СПРАВОЧНАЯ КНИГА
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ
СПРАВОЧНАЯ
R
el
СПРАВОЧНАЯ
КНИГА
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ЛОГИКЕ
В ЧЕТЫРЕХ ЧАСТЯХ.
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
ДЖ. БАРВАЙСА
Часть HI
ТЕОРИЯ
РЕКУРСИИ
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
С. Г. Дворникова
И. А. Лаврова
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Ю. Л. Ершова
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1982
Scan AAW
22.12
С 74
УДК 512.8
HANDBOOK
OF
MATHEMATICAL LOGIC
J. BARWISE (ED.)
North-Holland
Publishing Company
Amsterdam. New York. Oxford
1977
Справочная книга по математической логике: В 4-х частях/Под ред.
Дж. Барвайса.—Ч. III. Теория рекурсии: Пер. с англ.—М.: Наука. Главная
редакция физико-математической литературы, 1982. — 360 с.
1702020000-152 „
С 053 (02)-82 Полисное
© North-Holland
Publishing Company-1977
© Перевод на русский язык.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1982
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА
Понятие алгоритма становится в настоящее время одним из
важнейших понятий как теоретической, так и прикладной мате-
матики. Это связано в первую очередь с современным разви-
тием электронной вычислительной техники и необходимостью
создания мощного математического обеспечения для этой тех-
ники. Немаловажными являются и связи теории алгоритмов с
математической логикой и основаниями математики; точное ма-
тематическое определение понятия алгоритма впервые было най-
дено в рамках формальных систем математической логики. Тео-
рия рекурсии — так называется этот третий том «Справочной
книги по математической логике» — составляет теоретическую
основу современного учения об алгоритмах.
Первая вводная глава этого тома, написанная Эндертоном,
довольно подробно и мотивированно знакомит читателя с тем
разделом теории алгоритмов, который теперь называется «клас-
сической» теорией рекурсии.
Две следующие главы, написанные соответственно Девисом
и Рабином, знакомят читателя с постановками различных ал-
горитмических проблем, возникающих в арифметике, алгебре,
математической логике и других разделах математики. Наряду
с формулировками проблем здесь имеются указания на методы
решения таких проблем и даны примеры. Следует отметить, что
обе эти главы не могут служить обзорами по рассматриваемой
проблематике, так как отбор материала в этих главах отражает
довольно субъективные взгляды авторов, не заботившихся, по-
видимому, ни о достаточно полном обзоре результатов, ни о точ-
ности указаний на авторство приводимых утверждений. Совет-
скому читателю, заинтересовавшемуся алгоритмическими про-
блемами, можно рекомендовать ознакомиться с обзорами
Ершова, Лаврова, Тайманова и Тайцлина [1], К о -
коринаиПинуса [1] и с книгой Е р ш о в а [1].
Четвертая глава, написанная Симпсоном, знакомит читателя
с одним из наиболее развитых разделов собственной (внутрен-
ней) теории алгоритмов — теорией (тьюринговых) степеней не-
разрешимости. Обзор результатов довольно полон и хорошо на-
писан. Для читателей, желающих познакомиться с результатами
о других степенях неразрешимости (ZZ- и m-степенях), можно
рекомендовать недавний обзор Одифредди [1].
6
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА
Остальные три главы этой части посвящены различным обоб-
щениям классической теории рекурсии. Пятая глава, написанная
Шором, является содержательным обзором по так называемой
теории а-рекурсии. По этой главе можно хорошо познакомиться
как с результатами, так и с идеями и методами этой теории.
В шестой главе, написанной Кекрисом и Московакисом, изла-
гается новый подход к изложению теории рекурсии по Клини
ДЛЯ функционалов конечных типов, позволяющий более просто
получить основные результаты этой трудной теории. Седьмая
глава, написанная Ацелом, является введением в общую теорию
индуктивных определений. Из заслуживших внимание специа-
листов обобщений теории рекурсии, не нашедших отражения в
этой книге, можно указать еще рекурсию на допустимых мно-
жествах (познакомиться с понятием допустимого множества
можно по седьмой главе первой части этого издания, изложение
теории рекурсии на допустимых множествах можно найти в
книге Барвайса [1]) и рекурсию на непрерывных функцио-
налах (книга Нурмана [1] является первым монографиче-
ским изложением этой теории).
Приложение, написанное автором предисловия, содержит
краткое введение в теорию нумераций, обсуждение ряда про-
блем теории конструктивных полей и полное изложение недав-
них результатов об алгоритмической природе элементарных тео-
рий регулярно замкнутых полей.
ЛИТЕРАТУРА
Б а р в а й с (Barwise J.)
1. Admissible Sets and Structures. — Berlin; Gottingen; Heidelberg: Sprin-
ger, 1976
Ершов Ю. Л.
1. Проблемы разрешимости и конструктивные модели. — М.: Наука, 1980.
Ершов Ю. Л., Лавров И. А., Тайманов А. Д. и Тайцлин М. А.
1. Элементарные теории. — УМН, 1965, 20, № 4, с. 37—108.
КокоринА И., ПинусА. Г.
1. Вопросы разрешимости расширенных теорий. — УМН, 1978, 33, № 2,
с. 49—84.
Нурман (Normann D.)
1. Recursion on the Countable Functionals. — Berlin; Heidelberg; N. Y.;
Springer, 1980.
Одифредди (Odifreddi P.)
1 Strong reduicibilities. — Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.), 1981, 4, № 1,
p 37-86.
Ю. Л. Eptuoe
ВВЕДЕНИЕ
Если говорить строго, теория рекурсии — наука, которая
изучает класс рекурсивных или эффективно вычислимых функ-
ций и их применения в математике. При более широкой интер-
претации теория рекурсии рассматривается как изучение общих
процессов определения с помощью рекурсии, но не только на
натуральных числах, а и на всех типах математических струк-
тур. Первые четыре главы этой книги подходят под более узкое
определение, а последние три — под более широкое.
Класс рекурсивных функций определяется и изучается во
вступительной главе, написанной Эндертоном. В этой главе об-
суждаются доводы в пользу отождествления этого класса с «эф-
фективно вычислимыми» функциями (тезис Чёрча). Здесь чи-
татель знакомится с многими способами применения основных
понятий.
Следующие три главы углубляются в темы, уведенные в
главе 1. Целью главы 2, написанной Мартином Девисом, яв-
ляется использование теории рекурсивных функций для доказа-
тельств того, что некоторые проблемы не могут быть эффектив-
но решены—проблема слов для группы является одной из наи-
более известных таких проблем. Родственная проблема о разре-
шимых (в противовес неразрешимым) теориях логики первого
порядка обсуждается в главе 3, написанной Рабином.
Среди неразрешимых проблем некоторые более неразреши-
мы, чем другие. Определение «степени» неразрешимости вво-
дится в § 8 главы 1, а обзор важных результатов об этих степе-
нях дан в главе 4, написанной Симпсоном.
Переходя к более широкому пониманию теории рекурсии,
мы приходим к написанной Шором главе 5 об обобщении тео-
рии рекурсии на допустимые ординалы. Шор дает прекрасное
введение в основные понятия и, в качестве примера, показывает,
какие новые обстоятельства возникают, когда на допустимые
ординалы обобщается теорема о разложении. Эта глава содер-
жит также очень полезную библиографию с аннотациями для
изучения теории а-рекурсии.
Изучение рекурсии в высших типах по Клини (рекурсивные
функции на функциях от функций, скажем, а не рекурсивные
8
ВВЕДЕНИЕ
функции на натуральных числах) всегда было более или менее
недоступно всем, за исключением лишь узких специалистов,
вследствие трудности основополагающих статей этого направ-
ления. Это положение должно улучшиться благодаря главе 6,
написанной Кекрисом и Московакисом, где предлагается более
простой подход, связанный с индуктивной определимостью.
Изучению индуктивных определений в целом посвящена гла-
ва 7, написанная Ацелом. Она должна быть интересна логикам
всех убеждений, так как в ней комбинируется теоретико-рекур-
сивный подход с полезными приемами из теории моделей и тео-
рии доказательств.
Мы планировали включить и главу о более «практических»
аспектах теории рекурсии, в которых появляются время выпол-
нения программ и сложность вычисления, но эта глава не на-
писана. Среди других глав данного справочника, имеющих от-
ношение к теории рекурсии, хотелось бы выделить*) написан-
ную Стетменом главу об исчислении равенств (глава 3 «Теории
доказательств и конструктивной математики») и написанную
Маккаи главу о допустимых множествах (глава 7 «Теории моде-
лей»). Специалисту по теории рекурсии может быть интересно
посмотреть применение теории рекурсии в теории доказательств
в написанной Феферманом главе 4 «Теории доказательств и кон-
структивной математики».
Я. Московакис
*) Следует напомнить, что в английском оригинале эта часть содержала
главу «Дескриптивная теория множеств: проективные множества», написан-
ную Д. А. Мартином; при переводе эта глава перенесена во вторую часть.—
Прим. ред.
Глава 1
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕКУРСИИ
Герберт Б. Эндертон
СОДЕРЖАНИЕ
Введение..............................  .	........................9
§	1.	Неформальная вычислимость ....................................9
§	2.	Машины Тьюринга..............................................12
§	3.	Тезис Чёрча..................................................15
§	4.	Универсальные машины и нормальная форма......................17
§	5.	Оракулы и функционалы.......................................21
§	6.	Рекурсивная перечислимость...................................53
§	7.	Логика и теория рекурсии.....................................28
§	8.	Степени неразрешимости ......................................31
§	9.	Креативные и меньшие множества...............................35
§ 10.	Определимость и рекурсия..................................  .	37
§11.	Рекурсивные аналоги классических объектов.................	. 44
Литература . ......................................................43
Введение
В этой главе представлены элементы теории рекурсивных
функций. Изложение не претендует на то, что оно подведет к
самым границам исследований в этой области. Здесь сделана
попытка лишь указать тот минимум, который будет нужен вся-
кому, следующему по этому пути.
Доказательства в этой главе часто только намечены с ука-
занием встречающихся главных идей. Имеется несколько книг,
где эти темы изложены более подробно. Основным источником
в этой области является книга Роджерса [1]. Более сжатое
изложение можно найти в главах 6 и 7 книги Шенфилда [3].
Машины Тьюринга обсуждаются, в частности, в книгах Я су-
ха ры [1] и Девиса [1]. По степеням неразрешимости имеет-
ся довольно новая книга Шенфилда [4] и более старая кни-
га Сакса [1]. Наконец, классическая книга Клини [5] со-
держит много материала по теории рекурсии.
§ 1. Неформальная вычислимость
Проще всего считать рекурсивные функции «эффективно вы-
числимыми» функциями. Вначале мы рассматриваем функции
из натуральных чисел в натуральные числа, откладывая на
10
ГЛ. Т. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕКУРСИИ
дальнейшее рассмотрение функций на других множествах.
Пусть N обозначает множество натуральных чисел {0, 1, 2, ...},
a — прямое произведение NXNX---XNcfe сомножите-
лями. Объекты, которые мы хотим рассматривать, будут функ-
циями с dom f £ N* для некоторого положительного числа k и
ranf N. Такие объекты будут называться fe-местными частич-
ными функциями. Слово «частичная» напоминает, что область
определения является, вообще говоря, подмножеством — воз-
можно, собственным — множества N*. (Частичная функция на-
зывается всюду определенной, если ее область определения есть
все N*.)
Из мощностных соображений ясно, что для каждого поло-
fet
жительного k существует 2"° /г-местных функций. Из этого
громадного количества мы хотим выбрать fet0 функций, которые
являются рекурсивными. Мы начинаем в этом параграфе с ин-
туитивного описания искомых понятий, а в следующем парагра-
фе мы обратимся к методам, которые сделают наши идеи
точными.
Назовем /г-местную частичную функцию f эффективно вы-
числимой, если существует эффективная процедура (т. е. алго-
ритм), которая правильно вычисляет f. Эффективная процедура
должна удовлетворять следующим критериям:
(i)	Для этой процедуры должны иметься точные инструкции
(т. е. программа) конечной длины. Эти инструкции не должны
предполагать никакой изобретательности или даже понимания
со стороны человека или машины, которые следуют этим ин-
струкциям. Исполнение инструкций должно состоять только в
аккуратном следовании указаниям.
(ii)	Если процедуре дан кортеж х длины к из domf, то вы-
числение должно закончиться после конечного числа дискрет-
ных шагов и выдать f(x).
(iii)	Если процедуре дан кортеж х длины k, не принадлежа-
щий dom f, то процедура может продолжать исполняться, ни-
когда не останавливаясь, или же процедура может застрять в
некоторой точке, которую нельзя истолковать как выдачу зна-
чения f на х.
Можно представить себе усердного и прилежного клерка,
имеющего много бумаги и неутомимо следующего своим ин-
струкциям, или же можно представить себе некоторый автома-
тизированный вариант — цифровую вычислительную машину,
исполняющую какую-то программу.
Несмотря на то, что мы даем лишь приблизительное описа-
ний. а не математическое определение, уже можно развить толь-
ко на этом неформальном уровне почти всю теорию рекурсив-
ных функций- (Рекурсивные функции являются в точности эф-
| 1. НЕФОРМАЛЬНАЯ ВЫЧИСЛИМОСТЬ
11
фективно вычислимыми функциями, но мы сохраняем термин
«рекурсивная» для математически определенного понятия.) Как
реализуется эта возможность, читатель может увидеть в книге
Роджерса [1].
В качестве примеров эффективно вычислимых функций мы
можем указать сложение и умножение натуральных чисел. Эф-
фективные процедуры для этих функций (использующие их де-
сятичные представления) изучаются в начальной школе. Любая
функция с конечной областью определения эффективно вычис-
лима. Инструкции для вычисления такой функции могут содер-
жать список всех ее значений.
Существуют некоторые типы ограничений, идущие от прак-
тики, но которые мы не налагаем на эффективные процедуры.
(i)	Хотя каждый аргумент, подаваемый на вход нашей про-
цедуре, должен быть (конечным) натуральным числом, нет ни-
какой заранее заданной границы на размеры этих аргументов.
Например, мы не исключаем аргументы, которые превышают
число электронов во вселенной.
(ii)	Хотя процедура должна выдать f(x), когда xedomf,
после конечного числа шагов, нет никакой заранее заданной
границы на это число.
(iii)	Аналогично нет никакой заранее заданной границы на
количество бумаги (пространство памяти), которая потребуется
для выполнения процедуры. Даже умножение очень больших
чисел может потребовать большого количества бумаги.
Все эти рассмотрения относятся к сравнению эффективной
вычислимости с «практической вычислимостью». Вычислитель,
работающий на цифровой вычислительной машине, может счи-
тать функцию f вычислимой, только если f(x) вычисляется на
его машине в разумное время. Конечно, само понятие разумно-
сти может изменяться ото дня ко дню. А на следующий год он
надеется получить более быструю машину с большим простран-
ством памяти и лентой. К тому времени его идея, что считать
практически вычислимым, значительно расширится.
Класс эффективно вычислимых функций получается в идеале,
когда все практические ограничения на требуемое время и про-
странство памяти снимаются. Поэтому наш класс функций —
теоретический предел того, что будет рассматриваться вычисли-
мым независимо от того, в каком веке это происходит.
Должно быть ясно, что если f и g— функции, которые сов-
падают на всех аргументах (за исключением, быть может, ко-
нечного числа), то f эффективно вычислима тогда и только то-
гда, когда g эффективно вычислима. Поэтому вопрос о том,
будет ли какая-то функция эффективно вычислимой, целиком
зависит от поведения этой функции в окрестностях бесконеч-
ности.
12
ГЛ Т ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕКУРСИИ
§ 2. Машины Тьюринга
Существует много эквивалентных способов формулировки
определения рекурсивности. Формулировка, выраженная в тер-
минах воображаемой вычислительной машины, была дана ан-
глийским математиком Аланом Тьюрингом в его фундаменталь-
ной статье [1]. (Аналогичная работа была сделана одновремен-
но, но независимо, Эмилем Постом из Нью-Йорка; см. Пост
[1].) Главная трудность при нахождении этого определения
была в том, что Тьюринг искал его до создания реальных циф-
ровых вычислительных машин. На самом деле познание шло от
абстрактного к конкретному: фон Нейман был знаком с работой
Тьюринга, и сам Тьюринг позднее сыграл вдохновляющую роль
в развитии вычислительных машин.
На неформальном уровне мы можем начать описывать ма-
шину Тьюринга как некий черный ящик с лентой. Лента разбита
на ячейки и каждая ячейка может содержать пустой символ О,
либо непустой символ 1. Лента потенциально бесконечна в обе
стороны в том смысле, что мы никогда не придем к ее концу,
но в любое время лишь конечное число ячеек может быть не-
пустым. В начале лента содержит числа входа, в конце — число-
выход. В промежуточное время лента используется как про-
странство памяти для вычисления.
Если мы откроем черный ящик, то обнаружим, что он устроен
очень просто. В любой момент времени он может обозревать
лишь одну ячейку памяти. Устройство содержит конечный спи-
сок инструкций (или состояний) q0, q\, qn. Каждая инструк-
ция может указать два возможных направления действий; од-
ного нужно придерживаться, если на обозреваемой ячейке ленты
находится 0, а другого, — если там находится 1.В любом случае
следующее действие может состоять из таких трех типов эле-
ментарных шагов:
(i) символ (возможно, такой же, как старый) пишется на
обозреваемой ячейке ленты, при этом предыдущий символ сти-
рается;
(ii) лента сдвигается на одну ячейку влево или вправо;
(ш) указывается следующая инструкция.
Таким образом, список инструкций определяет некоторую
функцию перехода, которая по данной инструкции и обозре-
ваемому символу указывает три компоненты того, что нужно
делать. Мы можем формализовать эти идеи, взяв в качестве ма-
шины Тьюринга эту функцию перехода.
2.1. Определение. Машина Тьюринга — это функция М
такая, что для некоторого натурального числа п
domM с={0, 1, ..., n} X {0, 1},
гапЛ! s{0, 1}Х{Л, П} X {0, 1,	п}.
§ 2. МАШИНЫ ТЬЮРИНГА
13
Например, пусть М(3,1) = (О, Л, 2). Подразумеваемый смысл
этого состоит в том, что как только машина дойдет до инструк-
ции <7з, а на обозреваемой ячейке написан символ 1, она
должна стереть 1 (оставляя на ячейке 0), передвинуть ленту
так, чтобы обозреваемой ячейкой стала левая соседняя ячейка
от той, которая обозревалась, и перейти к следующей инструк-
ции д2- Если М (3,1) не определено, то как только машина дой-
дет до инструкции ^з, а на обозреваемой ячейке написан сим-
вол 1, то машина останавливается. (Это единственный путь
остановки вычисления.)
Такая подразумеваемая интерпретация не включена в фор-
мальное определение машины Тьюринга, но она мотивирует и
подсказывает формулировки всех следующих определений.
В частности, можно определить, что означает для машины М пе-
редвижение (за один шаг) от одной конфигурации к другой.
Нам не нужно-здесь давать формальных определений, так как
они являются простыми переводами наших неформальных идей.
Входные и выходные данные — это строчки из 1, разделен-
ные 0. Пусть гх'1 будет строчкой из 1 длины %+ 1. Тогда
гх1“10гх2“10 ... 0гхР
получено комбинацией k строчек из 1, каждая отделена от дру-
гой 0.
Наконец, мы можем определить рекурсивность, й-местная ча-
стичная функция называется рекурсивной, если существует ма-
шина Тьюринга М такая, что как только М начинает с инструк-
ции обозревая самый левый символ строки
гх1“10гх2“10 ... 0V
(вся остальная часть ленты пуста), тогда:
(i) если f(xi, ..., Xk) определено, то М в конце концов оста-
новится, обозревая самый левый символ стрсч<и
rf(Xi, .... Xfe)'1,
при этом часть, находящаяся справа от этой строчки, пустая;
(ii) если f(xb ..., xk) не определено, то М никогда не оста-
навливается.
Если R— ^-местный предикат на натуральных числах, то
скажем, что R рекурсивен, если его характеристическая функ-
ция %/?: N*— {0, 1} рекурсивна. (Предостережение: если й-мест-
ная частичная функция рекурсивна, то отсюда не следует, что ее
график есть рекурсивный (k+ 1)-местный предикат.)
Например, тождественная функция f(x) — x рекурсивна, так
как она вычисляется на пустой машине. Менее тривиальный
случай — сложение х + у, которое вычисляется на машине, зна-
чения которой указаны в таблице 1. Комментарии, расположён-
14
ГЛ. Т. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕКУРСИИ
ные в таблице справа, даны в помощь читателю, а не машине.
(Тьюринг определял М как некоторое множество пятерок вместо
функции из пар в тройки. Наша таблица, являющаяся графи-
ком М, по существу есть множество пятерок.)
ТАБЛИЦА 1
О 1
о о
1 1
1 о
2 1
3 1
4 1
4 О
1 П	0	прохождение через	х
1 П	1	заполнение промежутка
1 П	1	прохождение через	у
О Л	2	конец у
О Л	3	стирание 1
О Л	4	стирание другой 1
1 Л	4	движение назад
О П	5	остановка
Хорошим упражнением в программировании является по-
строение машин Тьюринга для произведения и возведения в
степень.
Мы должны заметить, что многие детали нашего определе-
ния машины Тьюринга до некоторой степени произвольны. Если
бы было более одной ленты, то класс вычислимых функций
остался бы неизменным (хотя некоторые функции могли бы
быть вычислены более быстро). Аналогично мы могли бы до-
пускать больше символов, чем 0 и 1, или же у нас могла бы
быть лента, бесконечная только в одну сторону от начальной
точки вместо имеющейся бесконечной в обоих направлениях. Ни
одно из этих изменений не затрагивает класса вычислимых
функций. Что действительно существенно в определении — это
разрешение произвольно большого количества материала для
запоминающего устройства и произвольно длинных вычислений.
Мы можем дать специфический пример нерекурсивной функ-
ции, использующий «соревнование по трудолюбию» Радо [1].
Участник соревнования с п состояниями — это машина Тьюрин-
га М с n + 1 инструкцией qOl ..., qn, последняя из которых
используется только для остановки (т. е. М (п, 0) и M(n, 1) не
определены), и такая, что, начиная работать на пустой ленте,
М в конце концов остановится. Когда М останавливается, число
единиц на ленте указывает количество очков М в этом соревно-
вании. Таким образом, машина пытается написать как можно
больше единиц на ленте, но обязана остановиться. Пусть 2(п) —
максимально возможное число очков для участников соревнова-
ния с п состояниями.
2.2. Теорема (Радо [1]). Функция 2 не рекурсивна.
В действительности, для любой всюду определенной рекурсив-
ной функции f на N мы имеем f(x)<. 2(х) для всех достаточно
больших х.
$ 3. ТЕЗИС ЧЕРЧА
15
Доказательство. Функция, значение которой для х
равно
max [f(2x + 2)> /(2х + 3)],
рекурсивна и, значит, вычислима на некоторой машине Л4Э
имеющей, скажем, k инструкций. Для каждого х рассмотрим
машину Nx, которая пишет гх”1 на пустой ленте и затем рабо-
тает, как М. Тогда Nx является участником соревнования по
трудолюбиюсх + & + 2состояниями. Ее количество очков (число
указанных выше единиц плюс еще 1) ограничено 2(х + А + 2),
что в свою очередь для всех х k ограничено 2(2х + 2). □
Позднее мы построим и другие нерекурсивные функции, но
функция 2 поразительно проста. Несколько начальных значе-
ний 2 известны: 2(1)= 1, 2 (2) = 4 и 2(3) = 6 (Лин и Радо
[1]). Далее, 2 (4)= 13 (Бреди [1], [2]). Далее известны лишь
нижние оценки. 2 (5) ^17, 2 (6) ^35, 2(7)^22 961 и 2(8)>^
>8Х 1044 (Грин [1]).
§ 3. Тезис Чёрча
В § 1 обсуждалось неформальное понятие вычислимости.
В § 2 определено математическое понятие рекурсивности. Рав-
носильны ли эти понятия? Другими словами, является ли поня-
тие рекурсивности правильной формализацией нашего интуитив*
ного понятия эффективной вычислимости? Утверждение о том,
что это в действительности так, известно как тезис Чёрча. Впер*
вые такое утверждение было выдвинуто и аргументировано
Чёрчем [1]. [2] и принимается почти всеми.
Имеется два довода в пользу того, что класс рекурсивных
функций достаточно широк, чтобы содержать все эффективно
вычислимые функции. Первый довод связан с конкретными про-
цедурами. На поверку оказалось, что все процедуры, про кото-
рые чувствовалось, что они эффективны, могут быть проведены
на машинах Тьюринга. Второй довод связан со всем классом
эффективных процедур: различные попытки формализации по-
нятия вычислимости приводят к понятиям, эквивалентным ре-
курсивности. В частности, естественные пути снятия некоторых
ограничений в понятии рекурсивности (такие, как разрешение
нескольких лент) в итоге приводят к понятиям, эквивалентным
рекурсивности. (Доказательства таких результатов большей
частью нетрудны, если известна техника, указанная в следую-
щем параграфе.)
Исторически первое появление определения рекурсивности
имеется в основополагающей статье Курта Гёделя [2] о не-
полноте формальных систем. Он называл предикат разреши-
мым (entscheidungsdefinit), если он бинумсруем в некоторой
16
ГЛ. Т. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕКУРСИИ
формальной системе теории чисел. (Понятие бинумеруемости
можно найти в главе 1 «Теории доказательств и конструктивной
математики».) Это эквивалентно нашему определению рекурсив-
ного предиката. Но в то время Гёдель не стремился к формали-
зации концепции эффективной разрешимости или вычислимости
и его внимание не было сосредоточено на этом. В той же статье
он определил класс функций, назвав их рекурсивными (rekursiv)\
сейчас этот класс называется классом примитивно рекурсивных
функций. Прилагательное «рекурсивный» было уместным, так
как главной особенностью определения было указание, как на-
ходить f {п + 1) по f (п).
Гёдель посещал Принстон несколько раз в тридцатые годы
перед тем, как переехать туда в 1940 г насовсем. В 1934 г. во
время одного из этих визитов он прочел лекцию, мимеографи-
ческие записи которой были распространены. Записки были со-
ставлены Клини и Россером, которые заканчивали в это время
свои диссертации у Чёрча в Принстоне. (Эти записки были в
дальнейшем опубликованы, см. Гёдель [2].) В этой лекции
Гёдель поставил вопрос об эффективной вычислимости. Он за-
метил, что к рекурсивным функциям, определенным им ранее,
нужно было бы добавить более общие формы рекурсии, чтобы
этот класс включал все вычислимые функции. Затем он опреде-
лил класс, который назвал «общерекурсивными функциями»,
используя идеи, которые высказал в письме к нему Эрбран. (Это
определение, которое содержит формальные правила вывода не-
которых равенств из других, также эквивалентно нашему опре-
делению рекурсивности.)
Чёрч жил в Принстоне с 1929 г. и вместе со своим учеником
Клини выработал концепцию ^-определимых функций. Вопрос
о соотношении между Х-определимостыо и эффективной вычис-
лимостью изучался Чёрчем. Чёрч [2] не только высказал те-
зис, носящий теперь его имя, но и привел также первый пример
неразрешимой проблемы разрешимости. Эта проблема — будет
ли формула в Х-исчислении иметь нормальную форму —может
рассматриваться как некоторая проблема разрешимости в эле-
ментарной теории чисел. Доказательство эквивалентности поня-
тия Х-определимых функций и понятия общерекурсивных функ-
ций было впервые дано Клини [2].
Тьюринг [1] ссылается на статью Чёрча и дает еще одно
определение рекурсивности (по существу определение из § 2).
Тьюринг независимо пришел к идее формализации понятия эф-
фективной вычислимости, но решил опубликовать ее только пос-
ле того, как статья Чёрча вышла в свет. В приложении Тьюринг
доказал эквивалентность своего определения Х-определимости.
Пост [1] рассматривает тезис Чёрча не как определение
или аксиому, а как нуждающийся в «постоянном подтвержде-
§ 4. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ МАШИНЫ И НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА
17
нии» закон природы, «фундаментальное открытие», характери-
зующее «математическую способность Homo Sapiens».
До сих пор основными объектами нашего изучения были
функции, и мы мало упоминали ^-местные предикаты на N.
В действительности теория рекурсии может быть развита с рав-
нозначными результатами как в терминах функций, так и в тер-
минах предикатов.Мы можем неформально называть предикат/?
разрешимым, если существует эффективная процедура, которая
для любого данного х отвечает «да», если х ее /?, и отвечает
«нет», если х 0 /?. (Имея дело с предикатами, мы пишем как
хе/?, так и R(x).) Тогда /? разрешим тогда и только тогда,
когда его характеристическая функция эффективно вычислима.
По этой причине следствием тезиса Чёрча (а в действительно-
сти утверждением, ему эквивалентным) является то, что понятие
рекурсивного предиката является правильной формализацией
неформального понятия разрешимого предиката.
§ 4. Универсальные машины и нормальная форма
Первым использованием рекурсивных функций было доказа-
тельство логических теорем неполноты. Но для этого не потре-
буется никаких глубоких результатов о внутренней структуре
класса рекурсивных функций. В действительности было бы до-
статочно довольно ограниченного класса, такого, например, как
класс примитивно рекурсивных функций, упомянутого в преды-
дущем параграфе.
Как будет видно, существуют и другие применения рекур-
сивных функций. Но даже и без этого рекурсивные функции
изучались бы, так как они интересны сами по себе как эффек-
тивно вычислимые функции. И основной факт, который добав-
ляет основания для такого изучения, есть возможность кодиро-
вания машин числами, которые можно использовать как вход
для других (или той же самой) машин.
Здесь имеется прямая аналогия с реальными цифровыми ма-
шинами. Самые первые такие машины программировались с
помощью установки переключателей и соединительных проводов
на коммутационных досках. Далее было понято (фон Нейма-
ном), что для подходяще устроенной машины программа может
быть закодирована машинными словами (т. е. целыми числами)
и запоминаться в машине точно так же, как исходные данные,—
это будет машина с запоминающим устройством. Первая прак-
тическая польза такого подхода к программам — скорость, с ко-
торой новая программа может быть введена в машину вместо
старой программы. Но наиболее замечательная выгода (для на-
ших целей) — возможность исполнительных программ, например
операционных систем. Исполнительная программа допускает в
18
ГЛ. Т. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕКУРСИИ
качестве своих входных данных другую программу. Такая ис<
полнительная программа могла бы затем взять введенную в нее
программу и проследить за выполнением ее инструкций.
Идеи машин с запоминающим устройством могут быть пере-
несены на машины Тьюринга (исторически все было наоборот).
Машине Тьюринга М можно давать два числа на вход, одно из
которых является подходящим кодом машины Тьюринга W, а
другое — число х. Машина М тогда могла бы служить испол-
нительной программой, а на выходе будет находиться результат
применения N к х. Такую машину можно назвать универсаль-
ной машиной Тьюринга,
Реализация этих идей и построение универсальной машины
Тьюринга является прямолинейной, хотя и длинной процедурой.
В самых общих чертах опишем, как это происходит. Прежде
всего, каждая машина Тьюринга есть конечный объект и, сле-
довательно, может быть закодирована натуральным числом с
помощью некоторой фиксированной системы кодировки. Мы мо-
жем, например, определить кодирующую функцию
%1> • • • ’ Хп) = 2	• • • • ’ Рп
с помощью степеней простых чисел; таким путем мы заменяем
конечную строчку чисел одним числом. Далее, нам нужна де-
кодирующая функция (х)у со свойством: для i п
«*0> Х\, • ••, •^п))/==^Р
Машины Тьюринга могут использоваться как для описанного
выше кодирования, так и для декодирования.
На любом этапе вычисления машины Тьюринга точная кон-
фигурация машины (запись на ленте, номер инструкции и обо-
зреваемая ячейка) может быть описана при помощи конечного
количества информации и, следовательно, снова может быть за-
кодирована числом, называемым мгновенным описанием. Тогда
протоколом вычисления для машины М будет число, кодирую-
щее конечную последовательность мгновенных описаний, удов-
летворяющих следующим условиям:
(i)	первое мгновенное описание имеет дело с инструкцией q$
(«начальное состояние»);
(ii)	последнее мгновенное описание имеет дело с инструк-
цией qi и обозреваемым символом s, для которых M(i,s) не
определено («конфигурация остановки»);
(iii)	каждое мгновенное описание связано с последующим
так, что при работе машины М конфигурация, заданная этим
мгновенным описанием, переходит за один шаг в конфигурацию,
заданную следующим.
f 4. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ МАШИНЫ И НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА
19
Таким образом, протокол вычисления — натуральное число,
которое кодирует все этапы одного из вычислений на М от на-
чального состояния 7о (предполагается, что на ленте записаны
входные данные) до остановки.
Все это кодирование было бы бессмысленно, если бы не было
выполнено следующее условие: в результате кодирования полу-
чаются рекурсивные функции и предикаты. Это значит, что,
углубляясь в детали этого кодирования, можно проверить на
каждом шаге, что существуют машины Тьюринга для вычисления
соответствующих функций. Получаем следующие два результата.
(i) Существует трехместный рекурсивный предикат Т, ко-
торый выполняется на е, <хь ..., xk) и у тогда и только тогда,
когда е кодирует некоторую машину Тьюринга, а у — протокол
вычисления этой машины, начинающей работать, когда на ленте
записано гх1“| 0 гх2п 0 ... О rxkn.
(ii) Существует рекурсивная функция U такая, что как толь-
ко выполняется Т(е, <хь ...,	у), то U(y} — заключение про-
токола у — есть выходное значение вычисления (при условии, что
конфигурация остановки такова, что все это имеет смысл).
Даже не вдаваясь в детали, должно быть ясно, что преди-
кат Т интуитивно разрешим, а функция U вычислима, так что
можно предполагать, что они и рекурсивны, и это предположе-
ние правильно. Далее, для каждого k мы определяем ^-местную
частичную функцию
{e}fe(xb ..., xk) = U [наименьшее у такое, что
Т(е, <хь хД у)}.
Здесь мы пишем «наименьшее у», хотя вполне возможно, что
такого у не существует; если такого у не существует, то функ-
ция не определена в данной точке. Мы будем все это записы-
вать сокращенно с помощью символа р,:
{e}k(xlt .... xk) = U(pyT(e, <xb хД у)).
(Обозначение {e}k введено Клини, Роджерс использует для это-
го обозначение q/Ч Верхний индекс k по возможности будет
опускаться.)
Теперь мы можем сформулировать следующую фундамен-
тальную теорему. Данная форма этой теоремы принадлежит
Клини [1], [4], хотя универсальные машины Тьюринга встре-
чались уже в исходной работе Тьюринга [1].
4.1.	Теорема о нормальной форме, (i) (k+^-мест-
ная частичная функция, значение которой в точке (е,..., х^
равно {e}k (%i, ..., xfr), рекурсивна.
(ii)	Для каждого е k-местная частичная функция {e}k ре-
курсивна.
20
ГЛ Т ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕКУРСИИ
(iii)	Каждая k-местная частично рекурсивная функция равна
{e}k для некоторого е.
Число е будет называться индексом функции {e}k. Таким
образом, частичная функция рекурсивна тогда и только тогда,
когда она имеет некоторый индекс.
Теперь же мы хотим все сделанное использовать для дока-
зательства неразрешимости проблемы остановки. Допустим, что
мы даем х на вход машине М и запускаем ее в работу. После
первого миллиона шагов у нас могло бы зародиться подозрение,
что машина никогда не остановится. С другой стороны, может
быть, что если мы проявим чуточку терпения, то машина оста-
новится после еще небольшого числа шагов. Существует ли спо-
соб узнать, какая из этих двух ситуаций произойдет? Нет, та-
кого способа не существует. Не существует эффективной про-
цедуры, которая по данным /Мих решала бы, будет данное
вычисление закончено или нет. Это составляет содержание тео-
ремы, приведенной ниже. Для частичной функции f мы пишем
f(x)< сю для обозначения того, что f(x) определено.
4.2.	Теорема (неразрешимость проблемы остановки). Ни
{(х, у): {х} (у) < по}, ни {х: {х} (х) < оо} не рекурсивны.
Доказательство. Наше описание данного доказатель-
ства (а также и других) опирается на неформальные идеи эф-
фективной вычислимости, но оно может быть легко переведено
в строгое рассуждение, использующее машины Тьюринга.
Пусть К= {х: {х}(х)< оо}. Достаточно показать, что К —
диагонализация проблемы остановки —не рекурсивно. Будет
использоваться классическое диагональное рассуждение. Рас-
смотрим функцию
{{х}(х)+1, если
0	, если х ф К.
Функция g всюду определена, но не может быть рекурсивной
(потому что g(e)=£ {е} (е) для каждого е). Но если бы К было
рекурсивным, то и g была бы рекурсивной. Следовательно, К
не рекурсивно. □
В предыдущих параграфах мы совсем не интересовались во-
просом о том, как долго работает машина Тьюринга, когда она
вычисляет какое-то значение функции. Теперь допустим, что мы
исследуем функцию ФДх) —число шагов машины с индексом е,
используемых при вычислении {е} (х). Для любой рекурсивной
функции у нас есть бесконечно много различных машин, ее вы-
числяющих. Некоторые рекурсивные функции настолько ка-
верзны, что любой вычисляющей их машине требуется очень
много времени.
4.3.	Теорема (Рабин [1]). Для любой всюду определен-
ной рекурсивной функции Н на N можно найти всюду опреде-
§ 5 ОРАКУЛЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ
21
ленную рекурсивную функцию F: N{0, 1} такую, что для ка-
ждого индекса е функции F
ФДх)>Я(х)
для всех достаточно больших х.
Доказательство состоит в постоянном обнаружении индек-
сов быстрых машин и определении F так, чтобы ее значение
где-нибудь не совпадало с результатом таких машин.
Более сильным результатом является теорема об ускорении,
которая утверждает, что некоторая функция не обязана иметь
самый быстрый индекс или даже почти самый быстрый индекс
при любом разумном понимании понятия «почти».
4.4.	Теорема об ускорении (Блюм [1]). Для любой
всюду определенной рекурсивной функции G на N X N можно
найти всюду определенную рекурсивную функцию F: N-> {0, 1}
такую, что для каждого индекса i функции F существует другой
индекс j функции F такой, что
G(x, ФД^ХФДх)
для всех достаточно больших х.
Например, возьмем G (х,у) = 2У. Тогда для любой машины,
вычисляющей F, существует другая машина, экспоненциально
более быстрая для почти всех входов. Теоремы Рабина и Блюма
в действительности являются более общими, чем мы указали.
В этих теоремах ФДх) может быть любой разумной мерой слож-
ности вычисления {е}(х), удовлетворяющей очень слабым пред-
положениям.
Для любой всюду определенной рекурсивной функции L на N
можно определить класс сложности CL функций, почти всюду
вычислимых за число шагов, ограниченное функцией L:
Gl = {F: для некоторого индекса ] функции F
Ф/(х)^£(х) Для всех достаточно больших х}.
Эти классы сложности расслаивают рекурсивные функции по
трудности их вычисления. В частности, можно сказать, что F
вычисляется не труднее, чем G, если F принадлежит каждому
классу сложности, которому принадлежит G. Это случается то-
гда и только тогда, когда для каждого индекса функции G су-
ществует индекс функции F, который почти всюду вычисляет ее
столь же быстро.
§ 5. Оракулы и функционалы
Через три года после своей основополагающей работы ([1])
Тьюринг [2] ввел обобщение своего понятия вычислимости.
Вообразим некоторого вычислителя (прилежного клерка или
22
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕКУРСИИ
машину), обладающего, как обычно, точными инструкциями и
достаточным количеством бумаги. Но дополнительно мы теперь
рассматриваем и новую деталь: оракул для конкретной функ-
ции а из N в N. (Здесь требуется, чтобы dom а равнялось все-
му N; пусть Nn обозначает множество всех таких функций.)
Оракулом для а является некое устройство, которое по данному
числу х выдает значение а(х). Если а рекурсивна, то в качестве
оракула для а можно взять машину Тьюринга. Более общо,
можно представить себе оракул и для произвольной функции а.
При помощи такого оракула наш вычислитель может теперь
вычислять не только эффективно вычислимые частичные функ-
ции, но и (когда даны правильные инструкции) любую частич-
ную функцию, которая «вычислима относительно а».
На первый взгляд понятие вычислимости относительно а ка-
жется довольно странным. Оно соединяет наиболее конструк-
тивный подход к функциям (т. е. вычислимость) с наименее
конструктивным (т. е. оракулом). Но, несмотря на такое пара-
доксальное положение, данная концепция оказывается ценной,
и она привела в конечном счете (в 1950-х гг.) к понятию рекур-
сивного функционала, т. е. к рекурсивным функциям, допускаю-
щим в качестве аргументов элементы из Nn
Вообще мы будем рассматривать (£, tn)-местные частичные
функции; областями определения таких функций являются под-
множества пространства
>f = NXNX ... XNXNNXNNX ... XNN
(с k сомножителями N и т сомножителями NN), а областями
значений — подмножества множества N. До сих пор мы рас-
сматривали только случай, когда пространство N счетно (т. е.
ап = 0). Далее мы для простоты обозначений часто будем огра-
ничиваться случаем k = m = 1, подразумевая при этом, что все
сказанное будет справедливо и в общем случае. Через J, р, ...
будут обозначаться переменные, областью изменения которых
является пространство Л9.
Мы обобщаем наше понятие машин Тьюринга, допуская пг
оракулов. Теперь машина может писать число х на ленте, а ора-
кул за один шаг будет заменять это число на а(х). Частичная
функция / на Ж будет называться рекурсивной, если существует
машина Тьюринга, вычисляющая f, как и “раньше, но теперь
функциональные аргументы f будут доставляться в виде ора-
кулов.
Как и в § 4, возможно закодировать все этапы какого-либо
вычисления в число у — протокол этого вычисления. Кроме это-
го, в у закодирована вся информация, доставляемая оракулом.
Конечно, при любом завершающемся вычислении может быть
§ 6. РЕКУРСИВНАЯ ПЕРЕЧИСЛИМОСТЬ
23
использована только конечная часть потенциально бесконечной
мудрости оракулов. При любых разумных кодированиях вычис-
лений, если у — протокол вычисления, то всякое значение а (г),
доставленное вычислению оракулом, будет таково, что i у.
Определим для а из Nn «производящую функцию» а следую-
щим образом:
a(z/) = <a(0), а(1), а(у — 1)).
Таким образом, a — снова функция из NN и а (у) кодирует
первые у значений а. (В частности, a (0) = < > = 1 независимо
от а.) Для протокола вычисления у число a (у) кодирует все
значения а, которые используются в вычислении, так как для
Ку значение a(Z) может быть декодировано из а, (у); дей-
ствительно, а (г) = (а(у) )i. Это обстоятельство приводит к сле-
дующим двум результатам:
(i) Существует рекурсивный 4-местный предикат Г, который
выполняется на е, <%ь ...	(«10/), • ••» «т(//)> и у тогда
и только тогда, когда е кодирует машину Тьюринга, а у — про-
токол вычисления этой машины, когда на ленте записано
гх1"1 0 ГХ2П 0 ... 0 гх^"1 и машина снабжена оракулами для
ab am.
(ii) Существует рекурсивная функция U такая, что как толь-
ко выполняется Т на описанных выше четырех аргументах, то
U(у) —выходное значение вычисления.
Таким образом, мы можем обобщить результаты о нормаль-
ной форме из предыдущего параграфа, определяя (k, ш}(-мест-
ную частичную функцию {e}km, где
{е}‘‘ (х, a) = U (цуТ (е, (х), <а (у)), у)).
Как обычно, мы опускаем, где это возможно, верхние индексы.
Тогда, с необходимыми изменениями, справедлива теорема 4.1
о нормальной форме. Интересно отметить, что, так как U и Т
в качестве своих аргументов имеют лишь натуральные числа,
рекурсивность на Л9 может быть .охарактеризована в терминах
рекурсивности на N.
§ 6.	Рекурсивная перечислимость
Мы определили подмножество пространства Л9 как рекурсив-
ный (k, ди)-местный предикат, если его характеристическая функ-
ция рекурсивна. По тезису Чёрча это является правильной фор-
мализацией неформального понятия разрешимого множества.
Теперь же мы хотим рассмотреть множества, являющиеся
рекурсивными только наполовину. Назовем множество R* полу-
разрешимым, если существует эффективная процедура, которая
24
ГЛ. Т. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕКУРСИИ.
для данного j отвечает «да» тогда и только тогда, когда j <= R.
Мы больше не требуем, чтобы процедура была процедурой раз-
решимости, теперь мы рассматриваем ее как некоторую про-
цедуру принятия. Если J е /?, то процедура в конце концов ска-
жет «да», и тем самым она принимает j. Но если то,
вообще говоря, процедура никогда не закончится. Но никто
заранее не знает, будет ли процедура продолжаться все время
или же в конце концов остановится и примет J.
Когда Л2 — счетное пространство, мы можем дать другую
характеризацию полуразрешимых множеств. Назовем R эффек-
тивно перечислимым, если существует эффективная процедура,
которая выписывает в некотором порядке элементы R. (Конечно,
если R бесконечно, то такой список никогда не будет полным. Но
любой конкретный элемент из R будет выписан через конечное
время.) Чтобы доказать, что эффективная перечислимость экви-
валентна полуразрешимости, вначале предположим, что R эф-
фективно перечислимо. Тогда по любому данному J мы можем,
рассматривая появляющийся список элементов R, сказать «да»,
если и когда мы увидим J. Это показывает, что R полуразре-
шимо. Обратно, предположим, что R полуразрешимо. Чтобы по-
рождать список элементов R, мы должны разумно распоря-
диться нашим временем. Упорядочим N* сначала по максималь-
ной компоненте, а потом — лексикографически; такой порядок
на N* имеет тип со. Затем просматриваем все кортежи в этом
порядке: хь х2, ... На шаге п порождающей процедуры мы тра-
тим п минут на каждое хь ..., хп, проверяя, не будет ли оно
принято для R. Если в каком-либо случае мы получим «да», то
помещаем этот кортеж в наш список. Таким путем любой эле-
мент R будет в конце концов опознан и помещен в список. (Оче-
видно, что подобное доказательство опирается на счетность про-
странства N*: несчетные полуразрешимые множества не могут
быть перечислены в этом смысле.)
Теперь мы хотим дать точный аналог неформального поня-
тия полуразрешимого множества. Одна возможность состоит в
возвращении к машинам Тьюринга — рассматривать их не как
преобразователи (и со входом, и с выходом), а как принимаю-
щие устройства. Но имеется более простая альтернатива. Любое
полуразрешимое множество является областью определения
вычислимой частичной функции, принимающей значение 0 на
этом множестве и не определенной вне его. Однако область
определения любой вычислимой частичной функции является по-
луразрешимым множеством; надо говорить «да», если и когда
вычисление заканчивается. По этой причине мы можем сформу-
лировать понятие полуразрешимости следующим образом.
6.1.	• Определение. Подмножество пространства Л2 полу-
рекурсивно, если оно является областью определения некоторой
§ 6. РЕКУРСИВНАЯ ПЕРЕЧИСЛИМОСТЬ
25
рекурсивной частичной функции на Л9. Если счетно, то полу-
рекурсивные множества называются рекурсивно перечислимыми
(сокращенно р. п.).
Если R полурекурсивно и является областью определения
функции /, то мы можем рассматривать машину Тьюринга, вы-
числяющую /, как принимающее устройство для /?, у которого
принятие интерпретируется остановкой. Термин «рекурсивно пе-
речислимо» иногда используется в качестве синонима термина
«полурекурсивно» без учета мощности Л*, но мы употребляем
этот термин лишь в случае счетного /С.
Если имеется одно принимающее устройство для R и другое
для его дополнения (относительно Л*), то эти два условия вме-
сте решают вопрос о принадлежности к R. Следовательно, мы
имеем следующий результат.
6.2.	Теорема. Предикат рекурсивен тогда и только тогда,
когда он и его дополнение полурекурсивны.
Можно использовать нашу нумерацию частично рекурсивных
функций для получения нумерации полурекурсивных множеств.
Просто определим We'm как область определения {e}k>m. (Вез-
де, где возможно, опускаем верхние индексы.) Тогда предикат R
полурекурсивен тогда и только тогда, когда он есть We для не-
которого е. Далее, (/?+!, т)-местный предикат
Q = {(e, г): jelFJ
полурекурсивен (является областью определения функции, вы-
числяемой на универсальной машине Тьюринга). Полурекур-
сивный предикат Q «универсален» для (/?, пг)-местных полуре-
курсивных предикатов в том смысле, что предикат R полурекур-
сивен тогда и только тогда, когда он получается из Q при фик-
сировании параметра е.
6.3.	Теорема. Следующие условия для (k, пг)-местных пре-
дикатов эквивалентны'.
(i)	R полурекурсивен.
(ii)	Для некоторого рекурсивного (/?+ 1, т)-местного преди-
ката Q имеем
= BwQ(w, j)}.
(iii)	Для некоторого рекурсивного (k + I, пг)-местного пре-
диката Р имеем
R = {j:	... wiP .., wi, г)}.
Доказательство. Имеем (i)-*(ii), так как x^We+-+
<--> ЗуТ(е, {х), у). Утверждение (ii)->(iii) тривиально. Чтобы
доказать (iii)-*(i), используется кодирование последователь-
ностей: /? = domf, где f (г) == ц^Р((^|), ..., (w)h х). Для рекур-
сивного Р частичная функция f также рекурсивна. □
26
ГЛ I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕКУРСИИ
В § 4 мы показали, что множество
/С = {х: {х} (х) < оо}
не рекурсивно. Но К — рекурсивно перечислимое подмножество
N, так как
х К «-> ЗуТ (х, <х), у)
для рекурсивного предиката Т. По этой причине мы заключаем,
что дополнение К не является рекурсивно перечислимым.
Хотя К неразрешимо, в некотором смысле вопросы о при-
надлежности любому рекурсивно перечислимому подмножеству
для N сводятся к аналогичным вопросам про К. Рассмотрим лю-
бое рекурсивно перечислимое подмножество We множества N и
определим для каждого х функцию
Тогда f(t) не зависит от t и в действительности f — пустая
функция, если х 0 We. Но f всюду определена, если х е We-
Значит, / — частично рекурсивная функция, но, что более важно,
мы можем рекурсивно найти индекс л(е, х) для f. На нефор-
мальном уровне это ясно: описанное выше уравнение говорит,
как вычислять f, и мы можем эффективно выписать это уравне-
ние, если е и х даны. При формальном доказательстве мы ис-
пользуем теорему о параметризации, указанную ниже.
Если g— какая-то двуместная частично рекурсивная функ-
ция, то g(8, у), как функция от у, конечно, рекурсивна. Более
важно, что можно рекурсивно найти индекс для этой функции
по индексу для g. Этот факт, утверждаемый в более общей по-
становке, составляет следующую теорему.
6.4.	Теорема о параметризации. Для всех k и m су-
ществует всюду определенная рекурсивная одно-одпозначная
функция р такая, что всегда выполняется
{е}(хь х„, ух, .... yk, аь ат)
= {р(е, (х1; ....	.... yk, аь .... ат).
Здесь хь ..., xk рассматриваются как фиксированные пара-
метры. Идея состоит в том, чтобы р(е, v) кодировала инструк-
ции для написания v слева от входных данных на ленте и затем
выполняла инструкцию, закодированную числом е. (Теорема о
параметризации по историческим причинам также известна как
«S-m-n-теорема».)
Можно применить теорему о параметризации к функции
g(e, х, /) = {е}(х),
чтобы получить всюду определенную рекурсивную одно-одно-
значную функцию л такую, что g(e, х, I) = {л(е, х)} (/) и,
$ 6. РЕКУРСИВНАЯ ПЕРЕЧИСЛИМОСТЬ	27
следовательно,
х е We -> {л (е, х)} всюду определена,
х ф We -> {л (е, х)} пустая,
х е We л (е, х) е К.
Это сводит вопросы про We к вопросам про К. Помимо К, су-
ществуют и другие р. п. множества, для которых такое сведение
существует. Наиболее очевидный пример: {<х,у>: хе Wy}.
Если А и В — подмножества N, то говорим, что А много-одно-
сводимо к В (А ^тВ), если для некоторой всюду определенной
рекурсивной f
х е Л <-> f (х) е В.
Назовем А одно-односводимым к В(Л^1В), если можно до-
полнительно потребовать, чтобы / являлась одно-однозначной
функцией. Тогда любое р. п. подмножество N одно-одно-
сводимо к X. Ясно также (по крайней мере на неформальном
уровне), что если А В или A В. и В рекурсивно, то и Л ре-
курсивно. То же верно, если слово рекурсивно заменить на «ре-
курсивно перечислимо».
Теорема о параметризации — стандартный прием при фор-
мализации сводимости одной проблемы разрешимости к другой.
При таком сведении можно следующим образом доказывать, что
какая-то проблема разрешимости неразрешима.
6.5.	Теорема (Райс [1]). Пусть & — некоторое множество
одноместных частично рекурсивных функций. Тогда множество
{е: {е} е индексов элементов рекурсивно тогда и только
тогда, когда пусто или содержит все одноместные частично
рекурсивные функции.
Доказательство. Часть тривиальна. Предположим,
что множество индексов
1 = {е\ {е}е=<&}
рекурсивно. Так как и предположения, и заключение теоремы
симметричны относительно и его дополнения, можно предпо-
лагать, что пустая функция 0 не лежит в Будем доказывать,
что — пустое множество, показав, что в противном случае мы
могли бы свести вопросы о принадлежности к К к рекурсивному
множеству /.
Поэтому предположим, вопреки нашим надеждам, что неко-
торая функция ф лежит в <&. Идея состоит в приведении к по-
ложению, когда х е К g(x) е 1, полагая {g(x)} равным ф
или 0 в зависимости от того, принадлежит х множеству К или
нет. Неформально g(x) кодирует инструкции для выполнения
следующих действий: для данного у вычислить {х} (х) и затеял
28.
ГЛ. Т. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕКУРСИИ
$(у). Формально g(x) = р(е, <х>), где
{е}(х, y) = U(pz[T(x, <х>, (г)0) A T(q, (у),
a q — индекс ф. Это дает нам /<^1/, что противоречит тому,
что I рекурсивно, а /< нет. □
Непосредственными следствиями теоремы Райса являются
следующие отрицательные утверждения: множество индексов
всюду определенных рекурсивных функций не рекурсивно; для
любой фиксированной частично рекурсивной функции f на N
множество ее индексов не рекурсивно (и, следовательно, беско-
нечно), множество {е- We конечно} не рекурсивно и т. д.
Более тонким следствием теоремы о параметризации яв-
ляется теорема о рекурсии, принадлежащая Клини [3].
6.6.	Теорема о рекурсии, (i) Для любой всюду опреде-
ленной рекурсивной функции f: N N можно найти число е,
для которого {е} = {f(e)}. 09 ДЛЯ любой частично рекурсив-
ной функции g можно найти число е такое, что {е} (j) = g(e, у)
для всех у.
Доказательство очень похоже на то, которое дают нам
«ссылающиеся на себя» предложения в теории чисел (например,
теорема 2.2.1 в главе 1 «Теории доказательств и конструктив-
ной математики»).
Доказательство. Утверждения (i) и (ii) эквивалентны.
Чтобы доказать (i), получим по теореме о параметризации всю-
ду определенную рекурсивную функцию у такую, что {у (х, £/)} =
= {{%}(//)} для любых х и у. Пусть г — индекс функции, значе-
ние которой в точке х равно f(y(x, х)), и пусть е = у{г, г). Чис-
ло е требуемое, так как
И = {у (Г, Г)} = {{г} (г)} = {f (Y (Г, Г))} = {f «
Чтобы доказать (ii), вначале получим по теореме о пара-
метризации всюду определенную рекурсивную функцию f такую,
что {f (/)} (j ) = g(t> J)- Тогда в силу (i) существует число е та-
кое, что {e}(i') = {f(e))(j) = ^(e, j). □
Используя теорему о рекурсии, дадим короткое доказатель-
ство теоремы Райса. Предположим что {а} и {Ь}	, и
определим f(x) равным Ь или а в зависимости от того, принад-
лежит х множеству I или нет. Число е с {е} = {f(e)} не может
существовать, и, следовательно, f не рекурсивна. Значит, и / не
рекурсивно.
§ 7.	Логика и теория рекурсии
Почему теория рекурсии является частью математической
логики? Если бы логики не изобрели рекурсивных функций, то
вычислители позднее все равно бы пришли к этому понятию. Но
§ 7. ЛОГИКА И ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
29
то, что именно логики изобрели рекурсивные функции, не яв-
ляется простой исторической случайностью. Существуют опре-
деленные аспекты логики, которые неизбежно приводят к поня-
тиям конструктивности и эффективности.
Основным понятием логики является понятие доказательства.
Доказательство с абстрактной точки зрения — это ряд утвержде-
ний, которые без сомнения доказывают истинность заключения
при данных истинных предположениях. Но, чтобы быть убе-
жденным в истинности заключения, доказательство должно быть
проверено другими. Поэтому должна существовать некая про-
цедура, с помощью которой посторонний человек может прове-
рить правильность доказательства, не имея при этом выдаю-
щихся способностей. Другими словами, должна быть возмож-
ность проверять правильность доказательств с помощью какой-
то эффективной процедуры. Множество доказательств должно
быть рекурсивным. Например, нельзя рассматривать любой ряд
истинных предложений арифметики как доказательство послед-
него предложения, так как мы не можем для данного предло-
жения арифметики эффективно сказать, будет ли оно истинным
или нет, потому что множество истинных предложений арифме-
тики не рекурсивно и даже не р.п. (§ 10).
Рассмотрим теперь множество всех теорем, т. е. доказуемых
предложений. Предложение о доказуемо тогда и только тогда,
когда
3d [d —- доказательство о].
Часть, заключенная в скобки, должна быть рекурсивной. Зна«
чит, множество теорем должно быть рекурсивно перечислимым.
Итак, если предполагать, что можно эффективно распознавать
правильные доказательства, то множество теорем обязано быть
рекурсивно перечислимым! Теорема Гёделя о неполноте, обсу-
ждаемая в главе 1 «Теории доказательств и конструктивной ма-
тематики», вытекает из того, что доказуемость является рекур-
сивно перечислимым свойством, тогда как истинность таковым
не является.
Чтобы быть более точным, рассмотрим некоторый язык L
первого порядка такой, например, как язык теории множеств,
имеющий конечное число нелогических символов. (В действи-
тельности можно брать и Ко нелогических символов, если их
при этом аккуратно упорядочить.) Мы вначале некоторым есте-
ственным образом припищем числа (называемые гёделевыми
номерами) выражениям языка. Это позволит нам использовать
для этих выражений понятия теории рекурсии. (С тем же
успехом мы могли бы использовать работу машин Тьюринга на
символах языка.) В действительности мы не будем делать раз-
личия между выражениями и их гёделевыми номерами. Можно
30
ГЛ. Т. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕКУРСИИ
проверить, что множество формул, как и множество предложе-
ний, рекурсивно. Теперь добавим множество А аксиом таких,
например, как аксиомы теории множеств Цермело — Френкеля
(ZF). Естественно, мы считаем, что А рекурсивно, и тогда при
проверке правильности доказательства мы сможем эффективно
отличать аксиомы от неаксиом. (К примеру, множество аксиом
ZF рекурсивно.) Для рекурсивного множества А двуместное
отношение
{(о, d): d — доказательство о из А}
рекурсивно, где доказательство понимается, как в § 4 главы 1
«Теории моделей» (на самом деле это относится к любой фор-
мальной системе из этой главы). Это не очень глубокий резуль-
тат: мы интуитивно ждали, что понятие доказательства будет
разрешимым, так что, когда все нужные концепции сделаны точ-
ными, не стоит удивляться, что данное понятие стало в действи-
тельности разрешимым. Назовем теорию рекурсивно аксиомати-
зируемой, если она задается описанным выше способом, с по-
мощью рекурсивного множества аксиом А в языке L.
7.1.	Теорема. Всякая рекурсивно аксиоматизируемая тео-
рия имеет рекурсивно перечислимое множество теорем.
Доказательство, т — теорема тогда и только тогда, ко-
гда
3d [d — доказательство т из Л],
где А — рекурсивное множество аксиом. Часть в скобках рекур-
сивна. □
Возьмем снова пример теории множеств ZF. По теореме 7.1
множество теорем теории ZF р. п. Отсюда следует, что доказуе-
мые в ZF арифметические предложения (это может быть уточ-
нено) образуют р. п. множество. Следовательно, оно не может
совпадать с множеством всех истинных арифметических пред-
ложений. Либо слишком многое является доказуемым (и тео-
рия ZF нас обманывает), либо слишком мало доказуемо.
Теперь пойдем еще дальше и предположим, что у нас есть
рекурсивно аксиоматизируемая теория, которая полна (т. е. для
любого предложения о либо о, либо (~]а) является теоремой).
Тогда можно усилить теорему 7.1: теория становится разре-
шимой.
7.2.	Теорема. Полная рекурсивно аксиоматизируемая тео-
рия имеет рекурсивное множество теорем.
Доказательство. Утверждение конечно выполняется,
если теория противоречива, так что предположим, что наша
теория непротиворечива. Допустим, что нам дано предложение о,
и мы хотим узнать, является ли оно теоремой. Мы порождаем
список всех теорем; по теореме 7.1 это возможно. В конце кон-
§ 8. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
81
цов либо о, либо (~| а) встретятся в этом списке. Когда это
случится, мы останавливаемся и даем правильный ответ. □
Теорема 7.2 является основной при доказательстве многих
результатов по разрешимости; см. главу 3. Конечно, некоторое
неудобство доставляет ограничение, связанное с тем, что этот
результат применяется лишь к полным теориям.
Собственно говоря, доказательства и вычисления являются
объектами одной природы. Вычисление (написанное со всеми
подробностями) является доказательством того, что значение
функции при данном аргументе есть данное число. А всякое до-
казательство— это вычисление какого-то значения функции, об-
ласть определения которой есть множество теорем. Это — вы-
числение в том смысле, что оно является конечной и проверяе-
мой записью, сопровождающей работу правильной процедуры.
Например, множество чисел R рекурсивно тогда и только
тогда, когда оно бинумеруемо в арифметике Пеано первого по-
рядка (см. § 3). Здесь роль вычислений на машинах Тьюринга
играют формальная дедукция, modus ponens и все, что при-
влекается для того, чтобы узнать, что данное число находится
в нашем множестве.
Сами машины Тьюринга являются отличным инструментом
решения многочисленных проблем о неразрешимости в логике.
Одним из примеров является результат Кар, Мура и Вана
[1] о том, что для любой формулы (р можно эффективно найти
V3V-формулу, которая выполнима тогда и только тогда, когда
Ф выполнима. Здесь доказательство не связано с разными син-
таксическими манипуляциями с формулой ф, а для каждой ма-
шины Тьюринга М находится V ЗУ-формула, которая выполнима
тогда и только тогда, когда М никогда не останавливается. А это
вместе с результатом предыдущего параграфа дает существо-
вание нужной редукции.
Или предположим, что мы хотим доказать, что множество
предложений, имеющих модели любой ненулевой мощности, не-
разрешимо. Можно сделать это, показав, как для данной ма-
шины Тьюринга М эффективно найти предложение, имеющее
модели любой ненулевой мощности тогда и только тогда, когда
М никогда не останавливается.
§ 8.	Степени неразрешимости
Все нерекурсивные множества имеют неразрешимые пробле-
мы разрешимости. Но некоторые из них более неразрешимы, чем
другие. В этом параграфе мы покажем, как на неразрешимых
проблемах можно ввести некоторый порядок.
Рассмотрим частичную функцию f на Л9, и пусть — неко-
торое подмножество из NN. Возможно, что мы сумеем
32
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕКУРСИИ
вычислить f, если нам будут даны оракулы для всех функций
из Называем f рекурсивной относительно SS, если существует
некоторая частично рекурсивная функция g и некоторые функ-
ции 0ь ..., 0„ из & такие, что для всех j
f(s) = g(s, Pi, •••, Pn).
Другие определения также могут быть «релятивизированы от-
носительно ^». Например, подмножество из Л9 рекурсивно от-
носительно если его характеристическая функция рекурсивна
относительно это подмножество полурекурсивно относитель-
но $, если оно есть область определения некоторой частичной
функции, рекурсивной относительно Обычно $ является мно-
жеством {р}, состоящим из одной функции р, и тогда мы гово-
рим о рекурсивности относительно Р и т. п.
Экстремальный случай = требует специального рас-
смотрения. Когда даются оракулы для всех функций из Nn,
содержание понятия рекурсивности размывается. При счетном
пространстве Л9 каждая функция рекурсивна относительно Nn.
Но для несчетного Л2 это не так. Если f рекурсивна относи-
тельно Nn, то вычисление f(a) существует, но с одним ограни-
чением: можно использовать лишь конечное количество инфор-
мации об а, т. е. должно существовать некоторое у (зависящее
от а) такое, что f(a) = f(y) для любой у, совпадающей с а на
первых у значениях. Это в точности совпадает с определением
непрерывной функции Д когда мы рассматриваем дискретную
топологию на N и топологию произведения на NN. Простран-
ство Л9 тогда также имеет топологию произведения.
8.1.	Теорема, (а) Функция на Л рекурсивна относительно
Nn тогда и только тогда, когда она непрерывна.
(б)	Подмножество из Л полурекурсивно относительно Nn
тогда и только тогда, когда оно открыто.
Все несчетные пространства Л9 гомеоморфны NN. Например,
гомеоморфизм из NN X NN на Nn отображает (а. Р) в функ-
цию, принимающую на 2х значение а(л), а на 2х + 1 значение
Р(х). A гомеоморфно множеству иррациональных чисел —
требуемое отображение осуществляется с помощью непрерывных
дробей. Таким образом, возможно дать единообразную трак-
товку топологической теории множеств иррациональных чисел,
с одной стороны, и теории рекурсии на Л9— с другой. Обе сто-
роны выигрывают от такой связи. Дальнейшие рассмотрения в
этом направлении имеются в главе 8 «Теории множеств» по де-
скриптивной теории множеств.
Но мы отклонились от нашей главной темы. Мы будем иметь
дело со специальным случаем относительной рекурсивности.
§ 8. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
33
Пусть а и р — элементы NN. Тогда, согласно нашим предыду-
щим определениям, а рекурсивна относительно р в том и только
в том случае, когда существует частично рекурсивная функ-
ция g, для которой
a(*) = gU, р).
(Хотя обе функции аир всюду определены, мы не можем
этого же требовать от функции g.) Если а рекурсивна относи-
тельно р, то мы пишем а^СгР и говорим, что а сводится по
Тьюрингу к р. Можно также работать (по существу эквивалент-
ным образом) с подмножествами множества N: скажем, что А
рекурсивно в В (пишем Д^ГВ), если характеристическая
функция множества А рекурсивна относительно характеристи-
ческой функции множества В.
8.2.	Теорема. Двуместный предикат (и на Nn, и на
^(N)) рефлексивен и транзитивен.
На неформальном уровне транзитивность соответствует
последовательной работе машин.
Как следствие предыдущей теоремы симметричный предикат
эквивалентности по Тьюрингу
а =т р тогда и только тогда, когда а Р и Р а
является отношением эквивалентности на NN. Пусть fa] — класс
эквивалентности, содержащий а. Такие классы эквивалентности
называются степенями неразрешимости. Степени частично упо-
рядочены предикатом
[а]^[р] тогда и только тогда, когда а^гр.
(Ясно, что этот предикат корректно определен на классах экви-
валентности.) На ^(N) и на Nn одни и те же структуры сте-
пеней, так как для любой а можно найти множество В, харак-
теристическая функция которого эквивалентна по Тьюрингу а.
Итак, степени неразрешимости частично упорядочены соглас-
но тому, насколько они неразрешимы. Очевидно, что существует
наименьшая степень 0, содержащая все рекурсивные функции.
Так как для любой фиксированной функции р множество
{а: а р} счетно, то каждая степень состоит из счетного мно-
жества функций. Следовательно, существует 2Л0 степеней. Дру-
гим следствием является следующее: наибольшая мощность
цепи (любого линейно упорядоченного подмножества) степеней
не больше Это заставляет предположить, что существуют
несравнимые степени. Такое предположение может быть строго
доказано (без отрицания континуум-гипотезы). Мы можем од-
новременно строить аир, некоторым образом обходя каждую
машину, которая могла бы сводить одну функцию к другой.
2 Справочная книга, ч. III
34
ГЛ. Г ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕКУРСИИ
Но в действительности верно много большее. Существует
антицепь— множество степеней, никакие две из которых не срав-
нимы, — мощности 2 . Этот результат — лишь небольшая часть
обширной информации, известной о степенях. Многое из данной
темы указано в главе 4.
Назовем степень рекурсивно перечислимой (р.п.), если она
является степенью некоторого р. п. множества. Напомним, что
множество
К = {Х: {х} (х) < оо}
— р.п., но не рекурсивное подмножество множества N. Следо-
вательно, степень /(,' обозначаемая через О', есть р. п. степень,
большая чем 0. В § 9 будет изучен вопрос о том, существуют ли
другие р.п. степени (проблема Поста).
Релятивизация перехода от 0 к К приводит нас к функции
А-+А' на ^(N). Определим скачок множества А (обозначае-
мый через А') как множество
{ж: {х}л(х)<оо},
где {х}4— частично рекурсивная относительно А функция с ин-
дексом х, т. е.
= Хл).
где хд — характеристическая функция множества А. Тогда А'
р.п. относительно А, но не рекурсивно относительно А — дока-
зательство такое же, как и для К. В действительности, реляти-
визируя доказательство соответствующего результата для К,
устанавливаем, что имеет место следующая
8.3.	Теорема, (i) Д' р.п. относительно Д, но не рекурсивно
относительно А.
(ii) В р.п. относительно А тогда и только тогда, когда
В^А'.
Таким образом, среди множеств, которые р.п. относительно
Д, скачок Д' занимает самый высокий уровень относительно од-
но-односводимости. Как следует из упомянутой выше теоремы,
операция скачка корректно определена на степенях.
8.4.	Теорема. Д В тогда и только тогда, когда Д' В'.
Это позволяет нам определить для каждой степени а ее ска-
чок а'. По теореме 8.3 имеем а < а', и мы можем продолжать:
а < а' < а" < ... В частности, не существует наибольшей сте-
пени. Итак, выше любой степени можно найти цепь порядкового
типа со. В действительности можно найти цепь, порядковый тип
которой — первый несчетный ординал; на предельных ординаль-
ных шагах мы собираем вместе некоторым систематическим об-
разом все предыдущие множества.
$ 9. КРЕАТИВНЫЕ И МЕНЬШИЕ МНОЖЕСТВА
35
§ 9.	Креативные и меньшие множества
Как отмечалось в § 7, любая рекурсивно аксиоматизируемая
теория имеет р.п. множество теорем. Таким образом, р.п. мно-
жества имеют особое значение для логики. Например, можно на-
деяться, что с помощью классификации р. п. множеств можно
получить интересную классификацию аксиоматизируемых тео-
рий. Так, разбиение р.п. множеств на рекурсивные и нерекур-
сивные множества приводит к разбиению теорий на разреши-
мые и неразрешимые. Но можно надеяться и на уточнение
такого разбиения.
Первая рассматриваемая классификация идет от степеней
неразрешимости. Далее можно исследовать уточнения, которые
появляются из других видов сводимости. Ясно, что
А В А ^.т В=^А В,
а когда мы определяем
A =i В тогда и только тогда, когда А В & В Л,
А=тВ тогда и только тогда, когда А ^тВ & В А9
отношение эквивалентности = г утончается с помощью и
далее с помощью В § 6 показано, что существует наиболь-
шая р.п. степень (степень множества К) относительно каждой
из этих сводимостей.
Но что можно сказать о других р. п. степенях? Каждая такая
степень содержит аксиоматизируемые теории.
9.1.	Теорема (Феферман [1]). Каждая р. п. степень не-
разрешимости содержит рекурсивно аксиоматизируемую теорию.
Доказательство. Для каждого числового множества А
можно образовать теорию в языке с равенством, взяв в качестве
аксиом множество
{“]е„: пе,4},
где ел — предложение «существует ровно п предметов в универ-
суме». Тогда множество теорем будет эквивалентно по Тьюрин-
гу множеству А. Если А р. п., то, конечно, и множество аксиом
р. п. Но любая теория, аксиомы которой могут быть рекурсивно
перечислимы {со, оь 02, имеет и рекурсивное множество
аксиом {(Jo, оо Л 01, со Л <?i ГЛ 02, • • •}• □
Ханф [1] показал, что эта теорема может быть усилена так,
чтобы теория была конечно аксиоматизируемой. Но эффект
этой теоремы несколько уменьшается эмпирическим наблюде-
нием, что все «естественные» р. п. теории имеют либо степень О,
либо степень О'. Доказательство, что какая-то теория Т нераз-
решима, обычно состоит в сведении проблемы остановки машины
Тьюринга к Г, и сводимость, которая здесь применяется (или •*
•*
86
ГЛ I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕКУРСИИ
может быть такой сделана), есть следовательно, такое до-
казательство показывает, что К Т. Если 7 рекурсивно аксио-
матизируема, то Т s iK.
В случаях и =т мы можем дать некоторую внутреннюю
характеризацию множеств, имеющих наивысшую р.п. степень.
Теорема 6.2 утверждает, что р. п. множество А не рекурсивно
тогда и только тогда, когда каждое р. п. подмножество его
дополнения А не совпадает с А. Эффективизируя это последнее
условие, получаем следующее определение, введенное По-
стом [2].
9.2.	Определение. Числовое множество А креативно^
если А р. п. и существует _частично рекурсивная функция f та-
кая, что как только Wx А, то f (х) е А — W*.
Функция f из этого определения называется продуктивной
функцией для А. Например, наше множество К креативно —
можно взять f(x) — x.
9.3.	Теорема (Майхилл [1]). Следующие условия для
числовых множеств эквивалентны'.
(i)	А креативно;
(ii)	А—р.п. множество, к которому сводятся все р.п.
множества;
(iii)	А—р.п. множество, к которому сводятся все р.п.
множества.
Тривиально, что (ii)->(iii), и нетрудно показать, что (iii)—*-
->(i). Основная часть состоит в доказательстве (i)->(ii). Оно
разбивается на две части: в первой показывается, что креативное
множество имеет всюду определенную одно-однозначную про-
дуктивную функцию; во второй используется некоторый вариант
теоремы о рекурсии.
Из этой теоремы следует, что обычные неразрешимые аксио-
матизируемые теории такие, как арифметика Пеано первого по-
рядку, имеют креативное множество теорем.
Имеется еще один вопрос: что (если есть) лежит между ре-
курсивными и креативными множествами? Для сводимостей
и существование промежуточных множеств было доказано
Постом [2]. Он заметил, что креативное множество должно
иметь очень богатое дополнение, и предложил конструкцию
множеств с бедными дополнениями. Назовем р. п. множество S
простым, если S бесконечно, но не содержит ни одного беско-
нечного р. п. подмножества.
9.4.	Теорема (Пост [2]). Простые множества суще-
ствуют.
Доказательство. Вообразим некоторый фиксированный
метод перечисления всех р. п. множеств. Для каждого п будем
класть в 5 первое из встретившихся (если такое будет) чисел
из Wnf которое больше, чем 2п. Тогда S р. л., S пересекает ка-
§ 10 ОПРЕДЕЛИМОСТЬ И РЕКУРСИЯ
37
ждое бесконечное р. п. множество, но S содержит самое боль-
шее п штук из первых 2п + 1 чисел. □
Очевидно, что простое множество не рекурсивно. Также лег-
ко построить бесконечное р. п. множество в дополнении к лю-
бому креативному множеству; таким образом, простое множе-
ство не может быть креативным. Итак, последняя теорема
устанавливает существование р. п. множеств промежуточных
степеней относительно = т и =ч. «Проблема Поста» — это сле-
дующий вопрос: существуют ли р. п. множества, имеющие тью-
рингову степень между 0 и О'? На этот вопрос нельзя ответить
с помощью простых множеств: они могут иметь степень О'. Пост
надеялся, что, накладывая еще более сильные требования на 5,
он сможет вынудить S иметь промежуточную степень неразре-
шимости. Этот подход оказался безуспешным*). Наконец в
1956 г. (через два года после смерти Поста) проблема была
одновременно и независимо решена Фридбергом (в его дип-
ломной работе в Гарварде и в статье: Фридберг [1]) и Муч-
ником [1] в Советском Союзе. Они показали, что промежу-
точные р. п. степени действительно существуют и в большом
количестве. Их метод доказательства был назван «методом при-
оритета». В широком смысле этот метод состоит в конструкции,
при которой нужно удовлетворить бесконечно много требова-
ний. Но некоторые из этих требований конфликтуют с другими,
по этой причине на различных шагах конструкции должны
удовлетворяться требования высшего приоритета, причем мы до-
пускаем, что требования более низкого приоритета будут нару-
шаться. Если все будет хорошо, то в конце каждое требование
получит достаточно внимания, чтобы конструкция была
успешной.
С 1956 г. р.п. степени широко изучаются. Мы приведем здесь
только две теоремы, обе принадлежащие Саксу [1], [2]. Р.п.
степени плотны, т. е. если а <Zc, то .а <Ъ < с для некоторой
третьей р. п. степени Ъ. Любой счетный частичный порядок мо-
жет быть вложен в частичный порядок р. п. степеней. (Для этого
достаточно вложить некоторую счетную безатомную булеву ал-
гебру— как частичный порядок — в р.п. степени.)
§ 10.	Определимость и рекурсия
Математика, как это всегда и было, в большей своей части
является наукой об измерении. Но при этом «измерение» долж-
но истолковываться не просто как измерение рулеткой. Род
*) Удачный пример успешного результата, связанного с данным подхо-
дом Поста, имеется в статье: Марченков С. С. Об одном классе непол-
ных множеств. — Матем. заметки, 1976, 20, с. 473—478. — Прим, ред.
38
ГЛ. Т. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕКУРСИИ
топологической фигуры измеряет один из ее аспектов, объекты
нулевого рода в некотором смысле проще объектов более высо-
кого рода. В математике существуют много единиц измерения и
они имеют много имен: характеристика, степень трансцендент-
ности, мощность, фундаментальная группа и т. д. Время от вре-
мени мы так преуспеваем в искусстве измерения, что можем
полностью охарактеризовать какой-то объект (по крайней мере
в рамках некоторого понятия изоморфизма), указывая, так ска-
зать, его широту и долготу, т. е. его измерения в подходящих
единицах.
Обычно измеряемые значения в конкретных единицах могут
быть упорядочены или по крайней мере частично упорядочены.
Это приводит тогда к упорядочению самих измеряемых объек-
тов в зависимости от большего или меньшего значения измере-
ния для данного объекта.
Теперь рассмотрим случай, когда измеряются множества на-
туральных чисел. Этот случай не так специален, как это могло
показаться, так как он применяется ко всему, что может быть
закодировано с помощью числовых множеств, как, например,
формальные языки (множество строчек символов). Прежде
всего, мы имеем двузначное измерение: числовое множество мо-
жет быть рекурсивным или нерекурсивным. Например, множе-
ство простых чисел рекурсивно, а множества теорем теории мно-
жеств или теории групп, подходящим образом закодированные,
не рекурсивны. Существует счетное число рекурсивных мно-
жеств; следовательно, почти все множества (при обычной мере
на ^(N)) не рекурсивны.
Степени неразрешимости составляют одну из шкал измере-
ний, указывающую, как далеко множество отстоит от того, чтобы
быть рекурсивным. Но степени сами расположены не очень хо-
рошо и лишь небольшое число хорошо видимых отметок помо-
гает нам найти наше направление.
Шкалой измерений, которая изучается в этом параграфе, яв-
ляется определимость. Она применима в настоящем контексте
к множествам, определимым в системе 91 = <N, О, S, +, •> фор-
мулами логики первого или второго, порядка. Для каждого на-
турального числа п пусть п будет соответствующей цифрой в
формальном языке для 91. Скажем, что формула ф(х) с одной
свободной переменной х определяет А в 91, если для каждого п
п е А «-> 311= <р (п)
(это понятие из главы 1 «Теории моделей»). Следовательно, А
состоит в точности из тех чисел, которые делают ф истинной
в 91. Для A-местного предиката используется формула ф(*ь ...
х*) с несколькими свободными переменными.
§ 10 ОПРЕДЕЛИМОСТЬ И РЕКУРСИЯ
39
Очевидно, что лишь счетное число множеств определимо.
С помощью диагонализации можно привести искусственный
пример неопределимого множества. Однако среди Ко опреде-
лимых множеств в $ находятся наиболее интересные числовые
множества. В конце концов, если мы интересуемся множе-
ством А, то, возможно, мы знаем, что такое Д, и, возможно, это
знание можно формализовать и получить определение Д в 91.
Если некоторое множество определимо в 91, то мы хотим
иметь какую-то меру, указывающую, как оно определимо. Для
начала, назовем множество арифметическим, если оно опреде-
лимо в 91 с помощью формулы логики первого порядка, и ана-
литическим, если оно определимо с помощью формулы логики
второго порядка. Арифметические множества составляют под-
класс аналитических множеств, и в этом подклассе находятся
множества, определимые проще, чем множества, лежащие в до-
полнении этого подкласса.
Внутри класса арифметических (или аналитических) мно-
жеств можно интересоваться более тонкими мерами, которые
указывают, как именно данное множество определено. Напри-
мер, мы могли бы использовать в качестве меры длину самой
короткой определяющей формулы или число кванторов. Но, что-
бы получить какую-нибудь существенно важную меру, нужно
проявить некоторую осторожность.
Например, возведение в степень (как трехместный предикат)
определим в 91, но нелегко найти определяющую формулу, и вся-
кая такая формула будет достаточно длинна. Даже наше реше-
ние о включении в 91 сложения и умножения и невключении
возведения в степень было довольно произвольным. Мы хотим
иметь меру, свободную от таких произвольных выборов. По
этой причине мы решаем измерять «определимость по модулю
рекурсивности». Имеется теорема, по существу принадлежащая
Гёделю [1].
10.1.	Теорема. Каждый рекурсивный предикат на N яв-
ляется арифметическим.
Доказательство использует технику § 4 по переводу утвер-
ждений о машинах Тьюринга в утверждения о числах. При этом
необходимо иметь арифметический способ кодирования последо-
вательности чисел в одно число. Китайская теорема об остатках
дает такой метод.
Из этой теоремы далее следует, что р. п. предикаты на N так-
же арифметические, так как определяющая формула для
{х: 3yR{x, у)} требует только один дополнительный квантор по
сравнению с определяющей формулой для R, и дополнения р.п.
предикатов арифметические и т. д.
Перед тем как более систематически изучать «и т. д.», мы
хотим заметить, что сейчас можно доказать неразрешимость
40
ГЛ Т ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕКУРСИИ
теории чисел. Пусть Т — множество предложений, истинных в Э1,
подходящим образом закодированных числами. Множество К
арифметическое и для некоторой формулы Ф имеем хе К
<-^(р(х)е7. Но отсюда следует, что К Т и, следовательно,
Т не может быть рекурсивным. Вскоре мы увидим, что моди-
фикация такого рассуждения покажет нам, что Т даже не ариф-
метическое.
Возвращаясь к определимости, заметим, что другим след-
ствием теоремы 10.1 является то, что арифметические преди-
каты на N — это в точности те предикаты, которые определимы
в системе с основным множеством N и со всеми рекурсивными
предикатами. Это — естественная система, в которой измеряется
определимость по модулю рекурсивности. Любой предикат, опре-
делимый в этой системе, является определимым и с помощью
формулы, находящейся в пренексной форме. Мы будем исполь-
зовать число перемен между квантором всеобщности и кванто-
рами существования в этой пренексной форме как некоторую
меру определимости.
Можно формулировать эти идеи следующим образом и для
произвольного пространства Л9. Пусть По — класс рекурсивных
предикатов. Определим S^+i как класс всех проекций Пл-преди-
катов; здесь Р называется проекцией /?, если
P = {j: 3z/i .. 3ytR(yi, .... yh ?)}.
Таким образом, если	ап)-местный предикат, то
Р— (й, т)-местный предикат. Здесь допускаются проекции лишь
по числовым, а не по функциональным осям. Чтобы определение
было полным, положим Пи — класс дополнений предикатов из
Эквивалентное определение и Пл может быть сформули-
ровано, по крайней мере для счетного Л9, в терминах системы Э?
с основным множеством N и со всеми рекурсивными предика-
тами. Предикат принадлежит Sn+i тогда и только тогда, когда
он определим в Э? формулой, в пренексной форме которой
имеется п перемен между кванторами всеобщности и кванто-
рами существования, а самый внешний квантор — квантор су-
ществования. Для Пп+i можно дать аналогичное определение,
лишь сказав, что самый внешний квантор — квантор всеобщно-
сти. (Для несчетных Л9 аналогичные определения также воз-
можны, нужно лишь побеспокоиться о функциональных пе-
ременных. Мы должны допускать формулы, выражающие
а(х) = у.)
Хотя мы умышленно перешли от системы 51 к Ш, но, как было
доказано в 1970 г., все, что написано в предыдущем абзаце,
остается правильным, если заменить Я? на 31. Теорема Матиясе-
вича, которая решает (или, лучше сказать, не решает) 10-ю про-
§ 10. ОПРЕДЕЛИМОСТЬ И РЕКУРСИЯ
41
блему Г ильберта, показывает, что всякое числовое р. п. множе-
ство может быть представлено в виде
{у: Эх(р(х, y) = q(x, у))},
где xeN\ а р и q — многочлены над N. Подробно об этой тео-
реме написано в главе 2.
Возвращаясь к арифметической иерархии, удобно определить
также класс
= ^п. А пп,
когда 1. Например, из теоремы 6.2 следует, что Ai — класс
рекурсивных предикатов, поскольку Si — класс полурекурсив-
ных предикатов, а П1 — класс дополнений полурекурсивных пре-
дикатов. Используя фиктивные кванторы, легко доказать сле-
дующие включения:
Класс арифметических предикатов является объединением всех
этих классов. Все включения, указанные выше, собственные.
Это получается из следующей теоремы об иерархии, принадле-
жащей Клини [4].
10.2.	Теорема. Для всех k, т и п\
(i)	Существует (k + 1, пг)-местный предикат из Sn+i, являю-
щийся универсальным для всех (k, tn) -местных предикатов из
Sn+1 (г. е. каждый (k, пг)-местный предикат получается фикси-
рованием первой числовой переменной как параметра).
(ii)	Существует (k, пг)-местный предикат из Srt+i, не лежа-
щий в Пп+ь
Утверждение (ii) следует из утверждения (i), если приме-
нить диагонализацию; утверждение (i) следует из теоремы о
нормальной форме.
Легко видеть, что классы Sn и Пл замкнуты относительно
много-односводимости. Они не замкнуты относительно сводимо-
сти по Тьюрингу, так как каждое числовое множество рекур-
сивно в своем дополнении.
Можно теперь обобщить наше доказательство, что множе-
ство Т предложений, истинных в 91, не рекурсивно, показав, что
Т не арифметическое. Вместо К берем подмножество А множе-
ства N, лежащее в Sn+i, но не лежащее в Пп+i Тогда, как и
раньше, A Т, следовательно, Т не может лежать в Щ+ь Так
как п произвольно, то Т не может быт> арифметическим.
42
ГЛ. Т. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕКУРСИИ
Можно рассматривать вместе арифметическую иерархию и
операцию скачка на степенях неразрешимости и тем самым свя?
зать понятие определимости с понятиями § 8. Операция скачка
была там описана с помощью квантора существования, который
соответствует проекции предикатов. Такой ход 'мысли приводит
в итоге к следующей теореме, которая доказывается итерацией
теоремы 8.3 (ii). Пусть 0(п)— результат n-кратного применения
операции скачка к 0.
10.3.	т еорема (Пост [3]). Подмножество множества N
лежит в 2n+i тогда и только тогда, когда оно р. п. относительно
0{п) (а это выполняется тогда и только тогда, когда оно одно-
односводимо к 0n+1. Подмножество множества N лежит в An+i
тогда и только тогда, когда оно рекурсивно относительно 0(п).
Напомним, что аналитические множества — это те множе-
ства, которые определимы в 91 формулами логики второго по-
рядка. Как и в арифметической иерархии, можно использовать
число перемен между кванторами всеобщности и кванторами
существования (здесь квантификация по функциональным пере-
менным) как некоторую меру определимости. Пусть
So = По = класс арифметических предикатов.
Определим si+i как класс всех проекций предикатов из П*
вдоль функциональных осей. Таким образом, предикат из Si+i
имеет вид
{£: Эси ... 3az/?(j, ab ..., az)},
где R лежит в ni. Определим П„ как класс дополнений пре-
дикатов из Si, а Ai = Si П П^.
Простейшие факты об арифметической иерархии могут быть
обобщены на аналитическую иерархию. Имеем включения;
И здесь все включения собственные, так как соответствующая
теорема об иерархии доказывается аналогично теореме 10.2.
Данные классы в аналитической иерархии обладают более
сильными замкнутыми свойствами, чем их аналоги в арифме-
тической иерархии. Это иллюстрирует теорема 10.4, являющаяся
количественным вариантом транзитивности определимости. Клас-
сы S„ и Si’ определяются аналогично с заменой рекурсивности
на релятивизированное понятие рекурсивности относительно р.
§ 10. ОПРЕДЕЛИМОСТЬ И РЕКУРСИЯ
43
10.4.	Теор е м а о транзитивности. Допустим, что
S£<=:N U 0SNN.
(1)	1 & Р €= Ап+1 =ф S: Sm+n+l>
(ii)	si <= Sj/ & ₽ e= An =ф si «= Smax (m, «)•
Утверждение (i) доказывается непосредственно. Доказательство
утверждения (ii), принадлежащее Шенфилду [2], начинается
с записи
jg=^<->3y[y = ₽AQ(s, y)L
где Q лежит в SL Далее выражение справа приводится к пре-
нексной форме. Утверждение (ii) мешает выполняться в анали-
тической иерархии каким-либо аналогам теоремы Поста (тео-
рема 10.3).
Какие множества лежат в А}? Ключ к разгадке доставляет-
ся дескриптивной теорией множеств. Когда мы релятивизируем
относительно NN понятие рекурсивности, Si становится классом
проекций борелевских множеств конечного ранга. Это и есть
аналитические или A-множества дескриптивной теории мно-
жеств. Теорема Суслина [1] показывает, что множество ц его
дополнение являются одновременно аналитическими тогда и
только тогда, когда само множество является борелевским. Это
подсказывает, по аналогии, что А} состоит из множеств, полу-
чаемых обобщением арифметической иерархии по трансфини-
там. Это действительно так: такая иерархия называется гипер-
арифметической иерархией. Она может быть построена с
помощью подходящей итерации операции скачка по всем орди-
налам, являющимся «рекурсивно счетными» в том смысле, что
они являются порядковыми типами некоторых рекурсивных пол-
ных порядков на числах.
Вопрос о локализации данного множества в этих иерархиях
сводится к двум задачам. Первая — прямое доказательство
того, что данное множество принадлежит, скажем, S2 (это обыч-
но делается легко). Затем обратная задача — показать, что это
наилучший возможный результат, доказав, что данное множе-
ство не принадлежит двойственному классу П2. Возьмем, на-
пример, подмножество R из MN, состоящее из всюду определен-
ных рекурсивных функций из N в N. Тогда /? <= S3, потому что
а е= /? «- > ЭеЧхЗу [Т (е, <х), у) A U (у) = а (х)],
а выражение в скобках рекурсивно. Шенфилд [1] показал,
что R не лежит в П3.
Мы уже видели, что множество истинных в арифметике пред-
ложений не арифметическое. В гиперарифметической иерархии
44
ГЛ. Т. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕКУРСИИ
это множество находится на уровне со. Это значительно
уточняет теорему Гёделя о неполноте, которая утверждает, что
это множество не р. п. Но рассмотрим характеристическую
функцию т множества истинных предложений. Тогда множество
{т}, как подмножество NN, лежит в П2. Чтобы доказать это,
нужно внимательно посмотреть на определение выполнимости
в SR (определение 3.8 из главы 1 «Теории моделей»). Это опре-
деление, рассматриваемое как условие на т, является П2-утвер-
ждением, которое истинно только над и ни на чем больше. Так
как {т} лежит в П2, то легко заметить, что предикат истинности
лежит в А}:
s— истина <=> Va [а е {т}->а(.$) = 1]
оЭа[ае {т} Aa(s) = 1].
Класс полных порядков на N может быть отождествлен с
подмножеством из NN, а именно
{asNN: {(х, у): а((х, г/)) = 0} вполне упорядочивает N}.
Легко видеть, что это множество лежит в П}; мы просто запи-
сываем это определение и считаем кванторы. Это множество не
лежит в S}; в действительности оно даже не является Д-множе-
ством, как утверждает один классический результат.
§ 11.	Рекурсивные аналоги классических объектов
Рекурсивные функции — это в точности те функции, для
которых мы фактически можем выписать вычисляющие их про-
граммы; другие же функции скользки и неуловимы Если кто-то
хочет подойти к математике с конструктивной точки зрения, то
рекурсивные функции для него имеют более твердый онтологи-
ческий статус, чем другие функции. В принципе можно смот-
реть на математический объект (в качестве примеров будет рас-
смотрено множество счетных ординалов и множество действи-
тельных чисел) с конструктивной точки зрения и извлечь ту его
часть, которая достаточно конструктивна, чтобы быть рассмат-
риваемой в теории рекурсии. Затем эта рекурсивная часть мо-
жет быть рассмотрена как рекурсивный аналог оригинала.
В качестве предварительного примера рассмотрим, до какой
степени семейство R всюду определенных рекурсивных функций
на N аналогично семейству MN всех функций на N. Имеется
очевидное различие их мощностей — Nn несчетно, в то время
как существует лишь счетное число рекурсивных функций. Но
полная аналогия с несчетностью NN должна говорить о том, что
не существует рекурсивного одно-однозначного соответствия
§ П. РЕКУРСИВНЫЕ АНАЛОГИ КЛАССИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
45
между натуральными числами и индексами всюду определенных
рекурсивных функций. Следующий простой результат есть одна
из форм этого явления.
11.1.	Теор ем а. Не существует всюду определенной рекур-
сивной функции [ на N такой, что {{f(n)}: zieN} совпадает со
всем семейством R всюду определенных рекурсивных функций.
Доказательство. Как и при доказательстве несчет-
ности NN, мы используем диагонализацию. Равенство g(x) —
= {f(x)}(x) + 1 задает всюду определенную рекурсивную функ-
цию g, которую f пропускает. Существует и другое доказатель-
ство, дающее больше количественной информации. Из того
(см. § 10), что R не лежит в П3, заключаем, что не может быть
никакого Ег-множества А такого, что R = {{х}: хе/1}. □
Операции сложения, умножения и композиции функций при-
менимы как в R, так и в NN. Но с рекурсивной точки зрения
нужна и некоторая дополнительная информация: нужно иметь
возможность по данным индексам функций f и g эффективно
находить индексы для f + g, f-g и fog. Чтобы доказать, что это
действительно можно сделать, заметим, например, что {x}(z) +
+ {у} (г) является частично рекурсивной функцией от х, у и г,
и применим теорему о параметризации.
Резюмируя все сказанное, можно считать, что операции сло-
жения, умножения и композиции функций «эффективны на ин-
дексах». Другими словами, каждая из наших функций имеет
индексы, их обозначающие, а операции над функциями инду-
цируются операциями на индексах, оказывающимися в данном
случае рекурсивными операциями. К этому явлению мы будем
постоянно возвращаться в последующих примерах: конструк-
тивные элементы классических объектов появляются вместе с
номерами, их обозначающими; эффективные операции должны
работать с этими именами.
Чтобы найти более сложный пример рекурсивного аналога
некоторого классического объекта, возьмем (как классический
объект) множество счетных ординалов. Зная, что ординальные
числа полезны в трансфинитных конструкциях (таких, как
борелевская иерархия), мы не будем сильно удивлены, обнару-
жив, что некоторый рекурсивный аналог будет полезен в транс-
финитных конструкциях в теории рекурсии (таких, как гипер-
арифметическая иерархия, упомянутая в предыдущем пара-
графе).
Не слишком богатый аналог дается множеством
U7 —{х: {х}2’0 кодирует полный порядок},
где то, что f кодирует полный порядок, означает, что f—всюду
определенная функция из N X N в {0, 1}, а {(х, у): f (х, у) = 0} —
46
ГЛ. Т. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕКУРСИИ
полный порядок на N. Короче, мы считаем множество № мно-
жеством рекурсивных полных порядков. Для х в W полагаем
||х||—ординал соответствующего полного порядка. Так как на-
чальный отрезок любого рекурсивного полного порядка является
другим полным порядком, то множество {||х||: x^W} есть на-
чальный отрезок множества всех счетных ординалов. Наимень-
шая верхняя грань этого множества будет называться «рекур-
сивным (01». Хотя рекурсивный coi счетен, это первый ординал,
который не является рекурсивно счетным.
К сожалению, множество W имеет и некоторые недостатки,
которые ослабляют его применения. Например, для данного х
в W мы не можем эффективно сказать, будет ли ||х|| последо-
вателем. Даже если он и является последователем, мы не мо-
жем эффективно найти элемент W, обозначающий предшествен-
ника ||х||.
Более качественный аналог дается системой ординальных
обозначений, введенной Клини [3]. Множество О построено
снизу не так, как №. Мы дадим одно индуктивное определение
для множества О, двуместного предиката <о и отображения
хь->|х| из О в ординалы (наше определение лишь слегка от-
личается от данного Клини).
(i)	1 е О и 111 = 0; 1 — единственное число, обозначающее
ординал 0.
(ii)	Если хеО, то 2хеО, х<о2х и |2х| = |х|+1. Этот
шаг связан с получением последователя.
(iii)	Если х <о у <о z, то х <0 z. Предикат <0 окажется ча-
стичным полным порядком на О.
(iv)	Если {е}—всюду определенная возрастающая последо-
вательность обозначений (т. е. {е}:	и {е}(п)<о {е}(п+1)
для каждого п), то 3-5*еО, {e}(n)<03-5e для каждого п и
13-5е| = sup {| {е} (п) |: пе N}.
Это индуктивное определение приписывает обозначения на-
чальному отрезку {|х| :хеО} счетных ординалов. И снова наи-
меньший ординал, не получившиц обозначения, — это рекурсив-
ный соь В действительности существует несколько других путей
характеризации рекурсивного соь это есть наименьший ординал,
не являющийся порядковым типом ни для какого Si-полного по-
рядка на числах или же это есть наименьший допустимый орди-
нал после со (в смысле главы 5).
Как последний пример рекурсивного аналога рассмотрим ре-
курсивные действительные числа. К этому понятию впервые об-
ратился Тьюринг [1]; более поздние упоминания находятся
у Райса [2]. Любое действительное число может быть аппро-
ксимировано рациональными числами, но мы хотим выделить
такие числа, для которых можно указать эффективную рацио-
9 IT. РЕКУРСИВНЫЕ АНАЛОГИ КЛАССИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
47
нальную аппроксимацию с хорошей оценкой ошибки. Эти чис-
ла— самые действительные из действительных.
Точно так же как существует несколько путей построения
действительных чисел из рациональных, существует и несколько
эквивалентных путей уточнения понятия рекурсивных действи-
тельных чисел. Например, мы могли бы потребовать, чтобы
двоичная запись дробной части числа задавалась с помощью
рекурсивной функции. Эквивалентно, мы могли бы приспосо-
бить конструкцию последовательностей Коши. Для каждого на-
турального числа п рассмотрим рациональное число г(п) =
= ((^)о —(n)i)/((n)2 + 1). Скажем, что е обозначает рекур-
сивное действительное число, если {е} всюду определена, и как
только т > п, то
I г ({£?} (п)) — г ({<?} (m)) I < 4г •
Существенной особенностью обоих определений является то, что
мы эффективно указываем верхние и нижние рациональные гра-
ницы, сходящиеся к этому числу.
Рекурсивные действительные числа образуют поле, так как
для х=£ 0 мы можем указать рациональные границы одного
знака, которые затем могут быть преобразованы в рациональ-
ные границы для 1/х. (Но, даже если е обозначает рекурсивное
действительное число, не существует эффективного пути реше-
ния, будет это число нулем или нет.) Здесь доказано не только
то, что у нас получается поле, — алгебраические операции яв-
ляются «эффективными на индексах»; например, существует
рекурсивная функция f такая, что если а и b обозначают ре-
курсивные действительные числа, то f(a,b) обозначает их сумму.
Все алгебраические действительные числа рекурсивны. Не-
трудно доказать, что рекурсивные действительные числа обра-
зуют вещественно замкнутое упорядоченное поле, т. е. упорядо-
ченное поле, в котором любой многочлен, изменяющий знак,
имеет промежуточный корень. Следовательно, результат при-
соединения к этому полю является алгебраически зам-
кнутым полем (см. Ван дер Варден [1], § 70). Далее, по
теореме Тарского поле рекурсивных действительных чисел эле-
ментарно эквивалентно полю всех действительных чисел (см.
главу 2 «Теории моделей»).
Вместе с алгебраическими числами и некоторые трансцен-
дентные числа, например е и л, рекурсивны, так как существуют
хорошо известные методы получения сходящихся верхних и ниж-
них рациональных граней.
Рекурсивные действительные числа не так хороши для анали-
тиков, как для алгебраистов. Следующий пример встречается у
Райса [2]; см. также Шпекер [1]. Начнем с нерекурсивного
48
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕКУРСИИ
р. п. множества /С Существует одно-однозначная всюду опре-
деленная рекурсивная функция f, область значений которой
есть К (можно считать, что f(n) есть (п + 1)-е число, появляю-
щееся в бесповторном эффективном перечислении К). Рас-
смотрим множество рациональных чисел:
2f(°) ’	2f(0)	2f(1) ’	2f(0) ~ 2H1)	2f(2) ’ * **
Это ограниченное рекурсивное множество рациональных чисел.
Но его наименьшая верхняя грань (которая является единствен-
ной предельной точкой этого множества) не является рекур-
сивным действительным числом, иначе К было бы рекурсивным.
Наконец, рассмотрим аналог функций действительной пере-
менной. Функция F из .множества рекурсивных действительных
чисел в это же множество называется рекурсивным оператором,
если существует частично рекурсивная функция f такая, что как
только е обозначает рекурсивное действительное число, то f(e)
определено и обозначает F(x). Таким образом, f моделирует F,
работая на индексах. Мы приведем без доказательства следую-
щий результат.
11.2.	Теорема (Крайзел, Лакомб и Шенфилд [1],
Ц е й т и н [1]). Каждый рекурсивный оператор непрерывен. Бо-
лее того, для любого данного е, обозначающего рекурсивное
действительное число, и положительного рационального числа &
эффективно находится требуемое S.
ЛИТЕРАТУРА
Блюм (Blum М.)
1. A machine-independent theory of the complexity of recursive functions.—
J. Assoc. Comput Mach., 1967, 14, p. 322—336. [Русский перевод:
Блюм M. Машинно-независимая теория сложности рекурсивных
функций. — В кн.: Проблемы математической логики. М.: Мир, 1970,
с. 401—422.]
Бреди (Brady А. Н.)
1. The conjectured highest scoring machines for Rado’s 2(6) for the value
k = 4.— IEEE Trans. Computers, 1966, EC-15, p. 802—803.
2. The solution to Rado’s «busy beaver game» is now decided for k = 4
(Abstract). — Notices Amer. Math. Soc., 1975, 22, p. A-25.
В а'н дер Варден (van der Waerden B. L.)
1. Modern Algebra. — Vol. I. — Revised English ed. — N. Y.: Frederick Un-
gar, 1953. [Русский перевод: ван дер Варден Б. Л. Алгебра.—
М.: Наука, 1979.]
Гёдель (Godel К.)
1. Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und ver-
wandter Systeme, I. — Monatsh. Math. Phys., 1931, 38, S. 173—198.
2. On undecidable propositions of formal mathematical systems. — In: The
Undecidable; Basic Papers on Undecidable Propositions, Unsolvable
Problems and Computable Functions. Hewlett, N. Y.: Raven Press, 1965,
p. 41—71.
ЛИТЕРАТУРА
49
Грин (Green М. W.)
1. A lower bound on Rado’s sigma function for binary Turing machines. —
In: Switching Circuit Theory and Logical Design: Proc, of the fifth an-
nual symposium, The Institute of Electrical and Electronics Engineers,
1964, p. 91—94.
Девис (Davis M.)
1. Computability and Unsolvability. — N. Y.: McGraw-Hill, 1958.
Кар, Мур, Ван (Kahr A. S., Moore E. F., Wang H.)
1. Entscheidungsproblem reduced to the V3V case. — Proc. Nat. Acad.
Sci. USA, 1962, 48, p. 365—377.
Клини (Kleene S. C.)
1.	General recursive functions of natural numbers. — Math. Ann., 1936, 112,
p. 727—742
2.	A,-definability and recursiveness. — Duke Math. J., 1936, 2, p. 340—353
3.	On notation for ordinal numbers.—J. Symbolic Logic, 1938, 3, p. 150—155.
4.	Recursive predicates and quantifiers. — Trans. Amer. Math. Soc., 1943,
53, p. 41—73.
5.	Introduction to Metamathematics. — Amsterdam: North-Holland, 1952.
[Русский перевод: Клини С. К. Введение в метаматематику. — М.:
ИЛ, 1957.]
Крайзел, Лакомб и Шенфилд (Kreisel G., Lacombe D., Shoen-
field J. R.)
1. Partial recursive functionals and effective operations. — In: Constructiv-
ity in Mathematics: Proc, of the colloqium held at Amsterdam, 1957.
Amsterdam: North-Holland, 1957, p. 290—297.
Лин и Радо (Lin S., Rado T.)
1. Computer studies of Turing machine problems. — J. Assoc. Comput.
Mach., 1965, 12, p. 196—212.
Майхилл (Myhill J.)
1. Creative sets. — Z. math. Logik Grundl. Math., 1955, 1, p. 97—108.
Матиясевич Ю. В.
1.	Диофантовость перечислимых множеств. — ДАН СССР, 1970, 191ч
с. 279—282.
Мучник А. А.
1.	Неразрешимость проблемы сводимости теории алгоритмов. — ДАН
СССР, 1956, 108, с. 194—197.
Пост (Post Е. L.)
1.	Finite combinatory processes — formulation I. — J. Symbolic Logic, 1936,
1, p. 103—105 [Русский перевод: Пост Э. Конечные комбинаторные
процессы, формулировка 1. — В кн.: Успенский В. А. Машина По-
ста. М.: Наука, 1979, с. 89—95.]
2.	Recursively enumerable sets of positive integers and their decision pro-
blems. — Bull Amer Math. Soc., 1944, 50, p. 284—316.
3.	Degrees of recursive unsolvability (Abstract). — Bull. Amer. Math. Soc.,
1948, 54, p. 641—642.
Рабин (Rabin M. O.)
1. Degree of difficulty of computing a function and a partial ordering of
recursive sets. — Jerusalem: Hebrew University, 1960, technical report
№ 2.
Радо (Rado T.)
1. On non-computable functions. — Bell System Tech. J., 1962, 41, p. 877—
884.
Райс (Rice H. G.)
1 Classes of recursively enumerable sets and their decision problems. —
Trans Amer. Math. Soc., 1953, 74, p. 358—366.
2. Recursive real numbers. — Proc. Amer. Math. Soc., 1954, 5, p. 784—
791.
50
ГЛ. Т. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕКУРСИИ
Роджерс (Rogers Н., Jr.)
1. Theory of Recursive Functions and Effective Computability — N. Y.?
McGraw Hill, 1967 [Русский перевод: Роджерс X. Теория рекурсив-
ных функций и эффективная вычислимость. — М.: Мир, 1972.]
Сакс (Sacks G Е.)
1. Degrees of Unsolvability. — Princeton, N. J.: Princeton University Press,
1963.
2. The recursively enumerable degrees are dense. — Ann. Math., 1964, 80,
p. 300—312.
Суслин M. Я.
1. Sur une definition des ensembles mesurables В sans nombres transfl-
nis. — C. r. Acad. Sci. Paris, 1917, 164, p. 88—91.
Тьюринг (Turing A. M.)
1. On computable numbers with an application to the Entscheidungs-
problem — Proc. London Math. Soc., Ser. 2, 1936, 42, p. 230—265.
2. Systems of logic based on ordinals. — Proc. London Math. Soc., Ser. 2,
1939, 45, p. 161—228.
Феферман (Feferman S.)
1. Degrees of unsolvability associated with formalized theories. — J. Sym-
bolic Logic, 1957, 22, p. 161 — 175.
Фридберг (Friedberg R. M.)
1. Two recursively enumerable sets of incomparable degrees of unsolvabi-
lity (solution of Post’s problem, 1944). — Proc. Nat. Acad. Sci. USA,
1957, 43, p. 236—238.
X а н ф (Hanf W.)
1. Model-theoretic methods in the study of elementary logic. — In: The
Theory of Models: Proc, of the 1963 International Symposium at Berke-
ley. Amsterdam: North-Holland, 1965, p. 132—145.
Ц e й т и н Г. C.
1. Алгоритмические операторы в конструктивно полных отделимых мет-
рических пространствах. — ДАН СССР, 1959, 128, с. 49—52.
Чёрч (Church А.)
1. An unsolvable problem of elementary number theory (Abstract). — Bull.
Amer. Math. Soc., 1935, 41, p. 332—333.
2. An unsolvable problem of elementary number theory. — Amer. J. Math..
1936, 58, p. 345—363.
Шенфилд (Shoenfield J. R.)
1.	The class of recursive functions — Proc. Amer. Math. Soc., 1958, 9,
p. 690—692.
2.	The form of the negation of a predicate. — In: Recursive Function
Theory/Ed. by J. Dekker. Providence (Rhode Island): Amer. Math. Soc.,
1962, p. 131—134.
3.	Mathematical Logic. — Reading (Mass.): Addison-Wesley, 1967. [Рус-
ский перевод: Шенфилд Дж Математическая логика. — М.: Наука,
1975.]
4.	Degrees of Unsolvability. — Amsterdam: North-Holland, 1971. [Русский
перевод: Шенфилд Дж. Степени неразрешимости. — М.: Наука,
1977.]
Ш п е к е р (Specker Е.)
1. Nicht konstruktiv beweisbare Satze der Analysis. — J. Symbolic Logic,
1949, 14, p. 145—158
Я с у x a p a (Yasuhara A.)
1. Recursive function theory and logic.— N. Y.: Academic Press, 1971.
Глава 2
НЕРАЗРЕШИМЫЕ ПРОБЛЕМЫ
Мартин Девис
СОДЕРЖАНИЕ
Введение.......................................................51
§ 1.	Снова о проблеме остановки .	. ...........................52
§ 2.	Полутуэвские процессы.....................................55
§ 3.	Полугруппы и группы.......................................58
§ 4.	Другие комбинаторные проблемы .	 63
§ 5.	Диофантовы уравнения..................................... 67
Литература.....................................................75
Введение
Многие важные математические проблемы имеют вид: найти
алгоритм (т. е. эффективную процедуру), с помощью которой
можно определять (за конечное число шагов) для каждого эле-
мента некоторого данного множества, будет этот элемент обла-
дать некоторым данным свойством или нет. При этом «решение»
такой проблемы «разрешимости» состоит в фактическом указа-
нии алгоритма и в доказательстве, что этот алгоритм делает то,
что нужно.
Стандартным примером из элементарной теории чисел яв-
ляется нахождение алгоритма, с помощью которого можно
определять для данной упорядоченной тройки <а,&,с) целых
чисел, будет уравнение
ах + by = с
иметь решение в целых числах или нет. В данном случае реше-
ние имеется: найти наибольшее натуральное число d, которое
одновременно делит а и Ь, и затем проверить, будет или нет d
делителем с. (Это уравнение будет иметь целочисленное реше-
ние только в случае, когда d делит с.) Развитие теории рекурсии
при уточнении интуитивного понятия эффективной вычислимо-
сти допускает следующую новую возможность: вместо положи-
тельного решения проблемы разрешимости с помощью доказа-
тельства существования алгоритма мы можем ее решить и
отрицательно, доказав, что требуемого алгоритма не существует,
или, как мы говорим, можно доказать, что эта проблема нераз-
решима. Так, десятая проблема Гильберта, заключающаяся в
поиске алгоритма для определения того, имеет ли целочисленное
52
ГЛ 2. НЕРАЗРЕШИМЫЕ ПРОБЛЕМЫ
решение данное полиномиальное уравнение Р(хь ...» х^) = 0 с
целыми коэффициентами, оказывается неразрешимой, как было
показано М а т и я с е в и ч е м [1].
Для понимания этой главы необходимо лишь знакомство с
§§ 1—4 из главы 1 «Элементы теории рекурсии», на которую мы
ссылаемся как на ЭТР и обозначениям которой мы следуем. Мы
дадим обзор главных результатов о неразрешимости, которые
получены для проблем, имеющих подлинный математический
интерес. В некоторых случаях мы дадим полные доказательства,
в других позволим себе обрисовать лишь главные идеи.
Математический смысл какого-либо результата о неразре-
шимости состоит в том, что некоторое конкретное множество не
является рекурсивным. Действительно, если S — любое нерекур-
сивное множество натуральных чисел, то можно утверждать не-
разрешимость следующей проблемы разрешимости: для данного
xeN определить, будет xeS или нет. Конечно, это заявление
основано на отождествлении интуитивного понятия «S разре-
шимо» с точным понятием «S рекурсивно», т. е. на том, что
обычно называется тезисом Чёрча (ср. § 3 ЭТР). В этой главе
мы свободно пользуемся тезисом Чёрча, часто без специального
упоминания, и это необходимо, если мы из нерекурсивности ка-
кого-то множества хотим вывести, что на самом деле не суще-
ствует соответствующего алгоритма. Но, кроме того, мы исполь-
зуем этот тезис и для упрощения доказательств: как только мы
указываем алгоритм для вычисления значений частичной функ-
ции f, мы заключаем без всяких хлопот, что f — частично ре-
курсивная функция.
В дополнение к доказательству, что некоторая математиче-
ская проблема является неразрешимой, бывает интересно под-
считать степень неразрешимости такой проблемы в смысле, об-
суждавшемся в § 8 ЭТР. Однако такие вопросы в данной главе
мы не обсуждаем.
§ 1.	Снова о проблеме остановки
Неразрешимость проблемы остановки указана в 4.2- ЭТР в
следующем виде:
Множество К = {х: {х} (х) < оо} не рекурсивно.
По теореме о нормальной форме (ЭТР, 4.1) {х} (х) является
частично рекурсивной функцией от х. Поэтому, согласно заме-
чанию из § 2 ЭТР, существует некоторая машина Тьюринга М
(которую ценой довольно неблагодарной работы можно было
">ы конкретно указать) такая, что:
Если М начинает с состояния qn обозревать самый левый
символ из гхп (остальные символы на ленте пустые), то М со
$ Т. СНОВА О ПРОБЛЕМЕ ОСТАНОВКИ
53
временем остановится тогда и только тогда, когда {%}(х) опре-
делено, т. е. тогда и только тогда, когда х е К. На протяжении
всей главы М будет всегда означать эту машину Тьюринга.
Так как К не рекурсивно, заключаем, что имеет место
1.1.	Теорема. Не существует алгоритма, который по дан-
ному х е N определяет, остановится ли со временем М, начав
работу в состоянии qo и обозревая самый левый символ из Г
Несколько ослабляя этот результат, можно получить более
изящный вариант (напомним из ЭТР, § 4, что конфигурация
для машины Тьюринга состоит из текущего содержания машин-
ной ленты, номера состояния и ячейки, которая обозревается)!
1.2.	Следствие. Не существует алгоритма, который по дан-
ной конфигурации для М определяет, остановится ли со време-
нем М, начав работу в данной конфигурации.
Конечно, машина М формально является функцией (как
описано в определении 2.1 ЭТР), которая может быть конкретно
задана таблицей с пятью столбцами и подходящим числом строк
или же, как мы будем говорить, пятерками. (Ср. в § 2 ЭТР
пример машины Тьюринга, вычисляющей х + У-) Проблема
остановки М становится тогда совершенно особой математиче-
ской задачей: для каких конфигураций из данного множества
некоторые вполне определенные комбинаторные процессы со
временем обрываются?
Проблема остановки будет играть фундаментальную роль
в этой статье. По существу, неразрешимость всех проблем, ко-
торые будут обсуждаться, следует из неразрешимости проблемы
остановки.
1.3.	Определение, ^-местный предикат R на N называется
рекурсивно перечислимым (сокращенно р.п.), если существует
машина Тьюринга Т такая, что, как только Т начинает работать
в состоянии ?о, обозревая самый левый символ из
гх1п0гх2п0 ...
(остальные ячейки пустые), то Т со временем останавливается
тогда и только тогда, когда <хь ..., %*> е R.
Рекурсивная перечислимость ft-местных предикатов на N
определена в § 6 ЭТР (что формально не входит в требуемые
нами предварительные знания) в несколько отличном, но экви-
валентном виде. Доказательство эквивалентности требует пре-
одоления не очень сложных технических трудностей. Естествен-
но, в этой главе будет использоваться данное определение.
Интуитивно, если говорят, что R р. п., то имеют в виду на-
личие некоторого алгоритма, который будет давать правильный
ответ «да» на вопрос вида «Верно ли, что <%i, ...» е/??» и
не будет останавливаться, когда ответ — «нет».
Б4
ГЛ. 2. НЕРАЗРЕШИМЫЕ ПРОБЛЕМЫ
Обозначая через R дополнение ^-местного предиката R (т. е.
<хь	тогда и только тогда, когда <xi, xky^R),
получаем, что имеет место
1.4.	Теорема. R рекурсивен тогда и только тогда, когда R
и R р.п.
Доказательство. Пусть R рекурсивен и его характери-
стическая функция (т. е. функция, равная 1, когда R истинен,
и 0, когда R ложен) вычисляется на машине Тьюринга Мо.
Пусть <7о, <7ь Чп — состояния Мо. Изменим Л40 для получе-
ния новых машин М+ и М~, присоединив новые состояния и пя-
терки. Для каждой пары (i, а), 0 i п, а = 0 или 1, такой,
что в таблице М нет пятерки, начинающейся с ia (т. е. Мо сразу
останавливается, когда она приходит в состояние q, и обозре-
вает ячейку, на которой написан символ а), мы помещаем
в таблицы для М+ и М~ пятерки
ia аП(п + 1).
Далее, когда А1о останавливается, на обозреваемой ячейке
находится 1, а на правой соседней ячейке находится 1, если R
истинен для данного входа, и 0, если R ложен для данного
входа. Таким образом, попадая в состояние л + 1, машины А4+
и М~ обозревают 1 или 0 в зависимости от того, истинен или
ложен предикат R для данного входа. Наконец, добавим в М+
пятерку
(л+1)0 0П(п+1),
а в М~ пятерки
(«4-1)1 1Я(п + 2),
(л+ 2)0 0/7 (л+ 2).
В этом случае М+ останавливается для данного входа гх|п 0 ...
. .. OrXfe"1 тогда и только тогда, когда (хь ..., xk)^R, a MJ
останавливается тогда и только тогда, когда (хь . .., xk) е R.
Обратно, если R и Я р.п., то мы имеем машины Тьюринга
М+ и М~, которые останавливаются для входа rXj'1 0 ... 0 rxp
в случае <хь ..., xft> е R или ^R соответственно. Таким обра-
зом, для определения того, будет <Xi, ..., х«.> е R для данных
Xi, .... Xk ИЛ1 нет, нам нужно включить одновременно М+ и М~
и ждать, какая из них остановится. Следовательно, R интуитив-
но разрешим, а по тезису Чёрча он рекурсивен.
Так как машина М, использующаяся в нашем обсуждении
проблемы остановки, со временем останавливается для данного
х тогда и только тогда, когда хе Д’, то имеет место
1.Б Теорема. Множество К р.п., но не рекурсивно. Следо-
вательно, К не р. п.
§ 2 ПОЛУТУЭВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
55
§ 2.	Полутуэвские процессы
Пусть А = {<21, ak}—некоторое данное конечное мно-
жество объектов, которые мы называем символами. Тогда А на-
зывается алфавитом, а всякая конечная последовательность эле-
ментов из А называется цепочкой или словом над А. Основной
операцией над цепочками является операция сцепления, т. е.
если и = a, af а. , v = a а, ... а, — цепочки над А, то мы
*1 *2 lk	/1 '2 ir
пишем
uv = a,a, ...а. а. а. ...а,.
*1 *2	lk h '2	lr
Заметим, что u(vw) = (uv)w. Удобно также рассматривать пу-
стую цепочку А длины 0, где иА = Ли = и для всех цепочек и.
2.1.	О п р е д е л е н и е. Полутуэвской продукцией (над А)
(или просто продукцией) называется упорядоченная пара (g, g)
слов над А. Обычно продукцию записывают в виде g->g. По-
лутуэвским процессом (над А) называется всякое конечное не-
пустое множество полутуэвских продукций над А.
2.2.	Определение. Пусть Р — полутуэвская продукция
g-> g. Тогда мы пишем и v (опуская Р, когда это не вызы-
вает двусмысленности), если и = agb и v = agb для (возможно
пустых) цепочек а, Ь.
2.3.	Определение. Пусть П — полутуэвский процесс.
Тогда мы пишем u=$1Lv, если u^pv для некоторой продукции
РеП. Пишем u=^>*nv, если существует конечная последов а*
тельность и==и1=Фпи2=Фп ... =>nun = для п^1. (В част-
ности, и=фди.) Опять-таки мы опускаем П, когда это не вы-
зывает двусмысленности результата. (Обычно символы Р и П
располагаются непосредственно под =ф, а символ * — непосред-
ственно над =Ф.)
Проблемой слов для данного полутуэвского процесса П яв-
ляется следующая проблема разрешимости: найти алгоритм,
с помощью которого для данных слов и, v можно определять,
будет и ф* v или нет.
Мы увидим, что существует полутуэвская система, проблема
слов для которой неразрешима. В действительности мы пока-
жем, как получить по всякой данной машине Тьюринга Т соот-
ветствующую полутуэвскую систему П(Т) такую, что алгоритм
для решения проблемы слов для П(Т) может быть также ис-
пользован для решения проблемы остановки для Т. Вместе с ре-
зультатом § 1 это даст нам требуемый результат.
Итак, пусть Т—машина Тьюринга с инструкциями qQ, q\, ...
..., qn. Тогда П(Т) будет полутуэвским процессом над алфа-
витом	J
Л = {0, 1, q0, qu .... qn, q, q', h}.
56
ГЛ 2 НЕРАЗРЕШИМЫЕ ПРОБЛЕМЫ
Последовательные конфигурации 7, возникающие в ходе какого-
либо вычисления, будут представляться посредством так назы-
ваемых слов Поста, т. е. слов над А вида
huqivh,
(1)
где и, v — слова над {0,1}, v =/= А и 0 i п. Здесь слово
Поста (1) представляет конфигурацию, при которой qt является
текущей инструкцией, записью на ленте является uv (дополнен-
ная бесконечными последовательностями из 0 слева и справа),
и обозревается начальный символ из v. Символы h будут ис-
пользоваться как знаки пунктуации; их важность скоро будет
видна. Так как не запрещается, чтобы и начиналось с 0 или v
кончалось 0, то существует бесконечно много различных слов
Поста, соответствующих данной конфигурации машины Т. Влия-
ние машины Т на последовательные конфигурации будет ими-
тироваться (или, как иногда говорят, моделироваться) посред-
ством продукций из П(Т), которые будут соответствующим об-
разом влиять на слова Поста.
В действительности продукции из П(Т) будут следующие:
(i) Для каждой пятерки из таблицы машины Т вида
iafinj, а, {0, 1},
П(Т) содержит три продукции
^za0->p^0,
^al-^p^l,
9га/г->р^0/г.
(ii)' Для каждой пятерки из таблицы машины Т вида
га рЛ/, а, р е {0, 1),
П(Г) содержит три продукции:
О^а—
l^a-x/ylp,
(iii	) Для каждой пары <г, а>, 0 г п, а е {0, 1}, для ко-
торой нет пятерки в таблице машины Т, начинающейся с га,
П(Т) содержит продукцию
qta qa.
§ 2. ПОЛУТУЭВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
57
(iv)	Наконец, П(Г) содержит пять продукций:
ql-^qf
qh q'h,
Oq'^q'
\q'->qf.
Теперь предположим, что huqiayvh, где a, ye {0, 1}, являет-
ся словом Поста, соответствующим данной конфигурации ма
шины Т, и таблица машины Т содержит пятерку
ia $nj.
Тогда имеем
huqiayvh => hufiqflvh,
П(Т)
и в действительности hu^qjyvh — слово Поста, соответствующее
следующей конфигурации машины Т (т. е. а заменяется на
ленте на р, обозреваемая ячейка передвигается на одну вправо,
a qj — новая текущая инструкция). В случае, когда слово Поста
имеет вид huqtah, имеем
huqiah^hu^qfih.
II (Г)
т. е. посредством единственной продукции, которую можно при-
менить, добавляется необходимый 0 справа. Таким образом
полное действие продукций, перечисленных в (i), состоит в из<
менении слова Поста в точном соответствии с действием пятерки
ia$I7j на конфигурацию машины. Легко заметить, что продук-
ции, перечисленные в (ii), ведут себя аналогично для пятерок
вида ia $Л].
Продукции, перечисленные в (iii), будут оперировать со сло-
вами Поста только в том случае, когда они соответствуют кон
фигурации машины Т, при которой Т вынуждена будет остано-
виться. Здесь символ инструкции qi заменяется на q. Наконец,
если и, v — слова над {0, 1}, то в соответствии с продукциями,
перечисленными в (iv), имеем
huqvh => huqh => huq'h => hq'h.	(2)
Пусть теперь Г, имея инструкцию qQ, начинает обозревать
самый левый символ из (вся остальная лента пустая). Со
ответствующим словом Поста будет hq^x^h. Вначале предпо
ложим, что Т когда-нибудь остановится. Тогда, как это объя<
нялось выше (в частности, (2)), имеем
hqQ h => huqvh => hq'h.
П(Т)	П(Г)
58
ГЛ 2. НЕРАЗРЕШИМЫЕ ПРОБЛЕМЫ
Обратно, если
hqQ гh => hq'h,
П(Т)
то в последовательности
hqQ	h = щ =>- и2 =>...=> ип = hq'h
каждое щ должно содержать ровно один ^-символ (q-символа-
ми, конечно, являются qQ, q\, ..., qn, q, q'), так как каждая про-
дукция сохраняет это свойство. Продукции из (i), (ii) заменяют
qi на 9/, а продукции из (iv) никогда не заменяют qi. Следова-
тельно, некоторая продукция из (iii) должна использоваться по
крайней мере один раз (а значит, ровно один раз). Но отсюда
следует, что Т когда-либо остановится. Итак, доказана
2.4.	Теорема. Машина Тьюринга Г, начавшая обозревать
самый левый символ из гх“* (вся остальная лента пустая) с
инструкции qo, со временем остановится тогда и только тогда,
когда
hqQ гхп h => hq'h.
П'Т)
Полагая Т = М и используя теорему 1.1, сразу получаем
2.5.	Следствие. Не существует алгоритма для определения
того, будет ли выполняться для х е N
hq0 rx~* h => hq'h.
П(М)
В частности, имеем
2.6.	Следствие. Проблема слов для II(А1) неразрешима.
Закончим этот параграф некоторым техническим наблюде-
нием про П(Т), которое окажется полезным для нас в следую-
щем параграфе.
2.7.	Замечание. Если и — слово над алфавитом А, содер-
жащее ровно один ^-символ, то существует самое большее одна
продукция РеП(Г) такая, что u=>v для некоторого слова v.
р
Это замечание отражает тот,простой факт, что никакие две
пятерки, начинающиеся с одинаковой пары ia, не могут входить
в таблицу никакой машины Тьюринга.
§ 3.	Полугруппы и группы
Мы уже замечали, что операция сцепления цепочек над ал-
фавитом А — {аь ..., ak} ассоциативна. На алгебраическом
языке это выражается так: множество цепочек образует полу-
группу относительно операции сцепления.
3.1.	Определение. Обратной к полутуэвской продукции
g-*-g является продукция g-+g. Полутуэвский процесс П на-
§ 3. ПОЛУГРУППЫ И ГРУППЫ
59
зывается туэвским процессом, если для каждой Р е П обратная
к Р продукция также находится в П.
Для любого полутуэвского процесса П отношение и v,
очевидно, рефлексивно и транзитивно. Если П — туэвский про-
цесс, то как только
и = щ => и2 => ... => ип = v9	(3)
п п п
то ясно, что
v==un=>un_x=> ...=>щ = и9
п п п
так что отношение u=>*nv также симметрично и, следователь-
но, является отношением эквивалентности, которое мы будем
записывать как и ~nv. Через [и] мы будем обозначать класс
эквивалентности, содержащий и. Ясно также, что как только (3)
выполняется, то для всех слов w над А имеем
wu =	=> wu2 =>...=> wun — wv
п п п
и
UW = U\W => U2W =>...=> UnW = VW.
п п п
Следовательно, если и ~по', то имеем
ии' ~п vu' ~п vv'*
Таким образом, записав
[«]. К] = [««'],
видим, что это произведение корректно определено, и так как
эта операция ассоциативна, то получившаяся система является
полугруппой.
Если S — полугруппа, определенная таким путем, то туэв-
ский процесс П называется представлением S. Каждая пара
<.g,g) такая, что g-*-g (а значит, и	является продук-
цией из П, называется соотношением представления и обычно
записывается как g ~ g (или даже g = g). Наконец, символы,
принадлежащие А, называются образующими представления.
Конечно, данная абстрактная полугруппа вполне может иметь
много различных представлений (или ни одного).
Если П — полутуэвский процесс, мы обозначаем через П ту-
эвский процесс, полученный из П добавлением всех обратных
продукций к продукциям из П. Имеет место
3.2.	Лемма (Пост [3]). Для любой машины Тьюринга Т,
и х е N имеем
hq0 rx~l h => hq'h
П(Г)
60
ГЛ. 2 НЕРАЗРЕШИМЫЕ ПРОБЛЕМЫ
тогда и только тогда, когда
hq^x^ h hq'h.
П(П
Доказательство. Так как П(Т)£П(Г), то лемма оче-
видна в одном направлении.
Обратно, пусть	'
hq$ h = щ => и2=> • • • ип = hq'h.
П (Г) п (Г)	п (Г)
Допустим, что
=>	+ 1	И/+2=> • • • ип,
^2	Pi — \	i ^i+i	Рп—\
где Рад, ...» Рп-\ еП(Т), но Pi^IL(T). Так как никакая про-
дукция из П(Т) не может быть применима к hq'h, то никакая
обратная продукция к такой продукции не может дать hq'h как
результат, т. е. Кп — 1. Ясно, что каждое слово и\ ... ип
содержит только один ^-символ, так как продукции из П(Т)
сохраняют это свойство. Пусть Q — обратная продукция к Pi,
так что СеП(7) и фр щ. Так как также ф
и Pz+ieII(T), то из замечания 2.7 следует, что щ = uz+2. Сле-
довательно, мы имеем
11\ U2 => . . . => Щ =Ф- «/+з=>... =>- ип,
Р1 Р2 Pi—l Pi + 2	РП-\
и продукция Pi элиминируется. Повторяя этот процесс, можно
элиминировать все продукции, которые не принадлежат П(Т),
и прийти к требуемому заключению. □
Учитывая следствия 2.5 и 2.6, получаем
3.3.	Следствие (Пост [3]). Не существует алгоритма для
определения того, будет ли для данного х е N иметь место
hq^x^hj^ hq'h.
П(М)
3.4.	Следствие (Пост (3], Марков [1]). Существует
представление полугруппы с неразрешимой проблемой слов.
Проблема слов для полугрупп была впервые рассмотрена
Туэ [1] задолго до того, как в теории рекурсии стала упоми-
наться возможность отрицательного решения. Это был истори-
чески первый пример проблемы разрешимости, первоначальная
формулировка которой не относилась к логике и для которой
был доказан результат о неразрешимости.
Теперь обратимся к одному важному специальному виду
представлений полугрупп. Пусть А содержит четное число сим^
волов:
А = {аь ..., a*, bi...bk},
§ 3. ПОЛУГРУППЫ И ГРУППЫ
61
а соотношения туэвского процесса П содержат все соотношения
afti ~ Л, Z=l, 2, k.
(Конечно, в общем случае П будет содержать и другие соотно-
шения.) В этом случае П называется групповым представлением
и (как легко заметить) в действительности представляет группу.
Об абстрактной группе G, которая имеет групповое представле-
ние, будем говорить как о конечно представимой группе. Особое
внимание обращается на проблему слов для групповых пред-
ставлений (или, как говорят, проблему слов для групп) вслед-
ствие ее важности в алгебраической топологии. Крупнейшим
научным открытием является теорема Новикова — Буна, кото-
рая утверждает существование группового представления с не-
разрешимой проблемой слов. К сожалению, недостаток места
не позволяет нам здесь дать доказательство этой теоремы. Мы
отсылаем интересующегося читателя к Буну [1] (работа осно-
вана на конструкции П(М)), Новикову [1], Бриттону [1],
Ротману [1], глава 12, и Маккензи и Томпсону [1].
Последняя из упомянутых статей имеется в книге Буна, К а н -
нонито и Линдона [1], в которой имеется богатый инте-
ресный материал и библиография этого направления.
3.5.	Определение. Мы скажем, что абстрактная группа G
рекурсивно представима, если существуют такие элементы ...
..., Ck е G, что:
(i)	любой элемент G представим в виде произведения эле-
ментов clt ..., ck, cf1, ..., с*1, т. е. ..., ck порождают
группу G;
(ii)	множество W всех слов w' алфавита {ср ..., ck,
cj"1, ...» с"1} таких, что соответствующий слову w элемент
[w] группы G равен единице группы G, рекурсивно пере-
числимо.
Конечно, нет никаких трудностей говорить о рекурсивной пе-
речислимости множеств слов конечного алфавита А = {аь ...
..., ak}, &>Д. Для этого можно использовать либо прямо
машины Тьюринга, либо естественную нумерацию v множества
А* всех слов алфавита А: если neN и п + 1 представлено
в виде п +1 = fo + iik + ... + is-iks~i + isks, 0 if <Z k, j =
= 0, ..., s, is=#0, to vn=^a{^+l — a{ ^+1 (если s==0, to
vn = A); назовем W А* рекурсивно перечислимым, если мно-
жество R — {п\ vn е №} рекурсивно перечислимо*).
•) Определение рекурсивно представимой группы у автора имеет неко-
торые неточности. По этой причине данный текст слегка модифицирован. —
Прим, ред.
62
ГЛ. 2. НЕРАЗРЕШИМЫЕ ПРОБЛЕМЫ
Теорема Новикова — Буна является простым следствием сле-
дующей теоремы:
3.6.	Теорема (Хигмен [1]). Группа является рекурсивно
представимой тогда и только тогда, когда она изоморфна под-
группе некоторой конечно представимой группы.
Эта удивительная теорема показывает, что некоторое теоре-
тико-рекурсивное понятие (каким является понятие рекурсивно
представимой группы) эквивалентно чисто алгебраическому по-
нятию. Упрощенное доказательство теоремы Хигмена можно
найти в книге Шенфилда [1], Приложение, у Ондеро [1]
иуРотмана [1], глава 12.
Будем говорить, что класс G групп:
(i)	инвариантен, если из того, что G е G и Н изоморфна О»
следует, что Н е G;
(и) нетривиален, если существуют конечно представимые
группы G и Н такие, что G е G и Н ф G;
(ш) наследствен, если из того, что G е G и Н — подгруп-
па G, следует, что // е G.
Показано, что справедлива
3.7.	Теорема (Адян [1], Рабин [1]). Пусть G — класс
групп, который инвариантен, нетривиален и наследствен. Тогда
не существует алгоритма, с помощью которого для представле-
ния группы можно определять, будет эта группа принадлежать
G или нет.
Например, пусть G содержит лишь тривиальную группу {е}.
Получаем
3.8.	Следствие. Не существует алгоритма, с помощью ко-
торого можно было бы определять по представлению группы,
будет эта группа иметь по крайней мере один отличный от е
элемент или нет.
Другими групповыми свойствами, к которым может быть
применена теорема Адяна — Рабина, являются следующие:
(i)	цикличность;
(ii)	конечность;
(iii)	свободность;
(iv)	коммутативность;
(v)	разрешимость.
Доказательство теоремы Адяна — Рабина использует суще-
ствование группового представления с неразрешимой проблемой
слов, т. е. теорему Новикова — Буна.
Используя прямую конструкцию (Хакен [1]), можно по-
строить по данному групповому представлению группы G 2-мер-
ный симплициальный комплекс, имеющий своей фундаменталь-
ной группой группу G. Так как симплициальный комплекс одно-
связен лишь в случае, когда его фундаментальная группа
9 4. ДРУГИЕ КОМБИНАТОРНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
63
тривиальна, т. е. содержит только единицу, из следствия 3.8 по-
лучаем
3.9.	Следствие. Не существует алгоритма для определения
по данному 2-мерному симплициалъному комплексу, будет он
односвязным или нет.
Используя намного более сложную и трудную конструкцию,
Марков [2] показал, как для данного группового представ-
ления П построить для каждого п 4 пару симплициальных
комплексов МДП), М2(П), являющихся n-мерными многообра-
зиями такими, что М1(П) и М2(П) гомеоморфны тогда и только
тогда, когда группа, которую представляет П, тривиальна. Снова
используя следствие 3.8, заключаем, что справедлива
3.10.	Теор е м а. Проблема гомеоморфизма для многообра-
зий размерности ^4 неразрешима.
Решение проблемы гомеоморфизма для двумерных многооб-
разий— классический результат, восходящий к Риману. Для
трехмерных многообразий проблема открыта. Дальнейшее об-
суждение топологических проблем разрешимости можно найти
в статьях Буна, Хакена и Поэнару [1] и Хакена [1].
§ 4.	Другие комбинаторные проблемы
Один из самых ранних примеров неразрешимой проблемы
чисто комбинаторной природы был дан Постом [2], это так
называемая проблема соответствия. Как оказалось позднее, эта
проблема нашла интересные приложения к формальной теории
языков.
4.1.	Определение. Система соответствия Поста состоит
из алфавита А и конечного множества упорядоченных пар
i = 1, ...» w, слово и над А называется решением этой
системы, если для некоторой последовательности 1 z*i, /2, ...
..., im m (ц не обязаны быть различными) имеем
и = hi hi ... hin = kikic) .. . ktn.
Пусть нам дан полутуэвский процесс П, а и, v — пара слов
над алфавитом для П. Покажем, как построить по П, и и v
систему соответствия Поста, имеющую решение тогда и только
тогда, когда u=>*nv. Тогда, используя следствие 2.6, мы смо-
жем заключить, что имеет место
4.2.	Теорема. Не существует алгоритма для определения
того, будет ли иметь решение данная система соответствия
Поста.
Доказательство. Доказательство 4.2, данное здесь, при-
надлежит Флойду (не опубликовано); оно значительно проще,
чем первоначальное доказательство Поста. Оно также может
быть найдено у Я су х а р ы [1].
64
ГЛ. 2. НЕРАЗРЕШИМЫЕ ПРОБЛЕМЫ
Приступим к требуемой конструкции. Пусть П — полутуэв-
ский процесс над алфавитом А — {ои, ..., ап}, а и и v — слова
над А. Построим систему соответствия Поста над алфавитом
B = {av .... ап, а\,	L *- *'}.
содержащим 2п + 4 символа. Для всякого слова w над А мы
обозначаем через w' слово, полученное из w приписыванием '
после каждого символа из w.
Пусть продукциями П будут gi~>gi, i = l, 2, ..., k, и пред-
положим, что среди этих продукций встречаются все п «тожде-
ственных» продукций	/ = 1, 2, ..., п. Это последнее
предположение не ограничивает общности (т. е. класс пар <г, $>,
для которых г никак не изменится, если включить тожде-
ственные продукции). Однако теперь можно утверждать, что
тогда и только тогда, когда мы можем написать
где т— нечетное число. Система соответствия Поста над алфа-
витом В будет состоять из пар:
([«*, [ ), (*>
<8Г gi)>
&
j= 1, 2, ..., k\ < ], *'u])
Теперь пусть
и = щ => u2 => . • • => um = У,
n n n
где m — нечетное число. Тогда слово

является решением Р, как легко следует из двух разложений
W = [и, * | и'2 *' | и3 * I ... | ]
= ...
Чтобы увидеть, например, что //'*' соответствует г/р, заметим,
что можно написать ux = rg}S, u2 = rgjS для некоторого
/=1, 2, ..., k. Тогда u'2 = r'g's' и соответствие становится
очевидным (напомним, что продукции а{->аь ..., ап->ап даны
в П).
Обратно, если w— решение, то, чтобы обеспечить согласо-
вание крайнего левого и правого символов между штрихован-
ными и нештрихованными символами, w должно начинаться с [
§ 4 ДРУГИЕ КОМБИНАТОРНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
65
и кончаться на ]. Следовательно, обозначив через w часть ш,
идущую до первой ],
W = [и у],
получим прежде всего соответствия
w = [u* |... *' v |],
W = [ \и * . . . | *' и].
Поэтому и * должно соответствовать некоторому г' *', а *'и —
некоторому * s' где	и	Продолжая этот про-
цесс, мы придем к u=>*nv. Это заканчивает конструкцию,
а вместе с ней и доказательство теоремы 4.2. □
В формальной теории языков имеют дело с алфавитами А =
= V U Т, где элементы из V (обычно записываемые большими
буквами) называются переменными, а элементы из Т называют-
ся заключениями. Если один из элементов V (обычно обозна-
чаемый через S) выделен как начальный символ, то полутуэв-
ский процесс П над А называется фразовой структурной грамма-
тикой, а множество всех слов v над подалфавитом Т таких, что
называется языком, порожденным П, и обозначается
через ЦП).
Интуитивно мы можем смотреть на переменные как на пред-
ставления грамматических категорий. Например, пусть V =
= {S, U, Р, N, J, R, D}, где мы можем истолковать эти буквы
как представления следующих категорий: предложение, подле-
жащее, сказуемое, существительное, прилагательное, глагол, на-
речие соответственно. Пусть Т состоит из (строчных) букв ан-
глийского алфавита, дополненных знаками (для «пробе-
лов») и «•». Здесь указана некоторая примитивная английская
грамматика G:
S->UP,	Af->man
t/—>the#Af#	Af-> woman
t/->the#Z#W# Z->good
P->R	7->bad
P->R^D	/? —> runs
R -> walks
D -> quickly
D-> slowly
Читатель легко проверит, что
S => the 41= bad # man # runs 41= quickly,
G
так что эта последняя фраза есть в языке, порожденном G.
3 Справочная книга, ч. III
66
ГЛ 2 НЕРАЗРЕШИМЫЕ ПРОБЛЕМЫ
4.3.	Определение. Грамматика называется контекстно
свободной, если все ее продукции имеют вид A-+g, где А — ка-
кая-либо переменная.
Итак, наша грамматика G контекстно свободна. Покажем,
как связывать с системой соответствия Поста некоторую кон-
текстно свободную грамматику. Пусть <&/,£/>, £=1,2, ..., т,—
система соответствия Поста над алфавитом А. Построим пару
Gi, G2 контекстно свободных языков, заключения которых со-
стоят из А и m новых символов ..., ст.
Далее, алфавит для Gi имеет единственную переменную Si
в качестве начального символа, a G2— единственную перемен-
ную S2 в качестве начального символа. Продукциями G\ будут
Sj —► hiS jC;,
S i —► h^Ci,
а продукциями Gt будут
S2 —> kiS^Ci,
S2 —► Ь[С{,
Z= 1, 2, ...» m,
Z=l, 2, ..., m.
Таким образом,
L (°i) *= {W • • • himcim • • • ci°i}
и
L (G2) = {kl,kit ‘ • • kimeim * * •
Сразу получается
4.4.	Лемма. Для данной системы соответствия Поста имеет-
ся решение тогда и только тогда, когда L(Gi)C| L(G2)#= 0.
Из теоремы 4.2 заключаем, что справедлива
4.5.	Теорема. Не существует алгоритма для определения
того, будет ли Ь(П1)П Ь(П2) = 0 для данной пары контекстно
свободных грамматик П1 и П2.
4.6.	Определение. Фразовая структурная грамматика П
с начальным символом S называется двусмысленной, если для
некоторого слова и е Ь(П) имеем
S =>- U\ => ш> => ... «ф- Uk = и
п п “ п п
и
S => Vi => v2 => ... => V/ = u,
п п п п
где последовательности <щ, ..., и*> и <vi, ..., V/> не одина-
ковы.
Теперь пусть Gi и G2 такие, как выше. Пусть G имеет те же
самые заключения, что Gi и G2, переменные S, Si, S2 (S — на-
чальный символ) и продукции S ->Si, S->S2 вместе с продук-
§ 5 ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ	(J7
циями из Gi и G2. Тогда ясно, что L(G)=L(G1)UL(G2). Так
как Gi и G2 сами не являются двусмысленными, то легко ви-
деть, что G будет двусмысленной только в случае, когда есть
слово и, принадлежащее одновременно L(Gi) и L(G2).
С помощью доказательства теоремы 4.5 получается
4.7.	Теорема. Не существует алгоритма, посредством кото-
рого мы могли бы определить, будет ли двусмысленной данная
контекстно свободная грамматика.
Другие примеры неразрешимых проблем в формальной тео-
рии языков и дальнейшие ссылки можно* найти у Хопкрофта
и Алмена [1]. Патерсон [1] показал, используя неразре-
шимость проблемы соответствия Поста, что не существует ал-
горитма, который можно было бы использовать для определе-
ния для данного конечного множества ЗХ 3-матриц с целыми
коэффициентами, будет ли некоторое конечное произведение
элементов этого множества равно нулевой матрице.
Другой комбинаторной проблемой, которая оказалась нераз-
решимой, является таг-проблема, впервые рассмотренная
Э. Л. Постом в 1920 г. См. Пост [1], [4]. Таг-система задается
с помощью алфавита А= {«i, ап}, слов g\, ..., gn и поло-
жительного числа k. Для такой таг-системы Т мы записываем
и =^>т v, если и начинается с a,, a v получается из и дописыва-
нием gi с правого конца и зачеркиванием первых k символов
из и. (Конечно, возможно, что v = Л.) Как и раньше, мы пишем
и ц, если и = U\ U2	= v для слов U\, ..., ип
и некоторого п^ 1, и считаем проблемой слов для Т проблему
определения для данных и и v, будет ли и =>*т v. Минский [1],
[2] показал, как построить таг-систему с неразрешимой пробле-
мой слов.
§ 5.	Диофантовы уравнения
Мы уже упоминали десятую’проблему Гильберта (см. вве-
дение), в которой спрашивается про алгоритм определения для
полиномиальных уравнений Р(х\, хп) = 0 (с целыми коэф-
фициентами), обладают ли они решением в целых числах.
В этом параграфе будет более удобно работать с неотрицатель-
ными целыми решениями, т. е. решениями в N. Поэтому сразу
начнем с замечания, что если не существует алгоритма опреде-
ления для полиномиальных уравнений, обладают ли они реше-
ниями в N, то отсюда сразу следует, что не существует алго-
ритма, который мог бы быть использован для ответа и о целых
решениях. Действительно, если у нас есть алгоритм, который
мог бы быть использован для целых решений (т. е. решал бы
десятую проблему Гильберта), то мы могли бы использовать
3*
68
ГЛ 2 НЕРАЗРЕШИМЫЕ ПРОБЛЕМЫ
его для решения вопроса о том, будет ли P(%i, ..., хп) = О
иметь решение в N, с помощью простой проверки: будет ли
Р(М?+°1+^1+2Р •••> «п + г’п + ^ + гп) = 0
иметь целые решения. (Это так, потому что каждое неотрица-
тельное целое число есть сумма четырех квадратов.)
Наши рассмотрения будут связаны с понятием диофантова
множества.
5.1.	Определение, ^-местный предикат R на N называется
диофантовым, если для некоторого полинома Р(%ь ..., xk, yi, ...
..., уп) с целыми коэффициентами имеем
R = {<хь xk): 3z/i ... уп е= N [Р (хь ..., хк, yt, уп) = 0]}
Пусть R— диофантов предикат, a g%: N*—»N определяется
так:	•••» **) = 0, если <хь ..., xk) €= /?, и •••> **)
не определено в противном случае. Если предикат R связан с
полиномом Р так, как указано в 5.1, то алгоритм для вычисле-
ния частичной функции gz состоит в эффективном упорядочива-
нии всех n-ок <i/i, ..., уп) в подходящую последовательность и
в последовательном вычислении Р(х\, ..., xk, у\, ..., уп), пока
(если это вообще случится) не получится значение 0. Используя
тезис Чёрча, мы делаем вывод, что gz — частично рекурсивная
функция, и, следовательно, имеется машина Тьюринга, вычис-
ляющая gR. Таким образом, по определению 1.3 заключаем, что
R рекурсивно перечислим.
5.2.	Теорема. Каждый диофантов предикат р, п.
Основная теорема этого направления состоит в доказатель-
стве обратного утверждения:
5.3.	Теорема (М а т и я се в и ч [1]). Каждый р. п. предикат
диофантов.
Детальное доказательство теоремы 5.3 и историческая справ-
ка могут быть найдены в обзорной статье Девиса [4] *в ко-
торой, однако, рекурсивные функции не определяются в терми-
нах машин Тьюринга); различные модификации этой теоремы
рассматриваются в статье Девиса, Матиясевича и Ро-
бинсон [1]. Мы также отсылаем читателя к этим статьям за
дальнейшими ссылками.
Перед обсуждением доказательства теоремы 5.3 рассмот-
рим некоторые ее следствия. Используя теоремы 5.3 и 1.5, по-
лучаем
5.4.	Следствие. Существует диофантово множество К, ко-
торое не рекурсивно.
Записав
Л' = {х: 3z/i ... уп[Р(х, уг, .... уп) = 0]},
§ 5 ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ
69
видим, что не может существовать алгоритма определения для
каждого из уравнений
^(0,	*/J = 0,
^(1, У\, • • Z/n) = 0,
имеет ли оно решение в N. Следовательно, десятая проблема
Гильберта неразрешима.
Для любого полинома P(xit ..., ‘Xk) обозначаем через #(Р)
кардинальное число множества 6-ок элементов из Af, которые
удовлетворяют уравнению Р = 0. Таким образом, 0 ф (Р) <1
Назовем множество кардинальных чисел Ыо нетривиальным,
если это множество не пусто и не содержит всех кардиналь-
ных чисел <1 Но- Тогда доказывается
5.5.	Теорема (Девис [3]). Для данного нетривиального
множества А кардинальных чисел не существует алгорит-
ма, который можно было бы использовать для определения по
данному полиному Р, будет ли #(Р)еЛ.
Таким образом, не существует алгоритма для определения
того, будет ли диофантово уравнение иметь четное число реше-
ний, бесконечное число решений и т. д. При доказательстве бу-
дет использоваться упрощенный вариант, принадлежащий Смо-
ринскому (см. также Девис, Матиясевич и Робин-
сон [1]).
Итак, для каждого полинома Р(х\, ..., xk) будем писать
Г+(Р) = Р(х1, .... xA)-[(xi-ai)2+ ••• +(xft-aft)2].
где <щ, ..., aky — первый (в любом подходящем упорядоче-
нии) кортеж длины k, который не удовлетворяет Р = 0. Таким
образом,
Ф(т+(р)) = #(р) + 1.
Полагая Т°(Р) = Р, Tm+l(P)=T+(Tm(P)), получаем
# (Tm (Р)) = #(?) + т.
Наконец, пишем
Г00 (Р) — (м + 1) • Р,
где и — переменная, не встречающаяся в Р. Имеем
( 0, если (?)= 0>
*<r"™ = U. если
Для доказательства 5.5 рассмотрим следующие случаи:
Случай 1. А — {0}. Это в точности задача определения того,
будет ли диофантово уравнение иметь решение; эта задача, как
мы видели, неразрешима.
70
ГЛ 2 НЕРАЗРЕШИМЫЕ ПРОБЛЕМЫ
Случай 2. 0,	Пусть т 0 А. Тогда
#(Р) = О->#(^(Гоо(Р)))0Д.
Следовательно, алгоритм для этого случая порождает алгоритм
для случая 1.
Случай 3. ОеД, К0^=Л. Тогда
#(Р) = 0-#(Г(Р))еА,
и мы сразу сводим все снова к случаю 1.
Случай 4. О^А. Тогда множество В кардинальных чисел
Ко, не лежащих в А, удовлетворяет либо случаю 2, либо
случаю 3. Но алгоритм для решения	эквивалентен
алгоритму для решения #(Р)е В.
Используя теорему о нормальной форме (ЭТР, 4.1), т. е.
существование универсальной машины Тьюринга, мы приходим
к выводу, что существует диофантово уравнение P(i, х, t/i, ...
..., Ул) = 0, которое универсально в тОхМ смысле, что, полагая
Dt = {x: Эух ... yk[P(i, х, ух, ..., z/ft) = 0]},
получим последовательность Dq, Di, D2, ... всех диофантовых
подмножеств множества N. Проводились интересные исследо-
вания по нахождению наилучшего значения k в этом результате.
В статье Матиясевича и Робинсон [1] показано, что
можно взять k = 13; позднее Матиясевич объявил, что этот
результат может быть улучшен до k = 9.
Сейчас уместно рассмотреть проблему разрешимости, нераз-
решимость которой была доказана на раннем этапе развития
этой области (Чёрч [1], Тьюринг [1]), а именно, неразре-
шимость проблемы определения для конечного множества пред-
ложений Т и предложения ср логики первого порядка, будет ли
Т Н ф в логике первого порядка, см. вводную главу 1 «Теории
моделей». Так Гильберт провозгласил, что эта самая проблема,
называемая Entscheidungsproblem, является самой фундамен-
тальной проблемой математической логики, так как процедура
для ее решения могла бы, видимо, быть использована для алго-
ритмического решения всех математических вопросов. (См. об-
суждение программы Гильберта в § 5 главы 1 «Теории моде-
лей».) По этой причине всякий, кто знает, что существуют не-
разрешимые математические проблемы, мог бы надеяться дока-
зать неразрешимость и Entscheidungsproblem. Мы увидим, как
это можно легко сделать, используя неразрешимость десятой
проблемы Гильберта.
Рассмотрим язык
Ь = {Ь •, 0, 1},
где 0,1—символы констант, а-|-и*—символы двухместных
функций. Тогда система N = (N, +, •> 0, 1) является системой
f g. ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ
74
в языке L. Далее, по всякому диофантову уравнению Р = О
легко построить предложение ср языка L вида Зу\ ... 3^
(Л = /2), где Л, t2 — термы такие, что N f= <Р тогда и только
тогда, когда уравнение Р==0 разрешимо. Пусть Т — множество
предложений:
((0+1)=1),
Vx((x + 0) = x),
VxVz/((x + (r/+l)) = ((x + r/)+l)),
Vx((x-0) = 0),
VxVr/((x.(//+D) = ((x^) + x)).
Тогда ясно, что для любого уравнения 0 между термами
языка L, не содержащими переменных, N f= 9 тогда и только
тогда, когда Т Н 0, так как Т, очевидно, достаточно, чтобы про-
водить конкретные вычисления в N. Наконец, используя соот-
ветствующее правило вывода логики первого порядка для вве-
дения кванторов существования, получаем
Т Н ср тогда и только тогда, когда Р = 0 имеет решение.
Из неразрешимости десятой проблемы Гильберта немедлен-
но следует, что Entscheidungsproblem для L неразрешима. Бо-
лее сильные результаты можно найти у Кар, Мура и Вана
[1] и О н д е р о и Л ь ю и с а [1].
Теперь обсудим доказательство теоремы 5.3. Ясно, что так как
Р1 = 0 ЛР2 = 0^>Р2 + Р2 = 0,
рх =с о V Р2 = 0 Л • Р2 = О,
то класс диофантовых предикатов замкнут относительно объ-
единения и пересечения. По этой причине диофантовы «опреде-
ления» могут комбинироваться с помощью V, Л и кванторов
существования, чтобы получать новые определения диофанто-
вых предикатов. Ясно также, что предикаты х < у, х у, х s
= y(modz) диофантовы, так как
x<y*-+3z(x + z+ 1=#),
*<У ^3z(x + z*~y),
х = у (modz) «-> 3t(х + tz = у V у + tz = x).
Дальнейшими шагами в доказательстве теоремы 5.3 являются
следующие:
(i)	Предикат z — xy диофантов. Этот ключевой шаг был
исторически самым поздним. Мы не будем доказывать его здесь,
а отсылаем читателя к любому из следующих детальных дока-
зательств: Матиясевич [2], Девис [2], [4], М атиясеви ч
и Робинсон [1].
72
ГЛ 2 НЕРАЗРЕШИМЫЕ ПРОБЛЕМЫ
(ii)	Предикаты т = С*у т = п\ диофантовы. Пусть Ф(А, w, w)
означает коэффициент при uk в разложении w по степеням и.
Тогда предикат
<? = ф(£, w, w)
является диофантовым. Действительно, этот предикат может
быть выражен как одновременная выполнимость в N условий:
до = Р + Quk +
k
q < и, р <и ,
г ~0(mod wfe+1).
Теперь, если и > 2п, то разложение
i=0
показывает, что есть в точности коэффициент при ик в раз-
ложении {и + 1)" по степеням и. Следовательно,
т=Сп^т = ф{к> 2п+ 1, ((2n + 1) + О"),
так что т — Скп диофантов.
Элементарные неравенства показывают, что когда г >“]
> (2n)"+1, имеем
гп
П- <nl + L
(По поводу деталей можно, например, посмотреть Девис [4].)
Следовательно,
т = п! *->	{s = 2п + 1 А г = s"+I
/\t — rn/\u — Cr/\um<t<u(m-{-1)}.
(iii)	Теорема об ограниченном кванторе. Пусть Р(и, х, у,
zn) — полином. Тогда существует полином Q(«, х, у)
такой, что
V& < xBzi ... zn < у [Р (и, х, у, k, zx, zn) = 0]
--------------------------------------<
— P(u. x, у. <3! — 1, b. M«<0(modC5-t-,)}
Это является некоторым усовершенствованием одного резуль-
тата из статьи Девиса, Патнема и Робинсон [1]. До-
казательство может быть найдено в статье Девиса, М а т и я -
севича и Робинсон [ 1 ], с. 244.
(iv)	Теперь имеет место
§ 5 ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ
73
5.6. Теорема. Пусть R — диофантов предикат и
(хь ..., xk, х) е S V/ < х [(хь ...» xki f) е /?].
Тогда S диофантов.
Доказательство. Для подходящего полинома Р имеем
«-> VZ <xBzj ... zn[P(/, х{, ..., xk, zlf ..., zn) = 0]
Зг/V/ < x3Zi ... zn < у [P (t, x{, ..., xk, zlf ..., zn) = 0],
так как граница у может быть выбрана как наибольшее из
п(*+1) целых чисел. Результат следует из (ii) и (iii). □
(v)	Теперь пусть Р будет произвольным ^-местным р. п. пре-
дикатом. Пусть Т — машина Тьюринга с инструкциями qo, ..., qv
такая, что когда Т начинает работу с qQi обозревая самый левый
символ из гх1"1 0 гх2“» 0 ... 0 rxk\ она со временем останав-
ливается тогда и только тогда, когда <%i, х2, ..., xk) е Р. Пусть
Т' получается из Т добавлением к ее таблице всех пятерок:
za a77(v + 1),
где 0 С / С v и таблица для Т не содержит пятерок, начинаю-
щихся с 1а. Таким образом, <хь xk)^ Р тогда и только
тогда, когда Т' со временем встретит инструкцию ^v+i (и затем
остановится), начав работу с q0 и обозревая при этом самый
левый символ из гх1”1 0 гх2П 0 ... 0 гхр.
Будем кодировать конфигурации для Т' тройками </, и, г>
натуральных чисел. Здесь п есть просто номер инструкции, ко-
торая исполняется, и I — код для последовательности из 0 и 1
на ленте слева от обозреваемой ячейки; конкретно, / есть на-
туральное число, двоичное представление которого есть эта по-
следовательность (где, конечно,бесконечная последовательность
из 0 слева не влияет на /). Аналогично г — натуральное число,
двоичное представление которого есть последовательность 0 и 1,
начинающаяся с обозреваемой ячейки и идущая от нее вправо,
причем она читается справа налево. Так, например, тройка
<13, 4, 19> представляет машинную конфигурацию, при которой
на ленте записано
. . 000110111001000 ...,
обозреваемая ячейка, а также непосредственно примыкающие
к ней слева и справа ячейки содержат 1, а исполняемая ин-
струкция есть ^4-
Начальная конфигурация для Т' со входами ..., Xk пред-
ставляется тройкой <0, 0, gfc(xi, ..., Xk)), где
gl(x) = 2x+l - 1,
gft+lUl. •••>	=	Xfc+1) + gl(Xl).
74
ГЛ. 2. НЕРАЗРЕШИМЫЕ ПРОБЛЕМЫ
Здесь, как легко доказать с помощью индукции, предикат
z = gk(x\, •xk) диофантов для каждого фиксированного k.
Пусть для пятерки Q из таблицы Т' Sq обозначает множе-
ство всех </, п, г, /', п', г'} таких, что Q перерабатывает конфи-
гурацию </, п, г> в конфигурацию <Z', п', г'). Мы хотим сейчас
показать, что для каждой фиксированной пятерки Q множество
Sq является диофантовым.
Действительно, если Q имеет вид
ia 0/7/,
то
(Z, п, г, п', г') е SQ п — i А п' = / Д I' = 21 + 0 Д г = 2г' + а.
С другой стороны, если Q имеет вид
ia 0Л/,
то
(Z, п, г, Z', n', r')eSQ
п = i Д п' = j Д [(Z = 21' Д г' = 2 (г + 0 — а)
V(Z = 2/' + 1 Дг' = 2(г + 0-а)+ 1)].
Пусть Qb Q2, ...» Qp, — список всех пятерок из таблицы для
ц
машины Г и J Sq . Следовательно, S — диофантово мно-
i=i
жество, a (Z, n, г, Zz, n', /)eS только в том случае, когда не-
которая пятерка для Т' перерабатывает конфигурацию (Z, п, г)
в конфигурацию (Z', /г', г').
Далее, всякое вычисление на Г' есть последовательность
конфигураций {lif nh г^, / = 0, 1, ..., &+1, таких, что
<Zf, nh rh li+it ni+b ri+})&S для i = 0, 1, ..k и nk+x = v + 1.
Мы будем считать lh ni9 rt разрядами при достаточно большом
основании В, т. е. полагаем
k	k ,	k
R=^riBl.
M	Z=0	t=0
Используя функцию Ф из (ii), наконец получаем
(х1( ...» х*)е=Р
*-> 2BLNRK {Ф (0, В, L) = 0 А Ф (0, В, N) = 0
АФ(0, В, R) = gk(xl....хй)АФ(/г+ 1, В, A0 = v + l
АУ/<й[<Ф(Л В, L), Ф(/, В, N), Ф(/, В, R), •
Ф(/+ 1, В, L), Ф(«+ 1, В, N), Ф0Ч- 1, В, R))<^S]}'
Применив теорему 5.6, получаем, что Р диофантов.
ЛИТЕРАТУРА
75
’ ЛИТЕРАТУРА
А д я н С. И.
1. Алгоритмическая неразрешимость проблемы распознавания некоторых
свойств групп. — ДАН СССР, 1955, 103, с. 533—535.
Бриттон (Britton J. L.)
1. The word problem. — Ann. Math., 1963, 77, p. 16—32.
Бун (Boone W W.)
1. The word problem. — Ann. Math., 1959, 70, p. 207—265.
Бун, Каннонито и Линдон (Boone W. W., Cannonito F. B., Lyn-
don R. C.)
1. Word Problems — Amsterdam: North-Holland, 1973.
Бун, X а кен и Поэнару (Boone W. W., Haken W., Poenaru V.)
1. On recursively unsolvable problems in topology and their classifica-
tion. — In: Contributions to Mathematical Logic/Ed. by H. N. Schmidt
et al. Amsterdam: North-Holland, 1968, p. 37—74.
Девис (Davis M)
1.	The Undecidable. — Hewlett (N. Y.): Raven Press, 1965.
2	An explicit Diophantine definition of the exponential function. — Comm.
Pure Appl Math., 1971, 24, p. 137—145.
3.	On the number of solutions of Diophantine equations. — Proc. Amer.
Math. Soc., 1972, 35, p. 552—554.
4.	Hilbert’s Tenth Problem is unsolvable. — Amer. Math. Monthly, 1973, 80,
p. 233—269.
Девис (Davis M.).Матиясевич Ю. В. и Робинсон (Robinson J.)
1. Hiloert’s Tenth Problem. Diophantine equations: positive aspects of
a negative solution. — Proc. Svmposia Pure Math., 1976, 28, p. 223—
378.
Девис, Па th ем и Робинсон (Davis М., Putnam Н., Robinson J.)
1. The decision problem for exponential Diophantine equations. — Ann.
Math., 1961, 74, p. 425—436.
Кар, Мур и Ван (Kahr A. S., Moore E. F., Wang H.)
1. Entscheidungsproblem reduced to the V3V case. — Proc. Nat. Acad.
Sci. USA 1962, 48, p. 365—377	”
Маккензи и Томпсон (McKenzie R., Thompson R. J.)
1 An elementary construction of unsolvable word problem in group
theory — In: Boone W. W., Cannonito F. B., Lyndon R. C.
Word Problems. Amsterdam: North-Holland, 1973, p. 457—478.
M a p к о в A A
1. Невозможность некоторых алгорифмов в теории ассоциативных си-
стем - ДАН СССР, 1947, 55, с. 587—590
2 Неразрешимость проблемы гомеоморфизма. — В кн.: Proceedings of the
International Congress of Mathematicians. London: Cambridge Uni-
versity Press, 1958, c. 300—306.
Матиясевич Ю. В
1. Диофантовость перечислимых множеств. — ДАН СССР, 1970, 191,
с. 279—282.
2 Диофантовы множества. — УМН, 1972, 27, с. 185—222.
Матиясевич Ю В и Робинсон (Robinson J.)
1. Reduction of an arbitrary Diophantine equation to one in 13 unknowns.—
Acta Arithmetica, 1975 27, p 521—553.
Минский (Minsky M.)
1 Recursive unsolvability of Post’s problem of tag and other topics in the
theory of Turing machines. — Ann Math, 1961 74, p. 437—454.
2 Computation- Finite and Infinite Machines — Englewood Cliffs (N. J.):
Prentice-Hall 1967 [Русский перевод: Минский M. Вычисления и
автоматы —М: Мир, 1971.]
76
ГЛ 2 НЕРАЗРЕШИМЫЕ ПРОБЛЕМЫ
Новиков П. С.
1, Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов в тео-
рии групп. — Тр. матем. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова, 44. AV:
Изд. АН СССР, 1955.
Он дер о (Aanderaa S.)
1. /X proof of Higman’s embedding theorem using Britton extensions of
groups. — In: Boone W. W., Cannonito F. B., Lyndon R. C.
Word Problems. Amsterdam: North-Holland, 1973, p. 1—18.
Ондеро и-Льюис (Aanderaa S., Lewis H. R.)
1. Linear sampling and the V3V case of the decision problem. — J. Sym-
bolic Logic, 1974, 39, p. 519—548.
Патерсон (Paterson M. S.)
1.	Unsolvability in 3X3 matrices. — Studies in Appl. Math., 1970, 49,
p. 105—107.
Пост (Post E. L.)
1 Formal reductions of the general combinatorial decision problem. —
Amer. J. Math., 1943, 65, p. 197—215.
2.	A variant of a recursively unsolvable problem. — Bull. Amer. Math.,
Soc, 1946, 52, p. 264—268.
3.	Recursive unsolvability of a problem of Thue. — J. Symbolic Logic, 1947,
12, 1—11.
4.	Absolutely ursolvable problem and relatively undecidable propositions,
Account of an anticipation. — In: Davis M. The Undecidable. Hewlett
(N Y.): Raven Press, 1965, p. 340—433.
Рабин (Rabin M. O.)
1. Recursive unsolvability of group theoretic problem. — Ann. Math, 1958,
67, p. 172—194.
Ротман (Rotman J. J.)
1. The Theory of Groups. — Boston (Mass.): Allyn and Bacon, 1973.
Туэ (Thue A.)
1. Probleme uber Veranderungen von Zeichenreihen nach gegebenen Re-
geln. — Skr. utzit av. Vid. Kristiania, I. Mat.-Naturv. Klasse, 1914, 10.
Тьюринг (Turing A. M.)
1. On computable numbers, with an application to the Entscheidungspro-
blem. — Proc. London Math. Soc, Ser. 2, 1936, 42, p. 230—265; 1936,
43, p. 544—546
X а к e н (Haken W.)
1. Connections between topological and group theoretical decision pro-
blems.— In: Boone W. W, Cannonito F. B, Lyndon R. C.
Won Problems. Amsterdam: North-Holland, 1973, p. 427—441.
Хигмен (Higman G.)
1. Subgroups of finitely presented groups. — Proc. Roy. Soc. London, Ser. A,
1961, 262, p. 455—475.
Хопкрофт и А л м e н (Hopcroft J, Ullman J.)
1. Formal Languages and Their Relation to Automata. — Reading (Mass.):
Addison-Wesley, 1969.
Чёрч (Church A.)
1. A note on the Entscheidungsproblem. — J. Symbolic Logic, 1936, 1,
p. 40—41, 101 —102; исправленный текст в кн: Davis М. The Unde-
cidable. Hewlett (N. Y.): Raven Press, 1965, p 108—115.
Шенфилд (Schoenfield J. R.)
1. Mathematical Logic. — Reading (Mass): Addison-Wesley, 1967, [Русский
перевод: Шенфилд Дж. Математическая логика. — М.: Наука, 1975.]
Я с у х а р a (Yasuhai а А.)
1. Recursive Function Theory and Logic — N. Y.: Academic Press, 1971.
Глава 3
РАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ
Михаэль О. Рабин
СОДЕРЖАНИЕ
Обзор и основные понятия............................................77
§ 1.	Метод элиминации кванторов.....................................82
1.1.	Теории и модели (82). 1.2. Элиминация кванторов для дискрет-
ных порядков (85). 1.3. Арифметика Пресбургера (88). 1.4. Теория
действительных чисел (88). 1.5. Другие теории (89).
§ 2.	Теоретико-модельные методы.....................................89
2.1.	Категоричность, полнота и разрешимость (89). 2.2. Алгебраиче-
ски замкнутые поля (90). 2.3. Вещественно замкнутые поля (91).
2.4.	Снова о теории DO (92). 2.5. Дальнейшие результаты (93).
§ 3.	Метод интерпретаций............................................94
3.1.	Семантические интерпретации (94). 3.2. Разрешимые теории вто-
рого порядка (97). 3.3. Теорема о дереве (98). 3.4. Снова об ариф-
метике Пресбургера (98). 3.5. Теория второго порядка для линей-
ного порядка (99). 3.6. Разрешимость в топологии (100). 3.7. Булевы
алгебры (101). 3.8. Неклассические логики (102).
§ 4. Сложность разрешающих процедур..............................103
4.1. Вычисления на машинах Тьюринга (103). 4.2. Теория WS1S
(104). 4.3. Теории сложения и вещественно замкнутых полей (106).
4.4. Пропозициональные исчисления и Р = NP (107).
Литература . ....................................................109
Обзор и основные понятия *)
Исследования по разрешимости касаются попыток устано-
вить для данной математической теории Т или данной пробле-
мы Р существование разрешающего алгоритма AL, который бу-
дет выполнять следующее. Для данного предложения А, вы-
раженного в языке теории Т, алгоритм AL будет определять,
будет ли А истинным в Г, т. е. будет ли А е Т. В случае про-
блемы Р для каждого частного случая I проблемы Р алгоритм
AL будет выдавать правильный ответ для этого частного случая.
В зависимости от проблемы Р ответ может быть дан в виде
«да» или «нет», целым числом и т. д.
Если такой алгоритм действительно существует, то мы будем
говорить, что проблема разрешимости для Т или Р разрешима
*) Читателю можно порекомендовать для ознакомления также книгу
Ершова [3] и обзорную статью Ершова, Лаврова, Тайманова
иТайцлина [1]. — Прим. ред.
78
ГЛ 3 РАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ
или что теория Т разрешима, или просто, что проблема Р раз-
решима. Об AL будем говорить как о разрешающей процедуре
для Т или Р. Проиллюстрируем наши понятия двумя знамени-
тыми результатами, связанными с разрешимостью.
Пусть L — язык первого порядка, подходящий для выраже-
ния утверждений евклидовой геометрии на плоскости. Итак, L
имеет список переменных, областью значения которых будут
точки; два трехместных предиката L(x, у, г) и B(x,y,z), обо-
значающие предикаты «лежать на одной прямой» и «лежать
между»; два предиката С (х, у, z, и, v,w) и А (х, у, г, и, v, w),
обозначающие равенство треугольников и равенство углов (т. е.
Axyz^Auvw и xyz = ^uvw); четырехместный предикат
Е(х, у, и, v), обозначающий равенство длин (т. е. xy = uv). На-
пример, формула
Vxyzuv[A(x, у, v, z, у, v) А А(х, г, и, у, zt и)
/\ В(х, у, и) Д В(х, z, v) А Е (и, z, v, у)->Е(х, у, х, г)]
выражает в L известный из средней школы факт, что если в
треугольнике биссектрисы двух углов равны, то данный тре-
угольник равнобедренный.
Тарский [2] доказал, что теория EG, содержащая все
предложения из L, истинные в евклидовой геометрии на пло-
скости, — так называемая элементарная геометрия — разре-
шима.
В действительности Тарский доказал более сильный резуль-
тат. Пусть 9? = </?, +, •> — поле действительных чисел, тогда
теория первого порядка Th (9?) разрешима. Из этого последнего
результата следует разрешимость элементарной геометрии пу-
тем введения декартовых координат и сведения геометрических
утверждений к эквивалентным алгебраическим утверждениям.
Наш второй пример также связан с Евклидом. Проблема
НОД состоит в нахождении для пар а, b натуральных чисел их
наибольшего общего делителя (а,Ь). Способ, незначительно
отличающийся от известного алгоритма Евклида, основан на
двух фактах: (а, 0) = а и (a, b) = (a, b — а) дЛя а Ь. После-
довательными шагами второго типа можно преобразовать любой
Н.О.Д. (а,Ь) в (с, 0) так, чтобы (а, Ь) = с. Так, (27,15) =
= (12,15) = (12,3) = (9,3) = (6,3) = (3,3) = (3,0) = 3.
Для того чтобы придать точный математический смысл раз-
решимости, нам нужно понятие вычислимой или рекурсивной
функции. С помощью подходящей гёделевой нумерации G мно-
жество всех предложений языка L одно-однозначно отображает-
ся в некоторое рекурсивное подмножество S N множества на-
туральных чисел N. При этом Т отображается в множество
G(T)^S. Теория Т по определению разрешима тогда и только
ОБЗОР И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
79
тогда, когда G(T)—рекурсивное множество, т. е. его характе-
ристическая функция fr вычислима. Решение проблемы разре-
шимости для Т предполагает указание программы или алго-
ритма для вычисления fT или по крайней мере доказательства
того, что fT вычислима. Понятие разрешимости проблемы Р
уточняется подобным же образом.
Везде в этой книге считается, что теория Т неразрешима,
если fT не рекурсивна.
Имеется значительное методологическое различие между
изучением разрешимости и изучением неразрешимости, и это
несмотря на тот очевидный факт, что эти два понятия являются
противоположными* сторонами одной медали. Попытки устано-
вить неразрешимость теории Т предполагают наличие какого-то
математически точного понятия вычислимых функций. Ибо
только после того, когда мы знаем, что такое вычислимая функ-
ция, можно доказать, что fT невычислима.
С другой стороны, проблема разрешения для Т может быть
решена посредством указания разрешающего алгоритма AL,
который признается и допускается математиками в качестве
эффективной вычислительной процедуры. Так, например, алго-
ритм Евклида, указанный выше, дополненный точными прави-
лами для сравнения и вычитания натуральных чисел, признается
как вычислимый метод всеми.
Данное утверждение объясняет исторические факты о том,
что некоторые результаты о разрешимости были получены до
определения рекурсивных функций в середине тридцатых годов,
в то время как первые результаты о неразрешимости были по-
лучены лишь после формулировки этого определения.
Имеется три главных метода для доказательства разреши-
мости теорий. Первым и старейшим является элиминация кван-
торов. Этот метод состоит в преобразовании данного предложе-
ния А в другое предложение В такое, что Т Н А В и В при-
надлежит классу предложений Л, для элементов которого мы
можем прямо решить, будут ли они лежать в Т.
Второй метод теоретико-модельный. В своем типичном виде
он имеет дело с (рекурсивным) множеством аксиом АХ для тео-
рии Т. Теоретико-модельные методы применяются либо для
того, чтобы показать, что АХ полное, в этом случае легко ви-
деть, что Т разрешима, либо для того, чтобы систематически
обозреть все пополнения для АХ. В последнем случае мы будем
узнавать для каждого предложения А, будет ли T|J {ПА} не-
противоречивым и, следовательно, будет ли Т Н А.
В некоторых случаях используется комбинация этих двух
методов. А именно, разумным образом выбирается множество Л
предложений языка L так, чтобы для каждого предложения А
из L существовало предложение В <= Л, эквивалентное А по
80
ГЛ. 3. РАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ
отношению к Г, что устанавливается теоретико-модельными
средствами. При этом предложения В е истинные в Г, вы-
бираются посредством обозрения моделей теории Т.
Третий метод использует интерпретации. Пусть известно, что
теория То разрешима, а Т — любая теория. Допустим, что у нас
есть (вычислимое) отображение /, которое переделывает или
переводит каждое предложение А языка L в предложение /(Л)
языка Lo так, чтобы t(A)^ TQ тогда и только тогда, когда А е Т.
При этих условиях Т разрешима. Действительно, для определе-
ния того, будет ли АсТ, мы должны лишь найти t(A) и про-
верить, будет ли /(Л)^ То. Обычно интерпретация t также имеет
дело с теоретико-модельными рассмотрениями. Показывается,
что модели для Т могут быть изоморфно воспроизведены из мо-
делей для То с помощью определимых в Lo предикатов. Этот
метод был применен Рабином [2] для получения большин-
ства известных результатов о разрешимости, а также некоторых
новых результатов.
Метод интерпретаций с необходимыми изменениями является
сильным инструментом и для доказательств неразрешимости.
Действительно, если про теорию Т известно, что она неразре-
шима, и интерпретируема в То в том смысле, как это объясня-
лось в предыдущем абзаце, то Tq должна быть неразрешима,
см. Р а б и н [1].
На изучение разрешимости можно смотреть и как на часть,
или естественное ответвление, программы Гильберта обоснова-
ния математики. Идея Гильберта состоит в кодификации
различных разделов математики системами аксиом, а аксиома-
тизированная логика остается общей основой для выведения
следствий (теорем) из аксиом. Гильберт надеялся, что' такая
формализация превратит вывод математических результатов в
механическую игру с цепочками символов. Согласно плану Гиль-
берта это помогло бы нам дать исчерпывающий список всех
формальных теорем внутри любой математической дисциплины,
а это поможет доказать, что нет никакого формального утвер-
ждения и его отрицания, которые доказываются вместе, что в
свою очередь демонстрировало бы непротиворечивость матема-
тики. В программу Гильберта включена и вера в то, что про-
цесс вывода теорем может быть механизирован, или, говоря
по-современному, что математические теории разрешимы. По-
терпев неудачу в попытке реализовать программу Гильберта
для математики вообще как целого, доказав непротиворечи-
вость и разрешимость, скажем, теории множеств, исследователи
обратились к изучению более ограниченных разделов матема-
тики. Многие из результатов о разрешимости, которые мы обсу-
дим позднее, такие, как разрешающий метод Пресбургера для
теории сложения натуральных чисел, были получены в двадца-
ОБЗОР И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
81
тых и начале тридцатых годов и были вызваны программой
Гильберта.
Знаменитые теоремы Гёделя о неполноте и результат Чёрча
о неразрешимости, полученные в начале и середине тридцатых
годов, разбили все надежды реализации программы Гильберта в
ее первоначальной форме. А именно, Гёдель продемонстрировал
невозможность доказательства непротиворечивости любой зна-
чительной части математики посредством финитных методов, ко-
торые отстаивал Гильберт, а Чёрч доказал, что исчисление пре-
дикатов, как и арифметика сложения и умножения натуральных
чисел, неразрешимы. Эти результаты открывают перспективу
изучения разрешимости и вызвали массу исследований о раз-
решимости и неразрешимости различных математических теорий.
Только в последние годы стали обращать внимание на во-
прос о вычислительной сложности разрешимых проблем разре-
шимости. Как в программе Гильберта, так и при тьюринговском
анализе вычислимости молчаливо предполагается, что для тео-
рии Г, про которую доказано, что она разрешима, вопрос, бу-
дет ли данное предложение теоремой теории Г, тривиален. Дей-
ствительно, нужно лишь применять механическую процедуру
для того, чтобы ответить на любой такой вопрос. Никакого твор-
чества и разумного осмысления не требуется для этого процесса.
С этой точки зрения любая разрешимая теория тривиальна и
неинтересна. Работы Фишера, Мейера и Рабина и других вы-
звали переоценку такого отношения. Они показали, что многие
теории, хотя они и разрешимы, с практической точки зрения
неразрешимы, потому что любой разрешающий алгоритм тре-
бовал бы практически невозможного числа вычислительных ша-
гов. Для арифметики сложения натуральных чисел, разреши-
мость которой доказана Пресбургером, Фишер и Рабин [1]
показали, что для каждого разрешающего алгоритма AL суще-
ствует предложение А размера (т. е. с числом символов) п та-
кое, что для AL требуется 22" вычислительных шагов для ответа
на вопрос по поводу Л. Мейер [1] доказал даже еще более
обескураживающие результаты о сложности для теорий таких,
как теория линейного порядка. Фишер и Рабин также показали,
что элементарная геометрия имеет проблему разрешимости, ко-
торая по своей природе является экспоненциально сложной.
Результаты, подобные этим, подвергают сомнению утверждение,
что любая теория, о которой доказано, что она разрешима, три-
виальна, так как ее теоремы можно было бы выявить с помощью
вычислительной программы. Вычисления, требующие, скажем,
2230 шагов, нельзя рассматривать как возможный метод под-
тверждения истинности математического утверждения.
Существуют ли какие-нибудь теории с практически разреши-
мыми проблемами разрешимости? Как это ни странно, ответ на
82
ГЛ. 3. РАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ
этот фундаментальный вопрос еще неизвестен. Легко видеть, что
проблема разрешимости любой формализованной теории по
крайней мере так же сложна, как и проблема разрешимости для
пропозиционального исчисления PC. Далее, Кук [1] заметил,
что многие комбинаторные проблемы разрешимости, которые не
поддались попыткам создания эффективной, а не экспоненци-
ально сложной разрешающей процедуры, сводятся к PC. Это
заставляет верить в гипотезу, что PC экспоненциально сложна.
Кук рассматривал сходный вопрос, но относящийся к исполь-
зованию машин Тьюринга о том, будут ли недетерминированные
вычисления, требующие числа шагов, полиномиально завися-
щего от размера проблемы, всегда эквивалентны обычным де-
терминированным вычислениям, требующим полиномиального
числа шагов. Эта так называемая проблема P = NP является
в момент написания данной главы одной из центральных откры-
тых проблем в теории вычислительных машин. Она также имеет
отношение к старой «проблеме спектра», относящейся к моде-
лям предложений предикатного исчисления. Детали будут даны
в тексте.
Так как исследования по разрешимости включают в себя
методы из пропозициональных и предикатных логик, теории вы-
числимых функций и теории моделей, мы будем опираться на
них в своем изложении. В большинстве случаев для дальней-
шего требуются лишь элементарные знания об этих предметах.
Неподготовленному читателю необходимо познакомиться с со-
О1ветствующими главами этой книги для получения всей нуж-
ной вспомогательной информации.
§ 1. Метод элиминации кванторов
1.1. Теории и модели. Теории, с которыми имеют дело при
изучении разрешимости, будут представляться одним из двух
путей: аксиоматически или семантически, как множество пред-
ложений, истинных в какой-либо системе или классе систем.
Обычно мы будем рассматривать теории первого порядка, т. е.
теории, выраженные в некотором предикатном языке первого
порядка. Это правило будет, однако, иметь некоторые важные
исключения.
Определение 1. Пусть L — некоторый фиксированный
язык первого порядка и Н — некоторое непротиворечивое ре-
курсивное множество предложений языка L. Теорией, аксиома-
тизированной посредством Н, по определению является множе-
ство Th(//) всех логических следствий из Н,
Н Н Л}.
$ 1. МЕТОД ЭЛИМИНАЦИИ КВАНТОРОВ
83
Теория Th (Н) и множество аксиом Н называются полными.
если для каждого предложения А из L имеем Де Th (Н) или
”1Д eTh(tf).
Теорема 1. Если теория Т аксиоматизирована и полна, то
Т разрешима.
Доказательство. Пусть Н — аксиоматизация теории Т.
Последовательности Si = (Дл, Д/2,	Д/П/), являющиеся
формальными доказательствами из аксиом Н. могут быть эф-
фективно перечислены. Это можно сделать, например, перечис-
ляя все конечные последовательности (слова) над алфавитом
для L и выбрасывая те последовательности, которые не яв-
ляются доказательствами. Последние элементы Aint перечис-
ляемых доказательств пробегают все утверждения Д, которые
доказываются из Н. т. е. все элементы из Th(//) = Т.
Таким образом, все теоремы из Т могут быть эффективно
(вычислимо) перечислены в последовательность S = (ДЬ Д2, ...).
Пусть теперь А—любое предложение языка L. Начнем пере-
числять S и для каждого Ап проверяем, будет ли Ап — А или
Дп==~!Д. Так как Т полна, то один из этих случаев должен
в конце концов встретиться, и в это время мы узнаем, будет ли
А е Т или А ф Т. □
Люди, встречающиеся с подобными рассуждениями впервые,
часто испытывают некоторую трудность, чтобы убедить себя,
что предложенная процедура является правильным вычисли-
тельным процессом для разрешения Т. Это связано с тем, что
существенная особенность вычисления состоит в том, что мы
уверены, что оно закончится, в то время как здесь, когда дает-
ся Д, мы не имеем заранее никакой границы на число шагов,
требующихся для окончания вычисления. Однако полнота Т
гарантирует, что вычисление будет закончено, и либо Д, либо
1Д встретится в вычислении. Это и составляет доказательство
того, что алгоритм закончится. В действительности тем самым
показывается, что и функция «число шагов» будет вычислимой,
хотя и не такой общеизвестной, как, например, пп.
Основная идея теоремы 1 может быть обобщена и на случай,
когда Т не полна.
Теорема 2. Пусть Т — аксиоматизируемая теория, и пред-
положим. что существует рекурсивная (вычислимая) последо-
вательность Д1, Д2, ... предложений, удовлетворяющих следую-
щим условиям:
(1) Т[) {Д«} непротиворечива для каждого п.
(2) Каждое пополнение Т^Т\ теории Т имеет (не обяза-
тельно рекурсивное) множество аксиом В = {Вь ..., В», . }
такое, что Т\ =Th(B) и для каждого k существует п. для ко-
торого Т Н Ап Bi А ... A Bk.
84
ГЛ 3 РАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ
Из условий (1), (2) следует, что Т разрешима.
Доказательство. Пусть Н — рекурсивная аксиоматиза-
ция для Т. С помощью процесса, похожего на вышеуказанный,
мы можем эффективно перечислить в одну последовательность
£>i, £>2, ... логические следствия всех множеств Нп = Н {Ап},
п = 1, 2, ... А именно, начнем с эффективного перечисления
следствий из как в доказательстве теоремы 1. Когда первое
следствие	встретится, начинаем перечислять следствия
из Н2 до тех пор, пока не получится О2. Затем возвращаемся
к порождению второго следствия, назовем его £>3, из Н\. Затем
возвращаемся к Н2 для получения Н2 Н В4, а следующим полу-
чаем первое следствие, назовем его из /73 и т. д.
Снова, как указано выше, эффективно перечисляем указан-
ную последовательность D\, ..., Dn, ..., а также последова-
тельность ..., Еп, ... всех следствий из Н. Вторая последо-
вательность есть в действительности перечисление T = Th(B).
Следовательно, если А е Т, то А встретится среди Ei. Мы утвер-
ждаем, что если АфТ, то ПА встретится среди Di. Таким об-
разом, двойное перечисление эффективно позволит нам ответить
на вопрос, будет ли А Т.
Чтобы доказать данное утверждение, заметим, что если
А ф Т, то TU {ПА} непротиворечиво. Следовательно, оно есть
подмножество некоторой полной теории 7"U {ПА} ^7"i. Пусть
В= {Bi, В2, ...} — множество аксиом для Т\, упоминаемое в
предположении о последовательности Ai,A2, ... Тогда В Н ПА,
и, следовательно, для некоторого целого числа k имеем
В\ А ... А В* I—ПА. По нашим предположениям существует п
такое, что Т Н Ап В\ Л ... АВ*. Таким образом, Т J {An} Н
Н ПА и ПА встретится в последовательности D2, ... □
Теорема 2 используется для доказательства разрешимости в
случаях, когда Т не полна, но однако мы можем как-то обо-
зреть все возможные пополнения.
Определение 2. Пусть 91 = <А,	/?2, .. •>— система и
L — язык первого порядка, соответствующий 91, т. е. L имеет
символы Pi, соответствующие всем предикатам и функциям Ri
из 91. Теорией Th (91) системы 91 называется множество предло-
жений из L, истинных в 91,
Th (91) = {В: 21 НВ}.
Если Ж — класс однотипных систем, a L — язык, соответствую-
щий одной, а значит, и всем системам из Ж\ то по определению
Th(X) = П Th (91).
Теперь дадим несколько примеров теорий как заданных
аксиомами, так и заданных моделями, т. е. определенных семан-
тически.
§ 1 МЕТОД ЭЛИМИНАЦИИ КВАНТОРОВ
85
Пример 1. Пусть L — язык только с одним двухместным
предикатным символом (больше или равно, чем). Рассмот-
рим аксиомы OR:
1.	VxV# [х < у А у С х -> х = у],
2.	VxVy[x^y VK4
3.	VxVr/Vz [х у Д у z -> х	г].
Любая модель <А,	|= OR является линейно упорядочен-
ным множеством.
Пусть х<у является сокращением для х ^у /\~}х = у.
Пример 2. Рассмотрим аксиомы DO, полученные добавле-
нием к OR аксиом
4.	ЭхЧу[у^х->х = у],
5.	VxBif [х < у А Vz [х < z -> у г] ],
6.	VxV# [у <х~> 3z>Jw [z < х A [z <w -> x

Любая модель <A, h= DO является линейно упорядочен-
ным множеством, которое имеет первый элемент, каждый эле-
мент имеет единственный непосредственно следующий элемент и
каждый элемент, за исключением первого элемента, имеет един-
ственный предшественник. Такие порядки будут называться ди-
скретными порядками.
Обозначая, как обычно, со = {0, 1, -2, ...}, видим, что
91 == <(о, (= DO. Если мы обозначим через со* обратный по-
рядковый тип для со (т. е. О > 1 > 2 > ...), то каждое упоря-
доченное множество, являющееся моделью для DO, имеет поряд-
ковый тип со + (со* + со) • где К— любой порядковый тип.
Пример 3. Рассмотрим класс всех систем <Л,/>, где
/' — одноместная функция f: Л->Л. Th(J5fUf)—теория одномест-
ных функций.
Пример 4. Пусть <со,+> — система целых чисел со сло-
жением, Th (<со, +>) = PAR будет называться арифметикой
Пресбургера или теорией сложения натуральных чисел.
1.2. Элиминация кванторов для дискретных порядков. До сих
пор мы рассматривали аксиоматически и семантически опре-
деленные теории. Мы также указали два метода доказательства
разрешимости для аксиоматизированных теорий. Теперь проил-
люстрируем метод элиминации кванторов, доказав разреши-
мость Th(<co, ^>), этот результат доказан К. X. Ленгфордом
в 1927 г.
Теорема 3. Th (91) разрешима.
Доказательство. Обогатим систему 91, сделав 0 выдели-
мым элементом и добавив функцию следования S(x) = %4-1
(элемент, следующий по порядку за х). Полученную систему
обозначим через 911 = <со, 0,	S>, а соответствующий язык —
86
ГЛ 3 РАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ
Li. Докажем разрешимость Th(9li), из этого результата следует
разрешимость и Th (91).
Будем использовать сокращение Sn(t), чтобы обозначить п
применений S к терму /, таким образом, S3(x) = S(S(S(x))).
В частности, SQ(y) = y. Термами языка являются 0, х, у, ...
..., Sn (0), Sn(x), ..., 1 п.
Класс формул 91, к которым мы будем сводить каждую фор-
мулу из Li, будет состоять из следующих формул:
(1)	t\ = /2, t\ < /2, где /1, /2 — термы;
(2)	формулы, являющиеся дизъюнкциями конъюнкций фор-
мул из (1).
Например, формула [S3(0) = х A S(y) < z] V S5(*)< S3(y)
находится в
Покажем, что каждая формула А из Li эквивалентна в
некоторой формуле	Наше доказательство будет также
давать метод эффективного преобразования А в В.
Утверждение, что две формулы С и D эквивалентны в 911,
означает, что 9li h= С D. Мы сделаем некоторые утверждения
об эквивалентности формул, оставляя их проверку читателю.
Пусть А—открытая формула, т. е. не содержащая кванто-
ров. Выразим все другие пропозициональные связки через А,
V, ~1. Проносим все ”1 на атомные формулы, используя правила
такие, как I [С VD] = ~1С A ~1Z). Уберем все вхождения двой-
ного отрицания ~1~1. • Заменим все части вида t\ /2 на t\ =
= /2 V /i < ~]t} = t2 на t\ < t2 V t2 < t\ и ПЛ < t2 на
t\ = t2 V t2 < t\. Наконец, используя дистрибутивный закон для
А и V, преобразуем формулу в некоторую формулу из 91. Та-
ким образом, видим, что, повторяя применение вышеуказанных
правил, мы преобразуем любую открытую формулу в эквива-
лентную формулу из 91.
Допустим теперь, что At имеет вид 3^[Cj V ••• V	где
каждое С{ являэтся конъюнкцией формул tx = t2 или
Имеем Ах = ЗуС{ У ... V ЗуСп. Таким образом, достаточно
дать правила преобразования формул вида
Al = By[ti—12 A ••• А/2/—1=== ^2/
A 1 < ^2f+2 A ... A tik-1 < 4*1”
Читатель может сам понять, как обращаться в случае, когда
некоторое равенство или неравенство из At имеет форму Sm(y) =
= Sl(y} или S"l(y) < Sl(y}. Таким образом, мы можем предпо-
лагать, что в каждом равенстве или неравенстве из Л] не более
чем одна из частей имеет вид Sl(y).
Для любых термов 6, t2 и 1 п имеем
3l1|=Z1</2^S'’(/1)<S',(/2)
« I. МЕТОД ЭЛИМИНАЦИИ КВАНТОРОВ	87
и подобную эквивалентность для = Заменяя обе части
всех равенств и неравенств в А{ подходящими степенями S7,
преобразуем Ах в эквивалентную формулу, в которой все
вхождения у имеют вид Sm(y) с одним и тем же 1 < т. Пред-
положим, что Л1 уже имеет это свойство. «Элиминируем» Зу
из Л1 следующим образом: (1) убираем Зу из Л/, (2) для
каждой части Sm(y) = tj добавляем конъюнктивный член
(3)	для каждой части Sm(y)<tj добавляем конъ-
юнктивный член Sm(0) <	(4) если какое-то равенство Sm(y)=ti
входит в Alf то заменяем все вхождения Sm(y) в Ах на
(5) предположим, что никакого такого равенства нет, а все
неравенства имеют вид Sm (у) < или же имеют вид /у < Sm(y),
тогда убираем все части, содержащие Sm(y)\ (6) наконец, если
нет равенства, содержащего но встречаются неравенства
обоих видов, то для каждой паоы	и Sm(y)<tp до-
бавляем конъюнктивный член S(/z)</p и затем убираем все
части, содержащие Sm(y>. Ясно, что шаги (1) — (6) преобра-
зуют Ах в эквивалентную формулу В е 5?, не содержащую у.
Теперь пусть Л —любая формула из LP Так как VxF =
Л то можно предполагать, что Л содержит лишь
кванторы существования, скажем п штук. Пусть 3yD — самое
внутреннее вхождение 3, т. е. D открыта. Преобразуем D
в дизъюнкцию конъюнкций, как это только что было описано.
Тогда 3yD^Ax, где Ах имеет вид, указанный выше. Распре-
деляем Зу по дизъюнкции и обрабатываем каждую часть с по-
мощью шагов (1) —(6). Этими преобразованиями 3yD заме-
нится в Л эквивалентной открытой формулой, а Л преобра-
зуется в эквивалентную формулу с/г—1 квантором. Повторяя
этот процесс п раз, эффективно преобразуем ЛвВе£
Наконец, если А было предложением, то преобразованная
формула также является предложением и, следовательно, про-
позициональной комбинацией формул Sm(0)=Sf(0) или
Sm (0) < S‘(0). Истинность или ложность этого предложения
может быть вычислена непосредственно. Итак, мы имеем про-
цедуру разрешения для Th(9li), а значит, и для Th (91). □
Заметим, что можно было бы избежать перехода от 31 к ЗЬ
по той причине, что предикат y~Sn(x) определим подходящей
формулой Dn(x, у) в 31. Это позволяет нам переводить любую
базисную формулу tx < /2 или t\ = t2 в формулы из Li и, следо-
вательно, получить класс сведения формул из Li.
Заметим, что если мы выполним процедуру элиминации
кванторов в 31, то мы в действительности не освободимся от всех
кванторов Скорее, мы «прячем» их в формулах Dn(x, у). Но
все же это дает нам требуемый результат. Вообще говоря, на
88
ГЛ. 3 РАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ
метод элиминации кванторов надо смотреть с этой более широ-
кой точки зрения.
Та же самая разрешающая процедура может быть применена
к Th (DO), лишь требуются изменения, связанные с тем, что
различные утверждения об эквивалентности формул, которые
были математически подтверждены для 911, теперь должны быть
выведены как формальные следствия аксиом DO. Следуя этому
пути, мы не только докажем разрешимость Th (DO), но и пока-
жем, что Th (DO) = Th (91), т. е. докажем, что Th (DO) полна.
1.3.	Арифметика Пресбургера. Разрешимость PAR была до-
казана Пресбургером [1], использовавшим метод элимина-
ции кванторов. С помощью подходящей формулы х<пу мы мо-
жем выразить для каждого фиксированного /? предикат х < у А
д х = y(mod ri). Так, например, х <3у есть Вг[Пг = ОАх + -г +
-|-z + 2 = y]. Обогатим систему <со,+>, сделав 0 и 1 выде-
ленными элементами. Термами языка являются теперь 0, 1,
х, у, ... и все выражения, которые являются их суммами, на-
пример x + z + ^+ l + l + l, которое сокращается до х +
“h 3.
Множество сведения будет состоять из всех формул, по-
лучающихся из базисных формул Л = /2, Л t2 (Л, /2 — тер-
мы, п — целое число) с помощью конъюнкций и дизъюнкций.
Доказательство хотя и нетривиально, но нетрудно и следует до-
казательству 1.2.
1.4.	Теория действительных чисел. Это, еюзможно, одно из
наилучших применений метода элиминации кванторов. Рассмат-
риваем поле действительных чисел 91 = <R 0, 1,+, °, как
упорядоченное поле. Вместо разрешающей процедуры, указан-
ной впервые Тарским, в общих чертах опишем алгоритм Коэна
[1], используя формулировку, указанную в диссертации Монка.
Введем, в качестве временного, понятие, подобное алгебраи-
ческой функции. Пусть Р(хЬ x/?)eZ[xi, ..., х/г]—полином
с целыми коэффициентами, dn(P)— степень хп в Р и т] е Rn~l.
Определим Рц(хп) = Р(пь • • • , Л^-ь *«)• Для 1 i dn(P)
пусть />, i (л) равна 0, если Рц = 0 или Р не имеет действитель-
ных корней, в противном случае i-му действительному корню
уравнения = 0, если существует по крайней мере i таких
корней, а если не существует, то наибольшему действительному
корню. Это позволяет рассматривать fP, ?(xi, ..., хп) как терм,
обозначающий функцию />, г.	Назовем такие термы
алгебраическими функциями.
Полиномиальный предикат — это булева комбинация атом-
ных формул вида 0 Р, где PeZ[t'i, ..., х«]. Алгебраический
предикат — это булева комбинация полиномиальных предикатов
и формул вида 0 P(xi, ..., хп-\, h , *«-i)) или fx f2,
где PeZ[%i, ..., хп], a fi, f2— алгебраические функции. С ка-
§ 2. ТЕОРЕТИКО-МОДЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
89
ждым алгебраическим предикатом связываем ранг таким путем,
что рангом полиномиального предиката является 0.
Процедура элиминации кванторов будет сводить всякую
формулу первоначального языка к открытой формуле (т. е. по-
линомиальному предикату), при этом временно будут исполь-
зоваться и более общие алгебраические предикаты.
Доказательство содержит две леммы. Первая лемма утвер-
ждает, что формула где А — полиномиальный предикат,
эквивалентна некоторому алгебраическому предикату В. Вто-
рая лемма говорит, что всякий алгебраический предикат В ран-
га 1 k эквивалентен некоторому алгебраическому предикату
ранга не более чем k — 1. Из этой леммы следует по индукции,
что каждый алгебраический предикат эквивалентен полиноми-
альному предикату. Вместе эти факты гарантируют, что каждая
формула эквивалентна открытой формуле.
При доказательстве этих лемм используется теорема Ролля,
говорящая о том, что между всякими двумя последовательными
корнями уравнения р(х) = 0 лежит корень уравнения р'(х) = 0.
Если р(х)—полином, то может быть достигнута локализация
корней уравнения р(х) = 0 с достаточной для нас точностью по-
средством локализации корней уравнения //(х) = 0 и значений
р(—оо), р (оо). Для PeZ[xi, ..., х„] обозначим Р' = дР/дхп.
Оказывается, грубо говоря, что утверждение, включающее fP> h
т. е. утверждение об i-м корне уравнения Р = 0, может быть
переделано в утверждение, включающее термы fP\j- В рамках
нашего понятия ранга это влечет понижение ранга, что и яв-
ляется ключевым местом доказательства второй леммы.
1.5.	Другие теории. Коротко укажем некоторые другие тео-
рии, разрешимость которых установлена методом элиминации
кванторов.
Пусть Q — рациональные числа, т] — <Q,	— их порядко-
вый тип. Th (т]) разрешима.
Пусть ALC — класс алгебраически замкнутых полей, тогда
Th(ALC) разрешима. Здесь каждая формула эквивалентна от-
крытой формуле; это можно доказать, например, используя
классическую алгебраическую теорию исключения.
Если ВА — класс булевых алгебр, то Th(BA) разрешима.
Этот результат принадлежит Тарскому [1] и сравнительно
труден *).
§ 2.	Теоретико-модельные методы
2.1.	Категоричность, полнота и разрешимость. Теория т назы-
вается категоричной в мощности а, если все модели $ 1= 7 мощ-
*) Доказательство можно найти в работе Ершова [1] или в книге
Ершова [3]. — Прим. ред.
90 *
ГЛ 3. РАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ
ности с(51)== а попарно изоморфны. Под мощностью модели Я
мы понимаем мощность основного множества модели Я. Сле-
дующее простое замечание принадлежит Р. Вооту. Здесь пред-
полагается, что Т не более чем счетна.
Теорема 4. Если теория Т не имеет конечных моделей и
она категорична в некоторой (необходимо бесконечной) мощно-
сти а, то Т полна.
Доказательство. Допустим с целью прийти к противо-
речию, что Т не полна. Тогда существует предложение S языка
теории Т такое, что теории 7\ = T'U {S} и T2 = 7|J {~1S} непро-
тиворечивы. Поэтому существуют не более чем счетные (т. е.
конечные или счетные) модели Ti Т2 Я2. Так как Т не
имеет конечных моделей, то с(Я))= с(Я2)= Если а = со, то
511 « 512, но 5li |= 5 и 5l2 h= что невозможно. В противном
случае по теореме Скулема — Тарского — Воота существуют эле-
ментарные расширения 511 -< 93i 5U S2 такие, что c(Si) =
= c(S2) — а. Снова Si S2, Si г— S и S2 f= ~IS. □
Условие о том, что Т не имеет конечных моделей, существен-
но. Рассмотрим теорию Е только одного равенства =. Е катего-
рична в каждой мощности. Однако как E|J{VxVy[x = ^J}, так и
Е (J {ЭхВу [~| х = у]} непротиворечивы.
Возможно простейшим использованием этого результата яв
ляется доказательство того, что Th (г|) разрешима. Рассмотрим
аксиомы DNO, содержащие аксиомы линейного порядка и
X/xVyBz [х < у-+х <z <у],
VxByBz [z<x < у].
Каждая модель <Д, DNO является линейно и плотно
упорядоченным множеством без первого и последнего элемен-
тов. Из канторовской характеризации порядкового типа т] =
= <Q, получаем, что если с(Л) = со, то г) « <Л, ^>. Следо-
вательно, Th(DNO) полна, а значит, по теореме 1 разрешима.
Далее, т] |=- DNO, так что Th(DNO)c= Th (rj), но Th(DNO) полна,
и, следовательно, Th(DNO) = Th(r]). □
2.2.	Алгебраически замкнутые поля. Следующей мы рассмот-
рим теорию AL алгебраически замкнутых полей. Эту теорию
можно аксиоматизировать в языке L, имеющем символы 0, 1,
+, °, записав обычные аксиомы поля и добавив последователь-
ность аксиом Ап, и = 1,2, ...,
Ап = УУо ••• 9«-1Эх[Уо + У1*+ ••• + yn-iXn~' + хп = 0].
Аксиома Ап записана с использованием некоторых обычных со-
кращений.
Аксиомы ALC не полны, потому что не определена харак-
теристика поля. Это можно сделать, добавив для простого р
§ 2 ТЕОРЕТИКО-МОДЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
91
аксиому Ср = р-1 — О, где левая часть есть сокращение суммы
термов 1. Чтобы получить аксиомы для характеристики 0, поло-
жим Cq = { 1С2, IC3,
Покажем теперь, что Тр = ALC U {Ср} полна для любого про-
стого р, а также, что Го = АЕСиСо тоже полна. Пусть F\= TD.
где р — простое число или р = 0, будет алгебраически замкну-
тым полем характеристики р и мощности co<c(F)=a. Пусть
Р с: F— простое поле в F, тогда Р = Х/рХ для р =# 0 и Р = Q,
если р = 0. По структурной теореме Штейница для алгебраи-
чески замкнутых полей существует множество X^F элементов,
алгебраически независимых над Р так, что	есть
алгебраическое замыкание Р(Х). Тип изоморфизма F зависит
только от Р (т. е. р) и с(Х)—так называемой степени транс-
цендентности F. Далее, если со < c(F)t то с(Х) = c(F)= а. Сле-
довательно, для всех р теория Тр категорична в каждой несчет-
ной мощности со < а.
Используя теорему 1, получаем, что для каждого р^О тео-
рия Тр алгебраически замкнутых полей характеристики р раз-
решима.
Так как ALCUCo, ALCU{Cp},p — простое число, дает пе-
речисление всех пополнений ALC, то из теоремы 2 следует, что
теория алгебраически замкнутых полей Th(ALC) разрешима.
2.3.	Вещественно замкнутые поля. Результат Тарского о раз-
решимости теории полей действительных чисел может быть
также получен и теоретико-модельными методами. Во-первых,
нам нужны аксиомы поля действительных чисел. Они были по-
лучены Артином и Шрейером в их знаменитом исследовании
вещественно замкнутых полей.
Рассмотрим язык Lb который подобно L из 2.2 имеет 0, 1,
+, •, но еще и символ «меньше или равно» Аксиомы RLC
содержат следующее: аксиомы поля, аксиомы, утверждающие,
что является линейным порядком, и
VxVyVz [х^у А 0 < 2 XZ < yz\,
Vх\/y\fZ [х С у -> х + Z < у + z],
VxBy [О С х -> у2 = х],
Ап для п = 1, 3, 5, ...
Здесь, как и в 2.2, Ап есть утверждение, что полином n-й степени
имеет корень.
Поле действительных чисел является моделью теории RLC,
но ни в коем случае не единственной. Любое упорядоченное
поле <Л 0, 1, +, •,	|= RLC будет называться {упорядочен-
ным) вещественно замкнутым. Th(RLC) не категорична ни в
какой мощности, так что свойство Воота не может быть приме-
92
ГЛ. 3 РАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ
нено. Полнота, а значит, разрешимость доказываются при по-
мощи понятия модельной полноты Робинсона.
Теория Т модельно полна, если для любых двух моделей
7' Н QI, Т |= 53 таких, что 51^53, мы имеем 51	59 (8 — элемен-
тарное расширение 51).
Робинсон [1] дал критерий проверки модельной полноты.
Из его критерия может быть выведена модельная полнота RLC.
Доказательство, хотя и не очень трудное, требует некоторых
усилий. Вместо этого можно использовать следующий критерий.
Т модельно полна, если для любых двух моделей 51	53 тео-
рии Т существует элементарное расширение 51	® такое, что
53^®. Комбинируя это с алгебраическими свойствами веще-
ственно замкнутых полей и с методом ультрапроизведений, мы
можем получить отчасти другое доказательство модельной пол-
ноты Th(RLC).
Далее, модельно полная теория Т не обязана быть полной.
Однако если Т модельно полна и имеет простую модель Р, ко-
торая изоморфно вкладывается как подмодель во всякую мо-
дель теории Г, то Т полна. При этих условиях, как это легко
увидеть, каждые две модели теории Т элементарно эквива-
лентны.
Теория Th(RLC? имеет простую модель. А именно, каждое
вещественно замкнутое поле F имеет характеристику 0 и, сле-
довательно, содержит поле рациональных чисел Q. Оно по этой
причине также содержит изоморфную копию поля действитель-
ных алгебраических чисел, а оно и есть общее простое поле.
Следовательно, Th(RLC) полна и разрешима. Поле действи-
тельных чисел 8? также является моделью теории RLC, следо-
вательно, Th(8?) = Th(RLC), и теория разрешима.
Нужно заметить, что такой подход к разрешимости поля
действительных чисел, несмотря на различие в методах, не так
сильно отличается от классического метода элиминации кван-
торов. В основе доказательства модельной полноты лежит то,
что если два упорядоченных поля F\, F2 изоморфны (отображе-
ние сохраняет также порядок), то их вещественные замыкания
изоморфны. Это доказывается с йомощью информации о лока-
лизации корней уравнений. Используемый здесь анализ также
не отличается от способа локализации корней в методе элими-
нации кванторов. С другой стороны, можно утверждать, что
единственность вещественного замыкания является по праву
основным алгебраическим результатом. При теоретико-модель-
ном доказательстве разрешимости Th(RLC) мы оперируем
стандартными результатами и с этой точки зрения оно более
элементарно.
2.4.	Снова о теории DO. С щлью проиллюстрировать, как
теоретико-модельные методы используются для доказательства
§ 2 ТЕОРЕТИКО-МОДЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
93
разрешимости даже при отсутствии категоричности, снова рас-
смотрим Th (DO).
В 1.1, пример 2 замечено, что каждая модель теории DO
имеет порядковый тип со + (со* + со)-X. Покажем, что каждая
счетная модель 51 = <Д, h= DO имеет элементарное расши-
рение 51<^ 53, для которого X есть т]. Отсюда будет следовать, что
Th (5l) = Th (§3), следовательно, каждые две счетные модели тео-
рии DO элементарно эквивалентны, а значит, теория Th (DO)
полна и разрешима.
Определим отношение эквивалентности Е на любой модели
SI DO. хЕу = с({г: х < z < у V у < z < л}) < со, т. е. число
элементов между х и у конечно. Видно, что в модели 51 поряд-
кового типа со + (со* + со) • X классами эквивалентности относи-
тельно Е являются «блоки» со и каждый со* + со. Рассмотрим
любые два блока (классы эквивалентности) В\у В2 модели 51;
без ограничения общности предположим, что х <, у для всех
хе Bi, у^В2. Без противоречия со всеми элементарными утвер-
ждениями о 51, т. е. с полной диаграммой CD (51) модели 51,
предположим, что существует элемент с такой, что х<с<у
для всех х е Bi, у е В2. Таким образом, CD (51) и все эти не-
равенства имеют счетную модель 511, которая является элемен-
тарным расширением Й Sli модели 51. В этой 511 блок Вес
лежит между В\ и В2. Аналогично можем построить расширение
с блоком выше В2. Так как расширение 51^511 счетно, то можно
построить башню элементарных расширений 51	511	... так,
чтобы каждая 5U была счетной и для каждой пары Вь В2 бло-
ков из каждой 51/7 существовало п < k и блок В модели 51а?,
расположенный между В\ и В2; аналогично для блока выше В2.
Пусть 8= U 51п, тогда 51	53, S3 счетна и блоки из 53 плотно
1< оо
упорядочены. Таким образом, порядковым типом 53 является
со 1-(со* + со) -т|, что и заканчивает доказательство.
2.5.	Дальнейшие результаты. Еще много важных результатов
получается с помощью теоретико-модельных методов, иногда в
комбинации с методом элиминации кванторов. Приведем без до-
казательств несколько выдающихся теорем. Их доказательства
обычно включают в себя глубокие математические результаты
о рассматриваемых системах, доставляя интересные комбинации
стандартной математики и логики.
Теорема 5 (Акс и Кочен [1] — [3])*). Теория поля
р-адических чисел разрешима.
Этот результат хоронит давно стоящую проблему о том, что
лишь вещественно замкнутые и алгебраически замкнутые поля
являются разрешимыми.
*) Этот результат независимо получен Ершовым [2]. — Прим. ред.
94
ГЛ. 3. РАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ
Теорема 6 (Акс [1]). Теория класса всех конечных полей
разрешима.
Теорема 7 (Ш мелева [l]).? еория коммутативных групп
разрешима.
Теорема 8 (Эренфойхт [1]). Теория линейно упорядо-
ченных множеств разрешима.
Этот результат был объявлен в короткой заметке. Первое
полное доказательство опубликовано Лёйх.ли и Леонар-
дом [1]. Как будет видно в следующей главе, этот результат
является простым следствием метода статьи Рабина [2].
Наконец, приведем один специальный случай более общего
результата о моделях, относящегося к разрешимости.
ПУСТЬ Я==<Л, /о. -...Л, •••)Z<aI1Sb==<B’£o.gi,
a со,— подобные алгебры одного типа, т. е. Д- и gi являются
пиарными операциями на 91 и 53 соответственно. Прямое произ-
ведение 91X8 определяется очевидным образом.
Теорема 9. Если Th (91) и Th (S3) разрешимы, то разрешима
и Th(9lX8).
Это есть лишь особый случай общего изучения выразимых
в логике первого порядка свойств произведений систем и клас-
сов систем, начатого Мостовским [1] и развитого Фефер -
маномиВоотом [1]. Мы ограничиваем себя лишь этим спе-
циальным случаем для того, чтобы избежать сложных опреде-
лений, появляющихся в общей теории.
Метод произведений является мощным средством получения
новых результатов о разрешимости из уже известных. Следую-
щий пример принадлежит Мостовскому. Мы знаем, что
Th(<co, +>) разрешима, см. 1.3. Из теории общих произведений
следует, что прямая сумма $ из со копий <со, +> имеет разре-
шимую теорию. Основное множество Р состоит из всех векторов
длины со:
и = (п0,	nk, 0, 0, ..nfeco, £ = 0, 1, ...»
а операцией является покомпонентное сложение. Определим
отображение ф(и) = р"° ... pnkk, где Pi — (i + 1)-е простое число.
Отображение ф является изоморфизмом ф: $-><со, {0}, -< = ®1
на мультипликативную полугруппу целых чисел. Следовательно,
ТЬ(Ш1) разрешима; этот результат принадлежит Скулему.
§ 3.	Метод интерпретаций
3.1.	Семантические интерпретации. Для начала опишем в
общих чертах, что означает построение системы 91 = (A. R) из
системы 8=<B, Si, S2, .. •> посредством определимых преди-
катов. Нам нужны некоторые предварительные понятия. Пусть
§ 3. МЕТОД ИНТЕРПРЕТАЦИЙ
95
L — язык для 31, a Li — язык для 8. Пусть D(x,y, ...)—неко-
торая формула языка Lb где х— свободная переменная, но, воз-
можно, имеются и другие свободные переменные у, ..., играю-
щие роль параметров. Будем сокращать D(x, у, ...) до D(x)
или даже до D.
Если F — некоторая формула языка Li, то формула FD полу-
чается из F посредством релятивизации всех кванторов фор-
мулы F к D-, эта релятивизация определяется индуктивно по
сложности F с помощью следующих правил. Если F не содер-
жит связок, то FD = F. Если F = £ V G или F = “|£, то FD =
— EDV GD или FD = ~]ED соответственно. Основными являются
случаи, когда F = 3 uG nF — NuG'
(3«G)D = Зя [£>(«) A GD], (V«G)D = Vu [D(a)->GD].
Здесь D(u) означает D(u, y, ...), т. e. и подставляется вместо
x в D. Заметим, что для правильного проведения релятивизации
мы должны иногда алфавитно изменить имена некоторых пере-
менных в F, чтобы избежать связывания переменных, отличных
от х, но свободных в D.
Пусть Ь е В, ... — последовательность значений в В для па-
раметров у, ... из О. Определим С = {а: S3 |= D(a, b, Это
множество определяется посредством D и специализации пара-
метров у — Ь, ... Подмножество С В порождает подсистему
® i= <С, Si | С, S21 С, .. .> системы 8.
Лемма. Пусть F(zi, ..., zn)—формула языка Lb a D, В,
b е В, ... и С таковы, как описано выше, тогда для С\, ...
..., сп <= С
S3 [= FD fa, ..., сп) тогда и только тогда, когда (Е |= F (сь ..., сп).
Итак, результатом релятивизации является преобразование
выполнимости формулы F в системе 8 в выполнимость в под-
системе К.
Следующая конструкция является несколько более сложной.
Для упрощения обозначений ограничимся лишь формулой О(х)
языка Li, содержащей единственную свободную переменную х
(параметров нет), и формулой Е(и, v) с двумя свободными пе-
ременными.
Определение 3.f Система Э(В, £)= <С, 7?>, индуцирован-
ная в 8 посредством D(x) и Е(и, v), по определению имеет
основное множество С = {с\ B\=D(c)} и бинарный предикат
R<=C\C, /?={(&, с); Ь, с^С, Ъ\=Е(Ь, с)}.
Пусть теперь F(z\, ..., zn)—формула языка с бинарным
предикатным символом Р, определим FD>Е как формулу, полу-
ченную из F сначала с помощью преобразования FD, а затем
замены в FD всех атомных формул P(^i,z2) на E(zi,z2). Заме-
тим, что кванторы в E(u,v) не релятивизируются к D. Следую-
96
ГЛ 3 РАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ
щая лемма является по существу следствием предыдущей
леммы. Она связывает выполнимость в индуцированной системе
с выполнимостью в 23.
Лемма. Для ci, ..., сп е С имеем
23(0, E)\=F(cit ...» сп) тогда и только тогда, когда
^Fd’e{c,.............................................сп).
Применение к разрешимости основывается на следующей
теореме, взятой из статьи Рабина [1].
Пусть Т и 7\— теории в языках L и Li соответственно, и
пусть Ж и Ж\— классы систем такие, что Т = Th(JSf), Т\ =
= Th(JSfi). Предположим, что L имеет предикатные символы
PQ, ..., Р/? и не имеет функциональных символов.
Теорема 10. Пусть D(x,y, ...)—формула языка Li, а
£=(£0,	£7)—последовательность формул таких, что если
Pi является rii-арным предикатным символом, то Ei имеет п/
свободных переменных, 0 i k.
Предположим, что:
(1)	для всех	и всех значений у = Ь, ... парамет-
ров D имеем 23(0, Е)\= Т\
(2)	для каждой 21 = <Л, /?0, Д^^Ж существует мо-
дель ^^Ж\ и специализация у = Ь<^В, ... такая, что для
этой специализации 21 « B(D, Е).
При этих условиях, если Т\ разрешима, то разрешима и Т.
Обратно, если Т неразрешима, то неразрешима и!\.
Доказательство. Пусть F — предложение языка L, по-
ложим 0 = 4у ... Fd'e, где кванторы всеобщности* навеши-
ваются на все переменные-параметры в О(х, у, ...) (эти пере-
менные свободны в F, если F содержит кванторы). По второй
лемме для любой 2Эе^1 и специализации у = b е В, ...
FD E (Ь, ...) тогда и только тогда, когда 23(0, Е) |= F. (*)
Теперь пусть F^T. Из условия (1) следует, что 23(0, E)\=F
для любых 23 е Жх, у = Ь, ... Следовательно, левая часть (*)
выполняется, а значит, 931= G. Но ^&^Ж} была произвольной,
поэтому GeTh(J$f1) = T1.
Далее допустим, что G 7\. Пусть 21 е Ж, тогда в силу (2)
для некоторых В^Ж и у = Ь, ... получаем 91 ~ 23(О, Е).
Имеем 231= G, следовательно, 23 [= FD' Е (Ь, ...). Тогда в силу(*)
23(0, E)\=F, а значит, 21 \= F', итак, Ж\=Р и F^T.
Пусть Т{ разрешима и F — любое предложение языка L. По-
строим G; так как G^T\ тогда и только тогда, когда F е Т9
то мы можем определить, будет ли F е Т, □
$ 3. МЕТОД ИНТЕРПРЕТАЦИЙ
97
Замечание. Легко видеть, что если Т конечно аксиомати-
зируема, то условие (1) может быть отброшено при подходя-
щей модификации построения G.
Мы формулировали теорему 10 для языков первого порядка.
С подходящими изменениями она выполняется также, если язык
Lj или даже оба языка L и Li являются языками второго по-
рядка. Единственным случаем языка второго порядка, который
интересен с точки зрения разрешимости, является монадический
язык второго порядка, переменные в котором изменяются по
подмножествам основного множества, но не изменяются по пре-
дикатам на основном множестве. Это так, потому что, как толь-
ко переменные будут изменяться, скажем, по бинарным преди-
катам, то теория всех истинных предложений языка второго по-
рядка станет неразрешимой.
Допустим, что Li имеет переменные А, В, ..., значениями
которых являются множества. Тогда релятивизованная формула
£)(х) может иметь вид хеА и А будет параметром в FD>E.
Если L имеет переменные, то они также должны быть реляти-
визованы к D по правилам таким, как
(VAF)D = VA [Vx [х е А -> D (х)] -> FD],
С этими естественными изменениями теорема 10 выполняется
для монадических языков второго порядка.
3.2.	Разрешимые теории второго порядка. Рассмотрим мона-
дический язык второго порядка Li с переменными А, В, ...,
значениями которых являются множества, и с предикатом е.
Чтобы быть подходящим для системы 91—<А,/?>, где /?, на-
пример,— бинарный предикат, Li должен иметь также бинарный
предикатный символ Р. Для такого языка Li (монадической)
теорией второго порядка Th2(St) для 91 называется множество
всех предложений языка Li, истинных в 91. Аналогично опреде-
ляется ТЬг(Ж) для класса Ж однотипных систем как Th2(Jx) =
= П Th2(9I).
?(<= ус
Первые важные результаты о разрешимости теорий второго
порядка, кроме разрешимости чистой монадической логики вто-
рого порядка, имеют дело с разрешимостью Th2(<<o, S>), где
S(x) = x-j- 1 является функцией следования.
Теорема И (Бюхи [2]). Th2(<co, S>) разрешима.
Этот результат вначале был доказан в более слабой форме.
Рассмотрим слабый монадический язык второго порядка LW
с переменными а, р, ..., значениями которых являются конеч-
ные подмножества основного множества. Теория системы 91 в
языке LW будет называться слабой (монадической) теорией
второго порядка для 91 и обозначаться через Thw(9().
Бюхи [1] и Элгот [1] доказали, что Thw(<o), S>) разре-
шима.
4 Справочная книга, ч. Ш
•8
ГЛ 3 РАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ
Для дальнейших ссылок обозначим Th2(co, S) «= S1S (теория
второго порядка одной функции следования) и Thw(<co, S>) =
— WS1S.
Мы не можем входить в детали этих доказательств о разре-
шимости. Скажем только, что они используют методы и резуль-
таты теории автоматов. В случае WS1S используются понятия
и результаты из теории автоматов, оперирующих конечными
последовательностями; этот случай очень прост и ясен. Доказа-
тельство разрешимости S1S требует нового понятия автомата,
,	действующего на бесконечных со-последова-
\ 7	тельностях.
V/ 3.3. Теорема о дереве. Большинство дока-
\ / зательств о разрешимости посредством интер-
\	претаций использует теорему о дереве, при-
надлежащую Рабину [2].
X. / Пусть Т = {0,1}* — множество всех конеч-
ных слов (последовательностей) х = XiX2 ...
л ... хп, Xi е {0, 1}, над алфавитом {0,1}. Пустая
Рис. 1. последовательность Л также лежит в {0, 1}*.
Множество Т можно также интерпретировать
как бесконечное бинарное дерево (рис. 1). Условившись поме-
щать 0 налево, а 1 направо, устанавливаем соответствие между
вершинами дерева и множеством Т следующим образом. Ко-
рень соответствует Л; правый последователь соответствует 1, а
левый последователь — 0; левый последователь для 1 есть
10 и т. д.
Итак, у нас есть на Т две функции следования го(х) = хО,
п(х)=х1, х е Т. Пусть Li — подходящий монадический язык
второго порядка, имеющий функциональные символы г0, И.
Множество всех предложений из Li, истинных в <Т, Го, П>, будет
обозначаться, как обычно, через Th2(<T, г0, П>).
Теорема 12 (теорема о разрешимости для дерева). Тео-
рия второго порядка для двух функций следования S2S =
= Th2(<T, Го, П>) разрешима.
Для доказательства этой теоремы требуется далеко идущее
расширение теории автоматов, включающее в себя конечные
автоматы, оперирующие бесконечными деревьями. Одна из ин-
тересных особенностей доказательства состоит в том, что даже
если мы хотим получить некоторые факты о конечных объектах,
а именно о конечных автоматах, существенно используется
трансфинитная индукция по ординалам до первого несчетного
кардинала соь
3.4.	Снова об арифметике Пресбургера. Бюхи и Элгот исполь-
зовали разрешимость WS1S для доказательства разрешимости
PAR. ,
« ». МЕТОД ИНТЕРПРЕТАЦИИ
99
Ключевая идея — использовать конечные множества a cz <о,
чтобы закодировать целые числа. Пусть %а — характеристиче-
ская функция множества а. Определим
«(а)=1 •Ха(0) + 2 Ха(1)+ •• +2'-Ха(х)+ ...
Построим формулу 4 (а, ₽, у) в языке для WS1S, которая бу-
дет истинной в (со, S> для а, Р, у cz <о тогда и только тогда, когда
и(а)+ п(р)= гг(у). Это делается путем рассмотрения последо-
вательности хв, осуществляющей добавление п(Р) к п(а), где
п(а) и п(2) рассматриваются как двоичные числа:
А(а, Р, v) = 33Vx[-]0e=8
Л [S (х) 8 (х <= а Д х @ Р)
V (х «= а Д х е 8) V (х е Р Л х <= 8)] Д [х е= у
*-> (хЕаД^бРДхе?)
\Х(хеаД_|хеРЛ_|хе8
Систематически используя А(а, р, у) для замены а-\-Ь—с в
предложении F из PAR, получим предложение G в языке для
WS1S. Имеем F е Th«<o, +>) тогда и только тогда, когда
GsWSlS; таким образом, мы можем решать, будет ли F
истинным.
3.5.	Теория второго порядка для линейного порядка. Пусть
—класс всех линейных упорядоченных множеств <А,^>Н=
|= OR с не более чем счетным основным множеством, с(А)^ со.
Теорема 13 (Рабин [2]). Th2(K<) разрешима.
Доказательство. Определим на Т частичный порядок,
где х— начальный отрезок у, посредством формулы х^у.
А именно:
х у — VA [х е 4 Л Vz [геA	(z)e	А].
Также определим лексикографический порядок
X =	V Зг[г0(г)О Л г{ (г) < у].
Упорядоченное множество <{xl: х е Т}, имеет порядко-
вый тип т)- Следовательно, для каждого не более чем счетного
упорядоченного множества (Л, существует множество А Т
такое, что (Д,	~ (Д, Используя релятивизованную фор-
мулу D(x, А) = хеА и заменяя на видим, что ТЙ2(/С<)
может быть интерпретирована в S2S в смысле теоремы 9.
Следовательно, ТЙ2(/С<) разрешима. □
В качестве простых следствий получаются некоторые труд-
ные классические результаты.
Следствие. Th (OR) — теория линейно упорядоченных
множеств — разрешима.
4*
100
ГЛ. 3 РАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ
Из теоремы Скулема — Лёвенгейма следует, что каждая си-
стема (Л, OR элементарно эквивалентна некоторому
Следовательно, Th (OR) = Th (/С<). Последняя теория,
конечно, разрешима.
Монадический язык второго порядка достаточно силен, чтобы
в нем было выражено то, что какое-то множество вполне упоря-
дочено. А именно, предложение
W = V AXfx3y\fz [хе А-^у <= А А [г е А~+у < z] ]
имеет следующее свойство: линейно упорядоченное множество 31
удовлетворяет 311= W тогда и только тогда, когда 51 вполне упо-
рядочено. Сразу получаем
Следствие. Монадическая теория второго порядка не бо-
лее чем счетных вполне упорядоченных множеств разрешима.
Доказательство. Для любого предложения F имеем
F тогда и только тогда, когда F истинно во всех не
более чем счетных вполне упорядоченных множествах. □
Каждое вполне упорядоченное множество <В, имеет не
более чем счетную элементарную подмодель 31— <И, К
<В, <;>. Следовательно, теория первого порядка для вполне
упорядоченных множеств такова же, как и теория первого по-
рядка для не более чем счетных вполне упорядоченных мно-
жеств, которая по предыдущему следствию разрешима. Итак,
теория первого порядка для вполне упорядоченных множеств
разрешима; этот результат принадлежит Тарскому и Мо-
стовскому [1].
3.6.	Разрешимость в топологии. В S2S можно определить по-
нятие пути А Т, ведущего от корня в бесконечность:
Path (Л) = А е А Д \/х\/у [х <= А -> [r0 (х) е А V г{ (х) е А]
A 1Кх-»^А] A ~][r0(x)G= А А Г1(х)б= А]].
Рассмотрим {0, 1}° с обычной тихоновской топологией про-
изведения. Это хорошо известный канторовский дисконтинуум
CD. Для каждой точки р: о—>{0, 1} множества A cz Т всех на-
чальных сегментов р составляет путь в 7’, и это соответствие
взаимно однозначно. Мы также можем ввести в S2S топологию
CD. Пусть В^Т— произвольное множество, являющееся объ-
единением некоторых путей, тогда множество всех путей А <=: В
является замкнутым подмножеством CD и снова такое соответ-
ствие будет взаимно однозначным. Определим
CL (В) = Vx [х (= В -> ЗА [Path (А) А А В К х е= А] ].
Теорема 14 (Рабин [2]). Монадическая теория второго
порядка CD, значениями переменных которой являются замкну-
тые множества, разрешима.
§ 3 МЕТОД ИНТЕРПРЕТАЦИИ
101
Доказательство. Пусть F — любое предложение в языке
для CD. Релятивизуем все предметные переменные к Path(X)
и все (замкнутые) переменные по множествам к CL(B), заме-
ним все формулы х^В из F на Х<=В. Получившееся предло-
жение Е истинно в S2S тогда и только тогда, когда CD |= F. □
С некоторыми изменениями, учитывающими то, что две раз-
личные последовательности р, </е{0, 1}° могут представлять
один и тот же элемент сегмента [0, 1] действительной прямой,
вышеприведенное доказательство может быть изменено, чтобы
охватить и случай [0,1].
3.7.	Булевы алгебры. Следующая теорема утверждает разре-
шимость Th(BA)—элементарной теории булевых алгебр — и
даже нечто большее.
Теорема 15 (Рабин [2]). Пусть 83® — свободная булева
алгебра с со образующими и LI — язык второго порядка, соот-
ветствующий булевым алгебрам, значениями переменных по мно-
жествам для которого являются идеалы этих алгебр. Теория
Thi(83®) алгебры 53® в языке LI разрешима.
Доказательство. Множество всех открыто-замкнутых
подмножеств множества CD является булевой алгеброй, изо-
морфной ЗЭ(о, поэтому мы можем отождествить его с 53®. Если
/^53®— любой идеал, то U(I)= U S является открытым мно-
Sg/
жеством из CD. Множества U(I) пробегают по всем открытым
множествам из CD и это соответствие взаимно однозначно. Да-
лее, для S еЗЭсо имеем, что S Щ1) тогда и только тогда, ко-
гда S е /.
Каждое предложение языка LI может быть, следовательно,
переведено в предложение о CD посредством релятивизации
предметных переменных к переменным, изменяющимся по от-
крыто-замкнутым подмножествам из CD, релятивизации пере-
менных, изменяющихся по идеалам, к переменным, изменяю-
щимся по открытым множествам (т. е. дополнениям к замкну-
тым множествам) из CD, и замены хе/ на X I. Получив-
шееся предложение истинно в CD тогда и только’ тогда, когда
исходное предложение истинно в Thi(53®), а первая из этих
проблем разрешима. □
Теперь пусть 33 — любая счетная булева алгебра. Тогда су-
ществует идеал J S ЗЭ(о такой, что 53 ~ 53®//, и идеалы /	53
находятся в естественном одно-однозначном соответствии с идеа-
лами J^/1^53®. По теореме об интерпретации это приводит
к следующей теореме. Обозначим через ВА° класс всех счетных
булевых алгебр.
Теорема 16. Теория Thi(BA°) в языке LI всех счетных
булевых алгебр разрешима.
М9
ГЛ 3 РАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ
Если ограничиться предложением G = VZi ... VInF (Л, .... Zn),
где F^формула без квайторов по идеалам, го G eThi(BAw) то-
гда и только тогда, когда Г(Л, 1п) истинна в каждой счет-
ной булевой алгебре S3=<B, U, Г), Л, Ль •••>, где Л, /2, ...—
идеалы В. Используя теорему Скулема — Лёвенгейма, немед-
ленно получаем, что справедлива
Теорема 17 (Рабин (2]). Элементарная теория всех бу-
левых алгебр с последовательностью выделенных идеалов раз-
решима.
Эту теорему можно рассматривать как усиление результата
Ершова [1], который утверждает разрешимость булевых ал-
гебр с выделенным простым идеалом (ультрафильтр).
3.8.	Неклассические логики. До сих пор все представленные
в этой главе результаты имели дело с теориями, формализован-
ными внутри классической логики. В литературе встречаются
многие обобщения и модификации классической логики. Одни
получаются отбрасыванием некоторых аксиом классической ло-
гики, например интуиционистская логика, другие — добавлением
логических операций или связок, как в модальной или времен-
ной логиках. Важные философские рассмотрения и положения,
связанные с основаниями математики и логики, оправдывают
введение и изучение этих систем.
Хотя разрешимость классического пропозиционального исчис-
ления тривиальна, разрешимость этих фрагментов и обогащений
(добавлением логических операций) даже для пропозициональ-
ной логики во многих случаях далеко не очевидна. Метод интер-
претаций оказывается мощным инструментом для решения почти
всех вопросов о разрешимости в этом направлении. Проиллю-
стрируем это двумя примерами. Интересующийся читатель мо-
жет обратиться к статье Габбая [1], которая является источ-
ником для этих примеров и в которой можно найти много дру-
гих результатов и ссылок.
Рассматриваемый здесь класс модальных пропозициональных
логик имеет, помимо обычных пропозициональных связок, опера-
тор □ , предназначенный для выражения необходимости, так что
□А должно обозначать «необходимо А».
Основная аксиоматическая система С-2 содержит все тео-
ремы и правила классической логики и вдобавок следующие
аксиомы и правила вывода:
□ [А-->В]->[П А-> □ В], из НА->В выводится НПА->ОВ.
Система К получается из С-2 добавлением правила
из ь А выводится Н □ А.
Система Т есть система К плюс аксиома ПА->А, а система
S4 есть система Т плюс аксиома ПА ППА.
$ 4. СЛОЖНОСТЬ РАЗРЕШАЮЩИХ ПРОЦЕДУР
103
Имеется много и других расширений системы С-2. Конкрет-
ные аксиомы варьируются разными авторами в зависимости от
их веры в то, кАкиё правильные свойства должны быть у Q:
Опишем теперь интуиционистскую временную логику Л. Эта
система имеет, помимо связок V, Л, f (обозначающее лож-
ность), операторы G и Н. Для формулы А формула GA чи-
тается «А будет всегда истинной», а формула НА читается
«А была всегда истинной». Формула ~1А является сокращением
A ->f.
Аксиомы и правила вывода для Л будут такие же, как и для
интуиционистской логики (включая modus ponens), и еще сле-
дующие:
G[A-^B]->[GA^GB],
Н[А-^В]-+[НА^НВ],
AVG~]HA, AVH~]GA,
из НА выводятся HGA и НЯА.
Крипке, Габбай и другие построили для многих неклассиче^
ских логик семантические системы, основанные на деревьях и
оценке на деревьях. Тогда формула оказывается выводимой,
если она имеет некоторое свойство при всех возможных оценках
или интерпретациях. Детальное определение интерпретации
должно, конечно, зависеть от изучаемой системы аксиом.
Оказывается, что эти семантики, связанные с деревьями,
выразимы в S2S и в ее вариантах. Это делает возможным вы-
водить многие позитивные результаты о разрешимости из тео-
ремы о дереве.
§ 4.	Сложность разрешающих процедур
4.1.	Вычисления на машинах Тьюринга. Как было отмечено
во введении, многие результаты о нижних границах на слож-
ность решения проблем разрешимости получены лишь в послед-
ние годы. В частности, почти для всех теорий, упоминаемых в
этой главе, были указаны проблемы разрешимости, которые не
допускают никаких более простых разрешающих процедур.
Так как нашей задачей будет доказательство того, что ка-
ждая разрешающая процедура для теории Т сложна, мы должны
остановиться на каком-нибудь определенном уточнении понятия
алгоритма и определенном соглашении для подсчета вычисли-
тельных шагов. В качестве разрешающих процедур выберем
алгоритмы, представленные в виде машин Тьюринга, а исполне-
ние элементарной инструкции будет считаться основным шагом.
Все результаты будут иметь следующий вид: для любой
разрешающей процедуры Р для изучаемой теории Т существуют
1С4
ГЛ. 3. РАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ
предложения А размера п (т. е. записанные с помощью п сим-
волов), для которых Р требует по крайней мере f(cn) шагов,
чтобы получить ответ, будет А е Т или нет. Здесь j(n) будет
по меньшей мере экспоненциальной функцией вида 2", а с —
фиксированным числом 0 < с. В связи с экспоненциальной
природой результатов выбор уточнения понятия алгоритма и
вычисления не играет большой роли. Время вычисления при
различных точных формулировках для одного и того же алго-
ритма изменяется самое большее по полиномиальному закону.
Метод для получения этих результатов о внутренней слож-
ности основывается на следующем рассмотрении.
Зашифруем программы для машин Тьюринга единообразным
стандартным образом посредством последовательностей Ре
е {0, 1}*. Для любого слова х определим 1(х) как длину х, т. е.
число символов в х. В частности, для целого числа в двоич-
ной записи Z(n) означает число разрядов в п.
Пусть Т — теория в языке L, a f(k)—функция, удовлетво-
ряющая следующим условиям. Существует константа 0 < d та-
кая, что для каждой программы Р и целого числа п существует
такое предложение S(n, Р) языка L, что:
(i)	/(S(n,P))^d(/(n)+Z(P)),
(ii)	S(n, Р)еТ тогда и только тогда, когда вычисление по-
средством программы Р с входом п (рассматриваемым как по-
следовательность из нулей и единиц) останавливается менее
чем за f ) шагов,
(iii)	формула S(n, Р) может быть эффективно получена по н,
Р менее чем за g(l(n) + 1(Р)) шагов, где g(k)—некоторый
фиксированный полином.
Если f(k) —функция, растущая по крайней мере с экспонен-
циальной скоростью, то при условиях, указанных выше, суще-
ствует константа 0 < с такая, что для бесконечно многих п
существует предложение F языка L, l(F)=n, для которого Р
требует по крайней мере f(cn) шагов для ответа на вопрос
о том, будет ли F е Т.
Доказательство вышенаписанного утверждения проводится
с помощью обычных диагональных рассуждений. Предположим,
чтобы прийти к противоречию, что существует разрешающая
процедура Р для Г, которая требует для каждого предложе-
ния F менее чем f(cl(F)) шагов для ответа на вопрос о том,
будет ли F (=Т. Если с = !/2^, то, используя предложение
S(n, Р), можно построить машину Тьюринга, которая останав-
ливается на входе м0 тогда и только тогда, когда она не оста-
навливается на этом входе.
4.2.	Теория WS1S. Мейер [1] доказал, что проблема разре-
шимости для WS1S имеет очень высокую внутреннюю слож-
ность.
§ 4. СЛОЖНОСТЬ РАЗРЕШАЮЩИХ ПРОЦЕДУР
105
Определим функцию F(n,m) так:
F(n, 1) = 2”,	F(п, т+ \) = 2р{п‘т>,	т=1, 2, ...
Если 0 < d, то f(n) = F(n, [dn]) является функцией возве-
дения в степень при помощи длинной серии двоек.
Теорема 18. Существует константа 0<d такая, что для
функции f(n)=F(n, [dn]) и для каждого алгоритма Р, решаю-
щего проблему разрешимости для WS1S, существует бесконечно
много формул А таких, что Р требует более чем	шагов
для ответа на вопрос о том, будет ли А е WS1S.
Доказательство (набросок). В языке WS1S у нас
имеются переменные а, 0, ..., значениями которых являются
конечные подмножества множества со. Пара подмножеств а, 0
может быть использована для кодирования последовательности
р^{0, 1}*, 1(р)=с(а). Если а={/о<Л< ... < ^-1}, то
ijef тогда и только тогда, когда p(j)=l. Для фиксирован-
ного а и варьируемого 0 пара (а, 0) будет пробегать коды всех
последовательностей р таких, что /(/?) = с (а).
Для описанного выше аих^а, у а будем говорить, что
х и у находятся на расстоянии d в а, если х = ij, у = ij+d для
j k — 1 — d.
Теперь можно показать, что для каждого п существуют две
формулы Ап(а) и Dn(a, х, у) из WS1S, имеющие длину 0(п) и
обладающие следующим свойством. Из Ли (а) следует, что а
имеет некоторую структуру и мощность по меньшей мере
(F(n, п))2. Для множеств а, для которых Лл(а) выполняется,
Dn (a, х, у) означает, что х и у находятся на расстоянии F(n,n)
в а.
Допустим, что мы имеем вычисление на машине Тьюринга
с числом шагов, меньшим чем F(n, п). Тогда машинная головка
никогда не отдалится от начальной ячейки более чем на F(n, п)
ячеек. Без ограничения общности можно предположить, что ма-
шина никогда не будет заходить левее начальной ячейки.
Выпишем по порядку слева направо полные описания содер-
жимого первых (слева) F(n, п) ячеек после выполнения каждой
из машинных инструкций. Это будет последовательность длины
не больше чем (F(n,n))2. Эта последовательность может быть
закодирована с помощью некоторого a cz <о, удовлетворяющего
/4п(а), и дополнительных множеств 0о, 0ь ...» 0/?. Пара (а, 0О)
будет кодировать содержимое ленты, а ((а, 01), ..., (а, 0fe))
будет кодировать последовательность положений головки и ма-
шинных состояний.
Формула Dn(a,x,y) играет роль «линейки», отмеривающей
протяженность длины F(n, п).
Вместе с (определимым) порядком на <о это поможет нам
выразить то, что два последовательных массива из последова-
106
ГЛ. 3. РАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ
тельности, закодированной при помощи (а, р0, .... р*), свя-
заны посредством выполнения одной инструкции машины Тью-
ринга.
Уточняя детали и комбинируя вышеописанные идеи, можно
показать, что для WS1S существует конструкция формулы
S(n, Р) со свойствами, перечисленными в 4.1. Отсюда следует
теорема 18. □
Э. Робертсон и Л. Стокмейер (в своей диссертации) неза-
висимо заметили при подробном рассмотрении полного дока-
зательства теоремы 18, что оно проходит для относящихся к
<ш, предложений, являющихся универсальными в монади-
ческой логике второго порядка. Это означает, что предложение
может содержать кванторы по множествам, которые все яв-
ляются кванторами V и находятся в начале предложения. На
самом деле достаточно одной переменной, значениями которой
являются множества. Из этого более подробного результата
методом прямой интерпретации получается следующая теоре-
ма, принадлежащая Мейеру [1].
Теорема 19. Теория первого порядка Th (OR) линейно упо-
рядоченных множеств обладает внутренней сложностью
F(n, [dn]) для некоторого Q <d.
Подробная формулировка теоремы 19, так же как и резуль-
таты следующего пункта, делается аналогично теореме 18.
Анализ разрешающих процедур для WS1S и даже S2S,
основанный на теории автоматов, показывает, что они зани-
мают время F(n, [сп]) для формул А длины п при подходящем
О < с. Ввиду теорем 18, 19 эти результаты с количественной
точки зрения являются наилучшими возможными. Возникает,
конечно, вопрос о высоте [сп] множества двоек, но он зависит
от обозначений для формул и, по-видимому, на него нелегко
ответить.
4.3.	Теории сложения и вещественно замкнутых полей. Для
классических теорий Th(<<o, +»= PAR и теории поля веще-
ственных чисел Th(RLC) результаты о внутренней сложности
не столь опустошительны, как для WS1S. Тем не менее оказа-
лось, что эти теории по крайней мере экспоненциально сложны
и в некоторых случаях сверхэкспоненциально сложны. Таким об-
разом, заявление, что существование разрешающей процедуры
делает эти теории тривиальными, не подтверждается.
Теорема 20 (Фишер и Рабин [1]). Существует кон-
станта 0 < с такая, что разрешающая процедура для арифме-
тики Пресбургера PAR обладает сложностью по меньшей мере
2г .
До.казательство (набросок). Мы видели, что возмож-
ность установления результатов о внутренней сложности для
| 4. СЛОЖНОСТЬ РАЗРЕШАЮЩИХ ПРОЦЕДУР
107
функции сложности f(n) основывается на возможности закоди-
ровать внутри теории последовательность длины (f(n))2 ^ри
помощи формул размера О(п).
В языке модели <со, +> существуют формулы Рп(х, у, z) раз-
мера О(п), которые выполняются для %, у, z е со тогда и только
тогда, когда %, у, z<F(n, 3) и x-y = z. Таким образом, эта
формула, включающая только + и имеющая размер О(п), ко-
дирует таблицу умножения до 2 . Используя натуральные
числа для кодирования последовательностей из 0 и 1, можно
закодировать последовательности длины до (2?п)\ используя
Рп+Л*. У> *)• □
Нижняя граница на сложность теории Th(RLC) =
= Th(<R +, •>), где R— поле вещественных чисел, получается
при рассмотрении только <R, +>.
Теорема 21 (Фишер и Рабин [1]). Th(<R,+>), я ло-
этому и Th(RLC) обладает внутренней сложностью по меньшей
мере 2сп для некоторого 0 < с.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 20.
В этом случае возможно представить (с точностью до изомор-
физма) при помощи короткой формулы таблицу умножения
натуральных чисел до 22”.
Для теории модели 8М = <со, •> умножения натуральных чи-
сел ситуация даже хуже в соответствии с упомянутой в работе
Фишера и Рабина [1] теоремой, доказательство которой бу-
дет дано в намеченной к публикации статье Фишера и Рабина.
Теорема 22. Теория Th(<co, •» умножения натуральных
чисел обладает внутренней сложностью по меньшей мере
2СП
F(cn, 3), т. е. 2- для некоторого 0 < с.
Алгоритмы, тщательно построенные различными исследова-
телями, веско наводят на мысль, что вышеупомянутые резуль-
таты о нижних гранях являются наилучшими возможными.
4.4.	Пропозициональные исчисления и Р = NP. При изучении
различных абстрактных вычислительных моделей обычно раз-
личают детерминированные и недетерминированные алгоритмы.
Если машине Тьюринга задать некоторую комбинацию из co-
состояния и символа, то она проделает вполне определенный
основной шаг вычисления (атомарное движение). Общий про-
цесс вычисления, следовательно, полностью определяется маши-
ной Тьюринга (программой), начальным состоянием и началь-
ными данными на ленте. Детерминированное поведение являет-
ся, конечно, характерной чертой всех современных вычислитель-
ных машин.
Понятие недетерминированных вычислений или программ
имеет фундаментальную важность при теоретическом изучении
свойств алгоритмов. Недетерминированная программа Р для
108
ГЛ. 3. РАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ
заданной комбинации состояния и символа разрешает выполне-
ние одного из нескольких возможных основных движений. На-
пример, состояние 9з при заданной 1 может вызвать либо
(0, Л, 7) (стереть 1, сдвинуться влево, перейти состояние ^7),
либо (1,77,15). Таким образом, в недетерминированной про-
грамме каждой паре (р, 6), где q — состояние, а b — символ, со-
ответствует множество троек (с, М, рх), где с — символ, Ms
е {Л, П}, qi — состояние.
Начав в состоянии q^ на входной ленте, программа Р имеет
возможность пойти по любой из многих последовательностей
основных шагов, т. е. выполнить различные вычисления над
входом. Нужно иметь в виду, что при каждой конкретной по-
следовательности шагов выполняется определенное, единствен-
ное вычисление. Но возможны несколько различных последова-
тельностей шагов.
Проиллюстрируем эту идею, показав, что существует неде-
терминированная программа Р, которая разлагает любое со-
ставное (не простое) число п за f(Z(n)) шагов, где f(k)—
полином.
Программа Р имеет недетерминированные инструкции, поз-
воляющие ей при заданном входе п (в двоичной системе счис-
ления) записать на ленте любые два числа 1 < &, с < п. Как
замечено выше, при любой данной последовательности шагов
будет записана одна пара (6, с). Но для каждой пары суще-
ствует последовательность шагов, приводящая к этой паре.
После того как написаны &, с, программа переключается на
детерминированное поведение, вычисляет b-с и проверяет, будет
ли Ь-с = п. Машина остановится только в случае, если послед-
няя проверка даст равенство.
Можно заметить следующие особенности. Не каждое вы-
полнение Р для данного п закончится. Но если п действительно
составное, то имеются вычисления, которые закончатся после
некоторого числа шагов вычисления, это число полиномиально
относительно размера 1(п) входа.
Все это можно подытожить, сказав, что то, что число яв-
ляется составным, может быть недетерминистически распознано
в полиномиальное время.
Рассмотрим теперь задачу определения того, обладает ли
пропозициональная формула F(pi, .рп) подстановкой зна-
чений истинности вместо пропозициональных переменных, для
которой F становится истинной. Это есть проблема выполнимо-
сти для пропозиционального исчисления.
Поскольку F(pi, .рп) не является выполнимой тогда и
только тогда, когда ~IF(pi, ..., рп) является формальной тео-
ремой пропозиционального исчисления, проблема выполнимости
тесно связана с проблемой разрешимости PC.
ЛИТЕРАТУРА
109
Снова легко построить недетерминированную программу,
определяющую выполнимость F за число шагов, являющееся
полиномиальным от 1(F).
Существует ли обычная детерминированная разрешающая
процедура для выполнимости, которая требует времени (т. е.
числа шагов), которое было бы полиномиальным от размеров
формулы? Искомый полином, конечно, может расти быстрее,
чем полином для недетерминированной программы.
Ответ на этот вопрос неизвестен. Тем не менее Кук [1]
показал, что имеет место
Теорема 23. Если проблема выполнимости для пропози-
ционального исчисления может быть (детерминированно) ре-
шена за полиномиальное время, то любая проблема, которая
может быть решена недетерминированно за полиномиальное
время, может быть также решена за полиномиальное время при
помощи детерминированного алгоритма.
Таким образом, вопрос о том, существует ли эффективный
(полиномиальный) алгоритм для выполнимости, эквивалентен
вопросу о том, будет ли класс алгоритмов, требующих поли-
номиального времени, равносилен классу NP недетерминиро-
ванных алгоритмов, требующих полиномиального времени.
Это — знаменитая проблема P = NP.
Алгоритмы и? NP очень сильные. Например, изоморфизм
между двумя данными графами размера п может быть неде-
терминированно найден за полиномиальное время. Аналогично
для гамильтонова цикла. Эти задачи являются трудными ком-
бинаторно-вычислительными задачами, не поддавшимися попыт-
кам найти простое решение.
Кук, Карп [1] и другие нашли много примеров комбина-
торных проблем разрешимости, которые сводятся к (и в неко-
торохМ смысле эквивалентны) проблеме выполнимости. Вескость
этих доказательств может подсказать, что проблема выполни-
мости, являясь столь могущественной, не имеет полиномиальной
сложности, и, следовательно, P^=NP. Но эта фундаментальная
проблема остается еще не решенной.
ЛИТЕРАТУРА *)
А к с (Ах J.)
J. The elementary theory of finite fields. — Ann. Math., 1968, 88, p. 239—
271.
А к с и Кочен (Ax J., Kochen S.)
1.	Diophantine problems over local fields, I. —Amer. J. Math., 1965, 87,
p. 605—630.
*) Звездочкой отмечена литература, добавленная при переводе. -- Прим,
ред.
ио
ГЛ. 3 РАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ
2.	Diophantine problems over local fields, I Г. A complete set of axioms
for p-adic number theory. — Amer. J. Math., 1965, 87, p. 631—648.
3.	Diophantine problems over local fields, III: Decidable fields. — Ann.
Math, 1966, 83, p. 437—456.
Бюхи (Buchi J. R.)
1. Weak second order arithmetic and finite automata. — Z. math. Logik
Grundl. Math, 1960, 6, p. 66—92.
2. On a decision method in restricted second order arithmetic. — In: Logic,
Methodology and Philosophy of Science: Proceedings of the 1960 Inter-
national Congress Stanford (Calif.): Stanford University Press, 1962,
p. 1—11. [Русский перевод: Бюхи Д. Р. О разрешающем методе для
ограниченной арифметики второго порядка. — Кибернетический сбор-
ник 8. М.: Мир, 1964, с. 78—90.]
Г а б б а й (Gabbay D М.)
1. Decidability results in non-classical logics, Part I. — Ann. Math. Logic,
1975, 8, p. 237—295.
Ершов Ю. Л.
1. Разрешимость элементарной теории дистрибутивных структур с отно-
сительными дополнениями и теории фильтров. — Алгебра и логика,
1964, 3, № 3, с. 17—38.
2*. Об элементарных теориях локальных полей. — Алгебра и логика, 1965,
4, № 2, с. 5—30.
3*. Проблемы разрешимости и конструктивные модели. — М.: Наука, 1980.
Ершов Ю. Л, Лавров И. А, Тайманов А. Д, Тайцлин М. А.
1*. Элементарные теории. — УМН, 1965, 20, № 4, с. 37—108.
Карп (Karp R. М.)
1. Reducibility among combinatorial problems. — In: Complexity of Com-
puter Computations/Ed. R. E. Miller, J. W. Thatcher. N. Y.: Plenum
Press, 1972, p. 85—104.
Коэн (Cohen P. J.)
1. Decision procedures for real and p-adic fields. — Comm. Pure Appl.
Math, 1969, 22, p. 131—151.
Кук (Cook S. A.)
1. The complexity of theorem proving procedures. — In: Proceedings of
the 3rd Annual ACM Symposium on theory of computing. 1971,
p. 151—158.
Лёйхли и Леонард (LSuchli H., Leonard J.)
1. On the elementary theory of linear order. — Fundam. math, 1966, 59,
p. 109—116.
Мейер (Meyer A. R.)
1. The inherent complexity of theories of ordered sets. — In: Proceedings
of the International Congress of Mathematics, Vancouver, 1974, Canadian
Math. Congress, 1975, p. 477—482.
Мостовский (Mostowski A.)
1. On direct products of theories. — J Symbolic Logic, 1952, 17, p. 1—31.
Пресбургер (Presburger M.)
1. Uber die Vollstandigkeit eines gewissen Systems der Arithmetik ganzer
Zahlen, in welchem die Addition als einzige Operation hervortritt. — In:
Comptes Rendus du I Congres des Mathematiciens des Pays Slaves.
Warszawa, 1929, S. 92—101.
Рабин (Rabin M. O.)
1. A simple method for undecidability proofs and some applications. — In:
Logic, Methodology and Philosophy of Science, II/Ed. Y. Bar-Hillel.
Amsterdam: North-Holland, 1965, p. 58—68.
2. Decidability of second order theories and automata on infinite trees. —
Trans. Amer.Math. Soc., 1969, 141, p. 1—35.
ЛИТЕРАТУРА
111
Робинсон (Robinson А.)
1. Complete Theories. — Amsterdam: North-Holland, I960.
Тарский (Tarski A.)
1. Arithmetical classes and types of Boolean algebras: Preliminary re-
port— Bull. Amer. Math. Soc., 1949, 55, p. 64.
2. A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry. — Berkeley;
Los Angeles, 1951.
Тарский и Мостовский (Tarski A., Mostowski A.)
1. Arithmetical classes and types of well ordered systems. — Bull. Amer.
Math. Soc., 1949, 55, p. 65.
Феферман и Boot (Feferman S., Vaught R. L.)
1. The first order properties of products of algebraic systems. — Fundam.
math., 1959, 47, p. 57—103.
Фишер и Рабин (Fischer M. J., Rabin M. O.)
1. Super exponential complexity of Presburger’s arithmetic. — SIAM AMS
Proc., 1974, 7, p. 27—41.
Шмелева (Szmielew W.)
1. Elementary properties of abelian groups. — Fundam. math., 1954, 41,
p. 203-271.
Эл гот (Elgot С. C.)
1. Decision problems of finite automata design and related arithmetics.—
Trans. Amer. Math. Soc., 1961, 98, p. 21—51
Эренфойхт (Ehrenfeucht A.)
1. Decidability of the theory of linear ordering relation. — Notices Amer.
Math. Soc., 1959, 6, p. 268—269.
Глава 4
СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ.
ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ
Стивен Г, Симпсон
СОДЕРЖАНИЕ
§ 1.	Введение................................................... 112
§ 2	Структура	степеней без операции скачка.................... 115
§ 3.	Операция	скачка............................................ 120
§ 4.	V — L против PD........................................... 1 22
§ 5.	Между 0	и О'............................................. 1 25
§ 6. Степени полных теорий ...................................... 128
Литература . .....................................................131
§ 1. Введение
Эта глава рассчитана на читателей, имеющих по крайней
мере шапочное знакомство с некоторыми основными идеями
теории рекурсивных функций. Эти идеи могут быть найдены в
главе 1
Структура степеней по существу есть некоторая классифи-
кация всех множеств натуральных чисел по сложности. Рекур-
сивные множества натуральных чисел составляют минималь-
ный уровень сложности. Степень (иногда называется тьюринго-
вой степенью или степенью неразрешимости) —это просто класс
эквивалентных множеств натуральных чисел при следующем
отношении эквивалентности: Si рекурсивно относительно S2, а
S2 рекурсивно относительно Si. Ясно сразу, что каждое множе-
ство натуральных чисел попадает в один из этих классов экви-
валентности. Степени частично упорядочены следующим обра-
зом: d\ > d2 тогда и только тогда, когда множества в классе
эквивалентности d\ более нерекурсивны, чем множества в классе
эквивалентности d2.
Только что описанная простая идея приводит к богатой и
интересной теории. В действительности в течение многих лет
теория степеней является одной из наиболее технических и вы-
соко развитых частей математической логики. В литературе
имеются буквально сотни статей, которые посвящены исключи-
тельно степеням. Требования к оригинальности в этих статьях
очень высоки. И хотя некоторые идеи повторяются, многообра-
зие используемых методов громадно. Некоторые из специали*
§ Т. ВВЕДЕНИЕ
ИЗ
стов даже предпочитают не опубликовывать свою теорему, если
ее доказательство не демонстрирует новой техники.
Описанная ситуация доставляет тяжелое испытание всякому,
кто попытается внести порядок и ясность в теорию степеней.
Несмотря на это, имеются несколько поистине замечательных
образцов, как например, Лахлан [5], Сакс [1], Шенфилд
[3], Со ар [3], Ейтс [5]. (Возможно, книга Шенфилда [3]
наиболее удобна для начинающих.) Придерживаясь основного
пути развития теории степеней, все эти работы делают особый
упор на методы доказательств.
В данном обзоре мы позволили себе небольшое число мето-
дологических замечаний. Однако мы приняли сознательное ре-
шение пренебречь методологией, а вместо этого сконцентриро-
вать внимание на результатах. Поэтому мы пытаемся указать
исключительно такие теоремы, утверждения которых проливают
наибольший свет на структуру и использование степеней. Такие
теоремы не всегда имеют самые интересные доказательства.
Причины нашего выбора в основном опираются на следующее:
(1)	Как сказано выше, уже есть несколько замечательных
методологических обзоров, превзойти которые мы не надеемся.
(2)	Наш типичный читатель, возможно, не планирует зани-
маться исследованиями в теории степеней. Следовательно, ему
более интересны результаты, а не методы доказательств.
(3)	Мы чувствуем, что сейчас настало самое время, когда
специалисты по теории степеней должны критически оглянуться
на конкретные достижения в своей области. Мы надеемся, что
обзор результатов будет способствовать такому самоанализу и
в связи с этим укажем направление будущих исследований.
Другой аспект теории степеней, которым мы здесь прене-
брегаем, — это история. Это отчасти связано с тем, что мы
предпочитаем обсудить более поздние, но цельные результаты,
а не ранние и отрывочные. Кроме того, исторический подход мог
бы ввести в заблуждение, так как общая концепция о том, что
такое теория степеней, кажется, с годами меняется. Однако
чтобы избежать обвинений в полном пренебрежении историей,
мы укажем на тот очевидный факт, что публикация статей по
теории степеней началась со статьи Эмиля Л. Поста. (В §§ 5 и 6
настоящего обзора обсуждаются проблемы, идущие от Поста
[ 1 ]; §§ 2, 3 и 4 ближе по духу к статьям Поста [2] и Клини
и Поста [1]. Серьезные исторические трудности связаны и с
тем, что многое из сделанного Постом не издано, не опублико-
вано и недоступно.)
Со времени Поста теория степеней обнаружила много связей
с другими частями математической логики. К сожалению, огра-
ниченность места помешала нам привести здесь эти аспекты.
Другая важная тема, которую мы опустили — это обобщенная
114
ГЛ. 4. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
теория степеней. Современный обзор об a-степенях содержится
в главе 5. Понятие степени, которое особенно важно для де-
скриптивной теории множеств, обсуждается в публикуемых док-
торских диссертациях Дж. Стилла и У. Уэйджа; оба из Кали-
форнийского университета в Беркли.
В оставшейся части этого введения мы коротко определим
некоторые основные понятия теории степеней. Дополнительные
детали читатель может найти в § 8 главы 1.
Мы используем со для обозначения как наименьшего бес-
конечного ординала, так и для множества {0, 1, 2, ...} неотри-
цательных целых чисел. Мы используем 2° для обозначения
множества {0, 1}-значных функций на со. Такие буквы, как f, g, h,
будут применяться для обозначения элементов из 2®.
Для f, g е 2® обозначим через f ® g единственную функцию
такую, что Л(2п) = f(n), h(2n+l)=g(n) для всех
песо. Пишем f g (читается: / рекурсивна относительно g, f
сводится по Тьюрингу к g, f вычисляется по g), если существует
алгоритм, который вычисляет f<n), используя оракул для g,
для всех п е со. Фиксируется гёделева нумерация всех алгорит-
мов. Для всех / е 2W определим f* е 2° следующим образом:
f*(n)= 1, если n-й алгоритм в конце концов остановится, когда
начнет работать на входе п с оракулом f; в противном случае
f*(n) = 0.
1.1. Предложение, (i) f^rf-
(ii)	Из f g, g следует I ^Th.
(iii)	f Ф g h тогда и только тогда, когда f Л, g ^.т h.
(iv)	f ^2Т f* и неверно, что f* f-
(v)	Из f g следует f* g*.
Говорят, что две функции f, gs2w имеют одинаковую сте-
пень, если f g и g^rf- Обозначим через D множество всех
степеней. Буквы полужирного шрифта такие, как а, b, с, d, ис-
пользуются для обозначения степеней. Степень функции f обо-
значается через deg(f). Степенью множества Дёсо называется
степень его характеристической функции Са е 2ю.
Пусть a = deg(f), b = deg(g). Определим двуместный пре-
дикат на О следующим образом: а Ь тогда и только тогда,
когда f g- Двуместная операция U на D определяется так:
a (J b — deg(f ф g). В силу 1.2 (ii) и 1.2 (v) D является верхней
полурешеткой относительно U- Одноместная операция /: D £>,
называемая операцией скачка, определяется так: j(a) = a'
==deg(f*). Выделенный элемент из D определяется как
O = deg(XnO). Таким образом, 0 — степень рекурсивных функ«
ций.
1.2. П р е д л о ж е н и е (i) D имеет мощность 2^°.
(ii)	D частично упорядочено предикатом
I t. СТРУКТУРА СТЕПЕНЕЙ БЕЗ ОПЕРАЦИИ СКАЧКА
115
(iii)	Подмножество из D имеет верхнюю грань (относитель-
но тогда и только тогда, когда оно счетно.
(iv)	0 — наименьший элемент D.
(v)	a U Ь — наименьшая верхняя грань а и Ь.
(vi)	а < а' для всех а.
(vii)	Из a^b следует а' V.
В этой главе операция скачка будет играть фундаменталь-
ную роль. По этой причине приведем две важные характери-
стики этой операции:
(1) Подмножество из со называется рекурсивно перечисли-
мым (р.п.) относительно степени а, если оно либо пусто, либо
есть область значений некоторой функции р: со->со, рекурсив-
ной относительно а. Степень b называется р. п. относительно а,
если b — степень некоторого множества, рекурсивно перечисли-
мого относительно а. Имеем: а' — наибольшая степень, р.п.
относительно а.
(2) Скажем, что f предельно рекурсивна относительно g,
если существует функция р: со X о) -> со такая, что р рекурсивна
относительно g и f(m) = limn р(пг, п) для всех п е со. Тогда для
а = deg(0, & = deg(g) имеем: а Ь' тогда и только тогда, ко-
гда f предельно рекурсивна относительно g.
Если a = deg(f) и п е со, то мы пишем а(Л) = deg(/(n)), где
/чм-п — (/(«))*. Следовательно, а(0) = а и а(п+^ = (a(rt))',
и, таким образом, мы определяем конечные итерации операции
скачка. Началом обобщения итерации на трансфиниты является
а(со) _ deg(f((0)), где	определяется следующим образом:
для всех т, п е со
(2m (2n + 1) - 1) = f(m> (га).
Заметим, что степень а(0)) является верхней гранью возрастаю-
щей последовательности а, а', а", ...,	а(п+1), ... (песо).
Дальнейшие трансфинитные итерации операции скачка будут
определены в § 4.
§ 2. Структура степеней без операции скачка
В этом параграфе мы изучаем алгебраическую систему D,
множество всех степеней, рассматриваемое как частично упо-
рядоченное множество <£), или как верхнюю полурешетку
<Z), U>. Результаты, в утверждениях которых встречается опе-
рация скачка, отложены до последующих параграфов. Основной
вывод из результатов данного параграфа состоит в том, что си-
стема D очень богата и иногда трудно изучаема, но при этом
имеет ряд замечательных свойств, таких, как 2.2 и 2.3.
116
ГЛ 4 СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
Начнем обсуждение типов подпорядков для D. Пусть S —
частично упорядоченное множество, вложимое в D. Из 1.2 три-
виально получаем:
(i) мощность S^2^°;
(iff каждый элемент из S имеет не более счетного числа
предшественников.
Проблема Сакса [1], оставшаяся открытой, спрашивает:
будет ли обратный результат истинным, т. е. будет ли каждое
частично упорядоченное множество, удовлетворяющее (i) и (ii),
вложимым в D? Основной позитивный результат по этой проб-
леме, который полностью решает эту проблему, если выпол-
няется континуум-гипотеза, состоит в следующем.
2.1.	Теорема (Сакс [1]). Пусть S — частично упоря-
доченное множество, удовлетворяющее условиям (i), (ii) и
(iii) каждый элемент из S имеет не более Ki последователей.
Тогда S порядково вложимо в D.
Ясно, что следствием 2.1 является то, что каждое счетное
упорядоченное множество вложимо в D.
При доказательстве 2.1 вложение S в D получается как
предел трансфинитной последовательности расширений вложе-
ний все больших подмножеств для S. Это подсказывает и труд-
ную общую проблему: когда вложение частично упорядоченного
множества в D может быть продолжено до вложения большего
частично упорядоченного множества в О? Интересный специ-
альный случай этой проблемы связан с независимыми множе-
ствами, т. е. множествами ненулевых степеней такими, что ни-
какой элемент этого множества не является меньшим или рав-
ным наименьшей верхней грани конечного числа других элемен-
тов этого множества. По лемме Цорна любое независимое мно-
жество может быть расширено до максимального независимого
множества. Нетрудно показать, что существует независимое
множество мощности 2^о и что каждое максимальное незави-
симое множество имеет мощность к j (более общо, bSa+1
при допущении аксиомы Мартина для Na). Сакс [1] спраши-
вает: каждое ли максимальное независимое множество имеет
мощность 2^°? Ответ на этот вопрос вполне может оказаться
независимым от ZFC.
Введем важное понятие идеала в D. Множество / <= D на-
зывается идеалом, если:
(i)	Ое/;
(ii)	из а Ь е / следует а е /;
(iii)	из a, b е I следует a U Ь е /.
Например, если а — любая степень, то мы имеем главный
идеал
/(«) = {</: d<a}.
§ 2 СТРУКТУРА СТЕПЕНЕЙ БЕЗ ОПЕРАЦИИ СКАЧКА
117
Заметим, что любой главный идеал счетен. Неглавный счетный
идеал порождается любой счетной возрастающей последователь-
ностью степеней, например {0(Л): песо}. Другим примером не-
главного идеала является само D.
Наше использование слова «идеал» не является стандартной
терминологией, но, конечно, естественно, так как условия
(i) — (iii) эквивалентны тому, что / — ядро некоторого гомомор-
физма из <Z), U, 0> на другую верхнюю полурешетку с выделен-
ным наименьшим элементом. Позднее мы скажем несколько
больше об образах этих гомоморфизмов.
Временно будем смотреть на идеал как просто на подпоря-
док для D и спросим: что можно сказать про его порядковый
тип? Ясно, что идеал — верхняя полурешетка с наименьшим эле-
ментом, но что еще можно сказать? Ответ в счетном случае
очень приятен:
2.2.	Теорема (Лахлан и Лебеф [1]). Каждая счетная
верхняя полурешетка с наименьшим элементом изоморфна не-
которому счетному идеалу в D.
Важный частный случай 2.2, принадлежащий Спектору
[1], говорит о том, что существует минимальная степень, т. е.
такая степень т, что 0 является единственной степенью, меньшей
чем ш.
Доказательство 2.2 комбинаторно сложно. Однако основная
теоретико-рекурсивная идея доказательства восходит к Спек-
тору [1] и не трудна. История 2.2 и главный вклад в комби-
наторную часть этого доказательства содержатся в статье Лер-
мана [ 1 ].
Несчетные обобщения 2.2 более таинственны; например, от-
крытая проблема — будет ли D иметь идеал порядкового типа
Kj. Ейтс [2] заметил, что это последнее утверждение совмест-
но1) с ZFC, и сделал некоторые предположения. Один изоли-
рованный факт: D имеет идеал, порядково изоморфный решетке
конечных множеств действительных чисел (см. Томасон [1]).
Простым следствием этого факта является то, что каждое мак-
симальное множество попарно несравнимых степеней имеет
мощность 2«° (Сакс [1]).
Следующая теорема утверждает нечто важное о том, как
расположены в D счетные идеалы.
2.3.	Теорема (Спектор [1]). Пусть I — любой счетный
идеал в D. Тогда существует (неединственная) пара степеней
а\, а2 такая, что
/ = {</: d < в] и d < а2}.
‘) Метаязыком в этой главе является ZFC— теория множеств Цермело —
Френкеля с аксиомой выбора. Когда обсуждаются вопросы непротиворечи-
вости и независимости, мы молчаливо предполагаем непротиворечивость ZFC.
118
ГЛ. 4. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
В частном случае главных идеалов теорема 2.3 говорит нам,
что каждая степёнь есть наибольшая нижняя грань двух ббль-
ших степеней. Следствием теоремы 2.3 о неглавных идеалах
является то, что бесконечная возрастающая последовательность
степеней может не иметь наименьшей верхней грани.
Вообще, пара fli, a2i удовлетворяющая заключению теоре-
мы 2.3, называется точной парой для /. Из существования точ-
ных пар следует, что в теории первого порядка для <D, U> мы
можем говорить о произвольных счетных идеалах и употреблять
кванторы по ним. Эта выразительная сила будет использована
далее при доказательстве теоремы 2.7. Точные пары еще будут
использоваться и в теореме 4.3.
Теперь посмотрим, что случится, если мы будем рассматри-
вать D «по модулю» некоторого счетного идеала /. Интуитивная
идея — предположить, что все функции из
= deg (/)<=/}
рекурсивны, и изучить, какой будет эффект такого отождеств-
ления на системе D. Существуют два разных пути уточнения
этой идеи:
(1)	Определим отношение эквивалентности =7 на О так:
a^ib тогда и только тогда, когда a (J d = b U d д,ля некоторого
de /. Пусть D/I означает множество всех классов эквивалент-
ности.
(2)	Пусть Di = {а: а> d для всех de/}.
И D/Ц и Р/ являются верхними полурешетками. Алгебраи-
чески более естественно D/Ц так как оно имеет наименьший
элемент, а именно, само /. D/1 является фактором D по / в ка-
тегории верхних полурешеток с выделенным наименьшим эле-
ментом. Ввиду 2.3 Di никогда не имеет наименьшего элемента.
(Однако существует естественный изоморфизм из Di на некото-
рое замкнутое вверх подмножество множества D/I. Если / —
главный, то это подмножество состоит из ненулевых элемен-
тов D/I.)
Интересно, что многие структурные результаты относитель-
но D как алгебраической системы справедливы также для D/I
и Di, когда / — счетный идеал, лишь с небольшими изменениями
в доказательствах. Например, 2.1 остается истинным, если его
дословно переписать с заменой D на D/I или О/, предполагая
/ счетным. Рутинная процедура проверки того, какие из теорем
и их доказательств про D обобщаются на D/I и Di, называется
релятивизацией к / (см- 9-3 из книги Роджерса [!])• Пра-
вильность этой процедуры основана на том, что Mj имеет много
таких же свойств замкнутости, как и множество рекурсивных
функций; их становится еще больше, если / — главный идеал.
Обычно говорят о релятивизации к степени а, а не к главному
§ 2 СТРУКТУРА СТЕПЕНЕЙ БЕЗ ОПЕРАЦИИ СКАЧКА
119
идеалу /(а). Релятивизованные варианты многих теорем таких,
как 2.2, проверены для главных идеалов (иногда не для произ-
вольных счетных идеалов, за исключением некоторых специаль-
ных случаев).
Танталова гипотеза Роджерса ([1], с. 261 (с. 335 русского
перевода)) утверждает, что D/I(a) изоморфно D для всех глав-
ных идеалов 1(a). Конечно, многие структурные свойства D/I(a)
и D совпадают*). Естественно также рассмотреть следующее
обобщение гипотезы Роджерса: для всех счетных идеалов I
Еще две проблемы, также принадлежащие Роджерсу [2],
остаются открытыми: будет ли какая-нибудь или каждая нену-
левая степень инвариантной относительно всех автоморфизмов
<Z), U>? Все эти проблемы все еще открыты. (Если мы изменим
эти проблемы, потребовав от изоморфизмов и автоморфизмов
сохранения операции скачка, то здесь сделан существенный про-
гресс. См. ниже следствия 3.6 и 3.8.)
До сих пор мы с опаской обходили операцию скачка. Сейчас
мы хотим указать, что существует много теорем о верхней по-
лурешетке для D, которые не имеют дела со скачком, но ис-
пользуют это понятие при доказательстве. Возможно простей-
шим примером такой теоремы является следующая. Скажем,
что степень b расщепляется, если она есть наименьшая верхняя
грань двух меньших степеней &i и Ь2. Не каждая ненулевая
степень расщепляется, например минимальная степень. Однако
имеет место
2.4.	Теорема. 3aV& (& > а -> b расщепляется).
Это доказывается следующим образом. Возьмем а = О'. Для
данной Ъ> О', используя теорему 3.1 Фридберга об обращении
скачка, находим степень с такую, что с' = с (J О' = Ь. Затем
положим Ь\ —с , &2 = О'.
Следующие две теоремы усиливают 2.4 и, подобно 2.4, вы-
водятся из теорем об операции скачка. Скажем, что b чашеоб-
разна, если для всякой ненулевой &i < b существует b2 < Ь та-
кая, что &i (J Ь2 = Ь.
2.5.	Теорема. ЭаУЬ (Ь>а-+Ь чашеобразна).
2.6.	Теорема. 3aV& (&>«->& — наименьшая верхняя грань
двух минимальных степеней).
Для 2.5 берем а = О' и используем 3.2, а также релятивизо-
ванный вариант теоремы Робинсона 5.3. Для 2.6 берем а = 0"
(см. теорему 2.4 из статьи Мартина и Миллера [1]).
*) Опровержение этой гипотезы можно найти в книге: Эпштейн
(R. L. Epstein). Degrees of unsolvability: structure and theory. — Berlin: Sprin-
ger, 1979. — Прим. ped.
120
ГЛ. 4. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
Заканчиваем этот параграф указанием полного ответа на
вопрос, который, кажется, впервые поставлен Шенфилдом (см.
Шенфилд [1]). Вопрос таков: какова сложность теории пер-
вого порядка для верхней полурешетки <Z), U>?
2.7.	Теорема (Симпсон [2]). Теория первого порядка
для (D, U> рекурсивно изоморфна множеству истинных формул
арифметики второго порядка.
Укажем здесь набросок доказательства. В силу 3.4 мы имеем
тот же результат для обогащенной системы <£>, U, />, где j —
операция скачка. В доказательстве 3.4 операция скачка исполь-
зуется лишь для того, чтобы доказать существование некото-
рых конфигураций степеней, кодирующих арифметику второго
порядка. Используя 2.3, мы можем говорить об этих конфигу-
рациях в теории первого порядка для <Z), UX
§ 3.	Операция скачка
В предыдущем параграфе операция скачка /: D D встре-
чалась как вспомогательное понятие, используемое лишь для до-
казательства теорем, в которых про эту операцию ничего не
говорится. Теперь изучим операцию скачка саму по себе. Основ-
ным результатом здесь является теорема Фридберга об обра-
щении.
3.1.	Теорема (Фридберг [2]). Для каждой степени
b О' существует степень а такая, что а' = a U О' = Ь.
Из 3.1 и 1.2 легко выводится, что область значений операции
скачка в точности совпадает с множеством степеней ^0'.
По операции скачка имеется довольно обширная литература.
Многие из работ уточняют 3.1 в различных направлениях. На-
пример, простая модификация доказательства 3.1 дает следую-
щий полезный результат (см. также С п е к то р [1]):
3.2.	Теорема. Для любой Ъ О' существует бесконечное
множество {ас. i е со} такое, что ai(]aj—O для всех i=£j и
a = ai(JO' — b для всех i.
Из других уточнений 3.1 следуют ограничения на область
определения операции скачка. Так в § 6 книги Сакса [1] по-
казано, что
{а': 0 < а < О' и а р. п.} = {Ь: Ь^О' и 6 р. п. относительно О'}.
Этот замечательный результат важен также и в историческом
плане, потому что при его доказательстве впервые применен
так называемый метод приоритета «с бесконечными наруше-
ниями». Другое поразительное уточнение 3.1, доказательство
которого, как выяснилось, также требует рассуждений о беско-
нечных нарушениях, состоит в следующем:
$ 3. ОПЕРАЦИЯ СКАЧКА
121
Г (d)(n) = <
3.3.	Теорема (Купер [1]). Для любой b О' существует
минимальная степень m такая, что m' = m U 0' = Ь.
Теперь обсудим некоторые недавние результаты, относящие-
ся к определимости в логике первого порядка и к автоморфиз-
мам системы
0 = U, />.
Под арифметикой второго порядка мы понимаем теорию первого
порядка двусортной системы
Р*==(2“, и, +, •, Е\
где + и •—обычные арифметические операции на со, а
Е:	определяется как E(f, п) — f(n). Хорошим введе-.
нием в литературу по теории рекурсии в арифметике второго
порядка является п. 16.2 из книги Роджерса [1] и п. 8.5 из
книги Шенфилда [2]. Мы хотим обсудить некоторые пере-
воды языка арифметики второго порядка в язык для 3). Чтобы
это сделать, нам нужно специальное отображение Г: D —>2®,
определенное так:
1,	если 0(п+ ° < d U 0(п),
О в противном случае.
3.4.	Теорема (Симпсон [2]). Пусть <p(/i, ..., fit п\, ...
..., и/)—формула арифметики второго порядка. Тогда мы мо-
жем эффективно найти формулу cp*(%i, ..., х/, у\, ..., у7) тео-
рии степеней такую, что для всех d\, ..., di& D и п\, ..., и/ е
е со
£7 1=ф[П^|)....Г(^). «1. •••, «/I
тогда и только тогда, когда
0f=<p*[<Zb ... dh о(Ч.... о(П/)].
Доказательство (набросок). Для формул арифметики
первого порядка достаточно показать, что множество Q = {0(гг):
п е со} и предикаты 0(rt),0(p>>: m + п = р} и {<0(т), 0(п),
0(р)>: т-п = р} «сложения» и «умножения» на Q определимы
в 3) с помощью формул логики первого порядка. Для функцио-
нальных кванторов достаточно показать, что Г отображает D
на 2“. □
Чтобы вывести некоторые следствия об автоморфизмах и
определимости в 3), нам нужно следующее довольно легкое
утверждение. Напомним, что степень 0((д) — каноническая верх-
няя грань для {0(п): п е со}.
3.5.	Утверждение (Симпсон [2]). Предикат {(а,Ьу.
0(1О) b = deg (Г (а))} определим в 3) формулой логики пер-
вого порядка.
122
ГЛ. 4. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
3.6.	Следствие (Солсвей). Каждая степень ^0(со) непод-
вижна относительно всех .автоморфизмов Ф.
3.7.	Следствие (Симпсон [2]). п-местный предикат
R^ {d.Q^^.d}n определим в Ф тогда и только тогда, когда
/?* = {< Л, fn): Я (deg (А), ..., deg О)
определим в арифметике второго порядка.
3.8.	Следствие (Симпсон [2]). Подсистема системы
Ф, имеющая основное множество {d: 0(to)	d}, не является эле-
ментарно эквивалентной Ф.
Следствия 3.6, 3.7 и 3.8 легко и непосредственно следуют из
3.4 и 3.5. Другое доказательство 3.6 нашел ранее Р. М. Соло-
вей, который использовал наблюдения из § 5 статьи Ейтса [3].
Джокуш заметил, что те же самые рассуждения показывают,
что в 3.6 0((0) может быть заменено 0(6). Остается открытым во-
прос: имеет ли Ф автоморфизмы, отличные от тождественного.
§ 4.	V = L против PD
В этом параграфе мы обсудим некоторые аспекты соотноше-
ния между теорией степеней и аксиоматической теорией мно-
жеств. Начнем с некоторых исторических замечаний.
С самых первых дней, когда возник коэновский метод вы-
нуждения (форсинга), специалисты по теории степеней заме-
тили сильное сходство между этим методом и хорошо развитой
техникой конечных приближений в теории степеней. Несколько
позднее Сакс использовал аналогии с теорией степеней для
формулировки новых результатов и проблем в аксиоматической
теории множеств («степени неконструктивности», Сакс [4]).
Однако на прямые связи между степенями и аксиоматической
теорией множеств пролит свет лишь совсем недавно. Как мне
известно, литература до 1968 г. не содержит никаких намеков
на такие прямые связи (хотя у Сакса [1] встречаются неко-
торые использования теории меры и дескриптивной теории мно-
жеств) .
Первыми статьями, в которых понятия аксиоматической тео-
рии множеств прямо применяются к степеням, являются статьи
Булоса и Патнема [1] и Мартина [2]. Впоследствии не-
ожиданно была найдена тесная и детализированная связь. На-
пример, из 3.7 следует, что существует выразимая в логике
первого порядка формула ф(х) теории степеней такая, что для
всех степеней d имеем Ф Н ^(d) тогда и только тогда, когда d
конструктивна в смысле Г ё де л я [1].
С нашей точки зрения, аксиоматическая теория множеств
является наиболее интересной областью проблем для будущих
исследований по степеням. (Справедливо будет сказать, что
| 4. V-E ПРОТИВ PD
123
многие наши коллеги — специалисты по степеням — не разде-
ляют эту точку зрения.) Мы хотим здесь предложить некото-
рые из известных результатов, показывающие, что различные
теоретико-множественные гипотезы такие, как V = L («аксио-
ма» конструктивности) или PD («аксиома» проективной опре-
делимости), имеют поразительные следствия для изучения
структуры степеней.
Множество степеней XsD называется определенным, если
существует степень а такая, что либо {d: d а}^ X, либо
{d: d а}(]Х = 0. Не каждое множество степеней определен-
ное. Однако существует много нетривиальных идей в литера-
туре, говорящих о том, что некоторые конкретные множества
степеней являются определенными тем или другим способом.
Например, каждая из теорем 2.4, 2.5, 2.6, 3.1 служит некоторым
примером определенности.
Многие известные подмножества множества D оказываются
определенными, но читатель (даже специалист по теории степе-
ней), вероятно, не сможет определить в ZFC такого множества
степеней и доказать в ZFC, что это множество не определенное.
Это эвристическое явление приводит к формулировке следую-
щего эвристического принципа:
4.1.	Эвристический принцип. Пусть X — имеющее
«простую природу» подмножество множества D. Тогда X опре-
делено.
Существует тесная связь между определенностью и играми
Гейла — Стюарта. Общую информацию об этих играх читатель
может получить из главы 8 «Теории множеств». Эта специфиче-
ская связь состоит в следующем. Пусть X — подмножество мно-
жества D. Пусть два игрока I и II играют в бесконечную игру
с полной информацией, приводящей к определению некоторой
функции	По правилам этой игры I указывает f(0), за-
тем II указывает f(l), ..., затем I указывает f(2n), затем II
указывает f(2n+ 1), ... В итоге I выигрывает, если deg(f)e X,
в противном случае выигрывает II. Можно показать, что X оп-
ределенно тогда и только тогда, когда один из игроков имеет
выигрышную стратегию. (Более того, степень а, участвующая
в определении определенности, может быть выбрана как сте-
пень выигрышной стратегии.) Это замечание принадлежит
Мартину [2].
Многие примеры, подтверждающие принцип 4.1, могут быть
получены, если использовать замечание из предыдущего пара-
графа и недавние результаты по играм Гейла — Стюарта. Для
X^D будем писать X* = {f: deg(f)sX}. Тогда имеет место
4.2.	Теорема (Мартин [2] — [4]). Множество X^D яв-
ляется определенным при любом из следующих обстоятельств:
124
ГЛ. 4. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
(i)X* борелевское (т. е. Др множество).
(ii)	X* аналитическое (т. е. ^-множество) и существует неко-
торый кардинал Рамсея,
(iii)	X* проективное (т. е. ^-множество для некоторого /г е со)
и PD выполняется.
Из аксиоматической теории множеств мы знаем, что невоз-
можно доказать совместность ZFC с существованием кардинала
Рамсея или с PD. Однако несовместность ZFC с этими гипоте-
зами не доказана.
Для того чтобы получить интересное следствие из 4.2 (i),
обозначим через {фп}леы нумерацию всех предложений языка
первого порядка для верхних полурешеток. Так как каждый
главный идеал 1(b) = {d\ d^b} является верхней полурешет-
кой, мы можем определить множества Хп = {b D : /(&)[= <рл}.
В силу 4.2 (i) Хп являются определенными. Пусть
{Фп, если Эа{Ь: Ь ^ а}	Хп,
~|фп, если Эа{Ь: Ь^а} (]Хп= 0.
Тогда {xf>/i} п & (о—теория «типичного» главного идеала, т. е. су-
ществует степень, а такая, что I (Ь) |= для всех b а, п е со.
Скажем, что множество X D (слабо) определимо, если оно
определимо в системе ^5 = <£>, U,/> с помощью формулы ло-
гики первого порядка (допускаются параметры из D). Учиты-
вая 4.1, естественно спросить: будет ли каждое слабо опреде-
лимое множество определенным? Если PD выполняется, то это
как раз случай 4.2 (iii). (В действительности 3.7 и недавний
результат Харрингтона делают вероятным то, что PD эквива-
лентно утверждению, что каждое слабо определимое подмно-
жество множества D является определенным.) Однако известно,
что для некоторых широких классов моделей теории ZFC спра-
ведлив отрицательный результат. В частности, пусть Y = {d е
е£): гиперстепень для d является минимальной}. Тогда в силу
3.7 или из результата Джокуша и Симпсона [1] Y опре-
делимо, но, согласно Симпсону [1], Y не определено, если
справедливо V = L или V есть генерическое расширение L.
Мы уже заметили, что несколько приятных результатов о 3)
получаются, если допустить PD. Теперь нам хочется сказать,
что при диаметрально противоположном предположении, т. е.
при V — L, картина также очень привлекательна.
Без каких-либо дополнительных предположений можно по-
казать, что существует трансфинитная возрастающая последо-
вательность степеней 0(а),а < kV(см. также Булос и Пат-
нем [1] и Йенсен [1]).
Степени из этой последовательности естественно считать
трансфинитными итерациями операции скачка, т. е. имеем:
§ 5. МЕЖДУ О И О'
125
(i)	О(°) = О;
(ii	) О(а+1) — скачок (О(а)) для всех а;
(iii	) О(*а) < О(Р> для а < р;
(iv)	для каждого предельного ординала X <	0(М есть «на-
именьшая естественная» верхняя грань для {о(а): а < X} в D.
Кроме того, если V = L, то степени 0(а), а < Кь состав-
ляют полную систему в том смысле, что идеал, ими порожден-
ный, совпадает со всем D. В частности, эти степени образуют
естественный пример неопределенного множества.
Чтобы объяснить утверждение (iv), написанное выше, на-
помним, что, согласно 2.3, степени 0(а), а < X, не могут иметь
наименьшей верхней грани. Утверждение (iv) говорит, что
0<Л) — специфическая верхняя грань, естественно возникающая
в терминах алгебраической системы 2) = (D, U, />• Обозначим
через счетный идеал, порожденный {0(а): а < X}. Опишем те-
перь (в специальном случае) точную природу теоретико-степен-
ной зависимости от /х. (См. также Бойд, Хензел и
Патнем [1] иДжокуш и Симпсон [1]). Если / — любой
счетный идеал в D, то степень d назовем п-точной над I (где
п — некоторое положительное число), если d — единственная
наименьшая степень вида (aU&)(,l), где а, b — точная пара над
I. Пусть ро — ординал разветвленного анализа, который также
может быть определен как наименьший ординал (3 такой, что
Lp — модель теории ZFC без аксиомы степени. Хорошо из-
вестно, что ро — довольно большой, хотя и счетный ординал.
4.3.	Теорема. Для любого предельного ординала X < р0
можно найти наименьшее положительное число п = пк такое,
что существует степень, п-точная над Д. Более того, 0w — имен-
но эта единственная степень.
В то время как X пробегает все предельные ординалы, мень-
шие ро, можно показать, что /гх пробегает все числа п 2. При
этом, если X — само р0, то п^ неопределенно. Можно обобщить
4.3 и за Ро, рассмотрев понятие v-точности, где v — некоторый
ординал. Чтобы выйти за Кь необходимо применить «тонкую
структуру L» Йенсена (Йенсен [1]) вместе с «тонкой струк-
турой L(p)» Соловея (не опубликовано).
§ 5.	Между 0 и О'
Результаты, о которых говорилось в предыдущих парагра-
фах, принадлежат к тому, что можно назвать «глобальной тео-
рией степеней», т. е. они имеют дело с общими свойствами си-
стем <£), U> и <£), U, />• Теперь обратимся к «локальной теории
степеней», т. е. к теории степеней ^0'.
126
ГЛ. 4. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
Подмножество множества со называется рекурсивно перечис-
лимым (р.п.), если оно пусто или есть область значения неко-
торой рекурсивной функции из со в со. Назовем степень р. п.,
если она есть степень некоторого рекурсивно перечислимого
множества из со. Легко видеть, что 0 и О' — р. п. степени и что
каждая р. п. степень ^0'. Р. п. степени были введены Постом
[1], который поставил следующую проблему: доказать, что су-
ществует р. п. степень между 0 и О'. Пост добился сам неко-
торого прогресса в этой проблеме, хотя она оставалась нере-
шенной до работ Фридберга [1] и Мучника [1]. Идеи,
вытекающие из проблемы Поста и ее решения, играют доми-
нирующую роль в локальной теории степеней вплоть до настоя-
щего времени.
Методы доказательств в локальной теории степеней очень
сложны. Для каждой из теорем этого параграфа действует сле-
дующая общая схема доказательства. Совершается некая рекур-
сивная конструкция из бесконечно многих шагов. Имеется бес-
конечное число требований, которые надо удовлетворить. По'
ходу конструкции время от времени некоторые из этих требо-
ваний вступают в конфликт с другими. Конфликты разреша-
ются, когда они возникают, согласно некоторой рекурсивной
схеме приоритетов. Так как требования могут нарушаться на
различных шагах, необходимы тонкие методы доказатель-
ства того, что каждое требование в конце концов будет удов-
летворено.
Доказательство, следующее этой описанной схеме, называет-
ся доказательством методом приоритета. Впервые такой метод
был использован при решении проблемы Поста Фридбергом и
Мучциком. Обобщения метода Фридберга — Мучника были раз-
виты для других задач более поздними авторами; среди них
Лахлан, Сакс и Ейтс. В соответствии с нашей общей установ-
кой говорить о результатах больше, чем о методах, не будем
больше ничего говорить здесь о методе приоритета. Интересую-
щийся читатель может обратиться к мастерски изложенным ра-
ботам Лахлана [5], Шенфилда [3] и Соара [3].
Окончательным решением проблемы Поста могло бы стать
полное описание структуры — счетного частично упорядочен-
ного множества р. п. степеней. Не видно никакого решения
этого, и даже нет разумной гипотезы. Небольшое число извест-
ных результатов носят разрозненный характер. Некоторой ве-
хой является установленная Саксом [2] теорема плотности',
если а <,Ь — р. п. степени, то существует р. п. степень с такая,
что а < с <
Другие результаты про относятся к его решеточной струк-
туре. Тривиально, что — верхняя полурешетка. Каждая счет-
ная дистрибутивная решетка решеточно вложима в St (Тома-
§ В. МЕЖДУ О И О'
127
сон [2], Л а х л а н [4]). Само 91 не является решеткой (Л а х 
лан [1], Ейтс [1]). Каждая ненулевая р.п. стейень являемся
наименьшей верхней гранью двух меньших р. п. степеней
(Сакс [1]). Не каждая р.п. степень <0' является наибольшей
нижней гранью двух больших р.п. степеней (Л ахлан [1]). Су-
ществует пара ненулевых р. п. степеней, у которых 0 является
наибольшей нижней гранью (Лахлан [1], Ейтс [1]). Не су-
ществует пары ненулевых р. п. степеней с наибольшей нижней
гранью 0 и наименьшей верхней гранью 0' (Лахлан [1]).
Имеется еще небольшое число результатов в этом направлении,
значительное большинство из которых принадлежит Лахлану,
Ейтсу и Р. В. Робинсону. Хорошим обзором известных результа-
тов является статья Купера [2]. Но не ясно, к чему ведут эти
результаты.
Ничего не известно об автоморфизмах 3? и о сложности тео-
рии первого порядка для 91. Сакс [1] предположил, что тео-
рия первого порядка для 91 разрешима.
Часто специалисты бросаются на поиски разумных подклас-
сов р. п. степеней. Наиболее полезной находкой пока является
следующая классификация, использующая конечные скачки.
Для п е со определим
Hn = {d:	и dw = 0<n+1)},
Ln = {d: d С O' и d(rt) = 0(rt)}.
Степени из НХ(Ц) иногда называются высокими (низкими).
Известно, что иерархия {Нп>	является собственной, но
не исчерпывающей: каждое из — Нп и Ln+\~ Ln содержит
р. п. степени, но существуют и такие р. п. степени, которые не
попадают ни в одно Нпъ Ln (Сакс [3]).
Известно несколько замечательных приложений иерархии
{Нп, Ln}. Укажем здесь лишь только один тип такого приложе-
ния. Скажем, что рекурсивно перечислимое множество А со
максимально, если со — А бесконечно, но не существует рекур-
сивно перечислимого множества В =? А такого, что и со — В и
В — А бесконечны.
5.1.	Теорема (Мартин [1]). Р. п. степень содержит ма-
ксимальное множество тогда и только тогда, когда она лежи?
в Нх.
5.2.	Теорема (Лахлан [3], Шенфилд [4]). Р. п. сте-
пень содержит бесконечное рекурсивно перечислимое множе-
ство, не имеющее максимальных надмножеств, тогда и только
тогда, когда она не лежит в L%.
Теоремы 5.1 и 5.2 имеют отношение к общей проблеме по-
ведения степени рекурсивно перечислимого множества в зави-
симости от его положения в решетке S рекурсивно перечисли-
128
ГЛ. 4. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
мых множеств, упорядоченных по включению. Эта проблема
возвращает нас к работе Поста [1]. Дальнейшие результаты
по этой проблеме имеются у С о а р а [1], [2] , где, в частности,
показано, что Нп и Ln не инвариантны относительно автомор-
физмов решетки
В последние годы возрос интерес к степеням ^0х, но отлич-
ным от р. п. степеней. Одним из главных здесь является резуль-
тат Сакса [1]: существует минимальная степень, меньшая 0х.
(По теореме плотности для р. п. степеней никакая р. п. степень
не может быть минимальной.) Замечательные уточнения тео-
ремы Сакса получены Купером, Ейтсом, Р, Эпштейном и А. Сас-
со. Свежий обзор этой развивающейся области можно найти у
Ейтса [4] ив аннотированной библиографии Купера [2]*).
Ейтс [2], [3] объявил, что каждая конечная дистрибутивная
решетка порядково изоморфна некоторому главному идеалу
/(а) = {d: d <а} такому, что а < 0х. Из этого следует, что тео-
рия первого порядка для верхней полурешетки I (0х) неразре-
шима (см. также Лахлан [2], Томасон [1]). Мы предпо-
лагаем, что теория первого порядка для /(0х) рекурсивно изо-
морфна множеству истинных формул арифметики первого по-
рядка (ср. 2.7).
По-видимому, трудной открытой проблемой является сле-
дующая: будет ли для каждой степени а 0х существовать от-
носительное дополнение, т. е. степень с такая, что a J с = 0х и
а П с = 0. Замечательным результатом в этом направлении яв-
ляется
5.3.	Теорема (Робинсон [1]). Если а и Ь — ненулевые
степени ^0х, то существует степень с такая, что a J с = 0х, и
неверно, что b с.
§ 6.	Степени полных теорий
Множество C^2W называется корекурсивно перечислимым
(к. р.п.), если 2° — С есть область определения частично ре-
курсивного функционала из 2W в со (см. главу 1). Основной про-
блемой является проблема эффективного выбора элемента из
непустого к. р. п. подмножества множества 2W. В данном па-
раграфе будет представлено некоторое число результатов по
этой основной проблеме.
Причиной, по которой основная проблема очень интересна,
является то, что к. р. п. множества часто и естественно возни-
кают в математической практике. Мы остановимся здесь на
*) Укажем в этой связи новую книгу: Эпштейн (R. L. Epstein). Deg-
rees of unsolvability: structure and theory. — Berlin: Springer, 1979. — Прим,
ped.
§ 6 СТЕПЕНИ ПОЛНЫХ ТЕОРИИ
129
нескольких частных примерах, взятых из математической ло-
гики. Пусть Т—конечно аксиоматизируемая теория языка пер-
вого порядка конечной сигнатуры. Зафиксируем гёделеву ну-
мерацию предложений языка теории Т. Полная теория в этом
языке будет отождествляться с характеристической функцией
множества гёделевых номеров ее теорем. Таким образом, мно-
жество всех полных расширений теории Т отождествляется с
множеством Ст 2®. Как абстрактное топологическое про-
странство, Ст является стоуновским пространством булевой ал-
гебры предложений языка теории Т по модулю эквивалент-
ности, связанной с доказуемостью в Т. Как подмножество мно-
жества 2®, Ст является, как легко видеть, к. р. п.
Несколько отвлекаясь, укажем следующую теорему, которая
показывает, что класс только что рассмотренных примеров ох-
ватывает все к. р. п. подмножества множества 2®. (Таким об-
разом, когда мы изучаем основную проблему в терминах степе-
ней, мы в действительности изучаем степени полных расшире-
ний конечно аксиоматизируемых теорий.) Скажем, что два мно-
жества Ci, С2 2® рекурсивно гомеоморфны, если существует
частично рекурсивный функционал из 2® в 2®, который одно-од-
нозначно отображает С\ на С2.
6.1.	Теорема (Ханф [2]). Пусть С — любое к. р. п. под-
множество множества 2®. Тогда существует конечно аксиомати-
зируемая теория Т языка первого порядка с равенством и од-
ним двуместным предикатным символом такая, что С рекур-
сивно гомеоморфно множеству полных расширений теории Т.
В статье Джокуша и Соара [1] используется метод
приоритета для доказательства существования к. р. п. мно-
жеств С <= 2® с различными патологическими свойствами. Тогда
можно применить теорему 6.1 для вывода следствий о существо-
вании конечно аксиоматизируемых теорий Т с соответствую-
щими патологическими свойствами. Для дополнительной ин-
формации по данному поводу см. Ханф [1], Мартин и П у р -
Э л ь [1].
Наши результаты, касающиеся основной проблемы, будут
для краткости сформулированы в терминах предиката на
степенях, который мы теперь определим. Говорим, что множе-
ство С 2® к. р. п. относительно степени а, если 2® — С яв-
ляется областью определения частичного функционала из 2® в
со, который рекурсивен относительно а. Полагаем а << 6. если
каждое непустое подмножество для 2®, являющееся к. р. п. от-
носительно а, содержит функцию степени ^6. В следующей
теореме собраны простые факты о С, источники которых труд-
но проследить.
6.2.	Теорема, (i) Из а < b следует a <Zb.
5 Справочная книга, ч. III
130
ГЛ. 4 СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
(ii)	Из а b с ^Zd следует a <^d.
(iii)	Из а <С &, b с следует а <^с.
(iv)	а < а' для всех а.
Следующая теорема объясняет выбор обозначения <С.
6.3.	Теорема (Джокуш и Соар [1]). Если а <С Ь, то
каждое счетное частично упорядоченное множество вложимо
в {d: a <Zd <Zb}.
В следующей теореме говорится, что не существует ника-
кой позитивной связи между <С и относительной рекурсивной
перечислимостью, за исключением той, что указана в 6.2 (iv).
6.4.	Теорема (Джокуш и Соар [1]). (i) Если а <С b
и b р. п. в а, то а' = Ь.
(ii)	Для всякой а существует Ь такая, что а b и а' = Ь'.
Следующая теорема говорит о двух замечательных струк-
турных свойствах «С.
6.5.	Теорема, (i) Если а<^Ь, то существует с такая, что
а с, с Ь.
(ii)	Для всяких а и b а существует с^> а такая, что
а = й П с.
Заканчивая, мы указываем несколько результатов об отно-
шении <С к более известным понятиям. Для удобства приведем
эти результаты в нерелятивизованной форме. Следующая тео-
рема может быть выведена из результатов Скотта [1], Джо-
куша и Соара [1] и одного неопубликованного результата
Р. М. Соловея (см. также Роджерс [1], с. 94 (с. 126, 127 рус-
ского перевода)).
6.6.	Теорема. Для любой степени Ъ следующие утвержде-
ния эквивалентны между собой:
(i)	»»0;
(ii)	b — степень полного расширения арифметики Пеано
(или ZFC при условии непротиворечивости ZFC);
(iii)	Ь — степень множества, разделяющего эффективно не-
отделимую пару непересекающихся рекурсивно перечислимых
множеств.
6.7.	Теорема (Джокуш [1]). Для любой степени Ь сле-
дующие утверждения эквивалентны:
(i)	либо Ь > 0, либо Ь' 0";
(ii)	Ъ — степень последовательности функций, содержащей
все рекурсивные элементы из 2°.
Степень Ь называется почти рекурсивной, если для каждой
функции р: со-н-со, которая рекурсивна в Ь, существует рекур-
сивная функция q: со-^со такая, что p(n)^ q(ri) для всех п е со.
(См. также Мартин и Миллер [1].)
6.8.	Теорема (Джокуш и Соар [1]). Существует сте-
пень b такая, что b >> 0 и b почти рекурсивна.
ЛИТЕРАТУРА
131
ЛИТЕРАТУРА
Бойд, Хензел и Патнем (Boyd R., Hensel G., Putnam H.)
1.	A recursion-theoretical characterization of the ramified analytical hierar-
chy.— Trans. Amer. Math. Soc., 1969, 141, p. 37—62.
Булос и Патнем (Boolos G., Putnam H.)
1. Degrees of unsolvability of constructible sets of integers. — J. Symbolic
Logic, 1968, 33, p. 497—513.
Гёдель (G6del K.)
1. Consistency proof for the generalized continuum hypothesis. — Proc. Nat.
Acad. Sci. USA, 1939, 25, p. 220—224.
Девис (Davis M. ed.)
1. The Undecidable. — N. Y.: Raven Press, 1965.
Д ж о к у ш (Jockusch С. G., Jr.)
1.	Degrees in which the recursive sets are uniformly recursive. — Canad. J.
Math., 1972, 24, p. 1092—1099.
Джокуш и Симпсон (Jockusch C. G., Jr., Simpson S. G.)
1.	A degree-theoretic definition of the ramified analytical hierarchy. — Ann.
Math. Logic, 1976, 10, p. 1—32.
Джокуш и Coap (Jockusch C. G., Jr., Soare R. I.)
1.	jtf classes and degrees of theories. — Trans. Amer. Math. Soc., 1972, 173,
p. 33—56.
Ейтс (Yates С. E. M.)
1.	A minimal pair of recursively enumerable degrees. — J. Symbolic Logic,
1966, 31, p. 159—168.
2.	Initial segments of the degrees of unsolvability, Part I: A survey. — In:
Mathematical Logic and the Foundations of Set Theory/Ed. I. Bar-Hillel.
Amsterdam: North-Holland, 1970, p. 63—83.
3.	Initial segments and implications for the structure of degrees. — In;
Conference in Mathematical Logic. — London 1970. Berlin: Springer,
1972, p. 305—335.
4.	Prioric games and minimal degrees below O'. — Fundam. math., 1974,
82, p. 217—237.
5.	Banach-Mazur games, comeager sets and degrees of unsolvability. —
Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 1976, 79, p. 195—220.
Йенсен (Jensen R, B.)
1. The fine structure of the constructible hierarchy. — Ann. Math. Logia
1972, 4, p. 229—308.
Клини и Пост (Kleene S. C., Post E. L.)
1. The upper semilattice of degrees of recursive unsolvability. — Ann. Math.,
1954, 59, p. 379—407.
Купер (Cooper S. B.)
1. Minimal degrees and the jump operator. — J. Symbolic Logic, 1973, 38,
p. 249—271.
2. An annotated bibliography for the structure of the degrees below 0' with
special reference to that of the recursively enumerable degrees. — Recur-
sive Function Theory Newsl., 1974, 5, p. 1—15.
Лахлан (Lachlan A. H.)
1.	Lower bounds for pairs of recursively enumerable degrees. — Proc. Lon-
don Math. Soc., 1966, 16, p. 537—569.
2.	Distributive initial segments of the degrees of unsolvability. — Z. math.
Logik Grundl. Math., 1968, 14, p. 457—472.
3.	Degrees of recursively enumerable sets which have no maximal super-
set.— J. Symbolic Logic, 1968, 33, p. 431—443.
4.	Embedding nondistributive lattices in the recursively enumerable deg-
rees.—In: Conference in Mathematical Logic —London 1970. Berlin:
Springer, 1972, p. 149—177,
6*
132
ГЛ 4 СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ
5.	The priority method for the construction of recursively enumerable
sets. — In: Cambridge Summer School in Mathematical Logic. Berlin:
Springer, 1973, p. 299—310.
Лахлан иЛЛебеф (Lachlan A. H. Lebeuf R.)
1. Countable initial segments of the degrees of unsolvability. — J. Symbolic
Logic, 1976, 41, p. 289—300.
Лерман (Lerman M.)
1.	Initial segments of the degrees of unsolvability. — Ann. Math., 1971, 93,
p. 365—389.
Мартин (Martin D. A.)
1.	Classes of recursively enumerable sets and degrees of unsolvability.—
Z. math. Logik GrundL Math., 1966, 12, p. 295—310.
2.	The axiom of determinateness and reduction principles in the analytical
hierarchy. — Bull. Amer. Math. Soc., 1968, 74, p. 687—689.
3.	Measurable cardinals and analytic games. — Fundam. math., 1970, 66,
p. 287—291.
4.	Borel determinacy. — Ann. Math., 1975, 102, p. 363—371.
Мартин и Миллер (Martin D. A., Miller W.)
1. The degrees of hyperimmune sets. — Z. math. Logic GrundL Math., 1968,
14, p. 159—166.
Мартин и Пур-Эль (Martin D. A., Pour-El M. B.)
1. Axiomatizable theories with few axiomatizable extensions. — J. Symbolic
Logic, 1970, 35, p. 205—209.
Мучник A. A.
1. Неразрешимость проблемы сводимости теории алгоритмов. — ДАН
СССР, 1956, 108, с. 194—197.
Пост (Post Е. L.)
1. Recursively enumerable sets of positive integers and their decision pro-
blems.— Bull. Amer. Math. Soc., 1944, 50, p. 284—316.
2. Degrees of recursive unsolvability Preliminary report. — Bull. Amer.
Math. Soc., 1948, 54, p. 641—642.
Робинсон (Robinson R. W.)
1. Degrees joining to O'.— 1972.
Роджерс (Rogers H., Jr.)
1. Theory of Recursive Functions and Effective Computability. — N. Y.:
McGraw-Hill, 1967. [Русский перевод: Роджерс X. Теория рекур-
сивных функций и эффективная вычислимость. — М.: Мир., 1972.J
2. Some problems of definability in recursive function theory. — In: Sets,
Models and Recursion Theory/Ed J. N. Crossley. Amsterdam: North-Hol-
land, 1967, p 183—201.
Сакс (Sacks G E.)
1.	Degrees of Unsolvability. — Ann. Math. Studies, 1963, 55.
2.	The recursively enumerable degrees are dense. — Ann. Math., 1964, 80,
p. 300—312.
3.	On a theorem of Lachlan and Martin. — Proc. Amer. Math. Soc., 1967»
18, p. 140—141.
4.	Forcing with perfect closed sets. — In: Axiomatic Set Theory/Ed. D. Scott.
Providence (Rhode Island): Amer. Math. Soc., 1971, p. 331—355.
Симпсон (Simpson S. G.)
1. Minimal covers and nyperdegrees. — Trans. Amer. Math. Soc., 1975, 209,
p. 45—64.
2. First-order theory of the degrees of recursive unsolvability. — Ann.
Math., 1977, 105, p. 121—139.
Скотт (Scott D.)
1. Algebras of sets binumerable in complete extensions of arithmetic. In:
Recursive Function Theory/Ed. J. Dekker. Providence (Rhode Island):
Amer. Math. Soc., 1962, p. 117—121.
ЛИТЕРАТУРА
133
С о а р (Soare R. I.)
1.	Automorphisms of the lattice of recursively enumerable sets. — Bull.
Amer. Math Soc., 1974, 80, p. 53—58.
2.	Incomplete recursively enumerable sets. — Notices Amer. Math. Soc.,
1975, 22, p. A-24.
3.	The infinite injury priority method. — J. Symbolic Logic, 1976, 41,
p. 513—530.
Спектор (Spector C.)
1. On degrees of recursive unsolvability. — Ann. Math., 1956, 64, p. 581—
592.
Томасон (Thomason S. K.)
1. On initial segments of hyperdegrees. — J. Symbolic Logic, 1970, 35,
p. 189—197.
2. Sublattices of the recursively enumerable degrees. — Z. math. Logik
GrundL Math., 1971, 17, p. 273—280.
Фридберг (Friedberg R. M.)
1. Two recursively enumerable sets of incomparable degrees of unsolva-
bility (solution of Post’s problem 1944). — Proc. Nat. Acad. Sci. USA,
1957, 43, p. 236—238.
2. A criterion for completeness of degrees of unsolvability. — J. Symbolic
Logic, 1957, 22, p. 159—160.
Ханф (Hanf W.)
1. Model theoretic methods in the study of elementary logic. — In: The
Theory of Models/Ed. J. W. Addison et al. Amsterdam: North-Holland,
1965, p. 132—145.
2. The Boolean algebra of logic. — Bull. Amer. Math. Soc., 1975, 81,
p. 587—589.
Шенфилд (Shoenfield J. R.)
1.	Applications of model theory to degrees of * unsolvability. — In: The
Theory of Models/Ed. J. W. Addison et al. Amsterdam: North-Holland,
1965, p. 359—363.
2.	Mathematical Logic. — Reading (Mass.): Addison-Wesley, 1967. [Рус-
ский перевод: Шенфилд Дж. Математическая логика. — М.: Наука,
1975.]
3.	Degrees of Unsolvability. — Amsterdam: North-Holland, 1971. [Русский
перевод: Шенфилд Дж. Степени неразрешимости. — М.: Наука,
1977.]
4.	Degrees of classes of r. e. sets. — J. Symbolic Logic, 1976, 41, p. 695—
696.	, ,
Глава 5
ТЕОРИЯ а-РЕКУРСИИ
Ричард А. Шор
СОДЕРЖАНИЕ
Введение......................................................... 134
§ 1.	Идеи и определения.......................................... 136
§ 2.	Вопросы и ответы.............................................140
§ 3.	Пример.......................................................144
§ 4.	Связи и применения.......................................... 150
§ 5.	Библиографические указания...................................153
Аннотированная библиография.......................................154
Введение
В этой главе нашей целью является представление для не-
специалиста грубой картины современного состояния теории
а-рекурсии (т. е. теории рекурсии на допустимых ординалах).
Мы надеемся сначала (в § 1) объяснить основные идеи, лежа-
щие в основе предмета, и затем (в § 2) представить важные
вопросы и главные области, в которых ведутся исследования
в настоящее время. Мы также опишем достигнутые успехи и
технику, разрабатываемую и применяемую при этом. Для того
чтобы проиллюстрировать идеи, мы дадим (в § 3) одно доволь-
но полное доказательство типичной теоремы в теории а-рекур-
сии и затем (в § 4) рассмотрим связи и применения этих мето-
дов к другим областям исследований. По необходимости наше
рассмотрение предыстории, так же как и самого материала, бу-
дет и схематично, и поверхностно. Чтобы помочь заполнить про-
белы, мы попытались включить довольно полную и частично
аннотированную библиографию.
Исторически побуждения для обобщения теории рекурсии на
бесконечные ординалы шли из нескольких различных ветвей ма-
тематической логики: теории доказательств, теории моделей и
теории множеств, так же как, конечно, и самой теории рекур-
сии. Так, например, Такеути [1], [2] интересовался задачей
сведения непротиворечивости теории множеств к непротиворе-
чивости теории ординальных чисел. В работе [3] он ввел тео-
рию рекурсии на ординалах, чтобы показать, что требуемая тео-
рия и доказательство относительной непротиворечивости могут
быть сделаны эффективными в некотором обобщенном смысле.
ВВЕДЕНИЕ
133
По существу он показал, что гёделево построение L (класса
конструктивных множеств) может быть имитировано (орди-
нально) эффективным образом для получения (рекурсивно) изо-
морфной копии L внутри его теории ординальных чисел (Т а -
кеути [4]). Во многих отношениях эта работа явилась пред-
знаменованием тесной взаимосвязи между теорией рекурсии и
теорией множеств, возникшей при изучении тонкой структуры
L. Позже мы обсудим эту взаимосвязь довольно подробно.
Укажем два примера из теории моделей. Махов ер [1] (ко-
торый также сотрудничал с Леви) хотел обобщить теоретико-
модельные идеи и результаты, включающие понятия теории ре-
курсии, на бесконечные языки /н, х. Поэтому он развил теорию
рекурсии на бесконечных регулярных кардиналах, чтобы фор-
мулировать и доказывать теоремы вроде теоремы о том, что
выполнимость не является «арифметически» определимой.
Имеются работы Крайзела [1], [2] (позже сотрудничавшего
с Саксом; см. Крайзел и Сакс [1], [2] ) в несколько ином
духе. По-видимому, здесь основным интересующим вопросом
является теория определимости и ее отношение к различным
логикам и языкам высших порядков. Эти исследования разви-
вались как в теоретико-рекурсивном направлении (о чем сви-
детельствуют статьи, совместные с Саксом), которое мы еще
обсудим, так и в более теоретико-модельном направлении (хотя
также и с некоторым теоретико-доказательным оттенком). По-
следнее проистекает из настойчивых пожеланий Крайзела об
ограничении бесконечного языка и соответствующем обобщении
понятия конечности, основанном на соображениях определи-
мости, а не мощности.
В руках Барвайса и других все это разрослось в обширный
предмет допустимых структур и связанных с ними бесконечных
языков. Поскольку эта область лежит вне темы этой главы, мы
только отошлем читателя к библиографии и к главе 7 «Теории
моделей».
Теоретико-множественная точка зрения представлена работой
Йенсена (И е н с е н и К а р п [1]). (Карп, однако, пришла к на-
шему предмету от теоретико-модельного подхода, подобно Ма-
ховеру.) Поскольку этот подход тесно связан с теоретико-ре-
курсивным> представленным работами Крипке [1], [2] и
Платека [1] (а также упомянутыми ранее работами Край-
зела и Сакса), которые образуют сердцевину нашего предмета,
мы попытаемся следовать изложению с обеих точек зрения.
Кроме частных проблем из других областей, мотивировав-
ших ранние работы по теории рекурсии на ординалах, были
привлечены также и общие принципы. Специалисты по теории
рекурсии имели в виду многие из обычных целей обобщений.
Они надеются построить абстрактные структуры не только но-
136
ГЛ * ТЕОРИЯ а РЕКУРСИИ
вне и интересные, но и такие, которые разъяснили бы обычную
теорию рекурсии и, возможно, оказались бы также полезными
в приложениях. Дальнейшие надежды состоят в том, что такая
работа может привести к аксиоматическому подходу к теории
рекурсии. С другой стороны, специалист по теории множеств
приходит к предмету скорее с целью эффективизации, чем обоб-
щения. Посредством введения понятия эффективности он на-
деется получить более тонкое и глубокое знание структуры мно-
жеств и в итоге использовать эту дополнительную информацию
для решения уже поставленных задач в теории множеств.
§ 1. Идеи и определения
Вопрос теперь состоит в том, с чего начать обобщение тео-
рии рекурсии. Сначала нужно решить, каковы те основные
объекты и понятия обычной теории рекурсии, которые жела-
тельно обобщить или абстрагировать. Конечно, натуральные
числа 0, 1, 2, 3, ... являются первичными элементами нашего
универсума, а интересующими нас основными понятиями яв-
ляются, по-видимому, рекурсивность и рекурсивная перечисли-
мость. Одним естественным обобщением натуральных чисел яв-
ляются, конечно, ординалы. Просто счет продолжается и за со.
Имеется, тем не менее, две возможности, соответствующие,
может быть, двум различным точкам зрения на натуральные чис-
ла. В качестве базисных объектов можно взять все ординалы
(ON) или только некоторый начальный сегмент ординалов,
скажем, до а. Мы будем рассматривать второй подход, хотя
почти все, что мы скажем, применимо одинаково хорошо к
обоим. Что касается определений рекурсивности и рекурсивной
перечислимости, специалисту по теории рекурсии известно не-
сколько стандартных подходов, которые можно рассмотреть
(хотя в обычной теории рекурсии все они определяют один и
тот же класс функций). Многие из них были опробованы ран-
ними исследованиями в этой области. В качестве примера от-
метим, что Т а к е у т и [3] ввел схемы для порождения полуре-
курсивных функций и совместно с Кино (Кино и Такеути
[1]) выдвинул другой подход, согласно которому сначала по-
рождаются примитивно рекурсивные функции и затем приме-
няется ц-оператор (оператор наименьшего числа). Среди дру-
гих предложений встречаются аналоги машин Тьюринга (Леви
[1]), критерии определимости (Крайзел [2]) и различные
типы исчислений равенств (Маховер [lj, Tyre [1] и
Крипке [1]).
По-видимому, наиболее полезным является подход, основан-
ный на исчислении равенств, как у Крипке [1]. Берется
обычное исчисление равенств Клини и добавляется бесконеч-
§ 1 ИДЕИ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
137
ное правило, выражающее основную идею обобщения: разре-
шено по крайней мере а шагов в вычислении и дана возмож-
ность обозреть а единиц информации, произведенной к каж-
дому из этих шагов (технические детали и дальнейшее обсуж-
дение см. в работах Крипке [3] или Сакса [4])!). Затем
определяются рекурсивные функции, как обычно, это те функ-
ции, значения которых могут быть последовательно выведены
из некоторого конечного множества уравнений в соответствии
с правилами. Рекурсивно перечислимыми (р. п.) множествами
являются, конечно, те, которые могут быть рекурсивно пере-
числены. (Мы будем указывать обобщенные понятия, добав-
ляя префикс а-, как в словах «а-рекурсивный» и «а-рекурсивно
перечислимый».)
Одна проблема немедленно обращает на себя внимание
в связи с этой процедурой. Не все ординалы а будут удовлетво-
рительными областями для этой теории рекурсии. Так, напри-
мер, со+17 не замкнут относительно сложения и, несомненно,
не должен быть допустимым. Какую бы процедуру мы ни ис-
пользовали для определения рекурсивности, мы хотим, по
меньшей мере, гарантировать, что а замкнут относительно ре-
курсивных функций. Имея в виду исчисление равенств, в част-
ности, мы также хотели бы потребовать, чтобы любое отдель-
ное вычисление, т. е. выведение значения некоторой рекурсив-
ной функции, могло быть закончено за менее чем а шагов. Оба
эти требования выполнены, если мы примем, что для любого
конечного множества равенств все возможные следствия могут
быть выведены менее чем за а шагов. Такие ординалы назы-
ваются допустимыми (Крипке [1]) и составляют подходящие
области для наших теорий рекурсии. Нужно заметить, что до
работ Крипке [1] и Платека [1] подходящие области для
теории рекурсии на ординалах не были выделены. Большин-
ство других исследователей (например, Маховер [1], Леви
[1] и Tyre [1]) ограничивались очевидно удобным классом
регулярных кардиналов. Возможность других областей была
осознана в работе Такеути [3], где было показано, что син-
гулярные кардиналы также замкнуты относительно рекурсив-
ных функций. Кроме этого, Крайзел и Сакс [2], подходя
к делу совсем с другой стороны, работали на ^наименьшем
9 Нужно заметить, что выбор исчисления равенств должен быть сделан
с некоторой осторожностью. Крипке сообщил от имени А. Леви (см. Avot, 6,
№ 6), что в системе Маховера [1] возникают трудности, если Vy=L,
потому что используется бесконечно много переменных и оператор точной
верхней грани. Действительно, даже если использовать только конечное число
переменных и принять V = L, то формулировки, использующие операторы
sub и lub из работ Tyre [1] и Стилуэлла [1], обладают всеми желае-
мыми свойствами только для регулярных кардиналов.
138
ГЛ. 5 ТЕОРИЯ а-РЕКУРСИИ
нерекурсивном ординале, который является также наимень-
шим допустимым после о.
Хотя это может быть и не очевидным, но имеется еще одно
основное понятие, требующее обобщения: конечность. В ранних
работах наблюдается склонность оставлять его неизменным или
(особенно в бесконечных языках) использовать мощностные
условия (множества величины <а были a-конечными). Потреб-
ность в более тонком подходе была впервые подчеркнута
Крайзелом [1]. При теперешнем положении могло бы, на-
верное, показаться, что разумно потребовать, чтобы каждое из
наших чисел (ординалов, меньших а) считалось а-конечным.
Этого, однако, было бы недостаточно. Что бы мы сказали о
множествах, которые имеют ту же величину, что и некоторый
Р < а? Несомненно, если соответствие между элементами эф-
фективно, то оно также должно быть a-конечным. Достаточно
ли этого? Как оказалось, полезно обратиться к теоретико-мно-
жественной точке зрения, чтобы ответить на этот вопрос. По-
этому давайте на время вообразим, как специалист по теории
множеств мог бы обобщить теорию рекурсии на бесконечное.
Естественной отправной точкой для интересующихся эффек-
тивизацией теории множеств является конструктивный универ-
суум Гёделя (см. главу 5 «Теории множеств»). Он состоит в ко-
нечном счете из множеств, построенных наиболее эффективным
методом обычной теории множеств — определением. Опять мы
имеем две возможности для выбора нашей области исследова-
ний. Мы можем работать со всем L или с некоторым его на-
чальным сегментом La (это множества, построенные к уров-
ню а). Как и раньше, мы будем заниматься второй альтерна-
тивой в основном ради удобства обозначений. Если дана такая
область La, построенная при помощи определений, то кажется
целесообразным рассмотреть сложность определения как ру-
ководство к решению вопроса о том, какие подмножества мно-
жества La или какие функции на La должны считаться про-
стыми или эффективными. Сочетая это с той идеей, что ре-
курсивноперечислимые множества задаются оператором поиска
или перечислением, в качестве хорошего кандидата на рекур-
сивную перечислимость мы получаем Si-множества над La (т. е.
определимые посредством формулы с параметрами из La с од-
ним начальным квантором существования, который единствен-
ный из кванторов не ограничен в области действия каким-либо
элементом из La). Идея, конечно, заключается в том, что эле-
мент принадлежит Si-множеству, если мы найдем при поисках
внутри La элемент, подтверждающий истинность квантора су-
ществования. (Проверка истинности такого предложения вклю-
чает только поиски в пределах единственного элемента (напри-
мер, Lp для р < а) из La и поэтому несомненно эффективна.)
§ I. ИДЕИ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
139
Имея определение рекурсивной перечислимости, мы можем на-
звать подмножество множества La рекурсивным, если оно само
и его дополнение р. п. (т. е. оно есть Ai-множество).
Мы опять сталкиваемся с проблемой, что не все ординалы
а соответствуют La, удобным для нашей теории рекурсии. Рас-
суждая теперь как специалисты по теории множеств, мы могли
бы попытаться исправить эту ситуацию, потребовав, чтобы
удовлетворяло аксиомам теории множеств в некоторой эффек-
тивной форме. Это значит, в частности, что в дополнение к
обычным тривиальным аксиомам (объемности, пустого множе-
ства, пары и объединения), которые верны в любом Lx с пре-
дельным X, мы могли бы потребовать, чтобы аксиома замены
(или, эквивалентно, аксиома Aussonderung) выполнялась для
эффективных функций (=Д1-функций = Si-функций с областью
определения — элементом La). Мы, однако, полностью отказы-
ваемся от аксиомы степени. Оказывается, наше условие Si-за-
мены эквивалентно условию допустимости, определенному тео-
ретико-рекурсивно (фактические детали доказательства экви-
валентности см. в работах Крипке [1] или Фукуямы [1]).
Таким образом, мы видим начало взаимоотношений между
этими двумя подходами.
На самом деле связь между этими двумя формулировками
значительно более всеобъемлюща, чем одно это совпадение.
В действительности они по существу совпадают. Для допусти-
мого а существует a-рекурсивный предикат на а, который изо-
морфен предикату е на La. Более того, все основные понятия
переносятся с помощью этого перевода. Так, множество являет-
ся a-рекурсивным или a-р. п., если и только если его образ
является Дрмножеством или Si-множеством над La соответ-
ственно. Эта эквивалентность может быть использована, чтобы
навести нас на хороший ответ на вопрос о правильном опреде-
лении a-конечности. Для специалиста по теории множеств
вполне осмысленным является естественное обобщение конеч-
ного до элемента из La. При обратном переводе этого понятия
на язык теории рекурсии мы обнаруживаем, что оно эквива-
лентно такому: быть рекурсивным образом ординала, мень-
шего а. Эта эквивалентность является хорошим подтвержде-
нием адекватности нашего определения а-конечности.
Нужно отметить, что когда проблема обобщенной конеч-
ности была впервые поднята Крайзелом, особое ударение де-
лалось на аналогии между П[ и р. п. в обычной теории рекур-
сии. Предложение (Крайзел [1]) состояло в том, чтобы А}
соответствовало конечному, а не рекурсивному, для того чтобы
улучшить аналогию. Когда Крайзел и Сакс [1], [2] сфор-
мулировали эти идеи на языке теории рекурсии на они
140
ГЛ. 5. ТЕОРИЯ а-РЕКУРСИИ
соответственно обобщили конечное до рекурсивного и ограни-
ченного. (п{-множества и в действительности становятся coFK-p. я.
и потому Л}-подмножества со становятся рекурсивными и
ограниченными). Легко видеть, что это определение также экви-
валентно а-конечности.
§ 2. Вопросы и ответы
Теперь, когда мы договорились об основных понятиях тео-
рии а-рекурсии, мы должны рассмотреть, проблемы какого
сорта нужно решать. После установления основных фактов
обычной теории рекурсии таких, как теоремы о перечислении,
об итерации и теорема о рекурсии, специалист по теории рекур-
сии естественно приходит к традиционным областям исследова-
ния обычной теории рекурсии: относительной сложности (т. е.
теории степеней), особенно р. п. множеств, и структурным (т. е.
теоретико-решеточным) свойствам множеств, опять-таки обычно
р. п. множеств. В настоящее время эти области составляют
главный интерес теории а-рекурсии. Кроме установления основ-
ных структурных теорем (как для степеней, так и для мно-
жеств), целью большого числа современных работ является
анализ и разъяснение методов, используемых в этих областях.
В частности, различные типы доказательств методом приори-
тета, являющегося ключом к большинству глубоких результа-
тов обычной теории рекурсии, широко изучались и были при-
способлены к более общей ситуации, имеющейся в теории а-ре-
курсии. Мы упомянем некоторые из таких результатов в каж-
дой из областей, но сначала должны прервать изложение для
того, чтобы объяснить, что мы имеем в виду под а-степенями
и а-сводимостями.
В обычной теории рекурсии существует несколько интерес-
ных сводимостей. Некоторые из них, такие, как много-односво-
димость и одно-односводимость, имеют полезные прямые обоб-
щения в теории а-рекурсии: А mctB (А i«B), если и только
если существует одно-однозначная а-рекурсивная функция f та-
кая, что р е А <=> f(p) е В. С другой стороны, ситуация с
тьюринговой сводимостью (которая, конечно, является наибо-
лее важной в обычной теории рекурсии) несколько более
сложна.
Сейчас, вероятно, наиболее общепринятым подходом к тью-
ринговой сводимости является подход, связанный с оракулом.
Вычисления относительно некоторой функции / (множества рас-
сматриваются как их характеристические функции) считаются
протекающими, как обычно, но с добавлением условия, что в
любой момент у оракула можно получить значение / на данном
§ 2 ВОПРОСЫ И ОТВЕТЫ
141
числе п. На языке исчисления равенств можно было бы вклю-
чить всю функцию f в начальное множество уравнений, и тогда
на любом шаге было бы доступно значение f(n) для любого п.
Тогда можно было бы сказать, что g вычислима относительно /,
если все ее значения могут быть последовательно выведены из
конечного множества уравнений плюс полный график f. В тео-
рии а-рекурсии это определяет сводимость, называемую а-вы-
числимостью. (Пишем g са/(Л ==ГГ саВ) для обозначения того,
что g"(Л) вычислима относительно f(B).)
Хотя а-вычислимость является важной и полезной своди-
мостью (для счетных а она соответствует понятию неявной ин-
вариантной определимости, введенному Край зелом [2]), мы
не считаем ее подходящей с теоретико-рекурсивной точки зре-
ния. Главный ее концептуальный недостаток состоит в том, что
одно-единственное вычисление значения g может потребовать
a-много информации об f и может занять больше чем а шагов
для своего выполнения. Обе эти возможности серьезно проти-
воречат нашим интуитивным идеям из обычной теории рекурсии
о том, как должны протекать относительные вычисления.
Для того чтобы увидеть, как преодолеть эти трудности, мы
обратимся к другому взгляду на относительную рекурсивности
в обычной теории рекурсии, который согласуется с нашей ин-
туицией. Идея состоит в том, что мы должны быть в состоянии
эффективно отделить процедуру вычисления от вопросов, ко-
торые она задает оракулу в каждом данном вычислении, т. е.
описание процедуры как целого не зависит от конкретных отве-
тов, данных во время вычисления. /Можно вообразить процедуру
вычисления заданной посредством структуры эффективного де-
рева, ветвящегося на различных вопросах. Информация, исполь-
зованная на любом заканчивающемся пути, и является тогда
конечным количеством, нужным для вычисления. Для дальней-
шего обсуждения мы рекомендуем книгу Роджерса [1],
с. 128—132 (с. 168—172 русского перевода), где принимается
этот подход в качестве основного в обычной теории рекурсии.
Мы считаем процедуру вычисления закодированной р. п. мно-
жеством. Это множество перечисляет элементы, соответствую-
щие выходам заканчивающихся ветвей, спаренные с конечным
множеством ответов, необходимых для того, чтобы произвести
эти выходы. Эта точка зрения приводит нас к приемлемому
формальному определению: А а-рекурсивно относительно В, что
обозначается как А ^аВ, если и только если существует а-p. ч.
множество We такое, что для каждого a-конечного множества Д'
имеем
1, М, M)e=We(MsB&K SB),
К<=А^Э(К, О, М, N)e=We(MsB&NsB),
142
ГЛ. 5 ТЕОРИЯ «-РЕКУРСИИ
где М и N пробегают все a-конечные множества, и мы исполь-
зуем некоторый эффективный способ кодирования для таких
множеств и четверок. Заметим, что в соответствии с нашим
обобщением понятия конечности и наши входы (М, W) и вы-
ходы (/(£ Л или К А) должны быть a-конечными. (В исто-
рически более ранней попытке определения требовался только
один выход (или, эквивалентно, действительно конечное мно-
жество выходов). Это теперь называется слабой а-рекурсив-
ностью: А waB. Этому понятию не только не удалось уловить
верный дух обобщения, но оно оказалось не в состоянии рабо-
тать как сводимость технически — оно не транзитивно, см.
Дрисколл [2].)
Естественно, мы имеем понятие a-степени, ассоциированное
со сводимостью (классы эквивалентности по обычно
обозначаются буквами а, &, с, ... полужирного шрифта). На
степенях задается структура верхней полурешетки посредством
упорядочения, индуцированного ^а, и оператора объединения
V, определяемого, как и в обычной теории рекурсии. Как мы
сказали раньше, исследование структуры этой полурешетки яв-
ляется одной из основных областей исследования в теории а-ре-
курсии (главным образом Саксом и его учениками). Наиболее
успешная работа по методологии приоритетных доказательств *),
а также получения самих структурных результатов относятся
к а-степеням а-p. п. множеств (называемым а-рекурсивно пе-
речислимыми степенями). Хотя значительная работа была про-
делана первоначально для конкретных ординалов (особенно
<о?к), первый действительный успех метода приоритета для
допустимых ординалов пришел, когда Сакс и Симпсон [1]
установили аналог решения проблемы Поста, полученного Фрид-
бергом и Мучником: существуют несравнимые а-р.п. степени,
т. е. степени а и Ь такие, что а^аЬ и Ь^аа. Они, однако, до-
стигли большего, чем просто решили эту проблему. Их методы
достаточны для перенесения всех типов доказательств простым
методом приоритета — с конечными нарушениями — на все до-
пустимые ординалы.
После этого был достигнут значительный прогресс с более
трудными приоритетными доказательствами. Методы, развитые
Шором [5] для доказательства теоремы о разложении (для
каждой не а-рекурсивной а-p. п. степени с существуют а-p. п.
степени а и b такие, что а	и а V b = с), по-види*
мому, достаточны для приоритетных доказательств с неограни-
ченными сохранениями (подробнее см. ниже, в § 3). Статус
*) Здесь и в дальнейшем ради удобства вместо «доказательство методом
приоритета» иногда будем говорить «приоритетное доказательство». —
Прим. ред.
§ 2 ВОПРОСЫ И ОТВЕТЫ
143
доказательств с бесконечными нарушениями в теории а-рекур-
сии в настоящее время несколько менее ясен. Первый пример
из обычной теории рекурсии был успешно обобщен — а-p. п. сте-
пени плотны (Шор [8]), однако не со всеми доказанными тео-
ремами получилось так гладко. Так, например, Лерман и
Сакс [1] показали, что существует минимальная пара а-p. и.
степеней (т. е. не а-рекурсивные а-p. п. степени а и b такие,
что если с^.аа и с ^Zab, то с есть степень а-рекурсивных мно-
жеств) для большинства, но не для всех допустимых а. (Не-
большое улучшение получено Шор ом [6], но наиболее труд-
ный случай остался открытым.)
В этом направлении главным открытым вопросом, по-види-
мому, является нахождение выразимого в языке первого по-
рядка различия между теориями р. п. степеней и а-p. п. степе-
ней для некоторых а. В действительности этот вопрос открыт
даже для теории всех а-степеней. Единственный ответ (на оба
вопроса), имеющийся в настоящее время, использует оператор
скачка: так, например, если а= и A <а0/, то А
(Шор [9]), в то время как в обычной теории рекурсии су-
ществуют даже р.п. множества 4 < 0' со свойством А'я^О"
(Сакс [1], § 7). Конечно, вопрос состоит в нахождении раз-
личия в теориях только со знаком в языке1)- Мы должны
мириться с тем, что вообще очень мало известно о структуре
a-степеней в целом. Даже на первый же вопрос, который
можно задать, нет полного ответа: известно, что существуют
минимальные a-степени для всех счетных а (Макинтайр
[3]) и всех 22-допустимых а (Шор [2]), но, вообще говоря,
не для всех а. Простейшим примером нерешенного случая яв-
ляется а= Кю-
Другой главной областью современных исследований яв-
ляется изучение строения решетки a-р. п. множеств <S (а) (в ос-
новном Лерманом и его учениками). Кроме выяснения струк-
туры a-р. п. множеств ответами на конкретные естественные
вопросы об этой решетке (например, существуют ли макси-
мальные элементы), общей целью этой деятельности является
установление того, разрешимы ли эти решетки. Хотя это яв-
ляется главной открытой проблемой даже в обычной теории ре-
курсии, есть надежда, что можно справиться с ней по частям
для различных а, которые имеют особенно простые структуры
решеток.
Точнее, внимание в действительности сосредоточено, как
и в обычной теории рекурсии, на решетке <^*(а) а-p. п. мно-
жеств по модулю «конечных» множеств. Что должно быть
плодотворным аналогом конечности при таких обстоятельствах,
1) Такое различие теперь найдено, см. Шор [10].
144
ГЛ. 5 ТЕОРИЯ а-РЕКУРСИИ
явилось в свою очередь предметом некоторых исследований,
как в статьях Лермана [6], [7]. По-видимому, для теоре-
тико-решеточных целей лучшим выбором является то, что Лер-
ман называет а*-конечным (множество и все его а-p. п. под-
множества являются a-конечными). Это понятие является един-
ственным приводящим к обобщенно конечным множествам, об-
разующим идеал, определимый над <?Г(а). Более того, теория
S (а) и теория фактор-решетки <?Г*(а) одновременно или раз-
решимы, или неразрешимы (Лерман [6]).
В соответствии с общей целью выяснения разрешимости
<^*(а) для различных а, исследования направлены не только
на доказательство общих теорем для всех допустимых орди-
налов, но также на углубленный анализ для некоторых много-
обещающих ординалов таких, как и Лучшим резуль-
татом первого типа является характеризация Лерманом [3]
тех допустимых ординалов, которые имеют максимальные эле
менты в <?Г*(а). По существу он показал, что а таков, если и
только если а счетен относительно функции с определенным
типом рекурсивной аппроксимации. (Необходимость некоторых
условий счетности была впервые показана Лерманом и
Симпсоном [1].) В качестве примера второго типа мы от-
метим работы Чона и Лермана [1] о гипергиперпростых
множествах (надмножества которых в ^*(а) образуют булеву
алгебру), Лермана [5] и Леджета и Шора [1] о воз-
можных 1-типах простых множеств (дополнения которых, хотя
и a-бесконечны, не содержат а-бесконечных а-p. п. подмно-
жеств). Нечего и говорить, что большую часть работы в этой
области осталось проделать ’).
§ 3. Пример
Работы по теории а-рекурсии пролили свет на общую при-
роду приоритетных доказательств и породили применения ктео»
рии рекурсии на объектах высших типов (Харрингтон [1])
и к аксиоматической теории рекурсии (Симпсон [3]). Они
также сильно связаны с работами по теории множеств. Навер-
ное, лучше всего объяснить и эти взаимоотношения и сами ра-
боты по теории а-рекурсии на примере. Мы дадим слегка мо-
дифицированное доказательство теоремы о разложении из ра-
боты Шора [5]. Сначала мы опишем в общих чертах доказа-
тельство этой теоремы в обычной теории рекурсии (см. Сакс
[1], § 5 или Шенфилд [1], § 14).
Теорема. Пусть функция с перечисляет р. п. множество С
данной нерекурсивной р. п. степени с. Существуют р. п. мно-
9 Дальнейшие значительные продвижения см. в работе Лермана [8].
§ 3. ПРИМЕР
145
жества А и В такие, что А\}В = С, А[\В — 0, А^.ТС,
В С ^А и С тВ.
(Заметьте, что A U В = С влечет А V В = т С, и потому мы
разложили степень с множества С, что и требовалось.) Основ-
ной план состоит в том, чтобы на каждом шаге о построения
помещать с (о) в одно и только в одно из множеств А или В
(позитивные требования). Это сразу обеспечивает, что A\JB =
— С, Д П В = 0, А С и В^тС (чтобы узнать, например,
будет ли х^А, спросите, верно ли, что /еС, и если
это так, то ждите, пока х не будет перечислен, и тогда про-
верьте, помещен ли он в А или нет). Таким образом, мы должны
лишь удостовериться в том, что нельзя вычислить С относи-
тельно А или В, Наш (несколько окольный) подход (принадле-
жащий Саксу) состоит в том, что для каждого е мы пытаемся
(с приоритетом е) сохранять вычисления функций {е}А (и со-
ответственно {е}в) на начальных сегментах до тех пор, пока
они кажутся совпадающими с С (т. е. с его характеристической
функцией). Идея состоит в том, что как только е имеет наивыс-
ший приоритет (это объяснено ниже), мы сохраняем первое
имеющееся вычисление {е}А(х) для каждого х до тех пор, пока
оно согласуется с С, Если бы {е}л = С, то мы бы тогда сохра-
няли эти вычисления для каждого х. Конечно, {е}л была бы
тогда рекурсивной. (Просто ждите до тех пор, пока не начнем
сохранять вычисления для {е}А(х). Поскольку е имеет наивыс-
ший приоритет, оно никогда не будет нарушено, и потому мы
получаем правильное значение для {е}л(х).) Тогда мы пришли
бы к противоречию с нерекурсивностью С.
Точнее, построение и одновременное определение терминоло-
гии протекает следующим образом: пусть А° и Са обозначают
множества элементов, перечисленные в Л и в С до этапа о
соответственно. Мы используем обозначение {е}^ (х) = Са (%) для
выражения того, что существует вычисление (подходящая чет-
верка), меньшее чем а, которое показывает, что вычисление
по процедуре е относительно на аргументе х дает значение
характеристической функции С° на аргументе х. На этапе о
для каждого е-активного числа х < а мы находим наименьшее
вычисление {е}о° (х) — С° (х) (если такое существует) и создаем
отрицательное е-требование для А с аргументом х, состоящее
из тех элементов, которые считались вне А в этом вычислении
(здесь х—наименьшее число у, для которого нет отрицатель-
ных е-требований с аргументом у). Если на како-м-либо более
позднем этапе мы поместим элемент этого требования в А, то
говорим, что мы разрушили его. Мы говорим, что процедура
сведения е<о является е-активной на этапе о,*если нет отри-
цательного е-требования (пока еще не разрушенного) с аргу-
146
ГЛ. 5 ТЕОРИЯ а-РЕКУРСИИ
ментом у такого, что {е}А (у) С° (у), в противном случае она
неактивна (заметьте, что это может случиться, если только у
был перечислен в С после того, как требование было создано).
Конечно, все это проделывается также и для В.
Наконец, мы помещаем с (о) в А или В так, чтобы сохранить
максимум возможного, т. е. полагаем еА(ев) равным наимень-
тему числу е такому, что с (о) принадлежит отрицательному
е-требованию для А (В) (пусть, например, —1, если такого
числа е нет). Если еА ев, то помещаем с (о) в й, в противном
случае — в А. Таким образом, мы даем е-требованиям для А
приоритет перед е'-требованиями для В, если и только если
е е'.
Для того чтобы убедиться, что построение удалось (т. е.
С А и С ^7 В), сначала индукцией по е доказывается, что
создается только конечное число отрицательных е-требований.
Для проведения индукции предположим, что к этапу о0 мы
уже создали все отрицательные е'-требования для е' < е, кото-
рые вообще будут созданы. Все вместе они образуют конечное
множество, скажем 2V. К некоторому этапу оц о0 все эле-
менты из С П N будут перечислены в С. Приоритетное упорядо-
чение теперь гарантирует, что никакое е-требование для А, со-
зданное после этапа оь не будет разрушено. (Мы называем
такие требования постоянными, а остальные — временными.)
Сначала заметим, что если е неактивно на каком-то этапе
о > Gi, то оно неактивно навсегда, поскольку соответствующее
требование постоянно. Тогда по правилам построения для А
впоследствии не может быть создано никакое е-требование.
Если же е не будет неактивным ни на каком этапе о > оь то
по определению каждое е-требование для А связано с вычис-
лением {е}А(х), Дающим правильное значение С(х). Поскольку
такие требования создаются для начальных сегментов аргумен-
тов х, то их может быть бесконечно много, только если мы со-
здаем их по одному для каждого х. Но если бы это было так,
то мы могли бы вычислить С(х), просто посмотрев на значение
первого е-требования для А с аргументом х, созданного после
этапа Qi. Поскольку это противоречило бы нерекурсивности С,
мы заключаем, что для А создается только конечное число
е-требований. Затем мы рассуждаем таким же образом для В.
Теперь достаточно легко убедиться в том, что С А. Пред-
положим, что {ер = С, и пусть oi будет такое, как в преды-
дущем рассуждении, е не может быть неактивным ни на каком
этапе о > cq, потому что тогда бы {е}А° (х) =/= С° (х) (для хе С,
в действительности), и постоянность требования влечет то, что
это вычисление*относительно А правильно, а это противоречит
{е}л = С. Таким образом, ничто не мешает нам создавать е-тре-
§ 3. ПРИМЕМ
147
бования для А с аргументом х для каждого х, когда действи-
тельно происходит правильное вычисление {е}А (х) = С(х). Это,
конечно, противоречит предыдущему результату о конечности
числа требований и потому С^.ТА. Конечно, С^ТВ по тем же
соображениям,.
Попытаемся теперь следовать тому же образцу в теории
а-рекурсии. Трудности появляются только при индуктивном до-
казательстве того, что существует только a-конечное количе-
ство е-требований для каждого е. Здесь-то и кроется наиболь-
шая трудность, вообще свойственная теории а-рекурсии. Даже
если мы доказали это для всех er <Z е, мы не знаем, что мно-
жество N всех таких требований a-конечно. Поэтому мы не мо-
жем предполагать существование требуемого этапа Оо. Дело
в том, что объединение менее чем а а-конечных множеств не
обязано быть а-конечным. Например, если а= ничто не
мешает образованию е-требований для каждого х<Не для
каждого е < со. Тогда мы имели бы а е'-требований для е' < (о
и никакого этапа вроде о0 не существовало бы. (Заметьте, что
если W является a-конечным, то все же о0 существует, по-
скольку отображение, дающее по элементу из W этап, на кото-
ром он создан, является а-рекурсивным и потому ограниченным
на a-конечных множествах в силу допустимости.)
Единственная другая явная трудность состоит в том, что
даже если W является a-конечным, С Q N таким быть не обя-
зано, и потому может не быть этапа Oi такого, как в оригиналь-
ном доказательстве. (Снова заметьте, что если CRN является
a-конечным, то оно перечисляется за a-конечное число шагов
в силу допустимости.) Хотя это также является общей труд-
ностью в теории а-рекурсии, Сакс [3] дал простое средство.
Назовем множество С регулярным, если C(}N является а-ко-
нечным для каждого a-конечного N. Работа Сакса [3] гово-
рит, что каждая а-p. п. степень содержит регулярное а-p. п.
множество. Тогда без потери общности можно предполагать,
что С регулярно, и тем самым устранить вторую трудность.
Способ решения первой проблемы указан Шором [5], [8].
Идея состоит в том, чтобы сделать список отрицательных тре-
бований столь коротким, чтобы проблема никогда не смогла
возникнуть. Например, если а = то мы хотели бы ограни-
читься (о-списками. В целом граница на создание е-требований
(если она существует) задается ^-функцией. Тогда мы хотим
организовать приоритетное упорядочение процедур сведения е
в список длины у такой, что не существует ^-отображения,
определенного на б < у и неограниченного в а. Наибольшее та-
кое у (и потому наиболее подходящий выбор) называется
£2-кофинальностью a (o2cf(a)). Теперь разбиваем процедуры
148
ГЛ 5 ТЕОРИЯ а-РЕКУРСИИ
сведения на y = o2cf(a) блоков {Ве}е<у, каждый из которых
является собственным начальным сегментом обычного списка
процедур сведения (так, для а= мы могли бы взять
Ве—#е Для е<со). Идея состоит в том, чтобы для каждого х
допускать вычисления {б}ла(х) = Са(х) для любого б е Bs.
Нужно также заметить, что можно порождать эти блоки при
помощи рекурсивной аппроксимации, которая будет правильной
на каждом начальном сегменте у, начиная с некоторого мо-
мента. (Мы используем обычную аппроксимацию для всюду
определенных 22-(и также Д2-) функций из обычной теории ре-
курсии. Допустимость а заставляет аппроксимацию сходиться
поточечно, а сходимость на начальных сегментах обеспечи-
вается тем, что у является £2-кофинальностью а.)
Осталось проверить только то, что наше разбиение не всту-
пает в противоречие с вычислением С в случае, если существует
«-бесконечное количество е-требований для некоторого е < у.
Это, однако, ставит еще одну важную проблему, с которой
нужно справиться прежде, чем мы сможем точно сформулиро-
вать наше построение. Рассмотрим некоторое Ве и предполо-
жим, что, как и в обычном доказательстве, имеется этап щ та-
кой, что ни одно е-требование для А не разрушается после оь
Для вычисления С в предположении, что имеется «-бесконеч-
ное количество е-требований, мы должно устранить те б е Вг,
которые неактивны на некотором этапе после (и тогда уже
навсегда). Они будут давать неправильные ответы, т. е.
{б}л (х) У= С(х) для некоторого х, в то время как все остальные
дают только правильные значения С, Поэтому если бы мы
могли ограничить, скажем, посредством а2 этапы, на которых
б из Ве становятся неактивными, мы могли бы вычислять С,
как и раньше, находя для каждого х первое вычисление
{б}л<7 (х) = С° (х) для любого О'> Оо.
Опять, если бы множество W тех б е Ве, которые стано-
вятся неактивными, было a-конечным, то нужная граница су-
ществовала бы ввиду допустимости. Проблема, однако, состоит
в том, что W всего лишь а-p. п. и могут существовать а-p. п.
подмножества a-конечных множеств (Ве здесь), которые не
а-конечны. (Это, конечно, было причиной нашей первой труд-
ности— C(]N могло было быть а-p. п., но не а-конечным.) Ре-
шение здесь также состоит в том, чтобы сделать список про-
цедур сведения (в отличие от приоритетного упорядочения бло-
ков процедур) столь коротким, что ни одно ограниченное а-p. п.
подмножество не могло бы быть а-бесконечным. Таким обра-
зом, нам нужен короткий список ординалов, меньших а, и мы
должны быть способны порождать его рекурсивным образом.
Ключевым понятием здесь является понятие проекции «* орди-
§ 3 ПРИМЕР
149
нала а: а* является наименьшим |3 таким, что существует а-ре-
курсивная функция f, одно-однозначно отображающая ос в (3.
Причина, по которой эта идея дает решение нашей проблемы,
заключается в следующем:
Теорема. Всякое а-р.п. подмножество любого б < а* яв-
ляется а-конечным.
(Доказательство просто с теоретико-рекурсивной точки зрения:
обычное рекурсивное перечисление без повторений а-бесконеч-
ного а-p. п. подмножества ординала б даст отображение из а
в б.) Таким образом, нам нужно только использовать список
наших процедур сведения длины а*, чтобы сделать W а-конеч-
ным и решить нашу последнюю проблему.
Остается только скомбинировать наши решения — разделить
а* на у блоков. Пусть f: а->а* будет одно-однозначным а-ре-
курсивным проектированием, и пусть h\ у->а будет 22-отобра-
жением, неограниченным в а. Наши блоки задаются теперь ра-
венством Be = fh(e) для е < у. Заметим, что в силу допусти-
мости область значений ограничена на каждом собственном
начальном сегменте а*. Итак, область значений функции у про-
ектируется на неограниченную последовательность в а*, и по-
тому мы включили каждую процедуру сведения в эти блоки.
Более того, по нашим предыдущим замечаниям мы можем а-ре-
курсивно аппроксимировать эти блоки, например посредством
Ве(о), таким образом, что для каждого е Ве(б) совпадает с Ве,
начиная с некоторого момента. Мы можем также находить при-
ближения к f"1 (б) для любого б < а* а-рекурсивным образом
при помощи обычной процедуры (например, вычислите f(т])
для каждого т] < о и посмотрите, попали ли вы в б). Комбини-
руя различные аппроксимации, мы можем теперь точно опи-
сать нашу конструкцию; соглашения об обозначениях — как
ранее.
На этапе о мы находим для каждого е < у наименьшее вы-
числение {г' (<4° (X) = С° (х) для некоторого е-активного
беВе(а) (где х — наименьший у, который не является аргу-
ментом некоторого отрицательного е-требования). Затем мы
создаем отрицательное е-требование и действуем с оставшейся
частью построения в точности так, как и раньше.
Проверка того, что построение достигает успеха, протекает,
как в обычной теории рекурсии, а с новыми трудностями справ-
ляемся, как описано. По предположению индукции существует
только a-конечное количество ^'-требований для е' < е; тогда
существует граница на их образование, даваемая 2г-функцией.
Поскольку е < у, они образуют одно a-конечное множество N,
и мы имеем границу о0 на этапы, на которых они создаются.
В силу регулярности С существует этап Oi о0, к которому все
150
ГЛ. 5 ТЕОРИЯ а-РЕКУРСИИ
элементы N перечислены в С, Мы можем также взять а! до-
статочно большим, чтобы Be(o'i) и f-1 (б) для б е Ве достигли
своих окончательных значений. Опять-таки, все' создаваемые
е-требования постоянны. Поскольку Ве < а*, те б е Ве, кото-
рые становятся неактивными, образуют a-конечное множество,
и потому их вклад ограничен. Таким образом, если бы было
a-бесконечное количество е-требований для А, мы снова могли
бы вычислить С а-рекурсивно для получения нашего противоре-
чия. Итак, существует только a-конечное количество е-требо-
ваний для А. Часть рассуждения, относящаяся к В, точно та-
кая же, и индукция продолжается.
Наконец, для доказательства того, что С^аЛ(или С^аВ),
предполагаем, что	с е', дающим процедуру сведения,
как в определении сводимости Пусть f(e') = 6^Be для
некоторого е. Мы можем теперь доказывать (начиная с этапах^),
что должно быть создано a-конечное количество е-требований.
По выбору б существуют правильные вычисления {f-1 (б)}л (х) =
= С(х) для всех х, поэтому требования должны создаваться
для каждого х. Поскольку это противоречит нашему послед-
нему результату, мы имеем С А (и аналогично С В), что и
требовалось.
Этим кончается доказательство теоремы о разложении. (Де-
тали см. у Шора [5] .) Теперь мы рассмотрим, как идеи, ис-
пользованные для преодоления специфических трудностей в тео-
рии рекурсии, связаны с некоторыми другими областями иссле-
дований.
§ 4. Связи и применения
Начнем с понятия проекции, которое играло ключевую роль
в нашем доказательстве и тесно связано с некоторыми важ-
ными теоретико-множественными результатами о тонкой струк-
туре L. При изучении конструктивной иерархии встает очевид-
ный вопрос: когда именно строятся множества. Так, например,
все (конструктивные) подмножества <о строятся к уровню
N1 (в L), но хочется знать, на каком точно уровне они появ-
ляются. Ответ на этот конкретный вопрос был дан Булосом
и Патнемом [I] (которые, между прочим, работали над
иерархиями степеней в обычной теории рекурсии). Эти резуль-
таты обобщены Крипке [1] и Платеком [1], тогда как
наилучшие (и наиболее общие) результаты содержатся в статье
Йенсена [1]:
Теорема. В La+i — La существует подмножество ординала
б, задаваемое определением, являющимся Srt-(An-) определе-
нием над La, тогда и только тогда, когда существует одно-одно-
§ 4 СВЯЗИ И ПРИМЕНЕНИЯ
151
значная функция f: а->6, являющаяся Хп-функцией над La
(и отображающая а на 6).
Например, при 6 = со теорема говорит, что новое подмно-
жество ординала со строится на уровне а точно в том случае,
если все становится счетным на этом уровне.
Рассматривая допустимый а при п = 1 и применяя подхо-
дящий перевод, мы видим, что получили в точности ключевой
факт об а*-проекции а: Если нельзя одно-однозначно отобра-
зить а в 6 при помощи а-рекурсивной функции (= вщрду опре-
деленной 21-функции = Дрфункции), то не существует новых
а-р.п. (=2г) подмножеств ординала 6 (поэтому они все а-ко-
нечны). Общий результат Йенсена играет ключевую роль и в
более поздних теоретико-рекурсивных результатах.
При работе в теории а-рекурсии часто необходимо исполь-
зовать более сложные проектирования, чем 21-проектирование,
для получения еще более коротких списков. Сошлемся в каче-
стве примера на построение минимальной пары Лерманом и
Саксом [1] иШором [6] (а также Леджетом и Шо-
ром [1]), где 22-проекции используются для упорядочения
процедур сведения и требований. В несколько ином духе исполь-
зуется релятивизированный вариант теоремы для а-p. п. мно-
жеств и п = 1 у Шор а [8] для доказательства плотности
а-p. п. степеней. Конечно, такие проекции высокого уровня мо-
гут быть введены в а-рекурсивные конструкции только ценою
усложнения аппроксимирующих процедур и ослабления свойств
сходимости, нужных в доказательствах.
Основные теоретико-множественные применения проекций
вытекают из замечательной теоремы Йенсена об униформи-
зации.
Теорема (Йенсен [1]). Каждый Ъп-предикат над La
может быть униформизован посредством функции, являющейся
Ъп-функцией над La.
Хотя этот результат имеет, очевидно, теоретико-рекурсивный
оттенок, он явился ключевой составной частью многих чисто
теоретико-множественных результатов Йенсена. В качестве про-
стейшего примера укажем результаты из работы Йенсена [1]
о том, что гипотеза Суслина неверна в L. (Имеется также много
других результатов комбинаторного и теоретико-модельного ха-
рактера, родственных по используемым методам.) Нужно также
отметить, что йенсеновские доказательства этих результатов
имеют дополнительный теоретико-рекурсивный оттенок. Они
в значительной степени опираются на идею равномерности.
Именно благодаря всегда предписанной равномерности кон-
струкции могут быть осуществлены на предельных шагах.
В качестве последнего применения этих понятий укажем не-
давнюю работу Д ж о к у ш а и Симпсона [1]. В ней идея
152
ГЛ. 5. ТЕОРИЯ а-РЕКУРСИИ
обобщенных проекций и соответствующее кодирование La как
подмножества проекции возвращается к источнику, вызвавшему
ее, — к иерархиям степеней в обычной теории рекурсии. Эти
идеи (вместе с методом вынуждения на совершенных множест-
вах, принадлежащем Саксу) используются для доказательства
результатов об определимости в теории тьюринговых степеней
с оператором скачка. Например, показано, что разветвленная
аналитическая иерархия определима уровень за уровнем в тео-
рии степеней с операцией скачка.
Другое важное нововведение, потребовавшееся для доказа-
тельства в § 3 (блочная техника), имело некоторые следствия
для аксиоматической теории рекурсии. Вопрос о том, что же
необходимо для выполнения приоритетных доказательств, яв-
ляется ключевым для этого направления, поскольку эти дока-
зательства являются, вероятно, наиболее глубокими и наибо-
лее характерными методами обычной теории рекурсии. При
одном типичном подходе к аксиоматической теории рекурсии
(как уМосковакиса [1]) основной структурной потерей
(с точки зрения теории a-рекурсии) является отсутствие рекур-
сивного вполне упорядочения универсума. Вместо него имеется
только некоторое хорошее предвполнеупорядочение. Хотя, по-
видимому, этого не вполне достаточно для проведения приори-
тетных доказательств (см. Симпсон [3], которому, однако,
потребовалась аксиома определимости для построения контр-
примера), блочная техника позволила дать некоторые ответы.
Можно действительно разбить на блоки все элементы одного
уровня в предвполнеупорядочении (предполагая, что они «ко-
нечны»), но, по-видимому, требуется понятие проектирования
для доказательства того, что с блоками все в порядке. Так,
можно дать расширенную аксиоматизацию, которая позволяет
использовать эту технику для выполнения многих приоритет-
ных доказательств. (Это также отмечено Симпсоном [3].)
Наконец, мы хотели бы упомянуть два применения резуль-
татов и методов приоритетных доказательств в теории а-рекур-
сии в целом. Первое позволяет проделывать некоторые построе-
ния при помощи вынуждения над несчетными системами. Эта
идея используется, например, Шор ом [4], где приоритетное
доказательство совмещается с конструкцией вынуждения. Част-
ным случаем результатов, доказанных здесь, является то, что
в каждой модели теории множеств, обладающей глобальной
Sn-функцией выбора, существуют 2п-классы А и В такие, что ни
один из них не является Дп-классом относительно другого. Дру-
гой пример соединения вынуждения и теории a-рекурсии имеется
у С и м п с о н а [2]. Там он используется для доказательства ана-
лога теоремы Фридберга об операторе скачка для а-степеней.
§ 5 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
153
Последним применением этих методов, которое мы рассмот-
рим, является применение к рекурсии на объектах высших типов.
Харрингтон [1] дал метод для прямого перенесения некото-
рых результатов теории а-рекурсии в результаты об объектах
высших типов. Единственным дополнительным условием являет-
ся то, что конструкция в теории а-рекурсии должна быть равно-
мерной в том смысле, что никаких бесконечных параметров не
используется для ее описания. Хотя мы здесь не заботились об
этом (мы использовали и у, и а*), но это может быть сделано.
(Теорему о разложении см. у Ш о р а [3] и М а а с а [3], а реше-
ние Фридбергом и Мучником проблемы Поста — у Шора [4].)
Таким образом, в теории объектов высших типов мы «автомати-
чески» имеем аналоги этих доказательств методом приоритета из
теории а-рекурсии.
§ 5. Библиографические указания
Мы постарались дать полный список статей, повященных тео-
рии а-рекурсии, с очень краткими резюме их содержания. Как
правило, мы указываем рефераты и резюмируем диссертации,
только если не знаем, где еще появился этот материал. Значи-
тельное число статей, касающихся теории а-рекурсии только пе-
риферийно или в связи с другими предметами, также указано,
но без аннотаций.
Для читателя, интересующегося теорией а-рекурсии, мы реко-
мендуем книгу Сакса [6] в качестве отправной точки. Для
первоначального знакомства подходят статьи Симпсона [2] и
Шора [5]. По поводу дальнейшей информации о приоритетных
доказательствах и а-p. п. степенях, а также других подходов
к ним см. Сакс и Симпсон [1], л е р м а н [1] и Шор [8].
Изучение решетки а-p. п. множеств можно начать с работы
Лермана и Симпсона [1] и продолжить работами Лер-
мана [3] о максимальных множествах и Лермана [4], [6]
об общих теоретико-решеточных проблемах.
Имеется также несколько важных тем, которые мы вообще
здесь не упомянули. Оператор скачка рассматривается Симп-
соном [2] и Шор ом [9]. Явления нерегулярности и негипер-
регулярности исследуются Симпсоном [1], и структура та-
ких степеней анализируется Ш о р о м [6].
Обращаясь к более широкой точке зрения, упомянем неко-
торые отправные точки для работы в других областях, имею-
щих отношение к теории а-рекурсии. Теорию моделей и общую
точку зрения на допустимость см. в главе 7 «Теории моделей»
и в книге Барвайса [2]. С точки зрения истории вопроса
наиболее значительными работами являются Барвайс [1] и
Карп [1]. Основным источником по индуктивным определе-
164
ГЛ. 5. ТЕОРИЯ а-РЕКУРСИИ
ниям является книга Московакиса [2]; связь с теорией
а-рекурсии появляется в главе 9, содержащей результаты из
статьи Барвайса, Ганди и Московакиса [1]. Более
глубокие связи с допустимыми ординалами см. в работе Ц е и -
зера [1]. Аксиоматическая теория рекурсии представлена ра-
ботами Московакиса [1] и X. Фридмана [1]. Статья
Симпсона [3] также имеет отношение к этому. Применения
теории а-рекурсии к объектам высших типов даны в работах
Харрингтона [1] и Левенталя [2]. Тонкая структура L
лучше всего излагается в главе 5 «Теории множеств» или в
статье Йенсена [1]. К более ранним работам в этой области,
связанным с теорией рекурсии, относятся Йенсен и Карп [1]
и Ганди [2].
АННОТИРОВАННАЯ БИБЛИОГРАФИЯ ♦)
Аддисон, Генкин и Тарский (Addison J. W., Henkin L., Tarski A.,
ed.)
1. The Theory of Models: Proceedings of the 1963 International Symposium
at Berkeley. — Amsterdam: North-Holland, 1965.
В a p в а й c (Barwise J. K.)
1. Infinitary logic and admissible sets.— J. Symbolic Logic, 1969, 34,
p. 226—252.
2. Admissible Sets and Structures. — Berlin: Springer, 1975.
В арвайс, Ганди и Московакис (Barwise J. К., Gandy R. О., Mos-
chovakis Y. N.)
1. The next admissible set.— J. Symbolic Logic, 1971, 36, p. 108—120.
Бар-Хиллел (Bar-Hillel Y., ed.)
1. Logic, Methodology and Philosophy of Science: Proceedings of the 1964
International Congress. — Amsterdam: North-Holland, 1965.
Вулос и Патнем (Boolos G., Putnam H.)
1. Degrees of unsolvability of constructible sets of integers. — J. Symbolic
Logic, 1968, 33, p. 497—513.
Ганди (Gandy R. O.)
1. Review # 4677. — Math. Rev., 1965, 29, p. 882.
2. Set theoretic functions for elementary syntax. — In: Axiomatic Set
Theory: The UCLA 1967 Set Theory Conference/Ed. T. J. Jech. Provi-
dence (Rhode Island); Amer. Math. Soc., 1974, p. 103—126.
Ганди и Ейтс (Gandy R. О., Yates С M. E., ed.)
1. Logic Colloquium ’69: Proceedings of the Summer School and Colloquium
in Mathematical Logic, Manchester, August, 1969. — Amsterdam: North-
Holland, 1971.
Джекобс (Jacobs В. E.)
1*. а-computational complexity: Thesis. — N. Y.: .New York University,
Courartt Institute of Mathematical Sciences, 1975.
2*. On generalized computational complexity. — J. Symbolic Logic, 1977,
42, № 1, p. 47—58.
Основные понятия абстрактной теории сложности обобщаются в
теории a-peKvpcHH. Аналогии теорем о сжатии и о пробеле.
3*. а-naming and a-speedup theorems— 1977.
Доказываются аналоги теорем об «-наименовании и «-ускорении.
*) Звездочкой отмечены работы, добавленные при корректуре англий-
ского издания. — Прим. пед.
АННОТИРОВАННАЯ БИБЛИОГРАФИЯ
155
4*. The а-union theorem and generalized primitive recursion. — Trans
Amer. Math Soc., 1978, 237, p. 63—82.
Доказывается аналог теоремы об объединении и рассматриваются
два аналога примитивной рекурсии на допустимом а.
Джокуш и Симпсон (Jockusch С. G., Jr., Simpson S. G.)
1. A degree theoretic definition of the ramified analytical hierarchy. — Ann.
Math. Logic, 1976, 1, p. 1—32.
Джу (Jhu R.)
1. Contributions to axiomatic recursion theory and related aspects of alpha-
recursion theory: Thesis. — Toronto (Ont.): University of Toronto, 1973.
Некоторые категорные (в топологическом смысле) результаты:
если 0 < аВ, то [х | х | В} является множеством первой категории для
счетных а.
Дрисколл (Driscoll G. С., Jr.)
1. Contributions to metarecursion theory: Thesis. — Ithaca (N. Y.): Cornell
University, 1965.
2. Metarecursively enumerable sets and their meta-degrees. — J. Symbolic
Logic, 1968, 33, p. 389—411.
Два важных результата из теории -рекурсии: отношение
СК
не является транзитивным и coj -р. п. степени плотны.

Йенсен (Jensen R. В.)
1. The fine structure of the constructible hierarchy. — Ann. Math. Logic,
1972, 4, p. 229—308.
Йенсен и Карп (Jensen R. В., Karp C.)
1. Primitive recursive set functions. — In: Axiomatic Set Theory: The UCLA
1967 Set Theory Conference/Ed. D. Scott. Providence (Rhode Island);
Amer. Math., Soc., 1971, p. 143—176.
Йех (Jech T. J., ed.)
1. Axiomatic Set Theory: The UCLA 1967 Set Theory Conference. Provi-
dence (Rhode Island): Amer. Math. Soc., 1974.
Карп (Karp C.)
1. Languages with Expressions of Infinite Length. — Amsterdam: North-
Holland, 1964.
Кино и Такеути (Kino A., Takeuti G.)
1. On hierarchies of predicates of ordinal numbers. — J. Math. Soc. Japan,
1962, 14, p. 199—232.
(В предположении V = L.) Определяется рекурсивность (на $0
при помощи конструкции примитивно рекурсивных функций и ц-опе-
ратора, подобно Клини. Эквивалентно Такеути [3]. Даются основ-
ные теоремы теории рекурсии. Исследуются связи с моделями теории
множеств и аналитической иерархией (то, что здесь обозначено Дл,
обычно обозначается Дд+1).
Крайзел (Kreisel G.)
1. Set theoretic problems suggested by the notion of potential totality.—
In: Infinitistic Methods: Proceedings of the Symposium on Foundations
of Mathematics, Warsaw, 2—9 September 1959. Oxford: Pergamon Press,
1961, p. 103—140.
Начало изучения со-моделей и теории рекурсии. П} является ана-
логом р. п. и А} — аналогом конечности (первое использование обоб-
щения понятия конечности такого сорта). Используются обозначения
для HYP-подмножеств (о в качестве области рассмотрения теории.
2. Model theoretic invariants: Applications to recursive and hyperarithmetic
operations. — In: The Theory of Models: Proceedings of the 1963 Inter-
national Symposium at Berkeley/Ed. J. W. Addison, L. Henkin and
A. Tarski. Amsterdam: North-Holland, 1965, p. 190—205.
156
ГЛ. 5. ТЕОРИЯ а-РЕКУРСИИ
Теоретико-модельный подход к обобщенной теории рекурсии, осно-
ванный на понятии жестко содержащихся структур. Рекурсия на
и co-логика в качестве примеров.
3. Relative recursiveness in metarecursion theory (Abstracts). — J. Symbolic
Logic, 1967, 32, p. 442.
Связи между рекурсией на и (равномерными) неявными ин-
вариантными определениями. См. также Кюнен [1].
4. Some reasons for generalizing recursion theory. — In: Logic Collo-
quim* 69: Proceedings of the Summer School and Colloquium in Mathe-
matical Logic, Manchester, August 1969/Ed. R. O. Gandy, С. E. M. Yates.
Amsterdam: North-Holland, 1971, p. 139—198.
Фундаментальная работа, посвященная математическим и фило-
софским вопросам обобщения теории рекурсии.
Крайзел и Сакс (Kreisel G., Sacks G. Е.)
1. Metarecursive sets, I, II (Abstracts). — J. Symbolic Logic, 1963, 28,
p. 304—305.
I. Изложение абстрактной теории рекурсии на языке теоретико-мо-
дельных инвариантов.
II. Теоретико-рекурсивные результаты на Существует ма-
ек	СК
ксимальное простое coj -p. п. множество и ojj -неполное множество.
2. Metarecursive sets. — J. Symbolic Logic, 1965, 30, p. 318—338.
Даются действительные доказательства результатов предыдущих
рефератов. Основной вводный текст по теории метарекурсии, т. е.
а = сорК
Крипке (Kripke S.)
1.	Transfinite recursion on admissible ordinals, I, II (Abstracts). — J. Sym-
bolic Logic, 1964, 29, p. 161—162.
I.	Дается исчисление равенств для рекурсии на ординалах, опреде-
ляется допустимость и отмечается, что основные теоремы выполняются.
II.	Кардиналы допустимы, как и многие другие ординалы, а-ко-
нечность эквивалентна принадлежности La. Допустимость эквивалентна
удовлетворению аксиом слабой теории множеств. Понятие проекции.
Теорема Фридберга — Мучника для случая, когда а* — кардинал.
2.	Admissible ordinals and the analytic hierarchy (Abstract). — J. Symbolic
Logic, 1964, 29, p. 162.
Связь между допустимыми ординалами, аналитической иерархией
и ординалами.
3.	Transfinite recursion, constructible sets and analogs of large cardi-
nals.— Unpublished lecture notes from UCLA 1967 Conference in
Axiomatic Set Theory, 1967.
Общее описание и эвристическое объяснение теории рекурсии на
ординалах через исчисление равенств. Описание эквивалентности поня-
тий в терминах La и аксиом слабой теории множеств. Проекции и клю-
чевая теорема. Обсуждаются рекурсивные аналоги чисел Мало и от-
ношение a-рекурсии к д^, и Д^.
Кроссли (Crossley J. N.)
1. Sets, Models and Recursion Theory: Proceedings of the Summer School
in Mathematical Logic and Tenth Logic Colloquium, Leicester, August-
September 1965. — Amsterdam: North-Holland, 1967.
Кюнен (Kunen K.)
1 Implicit definability and infinitary languages. — J. Symbolic Logic, 1968,
33, p. 446—451.
АННОТИРОВАННАЯ БИБЛИОГРАФИЯ
157
Левенталь (Lowenthal F. D.)
1. Some results on measure and category in а-recursion theory. — Notices
Amer. Math. Soc., 1973, 20, p. A-450.
Для счетного а: множества над (относительно или ^ca) дан-
ным не a-рекурсивным множеством образуют множество меры 0 и
первой категории. Множество всех точных верхних граней двух степе-
ней имеет меру 1.
2. The minimal pair problem for higher type objects: Thesis. — Cambridge
(Mass.): M. I. T., 1974
Рассматривается применение методов из работы Харрингтона
[1] к построению минимальной пары из работы Лермана и Сакса
[1] для получения результата об объектах высших типов.
Леви (Levy А.)
1. Transfinite computability. — Notices Amer. Math. Soc., 1963, 10, p. 286.
Определение рекурсии на регулярных кардиналах с помощью ма-
шин Тьюринга, эквивалентное подходу Такеути [3] и близкое под-
ходу Маховера [2].
Леджет (Leggett А.)
1. Maximal a-r. е. sets and their complements: Thesis. — New Haven
(Conn.): Yale University, 1973.
2. Maximal а-r. e. sets and their complements. — Ann. Math. Logic, 1974,
6, p. 293—357.
Расширяет работу Лермана [3]. Даются необходимые и доста-
точные условия для возможных порядковых типов дополнений макси-
мальных множеств. Выясняется экстенсиональная эквивалентность
различных определений максимальных а-p. п. множеств.
Леджет и Шор (Leggett A., Shore R. А.)
1. Types of simple а-recursively enumerable sets. — J. Symbolic Logic,
1976, 41, p. 681—694.
Расширение работы Лермана [5]. Используются идеи главного
подмножества и гипергиперпростого множества для различения 1-типов
простых а-p. п. множеств для всех а. Вводится метод использования
^-проектирования в приоритетных доказательствах, когда оно меньше
чем o2cf(a).
Лерман (Lerman М.)
1.	On suborderings of the а-recursively enumerable а-degrees. — Ann.
Math. Logic, 1972, 4, p. 369—392.
Всякая а-конечная верхняя полурешетка вкладывается в а-сте-
пени. Вводится важное понятие ручного (tame) Зг-проектирования,
чтобы дать новый вариант метода приоритета с конечными наруше-
ниями.
2.	Admissible ordinals and priority arguments. — In: Cambridge Summer
School in Mathematical Logic, held in Cambridge/England, August
1—21, 1971/Ed. A R. D. Mathias and H. Rogers. Berlin: Springer, 1973,
p. 311—344.
Дается эвристическое описание конструкции минимальной пары
р. п. степеней в обычной и a-теории рекурсии. Вводится метафора
«китайский бильярд».
3.	Maximal a-r. е. sets. — Trans. Amer. Math. Soc., 1974, 188, p. 341—386.
Рассматриваются различные возможные определения максималь-
ных а-p. п. множеств. Доказываются, что они существуют (для разум-
ных определений), если s3p(a) = со. Вводится это новое (s3) проекти-
рование, задаваемое при помощи рекурсивной аппроксимации с двумя
дополнительными переменными.
4.	Least upper bounds for pairs of a-r. e. a-degrees. — J. Symbolic Logic;
1974, 39, p. 49—56.
158
ГЛ 5. ТЕОРИЯ а-РЕКУРСИИ
О' не является точной верхней гранью ни одной минимальной пары
а-p. п. степеней.
5.	Types of simple а-recursively enumerable sets. — J. Symbolic Logic,
1976, 41, p. 419—426.
Существуют различные 1-типы простых множеств в & (а) для
многих а. Используется главное подмножество (каждое а-p. п. мно-
жество таким обладает) и гипергиперпростота. См. также Л е д ж е т
и Ш о р [1].
6.	Ideals of generalized finite sets in the lattice of а-recursively enumer-
able sets. — Z. Math. Logik Grundl. Math., 1976, 22, № 4, p. 347—352.
Существует единственный идеал обобщенно конечных множеств,
определимый над <^(а). Для этих множеств разрешимость (S (а) и
#*(а) эквивалентны.
7.	Congruence relations, filters, ideals and definability in lattices of а-ге-
cursively enumerable sets. — J. Symbolic Logic, 1976, 41, p. 405—418.
Существуют наибольшие идеал, фильтр и отношение эквивалент-
ности, определимые на (а). Классифицируются все идеалы для не-
которых а и оставляются только две возможности для других а.
В любом случае их существует только конечное число. Замечается, что
основной результат М а ч т и [3] справедлив только для предложений,
не являющихся УЗ предложениями.
8*	. On elementary theories of some lattices of а-recursively enumerable
sets. —Ann. Math. Logic, 1978, 14, № 3, p. 227—272.
Доказывается разрешимость УЗ-теории решетки ^Г*(а) для двух
различных классов ординалов. Если o2cf(a) = /a2p(a) = со и а* = а,
то эта теория совпадает с теорией #*((о). Если s3cf(a) = a3p(a) = a
(т. е. регулярный кардинал из L), то это другая разрешимая УЗ-тео-
рия.
Лерман и Сакс (Lerman М., Sacks G. Е.)
1. Some minimal pairs of а-recursively enumerable degrees. — Ann. Math.
Logic, 1972, 4, p. 415—442.
Если наибольший кардинал из La = cr2p(a)< Zo2p(a)^ a, то су-
ществует минимальная пара a-р.п. степеней. См. также Шор [8].
Лерман и Симпсон (Lerman М., Simpson S. G.)
1. Maximal sets in а-recursion theory. — Israel J. Math., 1973, 4, p. 236—
247.
Некоторые необходимые и некоторые достаточные условия для
существования максимальных а-p. п. множеств, особенно необходи-
мость счетности. См. также Лерман [3]. Также имеются разрознен-
ные результаты о r-максимальных множествах.
Маас (Maass W.)
1*. On minimal pairs and minimal degrees in higher recursion theory.—
Arch. math. Logik Grundlagenforsch., 1977, 18, № 3/4, p. 169—186.
Строятся гиперрегулярные минимальные а-p. п. пары для мно-
гих а. Методы из работы Мааса [2] применяются для построения
минимальных степеней при условии o2cf(a)= a2p(a)< a.
2*. Inadmissibility, tame г. e. sets and the admissible collaps. — Ann. Math.
Logic, 1978, 13, № 2, p. 149—170.
Вводится понятие допустимого коллапса и изучается этот и дру-
гие объекты в теории рекурсии на недопустимых ординалах.
3*. The uniform regular set theorem in а-recursion theory. — J. Symbolic
Logic, 1978, 43, № 2, p. 270—279.
Отвечает на вопрос Сакса [3], давая равномерную конструкцию
регулярного a-р. п. множества той же a-степени, что и любое данное
a-р. п. множество.
Майерс (Myers D. L.)
1.	Meta-arithmetical hierarchies: Thesis. — Cambridge (Mass.): M. I. T.,
1970.
АННОТИРОВАННАЯ БИБЛИОГРАФИЯ
159
СК
Рассматривается релятивизация в теории рекурсии на (Oj и изу-
чаются возможные понятия скачка и арифметической иерархии с ча-
стичными результатами.
Макинтайр (Macintyre J. М.)
1.	Contributions to metarecursion theory: Thesis. — Cambridge (Mass.):
M. I.T., 1968.
В дополнение к следующим двум темам изучаются подмножества
множества со, генерические над L ск и структура a-степеней под
“1
таким множеством.
2.	Minimal а-recursion theoretic degrees. — J. Symbolic Logic, 1973, 38,
p. 18—28.
Существуют минимальные a-степени для счетных а и регулярных
кардиналов из L.
3.	Non-initial segments of the a-degrees. — J. Symbolic Logic, 1973, 38,
p. 368—388.
Для всех a < Xi существует Asa такое, что каждая счетная
дистрибутивная решетка с 0 и 1 изоморфна начальному сегменту
a-степеней над А. Таким образом, эти теории a-степеней неразрешимы.
Матиас и Роджерс (Mathias A. R. D., Rogers Н., ed.)
1. Cambridge Summer School in Mathematical Logic, held in Cambridge/
England, August 1—21, 1971. — Berlin: Springer, 1973.
M a x о в e p (Machover M.)
1. The theory of transfinite recursion. — Bull. Amer. Math. Soc., 1961, 67,
p. 575—578.
Вводится исчисление равенств для теории рекурсии на регулярных
кардина чах, используя оператор sub и функции с бесконечным числом
аргументов. В предположении V = L рекурсивно гёделевски нумерует-
ся процесс и отмечаются аналоги основных теоретико-рекурсивных
фактов. Дается типичное применение к бесконечным языкам. Для кар-
диналов-последователей а множество выполнимых формул языка La a
не является а-арифметическим.
2. The theory of transfinite recursion (in Hebrew): Thesis. — Jerusalem:
Hebrew University of Jerusalem, 1962.
M а ч т и (Machtey M.)
1.	Intrinsic consistency results and lattices of recursively enumerable sets
in abstract recursion theory: Thesis. — Cambridge (Mass.), M. I. T., 1969.
2.	Admissible ordinals and intrinsic consistency. — J. Symbolic Logic, 1970,
35, p. 389—400.
В общем случае нельзя найти внутренне непротиворечивую (т. е.
применимую ко всем множествам) процедуру сведения, которая может
заменить данную, если а не есть кардинал. Это можно сделать, если
а — кардинал и V == L.
3.	Admissible ordinals and lattices of a-r. e. sets. — Ann. Math. Logic,
1971, 2, p. 379—417.
Утверждается, что разрешающая процедура Лахлана для V2-фор-
мул на работает для а при а* « со, но см. у Лермана [7]
контрпример для второго уровня квантификации.
4.	Minimal degrees in generalized recursion theory. — Z. math. Logik
Grundl. Math., 1974, 20, p. 133—148.
Модифицирует работу Макинтайра [2] для доказательства
того, что существует 2н.о минимальных a-степеней для счетных а.
Основной результат состоит в том, что для а* « со существует мини-
мальная a-степень под каждой а-p. п. степенью.
Метакидес (Metakides G.)
1. а-degrees of a-theories. — J. Symbolic Logic, 1972, 37, p. 667—682.
leo
ГЛ 5 ТЕОРИЯ п РЕКУРСИИ
Для каждого (о^к-р. п X о существует (о^-теория Т(Х) с
ограниченным (о^к-р. п. множеством аксиом той же степени, что и X.
Для всех X р < существует Т(Х) той же степени. То же до-
казательство работает для всех а.
Московакис (Moschovakis Y. N )
1. Axioms for computation theories — first draft. — In: Logic Colloquium’69:
Proceedings of the Summer School and Colloquium in Mathematical
Logic, Manchester, August 1969/Ed. R. O. Gandy and С. E. M. Yates.
Amsterdam: North-Holland, 1971, p. 199—255.
2. Elementary Induction on Abstract Structures. — Amsterdam: North-Hol-
land, 1974.
Оуингс (Owings J. C., Jr.)
1.	Topics in metarecursion theory: Thesis. — Ithaca (N. Y.): Cornell Uni-
versity, 1966.
2.	Recursion, metarecursion and inclusion. — J. Symbolic Logic, 1967, 32,
p. 173—179.
Множество А называется множеством типа 1, если для каждого В,
максимального в А, существует максимальное С такое, что А Г) С = В.
В противном случае А называется множеством типа 2. Максимальные
(й^-р. п. множества А с неограниченным А имеют тип 1, а с ограни-
ченным А — тип 2. И те, и другие существуют.
3.	Il}-sets, со-sets and metacompleteness. — J. Symbolic Logic, 1969, 34,
p. 194—204.
Каждая со^к-степень нерегулярного со^к-р. п. множества (или,
эквивалентно, п} — -подмножества множества со) содержит такое
же множество, дополнение которого имеет порядковый тип со Для
ск
каждого нерегулярного coj -р. п. множества существует некоторое
полное р. п. множество, слабо рекурсивное относительно его, так что
отношение ск интранзитивно на П{-множествах.
4.	The metarecursively enumerable sets but not the II} sets can be enume-
rated without repetitions. — J. Symbolic Logic, 1970, 35, p 223—229
Доказывается теорема, указанная в заглавии.
5.	A splitting theorem for simple П| sets. — J. Symbolic Logic, 1971, 36,
p. 433—438.
Каждое простое П}-множество (= простое со^-р.. не ©^-ре-
курсивное подмножество множества со) может быть разложено на не-
пересекающиеся П}-множества строго меньших ©^-степеней.
О х а с и (Ohashi К.)
1. On a question of G. Е. Sacks. — J. Symbolic Logic, 1970, 35, p. 46—50.
Внутренне непротиворечивые процедуры сведения недостаточны.
См. также М а ч т и [2].
П л а т е к (Platek R.)
1. Foundations of recursion theory: Thesis — Stanford (Calif.): Stanford
University, 1966.
Развивается теория а-рекурсии как частный случай обобщенной
теории рекурсии Подход — через определимость при помощи (прими-
тивной) рекурсии. Затем добавляется оператор поиска. Выделяются
правильные основные понятия (допустимость, а-конечность, проекция
и т. д.) и устанавливаются основные теоретико-рекурсивные факты ч
эквивалентность с теоретико-множественным подходом.
АННОТИРОВАННАЯ БИБЛИОГРАФИЯ
161
Роджерс (Rogers Н., Jr.)
1. Theory of Recursive Functions and Effective Computability.N. Y.:
McGraw-Hill, 1967. [Русский перевод: Роджерс X. Теория рекур-
сивных функций и эффективная вычислимость. — М.: Мир, 1972.]
Сакс (Sacks G. Е.)
1.	Degrees of Unsolvability. — 2nd ed. — Princeton (N. J.): Princeton Uni-
versity Press, 1966.
2.	Metarecursively enumerable sets and admissible ordinals. — Bull. Amer.
Math. Soc., 1966, 72, p. 59—64.
Описывается мета (= cofK)-рекурсия на языке П}= р.п. и также
через исчисление равенств. Существуют два П|-множества, которые
сорК-несравнимы Объявляются результаты из работы Сакса [3].
3.	Post’s problem, admissible ordinals and regularity. — Trans. Amer. Math.
Soc., 1966, 124, p. 1—23.
Каждая а-p п. степень содержит регулярное а-p. п. множество.
Используется слабое приоритетное доказательство для того, чтобы по-
казать, что существует (по отношению ко всем сводимостям) неполное
не а-рекурсивное а-p. п. множество. Вводится понятие регулярности и
гиперрегулярности. Существует счетный а без максимального а-p. п.
множества.
4.	Metarecursion theory — In. Sets, Models and Recursion Theory: Pro-
ceedings of the Summer School in Mathematical Logic and Tenth Logic
Colloquium, Leicester, August-September 1965/Ed. J. N. Crossley. Am-
sterdam: North-Holland, 1967, p. 243—263.
Рецензия и изложение работы Крайзела и Сакса [1] и ос-
новных результатов теории рекурсии на со^к, но с использованием
исчисления равенств вместо системы обозначений О и П{. Показы-
вается также, что каждое нерегулярное cof ^-р. п. множество имеет ту
же степень, что и некоторое П[-подмножество множества со. Объявля-
ются результаты из работы Сакса [5].
5.	On the reducibility of n[ sets. — Advances in Math., 1971, 7, p. 57—82.
Используются (о^к-бесконечные, кобесконечные вынуждающие
условия для построения П[ множеств, которые cof к-подгенеричны
(= гиперрегулярны) и несравнимы по отношению к произвольному вы-
числению длины менее, чем cofK шагов. Аналогичные результаты для
а* = со.
6.	Higher Recursion Theory. — Berlin: Springer, 1980.
Введение в теорию а-рекурсии (главы V, VI). Включает частный
случай а = cofK и некоторые приоритетные доказательства для всех а.
Содержит большинство основных фактов и определений.
Сакс и Симпсон (Sacks G. Е., Simpson S. G.)
1.	The а-finite injury method. — Ann. Math. Logic, 1972, 4, p. 323—367.
Первое действительно при эритетное доказательство для всех а,
показывающее, что существуют гиперрегулярные а-несравнимые а-p. п.
множества. Рассуждение в наиболее трудном случае проводится вну-
три последовательности Si-подструктур La.
Симпсон (Simpson S. G.)
1.	Admissible ordinals and recursion theory: Thesis. — Cambridge (Mass.):
M. I.T., 1971.
В дополнение к материалу, включенному в работы Лермана и
' Симпсона [1] и Симпсона [2], содержит много информации
6 Справочная книга, ч. III
162
ГЛ. 5. ТЕОРИЯ ft РЕКУРСИИ
о негиперрегулярных а-p. п. степенях, простых подмножествах а* и
много интересных контрпримеров.
2.	Degree theory on admissible ordinals. — In: Generalized Recursion
Theory: Proceedings of the 1972 Oslo Symposium/Ed. J. E. Fenstad,
P. G. Hinman. Amsterdam: North-Holland, 1974, p. 165—194.
6 > а0' регулярна тогда и только тогда, когда она является
скачком регулярной гиперрегулярной степени. Даются необходимые и
и достаточные условия существования конуса регулярных степеней. Су-
ществуют несравнимые a-р. п. а и b такие, что (aV6)' = 0'. Дается
обзор других результатов по a-степеням и рассматриваются связи с
йенсеновской тонкой структурой L.
3.	Post’s problem for admissible sets. — In: Generalized Recursion Theory:
Proceedings of the 1972 Oslo Symposium/Ed. J. E. Fenstad, P. G. Hin-
man. Amsterdam, North-Holland, 1974, p. 437—441.
Используя проективную определимость, строится допустимое мно-
жество, для которого нет несравнимых р. п. множеств. Отмечается, что
можно использовать блочную технику для получения положительного
ответа, если имеется аналог а* (такие множества называются «тон-
кими»).
Скотт (Scott D., ed.)
1.	Axiomatic Set Theory: The UCLA 1967 Set Theory Conference. — Pro-
vidence (Rhode Island): Amer. Math. Soc., 1971.
Стилуэлл (Stillwell J.)
1.	deducibility in generalized recursion theory: Thesis. — Cambridge
(Mass ): M. I.T./1970.
Пытается провести приоритетные доказательства для всех допу-
стимых а. Осознание того, что жизнь не так проста, как представля-
ется в этой работе, привело к действительному решению в статье
Сакса и Симпсона [1].
Сукон и к (Sukonick J)
1.	Lower bounds for pairs of metarecursively enumerable degrees: Thesis. —
Cambridge (Mass.). M. I. T., 1969.
Существует минимальная пара ®fK-p. п. степеней.
Такахаси (Takahashi М.)
1.	Recursive functions of ordinal numbers and Levy’s hierarchy. — Com-
ment. Math. Univ. St. Paul, 1968, 17, p. 21—29.
Рекурсивность на ON эквивалентна Ai, если V = L.
Такеути (Takeuti G.)
1.	Construction of the set theory from the theory of ordinal numbers.—
J. Math. Soc. Japan, 1954, 6, p. 196—220.
2.	On the theory of ordinal numbers.— J. Math Soc. Japan, 1957, 9,
p. 93—113.
3.	On the recursive functions of ordinal numbers. — J. Math. Soc. Japan,
1960, 12, p. 119—128.
Вводится рекурсия на ординалах, порождая полурекурсивные
функции из базисных при помощи рекурсии и оператора минимизации.
Рекурсивные функции получаются, когда min применяется в случаях
ограниченности и всюду определенности. Основной результат состоит
в том, что кардиналы (в частности, сингулярные кардиналы) замкнуты
относительно рекурсивных функций (индукции по сложности). Эта тео-
рия испотьзуется для доказательства того, что аксиомы из работы
Такеути [2] могут быть эффективизированы. Мотивировка этого
дана в статье Такеути [1].
4.	A formalization of the theory of ordinal numbers. — J. Symbolic Logic,
1965, 30, p. 295—317.
Результаты из доклада, прочитанного на Симпозиуме по основа-
ниям математики, Катада. Япония, в октябре 1962 г. Излагается тео-
АННОТИРОВАННАЯ БИБЛИОГРАФИЯ
163
рия рекурсии на ординалах и даете i «эффективное» доказательство
непротиворечивости теории множеств, показывая, что существует рекур-
сивный предикат, изоморфный es на L.
5.	Recursive functions and arithmetic functions of ordinal numbers. — Iih
Logic, Methodology and Philosophy of Science: Proceedings of the 1964
International Congress/Ed. Y. Bar-Hillel. Amsterdam: North-Holland,
1965, p. 179—196.
Рассматриваются некоторые аксиомы бесконечности, основанные на
понятии арифметической недостижимости.
Tyre (Tugue Т.)
1. On the partial recursive functions of ordinal numbers. — J. Math. Soe.
Japan, 1964, 16, p. 1—31.
Дается исчисление равенств для рекурсии на регулярных кардина-
лах, используя sup-оператор. Показывается, что оно эквивалентно eft*
стемам Такеути, и доказываются некоторые основные факты такие, как
теоремы о рекурсии и об иерархии.
Фенстад и Хинмен (Fenstad J. Е., Hinman Р. G.)
1. Generalized Recursion Theory: Proceedings of the 1972 Oslo Sympo-
sium.— Amsterdam: North-Holland, 1974.
Фридман C. (Friedman S.)
1*. Recursion on inadmissible ordinals: Thesis. — Cambridge (Mass.),
M. I.T. 1976.
Первая работа по теории рекурсии на недопустимых ординалах.
Основные факты и определения. Простые множества существуют. Ре-
шение проблемы Поста для многих недопустимых р.
Фридман X. (Friedman Н.)
1. Axiomatic recursive function theory.— In: Logic Colloquium ’69: Pro*
ceedings of the Summer School and Colloquium in Mathematical Logic,
Manchester, August, 1969/Ed. R. O. Gandy, С. E. M. Yates. Amsterdarrf!
North-Holland, 1971, p. 113—137.
Фукуяма (Fukuyama M.)
1. Some concepts of recursiveness on admissible ordinals. — J. Math. Soc.
Japan, 1971, 23, p. 435—451.
Детальные доказательства эквивалентности различных определений
допустимых ординалов и рекурсивности на них.
Харрингтон (Harrington L.)
1. Contributions to recursion theory in higher types: Thesis. — Cambridge
(Mass.): M. I. T., 1973.
X и p а н о (Hirano M.)
1. Some definitions for recursive functions of ordinal numbers. — Sci. Rep.
Tokyo Kyoiku Daigaku, Sect. A, 1969, 10, p. 135—141.
Эквивалентность определений Крипке [1] и Tyre [1].
Ц е н з е р (Cenzer D )
1.	Ordinal recursion and inductive definitions. — In: Generalized Recursion
Theory: Proceedings of the 1972 Oslo Symposium/Ed. J. E. Fenstad,
P. G. Hinman. Amsterdam: North-Holland, 1974, p. 221—264.
Ч о н (Chong С. T.)
1.	Tame S2 functions in а-recursion theory: Thesis. — New Haven (Conn.):
Yale University, 1973.
2.	Almost local non а-recursiveness. — J. Symbolic Logic, 1974, 39,
p. 552—562.
Изучается вопрос: когда для не а-рекурсивного а-p. п. множе-
ства А А Пу не у-рекурсивно для у < а.
3.	Ап а-finite injury method of the unbounded type.— J. Symbolic Logie,
1976, 41, p. 1—17.	-	" --------- - ••
••
164
ГЛ. 5. ТЕОРИЯ а-РЕКУРСИЙ
Две теоремы: 1. Для всякой а-p. п. а Ф 0 существует а-p. п.
b < аа такая, что Ь\с (доказательство использует /о2р). 2. Для вся-
кой а-p. п. а =;£ 0 существует а-p. п. b < аа, которая не является
наибольшей нижней гранью двух а-p. п. степеней.
4.	Minimal upper bounds for ascending sequences of а-recursively enumer-
able degrees.— J. Symbolic Logic, 1976, 41, p. 250—260.
Частичные результаты о предмете, указанном в названии.
5*. Sn-cofinalities in La.— 1977.
Некоторые результаты о возможных значениях oncf(a) и отно-
шении этой функции к бпр(а).
Чон и Лерман (Chong С. Т., Lerman М.)
1. Hypernypersimple a-r. е. sets.— Ann. Math. Logic, 1976, 9, p. 1—48.
Г. г. п. множества определяются как те, надмножества которых в
<jr*(a) образуют булеву алгебру. Связь с обычным определением через
последовательности и смесь результатов о существовании и несуще-
ствовании.
Шенфилд (Shoenfield J R.)
1. Degrees of Unsolvability. — Amsterdam: North-Holland, 1971.
[Русский перевод: Шенфилд Дж. Степени неразрешимости. — М.1
Наука, 1977.]
Шор (Shore R. А.)
1.	Priority arguments in а-recursion theory: Thesis.—Cambridge
(Mass.): M. I T., 1972.
2.	Minimal а-degrees. — Ann. Math. Logic, 1972, 4, p. 393—414.
Доказывается, что существуют минимальные а- (и са-) степени,
если а является Зг-допустимым, при этом используется метод приори-
тета из работы Сакса и Симпсона [1]. Также и для некоторых
других ординалов.
3.	Cohesive sets: countable and uncountable. — Proc. Amer. Math. Soc.,
1974, 44, p. 442—445.
Многие несчетные а имеют сжатые подмножества. То, что де-
лается, не зависит о г ZFC.
4.	Sn sets which аге Дл incomparable (uniformly). — J. Symbolic Logic,
1974, 39, p. 295—304
Комбинируется вынуждение и приоритетное доказательство для
доказательства того, что для каждого п существуют индексы kt
для ^-множеств, которые Д«-несравнимы для каждого ^-допусти-
мого а.
5.	Splitting ап а-recursively enumerable set. — Trans. Amer. Math. Soc.,
1975, 204, p. 65—78.
Для данных не а-рекурсивного а-p. п. D и регулярного а-p. п. С
существуют А, В такие, что A U # = С, А П В = 0, А, В аС,
D^aA, D*Ca В. Та же теорема для ^саи обычные следствия для
степеней. Вводится блочная техника для приоритетных доказательств.
6.	Some more minimal pairs of a-r. 1 degrees. — Notices Amer. Math.
Soc., 1975, 22, p. A-524—A-525.
Разрешается один из двух случаев, оставленных открытыми
Лерманом и Саксом [1]: если o2cf(a)=a, то существует
минимальная пара a-р. п. степеней.
7.	The irregular and non-hyperregular а-r. e. degrees. — Israel J. Math.,
1975, 22, p. 28—41.
Характеризуются ординалы а, для которых существует един-
ственная a-p. п. степень нерегулярного и негиперрегулярного a-р. п.
множества. В противном случае доказывается теорема о разложении
для таких степеней. Отношение интранзитивно на a-р. п. мно-
жествах в том и только в том случае, когда существует более одной
негиперрегулярной a-р. п. степени.
АННОТИРОВАННАЯ БИБЛИОГРАФИЯ	165
8.	The recursively enumerable а-degrees are dense. — Ann. Math. Logic,
1976, 9, p. 123—155.
Продолжает идеи из статьи Шора [5] для доказательства плот-
ности а-p. п., а- и са-степеней. Первое доказательство методом при-
оритета с бесконечными нарушениями в теории а-рекурсии.
9.	On the jump of the recursively enumerable a-degrees. — Trans. Amer.
Math. Soc., 1976, 217, p. 351—363.
Рассматриваются различные возможные определения оператора
скачка. Изучается одно; показывается, что нет неполных а-p. п. А та-
ких, что А' = 0", если существует единственная не гиперрегулярная
а-p. п. степень. Такое А существует, если о2 cf(a) = a.
Данное доказательство того, что если А негиперрегулярно, то
А' =а0", в действительности показывает лишь то, что 0" < wa А'.
10*. Combining the density and splitting theorems for a-r. e. degrees.—
Notices Amer. Math. Soc., 1976, 23, p. A-598.
Если A' ss a0' и A < aD являются a-p. п., то существуют a-p. n.
В, С такие, что A <a В, C <aD и В \/ C aD. Согласно Шору
[9], существуют a (например, для которых A'=a0' для
каждого неполного a-p. п. А. Тогда по результату Лахлана элемен-
тарные теории a-p. п. степеней с a различны для a = ю и a =
Глава 6
РЕКУРСИЯ в ВЫСШИХ ТИПАХ
Александр С. Кекрис
Яннис Н. Московакис
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ...............................................................  166
Функциональная индукция	.............................................   167
§	1.	Монотонные операторы на частичных	функциях................... 167
§	2.	Подходящие классы функционалов................................168
§	3.	Основные конструкции..........................................172
§	4.	Связь с обычной теорией рекурсии..............................176
§	5.	Рекурсия относительно объектов типа	2	и	кванторов .... 177
§	6.	Теорема о пошаговом сравнении.................................181
§	7.	Полурекурсивные предикаты.....................................185
§	8	Теорема о перечислении........................................187
§	9.	Следствия перечислимости......................................190
Рекурсия в высших типах	. ............................................. 193
§ 10	Объекты высших типов над со .	..................... 193
§ 11.	Клиниевские классы функционалов на Т*.......................... 194
§ 12.	Рекурсия по Клини относительно объектов высших типов и
кванторов . . . ’............................................  196
§ 13.	Нормальность и перечислимость в рекурсии в высших	типах	199
§ 14	Определение, данное Клини............................... 201
§ 15.	Эквивалентность определения, данного	Клини, и нашего	.	.	203
§ 16.	Теоремы Клини о подстановках....................................208
§ 17.	Сечения и оболочки...................................... 214
§ 18.	Индуктивный анализ полурекурсивных	множеств. 216
§ 19.	Замкнутость относительно высшей экзистенциальной	кванти-
фикации 	218
§ 20.	Указания к литературе...........................................220
Литература.......................................................221
Введение
Рекурсия в высших типах была введена Клини [1], [2] и
вскоре была признана глубоким и значительным расширением
теории рекурсивных функций на натуральных числах. Нашей
целью является изложение основных понятий и фактов этой
теории методом, делающим их доступными для математика, зна-
комого с обычной теорией рекурсии.
С самого создания рекурсия в высших типах считалась труд-
ной и доступной лишь посвященным. Хотя она достигла значи-
тельной степени зрелости благодаря работам многих исследова-
телей за последние пятнадцать лет, она не была понята таким
широким кругом математиков, какого она заслуживает. Час-
$ Т. МОНОТОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
167
тично это произошло вследствие технической трудности основ-
ных статей на эту тему. Более того, основные понятия этой тео-
рии считались трудными для понимания и проблематичными
с точки зрения оснований математики.
Мы будем развивать теорию рекурсии в высших типах в кон-
тексте общей теории индуктивной определимости. Клини [2]
и сам видел эту возможность и обсудил ее в конце § 10. Позже
Плате к [1] дал вполне удовлетворительные обоснования для
нашего предмета в рамках теории индукции. Его работа, тем
не менее, была также технически трудна и ее применение к ре-
курсии по Клини не просто.
Излагаемый подход принадлежит Московакису. В работе
Московакиса [4] обсуждается, как этот подход уклады-
вается в общую теорию индукции, но знанйе указанной работы
не является необходимым для чтения этой главы.
Нужно подчеркнуть, что мы излагаем элементарные части
теории рекурсии в высших типах. В последнем параграфе мы
сделаем некоторые замечания о том, что читать дальше, для
тех, кто желает стать специалистами.
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ИНДУКЦИЯ
§ 1. Монотонные операторы на частичных функциях
Фиксируем бесконечное множество А такое, что со = {0,1,
2, .	Под n-арной частичной функцией (из А в со) мы по-
нимаем любое отображение из подмножества множества Ап в со.
Они объединяются в множество
9>9"n(A) = 3>9“n = {f: f есть n-арная частичная функция}.
Оператор 0: 9^ п-^93г п называется монотонным, если для
любых f,g^ 3>SFn
f ^g=>Q(f)sQ(g).
Каждый такой монотонный оператор определяет трансфинит-
ную последовательность частичных функций посредством
рекурсии
где = U т. е.
(x)==w^=^f2(x) = w для некоторого т] < g.
В частности, = где 0 — нигде не определенная л-арная
частичная функция.
168
ГЛ 6 РЕКУРСИЯ В ВЫСШИХ ТИПАХ
Простая индукция дает, что
так что из мощностных соображений существуют наименьший
ординал х такой, что
' о * ТУ	1 ТУ
Мы называем f* частичной функцией, индуктивно определен-
ной при помощи 0, и обозначаем ее
Легко проверить, что является также наименьшей непо-
движной точкой оператора 0, т. е.
§ 2.	Подходящие классы функционалов
2.1.	Функционал (на А со значениями в со) — это частичное
отображение
Ф: AnX^k{X ...
из декартова произведения нескольких экземпляров А и некото-
рых пространств k в со, которое монотонно, т. е.
fl^gl, fmSgm, Ф(х, fl, .... fm) = w
=>Ф(х, gi....gm)=*W,
Мы здесь допускаем, что п или m могут равняться нулю, в ча-
стности, все частичные функции являются функционалами.
Сигнатурой функционала
Ф(х, /) = Ф(Х[,	Хп, fl, ..., fm)
называется (n,	..., km), если ft является £гарной функ-
цией. Существует естественное одно-однозначное соответствие
между функционалами сигнатуры (n, kx, ..., km) и монотон-
ными операторами 0:	X • • •	которое ста-
вит в соответствие каждому Ф(х, ..., fm) отображение
0(А, .... /т) = ЛхФ(х, К .... fm)
и каждому Q(fi, .... fm)— функционал
Ф(х, fl. .... /т) = 0(А..fm)(x).
§ 2 ПОДХОДЯЩИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИОНАЛОВ
169
В частности, если Ф имеет сигнатуру (п,/г), то ассоциирован-
ный с ним 0 является монотонным оператором на Будет
удобно обозначать g-ю итерацию 0 через Ф*, так что
ф*(х) = Ф(х, Ф<^)>
где Ф<^= U Фп. Пусть также Ф°°=иФ5 будет наименьшей
неподвижной точкой (оператора, ассоциированного с) Ф, или
частичной функцией, индуктивно определенной функционалом Ф.
Это определение непосредственно релятивизируется относи-
тельно любой конечной последовательности частичных функ-
ций: для данного Ф(х, f, g) сигнатуры (n, n, k\, ..., km) поло-
жим
Ф6(Д £) = Ф(х, и'Ф<5(х', g), g),
Ф°° (х, g) = пу-ф=>Э5Ф5(х, g) — w,
где, естественно,
Ф<Чх, =	<£Фп(х, g) = w.
Такие функционалы Ф(х, f, g) сигнатуры (п, п, km) на-
зываются оперативными, а Ф°°(х, g)—функционалом, индук-
тивно определенным функционалом Ф. Он имеет следующее
свойство минимальности: если Т(х, g) удовлетворяет соотноше-
нию
ЛхФ (х, Xx'V (х', g), g) ZxW (х, g)
для всех g, то Ф°° £= Т.
2.2.	Пусть 3“ будет классом функционалов на Д. ^’•непод-
вижными точками называются все функционалы Ф°°(х, g), кото-
рые индуктивно определены оперативными функционалами
Ф(х, f> g) из Говорим, что Ч7 (х, g) -рекурсивен, если су-
ществует ^-неподвижная точка Ф°°(/7, х, g) и конечная после-
довательность констант п = (п{, .nk) из о такая, что
Ч'(*, g) = Ф°° (й,	g). В частности, частичная функция ф(х)
будет ^-рекурсивной, если существует оперативный функ-
ционал Ф(й, х, из и константы п из о такие, что
Ф (х) = Ф°° (п, х).
Нашей главной целью является изучение этих ЗГ-рекурсив-
ных частичных функций для различных Для получения ин-
тересной теории ^-рекурсии нужно наложить некоторые мини-
мальные условия замкнутости на класс
2.3.	Определение. Класс функционалов ST называется
подходящим, если содержит следующие начальные частич-
ITO
ГЛ. в РЕКУРСИЯ В ВЫСШИХ ТИПАХ
(И)
(iii)
ные функции и функционалы (i) — (v) и замкнут относительно
правил (vi) — (х):
(i)	Характеристическая функция множества со:
( 0, если а е а,
ф(д)	если
Тождественная функция на со:
( а, если ае м,
Ф (а) = ) л	.
(О, если а ф со.
Функция следования:
( а + 1, если ае®,
Ф (а)	(. 0, если а ф со.
Характеристическая функция равенства на со:
' 0, если а = Ъ е со,
<р(а, &) = 1 1> если афЬ и а, бей,
. О в остальных случаях.
(v)	Вычисление значения функции:
Ф(Д /)“/(*).
(iv)
Понятно, что здесь Ф имеет сигнатуру (п, п), так что /(х) имеет
смысл. В последующем мы будем опускать условия такого три-
виального сорта.
(vi)	Добавление переменных: если Ф(х, f) лежит в то
^(z, х, у, h, f, £) = Ф(х, f)
также лежит в F".-
(vii)	Композиция: если Ф(а, х, f) и Х(х, f) лежат в F", то
W, П = Ф(Х(х, f), х, f)
также лежит в
разбором
ф(х, F),
Х(х, f),
. о,
(viii) Определение
лежат в F", то
W(a, Я, =
также лежит в F".
случаев: если Ф(х, f) и Х(х, f)
если а = О,
если афО и а е а,
если а ф со,
(ix)	Подстановка проектирований: проектированием назы-
вается отображение вида
л(х1( .... хп) = х(,
? 2. ПОДХОДЯЩИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИОНАЛОВ
171
где 1 i п. Тогда (ix) утверждает, что если Ф(*/ь ...»
лежит в а ль ..., пт — проектирования, то
Т(х, |) = Ф(Л1(х), лт(х), f)
также лежит в ЯГ.
(х)	Функциональные подстановки: если Ф(х, gi, ...» gm)
лежит в и Xi, ..., Хт также лежат в iF, то
Т(х, 1) = Ф(х, Ку^{уь X, f).....^mxm(ym, х, f))
также лежит в ЯГ.
Мы будем использовать тривиальные следствия этих свойств
замкнутости без явных оговорок. Например, из (vii) и (viii) сле-
дует, что если Фо, Ф1 и X лежат в ЯГ, то
хр/*	еСЛИ х<*> F) = °>
| Ф1(х, f), если Х(х, f)#=0,
также лежит в ЯГ\ где Х(х, f) #= 0 — сокращение для «Х(х, f)
определено и имеет значение =И= О».
Из (v), (vi), (ix) и (х) также следует, что если Ф(хь ...
..., xn, fi, ..., fm) е и л, р являются перестановками
{1, ..., п} и {1, ..., tri} соответственно, то
Ч^Хр xn, fp fw) = Ф(хд(1), хя(п), fp(1), ...,
также лежит в £F. Наконец, поскольку f = Xxf(x), то из (v),
(ix) и (х) следует, что если Ф(х, gi, g2, £з) лежит в ^F, то
^(х, f, §) = Ф(х, f, f, kyg(y, X, у))
также лежит в ЗГ
2.4.	Теперь мы дадим два примера нетривиальных функцио-
налов, которые ^-рекурсивны для любого подходящего ЗГ
Минимизация. Пусть
Фц(х, = х) = 0)
= наименьшему I е со (если хоть одно существует)
такому, что f (i, х) = 0 и для всех j < i f (j, x)
определено и f (j, x) =/= 0.
Чтобы понять, что Фц является ^'-рекурсивным, положим
™, .	( f(«> к),	если f(a,x) = 0,
а’ Х'	1 g(a+ 1, х)+ 1, если f(a, х)^=0.
Ясно, что	и легко проверить, что Фи (х, f) = Т°° (0, х, f),
так что Фц является ^"-рекурсивным.
172
ГЛ 6 РЕКУРСИЯ В ВЫСШИХ ТИПАХ
Примитивная рекурсия. Рассмотрим функционал Фр(а, г,
/ь /г), определенный так:
Фр (а, х, А, /г) = 0, если а ф со,
Фр (о, X, fl, f2) = fi(x),
Фр(г + 1, х, h, f2) = f2(®p(i, x, fh f2), i, x),
и предположим, что 3^ является подходящим классом, содер-
жащим функцию предшествования
{а—I, если аем, а^1,
О, если	или а = 0.
Положим
	' fi (x),	если	a — 0,
W. х, g, fi, f2) = <	fAg(a—\, x), a, x),	если	new, a #= 0,
	. 0,	если	а ф ®.
Тогда Ч^е^и легко проверить, что Фр = 4го0, так что Фр яв-
ляется ^-рекурсивным. В следующем параграфе мы увидим,
что на самом деле нет необходимости предполагать, что а—1
лежит в 3^.
2.5.	Пусть ^’о = ^’оИ) будет наименьшим подходящим
классом функционалов на А. Более общо, если Ф = (Ф1, ..., Фп)
есть конечная последовательность функционалов, то пусть
^о[Ф]
будет наименьшим подходящим классом функционалов, содер-
жащим Фь ..., Фп. Обычно мы будем называть ^[ФЪрекур^
сивные функционалы просто рекурсивными относительно Ф.
§ 3.	Основные конструкции
Нашим основным инструментом для проведения сложных
индукций является следующая
3.1.	Лемма о совместной индукции. Пусть ЯГ —
подходящий класс функционалов на А, Ф0(х, fi, ft, g) и
Ф1(У, Л,/г, g) — два функционала из и определим индуктивно
ТоЧх, £) = Фо(х, U'To<5U', g),	g), g),
(xf, g),	g), g)-
Тогда ЧТ и ЧгГ являются ^-рекурсивными.
Доказательство. Пусть 0 будет последовательностью
нулей подходящей длины, так что выражения, написанные ниже,
§ 3 ОСНОВНЫЕ КОНСТРУКЦИИ
173
имеют смысл, п аналогично для 1. Положим
Х(а, х, у, f, g)
' Ф0(х, Лх7(0, х', 0), ky'f(l, 1, у'), g), если а = 0,
==" Ф](г/, kx'f(O, х', 0), ky'f(l, I, у'), g), если asa, а =/= 0,
< 0,	если а
Тогда Хе^и тривиальная индукция по § показывает, что
Ч'оЧх, g) = Xs(0, х, 0, g), Ч$(у, g) = X5(l, Г У, g),
так что То0 и ТГ являются ^-рекурсивными. (Точнее говоря,
мы имеем To0 (х, g) = X°° (0, х, 0, g), что не имеет нужного вида,
но очевидно, что	_	_
Т0°°(х, я) = Х°°(0, 0, Д £),
где X (а, X, у, f, g) = X (а, у, х, Ka'ij'x'f (а', у', х'), #).) □
Непосредственным следствием предыдущего результата яв-
ляется важная
3.2.	Теорема о функциональной подстановке.
Пусть 2Г — подходящий класс функционалов на А. Тогда класс
ST-рекурсивных функционалов замкнут относительно функцио-
нальных подстановок, т. е. если Ф(х, gi, ..., gm), Xi, ..., Xm
являются -рекурсивными, то таким же является и
^(х, 1) = ф(х, ку^(у\, x,f),..., KymXm(ym, X, Ь).
Доказательство. Для простоты положим т==1 и рас
смотрим Ф(х, g), Х(у, х, f). В найдутся функционалы
Ф0(й, у, х, h, f), ФДй, х, h', g) такие, что для некоторых ft, tn
Х(у, х, Ь = Ф“ (п, у, х, f), Ф(х, £) = ФПт, Д g).
Теперь рассмотрим совместную индукцию
Ч^о (й, у, х, Р = Фо(й, у, х, kil'y'x'Wo'i(ii', if, х', f), f),
x, /) = Ф1(й, x, M'x'W^(i>', x', f), Xy'W^(n, x, f)).
По лемме о совместной индукции ТГСй, х, f) является ^"-ре-
курсивным. Мы утверждаем, что
W(x, f)=4T(m, х, f),	(*)
чем заканчивается доказательство. Чтобы убедиться, что (*)
выполняется, сначала проверим, что Чго = Фо для всех g. Из
этого простой индукцией по g, используя монотонность функ-
174
ГЛ. 6 РЕКУРСИЯ В ВЫСШИХ ТИПАХ
ционалов на их функциональных аргументах, получаем (для
любой J)
AuxTi (и, х, f) ЛихФГ (и, х, АуХ (у, х, f))»
так что
АхЧТОп, х, f)<=AxT(x, f).
Для обратного включения мы доказываем индукцией по £, опять
используя монотонность, что
ЛйхфЦй, х, Х£Ф<^(п, у, х, f)) ^ AvxT 1 (ц, х, f),
так что
АбхФГ (й, х, КуХ (у, х, f)) е ЛухТГ (v, х, f),
и тогда
WF(x, Й^АхТГ(/й, х, f),
что и требовалось. □
Этот результат принимает особенно простую форму, если
мы подставляем частичную функцию: если Ф(х, g, f)
и ф являются ^-рекурсивными, то такой же является Т(х, f)=
= Ф(х, ф, f).
Используя теорему о функциональной подстановке и тот три-
виальный факт, что каждый функционал из ST является ^"-ре-
курсивным. мы сразу получаем, что классо-рекурсивных функ-
ционалов обладает всеми теми свойствами замкнутости, что и
О, так что, в частности, и сам является подходящим классом.
Например, для доказательства того, что он замкнут относи-
тельно композиции, рассмотрим функционал
Фс(х, Л, /2) = Ш(Д X).
Ясно, что ФсеО ввиду 2.3 (v), (vii). Поэтому, если Ф(а, х, f)
и Х(х, f) являются ^"-рекурсивными, то из теоремы о функ-
циональной подстановке следует, что
х?(х, ^) = Ф(Х(х, f), х, |) = Фс(х, Лх'Х(х', f), Лах'Ф(а, х', f))
также является ^"-рекурсивным. Аналогично, используя 2.4,
устанавливаем, что класс ^"-рекурсивных функционалов замк-
нут относительно минимизации и примитивной рекурсии, по
крайней мере если а — 1 лежит в ЯГ
Наш последний результат в этом параграфе является, ве-
роятно, наиболее важным свойством замкнутости класса ^"-ре-
курсивных функционалов для подходящих #". Он позволяет
свободно использовать ^"-рекурсивные функционалы в построе-
нии сложных индукций и будет часто использоваться впослед-
ствии. Он называется также первой теоремой о рекурсии для
функциональной индукции.
§ 3 ОСНОВНЫЕ КОНСТРУКЦИИ
175
3.3.	Теорема об индукционной полноте (Мо-
ск ов а к и с [4]). Пусть ST будет подходящим классом функ-
ционалов на 4. Если Ф(х, g,/) является оперативным ^-рекур-
сивным функционалом, то его неподвижная точка Ф°°(х, f)
также ^-рекурсивна.
Доказательство. Пусть Ф(х, g, f)==4r°°(n, х, g9 f), где
¥ (й, х, h, g,	и n является некоторой последователь-
ностью констант. Положим
X (й, х, h, f) = Т (и, х, h, kx'h (n, x'), f);
ясно, что X e ST. Мы утверждаем, что
Ф°° (х, /) = Х°°(й, х, f),	(♦♦)
чем будет закончено доказательство.
Для доказательства (**) покажем сначала простой транс-
финитной индукцией по £ (используя монотонность), что
X* (й, х, f) = w => Т* (й, х, Лх'Ф^ (х', f), f) = w,
так что
ЛхХ°°(й, х, f)^AxT°°(n, х, Лх'Ф°°(х', f), f)
= ЛхФ(х, Хх'Ф°°(х', f), f)
= ЛхФ°°(х, f).
Для доказательства обратного включения покажем индукцией
по g (опять используя монотонность), что
Ч^(й, х, А,х'Х°°(й, х', f), f) = w => Х°° (й, х, f) = w,
так что
KyW°°(n, х, Лх'Х°°(п, х', f), f)
= ЛхФ(х, Лх'Х00^, х', f)9 f)^KxfX°°(n9 х'9 f);
тогда ввиду минимальности Ф00 (см. 2.1)
ЛхФ°°(х, f)sUX°°(n, х, f),
что и требовалось. □
Теперь в качестве простого применения этой теоремы мы
можем элиминировать предположение, что ф(а) = а—1 при-
надлежит из доказательства того, что класс ^-рекурсивных
функционалов замкнут относительно примитивной рекурсии
(см. 2.4). Действительно, теорема об индукционной полноте
176
ГЛ. 6 РЕКУРСИЯ В ВЫСШИХ ТИПАХ
говорит нам, что достаточно показать, что а — 1 является ^"-ре-
курсивной. Но
О,	если а = О,
а — 1 = ц/ [Z + 1 — а], если а е ш, а #= О,
- 0,	если а ф. со,
так что а — 1 является ^-рекурсивной.
§ 4.	Связь с обычной теорией рекурсии
Прежде чем приступить к дальнейшему развитию теории
функциональной индукции, в этом и следующем параграфах
мы рассмотрим некоторые интересные примеры и установим
связь с некоторыми классическими аспектами теории рекурсии.
4.1.	Пусть А будет бесконечным множеством и предполо-
жим, что осВсЛ. Функционал Ф(х, f) на А сосредоточен
на В, если для каждого х^Вп и каждой f —	..., fm)^
е ki (Л) X • • • X km (А) имеем
Ф(х, Г) = Ф(х, f г В),
где f f B = (fj f В*1, ..., fm \ Bk™). Если —класс функциона-
лов на А, то пусть f В будет классом тех функционалов
на В, которые являются сужениями на В функционалов из ЯГ,
сосредоточенных на В. Здесь сужение Ф f В функционала
Ф(х, f) на Д —это функционал на В, определенный равенством
ф f В(х, 7) = Ф(%, f)
для xsBn, f е (В) X • •	и мы имеем
ST f В — {Ф f В', Фе^Г, Ф сосредоточен на В}.
Заметим, что если ST— подходящий класс функционалов на Д,
то Г В является подходящим классом функционалов на В.
Например, каждый функционал из £?~о(А)—наименьшего под-
ходящего класса функционалов на Д — является сосредоточен-
ным на В, так что
^о(Д)Г б = ^о (В)
Более общо, если	(Д)_[Ф], где каждый функционал из Ф
сосредоточен на В, то^"0(Д)[Ф] f В = ^~0(В)[Ф t В], где Ф f В —
= (Ф^В, ..., Фп f В), если Ф = (Ф1, ..., Фп). Заметим здесь
также, что если каждый функционал из сосредоточен на В,
то 3“ f В-рекурсивные функционалы — это в точности ограни-
чения на В ^"-рекурсивных функционалов.
§ 5. РЕКУРСИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ОБЪЕКТОВ ТИПА 2
177
Конкретизируя это на случай В = <о, получаем, что для каж-
дого А &~о(А) t (о-рекурсивные функции — это в точности (со) -
рекурсивные функции. Теперь легко охарактеризовать их сле-
дующим образом:
4.2.	Теорема. Частичная функция f: о)п->со является
ST ре кур сиеной, если и только если она является рекурсивной.
Доказательство. То, что каждая частично рекурсив-
ная функция на со является ^“о-рекурсивной, очевидно из
свойств замкнутости класса ^-рекурсивных частичных функ-
ций. В обратную сторону заметим, что если Ф(х, f) является
оперативным функционалом в то соответствующий опера-
тор 0(/) = ХхФ(х, f) является рекурсивным оператором в смысле
обычной теории рекурсии, поэтому его наименьшая неподвиж-
ная точка Ф°°(х) также рекурсивна по первой теореме Клини
о рекурсии (см. Роджерс [!])• □
§ 5.	Рекурсия относительно объектов типа 2 и кванторов
В этом параграфе мы дадим некоторое число важных типов
функционалов, рекурсию относительно которых мы хотим изу-
чать.
5.1.	Пусть А будет бесконечным множеством им^Д. Объ-
ектом типа 2 на А называется всюду определенное отображение
F: <ол -> со,
где сол — множество всех всюду определенных функций из Л
в со. Каждый объект F типа 2 может быть естественным обра-
зом отождествлен с функционалом сигнатуры (0, 1) на 4,
а именно;
{F (/), если f: 4->со всюду определена,
не определено в противном случае.
Ясно, что полученный функционал монотонен, поскольку если
f g и F(f) = w, то f всюду определена и тогда g также всюду
определена, откуда f = g, следовательно, F(g)= w.
Особый интерес представляет объект Е = ЕА типа 2, реали-
зующий экзистенциальную квантификацию на А:
E(h = ( °’ еСЛИ 3х<Н*) = 0),
t 1, если Vx (f (х) =# 0).
Другим интересным объектом типа 2 является объект Туге
Он определяется в зависимости от кодирования кортежей на 4,
т. е. одно-однозначного отображения ( ): (J4n->4.
п
178
ГЛ. в. РЕКУРСИЯ В ВЫСШИХ ТИПАХ
Для каждой всюду определенной /
_ ( о, если Зао«1 • • • Vn (f ({а0, .... ап)) = 0),
1 ' — I 1, если Va^ ••• Bn(f((a0,	art»¥=0).
Для иллюстрации этих идей и установления дальнейших
связей с классическими понятиями теории рекурсии рассмотрим
несколько подробнее рекурсию относительно Е = Е&. Сначала
дадим определение.
5.2.	Определение. Пусть ST будет подходящим классом
функционалов на А. Предикат R^An называется ЗГ-полурекур-
сивным, если существует ^“-рекурсивная частичная функция
f: Ап со такая, что
7? == domain (/),
т. е.
определено.
В случае Зг = ^“о[Ф] мы будем называть ^“-полурекурсивные
предикаты просто полурекурсивными относительно Ф. В случае
А = со, ф = 0 эта терминология согласуется с классической
в силу 4.2. Теперь имеет место
5.3.	Теорема (Клини [1]). Пусть Е будет объектом типа
2, реализующим экзистенциальную квантификацию на со. Пре-
дикат на со полурекурсивен относительно Е тогда и только
тогда, когда он является П.\-предикатом.
Доказательство. Пусть R(x) полурекурсивен относи-
тельно Е и Ф(й, х,	[Е] таков, что для некоторого фик-
сированного п
Р(х)оФ°°(п, х)
Тогда
/?(%)<=> 36 (Ф°°(п, x) = k)
<=^3Wf [^'х'(Ф(й', х', =	x'))=>f(n, х) = Н
Отождествляя частичные функции на со с их графиками, мы
легко вычисляем, что R является П}-предикатом.
Наоборот, предположим, что 7?(х) есть Пгпредикат, скажем
7?(x)<=>Va3nP(x, a(n)).
Здесь а пробегает a(n) = (a(0), ..., a(n—1)) и
V1>=Poo+1-Pr1- ... 'рЬт,+1«
где pi равно Z-му простому числу и Р(х, и) является рекурсив-
ным предикатом, обладающим тем свойством, что если
I 5. РЕКУРСИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ОБЪЕКТОВ ТИПА 2
179
Р(х, a(n))&m^n, то Р(х, а(пг)). Определим
{О,	если Р(х, и) & Seq (и),
1 — Е(Л/(1 -*-f (u*t, х))), если ~\Р(х, и) V ”1 Seq(u),
где Seq(u)<=>3£0 ••• ^rt_1(u = <A’O, ...» kn_x)) и
(&о»
u*t = <
О,
Vl»0» если u = (k^ . ..,
для некоторых kQ, kn_i9
если ”| Seq (и).
По соглашению 1=( ) — код пустой последовательности, так
что Seq(l). Поскольку Seq, * рекурсивны, рекурсивен отно-
сительно Е, так что по теореме 3.3 об индукционной полноте
4го0 (и, х) также рекурсивен относительно Е. Теперь легко про-
верить индукцией по g, что если Seq (и), то
^(и, x) = 0=>Va3 иЭпР(х, a(n)),
где a^u<=>3t(a(t) = u). С другой стороны, если 4го0(и, X) не
определено или определено и У= 0, то выполнено "~\Р(х, и),
так что для некоторого t	х) не определено или =/= 0.
Повторяя это, находим такое, что ~]Р(х, a(n)) для всех п,
так что для Seq (и) имеем
W°° (и, х) = 0 <=> Va =2 иЭпР (х, a (п)),
следовательно, 2? (х) 4го0 (1, х) = 0. Таким образом, Р =
= domain (ср), где
. _(0,	если Т°°(1,х) = 0,
ф(*)—| не определено, если 4го0(1, х)=/=0,
так что R полурекурсивен относительно Е. □
В § 9 мы докажем, что функция ср рекурсивна относительно
Е в точности тогда, когда ее график является Прмножеством.
5.4.	Второй тип функционалов, который мы собираемся рас-
смотреть. происходит от понятия квантора.
Квантором на множестве А называется семейство О под-
множеств множества А со свойством монотонности:
X<=Yc=A AXg=Q=>Yg=Q.
Для исключения тривиальных случаев мы предполагаем также,
что 0 5=0^ множество-степень множества А. Обычно при
работе с кванторами употребляются эквивалентные друг другу
обозначения:
{х: /?(x)}eQ<=>Q({x: Я (х)})<=> QxP(x).
180
ГЛ. 6 РЕКУРСИЯ В ВЫСШИХ ТИПАХ
Квантор, дуальный к квантору Q, определяется так:
Qx/?(x)<=>nQxl/?(x),
т. е.
Xe=Q<=>(4-X)<£Q.
Конечно, стандартными примерами кванторов являются
квантор существования В = Вд = {X А: X =А= 0} и дуальный
к нему квантор всеобщности V = \?д = {Л}. Другим интересным
квантором является квантор Суслина (зависящий от кодирова-
ния кортежей на Л),
^х/?(х)<=> Vx0VXi ... B£/?«x0, •••, **)).
Каждый квантор Q может быть естественным образом
отождествлен с объектом Fq типа 2, определенным следующим
образом: для всюду определенной f: Л->со
0, если Qx (f (х) = 0),
1, если Qx (f (х) 0).
FQ(f) = {
При этом отождествлении Е соответствует 3 и Е[ соответ-
ствует Конечно, существует много объектов типа 2, кото-
рые не соответствуют никаким кванторам.
Каждый квантор Q приводит также .к другому функционалу
Fq сигнатуры (0, 1):
0,
FS(f) = { 1,
если Qx (f (х) = 0),
если Qx (f (х) #= 0),
4 не определено в остальных случаях.
Например (напомним, что Е3 = Е),
' 0, если Зх (f (х) = 0),
E*(f) = * К если Vx(f (х)	0),
не определено в остальных случаях.
Ясно, что Fq является ограничением Fq на всюду опреде- .
ленные /: А-*®, и нетрудно убедиться, что Fq рекурсивен от-
носительно Fq, Е*. Действительно,
Fq (f) = Fg(f)-T(f),
где
( 1, если f всюду определена,
( не определено в противном случае.
§ 6 ТЕОРЕМА О ПОШАГОВОМ СРАВНЕНИИ
181
Далее, Ф рекурсивен относительно Е4, поскольку Ч7* (/) =
= Е* (Лх (f (х) + 1)). В частности, Е рекурсивен относительно Е*,
так что каждая функция, рекурсивная относительно Е, рекур-
сивна также относительно Е*. В общем, для большинства мно-
жеств А существуют функции, рекурсивные относительно Е*,
которые не рекурсивны относительно Е. Исключением является
А — со, в этом случае классы функций, рекурсивных относи-
тельно Е и Е*, совпадают с классом функций, имеющих
П}-график; см. 5.3 и 9.5.
Для знакомых с теорией индуктивной определимости упо-
мянем, что если 91 = (Д, /?ь ..., /?/) является допустимой
структурой, то предикат на А полурекурсивен относительно
Fq, Е* и характеристических функций для =, /?ь	в том
и только в том случае, когда он абсолютно ^(СО-индукти-
вен. Определения см. у Московакиса [2].
Рекурсия относительно Fq и Fq для кванторов Q на со была
введена Хинменом [1], где также установлены их основные
свойства (включая соответствующий вариант теоремы 7.2 в кон-
тексте рекурсии относительно Fq). См. также А цел [1].
§ 6. Теорема о пошаговом сравнении
6.1. Пусть Ф(х, f) будет оперативным функционалом на А.
Рассмотрим Ф°°(х) и свяжем с каждым х, для которого Ф°°(х)
определено, ординал
| х |ф = наименьшему £ такому, что Ф*(х)
Условимся также полагать
IX |ф = ОО = card (Л)4*,
если Ф°°(х) f, где
f (х) | <=> f (х) не определено.
Таким образом,
|х|ф<оо^Ф“(х)1.
Теперь для двух данных оперативных функционалов положим
х<ф ^<=>Ф°°(х)| Л|х|ф<|£|,р,
ф, чгУ Ф 4 Л I х |ф < | у г-1 х |ф <С | у |у,
и пусть
О, если X wy,
1, если у <'^фх;
%(*> £) =
182
ГЛ. 6 РЕКУРСИЯ В ВЫСШИХ ТИПАХ
мы называем % частичной функцией пошагового сравнения для
Ф и Т.
Если Ф, 4е принадлежат некоторому подходящему классу 3^
то естественно спросить, является ли соответствующая % 3^-ре-
курсивной. Это не так в общем случае, но выполняется, если
Ф и являются нормальными в соответствии со следующим
определением, данным Московакисом [4].
6.2.	Определение. Пусть Т будет классом функциона-
лов на А и Ф(х, ^ — функционал из ST. Мы называем Ф нор-
мальным относительно если существует ^-рекурсивный
функционал Дф(х, f, 6), принимающий только значения 0 и 1,
такой, что:
(i)	если Ф(х, f f {у: б(у) = О}) то Дф(х, f, б) = О,
(И) если 6 всюду определена, {у: б(р) = О} s domain (f) и
Ф(х, f Г {У- Ш = 0}) t то ДФ(х, f, б)= 1.
Здесь векторные обозначения используются с очевидным
смыслом: если f = (fi, ...» fm)^^klX • •X^k^ то
б = (бь ..., 6т) также пробегает X • • • X
f t W- 6 (у) = 0} = (Л | {у1:_б1 (у{) = 0}, ..., М {ут: С{ут) = 0})
и {у: б(у) = О} s domain (f) означает, что для всех 1 i т
{Si- (yi) = 0} = domain (/,).
Мы называем класс функционалов нормальным, если каж-
дый функционал из нормален относительно ST.
Следующий результат принадлежит Московакису [4] и
доказывается по образцу доказательства Ацелом и Кюненом
аналогичного результата в теории позитивной элементарной ин^
дуктивной определенности, см. Московакис [2].
6.3.	Теорема о пошаговом сравнении. Пусть ST
будет подходящим классом функционалов на А, а Ф(х, f) и
g)—два функционала из которые нормальны относи-
тельно ST, тогда функция пошагового сравнения для Ф и Т яв-
ляется -рекурсивной.
Доказательство. Пусть Дф(х, f, б) и Дт(у, g, е) будут
функционалами, связанными с Ф и Т в определении нормаль-
ности 6.2. Мы найдем функционал Х(х, у, h) со значениями 0
и 1, неподвижная точка Х°° (х, у) которого будет иметь то
свойство, что если х*Сф wy, то Х°°(х, //) = 0, а если у фх,
то Х°°(х, у)—\. Из этого мы можем легко получить функцию
пошагового сравнения
__ГФ°°(х)-0, если Х°°(х, j/) = 0,
%(х, у) — |	если х°°(х,у)=1,
где (р (а) = 1 для всех а.
§ 6 ТЕОРЕМА О ПОШАГОВОМ СРАВНЕНИИ
183
-q/i(z) = |
Эвристически / находится следующим образом: опуская ин-
дексы для упрощения обозначений, имеем
х<ф.^<=>Ф151(х)1^>Ф(х, Ф<|Л)|
<=>Ф(х, Ф“Нх': in <\у |})
Теперь
| х' I < 1у 1=>Ч',я',(ё) t оЧ(у, ЧГ<|Г|) t.
Таким образом, полагая
1, если h(z) — 0,
О, если Л(5)=1,
мы имеем
Х(х, у) = 0=>Ф(х, Ф°°Цх': Ч(у, ТП{£': I у' I < I х' |}) f ВI
=>Аф(х, Ф°°, Лх'ЙАт(у,	П)) = 0.
Аналогично
у) = 1 =>АФ(х, Ф°°, Лх'й Ат («7, Ч*'00, Ц'Ь'/Лх', /)))=!.
Поэтому, если Ф°°(х)| или 4го0 (у) |, имеем
Х(х, у) = АФ(х, Ф°°, Kx'-^kvty, 4го0, Х77'пх(*'. S')))-
Это подсказывает определение
Х(х, у, Л) = АФ(х, Ф°°, Лх'пДт^, 4f<’°, Ky'^h(x'. у'))).
Ясно, что X является ^"-рекурсивным функционалом по тео-
реме 3.2 о подстановке, поэтому по теореме 3.3 о полноте
Х“ (х, у) также ^"-рекурсивен. Для доказательства того, что Х°°
обладает требуемыми свойствами, доказываем сначала ин-
дукцией по что
Л|х|ф = 5=>Х5(х, «7) = 0,
и затем снова индукцией по g, что
|7<т.Ф*&1У kr = £=^X5(x, #)=1.
Детали мы оставляем читателю. □
Мы сейчас увидим, что все примеры функционалов, которые
мы обсуждали в § 5, приводят к нормальным классам, но сна-
чала установим следующий простой критерий нормальности.
6.4.	Предложение. Пусть Ф будет конечной последова-
тельностью функционалов на А; если каждый функционал
в списке Ф нормален относительно [Ф], то ^~о[Ф] является
нормальным.
Доказательство. Предположим, что каждый функ-
ционал из Ф нормален относительно	Мы докажем, что
184
ГЛ. 6 РЕКУРСИЯ В ВЫСШИХ ТИПАХ
каждый функционал из ^"0 [Ф] нормален относительно [Ф],
индукцией по построению ^[Ф].
Случаи 2.3 (i) — (v), т. е. случаи начальных функционалов,
тривиальны. Например, если Ф(х, /) = /(*), то полагаем
,	( 0, если 6(х) = 0,
Дф(д A б)~ t	А/-Ч , А
(1, если 6(х)=/=0.
Случаи 2.3 (vi), (viii), (ix) и (х) также рассматриваются непо-
средственно. Наконец, в случае 2.3 (vii), предполагая, что для
Ф(а, х, J) и Х(х, f) мы уже нашли Дф, Ах с требуемыми свой-
ствами, и полагая Т (х, /) = Ф(Х(х, f), х, f), определяем
_ .	( Дф(Х(х, f), х, f, д), если Дх(х, f, 6) = 0,
Дт(х, f, 6) = S - -	- _
( Дх(х, А 6),	если Дх(х, А 6)у=0. □
Назовем конечную последовательность Ф_функционалов на А
нормальной^ если каждый функционал из Ф нормален относи-
тельно 5Г0[Ф].
6.5.	Теорема, (i) Для каждой конечной последователь-
ности F объектов типа 2 на. А расширенная последователь-
ность F, Е является нормальной.
(ii) Пусть Q будет квантором на А; тогда Fq нормален. _
Доказательство, (i) С каждым объектом F типа 2 из F
свяжем один и тот же
Дг(А б)= 1 — jE(Xx(l -6(х))),
где
( 1, если а = 0,
( 0, если а =А О или а ф ®.
* (ii) Пусть Q будет	квантором	на А, а	_4t Ф = Fq — соответ-
ствующий функционал.	Положим	сначала	
	1, если	д(х)=#=0,	
Ч^х, f, д) = -	1, если	6(х) = 0,	Нх)¥=0,
и	. 0, если ' 0, если	S(x) = 0, б(х)#=0,	f(x) = O,
Х(х, f, д) = <	1, если	6(х) = 0,	/(х)#=0,
	- 0, если	д(х) = 0,	Цх) = 0.
§ 7 ПОЛУРЕКУРСИВНЫЕ ПРЕДИКАТЫ
185
Теперь положим
Аф(Л 6) =
О, если
О, если
1, если
F&(AxT(x, f, б)) = 0,
Fq (ЛхТ (х, f, б)) = 1 & Fg (ХхХ (х, f, б))= 1,
F& (ЛхФ (х, f, б)) = 1 & Fq (ZxX (х, f, б))= 0.
Чтобы доказать, что Аф годится, предположим сначала, что
Fq(| I1 {х: б(х) = О}) |. Тогда Qx(f(x) = 0 А б(х) = О) либо
Qx(f (х) =/= 0 Д б(х) = 0). В первом случае FQ(Ax4f(x, /, б)) = 0,
а во втором Fq(A.x'F(x, f, б))=1 и Fq(AxX(x, f, б))= 1, так
что в обоих случаях Дф(/, б) = 0. Теперь, если б всюду опре-
делена, {х: б (х) = 0} s domain (f) и Fq (f {х: б(х) = 0}) f, то
обязательно не имеют места ни Qx (f (х) = 0 А б (х) = 0), ни
Qx (f (х)	0 Аб(х) = 0), так что выполняются Qx(f(x)=#=
¥= 0 V f (х) f V б (х) =/=0) и Qx (f (х) = 0 V f (х) f V б (х) =/= 0). За-
мечая, что Дх) f =>б(х) =/= 0, мы получаем, что Ох(Дх)У=0 V
V б (х) 0) и Qx (f (х) = 0 V б (х) =И= 0), так что Fq (А.хТ (х, f, б))= 1
и Fq(AxX(x, f, б)) = 0, т. е. Аф(Л б)=1. □
§ 7.	Полурекурсивные предикаты
7.1.	Пусть будет классом функционалов на А. Напомним,
что в 5.2 предикат R S Ап был назван ST-полурекурсивным, если
он является областью определения ^"-рекурсивной частичной
функции <р: /!"->-©. Назовем предикат R.<= An ^-рекурсивным,
если его характеристическая функция
{0, если R (х),
1, если П/Дх),
является ^-рекурсивной, где 1R = Ап — R.
В этом параграфе мы обсудим некоторые структурные свой-
ства и свойства замкнутости класса ^"-полурекурсивных пре-
дикатов для подходящего нормального ZF. Это изучение будет
продолжено в § 9, после того как мы докажем свойство пере-
числимости.
Для данного предиката R = Ап нормой на R называется
отображение о: R -*• ординалы. Мы условимся также полагать
а(х) = оо = ординалу, большему чем все о(у) для тех у, для
которых R(y), если выполняется П/Дх). С каждой нормой о
на R мы связываем предикаты
х<’уо/Дх) А о(хХст(у),
х <'„yoR(x) А а(х) < а (у) <=> а(х) < а (у).
186
ГЛ. 6 РЕКУРСИЯ В ВЫСШИХ ТИПАХ
Если Г — совокупность предикатов на А и о — норма на /?, то
мы называем о Г-нормой, если и и <* лежат в Г. Гово-
рим, что Г является нормированным, или обладает свойством
предвполнеупорядоченностщ если каждый предикат из Г обла-
дает Г-нормой.
7.2.	Теорема о предвполнеупорядоченности.
Пусть ST будет подходящим нормальным классом функциона-
лов на А. Тогда класс ST-полурекурсивных предикатов является
нормированным.
Доказательство. Пусть /?(х)<=>ф(х) где ср является
^-рекурсивной, и пусть ф(х) = Ф°°(п, х), где	Положим
о(х) = |й, х |ф (см. 6.1). Тогда о является ^-полурекурсивной
нормой на R по теореме 6.3 о пошаговом сравнении. □
Класс Г предикатов на А замкнут относительно V, если для
любых /?, S Ап из Г предикат
(/? V 5)(х)^=>(х) VS(x)
также принадлежит Г. Аналогично для ГА и "1.
7.3.	Теорема. Пусть ST будет подходящим нормальным
классом функционалов на А. Тогда'.
(i)	Класс -полурекурсивных предикатов замкнут относи-
тельно A м V.
(ii)	Предикат R является ^-рекурсивным тогда и только
тогда, когда R и 1R являются SF-полурекурсивными.
Доказательство, (i) Замкнутость относительно А три-
виальна и не требует нормальности, потому что
ф(х)! А Ф(х) | <=Нф(х) + t(x))|.
Для V положим
Я (х) <=> Ф (х) S (х) <=> ф (х)
где ф и ф являются ^-рекурсивными. По теореме о пошаговом
сравнении получаем функцию %(xi,x2), где хь х2^Ап, кото-
рая определена в точности тогда, когда либо ф(Х1)|, либо
ф (х2) |. Тогда
/?(х) V S(x)^=>x(x, х)|,
и все готово.
(ii) Предположим, что R и П R являются ^-полурекурсив-
ными. Пусть R (х) <=> Ф (х) | и П /?(х)«=>ф(х)|, и снова най-
дем ^-рекурсивную х(хь х2) такую, что если ф(Х1)| и ф(х2)^,
то %(хь х2) = 0, а если ф(х2)| и ф(х,)Т, то %(хь х2)=1.
Тогда мы имеем X/?U) = X(*> *)> так что R является ^"-рекур-
сивным. □
f в. ТЕОРЕМА О ПЕРЕЧИСЛЕНИИ
1®7
Например, в силу 6 5 и 5 3 получаем, что предикат на ш ре-
курсивен относительно Е тогда и только тогда, когда он есть
A’i-предикат, т. е. гиперарифметический (Клини [1]).
§ 8. Теорема о перечислении
В этом параграфе нашей целью является доказательство
существования универсальных ^"-рекурсивных частичных функ-
ций для соответствующих Сначала напомним определение.
8.1. Пусть Г будет классом частичных функций (нескольких
переменных) на множестве А таком, что меЛ. Говорим, что IF
обладает свойством перечисления, или IF является а-парамет-
ризуемым, если для каждого п 1 существует некоторая функ-
ция <р(а,X], ..., хп) в Г такая, что класс всех «-местных
частичных функций из IF совпадает с {<ре: е е со}, где для каж-
дой частичной функции f
fe(xi....xn) — f(e, хь .... x„).
Если f = фе, то мы называем e кодом или индексом функции f
(относительно ф). Такая частичная функция ф называется уни-
версальной (для n-местных частичных функций из IF).
В 8.4 мы докажем, что класс ^-рекурсивных частичных
функций обладает свойством перечисления в предположении,
что 3" является подходящим, конечно порожденным и допускает
кодирование кортежей. Теперь объясним эти понятия.
8.2. Пусть дано множество А такое, что Кодирование
кортежей на А—это одно-однозначная функция ^ =< > из
множества всех конечных последовательностей элементов из А
(включая пустую последовательность) в А. С каждым таким
кодированием мы связываем следующие всюду определенные
функции (из А в со) и (всюду определенные) отображения из
А2 или А в А:
0) %Seq W = Xseq W
если Вх0 • • • Эх„_1(х = (х0, ..., х„_1)),
I 1 в противном случае.
(ii)	lh (х) = ih* (х)
( п, если Зх0 ... Зх„_1(х = (х0........xn_ty),
( 0 в противном случае.
(iii)	(x)< = (x)f = /(x, I)
Г Xf, еСЛИ Зхо ... Зх„_](х=—(,Хд, ..., Хл_|))»
( 0 в противном случае.
188
ГЛ. 6 РЕКУРСИЯ В ВЫСШИХ ТИПАХ
(iv)	х * у = х у
' <Хо,	ХЛ_1, f/0, •••» Ут-1>»
если Вх0 ••• Зхп_1(х = (х0, • ••» хп-\))
I	&3yQ ... Эут_{(У = ^ •••» Ут-1))»
О	в противном случае.
(v)	s(x) = s^(x) = <x>.
Теперь для данного класса функционалов ST на А говорим,
что ST допускает кодирование кортежей если %|eq,
Ih^ являются ^-рекурсивными и класс ^-рекурсивных функ-
ционалов замкнут относительно подстановок функций (х)|,
х*ъ у, s^. Это означает, что если‘Ф(х, у, f) является ^-рекур-
сивным и t является любым из этих отображений, то 4r(z, у, f) —
= Ф(/(г), у, f) также является ^"-рекурсивным.
Теперь заметим, что если подходящий класс Ф допускает
кодирование кортежей то можно без потери общности пред-
полагать, что <?? = ( ) совпадает со стандартным кодирова-
нием
....=	• рЬт‘+‘
на <о. Действительно, если мы определим Ф — { }' посредством
{хо, ..., xn_ i)
г((х0.....хп_д), если хотя бы один из х0,	хп_(
не принадлежит о и (х0, х^^ею,
= {	(х0,	Хп_!), если ХОТЯ бы ОДИН ИЗ Хо,	Х„_1
не принадлежит © и (х0,
Pqo+1 • ... • p*"fl+I, если все х( лежат в со,
где г: со-*© — рекурсивная одно-однозначная функция, область
значений которой рекурсивна и не пересекается с множеством
{ро°+1 ... P„™7l+1: п, k0.то допускает также
и . Единственным нетривиальным из того, что нужно про-
верить, является то, что предикат
Р М xLq (X) = О Д V/ < lh* (х) ((х)Г е ®)
является рекурсивным. Для этого заметим, что
V^[xa((x)f)= 1] < lhr(x).
В дальнейшем будем считать, что любое кодирование согла-
§ 8. ТЕОРЕМА О ПЕРЕЧИСЛЕНИИ
189
суется со стандартным на со, так что обозначения вроде
<е0, ...» en-i>, (e)i и т. д. понимаются однозначно, если
ее о. Условимся также, что
<0> = код пустой последовательности = 1.
Заметим, что если ЗГ допускает кодирование то для каж-
дого фиксированного п I класс ^-рекурсивных функциона-
лов замкнут относительно отображения рп(х0, ..., xn_i) —
= <х0, Xn-i>. Класс ^-рекурсивных функционалов замк-
нут также относительно подстановок отображений
, ..	( {(x)i..(х)/),	если 0<г</€=со,
t(x, I, 1) = \ А
<0	в противном случае.
Для этого сначала примитивной рекурсией по / доказывают, что
если Ф(х, у, f) является ^-рекурсивным, то таков же и
Т(х, i, j, z, у, f) = O)(t(x, i, j)*z, у, f),
и затем полагают г = 1 = <0>.
Мы завершаем предварительные сведения для доказатель-
ства теоремы о перечислении следующим определением.
8.3. Пусть ЗГ является подходящим классом функционалов.
Говорим, что ЗГ конечно порожден, если существует конечная
последовательность функционалов Ф и конечная последователь-
ность всюду определенных отображений t =	..., tk), где tt\
; - —
А -> А такие, что & является наименьшим подходящим клас-
сом функционалов, содержащим Ф и замкнутым относительно
подстановок отображений из ?.
8.4. Теорема о перечислении. Пусть ЗГ — подходя-
щий класс функционалов на А. Если ЗГ конечно порожден и
допускает кодирование кортежей, то класс ЗГ-рекурсивных час-
тичных функций обладает свойством перечисления.
Доказательство. Понятно, что достаточно найти ^-ре-
курсивную универсальную частичную функцию ср(е, х) для од-
номестных ^"-рекурсивных функций. Наш план таков: припи-
шем некоторым каноническим образом код (гёделев номер)
ГФП со каждому функционалу Ф из ЗГ\ затем построим ^~-ре-
курсивный функционал U(e, х, [) с одноместной f такой, что
если ГФ(%1 ..., хп, ..., f/n)"l = e, то
Ф(%1, • ••, хд, fi, ...» fm) = U(e> <*ь ..., (fi, ..., fm)),
где , fm) = Ьх(Ji (х), ...,	(х)> и f (х) = f ((х)о, ..., (x)ft_,),
если f:	Мы организуем все таким образом, что
р(гФ(Х1.....х„, f)n) = ra для некоторой рекурсивной р:
190
ГЛ. в. РЕКУРСИЯ В ВЫСШИХ ТИПАХ
Затем} полагая (для g: Я2-»-со)
V (е, x,g) = U (е, х, кх (g (е, <(х)0, .... (х)р (е) ж ,)))),
получаем для каждого оперативного Ф(хь ..., х„, /) такого,
что ГФ"1 = е и р (е) — п,
ф(Хр •••> хп, кх\... x'ng(e, {х\, .... х'))) =
= t/(e> <Х1....(Ч ••• <^(е> <4 •••> <))))
= С/(е, <Х! .... х„>, kx{g{e, <(х)0, .... (x)n_t))))
= V <xi........х„), g),
так что индукцией по g можно доказать, что
(х.....х„)) = Ф5 (Xi....х„),
следовательно,
Vх (е, (х,...х„)) = Ф-(х1......х„).
Тогда
<р(е, X)-V-((C)C, <(е),...WlhM.„y)
является требуемой универсальной функцией.
Способ определения ГФП индукцией по построению 5Г более
или менее очевиден. Затем мы определяем U (е, х, g, f), рас-
сматривая различные случаи е = гФ’\ так, чтобы (7°°(е, х, f) =
= V(e, х, f) обладал требуемыми свойствами. Здесь полезно
заметить, что поскольку ЯГ конечно порожден, существует ко-
нечное число функционалов Фь ..., Фп из ЯГ и всюду опреде-
ленных функций /j, ...» tk таких, что ЯГ является наименьшим
классом функционалов, содержащим Фь ..., Фп, который
замкнут относительно подстановок tx, ..., tk и удовлетворяет
(i) — (ix) из 2.3 и (х) только для Ф,.....Ф„. Действительные
детали построения ясны, но несколько неприятны, и мы их
опускаем. □
§ 9.	Следствия перечислимости
Имеется несколько следствий теоремы о перечислимости,
которые мы рассмотрим в первую очередь. В конце этого па-
раграфа мы обратимся также к некоторым следствиям теоремы
о перечислимости, касающимся структуры полурекурсивных
предикатов.
9.1.	Пусть F— класс частичных функций на А. Универсаль-
ная система для Г состоит из последовательности {<pn}n>i
частичных функций из F такой, что для каждого п <р5
является л +1-местной и универсальной для n-местных ча«
$ 9 СЛЕДСТВИЯ ПЕРЕЧИСЛИМОСТИ
191
стичных функций из F. Мы называем {<pn} хорошей, если для
каждых п, т 1 существует всюду определенная рекурсивная
функция S™(e, ki9 ..., km) на со такая, что для любых
k{, ...,	xb xnt=A
Ф (e, ki, . . ., km> X[, • • •, Xn)
= <pn(Sn(e, ki...km), xi, xn).
Такие функции называем s-m-n-функциями для {q/1}. Теперь
имеет место
9.2.	s-m-n-теор ем а. Пусть & — подходящий класс функ-
ционалов на А, который конечно порожден и допускает кодиро-
вание кортежей. Тогда класс ST-рекурсивных частичных функ-
ций допускает хорошую универсальную систему.
Доказательство. По 8.4 пусть ср(е, х, у) будет ^-ре-
курсивной частичной функцией, которая универсальна для двух-
местных ^-рекурсивных частичных функций. Тогда полагаем
Ф*(е, х1; ...» х*) = <р((е)0, (e)i, <Xi.xfe>),
если допускает кодирование кортежей < >. Пусть
f(x> ^) = фт+п((х)0, •••, (x)m, (z/)o.(y)n-l)
и найдем е0 такое, что
f(x, у) = Ф(е0> х, у).
Тогда
<Srt (в, k{, • • •, km) == <^0,	k\9 • • ., km))
является требуемой s-m-n-функцией. □
Основным следствием s-zn-n-теоремы является
9.3.	(Вторая) теорема о рекурсии. Пусть —
подходящий, конечно порожденный класс функционалов на А,
допускающий кодирование кортежей. Если {ср"} является хоро-
шей универсальной системой для класса -рекурсивных частич-
ных функций, то для каждой ^-рекурсивной частичной функ-
ции ф (а, х) найдется некоторое е е со такое, что
Фе (х) = Ф (е, х).
Доказательство. Пусть е0 будет таким, что Фео(а, х) —
= i|)(S^(a, а), х), и положим e = S}n(eQ, е0). □
Теперь мы можем закончить изучение общих структурных
свойств ^-полурекурсивных предикатов, которое мы начали
в § 7. Говорим, что класс предикатов 8? на А замкнут относи-
тельно -3W, если для каждого Р(х, а) из 91 предикат
3®Р (х) <=> ЗпР (х, п) <=> Зп (п е со Д Р (х, п))
также принадлежит Э?.
192
ГЛ. 6. РЕКУРСИЯ В ВЫСШИХ ТИПАХ
9.4.	Теорема. Пусть ST — подходящий, конечно порожден-
ный класс функционалов на А, который нормален и допускает
кодирование кортежей. Тогда:
(i)	Класс &~-полурекурсивных предикатов замкнут относи-
тельно 3Ф.
(ii)	Частичная функция ф: 4л->со -рекурсивна тогда и
только тогда, когда ее график является ЗГ-полурекурсивным. □
Оба эти результата являются непосредственными след-
ствиями следующей основной леммы.
9.5.	Лемма о числовом селекторе. Если ЗГ — под-
ходящий, конечно порожденный класс функционалов на А, ко-
торый нормален и допускает кодирование кортежей, то для
каждого ЗГ-полурекурсивного предиката Р(х,а) существует не-
которая ^-рекурсивная функция ф такая, что
ЭпР(х, п)=^ф(х)| /\Р(х, ф (х)).
Доказательство. Пусть ф(е, х, а) будет универсальной
^-рекурсивной частичной функцией в силу 8.4. Пусть а будет
^Г-полурекурсивной нормой на W = {(е, х, а): <р(е, х, а) |}, и
пусть %(е, х, а, е', х', а') будет ^"-рекурсивной функцией такдй,
что
(е, х,	х', а')<=>%(е, х, а, е', х'\ а') = 0,
(е'> х', а'} <* (е, х, а)<=>%(е, х, a, е', х', а')= 1
согласно 6.3. Тогда, используя теорему 9.3 о рекурсии, мы мо-
жем найти еесо такое, что если
Р(х, а)<=>ф(е0, х, а)|,
то
Фе(х, а)
' 0,	если
= *< ср(е, х, а + 1)+ 1, если
. О,	если
а е со & % (е0, х, а, е, х, а + I) = О,
ае<о&%(е0, х, а, е, х, а + 1)= 1,
а ф со.
Наконец, положим
Ф(*) = фД-к, 0).
Для доказательства того, что ф годится, заметим сначала, что
если ф(е0, х, а)|, то фДх, а) | или фДх, а + 1)J. Более того,
если фе(х, 6)|, то Фе (х, с) | для всех с Тогда ясно, что
если Заф(г0» х, а)|, то фДх, 0) Пусть а будет наименьшим
таким, что Фе (х, а) определено согласно первому случаю в оп-
ределении; такое а существует, поскольку в противном случае
фе (х, 0) = Фе (х, 1) + 1 «- Фе (х, 2) + 2 = . . . Поскольку фе (х, 1)=
§ 10 ОБЪЕКТЫ ВЫСШИХ типов
193
= Фе(х, Ь) для любого 1 b а, мы имеем фе(х, 0) = фе(х, а) +
+ а = а и ф(е0,	я)|> чем заканчивается доказательство. □
В качестве простого применения мы получаем, что функция
на со полурекурсивна относительно Е тогда и только тогда,
когда ее график является Прмножеством (см. 5.3). Аналогично
для Е*.
Фундаментальная идея доказательства теорем о селекторе
для получения структурных результатов принадлежит Ган-
ди [1].
РЕКУРСИЯ в ВЫСШИХ ТИПАХ
§ 10.	Объекты высших типов над со
10.1.	Для каждого натурального / определим множество
объектов типа j (над со) индукцией:
Г°) = со,
Т’О+п = множеству всех всюду определенных функций из
Т(/) в со.
Мы часто будем использовать переменные az, Pz, у7 с верх-
ними индексами для элементов с указанием их типов, когда
это не ясно из контекста. Элементы множества
г=иг(/)
/
называются объектами высших типов над со.
Точкой называется конечная последовательность х = (хь ...
хп) объектов высших типов; типом type(xb ,хл) точки
(xi, ..., хп) является максимум из типов входящих в нее Xi.
Сцеплением двух точек х = (хь ...» хл) и у = (г/ь ..., ут) яв-
ляется точка
х^у = х, у = (х1..... уь ут).
Мы будем изучать рекурсию в высших типах, применяя уже
развитую теорию к множеству
А = Г* = множеству всех точек
относительно соответствующих классов функционалов на Т*.
Как обычно, мы будем отождествлять одноэлементную после-
довательность (ау) с самим а7, так что имеем Т Т*; в част-
ности, со Г*.
Более того, каждое произведение вида ЗВ = Т^ X • • • X Т^
также содержится в Г*, так что можно представлять частичные
функции
f:
7 Справочная книга, ч. Ш
194
ГЛ 6 РЕКУРСИЯ В ВЫСШИХ ТИПАХ
как частичные функции на 7'*, область определения которых со-
держится в $6. В конечном счете мы интересуемся изучением
рекурсивных частичных функций на таких пространствах. По
определению, если SS = X ... X Х,г и = Y X ... X Ут,
то
%Х<У = Х{Х ... ХХ«ХУ1Х ... X Ут,
так что набор таких пространств, содержащийся в Г*, замкнут
относительно декартовых произведений.
10.2.	Нам потребуются некоторые простые отображения,
вкладывающие в при j^k (функции повышения типа)
и обратные к ним (функции понижения типа). Сначала по-
ложим
их (n) = кт (n), dQ (а1) = а1 (0);
ясно, что
ui, f(0) ->7(1). dQ:
их является одно-однозначной функцией и для всех п
dQ (их (п)) = п.
Теперь по индукции полагаем
а/+2 (a/+i) = хр/+1аж (df (0' + 1))>
dl+i (а'+2) = W+2	(р')),
и легко проверяется, что ui+2 является инъективным вложением
7Ч/+1) в Т</+2) и для всех а/+1 <= Т(/+1)
d/+i(u/+2(a/+1)) = a/+1.
Отображения
uhk. Т(п_+ТМ
dbk*.	(/ <k)
определяются при помощи итерирования этой процедуры, т. е.
u/./+i„u/+i,	dhl+i = db
ui> /+2 = a/+2 0 a/+\ db /+2 = dj о d/+1,
и т. д. Удобно также положить
^/’/=»d/t У »=« функции, тождественной на Т(/).
Теперь все uhk одно-одйозначны и fe(u/’*(a/)) = a/ (/<£,
а/ е Т</>).
§ 11.	Клиниевские классы функционалов на Т*
Теперь мы переходим к главным понятиям, лежащим в ос-
нове теории рекурсии в высших типах.
11.1.	Определение. Класс Ж функционалов на А = Т*
называется клиниевским классом, если он является подходя-
§ 11 КЛИНИЕВСКИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИОНАЛОВ
Нб
щим, содержит функции (i) — (iii) и замкнут относительно пра-
вил (iv), (v). Мы используем переменные х, у, г, ... для эле-
ментов из Г и а, т для конечных последовательностей элемен-
тов из Г* (включая пустую последовательность).
(i)	Функция распознавания типа:
{О, если j е со, хе Г(/),
1 в противном случае.
(ii)	Функция длины.
length(х) = п, если х = (хь ..., xft).
(iii)	Вычисление значения объекта типа 1:
( x(n)t если хеГ(1), песо,
ф(х, п) = < п
(О в противном случае.
(iv)	Вычисление значения объекта типа > 1: Если Ф(х, у, a, f)
лежит в УС\ то для каждого /
. ё. .... s. ( у(МФ(а', у, ст, /)), если г/е7’’/+2>,
W/(y’ F) — ЧЧг/.ст.П — I 0,	есЛи
также принадлежит УС. Понятно, что поскольку у е Т(/+2), то
Т(у, а» f) не определено, если W®(az, у, a, f) не является
всюду определенной.
(v)	Подстановки сцеплений и точечных проектирований'. На-
помним, что отображением сцепления называется всюду опре-
деленное отображение (из Р X Т* в Т*)
1(х, У^х^ у = х, у.
Точечным проектированием называется всюду определенное
отображение из Г*Х Т* в Р, задаваемое так:
( xh если х = (х0, ...» Xn-D, /есо&/<п,
р(х, /) = < п
(О в противном случае.
Используя (iii) и (iv), мы можем доказать индукцией по
/	1, что
( х(у), если хеГ(^,
ф(х, у) = s „
(О в противном случае
также принадлежит УС.
Предположим теперь, что УС — клиниевский класс и
ф: ^->со
— частичная функция на некотором пространстве ЗВ = XiX •••
... ХХг^Р. Говорим, что ср является УС-рекурсивной, если
т
196
ГЛ. 6 РЕКУРСИЯ В ВЫСШИХ ТИПАХ
она ^-рекурсивна (в смысле 2.2), когда мы рассматриваем ее
как частичную функцию на Г*, область определения которой
оказалась содержащейся в это, очевидно, эквивалентно
тому, что существует JJf-рекурсивная функция ср*:	огра-
ничение которой на есть ср. По определению это означает, что
существует оперативный функционал Ф(о, х, f) в УС и нату-
ральные числа пь ..., nk такие, что
Ф(%) = ф°°(Л1, ..., nk, х) (хе ЗС).
Эти частичные функции являются основным объектом нашего
изучения.
Естественно назвать та!Оке частичное отображение
е: ае-+т^
УС-рекурсивным, если существует Jif-рекурсивная частичная
функция
<р:
такая, что
0 (х) = ЛаЛр (а^, х);
аналогично
0: ^^<V = 7’(/l)X ... ХТ(1п)
является УС-рекурсивным, если
0(х) = (е1 (х),еп(х)),
с JJf-рекурсивными 0Ь ..., 0П.
11.2. Пусть УСц будет наименьшим клиниевским классом
на Г*. Более общо, для данного конечного списка функциона-
лов Ф = (ФЬ ..., Фп) на Г* пусть J'/’o[Ф] будет наименьшим
клиниевским классом функционалов, содержащим Фь ..., Фп.
Вместо J^o-рекурсивный мы говорим рекурсивный по Клини и
вместо УС. [Ф]-рекурсивный говорим рекурсивный по Клини от-
носительно Ф.
Например, все отображения и1' kt dj, k, данные в 10.2, яв-
ляются рекурсивными по Клини.
§ 12. Рекурсия по Клини относительно объектов
высших типов и кванторов
Для иллюстрации основных понятий рассмотрим некоторые
интересные примеры рекурсии в высших типах. Здесь наше об-
суждение параллельно проведенному в §§ 4 и 5.
12.1. Каждый объект высшего типа
F = iF^T^ (/>1)
§ 12 РЕКУРСИЯ ПО КЛИНИ
197
может быть рассмотрен как функционал на Г*, где для j 2
( F(f f Г(/-2)), если f f всюду определено,
F (f) = s
(не определено в противном случае
и для j= 1
( F(x), если xgw,
F(x) = \ л
( 0, если х 0 со.
Поэтому мы можем изучать рекурсию относительно фиксиро-
ванного объекта высшего типа F, т. е. [F]-рекурсию. Осо-
бую важность имеют объекты '£ (/^2), которые реализуют
экзистенциальную квантификацию на Г(/-2),
( 0, если Эа/-2(а/~1 (а/~2)) = 0),
)	( 1, если Va/-2(a^"1 (а* -2)) #=0).
Наш первый результат здесь очень полезен — он показывает,
что рекурсия по Клини относительно объекта высшего типа мо-
жет быть определена в терминах (абсолютной) рекурсии по
Клини при помощи подстановки.
12.2. Теорема (Клини [1]). Пусть F = ^F — объект
типа j 1. Частичная функция ср:	является рекурсивной
по Клини относительно F тогда и только тогда, когда сущест-
вует рекурсивная по Клини частичная функция ф:
такая, что для всех х^.35
<p(x) = i|>(F, х).
Доказательство. В одну сторону достаточно связать
с каждым Ф(о, у, o', g) из функционал Ф*(о, o', f, g) из
J?o[F] такой, что
Ф(а, F, о', £) = Ф*(а, а', Лтт'§(т, F, т'), g).
Действительно, если Ф — оперативный функционал, то мы мо-
жем легко доказать индукцией по g, что Ф^(а, F, $') = w=>
=>Ф^(сг, а', Ф°°) = w и Ф*Ца, а', Ф°°) = w =>Ф°° (a, F, o') = w,
так что Ф°° (a, F, а') = Ф*°° (а, а', Ф°°) и, следовательно, Ф°° (a, F, а')
рекурсивен относительно F. Построение Ф* непосредственно
осуществляется индукцией по построению Например, если
Ф(<7» У, g) = g(v, У,
то полагаем
Ф* (<Л а', /, g) = f (а, а'),
а если
Ф(<Ь У, я', £) = £(*, а')
198
ГЛ 6 РЕКУРСИЯ В ВЫСШИХ ТИПАХ
(так что у не входит в g), то полагаем
Ф*(сг, у, a', f, g) = g(<j, ст').
Если же (как в 11.1 (v))
^(ff, у, a', g) = у(ка!~2Ф(а1~2, ст, у, o', g)),
то полагаем
Л*, а', Д £) = Г(ХгФ*(г, a, a', f, g)).
В обратную сторону покажем, что если Ф(а, ^ — функцио-
нал из J4f0 [И то существует функционал Ф*(//, a, g) из
такой, что
Ф (a, Kxg (F, т)) = Ф* (F, a, g).
Тогда для оперативного Ф индукцией по £ получаем, что
Ф^ (о) = Ф*^ (F, о), так что Ф°° (а) = Ф*°° (F, а), и все сделано.
Построение Ф* снова ведется индукцией по построению
Единственный интересный случай — это когда
при /^2
Ф*(У, g) = {
При /= 1
ФЦу, Х) =
у№ ’2g(y, a7"2)),
0,
если
если
Ф = Г; полагаем
ye=T<i\
уФТ™.
12.3. Свяжем с данным
объект типа / + 2:
если у €= Г(1), x e (о,
в противном случае. □
квантором Q на некотором TW
О,
и функционал на Г*
0,
1,
если Qc^ (a^+1 (aJ) = 0),
если Qa^ (a^+1 (a^) =И= 0),
если
'+2^(/)=
если
Qa/ (f(a/) = O),
Qa'tf (a')^0),
не определено в противном случае.
В частности, если Q = B/ — квантор существования на объектах
типа /, то получаем /+2Е и /+2Е* соответственно. Ясно, что,
как и в 5.4, /+2Fq рекурсивен по Клини относительно i+2F%,
/+2£#.
12.4. Нас в основном интересует изучение рекурсии по Кли-
ни относительно функционалов, которые сосредоточены (в смыс-
ле п. 4.1) на
Тт — множеству всех точек типа
для некоторого пг. Все примеры, которые мы привели, вклю-
чаются сюда.
§ 13 НОРМАЛЬНОСТЬ И ПЕРЕЧИСЛИМОСТЬ
199
Предположим, что ф = (фь фп)— конечный список та-
ких функционалов. Тогда легко показать, что все функционалы
из J4f0[Ф] сосредоточенны на Т*т и, более того,
Жо[Ф][Гт=Жо(Гт)[Ф\Гт]у
где	PF] — наименьший подходящий класс функционалов
на Т*т, содержащий все функционалы из Ф, который удовлет-
воряет также условиям (i) — (vi) из 11.1 (ограниченным соот-
ветствующим образом до Т*т).
Как в 4.2, можно легко проверить, что если type(<S?) = O, то
частичная функция f; а рекурсивна по Клини (или рекур-
сивна по Клини относительно некоторого фиксированного
а е Т(1)) в точности тогда, когда она рекурсивна (или рекур-
сивна относительно а) в смысле обычной теории рекурсии.
Снова, как в 5.3, легко проверить, что если type($?) 1 и
R , то R является полурекурсивным по Клини относительно
2Е (или 2Е*) в точности тогда, когда R есть П}-множество.
§ 13.	Нормальность и перечислимость в рекурсии
в высших типах
При изучении рекурсии относительно функционалов Ф, со-
средоточенных на некотором Г™, мы не ожидаем нормальности
на всем Г* в смысле § 6. Поэтому мы вводим простую моди-
фикацию этого понятия, соответствующую этой ситуации.
13.1.	Пусть ЯГ— класс функционалов на множестве А, пусть
w^B^/1 и пусть Ф — функционал. Говорим, что Ф нормален
относительно ЯГ на В, если существует ^-рекурсивный функцио-
нал Дф такой, что Ф f В, Дф f В удовлетворяют условиям (i)
и (ii) из 6.2 (где А заменено на В). Говорим, что ЯГ нормален
на В, если каждый Ф нормален относительно ЯГ на В.
Аналогично предложению 6.4 имеем_
13.2.	Предложение. Пусть Ф = (Фь ..., Фп) — конечный
список функционалов на Т*> сосредоточенных на Т*т. Если
каждый^Ф^ нормален относительно Ж0[Ф, 2Е, ..., mE\ на Tm>
то Жо[Ф, 2Е_, ..., тЕ] нормален на Т*т. (Если ги^1, то имеем
просто Жц [Ф].)
Доказательство. Оно подобно доказательству 6.4.
Нужно рассмотреть добавочные случаи, проистекающие из 11.1,
из которых единственным интересным является 11.1 (iv). По-
этому рассмотрим Ф (х, у, о, f) и предположим, что мы нашли
Дф, удовлетворяющий 6.2, конечно, работающий на Т*т- Далее,
пусть j таково, что j + 2 ту и положим
( у (Ла/ Ф(а^ у, а, f)), если у ® Г</+2),
Т (У> f)=l А
О	в противном случае.
200
ГЛ. 6 РЕКУРСИЯ В ВЫСШИХ ТИПАХ
Поскольку W(y, о, f) j <=> Va' (Ф(а', у, a, f)j) или у Г('+2), по-
лагаем
Дт(у, a, f, б)
_ ( 1 - /+2E(W (1 -- ДФ(а/, у, a, f, б))), если у е= т2\
(О,	если у & ти+2\ □
Назовем конечную последовательность функционалов Ф нор-
мальной на если каждый функционал из Ф нормален от-
носительно ^0[Ф] на Т*т. Замечая, что каждый объект F = i+2F
сосредоточен на Г/ и аналогично для кванторов на T{i\ имеем
следующий аналог теоремы 6.5:
13.3.	Теорема, (i) Пусть F = i+2F — объект типа ^>2;
тогда F, 2Е, ..., '+2Е нормальна на Т/+2.
(ii)	Пусть Q —квантор на TU\ тогда Fq, 2Е, ...» i+2E нор-
мальна на T*i+2.
Мы рассмотрим, как влияет нормальность на структуру по-
лурекурсивных предикатов, особенно в случае рекурсии относи-
тельно объектов высших типов, в § 17.
Теперь мы переходим к доказательству свойства перечисле-
ния в нашей теперешней ситуации. Основным является следую-
щее
13.4.	Предложение. Пусть УВ — клиниевский класс функ-
ционалов на Т*. Тогда У£ допускает кодирование кортежей
на Т*.
Доказательство. Положим
/	\	length (хЛ + 1	length (х ) + 1
.......х„> = 2" • 3	' *' . ... -рп п’ , х,, х2....хя>
где, как обычно,
у, Xi, ..., хп = сцеплению yt Xi, ..., хп = У^Х\ ... хп.
Рутинная проверка показывает, что допускает это кодиро-
вание. □
Из этого предложения и 8.4 следует, что для каждого ко-
нечного списка функционалов Ф на Г* класс частичных функ-
ций на Г*, рекурсивных по Клини относительно Ф, обладает
свойством перечисления. В свою очередь отсюда и из резуль-
татов § 9 мы немедленно получаем следующие теоремы.
13.5.	Теорема о перечислении и s-m-n-т е о р е м а.
Для любого конечного списка ф —(Фь .Фи) функционалов
на Т* и каждого пространства ЗВ можно определить частичную
функцию
qp^: со X SB -> со,
§ 14. ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ДАННОЕ КЛИНИ
201
которая рекурсивна по Клини относительно Ф, причем выпол-
нены следующие условия*.
(i)	Частичная функция ф: й?->со рекурсивна по Клини от-
носительно Ф в точности тогда, когда для некоторого е е со
и всех х^Зв
ф(х) = ф^ (х) = ф^(е, х)
(г. е. каждая универсальна для рекурсии по Клини отно-
сительно Ф на 88).
(ii)	Для каждого пространства 88 типа 0 и каждого су-
ществует всюду определенная рекурсивная функция
S&: соХ<^~>®
такая, что
фа?хУ(е, *1....хт, уь .... уп)
= <py(Sf(e, xh .... хт), у{...уп).
Будем называть систему универсальных частичных функций
{ф^} с этими свойствами хорошей.
13.6.	(Вторая) теорема о рекурсии. Если {ф^}—
хорошая универсальная система, то для любой рекурсивной по
Клини относительно Ф частичной функции ф: соХ^-^со суще-
ствует е е со такое, что
Ф? (х) = Фе(х)=ф(е, х).
§ 14.	Определение, данное Клини
В этом параграфе мы приведем первоначальное определение
рекурсии в высших типах, данное Клини [1]. В следующем
параграфе мы установим эквивалентность этого первоначаль-
ного определения с нашим.
14.1.	В нашей терминологии Клини определяет конкретный
оперативный функционал 0(е, х, f), где е пробегает со, х про-
бегает Г* и f пробегает частичные функции на со X Т*. Затем
он называет частичную функцию ф: <8?-> со рекурсивной, если
для некоторого фиксированного е е со (индекса для ф) и всех
х <— 88
ф(х) = 0°° (е, х).
Таким образом, он в действительности дает одну сводную ре-
курсию (master recursion) и считает рекурсивными все частич-
ные функции (на пространствах), сводимые к ней, вместо
уточнения тех форм индукции, которые разрешены.
Неподвижная точка 0 обозначается так:
И(х) = 0~(е, х).
Далее, легче описывать 0(е, х, f), если писать {е} (х) вместо
202
ГЛ. 6 РЕКУРСИЯ В ВЫСШИХ ТИПАХ
0(е, х, f) в левой части последующих уравнений и снова {е} (х)
вместо f(e,x) в правой части тех же уравнений. Поскольку
Клини отождествляет всякие две точки, которые содержат одни
и те же объекты в одном и том же порядке для каждого фик-
сированного типа (как (n, а, т, а2, р) и (п, а, Р, а2, пг)), в по-
следующих (i) — (ix) будем предполагать, что все точки нахо-
дятся в упрощенной форме, т. е. объекты типа 0 предшествуют
объектам типа 1 и т. д. Таким образом, выражение вроде
(а7, х), где х — упрощенная точка, является сокращенной
записью упрощенной точки, у которой первый объект типа j
есть а7 и которая в остальном совпадает с х. Теперь полагаем
{е} (х) = {е} (х*), где х* — единственная точка в упрощенной
форме, эквивалентная х (например, (п, а, т, а2, p)* = (n, пг, а,
Р, а2)). Определение дается в зависимости от формы е как
кода последовательности и местности arity(x), где
arity(x) = (n0, nb ..., nr\,
здесь r = type(x) и для	= числу объектов типа Z,
входящих в х:
(i)	{е}(п, x) = n + 1, если е = (1, arity(n, х));
(ii)	{e}(x) = q, если е = (2, arity(x), q);
(iii)	{e}(n, x) = n, если e = (3, arity(n, x));
(iv)	{e} (x) = {e2} ({ej (x), x), если e = {4, arity(x), e2);
(v)	{e} (k, t> I, m, n, x)
f если m = n,
= s , ,	, если e = (5, arity (/?,/, Z, zn, n, x));
( / • /, если zn=An,	x J	"
(vi)	{e} (x) = {ej (xj, если e = (6, arity(x), /, k,
где xi содержит по меньшей мере k + 1 объект типа /их полу-
чается из Xi передвижением (й+1)-го объекта типа / из
к началу списка;
(vii)	{е}(п, а, х) = а(п), если е = (7, arity(n, а, х));
(viii) {e}(aJ, х)
= а7 (Za/-2 {ej (а7, а^~2, х)), если е = (8, arity(a/, х), /, е^ и /^2;
(ix) {е}(п, х, у) = {п}(х), если е = (9, arity(n, х, y)t arity(x)).
Как обычно, со всеми е, х такими, что {е} (х) = 0°°(е, х)
определено, мы связываем ординал
|е, х| = наименьшему g такому, что 0Це, х) определено.
14.2.	Читатель, знакомый с работой Клини [1], конечно,
заметил, что определение, данное там, не совпадает в точности
с данным в 14.1. Схема Клини S5 для введения примитивной
рекурсии была заменена первичной функцией (v). Соответ-
ственно нумерация Клини отличается от данной в 14.1. Тем не
§ 15 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ДВУХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
203
менее хорошо известно (и по существу упомянуто Клини [1]),
что оба способа представления определения фактически совпа-
дают в следующем сильном смысле; если {е}'(х) относится
к варианту Клини [1], то существуют общерекурсивные
функции р, q\ (d->(d такие, что {е} (%) = {р(е)}'(х) и {е}'(х) =
= {<7(е)}(х). Доказательство совершенно просто для всякого,
знакомого с работой Клини [1], и мы его опускаем. Мы дали
здесь упрощенный вариант определения Клини, потому что его
легче использовать как технический инструмент, что мы соби-
раемся делать в следующем параграфе.
14.3.	Клини разъяснял свое индуктивное определение как
ведущее к процедуре вычисления для {е}(х), которую мы мо-
жем пояснить на примере, следуя Клини [1] (рис. 2).
{d}(F,n)	{k}(F)
Рис. 2.
Пусть е = <4, <0, 0, 1>, eh е2) и предположим, что F — 2F —
фиксированный объект типа 2. Для вычисления {е} (F) мы
должны вычислить {ej (F) и затем, если это определено,
{е2} (ei} (F), F). Пусть ei = <8, <0, 0, 1>, 2, d). Тогда для вычис-
ления {ej (F) мы должны вычислить {d} (F, п) для всех нею.
Возьмем, например, d = <2, <1, 0, 1>, 3>. Тогда {d} (F, п) = 3 для
всех п. Двигаясь назад по этим шагам, получаем, что
{ej (F) = F (Кп {d} (F, n)) = F (Кп (3)) = k.
Поэтому мы должны теперь вычислить {e2}(k, F). Пусть е2 =
= (9, (1,0, 1), (0, 0, 1)). Тогда для вычисления {е2}(&, F) нужно
вычислить {&} (F). Если это не определено, то не определено и
{е} (F). С другой стороны, если, например, k = (2, (0, 0, 1), 5),
то {/?} (F) = 5, и, двигаясь назад по этим шагам, мы имеем
{e)(F) = 5.
§ 15.	Эквивалентность определения, данного Клини, и нашего
Непосредственно из определения § 14 имеем, что каждая
частичная функция
f:
204
ГЛ 6 РЕКУРСИЯ В ВЫСШИХ ТИПАХ
которая рекурсивна в первоначальном смысле Клини [1], яв-
ляется также рекурсивной по Клини в смысле нашего п. 11.2.
Теперь мы докажем обратное.
15.1.	Характером каждой точки
=	... ХТ^
назовем
ch(x)==ch(^) = </1, ..., jm)
и для каждой конечной последовательности о = (хь ..., хп)
из Г* положим
ch(a) = <n, ch(X|), ...» ch(xn)).
Положим также
о = х1, ..., xn = x^Xz ... -хп = сцеплению точек хр ..., хп.
Наш план состоит в том, чтобы каждому функционалу Ф(а, f)
из сопоставить общерекурсивную функцию рф = р: со->со
такую, что
Фоо(о) = {р(сЬ(о))}(о).
Этого, конечно, достаточно, потому что если <р:	рекур*
сивна по Клини в нашем смысле, то для некоторого Ф(т, х,
е У?о имеем <р (х) = Ф°° (п, х), где п е со*, так что
Ф (*) = {е} (я,
где
e = p(ch (<о‘ХЖ
Для определения рф мы должны будем определить одно-
временно pw для всех «подфункционалов» Т функционала Ф
(которых конечное число).
15.2.	Заметим сначала, что из определения клиниевского
класса получаем, что функционал вида Ф(а, f) лежит в Ж),
если он есть один из функционалов (i) — (vii) или порожден
в соответствии с правилами (viii) — (xii) (неопределяемые обо-
значения таковы, как в 2.3 и 11.1).
п Г 0, если /^со, хе7(/),
(1)	Ф(/, х, о, f) = < ’
I 1 в противном случае.
/..ч _ .	( х, если хее со,
(11)	Ф(х, a, f) = {
( 0, если х ф со.
{х + 1, если х е со,
0, если х ф со.
§ 15 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ДВУХ ОПРЕДЕЛЕНИИ
205
( 0-
(iv) Ф (х, у, о, f) =
1,
. 0
если х = у <о,
если xf у е со, *=#*/,
в остальных случаях.
(v) Ф (т, о, f) = f (т).
(vi) Ф(х, о, f) = length (х).
(vii) Ф(х, у, о, f) = {
если у е Г(1), х со,
(viii) Т(ст, /)==Ф(Х(ст, f), о, /).
в противном случае.
(ix) ЧЦх, aj) =
Ф(<г, 0.
Х(а, f),
0
если х = О,
если х#=0, хей,
в остальных случаях.
/ \ f\ f у(^а'Ф(а', У, о, f)),
(х) Т (у, a, f) = | 0
если у е 7V+2*,
в противном случае.
(xi) ЧЧо, /) = Ф(л|(а), .... лд(а), f).
(xii) Т (х, у, а, /) = Ф (/ (х, у), a, f),
где t — сцепление или точечное проектирование.
Определим множество БиЬ(Ф) подфункционалов функцио-
нала Ф(о, f) следующим образом:
(а)	Если Ф получается по (i) — (vii), то 8иЬ(Ф) — {Ф}.
(Ь)	Если Т получается из Ф, X, как в (viii) — (xii), то
Sub СП = {V} (J Sub (Ф) U Sub (X).
Наконец, положим Ф<(Х, если Фе БиЬ(Х)&Ф =/= X.
15.3. Пр едложение. Пусть Ф(о, f) — оперативный функ-
ционал из Ж$, и пусть Фо, ...» Фс —перечисление всех его под-
функционалов такое, что если Ф, Фу, то i < и ФС = Ф.
Существует общерекурсивная функция р (/, /) на со такая, что
для всех i^c
ф/ (V, ф°°) = {р (<’, ch (т))} (т).
Доказательство. Будем временно называть частич-
ную функцию ф: SB -* со рекурсивной по Клиник если она ре-
курсивна в смысле первоначального определения Клини. Нам
далее потребуются два простых утверждения о рекурсии по
Клинио, которые могут быть легко установлены из определений
(или см. Клини [1]):
(i) Если
Ф^ (е, х) = {е} (х) (х ЗВ),
то {фН является хорошей системой универсальных частичных
функций для рекурсии по Клини0. В частности, имеем вторую
теорему о рекурсии для рекурсии по Клини0.
206
ГЛ б РЕКУРСИЯ В ВЫСШИХ ТИПАХ
(ii) Каждая частичная функция на со, рекурсивная в смысле
обычной теории рекурсии, является также рекурсивной по Кли-
ни0. Обратное также верно, что следует из 12.4 и замечаний
в начале этого параграфа.
Мы определим
р(л 0 = W, о
при помощи второй теоремы о рекурсии для рекурсии по Клини0.
Мы рассматриваем несколько случаев в зависимости от того,
что есть Фх.
Сначала положим р(/, /) — 0, если i > с.
Для i^c определение тривиально, за исключением
случая, когда Фх получается по 15.2 (v), т. е. вычислением зна-
чения. В остальных случаях функция определяется либо
явно, либо рекурсивно через р(/, f), где / < i. Например, в слу-
чае 15.2 (viii) имеем
ФДт, Л = Ф/(фА(т, Г), т, f),
где /, k < i. Тогда имеем
Ф; (т, ф“) = ф, (фА (т, Ф~), т, Ф°°)
= {р (j, ch (0, т))} ({р (k, ch (т))} (т), т)
=={(4, arity (т), p(k, ch(r)), p(j, ch (0, т)))}(т).
Поэтому полагаем p(i, /)=<4, ф(0>	p(j,	где qu
qi — рекурсивные функции такие, что
qi (ch (т)) = arity (т), q2 (ch (т)) = ch (0, т).
Предположим теперь, что Ф, получается по 15.2 (v) и для
упрощения обозначений возьмем о пустым, так что
фг(т, f) = f(T).
Тогда имеем
Ф, (т, Ф°°) = Ф°° (т) = Ф (т, Ф°°)
= Фс(т, Ф“) = {р(С,с11(т))}£).
Могло бы показаться целесообразным положить p(i, t)--
= р(с, /), но поскольку с > /, мы не можем ожидать, что р(/, /)
будет корректно определено таким путем. Тем не менее, если
р — индекс р, мы имеем также
{р(с, ch (т))} £) = {{/)) (с, ch(T))}(T)
= {<9, arity (0, т), arity (т)>} ({р} (с, ch (-г)), т)
= {q (р, ch (т))} (т)
§ 15 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ДВУХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
207
с рекурсивной функцией q, которую нетрудно вычислить; за-
тем положим
Р (i, t)*=q {р, t)
в этом случае. Доказательство будет зависеть от некоторого
дополнительного свойства этой функции q, которое мы ниже
объясним.
По второй теореме о рекурсии для рекурсии по Клини0 су-
ществует индекс р такой, что функция p(i, t) = {p}(i,t) удов-
летворяет всем вышеизложенным требованиям. Ясно, что р
всюду определена.
Чтобы показать, что р годится, докажем сначала индукцией
по что
Фх- (т, Ф< 9 = w => {р (f, ch (т))} (т) = w.
Для этого для каждого фиксированного % мы используем ин-
дукцию по L Детали, которые тривиальны, мы оставляем чита-
телю. В другую сторону, мы покажем
{р (i, ch (т))} (?) = до => ф, (т, Ф°°) = w,
проводя индукцию по ординалу
I р (i, ch (т)), т | = I
(см. 14.1) и для каждого £ рассматривая случаи по L
Единственный трудный случай — когда Фх получается по
15.2 (v). Тогда по определению p(it ch(r)) имеем
{р {I, ch (т))} (т) =*= {q (р, ch (т))} (т)
= {р(с, сЬ(т)))(т).
Более того, всякий естественный выбор функции q обладает
дополнительным свойством — она увеличивает ординал вычис-
ления, т. е.
| р (i, ch (т)), т | = | (? (Д ch (т)), т |
>|<g, arity (0, т), агНу(т)), р(с, ch(r)), т|
> I р{с, сЬ(т)), т|.
Здесь требуется проверка, но она нетрудна и является ключом
к этой части доказательства. Поэтому можно воспользоваться
индукционным предположением, по которому
Фс (т, Ф°°) = 10,
так что
ф. (Т, Ф°°) = Фс (т, Ф°°) w. □
208
ГЛ. 6 РЕКУРСИЯ В ВЫСШИХ ТИПАХ
§ 16.	Теоремы Клини о подстановках
16.1.	Пусть ф(г/, z)—рекурсивная по Клини частичная функ-
ция, и пусть 0: ЗВ — рекурсивное по Клини частичное
отображение в смысле п. 11.1. Рассмотрим вопрос: является ли
Х(х, z) = <p(0(x), z)
рекурсивной по Клини? Без потери общности можно предпола-
гать, что	так что
% (х, z) = qp (Лауф (а7, х), z)
для некоторой рекурсивной по Клини частичной функции ф.
Контрпример из Клини [1] показывает, что нельзя ожи-
дать, что х рекурсивна по Клини при / > 0, даже если 0 всюду
определено. Действительно, пусть Т(т, п)—рекурсивный пре-
дикат на о) такой, что Vn? (m, п) не является полурекурсивным
(т. е. рекурсивно перечислимым). Положим
,, о ч Г 0, если Т (ш, п),
Ф (а2, п, /л) = <
( не определено, если П Т (т, п),
и затем
ф(а2, пг) — а2 (Ллф' (а2, п, tn)).
Тогда ф рекурсивна по Клини. Пусть
0: cd->T<2>
— любое всюду определенное рекурсивное по Клини отобрад$е*
ние. Тогда
ф(0(О), т)
не может быть рекурсивной по Клини, так как в этом случае
она была бы рекурсивной (в смысле обычной теории рекурсии),
поэтому
Р (т) о ф (0 (0), т) | <=>• VnT (m, п)
был бы полурекурсивным, а он таким не является.
Следующая теорема о частичных подстановках очень важна.
16.2.	Теорема (Клини [1]). Пусть ф:	ЗВ -> со будет
рекурсивной по Клини частичной функцией, пусть 0: ЗВвы-
будет рекурсивным по Клини частичным отображением и по-
ложим
%(х, z) = q>(0(x), z);
тогда х имеет рекурсивное по Клини расширение.
§ 16 ТЕОРЕМЫ КЛИНИ О ПОДСТАНОВКАХ
209
Более подробно, существует рекурсивная по Клини частич-
ная функция %*(х, z) такая, что если 0(х) и <p(0(x),z) опреде-
лены, то %*(х, z) определено и
%*(х, г) = ср(0(х), г).
В частности, если и (р, и 0 всюду определены, то % рекур-
сивна по Клини.
Доказательство (схема). Достаточно предполагать,
что	так что
X (х, z) = ср (Ла/(ф (а7, х), z).
Доказательство является типичным примером «метода пе-
реноса индексов», который мы использовали также при уста-
новлении 15.3. В этих рассуждениях одним из наиболее важных
шагов является формулировка желаемого результата в сильной
форме, допускающей доказательство «эффективной трансфинит-
ной индукцией». В нашем случае мы свяжем с каждым j ре-
курсивную функцию Р/(в1,е2,/) такую, что для каждой пары
кодов е2 и точек х, у, z
{ej (у, W ({е2} (а1, х, у, z), z) = {pj (еь е2, ch (х, у, г))} (х, у, г), (*)
как только левая часть равенства определена.
Построение pj проводим индукцией по /, так что фиксируем
некоторое / >0 и предположим, что pQ, ..., Pj_\ уже опреде-
лены и (*) выполнена для каждого из них. (Построение
аналогично построению pj (j > 0) и мы опускаем его.)
Определим
p(ei,e2,t) = pl(el,e2,t)
через ее индекс р с помощью теоремы о рекурсии. Определе-
ние дается в зависимости от индекса е\ соответственно слу-
чаям 14.1 (i) — (ix). Все случаи, кроме (viii), (ix), очевидны,
поскольку p(ei,e2,t) определяется в них явно (и рекурсивно)
и либо абсолютно, либо через р(е', е', /') для < ег
Рассмотрим теперь случай 14.1 (viii). Если t = ch(x,y,z)
для точек х, у, z, где у содержит некоторые объекты типа /+ 1,
то определение p(ei,e2, t) снова тривиально. В противном слу-
чае можно объединить у, z в новую последовательность, так
что без потери общности можно предполагать, что у пуста и
е, = <8, arity (а/+», г), /+ 1, (ei)3>,
так что
{^i}(a/+1> z) = a/+1 (W-1 {(е1)3}(а/+|, а'-1, г)).
Фиксируем х и г, и пусть
р/ + ‘ — Kai {е2} (а', х, г);
210
ГЛ. 6 РЕКУРСИЯ В ВЫСШИХ ТИПАХ
тогда ясно, что
{ei}(₽/+1, 2) = {е2}(Ш-> {(бШФ'Ч z), х, z).
Теперь
P/+1 = W {q (е2)} (а7, х, а/"1, г),
где q рекурсивна, так что
{(ei)3}(3/+1, а/_|, z) = {(ei)3} (W {q (e2)}(ai, x, a/"1, z), ai~', z)
= {р((«1)з, <l(e2), ch(x, a/-1, z))}(x, a'-‘, z)
в предположении, что p определена и обладает требуемыми
свойствами па (е^з, q(ez), ch(x, a/_|, z); мы докажем это, когда
подойдем к доказательству того, что наше определение годит-
ся, но заметьте, что | (ei)3, Ka'{q(e2)} (cd, х, а/-1, г),
< |еь p/+1, z\.
Для упрощения обозначений положим
d = Р«в1)з. Я te2), ch (х, а/-1, z)),
так что имеем
{^1} (₽/+1, z) = {e2} (W'1 {d} (х, а/"1, г), х, г).
Теперь мы уже свели задачу вычисления {ej (0/+I, z) к подста-
новке меньшего типа, именно, вставке Ха7-1 {rf} (х, а/-1, г)
в {^2} (а7, х, z). Это не является вполне корректной формой
применения р/_ь но, вводя рекурсивную г (как мы делали
раньше с р), положим
{d} (х, a/”1, z) = {г (d)} (а/”1, х, z)
и имеем
teJ (₽/+1, z) = {е2} (W"1 {r (d)} (а/-1( x, z), x, z)
= {Pi-i (e2, r (d), ch (x, z))} (x, z).
Наконец, мы устанавливаем
P tei, e2, 0 = pj^i (e2, r (d), ch (x, z)),
где, конечно, ch(x, z) = t.
В случае 14.1 (ix) мы определяем p(ebe2, t) через индекс p
функции p, как в доказательстве 15.3. Детали мы опускаем.
Доказательство того, что р всюду определена, точно то же,
что и в 15.3.
Чтобы показать, что р удовлетворяет (*), индукцией по
I е1( у, Ка1 {е2} (а1, х, у, z), z | = £
и для каждого £ рассмотрением случаев по ei проверяем, что
{ej (у, Ка1 {е2} (а1, х, у, z), z) = w
=>{р tei, е2, ch (х, у, z))} (х, у, z) = да. (**)
§ 16 ТЕОРЕМЫ КЛИНИ О ПОДСТАНОВКАХ
211
Опять единственным трудным случаем является 14.1 (viii), и
доказательство в этом случае может быть легко извлечено из
анализа, который мы проделали выше. □
Обращение (**) для />0 нельзя доказать, даже предпо-
лагая, что Ха; {е2} (а7, %,«/, z) всюду определена, в силу контр-
примера, который мы дали в 16.1. Для / = 0 можно проверить,
что
{р(е{, еъ ch (%, у, z))}(x, у, z)=w=>{el}(y, кп{е2}(п, х, у, z), z) = w,
индукцией по |p(ej, е2, ch (%, у, г)), х, у, z|, так что имеет место
16.3.	Теорема (Клини [1]). Если type(^/) = 1, <р: X
— рекурсивная по Клини частичная функция и 6:
— рекурсивное по Клини частичное отображение, то
существует рекурсивная по Клини функция %* (х, z) такая, что
как только 0(х) определено, то
%*(х, z) = <p(0(x), z).
В частности, если 0 всюду определено, то <p(0(x),z) рекурсивна
по Клини.
Снова контрпример, подобный приведенному в 16.1, показы-
вает, что предположение, что 0(х) определено, необходимо.
Наш последний результат в этом параграфе показывает, что
полная подстановка такая, как в 16.3, допустима в любом типе,
если есть объект достаточно высокого типа. Этот факт будет
весьма полезным впоследствии.
16.4.	Теорема (Клини). Пусть <р. X ->со— рекур-
сивная по Клини частичная функция, 0:	— рекурсивное
по Клини частичное отображение и положим
Х(х, z) = ([(0(x), z).
Для каждого m typeсуществует рекурсивная по Клини
частичная функция yf(am,x,z) такая, что для всех объектов ат
типа m и всех х таких, что 0(х) определено, имеем
Х(х, z) = x*(am, х, z).
В частности, если 0 всюду определено, то х рекурсивна отно-
сительно каждого объекта типа ^type(^).
Доказательство (схема). Предположим без потери
общности, что	так что 0(х) — ЛоЛКа', х). Сначала
рассмотрим случай m = j + 1.
Снова используя «метод переноса индексов», показываем,
что существует всюду определенная рекурсивная функция р та-
кая, что если	х) всюду определена, то для любого а"
{е} (у, А,<х'-ф (а', х), z) = {р (е, ch (х, у, z))} (am, х, у, z).	{*)
212
ГЛ fi РЕКУРСИЯ В ВЫСШИХ ТИПАХ
Определение р проходит по образцу доказательства 16.2, но
нам не нужна индукция по /, поскольку мы можем теперь ис-
пользовать 16.2.
Как и в доказательстве того результата, рассмотрим толь-
ко интересный под случай случая 14.1 (viii), когда е таково,
что
{е} (ЛаМ|) (а/, х), г) = ф(Ла/~1 {(е^з) (Ла/ф (а^, х), а/"1, г), х);
если р определена и имеет требуемое свойство на (ei)3, то это
выражение равно
{p((ei)3, ch(a^“1, г, х))} (am, а7""1, г, х), х)
= ф (W “l {d} (a71, a^1, г, х), х),
где
d = p((e{)3, ch (а/"1, г, х)).
Используя 16.2, можно найти всюду определенную рекурсивную
функцию h такую, что
ф (Ла/-1 {d} (ат, а/”1, г, х), х) = {Л(й, ch(x, z))}(aw, х, г), (**)
как только
f = W "1 {d} (am, а^-1, г, х)
всюду определена и левая часть равенства (**) определена. Те-
перь осталось видоизменить правую часть (**) так, чтобы она
была определена, только когда f есть всюду определенная функ-
ция, и именно в этом месте используется наличие аргумента а'”.
Найдем всюду определенную рекурсивную функцию Л' та-
кую, что
{h' (d, ch(x, z))} x, z)
( {h (d, ch (x, z))} (am, x, z), если am (f) |,
( не определено	в противном случае,
и положим в этом случае
р (е, /) = Л' (р((в1)3, (/)),/),
где q рекурсивна и такова, что
q (ch (х, г)) = ch (а* г, х).
Заметим здесь, что /г' может быть выбрана так, что
| h' (d, ch (х, г)), am, х, z | > | d, ат, a^1, г, х I для всех а/-1.
При таком определении нетрудно проверить, что
{е} (#, Ла'ф (a7, х), z) = w => {р (е, ch (х, у. z))} (am, х, у, z) — w9
§ 16 ТЕОРЕМЫ КЛИНИ О ПОДСТАНОВКАХ
213
индукцией по | е, у, Ла7ф (а7, х), z | и обратную импликацию индук-
цией по | р(е, ch (х, у, z)), а"1, х, у, z |; обе при условии, что
Л,а7<ф (az, х) всюду определена.
Для доказательства общего случая, когда
+ 1,
достаточно установить следующее утверждение:
Лемма. Для любой рекурсивной по Клини частичной функ-
ции <р (<хЛ х) частичная функция
ф (a>+1, х) = <p(d/(a*+1), х)
также рекурсивна по Клини. (Здесь dj — это функция пониже-
ния типа из 10.2.)
Доказательство. Используем индукцию по /. Для каж-
дого фиксированного / снова применяем «метод переноса ин-
дексов». Затруднительный случай 14.1 (viii) рассматриваем
просто, заметив, что если
<р (а^, х) = а* (Ха/-2% (а>, а^-2, х)),
то
<p(dz(a/+1), x) = dz	а/-2, х))
= a/+1(u/ (Ка^~2%(а^ с^”2, х)))
= а/+Ч^/-1Х(а/, ^2(р/-), х)),
так что можно использовать индукционное предположение о /.
Это завершает доказательство леммы и нашу схему дока-
зательства теоремы 16.4. □
16.5.	Как простое следствие этих теорем о подстановках мы
теперь можем получить следующие факты об относительной
рекурсии по Клини. Пусть F G для любых двух объектов F,
G означает, что F рекурсивен по Клини относительно G, т. е.
для некоторой рекурсивной по Клини частичной функции <р и
всех
F(a/) = <p(G, а1).
В силу 16.2 является .транзитивным отношением. Это
позволяет определить отношение эквивалентности
F = GoF^G AG^F.
Если F = G, то говорим, что F и G имеют одну и ту же кли-
ниевскую степень. Если F G, то каждая всюду определенная
рекурсивная по Клини относительно F функция также рекур-
сивна по Клини относительно G. Это также выполняется для
частичных функций (по 16.4) при условии, что type(F)^
type(G).
214
ГЛ 6 РЕКУРСИЯ В ВЫСШИХ ТИПАХ
§ 17.	Сечения и оболочки
17.1.	Точечным множеством типа k>0 называется подмно-
жество R ЗВ пространства типа k—1. Например, точечные
множества типа 1—это подмножества (ол для некоторого п.
Если R^3B является точечным множеством, то пишем взаимо-
заменяемо
№ R <=> R (х).
Точечным k-классом называется семейство точечных множеств
типов ^.k. Для данного конечного списка функционалов Ф
k-оболочкой Ф, символически
*еп(Ф),
называется точечный fe-класс, состоящий из тех точечных мно«
жеств типов которые полурекурсивны по Клини относи-
тельно Ф, т. е. являются областями определения рекурсивных
по Клини относительно Ф частичных функций, k-сечением Ф,
символически
JSC (Ф),
называется точечный &-класс, состоящий из тех точечных мно-
жеств типов ^.k, которые рекурсивны по Клини относительно
Ф, т. е. их характеристические функции рекурсивны по Клини
относительно Ф. Например, из 12.4 следует, что для k= 1, 2
^en(2f) —все точечные Прмножества типа
fcsc(2i?) —все точечные Дрмножества типа
Остаток этой главы мы посвятим изучению свойств оболо-
чек и сечений объектов высших типов. В общем случае нельзя
утверждать никаких интересных результатов о структуре feen (F),
если только F не является нормальным на П-i. По тео-
реме 13.3 (i), если F = (Fh ..., FJ и m = max {type (Fz): z =
= 1, ..., h}^2, to F, 2E, ..., mE нормальна на поэтому
мы ограничимся изучением feen(F, 2£, ..., тЕ) для fe^m+1.
Заметим здесь, что если	то 1Е^.тЕ, поскольку }Е =
= dj. т(тЕ) (в обозначениях 10.2), так что ^en(F, 2Е, ..., тЕ) =
= feen(F, ,пЕ). Более того, мы можем закодировать все объекты
из F единственным объектом G типа т так, что feen(F, тЕ) =
= feen(G, тЕ). Это осуществляем, поднимая до т тип всех объек-
тов F (при помощи и^т) и затем используя простую спариваю-
щую функцию для объектов типа т, например (Fb F2)(a/n-1) =
§ 17 СЕЧЕНИЯ И ОБОЛОЧКИ
215
= {Р\ (а"1""1), Р2(ат~{У). Поэтому мы будем отныне изучать только
*en (F, тЕ)
для type(F) = m 2 и k ^пг 4-1. Ниже мы суммируем основ-
ные свойства этих оболочек, которые вытекают более или ме-
нее непосредственно из того, что мы уже доказали.
17.2.	Пусть Г — точечный &-класс. Говорим, что Г замкнут
относительно З7, если для каждого R <3? X из Г точечное
множество
Р(х)<=>3а7/?(х, а7)
также принадлежит Г. Замкнутость относительно V7 и V, А
определяется таким же образом. Говорим, что Г замкнут отно-
сительно подстановки всюду определенных рекурсивных по
Клини отображений, если он содержит все рекурсивные по
Клини точечные множества типов ^k, и как только 0: Зв
всюду определена и рекурсивна по Клини при условии type(^),
type(^) < k и R(y, z) принадлежит Г, то
Р(х, z) <=> /? (0 (х), z)
также принадлежит Г. Говорим, что Г обладает свойством пе-
речисления, или является (^-параметризованным, если для каж-
дого Зв типа существует некоторое W £шХ Зв такое, что
для всякого /? Зв
/?еГ^Зе(/? = 1ГД
где We={x: W(e, х)}. Наконец, говорим, что Г нормирован,
или обладает свойством предвполнеупорядоченности, если каж-
дое /?еГ допускает Г-норму (определение см. в 7.1).
Теперь мы имеем следующий результат, наиболее важное
утверждение которого, а именно предвполнеупорядоченность и
замкнутость относительно 3°, принадлежит Ганди [1] для
пг = 2, Платеку [1] иМосковакису [1] для пг 3 (до-
казательство уМосковакиса [1] дается только для пг = 3,
Г р и йо [1] расширил его на все пг).
17.3.	Теорема. Пусть F = mF — объект типа ш^2. Пусть
Г = ken (F, mE) для 1 k m 4- 1. Тогда'.
(i)	Г замкнут относительно подстановки всюду определенных
рекурсивных по Клини отображений, Д, V, 3°, V7 — 2),
нормирован и обладает свойством перечисления.
(ii)	Функция f: Зв-+(й> где type(<^) < &, рекурсивна по
Клини относительно F, тЕ тогда и только тогда, когда график
f принадлежит Г. В частности, точечное множество К^Зв типа
рекурсивно по Клини относительно F, тЕ тогда и только
тогда, когда и R и Зв — R принадлежат Г.
216
ГЛ 6 РЕКУРСИЯ В ВЫСШИХ ТИПАХ
Доказательство. Замкнутость относительно подста-
новки всюду определенных рекурсивных по Клини отображений
следует из 16.4. Замкнутость относительно A, V,B° вытекает
из 13.3, 13.4, 9.4 и 7.3. Для замкнутости относительно V7 (/^
— 2) заметьте, что если ср(х, а1')—частичная функция, то
Va7 (<р(х, a7)	/+2£ (W<p(x, а7))|.
Нормальность и перечислимость следуют из 13.3 и 13.5. Нако-
нец, (ii) получается, как в 9.4. □
§ 18.	Индуктивный анализ полурекурсивных множеств
Здесь мы дадим индуктивный анализ точечных множеств из
feen(mF, тЕ), который оказывается ключом ко многим дальней-
шим структурным свойствам оболочек. Некоторые его непосред-
ственные применения к проблеме замкнутости оболочек относи-
тельно высшей экзистенциальной квантификации будут даны
в следующем параграфе.
18.1.	Оператор
Q: Pow(^)->Pow(^)*)
на Зв называется монотонным, если
Для таких операторов индуктивно определяем:
Q5 = Q (Q<’), где Q< Е = U й”.
и полагаем Q°°==	= наименьшей неподвижной точке Q.
£
Если s ЗВ и — два точечных множества, то гово-
рим, что R сводится к S, если существует всюду определенная
рекурсивная по Клини функция 0: Зв-+0/ такая, что
<=>S(0(x)).
18.2.	Теорема (Московакис [1]). Пусть F = mF —
объект типа m 2 и m — \ k m Каждый Р е
e*en(F, mE) сводится к неподвижной точке Q°° некоторого мо-
нотонного оператора Q на пространстве типа <Zk, имеющего
вид
x<=Q(S)<=>Vy(R(x, y)^yeS},
где R е ften (F, mE).
Доказательство (набросок). Для упрощения обозна-
чений положим G=<F,mE>. Тогда ^en(G) = &en(F, mE), так
*) Символом Pow (X) обозначается множество всех подмножеств мно-
жества X. — Прим. ред.
$ T8 АНАЛИЗ ГТОЛУРЕКУРСИВНЫХ МНОЖЕСТВ
217
что дальше работаем с G. Рассмотрим только случай k = т— 1,
так как остальные случаи подобны и несколько проще. Будет
также удобно работать с единственным стандартным простран-
ством ЗВ = Т^т~2> типа т — 2, и для этого мы кодируем конеч-
ные последовательности объектов типа — 2 при помощи
объектов типа т — 2 следующим образом: если а7 — объект
типа — 2, то полагаем
а/ = w/’m“2(a/).
Если а0> • • •,	— конечная последовательность объектов
типа — 2, то полагаем
<(Хо,	a„_1> = Xam-3«a0(a'n-3), .... a„_! (crm~3))).
Декодирующие функции определяются теперь следующим об-
разом: для любого объекта ат~2 полагаем
(am-2)f = Aazn“3((am~2(am”3))/)
и для любого j т — 2 полагаем
Далее, если / = type (а,), то имеем
((ао, ..а„_1»{ = а{.
Ясно, что все эти кодирующие и декодирующие функции всюду
определены и рекурсивны по Клини. (Эти определения были
даны для т > 2. Мы оставляем читателю сделать тривиальные
модификации, необходимые для т — 2.) Следуя Клини [1] и
Грийо [1], будем сокращать
{е}[а—2, а-] = {е}((а—2)«.....(ат-%_Р
•<“"4.......................
если е является индексом частичной функции, имеющей k{ аргу-
ментов типа I т — 2 и один аргумент типа т. Легко видеть,
что для подходящей рекурсивной по Клини функции <р
{<?} [ат~2, а”1] = <р (е, а'”-2, а"1).
Положим
W = {(е, am-2): {е}[ат~-, G] определено}.
Ясно, что достаточно показать, что W — П°° для Q такого, как
в формулировке теоремы.
Будем считать, что каждая пара (е, ат~2) кодирует вычис-
ление {е} [am-2, G] в соответствии с определением Клини из
218
ГЛ 6 РЕКУРСИЯ В ВЫСШИХ ТИПАХ
§ 14. Как в 14.3, для вычисления {еЦа"1-2, G] нужно вычислить
его подвычисления, которые все имеют вид {ez}[Pm~2, и> сле-
довательно, кодируются различными парами (е', Напри-
мер, если е — индекс и (е)0 = 4, то подвычислениями (е, сст-2)
являются ((е)2, а'п~2) и (полагая Z = /?0 + ^i+	+ &т-з)
((е)з, <{(е)2} [a—2, G],
(а-2)“, .... (а-2)^,.......(а-2)Г2,	....
при условии, что {(е)2} [ам~2, G] определено.
Положим
/?((е, ат-2), (d, р"1"2))
<=>(е не является индексом требуемой формы
и e = d, am-2 = pm-2) V ((d, Pw“2) является
подвычислением вычисления (е, ат“2)).
Тогда R полурекурсивен по Клини относительно G. В этом
можно убедиться, заметив, что R определяется разбором
случаев в зависимости от индекса е. Во всех случаях, кроме
(е)0==4, R в действительности рекурсивен относительно G.
В случае, когда (е)0 = 4 и е допускает требуемые типы аргу-
ментов,
/?((<?, a"1”*2), (d, pnx-2))^(d==(e)2 Д pm-2 = am-2)
V (d = (е)3 A Bn ({(e)2} [aw~2, G] = n
Д pm-2 = (n, (a"-2)<>, .... (am-2)ft11_1,
...,(am-2)7"2.................
так что /? полурекурсивен по Клини относительно G. Теперь,
полагая
(е, a'n-2)6=Q(S)^V6/₽'n-2[fl(0?> am~2), (d, &m~2))=>(d, p"-2) s S],
получаем, что W = fl00, что и требовалось. □
§ 19.	Замкнутость относительно высшей
экзистенциальной квантификации
В качестве простого следствия теоремы о представлении 18.2
получается
19.1.	Теорема (Московакис [1]). Пусть F = mF —
объект типа пг^З. Если R em-i en(F, mE), то найдется Р из
§ 19 ЗАМКНУТОСТЬ’
219
т 1en(F, тЕ) такой, что
“|/?(х)<=> 3am~2P(x, am~2).
Доказательство. Пусть 0:	— функция, всюду
определенная и рекурсивная по Клини, ай — оператор на
такие, что, как в 18.2, /?(х)<=Ф Q°°(0(x)). Пусть
£/€= Q (3) <=> Vz (Q (£/, 2)=>2GS),
где Q <= m_ien(F, mE). Заметим тогда, что
ПЙ°°(y)<^3yQy{y2 ... (Уъ = У Л VZQ(r/t-, у/+1)),
так что
П/?(х)<=>Зг/0У1 ... (% = б(*) Л VzQ(#/, #/+i)).
Для завершения доказательства нужно только закодировать
*/о, Z/i, ••• единственным элементом из °Ц. Для этого предполо-
жим без потери общности, что
Су = 7(m-.2)^
и положим
ф (am~2, /) = [am~2]f = Zam-3am-2 ((z,am“3)).
Тогда ф всюду определена и рекурсивна по Клини, и
П7?(х)<=^3а"1“2([а/П~2]о = 0(х) Д VZQ([a^-2]z, fa^-2]/+1)),
что и требовалось. □
Предыдущий результат выполняется также для R е
еп (F, тЕ) — видоизменяем предшествующее доказатель-
ство (см. Московакис [1]), — но нам этот более сильный
вариант не нужен. Заметим также, что если даже m = 2, при-
веденное доказательство показывает, что если например R ш
и принадлежит jen(2F, 2Е), то для некоторого Q(m, п) такого,
что Q en(F, 2Е),
“17? (х) <=> За (а (0) = х Л VZQ (а (/), а (/ + 1))).
Из 19.1 мы теперь получаем
19.2.	Следствие (Московакис [1]). Пусть F — mF —
объект типа m 3, и пусть k^m—1; тогда ken(F,mE) не
замкнута относительноЭт~2.
Как применение 19.1 видим, что для любого каждое
точечное множество типа ^пг — 1, полурекурсивное относи-
тельно тЕ, является рекурсивным относительно тЕ#, поскольку
220
ГЛ 6 РЕКУРСИЯ В ВЫСШИХ ТИПАХ
m_1en(m£*), очевидно, замкнуто относительно Зт В част-
ности,
т_!еп(тЕ) J^^en (тЕ*) для /и>3.
Отрицательная верхняя граница из 19.2 для проблемы замк-
нутости оболочек относительно экзистенциальной квантифика-
ции оказывается наилучшей в свете следующего важного ре-
зультата. Он был объявлен Грийо [3], но впервые корректно
доказан X а р р и н гт о н о м и Маккуином [1].
19.3.	Теорема (Грийо [3], Харрингтон и Мак-
куин [1]). Пусть F = mF— объект типа ш^2. Тогда
m-ien(F, mE) замкнута относительно 3* для любого I <пг —2.
Доказательство 19.3 достаточно длинно и здесь не приво-
дится. Одна из основных его составных частей — это опять ис-
пользование теоремы 18.2 о представлении.
§ 20.	Указания к литературе
Мы дали изложение элементарных частей теории рекурсии
в высших типах. Для читателя, желающего продолжить изуче-
ние предмета сверх изложенного, советуем, что читать дальше.
Мы попробуем покрыть в основном те аспекты рекурсии в выс-
ших типах, которые были введены в этой главе. Это застав-
ляет нас пропустить некоторые очень интересные темы совре-
менных исследований, например теорию непрерывных объектов
и функционалов.
По поводу оснований рекурсии в высших типах читатель мо-
жет обратиться к работам Клини [1], [2] и Платека [1],
а также Ганди [1], где в теорию вводятся фундаментальные
понятия пошагового сравнения и селектора.
Большая часть ранних работ по этой теории была связана
с построением и изучением различных иерархий для сечений
объектов высших типов в духе гиперарифметической иерархии.
Сюда относятся работы: Клини [2], Tyre [1], Ганди [1],
Шенфилд [1], Московакис [1], Грийо [2], Хинмен
[ 1 ], и более современные — Вайнер [ 1 ], [2].
Позднее Сакс положил начало более глубокому изучению
сечений, сосредоточенному особенно на влиянии типа объекта/*’
на структуру его сечений. Он также изучал аналоги многих
широко известных задач теории степеней неразрешимости, вроде
проблемы Поста, для клиниевских степеней. Библиография здесь
включает следующие работы: Сакс [1] — [3] (где доказывает-
ся плюс-один теорема), Маккуин [1], Харрингтон [1] и
Сакс [4]. См. также Грийо [4].
Еще позже изучение структуры оболочек стало другой важ-
ной областью исследования в рекурсии в высших типах. По по-
ЛИТЕРАТУРА
221
воду’этих недавних работ см. Московакис [3], Харринг-
тон [1] (где доказывается плюс-два теорема), Кек рис [1],
Харрингтон и К е к р и с [1] и Н у р м а н [1].
В литературе имеется мало результатов об рекурсии отно-
сительно конкретных объектов высших типов, отличных от тех,
которые мы уже упомянули в этой главе, например FQ, Fq для
различных Q. Исключением является сверхскачок, который
широко изучался; положим
3Stea2) = f0’ еСЛИ
(1, если {е} (a2) |
(Ганди [1]). Хотя 3E^S, рекурсия относительно S обладает
многими интересными чертами; см. Ганди [1], Платек [2],
Ацел и Хинмен [1], Харрингтон [1], [2], где изучаются
также обобщения сверхскачка на более высокие чем 3 типы.
Харрингтон [3], [4] ввел некоторые особенно интересные но-
вые примеры нормальных функционалов, изучение которых вы-
глядит многообещающим.
Возможно, наиболее важная открытая проблема этой тео-
рии является концептуальной, а именно связать рекурсию в выс-
ших типах с другими работами по основаниям и найти ей
должное место внутри теории определимости. В статьях, ука-
занных выше, имеются некоторые инициативы в этом направ
лении, но вопрос в целом еще широко открыт.
Благодарности
Авторы обязаны Л. Кироусису и П. Колаитису за многочис-
ленные ценные комментарии и предложения по поводу более
раннего варианта этой работы.
ЛИТЕРАТУРА
Ацел (Aczel Р.)
1. Representability in some systems of second order arithmetic. — Israel J.
Math., 1970, 8, p. 309—328.
Ацел и Хинмен (Aczel P., Hinman P. G.)
1. Recursion in the super jump. — In: Generalized Recursion Theory/Ed.
J. E. Fenstad and P. G. Hinman. Amsterdam: North-Holland, 1974,
p. 3-41.
Вайнер (Wainer S.)
1. A hierarchy for the 1-section of any type-two object. — J. Symbolic Lo-
gic, 1974, 39, p 88—95.
2. Some hierarchies based on higher type quantification. — In: Logic Collo-
quium ’73/Ed. H. Rose and T. Shepherdson. Amsterdam: North-Holland,
1975, p. 305—316.
Ганди (Gandy R. O.)
1. General recursive functionals of finite type and hierarchies of functio
nals. — Ann. Fac. Sci. Univ. Clermont-Ferrand, 1967, 35, p. 5—24.
222
ГЛ 6 РЕКУРСИЯ В ВЫСШИХ ТИПАХ
Грийо (Grilliot Т. J.)
1.	Recursive functions of finite higher types: Thesis. — Durham (North Ca-
rolina): Duke University, 1967.
2.	Hierarchies, based on objects of finite type. — J. Symbolic Logic, 1969,
34, p. 177—182.
3.	Selection functions for recursive functionals. — Notre Dame J. Formal
Logic, 1969, 10, p. 225—234.
4.	On effictively discontinuous type-2 objects. — J. Symbolic Logic, 1971,
36, p. 245-248.
К e к p и c (Kechris A. S.)
1. The structure of envelopes: A survey of recursion theory in higher ty-
pes.— M. I. T. Logic Seminar notes, 1973.
Клини (Kleene S. C.)
1. Recursive functionals and quantifiers of finite type, I. — Trans. Amer.
Math. Soc, 1959, 91, p. 1—52.
2. Recursive functionals and quantifiers of finite type, II. — Trans. Amer.
Math. Soc, 1963, 108, p. 106—142.
Маккуин (MacQueen D.)
• 1. Post’s problem for recursion in higher types: Thesis. — Cambridge
(Mass): M. LT, 1972
Московакис (Moschovakis Y.)
1.	Hyperanalytic predicates. — Trans. Amer. Math. Soc, 1967, 129, p. 249—
282.
2.	Elementary Induction on Abstract Structures. — Amsterdam: North-Hol-
land, 1974.
3.	Structural characterization of classes of relations. — In: Generalized
Recursion Theory/Ed J. E. Fenstad and P. G. Hinman. Amsterdam:
North-Holland. 1974, p. 53—79.
4.	On the basic notions in the theory of induction. — In: Proceedings of
the Fifth International Congress for Logic, Methodology and Philosophy
of Science, London, Ontario, 1975. Reidel: Dordrecht, 1977. p. 207—236.
Нурман (Normann D.)
1. Imbedding of higher type theories — Preprint Series, 16. Oslo Univer-
sity, 1974.
Платек (Platek R.)
1. Foundations of recursion theory: Thesis. — Stanford (Calif.): Stanford
University, 1966.
2. A countable hierarchy for the superjump. — In: Logic Colloquium ’69/
Ed. R. 0. Gandy and С. E. M. Yates Amsterdam: North-Holland, 1971,
p. 257—271.
Роджерс (Rogers H, Jr.)
1.	Theory of Recursive Functions and Effective Computability. — N Y.:
McGraw-Hill, 1967 [Русский перевод: Роджерс X. Теория рекур-
сивных функций и эффективная вычислимость. — М.: Мир, 1972.]
Сакс (Sacks G. Е.)
1.	Recursion in objects of finite type. — In: Proceedings of the Interna-
tional Congress of Mathematicians. Paris: Gauthiers-Villars, 1971,
p. 251—254.
2.	The 1-section of a type n object. — In: Generalized Recursion Theory/
Ed. J. E. Fenstad and P. G. Hinman. Amsterdam: North Holland, 1974,
p. 81—93.
3.	The ^-section of a type n object. — Amer. J. Math, 1977, 99, № 5,
p. 901—918.
4.	RE Sets Higher up. — In: Proceedings of the Fifth International Con-
gress for Logic, Methodology and Philosophy of Science, London, On-
tario, 1975. Reidel: Dordrecht, 1977, p. 173—194.
Tyre (Tugue T.)
ЛИТЕРАТУРА
223
1.	Predicates recursive in a type-2 object and Kleene hierarchies. — Com-
ment. Math. Univ. St. Paul, 1960, 8, p. 97—117.
Харрингтон (Harrington L. A.)
1.	Contributions to recursion theory on higher types: Thesis. — Cambridge
(Mass.); M. I T., 1973.
2.	The superjump and the first recursively Mahlo ordinal. — In: Generalized
Recursion Theory/Ed. J. E. Fenstad and P. G. Hinman. Amsterdam:
North-Holland, 1974, p. 43—52.
3.	The superjump revisited. — Mimeographed notes, 1974.
4.	The Kolmogorov R-operator and the first non-projectible ordinal. — Mi-
meographed notes, 1975.
Харрингтон и Ke кр ис (Harrington L. A., Kechris A. S.)
1. On characterizing Spector classes. — J. Symbolic Logic, 1975, 40, p. 19—
24.
Харрингтон и Маккуин (Harrington L. A., MacQueen D.)
1. Selection in abstract recursion theory. — J. Symbolic Logic, 1976, 41,
p. 153—158.
Хин мен (Hinman P. G.)
1. Hierarchies of effective descriptive set theory. — Trans. Amer. Math Soc,
1969, 142, p. 111—140.
Шенфилд (Shoenfield J. R.)
1. A hierarchy based on a type-2 object. — Trans. Amer. Math. Soc., 1968,
134, p. 103—108.
Глава 7
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ИНДУКТИВНЫХ
ОПРЕДЕЛЕНИЙ
Петер Ацел
СОДЕРЖАНИЕ
Введение............................................................224
§ 1.	Что такое индуктивные определения?............................ 225
1.1.	Индуктивные определения как обобщенные формальные системы
(225). 1.2. Фундированная часть предиката (227). 1.3. Индуктивные
определения как операторы (229). 1.4. Понятие «доказательство» для
монотонной индукции (231). 1.5. Монотонная индукция и игры (233).
1.6.	Ядра — объекты, дуальные к индуктивным определениям (233).
1.7.	Некоторые примеры индукции в классической математике (235).
§ 2.	Индукция в теории рекурсии..................................... 236	
2.1.	Рекурсивно перечислимые предикаты (236). 2.2. П ।-предикаты
(237). 2.3. Представимость (239).
§ 3.	Классы индуктивных определений................................244
3.1.	Общая схема (244). 3.2. Позитивная экзистенциальная индукция
(246). 3.3. Позитивная элементарная индукция (249). 3.4. Релятиви-
зация относительно нетривиального монотонного квантора (255).
3.5.	Немонотонная индукция (257). 3.6. Индукция и допустимые мно-
жества (260).
§ 4	Индукция в основаниях математики...............................264
Литература.....................................................266
Введение
Индуктивные определения множеств часто задаются нефор-
мально, при помощи некоторых правил для порождения эле-
ментов множества и добавления, что объект принадлежит мно-
жеству, если только он порождается в соответствии с этими
правилами. Эквивалентной формулировкой будет характериза-
ция указанного множества как наименьшего, замкнутого отно-
сительно этих правил.
Конечно, основным примером индуктивных определений яв-
ляется то, которое порождает натуральные числа. Однако ин-
дуктивные определения давно оказались полезным способом за-
дания синтаксиса формального языка. Дальнейшие примеры их
неформального использования можно найти в логика и других
ветвях математики. Пост [1] осознал, что финитарные индук-
тивные определения, используемые при задании синтаксиса лю-
бой стандартной формальной системы, могут быть приведены
к некоторой канонической форме, и общий класс таких индук-
ций можно плодотворно изучать, абстрагируясь от каких бы то
§ !. ЧТО ТАКОЕ ИНДУКТИВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ?
225
ни было конкретных формальных систем. С того времени ин-
дуктивные определения играют важную роль в развитии обыч-
ной теории рекурсии и ее обобщений. В современных работах
имеется тенденция представлять теорию индуктивных определе-
ний, абстрагируясь от исходных интуитивных мотивировок. Здесь
нашей целью является дать введение в предмет, которое свя-
зало бы неформальные примеры с современными формулиров-
ками на языке итераций монотонных операторов. Мы ориенти-
руемся на читателя, знакомого с понятием формальной системы
и элементами обычной теории рекурсии.
Большая часть нашего изложения будет посвящена монотон-
ной индукции и ее роли в расширениях теории рекурсии. Но
в 3.5 мы рассмотрим некоторые работы по немонотонной ин-
дукции и опишем независимые мотивировки, которые привели
к ее развитию. В § 4 мы кратко рассмотрим индуктивные опре-
деления в более общем контексте. Детальное развитие теории
позитивной индукции см. у Московакиса [1]. Несколько
статей по индуктивной определимости можно найти в книге
Фенстада и Хинмена [1]. Среди них есть обзор Ганди
[1] и статьи Ондеро [1], Цензера [1], Рихтера и
А цел а [1]. Московакис [3] дает абстрактный алгебраи-
ческий подход к общей теории, который применим и к моно-
тонной, и к немонотонной индукции, а также к рекурсии в выс-
ших типах.
§ 1. Что такое индуктивные определения?
1.1. Индуктивные определения как обобщенные формальные
системы. Индуктивные определения неоднократно используются,
когда логики описывают синтаксис своих языков. Например,
термы языка первого порядка определяются как наименьшее
множество выражений, содержащее переменные и константы и
замкнутое относительно правила образования термов:
Если /ь ..., tn суть термы и f есть n-арный функциональ-
ный символ языка, то выражение f(/i, ..., tn) есть терм.
Аналогично формулы языка первого порядка определяются
как наименьшее множество выражений, содержащее атомные
формулы и замкнутое относительно различных правил образо-
вания формул для логических символов ~], V, А, Зх, Vx.
Пример, который наиболее полезно рассмотреть для наших
целей — это определение класса теорем формальной системы.
Рассмотрим систему Н гильбертовского типа для логики пер-
вого порядка, использованную в главе 1 «Теории моделей».
Множество Th(H) теорем системы Н определяется там через
понятие «доказательства» в Н. Но Th(H) может быть также
охарактеризовано как наименьшее множество формул, содер-
8 Справочная книга, ч. Ш
226
ГЛ. 7. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ИНДУКТИВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
жащее аксиомы и замкнутое относительно правил вывода. Каж-
дый частный случай правила вывода имеет следующую форму:
(*) Из посылок 0 для 0gX следует заключение ф.
В случае правила modus ponens X состоит из двух посылок гр и
(ф->ф). Частные случаи правила обобщения имеют только
одну посылку. Удобно рассматривать схему аксиом как особую
форму правила вывода, где в каждом частном случае множе-
ство посылок пусто. При помощи этого соглашения формаль-
ная система Н определяет множество Фн пар (А, ф) таких, что
(*) является частным случаем некоторого правила вывода си-
стемы Н. Тогда Th(H)— это просто наименьшее множество,
замкнутое относительно (*) для (X, ф) е Фн.
Обобщая, получаем следующие определения.
1.1.1. Определение, (i) Правило — это пара (X, х), где
X есть множество, называемое множеством посылок, и х— за-
ключение. Правило обычно будет записываться как Х->х.
(ii) Если Ф — множество правил, то множество А называет-
ся Ф-замкнутым, если у каждого правила из Ф, посылки кото-
рого лежат в А, заключение также лежит в А. Будем писать
Ф: Х->х для обозначения того, что правило Х->х принадле-
жит Ф, так что А будет Ф-замкнуто, если Ф: Х-+х&Х^А
влечет х е А.
(iii) Если Ф — множество правил, то 7(Ф), множество, ин-
дуктивно определенное посредством Ф, — это
/(Ф) = ПМ|А является Ф-замкнутым}.
Замечание. Ф-замкнутые множества существуют, напри-
мер множество всех заключений правил из Ф. Кроме тоге, пе-
ресечение любого семейства Ф-замкнутых множеств также
Ф-замкнуто. В частности, /(Ф) является Ф-замкнутым, и, сле-
довательно, /(Ф) есть наименьшее Ф-замкнутое .множество.
Возвращаясь к нашему примеру, видим, что Th(Н) = /(Фн).
Аналогично, легко найти множества правил для индуктивного
определения множеств термов и формул языка первого порядка.
Замечание. То, что обычно называют правилом вывода
или правилом образования, соответствует тому, что мы назы-
ваем множеством правил, а частные случаи правил вывода
или правил образования соответствуют тому, что мы назвали
правилом.	•
По-видимому, наиболее знакомый пример индуктивного оп-
ределения в математике — это характеризация множества на-
туральных чисел о) = {0,1,2, ...} как наименьшего множества,
содержащего 0 и замкнутого относительно функции следования,
т. е. со = /(Ф(О), где Ф^ состоит из правила 0->О и правил
для п е (D. Эта характеризация оправдывает прин-
цип математической индукции: Если есть свойство, которое
§ 1. ЧТО ТАКОЕ ИНДУКТИВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ?
227
выполнено для 0 и выполнено для п-\~ 1, как только оно выпол-
нено для /г, то 3 выполняется для всех натуральных чисел, т. е.
из того, что {п (о|^(/г)} является Ф^-замкнутым, следует,
что со <={п (= со|^(/г)}.
Обобщая, видим, что для всякого множества правил Ф есть
принцип Ф-индукции: Если 3 есть свойство такое, что ^(х),
как только Ф: Х-+х и Чу^ХЗ(у), то 3(a) выполнено для
всех а е / (Ф).
Вышеописанный принцип — естественный инструмент для
доказательства свойств множества /(Ф).
1.1.2. Пример. Для доказательства того, что каждая тео-
рема из Н универсально истинна в каждой алгебраической си-
стеме, достаточно показать, что для каждой алгебраической
системы
{<р(г>1,	v„)| 2»|= V»! ... Vt»„<p(v,.о„)}
является Фн-замкнутым.
До сих пор все наши индуктивные определения были фини-
тарны в том смысле, что каждое правило имело только конеч-
ное число посылок. Для таких Ф можно обобщить стандартное
понятие «доказательства» для формальных систем таких, как Н.
1.1.3. О п р е д е л е н и е. а0, .., ап есть Ф-доказательство
для b (конечной длины), если:
(i) ап = Ь,
(ii) для всех m п существует X^{ai\i<,m} такое, что
Ф: X-+atn.
1.1.4.	Предложение. Для финитарных Ф
/ (Ф) = {Ь | b имеет Ф-доказательство}.
Чтобы показать, что каждый Ь е / (Ф) имеет Ф-доказатель-
ство, достаточно показать, что правая часть Ф-замкнута, и ис-
пользовать Ф-индукцию. Обратно, если а0, • • •, ап есть Ф-дока-
зательство, то достаточно показать индукцией по m п, что
ат(=1(Ф).
1.2.	Фундированная часть предиката. Пусть < —бинарный
предикат на множестве А. Фундированная часть - это мно-
жество W (<) тех а е Л, что не существует бесконечной убы-
вающей последовательности а >aQ>ax ... Предикат < назы-
вается фундированным предикатом, если A=W «). W «) может
быть определена индуктивно следующим образом: пусть Ф< —
множество правил «а)-+а для а е А, где (<а) = {хеЛ |х<а}.
1.2.1.	Предложение. IF (<() =/(Ф<).
Доказательство. Чтобы показать, что 1 (Ф<) IF «),
достаточно показать, что W«) является Ф<-замкнутой, и
использовать Ф<-индукцию. Поэтому предположим, что.(<а)^
8*
228
ГЛ. 7. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ИНДУКТИВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
е W «)♦ Теперь если а а0 > ..., то aQ е « а) W (<J. Но
поскольку «о >* а{ >* ..., то aQ ф W «), что дает противоречие.
Следовательно, а е W (<Q.
В обратную сторону, чтобы показать, что W (<Э е / (Ф<),
положим а ф 1 (Ф<). Мы найдем последовательность а>а$>
)> ах >* .. ., показывающую, что а ф W «). Поскольку аф! (Ф<),
то (<^а) ф I (Ф<). Следовательно, существует такой, что
а0^/(Ф<). Повторяя это, можно найти ax<aQ такой, что
а1^/(Ф<). Продолжая до бесконечности, получаем
>«!>... □
Заметьте, что здесь нужна некоторая форма аксиомы вы-
бора (аксиома зависимого выбора).
Принцип Ф<-индукции в случае фундированности ста-
новится принципом трансфинитной индукции по фундирован-
ному предикату. С трансфинитной индукцией связан метод оп-
ределения по трансфинитной рекурсии. Он позволяет опреде-
лить единственную функцию f на	такую, что для
f(a) определяется через f(x) для х<^а. Единствен-
ность и существование такой f могут быть проверены подходя-
щими частными случаями трансфинитной индукции. В качестве
примера можно приписать каждому W(<() ординал |аЦ та-
кой, что
I a lK = Sup {| х Ц + 11 х < а}.
Ординал | < | фундированной части предиката <( опреде-
ляется так:
KI^Supfla^+llaeFK)}.
Индуктивное определение часто может быть перефразиро-
вано к виду Ф< для подходящего -<.
1.2.2.	Определение. Множество правил Ф называется
детерминированным, если
Ф: Х1->х&Ф: Х2->х влечет Хх = Х2.
1.2.3.	Пример. Ф< и Фо) всегда детерминированы. Таковы
же множества правил, определяющие термы и формулы логики
первого порядка.
Заметьте, что Фн не является детерминированным.
Теперь пусть Ф будет детерминированным, и пусть А будет
множеством заключений всех правил из Ф. Для х, у е А пусть
если Ф: Х->у для некоторого множества X такого, что
х^Х и X Д. Тогда Ф< — это множество правил Х->х из Ф
таких, что X S А, Следовательно, получаем
1.2.4.	Предложение. Для детерминированных Ф
/(Ф)=/(Ф<).
§ 1. ЧТО ТАКОЕ ИНДУКТИВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ?
229
Для детерминированных Ф функции на /(Ф) MOiyT опреде-
ляться рекурсией по способу порождения объектов из /(Ф),
как при трансфинитной рекурсии. Таким примером из синтак-
сиса является операция подстановки. Для данных предметной
переменной v и терма t естественным образом рекурсией по
способу построения формулы ср (у) определяется функция, ста-
вящая в соответствие формуле ср (у) формулу ф(0, получаемую
подстановкой t вместо всех свободных вхождений v в формулу
ф(и).
1.3.	Индуктивные определения как операторы. Пусть ср:
Pow (Л) —> Pow (Л), где Pow (Л) обозначает множество всех под-
множеств множества А. Оператор <р монотонный, если X s Y s А
влечет, что <р (X) <р (У). Для данного ср пусть Фф будет мно-
жеством правил Х—>х таких, что X s А и хЕф(Х). Для
монотонных ср X s А будет Фф-замкнуто в точности тогда, когда
Ф (X) X. Поэтому / (Фф) = Я {X А | (р (X) X}. Следовательно,
естественно расширить терминологию об индуктивных опреде-
лениях на монотонные операторы ср, и мы пишем / (ср) вместо
П{* е А | <р(Х) X} и называем это множество множеством,
индуктивно определенным посредством ср. Все индуктивные опре-
деления можно получить, используя монотонные операторы.
Действительно, если Ф—множество правил на А (т. е. X J {х}еЛ
для всех Ф: X->x), то мы можем определить монотонный опе-
ратор <р: Pow (Л)-> Pow (Л) так:
ф(У) = {х е Л |Ф: Х-+х для некоторого X s У} для УеЛ.
Тогда У Е Л будет Ф-замкнуто в точности тогда, когда
ср(У) ^У так что/(Ф) = /(ср).
Для монотонных операторов ф есть полезная альтернатив-
ная характеризация множества /(ср), использующая трансфи-
нитные итерации срх оператора ср для ординалов %. Определим
Фх Л трансфинитной рекурсией по ординалу X так:
фх = U фи11ф( U фи\
Определим также <р°° = (J ср\ где Л пробегает все ординалы.
Если писать <р<Л вместо U <ри, то
ц<Х
фх = ф<^ (J ф (ф<^).
Множества ф<х могут быть непосредственно определены транс-
финитной рекурсией
Ф<х= U ф(ф<и),
ц<Л
230
ГЛ. 7. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ИНДУКТИВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
или иначе
Ф<°=0)	ф<х+1 = ф<х U ф (ф<х>),
Ф<х= U Ф<и для предельных Л.
Затем можно определить фх' = ф<х+1.
Замечание. В литературе часто используется обозначе-
ние фх вместо того, что мы обозначили ф<Л. Мы приняли
обозначения, введенные Московакисом [1].
Поскольку (ф) влечет ф(Х)^/(ф), трансфинитная индук-
ция показывает, что фх^/(ф) для всех ординалов Л. Следо-
вательно, если положить фоо = иф\ то ф°°^/(ф).
Поскольку из ц < А, следует ф<^ф<х^Л, и А есть'мно-
жество, то существует ординал X такой, что ф<^+1==ф<^.
Отсюда следует, что фЛ' = ф^ = ф<^ для всех	так что
Ф°° = Ф<\ Поэтому ф(фоо) = ф(ф<*) ф^ = ф°°. Следовательно,
по ф-индукции /(ф)^ф°°. Для монотонных ф также ц < Л вле-
чет ф(ф<и) s ф(ф<Л), так что ф<х= U ф(ф<и) ф(ф<х), и,
X
следовательно, ф^ = ф (ф<к). ОтскЗда следует, что ф°° = ф (ф°°),
Ф°° является неподвижной точкой ф (в действительности наимень-
шей). Таким образом, мы доказали
1.3.1.	Предложение. Для монотонных ф: Pow(4)->
Pow(4)-
(i)	7(<р) = <р°°:
(ii)	/(ф) является наименьшей неподвижной точкой ф.
Данное определение ф°° не требует монотонности оператора
ф. Следовательно, естественно расширить понятие индуктив-
ного определения на немонотонные операторы, назвав ф°° мно-
жеством, индуктивно определенным посредством ф, для любого
оператора ф: Pow(4)-> Pow(4). Оказалось, возможно не-
сколько неожиданно, что теория немонотонных индуктивных
определений столь же богата и интересна, как и теория моно-
тонных операторов, хотя естественно возникающие примеры не-
монотонных индукций труднее найти. Вероятно, их главная мо-
тивировка может быть обнаружена в системах обозначений для
ординалов. С каждым оператором ф: Pow(/4)-> Pow(4) связана
функция | • | ф, отображающая ф°° в начальный сегмент ордина-
лов, задаваемая так:
| а |ф = наименьшему Л такому, что а фх для а е ф°°.
Пусть | ф |= Sup {| а |ф + 1 \а е ф°°}. Тогда ф°° есть система
обозначений для ординалов <|ф| посредством отображения
I • 1ф: Ф°°->| Ф |. (Заметьте, что мы следуем стандартному соглаше-
§ 1. ЧТО ТАКОЕ ИНДУКТИВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ?
231
нию об отождествлении ординала с множеством ему предшест-
вующих.) Этот ординал может быть также охарактеризован
как наименьший ординал К такой, что фЬ = ф<А Следова-
тельно, ф°° = ф!ф 1 = ф<! <₽!.
1.3.2.	Пример. Пусть <( —бинарный предикат на множе-
стве Л, и пусть ф — монотонный оператор, соответствующий
множеству правил Ф<, так что W (<() = / (ф) = ф°°. Тогда легко
видеть, что фх = {а <= W «) |1 а |ф А}, так что | а |ф = | а Ц для
a<==W«) и | ф | = | К |.
Интересной общей проблемой, связанной с оператором
ф: Pow(4)->Pow(4), является характеризация или оценка ор-
динала |ф|. Поскольку | • |ф: Ф°°—>|ф1 сюрьективно и ф°° Л,
мощность |ф| должна быть меньше или равна мощности мно-
жества Л.
Для монотонных операторов часто может быть найдена луч-
шая оценка. Если х— кардинал, то будем говорить, что ф яв-
ляется ^-базированным, если
х е ф (X) влечет х е ф (У) для некоторого У X мощности < х.
1.3.3.	Пример. Если Ф—финитарное множество правил
на Л, то монотонный оператор, ему соответствующий, является
co-базированным. В общем случае, если множество посылок лю-
бого правила из Ф имеет мощность <х, то ф является х-базиро-
ванным.
1.3.4.	Предложение. Пусть ф — ^-базированный моно-
тонный оператор, где х — регулярный кардинал. Тогда |ф|^х,
так что I(ф)= фх.
До к а з а те ль ст в о. Достаточно показать, что фх^ф<х.
Поэтому пусть хефх = ф(ф<х). Тогда хеф(Х)для некоторого
X ф<х мощности < х. По регулярности х X ф<х для неко-
торого А < х, так что х е ф(ф<х) = фЛ ф<х, что и требова-
лось. □
1.3.5.	Пример. Если Ф — финитарное множество правил,
которому соответствует оператор ф, то | ф | со и /(ф) = Ф<0> =
= U Ф<п* гДе ф<о=0 и ф<п+1 = ф(ф<п) для п < (о.
1.4. Понятие «доказательство» для монотонной индукции.
В 1.3.3 мы сформулировали понятие доказательства конечной
длины, соответствующее финитарным множествам правил. Те-
перь мы рассмотрим более общее понятие.
1.4.1. Определение. Пусть ф — монотонный оператор
на Л. Трансфинитная последовательность	называется
^-доказательством для b длины А, если:
(i) ак = Ь;
(ii) av е ф ((ag | ц < v}) для всех v < К.
232
ГЛ. 7. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ИНДУКТИВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
Как и в предложении 1.1.4, мы получаем
1.4.2. Предложение, (i) Для любого регулярного кар-
динала х имеем
Ф<н = {д е А \ а обладает (^-доказательством длины < х};
(ii)	7(ф) = {аеД|а обладает (^-доказательством}.
Иногда удобно использовать иное понятие доказательства,
использующее фундированные деревья вместо трансфинитных
последовательностей. Примером является понятие вывода для
системы генценовского типа G из главы 1 «Теории моделей*.
Соответствующее ей множество правил финитарно, так что фун-
дированные деревья являются в действительности конечными.
1.4.3.	Определение. (Фундированным} деревом Т назы-
вается множество конечных последовательностей длины >0
таких, что:
(i)	Существует в точности одна последовательность единич-
ной длины в Т. Она называется корнем (ат) этого дерева.
(ii)	Если (аь ..., an_|_i)eT, то (а^ ..., ап)^Т.
(iii)	Т фундировано в том смысле, что не существует бес-
конечной последовательности аь а2, ... такой, что (аь ...
..., ап)^Т для всех п > 0. Иначе говоря, предикат фун-
дирован, где
(аь ..., ап) (&ь ..., &т)тогда и только тогда, когда п — m + 1
и ai = bi для /=1, ..., т.
Определим длину | Т | дерева Т как | (ат}
1.4.4.	Определение. Если Ф — множество правил, то де-
рево Т является Ф-доказательством для а, если а = ат и Ф:
Г(а1.....как только (ai, ..., ап) е Г, где
T(av ...tan) = {a |(ai, ап, a)t=T}.
1.4.5.	Предложение, (i) 7(Ф) = {а|а обладает Ф-доказа-
телъством в виде дерева}.
(ii) Если Ф — множество правил на Д, которому соответст-
вует монотонный оператор ср: Pow (Д) —> Pow (Д), то для всех
ординалов А
Ф?-={ае А \ а обладает Ф-доказательством в виде дерева длины <^А}.
Доказательство, (i) легко вытекает из (ii). (ii) будет
доказано индукцией по А. Пусть Xх обозначает правую часть
(ii), и положим Х<к= |J По индукционному предположе-
нию ф<А, = Х<х''
§ I. ЧТО ТАКОЕ ИНДУКТИВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ?
233
Пусть а^Хк. Тогда а обладает Ф-доказательством Т таким,
что	Для каждого х^7\а) положим
Г* = {(х, хь . ., хп)| п 0 & (а, х, х(, ..., xrt) е Т}.
Тогда Тх является Ф-доказательством для х таким, что | Тх | < X.
Следовательно, 1\а) s Х<к — (р<А. Из того, что Ф: Т(а)->а,
следует, что а е ф (ф<х) = Фк. Наоборот, пусть <рх. Тогда
аЕф(Х<?1). Для каждого х Х<к пусть Тх будет Ф-доказа-
тельством для х таким, что | Тх | < X. Положим
Т = {(а)} [I {(а, х, хь ..., xrt)|n>0
&xt=X<K&(x, xb ..., хпЬеГ}.
Тогда Т является Ф-доказательством для а таким, что | Т | X,
так что а е Xх. □
1.5. Монотонная индукция и игры. Для тех, кто знаком с
простейшими понятиями, связанными с играми, дадим теоре-
тико-игровую характеризацию множества /(Ф) для произволь-
ного множества правил Ф.
Для каждого а определяем игру G (Ф, а) между двумя
игроками — I и II, которые делают ходы поочередно до тех пор,
пока это возможно. Игра начинается тем, что II выбирает
а0= а. Если после п пар ходов игрок II выбирает ап, то игрок I
должен ответить, выбрав множество Хп такое, что Ф: Хп-+ап.
и тогда II должен ответить, выбрав an+i ^Хп. Если какой-либо
из игроков не может сделать ход, он проигрывает. Если игра
длится до бесконечности, то проигрывает игрок I.
1.5.1. Предложение. ае/(Ф) тогда и только тогда,
когда игрок I имеет выигрышную стратегию в игре G(Q),a).
Доказательство. Пусть W будет множеством тех а,
для которых выполнена правая часть формулировки предложе-
ния. Пусть Ф: Х->а и X W. Для каждого х^Х пусть ах бу-
дет выигрышной стратегией для I в игре 6(Ф, х). Определим
следующую стратегию а для I в игре 6(Ф, а). Игрок I начинает,
выбирая X, и если затем II выбирает хеХ, то I продолжает,
используя стратегию ах. Ясно, что о — выигрышная стратегия.
Следовательно, a^W. Таким образом, W является Ф-замкну-
тым, так что по Ф-индукции /(Ф)^ W.
Обратно, пусть а е W. Пусть о будет выигрышной страте-
гией* для I в игре 6(Ф, а). Пусть Т будет множеством всех
возможных конечных последовательностей ходов игрока II,
когда I следует стратегии о. Теперь заметим, что Т является
Ф-доказательством для а в виде дерева, так что по предложе-
нию 1.4.5 ае /(Ф). Таким образом, W ^/(Ф). □
1.6. Ядра — объекты, дуальные к индуктивным определениям.
Иногда индуктивные определения появляются более естественно
в дуальной форме.
234
ГЛ. 7. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ИНДУКТИВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
Если Ф — множество правил, то будем говорить, что мно-
жество X является Ф-плотным, если для каждого х^Х най-
дется множество Y^X такое, что Ф: У->х. Определим ядро
/С(Ф)=и{Х|Х является Ф-плотным}. К (Ф) в свою очередь
является Ф-плотным и является наибольшим Ф-плотным мно-
жеством. Если Ф—множество правил на А и qp: Pow (Л)->Роху (Л)—
монотонный оператор, связанный с Ф, то X Л будет Ф-плот-
ным тогда и только тогда, когда А^ф(А). Следовательно,
К(Ф) = U {X А |Х S ф(А)}, и мы определим К(ф)=и{А^
Л |Х <р (X)} для любого монотонного ф. Чтобы сделать явной
двойственность между конструкцией ядра и индукцией, опре-
делим ф — оператор, дуальный к оператору ф, посредством
ф(А) = П ф(~1 А’), где 4^ = Л — X при X Л. Тогда X Л
будет ф-плотным в том и только в том случае, когда ~]А’ яв-
ляется ф-замкнутым, так что К(ф) = ~| /(ф). Следовательно, К (ф)
может быть определено при помощи трансфинитных итераций
ф1М = п поскольку К (ф) = П Ф[Ч где ф[Х] = ф ( П Ф1и]\
К	Мх<Ь J
Иллюстрацией этого является конструкция Кантора — Бен-
диксона в общей топологии. Пусть Е будет подмножеством то-
пологического пространства. Пусть Ф будет множеством пра-
вил А->х таких, что ахе£и является предельной точ-
кой X. Соответствующий монотонный оператор <р: Pow (£)->•
-^Pow(E) — это операция замыкания на Е. Множество Х<=Е
замкнуто в £ в точности в том случае, когда X Ф-замкнуто, и
плотно в себе в случае, когда оно Ф-плотно. Таким образом,
К(ф) является наибольшим плотным в себе подмножеством £,
называемым ядром К множества Е. Если Е является замкну-
тым подмножеством пространства со счетным базисом, то Е =
= KU*S, где К совершенно, a S = ~1К = /(<р) — счетное множе-
ство, так что ординал замыкания |ф| должен быть счетным.
Это — представление Кантора — Бендиксона замкнутых под-
множеств пространства со счетным базисом.
Другой пример конструкции ядра взят из теории абелевых
р-групп. Это такие группы, в которых каждый элемент имеет
конечный порядок рп для некоторого и, где р — фиксированное
простое число. Пусть G будет абелевой р-группой. Определим
ф: Pow(G)-> Pow(G) так:
ф(Х)« рХ =» fg j- ... +ygl g S X} ДЛЯ X = G.
p
§ 1. ЧТО ТАКОЕ ИНДУКТИВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ?
235
Тогда ф является монотонным оператором, отображающим
подгруппы О в подгруппы G. ф-плотные подгруппы О — это в точ-
ности те, которые называются делимыми, так что /С(ср) являет-
ся наибольшей делимой подгруппой G. Большая часть струк-
турной теории абелевых р-групп связана с убывающей иерар-
хией подгрупп {ф[Х1}х.
1.7. Некоторые примеры индукции в классической ма-
тематике.
(1)	Если X — подмножество группы G, то существует наи-
меньшая подгруппа Н группы G, содержащая X. Н индуктивно
определена множеством правил 0->х для х^Х[){е} и
{a, b}-+ab~x для a, 6gG. То же самое понятие используется
с другими алгебраическими системами такими, как кольца, поля
и векторные пространства. Несколько другим вариантом этого
примера является алгебраическое замыкание подполя алгеб-
раически замкнутого поля. Все эти примеры используют фини-
тарные множества правил.
(2)	Если R является бинарным предикатом на множестве А,
то транзитивное замыкание R— это наименьший транзитивный
предикат, продолжающий R. Он определяется индуктивно мно-
жеством правил 0->(а, &), если aRb, и {(а, &), (&, с)}->(а, с)
для а, Ь, с^А. Аналогично, отношение эквивалентности, по-
рожденное R, индуктивно определяется уже написанными пра-
вилами и правилами 0->(а, а) для а^А и {(а, &)}->(&, а)
для а, b е А.
(3)	За примером нефинитарного индуктивного определения
обратимся к сг-кольцам и борелевским множествам. Напомним,
что множество ^^Pow(A) является сг-кольцом, если оно
замкнуто относительно взятия дополнений и счетных объеди-
нений подмножеств, т. е., соединяя это в одно, говорим, что
является сг-кольцом, если является Ф-замкнутым, где Ф
состоит из правил {Ап |п со} -> U”14 для счетных семейств
{Ап}п<ш, где Ап А. Следовательно, a-кольцо, порожденное
«’о Pow (А), индуктивно определено посредством множества
правил Ф', состоящего из Ф и правил 0->Х для X е На-
пример, борелевские множества вещественных чисел — это слу-
чай, когда А = R и ~ семейство открытых подмножеств К.
Если <р: Pow (А)—> Pow (А) является монотонным оператором,
связанным с Ф', то ф является ^-базированным, так что по
предложению 1.3.4 |ф|^ Классы фх для	—это
в точности знакомые уровни борелэвской иерархии. ф°—мно-
жество открытых множеств и для Л > 0 множества из фх — это
множества, имеющие вид U АЛ, где все Ап е ф<х.
п<(о
236
ГЛ 7 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ИНДУКТИВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
§ 2.	Индукция в теории рекурсии
2.1.	Рекурсивно перечислимые предикаты Имеется два глав-
ных результата, связывающих рекурсивно перечислимые (р. п.)
предикаты и конечно определенные формальные системы такие,
как формальная арифметика:
(I)	Теоремы конечно определенных формальных систем об-
разуют р. п. множество при гёделевой нумерации.
(II)	Каждый р. п. предикат может быть представлен в лю-
бой достаточно богатой формальной системе.
Эти результаты важны для теоремы Гёделя о неполноте. Об-
щее понятие представимости будет рассмотрено в п. 2.3. Здесь
мы хотим дать один результат об индуктивных определениях,
который влечет (I).
Как мы видели, формальная система определяет множество
правил, при помощи которых индуктивно определяется множе-
ство теорем. Если задать гёделеву нумерацию выражений, то
на со индуцируется множество правил, которое индуктивно оп-
ределяет множество гёделевых номеров теорем. Если формаль-
ная система конечно определена, то это множество правил бу-
дет рекурсивным финитарным множеством, как определено
ниже.
2.1.1.	О пределение. Пусть Ф будет финитарным мно-
жеством правил на со. Ф рекурсивно (р. п.), если предикат
/?ф рекурсивен (р. п.), где 7?ф — это множество пар ((аь ..., ап), Ь)
таких, что Ф: {aj. ..., ап}-+Ь.
Здесь { ): (J	это стандартная конструктивная
ns со
инъективная кодирующая функция для конечных последова-
тельностей натуральных чисел. С нею связаны рекурсивные
функции lh: со -> со и q: соХ^-хо, которые удовлетворяют сле-
дующим условиям:
(i)	Область значений Seq функции ( ) рекурсивна.
(ii)	Для каждого п > 0 функция ( ) f (оп: <o"-xo рекурсивна.
(iii)	lh«X!, ..., хпУ) = п для п^О.
(iv)	q((xit ..., хп), i) = Xi для 1
2.1.2.	Предложение. Если Ф — р. п. финитарное множе-
ство правил на со, то /(Ф) является р. п.
Доказательство. Поскольку Ф финитарно, то по пред-
ложению 1.1.4
I (ф) = {а е со | Эу Ргф (а, у)},
где Ргф(а, Ь) тогда и только тогда, когда b = {alt ..., ап) для
некоторого Ф-доказательства а{, ап для Ь. Следовательно,
чтобы доказать предложение, достаточно показать, что Ргф
§ 2 ИНДУКЦИЯ В ТЕОРИИ РЕКУРСИИ
237
является р. п., а здесь дело сводится к кодированию:
Ргф (а, Ь) <=> Seq (&) Л q (b, lh (&)) = а
Л V/<lh(&)Bz[/?<D(z, q(b, Z+l))
Л Vz <lh(z)3£<z(?(z, i+l) = q(x, fe + 1))].
По предположению, /?ф р. п., и, используя стандартные свой-
ства замкнутости р. п. предикатов, видим, что правая часть
эквивалентности р. п. □
2.2.	Прпредикаты. Если в формальной системе допускаются
бесконечные правила вывода, то требуются более общие поня-
тия индукции; например, в статье Гжегорчика, Мостов-
ского и Рылль-Нардзевского [1] добавляется со-пра-
вило к формальной системе арифметики второго порядка, кото-
рая в остальном является конечно определенной, со-правило по-
зволяет выводить Ухф(х) из бесконечного множества по-
сылок <р(0), <р(1), ... При гёделевой нумерации такая формаль-
ная система индуцирует регулярно арифметическое множество
правил Ф на со.
2.2.1.	О п р е д е л ен и е. Множество правил Ф на со назы-
вается регулярно арифметическим, если существуют арифме-
тические предикаты R и S такие, что Ф является множеством
правил Ra-^ b таких, что S(a,b)\ здесь Ra = {у е ti)\R(a, у)}.
2.2.2.	Предложение, (i) Если Ф —- регулярно арифмети-
ческое множество правил на со, то соответствующий монотонный
оператор ср: Pow (со)-> Pow (со) есть Т[\~оператор, т. е. {(А\ х) е
е Pow (со) X со | х ср (Jf)} является Прмножеством.
(ii) Для всякого монотонного \\\-оператора ср множество /(ср)
также является Прмножеством.
Доказательство, (i) Пусть Ф будет множеством правил
Ra^b таких, что S(a, b), где R и S арифметические. Тогда
соответствующий монотонный оператор ср задается посредством
cp(Jf) = {b е со | За [S (й, Ь)Д&а<=Х]} для % — Л. Ф является
арифметическим и, следовательно, Проператором.
(ii) I (ср) = {а е со | VX [Vx [х е ср (X) -> х е X] -> а е ?f]}, так
что, если ср есть Проператор, то стандартные манипуляции
с кванторами показывают, что I (ф) также является Прмно-
жеством. □
Следовательно, это предложение подсказывает, что при рас-
смотрении систем ” со-правилом класс всех р. п. предикатов в
(I) и (II) из 2.1 должен быть заменен на класс всех п!-пре-
дикатов.
238
ГЛ. 7. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ИНДУКТИВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
Ниже мы даем еще два примера регулярно арифметических
множеств правил.
Первый пример возникает при определении клиниевской си-
стемы обозначений для рекурсивных ординалов. Она может
быть задана следующим образом. Пусть будет наименьшим
транзитивным предикатом на со таким, что:
(i) а -< 2а для а е (о,
(ii) {е} (п) < 3 • 5е для е, п е со таких, что {е} (п) определено.
(Здесь {е} — это е-я частично рекурсивная функция при стан-
дартной нумерации.) Тогда <(, как легко видеть, является р. п.
предикатом. Пусть теперь Ф будет множеством правил 0->1,
{а}->2а для aeto, и {{е}(п) \п < со}->3 • 5е для ее со таких,
что {е} (п) определена и {е} (п)<( {е} (п + 1) для всех песо.
Теперь положим б? = /(Ф). Пусть а^0Ь, если и только если а,
b & &а<Ь. Поскольку Ф регулярно арифметическое, то О
и, следовательно, <(0 являются П}-множествами. Для пеб?
положим | а |0 = | а | . Тогда | 1 |0 = 0, | 2а |0 = | а |0 + 1 для а е (У
и | 3 - 5е |0 = lim | {е} (п) |0 для 3 • 5е е (У, Таким образом (б?, <0,
п е со
| • |0) является клиниевским рекурсивным аналогом счетных ор-
диналов. Ординал | ср |= Sup {\а |о + 1 \а е О} — это ординал
Чёрча — Клини соь первый допустимый ординал > со.
В качестве другого примера регулярно арифметической ин-
дукции рассмотрим гиперарифметическую иерархию, как она
сформулирована в книге Московакиса [1]. Она является
рекурсивным аналогом борелевской иерархии. Назовем множе-
ство Pow (со) эффективным о-кольцом, если $ эффективно
содержит р. п. множества и эффективно замкнуто относительно
дополнений и счетных объединений. А именно, существует мно-
жество I со и множества В/ е со для i е / такие, что S3 =
= {Bi\i е /} и:
(i) Существует рекурсивная функция Тр со->/ такая, что
/?е = ВТ1(е) для всех еесо. (Напомним, что Re является е-м
р. п. множеством при стандартной нумерации.)
(ii) Существует рекурсивная функция т2: со->со такая, что
если {е} является всюду определенной функцией f: <я-+1, то
т2(е)е/ и ВтИе)= у
Эффективное a-кольцо может быть построено следующим
образом. Положим Ti(n) = 2n. Пусть т2(^) = 3-5е. Пусть Ф бу-
дет множеством правил 0->Ti(n) для п е со и {f(п) \п е со}->
->т2(е) для ее со таких, что {е} является всюду определенной
функцией f. Положим / = /(Ф). Тогда Ф является детермини-
рованным множеством правил (см. 1.2), так что для ее / мы
§ 2. ИНДУКЦИЯ В ТЕОРИИ РЕКУРСИИ
239
можем определить Ве £ со по рекурсии:
ВхЛе} = ^е ДЛЯ ее<0-
STs(e)= U	если (e} = f: <о->7.
ПЕ(О
Ясно, что $ = {Bi\i 1} является эффективным о-кольцом.
Поскольку Ф регулярно арифметическое, 1 = 1 (Ф) является
Пгмножеством. Пусть qp будет монотонным оператором, свя-
занным с Ф. может быть разложено в иерархию $=U <%)\
где 9^ — {Ве | е е <рх} для А<®1(=|ф|), так что 91° — это мно-
жество р. п. множеств. — множество SiJ-множеств, U —
П<(й
это множество арифметических множеств. В § 8Е книги Мо-
сковакиса [1] имеется доказательство следующего результата.
2.2.3.	Теорема. & является наименьшим эффективным
a-кольцом и совпадает с множеством &\-подмножеств со.
2.3. Представимость. В этом пункте мы обобщаем подход к
рекурсивно перечислимым и П}-предикатам на <о, использую-
щий представимость, на произвольные структуры.
Предположим, что у нас есть множество А и теория Г, имею-
щая предметные константы для элементов из А и предметные
переменные. (Будет использоваться один и тот же символ для
константы и объекта, который она обозначает.)
2.3.1.	Определёние. R<=^ Ап называется Т-пред ставимым
формулой 0(х), если х = хь ..., хп и
R (а) -<=> Т Н 0 (а) для а е Ап.
Если Д = со и Т является конечно определенной, например
формальной арифметикой, то множество гёделевых номе-
ров Г0П теорем 0 теории Т образует р. п. множество, и, сле-
довательно, всякий Г-представимый предикат также р. п. Дей-
ствительно, если R представим формулой 0(х), то R (d) <=> f (d) е
е ГТ^ для ае(оп, где f — рекурсивная функция, задаваемая
так: f (d) = г0(d)n для de со". Результат (II) из 2.1 дает обраще-
ние этого результата для достаточно богатых Т. Следовательно,
для подходящих теорий Т Г-представимые предикаты — это
в точности р. п. предикаты.
Обычная теория рекурсии может быть так развита с са-
мого начала при подходящем выборе Т. Например, канониче-
ские системы Поста (см. Пост [1]) дают такую возможность;
они далее усовершенствованы Смальяном [1]. Другой под-
ход — системы равенств Клини для представления частично ре-
курсивных функций (см. Клини [1]).
240
ГЛ. 7. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ИНДУКТИВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИИ
Гжегорчик, Мостовский и Рылль-На р д зев-
ск ий [1] показали, что в формальной арифметике второго по-
рядка с со-правилом представимы в точности П{-предикаты.
Следовательно, понятие представимости указывает способ еди-
нообразного обращения с р. п. предикатами и П}-предикатами.
Ниже мы дадим такой единообразный подход для произвольной
алгебраической системы 51, который дает эти классы предика-
тов на со, когда 51 является системой 91 = <со, S, Р) для арифме-
тики, где S и Р — графики функций сложения и умножения.
Сначала нужно дать некоторые определения. Для данного
множества А мы вводим полный язык первого порядка LA над
А. В ЪА имеются предметные константы для элементов из А и
предикатные константы для предикатов на А. Имеются также
предметные переменные и n-арные предикатные переменные для
каждого л > 0.
Элементарные (т. е. первого порядка) формулы языка Ьл
строятся обычным образом при помощи связок и предметных
кванторов Vx, Зх. Формулы второго порядка получаем, добав-
ляя кванторы VXn, ЗХп, где Хп — это n-местная предикатная
переменная. Все элементарные предложения второго порядка
либо истинны, либо ложны при стандартной интерпретации.
Нас будут интересовать различные подклассы формул. Экзи-
стенциальные формулы строим из атомных формул и их отри-
цаний, используя V, А и Зх. Если дан бинарный предикат
< на А, то можно ввести ограниченные кванторы Vx < у,
Зх < у, сокращающие Vх(х < у ->и 3x(x<z/ Д. Затем можно
определить ограниченные элементарные формулы как постро-
енные с использованием только ограниченных кванторов. Можно
определить S„- и П„-пренексные формулы обычным образом,
разрешая ограниченные матрицы; например, ^-формулы имеют
вид 3xt ... 3xnV#i • •• где	и 0 является огра-
ниченной.
Нас будет также интересовать классификация формул вто-
рого порядка. П}-формула — это формула, имеющая вид VA^ ...
... VAm0, где /и>0и9 элементарна. Аналогично определяем
Пп- и Sn-формулы для п > 0, подсчитывая число перемен
блоков предикатных кванторов.
Для данной системы 51 = <А, R\, ..., Ri) определим L(5l) —
подъязык 1Д в котором допускаются предикатные константы
только для равенства и предикатов ..., /?ь Если — семей-
ство формул языка LA, то R Ап называется -определимым
над 51, если существует формула 0(х) языка L(8) в такая,
что х = Xi, ..., хп включает все свободные переменные 0(х) и
/?(«)<=>0(a) истинна для а е Ап.
§ 2. ИНДУКЦИЯ В ТЕОРИИ РЕКУРСИИ
241
Многие конструкции в обычной теории рекурсии используют
некоторый кодирующий аппарат, например гёделеву нумера-
цию. Для продолжения таких конструкций на 91 нам будет
нужно, чтобы этот аппарат был определим на 91 подходящим
образом.
2.3.2.	Определение. Кодирующая схема для А — это
тройка = <А\ ^, < », где:
(i)	N^A и — бинарный предикат на N такой, что
(N,	^>. Будем отождествлять N с со={0, 1, ...}.
(ii)	( >: U Ап->А является инъективной функцией.
п е со
С связаны следующие множество и функции:
(iii)	Seq, множество всех кодов конечных последователь-
ностей, является областью значений < >.
(iv)	lh: Seq->W задается посредством lh«xb ..., хп)) = п.
(v)	q: SeqXW—задается посредством
( xi9 если 1 i ^.п,
q((x{, ..., хп), /) = { А
( 0 в противном случае.
(vi)	s: N -> N задается как s (n) = n + 1.
Если ST— класс формул, то говорим, что является ZF-оп-
ределимой над 91, если Af, Seq и графики функций lh, q и $
являются ^-определимыми над 91. 91 является -приемлемой,
если существует кодирующая схема для А, которая ^-опре-
делима над 91. В случае, если ST — класс элементарных формул,
мы пишем просто приемлемая вместо ^-приемлемая.
Если дана кодирующая схема для А и система 91, то фор-
мулам 0 языка L (91) могут быть присвоены «гёделевы номера»
Г0П е А стандартным образом. Мы не будем здесь вдаваться
в детали этого, но иногда нам нужно будет использовать не-
которые факты о такой гёделевой нумерации.
Пусть для данной алгебраической системы 91 Т(91) будет
формальной теорией в языке первого порядка L(9l), имеющей
стандартную систему аксиом и правил вывода логики первого
порядка с равенством и диаграмму 91 в качестве множества
нелогических аксиом, так что каждое истинное предложение
языка L (91), являющееся атомным или отрицанием атомного,
есть аксиома Т(91).
Нашим обобщением класса р. п. предикатов на со является
класс Т(91)-представимых предикатов на А. Чтобы получить
хорошее понятие, мы потребуем, чтобы 91 была экзистенциально
приемлемой с экзистенциально определимой кодирующей схе-
мой
Пусть < будет предикатом на А, являющимся предикатом
строгого упорядочения копии натуральных чисел в А, задавав-
242
ГЛ. 7. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ИНДУКТИВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
мой схемой Пусть 2? (91) будет классом предикатов на 4,
которые 2?-определимы над Я, где указанный предикат < ис*
пользуется при определении ограниченных формул. Как и на со,
можно показать, что финитарное множество правил, индуктивно
определяющее теоремы из 4, индуцирует 2?(91)-финитарное мно-
жество правил на 4.
2.3.3.	Определение. Финитарное множество правил Ф
на 4 является 2J (91)-множеством, если 7?ф является ^(^-мно-
жеством, где /?ф—-это множество пар ((аь ал), Ь) таких,
что Ф: {«1, ..., ап}->Ь.
Следующее предложение доказывается в точности так же,
как предложение 2.2.2.
2.3.4.	Предложение. Если 91 экзистенциально приемлема
и Ф является 2? (^‘финитарным множеством правил, то 7(Ф)
тоже является ^(91)-множеством.
2.3.5.	Следствие. Если 91 экзистенциально приемлема, то
ГТ(Ъ\)' является множеством и, следовательно, каждый
Т (Ч1)-представимый предикат является ^(Жупредикатом.
Для доказательства последней части нам нужен тот факт,
что если 0(х) — формула и f (d) — г0(d)"1 для de Ап, то график
f является 2? (91)-множеством. Обращение этого будет дано в
следующем параграфе.
Обобщим теперь co-правило. Теория 7^(91) получается из Т (91)
добавлением следующего бесконечного правила:
A-правило. Из 0(a) для ае4 вытекает Vx0(x).
Будем называть элементарные формулы <р (Jfb ..., Xm,
,..., хп) языка L (91) универсально истинными, если ^-пред-
ложение
ЧХ{ ...	... Vx^<p (Xb Xm, xh ..., xn)
истинно. Легко заметить, что все аксиомы 7^ (91) универсально
истинны и все правила вывода из 7^(91) сохраняют универ-
сальную истинность. Следовательно, имеем
2.3.6.	Предложение. Из (91) Н ср следует, что ф уни-
версально истинна.
Если §1 счетна, то справедлива теорема о полноте, дающая
обращение предложения 2.3.6. Ее можно доказать, используя
теорему об опускании типов для счетных языков первого по-
рядка (см. Чэн и Кейслер [1]) или непосредственным по-
строением генкинского типа, как у Г р и й о [1].
2.3.7.	Теорема. Для счетных 91
Нф, если и только если ф универсально истинна.
§ 2 ИНДУКЦИЯ В ТЕОРИИ РЕКУРСИИ
243
2.3.8.	Следствие. Для счетных предикат на А является
(Непредставимым тогда и только тогда, когда он является
Т\\(Н)чгредикатом (т. е. Неопределимым над 91).
Доказательство. По теореме 2.3.7 0(х) 7^(^-пред-
ставляет R, если и только если VA\ ... VXm0(x) определяет R,
где ..., Хт — предикатные переменные, встречающиеся в
элементарной формуле 0(х). Этот результат включает частный
случай арифметики при 91 = !У?. □
Как и раньше, если считать заданной кодирующую схему
над 91, то множество правил, индуктивно определяющих тео-
ремы теории Too (91), при гёделевой нумерации индуцирует мно-
жество правил на А, обладающее следующим свойством при
элементарной над 91.
2.3.9.	Определение. Множество правил Ф на А назы-
вается регулярно элементарным над 91, если найдутся элемен-
тарные предикаты /?, S такие, что Ф является множеством
тех правил Ra -> Ь, что S (а, Ь).
2.3.10.	Предложение. Если 91 — приемлемая алгебраи-
ческая система, то существует регулярно элементарное мно-
жество правил Ф такое, что ГТОО (91)п = / (Ф).
Этот результат потребуется в следующем параграфе.
Наконец, рассмотрим понятие истинности для (элементар-
ных) предложений языка L(9t). Легко видеть, что каждое ис-
тинное предложение может быть доказано в Too (91), и, следова-
тельно, у нас есть характеризация. Если ф есть предложение
языка Ь(91),то ф истинно тогда и только тогда, когда Тоо (91) Нф.
Альтернативной возможностью является обычное индуктивное
определение истинности, ведущееся по построению ф. Оно мо-
жет быть выражено следующим образом. Будем называть вы-
ражения вида +ф и —ф, где ф — предложение языка L(9t),
маркированными предложениями. Пусть Ф будет следующим
множеством правил на маркированных предложениях:
0 —* + 0 для каждого истинного атомного предложения 0,
0->— 0 для каждого ложного атомного предложения 0;
{+ф, + ф}-* + (фАф) для предложений ф, ф,
{— ф} — (ф А ф) для предложений ф, ф,
{— ф} — (ф А ф) для предложений ф, ф;
аналогичные правила для ~], А, —
{+ф(а)|ае А} -> +Ухф(х) для предложения Ухф(х),
{— ф(а)} —> — Ухф(х) дляае Л; аналогичные правила дляЗх,
Тогда, если ф — предложение, то
Ф истинно тогда и только тогда, когда +фе/(Ф),
Ф ложно тогда и только тогда, когда -фе/(Ф).
Снова заметим, что при гёделевой нумерации при помощи
элементарной кодирующей схемы это множество правил Ф ин-
дуцирует регулярно элементарное множество правил на А.
244
ГЛ 7. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ИНДУКТИВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
§ 3.	Классы индуктивных определений
3.1.	Общая схема. Большинство современных результатов по
индуктивным определениям укладывается в следующую общую
схему. Предположим, что дано бесконечное множество А. Пусть
(5 будет классом операторов, имеющих вид ср: Pow (Д'2)—*
->Pow(Xn) для некоторых п > 0.
3.1.1.	Определение, (i) R Ап называется 1£-индуктив-
ны w, если существует ср: Pow (Дт) -> Pow (Лт) из (5 такое, что
т^п и b е дт~п таково, что для а е Дп.
а)е=Ф°°.
(ii)	IND(<^)—множество (^-индуктивных предикатов.
(iii)	|^| = Sup {| ф| |ф <Г}.
Почему не определяется IND(^) как {ф°° |ф е ^}? Это мно-
жество не оказалось естественным, так как мы хотим, чтобы
IND(<^) обладало некоторыми свойствами замкнутости, напри-
мер мы обычно хотим, чтобы IND(d?) было замкнуто относи-
тельно пересечений, и не видно никаких разумных условий на
&, которые обеспечивали бы это для {qp°° | ф <!П. Ниже мы
дадим общий результат о свойствах замкнутости IND(^) при
разумных предположениях об (S.
Назовем т: Ап-> Ат сечением, если т^п и для некоторых’
Ъ^.Ат~п
х{а) = (Ь, а) для всех а е Ап.
Тогда IND (^Г) == {т ^q)00 |Ф е Дт является сечением}.
Сечения используются при кодировании нескольких индук-
тивных определений в одно. Следующая лемма является клю-
чевой.
3.1.2.	Лемма. Пусть п{, ...,nk>0um^ max (пъ ..., nk)A~ 1-
Тогда существуют сечения гр АПх->Ат, ... т/е: Ank—>Am, име-
ющие попарно различные области значений.
Доказательство. Выберем попарно различные элемен-
ты с2у .Ck А и определим
тп~гь1
Ti(a) = (ch ..., ch a)^Am для а^АП[. □
3.1.3.	Определение. Оператор
0: Pow (А”') X ... X Pow (А”*) -> Pow (А")
допускает кодирование сечениями в <5, если для любых сечений
тр А”1 -> Ат, ..., xk- Ап^Ат, т: A"->Am отображение <р:
$ 3. КЛАССЫ ИНДУКТИВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
245
Pow (Am)-> Pow (Аш), задаваемое равенством
ф(3) = т0(тГ13, ...» т^З) для 3 Ат,
принадлежит &.
3.1.4.	Предложение. Если (i) & замкнут относительно
объединений (т. е. qp, ip е влечет qp U з|) е <§Г, где
Ф и Ф (5) = <Р (S) и ^(S));
(ii) каждый оператор из & допускает кодирование сечения-
ми в
то IND(^) замкнуто относительно каждого оператора
0: Pow (Л"1) X • • • X Pow (/Tfe) -* Pow (/Г), являющегося моно-
тонным по каждому аргументу и допускающего кодирование
сечениями в <£.
Доказательство. Пусть 0 допускает кодирование сече-
ниями и является монотонным по каждому аргументу. Пусть
/?. — a.^qp?0, где вр Ani -> Am' является сечением и qpz: Pow (Дт*) ->
->Pow(/4m0 лежит в S для / = 1, ..., k. Мы хотим показать,
что 0(/?j, .Rk) = т~^°° для некоторого сечения т и некото-
рого qpe^. Положим m = max(mI, ..., mk, п) + 1 и выберем
сечения Tf. Amx-+Am, ..., xk\ Amk—>Am, т: Ап А^ с попарно
различными областями значений. Положим qp' (3) = z.qp. (тг1 (S))
для Z=l, k и S^Am. Положим 0'(3) = т0 ((т^)”1 3, ...
..., (одО"1 3) для 3 Ат. Наконец, положим qp (3) = qpi(3)(J---
• • • U<K(3) U 0(3) для S Ат. По предположению (ii) каждое
qp• е Так как 0 допускает кодирование сечениями в то
0' е . Следовательно, по предположению (i) qp е (S.
Теперь легко видеть, что qp~ = T~1qp°°, так что Z?. = (т.п.)-1 qp°°
для Z=l, ...» k. Аналогично, т“У = 0((т1а1)“1 qp<x, ...
..., (^0Гл)~1ф<Х)- Следовательно, поскольку 0 монотонный,
T^qp00 = U
к
^ие^-’ф^,(тл)-*Ф<х)
Л
=е((т1(т1)_1ф0О> •••> (ед)’‘ф“)
= 0(А>1( .... Rk). □
Замечание. В этой теореме монотонность 0 существенна.
В общем случае IND (<§Г) не замкнуто относительно дополнений.
246
ГЛ. 7. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ИНДУКТИВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
3.1.5.	Пример. Основными монотонными операторами пер*
вого порядка являются Vrt, An, Зп и Vя, п > 0.
S) = /? U S для /?,
А"(/?, 5) = /? П S для /?, Sc Ап-
Зп(/?) = {ае Лп|Эх/?(х, а)} для /? <= An+l,
V”(/?) = {ae An\\ixR(x, а)} для /? = Лп+‘.
Обычно класс S операторов указывается некоторыми усло-
виями определимости.
Пусть ср(Х,х) будет формулой языка L/, в которой свобод-
ными могут быть только тг-местная предикатная переменная А'
и предметные переменные х = х\, .... хп. Говорим, что <р(Х, х)
определяет оператор <р: Pow(4n)-> Pow(X"), если
qp(S) = {пе Ап1 ф(3, а) истинна} для S s Ап.
Пусть ^(21) для данных класса формул 3 языка I/ и ал-
гебраической системы 21=<Л,/?Ь . ., /?/> обозначает класс
операторов, определимых формулами из 3 в языке L (21). Пусть
mon-^(2l) обозначает подкласс монотонных операторов в ^(21).
Наконец, пусть pos-^(2l) обозначает класс операторов, опре-
деляемых посредством формул <р(Х, х) из 3 в языке L (21), в ко-
торые X входит только позитивно, т. е. <р(Х, х) строим из фор-
мул, не содержащих X, и атомных формул, содержащих X, ис-
пользуя только позитивные связки ‘Л, V и кванторы. Опера-
торы из pos-^(2l) автоматически являются монотонными. Та-
ким образом, имеем
pos-^T (21) s mon-^ (21) <= 3 (21)
и, следовательно,
IND (pos-^ (21)) cz IND (mon-^ (21)) IND (3 (21))
и
| pos-^ (21) К | mon# (21) К | 3 (21) |.
3.2.	Позитивная экзистенциальная индукция. В этом пункте
мы рассмотрим, возможно, простейший пример общей схемы,
именно, мы рассмотрим класс операторов pos-#'(2l), где 3
является классом экзистенциальных формул. Будем писать
IND(3-21) и 13-21| вместо IND (pos-3r(2l)) и | pos-#' (21) |,
когда 3 является этим классом. Мы увидим, что для экзи-
стенциально приемлемых 21 класс IND (В — 21) совпадает с клас-
сом Т (21)-представимых предикатов и дает хорошее обобщение
р. п. предикатов на со.
3.2Л	. Предложение. Если %, бесконечна, то | 3 — 211 = со.
§ 3. КЛАССЫ ИНДУКТИВНЫХ ! ОПРЕДЕЛЕНИЙ
247
Доказательство. | 3 — 211 со, так как | <рп | = п для
каждого п со, где
<рп(Х)= |хеД|.у [AfW А * = для X = А,
а а0, ап_{ — попарно различные элементы из А. Ясно, что
каждая (рп является позитивной экзистенциальной, q? = {ау | j<i]
для i<n и, следовательно, Z (<р) = {aj / < п).
Для доказательства | 3 —- 21|^со в силу предложения 1.3.4
достаточно показать, что каждый позитивный экзистенциаль-
ный оператор ср является со-базированным, а для этого доста-
точно показать, что для каждой экзистенциальной формулы
0(Х), позитивной относительно предикатной переменной X и не
содержащей никаких других свободных переменных, истинность
0(/?) влечет истинность 0(5) для некоторого конечного
Это легко доказывается индукцией по построению этих формул
0(Х). □
Следующий результат дает свойства замкнутости множества
IND(3 —21).
3.2.2.	Предложение, (i) Если 0: Pow (А"1) X • • • X Pow (An/t)
—>Pow(An) является позитивным экзистенциальным над 21 (или,
эквивалентно, допускает кодирование сечениями в классе пози-
тивных экзистенциальных операторов), то IND(3 — 21) замкнуто
относительно 0. Следовательно, предикаты = , Rt и их
дополнения принадлежат IND (3 — 21), поскольку подходящие по-
стоянные операторы являются позитивными экзистенциальными
над 21. IND(3 — 21) замкнуто также относительно \/п, /\п, Зп
для п > 0, поскольку они также позитивные экзистенциальные
над 21.
(ii)	Если N А, < — предикат на N и S: N N таковы, что
(N, <, S), = (со, <, S), и N, < и график функции S являются
экзистенциально определимыми над 21, то IND (3 — 21) является
ХЕ^-замкнутым для п > 0. где
V<(/?) = {(a, b)<=An+i\aeN/\ Vx(x<a^R(x, b))}
для R = An+'.
Доказательство, (i) Это следствие предложения 3.1.4.
(ii)	Пусть /? = т’1<р°°, где т: Д"+1-»Дт является, сечением и
ф: Pow (Д'")-» Pow (Д'") позитивное экзистенциальное над 21. Мы
покажем, что V" (#) лежит в IND (Н — ?1). Прежде всего, отож-
дествим N с со = {О, 1, ...}. Пусть rf Д"1-» Ат+‘ будут сечениями
xi(x) = (i, х) для хе Д'", где г = 0, 1. Положим ф(Х) =
= тоф(т(Г1Х) U (Т1Т)0((тот)’'Х, (Т|т)-*Х) для X S Ат, где
0(Г, Z) = {(x, х) е Д"+11 х == О V 3f/ (x = S (z/)
ДУ(^ 5)AZ(//, х))}
248
ГЛ. 7. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ИНДУКТИВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
для У, Z^An+l. Тогда ф позитивное экзистенциальное над 91.
Ясно, что т^1ф00 = ф00. Поэтому 7? = (тот)”1 ф°°. Следовательно,
если 5 = (т1т)" ф°°, то 5 (х, х)<=>х = 0 или Эу(х = 8(у)Л
ЛК(у, х)Л$(у, х)). Это может быть выполнено, только если
S = V<(#), Следовательно, V< U?) = (TiT)~l ф00 лежит в
IND(3 - 91). □
3.2.3.	Предложение. Если ф: Pow(Xm)->Pow(Am) пози-
тивный экзистенциальный над 91, то /(ср) является Т(^-пред-
ставимым при помощи фРО—> X (х), где ф (Jf) есть \/у(у(Х,у)->
->Х(у)), а ф(Х, х) —- экзистенциальная формула языка L (91),
позитивная относительно X, которая определяет оператор ф.
Доказательство. Пусть Т будет предикатом, представ-
ленным формулой ф(Х)—>Х (х). Сначала заметим, что если
а е Ту то по предложению 2.3.6 ф(А')—>Х(а) является универ-
сально истинной, т. е. а е П{З^Дт|ф(5)^5} = /(ф). Таким
образом, Г^/(ф). Для доказательства I (ф) s Т достаточно
показать, что ф(Т)^Г. Нам нужно следующее
Утверждение. Пусть 0(JQ будет экзистенциальной фор-
мулой языка L (91), содержащей X только позитивно и не содер-
жащей других свободных переменных. Тогда
0(Т) истинно влечет Т (91) Н ф(Х)->0(А’).
Это утверждение доказывается легкой индукцией по числу
логических символов в 0(Х).
Теперь, если а^ф(Г), то ф(Г, а) истинна, и, следовательно,
в силу утверждения Г (91) I— ф (А’)->ф(Л’, а). Вспоминая, что
ф(?0 — это У^(ф(Х, у)-+Х(у)), получаем, что Т (91) Н ф (X) ->
->Х(а), и, следовательно, а е Т. Итак, ф(Т)^Т, что и требо-
валось. □
3.2.4.	Теорема. Пусть 91 будет экзистенциально приемлемой
алгебраической системой. Тогда следующие условия на преди-
кат R на А эквивалентны'.
(i)	R IND (3 - 91),
(ii)	R является Т (^-представимым,
(iii)	R является ^(^-определимым.
Замечание. В (iii) 2?(91) определяется в зависимости от
копии (М, <) модели (со, <), где =	<, ( )) является
экзистенциально определимой кодирующей схемой на 91. Из те-
оремы следует, что по существу 2? (91) не зависит от использу-
емой кодирующей схемы &.
Доказательство, (i)->(ii). Пусть К = где т — се-
чение т(а) = (Ь, а) для а^Ап и ф — позитивный экзистенци-
альный оператор на 91. Тогда по предложению 3.2.3 ф°° является
§ 3 КЛАССЫ ИНДУКТИВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
249
Т(51)-представимым, скажем посредством формулы 0(//), и мы
имеем
/?(а)^т(а)еЕф°°<=>Г(91) Н0(6, а) для at=An.
Следовательно, 7? является Т (51)-представимым посредством фор-
мулы 0(6, х).
(ii)->(iii). Это просто следствие 2.3.5.
(iii)->(i). Это вытекает из предложения 3.2.2. □
Следующее свойство справедливо для р. п. предикатов на со
и является одним из основных структурных свойств, используе-
мых в теории рекурсии и ее обобщениях.
3.2.5.	Определение. Класс Г предикатов на А обладает
свойством параметризации, если для каждого п > 0 существует
предикат U Лп+1 такой, что U е Г и для каждого R Ап,
лежащего в Г, существует а е А такое, что
R = Ua = {at= Ап\U (a, а)}.
3.2.6.	Теорема. Если 51 экзистенциально приемлема, то
IND(3 — 51) обладает свойством параметризации.
Доказательство. По следствию 2.3.5 и теореме 3.2.4
множество ГТ(51)П лежит в IND(3 — 51). Нам нужен также сле-
дующий факт о кодировании синтаксиса в ГТ(51)П.
Предикат Sub является S? (51)-предикатом и, следовательно,
лежит bIND(3--51), где для a, b, с <= A Sub (а, 6, f)<=> су-
ществует элементарная формула 0(х) в £(51) такая, что а —
= г0(х)"1 и существует b такое, что 6 = (6) и с = г0(б)"1.
Теперь для данного п> 0 определим	посредством
и (а, Зх [Sub (а, <а), х) А х е= ГТ (SI)"1].
Используя свойство замкнутости множества IND(3 —51), видим,
что U е IND (3 — 51). Теперь, если R s Ап лежит в IND (3 — 51),
то по 3.2.4 он Т (51)-представим, скажем, формулой 0(a). Пола"
гаем а = г0(х)п. Тогда для а^Ап
/?(а)<=>г0(а)п е=Т(51)
U (а, а).
Следовательно, R = Ua. □
3.3. Позитивная элементарная индукция. В этом пункте мы
опишем некоторые свойства позитивной элементарной индук-
ции. Эта теория имеется в книге Московакиса [1], и чита-
тели должны там смотреть детальное изложение предмета.
Если ST — класс элементарных формул языка Ьл то будем
писать IND (51) вместо IND (pos-^~ (51)) и х(51) вместо | pos-^~(5l) |.
250
ГЛ 7. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ИНДУКТИВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
3.3.1.	Предложение. IND(2l) позитивно элементарно замк-
нут над 41 (т. е. если 0 допускает кодирование сечениями в классе
позитивных элементарных операторов, то IND (21) замкнут отно-
сительно 0). Следовательно, предикаты=, Rit ..., Ri и их допол-
нения лежат в IND (21), и IND(2l) замкнут относительно \/п, /\п,
3" и Vn для п > 0.
Это является следствием предложения 3.1.4.
3.3.2.	Предложение. Пустъ Ф будет множеством правил
на А, которое регулярно элементарно над 21, и пусть ср: Pow(?l)-~>
->Pow(X) будет соответствующим монотонным оператором.
Тогда <р является позитивным элементарным над ?! и, следова-
тельно, I (Ф) = I (Ф) €= IND (21).
Доказательство. Пусть Ф будет множеством правил
таких, что S(a, b). Тогда для X S А
Ф (X) = {Ь е А | Зу [S (у, Ь) /\ Vx (R (а, х) -> X (х))]}.
Если R и S заменить их элементарными определениями, то по-
лучим элементарное определение ф. □
3.3.3.	Следствие. Если 21 приемлема, то ГТОО(21)П е IND(21),
и, следовательно, каждый Тоо(41)-представимый предикат лежит
в IND (21).
Доказательство. Первая часть следует из предложе-
ний 3.3.2 и 2.3.10. Последнюю часть доказываем, как послед-
нюю часть следствия 2.3.5, используя некоторые свойства замк-
нутости множества IND (St), данные в 3.3.1. □
3.3.4.	Предложение. Если ф: Pow(4m)-> Pow(4m) яв-
ляется позитивным элементарным над 21, то I(ф) является
Too (21) -представимым.
Доказательство. Этот результат доказывается, как
в доказательстве предложения 3.2.3. Утверждение, использован-
ное там, нужно изменить, заменив Т(21) посредством 7^ (21) и
разрешив 0(Х) быть элементарной формулой языка L (21).
А-правило теории Too (21)— это в точности то, что нужно для
доказательства в случае, когда в 0(Х) входит квантор всеобщ-
ности. □
Как следствие предыдущих двух результатов получается
3.3.5.	Теорема. Для приемлемой 21 и предиката R на А
R^ IND (21) тогда и только тогда, когда R является Too (21) -пред-
ставимым.
Как в доказательстве теоремы 3.2.6, имеем
3.3.6.	Следствие. Если 21 приемлемая, то IND(2t) обладает
свойством параметризации.
Следующий результат в книге Московакиса [1] назы-
вается «обобщенной теоремой Клини». Доказательство, данное
там, использует совершенно другой метод, чем используемый
нами.
§ 3. КЛАССЫ ИНДУКТИВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
251
3.3.7.	Теорема. Если 21 — счетная приемлемая алгебраиче-
ская система и R— предикат на Д, то RelND(2l), если и
только если R является П} (^-предикатом.
Эта теорема непосредственно выводится из следствия 2.3.8 и
теоремы 3.3.5.
3.3.8.	Определение. Нормой на множестве R называется
отображение <г R->A множества R на ординал к. к называется
длиной нормы о.
Если R^An, то с о связаны 2п-местные предикаты <а и
, задаваемые так:
a <lboR (а) Д (R (&) => о (а) < о (&)),
а оR(а) А (R(&) =*>о(а)< о(&))
для а, b е Ап.
3.3.9.	Пример. Если <р: Pow (Дл) -> Pow (Лл), то | • |ф: ф°°-> | ф |
является нормой на ф°°. Пишем <ф и <^ф вместо <о и ,
когда а = | • |ф.
3.3.10.	Определение. Пусть Г будет классом предикатов
на А. Если R — предикат на Л, то норма о на R называется
Г-нормой, если и < о, И лежат в Г. Класс Г нормированный,
если каждый предикат из Г обладает Г-нормой. Пусть о (Г)
обозначает для нормированных Г точную верхнюю грань длин
всех Г-норм.
3.3.11.	Пр едложение. Класс IND(21) нормированный.
Доказательство. Пусть R — т^’ф00, где т — сечение и
Ф позитивный элементарный над 21. Положим о0 (а) = | т (а) |ф
для a^R. а0: R —> | ф | может не быть нормой, так как его
область значений может не быть начальным сегментом орди-
налов. Но существует единственная сохраняющая порядок f,
отображающая область значений о0 на ординал А. Тогда, если
а (а) = f (а0 (а)) для a^R, то а: R-^A является нормой на R
длины A ф |.
Заметьте, что для а, b е Ап а<0Ь тогда и только тогда,
когда т(а) <фт(&) и аналогично для ^а. Следовательно, для
доказательства предложения достаточно показать, что <ф и
^Ф лежат в IND(2l). Это следует вот из чего:
3.3.12.	Первая теорема о пошаговом сравнении.
Пусть ф: Pow(4")~>Pow(Xn) 6ydei позитивным элементарным
оператором. Тогда существуют позитивные элементарные опе-
раторы ф<? ф^: Pow(/l2n) ->Pow(X2n) такие, что
<ф==/(<₽<) ч
Более того, <p<(X) = {(a, b) е А2п |(&, а) е qp^(X)} для Х^.А2п.
252
ГЛ. 7. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ИНДУКТИВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
Доказательство. qp< и qp< определяются следующим
образом. Пусть 6 (X) = {(a, b) А2П | a qp' ({х е= Ап |(5, х) (= ^})}
для X А2п, где qp'(K) = qp(K) U Y Для Y ^Ап. Затем полагаем
qp<(X) = 0(0(X)) для X S А2п и определяем qp<, как требуется
в теореме. Теперь заметим, что 0 является позитивным эле-
ментарным, и, следовательно, ср^ и qp< такие же Доказатель-
ство того, что эти операторы индуктивно определяют ^3 и
<ф, легко вытекает из следующей леммы. □
3.3.13.	Лемма. Для всех ординалов к
а /\а^<рк <=> (a, b) qp^,,
Доказательство. Эта лемма доказывается индукцией
по Л. □
3.3.14.	Определение. Предикат /? на А такой, что и /?,
и R лежат в IND(2l), называется гиперэлементарным над 21.
Через HYP(Я) обозначаем класс таких предикатов.
Этот класс обобщает класс гиперарифметических предика-
тов на ю.
3.3.15.	Следствие. Если <р: Pow (Д")-> Pow (Л") является
позитивным элементарным над 21, то фх е HYP (21) для всех
Л < | <р |.
Доказательство. Если Л < | <р |, то Л = |а|ф для некото-
рого а е I (<р). Тогда
дЛ = {х е Ап | х <*а} = {х е Ап | (х, а) <= <р“} =
= {х е /1“| (а, х) е <р” },
Дф^^^хе Ап\а <*х} = {х е Д"|(а, х)е<р” }.
Поэтому, если т (х) — (а, х) для х е Л", то
ф =т ф< И 1ф =Т ф<.
Следовательно, qpxeHYP(?l). □
Основные свойства класса П}-предикатов на со и, более общо,
класса IND(9I) для приемлемых алгебраических систем й со-
держатся в следующем важном определении, впервые вве-
денном в книге Московакиса [1].
§ 3. КЛАССЫ ИНДУКТИВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
253
3.3.16.	Определение. Класс Г предикатов на множестве/!
называется спекторовским классом над Я, если:
(i)	Г позитивно элементарно замкнут над Я (см. предло-
жение 3.3.1);
(ii)	Г содержит кодирующую схему на А (т. е. /V, Seq,
графики lh, q и s и их дополнения лежат в Г; все упомянутые
объекты определены в определении 2.3.2);
(iii)	Г обладает свойством параметризации (см. определе-
ние 3.2.5);
(iv)- Г нормированный.
3.3.17.	Теорема. Если Я — приемлемая алгебраическая
система, то 1ЫО(Я) является наименьшим спекторовским клас-
сом над Я.
Этот результат справедлив также при несколько более сла-
бом предположении, что Я является почти приемлемой, что оз-
начает, что 1ЫЭ(Я) содержит кодирующую схему на А. То, что
1МЭ(Я) является спекторовским классом над Я, получается
комбинированием предложений 3.3.1, 3.3.12 и следствия З.З.б.
Чтобы доказать, что он наименьший, требуется следующий ре-
зультат о спекторовских классах.
3.3.18.	Теорема. Пусть Г будет спекторовским классом
над Я, и пусть <р: Pow(Art)->Pow(An) будет позитивным эле-
ментарным над Я. Тогда /(<р)е Г.
Доказательство. Мы укажем схему доказательства.
Детали можно найти в 9А книги Москов акиса [1]. По свой-
ству параметризации выберем U Ап+2 из Г для параметри-
зации. (п + 1)-местных предикатов из Г. Пусть т: {/—будет
Г-нормой на U. Положим Q(t, а)<==>а е <р({х е Ап |(/, /, x)<J
<т(ЛЛ^)})- Тогда, поскольку Г позитивно элементарно замкнут,
QeF и, следовательно, Q = Ua для некоторого а^А.
Положим Р(а) ФФ Q(a, а) для а^Ап. Пусть а0*. за-
дается как а0(а) — т(а, а, а) для а^Р. а0 может быть не
сюръективным, но, беря суперпозицию его с сохраняющим по-
рядок отображением области значений а0 на начальный сег-
мент ординалов, мы получим норму о на Р. Тогда для а^Ап
Р(а)<^а^ <р({х е Ап1 х <ой}).
Но легко проверить, что всякий предикат Р с нормой, удов-
летворяющей этой эквивалентности, должен совпадать с /(ср).
Следовательно, поскольку РеГ, /(<р)е Г. □
Ординал х(Я) может быть охарактеризован через ШП(Я)
как точная верхняя грань длин позитивных элементарных ин-
дуктивных норм над Я, т. е. имеет место
3.3.19.	Теор ем а. х(Я) = о(1пс1(Я)).
Следующий результат обобщает теорему Спектора — Ганди
для Пгпредикатов на
254
ГЛ. 7. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ИНДУКТИВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
3.3.20.	Обобщенная теорема Спектора -Ганди.
Пусть 91 будет приемлемой алгебраической системой. Если
R^An, то 7? е IND(Ql), если и только если существует эле-
ментарный предикат 31 языка второго порядка такой, что для
а^Ап
/?(а)4^3Хе=НУР(91)$(Х, а).
Этот результат был впервые сформулирован и доказан в
книге Московакиса [1]. Упрощение этого доказательства
было дано А цел ом [2]. Оно использовало новое доказатель-
ство второй теоремы Московакиса о пошаговом сравнении
(7С.1 из книги Московакиса [1]). Следующее предложе-
ние является главным необходимым нам фактом.
3.3.21.	Предложение. Пусть <р: Pow(A") ->Pow (Лп)
будет позитивным элементарным над St. Тогда существует пре-
дикат Q второго порядка, элементарный над 91 и такой, что если
а^ I (<р), или b е I (ср), то следующие условия эквивалентны.
(0 а <фЬ,
(ii) ЭХ£(Х, а, Ь),
(iii) 3XeHYP(2l)£(Y, а, Ь).
Доказательство. Пусть ф^,: Pow (А2П) —> Pow (Л2П) будет
оператором, использованным в первой теореме 3.3.12 о поша-
говом сравнении. Положим Q(X, а)<=>а е X /\ X s ф^ (X) для
X А2П и а е А2п. Тогда Q элементарный над 21. (i) и (ii) экви-
валентны в силу
а <=> 1 b <*а <=> (b, а) & ф” <=> (а, Ь) 0 (ф<)°°
<=> ~| VY [^(У) s У => У (а, Ь)]
<=>ЗХ X) s “|Х А Х(а, Ь)]оЭХ$(Х, а, Ь).
Поскольку (iii) => (ii) тривиально, остается доказать только
(i)=$-(iii). Поэтому пусть а^фЬ. Тогда а<=фХдля некоторого
X < | ф 1, и, следовательно, по определению 3.3.13 (a, &)s<pc
Так как ф< = ф(ф<), то Q (ф<, a, b). Так как Х<|ф| = |ф^|,
из следствия 3.3.15 получаем, что | ф< | е HYP (21). Следова-
тельно, ЗХе= HYP (21) ^(Х, а, Ь). □
Мы закончим наше описание теории позитивной элементар-
ной индукции теоремой Московакиса о нормальной форме для
приемлемых алгебраических систем, которую дадим без дока-
зательства. Для этого нам нужно ввести игровой квантор.
§ 3. КЛАССЫ ИНДУКТИВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
255
В общем случае под квантором на множестве А мы пони-
маем множество Q^Pow(X). Если R А, то пишем QzR(z)
вместо /?еО. Например, кванторы всеобщности и существо-
вания на Л —это 3 = Pow(X) —{0} и У = {Л}.
Если задана элементарная кодирующая схема для алгебра-
ической системы 21, то игровой квантор G на А — это множе-
ство тех R s А, что
•••) V .............хт, ут)).	(*)
mew
Уравнение (*) интерпретируется обычным образом через игру
9 (R) между двумя игроками 3 и V, которые по очереди выби-
рают элементы из Л, начиная с V, чтобы получить последова-
тельность xh ух, х2, у2, . • * Если для некоторого т ух, ...
..., хт>	то игрок 3 выигрывает. Если этого не про-
исходит, то игрок V выигрывает. Теперь (*) интерпретируется
как означающее то, что игрок 3 обладает выигрышной страте-
гией для игры ^(R).
3.3.22.	Теорема (5С из книги Москов акиса [I]). Пусть
21 будет приемлемой алгебраической системой. Пусть G будет
игровым квантором на А относительно некоторой элементарной
кодирующей схемы для 21. Тогда для R^An R^IND (21),
если и только если существует элементарный предикат
такой, что для Ап
R (a)<^GzS (z, а).
3.4.	Релятивизация относительно нетривиального монотон-
ного квантора. В этом пункте мы укажем, как понятия и ре-
зультаты предыдущего пункта могут быть обобщены при помо-
щи релятивизации относительно нетривиального монотонного
квантора Q на A. Q^Pow(^) является нетривиальным, если
О#=0 и Q#=Pow (Д). Q является монотонным, если
эУ е Q влечет, что XgQ. Квантор Q, дуальный к Q, зада-
ется как OtzR (z)<=>~] Otz ~] R (z). Язык Ьл(О) определяется,
как Ьл, и добавляется, что разрешается строить формулы
Qzqp (z) и Qzqp(z) для всякой формулы qp (z).
Стандартная интерпретация Ьл расширяется на предложе-
ния из ЬЛ(О) требованием, что
Охф(х) истинно только и только тогда, когда
{а е А |ф (а) истинно} е Q,
и аналогично для СЩр(х).
Язык L (21, Q) — это подъязык Ьл (Q), соответствующий
подъязыку L (21) языка Ьл. Позитивные и негативные вхожде-
ния предикатов в формулы из ЬЛ(О) определяем, рассматри-
256
ГЛ. 7. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ИНДУКТИВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
вая Q и Q таким же образом, что и обычные кванторы.
Определим Q-элементарные формулы языка ЬЛ(О) аналогич-
но элементарным формулам Ьл, за исключением того, что до-
пускается Ох и Qx. Теперь определим IND (91, О), как в опре-
делении IND (91), только используем позитивные Q-элементар-
ные операторы вместо позитивных элементарных.
Теперь результат из 3. 3 об IND(9I) переносится на IND(9I,Q)
с подходящими изменениями, а именно «элементарный» дол-
жно быть заменено на «Q-элементарный». Там, где требовалось,
чтобы 91 была приемлемой, достаточно теперь, чтобы 91 была
Q-приемлемой, т. е. существовала Q-элементарная кодирую-
щая схема. Среди позитивных Q-элементарных операторов име-
ются Q" и СТ, определяемые аналогично V" и Зл. Теория
7^(91) должна быть заменена на теорию 7^(91, Q). Эта теория
получается из Тоо(91) разрешением использовать Q-элементар-
ные формулы и добавлением следующих, возможно бесконеч-
ных, правил:
Q-правило: из 0(a) для а е X выводится Qx0(x), если X е Q.
Q-правило: из 0(a) для а е X выводится Qx0(x), если X е Q.
(См. Ацел [1], где рассматриваются такие правила.) Исполь-
зуя 7^(91, Q), результаты 3.3.3— 3.3.6 переносим на IND (91, Q).
По-видимому, нет никаких аналогов теоремы 3.3.7. Перенесе-
нием теоремы 3.3.17 получаем, что если 91 является Q-прием-
лемой, то IND(9I, Q) является наименьшим спекторовским
классом над 91, замкнутым относительно всех Q" и Qrt.
Обобщенная теорема Спектора — Ганди 3.3.20 также пере-
носится на IND(9I, Q). Конечно, вместо HYP (91) нужно исполь-
зовать НУР (91, Q).
Теорема о нормальной форме 3.3.22 также переносится, но для
нее необходимо обобщить игровые кванторы. Это проделывается
в работе Ацел а [4], где показывается, как интерпретировать
произвольную бесконечную последовательность Q1xIQ2x2 ...
нетривиальных монотонных кванторов при помощи следующей
перемежающейся последовательности обычных кванторов:
3^1 ge QjVxj ge Л\3^2 ge Q2Vx2 ge Х2 ...
Эта последовательность может быть интерпретирована при по-
мощи игры между двумя игроками, как в определении игро-
вого квантора. Теперь по данной Q-элементарной кодирую-
щей схеме для алгебраической системы 91 мы определяем реляти-
визацию Q+ игрового квантора как множество таких А, что
{QxiQ^QxaQ^Qxa Q1/3 ...} V /?«хь	....хт, ут)).
f 8. КЛАССЫ ИНДУКТИВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ	857
Заметьте, что V+ — это в точности игровой квантор G. Теоре-
ма 3.3.22 переносится на IND(9l, Q), если G заменить на Q+.
Мы закончим этот пункт формулировкой важного недавно
полученного результата.
3.4.1.	Теорема (X а р р и н г т о н [1]). Пусть % будет прием-
лемой алгебраической системой. Каждый спекторовский класс
над 91 имеет вид IND (91, Q) для некоторого нетривиального моно-
тонного квантора (Уна А.
3.5.	Немонотонная индукция. Первые примеры немонотон-
ных индуктивных определений — это появившиеся при построе-
нии различных систем обозначений для все больших сегментов
счетных ординалов. Первые такие системы были предложены
Чёрчем и Клини для рекурсивных ординалов. Один такой при-
мер— система б Клини, рассмотренная в 2.2. Первый ординал,
не имеющий обозначения в С?, есть ординал Чёрча — Клини coi,
т. е. рекурсивный аналог первого несчетного ординала. Индук-
тивное определение б использует монотонный оператор. Но по-
пытки продолжить б до систем обозначений для рекурсивных
аналогов более высоких числовых классов до сих пор приво-
дили к немонотонным операторам. Например, пусть ср:
Pow(со)—> Pow(cd) будет монотонным оператором, ассоцииро-
ванным с регулярно арифметическим множеством правил, по-
рождающим клиниевскую систему б в 2.2. Мы можем расши-
рить ф, добавляя обозначение 7 (к примеру) для ординала coi
и затем продолжая, как и раньше, т. е. мы определяем немо-
нотонный оператор фь Pow (со)Pow (со):
(ф(Х), если ф(Х)?Х,
= | если ф(Х)Е%) для
Тогда ф*' = ф*' для Л < | ф | = со{, так что ф®1 = ф<(01 (J {7} = б (J {7}.
Следовательно, | 7 |Ф1 = со^ Легко видеть, что | Фх | = coj + соь
так что фГ есть множество обозначений для ординалов
< (Oj + (др Так можно продолжать достаточно далеко и прийти
к системам обозначений для значительно больших ординалов
таких, как рекурсивные аналоги конечных и бесконечных кан-
торовских классов порядковых чисел. (См. Аддисон и
Клини [1J, Крейдер и Роджерс [1], Патнем [I] и
Рихтер [11 — [3].)
Упомянутые работы связаны с деталями конкретных си-
стем обозначений. В работе Патнем а [2] предпринят более
общий подход, при котором показано, что произвольные Аг ин-
дуктивные определения могут дать системы обозначений для
начальных сегментов только Д‘.2-ординалов (т. е. порядковых
типов Агвполне упорядочений натуральных чисел). В дальней-
9 Справочная книга, ч. Ш
258
ГЛ 7 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ИНДУКТИВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
ших работах интерес переместился от изучения конкретных
индуктивно определяемых систем обозначений к изучению клас-
сов & индуктивных определений на со и связанных с ними орди-
налов |<?Г|. Изменение, поддержанное Ганди, привело к рабо-
там: Рихтер [4], Ацел и Рихтер [1], Рихтер и Ацел
[1], Ондеро [1], Цензер [1] и Рихтер [5]. В этих ра-
ботах дается характеризация |^| для различных классов $
через рекурсивные аналоги больших кардиналов. Эти аналоги
определяются при помощи теории Крипке о рекурсии на допу-
стимых ординалах. Отправной точкой является рассмотрение
допустимых ординалов как рекурсивных аналогов регулярных
кардиналов. Оказывается, что первым допустимым и большим о)
ординалом является ординал Чёрча — Клини G)b так что эти
два подхода к рекурсивным аналогам согласуются. Другими
аналогами являются рекурсивно недостижимые (допустимые
пределы допустимых ординалов) и рекурсивные ординалы Мало
(допустимые а такие, что для всякой сс-рекурсивной f:
существует допустимый |3 < а, замкнутый относительно f). Для
получения рекурсивных аналогов еще больших кардиналов
Рихтер и Ацел [1] ввели принципы рефлексии. Примерами
являются Пл+2-рефлексивные ординалы, представляющие ре-
курсивный аналог П^-неописываемых кардиналов для п > 0.
Ниже мы сформулируем некоторые полученные результаты.
Но сначала нужна конструкция, изобретенная Рихтером [4].
Для данных (р, ф : Pow (со) —> Pow (со) определим [ф, ф]: Pow (со) ->
—> Pow (со) так:
(ф(Х), если ф(Х)3= X,
[ф, ф] (X) = <	для X s со.
(ф(л), если ф(л) А,
Заметьте, что введенный выше ф1 есть [ф, ф], где ф(Х) = {7}
для всех X со. Если	классы операторов на со, то
ПОЛОЖИМ [&if <F2] = {[фь ф2] | Ф1 &\ И ф2^^2}-
3.5.1.	Предложение, (i) | П° | = со.
(ii)	(Ганди, неопубликовано) | П? | = ®1.
(iii)	(П а т н е м [2]) | А* | = 6*,, первому не (^-ординалу.
(iv)	(Рихтер [4]) | [П°, П°] | = со2. | [IIJ, П-J] | равно первому
рекурсивно недостижимому ординалу. | [П°, П?] | равно первому
рекурсивному ординалу Мало.
(v)	(Ацел и Рихтер [1]) |П® | = |S° + 1| равно первому П°+1-
рефлексивному ординалу,
(vi)	(Ацел и Рихтер [ 1]) | П{ | равно первому П[-рефлексие-
ному ординалу, |S{| равно первому ^[-рефлексивному ординалу.
§ 3. КЛАСС Ы ИНДУКТИВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИИ
259
(vii)	(Рихтер [5]) | ГЦ | равно первому ^-рефлексивному
ординалу.
(viii)	(Ондеро [1]) |П}| < |S' | и |2>|<|П>|.
В вышеупомянутых статьях можно найти значительно боль-
шее число результатов. Интересно сравнить эти результаты
с соответствующими результатами для классов позитивных и
монотонных операторов на со.
3.5.2.	Предложение. (i)| pos-2^ | = | mon-Sj* | = со.
(ii)	(С пектор [1]) | pos-IIJ | = | mon-П} | = сог
(iii)	(Грийо, не опубликовано) | pos-2{ | = |mon-2( | = | SJ |.
(iv)	(Ганди, не опубликовано) | pos-S* | = | топ-Е* | = д|.
Московакис неравно поставил проблему характеризации
ординала | pos-Щ! — | mon-П* |. До сих пор неизвестно даже,
является ли этот ординал допустимым.
Выше мы сформулировали результаты только о |^|. Ко-
нечно, класс IND(<T) также представляет интерес. При общих
предположения? о (8 ординал |^| допустим и IND(^) является
спекторовским классом таким, что || = о(IND(^Г)). Более
того, во многих случаях, рассмотренных Рихтером и Аце-
лом [1], IND(<?T) может быть охарактеризован на языке а-ре-
курсии как класс а-p. п. предикатов на со, где а = | <§ |.
Теория немонотонной индукции на со была наиболее элегант-
но обобщена на алгебраические системы Московакисом
[2]. Центральным в этой работе является понятие типового не-
монотонного класса предикатов второго порядка над абстракт-
ной алгебраической системой 51. Примерами являются классы
S^-или П^-определимых предикатов второго порядка над 91
при k, m 1 или m = 0 и й 2. В случае m = 0 эти классы
определяются в зависимости от гиперэлементарной кодирующей
схемы над 91, как в 2.3.
3.5.3.	Теорема (Московакис [2]). Пусть ST — типовой
немонотонный класс предикатов второго порядка на 91.
Пусть (8 будет множеством операторов qp: Pow (4n)->Pow (Д'1)
таких, что {(х, X) е AnXPow (Дп) | xeqp(X)} лежит в Т. Тогфа
IND (<^) является спекторовским классом над ?! и 181 =
= o(IND(^)).
Московакис собирается охарактеризовать IND((?) как
наименьший спекторовский класс над Я, удовлетворяющий не-
которым дополнительным условиям.
Мы закончим этот пункт формулировкой одного частного
случая интересного общего результата из статьи Харринг-
тона и Кекриса [1].
Пусть 91 будет приемлемой алгебраической системой, и пусть
^(pos-^, mon-б?) будет классом элементарных (позитивных
9*
260
ГЛ. 7. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ИНДУКТИВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
элементарных, монотонных элементарных) операторов над Я.
Положим WF = {S A2|S фундировано}.
3.5.4.	Теорема (X а р р и н г т о н и К ек р и с [1]). Если WF
элементарно над ЭД, то IND (^) = IND (шоп-^).
Этот результат контрастирует с ситуацией для счетных ЭД,
где IND (pos-<^) = П{ (ЭД) = IND (топ-б?). (IND(^) всегда намного
больше, чем IND (pos-^).)
3.6.	Индукция и допустимые множества. В этом пункте мы
предполагаем некоторое знакомство с понятием допустимого
множества (см. главу 7 «Теории моделей»).
Для данного допустимого множества А пусть ЭД =
= <А,е fA2>. Класс ^[-формул языка LA строится из атомар-
ных формул и их отрицаний при помощи V, А, Зх и ограни-
ченного квантора всеобщности Vx е у. Как в 2.3, Si-предикаты
над ЭД — это те предикаты на А, которые определимы над А
посредством Si-формул из Ь(ЭД). (Заметьте, это означает, что
разрешаются константы для элементов из А.) Как в 3.1, мы
определяем класс операторов ср: Pow(An)->Pow(An), которые
являются позитивными ^-операторами над ЭД, ординал о (А)
множества А — это наименьший ординал не из А. Наконец, на-
помним, что предикат R^An является А-конечным, если
R^A. (Заметьте, что, поскольку А замкнуто относительно об-
разования пар, Ап<=^А для п > 0. Поэтому каждый предикат
на А является подмножеством А.) Допустимые множества ин-
тересны во многом в связи с бесконечными языками Ьд, свя-
занными с ними. Напомним, что эти языки являются расшире-
ниями языков первого порядка, в которых формулы представ-
лены теоретико-множественно как элементы А, и разрешены
бесконечные конъюнкции и дизъюнкции ДФ и УФ, если Ф яв-
ляется A-конечным множеством формул. Так же как синтаксис
языков первого порядка полон эффективно заданных финитар-
ных индуктивных определений, синтаксис Ьд использует сле-
дующее. Пусть далее А является фиксированным допустимым
множеством.
3.6.1.	Определение, (i) Множество правил Ф на А на-
зывается А-финитарным, если множество посылок каждого пра-
вила из Ф является А-конечным.
(ii)	А-финитарное множество правил Ф называется ^-мно-
жеством над ЭД, если оно таково, как бинарный предикат на А.
Следующий результат существенно обобщает предложе-
ние 2.1.2 (на самом деле 2.1.2 является по существу частным
случаем, когда А есть множество HF наследственно конечных
множеств).
3.6.2.	Предложение. Если Ф является А-финитарным
множеством правил, которое есть^^ [-множество над ЭД, то /(Ф)
является ^[-множеством над ЭД.
§ 3 КЛАССЫ ИНДУКТИВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
261
Доказательство. Пусть ср: Pow(Л)Pow(Л) будет
монотонным оператором, связанным с Ф. Пусть Ргф(а, &), если
а^А, является ф-доказательством для Ь (см. определе-
ние 1.4.1). Из предположений легко следует, что Ргф является
Si-предикатом над 31. Следовательно, было бы достаточно по-
казать, что I (Ф) = {Ь е А |3а е А Ргф (а, 6)}. Но естественное
доказательство этого будет работать, если в 31 выполняется
предложение «каждое множество может быть вполне упорядо-
чено».
Следовательно, мы используем модификацию понятия ср-до-
казательства. Говорим, что	является q-квазидоказа-
телъством для Ь, если
(i)ax = {6},
(ii)avs=W U аЛдля всех
\|I<V	/
Как и в доказательстве предложения 1.4.2, можно показать,
что для произвольного монотонного оператора ср
/(ф) = {аеЛ|а обладает ф-квазидоказательством}, (*)
а доказательство (*) не требует никакой формы аксиомы вы-
бора, в противоположность доказательству 1.4.2.
Теперь пусть дРгф(а, &), если а&А является ф-квазидока-
зательством для Ь. Как легко видеть, дРгф является Si-преди-
катом над 51, поэтому достаточно доказать
Утверждение. / (Ф) = {b е А |3а е А цРгф(а, Ь)}.
Включение следует из (*). Для доказательства обрат-
ного включения достаточно показать, что правая часть является
Ф-замкнутой. Поэтому пусть Ф: Х-+Ь будет таким, что 1&ж-
дый элемент из X обладает ф-квазидоказательством в Л, т. е.
Vx е ХЭа s Л qPrv (а, х).
Мы должны найти ф-квазидоказательство для b в Л. Поскольку
дРгф является Si-предикатом над 81, можно использовать силь-
ную аксиому Si-замены для нахождения множества УеЛ та-
кого, что
Vx е ХЭа е Y qPr ф(а, х)
и
Va е УЗх е X qPr<p (a, х).
Следовательно, каждый ае У является последовательностью
• Пусть Л будет наименьшим ординалом таким, что
Л > Ка для всех а е У, ск = {Ь} и = U Цг И Y и ц < Ка}
для ц < Л,. Тогда, поскольку А является допустимым множест-
вом, Л<о(Л) и с А. Дальше, по построению с является
ф-квазидоказательством для Ь. Поэтому 3aeXqPr<p(a, b). □
262
ГЛ 7 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ИНДУКТИВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
Заметьте, что из приведенного утверждения следует, что
необходимы только ф-квазидоказательства	длины К <
< о (А). Следовательно, ! Ф | о (А).
Замечание. То же самое доказательство показывает, что
если 31 является моделью ZF, то /(Ф) определимо формулой ло-
гики первого порядка над Я, как только Ф является А-финитар-
ным множеством правил, определимых формулой первого по-
рядка над 31.
Имеется метод доказательства теоремы Барвайса о компакт-
ности для Ьд, когда А является счетным допустимым множе-
ством, который использует класс позитивных индуктивных опре-
делений, являющихся ^/-определениями над 81. Эта идея была
впервые предложена Ганди. Вариант этого подхода можно
найти у А цел а [1]. Рассмотрим следующий результат:
3.6.3.	Т е о р е м а (Ганди). Пусть ф: Pow (Дп) -> Pow (Дп) будет
позитивным ^-оператором над 31. Тогда:
(i)	если R^An является ^-множеством над 31, то аеф(/?)
влечет а е ф (/?') для некоторого A-конечного R' R;
(ii)	/(ф) является ^-множеством над 31 и | ф |^о(Д).
Доказательство, (i) Достаточно показать для каждой
Si-формулы 0(A) из L(81), содержащей позитивные вхождения
n-местной предикатной переменной X и не содержащий никаких
других свободных переменных, что если R Ап является 21-мно-
жеством над 31, то 0’(7?) влечет 0(/?/) для некоторого А-конечного
R' R. Это можно доказать непосредственной индукцией по спо-
собу построения 0(A). Главный случай, когда внешним является
ограниченный универсальный квантор, требует применения ак-
сиомы 21-замены.
(ii) Пусть Ф будет множеством правил Х-+а таких, что
X Ап является A-конечным и аеф(Х). Ясно, что Ф будет
А-финитарным множеством правил, являющимся 2гмножеством
над 31. Следовательно, по предложению 3.6.2 /(Ф) будет 2гмно-
жеством над 31, так что достаточно показать, что /(ф) = /(Ф). За-
метим, что ф не обязательно является монотонным оператором,
связанным с Ф, но в силу (i) это так для 2гпредикатов над 51, и
нам этого будет достаточно. Чтобы показать, что /(ф)^/(Ф),
достаточно показать, что /(Ф) является ф-замкнутым, так что
пусть хеф(/(Ф)). Так как /(Ф) является 2гмножеством над
S[, то ввиду (i) существует A-конечное X s I (Ф) такое, что
х£ф(Х). Следовательно, Ф:	так что хе/(Ф). Чтобы
показать, что /(Ф)^/(ф), достаточно показать, что /(ф) явля-
ется Ф-замкнутым. Пусть Ф:	где Х^/(ф). Тогда хе
еф(Х)^ф(/(ф)) = /(ф), что и требовалось. Наконец, видно,
что неравэнствэ | ф | о (А) следует из замечания в конце дока-
зательства предложения 3.6.2. □
§ 3. КЛАССЫ ИНДУКТИВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
263
Мы закончим этот пункт формулировкой главного резуль-
тата из статьи Барвайса, Ганди и Московакиса [1].
3.6.4.	Определение. Пусть А будет допустимым множе-
ством.
(i)	л: £)->-> Л является проектированием х на Л, если£)е
и л есть сюръекция на Л.
91 проектируемо в х, если существует проектирование х на
Л, являющееся Дроператором над 91 (т. е. график проектирова-
ния и его дополнения являются ^-множествами над 91).
(ii)	т: о(Л)->Л называется разложением множества Л, если
Л = (J т(а).
а<о (А)
91 разложима, если Л допускает разложение, которое яв-
ляется Дроператором над 91.
3.6.5.	Теорема (Б арвайс, Ганди и Московакис
[1]). Пусть А будет произвольным транзитивным множеством,
замкнутым относительно образования пар. Положим
Л+ = П {В| Л е В и В допустимое}.
Тогда
(i)	Л+ допустимо,
(ii)	HYP (91) является множеством А+-конечных предикатов
на А и х(91) = о(Л+)
и если 91+ — ( А+, е f Л+ ), то
(iii)	91+ разложимо и проектируемо в A, a IND (91) — множе-
ство предикатов на А, являющихся ^-предикатами над 91+.
Замечания. Этот результат обобщен в двух направле-
ниях. Во-первых, IND(9l) может быть заменено произвольным
спекторовским классом Г над 91 = (Л, ее f Л) для любого
транзитивного множества Л. Тогда Л+ должно быть заме-
нено на М (Д), где Д = Г U П Г и М (Д) = П {В | Д В и В
допустимое}.
В (ii) HYP (91) и х(91) должны быть заменены на Д и о (Г)
соответственно, (iii) заменяется на (iii)7:
(iii)' Существует предикат R на М(Д) такой, что М(Д) до-
пустимо относительно R и ^<(Д) = <Л1(Д), <= f М(Д)2, R) разло-
жимо и проектируемо на Л. Более того, Г является множеством
предикатов на Л, являющихся Xi-предикатами над ^(Д).
Хотя R и, следовательно, *<(Д) не являются единственными,
класс предикатов на Л1(Д), являющихся Si-предикатами над
^<(Д), не зависит от выбора R и называется компаньоном Г.
Это первое обобщение дано в 9Е.1 книги Московакиса
[1]. Второе обобщение состоит в том, чтобы разрешить 91 быть
произвольной абстрактной системой. Для этого требуется поня-
264
ГЛ. 7. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ИНДУКТИВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
тие допустимой системы с множеством А праэлементов, которое
было введено Барвайсом [1], [2]. Детали были разрабо-
таны Еннисом [1]. Там Еннис показал, что этот результат
все еще выполняется, если в определении спекторовского класса
условие (ii) ослабить до (ii)'.
(ii)' Г содержит график функции образования пар на А.
§ 4. Индукция в основаниях математики
В этом последнем параграфе мы кратко рассмотрим роль
индуктивных определений в контексте оснований математики.
До сих пор мы безоговорочно принимали стандартные рамки
современной математики, формализуемой в теории множеств
ZF. Но понятие индуктивного определения может быть также
рассмотрено в других концептуальных рамках, появившихся
в работах по основаниям математики (например, финитистекой,
предикативной или интуиционистской математике). В рамках
неклассической математики возникает вопрос о том, какие ин-
дуктивные определения законны.
Будет полезно делать различие между фундаментальными и
нефундаментальными индуктивными определениями, следуя
терминологии § 53 книги Клини [1]. Это различие касается
контекста, в котором задано ’индуктивное определение. Индук-
тивное определение области N натуральных чисел наиболее
естественно задается как основное определение объекта нового
типа. Но в контексте теории множеств ZF натуральные числа
0, {0}, {0, {0}}, . . являются объектами, которые суще-
ствуют независимо от индуктивного определения со. Поэтому
последнее не является фундаментальным индуктивным опреде-
лением. Другим примером является индуктивное определение
множества четных чисел как наименьшего множества натураль-
ных чисел, содержащего 0 и п + 2, как только оно содержит п.
Стандартная модель теории множеств ZF задается фунда-
ментальным индуктивным определением универсума (фундиро-
ванных) множеств. Оно состоит из набора правил: Если s яв-
ляется множеством объектов универсума, то и само s является
объектом универсума.
В то время как фундаментальные индуктивные определения,
связанные с концептуальными рамками, обычно будут ясны,
для определения того, какие нефундаментальные индуктивные
определения законны, может потребоваться дальнейший ана-
лиз. Например, для данного набора Ф правил на области N на-
туральных чисел мы определили /(Ф) как П {% G N |% является
Ф-замкнутым}, т. е.
п е I (Ф) <=> (УХ N) [X является Ф-замкнутым ->п Л].
§ 4. ИНДУКЦИЯ В ОСНОВАНИЯХ МАТЕМАТИКИ
265
Но это является непредикативным частным случаем схемы
аксиом выделения (подмножество множества N определяется
при помощи квантификации по всем подмножествам N). Если
непредикативные определения запрещены, мы должны найти
другое возможное определение /(Ф). Если Ф финитарно, мы
можем использовать предложение 1.1.4. В общем случае /(Ф)
можно было бы определить, используя трансфинитные итерации
операторов, как в предложении 1.3.1, или трансфинитные дока-
зательства, как в предложении 1.4.2. Но это потребовало бы
подходящего понятия ординала, что в свою очередь нуждалось
бы в индуктивном определении. Другим подходом является
рассмотрение индукции как примитивного метода определения,
не требующего оправдания через другие методы.
Примером формальной системы, в которой индукция счи-
тается примитивным понятием, является система IDi у Фефер-
м а н а [2] (см. также Фридман [1], Ц у к е р [1] и Мар-
тин-Лёф [1]). Язык системы IDi получается из языка фор-
мальной арифметики добавлением нового n-арного предикатного
символа Рц для каждой арифметической формулы ф = ф(Х, х),
содержащей только позитивные вхождения n-местной преди-
катной переменной X и все предметные свободные переменные
которой содержатся в х = хц . ., хп. Аксиомы системы ID,
получаются из аксиом формальной арифметики расширением
схемы математической индукции на все формулы из IDi и до
бавлением аксиомы и схемы аксиом для каждого Рф:
(i) Ух(ф(Рф> х)-*Рф(х)),
(ii) Vx (<р ({z | ф (z)}, х)->ф(х))->Ух(Рф(х)->ф(.?))
для всех формул ф(z) из IDi.
В (ii) ф({и|ф(2)}, х) обозначает результат замены каждого
вхождения X(t) в ф(Х, х) на ф(?), где ?=Л, ..., tn является
последовательностью термов, и связанные переменные заме-
няются в соответствии с обычными соглашениями.
На стандартной модели арифметики эти аксиомы выражают
то, что индуктивно определяется позитивным арифметиче-
ским оператором, определяемым ф(Х, х).
Процедура построения IDi из формальной арифметики мо
жет быть повторена для построения ID2, ID3, ... Но получаю-
щиеся системы все же значительно слабее, чем полностью не-
предикативные системы такие, как арифметика второго порядка.
С другой стороны, IDi уже сильнее, чем системы предикативной
математики из работы Фефермана [1]. Таким образом, ин-
дуктивная определимость является понятием, промежуточным
по силе между предикативной и полностью непредикативной
определимостью.
266
ГЛ. 7. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ИНДУКТИВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
Было бы интересно сформулировать связную концептуаль-
ную доктрину, делающую индукцию главным понятием. В ли-
тературе имеются предложения на этот счет, но все же возмож-
ность эта не была еще полностью использована.
ЛИТЕРАТУРА
Аддисон и Клини (Addison J. W., Kleene S. С.)
1.	A note on function quantification. — Proc. Amer. Math. Soc., 1957, 8,
p. 1002—1006
Ацел (Aczel P.)
1.	Representability in some systems of second order arithmetic. — Israel J.
Math., 1970, 8, p. 309—328.
2.	Stage comparison theorem and game playing with inductive defini-
tions. — 1972.
3.	Infinitary logic and the Barwise compactness theorem. — In: Proceedings
of the Bertrand Russell Logic Conference/Ed. J. Bell, J. Cole, G. Priest
and A. Slomson, 1973, p. 234—277.
4.	Quantifiers, games and inductive definitions. — In: Third Scandinavian
Logic Symposium/Ed. S. Kanger. Amsterdam; North-Holland, 1975,
p. 1—14.
Ацел и Рихтер (Aczel P., Richter W.)
1. Inductive definitions and analogues of large cardinals. — In: Conference
in Mathematical Logic — London’70. Berlin: Springer, 1972, p. 1—9.
Б a p в а й c (Barwise J.)
1. Admissible sets over models of set theory. — In: Generalized Recursion
Theory/Ed. J. E. Fenstad and P. G. Hinman. Amsterdam: North-Holland,
1974, p. 97—122.
2. Admissible Sets and Structures. — Berlin: Springer, 1975.
Барвайс, Ганди и Moc ков а кис (Barwise J., Gandy R. О., Moscho-
vakis Y. N.)
1. The next admissible set. — J. Symbolic Logic, 1971, 36, p. 108—120.
Ганди (Gandy R. O.)
1. Inductive definitions. — In; Generalized Recursion Theory/Ed. J. E. Fen-
stad and P. G. Hinman. Amsterdam: North-Holland, 1974, p. 265—300.
Гжегорчик, Мостовский и Рылль-Нардзевский (Grzegor-
czyk A., Mostowski A., RylLNardzewski C.)
1. The classical and ©-complete arithmetic. — J. Symbolic Logic, 1958, 23,
p. 188—206.
Грийо (Grilliot T. J.)
1. Model theory for dissecting recursion theory. — In: Generalized Recur-
sion Theory/Ed. J. E. Fenstad and P. G. Hinman. Amsterdam: North-
Holland, 1974, p. 421—428.
E н н и c (Ennis G.)
1. An extension of the next admissible set construction. — Mimeographed
notes, 1975.
Клини (Kleene S. C.)
1. Introduction to Metamathematics. — Princeton (N. J.): Van Nostrand,
1952. [Русский перевод: Клини С. К. Введение в метаматематику. —
М.: ИЛ, 1957.]
Крейдер и Роджерс (Kreider D. L., Rogers Н., Jr.)
1. Constructive versions of ordinal number classes —Trans. Amer. Math.
Soc., 1961, 100, p. 325—369.
Мартин-Лёф (Martin-Lof P.)
1. Hauptsatz for the intuitionistic theory of iterated inductive definitions —
In: Proceedings of the Second Scandinavian Logic Symposium/
Ed. J. E. Fenstad. Amsterdam- North-Holland, 1971, p. 179—216.
ЛИТЕРАТУРА
267
AI о с к о в а к и с (Moschovakis Y. N.)
1.	Elementary Induction on Abstract Structures. — Amsterdam: North Hol-
land, 1974.
2.	On non-monotone inductive definability. — Fundam. math., 1974, 82,
p. 39—83.
3.	On the basic notions in the theory of induction. — Preprint, 1976.
Ондеро (Aandenaa S.)
1.	Inductive definitions and their closure ordinals. — In: Generalized Re-
cursion Theory/Ed. J. E. Fenstad and P. G. Hinman. Amsterdam: North-
Holland, 1974, p. 207—220.
П а т н e м (Putnam H.)
1. Uniqueness ordinals in higher construktive number classes. — In: Essays
on the Foundations of Aiathematics: Dedicated to A. A. Fraenkel/
Ed. Y. Bar-Hillel et al. Jerusalem: Magnes Press, 1961, p. 190—206.
2. On hierarchies and systems of notations. — Proc. Amer. Math. Soc., 1964,
15, p. 44—50.
Пост (Post E.)
1.	Formal reductions of the general ombinatorial decision problem.—
Amer. J. Math., 1943, 65, p. 197—215.
Рихтер (Richter W.)
1.	Extensions of the constructive ordinals.- J. Symbolic Logic, 1965, 30,
p. 193—211.
2.	Constructive transfinite number classes. — Bull. Amer. Math. Soc., 1967,
73, p. 261—265.
3.	Constructively accessible ordinal numbers. — J. Symbolic Logic, 1968, 33,
p. 43—55. .
4.	Recursively Mahlo ordinals and inductive definitions. — In: Logic Col-
loquium'59/Ed. R. O. Gandy and С. E. M. Yates. Amsterdam: North-Hol-
land, 1971, p. 273—288.
5.	The least SJ and Щ-reflecting ordinals. — 1976.
Рихтер и А цел (Richter W., Aczel P.)
1. Inductive definitions and reflecting properties of admissible ordinals.—
In: Generalized Recursion Theory/Ed. J. E. Fenstad and P. G. Hinman.
Amsterdam: North-Holland, 1974, p. 301—384.
С малья н (Smullyan R. M.)
1. Theory of Formal Systems. — Princeton (N. J.): Princeton University
Press, 1961. [Русский перевод: Смальян P. M. Теория формальных
систем. — М.: Наука, 1981.]
Спектор (Spector С.)
1. Inductively defined sets of natural numbers. — In: Infinitistic Methods:
Proceedings of the Warsaw symposium. Oxford: Pergamon Press, 1961,
p. 97—102.
Фенстад и Хинмен (Fenstad J. E., Hinman P. G., ed.)
1. Generalized Recursion Theory. — Amsterdam: North-Holland, 1974,
Феферман (Feferman S.)
1. Autonomous transfinite progressions and the extent of predicative ma-
thematics — In: Logic, Methodology and Philosophy of Science, III/
Ed. B. van Rootselaar and J. F. Staal. Amsterdam: North-Holland, 1968.
p. 121 — 135.
2. Formal theories for transfinite iterations of generalized inductive defi-
nitions and some subsystems of analysis — In: Intuitionism and Proof
Theory/Ed. A. Kino, J. Myhill and R. E. Vesley. Amsterdam: North-Hol-
land, 1970, p. 303—326.
Фридман (Friedman H.)
1. Iterated inductive definition and —AC. — I-n: Intuitionism and Proof
Theory/Ed A Kino, J. Myhill and R. E. Vesley. Amsterdam: North-Hol-
land, 1970, p. 435—442.
268 ГЛ. 7. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ИНДУКТИВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
Харрингтон (Harrington L. А.)
1 Monotone quantifiers and inductive definability. — Mimeographed notes,
1975
Харрингтон и Кекрис (Harrington L. A., Kechris A. S.)
1 Or monotone versus non-monotone induction. — Mimeographed notes,
1975.
Це н з e p (Cenzer D.)
1. Ordinal recursion and inductive definitions. — In: Generalized Recursion
Theory/Ed. J. E. Fenstad and P. G. Hinman. Amsterdam: North-Holland,
1974, p. 221—264.
Ц у к e p (Zucker J. I.)
1. Iterated inductive definitions, trees and ordinals. — In: Metamathematical
Investigation of Intuitionistic Arithmetic and Analysi$/Ed. A. S. Troel-
stra. Berlin: Springer, 1973.
Чэн и Кейслер (Chang С. C., Keisler Н J.)
1. Model Theory. — Amsterdam: North-Holland, 1973. [Русский перевод:
Кейслер X. Дж., Чэн Ч. Ч. Теория моделей. — М.: Мир, 1977.]
Дополнение
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ
В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
(положительные аспекты)
ТО. Л. Ершов
СОДЕРЖАНИЕ
§ 1. Конструктивные поля.......................................270
1. Введение в теорию нумераций (270). 2. Конструктивные поля
(273). 3. Конструктивные поля со свойством (F) (281). 4. Конструк-
тивизация универсальной области (288).
§ 2. Регулярно замкнутые поля................................. 296
1. Алгебраические свойства регулярно замкнутых полей (297). 2. До-
пустимые классы конечных групп (306). 3. Теоретико-модельные
свойства регулярно замкнутых полей (318). 4. Теория стратов Галуа
(331).
Заключение.........................•............•	. ..........348
Литература.....................................................351
Теория полей всегда являлась ареной, где возникали или
апробировались всевозможные алгоритмические проблемы. На-
чало этому положили многочисленные алгоритмические про-
блемы теории чисел и алгебраической геометрии. Настоящий
обзор будет касаться только новых постановок и только поло-
жительных решений алгоритмических проблем: проблем разре-
шимости элементарных теорий тех или иных классов полей и
проблем, связанных с понятием конструктивизации. Хорошо из-
вестны результаты об элементарных теориях классических полей:
1. Элементарная теория поля Q рациональных чисел нераз-
решима (Робинсон [1]).
2. Элементарные теории каждого из полей .С, R, Q* (комп-
лексных, вещественных и р-адических чисел соответственно') раз-
решимы (Тарский [1], [2], Ершов [1], Акс и Кочен
L Элементарная теория класса всех (простых) конечных по-
лей разрешима (Акс [2]).
Каждый из положительных результатов относительно эле-
ментарных теорий классических полей к настоящему времени
получил существенное расширение. Так, теория регулярно замк-
нутых полей, которая весьма подробно изложена во втором пара-
графе, является далеко идущим обобщением теории алгебраиче-
ски замкнутых полей, а источник этого обобщения лежит в ис-
следованиях теории конечных полей. Теория поля R—теория
вещественно замкнутых полей — оказалась первой в классе экзи-
270
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
стенциально замкнутых полей с п порядками (или /г-упорядочен-
ных полей; см. заключение), имеющих разрешимую теорию (ван
ден Дрис [1]). Разрешимость поля Qp привела к проблемам
исследования элементарных теорий нормированных полей (Ер-
шов [5]). Оказалось, как и в случае упорядоченных полей, что
существует интересная теория кратно нормированных полей
(Ершов [7]). Точные формулировки результатов о кратно
упорядоченных и кратно нормированных полях будут даны в за-
ключении.
Первый параграф содержит очерковое изложение теории
конструктивных полей. Начинается он с краткого изложения
некоторых понятий и результатов общей теории нумераций.
Существование на русском языке книг Ершова [4], [5] по-
зволило уделять в этом параграфе большее внимание тем во-
просам, где встречается специфика теории полей.
Второй параграф содержит подробное алгебраическое, тео-
ретико-модельное изучение класса регулярно замкнутых полей,
класса весьма богатого и интересного. В пп. 3 и 4 этого параг-
рафа даются два различных подхода к изучению элементарных
теорий регулярно замкнутых полей. Первый подход теоретико-
модельный, второй — прямая элиминация кванторов в теории
стратов Галуа. Пункт 2 имеет вспомогательный характер, но
в этом пункте положительно решается одна алгоритмическая
проблема о классах конечных групп, которая существенно ис-
пользуется в следующих пунктах.
Следует отметить, что имеется ряд весьма интересных поло-
жительных результатов в изучении алгоритмических проблем
над полями, которые не попали в настоящий обзор, ограничен-
ный указанными выше проблемами элементарных теорий и кон-
структивизаций. В качестве примера укажем на работы: Сар-
кисян [1], [2]; Грюнвальд и Сегал [1], [2], в которых
положительно решены некоторые алгоритмические вопросы об
алгебраических группах над конструктивными полями.
§ 1. Конструктивные поля
1. Введение в теорию нумераций. Пусть S— произвольное
непустое не более чем счетное множество. Нумерацией мно-
жества S называется всякое отображение v множества о всех
натуральных чисел на множество S. Пара © = (S, v), где v —
некоторая нумерация множества S, называется нумерованным
множеством. Если ©o=(‘So,vo) и ©i=(Si,vi)— нумерованные
множества, то морфизмом из ©о в ®i называется любое отобра-
жение ц: So-> Si, для которого существует рекурсивная функ-
ция f такая, что pv0 = v\f. Если So^Si и ц— отображение вло-
жения, то в случае, когда ц— морфизм из ©0 в ©ь будем гово-
§ 1. конструктивные ПОЛЯ
271
рить, что нумерация v0 сводится к нумерации vi, и обозначать
это vo vi; если еще So = Si и vi vo, то нумерации v0 и vi
называются эквивалентными, и обозначать это будем так.
vo = vi. Множество всех морфизмов из ©0 в ©i обозначается
Мог (©о, ©1). Класс всех нумерованных множеств, расширенный
естественным образом «пустым» нумерованным множеством О,
вместе с определенными выше морфизмами (|Мог(0, ®) | = 1,
Мог(©, 0) — 0, если © #= 0) образует категорию $ нумерован-
ных множеств.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Пусть S2 {0, 1}; с каждой нумерацией v мно-
жества S2 свяжем множество Mv {х|х е со, vx = 1}. Так ме-
жду нумерациями множества S2 и собственными подмноже-
ствами множества со устанавливается естественное взаимно од-
нозначное соответствие. Легко видеть из определения, что если
v0 и vi — нумерации множества S2, то v0 сводится к vi тогда
и только тогда, когда множество MVj m-сводится к множеству
Таким образом, если через L(S2) обозначить семейство
классов эквивалентных нумераций множества S2 с частичным
порядком, индуцированным отношением сводимости, то L(S2)
естественно изоморфно верхней полурешетке Lm m-степеней всех
(собственных) подмножеств множества а).
Пример 2. Пусть п ю, п 2, Sп {0, 1, ..., п — 1};
тогда, как в примере 1, существует естественная связь нумера-
ций множества Sn и их сводимостей с понятием кратной т-сво-
димости непересекающихся систем из п— 1 подмножеств со.
Если L(Sn)—частично упорядоченное множество классов экви-
валентных нумераций множества Sn, то оказывается (Ершов
[4], приложение II), что L(Sn) обладает довольно удивитель-
ными алгебраическими свойствами универсальности, что позво-
ляет установить, в частности, что L(Sn) изоморфно Л(52).
Пример. 3. Пусть 31 — семейство всех рекурсивно пере-
числимых подмножеств со. Нумерация v:	называется
вычислимой, если множество пар «х, у) |x е vy} рекурсивно пе-
речислимо. Если некоторая нумерация эквивалентна вычисли-
мой, то она сама вычислима. Обозначим через £°(5Г) частично
упорядоченное множество (верхнюю полурешетку) классов экви-
валентных вычислимых нумераций. Одним из наиболее замеча-
тельных свойств этой полурешетки является существование в
L°(e5T) наибольшего элемента. Другими словами, существует та-
кая вычислимая нумерация (нумерация Поста) л: со—*31, что
любая другая вычислимая нумерация к ней сводится. Такие ну-
мерации называются главными вычислимыми.
Пример 4. Пусть R 31 — некоторое семейство рекур-
сивно перечислимых множеств. Определение вычислимости ну-
272
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
мерации v:	то же, что и в примере 3. Пусть LQ(R) —
верхняя полурешетка (или пустое множество) классов эквива-
лентных вычислимых нумераций множества R. Существует боль-
шое разнообразие таких полурешеток (см. Ершов [4]).
Одной из главных задач общей теории нумераций является
задача: как «правильна» нумеровать те множества, которые
естественно возникают при рассмотрении нумерованных мно-
жеств. Многие из таких задач сводятся к решению более част-
ной проблемы: как «правильно» занумеровать семейство
Мог(®о, ®i) всех морфизмов из одного нумерованного множе-
ства ©о в другое ©1?
Укажем вкратце схему решения этой проблемы (заметим
сразу, что она имеет решение далеко не для всех пар (®0, ®i)!).
Начнем с указания, что категория 91 нумерованных множеств
обладает конечными суммами и произведениями. Обозначим
через N объект — т. е. нумерованное множество — (со, id^) кате-
гории 91.
Пусть S^Mor(©o, ©i) — некоторое семейство морфизмов из
©о в ©i; нумерацию v: (o->S этого семейства назовем вычис-
лимой, если связанное с этой нумерацией отображение v: (о/
X50->Si, определенное так: v(n, 50)^[v(n)](s0)(GS1), new,
s0 е So, является морфизмом из прямого произведения WX@o
в ©1. Нумерация v: w-> Mor (®0, ©i) называется главной вычис-
лимой, если она вычислима и любая вычислимая нумерация
любого семейства S^Mor(©0, ©i) к ней сводится. Будем гово-
рить, что для пары нумерованных множеств (®0, ©i) разрешима
проблема Р (и записывать это просто Р(©0, ®i)), если семей-
ство Mor(©o, ©i) обладает главной вычислимой нумерацией.
Если для пары (©о, ©i) разрешима проблема Р, то главная
вычислимая нумерация v* (определенная однозначно с точ-
ностью до эквивалентности) и будет искомой «правильной» ну-
мерацией семейства Mor(S0, ©1); в этом случае нумерованное
множество (Мог(©о, Si), v*) будем обозначать 3Ror(©o, ©i). То,
что это решение является «правильным», подтверждает следую-
щая теоретико-категорная теорема, которая сразу устанавливает
связь рассматриваемой проблемы с аналогичными проблемами,
которые решались, например, в алгебраической геометрии и
других разделах математики.
Теорема. Для любой пары (®0, ©i) нумерованных мно-
жеств следующие два утверждения эквивалентны}
1) для пары (©о, ®i) разрешима проблема Р\
2) функтор Мог(—Х®о, ®i) из категории 91 в категорию
множеств представим.
При выполнении этих условий нумерованное множество
Ш1от(@о,®1) и представляет этот функтор, т. е функторы
Мог(—Х©о, ©1) и Мог(—, 2Лот(©о, ©1)) эквивалентны. □
§ Т. КОНСТРУКТИВНЫЕ ПОЛЯ
273
В книге Ершова [4] указаны некоторые широкие доста-
точные условия разрешимости проблемы Р, которые позволяют,
в частности, определить класс (частичных) вычислимых функ-
ционалов конечных типов так:
Определим множество Т конечных типов следующим рекур-
сивным определением: ОеТ; о, теТ4(оХт), (а->т)ЕГ.
Пусть 31^ — это множество всех не более чем одноэлемент-
ных подмножеств ш, т. е. 3lQ = {0, {0}, {!}, а л0 — главная
вычислимая нумерация 3lQ (заметим, что 3lq^3l)\ полагаем
^^(5Г0, л0).
Если ^. — нумерованные множества вычислимых функ-
ционалов типов о и т соответственно, то	и
2. Конструктивные поля. Начнем с определений, относя-
щихся к произвольной сигнатуре Оо = \Ро > .Pi , . - -/z<£ U
и(/Г°. ...» f™1, •••)/</II (^о, cs, k, I, такой,
что функции	j mj рекурсивны.. Пусть
U («о,	• •) и g\ со-> LGj — гёде л ев а нумерация всех формул
сигнатуры Qi с равенством, полученная любым естественным
образом. Пусть ЭД — алгебраическая система сигнатуры а0, а
у: со -> | ЭД | — нумерация основного множества этой системы,
тогда пара (ЭД, у) называется нумерованной системой. Через
9lv обозначим обогащение системы ЭД до сигнатуры полу-
ченное так: а^^чп, Обозначим через ТИ0(ЭД, у) беск-
ванторную теорию системы ?lv, т. е. совокупность всех бескван-
торных предложений сигнатуры оь истинных в ?lv, а через
Тп(ЭД, v) — элементарную теорию системы ЭД^, т. е. совокупность
всех предложений сигнатуры о^, истинных в ?lv. Нумерованную
систему (ЭД, у) назовем конструктивной, если разрешима бескван-
торная теория Th0(2l, у) системы 2lv, т. е. если множество
£_1(Т11о(ЭД, v)) гёделевых номеров предложений из ТЬ0(ЭД, у)
рекурсивно; (ЭД, у) сильно конструктивна, если разрешима эле-
ментарная теория Th (ЭД, у) системы 9lv. Нумерацию у: <о->| ЭД |
назовем {сильной) конструктивизацией, если нумерованная систе-
ма (ЭД, у) (сильно) конструктивна. Система ЭД называется {сильно)
конструктивизируемой, если у системы ЭД имеется по крайней
мере одна (сильная) конструктивизация.
В качестве примера сильно конструктивизируемых систем
можно указать всякую конечную систему конечной сигнатуры.
В частности, всякое конечное поле сильно конструктивизируемо.
Поле Q всех рациональных чисел, очевидно, является кон-
структивизируемым.
Укажем два очевидных утверждения:
274
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
1.	Если R— конструктивизируемое кольцо, то и кольцо мно-
гочленов R [%] от одной переменной конструктивизируемо, □
2.	Если целостное коммутативное кольцо R конструктиви-
зируемо, то конструктивизируемо и его поле частных F(R). □
В качестве следствия этих утверждений получаем
3.	Если К — конструктивизируемое поле, то поле К(х^, ...
..., хп) рациональных функций от п переменных над К также
конструктивизируемо. □
Замечание. Классический опыт работы с многочленами
позволяет строить по конструктивизации поля К очевидные кон-
структивизации кольца многочленов от счетного числа перемен-
ных ..., хп, ...] и поля частных К(хх, ..., хп, ...) так,
что, в частности, справедливо следующее утверждение.
З7. Если поле К конструктивизируемо, то и чисто трансцен-
дентное расширение К(х^, ..., хп, ...) степени со над К также
конструктивизируемо. □
4.	Если поле К конструктивизируемо, К (а)—простое алгеб-
раическое расширение К, то К (а) конструктивизируемо.
Действительно, если v: (о->Л’[х]—естественная конструк-
тивизация кольца многочленов от одной переменной, продол-
жающая некоторую конструктивизацию поля К, а	—
минимальный многочлен для а над К, то идеал (/)=^
еК[х], f\g (f делит g)} является рекурсивным (т. е.
рекурсивно). Отсюда сразу следует, что нумерация va: (о->
->К(а), полученная как композиция нумерации v и естествен-
ного эпиморфизма ср: /<[%]->/<(а) (Кегф = (/)), является кон-
структивизацией К (а). □
5.	Если К — конструктивизируемое поле, L — конечно по-
рожденное расширение К, то L конструктивизируемо.
Это следствие утверждений 3 и 4. □
Сформулируем теперь один общий результат о существова-
нии конструктивных моделей. Начнем с определений. Пусть
Ф — некоторое множество формул сигнатуры ао, содержащих
единственную свободную переменную. Ф-алгебраическим эле-
ментом алгебраической системы §1 сигнатуры а0 называется
всякий элемент a^|9l| такой, что 91Нф(а) и множество
{6|6е|91|, 911= ф(6)} конечно для некоторой формулы ф из
Ф. Через 91ф обозначим подсистему 91, порожденную всеми
Ф-алгебраическими элементами системы 91. Будем говорить, что
теория Т сигнатуры оо имеет Ф-ядро, если существует такая си-
стема 91° |= Т, что для любой системы 91 }= Т существует изо-
морфное вложение а: ?1ф-> 91ф такое, что для rze|9l^| и (реФ
91° Ф (а) <=> 91 ф (оа).
§ 1. КОНСТРУКТИВНЫЕ ПОЛЯ
275
В этом случае алгебраическая система 21ф (определенная
однозначно с точностью до изоморфизма) и называется Ф-яд-
ром теории Т и обозначается С (Т, ф).
Справедлива (Ершов [5]) следующая
Теорема о ядре. Если Т — рекурсивно перечислимая
теория сигнатуры а0, Ф — рекурсивно перечислимое множество
формул и Т имеет Ф-ядро, то оно конструктивизируемо. □
Укажем некоторые применения теоремы о ядре
Пусть (/С, v) — конструктивное поле, Гас — теория алгебраи-
чески замкнутых полей. Пусть Т — теория сигнатуры о =
= Of и<^0, «1, .. .>, определенная рекурсивной системой аксиом
Гас U Th0(/<, v); Ф — совокупность всех бескванторных формул
сигнатуры о, имеющих одну свободную переменную, тогда тео-
рия Т имеет Ф-ядро и это Ф-ядро естественно изоморфно алгеб-
раическому замыканию поля Л’. Таким образом получаем
6.	Если поле К конструктивизируемо, то конструктивизи-
руемо и его алгебраическое замыкание. □
Из утверждений 6, 3 и 3' следует
7.	Любое счетное алгебраически замкнутое поле является
конструктивизируемым. □
Замечания 1. Если некоторая теория Т допускает эффек-
тивную элиминацию кванторов, то всякая конструктивизация
системы §1 такой, что §1 (= Т, является сильной. Следовательно,
любое счетное алгебраически замкнутое поле сильно конструк-
тивизируемо.
2. Имеется другое общее утверждение (Хисамиев [1],
Харрингтон [1]), из которого вытекает указанный выше
результат: если полная разрешимая теория Т категорична в не-
счетной мощности, то любая счетная система теории Т сильно
конструктивизируема.
На самом деле рассуждение, которое проведено перед ут-
верждением 6, дает много больше, но для этого нужно дать
еще одно определение. Пусть §l0 Sti— Две системы сигнатуры
Go, vo : (о->|Я0|— конструктивизация системы §10; конструктиви-
зация гг. со—>|911| системы Sli продолжает конструктивизацию
vo, если vo сводится к Vi
Нетрудно теперь видеть, что справедливо утвеждение, более
точное, чем утверждение 6:
8.	Любая конструктивизация поля К продолжается до не-
которой конструктивизации его алгебраического замыкания. □
Впервые это было установлено в работе Рабина [1] со-
вершенно другими методами.
Следующее утверждение дает ответ на более общий вопрос,
когда конструктивизация поля К продолжается до некоторой
конструктивизации его алгебраического расширения L?
276
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
Предложение 1. Пусть L — алгебраическое расшире-
ние поля К; конструктивизация v поля К продолжается до не-
которой конструктивизации поля L тогда и только тогда, когда
семейство SL {f\f К[х], f имеет корень в L} — рекурсивно
перечислимое подмножество кольца Д[х] (снабженного кон-
структивизацией, продолжающей v).
В основе доказательства лежит алгебраический факт о том,
что поле L однозначно определено над К семейством Sl; это
позволяет использовать теорему о ядре для установления до-
статочности. Необходимость же очевидна. □
Сформулируем теперь одно очень простоё общее утвержде-
ние.
9.	Если (91, v)—конструктивная модель, 910— такая подси-
стема, что множество у~1 (| 91о |) рекурсивно перечислимо, то 91,-
имеет конструктивизацию vo и притом такую, что v продол-
жает конструктивизацию v0.
Если f — рекурсивная функция, областью значения которой
является у~1 (191о |), то v0 vf — искомая конструктивизация. □
Обратимся к вопросам нумераций подполей конструктивного
поля (К, v). Пусть S(K)—система всех подполей поля Д. Ну-
мерацию V*: со->5 некоторого семейства подполей поля K(S^
назовем вычислимой, если предикат Р(х, у) ух е у*у
рекурсивно перечислим.
Заметим* сразу, что если v* — вычислимая нумерация неко-
торого семейства подполей конструктивного поля (К, у), то для
любого XE(D у*х — такое подполе поля Д, что v-1(v*x) рекур-
сивно перечислимо; следовательно, в силу утверждения 9 v*x
имеет такую конструктивизацию ух, что у продолжает vx. Такие
подполя будем называть конструктивными подполями. (Заме-
тим, что с точностью до эквивалентности существует единствен-
ная конструктивизация такого подполя такая, что вложение
есть морфизм.) Через SC(K, у) будем обозначать семейство
всех конструктивных подполей конструктивного поля (Л, v).
Предложение 2. Существует такая вычислимая нумера-
ция ус семейства Sc(/<, v), что любая вычислимая нумерация
v*: со -> S SC(K, v) семейства конструктивных подполей (К, у)
сводится к ус', другими словами, ус — главная вычислимая ну-
мерация семейства Sc(K,y).
Пусть v-1 (Р), где Р — простое подполе поля Д’; /?0
рекурсивно перечислимо. Если R^9b, то через Ф (/?) обозначим
рекурсивно перечислимое множество, определенное так: Ф(/?)^±
v-1 (Р (v/?)), т. е. Ф(/?) — это множество всех v-номеров под-
поля поля К, порожденного над Р множеством yR. По-другому
Ф(/?) может быть определено как наименьшее множество, удо-
влетворяющее условиям:
1) R U /?о о (Я);
§ 1. КОНСТРУКТИВНЫЕ поля	277
2) если xQ, %i, х2 <0 таковы, что xQ, х{ еФ(/?) и vx0 + vxj =
= VX2 ИЛИ VXq’VX1 = VX2 ИЛИ VXo + VX2 = VXi или v,r0 =# 0 и
VX0 • VX2 = VXb TO x2 (= Ф (/?).
Отсюда (и из конструктивности поля (К, v)) легко следует,
что Ф.91-+91 есть морфизм из П 91 , л))в 77, т. е. существует
рекурсивная функция g такая, что Ф(лх) = Jig(X) для любого х^ со.
Ф является ретрагирующим морфизмом (Ф2 = Ф). Определим
нумерацию ус так:	Нетрудная проверка того, что
Ус есть искомая нумерация, оставляется читателю. □
Заметим, что вычислимые нумерации семейств подполей
(К, v) находятся в естественном взаимно однозначном соответ-
ствии с вычислимыми семействами рекурсивно перечислимых
множеств из Ф(5Г).
Следствие 1. Семейство всех конечно порожденных под-
полей имеет вычислимую нумерацию.
Если h — такая рекурсивная функция, что у = nh (у— стан-
дартная нумерация всех конечных подмножеств со), то v0^
~^у~хфп!г есть вычислимая нумерация всех конечно порожден-
ных подполей. □
Еслл зафиксировать некоторое конструктивное подполе Ко,
то справедливы утверждения, аналогичные предложению 2 и
следствию 1:
Следствие 2. Существует главная вычислимая нумерация
семейства Sc(Ko, К, v)^{L\L е SC(K, v), Ко^Г} всех проме-
жуточных конструктивных подполей. □
Следствие 3. Существует вычислимая нумерация семей-
ства всех подполей К, конечно порожденных над Ко- □
Как и в случае вычислимых нумераций семейств рекурсивно
перечислимых множеств, можно интересоваться, например, од-
нозначными вычислимыми нумерациями подполей. Укажем
один из результатов.
Предложение 3. Пусть (Л, v) — конструктивное поле,
Ко — конструктивное подполе К такое, что К над Ко не является
конечно порожденным, тогда семейство Sc(Ko,K,v) имеет од-
нозначную вычислимую нумерацию.
Для доказательства предложения нужно воспользоваться
теоремой 2 § 6 главы 1 книги Ершова [4] и тем, что семей-
ство {v-1L|L е Sc (Ко, К, v)} предельно для вычислимой после-
довательности
Ф^"%)^ ...	1, ..., zi})^®(v"^oU
и {о, 1, ..., п, п+ 1})с= ... □
Введем еще ряд определений. Гомоморфизмом конструктив-
ной системы (Slo, vo) в конструктивную систему (2li, vi) назо-
вем всякое отображение ц: |Й0|->|911| такое, что ц— гомомор-
физм системы в 911 и морфизм нумерованного множества
278
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
(|2lo|, vo) в нумерованное множество (|5li|,vi). Гомоморфизм
конструктивных моделей р: (5l0, v0) ->(5li, vi) называется экви-
валентностью, если р — изоморфизм Яо на системы (2l0, vo)
и (5li, vi) в этом случае называются эквивалентными. Пусть
$ — некоторое семейство конструктивных систем; нумерация <р-
этого семейства называется вычислимой, если вычислима
индуцированная нумерация семейства рекурсивных множеств
{g-1 (Th0 (51, v)) | (51, v) e $}. Класс конструктивных моделей й
называется слабо вычислимым, если существует вычислимая
нумерация у такого подкласса	что любая конструктив-
ная система из $ эквивалентна подходящей системе из
Предложение 4. Следующие классы конструктивных по-
лей слабо вычислимы'.
1)	класс конструктивных полей фиксированной характери-
стики степени трансцендентности ^п над простым подполем
для любого и е со;
2)	класс конструктивных полей фиксированной . характе-
ристики конечной степени трансцендентности над простым под-
полем;
3)	класс всех конструктивных полей степени трансцендент-
ности ^.п над простым подполем;
4)	класс всех конструктивных полей конечной степени
трансцендентности над простым подполем.
Доказательства этих утверждений вполне аналогичны, по-
этому приведем только набросок доказательства утверждения 2).
По утверждению 7 существует некоторая конструктивизация
v алгебраически замкнутого поля К счетной степени трансцен-
дентности над простым подполем. Воспользуемся теперь лем-
мой, которая будет доказана позже.
Лемма 1. Если (Ко, v0) — конструктивное поле конечной
степени трансцендентности над простым подполем, a (К, у)—
алгебраически замкнутое поле той же характеристики, имею-
щее степень трансцендентности над простым подполем, не мень-
шую чем Ко, то (Ко, vo) вкладывается в (К, v) как конструк-
тивное подполе. □
В соответствии с леммой достаточно показать, х что вычис-
лимо семейство всех конструктивных подполей поля (К, v),
имеющих конечную степень трансцендентности над простым по-
лем. Поступаем следующим образом. Пусть ус— главная вы-
числимая нумерация всех конструктивных подполей поля
(К, v); для любого хео пусть К*— алгебраическое замыкание
поля Р(уу1(х)) в поле vcr(x)(vy/(x)). (Здесь I, г — одноместные»
примитивно рекурсивные функции, осуществляющие вместе
с двуместной примитивно рекурсивной функцией с однознач-
ную нумерацию пар натуральных чисел, а у — стандартная ну-
мерация семейства /^(со) всех конечных подмножеств со.) Ясно,
§ 1. КОНСТРУКТИВНЫЕ ПОЛЯ
279
что отображение х»—есть вычислимая нумерация. Далее,
так как Кх есть алгебраическое расширение поля, конечнопо-
рожденного над простым подполем Р, то Кх имеет конечную
степень трансцендентности над Р. Наоборот, пусть L—кон-
структивное подполе поля (Л, v), имеющее конечную степень
трансцендентности над Р, и пусть у таково, что L = vcy. Далее,
пусть {а0, ak}—базис трансцендентности L над Р и х0, ...
..xk — v-номера этих элементов соответственно; если z
таково, что yz = {х0, . ., х^}, a x^=c(z, у), то, очевидно,
Кх = L. □
Замечание. Класс всех конструктивных полей фиксиро-
ванной характеристики и класс всех конструктивных расшире-
ний фиксированного конструктивного поля не являются слабо
вычислимыми. Это вытекает из общих результатов, установлен-
ных в работе Добр и цы [1]; этот факт установлен также
в работе Мета кидеса и Нерода [1].
До сих пор обсуждались только вопросы существования
конструктивизации или их продолжений. Естественно возни-
кают и вопросы единственности.
Если vo й vi—две конструктивизации системы 21, то они на-
зываются автоэквивалентными, если конструктивные системы
(21, vo) и (21, vi) эквивалентны; конструктивизации v0 и vi экви-
валентны, если они эквивалентны как нумерации множества
|21|. Алгебраическая система 21 называется конструктивно устой-
чивой (автоустойчивой), если любые ее две конструктивизации
эквивалентны (автоэквивалентны).
Простым, но удобным для применений является утверждение
10. Любая конечно порожденная алгебра конечной сигна-
туры (т. е. алгебраическая система без предикатных символов
в сигнатуре) является конструктивно устойчивой, □
В частности, любое поле, конечно порожденное над своим
простым подполем, является конструктивно устойчивым.
Предложение 5. Алгебраически замкнутое поле авто-
устойчиво тогда и только тогда, когда оно имеет конечную сте-
пень трансцендентности над своим простым подполем.
Достаточность будет следовать из рассмотрений следующего
пункта. Необходимость вытекает из возможности построения
двух конструктивизаций алгебраически замкнутого поля Кш
счетной степени трансцендентности над простым подполем Р
таких, что при одной конструктивизации свойство алгебраиче-
ской зависимости над Р для конечных подмножеств Кш разре-
шимо, а при другой неразрешимо. □
Замечание. Поле К® является в терминологии статьи
Гончарова [1] моделью с неограниченными ветвлениями,
поэтому из общей теоремы этой статьи у поля Кш существует
бесконечно («невычислимо») много неавтоэквивалентных кон-
280
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
структивизаций. Этот результат О поле /<© содержится также
в работе Метакидеса и Нерода [1].
Рассмотрим более подробно упомянутое в предыдущем пред-
ложении свойство алгебраической зависимости. Пусть (/(, v)—
конструктивное поле, Ко К — рекурсивно перечислимое (кон-
структивное) подполе К- Будем говорить, что понятие алгеб-
раической зависимости в (К, v) над Ко эффективно, если су-
ществует алгоритм, который по любым двум натуральным чис-
лам пит отвечает на вопрос: будет ли элемент vn алгебраи-
чен над Ko(vym). (Здесь ут— конечное множество со стан-
дартным номером т.)
Предложение 6. Алгебраическая зависимость в (A, v)
над KQ эффективна, если и только если существует рекурсивно
перечислимый базис трансцендентности над Ко-
Необходимость. Рассмотрим только случай, когда степень
трансцендентности К над Ко бесконечна. Строим эффективно
последовательность конечных множеств Fq S F\ ... так:
0. Находим наименьшее п0 такое, что vnQ не алгебраичен
над Ко\ полагаем FQ^{nQ}.
fe+1- Находим наименьшее nk+i такое, что vn&+1 не алге-
браичен над Ko(vFk)'> полагаем Fk+i ^Fk[)
Если U Frt, то F^ рекурсивно перечислимо и vFw—
neo)
базис трансцендентности К над Ко-
Достаточность основана на следующих двух фактах:
1) По номеру элемента а поля К и рекурсивно перечисли-
мому заданию базиса К над Ко можно эффективно найти наи-
меньшее подмножество F базиса такое, что а алгебраичен над
K0(F).
Доказательство основано на лемме 2 § 13 главы 2 книги
Зарисского и Самюэля [1]. □
2) По рекурсивно перечислимому заданию базиса К над Ко
и коне тому множеству F элементов из К можно эффективно
построить новый базис, содержащий некоторое максимальное
алгебраически независимое подмножество из F.
Доказательство основано на известной лемме «о замене». □
Предложение доказано. □
Пусть (21, v)— конструктивная система, 21	§3; конструкти-
визации vo и vi системы S3, продолжающие v, называются экви-
валентными над (21, v), если существует эквивалентность у:
(S3, vo)—>(?Э, vi) такая, что у f|2l| = idJS(1.
Аналогом утверждения 10 является
11. Если 23—конечно порожденное расширение алгебры 21
конечной сигнатуры, то любые два продолжения на S3 любой
конструктивизации v алгебры 21 эквивалентны над (21, v). □
Справедливо следующее любопытное
j 1. КОНСТРУКТИВНЫЕ ПОЛЯ
281
Предложение 7. Любые два продолжения конструкти-
визации v поля К на его алгебраическое замыкание К* эквива-
лентны над (К, v) тогда и только тогда, когда для конструк-
тивного поля v) разрешима проблема разложимости мно-
гочленов из /<[х].
Достаточность будет установлена в следующем пункте; до-
казательство необходимости можно найти в работе Метаки-
деса и Нерода [1]. □
3. Конструктивные поля со свойством (F). Пусть (К, v)—
конструктивное поле. Будем говорить, что оно обладает свой-
ством (F), если множество всех неразложимых многочленов от
одной переменной над полем К рекурсивно.
Свойство (F) эквивалентно каждому из следующих:
1)	если вложение (К, v)->(№*, v*) есть морфизм, где(К*,ч*)
есть конструктивизация алгебраического замыкания поля К, то
V*-1 (К) — рекурсивное множество',
2)	множество всех неразложимых многочленов от одной пе-
ременной над К рекурсивно перечислимо.
очевидно.
2)	==>(F). Множество всех многочленов от одной перемен-
ной состоит из двух непересекающихся взаимно дополнитель-
ных подмножеств: разложимых и неразложимых. Если множе-
ство неразложимых рекурсивно перечислимо, тогда, взяв все-
возможные (нетривиальные) конечные произведения неразло-
жимых, получим, что множество разложимых тоже рекурсивно
перечислимо. В силу теоремы Поста эти множества будут ре-
курсивными.
(F)=>1): Берем элемент а из К* и находим какой-нибудь
многочлен над К, корнем которого он является. Если многочлен
разложимый, то, разложив его на множители, найдем неразло-
жимый многочлен, корнем которого является а. Если степень
этого многочлена >1, то а^ К\ в противном случае а^К.
Это значит, что К рекурсивно в (К*, v*) (v*-1 (К)— рекурсивное
множество).
1)=>(F). Пусть f&K[x]. Над К* многочлен f разлагается
k
на линейные множители: f (х) = Д (х — az). Берем всевозможные
i=0
произведения ф(х)^ Д (х —az) и ф(х)^ Д (х —az), где 0 =И=
чМс{0, ...» k}, А' {О, k} — А. Тогда имеет место
представление f = <рф.
Так как К рекурсивно в (К*, v*), то можно эффективно
узнать, лежат коэффициенты многочленов ф и ф в К или нет.
Если найдется множество А такое, чтобы эти ф и ф были мно-
гочленами над К, то многочлен f разложим, а если нет, то не-
разложим.
282
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
3)	Существует рекурсивная функция f такая, что f(n) —
=	: Д]—степень расширения поля К(у*п) над К.
3)	ф 1). Пусть /—такая рекурсивная функция, что f(n) =
==[Д(у*/г): Д]. Тогда для любого п е со е К <=> f(n) = «1 »
sg(f --- 1) — характеристическая функция множества
следовательно, у*-1 (К) рекурсивно.
(F)=>3). Пусть вложение (Д, у)->(Д*, v*) есть морфизм и
(Д, v) обладает свойством (F). Для любого песо эффективно
находим минимальный полином, корнем которого является v*fl.
Степень этого полинома и будет значением функции f(n)^
[Д(у*я): Д]. Так как эта процедура эффективна, то f будет
рекурсивной функцией.
Приведем примеры конструктивных полей, обладающих
свойством (F).
Предложение 1. Всякое простое поле (с единственно
возможной конструктивизацией) обладает свойством (F).
Это утверждение очевидно для конечных полей и доста-
точно хорошо известно для поля Q (см., например, ван дер
Варден [I]).
Предложение 2. Если конструктивное поле (Д, v) обла-
дает свойством (F), то:
а)	поле рациональных функций К(х) от. одной переменной
над К обладает свойством (F);
-б) конечное сепарабельное расширение К (а) обладает свой-
ством (F).
Доказательство утверждения а) использует целозамкнутость
кольца Д[х] и известный прием Кронекера.
б)	Так как свойство (F) эквивалентно 3), то достаточно пока-
зать, что функция /=^=кх[д(а, v*x): Д(а)]*) рекурсивна.
Возьмем произвольный элемент реД*. где ^ — алгебраи-
ческое замыкание К, и рассмотрим поле Д(а, р). Так как
a — сепарабельный элемент, то в силу теоремы о примитивном
элементе (см. ьандер Варден [1], с. 169) существует эле-
мент у е Д* такой, что Д(а, Р) = Д(у). Находим его перебором.
Так как (Д, v) обладает свойством (F), то эффективно нахо-
дятся степени [К(а): К] и [Д (у): Д]; из соотношения [Д (а, Р): Д]=
= [Д(у): Д] = [Д(а, Р): Д(а)][Д(а): Д] эффективно находим
степень [Д(а, Р): Д(а)] для каждого Р^Д*. Таким образом,
функция f 1х [Д (a, v*x): Д (а)] рекурсивна, т. е. Д (а) удовле-
творяет свойству 3), а следовательно, и свойству (F). □
Замечание. Утверждение б), вообще говоря, несправед-
ливо, если отбросить условие сепарабельности (см. Фрёлих
и Шепер дсон [1]).
*) Во избежание путаницы обозначаем Х-оператор и ц-оператор буквами
полужирного шрифта. — Прим. ред.
§ 1. КОНСТРУКТИВНЫЕ ПОЛЯ
283
Следствие. Всякое конечно порожденное сепарабельное
расширение поля К, обладающее свойством (F), само обладает
свойством (F).
Доказываем это, комбинируя 1) и 2). Если степень транс-
цендентности >1, то используем 1) несколько раз. □
Замечание, сделанное в доказательстве предложения по по-
воду утверждения а), достаточно, чтобы утверждать справедли-
вость следующего предложения.
Предложение 2'. Если конструктивное поле (Д, v) обла-
дает свойством (F), то существует конструктивизация v* чисто
трансцендентного расширения Д(х0,	...) поля К, продол-
жающая v, такая, что (К(х0,	...), v*) обладает свойством (F).
В качестве такой конструктивизации нужно взять конструк-
тивизацию этого поля, «порожденную» естественной конструк-
тивизацией кольца К[х0, %i, ...] многочленов от счетного числа
переменных над К. □
Предложение 3. Пусть (K,v) обладает свойством (F),
и пусть К' — нормальное расширение К. Тогда существует не
более одного продолжения конструктивизации v на К'.
Алгебраическое расширение К' поля К нормально, если лю-
бой автоморфизм К* над К переводит К' на себя. Говоря иначе,
К' получается присоединением к К всех корней неразложимых
многочленов над Д, которые имеют хотя бы один корень в А7
1. Докажем предложение сначала для сепарабельного слу-
чая. Предположим, что существуют два продолжения (Д7, v0),
(Д7, v,). Построим эффективно цепочку полей До К
<Д1^ ... так, что U ДП = Д', Дп = Д(ап) есть нормально?
расширение Д и art = vj (п) для подходящей рекурсивной функ-
ции f. Рассмотрим Vi (0) и находим для этого элемента нераз
ложимый многочлен над Д, корнем которого является Vj (0)
Находим все корни 0Н ..., 0* этого многочлена; все они принадле-
жат Д7, так как Д' нормально. Так как это сепарабельное расши-
рение, То существует аоеД7 такой, что Д(р15 ..., 0^) = Д(ао);
v^HOMep элемента а0 можно найти эффективно.
Лемма 1. Пусть конструктивное поле {К, v) обладает свой-
ством (F). Пусть К' — некоторое алгебраическое расширение
поля К и Vi — его конструктивизация, продолжающая v. Тогда
v"1 (Д) — рекурсивное множество.
Берем произвольный элемент ущ и для него, используя (F),
эффективно находим неразложимый полином над Д такой, что
v{n — корень этого полинома. Если степень этого полинома
есть 1, то nEvf1^); если эта степень > 1, то п^ёу~' (К). □
Лемма 2. Пусть конструктивное поле (Д, v) обладает свой-
ством (F), Д7 — некоторое сепарабельное нормальное расширение
284
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
поля К и Vi — конструктивизация К', продолжающая v. Тогда
vf1 (Д' (VjXp ...» v^)) — рекурсивное множество для любых
.., xk е
Лемма 2 есть простое следствие предложения 1 и леммы 1. □
Продолжим доказательство предложения. По лемме 2
vf1 (Pi> • • • > Pfc)) рекурсивное множество. Для каждого
пеш проверяем, справедливо ли равенство vf1 (Д (^п)) =
= vj"1 (Д (Pj..Рл)). Так как расширение сепарабельно, то
для некоторого п0 это будет иметь место, и тогда полагаем
f(O)=^no и ao^vJ(O).
Далее рассмотрим vi(l). Используя предложение 1, эффек-
тивно находим неразложимый полином над К(ао), корнем ко-
торого является vi(l); находим все корни уь ..., ys этого по-
линома. Рассмотрим поле K(a0, yi...у$). Ввиду сепарабель-
ности расширения существует си е К' такой, что К(ао, уь ...
.Ys)=K(ai). Как и выше, vi-номер элемента aj находится
эффективно, пусть это есть число nit тогда полагаем f(l) = »i
и си = vif(l).
Продолжая это рассуждение, получим цепочку нормальных
расширений К К(ао)К(си)... поля К и последова-
тельность неразложимых полиномов  над К, K(cto), ...
соответственно, корнями которых являются do, он, . .
Имеем вложения
(K,v)<
'^(7f',v1)
Нужно построить эквивалентность ц между нумерованными по-
лями (К', vo) и (К', vi) над (К, v).
Шаг 1. Рассматриваем vo(O), vJO), ... Находим первое
натуральное число k0, при котором fo(v0k0) = 0, и полагаем
Pij^Vq&o и ц(оо)^р0(₽о есть корень многочлена f0(x) в К').
Шаг 2. Перебирая vo(O), v0(l), ..., эффективно находим
первое натуральное число k\ такое, что p/S (vofe|) = 0, и пола-
гаем Pi^vofei и ц (а,) =э=Р[ (Pi — корень многочлена в К').
Взяв в качестве исходного изоморфизма тождественное ото-
бражение К на К. и продолжая его вышеуказанным способом,
получим	Я <Л(а0)
лМ? 4?
...
Но так как К (Р/) —тоже нормальное расширение, то К(аг) =
= К(РД откуда U K(a/)= U К (₽/)•
§ I. КОНСТРУКТИВНЫЕ ПОЛЯ
285
Таким ооразом, эффективно построили изоморфизм «на»
между (Д', vj и (Д', v0), тождественный на Д. Для случая
1 предложение доказано.
2. Рассмотрим теперь чисто несепарабельный случай, т. е.
случай, когда К' — чисто несепарабельное расширение поля Д,
и его характеристика пусть будет р(р=#0). Для любого а <= Д'
рассмотрим последовательность а, ар, ар2, пусть vln = a.
Так как Д' чисто несепарабельно, то существует I е <о такое, что
z
еД и vrHOMep этого элемента эффективно находится; пусть
Vik = а . По vrHOMepy этого элемента эффективно находится
его v-номер, а по v-номеру — его ¥0-номер; пусть ¥0-номер этого
элемента будет,kf Решая уравнение^ —vQk' = 0, эффективно
найдем Vo-номер т элемента а. Таким образом, соответствие
VjZZh->vom будет изоморфизмом (Д' Vj) на (Д', v0), тождествен-
ным на Д. Для случая 2 предложение доказано.
. 3. Общий случай. Любое алгебраическое расширение Д'
поля Д может быть получено в два шага: сепарабельное рас-
ц,
ширение Д—► Д5 и затем чисто несепарабельное расширение
Ks—+К (Л е н г [1], с. 214). По условию предложения имеем,
что (Д, v) — конструктивное поле, обладающее свойством (F),
и (Д'', v0) — конструктивное поле такое, что вложение (Д, v) —>
(Д', v0) есть морфизм, т. е. p'v = voip для некоторой рекур-
сивной ф.
Для каждого полинома + vxn_1gn“1 + ... + vxQ над Д
эффективно можно узнать, сепарабелен он или нет. Берем
множество всех сепарабельных многочленов и ищем всевозмож-
ные корни в (д\ vo). Очевидно, что vo-1 (Д«) — рекурсивно пере-
числимое множество. По утверждению 9 § 1 существует нуме-
рация vOs такая, что (Ks, vOs) ~ конструктивное поле, и вложе-
на
ние (Дя, vOs)—*(Д, v0) — гомоморфизм, т. е. |1Л = ад для
некоторой рекурсивной функции <р. Функция f кхцу (v0<pr/ ==
= vot|)x) показывает, что вложение ц: (Д, v)->(/Cs, vOs) есть
м-
гомоморфизм. Таким образом, имеем (Д, v).—►(Дя, vOs)—>
—> (Д', v0). Тогда, если предположить, что существуют две
конструктивизации v0 и Vj поля Д’', то получим
286
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
Но по первому случаю (Ks, vOs) и (Ks, vi$) эквивалентны и по-
этому их можно отождествить, а теперь по второму случаю
(Д7, v0) и (Д7, vi) изоморфны над (Д$, v0$). □
Замечание. Следствием этого предложения, очевидно,
является доказательство достаточности в предложении 6 § 1.
В книге Ершова [4] на с. 305, 306 указан явный пример кон-
структивного поля, являющегося алгебраическим расширением
поля Q, для которого проблема продолжения конструктивиза-
ции на алгебраическое замыкание имеет не единственное реше-
ние. Следовательно, это также пример конструктивного поля,
не обладающего свойством (F).
Предложение 4. Пусть (Д, v) обладает свойством (F),
(До, vo) — конструктивное алгебраическое расширение поля
(Д’, v),	Д->Д0— гомоморфизм из (Д, v) в (До, v0); если ц:
(Д, ¥)->(Дь vi) — вложение в алгебраически замкнутое поле
то существует гомоморфизм ц0: (До, vo)~>(Ki, vi), продолжаю-
щий pi, т. е. такой, что диаграмма
коммутативна.
Доказательство этого предложения вполне аналогично до-
казательству предыдущего предложения. Нужно рассмотреть
сначала случай сепарабельного расширения, построить такую
же возрастающую последовательность конечных расширений
поля Д и строить последовательно изоморфные вложения этих
расширений в Дь продолжающие ц и друг друга. Чисто несепа-
рабельный и общий случай рассматриваются вполне анало-
гично. □
В качестве следствия предложения 4 приведем обещанное
доказательство леммы 1 из п. 2. Пусть (Ko,vo)—конструктив-
ное поле конечной степени трансцендентности над простым под-
полем Р. Пусть {а0, ..., ап}—базис трансцендентности До над
Р. Пусть Д^Р(^о, •••, ал), Д — конструктивное подполе поля
(До, vo) И, следовательно, существует его конструктивизация v
такая, что />: (Д, v)->№, vo)—вложение конструктивных по-
лей. Предположим, что (Дь vi)—конструктивное алгебраически
замкнутое поле степени трансцендентности ^п + 1 над тем же
простым подполем Р. Пусть 60, • • •, Ьп К\ алгебраически не-
зависимы над Р, тогда, очевидно, изоморфизм полей ц: Р(а0,...
..., ап}-^Р(Ьп, ..., Ьп) такой, что \i(ai) = bi, i < п, будет го-
моморфизмом из (Д, v) в (Ki,vi). По предложению 4 суще-
§ 1. КОНСТРУКТИВНЫЕ ПОЛЯ
287
ствует вложение ц0: (Лэ, v0)->(Ki, vj (продолжающее ц), что
и требовалось в лемме 1. □
Пусть (Л, v)—конструктивное поле, Л* — алгебраическое за-
мыкание Л, v*—конструктивизация Л*, продолжающая v. Рас-
смотрим всевозможные конечные расширения поля Л, лежащие
в Л* Пусть х— стандартный номер конечного множества
ух = {п0,	п^},.тогда определяем (х) Л (v*n0,	v”7u).
Получим нумерацию всех промежуточных конечно порожден-
ных над К полей, причем предикат Р(х, у)^ v*x е ушу рекур-
сивно перечислим.
Предложение 5. Если конструктивное поле (К, v) обла-
дает свойством (F) и К совершенно, то предикат Р(х,у) ре-
курсивен.
Так как К совершенно, то Л* сепарабельно над Л. Чтобы
узнать, имеет ли место v*xg v^y, находим стандартный номер j
конечного множества уу = {mQ, ..., ms}, тогда у/ = К(у'т0, ...
• v*ms). Так как Л* сепарабельно над Л, то по теореме
о примитивном элементе существует v*k е Л* такой, что К (v*£)=
= K(y*fnQ, ..., v*ms). Такой элемент v*k можно эффективно
найти следующим образом. Перечисляем элементы поля Л*: v*0,
v*l, ... Для каждого v*k эффективно проверяем, можно ли
v*k представить в виде полинома от v*/tz0, ..., v*/ns и, наоборот,
можно ли каждое v*mz, 1 = 0, ..., s, представить в виде поли-
нома от v*£. Так как полиномы от одной переменной и от
s + 1 переменных над К рекурсивно перечислимы и так как
(Л*, v*) — конструктивное поле, то равенства y*k = f (y*mQ, ...
..., v*ms), v*m0 = fo(v*fe), ..., v*rns = fs(y*k) эффективно прове-
ряются, и такие полиномы f, f0, ..., fs обязательно найдутся.
Таким образом, для каждого у эффективно находим такое k
и полагаем qy^k\ очевидно, (р рекурсивна. Таким образом,
имеем v^y = К (v*<py). Так как (Л, v) обладает свойство м (F),
то степени расширения над К эффективно вычисляются, поэ-
тому из равенства
[К (у^у, v*x): Л] = [К (v*(py, v*x): К (v*qp//)] • [К (v*qpy): Л]
эффективно вычисляется степень [Л (v*qpr/; v*x): К (v*qpr/)]. Если
эта степень равна 1, то v*x е у^у = К (v*(py); если нет, то v*x
не принадлежит у^у. Таким образом, v* 4 (v^y) — рекурсивное
множество, и предикат Р(х, у) рекурсивен. □
Пусть	|Л^^^Л*, L конечно над Л}. Имеем нуме-
рованное множество (Л©, уы). Рассмотрим отображение Af: ->
—>Ла) такое, что каждому полю L е Л^ ставим в соответствие
наименьшее нормальное расширение Lo, содержащее L: К
Lq /С*. Так как L — конечное расширение К, то L = К («1, .. .
..., аЛ). Рассмотрим для каждого az неразложимый много-
288
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛВЯ
член ft, корнем которого он является. LQ получается присо-
единением всех корней многочленов ft. Lq — конечное расши-
рение.
Предложение 6. Отображение N является морфизмом,
если конструктивное поле (К, v) обладает свойством (F).
Для любого х эффективно находим неразложимые полиномы
/о, •••» fk Над Д’, КОрНЯМИ КОТОрЫХ ЯВЛЯЮТСЯ V*n0, ...,
где {п0, ..., nk} = yx. Число различных корней каждого fi
равно степени этого полинома mh деленной на степень несе-
парабельности р , т. е. ; v -номера этих корней находя-
тся эффективно; находим стандартный номер у для этого
множества v*-HOMepos и полагаем qp(x)^z/. Эффективность
построения показывает, что qp рекурсивна. Очевидно, что Nv^x^
= vtoqpx, т. е. У является морфизмом □
Замечание. Любому конечному расширению поставим
в соответствие его максимальное сепарабельное подполе. Вез
свойства (5) можно доказать, что это есть морфизм.
Для любого	пусть G(L) — группа Галуа поля
М(Л)С)Кз “ максимального сепарабельного подполя поля
N(L) над К, тогда «эффективность» вычисления группы Галуа
может быть выражена так:
Предложение 7. Если (К,v) — конструктивное поле, об-,
ладающее свойством (Б), то G является морфизмом из (К©, v»)
з естественно нумерованное множество всех конечных групп
{нумерация всех таблиц Кэли). □
4, Конструктивизация универсальной области. Пусть (К, v) —
конструктивное поле, U{K) — универсальная область над К, т. е.
алгебраически замкнутое К-поле степени трансцендентности ш
над К. Из результатов п. 2 легко следует, что конструктивиза-
ция v продолжается до некоторой конструктивизации поля
[/(К); однако ни о какой единственности (над v) такой кон-
структивизации не может быть и речи. Тем не менее для кон-
структивных полей, обладающих свойством (У7), можно утверж-
дать следующее:
Предложение 1. Пусть конструктивное поле (К, v) об-
ладает свойством (5), а конструктивизации vo и vi поля U(K)t
продолжающие у, таковы, что алгебраическая зависимость над
К эффективна при обеих конструктивизациях\ тогда у0 и vi эк-
вивалентны над {К, v).
По предложению 6 п. 2 в U (К) существуют базисы транс-
цендентности Бо и 51 над К, которые рекурсивно перечислимы
в нумерациях v0 и Vi соответственно. Тогда поля К (Бо) и К (5J
являются конструктивными подполями (U (К), v0) и (U (К), vj
соответственно. Пусть v' и у'— подходящие конструктивизации
этих подполей. Совершенно очевидно, что если {bQ, bit ...}
§ I. КОНСТРУКТИВНЫЕ ПОЛЯ	28<>
— эффективный пересчет Бо, а {с0, сх, ...} — эффективный пере-
счет Бъ то Д-изоморфизм ф поля Д(Б0) на /С (51) такой, что
ф(&/) = ср i s со, будет эквивалентностью (Д(/>0),
v[) над (/С, v). Теперь необходимо заметить, что конструктив-
ные поля	v'), Z = О, 1, обладают свойством (F). Это
сразу вытекает из наброска доказательства предложения 2' п. 3.
Заметим теперь, что конструктивизации поля U (Д) являют-
ся продолжениями конструктивизаций v't полей Д(Б£) на их.
алгебраические замыкания, / = 0, 1. Поэтому предложение-
3 п. 3 позволяет утверждать, что эквивалентность ф: (Д (До)^
(Bj), v[) может быть продолжена до некоторой экви-
валентности ф: (U (Д), v0)-+(U (К), vO, которая, как и экви-
валентность ф, будет эквивалентностью над (Д, v). □
Обозначим через vu конструктивизацию поля U(K), продол-
жающую v и такую, что алгебраическая зависимость над Д эф-
фективна. Такая нумерация, очевидно, существует для любого?
конструктивного поля и единственна с точностью до эквива-
лентности над (Д, v) в случае, если (Д, v) обладает свойством
(П-
Пусть (Д, v) — конструктивное поле характеристики 0, обла-
дающее свойством (F). Покажем, что нумерация vu поля U (Д)
и индуцированная ей нумерация всех промежуточных конечно
порожденных полей удовлетворяет тем же свойствам, которые*
описаны в предложениях 5, 6 и 7 предыдущего пункта.
Если хеш — стандартный номер конечного множества
^co(S = yx), то через Дх будем обозначать поле K(vu(S))^
U{К). Так получаем нумерацию v* всех конечно порожден-
ных над Д подполей поля U(К) (v*x Дх, хеш). Пусть f —
двуместная функция, определенная так: f(x, у) [КХКУ: Кх]^
если эта степень конечна, и ./(х, у) 0, если КхКу— бесконеч-
ное расширение Дх, х, у е со.
Предложение 2. Функция f является рекурсивной.
Для доказательства этого предложения установим предва-
рительно ряд фактов.
1. Функция /{х), равная степени трансцендентности поля Кх
над К, является рекурсивной.
Действительно, пусть /0, Л, • • • — произвольный базис транс-
цендентности поля (7(Д) над Д, тогда для любого элемента,
ае U(К) найдется такое лесой такой неприводимый над К
многочлен /?аеД[х0, ..., х„, у] — Д[х0, ..., хл], что ра(/0, ....
..., /л,а) = 0. Этот многочлен однозначно (с точностью до ска-
лярного множителя) определен выбором базиса (точнее, его^
перечисления). Если базис задан эффективно, то этот много-
член ра может быть эффективно найден по а. Действительно,.
7г Ю Справочная книга, ч. III
290
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
так как поле (К, v) обладает свойством (F), то семейство всех
неприводимых многочленов от любого числа переменных яв-
ляется рекурсивным (прием Кронекера), следовательно, пере-
бирая все такие многочлены в K\xQ, ..., xrt, ...» у] и подстав-
ляя /о, ...» tn, ...» а, найдем нужный. Пусть ао, а\, ... — эф-
фективный пересчет некоторого фиксированного базиса транс-
цендентности Бо поля U(К) над К. Пусть ?х={п0, . •>
По < ... < ns\ a,i vuTii, i s. Для элемента ао эффективно
находим неприводимый многочлен ро е К [х0, ..., I/]—/<[х0, ...]
такой, что ро(а, ао) = О; если в р0 ни одна переменная х0, ... не
входит, то полагаем So 0, Do 0, Si So; если ро содер-
жит вхождения переменных х, то пусть io — наименьший ин-
декс такой, чтох/о входит в р0; полагаем тогда S0=^{a0}, Z)0^{Z0),
U {%}) — {aZo}; а'о> а}, • • • — пересчет Si такой, что
если J=/=ZO, и	Предположим, что для k<Zs
множество S*^{ao, ...» a$}, конечное множество со, ба-
зис трансцендентности S*+1 и его пересчет a*+1, a*+1, ... уже
определены. Для элемента a*+i находим неприводимый много-
член pk+i&K[xo, ..., y]—K[xQ, ...] такой, что pk+i(ak+l,
a*+i) = 0. Если многочлен pk+i содержит вхождение перемен-
ной Х[ такой, что i е со — Dk, то пусть ik+i — наименьший такой
индекс. Полагаем Sft+1 Sk (J {aft+J, Dk+1 ^Dk\J {ik+ J; Бк+2
^(£*+1 U {aft+i}) — {aik+l}\ a?+2=^=a?+1 для i =# ik+C a,+2=^aft+i
для i = u+i. Если же такого i нет, то все остается без из-
менения. Рассмотрим теперь множество Ss {а0, ..., as}; из
построения видно, что Ss является базисом трансцендентности
поля Кх = К(ао, •••» as) над К', следовательно, t(x) равно
числу элементов множества Ss; так как построение Ss эффек-
тивно, то t — рекурсивная функция. □
2. Существует двуместная рекурсивная функция v такая, что
КХКУ = Kv(x, у) для любых х, у е со.
В качестве такой функции можно взять функцию, удовлет-
воряющую условию ух и У у =	у). □
Установим теперь рекурсивность функции f. Если t(v(x, у))>
>/(х), то f(x, t/) = 0. Если t(v(x, у))= /(х), то поле Kv{Xt у) =
= КхКу является алгебраическим расширением поля Кх. При
установлении факта 1 был эффективно найден базис транс-
цендентности S поля Кх над К. Тогда поля Kv(x, у) и Кх яв-
ляются конечными алгебраическими расширениями поля K(S).
Используя теорему о примитивном элементе и эффективный
перебор, найдем элементы a е Kv(x, у> и р е Кх такие, что
Kv(x,y) = К(S, а) и Кх = K(S, р). Далее, находя неприводимые
над К многочлены ро и pi из /<[х, у] такие, что p0(S, a) = 0 и
Pi(S, Р) = 0, находим степени то [/<(S, a): K(S)] и mi
5 Г КОНСТРУКТИВНЫЕ ПОЛЯ
291
s?b[/((S, Р): 7<(S)], равные у-степеням многочленов ро и pi со-
ответственно. Тог д.а f(x, y') = rnQtn~[. □
Следствие 1. Предикаты Ро {(х, у)\Кх Ку} и Р\^
5^ {<*> У> I Кх = Ку} рекурсивны.
Действительно, имеют место эквивалентности
(х, y}t=PQof(y, *)=1;
<*, г/)еР!<=><х, у}, {у, х)^Р0. □
Следствие 2. Предикат Р {<х,у)|vux <= Ку} рекурсивен.
Действительно, <х, Р <=> f(z, у) = 1, где z — стандарт-
ный номер множества yz/UW- □
Предложение 3. Существует двуместная рекурсивная
функция g такая, что для любых х, # е о), если Ку — алгебраи-
ческое расширение Кх, то Kg(x, у) — наименьшее расширение Га-
луа поля Кх, содержащее Ку.
Вычисляем f(x,y); если f(x,y) = 0, то полагаем g(x, у)^±
Если f(x,y)>0, то в Ку находим такой элемент а = vum, что
f(x,y)—f(x,z), где z — стандартный номер множества ух 1)
U{/и}; такой элемент найдется по теореме о примитивном эле-
менте. Перебором находим многочлен р Кх[у] степени f(x, у],
корнем которого является а. Находим теперь в U(К) f(x,y)
различных корней этого многочлена оц а, а^х,Уу\ если
гп\ = пг, mf(x,y) — номера этих элементов, a z0 — стандарт-
ный номер множества YxUYz/U{^i, ...» mf(x,y)}, то, полагая
g(x, y)^z0, получим искомую рекурсивную функцию. □
Очевидно, что существует соответствующая эффективизация
теории Галуа: существует эффективный способ вычисления по
х, y^(i) таким, что f(x, у)>0, конечной группы Галуа
Gx y Autj<x/Cg(X, у}. Далее, для любой подгруппы H^Gx,y
можно эффективно вычислить у0 е со такой, что Куц*~ Kg(x,yr
Укажем теперь на некоторые эффективные связи, которые
существуют между полиномиальными идеалами над К и точ-
ками аффинных пространств над U(K). Пусть gb ..., gk^
(= К[х\, ..., хп]\ через (gb ..., gk) обозначим идеал этого
кольца, порожденный многочленами g\, ..., gk. Если / — идеал
кольца многочленов /<[xi, ..., х„], то через V(/) обозначим
множество {g|g е U(K)\ g(£>) = 0 для любого g^I}. Если
£ е U(K)n,_TO через /(£) обозначим идеал {g|g^ /<[хь
.хп], g(£) = 0} кольца К[Х1, ..., Хп].
Ряд важных проблем об идеалах разрешим над произволь-
ным конструктивным полем.
Предложение 4. Для конструктивного поля (Kt v) алго-
ритмически разрешимы следующие проблемы:
а)	определить, имеет ли место
(gi> •••> gk}^{hi, .... hm)-,
10*
292
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
б)	определить, имеет ли место
P(gi, ...,gk)^V(hi......hm),
для произвольных gi, ..., gk, hi, hm e K[xit .... xn].
Для решения проблемы а), следуя статье Сейденберга
[1], решим последовательно ряд других алгоритмических про*
€лем.
1.	По системе линейных уравнений
1\\У\ + ••• + fisys — ®>
............................... (*)
frlf/l + . . . + frsVs = О,
ft, е, x>i], /=1,	/ = 1, ...» s, можно эффек-
тивно найти базис модуля решений этой системы.
Не уменьшая общности, можно, очевидно, считать, что
г < s и что определитель
Д^
fll • • • fir
In • • • frr
=/= 0.
Умножая уравнения системы (*) на подходящие миноры, си-
стему (*) можно преобразовать в эквивалентную систему,
имеющую' вид
byi = guyr+i+ ••• +guys,
(t^s — r).	(**)
^yr = griyr+i+ ... +grtys
Система (**) имеет следующие частные решения:
g\ (£11, ... gri> Л, 0...0);
. .................... (♦**)
gt^igtt......grt, о, 0, .... А).
Для дальнейшего будем предполагать, что К бесконечно;
тогда можно произвести такое обратимое преобразование пере-
менных хь ..., хп, что А как многочлен от хп имеет коэффи-
циент из К при старшей степени хп (пусть А = Aw 4- Aw_t ...
... 4-Ao — представление А в виде суммы однородных форм Д<
степени t; пусть аь ..., а.п е К таковы, что Aw(a) =?*=(); пусть
Xi Xi 4- (XiXn для ( < п, хп^- апхп, тогда Ал (х) = Ал (а)х*4-...).
Будем теперь предполагать, что такое преобразование уже
сделано.
f I. КОНСТРУКТИВНЫЕ ПОЛЯ
293
Если h=(h[y ..., hry ..., As) -— произвольное решение системы
(**), то, используя решения из (***), можно представить h в
виде h = £ figi 4- h'> fi^K[x], и для h =(ji\f ...9h's) имеем
<tegXtlhr+i <N Для i=l> •••> Tai< как Mi'. = g[{h'r+i + ...
• • • + ёнК> T0 de£xrt^ <тдх deS*ft£z/ Для i = 1, ..., г. Пусть
Af0^max|jV, degx g.J; из проведенных рассмотрений видно,
что достаточно теперь найти базис решений системы («) вида
И' с условием degX/l hi < NQ. Но тогда эти решения можно ис-
кать, решая следующую систему линейных уравнений над
/<[%;, ..., Xn—i]. Вводим переменные Z//, /=1, ...» s, / = О, ...
..., Nq—1. Подставляя в (**) вместо переменных yi выраже-
ния X ХпХц и приравнивая коэффициенты при одинаковых
/<АГо
степенях хп в каждом уравнении, получим систему линейных
уравнений от гц с коэффициентами из /С[хь ..., xn-i]. Исполь-
зуя индуктивное предположение, можно считать, что имеется
эффективно найденный базис {ug = (ugij) | и k} этой системы.
Тогда {gP ....	•••)> •••} будет ба-
зисом решений системы («*). □
2.	По идеалам A=(fi, fr) и В = (fr+i, .fs),
еК[х], 1 i s, можно эффективно найти базис идеала
АПВ-
Рассмотрим линейное уравнение
!\У\ + ••• + !гУг = 1г+\Уг+\ + ••• + /s£/s	(*)
и найдем базис решений этого уравнения <£>! =(фц, ..<pls), .. .
.Ф, = (<рп......фй). Тогда /=4 £ f/Фн» £ M>zJ=Af]B.
Г	S
Действительно, так как 2/«Фн = S f&ib то эти элементы
i=r+l
принадлежат как А (левое представление), так и В (правое
представление); отсюда I s А П В. Наоборот, пусть
тогда существуют фь ..., qps такие, что ^ = ЛФ1 + • •• +/>Фг
И g = /г+1Фг+1 + • • • + fs^s\ тогда Ф=Мфь ..., ф5) есть решение
уравнения (*), следовательно, Ф=^ЛХ-Ф/ для подходящих
z=i
I	г
К [х]. Но тогда Фг = Е М/ь 1=1.......г> и S =• L Лф/в
Ю Справочная книга, ч. III
294
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
г / 1	\	I	/ г	\
= Е fi I Е Л/Ф/z) = Е h, I X Л-Ф/i Н/- Следовательно, А П В^1
j-\	\/=1	/	/=1	\/ = 1 ‘J
И ЛП^ = /. □
3.	По идеалам А = (/ь fr) и В = (fr+i, .fs),
е К[х], можно эффективно найти базис идеала .(Д : В) {g| g а
е К[х], gB Д}.
Рассмотрим систему
Лг/п + ••• +1гу\г=Чт+\У.
............................. (t^s	— r).
ЬУн + • •  + frytr — fsy
Если Oj = (ф*!....Ф*г, ......Фй=(фш •  . Ф*г, tfe)- базис ре-
шений этой системы, то (А :В) = (г|)Ь	t|?fe). Проверка этого
равенства, аналогичная проверке в предыдущем случае, остав-
ляется читателю. □
4.	Существует алгоритм проверки существования решения
в ЛГх] для систем неоднородных линейных уравнений над
К [И.
Пусть система имеет вид
[ ТиУ\ + • • • + f\sys — ёъ
1..................... fib gt^ К[х}.
I 1г\У\+ ••• +frsys = er,
Необходимым (алгоритмически проверяемым) условием раз-
решимости этой системы является равенство
Пи ... hs
rang ..........
II fn ... frs
If и ... hs gi
.................
fr\ ... frs gr
Если это условие выполнено, то, как и в случае проблемы 1,
приведем эту систему к виду
&У1 = gni/r+i + • • • + ёиУз + Аь
&Уг “ ёпУг+i + • • • + ёпУз + hr
и будем предполагать, что Д регулярен в хп (т. е. коэффициент
при старшей степени хп лежит в К). Используя систему реше-
ний (***) для соответствующей однородной системы, можно
ограничить поиск решений многочленами <р такими, что degXnT
меньше некоторого (эффективно вычислимого) натурального
числа Afi. Тогда переписываем эту систему с ограничениями,
как подходящую систему уравнений над кольцом К[хь ...
хл-1]. Индукционное предположение дает то, что нужно. □
§ I. КОНСТРУКТИВНЫЕ ПОЛЯ
295
Используя 4, можно уже алгоритмически решать проблему а)
предложения; для этого достаточно уметь решать проблему
hm). Но это равносильно разрешимости уравнения
+*...+ hmym = g, что, согласно проблеме 4, алгоритми-
чески разрешимо.
Для решения проблемы б) нужно заметить, что теория 7,
определенная системой аксиом TacU Tho(K, v), является рекур-
сивно аксиоматизируемой и полной; следовательно, она разре-
шима. Остается заметить, что условие V(gi, ...» gk)^ V(fti, ...
hm) эффективно выразимо предложением
Vx( Д £<(х) = 0-> А А/(х) = 0),
\z=i	Z«=l	/
принадлежность которого теории Т алгоритмически прове-
ряема. □
Предположим теперь, что (К, v)— конструктивное поле ха-
рактеристики 0, обладающее свойством .(F), тогда справедливо
следующее	__
Предложение 5. По любому набору 1-^U(K)n можно
эффективно найти базис идеала	..., хп].
Доказательство индукцией по п. Пусть для набора
fn-j = gi,	уже найден базис fi, fk идеала /(gn-i) S
K[%i, ..., Xn-i]. Используя предложение 2, узнаем, будет ля
элемент алгебраичен над K(gn-i). Если %п трансцендентен
над ^(|л2—i), то система ...» fk будет базисом и идеала / (|).
Если же In алгебраичен, то можно найти неприводимый над К
многочлен g^K\x\, ..., хп] такой, что g(|) = 0 и degx„g =
—[К (|): К Пусть Л —коэффициент при старшей степени
хп в g, если g рассматривается как многочлен от хп. Тогда для
любого многочлена р из I (£) будем иметь ft'pe(fi, fk, g)
и р<=((/ь ..., ffc, £):(Л')) Для подходящего t е со (нужно де-
лить с остатком р на g). Следовательно, /(|) = (J ((А» •••» А»
g): (//)). Используя решение алгоритмической проблемы 3
из доказательства предложения 4, будем последовательно на-
ходить базисы ... Bt ... идеалов /0^ ... h
^((/, g):(/?)) ^ ••• Так как /о^/i^ ... — возрастающая
последовательность идеалов, то нётеровость кольца Л[хь ...
..., хп] гарантирует, что эта цепочка стабилизируется. Заме-
тим, что в данном случае для этого достаточно совпадение
It = //+1. Согласно предложению 4 можно алгоритмически ре-
шать проблему определения того, имеет ли место Л = 7/+ь
Когда окажется, что h = Л+ь тогда /(£) = Ц =	□
10е
296
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
Предложение 6. По любой системе многочленов
g\, gk^K[xit .х„] можно эффективно узнать, являет-
ся ли идеал (gb ..., gk) собственным; в случае, когда (gb ...
• • •, gk) /<[х], можно эффективно указать систему t1, ...
.п-ок из U (К) такую, что
V(gl, .... gk) = П V(/(t‘))-
i-1
Первая проблема эквивалентна разрешимой проблеме опре-
деления того, будет ли Is (gb gk). В случае нетривиаль-
ное™ идеала (gb gk) можно эффективно перечислять все
элементы множества V(gb gk): I1, |2, ... (Заметим, что
V (gi...gk) S V (I (j)) для ( e V (gi, ...» gk).) Используя пред-
ложения 4 и 5, для каждого s > 0 проверяем, имеет ли место
равенство V (gb ..., gk) = П Г U (Г))• Хорошо известно, что для
некоторого s такое равенство должно иметь место (действитель-
t
но, если (gi.gk)— П — представление идеала в виде пере-
/-1
сечения примарных, а — простой идеал, соответствующий
и е U (К)п — общая точка для идеала $/, т. е. ^ = / (Y), то
V(g.....г.)=л/го-п и (/((,'»).
Таким образом, з может быть найдено эффективно. □
§ 2. Регулярно замкнутые поля
Понятие регулярно замкнутого поля является далеким обоб-
щением понятия алгебраически замкнутого поля, однако ряд
хороших как алгебраических, так и теоретико-модельных (ал-
горитмических) свойств последних справедлив и для регулярно
замкнутых полей.
Начнем с определений. Напомним (Ленг [I]), что расши-
рение L поля К называется регулярным, если L линейно раз-
делено над К с полем К* — алгебраическим замыканием поля К
(эквивалентно: К алгебраически замкнуто в L и L сепарабельно
над К).
Поле К называется регулярно замкнутым, если для любого
регулярного расширения поля L и любого конечного множе-
ства SeL существует К-гомоморфизм кольца K[S] (порож-
денного над К элементами из S) на К.
Замечание. В п. 1 будут даны эквивалентные определе-
ния, более удобные для применений. Укажем еще, что свойство
регулярной замкнутости для поля К, эквивалентно также еле*
$ 2. РЕГУЛЯРНО ЗАМКНУТЫЕ ПОЛЯ
297
дующему: каждое абсолютно неприводимое многообразие, оп-
ределенное над К, имеет К-рациональную точку (даже всюду
плотное в топологии Зарисского множество К-рациональных
точек).
Примерами регулярно замкнутых полей являются алгебраи-
чески замкнутые поля, более общо — сепарабельно замкнутые
поля. Более нетривиальным примером являются бесконечные
поля, удовлетворяющие всем аксиомам теории конечных полей.
Регулярная замкнутость последних является следствием глубо-
кого фактатеоремы Вейля о гипотезе Римана для кривых
над конечными полями. Это было отмечено еще в 1967 г. неза-
висимо Дж. Акс ом [1] иЕршовым [2].
Первые два пункта посвящены изложению ряда чисто ал-
гебраических результатов, которые позволят далее в третьем
пункте довольно быстро получить основные теоретико-модель-
ные и алгоритмические результаты о регулярно замкнутых
полях.
1. Алгебраические свойства регулярно замкнутых полей. Все
общеалгебраические понятия, которые не определяются в этом
параграфе, могут быть найдены в книгах: ван дер Варден
[1], Ершов [5], Зарисский и Самюэль [1], Ленг [1].
Предложение 1. Для поля К следующие свойства экви-
валентны:
1.	К регулярно замкнуто.
2.	Для любого его конечно порожденного регулярного рас-
ширения K(S) существует К-плейс р: K(S)i—>К, который конечен
на всех элементах из S.
3.	Для любого абсолютно неприводимого многочлена
е/<[%!, xk) у], который как многочлен от у унитарен, сепа-
рабелен и имеет степень больше 1, и для любого g^K[xx, ...
..., XjJ , g ¥= 0, существуют элементы ось ’..., а*, 0 из К такие,
что f(a\, ..., afe, Р) = 0 и g(ai, ..., а„) #= 0.
1 => 2. Докажем чуть более общее утверждение, которое по-
надобится и в дальнейшем.
Лемма 1. Пусть К — регулярно замкнутое поле, К Ко
— такая башня расширений, что Ki —конечно порожден-
ное регулярное расширение К и конечное сепарабельное рас-
ширение Ко. Тогда для любого конечного подмножества S Ki
существуют такие К-плейс р: Ко*-* К и его продолжение л на
К\, что л является конечным на S, К-значным (т. е. n(Ki)= К)
и неразветвленным над р.
Выберем в Ко сепарирующий базис трансцендентности I =
= 6, ...» tn', тогда К К(1) Ко Ki и /<1конечное сепа-
рабельное расширение /<(?). Из формулировки леммы видно,
что ее достаточно доказать для случая Ко = К(1). Пусть осе
eKi —такой элемент, что а цел над k[Z] и /<1 = /<о(а),=
298
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
= /((?, а) ; через h(y) обозначим минимальный многочлен для
а над K(t), тогда h(y)^ К[1, у] (=/<[?][//])• Пусть d(h) —
дискриминант многочлена А, тогда d(h)^ K[t] и d(h)=^=0, так
как а сепарабелен над /<(?). Любой элемент peS представим
в виде
p =	+ ... +rkt где г, е К (/), / = 0, ..., k,
k --[Ki: Ко]—1. Обозначим через любой ненулевой элемент
из К [7], который делится на все знаменатели рациональных
функций Г/, i — 0, ..., k, тогда Pgp е /<[7, а]. Полагаем g
^d(h)- П тогДа g=5^0» S К [Л и 6= K[i, а],
8eS '
£~',а| для любого 0sS.
Так как К регулярно замкнуто, a Ki = K(l, g~\ а) — регу-
лярное расширение К, то существует K-гомоморфизм <р кольца
K[t, g~', а] в К. Заметим, что ф(£)¥=0 и ф(</(й))=/= 0; следова-
тельно, дискриминант многочлена (фй) (//), равный <p(rf(/i)),
отличен от нуля. Пусть р: К(1)*—*К— К-плейс, конечный на
/ь ..., tn и такой, что ф(М, i=l, .... п. Существова-
ние такого плейса при п — 1 очевидно; общий случай устанав-
ливается простой индукцией. Плейс р (конечен и) совпадает
с ф на кольце K[i], следовательно, p(g) = ф(^)=#=0, P опреде-
лен на g~l и р(g~l) — (g~l)• Так как дискриминант много-
члена (ph) (у) — (фй) (у) не равен нулю, то все продолжения
плейса р на Kt не разветвлены, а относительная степень такого
продолжения определяется степенью образа элемента а над К
при этом продолжении. Пусть л — продолжение плейса р на
такое, что л(а)=ф(а); существование такого продолжения
следует из того, что ф(а)—корень многочлена ph = фй, так как
Ф — гомоморфизм из К{1, g~', а] в К. Так как ф(а) еК, тол— К-
значный плейс, конечный на {6, .... tn,g~l,a}. Но тогда л коне-
чен и на К[/|, ..., tn, g~', а] и на S s К[6, ..., ln, g~l, а]. □
2=> 1. Очевидно.
1 => 3. Пусть К регулярно замкнуто, a f и g такие, как в ус-
ловии свойства 3. Пусть Ко^ K(h........h)—чисто трансцен-
дентное расширение поля К, а у — корень многочлена f(l,y)&
е/<о[//]; тогда Ki Ко (у)— регулярное расширение поля К.
Следовательно, существует /(-гомоморфизм ф: К [Л, ..., t*,
g(i)?] “*• тогда для а, ф(h), I — 1, .... k, 0 ф(-у) имеем
f (аь ..., а*, 0) = 0 и g (а)	0.
3=> 1. Пусть поле К удовлетворяет условию 3. Пусть К\ —
конечно порожденное регулярное расширение К, S — конечное
подмножество Ki. Как в доказательстве леммы 1, находим се-
парирующий базис трансцендентности Л, .... tn и многочлены
f еК[х1, ..., хп,у\, g^K[x........х„] такие, что h(y)^
минимальный многочлен для элемента у <= К\ та-
§ 2. РЕГУЛЯРНО ЗАМКНУТЫЕ ПОЛЯ	299
кого, что К\ = K(t, у) и у целый (и сепарабельный) над /([/],
a g*^g(t)— элемент такой, что S s К [/, g~l, у]- Заметим, что
f— абсолютно неприводимый многочлен над К, так как /Q =
= K(t\, ..., tn,y)— регулярное расширение К. По свойству 3
в К существуют элементы cti, ап, ₽ такие, что /(а, Р) = 0 и
g (а) =й= 0. Соответствие Л»—>аг-, ун->р продолжается до Л-гомо-
морфизма ср* кольца /([?, у] в Л; если р — ядро гомоморфизма
<Р*, то ср* однозначно продолжается до /(-гомоморфизма ф из
/([/, у]^ — кольца частных относительно простого идеала р —
р К\ так как ф*(^) = ^г(а)=#0, то g~x е К [/, у]^, следова-
тельно, К [S] С/([f, gy1, у] </([/, у]р и ср ф f К [S] задает
/(-гомоморфизм кольца К [5] в /(. □
Следствие. Если Ki, i^I,— направленное по включе-
нию семейство регулярно замкнутых полей, то поле U /Q также
i е= I
является регулярно замкнутым.
Легко проверить это для свойства 3. □
Установим теперь, что свойство регулярной замкнутости со-
храняется при сепарабельных алгебраических расширениях.
Замечание. Это свойство уже отмечалось ранее (А к с
[2]) со ссылкой на технику спуска Вейля. Здесь будет приве-
дено независимое доказательство, не использующее алгебро-
геометрической техники.
Предложение 2. Пусть К — регулярно замкнутое поле,
Ко— сепарабельное алгебраическое расширение К. Тогда Ко
также регулярно замкнуто.
Установим сначала утверждение, имеющее и самостоятель-
ный интерес.
Лемма 2. Пусть Ко — конечно порожденное сепарабельное
расширение поля К, Lo — алгебраическое замыкание К в Ко,
тогда существуют такие расширения Ко^ L, К что L\ —
конечно порожденное регулярное расширение К и L = L0Z>i.
Будем предполагать, что Ко вложено в некоторую универ-
сальную область /G над К, т. е. К\ — алгебраически замкнутое
поле, содержащее К и имеющее бесконечную степень трансцен-
дентности над К. Пусть	/(] и <Pi = idLo, ф2, ..., фп —
все различные /(-вложения поля £0 в K\(Lq сепарабельно над
К). Продолжим изоморфные вложения фЬ ф2, .фл до изо-
морфных вложений ф, id^, ф2, ..., фп Поля Ко в К, так,
чтобы было выполнено условие: tyi(Ko) и ф7 (/(0) для 1 i <
< j п алгебраически разделены над К. Пусть Л* —это ком-
позит полей ф1(£0), ..., фп(£0), тогда Л* — наименьшее рас-
ширение Галуа поля К, содержащее Ло. Через G обозначим
группу Галуа AuUL*. Пусть L — это композит полей ф1 (Ко),
300
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
г|?п(/Со); £ — сепарабельное конечно порожденное расшире-
ние К. Если через Mi обозначить композит фДЛо)^*, i= 1, ...
/г, то L* — алгебраическое замыкание К в Mi и Mi — регу-
лярное расширение L* для всех f=l, ..., п. Из построения
следует, что Mi и Mj алгебраически разделены _над 6* (i =/=/),
следовательно, они линейно разделены над L* и L = M{- ... •
• Мп = Mi	Определим теперь действие
группы G на поле L, согласованное с действием G на L*. Пусть
oe G; зададим действие а на элементах поля гр/(Ло) так: рас-
смотрим изоморфное вложение оф/ поля £0 в Ki; существует
такое /, что Офг=ф/, тогда для элемента аеф/(А0) полагаем
аа^ фуфг1 (а). Рутинная проверка показывает, что так опреде-
ленное действие о на компонентах tyi(Ko) однозначно продол-
жается до действия о на £, причем это действие о на L* совпа-
дает с исходным. Полагаем Ц LG, тогда L — расширение Га-
луа поля Li с группой Галуа G. К алгебраически замкнуто в Ц,
следовательно, Li — регулярное расширение К. Полагаем L
LqLi (=L0®kL\) и покажем, что Ko^L. Пусть Н — та-
кая подгруппа группы G, что Lq = L^ (т. е. Н ^{о|аа==а для
любого ае£0}); покажем, что L = LH, Действительно, вклю-
чение L ^LH очевидно; так как L = L*Li = L*® % Ц, то
[£ : L] = [L*: Lo] = \Н\ = [Е:_ LH], следовательно, L = LH. Ос-
тается показать, что Ко Ен, Пусть о е Я, а е Яо = (Ко) \
так как ф1 ==idLo, то аф1 = Фь следовательно, оа= ф^Г1 (а) = а;
итак, Kq^.Lh. □
Обратимся теперь к доказательству предложения. Если вос-
пользоваться следствием предыдущего предложения, то доста-
точно доказать утверждение в случае, когда Ко — конечное рас-
ширение К.
Пусть Ко(6, ..., tn)—конечно порожденное регулярное рас-
ширение Ко. По лемме 2 существует такое конечно порожден-
ное регулярное расширение Ki поля К, что Ко (Л, ..., 6г)
С KoKi = КофкКь Пусть ои 1, а2, ...,	—базис Ко над
К, тогда любой элемент у из KoKi однозначно представим
k
в виде Y= £ аД, Р, (= А1, г = 1, ..Пусть pz/eAb
i в 1
Z== 1, ..k, j = 1, ..., n, таковы, что
k
Так как К (P;/ |i = 1, ..., k", /= 1, ..., n) — регулярное расшире-
ние Г и К регулярно замкнуто, то существует А-гомоморфизм
ф: А [РЛ-/] К, который может быть однозначно продолжен до Ко~
гомоморфизма <р„: Ко [Pi/] -> Ко потому, что Ко [Р//] = К [₽//] ® rKo>
§ 2 РЕГУЛЯРНО ЗАМКНУТЫЕ ПОЛЯ
801
так как/ь tn	то Ф ^фЛ	будет иско-
мым До-гомоморфизмом из До[/] в До- □
Предложение 3. Любое поле К имеет регулярное рас-
ширение До, являющееся регулярно замкнутым.
Построение такого расширения является довольно стандарт-
ным. Сначала укажем, как построить такое регулярное расши-
рение Д' поля Д, что для любой пары <f, g>, f е Д[хь ...
..., *k, у}, §еД|Л1, ..., xk], f абсолютно неприводим и как
многочлен от у унитарен, сепарабелен и имеет степень больше 1,
a g =/= 0, в Д7 существуют элементы ось • • •, а*, р такие, что
f(a, Р) = 0 и g(а) =7^0. Пусть X — множество всех таких пар
многочленов и — некоторое вполне упорядочение множества
X. Для любого g е X определим регулярное расширение Ki
поля К по трансфинитной индукции:
Пусть для всех Л < £ поля Дп уже построены так, что если
,По<г11<^ то Д<ДЯо<ДП1. Полагаем К U Д5 —
регулярное расширение поля /С. Пусть g =	g}', так как f абсо-
лютно неприводим, то поле	..., tk, т) —поле част-
ных кольца	.., xk, */]/(/)—регулярное расширение поля
и, следовательно, регулярное расширение поля Д.
Полагая Д' U Дь получим регулярное расширение
поля Д, удовлетворяющее сформулированным выше условиям.
Построим теперь башню расширений
Д<Д'< ... <Д^<Д(л+1)(^Д^')< ...;
тогда До=^ U Д(п) — регулярное расширение поля Д, которое,
как видно из построения, удовлетворяет условию свойства 3
предложения 1, т. е. является регулярно замкнутым. □
Для дальнейшего нам понадобится более точный вариант
предложения 3, утверждающий, что расширение До можно вы-
брать с любой (возможной) группой Галуа б(До). Под груп-
пой Галуа О(Д) поля Д понимается группа Галуа сепарабель-
ного замыкания Д$ поля Д над Д, т. е. С(Д) Aut/< Д5. Опре-
деления и необходимые свойства проконечных групп и (беско-
нечной) теории Галуа можно найти в книгах Коха [1] и Сер-
ра [1]. Все рассматриваемые ниже группы будут проконечными,
подгруппы — замкнутыми, а гомоморфизмы — непрерывными.
Напомним, что (проконечная) группа О называется проек-
тивной, если для любых гомоморфизма ф: G-+HQ и эпимор-
физма ф: Н\ ->//0 существует гомоморфизм К: G-+Hx такой,
что ф = %ф.
Теорема 1. Пусть К — произвольное поле, Н — проектив-
ная группа, ср: H-+G(K)— эпиморфизм. Тогда существуют рв-
802
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
гулярное регулярно замкнутое расширение L поля К и изомор-
физм гр: G(L)-+H такие, что композиция <рф: О(£)->О(л)
совпадает с гомоморфизмом ограничения.
Воспользуемся следующим результатом.
Лемма 3. Для любого поля F и любой проконечной груп-
пы Н существуют регулярное расширение F\ поля F и проме-
жуточное поле F0(F Fo^ Р\) такие, что Fi — расширение
Галуа поля FQ и //^Autro^b
Поле Fi можно выбрать как чисто трансцендентное расши-
рение поля F. Для доказательства см. Уотерхаус [1]. □
Для поля К находим по лемме 3 такие расширения Ко и Ki,
что К Ко Ki, К\ — регулярное расширение К, Ki — расши-
рение Галуа поля Ко и Л: Aut/<0 7G-> 77 — фиксированный изо-
морфизм. Рассмотрим расширение К' KiKs поля Ко, где Ks —
сепарабельное замыкание К; так как Ki— регулярное расши-
рение К, то и KsKoW 7<i (символ || означает линейную
К	Ко	к
разделенность над F). Отсюда сразу следует, что G'^Au
G (К) Aut/<0 Кь Рассмотрим в G' замкнутую подгруппу Н'
{{а, т) | срЛ (т) = а, a&G (К), т Q Aut^/G}; заметим, что Н'
естественно изоморфна группе Н. Полагаем	, тогда,
так как Н' при ограничении на Кз отображается на всю группу
G(K), то К алгебраически замкнуто в 7^; но Кг— подполе 7<\
которое сепарабельно над К, следовательно, Кг — регулярное
расширение Ко и существует изоморфизм ф': Aut^, К' (= Н') -> Н
такой, что фф' совпадает с гомоморфизмом ограничения
АикГ->С?(Ю = Аи^7<5.
Используя предложение 3, найдем регулярное регулярно
замкнутое расширение Lo поля Кг- Пусть ц: G(L0)-> G(/C2) —
эпиморфизм ограничения и р0* G(Lq)-^H' — композиция ото-
бражений ц и естественного эпиморфизма ограничения G(/(?)->
—>//'== Aut/^TC. Так как Н' ~ Н проективна, то существует под-
группа Ho^G(Lq) такая, что. ограничение ц0 на Н' есть изо-
морфизм Но и Н'. Полагаем L Los', легко проверяется, что
L — регулярное расширение поля К, L регулярно замкнуто как
сепарабельное расширение регулярно замкнутого поля Ло (пред*
ложение 2) и G(L) ~ 770, причем существует изоморфизм ф:
G(L)-+H, удовлетворяющий сформулированным в теореме ус-
ловиям. □
Замечание. Условие проективности группы Н в теореме
является не только достаточным, но и необходимым. Укажем
набросок доказательства следующего утверждения:
Если К — регулярно замкнутое поле, то группа G(K) фи-
нитно проективна.
Пусть Но, Hi — конечные группы, ср: G(7<)->/7o— гомомор-
физм, ф: Н\-^-Но эпиморфизм. Нужно найти такой гомомор-
§ 2. РЕГУЛЯРНО ЗАМКНУТЫЕ ПОЛЯ
303
физм X: G (К)-+ Н1, что г|Д = <р. Пусть Нх вложена в симмет-
рическую группу Sn степени п\ если /G^/((xi, хп) — поле
рациональных функций от п переменных над К, то Sn действует
естественным образом на К\. Полагаем /(o^/Cf’; тогда К\—
расширение Галуа поля /<0 с группой Галуа Нх. Пусть
£о^=/(£ег т, тогда Lo — конечное расширение Галуа поля К
с группой Галуа, изоморфной группе Gj <p(G(/<)); Gi^//j.
Рассмотрим /(-композит L полей Lo и К\\ поле L является рас-
ширением Галуа поля Ко с группой Галуа Go, изоморфной груп-
пе /7 X Ог, рассмотрим в Go подгруппу //г, соответствующую
подг( уппе {<Ji, g)\tyh = g} группы //iXGi. Легко проверить,
что поле LX^LH} является конёчно. порожденным регулярным
расширением поля К. Пусть а е L таков, что L — Lx(а); ах, ...
ak — коэффициенты минимального многочлена для а над
Li, a d — его дискриминант. Для S^{ai,	ak, d, d-1} нахо-
дим (по предложению 1) К-плейс р:	конечный на S,
и пусть л: L-+Ks—какое-нибудь его продолжение до плейса
поля L в Ks. Пусть Н3 — группа разложения плейса л над р,
Н3 Н2\ так как р конечен на d и d”1, то л неразветвлен над р
и Н3 изоморфна группе Галуа поля л(А) над К. Пусть ко'
G (/()-> //3 — эпиморфизм, индуцированный эпиморфизмом ог-
раничения: пусть /Л/Л — гомоморфизм, индуцированный
вложением <A, g)^>h группы Н2 в Нх, тогда % АД0 — иско-
мый гомоморфизм из G(K) в Нх. □
Как отметил Ершов [8], финитная проективность равно-
сильна проективности.
Установим теперь теорему, которая описывает возможные
группы разложений для накрытий рациональных точек много-
образий над регулярно замкнутыми полями. Такого типа тео-
ремы называются (Фрид и Сакердот [1], Джарден [1])
диалогами теоремы Чеботарева о плотности и играют важную
роль в теоремах об элиминации кванторов для «утверждений
Галуа». Полученная ниже теорема является наиболее общей
и используется в конце этого добавления для элиминации кван-
торов в теории стратов Галуа.
Пусть К — регулярно замкнутое поле; Ко—конечно порожд ей-
ное регулярное расширение К; К\ — конечное расширение Галуа
поля Ко, />о ~ алгебраическое замыкание К в К{\ Н Aut^ Кх\
Я0^Аи1к£0» Ф* И -> Но — эпиморфизм ограничения. Пусть
<р: G (К)-> Н такой гомоморфизм, что диаграмма
С(К)
H0^AutKL0)^-H
304
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
коммутативна. Полагаем qp(G (К)), /и^К$ег<г: заметим,
что AutK Ц = G (К)/Кег ф ~ Н{.
Теорема 2 (аналог теоремы Чеботарева о плотности).Для
любого конечного подмножества S Ко существует К-плейс р:
Ко*—*К, конечный на S, и его продолжение л: К\ -> L\ на К\,
не разветвленное над р, группой разложения которого над р
является Нь а изоморфизм Нх AutK Lx = G (К)/Кег ф, индуци-
рованный плейсом л, является обратным к изоморфизму
G (F)/Ker ф ^Нх, индуцированному эпиморфизмом ф.
Заметим, что частный случай теоремы, когда Lo = К, т. е.
когда К\ — регулярное расширение К и когда ф — тривиа ьное
отображение (Н\={е}), следует сразу из доказанной ранее
леммы 1.
Рассмотрим поле F L\K\, поле F является расширением
Галуа поля Ко, группа Галуа которого (над Ко) описывается
с помощью следующей леммы.
Лемма 4. Пусть Мо и М\ — расширения Галуа поля М,
Go Aut^j Л40, Gj	Aut^ Л4Ь Н^ Аи1м(Л40А Mj),
тогда композит MQMX есть расширение Галуа поля М и его
группа Галуа Но Autw МоЛ^ изоморфна расслоенному пря-
мому произведению GoXGi групп Go и G\ над Н, т, е. под-
н
группе группы G0XGi, состоящей из всех таких пар {go, gi),
что go t(Af0 ПЛ41) = g} f (Mo A Ali) (или, что то же, nogo = ^igu
где л/: Gt-+H — отображение ограничения).
Эта лемма есть небольшое уточнение теоремы 5 § 1 гла-
вы VIII книги Ленга [1]. □
Так как F — (LiKo)Ki и ЦКо — расширение Галуа поля Ко
такое, что АиЪ^Л-Ко —Aut« L\ и Li/СоП Ki = L0Ko, то по лем-
ме 4 группа Галуа G поля F над Ко изоморфна группе Я( X Я;
Но
рассмотрим в G подгруппу Я», соответствующую подгруппе ‘
«Л, й>|й s Я]} группы Я]ХЯ; тогда	Рассмотрим
н.
поле Fq^Fh*', так как L\ является алгебраическим замыка-
нием К в F, а группа Н* действует на L\ так же, как (изоморф-
ная ей группа) AutKЦ( = G(K)/Ker ф), то К алгебраически
замкнуто в Fq, и так как F, а следовательно, и Го сепарабельно
над К, то Fq — регулярное расширение К и F = Lx. Легко
к
проверяется, что Ko^Fo и Fo— конечное сепарабельное рас-
ширение Ко- Применяя лемму 1 к К Ко Fq, находим
К-плейс р: Ко*~*К, конечный на S, его продолжение л' на FQ,
которое неразветвлено над р и К-значно (т. е. л'(/7о) = К). Про-
должим теперь л' до Li-плейса л0: F = Fo ® L] L\ (такое
§ 2 РЕГУЛЯРНО ЗАМКНУТЫЕ ПОЛЯ
305
продолжение, очевидно, существует и единственно); плейс ло
неразветвлен над л' и над р. Если через л обозначим ограни-
чение ло на Ki, то л будет искомым продолжением р.
Действительно, так как ло не разветвлен над р, то его огра-
ничение л будет не разветвлено; остается заметить, что л(К1) =
= Li, но это следует из того, что К Г) Fo = К\* = К\' и [К: Fq] =
=5=1 я. 1=1 Н\ l=[Kf. К\ Л Ко]=[£1: К]; n(Ki) = Ai и является
группой разложения л над р. □
Важное для дальнейшего следствие теоремы 2 сформули-
руем в виде отдельного предложения.
Пусть К Ко Ki — такая башня расширений полей, что
К регулярно замкнуто, Ко — регулярное расширение поля К,
Ki — конечное расширение Галуа поля Ко- Пусть Lo — алгеб-
раическое замыкание К в Ki и Li — такое расширение Галуа
поля К, что Lo L\ и существует Аи1д£о-изоморфизм групп
<р: Autfo К\ — Aut/( L\.
Предложение 4. В этих условиях для любого конечного
подмножества S s Ki существует К-гомоморфизм ф кольца
K[S] в L\ такой, что ф(5ПКо)^К и ф(5— Ко)^ L\ — К.
Пусть ^[М. G^Autx/Сь Кх = Ко(у) и Л = х* +
4-a1xfe-1-|- ... + ak <= Ко W — минимальный многочлен для у
над Ко- Полагаем at(e)^at для 1=1, ..., k‘, для е=£оге(?
пусть сту=а1(о)у6-1 4- ...	е К0‘, для rsS пусть
т = а1(т)у*~1 + ... 4-аИт), at(x)<=Ko-
Если К'о К (щ (6)| i =1...... k,	6&.Q\]S), K\^K'Q{y)>
то К\ — расширение Галуа поля K'(i с группой Галуа, есте-
ственно изоморфной G; К[П Ко = К'} и 3 s К{- Полагаем S's^
=^{у, а( (6), at (6)-11 at (6)#=0, х=1.k, 6eS|JG}. Применяя
теорему 2 к системе (К, К'о, К\, S', <р), найдем К-плейс р: К'о*—*-К
и его /^-значное продолжение л: К\ »-* Lv конечное на S',
группой разложения которого над р будет группа G. Отсюда
сразу следует, что л — единственное продолжение р и Lt =
= К(л(у)). Кольцо Kq [S'] содержится в кольце нормирова-
ния Rn плейса л; из определения множества S' видно, что
S S К'а [S'], следовательно, и К [S] К'о [S']	/?я. Ограниче-
ние л на К [S] задает К-гомоморфизм ф из К [S] в Условие
ф(5(]Ко)^К выполнено, так как л есть продолжение К-знач-
ного плейса р- К'0'—>К и SПКо == Sf|К'о- Пусть tgS-Ко,
тогда существует I, 1 ^z < k, такое, что аг(т)=/=0(в противном
случае т = а*(т) е Ко); следовательно, аг(т) и az(т)-1 е S', по-
этому ф (az (т))#=0.
306
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
Но
/ k	\	k
Ф СО = Ф ( S di (т) yk~l) = Е Ф (а< (т)) л (у)к~1
\i=I	/	/=1
и, следовательно, ф(т)^К, так как k — [L\\K] и L\ =
= *("(?)). □
2. Допустимые классы конечных групп. В этом пункте будут
рассматриваться только конечные и проконечные группы. Как
и в предыдущем пункте, будем предполагать гомоморфизмы
непрерывными, подгруппы замкнутыми и т. д.
Эпиморфизм ср: G Н проконечных групп называется на-
крытием, если G не имеет собственных (замкнутых!) подгрупп
Go < G таких, что ф(О0) = //. Это свойство эпиморфизма ф
эквивалентно следующему: Кегф^Ф(О), где O(G)—подгруп-
па Фраттини группы G.
Замечание. Далее будем неоднократно пользоваться (без
явного упоминания) следующим очевидным свойством накры-
тий: если ф: G-+H, ф: H-+F — эпиморфизмы, то фф есть на-
крытие тогда и только тогда, когда ф и ф являются накрытиями.
Класс ® конечных групп назовем допустимым, если выпол-
нены следующие три условия:
1.	Класс ® замкнут относительно гомоморфных образов.
2.	Класс ® замкнут относительно накрытий; это означает,
что если ф: G Н — накрытие, Н е ® и G — конечная группа,
то G G ®.
3.	Класс ® удовлетворяет свойству коамальгамируемости:
если Go, Gi,	Фо: Gq-+Hq, фь G\Но — эпиморфизмы,
то существуют группа /Ле® и эпиморфизмы фо: /Л —* Go и
фь Н\ -> Gi такие, что фСф0 = Ф1фь
Примерами допустимых классов групп являются следующие:
класс ©а, всех конечных групп; класс ®п всех конечных групп,
имеющих п порождающих элементов (new); класс ®л всех
конечных л-групп, где л — произвольное множество простых чи-
сел; класс ®s всех конечных разрешимых групп; класс ®N всех
конечных нильпотентных групп и многие другие (ниже встре-
тятся и другие примеры допустимых классов).
Замечание. В основе доказательства того, что класс ®п,
п ge (о, является допустимым, лежит следующая
Лемма Гашюца. Если ф: H-+F— эпиморфизм конеч-
ных групп, имеющих п порождающих, то для любой системы
порождающих а\, ..., ап группы F существует система порож-
дающих Ь\, ..., Ьп группы Н такая, что q(bi) = ai, i = 1, ..., п.
Доказательство см. в статье Г ашюца [1]. □
Предложение 1. Для любого класса конечных групп С
существует наименьший допустимый класс ®(С), содержа-
щий С.
§ 2 РЕГУЛЯРНО ЗАМКНУТЫЕ ПОЛЯ
8С7
В основе доказательства этого предложения лежит лемма J,
формулировке которой предпошлем определение. Пару эпи-
морфизмов ср: F->G, ф: H-+G назовем максимальной, если не
существует тройки эпиморфизмов X: G'->G, ср': F-^G\ ф':
Н G' такой, что Ker X += {е}, Хер' = ср, Хф' = ф.
Лемма 1. Если ср: F ->G, ф: Н ->G — максимальная пара
эпиморфизмов, Gx — подгруппа расслоенного произведения Go=^
F X Н (= {(Л А)1 ф/ = Ф^}) такая, что n^G^ — F и n1(G1) = AT
о
(л0, Л1 — естественные проекции), то Gq = G{.
Доказательство будем вести индукцией по числу |F| + |//|.
Заметим, что группы Кег ср и Кег ф можно считать есте-
ственно вложенными в Go (если f е Кег ср, то </, e>sG0) так,
что имеет место следующая точная последовательность:
{е}->Кег<рХ Кег ф-> Go-> G->{е}.
Предположим, что Fo^ Gt A Ker ф=#{е). Покажем, что Fo яв-
ляется нормальной подгруппой в Go, а соответствующая ей
подгруппа Fj {f| (f, е) ^о} — нормальной в группе F. Дока-
жем второе; пусть fQG F{ и f е F; так как G{ проектируется
на F, то {f,h)^O[ для некоторого h^H\ следовательно,
но (Л hy\f0) e)(f,	е) е Fo;
f 1 fQf e Fj и F{ < F. To, что Fq — нормальная подгруппа
группы Go, легко вытекает из предыдущего. Рассмотрим группы
F' F/Fp G'^=G0/F0, G'^GJFq и эпиморфизм ср': F' ->G, инду-
цированный эпиморфизмом ср (напомним, что F^ Кег ср). Из этих
определений видно, что ср', ф — максимальная пара эпимор-
физмов, Gg естественно изоморфна группе F' X Н, a G' — под-
группа этой группы, которая проектируется на F' и Н соответ-
ственно. Но | F' |+l Н |<| F |+| Н |, так как F^{e}, следовательно,
по индукционному предположению G' = G[. Но Fo Gx Go и
Go/Fo = G; = G; = G1/Fo, поэтому g{^=gq.
Итак, если Gi А Кег ср^{е}, то G^Go. Аналогично доказы-
вается, что если G[ П Кег ф=/={е}, то Gi = Gq. Остается рассмо-
треть случай Gi П Кег ср = G{ А Кег ф = {е}. Пусть f е F; так как
Gi проектируется на F, то существует h & Н такой, что (f, h}^G{\
если /К еЯ и {f, Gb то (/, //>(/, Л)-1 = {е, h'h~x}<=Gx А Кег ф.
Следовательно, h'h~x = e, h' = h. Таким образом, для любого
f^F существует единственный h^.H такой, что (/, Л) е G{.
Этим соответствием задается отображение ц: f которое,
как нетрудно проверить, является изоморфизмом F на Н.
Кроме того, из Gi^Gq — F\H следует, что фц = ср. Таким
образом, F и Н изоморфны над G, и тогда из максимальности
308
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
пары (ср, ф) следует, что (риф являются изоморфизмами.
Действительно, полагая	cpz ф'чМс1я, Л^-ф, имеем
Лф'^Лф', следовательно, из максимальности (ср, ф) имеем KerZ=
==Кегф = {е}, т. е. ф— изоморфизм, но тогда и (р = фц— изо-
морфизм. Имеем в этом случае
Go = {{f, h} | cpf = фА, f <=F, h<^ H}
= {</,/г>|/ = (р“1фА = цА, feF, h^H} = G{. □
Следствие. Если ® —допустимый класс, F, G, H e® и
(p: F ->G, ф: H -+G — максимальная пара эпиморфизмов, то
F\H<==®.
G
По свойству 3 определения допустимого класса существуют
группа G'е® и эпиморфизмы <pz: G'-^F, ф': G'->H такие,
что qxp' = фф'. По свойству универсальности расслоенного про-
изведения существует гомоморфизм Л: G'-+FXH такой, что
G
q/ = л0Х, ф' = л1Л, где л0: F X Н ~>F и Яр F X НН — естэст-
G	G
венные проекции. Если Gi^k(Gf), то Gi — подгруппа F X Н,
G
проектируемая на F и Н соответственно. По лемме 1 G{ = F X Н.
G
Кроме того, 01 — эпиморфный образ группы G' е ®, сле-
довательно, G{ = FХН ^® по свойству 1 допустимого клас-
G
са. □
Обратимся теперь к доказательству предложения 1. Пусть
С —класс конечных групп, S (С) —наименьший класс конечных
групп, содержащий С, замкнутый относительно гомоморфных
образов и накрытий и такой, что с каждой максимальной па-
рой <р: F-^G, ф: НG эпиморфизмов такой, что F, Н^®(С),
группа F X Н е®(С). По следствию к лемме 1 класс S(C) co-
ts
держится в любом допустимом классе ® конечных групп, кото-
рый содержит класс С. Остается заметить, что сам класс ®(С)
допустим. Свойства 1 и 2 выполнены очевидным образом. Про-
верим свойство 3. Пусть F, Н^®(С) и <р: F—>G, ф: /7->G —
эпиморфизмы. Так как группы F, Н конечны, то существуют
максимальная пара эпиморфизмов q/: F-+G', ф': Н -> G' и
эпиморфизм X: G'^G такие, что <р = Ц/, ф = Хф'. Рассмот-
рим группу Gq^FXH и эпиморфизмы ло: Gq->F, jq:
G'
так как q/ло = ф'ль то срло = Xq/ло = Хф'л! = флг, кроме того,
Go<=@(C), так как пара (q/, ф') максимальна. Свойство 3 для
клгцга ®(С) проверено. □
Следствие. Если ®0 и ©i — допустимые классы конечных
групп, то и Sq Q @i — допустимый класс. □
§ 2 РЕГУЛЯРНО ЗАМКНУТЫЕ ПОЛЯ
309
Пусть до конца пункта S обозначает произвольный допусти-
мый класс конечных групп. Проконечную группу G будем на-
зывать ©-группой (точнее, про-®-группой), если семейство
Hf(G) всех конечных (непрерывных) гомоморфных образов
группы G содержится в S. Класс всех S-групп будем обозна-
чать так: [S].
В работе Ершова [8] доказано следующее
Предложение 2. Если S— допустимый класс конечных
групп, то класс [S] всех ©-групп удовлетворяет следующим
условиям'.
1.	Класс [S] замкнут относительно гомоморфных образов.
2.	Класс [S] замкнут относительно произвольных (в классе
проконечных групп) накрытий.
3.	Класс [S] удовлетворяет свойству коамальгамируемостщ
если Go, Gi <=[©], <р0: Go-+Ho, фь G\-^H0— эпиморфизмы, то
существует группа Н\ [S] и эпиморфизмы фо*. Н\ —► Go, фь
Н\ -> Gi такие, что ф0ф0 = Ф1фь □
S-группу G назовем ©-универсальной, если для любых групп
Но, Н\ е © и эпиморфизмов ср: G->/70, ф: Н\ —> Но существует
эпиморфизм ф': G -> Н\ такой, что фф' = ф.
Следующее предложение показывает существование доста-
точно большого семейства S-универсальных групп.
Предложение 3. Любая ©-группа является гомоморф-
ным образом подходящей ©-универсальной группы.
Доказательство этого и следующего предложения можно
найти в работе Ершова [8]. □
Предложение 4. Любая ©-универсальная группа яв-
ляется проективной. □
Предложение 3 устанавливает существование S-универсаль-
ных групп. В некоторых случаях можно установить и един-
ственность.
Предложение 5. Пусть GQ и G\ — две ©-универсальные
группы, имеющие конечное или счетное множество порождаю-
щих. Если F ^®, ф: Go~^F, ф: G\ -> F — эпиморфизмы, то су-
ществует изоморфизм X: Go-> Gi этих групп такой, что ф = фХ.
Укажем только набросок доказательства, оставляя проверку
деталей читателям. Используя условия на мощность порож-
дающих, можно построить две последовательности групп из ©
и эпиморфизмов
F = F0<-F1-<- ...,
...
так, что Go — Hm Fn, Gt lim Hn, а ф и if получаются как
естественные проекции. Используя ©-универсальность групп Go
и Gh можно указать две подпоследовательности групп Ff(O),
310
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
Ff(1),	/7g(0), /7g(ib f(0)</(l)< ..., 0 = g (0) <
< ?(1) < • • •, и построить семейства эпиморфизмов Ff
Фп- (2n+1) -+Ff (2n+i) такие, что для любого new
диаграмма
Ff(2n)~*	Ff (2/1 + 1)	Ff(2n + 2)
Нд(2п)	Нд(2п + 1)^ Нд(2п+2)
коммутативна.
Семейство эпиморфизмов фл, п е со, определяет эпиморфизм
X: G0->Gi; а семейство эпиморфизмов фл, new, определяет
эпиморфизм ц: G\ -> Go. Коммутативность вышеприведенной
диаграммы показывает, что X и ц — взаимно обратные изомор-
физмы. □
Следствие. Если ® ®п для некоторого п^ со, то любые
две ®-универсальные группы изоморфны. □
Замечание. Если не выполнено условие следствия, то су-
ществуют сколь угодно мощные ©-группы, а следовательно, и
сколь угодно мощные ©-универсальные группы.
Пусть G — проконечная группа, Hf(G)— семейство всех ко-
нечных гомоморфных образов группы G. Группу G назовем до-
пустимой, если для любых Но, Hi^Hf(G) и любых эпимор-
физмов ф: G~^~Hq, ф:	существует эпиморфизм ф':
G -> Н\ такой, что фф' = ф.
Предложение 6. Проективная проконечная группа G
является допустимой тогда и только тогда, когда Hf(G)—до-
пустимый класс, a G является Hf(G')-универсальной группой.
Пусть G — допустимая группа. Класс Hf(G), очевидно, замк-
нут относительно гомоморфных образов. Проверим, что Hf(G)
удовлетворяет свойству коамальгамируемости. Пусть О0, G{ е
^Hf(G), ф0: Gq^Hq, фр Gi —> HQ — эпиморфизмы. ТаккакЯое
^Hf(G), то существует эпиморфизм Л: G->H$, по определению
допустимости G существуют эпиморфизмы ф': G-->G0 и ф': G->G{
такие, что ф0 ф£ = фофд = Л. Пусть N Кег ф£ Г1 Кег ф' Н{ G/N,
тогда Н{ — конечная группа (Н{ >—► Go X Gi), Hf (G) и эпи-
морфизмы ф':О-> Gi индуцируют эпиморфизмы ф^: Hx-^Gt, при-
чем такие, что ФоФо=Ф1Ф1- Таким образом, Hf(G) удовлетворяет
свойству коамальгамируемости. Пусть HQ <= Hf(G), ф: /Л->Яо—
накрытие (Hi — конечная группа); пусть ф: G-+Hq— некоторый
эпиморфизм (существование такого эпиморфизма следует из того,
что Яое//[(С)). Если G — проективная группа, то существует
гомоморфизм ф': G-+H\ такой, что ф = фф'. Но ф'(О) — под-
f 2. РЕГУЛЯРНО ЗАМКНУТЫЕ ПОЛЯ
311
группа Нь отображающаяся на //о; так как <р — накрытие, то
и	Таким образом, если G проективна,
то класс Hf(G) замкнут и относительно накрытий. Таким об-
разом, установлено, что Hf(G)— допустимый класс; то, что до-
пустимая группа G является Hf (G) -универсальной, очевидно.
Необходимость установлена.
Достаточность очевидна, так как из ©-универсальности груп-
пы G следует, что Hf(G) = ®. □
Оставшаяся часть пункта будет посвящена решению сле-
дующей алгоритмической проблемы:
По заданному семейству конечных групп HQ, ..., Hk, G
узнать, принадлежит ли группа G классу ®(Н0, ..., //л)?
Укажем сначала достаточно малый, но просто устроенный
допустимый класс @, который содержит ®(Н0, ..., //*).
Пусть К— класс конечных простых групп такой, что выпол-
нено условие:
(*) если GeK, простое число р делит порядок | G\ груп-
пы G, то циклическая группа Ср порядка р принадле-
жит К.
Лемма 2. Если класс К конечных простых групп удовлет-
воряет условию (*), а ®к обозначает класс всех конечных групп,
все композиционные факторы которых принадлежат К, то ®к —
допустимый класс.
Действительно, класс ®к, очевидно, замкнут относительно
гомоморфных образов, прямых произведений и расширений.
Следовательно, он замкнут и относительно расслоенных пря-
мых произведений. Таким образом, ®к удовлетворяет усло-
виям 1 и 3 определения допустимого класса. Проверим, что ®«
замкнут относительно накрытий. Пусть <р: FG — накрытие и
G е ®к. Так как Кегф^Ф(/7), то композиционные факторы
F — это композиционные факторы G вместе с набором групп
вида Ср — композиционных факторов нильпотентной группы
Кег <р. Однако, как известно (Хупперт [1]), если простое
число р делит порядок подгруппы Фраттини группы F, то р де-
лит и порядок |F/d>(F)|, а следовательно, порядок группы G
и порядок одного из композиционных факторов группы G. По
условию (*) тогда СР^К и, следовательно, Fe®/(. □
Следствие. Класс ®«,п всех групп из ®к, имеющих п по-
рождающих, является допустимым.
Действительно, ®к, п = ®к П ®п- □
Опишем один из способов получения универсальной группы
для такого класса ®«, п-
Предложение 7. Если Fn — (абстрактная) свободная
группа с п порождающими, то семейство S^{N\N— нормаль-
ная подгруппа Fn и Fn/N ^®к} направленно (по убыванию),
312
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
а (проконечная) группа G lim {FJN \N g S) является ® л-
универсальной.
Установим, что S замкнуто относительно пересечений. Пусть
A/о, N\ <= S, рассмотрим два нормальных ряда Ni NqN\ Fn
и Nq П No Fn. Так как Fn/N\ ®к> то NQN\/N\ е ®«,
но No/No A N\ NqN\/N\ и Fn/NQ принадлежит ®к, следова-
тельно, и Fn/No A AZi е ®к и Nq A Mi е S.
Из определения группы G видно, что Ge[®<>rt]. Пусть
Я1, ..., an^G — это образы свободных порождающих группы
Fn. Пусть HQ, //jE®^,	/71->/70 и ф: G->//0— эпимор-
физмы. Система ф(Д1),	ф(а„) порождает Но', по лемме Га-
шюца в Н\ существует система порождающих &ь ..., Ьп такая,
что ф(&/)= ф(а/), /=1, ...» п. Тогда, очевидно, существует
эпиморфизм X: Q->H\ такой, что hai = bi, i= 1, ..., п. Для
этого эпиморфизма имеем фХ = ф. Таким образом, установлено,
что G является ®«, „-универсальной группой. □
По набору конечных групп HQ, ..., Hk можно эффективно
найти наименьший (конечный) класс простых групп Ко, содер-
жащий все композиционные факторы групп HQ, ..., Hk и удов-
летворяющий условию (*). Если по е со таково, что все группы
из Но, ...» Hk имеют п0 порождающих (в качестве такого п0
можно взять, например, maxi Hi |), то ®(Яо, ..., й\)	®/<() „0.
Покажем теперь, что принадлежность классу®(/70, ...» Hk)
эффективно определяется с помощью некоторой конечной груп-
пы F, порядок которой может быть оценен с помощью найден-
ного выше вложения ®(Но, ..., Hk)^®Ka.n-
Для проконечной группы G через ф(д) обозначим пересече-
ние всех максимальных открытых нормальных подгрупп груп-
пы G; пусть i|)o(G)=^G, ф„+1 (G)	ф(ф„(О)) и ф"(О)^
G/i])„(G), п е со; фл будет обозначать и естественный эпи-
морфизм G на tyn(G). Последнее определение имеет смысл, так
как tyn(G)—нормальная (даже характеристическая) подгруппа
G для любого п €= со. Полагаем I (G)	0, если G = {e}, и l(G)^=
^sup {п + 1 1ф„ (G)^={<?}}, если G#={e}.
П GE (О
Лемма 3. Если {е} = Go ... Gn = G — субнормаль-
ный ряд, факторы которого вполне приводимы (т. е. являются
произведениями простых групп), то 1(G) п.
Эта лемма легко следует из следующих двух легко прове-
ряемых фактов:
1. ф (G)	G„_i.
2. Если Н — субнормальная подгруппа группы G, то ф(Н)^
ф (G). □
Следствие. Для любой группы G 1(G) < со тогда и толь-
ко тогда, когда для G существует субнормальный ряд с вполне
§ 2 РЕГУЛЯРНО ЗАМКНУТЫЕ ПОЛЯ
313
приводимыми факторами и lQ 1(G) — минимальная длина та-
кого ряда.
Нужно только заметить, что
{e} = ^(G)<M>Zo_,(G)<... Сф0(О) = О
— нормальный ряд с вполне приводимыми факторами. □
Лемма 4. Если <р: FG— эпиморфизм, то <р(фп(Г))^
^фл(б) для любого	поэтому <р индуцирует эпимор-
физмы w. ф"(Р)—»ф"(О) и l(G)^ 1(F).
Достаточно проверить: <р(ф (F))^ ф (G), а это очевидно. □
Вернемся к нашему классу ®°^±®(Н0, Hk). Определим
сейчас конечную группу F*, которая в определенном смысле
содержит «всю информацию» о классе ®°. Пусть G — ®°-универ-
сальная группа, sn —шах/(//<); полагаем Р*^ф®’(0). Установим
k
основные факты о группе F*.
1.	F* — конечная группа-, ее порядок можно оценить прими-
тивно рекурсивной функцией от $0, п0 и maxi Ht |.
Этот факт вытекает из следующей леммы:
Лемма 5. Если К. — конечный класс простых групп, удовлет-
воряющий свойству (*)» max| Р |, Go — ®к „-универсальная
р^к
группа, то группа фй(60) конечна и ее порядок можно оценить
сверху примитивно рекурсивной функцией g(n, m, k).
Воспользуемся предложением 7: Go—Hm {Fn/N \N<$Fn, FJN^
Это представление позволяет вычислить зф* (<?0) следую-
щим образом:
Пусть N0^Fn; Afft+1 | У <1 Nk, Nk/N е К}, fee®; тогда
^(G0)~Fn/Nk.
Используя формулы из книги Холла [1], установим оцен-
ки порядков групп Fn/Nk'-
а)	число Мп, k подгрупп индекса в свободной группе Fn
оценивается сверху числом fe(fe!)"-1;
б)	индекс пересечения всех подгрупп индекса ^fe в Fn оце-
нивается сверху числом
Подгруппа имеет в Fn индекс /0 Ff1 -m-	5 тогда
— свободная группа с числом порождающих^ 1 + lQ(n — 1).
Полагая nQ^=n.	k ', nk+\1 + lk(nk — 1), индук-
цией получаем, что Nk+\ имеет индекс в Nk и ^ — сво-
бодная группа с числом порождающих ^.nk.
Оценивая I ф* (Go) I» имеем
l^ft(G0)|-|P^I = |F^1ll^2l- ...
••• •/*_.= IU
314
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
Ясно, что Ц Zf — примитивно рекурсивная функция от /?, т
и k. □
Так как	то по предложению 3 и следствию
предложения 5 существует эпиморфизм ^-универсальной
группы Go на ®°-универсальную группу G, который индуцирует
эпиморфизм группы ф5° (Go) на F*. Оценка порядка | ф5р (Go)
полученная в лемме, дает и оценку порядка | F* |. □
2.	H^H^F*),
Действительно, для любого i^.k существует эпиморфизм
q)f:	который индуцирует эпиморфизм фр F* (= ф5° (G))->
-*Ht = ф5о(/7/), так как ((H^^Sq. □
3.	I (Н) > s0 для любого собственного накрытия <р: Я -> F*;
Z(H = s0.
Предположим противное, и пусть qp: Н -> F* — собственное
накрытие такое, что 1(H) = s0. Так как Н е ®°, то существует
эпиморфизм ф: G-+H, который индуцирует эпиморфизм ф':
—►//(= ф5°(//)), но тогда |#|^|F*| и Н не может быть соб-
ственным накрытием конечной группы F*. То, что Z(F*) = s0,
следует из определения F* ф5« (G). □
Будем говорить, что группа F однородна, если для любых
двух эпиморфизмов (p,: F-+H, Z = 0, 1, на конечную группу су-
ществует автоморфизм X: F -> F такой, что <р0 = фД.
Замечание. Более точным, но более громоздким назва-
нием этого свойства было бы конечная неоднородность.
4.	Группа F* однородна.
Из предложения 5 следует, что группа G — допустимая ко-
нечно порожденная группа — является однородной, а однород-
ность F* вытекает из однородности G, так как F* = б/ф5о.(0), а
ф5Д0) — характеристическая подгруппа G. □
Покажем, что факты 1, 3, 4 уже влекут важную информа-
цию. Пусть F —конечная однородная группа, а s е со таково,
что 1(F) = s и l(H)>s для любого собственного накрытия Н
группы F. Пусть ®F— класс всех конечных групп, которые яв-
ляются гомоморфными образами всевозможных конечных на-
крытий группы F.
Предложение 8. Класс ®F является допустимым; конеч-
ная группа Н принадлежит ®F тогда и только тогда, когда
ф5(Я)е Hf(F) и группа HF^H X Г (не зависящая от вы-
бора эпиморфизма F -> ф5 (Н)), является накрытием группы F.
Проверим, что ®F — допустимый класс. Из определения
видно, что ®F замкнут относительно гомоморфных образов. Для
§ 2 РЕГУЛЯРНО ЗАМКНУТЫЕ ПОЛЯ
316
проверки замкнутости ®F относительно накрытий установим сле-
дующую лемму.
Лемма 6. Если фр	Z = 0, 1,— максимальная пара
эпиморфизмов и фо — накрытие, то Лр //0Х//i—>Н{—накрытие,
н
Пусть Я* ^.HqXH 1 и Л! (//*) = Нх\ тогда ф1тс1 (ТУ*) =/7; но
н
Ф^! = фояо, и тогда л0 (#*) — такая подгруппа //0, что фоло (//*) =
^Н. Так как ф0 —накрытие, то — HQ\ тогда по лемме 1
ft* = //oX#i и, следовательно, Л! — накрытие. □
Пусть ф£:	— накрытие и	так как Н' е
то существует группа Нх и эпиморфизмы ф':	и ф: НF
причем ф — накрытие. Найдем группу//, эпиморфизм Л: //->//'
и максимальную пару эпиморфизмов фр Ht->H такую, что
*Лф/ = фр Z = О, 1. Отметим, что ф0 является накрытием, так как
ф' —накрытие. По лемме 6 проекция л^ HQ X Н{ —> Н{ является
накрытием, но тогда фл! есть накрытие группы F, следова-
тельно, //0, как гомоморфный образ накрытия //0 X Н{ группы F,
н
лежит в
Прежде чем доказывать для ®F свойство коамальгамируе-
мости, установим заключительное утверждение предложения.
Для группы Н такой, что ф5(//)е Hf (F), пусть фг: 7-э-ф5(//),
Z == О, 1, — два эпиморфизма, тогда из однородности группы F
следует существование автоморфизма X: F^F такого, что
Фо — фА; тогда пара изоморфизмов (id#, X) определяет изомор-
физм группы
Я» {(ft, f) | ГА - Фо/, а я Н, f a F]
на группу
Я],^{(А, /)1ГА = фЛ h^H, fsF).
Таким образом, группы Я° и Н1Р изоморфны над Н и, следо-
вательно, однозначно определены над //; любую из таких групп
будем обозначать HF\ ее проекция на F определена с точностью
до автоморфизма группы F. Итак, если ф5 (//)<= Hf (F) и HF-—
накрытие F, то Н как гомоморфный образ HF принадлежит ®F.
Наоборот, пусть ф: HQ-+ F — накрытие, ф: HQ Н — эпимор-
физм. Тогда ф и ф индуцируют эпиморфизмы ф5: ф5(//0)->
->7?( = ф5(Г)), ф5; ф5(//0)->ф5(//). Так как ф = Ф$ф5 и ф—на-
крытие, то ф$ — накрытие; но /(ф5(//0)) = s, следовательно,
ф5(//о) не может быть собственным накрытием. Отсюда ф« —
316
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
изоморфизм и — гомоморфный образ ф5(Я0)^Г, т. е.
ф5(Я) Hf (f). Рассмотрим коммутативную диаграмму
гдецч^ф^ф”1, а X — гомоморфизм, определенный по свойству
универсальности расслоенного произведения HF = Н X F. За-
метим теперь, что из l(F) = s следует, что пара эпиморфизмов
(ф5, р) является максимальной, следовательно, из леммы 1
сразу вытекает, что X — эпиморфизм. Так как ф = лД— на-
крытие, то и Л1 — накрытие.
Установим теперь свойство коамальгамируемости для
класса Пусть ф0:	фр Н{->Н — пара эпиморфиз-
мов и Я0, Я1, Н тогда фг- индуцируют эпиморфизмы
ф': HlF->HFi z = 0, 1. Заметим, что ф' является накрытием;
действительно, композиция эпиморфизмов ф' и Лр Hf-+F яв-
ляется накрытием (это есть лг* HlF->Fy следовательно, и ф^—
накрытие, z = 0, 1. Найдем для этой пары (Фо> ф[) эпиморфиз-
мов группу Я*, эпиморфизм Л: H*-+HF и максимальную пару
эпиморфизмов ф0: Я°->Я*, фр Я),—>Я* такие, что Ф/=Л,фь
Z = 0, 1. Заметим, что из равенства ф' = Лф0 и того, что ф^ —
накрытие, следует, что ф0 —накрытие. По лемме 6 проекция
Лр Я# Hqf \ H'F) HF является накрытием; но Я), —накры-
тие F; следовательно, Я* — накрытие F и H*^®F. Рассмот-
рение коммутативной диаграммы
§ 2. РЕГУЛЯРНО ЗАМКНУТЫЕ ПОЛЯ
817
показывает, что ®F удовлетворяет и условию коамальгами-
руемости. □
Следствие 1. ®F = ® (F).
Очевидно. □
Следствие. 2. ®F* = ®°.
Действительно, из факта 2 следует, что ®° = ® (//0, ...,
®f*. По определению F* е ®°; следовательно, ®f* = ®(F*)s
<== ®°. □
Укажем теперь, как решать упомянутую выше алгоритмиче-
скую проблему о принадлежности конечной группы G допусти-
мому классу ®(//о, ..., Hk).
1.	По набору групп Но, ...» Hk строим конечный класс Ко
простых групп, состоящий из всех композиционных факторов
группы #оХ ••• УкНк и циклических групп Ср для всех про-
стых р, которые делят порядок | HQ X • • • X Hk |.
2.	Пусть s0 max/(77z), nQ^± max| Ht |, RQ^g(nQ, nQ, s0), где
i^k	i^k
g —примитивно рекурсивная функция, определенная в доказа-
тельстве леммы 5.
3.	Перебирая все конечные группы порядка ^/?о, выберем
из них все такие F из ®/<0, Ло, которые удовлетворяют условиям:
1)‘ Hi Hf (F), i k\ 2) F — однородная группа; 3) 1(F) = $0
и 1(H) > s0 для любого собственного накрытия Н группы F.
Алгоритмическая проверка свойств 1) и 2) и свойства
1(F) = s0 очевидна. Укажем, как проверять свойство 1(H)>sq
для любого собственного накрытия Н группы F. Для этого до-
статочно ограничиться рассмотрением минимальных собствен-
ных накрытий:
Пусть qp: Н ->F — накрытие и N — максимальный нормаль-
ный делитель Я, лежащий в Kerqp и отличный от Кег ср; тогда
Ф индуцирует накрытие qp': H' ->F, H'^H/N и Kerq/— эле-
ментарная абелева р-группа для некоторого простого р такого,
что р\ | F |. Заметим, что если l(H') > s0, то и 1(H) > s0, поэтому
достаточно ограничиться рассмотрением собственного накрытия
ср: H-+F, ядро которого не содержит собственных нормальных
делителей и, следовательно, является элементарной абелевой
р-группой. Оценим порядок этого ядра. Пусть Fn. — (абстракт-
ная) свободная группа с п0 порождающими и ф: Fno —>F —
некоторый эпиморфизм; его можно продолжить до некоторого
гомоморфизма ф': Fn.->H в Н. Но так как ср — накрытие, то
ф'— эпиморфизм; ф' индуцирует эпиморфизм ф*: Кегф->Кегср,
а Кег ф — подгруппа Fno индекса | F |, следовательно, Кегф —
свободная группа с п{ (1 +1 Р I • (^о — I)) порождающими.
Поэтому Кег ср не может иметь более чем пх порождающих и
318
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
| Kerqp	F I*</?оО. Отсюда следует, что достаточно
1
рассматривать накрытия qp: H-+F, порядок которых ^7?0° ,
Таким образом, путем конечного перебора найдем все (с точ’
ностью до изоморфизма) группы FXi ..., Ft, удовлетворяющие
сформулированным выше условиям 1)—3), Предложение 1 по-
зволяет эффективно перечислять класс © (//0> • •, продол-
жаем перечисление этого класса до тех пор, пока не найдем
такого /о,	что /чое®(Яо, . Hk)- Заметим, что
такое Zo обязательно найдется, так как среди групп FXf ..., Ft
находится группа F* (см. выше факты 1—4 о группе У7*).
Покажем, что Fi0^F*. Как при доказательстве следствия 2
предложения 8, имеем © (//о, ..., Ph) ~ ®f^ В частности,
F* е ®г. и, следовательно, существует конечная группа Fo,
накрытие ф: Fo~+FiQ и эпиморфизм qp: FQ-+F*. Эти эпимор-
физмы индуцируют эпиморфизмы ф5: ф5° (Fo) F^, qpSo: Ф5° (/%)->
->F*, но ф5о как накрытие должен быть изоморфизмом, следо-
вательно, ф^ф”1: FiQ-+ F* — эпиморфизм и | F* |	| Г/о|. Анало-
гично, из того, что Fz-oe®(Ho, ...» Hk) = ®F*, получаем |Л0|^
F* |, следовательно, F* Fi9.
Итак, группа F* найдена. Теперь для любой конечной
группы G имеем: бе®(Я0, .ЯА>)<=>Се®^*<=>ф5о(С)еЯ^ (Г*)
и Яр Gf-+ F — накрытие. Последнее свойство проверяется эф-
фективно.
3. Теоретико-модельные свойства регулярно замкнутых по-
лей. В начале пункта будем рассматривать только случай полей
характеристики 0. Пусть Of — это обычная сигнатура теории по-
лей <+, •, —, -1, 0, 1>. Начнем с вопросов выразимости неко-
торых свойств полей на элементарном языке.
Пусть ® — произвольный допустимый класс конечных групп,
5® — класс всех полей (характеристики 0), группа Галуа кото-
рых является ©-группой, и — класс всех регулярно замкну-
тых полей из группа Галуа которых является ©-универ-
сальной.
Пр едложение 1. Классы полей 5® и S® являются ак-
сиоматизируемыми. Если ® — рекурсивный класс конечных
групп, то эти классы рекурсивно аксиоматизируемы.
Для любого поля К и любого фиксированного п е <о, п > 0
любая n-мерная /(-алгебра А с фиксированным базисом ех, ...
..., еп однозначно определяется своими структурными констан-
п
тами с^ • е.е.= У с^;ек) 1	]^п. Это позволяет на элемен-
I J I k=a\ I J ~
тарном языке записывать высказывание о существовании и-мер-
| 2 РЕГУЛЯРНО ЗАМКНУТЫЕ ПОЛЯ
319
ных /(-алгебр с теми или иными элементарными свойствами,
утверждение о том, что для всех /г-мерных /(-алгебр выпол-
няются определенные элементарные свойства и многое другое.
Однако приведение явной формулы, выражающей это свойство,
как правило, трудно из-за громоздкости записи. Приведем один
пример: укажем, как записать формулу Еп> утверждающую, что
у поля К существует по крайней мере одно расширение сте-
пени п.
Пусть ykip 1	/,	— различные переменные, подра-
зумеваемые значения которых — структурные константы соот-
ветствующей /(-алгебры.
п п
Формула А(у)^ Д Д укц — укн «выражает» коммутатив-
ность алгебры.
п
Формула В(у)^ Д (у1и, — 1 Л Д у1ч — 0\ выражает сущест-
<-1 \	i-^i )
вование единицы (точнее, что et — единица).
с (й Л <Л < „ (д С?,
Формула
жает ассоциативность.
Формула
Г / П	\ / п	\ п / ГУ
о (у) VxVz|^ у A^V	{ykijxizi^Q
выражает условие отсутствия делителей нуля.
Полагая Еп By (А (у) Д В (у) Д С (у) Д D (у)), получим нуж-
ную формулу.
Аналогично (но более громоздко) можно написать предложе-
ние QH, выражающее существование расширения Галуа L
поля /С, группа Галуа которого изоморфна группе Н. Исполь-
зуя предложения QH, можно написать систему аксиом для
класса S®. Таковой будет Г® Г? U {1 Qn\Н — конечная группа,
Н & ®), где — система аксиом для теории полей характери-
стики 0. Для аксиоматизации класса понадобятся более
сложные предложения. Пусть <р: Н -> F — эпиморфизм конечных
групп, тогда по <р можно эффективно построить предложение
Q(p, удовлетворяющее следующему семантическому условию для
любого поля К:
К. |= Q<p <=> для любых расширения Галуа L поля К и
изоморфизма Ал Г—>Aut/(Z. существуют рас-
ширения Галуа М L поля К и изоморфизм
I*; Н -*• Aut« М такие, что Х<р — цл, где л:
Aut^-AI AuttfL — проекция ограничения.
320
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
Тогда системой аксиом для теории класса б® будет Т® U 7\U
U {Q<p ]<р: Я->F — эпиморфизм, Н е ®}, где TR — система аксиом
для класса регулярно замкнутых полей, которая будет сейчас
указана.
Для написания системы аксиом TR воспользуемся свой-
ством 3 предложения 1 п. 1 и для любого п е со, п > 0 напи-
шем предложение Рп, выражающее следующее свойство поля К:
для любого абсолютно неприводимого многочлена
.xki у], k n, deg f л, который как многочлен от у уни-
тарен и сепарабелен, любого многочлена g е К[хь ..., х*],
g 0, deg g п, существуют аь ..., а*, Р в К такие, что
/(а, р) = 0, §(а) = 0. Единственное, что нужно понять для
записи такого предложения, — это то, что свойство абсолютной
неприводимости / может быть записано элементарно. Однако
хорошо известный прием Кронекера (см., например, Джарден
и Кине [1]) показывает, что достаючно проверить просто
неприводимость f над расширениями L поля К, степень которых
над К не превосходит пп. Тогда TR ^{Рп\п ею, п > 0}. □
Для теоретико-модельного изучения регулярно замкнутых
полей и даже просто регулярных расширений удобно формульно
расширить сигнатуру теории полей так, чтобы расширениями
в этой сигнатуре были в точности регулярные расширения.
Пусть oR Of U< Wn \п е со, п > 1 >-— формульное расширение
Of, где Wn определяется (в классе полей) формулой
^"(х,.....xn)^'3y(yn + xiyn-1 + ... +хп_1^ + х„ = 0).
Каждое поле К имеет естественное обогащение Kr до сиг-
натуры or, причем, если К L, то Kr Lr тогда и только
тогда, когда К алгебраически замкнуто в L. В частности, когда
К — поле характеристики 0, это равносильно регулярности рас-
ширения L.
В дальнейшем поля из классов и 5® будем рассмат-
ривать (не оговаривая впредь) как модели сигнатуры or, опу-
ская символ R в обозначении Kr для обогащения К до сигна-
туры Or.
Предложение 2. Если К, L,	K^L, К^М, то
существуют Кое 8®, К<Ко и К-изоморфизмы <р: L^»Ko,
ф,- М—>Ко в Ко из L и М соответственно.
Регулярные вложения и К^М индуцируют эпимор-
физмы групп Галуа <р: G (£)-»• G(К) и ф: G(M)-> G(K). Группы
в (К), G(L) и G(Af) принадлежат классу [©]; по предложению 2
п. 2 существует ©-группа F и эпиморфизмы qp0: F-*G(L),
ф0: F -+G (М) такие, что <рф0 = ФФо! по предложению 3 этого
же п. 2 можно считать, что F ©-универсальна, а следовательно
(предложение 4 п. 2), и проективна. Используя теорему 1 п. 1,
найдем Lo^L и А40 > М и изоморфизхмы Л: F G (Ло)> F^G (Л1о)
§ 2. РЕГУЛЯРНО ЗАМКНУТЫЕ ПОЛЯ
321
такие, что композиции Лл, цл'(л: G(Lq)-*G(L), лх: G(A1o)->
-> G(M) — проекции ограничения) совпадают с qp0 и ф0 соот-
ветственно. Рассмотрим поле — поле частных тензорного
произведения LQ®KMQ и его расширение Галуа К2 — поле
частных тензорного произведения	где А\ Lj, М® —
алгебраические замыкания полей A, Lo, Мо соответственно.
Группа Галуа Aut*,/С по лемме 4 п. 1 изоморфна группе
G(L0) X G(MQyt выберем в этой группе подгруппу F't соответ-
GW
ствующую подгруппе {{hQ, h}) |hQ е G (Lo), hx e G (Mo), существует
f^F такой, что h^kf, = группы O(L0) X G(MQ). Эта
G(K)
подгруппа естественно изоморфна группе F. Пусть Аз^АГ;
так как F' действует на Lo и Ms как G(Lo) и О(Мо) соответ-
ственно, то Lo и Л40 алгебраически замкнуты в А3. Пусть Аз —
алгебраическое замыкание поля А3, башня расширений А3С
^Аг^Аз определяет эпиморфизм л: G(K AuI/g/G»»/7'; так
как F' проективна, то в и (Аз) имеется подгруппа F", изо-
морфно проектируемая на F'. Пусть	тогда Kt —
также регулярное расширение Lo и Мо и G(A4)== F", По тео-
реме 1 п. 1 для А4 существует регулярное регулярно замкнутое
расширение Ао такое, что G(KQ)cx F" (заметим, что/7" c^F'a^F
©-универсальна и проективна). Итак, Ao^g®, а Л и Л4о,
а следовательно, L и М имеют регулярные А-вложения в Ао- □
Теорема 1. Класс g® является модельным пополнением
для класса g® сигнатуре ар).
Предложение 2 показывает, что достаточно установить мо-
дельную полноту (аксиоматизируемого) класса g®. Для этого
достаточно воспользоваться критерием модельной полноты Ро-
бинсона и следующим утверждением;
Лемма 1. Пусть А е g®, Leg® и	тогда A<iL;
это означает, что для любой 3-формулы Ф(х) (сигнатуры и
любого набора элементов а е A L |= Ф (а) влечет К Ф (а).
Элементарные рассуждения показывают, что достаточно рас-
сматривать случай, когда Ф(х) имеет вид 3yW (х, у), матрица
(бескванторная) 'Г формулы Ф есть конъюнкция формул вида
h(X, y) — Q,i—l.....k, 1Wnf (q{(x, у)...q‘nf (x, £)),/=!,...
..., s, где термы tit q{ — это многочлены из <Q [x, 0]. Для этого
достаточно элиминировать каждое позитивное вхождение пре-
диката IFn, заменив его на определение; подформулы вида
1(х,у)=&0 заменяются на 3u(crt — 1 »0). Пусть йеЛ —
такой набор, что £^=Ф(а), тогда существует набор Set
322
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
такой что	5). Для истинности формулы Ф(а) в К
нужно найти в К такие значения у, которые являются корнями
системы полиномов L (a,//) = 0, /== 1, ...» /г, а ни один из поли-
номов pr^zni + д{(а,у)гпг' -|- ... -^qi^a, у), j = 1, ..., s, не
имеет ни одного решения в /(. Перемножая полиномы р/, получим
полином q(y, z)e К[у, z], унитарный в г, такой, что истинность
Ф(а)_в К равносильна существованию такого решения а системы
L (§,//) = О, i= 1, k, что многочлен q(a,z) не имеет ни од-
ного корня в К. Рассмотрим регулярное расширение L0^K(5)
поля К и его расширение Галуа Lb полученное присоединением к
Lo всех корней уь ..., yt многочлена q (5, z). Пусть L2 L f| Lb и
пусть G Au1l< Lf, Ко — алгебраическое замыкание К в L\\ Н
Ant* Ко и я: G Н — эпиморфизги ограничения. Так как
и AutL Li G, то Gg ®; поле К принадлежит
следовательно, группа G(K) является ©-универсальной, и по-
этому эпиморфизм по: 6(К)-+Н может быть поднят до эпимор-
физма ль G (/()-> G такого, что ЛЛ1 = л0. Пусть S^={5, уь ...
...,7г}; воспользуемся предложением 4 п. 1 для нахождения
/(-гомоморфизма ф кольца К [S] в поле L*^KsKerno такого, что
ф(5П£2)^/<, ф(5 — L2)^ L* —К. Тогда ф(5)<= /С, ф(у1)0/(,
так как	z = l, ..., t. Так как ф— /(-гомоморфизм, то
ф(5) дает решение системы уравнений ti(at у) = 0,i = 1, ..., fe,
а ф(?1), ...» ф(уД— это все корни многочлена ^(ф(5),г) =
= ф(^(5,г)). Как было уже отмечено выше, все элементы
Ф(Т1)» •••» Ф(?0 не лежат в /(, следовательно, ^(ф(5),г) не
имеет корней в К и K\=W(a, ф(6))> 7((=Ф(а). □
Установим еще более сильное утверждение:
Теорема Г. Класс 8$ является подмоделью полным.
Определение подмодельной полноты см. в книге Сакса [1].
Пусть Ко,	и L — подмодель Kt, г = О, 1; это озна-
чает, что L — поле сигнатуры а/?, на котором предикаты Wn
индуцированы этими предикатами в Ко (или, что то же, в К{),
но, вообще говоря, L не есть од-обогащение какого-нибудь поля.
Пусть Lo и Li — алгебраические замыкания поля L в Ко и К\
соответственно.Так как многочлен f = xk + а,{хк-' + ••• + «л е
еЦх] имеет корень в Li тогда и только тогда, когда L |=
|== VP (аь • • • > аь), то по теореме 3 § 3 главы 6 книги Ершова
[5] существует L-изоморфизм Lo на Lb который, очевидно, бу-
дет ад-изоморфизмом. Ко и К\ являются регулярными расши-
рениями Lo и Ц соответственно. По предложению 2 найдется
поле К е 8®, являющееся регулярным расширением Ко и L-изо-
морфизм ср поля К\ в К. Но из модельной полноты класса
следует, что Ко < К, ф/(1 'Ч К; здесь < обозначает элементар-
ную вложимость. Отсюда следует элементарная эквивалентность
| 2 РЕГУЛЯРНО ЗАМКНУТЫЕ ПОЛЯ
823
моделей (7(0, a)a^L и (7<i,a)aeL, т. е. класс % подмодельно по-
лон. □
Следствие 1. Теория Th(g®) допускает элиминацию к ван"
торов.
См. книгу Сакса [1], § 13. □
Следствие 2. Два поля Ко, /Ci^g® элементарно эквива-
лентны тогда и только тогда, когда поля Abs Ко и Abs К\ изо-
морфны-, здесь KtisKi— это алгебраическое замыкание поля
рациональных чисел Q в Ki, z = 0, 1. □
Теорема 2. Класс g® имеет разрешимую элементарную
теорию тогда и только тогда, когда ® — рекурсивный класс
групп.
Необходимость очевидна, так как Н е ® о ~| QH ф Th (g*®)
Установим достаточность. Пусть ® рекурсивен, тогда по
предложению 1 теория Th(g®) рекурсивно аксиоматизируема.
По следствию 1 теоремы 1' теория Th(g®) допускает элимина-
цию кванторов, поэтому для любого предложения Ф сигнатуры
<тд существует бескванторное предложение Ф*, эквивалентное
предложению Ф относительно Th(g®) (т. е. Ф—>Ф*, Ф*-»Фе
eTh(g®)). Рекурсивная аксиоматизируемость теории Th(g®)
показывает, что Ф* может быть найдено по Ф эффективно. Для
доказательства разрешимости Th(g®) достаточно теперь эф-
фективно проверить выполнимость бескванторных предложений.
Ясно, что достаточно ограничиться предложениями Ф* вида
	^)л л . .. я'Л
i~0	4.7=fc+l	v
где qlf^Q, /= 1, s, j= 1, ..n..
Пусть	'+ q{xni~' + ... +qln^ i^s. Построим эф-
фективно поле разложения К всех многочленов fh i^s, над
Q. Пусть G^Autq/C; теперь проверяем, существует ли такая
подгруппа H^zG, что выполнены условия: 1) Яе®; 2) поле
Кн содержит хотя бы один корень каждого из многочленов
ft, 3) Кн не содержит ни одного из корней многочлена
Если такой подгруппы Н не существует, то Ф* невыполнима,
т. е. П Ф* Th (g®), если же такая Н существует, то Ф* выпол-
нима. Действительно, в этом случае поле Кн можно вложить
в такое алгебраическое расширение L поля Q, что G(A)e[®] и
K[\L = KH- Поле L имеет теперь регулярное расширение Lo из
g®; тогда Л0|=Ф*.
324
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
Остается заметить, что проверка существования группы Н,
удовлетворяющей перечисленным выше свойствам 1) — 3), мо-
жет быть осуществлена эффективно (см. § 1). □
Как было отмечено в статье Ершова [6], класс всех ре-
гулярно замкнутых полей имеет неразрешимую теорию. Основ-
ной причиной неразрешимости является то, что группой Галуа
регулярно замкнутого поля может быть любая проективная
группа (см. теорему 1 п. 1). Однако если ограничиться доста-
точно хорошими группами — допустимыми, то, как будет видно
из дальнейшего, ситуация остается хорошей.
Пусть — класс всех регулярно замкнутых полей К (ха-
рактеристики 0), у которых группа Галуа G(K) допустима. За-
метим, что из предложения 6 п. 2 следует равенство 7?о== U {3® I
© — допустимый класс конечных групп}.
Теорема 3. Элементарная теория класса Ro разрешима.
Укажем сначала рекурсивную систему аксиом для теории
Th(/?J). Такой системой аксиом, как нетрудно проверить, будет
2"°U	Ф: Я— эпиморфизм конечных групп}.
Отсюда следует, что теория Th(/?o) рекурсивно перечислима.
Остается установить, что множество С(/?о) предложений, сов-
местных с Th(/?o), также рекурсивно перечислимо, так как для
любого предложения Ф
O0Th(/?5)^nO^C(/?S).
Для поля К ее Ro через DS(K) обозначим множество
{Wn(q{, ...,qn)\n> 1,91,	?„)}U
иГИГД^,... ,qn)\п > l,q{,...,qn е= K^^Wn(qif..., ^)}U
U {QH IЯ — конечная группа, К |= QH} U {“] QH | Я — конечная
группа, Я |= HQ//}.
Лемма 2. Для любого поля К Ro теория, определенная
системой аксиом Th (Ro) U DS(K), является полной.
Пусть L — любое поле, удовлетворяющее системе аксиом
Th(/?o)U Д?(Ю; так как Th (Ro), то группа Галуа G(L)
поля L является допустимой; так как из L^DS(R) следует,
что L\=QH<=> K\=QH для любой конечной группы Я, го
Hf(G(L)) = Hf(G(K)), т. е. G(L) является Hf(G(K)) -универ-
сальной группой и К, L е S/zf(G(K)). Далее/, |= Wn(q{i ...,qn)^=>
Wn(qx, .. .,qn) для любых п > 1, qx, ..., qn s Q; от-
сюда по теореме 3 § 3 главы 6 книги Ершова [5] поля
Abs L — алгебраическое замыкание Q в L — и Abs Я—алгеб-
раическое замыкание Q в К — изоморфны. Тогда по следствию 2
теоремы 1' поля L и К элементарно эквивалентны. Так как L
было произвольным полем, удовлетворяющим системе аксиом
Th(/?o) U Ds (К), то это множество является системой аксиом
полной теории (поля К). □
§ 2. РЕГУЛЯРНО ЗАМКНУТЫЕ ПОЛЯ
325
Если предложение Ф совместно с теорией Th(^J), то суще-
ствует поле K^Ro такое, что К |= Ф. По лемме 2 и теореме
полноты тогда имеем Th (Ro) U DS(R) H Ф и Th (Ro) (J Do H Ф, где
Do^Ds(K) конечно. Таким образом, если Do, ... — после-
довательность всех конечных множеств предложений вида
Wn(qb ...,	...» qn), Qu, ~]Qh, совместных с Th (Ro),
то С (Ro) = {Ф I существует п е со такое, что Th (Ro) J Dn н Ф}.
Если последовательность Do, D\, ... можно выбрать эффектив-
ной, то тогда ясно, что C(R*o) рекурсивно перечислимо, а теория
Th(/?o) разрешима (рекурсивна). Для эффективного нахожде-
ния такой последовательности достаточно уметь для любого
конечного множества D предложений указанного выше вида
эффективно узнавать совместность системы аксиом Th(/?t*)U/X
Укажем, как это можно сделать. Пусть	•••>?«.)[*=
= 0, .... л}и{"1^(^........<z)p = * + 1> •••• s}u{QHJ/ =
= 0.....U |* = t + 1, •••> Q- Полагаем
+	... + q'n eQM, i < s, П Пусть/С —поле
»	i < s
разложения многочлена p над Q, тогда К—конечное рас-
ширение Галуа с группой Галуа G^Aut^/C. Пусть Gh ...
...» Gm — все подгруппы группы G такие, что для 1 j т
поле	1 содержит хотя бы один корень для каж-
дого многочлена fz, i k, и не содержит ни одного корня мно-
гочлена /i, k < i s. Может оказаться, что таких подгрупп
группа G не содержит (т = 0); в этом случае, очевидно, D не
совместно с Th (Ro). Если т >> 0, то проверяем, существует ли
такое /, 1 т, что для любого /, t < i /, группа Н, не
принадлежит допустимому классу ®(/70, ...» Ht,G}). В преды-
дущем пункте было установлено, что такую проверку можно
проделать эффективно. Если такого индекса j не найдется, го
£), очевидно, не совместно с Th(7?o). Предположим, что /, 1
т, таково, что Hi^@(H0) ..., Ht)G}) для всех /, t <
< i /. Пусть ф: G(X/)-->G/ — эпиморфизм ограничения
(заметим, что G/ = Aut/^ К); пусть Н — минимальная под-
группа группы G(/Q), которая отображается на G/ (существо-
вание такой (замкнутой) подгруппы установлено, например, а
работе Ершова [8]); тогда Н — накрытие группы G/ и, сле-
довательно, Н ^[®(Но, ..., Ht, G/)]. Пусть L^KSjH, тогда’
G(L) = H и /<П £ = /</; поле L принадлежит классу
(я0..следовательно, по предложению 2 L может быть
вложено в поле	..h^g^^Ro. Но из того, что
Kf)Lo = 7<AL = /Q и Яо, Htt=Hf(G(LQ))>
326
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
следует, что Ло[=£). Таким образом, можно
эффективно проверить совместность любого конечного множе-
ства Г) предложений указанного выше вида с теорией Th (7?о);
отсюда, как было отмечено выше, уже и вытекает разреши-
мость этой теории. □
Замечание. Теория Th(/?o), как легко видеть, не допу-
скает элиминации кванторов. Однако в следующем пункте бу-
дет рассмотрена другая сигнатура такая, что полученная тео-
рия TSg(/?o) этого класса полей /?о — теория стратов Галуа —
допускает элиминацию кванторов, aTh(/?o) эффективно сводится
к TSb(Rt).
Укажем теперь еще один возможный подход к изучению
элементарных теорий регулярно замкнутых полей, принадлежа-
щий Уилеру [1]. Пусть К— произвольное поле (ограничимся
случаем характеристики 0), Ок — расширение сигнатуры о/ кон-
стантами для элементов из К. Пусть FK — класс всех К-полей,
в которых К алгебраически замкнуто; этот класс аксиомати-
зируем в сигнатуре ок.
Следующая теорема (Уилер [1]) дает ответ на вопрос,
для каких полей К (характеристики 0) класс FK имеет модель-
ный компаньон в сигнатуре
Теорема 4. а) Экзистенциально замкнутыми системами
для Fk являются регулярно замкнутые поля из Fk, не имеющие
собственных алгебраических расширений, в которых К алгеб-
раически замкнуто,
б) Класс Fk имеет модельный компаньон тогда и только
тогда, когда К имеет ограниченный коранг, т. е. для любого
натурального п > 1 поля К имеет только конечное число рас-
ширений степени п.
Утверждение а) достаточно просто следует из уже извест-
ных свойств регулярно замкнутых полей.
В утверждении б) установим только положительную часть-
существование модельного компаньона, или, что то же, аксио-
матизируемость класса полей из утверждения а) теоремы
в случае, когда поле К имеет ограниченный коранг. Выберем
для любого п > 1 конечное семейство Sn неприводимых унитар-
ных многочленов над К таких, что если L — расширение сте-
пени п поля К, то существует f е 8П такой, что L = /<(а), где
а —корень f. Далее записываем для каждого пг>\ аксиому
9U, утверждающую для произвольного К-поля L, что в любом
расширении Lo степени ш поля L существует корень хотя бы
ш
одного многочлена из множества Тогда система аксиом
п—2
{51m | tn > 1} выделяет среди /С-полей те поля, которые не имеют
собственных алгебраических расширений, в которых К алгеб-
§ 2. РЕГУЛЯРНО ЗАМКНУТЫЕ ПОЛЯ
327
раически замкнуто. Отсюда сразу следует аксиоматизируемость
класса /*двсех экзистенциально замкнутых систем в Fk- □
Замечание. Из предыдущих рассмотрений и утвержде-
ния а) теоремы легко вытекает, что в случае ограниченности
коранга поля К теория Th (F*K) класса F*K всех экзистенциально
замкнутых систем из Fk является полной. В случае ненулевой
характеристики, который также рассматривался в работе
Уилера [ 1 ], это не так.
Укажем теперь соответствующий результат об элементар-
ных теориях.
Теорема 5. Если К — поле характеристики 0, ограничен-
ного коранга, имеющее такую конструктивизацию v, что для
конструктивного поля (К, v) разрешима проблема разложи-
мости и существует сильно вычислимая последовательность 8Ч,
п>1, многочленов над К, удовлетворяющая сформулирован-
ным в доказательстве теоремы 4 свойствам, то элементарная
теория Th (Fk) разрешима.
Действительно, из условий теоремы следует рекурсивная ак-
сиоматизируемость теории TIi(Fk), а по замечанию эта теория
полна; отсюда и следует разрешимость. □
В заключение пункта вкратце (без полных деталей) рас-
смотрим случай ненулевой (фиксированной для дальнейшего)
характеристики р. Начнем с напоминания некоторых алгебраи-
ческих определений и фактов.
Пусть К — поле (характеристики р=/=0); через Кр обозна-
чается подполе всех р-х степеней элементов семейство эле-
ментов аь ..., ал, п 1, поля К назовем p-зависимым, если
существует набор элементов	ge{0, 1, «..,р—1}п, из
которых не все равны нулю, такой, что	•••, а^"> = 0,
О
где для ае{0, 1, ..., р—1}п (а, i) — это /-я компонента век-
тора о, т. е. о=<(о, 1), ..., (о, п)>. Семейство S К назы-
вается p-зависимым, если существует конечное подсемейство
So S, которое является p-зависимым. В противном случае се-
мейство S называется р-независимым.
1.	Семейство аь ..., ап является p-независимым тогда и
только тогда, когда [Kp(ai, ..., ал): Кр] = рп. □
Отношение p-независимости удовлетворяет свойствам аксио-
матического понятия зависимости, предложенного в книге За-
рисского и Самюэля [1]. А именно, если для любого
S^K положить cp(S)^A?(S), то выполнены следующие свой-
ства:
2.	Если Sq^Sx, то (p(S0)	ф^). □
3.	Если	S^K и аЕф(З), то существует конечное
подмножество So S такое, что а е qp (So). □
328
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
4.	SS(p(S), ф (ср (S)) = ср (S) для любого
5.	(Свойство замены). Если S^/(, а,	то из
Р е ф (S U {а}) и Р ф ф (S) следует, что а (= ф (S U {₽}). □
Поэтому можно определить понятие р-базиса и доказать все
естественные свойства, связанные с p-независимыми множе-
ствами, р-базисами и т. п. Так, р-базисом К назовем такое р-не-
зависимое множество Б К, что К = КР(Б).
Для S^K через Sp п обозначим множество {ар |aeS},
тогда K(sp ") —расширение /<({ар "|aeS}) поля /С, п с= со;
через /<(SP ) обозначим расширение (J К (Sp ). Справед-
п е (о
ливы следующие факты:
6.	Если Т U 5 — p-независимое семейство в К; то T{JSP —
p-независимое семейство в К (Sp ), а Т — p-независимое семей-
ство в К (Sp ); если еще Т U S — р-базис, то T\}SP — р-базис
в К (Sp n), а Т — р-базис в К (Sp Э- □
Заметим, что если S U {а, р}— p-независимое семейство, то
S(J{a, »р} и S U {р, ар} — также p-независимые семейства. От-
сюда следует
7.	Если S U {а, р} — p-независимое семейство в К, то S U {а}
и S U {Р} — p-независимые семейства в К ((аР)р ). □
Обобщая этот факт, имеем:
8.	Если S U 50 U — p-независимое семейство, ф: So -> St —
одно-однозначное отображение, Т {аф (а) | а е So}, то S U So и
S\}SX — p-независимые семейства в поле %(jp °). □
Укажем связь p-независимости с регулярностью расширений.
9.	Пусть К алгебраически замкнуто в L, тогда следующие
условия эквивалентны'.
1)	L — регулярное расширение
2)	любое p-независимое семейство S в К остается р-незави-
симым в L',
3)	любое конечное p-независимое семейство S в К остается
p-независимым в L;
4)	существует р-базис Б поля К, который является р-неза-
висимым в L\
5)	существует р-базис Б поля L такой, что Б(]К — р-базис
поля К',
6)	для любого р-базиса EQ поля К существует р-базис Бх
поля L такой, что Бх П К = 50. □
Последний факт подсказывает, как формульно расширить
сигнатуру oR, чтобы для полей характеристики р вложимость
обогащений означала в точности регулярность расширения. Для
§ 2 РЕГУЛЯРНО ЗАМКНУТЫЕ ПОЛЯ
329
каждого п 1 определим n-местный предикат Vn В-формулой,
выражающей p-зависимость элементов, т. е. так, чтобы в лю-
бом естественно обогащенном поле К выполнялось следующее:
для ой, ..., ап К
K\=Vn(ah an)<=xxj, ап p-зависимы в К-
Полагая	{Vn\п^ 1} и рассматривая поля характерис-
тики р как алгебраические системы сигнатуры имеем:
Д £ <=> L — регулярное расширение поля К.
Полагаем для поля К т(Д) = о, если в К существует бес-
конечное p-независимое подмножество, и т(Д) = п<а), если Д’
имеет р-базис из п элементов. Заметим, что т(Д) = 0 означает,
что К совершенно. Если т (/<) < со, то- [Д’: Др] = рт(К). Для
любого допустимого класса конечных групп ®, любого
обозначим через а класс всех полей Д характеристики р
таких, что б(Д)е[®] и т(Д)^а. Справедлив следующий
аналог теоремы 1.
Теорема 6. Класс полей a (в сигнатуре о?) имеет мо-
дельное пополнение 3®, а, состоящее в точности из регулярно
замкнутых полей К таких, что G (Д) — ^-универсальная группа
и т(Д) = а.
Для доказательства теоремы нужны аналоги предложения 2
и леммы 1.
Аналог предложения 2 доказывается так же, как предло-
жение 2; единственная дополнительная трудность возникает
из-за того, что при Д, £, М е a, Д ^£, К	поля
£®КА4 может оказаться т(£®кА4)>а (это возможно только
в случае конечного а). Пользуясь фактом 8, для поля L®KM
можно найти чисто несепарабельное расширение £0 такое, что
т(£0)^а и £0 — регулярное расширение как £, так и М,
На аналоге леммы 1 остановимся более подробно.
Лемма 3. Пусть Де$©,а, L е а и К ^ £, тогда К L.
Используя то, что предикаты Vn определяются В-форму-
лами, легко заметить, как в доказательстве леммы 1, что для
доказательства леммы достаточно установить следующее ут-
верждение:
Пусть pi, pk^ K[yit уп]= К[у],	q^K[y,z]—
унитарный многочлен относительно z, /о, ...» А^{1, ..., п]
таковы, что существуют он, ...,	такие, что pi(d) = 0,
i= 1, ..., k; многочлен q(d,z) не имеет ни одного корня в £,
и для любого j, j s, семейство {аф‘е//} р-независимо\ тогда
в К существуют такие элементы рь ..., р„, что pi (р) = О,
/= 1, ..., многочлен q(fi,z) не имеет ни одного корня в К,
семейства {0/1 i е //} p-независимы для любого j $.
П Справочная книга, ч. III
330
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
Докажем это утверждение сначала для случая, когда L яв-
ляется относительно совершенным расширением /(, т. е. если
р-базис поля К является и р-базисом поля L, Зафиксируем не-
который р-базис Б поля К, который по предположению будет
р-базисом и поля L. Тогда по «свойству замены» для любого
j s существует семейство Бу = {уу, ь уу^.фБ, где
=^|/у |, такое, что Б1 ^(Б — £,) U {а/1/^//} есть р-базис поля L.
Любой элемент из Б, p-зависит от Б^\ для каждого элемента
Yy, f Бу зафиксируем некоторую p-зависимость элемента у/, t
от Б^ т. е. выражение
«м- Е у a, t> ор =о,
а t
где Sy, t конечно, q0, а е S/t t, — различные одночлены от Б1 U {Yy, J
и р(/, Л о) =# 0 для всех creSy, у, /=1, ..., nz. Полагаем
S {аь • • •, U {6 |б — корень многочлена q (d, г) в поле Lx —
поле разложения многочлена q (d, г) над полем LQ^K (d, у (j, /, a))}U
d {у a, t, о), у a, t, <j)-1|/ <5, ffGS/>b / = 1, Пу}. Далее,
поступая, как в доказательстве леммы 1, находим ^гомомор-
физм (р кольца К [S] в некоторое конечное расширение Галуа
поля К такое, что <р (S f] LQ) К, Ф (S — Lo) Ki —/(. Тогда
элементы pz^(р(az), z=l, ..., и, удовлетворяют заключению
утверждения. То, что рДР) = О, i= 1, ..., k, и что #(Р, г) не
имеет корней в /(, очевидно. Заметим только, что для любого
семейство {pj/e/y} p-независимо. Действительно, рас»
смотрим соотношение
О = ф (Л/, t) = £ ф (у (j, t, a))p ф (7a);
n^ sl, t
по выбору S имеем, что <p(z/(j, /, a)) #= 0, следовательно эти
выражения дают p-зависимость элементов из Б} от семейства
(Б — Бу)U {₽ф* //}, но так как |5у| = |/у|, то отсюда следует,
что (Б — 5у)и{рф^//} является р-базисом Л, а следова-
тельно, семейство {рг | / е /у} р-независимо.
Избавимся теперь от ограничения относительной совершен-
ности L над К. Пусть L не является относительно совершенным
над Л; заметим, что это возможно только в случае а = со.
Пусть Б — р-базис поля Л, So L таково, что SjSo — р-базис
поля L. Так как т(/<) = (о, то существуют элементарное расши-
рение К' поля К и множество Si К' такое, что Би Si—р-ба-
зис поля Л' и |So|^|Si|. Зафиксируем одно-однозначное ото-
бражение <р: S0“>Si и рассмотрим в поле L' К' ®к L множе-
ство Т {а<р (а) | а е So}; пусть L" L' (Тр~(д\ тогда по факту 8
L" будет регулярным расширением поля К' и поля L. Исполь-
$ 2 РЕГУЛЯРНО ЗАМКНУТЫЕ ПОЛЯ
331
зуя то, что К',	вложим L" в его сепарабельное ал-
гебраическое расширение А,,/ такое, что L'" ^5®, ©, а К' и L
алгебраически замкнуты в U". Итак, имеем
L =< Lr", L П К' = К и (по построению L'") L'" — относительно
совершенное расширение К'. Используя a и уже рассмот-
ренный случай, находим в К' набор элементов 0, удовлетворяю-
щий в К' сформулированным условиям. Но так как /С — эле-
ментарное расширение X, то и в К найдутся элементы 0', удов-
летворяющие этим условиям. □
Используя лемму 3 и аналог предложения 2, уже нетрудно
установить и теорему 6. □
Теорема 7. 1) Классы полей а с рекурсивным ® илю-
бым а < со имеют разрешимую теорию.
2) Класс Rp всех регулярно замкнутых полей характери-
стики р, имеющих допустимую группу Галуа, имеет разреши-
мую теорию.
Доказывается так же, как теоремы 2 и 3. □
4. Теория стратов Галуа. Как отмечалось в предыдущем пунк-
те, теория класса полей Хо в сигнатуре oR не допускает элими-
нации кванторов. В работе Фрида и Сакердота [1] при
изучении элементарной теории класса всех конечных полей был
предложен новый язык, в котором рассматриваемая теория до-
пускает элиминацию кванторов; в дальнейшей работе Фрида
[1] этот подход был расширен на большее число классов по-
лей. В настоящем пункте предлагается модифицированное из-
ложение этого подхода и указывается процедура элиминации
кванторов для класса полей Хо в этом новом языке.
В основе этого подхода лежит понятие страта Галуа, с опре-
деления которого и начнем изложение. Зафиксируем для даль-
нейшего некоторое поле К характеристики 0 и его универсаль-
ную область U(K), т. е. алгебраически замкнутое расширение
X, имеющее бесконечную степень трансцендентности над К.
Для £ = £rtet7(X) через X[g] обозначается кольцо,
порожденное над К элементами ..., а через Х(£)— поле
частных этого кольца. Элемент т] е Х[|] назовем сглаживаю-
щим для этого кольца, если т]#=0, а кольцо Х[£, Л-1] является
целозамкнутым.	__
Предложение 1. Для любого %&U(K)n существует
сглаживающий элемент для кольца Х[£].
Используя нормализационную лемму (Зарисский и Са-
мюэль [1], с. 305, теорема 8), найдем такие k линейных ком-
бинаций гр, ...» ц/г элементов ..., что кольцо Х[£] цело
над Х[ць Лб] и_^— степень трансцендентности Х(£)__над
К. Далее в поле Х(£) выбираем элемент С такой, что Х(£) =
>1*
332
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
=/С(т]ь •••»	Умножая £ на подходящий элемент из
л*]» можно считать, что £ цел над кольцом АГ[л1> •••
л*:]- Пусть	rj/g) [х] — минимальный (унитар-
ный) многочлен для £ над Л(ль •••» Л*); так как £ цел над
кольцом /<[ль •••> Л/е] и эго кольцо целозамкнуто (/<[ль
..., л*:] изоморфно кольцу многочленов над К от k перемен-
ных, так как Ль • ••> Л* алгебраически независимы над К), го
ре/([тр ..., гр, х]. Пусть т]о=^ ЛЖ= ±Я(р,р'), /?(/,£) —
результант многочленов / и g)—дискриминант многочлена р,
тогда ло ¥= 0, так как £ сепарабелен над /<(ль •••> Л*) и q0 е
е /<[Л1,	Л/г]. Из доказательства теоремы 7 на с. 303 в
книге Зарисского и Самюэля [1] видно, что кольцо
К[лР •••» Л*,, Ло'1] целозамкнуто; так как К [|] цело над
К[т)р	.... T)ft, По-1]и К[Пр .... П*. По-']=
= /<[£, лу1]- Следовательно, л0 ~~ сглаживающий элемент для
кольца К [|]. □
Замечание. Если т) — сглаживающий элемент для /([£],
и б =# 0, то т]б — также сглаживающий элемент для
КЖ-
Стратом (или п-стратом, п е со) Галуа над полем К назо-
вем всякую систему
© =	...» g„; п; а; Я)
такую, что выполнены следующие четыре условия:
1)	gb .... Un <xG=£7(K);
2)	г) — сглаживающий элемент для /<[|];
3)	а) — расширение Галуа поля К (t) и // — подгруппа
группы Галуа Aut* (^/< (g, а) этого расширения;
4)	элемент а цел над_ А[|, гр1]. а его дискриминант над
/((g) обратим в кольце /<[g, г]-1].
Замечание. Из условий 1) и 4) вытекает, что кольцо
К[g, гр1. а] также является целозамкнутым.
Если ©— страт Галуа, то через /((©) будем обозначать
поле /((g), а через dim© — степень трансцендентности поля
/((©) над К.
Замечание. Если п = 0, то сглаживающий элемент г)
для К — это произвольный ненулевой элемент из К, не играю-
щий никакой роли; поэтому можно определить 0-страт Галуа
как пару <а;//>, где ае (/(/(), К (а) —расширение Галуа
поля К и Н Autx /С(а).
Для того чтобы иметь определенные интуитивные основания
для использования стратов Галуа, укажем, какие условия мож-
§ 2 РЕГУЛЯРНО ЗАМКНУТЫЕ ПОЛЯ
333
но накладывать на точки произвольного /(-поля, используя
п-страт ©.	_
Пусть © = <£; т); а; Я> — /г-страт Галуа, L— произвольное
/(-поле. Предположим, что задан Л’-гомоморфизм ср: /([^Л-1]-
L; свяжем с этим гомоморфизмом некоторую подгруппу
группы Галуа G^ Aut^ (^/((|, а), которая определена одно-
значно с точностью до сопряженности в группе G. Эту группу
Gfp (точнее — класс сопряженных подгрупп) назовем L-группой
разложения гомоморфизма (р. Пусть ра— минимальный много-
член для а над /((£); из условий, наложенных в определении
страта, следует, что ра /([£, Л-1, *] i пусть qa ф£а, qa
е£[х]; заметим, что из обратимости дискриминанта элемента
а (многочлена ра) в /([£, л-1] следует, что дискриминант мно-
гочлена qa отличен от нуля. Пусть а' — произвольный корень
многочлена qa в алгебраическом замыкании L* поля L; гомо-
морфизм (р однозначно продолжается до гомоморфизма
<Ра': К [L Ц-1, а]->L (а') с условием фа'(а) = а'. Пусть фа'
Кег фа',/?а,	ср-,1 (L); К [|, П-1] </?а,	а]; полагаем
Ga' {а | а <= G,	Vp е Ra' (р — р°«= $«')}• Эту группу и
назовем L-группой разложения гомоморфизма фа'. Нетрудно
проверить, что Ga' естественно изоморфна группе Галуа
Aut LL(a'). Если теби а" <pa'(aT -1), то а"— также корень мно-
гочлена qa (когда а пробегает G, тогда фа' (аа) пробегает все
(различные) корни многочлена q^. если ра = (х —а) • ... • (х—аа),
ТО qa = <рра = <ра'Ра = (х ~ «') • ... • (х — qpa' (аа))). Техническая
проверка показывает, что Ga" = Ga'; таким образом, когда az
пробегает все корни многочлена qa, тогда Ga' пробегает класс
сопряженных подгрупп {Ga, ...}. Любую группу из этого
класса назовем L-группой разложения гомоморфизма ф.
Проведенные выше рассмотрения оправдывают в какой-то
мере введение следующих n-местных предикатов на любОхМ
К-поле L для любого n-страта Галуа ®=<£, ту, Н).
Пусть L — /(-поле, ..., £' е L, тогда полагаем L [=»
Н Р@(^), только если выполнено следующее условие: %' яв-
ляется специализацией g, гомоморфизм специализации ф:
Аф£]->/([£'] ^ L таков, что фСпН^О, Н является L-группой
разложения гомоморфизма ф: /([£, тр1]-)-L, определенного од-
нозначно по ф.
Если it — некоторый класс /(-полей, то через	обо-
значим элементарную теорию класса Л в сигнатуре а0 чг*
8М
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
^=<Р@|©— страт Галуа над А) (без равенства); назовем ее
теорией стратов Галуа класса
Заметим, что элементарная теория Th($) легко сводится к
TSk^). А именно, пусть и, v, w е U(К)— алгебраически не’
зависимые элементы над К, полагаем
©о <н, и; 1; 1; е> (е — единичная группа);
©! =^{и, v, и -|- v; 1; 1; е);
а> uv> И 1;
Тогда легко понять, что для любого К-поля L предикаты
Р@,(х, У)’ P&SX> У> 2)> Р&ЛХ> У’ г) в точности совпадают с пре-
дикатом равенства (х = у), предикатом (x-}-t/ = z) и преди-
катом (ху = г) соответственно.
Полагаем далее
v, и — v, 1; е);
v, w, w — (ы + и); 1; ё);
v, w; w — uv; 1; е).
Тогда предикаты р&о(х> У)> р@^х< У> 2)> Ps2^x’ У’ 2) совпадают
соответственно с предикатами (х =/= у), (х + у =/= z), (ху г).
Отсюда уже очевидно, как переделать любую формулу Ф(х)
языка L0K в формулу Ф*(х) языка La<J так, что для любого
К-поля L и любых g е Ln
L	Ф (g) <=Ф-L	Ф* (g).
Замечание. Нетрудно видеть, что справедливо и обрат-
ное: теория стратов Галуа сводится к элементарной теории со-
ответствующего класса полей, точнее: для любого л-страта Га-
луа © существует формула ЭД(@) сигнатуры од с п свободными
переменными такая, что для любого A-поля L и любых т] е La
L	L )= ((5)(f|). Однако эффективно по © найти та-
кую формулу можно, только если сделать некоторые предполо-
жения о поле К. Например, для построения формулы ЭД(@)
нужно найти базис идеала /(g) и т. п.
Ближайшая задача состоит в том, чтобы показать, что от-
рицание предиката вида Р@ и конъюнкция предикатов Р@о и Р@1
могут быть (эквивалентно) представлены в виде дизъюнкции
подходящих предикатов вида Р@'.
Начнем с одной общей конструкции — стратификации
St(@,/) п-страта © относительно идеала I K[xi, ..., х„].
Сразу нужно сделать замечание, что St(©,/)— это некоторое
§ 2 РЕГУЛЯРНО ЗАМКНУТЫЕ ПОЛЯ
838
(быть может, пустое) множество /?-стратов Галуа, которое, во-
обще говоря, определено не однозначно по © и /.
Пусть	..., xj — идеал в кольце многочленов от п
переменных над К; набор fj е U (К)п называется корнем идеала 19
если £г(л) = О для любого g^I. Система fj1, r\s^U(K)n
называется полным набором корней идеала /, если все ц*,
/= 1, ..., s, являются корнями идеала / и для любого корня ц
идеала / существует такое /, 1^/^s, что fj есть специали-
зация fj7. Заметим, что любой идеал / =И=/С[х] имеет конечный
полный набор корней. Это соответствует представлению алгеб-
раического множества	{fj |s U(K)n, fj — корень иде*
ала 1} в виде объединения U VK (ту) /(-многообразий, т. е. не-
приводимых над /< алгебраических множеств.
Итак, пусть G = (f; Л’,	//) —я-страт Галуа, / — идеал
кольца /< [х] ==/С [хь .xj. Полагаем ^(/(f)U /) — идеал,
порожденный объединением идеалов /(£) и /; пусть I1, |s —
полный набор корней идеала /ь Если /1 = /С[х], то $ = 0 и;
St(@, /)^0. Так как /(|)^/ь то все |7 являются специали-
зациями точки пусть ф7: К [£] -> К [tz] — соответствующий го-
моморфизм, ]=\, ...» s. Выбираем теперь те индексы /, для
которых Ц/^=Ф/(л) =/= 0. Предположим, что /^s таково, что
#= 0<=> 1	Для любого /, 1	пусть а/ь —
это все корни многочлена ^j(pa) К(^)[х] (ра — минимальный
многочлен для а над /<(£); ра е Д'[|, т)~!, х], фу естественно
продолжен на /С[|, П~Ч) такие, что/((^-группы разложения го-
моморфизмов фр /C[g, тГ1, а]—>/<(£7, a/f), ф*3фр ф*(а) = а/Г
1= 1, ...» sz, содержат группу Н, Группу Н отождествим с под"
группой группы Галуа Aut^ К (|7, a/z), естественно изоморф-
ной /С (|7)-группе разложения гомоморфизма Ф*. Выбираем
далее такой многочлен gj^K [х], что бу g; (I1) =/= 0 и т)7^т)убу—
сглаживающий элемент для кольца /С[|7]. Полагаем
St7(S, /)^{(17; ц7; a/f; //)|/=1, sz}
USt((5, (/Ute/})), /=1, ...и;
st (©, /)ч* и st7(@, /).
7=1
Заметим, что для любого j, 1 j t, идеал = (/(B)(J/)
собственно содержится в идеале (I (g) UIU (gj)) •
836
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
Нётеровость кольца Д[х] гарантирует корректность этого
определения. Заметим еще, что если	то для любого
®' е St (©, /) имеем dim ©' < dim ©.
Основное свойство этой конструкции выражает следующее
Предложение 2. Для любого К-поля L и любого Ln
имеет место эквивалентность
L\= V Р& (t)<=> L |= (Г) и I' — корень
<5'<=St Л
идеала l(r. е. I' е
Замечание. Если St ($,/)= 0, то V Р®' (I ) означает
(S'eSt (<5, 7)
тождественно ложную формулу 0.
Итак, пусть S'eSt(S, /) и L |=	(| ); предположим сна"
чала, что & имеет вид т/; a/z; Н\ 1^/^/, 1 i S/.
тогда | является /^-специализацией точки следовательно,
£ ^Vk(I). Если ср — гомоморфизм специализации из К[fz] в
£(ф(вГ) = Вь	п), то Л ^фСлО^О и существует эле-
мент a'eL* такой, что ф поодолжается до гомоморфизма ф:
т]/ , a/z]->£((/), ф(а/г) = а, такого, что Н — £-группа
разложения этого гомоморфизма. Пусть ф): Д[|, т)’1, а]~*
—> АГ (gz, a/z) — гомоморфизм, определенный при построении
множества Stz(®, /), тогда если
то легко видеть, что L-группой разложения гомоморфизма ф
будет Н, следовательно, L}= P&(i'Y Если же eSt(@, (ZJ
U {g/})), то нужно воспользоваться подходящим индуктивным
предположением, чтобы получить L (Г) L |=	(Г) и I' е
е Vk(fl){gf})=^L\= Р&(1') и	Таким образом, импли-
кация => установлена.
Пусть	Ь\=Р&(1') и l<==Vk(I). Тогда из Р@(|') сле-
дует, что |'(=7Д|), |'е= Vjt)n Vk(J) =	Следова-
тельно, для некоторого /,	V является специализацией
точки Гомоморфизм специализации ф: Д[|]-*Д[|'] может
быть пропущен через гомоморфизм фу: К ft] -> К [|у] (Ф = Ф/Ф/,
где ф^: Д’ [f-> Д — также гомоморфизм специализации). Так
как р'ф(т])у=0, то и Л/^Ф/(л) =7^0, следовательно, /
Пусть элемент а' е £* таков, что продолжение ф: К [I, л-1» а]
—►£(«') гомоморфизма ф, удовлетворяющее условию ф(а) = а',
имеет L-группой разложения группу Н. Тогда существует /,
§ 2. РЕГУЛЯРНО ЗАМКНУТЫЕ ПОЛЯ
337
!</<$/, такое, что ф можно представить в виде компози-
ции гомоморфизмов
tf[t> лД а]~>К[Д лД «//]» %z(a) = az/
И
фП: К [Д Л/Д a/z]->L(a')> фУ< (a/z) = a'.
Но тогда L-группой разложения гомоморфизма ф/г будет Н.
Если фЧлО^О, то отсюда следует, что L |= Рф. п/; а
Если же ФУ (л/) = Ф/(Л/) Ф/(б/) = 0, то <ру (dz) = О и g/(t'}“0,
а поэтому % <= VK (I U {&/})• Используя подходящее индукци-
онное предположение, получаем в этом случае L |= Р& (|') для
некоторого S's St (S, (/U {£/}))• Таким образом, установлена
и обратная импликация. □
Для n-страта Галуа <3 = (|; т); a; Н) определим конечное
(быть может, пустое) множество n-стратов N (S) следующим
образом: пусть plt_..р3,	— {0} таковы, что р{, ..., ps —
базис идеала /(|) (если /(|) = {0), то s = 0) и = пусть
..., Де[/(/<) алгебраически независимы над /С, тогда
полагаем
л (Г); 1;	....«};
n. (S)^ st «Г; 1; 1; *),&)).
Пусть, далее, G Aut^/< (|, а) и Н, Н\, ..., Д* — максима-
льное семейство попарно не сопряженных подгрупп группы Q,
т. е. эти подгруппы попарно не сопряжены в G, но любая
подгруппа G0<G сопряжена в G с одной из групп Н,
Ни...,Нк.
Полагаем (®) Л1 а; Д)М=1, •••> к} и
(®)	(®) U (®) U Л^2 (®).
Предложение 3. Для любого К-поля L, любого набора
е Ln имеет место эквивалентность
L\=~\P@(l')^L\= V Ps,(t').
Пусть L |= ~]	(£')• Если не является специализацией
точки t, то для некоторого i, 1 i s, должно быть
но тогда, очевидно, L	i: «)(!')•
838
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
Пусть % — специализация | и (р: /<[£]-> ЛД|7 ] — гомоморфизм
специализации. Если <p (rj) — <p (g (j)) = g (£') = 0, то j7 е VK (g)
и, следовательно, по предложению 2 L\= V	Пусть,
@/еЛ/ (<§>)
наконец, <г(ц)^О; пусть а'— корень многочлена фра и ф:,
К [L Л"1, а] -> L (а') — продолжение гомоморфизма ф такое,
что ф(а) = а'. Пусть Go — L-rpynna разложения этого гомо-
морфизма. Если бы Go была сопряжена в G с Н, то S |= Р@(|);
следовательно, Go не сопряжена с Я и сопряжена с Ht для
некоторого/,	поэтому £Н=	Имплика-
ция => доказана.
Если £[= V	то не является специализацией £
©'e/V0(@)'
и, следовательно, £ |= “]	(£')• Если £|= V P^/d')» то
©'eNj (©)	®
L |== Для @7<= St ((£*; 1; 1; е), (§)), и тогда либо |7 не яв-
ляется специализацией j, либо гомоморфизм специализации <р:
K[i]->/([t7] переводит г) в О (г) = g (j))j в любом случае имеем
Ц="|Ре(|7). Пусть, наконец,	<57=(|; т); а; Н s
е N2 (®), 1 i k; тогда существует а' и гомоморфизм ф:
/С [t> Л-1» a]->L(a7), продолжающий гомоморфизм специали-
зации и такой, что ф(а) = а7 и L-группой разложения
гомоморфизма ф является группа Ht’, так как Н не сопряжена
с Нр то получаем L\= Р^')- Импликация <= и предложение
доказаны. □
Пусть <5 —1); а; Н) и <37 = (j; tf; а7; Я7)—n-страты Галуа.
Определим конечное множество С (<5, S7) ц-стратов Галуа (индук-
цией по dim®7). Пусть ©j......— это все элементы множе-
ства St(<5,/(j7)). Для i, 1 пусть Sz = Но ai‘> Н) и
q)z: K[t; П"1;	az)— гомоморфизм (такой, что <pz(a) =
= az), определенный по построению n-стратов из St (®, / (|7)),
ц пусть Gt — К. (|()-группа разложения (подгруппа группы
Д^Ац^ф К(1, а)) этого гомоморфизма. Так как |7>—Ц' —
специализация, то существует гомоморфизм специализации
Фц -*К [Г]. Если ф/(т17) = О, то полагаем Сг(<5, @7)^0.
Пусть St ф4 01)=#0 и ф< продолжено естественным образом
до гомоморфизма ф<: К [|,	df1]. Пусть ра>—
минимальный многочлен для а7 над К. (|7), тогда ра' е
е/<[|7, т)7 ’, х]. Пусть pz — один из корней многочлена ^ipa/
в U (К). Свяжем с ним гомоморфизм ф/: К [Г, И -1» а ]-*-
§ 2. РЕГУЛЯРНО ЗАМКНУТЫЕ ПОЛЯ
339
-*/C(|z, pz), продолжающий ф; и такой, что ф((а) = рг; пусть
Н1 — К (|z)-rpynna разложения гомоморфизма ф/(#z ^G'
=^= Autx (j/) f( (|', а')). Рассмотрим расширение К (|z, at, Pj
поля К(l,1)', это расширение является расширением Галуа
поля пусть G0^AutKQi) FC (|z, ар Pf); заметим, что
группу Н1 можно естественно отождествить с группой Aut^(^ X
ХК(Т, Р(); ПУСТЬ Go^^> V: Go-^G^Aut^/C^.a,)-
эпиморйизмы ограничения. Выбираем теперь все подгруппы
F^G0 такие, что k'(F) — H, a A (F) — подгруппа Н1, сопря-
женная в Q' с Н'. Пусть Гр ..., Fk — все такие подгруппы.
Выбираем далее уг е К. [|‘, at, pj таким, что Г(|£, ср, рг) =
= /<(!', уг), и такой сглаживающий элемент гр для К [|‘], что
дискриминант элемента у, обратим в Г[|‘, гр-1]. Пусть gt е
е К [х] таков, что гр = gi (|z); полагаем теперь Ci (S, S )
^{<tz; 6/w; vi; ?i>\ 1 </<MUU{C(S,S")|S"eSt(®',(^)))
и, наконец,
k
C(S, ®z)^ U ®7).
i = 1
Предложение 4. Для любого К-noля L и любого набора,
x\^Ln имеет место эквивалентность
Lh^®(fl)AP@'(fl)^l= V ^(fl)-
<5" е с (©, ©')
Пусть fl е Ln и L [= Р® (fl) А Р®' (fl); пусть <р: К. [|] -> К [fl],
ср': А[| ]-> Г [fl] — гомоморфизмы специализации; тогда ф(л),5&
¥=0, q/ (л9^0 и существуют 0, 0' е L* такие, что <р и <р' про-
должаются до гомоморфизмов ф: 7<[|, т]”1, a]->L(P), ф7: ^[t ,
Л7"1, az]->L(pz) таких, что ф(а) — Р, ф,(а,) = р/ и Л-группами
разложений фиф7 являются соответственно Н и Н', Так как
L\=P^) и fl е VK (Г), то по предложению 2 существует ин-
декс z,	такой, что L\=P&. (fj). Можно даже предпо-
лагать, что гомоморфизм ф: /<[|, т]”1, а] ->А(р) можно разло-
жить в композицию гомоморфизмов фь /<[|, г)"1, а] -> К [|Z, цГ1,
aj, фДа) = аь и ф‘:	aj-> L (р), ф‘(«Э = Р- Пусть ф*:
К	[л] ~ гомоморфизм специализации; так как фх = ф*ф/
и фЧлЭ^О, то = ф/ (л7) =Н= 0; пусть ф^ обозначает также
естественное расширение ф,- до гомоморфизма из К [j , л'"*1]
в /([Г, 6Г1]. Пусть ра—минимальный многочлен для а над
Л'"1, *]) и Ро —один из корней многочлена
340
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
Пусть, как в определении множества С^З, ®'), элемент
у£е/<[|£, а£г ро] таков, что /С у£) = /<(|£, а£, ро), а элемент
Л* = gt (t*) <= К [|£] таков, что дискриминант элемента у£ обра-
тим в кольце К [Г, т]£ !]; пусть р£=^=б£т)£т)£. Предположим, что
£/('Й)=/=0; в этом случае существует гомоморфизм v: К [|£, рГ1]->
->L, продолжающий специализацию >ц. Этот гомоморфизм
может быть продолжен до гомоморфизма v': /С[|£, pf1, а£]—>
->L(p) так, что v'(a£) = P; далее, v' может быть продолжен
до гомоморфизма v": /<[|‘, рх71, а/, Ро] -> L (р, р'). Пусть F
Go (= Aut^ (gi) К (|£, у£)) — L - группа разложения . гомомор-
физма v":	рГ1, Yz] (=/<[Г, рГ1, а£, Ро]) -> L (р, р'). Огра-
ничение v" на /<[|£, nz’1, az] дает в точности гомоморфизм <р£,
следовательно, ограничение F-группы разложения F на К (|\
а£) дает Л-группу разложения этого гомоморфизма, а эта
группа есть в точности группа //, т. е. k'(F) = H. Ограниче-
ние v" на К [Г, бД ро] в композиции с гомоморфизмом спе-
циализации ф£: К [Г, rf , a,]->/C[|£, 6Г1, р0], ф£ (а') = Ро
задает гомоморфизм из /<[|, т] , а] в Л(р, р'), продолжаю-
щий гомоморфизм специализации | »—пусть Н" — Л-группа
разложения этого гомоморфизма; эта группа сопряжена с груп-
пой Н' в G', так как известно, что существует гомоморфизм
•ф': К[|', т) а]-*£(₽'), продолжающий гомоморфизм спе-
циализации j —> п и такой, что его L-группой разложения
будет Н'. Группа //" является L-группой разложения и гомо*
морфизма /([V, бД ро]-* L (р, р'), следовательно, k(F) = Н",
Н" сопряжена с И' в G', следовательно, F совпадает с одной
из групп Fp ... , Fk и L Н Р^, удля некоторого /,
l<j<*z; но р£; у£, F/)eC£(S, S') С (©, ©')• В случае
gi(f|) = 0 из L|= имеем L [= Р^ (п) для некоторого ®" е
е St (S', (g£)), и подходящее индукционное предположение дает
L[= Ру* (fj) для некоторого С (S, S"); ноС(3, ®") s С (5, S')
и импликация => доказана.
Пусть теперь L\^ P^(v\) для некоторого n-страта S" из
C(S, ©'). Рассмотрим случай, когда 3" имеет вид т]£
(=б.т).г)'); у.; F^,	Пусть уеГи гомо-
морфизм <р: /<[Г, (rf)1, YiJ ^F(y), продолжающий гомомор-
физм специализации г—таков, что F-группой разложе-
ния ф является Fj. Заметим, что так как кольцо К (ц*)”1
§ 2. РЕГУЛЯРНО ЗАМКНУТЫЕ ПОЛЯ
841
Vzl целозамкнуто, а, цел над /С Et* 1 и аге/<(|г, у,), то а, е
е к [|г, Vi]; так как т)'= то т)Г1 sК Et*»
(пТ*. Y/]; следовательно, /СЕ1*>_'пГ1,	Vi]-
Пусть <р'— ограничение ф на Е^*» лГ1, aj. L-группой разло-
жения гомоморфизма ф' будет ограничение группы Ft на /<(|‘,
а(), т.е. группа V(F/); но по выбору групп F\,	,Fkt имеем
A/(F/) = Н, т.е. L-группой разложения гомоморфизма ф' будет Н.
Если ф— композиция гомоморфизмов фг: КEt, Л *,
rjf', aj и ф', то L-группой разложения ф также будет Н и,
следовательно, L^P^rj). Рассмотрим теперь гомоморфизм фр
/<[Г,	а']-»МТ, р] и ограничение ф' гомоморфизма <р
на кольцо б/”1, р]. L-группой разложения гомоморфизма
ф' будет ограничение на поле К (|*, р), т.е. группа Н"
^K(Fj). Но по выбору групп Fi, ... , Fk. группа Н" должна
быть сопряжена с Н' в G'. Композиция гомоморфизмов ф'
и фг дает гомоморфизм из К [Г, ц , а'] в L(p, р'), продол-
жающий специализацию | •—> ц, L-группой разложения кото-
рого является группа Н", сопряженная с Н' в G'. Но тогда
существует и гомоморфизм ф*: /<[£ , т)'-1, a']->L(p, р'), про-
должающий i омоморфизм специализации | ц, L-группой
разложения которого будет Н'. Следовательно, L |=	(ц) и L |=
|=^@(л) А В случае, когда е C(S, S*), ®*eSt (S', (gz)),
можно воспользоваться индуктивным предположением, чтобы
утверждать, что L Н Р& (л) А Р&* (л), но из ®* s St (S', (gi)) и L\=
следует, что L\==P&(x\). □
Замечание. Пусть т < п и S =	... , ц; a; Н) —
m-страт Галуа; пусть gm+1, ... , ^ — элементы из U (/С), кото-
рые алгебраически независимы над Д'(gm), тогда	•••
.lm+\> ••• , Л»	является n-стратом Галуа и
для любого К-поля L и любого набора | sLrt
L\=P®&> ... . L |= (I')-
Это замечание позволяет применять предложение 4 к конъ-
юнкции произвольных стратов.
Следствие. Любая бескванторная формула Ф языка TS«
теории стратов эквивалентна дизъюнкции элементарных формул.
Это следствие двух предыдущих предложений и замеча-
ния. □
Обратимся теперь к вопросу об элиминации квантора суще-
ствования, навешенного на элементарную формулу.
342
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
Пусть п > 0 и ©=<g;q;a;//>— n-страт Галуа. Определим
теперь конечное семейство рг© (п—1)-стратов Галуа. Опреде-
ление разбивается на два существенно различных случая.
Случай 1. Элемент алгебраичен над	(gb...
••• , Выбираем ре U(K) так, что р цел над	и
р) — минимальное расширение Галуа поля
содержащее элементы и а. Выбираем в	ненулевой
элемент т]0 такой, что выполнены условия: — сглаживающий
элемент для	дискриминант элемента р над
обратим в кольце /С[|л-ь ^о1]; элементы q и Ъ>п целы над
К [tn-ь По"1]; элемент	обратим в /С[|п-ь
По’1]. Пусть	[xi, , xn-i] таков, что т)о =
= £(ln-i). Пусть G^	(j, a); G{	(L-i,
p); G2^{a |ae Gb =	<P: G2-> G — естественный эпимор-
физм ограничения; пусть Нъ ... , Hk — все подгруппы группы G2
такие, что <p(/7z) = //.
Полагаем
рг®^ no; Р; я,)|г = 1, ..., k] и ll{pr ®'(®'<=St(®, (g))}-
Предложение 5. При сформулированных выше условиях
для любого К-поля L и любых qb	имеет место
эквивалентность
L\=(BxnPMn-^L\= V
@'€=РГ0
Пусть	таков, что Ц=Р&(т\). Пусть <р: /C[t]->L —
гомоморфизм специализации £->q; пусть а'— такой элемент L*,
что Ф продолжается до гомоморфизма ф: /С[|, q-1, a]->L(a')>
ф (a) — a', L-группой разложения которого будет Н. Если
8	то Ф можно продолжить до гомоморфизма ф':
ЛоЛ Й^Му) Для подходящего y^L*. Заметим, что
#[!, П"1. a]По"1. Р1 так как ДЦп-ь По"', р] Цело-
замкнуто, In, П и а целы над/( [|га-ь По4] и П обратим в /<[|п-р
Цо"1, р], так как обратима его норма. Пусть G'— L-группа раз-
ложения гомоморфизма ф'; G'^G2, так как ф' (£п) = ф (£n) е L
и ограничение Gf на К (|, а) — это в точности группа Н, Сле-
довательно, G' совпадает с одной из групп //ь ..., Hk и
k - _
Если же ^(П«-1)==О, то x\^VK(g)
§ 2 РЕГУЛЯРНО ЗАМКНУТЫЕ ПОЛЯ
343
и, следовательно, по предложению 2 L |= Р& (fj) для некоторого
n-страта S'<= St($, (g)). Используя индуктивное предположение,
отсюда получаем, что V	HoprS^prS и, сле-
@* е рг
довательно, импликация => установлена.
Наоборот, предположим, что	где©/ = (|п-1; fjo;
Р;	Тогда существуют	гомоморфизм ф:
трГ1, р]-*£(?), продолжающий гомоморфизм специали-
зации	и имеющий Hi своей L-группой разложения.
Как было отмечено выше, кольцо Д[|, т)""1, а] содержится в
кольце Д[|„-1, Цо"1, р]« Полагаем т)п^ф(£п); так как L-группа
разложения Ht содержится в G2, то = ср (£п)(=Ь. Если огра-
ничение ф на К [|, ч’1, а], то ф' есть продолжение гомомор-
физма специализации > ц и его L-группой разложения будет
ограничение Ht на Д (|, а), но по выбору Нъ ..Hk это будет
группа Н. Итак, L^P^(x\) и АМЭхпЛзНть-!]. Если£(=^@*(^-1)
для S* е рг S', S'e St (®, (§)), то можно воспользоваться индук-
тивным предположением. Импликация ф, а вместе с ней и пред-
ложение установлены. □
Рассмотрим теперь оставшийся случай.
Случай 2. Элемент трансцендентен над Д(|п_1). Пусть
ре= Д(|, а) таков, что р цел над К [L-1] и Д(|п-1, р) — алгеб-
раическое замыкание поля К (L-1) в Д (|, а). Пусть g е Д(|п-1,
Р)[х, у] — минимальный многочлен такой, что g(|rt, а) = 0 (так
как а цел над Д [|], то g унитарен в у)\ тогда g — абсолютно
Неприводимый многочлен. Установим теперь необходимый для
дальнейшего построения алгебраический факт.
Лемма. Пусть L0 = L(ai, .ал)— конечно порожден-
ное расширение поля L, g L[ai, ..., ал, Xi, ..., хп]—абсо-
лютно неприводимый многочлен (как многочлен от х), тогда
существует элемент 6sL[a], б =# О такой, что для любого
L-гомоморфизма ф: £[а]->£! в L-поле Ц такого, что ф(б)=/= О,
многочлен q>g е Ц [х] остается абсолютно неприводимым.
Для доказательства этой леммы воспользуемся тем, что
любая формула Ф(г) языка теории полей эквивалентна отно-
сительно теории алгебраически замкнутых полей бескванторной
формуле Ф'Сг), а любая бескванторная формула эквивалентна
S
дизъюнкции формул вида Д f{ (г) = ОДЛ (z) Ф 0, где f{, h —
i = l
многочлены от z с рациональными коэффициентами. Заменим
теперь все коэффициенты многочлена g неопределенными коэф-
фициентами z и запишем формулу Ф(2), выражающую непри-
344
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
водимость полученного многочлена (неприводимость над алгеб-
раически замкнутым полем эквивалентна абсолютной неприво-
димости). Так как набор коэффициентов b многочлена g удов-
летворяет формуле Ф, то для некоторого дизъюнктивного члена
формулы Ф' должно быть fi{b) = 0, /=1, s, и й(&)=5^0.
Так как свойство ЛШ=0 сохраняется при любом гомомор-
i=i
физме, то, полагая д^=/г(&), получаем нужный элемент. □
Выбираем в К [|n-i] такой сглаживающий элемент цо, что
выполнены следующие условия: дискриминант элемента р над
К [In-1] обратим в	По’1]; коэффициенты многочлена g
целы над К [L-i, Цо”1]; если	р] ~ элемент,
существование которого утверждается в лемме, то до
обратим в Л[|^р т)о“1]. Пусть Лее К[хп^]
таков, что т)о = /г (L-i). Если G Aut^ К (|, а), О0^
Aut к К Р) и Л: G -> О0 —- эпиморфизм ограничения,
то полагаем	и
prS^Rtn-r, no; Р; Яо)}и U {prS'lS'e st(S, (й))}.
Напомним, что в предыдущем пункте через QH обозначалось
предложение в языке сигнатуры о), утверждающее, что у поля
существует расширение Галуа с группой Галуа, изоморфной //;
через Qh будем обозначать «перевод» этого предложения в язык
сигнатуры TSK.
Предложение 6. Для любого регулярно замкнутого
К-поля L с допустимой группой Галуа и любых тщ ..L
имеет место эквивалентность
Г |= (ЗхЛР@) [йп-1] **=> L ( \/ Р& (Йп—
\@'g= рг @	/
Пусть Г)п <= L — такой элемент, что L k= Р® (fj); пусть у е L* и
гомоморфизм <р: /<[|, т)-|> а]-*L(y) таков, что ф продолжает
гомоморфизм специализации j1-* Л и имеет Н своей L-группой
разложения. Предположим, что ф (ло) =5^ О, тогда ф однозначно
продолжается до гомоморфизма ф': К. , т)о’1» Л~'> a]-*L(у).
Пусть ф— ограничение гомоморфизма ф' на /C[trt_|, tjcT1, р],
тогда L-группой разложения ф будет ограничение Н на
поле К (in-i> р), т.е. группа — Следовательно, Lfc=
$ 2. РЕГУЛЯРНО ЗАМКНУТЫЕ ПОЛЯ
345
Если же <P(?lo)== °> т-е- ^(fjn_,) = O, то
x\^VK((h)) и, следовательно, по предложению 2 существует
S'eSt(®, (Л)) такой, что Lt= Используя индуктивное
предположение, можно заключить, что L\= V	но
©* е рг @
рг®'Spr®, следовательно, импликациям установлена (спра-
ведливость Q*H для L очевидна, так как И — L-группа разло-
жения гомоморфизма (р).
Пусть теперь L |=	(Vi)> гДе ©' = Ло; ft Я0)и <р-
гомоморфизм из KtL-ь По-1, р] вЛф'), ф(₽) = ₽/, продолжа-
ющий гомоморфизм специализации gn_i>—f|„_1 и имеющий Но
своей Л-группой разложения. Заметим, что из выбора т)0 сле-
дует, что многочлен gs /([L-t, По’1, Р, х, z/] и <р (д) #= 0, сле-
довательно, многочлен g' qg е L (Р') [х, у] абсолютно непри-
водим. Пусть у — трансцендентный элемент над L(p') ие —
корень неприводимого многочлена g' (у, у) е/.([}', у) [z/] и Lo^
=^1(0', у, е). Гомоморфизм <р можно продолжить до гомомор-
физма ф: К [|, т]о’1, Р, П-1, а]-* Го так, что ф(£п) = у, ф(а) = е<
Пусть G' — L (у)-группа разложения гомоморфизма ф, ограни-
ченного на К [|, г)"', а]- G'^.G и ограничение G' на /((Вп-ьр)
есть L-группа разложения гомоморфизма ф, т.е. //0. Пусть V:
G'—> HQ — эпиморфизм ограничения. Рассмотрим Ker V; это
группа всех автоморфизмов поля Lo над Л(0', у). Так как рас-
ширение Lq получено присоединением корня е неприводимого
многочлена g' (у, //), полученного специализацией многочлена
g(ln> то эта группа изоморфна группе всех автоморфизмов
поля К (|, а) над 0)> т.е. ядру гомоморфизма Л: G->G0.
Но отсюда сразу следует, что G'= V1 (//0); в частности, H^G'.
Итак, имеем: L — регулярно замкнутое поле с допустимой груп-
пой Галуа G(L); L (у) — регулярное расширение L; L(y, 0', е) —
расширение Галуа поля Л (у) с группой Галуа G'; L (0') — алгеб-
раическое замыкание L в L(y, 0', е) (так как g' (х, ^ — абсо-
лютно неприводимый многочлен) с группой Галуа Яо. Предпо-
ложим теперь, что поле L имеет некоторое расширение Галуа
с группой Галуа, изоморфной И, т.е. L|=Q^; это равносильно
тому, что //e//^(G(L)); тогда из допустимости группы G(L)
следует, что существует гомоморфизм ц: G(L)->GZ такой,
что ц (G (L)) = Н и диаграмма
G(L)
346
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
коммутативна, где л — эпиморфизм ограничения G (L) на L (₽')•
Воспользуемся теперь теоремой 2 п. 1 (аналог теоремы Чебо-
тарева о плотности) и найдем (ГеГ и плейсы р: Л(у)ь—>£ и
л: L (у, Р', е)и-> L (Р', р") такие, что р конечен на у, ф (т]), ф (т]'1),
ф(а), группой разложения л над р будет Н и изоморфизм Н
на Aut^Lfll', р") является обратным к изоморфизму G(L)/
/Кегц->//, индуцированному эпиморфизмом ц. Нетрудно прове-
рить, что плейс л конечен на р' и е, а определенный этим плей-
сом гомоморфизм А[у,Р', 8, Ф-1^-"1), ф(а), р] -> L (Р', Р") в компози-
ции с гомоморфизмом ф задает гомоморфизм ф*: К [|, т)”1, а]—>
->Л(Р', р"), L-группой разложения которого будет группа Н.
Следовательно, L	Если же L[= P&(x\n-i) для
(5eprS>*,	St (®, (/z)), то можно воспользоваться индуктивным
предположением, чтобы утверждать, что из L |= Qh следует
L (= (3xnP@)[fin-i]. □
Замечание. Как видно из всего предыдущего, условие
регулярной замкнутости и допустимость группы Галуа поля
использовались только при установлении импликации <ф пред-
ложения 6.
Теорема 1. Пусть R*(K)—класс регулярно замкнутых
К-полей с допустимой группой Галуа, тогда произвольная фор-
мула теории стратов Галуа эквивалентна относительно R*(K)
дизъюнкции формул вида
 • AQ^AHQg.A •.. A"IQ‘Ora.
Это простое следствие предложений 3—6. □
Для того чтобы элиминация кванторов была эффективной,
нужно сделать некоторые предположения о поле К. Предполо-
жим, что поле К обладает такой конструктивизацией v, что для
конструктивного поля (К, v) разрешима проблема разложи-
мости. Тогда существует продолжение v до конструктивизации
vu универсальной области U(К) такой, что в конструктивном
поле (£/(/<), vw) разрешима проблема алгебраической зависи-
мости над К. Используя эту нумерацию vw, можно занумеро-
вать все /г-страты Галуа ©, песо, так, что конструкции мно-
жеств St(©,/), #(©), С (©,©'), рг(©) могут быть проделаны
эффективно. Примером поля К, для которого все это мо-
жет быть проделано, является поле Q рациональных чисел.
Тогда класс /?*(Q)—это просто класс /?*—класс регулярно
замкнутых полей характеристики 0 с допустимой группой
Галуа.
Теорема 2. Любая формула теории стратов Галуа эффек-
тивно эквивалентна относительно класса дизъюнкции формул
§ 2 РЕГУЛЯРНО ЗАМКНУТЫЕ ПОЛЯ
347
вида
РвМ'нЛ- ^QHk Л 1Q-Oi Л... л nQ*Om.
Из теоремы 2 можно получить разрешимость теории стратов
Галуа класса /?*. Для этого достаточно показать, что для
любого предложения ® языка TSG можно проверить, совместно
ли это предложение с теорией TSG (/?*). Для этого по теореме 2
достаточно уметь проверять совместность предложения вида,
указанного явно в теореме 2, для 0-стратов Галуа®. Каждый
О-страт Галуа имеет вид (а, Н\ где Q (а) — расширение Галуа
поля Q и // — подгруппа группы Галуа AutQ<Q(a).
Лемма. Предложение P^tH> A А ... AQ^AHQq А
А ... А Л Qq совместно с теорией TSG(^R^ тогда и только
тогда, когда все группы Gb ..., Gm не принадлежат допусти-
мому классу групп ® (//, Нь ... , Hk).
Необходимость очевидна. Установим достаточность. Пусть
ф: G(Q)-> Aut^Q (a) — эпиморфизм ограничения и Go —мини-
мальная подгруппа G(Q), которая отображается на //. Тогда
Go — накрытие Н и, следовательно, является ® (//)-группой.
Тогда существует универсальная ®(//, //ь ..., //^-группа G*Q
и эпиморфизм Л: GJ—>G0. По теореме 1 п. 1 существует регу-
лярно замкнутое поле L, являющееся регулярным расширением
поля Q*Go, группой Галуа которого будет GJ. Тогда L е /?* и,
как легко видеть, в поле L будет истинно указанное предло-
жение при условии, что Gt ф ® (//, Н{, ... . Hk), i = 1, ... , пг. □
Следствие. Теория TSg(R*q) разрешима.
Это следует из разрешимости про 5лемы: имеет ли место
G е ® (//о, ..., Hk) (см. п. 2). □
Из отмеченной выше эффективной сводимости элементар-
ной теории к теории стратов Галуа получаем другое доказа-
тельство теоремы 3 п. 3.
Если ограничиться рассмотрением регулярно замкнутых
классов К-полей, у которых группы Галуа являются ©-универ-
сальными для фиксированного допустимого класса групп S
(обозначим этот класс полей R(K, ®)), то можно получить тео-
рему об «абсолютной» элиминации кванторов:
Теорема 3. Любая формула теории стратов Галуа экви-
валентна относительно класса /?(К, ®) дизъюнкции элементар-
ных формул. □
Если S — рекурсивный класс групп, поле К обладает нуж-
ной конструктивизацией, то элиминация кванторов для теории
/?(/<,©), имеющая место по теореме 3, может быть проделана
эффективно.
348
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
Заключение
Укажем точные формулировки упомянутых вначале резуль-
татов о кратно упорядоченных и кратно нормированных полях.
Пусть п > О, К = <К, Pi, Рп} — n-упорядоченное поле,
здесь Pi — конус неотрицательных элементов f-го порядка;
х^у означает y — x^Pi9 x<iy означает х^у и х =#= у\
|х|х —элемент из {х, — x}f\Pi, f=l, п.
Обозначим через Dn класс всех n-упорядоченных полей К
таких, что выполнены следующие два условия:
1. ДЛЯ ЛЮбыХ 01, ..., ап, 81, ..., 8н е К, 0</8/, /=1, ...
..., п, существует b К такой, что | b — а/1 </ 8/.
2. Для любых а е К и неприводимого многочлена f е
еХ[х,у], если f(a,y) меняет знак при любом порядке
/=1, ..., и, то существуют с и d в К такие, что d) = 0.
Следующая теорема из работы ванденДриса [1] обоб-
щает хорошо известный результат о вещественно замкнутых
полях на любое п > 0.
Теорема 1. Класс Dn является модельным компаньоном
для класса всех п-упорядоченных полей и имеет разрешимую
теорию. □
Обратимся теперь к нормированным полям. Начнем с напо-
минания некоторых определений и введения соответствующих
обозначений.
Пусть К — поле, R — кольцо нормирования поля К, т.е. такое
подкольцо поля /<, что для любого х^КХ (Кх — мультипли-
кативная группа ненулевых элементов поля К) x^R или х"1 е
е /?; R является локальным кольцом, максимальный идеал
которого обозначим m (/?); фактор-поле — поле вычетов
кольца /? —будем обозначать Kr- Естественный гомоморфизм
R-*Kr будем обозначать чертой (если ае/?, то a^KR —
образ элемента а при этом гомоморфизме). Кольцо R опреде-
ляет на К линейный предпорядок a ^R b bR s aR\ а, b^
е/С. Полагаем a=Rb, если a^Rb и b^.Ra; a<Rb, если
a^.Rb и И(a^R.b). Предпорядок индуцирует линейный
порядок на фактор-группе Kx/R*> где Rx R — m (/?) =
= {а\а^К, а 1} — мультипликативная группа обратимых
элементов кольца R. Линейно упорядоченную группу {K*/Rx,
^.R) будем называть группой нормирования и обозначать 1\;
гомоморфизм из Кх в Гр называется нормированием; будем
обозначать его vR.
Кольцо R (и нормированное поле (К, /?)) называется гензе-
левым, если для любого унитарного многочлена f е/?[х] и эле-
мента a^R такого, что /' (a)2 <Rf (а), существует аое R такой,
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
349
что f(ao) = O и a — do^Rf (а)Д(а) 1 (здесь штрих означает фор-
мальную производную).
Если Д'-—расширение поля Д, Д'— кольцо нормирования
поля К' такое, что 7?z Q /С = /?, то обозначать это будем так:
(Д, Д)^(Д', R'}*, заметим, что в этом случае существуют
естественные вложения Д^->Д^, и Г^—>Г^,; осуществляя естес-
твенное отождествление, будем считать, что Д^^Д^ и Г^СГ^,.
Для любого нормированного поля (Д, R) существует «наи-
меньшее» расширение (Д', R'} такое, что (Д, Д)^(Д', Д') и R'
гензелево; это расширение называется гензелизацией и обозна-
чается (Д, R)h = {Kh, Rh); для гензелизации имеет место Кр —
= Г =Г л.
Rn R Rn
Пусть $ — класс полей характеристики 0, ® —- класс линейно
упорядоченных групп. Обозначим через (Й, ®) класс всех ген-
зелевых нормированных полей Д = (Д, R) таких, что Д^е§,
Гле®.
Основная теорема (см. Ершов [5]) об алгоритмических
свойствах гензелевых полей утверждает следующее:
Если классы и ® имеют разрешимую теорию, то и класс
(5, ®) нормированных полей имеет разрешимую теорию.
Перейдем теперь к кратно нормированным полям. Пусть
п > 1 — натуральное число; Д — поле, Дь , Rn — собствен-
ные кольца нормирований поля Д. Алгебраическую систему
Д = (Д, Дь..., Rn) будем называть п-кратно нормированным
полем. Если Д' = (Д', Д'. ... , Д')другое n-кратно норми-
рованное поле, то запись Д^Д' будет обозначать, что Д^Д'
и Д'Г1Д = Д., z=l, ... , п; используем обозначения Д.^Д^,
Г.^Г , Д;^Д'„ Г'^Г „ z = l, ... , п; тогда из Д<Д'
iRi	«i 1 «I
следует, что Д.^Д', Г.^Г', z = l, ... , п.
Сформулируем теперь «аналог» гензелевости для кратно
нормированных полей, n-кратно нормированное поле Д назы-
вается когерентно полным, если выполнены следующие два ус-
ловия:
1. Для любых а}, ... , Д, уь ... , Дх существует
такой, что yt<Rib — ai, z=l, ... , п.
п
2. Для RП Rit любого многочлена f^R[xit ... , xk, у\,
i = l
унитарного в у и неприводимого над К, для любых а,.....ak,
Ре/? таких, что f'(a, р)2 <л f(<x, Р), /=1......га, и для
350
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ Б ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
любого у кх существуют а{, ... , а', 0' g= R такие, что f (а', 0') =
= 0, у </^а'— as, s==l, ... , k, /=1, ... , п, и
0-0'^7(а, 0)/;(«, 0)’1,	, П.
Следующее утверждение указывает на существование доста-
точного количества когерентно полных полей.
Предложение. Пусть К — п-кратно нормированное поле,
тогда существует такое когерентно полное п-кратно нор лро-
ванное поле К', что
и rz<r;, z=i, ... , п. □
Здесь символ означает элементарную вложимость.
Пусть ...,	— классы полей характеристики 0, ®ь ...
..., ®п — классы нетривиальных линейно упорядоченных групп;
обозначим через <51, ...»	®i,	- ®«> класс всех п-кратно
нормированных полей К таких, что /< когерентно полно. Ki е 5„
Г/ i = 1, ..., п.
Теорема 2 (Ершов [7]) Если классы 5ь ...»
@1, ..., ®п имеют разрешимую теорию, то и класс <5Ь ...,
@ь ..., ®п> имеет разрешимую теорию. □
Замечание. Из сформулированного выше предложения
вытекает, что теория класса <5ь ...» ®ь .	®«> суще-
ственно зависит от теорий всех классов 5ь •••> ®ь ... А имен-
но, справедливо следующее:
Если Th «8..........®,......®,»-
=ть((8;......s': ®;......®;»,
то ть(з,)=ть(з;).......Ti,(sj=Th(8;).
Th(®,) = Th(®;).....Th(®j = Th(®').
В основе доказательства теоремы 2 лежит теоретико-модель-
ное изучение когерентно полных полей, а именно доказатель-
ство того, что такие поля являются экзистенциально замкну-
тыми полями в классе п-кратно нормированных полей в подхо-
дящем формульном расширении сигнатуры.
Справедливо расширение этой теоремы и на случай р-ади-
ческих нормирований. Возможно и естественное соединение
теорем 1 и 2, если рассматривать n-кратно упорядоченные и од-
новременно m-кратно нормированные поля.
В работах ван ден Дриса [2] и Ершова [7] на основе
соответственно теорем 1 и 2 указаны примеры алгебраических
расширений поля Q, имеющих разрешимые элементарные тео-
рии и Отличные от ранее известных.
Интересным расширением упомянутых выше результатов
об n-кратно упорядоченных полях является работа Джекоба
ЛИТЕРАТУРА
351
[1], в которой изучаются не независимые упорядочения, а поля
с некоторой фиксированной «зависимостью» между конечным
числом порядков, точное выражение которой может быть дано
в терминах пространства порядков (см. Маршалл [1]). Ока-
залось, что класс таких полей имеет модельный компаньон с
разрешимой теорией. А описание экзистенциально замкнутых
полей в этом классе дается индуктивно в соответствии с индук-
тивным описанием конечных пространств порядков, данным в
работе Маршалла [1]. Любопытным обстоятельством яв-
ляется то, что в таких полях возникают формульно определи-
мые кольца нормирований так, что если пространство порядков
связно, то имеется гензелево кольцо нормирования, а если не
связно, то система колец нормирований, соответствующих связ-
ным компонентам, является когерентно полной. Таким образом,
разрешимость теории этого модельного компаньона может быть
доказана индукцией с использованием сформулированных выше
теорем 1 и 2.
ЛИТЕРАТУРА
Адлер и Кифе (Adler A., Kiefe С.)
1. Pseudofinite fields, procyclic fields and model-completions. — Pacific J,
Math., 1976 62, p. 305—309.
Akc (Ax J.)
1. Solving diophantine problems modulo every prime. — Ann. Math., 1967,
85, p. 161—183.
2. The elementary theory of finite fields. — Ann. Math., 1968, 88, p. 239—
271.
Акс и Кочен (Ax J., Kochen S.)
1. Diophantine problems over local fields, III: Decidable fields.— Ann.
Math., 1966, 83, p. 437—456.
ван дер Варден (van der Waerden B. L.)
1. Алгебра —2 изд. — M.: Наука, 1979.
Г а ш ю и (Gaschtitz W.)
1. Zu einem von В. H and H. Neumann gestellen Problem. — Math. Nachr.,
1956, 14, S. 249—252
Гончарове C.
1. Автоустойчивость моделей и абелевых групп. — Алгебра и логика, 1980»
19, № 1, с 23—44.
Грюнберг (Gruenberg К. W.)
1. Projective profinite groups. — J. London Math. Soc., 1967, 42, № 1,
p. 155-165.
Грюнвальд и Сегал (Grunewald F. J., Segal D.)
1. The solubility of certain cecision problems in algebra and arithmetic.—
Bull Amer. Math. Soc., 1979, 1, №6, p. 915—918.
2. Some general algorithms I: Arithmetic groups.— Ann. Math., 1982.
Джарден (Jarden M.)
1. The elementary theory of cd-free Ax fields. — Invent. Math., 1976, 38,
p. 187—206.
2. An analogue of Cebotarev density theorem for fields of finite corank. —
J. Math. Kyoto Univ., 1980, 20, № 1, p 141 —147.
352
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
Джарден и Кине (Jarden М., Kiehne U.)
1. The elementary theory of algebraic fields of finite corank. — Invent
Math, 1975, 30, p. 275—294.
Джекоб (Jacob B.)
1. The model theory of «Я-formal» fields.— Ann. Math. Logic, 1980, 19,
- № 3, p. 263—282.
Добрица В П.
1. О рекурсивно-нумерованных классах конструктивных расширений и
автоустойчивости алгебр. — Сиб. матем. ж., 1975, 16, № 6, с. 1148—
1154.
ван денДрис (van den Dries L. P. D.)
1. Model theory for fields. — Utrecht, 1978.
2. New decidable fields of algebraic numbers. — Proc. Amer. Math. Soc.,
1979, 77, № 2, p. 251—253.
E p ш‘о в Ю. Л.
1.	Об элементарных теориях локальных полей. — Алгебра и логика, 1965,
4, № 2, с. 5—30.
2.	Поля с разрешимой теорией.— ДАН СССР, 1967, 174, № 1, с. 19—20.
3.	Теория нумераций, 3 (Конструктивные модели). — Новосибирск: изд.
Новосибирск, гос. ун-та, 1974.
4.	Теория нумераций. — М.: Наука, 1977.
.5	. Проблемы разрешимости и конструктивные модели.— М.: Наука, 1980.
6.	Регулярно замкнутые поля —ДАН СССР, 1980, 251, № 4, с. 783—
785.
7.	Кратно нормированные поля.— ДАН СССР, 1980, 253, № 2, с. 274—
277.
8.	О проконечных группах. — Алгебра и логика, 1980, 19, № 5, с. 552—
565.
9.	Об элементарных теориях регулярно замкнутых полей. — ДАН СССР,
1981, 257, № 2, с. 271—274.
10.	Элиминируемость кванторов в регулярно замкнутых полях. — ДАН
СССР, 1981, 258, № 1, с. 16—20.
11.	Алгебраические свойства регулярно замкнутых полей. — Тр. матем.
ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова, 158. М.: Наука, 1981, с. 80—86.
12.	Неразрешимость регулярно замкнутых полей. — Алгебра и логика,
1981, 20, № 4, с. 389—394.
13.	Кратно нормированные поля. — УМН, 1982, 37, № 3, с. 55—93.
14.	Вполне вещественные расширения полей. — ДАН СССР, 1982, 263,
№ 5, с. 1047—1049.
Зарисский и Самюэль (Zarissky О., Samuel Р.)
1.	Коммутативная алгебра, т. I. — М.: ИЛ, 1963.
Кох (Koch Н.)
1. Теория Галуа р-расширений. — М.: Мир, 1973.
Ленг (Lang S.)
1. Алгебра. — М.: Мир, 1968.
Маршалл (Marshall М.)
1. Classification of finite spaces of orderings. — Canad. J. Math., 1979, 31,
№ 2, p. 320—330.
Метакидес и H e p о д (Metakides G., Nerode A.)
1. Effective content at field theory. — Ann. Math. Logic, 1979, 17, № 3,
p. 289—320.
Престел (Prestel A.)
1. Decidable theories of preordered fields.—Math. Ann., 1982, 258, № 4,
p. 481—492.
Рабин (Rabin M O.)
1. Computable algebra, general theory and theory of computable fields. —
Trans. Amer. Math. Soc., 1960, 95, № 2, p. 341—360.
ЛИТЕРАТУРА
353
Робинсон (Robinson J.)
1. The undecidability of algebraic rings and fields. — Proc. Amer. Math.
Soc. 1959, 10, p. 950—957.
Сакс (Sacks G.)
1. Теория насыщенных моделей. — M.: Мир, 1976.
Саркисян Р. А.
1. Проблема сопряженности для наборов целочисленных матриц. — Матем.
заметки, 1979, 25, № 6, с. 811—824.
2. Алгоритмические вопросы для линейных алгебраических групп, I, II.—
Матем. сб., 1980, 113, № 2, 3.
Сейденберг (Seidenberg А.)
1. Constructions in algebra. — Trans. Amer. Math. Soc., 1974, 197, p. 273—
313
C e p p (Serre J. P.)
1. Когомологии Галуа. — M.: Мир, 1968.
Тарский (Tarski А.)
1. Arithmetical classes and types of algebraically closed and real closed
fields. — Bull. Amer. Math. Soc., 1949, 55, p. 64.
2. A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry. — 2nd revised
ed. — Berkeley; Los Angeles, 1951.
Уилер (Wheeler W. H.)
1. Model-complete theories of pseudo-algebraically closed fields. — Ann,
Math. Logic, 1979, 17, № 3, p. 205—226.
Уотерхаус (Waterhouse W. C.)
1. Profinite groups are Galois groups. — Proc. Amer. Math. Soc., 1974, 42,
№ 2, p. 639—640.
Фрёлих и Шепердсон (Frohlich A., Shepherdson J. C.)
1. Effective procedures in field theory. — Phil. Trans. Roy. Soc., London,
1956, A248, d. 407—432.
Фрид (Fried M.)
1. Toward a general theory of diophantine problems with application to
p-adic fields and fields of finite corank. — Irvine( U.S.A.), 1978, pre-
print.
Фрид и С а кер д от (Fried М., Sacerdote G.)
1. Solving diophantine problems over all residue class fields of a number
field and all finite fields. — Ann. Math., 1976, 104, p. 203—233.
Харрингтон (Harrington L.)
1 Recursively presentable prime models.—J. Symbolic Logic, 1974, 39,
№ 2, p. 305—309.
Хисамиев К Г.
1. О сильно конструктивных моделях разрешимой теории.— ИАН КазССР,
сер. физ.-матем., 1974, № 1, с. 83—84.
Холл (Hall М.)
1. Теория групп — М.: ИЛ, 1962.
X у п п е р т (Huppert В.)
1. Endliche Gruppen I. — Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer, 1967.
Черлин, ван ден Дрис, Макинтайр (Cherlin G., van den Dries L.,
Macintvre A.)
1. Decidability and undecidability theorem for PAC-fields. — Bull. Amer.
Math. Soc., 1981, 4, № 1, p. 101-104.
2. The elementary theory of regulary closed fields.— New Haven (U. S. A.),
1982, preprint.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгоритм 10
—	разрешающий 77
Алфавит 55
Аналог машины Тьюринга 136
—	теоремы Чеботарева о плотности
303, 304
Арифметика второго порядка 121
—	Пресбургера 85, 88
Вычисление детерминированное 107
—	значения объекта 195
—	недетерминированное 107
Вычислимость относительная 22
Гензелизация 349
Гипотеза Роджерса 119
Гомеоморфизм множеств рекурсив-
ный 129
Гомоморфизм 277
Грамматика двусмысленная 66
—	контекстно свободная 66
—	фразовая структурная 65
Группа Галуа поля 301
—	допустимая 310
—	конечно представимая 61
—	нормирования 348
— проконечная проективная 301
---финитно проективная 301
—	рекурсивно представимая 61
Дерево 98
—	фундированное 232
Длина дерева 232
—	нормы 251
—	слова 104
Доказательство 29
—	приоритетное 142, 152
Дополнение степени относительное
128
Зависимость эффективная алгебраи-
ческая 280
Заключение 65, 226
Игра 233
—	Гейла-Стюарта 123
Игрок 233
Идеал 116
Иерархия аналитическая 42
—	арифметическая 40
Индекс функции 20, 187
Индукция немонотонная 257
—	позитивная элементарная 249
Инструкция 10, 12
Итерация операции скачка 124
Категория нумерованных множеств
271
Квантор всеобщности 180
—	дуальный 180, 255
—	игровой 255
—	монотонный 255
—	на множестве 179, 255
—	нетривиальный 255
—	ограниченный 240
—	Суслина 180
— существования 180
Класс групп инвариантный 62
---наследственный 62
--- нетривиальный 62
—	замкнутый 186, 215
—	клиниевский 194
—	конечных групп допустимый 306
—	конструктивных моделей слабо
вычислимый 278
нормированный 215, 251
— предикатов спекторовский 253
--- типовой немонотонный 259
— функционалов вычислимый 273
---, допускающих кодирование 188
---конечно порожденный 189
---нормальный 199
---подходящий 169
—	(о-параметризованный 215
,Код функции 187
Кодирование кортежей 187
Кольцо гензелево 348
Компаньон 263
Композиция 170
Конструктивизации автоэквивалент-
ные 279
—	эквивалентные 279
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ"
355
Конфигурация 18, 53
—	остановки 18
Кооднородность конечная 314
Коранг 326
Корень дерева 232
—	идеала 334
Лемма Гашиша, 306
— о совместной1 индукции 172
---числовом селекторе 192
Лента 12
Машина Тьюринга 12
--- универсальйая 18
Местность 202
Метод интерпретаций 94
— переноса индексов 209, 211
— приоритета 37, 126
---«с бесконечными нарушения-
ми» 120
—	элиминации кванторов 85
Минимизация 171
Много-односводимость 27
Множество аналитическое 39, 43
—	арифметическое 39
—	диофантово 68
—	индуктивно определенное 226,
229, 230
—	- корекурсивно перечислимое 128
------- относительно степени 129
—	креативное 36
—	линейно упорядоченное 85
—	максимальное 127
—	морфизмов 271
—	- натуральных чисел 10, 114, 136
—	независимое 116
—	нетривиальное 69
—	нормированное 186
—	нумерованное 270
—	определимое 38
—	полуразрешимое 23
—	полурекурсивное 24
—	посылок 226
— правил детерминированное 228
---регулярное арифметическое 237
-------элементарное 243
---рекурсивно перечислимое 236
--- рекурсивное 236
---Д-финитарное 260
---Ф-замкнутое 226
---Ф-плотное 234
— простое 36
— рекурсивно перечислимое (р. п.)
25, 126
------- относительно степени 115
— слов рекурсивно перечислимое 61
Множество степеней 115
--- определенное 123
--- слабо определимое 124
— точечное типа k 214
— эффективно перечислимое 24
— а-конечное 138, 139
— а-рекурсивно перечислимое 137,
139
— а-рекурсивное 137, 139
Модель простая 92
—	с неограниченными ветвлениями
279
Морфизм 270
Мощность модели 90
Набор корней идеала полный 335
Накрытие 306
Номер гёделев 29
Норма 251
—	на предикате 185
Нормирование 348
Нумерация вычислимая 271, 272, 276,
278
---главная 271, 272
—	Клини 202
—	множества 270
—	Поста 271
Область поля универсальная 331
Обозначение ординала 46
Образующие представления 59
Объект высшего типа 193
—	, рекурсивный по Клини относи-
тельно объекта 213
—	типа 2 177
—	Tyre 177
Одно-односводимость 27
Оператор, допускающий кодирова-
ние сечениями 244
—	дуальный 234
—	монотонный 167, 216, 229
—	рекурсивный 48
—	- х-базированный 231
Операция скачка 114
— сцепления 55
Описание мгновенное 18
Определение индуктивное 224
--- немонотонное 257
---финитарное 227
--- функционала 169
--- частичной функции 169
— разбором случаев 170
Определимость неявная инвариантная
141
Оракул 22
356
предметный указатель1
Ординал допустимый 137
— рекурсивный Мало 258
---недостижимый 258
---счетный 43
---(01 46
—	фундированной части 228
—	Чёрча — Клини 238
Отображение W-рекурсивное 196
Пара точная 118
—	эпиморфизмов максимальная 307
—	а-p. п. степеней минимальная 143
Переменная 65
Подполе конструктивное 276
Подстановка проектирований 170
—	сцеплений 195
—	точечных проектирований 195
—	функциональная 171
Подфункционал 205
Поле гензелево 348
—	действительных чисел 91
—	когерентно полное 349
—	нормированное 348
—	регулярное замкнутое 296
— упорядоченное вещественно зам-
кнутое 91
— n-кратно нормированное 349
Полурекурсивность относительная 32
Полурешетка вычислимых нумера-
ций 271
— классов эквивалентных вычисли-
мых нумераций 272
— степеней верхняя 114, 115
—	m-степеней верхняя 271
—	a-степеней верхняя 142
Последовательность функционалов
нормальная 184, 200
Правило 226
Предикат алгебраический 88
—	гиперэлементарный 252
—	диофантов 68
—	полиномиальный 88
—	полурекурсивный относительно Ф
178
—	разрешимый 17
—	рекурсивно перечислимый (р. п.)
53
—	рекурсивный 13, 23
—	универсальный 25
—	фундированный 227
—	А-конечный 260
—	<5-индуктивный 244
—	^"-определенный 240
—	^-полурекурсивный 178, 185
—	^"-рекурсивный 185
Предложение маркированное 243
Представление 59
—	групповое 61
Принцип Ф-индукции 227
Проблема выполнимости 108
— Гильберта десятая 51, 67, 69
— неразрешимая 51
— обобщенной конечности 138, 139
— основная для корекурсивно пере-
числимых множеств 128
— остановки 20, 52
- Поста 34, 37, 126, 142
— разрешимости 51, 70, 71, 77, 78
--- элементарных теорий 269
—	Сакса 116
—	слов 55, 61
—	соответствия 63
—	спектра 82
—	Р 272
—	Р = NP 82, 109
Программа 10
—	Гильберта 80
—	недетерминированная 107
Продолжение конструктивизации 275
Продукция 55
—	обратная 58
—	полутуэвская 55
Проектирование 170, 263
—	точечное 195
Проекция 40
—	ординала 148, 149, 151
Пространство точек объектов выс-
ших типов 194
Протокол вычисления 18
Процедура разрешающая 78
—	эффективная 10
Процесс полутуэвский 55
—	туэвский 59
Про-@-группа 309
Пятерка 14, 53
Разложение 263
Ранг 89
Расширение поля регулярное 296
Рекурсивность в 33
—	относительная 32, 114
—	по Клини 196
------- относительная 196
---Клинио 205
Рекурсия примитивная 172
—	сводная 201
Релятивизация 95, 169
—	игрового квантора 256
—	к степени 118
---Z 118
Решетка а-p. п. множеств 143
Сверхскачок 220
Сводимость 27, 271
— нумераций 271
предметный указатель'
357
Сводимость по Тьюрингу 33, 114
— точечных множеств 216
Свойство замены 328
— коамальгамируемости 306
— минимальности 169
параметризации 249
— перечисления 187, 215
— предвполнеупорядоченности 186,
215
—	(F) 281
Семейство р-зависимое 327
—	р-независимое 327
Сечение 244
Сигнатура функционала 168
Символ 12, 55
—	начальный 65
Система автоустойчивая 279
—	индуцированная 95
—	конструктивизируемая 273
—	конструктивно устойчивая 279
— нумерованная 273
--- конструктивная 273
--- сильно конструктивная 273
— обозначений Клини для рекурсив-
ных ординалов 238
—	ординальных обозначений 46
—	почти приемлемая 253
—	приемлемая 253
—	проектируемая 263
—	разложимая 263
—	сильно конструктивизируемая
273
—	соответствия Поста 63
—	степеней полная 125
—	универсальная 190
---хорошая 191, 201
—	F-приемлемая 241
—	Q-приемлемая 256
Скачок 34
Слово 55, 98
—	Поста 56
Сложность внутренняя 104
Соотношение 59
«Соревнование по трудолюбию» Ра-
до 14
Состояние 12
—	начальное 18
Степень 112
—	высокая 127
—	клиниевская 213
—	конструктивная 122
—	минимальная 117
—	множества 114
—	неконструктивности 122
—	неразрешимости 33, 112
—	низкая 127
—	почти рекурсивная 130
—	расщепляемая 119
Степень рекурсивно перечислимая
(р. п.) 34, 126
------- относительно степени 115
—	рекурсивных функций 114
—	тьюрингова 112
—	функции 114
—	чашеобразная 119
—	n-точная над 1 125
Страт Галуа 331, 332
Стратегия выигрышная 123, 233
Стратификация 334
Сужение функционала 176
Схема кодирующая 241
—	^-определимая 241
Сцепление 193
Таг-проблема 67
Таг-система 67
Тезис Чёрча 15
Теорема 29
—	Гёделя о неполноте 81
—	Клини обобщенная 251
—	Матиясевича 68
— о дереве 98
----нормальной форме 19
----------для приемлемой системы
254, 255
----параметризацш 26
----перечислении 189, 200
----плотности р. п. степеней 126
-------а-p. п. степеней 143
----пошаговом сравнении 182
---------- вторая 254
---------- первая 251
----предвполнеупорядоченности 186
----разложении 142, 144
---- рекурсии 28
------- вторая 191, 201
------- первая 174
---- транзитивности 43
---- функциональной подстановке
173
----частичных подстановках 208
---- ядре 275
— об иерархии 41
---- индукционной полноте 175
----обращении 120
---- ограниченном кванторе 72
---- операции скачка 152
----униформизации 151
---- ускорении 21
— Спектора — Ганди обобщенная
254
Теория аксиоматизированная 82
— алгебраически замкнутых полей
90, 275
— булевых алгебр 101
358
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ'
Теория вещественно замкнутых по-
лей 91, 92
— вполне упорядоченных множеств
100
— второго порядка вполне упорядо-
ченных множеств 100
------- линейно упорядоченных
множеств 99
-------монадическая 97
---------- слабая 97
—	действительных чисел 88, 269
—	дискретного порядка 85
—	, заданная аксиоматически 82
—	, — семантически 82, 84
—	, категоричная в мощности 89
—	коммутативных групп 94
—	комплексных чисел 269
—	конечных полей 94, 269
—	линейно упорядоченных множеств
85, 94, 99
—	модельно полная 92
—	мультипликативной полугруппы
целых чисел 94
—	неразрешимая 79
—	полная 30, 83
—	поля р-адических чисел 93, 269
—	разрешимая 78
—	рациональных чисел 90, 269
—	регулярно замкнутого поля 324
—	рекурсивно аксиоматизируемая 30
—	р. п. степеней 127
—	системы 84
—	сложения натуральных чисел 85
—	степеней 122
--- глобальная 125
--- локальная 125
—	стратов Галуа 333
—	умножения натуральных чисел 107
Техника блочная 162
Тип точки 193
Точка 193
—	неподвижная 168, 169
—	ЯГ-неподвижная 169
Формула ограниченная элементарная
240
—	определяющая оператор 246
—	универсально истинная 242
—	экзистенциальная 240
—	элементарная 240
—	Q-элементарная 256
—	, Т-представляющая предикат 239
—	П^-пренексная 240
— 5д-пренексная 240
Функционал 168
— вычисления значения функции 170
— добавления переменных 170
Функционал нормальный 182
—	: оперативный 169
—	рекурсивный 22
—	^"-рекурсивный 169
Функция алгебраическая 88
—	всюду определенная 10
—	декодирующая 18
—	длины 195
—	кодирующая 18, 236
—	нигде не определенная 167
—	общерекурсивная 16
—	перехода 12
—	повышения типа 194
—	понижения типа 194
—	пошагового сравнения 182
—	предельно рекурсивная относи-
тельно функции 115
—	предшествования 172
—	примитивно рекурсивная 16
—	продуктивная 36
—	производящая 23
— распознавания типа 195
— рекурсивная 10, 13, 22
— следования 98, 170
— тождественная 170
— универсальная 187
— характеристическая множества
170
--- равенства 170
— частичная 10, 167
— эффективно вычислимая 10
— Jif-рекурсивная 195
— а-рекурсивная 137
— Х-определимая 16
Характер точки 204
Цепочка 55
— пустая 55
Часть предиката фундирования 227
Числа действительные рекурсивные
47
— натуральные 136
Эквивалентность конструктивных мо-
делей 278
— нумераций 271
— нумерованных систем 278
— по Тьюрингу 33
Элемент сглаживающий 331
— Ф-алгебраический 274
предметный указателе
389
Ядро 233, 234
Язык второго порядка монадический
97
-----— — слабый 97
— первого порядка полный 240
—, порожденный полутуэвским про-
цессом 65
Ячейка памяти 12
Л-множество 43
Л-правило 242
&-класс точечный 214
^-оболочка 214
^-сечение 214
L-группа разложений гомоморфизма
333
m-сводимость кратная 272
n-страт Галуа 332
р-базис 328
Q-правило 256
s-m-n-теорема 26, 191, 200
s-m-n-функция 191
^-группа 309
а-вычислимость 141
а-конечность 139
а*-конечность 144
а-рекурсивность относительная 141
— слабая 142
а-p. п. степень 142
а-сводимость 140
а-степень 142
Г-норма 186, 251
Ди-класс 41
Д^-класс 42
Д^-ординал 257
Пи-класс 40
П^-формула 240
П}-класс 42
2и-класс 40
2^-класс 42
2^-формула 240
Si-множество правил 260
Si-формула 260
21(51)-множество правил 242
2г-кофинальность 147
о-кольцо эффективное 238
Ф-доказательство 227, 232
Ф-индукция 227
Ф-ядро 274, 275
ф-доказательство 231
ф-квазидоказательство 261
©-правило 237
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора русского перевода .............. б
Введение ............................................. 7
Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕКУРСИИ. Герберт Б. Эндертон . .	9
Глава 2. НЕРАЗРЕШИМЫЕ ПРОБЛЕМЫ. Мартин	Девис.......51
Глава 3. РАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ. Михаэль О. Рабин..........77
Г л а в а 4. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ. ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ
Стивен Г. Симпсон.....................................112
Г л а в а 5. ТЕОРИЯ а-РЕКУРСИИ Ричард А. Шор.........134
Глава 6. РЕКУРСИЯ В ВЫСШИХ ТИПАХ. Александр С. Кекрис, Ян-
нис Н. Московакис.....................................166
Глава 7. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ИНДУКТИВНЫХ ОПРЕДЕЛЕ-
НИЙ. Петер Ацел.......................................224
Дополнение. АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПО-
ЛЕЙ (положительные аспекты).	Ю. Л. Ершов.....269
Предметный указатель.................................354
СПРАВОЧНАЯ КНИГА
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ
Часть III
ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
Редактор В. В. Донченко
Технический редактор С. Я. Шкляр. Корректор Т. С. Вайсберг
ИБ № 11561
Сдано в набор 09.03.82. Подписано к печати 21.10.82. Формат 60x90’/ie Бумага
тип. № 1. Литературная гарнитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 22,5.
Уч.-изд. л 24,15. Тираж 20000 экз Заказ V? 2312 Пена 2 р.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71. Ленинский проспект, 15.
Отпечатано с матриц Ленинградской типографии № 2 головного предприятия
в Ленинградской типографии № 4 ордена Трудового Красного Знамени Ленин-
градского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполи-
графпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полигра-
фии и книжной торговли. 191126, Ленинград, Социалистическая ул., 14.