, что для любого а^ R существует такое целое число
п(а)>0, что an{d}^Z. Тогда если R не содержит ниль-идеа-
лов, то оно должно быть коммутативным. Эквивалентно,
если N — максимальный ниль-идеал !) кольца R, а М — идеал
в R, порожденный коммутаторами, то М s N.

Доказательство. Сначала докажем это утверждение
для тел. Если R — тело, то по условию оно алгебраично над
своим центром Z и в силу теоремы 3.2.1 либо коммутативно,
либо содержит элемент a^Z, сепарабельный над Z. В по-
следнем случае поле Z(a) не является чисто несепарабельным
над Z и удовлетворяет условиям леммы* 3.2.1; следовательно,
Z(a), а значит и Z, имеет простую характеристику р =^= 0 и
алгебраично над своим простым подполем Р. Если х — про-
извольный элемент из /?, то х алгебраичен над Z, а значит,
и над Р; другими словами, поле Р(х) будет конечным.
Но тогда хтМ = х для некоторого числа т(х)> 1; отсюда
в силу теоремы Джекобсона заключаем, что тело R должно
быть коммутативным.

После того как получено утверждение для тел, нетрудно
перенести его на примитивные кольца. Если кольцо R при-
митивно, то либо оно является телом, либо для некоторого
k > 1 кольцо матриц Dk над телом D будет гомоморфным
образом подкольца из R. Но последнее невозможно, так как,
например, элемент

(1 0 ... 0\
о 0 ... 0 1	п

I Dfr

о о ... о/

удовлетворяет равенству ет — е для любого т > 0, в то же
время е не принадлежит центру Dk. Отсюда заключаем, что R
должно быть телом и, по предыдущему, кольцо R коммута-
тивно.

Теперь мы изменим ход рассуждений, отклоняясь от общей
процедуры, изложенной ранее. Правда, она дает нам воз-
можность доказать теорему для полупростых колец, но мы

J) Легко видеть, что в любом кольце R существует единственный
максимальный ниль-идеал N, совпадающий с суммой всех ниль-идеалов
кольца. Факторкольцо R/N не имеет ненулевых нидь-идеалов. — Прим*
перев^
хотим получить более сильный результат. Поэтому попы-
таемся найти другой путь.

Предположим, что 7? —кольцо без ненулевых ниль-идеалов,
удовлетворяющее условию ап (а) е Z. Согласно лемме 2.2.3
и замечанию, которое было высказано после ее доказа-
тельства, кольцо R может быть представлено как подпрямая
сумма первичных колец 7?а, причем 7?а обладает таким
дополнительным свойством: существует ненильпотентный
элемент ха 7?а, степени которого содержатся в любых ненуле-
вых идеалах из Ra. Следовательно, Ra не содержит ненулевых
ниль-идеалов. Так как Ra является гомоморфным образом
кольца 7?, то 7?а удовлетворяет условию ап Za, где
Za—-центр кольца Ra. Таким образом, для доказательства
теоремы достаточно доказать ее для колец 7?а, т. е. для
колец с упомянутым выше дополнительным свойством.

Поэтому предположим, что R — первичное кольцо, удо-
влетворяющее условию an(a)^Z и содержащее ненильпо-
тентный элемент b е R, такой, что bm{U}^U для любого
ненулевого идеала U кольца R. Так как элемент bn{b} — c^Z
также ненильпотентен и его степени попадают во все нену-
левые идеалы кольца R, то мы можем с самого начала
предполагать, что b^Z. Так как R первично, то ни один
элемент из Z не является делителем нуля в 7?.

Пусть 31 = {(г, г) \r е R, z Z, z 0}; определим в Й
отношение эквивалентности, полагая (rb zx) ~ (г2, если
г1г2 = г2^1- Легко проверяется, что это действительно отноше-
ние эквивалентности. Множество классов эквивалентности
обозначим через 7?*, а класс элемента (г, z) <= 31 — через [г, z].
Положим

2,] + h, Z2] = [r,Z? + r2Zlt ZiZ2],
h. «1] • [r2) Z2] = [rir2, ZiZ2].

Так как элементы из Z не являются делителями нуля
в R, то мы находим, что эти операции на R* определены
корректно и что относительно этих операций R* является
кольцом. Далее, отображение г -+ [rz, z] является вложением R
в R*. Наконец, центр Z* кольца R* совпадает с множеством
{[х, z] \х е Z}; отсюда немедленно следует, что Z* — поле.

Если Jr, z] е R*, то [г, z]n <г) — [rn (r), zn lr)] е Z*, следова-
тельно, R* обладает тем же свойством, что и R. Но R* будет
простым кольцом. В самом деле, если U* — ненулевой идеал
кольца R*, то немедленно проверяется, что множество
U = {г е R | [г, z] е U* для некоторого z е Z} будет ненуле-
вым идеалом кольца R, следовательно,	Так как

b е Z и b =£ 0, то b m m — также ненулевой элемент из Z,
следовательно, С/* содержит ненулевой элемент из Z*. Но Z* —
поле, поэтому U*=R* и наше утверждение о простоте кольца R*
доказано. Будучи простым кольцом с единицей, кольцо R*
примитивно и по первой части доказательства должно быть
коммутативным. Но тогда и кольцо R коммутативно, так как R
вкладывается в 7?*. Тем самым теорема полностью доказана.

Заметим, что прием, использованный в доказательстве
теоремы 3.2.2, состоял во вложении кольца R в кольцо
7?* = /?®zZ*, где Z* —поле частных кольца Z; затем из
свойств кольца R выводилась простота /?*.

Покажем, как из теоремы 3.2.2 вытекает теорема Дже-
кобсона, которую мы доказали ранее. Пусть R — кольцо,
в котором для любого х е R существует такое целое число
/г(х)>1, что хп(х) = х; тогда R не имеет нильпотентных
элементов. Если е — идемпотент в R, то для любого х <= R
имеют место равенства (хе — ехе)2 = 0, (ех — ехе)2 = 0, откуда
хе = ехе = ех, следовательно, е лежит в центре кольца R.
Из условия ап (а) = а следует, что е = ап (а)“1 — идемпотент.
Таким образом,г некоторая положительная степень любого
элемента а <= R попадает в центр, и, кроме того, так как R
не имеет нильпотентных элементов, то не имеет и ненулевых
ниль-идеалов. Все предпосылки теоремы 3.2.2 выполнены,
поэтому кольцо R коммутативно.

В заключение главы мы докажем еще одну теорему ком-
мутативности. Она представляет собой не более чем частный
случай гораздо более общих результатов, которые, однако,
потребовали бы от нас довольно обширного отступления
в теорию полей. Эти результаты можно найти в статьях [11],
[15], [16], [21]. Некоторые из них мы сформулируем после
того, как докажем упомянутую теорему.

Теорема 3.2.3. Пусть R —кольцо с центром Z, и пусть
существует такое целое число п>1, что xn — x^Z для
всех х е R. Тогда кольцо R коммутативно.

Доказательство разобьем на ряд последовательных
лемм. Если не оговорено противное, то постоянно будем
предполагать, что R — кольцо, в котором хп х <= Z для
всех х е R.

Лемма 3.2.2. Если кольцо R полупросто, то оно комму-
тативно.

Доказательство. Начнем со случая тел. Предполо-
жим, что х R, х Z; если % ge Z, то из соотношений хп—х eZ,
(Xx)n - h g Z следует, что (Лп —- Л) x ge Z, а так как х ф Z,
то V — Л = О для всех Л е Z. Следовательно, Z — конечное
поле1). Так как тело R алгебраично над Z, то получаем,
что хп w = х для всех х е R. Тогда из теоремы Джекобсона
следует, что R коммутативно.

Если R примитивно и не является телом, то для некото-
рого тела D и числа k > 1 кольцо Dk является гомоморфным
образом подкольца из R. Следовательно, в выполнено
условие хп — х е Z. Последнее, однако, невозможно, так как

элемент

1

О

О

О ... о
о ... о

о ... о



удовлетворяет соотношениям х2 = 0, хп — х = — х, причем,
очевидно, не лежит в центре кольца Dk. Отсюда заключаем,
что R является телом и, следовательно, полем. Если кольцо R
полупросто, то оно будет подпрямой суммой примитивных
колец Ra. Каждое из колец Ra является гомоморфным образом
кольца R и, по предыдущему, коммутативно. Но тогда и
само кольцо R будет коммутативным.

Переходя к общему случаю, заключаем, что кольцо R/J (R)
коммутативно, а поэтому имеет место

Следствие. Для любых х, у е R элемент ху — ух при-
надлежит J (R).

Лемма 3.2.3. J(7?)sZ.

Доказательство. Как было показано выше, если Хе Z
и х е R} то (X" — X) х е Z. Следовательно, для любого у е
будем иметь (X" — X) (ху — ух) — 0.

Если X е Z f] J (R), то Хга-1 е J (R) и равенство (1 — Хп-1)/=0
влечет за собой t = Q. Поэтому из (1—Zn~l)Z(xy— yx) = Q
следует равенство X (ху — ух) = 0 для всех X е Z П J (R) и любых
х, у е R. Пусть теперь а — произвольный элемент из / (R). Тогда
а11 —- а е Z f] J (R) и, по предыдущему, (ап — а) (ху — ух) = 0.
Как прежде, отсюда находим, что а (ху — ух) — 0. Анало-
гично получим, что (ху — ух) а — 0 для любых a^J(R) и
х, y^R.

Полагая в этих соотношениях х = а, приходим к равенст-
вам а2у — ауа = у а2, откуда следует, что а2 е Z для любого
ае/(^). Если п четно, то вместе с элементом а2 элемент а"
также принадлежит Z и из условия ап — а е Z находим,
что aeZ. Если п нечетно, то ап~1 еZf]/(R) и условие

J) Содержащее не более п элементов. — Прим. перев.
ап — а Z влечет за собой 0 = {ап — а)х — х {ап — а) —
= (1 — ап~1) {ха — ах) для любого х^. R. Отсюда снова полу-
чаем, что ха — ах = §, т. е.	Таким образом, в обоих

случаях элемент а принадлежит Z, следовательно, J{R)^Z.

По ходу доказательства мы убедились, что J {R){xy—ух) =
= (0); с другой стороны, согласно следствию леммы 3.2.2,
ху — ух (/?). Таким образом, {ху — ух)2 = 0. Так как п > 1,
то выполняется также соотношение {ху — ух)п~ 0, поэтому
из условия {ху — ух)п — {ху — ух) е Z мы выводим, что
х// —z/xeZ. Соберем эти замечания вместе:

Следствие. Для любых х, у ^R элемент ху — ух при-
надлежит Z и удовлетворяет соотношению {ху — ух)2 = 0.

Напомним, что в § 2.2 мы ввели понятие подпрямо
неразложимого кольца: кольцо называется подпрямо нераз-
ложимым в том и только в том случае, когда пересечение всех
его ненулевых идеалов отлично от (0). Согласно лемме 2.2.2,
любое кольцо является подпрямой суммой подпрямо нераз-
ложимых колец. Следовательно, для доказательства нашей
теоремы достаточно доказать ее для подпрямо неразложимых
колец.

Начиная с этого момента, будем предполагать, что
R — подпрямо неразложимое кольцо, в котором хп — хе Z
для всех xe=R. Пусть S — пересечение всех ненулевых идеа-
лов кольца R; по условию S (0). Ясно, что S будет единст-
венным минимальным идеалом кольца R. В силу леммы 3.2.2
мы можем предполагать, что J {R)	(0), — в противном слу-

чае уже известно, что кольцо R должно быть коммутативным.
Таким образом, S s J {R), а так как J{R)^Z, то S Z.
Выше мы показали, что J {R) {ху — ух) = (0), следовательно,
S {ху — ух) = (0). Если кольцо R некоммутативно, то отсюда
легко получаем, что S2 = (0).

Докажем следующую лемму.

Лемма 3.2.4. Существует простое число р, такое, что
р {ху — ух) = 0 для всех х, у е= R.

Доказательство. Так как хп — х €= Z и {2х)п — 2x<^Z,
то (2n ~2)х <=Z, откуда {2п — 2) {ху — ух) = 0. Если кольцо R
некоммутативно, то оно имеет, таким образом, элементы
конечного аддитивного порядка; тогда оно имеет и элементы
некоторого простого порядка р. Пусть Rp — {x^R\px = 0},
Rp (0); ясно, что Rp — идеал в R и потому Rp 3 S. Если бы
для некоторого простого числа q, отличного от р, идеал Rq
также был отличен от (0), то отсюда следовало бы, что
Rq Э S. Но тогда S s Rp П Rq — (0), что противоречит условию
S Ф (0).

Для любых х, у &.R имеем (рп — р) (ху — ух) = 0, т. е.
(pn~l — V)p(xy — z/x) = 0. Так как число рп~х— 1 взаимно
просто с р, то по предыдущему замечанию находим, что
р(ху — ух) = 0, и лемма доказана.

Пусть х, у — произвольные элементы из R, тогда, согласно
следствию леммы 3.2.3, ху — ух^ Z. Чему равен элемент
х2у — ух2? Вычисляя, находим

х2г/ — ух2 — х (ху — ух) + (ху — ух) х = 2х (ху — ух).

Аналогичные вычисления для любого k > 1 приводят
к соотношению xky — yxk — kxk~- (ху — ух). В частности,
полагая k — p, получим хру — ухр = рхр~х (ху — ух) = 0. Нами
доказана

Лемма 3.2.5. Для любого x^R элемент хр принадлежит Z.

Положим A (S) — (х е R |х$ = (0)}; тогда A (S) — идеал в R,
и так как S2 = (0), то S = A (S), A (S) #= (0).

Пусть х е A (S). Согласно лемме 3.2.5, элемент хр при-
надлежит Z, поэтому для любых y,ze=.R будем иметь равенство
(хпр — хр) (yz — zy) = 0, или х(п~Х} р и = и, где и = хр (yz — zy).
Так как x(n-l) р е Z, то множество T = (ref(\x,n~,>pr=r}
является идеалом в R. Если, бы идеал Т был отличен от (0),
то он содержал бы S. Но последнее невозможно, так как
xS — (0). Следовательно, Т — (0); в частности, хр (yz — zy) = 0
для любого xe=A(S) и любых у, zg=R. Отсюда (хру)г —
= xpzy — z(xpy), т. е. xpy^Z. В частности, xp+k е Z для
любого k ^0.

По условию хп — х е Z и (хп)п — хп <^Z. Отсюда мы выво-
дим, что х"2 — хе Z. Аналогично • можно доказать, что
k

хп — x^Z для любого k^l. Выберем число k так, чтобы
выполнялось неравенство nk > р. Тогда для любого х е A (S)
k

будем иметь, согласно предыдущему, хп eZ. Так как, с дру-
k

гой стороны, хп — х е Z, то отсюда заключаем, что х <= Z.
Нами доказана

Лемма 3.2.6. A(S)<=Z.

Эта лемма показывает, в частности, что если Л(5) = 7?,
то кольцо 7? коммутативно. Поэтому дальше будем предпо-
лагать, что A (S) #=

Пусть я—-делитель нуля в т. е. ах = 0 для некоторого
х 0. Тогда, конечно, выполняется и равенство ахр — 0.
Если хр ф 0, то, согласно лемме 3.2.5, хр — элемент из Z*
Если же хр = 0, то сам элемент х принадлежит Z. Действи-
тельно, для достаточно большого k будем иметь nk > р,
k	k

хп =0. С другой стороны, выше было показано, что хп — x^Z
для любого k^l. Следовательно, х е Z. Мы получили, что
в любом случае элемент а аннулирует некоторый ненулевой
элемент z е Z. Так как z =А 0, то Rz (0). Действительно,
допустив противное, мы получили бы, что множество
{x^R \Rx = (0)} является ненулевым идеалом, содержащим S,
следовательно, = (0), что противоречит предположению
Учитывая, что г о= Z, получаем, что Rz — нену-
левой идеал кольца R, откуда S Rz. Тогда aS^aRz =
= ^2/? = (0), asA(S). Нами доказана

Лемма 3.2.7. Все делители нуля из R лежат в Л(5).

Для завершения доказательства теоремы 3.2.3 нам нужна
еще одна основная лемма.

Лемма 3.2.8. Факторкольцо R[A (S) является конечным
полем.

Доказательство. Покажем сначала, что /?/Л (S) —
поле. Если s — отличный от 0 элемент из S, то se Z и
Rs — идеал кольца R, который, как было показано выше,
должен быть отличен от (0). Отсюда следует, что 5 Rs.
С другой стороны, так как s е$ и S - идеал кольца R, то

S. Следовательно, S = Rs.

Пусть х — произвольный элемент из R, не лежащий в A (S).
Тогда по лемме 3.2.7 х не является делителем нуля в 7? и
xs — отличный от нуля элемент из S. Согласно предыдущему,
Rxs = S. Для любого z <= R элемент zs принадлежит S = Rxs,
следовательно, найдется такой элемент у <= R, что zs = у xs,
откуда {ух — z)s = 0. Так как элемент ух —г оказывается
делителем нуля, то ух — z А{$). Переходя к гомоморфным
образам в факторкольце R — R)A{S), получим соотношение
yX = z, показывающее, что соответствующее уравнение в R
разрешимо для любых х 0 и любых z. Следовательно,
R является телом. Так как все коммутаторы ху — ух (х, у е 7?)
являются делителями нуля, то они лежат в Л(3). Отсюда
следует, что факторкольцо R = /?/Л(5) коммутативно. Таким
образом, мы доказали, что RIA(S) является полем.

Обратимся к вопросу о конечности RfA{S). Если х е R,
то е Z и, следовательно, {хпр — хр) {yz — zy) = § для
любых у, z (= R. Если R некоммутативно, то элемент хпр — хр
оказывается делителем нуля и поэтому лежит в Л(5). Но
тогда в поле R каждый элемент х удовлетворяет соотноше-
нию хпр — хр = 0, т. е. является корнем фиксированного поли-
нома. Отсюда следует конечность поля

Теперь мы можем завершить доказательство теоремы 3.2.3.

Так как R = R/A(S) — конечное поле, то мультиплика-
тивная группа его элементов, отличных от 0, является цикли-
ческой. Пусть а — образующий элемент этой группы и а е R —
прообраз элемента а. Если х ф A (S), то а1 — х е= A (S) Z
для некоторого f>0. Следовательно, (а1 — х) а == а(а1 — х),
откуда получаем, что элемент а перестановочен с любым
элементом х из R, не принадлежащим 4(S). Но если х
принадлежит X(S), то тем более ха = ах, так как A(S)^Z.
Таким образом, мы доказали, что а €= Z. Из условия
а* — х е A (S) Z, которому удовлетворяют элементы х е
не лежащие в 4(S), следует, что такие элементы принадле-
жат Z. Если же х^Л(5), то тем более xeZ, так как
A(S)^Z. В любом случае оказывается, что xeZ, следова-
тельно, 7?==Z, и теорема доказана.

Существуют различные обобщения этой теоремы; чтобы
ознакомиться с их доказательствами, следует обратиться
к указанной ниже литературе. Можно, например, ослабить
условие на показатель п, допуская, что п зависит от х1).
Более того, достаточно предполагать, что для любого х R
существует такой полином px(t) с целыми коэффициентами,
зависящими от х, что х2рх(х) —x^Z, — отсюда также сле-
дует коммутативность кольца R. Можно получить локальные
аналоги этих теорем. Пусть, например, для любых х, у е R
существует такое целое число п=п(х, у) > 1, что элемент хп—х
перестановочен с у; тогда кольцо R коммутативно. Другие
теоремы также имеют свои локальные аналоги.

Другая ситуация, которая близка к коммутативности,
состоит в том, что идеал, порожденный коммутаторами эле-
ментов из R, является ниль-идеалом. Такая ситуация возни-
кает, например, в условиях теоремы 3.2.2. Имеется ряд
других естественных условий, из которых вытекает, что ком-
мутаторный идеал должен быть ниль-идеалом. Одним из
таких условий является, например, следующее: кольцо R
удовлетворяет тождеству (ху)п — хпуп для некоторого фикси-
рованного числа n> 1. Приведем еще один результат в этом
направлении. Пусть 7? —кольцо, в котором для любых х, y^R
существуют такие целые числа п(х, у), m(x,y)>Q, что

!) В такой формулировке теорема содержится в книге Джекобсона
„Строение колец", ИЛ, М„ 1961, стр. 320. — Прим. nepeQ,
(ху)п {Хг у} — (ух)т (х' у); тогда идеал, порожденный коммута-
торами, снова будет ниль-идеалом.

ЛИТЕРАТУРА

1.	Артин (Artin Е.), Ober einen Satz von Herfn J. H. MacLaglan—
Wedderburn, Abh. Math. Seminar, Univ. Hamburg, 5 (1927), 245—250.

2.	Беллю с, Джайн, Херстейн (Belluce R., Jain S. K«, Her-
stein I. N.), Generalized commutative rings, Nagoya Math. J., 27
(1966), 1—5.

3.	Веддербарн (Wedderburn J. H. M.), A theorem on finite algeb-
ras, Trans. Amer. Math. Soc., 6 (1905), 349—352.

4	Джекобсон (Jacobson N.), Structure of rings, Amer. Math. Soc.
Colloq. Publ., 37, 1964. (Русский перевод первого издания 1956 г.:
Джекобсон Н., Строение колец, ИЛ, М., 1961.)

5.	______, Structure theory for algebraic algebras of bounded degree, Ann.

of Math., 46 (1945), 695—707.

6.	И кеда (Ikeda M.), On a theorem of Kaplansky, Osaka Math. J., 4
(1952), 235—240.

7.	Капланский (Kaplansky I.), A theorem on division rings, Ca-
il ad. J. Math., 3 (1951), 290—292.

8.	Мартиндейл, (Martindale W.), The structure of a certain class
of rings, Proc. Amer. Math Soc, 9 (1958), 714—721.

9.	______, The commutativity of a certain class of rings, Canad. J. Math.,

12 (1960), 263—268.

10.	Нага та, Нака яма, Тузуку (Nagata M., Nakayama T.,
Tuzuku T.), On an existence lemma in valuation theory, Nagoya Math.
J., 6 (1953), 59—61.

11.	НакаяМа (Nakayama T.), Uber die Kommutativitat gewisser Rin-
ge, Hamb. Abhand., 20 (1955), 20—27.

12.	_____, A .remark on the commutativity of algebraic rings, Nagoya

Math. L, 14 (1959), 39—44.

13.	Фейт (Faith С. C.), Radical extensions of rings, Proc. Amer. J. Math.,
12 (1961), 274—283.

14.	Херстейн (Her st ein I. N.), A generalization of a theorem of
Jacobson, I., Amer. J. Math., 73 (1951), 755—762.

15.	_____, A generalization of a theorem of Jacobson, III, Amer. Math.

Soc., 75 (1953), 105—111.

16.	, The structure of a certain class of rings, Amer. J. Math., 75

(1953), 864—871.

17.	_____,An elementary proof of a theorem of Jacobson, Duke Math. J.,

21 (1954), 45—48.

18.	_____, A theorem on rings, Canad. J. Math, 5 (1953), 238—241.

19.	A theorem concerning three fields, Canad. J. Math., 7 (1955),
202—203.

20.		, Wedderburn’s theorem and a theorem of Jacobson, Amer. Math.

Monthly, 68 (1961), 249—251.

21.		, Two remarks on the commutativity of rings, Canad. J. Math.,

7 (1955), 411—412.

22.		, A condition for the commutativity of rings, Canad. J. Math., 9

(1957), 583—586.

23.	...Power maps in rings, Michigan Math. J., 8 (1961), 29—32.
Г л а в a 4

ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ

Основополагающая работа Веддербарна о строении про-
стых алгебр послужила исходным пунктом для глубоких
исследований в теории алгебр — часто с ориентацией на при-
менения в алгебраической теории чисел. Многие из ранних
результатов, полученных вслед за Веддербарном, вошли
в книгу Диксона. Затем в 20-х годах и начале 30-х годов
нашего века весьма глубокое изучение простых алгебр до-
стигло своей высшей точки в превосходной структурной тео-
рии конечномерных алгебр с делением над полями алгебраи-
ческих чисел. Большая часть этих результатов получена
Албертом, Артином, Брауэром, Нётер и многими другими.

Как это часто бывает в математике, цикл завершился и
начался новый. Красивые работы по теории простых алгебр
дали толчок ряду исследований по алгебре в наши дни.
Так, в гомологической алгебре классические результаты о про-
стых алгебрах получили новую интерпретацию, передоказаны
и распространены в чрезвычайно широкой постановке. Чтобы
ознакомиться с активной деятельностью в этой области,
можно обратиться к некоторым из статей, которые мы цити-
руем в конце главы, в частности к статьям Амицура, Ауслен-
дера, Чейза, Харрисона, Розенберга, Серра и Зелинского.

§ 4.1.	Группа Брауэра

Начнем с определения.

Определение. Алгебра А называется центральной про-
стой алгеброй над полем F, если А — простая алгебра с цент-
ром F.

Предметом нашего обсуждения будет природа множества
центральных простых алгебр над фиксированным полем F.
Желательно знать, например, какие операции мы можем
производить с такими алгебрами, не выходя за пределы
данного множества. Шагом в этом направлении — достаточно
важным, хотя и простым — является

Лемма 4.1.1. Если А — центральная простая алгебра над
полем F, а В — простая алгебра, содержащая F в своем
центре, то А®РВ — простая алгебра.
Доказательство. Пусть U (0)-- идеал вЛ®/?В.
Если и — ненулевой элемент из U, то запишем его в виде
и 3 at ® где щ е= A, bt В и bt линейно независимы
над F. Назовем число ненулевых в этом выражении дли-
ной и. Выберем элемент и 0 е U с наименьшей длиной.
Если г, se А, то (г ® 1) и (s ® 1) — S r^s ® bt е U. Так как
алгебра А простая, то Аа{А = А, поэтому от элемента и
можно перейти к элементу щ е U той же длины, имеющему
вид щ = 1 ®	+ #2 ® Ь2 + • • • + a'm ® bm. Для любого а (= А

элемент (а® 1)z/j — щ(а® 1) принадлежит В; вычисляя его
в явном виде, находим (аа^—а^а) ® Ь2 + ... +(^m—
® bm<^ U. Однако длина этого выражения меньше, чем
длина щ, поэтому оно должно равняться 0. Так как bt ли-
нейно независимы над А ® 1, то из свойств тензорного произ-
ведения следует, что элементы 1 ® bi линейно независимы
над Л® 1, откуда получаем в конечном счете, что aaft — a'ta
для / = 2, ..., tn и любых а<=А. Таким образом, элементы
лежат в центре А и потому принадлежат F. Запишем
— az <= F. Тогда щ — 1 ® Ьх + а2 ® Ь2 + ... + am ® bm — 1 ®
®(61+а2&2+ ... +am^) = l®6, где b = b{+^b2 + •••
... + ambm<^ В\ так как bi линейно независимы над F, то
& =# 0. Отсюда следует, что U з (1 ® В^щ (1 ® В) = 1®В6В =
= 1 ® В и, далее, U э (А ® 1) (1 ® В) — А ® В. Таким обра-
зом, В —Л® В и простота алгебры Л®ГВ доказана.

Заметим, что легкая модификация приведенных выше
рассуждений позволяет выяснить структуру идеалов алгебры
Л®^В даже в том случае, когда алгебра В не простая.
Так как в дальнейшем это нам не понадобится, то мы оста-
вляем это читателю.

Если обе алгебры Л и В являются центральными про-
стыми алгебрами над F, то по лемме, которая была только
что доказана, алгебра Л®ГВ будет, конечно, простой. Од-
нако мы можем в явном виде вычислить ее центр. Соответ-
ствующий результат сформулируем как теорему.

Теорема 4.1.1. Если А и В — центральные простые ал-
гебры над полем F, то алгебра A®FB — также централь-
ная простая алгебра над F.

Доказательство. Так как простота алгебры Л®ГВ
уже известна, то мы должны доказать только, что центр
* этой алгебры совпадает с В.

Пусть элемент z= 2	® лежит в центре алгебры

А ® В; здесь мы снова предполагаем, что элементы &£- е В
линейно независимы над F. Тогда для любого a s А будем
иметь

О = (а ® 1) z — z (а ® 1) = 2 (ааг- — aid) ® bh

откуда aat — ata = 0, т. е. элементы at лежат в центре А.
Если запишем at = а^ F, то z — 2	® bt = 1 ® 2 «Л =

— 1 ® Ь. Так как z лежит в центре А ® В, то для любого
х е В

О = z (1 ® х) — (1 ® х) z — 1 ® {bx — xb),
откуда bx — xb = О, b лежит в центре В, а значит, b ее F.
Другими словами, г = р(1 ® 1), где |3 F. Мы показали, что
центр алгебры A®FB совпадает с F(1 ® 1) или с F, если F
отождествить с F(1 ® 1). Алгебра A®FB оказывается цен-
тральной простой над F.

Из полученных результатов вытекает очень интересное
следствие для алгебр с делением, конечномерных над своим
центром.

Теорема 4.1.2. Пусть D — алгебра с делением, конечно-
мерная над своим центром Z. Тогда размерность D над Z
является точным квадратом.

Доказательство. Пусть Z — алгебраическое замы-
кание поля Z. Так как алгебра D — центральная простая
над Z, то в силу леммы 4.1.1 D ®z Z = D —^простая ал-
гебра. Кроме того, [D : Z] — [D : Z]. Поскольку D — простая
конечномерная алгебра над алгебраически замкнутым по-
лем Z, то из теоремы Веддербарна следует, что D Z^.
Далее, [D : Z] = п2, а так как размерности [D Z] и [D : Z]
равны, то мы заключаем отсюда, что [D : Z] = n2.

Если А — простая алгебра конечной размерности над
своим центром Z, то по теореме Веддербарна A^Dm, где
D — конечномерная алгебра с делением над Z, причем
центр D совпадает с Z. Тогда по только что доказанной
теореме [D : Z] = п2, следовательно, [А : Z] = (mn)2. Таким
образом, получаем

Следствие. Если А — центральная простая алгебра над Z,
то размерность А над Z является точным квадратом.

Если R — произвольное кольцо, то через R' обозначим
кольцо, аддитивная группа которого совпадает с аддитивной
группой кольца R, а умножение определено равенством
а • b — ba, где а • b — произведение элементов а, b в
а Ьа — произведение в R. Ясно, что R' антиизоморфно
кольцу /?. Мы будем называть кольцо R' взаимным к R.

Докажем следующий важный результат.
Теорема 4.1.3. Если А — конечномерная центральная про-
стая алгебра над F, то А®р А' ~ Fn, где п = dimF А.

Доказательство. Если А будем рассматривать про-
сто как векторное пространство над полем F, то кольцо L (Л)
всех линейных преобразований А над F имеет размерность
п2 над F и изоморфно Fn.

Если а е А, то через Та будем обозначать, как и прежде,
линейное преобразование пространства А, переводящее х
в ха, а через La — преобразование, переводящее х в ах.
Пусть Аг = {Та |а е A}, A/ = {La|ae А}. Ясно, что Аг и
Ai — подалгебры в L (Л), причем Ar ~ A, At ~ А'. Любой
элемент из Аг перестановочен с любым элементом из А/.
Из упомянутых выше изоморфизмов следует, что А®РА'~
Аг ® р А/. Так как обе алгебры Аг и А; являются цен-
тральными простыми над F, то то же самое верно и для
алгебры Аг®рАг. Определим отображение Ar ® р Ai~+ ArAi^
S L (А), переводящее 2 Ta ® Lb в 2 TaLb. Тривиально про-
веряется, что это — отображение на всю алгебру АгАг, из
перестановочности Аг и Аг следует, что это отображение
является гомоморфизмом. Но алгебра Аг ® Р Аг проста, сле-
довательно, определенное выше отображение является изо-
морфизмом, Ar ® Р At ~ ArAi. В частности,

dimF (АгАг) = dimF (Ar ® Аг) — dimF (А ® А') = п2.

Так как АгАг — подалгебра в L (А) и dim^ (ArAt) — п2=
= d’mfZ,(A), то отсюда заключаем, что АтАг = L (А) ~ Fn.
Кроме того, А ® А' ~ Аг ® А/ ~ ArAt. Следовательно, А® А'~
~ Fn, что и составляет утверждение теоремы.

Если Q—алгебра кватернионов над полем действитель-
ных чисел/7, тона Q определено отображение х-+х, являю-
щееся антиавтоморфизмом периода 2. Следовательно, в ка-
честве Q' мы можем взять само тело Q; применяя теорему,
находим, что Q ®rQ' = Q ® FQ~ Е4, где Е4 —алгебра всех
(4Х4)-матриц над полем действительных чисел.

Полученные к настоящему моменту результаты являются
необходимыми составными частями для определения группы
Брауэра поля F. Чтобы определить эту группу, мы должны
ввести некоторое отношение эквивалентности.

Определение. Если А и В — конечномерные центральные
простые алгебры над полем F, то будем говорить, что ал-
гебры А и В эквивалентны (А~В\ если для некоторых
натуральных чисел тип алгебра A®PFm изоморфна ал-
гебре В ®PFn.
Другой способ определения этой эквивалентности состоит
в следующем. Согласно теореме Веддербарна, А ~ D1 ® Fn,
В ~ D2® Fm, где Z)j, D2 — конечномерные над F тела, центр
которых совпадает с F. Тогда А~В в том и только в том
случае, когда ~ D2. Иными словами, отношение эквива-
лентности для центральных простых алгебр над F опреде-
ляется в конечном счете для центральных алгебр с делением
над F. Мы воздержимся от проверки, что это отношение
действительно является отношением эквивалентности, и
предоставим ее читателю.

Пусть В (F) — множество классов эквивалентности конеч-
номерных центральных простых алгебр над F. Обозначим
через [Л] класс эквивалентности алгебры А и определим
произведение в B(F), полагая [Л][В] = [Л ®FB]. Теорема
4.1.1 показывает, что множество B(F) замкнуто относительно
этого умножения. Из свойств тензорного произведения сле-
дует, что так определенное умножение в B (F) ассоциативно
и коммутативно. Класс [F] поля F является единицей в В (F)
(заметим, что — [F] тогда и только тогда, когда A ~ Fn
для некоторого п^1). Наконец, если [A]^B(F), а [Л'] —
класс алгебры Л', взаимной к Л, то по теореме 4.1.3
[Л] • [Л'] — [F]. Итак, мы проверили, что имеет место

Теорема 4.1.4. В (F) —абелева группа.

Группа B(F) называется группой Брауэра поля F. Так
как для любой центральной простой алгебры Л над F
класс [Л] совпадает с классом [D], где D — алгебра с деле-
нием, определенная однозначно с точностью до изоморфизма,
то группа B(F) представляет собой инвариант поля F, кото-
рый перечисляет алгебры с делением над F, содержащие F
в качестве своего центра. К более тщательному изучению
группы В (F) мы вернемся несколько позже.

§ 4.2.	Максимальные подполя

Свойства тел во многом зависят от свойств их макси-
мальных подполей. Несколько прекрасных классических тео-
рем посвящены выяснению того, как расположены эти мак-
симальные подполя в телах. Некоторые из этих результатов
будут рассмотрены ниже.

Если D — тело и S — подмножество в D, то централиза-
тором S в D называется множество C(S) = {х е D |х$ = sx
для всех seS}. Тривиально проверяется, что С (S) — под-
тело в D.

Максимальным подполем тела D называется, достаточно
естественно, такое подполе К s D, которое не содержится
ни в каком большем подполе. Заметим, что тогда К авто-
матически должно содержать центр Z тела D, так как
в противном случае поле Z (Д), полученное присоединением
к К элементов из Z, было бы подполем, строго большим,
чем К.

Лемма 4.2.1. Если D — тело и К — подполе в D, то К
будет максимальным подполем тогда и только тогда, когда

Доказательство. Если К = С (К) и - подполе
в D, то L С (К) = Д, откуда L = К и, следовательно,
К — максимальное подполе.

Если К — максимальное подполе и а е С (Д), то
Д (а) з К — подполе в D, содержащее Д'. Следовательно,
Д(а) = Д, а^К. Таким образом, С(Д)^Д^С(Д), отсюда
Д = С(Д).

В начале этого параграфа мы отметили, что свойства
максимальных подполей имеют решающее значение для оп-
ределения свойств тела в целом. На тесную взаимосвязь
между ними указывает следующий результат.

Теорема 4.2.1. Пусть D — тело с центром F и К — макси-
мальное подполе в D; тогда D — плотное кольцо линей-
ных преобразований D, рассматриваемого как векторное
пространство над К-

Доказательство. Пусть Е (£>) —- кольцо эндоморфиз-
мов аддитивной группы тела D, и пусть Dr = {Та | а £>},
Ki = {Lk\k <= К}; через Та, Lk обозначаются, как прежде,
эндоморфизмы D, которые переводят элемент х в ха или
в kx соответственно. Ясно, что любой элемент из Д/ пере-
становочен с любым элементом из Dr.

Так как D — тело, то dDr — D для любого ненулевого
элемента d D, т. е. Dr действует на D неприводимо. Сле-
довательно, DrKi также действует на D неприводимо. Будучи
кольцом эндоморфизмов, кольцо DTKi действует на D точно.

Пусть Д — централизатор кольца DTKi на D, т. е. цен-
трализатор DrKi в E(D). Так как кольцо Д централизует £>г,
то Д должно содержаться в Di = {La \a^D}. Кроме того,
Д централизует и Д/. Учитывая, что Д/ — максимальное под-
поле в Db получаем, что Д s= Д/. С другой стороны, оче-
видно, что Д/ Д; следовательно, Д = Д/. Мы показали, что
7)ГД/ является плотным кольцом линейных преобразований
пространства D над Д/.

Так как поле Д коммутативно, ю Д изоморфно Д/. По
лемме 4.1.1 D ® г Д — простая алгебра. Отображение
D ®FКDrKb переводящее элемент ^at®kt^D®FK
в элемент 2 е DrKh является гомоморфизмом на все
кольцо DrKt и, следовательно, изоморфизмом. Таким обра-
зом, кольцо Ь®РД изоморфно кольцу DrKi и поэтому
является плотным кольцом Д-линейных преобразований про-
странства D. Теорема доказана.

В частном случае, когда тело D конечномерно над своим
центром F, теорема принимает гораздо более точную форму.
В этом случае размерность D над своим максимальным под-
полем К конечна. Если [D : К] = п, то плотность действия
кольца D ® F К на пространстве D над К означает, что
D ~ Кп. Отсюда получаем

Следствие. Если тело D конечномерно над своим центром
F и К - максимальное подполе в D, то D ® F К ~ Кп, где
n = [D:K],

Заметим теперь, что dim^(Z) 7<) = dimF D; так как
D ® F К Д„, то dimAr (D ® F К) — н2, следовательно,
dimF/) = n2. Учитывая равенства [D'.R] = n и [D : F] =
= [Ь : К] [Д'.’ F] — п2, получаем, что [D : Д] = [Д : F] = п.
Хотя это утверждение содержится по существу в приведен-
ном выше следствии, оно является достаточно важным, и мы
выделим его в виде теоремы.

Теорема 4.2.2. Если D — алгебра с делением, конечно-
мерная над своим центром F, то для любого максималь-
ного подполя К в D имеют место соотношения
= F] = V[D: Л-

Отметим одно простое следствие теоремы 4.2.2. Если
D — конечномерная центральная некоммутативная алгебра
с делением над пол^м F действительных чисел, то ее мак-
симальным подполем должно быть поле Д комплексных чи-
сел, так как оно является единственным конечным расши-
рением поля действительных чисел. Тогда [Д : Д] = 2, сле-
довательно, [D : Д] = 22 = 4. Пользуясь этим, легко показать,
что D должно быть изоморфно телу кватернионов.

Еще одно замечание состоит в следующем. Если D — ал-
гебра с делением бесконечной размерности над своим мак-
симальным подполем Д, то D$FK не является артиновой
алгеброй — в противном случае мы имели бы, согласно тео-
реме 4.2.1, что D ®FK~Kn для некоторого натурального п,
в то время как алгебра Ь®ГД бесконечномерна над Д’.
Следовательно, тензорное произведение артиновых колец не
обязано быть артиновым даже в случае тел.
§ 4.3.	Некоторые классические теоремы

Прежде чем перейти к доказательству двух весьма важ-
ных и классических теорем — теоремы Нётер — Сколема и
теоремы о двойном централизаторе, — обратимся к вопросу
о строении модулей над полупростыми артиновыми коль-
цами.

Лемма 4.3.1. Если R — полупростое артиново кольцо и
М — унитарный модуль над кольцом R, то М является пря -
мой суммой неприводимых R-модулей.

Доказательство. Так как R — полупростое артиново
кольцо, то 7? = У?! 4- ... 4- Rk> где каждое из колец Rt
является простым артиновым и Rt = etR, где et — идемпотент,
лежащий в центре кольца R. Так как 1=^4- ... ek,
то для модуля М получаем разложение вида M = Met+ .. .
. .. 4- Mek. Каждый из подмодулей Met является унитарным
7?,-модулем и MetRj = (0) для всех / =И= г. Следовательно,
утверждение леммы достаточно доказать в частном случае,
когда R — простое артиново кольцо.

В этом случае, согласно теореме Веддербарна, R ~ Dn,
где D — некоторое тело. Пусть elt — идемпотентная матрица
вида

10

о

1

о

о

о

и Pi = el{R. Тогда /? = рх 4- ... + рга, где каждый из правых
идеалов рг является минимальным правым идеалом кольца R
и, следовательно, неприводимым 7?-модулем. Если m — произ-
вольный элемент из М, то

m = ml=m(ell+ ... + enn) = mt + ... + m„,

где mt = metl e mpt-. Ясно, что либо mpt = (0), либо mpt будет
неприводимым 7?-модулем. Таким образом, элемент m е М
содержится в сумме неприводимых Л-модулей и потому М
является суммой своих неприводимых подмодулей. Рас-
смотрим такие подмодули в М, которые являются прямыми
суммами неприводимых 7?-модулей; пользуясь леммой Цорна,
выберем среди них максимальный подмодуль То. Мы утвер-
ждаем, что То — М. В самом деле, пусть ЛЦ5£Т0 для не-
которого неприводимого подмодуля М, модуля М. Тогда
из неприводимости подмодуля Mj следует, что ЛЦ fl = (0).
В этом случае АЦ4-Тй будет большей прямой суммой не-
приводимых подмодулей. Следовательно, То — М и лемма
доказана.

Зная, что произвольный модуль над полупростым арти-
новым кольцом R разлагается в прямую сумму неприводи-
мых подмодулей, мы хотим выяснить теперь, что предста-
вляют собой сами неприводимые /^-модули.

Лемма 4.3.2. Пусть R — полупростое артиново кольцо
и М — неприводимый R-модуль. Тогда модуль М изоморфен
некоторому минимальному правому идеалу кольца R, рас-
сматриваемому как R-модуль. Кроме того, если кольцо R
простое, то все неприводимые R-модули изоморфны между
собой.

Доказательство. Пусть М — неприводимый 7?-модуль;
по лемме 1.1.3 М изоморфен модулю R/p для некоторого
максимального правого идеала pc:R. По теореме 1.4.2
существует такой идемпотент e^R, что p — eR. Тогда
R — eR 4- (1 — е) R и, следовательно, имеют место изомор-
физмы /^-модулей М ~ R/p — R/eR (1 — е) R. Так как мо-
дуль R/p неприводим, (1 — е) R — минимальный правый идеал
кольца R.

Если R — простое кольцо, то R^Dn и любой минимальный
правый идеал р кольца R имеет вид p — eR, где e2 — e^R.
С помощью подходящего автоморфизма кольца R матрицу е
можно привести к диагональному виду; из минимальности
правого идеала р следует, что матрица е приводится к виду
/1 0 ... 0\
/о 0 ... О I

\0 0 ... О/

Отсюда получаем, что идеал р изоморфен правому идеалу
кольца Dn, состоящему из матриц вида

/«1 ••• а»\

| 0 ... О I

\о ... о /

Лемма доказана.
Элементарная теорема теории матриц утверждает, что
любой автоморфизм полной матричной алгебры Fn над по-
лем F, оставляющий элементы из F неподвижными, является
внутренним. Эта теорема имеет важное обобщение на случай
простых артиновых колец, которое называют обычно теоре-
мой Нетер — Сколема.

Теорема 4.3.1. Пусть R — простое артиново кольцо с цен-
тром F, и пусть Л, В — простые подалгебры в R, которые
содержат F и имеют конечную размерность над F. Если
Ф — изоморфизм А на В, оставляющий элементы из F не-
подвижными, то существует обратимый элемент x^R, такой,
что ф(а) = х“1ах для всех а^А.

Доказательство. Пусть символы £(/?), Ri, Ar, Br
имеют обычный смысл (например, АГ=^{Т а\а еэ А}, где
Та — эндоморфизм аддитивной группы кольца R, переводя-
щий х в ха). Тогда Ri ® F Аг — простое артиново кольцо,
изоморфное RjAr', аналогично, кольцо Rt®FBr изоморфно
кольцу RtBr.

Отображение Ri ® Ar *-> Rt ® Вг, переводящее La ® Та
в ® Гф(а), является, очевидно, изоморфизмом Rt ® Аг
на Rt ® Вг. Мы превратим R в модуль над кольцом Rt ® Аг,
отождествляя Ri ® Ar с RiAr, т. е. определяя действие эле-
мента Lu ® Та е Ri ® Аг на произвольный элемент х е R
равенством х (La ® Та) — иха, и в модуль над кольцом Rt ® Вг,
полагая х (Lu ®	(а)) = uxq (а).

Так как Ri ® Аг —- простое артиново кольцо, то, согласно
двум предыдущим леммам, R разлагается в прямую сумму
неприводимых Ri ® Лг-модулей Vt, причем все эти модули
изоморфны между собой. Аналогично, R является прямой
суммой попарно изоморфных неприводимых *Rt ® ^-моду-
лей Ui. Так как кольца Rt ® Аг и Rt ® Вг изоморфны, то
модули Vi также изоморфны модулям U j. Пусть R =
—V1 + ... + и R—UiA- ...	Um — соответствующие

разложения 7? в прямую сумму подмодулей, и пусть для
определенности п пг. Тогда существуют изоморфизмы
cr.Vi-^ Ui (i=> 1, такие, что ст/(ст<АвТа) = ст/(стг)Ьв7’ф(а)
для любых v(^Vi, и е R, а^А. Положим
тогда ст будет мономорфизмом R в R, удовлетворяющим
условию ст(оАаТа) = ст(ст)Ан7’ф(а) для любых и, v <= R, а е А.

В частности, если п=1, а— 1, то для всех u&R будем
иметь о(и) = ыст(1) — их, где х = ст(1). Далее, полагая
u = v=^i, получим ст(а) = ст(1)<р(а) = хф(а). Если же в пре-
дыдущем равенстве положим и = а, то получим ст (а) — ах.
Следовательно, ху(а) = ах для всех аеЛ. Чтобы закончить
доказательство теоремы, нужно лишь проверить, что эле-
мент х обратим в 7?.

Если их = 0 для некоторого и R, то о (и) = 0, и так
как (У — мономорфизм,	Следовательно, элемент х не

является правым делителем нуля в R. Будучи кольцом
матриц над некоторым телом, кольцо R артиново слева.
Простым упражнением является проверка следующего утвер-
ждения: если кольцо R артиново слева и х — элемент из R,
не являющийся правым делителем нуля, то Rx — R. Применяя
эти замечания к нашему случаю, находим, что элемент х
обратим, следовательно, <р(а) = х“1ах, что и требовалось
доказать.

Следствие. Пусть А — простая алгебра, конечномерная
над своим центром. Тогда любой автоморфизм алгебры А,
оставляющий элементы центра неподвижными, является
внутренним.

Доказательство. Положим в теореме 4.3.1 7?=А=В,
тогда ее утверждение принимает следующий вид: если
Ф — автоморфизм алгебры А, то <р(а) — x~xax для всех а е А.

Теорема 4.3.1 представляет собой чрезвычайно общий
и полезный результат, у нас будет много случаев исполь-
зовать его. Укажем некоторые непосредственные применения
этой теоремы, представляющие независимый интерес.

(1)	Дифференцирования простых алгебр.

Определение. Аддитивное отображение б кольца R в себя
называется дифференцированием, если б (ab) — б {а) b + ад (Ь).
Дифференцирование б называется внутренним, если суще-
ствует такой ^элемент c<=R, что б (х) — хс — сх для всех х <= R.

Если А — алгебра над полем F, то дополнительно тре-
буется, чтобы отображение б:	А удовлетворяло условию

б(ах) = аб(х) для всех х е А.

Предложение. Пусть А — простая алгебра, конечномерная
над своим центром F. Тогда любое дифференцирование
алгебры А будет внутренним.

Доказательство. Пусть А2 — кольцо матриц второго

порядка над А, тогда А2 является простой алгеброй с центром,

изоморфным F, и имеет
центром *). Положим

конечную размерность над своим

а е А

!) А2 сх А ®F F2. — Прим, перев.
где б — дифференцирование алгебры Л, и пусть

а е А

Если aeF, то тривиально доказывается, что б(а) = 0; сле-
довательно, В является подалгеброй, содержащей центр
алгебры А2. Легко видеть, что отображение ф: С—>В, дей-
ствующее по правилу

а 0 \	/ a 6(a)

0 а/\0 а

является изоморфным отображением С на В, при котором
элементы из F остаются неподвижными. Кроме того, С ~ Л.
Выполнены все условия теоремы 4.3.1; следовательно, суще-
ствует обратимая матрица

X у

Z W

из Л2, такая, что

а 6(а)\/х у\	/х y\fa 0

0	a )\z w) w \0 а

Отсюда находим, что для всех элементов а&А справедливы
соотношения

ах + б (a) z = ха.

ay + 6(a)w = ya,

aw = wa.

az — 2а.

В силу этих соотношений элементы z и w являются скаля-
рами, а так как матрица

w)

обратима, то хотя бы один из них, скажем z. отличен от
нуля. Полагая и — — xz~~\ получим тогда, что для всех а е Л
имеет место равенство 6(а) = аи,— иа. Следовательно, диф-
ференцирование б внутреннее.

(2)	Теорема Веддербарна о конечных телах.

Пусть D — конечное тело с центром Z, и пусть [D : Z] = п2.
Если К — максимальное подполе в D, то по теореме 4.2.2
[К : Z] — п. Следовательно, К —' конечное поле, содержащее
qn элементов, где q — число элементов поля Z. Так как все
конечные поля с одинаковым числом элементов изоморфны
между собой, то все максимальные подполя в D будут изо-
морфными, причем изоморфизмы можно выбрать так, чтобы/
оставалось неподвижным. Согласно теореме 4.3.1, для любых
максимальных подполей Kl9 D существует элемент хе D,
такой, что Д2 = х-1Д1х. Если «еВ, то Z (а) — подполе в D,
которое можно вложить в некоторое максимальное подполе.
Таким образом, D= (J х~гДх, где Д — любое фиксирован-
ное максимальное подполе в D. Предоставляем читателю
доказать, что это невозможно, если D #= Д. (Воспользуйтесь
тем, что конечная группа не может быть объединением под-
групп, сопряженных с некоторой собственной подгруппой.)

(3)	Теорема Фробениуса об алгебрах с делением над
полем действительных чисел

Пусть D — конечномерная некоммутативная алгебра с де-
лением над полем действительных чисел F. Тогда, как отме-
чалось выше, [D : F] = 4.

Пусть К— максимальное подполе в О; оно изоморфно
полю комплексных чисел и равно FFI, где /2 = —1.
Отображение qp: К —> Д, переводящее а + р/ в а- р/, является
автоморфизмом поля Д, оставляющим элементы из F не-
подвижными. По теореме Нётер — Сколема существует такой
элемент xeD, что ф(а + Р0 = -г~1(а + ₽0л;, следовательно,
Ф (/) — х~ Чх — — i. Тогда x2i = ix2, откуда х2 се С (Д) = Д.
Так как х2 <= {а <= Д [ф(а) = а}, то на самом деле элемент х2
принадлежит полю Т7, т. е. является действительным числом,
в то время как х ф F. Если бы элемент х2 был положитель-
ным действительным числом, то отсюда следовало бы, что
х е Д так как из положительного числа в F можно извлечь
квадратный корень. Следовательно, х2 — — а2, где а е F.
Положим / = х/а, тогда р = — 1, ji = — ij. Элементы 1, z, /,
ij = k линейно независимы над F и, так как [Z)!f] = 4,
образуют базис линейного пространства D над F. Мы дока-
зали классический рёзультат, принадлежащий Фробениусу,
а именно

Предложение. Если D — некоммутативная алгебра с де-
лением, конечномерная над полем действительных чисел,
то D изоморфна алгебре кватернионов.

(4)	Теорема Диксона

Пусть D — тело с центром Z. Предположим, что элементы
a, b е D алгебраичны над Z и удовлетворяют одному и
тому же минимальному полиному над Z. Тогда этот полином
неприводим, а поля Z(a) и Z(b) являются изоморфными,
причем изоморфизм Z(a)-^Z(b) можно выбрать так, чтобы
элементы из Z оставались неподвижными, а элемент а пере-
ходил в элемент Ь. По теореме Нётер — Сколема существует
элемент х е Z), такой, что b — х~;ах.

Заметим, что отсюда немедленно следует утверждение
леммы 3.1.1.

(5)	Теорема Алберта

Пусть D — упорядоченная алгебра с делением, алгебраи-
ческая над своим центром Z. Так как 1 == I2 > 0, то п —
= 1 + 1+ • • • + 1 > 0, следовательно, Z имеет характери-
стику 0. Мы утверждаем, что алгебра D коммутативна, т. е.
D — Z. В самом деле, предположим противное. Пусть a<=D,
аф Z и р (х) = xm + ajX™"1 + ... + ат — минимальный поли-
ном для элемента а над Z. Тогда элемент b = а + (ax/tri)
является корнем полинома q (х) = хт + р2хт~2 + • • • + ₽т
(р/ (= Z), причем b ф. Z и q(x) — минимальный полином для b
над Z. Можно доказать (и нуждается в доказательстве),
что q (х) допускает разложение вида q (х) — (х — Ь)(х — Ь^ .. .
. .. (х — &т), где bi — некоторые элементы из D, а множи-
тели могут переставляться циклически.

Элементы bt как корни полинома q(x) сопряжены с b — это
утверждает только что доказанная теорема Диксона. Таким
образом, bi = dT1 bdt, и если b > 0, то отсюда следует, что
bi > 0, а если b < 0, то и bt < 0. Но b + Ь2 + ... + Ьп = 0 —
в обоих случаях приходим к противоречию. Мы получим
следующее предложение, принадлежащее Алберту.

Предложение. Упорядоченная алгебра с делением, алге-
браическая над своим центром, непременно будет ком-
мутативной.

Теперь мы обратимся к другому классическому резуль-
тату теории алгебр; обычно его называют теоремой о двой-
ном централизаторе или о двойном коммутаторе. Напомним
обозначение: если S s R, то CR (S) = {х <= R\xs = sx для
всех s eS}. Ясно, что C#(S) является подкольцом кольца R
и S ^CR(CR(S)). Теорема, о которой идет речь, дает доста-
точное условие совпадения S и Сд(Сд(5)).

Теорема 4.3.2. Пусть R — простое артиново кольцо с цент-
ром F, и пусть A^R — конечномерная простая подалгебра
над F, содержащая F. Тогда

(1)	кольцо Cr(A) простое;

(2)	Сл(Сд(Л)) = Л.
Доказательство. Будем рассматривать А как кольцо
линейных преобразований, действующих на А, согласно пра-
вому регулярному представлению. Если dimf А = п, то ал-
гебра А вложена в алгебру Fn в качестве подалгебры Аг.
Выше мы уже отмечали несколько раз, что CFn (Аг) — Аг и,
следовательно, Срп(Срп(Аг)^ = Срп(А1) = Аг. Алгебра At анти-
изоморфна алгебре А и потому проста. Другими словами,
утверждения теоремы справедливы, если мы кольцо Д за-
меним на алгебру Fn.

Кольцо Д ® f Fn простое артиново и его центр равен F.
Так как AsF„ (если алгебру А рассматривать как ’Аг)
и А^ R, то кольца А ® 1 и 1 ® А оба лежат в R ®FFn,
конечномерны над F, просты и изоморфны между собой,
причем изоморфизм одного кольца на другое оставляет эле-
менты из Д = Д(1®1) неподвижными. По теореме Нётер—
Сколема кольца А ® 1 и 1 ® А сопряжены, следовательно,
и их централизаторы в R ® Fn сопряжены с помощью того же
элемента. Заметим, что

Ср<^рп (А ® 1)= С# (А) ® Fn
и

Ср®?п (1 ® А) = R ® Срп (А).

Поскольку кольца СЛ(А)®Д„ и R ® Срп(А) сопряжены
в Д ® Fn, то, значит, сопряжены и их централизаторы. Но

Ср®рп [Ся И) ® EJ — Ср (Ср (А)) ® F ы Ср (Ср (А)),

Ср ®рп [Д ® Срп (А)] = F ® Срп (Срп (А)) = F ® А ~ А,
следовательно, кольца СД(СЙ(А)) и А изоморфны; в част-
ности, они имеют одинаковую размерность над F. Так как
А5СЯ(СД(Л)), то из совпадения размерностей этих алгебр
следует равенство А = СЛ(СД(А)). Тем самым доказано второе
утверждение теоремы.

Мы показали выше, что алгебры Cp(A)®Fn и R®Cpn(A)
сопряжены и, следовательно, изоморфны. Так как алгебра
Срп(А) изоморфна алгебре А! и антиизоморфна алгебре А,
то Д ® Ср (А) Д ® А' — простое кольцо. Значит, и кольцо
Cp(A^®Fn просто. Но тогда и кольцо СЙ(А) должно быть
простым. Теорема полностью доказана.

Заметим, что если Д конечномерно над F, то из изомор-
физма Ср (A)® Fn~R® А', где п = [А : F], следует, что
[Д ; Я = [А ! F] [Ср (А): Д]. Действительно, сравнивая размер-
ности, находим, что [Cff (А) : Д] [А : Д]2 = [Д : Д] [А : Д],
откуда [Д : Д] = [А : Д] [Сй (А): Д], как и утверждалось.
В частности, если А — подполе в Д, такое, что [Д : Д]=[А : F]2,
то A = Cr(A) и, следовательно, А — максимальное коммута-
тивное подкольцо в 7?.

Теорема о двойном централизаторе позволяет нам более
тонко разобраться в природе максимальных подполей в ал-
гебрах с делением. Это является содержанием следующей
теоремы.

Теорема 4.3.3. Пусть D — алгебра с делением, конечно0
мерная над своим центром F, Тогда D имеет максимальное
подполе, сепарабельное над полем F.

Доказательство. Если D = F, то нечего доказывать.
Если D #= F, то по теореме Нётер — Джекобсона (тео-
рема 3.2.1) D содержит элемент а, сепарабельный над F и
не лежащий в F, Поэтому имеются сепарабельные подполя
в D, строго содержащие F. Пусть К — подполе в D, содер-
жащее F, сепарабельное над F и максимальное по отноше-
нию к этим свойствам. Мы утверждаем тогда, что К — макси-
мальное подполе в D; чтобы доказать это, нам нужно только
проверить, что K — CD(K).

Так как поле Д' коммутативно, то №Ср(Д), а так
как К является простой конечномерной алгеброй над F, то
Д’= Ср (Ср (Д')). Таким образом, К является центром тела
Ср(Д). Если Сд(Д)¥= Д’, то по теореме Нётер — Джекобсона
существует элемент г/с=Ср(Д), не лежащий в К и сепара-
бельный над Д. Но тогда поле К (и) сепарабельно над F и
строго содержит Д, что противоречит определению поля Д.
Следовательно, Ср(Д) = Д и поле К является максимальным
подполем тела D.

Дадим теперь следующее

Определение. Пусть D — тело с центром F, тогда поле
Д 3 F называется полем расщепления %ля. D, если D ®F К —
плотное кольцо линейных преобразований векторного про-
странства над Д.

Напомним, что, согласно теореме 4.2.1, любое макси-
мальное подполе в D является полем расщепления для D;
таким образом, поля расщепления всегда существуют. Заме-
тим также, что если [D : F] < оо и ДэД, то алгебра D$FK
конечномерна над Д, и К является полем расщепления
для D в том и только в том случае, когда D ® F К — Кп-
Так же, как для тел, определим поле расщепления для про-
стых алгебр.

Отметим два простых следствия теоремы 4.3.3.

Следствие 1. Если А — конечномерная центральная про-
стая алгебра над полем F, то А имеет сепарабельное поле
расщепления.
Доказательство. По теореме Веддербарна Л~В ®PFn,
где D — конечномерная центральная алгебра с делением
над F. Пусть К — максимальное сепарабельное подполе в D,
тогда A®PK~(D®pK)® pFn = Km®PFn^.K.®pFm®p Рп~
~ К®р Ртп ~ Ктп; К — требуемое сепарабельное поле рас-
щепления для А.

Следствие 2. Если А — конечномерная центральная про-
стая алгебра над полем Р, то А имеет поле расщепления,
нормальное над F.

Доказательство. Пусть К — сепарабельное поле рас-
щепления для А и L — конечное нормальное расширение
поля F, содержащее К- Тогда A®pL~(A®pK')®KL~.
^Кп®кР — Ьп- Следовательно, L расщепляет алгебру А.

Одним из известных нерешенных вопросов алгебры
является вопрос о том, верно ли следующее усиление тео-
ремы 4.3.3: всякая конечномерная центральная алгебра
с делением над полем F содержит максимальное подполе,
являющееся нормальным расширением поля F.

§ 4.4. Скрещенные произведения

Пусть Л — конечномерная центральная простая алгебра
над полем F; по теореме Веддербарна А ex D ®р Fk, где
D — конечномерная центральная алгебра с делением над F.
Если К — максимальное сепарабельное подполе в D, то
[К. F] = n, где {D: F]—n2. Пусть L — нормальное замыкание
поля К, и предположим, что [L : Д’] = т. Если В — D ® р Fm,
то В — центральная алгебра над F и, кроме того, В содержит
подалгебру К ® р Fm — Kmro L, где L вкладывается в Кт с по-
мощью своего регулярного представления над Д. Далее,
[В: Д] = [D: Д] [Fm: Д] — п2т2 = [£: Д]2. Следовательно, L — ма-
ксимальное подполе в В. В классе [Л] группы Брауэра В(Д)
мы нашли алгебру В с максимальным подполем L, нор-
мальным над Д и таким, что [В: Д] = [L : Д]2. Таким образом,
если рассматривать центральные простые алгебры над Длишь
с точностью до их эквивалентности в группе Брауэра, то мы
можем ограничиться изучением центральных простых ал-
гебр А над Д, содержащих максимальное подполе Д, нор-
мальное над Д и такое, что [Л : Д] = [Д: Д]2.

Пусть Л — алгебра с этими свойствами, [Д:Д] = п и
G — группа Галуа поля Д над Д. Если k е Д и о е G, то
элемент o(k) будем обозначать через ka. По теореме Нётер —
Сколема (теорема 4.3.1) существует такой обратимый элемент
xQ е А, что k° — Xg}kxa для любого R £ д. Предоставляем
читателю доказать, что элементы xG линейно независимы
над К, т. е. из равенства S xGkG = 0 для некоторых
о е G

kG^K следует, что 6а = 0 для всех csG. Но тогда линей-
ная оболочка элементов xG над полем К имеет размерность п2
над полем F и, следовательно, должна совпадать со всей
алгеброй А. Короче говоря, Л = / S xGkG\ kG <= КI.

( се G	f

Пусть а, т е G, k<=K, тогда

Хт !Ха = Хт lk°Xx = k°X = Хаткхах.

Это означает, что xat(xaxT)-1 е СА (Д) = Д; другими словами,
xBxx — xBxf(a, т), где /(а, т) =# 0 принадлежит Д. Пусть
Д* — множество ненулевых элементов поля Д; займемся изу-
чением свойств отображения f: G % GК*.

Так как А — ассоциативная алгебра, то (хвхх) xv = ха (хххф.
Вычисляя в явном виде оба произведения, получим
/(от, v)/(a, t)v = / (а, т, v)/(t, v) — так называемое условие
системы факторов. Положим а = х1/(1, I)-1, тогда простое
вычисление показывает, что а является левой единицей для А,
следовательно, а = 1. Предыдущее обсуждение дает нам
повод начать все сначала и ввести функции, которые ведут
себя как f.

Определение. Пусть Д — нормальное расширение поля F
с группой Галуа G. Функция f:G%G-^K* называется си-
стемой факторов на G со значениями в К, если для лю-
бых а, т, v е G справедливо равенство f (о, т, v) /(т, т)=
= /(<УТ, v)/(ff, t)v.

Так как поле Д и группа G будут раз и навсегда за-
фиксированы, то в дальнейшем мы будем говорить о функ-
ции f просто как о системе факторов. Полагая t = v = 1
в условии на систему факторов, находим, что f (<r, 1) = /(1, 1)
для всех ае G; подстановка а=т = 1 дает нам /(1, v) — /(1,1)\

Определение. Пусть Д — нормальное расширение поля F
с группой Галуа G, и пусть / — система факторов. Алгебра
А = (Д, G, /) называется скрещенным произведением К и G
относительно f, если А — / 2 xa^al kB е ДI, причем равен-

I ЧЕЙ	J

ство и сложение в А определены покомпонентно, а умноже-
ние определено условиями

(1)	kx0 — xaka для всех k<=F',

(2)	хахх = xaxf (а, т) для любых а, теб.
Прямое вычисление показывает, что элемент xj(l, I)-1
действует на (К, G, f) как единица и что каждый элемент х„
•обратим. Далее, алгебра (К, G, f) ассоциативна, центр ее
совпадает с F (т. е. с Fx^fii, I)-1), а размерность над F
равна и2, где п = [К'. F] — o (G).

Заметим, наконец, что алгебра (К, G, f) непременно
будет простой. В самом деле, пусть U — ненулевой идеал
алгебры (/С, G, f) и и = S xaka — ненулевой элемент из U
с наименьшим числом отличных от нуля коэффициентов ka.
Умножая, если нужно, элемент и на х~’, можем считать
без ограничения общности, что ф 0. Для любого k е К
элемент ku — uk принадлежит идеалу Д; вычисляя, находим

ku — uk — S xa(k° — k)ka.

O^G

Так как kF — k — 0 при a = 1, то мы получили элемент из U
с меньшим числом отличных от нуля коэффициентов, следо-
звательно, S x0(k° — k)kG = O для всех k е Д'- Так как поле К

G$=G

нормально над F, то заключаем отсюда, что ko = 0 для
всех а =И= 1, u = x1ki. Но тогда элемент и обратим в (Д’, G, f)t
следовательно, U = (K, G, f).

Объединим эти замечания в следующую теорему.

Теорема 4.4.1. Пусть К — нормальное расширение поля F
с группой Галуа G и f — система факторов. Тогда скрещен-
ное произведение (К, G, f) является центральной простой
алгеброй над F. Кроме того, для любой конечномерной цен-
тральной простой алгебры А над F можно найти такие
К, G, f, что в группе Брауэра B(F) класс [Л] алгебры А
совпадает с классом [(/С, G, f)].

Заметим, что упомянутый выше открытый вопрос о суще-
ствовании нормальных максимальных подполей в централь-
ных алгебрах с делением формулируется в этих терминах
как вопрос о том, является ли каждая конечномерная цен-
тральная алгебра с делением D над полем F скрещенным
произведением (Д’, G, f) (а не только [£>] = [(Д, G, /)]).

Если дано нормальное над F поле К с группой Галуа G,
а f и g — две системы факторов, то немедленно возникает
естественный вопрос: когда алгебры (К, G, f) и (К, G, g) изо-
морфны? Если элементы хоеЛ = (/(, G, /) умножаются по
формулам xQxx = х0J (а, т) и Xa'kx0 — k°, то для любого на-
бора Ла^Д* элементы уа = л:0Л,а порождают Л, yF^y^—k0
И У оУх ===	=== ^G^^^X ~ ~	== У GX^GX ^G^xf {О, Т).
Отсюда следует, что функция	(<г, т) также является

системой факторов и определяет алгебру, изоморфную алге-
бре А.

Если Т — изоморфизм алгебры В — (К, G, g) на алгебру
А = (К, G, f), то, сопровождая его, если нужно, внутренним
автоморфизмом алгебры А и автоморфизмом поля Л, можем
считать без ограничения общности, что W (&) = k для всех
k е К. Если элемент г5е В индуцирует автоморфизм о на К
и zazx = zaxg (о, т), то элемент Т (го) = уа е А также инду-
цирует автоморфизм о на К, следовательно, у0 = х1,'ка для
некоторого Ла <= К*. Далее, уаух = W (zozx) = Т (zaxg (а, т)) =
т)- Отсюда следует, что g(a, т) —	(а, т).

Обратно, если даны две системы факторов f, g, для кото-
рых существует функция Л: Gтакая, что g(a, т) =
= (ХаХт/^атг) f (o', т), то, как было показано выше, алгебры
(Д, б, f) и (Д, G, g) будут изоморфными алгебрами над
полем А В связи с этим уместно дать следующее

Определение. Две системы факторов f, g называются
эквивалентными, если существует функция Л:б~>Д*, такая,
что g(a, т) =	f (о, т) для всех о, теб.

Рассуждения, которые предшествовали определению, по-
казывают, что верна следующая

Лемма 4.4.1. Алгебры (Д, G, f) и (К, G, g) изоморфны
тогда и только тогда, когда системы факторов fug экви-
валентны.

Из этой леммы следует, в частности, что эквивалентность
систем факторов действительно является отношением экви-
валентности. Если дана система факторов f, то положим
/ =	1)“! и пусть — тогда функция g (а, т) =

=	for = txf (#, т) удовлетворяет соотношениям

g(a, l) = g(l, D = tf(l, 1) = 1
и

g(l, a) = g(l, 1)а=1а = 1.

Так как система факторов g эквивалентна системе факто-
ров f, то g определяет алгебру, изоморфную алгебре (Д, G, f).
Таким образом, при изучении скрещенных произведений мы
можем без ограничения общности предполагать, что наши
системы факторов нормализованы в том смысле, что f (а, 1) =
= f(\, а) = 1 для всех oeG.

Пусть f, g — системы факторов; положим h (а, т) —
= f (а, T)g(o, т) для всех а, те G. Легкая проверка показы-
вает, что тогда h также будет системой факторов, мы назо-
вем ее произведением систем f и g и будем обозначать через
h = fg. Нас будет интересовать связь между алгебрами
(tf, О, f), (К, G, g) и (/С, G, fg).

Системы факторов образуют группу по умножению; еди-
ницей этой группы является система факторов f, такая, что
f (ст, т)=1 для всех о, tgG; естественным образом опреде-
лен обратный элемент g~1 для системы факторов g: g~f (о, т) =
= (g(a, т))-1. Системы факторов, эквивалентные единичной,
образуют подгруппу — это легко следует из условия g(a9 т) =
=ЛаЛт/Лаг. Факторгруппа группы систем факторов по под-
группе систем, эквивалентных 1, представляет собой объект,
который хорошо известен в гомологической алгебре как
группа H2(G, /С); мы обсудим эту связь несколько позже.
Заметим, что элементы группы Н2 (G, К*) находятся во взаимно
однозначном соответствии с классами изоморфных алгебр
(X, G, f).

Нашей целью будет доказательство следующего фунда-
ментального соотношения, связывающего умножение в группе
Брауэра с умножением систем факторов:

КЯ, G, f)] [(К, G, g)] = [(tf, G, fg)].

Предварительно мы получим вспомогательные результаты,
которые сами по себе являются интересными теоремами.

Лемма 4.4.2. (К, G, 1) ~ Fn.

Доказательство. Пусть [Л-: F] — п и, следовательно,
[(/С, Q, l):F] — n2. Тогда (К, G, 1) содержит подполе К и
элементы ха (о е G), такие, что Xglkxa = k°, хахх = хах для
всех сг.теС. Определим действие алгебры (/С, G, 1) на К.
следующим образом: если k <= К. и х — 2 xaka е (Д', G, 1),
то положим kRx = kaka. Тогда Rx будет линейным пре-
образованием пространства К над полем F. Если Ар (К) —
кольцо линейных преобразований пространства К над F, то
определяющие соотношения алгебры (К, G, 1) показывают,
что отображение (/С, G, 1)->ЛР(7<), переводящее элемент х
в Rx, является ненулевым гомоморфизмом. Так как алгебра
(К, G, 1) проста, то это отображение должно быть мономор-
физмом. Но из сравнения размерностей алгебр (К, G, 1) и
Ар (К) над F следует, что этот мономорфизм будет на самом
деле изоморфизмом. Так как AF(K) ~ Fn, то мы доказали,
что (Д’, G, 1) ~ Fn.

Следующий результат выясняет одно очень интересное
свойство центральных простых алгебр, а именно в любой
большей алгебре они располагаются весьма специальным
образом. На самом деле данное свойство характеризует
конечномерные центральные простые алгебры. Однако мы
докажем результат только в одном направлении.

Теорема 4.4.2. Пусть В алгебра с единицей над по-
лем F, и пусть В содержит подалгебру Л, где А — конечно-
мерная центральная простая алгебра над F, имеющая ту же
единицу, что и В. Тогда В — Л®FCB(A).

Доказательство. Сначала докажем теорему в частном
случае, когда Л = Fm. Пусть ец — обычные матричные еди-
m

ницы в Г,п. Если Ь^В, то положим = 2 ekibejk; про-
&=1

стое вычисление показывает, что Ьц ^CB(Fm). Далее,

S Ь^-бц — 3^ ^kibejkeij — 2 еиЬец — енj Ь (2 ец'^==Ь,

так как 2е/г-==1. Следовательно, В sCB(Fm)Fms В, т. е.
i

В = CB(Fm) Fm. Для того чтобы установить изоморфизм
В Fm Св (Fm), нам осталось лишь доказать, что если
&=2 Ьцец — О для некоторых Ьц ^CB(Fm), то Ьц = 0 для
всех г, /. Действительно, так же, как выше, получим Ьц =
= ^ekibejk. Таким образом, В ~ Fm ®F Св (Fm); другими
словами, В ~ Ст, где С = Св (Fm).

Пусть теперь А — произвольная конечномерная централь-
ная простая алгебра над F, Ас: В. Тогда Е = В<Е>рА'с>
о А 0 р А' — Fm (по теореме 4.1.3), причем единица алгебры Е
совпадает с единицей подалгебры Fm. Используя предыду-
щий результат, будем иметь Е = В ®Р A' — CE(Fm) <Ё)ЕРт=
— (Fm) ®F А] А'. Так как алгебра А' центральная про-
стая, то В = СЕ (А') — СЕ (Fin) <8)р А. Отсюда ясно, что
CB(Fm) = CB(A). Таким образом, теорема доказана.

Для того чтобы достичь намеченной цели, нам нужна
еще одна лемма. Ее утверждение также чрезвычайно инте-
ресно само по себе.

Лемма 4.4.3. Пусть К — конечное нормальное расшире-
ние поляр с группой Галу a G. Тогда К 8 f К— 3 еа(7С®1)==
6Е G

—	® Ю> где еа — ортогональные идемпотенты, такие,

<5 G

что е0 (k ® 1) — еа (1 ® для всех k^-K..
Доказательство. Можно привести много различных
доказательств; то, которое приводится ниже, выбрано из-за
его явной формы.

Если К только сепарабельно, то /С = Е(а) для некото-
рого ае/(, причем минимальный полином р(х) элемента а
над F не делится на квадрат какого-либо полинома. Следо-
вательно, кольцо

К	® F [х]/(р (х)) ~ К [х]/(р (х))

полупросто, так как не имеет нильпотентных элементов

Пусть К нормально над F и G — группа Галуа поля К
нац F. Тогда К = Е(а), [К: F]==n==o(G), и минимальный
полином элемента а над F имеет вид р (х) = хп + сцх"-1 + ...
... + ап (а{ <= F). Если 0 g G, то положим m ® 1 +
+ ат~г ® а° + ...	1 ® так как элементы 1, а, ...

..., ага-1(и 1, аа, (а0)”-1) линейно независимы над F, то
находим, что&а,0, ba,t, ..., &а,ra-i линейно независимы над F
в К Далее,

(1)	(а ® 1 - 1 ® а°) bOtln = am+l ® 1 - 1 ® (a°)m+l.

Из (1) и равенства р(а) = 0 получаем соотношение

(2)	(а ® 1 — 1 ® а°) (Ьа, + щЬд, „_2 + ... + ап^Ьа, 0) = О,

показывающее, что элемент а ® 1 — 1 ® аа является делите-
лем нуля в К ®рК. Следовательно, существует минимальный
идемпотент *) еа е К ® Р К, такой, что еа (а ® 1 — 1 ® а°) = 0.
п—1

Если х е К, х = 5 рга* (Рг е F), то

1=0

“п-1

eG {х ® 1 — 1 ® ха) = е0

2 р, (а1 ® 1 - 1 ® (аст)г
-М.

п—1

= еа (а ® 1 — 1 ® а°) 3 РЛ. г-i = 0.

Z==I

Таким образом, соотношение eo(k ® l)==eG(l ® kG) действи-
ствительно выполняется для всех k е К.

Рассмотрим минимальный идеал eG (К ® К) = eG (К ® I);
ясно, что он изоморфен К и имеет размерность п над F.
Если о т, то eG ех и из минимальности eG, ех следует,
что eGex — 0. Идеалы ® 1)(o’ е G) образуют прямую

J) Т. е, идемпатент, порождающий минимальный идеал. ~ Прцм. перев
сумму; сравнивая размерности, находим отсюда, что

а & G

ЗЧ(7<® 1) = Я®,Ж.

(J^G

Лемма доказана.

Теперь мы готовы вывести соотношение между умно-
жением в B(F) и умножением систем факторов. Впрочем,
нам понадобится еще следующая

Лемма !) 4.4.4. Если А — центральная простая алгебра
над полем F и е — ненулевой идемпотент из А, то в группе
B(F) имеет место равенство [А] = [еАе] (поле F мы отож-
дествляем с Fe).

Доказательство. По теореме Веддербарна A — Dm и
[А] =-[£)]; меняя базис m-мерного пространства, на котором
точно и неприводимо действует алгебра А, т. е. используя
некоторый внутренний автоморфизм алгебры А, можем пред-
полагать, что

/Л 0\
е ко о/’

где 1Г — единичная (г X г)-матрица. Тогда

(Ir 0\ (Ir 0\ (Dr 0\
ко 0/ тко 0/ ко о/

следовательно, еАе c^.Dr и [еАе] = [D] = [Л].

Теорема 4.4.3. Если К. — нормальное расширение поля F
с группой Галуа G и f,g — системы факторов, то
имеем [(/С, G, /)] [(/С, G, g)] = [(/С, G, fg)], или, эквива-
лентно, (К, G, f)0 р(К, G, g)ca(K, G, fg)®PFm, где
m = [K: F] = o(G).

Доказательство. Пусть Е — (К., G, f) ® F(K, G, g).
Так как EzoE®pK, то, применяя лемму 4.4.3, получим
ненулевые идемпотенты еа е К. ® К. (о е G), такие, что
eaet = 0 при сг =Н= т и ea(k ® 1) = еа(1 ® ka) для всех k еК.,
<т g G. Если е — ех, то е (k ® 1) = е (1 ® k).

Пусть элементы ха е (/<, G, f) таковы, что XaXkxa — ka и
хах% — Xa-J (ff> т)> а Уо ~~ аналогичные элементы из (К, G, g);
таким образом, y~lky3 = ka, увух —yaxg(^,

!) В оригинале использован термин sublemma — „подлемма". — Прим,
перев
Рассмотрим элемент (1 ® у^е{\ ® yG); легко видеть, что
это идемпотент в К ® К и, кроме того,

(1 ® Z/7')e(l	® ^)=(1 ®	® Уа) =

= (1 ®z/71)e(&® 1)(1 ® z/CT) = (l ®у~')е(1 ®ya)(k ® 1).

Отсюда заключаем, что (1 ® z/”1) е (1 ® г/а) = еа. Аналогично,
®	® 1) = еа. Таким образом если ^G = xG® yG,

то wGe = ewG — ewGe.

Положим uG — ewG) тогда элемент uG принадлежит еЕе
и обратим в еЕе, имея в качестве обратного элемент ewGl.
Далее,

иаих = ewaewx = ewawx = е (хахх ® уаух) =

= е (xaxf (а, т) ® yaxg (а, т)) = е (хах ® уах) (f (аг, т)) ® g (а, т)) =

= W (f (<т, x)g(a, т) ® 1).

Так как кольцо К ® К коммутативно, то е(/С®1) =
= (К ® 1)е и

® l)wo = e(x7I ® y-'^k ® l)(xa®jfe) = e(fc’ ® 1).

Отождествляя К. се(^®1), находим, что еЕе э (7(, G, fg).

Покажем, что еЕе ~ (/(, G, fg). Если <з =£ 1, то еае = 0;
следовательно, е (1 ® уа) е = (1 ® уа) еае = 0. Далее, для лю-
бых k, k' е К. будем иметь равенства

е (xak ® у xk') е == е (хо ® уст) (1 ® y~lyx) (k ® F) е =

= иае(1 ® y~'y^e{k®k') = uae(l<8)y-lyx)e(kk' ® 1).

Если о #= т, то е(1 ® у~1ух')е = 0; если же о = т, то по-
лучаем, что e(xak ® yxk')e = иае (kk' ® 1). Таким образом,
еЕе s 2 (К ® 1) s еЕе, откуда следует, что еЕе =

2 z^(tf® IWtf, G,fg).

O&G

Согласно лемме 4.4.4, [EJ = [еЕе] = [(Д', G, fg)], что сов-
падает с утверждением теоремы. Так как по доказанному
(К, G, fg) ~ Dr и Е ~ Dn для некоторых г, п, то, сравнивая
размерности этих алгебр над полем F, находим, что п — тг,
E~Dmr~Dr® pFm, т. е. (К, G, f) ®> Р(К, G, g) ~ (К, G, fg) ®Р
<® pFm, где т==[К‘ Е].

Теорема 4.4.3 показывает, что элементы вида [(/С, G, /)],
где f пробегает всевозможные системы факторов на G со
значениями в К.*, образуют подгруппу группы B(F). Это яв-
ствует и из других соображений. Пусть Д — нормальное
расширение поля F, тогда рассмотрим отображение В (F) -»
-> В (К), переводящее элемент [Л] еВ (F) в элемент [Л ® РК] е
еЖ). Ясно, что это отображение будет гомоморфизмом
и что его ядро состоит в точности из тех центральных про-
стых алгебр над F, для которых К. будет полем расщепле-
ния. Однако выше было показано, что такие алгебры
являются алгебрами вида (К, G, f)').

Для того чтобы изучить группу B(F), было бы доста-
точно в силу теоремы 4.4.1 рассмотреть алгебры вида (К,
G, f), где К пробегает все нормальные расширения поля F,
G — группа Галуа поля К. над F, а / — произвольная система
факторов на G со значениями в К*. Рассмотрим теперь дру-
гой подход ко всему этому.

Пусть G — группа и М — правый G-модуль. Обозначим
через C"(G, 44) множество всех функций f: GX$X---
... X G -> М, где G X G X • • • X G —- прямое произведение п
экземпляров группы G; если п = 0, то положим C°(G, А4) — М.
Определим отображение б": Cn->Cn+i, полагая

(б"/)(%!...xn + l) = f ..., Х„+1) +

п

+ 2 (-1)7.........xixi+l, Х„+1) +

+ (-1)п+7(х,......Xn)xra+l;

если m е М = С°, то (6°m) (xt) = m — mx{. Можно проверить,
чт0 бпбга+1 = 0. Если Zn = {? е С" 16nf = О] и Вп =	| f е=

е С"-1], то для любого п^1 будем иметь Вп Е 7.п. Поло-
жим Нп (G, М) — эта группа называется п-й группой
когомологий группы G с коэффициентами в М.

Заметим, что если К — нормальное расширение поля F
с группой Галуа G, то /С* является G-модулем в естествен-
ном смысле (если операцию умножения в К* будем обозна-
чать знаком +). Заметим также, что функция двух пере-

!) Сформулированное утверждение является теоремой, которая выше
не доказывалась. Поэтому дадим набросок доказательства. Если А--
= (К, G, f), то, используя изоморфизм А ® рК К^Лг, нетрудно прове-
рить, что А ® К где m = [А : Д'], — для этого нужно лишь убе-
диться что централизатор кольца KiAr на А совпадает с К/. Пусть,
обратно, К — поле расщепления для алгебры А, причем [Л : F] = п2,
[К: F] = т. Тогда А ® FK Кп- Используя регулярное представление Д’
над F, вложим алгебру Кп в Fmn == Д. Если С = CR (Л), то из теоремы
о двойном централизаторе следует, что С — центральная простая алгебра
над полем F, [С: F] = т2 и Д' — максимальное подполе в С. Кроме того,
[С] = [Л']. Остается заметить, что С является алгеброй типа (К,
Прим, перев.
менных из G в Г является системой факторов тогда и
только тогда, когда она принадлежит Z2 (G, К?), и что две
системы факторов f; g эквивалентны тогда и только тогда,
когда fg"1 е В2 (G,JC). Следовательно, множество систем
факторов на G со значениями в К* по модулю этой экви-
валентности образует на самом деле группу H2(G, К*)- Та-
ким образом, группа {[/С, G, f]} изоморфна группе Я2(С, ДД-

Докажем одно утверждение о группах Hk(G, М), из ко-
торого вытекает важное следствие для группы B(F). Это

Лемма 4.4.5. Если G — конечная группа порядка о (G )
то o{G)Hn{G, Л4) = (0) для любого /г > 0.

Доказательство. Пусть f ^Zn (G, М), т. е. для любых
х19 ..хп+1 е G справедливо равенство	xrt+I) = 0.

Записывая его в явном виде, будем иметь

f(X2,	Х„+1) = S(-l)Z_1f(*l. •••> XiXl+i...*n+l) +

+ (-1)"f(xb .... xn)xn+l.

Просуммируем это равенство по xi} считая, что х{ пробе-
гает всю группу G. Тогда получим

o(G)f(x2, .... xn+i) =

— 2 (~i)( 1 3 Z(^i> •••> xtxl+1.....xn+i) 4~

X==l	Xi £ G

+ (—1)" 3 f(xlt Xn)xn+l.

G

Положим h(x2, xn)= 2 f(xi> •••> xn), тогда

Xi e G

2 f(X!X2, xn+i) = h(x3, xn+l)
Xi^G

и соотношение, написанное выше, принимает вид

o(G)f(x2,	хп+1) =

п — 1

= Л(х3,	х„+1)+ 2 (—l)z/i(x2> •••, Xi+iXi+2, Xra+1) +

+ (-1)п/г(х2> x„)xn+I = (6"-’/z)(x2....xn+Jt=Bn(G,M).

Таким образом, o(G)Zn(G, М) Bn(G, Л1), следовательно,
o(G)Hn(G, М) = (0).

Немедленным следствием леммы 4.4.5 является важная
Теорема 4.4.4. Каждый элемент группы B(F) имеет ко-
нечный порядок, другими словами, В (F) — периодическая
группа.

Доказательство. Если [4]cB(f), то, используя
теорему 4.4.1, находим, что [Л] = [(Д', G,f)\ для некоторого
конечного нормального расширения К поля F. Так как
[(Д, G, f)] е H2(G, Д*), то в силу леммы 4.4.5 заключаем,
что [Л]о(0) = [(Д, GJ)]o(O)=l.

Из периодичности группы 5(F) следует, что каждый ее
элемент может быть представлен в виде произведения эле-
ментов, порядки которых являются степенями простых чисел.
Что означает это разложение для самих алгебр? Чтобы по-
лучить такое разложение, типа силовского, для самой ал-
гебры А, нам потребуется более точная информация о по-
рядках элементов из B(F), чем та, которую мы получили
из доказательства теоремы 4.4.4.

Если D — центральная алгебра с делением над полем F,
то = число п обозначим через dP(D) и назовем
его степенью алгебры D. Если А — центральная простая
алгебра над F, то А ~ D ® PFn, где D — центральная алгебра
с делением над F. Положим по определению б^(Л) = б^(Т>),
Наконец, через еДЛ) обозначим порядок элемента [Л]
в группе B(F). Докажем следующую теорему.

Теорема 4.4.5. Если А — центральная простая алгебра
над полем F, то [Л] fW'=l, т. е. еР (Л)|6? (Л).

Доказательство. В группе В (F) элемент [Л] равен
элементу [£)] для некоторой центральной алгебры с деле-
нием D. Если До — сепарабельное максимальное подполе
в D, то [£): Д0]2 = п2 = (Л)2 = [Z): F], Пусть Д —нормаль-
ное расширение поля F, порожденное До, и пусть [Д : До] = q.
Как было показано раньше, алгебра D ® Fq — Dq содержит Д
и Dq = (K, G, f), где G — группа Галуа поля Д над F,
a f — некоторая система факторов на G со значениями в Д*.

Далее, Dq = pj -4- ... -+- pq, где pt- — минимальные правые
идеалы; размерность каждого из рг как правого векторного
пространства над D равна q. В то же время р( — правые
векторные пространства над Д. Так как [рг-: E]q = [Dq : Д] =
= [Д : Д] = qn, то [рг: Д] = п = дР (Л).

Пусть элементы xIJ<=Dq = (%, G, f) таковы, что xqkxa=ka
для всех k^K и хахх = xaxf (о, т). Так как Р] — правый
идеал, то p^Sp^ следовательно, ха индуцирует эндомор-
физм Та на рР Если щ, ..., «„ — базис пространства pj
над К, то имеют место равенства вида =

{tt!<s <= К), где (То) = [| ti ja || — некоторая (n X п)-матрица над К-
Далее,

щТаТх = (3 «A/а) Тх = 3 щТ^Иа, (W = (Т0)х • (74).

Так как ТаТх = Таxf (о, т), то (Tax)f(o, т) = (Та)’ • (Тх). Обозна-
чим 4 = det(7’CT), тогда из последнего равенства получим
ZaT [f (а> T)]n = ha • hr, следовательно, [f (о, T)]ra — система фак-
торов, эквивалентная единичной. Таким образом, в группе
B(F) выполняется равенство [(/С, G,/)]“ = [/7]= 1, откуда
следует, что [Д] р = 1.

Изучим взаимоотношение между еР(А) и б^(Д) более
тщательно. Для этого нам понадобится одно предваритель-
ное замечание, а именно

Лемма 4.4.6. Если D — конечномерная центральная ал-
гебра с делением над полем Р и К — поле расщепления
для D, то бР (£>)|К: Л-

Доказательство. Предположим, что D ® FK = Кг;
сравнивая размерности этих алгебр над F, получим dF (D)2m —
= mr2, где m = [I(:F], следовательно, 6F(D) = r.

Используя регулярное представление, можем предполагать,
что К Е Fm, следовательно, D ® FFm D ® FK.—Krzo Fr.
Согласно теореме 4.4.2, D ® FFm = Fr® FY-, из теоремы 4.3.2
следует, что Y — центральная простая алгебра над полем F.
Утверждение о единственности, содержащееся в теореме
Веддербарна (теорема 2.1.6), позволяет теперь легко заклю-
чить, что r\m, т. е. 6F (D)|[К : Г].

Лемма 4.4.7. Если р — простое число, такое, что р|6у?(Д),
то р|еДД).

Доказательство. Если L — расширение поля F, то
отображение А —> Д ® FL индуцирует гомоморфизм группы В (Г)
в группу B(L). Следовательно, eL (Д ® FL)\eF (Д). Пусть
К.— нормальное расширение поля F с группой Галуа О,
такое, что [Д] = [(/С, G, /)] для некоторой системы факторов f.
Тогда (К, G, f) = Dm, где D — центральная алгебра с деле-
нием над F, dp(D)~6p(A) и eF (£>) = eF (Д), [K:F] — n =
= 6F (D) tn.

Так как p\6F(A) — 6F{D), то p\n = o(G); пусть Gp — си-
ловская р-подгруппа в G порядка ps=?^l. Согласно элемен-
тарному результату теории Галуа, К содержит подполе Ко,
такое, что [К.'• Ко] = ps. Так как р ф [7(0: F], и p|dr(D), то
по лемме 4.4.6 Ко не является полем расщепления для А.
Следовательно, еКа(А ® FK0) #= 1. Так как поле К расщеп-
ляет алгебру А ® РКо и К • До] — то по лемме 4.4.6
д#,(Л ® рДо) является степенью числа р, и по теореме 4.4.5
ек,(А ® Л) = Р/ =# 1- Но ек,(А®РК0) делит еР(А), следо-
вательно, р\еР(А). Лемма доказана.

Следствие. Если еР(А) = р*, где р —простое число, то
6F(A) = ps, где s^t.

Равенство 6Р(А) — еР(А) не всегда верно. Однако для
некоторых полей оно справедливо, например для полей
алгебраических чисел и полей р-адических чисел. Это отнюдь
не легкий результат, имеющий важное значение для теории
центральных алгебр с делением над полем алгебраических
чисел. Превосходное описание таких алгебр дается теоремой,
принадлежащей Алберту, Брауэру, Хассе и Нётер. Именно
если D — центральная алгебра с делением над полем алге-
браических чисел, то D = (К, G, f), где К — максимальное
подполе в D, G — циклическая группа, a f определяется
ненулевым элементом из F.

Прежде чем перейти к теореме о разложении централь-
ных алгебр с делением, докажем еще один предварительный
результат.

Лемма 4.4.8. Пусть D и А -— центральные алгебры с деле-
нием над полем F. Если числа t>P(D) и дР(Д) взаимно про-
сты, то D ® РЛ-— алгебра с делением.

Доказательство. Так как D ® РК — центральная про-
стая алгебра над F, то по теореме Веддербарна =
= Е ® PFm, где Е — центральная алгебра с делением над F.
Мы хотим доказать, что т—\, откуда следовало бы, что
Z) ® fA — Е.

Алгебра D' ® FD изоморфна Fn, где n = [D : F] = 6f(D)2,
Далее, из простоты алгебры D' ® РЕ и теоремы Веддербарна
следует, что D' ® РЕ ~	® Fr, где Dt — центральная алгебра

с делением над F. Отсюда находим, что

Fn® А ~ D' ® D ® K~D' ® Е ®

~ Di ® Fr ® Fm ~	® Frm.

Из единственности в теореме Веддербарна следует, что
гт = п = 6Р (£>)2, следовательно, т|бг(£>)2. Аналогично,
m|6F(A)2. Так как &F(D) и 6F(A) взаимно просты, то т=1.
Тем самым доказано, что алгебра D ® А Е является алге-
брой с делением.
Эту главу мы завершим теоремой силовского типа о раз-
ложении центральных алгебр с делением.

Теорема 4.4.6. Если D — конечномерная центральная
алгебра с делением над полем F и (D) = р™' ... p™k, где
pi — различные простые числа, то D = D{ ® FD2 <®F... <®FDk,
Sde ^F{Di)^=Pil-

Доказательство. Согласно теореме 4.4.5, в группе
B(F) имеет место равенство [£>] F = 1, следовательно, мы
можем разложить [D] в произведение элементов [DJ
(f = 1, ..., k), где Di — центральные алгебры с делением
над F, такие, что eF(p.} = рв.*. Следовательно,

D ® Fn ~ (Dj ® Frtl) ® (D2 ® Рп^ ® ... ® (D& ® Fn^,
или

D® F^D^D,® ... ®Dk)®Fni.„nk.

Так как eF(p.} = ре1, то по следствию леммы 4.4.7 6ДЙ.) =
= р\1. По лемме 4.4.8 Dx ® Z)2® • • • ® Dk — алгебра с деле-
нием. Используя единственность в теореме Веддербарна,
находим отсюда, что D с*.	® ... ® Dk. Сравнивая размер-

ности этих алгебр над F, получим /г- = т^, следовательно,
6f(Dz)= Теорема доказана.

Эта теорема позволяет нам большинство вопросов о ко-
нечномерных алгебрах с делением сводить к частному слу-
чаю алгебр с делением, размерность которых над их цен-
тром есть степень простого числа.

ЛИТЕРАТУРА

1.	Алберт (Albert A. A.), Structure of Algebras, Amer. Math. Soc.
Colloq. Publ., XXIV (1939).

2.	, On ordered algebras, Bull. Amer. Math. Soc., 45 (1940), 521—
522.

3.	Алберт, Хассе (Albert A.A., Hasse H.), A determination of
all normal division algebras over an algebraic number field, Trans.
Amer. Math. Soc., 34 (1932), 722—726.

4.	Ам и цу p (A mi t s u r S. A.), Simple algebras and cohomology groups
of arbitrary fields, Trans. Amer. Math. Soc., 96 (1959), 73—112.

5.	Артин, Несбитт, T p о л л (Artin Е., N е s b i 11 С., Thrall R.),
Rings with minimum conditions, Univ, of Michigan, 1944.

6.	Ауслендер, Голдмен (Auslander M., Goldman O.), The
Brauer group of a commutative ring, Trans. Amer. Math. Soc., 97
(1960), 367—409.

7.	Б p а у э p (В r a u e r R.), Uber Systeme hypercomplexer Zahlen, Math
Z., 29 (1929), 79—107.
8.	Брауэр, Хассе, Нетер (Brauer R, Hasse Н., Noether Е.),
Beweis eines Hauptsatzes in der Theorie der Algebren, Journ. fur Math.,
107 (1931), 399—404.

9.	Дейринг (Deuring M.), Algebren, Ergeb. Math., 4 (1935), Sprin-
ger, Berlin.

10.	Джекобсон (Jacobson N.), Theory of rings, Amer. Math. Soc.,
Surveys, II (1943) Providence. (Русский перевод: Джекобсон H.,
Теория колец, ИЛ, М., 1947.)

11.	, Structure of rings, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., 37 (1964).

(Русский перевод первого издания 1956 г.: Джекобсон Н., Строе-
ние колец, ИЛ, М., 1961.)

12.	Розенберг, Зелинский (Rosenberg A., Zelinsky D.), On
Amitsur’s complex, Trans. Amer. Math. Soc., 97 (1960), 327—356.

13	Чейз, Розенберг, Харрисон (Chase S, Rosenberg A.,
Harrison D.), Galois theory and cohomology of commutative rings,
Amer. Math. Soc. Memoirs, 52, 1965.
Глава 5

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

Как показывает теорема Машке (теорема 1.4.1), груп-
повая алгебра F(G) конечной группы G порядка o(G) над
произвольным полем F характеристики 0 или характери-
стики р, где p^o(G), непременно будет полупростой. Тео-
ремы о строении полупростых артиновых колец, которые
были доказаны выше, дают весьма ясное представление
о строении алгебры F(G). Информация об алгебре F(G),
которую мы получаем на этом пути, позволяет нам более
глубоко исследовать свойства самой группы G. Изучению
этой взаимосвязи между G и F (G), а также некоторым ее
приложениям мы и предполагаем посвятить настоящую
главу. Если не оговаривается противное, то постоянно будем
предполагать, что F — поле комплексных чисе/t. Большая
часть результатов, которые будут установлены ниже, могла бы
быть получена в предположении, что F — произвольное
алгебраически замкнутое поле характеристики 0 или характе-
ристики р, где pJfo((j).

§ 5.1. Основы теории

Известная в теории конечных групп теорема Кэли уста-
навливает, что каждая конечная группа изоморфна группе
подстановок; эти подстановки в свою очередь имеют весьма
изящное представление матрицами, элементы которых суть
нули и единицы. Но какой бы красивой ни была эта реали-
зация группы в виде группы матриц, имеются другие, го-
раздо более интересные и важные представления групп ма-
трицами — уже не изоморфные, а гомоморфные. Начнем
с определения.

Определение. Представлением группы G называется го-
моморфизм ф группы G в А (К) —алгебру линейных преоб-
разований пространства V над полем Т7,—такой, что
ф(1) = /, где / — тождественное преобразование.

Пространство И будем называть модулем представления
группы G, принадлежащим ф. Мы намеренно используем


термин „модуль", так как V наделено структурой G-модуля,
а значит, и Ё(С)-модуля, если действие элементов geG на
пространстве V определено по правилу a-g = ^(g) для
любых v^V, geG. Обратно, если V — унитарный F(G)-mo-
дуль, то он доставляет нам некоторое представление ф
группы G и алгебры F (G); если geG, то элемент tp(g)e
eL(V) определяется равенством vg — ui|)(g) для всех v<=V.
Таким образом, изучение представлений группы G эквива-
лентно изучению Р(С)-модулей.

Представление ф мы называем неприводимым, если мо-
дуль представления V, принадлежащий ф, неприводим как
Р(О)-модуль. Если даны два представления -ф и 0 группы G
с модулями представления V и W соответственно, то мы
говорим, что они эквивалентны, если V и W изоморфны как
Р(О)-модули. Это означает, что диаграмма

|e(g)

коммутативна для всех geG, т. е. ф(g)Р = Р0 (g), где
Р: V -> W — изоморфизм векторных пространств. Последнее
равенство эквивалентно равенству 0(g) = Р~' i|)(g)P для
всех geG. Эквивалентность представлений действительно
является отношением эквивалентности; когда мы говорим
о представлениях, то чаще всего имеем в виду классы экви-
валентных представлений.

Определение. Если ф — представление группы G, то ха-
рактером представления ф называется функция Q^-F,
определенная равенством Хф Qg) = tr [-ф (g-)].

Если не возникает недоразумений, то вместо Хф будем
писать просто %. Заметим, что х$ зависит по существу не
от ф, а от класса эквивалентности ф, так как если 0(g) =
= P~lty(g)P, то

tr [0 (g)] = tr [Р"'ф (g) Р] = tr [ф (g)].

Заметим также, что % является функцией класса сопряжен-
ных элементов ^ том смысле, что x(g) = x(x~‘gx) для любых
х, g^-P- Действительно,

Ф (x“*gx) == Ф (х)-1 Ф (g) Ф (х),

откуда получаем, переходя к следам, что

X {x~'gx) — tr [ф (х)-1 ф (g) ф (х)] = tr [ф (g)J = х (g).
Согласно лемме 4.3.1, любой модуль над полупростым
артиновым кольцом R является прямой суммой неприводимых
/^-модулей. Так как F(G) — полупростое артиново кольцо
(алгебра), то, в частности, любой Е(С)-модуль есть прямая
сумма неприводимых. Если V есть /ДОфмодуль, V = 2 Vi>
где Vj — неприводимые F (С)-модули, ф — представление
группы G, ассоциированное с И, и фг — представления, ассо-
циированные с V i, то будем писать ф =	4- ... 4- Ф; + • •  •

Представления фг будем называть неприводимыми составляю-
щими представления ф. Пусть mt- обозначает число тех под-
пространств Vj, которые как модули над F(G) изоморфны
модулю Vt; если V конечномерно, то все числа т{ конечны.
Число т{ назовем кратностью представления фг в ф и запи-
шем символически, что ф = 2/пгфо Переходя к следам, по-
лучим % = 2 где х — характер представления ф,
а хг —характеры представлений фг. В основном мы будем
заниматься неприводимыми представлениями группы G и их
характерами.

Согласно лемме 4.3.2, любой неприводимый модуль над
полупростым артиновым кольцом R изоморфен некоторому
минимальному правому идеалу кольца R. Это верно и для
алгебры F(G). Но мы знаем, что E(G)~ЕП1 4- ... + Fnk,
где Fn. —• кольцо (пг- X «/фматриц над полем F. Легко видеть,
что минимальные правые идеалы алгебры F(G) являются
минимальными правыми идеалами подалгебр . Далее,
любой минимальный правый идеал в Fn изоморфен как
f (О)-модуль правому идеалу р(/>, состоящему из матриц вида

где а/G/7; при этом Fn. разлагается в прямую сумму щ
подмодулей, изоморфных р'г). Следовательно, G имеет лишь
конечное число неэквивалентных неприводимых представле-
ний; это число на самом деле не превосходит k. Мы утвер-
ждаем, что неприводимые представления, отвечающие мини-
мальным правым идеалам р<*>= Fn (/ = 1, ..., k), попарно
не эквивалентны. Действительно, Fn=ef-F(G), где —
центральные идемпотенты алгебры F(G); если i=£j, то
6^6/ = 0. Отсюда следует, что р^ = р)£) и р*'Х = (0), если
j #= /. Но тогда р*0 и р^ не могут быть изоморфными как
Г(б)-модули. Следовательно, G имеет в точности k неэкви-
валентных неприводимых представлений. Напомним, что
& = dim7?Z(F(G)), где Z (F(G)) — центр алгебры F(G); ниже
мы воспользуемся этим замечанием. Если ф^ — неприводимое
представление, отвечающее модулю p<f), то число ni — раз-
мерность пространства р^ над F — назовем степенью пред-
ставления фг-.

Напомним, что правое регулярное представление г алгебры
F(G) определяется условием х(а) — Та, где хТа = ха для
всех xeF(G). Другими словами, F(G) сама служит модулем
представления для т. Так как F(G) = Fni+ ... + Fnk и ка-
ждое слагаемое Fn. является прямой суммой щ подмодулей,
изоморфных модулю р(Д то имеем следующую теорему:

Теорема 5.1.1. т = 2^Фг» каждое неприводимое
представление группы G входит в качестве составляющего
в регулярное с кратностью, равной его степени.

Теорема имеет два непосредственных интересных след-
ствия.
k

Следствие 1. о (G) — 2

t=i

Доказательство. o(G) = dim F (G) = 2 dim Fn. “ 2

Следствие 2. Если g&6 и gy=l, то Xr(g) = 2(g) == 0.

Доказательство. Используем элементы группы G
в качестве базиса алгебры F(G). Так как §•#=!, то для лю-
бого gt s G будем иметь gtTg gt. Следовательно, все эле-
менты главной диагонали матрицы Tg будут равны нулю,
откуда xT(g) = tr Tg — 0. Так как %т = 2адь то получаем
все утверждение.

Заметим, что представление группы G, которое сопоста-
вляет каждому элементу g^G тождественное преобразование
и которое мы обозначим через фь является неприводимым
представлением степени 1. Следовательно, п{ — 1. Будем
называть единичным представлением, а - единичным
характером группы G. Если ф/— представление степени 1,
то ф/ называется линейным (или одномерным) представле-
нием. Сколько линейных представлений имеет группа G?
На этот вопрос отвечает

Теорема 5.1.2. Если G' —коммутант группы G, то число
линейных представлений группы G равно o(G!G').
Доказательство. Группа G/G' абелева, следова-
тельно, F(G/G') — коммутативная полупростая алгебра и все
ее простые компоненты являются полями, которые должны
быть изоморфны полю F. Другими словами, все неприводи-
мые представления группы G/G' линейны. Если 0: G/G' -+F —
представление группы G/G' и л: G -> G/G' — естественный
гомоморфизм, то 0 = л0 — линейное представление группы G,
0(g) = 0(gG,). Таким образом, o(G/G/) различных линейных
представлений группы G/G' индуцируют столько же линейных
представлений группы G.

Пусть, обратно, 0: G->F произвольное одномерное пред-
ставление группы G. Тогда 0(G) как подгруппа группы F*
будет абелевой группой. Следовательно, G'^Кег0. Опре,
делим представление 0 группы G/G', полагая Q(gG') = 0 (g)
для всех g^G. Так как G' sKer0, то 0 определено кор-
ректно и является линейным представлением группы GIG'.
Следовательно, группа G имеет самое большее о {GIG') раз-
личных линейных представлений. В сочетании с предыдущими
рассуждениями это приводит нас к требуемому заключению.

Заметим, что мы доказали несколько большее, а именно:
если Н — гомоморфный образ группы G, то любое неприво-
димое представление группы Н индуцирует неприводимое
представление группы G и, обратно, любое представление
группы G, в ядре которого содержится ядро естественного
гомоморфизма G->H, определяет некоторое представление
группы Н.

Вернемся к вопросу о числе неэквивалентных неприво-
димых представлений, которые допускает группа G.

Теорема >5.1.3. Число неэквивалентных неприводимых
представлений группы G равно числу классов сопряженных
элементов группы G.

Доказательство. Как отмечалось выше, число не-
эквивалентных неприводимых представлений группы G равно
dimFZ (F(G)). Вычислим dimF Z(F(G)) еще одним способом,
используя тот факт, что алгебра F(G) обладает специфиче-
ским базисом.

Если g^G, то через C(g) обозначим класс элементов,
сопряженных с g в группе G. Назовем суммой класса C{g)
элемент Са— S xeF(G). Ясно, что элементы Cff комму-
x^C(g)	°

тируют со всеми элементами из G, а значит, и "со всеми
элементами из F(G), т. е. CgeZ(F(G)). Так как элементы
группы G линейно независимы над F, то элементы CS^F(G)
также линейно независимы над F. Мы утверждаем, что они
образуют базис в Z(F(G)). Пусть z — S е Z(JF(G)\
a^F, gi^G. Если x<^G, то — z — xzx~l =
так как элементы группы линейно независимы над F, то,
сравнивая коэффициенты в первом и последнем членах этих
равенств, заключаем, что каждый элемент, сопряженный с gh
входит в z с тем же коэффициентом, что и g-t. Следова-
тельно, 2 = 2 сц-Cg. и элементы Cg, действительно, образуют
базис Z(F(G)). Отсюда dimF Z(F(G)) равна числу классов
сопряженных элементов группы G.

Хотя мы имеем дело главным образом с групповой
алгеброй конечной группы над полем комплексных чисел,
найдем сейчас аналог теоремы 5.1.3 для групповой алгебры
конечной группы над алгебраически замкнутым полем про-
извольной характеристики. Соответствующий результат и
метод его доказательства заимствованы из статьи Рихарда
Брауэра. Следующая лемма, помимо ее значения для того
результата, который мы хотим получить, интересна и сама
по себе.

Лемма 5.1.1. Пусть А —конечномерная алгебра над
алгебраически замкнутым полем Е характеристики р =^=0.
Пусть S — подпространство в А, порожденное всевозмож-
ными элементами вида ab — Ьа, где а, Ь^А, и пусть
Г = |хе Л| хр eS для некоторого п]. Тогда Т является под-
пространством в А и число простых компонент фактор-
алгебры А/J (Л) равно размерности факторпространства А/Т
над Е.

Доказательство. Если а, Ь&А, то, раскрывая скобки
в выражении (а + Ь)р и собирая члены, которые получаются
друг из друга с помощью циклических перестановок, получим
(а + b)p =~ар A- bp (mod S) *). Следовательно,

(ab — ba)p s (ab)p — (Ьа)р=5а(Ьа ... Ь) — (Ьа ... b)а^=0(modS).
Другими словами, р-е степени элементов из S попадают в S,
так что S^T. Если а, Ь^Т, то, пользуясь сравнением

J) Нетрудно показать, что некоторое формальное слово переходит
в себя при нетождественной циклической перестановке лишь в том случае,
когда оно периодическое. Так как единственными периодическими сло-
вами длины р являются ар и Ьр, то все остальные слова в разложении
(а + Ь)р разобьются на кланы по р членов в каждом." Сумма членов ка-
ждого клана принадлежит S. Другим способом получают выражение
элемента (а + Ь)р — ар — Ьр через высшие коммутаторы в теории так
называемых ограниченных алгебр Ли (см. Н. Джекобсон, Алгебры Ли,
изд-во „Мир", М., 1964). — Прим, перев.
(аф-6)р = аР + bp (modS), немедленно заключаем, что
а + b е Т, т. е. Т является подпространством в А.

Если А — простая алгебра, то из теоремы Веддербарна
и алгебраической замкнутости Е следует, что А ~ Еп. Кроме
того, в этом случае S = {a<=E„| tra = O}. Следовательно,
dimA/S = 1. Далее, A^T^S и А^Т, так как элемент

1 0 ... 0\

О 0 ... О/

не принадлежит Т. Отсюда получаем S — T, dim А/Т=\.

В общем случае радикал /(Л) алгебры А является ниль-
потентным идеалом и потому лежит в Г. В факторалгебре
А — А/J (Л) будем иметь T = T/J(A) и dim ?l/7’ = dim Л/Г.
Так как_ алгебра А является прямой суммой простых
алгебр At и Т — прямая сумма соответствующих подпро-
странств Tj, то из равенств dim4i/7’i=l легко выводим,
что dim А/Т совпадает с числом простых компонент алгебры А.
Утверждение леммы следует теперь из равенства dim А/Т =
— dim А/Т.

Определение. Элемент g группы G называется р-регу-
лярным (р — простое число), если его порядок не делится
на р.

Если р o(G), то любой элемент из G будет, конечно,
р-регулярным. Докажем теперь расширенную форму тео-
ремы 5.1.3.

Теорема 5.1.4. Пусть G — конечная группа и Е — алге-
браически замкнутое поле характеристики р=^0. Тогда число
неэквивалентных неприводимых представлений алгебры E(G)
равно числу классов элементов, сопряженных с р-регуляр-
ными элементами группы G.

Доказательство. Обозначим Л — E(G), и пусть S
и Т имеют тот же смысл, что и в предыдущей лемме. Так как
по определению радикала J(Л)sКегф для любого неприво-
димого представления ф алгебры Л, то неприводимые пред-
ставления алгебры Л являются по существу неприводимыми
представлениями факторалгебры А/J (Л). Поэтому число не-
эквивалентных неприводимых представлений алгебры Л равно
числу простых компонент алгебры Л == А/J (Л).
Если g — произвольный элемент группы G, то из силов-
ского разложения циклической подгруппы, порожденной эле-
ментом g, следует, что g = ab — ba, гд$ а — некоторый р-ре-
гулярный элемент, а элемент b имеет порядок pk. Далее

(ab - а/ ap\pk - apk apk - apk 0 (mod S),
следовательно, ab — a^T, t. e. g- = $(modT). Другими сло-
вами, любой элемент из G сравним по модулю Т с некоторым
р-регулярным элементом. Если glt g2^G сопряжены, то из
равенства

g2 = xglx~l = X (gtX"1) — (giX"1) X + gj

находим, что g2 s (mod S), и, следовательно, g2 = gi(modT).
Из этих замечаний следует, что любой элемент х^А удо-
влетворяет сравнению вида £ = 2afMm°d Т\ где at — пред-
ставители классов сопряженных р-регулярных элементов
группы G. Таким образом, элементы at порождают линейное
пространство А/Т. Покажем, что они линейно независимы
по модулю Т.

Пусть х = 2	= 0 (mod Т). Так как элементы at р-ре-

гулярны, то мы можем выбрать достаточно большое число
q = pk так, чтобы элемент хя принадлежал S и для всех i
выполнялись равенства aq — at. Тогда

xq 2	~ 2 uqat ss 0 (mod S).

Но если элемент xq принадлежит S, то нетрудно показать,
что сумма его коэффициентов по каждому классу сопря-
женности должна быть равна 0. Следовательно, а/ = 0,
af = 0. Другими словами, представители at р-регулярных
классов сопряженных элементов образуют базис алгебры А
по модулю ее подпространства Г. Таким образом, *1исло
р-регулярных классов равно dim Л/Т и по лемме 5.1.1 равно
числу простых компонент алгебры А/J (А). В свою очередь
последнее число совпадает с числом неэквивалентных непри-
водимых представлений алгебры А. Теорема доказана.

Заметим, что в качестве частного случая отсюда вытекает
теорема 2.3.2 — по крайней мере для алгебраически замкнутых
полей. Действительно, если o(G) — pn, то G имеет лишь один
р-регулярный класс, а именно {1}, и соответственно одно
неприводимое представление — единичное.

Вернемся к теории представлений конечных групп над
полем комплексных чисел. Пусть %—характер представлен
ния ф группы G. Так как для любого g^G

^(g)o<G) = ^o(0,) = W)-A

то характеристические корни преобразования ф(^) являются
корнями из единицы. Поскольку след матрицы ф (g) равен
сумме ее характеристических корней, то % (g)=tr ф (g) является
суммой корней из единицы и, следовательно, целым алге-
браическим числом. Нами доказана

Лемма 5.1.2. Если % — характер представления группы G,
то для любого g^G % (g) — целое алгебраическое число.

Пусть фг- — неприводимое представление группы G сте-
пени пр тогда ^матрица ф/ (Cg) лежит в центре алгебры Fni
и потому является скалярной, т. е. ф/(Ср = со/ (g)Ii, где
coz (g) е F, а Ц ™ единичная матрица порядка Переходя
к следам и замечая, что Хг ~ функция класса, получим ра-
венство hgXi (g) = n^i (g), где hg — порядок класса С (g).
Следовательно, coz (g) = hg%i (g)/^.

Мы хотим доказать, что число co/(g) является целым ал-
гебраическим для любого элемента g^G и для любого i
(i= 1.....k).

Теорема 5.1.5. Если ф/— неприводимое представление
группы G, то фг-(Cg) = со/(g)Zf, где ®i(g) — целое алгебраи-
ческое число.

Доказательство. Первая часть утверждения уже
известна, остается доказать, что со/ (g) — целое алгебраиче-
ское число.

Если a, b(=G, то СаСь = 2 где yabg — неотрица-
тельные целые числа. Сравнивая коэффициенты при g в обеих
частях этого равенства, можно заметить для определенности,
что yabg является числом представлений элемента g в виде
g — a'b', где azEC(a), bf С (b). Применяя гомоморфизм ф/,
получим

Фг (^а) Фг (Pb) = Та&/Фг	,

откуда следует, что

®i (a) ®i (Ь) = S Nabg®i (£)•

Если элемент а фиксирован, а b пробегает систему предста-
вителей bit .bk различных классов сопряженных элемен-
тов группы G, то получим систему равенств

(«) “ УаЪ1Ь1) (^) - УаЬ.Ь (М - ••• “ yabib^i (bk) = °>

~ YaM®z (^) - • • • + (®z (a) - yabkbk) (bk) = 0,

которую можно рассматривать как систему линейных одно-
родных уравнений относительно (b{), a)i(bk}. Так как
©/(!)= 1, то система имеет нетривиальное решение и ее
определитель должен быть равен нулю. Но этот определитель
является полиномом от (оДа) с целыми коэффициентами и
старшим коэффициентом, равным 1. Следовательно, а>/(л) —
целое алгебраическое число.

Следствие. Если щ —- степень неприводимого представле-
ния ф/ группы G, a hg — порядок класса С (§•), то для лю-
бого g е G hgXi (g)!nt целое алгебраическое число.

Доказательство. Выше было показано, что Лд/(g)/nf=

Найдем среднее значение характера на группе G; соот-
ношение, которое мы получим, является частным случаем
соотношений ортогональности, которые будут доказаны
в дальнейшем.

Лемма 5.1.3. Если % — характер неприводимого предста-
вления ф группы G и ф =И= Фь то S x(g)=o.

g^G

Доказательство. Рассмотрим элемент х — 2 ^F(G).
g s G

Если a e G, то xa = ax — x. В частности, x e Z (F (G)). Так
как ф =5^ -ф), то существует такой элемент asG, что ф(а)^=/.

Далее, ф (ха) = ф (х), откуда следует, что ф (х) ф (а) = ф (х).
Так как x^Z(F(G)), то ф(х) = Х7 для некоторого Хе7и,
следовательно, Аф(а) = Л7. Учитывая, что ф(а)=#7, полу-
чаем равенство Х = 0, т. е. ф(х) = О. Вычисляя след ма-
трицы ф(х), получим 2 %(g) = 0.

g G

Если ф — неприводимое представление группы G, то мы
можем рассмотреть ф(^) как матрицу над F. Обозначим
через ф*(£) матрицу, транспонированную по отношению
к ф^1), Ф* (§) == Ф (g j • Немедленно^ проверяется, что
ф* — неприводимое представление G. Назовем ф* предста-
влением, контраградиентным по отношению к ф. Чему равен
характер %* представления ф*? Если а — характеристический
корень матрицы ф(§), то от1 — характеристический корень
матриц ф(£“!) и Ф(£~1У. Кроме того, кратность а как
характеристического корня матрицы ф (g) совпадает с крат-
ностью а”1 как характеристического корня матрицы ф*(£-).
Выше мы отмечали, что а — корень из единицы, поэтому
число а”1 будет комплексно сопряженным по отношению
к а, а~! = а. Отсюда получаем, что

Пусть фг, ф/ — неприводимые представления группы G с
характерами соответственно. Определим Фг®Ф/, пола-
гая (фг ® фу) (g) = Фг (g) ® Ф/ (g) для любого g е G. Ясно, что
фг ® ф/ также будет представлением группы G. Из элемен-
тарных свойств тензорного (или кронекерова) произведения
линейных преобразований следует, что характер представле-
ния фг ® ф/ равен Как представление группы G пред-
ставление фг ® ф/ может быть разложено в прямую сумму
неприводимых представлений, скажем

k

Фх ® ф/ — 2

q^l

где tijq — неотрицательные целые числа. Отсюда вытекает
следующее соотношение для характеров:

(g) %/(§) = 5 *</<№(£)•
d

Можно ли предсказать, какие из неприводимых предста-
влений действительно присутствуют в разложении фг®ф/,
т. е. какие из коэффициентов отличны от нуля? Фикси-
руя внимание на единичном представлении, зададимся более
скромным вопросом: когда #= О?

Чтобы получить ответ на этот вопрос, рассмотрим его
сначала в противоположной постановке.

Лемма 5.1.4. Если фг, ф/ — неприводимые представления
группы G, такие, что в фг ® ф/ входит в качестве соста-
вляющего единичное представление группы G, то фг эквива-
лентно фу.

Доказательство. Пусть V —• модуль представления фг,
W — модуль представления ф/, тогда V ® W будет модулем
представления фг ® ф/.

Так как единичное представление входит в фг ® ф/, то
существует ненулевой элемент z е V ® W, такой, что

2(Мя)® Ф/(г)) = г

для всех gs G.
Пусть z — 2 оа ® wa> где wa — элементы из W, линейно
независимые над F, a va — отличные от 0 элементы из V.
Пусть Va — подпространство пространства V, натянутое на
элементы va. Мы утверждаем, что Ууф/ (G) s Уо. В самом
деле, если g е G, то

Z = Z (4>i (g) ® Ф/ (g)) = S Oa'I’i (g) ® wa$! (g) = 2	® W-

Из линейной независимости wa и свойств тензорного произ-
ведения вытекает, что каждое из vatyi(g) лежит в VQ. Таким
образом, V0 инвариантно относительно фг; из неприводи-
мости следует, что 7о = 7. Аналогично замечаем, что
подпространство, натянутое на элементы wa, должно совпа-
дать с W. Следовательно, dim 7^ dim W и dim 17^ dim 7,
откуда заключаем, что dim V — dim 17. Заметим, что преды-
дущие рассуждения позволяют утверждать несколько большее,
а именно, если г — 2	® где wa линейно независимы

над F, то элементы wa образуют' базис пространства 17,
а соответствующие элементы va также линейно независимы
и образуют базис пространства 7.

Пусть (g) = 2 Нар»р и	= 5 МатрИЦЫ

(рар) и (va(3) являются матрицами преобразований фх (g) и
в выбранных базисах. Так как элемент z = Tj va ® wa
остается неподвижным при действии преобразования фД^)®
® Ф/ (§)> т0 находим

2(2НарД ®(2 VaYWY) = 2 Vp ® ®(3-

Из линейной независимости элементов ® следует, что
(1)	2 Hapvap “ 1 Для любого Р,

(2)	2 Ha₽vaY = О, если ₽ #= у.

Другими словами, матрицы (ц^) и (vaj3) связаны соотноше-
нием (нар)' (va|3) — /. Таким образом, фу (gY ф/(&) —L Мы
доказали, что фг должно быть эквивалентно х|у

Лемма имеет очень интересное следствие.

Следствие. Если фг-, фу — неприводимые представления
группы G и ф не эквивалентно ф., то S %, (g) (g) = 0.

Доказательство. Так как ф. не эквивалентно ф/?
то, согласно лемме, в фу ® Ф, не входит фг Таким образом,
ф. ® -ф* = 2 где ^/i = 0. Сравнивая следы, получим,
что для любого g е G

Xt (g)Xi(g) = 'SitliqXq(g)-
q

Суммируя по g^G, получим в силу леммы 5.1.3, что

S Xi (g) X/ (g) = 0.

g^O

Если ф/ не эквивалентно ф;., то нам известно теперь, что
представление ф, не входит в ф; ® ф;*. Но должно ли ipj быть
составляющим представления фг ® ф^ и если да, то с какой
кратностью?

Лемма 5.1.5. Единичное представление -ф! является со-
ставляющим представления ф(. ® ф’ с кратностью 1. Кроме
того, 5 Xi(g)Xi(g) — o(G).

g^G

Доказательство. Согласно следствию 2 теоремы
5.1.1, для любого элемента g^.Q, отличного от 1, имеем
равенство S пг%г (g) — 0; если £=1, то 5 «zXz (1)=2 «,=о (G).

I	____ I

Если g=£ 1, то ^пш (g)xi(g) — 0; суммируя это равен-
i

ство по g ф 1, получим

(1)	2 Xz(g)X/(g) = 0.

i g^ 1

Если i j, то по следствию леммы 5.1.4 5 Xz (g)X/(g) = 0,
gsG

откуда

3 Xt (g) X/ (g) =» — Xi (1 )X/(D = - пщ/.
g ф 1

Тогда соотношение (1) принимает вид

П, S x;(g)x/i)- Ij n2n =0,

или	__

S x/te)x;(g)== 2 «I,
g¥-i '	1	i^i

откуда (поскольку %/(l)x/(l) = «/)

2 XJ(g)Xj(g)3 * s= S n2 = o(G).
Пусть теперь ^0^ = 2 и> следовательно,

<7	44

Xi (g) Xi (g) = 2 iiiqXq (g)-
q

Суммируя это равенство no g, получим в силу только что
установленного результата и леммы 5.1.3

o(Q) = ii{i 2 Xi(g) = o(G)?ni,

g^G

откуда Ьц — 1, и лемма полностью доказана.

Под неприводимым характером группы G мы будем под-
разумевать характер ее неприводимого представления. Ком-
бинация двух предыдущих лемм дает важное соотношение
ортогональности для неприводимых характеров G.

Теорема 5.1.6. Если — неприводимые характеры
группы G, то

2 Xi (g)Xf(g)t=i>{lo{G),
g

где dij — символ Кронекера,

Пользуясь этим соотношением ортогональности, можно
установить еще одно соотношение ортогональности для
характеров группы G.

k ______

Теорема 5.1.7. Если a, b^G, то сумма S Ti(a)%i(b)
равна 0, если а и b не сопряжены в G, и равна порядку
нормализатора элемента а в G, если а и b сопряжены.

Доказательство. Пусть g{, ..., ^ — представители
различных классов сопряженных элементов группы G и
Xi, •••> 1k ~ различные неприводимые характеры группы G.
Если ht — порядок класса С(^), то, так как характеры
являются функциями классов, соотношение теоремы 5.1.6
принимает вид

2 h^i (gv) Xi (gv) = ЪцО (G).

V

Обозначим через А матрицу (а,/), где а{1= Vhjh(gj'), тогда
AA' — o(Q)I. Используя элементарные свойства матриц,
выводим отсюда, что A'A = o(G)I. Поскольку элемент,
стоящий на пересечении г-й строки и /-го столбца матрицы
А'А, равен

2 Mw =	2 Xv (gi) Xv («Д
то при i j (или gi gj) получаем соотношение

S Mio %v(gi) =о,

V

а при l = j — соотношение

hi S Xv (gi) Xv (gi) = о (G).

V

Учитывая, что порядок /zz класса C(gi) равен o(G)/o(N (gi)),
где N (gi) — нормализатор элемента gt в G, получаем утвер-
ждение теоремы.

Пусть ip — представление группы G и %— его характер;
тогда = 2 mi^i и % (g) = 2 m^i (g) для всех g е G. От-
i	i

сюда немедленно следует, что

S X(g)X/ (g) =	(g)(g) = mso(G),

g^G	i g

t. e. —	2 X (g)%j (g)- Мы показали, что, зная харак-

тер представления ф, можно вычислить кратность любого
неприводимого представления, входящего в -ф. Зная эти
кратности, можно определить и само представление ф. Та-
ким образом, имеет место

Теорема 5.1.8. Характер представления группы G опре-
деляет это представление с точностью до эквивалентности;
другими словами, любые два представления группы G, имею-
щие одинаковые характеры, эквивалентны.

Так как k комплексных функций ..., образуют
ортогональное семейство на множестве классов сопряженных
элементов и число классов также равно k, то любая ком-
плекснозначная функция f на G, которая принимает постоян-
ные значения на каждом классе сопряженных элементов,
может быть представлена в виде f = 2aiXi> гДе tye/7.

Мы закончим этот параграф еще одним фундаменталь-
ным результатом, связывающим свойства неприводимых пред-
ставлений группы со свойствами самой группы.

Теорема 5.1.9. Если щ —степень неприводимого предста-
вления фг группы G, то nJo(G).

___Доказательство. Согласно лемме 5.1.2, числа
Xf (g) — целые алгебраические. По следствию теоремы 5.1.5
числа Адг (g)/»f — также целые алгебраические, следова-
тельно, hgXi (g) %i (g)/nt — целое алгебраическое число для лю-
бого g^G. Если glt gk — представители различных
классов сопряженных элементов группы G, то число

7=1	1	g^G 1	1 g^G

будет целым алгебраическим. Так как по теореме 5.1.6

5	= то заключаем отсюда, что o(G)ltii

g^G

является целым алгебраическим числом. Будучи рациональ-
ным, оно должно быть целым рациональным. Следовательно,
nJ o(G).

§ 5.2. Теорема Гурвица

Полученные выше результаты о представлениях конеч-
ных групп мы используем для доказательства прекрасной
теоремы Гурвица о композиции квадратичных форм.

Пусть F — некоторое поле — мы будем предполагать, что
это поле комплексных чисел, хотя рассуждения были бы
справедливы и для полей конечной характеристики, отличной
от 2. Зададимся вопросом, для каких значений тип суще-
ствуют тождества вида (xf + ... +	(#f + • • • + #$) =

=- 2^ + ... + ^2, где z. — билинейные функции от х и у
с коэффициентами из F. Частный случай, когда т = п, осо-
бенно интересен; в этом случае наш вопрос превращается
в вопрос о билинейной композиции сумм п квадратов. Для
п=1, 2, 4 и 8 можно написать явные формулы, показы-
вающие, что соответствующие суммы квадратов допускают
композицию. Из теоремы, которая будет доказана ниже,
вытекает, что эти случаи являются на самом деле единствен-
ными, когда такая композиция существует.

Доказательство, которому мы будем следовать, принад-
лежит Экману.

Предположим, что

(1)	и+ ...	... +й)=г?+ ... +4.

где z{ — билинейные функции от х и у. Случай m — 2 три-
виален, поэтому в дальнейшем будем предполагать, что
m > 2').

п

Запишем Zi в виде z{ — Т а{1- (х)у1, где а(1(х) — линей-
ные функции от xlt ..хт. Подставляя эти выражения в (1)

) Приводимое ниже доказательство охватывает и случай т — 2. —
Прим, перев.
и сравнивая коэффициенты при у^у^ получим тождества

2 a{l{x)aik(x) = Q, j ф k,

(2)

... +Х2т.

Таким образом, если через А обозначим (п X п)-матрицу
(ац (х)), то соотношения (2) можно кратко записать в виде
матричного равенства Л'Л = (х2 + ... + х^,)/, где/ —еди-
ничная матрица.

Так как ац (х) — линейные функции, то мы можем запи-
сать матрицу А в виде 4 = 4!%!+ ••• + Атхт, где At суть
(nX^-матрицы над F. Из равенства А'А = (^ + ... + *^)/
немедленно следует, что матрицы At удовлетворяют соотно-
шениям

(3)	= Л Л<Л/ + Л<А = 0	(^/).

Мы свели проблему композиции сумм квадратов к сле-
дующему матричному вопросу: когда можно найти т ком-
плексных (n X ^-матриц, удовлетворяющих соотношениям (3)?

Прежде всего произведем нормализацию: положим
Bi^AmAi, чъгдд

(4)	Вт = Ц B'iBi = I, B'iBj B'jBi==10	(1^1).

Таким образом, матрицы Bi удовлетворяют тем же соот-
ношениям, что и Ль и, кроме того, условию Вт = 1. Пола-
гая в последнем соотношении j = m, получим В/ + В/ = 0
(i = l, ..., т — 1). Наш вопрос приобретает теперь следую-
щую форму: для каких целых чисел тип существует т — 1
комплексных кососимметрических ортогональных (п X ^-мат-
риц, которые попарно антикоммутируют между собой?

Оставим на время матрицы. Пусть G — конечная группа,
порожденная элементами aXi ..., ат_и 8, с определяющими
соотношениями а2 = 8 =^= 1, 82 = 1, а.а^ = га^а. для всех
i^j. Заметим, что azs = 8az, так что 8 лежит в центре
группы G. Напомним предположение, что т > 2. Ясно, что
G —группа порядка 2т, а ее коммутант G' = {1, е} имеет
порядок 2.

Отметим несколько простых свойств группы G.

а)	Если число т нечетно, то центр группы G состоит
только из элементов 1 и 8.

б)	Если т четно, то центр группы G состоит из элемен-
тов 1, 8, аха2 ... &аха2 ... ат-х.
в)	Если g — элемент группы G, не лежащий в центре,
то класс элементов, сопряженных с g, состоит из элемен-
тов g и 8g,

Следовательно,

г)	если пг нечетно, то G имеет 2 + (2т — 2)/2 = 2"г~1 4- 1
классов сопряженных элементов,

д)	если пг четно, то G имеет 4 + (2m — 4)/2 = 2т-] + 2
классов сопряженных элементов.

Так как o(G/Gz)= 2т“1, то по теореме 5.1.2 G имеет
2т~1 одномерных представлений. Полное число различных
неприводимых представлений группы G равно числу ее клас-
сов сопряженных элементов. Таким образом, если число пг
нечетно, то имеется лишь одно неприводимое представление
степени f =# 1. Так как порядок группы G равен сумме квад-
ратов размерностей ее неприврдимых представлений, то
m— 1

2т = 2m~! 4- f2, откуда f — 2 2 . Если число т четно, то G
имеет два неприводимых представления степени Д, f2=#l.
При этом f2 + f2 = 2m-1. По теореме 5.1.9 следова-
тельно, ft — степени числа 2. Комбинируя эти данные, полу-
т—2

чим Д=4 = 2 2 .

Вернемся к нашим матрицам; если матрицы В{ сущест-
вуют, то отображение а;-*/?,, 8-* — / индуцирует предста-
вление группы G. Так как е е G', то при любом линейном
представлении группы G элементу е отвечает тождественное
преобразование. Поэтому наше представление должно быть
прямой суммой нелинейных неприводимых представлений
группы G. Отсюда находим:

а)	если т нечетно, то п —6 • 2от-1/2,

б)	если т четно, то п = k • 2m-2/2.

Таким образом, нами доказана следующая

Теорема 5.2.1. Если т~>2 и п — 2‘з, где s—нечетное
число, то для того, чтобы существовало m матриц В{ по-
рядка п, удовлетворяющих условиям (4), необходимо и до-
статочно, чтобы числа тип были связаны неравенством
2m-2/2<2z, т. е. m^2t + 2.

Замечательным следствием этого результата является
известная теорема Гурвица:

Теорема 5.2.2. Если (*| + . .. +*„)(#?+ •••	=

= 2|+ ... где zt — билинейные функции от х и у, tq
п имеет одно цз следующих значений*, 1, 2, 4, §₽
Хотя теорема 5.2.1 была доказана нами для случая харак-
теристики 0, ее утверждение остается в силе и для любой
характеристики, отличной от 2, поскольку результаты теории
представлений, которые мы использовали в доказательстве,
верны для любой характеристики, не делящей порядок
группы. Так как мы имели дело с группой порядка 2т, то
единственная характеристика, при которой доказательство
не проходит, — это характеристика 2.

§ 5.3. Применения к теории групп

Теорию характеров и представлений мы применим теперь
для получения результатов о самих группах. Трудно пред-
ставить себе или объяснить, как может эта техника приме-
нительно к группам работать столь эффективно, но она дей-
ствительно работает.

Начнем с небольшой очень легкой леммы.

Лемма 5.3.1. Пусть — представление конечной группы
с характером %, и пусть N = {х G \	— Тогда N

является нормальной подгруппой группы Gue действитель-
ности N = {х е G )ф(х) = а/, aef}.

Доказательство. Пусть степень представления ф
равна п, тогда для любого элемента g^G %(g) является
суммой п корней из единицы, а именно, характеристических
корней преобразования ф(§). Если |%(g)| = /z, то все эти
корни из единицы должны быть равны между собой. Пусть
они равны а, тогда ф (g) = а/я, где а — нильпотентное
преобразование. Но ф (g)0 (б?) =/; так как характеристика
поля F равна нулю, то отсюда следует, что п = 0, ф (g) = al.
Мы показали, что N — {g<= G\ Ф(£) = а(£)/ для некоторого
a(g)^F}; отсюда ясно, что N является нормальной под-
группой группы G.

Следующая лемма связывает свойства представления
(через его степень) с локальным строением группы — поряд-
ками классов сопряженных элементов.

Лемма 5.3.2. Если ф; — неприводимое представление
группы G степени щ и для некоторого g G число hg —
порядок класса элементов, сопряженных с g, — взаимно
просто с nif то либо %i(g) = 0, либо tyitg) — скалярная ма-
трица.

Доказательство. По следствию теоремы 5.1.5
hgXi (g)/nt —' Целое алгебраическое число. Но так как hg и П/
взаимно просты, то заключаем отсюда, что %, (g)lnt — целое
алгебраическое число. Так как %г (g) — сумма nt корней из
единицы, то	Если I X/(g) 1 = «/= Хг (0» то из

предыдущей леммы известно, что в этом случае будет
скалярной матрицей. Поэтому мы можем предположить, что
IXi(g)/«z 1<1-

Если ₽ — число, алгебраически сопряженное с Xz (g)lnt,
то р также является средним арифметическим nt корней из 1
и потому |р 1=^1. Отсюда следует, что у — произведение
всех чисел, сопряженных с Xz {g)ltii — удовлетворяет нера-
венству ,| у | < 1. Но у — целое алгебраическое число и, бу-
дучи произведением всех чисел, алгебраически сопряженных
с числом Хг {g)lni> является рациональным числом. Следова-
тельно, у — целое рациональное число. Поскольку |у|< 1,
то мы вынуждены заключить, что у = 0 и, следовательно,
Хг (g) = 0-

Теперь мы располагаем всеми фактами, которые нужны
для доказательства фундаментального критерия непростоты
группы, принадлежащего Бернсайду.

Теорема 5.3.1. Если число элементов, сопряженных с не-
которым элементом g группы G, является степенью про-
стого числа и отлично от 1, то группа G не может быть
простой.

Доказательство. Пусть g — элемент группы G, удо-
влетворяющий условиям теоремы, т. е. g =# 1 и hg — pa> 1,
где р — простое число. По следствию 2 теоремы 5.1.1 имеет
место равенство 2 ni7i (g) = 0; так как ^ = 1, то это ра-

I

венство можно записать в виде 1 + 2 «zXz (g) = 0. Если
Z¥=l

G — простая группа, то фг (g) не может быть скалярной мат-
рицей. Из предыдущей леммы следует тогда, что если сте-
пень П/ представления ф£ взаимно проста с hg, т. е. рфп£,
то Xz(g) = O- Таким образом, ненулевой вклад в сумму

2 п£Хг (g) Дают лишь те слагаемые n£/£ (g)> Для которых
i 1

р\п;. Но так как Xi(g)~~ целые алгебраические числа, то
тогда получаем равенство вида 1 + ра == 0, где а целое
алгебраическое число, что, разумеется, невозможно. Теорема
доказана.

Эта теорема и интересна, и фундаментальна, но, быть
может, еще интересней ее простое следствие — великолепная
теорема, принадлежащая Бернсайду.

Теорема 5.3.2 (Бернсайд). Если o(G) = pmqn, где puq-
простые числа, то группа G разрешима.
Доказательство. Стандартное утверждение теории
групп устанавливает, что если N — нормальная подгруппа
группы G, такая, что группы N и G/N обе разрешимы, то
и сама G разрешима. Поэтому достаточно доказать, что
группа G не проста, и воспользоваться индукцией по по-
рядку группы.

Если элемент g, отличный от 1, лежит в центре силовской
(/-подгруппы, то его нормализатор N (g) содержит силовскую
(/-подгруппу группы G. Следовательно, число hg, будучи ин-
дексом нормализатора элемента g в G, имеет вид hg = p^
для некоторого а^О. Если а > О, то по теореме 5.3.1
группа G не может быть простой. Если же а==0, то g при-
надлежит центру группы. G, следовательно, G имеет нетри-
виальный центр, и снова применима индукция по порядку
группы.

Мы завершим эту главу еще одним известным класси-
ческим результатом теории групп; этот результат принадле-
жит Фробениусу. Хотя обе теоремы — и эта, и предыдущая —
являются чисто теоретико-групповыми по своей формули-
ровке, они никогда не доказывались без помощи теории ха-
рактеров.

Теорема 5.3.3 (Фробениус). Пусть G —• конечная группа
и Н — ее подгруппа, такая, что х~1Нх(]Н = {1} для любого
хфН. Тогда N — G\ (J х(Н \V) х~х---нормальная под-
х е G

группа в G. Кроме того, G = HN.

Чтобы избежать недоразумений, подчеркнем, что знак
имеет теоретико-множественный смысл.

Доказательство. Приводимое ниже доказательство
принадлежит Виланду; это доказательство было применено
Виландом для получения более общего результата.

Пусть ср =^= 1 — неприводимый характер группы Н. Исполь-
зуя характер ф, определим на G функцию 0, полагая

(1)	9(^) = ф(1) = ^ если g^N;

(2)	0 (g) = ф (x'~xgx), если g^xHx~x.

Из определения немедленно следует, что 0 — функция
класса сопряженных элементов группы G. Функция Q(g),
равная 0 (%)-—/ для всех geG, также является функцией
класса. Таким образом,	где —неприводимые

характеры группы G и a.-eF. Вычисляя аг«, находим az =
— S	Так как Q обращается в 0 на N, то

g^G
суммирование достаточно провести по подгруппам, сопря-
женным с Я, а так как сумма по любой сопряженной с Н
подгруппе совпадает с суммой по Я, то

ai==T(0)‘W' S

Лея

где w — число подгрупп, сопряженных с Н. Из условия тео-
ремы следует, что нормализатор группы Н в G совпадает
с Н, поэтому число подгрупп, сопряженных с Н, равно
индексу Н в G, т. е. w = o(G)/o(H). Отсюда

S = S (в(/1)-0%7(Л)=
be н	h<=H

= Т(н) S (ф(л)-0х7(й).

ЛеЯ

Если — представление группы G с характером %г, то
ограничение ipz на Н будет представлением группы Н. По-
этому из соотношений ортогональности для характеров Н
получаем, что щ — целое число. Вычислим cq:

01 ~ о{Н) (ф W ~ 0 = — ^ +	2 ф (Л) = — t,

h&H	heH

так как сумма 2 Ф (Л) равна нулю в силу леммы 5.1.3.
Лея

Далее, в силу соотношений ортогональности для характе-
ров группы G имеем V Q(g) Q (g) = J] af.

ge G

Подобно предыдущему, это соотношение переносится на Н:

h^H

= S (ф(а)-/)(ф7й)-0=

h^H

= ~^Н) IB [ф(Л)ф(Л) — ty(h) — fcp(/l)-H2] =
h^H

= f + ~oTh) S ф W = t2+i.

h^H

Таким образом, 2 a?= ~h 1 > причем си = — t. Следова-
тельно, все числа az (z 1) равны нулю, за исключением
одного, которое равно ± 1. Отсюда

Q = — t ±
где — неприводимый характер группы G. Если g^N, то
Q (§•) = о, следовательно, (g) = ± t. Полагая g = 1 е N,
получим Xi(l) — tii= ±t, откуда следует, что нужно выбрать
знак +. Для всех g^N будем иметь %f(g) = / = %z(l), сле-
довательно, ф/ (g) = 1пе Так как xf = Q-H —0, то для лю-
бого h^H имеем (Л) = ф(Л), т. е. ф совпадает с характе-
ром представления, индуцированного на Н представлением ф^.

Ясно, что номер i зависит от характера ф, с которого
мы начали. Заставим теперь ф пробегать все неприводимые
характеры группы Н. Как было показано выше, N лежит
в пересечении ядер соответствующих представлений ф/
группы G. Более того, N совпадает с этим пересечением.
В самом деле, в противном случае для некоторого эле-
мента h из Я, отличного от 1, имели бы ф(Л) = ф(1) для
всех неприводимых характеров ф группы Я, что невозможно.
Так как ядра представлений — нормальные подгруппы, то и
Я —нормальная подгруппа группы G. Равенство G — HN
получается простым подсчетом числа элементов ]).

Долгое время оставался открытым вопрос, будет ли под-
группа N в условиях теоремы 5.3.3 нильпотентной. Поло-
жительный ответ на этот вопрос получен Джоном Томпсоном.

ЛИТЕРАТУРА

1.	Брауэр (Brauer R.), Zur Darstellungstheorie der Gruppen endlicher
Ordnung, Math. Z., 63 (1956), 406—444.

2.	В и л а н д (W i e 1 a n d t H.), Uber die Existenz von Normalteilern in
endlichen Gruppen, Math. Nachr., 18 (1958), 274—280.

3.	Кэртис, Райнер (Curtis C., Reiner I.), Representation Theory
of Finite Groups and Associative Algebras, Interscience, New York, 1962.
(Русский перевод: Кэртис Ч., Райнер И., Теория представлений
конечных групп и ассоциативных алгебр, «Наука», М., 1969.)

4.	Томпсон (Thompson J.), Finite groups with fixed-point-free
automorphisms of prime order, Proc. Nat. Acad. Sci., 45 (1959), 578—581.

5.	Херстейн (Her st ein I. N.), Theory of Rings, Univ, of Chicago,
Math. Notes, 1961.

6.	Холл (Hall M., Jr.), The theory of Groups, Macmillan, New York,
1961. (Русский перевод: Холл M., Теория групп, ИЛ, М., 1962.)

7.	Экман (Eckmann В.), Gruppentheoretischer Beweis des Satzes von
Hurwitz — Radon uber die Komposition quadratischer Formen, Comment.
Helv., 15 (1942), 358—366.

!) Обозначим для удобства о (G) = | G |, о (Я) == | Н | и т. д. Так как
Н П N = {1}, то | HN | == | Н | • | N |. В то же время по определению | N | ==
= |G|-w(|ZZ|-1) = |G|-j|4(|/7|“1)=OT откуда I0!”5
== | N | • j Н | = | HN [. — Прим, перед.
Глава 6

ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ТОЖДЕСТВА

Выше мы несколько раз уже отмечали при случае, что
общая структурная теория, развитая в первых двух главах,
особенно эффективно применяется к изучению колец, под-
чиненных некоторым дополнительным ограничениям типа
полиномиальных тождеств. Хорошим примером этого явилось
изучение коммутативности в кольцах.

Теперь мы переходим к классу колец — в некотором
смысле они удовлетворяют более общей форме коммутатив-
ности, — анализ которых позволяет получить их тонкое опи-
сание. Это кольца, подчиненные тождественным соотноше-
ниям, имеющим форму полинома от некоммутирующих пере-
менных, который обращается в нуль при замене неизвестных
любыми элементами кольца. Изучение таких колец осно-
вывается на глубокой теореме Капланского (теорема 6.3.1).

Эта область изучалась с различных точек зрения и с раз-
личными целями. Например, Амицур и Левицкий проделали
большую работу по выяснению структуры тождеств мини-
мальной степени, выполняющихся в некоторых известных
кольцах. Наша цель состоит в ином: мы хотим накопить
достаточно материала для решения известной проблемы
Куроша в этом классе колец.

§ 6.1. Один результат о радикалах

Мы начнем с одного результата, который понадобится
для дальнейших рассмотрений, но по духу очень мало связан
с ними. Пусть R — кольцо и /?[/] —кольцо полиномов от
переменной t с коэффициентами из /?. Мы предполагаем,
что (at)b~ (ab)t для любых a, b е R; таким образом, если R
обладает единицей, то t лежит в центре кольца /?[/].

Теорема 6.1.1. Если R не имеет ненулевых ниль-идеалов,
то кольцо R [/] будет полупростым.

Для доказательства мы используем два легких и хорошо
известных результата. Первый из них по существу уже
доказан в лемме 2.2.3 в более общей формулировке — без
предположения о коммутативности.
Лемма 6.1.1. Пусть R —коммутативное кольцо и N — пере-
сечение всех его первичных идеалов!). Тогда N — ниль-идеал* 2).

Доказательство. Если a^R, а — ненильпотентный эле-
мент, то, как было показаношри доказательстве леммы 2.2.3,
существует первичный идеал W а, не содержащий а. Следо-
вательно, элемент а не принадлежит пересечению первичных
идеалов кольца Р.

Теперь мы можем доказать, что верна следующая

Лемма 6.1.2. Пусть R — коммутативное кольцо с едини-
цей} тогда из обратимости полинома а0 + a{t + ... + ап1п
(а^ ^R) в кольце /?[/] вытекает, что элемент а§ обратим в R,
а элементы ах, ..., ап нильпотентны.

Доказательство. Обратимость элемента aQ следует
по существу из определения кольца R[t]. Докажем ниль-
потентность элементов ах, ..., ап.

Пусть Р — первичный идеал в R, тогда Р[/] — идеал
кольца R [/]; кроме того, R[t]/P[t]c^. R[t], где R — R/P. Так
как кольцо R/Р является областью целостности, то един-
ственными обратимыми элементами кольца R[t] будут обра-
тимые элементы кольца R. Если элемент а0 + axt + ... + antn
обратим в R[t], то его образ в кольце R[t] также будет
обратимым; отсюда заключаем, что az===0(modP) для всех
i > 0. Следовательно, элементы а{, ..., ап лежат во всех
простых идеалах кольца R и по лемме 6.1.1 должны быть
нильпотентными.

Перейдем к доказательству теоремы 6.1.1. Пусть / — ра-
дикал кольца R[i], и предположим, что / =^= (0). Пусть

г — aQfQ +	+ ... + akfk (nQ<. пх < ... < п^

— ненулевой элемент из J с наименьшим числом ненулевых
коэффициентов ah Так как элемент а^ — га^ лежит в I и
имеет меньше ненулевых коэффициентов, чем г, то он должен
быть равен нулю. Отсюда находим, что — для
всех i, j.

Покажем, что все коэффициенты а0, ..., ak нильпотентны.
Элемент гх=га^ лежит в /, поэтому существует такой

J) Идеал I кольца R называется первичным, если факторкольцо R/I
первично. В коммутативном случае первичные кольца суть кольца без
делителей нуля, а первичные идеалы принято называть простыми идеа-
лами. — Прим, перев.

2) В произвольном кольце R пересечение всех первичных идеалов
совпадает с так называемым нижним нилъ-радикалом, или радикалом
Бэра (см. Джекобсон Н., Строение колец, ИЛ, М., 1961). — Прим*
перев.
элемент s, что rx + s + ?\s — 0. Отсюда

S=—	— rlS=— Г,	+ 7-jS) = — Г] + rfr2s.

Продолжая эту цепочку равенств, получим по индукции,
что для любого п

s = — ri+r2x—r\+ ... +(— 1)"г"+(— Ifrfs.

Пусть п больше степени элемента s; сравнивая коэффициенты
при одинаковых степенях t в обеих частях написанного ра-
венства, обнаруживаем, что коэффициенты элемента s суть
полиномы от а0, ..., ak. Обозначим через 7?0 подкольцо в 7?,
порожденное элементами aQi ..., aki и через 7?о —кольцо,
полученное из 7?0 формальным присоединением единицы 1.
В естественном смысле г{, 7?6 И; кроме того, (1 +r0 (1 +$) — 1 •
Так как кольцо 7?о коммутативно, то мы находимся в усло-
виях леммы 6.1.2, откуда заключаем, что все коэффициенты
многочлена rl=rait нильпотентны. В частности, элемент at
нильпотентен.

Обозначим через U множество таких элементов R,
что atnQ + a\tn' + ... + akfk е J для некоторых a'i, ,.a'k^R;
тогда ясно, что U — идеал кольца R, и по предыдущему
все элементы идеала U нильпотентны. Таким образом,
U — ниль-идеал кольца 7?, содержащий элемент а0 =/= 0, сле-
довательно, U =/= (0), если J (0). Этим теорема доказана.

Усовершенствовав метод доказательства, можно было бы
получить более тонкий результат, а именно J (7? [/]) = М [/],
где М — некоторый ниль-идеал кольца 7?1).

§ 6.2.	Стандартные тождества

Ниже мы будем предполагать, что R — алгебра над
полем F. Все результаты можно было бы получить при
значительно более широких предположениях, но, чтобы избе-
жать усложнений в формулировках, мы ограничиваем наше
изложение этими более узкими рамками.

Определение. Говорят, что алгебра А надполем F удовле-
творяет полиномиальному тождеству, если для некоторого
d>0 существует ненулевой полином f е Ffjq, ..., xd] от
некоммутативных переменных ..., xd над F, такой, что

f(ab ..., ad) = 0 для всех аъ ..., ad^A.

9 Этот результат принадлежит Амицуру (см. A m i t s u r S. A.,
Radicals of polynomial rings, Canad. J. Math-, 8 (1956), 3o5—361). — Прим-
Чре&
Если Л —алгебра с полиномиальным тождеством f = 0,
то алгебру А будем называть для краткости Р\-алгеброй *)
и говорить, что А удовлетворяет полиному f. Вот некоторые
простейшие примеры PI-алгебр:

(1)	любая коммутативная алгебра А над полем F является
PI-алгеброй, так как удовлетворяет полиному f(,rb ^2) =
= Х1Х2 — Х2ХЪ

(2)	алгебра Г2 удовлетворяет полиному

f(x„ х2, x3) = (xIx2 — x2xl)* 2x3 — x3(xIx2 — x2x1)2.

Существует очень много примеров PI-алгебр, и мы вскоре
познакомимся с общими примерами такого типа. Покажем
теперь, что не существует универсального тождества, кото-
рое выполнялось бы во всех матричных алгебрах Fn.

Лемма 6.2.1. Если d — целое положительное число и
f — ненулевой полином из F\x}, ..., xj, то существует такое
число п, что Fn не удовлетворяет полиному f2).

Доказательство. Пусть степень полинома f равна k
и М — идеал в F\x{, ..., xd], порожденный всеми одночле-
нами степени, большей k. Тогда алгебра A = F]xb ..., xd]/M
будет иметь конечную размерность над полем F. Используя
регулярное представление алгебры Л, мы можем представить
ее как подалгебру полной матричной алгебры Ffl, где
n = dimF Л. Так как f ф. М, то образ f элемента f в алгебре Л
отличен от нуля. Следовательно, существуют такие матрицы
сц, ..., ad(=Fn, что F(a}, ..., ad) ф 0.

Обобщим понятие коммутативности; с этой целью мы
введем частный, но исключительно важный класс тождеств.

Определение. Стандартным полиномом степени п в ал-
гебре F[xb хп] (п^2) называется полином

[Xj, . . Хп] = 2 (	1) ха (1) ••• X(j(n)»

где <т пробегает симметрическую группу Sn, а число (—1)а
равно 1 или —1 в зависимости оттого, четна подстановка а
или нечетна.

Говорят, что алгебра Л удовлетворяет стандартному
тождеству, если для некоторого п полином [хь ..., хп] равен
нулю на Л. Заметим, что стандартным полиномом степени 2

9 PI — polynomial identity. — Прим, перев.

2) См. также лемму 6.3.1. — Прим, ред.
будет просто полином х{х2 — х^х{*, в этом смысле класс алгебр,
удовлетворяющих стандартному тождеству, является обоб-
щением класса коммутативных алгебр.

Источником PI-алгебр обеспечивает нас

Лемма 6.2.2. Если А — алгебра размерности п над F,
то А удовлетворяет полиному [хь ..., хп+1].

Доказательство. Из самого определения стандарт-
ного полинома видно, что он линеен по всем своим пере-
менным и обращается в нуль, если какие-либо два аргумента
равны. Если иъ ..., ип — базис алгебры А над F и а^ ..., ап+[ —
произвольные элементы из А, то мы можем выразить каждый
из элементов at в виде линейной комбинации базисных эле-
ментов иъ ..., ип с коэффициентами из F. В силу поли-
линейности полинома [хь ..., хп+1] выражение [а{, aft+1]
будет линейной комбинацией членов вида	W/n+1],

где Utk — элементы из множества	Но тогда

какие-либо два аргумента в выражении [&Z1, ..., ^zn+1] не-
пременно совпадают, следовательно, оно должно быть равно
нулю. Отсюда [аъ ап+1] = 0.

Следствие 1. Алгебра Fn удовлетворяет полиному
[Xj, . . . , ХП2_|_1].

На самом деле результат следствия 1 является весьма
грубым, так как Амицур и Левицкий показали, что Fn
удовлетворяет полиному [х1? ..., х2п]. Эта более точная
оценка нам в дальнейшем не потребуется *).

Следствие 2. Если А — коммутативная алгебра над по-
лем F, то Ап удовлетворяет тождеству [хь ..., хП2+1]=0.

Если Л —конечномерная алгебра над полем	Л=/г,

то каждый элемент из А удовлетворяет полиному сте-
пени п + 1 над F (или степени п, если алгебра А содержит
единицу). Это свойство мы положим в основу определения
алгебраической алгебры ограниченной степени над F. Ал-
гебра А называется алгебраической алгеброй ограниченной
степени над полем F, если существует такое натуральное
число п, что для любого а е А существует полином вида
хпА-аххп^1А- •••	корнем которого является а.

Утверждение леммы 6.2.2 мы обобщим следующим образом.

9 Легко видеть, что из тождества [хр ..., х^] = 0 вытекает тожде-
ство [х1? ...» xw]==0 для любого tn>k. См. также лемму 6.3.1 ниже.—
Прим, перев.
Лемма 6.2.3. Если А— алгебраическая алгебра ограни-
ченной степени над F, то А является Р1-алгеброй.

Доказательство. Пусть каждый элемент а е А удо-
влетворяет полиному вида хп +	+ ... + ап, где az е F,

а п— фиксированное число. Если b — произвольный элемент
алгебры А, то, коммутируя его с обеими частями равенства
ап + щап^Ат ••• +an = 0,
получим

[ап, &] + оц \ап~\ &]+ •••	6] = 0.

Коммутируя это равенство с элементом [а, Ь], получим

[[а”, Ь], [а, 6]] + aj [[а*-1, Н [а, &]]+...

... + an_2[[a2, b\ [а, &]] = 0.

Прокоммутируем это равенство с элементом [[а2, 6], [а, &]]
и т. д. (п раз); в конце концов мы получим специфическое
тождество, которому удовлетворяет алгебра А ]).

Если известно, что алгебра А удовлетворяет полино-
миальному тождеству, то хотелось бы предположить, что
это тождество имеет удобную форму. Одно из таких упро-
щений в тождествах доставляет нам следующая

Лемма 6.2.4. Если алгебра А удовлетворяет полиномиаль-
ному тождеству степени d, то она удовлетворяет также не-
которому полилинейному2) тождеству, степень которого не
превосходит d.

Доказательство. Пусть алгебра А удовлетворяет
тождеству /(хь ..., хп) = 0 степени d. Тогда она удовлетво-
ряет также тождеству

ё(х1г хп, X„+I) = f(x, 4-х„+1, Х2, .... хп)-

f (-4, •••> -Чг) f (-^п+Ь	-^я) =

которое относительно х13) имеет степень, меньшую, ч*ем то-
ждество f — 0. Продолжая тем же способом, придем к то-
ждеству, линейному относительно х{. На каждом шаге этого
процесса вводится одна новая переменная, а общая степень
рассматриваемых тождеств не возрастает. Поэтому степень
полученного тождества не превосходит d. Далее переходим

9 Можно было бы заметить также, что элементы [Л 6] ..., [а, 6],
будучи линейно зависимыми, обращают в нуль стандартный полином
[хь ..., хп}. Следовательно, алгебра А удовлетворяет тождеству [[хп, у],
[х^*"1, у], ..., [х, #]] = 0. — Прим, перев.

2) То есть линейному по всем переменным. — Прим. ред.

3) А также и xn+i. — Прим. ред.
к переменной и повторяем указанную процедуру. Когда
мы переберем таким образом все переменные xlf ..., то
получим, в конце концов, полилинейное тождество, которое
выполняется в алгебре А и имеет степень, не превосходя-
щую d *).

Следующая лемма представляет собой прямое следствие
определений тензорного произведения и полилинейности.
Доказательство ее мы предоставляем читателю.

Лемма 6.2.5. Если алгебра А удовлетворяет полилиней-
ному полиному f, то для любого расширения К поля F ал-
гебра A®fK также удовлетворяет полиному f.

§ 6.3.	Теорема Капланского

Все, что до сих пор говорилось о полиномиальных то-
ждествах, имело формальный или комбинаторный оттенок.
Вернемся теперь к алгебраической стороне вопроса. Ключом
к изучению PI-алгебр служит весьма важная и изящная
теорема, принадлежащая Капланскому (теорема 6.3.1). Пред-
варительно получим некоторую специфическую информацию
о тождествах алгебры Fn.

Лемма 6.3.1. Fn не удовлетворяет никакому тождеству
степени, меньшей чем 2п.

Доказательство. Если Fn удовлетворяет полино-
миальному тождеству, степень которого меньше чем 2п, то,
согласно лемме 6.2.4, мы можем предположить (докажите!),
что это тождество полилинейно, т. е. однородно степени 1
по каждому из входящих в него переменных. Пусть это
будет тождество

f ==:: ^1-^2 • • • %d 4“ 2	(1) • • •	(а) =

СТ 1

где aG е F, суммирование ведется по всем подстановкам а
из Sdi отличным от единичной, и d < 2п.

Придадим переменным xi9 ..., xd следующие значения:

Х1=в]1, Х2==б12, -^3 = ^22> Х4 ”^23» •••>

где через е^ обозначаются обычные матричные единицы
алгебры Fn. Так как d^2n — 1, то такой выбор элементов
..., xd возможен; кроме того, для любой подстановки о,

*) При весьма широких предпосылках процесс линеаризации описан
А. И. Ширшовым (см. [7*]). — Прим, перев.
отличной от тождественной, будем иметь равенство ха^) ...
... ^a(j) = 0. Отсюда

е12> е22> • • •) ~ епе12е22 • • • #= О,
следовательно, алгебра Fn не удовлетворяет полиному f.

Теперь мы можем доказать упомянутую теорему Кап-
ланского.

Теорема 6.3.1 (Капланский). Если А —примитивная ал-
гебра, удовлетворяющая полиномиальному тождеству сте-
пени d, то А - конечномерная простая алгебра над своим
центром Z и ее размерность над Z не превосходит [d/2]2,
где [d/2] — целая часть числа d/2.

Доказательство. Так как алгебра А примитивна,
то по теореме 2.1.4 она либо изоморфна кольцу Дп, где
Д — некоторое тело, либо для любого пг > 0 содержит под-
алгебру, которая гомоморфно отображается на Дт. Однако
подалгебры и гомоморфные образы алгебры А удовлетво-
ряют всем тождествам, которым удовлетворяет Д. Следова-
тельно, при второй из упомянутых выше возможностей то-
ждеству алгебры А удовлетворяли бы кольца Дт для любого
т>0, а вместе с ними и кольца^Zm, где Z — центр тела Д.
В силу леммы 6.3.1 это невозможно. Поэтому остается лишь
первая возможность: Дс^Дп.

Пусть К — максимальное подполе в Д. По теореме 4.2.1
кольцо A®ZK будет плотным кольцом линейных преобразо-
ваний векторного пространства Д над К, т. е. плотным коль-
цом К-линейных преобразований. Как отмечалось выше, мы
можем предполагать, что алгебра А удовлетворяет полили-
нейному тождеству f степени не выше d, следовательно,
кольцо Д ®z К также удовлетворяет тождеству f. Как и
выше, заключаем отсюда, что &®zK^Km Для некото-
рого пг. Тогда A ®ZK~ \п ®ZK~ и алгебра Ктп удо-
влетворяет тождеству f. По лемме 6.3.1 d^2mn, откуда
mn^[d/2]. Но	®zK) = dimz A = (тп)2. Следова-

тельно, dimz А [d/2]2. Так как Д~ДП, то алгебра А про-
ста. Теорема доказана.

Эта теорема имеет многочисленные применения и является
центральной почти для всех работ по теории PI-алгебр.
Укажем на одно простое ее применение. Пусть А — прими-
тивная алгебра над полем F, и предположим, что А является
алгебраической алгеброй ограниченной степени п. По лем-
ме 6.2.3 А удовлетворяет некоторому полиномиальному тож-
деству, следовательно, по теореме 6.3.1 Д — простая ал-
гебра, конечномерная над своим центром. ПустьЛо^Д/7Р
где А — тело и Z — центр А. Тогда Ат будет алгебраической
алгеброй ограниченной степени п над F и тем более над Z.
Если К — максимальное подполе тела А, то	Вейлу

теоремы 4.3.3 мы можем считать, что поле К сепарабельно
над Z. Пусть [R:Z]=r и 0 — примитивный элемент поля К
над Z. Тогда минимальный полином матрицы

О 1 0 ... (П

О 0 1 ... О

О 0 0 ... 1

9 0 0	0



под полем К будет равен tm — 0, а ее минимальный поли-
ном над Z будет иметь степень тг. Следовательно, тг^п.
Замечая, что dimz А = (mr)2f находим, что dimzA^.n2.
В частности, если каждый элемент из А удовлетворяет квад-
ратному уравнению над Z, то размерность алгебры А над Z
не превосходит четырех.

Если В—коммутативное кольцо, то, как отмечалось выше,
кольцо Вп удовлетворяет полиномиальному тождеству.
Можно ли утверждать, что верно и обратное, т. е. что лю-
бое кольцо 7?, удовлетворяющее полиномиальному тожде-
ству, содержится в Вп, где В — подходящее коммутативное
кольцо, а п — натуральное число? В такой общности ответ
отрицателен. В самом деле, пусть А — бесконечномерная
алгебра над полем характеристики 0 с образующими щ и
определяющими соотношениями щи] — —ирн для любых z, /
(это просто внешняя алгебра над бесконечномерным про-
странством). Легко видеть, что алгебра А удовлетворяет
тождеству [[х, у], г] = 0. Точно так же легко убедиться,
что А не удовлетворяет стандартному тождеству. Следова-
тельно, алгебра А не может содержаться в Вт ни для ка-
кого т и ни для какого коммутативного кольца В. Если,
однако, кольцо R подчинено надлежащим условиям, то мы,
действительно, можем получить некоторую теорему вложе-
ния. А именно, справедлива следующая

Теорема 6.3.2. Пусть А есть PI-алгебра, не имеющая
ненулевых ниль-идеалов. Тогда А^Вт, где В — коммутатив-
ное кольцо, являющееся полной прямой суммой полей.

Доказательство. В силу теоремы 6.1.1 кольцо А[/]
будет полупростым; в то же время А [/] — A F[Z], и так
как можно считать, что тождество алгебры А является по-
лилинейным, то это тождество будет выполняться и в ал-
гебре A[t]. Так как А £ A [t], то из вложения A[t]^Bm,
где В — кольцо требуемого вида, следовало бы, конечно,
соответствующее утверждение для алгебры А. Иными сло-
вами, мы можем предполагать без ограничения общности,
что алгебра А полупроста. Но тогда А будет подпрямой
суммой примитивных колец Да, каждое из которых, будучи
гомоморфным образом алгебры Л, удовлетворяет тому же
тождеству f, что и А. Если степень тождества f равна d,
то по теореме Капланского каждая из алгебр Ла имеет раз-
мерность не выше [d/2]2 над своим центром Za, причем Za
является полем. Используя регулярное представление ал-
гебры Ла, можем вложить ее в алгебру матриц порядка k
над Za, где k = dimZa (Ла) [d/2]2. Таким образом, суще-
ствует целое число т, такое, что Аа е (Za)m для всех а.
Если В — полная прямая сумма полей Za, то мы показали,
что А^Вт.

Отметим непосредственное следствие доказанной теоремы.

Следствие. Если А есть PI-алгебра, не имеющая ненуле-
вых ниль-идеалов, то А удовлетворяет стандартному
тождеству.

В заключение этого параграфа мы докажем теорему
о подалгебрах матричных алгебр, которая показывает, что
алгебру Fn можно отличить от ее собственных подалгебр
с помощью тождеств. Для этого установим сначала один
вспомогательный результат. Пусть г (п) — минимальная сте-
пень стандартных тождеств, выполняющихся в Fn.

Лемма 6.3.2. г(п)^г(п-~ 1) + 2.

Доказательство. Вложим алгебру Fri„i в Fn, сопо-
ставляя элементу а из F^ матрицу

/ а 0\

\0 О/

из Fn. Пусть t —	' 1)— 1, тогда можно найти элементы

at^Fn-{, такие, что [яь at] 0. Используя ука-
занное выше вложение алгебры Fn^ в Fn, находим, что

[tij, ..., at, ekn, е^п] • • • > eknPnn ~	• • •» &kn*

Так как элемент	at] отличен от 0 и имеет вид

/а 0\

\0 Of
то можно найти такое k, что [аь ..., at]ekn=A=0. Но тогда
[«!, atr ekn, епп]=£0, откуда следует, что г (я) >/ + 2 =
= г(п — 1)+1. Лемма доказана.

Теорема 6.3.3. Пусть 7? — простая алгебра, имеющая ко-
нечную размерность над своим центром F, и А— ее под-
алгебра над F, такая, что любое полилинейное тождество
с коэффициентами из простого подполя Р F, выполняю-
щееся в алгебре Л, имеет место и в R. Тогда A = R.

Доказательство. Пусть F —• алгебраическое замыка-
ние поля F, тогда условия теоремы переносятся на кольцо
R®fF. Следовательно, для доказательства теоремы доста-
точно ограничиться случаем, когда поле F алгебраически
замкнуто. Согласно теореме Веддербарна, будем иметь
R = Fn.

Если А — полупростая подалгебра, то по теореме Веддер-
барна	... + Fnk. Ясно, что алгебра А удовле-

творяет всем тождествам над Р, которые выполняются в Fn.,
где /i/ = max(nI, ..., пД Тогда по условию алгебра Fn
также удовлетворяет любому полилинейному тождеству
над Р, имеющему место в Fn,. Отсюда заключаем в силу
леммы 6.3.2, что n = ni, т. е. А = Fn = R.

Предположим теперь, что алгебра А не полупроста, т. е.
что ее радикал N отличен от (0). Тогда A/N ~	4-... + Fnk,

где каждое из чисел щ меньше п, так как dim4/Af < dim 4^
^dimFn. Если m = max(n1, ..., nk), то алгебра AIN удо-
влетворяет стандартному тождеству степени r = r(m). Дру-
гими словами, [а1У ..., ar\ <= N для любых

Так как N — нильпотентный идеал алгебры А, скажем N* = (0),
то алгебра А удовлетворяет следующему тождеству над Р:

bi[ah ar]b2[ar+i, a2r] ... bt[ar (/_1)+1, .... arJ = 0.

По условию теоремы аналогичное тождество должно выпол-
няться и в Fn, откуда следует, что элементы вида [хь ..., хг]
(xi е Fn) порождают нильпотентный идеал в Fn. Но алгебра Fn
проста, следовательно, ..., хг] = 0 для любых ...
..., xr е Fn. Так как г = г (т) и m < п, то приходим к про-
тиворечию. Тем самым теорема доказана.

§ 6.4.	Проблема Куроша для PI-алгебр

Проблема Куроша для алгебр, аналогичная проблеме
Бернсайда для групп, формулируется следующим образом.
Пусть А — алгебраическая алгебра над полем F; верно ли,
что любое конечное число элементов из А порождает конеч-
номерную подалгебру в Л? В такой общности ответ на во-
прос является, как будет показано в последней главе, отри-
цательным. Однако — и в этом проявляется различнее груп-
пами — ответ будет положительным, если А удовлетворяет
полиномиальному тождеству. В частности, проблема Куроша
решается положительно для алгебраических алгебр ограни-
ченной степени.

Определение. Алгебра А над полем F называется ло-
кально конечной, если любая ее подалгебра над F, поро-
жденная конечным числом элементов из А, является конеч-
номерной над F.

В этих терминах вопрос приобретает такую форму: при
каких условиях алгебраическая алгебра будет локально ко-
нечной? Попытаемся найти методы сведения указанной про-
блемы к более простым семействам алгебр.

Лемма 6.4.1. Если А —алгебра над полем F, а В —ее
идеал, такой, что В и A/В локально конечны, то алгебра
А также будет локально конечной.

Доказательство. Пусть {ах, ..., аг] — произвольное
конечное множество элементов из А и а{, ..., аг — образы
этих элементов в факторалгебре А = А/В. Так как алгебра А
локально конечна, то элементы al9 .аг порождают ко-
нечномерную подалгебру в А, линейное пространство которой
может быть натянуто на элементы а19 ..., аг, ar+i, ..., am.
Пусть а{, аг и аг+1, ..., ат — прообразы этих элементов
в А, тогда из соотношений й/й/=== 2$//^ (a^eF) получим
k

aiaj — 2 ^nkak + Ъц,
k

Ьц e В. Так как В — идеал алгебры А, то все элементы
bih Ukbii, Ьцак, akbtjat принадлежат В и в силу локальной
конечности идеала В порождают конечномерную подалгебру М
алгебры А. Если через W обозначим подалгебру в А, поро-
жденную элементами а{, ..., ат, то М W и, более того,
М будет идеалом подалгебры W. Легко видеть, что линейное
пространство факторалгебры W/М порождается образами
элементов at при каноническом гомоморфизме W -> WIM.
Следовательно, М и IF/A1 конечномерны; но тогда и алгебра W
будет конечномерной. Поскольку подалгебра алгебры А, по-
рожденная элементами а19 ..., аг, содержится в W, то эта
подалгебра также будет иметь конечную размерность над F.
Лемма доказана.
Идеал алгебры А называется локально конечным идеалом,
если «он локально конечен как алгебра.

Лемма 6.4.2. Если В и С — локально конечные идеалы
алгебры Л, то В -ф С — также локально конечный идеал в А.

Доказательство. По стандартной теореме о гомо-
морфизмах имеет место изоморфизм

в + ас ~ BIB п с.

Факторалгебра B/BQC локально конечна как гомоморфный
образ локально конечной алгебры В. Следовательно, фактор-
алгебра (В + С)/С локально конечна. Так как идеал С по
условию локально конечен, то, применяя лемму 6.4.1, нахо-
дим, что идеал В + С также локально конечен.

Если {BJ — линейно упорядоченное по включению' семей-
ство локально конечных идеалов алгебры Л, то из самого
определения локальной конечности непосредственно следует,
что объединение этого семейства также будет локально ко-
нечным идеалом. Поэтому мы можем применить лемму
Цорна и установить, что существует некоторый локально
конечный идеал £, максимальный в множестве локально
конечных идеалов алгебры Л. Если С — произвольный ло-
кально конечный идеал, то по предыдущей лемме L + С
также будет локально конечным идеалом. Учитывая макси-
мальность идеала £, заключаем отсюда, что L+C — L и,
следовательно, C^L. Нами доказана

Лемма 6.4.3. Любая алгебра А содержит единственный
максимальный локально конечный идеал L (Л), в котором
содержатся все локально конечные идеалы алгебры Л.

Идеал L (Л) мы могли бы назвать локально конечным
радикалом алгебры Л, так как он обладает многими ради-
кальными свойствами. Одно из них выражается следующей
леммой.

Лемма 6.4.4. L {AIL (Л)) = (0).

Доказательство. Если С — локально конечный идеал
алгебры Л = Л/£(Л) и С — его полный прообраз в Л, то по
стандартным теоремам о гомоморфизмах C^L (Л) и С/L {А)=С.
Так как и С, и L{A) локально конечны, то, применяя лемму
6.4.1, получим, что идеал С локально конечен. Следова-
тельно, Се/ДЛ), откуда С = (0).

Нам нужно несколько более глубокое свойство идеала
L (Л), чем то, которое устанавливается леммой 6.4.4>
Теорема 6.4.1. Если С — локально конечный левый (или
правый) идеал алгебры А, то С L (Л).

Доказательство. Переходя к факторалгебре Л/£(Л),
можем предполагать в силу леммы 6.4.4, что С(Л) = 0. Тогда
задача сводится к следующей: доказать, что любой локально
конечный левый идеал С должен быть нулевым.

Рассмотрим двусторонний идеал СЛ; мы утверждаем, что
он локально конечен. В самом деле, пусть х19 ..., ^ — про-
извольные элементы из СЛ; без ограничения общности можно
считать, что xt = с^, где Ci е С, at е Л, i = 1, ..., m. По-
кажем, что подалгебра, порожденная элементами ..., хт,
конечномерна. Обозначим yij = aiCf. Тогда уц^С и в силу
локальной конечности идеала С элементы Q, у^ (/, /, k =
— 1, ..., т) порождают алгебру W, конечномерную над F.
Так как Х}Х] = Cia^a^ суца^ ^Waj, то произведение лю-
бых двух элементов множества {х1? хт} лежит в подпро-
странстве Т — J^Waj. Далее,

WajXt — W a jCtat — Wyjtat ^Wat^T.

Таким образом, подалгебра, порожденная элементами хь
лежит в сумме подпространства Т и линейной оболочки эле-
ментов X}. Следовательно, эта подалгебра конечномерна, и
мы доказали, что СЛ —локально конечный идеал алгебры Л.
Так как £(Л) = (0), то отсюда следует, что СЛ = (0). Но
тогда С будет двусторонним локально конечным идеалом
алгебры Л, откуда заключаем, что С ==(0). Теорема доказана.

Теперь мы готовы приступить к решению проблемы Ку-
роша в классе РЬалгебр. Первым и наиболее трудным шагом
на этом пути будет

Теорема 6.4.2. Пусть А — алгебраическая алгебра над
полем F, и предположим, что А конечно порождена, удо-
влетворяет полиномиальному тождеству и не имеет нильпо-
тентных элементов. Тогда Л(Л)У=(0).

Доказательство. В любой алгебраической алгебре
радикал является ниль-идеалом — доказательство этого факта
мы оставляем читателю в качестве легкого упражнения. При
дополнительном предположении, что алгебра Л не имеет
нильпотентных элементов, отсюда следует, что Л должна
быть полупростой.

Пусть а — произвольный необратимый элемент из Л, от-
личный от нуля. В силу алгебраичности а удовлетворяет
соотношению вида

ага + а1ап~1+ ... 4-a^a^ = 0,
где ct£ #= 0 и п — k 1. Но тогда

((ак +	+ ... + ak) а)п~к = О,

и так как А не имеет нильпотентных элементов, то
afe+1+a1a^ + ... +a&a = 0.

Таким образом, существует полином p(x)eF[x], такой, что
а — а2р (а). Тогда элемент е = ар (а) будет идемпотентом;
так как элемент а отличен от нуля и необратим, то идем-
потент е отличен от нуля и единицы. По построению ае — а.

Как отмечалось после доказательства теоремы 3.2.2,
в кольце без нильпотентных элементов любой идемпотёнт
принадлежит центру кольца. Следовательно, ее/ (А), где
Z (А) — центр алгебры А.

Пусть М — ненулевой идеал алгебры А и at, ..., ап —
произвольные элементы из М. Покажем, что существует
такой идемпотент е е 7И, что ate = для всех i — 1, ..., п.
По индукции можно предположить, что уже имеется идем-
потент е М, такой, что aiei — a1, ..., ап-хех = an_it Если,
кроме того, anei = ап, то нечего доказывать. Если же
апе1 — ап=А= 0, то по предыдущему существует такой идем-
потент е2, что (апе{ — е2 = апег — ап, или ап = ап (ej + е2 —
— ^А). Так как eif е2 —- идемпотенты из центра А, то легко
видеть, что элемент е = е1 + ^А также будет идемпо-
тентом, причем апе = ап. Кроме того, для любого i < п будем
иметь

а^е —	4- £2 — #а) — ai aie2 — aie2 — ai>

Следовательно, элемент е е М является искомым идемпо-
тентом.

Пусть Р — такой идеал алгебры А, что факторалгебра
А/P примитивна. Так как алгебра А/P удовлетворяет полино-
миальному тождеству, то по теореме Капланского она будет
простой алгеброй, конечномерной над своим центром. По-
скольку алгебра А/P алгебраична над F, то и ее центр будет
алгебраическим расширением поля F. Так как алгебра А
конечно порождена над F, то тем же свойством обладает и
алгебра А/P. Все это позволяет нам заключить, что алгебра
А/P будет иметь конечную размерность над полем F1).

*) Следует проверить, что центр алгебры А/P будет конечно поро-
жденной алгеброй над F. Выберем в А/P какой-либо базис {ёъ ..., ёп}
над Z (А/P), и пусть аъ ..., ат —- образующие алгебры А/P. Тогда имеют
место соотношения вида	где

s Z (А/P). Нетрудно доказать, что Z (А/P) порождается как алгебра
над F указанными элементами	— Прим, перев.
Пусть {уъ Угг}-" базис алгебры А/РнадГ и хъ ..хп—
образующие алгебры А. Если у{, ут — прообразы в А
элементов z/*b ут, то будем иметь равенства

(1)	%i = 2 ®цУ} +

(2)	У1У j ~ 2 $ЦкУк +

k=l

где ut, ицеР. Пусть Ро — идеал алгебры А, порожденный
всеми элементами ult и{1. Очевидно, что PQ^P. Так как
элементы ......хп порождают алгебру А, то любой эле-

мент из А представляется в виде 2 YiKi + и, где уг <= F,
и е Ро. В частности, если а = S + и е Р, то, переходя
к факторалгебре А/P, получим S угуг = 0. Так как элементы у{
линейно независимы над F, то отсюда следует, что у^ = 0
т) и, далее, а = иеР0. Другими словами, мы
показали, что Р — Ро.

Согласно установленному в начале доказательства, суще-
ствует такой идемпотент ееР, что ще = щ и ице = иц для
всех i, j. Так как идемпотент е лежит в центре алгебры А,
а элементы щ, иц порождают Р (как идеал), то ер = р для
любого р <^Р. Отсюда Р — Ае. Положим Pi = {х — хе\ х е А},
тогда Р] — идеал .алгебры А, и имеет место пирсовское раз-
ложение Л = Р4-Р1. Отсюда Pi^AjP. Так как алгебра Л/Р
конечномерна над F, то она тем более локально конечна.
Следовательно, Pj — локально конечный идеал алгебры А,
PX^L (Л). Поэтому L (Л)	(0).

Теперь мы можем дать положительный ответ на проблему
Куроша для PI-алгебр.

Теорема 6.4.3. Если А — алгебраическая алгебра над по-
лем F, удовлетворяющая полиномиальному тождеству, то А
локально конечна1).

Доказательство. Без ограничения общности можем
предположить, что Л удовлетворяет полилинейному тожде-
ству степени d. Далее воспользуемся индукцией по d. Если
d = 2, то Л удовлетворяет одному из тождеств х1х2 = х2х1,
хгх2 — — х2х{. Легко видеть, что в обоих случаях алгебра Л
локально конечна.

*) Далеко идущее обобщение этой теоремы получено А. И. Ширшо-
вым (см. [7*] (8*J). — Прим, перев.
Переходя к алгебре А = A/L (Л), можем предполагать
без ограничения общности, что£(А) = (0). Так как мы имеем
дело только с конечно порожденными подалгебрами, то можем
предполагать далее, что А имеет конечное число образующих.
Короче говоря, мы сводим доказательство к случаю, когда
Л — конечно порожденная алгебраическая алгебра над F,
удовлетворяющая полилинейному тождеству степени d, и,
кроме того, £(А) = (0). Мы покажем, что это невоз-
можно.

Если А не имеет нильпотентных элементов, то по преды-
дущей теореме L (Л) =А= (0). Поэтому алгебра А должна со-
держать нильпотентные элементы. Пусть а — ненулевой эле-
мент из А, такой, что а2 = 0, и пусть Т — левый идеал, по-
рожденный элементом а. Тогда Та = (0). Далее, алгебра А
удовлетворяет тождеству

f(Xi....Xrf) = Xi<7(*2, •••, xd) + h(xlt xd) = Q,

где в членах полинома h переменная Xj не встречается на
первом месте.

Положим х{ = а, и пусть х2, ..., xd — произвольные эле-
менты из Т. Тогда получим

aq{x2, ..., xd) = Q.

Пусть W — {х е Т | ах = 0}, тогда TW — (0), следовательно,
W — двусторонний идеал кольца Т. Так как q(t2, ..., td)^W
для любых t2, ..., td^T, то в факторкольце	вы-

полняется тождество q (х2, •. •, * J = 0 степени d — 1. По
предположению индукции кольцо Т будет локально конеч-
ным. Так как W2 = (0), то и идеал W, очевидно, локально
конечен. Следовательно, Т — ненулевой локально конечный
левый идеал алгебры А. Согласно теореме 6.4.1, TsL(A),
откуда заключаем, что L (А)	(0). Так как это противоречит

нашему предположению, что L (А) = (0), то теорема доказана.

Хотя приводимый ниже результат является простым след-
ствием теоремы 6.4.3, он все же представляет независимый
интерес как аналог ограниченной проблемы Бернсайда.

Теорема 6.4.4. Если А — алгебраическая алгебра ограни-
ченной степени над F, то А локально конечна.

Доказательство. Согласно лемме 6.2.3, алгебра А
удовлетворяет полиномиальному тождеству, поэтому утвер-
ждение о локальной конечности следует из теоремы 6.4.3.
ЛИТЕРАТУРА

1.	Амиду р, Левицкий (Amits ur S. A., Levitzki J.), Minimal
identities for algebras, Proc. Amer. Math. Soc., 1 (1950), 449—463.

2.	Джекобсон (Jacobson N.), Structure of rings, Amer. Math. Soc.
Colloq. Publ., 37 (1964). (Русский перевод первого издания 1956 г.:
Джекобсон Н., Строение колец, ИЛ, М., 1961.)

3.		—, Structure theory for algebraic algebras of bounded degree, Ann.

of Math., 46 (1945), 695—707.

4.	Капланский (Kaplansky I.), Rings with polynomial identity,
Bull. Amer. Math. Soc., 54 (1948), 575—580.

5.	-——, Groups with representations of bounded degree, Canad. J. Math.,
1 (1949), 105—112.

6.	Левицкий (Levitzki J.), A problem of A. Kurosh, Bull. Amer.
Math. Soc., 52 (1946), 1033—1035.

7*	. Ш и p ш о в А. И., О некоторых неассоциативных ниль-кольцах и алге-
браических алгебрах, Матем. сб., 41, № 3 (1957), 381—394.

8*	. -—, О кольцах с тождественными соотношениями, Матем. сб., 43,

№ 2 (1957), 277—283.
Главе 7

ТЕОРЕМА ГОЛДИ

Недавно Голди доказал несколько теорем, дающих глу-
бокую информацию о строении колец, подчиненных некото-
рым условиям обрыва цепей. В теории колец с условиями
обрыва возрастающих цепей (левых идеалов) эти теоремы
играют такую же роль, как теоремы Веддербарна для ко-
лец с условием обрыва убывающих цепей. В действительно-
сти эти теоремы являются обобщением теорем Веддербарна
на более широкий класс колец. Короткое и в высшей степени
концептуальное доказательство первой теоремы Голди дал
Прочези; мы показали затем, как из этой теоремы можно
легко получить вторую теорему Голди.

Доказательство этих теорем, которое будет здесь приве-
дено, принадлежит Прочези и Смоллу. Оно простое, корот-
кое и отточенное, но все же кажется не таким прозрачным,
как доказательство, данное ранее Прочези. С одной сторо-
ны, то доказательство в действительности содержало тео-
рему Веддербарна для простых колец. С другой стороны,
развитая здесь техника позволяет получить целый ряд ре-
зультатов, например недавнюю теорему Фейта и Утуми.
Как бы то ни было, нас интересуют в первую очередь тео-
ремы Голди, поэтому мы ограничимся здесь подходом Про-
чези — Смолла.

§ 7.1.	Теорема Оре

Хорошо известен элементарный факт, что любую комму-
тативную область целостности можно вложить в поле, при-
чем это поле представляет собой не что иное, как кольцо
дробей, построенных из элементов исходной области. Оре
указал подходящие условия, при которых аналогичное по-
строение возможно и для некоммутативных колец без дели-
телей нуля. Ниже мы изложим эти условия Оре в несколько
более общей ситуации. Сначала дадим определения.

Определение. Элемент кольца R называется регулярным,
если он не является ни левым, ни правым делителем нуля.
Определение. Кольцо Q (У?) = 7? называется левым коль-
цом частных для R, если

(1)	каждый регулярный элемент из R обратим в Q{R),

(2)	каждый элемент x<=Q(R) представим в виде a~'b,
где а, b е Я и а — регулярный элемент.

Если Q{R)—левое кольцо частных для R, то будем на-
зывать R левым порядком в Q{R). Докажем теперь тео-
рему Оре.

Теорема 7.1.1. Для того чтобы кольцо R имело левое
кольцо частных, необходимо и достаточно, чтобы для лю-
бых элементов a, b <= R, где b регулярен, существовали
элементы alt b^R, такие, что Ьг регулярен и а\Ь — Ьщ.

Доказательство. Условие теоремы обычно назы-
вают {левым') условием Оре. Если кольцо частных Q(R)
действительно существует, то в силу регулярности элемен-
та b существует элемент	Представим его

в виде &Г'аь где ab bt е R и элемент регулярен, тогда
получим ab~} = Ь~'ах, откуда а\Ь = Ьщ, т. е. в кольце R
выполнено левое условие Оре.

Более интересно доказательство в другом направлении.
Предположим, что в R выполнено условие Оре. Пусть
Эй = {(a, b) | a, b <= R, b регулярен}. Определим в Эй отно-
шение ~, полагая {a, b)~(c, d), если существуют такие
элементы b\, dx е R, что rf1a = &1c, d\b = b{d и br регуля-
рен. Покажем, что тогда элемент dx также будет регуляр-
ным и что отношение {a, b)~{c, d) не зависит от выбора
регулярных элементов Ьъ dlt удовлетворяющих условию
d[b = bid. Ясно, что не является правым делителем нуля
в R. Далее, используя регулярность элемента d и условие
Оре, выберем элементы b2, d2^ R так, чтобы выполнялось
равенство d2b = b2d и чтобы элемент d2 был регулярным.
Тогда существуют такие элементы е2 е R, что elbl=e2b2
и е2 регулярен. Отсюда находим

exbxd== e2b2d 2=2 e^d\b 2=2 e2d2b,
следовательно, exd{ = e2d2. Так как элементы е2, d2 регу-
лярны, то из последнего равенства следует, что не
является левым делителем нуля, т. е. d{ регулярен. Пусть
теперь b2, d2 — произвольные регулярные элементы, удовле-
творяющие условию d2b = b2d. Повторяя те же рассуждения,
получим равенства e{b\=e2b2, eldl=e2d2 для некоторых ре-
гулярных элементов еь е2. Отсюда e2d2a = eldla = elblc =
— е2Ъ2с, следовательно, d2a = b2c.
Легко проверяется, что введенное отношение на Эй
является отношением эквивалентности. Класс эквивалентно-
сти, которому принадлежит пара (а, 6), обозначим через
а/b. Пусть М — множество классов эквивалентности мно-
жества Эй; определим на М операции, которые превращают
это множество в кольцо.

Если a/b, cld е М> то положим a/b + cld — {dxa + bic)/{b{d),
где d{b — b{d и оба элемента Ьъ dx регулярны. Аналогично
определим {alb) {c/d) = {a^l^b), где g{a — a{d и элемент gx
регулярен. Предоставляем читателю проверить, что эти опе-
рации определены корректно и что М относительно этих
операций оказывается ассоциативным кольцом, удовлетво-
ряющим всем требованиям, предъявляемым к кольцу Q{R)1).

§ 7.2.	Теоремы Голди

В этом параграфе мы дадим доказательство теорем
Голди, предложенное Прочези и Смоллом. Приводимое до-
казательство использует минимум техники и обнажает су-
щество этих важных результатов.

Начнем с некоторых обозначений и определений.

Если S — непустое подмножество в произвольном кольце
то его левым аннулятором называется множество 1{S) —
— {х е 7? ] xs = 0 для всех se$}; вообще левый идеал Л
кольца 7? называется левым аннулятором, если X = /(S) для
подходящего множества S из /?. Аналогично определяется
правый аннулятор r{S) множества S, и о правых идеалах
вида r(S) говорят как о правых аннуляторах.

Определение. Кольцо R называется {левым) кольцом
Голди, если

(1)	R удовлетворяет условию обрыва возрастающих це-
пей левых аннуляторов;

(2)	7? не содержит бесконечных прямых сумм левых
идеалов.

Ясно, что кольцом Голди будет, например, любое нёте-
рово слева кольцо, т. е. кольцо, удовлетворяющее условию
максимальности для левых идеалов. Обратное неверно2).

*) Если элементы кольца R отождествить с их образами при кано-
ническом вложении R -> М (а -> balb), то для любого элемента alb е М
будем иметь а/b == Ь"~1а. — Прим, перев.

2) Например, кольцо полиномов от счетного множества коммутиру-
ющих переменных х15 х2, ... является кольцом Голди, так как оно не
имеет делителей нуля и не содержит прямых сумм левых идеалов. В то
же время оно, очевидно, не нётерово. — Прим, перев.
Определение. Левый идеал / кольца R называется су-
щественным, если 1 имеет ненулевое пересечение с любым
ненулевым левым идеалом кольца R.

Некоторые авторы называют такие идеалы большими, но
мы будем придерживаться термина, введенного выше.

Кольцо R называется полупервичным, если оно не имеет
ненулевых нильпотентных идеалов.

Прежде чем переходить к дальнейшему, сделаем еще
одно замечание: условие обрыва возрастающих цепей ле-
вых аннуляторов эквивалентно условию обрыва убывающих
цепей правых аннуляторов. Хотя это замечание тривиально,
оно все же важно для последующего.

Начнем с леммы, которая будет основной в нашем под-
ходе к результатам Голди.

Лемма. 7.2.1. Пусть R— полупервичное кольцо, удовле-
творяющее условию максимальности для левых аннулято-
ров. Если А и В — левые идеалы кольца R, Л Э В и
г(А)У=>г(В), то существует такой элемент а<=А, что Аа=А=®
и Аа И В — (0).

Доказательство. Как отмечалось выше, из условия
леммы следует, что кольцо R удовлетворяет условию ми-
нимальности для правых аннуляторов. Так как А э В, то
г (Л) s г (В)-, из условия следует, что включения здесь строгие.

Пусть U — правый аннулятор, минимальный по отноше-
нию к свойству г (Я) с U £ г (В). Тогда по определению
идеал AU будет отличен от нуля; так как R не имеет нильпо-
тентных идеалов, то идеал AUAU также не равен (0). Вы-
берем элемент ua<=UA так, чтобы идеал AuaU был отли-
чен от (0). Мы утверждаем, что Л«аС)В = (0). В самом
деле, в противном случае существовал бы элемент хе Л,
такой, что хиа^.Аиа[\В и хна=/=0. Так как хе Л, то
г(х)эг(Л). Рассмотрим г(х) П U. Так как г(х) и U —-
правые аннуляторы, то их пересечение также является пра-
вым аннулятором, который лежит в г (В) и содержит г (Л).
Более того, г (х) f] U гэ г (Л). Действительно, мы предполо-
жили, что хиа^В, отсюда xuaU = (0), uaU sr(x)[\U. В то
же время uaU<3=r(A). Из минимальности аннулятора U
следует, что U f|r(x) = U, т. е. Usr(x). Но тогда хи е
е xU =(0), что противоречит условию xua^Q. Лемма до-
казана.

Выведем два важных следствия.

Следствие 1. Пусть R удовлетворяет условиям леммы
и Rx, Ry — существенные левые идеалы кольца R. Тогда
Rxy — также существенный левый идеал.
Доказательство. Пусть А — ненулевой левый идеал
кольца R, и положим А — {г е R\гу е А}. Так как левый
идеал Ry является существенным, А =/= (0) и Ay=Ryf) А=А=(0).
Из самого определения А вытекает, что Аэ/(у). Так как
Ау #= (0) и 1(у)у = (0), то мы находимся в условиях леммы
7.2.1, откуда заключаем, что существует левый идеал Т s А,
такой, что Т #= (0), Т[\1(у) = (0). Пусть Т = {г е R \rx е Т};
из существенности левого идеала Rx следует, что Тх =
= Rx[}T =# (0). Тогда 7ху#=(0); в то же время Тху sTy s
s Ау = А. Мы показали, что Rxy f} А =# (0), следовательно,
Rxy — существенный левый идеал.

Следствие 2. Пусть R — кольцо, удовлетворяющее усло-
виям леммы, и Ra — существенный левый идеал кольца R.
Тогда элемент а регулярен.

Доказательство. Так как кольцо R полупервично,
то г (R) — (0). Если г (а) =И= (0), то условия леммы выполнены
для идеалов A = R, В —Ra. Учитывая существенность
идеала Ra, получаем, что г(а) — (0).

Рассмотрим теперь I (а). В силу условия максимальности
для левых аннуляторов цепочка 1(a) si (a2) s ... обры-
вается, скажем, на п-м шаге: I (ап) — I (an+l). Если x^Rап ПI (а),
то х = уап и ха — 0 = уап+]-, откуда у е 1(ап+у) = 1 (ап) и
х — 0. Таким образом, Ran ПI (а) — (0). Но по первому след-
ствию левый идеал Ran является существенным, следова-
тельно, I (а) = (0).

Далее до конца этого параграфа будем предполагать,
что R — полупервичное левое кольцо Голди.

Лемма 7.2.2. Кольцо R удовлетворяет условию мини-
мальности для левых аннуляторов.

Доказательство. Пусть	. zoLn .. .—строго

убывающая цепь левых аннуляторов; следовательно, г(£;)=А=
r (Ti+i). Применяя лемму 7.2.1, выделим в каждом Ц ле-
вый идеал С (-=#=(()), такой, что C;f|Lz+I = (0). Тогда Ct обра-
зуют бесконечную прямую сумму левых идеалов, что проти-
воречит определению кольца Голди.

В качестве одного из следствий леммы 7.2.1 выше было
показано, что существенность главного левого идеала влечет
за собой регулярность порождающего элемента. Теперь мы
покажем, что верно и обратное: регулярные элементы по-
рождают существенные левые идеалы.

Лемма 7.2.3. Если Z(c) = O, то Rc — существенный левый
идеал и, следовательно, с — регулярный элемент.
Доказательство. Допустим, что Л — ненулевой ле-
вый идеал кольца R, удовлетворяющий условию A f) Rc — (0).
Мы утверждаем, что тогда левые идеалы Дс"(п^0) обра-
зуют бесконечную прямую сумму. В самом деле, пусть имеет
место соотношение а0 +	+ ... -f- апсп = 0, где а{ <= А и

число п выбрано наименьшим. Тогда а0 е A f] Rc = (0) и со-
отношение принимает вид (а14-а2с + ••• + апс'1~1)с = 0.
Так как I (с) = (0), то -j- а2с + • • • +	— 0, что проти-

воречит минимальности п. Следовательно, а0 — а{—.. .=ап=0.
Но в R нет бесконечных прямых сумм левых идеалов, по-
этому А П Rc (0), Rc — существенный идеал.

Двусторонний идеал S кольца R назовем аннуляторным,
если S — левый аннулятор некоторого левого идеала Т. Из
условия ST = (0) находим, что (TS)2 = TSTS = (Q) и, так как
кольцо R полупервично, TS — (0). Напомним, что кольцо на-
зывается первичным, если произведение любых ненулевых
его идеалов отлично от нуля.

Попытаемся перейти от полупервичного кольца к некото-
рым его первичным подкольцам, имеющим достаточно про-
стое строение.

Лемма 7.2.4. Ненулевой минимальный аннуляторный идеал
кольца R является первичным кольцом Голди; кроме того-
существует конечная прямая сумма таких идеалов, обра
зующая существенный левый идеал кольца R.

Доказательство. Пусть 5#= (0) — минимальный анну
ляторный идеал кольца R. Если Т — ненулевой левый идеал,
кольца S, то ST (0), так как в противном случае идеал
S П г (S) был бы ненулевым нильпотентным идеалом, а это
противоречит полупервичности кольца R. Кроме того, ST
является левым идеалом кольца R, содержащимся в Т. Ко-
роче говоря, S не содержит бесконечных прямых сумм левых
идеалов. Так как вместе с кольцом R любое подкольцо в R
удовлетворяет условию максимальности для левых аннуля-
торов, то S — левое кольцо Голди.

Предположим, что A it В — такие идеалы кольца S, что
АВ — (0). Тогда 4SB = (0), следовательно, Д S Z (SB) fl S. Но
Z (SB) fl S— аннуляторный идеал кольца R; если Д=4=(0), то
в силу минимальности S заключаем, что S^Z(SB). Отсюда
последовательно находим, что (SB)2 = (0), SB = (0), В = (0).
Другими словами, S — первичное кольцо Голди.

Пусть А = 5] 4- ;.. -t- Sn — максимальная прямая сумма
минимальных аннуляторных идеалов; мы утверждаем, что
идеал А будет существенным. В самом деле, пусть К — не-
нулевой левый идеал кольца R. Если A f] К — (0), то AK s
s А П К — (0), следовательно, К sr (Д), г (Д) = I (Д) ф (0).
Так как кольцо 7? полу первично, то A f| г (А) = (0), поэтому
можно найти ненулевой минимальный аннуляторный идеал,
который лежит в г (Л) и имеет нулевое пересечение с А. Но
тогда мы можем присоединить к прямой сумме, дающей А,
еще одно слагаемое в противоречие с выбором идеала А.
Следовательно, A f| К ф (0).

При любом подходе к теоремам Голди приходится в ко-
нечном счете вникать во взаимосвязь между регулярностью
и существенными левыми идеалами. Теперь и мы встали
перед этой проблемой. Поистине в ней заключена основная
трудность теоремы.

Лемма 7.2.5. Если I — существенный левый идеал кольца R,
то I содержит регулярный элемент.

Доказательство. Рассмотрим сначала частный слу-
чай, когда кольцо R первично. Выберем элемент а<^1 так,
чтобы его левый аннулятор I (а) был минимальным, это
можно сделать в силу леммы 7.2.2. Если элемент а регуля-
рен, то все доказано. В противном случае найдется, со-
гласно следствию 2 леммы 7.2.1, ненулевой идеал J, такой,
что RaftJ = (0). Так как идеал I существен, то /f] J =5^(0),
поэтому мы можем предполагать, что J = 7. Если х е J и
1>е/(й + х), то 6(« + %) = 0, ba = — bx е7?af) / = (0). Дру-
гими словами, b s/(a)f|Z(x). В силу минимальности анну-
лятора 1(a) получаем отсюда, что 1(х)^1(а); таким образом,
l(a)x = (Q) для всех хе/, т. е. Z(a)Z = (O). Но в первичном
кольце левый аннулятор ненулевого левого идеала J должен
быть нулевым, следовательно, Z(a) = (O). Тогда по лемме 7.2.3
элемент а должен быть регулярным. Тем самым для первич-
ных колец утверждение доказано.

Если кольцо R полупервично, то пусть идеал А =	4-...

... 4-Sre будет таким же, как в лемме 7.2.4. Так как 3?—
первичное кольцо Голди и S{ f) I — существенный-левый идеал
в Si, то по только что доказанному кольцо IП St содержит
элемент rit регулярный в S,. Покажем, что элемент г =
<=Г1 + ... + rrt регулярен в R. В самом деле, если I (г)#=(0),
то в силу существенности идеала А имеем I (г) П А #= (0).
Пусть t — ненулевой элемент из I (г) П А, Z=ZI+ • •. -Нга (^<=Зг).
Тогда =	= откуда /^ = 0 и в силу регулярности

элементов ц в 3; каждый из элементов tt равен нулю. Так
как последнее противоречит предположению, что t ф 0,
то лемма доказана.

Теперь мы можем доказать теоремы Голди.

Теорема 7.2.1. Пусть R — полупервичное левое кольцо
Голди. Тогда R имеет левое кольцо частных Q — Q(R),
Доказательство. Пусть a, b^R и элемент а регулярен.
По лемме 7.2.3 Ra — существенный левый идеал. Отсюда не-
медленно следует, что и М — {г е 7? | rb е: Ra} — существенный
левый идеал. По лемме 7.2.5 М содержит регулярный эле-
мент с. Следовательно, cb = da для некоторого d^R. Таким
образом, мы доказали, что R удовлетворяет левому условию
Оре. По теореме 7.1.1 существует левое кольцо частных Q(/?).

Отметим два простых утверждения о кольце Q.

(1)	Если / — левый идеал кольца Q, то / = Q • (/ П/?)«

(2)	Если 4- ... + Ап — прямая сумма левых идеалов
кольца R, то QAX + • • • 4~ QAn — прямая сумма левых идеалов
кольца Q. (Указание: если даны элементы ..., xk^Q, то
можно найти регулярный элемент а е Я, такой, что xt = а~[Ь[,
где Ь{, ..., bke=R.)

Сейчас мы выясним точное строение кольца Q. Это пре-
красная и важная теорема, принадлежащая Голди.

Теорема 7.2.2 (Голди). Кольцо Q является полупростым
и удовлетворяет условию минимальности для левых идеалов.

Доказательство. Пусть / — ненулевой левый идеал
кольца Q. Положим I1 = I[\R и рассмотрим максимальную
прямую сумму S = /i+ ... + 1п левых идеалов кольца R,
включающую Д в качестве прямого слагаемого. Легко видеть,
что S — существенный левый идеал. Обозначим /2 4- ...
... А-1п — К\ тогда 5 = /! 4-/С и по лемме 7.2.5 идеал S со-
содержит регулярный элемент. Отсюда Q (Ц 4- КУ=14- Q/C=Q.
Если 1 — единица кольца Q, то 1 — i 4- k, где k е Q/C;
из свойств прямой суммы следует, как обычно, что /2 = /,
й2 = й, ik~ Z>Z = O. Ясно, что / = QZ, т. е. / порождается
идемпотентом. В частности, каждый левый идеал в Q является
главным. Следовательно, Q является левым кольцом Голди
и, более того, нётеровым слева кольцом. Так как каждый
левый идеал кольца Q порождается идемпотентом, то Q не
содержит нильпотентных идеалов и потому полупервично.

Пусть / — ненулевой левый идеал в Q; нами установлено,
что / = Qe, где е2 = е. Далее, г (Qe) = г (е) — (1 — е) Q й
Z((l — e)Q) = Z(l — e) — Qe, следовательно, каждый левый
идеал кольца Q является левым аннулятором. По лемме 7.2.2
Q удовлетворяет условию минимальности для левых аннуля-
торов, а значит, и для всех левых идеалов. Радикал / (Q)
кольца Q с условием минимальности для левых идеалов
является нильпотентным идеалом (теорема 1.3.1); из полу-
первичности кольца Q следует, что J (Q) = (0). Итак, мы пока-
зали, что Q — полупростое артиново кольцо.

Теорема Голди допускает обращение^ которое мы сейчас
докажем.
Теорема 7.2.3. Пусть S — полупростое артиново кольцо
и R — левый порядок в S. Тогда R — полупервичное кольцо
Голди. Кроме того, если S — простое кольцо, то кольцо R
первично.

Доказательство. Покажем сначала, что R — кольцо
Голди. Так как S — полупростое артиново кольцо, то каждый
левый идеал кольца S порождается идемпотентом; таким
образом, S удовлетворяет условию максимальности для
левых аннуляторов. Так как последнее свойство переносится
на подкольца, то и R удовлетворяет условию максималь-
ности для левых аннуляторов.

Пусть Ait ..., Ak — левые идеалы кольца R, образующие
прямую сумму А] 4- ... 4- А*. Тогда сумма левых идеалов
SAb ..., SAfe кольца 3 также будет прямой. Действительно,
если 4 ... 4 skak — 0 для некоторых элементов е 3,
at е Аг, то, как отмечалось выше, найдется такой регуляр-
ный элемент d^R, что s{ = d~ib{, где bt<=R, г—1, ..., k.
Тогда получим, что Ь^ 4 ... 4^а^ = 0, откуда Ь^ — Ъ
и, далее, =	= Таким образом, левые идеалы

ЗАЬ ..., ЗАЙ образуют прямую сумму в 3. Из отсутствия
бесконечных прямых сумм левых идеалов в кольце S сле-
дует, что таких сумм нет ив/?. Мы показали, таким обра-
зом, что R — кольцо Голди.

Предположим, что N — ненулевой нильпотентный идеал
кольца R. Пусть, скажем, Nm — (0), Nm~x (0). Тогда идеал
S/VS кольца S отличен от (0), так как 3 имеет единицу; по
свойству полупростых артиновых колец (следствие 1 тео-
ремы 1.4.2) ЗЛЛ$ == eS, где е — идемпотент из центра кольца 3.
Пусть е = S aiUibi, где щ е N, at, bi е 3. Можно найти
такой регулярный элемент а е R, что аг = a~xCi, где с{ е R
для всех г; тогда е — а~1 2 CiUtbt = а~1 2 ^i^i, где te>/==
= CiUi^.N. Так как элемент е централен, то ае — еа и

Nm~lea = Nm~lae = N"1"1 2 ™ibi = (0).

Так как элемент а регулярен, то отсюда следует, что Nm~le —
= (0). Но е является единицей в SNS, в частности, Ne = N.
Следовательно, Nm~l — (0), что противоречит условию. Из
полученного противоречия следует, что кольцо R не содер-
жит ненулевых нильпотентных идеалов, т. е. кольцо R по-
лупервично.

Что можно сказать дополнительно, если кольцо S про-
стое? Пусть А — ненулевой идеал кольца R, тогда ЗАЗ —•
ненулевой идеал кольца Зив силу простоты кольца 3
SAS = S. Так как S содержит единицу 1, то 1 = S aiUtbi,
где at, bi е S, и/ <= А. Подобно тому как мы поступали уже
несколько раз, найдем регулярный элемент а е А1, такой, что
аг = а-1сг, где Ci<=R для всех i, тогда 1 = а~х S CtUtbi.
Если В — такой идеал кольца R, что В А — (0), то

Ва — Ва • 1 = В 2 CtUibi = (0);

из регулярности элемента а следует теперь, что В = (0). Мы
доказали, что кольцо R первично. Тем самым завершено до-
казательство обращения теоремы Голди.

§ 7.3.	Ультрапроизведения и теорема Познера

Логики ввели понятие ультрапроизведения и успешно
использовали его в своих работах. Своими недавними ста-
тьями Амицур показал, что это понятие может успешно ра-
ботать и в теории колец. В частности, с помощью такого
подхода можно получить серию красивых теорем вложения
для колец. Впечатляющим применением этой идеи является
теорема, принадлежащая Познеру. Эта теорема дает точное
описание структуры первичных колец, удовлетворяющих по-
линомиальному тождеству. Во многих случаях она исполь-
зуется даже более эффективно, чем теорема Капланского
о строении примитивных колец с полиномиальными тождест-
вами. Наш подход следует Амицуру.

Определение. Пусть А — непустое множество; система его
подмножеств iF = {S) называется фильтром над А, если она
удовлетворяет следующим условиям:

(1)	пустое множество 0 не принадлежит

(2)	если Slt S2^tT, то S1nS2e^",

(3)	если SsT и 5s Т, то Ге

Фильтр называется ультрафильтром, если он является
максимальным в смысле естественной упорядоченности филь-
тров по включению:	если любое множество S,

являющееся элементом фильтра принадлежит фильтру ^"2.
Используя очевидные рассуждения, опирающиеся на лемму
Цорна, нетрудно показать, что любой фильтр может быть
расширен до ультрафильтра. Простую характеризацию ультра-
фильтров дает следующая

Лемма 7.3.1. Фильтр ЯГ над А является ультрафильтром
тогда и только тогда, когда для любого подмножества Т s А
имеем либо t ^£Г, либо А \ Т

Доказательство. Если фильтр ЯГ обладает свой-
ством, что для любого подмножества Т s А одно из
множеств Т, А \ Т всегда принадлежит 3\ то 3 является
ультрафильтром. Действительно, пусть Зг — строго больший
фильтр и Т — элемент из 3^', не принадлежащий Тогда
по условию А \ Т , следовательно, Л \ Ге 3"' и по вто-
рому свойству фильтров ?П(Л \ Т) — 0 е Но это про-
тиворечит первому условию в определении фильтра.

Пусть, обратно, 3 — ультрафильтр и Т — подмножество
множества Л, не принадлежащее 3. Если Т Ф 0 Для
любого S е^? то с помощью Т и 3 порождается фильтр Зъ
который будет строго больше что противоречит макси-
мальности 3. Следовательно, Т f) Sj — 0 для некоторого
Тогда s А \ Т и по третьей аксиоме фильтров
Л\Ге^”. Лемма доказана.

Пусть 7?а — множество колец, индексированное элементами
a s Л, и 7? = Ц Ra — прямое произведение колец Ra. Как
as А	__

обычно, мы рассматриваем R как кольцо функций f: Л->

аеД
удовлетворяющих условию f (а) е Ra для любого а е Л,
с естественными операциями сложения и умножения. Пусть
фильтр над Л; для любых элементов f, g^R положим
по определению f ~ g, если множество (а е Л | f (а) = g (а)}
принадлежит фильтру 3. Тогда отношение ~ будет отно-
шением эквивалентности на R. Элементы f е R, удовлетво-
ряющие ^условию f ~ О, образуют идеал / кольца R. Фактор-
кольцо R/I обозначим через Ц Ra/3l). Если 3 — ультра-
фильтр, то кольцо Ц 7?aAF называется ультрапроизведением
колец Ra.

Для нас ультрапроизведения важны тем, что они хорошо
ведут себя в случае, когда все кольца Ra примитивны. В точ-
ной форме это их свойство выражено ниже теоремой 7.3.1.
Заметим, кстати, что можно говорить об ультрапроизведе-
ниях не только в случае колец, но и в случае векторных
пространств, групп, модулей2).

Теорема 7.3.1. Пусть для любого аеЛ Ra — примитивное
кольцо с точным неприводимым модулем Иа, и пусть Da —
централизатор кольца Ra на Уа. Тогда для любого ультра-
фильтра 3 над А ультрапроизведение R == Ц RJ3 будет

]) Кольцо JJ RJ3 называется фильтрованным по фильтру 3 про-
изведением колец 7?а (см. Мальцев А. И., Алгебраические системы,
„Наука", М, 1970). — Прим, перев.

2) Ультрапроизведения определяются для произвольных алгебраи-
ческих систем — см. книгу А. И. Мальцева, цитированную в предыдущем
примечании, — Прим, перев.
примитивным кольцом с точным неприводимым модулем
К = ЦЕа/^”, причем централизатор кольца R на V совпа-
дает с D — Ц DJSF.

Доказательство. Мы докажем только примитивность
кольца R, предоставляя читателю проверить, что централи-
затор кольца R на V, действительно, совпадает с D.

Пусть = П^а~ прямое произведение колец 7?а, a V =
= П Va ~ прямое произведение групп Va. Определим дей-
ствие R на V, полагая (or) (а) = v (а) г (а) для любых оет/,
г <= R, а <= А. Если г == О (mod а о е V, то or s О (mod
Аналогично, если os О (modlF), a re/?, то orsО (mod^F).
Отсюда получаем, что на группе V = Ц VJUT определено
действие кольца R = TlRa/&r и что V является /?-моду-
лем.

Мы утверждаем, что V — неприводимый /?-модуль. В са-
мом деле, пусть и, ое/ и о^О (mod^F). Пусть То-=
= {а е А| о (а) =?^ 0). Так как о^О (mod/F), то множество
{аеА|о(а) = 0} не принадлежит ультрафильтру 1F, следо-
вательно, его дополнение То должно быть элементом из .
Выберем элементы гае/?а (аеТ0) так, чтобы выполнялись
равенства о (а) га — и (а), — это можно сделать в силу непри-
водимости модулей Уа. Если элемент г е R определен
условиями г(а) = га для всех аеГ0, то множество
{а 6= А |(ог—п)(а)=0} содержит То и потому принадлежит SF.
Следовательно, ars«(mod^). Мы показали, что кольцо R
действует на V транзитивно, таким образом, V — неприво-
димый /?-модуль.

Мы утверждаем далее, что R действует на V точно.
В самом деле, пусть г е R, г 0 (mod £F); тогда множество
То = {а е А |г (а) =/= 0} принадлежит Т. Для каждого а е То
выберем оо <= Va так, чтобы элемент var (а) был отличным
от нуля. Определяя элемент veV условием v(a) — va для
всех а е Го, получим, что множество {а е А | (or) (а) #= 0} при-
надлежит У. Следовательно, {а е А |(or) (а) — 0} ЗГ, т. е.
or 0 (mod /F). Теорема доказана.

Вернемся к теореме Познера.

Лемма 7.3.2. Если R — первичное кольцо, удовлетворяю-
щее полиномиальному тождеству надувоим центроидом, то
R — левое и правое кольцо Голди.

Доказательство. В силу результатов гл. 6 мы
можем предполагать без ограничения общности, что R
удовлетворяет полилинейному тождеству степени, скажем п:
...» Хп) — 2 ^сХа(1) ... Ха(П} = 0,

п

где коэффициенты aff принадлежат центроиду кольца 7?,
а ст пробегает симметрическую группу Sn.

Мы утверждаем, что никакая прямая сум^а левых идеа-
лов в Л не может иметь длину п. В самом деле, пусть
Ц 4- ... 4- 1п — прямая сумма ненулевых левых идеалов
кольца 7?. Подставим в полином р(хь ..., хп) произвольные
значения хг е Ц, и предположим, что коэффициент при
XjX2  • • хп в полиноме р отличен от 0. Учитывая, что сумма
идеалов Ц прямая, получим, что

2 ®СТ ••• %о(.п—o'j %п 0

для любого хп<=1п. Так как левый аннулятор левого иде-
ала 1п равен (0), то

2	•••	1) == 0

a^sn~,

для любых хге/г, i=l, .... п— 1. Повторяя те же рас-
суждения, получим, в конце концов, что aiXi=0 для
любого XjG/p Но ненулевой элемент из центроида первич-
ного кольца не аннулирует ненулевых элементов из 7?; сле-
довательно, Ц = (0). Аналогично доказывается, что в R нет
бесконечных прямых сумм правых идеалов.

Рассмотрим теперь возрастающие цепи левых аннулято-
ров. Пусть /[С/га: ...czln— строго возрастающая цепь
левых аннуляторов, = По условию /jTCj-j #= (0) и
TCj ... щ> Кп-, будем считать, что /ь 7<„ =# (0). Подставим
в полином р(хь ..., хга) произвольные значения xt^KiI{.
Так как 7г7</ = (0) для любых i < j, то единственный нену-
левой вклад в сумму 2 Mad) • • • *оЫ дает член хгахга_! ...
...Хр Без ограничения общности можем считать, что коэф-
фициент при этом члене отличен от нуля. Отсюда получим,
что t\nInK.n—\ ... TCj/^O. Но в первичном кольце правый
аннулятор ненулевого правого идеала 7<„ равен (0) и точно
так же /(/J = 0. Следовательно, InK.n-i ••• /г^ = 0. Так
как 1пКп-ъ 1п-\Кп-ъ •••» /2-^1 — двусторонние идеалы из R,
отличные по условию от (0), то мы приходим к противоре-
чию с первичностью кольца R. Таким образом, длина воз-
растающей цепочки левых аннуляторов в кольце 7? не пре-
восходит п— 1. Аналогичные рассуждения применимы и к
правым аннуляторам. Лемма доказана.
Из теоремы Голди и только что доказанной леммы сле-
дует, что первичное кольцо R, удовлетворяющее полиноми-
альному тождеству над своим центроидом, является поряд-
ком простого артинова кольца Q(/?); согласно теореме
Веддербарна, кольцо Q(7?) в свою очередь будет изоморфно
кольцу матриц Dn над некоторым телом D. Какие следствия
для тела D вытекают из существования полиномиального
тождества на R ? Точный ответ на этот вопрос и составляет
содержание теоремы Познера.

Теорема 7.3.2. Пусть R — первичное кольцо, удовлетво-
ряющее полиномиальному тождеству над своим центроидом.
Тогда R является порядком в Dn, где D — алгебра с деле-
нием, конечномерная над своим центром.

Прежде чем доказывать теорему, получим один вспомога-
тельный результат, представляющий и некоторый самостоя-
тельный интерес.

Теорема 7.3.3. Пусть R— кольцо, удовлетворяющее усло-
вию максимальности для левых аннуляторов. Если R имеет
ненулевой ниль-идеал, то R содержит и ненулевой нильпо-
тентный идеал.

Доказательство. Пусть Л —ненулевой ниль-идеал
кольца R. Выберем элемент а е А так, чтобы его левый анну-
лятор I (а) был максимальным по всем элементам из А.
Если хе Я и ах #= 0, то, так как ах е А и I (ax') э I (а),
будем иметь 1(ах)=1(а). Далее, элемент ах нильпотентен.
Пусть, например, (ax)k — 0, (ax)ft_1 =0= 0. Тогда ах е I ((ах)к~1) —
== I (а),- следовательно, аха — 0. Мы доказали, что для любого
элемента х<= R справедливо соотношение аха — 0. Поэтому
идеал, порожденный элементом а, будет нильпотентным.

Перейдем к доказательству теоремы Познера.

Пусть R — первичное кольцо, удовлетворяющее полино-
миальному тождеству над своим центроидом. Кольцо R не
имеет, конечно, нильпотентных идеалов; отсюда следует в
силу леммы 7.3.2 и теоремы 7.3.3, что кольцо R не содержит
и ниль-идеалов, отличных от(0). По теореме 6.1.1 кольцо поли-
номов /?[/] будет полупростым. Поскольку кольцо R удовле-
творяет полилинейному тождеству, то тому же тождеству
удовлетворяет и R [/]. Кроме того, кольцо R [/] первично.
В самом деле, если А, В — такие идеалы в /?[/], что ДВ = (0),
то, рассматривая младшие члены в полиномах f е A, g е В,
приходим к противоречию с первичностью кольца R. Таким
образом, кольцо /?[/] удовлетворяет всем предпосылкам тео-
ремы 7.3.2. Короче говоря, мы можем предполагать, что само
кольцо R полупросто Согласно следствию теоремы 6,3.2,
R удовлетворяет стандартному полиному [xit ..., хг]* 2).

Будучи полупростым, кольцо R разлагается в подпрямую
сумму примитивных колец Ra, где индекс а пробегает неко-
торое множество Д. Каждое из колец Ra является гомоморф-
ным образом кольца R и потому удовлетворяет полиному
[хр . ..,хг]. В силу теоремы Капланского (теорема 6.3.1)
каждое из колец Rq будет простой конечномерной алгеброй
над своим центром.

Для любого элемента а R, отличного от 0, положим
Та — {а Л| а (а)	0}. Так как кольцо R первично, то для

любых ненулевых элементов a, b <= R найдется такой элемент
x<=R, что axb ф 0. Тогда Та П Ть 3 ТахЬ Ф 0, следова-
тельно, множества Та порождают некоторый фильтр над А,
который в свою очередь можно расширить до ультра-
фильтра По построению кольцо R изоморфно вклады-
вается в кольцо S = JJ_RJ&". Согласно теореме 7.3.1, S будет
примитивным кольцом, кроме того, мы можем заметить, что
S удовлетворяет полиному [хь ..., хг], так как этим свой-
ством обладает каждое из колец Ra. По теореме Каплан-
ского S будет простой алгеброй, имеющей конечную размер-
ность над своим центром Z. Рассмотрим кольцо RZ s 5.

Пусть Р — простое подполе поля Z. Любое тождество
над Р, имеющее место в кольце RZ, выполняется и в кольце R
(если P=GP(p), то RP s R, а если Р — поле рациональных
чисел, то, освобождаясь от знаменателей, получим тождество
с целыми коэффициентами, выполняющееся в Р), следова-

Следует еще проверить, что из справедливости теоремы 7.3.2 для
кольца 7? [/] вытекает справедливость ее для кольца R. Пусть Q = Q (7?),
Q (/) = Q (R [/]). Так как регулярные элементы кольца R остаются регу-
лярными и в кольце R [/], то имеется каноническое вложение Q -> Q (t).
Если Q (/) — конечномерная алгебра над своим центром, то Q (0 удовлет-
воряет стандартному тождеству (лемма 6.2.2). Тогда и Q как подкольцо
кольца Q (/) будет удовлетворять стандартному тождеству. Используя
теорему Капланского, заключаем, что Q имеет конечную размерность
над своим центром. —• Прим, перев.

2) Результаты, полученные в гл. 6 для алгебр над полем, автор при-
меняет здесь для колец с операторами; в качестве области операторов
рассматривается центроид кольца R. Можно убедиться, однако, что основ-
ные результаты верны и в такой более широкой постановке. Так как коль-
цо R первично, то его центроид К является коммутативной областью
целостности. Пусть Е — поле частных для К. Используя конструкцию
кольца частных, от кольца R перейдем к алгебре 7?* над полем F (эле-
менты 7?* имеют вид Х~~1х, где х R, к Л=/=0). Тогда 7?* удовлет-
воряет тому же полилинейному тождеству над 7(, что и 7?; кроме того,
7?* не содержит ненулевых ниль-идеалов. По следствию теоремы 6.3.2
алгебра 7?* удовлетворяет стандартному тождеству; тогда и R как под-
кольцо кольца 7?* будет удовлетворять тому же тождеству. ~ Прим, перев?
тельно, этому тождеству удовлетворяет каждое из колец
и кольцо 5 = ПТ?а/^. На основании теоремы 6.3.3 заклю-
чаем, что RZ = S.

Любой регулярный элемент а кольца R остается регуляр-
ным и в кольце RZ. В самом деле, допустим, что а будет
левым делителем нуля в RZ> и пусть w — такой элемент
из RZ, что w Ф 0, aw~Q и число k в выражении

w ==	4“ ... 4“ bkKk [bi £= R, %i gee Z, bR^i 5^= 0)

является наименьшим. Тогда a(wxabi—b{xaw) — Q для любого
х е R, в то же время элемент

wxabi—bixaw=(b2xabi—bixab^k2 4- • •• 4“ (bkxab{ —• b^xab^K^
имеет меньшую „длину" по сравнению с элементом w. Сле
довательно, wxabi — b^xaw — 0. Так как aw — 0, то отсюда
получаем, что wRabi — {0) и, далее, w (RZ) ab± — (0). Но RZ
совпадает с S и является простым (в частности, первичным)
кольцом, поэтому из условия w =£ 0 следует, что аЬ{—0,
Таким образом, элемент а должен быть левым делителем
нуля в /?. Так как это противоречит предположению о регу-
лярности элемента а в кольце R, то заключаем, что а регу-
лярен и в кольце RZ. Из конечномерности алгебры RZ сле-
дует, что любой ее регулярный элемент является обратимым.

Согласно лемме 7.3.2, кольцо R является первичным коль-
цом Голди и потому имеет кольцо частных Q(R), изоморф-
ное кольцу матриц Dn над некоторым телом D. Кольцо Q(R)
вложим в RZ следующим образом. Если х — произвольный
элемент из Q(7?), то х = а~хЬ, где a, b ^R и элемент а регу-
лярен в кольце R\ отобразим элемент х в элемент a~^b е RZ,
где — обратный для элемента а в RZ. Так как Q(7?) —
простое кольцо, то указанное отображение является изоморф-
ным вложением кольца Q(R) в RZ. Согласно предыдущему,
кольцо RZ удовлетворяет стандартному полиному [х{, ..., хг],
следовательно, тем же свойством обладает кольцо Q (R) и его
подтело £>. По теореме 6.3.1 тело D должно иметь конеч-
ную размерность над своим центром. Этим завершается дока-
зательство теоремы Познера.

Теорема Познера означает, что первичное кольцо, удовле-
творяющее полиномиальному тождеству, имеет кольцо част-
ных, также удовлетворяющее полиномиальному тождеству.
В действительности можно доказать несколько большее: если
полупервичное кольцо удовлетворяет полиномиальному то-
ждеству и имеет кольцо частных (оно не обязано обладать
кольцом частных), то тогда его кольцо частных также удо-
влетворяет полиномиальному тождеству.
ЛИТЕРАТУРА

1.	Голди (Goldie A. W.), The structure of prime rings under ascending
chain conditions, Proc Lond Math. Soc., 8 (1958), 589—608.

2.	-----, Semi-prime rings with maximum conditions, Proc. Lond. Math,

Soc., 10 (1960), 201—220.

3.	Познер (Posner E.), Prime rings satisfying a polynomial identity,
Proc. Amer. Math. Soc, 11 (I960), 180—184.

4.	Прочези (Procesi C.), Sopra un teorema di Goldie riguardante la
struttura degli anelli primi con condizioni di massimo, Pend. Accad.
Lincei., 34 (1963), 372—377.

5.	Прочези, Смолл (Procesi C„ Small L.), On a theorem of
Goldie., J. of Algebra, 2 (1965), 80—84.

6.	Херстейн (Herstein I. N.), Sul teorema di Goldie, Pend. Accad.
Lincei., 35 (1963), 23—26,
Глава 8

ТЕОРЕМА ГОЛОДА —ШАФАРЕВИЧА

Эта последняя и притом очень короткая глава содержит
один центральный результат и несколько заслуживающих
внимания следствий. Речь идет о результате Голода и Шафа-
ревича, опубликованном недавно в их замечательной статье.
Их теорема доказывается довольно легко, но содержит общий
метод и технику для изучения широкого круга проблем.
В качестве немедленного следствия основной теоремы можно
построить пример ниль-алгебры, не являющейся локально
нильпотентной, получая тем самым отрицательный ответ на
проблему Куроша; можно построить периодическую группу,
не являющуюся локально конечной, что дает отрицательный
ответ на общую проблему Бернсайда. Кроме того, из основ»
ной теоремы извлекаются важные результаты и примеры,
относящиеся к теории р-групп и теории полей классов. Тем
не менее кажется, что успешное применение этих методов
по существу лишь начато и что многочисленные результаты
еще ожидают применения данной техники. Наше изложение
мы доведем до той точки, когда можно будет построить упо-
мянутые выше контрпримеры, решающие проблему Куроша
и проблему Бернсайда. Мы советуем читателю обратиться
к оригинальной статье авторов для того, чтобы ознакомиться
с применениями общего метода в других областях алгебры.

Пусть F — произвольное поле и Т — F [хь ..., xd\ — кольцо
полиномов над F от некоммутирующцх переменных хь ..., xd.
На Т определена функция степени, превращающая Т в
градуированную алгебру. Представим Т в виде суммы под-
пространств Г==Г0 + Г14- ... +ГП+..., где Tq = F,
а Тп имеет базис из dn элементов вида	. х/п, где

переменные х^ выбираются из множества {х{, ...,xd}. Эле-
менты пространства Тп называются однородными элементами
степени п.

Пусть 21 = (fb f2, ...) — двусторонний идеал алгебры Г,
порожденный однородными элементами fb f2, • * • степеней
nb n2i ... соответственно. Будем считать, что 2 п2 .
Через rt обозначим число тех элементов степени которых
равны Л
Так как идеал ?1 порожден однородными элементами, то
факторалгебра А —Т/% наследует градуировку из Т. В самом
деле, А — Ао 4- Д 4~ ... Ап 4- ..., где At Тt/% f| 7\.
Пусть bn = dim^A^. Теорема, которую мы сейчас докажем,
дает достаточное условие того, что алгебра А будет беско-
нечномерной над F, Это чрезвычайно важная

Теорема 8.1.1 (Голод — Шафаревич). Пусть А — алгебра,
описанная выше. Тогда А обладает следующими свойствами:
a)	2 ьп-*ч для всех п>1.

б) Если для каждого I ц	j2, то А бесконечно-

мерна над F.

Доказательство. Построим линейные отображения
Ф, так, чтобы последовательность

(1)	А/1-П1 4- ... 4- An-nk 4 ... Ап-! 4 ... 4 Ап^ А,г -> 0

была точной, причем первая сумма берется по всем
а вторая сумма составлена из d экземпляров простран-
ства An-t.

Заметим, что из существования таких отображений ф, ф
сразу вытекало бы неравенство, составляющее первое утвер-
ждение теоремы, так как тогда мы имели бы dbn_l = Ьп-{-
4 dim(Кег4)< 4- 2
nt<n

Построим сначала отображения Ф, Т в алгебре Г:

d раз

(2)	7\-П][ 4- ... 4-74-^4- ...	+ ... 4-

где Ф и W линейны. Хотя на Г-уровне эта последователь-
ность и не будет точной, она станет такой, когда мы спу-
стимся на уровень А; собственно, отображения <р и ф будут
индуцированы отображениями Ф и

Отображение W определяется просто:

d

4^14- ... 4-

i=l

Чтобы определить отображение Ф, рассмотрим произволь-
ный элемент

$п~-пх ... 4"	4~ ... Т п~п^ 4“ ... 4~ Тп~пк 4- .. .>
тогда элемент S Sn-nfi принадлежит пространству Тп и>
как элемент Тп, однозначно записывается в виде

d

2 Sn—n^i — Ui^i,

где	Отображение Ф определим следующим обра-

зом:

Ф:	4- ... 4- sn-nk 4- ...—>«14- ... 4-и^.

Ясно, что Ф и W определены корректно и являются
линейными отображениями. Точно так же ясно, что Чг будет
эпиморфизмом, так что последовательность (2) точна в члене Тп.

Пусть 31г = 31П7\; используя наши отображения Ф, Т,
определим индуцированные отображения <р, ф в последова-
тельности (1).

Если /(, ..., td ее 21^-!, то элемент S /гхг принадлежит 31„,
так как 31 — идеал алгебры Т. Поэтому корректно определено
отображение ф: Д,-! 4- ... А-А^-+Ап, индуцированное
отображением Чг.

Рассмотрим отображение Ф. Пусть элементы s^-^, sn~n.2> • • •
лежат в 31П_Л1, 31л-п2, • •. соответственно. Мы должны пока-
зать, что элементы uh ..., ud, определяемые из равенства
5 Sti-nji = 2^, лежат в 2tn-i. Учитывая линейность ото-
бражения Ф, достаточно показать это для каждого из эле-
d

ментов sn-ni е %п-пг Если f{ = S gijXj, то

п

Sn—n^fl ==	$zi—tii

откуда ui = sn-n.gii е 31, так как sn-ni е31 и 31 —идеал алге-
бры Т. Кроме того, степень элементов «/ равна га—1, сле-
довательно, Hye3ln-i. Поэтому для отображения Ф также
определено индуцированное отображение <р: Ап-п14- ...
... 4- An-nk 4- ... —>	4- ... 4-Дц.

Очевидно, что отображение ф эпиморфно, остается про-
верить точность последовательности (1) в члене 4- ...
... 4-4я-1. Покажем сначала, что фф = 0. Если sn_n,
Szi-n2, ... —элементы из подпространств ТЛ-П1, Та-п2, ...
соответственно, то

а

4-4- ...)ФТ = 2 UiXi9

1 я	w
где 2	так как f^2l, то 2	21. ДрУ"

гимн словами, подпространство 7\_П1 4- ТП-П2 4- ... перево-
дится отображением ФЧ7 в пространство 21п	21. Переходя

к индуцированным отображениям в факторалгебре А — Т/&,
получим отсюда, что <рф = 0.

Мы должны показать еще, что если (^4- ... 4- td) Ч7 е 21,
то найдутся такие элементы и^Т^, что zzz = /z(mod 2ln__1),
и 2	= 2 Sti-nji Для некоторых е Пусть

2 hxi так как идеал 21 порожден элементами Д-, то мы
должны иметь равенство вида
d

^ixi &kqfq&kq 4" Cqfqt
i-=l	k,q	q

где akqi bkq, cq — однородные элементы из Г и степень эле-
ментов bkq равна, самое меньшее, 1. Сравнивая члены оди-
наковых степеней в обеих частях равенства, мы можем даже
предполагать, что все элементы akqfqbkcp cqfq лежат в Тп.
d

Положим bkq = 2 dkqmxm, тогда
Ш~1

S ttkqfq^kq ==	&kqfq^kqmxm

где dm — 2 akqfud^m^^n-t. Если теперь положим иг =
k, q

— то будем иметь zzz = /f(mod2ln_1) и 2 ^txi~ l&qfq,
где cq^Tn~n^ что и требовалось. Мы доказали точность
последовательности (1), а вместе с этим и утверждение (а)
теоремы.

Рассмотрим второе утверждение. Для формальных сте-
пенных рядов от переменной t с целыми коэффициентами
определим отношение

2cZ>2

п—0	гс=0

если ct di для всех I.

Согласно первому утверждению теоремы, будем иметь

2 bnt* > 2 dbn-\tn - 2 2 bn -ntn.

П=Л	fl—1	n=l np^Jl 1

Преобразуем последнюю сумму, полагая п — nt = m и исполь-
зуя определение чисел гг:

ОО

2 2	2 М"г+'”=2пМНл,=

ft=l	i,	tn

/ оо	. \	/ оо	\

- 2 гЛ 2 bmtm .

V₽=2	/	\m=0	/
Если степенной ряд 2 bmtm обозначим через PA(t)9 то
написанное выше неравенство принимает вид

рА (0 -1 > dtPA (0 - (J rd* 1} ра (О,
\х=2	/

ИЛИ

РА(Ш-dt+ s г/ )>1.
\	1=2	/

Предположим, что все коэффициенты ряда (1 — dt +

ОО	\ —1

+ 2 rtf 1 неотрицательны. Тогда получим

i=2	/

\	z=2	/

т.е. среди коэффициентов Ьп степенного ряда PA(f) имеется
бесконечно много положительных *). Следовательно, алгебра
А будет бесконечномерной.

Это заключение само по себе представляет огромный инте-
рес, и мы выделим его в виде теоремы прежде, чем завер-
шим доказательство пункта (б) теоремы 8.1.1.

Теорема 8.1.2. Если все коэффициенты ряда

(ОО	\ —1

i-л+З г/

Z=2	/

неотрицательны, то алгебра А бесконечномерна.

Чтобы закончить доказательство теоремы 8.1.1, остается

проверить, что если выполнены условия	—ъ—1, d^l,

/	ОО	1

!) Неотрицательный ряд q (t) — 11 — dt + 2	) не может быть

\	i=2	/

многочленом. Действительно, если q (f) — многочлен степени n, то правая
(ОО \

1 + 2 Г^1) = I + ^7 (0 также будет много-
г—2	/

членом. Сравнивая коэффициенты при /п+2 в обеих частях этого равен-
ства, получим г2 = 0. Аналогично г/ == 0 для любого I 2. Но тогда q (/)

«= (1 —- dt)-' == 2 Прим перев.

2^0
то выполнены предпосылки теоремы 8.1.2. Эту проверку мы
предоставляем читателю !).

С помощью теоремы 8.1.1 легко строится пример конеч-
но порожденной ниль-алгебры, не являющейся локально ниль-
потентной, что решает в отрицательном смысле проблему
Куроша. Пример, который мы укажем, не является лучшим
из возможных; можно было бы устранить предположение
о счетности поля F и ограничиться двумя образующими
вместо трех. Но достаточно и одного примера.

Теорема 8.1.3. Если F — произвольное не более чем счет-
ное поле, то существует бесконечномерная ниль-алгебра над F,
порожденная тремя элементами.

Доказательство. Пусть Т — F [хн х2, х3] — свободная
алгебра над F от трех некоммутирующих переменных х2, х3.
Так как алгебра Т градуирована, то Г = )74-Г14-Т24- ...,
где Tk состоит из однородных полиномов степени k. Эле-
менты идеала Tf = Т,1 + Т2 + ... образуют счетное мно-
жество, поэтому их можно расположить в последователь-
ность s2, .... Выберем число гщ ^2, и пусть s™' =s12 +
4-$1з+ ... +si^, где SugTj. Далее выберем число т2 > О
так, чтобы элемент sf2 принадлежал пространству 4-
+ Г^1+2+ ..., тогда будем иметь s^2 = $2,^+1 +$2> ^+2 +
где s2//gT/. Продолжая этот процесс, получим последова-
тельность чисел mi > 0 и чисел < k2 < ..., таких, что
sfi ==Si^._i+i + ... +$г,£г, где	Обозначим через 91

идеал, порожденный однородными полиномами $г7; по по-
строению числа rz, определенные в теореме 8.1.1, не превос-
ходят 1. Так как d — З, га1=1—g—Ь то> пРименяя тео-
рему 8.1.1, находим, что алгебра Г/91 бесконечномерна. Но
тогда и алгебра Г'Д будет бесконечномерной над F. В то же
время TZ/9I является по построению ниль-алгеброй. Так как
алгебра Т'/%1 порождается тремя элементами, то она и будет
требуемым примером.

!) Можно проверить, что

(1	0 (1	-	>1. — Прим, перев.
Мы закончим эту главу (и саму книгу) отрицательным
решением общей проблемы Бернсайда.

Теорема 8.1.4. Если р — произвольное простое число, то
существует бесконечная группа G с тремя образующими,
в которой каждый элемент имеет конечный порядок, равный
степени числа р.

Доказательство. Пусть F —простое поле из р эле-
ментов и 91 —идеал алгебры Т = F[x{, х2, х3], построенный
в процессе доказательства теоремы 8.1.3. Положим А — Т^,
и пусть элементы а{, а2, а3 алгебры А являются образами
элементов х{, х2, х3 соответственно. Через О обозначим муль-
типликативную полугруппу в А, порожденную элементами
1	1 +^2, 1 + &з- Любой элемент из G имеет вид 1 + а,

а <= Т'Д (следовательно, элемент а нильпотентен). Если
число п достаточно велико, то ар =0; учитывая, что харак-
теристика алгебры А равна р, получим отсюда (1 + а)р =
== 1 +	=1. Таким образом, G оказывается группой и,

более того, периодической группой, в которой порядок каж-
дого элемента является степенью простого числа р. Мы
утверждаем, что группа G бесконечна. В самом деле, если
бы группа G была конечной, то линейные комбинации ее
элементов с коэффициентами из поля F образовывали бы ко-
нечномерную подалгебру В алгебры А; так .как G содержит
элементы 1, 1 + ах, 1 + а2, 1 + а3, то алгебре В принадлежат
элементы ^ = (1 + ^)—1. Но алгебра А порождается эле-
ментами 1, al9 а2, а3, следвательно, А = В, что противоречит
бесконечномерности алгебры А. Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1.	Г о л о д Е. С., О ниль-алгебрах и финитно-аппроксимируемых р-груй*
пах, Изе. АН СССР, сер. матем., 28 (1964), 273—276.

2.	Голод Е. С., Шафаревич И. Р., О башне полей классов, Изв. АН
СССР, сер. матем., 28 (1964), 261—272.
Алберт (Albert А. А.) 89, 102, 118,
119

Амицур (Amitsur S. А.) 21, 32, 41,
88, 89, 119, 144, 148, 161, 171

Артин (Artin Е.) 41, 51, 88, 89, 119

Ауслендер (Auslander М.) 33, 41,
89, 119

Капланский (Kaplansky I.) 60, 65,
69, 78, 79, 88, 144, 150, 158, 161,
171, 176

Кете (Kothe G.) 26

Курош А. Г. 21, 41, 144, 154, 155,
157, 159, 179, 184

Кэртис (Curtis С.) 143

Беллюс (Belluce R.) 88

Бергман (Bergman G.) 43, 69

Бернсайд (Burnside W.) 58, 64, 65,
67, 140, 154, 160, 179, 185

Брауэр (Brauer R.) 71, 89, 92, 93,
105, 118, 119, 120, 126, 143

Левицкий (Levitzki J.) 38, 40, 41,
144, 148, 161

Маклафлин (McLaughlin J.) 33, 41

Мартиндейл (Martindale W.) 88

Машке (Maschke Н.) 30, 54, 121

Веддербарн (Wedderburn J. Н. М.)
37, 51, 52, 58, 60, 69, 70, 71, 73,
74, 88, 89, 91, 93, 96, 100, 105, 112,
118, 154, 162, 175

Виланд (Wielandt Н.) 141, 143

Вильамайер (Villamayor О.) 33, 41

Нагата (Nagata М.) 88

Накаяма (Nakayama Т.) 88

Несбитт (Nesbitt С.) 41, 119

Нётер (Noether Е.) 79, 89, 96, 98,

102, 103, 104, 105, 118, 120

Новиков П. С. 64, 69

Голди (Goldi A. W.) 48, 162, 164—

171, 175, 178

Голдмен (Goldmen О.) 119

Голод Е. С. 64, 69, 179, 180, 185

Гопкинс (Hopkins С.) 25

Гурвиц (Hurwitz А.) 136, 138

Оре (Оге О.) 162, 163

Пассман (Passman Р. S.) 33, 41

Познер (Posner Е.) 171, 173, 175,
177, 178

Прочези (Procesi С.) 60, 68, 69, 162,
164, 178

Дейринг (Dewing М.) 120

Джайн (Jain S. К.) 88

Джекобсон (Jacobson N.) 9, 16,
18, 41, 45, 69, 71, 74, 79, 80, 87,
104, 120, 161

Диксон (Dickson L. Е.) 89, 102

Зелинский (Zelinsky D.) 88, 89, 120

Икеда (Ikeda М.) 88

Райнер (Reiner I.) 143

Риккарт (Rickart G. Е.) 32

Розенберг (Rosenberg А.) 89, 120

Сансяда (Sasiada Е.) 36, 41

Серр (Serre J.-P.) 89

Сколем (Skolem Т.) 96, 98, 102,
103, 105

Смолл (Small L.) 38, 39, 41, 42,
60, 69, 162, 164, 178
Томпсон (Thompson J.) 143

Тролл (Thrall R.) 41, 119

Тузуку (Tuzuku Т.) 88

Херстейн (Herstein I. N.) 32, 38,
39, 42, 60, 68, 69, 80, 88, 143, 162.
178

Холл (Hall М.) 143

Утуми (Utumi Y.) 40, 42, 162

Чейз (Chase S.) 89, 120

Фейт (Faith С. С.) 62, 88

Харрис (Harris В.) 60, 69

Харрисон (Harrison D.) 89, 120

Хассе (Hasse Н.) 118, 119, 120

Шафаревич И. Р. 64, 69, 179, 180,
185

Шевалле (Chevalley С.) 45

Шур (Schur I.) 12, 13, 14, 44, 47,
50

Экман (Eckmann В.) 136, 143
Алберта теорема 102

Алберта — Брауэра — Хассе — Не-
тер теорема 118

Алгебра 20

— алгебраическая 32, 53, 148

-----ограниченной степени 148

—	артинова 25

—	градуированная 179

—	конечномерная полупростая 53

—	локально конечная 155

— с делением 91

--------над полем действитель-
ных чисел 101

--------центральная 91

— центральная простая 89

Алгебраическое расширение 77

Аннулятор левый 164

—	правый 164

Аннуляторный идеал 167

Артинова алгебра 25

Артиново кольцо 24

—	1 — без кручения 34

-----полупростое 30

-	—- простое 51

Бернсайда проблема 64, 154, 160,
179, 185

—	— длн матричных групп 67

—	— ограниченная 64, 160

— теорема 140

Большой левый идеал 165

Брауэра группа 93

Веддербарна — Артина теорема 51

Веддербарна теорема об алгебрах с
ниль-базисом 58—59

----- о конечных телах 100

-----о полупростых артиновых
кольцах 37

Гамильтона — Кэли теорема 67

Голди кольцо 164

— теорема 169

Голода — Шафаревича теорема 188

Градуированная алгебра 179

Группа локально конечная 32, 64

—	периодическая 64

Групповая алгебра 30, 32, 54

---— р-группы 60

Гурвица теорема 138

Дезарга теорема 70

Джекобсона радикал 16

—	теорема 74

Дифференцирование 99

—	внутреннее 99

Идеал квазирегулярный 18

— локально конечный 156

— нильпотентный 19

—	регулярный правый 16

Идемпотент 26

Индекс нильпотентности 35

Капланского теорема 151

Квазирегулярный идеал 18

Кватернионы 92, 95

Кёте гипотеза 26

Класса сопряженных элементов
сумма 125

-------функция 122

Когомологий группа 114

Кольца централизатор 12

Кольцо артиново 24

—	без кручения 39

—	взаимное 91

—	Голди 164

—	нётерово 38, 164

—	первичное 48

— подпрямо неразложимое 55

—	полупервичное 165

—	полупростое 21

—	— артиново 30

—	- примитивное 43

—	простое 36

—	умножений 49

— эндоморфизмов И—12
Контраградиентное представление
130

Кратность неприводимой составляю-
щей 123

—	представления 123

Кронекерово произведение 131

Куроша проблема 154—155, 159, 179

Кэли теорема 121

Левицкого теорема 40

Левое кольцо частных 163

Левый аннулятор 164

—	большой идеал 165

—	порядок 163

— существенный идеал 165

Линейное представление 125

Локально конечная алгебра 155

-----группа 32

Локально конечный идеал 156

— — радикал 156

Машке теорема 30

Модуль 9

— над полупростым артиновым
кольцом 96, 97

—	неприводимый 12

—	представления 121

—	точный 11

—	унитарный 10

Неприводимая составляющая 123

Неприводимое представление 122

Неприводимый модуль 12

Нётер — Джекобсона теорема 79

Нётерово кольцо 38, 164

Нётер — Сколема теорема 98

Ниль-идеал 19

Нильпотентности индекс 35

Нильпотентный базис 59

—	идеал 19

—	элемент 19

Однородный элемент 179

Оре теорема 163

—	условие 163

Ортогональности соотношения для
характеров 130, 134

Паппа теорема 70

Первичное кольцо 48

Пирсовское разложение 36

Плотное действие 44

Плотности теорема 43, 45

Познера теоремы 173, 175

Поле расщепления для алгебры с
делением 104

Полином деления круга 67

Полиномиальное тождество 146

Полупервичное кольцо 165

Полупростая конечномерная алгеб-
ра 53

Полупростое кольцо 21

—	— артиново 30

---коммутативное 56

Пополняющий идеал 60

Порядок 163

Право-квазирегулярный идеал 18

—	элемент 18

Правый аннулятор 164

—	квазиобразный 18

Представление 121

—	единичное 124

— контраградиентное 130

—	линейное 124

—	неприводимое 122

— правое регулярное 30, 124

Представлений эквивалентность 122

Представления модуль 121

— характер 122

Примитивное кольцо 43

Произведение систем факторов 109

Простое кольцо 36

Прямое произведение 54

Радикал алгебры 20

— Джекобсона 16

—	локально конечный 156

Расширение алгебраическое 77

—	чисто несепарабельное 77

—	сепарабельное 77

Регулярное представление 30, 124

Регулярный правый идеал 10

—	 элемент 162

р-регулярный элемент 127

Сепарабельное расширение 77

Система факторов 106

—	— нормализованная 108

Скрещенное произведение 106

Степень алгебры с делением 116

124

—	неприводимого представления
124

—	- однородного элемента 179

Существенный левый идеал 165

Тело конечное 71, 100

Теорема о двойном централизаторе
102
Тождество полиномиальное 146 — стандартное 147  Точный модуль 11  Ультрапроизведение 172  Ультрафильтр 171  Умножений кольцо 49  Условие системы факторов 106  Фильтр 171  Фробениуса теорема для групп 141 	об алгебрах с делением над полем действительных чисел 101  Характер представления 122  	неприводимый 134  *	единичный 124	Централизатор кольца на модуле 12  — подмножества 93  	 двойной 102  Центральная алгебра с делением 91  — простая алгебра 89  Центроид 49  Частных кольцо 163  Чисто несепарабельное расширение 77  Шура лемма 12  Эквивалентность представлений 122  —	систем факторов 108  —	центральных простых алгебр 92
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора перевода.................. . < . 5

Предисловие.............................................7

Глава 1. Радикал Джекобсона ................	9

§ 1.1.	Модули......................................  9

§ 1.2.	Радикал кольца.............................  15

§ 1.3.	Артиновы кольца............................  23

§ 1.4.	Полупростые артиновы кольца ........... 30

Литера	тура . . ................................ . 41

Глава 2. Полупростые кольца .........................  43

§ 2.1.	Теорема плотности . ............... 43

§ 2.2.	Полупростые кольца.........................  54

§ 2.3.	Применения теоремы	Веддербарна.............  58

Литература........................................  69

Глава 3. Теоремы коммутативности................  ....	70

§ 3.1.	Теорема Веддербарна и некоторые ее обобщения .... 70

§ 3.2.	Специальные типы колец ......................77

Литера	тура ......................................  88

Глава 4. Простые алгебры..........,....................89

§ 4.1.	Группа Брауэра...........................    89

§ 4.2.	Максимальные подполя.....................    93

§ 4.3.	Некоторые классические теоремы . ............96

§ 4.4.	, Скрещенные произведения.................  105

Литература.....................................    119

Глава 5. Представления конечных групп ....

§ 5.1.	Основы теории ...................

§ 5.2.	Теорема Гурвица .................

§ 5.3.	Применения к теории групп........

Литература..............................

Глава 6. Полиномиальные тождества...........

§ 6.1.	Один результат о радикалах ....

§ 6.2.	Стандартные тождества . .....

§ 6.3.	Теорема Капланского..............

§ 6.4.	Проблема Куроша для РЬалгебр . . .

Литература..............................

Глава 7. Теорема Голди......................

§ 7.1.	Теорема Оре......................

§ 7.2.	Теоремы Голди....................

§ 7.3.	Ультрапроизведения и теорема Познера
Литература.......................

Глава 8. Теорема Голода — Шафаревича . . , ,
Литература  ......................  .	. , .

Именной указатель.......................

Предметный указатель • .................

121

121

136

139

143

144

144

146

150

154

161

162

162

164

171

178

179

185

186

188