А.Г. Петров

АНАЛИТИЧЕСКАЯ

I ПДРОДИНАМИКА
А.Г. Петров

АНАЛИТИЧЕСКАЯ

ГИДРОДИНАМИКА

Рекомендовано УМО вузов РФ по образованию
в области прикладных математики и физики
в качестве учебного пособия
для студентов вузов по направлению
«Прикладные математика и физика»

МОСКВА _
ФИЗМАТЛИТ®
2010
УДК 532.013

ББК 22.253.3

ПЗО

Петров А.Г. Аналитическая гидродинамика. Учеб, пособ.: Для ву-
зов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. - 520 с. - ISBN 978-5-9221-1008-2.

Цель книги — с позиций аналитической механики изучить проблемы
гидродинамики, такие как: движение пузырьков, капель и твердых тел в жид-
кости, пространственные и плоские кавитационные обтекания тел, нелинейные
волновые движения в каналах и струях, перемешивание жидкостей и другие.

Отправной точкой предлагаемого подхода явился метод обобщенных коор-
динат Лангранжа, внедренный в динамику твердых тел в жидкости Кельвином
и Кирхгофом. Как развитие этой теории, в книге расширен круг задач гидро-
динамики, к решению которых применяется конструктивный аппарат лагран-
жевой и гамильтоновой механики, существенно упрощающий исследование,
а в ряде случаев дающий новые результаты. Дается строгое обоснование такого
подхода.

Предлагаемый курс — это систематизация исследований задач динамики
жидкости методами аналитической механики.

Уделено внимание также численным методам решения задач динамики
жидкости.

Для специалистов в области гидродинамики, преподавателей, аспирантов
и студентов механико-математических и физических факультетов университе-
тов, физико-технических и судостроительных институтов.

Рекомендовано УМО вузов РФ по образованию в области прикладных
математики и физики в качестве учебного пособия для студентов вузов по
направлению «Прикладные математика и физика».

ISBN 978-5-9221-1008-2

© ФИЗМАТЛИТ, 2009, 2010

© А. Г. Петров, 2009, 2010
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие..................................................... 9

Глава 1. Предварительные сведения................................ 11

1.	Теория идеальной жидкости.................................. 11

2.	Метод обобщенных координат................................. 21

Глава 2. Вывод вариационного уравнения Гамильтона................ 28

3.	Лагранжева и эйлерова вариации. Лагранжево перемещение и его
асимптотические свойства...................................... 28

4.	Кинематика поверхности. Обобщенные координаты и скорости;
обобщенные силы.............................................. 32

5.	Вариационное уравнение................................... 34

6.	Кинетическая и потенциальная энергии..................... 39

Глава 3. Динамика твердых и деформирующихся тел в жидкости,
покоящейся на бесконечности................................. 42

7.	Движение твердого тела в жидкости. Гидродинамические реакции,
действующие на твердое тело в отсутствие массовых сил.......	42

8.	Перемещение периодически деформирующегося тела. Сила тяги . .	53

9.	Постановка задачи о движении газового пузырька в безграничной
жидкости. Функции Лагранжа и уравнения движения.............. 55

10.	Движение деформированных капель и пузырьков.............. 59

10.1.	Движение капель .................................... 59

10.2.	Движение пузырьков.................................. 62

11.	Осесимметричное обтекание тонкого тела................... 69

11.1.	Асимптотические разложения ......................... 69

11.2.	Гипотеза плоских сечений............................ 72

Глава 4. Некоторые проблемы кавитации.......................... 76

12.	Начальная стадия кавитации............................... 76

13.	Течение при сильно развитой кавитации.................... 82

14.	Асимптотический закон расширения струи................... 90
Глава 5. Гидродинамическое взаимодействие тел. Движение тела
в неоднородном потоке....................................... 108

15.	Общие сведения об исследовании задач гидродинамического взаи-
модействия ................................................... 108

15.1.	Постановки задач .................................... 108

15.2.	Методы вычисления реакций............................ 109

15.3.	Плоскопараллельные течения........................... 113

16.	Теорема о конечном возмущении кинетической	энергии........ 116

17.	Движение твердого тела в неоднородном потенциальном потоке
жидкости...................................................... 120

17.1.	Реакции.............................................. 120

17.2.	Уравнения движения .................................. 125

17.3.	Движение шара в жидкости............................. 126

18.	Взаимодействие двух сфер.................................. 130

19.	Динамика газового пузырька в неоднородном	потоке. 134

20.	Захлопывание сферического пузырька вблизи	плоской стенки .... 137

21.	Неподвижное тело в установившемся неоднородном потенциальном
потоке........................................................ 140

22.	Течения при сильно развитой кавитации при наличии особенностей
в потоке...................................................... 146

Глава 6. Системы с бесконечным числом степеней свободы.......... 148

23.	Плоская задача о движении пузырька в идеальной жидкости .... 148

23.1.	Гидродинамический подход............................. 148

23.2.	Вариационное уравнение............................... 149

23.3.	Точные соотношения, вытекающие из вариационного уравне-
ния ....................................................... 150

23.4.	Эллиптическая полость................................ 152

23.5.	Общие уравнения динамики	пузырька.............. 154

23.6.	Решение Мак Леода.................................... 160

23.7.	Устойчивость стационарного	движения полости ......... 162

24.	Волны конечной амплитуды на поверхности тяжелой жидкости. . . 169

24.1.	Волны на поверхности тяжелой жидкости бесконечной глу-
бины ...................................................... 170

24.2.	Прогрессивные волны.................................. 176

24.3.	Стоячие волны ....................................... 183

25.	Длинные волны............................................. 184

25.1.	О приближениях мелкой воды и Буссинеска.............. 184

25.2.	Приближение Буссинеска для	каналов	и струй...... 185

25.3.	Точные решения уравнений мелкой воды................. 200

25.4.	Краткий обзор сведений из теории нелинейных волн на по-
верхности тяжелой жидкости	.................. 204

Глава 7. Уравнения Лагранжа для неклассических случаев.......... 207

26.	Постановки задач и методы их решения...................... 207

26.1.	Из истории вопроса................................... 207

26.2.	Методы обоснования динамических уравнений............ 209
26.3.	Формулировки вариационного уравнения Гамильтона и функ-
ции Лагранжа .............................................. 210

26.4.	Обобщение теории Томсона и Тэта...................... 213

26.5.	Понятие среды, «скрепленной» с границей области....... 216

26.6.	Тождества и уравнения................................ 217

27.	Течение в ограниченной области............................ 219

27.1.	Описание течений и функция Лагранжа ................. 219

27.2.	Потенциальное течение. Формула Кельвина для функции
Лагранжа .................................................. 220

27.3.	Плоскопараллельное течение с постоянной завихренностью 222

27.4.	Осесимметричное течение с постоянной завихренностью . . . 225

28.	Течение жидкости вне движущейся поверхности............... 226

28.1.	Движение тела в неоднородном потенциальном потоке с одно-
значным потенциалом скорости............................... 226

28.2.	Движение контура в неоднородном плоскопараллельном пото-
ке с циркуляцией .......................................... 227

29.	Примеры динамических систем............................... 234

29.1.	Устойчивость равновесия шара в неоднородном потоке.... 234

29.2.	Эллипсоидальная капля ............................... 240

29.3.	Динамика эллиптического вихря ....................... 244

Глава 8. Движение пузырьков, капель и твердых частиц в вязкой
жидкости.................................................... 256

30.	Модель вязкой жидкости.................................... 256

30.1.	Различные формы уравнений	движения................... 256

30.2.	Уравнение Гельмгольца для	вихря ..................... 258

31.	Всплытие пузырьков........................................ 259

31.1.	Задача о всплытии пузырька в тяжелой вязкой жидкости . . . 259

31.2.	Интегральные законы сохранения....................... 262

31.3.	Сферический пузырек.................................. 267

31.4.	Анализ размерности. Эксперименты .................... 275

31.5.	Модели всплывающих пузырьков......................... 276

31.6.	Модель эллипсоидального пузырька в жидкости малой вязко-
сти ....................................................... 280

31.7.	Диссипативные процессы при колебаниях газовых пузырьков
в жидкости ................................................ 284

32.	Течение вязкой жидкости под воздействием касательного напряже-
ния .......................................................... 291

32.1.	Основные методы и результаты ........................ 291

32.2.	Течения с замкнутыми линиями тока при больших числах

Рейнольдса ........................................... 293

32.3.	Двухсторонние оценки................................. 297

33.	Стационарное движение сферических капель в вязкой жидкости . . 299

33.1.	Обзор теоретических работ по движению сферических капель 299

33.2.	Решение при малом внешнем числе Рейнольдса .......... 302

33.3.	Движение жидких капель в газе при произвольном числе
Рейнольдса вне капли ...................................... 303

33.4.	Анализ внешнего и внутреннего течений при движении жид-
ких капель в газе.......................................... 312
34.	Движение в газе деформированных капель вязкой жидкости .... 317
34.1. Обзор теоретических работ по движению деформированных

капель................................................. 317

34.2.	Деформация и устойчивость вязких капель, движущихся в
газе с постоянной скоростью................................. 319

35.	О движении твердых частиц в вязкой жидкости................ 327

35.1.	Сопротивление сферической частицы .................... 327

35.2.	Осаждение сферической частицы......................... 330

35.3.	Движение частицы в стоячей акустической волне......... 335

Глава 9. Гамильтоновы системы.................................... 341

36.	Гамильтоновы системы с одной степенью свободы.............. 341

36.1.	Сведение задачи о движении частиц к гамильтоновой системе 341

36.2.	Первый интеграл гамильтоновой системы ................ 343

37.	Канонические преобразования на плоскости................... 346

37.1.	Определение и общие свойства.......................... 346

37.2.	Теорема об интегральном инварианте Пуанкаре-Картана . . . 349

37.3.	Общий критерий каноничности преобразований ........... 351

37.4.	Отображения с помощью канонических преобразований .... 353

38.	Способы построения канонических преобразований............. 354

38.1.	Производящие функции Якоби............................ 354

38.2.	Производящая функция Пуанкаре ........................ 358

38.3.	Производящий гамильтониан............................. 359

39.	Параметрическая производящая функция....................... 360

39.1.	Определение и общие свойства параметрической производя-
щей функции................................................. 360

39.2.	Примеры параметризации................................ 364

39.3.	Параметризация отображений на фазовом потоке гамильтоно-
вой системы................................................. 367

40.	Методы усреднения гамильтоновых систем..................... 368

40.1.	Алгоритм последовательного исключения времени......... 368

40.2.	Теория последования Пуанкаре для неавтономных гамильто-
новых систем................................................ 370

40.3.	Сравнение параметрического метода и метода производящих
функций .................................................... 375

41.	Динамический хаос.......................................... 378

41.1.	Упорядоченное и хаотическое движения ................. 378

41.2.	Качественный анализ гамильтоновой системы стандартной
формы....................................................... 379

41.3.	Методы исследования хаотических движений.............. 380

42.	Перемешивание вязкой и вязкопластической сред в тонком дефор-
мирующемся слое................................................ 381

42.1.	Функция тока-гамильтониан для движения частиц вязкой и

вязкопластической сред................................. 381

42.2.	Движение частиц вязкой и вязкопластической сред при отсут-
ствии касательной скорости на границе ...................... 384

42.3.	Движение частиц вязкой жидкости при наличии касательной
скорости на границе ........................................ 385
43.	Перемешивание вязкой жидкости между двумя эксцентрично вра-
щающимися круговыми цилиндрами................................ 391

43.1.	Краткий обзор результатов .......................... 391

43.2.	Вращение внутреннего цилиндра около центра, не совпадаю-

щего с центрами цилиндров............................ 393

43.3.	Движение частиц вязкой жидкости в слое между эксцентрич-
но вращающимися цилиндрами................................ 397

Глава 10. Гамильтоновы системы с двумя степенями свободы ... 413

44.	Производящие функции для гамильтоновых систем со многими
степенями свободы............................................. 413

44.1.	Специфика систем с двумя и более степенями свободы .... 413
44.2. Производящие функции Якоби.......................... 414

44.3.	Теорема о параметризации............................ 414

44.4.	Локальный критерий параметризуемости канонического пре-
образования .............................................. 417

44.5.	Инвариантность параметризуемости ................... 418

44.6.	Параметризация отображений на фазовом потоке........ 419

45.	Алгебраическое определение гамильтоновой нормальной формы. . . 419

45.1.	Разложение гамильтониана в окрестности неподвижной точки 419

45.2.	Нормальная форма квадратичной части................. 420

45.3.	Нормальная форма гамильтониана ..................... 420

45.4.	Нормальные формы для систем с двумя степенями свободы 421

46.	Методы вычисления нормальных форм........................ 423

46.1.	Классификация алгоритмов............................ 423

46.2.	Метод инвариантной симметризации гамильтониана....... 426

46.3.	Алгоритм симметризации с помощью параметрической функ-
ции Пуанкаре.............................................. 429

47.	Примеры асимптотического интегрирования гамильтоновых колеба-
тельных систем методом нормальной формы....................... 430

47.1.	Качающаяся пружина.................................. 430

47.2.	Колебания газового пузырька в жидкости при резонансе ча-

стот радиальных и деформационных колебаний	1:2....... 437

Глава 11. Численные схемы...................................... 444

48.	Введение................................................. 444

48.1.	Квадратурные формулы метода граничных	элементов...... 444

48.2.	Постановки краевых задач............................ 449

49.	Плоские краевые задачи для уравнения Лапласа............. 450

49.1.	Метод интегральных уравнений........................ 450

49.2.	Схема численного расчета решетки профилей........... 461

49.3.	Расчет точки отрыва при обтекании профиля вязкой жид-
костью ................................................... 466

50.	Осесимметричные задачи................................... 467

50.1.	Интегральные уравнения	для функции тока............. 468

50.2.	Численная схема решения интегральных уравнений ..... 474

50.3.	Интегральные уравнения для осесимметричных гармониче-
ских функций.............................................. 476
51.	Движения жидкости со свободной границей................... 478

51.1.	Функция Грина........................................ 479

51.2.	Уравнение для кривизны и проблема устойчивости численной
схемы...................................................... 483

51.3.	Динамические	уравнения ........... 485

51.4.	Численная схема для определения профиля нестационарных
волн....................................................... 486

51.5.	Капиллярно-гравитационные волны с неизменяющимся про-
филем ..................................................... 492

51.6.	Кубический	сплайн	для	периодической	функции...... 496

51.7.	Вывод	формул,	используемых в методе граничных элементов 500

51.8.	Справочные	формулы метода	граничных элементов........ 503

Список литературы............................................... 505
ПРЕДИСЛОВИЕ

Книга состоит из одиннадцати глав. В первых шести главах излага-
ются основы гидродинамики и основы классического метода обобщен-
ных координат. Главные идеи метода обобщенных координат имеются
в монографиях Ламба [103, гл. VII], Милн-Томпсона [125, §17, 60]
и Биркгофа [18, гл. VI]. Немногочисленные и ставшие классическими
примеры, разобранные в этой литературе, изложены в настоящем учеб-
ном пособии в более развернутом виде. В частности, уделяется вни-
мание классической теории присоединенных масс. Дается подробное
обоснование теории Томсона и Тэта, в которой задачи гидродинамики
сводятся к задачам классической лагранжевой динамики. Представ-
лено существенное развитие этой теории и ее распространение на
движение и взаимодействие тел в неоднородных потоках. Показана
возможность решения широкого круга задач гидродинамики с пози-
ций аналитической механики: захлопывание кавитационной полости
вблизи стенки, взаимодействие пульсирующих пузырьков, движение
и устойчивость деформирующихся пузырьков и капель, осесимметрич-
ные и плоские кавитационные обтекания тел, нелинейные волновые
движения в каналах и струях. Единый подход к решению всех этих
проблем оправдывает название книги. Многие из этих задач встреча-
ются лишь в специальных научных статьях.

В первой главе даны сведения из теории течения идеальной жидко-
сти и о методе обобщенных координат Лагранжа. Эти вопросы изло-
жены в хорошо апробированной учебной литературе по теоретической
механике В. Ф. Журавлева [77] и по гидродинамике Л. И. Седова [183,
т. 2], Н.Е. Кочина и др. [100]. К ним полезно обращаться при работе
над книгой.

Во второй главе представлен вывод принципа Гамильтона и изло-
жена суть метода обобщенных координат для решения задач гидро-
динамики. В главах 3-5 рассмотрены применения метода обобщенных
координат к решению проблем из различных разделов гидродинами-
ки. Многие из рассматриваемых задач взяты из оригинальных работ
и отражались в научной литературе лишь частично. В шестой гла-
ве рассматриваются задачи о движении деформированных пузырьков
в жидкости и о волнах на поверхности тяжелой жидкости. Эти задачи
объединены общим подходом к их решению.

В седьмой главе дается вывод принципа Гамильтона для неклас-
сических случаев течения жидкости, в которых известный принцип
Кельвина применять нельзя из-за присутствия в потоке вихрей, то-
чечных особенностей, циркуляции. Функция Лагранжа выводится из
уравнений гидродинамики, с помощью нее представлен ряд новых
решений задач гидродинамики.

В восьмой главе излагается теория движения деформированных
капель и пузырьков в вязкой жидкости. В этой главе учитываются
диссипативные процессы. Представлен экспериментальный материал
и проведены сравнения аналитических результатов с эксперименталь-
ными данными и численными расчетами.

Девятая глава посвящена изложению основ гамильтоновой механи-
ки. Описан новый аппарат канонических преобразований в парамет-
рической форме и применение его к изучению задачи перемешивания
вязкой жидкости. В десятой главе представлен новый асимптотический
метод инвариантной нормальной формы. Метод прикладывается к ис-
следованию нелинейных колебаний пузырьков в жидкости при резо-
нансе частоты радиальных колебаний и частоты колебаний эллипсои-
дальной моды. Установлена аналогия нелинейных колебаний пузырька
и колебаний тяжелой материальной точки на пружине. Аналитически
описан процесс перекачки энергии колебаний радиальной моды в эл-
липсоидальную.

Одиннадцатая глава посвящена изложению сравнительно молодого
метода граничных интегральных уравнений для решения краевых задач
уравнения Лапласа. Метод применяется к решению различных задач
динамики жидкости со свободными границами.

В конце некоторых параграфов даются упражнения. К тем из них,
которые логически связаны с изложенным материалом, есть решения;
их рекомендуется изучать столь же внимательно, как и основное со-
держание книги. Форма изложения материала в виде упражнений пре-
следует две цели. Первая из них позволяет приобрести практические
навыки и, тем самым, активно овладеть теорией. Вторая цель — это
дать более полное представление о тех задачах, к решению которых
приложима предлагаемая теория. Читателю, которого заинтересуют
приложения вариационных методов к другим разделам гидромехани-
ки и механики сплошной среды, можно порекомендовать монографию
В. Л. Бердичевского [16].

В книге учтены замечания, сделанные А. Г. Куликовским после
прочтения рукописи, за что автор весьма признателен.

Особую благодарность автор выражает В. Ф. Журавлеву за внима-
ние и поддержку в идее создания настоящей книги.

2008 г.
Глава 1

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

§ 1. Теория идеальной жидкости

1. Роль теории течения идеальной жидкости. Полная система
уравнений движения идеальной несжимаемой однородной жидкости в
поле потенциальных массовых сил имеет вид

Рзт = -gradp + pgrad(7,
at

grad U = F,

(1.1)

div v = О,

где v, p и p — скорость, давление и плотность частицы жидкости
соответственно; F — сила, действующая на единицу массы жидкой
частицы, U — потенциал силы F. Первое уравнение — векторное — вы-
ражает закон изменения количества движения жидкой частицы и обыч-
но называется уравнением Эйлера. Второе уравнение — скалярное —
выражает закон сохранения массы и называется уравнением нераз-
рывности. Скорость v и давление р являются функциями времени t
и радиуса-вектора г. Для декартовых координат радиуса-вектора г
используем общепринятые обозначения — х, у, z или xi, х$. Кратко
это записывается так: г(х, у, z) или г(х1,х2,хз). Соответственно для
векторов, например, для скорости и ее компонент, примем обозначения:
v(vx,Vy,vz) ИЛИ v(vi,v2,v3).

Система уравнений (1.1) является основой в практической гидроди-
намике. Она дает возможность вычислить:

1)	распределение давлений на лобовой поверхности препятствий;

2)	подъемную силу крыла самолета;

3)	гидродинамическое противодействие ускорению твердого тела в
жидкости;

4)	гидродинамические эффекты при наличии свободной границы:

а)	силы, действующие на тела при их движении с кавитацией и
наличии свободных струй;

б)	скорость распространения волн на поверхности тяжелой жид-
кости.

Во всех перечисленных случаях (и многих других) результаты
расчетов хорошо согласуются с экспериментальными данными.
Существует и другой класс явлений, для которых результаты рас-
четов, выполненных на основе (1.1), резко расходятся с наблюдениями.
Такие противоречия между экспериментальными данными и вывода-
ми, основанными на правдоподобных рассуждениях, называются па-
радоксами. В качестве примера можно привести парадокс Даламбера,
согласно которому сопротивление для тела, равномерно движущегося
в жидкости, отсутствует (J.L. D’Alembert (1768); более подробные
ссылки см.: Дж. Серрин (1963) [187]). Парадокс Даламбера получается
как следствие допущений о том, что жидкость идеальная (ее движение
подчиняется уравнениям (1.1)), а обтекание непрерывно (см. п. 7 §7).

Обоснование применимости модели идеальной жидкости в некото-
рых частных случаях можно получить, исходя из теории пограничного
слоя. В этой теории решение уравнений Эйлера остается главным при-
ближением решения более сложной системы уравнений, учитывающей
вязкость жидкости.

2.	Потенциальные движения несжимаемой жидкости. Асимп-
тотические свойства гармонических функций. Для потенциального
движения жидкости со скоростью v = V<3> уравнения Эйлера (1.1)
имеют интеграл Коши-Лагранжа:

p(^ + i)+p-pu = f^-	(L2)

В области течения жидкости П потенциал Ф поля скорости v, как сле-
дует из уравнения неразрывности, удовлетворяет уравнению Лапласа:

72Ф = 0, refi.	(1.3)

Функция Ф, удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармо-

Рис. 1.1. Выбор обо-
значений

отношению к области

нической функцией.

Для обозначения границы области примем
символ д. Пусть, например, V — область заня-
тая телом, тогда dV — его граница (рис. 1.1).
Если П — область течения жидкости, то <9Q —
ее граница. При безотрывном обтекании те-
ла V, область П, занятая жидкостью, назы-
вается областью вне тела (внешностью тела).

Выбор направления нормали. Будем счи-
тать, что нормаль к границе dV всегда внеш-
няя к области V (рис. 1.1). Соответственно
нормаль на границе является внешней по
П. При безотрывном обтекании тела границы

dV и <ЭП совпадают, а нормали к ним имеют противоположные направ-

ления.
На границе движущегося тела (с учетом его деформации) выпол-
няется следующее условие:

^-=vn, redv,	(1.4)

on

где vn — составляющая скорости тела по направлению нормали к его
поверхности.

В условии (1.4) границу dV можно заменить на 5П. Тогда нормаль
изменит знак и одновременно изменят знак обе части равенства в (1.4),
т. е. само равенство сохранится.

Примем теперь, что на бесконечности жидкость покоится:

(grad-I»)^ =0.

(1.5)

Таким образом, проблема движения тела в покоящейся на бесконеч-
ности жидкости сводится к решению краевой задачи (1.3)—(1.5). Эта
задача называется внешней задачей Неймана.

Отдельно рассмотрим пространственный и плоский случай, предпо-
лагая, что граница тела dil — односвязная, компактная и достаточно
гладкая.

Для пространственного случая можно показать, что внешняя задача
Неймана имеет единственное (с точностью до постоянной с) решение.
Вне всякой сферы достаточно большого радиуса, охватывающего всю
границу <ЭП, решение Ф может быть разложено в ряд

ф_ Q I С1х + с2з/ + с32	Pn(x,y,z)

Ф-С 4тгЛ + Дз +•••+	д2п+1	+•••. U.O?

где R = у/х2 + у2 + z2; постоянные Q, ci, сг, с3 можно выразить
через физические характеристики (см. упр. 1.1 и 1.5); Pn(x,y,z) —
однородный гармонический полином степени п. Для нестационарных
задач коэффициенты однородных гармонических полиномов являются
функциями времени t.

Для плоского случая внешняя задача Неймана имеет однопарамет-
рическое семейство решений (с точностью до постоянной с). Вне вся-
кого круга достаточно большого радиуса, охватывающего всю границу
решение Ф может быть разложено в ряд

Ф = с+£аг«в2 + £1„г+2^ + ... + ^ + .... (1.7)

где г = у/х2 + у2; постоянные Q, ci, сг можно вычислить, исходя
из условий задачи; параметр Г (циркуляцию) необходимо задавать
дополнительно, чтобы выделить единственное решение; Рп(х,у) —
однородный гармонический полином степени п.

Постоянная с в разложениях (1.6) и (1.7) несущественна при опре-
делении поля скоростей жидкости по формуле v = VФ.
При выделении единственного решения для потенциала в простран-
ственном случае вместо условия (1.5) в силу (1.6) можно требовать
выполнение условия

(*)„=<>	OS')

В плоском случае условие (1.5) допустимо лишь при равенстве нулю
параметров Г и Q.

3.	Задача продольного потенциального обтекания твердого те-
ла с осевой симметрией. Для решения задачи с осевой симметрией
Стокс в 1842 г. [103] ввел функцию тока Ф(г,г), зависящую от цилин-
дрических координат гиг (координата г направлена по оси симметрии,
координата г — расстояние от оси симметрии).

Поле скорости определяется через потенциал Ф и функцию тока Ф
следующим образом:

дФ дФ дФ дФ	оч

V*~ dz ~ rdr' Vr~dr~ rdz'	(1,8>

Уравнения для потенциала Ф можно получить из условия неразрывно-
сти divv = 0, а для Ф из условия отсутствия вихрей: rotv = 0. Эти
уравнения в цилиндрических координатах имеют вид

2

.2

dz2

г дг

2

Разложение по мультиполям (1.6) потенциала, равного нулю на беско-
нечности, для осесимметричного течения имеет вид

Ему соответствует функция тока Ф = $2^ &п & n+1 R с тем же полем
скорости. Мультиполь порядка п имеет потенциал Фп и функцию

тока Фп. При п = 0,1,2 получаем источник, диполь и квадруполь.
Их потенциалы и функции тока выведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Таблица соответствия

п	0	1	2
Фп	1 R	Z  R3	ю .	to  сл 1  То
Фп	Z  R	г2  R3	Згг2 R3

Покажем, как пользоваться таблицей для построения линий тока
осесимметричного обтекания некоторых тел.
Если тело движется с постоянной скоростью и по оси z, то в систе-

ме координат, связанной с телом, поле скорости не зависит от времени

(течение установившееся). В этой системе координат скорости и функ-

ция тока преобразуются так: vz —► vz — u, vr —* vr,

Ф —* Ф — | r2u.

Тогда на линии тока функция тока постоянна. Граница обтекаемого

тела является линией тока и ее уравнение будет иметь вид

2

г2^оо 4- Ф(г, г) = const,

(1.9)

где = —и — скорость жидкости на бесконечности относительно
тела. Постоянную в правой части уравнения удобно положить равной
нулю.

С помощью таблицы соответствия и формулы (1.9) можно найти
функцию тока источников и мультиполей, расположенных на оси сим-
метрии и получить решения задач обтекания широкого класса осесим-
метричных тел (рис. 1.2). Если суммарный расход Q, расположенных

Рис. 1.2. Схема обтекания осесимметричных тел

на оси источников равен нулю (Q = 0), то тело имеет конечные разме-
ры. Длина тела равна расстоянию между двумя критическими точками,
в которых скорость потока равна нулю (vz = vr = 0). Критические точ-
ки имеют координаты z = z*, г = fq, где z* определяется из уравнения

, дЪ
v°°+ гдг

= о.

(1.9')

Пример 1. Обтекание сферы. Рассмотрим потенциал диполя
1 Z

Ф = Q^oofl3— (рис. 1.2 а). С помощью формул соответствия
заменяем потенциал z/R3 на функцию тока —г2//?3 и получаем

Ф = -|а3 «оо^з-
Из уравнения (1.9) находим уравнение границы обтекаемого тела

1 2

^оо

3

Пример 2. Обтекание овала. Поместим источник в точке
z = — а и сток в точке z = а (рис. 1.2 6). Тогда с помощью таблицы
соответствия для потенциала и функции тока получим

Из (1.9) найдем уравнение границы

Из него находим координаты миделева сечения z = 0, г = го, а с по-
мощью (1.9') находим критические точки г* = ±Z, г = 0. Для их
вычисления получаем уравнения

(72 - а2)2 = 2ab2l, Ь2 =

2ttVoq

В этих примерах обтекание тела ищется в виде точечных особенно-
стей. Можно также рассматривать течения с непрерывным распределе-
нием источников на оси вращения. С помощью таблицы соответствия
находим потенциал и функцию тока, распределенных с плотностью q(z)
на отрезке z е (а, Ь) источников

*2

Q = q(t) dt.

Z\

Уравнение границы (1.9) примет вид

| г2г>оо 4- Ф = | r2t>oo -	= const.

2	2	4* I - V + г’

(1.10)

*2
>

При Q = q(t) dt = 0 тело имеет конечные размеры.
Пример 3. Обтекание вытянутого эллипсоида', z2/а2 4- г2/Ь2 =
= 1. Рассмотрим линейное распределение источников q(z) = —q$z меж-
ду фокусами эллипсоида z е (-с, с), с = \/а2 — Ь2 (рис. 1.2в). Функция
тока такова:

где г± = ^/(с± г)2 + г2 — расстояния от точки (г, г) до фокусов
эллипсоида (0, ±с). На границе эллипсоида имеем

а2 ± zc
а

с — z + Г—

—с — Z + Г+

а + с
а — с

и на ней уравнение (1.10) принимает вид

qoca (z . / 1 , а + с . 2тг^оо \ 2 i \	,

— -ч + т;— In-------------1-------г - 1 I = const.

\ а \ 2са а — с qoca / J

На эллипсоиде уравнение будет выполнено, если

а + с

1

2са

In

qoca

b2'

а — с

Отсюда найдем постоянный коэффициент линейного распределения ис-

точников

2

АтГУооЬ

Q0 = ---------5--а + с

2са — b2 In------

а — с

Пример 4. Обтекание параболоида: г2 = 2pz. Функция тока
источников, распределенных на отрезке z е (р/2, А) с плотностью q =
= 2717Woq, имеет вид (см. рис. 1.2 г)

В пределе при А -* оо имеем
Опуская в функции тока несущественную постоянную А и бесконеч-
но малые при А -* оо величины, получаем окончательное выражение
функции тока:

Ф = -^Р^оо (\/(z-p/2)1 2 + r2

Проверкой убеждаемся, что на границе параболоида г2 = 2pz уравне-
ние (1.9) выполняется

1 2
2^00

pVoo

2

Интегрируя потенциал источников, получим потенциал обтекания па-
раболоида

ф = | In

(^(z-W+r*

- Z + р/2).

4. Плоская задача. Для потенциальных течений на плоскости
z = x + iy вводится аналитическая функция W(z) = Ф(х, у) 4-гФ(т,?/),
которую называют комплексным потенциалом. Действительная часть
Ф(т, у) комплексного потенциала называется потенциалом поля скоро-
сти, а мнимая Ф(х,у) — функцией тока. Вектор vx +ivy = dW/dz, где
черта сверху означает знак сопряжения комплексного числа, называют

комплексной
соотношения

скоростью. Для компонент скорости будут выполнены

_ ЭФ _ ЭФ _ ЭФ _ _ЭФ

Vx дх ду ’ Vy ду дх *

Потенциал и функция тока удовлетворяют уравнению Лапласа, по-
этому комплексная скорость определяет потенциальное поле скорости
идеальной несжимаемой жидкости.

Функция тока Ф(т, у) для установившегося течения постоянна на
линии тока и удобна для построения картины течения. Например,
комплексный потенциал обтекания кругового цилиндра х2 4- у2 = 1 со
скоростью в бесконечности = |г>оо |ег<^ и циркуляцией Г' имеет вид

w =

1	I —	I ^оо

1пг + VqqZ 4-----,

z

и на границе единичного круга z = ezt мнимая часть равна нулю
(Ф(т,?/) =0). Скорость на границе круга вычисляется так:

При любой аналитической замене w(z) -* W(j(z)) снова получа-
ется аналитическая функция, определяющая новое течение жидкости.
На этом наблюдении основывается метод конформных отображений.
Решение задачи обтекания произвольного контура на плоскости
можно получить с помощью формул

W (г) = kw(£(z)), z(C) =	+ fco + у + • • •, Im fc = О,

где ряд Лорана z(£) при |£| > 1 не должен иметь особых точек, а при
С = elt ряд задает границу обтекаемого тела, £(z) — функция, обратная
к г(С).

Скорость на границе обтекаемого тела такова:

Г/ (2тг) — 2/с | Vqc | sin (t — р)

\dz/dQ

Например, если k = (a + b)/2, k\ = (a — b)/2, а остальные члены
ряда — нули, то граница обтекаемого тела представляется параметри-
ческим уравнением эллипса

х = a cost, у = 6 sin t,

а скорость на границе эллипса имеет вид

dW _ Г/ (2тг) — 2Дс|Voo | sin (t - р)

~dz ~ \k — k\e~2it\ ’

Здесь с учетом отображения z(£) циркуляция пересчитывается Г = fcP,
а скорость на бесконечности остается неизменной.

Упражнения

1.1.	Показать, что постоянная Q в формулах (1.6) и (1.7) равняется
расходу жидкости через поверхность dV:

f	dv

vnd$ = — ,

J	at

OV

где dV/dt — изменение объема внутри dV.

1.2.	Показать, что параметр Г в разложении (1.7) есть циркуляция скоро-
сти по любому замкнутому контуру, охватывающему границу д£1.

Указание. Применить теорему Стокса в области, ограниченной конту-
ром д£1 и окружностью достаточно большого радиуса.

1.3.	Доказать формулу Грина

(ФДФ - ФДФ) dV =

dv

ЭФ	ЭФ\

ф ZL _ ф ) c/S,
dn	dn /

где Ф и Ф — дважды непрерывно дифференцируемые в области V функции.
5Ф	дФ

Указание. Воспользоваться равенством Ф —--------Ф — = ^gradФ —

dn	dn

— ФgгadФ)n и применить теорему Гаусса-Остроградского.
1.4.	Вывести два следствия из формулы Грина для гармонических в обла-
сти V функций Ф и Ф:

а)

Г	ЭФ	f дФ

ф dS = Ф dS,
]	дп	]дп

dV	dV

6)

дФ	дФ\

ЕГ _ ф dS =
дп	дп /

dV

Г / Яф	Яф\

(ф^Г _ф£?)^

\ дп	дп)

s

где S — поверхность, которая получается непрерывным деформированием
поверхности dV в области, где функции Ф и Ф — гармонические.

1.5.	Пусть dV — граница твердого тела, занимающего область V. Дока-
зать, что для вектора коэффициентов с(с1,С2,сз) в (1.6) справедливы формулы

а)	— 4тгсг =

dV

i = 1,2,3;
дп /

б)	с = —

J-(pVU.+Z),
4тгр

UdV,

Фп(/5.

dV

Решение. Интеграл в а) не меняется при непрерывном деформировании
поверхности dV —► S (упр. 1.46). Поверхность dV можно, непрерывно дефор-
мируя, заменить на сферу Sr радиуса R, охватывающую поверхность тела dV.
По формуле (1.6) и упр. 1.1 в пределе R —► ос получим

откуда

(	Л W f о с • ппг	Го сгП-	А

Xi —----Фпг) dS = —	3----5— dS = —	3 —z1 dS = —4тгс;,

X дп J	} R2	J R2

Sr	Sr	Sr

т. e. формула а) таким образом доказана.

Используя граничное условие дФ/дп = U • п, где U распределение ско-
рости в твердом теле, и применяя теорему Гаусса-Остроградского к области,
занятой твердым телом, получим

dV

Xi —— dS =
дп

div (xi U) dS =

Ui dV = V(U*)i.

Подставляя это равенство в формулу а) и деля обе его части на —4тг, придем
к равенству б).

1.6.	Найти функцию тока осесимметричного течения с потенциалом

Построить линии тока.

Указание. Потенциалу 1 /\/{z — z')2 + г2 соответствует функция тока
Ответ. Ф(2,г) =	— а)2 + г2 — \J(z — b)2 + г2. Линии тока — ги-

перболы.

1.7.	Центр круга радиуса 1 движется по окружности по закону zq = aezt.
Движение круга вызывает плоскопараллельное течение окружающей его жид-
кости. Найти при а 1 перемещение частиц жидкости за период t = 2тг.
(Общий метод решения подобных задач дан в пп. 5 п. 40.2.)

Решение. Находим комплексный потенциал скорости жидкости

Движение частиц жидкости находится из уравнения

dw _ aie zt
dz (z — ae~zt)2'

2(0) = Z = X + iY.

Ищем решение в виде разложения z = Z + az\(t) + a222(f) + ...
Для zi получим уравнение

ie~zt

Zi =—-r,	Z1(O) = O

£

и решение
p гг — 1

Z| (t) =	, Zi (2тг) = 0.

£

Для 22 получаем уравнение

2ге‘^(21 — e~zt)

2'2	— □

Z3

z2(0) = 0

и решение

z2(2tt) =

Смещение частицы за период равно

47riZ

W

△2 = Дх + i&y = 2(2тг) — 2(0) =

4a2iriZ

IZI6

+ О(а3).

Ответ. Дх = -4a27rY/|Z|6, Дт/ = 4а2ттХ/1Z|6.

Рассмотренный пример указывает на неголономностъ системы «твер-
дое тело + жидкость». При возвращении круга через период в исходное
положение частицы жидкости при этом в исходное положение не возвра-
щаются.

§ 2.	Метод обобщенных координат

1.	Уравнения Лагранжа. Положение динамической системы счи-
тается известным, если известны координаты каждой точки этой систе-
мы, или если их можно определить по каким-либо другим известным
величинам. Например, положение материальной точки в пространстве
можно задать через три декартовы координаты, положение точек твер-
дого тела можно выразить через декартовы координаты фиксированной
точки твердого тела и три угла Эйлера, определяющих его ориентацию.
В данных случаях положение системы определяется соответственно
через три и шесть параметров, которые могут принимать различные
значения, не зависящие друг от друга. Процедура введения параметров,
определяющих положение системы, называется параметризацией, па-
раметры называют обобщенными координатами, а их количество —
числом степеней свободы.

После параметризации положение динамической системы опреде-
ляется некоторым числом обобщенных координат Qi,Q2» ••• Если
радиус-вектор г каждой материальной точки системы задан явно с по-
мощью соотношения вида

Г = r{q\...qN, Го)	(2.1)

(го — радиус-вектор этой материальной точки в начальный момент вре-
мени), то говорят, что система является голономной. (Более подробно
все перечисленные здесь понятия и другие, необходимые для вывода
уравнений Лагранжа, описаны в курсах по аналитической механике,
см. например [6, 57, 77, 200].)

Обобщенные координаты как функции времени qi(t) для динами-
ческой голономной системы можно определить из системы уравнений
Лагранжа второго рода:

= i = ^ 'N <2-2)
ttt UQi CfQi

с условиями для qi и qi = dqi/dt в начальный момент времени. Здесь
T(t,qi,qi) — кинетическая энергия механической системы — является
функцией обобщенных координат qi, обобщенных скоростей ф и вре-
мени t.

Обобщенные внешние силы Qi, действующие на систему, можно
определить через работу 6А, совершаемую над системой внешними
силами на виртуальном перемещении системы, которое задается неза-
висимыми вариациями Sqp.

N

У2 Qrf<n = ЬА-

г=1

(2.3)

Отметим два важнейших свойства уравнений Лагранжа.

Свойство 1. Для того чтобы записать уравнения движения
механической системы, движущейся под действием потенциальных
сил, достаточно определить характеристическую функцию T(t,qi,qi)
и дифференциальную форму дА. Причем вид уравнений не зависит от
обобщенных координат qi, которые следует выбирать, исходя из гео-
метрических свойств конкретной механической системы. Неизменность
правила составления уравнений Лагранжа называется ковариантно-
стью уравнений Лагранжа по отношению к любым дважды непре-
рывно дифференцируемым преобразованиям обобщенных координат'.
q(Qi,...<?N) —> q(qii, ---giv).
Свойство 2. Калибровочная инвариантность', в уравнени-
ях (2.2) функция	определена с точностью до полной произ-

водной по времени произвольной функции /(tq(t)). Это означает, что

замена

dt' dtJ[,qt> dt+^qidqi
г=1

не меняет вид уравнений (2.2) (см. упр. 17.1).

2.	Вариационное уравнение Гамильтона. Системе уравнений
(2.2) можно придать следующую вариационную формулировку:

*2	*2

- 6Tdt= SAdt
tl	ti

или с учетом (2.3)

- 6Tdt=\(YtQi5qi}dt,	(2.4)

*1	ti '*=1	'

причем при варьировании кинетической энергии на произвольные ва-
риации 6qi следует наложить условия на концах временного отрезка

= Sqi(t2) =0, i = 1,... ,N.

(2.5)

Система уравнений (2.2) эквивалентна вариационному уравнению
Гамильтона (2.4) с условиями (2.5).

Доказательство. 1) Покажем, что из (2.4) и (2.5) следует
система уравнений (2.2). Действительно, используем обычное тожде-
ственное преобразование, которое применяется в вариационном исчис-
лении:

A
dt dqi)

N

и условия (2.5), тогда вариационное уравнение примет вид

(2.6)

Отсюда, в силу произвольности вариации <5^, следует система уравне-
ний (2.2), что и требовалось доказать.
2)	Обратно, из системы уравнений (2.2), очевидно, следует урав-
нение (2.6) для любых вариаций <5^. Используя тождественное преоб-
разование (*) и условие (2.5), уравнение (2.6) преобразуется к вариа-
ционному уравнению (2.4). Доказательство завершено.

Пусть внешние силы имеют потенциал Qi = — —, тогда дифферен-
циальная форма (2.3) является полным дифференциалом потенциаль-
ной энергии П. В этом случае из (2.4) вытекает

Принцип Гамильтона-Остроградского. Действи-
тельное движение системы между ее двумя заданными положения-
ми отличается от кинематически возможных движений, совершае-
мых за тот же промежуток времени, тем, что для действительно-
го движения вариация действия по Гамилътону равна нулю, т. е.

6 Ldt = О, L = Т — П.

ti

(2.7)

Уравнения Лагранжа (2.2), вариационное уравнение Гамильто-
на (2.4) и принцип Гамильтона-Остроградского (2.7) составляют осно-
ву аналитической механики.

Для того чтобы записать уравнения движения механической си-
стемы, движущейся под действием потенциальных сил, достаточно
определить общий вид двух характеристических функций T(t, qi,qi)
и fl(gi). Причем, как вытекает из свойства 1 ковариантности уравнений
Лагранжа, вид уравнений не зависит от обобщенных координат qi, ко-
торые следует выбирать, исходя из геометрических свойств конкретной
механической системы.

3.	Первые интегралы уравнений движения. Из принципа Гамиль-
тона-Остроградского вытекает система уравнений:

d dL

“=0.

(2.8)

Часто интегралы уравнений Лагранжа (2.8) можно найти, исходя из
свойств функции Лагранжа.

1. Пусть L явно не зависит от времени: = 0. Тогда уравнения
ot

(2.8) имеют интеграл энергии

В механике (и в настоящей книге тоже) встречаются только нату-
ральные системы, в которых функция Лагранжа представляется в виде
суммы L = Z/2 + L\ + Lq, где L2 и L\ — соответственно квадратичная
и линейная по обобщенным скоростям формы, Lq — не зависящее от
обобщенных скоростей слагаемое. Для натуральной системы интеграл
энергии имеет вид

L2-Lq = E.	(2.10)

2. Пусть L явно не зависит от п первых обобщенных координат

Qi,...Qn, п N (циклические координаты =0, i = 1,...п). Тогда
сохраняются импульсы, соответствующие циклическим координатам

^4 = pi = const, i = 1,... п.	(2.11)

В этом случае количество обобщенных координат можно уменьшить
на п единиц.

Система уравнений сведется к системе уравнений Лагранжа с новой
функцией Лагранжа, равной

п

qn+ !»•••» QN» Qn+ !»•••» QN > P\ > • • • > Pn ) QiPi Et	(2.12)

г=1

где qi выражены через импульсы pi с помощью уравнений (2.11).

Функция (2.12) называется функцией Рауса, а способ понижения
числа обобщенных координат называется методом игнорирования цик-
лической координаты Рауса (см. В.Ф. Журавлев [77]). Для частного
вида функции Лагранжа

N

L = V ai(q)g? + Mq)&) + L0(q)	(2.13)

г=1

с циклическими координатами qi ,..., qn функция Рауса имеет вид

Qn-j-i»• • •»qN’ Qn+1 > • • •»qN»P\»• • •»Pn)

N Z1	4 n 7	_,x2

= - У (Ia^ + Mi)+E ~Lo. г=1,...,п. (2.14)
г=п+1	г=1

4.	Теорема Нётер. Более общий способ построения первых ин-
тегралов уравнений Лагранжа дает теорема Нётер. Теорему Нётер
в сокращенном варианте можно сформулировать так (Журавлев [77,
с. 281-283]):

Теорема Нётер. Если существует однопараметрическое се-
мейство преобразований q —► q с параметром $, для которого

q - q = sqs(t, q) + O(s2), L(t, q, q) dt = 0,
Cz О

то уравнения Лагранжа (2.8) имеют первый интеграл
q»(tq) ё = const.
Доказательство. Действительно,

dL _ dL

ds s=0 dq

d£ = d^dL
dq dt dq

. dL _ ± ( dL\
+ <ls dq “ dt \4s dq)

= 0,

что и требовалось доказать.

Для дальнейшего удобно ввести вариацию <5q = ^2 . gSj. (q)sj —
главную линейную часть по параметрам семейства в теореме Нётер.
С помощью этого понятия можно сформулировать следующее обобще-
ние теоремы Нётер для уравнений Лагранжа с учетом обобщенных сил
произвольного вида.

Обобщенная теорема Нётер (предложена А. Г. Куликов-
ским). Пусть для п-параметрического семейства преобразований
q —> q вариация функции Лагранжа равна нулю

с г с dL с" • dL

= 0.

Тогда для уравнений Лагранжа

_dL
dt dq dq

(2.15)

где q и Q — N-мерные векторы обобщенных координат и сил,
справедливо равенство

-£(^<5q) = Q<5q.
dt \dq J

(2.16)

Доказательство. Раскрываем вариацию функции Лагранжа
и, учитывая в уравнениях Лагранжа (2.15) обобщенные силы, по-
лучаем

л с г г dL , г. dL г / d dL	с. dL d /с dL\

o = iL = iq_ + iq_ = Jq(5_-Q)+Sq_ = -(jq_)-Qq.

что и требовалось доказать.

Пусть si,S2,...sn — параметры семейства в обобщенной теореме
Нётер. Тогда, выражая в вариационном равенстве вариации через па-
раметры семейства, получаем

= 0.

Отсюда, в силу произвольности параметров Sj, j = 1,..., п, вытекают п

уравнений:

d ( dL\ ~ п .	.

dt	- Qq^= °’ 1 =

5.	Условия равновесия и устойчивости равновесия. В случае
статического равновесия системы обобщенные скорости равны нулю
и уравнения Лагранжа (2.2) или (2.8) превращаются в систему ал-
гебраических уравнений. Их можно записать соответственно в виде
вариационного уравнения статического равновесия:

N

-ST = ^^Qi 8qi = SA
г=1

или в виде условия экстремума функции L(qi,0).

Для натуральных систем интеграл энергии (2.10) всегда имеет вид
Т2 + П = Е, где Тг = Z/2 — положительно определенная квадратичная
по обобщенным скоростям форма, П = — Lq потенциальная энергия —
функция обобщенных координат, имеющая экстремум в точке равно-
весия.

Пользуясь законом сохранения энергии, можно доказать теорему об
устойчивости равновесия

Теорема Лагранжа. Если интеграл энергии имеет вид
Т2 + П = Е, где Т2 — положительно определенная квадратичная по
обобщенным скоростям форма, то в точке локального минимума
функции П(#г) система будет иметь устойчивое положение равно-
весия.

Признак неустойчивости. Пусть функция Лагранжа
имеет вид L = 71(q, q) — n(q) (консервативная система), где Т —
положительно определенная квадратичная по обобщенным скоро-
стям форма, а потенциальная энергия n(q) в точке экстремума
не имеет минимума (что следует из квадратичного разложения ее
в этой точке), тогда в этой точке равновесие будет неустойчивым.

Перечисленные, известные из аналитической механики результаты
существенно облегчают анализ динамической системы. Эти методы
эффективны и для решения задач гидродинамики.

6. Историческая справка. Впервые вариационное уравнение Га-
мильтона (2.3) к жидкости было применено Томсоном и Тэтом (1867)
для решения задачи движения твердого тела в жидкости. В качестве
обобщенных координат были выбраны шесть координат, определяющих
положение твердого тела, что позволило написать общие уравнения
движения, аналогичные уравнениям движения твердого тела в пустоте.

Кирхгоф (1869) обратил внимание на то, что при Sqi(t\) = Sqi(t2) =
= 0 лагранжево перемещение частицы жидкости в момент времени t2
нельзя считать равным нулю, т. е. жидкость не голономна. (Пример,
показывающий неголономность системы «твердое тело + жидкость»,
приведен в упр. 1.7.) Поэтому распространять принцип Гамильтона на
эту систему без доказательства нельзя. Кирхгоф дал убедительное
обоснование вариационного уравнения Гамильтона для жидкости, ис-
ходя непосредственно из уравнений движения жидкости (см. Кирх-
гоф [87]). Им были также записаны уравнения движения твердого тела
через тензор присоединенных масс в системе координат, скрепленной
с твердым телом. О дальнейших развитиях этой теории более подробно
изложено в гл. 6.
Глава 2

ВЫВОД ВАРИАЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ
ГАМИЛЬТОНА

§ 3.	Лагранжева и эйлерова вариации. Лагранжево
перемещение и его асимптотические свойства

Пусть Q(t,r) есть какая-либо характеристика элемента жидкости
(например, потенциал Ф, скорость v, давление р и др.), положение
которого в момент времени t определяется вектором г. Обозначим
эту функцию для некоторого исходного течения через Qo(^r)- Пред-
положим теперь, что исходное течение слегка возмущено, и будем
называть возникшее течение возмущенным по отношению к исходному
(невозмущенному) течению. Для описания возмущенного течения бу-
дем указывать в каждый момент времени перемещение 8r(t,r), которое
получает элемент жидкости в возмущенном течении относительно его
положения г в момент времени t в невозмущенном течении. Определен-
ный таким образом вектор <5г(<5т1,8x2,6x3) называется лагранжевым
перемещением, вызванным возмущением. Будем предполагать, что <5г
мало и что величинами второго и более высокого порядков малости по
сравнению с <5г можно пренебречь. Другими словами, будем учитывать
лишь возмущения, вызванные лагранжевыми бесконечно малыми пе-
ремещениями.

Рассмотрим теперь значения характеристики Q возмущенного тече-
ния для элемента жидкости, находящегося в момент времени t в точке
г + 8т(t, г). В невозмущенном течении этот элемент жидкости в тот же
момент времени t находится в точке г(д?1, д?2, £3).

Назовем разность

8Q = Q(t, г + <5r(t г)) - Q0(t, г)	(3.1)

лагранжевой вариацией характеристики Q.

Лагранжева вариация 8Q — изменение характеристики Q для одной
и той же частицы жидкости, находящейся в возмущенном и невозму-
щенном течениях. Оно отличается от изменения, которое фиксировал
бы наблюдатель, сравнивающий значения характеристики Q в возму-
щенном и невозмущенном течениях в одной и той же точке и в один
и тот же момент времени. Это последнее изменение

dQ = Q(t, г) - Q0(t г)	(3.2)
называется эйлеровой вариацией характеристики Q 9. Из определений
(3.1) и (3.2) видно, что

6Q = dQ + 6xj^-.	(3.3)

OX i

Здесь и далее принято соглашение о суммировании по одинаковым
индексам.

В силу того, что соотношение (3.3) справедливо для любой харак-
теристики, операции 6 и д связаны соотношением

8 = д + 6х,-^—.	(3.4)

J 0X1

Лагранжева вариация (Sv скорости v по определению представляет
собой скорость элемента жидкости в возмущенном течении, нахо-
дящегося в момент времени t
в точке г + (5г, относительно ско-
рости того же самого элемента
(в невозмущенном течении), кото-
рый в момент времени t находится
в точке г. Из этого определения
следует (рис. 2.1)

f d8r
dv = —
dt

(3.5)

Отметим два свойства вариаций. Из определения эйлеровой вариа-
ции вытекает

Свойство 1. Операции д и частного дифференцирования ком-
мутативны:	лп	л

=	d^-	= ^-dQ.	(3.6)

dt dt	дхг	dxt

Докажем

Свойство 2. Лагранжева вариация dr, подчиненная началь-
ному условию Sr = 0, удовлетворяет уравнению

div (5г = 0.

Действительно, применяя операцию div к векторам
и используя уравнение divv = 0, получим
div (Sv = divdv + div (Sxi =

\ dxi)

(3.7)

(Sv и (Sr
dt

q j* I г d j.	dSxi dvk

= ddivv + Sxi divv + ъ

C/Xi	OXfc OXi

!) Определения лагранжевой и эйлеровой вариаций взяты из книги С. Чанд-
расекхара [210].

_ dSxi dvk.
dxk dxi ’
d8xi dvk
dxk dxi
В силу (3.5) полученные выражения равны между собой, откуда сле-

дует, что

Из начального условия <5г = 0 вытекает, что div 6г = 0 на всем отрезке
времени в каждой точке объема жидкости, что и требовалось показать.

Рассмотрим течение жидкости в области П, ограниченной изнутри
поверхностью dV. Действительное и возмущенное движения поверхно-
сти dV вызывают течения жидкости с полями скорости v и v + 5v.
Лагранжево перемещение 6г в области П вне тела V находится из урав-
нения (3.5). Для определения асимптотического поведения лагранжева
перемещения <5г на бесконечности |г| -* оо может служить следующая
теорема.

Теорема. Для любого ограниченного вместе со всеми частны-
ми производными вектора скорости v порядок убывания на беско-
нечности вектора Sr на конечном отрезке времени не превосходит
порядок убывания эйлеровой вариации dv.

Доказательство. Пусть порядок убывания dv на бесконеч-
ности определяется из неравенства

rndv

(3.8)

Введем вектор т] = гп6г. Принимая во внимание уравнение (3.5), по-

лучим

$ = rnSv + <5r(vV)rn;
at

rnSv

rndv + (<5rV)v rn

c + ci7/;

<5r(vV)rn

C27/.

di\
dt

^c + c3T], r? = |nl-

(3.9)

Дифференцируя тождество rf = i] • л, получим

или



dv\
dt

di\
dt

(3.10)

Формула (3.10) справедлива для любого вектора. Из формул (3.9) и
(3.10) следует дифференциальное неравенство


Интегрируя последнее неравенство в пределах от t\ до t с учетом
начального условия т] = 0 при t = t\, получаем

что и требовалось доказать.

Упражнения

3.1.	Доказать, что операции 6 и — коммутативны.

at

3.2.	Проследить аналогию между соотношениями для производных дей-
ствительного течения и его вариациями, поставив в соответствие

. г д ЛЛ
v <=> 6г, — ^д.

£
dt

6 = д + <$rv.

Отсюда из известных в гидродинамике тождественных соотношений для про-
изводных по времени можно получить аналогичные соотношения для вариаций;
например, двум формулам для производных по жидкому объему Q (Л. И. Се-
дов [184, с. 120-122])

А

dt

dV,

n	n

d_ '
dt

n

*

pQ(y • n) dS

dQ

(3.11)

соответствуют формулы для вариации

Q

pQdV = ptiQdV,

n

(3.12)

6 pQdV =
n

pdQdV + pQ(6r • n) dS.
n	an

Дать строгий вывод формул (3.11) и (3.12).

Замечание к упражнению 3.2. Вышеуказанная аналогия дает
рецепт для получения некоторых важных соотношений для вариаций. Одна-
ко она не всегда приводит к правильному результату. Например, уравнению
divv = 0 соответствует верное уравнение div^r = 0, но условию потенциаль-
ности rot v = 0 соответствует, вообще говоря, ошибочное условие: rot^r — 0.
Поэтому, во избежание ошибок, необходимо всякий раз проводить доказатель-
ство полученных соотношений.
§ 4.	Кинематика поверхности. Обобщенные
координаты и скорости; обобщенные силы

Пусть форма граничной поверхности 9Q задается уравнением
F(r,Qi,...,qN) = 0, где параметры qi(t) определяют движение границы.

Функция F в области Q, занятой жидкостью, не меняет знака.
Без ограничения общности можно считать, что F в области Q отрица-
тельна. Тогда, очевидно, вектор единичной нормали к поверхности 9Q,
внешней к области Q, будет выражаться формулой

VF

n“ IW

(4.1)

В момент t + dt точки поверхности дП сместятся в точку г + dr.
Уравнение точек этой поверхности имеет вид

F(r + dr, qi + dq\,..., qN + dqN) = 0,

откуда при помощи (4.1) получаем соотношение между вектором пере-
мещения точек поверхности dr и изменениями параметров поверхности:

N	N

6п = dr • п = Wj d^, vn = v • n = wz q^ (4.2)
г=1	г=1

где

1 dF

|VF| dqt ’

(4.3)

Параметры q\,q2,... ,qN будем называть обобщенными координатами
поверхности 5Q, соответственно

 _	dqi		_ dqi •	_ dqN	._ dq

q'	dt’	42 dt’	’ ’ ‘ ’ q” dt	4 dt

будем называть обобщенными скоростями.

Формула (4.2) позволяет определить скорость vn перемещения то-
чек поверхности по нормали к поверхности дП, а также перемещение
Sn точек поверхности по нормали к поверхности дП при возмущении
поверхности на <5q(<5gi,..., SqN).

Обобщенные координаты и обобщенные скорости задают положение
поверхности и скорость перемещения поверхности по нормали. Если
на отрезке времени (^Дг) известны функции qi(t), i =	то в

каждый момент времени можно определить положение поверхности дП
и функцию vn на этой поверхности.

Решая внешнюю задачу Неймана (1.3)-(1.5) для каждого момента
времени t, найдем потенциал поля скоростей жидкости Ф в области
Q, а по формуле (1.2) вычислим давление р. В результате Фир
определяются как функции вектора координат г и вектор-параметров
q, q, q: $(r,q,q), p(r,q,q,q).
Работа внешних поверхностных сил <5А, действующих на жидкий
объем Q, на перемещении 6п определяется интегралом

6 А = — р findS
да

(4.4)

или, с помощью подстановки (4.2), линейной формой от вариаций <5^:

6 А =	Qifiqi', Qi = —

i= 1

р(г, q, q, q)w, dS.

(4.5)

dii

Величины Qi называются внешними обобщенными силами.

Поскольку коэффициенты Wi зависят только от точек на поверх-
ности дС1 и обобщенных координат то после интегрирования (4.5)
получаем обобщенные силы как функции Qi(q»q»q)- Если вариации
dq определяют перемещение поверхности dft как границы твердого
тела, то обобщенные силы дают компоненты реакций, действующих на
твердое тело.

Непосредственное вычисление реакций через интеграл Коши-
Лагранжа по формулам (4.5) требует большого количества выкладок.
Гораздо проще при вычислении Qi пользоваться уравнениями Лагран-
жа (2.2), которые к гидродинамическим задачам впервые применили
Томсон и Тэт. Вывод этих уравнений будет изложен в следующем
параграфе.

Упражнения

4.1.	Пусть течение жидкости вызывается движением поверхности dft.
Доказать, что лагранжево перемещение, вызванное бесконечно малым возму-
щением поверхности, убывает на бесконечности:

а)	для общего пространственного случая: |£г| = О(г“2);

б)	для пространственного течения, вызываемого движением твердого тела:
dr| = O(r"J;

в)	для плоскопараллельного течения, вызываемого движением твердого
тела: |£г| = О(г“2).

Указание. Воспользоваться теоремой из § 3 и разложениями (1.6)
и (1.7).

4.2.	Пусть течение жидкости вызывается движением поверхности dQ, а
поле скоростей удовлетворяет условию Липшица по всей совокупности своих
аргументов в области (г, q, q) 6 D

|(Sv| = |v(r + <fr, q + (Sq, q + (Sq) - v(r, q, q) | X(fir + fiq + fiq).

Доказать, что на любом отрезке времени t\ t t2 в области (г, q, q) 6 D
лагранжево перемещение удовлетворяет неравенству fir стах(fiq + fiq), где
fir = |<Sr|, fiq = |<Sq|, fiq = |<5q| — модули соответствующих векторов.

Решение. Воспользуемся уравнением

37 fir = v(r + <$г, q + (Sq, q + <5q) - v(r, q, q)

2 А. Г. Петров
и вытекающим из него по условию Липшица неравенством

— 6г
dt

A(6r + 6q + 6q).

С помощью (3.10) имеем: d6r/dt А(6г 4- 6q + 6q), что эквивалентно

-^(e”At<Sr) max (6q + 6q), <Sr|tj =0.

Интегрируя это неравенство на отрезке t\ t t?, получаем искомое ра-
венство.

§ 5. Вариационное уравнение

Если массовые силы имеют потенциал F = V17, то уравнение Эй-
лера (1.1) можно записать в виде

P% = -V(p-pU-f(t)).	(5.1)

Функция f(t) добавляется для того, чтобы выражение, стоящее под
знаком градиента, в соответствии с интегралом Коши-Лагранжа (1.2)
исчезало на бесконечности.

Рассмотрим лагранжеву вариацию удельной кинетической энергии.
При помощи уравнения (3.5) получим

= vJv = v^ = -£(vJr)-Jr^.	(5.2)

Последнее слагаемое при помощи уравнений (5.1) и (3.7) преобразуется
следующим образом:

~PSr^r = div((p-/?(/-/(<)) Jr).	(5.3)

Подставляя (5.3) в (5.2), получаем

(vJr)+ div((p- pU - /(t))Jr).	(5.4)

Проинтегрируем уравнение (5.4) по области П, занятой жидкостью и по
времени:

t2
%

tl

dV =

ti

*

%

t\

dt div ((p — pU — f(t)) <5r) dV,

где в скобках сверху указаны порядки убывания подынтегральных
функций, найденные с помощью теоремы из §3.
Знаки лагранжевой вариации 6 и полной производной d/dt в соот-
ветствии с (3.11) и (3.12) можно вынести за знак интеграла. К послед-
нему интегралу применим теорему Гаусса-Остроградского

(г’3)

div((p -pU- f(t)) (Sr) dV = (p-pU- /) (Sr ndS.

Q	dQ

В результате получаем вариационное уравнение

dt6 ?v2dV = p(y8r)dV + dt (p-pU - f)6rndS, (5.5)

tl

tl

ti dQ

справедливое для любого жидкого объема П.

Если область П содержит бесконечно удаленную точку, то уравне-
ние (5.5) остается справедливым. В этом случае все интегралы схо-
дящиеся. Действительно, скорость убывает на бесконечности как г-2
(см. теорему из § 3).

Назовем вектор-функцию q(t) = (gi(t),... .^(t)), определяющую
в каждый момент времени положение границы 9Q, траекторией поверх-
ности 5Q. Рассмотрим траектории q(£) невозмущенного и возмущенно-
го движений q(£) + (5q(£) на отрезке времени t\ t t2- Их начальные
положения находятся в одной и той же точке А, а конечные — в точ-
ке В.

Это означает, что на вариации <5q наложены условия (2.5)

<5q(fi) = <5q(f2) = 0.	(5.6)

Тогда из уравнения (4.2) следует:

(5n(^i) = (5п(^) = 0,

(5.7)

т. е. возмущенная поверхность 3Q совпадает с невозмущенной в на-
чальный t\ и конечный моменты времени.

Так как частицы жидкости не покидают границу 9Q, то имеем
следующее граничное условие:

(5г • п = 6п.

(5.8)

Преобразуем теперь интегралы, входящие в (5.5). Вследствие усло-
вия несжимаемости для (5г (3.7) имеем тождество

v • (Sr = div($(5r).

Из теоремы из §3 следует, что на бесконечности V(5r убывает как
г"4, а Ф (5г — как г-3. Поэтому это тождество можно интегрировать по
области П, и соответствующие интегралы будут сходиться.
Отсюда при помощи (5.7) и (5.8) получим

vSr dV

ti

$6ndS

do.

= 0.
tl

(5.9)

Рассмотрим функционал

(PU + f(t)) dV.

(5.Ю)

Используя соотношение (3.12), имеем

<5П= (pU + f)6ndS = - (pU + f)6ndS. (5.11)
dV	dQ

Подставляя (5.9) и (5.11) в (5.5), получаем окончательное вариацион-

ное уравнение

dt6(T — П) = dt p6ndS

V	V	%

ti	ti dQ

(5.12)

и вытекающие из него уравнения Лагранжа (см. § 2)

= i	(5.13)

dt (JQi u(^i

где обобщенные силы Qi определяются по формулам (4.5), а Т —
кинетическая энергия жидкости, равна

£ v2 dV.
&

(5.14)

Уравнения Лагранжа (5.13) позволяют найти решения двух основ-
ных задач механики.

В первой задаче при заданных силах Qi и начальных условиях
q(0), q(0) требуется найти вектор-функцию q(£), определяющую закон
движения тела V. Ее решение сводится к интегрированию системы
обыкновенных дифференциальных уравнений (5.13).

Вторая задача состоит в том, чтобы по заданному движению тела
q(£) найти реакции, действующие на него в каждый момент времени.
Покажем, как она решается.

Введем в инерциальной системе координат, которую назовем аб-
солютной (АСК), обобщенные координаты твердого тела: координаты
точки О твердого тела fo(xq,Xq,Xq) и определяющие его ориентацию
параметры ф^1, </?2, <£3). Параметры ф введем так, чтобы при ф = 0
выполнялась следующая формула для виртуального перемещения точек
твердого тела в АСК:

(5г = 6г о + <5ф х г.	(5.15)

(Такая параметризация будет реализована в § 7.)
С помощью (5.15) находим вариацию поверхности (смещение ее
точек по нормали (5.8))

Sn = 6го • п + (5<р • (г х п)

и, подставляя это выражение в (4.4), получим выражение для работы
внешних поверхностных сил на перемещении Sn:

SA = — Sro • F — <5ф • M,

(5.16)

Здесь F — сила и М — момент, действующие со стороны жидкости
на твердое тело. На жидкость будут действовать реакции с противопо-
ложным знаком.

Уравнения (5.13) дают общие формулы для реакций:

F =

М =

Э(Т-П)\
dt дго Ого /

д(Т - П)
дф

Ф=о

(5.17)

Ф=о

(-1 дТ +
\ dt дф

Полученные формулы доказывают, что реакции F, М складываются из
реакций Fo, Мо, обусловленных движением тела в жидкости в отсут-
ствие массовых сил, и гидростатических реакций Fs, Ms, действую-
щих на неподвижное тело в жидкости при наличии массовых сил.

Таким образом, если при параметризации выполнено равенство
(5.15), то обобщенные силы являются реакциями, действующими со
стороны жидкости на тело, и их можно вычислять из уравнений
Лагранжа (5.17).

Параметризация и расчет чисто гидродинамических реакций Fo,
Мо будет изложен в § 7.

Найдем выражения для гидростатических реакций Fs и Ms, обу-
словленных только массовыми силами:

Запишем работу этих сил на перемещении Sn = Sr о • п + <5ф • (г хп):

—Fs Sro — Ms <5ф = <5П.

(5.18)

Из тождественности вариаций (5.18) и (5.11), имеем

Fs = - (pU + f(t))ndS, Ms = - (pU + f(t)) rxndS.
u	*

dV	dV

(5.19)
С помощью теоремы Гаусса-Остроградского перейдем к интегралу
по объему тела V:

Fs = - pVUdV, Ms = - prxVUdV. (5.20)
«I	«I

Для движения тела в тяжелой жидкости, подставляя в (5.20) по-
стоянный вектор массовой силы VC7 = g, получаем

Fs = -pgV, Ms = r*xFs,	(5.21)

где

— вектор, определяющий геометрический центр тела V. Форму-
лы (5.21) выражают закон Архимеда: на тело, погруженное в жид-
кость, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной
им жидкости, направленная вертикально вверх и проходящая через
геометрический центр тела.

Упражнения

5.1. Доказать, что при движении поверхности дП в жидкости, покоящейся
на бесконечности, создается течение, потенциал которого Ф и поле скоростей v
являются линейными по обобщенным скоростям функциями:

N	N

Ф =	v = ^2д,7Ф,(г,д).

г=1	г=1

(5.22)

Доказать, что кинетическая энергия жидкости квадратична по обобщенным

скоростям:

Воспользоваться линейностью по qi краевой задачи для

(5.23)

(5.24)

Указание,
потенциала Ф.

Решение. Потенциал Ф определяется из решения линейной краевой
задачи (1.3)—(1.5), где нормальная скорость тела vn — линейная по обоб-
щенным скоростям функция, определяемая формулой (4.2). Если функция Ф;
удовлетворяет уравнению и граничным условиям задачи Неймана

△Ф<=0, г € Q;	redfi; (Ф,)оо=0<	(5.25)

on

то потенциал (5.22) будет удовлетворять решению краевой задачи (1.3)—(1.5).
Подставим выражение для потенциала Ф (5.22) в (5.14), тогда получим
(5.23), где
Если воспользоваться тождествами

= сИу(Фг^Ф7) = сИ¥(Ф7^Фг)

и теоремой Гаусса-Остроградского, то получим (5.24). Решение аналогичных
задач для сферы приведено в § 6, а для твердого тела в § 7.

§ 6. Кинетическая и потенциальная энергии

Для вычисления кинетической энергии жидкости удобно преоб-
разовать интеграл (5.14) к поверхностному. Для этого можно вос-
пользоваться тождеством v2 = div^v) и применить теорему Гаусса-
Остроградского:

T-\P2^dS~	<61)

0Q

Рассмотрим сферу переменного радиуса а, движущуюся в жидкости
по оси х. Уравнение поверхности сферы 9Q имеет вид

а2 — (х — xq)2 — у2 — z2 = 0.

Решение краевой задачи (1.3)—(1.5) для определения потенциала Ф
можно искать в виде двух членов разложения (1.6):

Ф = -

г = \ (х - я0)2 + у2 + z2 .	(6.2)

Функция (6.2) удовлетворяет уравнению Лапласа (1.3) и условию
на бесконечности (1.5). Осталось удовлетворить граничному усло-
вию (1.4), которое для шара имеет вид

дФ _ дФ
дп дг

— Л Ч- XqTIx ,
г—а

(6.3)

где пх — проекция на ось х нормали п, внешней к шару.

Из (6.2) и (6.3) находим, что М = 4тга2а, с\ = —а3 Тогда

2.	з. /	\

» _ a a a xq{x — xq)

г	2г3

(6.4)

Подставив (6.3) и (6.4) в интеграл (6.1), получим

2 “Н 2 пяоМд;^ (fl ~Н xqtlx} dS.
dQ

Для интегралов по сфере радиуса а очевидны следующие формулы:

dS = 4тга2,
%
dV

пх dS = 0,
%
дУ

in 4	9

nz. dS = - тга .
J х 3

дУ

Отсюда получим

Т = 2ттра3а2 + ра3Хц.
о
Если центр сферы имеет координаты xq, уо, zq, то кинетическая

энергия

Т = 2ттра3а2 +	°3($о + Уъ + ^о) •

(6.5)

Следует отметить, что кинетическая энергия не зависит от коорди-
нат xq, уо, zo, т. е. от положения сферы в пространстве. Это свойство
вытекает из однородности пространства, занятого жидкостью, и явля-
ется общим для любой поверхности дГГ

Перейдем теперь к определению потенциальной энергии П для
сферы. Функцию /(t), входящую в выражение (5.10) для П, можно
определить из интеграла Коши-Лагранжа (1.2), записанного в беско-
нечно удаленной точке, в которой v = 0:

(р-ри- /(t))TO=o.	(6.6)

Рассмотрим случай тяжелой жидкости U = —gz, где координата z
направлена вертикально вверх. Записав условие (6.6) на свободной
поверхности z = h, на которой давление равно атмосферному (р = ра),
получим f(t) = ра + pgh и из (5.10) найдем

П = (pg(h-Zo) +Pa)V,

zdV.

(6.7)

В отсутствие массовых сил из условия (6.6) получим f(t) = Рю, а из
(5.10)

П = РооИ	(6.8)

Выражение (6.8) дает вклад в уравнения Лагранжа только в том
случае, если объем тела меняется.

Упражнения

6.1.	Найти обобщенные силы для сферы переменного радиуса, движу-
щейся в идеальной жидкости при отсутствии массовых сил. Выяснить их
физический смысл.

Указание. Воспользоваться уравнением (5.13) и выражением кинети-

ческой энергии (6.5).

Ответ.

Qa —

pdS =

9Q

а / . ч • \	2

— (4яра а) — тга

(p(±l + yl + z%) - 4роо),

Qa/S — среднее давление на сфере.

Компонента силы F», действующая на сферу со стороны жидкости, равна

'	X з \

Fi= pnidS=-^(=^-xOi), г=1,2,3.

J	at \ о 1

дП

6.2.	Найти силу, действующую на сферу переменного радиуса, движу-
щуюся в тяжелой идеальной жидкости.

Указание. Воспользоваться уравнением (5.17) и выражением кинети-
ческой энергии (6.5).
, d (2тгра3 . \ 4тгра3
i = ~dt

6.3.	Найти силу, действующую на неподвижную сферу радиуса а, со
стороны потока идеальной жидкости, имеющей на бесконечном удалении от
сферы ускорение w.

Указание. Перейти в неинерциальную систему координат, движущуюся
с ускорением w. Воспользоваться формулой для силы из упр. 6.2. Подставить
в нее значения — х = w и g = —w.

Ответ. F = | pVw = 27rpa3w (Н. Е. Жуковский (1895) [76]).

6.4.	Найти кинетическую энергию жидкости при движении в ней кругово-
го цилиндра постоянного радиуса а.

2 Г v и •

6.5.	Найти кинетическую энергию жидкости при движении в ней эллип-
тического цилиндра с полуосями а и b со скоростью xq параллельно полуоси
длиной а.

Ответ. Т = pb2xl.

6.6.	Определить силу, действующую на единицу длины твердого кругового
цилиндра радиуса а при отсутствии массовых сил.

pndS = —7гра2Го.

9Q
Глава 3

ДИНАМИКА ТВЕРДЫХ И ДЕФОРМИРУЮЩИХСЯ
ТЕЛ В ЖИДКОСТИ, ПОКОЯЩЕЙСЯ

НА БЕСКОНЕЧНОСТИ

§ 7. Движение твердого тела в жидкости.
Гидродинамические реакции, действующие на твердое
тело в отсутствие массовых сил

Совокупность материальных точек, состоящая из более чем од-
ной материальной точки, называется твердым телом (или абсолютно
твердым телом), если расстояние между любыми двумя точками этой
совокупности неизменно. Вращением твердого тела называется такое
его движение, при котором по крайней мере одна его точка неподвижна
в выбранной системе отсчета.

Произвольное движение твердого тела в пространстве складывается
из движения какой-нибудь одной точки этого тела и вращения тела
вокруг этой точки. Твердое тело — один из основных объектов, ис-
следуемых в теоретической механике. Теория движения твердого тела
под действием внешних сил изложена, например, в учебнике В. Ф. Жу-
равлева [77]. Целью данного параграфа является развитие этой теории
для описания движения твердого тела в жидкости.

1. О способах рассмотрения проблемы движения твердого тела
в жидкости. Существуют два способа рассмотрения проблемы дви-
жения твердого тела в жидкости (см. Л. И. Седов [183, т. 2, § 16]).

1)	. Применение к твердому телу двух законов динамики: из-
менения количества движения и момента количества движения.
Это кратчайший способ вывода уравнений Эйлера для классической
задачи движения твердого тела под действием заданных внешних сил,
и только он чаще всего излагается в учебниках по теоретической ме-
ханике. Для описания движения твердого тела в безграничном потоке
жидкости такой способ связан с трудностью введения количества дви-
жения и момента количества движения жидкости, так как они пред-
ставляются расходящимися интегралами. Строгое и весьма искусное
математическое обоснование такого подхода, предложено, например,
в учебниках Л. И. Седова [183, §16] и Н.Е. Кочина и др. [100, ч. I,
гл. VII, §7]. Там же дан вывод формул для реакций, действующих на
твердое тело, движущееся в безграничном объеме жидкости.
2)	. Применение к системе «твердое тело + жидкость» уравнений
Лагранжа. Исторически именно так впервые была построена теория
движения твердого тела в жидкости (Thomson и Tait (1867), Kirchhoff
(1869); подробные ссылки приведены в монографии Г. Ламб [103,
гл. VI]). При таком способе рассмотрения проблемы требуется аккурат-
ное введение параметризации.

2.	Параметризация движения твердого тела. 1. Сначала по-
строим параметризацию для вращения твердого тела около начала ко-
ординат. Введем абсолютную инерциальную систему координат (АСК)
и систему координат, скрепленную с твердым телом (ССК). Пусть R —
независящий от времени радиус-вектор материальной точки твердого
тела в ССК. Тогда радиус-вектор R' этой точки в АСК связан с R так:

где С — ортогональная матрица.

Как известно, ортогональные матрицы образуют трехпарамет-
рическое семейство. Обозначим параметры семейства через вектор
ф(<£1,	<£з)- Различные способы введения этих параметров описаны

в учебнике В. Ф. Журавлева [77, §6]: углы Эйлера, углы Крылова-
Булгакова и др. Для применения уравнений Лагранжа (5.17)
необходимо, чтобы было выполнено соотношение (5.15). Оно будет
выполнено, если ввести мало распространенную параметризацию
Эйлера-Ленга-Боца:

= еА = Е + А + ±А2 + ±А3 + ....

~<£3
0

(7.2)

где А(ф) — линейный оператор, ставящий в соответствие вектору ф
антисимметричную матрицу А(ф).

Можно показать:

а)	Экспоненциальный ряд (7.2) абсолютно сходится при всех мат-
рицах А. (Доказывается методом мажорант.)

б)	Транспонированная матрица СТ равна обратной матрице: С~{ =
= е~л, т. е. матрица С — ортогональная 9.

!) Эти и другие свойства экспоненциального ряда подробно рассмотрены

в учебнике В. И. Арнольда «Обыкновенные дифференциальные уравнения». —
М.: Наука, 1971. § 14.
в)	Подставляя SC = SA при ф = 0 в (7.1), получим соотношение
для вариации <5R = <5<pxR, эквивалентное в случае вращения твердого
тела (5.15).

г)	Матрица, определяемая рядом

С(ф) = Е + А + к2А2 + к3А3 + ...,

где А — антисимметричная матрица, ортогональна тогда и только то-
гда, когда kj = 1 /j!, j = 2,3,..., т. е. когда ряд экспоненциальный. Дру-
гими словами аналитическая ортогональная матрица, удовлетворяющая
соотношению в), определена единственным образом (см. упр. 7.5).

Таким образом, параметризация вращения твердого тела, удовле-
творяющая соотношению (5.15), представляется единственным образом
абсолютно сходящимся рядом (7.2).

Для матриц А(ф) и A(s) справедливо тождество

A(s)A(q>) - A(q>)A(s) = A(sxq>).	(7.3)

2.	Параметризацию общего движения твердого тела определим так:

r'= X + R', R' =C(q>)R,	(7.4)

где г' и X = го — радиус-векторы произвольной М и фиксированной О
точек твердого тела в АСК, векторы R', R и матрица С(ф) определены
в (7.1) и (7.2).

Тогда виртуальное перемещение твердого тела при ф = 0 будет
определяться по (5.15), а действующие на тело сила и момент силы
по уравнениям Лагранжа (5.17). Остается определить лагранжиан как
функцию координат X, ф и скоростей Х,ф твердого тела. Переходим
к решению этой задачи.

3.	Кинематические соотношения. При поворотах твердого тела
матрицы С(ф) и С(—ф) определяют законы преобразования любого
вектора а при переходе из ССК в АСК и обратно из АСК в ССК по
формулам а' = С(ф)а и а = С(—ф)а', где штрихом условимся обозна-
чать вектор-столбец в осях АСК, а без штриха — в осях ССК. Для
малых относительно осей АСК поворотов твердого тела (|<р|	1) эти

преобразования таковы:

а' = а + фха + О(|ф|2), а = а' - фха' + О(|ф|2).

В частности, вектор-столбец U' = го скорости точки О твердого тела
в АСК связан с вектором-столбцом U этой же скорости в ССК по
таким же формулам:

х = и' = С(ф)и = и + фхи + О(|ф|2),
и = с(-ф)и' = и' - фхй' + о(|ф|2).

(7.5)

Такая же формула: со' = со + фхсо + О(|ф|2) справедлива и для вектора
угловой скорости в осях АСК со' и ССК со.
Покажем, что векторы-столбцы со' и со отличаются от вектора ф,

а именно:

(7.6)

Действительно, дифференцируя по времени (7.1) при постоянном R,
получаем

у' =	= C(<P)R = C(<p)C'(-q>)R'.

СИ/

Распределение скорости в осях АСК можно также получить из форму-
лы Эйлера: v' = co'xR'. В матричном виде она имеет вид: v' = A(<o')R'.
Отсюда из экспоненциального ряда (7.2) и тождества (7.3) следу-
ет, что

Л(ш') = А(ф) + 1 (А(ф)А(ф) - А(ф)А(Ф)) + О(|ф|2) =
&

и первое равенство (7.6) таким образом доказано.

Второе равенство (7.6) выводится аналогично. Оно согласуется с за-
коном преобразования: со' = ф + фх<о + 0(|<р|2).

4.	Кинетическая энергия жидкости, покоящейся на бесконечно-
сти, при движении в ней твердого тела. Кинетическая энергия Т —
квадратичная по скоростям форма. Коэффициенты квадратичной фор-
мы зависят от углов ф, если скорости определяются в осях АСК. Более
удобно ввести Т в осях ССК как квадратичную форму Т шестимерного
вектора 17Q, а = 1,2, ...,6 (Л. И. Седов [183]), а затем выразить его
через X и ф по формулам преобразования (7.5) и (7.6):

6	6

2T(U, ш) = Е5? a0UaU0,

а=1 /3=1

Uk = Uk, Uk+3=a>k, к= 1,2,3,

(7.7)

U = X - фхХ + О(|ф|2),

Матрица Ха@ называется матрицей коэффициентов присоединен-
ных масс. Она зависит только от выбранных осей ССК и для данного
твердого тела остается неизменной, представляя своего рода «паспорт»
твердого тела.

В этом состоит преимущество системы ССК перед всеми остальны-
ми системами координат.
Из уравнений (5.17) для силы F и момента М в невесомой жидко-
сти получим

A

dt дХ

3
ф=о

(7.8)

Как следует из (7.7), слагаемое — 0 и не входит в уравнение (7.8).
иХ

Равенство <р = 0 означает, что оси ССК и АСК в этот момент времени
совпадают. Дифференцирование по времени производится в подвиж-
ных осях АСК.

Введем в осях ССК для жидкости векторы 1 и JC и вычислим
их производные по времени, учитывая что в этих осях коэффициенты
присоединенных масс постоянные числа:

(7.9)

По аналогии с классической динамикой твердого тела векторы I и /С
называются присоединенными импульсом (или количеством движения)
и моментом импульса (или моментом количества движения).

Остается, пользуясь правилами дифференцирования сложной функ-
ции, выразить правые части уравнений (7.8) через векторы I и /С и их
производные по времени в осях ССК.

5.	Формула Кирхгофа для силы, действующей на тело. Под
знак производной в первом уравнении Лагранжа (7.8) входит вектор-
столбец дТ/дХ, который находится дифференцированием кинетиче-
ской энергии (7.7) по аргументу X по правилу дифференцирования
сложной функции:

дТ _ ВТ 3U _ д
дх ~ д\з дх~ дх

(Т-(Х-фхХ)).

Выполняя дифференцирование скалярного произведения двух векторов
при постоянном векторе Z, получаем (см. упр. 7.8)

= Т + фхТ + О(|ф|2).

(7.Ю)

Эта формула соответствует закону преобразования вектора Т —► Т' при
переходе из ССК в АСК.

Подставляя вектор-столбец Т в первую формулу Лагранжа (7.8),
получаем формулу Кирхгофа для силы в осях ССК:
6.	Формула Кирхгофа для момента силы. Вычислим производ-
ные, входящие во вторую формулу уравнений Лагранжа (7.8):

дТ дТ dU дТ дю д ((—	тп 1 /1И .Л .2\

* = Su * + a; ai = ~si (<*  ’xU>+ 2(К ’М + 0<w >

где через (а • Ьхс) условимся обозначать смешанное произведение трех
векторов а, b и с.

Дифференцируя по ф при постоянных I и К (см. упр. 7.7), получаем

0Т	ТТ 1

—	=-UxZ --сох/С.

t=0	2

Далее 9 (см. упр. 7.8) получим

&Т дТ dm д ,.	1 .Л . 1	. ^z. .2\

аф = ^аф = аф Л(<р-2<рх<р))=х:+2<₽х/с + о(|<₽|>’ (712)

(d дТ дТ\ dK. , v , тт т-

=-j-+<»xK: + UxZ.

\dt оф Оф/ ^=0 at

Подставляя полученное выражение во вторую формулу Лагранжа (7.8),
получим формулу Кирхгофа для момента силы, действующей на тело
со стороны жидкости

м = -^-®xK-UxZ.	(7.13)

at

Через момент количества движения /С', в осях АСК равный

/С' = /С + фх/С + О(|ф|2), (К/ / дТ/ду)

эту формулу можно записать так

Замечание к выводу динамических уравнений
Эйлера. Приведенный способ рассуждения можно применить к вы-
воду уравнений движений твердого тела около неподвижной точки.
Подставим в уравнения Лагранжа

£ дТо
dt дф

ЭТо
дф

= М

найденные выше выражения

дТр
дф

= Ко + ±фхК0 + О(|ф|2),

!) Результат неожиданный! Из него следует, что производная дТ/ду не
равна моменту количества движения К в осях АСК, как это кажется, если
исходить из аналогии с (7.10).
где То (со) — кинетическая энергия твердого тела, Ко = дТ/дю — вектор
количества движения в осях ССК.

В результате получаем искомое уравнение

Жо

dt

+ сох Ко = М.

7.	Поступательное движение с постоянной скоростью.
Рассмотрим частный случай, когда твердое тело движется в невесомой
жидкости поступательно с постоянной скоростью U. Когда векторы
I и К не зависят от времени, угловая скорость равна нулю (со = 0),
и из формул Кирхгофа получим выражения для силы F и момента М,
действующих на твердое тело со стороны жидкости:

F = 0, M = -UxZ.

(7.14)

Отсюда получаем следующую теорему.

Теорема. На твердое тело, движущееся поступательно с по-
стоянной скоростью в потенциальном потоке идеальной несжимае-
мой жидкости, со стороны жидкости действует сила, равная нулю.

Эта теорема составляет содержание парадокса Даламбера (см.
п. 1 §1).

8.	Принцип Томсона и Тэта. Перейдем теперь к решению другой
задачи: определения закона движения твердого тела в невесомой жид-
кости при заданных начальных условиях.

За	пишем вариационное уравнение Гамильтона (2.4) для движения
твердого тела

*2	*2

STodt=- SAdt, SA= pSndS,	(7.15)

J	J	%

11	11	dQ,

где Tq — кинетическая энергия твердого тела, SA — работа, совершае-
мая силами давления жидкости на твердое тело.

Если это уравнение сложить с вариационным уравнением (5.12) для
твердого тела, движущегося в невесомой жидкости, то получим

Принцип Томсона и Тэта. Действительное движение
твердого тела в потенциальном потоке идеальной несжимаемой
невесомой жидкости, покоящейся на бесконечности, между его дву-
мя заданными положениями отличается от кинематически воз-
можных движений за тот же промежуток времени тем, что для
действительного движения вариация действия по Гамильтону рав-
на нулю'.

S (T + TQ)dt = 0.	(7.16)
В вариационном принципе Томсона и Тэта легко учесть и поле силы
тяжести. Для этого достаточно добавить потенциальные энергии тела
По и жидкости П. Тогда принцип запишется так:

<2

6 (Т-П + То-По)(Й = 0.	(7.17)

%

tl

Упражнения

7.1.	Получить формулы для гидродинамических реакций при движении
твердого тела в тяжелой жидкости.

Указание. К реакциям (7.11) и (7.13) следует добавить соответственно
силу Архимеда Fs и ее момент Ms, определяемые соотношением (5.21).

7.2.	Найти силу, действующую на неподвижное твердое тело со стороны
потока идеальной жидкости, имеющей на бесконечном удалении от тела уско-
рение w.

Указание. Так же, как в упр. 6.3, перейти в неинерциальную систему
координат, движущуюся с ускорением w, и воспользоваться формулой для
силы из упр. 7.1. Учесть в ней, что —х = w и g = — w.

3

Ответ: Fz = 57	+ pVwi-

j=i

1	3

В частности, для сферы A;j; = - pV и F = - pVw = 27rpa3w (см. упр. 6.3).

2	2

7.3.	Написать уравнение движения твердого тела в осях ССК в невесомой
жидкости.

Ответ.

(Z + Io) +®x(Z + Io) = 0, Z + Io = Э(г + Го);
at	oU

^(/C + Ko)+<ox(K: + Ko)+Ux(I + Io) =0, К + Ко = д{Т +	

at	счо

7.4.	Найти решение уравнений движения твердого тела в жидкости в виде
поступательного движения с постоянной скоростью.

Решение. Для поступательного движения с постоянной скоростью из
(7.14) получим

М = 0 =► ^XijUj = XUi.

Это система для определения главных значений и главных направлений тензора
присоединенных масс.

Ответ. Из характеристического уравнения ||Xi3 — А&Л = 0 находим три
корня: главные значения Ль Аг, Аз. Следует различать 3 случая.

а)	Главные значения различны: Ai < Аг < Аз. Им соответствуют три вза-
имно перпендикулярных главных направления хь^2»^з- Скорость тела направ-
лена по одному из них.

б)	Имеются два равных главных значения Ai = Аг Аз. Скорость тела
U направлена либо по оси хз, либо по любому направлению в плоскости,
перпендикулярной оси хз.
в)	Все главные значения равны друг другу: Ai = Л2 = Аз; скорость посту-
пательного движения при этом произвольна.

7.5.	Исследовать устойчивость поступательного движения твердого тела
в жидкости с постоянной скоростью. Найти частоты малых колебаний тела
вблизи устойчивого движения. Принять следующее выражение для кинетиче-
ской энергии в главных осях:

з

2(T + To) = ^[(Ai+/*)^ + (A<+3 + Ji)w?].	(*)

г=1

Решение. Пусть скорость тела и направлена по главной оси х\ и <pi, Xi
определяют малые отклонения от движения тела с постоянной скоростью и:

АГ1 — и ~|~ х 1, Х2 — х%) Хз	я3 •

С помощью (7.2) вычисляем скорости в главных осях с точностью до кубичных
членов

и = С(ф)Х = X - <рхХ + | фХ(<рхХ) + О(|ф|3),

где X — вектор с компонентами Xi,X2,X3.

Опуская кубические члены, найдем

(7,2 = и2 + 2u[ii - <доз + <^з±2 - | (v>2 + <4)u] +

ul = (i2 - w^3)2, ul = (±3 -I- u^2)2,

<4 = 4» г = 1,2,3.

Подставив эти выражения в (*), получим функцию Лагранжа вида (2.13), в ко-
торой

Qi *Ti, Qi—1-3 — ^i,	— Aj /Z,	Qj_|_3 — Aj-j-3 “1“ *A,

di =0, 62 = (Ai — A2)u<^3, Ьз = (A3 — Ai)u(^2,

bi+3 = 0, i = 1,2,3,

Ьо — — [(A3 — A i )<^?2 + (A2 — Ai )<p2].

Здесь несущественные постоянные слагаемые и производная (Ai + р)их\ опу-
щены. Координаты Qi, i = 1,2,3,4 — циклические. Им соответсвуют импуль-
сы pi = 0.

Подставляя коэффициенты аг, Ь\ в функцию Рауса (2.14), получаем

Функция Рауса с точностью до знака имеет вид функции Лагранжа кон-
сервативной системы. К ней применимы теорема Лагранжа и признак неустой-
чивости (см. пп. 5 §2). Устойчивость соответствует минимуму функции

Ai — Аз
Аз 4- /1

2 ।

+

а при отсутствии минимума — движение неустойчиво.
Ответ. Положение устойчиво, если скорость направлена в сторону наи-
большего значения коэффициента присоединенной массы Ль Два оставшихся
положения равновесия будут неустойчивыми.

Частоты малых колебаний около осей и хз таковы:

2

^2 = и

2 Ai + м Ai — Аз
As + Jb A3 + д

2 _ „.2 Ai +/z Ai - А2
q — и \:—г—\:—•

Аб + */6 А2 + р

7.6.	Показать, что из условия ортогональности матрицы

С = Е + А +кА2 + О(А3),

где А — антисимметричная матрица, следует, что к = 1/2.

7.7.	Показать, что функции Лагранжа (7.7) для движения твердого тела
в жидкости инвариантны относительно семейства замен с тремя параметрами
s(si, з2, S3):

X = X + sxX + O(|s|2), $ = s + <p+|sx<p + Оз(|в|, |ф|),

где Оз(|в|, |<р|) — члены разложения по степеням компонент s и <р не ниже 3-й
степени.

Решение. Кинетические энергии Т и То инвариантны относительно
новой системы АСК, связанной со старой поворотом, определяемым ортого-
нальной матрицей C(s). Это эквивалентно преобразованию матрицы

еА(,) _	_ <7(s)C(f) = exp A(s + Ф + | s х q>) +...,

в	Л»	«

где точками обозначены члены 3-й степени по s и <р.	_

Аргументы функции Лагранжа (7.7) при замене Х,ф —> Х,ф преобразуют-
ся так:

и = Х-фхХ = Х-фхХ + ...,

1 . ~ 1 ~ ~ ,

<» = ф- -фХф = ф- -фХф+...,

где точками обозначены малые второго порядка по Х,ф.

Отсюда вытекает инвариантность функции Лагранжа и выполнение усло-
вия теоремы Нётер.

7.8.	Вычислить производные

д ( ч д ( .х д (	. ч д ,	. х

— (s-a), — (s-axb), — (a-sxb), — (a-bxs),

dsi	dsi	dsi	дзг

где

(a - b) и axb — скалярное и векторное произведения двух векторов,
(а, Ьхс) — смешанное произведение трех векторов.

О т в е т.

— (s • а) = — (а • s) = ai,
dsi{ ' dSiy ;

(s-axb) = — (a-sxb) = (a-bxs) = (axb)».

dsi	ds^	dsi
7.9.	Применить обобщенную теорему Нётер (2.16) к уравнениям Лагранжа
с правой частью (7.8). Выяснить физический смысл полученного таким спосо-
бом соотношения.

Решение. Для инвариантной замены (см. упр. 7.7) имеем

<SX = sxX,

= s Н— s х <р.

Применяем обобщенную теорему Нётер (2.16) к уравнениям (7.8):

1 (?L гх +	= -F<5X - М<5<р.

dt \ Ж <Эф /

(7.18)

(7.19)

Используя равенства (7.10) и (7.12), преобразуем левую часть уравнения (7.19):

—- <5Х	+ —— fap	= Т • s х X + (К,--ф х	К, ) (s Н—	sx

ЭХ дф	\	2т / \	2

= s-(Xxl'+/C')

и правую часть:

-F<SX - М<$ф = -s • (X х F + М).

Подставляя преобразованные части в (7.19) и учитывая произвольность векто-
ра s, получаем

^-(Xxl'+K') = -XxF-M,
dt

где Т' и К' — количество движения и момент количества движения в АСК,
Kof = ХхТ' + К, — момент импульса относительно неподвижного центра О',
расположенного в начале координат АСК, Mo* = X х F + М — момент силы
относительно неподвижного центра О'.

Таким образом, из обобщенной теоремы Нётер получаем

Ответ. Равенство (2.13) теоремы Нётер представляет собой закон изме-
нения момента количества движения относительно неподвижной точки !)

—Mq/ =

dK>o>
dt

7.10.	Вывести из закона изменения количества движения относительно
неподвижного центра (упр. 7.8) формулу Кирхгофа для момента силы (7.13).

Решение. Если выписать производную момента количества движения
относительно неподвижного центра

= UxT + Xx(—+<охТ) + —+а>х/С,
dt	\ dt / dt

учесть формулу Кирхгофа для силы (7.11) и подставить в закон изменения
момента количества движения относительно неподвижного центра, то получим
-XxF-M = UxT-XxF + ^+<oxK:.

dt

Отсюда и следует формула Кирхгофа для момента силы, действующей на
движущееся в жидкости тело.

!) Вывод закона изменения момента количества движения относительно
неподвижной точки с помощью теоремы Нётер указан А. Г. Куликовским.
§ 8. Перемещение периодически деформирующегося
тела. Сила тяги

Рассмотрим движение тела, периодически деформирующегося в по-
тенциальном потоке идеальной несжимаемой жидкости. В силу тео-
ремы Седова (см. [184]) в схеме непрерывного обтекания средняя за
период времени сила, действующая на тело со стороны жидкости,
равна нулю. Отсюда следует, что получить силу тяги только за счет
периодических деформаций тела при потенциальном непрерывном об-
текании невозможно.

Перейдем, следуя работе О. В. Воинова и А. Г. Петрова (1973) [48],
к исследованию вопроса о возможности перемещения периодически
деформирующегося тела из состояния покоя.

Пусть уравнение поверхности тела имеет вид

F(t-t0,?/,s,qi,...,qn) = 0,	(8.1)

где xo(t) — поступательная координата поверхности, q\(t).Qn(1) —

обобщенные координаты, определяющие форму поверхности.

Для простоты ограничимся случаем, когда поверхность тела сим-
метрична относительно оси х. Кинетическая энергия жидкости при
движении в ней поверхности (8.1) является квадратичной формой
обобщенных скоростей (5.23)] и представляется в виде

Т = 2 53 53	+ 53 т’(ч)?г*О + 2 т(ч)*0-	(8-2)

г=1 j=l	г=1

На основании уравнений Лагранжа для жидкости и уравнения изме-
нения количества движения тела, можно записать

d дТ	Г	\ г	/о о\

di ВЦ = ~F’ di <Ml-’ = F'	<8'3>

где F — сила воздействия жидкости на тело, М — масса тела, т* —
координата центра масс тела.

Уравнения (8.3) имеют интеграл, выражающий закон сохранения
количества движения. Если движение началось из состояния покоя, то

+ Мх* = 0.

OXq

Удобно ввести параметр I = т* — xq, определяющий относительное
положение центра масс тела, который будем считать независимым от

Отсюда при помощи (8.2) получим закон сохранения количества
движения	к

(m + M)xq 4- Ml + miQi = 0-	(8.4)

г=1
Уравнение (8.4) определяет скорость точки xq тела через обобщен-
ные скорости Z, qi и обобщенные координаты

^-qz.	(8.5)

и М + т М + тч	’

г=1

Для периодически деформирующегося тела функции Z(£), qt(t) являют-
ся периодическими с периодом At Из (8.5) можно сделать вывод, что
и скорость ±о также является периодической функцией времени.

Из уравнения (8.3) найдем среднюю за период силу F, действую-
щую со стороны жидкости:

£+△£	.	/V

1	1 ВТ	к

F=At Fdt = ~Mdi0t = ( Е 9г + m(q) io
*	'J L	' a

t	*=1

Учитывая периодичность функции qi и xq, получаем в соответствии
с теоремой Седова, что

F = 0.

Однако отсюда нельзя делать вывод, что перемещение Дхо =
= xo(t 4- △£) — XQ(t) равно нулю. Действительно, вектор с координата-
ми Z, qi за период At описывает в (ЛГ + 1)-мерном пространстве замкну-
тую траекторию. Тогда из уравнения (8.5) определится смещение Axq
за период At в виде интеграла по замкнутому контуру:

М

М + тп

TTli

М + тп

Необходимое и достаточное условие,

при котором перемещение

тела невозможно, состоит в том,
полный дифференциал:

что подынтегральное выражение есть

Если это условие не выполняется, то перемещение тела из состояния
покоя за счет деформаций и перераспределения массы возможно.

Пример (Р. G. Saffman (1967) [278]). Рассмотрим шар переменного ради-
уса a(t) и массой М > 0. Относительное положение I центра масс изменяется
со временем. Первое условие (8.6)

^=2™2/0
да

не выполнено и, следовательно, самодвижение такого шара в жидкости воз-
можно. Уравнение движения центра масс имеет вид

— =-------—	.	(8.7)

dt М + 2тга3/3

Можно подобрать такие периодические функции l(t) и a(t), чтобы перемещение
за период было отлично от нуля.
Наиболее полное исследование самодвижения деформирующегося тела
в идеальной жидкости наложено в работе [58]. О другом подходе к этой
проблеме см. работу [94].

Недавно (см. Воинов О. В. *0 самодвижении тела в потенциальном потоке
из состояния покоя» // ПМТФ. 2008. №4) предложен еще один простой и
интересный пример. Форма твердого тела имеет винтообразующую симметрию
относительно оси zj. Кинетическая энергия жидкости при его движении имеет
вид (см. Ламб [103, с. 218])

2Т = Лц(712 + Лг2(^2 + ^з) + А44Щ2 + Л55(щг + ^з) + 2Ai4(7icui.

В полость такого тела помещается волчок, у которого ось х\ является осью
винтовой симметрии. При вращении волчка около оси тело будет вращаться
в противоположную сторону (закон сохранения кинетического момента). Кроме
того, благодаря наличию в выражении Т последнего слагаемого, вращение
вызовет поступательное движение по оси zj.

Упражнения

8.1.	Указать вид периодических функций l(t) и a(t) в формуле (8.7), для
которых возможно перемещение шара. Вычислить перемещение за период.

8.2.	Привести другой пример, в котором возможно самодвижение тела.

§ 9. Постановка задачи о движении газового
пузырька в безграничной жидкости. Функции
Лагранжа и уравнения движения

do.

Рис. 3.1. К задаче о дви-
жении газового пузырька

Пусть замкнутая поверхность dQ ограничивает объем V, запол-
ненный газом (рис. 3.1). Давление газа рГ
предполагается постоянным внутри объема V
и зависит только от времени (условие гомоба-
ричности). Вне поверхности д£1 область Q за-
полнена жидкостью, движение которой пред-
полагается потенциальным и определяется
при известном движении границы д£1 из ре-
шения внешней задачи Неймана. Для дви-

жения жидкости в области Q можно записать вариационное уравне-
ние (5.12)

t2

dt p8ndS = 6(T-H)dt.	(9.1)

ti дЯ	ti

На границе раздела фаз жидкость-газ dft выполняется условие Ла-
пласа: р — рг + 2<тЯ = 0. Его удобно записать в виде вариационного

уравнения

*2
*	р

dt (р — Pr + 2аН)6 ndS = О,

ti дя

(9.2)
где а — коэффициент поверхности натяжения, Н — средняя гауссова
кривизна поверхности.

Для вариаций объема и площади поверхности в дифференциаль-
ной геометрии известны соотношения (см. Смирнов (1967) [191, т. II,
с. 427])

SndS = -<5V, 2H6ndS = -6S.	(9.3)

да	да

С помощью (9.1) и (9.3) условие Лапласа (9.2) можно записать в виде
следующего вариационного уравнения:

dt (р - рг + 2аН)6 ndS = dt (6Т - <5П + pr<5V - a6S) = 0.

(9.4)

V	%

ti	да

%
tl

Задавая TV-параметрическое семейство поверхностей дП и принимая
параметры этого семейства за обобщенные координаты можно вы-
числить Г, П, S, V как функции qi, qi и записать вытекающие из
вариационного уравнения (9.4) динамические уравнения поверхности

(9.5)

Из формул (9.4) и (4.4) гл. 2 вытекает, что система уравнений (9.5)
эквивалентна условиям ортогональности

(р - рг + 2а Н)Wi dS = 0, г = 1....N.	(9.6)

да

Уравнения (9.5) заменяют точное динамическое граничное усло-
вие (9.2) на конечное число условий ортогональности (9.6) и дают
приближенное описание движения поверхности пузырька. О точности
приближения можно судить по значению max (р — рг + 2аН) на грани-
це Ш.

Если ограничиться сферической формой поверхности 9Q с четырьмя
обобщенными координатами Cro,po,zo — координаты центра сферы,
а — радиус сферы), то условия (9.6) принимают вид четырех условий
ортогональности:

(р - рг + 2аН) dS = 0,
да

(р — Рг + 2а Н) nidS = 0, г = 1,2, 3,
да

где щ — проекция нормали к сфере <9Q.
Запишем уравнения (9.5) для сферического пузырька:

dt да да да да & да

-1^1=0 d 971 |	~ 0

dt дхо ’ dt дуо ’ dt dzo dzo

(9.7)

В них нужно подставить формулы для объема V и площади поверхно-
сти S сферы, а также кинетической энергии из (6.5):

V = 7га3, S = 4тга2, Т = 2ттра3а2 +	а3(±о + Уо + ^о)-	(9-8)

Потенциальная энергия П в невесомой и тяжелой жидкости определя-
ется соответственно по формулам (6.7) и (6.8):

п = | тга^оо, П = (pg(h - Zo) 4- ра) х ла3.

(9.9)

Подставив (9.8) и (9.9) в (9.7), получим уравнения для определения
радиуса пузырька а и координат его центра:

в отсутствие силы тяжести

। 3.9	1 / • 9 । • 2 । • 2 \ । Рг	Рос 0"

аа+оа = 4 fco + Уо + *о) + — ----------

£	*	IJ	L)\JL

(9.Ю)

a3XQ = const, а3 i/о = const, a3 zq = const,

в частности при xq = 0, уо = 0, zq = 0 движение сферически симмет-
ричное и можно точно удовлетворить уравнению

3 «2 __ Рг Рос

ра

(9.10')

при наличии силы тяжести

п'А I 3 „2 _ 1 /Л2 I -2 , *2\ _ 9	. Рг ~Р

аа • 9 а ~ л \х0 • Уо ’ Z0) z	•

м	*	uUj	и

-g(h- z0),

a3 io = const,	a3yo = const,

4 (a3zo) = 2a3g.

(9.H)

Пусть давление газа зависит только от объема пузырька pr(V).
Тогда вариационное уравнение (9.4) можно записать в виде

t2	v

*	р

dt 6L = 0, L = Т - П - aS + pr(V) dV,

t\	Vo

(9.12)

а уравнения движения пузырька определятся из уравнений Лагранжа с
функцией Лагранжа (9.12). На основании теоремы о законе сохранения
энергии, которая имеет место, если функция Лагранжа явно не зависит
от времени (2.9), получим

Т + П + aS - pr(V) dV = Е.	(9.13)

И

Для сферического пузырька уравнение (9.13) является интегралом
уравнений (9.10) или (9.11) (см. упр. 9.2).

Упражнения

9.1.	Написать функцию Лагранжа и закон сохранения для сферически
симметричного замыкания полости при отсутствии внутри полости газа. Дав-
ление жидкости на бесконечности постоянное.

Ответ.

Q О ж Q	О

L = 2тг раа — - тга р^с — 4сг7га ,
и

9.2.	Давление газа внутри сферического пузырька меняется по адиабати-

ческому закону

Написать функцию Лагранжа и закон сохранения для колебаний сферического
пузырька.

Ответ.

L = 2тгра3а2 — U(a), 2тгра3а2 + U(a) = Е,

4 з Г

и (а) = - 7га Роо - Ро
и

2	2

• 4тга da + 4тга а =

*	3

- 7га

3

Ро

а0\37\ , л 2
— ) ) + 4тга а.
а / /

9.3.	В условиях предыдущей задачи найти частоту собственных колебаний
пузырька с малой амплитудой вблизи положения равновесия. При каком усло-
вии влияние поверхностного натяжения на частоту колебаний пренебрежимо
мало?

Решение. Из уравнения равновесия

rr// \ dU .	2	/ &О V7 .	2 П /ч

U (а) = — = 4тга роо — Ро ( — ) • 4тга + 8тгаа = 0

для равновесного значения радиуса найдем

U'(oq) = 47ГОо(роо - Ро + —) = о.

\	OQ /

Разложим потенциальную энергию (7(ао + я) по степеням х

и = U(ao) + | (7"(ао)х2 + O(z3),

и"(ао) = 4тгао (2роо + (З7 - 2)ро) + 8тгсг = 4^0000 • З7 + (З7 - 1) • 8тга.
С точностью до х3 функция Лагранжа имеет вид

L = 2тграох2 - | U"(ao)x2.

Решение уравнений Лагранжа — линейные колебания с частотой

2(7

При а/(рооОо) 1 поверхностное натяжение можно не учитывать. Для воз-
душных пузырьков в воде это условие выполняется, если ао 10-4 см.

9.4.	Найти закон расширения в невесомой жидкости сферического пузырь-
ка из состояния покоя при отсутствии противодавления (роо = 0), капиллярных
сил (сг = 0) и при 7 = 4/3 (Г. Ламб [103]).

Ответ.

§10. Движение деформированных капель
и пузырьков

10.1.	Движение капель.

10.1.1.	Принцип Гамильтона и функция Лагранжа. Пусть зам-
кнутая поверхность dV = dQ ограничивает объем V капли, заполнен-
ный идеальной несжимаемой жидкостью плотности ро (см. рис. 3.1).
Капля движется в потенциальном потоке идеальной несжимаемой жид-
кости плотности р. Тогда для внутреннего и внешнего потенциального
движения в области Q можно записать вариационные уравнения (5.12)

*2	*2

dt6(T$ — По) = dt

V	%

tl	tl

Ро <5^ dS,
%
ov

*2	*2

*	c	c

dtS(T — П) = dt pSndS,
J	V	%

11	11	dQ,

(10.1)

где To, По и T, П - кинетические и потенциальные энергии жидкости
внутри капли и вне ее соответственно. Далее повторяются те же рас-
суждения, которые применялись в §9 при выводе уравнений движений

газового пузырька.

С помощью (10.1) и уравнений для вариаций объема и площади
поверхности (9.3) условие Лапласа на границе раздела двух жидкостей
приводится к вариационному принципу:

<2

dt (р — ро + 2аН) 6п dS = dt6L = 0,

L = Т + Т$ - П — По — aS,

ti dQ

ti

(Ю.2)

где L — полная функция Ларранжа.
10.1.2. Деформация капли. Деформация капли определяется из
уравнения баланса сил давления и поверхностного натяжения. С целью
изучения этого эффекта, рассмотрим движение капли в невесомой
жидкости.

На двухпараметрическом семействе поверхностей dV

F(x, y,z — z0, q) = 0,

функция Лагранжа L имеет вид

L = Т + То - aS, Т = | mz% + | mqq2, То = | Mzfi + | Mqq2,

(10.3)
где m,mq,Mq,S зависят только от q\ М — масса капли; она, так же
как и объем капли, постоянная величина (для простоты предполагаем,
что квадратичные формы кинетической энергии не содержат произве-
дения zQq).

Уравнения Лагранжа для обобщенных координат zq и параметра
деформации q имеют два интеграла, выражающих законы сохранения

(т 4- М)zq = const, Т 4- Tq 4- crS = Е.

Из первого закона сохранения выразим zq через q. Тогда второй закон
сохранения (закон сохранения энергии) при начальных условиях zq =
= и, q = 0, q = qo можно записать в виде:

(mg 4- Мд) g2/2 4- {7(g) = Е,

(Ю.4)

l/(g) =

(m(go) 4- М)2и2
2(m(g) 4- М)

4-aS(g),

где функция 17(g) — потенциальная энергия.

Если в положении равновесия 17(g) имеет место минимум, то урав-
нение (10.4) определяет деформационные колебания капли. Величина
ее деформации меняется между двумя значениями gi g дг- Для
частоты lu колебаний с малой амплитудой из уравнения (10.4) получим

(Ю.5)

где 17"(до) — вторая производная 17(g) в точке равновесия.

Стационарному движению капли соответствует уравнение dU/dq =
= 0, устойчивому стационарному движению — неравенство dfiU/dq2 >
> 0. Дифференцируя функцию 17(g) в точке g = go, получим условие
стационарного движения и его устойчивости в виде

7/2

U\q^ = ~m\q)+°S\q)=^

2	2	2	(Ю.6)

U"(qo) = ~ т"(я) +	+ <rS"(q) > 0.

9 г vQ | 1VJL
Первое уравнение (10.6) определяет зависимость от q безразмерного
2

числа Вебера W =	, где I — радиус сферы эквивалентного объема:

W = w(q) = 2®£	(Ю.7)

m (g)

Выражение (10.7) удобно для численного определения зависимо-
сти W(g) или нахождения приближенного аналитического выражения.
Приближенная зависимость W = w(x), полученная на семействе эл-
липсоидов (Воинов, Головин, Петров (1970) [46]), где х — отношение
осей эллипсоида, изображена на рис. 3.2. Максимальное значение чис-
ла Вебера 1,635 достигается в точке х = 3,72 9.

10.1.3. Устойчивость стационарного движения. Покажем, что
для жидкой капли, движущейся в газе, точка х = 3,72 соответствует
потере устойчивости. Действительно, в этом случае собственная масса
капли на три порядка превосходит присоединенную массу: М » т.
Поэтому условие устойчивости (10.6) принимает вид

oS'\q) -	> 0.

(Ю.8)

Рассмотрим логарифмическую производную функции (10.7)
w'(?) _ s”(q) _ m”(q)
w(q) S'(q) m(q) '

Подставим в правую часть

zpi	zo

и преобразуем ее

= -Л~ ((<?)") •

w(g) u2m'(g) \ V 7	2 J

Присоединенная масса монотонно возрастает: m'(g) > 0. Поэтому усло-
вие устойчивости эквивалентно условию w'(g) > 0. Это означает, что
стационарное движение капли устойчиво до тех пор, пока функция
w(q) возрастает, что и требовалось доказать.

9 Аппроксимация поверхности пузырька эллипсоидом для определения
функции W(g) применялась во многих работах. R. A. Hartunian, W. R. Sears
(1957), Л. А. Клячко (1964) и D. W. Moore (1965) удовлетворяли гранично-
му условию в точке торможения и экваторе; К. А. Гордин, А. Г. Истратов,
В. Б. Либрович (1969) применяли энергетические соображения; El Sawi М.
(1974) исходил из вириальных уравнений; см. обзор О. В. Воинова и А. Г. Пет-
рова [51].
10.2.	Движение пузырьков.

10.2.1.	Функция Лагранжа для газового пузырька. Для газового
пузырька, движущегося в жидкости, следует учесть изменение его
полного объема, а кинетической энергией газа можно пренебречь. Если
давление газа внутри пузырька однородно и зависит от его объема,
то полную функцию Лагранжа можно вычислить по (9.12). Пусть
давление газа изменяется по закону политропы: рГ = po(Vb/V)7. Тогда
при отсутствии массовых сил выражение функции Лагранжа таково:

L^T-aS-p^V-^V^V1-'1.	(10.9)

Отсюда аналогично (10.4) можно найти эффективную потенциальную
энергию U (см. (10.19))

2 2

[7 = ^_+<т5+	V+_P0 V7Vl-7.	(10.10)

2т	7—1 и

Устойчивая стационарная форма пузырька, движущегося с постоянной
скоростью, соответствует минимуму U.

Вычисления можно довести до конца на семействе осесимметрич-
ных эллипсоидов. Решение, получаемое таким способом, является при-
ближенным.

Погрешность можно оценить, вычисляя невязку в граничном усло-
вии для давления. Точность метода можно также проверить на решении
плоской задачи, где имеется точное решение.

10.2.2.	Модель эллипсоидального пузырька. Предполагая, что
пузырек имеет форму сплюснутого эллипсоида с осью симметрии г,
имеем

где 1Х и lz — полуоси эллипсоида, zq — координата его центра.

Параметры эллипсоида 1Х, 1У и zq можно взять в качестве обобщен-
ных координат. Удобно ввести три обобщенные координаты Z, е и го,
где I — радиус сферы эквивалентного объема l2lz = г и е — параметр,
зависящий от отношения осей эллипсоида.

Решение задачи динамики эллипсоидального пузырька можно до-
вести до конца [46, 145]. Для этого введем эллипсоидальную систему
координат (а,/?) (см. [103]):

г = \/х2 + у2 = k (1 + а2)(1 —/?2)]	, z = ка/3.

(10.11)

Поверхности эллипсоида соответствует а = а0, а большая и малая
полуоси выражаются через параметры к и qq:

1 4" Q0 ’	— kOLQ.

(10.12)
Параметр ао зависит от отношения осей эллипсоида: lx/lz = у 1 4- а0 2 »
а параметр к можно выразить через I и qq:

fc3ao(l 4- Qq) = Z3.

(10.13)

Потенциал поля скорости Ф(а,/3), удовлетворяющий уравнению Ла-
пласа ДФ = 0 вне эллипсоида при а > ао и условию на бесконечности
Ф —► 0 при а —* оо, можно искать в виде линейной комбинации трех
гармонических эллипсоидальных функций <?i(a), Q2(<^)‘

Ф = C'oQo(^) 4- C\/3q\(a) 4- С2(3/32 - 1)^2(а).

(10.14)

Запишем граничное условие для нормальной скорости в эллипсоидаль-
ных координатах:

дФ _ 1 дФ
дп На да

= wil 4- wzzq 4-wQdo,
а=ао

где Ha — коэффициент Ламе; wil, wzzq и wQdo — скорости смещений
поверхности по нормали, соответствующие обобщенным скоростям Z,
zq и do, для которых (см. упр. 10.4-10.7)

«о/3(1+<^)1/6 w (1+^)'/2

(а§ + /?2),/2 ’ Z Р(4 + /?2)'/2’
к 302 - 1

Wq~ 3 (1+а2)'^ + 02)1'2'

(10.15)

Подстановка этих выражений в граничное условие приводит последнее
к виду

дФ
да

а=ао

I 4- k/3zQ 4-

к2

3(1+а§)

(З/З2 - l)do-

Очевидно, что выражение (10.14) удовлетворяет этому условию, если

С0 .	2\1/3 //	\ ^0»	^2	_ .,	2\ / / \

(1 +ао) /3<7o(Qo)	Qi(ao)	3(1 + ао)д2(ао)

(10.16)

Кинетическая энергия Т выражается через интеграл по поверхности

эллипсоида

Подставляя сюда выражение для потенциала Ф (10.14), (10.16) и эле-
мент площади поверхности

dS = 2-nrH3d3 = 2тгА;2( 1 + с^)1/2(а£ + /32)1/2d/3,

(10.17)
получаем

= -7гЛ3а*/3(1 + а2)1/3 i2 f d(3 -

Р	q (ocq) J

-rf(l+aS)^4!

91 («о)

(32d/3-

itk? q2(ao) .2

9(1+а§) <й(ао) °

(3/32- l)2d/3.

%

-1

Вычисляя несложные интегралы и подставляя зависимость fc(ao)
из (10.13), найдем коэффициенты квадратичной формы кинетической
энергии:

Т1	1*2 I 1	-2.1	-2

= о гхцГ + - mzQ 4- ~ таа\

mi = —2тгр/3/2

а1/3<7о(«)

(1 -I- q2)2/39o(«)

4тгр/3
~3~

9i(«)
«91 («) ’

(10.18)

т = —

та

16тг р1Ъ 9г(«)
45(1 + а2)8/3а2/3 «9г(«)’

где индекс 0 у параметра а опущен.

Формулы (10.17) и (10.18) определяют присоединенную массу
и площадь поверхности, как функции а. Удобно ввести параметр де-
формации эллипсоида е = \/ог (значению е = 0 соответствует сфера).

Если выбрать в качестве обобщенных координат го,/ и е, то функ-
цию Лагранжа и потенциальную энергию можно получить, подста-
вив в (10.9) и (10.10) выражения для S (10.17) и присоединенных
масс (10.18):

L - | mil2 + | mio + | теё2 - aS - р<х, - V1
z z z	7-1

Щ/, e) = ^ + aS + Poo +

mi = 4тгр/3/0(г), т =	f(e), те = fi (е), S - 2irl2s(e),

ш = (I W'W). Ш =	з(1^+)(е.МЛы)-^ <10Л9)

S(e) = (1 +£)'/з + В(£)(1 + £)"|/б, /(£) = (1+£^~А(£)),

к1 “Г	~ 1
где то = m(/o,£o), Vo = 4tt/q/3 — значения присоединенной массы и
объема при значениях Iq и е стационарного движения пузырька, и —
скорость движения пузырька.

Устойчивому стационарному движению пузырька соответствует ми-
нимум эффективной потенциальной энергии U(l,e).

10.2.3.	Уравнения стационарного движения. Из необходимого

условия минимума

»=о "=0

д1 дс

найдем значения Iq и е, соответствующие стационарному движению
пузырька. Пользуясь тем, что присоединенная масса т и объем V
пропорциональны Z3, a S пропорциональна Z2, производная dU/dl при-
нимает вид

tdU =	+ 2aS + зур^ _ 3poV7Vi-7	(Ю.20)

C/v	& f f ь

Отсюда можно найти давление внутри пузырька при его установив-
шемся движении

3(P0-Poo)V =-|u2m + 2<rS.	(10.21)

&

Второе уравнение примет вид

u2 dm
Т ~de

Отсюда можно найти зависимости безразмерных чисел Вебера W и
числа Р = (рг - pilfer от параметра деформации пузырька е:

W =

W(e)/(e)

(10.22)

Иногда вместо числа Р используется Р = (рг — р*)1/сг, где р* = р^ +
4- pv^ — давление в критической точке на поверхности пузырька. Это
число связано с Р простым соотношением Р = Р — 1/(2W).

Полученные зависимости W(x) и Р(х) от отношения осей эллипсо-
ида х = lx/lz = \/1 -Ь е изображены на рис. 3.2 в виде сплошных линий.
Критическое значение для числа Вебера е находится из уравнения
$"(€)/$'(€) -	= 0 и равно е = 12,84. При этом значении

отношение осей равно lx/lz = 3,72, а наибольшее значение числа Вебе-
ра — W = 1,635. Штриховой линией изображена зависимость, найден-
ная в работе Мооге (1965) [267]. Удовлетворив граничному условию
для давления на полюсах и на экваторе, Мур нашел зависимость W от
отношения осей. Выраженная через параметр е она имеет вид

W = 2(1 + е)-2/3е-2[(1 +е)3/2 + (1 +е)’/2-2][(1 +е)А(е) - I]2.

3 А. Г Петров
Эта зависимость практически неотличима от W(s) до lx/lz < 2. При
дальнейшем увеличении lx/lz различие становится существенным.
Наибольшее значение W « 1,87 достигается при е « 34,6 и lx/lz « 5,97.

Рис. 3.2. Зависимости числа Вебера и числа Р от отношения осей пузырька

10.2.4.	Частоты колебаний около положения равновесия нахо-
дятся из характеристического уравнения

-m/LU2 + Uli	Ule

Ule	TTlgUJ + t/ee

= 0.

Корни характеристического уравнения таковы:

2 \mi

(Це)2

ТГЦГПе

(10.23)

Вторые производные эффективной потенциальной энергии в (10.19) и
их разложения по малому е имеют вид

Ull __ Роо

mi ~ р12 /0(е)

З7 -Ч- Ь (1 - ^7) /(e)W(e) + 6(-l + 87)5

+	/_15Г(£) . 30OWY =

те pl2 [ />(£)	\ МО М£)Л£) Л

= 6^[12b+^te-^b£2+O(£3)

(Uu)2 = . 2 Poo 1125(/(e))2

mime pl2 2f0(e)fi(e)

= b2P2o(^b2\£2 + o^3)< b=-j^~.
pi X /	f'Poo
Подставляя полученные выражения в (10.23), найдем выражения для
частот радиальных и деформационных колебаний. С точностью
до е3 выражения для частот таковы:

Другие исследования по нелинейной динамике сферических и несфе-
рических пузырьков приведены в обзорах [51, 246].

Упражнения

10.1.	Доказать, что коэффициент при q2 в законе сохранения энер-
гии (10.4) положителен. Доказать, что в точке минимума функции U(q)
стационарное положение системы устойчиво.

10.2.	Доказать, что для стационарной формы капли, движущейся с посто-
янной скоростью и в потенциальном потоке жидкости, функционал

Ф = -| mu2 + aS + (poo - Pk)V

достигает экстремального значения, т. е. для всех вариаций границы капли
<5Ф = 0.

10.3.	Доказать, что для стационарной формы капли имеет место следую-
щее соотношение между присоединенной массой т, объемом V и площадью
поверхности S капли:

ти2 + | aS + (poo - Pk)V = 0,
Л	о

где рк — давление внутри капли (А. Г. Петров (1974) [137]. Общий метод
получения точных соотношений описан в п. 23.3).

Решение. Воспользуемся тем, что <5Ф = 0. Пусть меняется только объем
капли, а остальные параметры остаются без изменений. Тогда

dm _ т dS _ 2S
dV ~ V' dV ~ ЗУ’

дЪ

а из условия — = 0 получаем требуемое соотношение.

10.4.	Найти компоненты нормали пг,п2 к поверхности эллипсоида враще-
ния а = ао в эллипсоидальной системе координат а, /3.

\r	п	,	1 dr	1 dz

Указание. Воспользоваться формулами пг =	Пг =	•

Н& dot Hq dot

з*

Ответ. nr =
10.5.	Найти перемещение поверхности эллипсоида по нормали wa6l при
изменении его объема до 4тг/3/3 без изменения отношения его осей.

Решение. При изменении объема эллипсоида точка поверхности сме-
стится. Компоненты вектора смещения 6r, 6z вычисляются варьированием
соотношений (10.11):

<5г = (1 +<^)1/2(1 -02)'/26k, 6z = ao06k.

Перемещение по нормали можно вычислить по формуле wi6l = nr6r + nz6z.

Подставив компоненты нормали из упр. 10.4, получим

Wl6l =

о0(1 + а^)1/2

(«? + 02)1/2

6 к.

Варьируя соотношение (10.13), найдем вариацию 6к = а0 ^3(1 + с^)
подставляя которую в выражение для wrfl, получим

Ответ, wi =

10.6.	Найти перемещение по нормали wz6zq при изменении координаты
центра эллипса на 6zq.

/ 1 + Qjj

Ответ. шг = пг = А / —х---р.

V ао + &

10.7.	Найти перемещение поверхности эллипсоида по нормали wa6a^ при
изменении его осей без изменения объема.

Указание. Воспользоваться формулами (10.12), (10.13), соотношением
26lx/lx + 6lz/lz = 0 для эллипсоида постоянного объема.

Решение. При изменении полуосей эллипсоида 1Х и lz точка поверхно-
сти сместится на расстояния 6r = г(61х/1х) и 6z = г(<5/2//2) соответственно.
Перемещение по нормали можно вычислить по формуле wq<5q = пТ6т + nz6z.

Л	_	Qo/3	/(З/З2 - 1)

TBeTW“ (g2 + ^(l+ag)>/2	3	•

10.8.	Найти условия резонансов первого wi/we = 1 и второго порядков
u)i/u)e = 2, u)i/u)e = 1/2 для радиальной и эллипсоидальной мод колеблющегося
пузырька с малой деформацией. Вычислить радиусы воздушных пузырьков в
воде для резонансных частот при атмосферном давлении (роо = Ю6 дн/см2,
а = 70 дн/см, 7 = 1,4).

Указание. Воспользоваться формулами (10.24).

Ответ. Условия резонанса:

при CJz/tJe = 1

l З7 1	866 + 1057	,	2\

при CJz/tJe = 2	
ь=3- .г  2 25-37	1	3674+ 1057	,	2ч  ~ .оз1 (и - з,)° 6 + о(£ );

при = 1/2

1 о 7	4	164 + 1057	. хл/ 2\

6 = 3------------У----------Е + О(е).

5 — 67	105	(5 — б7)2
Для воздушных сферических пузырьков в воде I = а/(&Роо)‘
при U)l/u)e = 1

6 = 0.75, 1 = 9.33- 10-5 см;

при Cdz/tde = 2

6 = 0.1, I = 6.93 • 10-4 см;

при U)l/u)£ = 1 /2

решений для b > 0 нет.

§11. Осесимметричное обтекание тонкого тела

11.1.	Асимптотические разложения. Рассматривается задача
установившегося обтекания вытянутого (тонкого) тела вращения по-
тенциальным потоком идеальной жидкости. Все длины отнесем к по-
лудлине тела lz, скорости к скорости набегающего потока на беско-
нечности Vqq. Пусть в меридиональной плоскости тело описывается
уравнением

Г =	-1 < 2 < 1.

Малый параметр е является мерой относительной толщины обтекаемо-
го тела, форма которого задается функцией /(z) (рис. 3.3).

Потенциал поля скорости Ф(г,г) находится из решения следующей
краевой задачи:

(П.1)

где z и г — цилиндрические координаты.
В монографии [98] изложен аналитический метод сращиваемых
асимптотических разложений. Внешнее разложение ищется в виде
источников, распределенных по оси z:

Ф = Z + еП(д),

П(<?) = '

-1

<?(£)

(Н.2)

а внутреннее разложение из решения уравнения Лапласа. Решение
получается методом асимптотического сращивания этих двух разло-
жений.

Изложим более простой и надежный способ получения решения,
исходя из представления (11.2) и разложения его в виде бесконечных
рядов при у —► 0:

П(д) = (а0(ж) + r2ai(z) + ...)lnr + 5o(z) + r26i(z) + ...,	(11.3)

изученного в работе [206]. Оно позволяет находить функцию q(z) из
граничного условия с любой степенью точности по малому парамет-
ру

Потенциал (11.2) удовлетворяет всем условиям (11.1), кроме усло-
вия на границе. Чтобы удовлетворить условию на границе: у = у/ё f(z),
найдем главные члены разложения (11.3). Непосредственно перейти
к пределу г —► 0 в (11.2) нельзя, так как интеграл разойдется. Поэтому
перепишем его в иной, тождественной форме, предложенной Осватичем
и Кейне (1955):

П(9)= [ q®~q^ d£ + q(z) [	.

Л v _ ^2+г2 -1 v (2 - о2+г2

В правой части предел первого интеграла существует, а особенность
переходит во второй интеграл, который легко вычисляется:

Отсюда находим главные члены асимптотического разложения при
г —► 0 и оценку остаточного члена (см. упр. 11.6):

П(<?) =

+ «(*) In

4(1-г2)

+ O(r2 In г).
Введем линейные интегральные операторы L(q) и I(q):

L(9) = -9(z)ln(l-z2) + /(Q), I(q) = j q^z <%.	(11.4)

-1

Через них разложение для потенциала источников запишется так:

П(<?) = — L(q) +gln(4/r2) + O(r2lnr).	(П-5)

Из (2.12) и (2.14) получим следующие разложения при г ~ у/ё:

дФ 1 _4_ ы 1	\

— = 1 + O(slns),
OZ

^ = _2е^+О(ез/21пе)	^/^ = _2££W+O(£3/2ln£)>

dr	г	dr I oz	г

и из граничного условия (11.1) найдем q(x)

eq(x) = —s'(z) + О(е2 Ins),
s(z) = s/2(z)/4, s'(z) = ds/dz = s/(z)/'(z)/2.

Подставляя это выражение в (11.5) и (11.2), получаем окончательное
асимптотическое разложение потенциала поля скорости в окрестности
поверхности тела при г ~ у/ё:

Ф = z + L(s') + 2s' In (r/2) + O(s2 In2 s).	(11.6)

Отсюда можно найти распределения скорости и давления на поверхно-
сти тела:

Здесь опущены квадратичные по s члены, имеющие порядок малости
s2 In2 s.

Пользуясь формулой дифференцирования оператора L(s')
(упр. 11.2), распределение скорости можно записать в другой
тождественной форме:

4- = 1 + ^ + 2s"In —Ц + 2/(s") +	+ ... (11.8)

vL	з	1 - z2	1 - z 1 + z

Удобство этой формулы состоит в простоте вычисления интеграла
/($"), если s(z) — полином. В этом случае /($") легко найти, пользуясь
формулами упр. 11.3 и 11.4,

Z(l) = 0, I(z) = 2z, /(z2) = 3z2-l, /(z3) = (ll/3)z3 - z.
Для полинома Лежандра Pn(z) имеем

Z(Pn(z)) = 2(l + U... + i)pn(z), п=1,2,...

Примеры применения формулы (11.8) даны в упр. 11.5.

11.2.	Гипотеза плоских сечений. Ведущий асимптотически член
разложения потенциала (11.6)

Ф — z + 2s' In г + О( 1)

является потенциалом плоского течения от расширяющегося круга в
сечении z = const.

Действительно, в размерных цилиндрических координатах формулу
для потенциала Ф в рассматриваемом приближении можно представить
в виде

Ф = ^оо + aalnr, a = vooda/dz.

В системе координат, связанной с жидкостью, — это потенциал потока
жидкости, который создает тело, движущееся со скоростью и =

Величина а — скорость изменения радиуса а в неподвижной плоскости,
перпендикулярной оси тела.

Эта простейшая, хотя и достаточно грубая, теория широко приме-
няется в гидродинамике (см. ссылки в § 13).

Покажем, следуя Воинову и Гуревичу [37], как в этом приближе-
нии вычислить гидродинамические реакции, действующие на тонкое
осесимметричное тело, движущееся параллельно дну вдоль своей оси,
удаленной ото дна на расстояние с. Согласно решению в_п. 15.3 на
каждое элементарное сечение z, z + dz тела действует сила F dz, где F
определяется по формуле (15.6). Для результирующей силы, действу-
ющей на тело, радиус сечения которого равен a(z), z € (—1/2,1/2),
получаем интеграл

Подставляем в эту формулу значения
.	/ d(aa) 2/ и । ( /\2\	/ •	/ da

а = —иа ,	= и (аа + (а ) ) — аа и, а =—,

dt	dz

отсюда
учитывая при этом, что

//2

a2 )ad dz = О,

-//2

1/2	1/2

(с — \/с2 — а2 dz = —

-1/2	-1/2

(ad)2
\/ & — а?

dz.

Таким образом, окончательно имеем

где с — расстояние оси тела от дна.

Сила направлена ко дну, т. е. тело присасывается ко дну.

Аналогично вычисляется момент силы М, действующий на сим-
метричное относительно плоскости z = 0 тело. Относительно оси, рас-
положенной параллельно дну и перпендикулярно оси симметрии тела
момент силы

1/2

М = —2лрй

a2 )adzdz.

-1/2

Отсюда видно, что при при торможении (й < 0) момент стремится
повернуть тело носом ко дну, а при ускорении — кормой ко дну.

Упражнения

11.1.	Доказать, что операторы I(s) и L(s) в (11.4) самосопряженные, т. е.
для любых функций si(z) и S2(z) имеем

31/(зг) dz =

*

S2l(s\)dz.

~lz

Указание. Доказать тождество

sJ(Si)dz={- [ f	dz dy.

2 J J	\z-y\

-1 -1

11.2. Вывести следующие формулы дифференцирования:

± L(s) = L(s') +

s(l) s(-l)

1 — Z 1 + z ’
d т ( f\ т / ff\ । ® (1)
— L(s ) = L(s ) + —4; -
dz	1 — z

1 L(s') = £ L(s) -
dz	dz

S(l)
(l-2)2

sZ(-l)

1 +z ’

S(-1)

(1+z)2’

[/(s) — s(z) In (1 — z2) + s(l) In (1 — z) + s(—1) In (1 + z)].

Решение. Приводим вывод первой основной формулы:

- а(У) d =
\* — у\

s(z) - а(у)
к-2/1

dy =

-1 < z < 1.

Остальные формулы являются следствиями первой.

11.3.	Доказать, что оператор I преобразует полином степени n > 1 в по-
лином той же степени, причем

I(zn + ...) = An(zn + ...), An = 2(1 + ^ + I	(*)

X Z О	71 /

где многоточием обозначены слагаемые, содержащие степени z меньше п.

Указание. Воспользоваться формулой

1	Z

k - 2/I	J

-1	-1

\zn~' + zn~2y + ...+yn~x)dy.

11.4.	Доказать, что (А. Г. Петров (1985) [147], (1986) [148], M. В. Федо-
рюк (1987) [206])

7(Гп) = АПРП,

т. е. полиномы Лежандра Рп являются собственными функциями оператора
Z(s). Собственные значения при п 1 равны (*) и Ао = 0.

11.5.	Вычислить распределение скорости на границе обтекаемого тела вра-
щения:

а)	эллипсоида у = еу/\ — z2,

б)	тела, образованного вращением параболы у = е(1 — z2).
Указание. Воспользоваться равенствами

a)	s = -eJ(l -zJ), s = --rz, « = ~Ъ~'
*	ЛЛ	ЛЛ

б)	s = |е2(1 — z2), s' = — e2z(l — г2), s" = е2(— 1 + 3z2)

и применить формулу (11.8).

Ответ.

а)	4- = 1 + 2е2 (in | - 1- -	’ 2 ) + 0(е4 In2 е),

«5о	\ е 2	2(1-z)/

б)	= 1 + 2е2 f2( 1 - Зе2) In  2 -  -3+11гЛ + 0(е4 In2 е)').
voo	\	е\/1 - z2	/

11.6. Показать, что потенциал источников (11.4) при г —► 0 имеет следу-
ющее асимптотическое разложение (М. В. Федорюк [206]):

Вычислить коэффициенты ао, Ьо, Ль Ь\.

Решение. Коэффициенты ао, bo находятся из (11.5):

ао = -2g(z), bo = -L(q) + (21n2)g(z).

Подставляя разложение (11.3) для П(<?) в уравнение Лапласа (11.2), получим
рекуррентные соотношения для определения всех последующих коэффициен-
тов ai, аг,..., bi, Ьг,... В частности для ai, bi получим

oq(z) + 4ai(z) = 0 и bo(z) + 4ai + 4bi = 0.

9 Обе формулы а) и б) приведены Ван-Дайком [33, с. 106].
Глава 4

НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ КАВИТАЦИИ

§ 12. Начальная стадия кавитации

Обычно полагают, что жидкость не способна выдержать отри-
цательное давление. При относительном движении твердой границы
и жидкости последняя соприкасается всюду с границей только до
тех пор, пока давление в каждой точке на границе остается поло-
жительным. Поэтому в точке, где давление обращается в нуль, об-
разуется полость (каверна), заполненная паром или газом. Образо-
вание таких полостей в жидкости называется кавитацией [134]. Ре-
жим течения, при котором в жидкости образуются отдельные полости
(пузырьки) называется начальной стадией кавитации или пузырьковой
кавитацией.

В области разрежения пузырьки растут, а с повышением давления
начинают захлопываться. Захлопывание пузырька обычно сопровожда-
ется высоким давлением и температурой, выделением большой энергии
в течение короткого времени. Захлопываясь вблизи поверхности тела,
пузырьки могут разрушать ее.

Этот эффект называется кавитационной эрозией.

Рассмотрим динамику сферической полости (пузырька). Эффектами
капиллярности и вязкости пренебрегаем, что имеет место при выпол-
нении условий

— «1,	< 1,	(12.1)

Роой	ау/РРоо

где /х — динамическая вязкость жидкости, х — коэффициент по-
верхностного натяжения (а в этом параграфе будет относится к чис-
лу кавитации). Для колебаний пузырька в воде при х « 70 дн/см,
рж = Ю”6 дн/см2, /х = 10”2 г/(см • с) условия (12.1) выполняются при
а » 10“4 см, т. е. почти для всех практически важных случаев.

Полагая в (9.12), что = const(t) и давление рг(а) — известная
функция радиуса а, получаем

а

L = 2тгра3а2 — - тш3рж(1)а? + рг(а)4тга2 da.

(12.2)
Функция Лагранжа (12.2) определяет изменение радиуса пузырька,
находящегося в потоке жидкости, если пузырек движется вместе с ча-
стицей жидкости.

Эта задача для использования начальной стадии кавитации при
обтекании профиля. Пузырек, попадая в область пониженного давле-
ния, сначала растет до достижения максимального размера, а затем
захлопывается в кормовой зоне, где давление достаточно высоко.

Рассмотрим задачу Рэлея о захлопывании пузырька из состояния
покоя в предположении, что рг = 0 и р^ = const [103, 134].

Из (12.2) запишем закон сохранения энергии, принимая, что при
t = 0 а = ао и а = 0:

2тга3а2р+ тга3р0О = тгадРоо => а2 = | —	- 1Y (12.3)

3	3	3 р \ а J

Зависимость радиуса пузырька от времени определяется квадратурой

(12.4)

В соответствии с интегралом (12.4) радиус а убывает со временем до
нуля. Время полного замыкания определяется из (12.4):

z3/2 dx
\/ \ — х3

as О,915ао ..

V Poo

(12.5)

Как показывает уравнение (12.3),
зырька стремится к бесконечности
при а —► 0.

На рис. 4.1 изображены, воспро-
изведенные в монографии [32] фо-
тографии захлопывающейся полости
в неподвижном сосуде с водой. Сним-
ки приведены через интервалы време-
ни 2 • 10”4 секунды. Каверна была об-
разована путем быстрого растяжения
воды с малым пузырьком газа путем
электролиза.

В течение периода времени, охва-
тываемого снимками, разность давле-
ний роо — рг поддерживалась равной
0,051 атм, средний радиус каверны на
первом снимке равен 0,69 см, а мини-
мальный ее объем достигается между
10-м и 11-м снимками.

скорость а захлопывания пу-

1

• ООО
5	6	7	8

9	10	11	12

13	14	15	16

4	0	4	6

17	18	19	20

Рис. 4.1. Фотографии схлопыва-
ющейся каверны в неподвижном
сосуде с водой
Снимки с 11 по 20 показывают повторное расширение с характер-
ной несферической формой.

Рис. 4.2. Зависимость радиуса пузырька от времени

На рис. 4.2 изображен график зависимости радиуса от времени
и сравнение ее с экспериментом, приведенном на рис. 4.1. Значе-
ние начального радиуса определено путем экстраполяции и равно
ао = 0J2 см. Начальный момент вычислен по продолжительности схло-
пывания (12.5). Как видно из сравнения с рис. 4.1, наблюдаемые значе-
ния радиуса (на фото 1-10) на стадии захлопывания полости хорошо
согласуются с теорией Рэлея (12.4).

Рис. 4.3. Зависимость давления в жидкости от расстояния до центра пузырька

Давление в жидкости можно определить из интеграла Коши-
Лагранжа. На рис. 4.3 даны графики зависимости относительного дав-
ления р/рсх) от расстояния г до центра пузырька в разные моменты
времени с различным параметром к = (ао/ау. На границе пузырька
г = а, р = 0, а при г —► ос величина р —► р^. При г/а ~ 1,6 давле-
ние достигает наибольшего значения ртах- Величина ртах возрастает
с ростом fc, т. е. с уменьшением а, и стремится к бесконечности,
когда а —► 0.

Наличие начальной поступательной скорости сферы приводит к по-
явлению предельного радиуса, при котором процесс захлопывания пре-
кращается (О. В. Воинов и А. Г. Петров [49]). В этом случае в функции
Лагранжа (12.2) необходимо учесть кинетическую энергию поступа-
тельного движения в соответствии с (6.5):

L = 2тгра3а? + а3х% — тта3/^.	(12.6)

о	о

С учетом начальных условий а = ао, а = 0, xq = 0, xq = и запишем два
закона сохранения:

а3±о —

3.2 agu2 2роо з _ 1 я , , 2 Роо з

6a3 Зр а ~ 6 a°U + 3 р а°-

Последнее уравнение можно переписать в виде

“ЧуС?-#-"3?)' "3 = й- <12-7>

Из (12.7) следует, что существует два экстремальных значения радиу-
са а. Если начальная скорость достаточно мала (и2 < 4роо/р), то

&тах — &min — &0

(12.8)

На рис. 4.2 штриховой линией изображена зависимости а/ао от t/t&
при п = 0,04. Значению п = 0 соответствует решение задачи Рэлея.

Захлопывание пузырька в тяжелой жидкости происходит аналогич-
но. Разница состоит в том, что количество движения q,3xq непостоянно.
За время захлопывания (0, to) оно изменяется от 0 до значения, которое
можно вычислить из уравнения 9

a3XQ = 2g a3 dt,
о

где xq — координата центра пузырька по оси, направленной вертикаль-
но вверх.

Можно ввести эффективную начальную скорость и так: a3XQ = q,qU.
Тогда закон движения пузырька в тяжелой жидкости в окрестности
t = tQ будет таким же (12.7), как если бы тяжести не было, а была
начальная скорость.

Вычислить количество движения и эффективную скорость и можно,
пользуясь тем, что закон изменения радиуса пузырька почти во все

9 Это уравнение вместе с законом сохранения энергии для сферического
пузырька в тяжелой жидкости приведены в [283].
время движения не отличается от закона Рэлея (12.3), в соответствии
с которым	t___

dt = -J^ /3/2 da.

V2P°o

Подставляя dt в интеграл, его можно вычислить

3	0	/ Зр ' a?/2 da 4 I р fa ' £9^2 d£

a6Qu = 2g J	----- = gag J	V6 ^== •

V 2?°° Jo _ аз у Po° Jo -€3

Последний интеграл выражается через гамма-функцию. Подставляя
его численное значение, найдем эффективную начальную скорость,
обусловленную гравитацией [51]:

и = l,14ga0\/p/poo •

С помощью (12.8) находим наименьший радиус
/О,57ррао\2/3
&min — «о П, 71 — I	1

\ Роо /

Эксперименту, приведенному на рис. 4.1, соответствуют значения и =
= 3,6 см/с и п = 0,04 и наибольшая скорость центра сферы тах(±о) =
= и/п3 = 554 м/с. Значения amin и тах(±о) соответствуют радиусу
и скорости образовавшейся струи.

На рис. 4.2 штриховой линией изображена зависимость a(t), опре-
деленная по (12.7), а точками — данные снимков 11-18 на рис. 4.1.
Точки расположены ниже теоретической кривой, так как в ней не учте-
ны потери механической энергии при ударе кавитационной струйки
о поверхность пузырька.

Более детальные численные расчеты захлопывания полостей в жид-
кости с образованием кумулятивных струй до момента их удара о по-
верхность пузырька приведены в работах В. В. Воинова и О. В. Воино-
ва [42, 43, 45] и в других, более поздних исследованиях, приведенных
в обзорах [51, 227].

Упражнения

12.1.	Вычислить наибольшие значения для поступательной xq и ради-
альной ао скоростей при захлопывании сферической полости при начальной
скорости и (О. В. Воинов и А. Г. Петров [49]).

/—	/ о \ 1 /2

ГЧ	4роо .	/2 Роо /. и\

Ответ, шах яо =-------, max а = \ - — 1---------—

ри	V 3 ри \ 4роо /

12.2.	Вычислить время захлопывания полости в эксперименте, воспро-
изведенном на рис. 4.1, если = 0,051 атм = 5 • 104 дн/см2, ао = 0,2 см.
Определить момент времени от начала захлопывания, если момент захлопы-
вания соответствует среднему моменту времени между 10-м и 11-м снимками,
а промежуток между снимками равен 2 • 10-4 с.
Ответ. Время захлопывания to = 0,915ао\/р/Роо = 2,95 • 10-3 с.

Интервал между первым снимком и моментом захлопывания 1,9- 10-3 с,
момент первого снимка t* = 1,05 • 10-3 с, t*/to = 0,36.

12.3.	Сосуд с жидкостью колеблется по вертикали. Написать уравнения
движения сферического пузырька в жидкости. Эффектами вязкости и капил-
лярности пренебречь.

Решение. Пусть дно сосуда в абсолютной системе координат движется
по закону z = b cos cut. В системе координат, скрепленной с сосудом, кроме
силы тяжести добавляется неинерциальная массовая сила Ьш2 cos cut. Сле-
довательно в уравнениях движения (9.11) величину g нужно заменить на
g(t) = g — ku2 cos cut. Тогда

ad + | a2 = ——— — (h — z)(g — ba)2 cos ujt) + z2,

(a3z) = 2a3 (g — Ьш2 cos wt),
dt

(12.9)

где координата z отсчитывается ото дна и направлена вертикально вверх.

12.4.	Исследовать высокочастотные вынужденные колебания сферического
пузырька с малой амплитудой в условиях задачи 12.3. Для давления газа
внутри пузырька принять уравнение политропы: рг = pq(oq / а)3у [13, 14], а для
частоты колебаний сосуда и условия

. .2 _ ЗЭ'РО . .2 g

^0 — ---9- ш -----------.

P<Lq	П — Zq

Получить условия, при которых пузырьки могут тонуть.

Ответ. Пузырьки тонут при h — zq > —— (	) (Н. Н. Bleich (1956)

Pg \bu/'

[230]).

12.5.	В результате подводного взрыва на глубине h образовался газовый
пузырек. Его объем достиг максимального значения Vq. Оценить полную энер-
гию взрыва.

Указание. Сделать допущение о сферичности пузырька и применить
закон сохранения энергии (см. упр. 9.2).

Ответ. Е = (pa + pgh)VQ.

12.6.	В упр. 12.5 по известным значениям энергии взрыва Е и глубине h
оценить время достижения максимального объема пузырька.

Указание. Определить время из уравнения энергии. Воспользоваться
тем, что уравнение такое же, как в задаче Рэлея о захлопывании сферического
пузырька и, следовательно, для времени справедлива формула (12.5).

Лр"	/е2р3\^6

Ответ, г = О,915ао J — = с ( —| , с = 0,567, ро = ра + pgh.

V Ро	\ Ро 7

12.7.	В упр. 12.5 по известным значениям энергии взрыва Е и глубине h
оценить период осцилляций образовавшегося пузырька.

Ответ. Период осцилляций складывается из времени т роста пузырька
( Е2 о3 V/6
и такого же времени захлопывания. Отсюда период равен 2т = 2с ( —|

К Pg 7
12.8.	Сферический пузырек расширяется в невесомой жидкости из состо-
яния покоя при отсутствии противодавления по закону, найденному в упр. 9.4.
Какой полной энергии соответствует этот закон?

Решение. Закон движения является решением уравнения сохранения
энергии, который при а = 0 и 7 = 4/3 имеет вид: 2лра3а2 + 4тгроОо/а = Е.
В начальный момент времени а = ао, а = 0, откуда находим Е.

Ответ. Е = 4тгро^О’ где Ро — начальное давление в полости.

12.9.	Шар радиуса а, имеющий плотность ро, движется под действием
силы тяжести в жидкости, находящейся в сферической оболочке радиуса 2а.
Движение шара начинается из состояния покоя, когда шар касается оболочки
в ее наивысшей точке. Определить скорость шара U в момент, когда его центр
совпадет с центром оболочки.

Решение. Из закона сохранения энергии найдем

Г 4-То = П 4-По, То = 7гроа3С/2, По = npoa4g, П =pa4g,
ими

где То и Т — кинетические энергии шара и жидкости в момент совпадения цен-
тров шара и оболочки, По и П — потенциальные энергии шара и вытесненной
им жидкости в начальный момент. Потенциал поля скорости жидкости, когда
центры шара и оболочки совпадают, ищем в сферической системе координат
в виде

Ф = (AR 4- -Д) cos#.

\	R2/

Из граничных условий на оболочке и шаре

дФ _ о дФ
dR R-2a ’ dR

находим А = U/7, В = 4a3U/7. По найденному потенциалу Ф вычисляем
кинетическую энергию

= — U cos0

„ UcosOdS = ^irpa3U2,

R=a	91 г

и из закона сохранения энергии получаем

Ответ. U2 = 14ag ——.

7ро + 5р

§ 13. Течение при сильно развитой кавитации

1.	Схемы кавитационных течений. В § 10 было показано, что
в потоке, обтекающем тело, может начаться образование полостей в
жидкости, если местное давление оказывается меньше критического
(близкого к нулю). При дальнейшем увеличении скорости набегающего
потока обтекание приобретает отрывной струйный характер. За телом
образуется каверна, поверхность которой устойчива за исключением
хвостовой ее части, где происходит смыкание струй, оторвавшихся от
различных сторон обтекаемого тела. Внутри каверны давление очень
близко к постоянной величине рк — давлению насыщающих паров (или
к давлению газа при искусственной кавитации) [70, 184].

Важной характеристикой кавитационного обтекания является без-
размерное число кавитации:

2	2

Роо ~Рк = Ук - Удо
рУдд/^	У дд

(13.1)

На рис. 4.4 представлены две наиболее часто употребляемые схемы.

Рис. 4.4. Схемы Рябушинского (а) и Эфроса (б)

Схема а предложена Д. Рябушинским в 1919 г. Согласно этой схеме
кроме обтекаемой поверхности АВ вводится симметричная фиктивная
поверхность А'В', на которой замыкаются свободные струи А А' и ВВ'.
Считается, что на струях AAf и BBf соблюдается условие постоянства
давления рк или, что то же самое, условие постоянства скорости v =
= vK. Отсюда находится форма свободной струи, длина каверны 21х
и ее ширина 21у. Сила сопротивления определяется как интеграл от
давления по поверхности АВ:

(р - pK)nxdS.

(13.2)

АВ

Схема б с возвратной струей, уходящей на второй лист римановой
поверхности, предложена Эфросом (1946) [4].

Обе схемы для расчетов длины и ширины каверны и силы сопро-
тивления дают практически неразличимые результаты для всех чисел
кавитации 0 < а < 0,4, которые могут реализоваться в экспериментах.
При а —► 0 обе схемы переходят в схему Кирхгофа (1869) [5], в кото-
рой свободные струи имеют бесконечную протяженность. На рис. 4.5
изображены границы течения, возникающего около пластинки при
различных числах кавитации.

Рис. 4.5. Каверна за пластинкой при различных числах кавитации
2.	Прямой вариационный метод расчета. Дадим приближенное
решение задачи кавитационного обтекания по схеме Рябушинского,
основанного на вариационном уравнении (5.12), которое для стацио-
нарного обтекания можно представить в виде

s(m^-PooV

рбп dS,

(13.3)

да

где <9Q — граница области, занятой жидкостью, т — присоединенная
масса тела, ограниченного поверхностью 9Q. Если воспользоваться
очевидным равенством

6V = -

6п dS,

да

то уравнение (13.3) можно записать следующим образом:

6U =

dv

(p-pK)6ndS, U = -т^- + (poo -pK)V.
&

(13.4)

Для вариации границы 9Q, реализующей течение по схеме Рябушин-
ского:

6U = (р — рк) dS + (р — Рк) Sn dS,

(13.5)

где Е и Е' — смоченные твердые границы. Интеграл по свободной
границе равен нулю в силу равенства: р = рк. Если смоченные грани-
цы Е и Е' не варьируются, то 5U = 0, что составляет вариационный
принцип Рябушинского (1927). (Иной вывод этого принципа приведен
в монографии Г. Биркгофа и Э. Сарантонелло [20].)

Из выражения (13.5) можно получить точную формулу, связы-
вающую силу сопротивления пластинки и функционал Uq для гра-
ницы dQo, определяющей решение задачи Рябушинского (А. Г. Пет-
ров [141]):

Flx = Uq.

(13.6)

Чтобы это показать, рассмотрим семейство dtl(a) геометрически подоб-
ных границ, где а — характерный линейный размер д£1. Поскольку 1Х
и U пропорциональны а и а2 соответственно, то

6lx _ 6U _ 6а

Отсюда и из (13.5) имеем соотношение

2С70— = 2 \(p-pK)nxdSl
а

So
которое в силу (13.2) эквивалентно (13.6). Аналогичная формула для
осесимметричного обтекания диска имеет вид [239]:

Flx = ^U0.	(13.7)

При изменении параметра 1У, когда 1Х — фиксировано, вариация U
в соответствии с (12.5) равна нулю, т. е. dU/dly = 0. Отсюда можно
получить зависимость отношения х = 1У/1Х от числа кавитации. Для
определения конкретных приближенных зависимостей выберем в каче-
стве семейства варьируемых границ dQ,(lXily) эллипсы 1Х и 1У. Тогда
т = тг1у, V = тг1х1у:

2

U=^ir(alxly-l2y).	(13.8)

Так как dU/dly = 0, то

х = к-	(13.9)

Подставляя (13.8) в (13.6), найдем коэффициент сопротивления, отне-

сенный к миделю каверны:

(13.10)

Приближенные зависимости (13.9) и (13.10) практически неотличимы
от точных, выражаемых через эллиптические интегралы, в диапазоне
чисел кавитации 0 < о < 0,4 [12, 18]. Наибольшая погрешность со-
ставляет соответственно 3 и 0,2%.

Так же просто решается и осесимметричная задача (см. упр. 13.3).

Применение прямого вариационного метода расчета кавитационных
течений в большой степени зависит от удачного выбора класса варьи-
руемых границ, в котором ищется решение задачи. Ниже излагается
другой вариационно-асимптотический метод, в котором такой выбор
проводить не требуется. Он базируется на асимптотической теории
тонкого тела (см. § 11) и разложениях по а 1.

3.	Асимптотические разложения для тонких осесимметричных
каверн. Наиболее простые результаты асимптотической теории тонких
каверн получены из дифференциального уравнения в приближении
гипотезы плоских сечений [68, 113, 114, 220]. В этих работах опре-
деляется форма каверны с погрешностью порядка 1/1псг. Силу же,
действующую на кавитатор, вообще невозможно вычислить. Точность
порядка а достигается лишь при описании каверны с помощью инте-
гродифференциального уравнения. Изложенная выше теория тонкого
тела в сочетании с вариационным подходом образует эффективный
для решения кавитационных задач вариационно-асимптотический ме-
тод. Он существенно повышает точность асимптотических разложений
и позволяет находить разложения для силы.
Изложим вариационно-асимптотический метод, следуя работам
А. Г. Петрова [147, 148].

Форму каверны ищем в виде: г2 = 4s(r). Если выразить постоянную
скорость на границе каверны через число кавитации (13.1), то из (11.7)
получим уравнение свободной границы:

s" In s +

/\2

(13.11)

где s ~ е, а погрешность уравнения имеет порядок е2 In2 е.

На концах схода свободной струи следует принять условия:

Я2

4/Г

S(-2O) = S(2o) =

где R — расстояние от точки схода струи до оси

симметрии. Здесь следует различать два случая (рис. 4.6):

а)	— нетонкий кавитатор, например диск; поперечный и тем более

продольный размеры каверны существенно превосходят размер кавита-
тора Я;

б)	— тонкий кавитатор, например конус с малым углом раствора;
расстояние R сравнимо с миделем каверны у/е. Для нетонкого кавита-

Рис. 4.6. Схемы обтекания кавитаторов: а — нетонкий, б — тонкий

тора (рис. 4.6 а): s(±l) = R2/l% ~ <т2 и без потери точности рассматри-
ваемого приближения (11.8) на концах схода свободной струи можно
принять условия

$(-!) = $(1) = 0.	(13.12)

Для тонкого кавитатора (рис. 4.6 б) в условии на границе схода:
s(—zo) = s(zo) = Я2/(4/2) величина R сравнима с миделем каверны
и ее нельзя полагать равной нулю.

Перейдем к решению задачи определения свободной границы за
нетонким кавитатором. С помощью тождества

/2

If 1_ _ । $

S 1П S + — =

и последней формулы дифференцирования оператора L в упр. 12.6
уравнение (13.11) удобнее преобразовать так:

,2 г	1	,2

72 sln-^-s + Z(s) =	(13.13)

dz L	1 - z	\	lz	z
Так как s ~ е, то решение можно искать в виде

s - e(s0 + S1S1 + ...), <T = elnf-\	£| = , , ,

\ е /	In 1 е

(13.14)

Для sq получим уравнение и его решение, удовлетворяющее условиям

(13.12):

«о+ 1=0, s0 = |(l--z2)-
X*	*

Для $i уравнение имеет вид

d2
dz2

SQ
1-z2

-So +

ад) -

/2
so
2s’

В правой части уравнения стоит известная функция z, поэтому ре-
шение находится двумя квадратурами. При интегрировании в первый
раз следует воспользоваться тем, что s(z) — четная по z функция
и (0) = 0, а второй раз тем, что $1(1) = О, откуда имеем

«1 =

(j - 5 1п2) (1-z2) - 1(1 +z)ln(l+z) -
\ * ~ / *

- 1 (1 - z) ln(l — z) + 1 1п2.
*	X*

Подставляя найденные $о(г) и $i(z) в разложение (12.21), получим

— In 2^ z2 — | (1 + z) ln( 1 + z) —

- 1(1-z)ln(l-z)l+O(e?)l. (13.15)

Из (13.15) можно найти разложение для обратного удлинения каверны
(отношение радиуса миделя каверны к ее полудлине):

х2 = 4s(0) = е(1 +Е1 + ...).

(13.16)

Для вычисления силы сопротивления F обратимся к формуле Гара-
бедяна (13.7), в которой сила выражается через экстремальное значе-
ние функционала U (13.4). Найдем асимптотическое разложение функ-
ционала U. Присоединенная масса вычисляется следующим образом:

т

= -Р

(Ф — z)nz dS,

nz dS = 4tts' dz,

dv

где интеграл берется по поверхности осесимметричного тела г2/4 =
= s(z); nz есть проекция внешней нормали поверхности на ось z; dS —
элемент поверхности между двумя сечениями в точках z и z + dz.
Подставляя в интеграл выражение для потенциала (11.7), получаем

1

(s' Ins + L(sf))sf dz.

-i

Объем осесимметричного тела вычисляется по формуле

Отсюда получаем выражение для функционала (12.4) с относительной
погрешностью х1 21пх:

U
2тг pv^ll

[crs + (s')2 Ins + s'L(s')] dz =

as + (s')2 In

s

(13.17)

+ s'I(sf) dz.

В соответствии с принципом Рябушинского решение уравнения
свободной границы (13.11) с краевыми условиями (13.12) является
экстремалью функционала (13.4) (см. упр. 12.5). Для определения экс-
тремального значения U нужно подставить разложения (13.15), (13.4)
в (13.17):

Uo =

Z^PV^ l3z

1 1

[so - (so)2] dz + e2

-1	-1

О, О о' о' I o'2 In S°
si — zs0Sj s0 m - r

1 — z

+ SqI(s'o) dz.

Входящие сюда интегралы нетрудно вычислить:

+ SqI(Sq)

1

dz =

-1

1 — 1п2
3
Подставляя найденное отсюда значение U в формулу Гарабедяна (13.7),
получим разложение для силы сопротивления

F = Uo =	In~ + 1 -1п2+	(13.18)

Ztz	Е	/

В прикладных задачах используется коэффициент сопротивления, от-
несенный к миделеву сечению каверны. Из формулы (13.16) для него
получим

-^-? = а(1 + (1-21п2)£1 +...).

7ГР^оо^у

Весьма важно то, что разложения как для формы каверны (13.15),
(13.16), так и для силы, действующей на кавитатор (13.18), являются
универсальными, независящими от формы кавитатора. Форма кавита-
тора вносит в эти разложения трансцендентально малые по отношению
к е\ поправки. Причем обратное удлинение каверны х, определяемое
по (13.16), и коэффициент сопротивления, отнесенный к миделеву
сечению каверны, зависят только от числа кавитации. Аналогичные
результаты получены и при соответствующем анализе кавитационных
задач плоскопараллельного течения (Петров, Сотина (1984) [144]). Это
позволяет сделать вывод, что рассматриваемые характеристики при
изменении формы кавитатора изменяются незначительно. Вычислять
такие изменения следует в точной постановке. Примеры решения задач
кавитационного обтекания в точной постановке приведены Д. В. Ма-
клаковым в монографии [119]. В ней с помощью точных математиче-
ских методов приведены решения плоских задач о форме кавитатора
наибольшего сопротивления.

Упражнения

13.1.	Доказать формулу Гарабедяна (13.7).

13.2.	Доказать, что при малых числах кавитации формула Гарабедяна
определяет силу сопротивления для кавитатора любой формы с относительной
погрешностью R/lz, где R — характерный размер кавитатора.

13.3.	Найти коэффициент сопротивления и отношение ширины к ее длине
в зависимости от числа кавитации при о 1 для осесимметричного кавитаци-
онного обтекания, варьируя границы на семействе эллипсоидов.

Указание. Воспользоваться асимптотической формулой для присоеди-
ненной массы тонкого эллипсоида

Ответ.
На рис. 4.7 дается сравнение теоретических зависимостей для обратного
удлинения и коэффициента сопротивления С (а), вычисленных по этим
формулам с различными численными [69, 84] и экспериментальными [72, 254]
данными.

Рис. 4.7. Зависимости коэффициента сопротивления С и отношения осей х
от числа кавитации а: кривые / и 5 — теоретические зависимости С (а)
и х(а) (УПР- 13.3), кривые 2-4 — зависимости С(сг), найденные численно
в работах [69, 84, 92], кривая 6 — зависимость х(а)> найденная численно
в [69]. Буквами а обозначены экспериментальные данные для С(о) [72], б-г —
экспериментальные данные Рейхарта для х(<?) [254]

13.4.	Получить уравнение (13.11) из условия экстремума функционала U
(13.12) при выполнении условий (12.18).

Указание. Воспользоваться условием самосопряженности оператора и
получить формулы

6 s'L(s')dz = 2

-1

6sL(s) dz = —2

-i

6s — L(s) dz.

J dz

-i

§ 14. Асимптотический закон расширения струи

1.	Асимптотические законы расширения струй Чаплыгина
и Гуревича-Левинсона. При числе кавитации, равном нулю (ст = 0),
каверна за телом имеет бесконечную протяженность. Для плоской
задачи существуют эффективные методы построения точных решений
задачи струйного обтекания тела. Эти методы базируются на аппара-
те аналитических функций комплексного переменного и конформных
отображений. Первое точное решение симметричного обтекания пла-
стинки было найдено Гельмгольцем в 1868 г. и Кирхгофом в 1869 г.
Схема отрывного обтекания препятствия с постоянной скоростью на
свободной границе (струе), равной называется схемой Кирхгофа.
С. А. Чаплыгин в 1910 г. показал, что за любым препятствием, об-
текаемым по схеме Кирхгофа, струя в бесконечности асимптотически
приближается к параболе Y2 = 2ЬХ, а параметр параболы b связан
с силой сопротивления F, действующей на единицу длины цилиндри-
ческого препятствия, соотношением b = 2F/(irpv2X)).

Результату Чаплыгина можно придать иной физический смысл.
Рассмотрим обтекание полубесконечного тела потенциальным потоком
идеальной жидкости. Если уравнение границы тела Y = Y(X) таково,
что Y2(X)/X —> 0 при X —► оо, то сила сопротивления, действующая
на полутело, будет равна нулю (обобщенный парадокс Эйлера-Далам-
бера). Если У2(Х)/Х —► оо, то сопротивление полутела бесконечно ве-
лико. Конечной величиной сила сопротивления будет тогда и только то-
гда, когда граница полутела асимптотически приближается к параболе
У2(Х)/Х — 26 при X —► оо. В этом случае сила сопротивления равна
F = ± 7г bpv^. Силу сопротивления можно также определить из общего
закона изменения количества движения жидкости. Такой способ можно
распространить и на осесимметричную задачу обтекания, где точных
решений не существует. Эта идея принадлежит М. И. Гуревичу (1947).

Для осесимметричной задачи Левинсон в 1946 г. [256] и М. И. Гу-
ревич в 1947 г. [70] независимо установили асимптотический закон
расширения свободной границы (струи), на которой скорость постоянна
и равна скорости на бесконечности (схема обтекания изображена
на рис. 4.8):

(14.1)

где X и Y — цилиндрические координаты, R — постоянный коэффи-
циент (X, Y и R имеют размерность длины; чтобы провести аналогию
с плоской задачей общепринятые обозначения цилиндрических коор-
динат z,r заменяем на обозначения декартовых координат на плоско-
сти XY).

Рис. 4.8. Схема обтекания Кирхгофа при нулевом числе кавитации
Левинсон исходил из интегрального тождества для гармонической
функции и условия постоянства скорости на свободной границе. Ему
удалось найти следующий член в асимптотическом законе. Из-за чрез-
вычайной сложности такого подхода коэффициент при следующем
члене разложения (1пХ)-1 таким способом найти не удается. Нет
также возможности вычислить силу сопротивления.

Гуревич свел задачу к определению границы полубесконечного тела
конечного сопротивления. Отсюда он нашел главный член асимптотики
(14.1) и установил связь множителя R и силы F, действующей на
полубесконечное тело:

R* 2 =	(14.2)

27T/9VOO

Кроме того, из асимптотического закона в неявном виде

8F

In

полученного Гуревичем (см. [70, с. 466]), вытекают оба члена асимп-
тотического разложения (14.1) 9.

Описания всех перечисленных результатов приведены в монографи-
ях М. И. Гуревича [70] и Г. Биркгофа и Э. Сарантонелло [20]2).

Ниже представлен вывод этих результатов с помощью развитой
выше асимптотической теории тонких каверн. Для свободной струи
У(Х) будет получено интегродифференциальное уравнение, опреде-
ляющее свободную границу с точностью до малых порядка \/Х при
X —► оо. Решение его построено в виде следующего асимптотического
разложения:

Se~x = (Л)"'/2 [1 +Qi(u)(A)-‘ +Q2(iz)(A)-2+ ...

... +Qn(u)(A)-n + ...] +О(е-А), (*)

Л = In —,	и = In Л,

в котором Qn(zz) — полином степени п, полиномы <Эз(гг) и Qa(u)
приведены ниже. Уравнение и полученное разложение не зависит от
формы кавитатора. Дальнейшие уточнения разложения порядка О(е”Л)
будут зависеть уже от формы обтекаемого тела.

9 Это замечено О. В. Воиновым.

2) Однако в [20] результат (14.1) приводится вместе с (14.2) без упоминания
работы М. И. Гуревича.
Полученный ряд (*) является асимптотическим. В соответствии
с теорией асимптотических рядов [204] остаточный член при уве-
личении порядка приближения будет уменьшаться до определенного
предела, а далее будет возрастать. Для каждого достаточно большого
значения Л существует оптимальное приближение, порядок которого
пропорционален величине Л.

Насколько уточняет разложение (*) результаты Гуревича и Левин-
сона, можно судить по табл. 4.1.

Таблица 4.1

X/R	А	Го	^1/2	Ei	Г1		Г2
20	3	1	0,91	1,07	0,09	1,16	4- 10-2
54	4	1	0,92	1,04	0,05	1,08	1 • 10-2
148	5	1	0,92	1,02	0,03	1,047	4- 10-3
403	6	1	0,93	1,009	0,01	0,982	2 • 10-3

В ней введены следующие обозначения:

Еп = 1 + % + ... + ^. Е./2 = 1 - п = 0,1,2.
А	А	4А

Частичные суммы So и S1/2 соответствуют разложениям Гуревича и
Левинсона, Ei и S2 ~ первому и второму приближению. Через ri
и Г2 обозначены остаточные члены в первом и втором приближениях
соответственно. Приближенно они равны первому отброшенному члену
fn = Qn+i/An+1, П= 1,2.

Динамический радиус R связан с размером кавитатора. Для дис-
ка радиуса Rq численными расчетами установлено R « О,4557?о. От-
ношение X к радиусу диска можно пересчитать через отношение
к динамическому радиусу, приведенному в левой колонке табл. 4.1:
X/Rq = 0,455%//?. Оно меняется в пределах от 9 до 180.

На рис. 4.9 зависимости асимптотик So(A), Si/2(A), Si(A), £г(А)
изображены сплошными линиями, а асимптотика Ез(А) — штриховой
линией.

При А —► оо все асимптотики стремятся к главной асимптотике
So = 1. Однако на интервале А е (3,6) разница между асимптотика-
ми весьма существенна. Разности Si — So, Е2 — Si, S3 — £2» харак-
теризующие сходимость процесса, уменьшаются. Последняя разность
меняется в пределах от 4 до 0,2 %. Она определяет погрешность асимп-
тотик S2 и Е3.

Приведенный анализ показывает, что в диапазоне А е (3,6) второе
приближение S2 является оптимальным и значительно уточняет закон
расширения свободной границы на конечном удалении от кавитатора.
По отношению к асимптотике Е2 погрешности известных асимптотик
Гуревича So и Левинсона Sj/2 весьма велики. Они изменяются в диа-
пазонах от 16 до 2% и от 25 до 5%.

2.	Интегродифференциальное уравнение свободной границы.
Уравнение, определяющее асимптотический закон расширения струи
можно получить из (13.11) предельным переходом при а —► 0.

Введем размерные переменные

X = lz(l+z), S=^- = l2zs	(14.3)

и однопараметрическое семейство интегральных операторов

2G

L(S, lz) = -S(X) In [X(2lz - X)] + f ~ SX } dX'. (14.4)
J |X-X|

При lz = 1 оператор L(S, 1) тождествен оператору L(s), определенному
по (11.4).

Уравнение (13.11) в новых переменных будет иметь вид

Это уравнение эквивалентно следующему:

A [(S')2 In S - <7S] = -2S’± L(S', lz).

Перейдем к пределу а —► 0, зафиксировав форму кавитатора. Распре-
деление давления на поверхности кавитатора и сила, действующая на
него, меняться не будут. Из выражения для силы (13.8) следует, что
тогда lz —► оо. Для свободной струи S(X) получаем уравнение

S"lnS+|—= - lim
Ztj iz—>oo ал

Для вычисления предельного при lz —► оо оператора dL(S',lz)/dX
его удобно представить в ином тождественном виде (см. упр. 12.11).
Тогда предельное уравнение примет вид

[(S')2 InS] = -25'Дт	(14.5)

i

N(S', I) = [ S'(X') In |X - X'| sign (X' - X) dX'.
*1
0

Следует отметить следующие свойства оператора 7V(^(X)).

Свойство 1°. Вторая производная оператора 7V(^(X),/) при I —►
—► оо имеет конечный предел, хотя сам оператор	при I —► оо

неограниченно возрастает.

Свойство 2°. Значения функции <^(Х) на любом конечном от-
резке X е (0, а) дают в оператор	Z)/cLY2 асимптотически

малый при X —► оо вклад, равный 0(Х-2), который в данной теории
не учитывается.

Свойство 2° позволяет доопределять функции <^(Х) на конечном
отрезке 0, а любым способом. Главные при X —► оо асимптотики опе-
ратора cPTV^X), Z)/dX2 меняться при этом не будут. Свойство 2°
вытекает из определения оператора (12.30):

Вд,о =
а	I

= у>(Х') In |Х - Х'\ dX' + [ 9?(Х') In |Х - Х'| sign (X' - X) dX'.
V	*

О	а

При X —► оо первый интеграл оценивается так:
а

р(Х') ln[X( 1 - Х'/Х)] dX' = A In X - В/Х + 0( 1 /X2),
«I
о

а	а

*	р

А= ^(X')dX', В= XV(X')dX'.

V	*

о	о

Отсюда легко оценить вклад — А/Х2 — 2В/Х3 + ... = 0(1/Х2) в опе-
ратор сРДГ^Х),/)/^2, который дает отрезок (0, а).

Условия, при которых существует предельный оператор и его ана-
литический вид определяются из следующей теоремы:
Теорема. Пусть функция у?(Х) удовлетворяет следующим
условиям:

1)	существует вторая производная <р"(Х) на отрезке (0, ос),

2)	—► 0 u y?'(Z) 1п / —> О при I —► оо.

Тогда
»2
lim N(V(X),l) = NM) = т - Ш(Х)),
оо dX

W)) =

d2
dX2

1

X <p(Xt)(In X + In (1 — t)) dt
о

(14.6)

i

W)) = X L" (£) (InX + ln(l -1) - Int)

X 1 /	t

0

если интегралы в I\(X) и Iz(X) сходятся.

Теорема вытекает из формулы дифференцирования, приведенной
в упр. 14.2.

Таким образом, функция S'(X), определяющая свободную струю с
точностью до малых 0(1 /X) подчиняется интегродифференциальному
уравнению	.

[(S')2lnS] = -ZS’N^S’),	(14.7)

где через N^S') обозначено интегральное преобразование (14.6).

Уравнение (14.7) имеет симметрию: при замене X = аХ, S = a2S
оно не меняется. Отсюда из любого решения S = F(X) получим одно-
параметрическое семейство решений S = R2F(X/R).

Перейдем к построению асимптотического разложения для инте-
грального преобразования (14.6).

3.	Асимптотическое разложение предельного интегрального
преобразования. Построим асимптотическое разложение для
^oo(^W) функции вида

^(Х) = /(Л), Л = 1пХ,

где /(Л) — бесконечно дифференцируемая функция. Подставим эту
функцию в (14.6) и применим теорему дифференцирования определен-
ного интеграла по параметру:

' д2

. дХ2
О

W)) =

[X(ln X + щ )/(ln X + a)] dt,

ШРО) =

1

(InX + ai -а)Х

о

д2
дх2

fQnX — a) dt,

а = Inf, ai = ln( 1 — t).
С помощью замены переменной А = 1пХ и соответствующих ей формул
дифференцирования для произвольной функции Ф(А)

х </Ф(1пХ) = </Ф(А)
dX “ dX ’
х^(хф(1пх)) = с^ + £)ф(а)’
аХ	\ал ал J

х!^(ф(1пХ)) = (5?“^')ф<л)-

аА	\аЛ ил j

получим

+ ^i)/(A + a)] dt,

д2
дХ2

— а) dt.

Используя очевидное равенство для производных
f(X ± а) = ±^- /(А ± а),
дХ	да

интегральное преобразование можно привести к следующему виду:

1
XNMX)) = X(I2 - Ji) = F(A, t) dt,
о

F(A, t) = (A + a,)	(/(A - a) - /(A + a)) - /(A + a) -

-2^-/(A + a)-af^ + ^-) /(A-a).
daJ'	\da2 da J J '

Функции /(A ± a) представляются рядами Маклорена:

n

/(A ± a) = /(A) ± af’(X) + ... + (± 1 )n	f<n\A) + ...,

9 V •

00 2fc+l
/c “0

Подставляя их в подынтегральную функцию F{X,t), получим
оо	оо

F(A, t) = А £ Afc(t)/(2fc+1>(A) + £ Bfc(0/fc(A),
k=Q	k=Q

Aq = —2, Bq = — 1, B\ (t) = — 2a\ — a — 2 + a,

4 А. Г Петров
2k

2k —1

2k —\

2fc —1
а

2fc— 1
а

2к
а

(2fc — 2)?

2k
а

(2к)!

С помощью формулы для определенного интеграла

о

о

можно вычислить все интегралы

A()dt = —2,

%
о

Bo(t) dt = — 1,

%
о

B\(t) dt = О,

*1
о

1 1

Ak(t) dt = О, B2k(t) dt = О.
*
о	о

Интеграл от коэффициента Z?2fc+i (t) с нечетным индексом представля-
ется суммой трех интегралов. Значения второго интеграла и третьего
интегралов равны соответственно 2к — 2 и —2fc, а их сумма равна —2.

Первый интеграл можно вычислить, подставив в него ряд

°° +п

п= 1

Тогда, переставляя местами знаки суммы и интеграла, получим

1
*

В?к+1 dt =

о

(2к — 1)! +

(2А:)!

dt — 2.

Интегралы входящих в сумму слагаемых вычисляются так:

1

tna2k~'

«I
о

(2fc — 1)!

(п+1)2*’

«I
о

tna2k dt =

(2А:)!

2fc+l ‘
Подставляя их значения, получим

1
n(n+ l)2fc

1

n(n+ l)2fc+1

ОО

n=l

n(n + l)2fc+I

1

(n+l)2fc+1

= -2£(2fc+l),

—П — 1 + 1

где £(2fc + 1) — значение дзета-функции Римана в точке 2fc + 1: С(3) =
= 1,20206, <(5) = 1,03693,...

Используя значения интегралов от коэффициентов Л и В*;, можно
найти интеграл от F(X,t) и получить окончательное выражение для
интегрального преобразования:

ОО

XNMXY) = -/(Л) -2Л/'(А) -2 J2c(2fc+ 1)/2к+1)(Л).	(14.8)

к=0

4. Асимптотический закон расширения струи. Подставим (14.8)
в уравнение (14.7). Тогда получим уравнение для свободной струи в
следующем виде:

> 00

[/(A)2lnS] =2/2(A) + 4A/(A)/'(A) + 4VC(2fc+ l)/(A)/<2fc+1)(A)i
k=Q

/(A) = S'(X), A = lnX.

Замечательно, что это уравнение допускает точный интеграл. Он сле-
дует из того, что все слагаемые правой части можно представить в виде
производной по переменной А:

2/2(А) + 4А/(А)/'(А) = А (2А/2(А)), 4/(A)/<2fc+1 >(А) = 2 ± S2fc(/),
ал	ал

где через ^2k(f) обозначена сумма

2k

s2fc(/) = £(-l)m/(m)(A)/(2fc-m)(A).

т=0

В частности при k = 1 и к = 2

Е2 = 2/(А)/"(А) - (/'(А))2.

Е4 = 2/(A)/W(A) - 2/'(А)/"'(А) + (/"(А))2.

Учитывая сказанное, найдем интеграл уравнения свободной гра-
ницы:

(2А - lnS)/2(A) = 1 - 2((3)S2 - 2((5)S4 - ...	(14.9)
Функцию In S' можно выразить через /(Л), представив S(X) интегра-
лом S(X) = f(X)exdX и интегрируя его по частям:

S(X) = еА(/(А) - /'(А) + /"(А) + ...).	(14.10)

Подставляя в (14.9) выражение (14.10), получим окончательное урав-
нение для /(Л).

Покажем, что решением уравнений (14.9) и (14.10) являются раз-
ложения

/(А) = А-1 /2 [ 1 + Pi(u)A-1 + Р2(и)А’2 + ... + Рп(и)Х~п + ...],

5(A) = еАА"1/2 [1+ Qi(u)A-1 + Q2(u)A“2 + ... + Qn(u)A-n + ...],

(14.11)

где Рп(и) и Qn(u) — многочлены n-й степени от переменной и = In Л.

Сначала выведем формулы, с помощью которых можно выразить
многочлен Qn(u) через многочлены Pi (и), Р2(и),..., Рп(и). Выпишем
разложения для функции /(Л) и ее производных:

/(Л) = Л-1/2 + Р1(и)Л-3/2 + Р2(и)Л”5/2 + Р3(и)Л-7/2 + ...,

г(А)=(4)л-3/2+(-I р>+р0А-5/2+(4Р2+р0л-7/2+• • • ’

и с помощью (14.10) найдем выражения для многочленов Qi,Q2,Q3> •••

Дадим алгоритм последовательного вычисления полиномов Рп(и), п =
= 1,2,... Пусть

/(А) « F(A) = А”‘/2 [1 + Pi (и)А"1 + Р2(и)А-2 + ... + Р„(и)А-п],
п-е приближение уже найдено. Тогда уравнение для f следующего п +
+ 1-го приближения имеет вид

- A’1 In (1 +Qj A’1 +... + QnA-n) f =

= 1 - ...-2<(2fc+ 1) [2FF(2fe) - ... + (-l)fc(F(fe))2]. (14.13)

Отсюда находим полином Pn+i(u) в разложении для /.

Алгоритм можно понять на примерах вычисления первых трех при-
ближений.
Нулевое приближение. Уравнение (14.13) нулевого при-
ближения таково: (Л)/2 = 1. Отсюда найдем

/ = А“1/2 S = X(lnX)-'/2.

Это то приближение (14.1), которое нашли Левинсон и Гуревич.

Первое приближение. Из уравнения (14.13) первого при-
ближения Л f 1 + |	/2 = 1 находим f = Л-1/2(1 + Pi A-1), Pi =

— —jU. Из (14.12) Q\ = —х и первое приближение
*	*	X*

s = еАЛ-1/2(1 + Q1A-1).

Первое слагаемое полинома Q\ совпадает с приближением Левинсона.

Второе приближение. Выписываем уравнение (14.13) вто-
рого приближения

А (1 + 1 «А-1 - QiA-2) /2 = 1.

Решая его, находим полином в разложении /, а с помощью
(14.12) — полином Q? в разложении S:

г> / \	1 ХЛ I з 2 З2 1	.1

P2(u) = -Ql + -u =32« -8и+4’

Q2 = F2(U)-P1'(u) + |p1(u) + | = |U2-1u+|.

Третье приближение В этом случае в правой части урав-
нения (14.3) нужно учесть слагаемое, содержащее выражение

2/Г - (Г)2 = | А"3 + о(А-3).

Подставляя его в уравнение (14.3), получаем

А (1 + 1 «А-1 - <Э,А-2 + (| Q2 - Q2) А’3) /2 = 1 - | С(3)А-3.

Из него, пользуясь разложением (1 + я)-1/2 = 1 — х + | х2 —	х3,

2 о 16

находим полиномы Рз и Q3 в разложениях (14.11):

= —,1g u3 -	- IQ? + Aq2 _ |<(3)

1 Zo	о	4	Z	4

jj ( \_	5	3	1	2	3	9	5 >/q\

=> ^з(«)--у28« +g« - 8u+i6- 4^(3).

xy / \_	5	3	23 2	29	57	5 >/q\

^3^--l28U +64U "I6U+T6-4C(3)-
При необходимости процесс можно продолжить дальше и вычислить
любой многочлен в этих разложениях. Уравнение (14.9) для первого
и второго приближений имеет вид

(2А — lnS)/2(A) = 1

с погрешностью порядка

е2(а) = |а-3--£а-41пА + ?а-4,
для третьего и четвертого

(2А - lnS)/2(A) = 1 - 2£(3)S2(A)

с погрешностью порядка

и т. д. С увеличением А функции S2(A) и Хц(А) убывают достаточно
быстро, в чем можно убедиться из табл. 4.2.

Таблица 4.2

А	3	4	5	6
s2	4 • IO-2	1,6 -10-2	8•10-3	4•10“3
s4	6 • 10“2	1,2- 10~2	3,5 -10"3	1,3- io-3

Если воспользоваться тем, что при преобразовании подобия урав-
нение для свободной границы не меняется, то из найденного решения
можно получить однопараметрическое семейство асимптотик для сво-
бодной струи:

где параметр R имеет размерность длины и связан с силой сопротив-
ления. Он называется динамическим радиусом. Главные асимптотики
семейства совпадают с законом (14.1) и (14.2), найденным Левинсоном
и Гуревичем.

Перейдем теперь к установлению связи параметра семейства R
с силой сопротивления.

5.	Сила сопротивления. Связь постоянной R и силы F, дей-
ствующей на тело, можно получить из условия совпадения асимпто-
тик (13.15) при lz —► оо и 1 + z —► 0 с асимптотикой (14.1). Обе асимп-
тотики выразим через безразмерные переменные s, z с помощью (14.3):

X = lz(\+z) и S = ^- = l2zs.
Разложение (13.15) при 1 + z —► 0 имеет вид

(14.14)

а асимптотика (14.1) в переменных z, s —
р	/ /	\ —1/2

S = g(l + z) (ln^ + ln(l+z))

Напишем разложение асимптотики (14.1) при lz —* оо:

Это разложение совпадает с (14.14) при -е = —
* Z

I \"1/2

1пЮ

. Отсюда

находим

Подставляя это значение lz в (13.18), в пределе при е —► 0 получим
формулу Гуревича (14.2)

27rpv^

Таким образом, динамический радиус R в асимптотическом законе
выражен через силу сопротивления. При заданной силе сопротивле-
ния из интегродифференциального уравнения находится однозначно
не только главная асимптотика функции S(X/R\ но и все ее члены
разложения по обратным логарифмам Х/R, независимо от формы ка-
витатора. При заданной силе возмущения, которые кавитатор вносит
в форму каверны, убывают обратно пропорционально расстоянию от
кавитатора X. Исследование таких возмущений следует проводить
на основе более точного интегродифференциального уравнения, либо
численных достаточно тонких расчетов.

Интерес представляют также исследования других механизмов,
влияющих на сопротивление. Один из таких механизмов описан в мо-
нографии Л.И. Седова [183]. С помощью обращенной схемы Эфроса
в ней показано, что струя выпущенная вперед из тела, снижает сопро-
тивление пропорционально расходу струи.

Имеется также более ранняя работа Н.Б. Сотиной [194], в которой
получен следующий точный результат. Если в потоке расположить
источники с потенциалом Ф = —д/(4тгг), не нарушающим осевую сим-
метрию кавитационного течения по схеме Кирхгофа, то на кавитатор
будет действовать сила

f	-2—, m = Y.qi,
где т — суммарный объемный расход источников, R — динамический
радиус в законе Гуревича.

Показано также, что главную асимптотику свободной струи источ-
ники не нарушают.

6.	Численные расчеты и полуэмпирические теории. Одни из пер-
вых численных решений осесимметричных течений были представлены
на Международном симпозиуме в Ленинграде 22-26 июля 1971 г. На-
пример, для коэффициента сопротивления диска радиуса I на основа-
нии обработки полученных расчетов была построена интерполяционная
формула, приведенная Гарабедяном [202, с. 198],

СХ =	= (0,827 + 0,026 ст) (1 + ст).

К 1974 г. была разработана схема граничных интегральных уравне-
ний для решения нестационарных плоских и осесимметричных задач со
свободной границей [41, 42] с помощью квадратурных формул высоко-
го порядка точности для интегралов с логарифмической особенностью.
Как известно, такая особенность содержится в ядре интегрального
уравнения (см. метод Трефтца в монографии М. И. Гуревича). Она бы-
ла основным препятствием для решения задач со свободной границей.
В этих работах для объяснения эффекта кавитационной эрозии прове-
дены расчеты кумуляции жидких струй при захлопывании пузырьков
вблизи границы.

Л. Г. Гузевский в 1983 г. аналогичным методом провел расчеты
осесимметричных обтеканий конусов при различных значениях числа
кавитаций. Результаты представлены им в виде интерполяционных
формул. В частности, для коэффициента сопротивления диска им пред-
ложена формула сх = 0,8275 + 0,86 ст, которая фактически подтвержда-
ет вышеприведенный расчет: сх = 0,827 + 0,853 а + 0,026 ст2.

Полагая, что распределение давления на кавитаторе не зависит
от ст, можно получить следующую формулу:

с* = = с®(°)(1 + ст)'

PVqqTtI /2

где I — радиус миделева сечения кавитатора.

Эта формула была предложена и проверена экспериментально для
кавитаторов различных форм в 1945-1948 гг. Рейхардтом (Н. Rei-
chardt) и Л. А. Апштейном (ссылки см. в монографиях [20, 134]) и хо-
рошо согласуется с приведенными численными расчетами для диска.
Из нее и асимптотических формул (13.16) и (13.18) получаем
Динамический радиус R, определяемый по формуле Гуревича, также
можно выразить через I и сх(0): R = (l/2)Z^cx(0). Для диска сх(0) =
= 0,827 и R = 0,4557.

В цитируемых монографиях содержится множество других эмпири-
ческих формул, хорошо согласующихся с приведенными асимптотиче-
скими зависимостями.

В монографии Гуревича [70] содержится также вывод асимптотиче-
ского закона расширения струй при движении кавитатора в сжимаемой
жидкости. Им показано, что в случае дозвукового осесимметричного
течения сжимаемость не влияет на асимптотический закон и выра-
жение для силы. В плоской задаче форма каверны в соответствии
с законом Чаплыгина остается параболой, однако параметр параболы
уже зависит от числа Маха:

Р _ 7Г 2 У2
- 4PooV°°Xy/i ~ М*о

Интерес к исследованию влияния сжимаемости на кавитационное
течение в последнее время растет. Литература по этому важному
вопросу приведена, например, в работе [34] и недавнем обзоре [279].

Упражнения

14.1.	Вывести следующее тождество для оператора (14.4):

ал

21

7V(S", 21) = S'(X') In |Х - X'l sign (X' - X) dX'.
о

Решение. Интегрируя по частям, оператор L(S, I) можно преобразо-
вать так:

L(SJ) =

21

= -S(X) In [X(2l - X)] + (5(X) - 5(X')) din |X - X'| sign (X' - X) =

0

21

= -5(2/) In (2/ - X) - 5(0) InX + 5'(X') In |X - X'| sign (X' - X) dX'.

0

Дифференцируя это равенство по X и учитывая аналог второй формулы
упр. 11.2:

^L(5,/) = £(5',/) +	- ф,

получаем требуемое тождество.
14.2.	Для интегрального оператора N(<p(X),l) в упр. 14.1 вывести сле-
дующую формулу дифференцирования:

d2

W(x)j) = x
dX£

н

Ч>

X/l

d2
dX2

^(0

о

где <р(Х) дважды непрерывно дифференцируема на отрезке X £ [0,I].
Решение. По определению

WW. 0 = №(^(Х) J) - Ni (9?(Х), 0,

М (v?(X)) = v?(X') ln(X - X') dX',
о

i



^(X')ln(X' -X)dX'.

Преобразуем первый интеграл с помощью замены X' = Xt:

N\(<p(X)) = X <p(Xt) (InX + In (1 -t))dt.
о

Второй интеграл дифференцировать под знаком интеграла нельзя. Преобразуем
его так, чтобы потом его можно было продифференцировать:

N2(<p(X),l) =

I

[у?(Х') - у?(Х)] 1п(Х' - X) dX' +

+ <р(Х)(1 - Х)(1п (1-Х)-1 + X).

При дифференцировании подынтегральной функции по X удобна формула

MX') - у,(Х)] ln(X' - X) = [р(Х’) - /(X)] 1п(Х' - X) -
ОХ

-^[^(Х')-^(Х)]1п(Х'-Х),

ох

применяя которую, получаем

JL^(v(X),/) =
аХ

I

= [</(Х') - /(X)] 1п(Х' - X) dX' -	- ¥>(Х)) In (Z - X) +

+ <fi(X)(l - X)(ln (I - X) - I + X) - In (I - X).
После очевидных упрощений придем к следующей формуле для первой произ-
водной:

Л-N2(<p(X),l)
ал

I

Ч>(Х') 1п(Х' - X) dX' - у>(1) In (I - X).

Применяя полученную формулу второй раз, находим вторую производную

Aj N2(tp(X), l) = [ /'(Г) ln(X' - X) dX' - In (I - X) + A.
dX	J	I — X

После замены переменной X' = X/t, dX' = — Xdt/t2 последний интеграл будет
иметь вид

^"(X')ln(X' — X)dX' = Х

(у) (lnX + ln(l-t)-lnt)^.
\ L /	t

Дифференцируя два раза оператор N = М — М и подставляя в правую часть
найденные выражения, придем к требуемому результату.
Глава 5

ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
ТЕЛ. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА В НЕОДНОРОДНОМ
ПОТОКЕ

§ 15.	Общие сведения об исследовании задач
гидродинамического взаимодействия

15.1.	Постановки задач.

1.	Задача о гидродинамическом взаимодействии тел. Пусть
в идеальной жидкости, покоящейся на бесконечности, движутся две
поверхности S\ и S^- В результате создается потенциальное поле ско-
рости жидкости v = grad<£. Каждая поверхность влияет на течение
жидкости и на распределение давления в ней.

Таким образом, возникают реакции (сила и момент силы), дей-
ствующие через жидкость на каждую поверхность, которые требуется
вычислить. Реакции являются результатом гидродинамического взаи-
модействия движущихся поверхностей.

2.	Задача динамики тел в жидкости. Также как в п. 1. два тела
помещаются в жидкость, покоящуюся на бесконечности. Требуется
определить закон движения тел в жидкости.

3.	Реакции, действующие на твердое тело в неоднородном по-
токе. Пусть v(t, г) = grad$> и p(t, г) — потенциальное поле скорости
и поле давления жидкости, удовлетворяющее уравнениям Эйлера (1.1).
Функции Ф(£, г) и p(t, г) заданы. В жидкость помещается движущееся
твердое тело, возмущающее течение. Возмущенное потенциальное поле
скорости vz = grad*!*' и поле давления также удовлетворяет уравнени-
ям Эйлера. На границе тела выполняется условие дФ/дп = vn, а на
бесконечном удалении от тела возмущение скорости стремится к нулю
|v' — v| —► 0. Требуется определить поля скорости и давления, а также
силу и момент, действующие на тело.

4.	Задача динамики тела в неоднородном потоке. Также как
в п. 3 в заданный потенциальный поток жидкости помещается тело.
Требуется найти закон его движения.

Задачи 3 и 4 вытекают из задач 1 и 2, когда одно из тел движется
заданным образом и его движение, создает течение жидкости. Это
течение и является неоднородным потоком, в который помещается
другое тело. Этот способ рассуждения ниже применяется для построе-
ния функции Лагранжа, определяющей динамику тела в неоднородном
потоке жидкости.

15.2.	Методы вычисления реакций. Вычисление реакций, дей-
ствующих на тело в произвольном неоднородном потоке жидкости,
является основной задачей гидродинамики. Первые работы по исследо-
ванию сил, действующих на малое тело в установившемся потоке, были
опубликованы Томсоном в 1870, 1873 гг. [103, 286, 287]. Н.Е. Жуков-
ский в 1895 г. рассмотрел различные случаи движения малого шара
в неоднородном нестационарном потоке.

В частности он показал, что на неподвижный шар, помещен-
ный в установившийся потенциальный поток, действует сила, равная
F = 3mw/2, где тп — масса жидкости, вытесненная шаром, w —
ускорение жидкости в центре шара.

Для непосредственного вычисления силы F и момента М, по фор-
мулам (5.16) требуется найти потенциал Ф(£, х, у, z) из решения задачи
Неймана, затем через него с помощью интеграла Коши-Лагранжа (1.2)
выразить давление и вычислить интегралы (5.16). Провести такие
вычисления сложно даже для тел простой формы. Для сферы такие
прямые расчеты приведены О. В. Воиновым [39].

Существует ряд важных наблюдений, преобразований и теорем,
позволяющих обходить трудности прямого вычисления реакций.

1.	Гравитационный эффект. Нетрудно учесть, как действует
сила тяжести на твердое тело в несжимаемой жидкости: гравитацион-
ный эффект эквивалентен учету добавочного гидростатического
давления. В такой формулировке этот результат для вязкой жидкости
приведен Карманом в 1941 г., а для идеальной жидкости его отмечал
еще Даламбер [18, с. 51]. Благодаря этому можно вычислять силу без
учета тяжести и затем добавить к ней архимедову силу.

Следует предостеречь, что применять это правило нельзя, если
вблизи тела имеется свободная поверхность.

2.	Контрольная поверхность. Полезно следующее тождество:

d

dt %

s

Фп dS =

+ (vn) grad ф) dS,

(15.1)

где S — жидкая (движущаяся вместе с жидкостью) поверхность, Ф —
произвольная дифференцируемая функция.

Если в тождестве принять за Ф потенциал поля скорости, то для
силы нетрудно получить следующую формулу:

d

dt %

S

рФпdS+
а для момента

рФ(гхп) dS +

dS,

где S — поверхность тела, п — внешняя по отношению к телу нормаль.

Замечательно, что в этих формулах интегралы по S' не меняются
при непрерывном деформировании поверхности в области потока, не
имеющей особых точек. Поверхность S', называемую контрольной,
можно преобразовать в сферу или несколько сфер, содержащих особые
точки в потоке, и вычисление интегралов упростится.

Таким путем доказывается следующая теорема.

3.	Теорема Лагалли. Источники жидкости с постоянными мас-
совыми расходами pQi, расположенные в точках гг, i = 1,2,...,fc,
в присутствии неподвижного твердого тела действуют на него
с силой F и моментом силы М относительно точки го:

к	к

V = p£QiV*, М = pY/Mfi - го) X V*.	(15.2)

г=1	г=1

где v* — регулярная часть скорости жидкости в точке Ti, где
находится источник 9.

Теорема справедлива как для плоского, так и для пространственно-
го случаев [125]. Вывод теоремы Лагалли изложен в §21.

4.	Теорема Вейса. Пусть в безграничном пространстве имеется
течение жидкости с потенциалом скорости Фо (А), где А — произ-

вольная точка пространства (рис.ЬА). Все особые точки функции

Фо(А) расположены вне сферы |ОА| > а.
Если в область этого течения по-
местить сферу |ОА| = а, то возник-
нет течение с потенциалом скорости
Ф(А) = Фо(А) + Ф*(А), где Ф*(А) — отра-
женный потенциал

Ф*(4) = 1 [ sA	ds А. ЗА = |ОА'|;

a J dsA

О

Рис. 5.1. К теореме Вейса интеграл берется по отрезку прямой
О А* от центра сферы до точки инверсии

А* (А) (преобразование инверсии А* (А) преобразует точку А в точ-
ку на отрезке О А на расстоянии О А* = а2/О А).

9 Регулярная часть потенциала скорости получается вычитанием из потен-
циала поля скорости Ф потенциала источника —<Эг/(4тг(|г; — го|)).
В качестве примера невозмущенного течения возьмем потенциал
источника расхода Q с центром в точке В, |ОВ| > а. Он является
функцией двух точек А и В и зависит от расстояния \АВ\ между ними:

Ф",ЛВ' =	~^в.м

Покажем, что заменой переменной вд = sb(OB/OA), где sb = |OBZ|,
отраженный потенциал Вейса преобразуется так:

Ф*(Д,В) = -^ ( sA/~

4тга J дед
О

где последний интеграл берется по отрезку прямой ОВ* от центра
сферы до точки инверсии В*(В).

Действительно, из подобия треугольников ДОВ'А и ДОА'В
(рис. 5.1) следует:

1	= |ОА| 1

|А'В| \ОВ\ \АВ'\

что и требовалось доказать.

Проведем ось х через центр сферы и источник, начало координат
х = 0 поместим в центр сферы, а источник в точку х = Ь. Тогда потен-
циал источника как функция декартовых координат будет иметь вид

Q

Фо = —

4тг ^/(я — 6)2 + ?/2 + z2



а отраженный потенциал как функция декартовых координат находит-
ся интегрированием по частям

$t(x,y,z) =

(15.3)

Первое слагаемое — потенциал источника, расположенного в ин-
версной точке х = Ь* = а2/Ь с расходом Qa/R, второе слагаемое —
непрерывно распределенные стоки между центром сферы и инверсной
точкой с постоянной плотностью —Q/a (рис. 5.2) (Hicks, 1880 [103]).

Находим значения отраженного потенциала на оси х

W = £ (

47Г \

—а

Ь(х — Ь*)

х

х — Ъ*

и скорости в точке х = b

fsi.\ d$

_ Qa
х=Ь 4тг6(Ь2 - а2)2

По теореме Лагалли заключаем, что источник притягивает сферу с си-
лой F = pQv'(b).

Аналогично можно найти силу, действующую на сферу, помещен-

ную в поток от диполя. Соответствующие результаты получены Сток-
сом в 1847 г. [103] (см. упр. 15.4 и 15.5).

Рис. 5.2. Сфера в поле источ-
ника

Наиболее эффективным методом вы-
числений реакций для пространствен-
ных задач является метод обобщенных
координат Лагранжа. Основная труд-
ность здесь связана с корректным опре-
делением функции Лагранжа, в которую
входит расходящийся интеграл кинети-
ческой энергии жидкости. Такой способ
успешно применялся Томсоном в цити-
руемых выше работах. Развивая идеи
Томсона, Тейлор в 1928 г. [103, 282] по-

лучил выражение для силы, действую-

щей на неподвижное малое твердое тело, погруженное в неоднородный
установившийся поток v(r). Формулу Тэйлора можно записать в сле-
дующей компактной форме:

где T(v(r),0) — кинетическая энергия жидкости, покоящейся на бес-
конечности, при движении в ней твердого тела с поступательной ско-
ростью v(r). Она представляется квадратичной формой (7.7).

Для сферы радиуса а имеем: T(v(r),0) = | pVv2(r), Vv2 = 2w и из
формулы Тейлора следует приведенная выше формула Жуковского.

Черноусько Ф.Л. (1964) [214] получил выражение для функции
Лагранжа и уравнения движения малого твердого шара в произвольном
неоднородном нестационарном потоке. В этой же работе доказана тео-
рема неустойчивости равновесия малого шара в любом неоднородном
потоке. В. В. Воинов, О. В. Воинов и А. Г. Петров (1973) [40] получили
точное выражение функции Лагранжа для произвольного тела, дви-
жущегося в заданном нестационарном неоднородном потоке, а также
асимптотические по малому размеру тела выражения для реакций,
действующих на тело. Результаты последней работы и развитая на ее
основе теория излагается в § 16.

15.3.	Плоскопараллельные течения.

1. Формулы Блазиуса-Чаплыгина. Для решения плоских задач
успешно применяется методы комплексного потенциала и конформных
отображений (см. формулу (4) п. 1.1). Для установившегося течения
в отсутствие массовых сил эффективны формулы Блазиуса-Чаплыгина
(1910).

Сила, действующая на неподвижный контур С в установившемся
потоке с комплексным потенциалом W(z), и момент этой силы от-
носительно точки z = 0 представляются контурными интегралами от
аналитической функции [211, 213, 228]:

и вычисляются с помощью теоремы вычетов.

Обобщения этих формул для произвольного нестационарного дви-
жения приведены в монографии Л. И. Седова [184]:

(15.5)

2. Два расширяющихся круга. Интересный пример точного ре-
шения задачи о гидродинамическом взаимодействии двух одинаково
расширяющихся кругов радиуса а, помещенных на ось х в точках
х = ±с, приведен М. И. Гуревичем и О. В. Воиновым (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Два расширяющихся круга

Такое течение создают два одинаковых источника, расположенных
в точках х = ±5 = ±\/с2 — а2. Действительно, комплексный потенциал
течения и комплексная скорость имеют вид

W = m(ln (z + b) + In (z — b)),
dW _ т т _ 2mz
dz z + b z — b (z2 — b2)

Нормальная скорость на границе кругов выражается так:

„ fdW ia\ Re(2mz(z2 -b2)eia) , , ia
vn = Re( — eta)= \ ;	2 ’ ’ z = ±c + ae .

\dz )	(z2-b2)(z2-ft2)

Полученная дробь имеет числитель

Re(2mz(z2 — Ь2)ега) = 2ma(2c2 + а2 + 4са cos а + а2 cos 2а)

и знаменатель

(z2 — b2)(z2 — b2) = 2а2(2с2 + а2 + 4cacosa + a2 cos2q).

Отсюда видно, что нормальная скорость vn = m/а постоянна на окруж-
ности и равна скорости расширения круга а = т/а.

Силу, действующую на круг с центром в точке х = с определяем
по формуле Седова (15.5) с помощью теоремы вычетов. Единственной
особой точкой внутри круга является точка z = Ъ. Вычеты подынте-
гральных функций в этой точке таковы:

(dW^ т ( dW\ ,
res —г~ I = т", res z —— = то,
\ dz / о \ dz /

Подставляя их значения в контурные интегралы (15.5), получаем

	2 j

Fx + iFy = ър — + — [2саа — 2Ът] .

Подставляя т = аа, b = \J(? — а2, получаем окончательное выражение
для силы, действующей на круг

+ 2(с-Ус2-а2)^

(15.6)

Точно такая же сила будет действовать на расширяющийся круг около
плоскости, расположенной на расстоянии с от центра круга. Этот
результат Гуревич и Воинов удачно применили к расчету силы, дей-
ствующей на тонкое осесимметричное тело, движущееся параллельно
дну (см. 11.2).

Упражнения

15.1.	Доказать формулу [99, с. 260; 73, 124, 183]

"BndS

4- v div В + rot (В х v

dt.

s

ndS,

где S — жидкая (движущаяся вместе с жидкостью) поверхность, В — произ-
вольная дифференцируемая функция.
Вывести из нее формулы для частных случаев:

а)	поверхность S замкнутая;

б)	В = С<д(£, х, у, z), где С — постоянный вектор;

в)	вывести из формулы случая б) формулу (15.1).

Ответ, а)

+ vdivB) ndS,

б) с-£

at

<pndS = C
s	s

15.2.	Найти силу, действующую на плоскость z = 0 со стороны источника,
расположенного в точке х = 0, у = 0, z = h, и имеющего расход Q.

Решение. Отраженный источник находится в точке х = 0, у = 0, z = — h
и создает скорость в точке z = h, равную Q/(4tt(2/i)2). По теореме Лагалли
находим, что источник притягивает плоскость с силой F = pQ2/(\6irh2).

15.3.	Вычислить приближенно силу, действующую со стороны источника
на неподвижную малую сферу по формуле Жуковского и сравнить ее с точным
выражением.

Указание. Скорость на расстоянии b источника равна v = —Q/(4?r62),
ускорение w = vdv/db и сила по формуле Жуковского F = 2itpa3w
(см. упр. 6.3).

Ответ. По формуле Жуковского: F = ~~	, точное выражение:

4тгЬ&

15.4.	В поток жидкости с потенциалом диполя Фо = д------«---о---

((х-Ьу + у* +
вносят сферу х2 4- у2 + z2 = а2. Найти потенциал образовавшегося поля ско-
рости.

Указание. Потенциал диполя представить в виде

Тогда, в силу линейности задачи отраженный потенциал будет равен — Ф
дЬ

где Ф* — потенциал отраженного источника находится по формуле (15.3).
Таким образом, потенциал отраженного диполя представится так

Ответ. Отраженный потенциал — диполь с мощностью д* = —да3/63,
расположенный в инверсной точке х = Ь*:

Ф* = д*

х - 6*

((х - Ь*)2 + у2 + z2)3/2
15.5.	Вычислить силу, действующую на сферу со стороны диполя из
упр. 16.4.

Решение. Находим распределение по оси х потенциала Ф*(я) и ско-
рости v*(z) отраженного диполя. Для этого в выражение Ф* из упр. 15.4
подставляем у = z = 0:

v*(z) =

</Ф*

dx

Диполь в точке х = b является пределом при е —► 0 комбинации источников
в точках х = Ъ + е их = Ьс расходами Q\ = —birp/e и Q2 = 47щ/е соответ-
ственно. По теореме Лагалли вычисляем силу

F = Qiv*(5 + s) + Q2^*(b) = ~Р

4тгд 2да3
е Ь3

В пределе при е —► 0 получим окончательное выражение для силы, с которой
диполь притягивает сферу [125]:

р _ 8тгд2а3 d 1	_ 24тгд2а3Ь

~р~db (b — b,)3 ~Р (b2- а2)4 '

15.6.	Найти функцию тока для поля скорости с потенциалом (15.3).

Указание. Воспользоваться табл. 1.1 и упр. 1.4.

Ответ.

Ф^, г) =-------------Qb'(x Ь,) ------------

Л.'тгп . /('г — h.	-L *>«2 _1_ у2

§ 16. Теорема о конечном возмущении кинетической
энергии

1. Точные соотношения. Пусть в потенциальном потоке идеаль-
ной несжимаемой жидкости движутся две поверхности: dV\ и
(рис. 5.4). Жидкость покоится на бесконечности. Тогда кинетическая
энергия жидкости равна

Т = Т1+Т12 + Т2,	(16.1)

где Т\ — кинетическая энергия жидкости при движении в ней по-
верхности dV\ в отсутствие поверхности 5V2, Т*2 — энергия движения
жидкости при движении в ней только поверхности 5V2; Ti2 — энергия
гидродинамического взаимодействия (полная энергия Т за вычетом
энергий Т\ и Т2).

Предположим, что кинетическая энергия Т\ и Т2 известны из ре-
шения задач Неймана для поверхностей соответственно dV\ и dV2.
Наша задача состоит в том, чтобы определить Ti2 или конечное воз-
мущение кинетической энергии ДТ = Т\ 4- Tj2 при помещении первой
поверхности в поток, создаваемый второй поверхностью. Заметим, что
кинетическая энергия потенциального течения идеальной несжимаемой
жидкости не зависит от предыстории движения поверхности dV\ и dV%-
Поэтому значения Т\, Т%, Т и Т12 не зависят от способа внесения
поверхностей dV\ и dV% в поток.

Для решения этой задачи может понадобиться следующая теорема
(О. В. Воинов, В. В. Воинов, А. Г. Петров (1973) [40]) (рис. 5.4).

Теорема. Пусть в области, расположенной вне тела V2, задан
потенциальный поток V2 = УФг и пусть на бесконечности Ф —► 0.
При внесении в этот поток тела с произвольно движущейся
границей dV\ (без изменения нормальной скорости vn на 5Уг)
создается потенциальное поле скоростей v, убывающее на беско-
нечности. Тогда конечное возмущение кинетической энергии ДТ
определяется выражением

^l + vT\dV-±- [ф2ЙУ, (16.2)
ut 2 1 at J

V1

где П — область занятая жидкостью в присутствии поверхностей
dV\ и dV% с границей 5П = dV\ U dV2\ Vi — объем тела, ограничен-
ного поверхностью dV\.

— = X (у- V2)2 dv +
р 2 J

Рис. 5.4. К теореме о конечном возмущении кинетической энергии

Доказательство. Сумма двух последних интегралов (16.2)
преобразуется следующим образом:

дФ2

$2vndS. (16.3)

Перенесем первый интеграл (16.2) в левую часть и преобразуем ее
с помощью теоремы Гаусса-Остроградского:

QUV1

Vi
dV\

Фг(У2 — v)ndS —

4dV -

$2Vn dS.

dV\

Полученное выражение совпадает с (16.3), откуда и следует тожде-
ство (16.2).

С помощью доказанной теоремы можно найти функцию Лагранжа,
определяющую динамику первой поверхности в гидродинамическом
поле, которое создается второй поверхностью. При наличии массовых
сил динамические уравнения поверхности dV\ можно получить из
вариационного уравнения Гамильтона (см. гл. 2, (5.12)), где вариация
6п тождественно равна нулю на поверхности движение которой
задано. Под знак вариации входит функционал Т — П, который можно
заменить на функционал ДТ — П, так как вариация 6Т2 = 0. Кроме
того, динамические уравнения не изменяются, если в функционале
△Т (16.2) опустить полную производную по времени. Следовательно,
вариационное уравнение Гамильтона, определяющее движение поверх-

ности, примет вид

t2	<2

dt8K — — dt p6ndS,
J	к

t\	ti dVx

(16.4)

*1

Vi

Последнее подынтегральное выражение, как следует из интеграла
Коши-Лагранжа, определяет давление р% в жидкости при движении
dVz, откуда следует:

P2dV.
%
V1

(16.5)

Таким образом, движение тела Vi в потенциальном потоке, ско-
рость которого V2(:r,t), давление рг(гД), подчиняется вариационному
уравнению Гамильтона (16.4) с функцией Лагранжа (16.5).

2. Приближение малого тела. Для тела Vi, размер которого D
мал по сравнению с расстоянием до тела V2, выражение (16.4) можно
представить в виде разложения по степеням малого параметра D.
Для этого нужно разложить функции V2 и р2 в окрестности тела Vi
и интеграл в области П свести к интегралу по границе dV\. Тогда,
учитывая главные члены порядка D3, получим

(16.6)

Л = Т1(и,гьГ1) -p2(ri,t)Vi,

где ri — координаты геометрического центра тела VJ.
Аналогично можно упростить выражение (16.2), учитывая в нем
главные члены порядка D3:

ЛТ

Р

<ЭФ2(Г1, £)

+ (V2(iy))2) Vi - (ф2(п , t)vi).

/	UL

С помощью соотношения

— (Ф2У1) = (—
dtv 2 *' vat

+ riV2) Vi найдем

Т12 = ДТ-Т1 =Г1(и)-Т1(г1) + ^ф1у1 -рФ2(г.)^-
£	(лЪ

-рУ]Г1У2(г],«). (16.7)

Функции Л и Т\2 можно применять для изучения динамики ма-
лого тела Vj в любом заданном неоднородном потоке V2(r, t),	t).

В динамические уравнения войдут лишь коэффициенты кинетической
энергии Т\ и производные функций V2, pz в точке ri, t.

Для примера вычислим энергию Т\2 для двух сфер переменных
радиусов ai и аг с центрами ri(t) и Г2(£). Подставляя в (16.7) известные
выражения кинетической энергии Т\ и объема VJ, получим

= —2a|riV2 + a3v% — 4Ф2а?а1.

Потенциал Ф2 и скорость V2 жидкости, движение которой вызывается
9*

второй сферой, определяются по следующим формулам:

Г = Г1 -г2,

ф = _о|о2 _ аг(г2г)

2 г 2г3’

(16.8)

Подставляя выражение (16.8) в Т\2, найдем с точностью до малых по-
рядка (а/r)4 энергию взаимодействия двух, произвольно движущихся
сфер:

4.	лЛ2	„2 2

119 ЧСЬСЬ • • .л Ui 0,9 t . /.	\	• /•	\\ ,

— — —£-= а\а>2 + 2	((12^1 (ггг) — aiO2(rir)) +

+ Гг,г2 -	(16.9)

г \	г /

Упражнения

16.1	. Пусть даны две функции

L(t,q,q) и L' = L +
at

Доказать, что

d dL	dL _ d dL'	dL'

dt dqi	dqi dt дсц	dqi

(16.10)
Иными словами, доказать, что функция Лагранжа определена с точностью до
полной производной от произвольной функции /(t,q).

Решение. Функции L и £' отличаются друг от друга на функцию △£,
равную полной производной по времени:

Отсюда

d_ dAL _ dAL _ d df d df A . 3 Э/
dt dqj	dqj dt dqj dt dq3	&?« dq}

16.2	. Выразить энергию гидродинамического взаимодействия Т12 через
коэффициенты присоединенных масс первого малого твердого тела.

Ответ. Т

— = Vi \-L - хЛ (Xij + V6ij) - ViUjjXij+з,
р \ z /

где опущены индексы 2 у Vj и 1 у ij, по индексам г, j предполагается
суммирование.

16.3	. Написать выражение для энергии гидродинамического взаимодей-
/а\4
ствия двух одинаковых шаров радиуса а с точностью до малых порядка [ - ) .
\ г /

Указание. Положить в (16.9) ai = аг.

Ответ.

Т12	4а4а2 2а5га а6 .	3(rir)(r2r)\	......

-- =-----------9---h —Г ( Г1Г2-----5--- ).	(10.1 1)
7Гр Т	г Г \	Г '

16.4	. Доказать, что для сферы малого радиуса а погрешность формулы
(16.6) равна 0(а5).

16.5	. Вычислить энергию гидродинамического взаимодействия двух твер-

дых круговых цилиндров, находящихся на большом расстоянии друг от друга.

Радиусы цилиндров аь аг.

П т » й т Т'2	=	- 4(Пг)(Г2Г)

ответ. 2 2	2	4

тгра^ r г

§	17. Движение твердого тела в неоднородном
потенциальном потоке жидкости

17.1. Реакции.

1.	Общий случай. Функция Лагранжа (16.6) позволяет получить
выражения для реакций, действующих на малое тело, аналогичные
формулам Кирхгофа (7.11) и (7.13). Для этого нужно заменить функ-
цию Т (7.7) на Л (16.6) и повторить рассуждения, которые исполь-
зовались в § 7 для выводов формул Кирхгофа. Такой способ вывода
формул для реакций изложен в работе О. В. Воинова, В. В. Воинова,
А. Г. Петрова (1973) [40].

Пусть твердое тело с кинетической энергией Т, определяемой по
формуле (7.7), движется в неоднородном потоке со скоростью v(r, t) и
давлением p(r, t). Тогда функция Лагранжа определяется из формулы
(16.6):

6

Л = Т(и, ш) - р (г, t)V, 2Г(и,®)= 52 AouV, (17.1)

i,j=l

иг = хг — v*(r,t), г?+3=а/, г =1,2,3,	(17.2)

где г — координаты геометрического центра тела.

Компоненты вектора силы F определяются из выражения

d дК дК
dt dii dxi

(17.3)

Первое слагаемое — производная по времени компоненты Ti вектора
относительного импульса находится аналогично (гл. 3, (7.9)):

дХ	дТ	<П	d'T	,	_

7J7- =	д—	= (Т\,	—	=	—	+ coxZ,

OYi	(JUi	dt	dt

где через d'/dt обозначена производная вектора в осях, скрепленных
с телом. Второе слагаемое в (17.3) при помощи (17.1), (17.2) приводится
к виду

дА _ дТ ди3 _у др _ dv3 _ у др

дхг	ди3 дхг дхг	дхг дхг

Принимая во внимание потенциальность скорости

dv3 _ dv1
дхг дх3 ’

окончательно для силы получим следующее выражение:

F = -^-Т - шхТ - (ZV)v - VVp.	(17.4)

Повторяя рассуждения, проведенные при выводе формулы для мо-
мента силы (7.13), из функции Лагранжа (17.1) найдем общее выра-
жение для момента силы, действующей на малое тело в неоднородном
потоке:	,

М =	- сох ТС - и х I.	(17.5)

dt

Предостережение. Следует иметь ввиду, что символ d/dt
в уравнениях Лагранжа означает дифференцирование по траектории
движения тела. Например, выражение dv\/dt не равно проекции уско-
рения частиц жидкости dv\/dt + Vidv\/dxi\ Под ним понимается вы-
ражение dv\/dt = dv\/dt -V Xidv\/dxi, в котором ii Vi.

2.	Поступательное движение. Для поступательного движения
твердого тела со = 0 и формулы упрощаются:

F =--- (TV)v - VVp, M = -^-uxI.	(17.6)

dt	dt
Распишем подробнее все слагаемые первой компоненты силы (17.6)
для поступательного движения в главных осях х^:

(Z)1 = Лц(х] - 1>1),
/ d-\	.	dvi	. dvi . dvt . dvt \

- (dtTh = "A11 ( 1  >  x'9^ - X2 дГ2 - Хз дГ3)’

-(ZV)i>i = — An(±i	-	А22СЁ2 -	~	А33СЁ3	- ^3)^

и пользуясь уравнением движения

запишем последнее слагаемое (17.6) так:

(17.7)

др
дх\

ди
дх\

После сложения всех слагаемых получим

F\ = — Ац(£1 — wi) 4- pV (w\ —

ди
dxi

(17.8)

В замечательной монографии Ландау и Лифшица «Гидродинамика»
[105] на с. 53 приводятся простые физические соображения по выводу
формулы для силы (см. замечание в п. 4). Процитируем их, оставив
наши обозначения без изменения.

«Если бы тело полностью увлекалось жидкостью (т.е. было
бы v\ =ii,...), то на него действовала бы такая же сила, ко-
торая действовала бы на жидкость в объеме тела, если бы те-
ла вовсе не было. Импульс этого объема жидкости есть pVv,
и потому действующая на него сила равна pVw. Но в действи-
тельности тело не увлекается полностью жидкостью', возника-
ет движение тела относительно жидкости, в результате чего
сама жидкость приобретает некоторое дополнительное движе-
ние. Связанный с этим дополнительным движением импульс равен
Ац(±1 — гц) (первая компонента). Изменение этого импульса приво-
дит к появлению дополнительной силы реакции, действующей на
тело и равной —And(ii — v\)/dt.

Таким образом, полная сила, действующая на тело, равна

Fi = -Ац^(х] -vi) + pVwx.>	(17.9)

CLU

В «Гидродинамике» Ландау и Лифшица нет пояснений, как понимается
в их выражении (17.9) полная производная. Формула (17.9) совпадет
с (17.8), если производную понимать так:

(i^t) — vi(t, xl(t),x2(t),X3(t)).

CLU
Здесь x\(t) — координата тела, a X\(t), X2W, X^t) — координаты
частицы жидкости. Это разные зависимости от времени и, судя по
дальнейшему тексту, это обстоятельство в «Гидродинамике» не учиты-
вается.

Действительно, уравнение движения тела пишется в виде

^-Мхг =PV^-Xn±(xl
dt	dt dt

и, забывая о разном смысле производных, обозначенных одним симво-
лом d/dt, интегрируется:

Мх\ = pVv\ — Лц(±1 — vi).

В действительности же с учетом сделанных замечаний такой интеграл
не имеет места.

Если же тело поместить в однородный поток, т. е. скорость жид-
кости зависит только от времени v(t) и не зависит от координат, то
рассуждения, приведенные в «Гидродинамике», приведут к правильным
результатам (см. п. 4).

Аналогично вычисляется первая компонента момента М\. Первые
два слагаемых, входящих в (17.6), имеют вид

з

(^C)l =

i=l

-(u X Z)1 = (Л22 - А33)(х2 - иг)(*3 - «з)-

Их сумма определяет первую компоненту момента в главных осях для
поступательного движения тела

+ (А22 - Азз)(±2 - V2)(*3 - Уз)- (17.10)

Иногда удобно выразить ускорение твердого тела через градиент
давления с помощью (17.7). Тогда формулы для силы и момента пре-
образуются так:
м, = - у Л,4 к +	- у (i, -»,)Й +

'	UXl UXl	J J их j

1=1 L	j=l

+ (A22 - A33)(i2 - ^2)(±з - *>з)- (17.116)

3.	Симметричное тело. Пусть тело симметрично относительно
трех взаимно перпендикулярных плоскостей. Примем их за координат-
ные плоскости и обозначим оси этой системы через у\, у%, уз- Пусть
начало этой системы координат движется со скоростью х\, х%, хз
относительно некоторой абсолютной системы координат. Спроецируем
вектор скорость на оси у\, у%, уз и обозначим их через у\, у%, уз.
Угловую скорость обозначим через cui, и>2, о>з. Сила (17.4) и момент
(17.5) в осях у\, уъ, уз будут иметь вид

4-	(Ап - А22)(^2 - ^2)	~	+ (Ап - А33Х2/3 - V3)	4-	,

(17.12)

М\ = -А44^ 4- (А22 - А3з)(^2 - ^г)(£з - ^з) 4- (А55 - Абб)^2^з-

(17.13)
Если тело имеет еще и дополнительные симметрии (например, пра-
вильный многогранник), так что Ац = А22 = А33 = А и А44 = А55 =
= Лее = р, то любые три ортогональные оси, расположенные в центре
тела, будут главными. Тогда оси у\, у%, уз можно направить по осям
абсолютной системы координат и для силы и момента получим

F = — Ar + grad[AJ7 — (А/р4- V)р], М = —ро).

4.	Движение в ускоренном однородном потоке. В однородном
потоке слагаемое (2V)v для силы в (17.6) обращается в нуль. Силу,
учитывая уравнение движения жидкости pw = —Vp 4- pVU, можно
привести к виду

F = -^Z-(OxZ + pV(w-W).

\JLV

М.Д Хаскинд в 1956 г. [209] привел следующие рассуждения для
вывода этой формулы (идея их иллюстрируется в упр. 6.3 и 7.2).

Перейдем в инерциальную систему координат, связанную с жид-
костью. В этой системе к объемной силе p4U добавится сила инер-
ции —pw. Эти силы вызовут силу Архимеда, равную pV(w — VJ7).
Остается добавить к ней силу, действующую на тело, движущее-
ся в покоящейся на бесконечности жидкости с переменной скоро-
стью г — и. Эта сила определяется по формуле Кирхгофа (7.11) так:
d!

— — Т — шх1, что и требовалось показать.

at
Формула (17.6) для момента не изменяется.

5.	Шар, Для шара (Л = pV/2) получаем

F = -p^f + grad(p^C/-|vpl	(17.14)

или

В виду важности этого результата остановимся подробнее на его
выводе. Для простоты будем рассматривать прямолинейное движение
шара по оси х в одномерном поле скорости жидкости v(t, х), например,
в поле звуковой волны. Массовые силы учитывать не будем (U = 0).

Сила Fi, действующая на сферу достаточно малого радиуса, выра-
жается через функцию Лагранжа (17.1):

Л = | pV(х — v(t, х))2 — Vp(t, х) 4- О(а5),

где p(t,x) — поле давления, например, звуковой волны, связанное
др

с ускорением частицы уравнением движения жидкости: —	= pw.

их

По формуле (17.3) в абсолютной системе координат получаем

Р\ =

дК _ _d дК
дх dt дх

-^pV±(x-v(t,x)) + O(a5), (17.15)

где d/dt = d/dt 4- xd/dx.

Раскрывая в (17.15) производные, для силы получим выражение
(17.14) с оценкой погрешности:

Г1=рУ(-Ь + |«)(1+О(а2/Л2)).

(17.16)

Относительная погрешность формулы равна О(а/Л)2, где Л — длина
звуковой волны.

17.2.	Уравнения движения. В §7 был дан вывод принципа
Томсона и Тэта для движения твердого тела в однородном потоке.
Аналогично с помощью вариационных уравнений для жидкости (16.4)
и самого тела нетрудно получить принцип, относящийся к общему
случаю неоднородного потока:

Действительное движение в неоднородном потоке твердого те-
ла отличается от кинематически возможных движений за тот
же промежуток времени тем, что для действительного движения

вариация функционала

Ldt, L = Tq — По 4- Л, равна нулю\

t2

6 Ldt = О,
ti

(17.17)

где Tq и По — соответственно кинетическая и потенциальная
энергии твердого тела, точное выражение для К приведено в (16.5),
а приближенное — для малого тела в (17.1).

Отсюда можно получить общие уравнения движения твердого те-
ла в неоднородном потоке. Для вывода уравнений движения малого
твердого тела нужно учесть главную асимптотику функции Лагран-
жа (17.1).

Тогда в уравнения движения войдут только локальные характери-
стики неоднородного потока в точке, где находится малое тело, а также
коэффициенты присоединенных масс тела.

17.3.	Движение шара в жидкости. Рассмотрим частный случай
движения шара в неоднородном потоке. В отсутствие шара поле ско-
рости v(r, t), поле ускорений w(r, t) = dv/dt и поле давлений p(r, t)
подчинено уравнениям движения

pw(r, t) = — gradp(r, £) + pgradt7(r, t),

где U — потенциал массовых сил.

Подставляя в функцию Лагранжа (17.17) выражение для Л (17.1),
получаем

L = |тга3 (г- v)2 — 2р(г,<) + Рог2 + 2pot/),

(17.18)

где г — вектор координат центра шара, pQ — плотность шара.

Уравнения Лагранжа не изменятся, если к функции Лагран-
жа (17.18) добавить полную производную по времени (см. упр. 16.1):



2тг з (дФ

-3ap\-di

В результате функция Лагранжа (17.18) преобразуется к эквивалент-
ному виду

£ + £) - 2» + «(f! + 2П) 

Если учесть интеграл Коши-Лагранжа

+ -Й = pf(t) -р+ри,
то функция Лагранжа для движения малого шара в неоднородном
потоке примет окончательный вид

L(r,r,t) = |тга3 ((| + р°) г2 - 3р(г,0 + (р + 2ро)/7(г, £)}. (17.19)

Из (17.19) получим искомые уравнения движения малого шара в
неоднородном потоке:

(p + 2po)r = grad(-3p + (p + 2po)17),	(17.20)

или с помощью равенства pw = — gradp 4- pgrad U —

(p 4- 2po)r = 3pw 4- 2(po - p) gradl/,	(17.20')

где p, w — соответственно давление и ускорение частиц жидкости
неоднородного потока.

В несколько иной форме уравнения (17.20) выведены Ф.Л. Черно-
усько (1964) [214].

В реальной жидкости тело испытывает кроме гидродинамической
силы силу сопротивления Fconp, обусловленную вязкостью. Эту силу
можно ввести в уравнения движения тела (17.20) как внешнюю:

A	_ р

dt dr дг сопр‘

Зависимость силы сопротивления Fconp от относительной скорости и =
= г — v(r, t) можно взять из эксперимента (см. п. 35.1):

Fconp = I psCx(Re)uu, |u| = и,

где s — площадь миделева сечения, Cx(Re) — коэффициент сопротив-
ления, который в диапазоне чисел Рейнольдса Re = — от 5 • 102 до
105 почти не меняется (Сх « 0,4).

Отсюда для шара вместо (17.20') получается следующее уравнение
движения:

(р + 2po)f = grad (-Зр + (р + 2po)t7) -	и,	(17.21)

а для движения в тяжелой жидкости вместо (7.2$) имеем

(р + 2po)f = 3pw + 2(ро - p)g -	и.	(17.22)

лС1

Это уравнение можно использовать для численного расчета траектории
малой частицы в потоке жидкости.

Для движения малых частиц можно использовать приближение
Стокса при малых числах Рейнольдса. Коэффициент сопротивления
в этом приближении Сх = 12/Re = \2v/(ua). При движении частиц
в высокочастотном периодическом поле скорости жидкости следует
учитывать силу Бассэ в жидкости (Ландау и Лифшиц [105], Нигмату-
лин [131]). С учетом этих сил уравнения движения частицы в жидко-
сти будут иметь вид

9р
г

t

9 /------- Г

о

(р + 2po)r = 3pw + 2(ро - p)g -

u(r)dr

(17.23)

Упражнения

17.1.	Вывести формулы (17.12) и (17.13) для компонент реакций, дей-
ствующих на симметричное относительно трех взаимно перпендикулярных
плоскостей твердое тело в неоднородном потоке жидкости.

17.2.	Рассмотреть частные случаи для силы, действующей на твердое тело

в неоднородном потоке:

а)	неподвижное тело в потоке жидкости с ускорением на бесконечности w;

б)	неподвижное твердое тело в установившемся потоке.

з

Ответ, a) Fi = XijWj + pVwi + Ai (Хаскинд [209] и см. упр. 7.2).

б) F = grad (t(v) + 1 pVv2} + А (Тейлор [103, 282]).

Здесь A — вектор силы Архимеда, T(v) = 2 ^1=1

17.3.	Рассмотреть частные случаи уравнений движения шара в неоднород-
ном потоке идеальной жидкости (17.22):

а)	движение в тяжелой жидкости, покоящейся на бесконечности;

б)	движение при отсутствии жидкости;

в)	движение в ускоренном потоке жидкости при отсутствии силы тяжести;

г)	движение шара с плотностью, равной плотности жидкости.

Ответ, а) (р + 2ро)г = 2(ро - p)g;

б)	г = g;

в)	(р + 2ро)г = 3pw;

г)	г = w.

17.4.	Написать функцию Лагранжа и уравнение движения кругового ци-
линдра в неоднородном потоке (плоская задача).

Ответ.

о

L = тга

Q(p + po)r2 -2р+ (р+ро)^)>

(р + ро) i* = -2Vp + (р + po)^U.

17.6.	Сферический газовый пузырек находится в потоке жидкости, уско-
рение которого w. Массовых сил нет. Какое ускорение возникает у пузырька?
(Плотностью газа внутри пузырька пренебречь.)

Ответ, г = 3w.

17.6.	Написать функцию Лагранжа, уравнения движения и закон сохра-
нения энергии для движения малого шара в стационарном потоке со скоро-
стью v(r).

Ответ.

L= |’ra3((f+Ро) r2+|pv2-2(р-ро)!7),
(р + 2po)r = grad pv2 —2(р — po)U\,
X Xr	z

+Ро) г2 - pv2 + 2(р - po)u} = Е.

17.7.	Написать условия равновесия малого шара в установившемся неод-
нородном потоке тяжелой идеальной жидкости. Может ли равновесие быть
неустойчивым?

Решение. Эффективная потенциальная энергия шара и3ф = -- pv2 +
+ 2(р — po)U, V2C730 = -Зр^- Если v не является постоянным векто-

Эху dxj

ром, то ^2и3ф < 0. Такая функция называется супергармонической; она не
может иметь минимума внутри области течения жидкости. Поэтому равновесие
малого шара в неоднородном потоке будет неустойчивым.

Ответ. Условие равновесия: gradl/эф = 0 может выполняться. Однако
устойчивым оно быть не может, так как и3ф не может достигать минимума ни
в одной точке внутри потока (Ф. Л. Черноусько (1964) [214]).

17.8.	Какие течения на плоскости определяются комплексным потенци-
алом W, производная которого dW/dz = czx? Найти два первых интеграла
уравнений движения малого шара в этом потоке (массовые силы отсутствуют).

Решение. В соответствии с уравнением движения

2 \	2

pv ), v

dW 2 рЛ2С2 2Х—2
---	—-— Г

dz

шар движется так же, как материальная точка под действием центральной си-
лы. Для этого случая будут иметь место два закона сохранения: закон сохране-
ния момента количества движения и закон сохранения энергии (О. В. Воинов,
А. Г. Петров (1973) [50]).

Ответ. Течение в угле тг/А,

г20 = К, 0 = arg г,



17.9.	Проинтегрировать уравнения движения малого шара в потоке, обте-
кающем круговой цилиндр единичного радиуса (скорость набегающего потока
принять за единицу, массовые силы не учитывать) [50].

Ответ.

mrAr2 = 1 - Нг2 + Ег\ тг4в2 = Н -2 cos 20, т = р + 2р°,

Зр

где Н, Е — произвольные постоянные.

17.10.	Доказать, что потенциал поля скорости Ф = z+ \/R определяет
обтекание полубесконечного осесимметричного тела с уравнением образующей
7lsin((0/2)) = 1, где О — угол, который составляет радиус-вектор с осью z.
Проинтегрировать уравнения малого шара в таком потоке [50].

Ответ. mrfR2 = 1 - HR2 + ER\ mR?Q2 = H + 2cos0, где H и Е -
произвольные постоянные.

17.11.	Определить силу, действующую на малую сферу переменного ра-
диуса в неоднородном потоке.

5 А Г Петров
Решение. Функция Л в соответствии с (16.6) для сферы переменного
радиуса а определяется по формуле

.	я- ра3 2 , п 3-2	4	3/.\

Л. = и +2пра а — -па р(г, t),
О	о

u = r-v(r, t),
сила — по формуле (17.3):

2тгра3
3

Полная производная и вдоль траектории движения преобразуется следующим
образом:

du , —к

— + (uV)v = г -
at

— + rV) v + ((г - v)V)v = г -

(S + (vV)v)

Отсюда получаем окончательно

F = -^o3 (r+ -Vp- V(7 + — uY
3	\ p	a /

§18. Взаимодействие двух сфер

1.	Точные соотношения. Рассмотрим задачу о движении двух
сфер в идеальной жидкости при отсутствии массовых сил. Пусть гь
Г2 — координаты центров шаров, и щ, аг — их радиусы. Тогда сила,
действующая на первую сферу, равна (см. § 1)

F1 = (-^ + ^-)(T11+T'2) = F'1+F'2-
\ dt иг\ иг\ /

Первое слагаемое Ец определяет силу, действующую на одиночную
сферу, равную изменению присоединенного импульса, а второе слагае-
мое Fj2 — силу гидродинамического взаимодействия:

F12 =

dt dri

(18.1)

Сила F2, действующая на вторую сферу, получается из (18.1) пере-
становкой индексов 1 и 2:

F2 = F22 + F21

(18.2)
Функция гидродинамического взаимодействия Т\% не зависит от
системы координат, в которой вычисляется. Отсюда следует, что при
изменении #1 и на один и тот же произвольный вектор <5г величи-
на Т12 не изменяется. Это условие очевидно выражается тождеством

ЭТ12 Alb

ди дг2

= 0.

(18.3)

Из (18.1)-(18.3) вытекают два утверждения:

Утверждение 1. Пусть две твердые сферы движутся с оди-
наковыми постоянными скоростями ri = гг- Тогда на сферы со
стороны жидкости действуют силы, равные по величине и проти-
воположные по направлению: Fi = —F2.

Утверждение 2. Пусть две сферы совершают периодическое
движение, так что и, Г2, г = ri — Г2, аь а% — периодические функ-
ции времени с периодом At. Тогда средние за период At силы (Fi),
(F2) равны по величине и противоположны по направлению:

(F2) = (F21) = ^T12^ = -(F1).

(18.4)

Важно отметить, что взаимодействие сфер осуществляется через
жидкость, поэтому к силам F12 и F21 нельзя применять закон дей-
ствия и противодействия. В общем случае эти силы могут быть не
равны, а в случае равенства сил линии их действия не обязательно
совпадают.

2.	Приближение малых сфер. Конкретные расчеты могут быть
выполнены по общей формуле (16.7), если радиус ai мал или по (16.9),
когда сферы достаточно удалены друг от друга.

Рассмотрим взаимодействие двух пульсирующих сфер. Пусть цен-
тры сфер неподвижны, а радиусы их меняются по периодическому
закону. Тогда, как следует из (16.9),

Г12 ~	+ О f ,

где г = |а?1 — я?2| — расстояние между сферами (рис. 5.5). Средняя
сила гидродинамического взаимодействия определяется с помощью
формул (18.4):

(F,) = -(F2) = (%*} = (W (18.5)

\ OX\ / 47ГГ

где V। и V'2 - объемы шаров.

Формула (18.5) определяет также закон притяжения пульсирующей
сферы к расположенной около нее плоскости. Для решения последней
задачи нужно рассмотреть взаимодействие сферы со своим зеркальным
отражением относительно этой плоскости.

Рис. 5.5. К расчету взаимодействия двух тел

Отсюда вытекает следующее утверждение: если радиусы пульси-
рующих шаров меняются в фазе, то шары притягиваются', ес-
ли — в противофазе, то отталкиваются (закон Бьёркнессов [103,
с. 239-240]).

Как следствие закона Бьёркнессов получаем, что пульсирующая
сфера всегда притягивается к плоскости по закону (F) =----^(У2)-

4тгг

Аналогично решается задача гидродинамического взаимодействия
двух периодически осциллирующих твердых шаров и осциллирующего

шара около плоскости. Пусть центры шаров расположены
и совершают периодические колебания в направлении оси х
амплитудами. Тогда из (16.9) и (18.4) найдем

на оси х
с малыми

33
01(22
~з“

(F1) = 67Г/?	(xii2).

Г

(18.6)

£1^2,

Если фазы у ±i и ±2 одинаковые, то шары отталкиваются, если проти-
воположные, то притягиваются.

Подобным образом исследуется и случай, когда шары совершают
малые колебания перпендикулярно линии центров:

зз	з з

Ti2 = Trp-^riT2, {F}) = -37ГР-Лп(Г1Г2).	(18.7)

г	г

В результате получаем, что если скорости ri и гд параллельны
и меняются в фазе, то имеет место притяжение, а если скорости
меняются в противофазе, то отталкивание.

Сила, действующая на осциллирующую около плоскости сферу,
равна силе ее взаимодействия с зеркальным отражением. Для осцилля-
ций параллельно и перпендикулярно плоскости получим силы притяже-
ния	б	б

(Г1) = -6тгр^(±2),	= -Зтгр^(у2).	(18.8)

Г	г

Здесь х и у — координаты, направленные перпендикулярно и парал-
лельно плоскости, г — удвоенное расстояние от центра сферы до
плоскости.
3.	Точное решение задачи движения двух сфер. Для сфер пе-
ременных радиусов а\ и аг, центры которых имеют скорости и\ и u%
и направлены по линии центров, кинетическую энергию можно вычис-
лить точно. Для твердых шаров эта задача решена Хиксом в 1880 г.
Используя точное решение задачи о диполе около сферы (см. упр. 16.4),
Хикс представил потенциал поля скорости в виде сходящегося ряда
потенциалов диполей, расположенных на линии центров. Для сфер
переменных радиусов О. В. Воинов в 1970 г. [51] использовал допол-
нительно точное решение задачи об источнике вблизи сферы (15.3)
и обобщил решение Хикса. Кинетическая энергия жидкости определя-
ется следующими формулами:

Здесь скорость щ > 0; если скорость направлена к другой сфере,
коэффициенты Агп и Вгп имеют вид

(т - т-1)А^ = тп+1 - т~п~1 + (тп - т~п)(ц/ак,

(т - т~')Вгп = (тп - r-n)r/ai,

где г — расстояние между центрами сфер, т — корень квадратного
уравнения: R2t = (air + аг)(а1 + агт).

Ряды сходятся как геометрическая прогрессия, исключая точку
контакта, в которой они сходятся как 1/п3. Силы, действующие на
сферы со стороны жидкости, можно точно вычислять по форму-
лам (18.1), (18.2). В частности, для контакта сфер одинакового радиуса
О. В. Воинов приводит следующие значения коэффициентов кинетиче-
ской энергии:

2А{ = 0,38513a3, 2В = 0,15026a3, Л = 1,0649a3,

В = 0,5269a3, Си = 0,07315a3, Cki = 0,28191 а3.
В случае расширения двух одинаковых сфер, находящихся в контакте
(г = 2а, а = —и), сферы притягиваются друг к другу с силой, равной

F = 2тгра2(0,758а2 + 0,180аа).

В случае сближения двух одинаковых твердых шаров с одинаковыми
скоростями вблизи контакта (г — 2а—> 0) сферы отталкиваются с силой

In (- — 2) — 0,0948 it ри2 а2.

При движении шаров, находящихся в одном направлении в контакте,
шары отталкиваются друг от друга с силой

=	С(3) - In (2)) irpu2a2 я 0,2084тгри2а2.

Упражнения

18.1.	Пусть скорости центров двух твердых шаров Ui и 112 имеют ком-
поненты по линии центров uiy и 112ц и перпендикулярно линии центров иц
и U2±. Доказать, что выражение для кинетической энергии жидкости при
движении в ней двух твердых шаров имеет вид

2Т — Ai uf || 4- 2В\Ui у U211 +	u2|| +	4- 2B2u1±u2± 4-

где каждый из шести коэффициентов Ль...,С2 является функцией радиусов
а\, а? и расстояния г между центрами шаров (A. Basset (1861) [225]).

Указание. Квадратичная форма кинетической энергии не изменит-
ся, если:

а)	векторы ui и 112 повернуть на одинаковый угол относительно линии
центров;

б)	векторы Ui и иг зеркально отразить от плоскости, проходящей через
линию центров.

Условиям симметрии а) и б) удовлетворяют только квадраты и скалярные
произведения, которые учтены в выражении для 2Т (см. упр. 18.1).

18.2.	Доказать, что кинетическая энергия жидкости аддитивна по отно-
шению к движениям параллельно линии центров, т. е. что

T(ui, U2) = T(ui||, U2(|) 4- T(U1_L, U2_l).

18.3.	Доказать, что кинетическая энергия жидкости при движении шара
около неподвижной плоскости равна половине кинетической энергии жидко-
сти, движение которой вызывается этим же шаром и его зеркальным отраже-
нием от плоскости (метод изображений).

§ 19. Динамика газового пузырька в неоднородном
потоке

Изложим построение функции Лагранжа и динамических уравне-
ний для газового пузырька в неоднородном потоке жидкости, следуя
работе О. В. Воинова и А. Г. Петрова [48]. При рассмотрении движения
газового пузырька объема V в неоднородном потоке со скоростью
v(r, t) и давлением р(г, t), так же как и для твердого тела, можно
опять воспользоваться вариационным уравнением (16.4) с функцией
Лагранжа (16.6):

t2	^2

*	А	А

dt p6ndS = — dt <5(T(u) — pV),

ti	dv	ti

(19.1)

где u = r - v(r, t).

Уравнение (19.1) отличается от рассмотренного в (9.1) уравнения
пузырька в однородном потоке заменой аргумента кинетической энер-
гии г на и и потенциальной энергии П на Vp(r, t). Все выводы §9
легко обобщить для неоднородного потока с учетом этой замены.

Задавая вид уравнения поверхности dV газового пузырька при
помощи конечного числа обобщенных координат q\,qz,... ,qN, можно
записать аналогичный (9.13) вариационный принцип и соответствую-
щие ему динамические уравнения поверхности пузырька.

Для сферического пузырька кинетическая энергия определяется так
(см. (9.8)):

Т = 2irpa?a3 +	а3и2, S — 4тга2, V =	а3,

о	о

Тогда уравнения Лагранжа, аналогичные (9.7), имеют вид

±дТ дТ ( _ }dV_ dS =
dt да да	да ° да

_d дТ дТ _у др = 0
dt dr + dr V дт~ U’

(19.2)

Вычисляя выражение

d дТ	дТ _ 2тгра3

dt dr	дг 3

(du , , х-,4	, 3d \

— + (uV)v + — и =

\dt	a J

2тгра3

и подставляя его в уравнения Лагранжа, получим окончательный вид
уравнений движения сферического пузырька:

Г = -- Vp + VU- — и,
р	а

Рг ~Р
Р

2а

ра

(19.3)
Уравнения (19.2) и (19.3) можно записать в форме уравнений Лагран-
жа с функцией Лагранжа:

L = T(u) - Vp(r, t) - aS +

Рг(У) dV = 2тгра2а3 + а3и2 —

J

Vo

а

— а3р(г, t) — а4яа2 + рг(а) 4тгa2 da. (19.4)
О	%

ао

Такой вид уравнений Лагранжа был бы особенно удобен для их ин-
тегрирования. Чтобы найти первые интегралы в случаях, когда L не
зависит явно от времени или от какой-либо обобщенной координаты,
можно пользоваться общими правилами (2.9) и (2.11).

Силу вязкого сопротивления, действующую на пузырек, можно
учесть полуэмпирически, так же как при выводе уравнений (17.21).
С учетом вязкой силы первое уравнение (19.3) изменится так:

г = -3 Vp + vt/- (з - + 3 C*(Re) и) и
р	\ а 4а )

(19.5)

В случае, если происходит быстрый рост пузырька, вязкое сопротивле-
ние несущественно.

Уравнения (19.3) и (19.4) важны для исследования начальной ста-
дии кавитации, когда в зоне разряжения обтекаемого тела образуются
отдельные пузырьки, которые сносятся потоком и, в конце концов,
захлопываются в зоне повышенного давления. Под воздействием за-
хлопывающихся пузырьков материал обтекаемого тела быстро изна-
шивается, и в связи с этим изучение этого явления имеет важное
прикладное значение.

Упражнения

19.1. Написать закон сохранения энергии для сферического пузырька,
движущегося в стационарном неоднородном потоке с полем скорости v(r, t),
если давление внутри пузырька зависит только от объема последнего.

Указание. Для функции Лагранжа (19.4) имеет место интеграл энер-
гии (2.9).

Ответ.

г> .2 3 . 7Г0 3/-2	2\ . 47Г 3 , к .	2

2тгра а + -^-а(г — v ) -I----a p(r,t) + 4тга а —

3	3

а
ч

рг(а) 4тга2 da = Е

ао

ИЛИ

о 3-2 , ТГР 3/-2
2тгра а 4- а (г

— 3v2 -I- 4С7) 4- 4тга2(7 —

а
*

рг(а) 4irc?da = Е.

ао
§ 20. Захлопывание сферического пузырька вблизи
плоской стенки

Задача о движении сферы вблизи плоской границы zOy эквива-
лентна задаче о движении двух сфер. Вторая сфера (изображение)
движется по отношению к первой симметрично относительно плоско-
сти zOy (рис. 5.6).

Рис. 5.6. Сферический пузырек вблизи плоскости

Рассмотрим задачу захлопывания полой сферы вблизи плоскости
в отсутствие массовых сил и сил поверхностного натяжения. Иначе
говоря, рассмотрим задачу Рэлея (см. § 12), осложненную наличием
плоской стенки. Следуя работе О. В. Воинова и А. Г. Петрова [47],
для решения этой задачи применяем модель сферического пузырька
с изменяющейся координатой центра сферы.

Пусть движение сферы начинается из состояния покоя. В силу
симметрии центр сферы будет оставаться на оси х. Предполагаем, что
а/2х = £	1, где а — радиус сферы, х — расстояние от центра сферы

до плоскости. В уравнениях движения будем учитывать главные по
малому параметру £ члены.

Кинетическая энергия Т жидкости при движении сферы около
плоскости равна половине кинетической энергии жидкой массы, воз-
никающей от движения двух симметрично расположенных сфер. Тогда
с помощью выражения (16.9) или (16.11) получим

Т = 2тгра3а2(1 + £) + х2 — 2тгра3±а£2.	(20.1)

Функция Лагранжа L = Т — p^V позволяет написать два обык-
новенных дифференциальных уравнения для определения а и х. Так
как L явно не зависит от времени, то закон сохранения энергии имеет
вид Т + PoqV = Е. При начальных условиях (t = 0) а = ао, а = 0, х = О
с помощью (20.1) интеграл энергии приведем к виду

6 a3d2(1 + О + а3х2 + -^а3 =	(20.2)

Присоединив к этому уравнению уравнение Лагранжа для поступа-
тельного перемещения

(а3± — За3а£2) = —6а2а2£2,	(20.3)

CXv

получим замкнутую систему уравнений для переменных анх.
В § 12 показано, что наличие начальной поступательной скорости
сферы приводит к появлению предельного радиуса, при котором про-
цесс захлопывания прекращается. Аналогичное явление происходит
и при замыкании сферической полости вблизи плоской стенки.

Интегрируя уравнения (20.3), можно найти изменение величины
а3х за время tQ, при котором достигается предельный радиус сфе-
ры (аналогично вычислениям этой величины для тяжелой жидкости
в §12):

^42

/ з • о 3 • /*2\ о 3 a a dt

(ах - За*ас) =-- —5—.	(20.4)

о 2 J х2

о

Из уравнений (20.2) и (20.3) следует, что с точностью до малых по-
рядка £ за время захлопывания to функции x(t), a(t) и дифференциал
dt можно взять из решения задачи Рэлея:

4 • 2

х — xq, а а =

(ао - а3)а,

%Роо

Зр

Подставляя эти выражения в (20.4) и учитывая, что в моменты време-
ни О И tQ

±(0) = 0, d(0) = d(f0) = 0, a(t0) = ^min,

получаем

^min^(^o)	_ 2

Интеграл выражается через бета-функцию Эйлера

Подставляя его численное значение, получаем

<4п*(М = -2^о
Zq

(20.5)

Подставляя (20.5) в интеграл энергии (20.2) и учитывая, что а^ш а%,
найдем:

a3min*2(*o) -	(20.6)

Г
Разрешая уравнения (20.5) и (20.6) относительно предельного ра-
диуса amin и скорости ±(^о), получаем (О. В. Воинов, А. Г. Петров
(1971) (47]):

/Т—	х2	/Л \4/3

±(<о) =-17,9, amjn = 0,232a0 (-) •	(20.7)

V Р	\^о/

Возможен следующий механизм воздействия кавитационного пу-
зырька на твердую поверхность. Сферический пузырек, находящийся
вблизи границы, достигает поверхности с большой поступательной ско-
ростью. Это должно сопровождаться смятием пузырька и образованием
струи, диаметр которой по порядку величины совпадает с диаметром
пузырька 2amin, а скорость — с его поступательной скоростью iffy).
Происходит удар одной поверхности полости о другую или о твердую
границу. Площадь воздействия совпадает с площадью сечения плос-
кости.

Если в начальный момент захлопывающийся пузырек находится
в непосредственной близости от стенки ао ~ то его радиус умень-
шается примерно в 5 раз. Величину давления в окрестности удара
жидкости об абсолютно жесткую поверхность можно определить по
формуле р « pc±(fo), где с — скорость звука	____

в жидкости. В воде при = 1 атм ударное
давление достигает величины 3300 атм.	/

Более детальные численные расчеты за- /	____ \

хлопывания полости вблизи стенки с обра- / f	\

зованием кумулятивной струйки были про- I /	I

ведены В. В. Воиновым и О. В. Воиновым \ If \ 1	/

в 1975 и 1976 гг. [42, 43, 45].	\	\ ((А /гх\ ) / /

На рис. 5.7 представлены результаты рас- \ \\ц Гт/]]jj /
четов свободной границы в различные мо-
менты времени при захлопывании пустой zzzzzzzzzzzzzzzzz
полости около плоской стенки, воспроизве- Dtj с 7 Гпппи.,,, оо

полости около плоской стенки, воспроизве-
денные в работе [45]. В начальный момент
форма полости была сферической и находи-
лась в состоянии покоя. В момент касания

Рис. 5.7. Границы при за-
хлопывании полости око-
ло плоскости в различные
моменты времени

стенки скорость струи достигла значения

v = 11,9^/роо/р. Для диаметра струи в этот момент времени приведено
значение, равное 0,26 от начального значения диаметра сферы. Эти
значения качественно согласуются с данными, полученными из модели
сферического пузырька.

В работе [45] обнаружен также эффект значительного повышения
скорости струи при небольшом изменении начальной формы полости.
Если начальная форма — сплюснутый эллипсоид с отношением осей х,
то при изменении х от 1 до 1,175 скорость струи возрастает в шесть
раз. При этом диаметр ее уменьшается в 20 раз. При х > 1,2 захло-
пывание полости происходит по иной схеме. Контур свободной поверх-
ности смыкается по оси симметрии и затем образуются кумулятивные
струи, направленные к стенке и от стенки.

Описание этих и других явлений кавитационных пузырьков вблизи
стенки приведено также в обзорах [51, 227].

Упражнения

20.1.	Написать функцию Лагранжа для сферической полости (рг = 0),
учитывающей движение сферы параллельно плоскости.

Ответ.

L = 2тгра3а2(1 + £) + ^ ра3(х2 + у2 + z2) — 2яра3ах£2 — тгроо^3,
и	и

где х, у, z — декартовы координаты центра сферы.

20.2.	Найти первые интегралы полой сферы, движущейся в жидкости
около плоской стенки.

Ответ. Интеграл энергии, два интеграла количества движения в направ-
лениях у и z параллельно стенке

0L	dL

20.3.	Как влияет на предельные радиус и скорость малая начальная
скорость центра сферы, направленная параллельно плоскости?

Решение. С учетом начальной скорости уравнения (20.5) и (20.6) при-
мут вид

/ “min у	X _ _Q 223 ( —У,

' а0 ' у/Рос/р	\Xq/

/ ®min	_ Уо / &0 \

\ О© / Poo/Р	Рос/Р х ®min '

Ответ. Решение этой системы уравнений при ?/о/(роо/р)	1 имеет вид

i(t0) = -17,9./^	-|-359 	Г—V

у р \aQ/	у Рос /р 'а0'

amin = 0,232ао (-)4/3 - 6,67а0^- (^)8/3
\ Xq /	Poo /Р х ад /

§21. Неподвижное тело в установившемся
неоднородном потенциальном потоке

Движение тела V в неоднородном потенциальном потоке, скорость
которого vo(r, t) = V$o(r, t), а давление po(r, t), подчиняется вариа-
ционному уравнению Гамильтона (16.4) с функцией Лагранжа (16.5).
Для неподвижного тела в установившемся потоке функция Л зависит
только от положения твердого тела в потоке, т. е. от его обобщенных
координат, а обобщенные скорости равны нулю. Это случай статиче-
ского равновесия системы, рассмотренный в п. 5 § 2. Вариационное
уравнение (16.4) при этом имеет вид

<5Л = FcSro + М5ф,

(21.1)

где го, ф — канонические координаты твердого тела (см. §5). Вы-
ражение, стоящее в правой части (21.1), представляет собой работу
сил давления жидкости на виртуальном перемещении твердого тела,
которое определяется вариациями <5го, <5ф (см. (5.15)).

Равенство (21.1) означает, что Л(го,ф) является потенциалом ше-
стимерного вектора F,M. Найдем его выражение.

Подставляем в функцию Лагранжа (15.5) давление установившего-

Л I Т т pVQ

ся потока Ро = f + ри —	:

dV =

-(Ф - Фо) (ф - Фо) + Фо

дФр'
дп .

dS-П.

На границе неподвижного тела dV выполняется условие: дФ/дп = О,
откуда

Л=Н [(ф~Фо)^

dV

- Фо А (ф _ Фо)

дп

dS-П,

или обозначая Ф* = Ф - Фо, получим

Л = £ [ [ф«	- Фо А ф.1 dS - П,

z L дп дп
dv

(21.2)

где П — потенциальная энергия (см. (5.10)). Функцию Ф*(г) будем
называть отраженным потенциалом, функция эта — гармоническая и
стремится к нулю на бесконечности.

Достоинство формулы (21.2) состоит в том, что при непрерывной
деформации поверхности 3V в области определения гармонических
функций Ф и Фо интеграл не будет зависеть от вида этой поверхности.
Если потенциал Фо имеет изолированные особые точки, то поверхность
интегрирования S можно стянуть к этим точкам и вычислить соответ-
ствующие предельные значения интегралов.

Рассмотрим три примера течений жидкости с невозмущенными
потенциалами скоростей Ф1(г), Фг(г), Фз(г):

Ф|(г) = у0ог, Ф2(г) = -47Г|Г^_Г.|. Фз(г) = Ф1(г)+ Ф2(г), (21.3)
в которых для реакций в случае отсутствия массовых сил будут полу-
чены точные соотношения для потенциалов Л&, их вариаций и реакций,
действующих на тела.

При внесении тела в поток жидкости с потенциалом Фд; возникает
течение с потенциалом поля скорости Фк + Ф£, к = 1,2,3, где Ф£ —
отраженный потенциал. Рассмотрим каждый из примеров отдельно.

Пример 1 соответствует внесению твердого тела в однородный
поток с потенциалом Ф\. В этом случае отраженный потенциал Ф* —
потенциал скорости жидкости, в которой тело движется поступательно
со скоростью X = —Vqq, направленной по оси х. Функция Л1 находится
по (21.2) и приводится к виду

dv

Далее интеграл вычисляется по формулам упр. 1.5 а) и б) следующим
образом:

Ai = -27грсЛ = 1 Х^рУХ, + (Z)i) - 1 pVX2 + T(U,0).
hi

Рассмотрим вариацию Ai при малом виртуальном перемещении твердо-
го тела на <5го и 5<р при постоянном векторе X. Ее можно найти, исходя
из выражения (7.7), в котором следует положить оо = О:

<5Л1 =<5T(U,0), U = X-<pxX + O(<p2), <Ш =-<5ф х U. (21.4)

Вариация Ai такова:

5Л, = 5U = -(Z,5фхи) = -(U х Z,<5ф).

В соответствии с (21.1) коэффициент при вариации — момент силы
Mi, а при вариации <5го — коэффициент равный нулю — сила Fj:

Fi =0, Mi = -U х Z(U) = -Voo x Z(Voo). (21.5)

Эти результаты согласуются с формулами Кирхгофа (7.11) и (7.13).

Пример 2 соответствует внесению твердого тела в поле скорости
от источника с потенциалом Ф2, расположенного в точке г* и расхо-
дом Q. При внесении твердого тела V в поток от источника возникает
течение с потенциалом Ф2 + Фо = QG(r, гД пропорциональным Q;
отраженный потенциал Ф£ = Qg(r, rj также пропорционален Q. Функ-
ция g(r, rj — отраженный потенциал источника единичного расхода,
находится из решения внешней задачи Неймана:

△g = 0,

дп

дУ

, lim g = 0.	(21.6)

9V |г|-юо
Функция G(r, гг) = g(r,ri) — —--------г также определена единствен-

4ТГ|Г — Г» I

ным образом и называется функцией Грина для внешней задачи Ней-
мана. Для шара функция Грина находится с помощью формулы (15.3).
Функция g(r, rj — гармоническая всюду во внешней к телу области,

называется регулярной частью функции Грина, а отраженный потен-

циал $2 = Qg(y, rj — регулярной частью потенциала Ф2. Соответ-

ственно v£ = V$2 называется регуляр-
ной частью скорости.

Можно показать, что функция Гри-
на С?(г, Г;) И функция g(r, Г;) СИМ-
метричны по своим аргументам [193,
с. 301-310]:

g(r,ri) =g(ritr).

(21.7)

Реакции, действующие на твердое
тело V в этом случае, вычисляются по

Рис. 5.8. К выводу формулы
Лагалли

теореме Лагалли (15.2). Докажем спра-
ведливость формул (15.2). Для это-
го поверхность BV в интеграле (21.2),

непрерывно деформируя, преобразуем в сферу с центром

в источ-

нике Ti достаточно малого радиуса и в сферу достаточно большого
радиуса (рис. 5.8), после чего получим

Si	3i	(21.8)

Интеграл по внешней сфере при R —► ос стремится к нулю и здесь не
учитывается. Нормаль к сфере Si направлена к центру сферы, поэтому

dS = —Q.

. дп ч

Отсюда находим предел при	—► 0 и R —► оо выражения (21.8):

^2 = -7iQ2g^i,Ti).	(21.9)

Ее вариация выражается через регулярную часть скорости жидкости

По свойству симметрии (21.7) производные g(r, rj по первому и вто-
рому аргументу в точке гг равны, поэтому | Q » Отсюда
для вариации получим

(5Л2 =
При смещении твердого тела на <5го и повороте его на 5<р около точки
го радиус-вектор г* получит приращение 5т\ = -(<5го + <5фх(г; - го))
и для вариации получим

<5Л2 = pQv2(ri)(6r0 + <5q>x (г* - r0)),	(21.10)

коэффициенты которой дают формулы для сил, действующих на тело.
Они совпадают с формулами Лагалли, что и требовалось доказать.
Таким образом, для силы и момента во втором примере получим

F2 = pQv2(ri), М2 = pQ(ri - г0) х V2-	(21.11)

Силу, противоположную Fg, можно назвать силой, действующей на
источник.

Пример 3 относится к однородному потоку с источником в при-
сутствии неподвижного твердого тела. Отраженный потенциал равен
сумме отраженных потенциалов Ф£ = Ф* + Ф£, рассмотренных в при-
мерах 1 и 2.

Докажем, что

Л3 = Л1+Л2-рСФКгг),	(21.12)

где Л1 и Л2 определяются соответственно по формулам (21.4) и (21.9).

Действительно, подставляя (21.12) в (21.2), получим

Лз = Л1 + Л2 + Л',

где

av

(21.13)

Принимая во внимание граничные условия

дФ1 _ дФ* д$2 _ дФ2

дп дп 1 дп дп 1

получаем

<S>*^dS = -

J z дп
dv

J дп
dv



где функции Ф* и Ф£ — гармонические во внешней области тела V
и по формуле Грина (упр. 1.4, а) равенство продолжается так:

... = - ^dS = Ф^^-dS.

J 1 дп J	дп

дУ	dv

Аналогично для второго интеграла в (21.13)

’ *™±dS = - [ *^dS = ..„

J дп	J дп

дУ	дУ
где функции Ф] и Ф2 — гармонические в области V и по формуле Грина
равенство продолжается так:

... = _ ф2 dS = Г Ф2 dS.

дп	on

дУ	дУ

С помощью полученных тождеств выражение (21.13) для Л' можно
переписать в виде

л' = ? [

J \ 1 дп дп /

дУ

Поверхность dV аналогично тому, как это сделано в примере 2,
можно, деформируя, преобразовать в сферу с центром г* радиуса е.
В пределе при е —> 0 получаем соотношение (21.12), что и требовалось
доказать.

Вариация 5Лз состоит из трех слагаемых: <5Л1 + 5Лг + <5Л', где

<5Л' = pQv*(rj)(Jr0 + <5фх(г; - Го)).

Этой вариации соответствуют сила pQv*(rJ и момент pQ(ti — го) х
х v;(ri).

Таким образом, поток со скоростью Vqo и источник действуют на
твердое тело с силой F3 и моментом М3 относительно точки fq:

F3 = pQv^Fi), V3 = Vf + V2,
Мз = -Voo X	+ PQ(.Ti - Го) X Уз(г;).

(21.14)

Скорость vj можно также представить в виде разности скоростей v'
и Voo:

Уз(Гг) = V (^) “Voo,

где v'(ri) = v - V2 — скорость в точке (гД обусловленная всеми
причинами, кроме самого источника.

Применим полученную формулу (21.14) к задаче определения си-
лы тяги F от струи, выбрасываемой телом вперед и раздвигающей
встречный поток жидкости, который затем обтекает тело А\ + А2
и смыкается в задней его части. Эта схема (рис. 5.9 а) обсуждается
в монографии JI. И. Седова [183, т. II, §8].

Рис. 5.9. Обтекание тела со встречной струей
Будем моделировать струю источником мощности Q, расположенно-
го в точке xq (рис. 5.96). На систему «тело -I- источник» действует сум-
марная сила F. В соответствии с (21.14) сила F складывается из силы,
действующей со стороны жидкости на тело, равной pQv'(xo) — pQv^,
и силы, действующей на сам источник, равной —pQv'^xo). Таким
образом, тело А[ -I- Ад будет испытывать не сопротивление, а тягу

F1 = -pVvoQ.

(21.15)

Следует отметить, что в рассматриваемой схеме тяга получается за
счет восстановления давления в задней части тела, где поток плавно
смыкается на теле. Практически очень трудно реализовать эту теоре-
тическую схему с плавным смыканием потока в задней части тела.

§ 22.	Течения при сильно развитой кавитации
при наличии особенностей в потоке

В книге Л. И. Седова [183, т. II, с. 82-84] рассматривается плоская
задача обтекания по Кирхгофу твердого кавитатора встречной струей.
При подаче струи вперед и сохранении такого же асимптотического
закона расширения свободной струи сила сопротивления может умень-
шиться в 2 раза.

На рис. 5.10 изображена схема осесимметричного кавитационного
обтекания поверхности потенциальным потоком при наличии источни-
ка, моделирующего струю, вытекающую из кавитатора. В отсутствие
источников эта схема превращается в обычную схему Рябушинского,
исследование которой дано в § 13.

Рис. 5.10. Схема кавитационного обтекания тела со встречной струей-источ-
ником

Рассмотрим, как меняется форма каверны и сопротивление F, дей-
ствующее на кавитатор, в зависимости от Q при ограничении на расход
источника

Q vxTrl2va.	(22.1)

Запишем потенциал обтекания тонкого тела с учетом источников
в точках — 1Х и 1Х:
Это выражение отличается от (11.3) на потенциал источников, рас-
положенных в точках — 1Х и 1Х. Из (22.2) можно найти скорость на
границе dV и получить уравнение свободной границы, аналогичное
уравнению (13.11):

'2	Г

z" Inz + 4- L(z') + |- +	-------?---------Ц? =	(22.3)

dx v 2z 47rvoo [(/х+я)2	(/x-z)2J	2

Если Q меняется в пределах (22.1), то слагаемое, пропорциональ-
ное Q, имеет порядок aly/lx, т. е. более высокий порядок малости по
сравнению с остальными членами уравнения. Это означает, что с той
точностью, которая допускается уравнением (22.3), форма каверны
не зависит от расхода струи, вытекающей из тела. Сопротивление,
напротив, меняется весьма существенно.

Действительно, при наличии источника к системе «тело V +
+ источник» добавится сила тяги, определяемая формулой (21.15).

Таким образом, для суммарного сопротивления F при достаточно
малом расходе источника (22.1) получим зависимость [194]

F = Fq — pV(X)Q,

где Fq — сила, действующая на кавитатор в отсутствие источника.

С увеличением расхода источника при фиксированном миделе ка-
верны сопротивление уменьшается до нуля и может обратиться в тягу.
Минимум сопротивления и максимум тяги зависит от формы кавита-
тора. Для плоской задачи этот вопрос исследуется в работе [144].
Глава 6

СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ
СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

§ 23.	Плоская задача о движении пузырька
в идеальной жидкости

23.1.	Гидродинамический подход.

1.	Краевая задачи. Рассмотрим задачу движения полости с по-
верхностным натяжением в потенциальном потоке идеальной несжи-
маемой жидкости при отсутствии массовых сил. В §9 эта задача была
рассмотрена в общей трехмерной постановке. Аналогично ставится
плоская задача о движении пузырька. Потенциал поля скорости нахо-
дится из решения внешней задачи Неймана (1.3)—(1.5). Для плоской
задачи требуется дополнительно выставлять условие на циркуляцию.
Будем считать ее равной нулю. Для определения границы пузырька
необходимо удовлетворить условию Лапласа (9.2), которое для плоской
задачи примет вид

+ р = р°° ~ Р 1^ф12)-	(23.1)

где г — радиус кривизны границы пузырька.

Если форма пузырька изменяется со временем, то требуется ставить
условие, что площадь полости не меняется со временем. В противном
случае потенциал и давление в жидкости неограниченно возрастают
при удалении от полости. Для стационарной задачи условие постоян-
ства площади выполняется автоматически.

2.	Аналитические решения. Стационарная задача движения пу-
зырька изучена достаточно хорошо, начиная с работы Н. Е. Жуковско-
го [74]. Жуковский нашел однопараметрическое подсемейство точных
решений задачи обтекания пузырька между двумя параллельными
пластинами. В пределе, когда пластины расходятся на бесконечное
расстояние, решение Жуковского дает неподвижный пузырек в форме
круга. Н.А. Слезкин [188, 189], видимо, впервые получил нелинейное
интегральное уравнение, определяющее форму полости в стационарном
безграничном потоке, и привел решение этого уравнения для малых
чисел Вебера и малых деформаций. Это направление получило даль-
нейшее развитие. Мак Леод [264] нашел простое точное решение
интегрального уравнения при некотором значении числа Вебера W.
Граница пузырька на комплексной плоскости является кривой, на ко-
торую отображается окружность |£| = 1 комплексной плоскости Q при
помощи аналитической функции

Значения безразмерных чисел Вебера и Эйлера для решения Мак Лео-
да определил О.М. Киселев (1969) [88]. Он также получил одно-
параметрическое семейство форм полости в виде сходящихся рядов
и привел в таблице рассчитанные по ним значения чисел Вебера и Эй-
лера в зависимости от степени деформации. Форма полости численно
исследуется также в работе С. И. Петровой (1971) [168].

Вариационный подход, позволяющий исследовать движение пузырь-
ков в неоднородном потоке и при наличии границ развит в работах
О.В. Воинова, А.Г. Петрова [47, 48, 51]. Общие методы, основанные
на применении к динамике полости вариационного уравнения Гамиль-
тона (5.14), развиты в работах [136, 142] и [109]. Удалось существенно
упростить процедуру построения точных решений и, кроме того, дать
решение задачи устойчивости стационарных движений пузырька.

3.	Численные решения. В. В. Воинов и О. В. Воинов в 1975 г. [43],
по-видимому, впервые рассчитали деформацию полости с зарождением
на части границы кумулятивной струи и ее развитие до момента
смыкания с противоположной границей полости. Ими был разработан
метод граничных интегральных уравнений, применимый для решения
нестационарных задач гидродинамики со свободной границей (ссылки
на эти и другие последующие работы приведены в § 12).

23.2.	Вариационное уравнение. Вариационное уравнение для

полости, движущейся в неоднородном потоке, можно вывести из обще-

го вариационного уравнения Гамильтона (16.4)
следующим образом.

Пусть S — область, которую занимает по-
лость, dS — ее граница (рис. 6.1). Обозначим
через Sn расстояние по нормали между невозму-
щенной dS и возмущенной dS' границами поло-
сти, через ds — элемент длины на контуре dS.
Тогда из условия Лапласа на границе следует,
что равенство

(Рг — Р — - ) Sn ds = 0

\	г /

as

Рис. 6.1. К выводу
вариационного урав-
нения полости

выполняется для любых вариаций границы. Отсюда имеем

pr6nds = pr6S,
as

— 6nds = a6l,
J r
as

t2	t2

4 A	A

рбп dS dt = — 6 A dt.

ti dS	ti
Первое и второе равенства выводятся чисто геометрически, а третье —
вариационное уравнение Гамильтона (16.4). Подставляя эти равенства
в предшествующее им, получим вариационное уравнение

*2

dt [<5(Л - al) + pr<5S] = 0.

tl

Оно определяет систему дифференциальных уравнений общей динами-
ческой задачи.

В стационарной задаче в функционале Л следует положить все
обобщенные скорости равными нулю. Тогда вариационное уравнение
приведется к условию экстремума функционала границы полости

<5[Л - al + prS] = 0.	(23.2)

23.3.	Точные соотношения, вытекающие из вариационного
уравнения.

1.	Метод получения точных соотношений. Вариационные урав-
нения типа (23.2) позволяют находить точные соотношения между раз-
личными характеристиками свободной границы. Метод их получения
таков. Предположим, что вариационное уравнение имеет вид

А1(5Г1+А2<5Г2 + А3(5Гз + ... = О,

где Fk — функционалы свободной границы, Ак — постоянные коэффи-
циенты, к = 1,2,...

Обычно в вариационном уравнении трехмерной пространственной
задачи функционалами Fk являются: присоединенная масса т, потен-
циальная энергия силы тяжести ЕПОт, объем полости V, площадь ее
поверхности S. Для плоской задачи в вариационном уравнении (23.2)
входят функционалы длины I полости, площадь полости S.

Пусть а — характерный линейный размер свободной границы, на-
пример, радиус сферы, эквивалентного объема полости. Тогда прини-
маем эту величину за обобщенную координату д0 = а, а остальные
координаты Qi,q2, ..., зависящие от формы полости, выбираем так,
чтобы при изменения qo свободная граница изменялась подобно самой
себе. При вариации а вариация функционала Fk меняется как:

6Fk _ N^6a

где Nk — степень размерности длины, входящей в размерность функ-
ционала Fk.

Величина Nk для всех выше перечисленных функционалов извест-
на. Для пространственной задачи:

6т _	36а	6Епог	_ 4Ja	6V	_ 36а	6S	_ 26а

т	а ’	Епот а ’	V а ’	S а
Для плоской задачи:

6т _ 26а	6Епог _ 3Ja	6S _ 26а	61 _ 6а

~т ~ ~а~' ~Ё^~~а' ~S ~ ~сГ' ~Т ~ ~а'	(	'

Отсюда находятся Nk и из вариационного уравнения получаем точное
соотношение между функционалами F^:

N\A\F\ + N2A2F2 + N3A3F3 + ... =0.

2.	Вариационное уравнение для стационарного движения по-
лости. Для задачи обтекания полости безграничным потенциальным
потоком идеальной несжимаемой жидкости, однородным на бесконеч-
ности, со скоростью г?оо = — и функционал (16.5) имеет вид

*	ти п

Л = -z---PooS.

Подставляя его в (23.2), получаем следующее вариационное уравнение:

ШН

- al + (рГ - Poo)S

= 0

(23.5)

и, учитывая соотношения (23.4), находим точное соотношение [109]:

mu2 — al + 2(рг — Poo)S = 0.

(23.6)

Аналогично находится точное соотношение для пространственной за-
дачи (10.21). Эта же идея используется при выводе формулы Гара-
бедяна (13.7) для силы сопротивления, действующей на конический
кавитатор и также для силы (13.6), действующей на кавитатор в форме
симметричного клина.

Выберем семейство варьируемых контуров с двумя независимыми
параметрами: а — радиус круга эквивалентной площади (S = 7га2) и
отношение осей полости у. Тогда из вариационного уравнения (23.5)
и соотношения (23.6) получим два уравнения:

7- V “ 67 Т- = 0, mu2 - al + 2(рг - Роо)™2 = 0.

Эти уравнения можно записать в следующей безразмерной форме:

w = ри2а = 2 dl /dm р = (рГ - р^)а = I _ m\N ^3 7)
a	dx/ dx'	о 2тга 2ттра2 ’

Они определяют зависимости числа Вебера W и числа Р от у. При
удачном выборе варьируемого семейства зависимости будут достаточно
точными (см. вывод соотношений (23.8) и упр. 24.3).

3. Таблица точных соотношений в задачах со свободной гра-
ницей. Точные соотношения при исследовании задач со свободной
границей играют важную роль. Они позволяют тестировать численные
расчеты, а в некоторых случаях существенно упрощать вычисления.
Дадим сводку вариационных уравнений и вытекающих из них точных
равенств, которые были получены выше.

1.	Пространственная задача обтекания пузырька. Вариационное
уравнение и точное соотношение [137]:

и2

-^-бт- aSS + (рг - Poo)3V = О,

З?/2

т — 2a6S + 3(рг — Poo) V = 0.

2.	Плоская задача обтекания пузырька. Вариационное уравнение
и точное соотношение: формулы (23.5) и (23.6).

3.	Осесимметричное кавитационное обтекание конуса. Вариа-
ционное уравнение и точное соотношение: формулы (13.4), (13.5)
и (13.7) [141, 239]:

V2

—^8т + (рж- pK)8V =

(р - рк) 6п dS + (р - рк) Sn dS,
Е	Е'

Flx =	| (poo - pK)V.

4.	Плоская задача кавитационного обтекания клина. Вариацион-
ное уравнение и точное соотношение имеют вид (см. формулы (13.4),
(13.5) и (13.6))

8т + (poo - рк)<55 -

(р — Рк) 8nds + (р — pK)6nds,

V	«

Е	Е'

Fix = ~^ mv"^, + (poo - Рк)5

(Гарабедян, 1956).

5.	Волновое сопротивление. Приведем результат, полученный
Д. В. Маклаковым (2001) [120], для волнового сопротивления F
тела, обтекаемого плоскопараллельным потоком идеальной тяжелой
жидкостью бесконечной глубины

ГЛ = ЗП - 2Т,

где Т и П — кинетическая и потенциальная энергия создающейся
на бесконечном удалении от тела волны периода Л. Кинетическая
и потенциальные энергии пропорциональны квадрату и кубу длины
волны соответственно. Поэтому формула Маклакова имеет такую же
структуру, как и формула Гарабедяна.

23.4.	Эллиптическая полость. Приближенно семейство форм по-
лости с поверхностным натяжением можно определить, исходя из ва-
риационного уравнения (23.5) на семействе эллипсов. Пусть эллипти-
ческая полость с полуосями 1Х и 1У движется относительно покоящейся
на бесконечности жидкости со скоростью и в направлении меньшей
оси 1Х. Тогда ее площадь S, присоединенная масса т и длина дуги I
имеют вид

S = тга2 = тг1х1у, т = pidy,

\/ 11 sin2 t + ll cos21 dt.
Vх	У

Вводим независимые координаты а и у = 1У/1Х и выражаем через них
все характеристики S,m и I:

S = тга2, т = ртга2х,

7Т/2
*

I = 4ау/х

о

у/1 — fc2 sin21 dt = 4ay/xE(k),

Подставляя их в (23.7), получим зависимости безразмерных чисел W
и Р от отношения осей полости:

W(x) = ® IvWMx))]- Р =	f W(x). (23.8)

В 1969 г^О.М. Киселев [88] привел таблицу расчетов зависимостей
W(y) и Р(у), которая пересчитывается через Р(х)

Р =	= Р(Х) _	(23.9)

где р* = р + pv^Q — давление в точке торможения.

На рис. 6.2 сплошными линиями изображены зависимости W(y)
и Р(х), рассчитанные по аналитическим формулам (23.8) и (23.9).
Штриховыми линиями изображены те же зависимости, получаемые

Рис. 6.2. Зависимости числа Вебера и числа Р от отношения осей пузырька
из (23.7) на семействе контуров (23.24) с функцией П = д0 + д2/С2
(см. упр. 23.3). Для сравнения кружками нанесены точки по данным
таблицы О. М. Киселева. Ошибка имеет наибольшее значение в точке
X = 5,5. Согласно приближению (23.8) и (23.9) в этой точке W = 0,490
и Р = —0.034. Согласно точному решению W = 0,495 и Р = 0. Срав-
нение показывает, что решение вариационного уравнения на семействе
эллипсов имеет хорошую точность. Его, следовательно, можно при-
менять и для пространственной задачи, для которой другие методы
существенно сложнее. Еще более высокой точности можно достичь на
другом семействе контуров в упр. 23.3. Функция W(y) имеет максимум
(на семействе эллипсов max W = 0,5596 при у = 2,82), а функция Р(х)
монотонно убывает от значения Р(1) = 1 до Р(5,5) = 0.

Для пространственной задачи зависимости W(x) и Р(у), изобра-
женные на рис. (3.2), имеют те же качественные особенности, что
и приведенные на рис. 6.2.

23.5.	Общие уравнения динамики пузырька.

1.	Функции Лагранжа и Рауса, Для рассматриваемой задачи
вариационное уравнение (9.5) сведется к вариационному принципу
Гамильтона:	г

5Ldt = Q> L = T — al,	(23.10)

где Т — кинетическая энергия жидкости, I — длина дуги, которая
ограничивает полость, al — энергия поверхностного натяжения.

Функция Лагранжа L зависит от обобщенных координат qi, i =
= 1,2,..., задающих форму пузырька и обобщенных скоростей &
и скоростей х и у. Она не зависит от координат хну, определяющих
сдвиг пузырька на плоскости. Эти координаты — циклические. Им со-
ответствует закон сохранения количества движения. Будем считать,
что вектор количества движения направлен по оси х и равен ttiqu.
Циклическую координату можно исключить. В результате получим
уравнения Лагранжа только для координат формы $ с новой функцией
Лагранжа L'. Новую функцию Лагранжа можно найти методом Рауса
по формуле (2.12).

Кинетическую энергию Т (квадратичная форма по скорости
и = х и обобщенным координатам qJ можно представить так:

+ «г1+Г2 = у(« + ^)! + т2-

2m’

(23.11)

где Т\ и 72 — линейная и квадратичная по обобщенным скоростям &
формы. Она положительно определена при всех значениях скоростей и,
qi. Отсюда заключаем, что квадратичная форма Т2 — Tf /2тп — также
положительно определена.

Новая функция Лагранжа L вычисляется по формуле

Г = Т - al -

и
дТ/ди

——h иТ\ + Т2 — u(mu + Ti) — al —

ти2
В этом выражении нужно исключить скорость, пользуясь законом со-
хранения

—— = mu + Т\ = rriQUQ.

ои

В результате получаем

L' = Т2 -	(т°и° ~ Г1 f - al.	(23.12)

Уравнения Лагранжа с функцией L' имеют закон сохранения энергии
(см. (2.10))

T£ + U = E, U = (т^Цо) + а1, Т;=Т2-£~,	(23.13)

где Т2* — положительно определенная квадратичная форма (см. заме-
чание к (23.11)).

Для системы с конечным числом степеней свободы с законом сохра-
нения (23.13) справедлива теорема Лагранжа об устойчивости положе-
ния равновесия: если в положении равновесия системы, у которой
имеется закон сохранения (23.13) и — квадратичная по скоро-
стям положительно определенная форма, потенциальная энергия U
имеет строгий минимум, то это положение равновесия устойчиво.

На системы с бесконечным числом степеней свободы эту теорему,
вообще говоря, распространить нельзя. В этом случае существуют
известные трудности обоснования принципа минимума, на которые
впервые обратил внимание Ляпунов. Он ввел новое ослабленное опре-
деление устойчивости и доказал принцип минимума потенциальной
энергии для равновесных форм жидкости. Имея в виду это ослаблен-
ное определение устойчивости, положения равновесия, для которых U
имеет строгий минимум, будем называть формально устойчивыми.

Для плоской задачи о пузырьке будет доказано, что из принципа
минимума следует обычная устойчивость формы свободной границы
без дополнительных условий, принятых Ляпуновым. Таким образом,
будет доказана устойчивость по отклонению возмущенной поверхности
стационарного движения полости в плоскопараллельном потоке капил-
лярной жидкости.

2.	Обобщенные координаты контура С, движущегося на плос-
кости. Пусть z = си(£) конформно отображает внешнюю область
единичного круга на комплексной плоскости С* на внешнюю область
контура С на плоскости z (рис. 6.3). Функция си(£) с условиями норми-
ровки си(оо) = оо, Argcu'(oo) = 0 определяется единственным образом
в области |£| > 1 и представима в виде ряда Лорана

ОО

z = w(C) = 52afeC'-fc-	(23.14)

/с=0

Из условия нормировки следует, что ао — действительное положитель-
ное число, а остальные коэффициенты — произвольные комплексные
числа.
Обозначим площадь, ограниченную контуром С через тга2 и вы-

разим ее через коэффициенты ряда Лорана (23.14). По интегральной

Рис. 6.3. Схема отображения внешней
области круга на внешнюю область кон-
тура С

теореме площадь тга2 можно
выразить через интеграл по
контуру С

о zdz = 2гтга2,

где черта сверху означает
знак сопряжения комплексного
числа.

Подставляя в интеграл
функцию (23.14) и учитывая
следующие равенства: |£| = 1,
С = 1/С на контуре С, имеем

°	= 2«га2.

1С1=1

Вычисляя интеграл по теореме вычетов, получим равенство

aQ ~ 1аг|2 - 2|аз|2 - 3|сц|2 - ... = а2.

(23.15)

Это равенство известно под названием теоремы площадей.

Действительные и мнимые части коэффициентов ряда Лорана ак,
к = 1,2,3,... можно принять за обобщенные координаты контура. Для
полости постоянной площади действительный коэффициент oq выра-
жается через обобщенные координаты по теореме площадей (23.15).

3.	Комплексный потенциал. Пусть контур С с обобщенными
координатами ak(t) движется произвольно в жидкости, покоящейся
на бесконечности. Вычислим комплексный потенциал F(t, z) течения
жидкости, которое создается движущимся в ней контуром С. Сформу-
лируем краевую задачу для аналитической функции F(t, z). На контуре
С: |£| = 1, комплексные векторы скорости жидкости, скорости переме-
щения точки контура и нормали имеют вид

dF . дш

V~ ~dT U~~dt и

ЙОГ

Скалярное произведение двух векторов п = пх + iny и v = vx + ivy
можно представить так: nxvx + nyvy = Re(nv), где через Re обозначе-
на действительная часть комплексного числа. Тогда граничное условие
Re(nv) = Re(nvc) равенства нормальных составляющих скоростей
жидкости и точки контура выразится так:

Re(O=Re(wA), f(t. С) = F(t, u(t, <)).	(23.16)

\ ац /
Определить аналитическую функцию f(t,Q вне круга |£| > 1 с крае-
вым условием (23.16) можно с помощью следующей леммы:

Лемма. Пусть на окружности |£| = 1 функция g(£) представ-
ляется сходящимся рядом Лорана:

оо
g(o= 22 g^n-
п= —оо

Тогда функция /((), аналитическая вне круга |(| > 1 и удовлетво-
ряющая условиям

Re(f 0 =Re(<0’ |<| = 1,	С"°°’

единственная и находится по формулам

— 1	оо

f=g-(Q -g+u/o = (gn-g'-nKn = 2?sr-n-g’n)cn.
”=1	(23.17)

— 1	ОС

g-(o= 22 ^п> ё+^=•

Причем на границе |£| = 1 мнимая часть функции f (Im/) находит-
ся из соотношения

Im/ = Im(g — g-0), g-0 = JL|£^.	(23.18)

Доказательство. Краевая задача леммы эквивалентна внеш-
ней задаче Дирихле для действительной части £df/d£. Она имеет
единственное, стремящееся на бесконечности к нулю, решение. Отсюда
нетрудно доказать существование и единственность функции /(C)-

В справедливости формул (23.17) и (23.18) можно убедиться непо-
средственной проверкой. Действительно, дифференцируя почленно ряд
Лорана для g((), получим

ОС

22 п^пГ+22п^п-

П= —ОО	П=1

Откуда для действительной части при |£| = 1 получим

Re(JO=Re S ^n-^-n)Cn = Re(|c),
п=-оо

что доказывает граничное условие леммы. Равенство (23.18) выводит-
ся так:

Im / = Im(g_(C) - g+(l/<)) = Im(g_«) + g+«)) = Im (g(() - g0),

и доказательство леммы завершено.
С помощью доказанной леммы можно найти комплексный потен-
циал течения жидкости, вызванного движением контура, площадь
которого не меняется со временем. Последнее условие, согласно теоре-
ме площадей (23.15), имеет вид

j 2

—— = 2 Re (do^o ~	— 2бзаз — Зб^бц — ...)= 0.	(23.19)

at

Обозначим через g(() функцию, определяемую из уравнения

f = д(1/С)ц/(О,

с помощью которой краевое условие (23.16) совпадет с краевым усло-
вием леммы. Правая часть уравнения для g разлагается в ряд Лорана:

(ОО	\ / ОО	\	ОО

E5-<’n)(Ea"<’n(1-n)) = 7 Е
т=0	' ' n=0	'	к=—оо

ОО

В к —	(1 п)атап — ^( 1 п)а/е4-пб1п.

т—п=к	п=0

Функция g находится интегрированием

g(C) = BolnC + C + g(0, g(C) =	(23.20)

Действительная часть Bq определяется из соотношения

Re Bq = Re (do^o — 02^2 ~~	— Зщс^ — ...)

и равна нулю в силу (23.19). Поэтому граничное условие для ком-
плексного потенциала (23.16) примет вид граничного условия леммы,
где функцией g(() представляется рядом Лорана (23.20). Можно при-
менить лемму и получить комплексный потенциал в виде следующего
ряда:

ОО	ОО

/«) =	Л = ^2(n-l)(a„_fean + dn+fea„). (23.21)

к=\	п=0

Выражения для Ак получаются с помощью формул (23.17) путем
следующих преобразований:

ОО	ОО

Ак =	£>к) = В—к Вк =	^(^	1)^™—к^п “Ь ^(^	^О'п-^-к^П'

п=0	п=0
Здесь коэффициенты as с отрицательным индексом считаются равными
нулю. Формулу для Ak можно преобразовать к следующим более
удобным видам:

оо

п=0

П- 1)&п^А:+п 4"	1)^п+А:&п]>

(23.22)

4.	Кинетическая и потенциальная энергии. Функция Лагранжа.
Кинетическую энергию жидкости

s

р f dF dF р

с помощью интегральной теоремы можно свести к интегралу по кон-

туру С

T = -z±[F(z)~dz.

4	' ' dz

С помощью замены переменной z = w(t, Q получаем интеграл по еди-
ничной окружности

Подставляя вместо функции f ряд (23.21) и применяя теорему вычетов,

получаем

оо

к=0

(23.23)

Поскольку в области |(| > 1 функция dw/dQ аналитична н не об-
ращается в нуль в силу конформности отображения, она представима
в виде квадрата аналитической функции:

^=ЛП2(С), Я(С)=£>„ГП.

п=0

(23.24а)

откуда находим коэффициент разложения (23.14)

п

QkQn—kf
к=0

ри

(23.246)

где А имеет размерность длины.

Поскольку оо — действительное число, то и qo будет действи-
тельным числом. Так как функция П2(£) не содержит степени £-1,
то qi = 0.

Йп —

А

1 — п
Введение переменных qn упрощает вычисление длины контура.
Через функцию П(£) элемен^г длины дуги контура вычисляется так:
ds = \du/d£\	= AQ(£)Q(l/£) d£/(z£). Длина контура l и потен-

циальная энергия al находится по теореме вычетов

(23.25)

Формулы (23.21), (23.23), (23.24) и (23.25) определяют зависимость
функции Лагранжа L = Т — al от обобщенных координат и скоро-
стей qk-

В этой зависимости следует учесть формулу теоремы площа-
дей (23.15), которая устанавливает связь между обобщенными коор-
динатами. Уравнения Лагранжа определят зависимость обобщенных
координат qk от времени.

23.6.	Решение Мак Леода.

1.	Вариационное уравнение полости. В работе Мак Леода [264]
найдена точная форма полости в частном случае, когда давление га-
за внутри жидкости равно давлению жидкости в точке торможения.
Результаты полученного решения для этого случая приводятся также
в работах [70, 88]. Во всех указанных выше работах авторы исходили
из сложных нелинейных уравнений.

Можно значительно упростить построение точного решения, ес-
ли, следуя работам [109, 168], исходить из вариационного уравне-
ния (23.5). Кроме того, такой подход удобен для доказательства устой-
чивости формы газовой полости, которое будет изложено в следующем
пункте.

Для пузырька, движущегося с постоянной скоростью и = d\ без
изменения своей формы, все обобщенные скорости равны нулю: ап = 0,
п / 1. Подставляя эти значения в (23.21), а затем в (23.23), найдем
кинетическую энергию,

Ai = и(а2 - ао), Ак = киа,к+\, к = 2,3,...

Т = ти2, — = |а2 - а0|2 + |а2|2 + 2|а312 + ...

2	7ГР

(23.26)

Пользуясь теоремой площадей (23.15) выражение для присоединенной
массы можно упростить

— = 2o,q - ао(а2 + а2) + а2а2 - а2.
7Гр

С помощью формул (23.24) ее можно выразить через координаты qn

а0 = Aqq- а2 = -2Aqo92-	— = A2(2<7q + 4qq Req2) - а2-	(23.27)
Подставляя найденные выражения (23.25) и (23.27) в вариационное
уравнение (23.5), получим

6

\2 2
7ГрЛ U

+ 4^ Re q2 -	-

- 2тг<тА I 9о + 52 qk<lk ) + (рг “ Ро°)7га2

'	к=2	'

= 0.

2.	Решение Мак Леода. Выразим вариационное уравнение через
независимые вариации &7о,&72,&7з, ••• и разделим все слагаемые на
7грЛ2и2; в результате получим

ОО

п

2(Рг ~ Роо)
ри2

ада

Ограничимся частным решением, в котором выполняется условие

2(рг Роо) _ 1

2	1

ри

(23.28)

В этом случае давления в критической точке жидкости и газа равны
друг другу, граница полости в критической точке уплощается (кривиз-
на равна нулю).

Приравнивая нулю коэффициенты при независимых вариациях, по-
лучим следующую систему уравнений:

Q	3

1 =9о +« 9092 = 9fc = 0- к = 3,4,...

2	Zq?

Отсюда для £ = qz/cfc получим квадратное уравнение: £ + (3/2)£2 —
— 1/2 = 0. Оно имеет два корня: ( = 1/3 и ( = -1. Второму корню
соответствует отрицательное значение j и мы его рассматривать не
будем 9.

Для первого корня получим следующее решение:

(23.29)

а остальные коэффициенты qn и ап равны нулю.

9 Форма полости, соответствующая корню £ = — 1, приведена в работе [88].

6 А Г. Петров
Форма пузырька определится из уравнения

х + гу-о/(С)-Л^3С 9С 81 О’

Q = cos а + г sin а. (23.30)

Она изображена на рис. 6.3. В критической точке на оси х кривизна
равна нулю. Отношение осей пузырька равно 11/2.

По теореме площадей (23.15) можно вычислить радиус круга экви-

валентной площади а =
следующее значение:

2\/402 . „ D ,

——— Л. Число Вебера, отнесенное к а, имеет
о 1

W =

ри2 а а 2\/402 Л ,пс-
— = Л - — *= °'495'

(23.31)

Изложенный метод решения задачи Мак Леода и приведенные ре-
зультаты взяты из статьи Н.И. Лихоманова, А. Г. Петрова (1975).
Полное семейство решений для всех чисел Вебера с помощью рядов
найдено О.М. Киселевым (1969) [88], который исходил из нелинейного
интегрального уравнения для формы пузырька, аналогичного уравне-
нию Некрасова в теории волн конечной амплитуды (см. [195]).

23.7.	Устойчивость стационарного движения полости.

1.	Трудности исследования задачи устойчивости свободной
границы. Для систем с конечным числом степеней свободы из закона
сохранения энергии (23.13) можно получить теорему Лагранжа об
устойчивости положения равновесия в точке минимума потенциальной
энергии U, а также теорему Рауса об устойчивости стационарного
движения пузырька, соответствующего этой точке минимума. Ниже
рассматривается устойчивость стационарного движения полости в иде-
альной жидкости, обладающей поверхностным натяжением. Принцип
минимума распространяется и на эту систему с бесконечным чис-
лом степеней свободы. В этом случае существуют известные труд-
ности обоснования принципа минимума, на которые впервые обратил
внимание Ляпунов [117]. Он ввел новое ослабленное определение
устойчивости и доказал принцип минимума потенциальной энергии
для равновесных форм жидкости. Для плоской задачи будет доказана
устойчивость по отклонению возмущенной поверхности стационарного
движения полости в плоскопараллельном потоке капиллярной жидко-
сти без дополнительных условий Ляпунова.

2.	Определение устойчивости. Для капиллярной жидкости опре-
деление устойчивости равновесной формы, аналогичное определению
Ляпунова, дано в работах В. В. Румянцева (1966, 1968) [178, 179]
и В. А. Самсонова [181], в которых рассматривается ряд общих при-
знаков устойчивости и неустойчивости вращения твердого тела с по-
лостями, заполненными капиллярной жидкостью. В монографии [13]
подробно изложены все основные исследования по устойчивости дви-
жения твердого тела с полостями, заполненными капиллярной жид-
костью.
Для наших целей можно ограничиться обычным определением
устойчивости. Пусть Г и Г — соответственно возмущенная и невозму-
щенная свободные поверхности, а Т и Т — соответствующие кинети-
ческие энергии жидкости. Введем следующие обозначения:

г(Г,Г) = max minp(x,х), х е Г, х е Г,
где р(х,х) — расстояние между точками х, х.

Определение. Равновесная форма Г поверхности жидкости
называется устойчивой, если для любого е > 0 можно найти положи-
тельные числа 51, 5г, такие что для любой возмущенной начальной
поверхности Го = Г|г=*0 с достаточно малыми значениями потенциаль-
ной и кинетической энергии, удовлетворяющими условиям

<r(Z(O) - Z) < <?!, |Т(0) - Т\ < 62,
неравенство г(Г,Г) < е будет выполняться до тех пор, пока возмущен-
ная граница Г остается непрерывной.

3.	Первая и вторая вариации функционала. Пусть qn и qn +
+	~ соответственно возмущенные и невозмущенные координаты

механической системы. Тогда при достаточно малом значении парамет-
ра е функционал U{qn + £п) можно разложить по степеням £п:

U(qn + £n) = Uo + 6U + 62U + ...,	(23.32)

где Uq, 5U и 52U — независящие от £п, линейное и квадратичное по
слагаемые, точки — члены не ниже третьей степени.

Величину Uq будем называть невозмущенным значением функци-
онала, а линейное и квадратичное по е слагаемые 6U и 62U будем
называть первой и второй вариациями функционала U.

Рассмотрим функционал энергии в законе сохранения (23.13) для
движения полости в «капиллярной» жидкости при постоянной площади
ПОЛОСТИ	2

[/ = (”) + al,	(23.33)

2т

где функционалы присоединенной массы т и длины дуги I можно
представить в виде разложений (23.32) в окрестности своих невозму-
щенных значений то и Zo-

rn = то + 6т + 62т + O(s3), I = 1о + 61 + 621 + О(е3).

Подставляя эти разложения в (23.33), получим выражения первых и
вторых вариаций функционала U через вариации т и I:

6U = ~6т + а61, 62и =	- 62тп\ + а621.

2	2 у то	J

Для стационарной формы полости

и2

6U = ~6т + а61 = 0.	(23.34)
Это уравнение с учетом постоянства а2 совпадает с вариационным
уравнением (23.5).

Вторая вариация функционала U характеризует устойчивость ста-
ционарной формы полости. Ниже будет доказана теорема устойчивости
стационарного движения «плоского» пузырька в точке минимума U
в смысле определения, данного выше.

Теорема. Если квадратичная форма второй вариации 62U
положительно определена, то стационарное движение полости при
постоянном импульсе ttiquq устойчиво.

4.	Доказательство минимума потенциальной энергии. Пока-
жем, что найденное стационарное решение (23.29) соответствует точке
минимума функционала U (23.33). Для этого нужно показать, что его
вторая вариация

62U = 62Ui + 62U2,

Х2ТГ и2 / (<5т)2 Х2 \	Х2ТТ X2j	(23.35)

d J71 = -zr 1—-— 6zm , ozU2 = crS I

1 \ rriQ	j

строго положительна. Здесь mo ~ значение присоединенной массы,
соответствующее точному решению.

Согласно формуле (23.27) присоединенная масса m зависит только
от двух действительных аргументов qo и Reg2- Обозначим их вариации:

<fyo = £o. Re(<fy2) = &-

Тогда, пользуясь значениями (23.29) и формулой для присоединенной
массы (23.27), находим ее стационарное значение и вариации в смысле
определения из пп. 2 п. 23.7:

mo 24132 бтп f8 г 8 \ /тг 62тп	.32

=	^ = (.9«l+3&)'/6' ^? = (^ + t4-

Подставляя эти значения в первое слагаемое второй вариации 82U
(23.35), получим

(3022 g + 2 fl? && +	й).	(23.36)

Коэффициенты квадратичной формы удовлетворяют неравенству

3022 162 _ 317 317 = 371	0

507 169	169 169 “ 169 > U’

и поэтому она положительно определена. Второе слагаемое выражения
(23.35) согласно (23.25) таково:

оо

62и2 = 2тгА<7Я2, R2 = Ifni2,
п=0

(23.37)

где £п — вариации qn, п = 0,2,3,...
Вторая вариация (23.37) — тоже положительно определенная фор-
ма. Отсюда следует, что 82U — строго положительно определенная
функция, что и требовалось доказать.

5.	Доказательство теоремы устойчивости. Покажем, что если
совместить возмущенную и невозмущенную границы пузырька в точке
£ = 1, то расстояние между границами будет подчинено неравенству

< 2R + 2тгЛ2.	(23.38)

Л	у А

Действительно, комплексный вектор, отсчитываемый от точки на гра-
нице пузырька с координатой £ = 1 до точки границы с координатой £
определяется интегралом

С	С

Х) = [	= Л	< = е"-

J aS
С=1

Отсюда находим вектор Дг, определяющий перемещение точки при
возмущении границы

С

(2ШП + (WX.

С=1

ОО
я=j>nrn.
п=0

п=0

Применяя неравенство Коши-Буняковского, получим

а	а

2 [|П||<5П|</а+ [ |5Q|2dct

О	о

2тг

+ [ |Jfi|2da.

О

Интегралы в правой части вычисляем по теореме вычетов:

2тг

|<Ш|2 da =	= 2nR2,

J

о

Используя полученные неравенства, найдем

2тг

|П|2 da =
J	А

О

+ 2тгЯ2,

что и требовалось доказать.

Теперь докажем, что в силу уравнений движения величина В?
не превосходит некоторой постоянной величины, которая зависит от
начального возмущения и может быть выбрана как угодно малой.
Будем исходить из интегралов энергии, которые вытекают из функций
Лагранжа L (23.10) и Рауса L' (23.12):

Т - Т + а(1 - /) = U - U + Т2* = Е - Е,

(23.39)

где чертой сверху обозначены значения соответствующих характери-
стик в точке минимума функционала U.

Квадратичная по скоростям форма Т2* — строго положительна
(см. (23.13)). Поэтому из интеграла энергии следует неравенство

U - U < Е - Ё,	(23.40)

причем Е — Е можно выразить через разницы между начальными /(0)
и Т(0) и стационарными значениями Т и I:

Е-Ё^ |Т(0) - Т\ + а|/(0) - /| < <51 + <52;	(23.41)

они могут быть выбраны как угодно малыми величинами.

Первая вариация функционала U — U равна нулю, поэтому согласно
(23.33), (23.35) и (23.37) имеем

U-U — 62U\ (&>, &) + 2тгАаЯ2 + О($ + £2)3/2,

где 62U\ — положительно определенная квадратичная форма двух
переменных £о и &•

Отсюда и из (23.39)-(23.41) получаем неравенства, справедливые
в шаре R < с:

2тгА<7Я2 <U-U<E-E<5l+62^R2< 4^-

2тгА<т

Оценку для R подставляем в неравенство (23.38):

г(Г,Г)<2^Ц^+^±^.

Если выбрать (51 и (52 так, чтобы

то г(Г,Г) < е во все время движения t 0.

Таким образом, доказана устойчивость стационарного движения в
соответствии с определением и теоремой из п. 23.3. Это доказательство
устойчивости приведено в работах Н. И. Лихоманова, А. Г. Петрова
(1975) и А. Г. Петрова (1981).

Упражнения

23.1.	Найти комплексный потенциал стационарного обтекания полости
с поверхностным натяжением, соответствующий решению (23.30). Вычислить
кинетическую и потенциальную энергии.
Решение. По формулам (23.21) и (23.26) находим комплексный потен-
циал в системе координат, связанной с жидкостью:

/(<) = А.Г1 + | АзГ3 = иХ С1 - 1 С3).
О	X У	О1 /

В системе координат, связанной с пузырьком, нужно добавить потенциал
однородного потока — uz и выразить z = о>(0 согласно решению (23.30). В этой
системе координат комплексный потенциал имеет вид

7(0 = (с + г1)-
О

Кинетическая и потенциальные энергии вычисляются с помощью формул
(23.25) и (23.27):

ГР 1	2	1	\2 2 24132 J п \/ 2 ,	2\	40	\2 2

т = - той = - 7грЛ и -у-, crl = 27гаЛ(д0 + 9г) = тгрЛ и .

О	~ •

а2

С помощью равенства (23.31) их можно выразить через площадь полости —? =
,	А2

23 • 67

“ З7

Т =	к ри2 а2 « 2,52тгри2а2, al = ттри2а2 « 6,04тгри2а2.	(23.42)

67	67

23.2.	Сформулировать постановки задач для стационарного обтекания
капли в идеальной жидкости и устойчивости формы капли. Показать, что
форма капли не зависит от плотности жидкости внутри нее. Найти критическое
отношение плотности капли к плотности жидкости, при котором стационарная
форма, соответствующая точному решению (23.29) становится неустойчивой.

Решение. Если принять течение жидкостей внутри и вне капли по-
тенциальным, то в стационарном движении жидкость внутри капли покоится,
а давление в ней постоянно. Поэтому постановка задачи для обтекания капли
не зависит от ее плотности. Форма ее будет такой же, как и для пузырька.
В частности, решение (23.29) будет точным и для капли. Динамические урав-
нения капли уже будут зависеть от ее плотности, так как в функции Лагранжа
следует учесть кинетическую энергию внутри капли. Условие устойчивости
также будет зависеть от плотности капли. Форма равновесия капли устойчива,
если первая вариация функционала энергии U равна нулю, а вторая его
вариация положительна:

(тпо 4- М)2и2
2(тп 4- М)

+ аЦ

U =

и2

6U — — — бтп 4- ад1 = О,
£

S2u = — (

2 \mo 4- Af

— 62m ) 4- a62l > О,

где тп — присоединенная масса, М — масса капли (см. (10.6)).

Как видно, вариационное уравнение совпадает с уравнением (23.34) для
пузырька.
Введем возмущенные значения обобщенных координат:

9о =	+ Со, 92 = ^ + <2 + гф,

о	У

Як =£к + гт]к, к = 3,4,...

Тогда вычислениями, аналогичными для случая пузырька, найдем квадратич-
ные формы для слагаемых, входящих во вторую вариацию 62U:

“2 (t*™)2 Л2ггЛ - 9™)Л,2 [37 3	+ ^о/3? (9f с , 8 -2\1

Т - 5 т) - 2^Л и I---------------^4752--------^2 + з Со)] ,

сг621 = 2тгрА2и2е2(Со + Сг + Сз + С4 + • • • + 92 + 9з + • • •), К = 1 + —.

В этой квадратичной форме нужно учесть связь между вариациями, обеспе-
чивающую постоянство площади капли. Ее можно найти с помощью теоремы
площадей (23.15), подставляя в а2 выражения

ао — Адо,

а2 = -2 Ад0»

04 = -^ (92 + 29094)

и удерживая в нем линейные по возмущениям слагаемые

2

2 Г 536

L2187

Остальные переменные £п, т/п в линеаризованное выражение площади вклада
не дадут. Отсюда вытекает следующая связь: & = 21£о — ^у £2» которую нужно
подставить в выражение для второй вариации. В результате для второй вариа-

ции получим квадратичную форму

62U = 2тгрА2и2 х

373(8£2/9 + 8£0/3)?

2К24132

“ ^2£о£г + з £о) + £о + £2 4- ^21 £о —у £2) 4-...

где точками обозначена сумма квадратов независимых вариаций £2 + £2 4-
+ £б 4- ... 4- Т]2 4- т]з 4- д2 4- • • • Квадратичная форма положительно определена

при условии

М 102178

то 19565

« 5,222.

Критическое отношение плотностей жидкостей внутри и вне капли находится
из соотношения

Ро _ М _ М тп$
— ~ -----2 “---------2’

Р pita niQ ръа

Подставляя сюда найденные из (23.31) и (23.42) отношения: М/т$ = 5,222;
то/(тгра2) = 2 • 132/67 « 5,045, получим искомое критическое отношение плот-
ностей ро/р « 26,35.

Следует отметить, что в этой модели не учитывается вихрь внутри капли,
который существенно влияет на устойчивость формы. Вихрь внутри движу-
щейся капли создается в результате вязкого трения на границе. Эти эффекты
будут рассмотрены в следующей главе.

23.3.	Показать, что для семейства контуров

г(С,т) = а[Х< - 2(ХУ)1/2£-1 - (\/3)Y<r3\, |С| = 1,

Х(т) = 2cshr + ch г, y(r) = cshr, с = \/3/13

площадь S, ограниченная контуром, равна тга2 и не зависит от параметра т.
Решить вариационное уравнение (23.5) на этом семействе и найти зависимости
W и Р от отношения осей полости х-

Решение. По теореме площадей (23.15) находим площадь

A = (х2 - 4XY - | У2) = (X - 2У)2 - У2 = c2(ch2 т - sh2 т) = 1.
7ГСГ \	3	/	3	3

Из равенства

следует, что до = V&X, дг = \/aY и по формулам (23.25) и (23.27) находим

I = 2тга(Х + У), m = яра2(2Х2 + 4Х3/2У1/2 - 1).

Искомые зависимости определяем по формулам (23.7):
__________________________________2(Х+ Y)____________
(2Х + ЗХ1/2У 1/2)Х + x3/2Y~'/2Y '

P = P- lw = X + y-(X2 + 2X3/2y1/2)W.
4м*

К ним нужно добавить зависимость отношения осей от параметра

Ж1 = X + 2(ху)У2 - у/3

Х г(1) X -2(ХУ)1/2 — Y/3

Функция W достигает наибольшего значения: maxW « 0,555 при
х(0,129) « 2,83 (для сравнения на семействе эллипсов maxW « 0,559 при
X « 2,82). В точке х — 5,5 приведенная параметрическая зависимость дает
точные значения: W = 0,496 и Р = 0. Графики найденных зависимостей не
отличимы от точных, приведенных на рис. 6.2.

§ 24.	Волны конечной амплитуды на поверхности
тяжелой жидкости

Применение принципа Гамильтона и уравнений Эйлера-Лагранжа
оказывается полезным для исследования нестационарных волн ко-
нечной амплитуды на поверхности тяжелой жидкости. Идея вывода
динамических уравнений для профиля периодической нестационарной
волны аналогична выводу динамических уравнений для границы по-
лости. Вместо конформного отображения внешней области полости
на внешнюю область круга можно рассмотреть отображение одного
периода волны на внутренность круга с разрезом с помощью аналити-
ческой функции. Принимая коэффициенты разложения этой функции
за обобщенные координаты, получим для них динамические уравнения
Эйлера-Лагранжа. Этот подход излагается ниже, следуя работе [149].

24.1.	Волны на поверхности тяжелой жидкости бесконечной
глубины.

1.	Постановка задачи. Рассмотрим общую постановку задачи о
потенциальном плоскопараллельном волновом движении несжимаемой
жидкости в канале бесконечной глубины. Введем декартову систему
координат х, у, в которой ось х направлена по горизонтали, а ось у —
вертикально вверх. Предполагаем, что уравнение поверхности волны
имеет вид: y = Y(t,x), где Y(t,x) дифференцируемая по времени t
и координате х функция, с периодом по пространственной координате
Y(£, х) = Y(£, х + Л) (Л — длина волны).

Введем область П: —оо < у Y(£, х), xq х х + Л одного периода
волны. Тогда периодический по координате х потенциал поля скоро-
сти Ф находится из решения следующей задачи:

△Ф = 0, г € Q,

^ = vn, r<=dtlf,	(24.1)

on	J

Ф -> 0, у -► -оо,

где второе уравнение выражает кинематическое условие того, что
частицы жидкости не покидают поверхность волны Если по-
верхность волны 5П/ известна, то задача (24.1) имеет единственное
решение. Решение представляется рядом по гармоническим функциям

cos (nkx) enky, sin (nkx) enky, fc=^, n=l,2,...	(24.2)

Отсюда, в частности, следует асимптотический закон убывания реше-
ния ~еку при у —оо.

Начало координаты у привяжем к среднему уровню волны, кото-
рый в силу закона сохранения массы, должен оставаться постоянным.
Примем координату среднего уровня равной нулю. Тогда для среднего
значения функции Y(t,x), определяющей поверхность волны, имеем

(24.3)

Давление в жидкости можно найти из интеграла Коши-Лагранжа:

Р - Pf = -Р

+ Др.

(24.4)
Здесь р/ — давление на свободной поверхности у = Y(t,x). Величина
Pf не зависит от координаты х, но, вообще говоря может зависеть
от времени. При т/ —> оо давление в жидкости будет отличаться от
гидростатического pf — pgy на величину Др, т. е.

Р - (pf - pgy) = Др + О(еу) у оо.	(24.5)

Таким образом, постоянная Др равна разности динамического
и гидростатического давлений на бесконечной глубине. Ниже будет по-
казано, что для волн с меняющимся во времени профилем Др отлична
от нуля.

Динамическое условие р = р/ на поверхности волны можно заме-
нить на динамические уравнения, вытекающие из вариационного прин-
ципа Гамильтона. Для нестационарной волновой задачи требуется еще
задавать в начальный момент времени поле скорости и поверхность
волны.

2.	Вывод принципа Гамильтона. Для вывода принципа Гамильто-
на повторим все рассуждения, приведенные в § 5, с учетом сформули-
рованной выше постановки кинематической задачи (см. (24.1), (24.3)).
Для рассматриваемого случая уравнение (5.5) примет вид

~Pf — Др) 6nds,

(5.5')

справедливое для любого жидкого объема П.
Аналогично доказывается равенство (5.9):

vSrdS 2 = [ QSndS ' = 0.

Q	tl dQ

Граница 5Q жидкой области П(£) разбивается на четыре части:
Пу (р = Y(t, х)) — свободная поверхность, <ЭПГ и dty — поверхности,
ограничивающие область Q соответственно справа и слева, Qqo —
поверхность, ограничивающая область Q снизу. В начальный момент
времени поверхности 5ПГ и dty выбираются вертикальными прямыми
х = xq и х = а?о + А, а поверхность Поо является горизонталью у = —h,
достаточно удаленной от свободной поверхности. С течением времени
жидкие границы деформируются. В силу периодичности решения кине-
матической задачи боковые границы деформируются одинаково и при
их совмещении совпадают. Перемещения по внешней нормали на них
при одинаковых значениях у равны по величине и отличаются знаком.
Поэтому сумма интегралов по 5ПГ и dty равна нулю. Равен нулю
и интеграл по бесконечно удаленной границе ЗПоо в силу (24.5).
Таким образом, с учетом динамического условия р = Pf получим

(р + Р&У ~ Pf ~ Ар) ds =
да

(pgY(t, х) — Ар) 6п ds.
d£lf

Вариацию границы можно определить с помощью вариации 5у. Тогда
элементарный объем 6nds равен 6ydx и

(р + РёУ ~Pf ~ Ар) 6п ds =
да

zo+A

(pgK(t, х) — Ар) 6Y dx.

х0

Вариация бу подчинена ограничению (постоянство объема жидкости)

^о+А

SY dx = О,

(24.6)

х0

вытекающему из (24.3). Учитывая это ограничение, получим

(р + РёУ ~ Pf ~ Ар) 6п ds =
да

яо+А

pgY(t, х) 6Y dx.

Xq

С помощью последнего соотношения вариационное уравнение (5.5')
преобразуется в вариационный принцип

<Й5(Т-П) = 0,

х v2 dS,
а

яо+А

?g(Y(t,x))2dx, (24.7)

XQ

в котором вариация 5Y подчинена единственному ограничению (24.6).

3. Второй метод Стокса применяется для исследования про-
грессивной волны конечной амплитуды [195]. Излагаемый ниже метод
обобщенных координат является обобщением этого метода на случай
произвольной нестационарной волны конечной амплитуды на поверхно-
сти тяжелой жидкости. Рассмотрим периодическое волновое движение
с периодом 2тг, что равносильно переходу к безразмерным переменным
с помощью замен:

(®.у) -» А (х,у), v^J^v, p-pf^p^p. (24.8)
Z7T	у Z7T	Z7T

Область течения на плоскости, заключенную между вертикальными
прямыми х = 0, х = 2тг и ограниченную сверху неизвестной линией
волны, отобразим конформно на единичный круг |£| < 1 с вырезом на
положительной части оси (рис. 6.4):

оо

z(0 = x + iy = г In < + <?«), ¥’(C) = ^2znCn. (24.9)

n=0
Для написания уравнения волновой поверхности нужно положить Q =
= ега в формуле (24.9) и отделить действительные и мнимые части:
х = -а + 1М + ^(1/О), 2/ =	(24.10)

Комплексные коэффициенты zn(t) = xn(t) + iyn(t) будем называть
коэффициентами Стокса. Для установившихся волн их ввел Стокс.

Рис. 6.4. Иллюстрация ко второму методу Стокса

В этом случае они имеют чисто мнимые значения zn(f) = гт/п(£). Коэф-
фициенты Стокса принимаются за обобщенные координаты. Они опре-
деляют эволюцию волны во времени, при этом xq(1) определяет сдвиг
волновой поверхности. Коэффициент уо можно выразить через коэф-
фициенты Стокса с индексом 1,2,... Подставляя в уравнение (24.3)
выражения (24.10), получим

о= (v«)-ip(l/O) -da+ 5(^(1/0 + ^(0) •

Когда переменная а пробегает значения от 0 до 2тг, точка Q = ега
описывает окружность. Подставим в них da = d£/(iQ. Тогда можно
заметить, что интегралы по окружности

0^(0 d<p = o^l/C) d<^(l/O = o(^«)dv?(l/0 + ¥>(!/<) d<p(£)

равны нулю, так как их подынтегральные функции равны пол-
ным дифференциалам от однозначных функций: ^(0/2, <?2(1/0/2
и	соответственно. Учитывая эти равенства, получим

<>(¥>«) - ¥?(!/<))	+ го <p(l/Qd<p(Q

00

= -4тгуо - 2тг П1гп|2 = 0.

П=1

Отсюда следует, что

yo = -^S, S = \'n\zn\2.

П=1

(24.11)
Комплексный потенциал течения w(t,Q на плоскости £ является
аналитической внутри круга |£| С 1 функцией комплексной перемен-
ной Частицы жидкости, расположенные на свободной поверхности,
не покидают ее, что выражается условием

Re(<^)=Re(^ <)- <=еш <24-12>

Здесь и далее черта сверху означает знак сопряжения комплексного
числа, а точка сверху — дифференцирование по времени.

Задача (24.12) аналогична рассмотренной (23.6) и решается с помо-
щью той же леммы. Решение задачи (24.12) представляется рядом

(24.13)

(24.14)

В выражении для Ао сумма последних двух слагаемых уо + S/2 равна
нулю вследствие (24.11).

Точка £ = 0 — образ точки z = оо. В ней скорость жидкости
вычисляется с помощью разложений (24.9) и (24.13):

dw _ dw I dz
dz dQ / dC,

При Zk = 0, fc = 0,1,2,... профиль волны не меняется со време-
нем. Такая волна называется прогрессивной. Для прогрессивной волны
соотношения (24.9)-(24.14) представляют известные формулы второго
метода Стокса. Коэффициенты Zk во втором методе Стокса опреде-
ляют из условия постоянства давления на границе волны. В методе
обобщенных координат для определения Zk получаются динамические
уравнения Эйлера-Лагранжа.

4.	Кинетическая энергия одного периода волны представляется
интегралом по внутренности круга

Здесь

— якобиан преобразования элемента площади dS

на плоскости течения в элемент площади dr на внутренности кру-

га К| < 1.

Аналогично тому как вычислялась кинетическая энергия для по-

лости приводим интеграл по кругу к интегралу по границе круга
с помощью теоремы Римана-Грина

F = w(C) + cz(£).

Подставляя ряды для dF/d^ и F и применяя теорему вычетов, получим

оо

П=1

(24.15)

5.	Потенциальная энергия одного периода волны (24.7) с помо-
щью (24.3) преобразуется так:

2тг

У2 dx = 2 (у - Уо)2 dx - тгуд.
о

(24.16)

Первое слагаемое правой части (24.16) с помощью (24.9) приводится
к интегралу по окружности и вычисляется по теореме вычетов:

= £(S1+hnG).

Подставляя найденное выражение и (24.11) в (24.16), получим

П = 2тгП, П = Ц-у +Si+hnG\
оо	оо	оо	k— 1	(24.17)

S = ^2 п|гп|2, Si = J>n|2. G = ^kzk^ZnZk-n-
п=1	п=1	к=2	n=l

Здесь П — средняя потенциальная энергия, приходящаяся на еди-
ницу длины волны.

6.	Первые интегралы уравнений движения. Выделяя в кинети-
ческой энергии (24.15) слагаемые, содержащие xq и уо, получим для
средней кинетической энергии

т»	1	l^fc|2 1 • /1 т	1 и	1 -2а i

Т = у- = - У J-rJ- + Xq - Im У ZkZk + 7 Ite -т + 7 XqS +
2тг 4	' к \ 2	'	4 dt /	4 u

k=\	'	k=\	7

(oo	\

5Re У2^к +	) + 7Уо5- (24.18)

z '	4 at J 4

/c — 1
оо

A'k = —izk + ^2 [(n + k)zn+kzn + nznzn+k\.

n=l

Циклической координате xq соответствует закон сохранения импульса

ЭТ	1 т	• - I 1 Г>	। 1 • Q f	/ЛА

— = -Im 52 zkzk + - Re - + - x0S = 1.	(24.19)

k=\

Функция Лагранжа не зависит от времени, откуда следует закон
сохранения энергии Т + П = Е.

Еще один общий закон сохранения энергии

1m > п тп— zn = const
ozn
n=l

можно получить с помощью теоремы Нётер из группы симметрии
относительно сдвига по волновой поверхности С* = ^ег^:

z'k = гкегк\ Xq = x0- 7-

Приведенные динамические уравнения и их интегралы получены в ра-
боте [149].

Перейдем к рассмотрению частных случаев волнового движения.

24.2.	Прогрессивные волны.

1.	Интеграл Бернулли. Теория установившихся (прогрессивных)
волн является наиболее простым для изучения частным случаем, в ко-
тором скорость волны xq = с постоянна, а все обобщенные скорости
равны нулю Zk = 0, к = 1,2,... и профиль волны не меняется со вре-
менем. Интеграл для давления в жидкости (24.4) является интегралом
Бернулли. В безразмерных переменных (24.8) он принимает вид

2(р + У) +

dw
dz

= с2 + 2Др.

На свободной границе р = 0. Отсюда получаем следующее равен-

ство:

dw
dz

2

= с2 + 2Др.

(24.20)

Покажем, что на свободной границе выполняется равенство, полу-

ченное Леви-Чевита

dw
dz

(24.21)

Действительно, с помощью (24.10) и (24.13) получим

dw _ ic dw _ icC, dw 2 _ c2d£
Функция (P/z'^X/Q голоморфна вне круга |£| > 1 и представляется
в этой области рядом:

с2 ____________________________________= ^Л + 21 + ^+ А

«'(•/<) ~ 1<(1+!/|/С + 2г/2/С2 + Зг/з/С3 + ...)	С + С

Отсюда следует

dw 2	1 f

— = — о
dz 2%.

dw
dz

Наблюдение Леви-Чевита (24.21) и равенство (24.20) показывают,
что в случае прогрессивной волны динамическое и гидростатическое
давления равны между собой (Др = 0).

Из уравнения (24.20) можно получить систему уравнений для ко-
эффициентов Стокса и скорости распространения волны с. В этом
и состоит суть второго метода Стокса. Коэффициенты Стокса zn = iyn,
п= 1,2,..., для прогрессивной волны оказываются чисто мнимыми.
Для их определения получается бесконечная цепочка нелинейных ал-
гебраических уравнений 3-й степени относительно коэффициентов уп
[195]. Лонге-Хиггинс (1978) [258] эту систему уравнений преобразовал
к более простой цепочке квадратичных соотношений между коэф-
фициентами Стокса. Покажем, следуя работе [149], что эта цепочка
непосредственно следует из уравнений Эйлера-Лагранжа.

2.	Цепочка уравнений для коэффициентов Стокса получается
из условия экстремума функции Лагранжа:

оо	оо	k— 1

5’1=52^, G = ^2 кУь 52 У^Ук-п-
n=l	к=2	п= 1

(24.22)

Здесь первое слагаемое — средняя кинетическая энергия волны.
Это выражение можно получить, положив в (24.18) Zk = 0, к = 1,2,...,
±о = —с. Второе слагаемое — потенциальная энергия (24.17). Все ко-
эффициенты Стокса полагаем чисто мнимыми. Из условия экстремума
дЬ/дуп =0, п = 1,2,... находим следующую цепочку уравнений:

п— 1	оо

(Кп ^Уп = ~2 УтУп—т “Ь “Ь П^Ут+пУгп)
тп=1	т= 1

п= 1,2,3,,
(24.23)

К = с2 + S.

Коэффициенты Стокса можно искать в виде разложения по малому
параметру. В качестве малого параметра b Стокс и за ним многие
другие исследователи принимали первый коэффициент Стокса в раз-
ложении (24.9). С точностью до малых порядка 611 разложение для
коэффициентов Стокса приведено в монографии [195] со ссылкой на
работу Вилтона. Эти разложения нетрудно получить из приведенной
системы уравнений:

167 ,6 , 26137,8 , 182957.Ю

2/2 = Ъ2

6	144

2/1 = Ь,

135

.	3 ,з 19,5

2/3 = ^ +126
= I *4 + ^7 *6 +

О	/X

еЗ
о 13 ।

2/5 = О О . * +

1123 ,8	502247 ,|0

Ь 72 ° + 4320 °

1183 ,7 , 475 367 ,9

2/6 =

У7 =

УЗ =

86

144	8640

103 727 ,8	43100119,ю

4320 ° + 259200 °

16603 ,7	5824 751 ,9

1440 ° + 86400 ° ’

54473 ,8	70517231 ,10

1800 ° + 378000 ° ’

,7 , 23 954 003 ,9

6	302400	’

,8 292622629,ю
^7° + 1411200 ° ’

л7

(24.24)

У9 =

ь*,

2/10 =

108

ь10.



4

5

Для вычисления слагаемых функции Лагранжа (24.22) с указанной
точностью в бесконечных рядах достаточно учесть следующие члены:

к = 1 + (2уг2/1 + 32/32/2 + 42/42/3 + 5у5у4 + 6y62/s) /у\-

S = 2/f + 22/i + 32/з + 42/4 + 52/5 -

а. _ 7.2 I „ 2 1	2 I 2 I 2

^1 — У\ + У2 + Уз + 2/4 + Уь ’

(24.25)

2

G = 2у2 (yi) + Зуз (2yiу2) + 42/4 (22/12/3 + 2/22/2) + $У5 (22/12/4 + 2у22/з)-

Подставляя сюда разложения (24.24), получим

35 ,6	1903 ,8 . 651 551 ,ю

+ 1728 &

13,6 , 305,8 . 191939,ю

18

1728

ь6 + 438610.
Для скорости волны отсюда получаем

c2 = K- S= l+62 + Jb4 + ^66 +
2	12

Следует отметить, что последний
для коэффициента у2 и два по-
следних коэффициента в скоро-
сти волны с2 Вильтоном были по-
считаны с ошибками, и в этом
виде они приведены в моно-
графии [195]. Ошибка исправ-
лена в работе Шварца [281].
Из графика зависимости у\ от
амплитуды волны приведенного
в этой работе видно, что ко-
эффициент Ь = у\ зависит от
амплитуды волны немонотонно
(рис. 6.5). Поэтому предпочти-
тельнее выбрать в качестве ма-
лого параметра амплитуду волны
& = (?/max ?/min)/2 = У\ 4“ 7/3 4“
4-7/5 4-... С точностью до членов
6й найдем

а = Ь + | Ь3 +

6175,8

48	+

8451493 , ю

8640 °

Рис. 6.5. Коэффициенты Стокса в за-
висимости от амплитуды

163

24

Ь5 +

62047

1440

Ь7 +

12 106343 ,9

37 800 °

Обращая этот ряд, получим

3 з 1 5	3007 7	1617319 9

~а 2а 24а 1440а 302400 й

Подставляя его в (24.24), найдем разложения по амплитуде для коэф-
фициентов Стокса:

т/1 = а -



3007 7

1440 а

1617319 9

302400 а ’

2

*9 а6

12

283 8
80

165617 10
33600 а

31 5	113 7

~6а +~йа

42521 9

4320 а ’

8 4	839 g

т/4 = - а —— а
у 3	72

88307 8

4320 а

8421761 ю

259200 а

125 5
У5 = -24-«

39647 7 , 5396111

1440

86400

а8 9,
54 а

2/6 =

120487

1800

70005671 ю

378000 а

У1 =

16807 7 _ 50 164867 9

720 й 302400 й

У» =

16384 8 _ 588 181 211 10

315 а 1411200 Л

531441 э	108	ю

У9 ~ 4480 а ’ y'0-2-3-4-5-6-7-8-9a

Разложения для функций (24.25) и скорости распространения волны
имеют вид

о 2	4	6

S = а- а - —а —

1 м

2357 8

720 а

543 773

50400

а10 + О (а12),

S\ = а2 - 2а4 - а6 -

1 м

™1а6
720

49927

5600

а10 + О (а12),

G = 2а4 - 2а6 - -У- а8 -	а10 + О (а12),	(24.26)

о 180	'	'

К- 1 -I-9л2	1 л4 5 л6 301 л8 773911 „Ю

К-1+2а -^а --а --^а ~-^^а + О(а ),

с2 = 1 + а2 + а4 + | а6
2	4

_22 а8
45

115069 ю

25200 а

+ О(а12).

Все приведенные разложения согласуются с соответствующими разло-
жениями Шварца.

Приведем также разложения для кинетической и потенциальной
энергий и функции Лагранжа

3317 я _ 773 303 ю , п / 12\

2880	201600	+ '	''

S(K-S)_1 2	19 6

4	4	48

3077 в 702113 ю

2880 Л 201600 а +

/ti тт 1 д	1 8	113 10 । ч ( 12 \

Т“П=8а	12а	320а +0<а )•

3.	Форма волны. Параметрическое уравнение формы волны сле-
дует из (24.9), если подставить zn = гуп и отделить действительную
и мнимую части

х = —а — уп sin па,

Х=1	(24.27)

У = Уо + ^Уп cos па.

П=1
На рис. 6.6, воспроизведенном из статьи Шварца [281], изображены
профили волн при различных амплитудах волны.

Рис. 6.6. Профили волновой поверхности при различных амплитудах волны

4.	Тождественные соотношения для волн конечной амплитуды.
Функции с2^), S(a), Si(a), G(a) и К(а), для которых были получены
степенные разложения (24.26), связаны между собой тремя тожде-
ственными соотношениями:

К(а) = с2(а) + S(a),

c2(a)S'(a) = -S(a)S'(a) +	+ G'(a),	(24.28)

c2(a)S(a) = -S2(a) + Si (a) + (3/2)G(a) = 0.

Первое следует из уравнений экстремума (24.23). Второе тождество
получится, если умножить n-е уравнение экстремума

дЬ _ 2 os
дуп С дуп

S dS\ dG
п дуп дуп

на дуп/да и сложить их. Тогда по теореме дифференцирования слож-
ной функции получим требуемое тождество.

Последнее третье тождество получится, если умножить n-е урав-
нение экстремума на уп и просуммировать их для всех п. С помощью
тождеств Эйлера для однородных функций

получим требуемое тождество.

Отметим, что первые два тождества выведены Лонге-Хиггинсом
в работе [257] другим способом. В ней приведены и другие тожде-
ственные соотношения. Второе тождество в [257] приведено в виде

d /Т\ = J_ dn
de \ с2 / с2 de ’
Из второго тождества (24.28) следует, что функции S(a), Si (a) + G(a)
и П(а) принимают наибольшее значение при одном и том же значении
амплитуды. Этот факт можно проверить также с помощью приведен-
ных в таблице значений для этих функций в работах [235, 257], из
которых следует, что при а/тг = 0,13623 функции S и П одновременно
достигают наибольших значений, равных 0,13038 и 0,035165 соответ-
ственно.

С помощью тождеств (24.28) все функции можно выразить через
две независимые функции, например, S и К:

а

G(a) = 2K(a)S(a) - 2 K(a)S'(a) da,

о
a
*

Si(a) = -2K(a)S(a) + 3 tf(a)S'(a) da, c2 = K(a) - S(a).

0

Через эти же функции можно выразить кинетическую и потенциаль-
ную энергии
а

Т(а) = 1 S(a) (К(а) - 5(a)), П(а) = | (-1 S(a)2 +1 АГ(а)$'(а) da),
V	о	7

а

7(a) - П(а) = | A'(a)S(a) - | S2(a) - | [ К(а)5'(а) da.

4	о	4 J

О

5.	Формула Стокса о переносе массы. Функция тока волны, рас-
пространяющейся в сторону отрицательных X, в жидкости конечной
глубины имеет вид

Н(Х, Y,t)=a sh(Y +	+ + О(а2),

sh (а)

где d — безразмерная глубина (единица длины выбирается так, чтобы
длина волны была равна 2тг).

В линейном по амплитуде приближении частицы жидкости описы-
вают замкнутые эллиптические орбиты. Поэтому в этом приближении
масса жидкости волной не переносится. В следующем по амплитуде
приближении частица жидкости за период получит смещение Дх.
Средняя за период Т = 2тг/с скорость движения частицы жидкости
равна й = &х/Т. Эта скорость вызывает приповерхностное течение,
найденное впервые Стоксом (1847) для случая бесконечной глубины.
Для случая конечной глубины формулу скорости приповерхностно-
го течения получил Леви-Чевита (1912) (ссылки см. в монографии
Л.Н. Сретенского [195]). Формула Леви-Чевита имеет вид

a2 ch [2(У 4- d)
2sh2 d
Обычно вывод этого результата даже для жидкости бесконечной глу-
бины в известных монографиях по волнам опущен из-за большой
громоздкости. Его можно существенно упростить (см. п. 42.2), если
воспользоваться теорией последования Пуанкаре, изложенной в п. 40.2.

24.3.	Стоячие волны. Вследствие симметрии стоячих волн реше-
ние динамических уравнений следует искать в виде: Zk = гуь, %к — 0.
Форма волны имеет представление в виде рядов

оо	оо

х = -а - У2 уп sin па, у = Уо + Уп cos па, (24.29)
П=1	П=1

в которых в отличие от прогрессивной волны (24.27) коэффициенты
Стокса зависят от времени.

Для коэффициентов Стокса в этом случае из уравнений Лагранжа
получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, реше-
ние которой можно искать в виде разложений по малому параметру а,
равному амплитуде волны:

Ук = afe(yfc,o + а2Ук,2 + а4 У к,4 + •••)•	(24.30)

При этом амплитуда а связана с профилем волны y(ut,x, а) тожде-
ством а — (?/(0,0, а) — ?/(0,7Г,а))/2. Функции времени yk^ut} с одина-
ковой частотой си(а) находятся из линейных уравнений второго поряд-
ка, которые получаются после подстановки рядов (24.30) в уравнения
Лагранжа.

Потребуем, чтобы в начальный момент времени, соответствующий
волне наибольшего развития, все обобщенные скорости были нулями
(yfc(0) = 0).

Разложения по амплитуде а не зависят от способа их получения
и могут быть сравнены с результатами работ других авторов. С точ-
ностью до членов порядка а5 разложения для коэффициентов Стокса
имеют следующий вид:

3/ 37	,	11 Q А

у\ = a cos ut + а I — — cos cut — — cos 3cut 1,
\ /

У2 = л2 ( й cos 2cu£ +

cos 4cu£ — - cos 2ut -
4

3/3	Q ,	9	A

I q cos out + - cos ut ],
\ о	о	/

У4

- cos 4cuf + — cos 2ut + 1

3	4o

2/1 Q ,	l\4/3	. ,	1 Q . ! 13

yQ = a — - cos 2ut — — + a — cos 4cu£ + — cos 2ut + —
\ 4	4/	\64	4	64

Приведенные разложения согласуются с соответствующими результа-
тами, полученными в работах [195, 224, 280].
Давление в жидкости можно вычислить из интеграла Коши-

Лагранжа:

(24.32)

Подставляя разложения (24.13), (24.14) и (24.31) в (24.32) и принимая
во внимание, что р = 0 при |£| = 1, получаем

Др (си£) —

(~^а2 + |а4 -0.293а6 + ...)
\ 2 о	/

cos 2wt +

, /1	4	1	6 ,	\ л 4.	/ 27

+ Ua ”8а +- JCOs4^-(2048

а6 + ...) cos 6cu£ + ... (24.33)

Величина △p(utf) определяет отличие давления на бесконечной глу-
бине от гидростатического ((р +	= Др(ссЯ)). Разложение (24.33)

согласуется с результатом второго приближения Я. И. Секерж-Зенько-
вича, приведенного в монографии Сретенского (1977) [195, с. 684].

В заключение приведем разложения для частоты си и полной энер-
гии волны Т + П с точностью до а8 и а9 соответственно:

ш = 1 - 1 а2 + а4 - 0,0045а6 + ...,
о 2ЭО

-(Т + П) = а2- ^а4 + ^|а6-0.103а8 + ...

7Г	2	616

§ 25.	Длинные волны

Длинными волнами будем называть такие волны, у которых дли-
на волны существенно превосходит глубину водоема. Таким образом,
в теории длинных волн отношение глубины бассейна к длине волны
считается малым параметром.

25.1.	О приближениях мелкой воды и Буссинеска.

1.	Приближение мелкой воды. Для изучения длинных волн на
поверхности тяжелой жидкости наиболее простым длинноволновым
приближением является приближение мелкой воды. В этом прибли-
жении в уравнениях движения ускорение жидкости по вертикали не
учитывается и для распределения давления в жидкости получается
простой гидростатический закон. В результате для описания распро-
странения волн в жидкости глубины h(t,x) получаются следующие
уравнения:

dh , dhu	~	, (ди	, ди\	дР	1	,о zrtC

357 +	=0- Мз57 + и	-Р=оё’/г -	(251

dt дх	\dt дх)	дх	2

Если сделать замену h = р, то получим уравнения движения газа, у
которого давление зависит от плотности по закону политропы Р =
= Ро(р/ро)7 с показателем 7 = 2 (ро = ho, Ро = gh%/2). В ЭТОМ состоит
известная газодинамическая аналогия.

2.	О приближениях Буссинеска. Для каналов теория мелкой воды
была развита Келландом в 1839 г. Уравнения мелкой воды нетрудно
записать для трехмерного случая с произвольным медленно меняю-
щимся рельефом дна. Они широко применяются для описания неста-
ционарных волновых движений в мелких водоемах (см. [103, 195]).
Однако многие эффекты теория мелкой воды не объясняет. Например,
уравнения мелкой воды не содержат решения типа уединенной волны,
которые наблюдались в экспериментах — J. Scott Russel (1844 г.).
Для таких решений нужно учитывать ускорение частиц жидкости по
вертикали, что впервые было выполнено в работах Буссинеска в 1871 г.
и Рэлея в 1876 г. (ссылки приведены в монографиях Л амба [103] и Сре-
тенского [195]). Уточненные приближения называются приближениями
Буссинеска.

Вывод уравнений Буссинеска обычно предполагает наличие двух
малых параметров: отношения глубины к длине волны и амплитуды
к глубине (см., например, [195]). Такие, ставшие уже традиционными,
подходы излагаются, например, в монографии А.Т. Ильичева [85]. Для
каналов уравнения Буссинеска получены в работе [271] (см. также
более позднюю работу [263]). Совершенно иной подход к выводу
уравнений Буссинеска для течения жидкости в каналах дан в работе
Дроздовой и Куликовского (1996) [71], в которой не предполагается ма-
лость второго параметра, а вывод уравнений Буссинеска существенно
проще, чем при традиционном подходе, иная достаточно простая форма
выведенных уравнений позволяет построить новые общие решения.
Их можно использовать не только для описания волновых движений
жидкости в каналах, но и учитывать на поверхности капиллярные
эффекты, упругую пленку, моделирующую лед, а также применять их
для расчета формы свободной поверхности истекающих струй.

В следующем пункте дается вывод уравнений первого приближе-
ния, следуя работе [71], в которой используется техника обобщен-
ных координат Лагранжа. Уравнения выводятся для общего случая
волновых движений в каналах и струях, у которых площадь сечения
медленно меняется по продольной координате. Преимущество такого
подхода состоит в том, что так же, как и в теории мелкой воды, при
выводе используется только один малый параметр: отношение глубины
бассейна к длине волны. Уравнения распространяются на течения
в каналах произвольного сечения и в струях с учетом капиллярных
и других эффектов на поверхности жидкости [156, 167].

25.2.	Приближение Буссинеска для каналов и струй.

1.	Вывод уравнений. Изложим кратко метод и результаты работы
Дроздовой и Куликовского (1996) [71]. Записываются законы сохране-
ния массы и количества движения для потенциального потока идеаль-
ной несжимаемой жидкости в горизонтальном канале произвольного

сечения так:

dSu
дх

= 0,

дР
дх'

(25.2)

Рис. 6.7. Элемент, движу-
щийся в потоке

где t — время; х — координата вдоль оси русла; и — средняя по
сечению скорость вдоль оси русла; Р — деленная на плотность сумма
сил давления в поперечном сечении; S — площадь поперечного сечения
потока.

Поясним метод на примере волн, распространяющихся в прямо-
угольном канале единичной ширины. Запишем уравнение волнового
движения волны в виде (25.2), а вклад, который дает ускорение жид-
кости по вертикали, попытаемся учесть в
функции Р.

Способ определения функции Р в [71]
основан на применении к жидкому объе-
му: Xq — 1/2 X Xq + 1/2 МЗЛОЙ ШИрИ-
ны I и площадью сечения S = h (рис. 6.7)
метода обобщенных координат Лагранжа.
Этот элемент жидкости движется в пото-
ке, деформируясь. Деформацией боковых
стенок элемента пренебрегается, так что

они остаются параллельными плоскостями. В качестве обобщенных ко-
ординат элемента принимаем h и координату центра масс элемента xq.
Записываем уравнение Лагранжа для координаты h так:

^L__o 6L = dL_±dL
6h ~ 4h' 6h ~ dh dt dh

Здесь и далее точкой обозначается полная производная по времени,
а символом 5L/5h — вариационная производная функции Лагранжа
L = Т — U, равная разности кинетической и потенциальной энергий
элемента жидкости. Потенциальная энергия слоя равна

и = I plgh2.

Вычисляем кинетическую энергию

к

о

Скорость в поперечном направлении v = vz находится с помощью
уравнения несжимаемости ди/дх + dv/dz = 0. Первое уравнение (25.2)
можно записать так:

dh
dt

dhu

Пользуясь принятым приближением, получаем

dv _ _ди _ h

dz dx h'
Отсюда находим

Л г Ik , h2\
v = j;J, T = pl^y + -J.

Функция L зависит также от толщины слоя Z, которая выражается че-
рез h из уравнения сохранения массы hl = const. Обобщенная внешняя
сила, соответствующая обобщенной координате Л, вводится с помощью
работы, совершаемой силами давления на поперечных площадках жид-
кого слоя: pP6l = —QhSh. Отсюда, принимая во внимание уравнение
сохранения массы 61/6h = —l/h, вычисляем суммарное давление рР,
действующее на поперечную площадку:

р _ hQh _ h 6L

pl pl 6h'

Подставляя в L = T — U найденные выражения Т и U, получим

При подстановке полученного выражения для Р в уравнения (25.2)
получим известное приближение Грина-Нагди (Green, Naghdi (1976)
[240]).

Этот подход применен для каналов, форма сечения которых не
зависит от х. Вместо h за обобщенную координату принята площадь S
поперечного сечения жидкости в канале. Заметим, что в кинетической
энергии достаточно учесть вклад скоростей жидкости в поперечном
направлении. Функция L{S,S,l) в работе Дроздовой и Куликовского
(1996) [71] содержит параметр I, для которого используется дополни-
тельное уравнение SI = V = const. В этой же работе дается метод
вычисления функции Лагранжа L для каналов различных попереч-
ных сечений. С помощью него находятся аналитические зависимости
плотности функции Лагранжа L для каналов различных поперечных
сечений. Подстановка ее в систему уравнений приводит к замкнутой
системе уравнений для S', и и I.

Если отнести функцию Лагранжа слоя жидкости бесконечно ма-
лой толщины I к массе этого слоя V, то получим плотность L/(pV)
функции Лагранжа. Постоянную массу pV можно вносить и выносить
за знак вариационной производной. Тогда суммарное давление Р мож-
но выразить через плотность функции Лагранжа L/^pV), в которую
ширина слоя I не входит. В результате в работе Петров (2000) [156]
получена система двух уравнений с исключенной переменной /:

dS dSu _ q q _i_ &u\ _ dP
dt dx ’	\dt U dx) dx"

— P= Ф \

L 6s \pv). ’

(25.4)
Систему уравнений (25.4) можно применять для расчета волновых
движений не только в каналах, но и в струях. Форма поверхности
волны в канале получается в виде зависимости h(t,x), где h — осред-
ненная по поперечному слою аппликата волны. Форма поверхности
струи находится в виде зависимости R(t,x), где R — радиус струи.

2.	Интеграл стационарного движения. Для установившихся
движений в работах [156, 167] найдены три интеграла системы (25.4).
Два интеграла — это постоянство расхода и интеграл Бернулли

Su = Q, +
b Ob \pv /

Интеграл Бернулли можно записать в форме уравнений Лагранжа

Поскольку для установившегося движения функция Лагранжа F(S, S)
от времени явно не зависит, то полученные уравнения Лагранжа имеют
третий интеграл энергии

SdF
dS

(25.6)

Удобнее выразить этот интеграл через функции, зависящие от коорди-
наты х. Для этого перейдем от переменных t,S,S = dS/dt к перемен-
ным х, S, S' = dS/dx с помощью замен

dt = ^dx, S = Q^, F(S,S) = ±^1.	(25.7)

Через новые переменные интеграл энергии (25.6) преобразуется так:

о S' dA/dS' S A(S', S) = 0

V S S Q S

В итоге интеграл энергии приведется к следующему виду

(25.8)

в котором все три произвольные постоянные Q, Aj, А2 отнесены в пра-
вую часть. Для периодических волн три постоянные выражаются через
параметры волны: амплитуду а, длину Л и среднюю глубину Н. Кроме
того, из связи между расходом Q и а, Л, Н находится зависимость
скорости распространения волны от параметров волны. В пределе,
когда период волны равен бесконечности, получается уединенная вол-
на. Ниже представлены примеры точных решений уравнений в виде
уединенных волн, полученные с помощью общего интеграла (25.8).
Такие решения имеют наиболее простой вид.
3.	Вариационная формулировка для стационарных волн.
Уравнения Эйлера-Лагранжа (25.5) для периодической волны можно
получить также из вариационного принципа Гамильтона:

*2

6 F(S,S)dt = O,

tl

= 6S(t2) = о,

(25.9)

где интеграл берется по периоду волны.

При переходе к переменной х с помощью (25.7) принцип Гамильто-
на преобразуется к виду

*2	2

6 A(S',S)dx = 0, А = ^ + ^ + Ai +A2S,
pl Ztj

(25.10)

Xl

где отрезок интегрирования является периодом волны.

Уравнения Эйлера-Лагранжа, соответствующие принципу (25.10),
имеют интеграл энергии (25.8). Вариационные принципы (25.9) и
(25.10) можно распространить и на уединенные волны, в пределе, когда
период волны стремится к бесконечности.

4.	Плотность кинетической энергии. В работе [71] представ-
лены методы вычисления плотности кинетической энергии жидкости
в поперечном сечении канала произвольной формы:

(vy + v^dydz,	(25.11)

Е

где y,z — декартовы координаты в поперечном сечении канала, ко-
ордината z направлена вертикально вверх; vy, vz — соответствующие
компоненты скорости частиц жидкости. Интеграл берется по смочен-
ной площади поперечного сечения Е.

Поле скорости имеет потенциал ip, который определяется из реше-
ния краевой задачи для уравнения Пуассона:

д?<р _ ди
ду2 dz2 ~ дх'

Из уравнения сохранения расхода uS = Q находим правую часть урав-
НеНИЯ	-ди = uS'(x) = QS'(x)

дх S(x) s2(x)

и, подставляя ее, получаем уравнение для потенциала скорости в по-
перечном сечении

дРу д?<р _ QS'(x)

d^ + d?~~sr~-	(2512)

Обозначим через Е область смоченной части плоскости сечения канала
или струи, через ЗЕ — границу этой области. Граница ЗЕ состоит из
двух частей: 3Ei — твердые стенки канала и ЗЕд — свободная граница.
На твердой стенке нормальная скорость жидкости равна нулю, а на
свободной границе равна нормальной скорости изменения границы
3S2: z = h(x,y):

dip а dip	dh	Q

л =0’ л = ^—, u=a’
on dSi dn dS2 ox	S

(25.13)

Для каналов прямоугольного и треугольного сечений кинетическая
энергия вычисляется точно [71]. Также точно вычисляется кинетиче-
ская энергия в струе круглого сечения переменного радиуса г.

Приведем решение краевой задачи (25.12), (25.13) и вывод выраже-
ний кинетической энергии для этих случаев.

1.	Прямоугольный канал. Область сечения, занятого жидкостью:
0	1, имеет площадь S = h. Решение краевой зада-

чи (25.12), (25.13) и вычисленная по формуле (25.11) кинетическая
энергия имеют вид

v2,v2 = (Q^\z2 т = 1 (Qh!\2

V 2h2 х у \h2) Pl 2 \ h2 Л

о

(25.14)

2.	Треугольный канал. Область сечения, занятого жидкостью:
k\y\ z Л, представляет собой равнобедренный треугольник с ос-
нованием 2h/k, высотой h и площадью S = h2/k. Находим решение
краевой задачи (25.12), (25.13) и квадрат скорости:

Интегрируя квадрат скорости по области сечения, занятого жидкостью:
k\y\ z h, получим кинетическую энергию

О ку

(25.15)

3.	Струя круглого сечения переменного радиуса R(x). Площадь
сечения струи равна S = irR2. Краевая задача (25.12), (25.13) в поляр-
ных координатах имеет вид

d2 ip	1 dip _ 2uRf

dr2	r dr R

dip
dr

= uR'(x).
r=R

Находим ее решение и квадрат скорости:

uR'

2R

и —

ttR2
и вычисляем кинетическую энергию

R

*

2тгг3с/г =

о

4тгЯ2

(25.16)

5. Плотность потенциальной энергии. Потенциальная энергия
U включает в себя энергию силы тяжести Ug и может дополнительно
включать энергию поверхностного натяжения Ua или энергию упругой
пленки на поверхности жидкости Ue'

Ua = bfftVl+h12 - 1) bff (,1}2 Це = ЪЕ£ (,„}2
pl	р	2р'	' pl 2р'

(25.17)

Здесь zc — вертикальная координата геометрического центра смо-
ченного сечения; S — площадь сечения, являющаяся функцией глуби-
ны S(h) для канала заданной формы; b = dS/dh — ширина свободной
поверхности; а — коэффициент поверхностного натяжения; Е, I —
модуль Юнга и момент инерции упругой пленки соответственно.

Выпишем рассчитанные по приведенным формулам выражения по-
тенциальных энергий.

1.	Прямоугольный канал (О^г^Л, 0^?/^ 1):

uti=h^ = \h^	(2518>

2.	Треугольный канал (fc|y| ^2^/1):

4s.
pl

2 h.3

3	k ё’

(25.19)

2

3. Струя круглого сечения переменного радиуса R(x\.

(25.20)

6.	Функция Лагранжа и интегралы. Приведем выражения для
функции Лагранжа Ло = (Т - U)/(рГ) и интеграла (25.8) для рассмот-
ренных выше случаев.

1. Прямоугольный канал

(0 z Л, 0 у С 1):

(25.21)
2. Треугольный канал (k\y\ z h):

(25.22)

3. Струя круглого сечения переменного радиуса R(x):

Q2 (jirR
~Р~	~

S = irR2,

сг2тг

R3 + АгтгЯ4.

(25.23)

Решения уравнений (25.21)-(25.23) выражаются через эллиптические
интегралы, а решения в виде уединенных волн — через элементарные
функции. Ниже некоторые из этих решений выписываются в явном
виде и применяются для анализа гравитационных волн в каналах
различной формы с учетом поверхностного натяжения, а также для
течения струй с поверхностным натяжением.

7.	Волны в прямоугольном канале. Решение, вытекающее из
интеграла (25.21) при а = 0 описывает гравитационные волны. Следуя
Сретенскому [195], введем скорость волны с как отношение длины
волны Л к времени t, за которое частица жидкости, двигаясь со
скоростью и = Q/S, пройдет расстояние, равное длине волны Л. Тогда
с помощью очевидных равенств

S dx = НХ,
о

А = d - НХ

получим выражение для скорости волны

с = Q/H,

(25.24)

где Н — средняя глубина.

Подставляя Q = сН в интеграл (25.21), можно привести его к виду

(h')2 = 3 (1 + Aih + A2h2 -	gh3}.

Заметим, что этот же интеграл можно получить из модели Грина-
Нагди, описанной в [240], с помощью уравнений импульса и энергии.
Правая часть уравнения является полиномом третьей степени. Пусть
h\ <hz <h$ — корни полинома, расположенные в порядке возрастания.
Тогда интеграл можно представить в виде следующего уравнения:

Л' = ±^РЙ, РМ = 3 (.-£)(-£)(,_£).	(25.25)
Корни Лз и Л2 соответствуют высшей и низшей точкам волны:

Лз = шах (Л), Л2 = min (Л).

Через корни h\, hz и Лз можно вычислить среднюю глубину Н, длину
волны Л и скорость ее распространения с:

Полученное семейство решений выражается через эллиптическую функ-

цию и называется кноидальны-
ми периодическими волнами. На
рис. 6.8 приведены профили волн
при постоянных значениях низшей
и высшей точек: 0,9; 1,1 и различ-
ных значения h\, равных 0,1; 0,5
и 0,75.

В частном случае, когда первые
два корня равны h\ = Л2 = Н, по-
лучаем уединенную волну. Уравне-
ние (25.25) для уединенной волны
на участке монотонного возраста-
ния h примет вид

Рис. 6.8. Профили волн при Л2 = 0,9;
Ьз = 1,1 и различных значениях
h\ = 0,1; 0,5 и 0,75

Лз = Н + а,

где Н — высота уровня волны в бесконечности, а — амплитуда волны
(возвышение гребня волны над уровнем в бесконечности).

Уравнение имеет точное решение

Л(аг) = Н + a (ch , з = 1н<з(- + 1).
\ s /	3 у \ а /

Величина s — характерный масштаб изменения высоты h(x), характе-
ризующий ширину уединенной волны. Для скорости распространения
волны из (25.24) получим

(25.27)

Трехчленное
(см. [195])

разложение по уточненной теории (Laitone, 1960)

с _ 1 ( 1 а 3 (а\2
~^Н ~ + 2 Н “ 20 \Н)

7 А Г. Петров
незначительно отличается от приближения (25.27), что можно видеть
из рис. 6.9, взятого из монографии [289]. Сплошные линии — линейное
и уточненное приближения, штриховая линия — трехчленное разложе-
ние (25.27), а — а/Н, с = c^/gH .

Рис. 6.9. Сравнение скорости распространения волны с экспериментом

8.	Волны в треугольном канале. Задача о волне в треугольном
канале с формой сечения z = k\y\ решается аналогично. Ограничимся
рассмотрением уединенной волны. Аналогично равенству (25.24) нахо-
дим для треугольного канала Q = сН2/к, где Н — глубина канала, с —
скорость волны. Подставив это выражение в интеграл энергии (25.22),
получим уравнение

1 Ч- ЗА;2
6 А;2

Ai
с2 Я4

kh2 + 1.

Как и в предыдущем случае, решение в виде уединенной волны по-
лучим в том случае, если полином в правой части имеет два корня,
равных h\ = h% = Я, и корень h$ = Н + а. Выделяя множители, со-
ответствующие этим корням, полином пятой степени в правой части
можно представить в виде

4

3 с2 Я4

kh2 + 1 =
Приравнивая коэффициенты при Л, Л3 и Л5, получим три уравнения, из
которых найдем неизвестные коэффициенты А, В и скорость волны с:

, з. 2А - В - 1 А — 2В

Н2(Н + а) Н3

h5: В = 1£(Н + а) =>
д с

= 0 Гр-О (2Я + а)2	1.

1 (Я + а) (ЗЯ + 2а)/'

2с _	1 + а/Н /~ 2а _

~ l+(l/2)a/HV ЗЯ ~

5 / а \	5 / а \2	/ а \3

+ бкя/ 36 кя/ +и\н) ’

Интересно, что при изменении формы треугольного канала (па-
раметра к) все волны с одной и той же амплитудой получаются
друг из друга растяжением по оси х. Форма волны определяется
уравнением h/H = Y(£,a/H) и зависит от амплитуды и комплек-
е	х/Н

са £ =	z

у/\ Ч- 3fc2/(6fc2)

На рис. 6.10 приведены профили волн при амплитудах а/Н = 0,1;
0,2 и 0,5. Этот результат в кратком виде приведен в работах [156, 167].

Рис. 6.10. Уединенные волны в треугольном канале при амплитудах а/Н = 0,1;

0,2; и 0.5

9.	Капиллярно-гравитационные уединенные волны. Рассмат-
риваемую волну в прямоугольном канале можно описать двумя безраз-
мерными числами: скорость волны с и число Бонда /3:

~2 _	/з2 _ 3<7

gH ’ Р pgH2 •
В безразмерных переменных X, Y интеграл энергии (25.21) примет вид

(25.28)

При /3 = 0 из (25.28) вытекает рассмотренное выше уравнение энергии
для уединенной волны.

Уравнение (25.28) можно точно проинтегрировать. Запишем его в
дифференциальной форме

±y/3dx =

и сделаем замену переменной

Отсюда определим У:

У—1 = (с2 —1)

1 - B2t2

1 - 02t2'

с2-02

~2
С

>0,

логарифмическую производную: din (У — 1) — dY/(Y - 1) и получим
уравнение для X:

±V3dX = 2 (-----------dt.

\ 1 - 02t2	1 - B2t2)

Отсюда находим решение уравнения (25.28), удовлетворяющее услови-
ям Y —> 1 при X —► ±оо, в параметрическом виде

±у/ЗХ = -р\п

1 + Pt

1 -pt

+ Bln

1 + Bt

1 -Bt

1 -t2

1 - p2t2 ’

(25.29)

Точке X = оо соответствуют значения параметра t = \/р и t = 1 /В;
точке X = 0 соответствуют t = 0 или t = оо. Из соотношения В2 — р2 =
= с2(1 — /?2)/(с2 — 1) видно, что при (с2 — 1)(1 — Р2) > 0 параметр t
изменяется в интервале t е [О, 1/В) или t е [1//?,оо).

Ограничимся изучением первого случая. Скорость волны не зависит
от Р и равна с= у 1 + а. Солитоны симметричны относительно точки
X = 0 и имеют гладкий профиль. В окрестности |Х| с 1 профиль

параболический

Y = 1 ± а —

За2 X2

4(1 —/32)(1 + а) *

При р < 1 солитон имеет положительную амплитуду а > 0 (возвыше-
ние), при р > 1 амплитуда отрицательна а < 0 (обратный солитон).
На рис. 6.11 изображены формы уединенных капиллярно-гравитацион-
ных волн при амплитуде 0,1 и различных значениях числа /3.

Рис. 6.11. Формы солитонов при амплитуде 0,1 и различных значениях числа /3

Эффект обращения солитона при превышении числа Вебера неко-
торого порогового значения был отмечен в численных исследовани-
ях [232], а для периодических волн — отмечен в работе [150]. Анали-
тическое решение для обратного солитона при большом коэффициенте
поверхностного натяжения было получено в [215], а пороговое значе-
ние числа Бонда /3, при котором происходит смена знака амплитуды
солитона, получено в [291].

Представленные здесь результаты для капиллярно-гравитационных
волн изложены в работах [156, 167]. В них также рассмотрен второй
случай, который определяет другой тип солитонов с бесконечной про-
изводной в вершине или во впадине волны.

10.	Истечение струй из конических сопел. Как уже было отме-
чено выше, интеграл (25.23) описывает длинные периодические капил-
лярно-гравитационные волны струй круглого сечения. При отсутствии
поверхностного натяжения получим следующее уравнение:

|(Я')2 = 1+Ai7?2 + A2^-

С помощью интеграла (25.23) можно описать истечение струй из кони-
ческих сопел, которое трудно поддается теоретическому исследованию.
Решение в виде струи, у которой радиус стремится на бесконечности
к постоянному значению Яоо, получится, если правая часть пред-
ставляется квадратом полинома второй степени. Отсюда уравнение
струи примет вид

R'(x) = V2 (1 - -g-Y Я(0) = Яо > Лоо-

Из уравнения нетрудно найти зависимость коэффициента струи к =
= Rqo/Rq от угла раствора конуса 2а = 2arctg (-Д'(О)):

/tea \~1/2
к =	+ 1)	.	(25.30)

Эта зависимость хорошо подтверждается опытом при углах а < тг/4.
В монографии М. И. Гуревича [70] приведены данные экспериментов
Вейсбаха и Цейнера для отношения k(a)/k(ir/2). Экспериментальное
значение Ат(тг/2) = 0,632 соответствует истечению струи из кругового
отверстия в плоской стенке. При углах а = тг/8 и а = тг/4 экспе-
риментальные значения таковы: 0,878 и 0,752, а рассчитанные по
формуле (25.30) — 0,879 и 0,752.

Решение уравнения для свободной границы имеет вид

R _ Rq - Доо -I- (Ro + Дор) >. _ 2 л/2 д?

Доо —Ro + Доо “1“ (До + Дос)	-^оо

Форма струи, соответствующая этому решению при а = тг/8, изоб-
ражена на рис. 6.12 сплошной кривой.

Рис. 6.12. Формы струй, вытекающих из конического отверстия при a = тг/8
и числах Вебера W = оо; 6,8 и 4,4

11.	Капиллярные струи. При небольшом поверхностном натяже-
нии истечение струй будет происходить аналогично. Поверхностное
натяжение однако окажет влияние на коэффициент сжатия струи.
С учетом поверхностного натяжения интеграл (25.23) удобно записать
в безразмерных переменных:

Тогда для безразмерной зависимости г(Х) получаем следующую задачу
Коши:

I - wг3] (г')2 = 1+Air2 ~ wг3 + Л2г4,

(25.31)

г (0) = 1.
Режим течения при числе Вебера W > 4 назовем докритическим.
В этом случае полином в правой части может иметь два равных
положительных корня г = k < 1 и уравнение (25.31) приведется к виду

г \ L U +r/fe)2 + 2rWW)
к ) У 1 - (4/W)r3

r(0) = 1.	(25.32)

Решение этого уравнения определяет монотонное уменьшение радиу-
са г от 1 на выходе из сопла при X = 0 до значения г = R^/Ro = к < 1
на бесконечном удалении. Для истечения струи из конического сопла
с углом раствора 2а = 2arctg (—Я'(0)) можно получить следующее
соотношение для коэффициента сжатия струи:

tga =

1_ Л /о (1 + 1/fc)2 + 2fc/W
к ) \Г 1-4/W

На рис. 6.12 штриховой линией изображены формы струй, истекающие
из конического отверстия с углом раствора a = тг/8 при значениях
числа Вебера W = 6,8 и 4,4. Поверхностное натяжение, как видно из
рисунка, увеличивает коэффициент сжатия струи. Прирост коэффи-
циента сжатия можно приближенно определить из асимптотической
формулы первого приближения по малому числу 1/W:

।	1 — М + 2/со 4~ 4&о 4- 2) 1

+	2 (Асо 4- 1)	W ’

где ко вычисляется по формуле (25.30).

Полином правой части может иметь также два положительных
корня 0 < п < г2. Тогда, выделив два множителя, соответствующие
этим корням, мы представим уравнение (25.31) в следующем виде:

4г1Г2 г2

W(n + г2)

Рассмотрим докритический случай W > 4. Тогда в точке х = 0 имеем
г(0) = 1 и левая часть уравнения будет положительной. Из условия
положительности правой части следует, что оба корня либо меньше,
либо больше 1.

В первом случае (0 < п < г2 < 1) радиус струи уменьшается до
значения г2 и затем неограниченно возрастает. В случае равных корней
(п = г2 = к) получим уже изученное уравнение (25.32).

Во втором случае (1 < ri < г2) радиус струи монотонно уменьша-
ется до нулевого значения. При г = 0 производная г' = — у/2, а ско-
рость струи обращается в бесконечность. Это решение физического
смысла не имеет и условия применимости приближения Буссинеска
нарушаются.

При числе Вебера W < 4 истечение струи с монотонным измене-
нием радиуса невозможно. В этом случае существуют режимы тече-
ний в виде периодической волны. Они соответствуют положительному
корню (W/4)*/3 < r\ < 1 и корню Г2 > 1. Уравнение будет иметь
следующий вид:

4Г1Г2	2

W(ri + гг) Г

Радиус струи колеблется между минимальным и максимальным зна-

Рис. 6.13. Форма струи при вол-
новом режиме при ri = 0,7,
Г2 = 1,3 и W = 1

чениями ri и Г2- Волна при ri = 0,7,
Г2 = 1,3 и числе Вебера W = 1 изоб-
ражена на рис. 6.13. Такие стацио-
нарные режимы течения будут, по-
видимому, неустойчивыми. В силу
известной рэлеевской неустойчивости
минимальное значение радиуса ri бу-
дет со временем уменьшаться, а мак-
симальное Г2 расти и струя распадет-
ся на капли.

25.3.	Точные решения уравнений мелкой воды.

1.	Разрушение плотины. Одномерные (25.1) и двумерные урав-
нения мелкой воды широко используются в гидравлике. Применяемые
здесь численные схемы полезно тестировать на точных решениях.
Ниже приводятся два таких точных решения.

Уравнений мелкой воды (25.1) получаются из более точного прибли-
жения Буссинеска, если в выражении (25.3) для функции Р пренебречь
ускорением частиц жидкости по вертикали. В канале прямоугольной
формы они имеют следующий вид:

dh
dt

dhu
дх

du ди __ dh
dt U dx & dx'

(25.33)

Кочин [100, т. 1, с. 554-561] нашел точное решение задачи о разруше-
нии плотины, которая ставится так:

Пусть в начальный момент вертикальная перегородка, расположен-
ная в сечении х = 0 удерживает в равновесии прилегающие к ней слева
и справа покоящиеся слои h = h\ nh = ht соответственно; пусть для
конкретности h\ > fy?- Перегородка в момент времени t = 0 внезапно
убирается. Требуется найти движение. В представленном им решении
в любой момент времени t > 0 область течения разбивается на 4 под-
области, границы которых АА, В В и СС движутся со скоростями сь
с1 и N соответственно (рис. 6.14).
В первой подобласти х < —tc\, с\ = y/gh\, h = hi, и = 0 жидкость
покоится.

Рис. 6.14. Схема решения задачи о разрушении плотины

Во второй подобласти — tc\ <х <td уровень жидкости h и скорость
жидкости и имеют вид

Л(М = i ~ 7) .	+ y/ghiY

\	L /	О \ L	/

В третьей подобласти tc' < х < tN уровень жидкости h = h' и ско-
рость и = и' постоянны и связаны между собой соотношением

Zy/gh' +и' = 2y/gh\.

В четвертой подобласти tN < х уровень жидкости и скорость
остаются такими же, как и до разрушения плотины Л = /12 и и = 0.

Введем безразмерные скорости

и скачок уровня на границе областей III и IV:

h\

Их можно выразить в параметрическом виде через функции парамет-
ра г С (0, оо)

вд = 1 + УГ7^.

следующим образом:

^2 _	4	ту_ 2z

~WY

S = 2-------й = 2(1-с),

(F.(z))3/2

S = c2-^,	4 (4гг/Р|(г) — 1)

h'	(F(z))2
Зависимости 7V(£), C>WH ДЛ изображены на рис. 6.15. Они имеют

следующие характерные точки. При £ = 0,1383 скорость границы В В

Рис. 6.15. К задаче о разруше-
нии плотины

обращается в нуль с' = 0. При £ =
= 0,1757 величина скачка уровня до-
стигает наибольшего значения, равно-
го (Л' - Л2)/Л1 = 0,3087. При е =
= 0,3361 скорость скачка минимальна,
N = 0,9368 сь

Приведем разложения зависимостей
в окрестности точки £ = 1:

и в окрестности точки £ = 0:

й = 2-27/4^/4 +4>/2 £1/2,
△Л = 2\/2 £|/2 - 8 • 2‘/4<3/4.

Точка £ = 0 соответствует движению жидкости по сухому руслу.
В этом случае h! = 0 и N = и' = 2y/gh\,

2.	Растекание гладкого профиля. Введем безразмерные пере-
менные	.—

t = уI — t, h = Lh, и = y/gL й.

В безразмерном виде уравнения (25.33) примут вид

dh
dt

dhu
dx

= 0,

du du _ dh
dt U dx dx'

где знак «~» опущен. Точное двухпараметрическое решение этих
уравнений приведено в работе С. А. Ахманова, А. П. Сухорукова
и Р. В. Хохлова (1966) [11]. Профиль волны Л(х, t) представляется
в следующей параметрической форме:

h(q,t) =

2b

yj ch4(a2(?) + 4ЬаЧ2 + ch2(a2g)

x(q, t) = —q — t2 2a2h(q, t) th (a2q).
На рис. 6.16 представлены профили этого семейства в моменты време-
ни t = 0; 1; 1,5 и 2 при значениях параметров а = b = 1; параметр q

при каждом значении вре-
мени меняется в интервале
q € (—оо,0). При q G (0, оо)
получается симметричная от-
носительно вертикали часть
профиля, которая на графи-
ке не приведена. В началь-
ный момент времени t = О
профиль имеет форму h(x) =
= bch~2(a2x). В момент вре-
мени t = 1,5 профиль име-

ет вертикальную касательную Рис. 6.16. Растекание гладкого профиля
и при t > 1,5 начинается про-

цесс обрушения. Скорость жидкости также представляется в парамет-
рической форме: и = — 12а2 h(q, t) th (a2q), x = x(q, t).

А. Одуло (1991) [269] предложил общий метод получения точных
решений одномерных уравнений мелкой воды. В этой работе представ-

лено решение о растекании и многие другие.

3.	Двумерные уравнения с осевой симметрией. Запишем общий
вид уравнений мелкой воды:

dv
dt

= -ggradft,

d(h - Q
dt

4-div (v(ft-()) = 0,

где v — вектор скорости, h и £ — отметки свободной поверхности
и дна соответственно. П.Н. Свиркунов (1996) [182] нашел класс точ-
ных нестационарных решений этих уравнений. Приведем это решение.
Запишем уравнения в полярных координатах г, а в случае симметрии
по а:	2

dvj' va	dh dugi ।

dt r	& dr' dt r

1 (л _ 0 + (л - 01	= o.

at	r dr

(25.34)

Предполагаем при этом, что дно имеет параболическую форму: £ =
= кг2/2. Решение (25.34) ищем в лагранжевых координатах в следую-

щем виде:

г = p(t)r0, h = ( +

ho(ro)

P2(t) ’

vr = p(t)ro,

_ M(tq)

P(t)rQ ’

(25.35)

где ho(ro) и M(r0) — функции лагранжевой координаты го, a p(t) —
функция времени. Установим связь между этими функциями.
Решение (25.35) можно выразить в эйлеровых координатах:

Vr = pr, уа = M(r/pW, л =	(2536)

р	Т	pz(t)

Для производных по времени от функций (25.35) имеем

dvp _ ••	dvoi р	d z j «.\	P /1 л\

dr = '”'»'	s('•-O’-7('-<>

а для производных по координате от функций (25.36) —

dh _ + /*о(го) д(гуг) _ 2 Р
dr dr p3(tj г дг р'

Отсюда видно, что второе и третье уравнения системы (25.34) удо-
влетворяются тождественно, а подстановка приведенных выражений
в первое уравнение приводит его к следующему виду:

r0(p + gkp(ty) = (М -gh'(r0)\

Р (0 \ г0	/

Переменные t и го в этом уравнении можно разделить:

Лш+= gn.

Го	г0

Функции от t и го тождественно равны и следовательно постоянны.
Постоянная величина обозначена через gn.

Первое уравнение определяет функцию p(t). Оно описывает одно-
мерное движение частицы единичной массы с потенциальной энергией
и = (g/2)(np~2 + fcp2):

2

=	=	№) = A-	(25.37)

at UP

Второе уравнение определяет форму свободной поверхности в началь-
ный момент времени t = 0:

Л(г) = (fc — п) г2 + dr.	(25.38)

* г

Уравнения (25.37) и (25.38) при различном выборе функций М(г),
постоянных fc, п и постоянных интегрирования составляют обширный
класс нестационарных течений мелкой воды. Функцию М(г) можно
выбрать так, что решения выразятся через элементарные функции.
Анализ этих решений предоставляем читателю.

25.4.	Краткий обзор сведений из теории нелинейных волн
на поверхности тяжелой жидкости. Теория волн представляет собой
важный, хорошо разработанный и весьма обширный раздел гидродина-
мики. Здесь мы ограничимся кратким обзором монографий, в которых
представлена результаты, не вошедшие в данную книгу. Одно из пер-
вых и при том точных решений о волне конечной амплитуды получено
очень давно (J.F. von Gerstner (1809)). Частицы жидкости в волне
Герстнера движутся согласно уравнениям

х = а — аек&sin (ка — t^gk), у = /3 + аек& cos (ка — tyfgk),
где а, /3 — лагранжевы координаты.

Скорость волны равна y/gk. Уравнение поверхности волны получа-
ется при постоянном значении /3 < 0 и исключении из уравнений па-
раметра а. Волна имеет форму эпициклоиды, описываемую точкой М
круга радиуса 1/fc, катящегося без проскальзывания по горизонталь-
ной прямой у = 1 /к 4- /3. Точка М, описывающая эту эпициклоиду,
находится на расстоянии ек&/к от центра круга.

Давление в жидкости равно р/р = (g/(2fc))e2fc^ — g(3 4- const и по-
стоянно на поверхности волны. Течение оказывается вихревым

dvy dvx _ 2ксе2к/3
дх ду 1 — е2к/3

Стокс, Рэлей и другие ученые развивали приближенные методы, строя
разложения по амплитуде волны. Обоснование сходимости этих ме-
тодов дается с помощью интегрального уравнения даны Некрасовым
(1921), Леви-Чевитой (1924) и Струиком (1925). Эти теории изложены
в [195].

Ввиду сложности полной системы уравнений волны на поверх-
ности тяжелой жидкости часто используются модельные уравнения.
Принято считать, что модельные уравнения аппроксимируют полную
систему. Строгое доказательство этого факта представляет собой труд-
ную математическую проблему, до сих пор не решенную. Примером
модельного уравнения является уравнение Кортевега-де Вриза (КдВ)
(1895). В работах М. А. Лаврентьева (1947) и других авторов показано,
что бегущие волны с достаточно малой амплитудой на поверхности
тяжелой жидкости конечной глубины адекватно описываются уравне-
ниями КдВ. С другой стороны, теория решения уравнения КдВ хорошо
разработана (метод обратной задачи). Уравнение КдВ допускает как
классические уединенные волны, так и их эволюцию и превращение на
больших временах в последовательность солитонов.

В последнее время привлекает к себе внимание теория, с помощью
которой динамическая система упрощается с помощью теоремы о цен-
тральном многообразии. Из полной системы уравнений выделяется
часть с центральным линейным спектром (мнимым собственным зна-
чениям). Подробно об этой теории можно ознакомиться в монографии
А.Т. Ильичева (2003) [85].

Эффективный асимптотический подход, основанный на осреднении
лагранжианов, предложен Дж. Уиземом [203]. Его метод близок по
своему характеру к методу В. П. Маслова [118]. Эти теории описывают
волны в виде модулированных волновых пакетов, распространяющихся
в неоднородных средах, например, в тяжелой жидкости с медленно
меняющимся рельефом дна.
Важную роль для исследования волн на поверхности тяжелой
жидкости с произвольным рельефом дна z = Q(x,y) играет открытый
Люком (1967) [262] вариационный принцип:

*2

ч

6Hdt = 0,

h(t,x,y)

н =

ti

D

где варьируемыми функциями являются потенциал скорости Ф и от-
метка свободной границы h, D — область переменных х, у (для перио-
дических волн это период волны или все пространство для уединенных
волн).

Связь принципа Люка с принципом Гамильтона обсуждена в работе
[186]. Действительно, принцип Гамильтона (24.7) для периодических
волн можно записать так:

6L dt = 0,

где v — потенциальное поле скорости несжимаемой жидкости, Q —
область, занятая жидкостью, объем которой сохраняется со временем.

Уравнения экстремали не изменятся, если к L добавить полную
производную (калибровочная инвариантность §2):

$dV.

Внося производную под знак интеграла в соответствии с (3.11) и рас-
крывая ее, получим

где р — функция давления, выраженная через потенциал скорости по
интегралу Коши^Лагранжа (1.2).

Функционал L с точностью до множителя — р совпадает с функ-
ционалом Н в принципе Люка. Ограничение 5Ф = 0 можно снять,
так как оно получается автоматически при варьировании произвольной
функции Ф.

В. Е. Захаров (1968) [83] показал, что Н является функцией Га-
мильтона от сопряженных переменных Ф и h. Принцип Люка и наблю-
дение Захарова открыли путь к развитию соответствующих асимпто-
тических методов.

Другие сведения о методах и подходах в теории волн можно по-
черпнуть из книг С. А. Габова (1988) [55], Уизема [203], Ильичева [85],
С. С. Mei [265].
Глава 7

УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
ДЛЯ НЕКЛАССИЧЕСКИХ СЛУЧАЕВ

§ 26.	Постановки задач и методы их решения

26.1.	Из истории вопроса. Проблема получения уравнений дви-
жения твердого тела в жидкости была одной из центральных проблем
механики XIX века. Несмотря на усилия многих математиков и ме-
хаников, Дирихле, Клебша и других, она оставалась нерешенной до
1867 г. Неожиданно простое решение этой проблемы получили Том-
сон и Тэт [103, 285]. Суть их рассуждений заключалась в следую-
щем. Идеальная несжимаемая однородная жидкость, течение которой
вызвано движением в ней твердого тела, определяется уравнениями
Эйлера (1.1). Если течение потенциально, жидкость покоится на бес-
конечности, область течения односвязная, то потенциал Ф определя-
ется единственным образом из внешней задачи Неймана (1.3)-(1.5).
В системе координат, скрепленной с твердым телом, произвол, который
допускается в потенциале Ф при всевозможных движениях твердого
тела, определяют шесть коэффициентов (три компоненты линейной
скорости и три компоненты угловой скорости твердого тела). Поэтому
жидкость вне твердого тела в этом случае можно рассматривать как
систему с шестью степенями свободы. Основным допущением, вокруг
которого потом разгорелась дискуссия, было то, что Томсон и Тэт
применили к жидкости начало Гамильтона (2.7). Функция Лагранжа L,
так же как для движения твердого тела, равна разности кинетической
энергии жидкости и потенциальной энергии системы. В 1869 г. Кирх-
гоф, первым воспринявший эти идеи, дал убедительное обоснование
этого подхода [87, 253], воспроизведенное в п. 2.5. Он ввел лагранжево
перемещение частицы жидкости 5г, соответствующее возмущениям
твердого тела 6qi. При этом он обратил внимание на то, что хотя
при t = t2 вариации обобщенных координат твердого тела равны нулю
(jg< = 0), вариации частиц жидкости (лагранжевы перемещения) нулю
не равны, как это имеет место для голономных систем классической
механики. Однако интегральный вклад вариаций частиц жидкости
в вариационное уравнение (5.11) равен нулю, если поле скорости
жидкости имеет однозначный потенциал.
В 1871 г. Л. Больцман обратил внимание на то, что в многосвязной
области теорему Гаусса в (5.11) применять, вообще говоря, нельзя, так
как интеграл (5.11) не равен нулю, а, следовательно, вариационное
уравнение (5.14) и система уравнений Лагранжа неверны. Исследо-
вание Л. Больцмана было затем продолжено немецким математиком
К. Нейманом [268]. В 1873 г. Томсон для потенциального течения
в многосвязной области предложил новые уравнения [213]. В М-связ-
ной области существуют (М — 1)-взаимно непереводимых друг в друга
контуров. С помощью введения (М — 1)-й перегородки можно превра-
тить М-связную область в односвязную. Томсон рассматривал цир-
куляции I\, k = 1,..., М — 1, по непереводимым контурам как им-
пульсы, а относительные расходы жидкости через перегородки 7^ —
как сопряженные им скорости соответствующих циклических коорди-
нат. Пользуясь методом, который вошел затем в механику как метод
Рауса интегрирования циклических координат, Томсон получил новое
выражение функции Лагранжа в вариационном уравнении (см. (26.1),
(27.3)).

Здесь уместно заметить, что класс гидродинамических систем, ко-
торые описываются уравнениями Лагранжа, расширяет возможности
теоретического исследования таких систем благодаря применению ме-
тодов аналитической механики. Ниже будут рассмотрены такие си-
стемы: эллиптический вихрь, динамика капли. Столь же интересной
системой является динамика самогравитирующих масс. Эта классиче-
ская проблема интересовала многих самых выдающихся ученых, таких
как Ньютон, Маклорен, Якоби, Томсон и Тэт, Пуанкаре, Ляпунов
и другие. Обзор этих работ представлен в монографиях Ламба [103],
Чандрасекхара [210] и монографии Б.П. Кондратьева (2007) [96].

Вихревая динамика представляет собой еще одно важное направле-
ние в гидродинамике, которое можно было бы отнести к теме настоя-
щей книги. Здесь затронута только малая часть этой важной теории.
Более ста лет назад было установлено, что однородный, зависящий от
времени, вихрь внутри неподвижного трехосного эллипсоида подчи-
няется уравнениям, тождественным уравнениям Эйлера для вращения
твердого тела около неподвижной точки (Ламб [103, с. 259]). Более об-
щее движение с однородным вихрем внутри равномерно вращающегося
трехоосного эллипсоида было изучено Б. П. Кондратьевым (2005) [97].
Р. М. Гарипов (1996) [59] дал описание всех кусочно гладких движений
жидкостей с однородным вихрем внутри трехосного эллипсоида и вне
его с непрерывным давлением на границе (капля или вихрь). Кирхгоф
в своих знаменитых лекциях по механике свел динамику системы
точечных вихрей на плоскости к гамильтоновой механике.

Более полное представление о современном состоянии вихревой ди-
намики можно получить из монографий: Ф. Дж. Сэффмэн (2000) [198],
В. В. Козлов (1998) [95], С. В. Алексеенко (2005) [4], А. А. Абрашкин
(2007) [1].
26.2.	Методы обоснования динамических уравнений. Остано-
вимся подробнее на проблеме обоснования динамических уравнений.
Сама идея Томсона и Тэта применения принципа Гамильтона к по-
лучению динамических уравнений вызвала большой резонанс в науч-
ном мире и открыла путь для дальнейших исследований. Значимость
созданной на базе этого динамической теории, как одного из инте-
реснейших разделов гидродинамики, была очевидна [21, 103]. Однако
строгая математическая реализация идеи Томсона и Тэта для течения
в многосвязной области долгое время оставалась незавершенной, и по-
этому мнения ученых по проблеме обоснования разделились. Об этом
Г. Ламб пишет следующее: «Некоторым авторам (имеются в виду
Томсон и Тэт [285]) вопрос представлялся сам по себе как один из
наиболее простых. Задачи приводились в один прием к обыкновен-
ным формулам динамики мысленным введением неограниченного числа
«скрытых координат», которые должны были бы определять положения
различных частиц жидкости. Соответствующие компоненты импульса
предполагались обращающимися в нуль, за исключением (в случае
циклической области) тех, которые представлены циркуляциями че-
рез различные отверстия. С физической точки зрения затруднительно
будет не согласиться с подобного рода обобщением, в особенности
тогда, когда оно образует исходную точку для всего развития этой
ветви гидродинамики; хотя оно и будет по меньшей мере законным,
все же с гидродинамической точки зрения желательно, чтобы оно
было оправдано a posteriori независимыми, хотя и громоздкими ме-
тодами».

Исторически наметились два пути обоснования динамических урав-
нений. Первый можно назвать вариационным методом. Впервые он был
применен Кирхгофом, получившим принцип Гамильтона из уравнений
гидродинамики, для ациклического потенциального течения. Для бо-
лее общего случая — циклического течения в многосвязной области —
применение метода Кирхгофа, как показали исследования Л. Больц-
мана, К. Неймана, Ламба, наталкивается на ряд трудностей. В этом
случае для вывода динамических уравнений был выбран другой путь,
который можно назвать гидродинамическим. Гидродинамический метод
основывается на общих формулах для силы и момента, действующих
на твердое тело со стороны жидкости. Давление жидкости на грани-
це тела выражается через интеграл Коши-Лагранжа и доказывается,
что сила и момент выражаются через компоненты скоростей твердого
тела по формулам Лагранжа (5.15). Этим методом для потенциального
течения в многосвязной области уравнения были доказаны В. А. Стек-
ловым [197], независимо Брайеном [231] и наиболее полно в работе
О. В. Воинова [38].

Для ациклического плоского случая С. А. Чаплыгиным [211, 213],
Блазиусом [228] и Л. И. Седовым [184] были получены общие выра-
жения для силы и момента, действующие на крыло в произвольном
потоке, через интегралы по контурам, которые можно деформировать.
Для пространственного случая самые общие уравнения гидродина-
мическим методом были получены В. А. Стекловым при следующих
предположениях: 1) твердое тело ограничено замкнутой многосвязной
поверхностью и имеет внутри одну или несколько полостей, напол-
ненных жидкостью; 2) жидкость идеальная, однородная, несжимаемая
и заполняет все пространство вне тела; 3) скорости точек жидкости
в полостях и вне тела имеют потенциал, скорость жидкости в бес-
конечности равна нулю; 4) силы, приложенные к телу, произвольные,
а силы, приложенные к жидкости, консервативные.

Уравнения движения твердого тела в жидкости, полученные Кирх-
гофом, аналогичны уравнениям Эйлера движения твердого тела в пу-
стоте. Их интегрирование выполняли за рубежом Томсон и Тэт, Кирх-
гоф, Клебш и другие (см. [103]). Наиболее полное исследование
было проведено в России А. М. Ляпуновым, В. А. Стекловым [197]
и С. А. Чаплыгиным [212].

Цель последующего — дать доказательство уравнений движения
твердого тела для случая Стеклова и распространить его на более
общие случаи, причем будут рассматриваться не только такие случаи,
когда вид уравнений и функция Лагранжа известны, но и другие,
в которых потребуется определять новый вид функции Лагранжа.
Это приведет к существенно более общим уравнениям. Обобщения
по сравнению со случаем Стеклова будут состоять в следующем. Те-
ло и полости в теле могут менять свою форму. Течение жидкости
внутри полости может быть вихревым. Для плоской задачи будет
рассмотрено течение с постоянной завихренностью, для осесиммет-
ричной — течение, у которого азимутальная компонента вихря изме-
няется пропорционально расстоянию от оси вращения. Будет снято
ограничение, что скорость жидкости в бесконечности равна нулю.
Кроме того, течение вне тела может содержать счетное число источ-
ников и мультиполей любых порядков. Для плоской задачи течение
вне тела может иметь циркуляцию, отличную от нуля. Во всех из-
ложенных случаях вид функции Лагранжа неизвестен. Более того,
кинетическая энергия жидкости в последних двух случаях дается рас-
ходящимся интегралом и поэтому формально предугадать выражение
для функции Лагранжа по методу Томсона и Тэта становится невоз-
можно.

26.3.	Формулировки вариационного уравнения Гамильтона
и функции Лагранжа.

Постановка задачи. Рассматривается течение идеальной несжи-
маемой однородной жидкости, массовые силы имеют потенциал U.
Область течения П ограничена снаружи или изнутри поверхностью
5Q, состоящей из одной или нескольких связных частей. Положение
поверхности 5П или ее части определяется конечным или счетным чис-
лом параметров q\, q%,... (обобщенными координатами). Целью данного
исследования является получение общего вариационного уравнения,
аналогичного (2.7):

t2	t2

*	р	р

dt 6Х= dt	р 6п dS,

ti	ti	dQ

6n(t\) = 0, Snfa) = 0

(26.1)

и вывод из него системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Эйлера-Лагранжа для обобщенных координат границы.

Ниже из уравнений движения жидкости вариационным методом бу-
дет дан вывод вариационного уравнения (26.1) и получено выражение
функции Лагранжа Л для следующих трех случаев.

Случай I течения жидкости в ограниченной многосвязной об-
ласти Могут быть три варианта:

а)	течение потенциальное, потенциал — многозначная функция;

б)	плоская задача. Течение имеет постоянную завихренность;

в)	осесимметричная задача. Течение имеет вихрь, который возрас-
тает пропорционально расстоянию от оси вращения.

Во всех трех вариантах функция Лагранжа имеет вид (27.1).

Случай II движения тела в потенциальном неоднородном по-
токе жидкости при наличии в нем особенностей. Тело движется
в заданном потенциальном потоке жидкости vo и создает тем самым
новое потенциальное поле скоростей v, удовлетворяющее уравнениям
движения жидкости и условиям на границе тела 5Q. Соответству-
ющие потенциалы скоростей Фо и Ф — однозначные функции, а на
бесконечности разность Ф — Фо стремится к нулю. Поток Vo может
быть создан как а) движением внешних тел с поверхностью So, так
и б) особенностями типа мультиполей произвольного порядка. Поло-
жение и деформация границы тела 3V определяются обобщенными
координатами, движение границы So и поле скорости Vo заданы. Тогда
функция Лагранжа в (26.1) определяется формулой

Q

(26.2)

В частном случае, когда поток vo создается движением поверхности и
стремится к нулю на бесконечности, формулы (26.1) и (26.2) доказаны
в гл. V.

Случай III плоской задачи о движении контура с циркуляци-
ей в неоднородном потенциальном потоке. Пусть на комплексной
плоскости z неоднородный поток vo и функция тока Фо, определяются
формулами	_______

vo = dW$/dz, Фо = Im Wq,

где Wo(z) — произвольная мероморфная функция комплексного пере-
менного г, коэффициенты которой, вообще говоря, зависят от време-
ни t, черта сверху означает знак сопряжения комплексного числа.
Пусть D — область, в которой нет особых точек функции dW^/dz.
Обозначим через dD границу области D, а область внешнюю к D — че-
рез П. Граница dD определяется рядом (23.14) аналитической функции
z(t, £), которая конформно отображает внешнюю область круга |£| > 1
на область П. Зависящие от времени коэффициенты a,k(t) будем как
обычно считать обобщенными координатами движущегося контура dD.
Площадь области D предполагается равной постоянной величине тга2,
что по теореме площадей выражается условием (23.15).

При движении контура dD создается возмущенное потенциальное
поле скорости v = vo + Vo + Vr, удовлетворяющее условиям на гра-
нице тела

(v0 + V0)n =vn, Vrn =0.
dD	dD

Циркуляция поля скорости Vq равна нулю, а циркуляция Vr равна Г:

о Vods = 0,

oVrds = r.

В области П вне контура dD потенциалы скоростей Vo и Vr удовле-
творяют уравнению Лапласа. На бесконечности Vo и Vr стремятся
к нулю. Поставленная здесь задача является внешней задачей Неймана,
и из нее поля скоростей Vo и Vr определяются однозначно.

Давления ро и р, соответствующие течениям со скоростями vo и
v, удовлетворяют уравнениям Эйлера (1.1) и находятся с помощью
интегралов Коши-Лагранжа (1.2). Тогда функция Лагранжа в (26.1)
имеет вид

г	Г	_р2 л2

A=£ (Vo)2dV- podS + ^ln^-

где zo = ai — координаты конформного центра контура, zq и а& —
сопряженные с zq и аь комплексные числа, Im (г) — мнимая часть
комплексного числа z.

В частности, при Г = 0 функция Лагранжа (26.3) превращается
в (26.2). Для твердого тела, движущегося произвольно в покоящейся
жидкости, из (26.3) получаем

А = Т- ^prim(iozo)>
£

где Т — кинетическая энергия жидкости при движении в ней контура
dD без циркуляции. Из этой формулы вытекают формулы Л. И. Седова
для силы и момента, действующих на твердое тело, движущееся про-
извольно в покоящейся жидкости, а также формула Жуковского для
подъемной силы, действующей на крыло, движущееся с постоянной
скоростью в потоке с циркуляцией.

26.4.	Обобщение теории Томсона и Тэта.

Теоремы о циркуляции и вихре. Из уравнений движения (1.1)
можно получить ряд важных теорем, характеризующих свойства тече-
ния жидкости.

Теорема 1. Циркуляция скорости Г по контуру С, вморожен-
ному в жидкую среду, не изменяется со временем.

Теорема следует из формулы дифференцирования циркуляции по
времени:

dT
dt

dv

= — о vds = о ( — ds + vdv I.
dt	' \dt	J

Согласно уравнению (1.1) ускорение dv/dt является потенциальным
вектором, а подынтегральная функция — полным дифференциалом
d(—p/p + U + v2/2). Интеграл по замкнутому контуру от полного диф-
ференциала равен нулю, что и требовалось доказать. (Данное доказа-
тельство приведено в монографии Ламба [ЮЗ]) со ссылкой на статью
Thomson W. On Vortex Motion // Edin. Trans. 1869. V. XXV.)

Теорема 2. Пусть контур С получен из контура С непре-
рывной деформацией в области течения жидкости, поле скорости
которой потенциально и не имеет особых точек. Тогда циркуляции
скорости по контурам С и С равны.

Действительно, если на два контура С и деформированный кон-
тур С натянуть поверхность, так чтобы все точки этой поверхности
находились в области потенциального поля скорости, то поток вектора
вихря через эту поверхность будет равен нулю. По теореме Стокса он
равен разности циркуляций по контурам С' и С и, таким образом,
циркуляции равны.

Теорема 3. Если в начальный момент времени поле скорости
некоторой части жидкости, удовлетворяющее системе уравнений
(1.1), яляется безвихревым, то оно в этой части жидкости должно
быть безвихревым во все последующие и все предыдущие моменты
времени.

Эту теорему впервые сформулировал Лагранж (1781), однако дока-
зательство Лагранжа не вполне строгое (см. [18, 103]). Первое строгое
доказательство дано Коши (1827).

Из теорем 1 и 2 следует, что в односвязной области (область,
в которой любой замкнутый контур можно непрерывно стянуть в точ-
ку), циркуляция скорости, имеющей потенциал, по любому контуру
равна нулю. Таким образом, в односвязной области потенциал скорости
является всегда однозначной функцией. Из теоремы 3 следует, что это
свойство будет сохраняться во все моменты времени в односвязной
области течения жидкости. Примерами односвязной области являются
внешность сферы или внешность нескольких сфер в пространстве,
а также внутренность сферы. При заданном движении границы обла-
сти течения потенциал поля скорости находится из решения задачи
Неймана единственным образом. Этим обеспечивается возможность
применения метода обобщенных координат Лагранжа.

Внешняя область круга на плоскости уже не является односвязной.
Эта область — двусвязная. Двусвязная область на плоскости — это,
например, кольцо между двумя окружностями, в пространстве — это
внутренняя или внешняя области тора. Область называется т-связной,
если в ней могут быть проведены (т — 1)-неприводимых и взаимно
непереводимых замкнутых контуров. (Замкнутый контур называется
приводимым, если он, оставаясь внутри области, может быть непрерыв-
ным изменением стянут в точку. Два контура называются переводимы-
ми, если их непрерывным изменением, не выходя из области, можно
совместить.)

Для m-связной области можно ввести (М — 1)-односвязных перего-
родок П1,..., Пм-ь превращающих m-связную область в односвязную.
Если рассмотреть неприводимый контур, пересекающий fc-ю перегород-
ку в точке А, то потенциал скорости на контуре в точке А будет иметь
скачок, равный циркуляции скорости по этому контуру Г\. При непре-
рывной деформации контура точки пересечения его с перегородкой А'
будут меняться, однако скачки потенциала, равные циркуляции Г&,
по теореме 2 меняться не будут. Величина Г* по теореме 1 не будет
меняться также и со временем. Все значения Г\, соответствующие
перегородке Щ, — постоянные числа.

Продолжая эти рассуждения, можно показать, что потенциал поля
скорости в М-связной области однозначно определяется из решения
задачи Неймана, если задать движение границы области и постоянные
числа Г\, k = 1,...,М — 1, равные циркуляциям по взаимно непере-
водимым контурам. (Подробная теория потенциальных течений в мно-
госвязных областях изложена в монографии [103].) К этому случаю
движения жидкости можно также применять метод обобщенных ко-
ординат Лагранжа. Выражение лагранжиана будет установлено ниже:
оно отличается от классического. Числа Г\, А: = 1, ...,М — 1 будут
параметрами функции Лагранжа.

Теорема 4. Если в начальный момент времени плоскопарал-
лельное поле скорости некоторой части жидкости, удовлетворяю-
щее системе уравнений (1.1), имеет постоянное, независящее от
точек плоскости значение вихря 2о> = dvy/dvx — dvx/dvy, то оно
остается в этой части жидкости постоянным, независящим от
точек плоскости во все моменты времени.

Действительно, поток вектора вихря через элементарную площадку
dS равен ZwdS и по теореме Стокса равен циркуляции по контуру,
ограничивающую эту площадку. В соответствии с теоремой 1 эта
величина сохраняется со временем. Элементарная площадь dS состоит
из одних и тех же частиц жидкости и в силу несжимаемости также со-
храняется со временем. Следовательно и величина вихря си сохраняется
со временем. Таким образом, вихрь 2cj имеет постоянное значение, не
зависящее ни от времени, ни от координат.

Для осесимметричного течения можно сформулировать аналог тео-
ремы 4. Пусть х и у — цилиндрические координаты: х направлена
по оси вращения, у — расстояние от оси вращения. Поле скорости
осесимметричного течения имеет компоненты

У ду' Vy у дх'

(26.4)

где Ф — функция тока Стокса.

Тогда вектор вихря в цилиндрических координатах х, у и р имеет
компоненты	о	«

0 п л — —_-

'	' дх	ду

Таким образом, в осесимметричном течении вектор вихря перпен-
дикулярен мередианальной плоскости.

Теорема 5. Если в начальный момент времени осесимметрич-
ное поле скорости некоторой части жидкости, удовлетворяющее
системе уравнений (1.1), имеет постоянное, независящее от ко-
ординат х,у значение завихренности 2w = CJ у, то оно остается
в этой части жидкости постоянным, независящим от точек про-
странства во все моменты времени.

Действительно, поток вектора вихря через элементарную площадку
dS равен 2uiydS и по теореме Стокса равен циркуляции по контуру,
ограничивающую эту площадку. В соответствии с теоремой 1 эта вели-
чина сохраняется со временем. Тор, получаемый вращением элемента
площади dS около оси х состоит из одних и тех же частиц жидкости.
Его объем 2irydS в силу несжимаемости жидкости сохраняется со
временем. Отсюда следует постоянство во времени и пространстве
величины завихренности 2о> = £/у.

Неклассические случаи. Вариационное уравнение (5.14) и метод
обобщенных координат Лагранжа можно распространить на другие
течения идеальной жидкости:

—	течения с неоднозначным потенциалом скорости;

—	течения с постоянной завихренностью;

—	течения с особыми точками типа мультиполей;

—	течения с не убывающим на бесконечности потенциалом.

Ко всем этим случаям непосредственно применить классический
вид функции Лагранжа L = Т — П нельзя, так как кинетическая
энергия жидкости представляется расходящимися интегралами. Ниже
показано, что в указанных неклассических случаях функция Лагранжа
будет иметь другое, отличное от классического выражение, даже если
кинетическая энергия существует.
Все перечисленные неклассические случаи течений объединяет сле-
дующее свойство: при заданном в любой момент времени распределе-
нии нормальной скорости на границе в этот момент времени существу-
ет единственное решение для поля скорости жидкости. Оно находится
из решения задачи Неймана. Завихренность и циркуляции при неодно-
значном потенциале в силу уравнений движения сохраняются, и они
входят в решение для поля скорости как параметры. Этим свойством
не обладают течения вязкой жидкости и некоторые пространственные
вихревые течения. В этих случаях поле скорости жидкости зависит от
всей предыстории движения. К таким задачам рассматриваемый подход
не применим.

26.5.	Понятие среды, «скрепленной» с границей области.
В выражение функции Лагранжа для неклассических случаев будет
входить поле скорости v* воображаемой среды, «скрепленной» с гра-
ницей области. Если жидкость движется внутри полости в твердом
теле, то средой, «скрепленной» с границей области, будем считать
точки твердого тела, а полем скорости v* будет поле скорости то-
чек твердого тела, которое находится по формуле Эйлера. Разность
v — v* — это относительная скорость жидкости в декартовой системе
координат, жестко скрепленной с телом. Ниже дается обобщение поля
скорости v*, если граница течения жидкости деформируется. Такой
случай необходим для описания динамики деформирующихся капель
или деформирующихся областей с постоянной завихренностью.

Пусть q(gi,дг» • • •) — обобщенные координаты, определяющие поло-
жение границы dV в пространстве. Граница dV состоит из М связных
частей dV\, дУ%,..-дУм (рис. 7.1). Пусть векторная функция R

R(q,£) = r*, det

dRz

= С = const, г, j = 1,2,3

(26.5)

отображает фиксированную область £ е Vo на область г Е V, так что
элементарный объем частиц среды в каждой точке £ при изменении

Рис. 7.1. Течение жидкости в многосвяз-
ной области

параметров границы q сохра-
няется.

Таким образом, £ можно
рассматривать как лагранже-
вы координаты частиц неко-
торой воображаемой несжи-
маемой среды, «скрепленной»
с границей дУ. Векторное по-
ле г* определяет скрепленную
с границей криволинейную
систему координат. Разность
v — v* — это относительная
скорость жидкости в криволинейной системе координат, «скрепленной»
с границей.

Скорость v* и лагранжево перемещение <5г* удовлетворяет кинема-
тическому уравнению, подобному (3.5):

<5v. =	(26.6)

at

Простейшим случаем, когда отображающая функция и скорость вы-
писываются в явном виде — это случай движения жидкости в полости
твердого тела. Тогда отображение X(q, х*) является линейным пре-
образованием с помощью ортогональной матрицы. Полем скорости v*
является поле скорости Эйлера точек твердого тела. Вторым более
общим случаем является отображение с помощью линейной матрицы
с постоянным определителем. Так можно описать движение жидкости
в трехосном эллипсоиде, произвольно движущемся и деформирую-
щемся в пространстве (см. п. 29.2). Для двумерных течений общий
вид отображений с определителем единица в параметрической форме
приведен в § 39.

26.6.	Тождества и уравнения.

1.	Уравнения для вариаций. Из кинематических уравнений (3.5),
(26.6) и уравнения неразрывности можно получить следующие соотно-
шения для характеристик среды и жидкости:

div v = 0, div 6г = О,

с	(26.7)

div v* = 0, div 6г = 0.

Пользуясь тождеством

rot (axb) = (bV)a— (aV)b

для двух соленоидальных векторов diva = 0, divb = 0, кинематические
уравнения (3.5) и (26.6) можно записать в следующей форме:

= rot (vxtfr) + dv, = rot (v*x<5r) + dv*. (26.8)
dt	dt

На границе области течения dV нормальные компоненты векторов v
и v* равны скорости перемещения по нормали. Аналогичным условиям
удовлетворяют нормальные компоненты векторов 6г и 5г*

vn = v*n = vn, 6rn = <5r*n = 6n.

(26.9)

2.	Изменение потока вектора через поверхность. В дальней-
шем понадобится известная в механике сплошной среды формула для
изменения потока вектора А через вмороженную в среду поверх-
ность S. Если поле скорости среды v, то эта формула имеет вид
(см. [73, 124, 126, 183] и упр. 15.1)

An dS =

4- v div А + rot А х v ) n dS.

(26.10)

. \ dt
s
Аналогичными рассуждениями можно вывести формулу для вариации
этого интеграла

6 AndS =

(6А 4- 6r div А 4- rot А х 6г) п dS,
s

(26.11)

где 6г — лагранжева вариация частиц среды, в которую вморожена
поверхность S.

3.	Основное уравнение для вариаций. Для обобщения принципа
Томсона и Тэта нужно вывести более общее уравнение для вариаций
по сравнению с уравнением (5.4), которым пользовался Кирхгоф. Оно
имеет следующий вид [140, 143]:

5 (? (v“ v°)2) =
\ £ /

4 [p(v - v0)<5r] + div [(р - р0)<5г] -

- [protvo, (v - v0),<5r]. (26.12)

Здесь vo, po ~ поле скорости и давления неоднородного заданного
потока; v, р — поле скорости и давления действительного течения
жидкости. Эти характеристики удовлетворяют уравнениям Эйлера

+ ри + /(*)). Vvo = 0,
СХ V

= V(-p +	+/(t)), Vv = 0,

СХ V

(26.13)

Символом 6г обозначено лагранжево перемещение частиц жидкости
(см. §3). Последнее слагаемое в квадратных скобках — это смешанное
произведение трех векторов prot vo, (v — vo) и 6r.

Интегрируя уравнение (26.12) по области течения жидкости, полу-
чим обобщенное вариационное уравнение Гамильтона, аналогично тому
как из уравнения для вариаций (5.4) получено вариационное уравнение
Гамильтона (5.14) для классического случая. Так, если неоднородный
поток потенциальный (rotvo = 0), то, интегрируя (26.12), получим
вариационное уравнение (16.4), выведенное другим методом. Другие
обобщения будут приведены ниже.

Перейдем к выводу уравнения (26.12). Преобразуем вариацию
удельной кинетической энергии относительного движения:

- <5v0) = (p(v - v0)<5r) -
J \JLls

- р(у - v0)<5v0.
Преобразуем множитель, входящий во второе слагаемое

- р((у - vo)V)vo.

ИЬ /

Подставляя это выражение в предыдущее равенство, с помощью фор-
мулы = (dvfa/dxkfixk получим

« * Wv _ Vo)ir) _ „ 6г +

\	/	UI/	\ CIL Ui/ /

С помощью уравнений Эйлера (26.13) второе слагаемое правой части
преобразуется ко второму слагаемому уравнения (26.12), а последнее
третье слагаемое равно тройному смешанному произведению, которое
входит в правую часть уравнения (26.12). Таким образом, полученное
уравнение тождественно уравнению для вариаций (26.12), что и требо-
валось доказать.

§27. Течение в ограниченной области

27.1.	Описание течений и функция Лагранжа. Рассматривает-
ся течение в многосвязной области V, ограниченной снаружи поверхно-
стью а изнутри поверхностями dV\J5V<b - - - >д¥м-\ (см. рис. 7.1).
Таким образом, граница многосвязной области 3V является объедине-
нием границ dVk, к=	Границы dVk изменяются во времени

произвольно с единственным ограничением: объем области V постоя-
нен. Возможны три случая:

1.	Течение в произвольной многосвязной области с многозначным
потенциалом поля скорости.

2.	Плоскопараллельное течение с постоянной завихренностью в
многосвязной области.

3.	Осесимметричное вихревое течение в многосвязной области.
Вектор вихря направлен перпендикулярно мередианальной плоскости,
а отношение величины вихря к расстоянию до оси симметрии по-
стоянно.

Во всех трех случаях вариационное уравнение будет иметь вид
(26.1) с функцией Лагранжа

(27.1)

Ее можно представить в следующей тождественной форме:

Л — р (v2/2 - (v - v,)2/2 + С/) dV.

(27.2)
27.2.	Потенциальное течение. Формула Кельвина для функ-
ции Лагранжа.

1.	Первая обобщенная формула Кельвина. Интеграл, входящий
в функцию Лагранжа (27.1), для потенциального поля скорости v =
= можно преобразовать:

p(v — v*)vdV = div (рФ(у — v*)) dV.

Для того чтобы воспользоваться формулой Гаусса-Остроградского,
нужно ввести мысленно бесконечно тонкие перегородки П^Щ,...
...,Пм-1 (рис. 7.1). Тогда область V станет односвязной, а потен-
циал Ф в этой области будет однозначной функцией. Применяя фор-
мулу Гаусса-Остроградского с учетом дополнительных границ Щ,

получим

М-1

р(у - v*)vdV =
k=\

*

рф(у - v*)ndS.

Перегородка Щ имеет два берега П+ и П_. На обоих берегах значения
скоростей равны, а направления нормалей противоположны. Поэтому
интеграл по перегородке имеет вид

рФ(у - v*)ndS =

р(Ф+ - Ф_)(у - v*)n_|_ dS,

nfc

Разность Ф+ — Ф_ = Г* равна циркуляции по контуру Vk и является
постоянной величиной.

Таким образом, мы приходим к формуле

р(у- v.)vdV = Г\7ь

p(v-v»)n+dS,

nfc

где — расход жидкости через перегородку Щ, движущуюся со
скоростью V*.

Подставляя полученный интеграл в формулу (27.1), получим обоб-
щенную формулу Кельвина:

М-1
л=т-п- ]Trfc7fc.
fc=l

(27.3)

Для многосвязной полости в твердом теле эту формулу получил Кель-
вин. В этом случае ^к — расход жидкости через движущуюся с твер-
дым телом перегородку.

2.	Вывод первой обобщенной формулы Кельвина из уравнений
движения жидкости. Положим в основном уравнении для вариаций
(26.12) v = ’^Ф и vq = 0. Тогда из уравнения движения (26.13) следует,
что ро = pU 4- f(t\ а уравнение для вариаций примет вид

<$	= “л div (pV4><5r) 4- div [(р — pU — /(t))(5r].

Вывод вариационного уравнения аналогичен выводу вариационного
уравнения (5.14). Интегрируя по времени и пространству, получаем

*2

*

tl

*2

dt 6(Т - П) =

tl

dt p6ndS +I,
dV

dt — div (рФ<5г) dV.

Uji

В классическом случае интеграл I приводится по теореме Гаусса-
Остроградского к интегралу по поверхности и оказывается равным
нулю. В нашем случае он к интегралу по поверхности не сводится, так
как потенциал — неоднозначная функция. Нужно ввести перегород-
ки Щ и применить обобщенную теорему Гаусса-Остроградского, как
в пп. 1:

М-1
fc=l

(p<5rn) dS
nfc

t=t2

t=tl

M-l

= rfc [ (p(<5r-<5r,)n)dS
fc=! Щ

Добавление слагаемого <5r, в подынтегральном выражении ничего
не меняет, так как в моменты t\ и t2 лагранжево перемещение частиц
среды равно нулю (<5г* =0). По теореме Лейбница последнее выраже-
ние можно преобразовать так:

(<5г — <5r*)n+ dS.

fc=1 ti rifc

Мы получим требуемый вид функции Лагранжа (27.3), если докажем
тождество

d
dt

(27.4)

Доказательство таково. В силу (26.9) на границе (<5г — <5г*)п = 0
и (v — v*)n = 0. Поэтому интегралы в (27.4) не зависят от вида
перегородки. Для определенности будем считать, что перегородка Щ
вморожена в среду, скрепленную с границей. Воспользуемся формула-
ми (26.10) и (26.11) для изменения потока соленоидального вектора
через поверхность:

d
dt

(6r - <5r*)n+ dS
nfc

<5r*) 4- rot ((<5r — <5r*) x v*)

n+ dS,

nfc

(v - v*)n+ dS =

6

[3(v - v*) 4- rot ((v - v*) x (Jr*)] n+ dS.

nfc
Вычитая эти равенства и пользуясь (26.8), получаем

d
dt

rot FndS,
nfc

F = (v — v*) x (<5r — <5r*).

По теореме Стокса интеграл в правой части равен циркуляции по
границе перегородки — контуру

(v — v*) х (<5г — <5г*) ds.
nfc

Контур 5Щ лежит на поверхности dVk. Действительно, векторы v — v*
и 6г — (5г* в силу условий (26.9) ортогональны нормали к поверхности
dVk. Вектор-элемент длины контура также направлен по касательной
к этой поверхности. Следовательно, тройное векторное произведение
под интегралом тождественно равно нулю, так же как и интеграл.

Таким образом, тождество (27.4), равно как и выражение (27.3),
для функции Лагранжа доказано.

27.3.	Плоскопараллельное течение с постоянной завихрен-
ностью.

1.	Второе обобщение формулы Кельвина, вытекающее из (27.1).

В силу уравнений несжимаемости (26.7) для полей скорости v и v*
можно ввести функции тока

_ дУ _	ЭФ _ дФ* _	0Ф*	,07 г.

Vx ~ ду’	Vy~	дх'	v*x ~ ду	’ v*y ~	дх '	(275)

Условие постоянной завихренности выразится так:

Х72Ф = —2ш = const.

С помощью функций тока Ф и Ф* интеграл, входящий в функцию
Лагранжа (27.1), преобразуется так:

p(v - v*)vdV = р div [((Ф - Ф*) - (Фм - Ф*м)) grad Ф] dV +

4- 2шр

[(Ф - Ф*) - (Фм - Ф*м)] dV.

Здесь плоская область V ограничена изнутри контурами 5Vi,dV^,...
и снаружи дУм, Ф& и Ф*^ — значения функций тока Ф

и Ф* на контуре Ck- В силу условий (26.9) на контуре dVk

(ф* - Ф.к) = О,

(27.6)
разности (Ф^ — Ф*&) — постоянные числа, а разности

р(^к — Ф*&) - р(Ф*М - Ф*м) =

(27.7)

равны объемным расходам жидкости у к через перегородки Щ. При-
меняя теорему Гаусса-Остроградского к рассматриваемому интегралу,
получим

М-1

p(v - v,)vdV = ^2	+ 2шр

к=1

[(Ф-Ф.)-(Фм-Ф.м)] dV.

Подставляя интеграл I в функцию Лагранжа, получим второе обобще-
ние формулы Кельвина для функции Лагранжа:

[(Ф - Ф,) - (Фм - ф.м)] dv.

(27.8)

2.	Вывод второй обобщенной формулы Кельвина из уравнений
движения жидкости. Дадим вывод формулы (27.8) из основного
уравнения для вариаций (26.12). Оно в этом случае примет вид

s (2у2) = Tt (pvSl^ + div ~ pU ~ fW)Sr]-

Интегрируя его по времени и пространству, получим

ti

dt 6(Т - П)

av

dt

(27.9)

Добавление в интеграл <5г* не меняет его, так как на концах интегри-
рования <5г* = 0. Аналогично (27.5) можно ввести функции тока g(x,y)
и g*(x,y) Для соленоидальных векторов <5г и <5г*:

Sx~dy’ Sy~ дх' Sx*~dy' Sy*~ дх' (271°)

В силу условий (26.9) на АГ-связной границе dV = dVk разность
g — g* постоянна:

ёк ~ ё*к = const» rtdVk, fc=l,...,M.	(27.11)

С помощью соотношений для функций тока (27.5) и (27.10) можно
получить следующее соотношение:

v(5r-dr,) = (\7Ф)\7(^- gj = div ((g-g,) grad Ф) + 2w(g-gj,
интегрируя которое с помощью граничных условий (27.11), находим

М-1

v(<5r - <5г.) dV = 52 fek ~	°

fc=1	dvk

ЭФ

дп

ds-(gM-gkM) <>

ЭФ
дп

d s 4-

9VM

+ 2u(g - gj dV,

(27.12)

где направление нормалей показано на рис. 7.1. Интегралы по контурам
dVk являются циркуляциями:

Г\= о ^-ds= о vds, fc=l,...,M.	(27.13)

J дп J

dVk	dVk

Применяя теорему Стокса к области V, можно установить следующую
связь между циркуляциями:

М-1

Гм = Г* + 2wV.
к=\

(27.14)

Подставляя соотношения для циркуляций (27.13) и (27.13) в (27.12),
получим

М-1

v(<5r - 5г,) dV = 52 г* Kgfc -	~ (ём ~ ё'.м)] +

V	к=\

+ 2w [(g - g,) - (gM - g,M)] dV. (27.15)

С помощью функций тока уравнения (3.5) и (26.6) можно проинте-
грировать. Интегралы их таковы

= 5Ф,

(27.16)

В справедливости этого можно убедится проверкой. Действительно,
дифференцируя по х первое уравнение (27.16), получим

= -dvy - 6х
dt у

9уу
дх

- Sy

dvy
ду

vy +

д&у
дх



С помощью (27.16) это равенство приводится к следующему: d(6y)/dt =
= 5vy. Дифференцируя по у первое уравнение (27.16), получим урав-
нение d(5x)/dt = 5vx, что и требовалось доказать. Аналогично дока-
зывается, что второе уравнение (27.16) является интегралом уравне-
ния (26.6).

С помощью уравнений (27.16) можно вывести следующее уравне-
ние:	( _ .

= й(Ф-Ф.) + (г-г.)7(Ф-Ф,).	(27.17)

В силу условия (27.6) вектор \7(Ф — Ф*) направлен по нормали к конту-
ру <%, а в силу (26.9) вектор (г — г*) направлен по касательной к тому
же контуру. Следовательно на контуре dVk скалярное произведение
векторов (г — г*) и — Ф*) равно нулю. Отсюда

=5(ф-ф«), rtdVk.	(27.18)

Уравнение (27.17) можно записать в следующей эквивалентной
форме:

^8-~-	= <5(Ф - Ф.) + div [(г - г»)(Ф - Ф.)]

и так как на границе dV выполнено условие (г — г*)п = 0, то, применяя
теорему Гаусса-Остроградского, получим

d
dt

(27.19)

Дифференцируя равенство (27.15) и подставляя в него найденные вы-
ражения (27.18) и (27.19), получим

d
dt

pv(Sr — <5r*) dV

rfc7fc + 2pu> [(Ф - Ф,) - (Фм - Ф,м)]

dV

(27.20)

Это выражение входит в интеграл I в (27.9). Учитывая его, находим
требуемую обобщенную формулу Кельвина (27.8) для лагранжиана Л.

27.4.	Осесимметричное течение с постоянной завихренностью.
В осесимметричном течении область постоянной завихренности со-
гласно теореме 5 сохраняется со временем. Если область М-связная,
то также как и в плоской задаче, нужно ввести (М — 1)-циркуляцию
Г1,..., Г м-1 • При задании этих чисел и значения постоянной завихрен-
ности си, а также закона движения границы области течения жидкости
решение задачи Неймана для поля скорости единственно. В этом слу-
чае аналогичными рассуждениями можно получить для Лагранжиана
обобщенную формулу Кельвина. Она будет иметь такой же вид (27.8),
как и для плоской задачи. Вместо функции тока для плоской задачи

8 А Г. Петров
в формулу (27.8) войдет функция тока Стокса (26.4), а для расходов
через перегородки в формуле (27.7) нужно учесть множители 2тг:

2тг[р(Фа: — Ф*А:) — р(Фм “ Ф*м)] = k = 1,..., М - 1. (27.21)

Также как для плоского случая из обобщенной формулы Кельвина
можно получить формулы для функции Лагранжа (27.1) и (27.2). Эти
формулы универсальны и справедливы для всех выше перечисленных
случаев.

Перейдем теперь к выводу вариационного уравнения Гамильтона
и функции Лагранжа для течения жидкости вне движущейся поверх-
ности.

§ 28.	Течение жидкости вне движущейся поверхности

28.1.	Движение тела в неоднородном потенциальном потоке
с однозначным потенциалом скорости.

1.	Постановка задачи. Рассматривается потенциальное течение
vo = VФo в неограниченной на бесконечности области По- Это течение
создается движением в жидкости одним или несколькими телами,
а также особенностями внутри потока. Поле скорости vo и соответ-
ствующее ему давление жидкости ро будем считать известными.

Пусть тело V с границей dV движется в заданном потоке жидкости
с полем скорости vo = VФo и давлением ро- Область тела V находится
внутри По и не содержит особых точек потенциала. Тело V создает
новое потенциальное поле скорости v = VФ и давление р, удовле-
творяющее уравнениям движения жидкости и условиям на границе
тела dV. Потенциалы скоростей Ф и Фо — однозначные функции,
а на бесконечности разность Ф — Фо стремится к нулю. Поток vo
может быть создан как а) движением внешних тел с поверхностью
ЗП, так и б) особенностями типа мультиполей произвольного порядка.
Положение и деформация границы тела V определяются обобщенными
координатами, движение границы dV задано. Тогда, как показано
в следующем пункте, функция Лагранжа в (26.1) определяется фор-
мулой (26.2). Эта формула совпадает с (16.5), полученной ранее для
частного случая, когда поток vo создается движением поверхности,
стремится к нулю на бесконечности и в области течения жидкости не
имеет особенностей.

2.	Вывод вариационного уравнения и функции Лагранжа. При-
меняем основное уравнение для вариаций (26.12). Пользуясь тем, что
rot vo = 0 и тождеством

(v - vo)2 = div (<pV), V = v — vo, <p = Ф - Фо,
получим

= ^[p(v-vo)<5r]+div[(p-po)<5r],	(28.1)

\	\ & J J CXL
Пусть П' — область, ограниченная изнутри поверхностью тела 5П
и снаружи поверхностью Soo, достаточно большого радиуса. В области
П' все функции тождества (28.1) V = v — Vo, р — ро» 6г не имеют
особенностей. Проинтегрируем тождество (28.1) по области П' и вос-
пользуемся теоремой Гаусса-Остроградского:

*2

tl

%-ipVndS
£

(р — ро)6п dS + G

да

р<р6п dS

ti

t2’

(28.2)

Последний интеграл равен нулю в силу условий (26.1): <5n(ti) =
= <5п(^2) = 0.

Остаточный член G в (28.2) выражается через интеграл по поверх-

ности Soo

£^VndS +
£

(28.3)

С увеличением радиуса R^ сферы Soo потенциал у>, скорость V,
возмущение давления р — ро и вариация <5г являются бесконечно малы-
ми: (р = О(1/Лоо), IVI = 0(1/4), Р-РО = О(1/Яоо), |<5г| = 0(1/4).
Поэтому интеграл (28.3) стремится к нулю при и, таким образом,
формулы (26.1) и (26.2) доказаны.

28.2.	Движение контура в неоднородном плоскопараллельном
потоке с циркуляцией.

1.	Постановка задачи. В п. 23.5 с помощью ряда Лорана (23.14)
были введены обобщенные координаты контура С, движущегося на
плоскости. Приведено выражение для комплексного потенциала те-
чения, которое создается при движении контура в покоящейся на
бесконечности жидкости. Аналогично можно получить выражение ком-
плексного потенциала возмущенного контуром течения в более общем
случае: при наличии циркуляции Г и неоднородного потока с комплекс-
ным потенциалом

v0 = ^, ^о = bn Ио,	(28.4)

az

где фо — функция тока заданного неоднородного потока.

Эта задача решается следующим образом. Пусть =
=	конформно отображает внешнюю область единичного

круга на комплексной плоскости ( на внешнюю область контура С
(см. рис. 6.3) и задается рядом Лорана (23.14). Также как и для
покоящейся на бесконечности жидкости коэффициент ао является
действительным числом и вычисляется через остальные по теореме
площадей (23.15). Действительные и мнимые части коэффициентов
ряда Лорана а^, к = 1,2,3,..., принимаются за обобщенные координа-
ты контура.
Комплексный потенциал W возмущения скорости V = v — vo на-
ходится из решения задачи, которая будет отличаться от (23.16) на-
личием неоднородного потока и циркуляции Г. Формулировка задачи
такова: нужно найти аналитическую в области |£| > 1 функцию w(£,£),
удовлетворяющую на границе |£| = 1 условию

\ ац /
wo(£,C) = W0(t,w(t,(y),

условию для циркуляции

I = T
KI=1

и условию на бесконечности

=0.

(28.5)

(28.6)

(28.7)

При течении с циркуляцией нельзя требовать выполнение условия
w(oo) = 0. Вместо этого потребуем выполнение этого условия для
вариации комплексного потенциала

(5w)oo = 0.

(28.8)

В силу линейности поставленной задачи ее решение можно пред-

ставить в виде

Г
2тгг

1п< + W1,

(28.9)

w = f +

где f — решение (23.21) задачи о движении контура в покоящейся на
бесконечности жидкости, второе слагаемое определяет течение около
неподвижного контура с циркуляцией Г.

Третье слагаемое, которое требуется найти, определяет течение без
циркуляции около неподвижного контура, помещенного в неоднород-
ный поток. Краевая задача совпадает с краевой задачей леммы п. 23.5,
если g= — wo(0. Согласно лемме w\ находится по формуле (23.17),
а из формулы (23.18) следует, что на контуре |£| = 1

Imwi =	Im (w 4-w0) = Im/-b(^o),

(28.10)
При бесциркуляционном (Г = 0) движении контура функция Лагранжа
вариационного уравнения (26.1) будет определяться формулой (26.2).
Ниже будет показано, что при наличии циркуляции функция Лагранжа
для контура, положение которого на комплексной плоскости задается
рядом Лорана (23.14): z = 52.	будет иметь вид (26.3).

rv “ V
2.	Метод вывода вариационного уравнения и функции Лагран-
жа, Так же как и в предыдущем случае, исходим из основного

уравнения для вариаций (26.12). При
rot vo = 0 оно приводится к виду

Й(М =	+

+ div [(р - ро)<5г],

V = v — vo = grad <£>.

Проинтегрируем это соотношение по
области П', ограниченной поверхно-
стью 5П', состоящей из границы тела
5П, круга Соо достаточно большого
радиуса (рис. 7.2), а затем по от-
резку времени t е [^1,^2] имеем

Рис. 7.2. Область Q'

*2
ч

tl

dt5

Q'

t2
%V2dS = '
£

tl

div (p^r) dS 4-

Q'

div [(p - po

(28.11)

Рассмотрим каждый из интегралов уравнения (28.11) отдельно.

3. Вариация кинетической энергии. Рассмотрим вариацию ин-

теграла кинетической энергии, входящей в вариационное уравне-

ние (28.11):

6L\ =6

ч.

Q'

^N2dS =
£

(NbNdS.

Q'

(28.12)

При г| —► оо скорость и ее вариация убывают как |V| ~ 1/|г|
и I5V ~ l/|z|2. Поэтому хотя предел при R^ —► оо для интеграла от
V2 не существует, интеграл от вариации его V5V — сходящийся.
Таким образом, в пределе при R^ —> оо, Rk —> 0 получаем сходящийся
интеграл по внешней области контура П:

<5Li = pV6VdS.

С помощью подстановки V = Vq 4- Vr подынтегральная функция пре-
образуется так:

VSV = V0<5V0 + <5(V0Vr) + Vr<5Vr,

где Vo — бесциркуляционное слагаемое поля скорости, a Vr — чисто-
циркуляционное слагаемое. Интеграл

<5(V0Vr) dS = 6 VQVrdS = S div ($0Vr) dS = S
Q	Q	dCl

Q
равен нулю в силу условия Vrn = 0 на границе контура 5Q. Поэтому

<5Li= pV0(5V0dS 4- pNrbNrdS.

(28.13)

Интегралы (28.13) преобразуются так:

pV0(5V0dS = 6

Q

(28.14)

pVr(5Vr dS = р div (<5Фг grad Фг) dS = lim
J	J	Roo—►<

Q	Q

р<5Фг ds.

on

00	(28.15)

Здесь Фг — функция тока для поля скорости Vr- Согласно (28.9)

Фг = Im

функция £(z) — обратная к функции z = аоС + • • • ряда Лорана (23.14).
Отсюда находим при |г| —► оо

(28.16)

С помощью полученного разложения находим предел (28.15)

pVr(5Vr dS = -р

(28.17)

Подставляя интегралы (28.14) и (28.17) в (28.13), получим требуе-
мое выражение для функционала L\\

£ V2 dS = 6Lt
&

(28.18)

6

Q

4.	Интеграл по перегородке. Применяя к области Л' (см. рис. 7.2)
обобщенную теорему Гаусса-Остроградского с учетом перегородки П,
получим

(p<p5r) dS =

Q'

р((р+ — <р_)(5гп+ ds +

р<р5п ds +

р<р(5г • п) ds.

Разность (р+ — (р_ равна циркуляции Г вокруг контура (7, контур —
окружность достаточно большого радиуса Rx. В качестве перегород-
ки П можно выбрать отрезок х € (яс,Я) на оси х между точками
пересечения оси х с контурами С и С^.
Таким образом, получим

d

dt

Q'

R

div (p<p6r) dS = рГ

Cvv
xc

ptpdn ds +

p<p(<5r • n

(28.19)

Последние два интеграла не дают вклада в вариационное уравне-
ние (28.11). Действительно, выражение |<р<5г| на окружности |z =
убывает как (In R^)/(упр. 4.1) и при R^ —► оо интеграл по Cqq
стремится к нулю. В силу условий <5n(ti) = Snfa) = 0 имеем

*2

«1

dt— pip6nds =
dt .

pipdn ds

t=t2

t=ti

что и требовалось доказать.

Первое слагаемое в (28.19) преобразуется так:

d
dt

6ydx = —icSy

Xc

dx.

Из уравнения (26.9) находим

= dvv +	~

\J I/	UJb

и, используя это уравнение, получаем

dt

Xc

6ydx = (—xc6y — vySx + vxSy)

Xc

В точке x = R выражение vy6x — vx6y стремится к нулю при R —► оо.

Учитывая, что хс = vx

, и переходя к пределу при 7? —► оо, получим

у

dt

6ydx = 6 Vydx = 6
u	*<

хс	Хс

хс

= $(Ф(я:с, о) - Ф(я, о)),

где Ф — функция тока для поля скорости v.

Продолжаем преобразование, используя асимптотику (28.16)

d
dt

Подставляя это выражение в (28.12) в пределе R —► оо, получим

div (p<p6vr)dS = рГ5 ^Ф(яс,0) — In

П'	\	w а

(28.20)

где а — постоянная величина, равная эквивалентному радиусу круга.
Выражение для Ф(жс,О) можно представить в виде функции обоб-
щенных координат и скоростей контура. Для этого рассмотрим пло-
щадь S, ограниченную осями хну, прямой у = у\, частью контура
между точками (яс,0), где точка (#i,у\) — образ точки £ = 1 при

Рис. 7.3. Область S. Конформный
центр контура zq = а\

конформном отображении z(Q (за-
штрихованная область на рис. 7.3):

х\ +iy\ = z\ =

= (do< + ai +a2C-1 + ...)|<=1.

(28.21)

Изменение площади S таково:

= Ф(Х1,У1) - Ф(жс,0) + У1Ж1.

Отсюда для Ф(яс,0) получим выражение

dS

Ф(жс,0) = Ф(ЯГ], У1) - -7- + У\Х\.

П	. т *1*1 . Х\У\

С помощью тождества: у\Х\ = 1m——h — -у- получим

CL v

Ф(агс,О) = Im(ii2:|) + Ф(х1,у1) +

1 d
~4dtXiy'

(28.22)

Точка х\ 4- гу\ = лежит на контуре С и для вычисления значе-
ния функции тока в этой точке можно пользоваться формулами (28.10):

Ф(Ж1. yi) = Irn(w + w0) = Im(/(1)) + (V>o),	(28.23)

где значение комплексного потенциала f(£) в точке £ = 1 вычисляется
с помощью ряда Лорана (23.21) с коэффициентами (23.22):

°°	ОО	/ ОО	\

f(X) = Y<T’ = к^йпап+к + у^п-\)апап+к\. (28.24)

fc=l	п=0	' п=0	'

Преобразуем выражение (28.22) с помощью (28.23) и (28.24):

ОО	ОО	ОО ОО	\

2 52 “п 52йт+Z2 52 Ппйп+к) + + • • • =

П=0	7П=0	fc=l п=0	'
п

оо

п=0

тп=О

п=0

Здесь многоточия подразумевают полные производное по времени,
несущественные для лагранжиана. Поскольку апат + 0^(1™ — действи-
тельное число, то последнее слагаемое равно нулю. Таким образом,
получим

Выделим в суммах выражение q Qn^n

оо

71=0

оо п— 1

•

О'П^'ГП

71=1 771=0

ОО оо

71=0 77l=7l“|“ 1

В последней сумме переставим местами порядок суммирования и по-
меняем индексы суммирования:

оо оо

ОпОт

71=0 7П = П-|“1

оо т— 1

=

771=1 71=0

ОО 71— 1

71=1 771=0

подставляя ее в предыдущее выражение, получим

00/71

I	^71^ТП

71=0 '771=0

О’ п О гп’

Этот результат позволяет упростить формулы (28.25) и (28.20):

(ОО	\

^2 )+w+• • •.

п-0	'

div (p(p<5r) dS = 6L2,

(28.26)

dt

+ рГ(Фо) -

р2 Л2
^-1п—.
4тг Ш а2

5.	Функция Лагранжа Л. Последний интеграл в (28.11) с по-
мощью теоремы Гаусса-Остроградского приводится к поверхностному.
В пределе при получаем

div [(р — ро)<5r] dV

Q'

рбп dS + 6 ро dV.

dQ	D

Подставляя полученное выражение, формулы (28.18) и (28.26) в
(28.11), имеем вариационное уравнение (26.1) с функцией Лагранжа
Л = L\ — 1/2 — PodV. После упрощения получим требуемое выраже-
ние функции Лагранжа (26.3).

§ 29.	Примеры динамических систем

В п. 26.1 были перечислены некоторые примеры гидродинамических
систем, изученных к настоящему времени. Классической и очень бога-
той по содержанию динамической системой, к которой применимы ме-
тоды аналитической механики, является жидкая гравитирующая масса
(см. монографии: Ламб [103], Чандрасекхар [210], Б. П. Кондратьев
(2003) [96]).

Ниже приводятся другие примеры из гидродинамики.

29.1.	Устойчивость равновесия шара в неоднородном потоке.
В качестве первого примера рассмотрим движение шара в неоднород-
ном потенциальном потоке. Докажем, что не существует такого тече-
ния, в котором бы шар находился в устойчивом положении равновесия
(А. Г. Петров (1999) [155]).

1.	Точный динамический принцип и уравнения движения. Пусть
задано произвольное потенциальное течение идеальной несжимаемой
жидкости с полем скорости, зависящим от времени t и координат
r(x,y,z),

vo(t,r) = V$o(t,r), V^o(t,r) = O, V = iA+j^+kA (29.1)
ox oy OZ

и давлением po(£,r)- Если массовые силы имеют потенциал 17, то
давление и скорость связаны интегралом Коши-Лагранжа

Ро + Р	f) - ри = /(f)-	(29.2)

Движение тела, в потоке с полем скорости (29.1) можно описать
с помощью вариационного принципа Гамильтона (17.17). Функция
Лагранжа L имеет следующее точное представление:

L = 7Ь ~ По 4- Л,

(v - Vo)2 dV - Ро dv,

(29.3)

где То и По — кинетическая и потенциальные энергии шара соответ-
ственно; v = VФ — потенциальное поле скорости жидкости, возму-
щенное телом; V — объем тела; Q — область, занятая жидкостью.
Для малого шара с центром го(#о, З/о, го), движущегося со скоро-
стью го(#о, З/о» ^о) в неоднородном потоке vo, функция Лагранжа имеет
вид: L = 1/2 4- Lq, где 1/2 — квадратичная по скоростям функция,
Lq — функция, независящая от скоростей; функция — Lq = 17Эф(г0) —
эффективная потенциальная энергия. Последняя является супергар-
монической функцией (У2и3ф < 0) и потому не имеет минимума ни
в одной внутренней точке неоднородного потока (см. упр. 17.7). Отсюда
можно заключить, что всякое равновесие малого шара в неоднородном
потенциальном течении жидкости является неустойчивым [52, 214].

Это свойство рассматриваемой динамической системы является ана-
логом известной теоремы Ирншоу в электродинамике об отсутствии
устойчивого положения равновесия точечного заряда в электростати-
ческом поле. В силу того, что потенциальная энергия — гармоническая
функция, она не имеет ни максимума ни минимума ни в одной точке.

Ниже будет доказано, что все свойства, обеспечивающие неустой-
чивость для малого шара, справедливы и для шара конечного радиуса.
А именно, в пп. 3 доказывается, что лагранжиан системы для общего
стационарного неоднородного потока представляется в виде суммы
L = 1/2 + I/о, где 1/2 — квадратичная по скоростям положительно опре-
деленная форма, I/о — силовой потенциал, не зависящий от скоростей.
Затем в пп. 4 устанавливается, что Lq — субгармоническая функция:
VqZ/o > 0- Отсюда вытекает теорема о неустойчивости любого положе-
ния равновесия шара конечного радиуса в стационарном неоднородном
потоке.

2.	Доказательство отсутствия гироскопических сил. Покажем,
что слагаемые в функции Л (29.3), линейные по скорости го, можно
исключить не только для малого шара, но и для шара конечного
радиуса, движущегося в стационарном неоднородном потоке с потен-
циалом Фо(г). Для этого представим поле скорости, входящее в первый
интеграл (29.3), в виде

V - v0 = V(y> - р).	(29.4)

Обе функции р и р являются гармоническими, стремятся к нулю
на бесконечности: (<£>)оо = 0, (^)оо = 0 и на границе ЭУ(го) шара
{(ж — #o)2 + (у ~ Уо)2 + (z — го)2 = а2} удовлетворяют условиям

др

=Гоп’

др _ дФ0.
дп дп

п - - (x-XQ.y-yo.z- г0),
а

где п — вектор единичной нормали к поверхности сферы dV.
Функции р и р имеют единственные решения

з

<^(г,го) = — ——2 (гОл)

2г

£(г,го) = -^

дФо(го + Rn)
dR

dR,

(29.5)

(29.6)

(29.7)
г2 = (х- х0)2 + (у - Уо)2 + (z - z0)2,
R2 = (х1 - Xq)2 + (у' - Уо)2 + (z' - Zo)2.

Потенциал ip (29.6) определяет известное течение около сферы,
движущейся в неподвижной на бесконечности жидкости. Потенциал 1р
(29.7) является потенциалом части течения, возмущенного присутстви-
ем сферы в неоднородном потоке с потенциалом Фо, и находится по
теореме Вейса (см. пп. 15.2.4). В дальнейшем мы будем называть его
потенциалом Вейса.

Подставим выражение (29.4) в (29.3) и воспользуемся формулой
Грина. Замечая, что ip — линейная по скорости функция, а <р не зависит
от скорости fo, отделим слагаемые Лг (квадратичное), Л1 (линейное)
и Ло (не зависящее от скорости го):

V(r0)

л 1 f

Ло = ~2 Р

dv(r<>)

Ро dV,

V(r0)

Л2 =

где п — нормаль, внешняя к шару V.
Слагаемое	г	Q ч

л, = £	+

2 J \ дп дп/
av(r0)

ро dV = Ло 4- Л2,

(29.8)

(29.9)

здесь опущено, поскольку оно является полной производной по вре-

мени:

1 d

X\=--pV -^Фо(хо,Уо,го)

(29.10)

и не дает вклада в уравнения движения шара.

Действительно, по формуле Грина и с помощью граничного условия
(29.5) выражение (29.9) преобразуется к виду

d-^dS.
on

(29.11)

dV(r0)

На границе dV(r0) функция ip равна Pi = —(xqAx + увАу + zqAz)/2.
Функция Р^Ф0 определена и дифференцируема внутри шара V; к по-
следнему интегралу можно применить теорему Гаусса-Остроградского.
Далее, пользуясь свойством гармонической функции V(PlVФo), по-
лучим

Л1=р f V(P^o)dV = -bv(io^
J	Z \ OXq

V(r0)

+ Уо

дФр
дуо
По теореме о дифференцировании сложной функции последнее выра-
жение совпадает с (29.10), что и требовалось доказать.

Таким образом, точное выражение лагранжиана L представляется
двумя слагаемыми: L% — квадратичная по скоростям го положительно
определенная форма и Lq — не зависящая от скоростей го силовая
функция, которые находятся с помощью (1.3) и (29.8):

L — L% + Lq,

Ь2(0, 01,02, 0, 01,02, Го) = р\ГоI2 + То,

(29.12)

Lo(0,х0) = -gM{zo + lcos0) + - р

v2(r,r0)dV -

Ро(г) dV.

Q(r0)

V(r0)

Здесь первое слагаемое — потенциальная энергия тяжелого шара,
М — масса шара. Первый интеграл в Lq преобразован с помощью
формулы Грина, вектор v =	— скорость с потенциалом Вейса (29.7),

зависящая от текущих координат г и координат центра шара го-

За обобщенные координаты приняты три координаты центра шара
O(xq, yQ, zq) и углы Эйлера 0,01,02, где 0 — угол между осью Oz,
направленной вертикально вверх, и вектором 1 (хс — xq, ус — yQ, zc — zq),
где точка C(xc,yc,zc) — центр масс шара. Кинетическая энергия Tq
твердого шара складывается из кинетической энергии движения центра
масс и кинетической энергии движения относительно центра масс
(теорема Кенига):

То(М1,М,М2^о) = 5 Wo + (^xl)2) + | У IijWiWj,

1^М<3

где ш = (ц>1,й>2»^з) — вектор угловой скорости, Lj — моменты инерции
твердого тела (i,j = 1,2,3).

Таким образом, указанное представление функции Лагранжа по-
лучено.

3.	Доказательство субгармоничности силового потенциала.
Функция Лагранжа (29.11) соответствует консервативной системе
с шестью степенями свободы. Докажем свойство субгармоничности
силовой функции 1/2- V2Lo(ro) > 0. Для этого потребуются три сле-
дующие леммы.

Лемма 1. Справедливы следующие формулы дифференциро-
вания:

Q(r0)

F(r,r0)dV =

(V + V0)f(r,r0)dV,

Q(r0)

(29.13)

F(r,r0)dV =

V(r0)

(V + Vo)F(r, r0) dV,
V(r0)

(29.14)
где У(го) — внутренность шара радиуса а с центром в точке
го, Л(го) — внешность этого шара. Функции F и F зависят
от переменных r(x,y,z), го(#о, З/о, ^о), дифференцируемы в соответ-
ствующих областях fl(r0), V(ro) и интегралы в (29.13) предполага-
ются абсолютно сходящимися.

Доказательство тождества (29.13) проводится на основании опре-
деления производной. Для приращения интеграла, соответствующего
приращению аргумента Дго, имеем

F(r,r0 + Ar0)dV - [ F(r,r0)dV =

Q(r0+Ar0)	Q(r0)

V0F(r, r0) dV +

Q(r0)	dQ(r0)

F(r, r0)n dS ) Дг0 + О(Дг)2,

где Q(ro 4- Дго) — область вне шара со смещенным центром в точке
го 4- Дго, О(го) — область вне шара с центром в точке го, п — внешняя
к шару V нормаль, но внутренняя к области П(го). Воспользовавшись
теоремой Гаусса-Остроградского и поделив на приращение аргумента,
получим требуемое тождество (29.13). Тождество (29.14) выводится
аналогично.

Лемма 2. Для потенциала Вейса <^(г,г0), определяемого по
(29.7), и потенциала неоднородного потока Фо(г) справедливы тож-
дества

(V + Vo)(V + VoW,ro) = O.

(29.15)

Доказательство проводим при помощи равенства (29.7).
Пусть аргументы г и го получают одинаковое малое приращение Дго-
Тогда в интеграле (29.7) изменится только аргумент го на го 4- Дго,
остальные переменные r,n, R не изменятся. Для соответствующего
приращения функции ф получим

△r0(V 4- Vo)^ =

Arp
а

_2 /„
а /г

R ^5 Vo$o(ro + Rn) dR.

J О it
о

Откуда следует, что

(V + Vo)^> =

а2/г

R ~^Б Vo$o(ro + Rn) dR.

J	О it

о

Применяя к этому тождеству вторично оператор (V 4- Vo) и проводя
аналогичные рассуждения, получим равенство (29.15) (используется
гармоничность функции Фо(г)).
Лемма 3. Для квадрата скорости v(r, го) = с потенциалом
Вейса и для давления ро(г), определяемого из интеграла Коши-
Лагранжа (29.2), справедливы неравенства'.

(V + Vo)(V + Vo)v2(r,ro) =

=2 (l(V + v»> iP+ l(V+v»> If+ l(v + v°> If Г)»°'
(29.16)

_(V + Vo)(v + Vo)po(r) = J|V ^|2 + |V ^|2 + |V	0.

\	U JU	U у	sU /

Доказательство. Если принять во внимание равен-
ство (29.15) и вытекающее из него тождество и выполнить очевидное
преобразование, то получим первое неравенство (29.16):

(V + V0)(V + V0)v(r, r0) = V((V + V0)(V + V0)£(r, r0)) = 0,

(V + Vo)(V + Vo)v2(r) =

= 2^2 (vfe(V + V0)(V + V0)vfc + |(V + Vo)?fc|2) =

fc=l 4

= £2|(V + VoW.

fc=l

Второе неравенство (29.16) выводится аналогично.

Перейдем к доказательству субгармоничности силовой функции
Ьо(го).

Применяем дважды оператор Vo к функции Lo(ro) в (3.9). Пользу-
ясь последовательно тождествами (29.13), (29.14), получаем

Vfco(ro) = £
£

(V + V0)(V + V0)v2dV-
fi(ro)

V2p0(r)dV. (29.17)

V(r0)

Применяя к подынтегральным функциям (29.17) неравенства
(29.16) леммы 3, получаем требуемое условие субгармоничности:

V2Lo(ro) > 0,

(29.18)

из которого следует, что функция Lo(ro) не может иметь локального
максимума ни в одной точке. Отсюда при использовании известных ре-
зультатов по обращению теоремы Лагранжа-Дирихле вытекает теоре-
ма устойчивости равновесия шара конечного радиуса а в неоднородном
стационарном потоке (см. пп. 4).

Можно доказать и более общее утверждение. Углы 0\, 02 могут
быть циклическими координатами. Тогда шар может совершать ста-
ционарное движение с постоянным моментом количества движения
с неподвижным центром го. Любое такое стационарное движение будет
также неустойчивым. Действительно, функция То явно не зависит
от координат го- Поэтому после исключения циклических координат
методом Рауса добавочная потенциальная энергия не будет зависеть от
го и все выводы об отсутствии локального минимума у потенциальной
энергии останутся без изменения.

4.	Теоремы о неустойчивости равновесия при условии субгармо-
ничности силового потенциала. Предположим, что в начале коорди-
нат система с лагранжианом (29.11) удовлетворяет условию равновесия
VoA)(0, го) = 0. Разложение силового потенциала в ряд Маклорена
в точке равновесия г = 0 будет иметь вид

Lq = Ь& + L(3) + L(4) + ...,	(29.19)

где L(n>) — однородный по координатам полином степени п.

Если / 0, то в силу (29.18) V2!/2)	0. Неустойчивость рав-

новесия в этом случае вытекает из теоремы Ляпунова о неустойчи-
вости по первому приближению (см., например, [216]). Это наиболее
распространенный случай равновесия такой системы. Заметим, что на
основании этого результата Ирншоу сделал вывод о неустойчивости
заряда в любом электростатическом поле.

В вырожденном случае =0 ряд (29.19) может начинаться с
однородного полинома степени выше второй:

£0 = £(")+ £("+•) + ..., п>2

и ltn\ в виду условия субгармоничности (29.18), не будет иметь
локального максимума в нуле. Для доказательства неустойчивости
равновесия в этом вырожденном случае при специальных условиях
существуют теоремы Четаева [216] и других авторов ([180], с. 88-90)
по обращению теоремы Лагранжа-Дирихле. В [93] сформулирован ре-
зультат, который полностью решает проблему доказательства теоремы
о неустойчивости равновесия исследуемой системы: «Предположим,
что силовая функция субгармонична и ее ряд Маклорена отличен от
нуля. Тогда равновесие г = 0 неустойчиво». Из результата [93] выте-
кает также неустойчивость в проблеме Ирншоу в случае вырождения.

29.2.	Эллипсоидальная капля.

1.	Основные предположения. Рассмотрим, следуя работе [146],
динамическую модель капли с учетом ее внутреннего движения. В мо-
дели будем предполагать:

1)	область V (внутренность капли), ограниченная гладкой ком-
пактной связной поверхностью dV, заполнена идеальной несжимаемой
жидкостью с плотность р_;

2)	внешняя область V (область Q вне капли) также заполнена
идеальной несжимаемой жидкостью с плотностью
3)	поля скорости v_ и давления р_ внутри и v+ и р+ вне капли на
границе dV удовлетворяют условиям

v-n - v+n, р_ - р+ = 2На,

(29.20)

где а — коэффициент поверхностного натяжения, Н — средняя гаус-
сова кривизна граничной поверхности dV\

4)	граница капли 3V, поля скорости и давлений имеют осевую сим-
метрию;

5)	вне капли — течение потенциальное, жидкость на бесконечности
покоится;

6)	внутри капли течение имеет вихрь, величина которого пропор-
циональна расстоянию до оси симметрии (случай 3 из п. 27.1);

7)	массовые силы отсутствуют (17 = 0).

Если внутри капли течение потенциальное, то рассматриваемая
модель превратится в рассмотренную в § 10 модель деформированной
капли.

2.	Вариационный принцип для капли можно получить аналогично
тому, как был получен вариационный принцип для деформированной
капли и пузырька в § 10.

Для потенциального течения вне капли используем классическое
вариационное уравнение (5.12):

^2	*2

dt6T+ = dt p+6ndS.	(29.21)

t\	t\	dQ,

Внутри капли воспользуемся выведенным вариационным уравнением
(пп. 3 из п. 27.1)

t2	<2

dtSA = dt p-6ndS, 6n(t\) = 0, бп^) = 0,

ti	ti	дО,

(29.22)

Из уравнений (29.21) и (29.22), используя условие Лапласа, получим
вариационный принцип Гамильтона,

6L dt = 0,
ti

L = Т+ + Л - aS.

(29.23)

В функции Лагранжа учтен вихрь внутри капли и поэтому она отли-
чается от выражения, полученного ранее (10.3).

3.	Эллипсоидальная капля. Конкретные вычисления можно про-
вести, предполагая форму капли эллипсоидальной, так же как в § 10.
При этом предположении условие Лапласа будет выполняться прибли-
женно. По невязке можно судить о точности модели.

Для вычисления функции Лагранжа Л необходимо вычислить:
1) поле скорости v* среды, «скрепленной» с поверхностью капли
(см. п. 26.5) и 2) поле скорости v частиц жидкости.

1)	Вычисляем поле скорости v*. Направим декартову ось z по оси
симметрии. Тогда закон движения декартовых координат я*(£), ?/*(£),
z*(f) точки среды, «скрепленной» с поверхностью эллипсоида, имеет
вид

х* = Zx(t)£, У» =	zt = z0(t) + /2(t)<,	(29.24)

где £, т/, £ — лагранжевы координаты точек среды, лежащие внутри
сферы: £2 + т;2 + <	1. Соответственно декартовы координаты точек

среды лежат внутри эллипсоида:

Якобиан преобразования £ —>#*,?/*, z* равный lxl2z для несжима-
емой среды, должен быть постоянным (l2lz = Z3), что соответствует
сохранению объема капли.

Таким образом, для движения осесимметричной эллипсоидальной
капли имеем две обобщенные координаты. Их удобно ввести так: zq —
координата центра эллипсоида, х = lx/lz — отношение осей эллипсои-
да. Оси эллипсоида выражаются через х'. lx — lx^3> h — 1х~2^3

Поле скорости в лагранжевых координатах находим дифференциро-
ванием координат по времени по закону (29.24):

v»x = | IXX 2/3С, Vty = | Ixx 2/37?, v„ = Zo - | Ixx 5/3<-

В декартовых координатах поле скорости v* имеет вид

v.x = | - xt, v»y = I у», v.z = Zo - I zt. (29.25)
3 x	3 x	3 x

Нетрудно проверить, что это поле скорости имеет потенциал Ф*
и функцию тока Ф*:

ж	•	. 1 X 2	1 X 2

Ф* = ZqZ + - - Г2 - - - Z ,
6 X	3 X

1Tf 1-2 1 X 2	2	2.2

Ф* = н z0r “ ~r Z> г=х*+ у.

(29.26)

Итак, поле скорости v* найдено (индекс * опускаем).

2)	Вычисляем поле скорости v вихревого течения внутри эллип-
соида. Оно складывается из потенциального поля скорости (29.25)
и вихревого течения внутри неподвижного эллипсоида. Модуль вихря
по предположению 6) (см. выше) равен иг, где ш — постоянный коэф-
фициент (интенсивность вихря). Отсюда функцию тока вихревой части
можно искать в виде с^Ф^. Для Ф^ получаем следующую краевую

задачу:

Фо, =0.

дУ

Решение этой задачи таково:

Ф =

IjJ --

12Х2/3
2(№ + 4)

(29.27)

Отсюда находим поле скорости v = v* В цилиндрических коор-
динатах г, z компоненты скорости таковы (см. пп. 3 из § 1):

1 - z2//2 - 2г2//2
rz//2

Подставляя найденные поля скорости (29.25) и (29.27) в (29.22), по-
лучим

2

P-^dV,

pJy^dV.

Через Т* обозначена кинетическая энергия потенциальной части поля
скорости, через 1ш2/2 — кинетическая энергия вихревой части. Оста-
лось подставить найденные поля скоростей в выражениях для Г* и I
и вычислить соответствующие интегралы:

Т = —О I5 Х" + 2 V2	I = — О I7 Х4/3

*	135Р хз/ю X .	105 Р х2+4’

Выразим Т» и I через введенную ранее в § 10 переменную г: х2 = 1 + е,
™	1	.2	2тг ,5 (3 + е)	т 8тг ,7(1+е)2/3

Т*	2т*£ ' т*~ 135Р~ (i+e)23/^’ /-105P“Z	5 + е2 ’

Отсюда получаем окончательное выражение функции Лагранжа:

L = | (m + p_V) Zq + i (m£ + тп,)ё2 - 11ш2 - aS,	(29.28)

где формулы для т, т£ и S были приведены ранее (10.19).

Полученное выражение для функции Лагранжа позволяет изучить
равновесную форму капли и ее устойчивость, подобно тому как это
было выполнено в § 10. Форма капли находится из уравнения

Записывая уравнение в безразмерном виде

1 = Q F(e) + A. W(e), F(e) =

/'(ф2

// \ 2 ’
т (£)и
найдем из него зависимость числа Вебера W от деформации е и па-
раметра £lp-/p+, характеризующего отношение динамических напоров
внутри и вне капли,

(29.29)

Здесь F(s) и — безразмерные функции, выражение для w(s)

Рис. 7.4. Зависимость числа Вебера
от отношения осей эллипсоида при
Qp_/р+ =0; 15; 30 и 45

было получено ранее (10.7). Зави-
симость (29.29) числа Вебера W
от отношения осей х = ^/1 + £ при
£lp_/p+ = 0, 15, 30 и 45 представ-
лена на рис. 7.4. Отсюда видно, что
внутренний вихрь уменьшает де-
формацию капли. Точка максимума
функции W(x), как было показано
в § 10, соответствует потере устой-
чивости капли. Из рисунка видно,
что с увеличением интенсивности
вихря внутри капли уменьшает-
ся критическая деформация капли,
при которой она теряет устойчи-
вость.

При малой деформации можно пользоваться разложениями

2\	- 4 fl 44	758 2

)’ F '	225 V 105 + 11025

С их помощью с точностью до 82 имеем

0,562 W-0,01 Q

1- 0,00419 Q

Q = Q—.

Р+

В заключение приведем формулы, позволяющие сократить вычисления

интегралов:

d dV = — I3

I2 15 ’

dV =	Z3.

I2 15

Для вычисления I полезно следующее тождественное для него выра-
жение I — р- Ф^йУ. Вывести его можно с помощью тождеств
к

В приведенной модели скорость движения капли и и интенсивность
вихря внутри нее остаются неопределенными характеристиками. Для
их вычисления нужно использовать модель вязкой жидкости (см. § 30).

29.3. Динамика эллиптического вихря. Кирхгоф [87] получил
точное решение о равномерном вращении эллиптического вихря в поко-
ящейся на бесконечности жидкости. С. А. Чаплыгин в работе «О пуль-
сирующем цилиндрическом вихре» [213] получил более общее точное
решение о вращении и пульсации эллиптического вихря. Это основ-
ные известные в гидродинамике точные решения. Задачу устойчиво-
сти эллиптического вихря Кирхгофа в линейном приближении решил
Лав [261]. При отношении осей эллипса меньше трех вращение эл-
липса устойчиво по отношению ко всем двумерным возмущениям. При
отношении осей больше трех движение неустойчиво по отношению
к третьей моде возмущений эллиптической границы.

Прандль впервые высказал предположение о постоянстве завих-
ренности в зоне с замкнутой линией тока при стремлении к нулю
коэффициента вязкости жидкости. Это допущение впоследствии бы-
ло доказано Бэтчелором [32]. Эти исследования послужили толчком
для изучения задачи о склейке потенциального и вихревого течений.
О сложности этой задачи Бэтчелор пишет следующее: «Прямые ме-
тоды для определения стационарных относительно вращающихся осей
распределений завихренности не известны, хотя решения для некото-
рых специальных случаев получены». Отметим, что здесь речь идет
о точных решениях. Однако представляют интерес и приближенные ре-
шения, которые можно получать с помощью вариационных принципов.

Следуя работе Перепелкина и Петрова (1983) [133], рассмотрим
двумерное течение идеальной несжимаемой жидкости. Внутри эллипса
течение имеет постоянную завихренность, а вне его потенциальное
течение с циркуляцией.

Вариационный принцип и функцию Лагранжа можно построить
аналогично тому, как это было сделано для эллипсоидальной капли.
Уравнения Эйлера-Лагранжа для эллиптической границы представ-
ляют собой динамическую систему с четырьмя степенями свободы.
Условие непрерывности давления на границе, также как и для эл-
липсоидальной капли выполняется приближенно. По невязке давления
можно судить о точности модели.

Для полученной динамической системы найдена полная система
интегралов. Система уравнений имеет три многопараметрические серии
стационарных движений. Первой серией является серия Кирхгофа.
Вторая серия — вращение эллипса около собственного центра с другой
угловой скоростью. В третьей серии центр эллипса равномерно вра-
щается около неподвижной точки и одновременно вращается с той же
угловой скоростью сам эллипс относительно собственного центра.

Прямым методом Ляпунова дано полное исследование устойчивости
нестационарных движений в точной нелинейной постановке. Устойчи-
вость рассматривается при постоянных импульсе и кинетическом мо-
менте относительно перемещения центра и эллиптической деформации
границы.

Доказано: 1) серия Кирхгофа устойчива при любом отношении осей
эллипса х; 2) вторая серия определяет устойчивые вращения вихря,
близкие по форме к эллипсу с отношением осей в интервале 1 < х <
< 2,222; 3) третья серия устойчива при 1
за пределами этого неравенства.

1,746 и неустойчива

1.	Постановка задачи. Рассматривается следующее двумерное

движение несжимаемой жидкости плотности р. В некоторой односвяз-

Рис. 7.5. Схема эллиптическо-
го вихря

ной области П_ (рис. 7.5), ограничен-
ной контуром 9Q, поле скоростей име-
ет постоянный вихрь: ш = (1/2) rot v.
Во внешней же области П+ течение яв-
ляется потенциальным. Нормальная ком-
понента скорости на границе 9Q непре-
рывна и равна скорости перемещения
по нормали. Циркуляция скорости пред-
полагается непрерывной при переходе
через контур и, следовательно, равной
Г = 2тга2а>, где тга2 — неизменная при
движении площадь области П_.

На давление накладывается условие непрерывности на контуре:

Р+-Р- эп =°-

(29.30)

Задача определения движения такой системы в приближении эллипти-
ческого вихря сводится к решению динамических уравнений Лагранжа
4^-^=°. г= 1,2,3,4,	(29.31)

dt (JQi OQi

где qi — обобщенные координаты эллипса: координаты центра, отно-
шение осей и угол наклона одной из осей эллипса к оси х (рис. 7.5).

Уравнения Лагранжа (29.31) эквивалентны четырем условиям для
разности давлений на границе эллипса

2тг

(р+ — р_) cos (kfi) d/3 = 0,
о

0 = arg<,

2тг

(р+ - р_) sin (k(3) d/3 = 0,
о

k = 1,2,

где £ — комплексная переменная при отображении внешней области
эллипса на внешнюю область круга (см. (23.14)).

Постоянную для р- можно выбрать так, чтобы выполнялось пятое
условие

(Р+ ~P-)d0 = 0.

о

Таким образом, уравнения Лагранжа эквивалентны требованию,
чтобы в ряде Фурье для разности р+ — р- на границе эллипса отсут-
ствовали первые пять гармоник. Это обеспечивает высокую точность
рассматриваемого приближения.
Функция Лагранжа складывается из функции L- для течения
внутри эллипса и функции L+ — для потенциального течения вне
эллипса. Первая функция L- вычисляется по формуле (27.2), вторая
L+ — по (26.3).

2.	Функция Лагранжа внутреннего течения. В функцию L_
входит скорость v*, скрепленная с эллипсом. Для описания скорости
v* введем две декартовы системы координат: абсолютная х, у и отно-
сительная х', у1, связанные между собой соотношениями (см. рис. 7.5)

х — xq = х1 cos а — у' sin а, у — yQ = х' sin а + у' cos а.

Центр осей координат хг,у' расположен в точке я?о,ж а оси направле-
ны по осям эллипса.

Кроме того, введем лагранжевы координаты точек среды При
изменении отношения полуосей lx/ly = X полуосей эллипса 1Х = ах^2
и1у = ах~^2, где х = 1х/1у — отношение полуосей эллипса, координаты
х', у' точек среды меняются по закону

1х = ах1/2. 1у = ах-1/2. х' = 1Х£, у' = 1уг).	(29.32)

Скорость v* среды, «скрепленной» с эллипсом, состоит из трех сла-
гаемых. Первое слагаемое в осях х, у определяет поступательное
движение v*(io,?/o), второе в осях я/,?/ — вращение v*(—си/,ая/)
и третье в осях я/, уг — деформационное потенциальное течение
(у	у \

fl Д ~а Л 1 •

Интеграл от v2 по площади эллипса S удобно вычислять в перемен-
ных £, г]. Эллипс в переменных соответствует кругу £2 + т/2	1.

Тогда dS = dx'dy' = a2 dxdr], а интеграл от v2 сведется к вычислению
интегралов

£2 dr] =

y2d^dri = |
£

(£2 -I- T]2) d^dr] = 7Г r3 dr = .

£2+7?4i	о

После вычисления получим следующий результат:

(29.33)

Это поле скорости имеет вихрь, равный а.

Поле скорости v — v* выразим через функцию тока
Функция тока постоянна на границе эллипса и поэтому поле скоро-
сти автоматически удовлетворяет граничному условию: (v — v*)n = 0.
Поскольку поле скорости v жидкости должно иметь вихрь, равный cv,
то вихрь v* — v равен ш - а. Отсюда получаем уравнение для коэффи-
циента С

V2V> = ™ (х +	= 2(d - о>)

а \ л.'

и находим его

Интеграл от (v* — v)2 по площади эллипса в переменных £, т]
вычисляется так:

(v* - v)2 dS = [(vv>)2 dS = 4С2 (х +

S	S

Подставляя коэффициент С и значение интеграла, равное тг/4, получим

(29.35)

Подставляя в формулу (27.2) интегралы (29.33) и (29.35), получим

3.	Функция Лагранжа внешнего течения вычисляется по форму-
ле (26.3). Внешность круга |£|	1 отображается на внешность эллип-

са плоскости z = х -I- iy с помощью аналитической функции (23.14):

Z = а0< + 20+ ^, а0 = (1Х + 1у), а2 =	(1Х - 1у)е2га.

Эллипс имеет полуоси 1Х и 1У, большая полуось расположена под углом
а к оси х, центр эллипса находится в точке zq = xq 4- iyo.

Вычисление функции Лагранжа проводим по формуле (26.1),
которая при отсутствии внешнего потока (ро = Фо) принимает вид
Первое слагаемое — это кинетическая энергия Т течения с однознач-
ным потенциалом. Она определяется по формулам (23.23) и (23.22)

Al = Zoa2 “ ^0^0»	Л-2 = ^0а2 ~ ^2^0»

После подстановки производных

получим

Остальные два слагаемых в (29.37) приводятся к виду

- Im (zozo) + - аа2
& *

(29.39)

1/2 — —рГ

Формулы (29.36)-(29.39) определяют аналитический вид функции
Лагранжа L = L_ 4- L+. Для упрощения функции L вместо перемен-
ной х удобно ввести переменную

(29.40)

безразмерное время t определить по формуле t = cut', где f — раз-
мерное время, и подставить вместо циркуляции выражение Г = 2тга2а>.
Опуская размерный множитель ртга4аг, получим

£г2

•2fi—2ia
£ С

(29.41)

1—зг - 2Н2,

2\2

z — х — iy,

где безразмерные х и у отнесены к а.
Безразмерная величина

Р+ -Р-
2 2
ри) а

△р =

(29.42)

характеризует погрешность приближенного решения.

4.	Интегралы уравнений движения. Можно заметить по виду
функции Лагранжа (29.41), что система (29.31) допускает четыре
первых интеграла: законы сохранения обобщенного импульса, кинети-
ческого момента и энергии.

Закон сохранения импульса следует из того факта, что dL/dz
является полным дифференциалом по времени

dL = d(iz/2)

dz dt

Отсюда и из (29.31) получим закон сохранения импульса

дТ
dz

— iz = I.

(29.43)

Подставляя производную функции Т (29.41) в (29.43), получим

(1 +H2)z-H(l + H2)'/2ie2<Q -iz = I.

(29.44)

Интеграл энергии существует в силу того, что функция Лагранжа L
не зависит явно от времени:

dL . dL -	dL г, 8L	. Г „	/оплкч

-77Г z + —= z Н------— Я+—=	(29.45)

dz dz	dH da	v 7

Учитывая (29.43) и однородность функции Т по z и г, уравнение
(29.45) можно привести к следующей форме:

—	£/2

Re (П) + Im (zz) + ^ + /2d2 - /0-	(29.46)

£

Закон сохранения обобщенного кинетического момента следует из
теоремы Нётер, согласно которой он соответствует инвариантному
преобразованию z* = zen, а* = а + 7, где 7 — произвольное число,

и имеет вид

dL . dL . dL_

da dz dz

С помощью (29.43) этот интеграл можно преобразовать так:

2 Im (П) + 2/2d + /1 + k|2 = К.

(29.47)

5.	Движение эллиптического вихря с неподвижным центром.
В случае, когда х = у = 0, функция Лагранжа (29.41) принимает вид
L = Lq и зависит от двух обобщенных координат а и А, причем
угловая переменная а — циклическая. В этом случае функция Лагран-
жа (29.41) дает исчерпывающую информацию о вращении и деформа-
ции эллиптического вихря и позволяет провести простое аналитическое
исследование.

1)	Можно найти стационарные решения, при которых эллипс дви-
жется как твердое тело Н = 0. Решения определяются из уравнения

= /6(Я) +	+ f^H)a2 = 0,

которое имеет два корня

Q| “ 2(1 + Я2)’
. _	2 + 5Я2 + 4Я4

°2 “ 2(1 + Я2)(1 + ЗЯ2+4Я4)

(29.48)

(29.49)

Формула (29.48) определяет серию стационарных вращений, найден-
ную Кирхгофом. Формула (29.49) определяет новую серию стацио-
нарных вращений. В отличие от первой вторая серия является при-
ближенной. Кроме этого существует тривиальное решение Н = 0 —
произвольно вращающийся в жидкости круговой цилиндр.

2)	Можно исследовать динамику, т. е. зависимость деформации
и угловой скорости вращения эллипса от времени. Координата а явля-
ется циклической. Из закона сохранения момента количества движе-
ния (29.47)

К = 4Я2(1 +Я2)2	-----1-- _ 2Яг (29 50)

1+2Я2	2(1+2Я2)

можно найти зависимость К) и, подставляя ее в интеграл энергии
(29.46), получим

}~н2 + и(Н, К) = Е,

&

U(H, К) = 1 +

(2К — I)2 _ (2Я-3)(2Я- 15)

32Я2	32(1 +Я2)

(2Я - З)2
32(1 + Я2)2

-Ип(1+Н2), (29.51)
&

На рис. 7.6 даны графики потенциальной энергии

У(х,К) = С7(Н(х),Я)-С7тах

при К = 0,4; 0,45; 0,5; 0,52; 0,575. Минимум потенциальной энергии
в точке Х1 отвечает устойчивому вращению эллипса, максимум в точ-
ке Х2 — неустойчивому. Угловые скорости стационарных вращений
находятся из закона сохранения момента количества движения (29.50).
Из уравнения dU/dH = 0 определяются точки экстремума

К (и\ _ 1 тт2 (1т\ _ 1	о-2 । 2Н (1 + Я )

^(Я)---Я, Я2(Я)---Я +

Зависимости К\(Н) и К2(Н) изображены на рис. 7.7. При К < 0,5 из
уравнения К = К\(Н) получаем точку минимума Н\, а из уравнения

Рис. 7.6. Эффективная потенциальная энер-
гия эллиптического вихря

Рис. 7.7. Критические точки

К = К2(Н) — точку максимума Н2 функции	Точка миниму-

ма Н\ соответствует устойчивому вращению с угловой скоростью серии
Кирхгофа (29.48), а точка максимума Н2 — неустойчивому вращению
с угловой скоростью второй серии (29.49).

Как видно из рис. 7.7, существуют два корня уравнения К = К2(Н)
при 0,5 < К < 0,5747. Они определяют точки минимума Н{ и мак-
симума Н2. Меньший корень Н{ отвечает устойчивому вращению,
больший Н2 — неустойчивому. Причем для обоих значениях корней Н{
и Н2 угловая скорость определяется по второй серии (29.49). Отсюда
следует, что, кроме серии Кирхгофа, существует еще одно устойчивое
вращение вихря, близкого по форме к эллипсу. Деформация эллипса
соответствует значению Я{, а угловая скорость — (29.49). Наибольшее
значение Я* = тах(Я{) = 0,41001 соответствует максимуму функции
Я* = тахЯ2(Я) = 0,57472 при отношении осей х = 2,222.

Устойчивые стационарные вращения эллипса являются решениями
уравнения энергии (29.51) при Е = min U(H, К). Если же постоян-
ная энергии находится в интервале minU(H, К) < Е <
то деформация эллипса Я меняется во времени по периодическому
закону, причем всегда одна из осей остается больше другой. При
Е >	К) движение всегда апериодическое, одна из осей эл-

липса неограниченно растет.
Случай К = 1/2 следует выделить особо. Только в этом случае
функция U(H) не имеет вертикальной асимптоты в точке Н = 0 (х =
= 1). Функция U(H) — четная, имеет при Н = 0 минимум 17(0) = 1/4
и максимум при Н2 = (\ЛГ7 — 1)/8 « 0,39039 (х ~ 3,2543), равный

7ч/17 - 1	1 .	+ 7 п

—64— " 2 1П —Г" = °’27055’

Отсюда следует, что при 0.25 < Е < 0,27055 движение периодическое.
Отношение осей эллипса периодически меняется со временем между
двумя значениями 1 < хе < 3,2543 и 1/хе» где хе соответствует
корню уравнения U(H) = Е.

Период колебаний находится из квадратуры уравнения Н2/2 = Е —
— U(H). Если Е незначительно отличается от минимального значения
1/4 период можно вычислить, разлагая функцию U(H) в ряд в точ-
ке Н = 0	it 1

U(H) = | 1 н2 - 1 н4 + О(Н6),

Е - U(H) = (Н2е - Н2) (1 - 2НЕ - 2Н2).

Период г дается интегралом

dH

dx

1

+ 8Я1

о

(1 -I- х2) dx

= 27Г (2 + ЗЯ|) +О(Я|).

Угловая скорость определяется из уравнения сохранения момента ко-
личества движения (29.50)

. = 3 + 4Я2
а ~ 4(1 + Я2)2’

Каждому стационарному вращению серии Кирхгофа (29.48) соответ-
ствует точка минимума потенциальной энергии при К < 0,5.

Стационарному вращению второй серии (29.49) соответствует точ-
ка минимума функции U(H,K) при 0,5 < К < 0,5747, либо точ-
ка максимума функции	Точки минимума U(H,K) при

0,5 < К < 0,5747 ограничены Я < 0,4100 (х < 2,222) (см. рис. 7.6).

Отсюда следует, что относительно изменения осей эллипса все
стационарные вращения серии Кирхгофа устойчивы. Стационарные
вращения второй серии устойчивы при х < 2,222.

6. Невязка давления для второй серии. Во второй серии форма
вихря отличается от эллипса. О величине этого отличия можно судить
по разности давления на границе эллипса 6р = р+ — р- (невязка давле-
ния). Ограничимся вычислением функции 5р(х,/3) для первой и второй
серий стационарных вращений эллипса. Рассмотрим течение жидкости
внутри эллипса. Ускорение жидкости и давление удовлетворяют урав-
нению Эйлера wa = —Vp, где wa — ускорение в абсолютной системе
координат.

Обозначим через wr — ускорение в осях эллипса. Тогда по теореме
сложения ускорений имеем: wa = wr + wc + wp, где wr — ускорение
в осях эллипса, wc, wp — кориолисово и переносное ускорения.

Относительная скорость vr в осях эллипса х', у' не зависит от
времени и выражается через функцию тока:

Относительное ускорение выражается через относительную скорость
с помощью формулы Громеки-Ламба:

v2
wr = V + rot Vr X V.

£

Вихрь относительной скорости равен разности вихря абсолютного дви-
жения и угловой скорости вращения эллипса: rot vr = 1 — а и поэтому
Wr=v(^+2(l-d)^.

Кориолисово ускорение, равное 2d х v, можно выразить через
функцию тока
wc = V2d^.

Наконец, переносное (центростремительное) ускорение является
потенциальным вектором

Подставляя найденные слагаемые в формулу сложения ускорений,

Из уравнения Эйлера находим давление внутри эллипса:
2	1

Р- =	- 2^- + | d((x')2 + (у')2)-	(29.52)

Аналогичная формула имеет место и для внешнего движения:

P+ = -4i + ^((^)2 + (y')2)-	(29.53)
Для невязки давлений на границе эллипса xr = Zzcos/3, у' = sin/3

получим

△p =

+ const.

Здесь учтено, что функция тока на границе эллипса постоянна.
Постоянное слагаемое const в невязке давления находим из условия

2тг

*

△р d/З = 0.

о

Скорость vr вне эллипса определяется так. Скорость абсолютного
движения va выражается через две функции: потенциал поля скорости
f(£) и конформного отображения z(Q внешней области круга |£| > 1
на внешнюю область эллипса:

Относительная скорость на границе эллипса £ = ег& вычисляется так:
vr = va — iaz. Отсюда для
квадрата относительной скоро-
сти получим:

Рис. 7.8.

Невязка давления на границе
эллипса

dz 2

— 2d Im

Для первой серии (29.48)
невязка давления тождественно

равна нулю. Для второй серии (29.49) зависимости невязки давления
△р(/3) при х = 1,5 и х = 2 изображены на рис. 7.8. Из рисунка видно,
что невязка давления не превышает 4% для х = 1,5 и 12% для х = 2.
Глава 8

ДВИЖЕНИЕ ПУЗЫРЬКОВ, КАПЕЛЬ И ТВЕРДЫХ
ЧАСТИЦ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

§ 30.	Модель вязкой жидкости

Многие эффекты, связанные с вычислением силы сопротивления
и скорости всплытия или осаждения пузырьков и капель невозможно
описать в рамках идеальной жидкости. Для их более полного модели-
рования будем пользоваться моделью вязкой несжимаемой жидкости.

30.1.	Различные формы уравнений движения.

1.	Векторная форма уравнений. Система уравнений вязкой жид-
кости в векторной форме имеет вид

= — grad - -I- grad U -I- i/Av, div v = 0.	(30.1)

at	p

Уравнения (30.1) отличаются от уравнений идеальной жидкости (1.1)
дополнительным слагаемым i/Av, учитывающим эффекты вязкости.
Коэффициент и называется коэффициентом кинематической вязкости.
Вектор ускорения частицы жидкости можно представить следующим
образом:

dv &V z V7\ V7 i 4-
Tt = di + (v-V)v = V-+rotvxv.

Эта формула называется формулой Громеки-Ламба. Вязкое слагаемое
имеет также другой тождественный вид:

△v = — rot rot v.

Используя эти тождества, уравнения (30.1) можно записывать в раз-
ных формах.

2.	Тензорная форма уравнений. Можно ввести тензор напряжений

(—р 0	0 \	/ец

0	— р 0 j -Ь 2д | в21

0	0	-р/	\е31

612

622

632

где еа@ — тензор деформаций, р = ри — коэффициент динамической
вязкости.
Тогда через тензор напряжений уравнения можно записать так:

= - Div Р 4- grad U, div v = 0.

dt p

Эта тензорная форма уравнений удобна для записи уравнений в раз-
личных криволинейных системах координат.

3.	Напряжение на поверхности тока. Поверхность, у которой
в каждой точке нормаль перпендикулярна вектору скорости v, назы-
вается поверхностью тока. Обозначим через рп вектор напряжения на
площадке с нормалью п, расположенной на поверхности тока. Тогда
для рп справедливо следующее соотношение:

рТ = рп . — = //(rot vxn) -j—। 4- 2/zK’|v|(n • m),

d / v \
ds \ |v| /

= Km.

(30.2)

Откуда, в частности, следует, что на неподвижной твердой поверхно-
сти, обтекаемой осесимметричным потоком вязкой жидкости, величина
касательного напряжения |рт| пропорциональна вихрю: |рт| = р\ rot v|.

4.	Формула Бобылева-Форсайта для скорости диссипации
энергии. Для расчета силы сопротивления, действующей на тело,
движущееся в вязкой жидкости, удобно выразить ее через скорость
диссипации энергии, определить которую иногда бывает проще. При
этом полезной оказывается формула Бобылева-Форсайта (см. [103]):

D = 2/1

dv

(rot v)2dV.

(30.3)

Q

Здесь Q — область течения жидкости, ограниченная изнутри поверх-
ностью тела dV, п — нормаль, внешняя к жидкости.

Для вывода этой формулы введем тензор шгз, являющийся ан-
тисимметричной частью тензора дисторсии dvi/dxj. Его компоненты
выражаются через компоненты вектора вихря со = (1 /2) rot v:

(0 cj3 - cu2\
—о>3	0 Cell I.

o>2	— о>1	o /

Учитывая формулы
dvi _	dvj _

4-	- ei:i - Uij,

J
получим
dvi dvj	o 2

dx^ dx^ ~ eijCij	•

Пользуясь тождественными преобразованиями
j. dv d j. . d (dvi \ d , ( d	, dvi dv

dlv = 717 dlvv +	= div v + I divv) Vj +	—

dt dt	dxi \dxj / ot	\oxj / oxj ox

9 А Г Петров
и уравнением divv = 0, предыдущее равенство можно записать так:

,. dv

div — — ei j eij —

(rot v)2
2

Умножая это равенство на 2/z, интегрируя его по области Q и применяя
теорему Гаусса-Остроградского, получим формулу Бобылева-Форсай-
та (30.3).

С помощью асимптотик для поля скорости (31.16) и вихря (31.18)
можно доказать, что интеграл по области Q сходится и интеграл по
поверхности от ndv/dt при удалении поверхности в бесконечность
стремится к нулю.

30.2.	Уравнение Гельмгольца для вихря.

1.	Векторные формы уравнения Гельмгольца. Из уравнений
(30.1) давление р можно исключить, применив к обоим частям опера-
цию rot:

.	Л	х х 4.

rot ( — I = z/Д v = — и rot rot rot v.

\ at /

Отсюда можно получить уравнение для вихря rotv = 2со, которое
называется уравнением Гельмгольца. Тождества

-rot — = — - (со-V) v = -д- + (V-V со- со - V v = — + rot (сох v) (О

2 dt dt v ' dt v	v	dt v '

дают возможность представить уравнение Гельмгольца в различных
формах.

2.	Уравнения для функции тока и вихря. Уравнения для осесим-
метричных течений жидкости будем рассматривать в криволинейной
ортогональной системе координат: х\, $з = <£, где ip — угол поворота
относительно оси вращения. В качестве неизвестных функций примем
функцию тока Ф и единственную, отличную от нуля, компоненту вих-
ря 2cu = (rot'v)^. Для вывода уравнений воспользуемся следующими
формулами

1 дФ _	1 дФ

Vl “ гНг дх2 ’ V2 ~ гН\ дх\'

1 Г д / Н2 &ф\	д ( Нх &ф_\-

H\Hi _dx\ \тН\ dx\)	dx2 \гЯг dxz).

(rot Г«Ш|, = [A

rot (vxco) = — grad ( — )xgrax^ = — e3r(v-V) (—

£>(Ф,о^/г)
D(xi,X2)

ез

Я1Я2’

_ Of dg	df dg

D(x\,X2) dx\ dx2	dx2 dx\ *
Приведенные равенства позволяют получать различные формы урав-
нения Гельмгольца. Для осесимметричного установившегося течения
имеем две следующие формы:

v

гНхНъ Ld^i

Яг	д / Н\ д(го;^)\'

г Hi dxi / дх2 \гЯг дх2 /.

£)(Ф,а^/г) _ у’ д / Яг d(ro^)\ д / Н\
D(x\,X2) [dzi \rH\ дх\ / дх2 \гЯг дх2 /

(30.4)

(30.5)

В цилиндрических координатах z, г, имеем Н\ = Н% = 1 и уравнение
(30.4) примет вид

3 дс_
г дг

с' = ^

(30.6)

§31. Всплытие пузырьков

Задача всплытия пузырька возникает при изучении многих про-
цессов химической технологии: барботаж, флотация и многие другие.
Задача хорошо изучена экспериментально и может служить провер-
кой правильности выбора математической модели, описывающей это
явление.

31.1.	Задача о всплытии пузырька в тяжелой вязкой жид-

кости.

1.	Уравнения. Рассматривается стационарная задача о подъеме га-
зового пузырька в тяжелой несжимаемой жидкости. Введем связанную

с пузырьком декартову систему координат xj, хз с осью а?з, на-

правленной по скорости подъема пузырька и (рис. 8.1). Поле скорости

жидкости в области Q удовлетворяет уравнениям
Навье-Стокса:

pvp

dva _ д р
дх0 дх0 а@'

Р^0 — Р^а(3 "Ь

BVq __ q

’	(31.1)

а,/3= 1,2,3.

Здесь по повторяющимся индексам подразуме-
вается суммирование, Ра$ — модифицирован-
ный тензор напряжений, Р — модифицированная
функция давления выражается через давление
в жидкости р\

Рис. 8.1. Схема об-

текания всплываю-
щего пузырька

Р = Р - Рёхз 4-Роо,

где g — ускорение свободного падения, — давление в жидкости на
уровне Хз = 0.

Поскольку уравнения (31.1) с модифицированным тензором напря-
жений не содержат массовых сил тяжести, то тензор напряжений
Ра(3 определяет вязкие напряжения в жидкости. Ускорение свободного
падения входит только в граничное условие.

2.	Граничные условия. На границе пузырька д£1 выполняются
условия равенства нулю нормальной составляющей скорости жидкости

(vn) = 0

(31.2)

и равенства нулю касательной составляющей напряжения. Для осесим-
метричного течения с помощью тождества (30.2) это условие можно

привести к виду

(rot v)^ = 2Kv,

(31.3)

где v — скорость жидкости в направлении меридиана, индексом
обозначена компонента вектора вихря в направлении азимутального
угла цилиндрической системы координат, К — кривизна линии тока.

В частности, на поверхности сферического пузырька радиуса а
имеем К = 1/а, (rot v)<p = ve/a + dvo/dR, 2Kv = 2ve/a. Из граничного
условия (31.3) получим dve/dR — ve/a = Q при R = а. Это эквивалент-

но тому, что касательное напряжение равно нулю.

Условие отсутствия касательного напряжения на границе пузырька
можно выразить также через компоненты тензора скорости деформа-
ций еа0:

Ра/З^/З = PnJlot ^а/З^/З =

01,(3= 1,2,3,

(31.4)

где па — компонента вектора нормали к поверхности пузырька, внеш-
ней по отношению к жидкости.

На поверхности пузырька, как на границе раздела фаз, выполняется
условие Лапласа: — рп 4- 2На = pg. Через модифицированное давление
это условие запишется так:

2На

Р

Pg-Рос

Р

+ g*3,

(31.5)

— Р ре.п,

где Н — средняя кривизна поверхности, а — коэффициент поверхност-
ного натяжения жидкости, pg — давление газа внутри пузырька, р^ —
давление жидкости на одной горизонтали с центром пузырька и на
бесконечном расстоянии от него.

Введем систему координат, связанную с жидкостью, т. е. систему,
в которой жидкость на бесконечности покоится. В ней поле скорости
w = v 4- и и модифицированное давление удовлетворяют условиям

w = v 4- и —> 0 при г —> оо, Р —> 0.

(31.6)

Таким образом, теоретическое исследование подъема пузырька
в тяжелой вязкой жидкости сводится к решению краевой зада-
чи (31.1)-(31.6) с неизвестной границей. Наличие условия (31.5) поз-
воляет определить форму пузырька. Если граница пузырька известна,
то все характеристики течения жидкости можно найти из решения
краевой задачи, которая отличается от задачи обтекания твердого тела
тем, что вместо равенства нулю касательной скорости нужно удовле-
творять граничному условию (31.4) 9.

Упражнения

31.1.	Написать условие отсутствия касательного напряжения на границе
сферического пузырька радиуса а:

а)	пользуясь сферическими координатами,
б) пользуясь общим условием (31.3).

а) Ответ.

— ve/a) =0.

R=a	/

б)	Решение. Для компоненты вихря имеем: rot = dve/dR — ve/R.

Отсюда из (31.3) получим

дур _

dR R=a a

31.2	. Вывести условие (31.3) отсутствия касательного напряжения на
произвольной осесимметричной поверхности тока.

Решение. Введем ортогональную криволинейную систему координат
xi,X2,<p с единичными векторами 61,62,63. На свободной поверхности вектор
ei направлен по скорости жидкости, ез — по направлению угла <р и ег = езхеь
Тогда для компонент тензора скоростей деформации и вихря имеем

vi дН\ _ 1 ch>i	__

НХН2 дх2 Н2 дх2

vi дН\ _	1 dv\

Н\Н2 дх2 Н2

+ Kvi,

где def v — тензор скоростей деформации. Равенство для кривизны координат-
ной линии вытекает из следующей цепочки тождественных равенств:

К = e2(eiV)ei = e2(rotei xei) в|Х= *3 (rotei)3 =	- -%--

л 1 л 2 &х2

Итак, на границе пузырька

2(def v) 12 = —(rot у)з + 2/<vi = 0.

Отсюда получаем требуемую формулу (31.3).

9 Так как величина роо по мере подъема пузырька в тяжелой жидкости
уменьшается, то радиус пузырька будет расти со временем. Оценим влияние
нестационарного слагаемого dv/dt в уравнениях Навье-Стокса (31.1), воз-
никающего по этой причине. Характерное время изменения объема пузырька
(при изотермическом процессе) оценивают так: t ~ Poo/tpgu)- Отсюда условие
|dv/dt| (vV)v| выполняется, если pg!Jp<x> 1, где I — характерный размер
пузырька. Для воды, например, в условиях атмосферного давления (р = 1 атм)
получаем следующую оценку: I Юм, что практически всегда выполнено.
31.2.	Интегральные законы сохранения.

1.	Закон сохранения массы можно получить, интегрируя уравне-
ние неразрывности (31.1) по объему жидкости заключенному между
поверхностью пузырька д£1 и поверхностью Soo, содержащую внутри
себя пузырек, и достаточно удаленную от него. Применяя теорему
Гаусса-Остроградского, найдем

В силу граничного условия (31.2) первый интеграл равен нулю. Второй
интеграл равен потоку жидкости через поверхность сферы Soo- Ра-

венство его нулю означает сохранение массы несжимаемой жидкости,
заключенной в объеме между двумя поверхностями ЭП и Soo- Удобно
записать его через скорость w = v + u, равную по (31.6) нулю на

бесконечности

*

wn dS = 0.

Soo

(31.7)

2.	Закон сохранения количества движения получается аналогич-
но, интегрируя первое уравнение (31.1):

pvQvn dS +

да	Soo

pvavn dS =

dS “I"

dO	Soo

Ра/З^/З dS,

В силу граничных условий (31.2) получим

pVQVn dS = 0,

Ра/З^/З dS —
да

(31.8)

да

где Qa, а = 1,2,3 — компоненты силы сопротивления.

Отсюда закон сохранения количества движения принимает вид

(Ра0П(3 ~ PVaVn) dS,
'оо

Прибавим к левой части интеграл по S^ от —puavn. Согласно (31.7) он
будет равен нулю и равенство тем самым не нарушит. Выражая тензор
напряжений через тензор скоростей деформаций (31.1), получим

(—Рпа 4- pwaUn) dS 4-	(2/ieQ£ — pwQwp)n(3 dS.

OO	Soo

Ниже будет показано, что второй интеграл при удалении поверхно-
сти Soo на бесконечность стремится к нулю. Таким образом, сила
сопротивления выражается через интеграл по бесконечно удаленной
поверхности

Qa = (-Рпа 4- pwaun) dS.	(31.9)

Soo

3.	Течение вязкой жидкости вдали от поверхности пузырька.
Асимптотические законы убывания полей скорости w и давления Р
на бесконечном удалении от поверхности пузырька можно получить из
решения линейных уравнений Озеена:

—ри = — grad Р 4- /1Д w, div w = 0.

В нем ускорение частиц жидкости —udw/dz отличается от точно-
го значения — (vV)v в уравнении (31.1) на малые второго порядка
—(wV)w при w —> 0.

Общее решение этих уравнений можно получить с помощью под-
становки Ламба (см. [103, с. 767])

P = /nt||, w = gradФ + (grad+2&ег)х, к -	(31.10)

где Ф и х — скалярные функции, зависящие в осесимметричном
течении от цилиндрических гиг или сферических координат R
и в. На бесконечности функции Ф и х удовлетворяют согласованным
с (31.6) условиям

Ф —► 0, х ~> 0 при R —► оо.	(31.11)

Применяя к первому уравнению Озеена операцию div, получим

△Р = ри ДФ - 0.
OZ

Удовлетворяющее условию (31.11) общее осесимметричное решение
для Ф представляется в виде ряда мультиполей (1.6):

Ф = Ч + А'Э1Я + --=Ч(1+О(>	‘3112>

Подстановка Ламба (31.10) в уравнения Озеена дает

(grad4-2fcej 4- 2к х = О-

Условию (31.11) удовлетворяют решения уравнения

(д + 2к х = е"*2(Д - fc2)(efezx) = О,
\	UZ /

где △ — к2 — оператор Гельмгольца.
Удовлетворяющее условию (31.11) общее решение уравнения Гельм-
гольца имеет вид

(31.13)

Для определения двух постоянных Ао и Во имеем условия сохра-
нения массы (31.7) и количества движения (31.9). Подставляя разло-
жения (31.10), (31.12) и (31.13) в первое условие (31.7), получим

AqI\ + Во^2 = 0,

где 1\ и I2 — потоки через поверхность Soo соленоидальных векторов
grad (1/7?) и (grad+2fcez)(e_fc(z+J?)/R). Они не зависят от вида по-
верхности. Для вычисления первого интеграла удобно выбрать сферу,
и тогда получим 1\ = —4тг. Для вычисления второго интеграла удобно
выбрать цилиндрическую поверхность. Интеграл по боковой стороне
цилиндра г = Гоо экспоненциально стремится к нулю при Гоо —► оо.
Поэтому I2 выражается через интегралы по сечениям z = ±Zoq. Произ-
водные по нормали, равные производным по z, можно вынести за знак
интеграла.

Таким образом, получаем

(31.14)

Дифференцируя равенство z2 + r2 = 7?2, получаем: rdr = RdR. Отсюда
находим

и первое условие (31.7) приведется к виду
Ао + Bq = 0.

Во втором условии (31.9) в качестве поверхности Soo выбираем цилин-
дрическую поверхность. В проекции на ось z условие (31.9) примет вид

оо

оо

о

о

Z — Zoo

Z— Z<x>

(31.15)
Подставляя разложения (31.16) в подынтегральную функцию, получим:
—Р + pwzu = puB$(d/dz + 2k)(e~k(z+R) /R). Отсюда следует, что Q =
= puBolz, где 12 — интеграл (31.14), уже вычисленный нами ранее
(I2 = — 4тг); второе уравнение: Q = —4яриВо. Теперь можно выразить
коэффициенты асимптотик через силу Q:

Ао = —Bq =

Q
4тг ри

Таким образом, получены главные на бесконечности асимптотиче-
ские члены разложений:

р=Т-^--ъ> w = 4^- (srad^ ~ (grad+2tej) —-—\ (31.16)

4тг dz R 4яри у R	R J

Найденное поле скорости можно выразить через функцию тока

Особенно простой вид она имеет в сферической системе координат Я, 0

^(R'O) = (cos# — 1) (1 — ехр(—kR( \ + cos#))),

1 д'ф _	1 д'ф

We~R^edR'

(31.17)

Течение имеет вихрь, направленный по угловой переменной <р:

(rot wV = -$_ А (1 е-*(я+*Л = _ J2- (1 + kR) _L e-k(R+z)

v	4тш dr \R	J 4тгр v 7 p3

(31.18)
Полученные асимптотики показывают, что неучтенный в законе со-
хранения импульса (31.9) интеграл действительно стремится к нулю.
Другие способы получения асимптотик Озеена для скорости вязкой
жидкости изложены в монографиях Ландау и Лифшица [105] и Милн-
Томпсона [125].

Об оценках остаточного члена асимптотики Озеена на основе нели-
нейных уравнений Навье-Стокса см. работы [12, 171, 222].

В завершение приведем полезную для дальнейшего формулу, выра-
жающую силу через распределение вихря в дальнем следе:

оо

Q = —яри (rot w)^r2 dr.
о

(31.19)

Она получается так. Из формулы Ламба (31.10) находим: —P + puwz =
= ри(д/дг + 2к)х- Подставляя это выражение в интеграл (31.15) и
интегрируя его по частям, получаем

оо
*

о

2 А;	г2 dr

or

Z-- Zqq

Как видно из подстановки Ламба (31.10), последняя формула тожде-
ственна (31.19).
4. Закон изменения энергии. Силы, действующие на пузырь.
Для течения вязкой жидкости в ограниченном объеме выполняется
закон изменения энергии. Согласно ему изменение кинетической энер-
гии равно мощности всех внешних и внутренних сил, действующих на
систему. Этот закон можно применить также и к жидкости, движение
которой вызывает равномерно всплывающий в ней газовый пузырек.
Поскольку область жидкости простирается до бесконечности, следует
обосновать сходимость интегралов, через которые выражаются кине-
тическая энергия жидкости и мощность внутренних сил, исходя из
уравнений движения вязкой жидкости.

Преобразуем уравнение движения жидкости (31.1), умноженное
скалярно на вектор скорости w = v + и. Преобразуем левую

dva	dwa 1 dw2 1 d(w2v0)

= P2V0 dxp = p2

и правую части уравнения (31.1)

(wQPQ^) Р

дх0 ’

В результате уравнение можно представить в следующем виде:

D dwa д Г D 1 2

Ра0д^~д^ ГаРа/3" 2w V0

Интегрируя это уравнение по области Qqq, заключенной между по-
верхностью пузырька дО, и сферой достаточно большого радиуса Roo,
получим уравнение энергии

Dqq

оо>

(31.20)

где Dqq — диссипация энергии в области Поо. Согласно теореме
Гаусса-Остроградского в правой части уравнения (31.20) Is и 1Ж —
интегралы по поверхностям пузырька д$1 и сфере Soo радиуса 7?оо-
Предполагая, что интеграл loo при Rqq —► ос стремится к нулю, и учи-
тывая условия на поверхности пузырька (31.2) и (31.4), для правой
части получим

а Ра/3^0 dS —
дО.

МаРпПа dS = -U • Q,
ап

где Q — сила вязкого сопротивления (31.8).

Интеграл левой части уравнения (31.20) в пределе Roo —► ос даст
диссипируемую энергию Doo —► D:

dwa
дх0

dV = 2/i eapeQp dV.

(31.21)
Таким образом, из равенства интегралов левой и правой частей урав-
нения (31.20) вытекает закон о равенстве диссипируемой энергии D
и мощности силы сопротивления

D = —и • Q.

(31.22)

Отсюда видно, что сила сопротивления направлена против скорости и.
Формулу (31.22) применяли для расчета силы сопротивления В. Г. Ле-
вин, D.W. Мооге и другие. Предположения о сходимости интегра-
ла (31.21) и стремление к нулю поверхностного интеграла 1ос вытекает
из асимптотики для скорости (31.16). Из связи модифицированного Рп
и действительного рп напряжений следует, что Рп = рп — pg%3 +Роо,
а из граничных условий (31.2) и (31.4) —

и • Q = —

wQPnnQ dS = —u

pnndS -I- u

(pg^3 -Poo)ndS.

ап

an	an

Правая часть равна сумме двух слагаемых. Интеграл первого слагаемо-
го — это сила, действующая на пузырек. Она тождественно равна нулю
для тела движущегося с постоянной скоростью и. Интеграл второго
слагаемого — выталкивающая сила Архимеда (с обратным знаком).
Отсюда получаем уравнение баланса сил сопротивления и выталкива-
ющей силы Архимеда

Q = -^-pgl3-	(31.23)

о

31.3.	Сферический пузырек.

1.	Уравнения для функции тока и вихря. Уравнения Навье-
Стокса будем рассматривать в безразмерных переменных Xi —► axi,
i = 1,2,3, v —► itv, где a — радиус сферического пузырька. Тогда после
исключения давления уравнения Навье-Стокса примут вид

divv = 0, rot (v х rot v) = <52 rot rot rot v, <52 = —.	(31.24)

ua

Здесь v = p/p — коэффициент кинематической вязкости жидкости,
6 = yi/Re/ — безразмерный параметр.

Задача состоит в построении асимптотического по малому парамет-
ру S С 1 разложения для диссипируемой энергии.

Уравнения для осесимметричных течений жидкости будем рассмат-
ривать в криволинейной ортогональной системе координат: х\,Х2,хз =
= <р, где <р — угол поворота относительно оси вращения. В каче-
стве неизвестных функций примем функцию тока Ф и интенсивность
вихря щ, которые выражаются через вектор скорости v(vi,V2,0). Для
вывода уравнений воспользуемся следующими формулами:

ь v/<p
г

_ 1 д*
гН2 дх2 ’

1 Г д

=	1 <эф

V2 ~ гН\ дх, ’

' Н2 дф \ д ( Н\ дф

HiH2r L&Ti \гН\ дх\ 7 дх2 \гН2 дх2/г

rot rot rot V = — -гД

дх\ \ тН\

= Р(Ф,о;)

£>(z,r)

дг2оЛ	д I Н\ дг2и>

дх\ J	дх2 угН2 дх2

= 1
“ £>(zi,z2) Н1Я2’

D(x\,x2) дх\ дх2 дх2 дх\ ’

Нам понадобятся три системы координат: цилиндрическая rri = z,
х2 = г, хз = р', сферическая х\ = R, х2 = 0, хз = р и естественная
система, в которой за #1 и х2 принимаются потенциал и функция тока
обтекания сферы в идеальной жидкости,

с коэффициентами Ламе

Н2 =

rv

Н3 = г,

V2

3 sin2 0 — 2	4 — 3 sin2 0

R*	4R*

1

1

v

где v — модуль скорости потенциального течения около сферы. _

Функцию тока Ф представим суммой: Ф = ф + ф — функции тока ф
потенциального течения идеальной жидкости и вязкой добавки

Поле скорости вязкой добавки в естественной системе координат

имеет компоненты

/ _ _ дф
Щ ~V дх2'

/ _ _v д'ф
V<2 т дх\ ’

(31.26)

Используя формулы (31.25), получим следующую систему уравнений
для (jo и 'ф в естественной системе координат:

(31.27)

2.	Граничные условия. Граница пузырька является линией тока,
что выражается условием 'ф = 0. Касательное напряжение на границе
пузырька равно нулю, что задает связь скорости и вихря (31.3).

Таким образом, имеем следующие условия:

^2=0,	^ = 0, cj = 3(1 + ^-Y

Z	\ ох2 /

(31.28)
На бесконечности вихрь и скорость вязкой добавки стремятся к нулю:

Х2 —► оо:

си —► О,

д'ф
дх\

^-0

ОХ2

(31.29)

3.	Уравнения пограничного слоя. Вблизи свободной поверхности
можно ввести внутреннюю переменную = — 6т] и провести сравнение
слагаемых уравнений (31.27), которое принято в теории пограничного
слоя. Вихрь щ изменяется от значения порядка 1 на границе Х2 = 0 до
нуля при Х2 порядка 6. На поверхности сферы R = 1 в естественной
системе координат имеем

Я] = — - COS0, Х2 = О,

Начиная от критической точки и кончая точкой отрыва —3/2 <	=

= 3/2 — 5, S С 1, вихрь w(xi,rf) и функция тока ^(^ь^) имеют по
порядку величины значения 1 и 62 соответственно и с точностью до
главных членов по малому 6 определяются из следующей краевой
задачи:

3	3 Л 3 г

-2 < Х1 = "2 C0S<? < 2 " S:

(31.30)

^(x\, 0) = 0, cu(a:i, 0) = 3,

i, ос) = 0, и) (х 1, ос) = 0.

Замена переменной

(31.31)

приводит второе уравнение к уравнению теплопроводности dw/dt =
= д2ш/дг]2. Отсюда получаем следующее решение краевой задачи для
уравнений пограничного слоя:

00

о г т) , д'ф 86	г j

cu = 3erfc—W — тг" —---------------5” edcxdx. (3132)

2V<	3(1 - (4/9)1?) J

п/(2лД)

Приведенное решение несколько иначе получил Мур [267].

4.	Течение в окрестности кормовой точки. Следуя работе [267],
в окрестности кормовой точки удобно введем внутренние координаты
z' и г':

z = — 1 — 6 /3У, г = <5 /Зг'.

(31.33)
Уравнения (31.24) в цилиндрических координатах zf и г' примут вид

д2 ш

3 дш
г дг

д2 ш
дг2

D(z'tr')

Учитывая порядки членов во втором уравнении = — St], ~ <54/3, по-

лучим

W,r')

= ЭД.

Отсюда видно, что с точностью до 51/3, функция си зависит только
от г]. Эту зависимость можно найти из решения (31.32), раскладывая
переменные г] и t по z1 и г':

t = 2 + О(<0/3),

т/ = /г'2 + О^3) => си = 3 erfc L- .

2	4^/2

Таким образом, получаем уравнение для функции тока в цилиндри-

Рис. 8.2. Схема тече-
ния в окрестности кор-
мовой точки

емым, а при г' —► ос
сти v'r при zf —► ос на

ческих координатах zf и г':

д fl д<ф\ д fl &ФХ _ Г4/3-/,,
oz \r oz /	or \r or /	_

(31.34)
в котором функция cj(z',r') известна. Это
уравнение также приведено в работе [267],
но осталось неисследованным. Однако с помо-

щью этого уравнения можно достаточно про-

сто найти расстояния г0 и zq граничных точек
вихревой зоны от кормовой точки (рис. 8.2).
Для этого заметим, что при z' —► ос в уравне-
нии (31.34) можно пренебречь первым слага-
— вторым. Отсюда найдем асимптотику скоро-
оси г' = 0:

V1 = <5-2/3 1
z	т дт

г'=0

7rWr' = <S2/3^

J	z

о

оо

erfc £ d£
о

и скорости v'z при г' —► ос на

границе пузырька z' = 0:

v'r = 6~2'3 1
г	г' dz'

z'=0

г и)dr = <52/3 ——
г

о

оо

erfcfd£.

о

Скорость потока v представляется суммой v = v + v'. Отсюда находим
распределения скорости vz на оси г' = 0 при z' —► ос и vr на грани-
це z' = 0 при г' —► ос:

vz = -3<5'/3z' + <52/3 vT =	№ + <52/3

V7TZ	2	у/7ГГ

и критические точки на оси zq = S[/3z'Q и границе го = S^3rfQl в которых
скорость обращается в нуль. На оси z точка отстоит на расстоянии zq =
= 0,73\/J от кормовой точки, а на границе пузырька критическая точка
находится на расстоянии го = 1,46\/J от оси (см. рис. 8.2). Заметим,
что размер вихря по вертикали в два раза меньше, чем размер по
горизонтали.

5.	Течение в ближнем следе. Ближним следом назовем область
течения между присоединенным вихрем в окрестности кормовой точки
и расстоянием 1/<5, т. е.

-1 - (51/3 > z > -z*, z* <С

Покажем, что в этой области вихрь переносится вдоль линий тока
практически без изменения, т. е. в главном приближении зависимость
= 3erfc (t?/(2v^)) не меняется.

Подставим эту зависимость в выражение в квадратных скобках
правой части второго уравнения (31.27) и преобразуем его с учетом

Тогда получим

Для коэффициентов правой части имеем неравенства

Г2 =	< 2^(1 - |z|-3)-', 4 < ЙЛ < о - И"3)"'- <31-35)

1 — К	V IVZI

Таким образом, получаем мажоранту для якобиана уравнения (31.27)

Отсюда видно, что в ближнем следе якобиан изменяется от величины
порядка <52/3 до 6. При этом функция $ является малой величиной

порядка д .  Уравнения (31.27) примут вид  ; = d cd,	= 0 =>  дт?	^х\  К этому же выводу пришел Мур [267]	w = 3erfc(-^\	(31.36)  \2v2 /  •
5.	Течение в дальнем следе. Дальним следом назовем оставшуюся
область пространства за ближним следом, т. е. область: —ос < z < —z*.
На границе ближнего следа z = z* вихрь распределен по зако-
ну (31.36), в котором ту = г2/(2£). Подставляя распределение вихря
в сечении z = —z* в формулу (31.19), найдем главный член разложения
для силы сопротивления:

оо
*

Q = —Зтг/ш2а2	erfc

о

г3 dr = —48irpu2a2S2

оо

erfc(£)£d£ =

О

= —\2irpau.

Левич пришел к этому результату, вычислив диссипируемую энергию
на потенциальном потоке. Способ определения силы из закона сохране-
ния количества движения предложил Мур. Он же получил следующий
член разложения по малому параметру 6 для диссипируемой энергии
и силы сопротивления.

Вывод этого результата можно упростить, если воспользоваться
формулой Бобылева-Форсайта (30.3).

Функцию cj(z,r) в дальнем следе можно найти, пользуясь описан-
ным выше приближением Озеена (см. пп. 3 п. 30.2 ). В этом прибли-
жении г2 = 26г/, v2 = 1. Введем новые переменные £ и г/ с помощью
замены: х\ = х* -I- £/<5, х% = — 6г/, где точка #1 = х* соответствует
Z = — Z*.	~

Уравнения (31.27) и краевые условия для функций ^(£,ту) =
= ^/<52,си(£,ту) в области дальнего следа £ ^ 0, ту 0 примут вид

(31.37)

<0)=0,

V>(£,oo) = 0,

а;(0, ту) = 3erfc

6.	Диссипируемая энергия на сферическом пузырьке. Сила со-
противления. В поверхностном интеграле нормальная компонента
ускорения равна квадрату скорости, отнесенному к радиусу пузырька.
Для сферического пузырька формула (30.3) в безразмерных перемен-
ных приводится к виду

D = pu2a(Do + D\ + .D2), Д) = 2 v2 dS,

R=\

Dt = 4 [ vv' dS, D2 = [ rV dV.

R=\	R^l

(31.38)

Все подынтегральные функции известны из решения, поэтому все
интегралы можно вычислить. Для этого понадобятся численные значе-
ния следующих интегралов:

оо

3/2

Vtdxi = |(3\/б -2>/2),
О

оо
%

erfc х dx =

о

(erfc х)2 dx =

3
2

о

Главный вклад в (31.38) дает потенциальное поле скорости. Подстав-
ляя в интеграл dS = 2irrdx\/v = (4/3)7rdxi, v2 = 9/4 — х2, получим
формулу Левина

3/2

Do = |тг
О к
-3/2

dx\ = 12тг.

Из решения (31.32) с помощью (31.26) и (31.31) находим распреде-
ление вязкой добавки скорости на границе сферы:

= — 66 уД 1%
rj=O

и вычисляем следующий интеграл в диссипируемой энергии

D\ = —32tt<5ZiZ2-

В естественной системе координат с помощью соотношений dV =
= 2тг5с/ят1 dr]/v2 получим

оо

Z>2 = 2тг<5 dx\

— оо

2

Г 2 j

-n и drj.

J V
о

Последний интеграл в диссипируемой энергии Z>2 разбиваем на че-
тыре интеграла по следующим областям: £>21 — по пограничному слою
при -3/2 < #1 < 3/2, £>22 — по окрестности кормовой точки, £>23 —
по области ближнего следа 3/2 + J1/3 < #1 < ж*, где х* соответствует
границе ближнего следа z = —z* и £>24 — по области дальнего следа.

Перейдем к вычислению интеграла £>21. Используя в пограничном
слое |xi| < 3/2 решение для си (31.32) и равенство r2/v2 = 4/9, по-

лучим

£>21 =

3/2

8тг

-3/2

dx\

оо

cu2 drj = 16тг<5/1/з.
о
Используя переменные r', z' (31.33) и решение в окрестности кор-
мовой точки, интеграл £>22 представляется в виде

£>22 = 18тг55/3

ОО оо

dr'dz' = О(<$5/3).

Для интеграла по области 1 + J1/3 < |z| < г* ближнего следа с по-
мощью неравенств (31.35) получим

г2

< 2<5т/(1 - |z|“3) 2

Z*

|Т?2з| = 2тг<5
l-Ьб'/з

ОО
d|z|
о

^2^<О(<$5/3).

v

Последний интеграл по области дальнего следа |z| > z* с учетом
равенств £ = я* + (Jeps, г2 = 26г), v = 1 имеет вид

оо оо

£>24 = 4тг<5 d£

t/cj2 drj.

V	*

о	о

Используя уравнения (31.37) и интегрируя по частям, находим

£>24 _ _
7Г(5

о

оо оо

d^dr) = - ( ( 2т/> d£dr] = [ [	d£dri =

дп	J	J J	dxiдп

оо	оо

О	__ оо оо	оо

ОО оо	оо оо ~

4Г]Ш —% d^drf =	4	-А£-2 d£dT] =

dr)	J J or) др

о о

о о
00 С	2

= " . I ^*dri = - j 1 dr,= 1	4=0

0 0	0	0	о

гоо

Подставляя решение (31.32)	= 3

erfc (ту/(2\/2)) dr) в это выраже-

ние, получаем

Jn

£>24 = 144\/2 тгбЦ.

Суммируя все слагаемые: £>о, £>i, £>2 = £>21 + £>22 + Дгз + £>24, при-
ходим к следующему выражению для диссипации энергии:

Л /

= 12тграй I 1 + q

\

D

<$(-27,72 + hh + 9\/274) + О(<$5/3))

= 12тфаи2

5 + 3\/2 >/3 - 7\/2

= 12%/ши2 (1 - 1,5632<5 + О(<$5/3)).
Мур [267] привел эту формулу, заменив в ней S числом Рейнольдса
(<5 = ^/2/Re) Re = 2au/v. Его формула имеет вид

D= УЪщаи2 (1 -	+ O(Re"5/6)).	(31.40)

31.4.	Анализ размерности. Эксперименты. В систему определя-
ющих параметров краевой задачи (31.1)-(31.6) входят четыре незави-
симые величины. Например, можно выбрать g, 1/, а/р, I, где I — радиус
шара, объем которого совпадает с объемом пузырька.

Если задать эти параметры, то из уравнений можно определить
функции координат Р, v, а также все остальные физические величины,
например и, (рё — Рао)/р- Из четырех определяющих параметров лишь
два размерно независимы, и поэтому можно составить две независимые
безразмерные комбинации, например, число Мортона Мо и безразмер-
ный радиус

34	1	/	2	\

мо = ц^, e = i	.	(31.41)

a	h	\pg	)

где /0 — величина, имеющая размерность длины.

Согласно П-теореме (см. [185]) все остальные безразмерные числа
зависят только от Мо, £, в частности, безразмерная скорость подъема
является функцией двух аргументов Мо, £:

2

- = /(Мо,С), uo = V-	(31.42)

^0	ри

В (31.41) и (31.42) безразмерный параметр Мо и размерные величины
^о, £о зависят только от свойств жидкости. Из четырех определяющих
параметров и скорости можно составить ряд других безразмерных
величин. Наиболее важными являются: число Рейнольдса Re/, число
Вебера W, число Фруда Fr и коэффициент сопротивления Ср, который
можно определить как силу вязкого сопротивления Q, отнесенную
к выражению irl2pu2/2,

Rej = -, w = ^, Fr = -^L, CD= 2Q2.	(31.43)

Между любыми тремя безразмерными величинами из и/и^ £, Мо, Re,
W, Ср существует функциональная зависимость, поэтому, зная любые
две из них, можно определить остальные. В некоторых теоретических
работах рассматривается безразмерное число

п =Pg-Poo
ри

которое в общем случае также зависит от каких либо двух безразмер-
ных параметров.
На примере воздушных пузырьков, всплывающих в дистиллирован-
ной воде, проследим основные типы их поведения. В табл. 8.1 пред-
ставлены экспериментальные данные Розенберга (см. обзор Воинов,
Петров, 1976 [51]).

Таблица 8.1

N	Эквивалентный радиус, см	Число Рейнольдса	Форма пузырька и характер движения
1	1 < 0,04	Re = 2 Re/ < 70	Сфера. Прямолинейное движение. Сопротивление почти как у твердых сфер
2	0,04 < 1 < 0,062	70 < Re < 400	Сфера. Прямолинейное движение. Сопротивление меньше, чем у твердых сфер
3	0,062 < 1 < 0,077	400 < Re < 560	Сплюснутый эллипсоид. Прямолинейное движение
4	0,077 < 1 < 0,24	560 < Re < 1100	Сплюснутый эллипсоид. Винтовое движение
5	0,35 < 1 < 0,88	1600 < Re < 5000	Переходная область от эллипсоида к сферическому сегменту. Почти прямолинейное движение
6	1 > 0,88	Re > 5000	«Сферический сегмент». Прямолинейное движение

31.5.	Модели всплывающих пузырьков. Исследование краевой
задачи (31.1)-(31.4) возможно на основе асимптотического анализа,
при помощи упрощающих допущений физического характера. Отсюда
возникают модели, поддающиеся полному математическому анализу.

Первые две модели предполагают сферичность и безотрывное обте-
кание пузырька. Простейшие модели соответствуют двум предельным
случаям Re 1 и Re 1.

Случай Re/ <С 1 соответствует безынерционному приближению
Стокса. В этом предельном случае решение для капли найдено Адама-
ром и Рыбчинским (см. [32]). Решение Адамара-Рыбчинского автома-
тически удовлетворяет граничному условию (31.6) независимо от зна-
чения числа Вебера We. Отсюда следует важный вывод: если вязкость
жидкости такова, что значение числа Рейнольдса позволяет пренебречь
силами инерции, то форма капли — сферическая независимо от его
размера. Решение Адамара-Рыбчинского дает точное решение задачи
о форме капли в ползущем течении. Как отмечено в работе [284], этот
замечательный факт установлен Saito в 1913 г.
В случае пузырька сила вязкого сопротивления равна Q = 4irplu.
Из уравнения баланса архимедовой и вязких сил (31.23) найдем ско-

рость всплытия пузырька

Условие малости числа Рейнольдса накладывает следующее ограниче-
ние на радиус пузырька: Re/ = l3g/(3u2) <С 1. Для газовых пузырьков
в воде это ограничение выполнено для пузырьков малого радиуса:
I < (3i/2/^)1/3 » 6 • 10"3 см.

Для столь малых пузырьков на силу сопротивления влияют по-
верхностно-активные вещества (ПАВ) столь значительно, что сила
сопротивления и скорость всплытия в обычной неочищенной жидкости
могут оказаться такими же как для твердой сферы. В зависимости от
количества ПАВ в жидкости сила сопротивления и скорость всплытия
пузырька меняются в следующих диапазонах:

2l^£f	/2 рг

4irplu < Q < forplu, < и <

Зи	Зи

Случай Re 1. Эту задачу рассматривали В. Г. Левич в 1949 г.
и Мур в 1965 г. (ссылки см. в монографиях [32, 106]). Сделав пред-
положение, что в пределе (Re —► ос) диссипацию энергии можно рас-
считать по потенциальному полю скорости, Левич нашел силу вязкого
сопротивления D = 12тг/1Ьх2 => Q = 12тг/1/гб и соответствующую ей
скорость всплытия и = l2g/(9v)-

Более точное разложение (31.40) по малому параметру l/\/Re
получил Мур.

Этот результат обсуждается также в монографии Бэтчелора [32]
и обзоре Harper (1972).

В работе Brabston, Keller, 1975 приводится численное решение
задачи движения сферического пузырька. Для различных чисел Рей-
нольдса проведен расчет нормального напряжения в жидкости на сфере
и численным интегрированием найдены сила и коэффициент сопро-
тивления Cd- Ссылки на перечисленные и другие работы приведены
в обзоре [51].

Из формулы Мура (31.40) для коэффициента сопротивления по-
лучаем

C'D=48Re"1 (l-^=^ + O(Re-5/6)).

В табл. 8.2 представлены соответственно в первой, второй, третьей и
четвертой колонках — число Рейнольдса Re, половина коэффициента
сопротивления по (19) C'D/2 = 24Re“l(l — 2,2107/x/Re), численное
значение Cd/^ и отличие результатов асимптотического и численного
расчетов в процентах.

Из табл. 8.2 видно хорошее согласие формулы для Cd с численным
значением C'D. Даже отличие значений Ср, найденных численным
расчетом и по асимптотической формуле, соответствует остаточному
члену в формуле Мура. Исключение составляет последняя точка при
Re = 200, что связано, по-видимому, с потерей точности вычислений
при больших числах Рейнольдса.

Таблица 8.2

Re	Ср 2	Ср 2	С'° Cd  100, %  Cd	Re	Ср 2	Ср 2	С'° Cd • 100, %  Cd
10	0,7222	1,175	-62,7	60	0,2858	0,3001	-5,08
20	0,6068	0,6810	-12,2	120	0,1596	0,1647	-3,18
40	0,3903	0,4156	-6,47	200	0,1012	0,0985	+2,71

Можно сделать вывод, что при больших числах Рейнольдса основ-
ные гидродинамические эффекты для газового пузырька можно по-
лучить в приближении потенциального течения идеальной жидкости.
Этот факт убедительно обосновывается, во-первых, соответствующим
асимптотическим анализом при Re 1, во-вторых, проверяется чис-
ленным расчетом.

Однако при большом числе Рейнольдса предположение о сферич-
ности сужает диапазон применимости полученных результатов. Как
показано ниже, при малом отклонении формы пузырька от сферической
число Рейнольдса Re и отношение х поперечного размера пузырька
к продольному выражаются через безразмерный радиус £ и число
Мортона

Re = | Мо-'/5е3, х-1 = -1-е5-

Для воздушного пузырька в воде Мо « 2,86 • 10“ll, Re « 28,5 £3.
При 0,04 < I < 0,062 см деформация пузырьков меняется в пределах
1,049 < х < 1,3, а число Рейнольдса — 140 < Re < 360. В этом диапа-
зоне модель Левича-Мура дает приемлемые результаты для скорости
всплытия пузырьков, что согласуется с данными табл. 8.1.

При числе Рейнольдса Re ~ Мо-1/5 и выше пузырьки сплющивают-
ся и их сопротивление резко возрастает. Это видно из экспериментов
Хабермана и Мортона [247], приведенных на рис. 8.3. Точка минимума
функции Ср (Re) соответствует числам Рейнольдса Re ~ Мо-1/5, при
которых резко увеличивается деформация пузырька. Хотя модель сфе-
рического пузырька перестает работать, однако остается справедливой
модель безотрывного потенциального обтекания идеальной жидкости.
Такая модель деформированного пузырька при малых числах Мортона
приведена ниже. Она хорошо согласуется с экспериментами для коэф-
фициента сопротивления и описывает немонотонный характер зависи-
мости скорости подъема пузырька от его размера при 0,04 < I < 0,24
в соответствии с данными табл. 8.1.

Модель пузырька в форме сферического сегмента. Как показы-
вает эксперимент по скорости всплытия воздушных пузырьков в воде
(см. табл. 8.1), при 1 = 0,24 см отношение поперечного размера пу-
зырька к продольному достигает значения равного четырем. При такой

-J---------------1----------------Iio-1

102	1 03 Re 104

Рис. 8.3. Экспериментальные кривые для коэффициента сопротивления Cd (Re):
/ — вода (Мо = 0,25 • 1О“10); 2 — метиловый спирт (Мо = 0,89 • 10-1°);
3 — холодная вода (Мо = 1,08- 1О“10); 4 — варсол (Мо = 4,3- 1О“10); 5 —
13%-ный раствор этилового спирта в воде (Мо = 11,7- 1О“10); 6 — турпентин
(Мо = 24,1 • Ю"10)

деформации обтекание становится отрывным. В переходной области
0,35 см < I < 0,88 см с ростом размера пузырька область отрыва зна-
чительно увеличивается, а форма пузырька становится близка к сфе-
рическому сегменту.

Дэвис и Тейлор в 1950 г. экспериментально и теоретически иссле-
довали всплывание крупных пузырьков (эта теория изложена также
в монографии Бэтчелора [32]). Они показали, что для крупных пу-
зырьков скорость всплытия и выражается через радиус кривизны R
в критической точке:

и= з \/gR-

Исходя из геометрического подобия l/R = const и эксперимента, они
предложили следующую формулу для скорости всплытия воздушных
пузырьков в воде и = 24,8 V1/6 см1/2 -с-1, что эквивалентно

и = 1,01 (g7)I/2, CD = 2,65.

Позднее Хаберман и Мортон (1956) нашли из своих экспериментов
число Фруда Fr = 1,02, что согласуется с вышеприведенной формулой.
Все модели сферического пузырька для чисел Рейнольдса Re <С 1
(Стокс), 70 < Re < 400 (Левич-Мур) и пузырька в виде сферического
сегмента Re > 5000 (Дэвис, Тейлор) хорошо подтверждаются экспери-
ментами.

Перейдем к описанию модели эллипсоидального пузырька.
31.6.	Модель эллипсоидального пузырька в жидкости малой
вязкости.

1.	Уравнения Лагранжа. Ранее были получены уравнения Лагран-
жа для эллипсоидального газового пузырька, движущегося в иде-
альной несжимаемой жидкости с функцией Лагранжа	zq)

(см. (10.19)). Уравнения определяют зависимость от времени скорости
движения zq пузырька, его объем 4тг/3/3 и деформацию е без учета
тяжести и вязкости. Учесть влияние тяжести и вязкости можно с по-
мощью обобщенных сил в правой части уравнений Лагранжа:

dL _ 3L =	1 dD

dt dqi dqi dqi 2 dqt ’

(31.44)

Здесь П = — (4ir/3)pgzo — потенциальная энергия силы тяжести,
D — диссипируемая энергия.

2.	Диссипируемая энергия. Согласно вышеизложенной теории Ле-
вича-Мура диссипируемую энергию с точностью до малых порядка
l/\/Re можно вычислить по потенциальному полю скорости. Потен-
циал Ф определяется по (10.14), (10.16). В этом случае справедливо
тождество

еареар = div grad J—

Используя его, диссипируемую энергию (31.21) можно записать в виде
интеграла по поверхности эллипсоида:

D = —р

dv

д
дп

|V$|2dS.

(31.45)

Этот же результат следует из формулы Бобылева-Форсайта (30.3),
если учесть в ней тождество Громеки-Ламба

dv V(v2) ,	.	. n

— = —7-^ + rot V X V, rot V = 0.
dt 2

После подстановки в (31.45) решения (10.14) и вычисления инте-
грала получим квадратичную по скоростям Z,e, zq функцию D, коэф-
фициенты которых зависят от I и е. Полученные уравнения определяют
всплытие пузырька с изменяющимся размером и формой [46].

Аналогичные уравнения применяются для изучения движения пу-
зырьков по криволинейной траектории [145]. В этом случае в систему
добавляются еще четыре степени свободы: углы поворота и отклонения
центра пузырька по горизонтали.

Здесь мы ограничимся исследованием деформации и скорости
пузырька при его равномерном всплытии. В этом случае уравне-
ния Лагранжа упрощаются. Подставляя в интеграл (31.45) решение
Ф = Ci/?gi(a), с помощью формул (10.17) и dS/Ha — 2тгА;(1
диссипируемая энергия приводится к виду

Значения коэффициентов находим из (10.12)-(10.16):

Cl = ku ( Q° 2 -	. k = 1а$ 1/3(1 +ao)-l/3> <7o = arctg (l/a0)

\ 1 + <*o	/

и, подставив их в предыдущее выражение, получим окончательное
выражение для диссипируемой^ энергии, которое удобно представить
через безразмерную функцию D:

D = кци2ID, D(e) = 3 е(1+е) (1 (1 е)А(е)) = 9 + бе - S2.

Ъ	((1+е)А(е)-I)2	175

(31.46)

С помощью уравнений пограничного слоя на эллипсоидальном пу-
зырьке можно найти следующий член разложения для диссипируемой
энергии при большом числе Рейнольдса (Re 1). Эти вычисления
были выполнены в работе [267]; в результате было получено асимпто-
тическое разложение для безразмерной функции D(e)-.

Ь = Dq(e) (\ + Н(ё)/у/К& + o(l//Ri)),

Ро = 3

£(1+£)2/3(1-(1-£)А(£))
((1+£)А(£)-1)2

(31.47)

Вместо параметра е Мур использовал отношение осей lx/lz = у =
=	+ £ • Его выражение для Dq в точности соответствует вышеприве-

денному. Функцию Я(у) Мур привел в виде
таблицы. Для нее можно использовать сле-
дующую аппроксимацию:

Я(£) = 2,2	- 1)

Сравнение табличных точек и предложенной
аппроксимации показано на рис. 8.4.

Рис. 8.4. Аппроксимация
функции Н(е)

3. Система уравнений. Помимо двух
уравнений для деформации и размера пу-
зырька, решение которых дается формула-
ми (10.22), получим замыкающее уравнение

для скорости всплытия:

4% 7з 1 dD 4%

-3^ =	и
Присоединяя к этому уравнению уравнение для деформации пузырька,
получаем систему уравнений для скорости всплытия и деформации:

- - ^-Ь, lu2 = -\N.
и Рё	Р

(31.48)

4. Асимптотические разложения по малому числу Мортона.
Систему уравнений (31.48) можно разрешить относительно скорости
и размера пузырька:

— = We2/55“1/5,
ио

i = Wel/5O2/5,
Ч)

(31.49)

Для числа Рейнольдса отсюда найдем

Re = 2 — = 2Mo-1/5We3/551/5,
Р

Мо = Й-

Р<73

Пределу Re —► ос соответствует предел Мо —* 0, и асимптотическое
разложение (31.47) можно записать в виде разложения по малому
параметру Мо. Таким образом, имеем следующие разложения:

Ь = £>о(е) | 1 + Мо1/10	+ ...

Re = Mo“‘/5F(e) 1 +

Moi/io_^£L

(31.50)

Здесь функция F(e) выражается через функции Do(e) и VV(s) и
имеет следующую аппроксимацию:

F = 2We3/5L>o/5 «

5,2 е°'6

е0,83/(1 +0,72е°л) + 1

(31.51)

5.	Коэффициент сопротивления. С помощью формул (31.22),
(31.43), (31.46) и разложения (31.50) получим следующую зависимость
коэффициента сопротивления от числя Мортона при Мо1/10 С 1:

CD = Мо1/5	(1 + Мо1/10

3F(e)	ур(ё) /

Re = Mo“1/5F(e) (1 + Мо|/|0—

Зависимости Cn(Re) при трех значениях числа Мортона 10”8, Ю”10
и 10“12 изображены на рис. 8.5. Они качественно согласуются с экспе-
риментальными зависимостями Хабермана и Мортона (8.3).
На рис. 8.6 представлено сравнение теоретических зависимостей

коэффициента сопротивления Ср(Ре)
с экспериментальными данными для
13%-ного раствора этилового спир-
та в воде (Мо = 1,17 • 10“9), варсо-
ла (Мо = 4,3 • 1О“10) и воды (Мо =
= 0,25 • 1О“10). Экспериментальные
точки приведены в монографии Бэт-
челора [32] со ссылкой на экс-
перименты Хабермана и Мортона.
Штриховыми линиями изображены
теоретические зависимости Леви-
на (48/\/Re) и Мура ((48/Re) х
х (1 - 2,2)/\/Re) для сферического
пузырька.

Рис. 8.5. Коэффициент сопротив-
ления в зависимости от чисел
Рейнольдса Re и Мортона Мо

Рис. 8.6. Сравнение коэффициента сопротивления с экспериментальными
данными

6.	Скорость всплытия, С помощью (31.50) формулы для скорости
и эквивалентного радиуса (31.49) приводятся к виду

1 = и"/»(£)О»/»(£) (> + Мо'/'» 22SL).

Эти формулы дают параметрическую безразмерную зависимость скоро-
сти всплытия от эквивалентного радиуса. Сравнение полученных тео-
ретических зависимости (сплошные кривые) с экспериментами (точки)
для трех различных жидкостей: турпентина при 23° (Мо = 24,1 х
х 10“10), варсола при 28° (Мо = 4,3 • 10“|0), метилового спирта
при 30° (Мо = 0,89 • 10 10) и воды (Мо = 0,25 • 10 10; штриховая
линия) представлено на рис. 8.7. Штрихпунктирной линией обозначена

Рис. 8.7. Сравнение скорости всплытия с экспериментальными данными Ха-
бермана и Мортона

зависимость отношения осей эллипсоида х(///о)- Как видно из рисунка,
теория согласуется с экспериментом, пока отношение осей меньше 5.
При дальнейшем увеличении у обтекание становится отрывным и мо-
дель эллипсоидального пузырька переходит в модель сферического
сегмента. Заметим, что в осях I/Iq, u/uq при 10-и < Мо < 10”9
зависимость скорости всплытия практически не зависит от Мо и экспе-
риментальные точки для всех жидкостей ложатся на единую кривую.
Наибольшее значение скорости всплытия определяется следующими
формулами:

max (it) = 0,6uo при I = 3,5Zq •

31.7. Диссипативные процессы при колебаниях газовых пу-
зырьков в жидкости.

1.	Декремент затухания колебаний газовых пузырьков в вязкой
жидкости. Затухание колебаний пузырьков в жидкости происходит
из-за многих причин: диссипация энергии вязкой жидкости вне пузырь-
ка, тепловые потери механической энергии внутри газового пузырька,
излучение акустических волн и другие [131]. Рассмотрим первый ме-
ханизм потери энергии колебаний.

Для колебаний сферических пузырьков с малой амплитудой около
положения равновесия введем малое отклонение x(t) радиуса пузырька
a(f) от равновесного значения ао- а(0 = ао + x(t). Функция Лагранжа
для линейных колебаний имеет вид (см. упр. 9.3)

L = 2тграо(я2 — с^о^2)»

, 2 _ 37Роо

^0	2

рао

2(37 — 1)<7

'	3

рао

Сферически симметричное поле скорости жидкости имеет потенциал
Ф = — a2a/R и диссипируемую энергию можно вычислить по форму-
ле (31.45): D = 16тг/ша2. Уравнения Лагранжа (31.44) для линейных
сферически симметричных колебаний имеют вид

4тграо(ж -I- ljqx) = — IQirpaoi => х + х + и$х = 0.
Оо

Собственные значения уравнения таковы:

4i/2
2 4
0?оОо

Отсюда при —g < 1 получаем решение в виде затухающих колебаний

Л / АоЛ\ ,	.	4i/2 А 4тг1/

х = Ао^хр I — —— ) cosurt, и = cuqa/1------г~4 > л = ~2~•

\ 2тг /	у oj^Oq

Здесь Л — декремент затухания колебаний пузырька. За один период
амплитуда уменьшится в е“Л ~ 1 — Л раз.

Частоту а; и декремент затуханий Л можно представить в следую-
щей удобной для анализа форме:

ы = шОл/1 - Л£, Л - 2тгЛ0/1/1 -	, Ло =

"	’	ancuo

,__________________	(31.52)

_ /37Роо 2(37 — 1)сг

^0 А/ 2	'	3

у рао Р°0

Для маловязких жидкостей, таких как вода, выполняется соотношение

Poop»2
а2

< 1.

Для них можно выделить два вида колебаний: капиллярные (а) и инер-
ционные (б) колебания.

Капиллярные колебания (а) реализуются для пузырьков,
размер которых находится в диапазоне pi/2/а = асг/роо <С а <С сг/роо-
Частота и декремент затухания определяются следующими простыми
формулами:

2(37 — 1)сг
з
ра

О 2	\1/2

(37—1)сгау
(31.53)
Инерционные колебания (б) происходят в другом диапа-
зоне а (j/Poq. В этом случае частоту колебаний обычно связывают
с именем Миннаэрта (см. Нигматулин (1987) [131]):

а

— «а:

Р<х>

(31.54)

Для примера рассмотрим колебания воздушных пузырьков в воде,
для которых 7 = 1,4, poo = 106 дин/см2, р = 1 г/см3, а = 70 дин/см,
у = 0,01 см2/с. Капиллярные пульсации (а) происходят в диапазоне:
7 • 10“5 см а 1,4 • 10“6 см с частотой ш = 21/а3/2 (рад/с) и де-
крементом затухания Л = 5,94 • 10“3/^/а. Инерционные пульсации (б)
при а 7 • 10“5 см имеют частоту ш = 2,05 х 103/а (рад/с) и декре-
мент Л = 6,13 • 10“5/а.

Случай б) реализуется, например, для воздушного пузырька ради-
уса 0,1 мм в воде. Декремент затухания за счет вязкости жидкости
равен 6 • 10“3 и за один период колебаний амплитуда уменьшится
всего на 0,6% от своей величины. Ниже будет показано: затухание
колебаний воздушных пузырьков в воде связано, главным образом,
с тепловыми потерями механической энергии (см. рис. 8.10).

2.	Постановка задачи. Рассмотрим задачу о колебаниях сфери-
ческого газового пузырька в несжимаемой жидкости. Будем предпола-
гать, что область R < a(f) внутри пузырька заполнена совершенным
газом и фазовых превращений на границе пузырька нет. Внешняя
область R a(t) заполнена идеальной несжимаемой жидкостью. Коэф-
фициент теплопроводности жидкости существенно выше коэффициента
теплопроводности в газе. Поэтому будем считать, что температура
в жидкости является постоянной, равной Тж. Капиллярными эффек-
тами также пренебрегаем, что допустимо для достаточно крупных
пузырьков ао а/р^. Тогда задачи о колебаниях пузырька имеют вид

уравнения состояния:

P = Роо
рТ PqTqo ’

(31.55)

уравнения теплопроводности в области R < a(t):

&Т 2 dT\ = dT	dp(t)

OR2* R dR) ~ pCp dt dt

где A = pCpk — коэффициент теплопроводности газа (p — плотность
газа, ср — теплоемкость при постоянном давлении, к — коэффициент
температуропроводности газа).

В последнем уравнении давление следует считать функцией только
времени p(t) (условие гомобаричности [131]). Действительно, вслед-
ствие малости плотности газа градиент давления, равный pdv/dt,
пренебрежимо мал. Это предположение позволяет избежать решения
уравнения движения газа и тем самым упростить систему уравнений.
Вместо уравнения неразрывности достаточно удовлетворить условию
сохранения массы газа

'pdV = pQV0 =»	= P=^\pdV,

J	Ро а6 У J

v	v

(31.56)

где р — средняя в объеме пузырька R а плотность газа. Для функции
p(R) средняя плотность вычисляется через определенный интеграл:

а

р = 4 [ p(R)R2 dR.

a J
о

(31.57)

Функция T(t, R) должна удовлетворять следующим условиям:

T(t,d) = Too,

OR r=o

= 0,

(31.58)

где первое условие означает отсутствие потока тепла в центр сфериче-
ского пузырька.

Из равенства давления в жидкости и газе на границе пузырька
следует условие

p(t) = р

R=a

(31.59)

Здесь Pf — плотность жидкости.

В уравнении переноса тепла можно исключить плотность газа р.

Для этого разделим обе части уравнения на сррТ =
уравнение примет вид

7

7 - 1

к (&т 2 ат\ = d , Т 7-1
Т \dR2 * R ORj ~ dt T^ ч

p(t). Тогда

(31.60)

dt роо

Итак, задача свелась к решению уравнений (31.55)—(31.57) и гра-
ничных условий (31.58), (3.59). Из них можно определить функции
T(t, Я), p(Z), a(t) и плотность p(t, R).

3.	Линейные колебания газового пузырька. Решение выше по-
ставленной задачи для случая колебаний пузырька с малой амплитудой
ищем в виде действительных частей комплексных функций:

а = clq (1 + АегП<), р = Роо (1 + PezQt),

Т = Too (1 + W eint), р = Ро (1 + p'(R) eiQt).

Здесь А « 1 и Р « 1 - постоянные числа, а в и р' — функции одного
аргумента R. Подставляя эти выражения в уравнения, будем учитывать
только линейные члены.

Уравнение (31.60), граничные условия для температуры (31.58),
давления (31.59) и плотности (31.56), а также уравнение состоя-
ния (31.55) преобразуются в линейное обыкновенное дифференциаль-
ное уравнение для функции 0(R) и соответствующие условия:

k (o''(R) + |	- X10(R) = -XI - Р,

0'(О) = 0, 0(ао) = О,

Р । ^7^ Д ____ Л , _____

* ।	2 'А ^0	4 /	2 ’

Ч)	у

р' = -ЗА,
р-р' -е = о => о - р + за.

(31.60')

(31.58')

(31.59')

(31.56')

(31.55')

Здесь шо — частота колебаний пузырька при отсутствии в нем
теплообмена, справа указаны ссылки на уравнения, которые линеари-
зуются.

Общее решение уравнения (3.60') можно получить в виде суммы
— 1

частного решения 0 = ----Р и линейной комбинации двух независи-

мых решений однородного уравнения:

Р 1 + Ci sh

Ry/i£l/k
R

+ с2 ch .

Из первого условия (3.58') найдем С*2 = 0, а из второго С\ =
= ao/sh(ao\/^V^)- Таким образом, получаем решение

sh (zZ) \
zsh (Z)/ ’

k7

Q = —,	x = R/clq,

tO>Q

(31.61)

где Z — безразмерное комплексное число, через которое выражается Q.

Используя формулу, аналогичную (31.57), вычисляем среднее по
объему значение 0:

1

0 = 3 0(x)x2 dx =

о

-P[1-3G(Z)],

где G(Z) — результат вычисления интеграла:

1

G(Z) = = ZCihzZ2~l

о

(31.62)

Отсюда уравнение 0 = Р + ЗА приведется к виду

0 =
Добавляя к найденному уравнению уравнение (31.59), получим сле-
дующую систему уравнений:

0?о

у [1 + 3(7- l)G(Z)] + 34 = 0.

Из равенства нулю определителя получим уравнение для частоты ко-
лебаний пузырька

3 - 3 (— ) [1 + 3(7 - l)G(Z)] = 0.

\u>o /

Выражая с помощью (31.61) П через комплексное число Z = X + iY,
получаем уравнение

Pe2 + Z2(l +3(7- l)G(Z)) = 0, Ре = ^.	(31.63)

К

Пользуясь асимптотическими разложениями

J 5 ’ «И’+ Ж z< + °<г')

( Z~tf+°(e ) при |Х|» 1,
можно получить следующие асимптотические разложения для зависи-
мости корня уравнения (31.63) от числа Пекле Ре:

Z = X + iY =

йМ+''~1)ре + °(Р')2
Olpy '

(1+0-|(7-1) + ^(97-1)(7-1)
*	ОХ

1 — г

\/2Рё

при Ре < 1,

при Ре 1.

С помощью (31.61) в комплексной фазе П можно выделить частоту
и декремент затухания Л:

ш=4 (*2 -у2+2*ху)=- д
Оо

и получить следующие аппроксимации для этих зависимостей от числа

Пекле:

при Ре < 5,

при Ре > 5,

7г(7 — 1)Ре
1573/2
'7-1 _ (37+ 0(7 ~ О'
 \/2Рё	4Ре

(31.64)

при Ре < 5,

при Ре > 5.

10 А Г Петров
На рис. 8.8 сплошной линией изображена точная зависимость функ-
ции Q = 1 — от числа Ре, а штриховыми линиями — их ап-
проксимации (31.64). На рис. 8.9 сплошной линией изображена точная

зависимость функции Л(Ре), а точками и кружками — аппроксимации
по формулам (31.65). Декремент затухания принимает наибольшее
значение равное 0,377 при Ре = 14,8.

На рис. 8.9 штриховой линией изображена теоретическая зависи-
мость, полученная в работе: R. Chapman, М. Plesset (1971) (см. моно-
графию Нигматулина (1987) [131]):

Л = 3,^

Ре sh (\/2Ре) -h sin (\/2Ре)
2 ch (\/2Ре) + cos (\/2Ре)

Как видно, эта зависимость менее точна, чем аппроксимации (31.65).

Пользуясь численным значением коэффициента теплопроводности
воздуха к = 0,27 см2/с при давлении = 106 дин/см2 получим
Ре « 7,6 • 103а, где радиус пузырька а следует выражать в санти-
метрах.
На рис. 8.10 изображена зависимость декрементов затухания коле-
баний воздушного пузырька в воде от радиуса пузырька. Сплошная

линия — декремент затухания за
счет тепловой диссипации, штри-
ховая линия — за счет вязкости
жидкости Л = 6,13 • 10“5/а, точ-
ки и кружки — аппроксимации по
формулам (31.65).

Отсюда видно, что для инерци-
онных пульсаций (при а >> сг/роо)
воздушных пузырьков в воде при
а = 0,0004 см декременты за счет
вязкости жидкости и за счет теп-
ловой диссипации совпадают. Для
больших радиусов вязкая дисси-
пация менее существенна, чем
тепловая. Для капиллярных коле-
баний а

вязкости жидкости.

Рис. 8.10. Декремент затухания коле-
баний воздушных пузырьков в воде

< сг/Роо затухание колебаний происходит в основном за счет

§ 32.	Течение вязкой жидкости под воздействием
касательного напряжения

32.1.	Основные методы и результаты. Задачи о течении вязкой
жидкости под воздействием касательного напряжения возникают при
изучении движения капель, течениях в траншеях под воздействием
ветра и других задачах со свободной границей. Задача сводится к ре-
шению уравнений Навье-Стокса в некоторой ограниченной области
пространства с краевыми условиями для скорости и касательного на-
пряжения.

Существует немного точных решений для самых простых случаев.
Так, JI. В. Овсянников изучил точное решение о потенциальном тече-
нии внутри эллиптической области со свободной границей [132].

Развитие малых возмущений эллиптической границы в задаче
JI. В. Овсянникова изучено В. В. Пухначевым [173]. В. К. Андреев
и В. В. Пухначев построили вращательно симметричное течение иде-
альной жидкости с завихренностью, пропорциональной расстоянию от
оси симметрии со свободной границей [5].

Ввиду ограниченности точных решений особую роль играют раз-
личные приближенные методы. Одним из основных является асимпто-
тический метод построения решения в виде разложений по большому
числу Рейнольдса, либо по малому.

При большом числе Рейнольдса применение асимптотических раз-
ложений приводит, вообще говоря, к нелинейным уравнениям даже
в главном приближении (см., например, монографию [172]).

юф
Существенным достижением здесь является теорема Прандтля-
Бэтчелора [169, 226], утверждающая, что при стремлении числа Рей-
нольдса к бесконечности в области замкнутых линий тока при неко-
торых условиях вихрь стремится к постоянному значению. Различные
формулировки и доказательства этого утверждения изложены в мо-
нографиях М.А. Лаврентьева, Б. В. Шабата [102] и В. В. Пухначе-
ва [172].

Для определения неизвестной постоянной в теореме Прандтля-
Бэтчелора необходимо решать, вообще говоря, нелинейные уравнения
пограничного слоя. Известно немного частных примеров, где эта по-
стоянная вычисляется. Некоторые из них, например, течения в эллип-
тической и круговой областях, при задании постоянной скорости на
границе указаны Бэтчелором [32], другие — в монографии [172].

Харпер и Мур [250] нашли течение внутри сферической капли при
большом числе Рейнольдса. Это был первый пример осесимметричной
физической задачи, в которой постоянная вихря найдена аналитически
в виде асимптотического разложения.

При малом числе Рейнольдса главным приближением Стокса яв-
ляется линейная задача, хорошо изученная в настоящее время. Для
ряда простых областей решение можно выписать при общих гранич-
ных условиях. Для приближения Стокса существуют вариационные
принципы, сформулированные Гельмгольцем для разного вида краевых
условий.

Формулировка вариационных принципов и вытекающих из них тео-
рем приводится в [32, 103] и других. Уравнения медленных течений
и вариационные принципы имеют аналоги в теории упругости.

Обзор различных вариационных принципов в гидродинамике и ана-
логичных принципов в теории упругости имеется в монографии
В. Л. Бердичевского [14].

В последнее время интенсивно развивается применение численных
методов решения полных уравнений Навье-Стокса на ЭВМ. Приме-
нительно к задаче о движении капли в вязкой жидкости, которая
и будет предметом дальнейшего обсуждения, численные схемы раз-
работаны зарубежными авторами (Леклер и др. [234]) и советскими
(В. Я. Ривкинд, Г. М. Рыскин, Г. А. Фишбейн [176, 177]). Имеется
несколько расчетов для движения деформированных капель в вязкой
жидкости (В. Я. Ривкинд [175], В. Г. Бутов, И. М. Васенин, А. П. Нефе-
дов, Г. Р. Шрагер [30, 35]).

Численные решения имеют характер единичных расчетов и не поз-
воляют пока дать полный анализ задачи при наличии в ней нескольких
параметров. Особенно сложны такие расчеты при больших числах
Рейнольдса.

В связи с этим особую важность приобретает разработка новых
аналитических методов решения указанных задач.
32.2.	Течения с замкнутыми линиями тока при больших чис-
лах Рейнольдса.

1.	Краевая задача. Пусть имеется область V установившегося
движения вязкой жидкости, ограниченная замкнутой поверхностью
тока dV. Массовые силы имеют потенциал. На границе задано ка-
сательное напряжение рТ. Определение течения сводится к решению
задачи для уравнений Навье-Стокса (30.1) со следующими условиями

на границе:

(32.1)

где р® — характерная величина касательного напряжения, т — задан-
ная на границе dV безразмерная функция касательного напряжения.

Для плоской задачи известно [32, 101, 174], что при некоторых до-
статочно общих условиях, в пределе исчезающе малой вязкости у —> 0
существует предельный режим движения с замкнутыми линиями тока,
в котором величина вихря и) = |rotv| постоянна. Этот факт состав-
ляет содержание теоремы Прандтля-Бэтчелора. В монографии [101]
доказательство проведено для плоской задачи в предположении, что на

границе

i/Дси

V

—> 0 при у —► 0.

Доказательство распространяется на осесимметричное течение в
аналогичном предположении для величины и)/г.

В соответствии с теоремой предельное поле скоростей определяется
с точностью до постоянного множителя с:

vc = са2(/?о, 2cj = |rot vc| = cr,

(32.2)

где a — радиус области V, — безразмерная функция, независящая
от числа Рейнольдса Re = са3/у 1.

Известно немного примеров применения теоремы Прандтля-Бэтче-
лора [32, 174, 250], использование которой затруднено из-за отсутствия
метода вычисления неизвестной постоянной с в предельном решении.
Краевая задача для уравнений Навье-Стокса (30.1) с граничным усло-
вием (32.1) представляет собой важный пример, в котором возможен
общий способ определения неизвестной интенсивности вихря с через
заданное касательное напряжение рт на границе. Таким путем будет
получено асимптотическое решение задачи о течении внутри капли
(см. пп. 33.2-33.4).

2.	Оценки для скорости vc и скорости деформаций. Проанали-
зируем вид решения в области пограничного слоя вблизи поверхности
тока dV, на которой задано касательное напряжение сгт. На поверхно-
сти тока вне пограничного слоя толщиной порядка l/y^Re выполняется
условие (32.1) и скорость v внутри этой поверхности тока стремится
к предельной vc, которая соответствует постоянной интенсивности
вихря. Внутри пограничного слоя скорости v и vc могут отличаться:

V = vc + 6v,

(32.3)

где величина 6v представляет собой добавку, которая отлична от нуля
в области пограничного слоя и стремится к нулю с удалением от
поверхности dV.

Для скоростей деформаций е^, е^, вычисленных по полям
скорости v, vc и 6v, выполнено соотношение:

(32.4)

Вблизи границы все скорости деформаций имеют одинаковый порядок
и оцениваются с помощью граничного условия (32.1), (32.2):



eij

а

(32.5)

Порядки предельного течения vc и скорости деформации на нем
не меняются в области V и находятся из (32.2) и (32.5). Вязкие
возмущения и <5v экспоненциально стремятся к нулю при удалении
от границы dV на расстояние порядка толщины пограничного слоя
S ~ а//Re .

Из оценок (32.5) для производной по нормали п в пограничном слое

получаем оценку

(32.6)

on J а

интегрируя которую в пределах слоя толщины 6 ~ a/y/Re, находим

|5vc| ~	(32.7)

V Re

Эта важная оценка позволяет сделать вывод о линейности уравне-
ний пограничного слоя внутри капли так же как и для пузырька (в от-
личие от традиционного случая с условием для скорости на границе).

В главном приближении поле скорости внутри капли vc определено
с точностью до неизвестного пока множителя с~р^/(ра).

3.	Определение интенсивности вихря внутри области. Дисси-
пацию энергии в единицу времени Dc в предельном (Re —► ос) течении
можно оценить с помощью (32.6):

Dc = 2/i ес^ dV

~ /хс2а5.

(32.8)

Диссипация энергии 5D в пограничном слое, дополнительная к дис-
сипации энергии DC1 оценивается с помощью (32.5) и (32.6):

/Re

(32.9)
что показывает малость диссипации энергии в пограничном слое по
сравнению с диссипацией энергии в предельном течении.

В соответствии с сохранением энергии диссипируемая энергия рав-
на работе касательных напряжений на поверхности dV:

D = pTv dS.

dv

На основании оценок (32.7) и (32.8) D и v можно заменить на близкие
значения Dc и vc. Поэтому справедливо соотношение

Dc = prvcdS.	(32.10)

dv

Левая часть уравнения (32.10) — квадратична: Dc = c?Dq, правая —
линейна по параметру с: vc = cvq, и для определения с получаем опре-
деляющее значение для неизвестной постоянной с в теореме Прандтля-
Бэтчелора:

cDq = pTvo dS.

dv

Диссипируемую энергию Dq на поле скорости vo осесимметричного те-
чения можно свести к поверхностному интегралу. Действительно, полю
скорости vo соответствует касательное напряжение р® = 2/i(r — 2Kvq).
Диссипация Dq равна интегралу по поверхности от мощности поверх-
ностных сил p®vq и для постоянной с получаем

с 2/i (г — 2Kvq )vq dS =

Ptvq dS.

(32.11)

dv

dv

4.	Уравнение пограничного слоя. Предельное при большом внут-
реннем числе Рейнольдса поле скорости жидкости в области V можно
представить в виде

Vc = CVO (|rot Vol = г),

где постоянная вихря находится из (32.10) и (32.11). Около границы
капли возникает «мягкий» пограничный слой толщиной S = a/y/Re.

Величина с' = о^/г, где г — расстояние от оси симметрии, по-
стоянна внутри капли всюду вне пограничного слоя (с' = с = const),
а в пограничном слое с' удовлетворяет уравнению Гельмгольца (30.4).
При написании уравнений (30.4) следует учесть, что производная по
координате поперек пограничного слоя в х/Re раз больше произ-
водной по координате з вдоль линии тока. Таким образом, получим

дс _ и д1 с

Vc~ds -	д$’

(32.12)

где h — коэффициент Ламе, соответствующий координате ^о- За ко-
ординату удобно принять функцию тока поля скорости vq, тогда
h = l/(rvo). В теории пограничного слоя координаты з, носят на-
звание переменных Мизеса и применялись к исследованию задачи со
свободной границей [174].

Заменой переменных уравнение (32.12) приводится к классическому
уравнению теплопроводности:

дс' = д2с'
dt “ дх2 ’

dt = r2(s)vo(s)ds,

(32.13)

Граничное условие (32.1) для касательного напряжения с помощью
тождества (30.2) можно записать в виде: рТ = p(c'r — 2Kv)\qv = pQTr,
где К — кривизна граничной линии тока. Отсюда для с' получим

условие

c'(t 0) = | (2Kvc 4-pQTr/p), 0 t to,

в

to= r2vods, (32.14)

А

где интеграл берется по граничной линии тока между полюсами А и В
на оси симметрии.

В слое, примыкающем к отрезку оси вращения, величина с' пе-
реносится вдоль линий тока без изменения, откуда вытекает условие
равенства функций с' в полюсах t = 0 и t = to:

с'(0, х) = c'ito.x).

(32.15)

Вне пограничного слоя величина с' стремится к постоянной с:

с' —► с при х —► ос.

(32.16)

Краевая задача (32.13)-(32.15) представляет классическую задачу
о температурных колебаниях почвы, решенную Фурье методом раз-

деления переменных. Решение представляется в виде ряда Фурье

(см. [201]), причем величина с является нулевой гармоникой Фурье

для функции c'(t,O):

to

1 f
С to .

c'(t, 0) dt.

(32.17)

о

Нетрудно убедиться, что полученное уравнение для постоянной с
эквивалентно определяющему соотношению (32.10).

Действительно, с помощью равенства для элемента поверхности
dS = 2ivrds равенство (32.17) с учетом (32.14) преобразуется в ра-

венство

dv

rcvo dS =

(2pKcvo +pT)vodS,

dV

эквивалентное соотношению (32.11).

Таким образом, предлагаемая теория пограничного слоя определяет
главное приближение течения внутри капли. Кроме того, решение
задачи (32.13)-(32.17), полученное методом Фурье, дает детальную
картину течения в пограничном слое.
32.3.	Двухсторонние оценки.

1.	Безразмерная форма уравнений. В безразмерных переменных

О	/ о \ 2	2 0

v = 2Erv',	p =	Rc = ‘12k

М	\ М )	Р»

краевая задача (30.1), (32.1) для течения внутри капли имеет следую-
щий безразмерный вид:

(v'V)v' = -Vp' + J- Av', Vv' = 0,	(32.18)

Ke

v'n = 0, 2ет|ау/ = /,	(32.19)

где pf — безразмерное модифицированное давление, включающее по-
тенциал массовых сил; функция f находится из (32.1).

Из (32.18) и (32.19) следует, что поле скорости не зависит от вида
потенциала массовых сил и поэтому его учитывать не будем.

Диссипацию энергии течения, определяемого из (32.18), (32.19),
выразим через безразмерную функцию d(Re):

0\2 3



d(Re),

d(Re)=	е'.е' jdVf =

eTvTdS\ е'ц =

J

dv,
dx3

dvj
J
dxj

(32.20)

где vT — касательная составляющая вектора безразмерной скорости на
границе.

Последнее равенство (32.20) является следствием равенства дисси-
пации энергии работе поверхностных сил. При этом работа потенци-
альных массовых сил тождественно равна нулю.

В дальнейшем будут получены оценки для безразмерной диссипа-
ции d(Re) как функции числа Re.

2.	Принцип Гельмгольца. Пусть на границе области скорость
течения задана. Тогда течение с малыми силами инерции обладает
наименьшей скоростью диссипации энергии среди всех других течений
несжимаемой жидкости. Это утверждение носит название теоремы
Гельмгольца и определяет точную нижнюю границу функции диссипа-
ции [32].

Для краевой задачи (32.18), (32.19) оказывается справедливой
оценка сверху, которую можно получить из принципа Гельмгольца
с заданными поверхностными силами: на множестве всех соленои-
дальных полей скорости, удовлетворяющих условиям (32.19), решение
уравнений Стокса

-Vp° + ^-Ду° = 0, Vv° = 0	(32.21)

Ке
доставляет минимум функционалу

J(v) = i ( dV -

eTvr dSf

(32.22)

(см. Ламб [103, с. 776-779]).

Сформулированный принцип применяется также в теории упруго-
сти, в которой изучаются уравнения, аналогичные (32.21).

3.	Верхняя оценка диссипации энергии. Из тождества (32.21)
следует, что на решении краевой задачи (32.18), (32.19) функцио-
нал (32.22) принимает значение

/(v) = -id(Re).

В силу принципа Гельмгольца эта функция достигает минимума на
решении предельных при Re —► 0 уравнений (32.21) и, следовательно,
функция d(Re) достигает максимума при Re = 0

d(Re) ^d(O).

(32.23)

Неравенство (32.23) представляет точную верхнюю оценку функ-
ции d(Re).

4.	Нижняя оценка диссипации энергии. Из теоремы максимума
(32.23) следует, что функция d(Re) — убывающая, по крайней мере
в области малых Re. При монотонном убывании функции d(Re) ее
нижней оценкой будет предельное значение d(oc):

d(oc) <С d(Re).

(32.24)

Осесимметричное предельное течение имеет вихрь, пропорциональ-
ный расстоянию до оси симметрии, а коэффициент пропорционально-
сти с находится из определяющего соотношения (32.11).

5.	Двухсторонние оценки для средней скорости на границе.
Введем среднее значение скорости на границе капли с помощью весо-
вой функции 2ет = т, заданной на границе:

vTer

еТ dSf.

(32.25)

Тождество (32.21) показывает, что с точностью до постоянного мно-
жителя средняя безразмерная скорость (32.25) является диссипацией
энергии

(vT) = d(Re) / ет dS',

' dv
и для нее справедливы те же оценки (32.23), (32.24)

^тЯяе=О-

(32.26)
Вместе с оценками (32.26) обычно выполняются и оценки для
наибольшей скорости на границе vmax = max|vT| [107]:

^max(oo) ^max(Re) ^max(O).	(32.27)

Таким образом, для диссипации энергии и средней скорости на гра-
нице получены двухсторонние оценки. Эти оценки не лучшие и дости-
гаются при значениях числа Рейнольдса Re = 0 и Re = ос. Вычисление
их сводится к двум достаточно простым линейным задачам.

Успех конкретного решения зависит от близости этих оценок друг
к другу.

Итак, найдено новое применение теоремы Прандтля-Бэтчелора
о предельном течении вязкой жидкости при стремлении числа Рей-
нольдса к бесконечности. Для решения общей краевой задачи для
уравнений Навье-Стокса с условием для касательного напряжения на
границе указано определяющее соотношение для вычисления постоян-
ного множителя в теореме Прандтля-Бэтчелора. Получено уравнение
пограничного слоя с нетрадиционным граничным условием и указан
метод его решения [53].

Доказано, что диссипация энергии вязкой жидкости при одном
и том же касательном напряжении на границе как функция числа
Рейнольдса достигает наибольшего значения при числе Рейнольдса,
равном нулю. Разработан приближенный метод двухсторонних оценок
расчета течений вязкой жидкости внутри области под действием каса-
тельного напряжения на границе.

§ 33.	Стационарное движение сферических капель
в вязкой жидкости

33.1.	Обзор теоретических работ по движению сферических
капель.

1.	Аналитические исследования. Русский ученый И. С. Громе-
ка [67] выполнил одно из первых исследований движения капель в вяз-
кой жидкости в безынерционном приближении Стокса. На границе
капли Громека потребовал выполнения условия скольжения с постоян-
ным коэффициентом трения.

В зависимости от коэффициента трения сила сопротивления капли
меняется от значения бтг/iavoo до ^pav^. Им указана ошибка в со-
ответствующем исследовании, помещенном в первых изданиях моно-
графии Г. Ламба. В последующих изданиях [103] этот результат Ламб
приводит в соответствие с решением Громеки, однако ссылка дается на
монографию Бассе, опубликованную позже.

Полное решение задачи о движении сферической капли в вяз-
кой жидкости в безынерционном приближении Стокса получено неза-
висимо Адамаром [248] и Рыбчинским [277]. Ими найдено реше-
ние уравнений Стокса как вне, так и внутри капли, с выполнением
условий непрерывности скорости и касательного напряжения на гра-
нице капли. Это решение, применимое для малого внешнего чис-
ла Рейнольдса, изложено во многих монографиях по гидромехани-
ке [32, 103, 104] и является основой различных физических тео-
рий [104, 106, 130, 205].

Многие работы посвящены получению разложений по малым внеш-
нему и внутреннему числам Рейнольдса, в которых решение Адамара-
Рыбчинского является главным членом. Тейлор и Акривос [284] на-
шли линейные по числам Рейнольдса поправки. А. С. Бригнелл [229]
и Т. Акияма и К. Ямагучи [223] получили разложения с учетом вторых
степеней по числам Рейнольдса.

Существенно иное асимптотическое разложение по большим внеш-
нему и внутреннему числам Рейнольдса приведено Харпером и Му-
ром [250]. Главным приближением является течение идеальной жид-
кости, построенное Хиллом [103] с непрерывной скоростью на границе
сферы. Решение Харпера и Мура естественно обобщает результаты
В. Г. Левина [106] и Мура [267] для сферического пузырька. Оно
пригодно, когда внешнее и внутреннее числа Рейнольдса достаточно
велики и, кроме того, когда динамическая вязкость капли не превыша-
ет по порядку величины вязкости несущей жидкости. Эти условия не
выполняются для жидких капель, движущихся в газе.

Перечисленными работами в настоящее время исчерпываются ана-
литические решения.

Другим направлением теоретических работ по обсуждаемой пробле-
ме является построение численных алгоритмов решения соответствую-
щей краевой задачи для уравнений Навье-Стокса.

2.	Численные исследования. Леклер и Хамилек [234] провели
первые расчеты решения уравнений движения капли воды в воздухе
до внешнего числа Рейнольдса, равного 300. В этой работе приводятся
таблицы для касательного напряжения и скорости на границе капли,
линии тока вне и внутри капли.

Расчеты показали, что внутри капли течение мало отличается от
поля скорости для сферического вихря Хилла идеальной жидкости.
Внутренняя скорость примерно в 100 раз меньше скорости несущего
потока на бесконечности.

В этой же работе приводятся данные эксперимента, проведенного
самими авторами, по внутренней циркуляции, которые показали согла-
сие с расчетом.

В. Я. Ривкинд, Г. М. Рыскин, Г. А. Фишбейн [177] при различных
значениях внешнего числа Рейнольдса от 0,5 до 100 приводят данные
численных расчетов для коэффициента сопротивления, распределения
вихря и скорости на границе капли.

Более подробное изучение характера течения внутри и вне кап-
ли численным методом проведено В. Я. Ривкиндом и Г. М. Рыски-
ным [176] до значения внешнего числа Рейнольдса, равного 200.
Алгоритм численного решения задачи о движении сферической
капли и некоторые результаты расчетов изложены в работах [35, 54].

Здесь следует обратить внимание на то, что задача содержит три
безразмерных параметра и численные методы имеют характер единич-
ных расчетов с определенными значениями параметров. До сих пор
отсутствует систематическое исследование, предсказывающее хотя бы
качественную картину течения для каждого конкретного случая.

3.	Анализ размерности и подобия. Эксперименты. В обзоре
А. Л. Гонора, В. Я. Ривкинда [65] безразмерные числа, определяющие
течение вне и внутри капли, вводятся следующим образом:

0	__ 2a.Voo о _________ 2flVoo ________ Д1

Kei —	>	Ke 2	, р —	,

У\	У2	Д2

(33.1)

где индексом 1 отмечены характеристики течения внутри капли; 2 —
вне ее (рис. 8.11); а — радиус капли; щ, pi — кинематические и дина-
мические вязкости; Vqq — скорость потока, обтекающего каплю на бес-
конечности. Безразмерные числа Re; называют соответственно внут-
ренним и внешним числами Рей-
нольдса. Следует обратить внима-	________/г

ние, что Rei — это формальное	-----

число Рейнольдса, так как входя- /zv\
щая в него скорость может пре-	'	/} \

восходить максимальную скорость [ ------------/М?	\

внутри капли на порядки.

В связи с этим В. Я. Ривкинд Рис. 8.11. Схема обтекания капли
и Г. М. Рыскин [176] ввели число

Re* = Reiv*, где v* — отношение максимальной скорости внутри
капли к Vqq. Это физическое число Рейнольдса внутреннего течения
характеризует соотношение инерционных и вязких сил.

Следует заметить, что Re^ не является заданным определяющим
параметром, а находится после решения задачи.

Ряд работ посвящен получению интерполяционных, полуэмпириче-
ских и эмпирических зависимостей для коэффициента сопротивления
капли. Подробное изложение этих вопросов представлено в обзоре
А. Л. Гонора и В. Я. Ривкинда [65].

В связи с вопросами физической метеорологии проведен ряд экспе-
риментальных исследований по определению скорости падения дожде-
вых капель. По экспериментам Гунна и Кинзера [244] и других авторов
дождевая капля, радиус которой 1 мм, имеет деформацию 1 %. Капли,
радиус которых менее 0,7 мм, практически не деформированы и имеют
сферическую форму. Коэффициент их сопротивления не отличается от
коэффициента сопротивления твердого шара.

В. Р. Леклер и А. Е. Хамилек [234] дали экспериментальное под-
тверждение своих численных расчетов внутренней циркуляции дож-
девых капель. Согласно их исследованию течение внутри капли по
структуре мало отличается от сферического вихря Хилла. При числе
Рейнольдса Re2 = 300 вследствие отрицательных напряжений на гра-
нице в кормовой зоне начинает появляться второй вихрь. Он занимает
малую область и имеет на порядок меньшую скорость по сравнению со
скоростью основного течения внутри капли.

33.2.	Решение при малом внешнем числе Рейнольдса.

1.	Постановка задачи. Для безразмерных скоростей vj, V2, от-
несенных к Vqo, рассматривается следующая краевая задача. Внутри
и вне капли следует решать уравнения Навье-Стокса:

(VjV)Vj = -VPj + -2- Vvj=o, j = l,2.	(33.2)

г\е

На границе сферической капли (г = 1) выполняются условия равен-
ства нулю нормальных скоростей, непрерывности касательной скорости
и касательного напряжения

Vlr = V2r = 0, Vi0 = V20,

(33.3)

На бесконечности безразмерная скорость стремится к единичному век-
тору V2 = Voo/Voo-

Сферические координаты г, 0 вводятся так, что точке 0 = тг соот-
ветствует лобовая критическая точка капли, а точке 0 = 0 — кормовая
точка (рис. 8.11).

2.	Приближение малых чисел Рейнольдса. Главное приближение
при Rei —► 0 краевой задачи (33.2), (33.3) было найдено Рыбчинским
и Адамаром [248, 277]. Функции тока внутреннего и внешнего
течений имеют вид

_	1 dip _	1 dip

VQ	г sin 0 dr ’ Vr r2 sin 0 d0 ’

<зз-4>

Тейлор и Акривос [284] по аналогии с решением задачи о твердом шаре
(Праудмен и Пирсон, 1957) нашли следующий член в разложениях по
малому числу Рейнольдса Re = av^/i^ для функций ip\ внутри и ip2
вне капли:

= ^i0) + ReV^1) + ..., ip2 = ^20) +	(33.5)

Ими получены следующие выражения для функций ip^ и ip\^ вблизи
сферы:

[(Г2 - Г4) Q. W - нтт (г3 - Г5) <?2(0)1.	(33.6)
,(i) _ Qi(0) 3g + 2

2	8 м+1

Q2(0) Зд + 2

+	8	д+1

г Зр + 2	1 р

2 р + 1	2r р + 1

х

где функции Qn(0) выражаются через полиномы Лежандра Рп

Qn(0) = - f Pn(cos0')sm0'd0' = p"+'(cos^ Рп-1(0080),

J	2п + 1

е

(33.7)

Qi=-isin20, Q2 = -isin20eos0.

Из решения находится сила сопротивления D

D _ 7Г

2(3д + 2)
р+ 1

Re /Зд + 2\2	1 /

4 к д + 1 ) + 40 к

Re2 In Re

(33.8)
В этом разложении не учитывается деформация капли. Соответствую-
щий член найден также в работе Тейлора и Акривоса. Замечательно,
что это решение справедливо при любых числах Рейнольдса внутри
капли. В пределе д —► ос полученное решение переходит в решение
Праудмена и Пирсона для твердого шара. Функция тока и сопротивле-
ние для твердого шара таковы [33]:

Ф = l(r- l)2sin20 [fl + | Re') f2 + M - | Re f2 + 1 ++)
4	Lk 8/k	r/8 k r r2 /

D

2 2
pvxa

6%

Re

1 + | Re + A Re2 In Re + O(Re)2
8	40

cos# ,
(33.9)

33.3.	Движение жидких капель в газе при произвольном числе
Рейнольдса вне капли.

1.	Постановка задачи. Рассмотрим стационарное движение сфе-
рической жидкой капли в безграничной жидкости, покоящейся на
бесконечности (см. рис. 8.11). Жидкости считаем вязкими, несжима-
емыми. Пусть v+, о>+ — соответственно векторы скорости и вихря
движения жидкости вне капли, д+,	— динамическая и кинема-

тическая вязкости, д+ — плотность жидкости вне капли. Соответ-
ствующие характеристики движения жидкости внутри капли отметим
индексом «—».

Внутри и вне капли поля скоростей подчиняются уравнениям Навье-
Стокса*

p±(v±V)v± = -Vp± + д±Ау±.	(33.10)

На поверхности капли dV заданы четыре условия: равенство нулю
нормальных скоростей vr, непрерывность тангенциальной скорости vg
и касательного напряжения ag

v±r = 0,	=	a+0 = a_0\

(33.11)

кроме того, на бесконечности должно выполняться условие

оо*

В постановке задачи (33.10), (33.11) массовые силы отсутствуют.
Учет потенциальных массовых сил сводится к пересчету давления р± =
= р± — p±U, где U — потенциал массовых сил. При этом поле скорости
остается неизменным.

2.	Разложение по малому отношению вязкостей. Для капель,
движущихся в газе, обычно выполнено условие р+/р>- С 1, а скорость
V- существенно меньше Vqq. При большом числе Рейнольдса Re+ для
внешнего обтекания вблизи границы капли течение имеет особенности,
характерные для теории пограничного слоя на твердой поверхности.
Толщина пограничного слоя = a/^/Re+, где а — радиус шара.

Характерная величина касательного напряжения р+0 ~ р® обратно
пропорциональна толщине пограничного слоя = а/^/Re+ :

Re+ = ^.	(33.12)

о	а	и+

Касательное напряжение р+е вызывает вихревое течение внутри
капли, скорость которого по порядку величины v- ^pQTa/p-, откуда
с помощью (33.12) получим оценку:

v-^Rvoo, R =^у/Яё^.	(33.13)

Предполагая параметр R малым, решение краевой задачи (33.10),
(33.11 можно искать в виде разложений по степеням R:

v_ = Voq	+ ...),

Р+ = Р+^оо (р{+ + Rp(+ +•••).

(33.14)

Ре+ = р°в (т(0) + 7?т(1) + ...).

3.	Главные приближения внешней и внутренней задач. Нулевое
приближение внутренней задачи = 0 соответствует предельному
течению внутри капли, когда вязкость р- стремится к бесконечности.

Рассмотрим нулевое приближение внешней задачи. Подставляя раз-
ложения (33.14) для v+ и р+ в уравнения (33.10) и учитывая только
слагаемые, не содержащие малый параметр Я, получим

(v$0)v) v^0) = -Vp(0) + ^-Av^0), Vv^0) = 0.

(33.15)
Подстановка разложений (33.14) в граничные условия (33.11) дает
для условия прилипания

^=0, v$0>=0.

(33.16)

На бесконечности следует условие	—► v^.

Таким образом, для определения поля скорости получена кра-
евая задача (33.15), (33.16) обтекания твердого шара с условием при-
липания.

Перейдем к выводу уравнений и граничных условий первого при-
ближения внутренней задачи. Подставим разложение (33.14) для v_,
Р- в уравнения (33.10) и граничные условия (33.11). Учитывая главные
по малому параметру R члены, получим следующую краевую задачу
для определения безразмерных функции v_ , р_ .

(vL'MvL0 = -vpL0 + ^-Avl0, vvLi} = о,

'	7	Re_

(!)	(33.17)

2eT = ^-v<'2	=T(°>(0,Re+), v^r = 0,

dr V r=l

где внутреннее число Рейнольдса Re_ в соответствии с разложением
(33.14) определяется через характерную скорость внутри капли Rv^:

2

Re_ = flvooa =	r3/2	(33.18)

V- р-

В отличие от формального числа Rei (33.1) число Re_ характеризу-
ет соотношение между вязкими и инерционными силами внутри капли.
При Re_ 1 оно определяет толщину пограничного слоя:

Входящая в граничное условие (33.17) функция находится из
решения краевой задачи (33.15), (33.16) и представляет безразмерное
касательное напряжение на границе твердого шара, обтекаемого пото-
ком вязкой жидкости.

В размерных переменных v_ = Vqo-RvL1) краевая задача (33.17)
примет вид

p_(v_V)v_ = —Vp_ + /z_Z\v_, Vv_ = 0,	(33.19)

/	n (&v-e \ о (0)

r = a : v_r = 0, p- -q---v-e ]=РетУ •

\ or J

Краевая задача (33.17a) определяет течение вязкой несжимаемой
жидкости с заданным касательным напряжением на граничной ли-
нии тока.
Полученные краевые задачи (33.15), (33.16) и (33.17) существенно
проще исходной (33.10), (33.11). В точной задаче (33.10), (33.11) поля
скорости вне сферы и внутри нее зависят друг от друга и требуют
решения уравнений Навье-Стокса в обеих областях сразу.

Метод малого параметра позволил расщепить эти краевые задачи.
В результате на каждом этапе требуется решать только внешнюю или
только внутреннюю задачу. Процесс построения приближений различ-
ной степени по R можно продолжать неограниченно.

Ограничимся изучением главных нетривиальных приближений: ну-
левого приближения (33.15), (33.16) внешней задачи и первого при-
ближения (33.17) внутренней задачи, следуя [53, 54, 108].

Внешняя задача (33.15), (33.16) — это обтекание твердого шара,
в настоящее время она достаточно изучена. Ее решение зависит от
одного безразмерного параметра Re+. Для малых чисел Re+ решения
найдены в виде асимптотических разложений, для умеренных чисел
Re+ имеются численные решения. Кроме того, важнейшие характери-
стики обтекания шара найдены экспериментально в широком диапа-
зоне чисел Рейнольдса. Поэтому будем считать все необходимые нам
характеристики известными.

В краевое условие внутренней задачи (33.17) входит безразмерная
функция касательного напряжения на твердом шаре. От нее, глав-
ным образом, и будет зависеть течение внутри капли.

На рис. 8.12 изображены зависимости безразмерного касательного
напряжения на границе твердого шара в зависимости от 0 при
различных числах Re+.

Рис. 8.12. Касательное напряжение на границе твердого шара при различ-
ных Re+
Приведенные зависимости при Re+, равные 2,5 и 5, построены на
основании данных численных расчетов Дениса и Уокера [236], при
Re+ = 15; 50 и 150 на основании данных Леклера и других [234],
при Re+ = 500 зависимость взята из работы [276], а при Re+ = 78600
зависимость построена по экспериментальным данным Фейджа, приве-
денным в [288].

Как видно из рис. 8.12, при больших значениях чисел Рейнольдса,
Re+ 30, максимум т(°\#) один и тот же и равен примерно 1,3. Это
достигнуто благодаря выделению в главного асимптотического при
Re+ —► ос множителя ^/Re+ .

Для чисел Рейнольдса Re+ < 1 можно пользоваться аналитической
зависимостью для касательного напряжения в приближении Озее-
на [33]:

^/Re+	| sin# (1 + | Re+) + | Re+ sin#cos#.	(33.20)

4.	Решение внутренней задачи при малом значении внутреннего
числа Рейнольдса. При Re_ < 1 решение краевой задачи (33.17)
можно получить, пренебрегая силами инерции, в виде ряда Тэйлора
и Акривоса (33.6):

7,(0 =ЛО
г sin# dr ' г

_	1 дф

г2sin# 9#

оо

г!> = ^п (rn+3-rn+l)Qn(0),

П=1

(33.21)

Qn(6) =

Pn+l(cOS0) - Pn-l(cOS0) _ P„(COS0) . д
2n+l	-n(n+l)SmW-

Запишем граничное условие (33.19) при г = 1

оо	.

= - £(4п + 2)ап^ = г(°)(0).	(зз.22)

П=1

1	(д2ф	2 дф

г sin# \ Qr2	г дг

Коэффициенты ап находятся интегрированием по углу уравнения
(33.22), умноженного на Pk(cos#)sin2# (fc = 1,2,...):

7Г

r® sin2 # d0,

7Г

т® sin2 # cos # d#,

(33.23)

о	о

G’fc+l — 0>k— 1

+ 1	sin2 #Pfc(cos #) dO.

4

о
В работе [236] задача обтекания шара решается методом Галеркина.
Для вихря на границе шара получено разложение по присоединенным
функциям Лежандра Р„.

оо

х/Кё+г(0) = 529n(O)P^(cos0).

П=1

Коэффициенты gn(0) приведены для чисел Рейнольдса Re+ = 0,005,
0,1, 0,25, 0,4, 0,5, 2,5, 5, 10.

Коэффициенты ап и gn(0) выражаются друг через друга, если
принять во внимание (33.21):

п(п + 1)

(4п + 2) ^/Re+

9п(0).

Определенные таким образом коэффициенты представлены
в табл. 8.3 для Re+ = 2,5; 5,0; 10.

Таблица 8.3

Re		<12	аз	Q4	<15	<16	<17	<18
2,5	-0,4681	0,1562	0,0006	0,0000	0,0001			
5	-0,399	0,1898	-0,002	-0,0007	0,0002	0,0001		
10	-0,3374	0,2122	-0,0062	-0,0025	0,0004	0,0005	0,0001	
15	-0,3096	0,2306	-0,0137	-0,0056	0,0019	-0,0004		
50	-0,2582	0,2755	-0,0284	-0,0178	0,0059	0,0062	0,007	-0,0021
150	-0,2228	0,3049	-0,0655	-0,0346	0,0268	0,0294	0,0189	0,0013
500	-0,1553	0,300	-0,1301	0,0219	0,154	0,0565	-0,0059	0,0426
При Re+ = 500 величина ag = 0,0328.								

Для чисел Re+ = 15; 50; 150; 500 коэффициенты ап, приведенные в
табл. 8.3, вычислялись с помощью (33.23) по данным для касательного
напряжения т(°)(0), взятых из работ [234, 236, 276].

При Re+ С 1 коэффициенты ап находятся из формул (33.23) с по-
мощью асимптотического разложения (33.20) для г®:

+ | Re+), y/R^a2 = A Re+. (33.24)

Формулы (33.21) вместе с табличными значениями коэффициентов
и асимптотическими формулами (33.24) определяют течение внутри
капли при произвольных числах Re+ и Re_. Скорость на границе
находится с помощью следующей формулы:

1 д'ф

г sin 6 dr

r=l

2anQn(0)
sin#
n=l

ak = 0, k > 3.	(33.25)
На рис. 8.13 изображена эта зависимость.

Рис. 8.13. Скорость на границе капли при Re_ = 0 и различных значениях Re-|_

На рисунках 8.14-8.16 изображены изолинии функции тока (33.21)
при различных значениях Re+.

Re+ = 150

Рис. 8.14. Изолинии функции
тока (33.21) при Re_ = 0 и
различных Re-|_

Рис. 8.15. Линии тока внутри
капли, полученные численно
Леклером
На рис. 8.14 представлены распределения скорости на границе
сферы г = 1 при различных значениях числа Re+, определенных по
(33.21). Безразмерная функция диссипации внутри капли d(Re+, Re_)
при Re_ 1 зависит только от одно-

Рис. 8.16. Изолинии функции
тока (33.21) при Re_ = 0 и

Re+ = 500

го параметра и вычисляется по извест-
ным уже из (33.22) и (33.25) функциям
2е^1 =	1/1!:

— U	1 —и

7Г

d(Re+,0) = ^^е^2тг sin# d0 =

п(п + 1)

(33.26)

В соответствии с неравенством (32.27) максимум скорости
при Re_ = 0 превосходит максимум при любом другом значении
числа Re_.

Для чисел Рейнольдса Re+ < 50 функция vq на границе капли не
меняет знак. Это означает, что внутри капли течение безотрывное,
линии тока заполнят непрерывно всю внутренность шара. При зна-
чении числа Re+ = 150 скорость при 0 « 30° меняет знак и линия
тока внутри капли отрывается от границы. В окрестности кормовой
точки 0 <: 30° образуется второй вихрь. Следует заметить, что скорость
в зоне второго вихря в 30 раз меньше скорости в зоне основного вихря.
Поэтому область второго вихря можно считать застойной зоной.

Размеры застойной области зависят главным образом от внешнего
числа Рейнольдса Re+. Причиной ее возникновения является отрица-
тельное касательное напряжение внешнего потока в отрывной зоне,
существенное лишь при весьма больших значениях числа Рейнольд-
са Re+ 150.

На рис. 8.15 изображены линии тока внутри сферической капли,
полученные численно в работе [234]:

a)	Re+ = 15; Re_ = 16,1;

б)	Re+ = 50, Re_ = 97,9;

в)	Re+ = 150; Re_ = 509.

На рис. 8.14 изображены линии тока, полученные по форму-
ле (33.21) (Re_ = 0) при соответствующих рис. 8.15 значениях числа:

a) Re+ = 15; б) Re+ = 50; в) Re+ = 150.

В соответствии с теоремой Прандтля-Бэтчелора при Re_ = 509
течение близко к предельному при Re_ —► ос с постоянной интен-
сивностью вихря. Линия тока = 0 внизу на рисунках 8.14 и 8.15
определяет границу застойной зоны и оказывается независимой от
внутреннего числа Рейнольдса Re_. Это естественно, так как число
Рейнольдса, составленное по характерной скорости в застойной зоне,
мало, независимо от Re_.
Таким образом, с помощью аналитического решения (33.21) можно
вычислять разделительную линию тока между основным и возвратным
вихрями при любых числах Re+ и Re_. Независимо от значения Re-
разделительная линия тока появляется при числе Re+ ~ 150 и область
второго вихря увеличивается с ростом Re+. Однако даже при очень
больших значениях Re+ размер зоны основного вихря и скорости в нем
существенно больше.

На рис. 8.16 представлены изолинии функции тока (33.21) при
Re+ = 500 и Re_ = 0. Наибольшая скорость в зоне возвратного вихря
в 7 раз меньше максимальной скорости основного вихря.

5. Решение внутренней задачи при большом значении внутрен-
него числа Рейнольдса. Метод вычисления предельного при Re_ —► ос
решения краевой задачи (33.17) изложен в п. 32.2. Течение имеет
вихрь, пропорциональный расстоянию до оси симметрии. Функция
тока такого течения определяется первым членом ряда (33.21):

ф = — | ai sin2 0(г4 — г2),

(33.27)

а безразмерные скорость на границе и касательное напряжение
2е^0 — соответственно первыми членами ряда (33.21):

^0 = ai sin#, 2eLl0 = 3aj sin#.	(33.28)

Безразмерная диссипация на предельном поле скорости находится
с помощью тождества (32.21)

7Г
d(Re+,oc) = 2irsin0d0 = 4тга2. (33.29)
о

Постоянная вихря с связана с щ следующим образом:

2	с г

C(Re+) = -^-=5ai = 7 r^sin20d0.

Rvoo	4 к

о

(33.30)

В табл. 8.4 приведены значения C(Re+) для различных Re+,
рассчитанные по формуле (33.30). Функции взяты из данных
численных расчетов и эксперимента для обтекания твердого ша-
ра [234, 236, 276, 288] (см. рис. 8.12).

Таблица 8.4

Re-|_	0,5	2,5	5	10	15	20	50	150	500	78600
С	4,01	2,34	1,99	1,69	1,55	1,50	1,29	1,11	0,78	0,7
Для малого значения числа Рейнольдса Re+ 1 можно получить
асимптотическое выражение функции C(Re+) с помощью (33.20):

C(Re+) =	| Re+) //R^.

Полученная формула и табл. 8.4 определяют функцию C(Re+) во
всем диапазоне внешнего числа Рейнольдса от нуля до бесконечно-
сти и, таким образом, определено главное приближение при большом
внутреннем числе Рейнольдса для течения внутри капли. Зависимость
C(Re+) по данным табл. 8.4 приведена на рис. 8.17.

33.4. Анализ внешнего и внутреннего течений при движении
жидких капель в газе.

1.	Критерии подобия. Задача стационарного движения сфериче-
ской капли в вязкой несжимаемой жидкости имеет три безразмерных
критерия подобия, за которые в работах [65, 176, 177] принимаются

Re, =

V-

2avoo

(33.31)

Число Re2 является числом Рейнольдса внешнего течения, характе-
ризующим отношение инерционных сил к силам вязкости. Остальные
числа Rej и р такого ясного физического смысла не имеют.

На основе исследования, проведенного в п. 33.3, целесообразно вве-
сти следующие три критерия

Re = avoo Re_ =	Re3/2 д = М+ Vr^ (33.32)

р+14	м-

где число Re+ — внешнее число Рейнольдса, Re_ — внутреннее число
Рейнольдса, а число R определяет отношение характерной скорости
внутри капли к скорости обтекания капли Vqq.

Безразмерные числа (33.32) выражаются через (33.31) следующим
образом:

Re+ = | Re2, Re_ =

Re2\1/2 Rei
2 J 2ц ’

7?=(^y/2l.	(33.33)
Для движения капель в газе скорость внутри капли существенно
меньше скорости В этом случае внешнее течение практически
не отличается от обтекания твердого шара. Скорость внутри капли
находится из краевой задачи (33.17) для уравнений Навье-Стокса
с условием для касательного напряжения на границе шара.

Решение краевой задачи определяется только двумя параметрами
подобия Re+ и Re_, так что скорость V- пропорциональна R:

— = Rf(Re+,Re_) = -f(Re2,—\	(33.34)

Voo	Р \ Р /

Единственным ограничением приведенного результата является ма-
лость параметра R:	1

^< 1.	(33.35)

2.	Течение внутри капли при изменении значения внутреннего
числа Рейнольдса, В соответствии с (33.34) скорость внутри капли,
отнесенная к Rv^, зависит только от двух безразмерных параметров
Re+ и Re_, причем внутреннее число Рейнольдса Re_ мало влияет на

изменение поля скорости.

Рассмотрим безразмерные диссипацию и максимальную скорость
как функции параметров:

d(Re+,Re_) = -—

zp-v^R а

^max(Re+, Re_) = max vL!)

lv-l
= max v-—L.

Rvqq

Для этих функций можно применять оценки (32.23), (32.24)
и (32.27), в соответствии с которыми получим

d(Re+,oc) <J d(Re+, Re_) < d(Re+,0),

(33.36)

Umax(Re+, ОС) ^max(Re+, Re_) vmax(Re+,0).

Верхние оценки в (33.36) определяются из (33.25) и (33.26), а ниж-
ние — из (33.28) и (33.29).

На рис. 8.18 представлены зависимости d(Re+,0) и d(Re+,oc),
определяющие верхнюю и нижнюю оценки диссипации энергии внут-

Рис. 8.18. Верхняя и нижняя оценки диссипации энергии внутри капли
ри капли. Крестиками изображены значения функции диссипации d,
полученные по результатам численных расчетов Леклера [234] для
следующих четырех случаев:

1)	Re+ = 5, Re_ = 3,10; R = 0,0406;

2)	Re+ = 15, Re_ = 16,1; R = 0,0703;

3)	Re+ = 50, Re_ = 97,9; R = 0,128;

4)	Re+ = 150, Re_ = 509; R = 0,222.

Как видно из рис. 8.18, при изменении внутреннего числа Рей-
нольдса от 0 до бесконечности функция диссипации d изменяется
в небольших пределах. Максимальное изменение d при Re+ = 150
составляет 40%, при Re+ = 50 около 30%, при Re+ = 10 около 10%,
а при Re+ = 1 всего 1 %.

Отсюда можно заключить, что распределение скорости внутри кап-
ли определяется главным образом значением внешнего числа Рейнольд-
са, что видно из рис. 8.19.

Рис. 8.19. Верхняя и нижняя оценки максимальной скорости внутри капли

На рисунках 8.20-8.22 сравниваются зависимости от угла 0 без-
размерной скорости = v-o/Rvqq на границе капли, найденные

Рис. 8.20. Скорость на границе кап-
ли при Re-ь = 15 и различных Re-

Рис. 8.21. Скорость на границе кап-
ли при Re+ = 50 и различных Re_
Леклером [234] численным решением полной задачи, с функцией
при Re_ = О, определяемой по

(33.25).

3.	Максимальная скорость
внутри капли. Наибольшая ско-
рость внутри капли достигается на
ее границе. Верхний предел vmax
определяется из решения (33.25)
с коэффициентами ап, приведен-
ными в табл. 8.3, нижний предел
vmax находится по формуле (33.28).

На рис. 8.19 изображены верх-
ний и нижний пределы наиболь-
шей безразмерной скорости vmax
как функции числа Re+. Точками
обозначены результаты расчетов
этих величин по формулам (33.28)
и (33.37). Крестики представляют

Рис. 8.22. Скорость на границе кап-
ли при Re-|_ = 150 и различных Re-

численные значения этой величины, полученные Леклером [234],

кружки — результаты численных расчетов В. Я. Ривкинда и др.
[176, 177], косые крестики — результаты расчетов Г. Р. Шрагера, про-
веденных по разностной схеме, описанной в [35]. Результаты расчетов
Г. Р. Шрагера приведены в табл. 8.5.

Таблица 8.5

Re+	2,5	5	10	20
Re_	3,16	4,48	7,32	8,94
R	0,158	0,224	0,316	0,447
^max	0,501	0,405	0,339	0,294

Из рис. 8.19 видно, что все численные данные для vmax хорошо
согласуются с аналитическим выражением (33.28) для нижней оценки
скорости, в соответствии с которой vmax(Re+,oc) = ai(Re+).

Так же как и диссипация d, внутри капли максимальная скорость
vmax при постоянном внешнем числе Рейнольдса может изменяться в
небольшом диапазоне. При Re+ = 150 это изменение составляет 30%,
при Re+ = 50-25%, при Re+ = 10-12%.

Таким образом, выражение maxv_ = 7?vooai(Re+) является уни-
версальной приближенной формулой для расчета максимальной скоро-
сти внутри капли, если только 1/(57?) С 1.

4.	Приближение Харпера и Мура. Если параметр R достаточно
большой, то скорость внутри капли сравнима с внешней скоростью
обтекания Если Re+ 1, то в этом случае можно пользоваться
асимптотическим решением Харпера и Мура [250].
Главным приближением решения Харпера и Мура является течение
сферического вихря Хилла с непрерывным распределением скорости на
границе. Функции тока вне V>+ и внутри имеют вид

(33.39)

г'2 sin2 0 (г'2 - а2),	(33.37)

4а

I 3	. а

ЗД|г'=а = х VooSmfl.

Вне капли и внутри нее вблизи границы создается мягкий погра-
ничный слой, в котором меняются существенно вихрь и касательное
напряжение, а скорость изменяется мало. Течение в пограничных слоях
определяется из решения линейных уравнений типа теплопроводности.

Диссипация энергии внутри и вне капли оказывается близкой к
диссипации на поле скорости для сферического вихря Хилла (33.37).

Скорость падения капель находится из уравнения баланса работы,
совершаемой силой тяжести, и диссипации D:

t ira3g(p- - p+)voo = D,	(33.38)

О

а коэффициент сопротивления находится из следующей формулы:

С _ D _ 24 Л Зр_
D (1/2)р+г^о7га2	^е+ \ М+

Для сферического пузырька, когда М-/М+	0» формула (33.39)

получена В. Г. Левичем [106].

Харпер и Мур учли диссипацию энергии в пограничных слоях
внутри и вне капли и уточнили результат (33.39). Они провели также
сравнение с экспериментальными данными, которое показало удовле-
творительное согласие предложенной ими теории и эксперимента.

Выводы. 1. Дано асимптотическое решение задачи о движении
сферической капли вязкой жидкости, когда внешнее число Рейнольдса
мало, а внутреннее велико. Показано, что внутри капли образуется
мягкий пограничный слой, в котором происходит резкое изменение
касательного напряжения, а скорость изменяется мало. Течение в по-
граничном слое описывается линейным уравнением типа теплопровод-
ности.

2.	Введены три безразмерных параметра подобия [53]:

где р_, 1/_, р_ — плотность, кинематическая и динамическая вязкость
внутри капли;	— соответствующие характеристики вязкой
жидкости, обтекающей каплю; а — радиус капли; — скорость
потока на бесконечности.

Установлен физический смысл каждого из введенных параметров:
Re+ и Re_ — соответственно внешнее и внутреннее числа Рейнольдса,
R — отношение характерной скорости внутри капли к скорости г^.
Вне и внутри капли при Re± 1 образуются пограничные слои тол-
щиной £± = а/^/Re± .

3.	Дано исследование задачи о движении сферической капли вязкой
жидкости при любых значениях внешнего и внутреннего чисел Рей-
нольдса при условии 1/5/? С 1 [53].

Вне капли поле скорости и поле напряжений мало отличаются от
соответствующих полей в потоке, обтекающем твердый шар при том
же значении числа Re+-

Внутри капли поле скорости, отнесенное к Rv^, зависит только от
двух параметров:

= vL’^x, Re_, Re+).

Rvqq

4.	Получены двухсторонние оценки для диссипации энергии внутри
капли и максимальной скорости.

Верхняя и нижняя оценки определены во всем диапазоне значений
внешнего числа Рейнольдса 0 < Re+ < ос. Разница между верхней
и нижней оценками при больших числах Re+ составляет десятки
процентов и ничтожно мала при числа Re+ порядка единицы.

5.	Установлено, что независимо от величины Re_ при Re+ 150
область течения внутри капли состоит из двух вихрей. Граница второго
вихря определяется из найденного аналитического решения для функ-
ции тока (33.21). Размер зоны основного вихря и скорость в нем суще-
ственно превосходят соответствующие характеристики второго вихря.

6.	Найдено простое соотношение для определения максимальной
скорости внутри капли: maxv_ = 7?Vooai(Re+), где функция ai(Re+)
рассчитывается с помощью асимптотической формулы и представлен-
ной таблицы во всем диапазоне чисел Рейнольдса.

Проведенное сравнение полученного соотношения с численными
расчетами различных авторов дает хорошее согласие.

§ 34.	Движение в газе деформированных капель
вязкой жидкости

34.1.	Обзор теоретических работ по движению деформирован-
ных капель.

1. Деформация капель при малых числах Рейнольдса, Малая
деформация капель вязкой жидкости, падающей в другой вязкой жид-
кости, изучалась в работе Тэйлора и Акривоса [284]. Форма капли
определялась по формуле

г= !+<(/?) /3 = cos0.	(34.1)
Для функции £(/3) получено

с = -AWe W) -	W),	(34.2)

Т 1J Кв2

1	/81 з , 57 2 , ЮЗ ,3 7 - 1 / , ,Л

4(м+ I)3 \80М + 20М + 30 М+ 4	12 ^+1^’

где We = p2av2QO/a — число Вебера; 7 = pi/рг» ^(/3), Рз(Р) — полином
Лежандра; все остальные обозначения совпадают с обозначениями,
введенными выше.

При выполнении условия We/Re2 1 форма капли определяется,
главным образом, второй гармоникой Рг- Капли имеют форму, близкую
к эллипсоиду с отношением оси поперек скорости к продольной
оси х, равным

х = 1 + IA We.	(34.3)

При движении маловязких капель р —► 0 и формула (34.2) упроща-
ется:	9

х 10-7 л \\л/ d 6А We D	/ал л\

А = ~48 > < = -AWeF2 - Т рз. (34.4)

Для жидких капель в газе (р 1, 7	1)

х 81	7 л ХХА/ D ЗЗЛ We2 D	ZQ. r\

а = зй“й7; < = -AWe^ - ss Рз- <34 5)

При A > 0 в соответствии с (34.3) капли сплющиваются, а при А < 0
вытягиваются вдоль скорости v^. Эффекты деформации существен-
ны при We ~ 1, однако в этом случае параметр We/Re2 становится
большим. Поэтому в рассматриваемом приближении роль третьей гар-
моники всегда существенна и деформация капель асимметрична.

В наиболее распространенном случае А > 0 при увеличении размера
капли она деформируется, принимая форму сплюснутого эллипсоида
с большой кривизной в лобовой точке.

Другой случай — А < 0 — возможен только при большой плотности
капли и малой вязкости, например, капля ртути в воде или в воздухе.
Капля в этом случае вытягивается вдоль скорости движения и имеет
меньшую кривизну в лобовой точке по сравнению с кривизной в кор-
мовой точке.

А. С. Бригнелл [229] дополнил разложения Тэйлора и Акривоса
членами следующего порядка малости по параметру Re2-

2.	Приближение идеальной жидкости. В приближении потенци-
ального течения идеальной несжимаемой жидкости задача стационар-
ного движения капли решена Л. А. Клячко [91] и другими [66]. В этих
работах предполагалось отсутствие течения внутри капли, а ее форма
аппроксимировалась эллипсоидом вращения. Найденная зависимость
числа Вебера We от деформации х имеет максимум We « 1,63 при
х = 3,7. Это значение числа Вебера связывается с критическим, при
котором капля теряет свою устойчивость.

Задача устойчивости стационарного движения в предположении
потенциальности течения и малого отклонения формы капли от сферы
изучалась в [26].

Во всех перечисленных работах критическое число Вебера находит-
ся в пределах 1,6-1,8, что в несколько раз меньше экспериментальных
значений.

А.М. Головиным [62] найдены условия дробления почти сфери-
ческой капли при наличии внутри нее вихревого течения идеальной
жидкости.

3.	Численные решения. Численные решения о деформации капли
при ее сильном торможении в потоке газа с помощью локальной фор-
мулы для коэффициента давления даны А. Л. Гонором и др. [64, 65].
В работе В. Я. Ривкинда [175] сеточными методами рассчитано стаци-
онарное движение капель в вязкой жидкости для различных значений
безразмерных параметров. Подробное описание этих расчетов и дру-
гих, касающихся движения капель, приведено в обзоре [65].

Ряд расчетов полных уравнений Навье-Стокса на основе разност-
ных схем приведен в [30, 35].

4.	Эксперименты. Описание большого количества эксперимен-
тальных работ по исследованию деформации капель имеется в обзо-
ре [65]. Наиболее интересные данные по скорости падения дождевых
капель с радиусами менее 2,9 мм (под радиусом капли понимается
радиус шара, эквивалентного капле по объему) представлены в [244].
В книге [123] эти данные дополнены значениями деформации капли.

Наиболее точные экспериментальные данные по форме падающих
дождевых капель приведены Прупачером и Питтером [272]. Радиус
капель в этой работе изменялся от нуля до критического, равного 4 мм,
при котором капли начинают дробиться.

Можно согласиться с мнением авторов обзора [65], что «теоре-
тические и экспериментальные данные, накопленные к настоящему
времени, не позволяют еще достаточно надежно описать механизм
взаимодействия капли с потоком газа. Хотя выполнено большое коли-
чество экспериментальных исследований, они не связаны обобщающи-
ми идеями и содержат, главным образом, конкретные результаты для
определенного узкого диапазона параметров».

34.2.	Деформация и устойчивость вязких капель, движущихся
в газе с постоянной скоростью.

1.	Разложения по малому отношению вязкостей. Уравнения
первого приближения. Рассмотрим стационарное обтекание жидкой
капли потоком жидкости. Форма капли и течение жидкостей вне и
внутри капли предполагаются осесимметричными. Жидкости внутри
и вне капли считаем вязкими и несжимаемыми. Обозначим через v+
вектор скорости вне капли,	— соответственно динамическую

и кинематическую вязкости, — плотность жидкости вне капли.

Соответствующие характеристики движения внутри капли отметим
индексом «—».

Внутри и вне капли поля скоростей подчиняются уравнениям Навье-

Стокса:

p±(v±V)v± = -Vp± + p±g = /z±Vv±, Vv± = 0.	(34.6)

На поверхности капли dV заданы четыре условия: равенство нулю
нормальных скоростей vni непрерывность тангенциальной скорости vT
и касательного напряжения рТ

v±n = о, v+r = v_T, p+r = Рт-	(34.7)

Кроме того, на бесконечности должно выполняться условие

оо*

(34.8)

Форма капли определяется из условия баланса нормальных напря-
жений и капиллярной силы на границе капли. Если считать форму
капли известной, то краевая задача (34.6)-(34.8) аналогична задаче,
рассмотренной в п. 7.5, и решение ее можно получить тем же методом.

Для капель, движущихся в газе, обычно выполнено условие
д+/д_	1, а скорость V- существенно меньше При большом

числе Рейнольдса Re+ для внешнего обтекания вблизи границы капли
течение имеет особенности, характерные для теории пограничного слоя
на твердой поверхности. Толщина пограничного слоя = //^Re+,
где I — радиус шара, эквивалентного капле по объему.

Характерная величина касательного напряжения ~ р®т обратно
пропорциональна толщине пограничного слоя

О _ М+^ОО _ Р +^ОО /ро	Ро ___

- -у-, Re+ - —

(34.9)

Касательное напряжение сг+т вызывает вихревое течение внутри
капли, скорость которого по порядку величины V- ~ р®1/р_, откуда
с помощью (34.9) получаем оценку

v_ Rvqq, R = — yRe+ .
Р~

Предполагая параметр R малым, решение
(34.6)-(34.8) можно искать в виде разложений
аналогичных разложениям (33.14):

(34.10)

краевой задачи
по степеням R,

V = Voo + Rv^ + ...), v_ = Voo + ...),	(34.11)

Рт+ = р?+(т(0) + 7?t(1) + ...).

Отсюда находятся уравнения и граничные условия для коэффици-
(п)	(п)

ентов разложения	.
Для определения р^ получим краевую задачу обтекания
твердого тела с условием прилипания = 0 на его границе. Для
т/Р получим задачу вычисления течения в области замкнутых линий
тока V с граничным условием для касательного напряжения, рассмот-
ренную в п. 7.5.

Процесс можно продолжать неограниченно.

2.	Структура решения краевой задачи первого приближения.
Для определения течения внутри капли в первом приближении тре-
буется построить поле скорости в области замкнутых линий тока
с граничным условием для касательного напряжения.

В соответствии с теорией, изложенной в п. 32.2, при большом внут-
реннем числе Рейнольдса Re_ около границы капли возникает «мяг-
кий» пограничный слой <5_ = //^/Re_ . В пограничном слое происходит
изменение величины вихря щ = |rotv_| порядка единицы и малое из-
менение скорости V- порядка S. Величина с' = а>/у, где у — расстояние
от оси симметрии, постоянна внутри капли всюду вне пограничного
слоя (с! = с = const), а в пограничном слое d удовлетворяет уравнению
конвективной диффузии на предельном поле скорости vc (|rot vc| = су).

Постоянная с находится из определяющего соотношения (32.10):

Рт-^-^с dS,

dV

где Dc — диссипация энергии на предельном поле скорости vc, рт+ —
касательное напряжение на твердой границе dV.

Выделяя множитель vc = cvo, Dc = c2Z>o и введя переменную Ми-
зеса dt = r2vods, приведем определяющее соотношение к следующему
виду:

c2Dq =

dv

откуда для с получим

pT+cvodS = 2ircJ,

2%7

(34.12)

Для эллипсоидальной капли величины Dq и to нетрудно вычислить

Do = ^M_Z5*2/3(ie 2^2+a?4), to = 4^2/3,	(34.13)

15	(4 + яГ)2	15

где х — отношение оси, перпендикулярной потоку, к оси эллипсоида,
параллельной потоку.

Для решения всей задачи остается определить интеграл J.

3.	Расчет интенсивности вихря внутри эллипсоидальной кап-
ли. Форму капли будем считать эллипсоидальной. Это допущение
не является чрезмерно грубым. В ряде экспериментальных работ до

11 А. Г. Петров
весьма больших деформаций капли имели форму, близкую к эллипсо-
идальной, в широком диапазоне исходных параметров [123, 244, 290].
Предположение об эллипсоидальной апробировано в теоретических
работах, посвященных расчету всплывающих пузырьков и падающих
капель (см. п. 31.6).

Для упрощения вычислений интеграла J в (34.21) будем предпо-
лагать, что подынтегральная функция зависит от одного линейного
параметра — радиуса кривизны а = /ж4/3 в полюсе эллипсоида.

Действительно, функции р+Т/г от t максимальны в полюсе и в
его окрестности дают основной вклад в интеграл J. Поэтому второй
линейный параметр эллипсоида менее существен и зависимостью от
него можно пренебречь. Указанные соображения позволяют сделать
вывод о виде подынтегральной функции:

Р±1 =	, Re.), f = i Re. = ^, р^ц+^y/R^.

(34.14)
Подставляя (34.14) в (34.12), получим

=	=3B(4 + IVC(R.)|	(3415)

voo 5z2(16 — 2х2 + z4)

где функция C(Re*) определяется из решения соответствующей задачи
для сферической капли с помощью формулы

T(t',Re»)dt'= | f т(0) sin2 0 <

О	о

совпадающей с формулой (33.30). Расчетные значения функции C(Re)
приведены в табл. 8.4, а также на рис. 8.17.

Безразмерный параметр Qp_/p+ — это отношение характерных
динамических напоров внутри и вне капли. Вместе с безразмерным
числом Вебера он определяет деформацию капли. Таким образом, по
деформации капли можно судить о величине О, а с помощью (34.15)
можно определить значение C(Re*). Предлагаемый способ является
одним из возможных путей определения внутренней интенсивности
вихря непосредственно из эксперимента.

4.	Расчет деформации капли. Для определения формы капли
следует привлечь оставшееся пока неучтенным граничное условие для
нормальных напряжений. При Re+ 1 нормальные напряжения близ-
ки к давлениям р+ и р_ соответствующих предельных течений невяз-
ких жидкостей, причем внешнее течение, вообще говоря, отрывное.
Запишем это граничное условие

Р- - Р+ = 2аН,

(34.16)

где а — коэффициент поверхностного натяжения, Н — средняя кри-
визна поверхности.
Предполагая форму капли эллипсоидальной, можно определить ко-
эффициент ее деформации х различными приближенными методами.
Одним из них является метод коллокации, состоящий в том, что
граничное условие (34.16) удовлетворяется на полюсе и экваторе. Этот
метод с успехом применялся при расчете деформации капель и пузырь-
ков [91, 267].

В безразмерном виде условие (34.16) примет вид

ПДсГ - Дс+ - nJ- ДЛ = 0,	(34.17)

0+ р р We	'

где безразмерный параметр Q определяется из (34.15), We =
= p+v^l/cr — число Вебера, коэффициенты давления с± и безразмер-
ная кривизна h определяются с помощью соотношений

2

оо

Знак △ в (34.17) означает разницу значений функций на экваторе
и полюсе.

Для больших деформаций более точное соотношение можно полу-
чить вариационным методом:

f(x) = т'(х) - Ы(х) -	= 0,	(34.18)

где функции т'(х), г'(х) и sf(x) выписываются в явном виде.

Уравнения (34.17) и (34.18) устанавливают связь между тремя
параметрами p_Q/p+, We, х.

Учитывая (34.15), из (34.17) или (34.18) можно получить для функ-
ции C(Re*) следующее соотношение:

(34.19)

С помощью (34.18) функции А(х) и В(х) выражаются следующим
образом:

= т	В(х} =	3(4 + ж )	i (х)	/од рп)

s'(z)’ Н 5z2(16-2z2 + z4) s'(xY	(	}

Аналогично можно выразить функции А и В через АС^ и АЛ,
исходя из (34.17).

При отсутствии вихревого течения внутри капли с = 0 и функция
А(х) определяет зависимость обратного числа Вебера от х. Этот случай
рассмотрен в работах Л. А. Клячко [91] и Мура [267], результаты
которых находятся в согласии с (34.20).

Формула (34.19) позволяет приближенно вычислять интенсивность
вихря внутри деформированной капли для весьма больших чисел Рей-
нольдса, при которых численные расчеты пока невозможно выполнить.

и*
В табл. 8.6 приведены расчеты для безразмерной величины С при
больших числах Re+. Данные для величин I, Vqq, х взяты из экс-
периментальных данных [123, 244] для падающих капель в воз-
духе при нормальных условиях (а = 72,8 дн/см, р+ = 0,0012 г/см3,
= 0,15 см2/с, р- = 1 г/см3, и- = 0,01 см2/с). В первых трех стро-
ках таблицы приведены экспериментальные значения для /, и х,
в четвертой и пятой строках — вычисленные значения чисел Re+ и We
и, наконец, в шестой строке — вычисленные значения С по (34.19)
и (34.20).

Таблица 8.6

I, мм	0,7	1,0	1,5	2,0	2,5	2,9
Voo, СМ/С	517	649	806	874	909	917
X	1,060	1,104	1,185	1,279	1,389	1,492
Re+	241	433	806	1180	1515	1770
We	0,308	0,694	1,62	2,31	3,44	4,06
С	0,611	0,595	0,553	0,529	0,565	0,609
df/dx			0,391	-0,327	-0,443	-0,502
dft /дх			1,31	0,533	0,353	0,241

Как видно из табл. 8.6, величина С колеблется около значения С «
« 0,6, что согласуется с теоретически найденным значением величины
С < 0,7 при Re+ —► ос (см. табл. 8.4).

5.	Устойчивость стационарного движения капель. Изучение
деформаций капли, движущейся в потоке идеальной несжимаемой
жидкости, можно провести с помощью уравнений Лагранжа. В гл. 3
представлено выражение для функции Лагранжа L (и, х, х) дина-
мической модели капли, имеющей две степени свободы: координату,
определяющую поступательное движение гго» #о = it, и координату х,
определяющую деформацию капли

L = T+ +Т1 - |c2/-xS,	(34.21)

где — кинетическая энергия потока жидкости, обтекающего каплю,
Т* — сумма кинетической энергии капли, движущейся как твердое
тело со скоростью и, и кинетической энергии капли за счет деформа-
ции, l/(2c2Z) — кинетическая энергия вихревого течения внутри капли
с интенсивностью вихря с, xS — энергия поверхностного натяжения

т+ =	p+l3m(x)u2, I =	pJ,7pJ,7i(x),

О	о

Т* —	(р-13и2 + р-15т»(х)х2), 5 = | irl7s(x).

О	о

(34.22)
Для эллипсоидальной капли в гл. 3 приведены явные выражения
функций т(я), m*(x), г(х) и s(x).

Уравнение для деформации имеет вид

dt дх дх

(34.23)

В гл. 3 это уравнение дополняется законом сохранения количества
движения dL/ди = const. Ввиду того, что для жидких капель, движу-
щихся в газе, плотность р_ на три порядка превышает плотность газа
р+, из этого закона сохранения следует, что скорость капли постоянна.
В этом случае для деформации капли в стационарном движении полу-
чено уравнение (34.18), а для устойчивости стационарного движения
получено условие

g = -m"(x) + g Ш"(х) +	s"(x) > 0.	(34.24)

В седьмой строке табл. 8.6 приведены соответствующие значения
функции df/dx, откуда видно, что по условию (34.24) водяные капли,
падающие в воздухе, теряют устойчивость при I 1,8 мм, т. е. зна-
чительно раньше, чем в опытах, описанных в [244, 273] (1^4 мм).
Причина расхождения с экспериментом заключается в том, что при из-
менении деформации капли меняется вязкое сопротивление и скорость
в опыте также меняется.

Для учета этого эффекта примем квадратичный по скорости закон
сопротивления с коэффициентом сопротивления сх = 0,365а:1 8. Отсюда
следует, что скорость падения капли зависит от деформации следую-
щим образом:

и = и(х)	(gi /2.	(34.25)

Указанные эмпирические зависимости хорошо согласуются с дан-
ными опытов [244, 273] при достаточно больших деформациях капли
х 1,18 (см. также табл. 8.6).

Рассмотрим малое возмущение стационарного движения

х = xq + ei, и = zz(rro)(l +^2)-

Из уравнений (34.23), (34.25) для малых отклонений деформации ej
и скорости 62 получим

р-12ТП*(ху)
p+u2(zo)

dxQ

е\ - 2m\xo)e2 = О,

и (xq)
u(xq)

(34.26)
При условии

dfi
дх

= ^L

X=Xq дх

- 2т' (ю) Фу
х=х0	и(Хо)

>0,

/1 = -т'(х)

и2(х)
и2(хо)

+ М(х) +

Р+

s'(x)
We

(34.27)

решение уравнений (34.26) представляет гармонические колебания с
постоянной амплитудой. В противном случае малые отклонения £2
растут со временем по экспоненте.

При постоянной скорости и!(яо) = 0 и условия устойчивости (34.26)
и (34.24) совпадают.

В последней строке табл. 8.6 приведены значения df\/dx с учетом
эмпирической зависимости (34.25) для скорости капли. Как видно из
таблицы, форма капли устойчива для всех размеров I < 2,9 мм, что
подтверждается опытом.

Деформация падающих дождевых капель большего размера вплоть
до дробления ^4 мм была изучена в опытах, описанных в [273].
Результаты этих опытов представлены в первых пяти строках табл. 8.7
при I 3 мм. Для капель меньшего размера данные [273] согласуются
с данными [244].

Таблица 8.7

/, мм	3,0	3,5	4,0
и, см/с	918	918	919
X	1,58	1,61	1,72
Re+	1800	2144	2450
We	4,12	4,82	5,51
С	0,686	0,67	0,75
df/dx	-0,488	-0,603	-0,706
df\/dx	0,237	0,088	-0,057

Как видно из последней строки табл. 8.7, условие устойчиво-
сти (34.27) выполнено для капель всех размеров, кроме I = 4 мм. Соот-
ветственно, в опытах [273] установлено, что капли размером I = 4 мм
и выше нестабильны и дробятся на более мелкие.

Таким образом, учет зависимости скорости капли от ее деформа-
ции (34.25) оказывается весьма существенным при описании колеба-
ний капель, а также при изучении устойчивости стационарной формы
капель.
Выводы. 1. Получено решение задачи о малой деформации капель
в стационарном потоке вязкой жидкости, когда внешнее число Рей-
нольдса мало, а внутреннее — велико.

2.	Представлено исследование стационарного движения вязкой кап-
ли в потоке вязкого газа при большом значении внутреннего числа
Рейнольдса. Для внутренней циркуляции и деформации капель полу-
чены приближенные аналитические выражения через определяющие
параметры задачи.

Расчетные формулы для конечной деформации капель находятся
в согласии с экспериментом.

3.	Получены уравнения колебаний капли, падающей в газе, и ре-
шена задача устойчивости. Теоретическое значение критического раз-
мера капли согласуется с опытными данными по дроблению дождевых
капель.

§ 35. О движении твердых частиц в вязкой жидкости

35.1.	Сопротивление сферической частицы.

1.	Сопротивление в установившемся потоке жидкости. Из
теории подобия и размерности вытекает следующее соотношение для
силы сопротивления, действующей на шар:

/2/ =Cx(Re), Re = ^.
ira pv /2	и

Безразмерная величина Сх называется коэффициентом сопротивления
шара. Она вводится через отношение силы сопротивления F к произ-
ведению площади Миделя тга2 (поперечное сечение наибольшей пло-
щади) и динамического напора pv2/2.

На рис. 8.23 изображена зависимость коэффициента сопротивле-
ния Сх от числа Рейнольдса. По оси абсцисс в логарифмической
шкале нанесено число Рейнольдса Re^ = 2Re по диаметру шара.
При числе Рейнольдса Re < Rei « 10 обтекание безотрывное. При
Rei < Re < Re2 « 65 обтекание стационарное с конечной зоной отры-
ва. При Re2 < Re < Rea « 500 за шаром образуется нестационарный
вихревой след. В области Rea < Re < Re4 « 1.5 • 105 коэффициент
сопротивления практически постоянен Сх « 0,4. В окрестности значе-
ния Re « Re4 происходит резкое снижение сопротивления тела. Эта
область называется кризисом сопротивления. Следует заметить, что
картина течения в этой области настолько сложна, что до сих пор не
существует надежных методов для численного решения этой задачи.
Поэтому зависимость Cx(Re) определяется из эксперимента.

Сплошная и штриховая линии соответствуют асимптотическим ре-
шениям Стокса и Озеена для малых значений числа Рейнольдса. За-
висимости Стокса и Озеена имеют вид (см. асимптотическое разложе-
ние (33.9))

Re

Рис. 8.23. Зависимость коэффициента сопротивления шара от числа Рей-
нольдса

Для всех чисел Рейнольдса до кризиса сопротивления Re < Re4 можно
пользоваться следующей аппроксимацией:

Сх « ^(1 +0,241 Re0687)+ 0,42(1 + 1,902 • 104 Re-1'16)-1.
Re

Длину отрывной зоны (см. рис. 8.23) при Re е (Rei,Re2) можно вы-
числить по формуле

Эта зависимость вытекает из асимптотического решения (33.9) и под-
тверждается экспериментом и численными расчетами.

При Re е (Re2, Re4) точка отрыва в в градусах вычисляется по
формуле 0о = (Ю2 — 213/Re0,37).

2.	Сопротивление в переменном поле скорости. Согласно (17.14)
на помещенную в поток с переменным полем скорости v(t,r) твердую
сферическую частицу массы psV со стороны жидкости действуют сила
инерционной природы:

где g — ускорение свободного падения, — pVg — сила Архимеда.
В вязкой жидкости поле скорости отличается от поля скорости
идеальной жидкости на слагаемое v', которое вызывает дополнитель-
ную силу, действующую на частицу. Например, при вибрации сосуда
с жидкостью с высокой частотой ускорение жидких частиц обычно
учитывается слагаемым dv'/dt. Тогда, оставляя в уравнениях вязкой
жидкости только линейные члены, для поля скорости v' получим

Р^г =	+ //Av', Vv' = 0.

at

На границе сферы выполняются условия прилипания, а при удалении
от сферы скорость течения стремится к скорости невозмущенного тече-
ния жидкости v'. Соответствующие линейные задачи решены Стоксом
и Бассе (см. Ландау и Лифшиц [105] и Нигматулин [131]). Для вязкой
составляющей силы по оси х получено следующее выражение:

F2 = Fst + FB, FSt = -бтг/iau, FB = -6а2тг^/рД/(й),	(35.1)

где и = г — v — относительная скорость, Fst — сила Стокса, Fb —
наследственная сила Бассе, а I — интегральный оператор:

t

f(/(t)) = -L f dr.	(35.2)

у 7Г J y/t — T

О

Таким образом, на частицу массы psV действует со стороны жидкости
сила Fi + F2 и сила тяжести. С учетом этих сил уравнения движения
частицы в жидкости будут иметь вид

(р + 2ps)r = 3pw + 2(ps — p)g — -у и —
а

t

й(т)dr
J v/7r(t — т)
О

(35.3)

3.	Свойства интегрального оператора. Укажем свойства инте-
грального оператора Г.

p(t — х2) dx,

=	+ i(Tp) = ]pdt',

at	\ at /

0

(35.4)

(35.5)
35.2.	Осаждение сферической частицы.

1.	Уравнение осаждения частицы. Задача осаждения частицы в
поле силы тяжести получается из уравнения (35.3) при отсутствии
внешнего течения (v = w = 0):

(p + 2pa)U = -2(pa-p)g-^U--^I(U), 1/(0) = 0, (35.6)
а а

где U — скорость осаждения частиц. Отсюда получаем уравнение для
безразмерной скорости и = U/U^ — 1 относительно установившегося
значения U<x>*.

(k + 2)^ + 3\Skl№\+u = Q, u(0) = —1,
dr	\dr J

(35.7)

2(fc-l)a2g

k = p/pa, t =
vkv

Для решения задачи (35.7), пользуясь свойством (35.5), можно
построить разложение при т —► 0:

и = — 1 +

4\/к

& + 2	У^(^ + 2)2

гз/2

4fc-1 т2 8(4 - 7к)Ук г5/2
fc + 2)3 5(fc + 2)4v6r

55А:2 - 50k + 4 з ,0(- оч
Н-———5—Т . (35.8)

Для получения асимптотического разложения решения при t —► оо
нужно получить решение уравнения на всем бесконечном интервале
времени. Для этого можно попытаться применить метод преобразо-
вания Лапласа. Однако возникают большие трудности при обраще-
нии преобразования Лапласа. Виллат в 1944 г. обошел эти трудно-
сти, сведя интегродифференциальное уравнение к дифференциальному.
Приведем вывод этого дифференциального уравнения несколько иным
способом.

2.	Приведение к дифференциальному уравнению. Вводим новую
переменную и = q — 1 и два оператора:

А = (& + 2)+ 1, В = 3^кТ^~.
dr	dr

Тогда у равнение^ примет вид: (Л + В)и = 0. Применяя к этому уравне-
нию оператор (Л — В), получим

+ (АВ - ВА)и - В2и = 0.	(35.9)

Пользуясь свойствами (35.4), имеем

А? и = {к + 2)2й + 2(к -I- 2)й + и,
(АВ - ВА)и = Зу/к (к + 2)

В2и = 9кй,

Ц(0)
х/тгт
Подставляя найденные выражения операторов в уравнение (35.9), по-
лучим окончательное дифференциальное уравнение для и:

й + ай + Ъи = /(т),

- 4~7k h -	1 f( 1 =	3 /А (35.10)

a-(fc + 2)2’	~ (к + 2)2'	~ (k + 2)2N‘jrT

Для осаждения частицы из состояния покоя будут выполнены сле-
дующие начальные условия:

u(0) = —1, й(0) = ^,	(35.11)

К J £

где й(0) вытекает из уравнения (35.7). В несколько иных обозначениях
это уравнение получено в работе [266].

Полученное уравнение описывает вынужденные колебания, в ко-
тором ай играет роль диссипативной силы. В физических задачах
коэффициент трения а должен быть положителен. Интересно, что для
достаточно легких частиц к = р/ps > 4/7 коэффициент а в уравне-
нии (35.10) будет отрицательным (сила не уменьшает, а увеличивает
энергию). В этом состоит особая специфика уравнения (35.10).

3.	Точное решение. Частное решение уравнения (35.10) в зависи-
мости от дискриминанта a2 — 4Ь имеет вид (см. Камке [86, с. 376]).

Случай а)

Л2 = а2 — 46 > 0, а < 0,

оо

/(/) Гe^al+Л^т“т,^2

_ gdal-^Cr-r')/^ dT^

Случай б)

А2 = 46 — а2 > 0, а < 0,

оо

и = —	у,(г,)е(1а1+гЛ)(т-т )/2dr'^dr',

Т

где 1ш — мнимая часть комплексного числа.

У Камке решения приведены при a > 0 и под интегралы вместо
разности т — т' входит т' — т:

Л2 = 46 — а2 > 0, а > 0,

u = jlm^ /(г/)е^“'+,А^т т dr'^dr'.

Решения выражаются через функции комплексного переменного:

F(z)

2ez Erfc (\/z),

z

—oo

= 2e z Erfi {y[z) — iy/ive z,
oo

__2 ,

e dx,

z

z

2 ,
e dx.

о

Выражая a, b и Л через к, получаем решение:
Случай а)

к > 4, и = ____1. = (4- Ф(С?т) — 4и

J—(7k - 4 + 3y/k(5k-8)),

(35.12)

-—? (7k - 4 - 3y/k(5k-8)).

Случай 6)

4	«	8

- < /с < -

(35.13)

0< к

(35.14)

2 _

J—2 (|4 - 7fc| + i3^/fc(8 - 5k)).

В случае а) удобны замены:

, 7к — 4	, Зу/к(5к - 8)

ch   ., she/? = ~ Л t Л

в случае б):

|7fc —4|
cosy = о». , J

_ Зу/к(8 - 5к) z2 _ cos + i sin ip

Sin — nL I Л ’ s —	“o

Для пограничных значений параметра к решения получаются пре-
дельным переходом:

к = -: и

оо

f . / 7	Л dr

. Sm \18Т	Т)

7t/18

4.	Асимптотические разложения из точного решения нетрудно
получить с помощью известных разложений функций Erfc (z) и Erfi (z)
для малых и больших значений аргумента соответственно [15]:

Erfc(Ух) 2 х/*ехр( z) ( 1 + (3/2) + (з/2)(5/2) + ''')’
Erfi(Vz) '/гехр(г)^!	(3/2) + (3/2)(s/2)

Erfc(77) = аы (i _ m + н/у) _
2yz \ z	z

ЕгВ(у;)=52Н(1 + <1« + (ШЗД +

Последние два ряда имеют смысл асимптотических рядов.

Отсюда получаем разложения для функций Ф(г) и F(z) при z —► 0:

z	z2

/2) + (3/2)(5/2)

(372) + (3/2) (5/2)

и при z —► 00

Ф(г) = -к Л-<!/£> +C/W)

Г(г) =	+ -U (1 + — + ('/2У/2)	(35.16)

у z У z	z	/

(35.15)

Из точного решения получаем разложения (35.8) для функции u(t),
которые служат проверкой правильности формул точного решения.
Наконец, подставив разложения (35.15) и (35.16) в точное решение,
получим следующее асимптотическое разложение для безразмерной
скорости при t —► оо:

7 k —4
2т

+ 4(4*-!)(*-!) + .Л

т	/

5.	Фазовая траектория осаждающегося шарика. Фазовую тра-
екторию на плоскости координата-скорость (XU) можно построить,
интегрируя уравнение осаждения dX/dt = U = ?7оо(1 + u(r)). Решение
его представляется в безразмерном виде

(35.17)

Для интеграла из точного решения можно получить следующее разло-
жение при г —► оо:

т

*

и(т) = 8k — 2 —

п

7 k -4

2т

-4(4*-w-i)

т	/
Обращая асимптотический ряд и(т), получим

т(и)

9fe

7TU2

7Г(4 - 7k)
9k

8 - 64fe + 47k2

108 A:2

Подставляя это разложение в (35.17), получим асимптотическое разло-
жение для фазовой траектории:

1 .2^+2. 8 — 64 А; + 47 А:2	2 .

--9 4-F -ТП-1	9---- 7ГгГ +
тги2 пи 9k--Ю8А:2

(35.18)

Таким образом, скорость с относительной точностью и уста-
навливается через время t « а2/(тги2р). За это время шарик проходит
расстояние Х/а « Re/(?ru2).

Для сравнения приведем уравнение фазовой траектории без учета
силы Бассе. Уравнение для скорости осаждения (35.7) в этом случае
принимает вид

(fc + 2)^ + u = 0, u(0) = —I.

ar

Решение его таково: и = — exp (—т/(к 4- 2)). Отсюда находим

т = —(к + 2) In (—и),

u(r)dr = —{к + 2)(1 + и).
о

Для фазовой траектории получаем

£ = Й + +u)J = Re(L+ 2) Н“(-«) - (1 +«)]• (35.19)
\JL	fV	fV

При этом допущении скорость
навливается существенно быстрее t

Рис. 8.24. Фазовая траектория оса-
ждающей частицы

с относительной точностью и уста-
« а2/(тги21/), а расстояние пример-
но в и2 раз меньше.

На рис. 8.24 изображена фа-
зовая траектория осаждающей
частицы при к = 0,2. По го-
ризонтали отложено безразмер-
ное расстояние х = X/(aRe),
по вертикали безразмерная ско-
рость и. Сплошная линия — рас-
чет по точному решению (35.17),
точки — расчет по асимп-
тотическим формулам (35.18),

штриховая линия соответствует
решению (35.19) без учета силы Бассе. Из графика видно, что асимп-
тотическое решение (35.18) практически не отличимо от точного. Фа-
зовая траектория, вычисленная без учета силы Бассе, разнится от
точной весьма существенно. Разница траекторий проявляется уже на
§35]О движении твердых частиц в вязкой жидкости 335

малых временах, что видно из асимптотик при и + 1 «С 1. вычисленной
с учетом силы Бассе:

+ 2 , । 1 %2 1	/^4-2,	. ^5/2 

='=Т8Г<"+|) +1бу-ЙГ<“+1> / +-

и без ее учета:

* + 2
18fc



Выводы. Учет силы Бассе существен при измерении коэффициента
вязкости жидкости по скорости осаждения шарика, так как скорость

осаждения

2(fc-l)cag

устанавливается достаточно долго и шарик проходит длинный путь.
Для установления предельной скорости с относительной точностью
|и| = U = |t7 — Е/те|/<Л» шарик проходит путь

V ~ aRe

Л-----J

яи

за время X/V^. Путь, который проходит шарик для установления
скорости, с точностью до 0,5 % равен примерно а  104 - Re и может
превысить высоту сосуда, в котором проводится измерение.

35.3.	Движение частицы в стоячей акустической волне.

1.	Эксперимент. На рис. 8.25 изображен результат эксперимента
по вибрационному воздействию на осаждение твердых частиц
стекла радиуса а = 0,01 см и плотности ps = 2,5 г/см3 в воде
(см. http://www.iap.tuwien.ac.at/www/euss/start.htm (The Phenome-
non)). На дне сосуда создается вибрация с частотой / = 6,7 105 Гц.
Под действием вибрации частицы перестают оседать и концентрируют-
ся в горизонтальных слоях, отстоящих друг от друга на расстоянии
0,11 см, равном полудлиие волны. Перейдем к физическому описанию
этого эффекта.

Рис. 8.25. Вибрационное воздействие на осаждение твердых частиц стекла
2.	Поле скорости v(t^x) и плотности p(t,x) несущей жид-
кости при вибрационном воздействии. Пусть дно колеблется по
гармоническому закону х = Acos(cet). На верхней крышке (х = I)
скорость несущей среды равна нулю. Поэтому на нижней границе
х = A cos (art) волна должна иметь пучность скорости, а на верхней
границе х = I должен быть узел (v = 0). Для этого значения I и се
выбираются такими, чтобы вдоль трубы укладывалось нечетное число
четвертей длины волны А, т. е. I = (2п 4- 1 )Л/4, где А = 2л/к, к = ее/с —
волновое число, с — скорость звука в жидкости, п = 0,1,2,3,... Ось
Ох направлена снизу вверх.

Рассмотрим одномерное приближение для описания движения дис-
персной смеси с малыми объемным и массовым содержанием дис-
персной фазы внутри трубы. Тогда воздействием дисперсной фазы
на несущую фазу можно пренебречь и ее движение определять как
течение чистой слабосжимаемой жидкости, удовлетворяющее системе
уравнений:

др . d(pv)	п (dv . dv\	др

dt дх	\dt дх J	дх

Р - Ро + с2р' (р' = р - Ро),

v(0, t) = — Асе sin (cet), v(l, t) = 0,

где g — ускорение свободного падения, ро — начальное гидростати-
ческое давление на верхней границе, ро “ невозмущенная плотность
жидкости вблизи верхней границы.

Решение в линейном приближении р'/р$ <С 1, v/c 1 имеет вид
v(t, х) = —Асе sin (cet) cos (fcr),
p(t, x) = pq (1 4- b cos (cet) sin (kx) 4-	,

X	C /

где b = Ace/c = Ak 1 — безразмерный параметр амплитуды. При
g/(c2kb) = g/(Ace2) 1 слагаемое g(l — x)/(? практически не влияет
на движение частиц в жидкости, поэтому в дальнейших выкладках
оно не будет учитываться.

3.	Уравнения движения. Подставляя в уравнение (35.3) скорость
и ускорение стоячей волны, получим следующее уравнение движения
частицы:

Рз + р) Vb | Vopw - V0(ps - р)д - бтгра - и) -

- i о -	<з5'2°>

о

w = —Aoj2(cos (cet) cos (kx) 4- | sin2 (art) sin (2кх)).
&
4.	Безразмерная форма уравнений движения. Введем характер-
ный радиус частиц, для которых сила Бассе становится существенной:
а0 =	, безразмерные переменные д(т) = кх = (ш/с)х, г = wt,

параметр s = р3/ро, а также малый параметр е = ^/36/(1 -I- 2s)	1.

Ускорение и скорость частицы выразятся через производные q и q:

d2x .. dx

~2 =	= c$-

dt	dt

Уравнение (35.20) приведется к следующему виду:

q = —s2 cosqcost — s4(crsin2g + 7) —

9

1 4- 2s

2

^q + h + O^,
a

9\/s oq f

1 + 2s a *
0

cos q cos r'

a = -j^(4s+l), 7 = |(s-1)(1+2s)-^y.
У	(JCO

(35.21)

В слагаемом порядка s4 опущены периодические слагаемые с нулевым

средним по периоду значением, так как в осредненные уравнения они
дадут малый вклад порядка е5.

5.	Уравнение без учета наследственной силы Бассе. Рассмотрим
уравнение (35.21) без учета силы Бассе, как это делается в моногра-
фиях Ганиева [56] и Нигматулина [131]):

q = —s2 cos geos г — s4(crsin2g + 7) — 8q,

9

1 +2s

a

(35.22)

Будем предполагать, что параметр 6 имеет второй порядок малости
6 = О(е2), а а и 7 по порядку величины равны единице.

6.	Вывод рекуррентных соотношений для точек Пуанкаре.
Используя метод усреднения (см. п.40.2), можно получить асимп-
тотическое решение уравнения (35.22) на большом отрезке времени.
Преобразуем, следуя работе [36], уравнение (35.22) к гамильтоновой
системе стандартного вида, возмущенной малой диссипативной силой.
Для этого введем импульс р = q/e и запишем уравнение (35.22) в сле-
дующем виде:

+eF(r,q),

(35.23)

Система (35.23) не является гамильтоновой, поскольку сила трения

—8р не потенциальна. Однако эту систему с помощью неканонического
преобразования q = q,p = рехр (—дт) можно привести к гамильтоновой

форме:

~ дН ~ дН
q~ др' Р~ dq'

±ехр(-6т)р2+exp(6r)F(T,q) .

(35.24)

Рассмотрим асимптотическое решение уравнений Гамильтона (35.24)
на периоде 0 т 2тг. Удерживая в гамильтониане малые члены
порядка е3 и ед, получим

Н(т, х, у, е) = еН[ (т, х, у) + е2Н2(т, х, у) + е3Н3(т, х, у) +

+ е6Н1(т, х, у) + ..., (35.25)

Я2 = 0,

У2

Система уравнений (35.24) имеет стандартный вид и для нее при-
меним метод определения отображения Пуанкаре за период в парамет-
рическом виде:

Qn—1 — х 2

Рп-\ = р+ Фх,

(35.26)

где функция	находится из решения уравнения типа Якоби:

Ът = н(т,х + ^у,у- J фД Ф(0,ж,у) = 0.	(35.27)

Точки qn, рп лежат на траектории д(т), р(т), определяемой из решения
системы Гамильтона (35.24), и называются точками Пуанкаре. Они
отстоят друг от друга на одинаковых промежутках времени, равных
периоду 2тг: qn = д(2тгп), рп = р(2тт). Для них и затем для точек
Пуанкаре qn, рп решения системы (35.23) можно получить рекур-
рентные соотношения. Для этого функция Ф представляется в виде
разложения по степеням е. Для момента времени t = 2тг получим
следующее разложение:
Исключая из (35.26) параметры хну, получим для точек Пуанкаре qni
рп, п = 0,1,2,... системы уравнений (35.23) следующие рекуррентные
соотношения:

где предполагается, что импульсы имеют первый порядок малости по е.

Система (35.29) является разностной аппроксимацией усредненного

до третьего приближения уравнения, приведенного в монографии [131,
с. 368]:

+	+ ? (ст - sin 2qn + 7 =0.	(35.30)

При 8 = 0 система гамильтонова и с точностью до е5 точки Пуанкаре
лежат на замкнутой инвариантной кривой Ф(дп»Рп) = const = 2тге3С'
или

/(gn.Pn) = A-£-=5^cos2gn + 7gn = C.	(35.31)

ZE	2

Семейство инвариантных кривых при 8 = 0 показано на рис. 8.26 а.

Значения физических пара-
метров соответствуют экспе-
рименту, изображенному на
рис. 8.25. Амплитуда вибра-
ций А = 2 • 10”4 см, ско-
рость звука в воде с = 1,5 х
х 105 см/с, ускорение свобод-
ного падения g = 980 см/с2,
плотность жидкости ро =
= 1,0 г/см3. Этим значени-
ям соответствуют следую-
щие значения безразмерных
параметров е = 0,053, а =
= 0,917, 7= 1,0- 10“4 Вели-
чина 6 = 0.

При 8 / 0 система нега-
мильтонова, и точки Пуан-
каре с возрастанием п бу-
дут лежать на инвариантных
кривых (35.31) с постоянной
С = сп, зависящей от номе-
ра п. Инвариантные кривые
изображены на рис. 8.266. Для

Рис. 8.26. Инвариантные кривые

сп получаем следующие рекуррентные
соотношения:

Со - ^2 -а cos2g0 + 79о. cn = cn_i - 2тг5 п=1,2,...
2s z	е

(35.32)

Рекуррентное соотношение (35.32) показывает, что постоянная сп
монотонно уменьшается и стремится к минимуму функции (35.31).
Точка минимума находится из условий

и ей при 7 < |сг — 1/4| соответствует устойчивое периодическое реше-
ние уравнения (35.22):

ст — - > 0: q = кх = — - arcsin---—— + ттг,

4	2 а - 1 /4

а — т < 0: q = кх = arcsin —г + 5	m = 0, 1,2,...

4	2 о — 1/4	2

При условии |7| > |сг — 1/4| (гравитационная сила превосходит вибра-
ционную силу) все частицы осаждаются или всплывают и периодиче-
ских точек нет. Все результаты совпадают с результатами, описанными
в монографии Нигматулина [131] и полученными с помощью третьего
приближения метода усреднения Боголюбова-Митропольского.

Учет силы Бассе может в некоторых случаях привести к существен-
ным изменениям фазовой траектории частиц. Однако этот вопрос пока
не достаточно изучен.
Глава 9

ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ

Предыдущие главы были изложены на основе лагранжевой механи-
ки. Функция Лагранжа позволяет получить уравнения динамической
системы и во многих случаях проинтегрировать ее. Эффективность
методов лагранжевой механики связана с тем, что уравнения Лагранжа
сохраняют свою форму при любом дважды непрерывно дифферен-
цируемом преобразовании координат =	С помощью такого

преобразования можно максимально упростить функцию Лагранжа.

В гамильтоновой механике также используется идея ковариант-
ности уравнений [7, 77]. Уравнения Лагранжа можно преобразовать
в уравнения Гамильтона, которые ковариантны по отношению к более
широкому классу канонических преобразований, содержащих в себе
все преобразования в конфигурационном пространстве. Благодаря су-
щественному расширению ковариантных преобразований гамильтониан
системы допускает значительно большее по сравнению с лагранжианом
упрощение. Развитый Гамильтоном и Якоби аппарат производящих
функций канонических преобразований является самым мощным из
имеющихся методов интегрирования дифференциальных уравнений ди-
намики. Идея ковариантности позволила Пуанкаре, Биркгофу [21, 170]
и их последователям создать эффективную теорию асимптотического
интегрирования гамильтоновых систем.

В этой главе кратко излагается известная теория канонических
преобразований гамильтоновых систем. Излагаются новые конструк-
тивные способы вычисления нормальной гамильтоновой формы с по-
мощью идеи симметризации, предложенной В.Ф. Журавлевым [79].
Этот аппарат применяется к построению решения нелинейных задач
гидродинамики.

§ 36.	Гамильтоновы системы с одной степенью
свободы

36.1.	Сведение задачи о движении частиц к гамильтоновой
системе.

1.	Динамические системы. Пусть несжимаемая среда заполняет
некоторый объем, границы которого движутся по заданному закону,
периодическому во времени. Компоненты скорости Vj частиц среды яв-
ляются дифференцируемыми функциями координат Xi и времени. Тогда
закон движения частиц среды будет находиться из решения задачи
Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

dxi

= Vi(t,Xj),

Xi(tQ) = xQi, i,j = 1,2,3.

Эта задача называется динамической системой.

Трехмерное пространство переменных Xi, i = 1,2,3, называется
фазовым пространством.

Система называется автономной, если функции Vi(xj) явно не за-
висят от времени. В противном случае система называется неавтоном-
ной. Наибольшее внимание мы будем уделять изучению неавтономных
систем, в которых компоненты скорости имеют период по времени
Vj(t + Т, х^ = Vj(t, Xi), равный Т. Такие неавтономные системы особен-
но важны для моделирования различных технологических процессов.

2.	Гамильтоновы системы. Выделим класс неавтономных перио-
дических систем, описывающих плоскопараллельные движения несжи-
маемой среды. Поле скорости имеет две компоненты vx и vy, зависящие
от времени t и двух пространственных координат х и у. Уравнение
неразрывности dvx/dx + dvy/dy = 0 разрешается с помощью функции

тока H(t,x,y)\

дН	дН

vx = vy =
ди	* дх

Тогда уравнения движения частиц жидкости будут иметь вид урав-
нений Гамильтона. Динамическая система превращается в гамильто-
нову систему или, более определенно, в задачу Коши для уравне-
ний Гамильтона системы с одной степенью свободы. Теория таких
систем называется гамильтоновой механикой и излагается в курсах
теоретической механики [6, 57, 77, 200]. Здесь и далее привычное
в гидродинамике обозначение для функции тока Ф заменено на еще
более употребительное обозначение для функции Гамильтона Н.

Обозначим координаты индивидуальной частицы среды через X
и Y. Тогда ее траекторию движения можно вычислить, решая следую-
щую задачу Коши:

X = HY, Y = —Hx, X(tQ)=X0, Y(t0) = YQ

„ дН „ дН	<361>

Таким образом, траектории движения частиц несжимаемой сре-
ды определяются из решения гамильтоновой системы.

Теорема Лиувилля. Верно и обратное утверждение. Оно в гамиль-
тоновой механике называется теоремой Лиувилля.

Рассмотрим отображение (Хо,^о) —► (X(t),Y(t)), где X(t), Y(t) —
решение задачи (36.1). Такое отображение называется отображением
на фазовом потоке системы (36.1). При этом отображении область Dq
переменных Xq, Yq переходит в область D переменных X, Y. Площади
же этих областей равны. Этот результат составляет содержание теоре-
мы Лиувилля. Формулировка ее такова.

Теорема Лиувилля. При отображении (Хо, ^о) —> (X, У)
на фазовом потоке гамильтоновой системы площадь области со-
храняется:

' dXdY=\ dX<,dY<,~	=

D	Do

Для двумерных отображений характерны свойства:

1)	сохранение массы однородной несжимаемой жидкости: dvx/dx +
+ dvy/ду = 0, (ух = X,vy = У);

2)	сохранение фазового объема: д(Х, Y)/d(Xo, Уо) = 1;

3)	существование функции тока для поля скорости vx = Ну, vy =
= — Нх (гамильтоновость).

Перечисленные свойства эквивалентны друг другу. Этот результат
будем называть теоремой Лиувилля для двумерных отображений.

Так же как и динамические системы, гамильтоновы системы мо-
гут быть автономными и неавтономными. Главное внимание уделим
неавтономным гамильтоновым системам с периодическим по време-
ни гамильтонианом H(t,X,Y) = H(t + T,X,Y). Фазовые траектории
периодических точек таких систем близки к фазовым траекториям
автономных систем. Перейдем к описанию методов исследования га-
мильтоновых систем.

36.2. Первый интеграл гамильтоновой системы.

1.	Понятие первого интеграла. Пусть функция Гамильтона опре-
делена в некоторой области D фазовой плоскости. Тогда скалярная
функция G(t,X,Y}, не являющаяся тождественно константой, опре-
деленная в той же области D, что и рассматриваемая гамильтонова
система, называется первым интегралом этой системы, если она оста-
ется постоянной вдоль любого решения этой системы [77]. Кривые,
задаваемые уравнением G(t,X,Y} = const, называются интегральными
кривыми. Если функция G(t,X,Y) дифференцируема, то необходимым
и достаточным условием существования первого интеграла является
следующее тождество:

dG _ dG ± г и _ п г гт _ дн dG ОН dG
dt ~ dt + 1Я’G' - °’	~ 9Y дХ дХ 9Y'

Выражение {Н, G} называется скобкой Пуассона двух функций
Н(Х,У) и G(X,y). Этот факт следует из правила дифференцирования
сложной функции G{t, X(t),Y(t)) по времени. Первый интеграл позво-
ляет расслоить фазовую плоскость на интегральные кривые, которые
непрерывно заполняют все фазовое пространство.

Системы, у которых существует первый интеграл, называются ин-
тегрируемыми системами. Решения интегрируемых гамильтоновых си-
стем можно получить в виде квадратур. Однако обратное утверждение
неверно. Системы могут иметь решение в виде квадратур, и даже
выражаться через элементарные функции, но могут не иметь при этом
первого интеграла. Простым примером неинтегрируемой системы явля-
ется линейный осциллятор с трением: х + х + х = 0 [77], хотя решение
этой системы в элементарных функциях выписывается без труда. При-
веденный пример относится к негамильтоновой динамической системе.
Ниже мы увидим такие примеры и для гамильтоновых систем.

Вообще, решение динамической системы существует всегда для
достаточно гладких правых частей. Это диктуется только теоремой
существования решения системы обыкновенных дифференциальных
уравнений. Часто это решение представляется рядами, квадратурами
или же элементарными функциями. Но первый интеграл существует
в исключительных случаях. Некоторые случаи интегрируемости га-
мильтоновых систем перечислены ниже.

2.	Автономные гамильтоновы системы. Если функция Гамиль-
тона явно не зависит от времени, то необходимое и достаточное
условие существования первого интеграла dH/dt = {Н,Н} = 0 тож-
дественно выполняется и, следовательно, всегда имеется первый ин-
теграл

Н(Х, У) = const.

В теоретической механике этот интеграл называется интегралом энер-
гии. Фазовые траектории являются изолиниями функции Гамильтона.
В гидродинамике этот факт также хорошо известен: для установивше-
гося течения на линии тока функция тока Я(Х,У) постоянна. Таким
образом, гамильтоновы системы имеют простую гидродинамическую
интерпретацию. Фазовый поток гамильтоновой системы — это течение
несжимаемой среды. Имея функцию тока (гамильтониан), легко по-
строить картину течения. Для этого надо изобразить изолинии функ-
ции тока.

На рис. 9.1 показаны линии тока установившегося течения вязкой
жидкости между двумя вращающимися цилиндрами [252]. Внешний
цилиндр имеет радиус Rz = 1 и вращается с угловой скоростью
Qi = 1, а внутренний — R{ = 0,3 и вращается с угловой скоро-
стью Qi = —4, т. е. в противоположном направлении. Эксцентриситет
(отношение расстояния между центрами к разности радиусов) равен
010%/(R\ — Rz) = 0,5. Общее решение такой задачи дано Жуковским
и Чаплыгиным (1904). Течение имеет две критические точки, в кото-
рых X = Ну = 0, У = — Нх = 0. Одна точка — эллиптического типа.
В ее малой окрестности линии тока — эллипсы. Вторая точка — ги-
перболического типа. В ее малой окрестности линии тока — гипербо-
лы. Точка эллиптического типа соответствует устойчивому положению
равновесия. Гамильтониан в этой точке имеет строгий максимум или
минимум. При любом достаточно малом отклонении от положения рав-
новесия частица жидкости постоянно движется в малой окрестности
этой точки.
Гиперболическая неподвижная точка соответствует неустойчивому
положению равновесию. При любом, как угодно малом, отклонении от

Рис. 9.1. Линии тока между двумя эксцентрично вращающимися цилиндрами

положения равновесия частица жидкости за достаточно большое время
отклоняется от положения равновесия на конечное расстояние. В точке
равновесия функция Гамильтона не имеет ни локального минимума, ни
максимума.

Частицы, находящиеся на одной линии тока, будут находиться
на ней постоянно. Если окрасить эти частицы, то краска по другим
линиям тока не распространится. Окрашенной останется только одна
линия. Таким образом, если первый интеграл существует (а это будет
для любого установившегося течения), то перемешивания пассивной
примеси не произойдет.

Ниже будет показано, что неавтономные системы первым инте-
гралом, как правило, не обладают, и в этом случае перемешивание
пассивной примеси возможно.

3.	Неавтономные гамильтоновы системы. Первый интеграл
неавтономных гамильтоновых систем существует лишь в исключи-
тельных случаях. Примером такой интегрируемой системы является
система с гамильтонианом

Я = е[1 (Х2 + У2)

+ Xbsin£

(36.2)

Скорость частицы жидкости является суммой двух слагаемых:
Первое слагаемое соответствует вращению частицы с угловой скоро-
стью е относительно начала координат, второе слагаемое — поступа-
тельному колебательному движению параллельно оси Y. Траектория
движения находится из решения линейной системы дифференциальных
уравнений. Эту же систему можно записать в виде уравнения второго
порядка для X(ty.

X + е2Х = — s26sint,

которое описывает вынужденные колебания линейного осциллятора
единичной массы под действием внешней силы — s26sint.

Решение, удовлетворяющее начальным условиям X(Iq) = Xq,
У (to) = Yq, можно представить в виде

X - Хс = (XQ - Хс) cos - t0)) + (Уо - Ус) sin - tQ)) + A(t),
Y -Yc = ~(XQ - Xc) sin (e(t - t0)) + (Уо - Ус) cos (e(t - tQ)) + B(t),
ЛЛ Ье2 . .	,, Ье .

Xc — - g sin Co, Yc — -	2 COS to,

1 — E	1 — E

A(t) =	2 (sint — sin to), B(t) =	2 (cost — COS to).

1 — E	1 — E

Первый интеграл имеет следующий вид:

G(t, X, У) = R\ G(t, X, Y) = [X — Хс — A(t)]2 + [Y-YC- B(t)]2,
R2 = (Xo - Xc)2 + (Уо - К).

В фазовом пространстве t, X, У интегральные поверхности G = R2
можно представить себе так. Сечением этой поверхности плоско-
стью t = const является окружность радиуса R с центром Хс + A(t),
Yc + B(t). Радиус окружности не зависит от t, а координаты центра
меняются по гармоническому закону. Таким образом, интегральная по-
верхность является криволинейной трубкой. Ось трубки в пространстве
t, X, У представляет собой винтовую линию с шагом t = 2тг. Инте-
гральные поверхности заполняют все трехмерное фазовое простран-
ство. Если рассматривать t как угловую координату в цилиндрической
системе координат, то в ней интегральные поверхности будут торами.

Список интегрируемых гамильтоновых систем включает в себя все
автономные системы аналогичные (36.2), с гамильтонианом, у которого
квадратичная часть не зависит от времени. Все остальные гамильтоно-
вы системы за редким исключением не имеют первого интеграла.

§ 37.	Канонические преобразования на плоскости

37.1.	Определение и общие свойства.

1.	Определение канонического преобразования. Каноническое
преобразование на плоскости можно определить так. Преобразование
переменных g(t,Q,P),p(t,Q,P) называется каноническим, если его
якобиан равен единице:

д(д,р) _ Эд Эр Эд др = .

d(Q, Р) dQ дР дР dQ

Иначе говоря, каноническое преобразование (д,р) —► (Q,P) сохраняет
площадь.

Следствие. Если преобразование (д,р) —► (Q,Р) — канониче-
ское, то обратное преобразование (Q,P) —► (g,p) — тоже канони-
ческое.

Рис. 9.2. Преобразование урав-
нений Гамильтона при канони-
ческой замене переменных

2.	Преобразование уравнений Гамильтона при канонической за-
мене переменных. Гамильтонова система д = Нр,р = —Hq при канони-
ческом преобразовании (д,р) —► (Q,P) переходит опять в гамильтонову
систему с новым, вообще говоря, гамильтонианом H(t,Q,P).

Доказательство. Отображение (до,ро) —> (<7,р) сохраняет
площадь. Канонические отображения (go,Po) —> (Qo,Po) и (д,р) —>
—► (Q, Р) тоже сохраняют площадь. Значит и (Qo,Po) —> (Q,P) сохра-
няет площадь и по теореме Лиувилля
система (Qo,Po) (Q(t),P(t)) — га-
мильтонова, что и требовалось дока-
зать. Пояснение к доказательству дано
на рис. 9.2. Площадь окрестности точ-
ки (до,Ро), равная dS, сохраняется при
всех отображениях.

3.	О валентных канонических
преобразованиях. В некоторых кни-
гах [6, 57] вводят расширенный класс
канонических преобразований в виде
суперпозиции канонического преобра-
зования (д,р^ —► (ф,Р)_и преобразо-
вания Q = Q/c, Р = Р. Этот класс
характеризуется дополнительным пара-
метром с, который называется валент-

ностью. С учетом валентности преобразования тоже сохраняют гамиль-
тонову форму уравнений. Верно и обратное утверждение: преобразо-
вание (д,р) —► (Q,P), сохраняющее гамильтонову форму уравнений,
является каноническим валентности с.

Мы будем следовать монографиям [7, 77, 104, 200], в которых
под каноническим преобразованием понимают унивалентное преобра-
зование, т. е. имеющее валентность с= 1. Данное выше определение
является унивалентным каноническим преобразованием.

Свойство сохранения гамильтоновой формы уравнений при кано-
нических преобразованиях играет важную роль в теории гамильто-
новых систем. Его также часто берут за определение канонического
преобразования [77, 104, 200]. Хотя здесь, не учитывая валентность,
часто допускается неточность в рассуждениях (см. замечания в кни-
ге [7] о таких неточностях, допущенных в [104]).

4.	Критерии каноничности для не зависящих от времени пре-
образований. Для преобразований g(Q,P), p(Q,P) имеют место сле-
дующие два критерия каноничности:

1)	Выражение PdQ —pdq является полным дифференциалом',

2)	Для любого гамильтониана H(t,q,p) замена q(Q,P), p(Q,P)
переводит уравнения Гамильтона в переменных q,p в уравнения
Гамильтона в переменных Q, Р с новым гамильтонианом, равным
H(t,Q,P) = H(t,q(Q,P),p(Q,P)).

Доказательство критерия 1) вытекает из теоремы Грина для про-
извольного интеграла по замкнутому контуру 3d, охватывающему об-
ласть d и такой же теоремы для преобразованных контура 3D и обла-

сти D:

о pdq =

dd d

dqdp,

о PdQ =

dD

dQdP.

(37.1)

Правые части равенств — это площади области d и преобразованной
области D. Они равны в силу каноничности преобразования. Значит
интеграл по любому замкнутому контуру от разности PdQ — pdq равен
нулю, т. е. выражение PdQ — pdq есть полный дифференциал, что
и требовалось доказать. Отсюда следует, что величина интеграла по
контуру opdq остается неизменной при любом каноническом преоб-
разовании. Эта величина называется относительным интегральным
инвариантом Пуанкаре.

Доказательство критерия 2) можно провести с помощью следующей
леммы:

Лемма. Уравнения Гамильтона q = Нр, р = —Hq с функ-
цией Гамильтона H(q,p) при автономной замене переменных
q(Q,P),p(Q,P) с неравным нулю якобианом △ / 0 преобразуются
в уравнения

Q = ±Hp, P = ~HQ>

д _ д&р) _ дд др дд др
d(Q, Р)	dQ дР дР dQ ’

H(t, Q, Р) = H(t, q(Q, P),p(Q, P)).

Отсюда немедленно следует критерий 2).

Доказательство. Дифференцируя по времени автономные
замены, получим
Разрешаем линейную систему по правилу Крамера

q dq/dP _	/ dp  _ 9q_ Л

p др/дР ~ ^\0Pq dPP)'
dq/dQ q _ £ / Эр . dq Л
dp/dQ p △ \ &Q $	'

Далее подставляем q = Hp, p = —Hq и, пользуясь правилом дифферен-
цирования сложной функции, получим

дН dq дН\ _ 1 дН
др + дР dqJtXdP'

dl£,dq_ дН\	1 дН

др dQ dq ) △ dQ'

что и требовалось доказать.

37.2	. Теорема об интегральном инварианте Пуанкаре-Кар-
та на.

1.	Формулировка теоремы. Пусть при канонической замене
q(t,Q,P), p(t,Q,P) гамильтониан H(t,q,p) преобразуется в гамиль-
тониан H(t,Q,P), а замкнутый контур с в пространстве (q,p,t)
преобразуется в замкнутый контур С в пространстве (Q,P,t).
Тогда циркуляция вектора (р, О, —Н) по контуру с равна циркуляции
вектора (Р, О, —Н) по контуру С:

o(pdq — Н dt) = о(Р dQ — Н dt).

V	%

с	с

Циркуляция по контуру с

o(pdq — Н dt)

с

(с)

называется интегральным инвариантом Пуанкаре-Картана.

Теорему об интегральном инварианте можно переформулировать
более кратко.

Циркуляция, определяемая формулой (с), при каноническом пре-
образовании сохраняется, т. е. является инвариантом.

2.	Определения. Определение 1. Векторное поле v = (g, р, z)
для системы дифференциальных уравнений: q = Нр, р = —Hq, z = 1
в пространстве q, р, t назовем полем скорости гамильтоновой систе-
мы H(t,q,p).

Определение 2. Линией тока I гамильтоновой системы
H(t,q,p) называется линия, у которой касательная в каждой точке
направлена по скорости v = (q,p, z).
Определение 3. Трубкой тока называется цилиндрическая
поверхность, состоящая из линий тока I (рис. 9.3).

Рис. 9.3. Трубка тока

Пусть с — замкнутый контур в про-
странстве q,p,z. Проведем через каж-
дую точку контура с линию тока I.
Цилиндрическую поверхность, состоя-
щую из этих линий тока, назовем
трубкой тока, натянутой на кон-
тур с. Контур с называется конту-
ром, образующим трубку тока. Для
данной трубки тока образующий кон-
тур с можно получить как пересече-
ние его с произвольной поверхностью
z = z(g,p). На рис. 9.3 изображены два
контура с и со, образующих одну и ту
же трубку тока. Эта трубка тока натя-
нута на контуры с и cq.

3.	Лемма Стокса. Для данной трубки тока циркуляция вектора
F = (р, 0, —Я) по любому ее образующему контуру с постоянна:

о Fdr = o(pdq — Н dz) = const.

с	с

Доказательство. Возьмем два контура со и с, образующих
данную поверхность тока (см. рис. 9.3). Тогда по теореме Стокса цир-
куляция по контуру вектора скорости равна потоку вектора вихря через
поверхность, натянутую на контур. Отсюда получаем

о Feb— о Fdr =

rot F п ds,

С	Cq	S

где s — поверхность тока, натянутая на контуры с и со, п — нормаль
к поверхности тока; вектор rotF определится так:

rot F =

•	•

1	J

d/dq д/др
р	0

к

d/dz
—H(t,q,p)

— Hpi Hqj к,

где i, j и к — единичные базисные векторы в пространстве (q,p, z).

Отсюда rotF = — v в силу определения 1. Поле скорости v орто-
гонально нормали п на трубке тока, поэтому на поверхности трубки
rotFn = —vn = 0. Таким образом,

()Fdr = ()Fdr => o(pdq — Нdz) = o(pdq — Hdz),

C	Cq

С

CQ

что и требовалось доказать.
4.	Доказательство теоремы об инварианте Пуанкаре-Кар-
тана. Возьмем произвольный замкнутый контур с и натянем на него
трубку тока s гамильтоновой системы H(t,q,p) (рис. 9.4). При сечении
трубки тока плоскостью z = zq образуется контур со.

При канонической замене контур с, трубка тока s и контур со
преобразуются соответственно в С, S и Со, изображенные также на
этом рисунке.

Рис. 9.4. Трубки тока для исходной и преобразованной систем

На контуре со координата z = zq не меняется, такой контур назовем
изохронным. Преобразованный контур — также изохронный. Циркуля-
ции по изохронным контурам со и Со также, как в равенстве (37.1),
равны соответственно площадям do и Dq на плоскости z = zq. Пло-
щади при каноническом преобразовании сохраняются, следовательно
do = Dq и

о (pdq — Н dz) = о (Р dQ — Н dz).

V	%

со	Со

По лемме Стокса циркуляция по контуру со равна циркуляции по
контуру с. Так же точно циркуляция по контуру Со равна циркуляции
по контуру С. Отсюда следует (dz = dt):

o(pdq — Нdz) = o(pdq — Hdz) = о (PdQ - Hdz) = o(PdQ — Hdz)

c

Co

Co

и доказательство завершено.

37.3	. Общий критерий каноничности преобразований.

1.	Вывод и формулировка критерия. Из векторного анализа
известно, что дифференциальная форма dU будет полным дифферен-
циалом тогда и только тогда, когда интеграл от нее по замкнутому
контуру равен нулю. Отсюда из теоремы об интегральном инварианте
Пуанкаре-Картана следует, что выражение

PdQ—pdq — [H(t, Q,P)- H(ty g, p)]dt = dU, (37.2)

является полным дифференциалом.

Здесь q,p,H — исходная гамильтонова система, a Q,P,H — пре-
образованная с помощью канонической замены q,p,H—> Q, Р,Н. По-
лученное соотношение (37.2) является критерием каноничности общей
замены переменных q(t, Q, P\p(t, Q, Р). В нем U — произвольная
функция трех независимых переменных, например, t,q и р, a dU ее
полный дифференциал

,ТТ ди <и^ди л ^ди л
du = -dldt+-d^+djdp-

Общий критерий включает в себя и ранее полученный критерий
PdQ — pdq = dU для независящей от времени замены переменных
g(Q, Р), p(Q,P). Он справедлив для гамильтоновых систем произволь-
ного порядка [7, 77].

2.	Примеры, канонических преобразований. Пример 1. Кано-
нические полярные координаты или переменные действие-угол за-
даются формулами

р = (q2 + Р2)/2, Q = arctg

Имеем	, j j j j

_	1	pdq — q dp _ pdq — q dp

1 + q2/p2 p2	q2 +p2

PdQ -pdq = p^-~-g-dp -pdq =

Согласно критерию каноничности 1) преобразование каноническое.

Это преобразование очень полезно при исследовании систем с га-
мильтонианом типа Н = [q2 + р2 + д4/2] /2 (осциллятор Дуффинга).
В новых переменных гамильтониан упростится: P + P2sin4Q.

Пример 2. Каноническое преобразование криволинейной области
в прямоугольник.

Область 0 < X < 2тг, 0 < Y < 1 + h(t, X) с криволинейной грани-
цей, площади 2тг можно отобразить каноническим преобразованием в
прямоугольник 0 < X' < 2тг, 0 < Y' < 1 следующим образом (рис. 9.5):

X	h(t,X)dX, Y i+h(txy

О

Малая трапеция ABCD отображается на прямоугольник А'В'CD' той
же площади. Отображение на фиксированный прямоугольник удобно
при исследовании движения частиц несжимаемой среды в области
с меняющейся во времени границей [157, 159, 162]. Гамильтонова
система сохраняет свой вид. Выражение преобразованного гамильто-
ниана приводится ниже в п. 38.1, пример 3.

37.4	. Отображения с помощью канонических преобразо-
ваний.

1.	Отображение малой области канонического преобразования
Q(g,p), P(g,p) определяется линеаризованным преобразованием с по-
мощью матрицы Якоби А\

5Q = A\\5q +А\2&р,	fdQ/dq dQ/dp\

6Р = A2rfq + А225р,	\dP/dq дР/др)

с определителем, равным единице: det (А) = А11А22 — A]2A2i = 1. При
поворотах системы координат элементы матрицы преобразуются по
закону А = С((р)АС(—(р), где С(<^) — матрица поворота на угол
Выражения

Л = 1 (Аи + А22), г2 = J (А12 - А21)	(37.3)

являются независимыми инвариантами и при поворотах не меняются.
Они определяют внутреннюю, независящую от выбора системы коор-
динат структуру отображения.

По известной в аналитической геометрии теореме о полярном раз-
ложении матрица А всегда представляется в виде матрицы поворота
и симметрической матрицы. В свою очередь поворотом системы коор-
динат симметрическая матрица может быть приведена к главным осям.

Таким образом, получаем

А = С' /°)с'(-у>о), /1^2=1, ОД=(С°8^ -sln<^Y
У О I2J	\Sin^ COS(pJ

(37.4)

Отсюда следует, что отображение с матрицей А преобразует единичный
круг в эллипс той же площади с осями 1\, 1,2- Угол определяет на-
правление волокна в круге (Jg)2 + (Jp)2 = 1, который при отображении

12 А Г Петров
максимально удлиняется. Угол р определяет поворот этого волокна
(рис. 9.6). С помощью соотношений (37.4) вычисляются: наибольшее 1\
и наименьшее 1% удлинения волокон, а также углы ро и р:

h = R+Vr2 -1. /2 = я - Vr2 -1,

r2 = »?+^. tgv = 4, t6(V+2W) = ^+^.

All — A22

Характеристики l\, I2, p являются внутренними инвариантами отобра-
жения, а ро зависит от выбора системы координат.

Рис. 9.6. Отображение малой области

2.	Теорема о каноничности отображения на фазовом потоке.
Пусть q(t), р(Г) — решение задачи Коши для уравнений Гамильтона.
Тогда отображением на фазовом потоке называется взаимно однознач-
ное соответствие точки #о,Ро в момент времени to точке q,p в момент
времени t. На гидродинамическом языке отображение на фазовом
потоке представляет собой перенос частиц несжимаемой жидкости
по своим траекториям. Площадь, занимаемая частицами, сохраняет-
ся и, следовательно, отображение на фазовом потоке — канони-
ческое.

Теорема доказана для систем с одной степенью свободы, но она
распространяется и на гамильтоновы системы с произвольным числом
степеней свободы. Такой способ замены переменных весьма эффекти-
вен при асимптотическом построении решения гамильтоновой системы.
В § 38, 39 будут даны конструктивные способы построения такого
отображения.

§ 38.	Способы построения канонических
преобразований

38.1.	Производящие функции Якоби. Производящие функции
позволяют конструктивно строить канонические преобразования.

1.	Дифференциалы, и формулы преобразований. Обратимся к об-
щему критерию каноничности (37.2). Если в нем независимым диф-
ференциалам dt, dQ и dq сопоставить независимые переменные t, Q
и д, то получим производящую функцию U(t,Q,q) = — U. Через нее ка-
ноническое преобразование выражается так. Записываем соотношения
для частных производных

Р = -UQ(t,Q, q), p = Ug(t,Q,q), H = H + Ut.

Разрешая первое уравнение относительно q, получим явный вид кано-
нического преобразования

9 = /(tQ,-Р), р = Uq(t, Q,f(t, Q, Р)).

Соотношение для Ut определяет закон преобразования гамильтониана.

Если вычесть из обоих частей (37.2) полный дифференциал d(PQ),
то получим другую дифференциальную форму с производящей функ-
цией S(t, q, Р)

QdP+pdq +(Н — H}dt = dS(t, g, P)	(38.1)

Канонические преобразования строятся так. Берется произвольная
дифференцируемая функция смешанных переменных S(t,q, Р) и со-
ставляются соотношения для ее частных производных, вытекающих
из (38.1):

Q = SP(t, q, Р), р = Sq(t, g, Р).

Разрешая первое уравнение относительно q, получим зависимость
q(t,Q, Р). Подставляя ее во второе уравнение, получим вторую зави-
симость р = Sq(t, q(t, Q, Р), Р). Система с гамильтонианом H(t,q,p)
переходит в систему с новым гамильтонианом:

Я(*, Q, Р) = St(Z, q(t, Q, Р), Р) + H(t, q(t, Q, P),p(t, Q, P)).	(38.2)

В полном дифференциале dU можно выделить дифференциал функ-
ции, зависящей от t, Q, р:

PdQ - pdq - (Я - Я) dt = -d(pq) + РdQ + qdp - (Н - Н) dt.

Отсюда получаем полный дифференциал производящей функции
R(t,Q,p) и формулы канонического преобразования

dR— -PdQ - qdp+ (Н - H)dt => Р = —RQ(t,Q,p),

q = -Rp(t,Q,p\ H(t,Q,P) = Rt(t,Q,p) + H(t,q,p).

Итак, имеем три производящих функции Я, S, R, а четвертая,
зависящая от t, р, Р, находится аналогично [77].

2.	Условие существования. Для существования канонических
отображений, выраженных через производящую функцию S, нужно,
чтобы уравнение Q = Sp(t,q,P) имело обратную функцию q(t,Q,P).
Это возможно при условии монотонной зависимости Sp от д, т. е. про-
изводная Sqp не должна менять знака. Следовательно, каноническое
преобразование выражается через производящую функцию S(t,q,P)
в области, в которой выполняется неравенство Sqp / 0.

Точно также показывается, что каноническое преобразование с про-
изводящей функцией R(t, Q,p) существует в области, в которой
Rqp 0.

3.	Примеры. Пример 1. Найти отображение с производящей
функцией S = qP2

Решение. Дифференциал dS = Р2 dq + 2qPdP приравниваем
к дифференциалу (38.1) QdP + pdq. Из равенства коэффициентов
при dq и dP следует отображение q = Q/(2P), р = Р. Нетрудно
проверить, что его якобиан равен единице. Отображение существует
в области Sqp = 2Р 0.

Пример 2. Найти производящие функции S(q, Р) и R(Q,p) для
тождественного преобразования q = Q, р = Р.

Решение. По (38.1) и (38.3) находим формулы для полных
дифференциалов функций S и R:

dS = Q dP + pdq = qdP + Pdq = d(Pq) => S = qP,
dR = —P dQ — q dp = —p dQ — Q dp => R = —Qp.

Пример 3. Найти производящую функцию и закон преобразова-
ния для гамильтониана при каноническом преобразовании криволиней-
ной области в прямоугольник (см. рис. 9.5).

Решение. Это преобразование рассмотрено в примере 2 п. 37.3.
Оно имеет производящую функцию

h(t, X) dX.

Преобразованный гамильтониан H(t, X, У) в новых переменных будет
таким:

H(t, X,Y) = H + St = H(t, X(t, X, У), y(t X, У)) - AY,

h(t, X) dX.

Здесь через А обозначен вытесненный через сечение X расход жидко-
сти, равный уменьшению объема. Условие существования отображения
= 1 + h(t,X) > 0 означает, что верхняя граница не должна смы-
каться с нижней (см. рис. 9.5).

Пример 4. Найти производящую функцию S(q, Р) для поворота
на угол а:

q = Qcosa — psina, р = Qsina + Pcosa.
Решение. В формуле (38.1) dS(q, Р) = Q dP + pdq переменные q
и Р — независимые. Выражаем через них р и Q:

р = gtga + —— , Q = ——h Ptga.
cos a	cos а

и подставляем их в выражение для dS\

dS=(—-------h Ptga\dP + (qtga 4—— dq =>

\cosa	/	\	cos a J

=> S=	| (F2+ <?2)tga.

cos a 2

Отсюда видно, что при а = ±тг/2 производящая функция не существу-
ет, т. е. каноническое преобразование Q = р, Р = —q нельзя предста-
вить через производящую функцию.

Пример 5. Привести гамильтониан Н = | р2 — е cos t sin q к стан-
дартному виду (гамильтониан стандартного вида имеет множитель е,
общее определение см. (40.2).

Решение. Выберем производящую функцию с таким расчетом,
чтобы первое слагаемое при его преобразовании уничтожилось. Это
достигается следующим выбором производящей функции R(t,Q,p) =
= — p2t/2 — Qp. Из выражения (38.3) для ее полного дифференциала

_	2

dR = —Р dQ — q dp + (Н — Н) dt = —р dQ — (pt + Q)dp — ^r dt

Ал

находим

p = P, q = Pt + Q, H = H — у — —e cos t sin (Pt 4- Q).
At

4.	Отображение на фазовом потоке. Пусть дано X(t),Y(t) ре-
шение уравнений системы с гамильтонианом H(t, X,Y) при начальных
условиях X(to) = Yq, Y(to) = Yq. Отображение (Хо,Уо) —► (X(t),Y(t))
называется отображением на фазовом потоке системы с гамиль-
тонианом H(t,X,Y). По теореме об отображении на фазовом потоке
(см. п. 37.4) это отображение каноническое.

Поставим задачу: по данному гамильтониану H(t, X, У) найти про-
изводящую функцию S(t,Xo,Y) для отображения на фазовом пото-
ке (Хо,Уо)^(Х,У).

Решение можно получить, если дать поставленной задаче сле-
дующую эквивалентную формулировку. Даны два гамильтониана: ис-
ходный Н = 0 с решением Xq = const, Yq = const и преобразованный
H(t, X, У). Найти производящую функцию S(t,XQ,Y) для отображе-
ния на фазовом потоке (Хд,Уо) —► (Х,У).

Полагая в (38.1) q — Xq, р = Yq, Н = 0 и Q = X, Р = У, Н =
= H(t, X, У), находим

dS(t, Xq, У) = XdY + YQdXQ + H(t, X, У) dt.
Отсюда получаем формулы, определяющие каноническое преобразова-
ние, и связь между производящей функцией и гамильтонианом:

X = Sy(t,Xo,Y}, Yo = SXo(t,Xo,Y),
St(t, Хо, Y) = H(t, SY(t Xo, У), У).

Последнее соотношение называется уравнением Гамильтона-Якоби.
В момент времени t = t& преобразование должно быть тождествен-
ным. Отсюда найдем начальное условие для производящей функции
S(to,Xo,Y) = XqY. Полученная задача Коши для функции S эквива-
лентна нахождению всех фазовых траекторий системы с гамильтониа-
ном H(t, X, У).

Замечание. Традиционно уравнение Гамильтона-Якоби вы-
водится из отображения Х,У, H(t,X,Y) —► Хо, Уо,Н(£, Х,У) = 0.
Поэтому традиционное соотношение dS(X,Yo) = XodYo 4- У dX —
— H(t,X,Y) и уравнение Гамильтона-Якоби отличаются знаком
при Н.

38.2.	Производящая функция Пуанкаре. Для автономной кано-
нической замены переменных (д,р) —► (Q,P) Пуанкаре в своей кни-
ге 1889 г. «Новые методы небесной механики» [170, с. 191], доказал
теорему.

Первая теорема Пуанкаре. Для канонической замены
q(Q,P),p(Q,P) дифференциальная форма

d$ = А

Q-q р-р

dQ + dq dP + dp

(38.4)

является полным дифференциалом однозначной функции

*(5 (9 + Q)4(P + p))

тогда и только тогда, когда det (А + Е) / 0, где А и Е — матрица
Якоби и единичная матрицы соответственно

Л _ d(q,p)	F	/1 0\

d(Q,P)’ “	V0 М

Пуанкаре применял функцию Ф (в дальнейшем будем ее назы-
вать функцией Пуанкаре) для исследования характера устойчиво-
сти неподвижной точки последовательности точек qn, рп, п = ..., —
— 1,0, 1,2,..., определяемых с помощью рекуррентного соотношения
qn = д(<7п-1,Рп-1). Рп = р(«п-1,Рп-1), где q = q(Q, Р), р = p(Q, Р) -
каноническое отображение. Он показал, что справедлива теорема.

Вторая теорема Пуанкаре. Неподвижная точка Q =
= q(Q,P), Р = p(Q, Р), — устойчива, если квадратичный член раз-
ложения функции Пуанкаре в этой точке имеет минимум или
максимум. Если же квадратичный член разложения функции Пуан-
каре не имеет ни минимума ни максимума, то неподвижная точка
неустойчива.

Функция Пуанкаре обладает и другими замечательными свойства-
ми, например, существование функции Пуанкаре не зависит от выбора
координат q,p. Производящая функция Якоби S таким свойством не
обладает, и ее существование зависит от выбора системы координат.
Для одного и того же канонического преобразования производящая
функция S в одной системе координат может существовать, а в другой
нет. «Удручающая неинвариантность производящих функций» отмеча-
ется в монографии В. И. Арнольда [7].

Однако, замечательные свойства функции Пуанкаре трудно ис-
пользовать для проведения анализа гамильтоновой системы, так как
в ней не выделены явно независимые аргументы. В работах [154, 157]
эти недостатки снимаются с помощью параметризации каноническо-
го преобразования. Функция Пуанкаре обобщается для произвольных
неавтономных канонических преобразований и выражается через неза-
висимые параметры.

Обобщение на неавтономные канонические преобразования можно
получить, следуя работе [163]. В ней показано, что комбинация произ-
водящих функций (38.1) и (38.3)

Ф = I [S(t, q, Р) — qP + R(t, Q, p) + Qp]

(38.5)

имеет следующий полный дифференциал:

</Ф = А

Ал

Q-q р-р
dQ + dq dP + dp

+ (Я - Я) dt.

(38.6)

Изохронный дифференциал (dt = 0) d$ совпадает с дифференциалом
Пуанкаре (38.4).

38.3.	Производящий гамильтониан. Теорему о каноничности
отображения на фазовом потоке гамильтоновой системы (см. п. 37.4)
можно использовать для построения канонических преобразований.

Рассмотрим задачу Коши для автономной гамильтоновой системы
с гамильтонианом G(x, у, е) = eG\ +

dx dG dy dG /л\	zqq

* = * = -& = »(0)=г’- (38-7>

Обозначим через Q, Р значения переменных в момент времени г = 1:
Q = ж(1), Р = ?/(1). Тогда для достаточно малых е старые переменные
q, р можно выразить через новые Q, Р с помощью рядов Ли:

q = Q + Q * G(Q,P) +	* G2 + ...,

Ал •

p = P + P*G(Q,P) + ^P*G2 + ...,

Ав •

(38.8)
где * обозначает скобку Пуассона

H*G = {H,G} =

dH dG _dH dG
др dq dq dp ’

а выражение Q * Gn — n-кратная скобка Пуассона, определяемая по
индукции Q * Gn+1 = Q * Gn * G.

Таким образом, получается отображение (g,p) —* (Q,P) на фазовом
потоке гамильтоновой системы с гамильтонианом G. Известно, что это
отображение является унивалентным каноническим преобразованием.
Преобразованный гамильтониан H(Q,P) = H(q(Q, P),p(Q, Р)) также
выражается через исходный H(Q, Р) рядом Ли:

H(Q, Р) = H(Q, P) + tf*G+ltf*G2 + ltf*G3 + ...	(38.9)

Z!	м!

Функция G(Q, Р) называется производящим гамильтонианом или ге-
нератором Ли. При построении нормальной формы такой способ кано-
нической замены переменной более выгоден, чем метод производящих
функций.

§ 39.	Параметрическая производящая функция

39.1.	Определение и общие свойства параметрической про-
изводящей функции. Кроме перечисленных выше способов кон-
струирования канонических преобразований, в работах А. Г. Петрова
[154, 158, 159, 163] был предложен и изучен новый вид канонических
преобразований с помощью параметрической производящей функции.
Этот способ оказывается весьма эффективным для построения асимп-
тотических решений гамильтоновых систем.

1. Теорема о параметризации. Общий результат параметризации
канонической замены переменных в гамильтоновых системах сформу-
лируем в виде теоремы [163].

Теорема. Пусть преобразование переменных (q,p) —► (Q,P)
записано в параметрической форме

q = x-^v, Q = x + ^4>y,

{	\	(39.1)

р = 2/+2фх-

где Ф(£, х, у) — дважды непрерывно дифференцируема в окрестности
точки tQ, Xq, yQ,

Тогда 1) якобианы двух преобразований q = q(t, х, у),р = p(t, х, у)
и Q = Q(t, х, у), Р = P(t, х, у) тождественно равны

= х' (39-2)

о\х,у) д(х,у)
2) При J(tQ,XQ,yo) /0 существует окрестность точки to, xq, уо,
в которой преобразование (39.1) переменных q,p —> Q,P переводит
гамильтонову систему Н = H(t,q,p) в гамильтонову систему Н =
= H(t, Q, Р) по следующему закону'.

4!t(t,x,y) + H(t,q,p) = H(t,Q,P),	(39.3)

где аргументы q, р и Q, Р в гамильтонианах Н и Н выражены через
параметры х, у по (39.1).

Доказательство. 1) Вычисляем первый якобиан:

д(д,р) _ дд др дд др _	1 * \Л+1ф \ + 1ф ф -

д(х,у)~дхду дудх~\ 2Ф*уД1 + 2^ + 4 ^уу_

= 1 + 4 (ФххФуу ~ Ф®у) •

Аналогично вычисляется второй якобиан: он оказывается равный пер-
вому.

2) Доказательство второго пункта теоремы проведем с помощью
критерия каноничности, согласно которому дифференциальная форма
6U = PSQ — pSq — (Н — H)St является полным дифференциалом неко-
торой функции SU(Z, ж, у) = UtSt + Ux6x + Uy6y (см. п. 37.3).

Подставляем в дифференциальную форму 6U вместо^, р и Q, Р
их выражения (39.1) через параметры ж, у и заменяем Н — Н на Ф*
согласно (39.3). После очевидных преобразований получим

§и = (у - Фо;) (fa + i ФУ*Л + i Vyx6x + Фто<5у) -

- (у + Фх)	- £ ^yxSx - £ Ууубу) - 4>t6t =

= y(VytSt + Фух6х + VyySy) - VxSx -	= 6(yVy - Ф),

что и требовалось доказать. В работах [159, 163] эта теорема доказана
для гамильтоновых систем произвольного порядка.

2.	Связь параметрической функции с функцией Пуанкаре. Из
(39.1) следует:

x=\{q + Q). у=1-(р + Р),	(39.4)

Фх = р-Р, Фу = Q-q,	(39.5)

Vxdx + Vydy =bp- P)d(q + Q) + 1 (Q - q)d(p + P).	(39.6)

£ £

Добавляя к дифференциальной форме равенство, вытекающее из
(39.3): ^tdt = Н — Н, получим дифференциал с£Ф, тождественно рав-
ный дифференциалу с/Ф (38.6). Таким образом, функция Ф является
функцией Пуанкаре.
3.	Доказательство первой теоремы Пуанкаре. Пользуясь за-
меченным наблюдением, можно доказать первую теорему Пуанкаре,
которая отвечает на вопрос, для каких канонических преобразований
существует параметризация.

Пусть g(Q,P), p(q, Р) — каноническая замена. Тогда дифференци-
альную форму (39.6) можно привести к виду

<Ю = | d{(p + P)(Q - 9)] + pdq - РdQ.
£

Согласно критерию каноничности Пуанкаре pdq — PdQ — полный
дифференциал и поэтому йФ — полный дифференциал, по которому
находится Ф как функция Q, Р. Из уравнений (39.4) следует:

_ д(х,у) = j_ [( dq_ Л / др_ А _ dq_ dpi = £
J d(Q,P) AlVdQ^ )\dQ^ ) dPdQ\~4

Ац + 1

^21

>112

>122 + 1

Таким образом, если det (Е + Л) / 0, то из системы (39.4) можно
найти функции Q(x,p), Р(х,у) и Ф(ж,р). Обратно, если функция
Ф(ж,р) такова, что det(E +А) / 0, то J/Ои по теореме о па-
раметризации формулы (39.1) задают каноническое отображение, что
и требовалось доказать.

4.	Отображение малой области. Выше в п. 37.4 было рас-
смотрено отображение малой области канонического преобразования
Q(g,p), Р(д,р), определяемое якобиевой матрицей А.

Согласно представлению (39.1) матрица А равна произведению об-
ратной матрицы AZ1 отображения $ —► Q) и матрицы А+ отобра-

жения

Ф

— ф
XX

*УУ А
-Ф^’

Пользуясь тождеством А_] = A+/J, матрицу А можно представить
в виде

Отсюда выражаем компоненты матрицы локального отображения
через вторые производные функции Ф и для сравнения через вторые
производные производящей функции S(t,q, Р) (38.1):

(39.8)

Последнюю группу равенств можно получить, исходя из соотношений
Q = Sp, р = Sq. Дифференциалы этих соотношений можно предста-
вить так:

dQ = Aii dq + Aj2 dp = Aii dq + Ai2(Sgg dq + Sqp dP) = Sqp dq + Spp dP,
dP = A21 dq + A22 dp = A2j dq + A22(SQ9 dq + Sqp dP).

Приравнивая коэффициенты при dq, dP, получим систему уравнений:
All + Ai2Sgg = Sqp, A\2SqP = Spp,
A2i + A22Sgg = 0, A22Sgp = 1,

из которой вытекают требуемые равенства (39.8).

5.	Локальное условие параметризуемости. Отображение малой
окрестности (dq, др) —> (6Q, dP) с матрицей А имеет относительно
поворотов системы координат два независимых инварианта:

*1 = | (^11 + ^22),	*2 =	(^412 - 421).

Для параметрического отображения J и ДФ = Фжж + Фуу — также
инварианты, так как они выражаются через инварианты i\ и г2:

Эти равенства имеют смысл, когда i\ + 1 / 0. В этом и только в этом
случае в рассматриваемой окрестности существует параметрическое
отображение. Это условие совпадает с условием первой теоремы Пуан-
каре, поскольку det (А + Е) = 1 + Ai i + А22 + det А = 2 + 2i\.

Пуанкаре из требования однозначной зависимости Ф от полусумм
(g + Q)/2 и (р + Р)/2 получил следующее условие: корни характе-
ристического уравнения т2 — 2i\m + 1 =0 не равны —1; оно опять
эквивалентно неравенству i\ 4- 1 / 0.

6.	Инвариантность параметризуемости. Условие параметризуе-
мости выражается через инвариант матрицы i\ и не зависит от выбора
системы координат. В противоположность этому условие существова-
ния отображения с производящей функцией Якоби Sqp > 0 не ин-
вариантно. Действительно, вследствие последнего соотношения (39.8)
это условие можно представить в виде А22 > 0. Выполнение его за-
висит от выбора системы координат. В системе координат dq',dp',
повернутой на угол 0 относительно осей dq,dp, это условие тако-
во: (А11 + А22) — (>111 — >122) COS 20 + (>112 + >121) sin 20 > 0.

39.2. Примеры параметризации. Если каноническое отображе-
ние (д,р) —► (Q,P) задано аналитически в виде q(Q, P),p(Q, Р), то для
него можно найти функцию Ф(ж,?/) и представить его в параметриче-
ском виде (39.1). Для этого, разрешая уравнения

q(Q,P) + Q = 2х и p(Q, Р) + Р = 2у,

находим Q(x,y), Р(х,у). Затем находим

и(ж, у) = p(Q{x, у), Р(х, у)) - Р(х, у),

^(я, У) = Q(x, у) - q(Q(x, у), Р(х, у}}

и подставляем в уравнение для дифференциала

с/Ф = и(х, у) dx + v(x, у) dy.

Отсюда находится функция Ф(ж,?/). Переход к такому представле-
нию назовем параметризацией. Приведем два примера параметризации
отображений, заданных аналитически.

1.	Преобразование поворота. Найти параметризацию для пово-
рота на угол a: q = Qcosa — Psina, р = Qsina + Pcosa.

Решение. Параметризация существует при 1 + ii = 1 + cos а /
/ 0. Отсюда следует, что на окружности [0,2тг) исключается только
одна точка а = тг. При а / тг параметризация определяется так. Из си-
стемы

Q( 1 + cos а) — Р sin а = 2х, Q cos аР( 1 + cos а) = 2у
находим

_ х cos (а/2) + т/sin (а/2) р _ — xsin (а/2) + ycos (а/2)

2 cos (а/2)	’	2 cos (а/2)

=> и(х,у) = Qsina + P(cosa — 1) = xtg(a/2),
v(x, у) = Q(1 — cos а) + P(sina) = ?/tg(a/2).

Отсюда с помощью (39.6) находим

Ф(ж,у) = (a:2 + y2)tg(a/2), a/7F.

Выше было показано, что производящие функции не существуют в
двух точках на окружности тг/2,Зтг/2.

2.	Отображение Чирикова. Так называется последовательность
точек Хп, Yn, п = ... — 1,0,1,..., определяемая из рекуррентных соот-
ношений	v V . v

An-|-i — An + Л Sin Уп,

Кж == Уп + Хп + К sin Yn.
§39]Параметрическая производящая функция 365

эхп+1 дгп+,
дХп dYn

Якобиан отображения

вычисляется так:

= 1 +	~ Kcosr„ = 1

Таким образом, представленное отображение с якобианом едини-
ца моделирует отображение Пуанкаре на фазовом потоке некоторой
воображаемой гамильтоновой системы с периодическим во времени
гамильтонианом. Это отображение введено Чириковым и называется
стандартным отображением.

При К = О ТПП лежат на интегральных кривых Хп — const. При
К > 0 первого интеграла для ТПП не существует, а есть только
инвариантные кривые. При достаточно малых К они плотно заполняют
фазовую плоскость. Показывается, что наибольший размер шели меж-
ду инвариантными кривыми ие превосходит трансцендентально малую
величину порядка	т.е. меньшую любой степени К (60].

На рис. 9.7 показаны ТПП для этого отображения при различных
значениях пареметра К. Начальные точки обозначены звездочкой. При
К = 1/2 щели между инвариантными кривыми настолько малы, что на
рисунке ие заметны. Поэтому через любую начальную точку проходит
инвариантная кривая, на которой располагаются все ТПП. Инвариант-
ные кривые плотно покрывают фазовую плоскость также как и для

Рис. 9.7. Фазовые портреты отображения Чирикова
интегрируемой системы. Имеются две неподвижные точки: эллипти-
ческая X = О, Y = 7г и гиперболическая X = О, Y = 0. При К = 0,7
наблюдается хаотизация в окрестности гиперболической неподвижной
точки. С ростом К хаотизация нарастает. Это типичная картина пове-
дения ТПП на фазовой плоскости для любой гамильтоновой системы
с периодическим во времени гамильтонианом.

Поставим задачу: найти параметрическое представление для од-
нопараметрического семейства отображений Чирикова.

Решение. Из неравенства

• । I 1 (дХп+\
г1 + 1 = 2 1^ХГ

+ ^1) + 1=2 + ^созУп>0

получим, что параметризация существует на всей бесконечной плос-
кости переменных Хп, Yn при |К| < 4. Функция Ф определяется из
уравнения

</Ф = | (Х„+1 - Xn)d(Yn + Уп+1) - ± (Уп+1 - Yn)d(Xn + Хп+1).

Выражая Хп+\, У,+1 через независимые переменные Хп, Yn, получим

с?Ф = | К sin Уп d (Хп + К sin Уп + 2УП) -

- | (Хп + К sin Уп) d(2Xn + К sin Уп) = -1 К sin Уп dXn +

4“ К sin Yn dYn Хп dXn	~ Xn d(K sin Y^,)

£

=> Ф =-^ 7<Xnsinyn -/Ceosyn,

x - Xn + - /Csin Уп, y=-X„ + Yn + -KsmYn.

Ее можно можно представить как функцию х,у сходящимся при |К| <
< 4 рядом

1 глЗ (	1 \ • 2 (	1

— Кл cos [у-2 х) sin (У - 2 х

(39.9)

Из (39.1) находим требуемое параметрическое представление отобра-
жения Чирикова

Yn-y+^x, Уг+1 = У - | Фх-
Диапазоны параметра К, при котором существуют производя-
щие функции 5(Хп,Уп+1) и Я(Хп+1,Уп), зависят от системы ко-
ординат, в которой она вычисляется. Так функция 5(Хп,Уп+1) су-
ществует при dYn+\/dYn = 1 + К cos Yn > 0, т. е. при |К| < 1. Ес-
ли же повернуть систему координат на 90°, диапазон параметра К
определится из неравенства dXn+\jdXn = 1 > 0, т. е. производящая
функция другой пары переменных Я(Хп+1,Уп) будет существовать
при всех значениях параметра К. Находится она с помощью (38.3)
dR,	Yjj-j-1dXn+1	XndYn. Подставляем сюда Yn~i-i — Yjj -I-

и Xn = Xn-f-j К sin Yn

dR — (Yn H- Xn+\) dXn+\	КsinY^dYn

Таким образом, существование производящей функции зависит от
удачного выбора системы координат. Параметризация же существует
во всех системах координат.

Ниже будет показано еще одно замечательное свойство функции
Ф(ж,?/). Она приближает инвариантные кривые для последовательно-
сти точек отображения Пуанкаре.

39.3. Параметризация отображений на фазовом потоке га-
мильтоновой системы.

1.	Задача Коши для параметрической функции. Поставим зада-
чу: найти отображение X(to),Y(tQ) —► X(t),Y(t) на фазовом потоке
системы с заданным гамильтонианом H(t, X, У). Выше был рассмот-
рен метод ее решения с помощью производящей функции. Ее также
можно решать методом генератора Ли [77].

Можно предложить третий весьма эффективный параметрический
метод [65, 66, 69-72, 74]. Поставленная задача эквивалентна определе-
нию канонического преобразования, переводящего гамильтониан Н = 0
в данный гамильтониан H(t, Х,У). Применяя формулы (39.1), (39.3)
теоремы о параметризации канонического преобразования, получим
искомое отображение:

*0 = Х ~	% = Х + а

?	.	(39.10)

Yq = У + 2 ф*’ Y = y~2^Xl

в котором функция Ф должна определяться из решения задачи Коши
^t(t,x,y) = Н (t,x + | Фу, у- | фЛ, Ф(£0,а:,у) =0.	(39.11)

2.	Параметрическая функция для автономной гамильтоновой
системы. Построение параметрического отображения на фазовом по-
токе автономной гамильтоновой системы с гамильтонианом Н(Х,У)
сводится к решению задачи Коши

= Н (ж + | Ф„,у-фА Ф(0, х,у) = 0,	(39.12)

которая отличается от (39.11) тем, что функция Н явно не зависит
от времени. В этом случае решение обладает симметрией и его можно
получить в виде асимптотического ряда по нечетным степеням et Этот
результат сформулируем в виде теоремы [154, 158, 159, 163].

Теорема. Пусть гамильтониан Н(Х, Y) явно не зависит от
времени. Тогда если существует решение задачи (39.12) Ф(£, rr, ?/) на
полуинтервале 0 t < to, то существует и решение на всем интер-
вале \t\ to нечетное по аргументу t, т.е.	= — Ф(—t,x,y).

Доказательство. Для автономной гамильтоновой системы
имеет место интеграл H(X,Y) = H(Xq,Yq). Пусть Ф(£,я,?/) — ре-
шение (39.11). Тогда, определяя решение ОДУГ в параметрическом
виде (39.10) и подставляя его в интеграл, получим

„ / , 1 дФ	1 <ЭФ\ гт (	1 ^Ф .1 £Ф\

Н \Х + 2 ду ’У 2 дх) ~ Н \	2 ду’У+ 2 дх )

при 0 < t < to. С учетом этого равенства после замены t = — t, Ф = —Ф
задача Коши (39.12) не изменится

Ф?(Г,ж,у) = Н (ж + ^У,у- ^Фх,е), Ф(0,2\у)=0.	(39.13)

Следовательно существует решение Ф(£,я,?/) = — Ф(—t,x,y) на отри-
цательном полуинтервале и функция Ф(£, х,у) — нечетная, что и тре-
бовалось доказать.

Следствие. Решение задачи Коши (39.12) представляется
рядом по нечетным степеням t. С точностью до t5 функция Ф
имеет вид

Ф = Ш(х, у) + [НХХН2 - 2НхуНхНу + НУуН2х] + O(t)5. (39.14)

§ 40.	Методы усреднения гамильтоновых систем

40.1.	Алгоритм последовательного исключения времени.

1.	Системы стандартного вида. Гамильтонова система

X = HY, Y =-Нх

(40.1)

называется системой стандартного вида, если ее гамильтониан пред-

ставим в виде сходящегося на интервале |е| < £о ряда 1)

H(t, X, Y, г) = еН' (t, X, Y) + e2H2(t, X, У) + е3Я3(«, X, У) + ...,

(40.2)

9 К стандартному виду приводятся также гамильтонианы Н = Hq + еН\ +
+ £2Нг + •••» если Hq не зависит от X или Y (см. пример 5 в п. 38.1).
Для общих дифференциальных уравнений такого вида вида применим
общий метод усреднения (см. монографии Боголюбова, Митрополь-
ского [24] и Журавлева, Климова [78]). Для гамильтоновых систем
алгоритм усреднения еще более упрощается. Приведем алгоритм усред-
нения с периодическим во времени гамильтонианом

Я(* + Т,Х,У) = Я(*,Х,У)

(40.3)

с помощью производящих функций.

2.	Задача метода усреднения. Пусть дан гамильтониан стан-
дартного вида Т — периодический по времени (40.3). Нужно найти
каноническую замену q,p—*Q,P так, чтобы в разложении нового
гамильтониана до к-ro члена разложения не содержалось времени.
Тогда в новых переменных система с точностью до К + 1-го порядка
будет автономной и, следовательно, интегрируемой. Ниже изложен
классический метод решения этой задачи с помощью производящей
функции. Он назван алгоритмом последовательного исключения вре-
мени. Для сравнения ниже будет приведен также параметрический
метод усреднения.

3.	Алгоритм последовательного исключения времени. Опишем
алгоритм на примере следующего гамильтониана:

Н = е Г| р2 — cos t sin q\.

Система с близким гамильтонианом описывает движение твердой
сферической частицы в жидкости под действием стоячей акустической
волны и рассмотрена в п. 35.3. Координата частицы q определяется из
уравнения q = е2 cos t cos q.

Производящая функция S(t,q, Р, е), определяющая каноническую
замену (g,p) —* (Q,P), связана с преобразованным гамильтонианом Н
уравнением (38.2)

St + H(tQ,Sg) = H(SP,P).

Будем искать производящую функцию и преобразованный гамильтони-
ан в виде рядов

S(t, g, Р, е) = qP + eSi (t, q, P) + s2S2(t g, P) + s3S3(Z, g, P) + ...,

H(q, P, e) = eHi(q, P) + s2H2(q, P) + s3H3(q, P).

Коэффициенты Si,S2,... будем искать в виде сумм тригонометриче-
ских гармоник периода, кратного Т = 2л. Раскладывая уравнение в ряд
по е и собирая члены при одинаковой степени по е, получим уравнения
первого, второго и третьего приближений:

е1: 5ц + Р2 - costsing = H\(q, P) =>
£

=> Pi = |p2, Sit=cosZsing => Si=sinZsing,

£
е2: s2t + HipSiq = H2(q,P) =» S2t + Р slat cos q = H2(q, Р) =>

=> S2 = P cost cos q, H2 -= 0,

?: S3t + HlPS2q + H2PS\q + 1 HlPpS2iq = H3(q, P) =>
£

=> Sm — P2 costsing + sin21 cos2 q = P) =>
£

=> Нз = | cos2 g, S^t = P2 sin g cos t + | cos2 g cos 2t =>

=> S3 = P2 sin g sin t + | cos2 g sin 2t.

Собирая все члены разложения, получаем преобразованный автоном-
ный гамильтониан и производящую функцию для замены переменных
с точностью до е4:

Н = е Р2 + в31 cos2 Q + ...,

S = qP + е sin t sin g + e2P cos t cos g +

+ £3 (p2 sin g sin t + | cos2 g sin 2t^\ + ...

Уравнения замены переменных:

Q = Sp = q + e2 cos t cos g + 2s3P sin g sin t,

p = Sq = P + e sin t cos g — e2P cos t sin g +

+ s3 (p2cosgsinZ — I sin2gsin2t\ + ...

Для ТПП в моменты времени t = 2тгп имеем

Qn = Qn Н- £ cos qn, Рп = Рп £ Рп sin qn •

Точки Qn, Рп с точностью до е4 приближаются интегральными кри-
выми	_	1	1

H(Qn, Рп) = 4 Рп + Z cos2 Qn = с.

В исходных переменных точки qn,Pn приближаются кривыми

£ 77.--7 COS2(gn + £2 COSqn) = С.

2(1 -e2sin9„)2	4

40.2.	Теория последования Пуанкаре для неавтономных га-
мильтоновых систем.

1.	Точки последования Пуанкаре. Для краткости будем обо-
значать точку с координатами X, Y вектором R. На траектории
R(Z,Zo, Хо, То), определяемой из решения системы (40.1), рассмот-
рим положения точек через интервалы времени, кратные периоду
Rn(Zn,Zo,Xo,^b)> tn = to + Tn, n = 0, ±1, ±2,... Такие точки называют
точками последования Пуанкаре (ТПП). Множество ТПП — это след
частицы при киносъемке с частотой кадров, соответствующей перио-
ду Т. ТПП образует счетное множество точек на плоскости, которое
зависит, вообще говоря, от ^о,Хо,Уо.

2.	Отображения Пуанкаре. При периодической зависимости га-
мильтониана от времени множество ТПП может быть вычислено по
рекуррентным формулам Rn = P^Rn-i), где (△£ = t — t&) —
отображение на фазовом потоке системы (40.1), или попросту решение
задачи (40.1). Отображение за период называется отображением
Пуанкаре. Поскольку в гамильтоновой системе фазовый объем сохра-
няется, то и отображение Пуанкаре должно быть подчинено условию
сохранения фазового объема. Математически это означает, что якобиан
отображения Пуанкаре равен единице det (dRn/dRn-i) = 1.

3.	Инвариантная кривая. Если множество ТПП принадлежит
одномерной линии, то такая линия называется инвариантной кривой.
Следует отличать понятие инвариантной кривой от интегральной кри-
вой. Интегральная кривая существует тогда, когда в системе есть
первый интеграл. Тогда через каждую точку плоскости проходит инте-
гральная кривая. Она же будет и инвариантной кривой, т. е. при нали-
чии первого интеграла инвариантные кривые и интегральные кривые
отождествляются. Ниже будут приведены примеры систем, в которых
нет первого интеграла. В этом случае интегральных кривых нет, а ин-
вариантные кривые могут быть. Они проходят не через каждую точку
плоскости, могут заполнять плоскость или часть плоскости достаточно
плотно, а часть плоскости совсем не заполнять. Типичную картину
поведения ТПП на фазовой плоскости гамильтоновой системы с перио-
дическим во времени гамильтонианом моделирует последовательность
точек Чирикова (см. рис. 9.7).

4.	Постановки задач построения отображений по данному
гамильтониану и построения гамильтониана по отображению.
Для исследования гамильтоновых систем (40.1)-(40.3) требуется дать
конструктивные методы построения отображения Пуанкаре по данному
гамильтониану (40.1) и наоборот по данному отображению (например,
Чирикова) найти автономный гамильтониан соответствующей гамиль-
тоновой системы.

5.	Асимптотический ряд для параметрической функции. По-
ставим первую задачу: найти отображение

X(t^ Y(tQ) X(tQ + Т), Y(tQ + Т)

на фазовом потоке системы с заданным гамильтонианом

Я(*,Х,У) = Я(* + Т,Х,У).

Эту задачу можно решать с помощью производящей функции или
методом генератора Ли [77].
Можно предложить третий весьма эффективный параметрический
метод [154, 157, 159-163]. Поставленная задача эквивалентна опре-
делению канонического преобразования, переводящего гамильтониан
Н = 0 в данный гамильтониан H(t, X, У). Параметрическая функция Ф
должна определяться из решения задачи Коши (39.11). Ее решение
можно представить в виде ряда по е

^(t,x,y,e) - еФ] + е2Ф2 + е3Ф3 + О(е4),

t
*

Ф1(£,ж, у)= H\dt,

*0

t
*
Фг(<, х, у) =

*0

Яг-ЬЯьФ!}]^,

(40.4)

Фз(£,я>у)

t

*

to

Я3-|({Я2,Ф1} + {Я1>Ф2})

1

8

ТПП вычисляются по рекуррентным формулам

У1—1 — У Н" 2	— У 2

(40.5)

где функции Ф имеет аргументы Ф(£о + Т, х,у).

Фигурными скобками обозначены скобки Пуассона

{g, h} = gyhx - gxhy.

Пример. Для течения жидкости в упр. 1.7 найти последова-
тельность точек Zn = Хп + гУп, в которых частицы жидкости
окажутся в моменты времени tn = 2тгп.

Решение. По комплексному потенциалу w(z) определяем функ-
цию тока (гамильтониан системы) в виде ряда по параметру а:

Н = Im (w(z)) = аН\ + а2 #2,

Я! =

—х cos t — у sin t

“ГТ 2

н2 =

По формулам (40.4) находим

dHi ЭФ,
ду дх

дН\ 0Ф1

{ЯьФ^

cos t — 1

4 . 0 2„ 2.4 ’
х + 2х у + у

Ф(2тг,ж, у) =

а2тг

/2 ,	2\2

(X +у )

О(а3).
С помощью (40.5) с точностью до а3 получаем

6.	Асимптотические ряды для автономного гамильтониана.
Для определения параметрической функции Ф отображения Пуан-
каре автономной гамильтоновой системы была получена задача Ко-
ши (39.12). Ее решение дается асимптотическим рядом (39.14) по
нечетным степеням периода Т. Этот ряд дает решение прямой задачи:
найти параметрическую функцию Ф по заданному гамильтониа-
ну Н. Обращенный ряд

(40.6)

дает решение второй обратной задачи: по заданной функции Ф(я,?/)
в рекуррентном соотношении (40.5) найти автономную систему с
гамильтонианом	решение которой	приближает

точки X(to + Тп), Y(to + Тп), п = 0,1,2,...

Для системы стандартного вида (40.2) функция Ф содержит малый
параметр е, поэтому ряд (40.6) — ряд по степеням е. Уравнение
Н(ХП,УП) = const с выписанными членами ряда приближают инвари-
антную кривую для точек Хп, Yn с точностью до е4.

Если в это уравнение подставить найденное разложение по пара-
метру К параметрической функции отображения Чирикова (39.9), то
при К < 1/2 полученные инвариантные кривые будут неотличимы от
точных (см. рис. 9.20). Более точные оценки приближений инвариант-
ных кривых отображения Чирикова даны в упр. 40.1-40.3.

7.	Параметрический метод усреднения. По заданному гамильто-
ниану (40.2) усредненный гамильтониан H(q,p) можно найти, подста-
вив в ряд (40.6) функцию (40.4). Для систем стандартного вида (40.2)
с точностью до е3 получим

Н(х, у) = Ф(«о + Т, х, у) + О(е3) =

(40.7)

Последнее равенство совпадает с известной общей формулой для усред-
ненного гамильтониана [24]. Кратко ее можно записать так:
Покажем на рассмотренном в пп. 3 п. 40.1 примере как с помощью
(40.7) вычислить для неавтономной системы Н = е(р2/2 — costsing)
усредненный гамильтониан с точностью до е3.	_

Потребуем, чтобы для гамильтоновых систем Н и Н совпадали
ТПП в моменты времени tn = 2тгп, п = 0,1,2,... Тогда

Ф = 2тгЯ(х, У) + [H^Hl - 2HxyHxHy + ЯУУЯ2] =

=	+ £2Ф2 + е3Ф3. (40.8)

Усредненный гамильтониан с точностью до е4 вычисляется так.
Вычисляем коэффициенты разложения (40.4)

Н, (t, х, у) = | у2
&

— cos t sin х,

н2 = н3 = о,

Ф1(г,я.у)

t

Н\ (Z, х, y)dt = i y2t — sin t sin x,
£

0

- {Hi, Ф i} = у sin t cos x - (cos t cos x) yt,

t
^>2(t,X,y) = -i

0

Вычисляем коэффициенты Фь Ф2 и Ф3 в момент времени t = 2тг

Ф1(2тг, х, у) = 7гу2, Ф2(27г,ж,у) = 0,

2тг

Фз(2тг, х, у} =

о

{ЯЬФ2}^ +

ЭФ|(<,а:,у) \2
дх /

d?H\(t,x,y) /дФ1(£,ж,?/)
дх2 V ду

= (tt/2)cos2x + 27r?/2sinx.

После подстановки вычисленных коэффициентов уравнение (40.8) при-
мет вид

27гЯ(х, У) + [НХХЯ2 - 2НхуНхНу + ЯУУЯ2 ] =

= етгу2 + е3 (тг/2) cos2 х + 2тгу2 sin х).

Отсюда найдем усредненный гамильтониан с точностью до е4\
= ер2/2 + е3 (р2sing + (cos2g)/4).
Уравнение инвариантных кривых для ТПП сразу находим в исходных
переменных	__

H(qn,pn) = с,

которое очевидно с точностью до е4 совпадает с найденным в пп. 3
п.40.1.

Описанный метод можно применять для построения инвариантных
кривых канонических отображений Хп(Хп_\, Уп-1), Уп(^п-ь Уп-1),
п = 1,2,... (см. упр. 43.1 -43.3).

8.	Исследование устойчивости неподвижных точек, по отоб-
ражению Пуанкаре. Докажем вторую теорему Пуанкаре об устойчи-
вости неподвижной точки последовательности Хп, Yn, определяемой
с помощью параметрического отображения (40.5). Пусть в неподвиж-
ной точке X, Y функция Пуанкаре имеет минимум или максимум.
В окрестности неподвижной точки функция Ф(Х + £, Y + rf) определя-
ется рядом Тэйлора. Поскольку в неподвижной точке Ф% = Фу = 0, то
ряд начинается с многочлена второй степени

Ф = Ф2 + Ф3 + ..., Ф2 = | (Фхх£2 + 2Фху£т/ + Фуут/2).

По функции Ф можно построить автономный гамильтониан (40.6)
в виде разложения по однородным полиномам Н% + Яз + ... Для
гамильтоновой системы	точка 0,0 устойчива, если функция

Н2(СТ1) в этой точке имеет минимум или максимум, что и требовалось
доказать, поскольку Н% = Фг-

Это условие записывается так:

^хх^уу - (Фа^)2 > 0-

В окрестности такой точки интегральные кривые Н = const — эллипсы.
Поэтому эти точки называются эллиптическими точками. В противо-
положном случае:

*хх*уу

интегральные кривые в окрестности равновесия — гиперболы. Точка
равновесия — неустойчива.

40	.3. Сравнение параметрического метода и метода производя-
щих функций.

1. Построение отображения Пуанкаре методом производя-
щих функций. Метод производящих функций используется для ка-
нонических преобразований [7, 77]. Этот же аппарат можно при-
менить для построения отображения Пуанкаре. Рассмотрим задачу
Коши (36.1) для системы с одной степенью свободы. Отображение
X$,Y$ —► Х,У, сохраняющее фазовый объем, представляется через
производящую дифференцируемую функцию смешанных переменных
вида S(t, Xq, У) = XqY + S(t, Xq, У) в виде соотношения

Уо = У +

dS
дХ0'

(40.9)

При выполнении условия

дХ0 dY > 0

(40.10)

систему можно разрешить относительно Х,У, что дает в результате
представление отображения с якобианом, равном единице. Если произ-
водящую функцию S определить из уравнения Гамильтона-Якоби

St(t, Xq, У) = H(t, Xq + Sy(t, Xo, У), У), S(0, Xo, П = 0, (40.11)

то отображение (40.9) будет решением гамильтоновой^системы (36.1).

Для системы стандартного вида (40.2) функция S представляется
рядом по степеням е. Любое конечное число членов разложения будет
определять отображение, у которого фазовый объем будет точно со-
храняться. В этом состоит удобство применения метода производящих
функций. Однако, в этом методе есть существенные недостатки. Отме-
тим два из них (см. ниже пример гармонического осциллятора).

1.	Отображения вида (40.9) не являются универсальными. (На-
пример, поворот на 90° в виде (40.9) не представим. Для такого
отображения нужно в производящей функции выбрать другую пару
переменных, но тогда в этих переменных нельзя представить тожде-
ственное преобразование [7, 77].)

2.	Условие разрешимости существенно ограничивает диапазон изме-
ненения параметра е. Кроме того, это условие (40.10) не инвариантно
по отношению к преобразованию поворота декартовых координат на
фазовой плоскости [7].

Предлагаемая новая схема параметрического представления отобра-
жения свободна от этих недостатков.

2.	Преимущества параметрического отображения. В парамет-
рическом методе функция Ф(£, х,у) играет роль производящей функ-
ции. Так же как и в методе производящих функций, ^(t,x,y) опреде-
ляется из уравнения типа Гамильтона-Якоби. Любая конечная сумма
первых членов ряда по е для Ф будет давать отображение, сохраняю-
щее фазовый объем точно при условии J > 1. Параметрический метод
имеет ряд преимуществ перед методом производящих функций. Они
состоят в следующем.

1°. Через производящую функцию нельзя выразить отображения
очень простого вида. Например, через S(Xq,Y} нельзя выразить пово-
рот на 90° (отображение X = Yq, Y = -Хо)- Это отображение можно
выразить через производящую функцию с другой парой переменных,
но тогда через нее нельзя представить тождественное отображение.
Параметрическое представление в этом смысле более универсально.

2°. Условие разрешимости (40.10), вообще говоря, зависит от выбо-
ра декартовой системы координат X, У, тогда как в параметрическом
методе условие J > 0 инвариантно по отношению к поворотам коорди-
нат X, У

3°. В приближениях одинаковой по малому параметру е точности
диапазон изменения параметра е, удовлетворяющего условию J > 0,
существенно шире по сравнению с диапазоном изменения параметра е,
удовлетворяющего условию 1 + d2S/dX$dY > 0.

4°. Коэффициенты Фп ряда Ф = еФ] + е2Ф2 + ... существенно мень-
ше коэффициентов ряда Sn для производящей функции.

5°. Для автономной системы функция Ф представляется рядом по
нечетным степеням е.

6°. С точностью до е3 отображение за время t и усредненный
гамильтониан связаны простым соотношением Ф = tH(x, у).

Покажем преимущества параметрического метода на примере, в ко-
тором отображение находится точно.

3.	Вынужденные колебания осциллятора. Гамильтониан имеет
следующий вид:

H = e[|(X2 + K2) + Xbsint .
- ~

Система уравнений точно интегрируется (см. пп. 3 п. 36.2) и коорди-
наты Хп, Yn точек последования через период в моменты времени
tn = to + 2тгп таковы:

<п-Хс = (Xn-i - Хс) cos (2тге) + (Уп_1 - Ус) sin (2тге),
п - Yc = —(Xn-i - Хс) sin (2тге) + (Уп-1 - Ус) cos (2тге),
лл Ье2 • ,	be ,

л-с	2	Ус	2

Точки последования лежат на окружности с центром XC,YC с угловым
расстоянием друг от друга, равным 2тге.

Параметрический метод дает

Ф(я,у) = tg7ге [(ж -Хс)2 + (у- Ус)2],

J=l/cos2(7re) > 0.

Согласно методу производящих функций имеем

S(Xn_ 1, Yn

1 — cos 2тге
cos 2тГ£

(Xn_j

+ | tg 2tte [(Xn-i - Xc)2 + (Уп - Ус)2
£

1 + SxY =

1

COS 27ГЕ

0.
На рассмотренном примере легко убедиться во всех вышеперечис-
ленных преимуществах 1°-6° параметрического метода перед методом
производящих функций. Дополнительно к этому можно заметить, что

а)	формула для Ф короче, чем для S;

б)	радиусы сходимости рядов по степеням г для Ф в два раза
больше радиусов сходимости рядов для S (в параметрическом методе
допускаются повороты до 180°, а в методе производящих функций
только до 90°);

в)	коэффициенты ряда Фп примерно в 2П раз меньше коэффици-
ента Sn\ соответственно для остаточных членов этих рядов гп и Rn
имеем гп = 2-п7?п.

§41. Динамический хаос

41.1.	Упорядоченное и хаотическое движения. До настоящего
времени пока нет общепринятого определения хаотических движений.
Для систем с одной степенью свободы можно дать геометрическое
простое определение хаоса, хотя и не вполне строгое математически.
Рассмотрим гамильтонову систему с Т-периодическим гамильтониа-
ном. Она определяет движение лагранжевых частиц несжимаемой сре-
ды на плоскости. Выделим положения, которые занимает лагранжева
частица через интервалы времени, кратные периоду tn = to + Tn, п = 0,
±1, ±2,... Такие точки мы назвали точками последования Пуанкаре
(ТПП), образующими счетное множество точек на плоскости, которое
зависит, вообще говоря, от Io,Xq,Yo. Они вычисляются по рекуррент-
ным формулам с помощью отображения Пуанкаре.

Упорядоченным движением назовем такое движение, при котором
множество ТПП лежит на одномерной линии (инвариантной кривой).
При упорядоченном движении все множества ТПП образуют семейство
инвариантных кривых. Во всех интегрируемых системах движение
ТПП упорядоченное.

В интегрируемой системе частицы, находящиеся на одной линии
тока, будут находится на ней постоянно. Если окрасить эти частицы,
то краска по другим линиям тока не распространится. Окрашенной
останется только одна линия. Таким образом, если первый интеграл
существует (а это будет для любого установившегося течения), то
перемешивания пассивной примеси не произойдет.

Альтернативой упорядоченных движений являются хаотические
движения, которые могут быть только в неинтегрируемых системах,
т. е. в системах, у которых нет первого интеграла. При этом само реше-
ние может быть выписано в простом аналитическом виде. При хаоти-
ческом движении ТПП при некоторых начальных значениях to,Xo,Yo
заполняют область конечной площади. В неинтегрируемых системах
инвариантные кривые могут достаточно плотно заполнять некоторую
область движения и хаотизация не будет заметна. Такое движение
тоже будем называть упорядоченным. Топологическая структура ТПП
при упорядоченном движении на фазовой плоскости практически не
отличима от структуры интегрируемых гамильтоновых систем. В этом
случае линии тока непрерывно заполняют всю рассматриваемую об-
ласть, как это имеет место для автономной системы изображенной на
рис. 9.1.

Упорядоченные и хаотические движения можно наблюдать на фа-
зовом портрете последовательности точек, определяемых по отображе-
нию Чирикова. На рис. 9.7 представлены фазовые портреты ТПП при
различных значениях параметра К. При К < 0,5 хаос не наблюдается,
хотя система не имеет первого интеграла. При К = 0,7 видна хаоти-
зация в окрестности сепаратрисы. Площадь хаотизации увеличивается
с ростом К, что видно из следующих рисунков при К = 1 и К = 1,5.

При хаотическом движении пассивная примесь, помещенная в как
угодно малой окрестности точки Zo, Хо, Yq распространится за доста-
точно большой промежуток времени на область конечной площади.
Площадь, отнесенную к площади движения, можно принять за меру
хаоса.

Примеры расчетов хаотических движений представлены в следую-
щих разделах. Динамический хаос связывается с процессом перемеши-
вания пассивной примеси в движущейся среде.

Заметим, что введенное определение хаотизации не зависит от to.
Действительно, при изменении to на to + △£, 0 < At < Т множество
ТПП преобразуется с помощью непрерывного отображения Р^. При
этом одномерная линия или двумерная область переходят соответ-
ственно в одномерную линию или двумерную область. Если At = kT,
т. е. кратно периоду, то отображение Р^ = Р*от переводит ТПП
в себя. При произвольном значении At можно представить в виде
At = kT + At', 0 < At' < Т. Отображение Р^ тождественно отобра-
жению Р^ и не меняет топологической структуры ТПП.

В дальнейшем для определенности выбирается to = 0, а при обо-
значении отображения Пуанкаре верхний и нижний индексы будем
убирать: Р = Р?.

41.2.	Качественный анализ гамильтоновой системы стандарт-
ной формы. Исследование хаотичности движения с помощью отоб-
ражений Пуанкаре называют также методом сечений Пуанкаре. Этой
теме посвящены монографии [81, 110, 208, 217, 270]. Однако само
построение отображения Пуанкаре — сложная вычислительная задача.
Поэтому обычно ТПП находятся численно, а аналитические методы
для вычисления ТПП в гидродинамических системах не применяются
(за исключением очень простых искусственных примеров [89]).

Для качественного исследования систем с одной степенью свободы
с гамильтонианом стандартной формы

Н = еН1+€2Н2 + е3Нз +(41.1)
где е — малый параметр, полезны следующие теоретические резуль-
таты. Известно, что автономная гамильтонова система (гамильтони-
ан явно не зависит от времени) является интегрируемой. Лагранже-
вы частицы лежат на одномерных линиях тока Я(ХП,УП) = const,
и движение упорядоченное. Для неавтономной системы стандартного
вида асимптотическая процедура метода усреднения [24, 78] позволяет
построить для любого целого к > 0 близкую к тождественной кано-
ническую замену переменных X,Y —► Х,У, так что с точностью до
малых порядка уравнения для новых переменных будут иметь вид
автономной гамильтоновой системы с гамильтонианом

Последовательностью канонических замен гамильтониан системы
можно привести к почти автономному виду Я(Х,У) + p(t,X,Y). Тео-
рема А. И. Нейштадта [128] устанавливает для неинтегрируемых си-
стем с аналитическим гамильтонианом существование неулучшаемой
оценки |р| < С\ ехр (—С/е). При р = 0 система имеет интеграл, и в слу-
чае одной степени свободы хаоса не будет. Хаос вызывает именно
экспоненциально малая величина р(£,Х,У), которую методами усред-
нения определить невозможно. Поэтому применение метода усреднения
для конструктивного описания перехода к хаотическим движениям
в системах с одной степенью свободы оказывается бесполезным. Одна-
ко качественно можно констатировать следующую типичную картину
нарастания хаоса при увеличении параметра е. При_достаточно малом
е множества ТПП лежат на инвариантных кривых Я(ХП,УП) = const,
определяемых методами усреднения с точностью до р = С\ ехр(—С/е).
В этом случае в силу малости р хаос практически не заметен. При
достаточном увеличении е экспоненциальная добавка начинает прояв-
ляться, хаос становится заметным и площадь хаотизации достаточно
быстро увеличивается с ростом е.

Системы типа Но + еН\ + ..., с интегрируемой невозмущенной
частью Но ведут себя похожим образом. При малом е хаотизация не
наблюдается. Начиная с некоторого значения е появляется хаотичность
и она нарастает с увеличением е.

41.3.	Методы исследования хаотических движений. Обычно
начало хаоса связывают с существованием неустойчивых неподвиж-
ных точек отображения Пуанкаре [7-9, 81, 89]. Неподвижной точке
P(R) = R (точке Pfc(R) = R) соответствует периодическое решение
с периодом Т (с периодом кТ). Задача устойчивости по Ляпунову
периодического решения сводится к решению задачи устойчивости
неподвижной точки отображения. Для ее решения применяется метод
показателей Ляпунова [208]. Поскольку аналитический вид отображе-
ния Р неизвестен, то показатели Ляпунова определяют численно. Ни-
же будет показано, как найти отображение Р и показатели Ляпунова
аналитически в виде разложений по е, а в конкретной гидродинамиче-
ской системе с точностью до е5.
Доказательство хаотичности на основании какого-либо строгого
определения хаоса, даже для системы с одной степенью свободы —
чрезвычайно трудная задача. Доказательства хаотичности для некото-
рых простых отображений приведены, например, в [89]. Для доказа-
тельства хаотичности в гамильтоновых системах используется теорема
Мельникова [208], связанная с вычислением достаточно сложного ин-
теграла. Аналитически методом Мельникова можно доказать хаотич-
ность движений математического маятника с вибрирующей точкой под-
веса. В такой системе с гамильтонианом, периодически зависящим от
времени, имеется сепаратриса, представимая в простом аналитическом
виде. Это и обеспечивает возможность применения данной теоремы
и установить расщепление сепаратрис. Обычно проверка хаотичности
по теореме Мельникова или другим способом определяется лишь чис-
ленными достаточно громоздкими методами.

Обстоятельный анализ различных механизмов перемешивания в
гидродинамических системах приведен в [270]. Представлены много-
численные иллюстрации поведения частиц жидкости для различных
течений, а также описываются методы исследования перехода систе-
мы к динамическому хаосу. Вместе с тем в литературе практически
отсутствуют исследования движения вязкой жидкости в области, гра-
ница которой меняется со временем. Исключением является недавняя
монография [90], в которой дан анализ движения частиц несжимаемых
сред с различной реологией в тонком деформирующемся слое.

Ниже предлагается конструктивный параметрический метод по-
строения отображений на фазовом потоке гамильтоновой системы.
Установлены в общем случае и показаны на примерах преимуще-
ства параметрического метода перед известным методом производящих
функций. Развитая асимптотическая теория описания перехода к ха-
отическому движению применяется к анализу более общего движе-
ния жидкости с большой вязкостью в тонком деформирующемся слое
с учетом касательной скорости на границе. На основании найденного
отображения Пуанкаре дается объяснение численных экспериментов
по отсутствию хаоса при нулевой касательной скорости на границах.
При наличии касательной скорости на границе хаос возможен при
достаточно малых амплитудах деформации волны.

§ 42.	Перемешивание вязкой и вязкопластической
сред в тонком деформирующемся слое

42.1.	Функция тока-гамильтониан для движения частиц вяз-
кой и вязкопластической сред.

1.	Постановка задачи. Рассматривается движение несжимаемой
среды в расположенной на плоскости области ограниченной двумя вер-
тикальными прямыми 0 < х < L, снизу горизонтальной прямой и свер-
ху криволинейной границей, изменяющейся со временем по некоторому
периодическому закону 0 у 6(1 + eh). В безразмерных координатах
X = кх, Y = y/b, t = шТ, где к = 2тг/£ — волновой вектор, о; — частота
колебаний границы, такую область Q* можно представить в виде:
О < X < 2тг, 0 Y < 1 + eh(t, X), где h(t, X), ограниченная по абсо-

лютной величине функция, с периодом по времени 2тг, е — амплитуда

сательную составляющую. На боковых

периодической во времени
деформации границы. Об-
ласти в начальный момент
времени По и через период
П27г совпадают (рис. 9.8).

На нижней границе Y =
= 0 принято условие при-
липания, а на верхней гра-
нице vy = — scos(X — t),
vx = Зе2а(1 — cosX) —
условие непроницаемости и
условие, налагаемое на ка-
стенках расход равен нулю.

При а = 0 задача движения частиц вязкопластической среды изучена
в работе [157]. При произвольном параметре а задача движения частиц
вязкой жидкости исследована в [159, 160].

2.	Функция тока при отсутствии касательной скорости на
границах. Рассмотрим случай а = 0. В приближении тонкого слоя
Ь/L <С 1 можно находить функцию тока несжимаемой среды с до-
статочно общими реологическими свойствами [90]. Для этого нужно
найти расход в сечении с координатой Х\ обозначим его через eq(t,X}.
Он определится из уравнения сохранения массы

dh

дд
дХ

= 0, д(£,0) = 0.

(42.1)

Тогда распределение продольной скорости в сечении X будет совпадать
с распределением ее между двумя параллельными пластинами с таким
же расходом eq(t, X) Если ввести безразмерную координату г] = У/(1 +
+ eh), то из равенства распределений скорости получим уравнение

Щ = q(t, Х)С7(т/, aj, H(t X, 0) = 0,	(42.2)

где U — безразмерный профиль скорости берется из решения задачи
о течении Пуазейля рассматриваемой среды между двумя параллель-
1
ч

ными пластинами с условием нормировки U dr] = 1.

о

Пример 1. Движение частиц несжимаемой вязкой жидкости в
тонком деформирующемся слое. Для определенности предполагается
отсутствие продольной скорости на границе области Y = 1 +eh(t, X).
Для вязкой жидкости в приближении тонкого слоя профиль скоро-
сти U находится из решения известной задачи о течении Пуазейля

и = 6Т) - 6г?2, Н = q@T]2 - 2т?3).	(42.3)

Для ламинарного течения вязкой жидкости профиль скорости — пара-
болический и не зависит от каких-либо дополнительных параметров.

Пример 2. Движение частиц несжимаемой вязкопластиче-
ской среды в тонком деформирующемся слое. Для вязкопластической
среды профиль скорости U будет состоять из примыкающих к гра-
ницам параболических частей и прямолинейной части в квазитвердом
ядре. Функция тока находится интегрированием уравнения (42.2) по
переменной q

H = qf(a,T]), а =	|д|,

TqKO

3 ГТ)2(Т)О - Т)/3), 0	7?	7/0,

tjo(3-2tjo)	% < Г] <1/2,

(42.4)

77^(1 - (2/3)Tto)/(l - 2%) = а,	(42.5)

где а — местное число Сен-Венана, пропорциональное расходу q(t, X).

В область 1/2 т/ 1 функция (42.4) продолжается из соображе-
ний четности производной df/дт/ по аргументу q — 1/2.

Для случая а 1 из уравнений (42.4) (42.5) с точностью до малой
1 /(4а + I)4 получим

f = 3q2 - 2q3 +

2 л 3

*7 — 2т?

4а + 1

п , . 1
0^7?^ 7/0=2“

1

3(4а+ 1)’

(42.6)

Функция деформации h(t,X) и безразмерный расход q(t,X) свя-
заны уравнением сохранения массы несжимаемой среды (42.1). При
деформировании по закону бегущей волны функции h и q представля-
ются в виде

h = h(X - t), q = h(X-t)- h(-t).	(42.7)

3.	Функция тока течения вязкой жидкости при наличии каса-
тельной скорости на деформируемой границе. Гамильтониан систе-
мы (функция тока) в приближении тонкого слоя равен

Я(<,Х,У) = £9(ЗУ2-2У3)-Зе2а(У2-У3)(1 -cosX), (42.8)

Здесь X, Y — безразмерные координаты, координата Х/(2тг) отнесена
к длине слоя, У — к его толщине. Безразмерная функция расхода
eq(t,X} выражается через функцию деформации слоя eh с помощью
уравнения сохранения массы (42.1).
42.2.	Движение частиц вязкой и вязкопластической сред при
отсутствии касательной скорости на границе.

1.	Метод исследования. Исследование задачи движения частиц
среды проведем параметрическим методом построения отображения
Пуанкаре. В этой задаче гамильтониан имеет стандартный вид с малым
параметром е, равным амплитуде деформации верхней границы. По-
кажем, как строится отображение на примере решения задачи Стокса
о переносе массы прогрессивной волной длины 2тг на поверхности
идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины d (подробнее
об этом эффекте см. пп.4 п. 24.2). Гамильтониан представляет собой
известную функцию тока, разложение которой по амплитуде волны
имеет вид [195]

esh(y+ d) sin(X + f)

shd

+ O(e2),

j 2тг6
d =

(42.9)

Безразмерная функция тока H представляется разложением по ампли-
туде волны е, где второй и все последующие члены разложения выра-
жаются линейно через гармоники sinfc(x + £), cosfc(rr + £). Применяем
формулу (40.7) для усредненного гамильтониана. Первый член разло-
жения равен нулю. Вычисляя второй член разложения с точностью до
е3, находим усредненный гамильтониан и скорость переноса частиц
жидкости (Стокс, 1847):

е2 sh [2(У + d)]
4sh2d

_ ЗЯ _ е2 ch [2(У + d)

~ OY ~ 2sh2d

vy = 0. (42.10)

Заметим, что вывод формулы Стокса обычным способом требует зна-
чительно больших выкладок [195].

2.	Движение частиц в вязкой жидкости. Функция тока Н для
течения вязкой жидкости в приближении тонкого слоя определяется по
(42.3). Продольная скорость Щ как функция поперечной координаты г)
изменяется по параболе, обращаясь в нуль на границах т) = 0 и т) = 1.
Определяем по (40.7) усредненный гамильтониан

Н = 6s2(gh)7/2(l - г/)2(27} - 1).

(42.11)

При деформировании по закону бегущей синусоидальной волны:
h = sin(X — Z) находим q = sin(X — t) + sin£, (qh) = (1 — cosX)/2.

Функция H(X, У) принимает наибольшее Hmax и наименьшее Нт1п
значения при X = тг, q = 1/2 ± а/5/10. Фазовые траектории при
0 < Н Нта^ непрерывно заполняют верхнюю половину области По,
при Hmin Н 0 — ее нижнюю половину. На рис. 9.9 изображен
ны ТПП за время, равное 200тг, для усредненного гамильтониана Н
(рис. 9.9а) и для исходного гамильтониана (42.3) (рис. 9.96), найден-
ные численным интегрированием уравнений Гамильтона. В начальный
момент времени точки имели координаты Xq = тг; Уо = 0,09; 0,16;
0,25; 0,75; 0,83; 0,91. Как видно из рис. 9.9, ТПП располагаются
на замкнутых интегральных кривых для усредненного гамильтониа-
на. Вычисления показывают, что в этой задаче при любой конечной
амплитуде 0 < е < 1 существует усредненный гамильтониан и ТПП

Рис. 9.9. Точки последования Пуанкаре вязкой жидкости в тонком слое при
деформации границы по закону синусоидальной волны с амплитудой е = 0,2:
а — параметрический метод; б — точный расчет

лежат на замкнутых кривых. Топологическая структура траекторий
ТПП не зависит от е. Нарушение устойчивого характера усредненного
движения можно ожидать, если будет нарушено резонансное условие
теоремы Арнольда. Для вязкой жидкости в силу (д) = 0 при_любом
периодическом деформировании усредненный гамильтониан еН про-
порционален е2. Поэтому частота собственных колебаний cjq около
критической точки усредненной системы пропорциональна е2. Числен-
ный расчет показывает, что даже при е = 0,8 собственная частота
и>о « 1/6, что существенно меньше первой критической резонансной
частоты 1/4. Как и следовало ожидать, в этом случае ТПП в течение
длительного времени будут располагаться на замкнутых интегральных
кривых усредненной системы.

42.3.	Движение частиц вязкой жидкости при наличии каса-
тельной скорости на границе. Движение частиц жидкости опре-
деляется из решения системы уравнений Гамильтона с гамильтониа-
ном (42.8). Исследование характера движения частиц жидкости можно
провести с помощью изложенной выше теории последования Пуанка-
ре (см. п. 40.2).

Для исследования системы удобно использовать каноническую за-
мену, отображающую область течения в прямоугольник (см. пример 3
п.38.1)	_____________

X, У, Я(*, X, У) X, У, Я(*, X, У)

с производящей функцией

S(t,X,Y) = XY + eY

h(t,X)dX.

о

13 А Г Петров
Переменные и гамильтониан преобразуются так:

X =	= X + е [ h(t, X)dX, Y =	= У(1 + eh(t, X)),

Удобство замены состоит в том, что в переменных X, Y система со-
храняет гамильтонову формула область переменных — фиксированный
прямоугольник X 6 (0,2тг), Y € (0, 1) (см. рис. 9.5).

Исследование системы можно провести аналитически, при общем
законе деформирования границы с периодом Т. Для этого воспользу-
емся формулами (40.4) для коэффициентов ряда по степеням е отобра-
жающей функции Ф. С точностью до е3 имеем

Ф(гг,у) = 6тге2 [2(g/i)(2y - 1)(1 -у)2у2 -а(1 - у)у2(1 -созж)],

(42.12)
где q находится из уравнения сохранения массы и граничных условий
на боковых стенках

^ + ^ = 0, 9(0) = 9(2тг) = 0.

C/L	U Ук

При выводе формулы (42.12) используются равенства

о

h dX dt = —

ht dX dt

т

*

hq dt.

о

Ограничимся исследованием частного случая деформирования по за-
кону бегущей волны h = sin(X — t). Из уравнения сохранения массы
вычисляем

2тг

q = sin (X — t) + sin t,

1

{qh} = о-; [ Qhdt = I U -cosX)
Z7T J	Z

0

и, подставляя в выражение (42.12), получаем

Ф(я, у) = 6тге2Г(у, а)(1 — cosX),
F(y,a) = (2у — 1)(1 -у)2у2 — а(1 -у)у2,

(42.13)

J = 1 + 97t2s4[F(?/, a)F"(y, a)cosa:(l — cos x) — (Ff (у, a) sin x)2] > 0.

Переменные x,y занимают область такого же прямоугольника х €
€ (0,2тг), у € (0,1). Таким образом, для исходной системы получено
двухпараметрическое семейство отображений.
Если о < 0,236, то якобиан J достигает наименьшего значения при
cosX = — I, а если а > 0,236, то при созХ — 0. Таким образом, область
применимости отображения (42.13) такова:

minJ = 1 — 97r2E4max(2F(p,a)F"(y,a)) > 0 при а < 0,236;

minJ = 1 — 9?r2E4m8x(F'(p,a))a = 1 — 9тг2е4а2 > 0 при а > 0,236.

Исследование функции F\y,d) иа максимум показывает, что при
(-oo,-0.5)(J(l/8,oo) функция |F'(y,a)| достигает наибольшего
значения, равного о, иа границе у = 1. При остальных а функция
|F'(y,a)| достигает наибольшего значения в промежутке уе (0,1).

Область min J > 0 на плоскости параметров ае, изображена иа
рис. 9.10. Граница определяется уравнением min. J = Ф(е,о) = 0 и пред-
ставляет собой кусочно-гладкую линию. Для сравнения приведем

асимптотические формулы отображения, полученные по методу произ-
водящих функций, в том же приближении, что и (42,13). Отображение
будет определяться по (40.9) с функцией 5(Ло,У) = Ф(Хс,У), где
функция Ф та же, что и в (42.13). Условие применимости отображения
таково:

min(l + Фхоу) = 1 — 6reamax|F'(y,a)| > 0.

При a е (—оо, -0.5) U (1/8,оо) получаем 6те2|о| < 1. Граница об-
ласти, определяемая по методу производящих функций, приведена на
рис. 9.10 штриховой линией. Она также вычисляется аналитически,
представляет собой кусочно-гладкую линию и расположена значитель-
но ниже границы области существования параметрического отображе-
ния min J = 0.

До хаотического режима (е < €о(а)» £о(а) — критическое значение
параметра е) фазовые портреты ТПП легко исследуются с помощью
усредненного гамильтониана

Я = Зе2Г(У,а)(1 -cosX) + O(e3),
вычисленному по (40.7) и (42.13). Точки последования Пуанкаре лежат
на инвариантных кривых F(y, а)(1 - cosX) = const. Их фазовые порт-
реты имеют пять топологически различных структур, изображенных
на рис. 9.11.

Рис. 9.11. Топологические структуры фазовых портретов

Структура 1 при а € (—оо, — 1) — движение против часовой стрелки
по замкнутым траекториям с одной неподвижной точкой.

Структура 2 при а е (—1,0) — две области движений, разделенных
сепаратрисой у = 3/4 — </1 — 8а /4, обозначенной на рис. 9.11 штрихо-
вой линией. В верхней области — движение против часовой стрелки
по траекториям с одной неподвижной точкой. В нижней области —
движение по часовой стрелке по траекториям с одной неподвижной
точкой.

Структура 3 при а € (0,1/8) — три области движений, разделенных
двумя сепаратрисами у = 3/^ ± 1 — 8а /4, обозначенных на рис. 9.11
штриховыми линиями. В верхней и нижней областях — движение по
часовой стрелке по траекториям с одной неподвижной точкой в каждой
области. В средней области — движение против часовой стрелки по
траекториям с одной неподвижной точкой.
Структура 4 при а € (1/8,0,205) — движение в трех областях,
разделенных сепаратрисами. Это единственный случай, в котором есть
неподвижная точка гиперболического типа, соответствующая неустой-
чивой периодической траектории. Все остальные неподвижные точки
в этом и других случаях соответствуют устойчивым периодическим
траекториям.

Структура 5 при а € (0,205, оо) — движение по часовой стрелке по
замкнутым траекториям с одной неподвижной точкой.

При е < ТПП, найденные путем непосредственного решения
уравнений Гамильтона с гамильтонианом (42.8), движутся по траекто-
риям, топология которых соответствует одной из пяти перечисленных
выше структур. Тип структуры определяется интервалом, в каком
находится параметр а.

При превышении критического значения параметра е ТПП с одним
и тем же начальным положением может заполнить некоторую область
площади Si. Совокупность этих областей будем называть областью
хаотического движения. Область хаотического движения имеет пло-

е = 0,7; о = 0,1

Рис. 9.12. ТПП: R-K — численный расчет, Р — параметрический метод
щадь S = У* St. Мерой хаоса условимся считать отношение о = S/Sq,
где So — площадь всей области движения.

На рис. 9,10 в области двух параметров е, а изображены области
хаотического движения с различными мерами хаоса. Область 1 с мерой
хаоса в интервале (1/4,1/2), область 2 с мерой хаоса в интервале
(1/2,3/4), область 3 с мерой хаоса более 3/4 и наконец чистый фон 4
соответствует области с мерой хаоса менее 1 /4.

Расчеты ТПП методом отображений (Р) с функцией (42.13) в об-
ласти существования отображения J > 0 неотличимы от расчета урав-
нений Гамильтона методом Рунге-Кутта (R-К). Примеры расчетов
показаны на рисунках 9.12-9.14 при разных значениях е, а. Началь-
ные положения точек обозначены крестиками. Точками показаны их
положения в течение 500 периодов. На рис. 9.12 представлены расчеты
положения ТПП до перехода к хаосу. Топологическая структура ТПП
на верхней части рис, 9.12 соответствует топологической структуре 4
(а€ (1/8,0,205)) рис. 9.11 и на нижией части рис. 9.12 — структуре 3
(а € (0,1 /8)) рис. 9.11 В нижней части рис. 9.12 штриховыми линиями
обозначены сепаратрисы Y = 3/4 ±	— 8а /4. Пример расчетов при

переходе к хаосу показан на рис. 9.13. Все обозначения такие же, как
на рис. 9.12. Топологическая структура точек Пуанкаре соответству-
ет случаю а > 0.205. Обе фигуры демонстрируют хорошее согласие
расчета по параметрическому методу и непосредственного численного
расчета исходных дифференциальных уравнений, тогда как асимптоти-
ческие формулы по методу производящих функций при этих значениях
параметров а и е выходят за пределы области применимости.

На рис. 9.14 представлены численные расчеты ТПП, когда мера
хаоса превышает 3/4. Эта область параметров лежит вне области
применимости отображения с функцией (42.13). При этих значени-
ях параметров следует пользоваться параметрическим отображением
в следующем приближении. Тогда как методом производящих функций
получить отображение в этой области параметров невозможно ни в ка-
ком приближении, так как в окрестности неподвижной точки в этом
случае ТПП совершают полный оборот менее чем за четыре раза.

Рассмотренный пример показывает возможность аналитического
описания перехода к хаосу в достаточно сложных гидродинамических
системах. Параметрический метод построения отображения Пуанкаре
оказывается особенно полезным в задачах со многими параметрами.
Вычисленнме таким способом отображения имеют допустимую точ-
ность даже в том диапазоне параметров, когда классическим методом
отображение Пуанкаре получить принципиально невозможно.

§ 43.	Перемешивание вязкой жидкости между двумя
эксцентрично вращающимися круговыми цилиндрами

43.1.	Краткий обзор результатов. Задача о течении вязкой
жидкости между двумя вращающимися круговыми цилиндрами име-
ет важные приложения. Сюда относится описание движения жидких
смазочных масел в зазоре между вращающимся валом и подушкой
подшипника. Эта проблема широко освещена в учебной (32, КХ), 115]
и специальной литературе (61, 190, 199]. Другое направление связано
с вопросами теории гидродинамической устойчивости, начало которой
положено исследованиями Дж. Тейлора [17, 100, 105, 112].

Течение Куэтта-Тейлора. Простейшее решение получается в
случае осесимметричного вращения цилиндров с постоянными угловы-
ми скоростями. Для вязкой жидкости решение изучено Н. П. Петровым
в 1883 г. [166] с приложением к теории трения в подшипниках. Ис-
следование Н.П. Петрова было опубликовано на 3 года раньше работы
О. Рейнольдса [274], на которую обычно ссылаются как на пионерскую
работу по теории гидродинамической смазки.

Эксцентричное установившееся течение. Когда внутренний кру-
говой цилиндр равномерно вращается около своего центра О\, смещен-
ного относительно центра 0% внешнего цилиндра, в среде, помещенной
между двумя цилиндрами, возникает стационарное течение. В этом
случае частицы среды движутся по линиям тока H(X,Y) = const,
где Н — функция тока. Линии тока не зависят от времени. Пример
картины линий тока см. на рис. 9.1.

Решение задачи стационарного эксцентричного вращения для
вязкой жидкости. Впервые задачу течения вязкой жидкости между
двумя эксцентрично расположенными круговыми цилиндрами, враща-
ющимися около своих неподвижных осей, рассмотрел Н. Е. Жуков-
ский ([76, с. 121-132]; опубликовано в Сообщениях математического
общества при Харьковском университете, 1887). При малых числах
Рейнольдса им получено бигармоническое уравнение и найдено его
точное решение. А. Зоммерфельд (1904) дал упрощенное решение
задачи течения вязкой жидкости в приближении тонкого слоя между
двумя цилиндрами. Ввиду своей простоты и высокой точности прибли-
жение, найденное Зоммерфельдом, часто используется в гидродинами-
ческой теории смазки. Его решение приведено во многих монографиях
(см., например, [100]). Почти сразу после выхода публикации Зоммер-
фельда в статье 1906 г. Н.Е. Жуковский и С. А. Чаплыгин провели со-
поставление приближенного решения Зоммерфельда со своим точным
решением, записанным в биполярных координатах [76, с. 133-151].
Значительно позднее Баллай и Ривлин (В. Y. Ballal, R. S. Rivlin // Arch,
rat. Meeh. Anal. 1976, 237-294) без ссылок привели точное выражение
Жуковского и Чаплыгина для функции тока. На эту работу обычно
ссылаются в зарубежной литературе без упоминания пионерских работ
Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина.

Перемешивание при эксцентричном вращении. При вращении
цилиндров с постоянными угловыми скоростями (в условиях задачи
Жуковского и Чаплыгина) перемешивания не будет. Задача о дви-
жении частиц среды в этом случае представляет собой интегрируе-
мую автономную гамильтонову систему. Если же круговые цилиндры
вращаются с переменными, зависящими от времени скоростями, то
система становится неинтегрируемой. В работе [252] рассматривается
медленное изменение угловой скорости типа o;(t) = о>о + ^1 cos
е 1. Изучаются точки последования Пуанкаре через период 2тг/(есб>о)
в адиабатическом приближении. Характерное время хаотизации много
больше этого периода. Поскольку цилиндры вращаются около своих
осей, область течения со временем не меняется.

Центр вращения не совпадает с центрами ни одного из цилин-
дров. Пусть центр вращения не совпадает ни с центром внутреннего
цилиндра 01, ни с центром внешнего цилиндра Ог- Тогда область меж-
ду цилиндрами будет меняться со временем. Задача о движении частиц
среды, помещенной между цилиндрами, будет нестационарной даже
при постоянной угловой скорости цилиндров. Этим данная постанов-
ка существенно отличается от предыдущих. Задача движения частиц
вязкой жидкости, расположенной между цилиндрами, при таком вра-
щении изучалась в работе [162] и описана в монографии [90]. Хаоти-
зация продемонстрирована на непосредственных численных решениях
уравнений Гамильтона. Замечено, что площадь хаотизации достигает
наибольшего значения при безразмерном значении эксцентриситета,
равного 0,5.

Также построено отображение Пуанкаре параметрическим методом
с точностью до куба эксцентриситета. Показана высокая точность
полученного аналитически отображения. Оно дает фазовые портреты
ТПП, практически не отличающиеся от численных вплоть до макси-
мальной хаотизации движения частиц. Функция тока (гамильтони-
ан Н) имеет временной период, равный периоду обращения внутрен-
него цилиндра 2тг/си, т. е. в е раз меньше, чем период гамильтониана
в работе [252]. Соответственно и время хаотизации будет меньше.

Перейдем к изложению результатов этих работ.

43.2.	Вращение внутреннего цилиндра около центра, не сов-
падающего с центрами цилиндров. Тонкий слой между двумя вло-
женными друг в друга круговыми цилиндрами заполнен вязкой жид-
костью, которая вовлекается в движение эксцентрично вращающимся
внутренним цилиндром относительно неподвижного внешнего цилин-
дра.

Кинематика движения круговых цилиндров. На рис. 9.15 изоб-
ражено поперечное сечение системы из двух цилиндров, представля-
ющее собой область между двумя окружностями. Внешний цилиндр
неподвижен. Его сечение — окружность радиуса R2 = R + 1 с непо-
движным центром Ог- Сечение внутреннего цилиндра — окружность
радиуса R\ = R с подвижным центром О\. Внутренний цилиндр вра-
щается с угловой скоростью относительно оси, проходящей через
вторую неподвижную точку О, так что Oi описывает окружность
радиуса е/2 с центром О. Угол O1OO2 меняется со временем по зако-
ну ZO1OO2 = 2wt. Из прямоугольного треугольника OzOiP следует,
что расстояние между центрами Oi и О2 меняется по гармониче-
скому закону O1O2 = (см. правую верхнюю часть рис. 9.15).
Линия центров (ось х) перпендикулярна катету О\Р и вращается
с угловой скоростью ы. В системе координат с неподвижной линией
центров (см. левую верхнюю часть рис. 9.15) внутренний цилиндр

Рис. 9.15. Схема вращения цилиндров
вращается с угловой скоростью ш, а центр его колеблется по закону
х — OiO2 = Esinuit. Внешний цилиндр вращается в противоположную
сторону со скоростью —о>.

Вычислим расстояние АВ между двумя окружностями при большом
значении R. Для этого применим теорему косинусов к треугольни-
ку OiO2A

(О,О2)2 + (О2А)2 - 20,02  О2А  cosy = (О,Л)2.

Подставляя OiO2 = Esinuit, О, Л = R, О2А = R + 1 — АВ, получим
уравнение относительно АВ-.

е2sin2wt + (/?+!- ЛВ)2 — 2Esinu>t(/? + 1 — АВ) cosy = Я2,
откуда найдем

АВ = 1 — Esinwtcosy + O(l//?).	(43.1)

Безразмерные критерии. Введем два безразмерных параметра:

Re	(43.2)

р	П2 — Hl

число Рейнольдса для течения в слое [100, 115] и чисто геометри-
ческий параметр. Величина 1/R является относительной толщиной
зазора между цилиндрами. При Re 1 влияние инерционных членов
мало и вместо уравнений Навье-Стокса можно пользоваться линей-
ными уравнениями Стокса. Число Рейнольдса можно выразить через
геометрический параметр R

Re = —
р R

откуда видно, что приближение Стокса может применяться при доста-
точно высоких скоростях вращения, но при достаточно малой толщине
зазора.

Можно также заметить, что при вращении соосных цилиндров
уравнения Навье-Стокса — линейные при любых значениях чис-
ла Re. Поэтому приближение Стокса будет справедливо и при Re > 1,
но достаточно малом эксцентриситете е = OxO^/^R^ — R\)> В свя-
зи с этим полезно ввести иной эффективный критерий Рейнольдса
Re* = pueR?x/(pR?) в R раз меньший, чем число Re. Отсюда следует,
что при малом относительном зазоре область применимости прибли-
жения Стокса Re* 1 существенно шире, чем область, определяемая
по числу Рейнольдса Re. Однако здесь следует отметить, что при
достаточно больших числах Re (для соосного вращения внутреннего
цилиндра Re = 41,3^//?1/(7?2 - Ri)), плоскопараллельное течение ста-
новится неустойчивым [105].

При малом относительном зазоре 1//?<С 1, линейные уравнения
Стокса можно еще сильно упростить. Такой упрощенный вид уравне-
ний был получен Рейнольдсом и Зоммерфельдом и составляет основу
гидродинамической теории смазки. Ниже будут использованы уравне-
ния этого приближения в случае

1 « 1, Re« «: 1	(43.3)

rt

и числе Re = pwR2x/(pR), не превышающем критического значения,
при котором теряется устойчивость плоскопараллельного течения.

Функция тока. Перейдем к решению задачи о течении вязкой
несжимаемой жидкости в слое между двумя цилиндрами. Будем ис-
пользовать асимптотическое приближение R 1 теории смазочного
слоя. Такой подход описан в монографиях [100, с. 534-542] и [115,
с. 413-417].

Функцию тока ищем в виде зависимости RH(t,p, У), У = R+ 1 —
— г, а компоненты скорости — в виде

= Rp = R —, vy = Y = - д—,	(43.4)

oY	dp

где r, p — полярные координаты с центром в точке Ог- В переменных
р, У р е (0,2тг), У е (0, Утах) верхняя граница области течения опре-
деляется уравнением (43.1)

max = АВ = 1 — SSinajZCOS(^.

(43.5)
Уравнения движения жидкости при R 1 имеют вид
dp А dp d2v^
BY=°-

Отсюда следует, что давление р зависит только от угла <р. Под-
ставляя вместо компоненты скорости ее выражение через функцию
тока, получим уравнение

dp(p) = R2 dj£

dp M dY3 ’

На поверхностях цилиндров выполняются условия прилипания:

(43.6)

У = 0:
r . dH _
max • cyy —	’

дН _	гг _ л

дн _ dYm&x dYm&x
dip dt и dip

(43.7)

(43.8)

Кроме того, нужно потребовать выполнения условия однозначности
функции давления р(0) = р(2тг), которое в силу (43.6) записывается

в виде

2тг

—т dip = 0.
dY3

(43.9)

о

Можно убедиться проверкой, что при подходящем выборе функции
Q(t<p) функция

Н = Q(t,^)(ЗУ2 - 2У3) + wymax [—У(1 - У)2 + У2(—1 + У)],
у	(43.10)

Ушах

удовлетворяет уравнению (43.6) и всем граничным условиям (43.7)-
(43.9).

Для проверки выпишем производную

dH(t,Y,<p)
dY

max

Отсюда при У = 0 имеем Н = 0, dH/dY = —о>, т. е. граничные условия
(43.7) выполнены. _

При У = Утах имеем У = 1, dH/dY = т. е. первое условие (43.8)
удовлетворено. Далее при У = Утах найдем dH/dY = Утах^ и

Н = Q(t<p),

dH = dQ(t, ip)	dH dY = dQ(t, ip) _ dYmax

dip dip	dY dip dip	dip

Отсюда следует, что Q(t, р>) — это расход жидкости через сечение, слоя
с координатой ip. Подставляя выражение дН/dip во второе граничное
условие (43.8), получим уравнение сохранения массы в слое

dQ	дУтах

dip dt
Интегрируя это уравнение, получим

Q = еш cos wt sin р + c(t).

Наконец, проверим справедливость последнего условия (43.9). В об-
щее выражение для функции тока (43.10) подставляем найденное вы-
ражение для Q и выражение (43.5):

d3H(t, У, р) _ _|2	_ 12 £aJcoss*nс(^)

dY3	Утах(^)	(1 — SSinCjf COS(^)3

Это выражение тождественно равно следующему:

d3H(t,Y,p) _ д	6cjcoscjf	12с(£)

dY3 др |_sincjf(l — esincjf cosc^)2 J	(1 — esincjf cosc^)3

Из условия однозначности давления (43.9) найдем, что c(f) = 0 и

Q = £a>cosa>tsm<£.

(43.11)

Подставляя третью производную в уравнение (43.6), найдем давление

р(р) = 6wpR2

COS U)t

sincjf(l — esincjf cosc^)2

Постоянная ci (t) в теории гидродинамической смазки обычно остается
неопределенной величиной [100, 115]. От ее значения не зависят силы
и моменты, действующие на цилиндры. В данной задаче ее удобно
выбрать равной с\ = — ctg art. Тогда для давления получим

р(р) = 6ewpR2 cos cut cos

2 — е sin wt cos р
(1 — esincjf cosc^)2

(43.12)

Подставляя (43.11) в выражение Н, найдем функцию тока в при-
ближении тонкого слоя

H(t, р, У) = ше cos wt sin р{ЗУ2 — 2У3) + о>(У — У2)Утах- (43.13)

Через нее по формулам (43.4) выражается поле скорости. Зная его и по-
ле давлений (43.12), можно вычислить силы и моменты, действующие
на цилиндры. Обычно это и составляет основную цель исследования.
В данной же работе ставится задача исследования характера движения
частиц жидкости в найденном поле скорости.

43.3.	Движение частиц вязкой жидкости в слое между эксцен-
трично вращающимися цилиндрами.

1.	Точки последования Пуанкаре. Численный расчет. Положе-
ния точек последования Пуанкаре рп, Yn в моменты времени tn =
= 2тт/ш находятся из решения задачи Коши для уравнений Гамильто-

на (43.4):

дН
dY'

дН
др ’

(43.14)

^(О) = ^о, У(О) = Уо.
В эти моменты времени оси Oi и О? внутреннего и внешнего цилин-
дров совпадают, а в переменных <р, Y область течения — прямоуголь-
ник 9? Е [0,2тг), Y Е (0,1).

На рис. 9.16 изображены точки последования Пуанкаре (ТПП) при
различных значениях параметра е, найденные численным решением
уравнений (43-14) методом Рунге-Кутта. Точки выводятся в моменты
времени t„ — 2тг/ы, п = 0,1,..., 500, при которых центры окруж-
ностей Oi и Ог совпадают. Начальные точки обозначены жирными
точками. Неподвижные точки обозначены кружочками. При £ = 0 те-
чение жидкости представляет собой простое сдвиговое течение Куэтта,

Рис. 9.16. ТПП между двумя вращающимися цилиндрами. Численный расчет

	
•i Ji Ml	

1Г >р 2я-
точки движутся по прямым Y = const (в полярных координатах это
концентрические окружности). Уже при малых значениях е фазовая
картина осложняется и виден переход к хаосу, который генерируется
в точке (р = 7г, Y = 1/2. Интересно, что наибольшая площадь хаоти-
зации достигается при е = 0,5. При е > 0,5 с ростом е в середине
области течения растут две подобласти с инвариантными кривыми
точек последования. Попадая в эти подобласти, точки последования
из нее никогда не выйдут. Таким образом, наилучшее перемешивание
достигается при е = 0,5.

2.	Приведение гамильтониана к стандартному виду. Для при-
ведения гамильтониана (43.13) к стандартной форме сделаем две
канонические замены. Используем аппарат производящих функций
(см. п. 38.1).

Первая замена Y —> q,p отображает область течения с криво-
линейными границами р е [0,2тг), Y е (0, Утах) на прямоугольник
q е [0,2тг), ре (—1/2,1/2). Она имеет производящую функцию

Si(p,p) = (2 +р) утахф= (2 +р) (^ - е sin wt simp).

о

По формуле (38.1) определяем аналитический вид замены

= р — £ sin ut sin р,

~ dSi

Q ~ др

v _ dSi _ (I ,~\v

Y ~ dp \2 +p)Утах (43-15)

и гамильтониан в новых переменных



+ Н = —сер2 + ew (p 2 —

П

4/

[sin wt cos p — 2p cos wt sin <p],

где зависимость <p(t, q) определяется первым уравнением (43.15).

Вторая каноническая замена, приводящая систему к стандартному
виду q,p —> q,p, имеет производящую функцию S^, Q,p) = wtp2 — qp
(см. пример 5 в п. 38.1). Аналитический вид замены и преобразованный
гамильтониан таковы

«= “Til = q ~ 2pw<’ р = ~7^=р'	(43.16)

op	oq

H(t,q,p) = euF(t,p,p), F= (p2 — (sinwicosp — 2p cos wf simp).

(43.17)
Здесь p как функция t, q, p определяется неявно из уравнения

р — е sin ivt sin p — q — 2pwt.

Уравнения движения частицы в переменных q,p

дН _ (dF 2ut dF\ . _ еш dF
др	\ др Утах др) ’ Р Утах др '

(43.18)

(43.19)
Из (43.18) можно найти частные производные

тг— (~ 2рси + ей) cos u)t sin ,
max

dtp _ 2u)t

др Утах

(43.20)

и полную производную

Пользуясь полученными формулами для производных, можно записать
уравнения движения частицы (43.19) в исходных переменных Y

dip
dwt

cos cut sin^,

dp _ е
du)t Vmax

— I) (sin cut sin 99 + 2pcoscutcos(/j),

(43.21)

2 + p \ ^max-

Полученная система уравнений эквивалентна исходной (43.14). Отсюда
можно численно найти ТПП и результат будет тождествен полученно-
му выше.

3.	Отображение Пуанкаре позволяет вычислять ТПП из рекур-
рентных соотношений. Запишем разложение гамильтониана (43.17) по
степеням е (г = cut)

= ешН\ + e2wHz + O(s3),

1	(43.22)

Н\ = (р2 ~ 4) (sinrcos(g — 2рт) — 2pcosrsin(Q — 2рт)),

sin2 тsin2(2(g — 2рт)) -F | sin 2тsin (2(g — 2рт)) ,

и применяя формулу (40.4), можно получить параметрическую функ-
цию Ф(ж,2/) для отображения Пуанкаре с точностью до е3 Возвраща-
ясь к исходным переменным ^,У с помощью преобразований (43.15),
(43.16) получим отображение для ТПП (<^о,Уо) —> ((^i,Yi) в виде су-
перпозиции трех отображений

Yo=Po + l/2, ip0 = Qo + 2тгр0,

(Qo.Po) (Qi.Pi),

(43.23)

Pi = У)-1/2, Q\ = <pi + 2тгр1.

Промежуточное отображение (Qo-Po) —* (Qi,Pi) находится в парамет-
рическом виде

Qo = X х Q1 =	4” 9

,	/	(43.24)

Р0 = У+2Ф^’ Р1 =У—2Фа:'’
в котором функция Ф находится по гамильтониану (43.22) с помощью
разложения (40.4):

У(х',у) = еФ1(У,у) + е2Ф2(У,у) + О(е3),

Ф1(х\ у) = —2/(у) sinrr', Ф2(я/,у) = и(у) + v(y) cos (2/),

(43.25)

f(y) = (у2 - I) sin27ry,

Л

/ \	( 2	1 V / 2	1 \ / 2	5 \ sin 47Г7/

"(’I = ’ (’ - ?) - О' -?)(’ -в)

Приведем вывод формул (43.24) и (43.25) более подробно. Для упро-
щения выкладок введем функцию

g(r, Q, р) = cos q — cos т cos (q — 2рт).

Тогда	2я.

H\dr= (р2 - ^\g(T,q,p).

о

Для первого приближения найдем

Ф1(9.Р) = (р2 ~ ^jg№,q,p) = -2/(р) sin (Q),
/(р) = (р2 - 1) sin2тгр, Q = q- 2тгр.

Для второго приближения

$2(Q,P) = Ф21(9,р) + $22(g,p),

(43.26)

(43.27)

®2i(g.p) =

2тг

Ф22(«,Р) =

0

H2dr.

(43.28)

С помощью тождеств

Г	/	1 \2	/ j \

-{Я1, Hl dr'} = (р2 - -J (gTqgp - gTpgq) + 2р (р2 - - J (gTqg-gTgq).
о

grqgp - grpgq = -2sinQ [r(cosTsin (Q)J + 2(cosrsin (Q))2

(grqgp - grpgq) = 7T( 1 — 2cos47rp) + ^7Г -	C0S (2Q)>

0	\	P /

2тг

(grqg ~ grgq) =	~ Sin 47Гр
находим интегралы в (43.28) и функцию Ф для отображения Пуанкаре:

Ф(д,р) = еФ, (Q, р) + е2Ф2(С?,р) + О(е3),

V2(Q,p) = u(p)+ v(p) cos (2Q),

Л

Z х / 2	1 \	/ 2	1 \ ( 2	5 \ sin 4тгр

”<”> = "(р -	1р - в)

которые позволяют вычислять координаты следующей точки последова-
ния Пуанкаре q\,p\ по координатам предыдущей точки до>Ро- Исходные
координаты ТПП находятся по формулам <^о =	= <71 — 4тгр1.

Это отображение можно еще упростить, перейдя к новым переменным
Qq = <7о — 2тгро> Q\ = <71 — 2тгр1, х' = х — 2тгу. В результате полу-
чим требуемое отображение Пуанкаре (<^о»Уо)	(см. (43.23),

(43.24),	(43.25)).

4.	Отображение Пуанкаре за полупериод. Найденное отобра-
жение (43.23)-(43.25) можно существенно уточнить, если предста-
вить отображение за период в виде двух отображений за полупе-
риод. В моменты времени, кратные полупериоду, центры цилиндров
также совпадают. Область <р,У в эти моменты времени является так-
же прямоугольником. Отображения строятся аналогично. Отображение
(<А)»У))	(<Р1/2»У1/2) за первый полупериод имеет вид

Фо = <Ро - ^Ро» Ро = Уо - 1/2,

Фо — $	2 фз/’

РО = У+ 2 ф^’

(43.29)

<Р1/2 = Ф1/2 “ ТГР1/2» У1/2 = Р1/2 + 2’

а за второй полупериод отображение (<^1/2» У1/2) —> (<Р1,У1) отличается
только параметрической функцией

Ф1/2 = <Р1/2 “ ТГР1/2» Р1/2 = У) “ 1/2»

Ф1/2 — $ 2$^’ j + 2$у*
. 1Ж	I	1ж

Р1/2 = У + 2Ф*’	( Р1 = У ~ 2Ф*’

<Р1 = Ф1 - 7ГР1, Y\ =Р\ +
£

Функции Ф и Ф вычисляются так:

_Ф(ж, у) = еФ1 (х, у) + е2Ф2(^. у) + О(е3),

Ф(х, у) = -еФ1 (х, у) + е2Ф2(х, у) + О(е3),

(43.30)
Ф1(х.у) = 2 [у2 - cosxcos(?rp). Ф2(«.р) = и(у) 4- v[y) cos(2z).

«(?/) = Y (г/2 -1) + f (г/2 - I) cos2iry + y(yz - J)sin2irj/,

5	(43.31)

Остаточный член найденных отображений имеет порядок (Те)3,
где Т — временной интервал. Поэтому отображение за два полупериода
имеет в четыре раза меньшую погрешность по сравнению с отобра-
жением за период. Отображение за период применимо на интервале
0 < е <0.45. а отображение за два полупериода применимо в большем
диапазоне 0 < Е < 0.59.

На рис. 9.17 приведены фазовые портреты ТПП при е = 0,2 и е =
= 0,4, найденные с помощью аналитического отображения Пуанкаре:
слева за один период из решения алгебраических уравнений (43.23)-

Рис. 9.17. ТПП между двумя вращающимися цилиндрами. Аналитическое
отображение Пуанкаре
(43.25)	и для сравнения справа — за два полупериода из решения
уравнений (43.23)-(43.25). Последний фазовый портрет при е = 0,5
определен по (43.29)-(43.31), а отображение (43.23)-(43.25) в этом
случае не существует. Фазовые портреты справа лучше согласуются
с точными расчетами на рис. 9.16.

5.	Сравнение фазовых портретов. Сравнение рис. 9.17 с соответ-
ствующими фазовыми портретами на рис. 9.16 показывает не только их
качественное совпадение, но и количественное. Так, положения непо-
движных точек, обозначенных кружочками, практически совпадают.
Эллиптические и гиперболические точки соответствуют друг другу.
Области хаотизации точек и их упорядоченного движения на соответ-
ствующих рисунках мало отличаются друг от друга. Таким образом,
при е < 0,5 точность функций (43.25), (43.31) и полученных с помо-
щью них параметрических отображений достаточны, чтобы определять
фазовые траектории ТПП и описывать переход к хаосу.

6.	Неподвижные точки отображения Пуанкаре. Фазовый порт-
рет ТПП можно качественно описать, если найти неподвижные точки
отображения и исследовать их устойчивость. Устойчивые неподвижные
точки называют точками эллиптического типа. В ее окрестности ТПП
лежат на замкнутых инвариантных кривых, близких к эллипсам. Это
движение упорядоченное. Неустойчивые неподвижные точки называют
точками гиперболического типа. В ее окрестности расположение ТПП
может быть хаотичным.

Основные неподвижные точки определяются из системы уравнений

Уо = Уь <£о = ^ь

Их можно найти аналитически с помощью отображения (43.23)-
(43.25):

Ро=Р1=ЗЛ Уо = У1 = 1/2 + po = pi=x', (43.32)

Фд/ = —2s coss'(/(?/) + 2ev(y) sins') = 0,
Фу — 4тгу = e2(u'(2/) + v'(y) cos2s') — 2s/'(2/) sins' — 4тгз/ = 0.

Система (43.33) эквивалентна двум системам уравнений:

cos s' = 0,

s2(u'(2/) - у'(уУ) - 2s/'(2/) sins' - 4тгз/ = 0,

f(y) + 2ev(y) sins' = 0,
e2(u'(y) + v'(y) cos 2s') — 2s/'(y) sins' — 4тгт/ = 0.

(43.33)

(43.34)

(43.35)

Первая система (43.34) имеет два корня, которые можно получить
с помощью асимптотических разложений по степеням у. Точки, соот-
ветствующие этим корням, обозначим через М\ и М^.

{х' = 7г/2,	( х' = Зтг/2,

е = 4у + 104р3, М2 < е = — 4у — 104р3, .	(43.36)

у е (о,о,1), {у е (-0,1,0).

Отсюда с помощью (43.32) находим координаты р, Y точек М\ и М2.
Вторая система (43.35) при любом е имеет два следующих решения:

( X — 0,	(т1 — 7f

М3\ п	А	(43.37)

I у = о, (у = 0,
и, кроме того, при е > 0,587 — решения, определяемые асимпто-
тическими разложениями е = 0,587 -I- 17,7т/2 -I- ..., sin ж' = — 4,54$/ —
— 32,2у3 -I-... Однако при е > 0,5 найденное отображение неприменимо
и поэтому последнее решение рассматриваться не будет. Таким обра-
зом, решение (43.37) определяет еще две неподвижные точки М3 и М4.
Их координаты p,Y, как следует из (43.32) и (43.37), таковы:

М3(р = 0, Y = 1/2), М^р = тг, У = 1/2)

и не зависят от е. Найденные неподвижные точки соответствуют пери-
одическим решениям уравнений Гамильтона с периодом иЯ = 2тг. Су-
ществуют также серии неподвижных точек, соответствующих периоду
2тгп. Эти точки определяются из уравнений рп = тго + 2тгА:, рп = ро,
и их также можно находить аналитически. Ограничимся рассмотрени-
ем устойчивости найденных неподвижных точек (43.36) и (43.37).

7.	Устойчивость неподвижных точек. Зная отображения
(Qo»Po)	(^ЬР1) и (<ро,Ро) (Qo,Po), мы можем построить

отображение (<ро>Ро) (<pi,pi) и вычислить его якобиеву матрицу.
В окрестности неподвижной точки имеем

dQ\ = А\ 1 dQo + Ai2dpo, dQo = dpQ - 27rdp0,

dpi = A2\dQo + A22dp0, dpi = dQ\ - 2ndpi,

где коэффициенты Aij выражаются через вторые производные парамет-
рической функции Ф(х,р), определяемой по формуле (43.25). Из по-
следней группы линейных соотношений найдем

dp\ = Audpo + Ai2dpo,

dpi = A2id<po + Atfzdpo,

-4ц = -4ц — 2ttA2i, Aj2 = Aj2 — 2тг(Ац + A22) + 4tt2A2i,

-42i = A2i, A22 — -422 — 2ttA2i.

Первый инвариант отображения (43.38) таков:

I = Ап + A22 = -4ц + A22 — 4ttA2i.
Коэффициенты матрицы выражаем через функцию Ф:

2

I = 2 -+ 4тг J = 1 + е- (ФЖЖФТО - Ф^).	(43.39)

Характеристическое уравнение т2 — Im -hl =0 при |/| 2 имеет
комплексные корни, модуль которых равен единице. В этом случае
неподвижные точки будут устойчивы (точки эллиптического типа).
С учетом (43.39) условие устойчивости будет иметь вид

— 1 С 7гФх/х/ = 2те/($/) sins' — 4ire2v(y) cos 2s' С J — 1,

1	0	(43.40)

1 = 4 (*хх*уу ~ ^ху)‘

Исследуем устойчивость неподвижных точек М\ и М2 (43.36).
С помощью разложений /(?/) = —(тг/2)?/ + (2тг + 7г3/3)$/3 + ..., v(y) =
= —(3/32)тг + ((3/8)тг + (5/ 12)тг3)т/2 + ... условие (43.40) примет вид
— 1 < — 1О(тг2/)2. Отсюда находим, что при

0 < у уо « 1/(тг\Л0) « 0,1, s s0 ~ 0,505

точка M\(tp = 7г/2, Y = 1/2 + s/4 + O(s3)) устойчива. Вторая, сим-
метрично расположенная, неподвижная точка = Зтг/2, Y = 1/2 —
— е/4 + O(s3)) устойчива при тех же значениях параметра е. Эти непо-
движные точки на численных экспериментах (рис. 9.16) обозначены
кружочками. При е = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 точки имеют эллиптический тип.
В их окрестности ТПП расположены на замкнутых инвариантных кри-
вых. При s = 0,5 неподвижные точки М\ и М2 теряют устойчивость,
ТПП хаотично заполняют почти всю область течения.

Устойчивость неподвижных точек М3 и М4 (43.37) исследуется
аналогично. Вычисляем вторые производные Ф в этих точках:

Фхх = -4s2v(0) = (3/8)tfs2,

Ф^ = s2(u"(0) +г/' (0)) = г2 7г +	7г3) = 60,8s2,

Ъху = 2s/'(0) = -S7T,
J - 1 = -2,467s2 + 17,9s4.

Подстановка в условие устойчивости дает —1	3,7s2 < —2,47s2 +

+ 17,9s4. Отсюда следует, что неподвижные точки Л/3(^ = 0, Y = 1/2)
и Mi((p = 7г,У = 1/2) неустойчивы всегда при s < 0,587, т. е. явля-
ются точками гиперболического типа. Устойчивы точки при s > 0,587,
однако это заключение принимать во внимание не надо, так как отоб-
ражение (43.23)-(43.25) при s > 0,5 неприменимо.

8.	Процесс перемешивания частиц жидкости. Для описания
процесса перемешивания приведем решение следующей задачи. Рас-
смотрим малый прямоугольник фазовой плоскости <^о <Ро <Ро + а>
Yq < Y < Yq + Ь, где а и b — стороны прямоугольника. Построим в этом
прямоугольнике сетку, разбив каждую сторону на п равных отрезков.
В узлы сетки п х п поместим начальные точки ТПП. Будем фотогра-
фировать эти точки через 1,2,3,..., К периодов. При отсутствии хаоса
эти точки будут располагаться в окрестности инвариантной кривой,
проходящей через выбранный прямоугольник. Пример такого расчета
при е = 0,1 представлен на рис. 9.18. Левый верхний угол начального
прямоугольника выбран в точке с координатами <^о = 0,2 х 2тг, Уо = 0,7.
Стороны прямоугольника в 50 раз меньше сторон прямоугольной обла-
сти течения жидкости, т. е. а = 2тг/50 и b = 1 /50. В малом прямоуголь-
нике в узлах сетки 50 х 50 помещены 51 х 51 = 2601 точка. На первом

Рис. 9.18. Перемешивание частиц жидкости между двумя вращающимися ци-
линдрами при е = 0,1
рисунке (в верхнем левом углу) приведен прямоугольник, заполнен-
ный начальными точками и точками, в которых частицы жидкости
окажутся через период. Как видно, прямоугольник с точками через
период преобразовался в вытянутый параллелограмм. Иначе говоря,
отображением Пуанкаре через период прямоугольника является парал-
лелограмм. Через два периода точки переходят в еще более вытянутый
параллелограмм, который является повторным отображением Пуанкаре
параллелограмма на первом периоде. Этот параллелограмм показан на
втором рисунке справа. На следующих рисунках показаны отображе-
ния начальных точек через 3, 4, 5, 10, 20 и 200 периодов. Эти значения
приведены на рисунках. Как видно, точки равномерно перемешались
в узкой криволинейной полосе, толщина которой сравнима с размером
начального прямоугольника. За пределы этой узкой полосы частицы
жидкости никогда не проникнут. Этот режим не является хаотическим.

Следующий расчет при е = 0,5 представлен на рис. 9.19 и демон-
стрирует хорошее перемешивание частиц жидкости. Точки из распо-
ложенного в том же месте прямоугольника через 10 периодов равно-
мерно распределяются по достаточно широкой области, сравнимой по
площади со всей областью течения жидкости. Область перемешивания
соответствует фазовому портрету ТПП при е = 0,5 (см. рис. 9.16).

Расчеты, показанные на рисунках 9.18 и 9.19, выполнены с помо-
щью параметрического отображения, что примерно в 100 раз сокращает
время расчетов без существенной потери точности.

Итак, численный эксперимент находится в согласии с полученными
теоретическими выводами. Неподвижные точки М% и Л/4, обозначен-
ные на рис. 9.16 кружочками, являются точками гиперболического
типа. При малых е хаос появляется в малых окрестностях этих точек.
Области хаотизации возрастают с увеличением е. При е » 0,5 площадь
хаотизации максимальна. В этом случае все неподвижные точки М\у
М2 у М^у М4 — неустойчивы.

ТПП расположены на инвариантных кривых (см. рис. 9.16) и хаоса
нет. Отображение Пуанкаре за период имеет четыре неподвижные точ-
ки: две эллиптические М\(р = тг/2, Y = 1/2 + е/4),	= Зтг/2, Y =

= 1/2 -е/4) при е < 0,5 и две гиперболические Мз(<р = 0, Y = 1/2),
Mt(ip = тг, Y = 1/2) при любых е. В окрестности гиперболических
точек начинает наблюдаться динамический хаос при е > 0,2. Пло-
щадь области хаотизации ТПП увеличивается с ростом е до значения
е « 0,5. При е = со « 0,5 точки М\ и М2 становятся гиперболически-
ми на коротком интервале Де. В этот момент площадь хаотизации
максимальна. При е > ео + Де точки М\ и М2 становятся опять эл-
липтическими. В их окрестности движение упорядоченное, а площадь
хаотизации соответственно уменьшается.

Аппарат параметрических отображений Пуанкаре позволяет эффек-
тивно вычислять неподвижные точки, исследовать их устойчивость
и описывать переход к хаосу. Фазовые портреты ТПП, полученные
с помощью аналитического отображения Пуанкаре, хорошо согласуют-
ся с численными экспериментами (см. рис. 9.17).

Рис. 9.19. Перемешивание частиц жидкости между двумя вращающимися ци-
линдрами при е = 0,5

я-	2л-

Рассмотренный пример представляет собой математическую модель
миксера для перемешивания сред с большой вязкостью. Наи лучшее
перемешивание достигается при е « 0,5.

Развитая теория параметрических отображений Пуанкаре представ-
ляет собой конструктивный математический аппарат для описания
перехода к динамическому хаосу в гидродинамических системах по-
добного типа, что и показывает приведенный пример.
Упражнения

43.1.	Доказать следующую теорему.

Теорема. Пусть векторы
рическими соотношениями

определяются парамет-

(43.41)

где Ф(х,?/) — трижды непрерывно дифференцируема в области Q. Тогда
в этой области

Ф(Х„. к, а) - Ф(Х„-ь У„_|, а) =	f'"(0a),

3	(43.42)

/(а) = ф(ж + ^Фу,у- ^фх)-

Указание. Воспользоваться следующей леммой:

Лемма. Пусть функция /(ж) имеет непрерывные производные до тре-
тьего порядка, когда — а х а. Тогда

f(a) - f(—a) = 2 (а/'(0) + R3), R3 = (a3/6)f'"(0a), -1	0	1. (43.43)

Доказательство проведем с помощью двух тождеств Коши:

d (\ ।	/1 г//1 \ । п (1 t) «///1 \\ а (1 t) fin, к

- /(ta) + а( 1 -t)/ (ta) +------------/ (ta) =-------------/ (ta),

at \	2	)	1

( t(4- \	1	( 4- \ 1 a2(l+^)2	\\	a3(l+t)2 rZZZ/, \

- f(ta) - a(l + t)f (ta) +	< f (ta) = •	.-y- f (ta).

dt \	2	у	Z

Интегрируя первое тождество в пределах от 0 до 1, а второе — от (—1) до 0

2	3

f(a) - f(0) - af'(0) -	/"(0) = у (1 - t)7"'(ta) dt

0

л2	л3

/(0) - /(—a) - a/'(0) + a- /"(0) = у

0

и складывая их, получим

/(a) - /(—a) - 2a/'(0) = R3,

I

Лз-у {(\ - \t\)2f"\ta) dt.

-i

Отсюда по теореме о среднем получим

Яз = т
4

'(l-|t|)2dt=^/"'(ea),
— I

что и требовалось доказать.
Теорема непосредственно вытекает из леммы, так как левая часть равенства
равна /(а) — /(—а) и /'(О) = 0. Оценка теоремы 3 неулучшаема.

43.2.	Построить инвариантные кривые последовательности точек Чирикова
при qn < с точностью до малых порядка К2:

qn = qn_\ 4- Ksinpn-i, Рп = qn-\ + Ksinpn-i 4-рп-ь

(43.44)

Решение. Сделаем замены: qn = \/К Хп, рп = Yn. Тогда рекуррентные
соотношения Чирикова преобразуются в соотношения (43.41) теоремы 3, где
параметр а = у/К, а функция Ф выражается через функции (39.9) Ф(х, у, К) =
= Щу/Кх,у, К)/К. Ее разложение по малому параметру К таково

Ф(ж,р,К) =

1	2 .

- х 4- cos
2

Находим функцию /(а) и ее третью производную

d3f	И	\3 •	(	1	\

—т —	— -	х sin	[у 4-	- ах]	4-...

da3	\2	/	V	2	/

По теореме упр. 43.1 получим оценку

|Ф(ХП,Уп, К) - Ф(Хп-1, Yn—1,К)\

К^2Х^

24

+ О(К2).

Возвращаясь к исходным переменным, получим уравнение инвариантной кри-
вой Ф(дп»Рп) = const с асимптотической по малому К оценкой

|Ф(9„,р„.К) - Ф(д„-|,р„-|,К)| ~ (K/24)q3n,	(43.45)

где функция Ф определяется формулой (39.9). Из оценки следует, что при
небольших значениях К и qn точки последования Чирикова лежат на кривых
близких к Ф(дп,Рп) = const. Это видно также из приведенного рис. 9.20.
На рис. 9.20а приведены точки qn,Pn при п = 0,1,..., 500, рассчитанные по
точным рекуррентным формулам. Начальные положения точек до» Ро отмече-

Рис. 9.20. Инвариантные кривые последовательности Чирикова при К = 1 /2:
а — точный расчет, б — асимптотическое выражение (39.9)
ны крестиками. На рис. 9.206 приведены соответствующие им аналитические
кривые Ф(<?п,Рп) = const.

43.3.	Проверить оценку (43.45), подставив в левую часть выражение
функции Ф (39.9).

Решение.

Ф(9п,Рп,К) - Ф^п-ьРп-ьК) = ф (х+ 1	1	-

X X Оу X ОХ /

1

2 дх ’

т /	1	дФ

— Ф (х — - -7—
х 2 ду

= sin (у —

1

8

sin (2у — х)(х — sin ж) К2.

Отсюда, с помощью неравенств |® — 2 sin (ж/2)| < х3/24 и |х — sin®| < х3/6,
где х = (qn 4- gn-i)/2, получаем оценку

|Ф(д„.р„,К) - Ф(дп-1,Рп-ьК)| < (2|К| + №)(max|g|)3/48,
которая для малых К согласуется с (43.45), полученной из теоремы упр. 43.1.
Глава 10

ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ
СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

§ 44.	Производящие функции для гамильтоновых
систем со многими степенями свободы

44.1.	Специфика систем с двумя и более степенями свободы.
Теория производящих функций для гамильтоновых систем с одной
степенью свободы естественно обобщается на системы со многими
степенями свободы. Для систем с N степенями свободы (Я > 2)
уравнения Гамильтона можно записать в виде

q = #p, р = —Яч,	(44.1)

где q, р, Яч, Яр — Я-мерные векторы. Их г-е компоненты соответ-
ственно равны qi, pi, Hqi, HPt, i = 1,2, Функция Гамильтона
H(t, q, p) зависит от двух векторов q, р и от времени, если система
неавтономна.

Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема верна для га-
мильтоновых систем произвольного порядка. Однако из сохранения
у динамической системы произвольного порядка 2N фазового объема
не следует существование функции Гамильтона.

Теорию канонических замен также можно распространить на га-
мильтоновы системы произвольного порядка с некоторыми отличитель-
ными особенностями.

Определение канонической замены q(t, Q,P), p(t, Q,P), данное
для систем с одной степенью свободы, следует заменить на другое.

Замена q, р => Q, Р является канонической, если для любого га-
мильтониана H(t,q,p) она переводит гамильтонову систему (44.1)
снова в гамильтонову систему

Q = ЯР, Р = -Яр	(44.2)

с новым гамильтонианом H(t, Q, Р).

Можно показать, что якобиан канонической замены тождественно
равен единице

d(g, р) _1

d(Q,P) "
или постоянному числу с для канонического преобразования валентно-
сти с. В этом состоит сходство со случаем N = 1. Однако при N 2
преобразование, сохраняющее площадь, может не быть каноническим.

Теорема об интегральном инварианте Пуанкаре-Картана справедли-
ва при любом N = 1,2,... Интегральный инвариант (с) в многомерном
случае имеет вид

o(pdq — Н dt),

откуда вытекает общий критерий каноничности преобразования q, р =>
^Q.P аналогичный (37.2):

Р dQ - р dq - [H(t, Q, Р) - H(t, q, p)]dt = dF.

(44.3)

44.2.	Производящие функции Якоби. S и R вводятся с помо-
щью соотношений для полных дифференциалов

dF = d(PQ) - dS(q, Р), dF = -d(pq) - dR(Q, p).

Их полные дифференциалы имеют вид

dS(q,P) = QdP + pdq+(H-H),
dR(q, P) = -P dQ - qdp + (Я - Я).

(44.4)

(44.5)

Из них следуют формулы, аналогичные (38.2) и (38.3), определяющие
канонические преобразования и преобразованный гамильтониан:

Q = Sp(t, q, Р), р = Sq(t, q, Р),
H(t, Q, Р) = St(t, q, P) + H(t, q, p),
P = -Rq(t, Q, p), q = -Rp(t, Q, p),
H(t, Q, P) = Rt(t, Q, p) + H(t, q, p).

(44.6)

Канонические преобразования существуют в областях, в которых опре-
делители матриц TV-го порядка отличны от нуля:

det Sqipj ± 0, det RQiPj ± 0.

Более подробные сведения из теории гамильтоновых систем про-
извольного порядка и соответствующие доказательства можно найти
в монографиях [6, 7, 77].

44.3.	Теорема о параметризации. Теорему о параметризации
канонических замен, изложенную в § 39, можно обобщить на гамиль-
тоновы системы произвольного порядка [163].
Теорема 1а. Пусть преобразование переменных q, р—>Q, Р
записано в параметрической форме'.

q = х — Фу,

Р = У + |фх,
£

(44.7)

где Ф(£, х, у) — дважды непрерывно дифференцируемая в окрестно-
сти точки to, хо, уо функция.

Тогда

1)	якобианы двух преобразований q = q(t,x, у), p = p(t,x, у) и
Q = Q(t,x, у), Р = P(t,x, у) тождественно равны

d(q,p) _ d(Q»P)
d(x,y) d(x,y)

= J(t,x, у);

(44.8)

2)	При J(to,xo,yo) Ф 0 существует окрестность точки to, х0, уо,
в которой преобразование (44.7) переменных q, р —> Q, Р переводит
гамильтонову систему Н = H(ty q, р) в гамильтонову систему Н =
= H(t, Q,P) по следующему закону'.

Ф((^х,у) + 7/(£,q, р) = H(t,Q,P),

(44.9)

где аргументы q, р и Q, Р в гамильтонианах Н и Н выражены
через параметры х, у по (44.7).

Доказательство. 1) Матрицы якобианов А- и вы-
ражаются через симметричную матрицу гессиана Ф = |Фу|,	=

= d2V/dzidzj, i,j = 1,2,....22V, Zk = Xk, ZN+k = Ук'

A±=E±±I4f,
£

где Ед/- и E — единичные матрицы порядка N и 2Я, I — симплек-
тическая матрица. Определитель матриц ±1 равен единице. Матрицы
IA- = Ф + / и IA- = | Ф — I — транспонированные. Следовательно
их определители и определители матриц А± равны det А- = det =
= J, что и требуется доказать.

2)	Доказательство второго пункта теоремы проведем с помощью
критерия каноничности, согласно которому дифференциальная форма

6F = PJQ - p<5q - (Я - H)6t

является полным дифференциалом некоторой функции <5F(t,x, у) =
= Ft6t + FxSx + FySy [7, 77].

Подставим в дифференциальную форму 6F вместо q, р и Q, Р
их выражения (44.7) через параметры х, у и заменим Я - Я на Ф*
согласно (44.9). После очевидных преобразований получим

6F = (у - ± Фх) (<5х + 1 ФУ<Л + 1 Фух<5х + 1 Фуу<5у) -

- (у + \ Фх) (<5х - 1 ФугЛ - 1 Фух<5х - 1 Фуу<5у) - ФеЛ =

= У(Фу«5£ + Фух<5х + ФуУ<5у) - Фх<5х - ФгЛ = <5(уФу - Ф),
что и требовалось доказать.

Производящая функция Пуанкаре (38.6) естественным образом
обобщается на многомерный случай

Ф(ч. р) = I [$(*’ я* р(я. р)) - чр(Я’ р) + Q(q- р). р) + Q(q, р)р]-

(44.10)

Ее дифференциальная форма такова:

<*Ф = |52 J'U jnT? +(H-H)dt.	(44.11)

2 dQi + dqi dPi +

г= 1

При dt = 0 дифференциальную форму с?Ф привел Пуанкаре в своих
мемуарах [170, с. 191].

Разрешим уравнения (44.7) относительно х, у и ФУ,ФХ:

x=^(q + Q), у=^(р + Р),
Фу = Q - q. фх = -Р + р

(44.12)

Отсюда, при условии, что якобиан замены (44.12) отличен от нуля,
д("х. у)

pj Ф 0, следует равенство с?Ф = с?Ф и тождественность функций

Из (44.8) и (44.12) следует:

gx^2 = 1 =2-2Ndet(E + X),
d(q, р) J

_ d(Q,P)
$(q. р) ’

(44.13)

и условие невырожденности замены (44.12) можно записать так:
det (Е + А) ф 0, где А и Е — матрица Якоби и единичная матрица
соответственно.

Таким образом, получаем обобщение первой теоремы Пуанкаре на
многомерный случай (условия существования параметризации).

Теорема. Если в открытой односвязной области (q, р) е П
преобразование Q(q, р), P(q, р) — каноническое и ни одно из соб-
ственных значений матрицы Якоби А не равно -1, то в П суще-
ствует параметризация (44.7).
44.4. Локальный критерий параметризуемости канонического
преобразования. Следуя [163], зададимся целью выявить канониче-
ские преобразования q, р—»Q,P, которые можно представить в па-

раметрической форме (44.7). Введем 27У-мерные векторы г =

R = (о)’ z = ( ), якобиеву матрицу А = ЦА^Ц и матрицу гессиана

^='-2.......2Я- <44|4>

Будем пользоваться локальным критерием каноничности замены пере-
менных q, р —► Q, Р [7, 57, 77]:

АТ1А = /,

(44.15)

где En — единичная матрица порядка 7V, Ат — транспонированная
матрица.

Следуя [7, 57], будем называть матрицу А, удовлетворяющую кри-
терию каноничности (44.15), симплектической матрицей, блочную мат-
рицу I — симплектической единицей.

Пусть замена q, р —> Q, Р представлена в параметрическом виде
(44.7). Это означает выполнение равенств:

<5г = <5z - 16R = <5z + 11Ф6г.

В матричном виде эти равенства таковы:

<5R = А<5г,

(44.16)

На матричном языке каноничность отображения q, р —► Q, Р означа-
ет симплектичность матрицы А, а существование параметризации —
существование представления (44.16) матрицы А через симметричную
матрицу Ф. В связи со сказанным введем определение.

Определение. Матрица А, представимая через симметрич-
ную матрицу Ф по второй формуле (44.16) при

J = det (Ъ - | /ф) / О,

называется параметризуемой.

С помощью введенных определений можно установить следствия из
теорем 1 и 2, которые являются переформулировкой этих теорем на
матричный язык.

Следствие 1. Параметризуемая матрица симплектична.
Следствие 2 (локальный критерий параметризуемости). Сим-
плектическая матрица параметризуема тогда и только тогда,
когда △ = det (Е + А) 0.

Следствие 3. Если матрицы А и Ф связаны соотношением
(44.16), то

1)	Ф = 2/(Е + А)~\Е- А) при Д^О;

(44.17)

2)	если Ф — симметрична, то А — симплектична, если А —
симплектична, то Ф — симметрична;

3)	если выполнено одно из условий: симметричность Ф или
симплектичность А, то для определителей det ^Е ± /ф) и Д =
= det (Е + А) будут справедливы тождества

det (Е + i 1ф) = det (е - 1ф) = J, А = ^--

(44.18)

Представление (44.16) выражает элементы матрицы A (4N2 чисел),
связанные между собой условием симплектичности (44.15), через эле-
менты симметричной матрицы Ф (2N2 + N независимых чисел).

Формула (44.17) — результат разрешения уравнения (44.16) отно-
сительно матрицы Ф с помощью следующих эквивалентных преобра-
зований уравнения (44.16):

а(е- |/ф) =е+ |/ф =>

1 (Е + 4)/Ф = А - Е.
£

Тождества (44.18) вытекают из равенства (44.13).

44.5.	Инвариантность параметризуемости. Выше было показа-
но, что существование производящих функций существенно зависит
от выбора системы канонических переменных. Построенное с помо-
щью производящих функций Якоби каноническое преобразование мо-
жет перестать существовать при канонической замене переменных.
На «удручающую неинвариантность производящих функций относи-
тельно выбора системы координат» неоднократно обращается внимание
в монографии [7]. В противоположность этому свойство параметри-
зуемости канонического преобразования является инвариантным, т. е.
независимым от выбора канонических переменных. В этом и состоит
преимущество параметрического преобразования перед классическим
методом производящих функций и более полно оно было освещено для
систем с одной степенью свободы.

Инвариантность производящей функции Пуанкаре (44.11) в окрест-
ности неподвижной точки канонического отображения доказано в ра-
боте Вайнштейна (1972) (ссылка указана в монографии В. И. Арноль-
да [7]). Отсюда следует инвариантность параметризации в окрестности
неподвижной точки [163].
44.6.	Параметризация отображений на фазовом потоке. За-
дача об отображении X(to),Y(to) —► X(t),Y(t) на фазовом потоке
гамильтоновой системы (решение обыкновенных дифференциальных
уравнений Гамильтона (44.1) (ОДУГ)) для одной степени свободы с по-
мощью параметризации была изучена выше. Ее решение переносится
и на многомерный случай. Поставленная задача эквивалентна опре-
делению канонического преобразования переводящего гамильтониан
Я = 0 в гамильтониан Я(£, X, Y). Применяя формулы (44.7), (44.9)
теоремы 1 о параметризации канонического преобразования, получим
искомое отображение

Х0 = х-|фу, Х = х+|фу,

,	,	(44.19)

Yo = У + g Фх, Y = y—-Фх,

Фе(^х.у) = H(t,x+ |фу,у - |фх), Ф(«о.х,у)=О.	(44.20)

Таким образом, задача Коши (44.1) свелась к решению зада-
чи (44.20).

Параметризация отображений на фазовом потоке автономной
системы. Теорема о параметрическом отображении на фазовом потоке
автономной гамильтоновой системы в п. 39.3 также переносится на
многомерный случай с гамильтонианом Я(Х, Y)

Теорема. Пусть гамильтониан Я(Х, Y) явно не зависит от
времени. Тогда, если существует решение задачи

Фг(т,х,у) = н(х + |фу,у- |фх), Ф(0,х,у) = 0, r = t-t0,

(44.21)
Ф(т, х, у) на полуинтервале 0 г < tq, то существует и решение на
всем_интервале |т| то нечетное по аргументу г, т.е. Ф(т,х, у) =
= -Ф(-т,х,у).

Как следствие теоремы получаем следующее разложение опреде-
ляющее параметрическое отображение. Решение задачи Коши (44.20)
представляется рядом по нечетным степеням г. С точностью до г5
функция Ф имеет вид

Ф = тЯ(х,у) +	[Н^Н* - 2НхуНхНу + HyyHl] + ОД5.

(44.22)

§ 45.	Алгебраическое определение гамильтоновой
нормальной формы

45.1.	Разложение гамильтониана в окрестности неподвиж-
ной точки. Классический подход к определению нормальной фор-
мы построен на алгебраических преобразованиях полиномиальных
1/214*
однородных форм (см. монографии В. И. Арнольда, Д. Д. Биркгофа
и А. Д. Брюно [7, 21, 27]). Изложим суть метода нормальной формы,
следуя работе А. Д. Брюно, А. Г. Петров, 2006 [28].

Пусть (q, р) = (д!,... >Qn>Pi> >Рп) — независимые переменные,
Н = H(q, р) — функция Гамильтона автономной системы Гамильтона:

дН . дН

41 ~ др,' Рз ~ dqj ’

(45.1)

Пусть q = р = 0 — неподвижная точка системы (45.1) и функция Н =
= H(q, р) в ней аналитична. Тогда функция Н разлагается в степенной
ряд по q, р

Я = Я2 + Я3 + Я4 + .(45.2)

где Hk — однородные полиномиальные формы переменных q, р степе-
ни к.

45.2.	Нормальная форма квадратичной части. Ряд Я начина-
ется с квадратичных членов, а степенные разложения правых частей
системы (45.1) — с линейных. Зададимся целью упростить эти степен-
ные разложения с помощью канонических преобразований. Для этого
сначала упростим квадратичную часть гамильтониана.

Пусть R — матрица линейной части системы (45.1), а собствен-
ные числа чисто мнимые. Собственные числа Ль..., Л2п матрицы R
разбиваются на пары Aj+n = —Aj, j = 1,...,п. Посредством линейной
канонической замены координат

(45.3)

матрица R всегда приводится к комплексной нормальной форме С =
= B~[RB, у которой собственные числа Ai,...,A2n расположены на
диагонали. Тогда Я(и, v) = Я^(и, v),p(u, v)).

45.3.	Нормальная форма гамильтониана. Пусть формальная
нелинейная комплексная каноническая замена координат

(u,v) = (z,z) +N(z,z),

(45.4)

где N d= (M,...,N2n), Nj(z,z), ~ степенные ряды без свободных и
линейных членов, приводит функцию Гамильтона Я(и, v) к виду

(45.5)
Формальная функция Гамильтона (45.5) называется комплексной нор-
мальной формой, если

1)	у соответствующей системы Гамильтона матрица линейной части
имеет нормальную форму, на диагонали которой расположены соб-
ственные числа Ль...»Ап, —Ai, ..., — Ап;
2)	в разложении (45.5) имеются только резонансные члены. Они
подчинены условиям

si Ai 4-... 4- snAn Sn+i Ai ... S2nAn = 0*	(45.6)

А. Д. Брюно [29, § 12] доказал, что для всякой системы (45.1) су-
ществует формальная замена (45.4), приводящая функцию Гамильтона
Я(д,р) к нормальной форме (45.5), (45.6). Согласно [27, гл. I], если
исходная система (45.1) вещественна, то комплексная нормальная фор-
ма (45.5), (45.6) с линейным каноническим преобразованием Биркгофа
с валентностью 2г:

Zj=Pj+iQj, z3=P3-iQ3, j=l>- -ft (45.7)

приводится к вещественной нормальной форме от переменных Q и Р.

Частные случаи нормальной формы. Частными случаями этой
нормальной формы являются: нормальные формы Биркгофа [21] и Чер-
ри (1928)-Густавсона (1966) [233, 245].

Биркгоф [21] рассмотрел случай, когда все Ль..., Ап несоизме-
римы, т.е. уравнение Ai($i - sn+i) 4- ... 4- An(sn - $2n) = 0 в це-
лых Si имеет только нулевое решение $i — sn+i = ... = sn — S2n = 0.
В этом случае разложение (45.5) является рядом по п переменным
z\Z[,...,znzn и каждое такое произведение является формальным ин-
тегралом соответствующей системы Гамильтона. Квадратичная часть
комплексной нормальной формы Биркгофа имеет вид

h2 = i(u\Z\Z\ +(jJ2Z2z2 4-... + cunzn2n), iw3 = XJy j = 1,...n.

Черри [233] рассмотрел случай, когда собственные числа ±Аь
..., ±АП — произвольны и матрица R может быть приведена к диаго-
нальному виду. Этот результат переоткрыл Густавсон [245]. Квадра-
тичная часть комплексной нормальной формы Черри-Густавсона имеет
такой же вид, как и в случае Биркгофа. Полиномы более высоких
степеней в (45.5) содержат только резонансные члены, подчиненные
условию (45.6). Матрица R может быть приведена к диагональному ви-
ду, если все собственные числа различны. Если же среди собственных
чисел имеются равные, то матрица R приводится либо к диагональ-
ному виду, либо к жордановой клетке. В случае жордановой клетки
определение нормальной формы дал Брюно [27, 29].

45.4.	Нормальные формы для систем с двумя степенями
свободы.

1.	Общий вид нормальной формы. Для системы двух степеней
свободы комплексная нормальная форма Черри-Густавсона такова:

h = h2 4- h$ 4~	4-...,	h,2 = i(wiZiZi 4-

(45.8)

hk= £	к = 3,4,...,

S|U>| 4-32^2 — s3^1 “$4U>2=0

Sl+S2 + S3+S4 = fc

где в сумме опущены коэффициенты мономов.
Вещественная нормальная форма получается отсюда заменами
(45.7) и делением каждого слагаемого hn на 2г.

2.	Нормальная форма Биркгофа. Если резонансы отсутствуют,
то нормальная форма содержит только полиномы четных степеней.
Комплексная нормальная форма такова

h = i(w\Z\Z\ -\-uJ2Z2Z2) +г (c2o(^i^i)2 + c\\Z\Z\Z2Z2 + сог^г^г)2) +...

(45.9)
Действительная нормальная форма получается заменой Биркгофа и де-
лением на валентность 2г. С помощью канонического унивалентного
преобразования

Pj = cos^j, Qj = sin^j, j = 1,2,

ее можно еще упростить

h = CU1Г1 + CU2r2 + С20Г? + С\\Г\Г2 + С02Г2 + ...

3.	Резонанс = 2а>2. В нормальную форму войдет полином тре-
тьей степени. Степени мономов, соответствующие определению (45.8),
определяются из решения следующей системы:

Si + S2 + S3 + 54 = 3, 2s 1 + S2 — 2$з — $4 = 0.

При сложении этих уравнений переменная S4 исключается: 3s 1 4- 2s2 —
— S3 = 3. Отсюда находим степени монома: 0,2,1,0 и сопряженного
монома: 1,0,0,2 и получаем общий вид полинома h$ комплексной
нормальной формы

Ей соответствует действительная нормальная форма

h$ = г2г/п (-asin((^i - 2<^2) + /?cos(^i - 2^2)).	(45.10)

Коэффициенты а, /3 и с2о, сц, С02 — являются инвариантами со-
ответствующей гамильтоновой системы. Вычислить нормальную фор-
му — это значит вычислить эти коэффициенты. В литературе наи-
более распространены два способа построения канонических замен,
приводящих систему к нормальной форме. Один способ основан на
использовании производящих функций. Так поступал Биркгоф [21].
При другом способе вместо производящих функций применяются ге-
нераторы Ли. Этот способ удобнее, поскольку не требует обращения
степенных рядов, что является необходимым в случае производящих
функций.

Среди аналитических методов метод нормальной формы является
наиболее надежным и точным. Он применяется для весьма тонких
исследований, когда другими методами добиться желаемого результата
нельзя. Однако приведение гамильтониана к нормальной форме — это
сложная задача и требует проведения больших выкладок.
Ниже будет описан классический алгебраический подход к вычис-
лению нормальной формы с помощью весьма трудоемкой процедуры
и затем будут даны альтернативные методы инвариантной нормализа-
ции Журавлева, по которому нормальная форма находится простыми
квадратурами.

§ 46.	Методы вычисления нормальных форм

46.1.	Классификация алгоритмов. Алгоритмы вычисления ка-
нонических нормализующих замен и нормальных форм будем класси-
фицировать по способу определения канонической замены.

К настоящему времени предложено три следующих способа вы-
числения канонических преобразований: А) с помощью производящей
функции; Б) посредством рядов Ли; В) параметрический.

Таким образом, имеем три группы алгоритмов.

Алгоритм А. При вычислении нормальной формы с помощью про-
изводящих функций Якоби (см. [7, 21, 27, 77]) в нелинейной фор-
мальной замене (45.4) векторный ряд N(z,z) находится с помощью
производящей функции

g<u,z) = U\Z\ + ...+unzn + ...

от смешанных переменных u = (ui,... ип) и z = (z\,... zn):

Если найден производящий ряд g(u, z), то для получения замены (45.4)
нужно из равенств (46.1) выразить Uj через z,z, т. е. обратить степен-
ные ряды для Zj. Этот алгоритм предложен Биркгофом. На практике
это приводит к очень громоздким вычислениям, но работает всегда (без
ограничений на матрицу R). Из-за своей громоздкости метод почти не
применяется.

Алгоритм Б. Пусть исходный гамильтониан представлен рядом по
малому параметру е. Тогда гамильтониан Я(х',у') становится рядом
по малому параметру
сю

H(u,v) = H0(u,v) + F, F = £VFfc(u,v).

fc=i

Тогда ищем генератор Ли G и нормальную форму h в виде рядов по е*.

сю	сю

G = £?Gfc(z,z), /i(z,z) = H0(z,z) + F, F = £
fc=l	fc=l

Нормализующую замену ищем в виде рядов Ли (38.8). Тогда для
нормальной формы h = Hq + F получим ряд Ли (38.9) с генератором
Ли G(z,,z'). Его можно привести к виду

F = Но * G + М,	(46.2)

М = F(z',z') + F *G + ^(Яо + F) *G2 + 1(Я0 + F) *G3...

Z!	и!

Отсюда для коэффициентов рядов по степеням е нормальной формы Fk
и генератора Gk получаем гомологические уравнения:

Fk(z, z) = Я0(г, z) * Gfc(z, z) + Mfc(z, z),

Mi=Fi, М2 = F2 + Ft *Gi + Hq*G2, (46.3)

M3 = F3 + У (f* Gj + Ho*Gi*Gj\ + F\ *G2 + ^Ho*G3{, ...

\	2	/2	о

i+j=3

Выражения Mk можно упростить, используя соотношения предыдущих
шагов. При к = 1 имеем Hq * G\ = F\ — F\. Подставляя это выражение
в М2, получим

M2 = F2 + |(F1+Fi)*G1.

£

Аналогично для М3 получим

м3 = F3 + | (F2 4- А) * Gi + I (Fl + Fl) * G2 + -^ (Fl - F() * G?.

Функция Mk известна по результатам вычислений предыдущих шагов.
Поэтому^в каждом fc-м приближении получаются уравнения относи-
тельно Fk и Gk- Существуют два метода решения гомологических
уравнений: Б.1. и Б.2.

Алгоритм Б.1. Чисто алгебраический метод. Уравнение (46.3) при
каждом к решается как система линейных уравнений на коэффициенты
мономов степени к + 2, входящих в формы Fk и Gk- Это — метод Хори
(1966) и Депри (1969), подробно изложенный в [122, гл. 11]. Здесь
также нет ограничений на матрицу R. В этом методе не надо обращать
ряды. Однако число мономов весьма велико и с увеличением к растет,
поэтому метод остается весьма громоздким.

Алгоритм Б.2. В.Ф. Журавлев [77-79] предложил решать гомо-
логическое уравнение (46.3) с помощью интегрирования. Используя
свойство нормальной формы

яо*А = ^А = о

at

и равенство HQ*Gk = dGk/dt, где производная берется в силу системы
z = дНо/дъ, z = — дНо/dz, гомологические уравнения (46.3) можно
представить в виде

Affe(z,z) = Ffe(z,z) - Gfc(z, z), Ffc(z, z) = 0.
(JLlf	(JLL
Пусть z(t,Z,Z), z(t,Z,Z) — решение системы с гамильтонианом Hq.
Тогда, подставив его в гомологическое уравнение и проинтегрировав
первое уравнение с учетом второго, получим

t

' Mfc(Z, Z) dt = t Fk(Z, Z) + Gfc(Z, Z) - G(t).	(46.4)

о

Отсюда видно, как из квадратуры (46.4) можно найти коэффициенты
нормальной формы Fk и генератора Gk‘. нормальная форма Fk равна
коэффициенту при t, a Gk — свободное не зависящее от времени сла-
гаемое. Причем в данном методе необязательно применять переменные
Биркгофа и нормализовать квадратичную часть. Этот алгоритм назван
автором алгоритмом инвариантной нормализации.

Рассмотрим подробнее случай, когда частоты — действительные
числа, а квадратичная часть нормализована.

Комплексная нормальная форма в переменных Биркгофа получается
так. Функции Мк в (46.3) — однородные полиномы переменных z3,z3.
Подставив вместо переменных z3, Zj решение (46.10), получим

мк = YCj^' + Co.	(46.5)

з

Из квадратуры (46.4) найдем

Д=С0, Gk = iY^.	(46.6)

з

Теперь покажем, как найти действительную нормальную форму.
В действительных переменных Q3, Pj решение уравнений Гамильтона
с Hq линейно выражается через cosajt и sin&jt. Однородный полином
представляется суммой тригонометрических функций

Мк = aj cos ajt + bj sin ajt + co-	(46.7)

з

Из квадратуры (46.4) найдем

Я = со, Gk = y^-.	(46.8)

01 j

Таким образом, как в экспоненциальном (46.5), так и тригоно-
метрическом (46.7) представлениям сразу вытекают выражения для
коэффициентов нормальной формы и генератора соответственно (46.6)
или (46.8).

Алгоритм В. А. Г. Петров (2002, 2004) [161, 164] предложил вме-
сто генератора G применять функцию Ф(х, у) и параметрическую ка-
ноническую нормализующую замену (44.19). Вместо ряда Ли (38.9)
для нормализованного гамильтониана используется уравнение (44.20).
Вместо уравнения (46.2) получим следующее уравнение:

F(x, у) = Н0(х, у) * Ф(х, у) + М(х, у),

/1	1	\	1	1 А ~	(469)

М = F\x — -Фу,у + -Фх) -Г(х + -Фу,у — -Фх) + Г(х,у).

Подставляя в это уравнение ряды по степеням е для функции Ф,У
и М, получим гомологическую цепочку уравнений, аналогичную (46.3).
Причем для первых двух приближений уравнения отличаются только
заменой С?1,С?2 на

В следующих приближениях выражения для Л/з,Л/4,... в парамет-
рическом методе В отличаются от метода Б.

Способы Б.2 и В существенно упрощают вычисления, но приме-
нимы только в случае, когда жорданова форма матрицы R диагональ-
на, т. е. отсутствуют жордановы клетки или непростые элементарные
делители. А.Д. Брюно и А. Г. Петров (2006) в статье [28] показа-
но, как можно преодолеть это ограничение, используя нестандартный
скейлинг. В этих способах необязательно предварительно упрощать
невозмущенную часть гамильтониана.

46.2.	Метод инвариантной симметризации гамильтониана.

1. Симметричная форма гамильтониана. В [77, 78] предложено
более общее определение нормальной формы для возмущенного га-
мильтониана

Н(t, q, р, е) = H0(t, q, р) + F(t, q, р, е),
F(t,q,p,e) = eF\(t,q,p) +e2F2(t,q,p) +...

Для этой новой гамильтоновой структуры полезно ввести иной тер-
мин — симметричная форма.

Определение. Возмущенный гамильтониан имеет симметрич-
ную форму, если возмущение является первым интегралом невозму-
щенной части

f+ {Яо,Г}=О,

где {/,?} = fpgg - fqgp - скобки Пуассона.

Преимущество такого определения перед известными [7-9, 21, 27]
обусловлено четырьмя причинами.

1.	Решение полной системы дифференциальных уравнений Гамиль-
тона с симметричным гамильтонианом получается суперпозицией ре-
шений невозмущенной системы и решения системы с автономным
гамильтонианом, равным F(0, q,p, е). Этот результат сформулирован
в [78] в виде теоремы.

Теорема Журавлева. Если система с гамильтонианом Н
удовлетворяет условию симметричной формы, то для построения
общего решения соответствующих уравнений Гамильтона, доста-
точно:
А) найти общее решение порождающей системы с гамильтони-
аном Ho(t,p,q)-,

Б) найти общее решение системы, определяемой только возму-
щением F(O,p,q,e), при условии, что в этой системе явно входящее
в гамильтониан время положено равным нулю.

Тогда общее решение исходной неавтономной системы пред-
ставляется композицией в произвольном порядке полученных реше-
ний (вместо произвольных постоянных в решении второй системы
подставляются решения первой или наоборот).

2.	Инвариантный характер критерия позволяет осуществлять сим-
метризацию без предварительного упрощения невозмущенной части
и без разделения на случаи автономный-неавтономный, резонансный-
нерезонансный.

3.	Асимптотики симметричной формы и замены переменных, приво-
дящей гамильтониан к нормальной форме, находятся последовательны-
ми квадратурами от известных на каждом шаге функций (см. алгоритм
инвариантной нормализации (симметризации)).

4.	Если у системы Гамильтона с функцией Гамильтона (45.5)
матрица линейной части имеет нормальную диагональную форму, то
симметричная форма тождественна нормальной форме.

Таким образом, алгоритм симметризации позволяет найти класси-
ческую нормальную форму.

2.	Интегрирование уравнений симметричной и нормальной
форм. При интегрировании уравнений симметричной формы можно
пользоваться замечательным свойством, которое диктуется теоремой
Журавлева, сформулированной выше.

Покажем, как с помощью этой теоремы проинтегрировать уравне-
ния нормальной формы в случае отсутствия резонанса для системы
с двумя степенями свободы. Гамильтониан (45.9) разбиваем на два
слагаемых Hq = /12 и F = 7ц (hz *	= 0).

В соответствии с теоремой 1 выписываем уравнения

zj ~	~ uojZj, j — 1,2.

Решение уравнений имеет вид

Zj = Zje^.
J	J

(46.10)

Для действительных частот это уравнение описывает колебания систе-
мы с двумя разными частотами cui и о>2. Уравнение и решение для z3
является сопряженным по отношению к z3.

Выписываем уравнения с гамильтонианом F

=	=	7 = 1,2.
Это уравнение имеет два интеграла Z\Z\ = А и Z^Z^ = В. Учитывая
их, получаем следующие уравнения:

Zj = iSjZj, si = 4c2qA 4- 2сцВ, S2 = 2сц A 4- 4согВ.

Подставляя решение уравнений Zj = zojel£jt в (46.10), получим реше-
ние исходной системы с гамильтонианом Н = Но + F.

Zj = Zbje™11, U)j=ujj+£j, j = l,2.	(46.11)

Входящие в Sj величины Ан В являются квадратами амплитуд коле-
баний первой и второй степеней свободы А = Q] + Р2, В = Q% 4- Р22.
Решение (46.11) описывает колебания нелинейной системы, в которой
частоты колебаний зависят от амплитуд АнВ: щ(А,В). Если учесть
следующий полином нормальной формы ho, то в разложении найдем
следующие по порядку малости — квадратичные по А и В члены. Этот
процесс можно продолжить неограниченно.

В резонансном случае (45.10) система уравнений нормальной фор-
мы также интегрируема, но ее решение устроено гораздо сложнее и мо-
жет описывать переход энергии колебаний одной степени в другую.

3.	Описание алгоритма. Пусть исходный гамильтониан имеет вид

Я(я, р, е) = Яо(ч, р) + F(q, Р, £). F = eF\+ e2F2 + ...,

где Hq и F — невозмущенная и возмущенная части соответственно,
е — малый параметр.

Для построения генератора Ли G и симметризованной относитель-
но Hq части F

G = sG\ 4- €2С?24",...» F = eF\ 4- £$F2“H • • • >

выполняются следующие операции.

1.	Находится решение q(t, Q,P), p(t, Q,P) невозмущенной си-
стемы.	О ТТ

q = ^. P =	q(°)= Q> p(°) = p-

2.	Находятся функции mk(t, Q,P) = Mfc(q(t),p(t)), где M\ = F\,

M2 = F2+l-(F 4-Fi)*Gi,...

rt

3.	Из квадратуры mfc(t, Q,P) dt = tFk(Q,P) + Gfc(Q,P) + /(t),
находятся коэффициенты разложений симметризованной части

Ffc(Q,P) и генератора Gfc(Q,P).

Пример,
ции [78]

Пусть гамильтониан дан в виде рациональной функ-

н = 1(р2 + 92) + т^
В соответствии с алгоритмом находим

1)	решение невозмущенной системы (е = 0):

q = Q cos t + Р sin t, p = —Q sin t + P cos t\

2)	функцию

1

mi(t,Q,P) =

1 + Q2 cos21 + 2QP cos t sin t + P2 sin21 ’

rt

3)	и из квадратуры m\(t, Q,P)cft находим первые коэффициенты
Jo « ж
разложении симметризованнои формы

и генератора

ar с tan

— arctan —

С помощью классического алгоритма нормализации можно полу-
чить лишь несколько первых членов тейлоровского разложения най-
денной формы

- (О2 + Р2} Ч__£

2	^1 +<?2 + Р2

= 1 (1 - e)(Q2 + Р2) + I £(Q2 + Р2)2 - A e(Q2 + р2)3 +...
Z	О	10

Но даже и это потребует существенно большего числа выкладок.

46.3. Алгоритм симметризации с помощью параметрической
функции Пуанкаре. Алгоритм аналогичен алгоритму с помощью
производящего гамильтониана:

1.	находим решение q(t, Q, Р), p(t, Q,P) невозмущенной системы;

2.	находим функции

М\ = Fi, М2 = F2 + F\ * Ф1 + | Hq * Ф*, ...»
£

mi(t, Q, Р) = q(t, Q,P)),p(t, Q,P));

3.	из квадратуры
t

mi(t, Q, Р) dt = (t - t0)Fi(t0, Q, P) + Q, P) -	q(t), p(t))

to

находим коэффициенты разложений симметризованной формы
Fk(t, Q,P) и параметрической функции Пуанкаре Ф&(£, Q,P).

Алгоритм с помощью параметрической функции Ф наиболее уни-
версален. Он применим как для автономного, так и для неавтономного
случаев, как для резонанса, так и при его отсутствии. В автономном
случае первые два приближения в параметрическом методе и методе
генератора — тождественны, а в следующих приближениях имеются
отличия.

§ 47.	Примеры асимптотического интегрирования
гамильтоновых колебательных систем методом
нормальной формы

47.1.	Качающаяся пружина.

1.	Постановка задачи о качающейся пружине. Рассматривается

маятник с двумя степенями свободы: тяжелая точка, качающаяся

Рис. 10.1. Схе-
ма качающейся
пружины

еще ш = у/ёД
длины I) и

в вертикальной плоскости на пружине (рис. 10.1),
пружина невесома.

Постановка этой задачи дана, например, в кни-
гах [23, 127]. В них приводятся методы ее иссле-
дования и частные результаты. Из-за чрезвычайной
сложности методов полный анализ сделать затрудни-
тельно. Приведем, следуя работам [82] и [165], реше-
ние этой задачи методом инвариантной нормализации
с помощью параметрической замены переменных.

Обозначим: к — жесткость пружины, I — ее длина
в положении покоя груза, т — масса груза. Положим
(частота малых колебаний математического маятника

Введем декартову систему координат с центром в точке О — по-
ложении покоя груза — и осями, направленными вдоль вертикали
и горизонтали (см. рис. 10.1). Обозначим через 1х,1у координаты груза.
Длина пружины: IR, где

Натяжение пружины: Т = klR/lo — к, где Iq — длина ненагруженной
пружины. С другой стороны, так как I — длина в положении покоя, то
kl/lo — к = mg. Вставляя kl/lo = к + mg в выражение для Г, имеем:
Т = (fc + mg)R — к. Отсюда ясно, что ^/(fc + mg)/ml — частота коле-
баний груза при неотклоненной пружине.

Компоненты силы, действующей на груз: Fx = mg — Т(1 + я)/Я,
Fy = -Ту/R.

Ньютоновы уравнения движения: mix = Fx, mly = Fy. Введем еще
безразмерное время г:

T=orf, (Jj=yfg/l.
Тогда уравнения записываются в виде

/1 — отношение этой частоты к си.

Полагая и = dx/dr, v = dy/dr, перейдем к системе уравнений пер-
вого порядка, которая оказывается гамильтоновой:

dx = дН_ du	= _dH_	dy	= dH_	dv	_ дН

dr ди "dr дх ’	dr dv ’	dr ду

с гамильтонианом

Н = 1 (u2 + V2) +	(Л2 - 1) - (м2 - 1)(Л - 1) - х.

Константа в Я выбрана так, что Я(0,0,0) = 0.

Разложим гамильтониан по однородным полиномам от переменных
х, у, и, v до четвертого порядка включительно:

Н = Но + Fl + F2, Но- |(u2 + v2 + р?х2 + у2),

-Fl = |(М2 - 1W.	= 1 (/? - 1) (j ~x2y2^.

2.	Нормальная форма. В соответствии с изложенным алгоритмом
находим общее решение невозмущенной системы с гамильтонианом Яо:

x(t) = X cos pt Ч— sin pt,

y(t) = Y cost + V sint,

(47.1)

u(t) = U cos pt — pX sin pt, v(t) = V cos t — Y sin t.

Для упрощения вычислений нормальной формы и замены переменных
введем два оператора, L и Li, действующих на квазипериодические
функции Rk(t)'-

Rk(t) = CLQ + 2_^(аг COSCUjt + bi sinLUit),
i

L(Rk(t)) = ao, Л1(Л*(*)) =

I

Через них можно выразить квадратуры, которые требуется находить
в методе инвариантной нормализации:

t

Rk(t) dt = tL(R.k) + L{ (Rk) + f(t) = tFk(to,xo,yo) + Gk(t0, x0, yo) + /(f)-
о

Откуда найдем коэффициенты разложений нормальной формы F и ко-
эффициенты функции G, определяющей каноническую замену

Fk = L(Rk), Gk = L\(Rk).
Приведем результаты для первого и второго приближений.

Первое приближение. В функцию

г. г. (д2-1)	2

Ri = Ft = ±ху2

подставляем решение невозмущенной системы. В результате получим
квазипериодическую по времени функцию /?i(t, X, Y,U, V) и с помо-
щью операторов L и L\ найдем нормальную форму и функцию Ф
первого приближения:



(47.2)

Gt =Li(Ri(t,X,Y,U,V)) =

_ (у2 - 1) (-2UV2-2VXYy2 + UY2(y2-2))

~	2д2 (/? - 4)

Второе приближение. Находим функцию

Л2 = ^ + |{Г1,Ф1},
£

где под фигурными скобками понимаются скобки Пуассона {/, g} =
= fugx + fvgy ~ fxgu - fygv- В результате получим

R.2(x,y,u,v)
о2-1)

Подставляем вместо аргументов x,y,u,v решение невозмущенной си-
стемы (47.1). Тогда получим квазипериодическую по t функцию
Rz(t, X, Y,U, V). Оператор Л(Яг) определяет следующее приближение
нормальной формы:

р __ 3 (д2 - 1) (д2Х2 + U2) (У2 + V2)	(/? - 1) (8 + д2) (У2 + V2)2

8/?(/?-4)	64/?(/?- 4)

(47.3)

3.	Интеграл системы уравнений нормальной формы для нере-
зонансного случая. Проинтегрируем систему _в новых переменных X,
У, U, V с гамильтонианом Hq(X, Y,U, V) + F(X, У, U, V). Находим
интеграл системы с гамильтонианом F. Система уравнений для него
имеет вид

/zX = w\U, U = —w\[jlX, Y = CU2V, V = —(J2Y,

.? 3(M2-l)e2	3(д2-1)£2	(д2-1)^ + 8)^

4д (д2 - 4)	4у2 (у.2 - 4)	1 бу2(у2 - 4)

Y2 + V2 = А, у2Х2 + U2 = В.
Нетрудно убедиться, что система имеет два интеграла: У2 + у2 = А
и р~Х2 + U2 = В, поэтому получаем линейную систему с постоян-
ными коэффициентами (точнее с коэффициентами, не зависящими от
времени):

X+u>fX = 0, Y + с^У = 0.

Решение ее с условиями Х(0) = Xq, Х(0) = Xq, У(0) = Уо, Х(0) = 0,
У(0) = 0 имеет вид

X = Xq COS UJ[t, U = —XQpLSinuJ[t,
Y = yQCOsuj^t, V = - yQ sin uj2t.

Чтобы получить полное решение, достаточно подставить найденные
функции в решение (47.1) невозмущенной системы. Выпишем оконча-
тельное решение в преобразованных переменных X,Y с начальными
условиями Х(0) = Хо, Х(0) = Хо, У(0) = Yq, Х(0) = 0, У(0) = 0:

X = Xq (cos UJ\t COS pt — sin LU] t sin pt) = Xq COS Hit,

Y = Yq (cos	COS t — CU2 sin CU21 sin t) = Yq COS

Qi = /z + o?i, Q2 = 1 4“ CU2.

В исходных переменных x,y закон движения получается с помощью
формул преобразования X,Y х,у (38.8), в которых функция G
определяется по разложению G = C?i + С?2 + ••• Таким образом, при
отсутствии резонанса колебания системы отличаются от линейных
колебаний только мало измененными частотами колебаний.

4.	Резонансный случай. Положим р2 = 4. Тогда гамильтониан
исходной системы имеет разложение

Я = Я0 + Я1 + ...,

Но = |(u2 + v2 + 4x2 + y2), Ft = ху2 + 2х2.

Применяем описанный выше алгоритм. Вначале находим общее
решение невозмущенной системы с гамильтонианом Яо,

x(t) = X cos 2t+^ sin 2t, y(t) = У cos t + V sin t,

2	(47.4)

u(t) = U cos 2t — 2X sin 2t, v(t) = V cos t — Y sin t.

Первое приближение. В функцию

Hl = Fl = | x(t)y2(f) + 2x2(t)

подставляем решение невозмущенной системы. В результате получим
квазипериодическую по времени функцию Ri(t, X, Y, U, V) и с помо-
щью операторов L и L\ найдем нормальную форму и функцию Ф
первого приближения:

F, = L{Ri (t, X, Y, U, V)) = | (-V2 X + U V Y + X У2),

,	(47.5)

Gi = L\(R\(t,X,Y,U, V)) = ^(4ХУУ + 3£/У2 + 5У2[7).

Интеграл системы. Интегрирование системы удобно прове-
сти в переменных Биркгофа

z2 = V + iY.

(47.6)

Эти соотношения являются канонической заменой с валентностью 2г.
Нормальная форма первого приближения будет иметь вид

Н = Hq + F,

H0 = i(2ziz1+z2z2), F = -^-(z!Z2-ziz2).

Система уравнений для возмущенной части гамильтониана имеет вид

9F	3^2	2	• ЭР	Зл/2	_

Z\ - а=~ ~ -?7-г2-	«2 = ~я=~ = ~o~zl^2‘

dz\ 16	z	dz<i	8

(47.7)

Эта система имеет два интеграла Яо = const и F = const. Первый
интеграл — закон сохранения энергии

2|^i |2 + |z2|2 = С2,

(47.8)

где 2|zi|2 — энергия первой моды (колебания по горизонтали), |z2|2 —
энергия второй моды (колебания по вертикали).

Чтобы получить уравнение для энергии второй моды, продиффе-
ренцируем ее два раза и подставим производные z\ и i2 из уравне-
ний (47.7):

__ • -	1-=у _	3\/2 /	2	2\
— <22Z2 Z%Z2 — g (<Z1Z2 -|- Z1Z2),

С помощью закона сохранения энергии получим уравнение для энергии
второй моды

^M = ^(-3|z2|4 + 2C2|z2|2).	(47.9)

at

Это уравнение можно интерпретировать как движение материальной
точки с координатой q = |z2p под действием силы с потенциалом — П(д)
(движение в потенциальной яме; см. рис. 10.2).
Уравнение (47.9) имеет интеграл энергии

1®2 + П = £' П(9) = (93 - с2д2).	(47.10)

Потенциальная энергия достигает минимума при q = (2/3)С2, равного

—(1/24)С6. При —(4/27)С6 < Е < 0

энергия второй моды совершает мед-
ленные периодические колебания. Ча-
стота этих колебаний w при малом
отличии Е от минимального значения
равна

w V \ 3 у 4	у I

Энергия первой моды изменяется
с этой же частотой, причем в силу за-
кона сохранения энергии (47.8) проис-
ходит попеременно перекачка энергии
от одной моды к другой.

Рис. 10.2. Колебания материаль-
ной точки в потенциальной яме.
Координата q равна энергии вто-
рой моды |z2|2

5.	Процесс срыва вертикальных колебаний. В пределе Е —> 0
уравнение (47.10) имеет точное решение, откуда с помощью (47.8)

находим

|гг| = Csech(r),

lCt‘

(47.11)

Это решение имеет вид солитонов. Если отклонить маятник от поло-
жения равновесия строго по вертикали и затем отпустить его, то воз-
никшие колебания по вертикали, как показано в [196], будут неустой-
чивыми по отношению к любому малому возмущению по горизонтали.
Неустойчивость приведет к возбуждению колебаний маятника по гори-
зонтали. Это явление в [196] названо процессом срыва вертикальных
колебаний и исследуется на восьми страницах текста. Решение (47.11)
помогает описать этот процесс детально и с большой точностью. При
малом возмущении по горизонтали будет происходить периодический
процесс попеременной перекачки энергии от одной моды к другой.

Рассмотрим решение задачи о колебаниях в резонансе при началь-
ных условиях х(0) = хо, 2/(0) = уо, u(0) = v(0) = 0, причем будем пред-
полагать, что уо xq. Тогда решение полных уравнений Гамильтона
с гамильтонианом Яо + F\ находится по теореме Журавлева и пред-
ставляется в виде колебаний с собственными частотами, близкими
к значениям 2 и 1, и медленно меняющимися амплитудами X(t) и Y(t)
с большим периодом то:

х = X(t) cos 2t, у = Y(t) cos t.
В соответствии с решением (47.11) огибающие и У(£) для колеба-
ний по вертикали x(t) и горизонтали y(t) можно представить суммой
солитонов, отстоящих друг от друга на период tq:

(47.12)

Т = - XQt.

Период то можно найти из уравнения (47.10) с малым значени-
ем Е при е = |т/о|До 1- Асимптотическая формула для периода

такова [165]:

1 32	3 2 I 4\

то = In -j- + - е + О(е4).

На рис. 10.3 представлено сравнение численного решения при х§ = 0,1
и уо = 0,01 уравнений колебаний маятника с приведенным анали-
тическим решением. Жирными линиями изображены аналитические

Рис. 10.3. Колебания качающейся пружины при резонансе

функции, рассчитанные по формулам (47.12). Сравнение показывает
хорошее согласие аналитических выражений формы модуляции (47.12)
и периода попеременной перекачки энергии от одной моды к другой
с численными расчетами. С помощью асимптотической формулы на-
ходим: то = 8,075; С = yjbx* +	= 0,20025; Т = 8т0/(ЗС) « 107,5.

Численные расчеты исходных уравнений, представленные на рис. 10.3,
дают для периода значение Т « 108.

Полученное решение описывает также и процесс срыва горизон-
тальных колебаний маятника. Они также неустойчивы и переходят
в колебания по вертикали.
6.	О преимуществах метода инвариантной нормализации га-
мильтонианов. Несмотря на то, что классический метод нормаль-
ной формы восходит к работам Пуанкаре и Биркгофа и имеет бо-
лее чем вековую историю, он не часто используется специалистами
по нелинейным колебаниям. Объясняется это большим количеством
преобразований, которые требуется найти для построения нормальной
формы. При классическом подходе алгоритмы построения нормаль-
ной формы, описанные, например, в монографиях [27, 121], также
требуют достаточно больших усилий для его освоения. Кроме того,
классические алгоритмы существенно отличаются для резонансного
и нерезонансного случаев, автономной и неавтономной систем. При
исследовании нелинейных колебаний специалисты вынуждены пользо-
ваться готовым комплексом программ, не вникая в детали, входящих
в них алгоритмов, или исследовать нелинейные колебания другими
методами. Так зачастую и поступают специалисты при исследовании,
например, колебаний качающейся пружины [23, 127, 196].

В данном подходе такая трудность снимается. Нормальную фор-
му (47.5), можно найти вручную, не пользуясь компьютером. Опи-
санный же выше алгоритм легко программируется в любой системе
аналитического программирования, например, «Maple» или «Mathema-
tica» и годится сразу для всех случаев: резонансный, нерезонансный,
автономный, неавтономный.

Анализ системы с помощью нормальной формы имеет также
неоспоримые преимущества перед другими методами, например мето-
дом Ляпунова: нормальная форма сразу имеет 2 первых интеграла,
а третий легко находится, что позволяет найти полный интеграл си-
стемы; с помощью найденных интегралов легко конструируется функ-
ция Ляпунова, что значительно облегчает решение задачи устойчиво-
сти периодических решений. Все полученные выше решения наглядно
показывают все перечисленные преимущества метода инвариантной
нормализации перед устоявшимся классическим методом нормальной
формы.

47.2.	Колебания газового пузырька в жидкости при резонан-
се частот радиальных и деформационных колебаний 1:29.

Введение. Несферические колебания пузырька исследовались во
многих работах, например, Brenner М.Р.У Lohse D., Dupont T.F. //
Phys. Rev. Lett. 1995. V. 75, № 5. P. 954-957; Wu С. C., Roberts P. H. //
Phys. Lett. A. 1998. V. 250. P. 131-136; Hao У., Prosperetti A. // Phys.
Fluids. 1999. V. 11, №6. P. 1309. В линейной теории выход за границу
устойчивости сферических колебаний ведет к неограниченному росту
амплитуды искажений, чего может не быть, если учесть нелинейные
члены уравнений движения. Поэтому изучение нелинейных колебаний
пузырька представляют значительный интерес. Например, в исследуе-

*) Данное исследование проведено автором совместно с А. В. Фомичевым.
мой гидродинамической системе может наблюдаться эффект перекач-
ки энергии между деформационной и радиальной модами колебаний.
Возможность этого явления в рассматриваемой системе отмечали Ви-
льямс и Гуо (1989) [238] и Лонге-Хиггинс (1989, 1991) [259, 260].
В этих работах использовались довольно громоздкие методы двух
масштабных разложений. Задача об эллипсоидальных колебаниях га-
зового пузырька при гармоническом изменении давления окружающей
жидкости с учетом квадратичных по амплитуде членов в уравнени-
ях исследовалась численно в работе А. А. Аганина и др. (2005) [2].
Приведены режимы, в которых радиальные колебания сменяются эл-
липсоидальными.

Ниже показано, как описать эти эффекты аналитически при до-
статочно малых амплитудах колебаний. При резонансе частот 1 : 2
достаточно учесть квадратичные члены в уравнениях и построить
в этом приближении уравнения нормальной формы. Решение также,
как и для пружины, представляется суперпозицией решений линейной
и нелинейной частей нормальной формы. При отсутствии резонан-
са решение нелинейных уравнений отличается от решения линейных
уравнений только малым (квадратичным по амплитуде) изменением
частоты колебаний.

1.	О пружинной аналогии при колебании пузырьков. Исследуем
задачу о колебаниях газового пузырька, центр которого неподвижен
относительно идеальной жидкости, обладающей поверхностным на-
тяжением. В равновесии силы давления газа внутри пузырька, по-
верхностного натяжения жидкости и давления со стороны жидкости
уравновешены, а пузырек, очевидно, имеет сферическую форму. При
выведении из равновесного состояния в системе возникают колебания,
которые можно разделить на два класса — радиальные, связанные
с изменением объема при неизменной (сферической) форме, и дефор-
мационные, обусловленные изменением формы.

Как показано в п. 10.2, деформационная мода колебаний пузырька,
аппроксимируемая эллипсоидом вращения, имеет функцию Лагран-
жа (10.19) с двумя обобщенными координатами: радиальная и эллип-
содальная моды колебаний. В функции Лагранжа учитываются кине-
тическая энергия жидкости и потенциальные энергии поверхностного
натяжения и жидкости политропный процесс газа внутри пузырь-
ка. Функция Лагранжа раскладывается до членов третьего порядка
по малым отклонениям радиуса пузырька. По квадратичным членам
находятся частоты линейных колебаний и условия, при которых их
соотношение становится равным 1 : 2. Для удобства расчетов вводятся
безразмерные обобщенные координаты.

Для анализа уравнений движения при резонансе делается переход
к их гамильтоновой форме. Это позволяет использовать метод инвари-
антной нормализации гамильтоновых систем.
Указанный подход позволяет обнаружить аналогию между исследу-
емой задачей и описанной выше задачей о качающейся пружине: урав-
нения нормальной формы, описывающие эти две системы, совпадают
с точностью до коэффициентов. Таким образом, в исследуемой гидро-
динамической системе может наблюдаться эффект перекачки энергии
между деформационной и радиальной модами колебаний. Получены
выражения для периода перестройки мод и соотношения, позволяющие
по начальным условиям определить диапазоны изменения обобщенных
координат при колебаниях.

В пп. 7 исследуется вопрос о корректности модели идеальной жид-
кости. В любой реальной среде происходит диссипация энергии ко-
лебаний благодаря наличию вязкости жидкости и теплообмену меж-
ду жидкостью и газом. Для оценки влияния диссипации исполь-
зуются асимптотики для декрементов затухания линейных колеба-
ний, известные как при больших, так и при малых числах Пекле.

2.	Функция Лагранжа и условия резонанса. Лагранжиан газо-
вого пузырька, центр которого неподвижен относительно жидкости,
может быть получен из выражения (10.19). Равновесной форме пузырь-
ка соответствует стационарная точка потенциальной энергии
где I — радиус сферы эквивалентного объема, е — параметр дефор-
мации пузырька, зависящий от отношения полуосей эллипсоида lx/lz
следующим образом: х/Г+"ё = lx/lz- Из уравнений стационарной точки

«i-о »=0

Я ’ Эе

находятся следующие соотношения:

п 1 2сг
£о = 0, /о —-------,

РО “Роо

где а — поверхностное натяжение жидкости, — ее давление на бес-
конечности, ро — давление внутри пузырька в состоянии равновесия.

Введем еще один малый параметр х, характеризующий объемную
деформацию пузырька, определив его как:

Подставляя следующие отсюда равенства Z = /0(1 + я), / = 1о% в функ-
цию Лагранжа и раскладывая ее в ряд до членов третьего порядка
включительно, находим с точностью до несущественной постоянной

- с[£е3 - с[х£хе2, (47.13)

ах = 4тгр/о, а[х = 12тгр/оХ, а£ = — тгр^,
1OD
“1е =	кр1(> (5х ~ ^Т£)’ Сх = 127r7PoJo + |тгст(37 - 1)(§,

ах = 67rpooZ^7(l - 7) - |	+ 127г^7( 1 - 7), ci£ = -^21 тгсг^.

_ 16	/2

С\хе — ТГ^О’

где 7 — показатель адиабаты газа, находящегося внутри пузырька, р —
плотность жидкости.

Частоты колебаний линеаризованной системы, очевидно, опреде-
ляются так:

Следовательно, при резонансе шх/ше = 2 коэффициенты разложе-
ния лагранжиана должны удовлетворять равенству

1(37-1) +1	=4,	(47.14)

6	4а

откуда можно определить соотношение, связывающее параметры р^,
у, а и радиус пузырька в равновесии, при выполнении которого проис-
ходит резонанс (см. упр. 10.8):

^ = ^2-2.	(47.15)

а 07

Например, для воздушного пузырька в воде при атмосферном давле-
нии poo = 106 дн/см2, а = 70 дн/см, 7 = 1,4. Подставляя эти числа
в последнюю формулу, находим, что резонанс 1 : 2 получается при
Iq = 6,93 • 10-4, т. е. для достаточно малых пузырьков.

3.	Введение безразмерных параметров и упрощение лагран-
жиана. Для дальнейших расчетов удобно ввести безразмерные пере-
менные и преобразовать лагранжиан. Делаются следующие замены:

—	вводится безразмерное время

—	после этого лагранжиан делится на постоянную величи-
ну 48тгар2;

—	используется условие резонанса (47.15);	____

—	делается растяжение переменной в по формуле е = \/135 р.

Эти преобразования приводят функцию Лагранжа к виду

L = 1/2 + Ьз,

L2 = Iх2 + | у2 - 2х2 - | у2,	(47.16)

£	£	Li

Т 757-73 з , /5 .2 , 3 .2	2\	, 29>/15 з 22VT5 .2

£з = ^6—Х +(2У + 2Х ~У )Х+^-у
4.	Построение гамильтониана. Чтобы описать влияние нелиней-
ных членов третьего порядка при резонансе, удобно перейти от лагран-
жевой формы уравнений к гамильтоновой форме. Для этого выделим
в функции Лагранжа квадратичные по скоростям члены и отнесем их
к формальной кинетической энергии Г, а остальные члены отнесем
к потенциальной энергии. Таким образом, получим

U = 2х2 + ^у2 -
£

757 - 73

36

29>/15 з

Q 9
х + у х —

Преобразования при переходе к уравнениям Гамильтона также следует
проводить с точностью до третьего порядка включительно. Поскольку
потенциальная энергия при этом переходе не изменяется, приведем
лишь формулы для кинетической энергии. Введем обобщенные импуль-
сы и и v, сопряженные координатам хну:

дЬ
ду

и выразим через них кинетическую энергию, оставив только квадра-
тичные и кубичные члены

L = T - Uy Т = | й2( 1 - Зя) + | г?2 И - 5х 4- 44у15 у

Следующее упрощение состоит в том, что из гамильтониана, вы-
числяемого по формуле Н = Т + Uy можно отбросить нерезонансные
члены третьего порядка. Нерезонансными называются члены, которые
обнуляются при осреднении вдоль траекторий порождающей (линеа-
ризованной) системы. Корректность этого упрощения непосредственно
следует из процедуры инвариантной нормализации. Поскольку в ли-
неаризованной системе х и у изменяются с частотой, равной двум,
а переменные у и v с единичной частотой, резонансными членами
разложения гамильтониана являются только ху2 и xv2. Другие резо-
нансные члены, например, пропорциональные uv2y в разложении функ-
ции Гамильтона отсутствуют. Таким образом, гамильтониан можно
представить в виде

где Но — гамильтониан линейной порождающей системы, F\ — га-
мильтониан возмущения.
5.	Нормальная форма. В переменных Биркгофа, который задается
формулами

Z, = -^ + V2iX, Z2 = V + iY

V2

(каноническое преобразование с валентностью 2г), функция Гамильто-
на принимает вид

Яо = г(2г121 + г2г2),



а сами уравнения Гамильтона записываются так: Zi = dH/dzi или

(47.17)

6.	Пружинная аналогия. Полученные уравнения заменой времени
t = 3t'/7 приводятся к уравнениям нормальной формы (47.7) для задачи
о качающейся пружине. Установленная аналогия позволяет перенести
все результаты, полученные в п. 47.1, на исследуемую задачу. Причем
радиальной х = (I — Iq)/Iq и деформационной у = S/V135 переменным
пузырька ставятся в соответствие безразмерная вертикальная и гори-
зонтальная координаты для пружины.

7.	Оценка диссипативных эффектов. Затухание колебаний газо-
вых пузырьков в жидкости обусловлено двумя факторами — вязкостью
жидкости и теплообменом между газом и жидкостью. Влияние этих
факторов можно описать посредством декрементов затухания радиаль-
ных колебаний, приведенных в п. 31.7 (см. (31.54), (31.65)).

Для малых чисел Пекле Ре < 5

7г(7 — 1)Ре
1573/2

4тп/

Iq

Подставив в нее выражение для числа Пекле и воспользовавшись
условием резонанса, можно получить формулу

Суммарный декремент затухания при малых числах Пекле описывается

функцией вида:

Л = ауДй +

Минимальное значение полученной функции равно
Amin = 2\/о6 .
Подставив в эту формулу выражения для коэффициентов а и 6, полу-
чим следующую формулу для минимального значения результирующе-
го декремента затухания, справедливую при малых числах Пекле:

Коэффициент, заключенный в скобки, при 7 = 1,4 имеет величину
порядка 1,6 и достаточно слабо зависит от физически возможных
величин этого параметра.

Приведем данные о значениях кинематической вязкости и темпе-
ратуропроводности некоторых веществ, подберем пару с наименьшим
декрементом затухания и сравним его величину со значением, полу-
чающимся для воздушного пузырька в воде.

Из табл. 10.1 и формулы для минимального декремента затухания
следует, что для воздушного пузырька в воде Amin = 0,3. Минимальное
значение декремента затухания достигается для гелиевого пузырька

Таблица 10.1

Жидкость	Кинематическая вязкость жидкости	Газ	Коэффициент температуропровод- ности газа
Вода	0,0105	Воздух	0,266
Ацетельдегид	0,00297	Аргон	0,34
Ацетон	0,00439	Водород	1,851
Н-гексан	0,0054	Гелий	26,89
Изопрен	0,00348	Углекислый газ	0,122
Пентан	0,00376	Кислород	0,266
Н-пентан	0,00387	Метан	0,239

в ацетельдегиде и равно Amin = 0,014. Таким образом, установлено,
что величина декремента затухания существенным образом зависит от
механических и теплофизических свойств веществ, образующих иссле-
дуемую систему. Однако кардинально (на несколько порядков) умень-
шить декремент затухания, подбирая газ и жидкость из соображений
минимизации отношения у/к, нельзя. Из таблиц физических свойств
веществ следует, что параметры вязкости и температуропроводности
различных пар веществ могут отличаться от аналогичных величин
для воды и воздуха примерно на порядок. Таким образом, величина
у/к путем «подбора» веществ может быть изменена на два прядка и,
следовательно, \Jvjk — на порядок.
Глава 11

ЧИСЛЕННЫЕ СХЕМЫ

В этой главе излагаются основные идеи, на которых основана чис-
ленная схема метода граничных элементов. Метод применяется для
решения различных краевых задач для уравнения Лапласа. Решение
этих задач сводится к интегральным уравнениям с сингулярным яд-
ром. Приводятся квадратурные формулы высокого порядка точности,
с помощью которых интегральные уравнения заменяются системой
линейных алгебраических уравнений. Порядок системы определяется
точностью расчета. Приведены решения плоских задач обтекания по-
тенциальным потоком идеальной жидкости с циркуляцией одиночно-
го профиля и решетки профилей. Рассмотрены также решения задач
осесимметричного потенциального обтекания с циркуляцией торооб-
разных тел. Численные схемы потенциального обтекания в сочетании
с теорией пограничного слоя применяются для расчета точек отрыва
на плоских и осесимметричных границах. Численные схемы использу-
ются также для решения задач течения жидкости со свободной гра-
ницей: капиллярно-гравитационные волны, обрушение волн, развитие
неустойчивости Тэйлора.

§ 48.	Введение

48.1.	Квадратурные формулы метода граничных элементов.

1.	Суть метода граничных элементов. В основе численного
метода решения уравнения Лапласа лежит интегральное тождество,
связывающее значения гармонической функции и ее нормальной про-
изводной на границе области. Ядро интегрального уравнения в плос-
ких и осесимметричных задачах имеет логарифмическую особенность.
Квадратурные формулы третьего порядка точности для интегралов
с такой особенностью были получены в работах [41-43, 45] и примене-
ны для расчета кумулятивных струй, образующихся при захлопывании
кавитационной полости вблизи стенки.

В зарубежной литературе такой метод назван в конце 1970-х-
начале 1980-х годов методом граничных элементов и получил широкую
известность и популярность наряду с методом конечных элементов.

Интегральное уравнение аппроксимируется линейной системой с
помощью специально разработанных квадратурных формул. От просто-
ты и точности квадратурных формул зависит эффективность расчетов.
Можно достигнуть существенного упрощения и повышения точно-
сти численных схем с помощью специальных квадратурных формул
для периодических функций [150, 151]). Периодичность возникает,
если ввести координату точки на контуре как длину дуги кривой,
отсчитываемой от фиксированной точки.

2.	Метод оценки остаточного члена. Общий метод оценки оста-
точного члена квадратурной формулы изложен в книге [249]. Он осно-
ван на применении следующего тождества, полученного Коши (см., на-
пример [192, с. 309]):

2	ti

у(х) = у(0) + £ у'(0) +	у"(0) + ... +	уп(0) + Щх)

1 •	& •	I V»

с остаточным членом

(s) ds.

Доказать это тождество можно, продифференцировав его п + 1 раз.

Продемонстрируем, как можно использовать это тождество для
оценки остаточного члена в квадратурной формуле Симпсона.

Лемма. Пусть функция F(x) пять раз непрерывно дифферен-
цируема на отрезке х е [—h, h]. Тогда

R = F(h) - F(—h) - ± (F'(h) + 4F'(0) + F'(-/i)) =	F<5\0),

О	k/U

в С (—/г, /г).

Доказательство. С помощью тождества Коши

F(±h) = F(0) ± /iF'(O) + у F"(0) ± у F'"(0) +	F<4\0) +

1

24

±h/2

(±/i-x)4F<5)(x)da:

о

найдем

F(ft) - F(—/1) = 2/iF'(0) +	F"'(0) + 1

h

(h — |x|)4 F^\x) dx,

-h

F'(h) + 4F'(0) + F'(-h) = 6hF'(0) + h2F'"(0) +

h
4

£
6

(h-\x\)3F^(x)dx.

— h
Отсюда получим

Подынтегральный множитель при F^ строго отрицателен и по теоре-
ме о среднем получим

R=F(5)(0)! (А *4 - 5нз)dt=F(5)в е (_/г’Л)’
о

что и требовалось доказать.

Для вывода формулы Симпсона применим лемму к функциям

Xi+h+x
Л

Fi(x) = у(х) dx, Xi = 2ih,

Xi+h,

i= 1,2......M= %,

&

получим

I

2/(x) dx =
о

M xi

м

y(x)dx =	- Fi-i(-h)) =

1=1

= 4 [yo + 4yi + 2y2 + 4y3 + 2y4 + ... + 4yjv-i + yN] -

5 M
0г€((г-1)2М2/г).
UxJ
1=1

Предполагая, что четвертая производная функции у(х) непрерывна при
х € (О, Z), получим

м

у miny(4)(x) < ^2 У.--1 (0г) < у таху(4)(я:)

1=1

м

=> Zy'-i(0O = yy(4)(0), 0е(О,/).
г=1

Учитывая равенство Nh = I, получаем формулу Симпсона с оценкой
остаточного члена

i

у(х) dx = ^ [уо + 4yi + 2у2 + 4у3 + 2у4 + ... + 4yw_] + yw] -
о

-*Ху(4)(0). 0е(ОЛ). (48.1)

1	OU
3.	Квадратурные формулы для периодических дифференцируе-
мых функций. Для функции у(х), имеющей 2т + 2 непрерывные про-
изводные на отрезке х € [0J], имеет место формула Эйлера-Маклорена:

N	2	4

У(х) dx = h^y-, + ^(у0 - yN) ~ (y'N ~ Уо) + Wn ~ Уо) ~

О	J = 1

• • • - % ^[уГ’0 - Уо2т-1)] + д2т. (48.2)

£llv

Здесь В^хп — числа Бернулли: В% = 1/6, В^ = —1/30, Вб = 1/42,
Bg = —1/30, а также введено обозначение:

y-fe) - y{k\xi), Xi = hi, h= jj.

Остаточный член имеет вид

R2m = -ih2m+2 ,^2wy(2m+2>(6).
\£IIv	I •

Для бесконечно дифференцируемых функций периода I формула Эйле-
ра-Маклорена имеет особенно простой вид

N

у(х) dx = h^^yj + Rn, RN = O(hn). (48.3)
о	-7=1

Остаточный член Rn убывает быстрее любой степени hn, что обеспечи-
вает очень быструю сходимость приближений интеграла In с ростом N
(число верных знаков растет пропорционально N). Это можно видеть
на примере интеграла от периодической функции esmz. Его можно
вычислить с помощью быстро сходящегося ряда:

а результаты вычислений по квадратурной формуле (48.3) таковы:

Ц « 7,989, h « 7,9549278, Д2 « 7,954926521 013;

Вл « -3,4 • 10~2, Я8 «-1,3- 10"6, Я|2 «-6,5 -10“12.

Если условия периодичности не выполнены и функция /(ж) име-
ет четыре непрерывных производных на отрезке (0, Z), то из форму-
лы (48.2) получим

г	N h	h*	h*

y(x)dx = h'V'yj + - (уо-vn) -	— Уо) + l 79пУ4(0)- (48.4)

0

4.	Квадратурные формулы для периодических функций с лога-
рифмической особенностью. Квадратурные формулы для интегралов
с логарифмической особенностью, остаточный член которых убывает
как ft3, получены в работах [41, 42]:

Z-1

(48.5)

где г = —1,0,1 — значения функции у(х) в узлах х_\у xq = х\ + hy
х\ = х\ + 2h. Для остаточного члена найдена оценка

г = (Х1-х_1) ^у"'(0), 0 € (®-ь®1).

Если же подынтегральная функция периодична, то удобнее пользо-
ваться другой квадратурной формулой [150, 151]:

N

(48.6)

М = —у т = 0,1,2,... N.

Можно показать (см. п. 51.7), что эта формула — точная для тригоно-
метрических полиномов вида

м
2irkx , L . 2ккх	-v

F = у + > ак cos -у— + bk sin ——.	(48.7)

к=\

Если F(x) — бесконечно-дифференцируемая периодическая функция,
то остаточный член конечной суммы Фурье (48.7) имеет порядок мало-
сти выше любой степени l/Nn. Поэтому порядок малости остаточного
члена квадратурной формулы (48.6) выше любой степени 1/Nn так же,
как и в формуле (48.3).

Проиллюстрируем это на примере интеграла

dx = -5,091 74699389,

а результаты вычислений по квадратурной формуле (48.6) таковы

/4 « -5,1112, /8 « -5,091 700 7,

/12 «-5,091 747071 4,
«4 « 1,9 - 10-2,

Я12 « 7,8 • КГ8,

/16«-5,091 746993 78;
Я8 « -4,6  10“5,
Я16 «-и • Ю“10.

Из квадратурной формулы (48.6) вытекает следствие, важное для
построения численных схем метода граничных элементов.
Следствие. Пусть функция G(£i, Q имеет логарифмическую
особенность

С(СьС) = Кг1п|8т7г(С-С)| + ^,С),	= i = 1,2,...,2V,

где g(CiX) u -F(C) — бесконечно-дифференцируемые функции перио-
да 1. Тогда

gn = Cj)’

где п — любое натуральное число.

Полученную квадратурную формулу удобнее представить в виде

1

о

N

1^[ад|г-Л) + Съ]Г^) + 7?лг,

2=1

i,j = 1,2, ...N,

/3(т) = - In sin

+ a(rn), тп — 1,2,...N — 1, 0(0) = а(0),

Gij — G	, (0), г	j',

Ga = gfa, С) = lira [G«i, C) - Ki In |sin7r(C - &)|].

S

(48.8)

С помощью формул (48.3) и (48.8) граничные интегральные уравнения
приводятся к линейной системе уравнений.

48.2. Постановки краевых задач. Пусть S — компактная об-
ласть на плоскости, ограниченная гладким контуром dS. Обозначим
через S — внешность контура dS. Будем рассматривать задачи: а) Ди-
рихле, б) Неймана и в) смешанную задачу для функции_Ф(Л/), гармо-
нической либо в области S (внутренние задачи), либо в S — (внешние
задачи). Здесь М(хуу) — точка плоскости; х, у — ее декартовы ко-
ординаты. Для_внутренней задачи ДФ = 0, М € S, для внешней —
△Ф = 0, М € S; для краевых задач задаются на границе M(s) € 9S
соответственно: а) функция Ф($), б) нормальная производная V(s)
и в) на части границы Ф($), а на оставшейся части границы V(s).

Здесь s — длина дуги, отсчитываемая от фиксированной точки
контура Mq до точки M(s): натуральный параметр s — является
координатой точки границы M(s) € dS.

Аналогично ставятся пространственные задачи с осевой симмет-
рией. Контуром dS в этом случае является сечение меридиональной
плоскостью границы области, в которой функция Ф(Л/) гармонична.
Вместо декартовых координат х, у принимаются цилиндрические коор-
динаты г, z.
Для компактной односвязной области S все функции на контуре
dS зависят от аргумента $, а длина дуги I контура dS является есте-
ственным периодом этих функций. Поэтому для этих задач применимы
квадратурные формулы (48.3) и (48.8). В теории волн рассматриваются
также краевые задачи в криволинейной полосе бесконечной протяжен-
ности или в полуплоскости с криволинейной границей. Если граничная
кривая имеет период (периодические волны), то также можно пользо-
ваться квадратурными формулами (48.3) и (48.8).

Наконец, будут рассмотрены краевые задачи для периодических
решеток (последовательность односвязных контуров, получаемых друг
из друга сдвигом на один и тот же вектор). Такие задачи возникают
в гидродинамике турбин [184].

§ 49.	Плоские краевые задачи для уравнения Лапласа

49.1.	Метод интегральных уравнений.

1.	Основное интегральное тождество для гармонических функ-
ций. Для функции Ф(М), гармонической в открытой области М 6 S
и ограниченной замкнутым гладким контуром dS, введем следующий
интеграл:

I(M) = AV(M) + ВФ(М),	(49.1)

где А и В — два интегральных оператора

i

AV(M) = - G(M, M')V(M') ds\
о

ВФ(М) =

* dG(M,M‘)
дп

0

Ф(М')Ж/,

V(M') =

дФ
дп ’

G(M, М') = In (г(М, М')),	(49.2)

г2(Л/, М') = (х' - х)2 + (у' - у)2.

Обозначения показаны на

Рис. 11.1. Обозначения к ос-
новному тождеству

рис. 11.1. Интегралы берутся по контуру
dS. Контур dS разбивает плоскость на
две области: внутреннюю S, ограничен-
ную _контуром dS снаружи, и внеш-
нюю S', ограниченную контуром изнутри,
М — произвольная точка на плоскости,
М' е dS — точка интегрирования, ds' —
элемент дуги в точке Л/', I — длина
контура dS, п — вектор нормали к кон-
туру dS, внешней по отношению к S,
V(M') =	Ф(М') — производная функ-

ции Ф по направлению внешней нормали, G(M, М') — функция Грина,
г(Л/, М') — расстояние между точками М и Мг.
Выражения AV(M) и ВФ(М) — называются потенциалами просто-
го и двойного слоев соответственно.

Известно [193, с. 241-242], что потенциал простого слоя непреры-
вен на границе dS, а потенциал двойного слоя имеет скачок. Значение
потенциала двойного слоя в граничной точке Mq е dS равно средне-
арифметическому двух предельных значений потенциала при М —► Mq,
точек _М, находящихся внутри области S (М 6 S) и снаружи —
(М е S).

Пользуясь свойствами потенциала двойного слоя, можно вывести
следующие тождества для интеграла (49.1) (обозначения показаны на
рис111):	р^м), м е S.

I(M) = г 7ГФ(М), М е dS,	(49.3)

lo, Mes.

В частности, для Ф(М) = const
примет вид

имеем V(M) = О

и интеграл

(49.1)

Т ж/ллл I [dG(M,M')l

Iq(M) = Ф(М) о v 7

dS

дп

{2тгФ(М),
7ГФ(М),
О,

MeS,

м edS,
MeS.

(49.4)

Формула (49.4) также следует из того, что (dG/drijds1 равен углу, из-
под которого в точке М виден отрезок ds'. Если точка М = Mi лежит
внутри контура, то при обходе по контуру dS радиус-вектор r(M, М')
совершает полный оборот и выметает угол, равный 2тг. Если же точка
М лежит внутри контура, то при обходе по контуру dS радиус-вектор
r(M, М') выметает угол, равный нулю.

2.	Интегральные уравнения для гармонических функций.
а) Внутренняя задача. Пусть функция Ф(х,?/) — гармоническая
в области S, ограниченной снаружи замкнутым гладким контуром
dS. Рассмотрим тождество (49.3) в случае, когда точка М лежит на
границе dS (М е dS):

7ГФ(М) = AV(M) + ВФ(М), М е ds. (49.5)

Подынтегральные функции имеют период I и это свойство существенно
используется при построении квадратурных формул.

Из теоремы Гаусса-Остроградского можно заключить, что нормаль-
ная производная V(M) на границе dS должна удовлетворять условию

о V(M')ds' =
as

△Ф dS = 0.

(49.6)

При выполнении условия (49.6) гармоническая функция Ф и ее нор-
мальная производная дФ/дп на контуре dS связаны линейным соотно-
шением (49.5). Зная на контуре dS одну из функций Ф или V = дФ/дп,
из интегрального уравнения можно найти другую. Особенность ядра
dG/дп можно убрать, вычитая из уравнения (49.5) уравнение (49.4)
при М е dS. В полученном уравнении

i

[-G(M, M')V(M') + (Ф(М') - Ф(М))а<3(У’М,)1 ds' = 0 (49.7)
L	СУТЬ

о

потенциал простого слоя уже не будет содержать особенностей. Такой
способ освобождения от второй особенности предложен в работе [44].

Поставив в соответствии точкам М и М' их координаты s и s',
интегральное уравнение (49.7) можно записать так:

AV(s) + ВФ(з) = О,

(49.8)

где А и В — линейные операторы:

i

AV(s) = - Fg(s, s')V(s')ds',
о

ВФ(з) = f dG^'s )

J on
о

(Ф(з')-Ф(з))^'.

(49.9)

Если функция V(s) удовлетворяет уравнению (49.8), то можно пока-
i
ч

зать, что V\s)ds = 0. Это согласуется с законом сохранения массы:

о

поток массы несжимаемой среды через границу dS равен тождественно

нулю.

С помощью основного тождества (49.3) во всех внутренних точках
области S функция Ф(М) представляется в виде суммы потенциалов
простого и двойного слоев:

2тгФ(М) = о

dS

-G(M,M')

дп

(М') + Ф(М')

MeS.

дп J

(49.10)

б) Внешняя задача. Пусть Ф(х,т/) — функция гармоническая вне

Рис. 11.2. Обозначения к внеш-
ней задаче

контура dS и на бесконечности удо-
влетворяет условию (grac^)^ = 0, То-
гда для нее можно вывести следующее
асимптотическое при г =	2 + ?/2 —►

—► оо представление:

Ф(т,У) = ^1пг + С + 0М),
Z7T	\Г /

ч
= о
dS

^(M')ds
дп

Рассмотрим область Q, ограничен-
ную изнутри контуром dS, а снаружи —
окружностью Cr достаточно большого
радиуса R (рис. 11.2). К этой функции
можно также применить интегральные тождества (49.5) и (49.10).
Граница области 5Q = dS U Cr состоит из двух контуров, поэтому
в интегральное тождество (49.5) добавится второй интеграл по конту-
ру Cr. В интеграле по контуру dS следует учесть изменение знака,
так как нормаль, внешняя к Q, будет внутренней к S. В результате

получим уравнения

AV(M) + ВФ(М) + I =

Г-7ГФ(М),
(-2тгФ(М),

Meds,
MeS,

(49.12)

дФ
дп



/ Ttjfx	, М )1 J

(M ) - Ф(ЛГ)—--------- ds.

Здесь S — внешняя область контура dS.

Предельное значение интеграла I по окружности равно —2тгС при
R —► оо. Подставляя его в (49.12), для точек вне контура MeS найдем

ф(дл = ~(AV(M) +ВФ(МУ) + С, (49.13)

Z7T
а на границе М е dS получим

-7гФ(М) = AV(M) + ВФ(М) - 2тгС.	(49.14)

Особенность в интеграле ВФ(М) можно убрать, вычитая уравнение
(49.4), также как это было сделано в уравнении (49.7). В результате
получим следующее интегральное уравнение:

2тг(С - Ф($)) = AV(s) + ВФ($),

(49.15)

где А и В — те же самые операторы (49.9), что и для внутренней
задачи. Отсюда при заданных распределении Ф на границе dS и зна-
чении Q можно определить распределение дФ/дп на границе dS и по-
стоянную С (задача Дирихле). При заданном распределении дФ/дп на
границе dS можно найти распределение С - Ф на границе dS.

в) Интегральное тождество для функции тока. Для обтекания
контура dS со скоростью потока ?7sina, —?7cosa на бесконечности,
направленной под углом а к оси у, имеющего циркуляцию Г, функция
тока Ф(х,?/) — гармоническая и при г = i/х2 + з/2 —► оо имеет сле-
дующее асимптотическое представление:

Г	/1 \

Ф(х,?/) = ?7(xcosa + ?/sina) — — Inr + С + О ( - I. (49.16)
Z7T	\ 7** J

На границе контура выполняется условие Ф(х,у) = Ф(Л/) = 0. Тогда
для нее интегральные тождества (49.12) примут вид

- <[

J L	дп

dS

(°’

|-27гФ(М),

Meds,

MeS,

(49.17)

1=0 [с(М,М')^(М')-Ф(М')

дп

ds.

Cr
Интеграл I при R —► оо вычисляется так. Зафиксируем координаты
точки M(xi,yi) на контуре dS. Значение интеграла по окружности Cr
не изменится, если окружность Cr непрерывной деформацией преобра-
зовать в окружность CR с центром в точке М. Слагаемые функции тока
порядка О( 1/Я) при R —► оо стремятся к нулю и в интеграл вклада не
дают. Остальные слагаемые можно преобразовать так:

Г

Ф ~ U [(х — Xi) cos а + (у — yi) sin а] — — In R -I- С +

+ U (xi cos а + yi sin а).

Функция Грина на границе круга CR равна G(M,Mf) = In Я. Отсюда

находим

I = —2тг[С + U(xi cos а + т/i sin а)]

и с помощью (49.17) для распределения скорости V(s) = дЪ/дп на
границе dS и для постоянной С получим два интегральных уравнения:

i

АV($) = 2тг [С + t7(xi cos а + yi sin а)],	V(s)ds = —Г.	(49.18)

о

По найденным распределению скорости V(s) и постоянной С вычисля-
ем функцию тока Ф во всех точках течения жидкости вне контура dS

1

2% %

ds

(49.19)

3.	Параметризация интегральных тождеств. Аргументом
подынтегральных функций операторов А и В является длина дуги s',
функции имеют период /, что позволяет для их аппроксимации
применять квадратурные формулы (48.3) и (48.8). С помощью этих
формул и интегральных уравнений (49.8), (49.15) и (49.18) любая
из рассматриваемых краевых задач а), б) и в) сводится к линейной
системе уравнений.

Координату точки М(х,у) на контуре удобно задавать параметри-
ческими уравнениями х = <р(£), у = V>(C), где <р(£) и -0(C) — функ-
ции параметра ( с единичным периодом. Для проведения численных
расчетов вводится дискретизация контура конечным числом точек
М\у М2,...,	= Mq, так чтобы точке Mi соответствовало значение

£ =	= i/N, i = 1,2, ...,7V. Параметр £ и координата з связаны

дифференциальным соотношением

1

ds = lf(C)dC [жмс= 1,	(49.20)

о

где /(С) — плотность точек на контуре, ее значения при С = G мож-
но вычислять с помощью квадратурной формулы для периодической
функции (48.3):

г=1

(49.21)

С помощью замены переменной s —► ( интегральные операто-
ры (49.9) приведутся к виду

1

A V(0 = - j G«, С') V^lf^dC'.

°	(49.22)

ВФ(0 = [ Gn(C, 0) (Ф(С') - Ф(О) dC Gn = ^.

U 9 V
О

4.	Квадратурные формулы для интегралов по контуру. Функ-
ция (?(£,£') имеет логарифмическую особенность при £' = £. Для того
чтобы выделить ее, воспользуемся асимптотическими соотношениями

S'-8 = 1 /(О < =	- О + 0(0 - С)2,

<, С) = |з' - з| (1 + О|з' - s|) = 1/(010 - Cl (I + о (О - О).

Отсюда следует:

г(О.С) = ф |sin тг(О -01(1 + Glsin 7Г(О - 01)

=> G(C, 0) = In Г (0, о = In Ф + In |sin тг(О -01 +
7Г

+ 0|sin7<-C)|. (49.23)

С помощью квадратурной формулы (48.8) получим

N

АФ&) = -1 £(/3|г -/| + (?УШ-

/=1

Сц = | In (г?Д rij = (Xi - Xj)2 + (yi - yj)2, i / j, (49.24)

Gjj = In—.

7Г

Покажем, что функция Gn(£, £')(Ф(£') — Ф(£)) в интегральном опе-
раторе В не имеет особенности при Действительно, из опреде-
ления функции С?П(С СО следует:

Gn(C, С ) dC =^-ds = h-7 пх + —7 п I ds .
on \ох оу у /

Пусть контур dS задан параметрически в виде х = я($), у = т/($), тогда
компоненты нормали можно выразить через производные так: п'х =
= dy/ds', п'у = —dx/ds'. Подставляя их в предыдущее равенство, по-
лучим

Gn (С, С')< =

9G ду_ _ dG dx\ , , = (dG ду
дх ds ду ds / S \dx d£

Отсюда найдем

dG dx
ду' d^'

где производные функции G = In г определяются так:

dG = х - х

дх ~	’

В пределе при £ —► ( имеем

dG
dx

dx/dQ
iW-Q

(1 + О(С'-0),

dG
dy'

ду/dC

*72(С)(С'-С)

(1 + <?(£' -<)),

dx
д?

^(1 + О(С'-С)),

^ = |(1+О«'-0).

Ф(С') - Ф(С) =

g (С' -0(1 + О(С'-0).

Отсюда при £ —► Q для подынтегральной функции получим

еп(СС')(Ф(С')-Ф(0) = О(С'-0,

что и требовалось показать. Кроме того, в силу периодичности
С —► С + 1 функций на контуре, подынтегральная функция оператора В
имеет период, равный 1. Следовательно второй интегральный оператор
в (49.22) можно вычислять по квадратурной формуле (48.3) для пери-
одической функции без особенностей:

j=l

(49.25)

Xj - Xi dy _ y3 - yi dx
r2,	rl db ’

G?i = 0.



5. Системы уравнений для краевых задач. С помощью квадра-
турных формул (49.24) и (49.25) интегральные операторы А и В можно
выразить через матрицы N х N

N	N

=	ВФ(С) = £В0Ф,,	(49.26)

1	1

N

Aj = -^(/?|*-j| + Gv), =	В^ = -^СЪ-

J=1

Для решения внутренних задач Дирихле или Неймана для уравне-
ния Лапласа получаем следующую систему линейных уравнений:

N	N

+	i = l,2,...N, £/^=0.	(49.27)

j=l	j=l

Последнее уравнение — это аппроксимация условия (49.6). Из этой
системы уравнений по заданным значениям (условие Дирихле)
или Vi (условие Неймана) находим Ц или Ф* соответственно.

Для внешних задач Дирихле или Неймана из (49.11) и (49.15)
получим следующую систему уравнений:

N

52(4О^ + ВОФ>) = 27Г(С-Ф<), i = l,2,...N,

j=l	N	(49.28)

Для задачи Дирихле задаются значения Ф;, i = 1,...»N и расход Q. Из
системы уравнений (49.28) находим Vi и постоянную Су определяющую
асимптотику (49.11).

Для задачи Неймана задается вектор Ц. Из системы уравнений
(49.28) находим вектор Ф; — С.

6.	Обтекание контура с циркуляцией. Остановимся подробнее
на системе уравнений для расчета функции тока Ф(х,т/) для обтекания
контура с циркуляцией Г. Скорость потока на бесконечности имеет
компоненты по оси х\ U\ = U sin а и по оси у: —U2 = — U cos а. Функ-
ция тока на границе контура должна равняться нулю и на бесконеч-
ности иметь асимптотику (49.12). Из разностной аппроксимации инте-
гральных уравнений (49.18), получим следующую систему линейных
алгебраических уравнений для распределения скорости V = д^/дп на
границе контура:

N

YJAijVj = 2^C + U2xi + U\yi)'}, i=l,2,...N,

j='	N	(49.29)

15 А Г. Петров
Задавая циркуляцию Г и компоненты скорости на бесконечности, из
системы уравнений вычислим Ц, i = 1,... N и постоянную С в асимп-
тотике (49.12). Во всех внутренних точках М(х,у) течения жидкости
функция тока вычисляется по аппроксимации (49.19)

Ф(х, у) = С + U%x + U\y +

2nN^GijVjfj'
j=l

(49.30)

7.	Тестирование схемы вычисления матриц. Тождества (49.8)
и (49.15) можно использовать для проверки правильности вычислений
матриц Aij и Bij по формулам (49.26). Для этого нужно выбрать
контур. Его удобно задать параметрическим уравнением х = <^(С),
у = где р(() и -0(C) — функции периода единица. Выбрать функ-
цию Ф, гармоническую внутри или вне контура. Вычислить в точках
контура Q = i/N, i= 1,2..., TV, значения Ф; и Ц. Тогда эти значе-
ния должны удовлетворять уравнениям (49.27) или (49.28), которые
аппроксимируют тождества (49.8) и (49.15) соответственно.

Например, можно взять гармоническую функцию Ф = х/(х2 + з/2),
тогда

$г =	2 * 2. Xi =	yi =

Xi+yi

У _ 1 / дФ ду	дФ дх \

г	Ifi \dxi д£г	dyi d£i)'

а матрицы и вычисляются по формулам (49.26). Подставляя Ф*,
Vi, i= 1,2, ...,7V, и С = 0 в равенство (49.28), получим тождество.

8.	Тестирование на точных решениях. Для проверки правиль-
ности расчетов можно использовать решение задачи об обтекании
контура методом конформных отображений (см. п. 4 § 1).

Пусть контур dS на комплексной плоскости £ задается конформным
отображением внешней области круга |£| > 1 на внешнюю область
контура следующей функцией:

2 = fcC + 4 + ^ + •••• ImA: = 0.

с с

Для построения точного решения задачи обтекания контура dS берется
комплексный потенциал w(£) обтекания на комплексной плоскости Q =
= £ + ir} круга единичного радиуса |£| = 1:

w(C) = lnC + W + Y’

Vqq = ?7(sina — г cos а) = —i?7(cosa + г sin а),

где — комплексная скорость потока на бесконечности, U = |voo|,
а =	+ 7г/2 — угол между направлением скорости и вертикалью

(рис. 11.3).
В результате отображения точки окружности £ = cost, т} = sint
перейдут в точки контура. Комплексный потенциал обтекания конту-

pa получится подстановкой в
комплексный потенциал w(£)
функции	Комплексная

скорость вычисляется по сле-
дующей формуле:

, dw I dz

На границе круга С = cost +
+ г sin t имеем (см. п. 4 § 1)

Ut

U2

О

-10

О

Рис. 11.3. Схема обтекания эллипса

v(<) =

Г/(2тг) -2Wcos(t-a)

Idz/dCI

В частности, при &2 = 0» по-

лучаем обтекание эллипса с полуосями а = k + k\y b = к — к\. Для
эллипса, заданного параметрически в осях х', у', повернутых относи-
тельно осей х, у на угол 7,

х' = a cost, у' = bsint,

со скоростью обтекания на бесконечности, равной u(sina, — cosa), под
произвольным углом атаки а можно получить следующее распределе-
ние скорости на границе эллипса:

^exact —

Можно также вычислить значение функции тока Ф(х,?/) в любой точке
течения жидкости zf = х' + iy' = kQ + fci/C Q = p(cost + г sint):

г
х

cost, у'

sin t.

На рис. 11.3 приведена схема обтекания эллипса. Сравнение точных
и расчетных значений показало:

1)	Численная схема (49.29) для скорости на границе эллипса с
произвольными значениями полуосей чисто циркуляционного течения
(U = 0) является абсолютно точной для N 4.

2)	При отсутствии циркуляции даже для эллипса с большим отно-
шением полуосей сходимость значений скорости V на границе эллипса
и функций тока Ф с увеличением числа N очень быстро приближается
к своим точным значениям. В табл. 11.1 приведены результаты расчетов
для эллипса при а = 9, b = 1, а = тг/4, 7 = тг/6, Г = 0, U = 1.
Таблица 11.1

Ck	Vexact	V (N = 24)	V (N = 48)	Фехас1	Ф (N = 24)	Ф (N = 48)
0,125	-1,352504	-1,3528	-1,352505	3,608439	3,6090	3,608441
0,250	-0,287577	-0,2881	-0,287578	1,078413	1,0780	1,078412
0,375	0,780869	0,7800	0,780867	-2,083333	-2,0845	-2,083336
0,500	9,659258	9,6570	9,659253	-4,024691	-4,0259	-4,024694

В левой колонке приведены значения параметра определяющего
точку границы эллипса. Во второй, третьей и четвертой колонках
приведены соответственно точные значения скорости V и расчетные
при N = 24 и N = 48 в точках границы со значениями параметра z*.
В пятой, шестой и седьмой колонках приведены соответственно точные
значения функции тока Ф и расчетные при N = 24 и N = 48 в точках
р = 1,5 и tk = 27T(fc.

Как видно из табл. 11.1 при числе точек на конуре эллипса N = 24
расчеты по численной схеме имеют три знака точности, а при N = 48
расчеты верны с точностью до шести знаков.

9. Вычисление циркуляции для профиля с острой кромкой. Для
вычисления циркуляции Г принимаем постулат Жуковского-Чаплыги-
на. Пусть точка М^х^ут) — острая кромка профиля. В принятой
расчетной схеме профиль предполагается гладким, а острая кромка
заменяется на точку профиля с максимально большой кривизной. Тогда
согласно принятому постулату значение скорости в этой точке равно
нулю (критическая точка), Vm = 0. Для вычисления циркуляции из
этого условия разбиваем функцию тока Ф и соответствующую ей
скорость на границе профиля на три слагаемых:

Ф = С/]Ф]+{72Ф2 + ГФ3, v =^-= UiVi+U2V2 + rV3, (49.31)
on

где U\ = U since, U2 = U cos се, течения с функциями тока Ф1 и Ф2 име-
ют циркуляции равные нулю, а с функцией Ф3 циркуляция равна — 1.
Отсюда функции Ф^ и V4, к = 1,2,3, находятся единственным образом.
Из (49.29) получаем следующие системы уравнений для значений (V4)j
в точках контура Xj,yj и постоянных С\у С% и С^:

N	N

J2Aj(Vl)i = 27r(C1+yi), i = 1,2,...N, £Л(У1);=0,
j=l	j=l

N	N

£Л,(1^. = 2^(72+ т<), i=l,2,...N, ^/ДЦ), =0, (49.32)
j=l	j=l

N	N

^МУ3^ = 2пС3, i=l,2,...N, 1£/;(M = -1.

j=l	j=l
Из условия Vm = 0 получаем следующее уравнение для циркуляции:
vm = U\ (Vi)m + U2(V2)m + r(V3)m = о. (49.33)

49.2.	Схема численного расчета решетки профилей.

1.	Краевая задача для функции тока. Функция тока Ф(х,?/)
связана с полем скорости vx(xyy)y vy(xyy) соотношениями

д*	д*

Vx~ дуУ Vy~ дх'

Периодическая решетка профилей представляет собой бесконечную
последовательность профилей Ljy j = ... — пу ... — 1,0,1,2,..., пу...
Профиль Lj+\ получается из профиля Lj сдвигом параллельно оси х
на шаг решетки h (рис. 11.4). Функция тока определяется из решения

Рис. 11.4. Решетка профилей

следующей краевой задачи. В области Q течения жидкости 0 < х < hy
—оо < у < оо, вне контура dS функция тока удовлетворяет уравнению

Лапласа

△Ф =

^Ф ^Ф

дх2 ду2

= 0.

(49.34)

Граница профиля dS является линией тока, и на ней

(49.35)

При у —► -Foo функция тока удовлетворяет условию (рис. 11.4)

дУ

— ^ool >
сю

(49.36)

Кроме того, функция Ф имеет период h (шаг решетки) по переменной ху
а циркуляцию Г будем вычислять из условия Жуковского-Чаплыгина
схода линий тока с острой кромки.

Решение краевой задачи (49.34)-(49.36) имеет следующее асимпто-
тическое представление при \у\ —► оо:

Ф = С/2х + С712/-^Л|2/| + С + О(е~*М), А = ^,	(49.37)

47Г	П,

где U\y U2 и С — неизвестные постоянные, подлежащие вычислению.
Отсюда видно, что при Г / 0 предельные значения скорости по раз-
ные стороны от решетки имеют разные значения. На входе в решетку
^□оь ^оо2 выражаются через 171,^2 и циркуляцию так:

(49.38)

2.	Интегральные уравнения для функции тока. Сформулирован-
ная задача для решетки профилей (49.34)-(49.36) сводится к решению
системы интегральных уравнений (49.18), но с другой функцией Гри-
на G(M, Мг). Вместо функции G = In (r(M, М')) нужно подставить
функцию Грина, равную действительной части аналитической функции
комплексных переменных z = х 4- iy, z' = х' + iyf:

G = Reln -rsin

= - In -J [ch (Л(у' - у)) - cos (А(а/
LA

(49.39)
Эта функция — гармоническая по х, у и х', у', имеет период по
переменной х' — х, равный шагу решетки h и особые точки у1 — у = О,
х1 — х = пЛ, п = 0, ± 1, ±2,...

В окрестности особой точки zf = z функция Грина имеет разло-
жение

G = 1пг 4- O(r2), г = \zr — z\.

Вывод системы интегральных уравнений для периодической решетки
профилей аналогичен выводу для единичного профиля. Рассмотрим
сначала случай, когда функция Ф — гармоническая внутри обла-
сти S, ограниченной гладким замкнутым контуром dS. Введем инте-
грал (49.1) с функцией Грина (49.39). Контур dS разбивает область
одного периода решетки 0 < х < h, —ос < у < ос на две части: об-
ласти S внутри контура dS и области S вне его. Для точки Ме вне
контура dS по теореме Грина получим

1(ме) = 0, ме е S.

Для точки Mi е S внутри контура применяем теорему Грина с выколо-
тым кругом С£. В пределе е —► 0 получим

i(Mi) = Ф(м.) |

as

ds = 2тгФ(Мг).

Для точки, лежащей на контуре Mq е 9S, значение 1(М) равно сред-
нему арифметическому предельных значений 1(Ме) и Таким
образом, получим для 1(М) такое же соотношение (49.3), как и для
одиночного профиля.

Рассмотрим функцию Ф, гармоническую в области, ограничен-
ной изнутри профилем dS, а снаружи прямоугольным контуром Ьж:
ABCD. Тогда из тождества (49.3) для значений этой функции на
контуре Mq е 9S получим интегральное уравнение (49.12). Из него,
пользуясь граничным условием (49.35), найдем интегральное уравне-
ние для функции тока (49.17), в котором

9G(M,M')-|



дп

ds.

(49.40)

Рис. 11.5. Бесконечно уда-
ленный контур

Интеграл (49.40) по бесконечно удаленному контуру Loo вычисля-
ется так. Контур Loo определяем как прямо-
угольник ABCD со сторонами (рис. 11.5): У

АВ: х = 0, \у\ У,
ВС: у = У, 0 х Л,
CD: х = h, \у\ У,
DA: y = -Y, 0 х h.

Интегралы по сторонам АВ и CD превра-
щаются в интегралы по dy, а по сторонам
ВС и DA — в интегралы по dx. Подставляя
в них асимптотику (49.37), при У —► ос
получим I = — 2тг(У(я: cos а 4- г/sin а) -I- С).

Подставляя это выражение в (49.40),

получим окончательную систему уравне-
ний (49.18). Определив V на контуре из ин-

тегрального уравнения для гармонических

функций, найдем функцию тока во всей области течения по форму-
ле (49.19).

3.	Система линейных уравнений для численного определения
скорости на профиле. Пользуясь квадратурной формулой для ин-
теграла от периодической функции с логарифмической особенностью,
система интегральных уравнений заменяется линейной системой урав-
нений (49.29). В ней матрица вычисляется по формуле (49.26)
с функцией Грина определяемой по (49.39).

Из системы линейных уравнений находим значения скорости на
профиле: Vj, V2, • • •» Vn и С.

Таким образом, задача вычисления скорости на профиле решена.

4.	Точное решение для решетки профилей. Примером точного
решения задачи обтекания решетки профилей является следующая
функции тока:

Ф(х,у) = Не In	=^ln 5 (ch Ху - cos Лх) -ln^, (49.41)

где R — произвольное положительное число, А = 2тг/Л, h — шаг ре-
шетки.
На контуре, точки которого удовлетворяют уравнению

sin (Az/2)
XR/2

= 1,

(49.42)

функция тока равна нулю Ф(я, у) = 0. Это и есть обтекаемый профиль
решетки.

Равенство (49.42) можно записать в следующей эквивалентной
форме

Л X = arcsin < = — elt.

Представляем функцию arcsin £ рядом Маклорена:

. ,	, , с , 1 • 3 ,5 ,

arcsin< = <+2-3 + гт?5 < + ••• =

= ЛЯ / jt (АЯ)2 3it , (АЯ)4 • 3 5<t .

2 V 22 • 2 • 3	24 • 2 • 4 • 5

Отсюда найдем профиль решетки:

(АЯ)2
24

(АЯ)2
24

У =

3(АЯ)2

640 C°S

640

(49.43)

Течение с функцией тока (49.41) имеет комплексный потенциал

W = г In (sin — ),

dW

а комплексная скорость v = Особой точке типа полюс W ~ г In г
соответствует циркуляция Г = —2тт.

Полученные точные решения полезны для тестирования численной
схемы. На рис. 11.6 изображена решетка профилей (49.43), линии тока,

Рис. 11.6. Линии тока решетки профилей с функцией тока (49.41)
точки на профиле и точки, в которых вычисляется функция тока.
В табл. 11.2 приводятся сравнение численных расчетов функции тока
с аналитическим выражением (49.41). Профиль решетки определяется

Таблица 11.2

«/(2тг)	Ф (N = 8)	Ф (N = 16)	Ф (N = 24)	Ф (49.41)
0,125	0,663360	0,663 730 1	0,663 730 1	0,6637301
0,250	0,665 709	0,6669302	0,6669307	0,6669303
0,500	0,649730	0,6501683	0,6501686	0,6501680

разложением (49.43), в котором учитывались 4 члена при R = 0,8,
А = 0,4тг и шаге решетки h = 5. Функция тока вычисляется в точ-
ках соответствующих £ = l,6elf, t = irj/4, j = 1,2, ...,8. В первой
колонке представлены численные значения функции тока при числе
точек на контуре N = 8. Во второй, третьей и четвертой колонках
при N = 8,16,24 и 32 соответственно. В последней колонке значения
функции тока в этих же точках, вычисленных по (49.41).

Из таблицы видно, что при 8 точках на профиле достигается
точность три знака, при удвоении точек (16 точек) верны 6 знаков
функции тока.

5.	Вычисление циркуляции. Также как и для одиночного про-
филя представим функцию тока и соответствующее ей распределе-
ние скорости V на профиле в виде линейной комбинации (49.31).
Асимптотическому представлению (49.31) соответствуют следующие
асимптотические представления слагаемых Ф^:

Ф, = У 4- С| + O(e"AW), Ф2 = х + С2 + О(е“АЫ).

Ф3 = -М + С'з + О(е-А1«1), С = l7tCt + и2с2 + гс3.
htfv

Для значений (Vfc)j, k = 1,2,3, на профиле получаем такую же систему
уравнений, как и для одиночного профиля (49.32), с учетом того, что
матрица А в ней вычисляется через (49.26) и функцию Грина (49.39).

Для вычисления циркуляции Г принимаем постулат Жуковского-
Чаплыгина. Пусть точка М(хт,ут) — острая кромка профиля, Vm
и (Ук)т, к = 1,2,3, — значения скоростей в этой точке. Из требования
Vm = 0 получаем дополнительное уравнение для вычисления цирку-
ляции (49.33). Присоединяя к нему два уравнения (49.38), получаем
систему уравнений для вычисления всех неизвестных параметров U\,
U2 и Г:	г

2^ = ^оо!>	= ^оо2>

Г((У3)т +	= -Vool(Vi)m -V^V^.

hill
49.3.	Расчет точки отрыва при обтекании профиля вязкой
жидкостью.

1. Расчет точки отрыва. При большом числе Рейнольдса Re =
= LU/и, где L — характерный размер профиля, U — скорость жидко-
сти на входе, и — коэффициент кинематической вязкости, вблизи гра-
ницы профиля уравнения Навье-Стокса приближаются уравнениями
пограничного слоя. Эти уравнение существенно проще для численного
решения, чем уравнения Навье-Стокса. Кроме того, существуют одно-
параметрические методы построения его приближенного решения. Наи-
более эффективны методы Кочина-Лойцянского и Лойцянского для
ламинарного пограничного слоя [115]. Согласно методу Лойцянского
касательное напряжение г(х) на границе выражается аналитически
через функции скорость потенциального обтекания V(x), где х —
длина дуги, определяющей точку на профиле, и функцию форм-пара-
метра <(/):	_____

-=Я1у(|л {"ы=уШ

, х	(49.44)

iv J

Для эмпирических параметров в [115] рекомендованы следующие зна-
чения: а = 0,44; b = 5,75, а для зависимости £(/) приведена табл. 11.3.

Таблица 11.3

с	-0,089 0	-0,085 0,019	-0,08 0,039	-0,07  0,071	-0,06 0,097	-0,05 0,12	-0,04 0,142	-0,03  0,162	-0,02 0,181	-0,01 0,2
	0	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,085
с	0,219	0,236	0,253	0,27	0,286	0,302	0,318	0,335	0,35	0,357

Эту табличную зависимость можно аппроксимировать следующей
степенной функцией:

С(/) = а(Л + /)7, а =1,3, 7 = 0,74 Д = 0,089.

В итоге для касательного напряжения получим следующую анали-
тическую аппроксимацию:

M[V(x)] 1+ь/2а(/+ ДГ

[v(e)p->
о

Отсюда для области безотрывного обтекания т > 0 получаем

a [V(x)]4	а

0,

« 0,202.
а
Таким образом, отрыв происходит в области с достаточно быстро
убывающей скоростью V(x). В области нарастания скорости отрыва не
будет.

Сравнение с точными и численными решениями уравнений по-
граничного слоя для различных профилей показывают, что ошиб-
ка предлагаемой формулы порядка 1 %. Так для обтекания пластин-
ки вместо точной формулы Блазиуса: г = 0,332 ^/ДрЁТ^/# получим
т = 0,327 у/ppU^/x.

Для обтекания в воде кругового цилиндра радиуса R = 4,87 см
при скорости набегающего потока иж = 19,2 см/с и числе Рейнольдса
Re = RUco/v = 9350 в монографии [116, с. 82] приводится следующее
распределение скорости: V(x) = 7,151rr — 0,04497#3 — 0,00033#, най-
денное из эксперимента. Заметим, что оно существенно отличается от
теоретического: V(x) = sin (#//?), что в условиях данного экспе-
римента соответствует следующему тэйлоровскому разложению:

V(#) = 7,885# - 0,05541 #3 + 0,0001168#5.

Это отличие связано с отрывным характером течения, которое не
учитывается в последней теоретической зависимости.

Распределение касательного напряжения на границе кругового ци-
линдра по экспериментальному распределению скорости V(#) вычисля-
лись двумя способами: а) по формуле (49.44) и б) путем численного ре-
шения уравнения пограничного слоя, выполненного Д. Б. Станкевичем.
Сравнение полученных распределений показало их хорошее согласие,
практически неотличимое на графике до точки отрыва, в которой
касательное напряжение обращается в нуль. По расчету угол отрыва
примерно равен 81°, а по формуле (49.44) — 79°. В эксперименте точка
отрыва определяется углом 81°, что говорит о хорошем согласии теории
и эксперимента.

В НПО «Энергомаш» были проведены прямые расчеты уравнений
Навье-Стокса для обтекания различных профилей в решетке при боль-
ших числа Рейнольдса по программному пакету CFX. Они показали
весьма малое отличие касательного напряжения и точек отрыва от
приведенных аналитических зависимостей. Эту же методику можно
применять и для осесимметричных течений.

§ 50.	Осесимметричные задачи

В осесимметричном случае, также как и для плоских задач, потен-
циальные течения идеальной несжимаемой жидкости можно формули-
ровать как с помощью потенциала поля скорости, так и с помощью
функции тока. В работах [41-43, 45] были разработаны численные
схемы для потенциала поля скорости. Выше было показано, что для
задач обтекания схема вычисления функции тока оказывается проще.
Этот подход и будет применен для решения задачи обтекания осесим-
метричного тела и тора с циркуляцией.

50.1.	Интегральные уравнения для функции тока.

1.	Функция тока и вихрь осесимметричных течений. Компо-
ненты скорости vr, vz в цилиндрической г, г, и v#, vq в сферической
7?, tp системах координат выражаются через функцию тока Ф сле-
дующим образом (рисунки 11.7 и 11.8):

1 0Ф	1 0Ф

Г OZ	г or

1 0Ф t __	1 0Ф

/?2sin0^' ve~ flsinfl dR'

Рис. 11.8. Сферическая система

ма координат

координат

Рис. 11.7. Цилиндрическая систе-

В обоих системах координат вектор вихря имеет отличную от нуля
только третью компоненту: rot v (0,0, — £>2Ф), где через D2 обозначен
оператор

О2Ф л

dz \г dz )

d Л 0Ф\
dr \ г dr )

1	02Ф

flsinfl дд2

10/1 0Ф\

+ R3 de \sin0 de)'

Рассмотрим осесимметричное течение в осесимметричном торе, S —
область, которая получается в результате сечения тора меридианальной
плоскостью. Тогда по теореме Гаусса-Остроградского

° - ds = — D2#drdz.

J г dn
as	s

Это же равенство получится, если применить теорему Стокса для поля
скорости v внутри тора. Тогда правая часть равенства будет потоком
вектора вихря по области S, а левая часть равенства будет циркуляцией
скорости по граничному контуру dS.
Из приведенных равенств получаем уравнение потенциального (без-

вихревого) течения

О2Ф = 0.

Если течение потенциально вне области S, то циркуляция по контуру
dS не изменится при непрерывной деформации контура dS —► dSf во
внешности области S.

2.	Функция тока вихревого кольца. Интегральные уравнения для

плоских потенциальных течений распространяются и на осесимметрич-

ные потенциальные течения. Функцией
Грина G будет в этом случае функция то-
ка вихревого осесимметричного кольца С
радиуса а. Согласно формуле Био-Сава-
ра поле скорости вихревого кольца таково
(рис. 11.9):

Рис. 11.9. Вихревое кольцо

В декартовой системе координат х, у, z

векторы под интегралом имеют компоненты

г'(a cos р, a sin р, 0), г(г, 0, г), ds'(—a sin р, a cos р, 0) dip.

Отсюда находим

2тг
*

Vr =

0

Интегрируя уравнение

az cos р dp

(a2 — 2ar cos p + r2 + z2)3^2

находим функцию тока вихревого кольца:

G(r,z,a) = -

2тг

ar cos р dp

а2 — 2arcosp + г2 + z2)^2

О'	'г	)

(50.1)

В дальнейшем понадобятся асимптотические разложения функции то-
ка. Пусть г = 7?sin0, z = Rcos0. Тогда при R —> ос имеем

G(7?sin0, Rcos0,a) =

2tt
*

= —a sin#

о

aR sin 0 cos p dp
(a2 — 2aR sin 0 cos p + Я2)1/2

, a . Л f

-I- — sin 0 cos p 4- —z

R	\2R2

cos p dp.

2
Отсюда получаем

G(7? sin 6», Я cos 6», а) = -тг % sin2 0 +	.	(50.2)

Н	\К/

Вторая асимптотика при г —► 0 получается так. Подставляем разло-
жение

(а2 — 2ar cos 99 4- г2 4- г2)-1/2 =

= (а2 4- г2)-1/2 4- га cos ip(a2 4- z2)-3/2 4- О(г2)

в выражение (50.1)

G(r,z,a) =

2тт
*

о

((ar cos (/?)2 4- O(r3)) dip

(а2 + ?)3/2

тг(аг)2
(а2 + ?)3/2

4-О(г3). (50.3)

3.	Функция Грина. Пусть M(ry z) и M(r', г') — две произволь-
ные точки пространства. Функция Грина G(M,M') осесимметрич-
ного течения строится так. Проводим вихревое кольцо через точку
M(r, z) и вычисляем значение функции тока вихревого кольца в точке
Л/'(г',г'). Найденное значение будет равно значению функции Грина
в точках М и М'. По построению значение G(A/,A/') будет равно
функции тока (50.1), в которой первый аргумент равен г', второй —
(zf — z) и третий а = г. Таким образом, функция Грина равна

2тг

G(M, М') = G(M', М) = -

о

г г cos ip dip

[(г')2 — 2r r cos ip + r2 + (z — z')2]1/2

Функция Грина симметрична относительно перестановки точек М
и М'. Поэтому для определения G(Af,Afz) вихревое кольцо можно
также провести через точку Л/' и вычислить функцию тока в точке М.
Полученный интеграл G(M, М') можно выразить через эллиптические
интегралы (см. Кочин, Кибель, Розе (1964) [100, т. 1, с. 202])

G(M, М') = -2(г2 4- ri)[K(k) - E(k)],	(50.4)

где приняты следующие обозначения

И = J(z' — zy 4- (г' — г)2 , r2 = V — zy 4- (г' 4- г)2 , к = ———.

V	V	Г2 + Г1

Для вычисления эллиптических функций можно пользоваться рядами.
При к2 С 1/2

K(k) - E{k) = {ахк2 + а2к* + а3к6 + ...),

в противном случае — тождеством

К(к) - Е(к) = 1 H(fc') In * + F(fc'),
z («)

в котором

Н(к') = 1 - 61 (А/)2 - 62(fc')4 - b3(fc')6 - • • •.
F(fc') = -1 + ci (fc')2 + c2(fc')4 + c3(fc')6 + • • •. (fc')2 = ; 4Г'Г\2 •

(ri + г2/

Формулы для коэффициентов рядов таковы:
_______ 1 * 3 •... • (2п 1)	,   ап __ ап (п \	1 \

йп ~ 22 • 42 •... • (2п) ’ п~М Cn “ 2n V ’ Лп ~ 2^1)

. _ 1 1 1 _  9
п 1-2 + 3-4+'"+(2п-1)-2п’

Приведем значения первых двух коэффициентов

-1	3	, _ 1	, _ 3 _л	5

“ 2’	“2 “ 16’	~ 4’	*2-64’	С1-0’	С2“ 128’

4.	Асимптотические свойства функции Грина. С помощью при-
веденных разложений для функции Грина при Mf(rf, zf) —► M(r, z)
получаем —► 0, (fc')2 —► 2r\/r и

К (к') - Е(к') = 1 In	- 1 + о( 1), G(M, М') = 2г In g + 4r + о( 1).

Г‘	Г (50.5)

Из асимптотической формулы (50.2) при A/'(/?sin0,/?cos0) —► M(r, z)
следует:

G(M, M') = -тг r- sin2 В + О () при Я-оо. (50.6)

Третью асимптотическую формулу для функции Грина точек
z') —► M(r, z) получаем из (50.3)

G(M, М') = - (r2^ (ff)3/2 + °(г')3 приг'-О.

(50.7)

5.	Интегральное уравнение для функции тока. Теория инте-
гральных уравнений для плоских задач уравнения Лапласа переносит-
ся и на осесимметричный случай. Оператору Лапласа нужно поставить
в соответствие оператор D2, а гармонической функции Ф соответствует
функция тока Ф. Кроме того, в интегралах нужно учесть весовой
множитель 1/г', где г' — координата точки интегрирования Mf.

Для функции, удовлетворяющей уравнению £>2Ф = 0 в области
MeS, ограниченной контуром dS, выделяя логарифмическую особен-
ность (50.5) вместо (49.1) и (49.3), получим

1(М) = AV(M) + B-(M),	=	(50.8)

г	г on

{4тгФ(М), М € S,

2тгФ(М), М € dS,	(50.9)

О, MeS,

где операторы А и В определяются также, как и в плоской задаче
(49.2).
Отсюда вместо (49.5) получим

2тгФ(М) = AV(M) + В (М).

(50.10)

Оно представляет линейную связь между значениями функции Ф и ее
нормальной производной в граничных точках М е 9S. Так же как
и в плоской задаче, тождество (50.10) можно рассматривать как инте-
гральное уравнение относительно Ф(М) при заданной нормальной про-
изводной или относительно д№(М)/дп при заданном значении Ф(Л/)
на границе. После того как <ЭФ(Л/)/<Эп и Ф(М) будут найдены, можно
вычислить функцию Ф(Л/) во внутренних точках М ES:

dG(M,M')~\

,чдФ

4тгФ(М) = | 1	М')? (М') + ф(м')

дп

дп

ds.

as

(50.11)

Особую точку интегрального уравнения (50.10) можно устранить
и получить аналог уравнения (49.8)

AV(s) + В	(з) = 0,

(50.12)

где операторы А и В определяются подстановкой функции Грина (50.4)
в формулы (49.9) плоской задачи.

Полученные уравнения позволяют решать внутренние задачи Дири-
хле, Неймана или смешанную задачу. Перейдем к выводу интеграль-
ных уравнений для решения внешней задачи обтекания тора потен-
циальным потоком несжимаемой жидкости.

6.	Уравнения для функции тока при обтекании тора. Пусть
Ф(г, z) — функция тока потенциального течения идеальной жидкости,
обтекающего тор S со скоростью U на беско-

Рис. 11.10. Обозначения
к внешней задаче

нечности с циркуляцией Г. На бесконечности
функция тока имеет следующее асимптоти-
ческое разложение

(50.13)

Тогда рассмотрим область Пд, ограниченную
изнутри контуром dS, а снаружи — границей
полукруга Сд, состоящей из дуги окруж-
ности и отрезка —R,R на оси симметрии
(рис. 11.10). Функция тока в полукруге Cr
удовлетворяет уравнению £>2Ф = 0 и можно
применить тождество (50.10). Граница обла-
сти дЯ = dS U Cr состоит из двух контуров,
поэтому в интегральное тождество (50.10)
добавится второй интеграл по границе полу-
круга Cr. В интеграле по контуру dS еле-
дует учесть изменение знака, так как нормаль, внешняя к Од, будет
внутренней к S. В результате для точек на контуре М е 9S получим
уравнение

-2тгФ(М) = AV(M) +В-(М) + 1,
г	(50.14)

о ? \G(M,	(М') - Ф(М>)—ds.

Cr

Если же точка лежит вне контура dS, то согласно (50.11) будем иметь

равенство

-4тгФШ) = AV(M) + В-(М) + 1.
Г

(50.15)

Перейдем к вычислению интеграла I по бесконечно удаленному кон-
туру Cr. Интеграл I состоит из интеграла 1\ по полуокружности
и интеграла по отрезку прямой 1%. Интеграл 1\ вычисляется с помощью
асимптотик (50.2), (50.3), (50.13). Пусть A/'(/?sin0,RcosO) — точка
полукруга и М(г, 0) — точка наблюдения. Проведем вихревой контур
через точку М(г,0). Тогда согласно асимптотике (50.6) и асимптотике
для функции тока (50.13)

Ф(М') = ic/J?2sin20 + C + of^Y
2	X R /

д'И(М')

дп

= URsm26 + О (

\R2/

для интеграла 1\ по дуге круга радиуса R в пределе при R —► ос по-
лучим

RdO
RsinO

—7г	sin2 OUR sin2 0 —\uR? sin2 0 • тг sin2 О

R	2	R2

— - 7г(7г2

sin30d0 = —2тг{7г2,
о

г' = /?sin0, z'= RcosO, ds = RdO.

В интеграле I? точка M'(r',z') имеет координату г' —► 0 и согласно

(50.7) и (50.13) получаем при г' —► 0

7ГГ2(г/)2

(г2 + (?)2)3/2’

G(M,M') ~ -

1 9G	2тгг2

г' дг' ~	(г2 + (/)2)3/2’

Ф(М') = С + О(г')2.
Подставляя эти выражения в интеграл I2, в пределе R —► оо имеем

оо

оо

С2тгг2 dz'
(г2 + (z')2)3/2

-4тгС.

Подставляя в (50.14) вычисленное значение I = Ц 4-/2 и учитывая, что
Ф = 0 на границе dS, получим следующее уравнение:

4V(s) = 4тг f i tTr2 + cY	(50.16)

\ X»	/

К нему нужно присоединить условие на циркуляцию

i

V(s) ds = -Г.
о

(50.17)

Из системы уравнений (50.16) и (50.17) находим постоянную С и рас-
пределение скорости на профиле V(s). Функцию тока Ф(Л/) вне кон-
тура dS найдем, пользуясь (50.15),

Ф(М) = 1[/г2 + С-^ЛУ(М).

(50.18)

50.2.	Численная схема решения интегральных уравнений.

1.	Система линейных уравнений для задачи обтекания тора
с циркуляцией. Пусть dS граница сечения тора меридианальной плос-
костью. Также как и для плоской задачи для проведения численных
расчетов вводится дискретизация контура dS конечным числом то-
чек М\у М2,..., Мм = Mq. Координаты точек М задаются параметром
£ € (0,1), так чтобы точке Mi соответствовало значение С — G — i/N,
i = 1,2,..., N. Параметр £ и длина дуги на контуре s связаны диффе-
ренциальным соотношением (49.20).

Таким образом, функция Грина от двух точек М и Mf на конту-
ре dS превратится в функцию двух аргументов G(£, £'). Она имеет
логарифмическую особенность при (? —► £, которую можно найти с по-
мощью асимптотики (50.5)

G(C,<') = 2r In	sinTrK - С'|) +4r.

С помощью квадратурной формулы для функции с периодической осо-
бенностью (48.8) получаем следующую аппроксимацию для матрицы А\

N

AV^i) = £ А^3,

1

(50.19)

. f	Cj), i 5^ j,

Aij =	(2П/?(|г - j|) +	= { if

л	j 2ri In ------h 4rt

X	О7ГГ t
и систему линейных уравнений, аппроксимирующих интегральные
уравнения (50.16) и (50.17):

N	N if

52 ^ijVj - 4тгС = 2тгг?[7, 52 ТГ v3 = “Г-	(50.20)

j=l	j=l

В табл. 11.4 демонстрируется, как увеличивается точность расчетов
с увеличением числа точек N на контуре тора. Точки границы тора
dS задаются уравнением г = 2 + sint, z = 0,5cost В первой колонке
приведены значения параметра t в следующих трех колонках при-
ведены расчеты обтекания контура с циркуляцией Г = 1 и U = 0.
В последних трех колонках приведены расчеты с циркуляцией Г = О
и U = 1. При N = 16, 32 и 64 достигается точность 3, 4 и 6 знаков
соответственно.

Таблица 11.4

	Г= 1, и = о			Г = 0, и = 1		
t 2тг	V (N = 16)	V (N = 32)	V (N = 64)	V (N = 16)	V (N = 32)	V (N = 64)
0,125	-0,057078	-0,057069	-0,057068	1,36138	1,36147	1,36148
0,25	-0,065127	-0,065111	-0,065109	2,79678	2,79736	2,79743
0,375	-0,057078	-0,057069	-0,057068	1,36138	1,36147	1,36148
0,5	-0,100577	-0,100602	-0,100606	0,22108	0,22067	0,22062
0,625	-0,32877	-0,328961	-0,328984	-1,28767	-1,28858	-1,28869
0,75	-0,859781	-0,859018	-0,858927	-3,91833	-3,91419	-3,91369
0,875	-0,32877	-0,328961	-0,328984	-1,28767	-1,28858	-1,28869
1,0	-0,100577	-0,100602	-0,100606	0,22108	0,22067	0,220625

Функция тока вне контура dS находится квадратурой (50.18).

С помощью квадратурной формулы для периодических функций (48.3)
получаем формулу, аналогичную для плоской задачи (49.30):

Ф(г, г) = 1 Ur2 + С +

2^/у У? г’ Г?» zjWjfj.
j=i

(50.21)

2. Уравнения для функции тока при обтекании осесимметрич-
ного тела. Пусть dS сечение односвязной осесимметричной поверх-
ности меридианальной плоскостью. Специфика этой задачи состоит
в том, что контур L, по которому будет вестись интегрирование, не
будет замкнутым (рис. 11.11).
Для этого случая циркуляция Г и постоянная С будут равны нулю.

Распределение скорости на контуре L находится из уравнения (50.16),

Рис. 11.11. Обозначе-
ния к основному тож-
деству

а функция тока вне контура — из (50.21).
Поскольку контур L незамкнут, то подынте-
гральная функция — непериодическая. Мож-
но использовать по-прежнему линейные уравне-
ния (50.20) и формулы (50.19) для матрицы А.
Однако остаточный член квадратурной формулы
определяется из (48.2):

Rn ~

1

127V2’

где N — число точек на контуре.

Проверка на известных точных решениях

показывает также достаточно быструю сходи-
мость метода и в этом случае. В табл. 11.5 при-
водятся сравнения точного решения при отно-
шении осей х = 1/5 с расчетами при различном

числе точек на границе эллипсоида. Точки эллипсоида с отношением

осей х определяются из уравнений г = xsint, z = cost Точное решение

имеет вид

2~А(х) у/г2 + x4z2 ’

А(х) = 2

X2	/ arctgj/х2 - 1

1 - X \	у/ X 2 - 1

При N = 16, 32, 64 и 128 достигается точность 3, 4, 5 и 6 знаков
соответственно.

Таблица 11.5

*/(2тг)	Vexact	V (N = 16)	V (N = 32)	V (N = 64)	V (N = 128)
0,125	0,953762	0,953939	0,953616	0,953733	0,953753
0,250	1,033554	1,04132	1,033337	1,033595	1,033559
0,375	1,055505	1,053652	1,055391	1,055553	1,055511
0,500	1,059121	1,062335	1,059515	1,05917	1,059127

50.3.	Интегральные уравнения для осесимметричных гармони-
ческих функций. Для решения краевых задач для уравнения Лапла-
са с осевой симметрией можно использовать интегральные уравнения,
полученные в работах [41-43, 45]. Пусть L — контур образующей
поверхности тела вращения S', п — нормаль внешняя по отношению
к телу. Тогда для гармонической внутри области S функции Ф инте-
гральные уравнения имеют вид:

для внутренней задачи

AV(s) 4- ВФ(з) = О,

(50.22)

для внешней задачи

4V(s) 4- ВФ($) = 47гФ(й),

(50.23)

где операторы А и В выражаются через функцию Грина так:
i

AV(s) = - fr(s')G(s,s')V(s')ds',

о

ВФ(з)

i

’ г(з')	(s, з')(Ф(з) - Ф(з')) ds'.

о

Функция Грина G(M, М'), как функция точек M(r, z) и Mr(r',zr),
выражается через потенциал однородно распределенных источников на
окружности радиуса г:

G(M,Mr)

1 Г ds

г J г(М,М')

2тг
*

о

da

^/г2 4- (г')2 4- (z' — z)2 — 2rr' cos а

С помощью теории эллиптических интегралов для функции Грина
получены ряды, аналогичные рядам для функции (50.4):

G(M,M')

g(fc).

4тг

И -I- г2

Здесь к — аргумент эллиптического интеграла (50.4) (не путать с кри-
визной).

Функция Грина имеет логарифмическую особенность при М —► М',
которую можно выделить с помощью следующей формулы:

оо

^(fc) = £
г=1

’Tg(fc) = In -

/ (2г- 1)!!\2 A 2

\ 2’г!	/ n(2n — 1)

h(k'),

k2i,
Отсюда при г\ —> 0 получим

Для интегральных уравнений (50.22) и (50.23) получим системы урав-
нений:

для внутренней	N

° =	+ вафз)<

1=1

и внешней задач

N
4?гФг = ^(AjjVj +
г=1

в которых матрицы А и В вычисляются с помощью квадратурных
формул с логарифмической особенностью.

§51. Движения жидкости со свободной границей

Метод граничных элементов оказывается эффективен и для реше-
ния задач динамики жидкости со свободной границей. По-видимому,
впервые на возможность такого подхода обратил внимание Трефц
(1916). Однако, расчеты по методу Трефца наталкивались на ряд се-
рьезных трудностей, преодолеть которые долгое время не удавалось.
Первая трудность заключалась в том, что ядра интегральных операто-
ров имели особенности. Вторая трудность связана с неустойчивостью
численной схемы. Трудности аппроксимации интегральных уравнений
были преодолены, по-видимому, впервые в работах [42, 43, 45], в кото-
рых предложены численные схемы третьего порядка точности по числу
маркеров (точек дискретизации) для расчета задач потенциального
обтекания плоских и осесимметричных тел, а также решены задачи
образования кумулятивной струи при захлопывании кавитационного
пузырька вблизи стенки. Существенным достижением в этих работах
было упрощение вида интегральных операторов. Для ядра с логариф-
мической особенностью была получена квадратурная формула (48.5)
третьего порядка точности и с помощью нее построена устойчивая
численная схема для решения задачи образования кумулятивной струи
при захлопывании кавитационного пузырька вблизи стенки.

При применении метода граничных элементов для решения задач
гидродинамики со свободными границами возникает дополнительное
осложнение, связанное с построением устойчивой численной схемы.
Для ее решения используется параметризация линии свободной гра-
ницы в терминах кривизны и расстояния вдоль дуги, зависящих от
пространственной координаты и времени. Приводятся результаты сле-
дующих расчетов: обрушение поверхностной волны при уменьшении
глубины, развитие неустойчивости Рэлея-Тэйлора и колебания жидко-
сти в сосуде.
51.1.	Функция Грина.

1.	Краевая задача для потенциала поля скорости. Введем де-
картову систему координат х, у, где ось у направлена вертикально
вверх. Без ограничения общности будем полагать, что длина одного пе-
риода волны равна 2тг, а ускорение свободного падения равно единице.

Пусть x(t,s), y(t,s) — параметрическое уравнение профиля L одно-
го периода волны в момент времени t, где s — натуральный параметр
(ds2 = dx2 4- dy2, 0 < s < l(t), l(t) — длина дуги одного периода волны),
уравнения у = 0 и у = —h определяют соответственно невозмущенную
поверхность волны и уровень дна. Нормаль всюду предполагается
внутренней по отношению к жидкости.

Тогда потенциал поля скорости Ф удовлетворяет уравнению Лапла-
са в области течения П, условию периодичности, условию на дне (51.1)
и динамическому и кинематическому условиям (51.2) на свободной
поверхности L:

72Ф = 0, Ф(х4-2тг,у) = Ф(ж,у),	=0,	(51.1)

on y=-h

0'Ф . 1 i»-|2 .	> п дФ дх ду ду дх г zki о\

—+ 5|ф| +„-^ = 0.	на L. (51.2)

Здесь о — коэффициент поверхностного натяжения, к — кривизна,
v — компонента скорости частиц жидкости в направлении внутренней
к жидкости нормали л. Под д'/dt понимается частная производная по
времени при фиксированных декартовых координатах хну. Задача
(51.1), (51.2) определяет потенциал поля скорости Ф при известном
движении профиля капиллярно-гравитационной волны на поверхности
жидкости конечной глубины.

2.	Функция Грина для жидкости бесконечной глубины. Для
периодической гармонической функции Ф(гг + 2тг,г/) = Ф(х, у) функци-
ей Грина будет являться функция (49.39), построенная для решетки
профилей:

W = In (chi/ — cos ж), х = х' — х, у = у'-у-	(51.3)

Эта функция представляет собой потенциал периодической цепоч-
ки источников, расположенных в точках Xi = х 4- 2тгг, yi = 2тгг,
г = ...,—2,1,0,1,2,... Она одинаково пригодна как для потенциала
поля скорости, так и для функции тока.

3.	Функция Грина для потенциала скорости в жидкости ко-
нечной глубины. Функцию Грина W(M, М') для этого случая можно
получить методом отраженных источников. Она равна потенциалу двух
цепочек источников, симметрично расположенных относительно пря-
мой у = —h:

W(M, М') = W(M, М') 4- W(M*, М'\	(51.4)
где точка Л/*(х, — 2h — у) — зеркальное отражение точки М(ху у)у
W(MyM') — функция^ Грина (51.3).

Вместо функции W(MyMr) удобно ввести G(My М'):

G(M, М’) = W(M, — w = Ьп e2h) + ^ + у •

С помощью формул (51.3) и (51.4) получим

G(My М') = | In (ch?/ — cos я) (1 — 2Ecosx + В2) ,

(51.5)

E = exp (~yf - у — 2h).

Введенная функция Грина G(MyMr) в области течения жидкости
удовлетворяет уравнению Лапласа по переменным М(хуу) и А/'(х',?/')
и симметрична по переменным Му М'\ G(MyM') —► 1п(г(Л/, М') при
Mf —► М и на поверхности дна удовлетворяет условию

dG(M, М')
дп

= dG(M, М')
y' = -h	ду'

_ j

y'=-h	2

(51.6)

Рассмотрим область S, занятую жидкостью на одном периоде вол-
ны, и применим тождество (49.5) для границы dS:

7гФ(М) = о

as

-G(M,	(М') + Ф(М')

дп

(51.7)

В силу периодичности функций Ф и W интегралы по вертикальным
прямым взаимно сократятся, а интеграл по поверхности дна с помощью
условий (51.1) и (51.6) упростится

2тг

о Ф(М')

as

dW(M,M')y ж ж 1 Г
---Чг2---- ds = 7гФ, 7гФ = —

дп	2тг %

0

Ф(х'у -Л) dx' (51.8)

и уравнение (51.7) приведется к следующему виду:

7Г(Ф(М)-Ф) =о

-G(M,	(М') + Ф(М')

дв(м,м'У
дп

ds.

Если вместо функции Ф(Л/') подставить в это уравнение постоянное
значение, равное Ф(Л/), то получим

0 = Ф(Л/)раС("'"'”

дп

ds.

Вычитая это уравнение из предыдущего, получим интегральное урав-
нение	_

7г(Ф(з) - Ф) = AV(s) + ВФ(з), V(s) = дФ/ds, (51.9)

где операторы А и В определяются по формулам плоской задачи (43.1).
Осредненная по координате х функция Ф(х, у) в (51.8) не зависит
от у. Чтобы это доказать, применим к прямоугольнику со сторонами
у = const, х = 2тг, у = —Л, х = 0 теорему Гаусса-Остроградского:

где Пг, i = 1,2,3,4 — стороны прямоугольника П.

Интеграл по первой границе прямоугольника равен

2тг

' ЭФ

. ду
о

dx =

2тг

О

$dx.

Интегралы по боковым границам в сумме равны нулю в силу
периодичности Ф:

дФ

^dy = Q.
ох

Интеграл по поверхности дна
условия дФ/ду = 0.

Отсюда следует, что

также равен нулю в силу граничного

Ф dx = 0,

что и требовалось доказать.

4.	Функция Грина для функции тока в жидкости конечной глу-
бины. Функция тока Ф удовлетворяет тем же уравнениям и условиям,
что и потенциал (51.1). Исключение составляет граничное условие на
дне, которое имеет вид

Ф

y' = -h

= Ф/г = Const .

(51.10)

Функцию Грина можно также получить методом отражения: вместо
формул (51.6) и (51.5) ее следует ввести так:

W(M, М') = Ж(М, М') - W(M*, М'),

(51.11)



G(M, M1) = i In

ch у — cos x

1 — 2E cos x 4- E2 ’

которая будет удовлетворять следующему условию на дне:

= 2 »(««') С(МЖ)

дп	y' = -h	дп y' = -h дп	y'=-h

(51.12)

где функция w была определена в (51.5).
Для функций G и Ф в области S выполнены все условия, необ-
ходимые для равенства (51.7). В нем нужно учесть, что с помощью
условий (51.10) и (51.12) интеграл по поверхности дна можно преоб-
разовать так:

2тг

2тг

дА
дп

(51.13)

В первом интеграле (51.13) подынтегральная функция равна ком-

поненте скорости vx и выражается через производную потенциала
Ф^ = фд.. В силу периодичности потенциала (51.1) интеграл по периоду
от равен нулю. Поскольку W является суммой потенциалов источ-

Рис. 11.12. К вычислению интеграла
ме углов аг, из-под которых из

ников, расположенных в точках
Mi(x -I- 2тгг,у), г = ..., -1,0,1,...
Интеграл от одного из них,

2тг

* din г

дп
о

dx = OLQ,

равен углу ао, из-под которого
виден отрезок х Е (0,2тг) на дне
у = —h из точки М (рис. 11.12).

Интеграл от W равен сум-
точки М видны все отрезки х Е

Е (2тгг, 2тг(г -I- 1)), лежащие на прямой. Этот угол равен тг. Таким

образом, имеем

2тг
о

дп )

dx = 2тг —

2тг

-dx = 7Г.
о

Подставляя это значение в (51.13), получим

Г „ 0Ф , 1Tf 0(7] , lTf
-<?^- + Ф-х- С?5 = 7гФ/1.
J L дп on J

y=-h

Уравнение же (51.7) примет вид

тг(Ф(М) - ФЛ) = <f М')	(М') + Ф(М')

С/ 9 If

dG(M,M')'
дп

ds.

Аналогично тому, как было получено уравнение (51.9), можно устра-
нить особенность при dG/dn и получить интегральное уравнение для
функции тока по форме, не отличающейся от уравнения (51.9):

7г(Ф(з) - ФЛ) = AV(s) + ВФ($).

(51.14)
Отличие состоит в том, что V(s) = д^/дп — не нормальная, а каса-
тельная скорость. Функции Грина (51.5) и (51.11) отличаются, и сле-
довательно операторы в (51.9) и (51.14) также отличаются.

5.	Комбинированное уравнение для потенциала и функции то-
ка. Учитывая в уравнении (51.14) соотношение

дФ _ дФ
дп ds ’

получим следующее уравнение:

тг(Ф(з)-ФЛ) = Л^ + ВФ(з).	(51.15)

Из этого уравнения по заданному значению потенциала на свободной
границе можно вычислить функцию тока на ней и нормальную ско-
рость дЪ/ds.

51.2.	Уравнение для кривизны и проблема устойчивости чис-
ленной схемы.

1.	Об устойчивых схемах расчета динамики свободной границы.
Изменение во времени положения линии свободной границы на плос-
кости можно определить, зная нормальную составляющую точек гра-
ницы в каждый момент времени, но численное определение положения
точек линии оказывается в общем случае неустойчивым. Причиной
этого является сгущение опорных точек в какой-либо окрестности
и разрежение в другой и, как следствие, расчетная схема оказывается
неприменимой на участках с большим разрежением. В связи с этим
различными авторами предлагались расчетные схемы, в которых опор-
ные точки перераспределялись в процессе счета, чтобы убрать эффекты
разрежения и сгущения. Ниже будет описан способ автоматическо-
го распределения точек на профиле заданным образом, не используя
интерполяцию. Эффективность схемы демонстрируется на примерах
расчета обрушения волны на поверхности тяжелой жидкости, развития
неустойчивости Рэлея-Тэйлора и осцилляций поверхности жидкости
в сосуде и других задачах.

2.	Уравнения кривизны линии, меняющейся во времени и плот-
ности распределенных на ней точек. Для определения положения
линии свободной границы на плоскости мы вводим два независимых
параметра: время t и параметр £, задающий положение точки на линии.
Кривизна к в произвольной точке линии в любой момент времени есть
некоторая функция t и £. Нормальная v и касательная и компоненты
скорости маркеров (точек с фиксированной координатой z) также яв-
ляется функцией параметров t и Q: v(t^), u(Z,£).

Следуя работам [151-153], покажем, что параметр Q можно выбрать
так, чтобы распределение маркеров на кривой обладало заданными
свойствами, например, чтобы расстояние между любыми соседними
маркерами менялось пропорционально полной длине кривой, и на осно-
вании этого дадим интегрируемую форму для восстановления кривой.
Будем предполагать, что алгоритм определения v(t,Q известен.
Задача состоит в том, чтобы получить уравнения для определения
k(t,Q и u(t, £), а затем вывести из них параметрические уравнения для
декартовых координат точек линии x = x(t,Q и у = y(t,Q. Приведем
решение этой задачи.

Параметризуем кривую так, чтобы элемент длины дуги имел вид



(51.16)

Если маркеры на кривой выбрать в точках £ = £ с шагом = 1 /N,
то расстояние между соседними маркерами £< и £+1 будет пропор-
ционально величине /(£,£). Таким образом, величину l//(t, £) можно
трактовать как плотность распределения маркеров по кривой.

Если маркеры на кривой двигаются с вектором скорости (и, и),
где u = u(t, £), v = v(t, £), то уравнения для изменения во времени
кривизны к и элемента длины дуги ds имеют вид (вывод уравнений
см. в п. 51.7, а также в [22])

(51.17)

(51.18)

Уравнения (51.17) и (51.18) известны в дифференциальной геометрии
и используются, например, для решения вариационной задачи Радона
[22]. Вместо fc, и, и введем величины К, V, U:

K = kl, V=j, U = j.
V	V

(51.19)

Затем при помощи (51.16) из (51.17) и (51.18) получим следующую
систему уравнений для функций К и /:

dfK _ д_ UfK - дУ/дС

df __ dU

(51.20)

(51.21)

Полученные уравнения имеют дивергентный вид, что позволяет точно
соблюдать условия периодичности кривой и условие (51.16).

Если плотность распределения маркеров по кривой не будет ме-
няться со временем, то расстояние вдоль кривой между двумя произ-
вольными маркерами будет меняться пропорционально длине кривой.
Такое распределение маркеров было, по-видимому, впервые предложе-
но в работах [42, 43]. Последующие работы [151, 237] подтвердили
устойчивость численных схем, основанных на пропорциональном рас-
пределении маркеров.
Скорость U при постоянной функции распределения находится так.
Принимая во внимание то, что скорости U на концах линии границы
равны (U(t, 0) = U(t, 1)), функцию U(t,Q с помощью (5L21) можно
выразить через кривизну и нормальную составляющую скорости по
формуле

U = UQ(t) +

г/

(/«>

о 4 о

fKV(Q,t)dc-fKV(ct) С

(51.22)

Угол наклона (к оси х) касательной к кривой и декартовы координаты
точек определяются интегрированием:

z

Z

Z

0 = 0О +

fKdC
о

X = Xq 4- I f COS в d£,

У = Уо + 1 /sin0d<.

(51.23)

о

Формулы (51.19), (51.20), (51.22), (51.23) позволяют вычислять ко-
ординаты хну точек на кривой в произвольный момент времени.
Константы Uq, то, Уо и I должны определяться из соответствующих
условий.

Итак, полученная система уравнений позволяет строить эффектив-
ные численные схемы высокого порядка точности для решения задач
динамики сплошной среды с подвижной свободной границей.

51.3.	Динамические уравнения.

1.	Уравнение для потенциала на свободной поверхности.
Выразим частную производную &/dt при постоянных хну через
производную d/dt при постоянном £ с помощью (51.62):

&Ф _ дФ _ дФ _ дФ = дФ_идФ
dt dt U ds V dn dt f dQ

Тогда динамическое граничное условие на свободной поверхности
(51.2) можно представить в виде

(51.24)

Это уравнение определяет значение потенциала на профиле волны как
функцию Ф(г, С/).

2.	Вычисление нормальной скорости по значению потенциала
на свободной поверхности. Для замыкания системы уравнений необ-
ходимо получить выражение для скорости V(t,Q- Для этого можно
воспользоваться комбинированным интегральным уравнением (51.15).
Из него по известному значению потенциала Ф($) на границе волны
можно вычислить функцию тока Ф($) и дифференцированием вычис-
лить нормальную скорость v = дФ/ds.
51.4.	Численная схема для определения профиля нестационар-
ных волн.

1.	Формулы численного дифференцирования и интегрирования.
Пусть функция F(£) периода 1 представляется кубическим сплайном
на отрезках

•Р»(С) — “Ь FiQ2 “Ь 1Q3 Н" <^iQ4>

где Fi — значения функции F(£) в точках £ = qi — кубические
многочлены переменной X = ЛГ(£ —	0 X 1:

<71 = 1 - X, q? = X,

<й = ~ (X3 - ЗХ2 + 2Х), q4 = ±(X3-X).

Значения а; находятся из условия непрерывности первой и второй
производных сплайна в узлах сетки £ = £ и условия периодичности
методом прогонки.

Формулы дифференцирования и интегрирования выражаются через
коэффициенты сплайна а»:

Ci

*

(51.25)

F(C) dC =

(51.26)

G-1

Формула (51.25) имеет порядок точности 7V-3, а (51.26) — 7V-4

Вытекающая из (51.26) формула интегрирования по периоду имеет
вид (48.3), остаточный член которой убывает быстрее любой степени
шага интегрирования.

Для интегрирования периодических функций с логарифмической
особенностью будем использовать квадратурную формулу (48.8) с тем
же порядком убывания остаточного члена.

2.	Аппроксимация интегрального уравнения для функции тока.
Асимптотическое разложение функции Грина G(£, £') в уравнении
(51.15) при |С — С'| —► 0 имеет вид

G(C с') = In К' - <| + 1 In

/2(С)
2(1-£Ь)2

+О(С'-С).

Ео =e-^v+h\
С помощью квадратурной формулы (48.8) операторы в интегральном
уравнении (51.15) аппроксимируются так:

j=l	j=l

Aij = 7F

(51.27)

= I (4 1П )2 ~

\ z Z7T (1 — £LfQ)	/

n_ (dG . a	dG	d_ n

Bjj — n \qx. sln@j	q cos04, i / j, Вц —	у Bim.

3 У3

Таким образом, интегральное уравнение (51.15) заменяется следующей
системой уравнений:

n

g- + ВоФ(0) = тг(Ф(£) - ФЛ). (51.28)
.7 = 1	3

Коэффициенты матрицы Вгз на свободной поверхности достаточно
малы, а на свободной поверхности вида у = 0 тождественно равны
нулю. Поэтому для определения Ф из (51.28) можно пользоваться
итерационными методами. При расчетах нестационарных волн обычно
хватает одной-двух итераций. Нормальная к профилю волны компонен-
та скорости V определяется дифференцированием

V = _L^
l2f дС ‘

Точность решения системы линейных уравнений и скорость схо-
димости метода проверялась следующими вычислениями. По точному
решению уравнения Лапласа

Ф = sin х sh {у -I- h)

вычислялись точные значения функции Ф на кривой у = sinrr в точках
Фех = sin(27r<i)sh(sin(27T<i) + Л),

а также ее значения нормальной производной

дФ _ дФ
дп дз

на этой кривой. Из системы уравнений (51.28) по нормальной про-
изводной находилась функция тока Ф и сравнивалась с ее точным
значением Фех.

Уменьшение относительной погрешности max |Ф — Фех|/тах|Ф| в
зависимости от числа N при глубинах h = 100 и h = 1,5 показано
в табл. 11.6.
Таблица 11.6

N	max Ф — Фех max Ф	
	h= 100	h = 1,5
8	1 • 10~3	1 • ю-3
12	(0  1  о  <£>	1 • 10“5
16	1 • 10-7	9 -10-7

3.	Полная система уравнений. Приведем окончательную систему
для описания эволюции волны с функцией распределения точек на
профиле, не зависящей от времени:

N

-13Ф

J = 1

7ГФ{,

О = Оо +

fKdC,

У = Уо + 1 fsinOdC'.

о

о

Матрицы A{j и Bij вычисляются по формулам (51.27). Постоянные
интегрирования Uq, Oq, xq, уо и I находятся из следующих требований.
Должны точно выполняться условия периодичности:

c7«+i) = m 0(с+1)=ш

!/(<+1) = у«), х(С+1) = х«) + 27г;

функции и подчиняются условиям

1	1

' U(О de = о. [ у(0 < = о.
W	%

о	о

Уравнения для fK и Ф аппроксимируются системой обыкновенных
дифференциальных уравнений порядка 2N для переменных qiKi и Ф;,
г = 1,2, ...,2V, и решаются методом Адамса четвертого порядка. В на-
чальный момент задаются значения кривизны /сг и потенциал Ф; в N
точках, расположенных на поверхности волны. Расстояния между мар-
керами определяются функцией /(£), которую целесообразно задавать
так, чтобы ее точка максимума попала в окрестность наибольшей
кривизны профиля волны.

4.	Формулы перехода в систему координат, движущуюся с по-
стоянной скоростью с. Для расчета бегущих нестационарных волн
удобно переходить в подвижную систему координат. Для этого доста-
точно подставить в уравнение (51.24)

V = I ^3/ ТТ _ Т ТГ I

l2f дС	l2f дС

Параметр с удобен для расчетов опрокидывающихся волн. Удачным
выбором параметра с можно добиться, чтобы минимум функции /(0
находился в точке наибольшей кривизны профиля волны. Таким об-
разом, в окрестности такой точки плотность распределения маркеров
будет наибольшей.

5.	Тестирование численного метода расчета нестационарных
волн. Точность метода проверяется на периодических стоячих волнах,
для которых в [149] получены решения в виде разложений по малому
параметру — амплитуде волны а при помощи системы аналитических
вычислений REDUCE [251]. Аналогичные разложения были приведены
в [224, 280]. Таким путем могут быть представлены полная энергия
волны Е, потенциальная энергия Ер(иЯ) и уравнение профиля волны
y(ut,x), где ш — круговая частота колебаний. В частности, в момент
времени ut = тг для этих функций получим с точностью до а8:

Ep(wt) = Е =	(1 - L2 + |§а4 - 0,10261а6 + ...)

Ер(0) = Ер(тг) =	(0,02084а6 + ...)

у(0, тг) = У(7Г, тг) = ^а4 - 0,12983а6 + ...	(51-29)

□□О

г/(?’7Г) = а2 + ^а2 —-^а4 + 0,04122а6+ ...

w = 1 - 1а2 + ^а4 - 0,004492а6 + ...

о 2эо

Для оценки точности и сходимости численного метода были про-
ведены расчеты стоячей волны при значениях амплитуды а = 0,2
и а = 0,3 (при а = 0,3 порядок остаточных членов рядов (51.29) око-
ло 10-5). Вычисления проводились последовательно на 8, 16 и 32-х
маркерах. Результаты сравнения численных результатов со значениями
соответствующих величин, полученных по формулам (51.29), приведе-
ны в табл. 11.7.

16 А Г Петров
Таблица 11.7

Величина	Расчет по формулам (51.29)	Погрешность численного решения		
		N = 8	W= 16	N = 32
Амплитуда а = 0,2				
Е(тг/2)	0,0616112	7 • 10"4	4•10-4	2 • 10-6
Ер(тг/2)	0,0616112	7•10-4	4 • 10-4	2 • 10-6
у(я/2, тг)	0,2197312	6 • 10~4	3 • 10~3	2 • 10-5
ВД	0,0616112	3•10-4	2 • 10"4	9 • 10"7
Ер(тг)	8  10"8	7•10~4	4•10~5	1•10-8
|/(тг, тг)	0,00019	1 •10-4	1 • 10-2	2 • 10-5
Амплитуда а = 0,3				
Е(тг/2)	0,1354139	2•10~3	1 • 10-4	5•10~6
Ер(тг/2)	0,1354139	2•10~3	1 •10-4	5•10-6
3/(тг/2, тг)	0,343 655 9	2 • 10"2	1 • 10-3	4 • 10-5
Е(тг)	0,1354139	1 •10~3	4 • 10-5	1 •10-6
Ер(тг)	2,15 -10—6	3•10~4	4 • 10-6	2 • 10-8
у(тг, тг)	0,00089	2•10~2	3 • 10“3	7 • 10“5

6. Примеры расчетов волн. В работе [151] по описанному алго-
ритму были проведены расчеты опрокидывания бегущей волны в глу-
бокой воде при переходе на глубину Л= 1, развития неустойчивости
Рэлея-Тэйлора и осцилляций жидкости в сосуде. Во всех случаях
период по горизонтальной координате х равен 2тг, значения ускорения
свободного падения и плотности жидкости также равны 1. Число
маркеров N = 90, кроме расчета опрокидывания волны, где N = 64.

Результаты расчетов опрокидывания волны представлены на
рис. 11.13. В начальный момент времени t = 0 все характеристики
волны (профиль, скорость, амплитуда, и, следовательно, другие
параметры) соответствовали прогрессивной волне длины 2тг на
глубокой воде с амплитудой а = 0,406. Затем глубина h скачком
менялась от бесконечной до 1.

При расчете проводилось сгущение маркеров в окрестности точки
максимальной кривизны границы.

На рис. 11.13 представлены в последовательные моменты времени
t = 4,5, 4,7, 4,9, 5,1 профили волны в окрестности точки опрокидыва-
ющегося гребня, где кривизна максимальна.

На рис. 11.14 представлены результаты расчета развития неустой-
чивости Рэлея-Тэйлора. Тяжелая жидкость расположена над легкой
(в данном случае — невесомой). Начальное возмущение границы раз-
дела задано уравнением у = 0,01cosrr. На левой части рисунка изоб-
ражены профили свободной границы в моменты времени t = 0, 4, 5, 6,
6,13 и 6,20. В момент времени t = 6,13 амплитуда равна 2. На правой
части рисунка показан крупный план фрагмента, выделенного прямо-
угольником в левой части рисунка.

Рис. 11.13. Обрушение волны

Рис. 11.14. Развитие неустойчивости Рэлея-Тэйлора

16*

-3,15 4-------.-----1------.-----

2,6	2,8	3,0

Зх/тг
Расчет колебаний тяжелой жидкости в сосуде проводился следую-
щим образом. В начальный момент времени t = 0 профиль задавался
в виде у = —0,45 cos х, а скорость частиц жидкости везде равнялась
нулю. Вскоре после одного временного периода (Т = 2тг), соответству-
ющего периоду линейной стоячей волны, амплитуда профиля поверх-
ности колеблющейся жидкости достигает максимума. Это происходит
в момент времени t = 6,65. Кинетическая энергия достигает минимума
немного раньше — при t = 6,46, а возвышение точки гребня (у при
х = тг) достигает максимума в момент времени t = 6,71 (рис. 11.15).
При этом кривизна в точке гребня растет и продолжает расти даже при

Рис. 11.15. Стоячая волна

падении точки гребня, вплоть до момента времени t = 7,5, когда она
достигает максимума. Это видно на правой части рис. 11.15 (крупный
план прямоугольного фрагмента, выделенного на левой части рисунка).

Приведенные примеры иллюстрируют точность численного метода
и возможность эффективного распределения маркеров на движущейся
границе.

51.5.	Капиллярно-гравитационные волны с неизменяющимся
профилем.

1.	Постановка задачи. Введем декартову систему координат х, у,
где ось у направлена вертикально вверх. Без ограничения общности
будем полагать, что длина одного периода волны равна 2тг, а ускорение
силы тяжести равно единице.

Пусть v(x,y) — поле скорости жидкости в системе координат,
связанной с волной, распространяющейся со скоростью с. Течение
потенциальное и его можно выразить через потенциал Ф следующим
образом:

v(rr, у) = сУ(Ф(х, у) — х).	(51.30)

Перейдем теперь к описанию краевой задачи для потенциала Ф.

Пусть x(s), y(s) — параметрическое уравнение профиля L одного
периода волны, где s — натуральный параметр (ds2 = dx2 4- dy2, 0 <
< s < l(t), l(t) — длина дуги одного периода волны); уравнения у = 0 и
у = —h определяют соответственно невозмущенную поверхность волны
и твердую границу. Нормаль предполагается внешней по отношению

к жидкости.

Тогда потенциал поля скорости Ф в области течения Q удовлетворя-
ет условиям (51.1) и условию на свободной поверхности v • п = 0. Это
последнее условие неподвижности профиля можно с помощью (51.30)

записать в виде

дФ
дп

rGL

дх
дп

= — sin#,

где 0 — угол наклона касательной к горизонтальной оси х. Правую

часть граничного условия на L можно выразить через производную

функции у(з)

дФ _ ду
дп rGL ds'

(51.31)

И наконец, на границе капиллярно-гравитационной волны должно
выполняться динамическое условие Лапласа

Ро -Р

rGL

= ok,

(? / дФ	дх \2

Р~ ~У~ Т \дз ~ дз) ’

где а — коэффициент поверхностного натяжения, к — кривизна кри-
вой L, р — давление в жидкости, ро — постоянное (атмосферное)
давление.

2.	Вариационный принцип. Для определения формы волны вос-
пользуемся вариационным соотношением

5(ЕС — Eg — Еа) = (р — ро + ok)6nds,

о

i

*

6nds = 0,

о

(51.32)

где Ес — кинетическая энергия жидкости, Eg, Еа — потенциальные
энергии (гравитационная и капиллярная соответственно); 6п — воз-
мущение границы (расстояние по нормали от возмущенной кривой до
невозмущенной); р находится из интеграла Бернулли.

(51.33)

Профиль капиллярно-гравитационной волны является экстремалью
функционала Е = Ес — Eg — Еа. Поиск экстремума можно вести гра-
диентным методом.

Пусть x(t,s), y(t,s) — семейство профилей с одинаковой заданной
амплитудой в различные моменты некоторого фиктивного времени t.
Скорость изменения профиля по нормали определим равной вариаци-
онной производной функционала Е = Ес — Eg — Еа:

Р = р - pQ + ак.

(51.34)
Тогда за время dt смещение профиля равно дп = Pdt, а в соответ-
ствии с (51.32) получим, что изменение функционала Е со временем
будет положительно:

dE = dt

(р — ро + crk)2ds = dt
о

Р2 ds.

(51.35)

о

Если Е имеет максимум на точном решении, то, при смещении
точек профиля на величину дп по нормали на каждом шаге итерации
dt, значение функционала будет увеличиваться на dE и может подойти
достаточно близко к решению при возрастании параметра t. Величина
тахР2 равна погрешности полученного решения.

Если же Е достигает минимума на точном решении, то надо сме-
нить знак у смещения дп = Pdt. Отсюда можно предложить сле-
дующий окончательный алгоритм расчета капиллярно-гравитационной
волны.

3.	Итерационный алгоритм. 1. Задаем начальное приближение
волны в виде у = — acosx и плотность распределения маркеров /(£).
Точки на профиле у\,У2, нумеруем так, что номеру М = N/2
соответствует минимум функции ум, а номеру N — максимум у^.

2.	Вычисляем потенциал Ф; из системы уравнений:

аппроксимирующей интегральное уравнение для потенциала.

3.	Вычисляем нормальную скорость V по формуле (1.5) или соглас-
но интегралу Бернулли:

V = Vo(s) + c2v2(s) - V,

Vo(s) = -у + ак, V2(s) = (Ц “	•

Постоянная с находится из условия того, что амплитуда волны не
должна меняться со временем. Тогда скорости У(«м) в точке миниму-
ма и в точке максимума должны быть равны У(«м) = V(sn)-
Отсюда находим с2:

С2 = -(Vo(sn) - Vo(sm))/(V2(sjv) - V2(sm)).
Постоянная V находится из условия неизменности среднего уровня:

i

Vds = 0.

о

4.	Вычисляем скорость распределения маркеров по горизонтали из
условия (51.22):

fKVdC-fKV d('.

5.	Выполняем один шаг по методу Эйлера для уравнения изменения

кривизны:

д(/К) = д
dt дС

JKU - дУ/дС

и вычисляем кривизну на следующем шаге итерации.

6.	По найденной кривизне вычисляем координаты кривой для сле-
дующей итерации:

fKd?,

о

х = I fcos0d£,
ъ
о

f sin 0d£r — у

Величина I определяется из условия периодичности кривой, а у

определяется из условия сохранения уровня:

2тг

И

cos 0 dQ
о

У = <
о

с

f sin 0d£'.

о

7.	Проведем коррекцию кривизны по амплитуде. Амплитуда полу-
ченной кривой

1/2
*

af = I f sin 0 d^

о

может измениться на величину 6а = а' — а. Для того чтобы изменение
амплитуды отсутствовало, подправляем кривизну по формуле

(fKY = fK(l+e).

В соответствии с этим для вариаций 0, I и а получим

60 = е0,

1

0/sin0d£,

1/2

0f cos 0 dQ.

о

о
Таким образом, для величины е получим

Of cos 0 dQ
о

6 d(

Итак, каждая итерация и, соответственно, решение, будут иметь
наперед заданную амплитуду.

8.	Распределение маркеров выбирается по следующему закону:

/«) = 1 4- (1 — /min) COS 2?Г<.

Значение /min = l/IK'maxl пропорционально наименьшему радиусу кри-
визны. Алгоритм перераспределения точек на неподвижном профиле
описан в п. 51.7.

Такой метод позволяет рассчитывать околопредельные волны Сток-
са с максимальной кривизной, практически неограниченной.

51.6. Кубический сплайн для периодической функции.

1. Формулы для коэффициентов. Пусть /(х) — произвольная
функция, определенная на отрезке 0 < х < N и удовлетворяющая усло-
вию периодичности /(0) = f (N). Сплайн-функцией S(x) для функции
f(x) называется следующая кусочно-гладкая функция:

S(x)=pk(X), к — 1 х к, fc=l,2,

(51.36)

0 X = х — (к — 1)	1,

где Рк(Х) — кубические полиномы:

рк(Х) = f(k - l)gi(X) + /(fc)Q2(X) +^_1дз(Х) + ^4(Х), (51.37)
gi(X) = l-X, g2(X) = X,

q3(X) = -|(X3-3X2 + 2X), <?4(Х) = |(X3 - X).	(5L38)

Замечательно, что при любых значениях ик сплайн-функция S(x) и
ее вторая производная S"(x) непрерывны. Действительно, проверкой
убеждаемся, что значения S(fc) и S"(k) совпадают со значениями /(fc)
и ик соответственно:

S(k - 0) = pfc( 1) = f(k), S"(k — 0) = р£(1) = u(k),

S(fc + 0)=pfe+I(0) = /(fc). S"(fc + 0)=p'fc'+1(0) = u(fc).  '

Из условия гладкости сплайн-функции S(x) в точках х = к следует
S'(k - 0) = S'(k+ 0), где

S'(k — 0) = р'к( 1) = f(k - 1) + /(fc) + Ufc-! + ±ик,
6 .	,	(51.40)

S'(fc + 0) =p'fe+1(l) = ~	+ f (к + 1) - lUfc+1.
Таким образом, получим следующую систему уравнений для опре-
деления значений Uk’-

Uk-\ +4uk + uk+\ = Fk, к = 1,2,... ,7V,	(51.41)

где для краткости введено следующее обозначение:

Fk =	- 1) - 2/(fc) 4- /(fc 4- 1)).	(51.42)

Значения Uk, f(k) в запредельных точках доопределяются по усло-
виям периодичности:

uo = uN, и^=щ, f(0) = f(N), f(N 4- 1) = /(1).	(51.43)

Решение системы уравнений (51.41) находится по следующему ал-
горитму:

1.	Ищется решение урезанной системы (51.41) для к= 1,2,...
..., N — 1 с дополнительным условием u'q = ufN = 0 (используется ме-
тод прогонки). Соответствующее решение выражается через числа dk,
Ak и Bk:

Л1 = О, В\ = 0, dk = Ak-14-4, к = 2,3,..., TV,

Ак = --±-, Вк = Fk~l 7 Вк~1, k = 2,3,...,N.
ак	dk

Числа и'к находятся из рекуррентных соотношений:

идг = О,

(51.44)

и'к_\ = Аки'к +Вк, к = N,N - 1,...,2.

2.	Ищется решение однородной системы (51.41) для к = 1,2,...

1:

Vfc-j +4vfc + vk+l = 0	(51.45)

с дополнительным условием vq =	— 1.

Соответствующее решение имеет следующий вид:

(-l)fc(afc-N+a-*=)	/х

Vk = 1--------гт?-----< a = 2 + V3.

1 4- а

(51.46)

3.	Окончательное решение искомой системы (51.41) представляется
в виде линейной комбинации полученных решений ufk и Vk следующим
образом:

ик - и'к +cvk.	(51.47)

Постоянная с находится из условия того, чтобы уравнение системы
(51.41) удовлетворялось при к = N:

Fn — и\ — u'jv-i

а - 1/а

(51.48)
2.	Оценка количества операций. Оценим количество операций,
требуемых для расчета коэффициентов Uk кубического сплайна.

Значения Vk не зависят от значений /(fc) интерполируемой функ-
ции, поэтому их можно вычислить один раз и запомнить. При оценке
количества операций эти вычисления учитывать не надо.

Для расчетов коэффициентов требуется выполнить 2N опе-
раций деления. Для расчетов Uk по рекуррентным формулам (51.44)
требуется выполнить N операций умножения. Итого требуется прове-
сти 2N операций деления и N операций умножения.

Таким образом, кубический сплайн является дважды непрерывно
дифференцируемой интерполяцией функции q(x) и удобен для числен-
ного дифференцирования и интегрирования.

3.	Формулы дифференцирования. Из формул (51.40) и (51.41) для
производных по сплайну в точке х = к получим

f'(k) = 1 (s'(к - 0) + s'(к + 0)) =

= | (/(* + 1) - f(k - 1)) - i («(* + 1) - u(k - 1)). (51.49)
ЛЛ	IX

Представляет интерес также формула для производной в средней
точке х = к — 1/2. С помощью формул (51.37) и (51.38) получим

f'(k-к) =f(k- 1W5) + /(^2(5) +«л-19з(|) +«*94(5)-
у X /	\ X /	\ X /	\ X /	\ X /

Вычисляя производные от многочленов qt в точке х = 1/2:

= -!> 92(5) = 1-
\ X /	\ X /

1 <(х\- 1

9зК27	4’ 94\27	4

получим окончательную формулу для производной в средней точке:

/'(* - |) = /(fc) - f(k - 1) - (ик - Uk-i). (51.50)
\ X /

Максимальная погрешность производных уменьшается по закону
max |А| ~ N~4.

4.	Формула интегрирования. Проинтегрируем сплайн-функцию

(51.36)	в пределах к — 1 х к, или, что то же самое, функцию

(51.37)	в пределах 0 х 1:

dx = - f(k - 1) + f(k) - «fc-i - 24 и^-

о
Учитывая, что функция Pk(x) приближает функцию f(x) на отрезке
к — 1 х fc, получим соответствующую квадратурную формулу:

к

f(x) dx — (/(fc - 1) + f(k)) - (ufc_i + ufe).
k—\

(51.51)

Замечательно, что для интеграла по полному периоду из (51.51)
точно следует квадратурная формула (48.3) Дадим вывод этого резуль-
тата. Для этого просуммируем члены в (51.51) от к = 1 до 7V, тогда

N

*

о

f(x)dx = | £ (/(fc- !) + /(*))- 52(ufc-i 4-Ufc).
k=l	k=\

Учитывая условия периодичности

/(0) =/(TV), UQ = UN,

получим

N	N	N

y(x) dx = 52 /w - Tn 52Uk-
n	k=\	k=\

(51.52)

Последняя сумма в (51.52) тождественно равна нулю. В этом легко
убедиться, если воспользоваться формулой (51.41); суммируя левые
и правые части в (51.41) от 1 до fc, получим

N	N

6^uk = ^Fk-

к=1	к=1

(51.53)

Подставив вместо Fk ее выражения (51.42), получим

52 Fk=6 (52 як -1) - 2 52 ш+^як+\)
к=\	'к=1	к=1	к=1

Все суммы, стоящие в скобках, равны нулю, соответственно, правая
часть равенства равна нулю, т. е. 2^-j	= чт0 и требовалось до-

казать.

5.	Формула интерполирования. По общим формулам (51.36)-
(51.38) кубического сплайна можно найти простую формулу для зна-
чения функции f(x) в средних точках х = к — 1/2:

f(k -	| (Як - 1) + Як)) ~	(ик-\ + ик). (51.54)

\ X/ X	10

Погрешность уменьшается по закону

max |А| ~ N~4.
51.7. Вывод формул, используемых в методе граничных эле-
ментов.

1.	Вывод квадратурной формулы (48.6). Воспользуемся извест-
ными интегралами

2тг

2тг

In

sin

х — Xk

2

dx = —2тг1п2,

cosmx In
о

2tt

*

sin mx In

о

sin

sin

X — Xk

2

x-xk
2

dx = —— cosmxk,
m

dx = — — sinmzfc,

(51.55)

*
о

m

где Xk = iirk/N, k = 1,2,... ,N.

Весовая функция a(n) должна удовлетворять следующим условиям

(тождественность квадратурной формулы для F = 1, F = cos mx, F =

= sinmz):

2тг	N

In sin dx =	- k>)<

0	-7 = 1

2tt

*

cosmz In

о

2tt
*

sin mx In

о

sin

sin

X — Xk
~2~

X - Xk
~2~

27Г N

dx — —	a(j — k) cos mxj,

j=i

2 N

dx =	a(j — k) sin mxj,

j=i

где m = 1,2,..., M = N/2.

Подставляя выражения интегралов (51.55), получим для значений
весовой функции a(j — к) следующую систему уравнений:

N

=-TV In 2,
j=l

f Q(; - t) cos =
j=l

N

cos mXk,
Zm

(51.56)

f O(J- - t) sin =

j=l

N .

-K—sin mxk,
2m

где m = 1,2,..., M, Xk = 2^k/N.
Введем комплексное число

в = cos + i sin - ez2ir/N,

тогда система уравнений (51.56) будет эквивалентна следующей:

- k)VN = -ЛПп2,	- k)VM =

j=l	j=l

N	M

=	(51.57)

j=l

N	KT

^a(j-k)0-mj = -^-0-mk,m=	I.

j=l

Суммируя уравнения (51.57), получим

=—N ( In 2 +

cos

2irmk

(51.58)

Принимая во внимание равенство

м-\	M-l	N—I

Q-mj _	Qmj >

т= I	m=l	т=М+\

сумму в левой части равенства (51.58) можно упростить:

M-l	N

У^	gMj gNj _ у^ gvnj

т=\	m=l

При j = N имеем 0mN = I, а при j < N

g) _ g](N+\)
i -ej

Таким образом,

м-\

(0mj + 0-mj) + eMj + oNj = N6Nj
m=I
и равенство (51.58) приводится к виду

/ат	1 о । (—l)fc ।	1 2тгтк

a(N — к) = — In 2 + —гг—И > — cos —гт—.

v 7	N	т N

771=1

Это равенство эквивалентно выражению (48.6), так как

2тгтк
cos —rv—

= cos

27rm(N — к)
N

что и требовалось доказать.

2.	Вывод уравнения изменения кривизны. Пусть r(Z, Q — пара-
метрическое уравнение радиуса-вектора профиля волны изменяющейся
во времени. Пусть и — компоненты скорости движения
маркеров, v — нормальная к профилю волны, v — касательная. Тогда
имеем равенства

<51-59>

где z(cos0, sin0) и v(— sin0, cos0) — единичные векторы касательной
и нормали к кривой.

тл	д дг д дг	,С1

Из равенства	и равенств (51.59) вытекает, что

(51.60)

Воспользуемся формулами дифференцирования векторов т, v по ( и f:

дх _ дЗ dv _ д0

и, подставив их в (51.60), получим:

Из полученного векторного уравнения следуют два скалярных:
ди . дв d(lf)	дЗ	и дЗ 1 dv	/С1

S!+'s?= »	S = if S( “ if к	(5161)

Если продифференцировать по С, второе уравнение (51.61) и сделать
замены

K = kl, V = J, U = j, ^=fkl = fK,	(51.62)

то получим искомое уравнение для изменения кривизны профиля:

dfK _ д ufK - av/dc

dt ~ д<; f	(Ь1Ьг5)

Уравнение (51.63) имеет дивергентную форму, удобную для построения
численной схемы, консервативной по отношению к величине fK.
3.	Перераспределение точек на неподвижном профиле. Предпо-
ложим, что точки на неподвижном профиле х(^), у(&) распределены
на профиле с плотностью Требуется перераспределить их так,
чтобы их плотность была равна /1(C)- Такая задача возникает для
более точных вычислений в окрестности точки профиля с большой
кривизной. Для этого воспользуемся формулой для изменения про-
извольной характеристики g(s), зависящей только от координаты s
на профиле. В частности, это могут быть координаты точки х, у,
угол касательной 0, кривизна к и т. д. Зависимость характеристики g
от параметра при изменении функции распределения /(£,£) можно
найти с помощью замены s(t, £) = IfdC*. Тогда получим функцию
g(s(t,£)) и следующее уравнение: 0

0g _ ds dg _ dg
dt dt ds U ds'

В обозначениях (51.62) это уравнение примет вид

Пользуясь уравнением (51.21), выведенному уравнению можно придать

дивергентный вид

ЭЦу) __ д(Цд)
dt d(

Отсюда перераспределение точек на неподвижном профиле можно
осуществить, решая следующую систему уравнений:

df_ = dU	d(Jx)	= d(Ux)	d(Jy)	= d(Uy)	,,	.

dt dC dt dC ’ dt dC '	V	'

В нее подставим функцию распределения f(t,Q =/о(С) + *(/i(C) _
- /о(С))- С помощью нее распределение /о(С) при t = 0 на отрезке
t е [0,1] непрерывно преобразуется в распределение при t = 1.
Из первого уравнения найдем

С

и= |(/1(С)-/оЖ
о

Подставив этот интеграл во второе и третье уравнение (51.64) и ин-
тегрируя их по t на отрезке t е [0,1], получим координаты точек на
профиле с новым распределением точек.

51	.8. Справочные формулы метода граничных элементов.

Формула Эйлера-Маклорена:

у(х) dx = h^Vj + $ (Уо - Vn) - Y2 Mn “ Уо) + (Vn ~ Уо") “ • • •
0	-7=1

В2 m ц2т[Л,(2т— 1)	(2m-l)-| , D

~У°
л2го = -ih2m+2,^2 у(2т+2\е),
l^llV J £ I •

В4 = -эд, Вб - 42, В8 = — 30. Ве(о, Z).

Формула Эйлера-Маклорена для бесконечно-дифференцируемой пери-
одической функции:

2/(х) dx = h yj + Я, R = o(hn).

о	j=1

Формула Эйлера-Маклорена для четырежды непрерывно-дифференци-
руемой функции:

у(х) dx = h^yj + ^(y0-yN)-^ (y'N ~Уо) + 1£х) у4(^'

о	>=1

Квадратурные формулы для интегралов с логарифмической особен-
ностью:

F(x) In |sin у (x — Xi)\dx =	— j\)F(xj),

о	-?=1

a(m) = - (in 2 +	+ £ 1 cos 2^),

M = %, 771 = 0,1,2,. ..N,
£

о

j|) +едо)>

J=1

i,j = 1,2,...AT, Ci = ^,

/3(m) = - In sin

m=l,2, ...N, /3(0) = a(0),

Gij —

G« = g(O,Ci)= lim [С(СьС)-Кг1п|8ттг(С-^)|],

G«i, 0 = Ki In |sin 7T« - Ci)I + g(C, 0,

где F(0, g(Ci,0 — аналитические функции от аргумента £ периода
единица.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.	Абрашкин А.А., Якубович Е.И. Вихревая динамика в лагранжевом опи-
сании. — М.: Физматлит, 2006. — 176 с.

2.	Аганин А.А., Ильгамов М.А., Косолапова Л.А., Малахов В.Г. Эллип-
соидальные колебания газового пузырька при периодическом изменении
давления окружающей жидкости // Изв. РАН. Мех. жидк. и газа. 2005.
№ 5. С. 45-52.

3.	Акуленко Л.Д. Асимптотический анализ динамических систем, подвер-
женных высокочастотным воздействиям // ПММ. 1994. Т. 58, вып. 3.
С. 23-31.

4.	Алексеенко С. В. Введение в теорию концентрированных вихрей. —
М.-Ижевск, 2005. — 504 с.

5.	Андреев В.К., Пухначев В.В. О движении конечной массы жидкости //
Ж. прикл. мех. и техн. физ. 1979. №2. С. 25-43.

6.	Айзерман М.А. Классическая механика. — М.; Наука, 1980. — 367 с.

7.	Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — М.:
Эдиториал УРСС, 2000. — 408 с.

8.	Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференци-
альных уравнений. — М.: Наука, 1978. — 304 с.

9.	Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты
классической и небесной механики // Итоги науки и техники. Сер. Совр.
пробл. математики. 1985. Т. 3. — 304 с.

10.	Апштейн Э.3.у Григорян С.С., Якимов Ю.Л. // Изв. АН СССР. Мех.
жидкости и газа. 1969. №3. С. 100-104.

Ахманов С.А.У Сухоруков А.П.у Хохлов Р.В. // ЖЭТФ. 1966. Т. 23.
С. 1025-1035.

12.	Бабенко К.И., Васильев М.М. Об асимптотическом поведении стационар-
ного течения вязкой жидкости вдали от тела // ПММ. 1973. Т. 37, вып. 4.
С. 690-705.

13.	Бабский В. Г., Капачевский Н.Д., Мышкис А.Д. и др. Гидромеханика
невесомости. — М.: Наука, 1976. — 504 с.

14.	Батищев В. А. Асимптотика осесимметрических течений со свободной
границей при исчезающей вязкости // Ж. прикл. мех. и техн. физ. 1975.
№3. С. 101-109.

15.	Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. — М.:
Наука, 1980. — 367 с.

16.	Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошной сре-
ды. — М.: Наука, 1983. — 448 с.

17.	Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. —
М.: Мир, 1971.

18.	Биркгоф Г. Гидродинамика. — М.: ИЛ, 1963, С. 98-109.
19.	Биркгоф Г. Математический анализ кавитации // Пер. с англ. Механика.
Период, сб. перев. 1972. №3.

20.	Биркгоф Г., Сарантонелло Э. Струи, следы, каверны. — М.: Мир, 1964.
С. 115.

21.	Биркгоф Д.Д. Динамические системы. — М.-Л.: Гостехиздат, 1941. —
320 с.

22.	Бляшке В. Дифференциальная геометрия. — М.: ИИЛ, 1935.

23.	Богаевский В.Н., Повзнер А.Я. Алгебраические методы в нелинейной
теории возмущений. — М.: Наука, 1987. — 255 с.

24.	Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в тео-
рии нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1974. — 503 с.

25.	Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного
исчисления. — М.: Высшая школа, 1966. — 252 с.

26.	Бородин В.А., Дитякин Ю. Ф., Клячко Л. А., Ягодкин В.И. Распыливание
жидкостей. — М.: Машиностроение, 1967.

27.	Брюно А.Д. Ограниченная задача трех тел. — М.: Наука, 1990. 296 с.

28.	Брюно А. Д., Петров А. Г. О вычислении нормальной формы // Докл. РАН.
2006. Т. 410, № 4. С. 474-478.

29.	Брюно А.Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений // Тр.
Московск. матем. общ. 1972. Т. 26. С. 199-238.

30.	Бутов В.Г., Васенин И.М., Шрагер Г.Р. Деформация капли в вязком
потоке и условия существования ее равновесной формы // ПММ. 1982.
Т. 46, №6. С. 1045-1049.

31.	Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. Ч. 1. — М.: Нау-
ка, 1967. 467 с.; Ч. 2. 1967. - 332 с.

32.	Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. — М.: Мир, 1973. — 758 с.

33.	Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. — М.: Мир,
1967. - 310 с.

34.	Васин А.Д. Расчет осесимметричных каверн за диском в сверхзвуковых
потоках // Изв. РАН. Мех. жидк. и газа. 1997. №4. С. 54-62.

35.	Васенин И.М., Нефедов А.П., Шрагер Г.Р. Метод расчета течений вязкой
жидкости со свободной поверхностью // В кн.: Числ. методы механики
сплошной среды. — Новосибирск, 1985. Т. 16, №6. С. 28-43.

36.	Висицкий Е.В., Петров А. Г. О структурировании твердых частиц в жид-
кости в поле ультразвуковой стоячей волны // ДАН СССР. 2006. Т. 408.
№ 6. С. 762-766.

37.	Воинов О.В., Гуревич М.И. О силах, действующих на тонкое осесиммет-
ричное тело, ориентированное параллельно дну // Изв. РАН. Мех. жидк.
и газа. 1974. №2. С. 169-172.

38.	Воинов О. В. О выводе уравнений движения твердого тела в жидкости //
Вести. МГУ. 1970. №3. С. 64-68.

39.	Воинов О. В. О силе, действующей на сферу в неоднородном потоке
идеальной несжимаемой жидкости // Ж. прикл. мех. и техн. физ. 1973.
№4. С. 182-184.

40.	Воинов В.В., Воинов О.В., Петров А.Г. Гидродинамическое взаимодей-
ствие тел в идеальной несжимаемой жидкости и их движение в неодно-
родных потоках // ПММ. 1973. Т. 37, вып. 4. С. 680-689.
41.	Воинов В.В., Воинов О.В., Петров А.Г. Метод расчета потенциального
обтекания тела вращения потоком несжимаемой жидкости // Ж. выч. мат.
и мат. физики. 1974. Т. 14, №3. С. 797-802.

42.	Воинов В.В., Воинов О.В. Численный метод расчета нестационарных дви-
жений идеальной несжимаемой жидкости со свободными поверхностями //
ДАН СССР. 1975. Т. 221, № 3. С. 559-562.

43.	Воинов В.В., Воинов О.В. О движении и заполнении полостей в безгра-
ничной жидкости и около плоскости // Ж. прикл. мех. и техн. физ. 1975.
№ 1. С. 89-95.

44.	Воинов О.В., Воинов В.В. Численный метод расчета нестационарных дви-
жений идеальной несжимаемой жидкости со свободными поверхностями //
ДАН СССР. 1975. Т. 221, № 3. С. 559-562.

45.	Воинов В.В., Воинов О.В. О схеме захлопывания кавитационного пузырь-
ка около стенки и образования кумулятивной струйки // ДАН СССР.
1976. Т. 227, № 1. С. 63-66.

46.	Воинов В.В., Головин А.М., Петров А.Г. Движение эллипсоидального
пузырька в жидкости малой вязкости // Ж. прикл. мех. и техн, физики.
1970. №3. С. 76-81.

47.	Воинов О.В., Петров А.Г. Движение сферы переменного объема в иде-
альной жидкости около плоской поверхности // Изв. АН СССР, Мех.
жидкости и газа. 1971. №5. С. 94-103.

48.	Воинов О.В., Петров А.Г. Функция Лагранжа газового пузырька в неод-
нородном потоке // ДАН СССР. 1973. Т. 210, №5. С. 1036-1039.

49.	Воинов О.В., Петров А.Г. О перемещении деформирующихся тел в
идеальной жидкости из состояния покоя // ДАН СССР. 1973. Т. 212, № 3.
С. 1086-1088.

50.	Воинов О.В., Петров А.Г. Движение малой сферы в неоднородном по-
токе несжимаемой жидкости // Ж. прикл. мат. и техн. физ. №5. 1973.
С. 57-61.

51.	Воинов О.В., Петров А.Г. Движение пузырьков в жидкости // В кн:
Итоги науки и техники. Мех. жидкости и газа. 1976. Т. 10. С. 86-147.

52.	Воинов О.В., Петров А.Г. Об устойчивости малого тела в неоднородном
потоке // ДАН СССР. 1977. Т. 237, №6. С. 1303-1306.

53.	Воинов О.В., Петров А.Г. 0 течениях с замкнутыми линиями тока и
движении капель при больших числах Рейнольдса // Изв. АН СССР, Мех.
жидкости и газа. 1987. №5. С. 61-70.

54.	Воинов О.В., Петров А.Г, Шрагер Г.Р. О модели течения внутри жидкой
капли, обтекаемой газом // Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. 1989. №6.
С. 167-170.

55.	Габов С. А. Введение в теорию нелинейных волн. М.: Изд-во МГУ,
1988. - 177 с.

56.	Ганиев Р.Ф., Украинский Л.Е. Динамика частиц при воздействии вибра-
ций. — Киев: Наукова думка, 1975. — 168 с.

57.	Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. — М.: Физматлит,
2001. - 264 с.

58.	Гарипов Р.М. Движение рыб в идеальной жидкости без образования
вихрей // Проблемы математики и механики. Сб. научных трудов, посвя-
щенных памяти акад. М.А. Лаврентьева. — Новосибирск: Наука, 1983.
С. 36-46.

59.	Гарипов Р.М. Эллипсоидальная капля или вихрь в неоднородном потоке //
Ж. прикл. мех. и техн. физ. 1996. Т. 37. №4. С. 76-80.

60.	Гельфрейх В.Г., Лазуткин В.Ф. Расщепление сепаратрис: теория возму-
щений, экспоненциальная малость // УМН. 2001. Т. 56, вып. 3. С. 79-142.

61.	Гидродинамическая теория смазки. — Л.: Гостехиздат, 1934. — 574 с.

62.	Головин А.М. К теории колебаний и дробления капли в газовом потоке
при наличии вихревого движения внутри капли // Изв. АН СССР. Сер.
геофизическая. 1964. №7. С. 697-706.

63.	Головин А.М., Иванов М.Ф. Движение пузырька в вязкой жидкости //
Ж. прикл. мех. и техн. физ. 1971. № 1. С. 107-111.

64.	Гонор А.Л., Золотова Н.В. Торможение и деформация жидкой капли в
потоке газа // МЖГ. 1981. №2. С. 58-69.

65.	Гонор А.Л., Ривкинд В.Я. Динамика капли // Итоги науки и техники.
Мех. жидкости и газа. 1982. Т. 17. С. 88.

66.	Гордин К.А., Истратов А. Г., Либрович В.Б. В кинетике деформации и
дробления жидкой капли в газовом потоке // Изв. АН СССР. Мех. жидк.
и газа 1969. № 1. С. 8-16.

Ы.Громека И.С. Собр. сочинений. — М.: Изд-во АН СССР, 1952.
С. 206-230.

68.	Григорян С. С. Приближенное решение задачи об отрывном обтекании
осесимметричного тела // ПММ. 1959. Т. XXIII, вып. 5.

69.	Гузевский Л. Г. Аппроксимационные зависимости для осесимметричных
каверн за конусами // В сб. научн. трудов: Гидродинамические течения
и волновые процессы. — Новосибирск, 1983.

70.	Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. — М.: Наука, 1979.

71.	Дроздова Ю.А., Куликовский А.Г. // Изв. РАН. Мех. жидк. и газа 1996.
№5. С. 136-145.

72.	Егоров И. Т., Садовников Ю.М., Исаев И.И., Басин М.А. Искусственная
кавитация. — Л., Судостроение, 1971.

73.	Жермен П. Курс механики сплошных сред. — М.: Высшая школа, 1983. —
399 с.

74.	Жуковский Н.Е. Определение движения жидкости при каком-нибудь
условии, данном на линии тока // Журн. Русск. физико-хим. о-ва. 1891.
Т. XXII; см. также собр. соч.

75.	Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, напол-
ненные однородной капельной жидкостью // Избран, соч. Т. 1. — М.-Л.:
Гостехиздат, 1948. С. 31-152.

76.	Жуковский Н.Е. Обобщение задачи Бьеркнеса о гидродинамических си-
лах, действующих на пульсирующие тела внутри жидкой массы // Собр.
соч. Т. 2. Гидродинамика. — М.-Л.: Гостехиздат, 1949.

77.	Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. — М.: Наука, 1997. —
320 с.

78.	Журавлев В. Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. —
М.: Наука, 1988. - 325 с.

79.	Журавлев В. Ф. Инвариантная нормализация неавтономных гамильтоно-
вых систем // ПММ. 2002. Т. 66, вып. 3. С. 356-365.
80.	Зайцев В.Ф.У Полянин А.Д. Справочник по дифференциальным уравне-
ниям с частными производными. — М.: Межд. программа образования,
1996. - 495 с.

81.	Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. — М.: Наука,
1983. - 430 с.

82.	Зарипов М.Н., Петров А. Г. Нелинейные колебания качающейся пружи-
ны // ДАН. 2004. Т. 399. № 3. С. 347-352.

83.	Захаров В.Е. Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на
поверхности глубокой жидкости // Ж. прикл. мех. и техн. физ. 1968. №2.
С. 74-80.

84.	Иванов А.Н. Гидродинамика развитых кавитационных течений. — Л.:
Судостроение. 1980.

85.	Ильичев А.Т. Уединенные волны в моделях гидромеханики. — М.:
Физматлит, 2003. — 256 с.

86.	Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнени-
ям. — М.: Наука, 1971. — 576 с.

87.	Кирхгоф Г. Механика. — М.: Изд-во АН СССР, 1962.

88.	Киселев О.М. К задаче о газовом пузыре в плоском потоке идеальной
жидкости // Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа 1969. №4. С. 13-23.

89.	Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы тео-
рии. — М.: Постмаркет, 2000. — 350 с.

90.	Климов Д.М., Петров А.Г., Георгиевский Д.В. Вязкопластические тече-
ния: динамический хаос, перемешивание. — М.: Наука, 2004. — 394 с.

91.	Клячко Л. А. К теории дробления капли потоком газа // Инж. ж. 1963.
Вып. 3.

92.	Кожуро Л. А. Расчет осесимметричного струйного обтекания тел по схеме
Рябушинского // Уч. зап. ЦАГИ. 1980. Т. XI, №5. С. 109-115.

93.	Козлов В. В. Об одной задаче Кельвина // Прикл. матем. и мех. 1989.
Т. 53, вып. 1. С. 165-167.

94.	Козлов В.В.У Рамоданов С.М. // Прикл. матем. и мех. 2001. Т. 55, вып. 4.
С. 592-595.

95.	Козлов В. В. Общая теория вихрей. — Ижевск: Изд. дом «Удмуртский
ун-т», 1998. — 238 с.

96.	Кондратьев Б.П. Теория потенциала и фигуры равновесия. — М.:
Ижевск, 2003. — 624 с.

97.	Кондратьев Б.П. Динамика и устойчивость жидкого трехосного эллипсо-
ида // МЖГ. 2005. № 5. С. 53-60.

98.	Коул Дж.Д. Методы возмущений в прикладной математике. — М.: Мир,
1972. С. 193-206.

99.	Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. — М.:
Изд-во АН СССР, 1951.- 426 с.

100.	Кочин Н.Е., Кибелъ И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика.
Т. 1. 2. — М.: Физматгиз, 1963.

101.	Лаврентьев М.А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного
пременного. — М.: Наука, 1973. — 716 с.

102.	Лаврентьев М.А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их матема-
тические модели. — М.: Наука, 1977. — 416 с.

103.	Ламб Г. Гидродинамика. — М.-Л.: Гостехиздат, 1947. — 928 с.
104.	Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. — М.: Наука, 1965. — 203 с.

105.	Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. — М.: Наука, 1986. — 733 с.

106.	Левин В. Г. Физико-химическая гидродинамика // М.: Физматгиз, 1959. —
699 с.

107.	Петров А. Г. Циркуляция внутри вязких деформированных капель, дви-
жущихся в газе с постоянной скоростью // Ж. прикл. мех. и техн. физ.
1989. Т. 304, №5. С. 1082-1086.

108.	Петров А. Г. Скорость диссипации энергии вязкой жидкости с условием
для касательного напряжения на граничной линии тока // ДАН СССР.
1989. №6. С. 127-134.

109.	Лихоманов Н.И., Петров А. Г. Обтекание плоскопараллельным потоком
газовой полости // Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа 1975. № 5. С. 22-26.

ПО. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. —
Череповец: Меркурий пресс, 1983. — 528 с.

111.	Ли Чжи, Сибгатуллин Н.Р. // Прикл. матем. и мех. 1997. Т. 61, вып. 2.
С.184-189.

112.	Линь Ц.Ц. Теория гидродинамической устойчивости. — М.: ИЛ, 1958.

113.	Логвинович Г. В. Гидродинамика течений со свободными границами. Ки-
ев: Наукова думка, 1969.

114.	Логвинович Г.В., Серебряков В.В. О методах расчета формы тонких осе-
симметричных каверн // В кн.: Гидромеханика. Вып. 32. — Киев: Наукова
думка, 1975.

115.	Лойцанский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1973. — 848 с.

116.	Лойцанский Л. Г. Ламинарный пограничный слой. — М.: Физматгиз,
1962. - 479 с.

117.	Ляпунов А.М. Об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия вра-
щающейся жидкости // Собр. соч. Т. 3. — М., 1959. С. 5-113.

118.	Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. — М.:
Наука, 1977.

119.	Маклаков Д. В. Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных тече-
ний с неизвестными границами границами. — М.: Янус-К., 1997. — 281 с.

120.	Маклаков Д. В. Об установившихся волнах, генерируемых движущимся
телом, и волновым сопротивлением // Докл. РАН. 2001. Т. 379, №4.
С.479-482.

121.	Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. —
М.: Наука, 1978. - 312 с.

122.	Маркеев А.П. О динамике сферического маятника с вибрирующим подве-
сом // ПММ. 1999. Т. 63, вып. 2. С. 213-219.

123.	Матвеев Л. Г. Курс общей метеорологии. — Л.: Гидрометиздат, 1976.
С.488.

124.	Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. — М.: Мир, 1974. —
318 с.

125.	Милн-Томпсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. — М.: Мир, 1964. —
655 с.

126.	Моисеев Н.Н., Румянцев В. В. Динамика тела с полостями, содержащими
жидкость. — М.: Наука, 1965. — 440 с.

127.	Найфе А.Х. Методы теории возмущений. — М.: Мир, 1976. — 446 с.
128.	Нейштадт А. И. О разделении движений в системах с быстро вращаю-
щейся фазой // ПММ. 1984. Т. 48, вып. 3. С. 197-204.

129.	Нестерук И. Г. О форме тонкой осесимметричной нестационарной кавер-
ны // Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. 1980. №4.

130.	Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. — М.: Наука,
1978. С. 148-154.

131.	Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. 4.1. — М.: Наука,
1987. - 464 с.; 4.2. - 359 с.

132.	Овсянников Л. В. Общие уравнения и примеры // В сб.: Задача о неуста-
новившемся движении жидкости со свободной границей. — Новосибирск:
Наука, 1967.

133.	Перепелкин В.В., Петров А.Г. О движении эллиптического вихря // Изв.
АН СССР. Мех. жидк. и газа 1983. №4. С. 55-60.

134.	Перник А.Д. Проблемы кавитации. — Л.: Судостроение, 1965. — 439 с.

135.	Петров А. Г. Криволинейное движение эллипсоидального пузырька //
Ж. прикл. мех. и техн. физ. 1971. №3. С. 90-93.

136.	Петров А. Г. Динамика плоской полости в жидкости малой вязкости //
Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. 1973. №5. С. 15-23.

137.	Петров А. Г. Устойчивость фигуры равновесия газового пузырька в одно-
родном потоке идеальной жидкости // Ж. прикл. мех. и тех. физ. 1974.
№ 5. С. 49-54.

138.	Петров А. Г. О движении рингов Гольфстрима // Океанология. 1980. Т. 20,
вып. 6. С. 965-973.

139.	Петров А.Г. Устойчивость цилиндрических вихрей // В сб.: Динамика
сплошной среды. 1981. Вып. 53. С. 103-116.

140.	Петров А. Г. Вариационный принцип Гамильтона для движения контура
переменной формы в вихревом плоскопараллельном потоке // В сб.: Ди-
намика сплошной среды. 1981. Вып. 52. С. 88-109.

141.	Петров А. Г. Прямой вариационный метод расчета плоских и осесим-
метричных кавитационных течений // ДАН СССР. 1981. Т. 257, №6.
С. 1323-1327.

142.	Петров А. Г. Принцип минимума и устойчивость стационарного движения
полости в жидкости, обладающей поверхностным натяжением // Вести.
МГУ. Сер. 1. Матем., мех. 1981. №3. С. 71-75.

143.	Петров А. Г. Принцип Гамильтона и некоторые задачи динамики идеаль-
ной жидкости // Прикл. матем. и мех. 1983. Т. 47, вып. 1. С. 48-55.

144.	Петров А.Г., Сотина И.Б. Универсальные, независящие от формы ка-
витатора, зависимости при малых числах кавитации // Ж. прикл. мех.
и техн. физ. 1984. №6. С. 47-55.

145.	Петров А. Г. Криволинейное движение эллипсоидального пузырька //
Ж. прикл. мех. и тех. физ. 1971. №3. С. 90-93.

146.	Петров А. Г. Функция Лагранжа для вихревых течений и динамика де-
формированных капель // ПММ. 1977. Т. 41, вып. 1. С. 79-94.

147.	Петров А. Г. Сила сопротивления, действующая на осесимметричное
нетонкое тело при малых числах кавитации // ДАН СССР. 1985. Т. 282,
№6. С. 1320-1323.

148.	Петров А. Г. Асимптотические разложения для тонких осесимметричных
каверн // Ж. прикл. мех. и техн. физ. 1986. № 5. С. 45-49.
\49.	Петров А.Г., Смолянин В.Г. Принцип Гамильтона и волны на поверх-
ности тяжелой жидкости // Механика, современные проблемы. 1987.
С. 57-63.

150.	Петров А.Г., Смолянин В.Г. Расчет профиля капиллярно-гравитационной
волны на поверхности тяжелой жидкости конечной глубины // Вести.
МГУ. 1991. №3. С. 92-96.

151.	Петров А.Г., Смолянин В.Г. Расчет нестационарных волн на поверхности
тяжелой жидкости конечной глубины // Прикл. матем. и мех. 1993. Т. 57,
вып. 4. С. 137-143.

152.	Петров А.Г., Смолянин В.Г. Уравнение для кривизны и интерполяции
линии, меняющейся во времени // Вести. МГУ. Сер. 1. Матем., мех. 1995.
№6. С. 69-71.

153.	Петров А. Г., Смолянин В.Г. Уравнение для кривизны линии, меняющей-
ся во времени и имеющей заданное распределение отмеченных на ней
точек // УМН. 1995. Т. 50, вып. 5. С. 249-250.

154.	Петров А.Г. Об усреднении гамильтоновых систем с периодическим по
времени гамильтонианом // Докл. РАН. Механика. 1999. Т. 368, №4.
С.483-488.

155.	Петров А. Г. Неустойчивость положения равновесия тяжелого шара в ста-
ционарном потенциальном неоднородном потоке // ПММ. 1999. Т. 63,
вып. 3. С. 482-488.

156.	Петров А. Г. Интегрирование уравнений длинных волн в форме
Дроздовой-Куликовского // Докл. РАН. Механика. 2000. Т. 373, № 6.
С. 762-766.

157.	Петров А. Г. О движении частиц несжимаемой среды в области с периоди-
чески изменяющейся границей // Изв. РАН. Мех. жидк. и газа 2000. № 4.
С. 12-17.

158.	Петров А. Г. Об усреднении гамильтоновых систем // МТТ. 2001. №3.
С. 19-32.

159.	Петров А. Г. Параметрический метод отображений Пуанкаре в гидроди-
намических системах // ПММ. 2002. Т. 66, вып. 6. С. 356-365.

160.	Петров А. Г. Асимптотический метод построения отображения Пуанкаре
при описании перехода к динамическому хаосу в гамильтоновых систе-
мах // Докл. РАН. 2002. Т. 382. № 1. С. 15-19.

161.	Петров А. Г. Модификация метода инвариантной нормализации гамильто-
нианов с помощью параметризации канонических преобразований // Докл.
РАН. Механика. 2002. Т. 386, №4. С. 343-347.

162.	Петров А. Г. Метод отображений Пуанкаре в гидродинамических систе-
мах. Динамический хаос в жидком слое между эксцентрично вращающи-
мися цилиндрами // Ж. прикл. мех. и техн. физ. 2002. №6. С. 3-21.

163.	Петров А. Г. Асимптотические методы решения уравнений уравнений Га-
мильтона с помощью параметризации канонических преобразований //
Диф. ур. 2004. Т. 40, № 5. С. 1-13.

164.	Петров А. Г. Об инвариантной нормализации неавтономных гамильтоно-
вых систем // ПММ. 2004. Т. 68, вып. 6.

165.	Петров А.Г. Нелинейные колебания качающейся пружины при резонан-
се // МТТ. 2006. Вып. 5. С. 18-28.
166.	Петров Н.П. Трение в машинах и влияние на него смазывающей жидко-
сти. Инж. ж. 1883.

167.	Петров А. Г. Интегрирование уравнений Буссинеска для стационарных
течений жидкости в каналах и струях // МЖГ. 2007. №7. С. 111-123.
Петров Н.П. Трение в машинах и влияние на него смазывающей жидко-
сти // Инж. журн. 1883.

168.	Петрова С. И. Форма равновесия полости, ограниченной упругой пленкой
в однородном потоке жидкости // Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа 1971.
№ 1.

169.	Прандтль Л.у Титъенс О. Гидро- и аэромеханика. Т. 1, 2. — М., 1932.

170.	Пуанкаре А. Избранные труды в трех томах. Т. II. — М.: Наука, 1972. —
999 с.

171.	Пухначев В. В. Асимптотика осесимметричного решения задачи обтека-
ния для уравнения Навье-Стокса // ДАН СССР. 1969. Т. 186, №2.
С. 283-285.

172.	Пухначев В. В. Неклассические задачи теории пограничного слоя. — Но-
восибирск: Изд-во НГУ, 1979.

173.	Пухначев В. В. Малые возмущения плоского неустановившегося движе-
ния идеальной несжимаемой жидкости со свободной границей, имеющей
форму эллипса // Ж. прикл. мех. и техн. физ. 1971. №4. С. 53-62.

174.	Пухначев В. В. Переменные Мизеса в задачах со свободной границей для
уравнений Навье-Стокса // ДАН СССР. 1973. Т. 210, №2. С. 298-301.

175.	Ривкинд В. Я. Некоторые методы расчета течений вязких несжимаемых
жидкостей с неизвестной границей раздела // Численные методы мех. спл.
среды. 1981. Т. 12, №4. С. 106-113.

176.	Ривкинд В.Я., Рыскин Г.М. Структура течения при движении сфериче-
ской капли в жидкой среде в области переходных чисел Рейнольдса //
Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. 1976. № 1. С. 8-15.

177.	Ривкинд В.Я., Рыскин Г.М., Фишбейн Г.А. Обтекание сферической кап-
ли в переходной области чисел Рейнольдса // ПММ. 1976. Т. 40, вып. 4.
С.741-745.

178.	Румянцев В. В. Об устойчивости движения твердого тела с жидкостью,
обладающей поверхностным натяжением // ПММ. 1964. Т. 28, вып. 4.
С. 746-753.

179.	Румянцев В. В. К теории движения твердых тел с полостями, наполнен-
ными жидкостью // ПММ. Т. 30, вып. 1. 1966. С. 51-66.

180.	Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод в теории устойчивости. — М.:
Мир, 1980. — 300 с.

181.	Самсонов В. А. О задаче минимума функционала при исследовании устой-
чивости движения тела с жидким наполнением // ПММ. Т. 31, вып. 3.
1967. С. 523-526.

182.	Свиркунов П.Н. Неустановившиеся осесимметричные течения в прибли-
жении теории мелкой воды // ПММ. Т. 60, вып. 3. 1996. С. 523-526.

183.	Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1. 2. — М: Наука, 1976.

184.	Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. — М.:
Физматлит, 1980. — 448 с.

185.	Седов Л. И. Теория подобия и размерности в механике. — М.: Наука,
1972. - 438 с.
186.	Селиджер Р.Л.У Уизем Дж. Б. Вариационные принципы в механике сплош-
ной среды // Механика. 1969. Т. 117, №5. С. 99-123.

187.	Серрин Дж. Математические основы классической механики. — М.: ИЛ,
1963. - 256 с.

188.	Слезкин Н.А. Обтекание плоским потоком идеальной жидкости газона-
полненной оболочки // ДАН СССР. 1936. №3. С. 101. 102.

189.	Слезкин Н.А. Обтекание наполненной газом оболочки плоским потоком
идеальной жидкости // Уч. зап. МГУ. 1951. Т. 3, вып. 152. С. 61-75.

190.	Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. — М.:
Гостехиздат, 1955. С. 221-224.

191.	Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. II. — М.: Наука, 1967. — 655 с.

192.	Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. IV. — М.: Наука, 1981. —
550 с.

193.	Соболев С. Л. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1966. —
443 с.

194.	Сотина Н.Б. Асимптотический закон расширения каверны при наличии
в потоке гидродинамических особенностей // Изв. АН СССР. Мех. жидк.
и газа. 1977. №3. С. 153-155.

195.	Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. — М.: Наука,
1977. - 815 с.

196.	Старжинский В.М. Прикладные методы нелинейных колебаний. — М.:
Наука, 1977. 256 с.

197.	Стеклов В. А. О движении твердого тела в жидкости // Харьков, 1993. —
234 с.

198.	Сэффмэн Ф.Дж. Динамика вихрей. — М.: Науч, мир, 2000. — 376 с.

199.	Тарг С.М. Основные задачи теории ламинарных течений. — М.: Гостех-
издат, 1951.

200.	Татаринов Я. В. Лекции по классической динамике. — М.: Изд-во МГУ,
1984. - 295 с.

201.	Тихонов А.И, Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.:
Наука, 1972. С. 246-250.

202.	Неустановившиеся течения воды с большими скоростями / Тр. Межд.
симп. Ленинград. 22-26 июля 1971 г. — М.: Наука, 1973.

203.	Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977.

204.	Уиттекер Е. Т, Ватсон Т.Н. Курс современного анализа. Ч. I. — М.-Л.:
ГТТИ, 1933. - 340 с.

205.	Уоллис Г. Одномерные двухфазные течения. — М.: Мир, 1972. — 440 с.

206.	Федорюк М.В. Асимптотика интегралы и ряды. — М.: Наука, 1987. 1987.
С. 39-43.

207.	Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.
Т. 2. — М.: Физматгиз, 1962. С. 507-511.

208.	Хаотические системы // Тр. инет, инженеров по электронике и радиоэлек-
тронике. 1987. Т. 75, №8. — 170 с.

209.	Хаскинд М.Д. Неустановившееся движение твердого тела в ускоренном
потоке безграничной жидкости // ПММ. 1956. Т. 20, вып. 1.

210.	Чандрасекхар С. Эллипсоидальные фигуры равновесия. — М.: Мир,
1973. - 288 с.
211.	Чаплыгин С.А. О давлении плоскопараллельного потока на преграждаю-
щие тела. (К теории аэроплана.) // Матем. сб. 1910. Т. XXVIII.

212.	Чаплыгин С.А. О некоторых случаях движения твердого тела в жидко-
сти // Поли. собр. соч. С. А. Чаплыгина. Т. 1. — М.: АН СССР, 1933.
С. 1-132.

213.	Чаплыгин С. А. Собр. соч. Т. II. — М.: Гостехиздат, 1948.

214.	Черноусько Ф.Л. Движение твердого тела с полостью, содержащей
идеальную жидкость и пузырек воздуха // ПММ. 1964. Вып. 4. С. 735.

215.	Черноусько Ф.Л. // Прикл. матем. и мех. 1965. Т. 29, вып. 5. С. 856-862.

216.	Четаев Н.Г. Устойчивость движения. — М.: Наука, 1990. — 176 с.

217.	Шустер Г. Детерминированный хаос. — М., 1988. — 240 с.

218.	Эпштейн Л. А. Методы теории размерности и подобия в задачах гидро-
динамики судов. — Л.: Судостроение, 1970.

219.	Эшли X., Лендал М. Аэродинамика крыльев и корпусов летательных
аппаратов. — М.: Машиностроение, 1969.

220.	Якимов Ю.Л. Об осесимметричном срывном обтекании тела вращения
при малых числах кавитации // ПММ. 1968. Т. 32, вып. 3.

221.	Якимов Ю.Л. Ц Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа. 1973. №4.
С. 84-92.

222.	Яворский Н.И. Теория затопленных струй и следов. — Новосибирск: Инет,
теплофизики РАН СО. 1998. — 242 с.

223.	Akiyama Т., Yamaguchi К. Flow past a spherical drop or bubble at low
Reynolds number // Can J. Chern. Enj. 1975. V. 53, №6. P. 696-698.

224.	Aoki H. Higher order calculations of finite periodic standing gravity waves
by means of the computer // J. Phys. Soc. Japan. 1980. V. 49, №4.
P. 1598-1606.

225.	Basset A. A Treatise on Hydrodynamics. V. 1. — N. Y., 1861.

226.	Batchelor G.K. On steady laminar flow with close streamlines at a large
Reynolds number // J. Fluid Meeh. 1956. V. 1, pt. 2.

227.	Blake J.R., Gibson D.C. Cavitation bubbles near boundaries // Annu. Rev.
Fluid Meeh. 1987. V. 19. P. 99-123.

228.	Blasius H. Funktiontheoretishe Methoden in der Hydrodynamik // Zeitschr.
f. Math. u. Phys. 1910. Bd. LVIII.

229.	Brignell A.S. The deformation of a liquid at small Reynolds number // Q. J.
Meeh. Appl. Math. 1973. V. 26, № 1. P. 99-107.

230.	Bleich H.H. Jet Propulsion // J. Amer. Rocet Society. 1956. V. 26.
P. 958-964.

231.	Bryan Hydro dynamical Proof of the Equations of Motion of a Perforated
Solid // Phil. Mag. May, 1893.

232.	Brook В. T. Ц Q. J. Appl. Meeh. 1982. V. 40, № 2. P. 231-234.

233.	Cherry T.M. On the solution of Hamiltonian systems of differential equations
in the neighbourhood of singular point // Proc. London Math. Soc. Ser. 2.
1928. V. 27. P. 151-170.

234.	Clair B.P., Hamielec A.E. A Theoretical and Experimental Study of the
Internal Circulation in Water Drop Falling at Terminal Velocity in Air //
J. of the Atmosph. Sciences. 1972. V. 29, №4. P. 728-740.
235.	Cokelet E.D. Steep gravity waves in water of arbitrary depth // Phil. Trans.
Roy. Soc. - London, 1977. V. A286, № 1335. P. 183-230.

236.	Dennis S.C.R., Walker J. D. A. Calculation of the steady flow past a sphere
at low and moderate Reynolds numbers // J. Fluid Meeh. 1971. V. 48, pt 4.
P. 771-789.

237.	Dommermuth D.G., Yue D.K.P. Numerical simulations of nonlinear axisym-
metric flows with a free surface // J. Fluid Meeh. 1987. V. 178. P. 195-219.

238.	Williams J.E.y Ffowcs, Guo Y.P. On resonant nonlinear bubble oscillations //
J. Fluid Meeh. 1989. V. 224. P. 507-529.

239.	Garabedian P.R. // Bull. Amer. Math. Soc. May, 1956. V. 62, №3. P. 642.

240.	Green A.E., Naghdi P.M. A derivation of equations for waves propagation in
water of variable depth // J. Fluid Meeh. 1976. V. 78. P. 237-246.

241.	Garabedian P.R. The mathematical Theory of Three-dimensional Cavities
and jets // Bull. Amer. Math. Soc. 1956. V. 62, № 3. P. 219-235.

242.	Garabedian P.R. Calculation of Axially Symmetric Cavities and Jets //
Pacific J. Math. 1956. V. 6, №4. P. 611-684.

243.	Garabedian P.R., Lewy H., Schiffer M. Axially symmetric cavitational flow //
Ann. Math. 1952. V. 56, №3.

244.	Gunn R., Kinzer G.D. The terminal velocity of fall for water droplets in
stagnant air // J. of Meteorology. 1949. V. 6, №6. P. 243-245.

245.	Gustavson F.G. On constructing formal integrals of a Hamiltonian system
near of equilibrium point // Aston. J. 1966. V. 71. P. 670-686.

246.	Feng Z.C., Leal L.G. Nonlinear Bubble Dynamics // Annu. Rev. Fluid Meeh.
1997. V. 29. P. 201-43.

247.	Haberman W.L., Morton R.K. An experimental study of bubbles moving in
liquids // Proc. Amer. Soc. Civil. Engrs. 1954. V. 80, № 387. — 25 p.

248.	Hadamard J. Movement permanent lent d’une sphere liquide et visqueux //
C.r. Acad. sci. 1911. V. 152, №25. 1735-1741.

249.	Hamming R. W. Numerical methods for scientists and engineers. — N.Y.,
San Francisko, Toronto, London, 1962. (Рус. пер. — M.: Наука, 1972.)

250.	Harper J. F., Moore D.W. The motion of a spherical liquid drop at high
Reynolds number // J. Fluid Meeh. 1968. V. 32, № 2. P. 367-391.

251.	Hearn A.C. REDUCE 2 User’s Manual. — Stanford: Stanford Univ., 1973.

252.	Kaper T.J., Wiggins S. An analytical study of transport in Stokes flows
exhibiting large-scale chaos in the eccentric journal bearing // J. Fluid Meeh.
1993. V.253. P. 211-243.

253.	Kirchhoff G. Uber die Bewegung eines Rotationskorpers in einer Flussigkeit,
Crells // J. fur Math. 1869. V. 71. P. 237-273.

254.	Knapp T., Daily D., Hammit G. Cavitation. — McGraw Hill Book Company,
1970. (Рус. пер. Кнэп P., Дейли Д.у Хэммит Ф. Кавитация. — М.: Мир,
1974. - 687 с.)

255.	Laitone Е. V. The second approximation to cnoidal and solitary waves //
J. Fluid Meeh. 1960. V. 9. №3. 430-444.

256.	Levinson N. On asymptotic shape of cavity behind an axially symmetric nose
moving through an ideal fluid // Ann. of Math. 1946. V. 47.

257.	Longuet-Higgins M.S. Integral properties of periodic gravity waves of finite
amplitude // Proc. R. Soc. Lond. A. 1975. V. 342. P. 157-174.
258.	Longuet-Higgins M.S. Some new relations between Stoke’s coefficients in
the theory of gravity waves // J. Inst. Math, and Appl. 1978. V. 22, № 3.
P. 261-273.

259.	Longuet-Higgins M.S. Monopole emission of sound by asymmetric bub-
ble oscillations // Part 1. Normal modes. J. Fluid Meeh. 1989. V. 201.
P. 525-565.

260.	Longuet-Higgins M.S. Resonance in nonlinear bubble oscillations // J. Fluid
Meeh. 1991. V.224. P. 531-549.

261.	Love A. E.H. On the stability of certain Vortex Motion // Proc. London Math.
Soc. (1). 1893. V.25.

262.	Luke J. C. A variational principle for a fluid with free surface // J. Fluid
Meeh. 1967. V. 27. P. 395-397.

263.	Madsen P.A., Shaffer H.A. Phil // Trans. R. Soc. Lond. A. 1998. V. 356.
P. 3123-3184.

264.	McLeod E.B. The explicit colution of a free boundary problem involving
surface tension // J. Ration. Meeh, and Anal. 1955. V. 4, №4.

265.	Mei С. C. The Applied Dynamics of Ocean Surface Waves. Singapore: World
Scientific, 1989.

266.	Michaelides E. E. A Novel Way of computing the Basset Term in Unsteady
Multiphase Flow Computations // Phys. Fluids. 1992. V. 44. P. 1579-1582.

267.	Moore D. W. The velocity of rise of distorted gas bubbles in a liquid of small
viscosity // J. Fluid Meeh. 1965. V. 23, pt. 4. P. 749-766.

268.	Neumann C. Hydrodinamische Untersuchungen. — Leipzig, 1883. Bd. 1-92.

269.	Odulo A. A Method of obtaining exact particular solutions of a system of
two first-order quasilinear partial differential equations // Q. J. Meeh. Appl.
Math. 1991. V.44, pt. 2. P. 323-331.

270.	Ottino J. M. The kinematics of mixing: stretching, chaos, and transport. —
Cambridge University Press, 1989. — 359 p.

271.	Peregrine D.H. // Long waves in a uniform channell of arbitrary
cross-section // J. Fluid Meeh. 1968. V. 32, pt. 2. P. 353-365.

272.	Pruppacher H.R., Pitter P.L. A Semi-Empirical Determination of the Shape
of Cloud and Rain Drops // J. Atmosph. Sci. V. 28. 1971. P. 86-94.

273.	Pruppacher HR., Pitter P.L. The shapes calculations of the drops moving
under forces of gravity // J. Atmosph. Sci. 1972. V. 29. P. 728-740.

274.	Reinolds O. On the Theory of Lubrication ... // Phil. Trans. 1886.
V. CLXXVII. P. 157 (Paper, II, 228).

275.	Riabushischinsky D. Sur une probleme de variation // C. R. Acad. Sci. Paris.
1927. V. 185. P. 840-841.

276.	Rimon J.y Cheng S.I. Numerical solution of a uniform flow over a sphere
at intermediate Reynolds numbers // Phys. Fluids. 1969. V. 12, №5, pt. 1.
P. 949-959.

277.	Rybchinski W. Uder die fortschreitende. Bewegung einer flussigen Kugel in
einem zahen Medium // Bull. Int. Acad. Sci. Cracovia. cl. sci. math, et natur.
Ser. A. 1911. № 1. P. 40-96.

278.	Saffman P.G. The self-propulsion of deformable body in a perfect fluid //
J. Fluid Meeh. 1967. V. 28. №2. P. 385-391.
279.	Serebryakov V., Schnerr G. Some problems of hydrodynamics for sub- and
supersonic motion in water with supercavitation // Fivth Intern. Symp. on
Cavitation (CAV2003). Osaka, Japan, Nov. 1-4, 2003 (Cav03-OS7-015).

280.	Schwartz L. U7, Whitney A.K. A semy-analitic solution for nonlinear stand-
ing waves in deep water // J. Fluid Meeh. 1981. V. 107. P. 147-171.

281.	Schwartz L. W. Computer extension and analytic continuation of Stoke’s
expansion for gravity waves // J. Fluid Meeh. 1974. V. 27. P. 395-397.

282.	Taylor G. I. The forces on a Body placed in a Curved or Converging Stream
of fluid // In: The scientific papers of Sir Geoffrrey Ingram Taylor. V. Ill /
Ed. G.K. Bathelor. — London: Cambridge Iniv. Press, 1963. P. 86-106.

283.	Taylor G. I. The vertical motion of a spherical bubble and pressure surround-
ing it // In: The scientific papers of Sir Geoffrrey Ingram Taylor. V. Ill / Ed.
G.K. Bathelor. — London: Cambridge Univ. Press, 1963. P. 320-336.

284.	Taylor T.D., Acrivos A. On the deformation and drag of a falling viscous
drop at low Reynolds number // J. Fluid Meeh. 1964. V. 18. P. 466-476.

285.	Thomson W., Tait P. Treatise on natural philosophy. — Oxford, 1867.

286.	Thomson W. On the forces experienced by solids immersed in a moving
liquid // Proc. Roy. Soc. Edin. 1870.

287.	Thomson W. On the Motion of Rijid Solids in a Liquid circulating irrotation-
ally through perforations in them or in a Fixed Solid // Phil. Mag. 1873.
V.XLV, №4. P. 332. (Papers, IV, 101).

288.	Tomotika. The distribution of Laminar Skin Friction on a Sphere placed in a
Uniform Stream // Proc. Phys. Math. Soc. Japan. 1938. V. 20. P. 103-112.

289.	Weidman P.D., Maxworty T. Experiments on strong interactions between
solitary waves // J. Fluid Meeh. 1978. V. 85. P. 417-471.

290.	Wellek R.M., Argawal A.K., Shetland A.H. P. Shape of liquid drops moving
in liquid media // A. I.Ch.E. Journal. 1966. V. 12, №5.

291.	Yoss G., Kirchgassner К. I I Proc. Roy. Soc. Edinburg. 1992. V. 122A.
P. 267-299.
Учебное издание

ПЕТРОВ Александр Георгиевич

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГИДРОДИНАМИКА

Редактор Д.А. Миртова
Оригинал-макет: Д.В. Горбачев
Оформление переплета: И.В. Шутов

Подписано в печать 21.11.08. Формат 60x90/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 32,5 Уч.-изд. л. 37,0. Тираж 500 экз.
Заказ № 1656

Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАЙК «Наука/Интерпериодика»

117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90

E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;

http://www fml ru

Отпечатано в ППП «Типография «Наука»
121099, г. Москва, Шубинский пер., 6

ISBN 978-5-9221-1008-2

9 785922 110082*
Александр Георгиевич Петров доктор
физико-математических наук, ведущий науч-
ный сотрудник Института проблем механики РАН,
профессор кафедры теоретической механики МФТИ.

Область научных интересов: механика жидкости,
аналитическая механика. Опубликовал 5 моногра-
фий и около 150 научных работ

и