0 'МГ

А. КИСЕЛЕВ

112Я

СИСТЕМАТИЧЕСКИЙ

КУРС АРИФМЕТИКИ

ПОСОБИЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ
В ВУЗЫ И ТЕХНИКУМЫ
И ДЛЯ САМООБРАЗОВАНИЯ

1929
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСК В А —ЛЕНИНГРАД
''Ъ

2020150268

У, 21. Гиз № 32686.

Ленинградский Областлит № 31767

11 п. Тираж 35000.
ВМЕСТО ПРЕДИСЛОВИЯ.

Книга эта назначена как пособие для лиц, желающих по-
ступить в те или иные вузы и техникумы, а также и для
всех тех учащихся (и до некоторой степени для учащих),
которые пожелали бы систематизировать, расширить и углу-
бить свои сведения по арифметике. С этою целью в книге
помимо всего того, что требуется программами для поступле-
ния в вузы и техникумы, изложены еще (главным образом
петитом) некоторые дополнительные сведения, способные
придать курсу арифметики большую цельность, закончен-
ность и научность.

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ.

ОТВЛЕЧЕННЫЕ ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА.

I. СЧИСЛЕНИЕ.

1.	Понятие о целом числе. Один предмет да один пред-
мет составляют два предмета; два предмета да один предмет
составляют три предмета; три да один составляют четыре...
Один, два, три, четыре... и т. д. называются целыми числами.

Число один называется иначе единица.

Всякое целое число, кроме единицы, представляет собою
совокупность (собрание) единиц.

Число наз. предметным (или конкретным), если оно со-
провождается названием тех предметов, из которых соста-
влено; напр., пять карандашей.

Число наз. отвлеченным, если неизвестно, собрание каких
предметов оно представляет; напр., пять.

В начале курса мы будем говорить только о числах
целых.

Целое число можно рассматривать или как число порядковое
(ординальное), определяющее последовательность, в которой рас-
положены какие-нибудь предметы или явления (объекты), или как
количественное (кардинальное), выражающее количество (иначе
численность, множественность) какой-нибудь совокупности объектов.
Последнюю точку зрения мы считаем более простою и потому
определяем целое число как совокупность единиц, обозначая сло-
вом „единица* каждый из отдельных объектов, из которых соста-
влена совокупность.

Единицу мы тоже причисляем к числам.

2.	Натуральный ряд чисел. Если к единице присоединим
еще единицу, к полученному числу снова присоединим еди-
ницу, к этому числу опять присоединим единицу и т. д., то
получим натуральный ряд чисел:

 один, два, три, четыре, пять, шесть, семь и т. д.
Наименьшее число в этом ряду — единица; наибольшего
числа нет, потому что ко всякому числу, как бы велико оно
ни было, можно прибавить еще единицу; значит, естествен-
ный ряд чисел может быть продолжаем без конца.

Натуральный ряд чисел обладает следующими основными свой-
ствами :

1)	Ряд начинается с единицы.

2)	За каждым числом ряда непосредственно следует другое
число, составленное из единиц ^предыдущего числа и еще одной
новой единицы; поэтому натуральный ряд бесконечен. '

3)	Если два числа занимают разные места в натуральном ряду,
то они различны (другими словами, в натуральном ряду нет повто-
ряющихся чисел). Поэтому равенство двух чисел надо понимать в
том смысле, что эти числа занимают одно и то же место в нату-
ральном ряду и, след., представляют собою одно и то же число.

4)	Если а есть какое-нибудь число натурального ряда и Ь одно
из чисел, следующих после а, то а составляет часть числа Ь, так
как число Ь получается после присоединения к единицам числа а
еще одной или нескольких единиц. Поэтому число а считается
.меньшим числа Ь (а число Ь большим числа а) согласно общему
свойству всяких величин: часть меньше целого..

Заметим, что равенство и неравенство чисел обладает всеми
свойствами равенств и неравенств величин вообще.

Так, если а = Ь, той Ь~а\ если а^>Ь, то Ь<^а\ если а = Ь
и Ь = с, то а~с\ если а">Ь и Ь^с, то а"^>с и пр.

5.	Счет. Чтобы иметь ясное понятие о собрании предме-
тов, мы должны сосчитать их. Счет состоит в том, что,
отделяя один предмет за другим (на самом деле или только
мысленно), мы называем каждый раз число, составившееся
из отделенных предметов. Так, считая столы в классе, мы
отделяем мысленно один стол за другим и говорим: один,
два, три, четыре и т. д.

Мы принимаем за очевидную истину, что число, получаю-
щееся после счета (результат счета), не зависит от порядка,
в каком мы считаем предметы. Так, считая столы в классе,
мы получим одно и то же число независимо от того, считаем
ли мы от передних столов к задним, или от задних столов
к передним, дишь бы только при счете мы не пропустили
ни одного стола и ни одного из них не сочли более одного раза.

Способ составлять названия для всяких чисел называется
словесным счислением или словесною нумерацией).

Способ выражать всякое число особыми письменными
знаками называется письменным счислением или письменною
нумерациею.
Ознакомимся сначала со счислением чисел до тысячи, а
затем и со счислением других чисел.

4.	Словесное счисление до тысячи. Первые десять чисел
носят следующие названия:

один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять,
десять (или десяток).

С помощью этих названий и еще некоторых других можно
выражать и другие числа. Положим, напр., мы желаем на-
звать число поставленных здесь черточек:

десяток	десяток	десяток	десяток	три

Для этого отсчитываем десять черточек и отделяем их
от остальных; потом отсчитываем еще десять черточек и
отделяем их от остальных. Продолжаем так отсчитывать
по десятку до тех пор, пока либо совсем не останется
черточек, либо их останется менее десяти. Теперь сосчитаем
десятки и оставшиеся черточки (или единицы); так как де-
сятков оказалось четыре, а оставшихся черточек три, то мы
можем число всех черточек назвать так:

четыре десятка три единицы.

Когда в числе окажется более десяти десятков, то по-
ступают так же, как если бы эти десятки были отдельными
единицами, т. е. отсчитывают десять десятков, потом еще де-
сять десятков, затем снова десять десятков и т. д. — до тех
пор, пока можно. Каждые десять десятков называют одним
словом: сто или сотня. Положим, что в каком-нибудь числе
оказывается: сотен — три, десятков — пять и оставшихся
единиц — семь; такое число можно назвать так:

три сотни, пять десятков, семь единиц.

Если сотен в числе окажется более десяти, то считают
их тоже десятками. Каждые десять сотен называют одним
словом тысяча.

5.	Сокращение некоторых названий. В нашем языке
употребительны некоторые сокращенные названия чисел. Так,
десять да один назыв. одиннадцать (т. е. один на-десять);
десять да два наз. двенадцать (т. е. две-на-десять) и т. д.
Два десятка наз. двадцать (т. е. два-десять^; три десятка
наз. тридцать (т. е. три-десять) и т. д. (четыре десятка
наз. сорок). Две сотни наз. двести-, три сотни наз. триста
и т. д.

6.	Письменное счисление до тысячи. Первые девять
чисел обозначаются особыми письменными знаками или
цифрами:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. '

С помощью этих девяти цифр и десятой 0 (нуль), озна-
чающей отсутствие числа, можно изобразить всякое число.

Для этого условились писать: простые единицы — на
первом месте справа, десятки — на втором месте справа,
сотни — на третьем месте; напр.:

триста сорок пять изобразится. . 345

триста сорок ... .............. 340

триста......................... 300

Все цифры, кроме нуля, называются значащими цифрами.

Число, изображаемое одною цифрою, называется одно-
значным, двумя цифрами — двузначным, многими цифрами —
многозначным.

7.	Словесное счисление чисел, превосходящих тысячу.
Когда считаемых предметов более тысячи, то составляют
из них столько тысяч, сколько можно; затем считают ты-
сячи и оставшиеся единицы и называют число тех и других;
напр.: двести сорок тысяч пятьсот шестьдесят две единицы.

Тысяча тысяч составляет миллион; тысяча миллионов —
биллион (или миллиард)-, тысяча биллионов — триллион
и т. п.

8.	Письменные счисления чисел, превосходящих тысячу.
Пусть требуется написать число: тридцать пять биллионов
восемьсот шесть миллионов семь тысяч шестьдесят три
единицы. Его можно написать при помощи цифр и слов так:

35 биллионов 806 миллионов 7 тысяч 63 единицы.

Чтобы можно было обойтись совсем без слов, условились:
во-первых, числа биллионов, миллионов, тысяч и простых
единиц писать рядом, в одну строчку, слева направо и, во-
вторых, изображать эти числа всегда тремя цифрами, т. е.

* Затем следуют названия: квадриллион (тысяча триллионов), квинтил-
лион (тысяча квадриллионов), секстиллион (тысяча квинтиллионов) и пр.
вместо 63 ед. писать 063, вместо 7 тысяч писать 007 и т. п.
Тогда наше число изобразится так:

035 806 007 063.

Впрочем, с левой стороны нулей не пишут, т. е. изобра-
жают'наше число так:

'	35 806 007 063.

При этом запоминают, что первые справа три цифры
означают число единиц, следующие три цифры означают
число тысяч, следующие за этими три цифры — число мил-
лионов и т. д. Напр.:

567 002 301 означает.............. 567	млн.	2 тыс.	301 ед.

2 008 001020	„	.	2 миллиарда	8 млн.	1 тыс.	20 ед.

15000026	„	  15	млн.	26 ед.	и т. п.

9.	Как прочесть число, написанное длинным рядом
цифр. Чтобы легче прочесть число, изображенное длин-
ным рядом цифр, напр., такое: 5183000567000, отделяют в
нем справа (напр., запятою, поставленною сверху) по три
цифры до тех пор, пока можно:

5’183’000’567’000.

Первая справа запятая заменяет слово „тысяч", вторая—
„миллионов", третья—„биллионов", четвертая — „триллио-
нов". Значит, наше число должно быть прочтено так:

5 трилл. 183 билл. 567 тысяч.

Для удобного прочтения иногда пишут (и печатают) боль-
шие числа таким образом, чтобы каждые три цифры, считая
справа, отделялись небольшими промежутками; напр.:

5 183 000 567 000.

Тогда число удобнее прочесть и не ставя запятых.

10.	Значение мест, занимаемых цифрами. При таком
способе писания чисел каждое место, занимаемое цифрой,
имеет свое особое значение, а именно:

на 1-м месте			справа ставятся простые			единицы
	2-м		»	»	десятки	
	3-м			»	сотни	
»	4-м	»	л		единицы	тысяч
на	5-м	месте	справа	ставятся	десятки тысяч	
я	6-м	»	»	я	сотни тысяч	
я	7-м	я	„я	я	ед. миллионов	
я	8-м	я	я	я	дес. миллионов	
я	9-м	»	я	я	сотни миллионов	
9	10-м	я	я	я	ед. биллионов и	т. д.

Мы видим таким образом, что наше письменное счисле-
ние основано на употреблении 10 цифр, которым приписы-
вается двоякое значение', одно — в зависимости от начерта-
ния цифры, другое — в зависимости от места, занимаемого
цифрой; а именно: из двух написанных рядом цифр левая
означает единицы, в 10 раз большие, чем правая.

11.	Разряды единиц. Различные единицы, которыми
пользуются при счислении, разделяют на разряды.'.

простые единицы называются единицами 1-го разряда,
десятки — единицами 2-го разряда,
сотни — единицами 3-го разряда и т. д.

Всякая составная единица, по сравнению с другою еди-
ницею, меньшею ее, называется единицею высшего'"разряда,
а по сравнению с единицею, бдльшею ее, называется едини-
цею низшего разряда; так, сотня есть единица высшего раз-
ряда сравнительно с десятком и единица низшего разряда
сравнительно с тысячею.

Всякая составная единица содержит 10 единиц следую-
щего низшего разряда; напр., сотня тысяч содержит 10 де-
сятков тысяч; десяток тысяч —10 тысяч и т. д.

12.	Классы единиц. Разряды единиц группируют еще
в классы,', к 1-му классу относят первые три разряда: сотни,
десятки и единицы; ко 2-му классу относят следующие три
разряда: тысячи, десятки тысяч и сотни тысяч и т д. 1-й
класс есть класс единиц (содержит сотни, десятки и единицы
единиц); 2-й класс — класс тысяч (содержит сотни, десятки
и единицы тысяч) и т. д.

Надо, впрочем, заметить, что такое трехразрядное счисление
принято не везде; напр., немцы и англичане считают по шестираз-
рядному счислению, по которому 1-й класс (единиц) состоит из
первых шести разрядов, 2-й класс (миллионов) состоит из вторых
шести разрядов, 3-й класс (биллионов) из следующих шести раз-
рядов и т. д. По этому счислению названия чисел до нашего
миллиарда (биллиона) одинаковы с нашими названиями, но далее они
значительно от них отличаются; немецкий (и английский) биллион
10
равен не 1 000 миллионов, как наш, а 1 000 000 миллионов (т. е.
он равен нашему триллиону); ‘и т. д.

45. Как узнать, сколько в числе всех единиц данного
разряда. Пусть требуется узнать, сколько в числе 56284
заключается всех сотен, т. е. сколько сотен заключается в
десятках тысяч, в тысячах и в сотнях данного числа вместе.
- Простые сотни ставятся на третьем месте справа; в дан-
ном числе на третьем месте стоит цифра 2; значит, в числе
есть две простые сотни. Следующая влево цифра 6 озна-
чает тысячи; но в каждой тысяче содержится 10 сотен; зна-
чит, в 6 тысячах их заключается 60. Следующая влево
цифра 5 означает десятки тысяч; но каждый десяток тысяч
содержит в себе 10 тысяч и, след., 100 сотен; значит, в 5 де-
сятках тысяч заключается 500 сотен. Всего таким образом,
в данном числе содержится сотен 500 да еще 60 да еще 2,
т. е. 562.

Так же узнаем, что в данном числе всех десятков 5628.

Правило.* Чтоб узнать, сколько в числе заключается
всех единиц данного разряда, надо отбросить все цифры,
означающие низшие разряды, и прочесть число, выражаемое
оставшимися цифрами.

I

II. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ.

14. Понятие о системах счисления. Наша система счисления
называется десятичной (или десятиричной), потому что по этой
системе 10 единиц одного разряда составляют составную единицу
следующего высшего разряда. Число 10 называют поэтому осно-
ванием десятичной системы счисления. Всякое число IV по этой
системе представляется разложенным на простые единицы, десятки,
сотни, тысячи и т. д., причем число единиц каждого разряда меньше
10. Если положим, что в числе А/' содержится простых единиц а,
десятков Ь, сотен с, тысяч (1 и т. д., то по десятичной системе это
число представляет собою сумму:

Л/-==а4-^.10 4-с.102 + ^.1034-.вв

Можно вообразить себе другие системы, в которых за основа-
ние принято какое-нибудь иное число. Если, напр., за основание
взять число 5, то получится пятиричная система счисления, по
которой 5 единиц одного разряда должны составить единицу сле-
дующего высшего разряда. Таким образом, по пятиричной системе
единица 2-го разряда должна быть пятерка, ед. 3-го разряда пять
пятерок, или 52, ед. 4-го разряда — пять раз по пяти пятерок или
5° и т. д. По этой системе число М представлялось бы так:

+	+	4-...

где каждое из чисел: а, Ь, с, й, е.,. было бы меньше 5. Для вы-
говаривания чисел по этой системе достаточно было бы дать осо-
бые названия первым пяти числам и некоторым составным еди-
ницам.

45. Число цифр, потребное для изображения чисел по
данной системе. Для письменного изображения чисел по десятич-,
ной системе употребляются 10 различных знаков. Для другой си-
стемы счисления потребовалось бы иное число цифр. Напр., для
пятиричной системы достаточно было бы следующих пяти цифр:
1, 2, 3, 4, 0. Действительно, число 5 представляло бы по этой
системе одну единицу 2-го разряда и, след., выразилось бы так:
10. Число 6 представляло бы одну ед. второго разряда (пятерку)
и одну ед. 1-го разряда и, след., выразилось бы так: 11 и т. п.
Для изображения чисел по системе, у которой основание превосхо-
дит 10, было бы недостаточно наших цифр. Напр., для двенадца-
тиричной системы пришлось бы придумать особые знаки для чисел
десять и одиннадцать, потому что' наши обозначения этих чисел
выражали бы тогда другие числа, именно: 10 означало бы одну
единицу 2-го разряда, т. е. дюжину, а 11 означало бы одну еди-
ницу 2-го разряда и одну единицу 1-го разряда, т. е. три-
надцать.

16.	Число, написанное по десятичной системе счисления,
изобразить по другой системе. Для примера положим, что тре-
буется число 1766 выразить по пятиричной системе при помощи
пяти знаков: 0, 1, 2, 3, 4. Для этого узнаем сначала, сколько
в 1766 заключается единиц 2-го разряда, т. е. пятерок. Их ока-
зывается 353, причем остается одна единица 1-го разряда. Теперь

1766[5

26 35315

"Тб 3 "ТО |5

1	20"Т4|5

О Т 2

узнаем, сколько в 353 пятерках заключается единиц 3-го разряда.
Так как единица 3-го разряда содержит 5 ед. 2-го разряда, то
надо 353 разделить на 5. Разделив, узнаем, что в 353 пятерках
заключается 70 ед. 3-го разряда и 3 ед. 2-го разряда. 70 ед.
3-го разряда превращаем в единицы 4-го разряда; эти последние—
в единицы 5-го разряда и т. д. Таким образом находим, что 1766
содержит: 2 ед. 5-го разряда, 4 ед. 4-го разряда, 3 ед. 2-го раз-
ряда и 1 ед. 1-го разр.: след., 1766 изобразится по пятиричной
системе так: 24031.
Пусть еще требуется изобразить 121380 по 12-ричной системе:
121380| 12

13	10115 | 12

18	51	842 | 12

60	35	2 ~70 | 12

О 11	10 5

Обозначая 10 через а, 11 через Ь, найдем, что данное число изо-
бразится так; 5а2#0.

17,	Число, написанное по какой-нибудь системе счисления,
изобразить по десятичной. Пусть напр., требуется число 5623.
написанное по 8-ричной системе, перевести на десятичную систему.
Это можно выполнить, вычислив сумму:

3 + 2*8 + 6*82 + 5-83 = 3 + 164- 384 + 2560 = 2963.

Но проще поступить так:
5623

Х8
40

+ 6
’	46

Х8
368
+ 2
370
+ 8
2960
+ 3

2963

Раздробим 5 ед. 4-го разр. в единицы 3-го разр., для чего
умножим 5 на 8 (потому что единица 4-го разряда содержит по
восьмиричной- системе 8 ед. 3-го разр.); к полученному числу при-
ложим 6 ед., находящиеся в данном числе. Раздробим единицы
3-го разряда в единицы 2-го разр.; к полученному числу приложим
2 ед., находящиеся в данном числе. Раздробим единицы 2-го разр.
в ед. 1-го разр.; к полученному числу приложим 3 ед., находящиеся
в данном числе. Получим 2963.

Если число, написанное по системе не-десятичной, требуется
изобразить по другой системе, тоже не-десятичной, то предвари-
тельно переводят первое число на десятичную систему, а затем уже
это число на новую систему.

18.	Замечания. 1) Система десятичного счисления распро-
странена почти повсеместно (даже среди большинства диких наро-
дов). Многие видят причину такой распространенности в том, что
каждый человек с детства привыкает считать при помощи 10 паль-
цев обеих рук. Однако, десятичное счисление не принадлежит к
самым удобным. Напр., удобнее была бы 12-ричная система, ко-
торая, не требуя для изображения чисел большого числа цифр,
обладает важным свойством, что основание ее делится без остатка
на 2, на 3, на 4 и на 6, тогда как основание нашей системы де-
лится только на 2 и на 5 (двенадцатиричная система послужила,
вероятно, основанием шестидесятиричной системы счисления, упот-
реблявшейся в древнем Вавилоне). В теоретическом отнбшении
представляет некоторые удобства система двуричная, которая, впро-
чем, для практических целей совсем неудобна, так как по этой
системе даже небольшое число выражается длинным рядом цифр
(напр., число 70 выражается так: 1000110). Но каковы бы ни были
недостатки десятичной системы, она настолько укоренилась своею
давностью и повсеместным распространением, что было бы беспо-
лезно поднимать вопрос о замене ее другою системою. К тому
же новая система счисления потребовала бы переработки всех книг
"и таблиц, составленных по десятичной системе, что представляло
бы почти невыполнимый труд.

2) Употребляемые нами цифры и самая система письменного
счисления заимствованы европейцами у арабов (около XII столетия).
Вот почему эти цифры называются арабскими. Но есть основа-
ние думать, что арабы, в свою очередь, заимствовали эту систему
от индийцев.

Ш. СЛОЖЕНИЕ.

19.	Что такое сложение. Несколько чисел могут быть
соединены в одно число (в одно собрание), содержащее в
себе все единицы этих чисел. Число, которое получится
после счета всех единиц этого собрания, наз. суммою, а те
числа, которые соединяются в одно собрание, наз. слагае-
мыми. Так, 5 спичек да 7 спичек да 2 спички могут быть
соединены в одно собрание 14 спичек. Число 14 есть сумма
трех слагаемых: 5, 7 и 2. Слагаемых может быть 2, 3 и
’более.

Слагаемые можно рассматривать как части суммы.

Нахождение по нескольким данным числам одного ново-
го числа называется арифметическим действием.

Арифметическое действие, посредством которого нахо-
дится сумма нескольких чисел, наз. сложением.

Знак сложения" есть 4- (плюс); так, если написано:
5 -|- 7	2, то это означает сумму чисел 5, 7 и 2.

Замечание. Сложение целых чисел можно было бы опреде-
лить сначала для двух слагаемых, а потом для трех и более ела-
гаемых. Мы предпочли однако дать сразу определение, суммы лю-
бого числа слагаемых, так как, допуская, что 2 совокупности мо-
гут быть соединены в одну, мы с таким же правом можем допу-
стить, что 3, 4 и более совокупностей могут быть соединены в одну
совокупность, число единиц которой и составит сумму чисел, вы-
ражающих отдельные собрания. Такое определение суммы, сразу
распространяющееся на любое число слагаемых, упрощает и сокра-
щает изложение действия сложения. Согласно этому определению
выражение а-}-Ь-\-с-]- д... не означает непременно, что а скла-
дывается с Ь, к полученной сумме прикладывается с, к этой сумме
прибавляется (I и т. д., а означает только то число, которое обра-
зуется от соединения чисел а, с, й.., в одну сумму, не пред-
решая порядка, в котором требуется выполнить это соединение.

Действие сложения ‘всегда возможно (всякие числа могут быть
соединены в одно собрание) и всегда дает единственный результат,
так как, согласно аксиоме счета, число не зависит от порядка, в
каком берутся его единицы.

20.	Два свойства суммы. 1) Сумма не изменяется от пе-
ремены. порядка слагаемых.

Так, суммы: 54'74-2, 54-2-)-7, 74-54-2 и т. д. все
будут одинаковы, именно число 14.

Свойство это принято называть переместительным, так
как оно состоит в том, что слагаемые можно перемещать,
не изменяя суммы.

2) Сумма не изменится, если какие-либо слагаемые мы
заменим их суммою.

Напр., сумма 5 4-74-2 не изменится, если мы слагаемые
7 и 2 (или какие-нибудь другие) заменим их суммою: 7 4-2
составляют 9, а 5 да 9 составляют 14.

Это свойство наз. сочетательным, так как оно состоит
в том, что любые слагаемые мы можем сочетать (соединять)
в одно число (в одну группу).

Оба эти свойства, конечно, составляют простое следствие
указанной ранее (§ 3) аксиомы счета.

Из сочетательного свойства можно вывести следующие два пред-
ложения, которыми часто приходится пользоваться для преобразо-
вания арифметических выражениий и для доказательства некоторых
свойств действий:

1)	Чтобы прибавить сумму к какому-нибудь числу, доста-
точно прибавить к этому числу каждое слагаемое одно за дру-
гим; так:

А 4- (а 4~ Ь 4~ с) = А 4“ а 4~ Ь 4~ с.

2)	Чтобы прибавить какое-нибудь число к сумме, достаточно
прибавить это число- $ какому-нибудь одному слагаемому; так'.

(аЬс) Л-А — (а А-А)Ь-у-с == а-у (ЬА) ~\~ с ~
= а Ь 4- (с 4- А).

21.	Сложение двух однозначных чисел. Чтобы узнать
сумму двух однозначных чисел, достаточно к одному из них
присчитать все единицы другого. Так, присчитывая к 7 все
единицы числа 5, находим сумму 12.

Чтобы уметь быстро складывать всякие числа, следует
запомнить все суммы, которые получаются от сложения двух
однозначных чисел.

22.	Сложение многозначного числа с однозначным.
Пусть требуется сложить 37 и 8. Для этого от 37 отделим
7 ед. и сложим их с 8; получим 15. Эти 15 ед. приложим
к 30; но 15 все равно что 10 да 5. Приложив 10 к 30, по-
лучим 40; приложив к 40 еще пять, получим 45.

Можно п'оступить и так. Заметив, что к 37 надо прило-
жить 3, чтобы получить 40, отделим 3 ед. от 8 ед. и при-
ложим их к 37; тогда получим 40 и еще 5 ед., оставшиеся
от 8, т. е. получим 45.

Следует привыкнуть выполнять эти действия в уме и при-
том быстро.

Указанные в этом параграфе 2 приема сложения составляют
применение тех предложений, о которых говорится в конце § 20,
как это видно из равенств:

374-8 = (30 + 7)4-8 = 304-(7 4-8) = 30 4-15 = 30 4-(10-|-
4-5) = (30 4-10) 4-5 = 40 4-5 = 45
или

37 4-8 = 37 4-(3 4-5) = (374-3) 4-5 = 40 4-5 = 45.

25. Сложение многозначных чисел. Пусть требуется
найти сумму 4-х чисел: 13653, 22409, 1608 и 346. Для этого
сложим сначала простые единицы всех слагаемых, потом их
десятки, затем сотни и т. д. Чтобы при этом не смешать
между собою единиц различных разрядов, напишем данные
числа одно под другим так, чтобы единицы стояли под еди-
ницами, десятки—под десятками, сотни — под сотнями и
т. д.; под последним слагаемым проведем черту:

13653

22409

1608
Сложив единицы, получим 26, т. е. 2 десятка и 6 единиц;
2 десятка запомним, чтобы их сложить с десятками данных
чисел, а 6 единиц запишем под чертою, под единицами сла-
гаемых. Сложив десятки (вместе с теми 2 десятками, кото-
рые получились от сложения единиц), получим 11 дес., т. е.
1 сотню и 1 десяток; 1 сотню мы запомним, чтобы ее сло-
жить с сотнями, а 1 десяток напишем под чертою на месте
десятков. От сложения сотен получим 20 сотен, т. е. ровно
2 тысячи; эти 2 тысячи запомним, чтобы их прибавить к ты-
сячам, а под чертою напишем 0 на месте сотен. Продол-
жаем так действие далее.	’

Замечание. Если при сложении цифр какого-нибудь
столбца (напр., десятков в данном нам примере) встретится
цифра 0, то на нее не обращают внимания, так как эта
цифра означает отсутствие числа. Впрочем, мы условимся
складывать и нули в том смысле, что прибавить 0 к какому,
нибудь числу или прибавить к 0 какое-нибудь число значит
оставить это число без изменения. Так, 5 да 0 будет 5,
а также 0 да 5 будет 5.

Так как и во всех других действиях приходится иметь
дело с нулем, то естественно включить 0 в класс чисел,
поместив его в натуральном ряду перед 1.

24.	Сложение группами. Если требуется сложить много
слагаемых, то для удобства их разбивают на несколько групп,
производят сложение в каждой группе отдельно и затем по-
лученные суммы соединяют в одну. Пусть, напр., требуется
сложить 10 слагаемых 286, 35, 76, 108, 93, 16, 426, 576, 45,

72. Разобьем эти слагаемые на группы,			напр.. так:
1-я группа	2-я группа	3-я группа	Общая сумма
286			
108	35	16	1396
426	93	45	204
576	76	72	133
1396	204	133	1733

Сложив три суммы в одну, найдем 1733.

25.	Поверка сложения. Чтобы убедиться, что дейста^е П с
сделано верно, его надо поверить. Для поверки сложений' ~
обыкновенно складывают слагаемые во второй раз ’^инр^
порядке, чем в первый, напр., производя сложени^^яизУ\>-

2 Киселев. Арифметика.	д -	17
вверх. Если во втором сложении получается та же сумма,
то весьма вероятно, что сложение произведено верно. *

26.	Увеличение числа на другое число. Увеличить ка-
кое-нибудь число на несколько единиц значит приложить
к числу эти несколько единиц. Если, напр., требуется уве-
личить 80 на 25, то это значит, что требуется к ,80 прило-
жить 25 (получим 105). Таким образом, увеличение числа
на другое число выполняется сложением.

27.	Изменение суммы с изменением слагаемых. Так
как сумма содержит в себе все единицы слагаемых, то оче-
видно, что: *

если, к какому-либо слагаемому прибавим несколько еди-
ниц, то сумма увеличится на столько же единиц-,

если от какого либо слагаемого отнимем несколько еди-
ниц, то сумма уменьшится на столько же единиц.

IV. ВЫЧИТАНИЕ.

28.	Что такое вычитание. Арифметическое действие,
посредством которого от одного данного числа отнимают
столько единиц, сколько их есть в другом данном числе,
наз. вычитанием.

Число, от которого отнимают, наз. уменьшаемым, число,
которое отнимают, наз. вычитаемым, число, получаемое
после вычитания, наз. остатком. Остаток иначе наз. разно-
стью, потому что он означает разницу между уменьшаемым
и вычитаемым.

Знак вычитания есть — (минус); он ставится между умень-
шаемым (слева) и вычитаемым (справа).

Замечание. Если уменьшаемое равно вычитаемому, то
принято говорить, что остаток равен 0.

29.	Сравнение вычитания со сложением. Посредством
вычитания одно число, именно уменьшаемое, разлагается на
два числа. Напр., если мы, отняв 5 от 9, нашли, что оста-
лось-4, то, значит, мы разложили 9 на два числа: 5 (отнятых
единиц) и 4 (оставшиеся единицы). Очевидно, что если эти
два числа соединим в одно, то получим то число 9, которое
разлагали; значит, уменьшаемое равно вычитаемому, сло-
женному с остатком-,' иначе сказать, уменьшаемое есть

♦	Вероятно, а не наверное, потому что и при втором сложении может
быть сделана ошибка, подобная той, которая была при первом сложении»
18
сумма, а вычитаемое и остаток—слагаемые. При сложении
слагаемые даются, а сумма отыскивается; при вычитании же
наоборот, даются сумма и одно слагаемое, а другое сла-
гаемое отыскивается.

Два такие арифметические действия, в которых искомое
число одного действия служит данным числом другого,
а одно из данных первого действия служит искомым числом
для второго, наз. обратными. Значит, вычитание есть ариф-
метическое действие, обратное сложению.

Замечания. 1) Вычитание можно было бы определить сразу как
действие обратное сложению, посредством которого по данной сумме
и данному слагаемому отыскивается другое слагаемое. Но в самом
начале элементарного изложения арифметики представляется более
простым и наглядным определить вычитание как отнимание от умень-
шаемого части, равной вычитаемому, а потом уже показать соотно-
шение между вычитанием и сложением (как это сделано в § 29).

2)	Действие вычитания всегда возможно, если только вычитае-
мое не более уменьшаемого, и дает единственный результат. Если,
напр., из а требуется вычесть Ь, то мы можем выполнить это,
отняв от а последовательно одну за другою столько единиц, сколько
их есть в Ь. Отняв одну единицу, получим в остатке един-
ственное число а—1, непосредственно предшествующее в нату-
ральном ряду числу а; отняв другую единицу, мы опять-таки полу-
чим единственное число а—1— 1, непосредственно предшествую-
щее числу а—1; и т. д. Если Ь<^а, то, отняв Ь единиц, мы
получим некоторое (и только одно) число натурального ряда, ко-
торое и будет остатком; если Ь = а, то после отнимания не оста-
нется никакого числа, другими словами, остаток будет 0: наконец,
если Ъ а, то вычитание невозможно.

3)	Допустив ранее сложение числа с нулем, мы должны теперь
допустить и вычитание нуля, приняв, что а — 0 = а, так как
О а = а и а-[-Ъ = а.

4)	Из определения вычитания непосредственно следует, что

А — а~1~а = А и А -]- а — а = А,
т. е. что вычитание какого-нибудь числа и вслед затем его прибав-
ление (или наоборот) взаимно уничтожаются.

50. Вычитание однозначного числа. Чтобы без затруд-
нения вычитать всякое число, надо сначала научиться вычи-
тать в уме однозначное число из однозначного и двузнач-
ного. Искомая разность легко находится посредством сло-
жения. Напр., чтобы узнать, сколько будет 15 без 8, про-
буем прибавлять к 8 различные числа, пока не получим 15;
8 да 7 составляет 15; значит, 15 без 8 будет 7.
Вычитание однозначного числа (а также вычитание многознач-
ного числа) можно производить также согласно следующим свой-
ствам вычитания (аналогичным соответствующим свойствам сло-
жения):

1)	Чтобы вычесть из какого-нибудь числа сумму, достаточно
вычесть из этого числа каждое слагаемое одно за другим.

Так:

А — (а-\-с) = А — а — Ъ — с.

В верности этого равенства можно убедиться поверкой вычитания
сложением:

Л — а — Ь — с-}~ (а-\-Ъ-\-с) = ?

Чтобы прибавить сумму а -(- Ь с, мы можем прибавить одно
за другим каждое слагаемое; прибавим сначала с, потом Ь* за-
тем а:

А — а — Ь — сСЬ-\-а = ?

Так как вычитание с и вслед затем прибавление с взаимно
уничтожаются, то мы получим:

А — а — Ь-\-Ь-\-а~?

Здесь вычитание Ь и прибавление Ь, а затем вычитание а и
прибавление а—взаимно уничтожаются и потому в окончательном ,
результате мы получим уменьшаемое А. Значит, действие вычитания
произведено правильно.

2)	Чтобы вычесть какое-нибудь число из суммы, достаточно
вычесть это число из одного слагаемого (ёсли это возможно).

Так:

(а-\-Ь^-с) — А—(а — А)	с—а(Ь — А) + с = ...

В этом также можно убедиться поверкою, воспользовавшись
свойством сложения: чтобы прибавить к сумме, достаточно
так:	/

\а д (с — АА = а Ь	(с — А	А) = а Ь с.

Согласно этим свойствам, вычитание однозначного числа мы
можем производить так, как указано на следующих 2-х примерах:-

1)	28 — 6 = (208) — 6 = 20(8 — 6) = 20-[-2 = 22;

2)	32 — 8 = 32 — (2 -{- 6) = (32 — 2) — 6 = 30 — 6 = (20 + 10) —
— 6 = 20-[-(10 — 6) =20-|-4 = 24в

34. Вычитание многозначного числа.

Пример: из 60072 вычесть 7345.

Расположим действие так же, как и при сложении:
60072

7345

52727

уменьшаемое
вычитаемое

остаток

Будем держаться того же порядка, как и при сложении,
т. е. станем вычитать единицы из единиц, десятки из де-
сятков и т. д. 5 ед. из 2 ед. нельзя вычесть; берем от 7 дес.
один десяток, разлагаем его на единицы и прикладываем
к 2; получим в уменьшаемом единиц 12, а десятков 6. Чтобы
запомнить, что десятков теперь в уменьшаемом не 7, а 6, по-
ставим точку над цифрою 7; 5 ед. из 12 ед. будет 7 ед. Пишем
7 ед. под чертою на месте единиц. 4 дес. из 6 дес. будет
2 дес.; пишем 2 под чертою на месте десятков; 3 сотни из 0
сотен вычесть нельзя. Обращаемся к тысячам уменьшаемого»
чтобы взять от них одну для раздробления в сотни. Но ты-
сяч в уменьшаемом нет. Тогда обращаемся к следующему
высшему разряду, т. е. к десяткам тысяч; если бы их не
оказалось, мы взяли бы сотни тысяч и т. д. В нашем при-
мере в уменьшаемом есть 6 десятков тысяч; берем от них
один (в знак чего ставим точку над цифрою 6) и раздроб-
ляем его в простые тысячи; получим 10 тысяч. От этих
10 тысяч берем одну и раздробляем ее в сотни; тогда по-
лучим сотен 10, тысяч 9, а десятков тысяч 5. Поставим
точку над цифрою 0 тысяч и условимся, что 0 с точкой
будет означать число 9. Теперь продолжаем вычитание:
3 сотни из 10 сотен будет 7 сотен; 7 тысяч из 9 тысяч бу-
дет 2 тысячи; наконец 5 десятков тысяч уменьшаемого пе-
рейдут в остаток без всякого изменения, так как из них
ничего не вычитается.

Вот еще примеры на вычитание:

6000227

4320423

1679804

500000

17236

482764

Вычитание удобнее производить от низших разрядов
к высшим потому, что при таком порядке мы, в случае на-
добности, всегда можем взять одну единицу из высших раз-
рядов для раздробления ее в единицы низшего разряда.

Вычитание многозначного числа основывается на тех же двух
свойствах вычитания, которые были указаны в § 30. Рассматривая
вычитаемое как сумму простых единиц, десятков, сотен и т. д.,
мы вычитаем отдельно единицы, потом десятки, затем сотни и т. д.
Чтобы вычесть единицы, мы рассматриваем уменьшаемое как сумму
разрядов и вычитаем единицы вычитаемого из одного слагаемого
этой сумму, именно из единиц. Если этого сделать нельзя, мы
берем один десяток уменьшаемого и, раздробив его в простые еди-
ницы, присоединяем эти единицы к единицам уменьшаемого и
потом вычитаем единицы вычитаемого. Если десятков в уменьшае-
мом не окажется, мы берем одну сотню, раздробляем ее в де-
сятки и т. д.

52. Поверка вычитания. Так как уменьшаемое есть
сумма, а вычитаемое и остаток — слагаемые, то для поверки
вычитания достаточно сложить вычитаемое с остатком; если
получится число, равное уменьшаемому, то весьма вероятно,
что действие сделано верно.

55. Уменьшение числа на другое число. Уменьшить
какое-нибудь число на несколько единиц значит вычесть из
него эти несколько единиц. Так, если требуется 100 умень-
шить на 30, то это значит, что требуется из 100 отнять 30
' (получим 70).

54.	Сравнение двух чисел. Часто приходится узнавать,
на сколько единиц одно число больше или меньше другого.
Чтобы узнать это, надо из большего числа вычесть меньшее.
Напр., чтобы узнать, на сколько 20 меньше 35 (или на сколько
35 больше 20), надо из 35 вычесть 20; тогда найдем, что 20
меньше 35 (или 35 больше 20) на 15 единиц.

55.	Изменение разности с изменением данных чисел
может быть выведено как следствие изменения суммы, так
как уменьшаемое есть сумма, а вычитаемое и разность—сла-
гаемые. Поэтому:

если к уменьшаемому прибавим несколько единиц, то
остаток увеличится на столько же единиц;

если от уменьшаемого отнимем несколько единиц, то
остаток уменьшится на столько же единиц;

если к вычитаемому прибавим несколько единиц, то
остаток уменьшится на столько же единиц ;

если от вычитаемого отнимем несколько единиц, то
остаток увеличится на столько же единиц.

Полезно обратить особое внимание на то, что остаток
не изменится, если мы уменьшаемое и вычитаемое одно-
времеменно увеличим или уменьшим на одно и то же число
Положим, напр., мы увеличили уменьшаемое и вычитаемое
22
на 10. Тогда остаток не изменится, потому что от увеличе-
ния уменьшаемого на 10 он должен увеличиться на 10, но
зато от увеличения вычитаемого на 10 он должен умень-
шиться на 10; таким образом, увеличение покроется умень-
шением.

V. РИМСКАЯ И СЛАВЯНСКАЯ НУМЕРАЦИИ.

56. Римская нумерация. Так как римские цифры и в
настоящее время употребляются иногда для выражения
чисел, то полезно ознакомиться и с ними. Римляне употреб-
ляли для выражения чисел только следующие семь знаков:

1=1, У = 5, Х=10, Ь = 50, С = 100, Э = 500, М=1000.

Их способ выражать числа существенно отличался от
нашего. У нас цифры изменяют свое значение с переменою
места, а в римской нумерации цифры на всяком месте со-
храняют свое значение. Когда написаны несколько римских
цифр рядом, то число, выражаемое ими, равно сумме чисел,
выражаемых каждой цифрой; напр., XXV означает сумму
10-и, 10-и и 5-и. т. е. 25; СЕХУ означает 165; и т. п. Исклю-
чение из этого правила составляют только следующие
числа:

4 = IV, 9 = IX, 40 = ХЕ, 90 = ХС, 400 = СО, 900 = СМ.

В этих изображениях значение левой цифры вычитается
из значения правой.

После этого понятны будут следующие изображения чисел:

1 = 1, 11 = 2, Ш = 3, IV = 4, У = 5, У1 = 6,

VII = 7, УШ = 8, 1Х = 9, Х=10, XI = 11, ХП = 12,

XIV =14, XVIII = 18, XIX =19, XX = 20, XXIX = 29,

ХЫ1 = 42, ЬХХХ1У = 84, ХСУ = 95, ССС = 300,

ОС = 600, ОСС = 700, МОСССЕХХХ1У = 1884.

Число тысяч изображается так же, как число единиц,
только с правой стороны, внизу, ставят букву ш (тШе —
ты,сяча); напр.:

СЬХХХтСССШУ = 180364. ‘
57.	Славянская нумерация. В памятниках славянской
письменности употребляются для изображения чисел буквы
славянского алфавита. Когда буква означает число, то ста-
вят над ней особый знак, называемый титлом (“), чтобы
сразу было видно, что эта буква означает не звук, а число.
Следующие 27 букв служат для выражения первых 9 чисел,
9 десятков и 9 сотен:

4 (1), в (2), г (3), А (4), 7 (5), в* (6), 3 (7), и (8), д (9),
Т (10), к (20), Г (30), м (40), н (50), § (60), о (70), п (80),
ч (90), р* (100), г (200), т (300), 17 (400), ф (500), х (600),
1Г (700), ш (800), ц (900).

Несколько букв под титлом, написанных рядом, означают
число, равное сумме чисел, выражаемых каждою буквою.
Для обозначения тысяч перед числом их ставится знак /.
Напр., выражает число 1929. Буквы ставятся в том
порядке, в каком следуют числа в славянском произноше-
нии. Напр., число 15, произносимое „пять-на-десять“, пи-
шется так: 77, т. е. в начале ставится буква, означающая 5,
а за нею буква, означающая 10.

Замечание. Славянская нумерация была заимствована у
греков, которые для обозначения чисел употребляли буквы
своего алфавита (первые 9 букв для единиц, вторые 9 букв
для десятков и следующие 9 букв для сотен). Действия над
числами, выражаемыми по греческой или римской нумера-
ции, могли быть выполняемы с очень большими затрудне-
ниями (они производились главным образом в уме); вслед-
ствие этого такие системы счисления в течение многих веков
значительно тормозили развитие арифметики. Впрочем, со-
хранилйсь многочисленные следы, указывающие, что древние
при вычислениях употребляли так называемые абаки, т. е.
счетные доски или столы, устраиваемые наподобие наших
русских счетов.

VI. УМНОЖЕНИЕ.

58.	Что такое умножение. Арифметическое действие,
посредством которого одно данное число повторяется сла-
гаемым столько раз, сколько в другом данном числе нахо-
дится единиц, наз. умножением.

Так умножить 7 на 4 значит повторить число 7 слагаемым
4 раза, т. е. найти сумму 7 -ф 7 -ф 7 -ф 7.
Таким образом умножение представляет собою сложение
одинаковых слагаемых и, след., оно всегда может быть вы-
полнено посредством обыкновенного сложения. Но такое сло-
жение было бы оченр утомительно в том случае, когда число
слагаемых велико. Арифметика указывает более удобный
способ нахождения суммы одинаковых слагаемых посред-
ством особого действия, называемого умножением.

Число, которое должно повторить слагаемым, называется
множимым, а число, которое показывает, сколько раз надо
множимое повторить слагаемым, называется множителем.
Число, полученное после умножения, называется произведе-
нием. Напр., когда 7 умножается на 4, то 7 есть множимое,
4 — множитель, а получившееся после умножения число 28—
произведение.

Множимое и множитель безразлично наз. сомножите-
лями.

Принято обозначать умножение посредством особого
знака. Если, напр., 7 надо умножить на 4, то пишут так:
7 X Л или 7 • 4, т. е. пишут множимое, справа от него знак
умножения (косой крест или точка), а справа от знака ста-
вят множитель; такое обозначение заменяет собою сумму
74-7 + 7 + 7.

Замечание 1. Множимое может обозначать единицы ка-
кого угодно названия, напр., метры, рубли, карандаши и т. д.;
произведение должно означать единицы того же названия,
как и множимое. Так, если 7 рублей умножается на 4, то
получаются 28 рублей.

Множитель, означая, сколько раз множимое повторяется
слагаемым, есть число отвлеченное.

Впрочем, в практических вопросах иногда ради крат-
кости изложения, множителю можно приписывать некоторое
конкретное наименование. Если, напр., человек поднял груз
в 10 килограммов на высоту 2 метров, то он при этом со-
вершил работу, равную 20 килограммо-метрам. * Можно ска-
зать, что эта работа получилась как произведение 10 кило-
граммов X 2 метра. Но так можно сказать только ради крат-
кости; подробно же надо было бы высказать так: работа
содержит в себе столько килограммо-метров, сколько еди-
ниц есть в произведении числа, измеряющего груз в кило-
граммах, на число, измеряющее высоту поднятия в метрах.

* Килограммо-метром наз. работа, состоящая в поднятии одного кило-
грамма на высоту в 1 метр.
В таком умножении, конечно, множимое, множитель и произ-
ведение суть числа отвлеченные, а наименование мы им
даем условно, принимая во внимание смысл слов „кило-
граммо-метр" и „работа".

Замечание 2. Так как умножение есть частный случай
сложения, то оно всегда возможно и дает единственный ре-
зультать при данных сомножителях.

59.	Некоторые особые случаи умножения. 1) Если мно-
жимое есть 1, то произведение равно множителю-, так
1 х 5 = 5, потому что сумма 1+1 + 1 + 1 +1 составляет 5.

2)	Если множимое есть 0, то и произведение равно 0-,
•напр., 0X4 = 0, потому что сумма 0 + 0 +0 + 0, как мы
условились ранее (§ 23), должна считаться равной 0.

Так как повторить какое-нибудь число слагаемым один
раз или ни одного раза, очевидно, нельзя, то, значит, мно-
житель не может быть ни 1, ни 0. Тем не менее допускают
умножение и на единицу, и на нуль, придавая этому умноже-
нию следующий особый смысл:

3)	Если множитель 1, то произведение принимается
равным множимому; напр., 5X1=5 (что можно истолко-
вать так: 5 взять один раз, получим 5).

4)	Если множитель есть нуль, то произведение прини-
мается равным нулю; напр., 5X0 = 0 (т. е. если 5 не брать
ни одного раза, то ничего не получим).

40. Увеличение числа в несколько раз. Увеличить число
в 2 раза, в 3 раза, в 4 раза и т. д. — значит повторить это
число слагаемым 2 раза, 3 раза, 4 раза и т. д. Напр., уве-
личить 10 в 5 раз — значить повторить 10 слагаемым 5 раз,
т. е. умножить 10 на 5. Таким образом, увеличение числа
в несколько раз выполняется умножением (тогда как уве-
личение числа на какое-нибудь число выполняется сложе-
нием).	X

44. Переместительное свойство умножения. Положим,
мы желаем сосчитать изображенные здесь черточки:

В первой строчке их 7, во второй и в третьей тоже 7;
значит, всех черточек будет 7 + 7 + 7, т. е. 7X3. Но те же
черточки можно считать вертикальными столбцами: в первом
столбце их 3, во втором 3, в третьем 3 и т. д.; так как
всех столбцов 7, то черточек окажется 3-|-3-|-3 + 3-|-3 +

3	3, т. е. 3X7. Но число черточек не зависит от того,

в каком порядке мы их считаем; значит, 7 X 3 = 3 X 7.

Подобным же образом можем убедиться, что 8X5 =
= 5X8; 20X15 = 15X20 и т. д. Вообще произведение не
изменяется от перемещения множимого на место множи-
теля, а множителя на место множимого.

Свойство это называется переместительным.

Замечание. Переместительным свойством умножение об-
ладает и тогда, когда множитель есть 1 или 0; так, 1X5 = 5
и 5X1=5; 0X4 = 0 и 4X0 = 0.

42. Таблица умножения. Чтобы уметь быстро произво-
дить умножение всяких чисел, надо запомнить все произве-
дения однозначных чисел. Для этого составляют (при помощи
сложения) так называемую таблицу умножения и заучивают
ее наизусть:

2X2= 4	2X3= 6	2X4= 8	2X5 = 10
3X2= 6	3X3= 9	3X4=12	3X5 = 15
II ОО	4X3 = 12	4X4=16	4X5 = 20
5Х2ХЮ	5X3 = 15	5X4 = 20	5X5 = 25
6X2 = 12	6X3=18	6X4 = 24	6X5 = 30
7X2=14	7X3 = 21	7X4 = 28	7X5 = 35
8X2 = 16	8X3 = 24	8 X 4=32	8X5 = 40
9X2=18	9X3 = 27	9X4 = 36	9 X 5 = 45
2Х 6 = 12	2X7=14	2X8 — 16	2X9 = 18
3X6=18	3X7 = 21'	'3X8 = 24	3X9 = 27
4 Х6 = 24	4X7 = 28	4X8 = 32	4X9 = 36
5X6 = 30	5X7 = 35	5X8 = 40	5X9 = 45
бхб=зб	6X7 = 42	6X8 = 48	6X9 = 54
7X6 = 42	7X7 = 49	7X8 = 56	7X9 = 63
8X6 = 48	8X7 = 56	8X8 = 64	8X9 = 72
9X6 = 54	9X7 = 63	9X8 = 72	9X9 = 81

45. Умножение многозначного числа на однозначное.
Пусть требуется умножить 846 на 5. Принято располагать
действие так:

846

Х 5

4230,

т. е. пишут множимое, под ним множитель; под множителем
проводят черту; сбоку ставят знак умножения. Под чертою
пишут цифры произведения по мере того, как их получают.

Умножить 846 на 5 значит повторить 846 слагаемым
5 раз. Для этого достаточно повторить 5 раз сначала еди-
ницы множимого, потом его десятки, затем сотни. Произве-
дение найдем по таблице умножения.

Пятью 6 = 30 ед., т. е. 3 десятка; ставим 0 под чертою
на месте единиц, а 3 десятка запоминаем.

Пятью 4 десятка = 20 десятков; да 3 дес. = 23 дес.,
т. е. 2 сотни и 3 дес.; ставим 3 десятка под чертою на
месте десятков, 2 сотни запоминаем.

Пятью 8 сотен = 40 сотен; да 2 сотни.= 42 сотни; ста-
вим под чертою 42 сотни, т. е. 4 тысячи и 2 сотни.

Произведение 846 на 5 оказывается 4230.

44.	Умножение на 1 с одним или с несколькими ну-
лями. Пусть требуется умножить:

358 X 10,

т. е. требуется повторить число 385 слагаемым 10 раз. Чтобы
легче узнать, сколько получится, повторим 10 раз каждую
из 358 единиц. Одна единица, повторенная 10 раз, даст де-
сяток; значит, если каждую из 358 ед. повторим 10 раз, то
получим 358 десятков, что составляет 3580 единиц.

Возьмем еще другой пример:

296 X Ю00

Одна единица, повторенная 1000 раз, составляет одну
тысячу; след., 296 единиц, повторенные 1000 раз, соста-
вляют 296 тысяч, что пишется так: 296000.

Правило. Чтобы умножить какое-нибудь число на еди-
ницу с нулями, достаточно приписать к этому числу
справа столько нулей, сколько их есть во множителе.

Замечание. Объяснение умножения на 1 с нулями можно было
бы обосновать на переместительном свойстве умножения. Так, про-
28
изведение 296 ХЮО равно 100X296, а это произведение есть
сумма 296 сотен, что по правилу нумерации (§ 13) выражается
числом 296 с двумя нулями на конце (29600). Отсюда вытекает
то правило, которое было сейчас указано. Но в элементарном
изложении мы предпочитаем (как здесь, так и в других случаях)
делать прямой вывод из определения действия, а не ссылаться на
какое-либо ранее доказанное свойство.

45.	Умножение на какую-нибудь значащую цифру с
одним или с несколькими нулями. Пусть требуется умно-
жить:

248 X 30,

т. е. требуется повторить 248 слагаемым 30 раз. Для этого
всего удобнее соединить 30 слагаемых в 10 одинаковых групп
по 3 слагаемых в каждой группе:

248	248	248	248	248	248	248	248-	248	288
248	248	248	248	248	248	248	248	248	248
248	248	248	248	248	248	248	248	248	248
744	744	744	744	744	744	744	744	744	744

Тогда, вместо того, чтобы 248 повторять слагаемым 3 раза,
мы можем умножить 248 на 3, и вместо того, чтобы 744
повторять 10 раз, мы можем умножить 744 на 10. Значит,
для умножения какого-нибудь числа на 30 достаточно умно-
жить его на 3 и полученное произведение умножить на 10
(для чего приписать справа один нуль):

248 X 3 = 744	744 X Ю = 7440

Возьмем еще другой пример: 895 X 400.

В этом примере требуется повторить число 895 слагае-
мым 400 раз. Но 400 слагаемых можно соединить в 100 групп
по 4 слагаемых в каждой группе. Чтобы узнать, сколько
единиц в одной группе, надо 895 умножить на 4 (полу-
чим 3580); чтобы затем узнать, сколько единиц во всех груп-
пах, надо 3580 умножить на 100 (для чего достаточно при-
писать 2 нуля).

Действие удобнее всего располагать так:

248	895

х 30 х 400

7440	358000
т. е. множитель надо писать так, чтобы его нули стояли
направо от множимого.

Правило. Чтобы умножить число на какую-нибудь зна-
чащую цифру с нулями, достаточно умножить множимое
на эту значащую цифру и к произведению приписать справа
столько нулей, сколько их есть во множителе.

Замечание. Правило этого (и предыдущего) параграфа
выражено не совсем точно: умножать на цифру нельзя, так
как цифра ч-не число, а письменный знак числа; когда мы
умножаем на 7, мы умножаем не на цифру 7, а на число,
изображаемое этой цифрой. Точно также: не к произведе-
нию приписываются нули, а к циферному изображению про-
изведения, и не столько нулей, сколько их есть во множи-
теле, а столько нулей, сколько их есть в циферном изобра-
жении множителя.

Однако, ради краткости речи, мы будем и далее упо-
треблять тайие неправильные выражения, условившись по-
нимать их указанным образом.	'

46. Умножение на многозначное число. Пусть требуется
сделать умножение:

3826X472,

т. е. требуется повторить число 3826 слагаемым 472 раза.
Для этого достаточно повторить 3826 слагаемым 2 раза,
потом 70 раз, потом 400 раз и полученные суммы соеди-
нить в одну; другими словами, достаточно 3826 умножить
на 2, потом на 70, затем на 400 и полученные произведения
сложить.

Действие расположим так: пишем множимое, под ним
множитель, под множителем проводим черту:

3826	3826

Л 472	Л 472

7652	7652

267820	26782

1530400	15304

1805872	1805872

Умножаем множимое на 2 и полученное произведение
пишем под чертою; это будет первое частное (частичное)
произведение (именно 7652).

Умножаем множимое на 70. Для этого достаточно умно-
жить множимое на 7 и к произведению приписать справа
один нуль; поэтому мы ставим 0 под цифрою единиц пер-
вого частного произведения, а цифры, получаемые от умно-
жения множимого на 7, пишем, по порядку их получения,
под десятками, сотнями и прочими разрядами первого част-
ного произведения. Это будет второе частное произведение
(267820).

Умножаем множимое на 400. Для этого достаточно умно-
жить 3826 на 4 и к произведению приписать справа два
нуля. Пишем два нуля под единицами и десятками второго
частного произведения, а цифры, получаемые от умножения
множимого на 4, пишем, по порядку их получения, под сот-
нями, тысячами и прочими разрядами второго частного про-
изведения. Тогда получим третье частное произведение
(1530400).

Под последним частным произведением проводим черту
и складываем все их.

Для сокращения письма не пишут нулей, указанных нами
жирным шрифтом; при этом надо только помнить, что,
умножая множимое на цифру десятков множителя, мы
должны писать первую полученную цифру под десятками
первого частного произведения; умножая на цифру сотен
множителя, пишем первую полученную цифру под сотнями
предыдущих частных произведений и т. д.

Замечания. 1) Если в числе цифр множителя есть 1, то,
умножая множимое на эту цифру, надо иметь в виду, что,
когда множитель есть 1, произведение принимается равным
множимому.

2) Когда во множителе встречаются нули, то на них не
умножают, а переходят прямо к умножению на следующую
значащую цифру множителя.

Пример.

470827
Л 60013

1412481

470827:
2824962::::
28255740751

47. Умножение чисел, оканчивающихся нулями. Сначала
возьмем пример, в котором только одно множимое оканчи-
вается нулями:

2800X 15
Умножить 2800 на 15 значит повторить 2800 слагаемым
15 раз. Если станем находить эту сумму обыкновенным сло-
жением:

2800

2800

Н-----15 раз

----)
00

то нули- слагаемых, очевидно, перейдут в сумму, а 28 сотен
повторятся слагаемым 15 раз. Значит, для умножения 2800
на 15 достаточно умножить 28 на 15 и к произведению при-
писать 2 нуля.

Действие всего удобнее расположить так:

2800
х 15

140 •

28

42000

т. е. пишутся множители так, чтобы нули множимого стояли
направо от множителя, производят умножение, не обращая
внимания на нули множимого, а к произведению их припи-
сывают справа.

Возьмем теперь пример, в котором только один множи-
тель оканчивается нулями:

358 X 23000

Это значит, что требуется число 358 повторить слагае-
мым 23000 раз. Но 23000 слагаемых можно соединить в 1000
одинаковых групп по 23 слагаемых в каждой группе. Чтобы
узнать, сколько единиц окажется в одной группе, надо 358
умножить на 23, а чтобы затем узнать, сколько будет во
всех группах, надо число единиц в одной группе умножить
на 1000 (для чего достаточно приписать справа 3 нуля). Дей-
ствие располагают обыкновенно так:
358
х 23000

1074
716
8234000

Наконец, рассмотрим пример, в котором оба данные
числа оканчиваются нулями:

57000 X 3200,

57000
х 3200

114

171______

182400000

Для умножения 57000 на какое-нибудь число, нйдо умно-
жить 57 на это число и к произведению приписать три нуля.
Но чтобы умножить 57 на 3200, надо умножить 57 на 32 и
к произведению приписать два нуля. Поэтому, когда множи-
мое и множитель оканчиваются нулями, производят умно-
жение, не обращая внимания на нули, и к произведению
приписывают столько нулей, сколько их есть во множимом
и во множителе вместе.

48.	Умножение в порядке, обратном принятому. Во всех
предыдущих примерах множимое умножалось сначала на
единицы множителя, потом—на его десятки, затем — на его
сотни и т. д. Но можно производить умножение в обратном
порядке. Напр.:

2834 х 568  22672  17004  14170  1609712	2834 х 568  14170  17004  22672  1609712

Единственная разница между этими приемами умноже-
ния— та, что, подписывая частные произведения одно под
другим, приходится отступать влево, если действие ведется
по первому приему, и вправо, если оно совершается по вто-
рому приему. Первый прием более употребителен.

49.	Поверка умножения. Так как произведение не изме-
няется от перемены мест сомножителей, то для проверки

3 Киселев. Арифметика.


умножения достаточно совершить его во второй раз, умно-
жая множитель на множимое.

Наир.:

Умножение:	Поверка
^532 х 145  2660 2128 , 532 77140	у 145  Х532  290  435  725 77140

Оба произведения оказались одинаковы; след., весьма
вероятно, что действие сделано верно.

50.	Изменение произведения с изменением данных чи-
сел. Если увеличим множимое или множитель в несколько
раз, то и произведение увеличится во столько же раз.
Так, если в примере: 15 X 3 — 45 увеличим множимое, напр.,
в 4 раза, то получим: 60X3 = 180; новое произведение (180)
больше прежнего произведения (45) в 4 раза. И действи-
тельно, прежнее произведение представляет собою сумму
трех слагаемых: 15 4-15-[-15 и новое произведение пред-
ставляет собою также сумму трех слагаемых: 60-}-60 4-60,
но каждое слагаемое второй суммы более каждого слагае-
мого первой суммы в 4 раза; значит, вторая сумма более
первой суммы в 4 раза.

Если в том же примере: 15X3 = 45 увеличим множи-
тель, напр., в 2 рдза, то получим: 15X6 = 90; новое произ-
ведение (90) больше прежнего произведения (45) в два раза.
И действительно, прежнее произведение представляет собою
сумму: 15-]-154-15, а новое: 15-[-15-}-15-[-1515-|- 15.
Значит, во второй сумме первая сумма повторяется 2 раза,
т. е вторая сумма более первой в 2 раза.

Отсюда следует: если уменьшим множитель или мно-
жимое в несколько раз, то и произведение уменьшится во
столько же раз.

Напр.:

20X2 = 40; 10X2 = 20; 5X2=10; и т. п.

51.	Упрощение умножения в некоторых случаях. Зная
эти изменения произведения, мы можем иногда упростить
умножение. Пусть, напр., надо умножить 438 на 5. Увеличим
множитель в 2 раза, т. е. вместо 5 возьмем 10. Тогда произ-
ведение находим сразу, оно будет 4380. Но, увеличив мно-
житель в 2 раза, мы увеличили произведение в 2 раза; след.,
искомое произведение должно быть вдвое меньше 4380-ти,
т. е. оно равно 2190.

Подобно этому, если требуется умножить на 25, мы мо-
жем умножить на 100 и полученное произведение уменьшить
в 4 раза. Напр.:

35X25 = 3200:4 = 800.

Пусть еще требуется умножить 56 на 11. Повторив 56
слагаемым 10 раз, получим 560; остается добавить еще 56;
получим 616.

Подобным образом можно умножить какое-нибудь число
на 19. Для этого достаточно умножить на 20 (т. е. на 2 и
на 10) и затем вычесть 19.

52.	Произведение трех и более сомножителей. Пусть
имеем несколько чисел, напр.; 7, 5, 3 и 4, данных в опре-
деленном порядке, напр., в таком, в каком они у нас по-
ставлены. Составим из них произведение таким образом:
умножив первое число на второе, получим 35; умножив 35
на третье число, получим 105; умножив 105 на четвертое
число, получим 420. Число 420 называется произведением
четырех сомножителей: 7, 5, 3 и 4. Подобным образом
можно находить произведение 5-ти, 6-ти и более сомножи-
телей.

Для обозначения таких последовательных умножений
пишут данные числа в одну строку в том порядке, в каком
требуется производить над ними умножение, и ставят между
ними знак умножения.

Таким образом, выражение:

3-4-2-7 или 3X4X2X7

равносильно такому:

[(3-4).2].7,

т. е. оно означает, что 3 умножается на 4, полученное про-
изведение— на 2 и это последнее произведение — на 7.

55. Переместительное свойство произведения любого
числа сомножителей. Произведение не изменяется от пе-
ремены порядка сомножителей (сколько бы их ни было).

*
Напр., вычислив каждое из произведений:

2 5.3.4.7Ц 2.3.4.5.7Ц 4.7.3.2.5Ц 7 « 2 • 3 • 4 ‘ 5,
отличающихся только порядком сомножителей, мы получим
одно и то же число 840.

Так как каждый из сомножителей, может быть поставлен
на конце, т. е. может быть принят за множитель, то все они
часто называются множителями.

Доказательство. Чтобы доказать переместительное свойство
для всевозможных произведений, будем вести рассуждение в такой
последовательности:

1)	Докажем, что в произведении трех сомножителей можно, не
изменяя произведения, переставить два последние сомножителя.

Напр., докажем, что

10.4.3=10.3.4.

, Произведение 10.4.3 есть сумма 10 + 10 + Ю + Ю, повто-
ренная слагаемым* 3 раза. Значит, оно представляет собою такое
собрание единиц:

104-10 + 10-4-10
10 + 10 + ю+10
10 + 10 + 10 + 10

Если эти слагаемые будем складывать горизонтальными строч-
ками, то получим (10.4) + (10 » 4) + (10 • 4), т. е. получим
10 • 4 • 3; если же те же слагаемые будем складывать вертикаль-
ными столбцами, то получим (10 • 3) + (10.3) + (10-3) + (10.3),
т. е. 10 • 3 • 4. Так как и при том и при другом порядке сложе-
ния мы не пропустили ни одной единицы и ни одной из них не
повторили 2 раза, то результаты сложения должны быть одина-
ковы; значит, 10 • 4 « 3 = 10 • 3 • 4.

2)	Докажем, что можно переставить, не изменяя произве-
дения, два рядом стоящие сомножителя; напр., докажем, что
если в произведении 2 • 5 • 3 • 4 • 7 переставим сомножители 3 и 4,
то произведение не изменится.

Отбросим пока последний сомножитель; тогда получим такое
произведение* 2 • 5 • 3 • 4 или 10 • 3 • 4. Согласно сейчас доказан-
ному

10 • 3 • 4 = 10.4 » 3.

Умножав каждое из этих произведений на .отброшенный сомножи-
тель 7, мы не нарушим ревенства между ними; тогда будем иметь:

10.3.4.7=10.4.3.7
или
3)	Докажем, что можно переставить, не изменяя произведе-
ния, два какие угодно сомножителя-, напр., докажем, что в про-
изведенении 2 • 5 • 3 • 4 • 7 можно переставить сомножители 5 и 7.

Сомножитель 5 можно переставить с 3, потому что эти сомно-
жители стоят рядом-. Затем, по той же причине, 5 можно переста-
вить с 4 и, наконец, с 7. Таким образом сомножителе 5 будет пе-
реведен на то место, которое занимал прежде сомножитель 7, и
мы будем иметь произведение 2 • 3 • 4 • 7 • 5. Переставляя теперь
сомножитель 7 с 4, а потом с 3, мы $ереведем его на то место,
которое прежде занимал сомножитель 5. Таким образом:

2 • 5 • 3 • 4 • 7 = 2 * 7 • 3 • 4 • 5

Наконец, 4) докажем, что произведение не изменится, если
переставим его сомножители как угодно-, напр., докажем, что в
произведении 2 • 5 • 3 • 4 • 7 сомножители можно переставить так:

3*7.5-42.

Сравнивая последнее произведение с данным, видим, что со
множитель 3 должен стоять на 1-м месте. Для этого мы поме-
няем его местами с 2, что можно сделать по доказанному раньше.
Тогда получим новое произведение 3 • 5 • 2 • 4 • 7. Теперь сомножи-
тель 7 переведем на второе место; для этого переставим его с 5;
получим 3 • 7 * 2 • 4 • 5. В этом произведении переставим 5 с 2;
тогда получим: 3 • 7 • 5 • 4 • 2. Теперь все сомножители приведены в
требуемый порядок, причем произведение ни разу не изменилось.

54о Сочетательное свойство умножения. Чтобы вычи-
слить произведение, мы можем соединить сомножители в
какие-нибудь группы, сделать умножение в каждой группе
отдельно и полученные числа перемножить. Соединим,
} напр., сомножители произведения:

3-4-5-2 '

в такие две группы: (3-4) и (5-2); тогда получим: 3-4 =
— 12; 5-2=10; 12'10=120, т. е. мы получим то же самое
число, как если бы произвели умножение, не соединяя со-
множителей в группы: 3'4=12; 12-5 = 60; 60-2=120.
Легко понять, почему это так. Совершая умножение в по-
рядке 3 - 4 • 5 • 2, мы должны число 12, получившееся от
умножения 3 на 4, повторить слагаемым 5 раз и затем полу-
ченное число повторить слагаемым 2 раза:

.(12 4- 12	12 4- 12 4- 12) 4- (12 4-124-12 4-12 [- 12).
Но это, по сочетательному свойству сложения, все равно,
что прямо повторить 12 слагаемым 10 раз. Значит:

12 • 5  2 = 12 • (5 ♦ 2)6

Подобным же образом мы можем объяснить, что

8 • 3 * 2 • 5 = 8 • (3 • 2 • 5) и т. п.

Сочетательное свойство' можно рассматривать как прямое след-
ствие свойства переместительного. Так, чтобы доказать, что в про-
изведении 8 • 3 • 2 • 5 мы можем соединить сомножители 3, 2 и 5
в одну группу, мы можем рассуждать так: переставим эти сомно-
жители к началу ряда: 3 • 2 • 5 • 8. Это произведение, по опреде-
лению, есть (3 • 2 - 5) • 8. Переставив теперь 8 к началу ряда, полу-
чим 8 • (3 • 2 • 5).

Если равенство 8*3‘2-5 = 8«(3-2-5) прочтем справа
налево, т. е. так:

8 • (3 • 2 • 5) = 8 • 3 • 2 • 5,

то мы можем сочетательное свойство умножения высказать
другими словами так: чтобы умножить какое-нибудь число
на произведение, достаточно умножить множимое на пер-
вый сомножитель, полученное число умножить на второй
сомножитель, потом на третий и т. д.

55.	Распределительное свойство умножения. Это свойство
можно выразить такою формулой:

(а Ь -|- с 4--) т = ат 4~ Ьт 4~ ст -[-•«•

Формулу эту можно высказать так: чтобы умножить сумму на
какое-нибудь число, можно умножить на это число каждое сла-
гаемое и результаты сложить»

Свойство это выводится на основании сочетательного свойства
суммы, как видно из следующего равенства:

(а-\-Ь-\-с~\--)т = (а-\-Ь Д-с-\----)4-‘^4“^ + 6г4-,,в)=---

(а-\-а-\-а\---)4----(Ь-\-Ь-}-Ь-\---) + (^ + ^ + ^Н--+) =

== ат 4~ Ьт 4~ ст 4~ • • •

Так как (аЬст^т(а-{-Ь-\-с-**), то мы можем
также писать:

т (а + Ь с • • •) = та 4~ тЬ -|- тс • • •,

т. е. чтобы умножить какое-нибудь число на сумму, можно
умножить это число на каждое слагаемое отдельно и резуль-
таты сложить*
56.	Степень. Произведение нескольких одинаковых со-
множителей называется степенью того числа, которое
повторяется сомножителем, причем произведение двух
одинаковых сомножителей называется второй степенью,
произведение трех одинаковых сомножителей называется
третьей степенью и т. д.

Так, произведение 5-5, т. е. 25, есть вторая степень 5-и,
произведение 3-3-3, т. е. 27, есть третья степень 3-х, про-
изведение 2 • 2 • 2 • 2, т. е. 16, есть четвертая степень 2-х.

Степени выражают сокращенно так:

2 • 2 • 2 = 23 (два в третьей степени),

3.3.3.3 = 34 (ТрИ в четвертой степени),

т. е. пишут число, которое берется сомножителем, и надпи-
сывают над ним с правой стороны другое число, показываю-
щее, сколько в степени одинаковых сомножителей; это вто-
рое число называется показателем степени.

VII. ДЕЛЕНИЕ.

57.	Задача I. Роздано ученикам 24 листа бумаги по 6
листов каждому. Сколько учеников получило бумагу?

Для решения задачи достаточно узнать, сколько раз в
24 листах содержатся (повторяются слагаемым) 6 листов.
Оказывается, что 6 листов в 24 листах содержатся 4 раза
(6 4- 6 4- 6 -]- 6 = 24); значит, бумагу получили 4 ученцка.

Задача 2. Роздано 24 листа бумаги 6-ти ученикам по-
ровну. Сколько листов получил каждый ученик ?

Для решения задачи достаточно узнать, сколько листов
окажется в каждой части, если 24 листа разложим на 6 рав-
ных частей; другими словами, достаточно узнать как велика
шестая часть 24-х листов. Шестая часть 24-х листов равна
4 листам (4 4* 4 4~ 4 4-4-{-44 = 24); значит, каждый ученик
получил по 4 листа бумаги.

58.	Двойное значение деления. Слово „деление" имеет
два значения; напр., разделить 24 на 6 значит:

1)	узнать, сколько раз в 24 каких-нибудь единицах со-
держатся (т. е. повторяются слагаемым) 6 таких же единиц;

2)	узнать, чему равна шестая часть 24-х каких-нибудь
единиц.

Таким образом, деление есть арифметическое действие,
посредством которого узнается, сколько раз одно число
содержится в другом;

а также: деление есть арифметическое действие, посред-
ством которого узнается, сколько единиц будет'в каждой
части, если одно данное число разложим на столько рав-
ных частей, сколько единиц в другом данном числе.

Данное число, в котором ищется содержание, или кото-
рого часть отыскивается, наз. делимым; данное число, кото-
рого содержание отыскивается или которое означает, на
сколько равных частей надо разложить делимое, наз. де-
лителем; искомое число наз. частным. Оно показывает,
сколько раз делитель содержится в делимом, или сколько
единиц в каждой части делимого, если его разложим на
столько равных частей, сколько единиц в делителе.

Деление обозначается знаком : (две точки), который ста-
вят между делимым и делителем (делимое налево, делитель
направо). Напр., выражение 24:6 = 4 означает, что число 24,
деленное на 6, дает 4.

59.	Название единиц делимого, делителя и частного.
Когда делением узнается, сколько раз одно число содер-
жится в другом, то делимое и делитель могут выражать
какие угодно единицы, но только одного и того же назва-
ния. Напр., мы можем узнавать, сколько раз в 30 книгах
содержатся 5 книг, сколько раз в 30 листах содержатся
5 листов и т. п. Частное в этом случае показывает, сколько
раз делитель содержится в делимом и потому оно есть
число отвлеченное.

чКогда же делением число разлагается на равные части,
то делимое может выражать единицы любого названия, де-
литель же означает, на сколько равных частей разлагается
делимое, и потому оно и есть число отвлеченное, а частное
должно выражать те же единицы, из которых составлено
делимое. Напр., если 24 листа бумаги разложим на 6 равных
частей, то в каждой части получим 4 листа бумаги, а не
каких-нибудь других единиц.

60.	Сравнение деления с умножением. Пусть мы узнали,
что 7 в-56 содержится 8 раз. Тогда 56 можно представить
в виде такой суммы:

56 = 7 + 7	7 + 7+ 7 + 7 + 7 + 7 (8 слагаемых),

или

56 = 7X8.
Мы видим таким образом, что делимое 56 представляет
собою произведение, делитель 7 — множимое, а искомое
частное 8 есть множитель; значив, вместо вопроса: „сколько
раз в 56 содержится 7“ мы могли бы предложить другой
вопрос: „если произведение 56, а множимое 7, то чему ра-
вен множитель ?“.

Пусть мы теперь разложили 56 единиц на 7 равных ча-
стей; тогда в каждой части получим 8 единиц. Теперь 56
можно представить в виде другой суммы:

56 = 8 + 84-84-8“[-84-8-|-“8 (7 слагаемых),

или	56 = 8 X 7.

Из этого равенства видно, что делимое 56 можно рас-
сматривать как произведение, делитель 7 — как множитель,
а искомое частное 8 — как множимое; значит, вместо во-
проса: „как велика седьмая часть 56-ти“ мы могли бы пред- *
ложить другой вопрос: „если произведение 56 и множитель 7,
то чему равно множимое?".

Мы можем теперь сказать, что деление есть арифмети-
ческое действие (обратное умножению), посредством кото-
рого по данному произведению (называемому делимым) и по
данному сомножителю (называемому делителем) отыски-
вается другой сомножитель (называемый частным).

Так как произведение не изменяется от перестановки со-
множителей, то величина частного не зависит от того,
означает ли оно множитель или множимое, т. е. не за- ,
висит от того, узнаем ли мы, сколько раз в делимом содер-
жится делитодь, или же разлагаем делимое на столько рав-
ных частей, сколько единиц в делителе.	4

61,	Деление с остатком. Пусть требуется разделить 27
на 6, т. е. узнать, сколько раз в 27 содержится 6, или раз-
ложить 27 на' 6 равных частей. И в том, и в другом случае
получим в частном число 4, причем 3 единицы окажутся
не разделенными. В этом случае говорят, что деление 27 на
6 совершается с остатком и частное получается неточное.

Действие в этом случае можно обозначить так-	*

27:6 = 4 (ост. 3),

помещая в скобках остаток от деления.

Конечно остаток от деления всегда меньше делителя.

,	ч-..	• I

 ггсаЖ'л - • ;

। г- тл, в и ‘ с I
Если деление совершается с остатком, то делимое равно
произведению делителя на частное, сложенному с остатком.
Так:

27 = 6X4 + 3.

62. Когда при решении задач употребляется деление.
При решении задач деление употребляется в следующих
случаях:

1)	Когда надо узнать, сколько раз бдлыиее число содер-
жит в себе меньшее-, напр., сколько раз 20 рублей содержат
в себе 5 рублей.

2)	Когда надо узнать, во сколько раз одно число больше
другого, потому что узнать это — значит определить, сколько
раз большее число содержит в себе меньшее. Напр., узнать,
во сколько раз 20 руб. больше 5 рублей, значит, другими
словами, определить, сколько раз 20 руб. содержат в
себе 5 рублей. Поэтому этот случай в сущности предста-
вляет собою случай 1-й, но только он выражен другими
словами.	к

3)	Когда требуется данное число разложить на не-
сколько равных частей-, напр., когда требуется 60 листов
бумаги разложить на 12 равных частей (найти двенадцатую
часть 60 листов).

4)	Когда надо уменьшить данное число в несколько раз,
потому что уменьшить, напр., 60 листов бумаги в 12 раз
значит вместо 60 листов взять двенадцатую часть 60 ли-
стов. Таким образом, этот случай представляет собою тот
же случай 3-й, но выраженный иными словами.

Итак, можно сказать, что деление употребляется соб-
ственно только в двух случаях: 1) когда требуется узнать,
сколько раз одно число содержится в другом и 2) когда
данное число требуется разложить на несколько равных
частей.

65. Деление можно выполнять посредством сложения,
вычитания и умножения. Пусть, напр., требуется разде-
лить 212 на 53. Искомое частное мы можем найти:

1) Сложением:

53 + 53=106; 106 + 53 = 159; 159 + 53 = 212.

Оказывается, что 53 надо повторить слагаемым 4 раза,
чтобы получить 312; значит, искомое частное есть 4.
2) Вычитанием:			
212	159	106	53
— 53	~ 53	” 53	”53
159	106	53	0
Оказывается, что	53 от 212	можно	отнять 4 раза; значит,

искомое частное есть 4.

3)	Умножением:

. 53X2=106; 53X3 = 159; 53X4 = 212.

Искомое частное есть 4.

Однако эти способы неудобны, если частное большое
чйсло; арифметика указывает более простой прием, который
мы теперь и рассмотрим.

64.	Более строгое определение деления целых чисел.
В области целых чисел делению без остатка и делению с остатком
можно дать одно следующее определение: разделить число а (де-
лимое) на число Ь (делитель) значит найти такие два числа д
(частное) и г (остаток), которые удовлетворяли бы соотношениям:

а — Ьд-\-г и г

Так как равенство а=Ьд~\~г выражает, что

д слагаемых

а = (Ь + Ь Ъ 4- . . .й) 4- г

и так как при этом г<^Ь, то частное очевидно, означает наи-
большее число раз содержания делителя в делимом. С другой сто-
роны, если то же, равенство представим так:

Ь слагаемых 

то станет очевидным, что частное д означает наибольшее число еди-
ниц, какое окажется, если делимое а разложим на Ь равных частей.
Таким образом, из данного нами определения можно вывести то
двойное значение деления, которое было указано в § 58.

Легко убедиться, что если делитель Ь не равен нулю, то дей-
ствие деления всегда возможно и всегда дает единственный резуль-
тат. Действительно:

1)	если а<^Ь, то ^ = 0 и г = а, и только эта пара чисел удов-
летворяет определению;

2)	если а = Ь, то ^ = 1 и г = 0, и никакая другая пара чисел
не удовлетворяет определению;
наконец, 3) если а Ь, то частное д, означая наибольшее число
раз содержания Ь в а, во-первых, существует, если только Ъ не
равно нулю, и, во-вторых, при данных делимом и делителе может
быть только одно; но тогда и остаток г существует (он равен раз-
ности а — Ьд) и может быть только один.

65.	Как узнать, будет ли частное однозначное. Для этого
стоит только умножить (в уме) делителя на 10 и сравнить
полученное произведение с делимым.

Пример!.	534:68=?

Если 68 умножим на 10, то получим 680; но 534 меньше 680;
поэтому частное должно быть меньше 10; значит, оно должно
быть числом однозначным.

Пример 2.	534:37=?

Если 37 умножим на 10, то получим 370; но 534 больше 370;
поэтому частное не может быть меньше 10; значит, оно не
может быть однозначным.

66.	Нахождение однозначного частного. Рассмотрим два
случая: когда делитель тоже однозначный и когда делитель
многозначный.

1)	Когда 'делитель и частное оба однозначные числа, то
частное находится по таблице умножения. Напр., частное
от деления 56 на 8 будет 7, потому что семью восемь равно 56;
частное от деления 42 на 9 равно 4 с остатком 6, потому что
четырежды девять равно 36, что меньше 42, а пятью девять
составляют 45, что больше 42; значит, в„ частном надо
взять 4, причем в остатке получится 6.

2)	Когда делитель состоит из нескольких цифр, а част-
ное однозначное, то это частное находится посредством
испытания одной, или нескольких цифр.

Пример.

43530:6837.	.	'

Зачеркнем в делителе все цифры, кроме первой слева,
т. е. оставим в делителе только 6 тысяч. В делимом зачер-
кнем справа столько же цифр, сколько их зачеркнули в дели-
теле, т. е. оставим в делимом только 43 тысячи. Зададимся
теперь вопросом; на какую цифру надо умножить 6, чтобы
получить 43 или число, меньшее 43-х, но возможно близкое
к 43. Из.таблицы умножения находим, что такая цифра есть 7,
так как семью шесть = 42, а восемью шесть = 48. Значит,
искомое частное должно быть 7 или меньше 7 (меньше 7
оно будет тогда, когда отброшенные нами 837 ед., умножен-
ные на 7, составят такое число, которое превзойдет 1 тысячу,
оставшуюся от 43 тысяч делимого, вместе с 530 единицами).
Начнем испытание с цифры 7. Для этого умножим 6837 на 7;
если получим больше 43530, то цифра 7 не годится; тогда
испытаем следующую меньшую цифру 6:

6837

Х7
47856

6837

Х6

41022

43530

— 41022

2508

Произведение 6837 X 7 оказалось больше 43530, а произ-
ведение 6837 X 6 меньше этого числа; значит, частное должно
быть 6, причем получится остаток 2508.

Замечание. В некоторых случаях первую цифру для испы-
тания удобнее находить иначе. Так, заметив, что во взятом
нами примере делитель 6837 мало отличается от 7 тысяч,
узнаем, на какую цифру надо умножать 7, чтобы получить
число, возможно близкое к 43. По таблице умножения нахо-
дим, что такая цифра есть 6, потому что шестью семь бу-
дет 42, а семью семь 49. Значит, частное должно быть 6 или
больше 6 (потому что делитель меньше 7 тысяч). Начнем
испытание с цифры 6. Для этого умножим делителя на 6 и
вычтем произведение из делимого; если останется больше
6837, то цифра 6 мала; тогда надо испытать цифру 7; а если
останется меньше 6837, то цифра 6 годится. Остаток ока-
зался 2508; значит, цифра 6 годится.

Так полезно поступать тогда, когда вторая цифра дели-
теля больше 5. Напр., делитель 6837, благодаря тому, что
у него вторая цифра более 5, ближе подходит к 7000, чем
к 6000.

67. Нахождение многозначного частного. При объясне-
нии нахождения многозначного частного мы будем предпола-
гать, что делитель означает множимое, а искомое частное
означает множитель, т. е. что делением мы узнаем, сколько
раз делитель содержится в делимом. Конечно, найденное част-
ное будет означать вместе с тем, сколько единйц содержится
в каждой части, если делимое разложим на столько равных
частей, сколько единиц в делителе.

Пример.	64528 : 23 = ?
Отделим делитель от делимого вертикальною чертою; под
делителем проведем горизонтальную черту; под этою чертою
будем писать цифры частного по мере их нахождения.

।

64528 |	23
46 Ш	2805
185 Ч	
184 И	

128
П5

13

Определим сначала, какой высший разряд будет в част-
ном.

В делимом высший разряд — десятки тысяч, а потому
прежде всего узнаем, не будут ли и в частном десятки тысяч.
Десятков тысяч в частном не будет, потому что число 23,
повторенное слагаемым 10000 раз, составляет 23 десятка ты-
сяч, а в делимом только 6 десятков тысяч. Будут ли в част-
ном тысячи? Число 23, повторенное 1000 раз, составляет
23 тысячи; в нашем делимом тысяч более 23; значит, в нем
число 23 содержится более 1000 раз, и потому в частном
будут тысячи.

Чтобы узнать, сколько тысяч в частном, примем во вни-
мание, что 23 содержится 1000 раз в 23 тысячах; но 23 ты-
сячи в 64 тысячах повторяются 2 раза; след., 23 в 64 тыся-
чах содержится 1000 раз, да еще 1000 раз, т. е. 2 тысячи раз.
Ставим в частном цифру 2 и будем помнить, что эта цифра
означает тысячи.

64528 |	23
46 Н;	2805
185 И	
184 ц	

128

115

13

Умножим 23 на 2 тысячи и вычтем полученное число из
делимого. Чт'обы умножить 23 на 2 тысячи, достаточно умно-
жить 23 на 2 и полученное число на тысячу. Получим 46 ты-
сяч. Подпишем 46 под тысячами делимого и вычтем.

От 64 тысяч остается 18 тысяч, а от всего делимого должны
остаться эти 18 тысяч, да еще 528 единиц; значит, полный оста-
ток будет 18528. В этом числе 23 хотя и содержится, но
менее тысячи раз, потому что оно менее 23 тысяч.

Чтобы узнать, сколько сотен в частном, возьмем в пол-
ном остатке только 185 сотен (для чего снесем к остатку от
тысяч следующую цифру делимого 5) и примем во внимание,
что 23 содержится 100 раз в 23 сотнях, а 23 сотни в 185 сот-
нях повторяются 8 раз; след., 23 в 185 сотнях содержится
8 сотен раз. Пишем в частном цифру 8 направо от ранее
написанной цифры 2, так как сотни ставятся направо от тысяч.
Умножим 23 на 8 сотен и вычтем полученное число, т. е.
184 сотни, из 185 сотен. От сотен останется одна сотня, а от
всего делимого останется еще 28 ед.; значит, полный оста-
ток будет 128. В этом остатке 23 хотя и содержится, но менее
сотни раз, потому что 128 менее 23 сотен.

Чтобы узнать, сколько десятков в частном, возьмем в пол-
ном остатке только одни десятки (для чего снесем к остатку
от сотен следующую цифру делимого 2) и примем во вни-
мание, что 23 содержится 10 раз в 23 десятках, а 23 десятка
в 12 десятках не содержатся ни разу; след., число 23 в 12 де-
сятках не содержится ни одного десятка раз; поэтому десятков
в частном не будет вовсе. Пишем в частном цифру 0 направо
от прежде написанных (потому что десятки пишутся направо
от сотен) и сносим следующую цифру делимого 8, чтобы
иметь полный остаток.

Остается узнать, сколько простых единиц в частном.
23 в 128 содержатся 5 раз. Пишем в частном цифру 5 на-
право от прежде написанных цифр, умножаем на нее 23 и
вычитаем произведение из 128; тогда получим последний
остаток 13.

Так как в частном мы писали цифры в порядке, приня-
том нумерацией, то остается только прочесть число, напи-
санное под чертою: 2804.

Вот еще два примера деления:

1470035 |	7	3480000 ! 15		
14" П	210005	30 : ;		232000
7. Ш		48^ !		
7  ' Н		45 ;		
0035		30		
35		30		
0		000		

68. Другое объяснение деления. В предыдущем параграфе
мы объяснили нахождение частного, рассматривая деление как дей-
ствие, которым узнается, сколько раз делитель содержится в дели-
мом. Но можно вести объяснение иначе, рассматривая деление как
разложение делимого на равные части. Объясним это на том же
примере:

64528 : 23.

Это значит: разложить 64528 ед. на 23 равные части {напр.
разделить 64528 рублей поровну между 23 человеками). По десятку
тысяч в каждой части не получится, но получится по нескольку
тысяч. Чтобы узнать, по скольку именно, возьмем в делимом 64 ты-
сячи и разложим их на 23 равные части. В каждой части получится
2 тысячи. Пишем в частном цифру 2. Если в каждой части 2 ты-
сячи, то в 23 частях их будет 46. Вычитаем 46 тыс. из 64 тыс.;
остается 18 тысяч, которые предстоит разложить на 23 равные
части» Очевидно, тысячи не получится. Раздробим 18 тысяч в сотни
и приложим к ним 5 сотен делимого, чтобы и их зараз разложить
на 23 равные части. Получим 185 сотен. Разложив их на 23 рав-
ные части, получим в каждой части по 8 сотен. Пишем в частном
цифру 8 на месте сотен. Умножив 8 на 23, узнаем, что во всех
частях сотен будет 184; вычитаем их из 185. Остается 1 сотня,
которую предстоит разложить на 23 равные части. Раздробим ее
в десятки и к ним прибавим 2 десятка делимого, чтобы зараз и
их разложить на 23 равные части; получим 12 десятков. От деле-
ния их на 23 равные части в частном не получим десятков; ставим
в частном цифру 0 на месте десятков. Раздробим 12 десятков в еди-
ницы и приложим 8 ед. делимого; получим 128 ед. Разделив их
на 23, найдем 5 ед. Пишем цифру 5 в частном на месте единиц.

69.	Сокращенный способ деления на однозначное число.
Когда делитель однозначный, то для сокращения письма по-
лезно привыкнуть производить в уме все вычитания, выпи-
сывая только остатки. Напр. так:

563087 |6

23 : :

50 Ч

28:

47

5

93847

или еще короче:

563087 | 6____

------5 93847

Здесь цифра 5 под чертою означает последний остаток.

70.	Случай, когда делитель оканчивается нулями. Деле-
ние упрощается в том случае, когда делитель оканчивается
нулем или несколькими нулями. Возьмем сначала случай,
когда делитель есть единица с нулями. Разделить какое-
нибудь число на 10; на 100, на 1000 и т. д. — значит узнать,
сколько в этом числе заключается десятков, сотен, тысяч и
и т. д. Но это легко узнается по правилу нумерации, указан-
ному нами ранее (§ 13). Напр.:

54634: 10 = 5463 (ост. 4)
54634:1000 = 54 (ост. 634).

Правило. Чтобы разделить число на 1 е нулями, доста-
точно отделить в делимом справа столько цифр, сколько
есть нулей, в делителе-, тогда оставшиеся цифры делимого
представят собою часргное, а отделенные — остаток.

Возьмем теперь случай, когда делитель есть какое-нибудь
число, оканчивающееся нулями: напр.:

389224 I 7300 '
365:: : 1-=---

242 И

219: !

2324

53

Делитель представляет собою 73 сотни. Чтобы4 узнать,
сколько раз 73 сотни содержатся в делимом, разобьем его
на две части: на сотни и единицы. Первая часть есть 3892
сотни, вторая часть — 24 единицы. 73 сотни могут содер-
жаться только в одной из этих частей, именно в сотнях.
Чтоб узнать, сколько раз 73 сотни содержатся в 3892 сотнях,
надо 3892 разделить на 73. Разделив, находим, что 73 сотни
в 3892 сотнях содержатся 53 раза, причем 23 сотни остаются.
Приложив к 23 сотням 24 единицы делимого, получим 2324;
в этом числе 73 сотни не содержатся ни разу;, след., 2324 бу-
дет в остатке.

Вот еще пример,’в котором и делимое, и делитель окан-
чиваются нулями:

35000 | 7300

- 292••	4

5800

Правило. Если белитель оканчивается нулями, то зачер-
кивают в нем эти нули и в делимом зачеркивают справа

4 Киселев. Арифметика.

49
столько же цифр; оставшиеся числа делят и к остатку
сносят зачеркнутые цифры делимого.

71.	Поверка деления. Деление можно поверять умноже-
нием, основываясь на том, что делимое равно делителю,
умноженному на частное (плюс остаток, если он есть). Напр.:

Деление: 8375	| 42	Поверка:	199
42 М	199		_Х42
4171			398
378^		7	796

395	8358

378	+17

17	8375

Мы умножили частное 199 на делителя 42 и к получен-
ному произведению приложили остаток 17. Так как после
этого получилось число, равное делимому, то весьма веро-
ятно, что действие сделано верно.,

72.	Как можно разделить на произведение. Пусть тре-
буется разделить 60 на произведение 5.3, т. е. на 15. Для
« этого достаточно разделить 60 на 5 и полученное частное раз-
делить еще на 3:

60:5=12;

12:3 = 4.

Действительно, первым делением мы, можно сказать, раз-
лагаем 60 на 5 равных частей, причем в каждой части полу-
чается 12; вторым делением мы разлагаем 12 на три равные
части, причем в каждой части получается по 4. Это можно
наглядно изобразить так:

60

Отсюда видно, что после двух этих делений число 60 ока-
зывается разложенным на 15 равных частей.

Подобным же образом можем разъяснить, что для деле-
ния числа 300 на произведение трех множителей 3-5-4, можно
разделить 300 на 3 (получим 100), затем это частное разде-
лить на 5 (получим 20), и, наконец, последнее частное раз-
делить на 4 (получим 5). Таким образом, чтобы разделить
50
какое-нибудь число на произведение, можно разделить это
число на первый сомножитель, полученное частное разделить
на второй сомножитель, это частное — на третий и т. д.
(предполагается при этом, что каждое деление выполняется
без остатка).

Этим свойством можно иногда пользоваться при устном
делении; напр., чтобы разделить 1840 на 20, мы принимаем
во внимание, что 20= 10-2 и делим 1840 на 10 (получим 184)
и найденное число на 2 (получим 92); подобно этому, чтобы
разделить какое-нибудь число на 8, т. е. на произведение,
равное 2-2’2, можно делимое разделить на 2, потом еще на
2 и еще на 2.

75. Изменение частного с изменением данных чисел.
Если мы увеличим (или уменьшим) делимое, то частное
увеличится (или уменьшится) во столько же раз. Так, если
в примере 20: 5 = 4' мы увеличим делимое, положим, в 3 раза,
т. е. вместо 20 возьмем в делимом 202020, то полу-
чим: 60:5 = 12. Новое частное оказалось больше прежнего
в 3 раза, потому что если 5 в 20 содержится 4 раза, то 5
в сумме 20 4-20 4-20 должно, очевидно, содержаться 4 раза,
да еще 4 раза, да еще 4 раза, т. е. втрое более, чем в 20.

Если мы увеличим (или уменьшим) делитель, то частное
уменьшится (или увеличится) во столько же раз. Так, если
в примере: 60:5 = 12 увеличим делитель, положим, в 3 раза,
т. е. вместо 5 возьмем делителем 15, то получим 60 : 15 = 4.
Новое частное оказалось меньше прежнего в 3 раза. Так оно
и должно быть, потому что 15 есть произведение 5X3,
а чтобы разделить на произведение, можно разделить дели-
мое на первый сомножитель (на 5) и полученное число (12)
разделить затем на второй сомножитель (на 3), отчего оно
уменьшится (в 3 раза/

Следует обратить особое внимание на те случаи, когда
частное остается без изменения:

1)	Частное не изменяется, когда делимое и делитель
увеличены в одинаковое число раз, потому что от увеличе-
ния делимого частное увеличивается, а от увеличения дели-
теля оно уменьшается во столько же раз. Так, если в при-
мере 60:15 = 4 увеличим делимое и делитель в 5 раз, то
получим 300 : 75 = 4.

2)	Частное не изменяется, когда делимое и делитель
уменьшены в одинаковое число раз, потому что от уменьше-
ния делимого частное уменьшается, а от уменьшения дели-
«	61
теля оно увеличивается во столько же раз. Так, если в том
же примере уменьшим делимое и делитель в 5 раз, то полу-
чим 12 : 3 = 4.

/

Замечаниие о пособиях для быстрого вычисления.

В счетной практике (напр., при статистических рабо-
тах) часто пользуются готовыми таблицами (напр., О’Рурк —
таблицы умножения, стереотипное издание, Асатиани —
таблицы для быстрого умножения и деления, изд. 1929 г.),
а также употребляют обыкновенные русские счеты, различные
счетные линейки и так называемые арифмометры, (напр.,
арифмометр Однера, Брунсвича) и т. п. О приемах пользо-
вания такими механическими пособиями здесь говорить не
место: с ними надо ознакомиться на практике.
ОТДЕЛ ВТОРОЙ.

О ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ.

74. Предварительные замечания: 1) Обстоятельное рас-
смотрение свойств дробных чисел может быть выполнено
только тогда, когда предварительно уяснены некоторые свой-
ства целого числа. Эти свойства главным образом относятся
до условий, при которых одно число делится на другое без
остатка. Поэтому отдел этот озаглавливается „О делимости
чисел".

2)	Когда одно число делится на другое без остатка, то
для краткости речи говорят просто, что первое число де-
лится на второе. Так, говорят: 15 делится на 3, но не де-
лится .на 4.

3)	Существуют признаки, по которым легко узнать, не
производя деления на самом деле, делится или не делится
данное число на некоторые другие числа. Эти признаки мы
теперь и рассмотрим.

I. ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ.

75.	Признак делимости на 2. Заметим, что .числа, деля-
щиеся на 2, наз. четными, а не делящиеся на 2 — нечет-
ными. В ряду натуральных чисел числа нечетные и четные
чередуются; так, 1 нечетное число, 2 четное число, 3 нечет-
ное число, 4 четное число и т. д.

Всякое число, оканчивающееся нулем, представляет собою
сумму нескольких десятков; напр., 320 есть сумма 32 десят-
ков. Но десяток делится на 2; поэтому и сумма нескольких
десятков также делится на 2 (содержит в себе столько раз
по 5 двоек, сколько в ней десятков). Значит, всякое число,
оканчивающееся нулем, делится на 2, Напр.:

320:2 = 160.
Возьмем теперь два числа таких, чтобы одно из них окан-
чивалось четною цифрою, а другое нечетною, напр.: 328 и
327. Их можно представить в виде сумм так:

328 = 320 + 8	327 = 320 + 7

320 можно составить из двоек (взять 160 двоек) и 8
можно составить из двоек (взять 4 двойки); значит, и сумму
320 + 8 можно составить из двоек (взять 160 двоек и еще
4 двойки). Поэтому 328 разделится на 2. Но 7 нельзя соста-
вить из двоек; значит, и сумму 320 + 7 нельзя составить из
двоек, т. е. -827 не разделится на 2. Таким образом: на 2
делится только такое число, которое оканчивается или
нулем, или четною цифрою.

76.	Признак делимости на 4. Всякое число, оканчиваю-
щееся двумя нулями, есть сумма нескольких сотен; напр.,
.2300 есть сумма 23 сотен. Но сотня делится на 4; поэтому
и сумма нескольких сотен также делится на 4. Значит, вся-
кое число, оканчивающееся двумя нулями, должно делиться
на 4. Напр.,

2300:4 = 575

Возьмем теперь два числа таких, чтобы 2 последние
цифры у одного из них выражали число, делящееся на 4, а
у другого — число, не делящееся на 4, напр.: 2348 и 2350
(48 делится на 4, а 50 нет). Их можно представить в виде
сумм так:

2348 = 2300 + 48	2350 = 2300 + 50

В первом примере каждое слагаемое можно составить- из
четверок; поэтому и сумму можно составить из четверок;
значит, число* 2348 делится на 4. Во втором примере первое
слагаемое можно составить из четверок, а второе нельзя;
поэтому сумму 2350 нельзя составить из четверок; значит,
число 2350 не делится на 4. Таким образом, на 4 делится
только такое число, у которого две последниг цифры — или
нули, или выражают число, делящееся на 4.

77.	Признак делимости на 8. Всякое число, оканчиваю-
щееся 3 нулями, есть сумма нескольких тысяч. Но тысяча
делится на 8 (именно: 1000:8 = 125); значит, и сумма не-
скольких тысяч делится на 8. Напр.:

73000:8 = 9125
Возьмем теперь два такие числа, чтобы 3 последние
цифры у одного из них выражали число, делящееся на 8, а
у другого — число, не делящееся на 8, напр.: 73152 и 73150
(152 делится на 8, а 150 не делится). Их можно представить
в виде сумм так:

73152 = 73000 4-152	73150 = 73000+150

В первом- примере каждое слагаемое можно составить из-
восьмерок; поэтому и сумму можно составить из восьмерок;
значит, число 73152 делится на 8. Во втором примере одно
слагаемое можно составить из восьмерок, а другое нельзя;
поэтому сумму нельзя составить из восьмерок и, значит,
число 73150 не разделится на 8. Таким образом, на 8 де-
лится только такое число, у которого три последние
цифры или нули, или выражают число, делящееся на 8.

78.	Делимость суммы. Рассуждая так, как мы это де-
лали при выводе признаков делимости на 2, на 4 и 6а 8,
мы можем убедиться в следующих свойствах суммы:

1)	если каждое слагаемое делится на одно и то же
число, то и сумма разделится на это число;

2)	если одно слагаемое не делится, а все прочие делятся
на какое-нибудь число, то сумма не разделится на это
число.

Свойства суммы, указанные в этом параграфе, в общем виде
доказываются так:

1)	Пусть каждое из чисел а, Ь, с,... делится на число д. Это
значит, что а — ахд, Ь = Ь1д, с — схд... если буквами аи Ьг, ..
назовем частные от деления а, Ъ, с... на д, Тогда:

« + й + с4-”-=а17 + ^7 + С1?4-----

Но последняя сумма, по распределительному свойству умноже-
жения, равна (а1	4" С1 4" *‘ ’) след., она делится на д\ по-

этому и равная ей сумма а Ь с -|~ ‘ * * Делится на д.

2)	Пусть слагаемое а суммы а -|-	• • • не делится, а все

прочие делятся на число д\ это значит, что а~агд -[-г, где г
число, не равное О, и Ь — Ь^д, € = 0^,... Тогда

«4-^4-с4— = («1? + 0 + М + с1?4— =
= (а14" + С14—) ч + г-

Отсюда видно, что сумма а Ъ с ------при делении на д дает

остаток V, не равный нулю, т. е. эта сумма не делится на д.

.На этих 2-х теоремах основан вывод признаков делимости на
числа 2, 4, 8, 5, 10, 3 и 9.
»

79.	Признаки делимости на 5 и на 10. Десяток делится
на 5 и на 10; поэтому число, составленное из десятков, т. е.
оканчивающееся нулем, делится на 5 и на 10. Если число
не оканчивается нулем, то оно не делится на 10, а на 5
оно разделится только тогда, когда последняя его
цифра будет 5, потому что из всех однозначных чисел только
5 делится на &. Итак: на 5 делится только такое число,
которое оканчивается нулем или цифрою 5; на 10 делится
только такое число, которое оканчивается нулем.

Замечание. Подобным же образом можно убедиться, что:
на 25 делится только такое число, у которого две по-
следние цифры, нули, или 25, или 50;

на 50 делится только такое число, у которого две по-
следние цифры нули или 50.

80.	Признаки делимости на 3 и на 9. Предварительно
заметим, что и на 3, и на 9 делится всякое число, написан-
ное»посредством только цифры 9, т. е. 9, 99, 999 и т. п.
Действительно:

999:3 = 333; 9999:3 = 3333; и"т. д.

999:9 = 111; 9999:9=1111; и т. д.

Заметив это, возьмем какое-нибудь число, напр. 2457, и
разложим его на отдельные единицы различных разрядов
(кроме простых единиц, которые оставим не разложенными):

2457 = 1000 + 1000 +

+ 100+ 100+ 100 + 100 +
+ 10+ 10+ 10+ 10+10
+	7

Разложим каждую тысячу на 999 и 1, каждую сотню —
на 99 и 1, каждый десяток —на 9 и 1. Тогда вместо 2 ты-
сяч получим 2 раза по 999 и 2 единицы; вместо 4 сотен
получим 4' раза по 99 и 4 единицы; вместо 5 десятков —
5 раз по 9 и еще 5 ед. След.:

2457 = 999 + 999	+ 2 +

+ 99 + 99 + 99 + 99 + 4 +
+Э+9+9+9+9+5+
+ 7

Слагаемые 999, 99 и 9 делятся на 3 и на 9; значит, де-
лимость данного числа «на 3, или на 9, зависит только от

бб
суммы 2	4	5 4- 7; если эта сумма делится или не делится

на 3, или на 9, то и данное число делится или не делится
на эти числа. Сумма 2 4- 4 -I- 5 4~ 7 есть сумма чисел, выра-
жаемых цифрами данного1 числа, написанными отдельно; для
краткости говорят, что это есть сумма цифр данного числа-
Поэтому можно сказать:

на 8 делится только такое число, у которого сумма
цифр делится на 3;

на 9 делится только такое число, у которого сумма
цифр делится на 9.

В нашем примере сумма цифр равна 18; 18 делится на 3
и на 9; значит, 2457 тоже делится и на 3, и на 9. Действи-
тельно:

2457:3 = 819;	2457:9 = 273.	9

Замечание. В подробных курсах арифметики можно найти
еще признаки делимости на 7, И, 13 и 37; но они настолько
сложны, что пользование .ими на практике затруднительно;
поэтому мы их не излагаем.

81.	Признаки необходимые и признаки достаточные.
Все изложенные признаки делимости мы выражали однооб-
разными предложениями такого рода: на такое-то число де-
лится только такое число, у которого... и пр. Этими крат-
кими предложениями мы выражали две мысли: 1) на такое-то
число делится всякое число, у которого... и пр. и 2) ника-
кое иное число на него не делится (эта последняя мысль
заключалась в слове ,,только“). Теперь мы заметим, что эти
две мысли можно высказать более подробно. Напр., признак
делимости на 3 можно высказать так; чтобы, число дели-
лось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма его
цифр делилась на 3. Действительно, это необходимо, так
как если сумма цифр не делится на 3, то и число не де-
лится на 3; с другой стороны, это и достаточно, так как
если сумма цифр делится на 3, то и число разделится на 3.
Значит, делимость суммы цифр на 3 составляет необходи-
мый и достаточный признак делимости числа на 3.

Следует заметить, что необходимость какого-либо при-
знака еще не означает его достаточности и, наоборот, доста-
точность признака еще не означает его необходимости.
Напр., чтобы число делилось на 4, конечно, необходимо,
чтобы оно оканчивалось четною цифрою; однако этого не-
достаточно, так как есть числа, которые оканчиваются чет-
ф

ною цифрою, но не делятся на 4 (напр., 6, 10 и т. п.). Дру-
гой пример: чтобы сумма делилась на какое-нибудь число,
достаточно, чтобы каждое слагаемое делилось на него от-
дельно; однако это7 не составляет необходимого признака
делимости суммы, так как сумма может делиться и тогда»
когда слагаемые в отдельности не делятся; напр. сумма
7 4- 5 делится на 3, хотя ни 7, ни 5 не делятся на 3.

Для того, чтобы быть уверенным, что некоторый признак
необходим и достаточен, надо отдельно убедиться в его
необходимости и в его достаточности.

82.	Признак делимости на 6. Если какое-нибудь число
делится на 6, то его можно разложить на шестерки, т. е.
представить его в виде суммы:

666 4~ 6. •.

Но каждую шестерку можно разложить и на двойки
(2 4-2 4-2), и на тройки (3 4-3); значит, и все такое число
можно разложить и на двойки, и на тройки; след., оно
должно делиться и на 2, и на 3. Таким образом, чтобы,
число делилось на 6, необходимо, чтобы, оно делилось на 2
и на 3.

Напр., число 3584 не делится на 6, так как оно не де-
лится на 3 (хотя и делится на 2); число 3585 также не де-
лится на 6, так как оно не делится на 2 (хотя и делится на 3).

Изложенное рассуждение еще не убеждает нас, чтобы
этот признак делимости на 6 был достаточен; ведь точно
так же мы можем утверждать, что если число делится на
24, то оно разлагается и на шестерки, и на четверки и, зна-
чит, делится и на 6, и на 4; но было бы ошибочно утвер-
ждать обратное, т. е. что если число делится на 6 и на 4,
то оно разделится на 24; напр., 36 делится и на 4, и на 6,
но не делится на 24.

Чтобы убедиться в достаточности указанного признака
делимости на 6, можно рассуждать так:

Пусть данное число делится на 3 и на 2. Тогда его
можно разложить и на тройки, и на двойки. Вообразим,
что мы его разложили на тройки:

34-34-34-3+.--4-з

Соединим каждую пару троек в одно число 6 и допустим
что после такого соединения осталась еще одна тройка:

6 + 6 + 6+...+6 + 3
Тогда такое число нельзя было бы разложить на двойки,
так как каждая шестерка разлагается на двойки, а тройка
не разлагается. Но данное число, по условию, разлагается
на двойки; значит, нельзя допустить, чтобы после соедине-
ния каждой пары троек в шестерки могла остаться одна
тройка. Если же все тройки окажутся соединенными в шес-
терки, то данное число будет разложено на шестерки и,
значит, оно делится на 6.

Теперь мы можем утверждать, что для делимости какого-
нибудь числа на' 6, необходимо и достаточно, чтобы оно
делилось на 2 и на 3; или короче: на 6 делится только
такое число, которое делится на 2 и на 3.

Напр., число 13854 делится на 6, так как оно делится
на 2 (оканчивается четною цифрою) и в то же время де-
лится на 3 (сумма его цифр делится на 3). Действительно:
13854:6 = 2309.

Признак'* делимости на 6 выведен в этом параграфе элементар-
ными соображениями.' Но его, равно как и признаки делимости
на составные числа 12, 18, 15 и т. п., можно вывести, как след-
ствие следующей теоремы, имеющей, еще и другие применения.

83.	Теорема о делимости произведения. Если произведение
двух чисел делится на третье число р и одно из чисел
ах, аг не имеет с р общих делителей, кроме 1, то другое из
них делится на р.

Пусть, напр., число ах не имеет с р общих делителей, кроме 1;
докажем, что тогда а2 должно делиться на р.

Предположим сначала, что а1'^>р. Разделим ах на р и назо-
вем частное и остаток от этого деления соответственно д и г.
Тогда:

ах—рдД-г.

Убедимся относительно остатка г, что он: 1) не равен 0 и
2) не имеет общих делителей с р, кроме 1. Действительно,
если г = 0, то ах=рд и тогда делилось бы на р, и, след.,
числа ах и р имели бы общего делителя, отличного от 1, что про-
тиворечит условию теоремы. Предположим далее, что р и г имеют
какого-нибудь общего делителя ^^>1. Тогда делилось бы на /
и, след., ах и р имели бы общего делителя что противоре-
чит условию.

Если остаток г не равен 1, то разделим р на г и назовем
частное и рстаток от этого деления и Тогда:

Так, как р и г суть числа, не имеющие общих делителей,
кроме 1, то из последнего равенства убеждаемся, Подобно преды-
дущему, что: 1) гх не равно 0 и 2) г и гг не имеют общих де-
лителей, кроме 1. Если не равно 0, то разделим г на от-
чего получим остаток г2, не равный нулю и не имеющий общих
делителей с кроме 1. Если г2 не равен 1, то разделим на г2,
и т. д.: тогда получим ряд равенств:

Р = '71 + ''1

г=г192-|-г2

из которых убеждаемся, что остатки «г2 г2 и т. д. не равны
нулю. 7ак как при всяком делении остаток должен быть меньше
делителя, то г<^р,	и т. д. Поэтому, произведя до-

статочное число делений, мы, наконец, дойдем до такого остатка,
который равен 1. .

Пусть гп — 1. Тогда:

ГпЛ = Гп_1Чп-+ 1.

Умножим почленно каждое из полученных' равенств на а2:

ахаг— рда^
ра^-гд^^^а*
'	гаг — г^д^а^ 4- г2&2

'я-2«2 = '-п-1?л«8 +

> Обращая внимание на первое из этих равенств, рассуждаем так:
так как по условию, делится на р, то и сумма рдаг га2
делится на р* первое слагаемое этой суммы делится на р; след.,
и второе слагаемое, т. е. гай делится на р. Перейдем затем к ра-
венству второму, находим, что сумма ра% и одно из слагаемых
(га2)#1 делится на рг, откуда заключаем, что и вторбе слагаемое,
г±а^ делится на р. Переходя затем к равенству 3-му, от 3-го к
4-му, от 4-го к 5-му и т. д., дойдем, наконец, до последнего ра-
венства, из которого заключим, что а2 делится на р.

Если а1<^р, то мы разделим р на затем аг на остаток;
после первый остаток на второй и т. д.; тогда получим такие
равенства:

Р = а1д-\-г

г=г1^,-|-г2 и т. д.

К этим равенствам, очевидно, можно применить те же рассужде-
ния, какие были изложены выше; значит, и в этом случае дойдем
до заключения, что а2 делится на р..
84.	Следствие 1-е. Произведение нескольких сомножителей:
. ап может делиться на простое число р только тогда,
когда, по крайней мере, один из сомножителей делится на р.

Рассматривая данное произведение как произведение только
2-х сомножителей: ах и (а2я3. *&а^, можем рассуждать так: если
а{ не делится на простое число р, то это значит, что а± не имеет
с р общих делителей, кроме 1; в таком случае, по доказанной
теореме, число (а^а3... ял) должно делиться на р. Подобно этому
убедимся, что если а2 не делится на Д то число (а3я4... а^
должно делиться на р. Продолжая эти рассуждения далее, найдем,
что, если ни одно из чисел: ах, а%, а3... ап_х не делится на р,
то ап делится на р. Итак, какое-нибудь из чисел: ах, а%, а9... ап
делится на р.

85.	Следствие 2-е. Если число а делится порознь на 2 числа
р и д, причем р и д не имеют между собою общих делителей,
кроме 1, то а делится на произведение рд.

Назовем частное от деления а на р через ф; тогда:

а=рб>.

Так как по ус<)вию, а делится на то из этого равенства
заключаем, что рф делится на д. Но р не имеет с д общих дели-
телей, кроме 1; значит, согласно теореме, должно делиться на д.
Пусть частное от этого деления будет тогда:

Вставив в предыдущее равенсто на месте <2 равное ему произ-
ведение, получим:

а==р^,) = (р^Р,

откуда видно, что число а есть произведение двух множителей:
(/77) и значит, а делится на рд.

Таким образом: если число делится на 2 и на 3, то оно де-
лится на 6; если число делится на 3 и на 4, то оно делится на 12:
и т. п.

II. РАЗЛОЖЕНИЕ СОСТАВНОГО ЧИСЛА НА ПРОСТЫЕ
МНОЖИТЕЛИ.

86.	Простые и составные числа. Число, которое де-
лится только на единицу и на само себя, наз. простым
(или первоначальным, или первым}-, таково, напр., число 7,
которое делится только на 1 и на 7.

Число, которое делится не только на единицу и на
само себя, но еще и на другие числа, наз. составным (или
сложным)-, таково, напр., число 12, которое делится не
только на 1 и на 12, но и на 2, на 3, на 4 и На 6.

Есть 26 простых чисел, меньших 100, а именно:

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,53,
59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 94.

В конце этой книги приложена таблица, в которой выпи-
саны все простые числа, не превосходящие 6000.

87.	Разложение составного числа на простые множи-
тели. Всякое составное число можно разложить на простые
множители, т. е. представить его' в виде произведения про-
стых чисел. Напр., разложить 12 на простые множители
значит представить 12 так: 12 = 2 • 2 • 3.

Пусть требуется разложить на простые множители какое-
нибудь составное число, напр., 420. Для этого находим, по
признакам делимости, наименьшее простое число (кроме 1),
на которое делится 420. Такое число есть 2; разделим 420
на 2:

420:2 = 210;

откуда:

420 = 210 - 2.	(1)

Теперь находим наименьшее простое число (кроме 1), на
которое делится составное число 210. Такое число есть 2;
разделим 210 на 2:

210:2=105;

откуда:

210 = 105-2.

Заменим в равенстве (1) число 210 равным ему произве-
дением:

420=105-2-2.	(2)

Наименьшее простое число (кроме 1), на которое делится
составное число 105, есть 3; разделим 105 на 3:

105:3 = 35;

откуда:

105 = 35-3.

Заменим в равенстве (2) число 105 равным ему произве-
дением:

420 = 35 - 3 - 2 - 2.	(3)
Наименьшее простое число (кроме 1), на которое делится
составное число 35, есть 5; разделив 35 на 5, находим 7;
значит, 35 = 7 -5. Заменив в равенстве (3) число 35 равным
ему произведением 7 • 5, получим:

420 = 7 - 5 - 3.2.2.

Это и будет требуемое разложение, так как теперь все
сомножители — числа простые.

Так как произведение не изменяется от перемены мест
множителей, то можно писать их в каком угодно порядке;
обыкновенно' пишут их от меньших к большим, т. е. так:
420 = 2.2-3-5-7.

Разложение на простые множители удобнее всего рас-
полагать на письме так:

420	2
210	2
105	3
35	5
7	7
1	

т. е. пишут данное составное число и проводят справа от
него вертикальную черту. Справа от черты помещают наи-
меньшее простое число, на которое делится данное состав-
ное, и делят на него это данное число. Цифры частного
подписывают под делимым. С этим частным поступают так же,
как с данным числом.. Действия продолжают до тех пор,
пока в частном не получится 1. Тогда все числа, стоящие
направо от черты, будут простыми множителями данного
числа.

Возьмем еще следующий пример:

8874

4437

1479

493

29

1

2

3

3

17

29

Дойдя до частного 493, мы затрудняемся решить, на какое
число оно делится. В таких случаях обращаемся к таблице
простых чисел (в конце этой книги). Если в ней встретится
число, поставившее нас в затруднение, то оно делится только
на само себя. 493 не находится в таблице простых чисе#; зна-
чит, это число — составное и потому должно делитъ'ся на
какое-нибудь простое число, большее 1. Пробуем делить его
на 7, на 11, на ДЗ... и т. д. до тех пор, пока не дойдем до
деления без остатка. Оказывается, что 493 делится на 17,
при чем в частном получается 29. Теперь можем окончить
разложение..

Из этого примера видно, что иногда очень трудно вы-
полнить разложение составного числа, так как при разло-
жении мы можем натолкнуться на какое-нибудв большое
число,, о котором затруднительно решить, простое ли оно,
или составное.

88.	Замечания. 1) Если данное составное число не ве-
лико, то его множители прямо выписываются в строку.
Напр.:

72 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3.

При этом говорят так: 72 равно 2, умноженным на 36
(2 пишем, а 36 запоминаем); 36 равно 2, умноженным на 18
(2 пишем, а 18 запоминаем); 18 равно 2, умноженным на 9;
и т. д.

2)	Если даннное число легко разлагается на какие-нибудь
составные множители, то лучше разложить его сначала на
эти множители, а потом каждый из них разложить на про-
стые. Например:

14000 — 1000 • 14=10 • 10- 10- 14 = 2-5 - 2 - 5 • 2 • 5 • 2 • 7.

3)	Когда в разложении один и тот же множитель повто-
ряется несколько раз, то можно писать сокращенно, упо-
требляя то обозначение степени, которые мы указали прежде
(§ 56). Так, вместо строки 14000 = 2 - 2.2.2-5-5.5-7
пишут короче:

14000 = 24 • 53 • 7.

Здесь показатели степени 4 и 3, поставленные над чис-
лами 2 и 5, означают, сколько раз эти числа должны быть
повторены множителями.

89. Важное свойство разложения. Всякое составное
число разлагается только в один ряд простых множите-
лей. Напр., число 14000, каким бы способом мы его ни раз-
лагали на простые множители, всегда дает такой ряд, в ко-
тором множитель 2 повторяется 4 раза, множитель 5 повто-
ряется 3 раза, множитель 7 входит один раз, а других
множителей нет.

Доказательство. Допустим, что какое-нибудь число ТУ дало два
ряда простых множителей:

№ = аЬс... и Ы=а1Ь1с1...

(в обоих рядах множители могут повторяться).

Тогда;

аЬс... = а1Ъ1с1...

Левая часть последнего равенства делится на а*, значит, и правая
часть должна делиться на а. Но а число простое, поэтому произ-
ведение а^Ь^с^... только тогда разделится на а, когда один из
его множителей делится н& а (§ 84); но простое число может де-
литься на другое простое число, отличное от 1, только тогда,
когда эти простые числа одинаковы. Значит, одно из чисел;

. равняется а. Пусть = а. Разделив обе части равенства
на а, получим:

Ьс... = Ь1с1...

Подобно предыдущему убедимся, что один из множителей

равен Ъ. Пусть = Ъ\ тогда ед... — с1б1.. Продолжая эти рас-
суждения далее, увидим, что все множители первого ряда входят
также и во второй ряд. Разделив обе части равенства на убе-
димся, что в первом ряду есть множитель Таким образом, по-
добно предыдущему, найдем, что все множители второго ряда вхо*
дят и в первый ряд. Отсюда следует, что оба эти ряда могут
отличаться только порядком множителей, а не самими множите-
лями, — Другими словами, что эти два ряда представляют на самом
деле один и тот же ряд.

89а. Некоторые сведения о простых числах. Легко убе-
диться, что существует бесчисленное множество простых чисел.
Действительно, допустим противное, т. е. что простых чисел огра-
ниченное число. В таком случае должно существовать наибольшее
простое число. Пусть такое число будет а. Чтобы опровергнуть
это допущение, вообразим новое число /V, составленное по фор-
муле:

ДА=(1.2.3.5.7... а)+1,

т. е. вообразим такое число ТУ, которое получится, если перемно-
жим все простые числа от 1 до а и к произведению приложим
еще 1. Так как ТУ, очевидно, больше а, и а, согласно предполо-
жению, есть наибольшее из простых чисел, то ТУ должно быть
числом составным. Но составное число делится на некоторое про-
стое, большее 1 (как это видно из процесса разложения). След.,
/V делится на некоторое число из ряда: 2, 3, 5, 7, 11 ... а. Но
этого .быть не может, так как есть сумма двух слагаемых, из

5 Киселев. Арифметика.

66
которых первое (1.2.3.5... а) делится на-всякое число из ряда:
2, 3, 5... а, а второе (1) не делится ни на одно из этих чисел.
Значит, нельзя допустить, чтобы существовало наибольшее простое
число; а если 'нет наибольшего простого числа, то ряд простых
чисел бесконечен.

С древнейших времен простые числа были предметом много-
численных исследований. Между прочим, ученые старались отыс-
кать закон составления простых чисел, который дал бы возможность
выразить все простые числа одною или несколькими формулами,
или старались найти, по крайней мере, такую формулу, которая
хотя бы и не выражала всех простых чисел, но позволяла бы найти
произвольно -большое простое число. В этом смысле особенно
интересна попытка знаменитого французского математика XVII сто-
летия — Фермата, Он нашел, что формула 2Л 1 дает простые
числа при п равном 2°= 1, 2Х = 2, 22 = 4, 23 = 8. Действительно
при этих значениях показателя п получаются следующие простые
числа:

3, 5, 17, 257*

Основываясь на этом наблюдении (и на некоторых соображе-
ниях о свойствах чисел), Фермат высказал мнение, что формула
2я 1 должна давать простые числа при всяком я, равном сте-
пени 2-х. Это мнение долгое время не было опровергнуто, ибо
никому (до Эйлера) не удавалось указать хотя бы один случай,
когда при п равном степени 2-х формула 2Л -}-1 дала бы состав-
ное число. *) Первый опроверг мнение Фермата знаменитый Эйлер
(XVIII стол.), доказав, что при п=25==32 формула 2Л-|~1 дает
число, делящееся на 641. Эта ошибка Фермата представляет собою
поучительный пример, насколько в математике неприменим метод
умозаключения от частного к общему (метод наведения или индук-
ции).

До сего времени все попытки найти формулы, дающие всегда
простые числа, оказались безуспешными.

За неимением формул, выражающих все простые числа, является
надобность составить эмпирически (опытным путем) ряд последо-
вательных простых чисел от 1 до какого-нибудь определенного
большого числа а. Самый простой и вместе с тем самый древний
способ составления такого ряда принадлежит александрийскому
математику Эратосфену (жившему в III веке до начала нашей эры).
Способ Эратосфена состоит в том, что из ряда натуральных чисел
от 1 до а (число, которым желают ограничить ряд) выключают
сначала все числа, делящиеся на 2, потом все числа, делящиеся
на 3, затем все числа, делящиеся на 5, на 7, на И и т. д. Это
делается очень просто: выписав ряд нечетных чисел от 1 до а,

*) При возрастании п выражение 2й +1 дает числа, увеличивающиеся с
удивительной быстротой; напр., п = 4 получается число 65 537, при п = 5
число 4 294 967 207. О таких больших числах очень трудно было решить (при
состоянии науки в XVII и XVIII стол.), простые они или составные.
зачеркивают в нем каждое 3-е число после 3-х, каждое 5-е число
после 5, каждое 7-е после 7-ми и т. д. Для объяснения этого
приема предположим, что желают зачеркнуть все составные числа,
делящиеся на 7. Наименьшее число, делящееся на 7, есть само 7.
Но 7 простое число и потому не должно быть зачеркнуто. Так
как нечетные числа отличаются одно от другого на 2, то следую-
щие за 7-ю числа будут: 7-}- 2, 7 4“ (2.2), 7 4“(2.3), 7 —|—(2.4)
и т. д. Из них первое число, делящееся на 7, есть 7 —(2.7); это
будет 7-е число после 7. Также только' 7-е число, следующее за
7	(2.7), будет делиться на 7; одним словом, кратным 7 будет

каждое 7-е число после 7 и никакое иное.

Описанный прием известен под именем решета Эратосфена
(спЬгиш Ега^озИзешз), так как он писал числа на дощечке, покры-
той воском, и прокалывал дырочки над теми числами, которые
делятся на 2, на 3, на 5 и т. д.; от этого дощечка уподоблялась
решету, сквозь которое как бы просеивались составные числа.

В настоящее время имеются таблицы всех последовательных
простых чисел меньших 9 000 000.

Если нет под руками выписанного ряда простых чисел, или
если данное число ТУ превосходит наибольшее число этого ряда,
то возникает вопрос: как узнать, будет ли ТУ простое или состав-
ное число? Самый простой для этого способ состоит в следующем.
Вычйслив предварительно }/7У, выписывают все простые числа, мень-
шие этого корня. Пусть это будут числа:

2, 3, 5, 7 ... а.

Затем делят № на 2, на 3. на 5... и на а. Если М не разде-
лится ни на одно из этих чисел, то можно утверждать, не произ-
водя дальнейших делений, что ТУ число простое. Действительно,
так как №=]/№-]/№, то, очевидно, что от деления ТУ на числа,
большие |/ТУ, должны получаться частные, меньшие V ТУ; поэтому
если бы число ТУ могло разделиться на какое-нибудь число боль-
шее |/ТУ, то оно разделилось бы и на число меньшее V №. Когда
№ велико, то способ этот может оказаться очень утомительным;
так, если ТУ^> 1000 000, го ]/ТУ ^> 1000, а есть 168 простых чи-
сел, меньших 1000; след., для испытания такого числа потребова-
лось бы иногда до 168 делений. В „теории .чисел* указываются
способы, посредством которых можно значительно уменьшить число
делений, потребных для испытания данного числа; но и при этом
все-таки вопрос об определении, будет ли данное число простое,
или составное, представляет иногда и до сего времени огромные
затруднения.

III.	НАХОЖДЕНИЕ ДЕЛИТЕЛЕЙ.

90.	Что такое „делитель" числа. „Делителем“ данного
числа наз. всякое чи^ло, на которое данное делится без
*
остатка. Напр., 40 делится на 8 без остатка; вследствие
этого мы можем число 8 назвать делителем числа 40.

Всякое простое число, напр., число 11, имеет только два
делителя: 1 и само себя.

Всякое составное число имеет более двух делителей; напр.,
число 6 имеет 4 делителя: 1, 2, 3 и 6; из них первые три—
простые, а последний — составной.

91.	Нахождение делителей. Пусть требуется найти дели-
тели числа 420. Для этого разложим это число на простые
множители:

420 = 2 • 2 • 3 • 5 • 7.

На каждый из этих множителей 420 делится без остатка.
Напр., оно делится на 5. Действительно, так как произведе-
ние не изменяется от перестановки сомножителей, то мы
можем поставить в начале любой из них. Напишим впереди
множитель 5:

420 = 5 - 2 • 2 • 3 • 7.,

Это равенство показывает,* что 420 можно составить из
пятёрок (потому что 5 повторяется 2 раза, полученное число
повторяется -еще 2 раза, и т. д.). Если же 420 можно соста-
вить повторением 5-и, то 5 в 420 содержится без остатка
и, значит, 420 делится на 5.

Подобным же образом можем убедиться, что 420 делится
и на произведение двух, трех и более своих множителей.
Напр., 420 делится на произведение 3 • 7 т. е. на 21, так как,
переставив множителей 3 и 7 к началу ряда, мы получим:

420 = 3-7-2-2-5 = 21-2-2-5.

Из этого равенства заключаем, что 420 можно составить
повторением числа 21, следовательно, 420 делится на 21.

Правило. Чтобы, найти делители данного составного
числа, предварительно разлагают его на простые множи-
тели; каждый из этих множителей будет простым дели-
телем данного числа; составные же делители получатся
перемножением простых множителей по два, по три, по
четыре и т. д.

Замечание. Чтобы найти частное от деления составного
числа на какой-нибудь его делитель, достаточно из разло-
жения составного числа выключить те множители, которые
входят в делитель, и оставшиеся множители перемножить.
68
Напр., чтобы найти частное от деления 420 на 70, из разло-
жения 420 = 2 • 2 • 3 • 5 • 7' выбросим множители 2, 5 и 7, про-
изведение которых составляет 70, и оставшиеся множители
2 и 3 перемножим (получим 6).

92.	Что такое „общий наибольший делитель". Общим
наибольшим делителем нескольких чисел называется самое
большее число, на которое делятся все эти числа.

Напр., общий наибольший делитель трех чисел: 18, 30 и
24 есть 6, потому что 6 есть самое большое число, на кото-
рое делятся все эти числа.

Два числа, для которых общий, наибольший делитель
есть 1, наз. взаимно простыми (или относительно про-
стыми). Таковы, напр., числа 14 и 15 (в отличие от таких
чисел числа простые наз. иногда абсолютно простыми).

Укажем два способа нахождения общего наибольшего
делителя нескольких чисел.

95. Способ 1-й: посредством разложения на простые
множители. Пусть требуется найти общий наиб, делитель
двух чисел: 180-и и 126-и. Для этого предварительно раз-
ложим эти числа на простые множители:

180 = 2.2.3-3.5 126 = 2-3.3.7.

Сравнивая между собою множителей этих чисел, замечаем,
что между ними есть общие, а именно: 2, 3, 3. Каждый из
этих общих множителей будет и общим делителем 180-и и
126-и. Чтобы получить составные общие делители, надо
перемножить общие множители по два и по три. Наиболь-
ший общий делитель, очевидно, получится, если перемножим
все общие множители:

2-3-3 = 18.

Пусть еще требуется найти общий наибольший делитель
трех чисел: 210, 1260 и 245. Разложим эти числа на простые
множители:

210	2	1260	2	245	5
105	3	630	2	49	7
35	5	315	3	7	7
7	7	105	3		
		35	5		
		7	7		
Теперь видим, что общий наиб, делитель этих чисел равен
произведению общих множителей 5 и 7, т. е. равен 35.

Правило. Чтобы найти, общий наибольший делитель
нескольких чисел, достаточно, разложив их на простые
множители, перемножить между собою те из этих мно-
жителей, которые общи всем числам'.

Так как разложение составных чисел на простые мно-
жители иногда очень затруднительно, то способу этому надо
предпочесть другой, указанный в следующих §§.

94. Способ 2-й: посредством последовательного деления.
Сначала мы разъясним этот способ в применении только к
двум данным числам, а потом в применении к 3, 4 и более
числам. Способ этот основан на следующих двух истинах:

1)	Если большее из двух данных чисел делится на мень-
шее, то меньшее из них есть общий наибольший делитель.

Напр., возьмем два числа: 54 и 18, из которых большее
делится на меньшее. Так как 54 делится на 18 и 18 делится
на 18, то, значит, 18 есть общий делитель чисел 54 и 18.
Этот делитель есть в то же время и наибольший, потому
что 18 не может делиться ни на какое число, большее 18.

2)	Если большее из данных чисел не делится на меныиее,
то их общий наибольший делитель равен общему наиболь-
щему делителю других двух чисел, а именно меньшего из
данных чисел и остатка от деления большего из них на
меньшее.

Пусть, напр., даны два числа: 85 и 30, из которых боль-
шее не делится на меньшее. Разделив первое на второе,
получим: 85:30 = 2 (ост. 25); тогда общий наибольший де-
литель чисел 85 и 30 должен быть также общим наибольшим
делителем других двух чисел, а именно: 30 и 25 (это есть 5).

Действительно, из деления мы находим:

85 = 30-2 + 25; т. е. 85 = 30 + 30 + 25.

Из этого равенства можно вывести такие два заключения:

1)	Всякий общий делитель чисел 85 и 30 должен быть
также и делителем остатка 25.

Действительно, общий делитель чисел 85 и 30 должен
содержаться целое число раз и в 85, и в 30; значит, он
должен содержаться целое число раз и в остатке 25, который
получится, если от 85 отнимем 2 раза по 30.

2)	Всякий общий делитель чисел 30 и 25 должен быть
также и делителем 85.
Действительно, общий делитель чисел 30 и 25 должен
содержаться целое число раз и в '30, и в 25; значит, он
должен содержаться целое число раз и в сумме 30 4- 30
4~ 25, т. е. в 85.

Оказывается таким образом, что 2 пары чисел:

85~и*30 30Т25

должны иметь одни и те же общие делители; значит, и на-
ибольший общий делитель у них должен быть один и тот же.

Посмотрим теперь, как можно пользоваться этими исти-
нами для нахождения общего наибольшего делителя двух
чисел. Пусть требуется найти общий наибольший делитель
чисел 391 и 299.

3911299

299 1
299|92
276 3
92]23
92 4
0

Разделим 391 на 299, чтобы узнать, не будет ли 299
общим наиб, делителем (на основании истины 1-й). Видим,
что 391 не делится на 299, поэтому 299 не есть общий наиб,
делитель. На основании истины 2-й утверждаем, что общий
наиб, делитель чисел 391 и 299 есть также общий наиб,
делитель чисел меньших, а именно: 299 и 92. Станем искать
общий наиб, делитель этих чисел. Для этого делим 299 на
92, чтобы узнать, не будет ли 92 общим наиб, делителем
(истина Л-я). Видим, что 92 не есть общий наиб, делитель.
Теперь опять, на основании истийы 2-й, утверждаем, что
общий наиб, делитель чисел 299 и 92 есть также общий наиб,
делитель чисел меньших, а именно: 92 и 23. Станем искать
этот делитель. Для этого делим 92 на 23. Видим, что 23
есть общий наиб, делитель пары чисел 92 и 23, след., и пары
чисел 299 и 92, след., и пары данных чисел 391 и 299.

Правило. Чтобы, найти общий наибольший делитель
двух чисел, делят большее из них на меньшее, потом мень-
шее на первый остаток, затем первый остаток на второй,
второй на третий и т. д. до тех пор, пока не получится
в остатке 0; тогда последний делитель будет общим
наибольшим делителем.
Положим теперь, что требуется найти общий наиболь-
ший делитель трех чисел: 78, 130 и 195. Для этого найдем
сначала общий наибольший делитель каких-нибудь двух из
них, напр., 78 и 130:

130(78
78 1

78(52
"52 1
52)26
52 2
0

Общий наиб, делитель этих чисел оказывается 26.

Теперь отыщем общий наибольший делитель 26-и и
третьего данного числа 195-и.

।

195Г26

182 7

26(13
26 2
0

Полученное таким образом число 13 и есть общий наиб,
делитель всех трех данных чисел.

Действительно, число 26, будучи общим наиб, делителем
130-и и 78-и, должно содержать в себе все простые мно-
жители, общие этим числам; число 13, будучи общим наиболь-
шим делителем 26-и и 195-и, должно содержать в себе все
простые множители, общие этих числам. След., число 13 со-
держит в себе все простые множители, общие всем трем
числам: 130, 78 и 195; значит, 13 есть общий наиб, делитель
этих чисел.

Если бы, кроме указанных трех чисел, имелось еще 4-е
данное число, то надо было бы таким же путем найти
общий наибольший делитель 13-и и этого 4-го числа, и т. д.

Правило. Чтобы найти способом последовательного де-
ления общий наибольший делитель трех или более чисел,
находят сначала общий наибольший делитель каких-нибудь
двух из них, затем—общий наибольший делитель найден-
ного. делителя и какого-нибудь третьего данного числа,
далее — общий наибольший делитель последнего делителя
и четвертого данного числа, и т. д.
IV. НАИМЕНЬШЕЕ КРАТНОЕ ЧИСЛО.

95.	Что такое „кратное число". Кратным числом дан-
ного числа наз. всякое число, которое делится на данное
без остатка.

Так, для числа 9 кратными числами будут: 9, 18, 27, 36,
и т. д. Для каждого данного числа можно найти бесчислен-
ное множество кратных чисел; стоит только данное число
умножить на 1, на 2, на 3, на 4 и т. д. Название „кратное"
дано таким числам потому, что их можно получить повто-
рением данного числа слагаемым несколько крат (т. е. не-
сколько раз).

Наименьшим кратным числом нескольких данных чисел
называется самое меньшее число, которое делится на ка-
ждое из этих чисел.	•

Так, для трех чисел: 6, 15 и 20 наименьшее кратное есть
60, так как меньше 60-и никакое число не делится на 6, на
15 и на 20, а 60 делится на эти числа.

Укажем два способа нахождения наименьшего кратного
нескольких чисел.

96.	Способ 1-й, посредством разложения на простые
множители. Пусть требуется найти наименьшее кратное
чисел: 100, 40 и 35. Для этого разложим каждое’ из этих
чисел на простые множители:

100 = 2-2-5-5; 40 = 2- 2- 2 -5; 35 = 5-7.

Чтобы какое-нибудь число делилось на 100, на 40 и на
35, необходимо и достаточно, чтобы в него входили все
простые множители этих делителей. Выпишем все множители
числа 100 и добавим к ним те множители числа 40, которых
недостает в разложении 100. Тогда получим произведение
2 • 2 • 5 • 5 • 2, которое делится и на 100, и на 40. Добавим
теперь к этому произведению те множители числа 35, кото-
рых в произведении недостает. Тогда получим произведение:

2.2 - 5.5 - 2 - 7 = 1400,

делящееся и на 100, и на 40, и на 35. Это и есть наименьшее
кратное число, потому что, выключив из него хотя бы один
сомножитель, мы получим число, которое не разделится на
какое-нибудь из данных чисел.

Правило. Чтобы найти наименьшее кратное нескольких
чисел, разлагают все эти числа на простые множители;
затем, взяв одно из них, приписывают к нему недостающие
простые множители из другого числа; к этому произведе-
нию приписывают недостающие простые множители из
третьего числа, и т. д.

Замечание. Найдя наименьшее общее кратное и помножив
его на какое угодно число, мы получим тоже общее кратное,
но не наименьшее. Напр., для чисел 100, 40 и 35 общими
кратными, помимо 1400, будут:

1400-2 = 2800; 1400-3 = 4200; 1400-4 = 5600 и т. д.

97.	Некоторые особые случаи. Рассмотрим два случая,
в которых наименьшее кратное может быть найдено весьма
просто.

Случай 1-й, когда никакая пара данных чисел не имеет
общих множителей. Пусть, напр., даны три числа: 20, 49, 33,
из которых, как видно из разложений:

20 = 2-2-5; 49 = 7-7; 33 = 3-11,

никакая пара не имеет общих множителей. Применяя к этому
случаю общее правило, мы придем к заключению, что все
данные числа надо перемножить:

2 - 2 • 5 - 7 - 7 - 3 • 11 =20 • 49 - 33 = 32340.

Так же надо поступить, когда отыскивается наименьшее
кратное простых чисел; напр., найм, кратное чисел 3, 7 и 11
равно: 3-7-11=231.

Случай 2-й, когда большее из данных чисел делится на
все остальные. Тогда наибольшее число и есть наименьшее
кратное. Пусть, напр., даны четыре числа: 5, 12, 15 и 60, из
которых большее 60 делится на 5, на 12 и на 15; так .как
оно при этом, конечно, делится и на само себя, то оно и
хесть наименьшее кратное.

97а. Способ 2-й: по средством нахождения общего наи-
большего делителя. Когда данные числа не легко разла-
гаются на простые множители, удобнее следующий способ.
Пусть требуется найти наименьшее кратное двух чисел: 391
и 299. Находим (последовательным делением) их общий наи-
больший делитель; он равен 23. Теперь разделим какое-
нибудь из данных чисел, напр. 299, на 23; получим 13. Умно-
74
жим на 13 другое данное число, т. е. 391; получим 5083. Это
и есть наименьшее кратное чисел 391 и 299.

Действительно, частное 299:23 должно содержать в себе
все те простые множители числа 299, которые не входят
в 391; поэтому произведение этого частного на 391 должно
содержать в себе все простые множители числа 391 и еще
те простые множители числа 299, которые не входят в со-
став числа 391; а это, как мы знаем, и должно составить
наименьшее кратное чисел 391 и 299.

Правило. Чтобы найти наименьшее кратное двух чисел,
находят их общий наибольший делитель, делят на него
одно из чисел и на полученное частное умножают другое
число.

Пусть теперь требуется найти найм, кратное трех чисел:
391, 299 и 85. Находим сначала найм, кратное каких-нибудь
двух из них, напр., 391 и 299. Это будет, как мы видели,
5083. Теперь находим найм, кратное числа 5083 и третьего
данного числа 85. Общий наиб, делитель этих чисел (найден-
ный способом последовательного деления) есть 17. Частное
85:17 равно 5; произведение 5083 • 5 составляет 25415. Это
и будет найм, кратное трех данных чисел.

Правило. Чтобы найти наименьшее кратное трех или
более чисел, сначала находят наименьшее кратное каких-
нибудь двух из них, потом — наименьшее кратное этого
наименьшего кратного и какого-нибудь третьего данного
числа, затем—наименьшее кратное этого наименьшего крат-
ного и четвертого данного числа, и т. д.
ОТДЕЛ ТРЕТИЙ.

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ.

I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. (

98.	Доли единицы. Если какую-нибудь единицу разде-
лим на несколько равных частей, то обыкновенно каждая
часть получает название, указывающее, сколько таких ча-
стей содержится в целой единице. Так, когда единица раз-
делена на 12 равных частей, то каждая часть называется
двенадцатою частью; разделив единицу на 40 равных частей,
получим сороковые части и т. п.

Вторая часть называется иначе половиной, третья часть—
третью, четвертая часть—четвертью.

Части единицы, получаемые от деления ее на несколько
равных частей, обыкновенно называются долями единицы.

99.	Дробное число. Одна доля или собрание нескольких
одинаковых долей единицы, называется дробью.

Напр.: 1 десятая, 3 пятых, 12 седьмых суть дроби.

Целое число вместе с дробью составляет смешанное
число; напр., 3 целых 7 восьмых.

Дроби и смешанные числа называются дробными числа-
ми в отличие от целых чисел, составленных из целых единиц.

Определяя обыкновенную дробь как одну долю или собрание
нескольких одинаковых долей единицы, нужно еще добавить, что
название „дробь“ только тогда будет иметь место, если выражены
2 обстоятельства: 1) численность этого собрания и 2) сколько та-
ких долей содержится в единице. Таким образом, обыкновенная
дробь должна быть выражена посредством 2-х целых чисел: одно-
го, называемого числителем, и другого, называемого знаменателем.
Иногда к этим двум целым числам присоединяется еще третье (в
случае смешанного числа), означающее, сколько целых единиц за-
ключается в измеряемом значении величины.

100.	Изображение дробного числа. Принято изобра-
жать дробь так: пишут число, показывающее, сколько долей
содержится в дроби; под ним проводят черту, горизонталь-
ную или наклонную; под чертою ставят другое число, пока-
зывающее, на сколько равных частей разделена единица, от
которой взята дробь. Напр., дроби 3 пятых и 1 восьмая
изображаются так:

3	1

или	-д- или !/8

Число, стоящее над чертою, называется числителем; оно
показывает число долей, из которых составлена дробь.
Число, стоящее под чертою, называется знаменателем-, оно
означает, на сколько равных частей была разделена единица.
С ба эти числа вместе называются членами дроби.

Смешанное число изображают так: пишут целое число и
к нему, с правой стороны, приписывают дробь; напр., число
2

три и две седьмых изображаются так: 3 у или 32/7.

101.	Получение дробных чисел при измерении. Поло-
жим, мы желаем измерить какую-нибудь длину помощью
метра. Допустим, что метр в этой длине укладывается 7 раз,
причем получается остаток, меньший метра. Чтобы изме-
рить этот остаток, подыскиваем такую долю метра, которая,
если возможно, уложилась бы в остатке без нового остатка.
Пусть окажется, что десятая доля метра укладывается в
остатке ровно 3 раза. Тогда говорим, что измеряемая длина

<7 3

равна 7 метра.

Подобно этому, дробные числа могут получаться при
измерении веса (напр., 2 у грамма), при измерении времени
(напр., уд часа) и т. п.

Таким образом, дробное число можно рассматривать как
результат измерения.

Число (целое или дробное) наз. именованным, если оно
сопровождается названием той единицы, которая употребля-
лась при измеренци, или доли которой употреблялись при
3

измерении, напр., у метра; в противном случае число наз.

3

отвлеченным, напр. у •
102.	Получение дробных чисел при разложении целого
числа на равные части. Пусть требуется разделить 5 листов
бумаги на 8 равных частей (напр., требуется распределить
их между 8 учениками поровну). Мы можем выполнить это
деление так: вообразим, что каждый лист разделен на 8 рав-
ных частей (на восьмые доли); тогда в 5 листах таких до-
лей окажется 8X5, т. е. 40, а в одной восьмой части пяти
листов их должно быть 40:8, т. е. 5. Значит, восьмая часть

5

5-и листов равна -д- одного листа (и вообще восьмая часть
О

5

5 каких-нибудь единиц равна одной единицы).

О

Возьмем еще другой пример: требуется уменьшить в 5 раз
28 (каких-нибудь единиц), т. е. вместо 28 требуется взять
одну пятую часть этого числа. 28 состоит из 25 и 3. Пятая
часть 25-и равна 5. Чтобы найти пятую часть от 3-х, разде-
лим каждую единицу на 5 равных частей; взяв от каждой
1	-	х

единицы по найдем, что пятая часть трех единиц бу-
О

3	3

дет . Значит, пятая часть 28-и равна 5 -_- • Но можно
О	о

найти пятую часть 28-и еще и так: пятая часть одной еди-
1	1

ницы есть -=; пятая часть другой единицы есть также ;

О	о

если таким образом возьмем по пятой части от каждой из
оо	28

28 единиц, то получим •

О

Таким образом, чтобы, разделить целое число на не-
сколько равных частей, достаточно взять это целое число
числителем дроби, а знаменателем, написать другое число,
показывающее, на сколько равных частей делится целое
число.

Следствие. Всякую дробь можно рассматривать не толь-
ко, как собрание нескольких одинаковых долей единицы,
но и как одну долю нескольких целых единиц. Так, дробь
5

-ё- есть не только 5 восьмых долей единицы, но и одна
О

восьмая доля 5-и единиц.

105. Равенство и неравенство дробных чисел. Два
дробные числа считаются равными, если величины, выражае-
мые этими числами, при одной и той же единице измере-
ния, равны между собою. Так, мы говорим, что — = -^-;
этим мы хотим сказать, что две длины, из которых одна

3	6

составляет метра, а другая метра, равны между собой;

3

или, что два веса, из которых один равен килограмма,

« 6	.

а другой -у килограмма, равны между собою, и т. п.

О

Из двух неравных чисел большим считается то, которое
выражает большую величину при одной и той же единице
1^1

измерения. Так, если мы говорим, чтомы желаем

этим выразить, что, напр., -у грамма больше грамма,

1	Л 1

-=- часа больше часа и т. п.
о	о

104.	Дробь правильная и неправильная. Дробь, у ко-
торой числитель меньше знаменателя, наз. правильною;
дробь же, у которой числитель больше знаменателя или ра-
вен ему, наз. неправильною. Очевидно, правильная дробь
меньше 1, а неправильная больше ее или равна ей; напр..
1— < 1 А — 1
8^’8	’ 8

105.	Обращение целого числа в неправильную дробь.
Всякое целое число можно выразить в каких угодно долях
единицы. Пусть, напр., требуется выразить 8 в двадцатых
долях. В одной единице заключается 20 двадцатых; след.,
в 8 единицах их будет 20 X 8, т. е. 160. Значит:

_20 -8_ 160

“ 20	20'

Подобным образом, число 25 в четвертых долях выразится
100 1пп	1700

, число 100 в семнадцатых долях выразится , и т. п.

Замечание. Целое число иногда бывает полезно изобра-
зить в виде такой дроби, у которой числитель равен этому
целому числу, а знаменатель есть 1. Так, вместо 5. пишут
иногда -у- (пять первых). Чтобы придать смысл таким вы-
ражениям, условливаются, что „первая" часть числа есть
самб число.
106.	Обращение смешанного числа в неправильную

3
дробь. Пусть требуется обратить смешанное число 8 в не-
э

правильную дробь. Это значит: узнать, сколько пятых до-
лей заключается в 8 целых единицах вместе с 3-мя пятыми
долями той же единицы. В одной единице пятых долей со-
держится 5, след., в 8 единицах их будет 5X8, т. е. 40;
значит, в 8 ед. вместе с 3-мя пятыми таких долей окажется

3	43

40	3, т. е. 43. Итак 8 -=- = Подобно этому:

О о

О 7 —8-3 + 7_31

8	8	— 8 ;

4	4	4

„ 2	7-25-}-2	177

— -----=-----—=—' •

7	7	7	.

107. Исключение из неправильной дроби целого числа.

ГТ	«	'	«. д 100

Пусть требуется из неправильной дроби исключить це-
лое число, т. е. узнать, сколько в этой неправильной дроби
заключается целых единиц и сколько еще восьмых долей,
не составляющих единицы. Так как единица заключает в
себе 8 восьмых, то в 100 восьмых содержится столько еди-
ниц, сколько раз 8 восьмых содержится в 100 восьмых.
8 восьмых в 100 восьмых содержатся 12 раз, причем 4 вось-
мых остаются. Значит, 100 восьмых содержат 12 целых
единиц и еще 4 восьмых доли. Итак:

Подобно этому:

59_ _3_	314 _	14	85	25__

8	8’	25 “ II. 1225;	17~&;	25“

II. ИЗМЕНЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ДРОБИ С ИЗМЕНЕНИЕМ ЕЕ ЧЛЕНОВ.

108. Увеличение или уменьшение обоих членов дроби
в одинаковое число раз. Возьмем какую-нибудь дробь,
3

напр. (положим той длины, которая изображена на черте-
же,1-м)). Подразделим каждую четверть пополам. Мы получим
тогда более мелкие доли, которых в целой единице содер-
жится 2-4, т. е. 8 (значит, это будут восьмые доли), а в
3-х четвертях, их заключается 2-3, т. е. 6. Тогда вместо

3	-6	„

дроби — мы получим другую дробь величина которой

л 3

будет такая же, как и дроби

Если каждую четверть подразделим на три равные части,
то получим еще более мелкие доли, которых в целой еди-
нице будет 3*4, т. е. 12 (значит, это будут двенадцатые
доли), а в 3-х четвертях их окажется 3*3, т. е. 9; тогда
3	9	*

вместо получим дробь равную по величине дроби

. Подразделяя та-
ким образом каждую
четверть на 2, на 3,
на 4, на 5 и т. д.
равных частей, мы по-
лучим ряд таких рав-
ных дробей:

('.....    ---.-.............. I [/

Г' ' ..............................1^/

4''' .................   '	1--------1%

I   	...... I—।—I <%>

Черт. 1.

.з А _ А —1Ё —

4 “ 8 “ 12“ 16 ~ 20“ 24

Каждая из этих дробей, начиная со второй, получается
3

из первой дроби умножением ее числителя и знаменателя

на одно и то же число: на 2, на 3, на 4 и т. д.; значит, ве-
личина дроби не изменится, если числитель и знаменатель
ее мы, умножим на одно и то же число (или — что все
равно — увеличим в одинаковое число раз).

Отсюда следует, что величина дроби не изменится, если
числитель и знаменатель ее мы разделим на одно и то же
число (или — что все равно — уменьшим в одинаковое число

30

раз). Напр., заметив, что в дроби оба члена делятся на

3

10, мы можем эту дробь заменить дробью -=•, которая полу-

30

чится, если числитель и знаменатель дроби уменьшим в
Ом

10 раз.

6 Киселев. Арифметика.	81
109. Увеличение или уменьшение одного члена дроби.
Если числитель дроби увеличим, (или уменьшим) в несколько
раз, то дробь увеличится (или уменьшится) во столько же
4

раз. Напр., увеличив числитель дроби в 3 раза, полу-
Ю	/

12

чим уд. Эта дробь больше прежней в 3 раза, потому что
в ней в 3 раза более долей, а доли остались те же.

Если знаменатель дроби увеличим (или уменьшим) в не-
сколько раз, то дробь уменьшится (или увеличится) во
„	.4

столько же раз. Напр., увеличив знаменатель дроби в

4

5 раз, получим . Эта дробь меньше прежней в 5 раз, по-
тому что она содержит 4 пятидесятых, тогда, как прежняя
равна 20 пятидесятым

110. Увеличение или уменьшение дроби в несколько
раз. Зная, как изменяется дробь с изменением ее числителя
и знаменателя, мы можем вывести следующие правила:

1)	чтобы увеличить дробь в несколько раз, достаточно
увеличить во столько же раз ее числитель,

или уменьшить во столько же раз ее знаменатель;

2)	чтобы уменьшить дробь в несколько раз, достаточно
уменьшить во столько же раз ее числитель,

или увеличить во столько же раз ее знаменатель.

Примеры:

_4 _ 20\
10“ 50 Г

Увеличить рт в	5 раз; получим	35  12'
..	7  Увеличить т-д в  1 2^	6 раз^ „	42	7  12 ИЛИ 2
.. 8  Уменьшить-р- в У	7 раз;	8 63'
47	8  Уменьшить -тг- в  У	4 раза; “	8	2  36 ИЛИ 9

111. От прибавления к членам дроби одного и того же числа
дробь, меньшая единицы, увеличивается, а дробь, бблъшая единицы,
уменьшается, причем та и другая приближаются к единице.

5

Напр., прибавив к членам правильной дроби — по 3, * полу-
8 т-т	х*	х

чим 10* ^еРвая	ДРО$Ь	меньше	1 на две седьмых,	а вторая

2	2

меньше 1 тоже на две, но не седьмых, а десятых. Но —	;

, ,	.	8^5

значит, вторая дробь ближе к 1, чем первая, и потому—>-—•

8

Возьмем теперь неправильную дробь, большую 1, напр., —, и
о

прибавим к ее членам по какому-нибудь числу, напр. по 4; тогда
12

получим —• Первая дробь больше 1 на 3 пятых, а вторая
У

о	3^3

больше 1 тоже на 3, но не пятых, а девятых; но — <Г -р-; зна-
9 о

'	12 . 8

чит, вторая дробь ближе к 1, чем первая, и потому —	.

9 о '

III.	СОКРАЩЕНИЕ ДРОБЕЙ.

112.	Что называется „сокращением" дроби. Сокраще-
нием дроби наз. приведение ее к более простому виду посред-
ством разделения числителя и знаменателя на одно и то
же число (отчего, как мы видели, величина дроби не изме-
няется).

Конечно, сократить можно только такую дробь, у кото-
рой члены имеют какой-нибудь общий делитель, кроме 1;

.8	< 9

напр., дробь можно, а дробь нельзя сократить, так
как у первой дроби числитель и знаменатель имеют общий
делитель помимо 1, именно 4, а числитель и знаменатель
второй дроби не имеют никакого общего делителя, помимо 1.

Дробь, которая не может быть сокращена, наз. несокра-
тимою.

115. Два способа сокращения. Первый способ (после-
довательное сокращение) состоит в том, что, руководствуясь
признаками делимости, определяют, не делятся ли числитель
и знаменатель данной дроби на какой-нибудь общий дели-
тель (кроме 1); если такой делитель существует, то на него
дробь сокращают; полученную после сокращения дробь, если
можно, сокращают таким же путем снова; продолжают такое
последовательное сокращение до тех пор, пока не получится
дробь несократимая.
*
Напр.:

19	3

840	84	21 \ 7

3600 “ 360 ~ 90“ 30'

Для памяти надписывают над дробью то число, на кото-
рое сокращают.

Второй способ (полное сокращение) употребляется тогда,
когда по признакам делимости нельзя или затруднительно
определить, сократима ли дробь или нет.

Тогда отыскивают (способом последовательного деления)
общий наибольший делитель членов дроби и, если такой
окажется не 1, делят на него эти члены. Напр., пусть тре-
391

буется сократить Для этого находим общий наиболь-
ший делитель чисел 391 и 527 (он равен 17) и на него со-
кращаем:

391 __391 : 17_23

527“527 : 17 “ЗГ

В этом случае после сокращения - получ ается дробь не
сократимая. Действительно, общий наиб, делитель членов
дроби должен содержать в себе все общие простые множи-
тели, входящие в состав этих членов; поэтому когда на него
разделим числитель и знаменатель, то полученные частные
уже не могут содержать в себе никаких общих множителей
(кроме 1), и, след., не будут иметь никаких общих дели-
телей.

444. Теорема о равенстве двух дробей. Если две дроби
равны и одна из них несократима, то члены другой дроби должны
быть в одинаковое число раз кратны соответствующих членов
несократимой дроби. Положим, что

а___аг

причем допустим, что первая дробь несократима, т. е., что члены
ее а и Ь не имеют общих делителей, кроме 1. Требуется доказать,
что ах кратно а и Ь1 кратно Ь и притом в одинаковое число раз.
Для доказательства умножим оба члена второй дроби на Ь, а пер-
вой— на Ьр, так как величины дробей от этого не изменятся, то
получим равенство:

аЬ1_ахЬ.

ьь~ь(ь:
откуда:

аЬ1 = а1Ь.

(1)

Левая часть этого равенства делится на а; значит, его правая
часть тоже делится на а; но Ь, по условию, есть число, взаимно
простое с а* значит, надо, чтобыах делилось на а (83). Обозначив
частное от деления на а буквой т, можем положить: а^ = ат,
после чего равенство (I) дает:

аЬ1 — атЬ.

Разделив обе части этого равенства на а, получим Ьх — тЬ.
Итак: а1 = ат и — Ьт, а это значит, что ах и в одинаковое
число раз кратны соответственно а и Ь.

Следствие; Две несократимые дроби равны только тогда,
когда у них равны числители и равны знаменатели.

IV. ПРИВЕДЕНИЕ ДРОБЕЙ К ОБЩЕМУ НАИМЕНЬШЕМУ
ЗНАМЕНАТЕЛЮ.

415. Объяснение. Возьмем для примера две дроби и

7

и зададимся вопросом, нельзя ли эти дроби выразить в

тт Л 5

одинаковых долях единицы. Дробь —несократима; по-
этому, кроме 12-х долей, ее можно выразить в долях 24-х,
36-х, 48-х и т. д.; другими словами, знаменатели всех дро-
5

бей, которым может равняться дробь должны быть чи-

слами кратными 12-ти *); подобно этому знаменатели всех

7
дробей, которым может равняться несократимая дробь

1 о

должны быть числами кратными 15-ти; след., общий знаме-
натель этих двух дробей должен быть общим кратным
числом 12-ти и 15-ти, а наименьший общий знаменатель
должен быть наименьшим кратным числом 12-ти и 15-ти. Най-
дем наименьшее кратное этих чисел:

12 = 2-2-3

15 = 3-5___________

н. кр. = 2 • 2 • 3 • 5 = 60.

*) Доказательством этого утверждения служит теорема § 114.
5

Это и будет наименьший общий знаменатель дробей ух
7

и Чтобы выразить каждую из этих дробей в 60-х до-
лях, найдем для их знаменателей так называемые дополни-
тельные множители, т. е. для каждого знаменателя найдем
то число, на которое его надо умножить, чтобы получить
найм, кратное. Сравнивая между собою разложения 12-ти,
15-ти и 60-ти, находим, что для получения 60-ти надо умно-
жить 12 на 5, а 15 на 2 • 2, т. е. на 4. Чтобы не, изменилась
величина дробей, надо умножить числитель каждой дроби
на то же число, на которое умножаем ее знаменатель:

5_5*5_25	7_7*4_28

12 12-5 60	15“ 15*4“60‘

Пусть требуется привести к наименьшему общему знаме-
. 4* 7	8	„

нателю три дроби? и ?$. Первая из них — сократи-
.	2

мая дробь; после сокращения она дает остальные дро-
би— несократимые. Отыщем наименьшее кратное знамена-
телей 45, 20 и 75:

45 — 3.3 • 5	доп. мн. для 45 = 2 • 2 • 5 = 20

20 = 2*2 -5	„	,,	„ 20 = 3*3*5 = 45

75 = 3*5*5_____________ „	„	„ 75 = 2*2*3 = 12

н. кр. = 3 • 3 • 5 • 2 • 2 • 5 = 900

Теперь умножим оба члена каждой дроби на дополни-
тельный множитель для ее знаменателя:

2 _ 2 • 20 _ 40 . 7 _ 7 • 45 _ 315 8	8 • 12 _ 96

45“45*20	900’ 20~ 20 * 45 ~ 900’ 75“ 75 • 12"" 900“

Правило. Чтобы, привести дроби] к наименьшему об-
щему знаменателю, предварительно, если можно, их со-
кращают, затем находят наименьшее кратное всех знаме-
нателей и, наконец, умножают оба члена каждой дроби
на дополнительный множитель для ее знаменателя.

416. Некоторые особые случаи. Случай 1-й, когда ни-
какая пара знаменателей не содержит общих множите-
' лей.
Напр.,

3 _4	5

7’ 15’ 8

Так как в этом случае наименьшее кратное знаменателей
равно их произведению, то оба члена каждой дроби надо
умножить на произведение знаменателей остальных
дробей.

Так же поступают, когда знаменатели — числа простые.

Случай 2-й, когда наибольший из знаменателей делится
на каждый из остальных, напр.:

3 7	8

7’ 15’ 315

Знаменатель 315 делится на 7, на 15 и на самого себя. В
этом случае наибольший знаменатель есть наименьшее крат-
ное всех знаменателей; значит, он должен быть наименьшим
общим знаменателем:

доп. мн. для 7 = 45;

доп. мн. для 15 = 21.

3__3<45_135	7 _ 7 • 21 _ 147 8_ 8

7 —7.45“315	15~ 15 • 21 ~ 315’ 315“315

117. Сравнение двух дробей по величине. Приведение
дробей к общему знаменателю облегчает сравнение их по
величине. Пусть, напр., требуется узнать, равны или не

5	9

равны дроби , и и если не равны, то которая из них
больше. Для этого приведем их к одному знаменателю:

5_5-13__65 9 _ 9-7 _63
7~ 7-13 91 13“ 13-7 91

Теперь сразу видно, что данные дроби не равны, а именно
первая дробь больше второй.

V. ДЕЙСТВИЯ НАД ДРОБНЫМИ ЧИСЛАМИ.'

Сложение.

418. Определение и вывод правила. Сложение дробных
чисел можно определить так же, как и сложение целых
чисел (§ 19), а именно:

сложение есть арифметическое действие, посредством
которого несколько данных чисел (слагаемых) соединяются
в одно число (сумму), содержащее в себе все единицы сла-
гаемых и все их доли.

Рассмотрим особо следующие три случая:

1) Пусть требуется найти сумму нескольких дробей с
одинаковыми знаменателями, напр., таких:

А «А, А

11 + 11 + ц

Очевидно, что 7 одиннадцатых, да 3 одиннадцатых, да
5 одиннадцатых какой-нибудь единицы составляют 7 4- 3 -|- 5
одиннадцатых той же единицы:

7 I 3 I 5 _7 + 3 + 5_15_, 4

11 + 11П1	11 И 41

2)	Пусть требуется сложить дроби с разными знаменате-
лями, напр., такие:

4^10 46

Приведя все эти дроби к общему знаменателю, сделаем
сложение, как в первом случае:

аз а л

3,7	9 _60 + 564-45_ 161_о 1

4+ю+16	80	~ 80 ~"280

Число, поставленное для памяти над каждою данною
дробью, есть дополнительный множитель, на который должно
умножить члены дроби, чтобы привести ее к общему зна-
менателю.

Правило. Чтобы сложить дроби, надо их предвари-
тельно привести к одному знаменателю, затем сложить
числители и под суммою их подписать общий знаменатель.

3)	Пусть, наконец, требуется сложить смешанные числа:

4-4- 8 9 13^

41б+ 8ю+3 6

Сначала сложим дроби:

2~. 9А 55_4 4-274-25_56	26	13

Тб+ю + б- 30	“30^ 1 30“ 45
Теперь сложим целые числа и к сумме их добавим 1,
получившуюся от сложения дробей:

4 + 8+3+1 = 16

13

Значит, полная сумма равна 16

Замечание. Относительно сложения дробного числа и
нуля держатся того же условия, какое было указано в сло-
жении целых чисел, а именно: -прибавить 0 к какому-нибудь
числу или прибавить к 0 какое-нибудь число значит оста-
вить это число без изменения.

119.	Свойства суммы. Свойства переместительное и со-
четательное, указанные нами раньше (§ 20) для суммы целых
чисел, принадлежат также и дробным числам, т. е. будут
ли слагаемые числа целые или дробные, 1) сумма не изме-
няется от перемены, порядка слагаемых и 2) сумма не из-
менится, если какие-либо слагаемые мы заменим их сум-
мою. Так, чтобы сложить смешанные числа, данные в при-
мере 3-м предыдущего §, мы можем сложить сначала целые

13

числа (получим 15), а потом дроби (получим 1 у=) и обе
Ло

13

суммы соединить в одно число (получим 16 или можем

1о

13

сложить сначала 2-е и 3-е слагаемые (получим 12 у$), а%отом

13

добавить 1-е слагаемое (получим 16 у$). В каком бы порядке
мы ни соединяли единицы и доли единиц слагаемых, всегда
получим одну и ту же сумму.

Процесс изменения суммы при изменении слагаемых так-
же остается для дробных чисел тот же, что и для целых,
т. е. если какое-либо слагаемое увеличится или умень-
шится, то и сумма увеличится или уменьшится на столь-
ко же.

Вычитание.

120.	Определение и вывод правила. -Вычитание есть
арифметическое действие, обратное сложению, посредством
которого по данной сумме (уменьшаемому) и данному сла-
гаемому (вычитаемому) отыскивается другое слагаемое
(остаток или разность).
Можно также сказать, что вычитаемое есть действие, по-
средством которого узнается, какое число получится, если 1
от бблыпего данного числа отделим часть, равную меньшему
данному числу.	\

Рассмотрим отдельно следующие три случая вычитания.

1)	Пусть даны для вычитания дроби с одинаковым зна-
менателями, напр. такие:

7	3

8	8

Если от 7 восьмых отделим часть, равную 3 восьмым, то
остается, очевидно, 7 — 3 восьмых:

7	8_7—3 4 1

8	3— 8 ~8—2

2)	Пусть данные дроби имеют разные знаменатели;
напр.:

11 3

15 8

Тогда, приведя эти дроби к одному знаменателю, сделаем
вычитание, как было объяснено раньше:

Ф	И 3_88 — 45 _'43

15	8“ 120 ~ 120

Правило. Чтобы вычесть дробь из дроби, надо предвари-
тельно привести их к общему знаменателю, затем из чи-
слителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого и
под их разностью подписать общий знаменатель.

3)	Если нужно вычесть смешанное число из другого сме-
шанного числа, то, если можно, вычитают дробь из дроби,
а целое из целого. Напр.:

Если же дробь вычитаемого больше дроби уменьшаемого,
то берут одну единицу из целого числа уменьшаемого, раз-
дробляют ее в надлежащие доли и прибавляют к дроби
уменьшаемого.
Напр.:

10 А — 5-|=10^ — 51|= 9— 5 Ц= 4^

11	6	66	66	66	66	66

- Так же производится вычитание дроби из целого числа;
напр.:

7_2 — = 6—_2 — — 4 —

5	5	5	5

Ю —А —9П_А—9!4

Ш 17	17	17“17

Замечания. 1) При вычитании нуля держатся того же
условия, какое было указано при вычитании целых чисел, а
именно: вычесть 0 из какого-нибудь числа значит оставить
это число без изменения.

2) Разность дробных чисел изменяется при изменении
данных чисел совершенно так же, как и разность целых
чисел, а именно;

если увеличим (или уменьшим) уменьшаемое, то и раз-
ность увеличится (или уменьшится) на столько же;

если увеличим (или уменьшим) вычитаемое, то разность
уменьшится (или увеличится) на столько же.

Нахождение дроби данного числа.

121. Задачи и правило. Прежде всего обратим внимание
на то, что выражение „дробь данного числа" не равносильно
выражению „часть данного числа", так как дробь может
быть неправильная, большая 1, а тогда дробь числа не
будет частью числа; напр., у какого-нибудь числа, конечно,
О
больше этого числа.

Задачи. 1) Поезд движется равномерно со скоростью 40 ки-
7
лометров в час. Какое пространство он пройдет в $ часа?

7

Очевидно, в о часа поезд пройдет столько километров,
О

7	„ Л

сколько их заключается в $ сорока километров. Чтобы
7	1

найти о числа 40, найдем сначала этого числа (т. е. умень-
О	о
шим 40 в 8 раз), а затем полученный результат увеличим в
7 раз:

х числа 40 составляет 5;
О

7

-о числа 40 составляет 5X7--- 35. 1
о

7

Значит, поезд в часа проходит 35 км.

2)	Один метр материи стоит 8$ руб.; сколько рублей надо

3	7

заплатить за 1-^- метра (т. е. за метра) этой материи?
7	г

Очевидно, что м стоят столько рублей, сколько их ока-

7	1

жется в -т- числа 8-х- руб. Чтобы узнать это, мы найдем сна-
т:	Л

1	1

чала -х- этого числа (т. е. уменьшим 8-х- в 4 раза), а затем ре-
тг	&

зультат увеличим в 7 раз:

1	аЧ	17

— числа 8х- т. е. числа -х-
4	2 \	2,

/

» я я я я

составляет (§ ПО).

17-7_119	7

”	2-4 — 8 ~148‘

Значит, за м материи придется уплатить 14-$ руб.

3)	Найти числа (какой-нибудь единицы). Найдем
О	о

15	5

сначала числа -х- (т. е. уменьшим -х- в 3 раза), а затем уве-
о	О	О

личим ее в 8 раз:

1	5	5

-х- числа -х- составляет -х-х;

О	О	О’О

8	5-8	40 _ о2

3я”	’	6-3 ”18“ 9*

Из этих задач выводим правило: чтобы найти величину
какой-нибудь дроби данного числа, надо уменьшить это число
во столько раз, сколько единиц в знаменателе дроби (значит,
92
сделать деление) и результат увеличить во столько раз,
сколько единиц в числителе дроби (сделать умножение).

Умножение.

122.

Определения. 1) Умножение дробного числа на целое

определяется так же, как и умножение целых чисел, а именно:
умножить какое-нибудь число (множимое) на целое число
(множитель) значит повторить множимое слагаемым столько
раз, сколько во множителе единиц.

7	7

Так, умножить на 5 значит повторить слагаемым
О	о

5 раз, другими словами, найти сумму:

7	7	7	7	7

8’+'8' + '8 +Т+у

Это определение теряет смысл для того случая, когда
множитель есть дробь. Напр., нельзя сказать, что умножить 5

7	7

на значит повторить число 5 слагаемым -5- раза, так как
о	о

7

выражение раза" не Имеет смысла.

2)	Умножению на дробь мы условимся придавать следую-
щий особый смысл:

умножить какое-нибудь число (множимое) на дробь (мно-
житель) значит найти эту дробь множимого.

1	7

Так, умножить 5 на значит найти пяти единиц.

Таким образом, нахождение дроби от данного числа, рас-
смотренное нами перед этим, мы будем теперь называть умно-
жением на дробь.

3)	Умножать какое-нибудь число (множимое) на смешан-
ное число (множитель) значит повторить множимое слагае-
мым столько раз, сколько целых единиц есть во множителе,
и к полученной сумме добавить еще такую дробь множи-
мого, какая есть во множителе сверх целого числа.

4	2

Напр., умножитьна 3-у значит найти сумму:

О	/

4 । 4 . 4 , (2	4\

т+т+т + числа ~б)
(для сокращения речи принято в этом и подобных случаях
4	2

говорить, что число требуется повторить слагаемым „3-=-

О	/

раза").

Число, получаемое после умножения, во всех этих случаях
наз. произведением, т. е. так же, как и при умножении целых
чисел.

Чтобы уяснить себе полезность введения в арифметику
двух последних определений умножения, возьмем такую за-
дачу.

Задача. Поезд, двигаясь равномерно, проходит в час
40 км-, как узцать, сколько километров пойдет этот поезд
в данное число часов?

Если бы мы остались при том одном определении, кото-
рое указывается в арифметике целых чисел (повторение сла-
гаемым), то наша задача имела бы три различные решения,
а именно:

если данное число часов целое (напр. 5 часов), то для
решения задачи надо 40 км умножить на число часов. Если
3

данное число часов выражается дробью (напр., часа), то
придется найти величину этой дроби от сорока километров,
для чего потребуются 2 действия: деление на знаменатель
дроби и умножение на ее числитель. Наконец, если данное
	3

число часов смешанное (напр., 5-^ часа), то надо будет 40 км
умножить на целое число, заключающееся в смешанном числе,
и к результату добавить еще такую дробь от 40 км, какая
есть в смешанном числе. Данные нами определения позво-
ляют на все эти возможные случаи дать один общий ответ:
надо 40 км умножить на данное число часов, каково бы оно
ни было.

Таким образом, если задачу представить в общем виде так:

поезд, двигаясь равномерно, проходит в час V км-, сколько км
поезд пройдет в I часов?

то, какие бы ни были числа V и I, мы можем высказать один
ответ: искомое число х выражается формулой:

125. Общее определение. Умножению дробных чисел можно
дать следующее общее определение: умножить какое-нибудь число

(множимое) на дробь — значит наити — множимого. Чтобы это
определение включало в себе, как частный случай, и определение
умножения на целое число, условимся (это будет полезно и для
X	X О' ,

других целей) рассматривать целое число а как дробь —(читается

„а первых*), т. е. условимся что первая часть числа есть само
3	5

число. Тогда умножить, напр., — на 5, или на -р, значит найти 5

3	*	.	*

„первых* дроби —, т. е. повторить эту дробь слагаемым 5 раз, что

вполне согласно с определением умножения на целое число. Противо-
речия с этим определением не будет и тогда, когда мы выразим
целое число в каких-нибудь долях единицы. Если, напр.» вместо
с	* 20

умножения на 5 мы станем умножать на дробь —, то, согласно
4	20

определению умножения на дробь, мы должны будем найти — мно-
жимого. Но так как -4- множимого составляют целое множимое, то
« 20 4

найти — множимого, очевидно, все равно, что повторить это мно-
жимое слагаемым 5 раз, т. е. сделать то же самое, что мы должны
сделать согласно определению умножения на целое число 5.

Умножение на смешанное число также включается в данное нами
определение, если смешанное число обратим в неправильную дробь.
2	3 23	23	2

Напр., умножить	—	на	5— = —	значит найти	—	дроби	— ,	что,

о	4 4	4	^2

очевидно, составит столько же, как если бы мы повторили — сла-
3	2	$

гаемым 5 раз и к результату добавили еще — дроби —.

4	о

Из определения видно, что умножение дробных чисел есть дей-
ствие всегда возможное и всегда однозначное.

424. Следствие. От умножения на правильную дробь
число уменьшается, а от умножения на неправильную дробь
число увеличивается, если эта неправильная дробь больше 1,
и остается без изменения, если она равна 7.

7

Напр., произведение 5 . должно быть меньше 5-ти, так
о

7	7	8

как оно означает -3- пяти, а пяти меньше пяти; произ-
ОО	о

9

ведение 5.	должно быть больше 5-ти, потому что оно озна- -

9	9.8

чает -з" пяти, а -3- пяти больше -3- пяти; наконец, произведе-
О	О	о

с 8	8

ние 5.-о~,т. е.-^- пяти, равно 5.

ОО

Замечание. При умножении дробных чисел, так же как и
целых, произведение принимается равным 0, если какой-ни-
7	7

будь из сомножителей равен 0; так, 0 • -5- = О и -5- • О = О.
' о	о

125.	Вывод правил. Рассмотрим особо следующие 4
случая:

з

1)	Умножение дроби на целое число. Пусть требуется^
3

умножить на 5. Это значит: повторить слагаемым 5 раз,

3

иначе сказать, увеличить в 5 раз. Чтобы увеличить дробь

в 5 раз, достаточно увеличить ее числитель или уменьшить
ее знаменатель в 5 раз (§ 110).

Поэтому:
Л

3 х,с 3-5	15	3	_	3	3

10Х5	10	10 ИЛИ 10Х 5“10:5 ~ 2'

Правило 1-е. Чтобы умножить дробь на целое число,
надо умножить на это целое число числитель, а знамена-
тель оставить тот же,—или разделить на него знаменатель
дроби, а числитель оставить тот же.

2)	Умножение целого числа на дробь. Пусть дано умно-
4	4

жить 7 на Это значит: найти -х- числа 7. Для этого найдем
У	У

1	4

сначала числа 7, а потом

У	У

1	'	7

-д- числа 7 составляет (§ 102)
к/

4	7-4

-у- числа 7 составляют-рг- (§ ПО)

У	У

Значит:

7у±__74_28

24 9 “ 9 “ 9‘

Правило 2-е. Чтобы умножить целое число на дробь,
надо умножить целое число на числитель дроби и это произ-
ведение сделать числителем, а знаменателем подписать
знаменатель дроби.

3

3)	Умножение дроби на дробь. Пусть надо умножить

□
на-;,-. Это значит: найти -5- числа Для этого сначала
О	о	о

„ 1	7 з

найдем -5-, а затем	числа

о	о	О

1	3	3

-	ц- числа составляет (§ 110)

О	О	О • О

7	3	3-7

-	5- числа -=- составляют
8	5	5-8

Значит:
з_	7_	— А7

5 Х 8	~~5-8	40’

Правило 3-е. Чтобы умножить дробь на дробь, надо умно-
жить числитель на числитель и знаменатель на знамена-
тель и первое произведение сделать числителем, а второе —
знаменателем.

Замечание. Это правило можно применять и к умноже-
нию дроби на целое число и целого числа на дробь, если
только целое число будем рассматривать как дробь с зна-
менателем 1. Так:

3 у _ 3	5 _ 3-5 _ 15 _ 3

10	Х 10 Х 1 ~ 10-1 — 10 — 2”’
7у1-1у ±-1А_28_31
' а 9 — 1 а 9 — ь9 — 9 —о 9.

4)	Умножение смешанных чисел.

Правило 4-е. Чтобы умножить смешанные числа, надо
обратить их предварительно в неправильнее дроби и затем
умножить по правилам умножения дробей, Напр.

1)	7 X = 7 Х - 7-~ =	= 40|;

9ч 93 у42_13_14_ 13-14 _182_ 2

э А 3 ~ 5 — 3 ” 5-3 ~ 15	15’

Впрочем, обращение смешанных чисел в неправильные
дроби не составляет необходимости. Напр., чтобы умножить 7

3

на 5-^-, можно 7 повторить слагаемым 5 раз и к полученной
3

сумме приложить от 7-и:

7. X 5| = (7 X 5) + (7 X 4) = 35 + = 40|.

7 Киселев. Арифметика.

97
426. Сокращение при умножении. При умножении дро-
бей- полезно, если возможно, делать предварительное сокра-
щение следующим образом:

1) 12 X — ——-10—•
1) 1/х 8 — 8 — 2 — 2 —1и2’

9ч 16	5 _ 16 X 5 _ 4 X 5 _ 20

} 21 А 28	21X28	21 X 7	147'

Такое сокращение возможно делать потому, что величина
дроби не изменится, если числитель и знаменатель ее будут
уменьшены в одинаковое число раз.

127. Изменение произведения с изменением данных
чисел. Произведение дробных чисел изменяется совершенно
так же, как и произведение целых чисел (§ 50), а именно:
если увеличим (или уменьшим) какой-нибудь сомножитель
в несколько раз, то и произведение увеличивается (или умень-
шится) во столько же раз. Так, если в примере:

5 А 7 ~ 35

3
мы увеличим множимое, положим, в 2 раза, т. е. место возь-

э

3	3

мем	то новое произведение будет представлять со-

5	о

,4 Л 3 «к

бою не дроби -к-, а этой дроби, повторенной слагаемым
/	о

2 раза; значит, новое произведение должно быть больше
прежнего в 2 раза. И действительно:

6. V ± — 24

5 Х 7 ~35’

24	о	12

~ в 2 раза более

35	35

Увеличим в том же примере множитель, положим, в 3 ра-
4	4.4,4

за, т. е. вместо ’у возьмем у +у ту! тогда новое про-
4	4

изведение будет представлять собою не у- множимого, а у
его, повторенные слагаемым 3 раза; значит, новое произведе-
ние должно быть больше прежнего в 3 раза. И действительно:

3_у I2—§6

5 Х 7 — 35’

36

35

в 3 раза больше

12

35'
128. Произведение трех и более дробей. Пусть дано пе-

2	7	5	2

ремножить три дроби: -5- X X -н~- Это значит что-^-тре-
ООО	о

.	7

буется умножить на и полученное произведение умножить

5	2-7

затем на Умножив две первые дроби, получим: к-к-; умно-
О	0*0

2-7‘В	70

жив это число на третью дробь, найдем п оЛ = т-т-г. Зна-
О'О’О 144

чит:

чтобы перемножить несколько дробей, достаточно пере-
множить их числители между собою и знаменатели между
собою и первое произведение сделать числителем, а второе —
знаменателем.

Если в числе множителей есть смешанные числа, то их
обращают в неправильные дроби.

Замечание. Это правило можно применять и к таким про-
изведениям, в которых некоторые множители числа целые,
если только целое число будем рассматривать, как дробь,
у которой знаменатель 1. Напр.:

3	5 _ 5	5	5 _3-5-5_5-5 _ 25 _ 1

4 X Ь X б — 4'Х ! X б — 44.6 — 4.2	8	д8“

429. Свойства умножения. Те свойства умножения, кото-
рые были нами указаны для целых чисел (§§ 53,54, 55), при-
надлежат и умножению дробных чисел. Укажем эти свой-

ства.

1)	Переместительное свойство. Произведение не
няется от перемены, мест сомножителей.

Напр.:

изме-

3 А 6 Л 4 “ 6 Л 4 А 3’

Действительно, первое произведение равно дроби „ а -.

О • О • т:

5-3- 2

а второе равно дроби Но эти дроби одинаковы, по-

тому что их члены отличаются только порядком целых со-
множителей, а произведение целых чисел не изменяется при
перемене мест сомножителей.

2)	Сочетательное свойство. Произведение не изменится,
если какие-либо сомножители мы заменим их произведением.
„	5321	/ 5 3 \ / 2 1 \

Нэпр.. б • 4-' 7 ' 5	( б ' 4 ) • (-7 * 5

потому что:

А А А А—5-3-2-1

6 ’ 4 ’ 7 ‘ 5 — 6»4-7-5

/5 3\ /2 1	5-3 21	5-ЗД2-1)	5-3-2-Г

И \6 ’ 4/ \7 ’ 5/ 6-4 '7-5 — 6-4-(7-5) ~ 6-4.7-5

Из сочетательного свойства умножения можно вывести
такое заключение:

чтобы, умножить какое-нибудь число на произведение,
можно умножить это число на первый сомножитель, полу-
ченное число умножить на второй, и т. д.

Напр.:

10.а..У=10.-3 .А

\ 4 7/	4 7 

Замечание. Распределительное свойство умножения (§ 55)
также принадлежит дробным числам. Доказательство этого пред-
ложения излагается обыкновенно в курсах алгебры.

Нахождение неизвестного числа по данной величине его
дроби.

150. Задачи и правило. Прежде чем перейти к делению
дробных чисел, полезно рассмотреть, как можно находить
неизвестное число, если дана величина какой-нибудь его
дроби. Для ясности мы изложим этот вопрос на следующих
простых задачах.

Задачи. Изменим задачи, данные в § 121, таким образом:
1) Поезд, двигаясь равномерно, прошел расстояние в 35 км
7	•>

в -х- часа; сколько километров проходит этот поезд в час?

О

Конечно, поезд проходит в час такое число километров,
7

которого составляют 35 км. Значит, в этой задаче нам
о

/ у \

дана величина (35 км} дроби ) неизвестного числа, а тре-
буется найти это число. Так как 35 км составляют 7 вось-
мых неизвестного числа, то, уменьшив 35 км в 7 раз, мы най-
дем 1 восьмую этого неизвестного числа, а увеличив затем
результат в 8 раз, получим 8 восьмых его, т. е. полное число.
Для ясности выразим нашерассуждение следующими строч
ками;
-х- неизвестного числа составляют 35;

О

1	35

8 я	”	7?

8	35-8	280

$	п	»	И	у - у -------*0«

Значит, поезд в час проходит 40 км.
3	7

. 2) 1-^-метра материи стоят 14$- руб.; сколько рублей стоит
метр этой материи?

3	7	7

Так как	эти 7 четвертых метра стоят 14&- руб.

/	119\	119	.	_

(	> т0> уменьшив руб. в 7 раз, мы узнаем стоимость

1 четверти метра, а увеличив затем эту стоимость в 4 раза,
найдем цену 1 м. Выразим это строчками:

-у- метра стоят руб.

4	о

1	119

4	”	8-7 ”

4	"	119-4	С1

4	”	”	' 8,7"ж’82 руб’

3) Найти число,

8	о2/	201

которого -х- составляют 2-х =-п)

О	У \	У !

8	20

-х- неизв. числа составляют
о	У

±	20

3	"	9-8’

_3_	20-3	5

3	’	"	9-8“ 6

Из этих задач выводим правило: чтобы найти неизвест-
ное число по данной величине его дроби, достаточно умень-
шить эту величину во столько раз, сколько единиц в числи-
теле дроби (сделать деление) и результат увеличить во
столько раз, сколько единиц в знаменателе дроби (сделать
умножение).
Деление.

151. Определение. Деление есть арифметическое дей-
ствие, обратное умножению, посредством которого по дан-
ному произведению (делимому) и одному из сомножителей
(делителю) отыскивается другой сомножитель (частное).

7	3

Напр., разделить на значит: найти такое число, кото-

3	7

рое	надо	умножить на	чтобы	получить	-х-;	или	найти та-

О	о

3	7

кое	число,	на которое	надо умножить	чтобы получить

Э	О

В первом случае частное представляет собою искомое мно-
жимое, во втором случае — искомый множитель.

Так как множимое и множитель могут меняться местами,
то величина частного’не зависит от того, означает ли оно
множимое или множитель.

152. Следствие. От деления на правильную дробь число
увеличивается, а от деления на неправильную дробь число
уменьшается, если эта неправильная дробь больше 1, и
остается без изменения, если она равна 1.

7

Напр., частное 5:-$- должно быть брлыпе 5-ти, потому что
'	7	_

это частное, умноженное на -у, должно составить 5; а так

7	7

как умножить на -х- значит найти -х- множимого, то, значит,
О	о

7	с	8	,

-х- частного должны составить 5, а потому -х- частного (т. е.
О	о

полное частное) должно быть больше 5-ти. Так же объясним,
что частное 5 : -х- должно быть меньше 5-ти (так как -х- част-
О	о

8

ного составляют 5); а частное 5 : -х- должно быть равно 5.

О

155. Вывод правил. Предварительно заметим, что при
выводе правил, которыми надо пользоваться при различных
случаях деления, мы будем предполагать, что делением отыс-
кивается неизвестный множитель (по данным произведению
и множимому). Конечно, правила, выведенные при этом пред-
положении, будут годитбся и для тех случаев, в которых
делением находится множимое (по данным произведению и
множителю), так как величина частного не зависит от того,
означает ли оно множитель, или множимое.
При делении могут представиться следующие случаи.

1)	Деление целого числа на целое. Этот случай был рас-
смотрен в арифметике целых чисед. Но там точное деление
не всегда было возможно, так как делимое не всегда есть
произведение делителя на целое число; поэтому приходилось
рассматривать деление с остатком. Теперь же, допустив
умножение на дробь, мы всякий случай деления целых чисел
можем считать возможным. Пусть, напр., требуется разде-
лить 5 на 7, т. е. найти число, которого произведение на 7

5	5

дает 5. Такое число есть дробь потому что X 7 = 5;

20	'20

Точно так же 20:7 = у, потому что-у--7 = 20.

Правило 1-е. Чтобы, разделить целое число на целое
можно делимое взять числителем, а делитель знаменате-
лем дроби.

2)	Деление дроби на целое число. Пусть требуется раз-

делить на 4, т. е. требуется наити число, которое надо

8

умножить на 4, чтобы получить Так как от умножения

У

на 4 всякое число увеличивается в 4 раза, то значит, искомое
Л	8

число, увеличенное в 4 раза, должно составить =• и потому,
У

чтобы найти его, достаточно дробь «уменьшить в 4 раза.

Чтобы уменьшить дробь в 4 раза, надо уменьшить в 4 раза
ее числитель или увеличить в 4 раза ее знаменатель (§ 110).
Поэтому:

А 1 —8:4._ 2

9	9 “9’

или

А 4-- 8 _ 8 — А

9:	9-4"-36“9°

Правило 2-е. Чтобы разделить дробь на целое число,
надо разделить на э; :о целое число числитель дроби, оста-
вив тот же знаменатель, или умножить на него знамена-
тель дроби, оставив тот же числитель.

3)	Деление целого числа на дробь. Пусть требуется разде-
2

лить 3 на т. е. требуется найти такое число, которое надо
О
умножить на--р-, чтобы получить 3. Так как умножить какое-

2	2

нибудь число на-=- значит найти этого числа, то:
О	о

-у неизвестного частного = 3;

1	—А

5	’	”	~ 2 ’

5	_ 3 с — 3'5

5	”	”	~ 2	2

Значит:

„ 2_ _ 3>5 _ 15	1_

5“ 2 ~ 2	2'

Правило 3-е. Чтобы разделить целое число на дробь, надо
умножить это целое число на знаменатель дроби и это
произведение взять числителем, а знаменателем сделать
числитель дроби.

5

4) Деление дроби на дробь. Пусть надо разделитьу
7	.

на ур т. е. требуется наити число, которое, умноженное

7	5 „

на уу, составит 1ак как умножить какое-нибудь число

7	7

на уу значит найти уу этого числа, то:

7	5

уу неизвестного частного =

11	о

±	— 5

11	’	”	~6-7’

11	_ 5-И

11	”	— 6-7 '

Значит:

5 . 7 _5-11 _55	13

- 6 ‘ И ~ 6-7 — 42~ ч2‘

Правило 4-е. Чтобы, разделить' дробь на дробь, надо
умножить числитель первой дроби на знаменатель второй,
а знаменатель первой дроби—на числитель второй и первое
произведение взять числителем, а второе знаменателем.
Замечание. Под это правило можно подвести и все пре-
дыдущие случаи, если только целое число будем рассматри-
вать как дробь с знаменателем 1. Так:

_	’ 5 7	5-1	5

5:7=Т:Т=Ь7=Т

8 . _ 8^. 4__8И _ 8___2

9 :4— 9 : 1 “9-4“86“ 9

„ 2_3 2_3-5_15_71

5	1 : 5 — 1 -2“ 2 ~ 2 •

5) Деление смешанных чисел. Правило 5-е. Чтобы, раз-
делить смешанные числа, надо обратить их в неправиль-
ные дроби и затем разделить по правилам деления дробей.
Напр.:

я.ч1_».23_8>6_48_9 2.

й 6	‘ 6“ 23 “23	23’

73.±__ 31. И_ 31-2_ 31_ 9

4	2	4 ' 2 “4-11	22“ 1 22'

154.	Замена делеция умножением. Если переставим в
данной дроби числитель на место знаменателя и наоборот,
то дробь, получившаяся после этой перестановки, назы-
7
вается обратною по отношению к данной. Так, для -= об-
'	о

д

ратная дробь будет -у. Целое число также имеет обратную
5	1

дробь; напр., для 5 или для у обратная дробь будет у.
Условившись в этом, можем высказать такое правило де-
ления:

чтобы разделить одно число на другое, можно делимое
умножить на дробь, обратную делителю.

В верности этого правила легко убедиться из следующего
примерного сравнения:

8:9=| и 8х4==|;

8 ’й“40 И 8 Х 5 “40’

_5_10

3 ' 5 “12 И 3 Х 4 “12'
155.	Сокращение при делении. При делении дробных
чисел полезно, если возможно, делать предварительное со-
кращение следующим образом:

4

п 19. 8	12-1Г 3-11 33 1Й 1.

’г-П=^8- = -2~=У=16Г

2

8 . 6 _8-7^.4-7_28	1

9 ' 7 ~9-6~9.3 — 27 — 127;

6

оч 5 . 7 __5-18^5.3_15	1

>	,	12: 18“12-7“2-7~14“ 1 4‘

Такое сокращение возможно делать потому, что величина
дроби не изменится, если числитель и знаменатель ее умень-
шены в одинаковое число раз.

156.	Когда при решении задач употребляется деление.
Рассмотрим, в каких случаях при решении задач можно поль-
зоваться делением. Этих случаев можно указать 4; из них
в первых 2-х требуется по данным произведению и множи-
мому отыскать множитель, а в последних двух требуется
по данным произведению и множителю отыскать мно-
жимое.

1)	Когда надо узнать, сколько раз большее из двух дан-
ных чисел содержит в себе меньшее. Примером может слу-
жить следующая задача.

Задача 1. Во сколько часов пешеход пройдет путь в
П-4- км, если в час он проходит 4-^- км?

Для решения задачи достаточно узнать, сколько раз 4

- и 1

км содержатся в 11-^- км-, значит—достаточно отыскать, на
какое целое или смешанное число следует умножить
. 1 й ..1
4-^-, чтобы получить в произведении Н-т-.
Л	т:

1

Таким образом, в этой задаче даны произведение 11-^-
. 1

и множимое 4-2", а надо отыскать множитель-, значит, со-
гласно определению деления, мы можем сказать, что для
.. 1	.1

решения задачи достаточно 11—г- разделить на 4-^-:

т:	&
и 1 .Д1 -45. 9 _45.2	1

.	4	2 ~ 4 ' 2 — 4-9	2‘

3)	Когда надо узнать, какую часть большего данного
числа составляет меньшее данное число. Напр.

Задача. 2. Во сколько времени пешеход проходит 3 км.,
если в час он проходит 4-$- км?

Так как 3 км меньше 4-^- км, то пешеход проходит 3 км
в некоторую часть часа, так что точнее было бы задачу
высказать так: какая часть часа понадобится пешеходу,
чтобы пройти 3 км, если в час он проходит 4-^ км?' Оче-
видно, что на это понадобится такая часть часа, какую 3 км
составляют от 4-^- км. Чтобы узнать, какая часть числа 4 км
равна 3 км, достаточно определить, на какую дробь надо
умножить 4-$-, чтобы получить 3. Значит, в этой задаче
даны произведение 3 и множимое 4-к а надо отыскать мно-
о л 1
житель-, он находится делением 3 на 4-^--.

3'4-к — 3. ±_.А
б-42 —	2 “ 9 “ 3‘

3)	Когда данное число надо разложить на несколько
равных частей.

Напр.

Задача 3. В 2 4 часа поезд прошел 70 км. Сколько верст
прошел он в 1 час?

Для решения задачи достаточно 70 км разложить на 2~

О
равные части. Такие части найдутся, если мы сумеем оты-
скать такое число, которое, будучи умножено на 2-$-, со-
ставит 70. Значит, нам дано произведение 70 и множитель
2-Х-, а надо отыскать множимое-, оно находится делением
О

70 на 2-4:
О

1	7	210

70:24=70:4=^ = 30.

О	о	/

107
4)	Когда требуется найти неизвестное число по данной
величине его дроби. Напр.:

7	1

Задача 4. В часа поезд прошел 26-^- км. Сколько
км он проходит в час?

7	7

Так как в-х- часа поезд проходит-^-того числа км, кото-
о	о

рое "он проходит в целый час, то для решения задачи до-

7	1

статочно наити такое число, которого составляют 26-р

7	.

т. е. такое число, которое надо умножить на -5-, чтобы

О

получить Зб-^-. Значит, здесь даны произведение 26-^- и мно-

7 ‘ . А

житель -х-, а требуется отыскать множимое-, это находится

О

1	7

делении 26-т- на -5-:
4	о

1	. 7 _105. 7 _Ю5.8 „

2Ь4 ’ "8 “ 4 ' 8 — 4 -7 ~

Мы видим таким образом, что нахождение неизвестного
числа по данной величине его дроби (рассмотренное нами
в § 130), может быть выполняемо посредством деления на
дробь.

Замечание.' Чтобы быстрее сообразить, каким действием
решается та или другая задача, содержащая дробные числа,
полезно поставить себе вопрос, каким действием надо было
бы решать ту же самую задачу, если бы в ней дробные,
числа были заменены целыми. Возьмем, напр., приведенную
выше задачу 4-ю и изменим ее, положим, так: „в 3 часа поезд
прошел 90 км-, сколько км он проходит в час?“ Конечно,
в таком виде задача эта решается делением. Тем же дей-
ствием она должна решаться и тогда, когда данные числа
дробные.

157.	Как можно разделить на произведение. То свой-
ство деления (без остатка), которое было нами указано для
целых чисел (§ 72), принадлежит и дробным числам» а
именно:

чтобы разделить какое-нибудь число на произведение,
можно разделить это число на первый сомножитель, по-
лученный результат разделить на второй сомножитель,
и т. д.
Так, 10 .(- --1-М10

\ О / /	\ О /

5
“7’

потому что по правилам

умножения и деления дробей мы получим:

10 : (.|4)= 10 :

2-5_ 10-(3-7) _ 10-3-7

3-7~	2-5	“ 2-5

и

/.	2\. 5 6 _ 10 • 3 5 _ 10-3-7

: 3 1: 7 — 2 : 7 — 2-5

т. е. мы получим одно и то же, как деля на произведение,
так и деля последовательно на каждый сомножитель.

158.	Изменение частного с изменением данных чисел.
При изменении делимого или делителя частное от деления
дробных чисел изменяется совершенно так же, как и част-
ное от деления целых чисел (§ 73), а именно: если увеличим
(или уменьшим) делимое в несколько раз, то частное уве-
личится (или уменьшится) во столько же раз, а если уве-
личим (или уменьшим) делитель в несколько раз, то част-
ное уменьшится (или увеличится) во столько же раз. Так,
если в примере:

5_.1 = 55

6 ’11	42

мы увеличим делимое, положим, в 2 раза, а делитель оста-
вим тот же, то это значит, что мы увеличим произведение
в 2 раза, а один из сомножителей оставим без изменения;
тогда другой сомножитель, т. е. частное, должен увели-
чится в 2 раза (иначе произведение не могло бы увели-
читься в 2 раза). И действительно:

10. 7 _П0.
6 : 11 — 42 ’

ПО .	55

больше 42 в

2 раза.

Если мы увеличим делитель, положим, в 3 раза, а дели-
мое оставим то же, то это значит, что мы оставим без из-
менения произведение, а один из сомножителей увеличим
в 3 раза; вследствие этого другой сомножитель, т. е. частное,
должен уменьшиться в 3 раза (иначе произведение не оста-
лось бы без изменения). И действительно, если сделаем так
во взятом нами примере, то получим:

5 21	55	55	55 о

6 ;ГГ = Т26; 126 иеньше 42 = Зра3а-
Обратим особое внимание на то, что если мы. увеличим,
или уменьшим в одинаковое число раз и делимое и дели-
тель, то частное не изменится-, так, если в том же при-
мере мы увеличим делимое и делитель, положим, в 3 раза,
то получим:

Л
15>21_15-1Г_5-11_55
6 : 11— 6-21 — 6-7 “'42’

т. е. частное осталось то же самое.
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ.

ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ.

1. ГЛАВНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ.

159. Десятичные доли. Доли, получаемые от разделения
какой-нибудь единицы на 10, на 100, на 1000, вообще на
такое число равных частей, которое выражается единицею с
одним или с несколькими нулями, называются десятичными
долями.

Таким образом, десятичные доли, последовательно умень-
шающиеся, будут следующие:

111 1 11

10’ 100’ 1000’ 10000’ 100000’ 1 000000

Из двух неодинаковых десятичных долей большая назы-
вается десятичною долею высшего разряда, а меньшая — де-
сятичною долею низшего разряда. Каждая десятичная доля
содержит в себе 10 десятичных долей следующего низшего
разряда. Так:

1	_ 10	1 _ Ю 1 _ 10

10“ 100’ 100“1000’ 1 000“ 10000 и Т‘ п'

140.	Десятичная дробь. Дробь, у которой знаменатель
есть 1 с одним или с несколькими нулями, наз. десятичной-,
таковы, напр., дроби:

3	27 27 401	1

10’ 100’ 1000 ’ ^1000 И Т‘ П'

В отличие от десятичных дроби, имеющие какие угодно
знаменатели, наз. обыкновенными.
141.	Десятичные знаки. В циферном изображении це-
лого числа из двух рядов стоящих цифр правая всегда озна-
чает единицы, в 10 раз меньшие, нежели левая. Условимся
распространить это значение мест и на те цифры, которые
могут быть написаны вправо от простых единиц. Положим,
напр., что в таком изображении:

63,48259...

цифра 3 означает простые единицы. Тогда цифра 4 означает
единицы, в 10 раз меньшие, нежели простые единицы, т. е.
десятые доли; 8 означает сотые доли, 2 — тысячные, 5 — де-
сятитысячные, 9—стотысячные и т. д. Чтобы не ошибиться
в значении мест, условимся отделять занятою целое число
от десятичных долей. На места недостающих долей, а также
и на место целого числа, когда его нет, будем ставить нули.
Напр., при таких условиях выражение 0,0203 означает: 2 со-
тых 3 десятитысячных.

Цифры, стоящие направо от запятой, называются деся-
тичными, знаками.

142.	Изображение десятичной дроби без знаменателя.

Всякую десятичную дробь мы можем написать без знаме-
'	32 736

нателя. Пусть, напр., дана десятичная дробь -у . Сна-
736

чала исключим из нее целое число, получим 32у^^. Те-
перь представим ее так:

100 ю

32 735_Ч9д_ 700\ 30~-и 6 — 497 д_ 3 I 6

1 ООО “ ~г 1 ООО “Г 1 000 1 000~ "Г 10 "Г 100 1 000 

Значит, дробь эту можно изобразить таким образом:

32 736__„„ „

. том-32’736-

Это легко проверить, раздробив в числе 32,736 целые
единицы и все десятичные доли в доли самые мелкие (в ты-
сячные), что проще всего сделать так: так как целая еди-
ница содержит в себе 10 десятых, то 32 целых составляют
320 десятых; приложив к ним 7 десятых, получим 327 деся-
тых. Так как десятая доля содержит в себе 10 сотых, то
327 десятых составляют 3270 сотых; приложив к ним 3 со-
тых, подучим 3273 сотых. Так как 1 сотая = 10 тысячным,
то 3273 сотых = 32 730 тысячных; приложив к этому числу
еще 6 тысячных, получим данную дробь 32 736 тысячных

Пусть еще дана десятичная дробь > в которой нет це-
лого числа. Представим ее так:

100	10

578 _ 500~	70^	8

100 000 100 000 +100 000 + 100 000 ~

_ 5	7	8

“ 10004" 10 0004" 100000'

След., дробь эта изобразится таким образом:

1Жйо=0,00578'

Правило. Чтобы десятичную дробь написать без знаме-
нателя, достаточно написать ее числитель- и отделить в
нем занятою с правой стороны столько десятичных зна-
ков, сколько есть нулей в знаменателе (для чего иногда с
левой стороны числителя приходится написать несколько
нулей).

В последующем изложении мы всегда будем предпола-
гать (если не будет сделано особой оговорки), что десятич-
ная дробь изображена без знаменателя.

Замечание. Приписывание нулей справа или слева деся-
тичной дроби (написанной без знаменателя) не изменяет
ее величины. Напр., каждое из чисел:

7,05	7,0500	007,05

выражает одно и то же число: 7 целых, 5 сотых, так как
500 десятитысячных равно 5 сотым, а 007 выражает просто 7.

445.	Как читается десятичная дробь. Сначала прочиты-
вают  целое число (а когда его нет, то говорят: „нуль це-
лых"); затем читают число, написанное после запятой, как
бы оно было целое, и прибавляют название тех' долей, ко-
торыми десятичное изображение дроби оканчивается; напр.,
0,00378 читается: 0 целых 378 стотысячных. Значит, десятич-
ная дробь, написанная без знаменателя, прочитывается так,

ИЗ

8 Киселев. Арифметика.
как если бы она была изображена при помощи числителя
и знаменателя.

Впрочем, десятичную дробь, у которой очень много де-
сятичных знаков, предпочитают читать иначе: разбивают все
десятичные знаки, начиная от запятой, на грани, по 3 знака
в каждой грани (кроме последней, в которой может быть
один и два знака); затем читают каждую грань, как целое
число, добавляя к названию числа первой грани слово „ты-
сячных", второй грани — „миллионных”, третьей — „биллион-
ных” и т. д.; к названию числа последней грани добав-
ляют название долей, выражаемых последнею цифрой дроби.
Таким образом дробь: 0,028 306 000 07 читается так: 0 це-
ч лых, 28 тысячных, 306 миллионных, 0 биллионных, 7 сто-
биллионных.

144.	Сравнение десятичных дробей по величине. Пусть
желаем узнать, какое из следующих чисел больше:

0,735 и 0,7349987.

Для этого к числу, у которого десятичных знаков меньше,
припишем (хотя бы только мысленно) с правой стороны
столько нулей, чтобы число десятичных знаков в обоих чис-
лах оказалось одно и то же:

0,7350000 ;	0,7349987.

Теперь видим, что первое число содержит 7350000
десятимиллионных, а второе — 7 349 987 десятимиллионных
(значит, уравнением числа десятичных знаков мы привели
обе дроби к одному знаменателю); так как 7 350 000 больше
7349987, то первое число больше второго.

Подобным образом легко убедиться, что:

3,01 >2,998; 3,7 >3,6874; 3,64 <3,6985 и т. д.

Вообще, из двух десятичных дробей та больше, у ко-
торой число целых больше; при равенстве целых—у ко-
торой число десятых больше; при равенстве целых и деся-
тых—у которой число сотых больше, и т. д.	'

145.	Изменение величины десятичной дроби от пере- \
несения в ней запятой. Перенесем в числе 3,274 запятую
на один знак вправо; тогда получим новое число: 32,74.

В первом числе цифра 3 означает простые единицы, а во вто- 
рой — десятки; след., значение ее увеличилось в 10 раз.

114
Цифра 2 означает в первом числе десятые доли, а во вто-
ром— простые единицы; след., ее значение тоже увеличи-
лось в 10 раз. Также увидим, что значение и прочих цифр
увеличилось в 10 раз. Таким образом:

от перенесения запятой, вправо на один знак десятич-
ная дробь увеличивается в 10 раз.

Отсюда следует, что от перенесения запятой вправо на
2 знака десятичная дробь увеличивается в 100 раз, на
3 знака — в 1000 раз, и т. д.

Обратно: от перенесения запятой влево на один знак
десятичная дробь уменьшается в 10 раз, и, след., на 2 зна-
ка— в 100 раз, на 3 знака — в 1000 раз, и т. д.

446.	Увеличение или уменьшение десятичной дроби в
10 раз, в 100 раз, в 1000 раз и т. д. Пусть требуется уве-
личить число 0,02 в 10000 раз. Для этого достаточно пере-
нести в нем запятую на 4 знака вправо. Но в данном числе
имеется всего два десятичных знака. Чтобы было 4 знака,
припишем с правой стороны 2 нуля, отчего величина числа
не изменится. Перенеся потом запятую на конец числа, по-
лучим целое число 0200 или просто 200.

Пусть требуется уменьшить то же число в 100 раз. Для
этого достаточно перенести в нем запятую на 2 знака влево.
Но в данном числе влево от запятой имеется только один
знак. Чтобы было два знака, припишем е левой стороны
2 нуля (один для целого числа), отчего величина числа не
изменится. Перенеся потом запятую на два знака влево, по-
лучим 0,0002.

Всякое целое число можно рассматривать как десятич-
ную дробь, у которой вправо от запятой стоит сколько
угодно нулей; поэтому увеличение и уменьшение целого
числа в 10 раз, в 100 раз, в 1000 раз и т. д. совершаются
так же, как и десятичной дроби. Напр., если уменьшим це-
лое число 567,000... в 100 раз, то получим 5,67.

II.	ДЕЙСТВИЯ НАД ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ.

Сложение.

447.	Сложение десятичных дробей производится так
же, как и сложение целых чисел. Пусть, напр., требуется
сложить: 2,078 -|- 0,75 4- 13,5602. Подпишем эти числа
друг под другом так, чтобы целые стояли под це-
*
9

лыми, десятые под десятыми, сотые под сотыми и т. д.:

2,078
+ 0,75
13,5602
' 16,3882

Начинаем сложение с наименьших долей. От сложения
десятитысячных получим 2; пишем эту цифру под чертою.
От сложения тысячных получим 8; пишем 8 под чертою.
От сложения сотых получим 18; но 18 сотых=10 сотых+ 8
сотых; десять сотых составляют одну десятую; запомним
ее, чтобы приложить к десятым долям слагаемых, а 8 со-
тых напишем под чертой. Продолжаем та/ действие до
конца.

Вычитание.

148.	Вычитание десятичных дробей производится гак
же, как и вычитание целых чисел. Пусть, напр., требуется
вычесть:

5,709
“0,30785

5,40115

Подпишем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы еди-
ницы одного названия стояли друг под другом. Чтобы вы-
честь последние две цифры вычитаемого, возьмем из 9 ты-
сячных 1 тысячную и раздробим ее в десятитысячные;
получим 10 десятитысячных. Из них возьмем одну и раздро-
бим ее в стотысячные; тогда вместо 10 десятитысячных по-
лучим 9 десятитысячных и 10 стотысячных. Значит, цифру
5 вычитаемого надо вычесть из 10, цифру 8 — из 9, а цифру
7 —из 8.

Так же производится вычитание десятичной дроби из
целого числа; напр.:

3
“1,873
1,127

Берем от 3 единиц одну и раздробляем ее в десятые;
от них берем одну и раздробляем ее в сотые; от сотых бе-
рем 1 сотую и раздробляем ее в тысячные. От этого вместо
3 целых получим: 2 целых, 9 десятых, 9 сотых и 10 тысяч-
них. Значит, цифру 3 вычитаемого придется вычесть из 10,
цифры 7 и 8 — из 9. а цифру 1 — из 2.

Умножение.

149.	Рассмотрим два случая: первый — когда один из
сомножителей целое число, второй — когда оба сомножи-
теля дроби.

Примеры: 1) 3,085X23;

2) 8,375 X 2,56.

Если бы в этих примерах мы изобразили десятичные
дроби при помощи числителя и знаменателя и произвели
действие по правилу умножения обыкновенных дробей, то
получили бы:

. 3085

1000

3085 X 23	70955 _Л о__

..1000’ =Т0б0’==70’955;

8375	256_ 8375 X 256 __ 2144000_	44000_21 44

> 1000Х 100 1000 х 100“ 100000	’	21’44-

След., для обоих случаев мы можем вывести следующее
общее правило.

Правило. Чтобы, умножить десятичные дроби, доста-
точно отбросить в них запятые, перемножить полученные
целые числа и в произведении отделить запятою с правой
стороны столько десятичных знаков, сколько их есть во
множимом и во множителе вместе.

Действие всего лучше располагать так:

,,3,085
х 23

9255
6170

70,955

8,375
х 2,56

50250

41875

16750

21,44000

При этом запятые не отбрасываются, а на них только не
- обращают внимания при умножении целых чисел.

Деление.

450.	Деление на целое число. Пусть требуется разде-
лить 39,47 на 8. Расположим действие так, как оно распо-
лагается при делении целых чисел.
39,4718_

74 4,93
27

3

Делим 39 целых на 8; получаем в частном 4 целых и в
остатке 7 целых. Раздробляем остаток в десятые доли и
сносим 4 десятых делимого; получаем 74 десятых. Делим
74 десятых на 8; получаем в частном 9 десятых и в остатке
2 десятых. Раздробляем остаток в сотые доли и сносим
7 сотых делимого; получаем 27 сотых. Разделив их на 8,
получаем в частном 3 сотых и в остатке 3 сотых.

Положим, что мы на этом прекратили действие. Тогда
получим приближенное частное 4,93. Чтобы узнать, на-
сколько оно разнится от точного частного, найдем это точ-
ное частное и сравним его с приближенным. Чтобы получить
точное частное, достаточно к числу 4,93 приложить дробь,
которая получится от деления остатка (3 сотых) на 8. От
3

деления 3 единиц на 8 получим -у единицы; от деления
О

3

3 сотых на 8 получим сотой. Значит, точное частное
3	3

равно сумме 4,934--$- сотой. Отбросив сотой, мы сде-
лаем ошибку, которая меньше одной сотой. Поэтому гово-
рят, что 4,93 есть приближенное частное с точностью до
1	3

Если вместо того, чтобы отбрасывать -$- сотой, мы до-
5
полним эту дробь до целой сотой (увеличив ее на сотой),
то сделаем ошибку, тоже меньшую -^; тогда получим дру-
гое приближенное частное: 4,93 4-0,01, т. е. 4,94, тоже с
точностью до —Число 4,93 меньше, а 4,94 больше точ-
ного частного; поэтому говорят, что первое число есть при-
ближенное частное> с недостатком, а второе — с избытком.

Если станем продолжать действие дальше, обращая ос-
татки в десятичные доли, все более и более мелкие, то бу-
дем получать приближенные частные с ббльшею точностью.
Так, если обратим остаток 3 сотых в тысячные доли и раз-
делим 30 тысячных на 8, то получим приближенное частное
4,933 (с недостатком) или 4,934 (с избытком), причем ошибка
менее 0,001.
39,47 |8д____

74 4,93375

27

30

60

40
0

Продолжая деление далее, мы может иногда дойти до
остатка 0 (как в нашем примере); тогда получим точное
частное. В противном случае приходится довольствоваться
приближенным частным, причем ошибку можно сделать как
угодно малою. Если, напр., мы желаем найти приближенное
частное с точностью до одной миллионной, то прекращаем
деление тогда, когда в частном получилась цифра миллион-
ных долей.

Правило. Деление десятичной дроби на целое число
производится так же, как и деление целых чисел, причем
остатки обращают в десятичные доли, все более и более
мелкие, и действие продолжают до тех пор, пока или не
получится точное частное, или в приближенном частном
не получится цифра тех десятичных долей, которыми хо-

тят ограничиться.

Так же поступают при делении целого числа на целое,
если желают получить частное в виде десятичной дроби.

151. Степень точности приближенного частного. Из

двух приближенных частных, одного с недостатком, а дру-
гого с избытком, какое-нибудь одно всегда точно до 4? де-
сятичной доли последнего разряда, а именно таким частным
будет частное с недостатком, если остаток меньше де-

1

лителя, и частное с избытком, если остаток больше -у дели-

теля. Рассмотрим, напр., деление 39,47:8. Положим, мы бе-
рем приближенное частное 4,93, при котором остаток 3
меньше половины делителя (т. е. меньше 4). Тогда точное
3

частное будет 4,93 4- -$ сотой; значит, оно отличается: от
О

3	1

числа 4,93 на сотой (меньше сотой), а от числа 4,94

5	1

на сотой (более -у сотой) (в этом случае, значит, выгоднее

взять частное с недостатком).
39,47 |8

' 74' 4,933

27

30

6

Возьмем теперь в том же примере приближенное частное
4,933, при котором остаток 6 больше половины делителя.
0

Точное частное будет 4,933 +-5- тысячной; значит, оно от-
О

0	I

личается от числа 4,933 на тысячной (более -у тысячной),
2	1

а от числа 4,934 на тысячной (менее -у тысячной) (в этом
случае, значит, выгоднее взять частное с избытком).

452. Деление на десятичную дробь. Пусть требуется
разделить 3,753 на 0,85. Для этой цели перенесем в дели-
мом и в делителе запятую вправо на такое одинаковое число
-десятичных знаков (в нашем примере на 2), чтобы делитель
обратился в целое число. Так как при этом делимое и де-
литель увеличатся в одинаковое число раз (в нашем примере
в 100 раз), то частное от этого не изменится (§ 138). Таким
образом, деление на десятичную дробь мы сведем к деле-
нию на целое число:

375,3 : 85,

которое и выполним так, как указано было ранее.

Точно так же поступают при делении целого числа на
десятичную дробь; напр.:

7:0,325 = 7000: 325 = 21,538.

Правило. Чтобы разделить какое-нибудь число на деся-
тичную дробь, надо отбросить в- делителе запятую, и,
увеличив делимое во столько раз, во сколько увеличился
делитель, разделить по правилу деления на целое число.

Замечание. О приближенных вычислениях, а также о со-
кращенном умножении и делении десятичных дробей, см. в
книге: „А. Киселев.—Элементы алгебры и анализа, часть
1-я“, § 190 и след.
III. ОБРАЩЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ В ДЕСЯТИЧНЫЕ.

Так как действия над десятичными дробями производятся
проще, чем над дробями обыкновенными, то часто бывает
полезно обыкновенные дроби обратить в десятичные.* Ука-
жем два способа такого обращения.

155. Первый способ: посредством разложения знамена-
теля на простые множители. Пусть требуется обратить
. 7

дробь в десятичную. Для этого зададимся вопросом:

нельзя ли привести эту дробь к такому знаменателю, кото-
рый выражался бы единицею с нулями. Если бы это оказалось
возможным, то мы получили бы тогда десятичную дробь,
написанную при помощи числителя и знаменателя, а такую
дробь мы затем не затруднились бы написать и без знаме-
нателя. Чтобы привести несократимую дробь к другому зна-
менателю, надо оба ее члена умножить на одно и то же число.
Чтобы узнать, на какое число надо умножить 40 для полу-
чения 1 с нулями, примем во внимание, что всякое число,
выражаемое единицею с нулями, разлагается только на
множителей 2 и 5, причем оба эти, множителя входят в
разложение одинаковое число раз, именно столько раз,
сколько стоит нулей при 1. Напр.:

1000 = 10 - 10 - 10 = 2 - 5 • 2  5 - 2 • 5

10000= 10 • 10 • 10 • 10 = 2 • 5 • 2 • 5 • 2 • 5 • 2 • 5 и т. п.

Заметив это, разложим 40 на простые множители:

40 = 2-2-2-5.

Из этого разложения видим, что если умножить 40 два
раза на 5, то после умножения получится такое число, в
которое 2 и 5 будут входить множителями одинаковое число
раз (по 3 раза); значит, тогда получится 1 с нулями (с 3 ну-

* Впрочем, при совершении вычислений над дробями десятичными и
обыкновенными совместно не всегда необходимо приводить эти дроби к
з

одному виду; если, напр., требуется 0,567 умножить на у, то нет надоб«
3

ности обращать — в десятичную дробь; можно 0,567 умножить на 3 и ре-
зультат разделить на 7.
лями). Чтобы дробь не изменила своей величины, надо и
числителя ее умножить 2 раза на 5:

7 . 7.5-5 _ 175
40~ 40-5-5”’ 1000	’

Примеры:

П I -	7	-	7‘5-‘5-5	_ «75 _ _ Я7,.

4 8 ~ 2-2-2 ~2.2-2-5-5.5~ 1000'	’	’

2)	—	*___—___4 - 2 - 2  2	— 32 _$03$.

^ 125	5-5.5	5-5-5-2-2-2~ 1000	’	’

«П_	11	_	11’5	_ 55 _п«

' 20 ~ 2-2-5 ~ 2 - 2 • 5 • 5 — 100 ~ ’

154. Какие обыкновенные дроби обращаются в деся-
тичные и какие не обращаются. Из указанного способа
обращения обыкновенных дробей в десятичные можно вы-
вести следующие два следствия:

1)	Если знаменатель обыкновенной дроби не содержит
никаких иных множителей, кроме 2 и 5, то такая дробь
обращается в десятичную, причем эта десятичная дробь
имеет столько десятичных знаков, сколько раз в знаменит
теле обыкновенной дроби, после сокращения ее, повто-
ряется тот из__ множителей 2 и 5, который входит в него
большее число раз.

Пусть, напр., в знаменателе обыкновенной дроби, после
ее сокращения, больше повторяется множитель 2 и пусть
втот множитель входит 4 раза. Тогда придется добавлять
множитель 5 — и столько раз, чтобы после добавления оба
мнбжителя входили по 4 раза; значит, после умножения в
знаменателе получится 1 с 4-мя нулями, а потому и десятич-
ная дробь будет иметь 4 десятичных знака. Напо.:

7 -	7	7-5-5-5 _ 875 _ППЯ7[-

80 ~ 2 - 2 • 2 • 2 - 5	80-5 • 5 • 5 — 10000 “ ’

2)	Если знаменатель обыкновенной дроби содержит в
себе какие-либо множители, отличающиеся от 2 и 5, и
эти множители не сокращаются с числителем, то такая
дробь не обращается в десятичную.

35

Возьмем, напр., дробь в которой знаменатель содер-
жит множители 3 и 7 (именно 84 — 2 • 2 • 3 • 7). Один из

5
них, именно 7, сокращается; после сокращения получим

Так как 12 содержит множитель 3, то эта дробь не обра-
щается в десятичную, потому что на какие бы целые числа
мы ни умножали знаменатель ее, никогда не получим 1 с
нулями.

Такие дроби можно обращать лишь в приближенные
десятичные, как сейчас увидим.

153. Второй способ: посредством деления числителя
на знаменатель. Этот способ более употребителен, чем пер-
вый, так как он применим и к таким обыкновенным дробям, ко-
торые обращаются только в приближенные десятичные дроби.

23

Пусть требуется обратить дробь в десятичную. Чис-

23

ло -$- можно рассматривать как частное от деления 23 на 8
(§ 133, прав. 1-е). Но частное от деления целых чисел, как
мы видели, можно найти в виде десятичной дроби, точно
или приближенно. Для этого надо только обращать остатки
от деления в десятичные доли все более и более мелкие,
до тех пор пока не получится в остатке нуль, или пока не
получатся в частном доли того разряда, дальше которого нс
желают итти.

23 |8

70 2,875

60

40
0

В нашем примере получилось точное частное; след.,
94

^ = 2,875.

О

з

Пусть еще требуется обратить в десятичную дробь.

Так как эта дробь несократима и знаменатель ее содержит
простой множитель 7, отличный от 2 и 5, то ее нельзя об-
ратить в десятичную; однако, можно найти такую десятич-
ную дробь, которая приблизительно равняется уу и-притом
с какою угодно точностью. Если, напр., мы желаем найти
десятичную дробь, которая отличалась бы от менее, чем
на 0,001, то достаточно найти 3 десятичные знака от деле-
ния 3 на 14:

30 114

”20 0,214'

60

' 4

Приближенное частное 0,214 отличается от точного част-
3

ного, т. е. от уу, менее чем на половину тысячной. Если
продолжать деление дальше, то .степень приближения ста-
новится все больше и больше. Однако деление никогда не

может окончиться, потому что в противном случае мы полу-
чили бы десятичную дробь, которая в точности равнялась

л 3	Л

бы уу, что невозможно; таким образом, продолжая деление,

мы можем получить в частном сколько угодно десятичных
знаков.

156.	Конечные и бесконечные десятйчные дробй. 'Деся-
тичная дробь, у которой число десятичных знаков может
быть как угодно велико, наз. бесконечною, а та, у которой
число десятичных знаков должно быть ограниченное, наз.
конечною дробью.

Можно сказать, что обыкновенная дробь, которая не мо-
жет обратиться в конечную десятичную, обращается в бес-
конечную десятичную.

157.	Периодические дроби. Бесконечная десятичная
дробь, у которой одна или несколько цифр неизменно по-
вторяются в одной и той же последовательности, называется
периодическою десятичною дробью, а совокупность повторяю-
щихся цифр называется периодом этой дроби.

Периодические дроби бывают чистые и смешанные. Чи-
стою периодическою дробью называется такая, у которой
период начинается тотчас после запятойунапр.: 2, 36 36 36...;
смешанною — такая, у которой между запятой и первым
периодом есть одна или несколько цифр не повторяющихся,
напр.: 0,5 23 23 23... Периодические дроби пишут сокра-
’щенно так:

вместо 2, 36 36......пишут: 2, (36)

„	0,5 23 23..... „	0,5(23)

158.	Бесконечная десятичная дробь, получающаяся при
обращении обыкновенной дроби, должна быть периоди-
ческою. Убедимся в этом свойстве на каком-нибудь примере.

19

Пусть желаем обратить дробь у в десятичную. Так как зна-
менатель 7 не составлен из множителей 2 и 5 и данная
дробь несократима, то она не может обратиться в конечную
десятичную. След., она обращается в бесконечную десятичную.
Чтобы получить несколько ее первых десятичных знаков,
станем делить 19 на 7. Так как деление не может окончиться,

19 | 7

50 2,71428571

10

30

20

60

40_

50

10

3

то всевозможных остатков должно быть бесконечно много.
Но остатки всегда меньше делителя; поэтому различных
остатков не может быть больше 6 следующих: 1, 2, 3, 4,
5, 6. Из этого следует, что при достаточном продолжении
деления остатки непременно начнут повторяться. Действи-
тельно, 7-й остаток оказался такой же, как и первый. Но
если повторился остаток, то, приписав к нему 0, мы получим
такое же делимое, какое было раньше (50); значит, в част-
ном начнут получаться те же цифры, какие были раньше,
т. е. в частном получится периодическая дробь. В нашем
примере повторение началось с первой цифры после запятой,
и потому получилась чистая периодическая дробь. В других
примерах может случиться, что повторение начнется не с
1-й цифры, а, напр., с 3-й или с какой-нибудь иной; тогда
получится смешанная периодическая дробь.

IV. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ.

Изложим наиболее- важные свойства периодических десятичных
дробей. Свойства эти мы выразим следующими георемами.

439. Теорема 1. Обыкновенная дробь, обращающаяся в бес-
что '

число 0,2 разнится от

л 0,21

л 0,214	„

конечную десятичную, есть предал, к которому стремится вели-
чина этой десятичной, когда число ее знаков неограниченно воз-
растает.

Пусть, напр., мы нашли (делением числителя на знаменатель),
3

что от. обращения дроби — получилась такая бесконечная деся-

тичная дробь: 0,214285.... Тогда мы можем утверждать (§ 150),

3	1

— менее, чем на — ;

14	10

3	1

14	*	* ” ТОО’

3	1

14	"	” ” 1000 И Т’ Д‘

Значит, разность^-—0,214285... при неограниченном увели-
чении числа десятичных знаков в бесконечной дроби делается и
остается меньшей какого угодно малого числа; а это, согласно
определению предела,* означает, что

3

/	14 = пред. 0,214285...

Вывод этот не зависит от особенностей взятого численного'
примера; его можно применить ко всякой обыкновенной дроби,
обращающейся в бесконечную десятичную.

- 460. Теорема 2. Если две обыкновенные дроби равны между
собою, то они обращаются в одну и ту же десятичную дробь
(конечную или бесконечную).

„	а а,

Пусть дроби — и — равны. Предположим, что, обращая их в

десятичные дроби (деля числитель на знаменатель), мы остановились
на тысячных долях. Тогда мы узнаем наибольшее число тысячных,

заключающееся в каждой из дробей -у и (так как, увеличив
частное хотя бы на 1 тысячную, мы получили бы больше, чем

следует при правильном делении).

тт	-- а ах

Но по условию дроби и у

равны; след., наибольшее число тысячных долей, заключающееся
в каждой из них, должно быть одно и то же. Таким образом,

* Напомним определение предела: пределом переменного числа наз.
такое постоянное число, к которому переменное число при своем изменении
приближается так, что разность между этим .постоянным и переменным
(или разность между переменным числом и постоянным) делается и остается
меньшей любого данного числа, как бы мало оно ни было.
первые три десятичные знака обеих десятичных дробей, получаю-

щихся от обращения дробей и должны быть одинаковы.

Ъ

Таким же рассуждением убедимся, что любое число десятичных зна-
ков должно быть одинаково; другими словами, обе дроби должны
представлять собою одну и ту же дробь.

161.	Теорема 3 (обратная предыдущей). Если две обыкновен-
ные дроби обращаются в одну и ту же десятичную дробь (ко-
нечную или бесконечную), то они равны.

Пусть дроби у и обращаются в одну и ту же десятичную

дробь IV. Если эта дробь конечная, то мы будем иметь точные

равенства:

кг	кт	& а*

-г = М	и	77 = Л^;	след.-7- = ^.

Ь	ь

Если же дробь /V бесконечная, то каждая из дробей у и

служит пределом того переменного числа, которое получится,
если в десятичной дроби ТУ будем брать все ббльшее и большее
число десятичных знаков. Но переменное число, изменяющееся по
определенному закону, может иметь только один предел; след.,

а___а{

Ь

162.	Теорема 4. При неограниченном увеличении числа пери-
одов периодическая десятичная дробь стремится к пределу, рав-
ному обыкновенной дроби, у которой числитель есть разность
между числом, стоящим до второго периода, и числом, стоящим
до первого периода (запятая предполагается отброшенною), а зна-
менатель— цифра 9, написанная столько раз сряду, сколько цифр
в периоде, со столькими нулями на конце, сколько есть цифр
между запятою и первым периодом (в случае смешанной периоди-
ческой дроби).

Возьмем сначала чистую периодическую дробь, напр., 7,2323...
Обозначим буквою Хп величину этой дроби в том случае, когда
в ней возьмем только п первых периодов, отбросив все остальные,
т. е. положим, что:

п

I---------1

7,2323.. .23 = 7

23 ! 23	23

100 ' 1002~*	100'2

Умножим обе части этого равенства на 100:

п — 1

I--------1	94	94	94

723,23 23... 23	723 +	+	+ • • • +	100Х„.
Вычтя из этого равенства предыдущее, найдем:

93

-	723 — 7— —^=99^,

откуда:

723 — 7	23	_

99	100" -99 —

ИЛИ	/ '

723 — 7	_	23

99	Лп~100п-99'

Из последнего равенства видно, что по мере увеличения числа
периодов п разность между постоянным числом (723 — 7): 99 и
переменным числом Хп делается и остается меньшей любого дан-
ного числа (как бы мало это число ни было); а это значит, что

„	723 — 7	23

-рея. =	7^

Из способа получения этого предела видно, что 723 есть число,
стоящее до 2-го периода, а 7 число, стоящее до первого периода;
значит, числитель удовлетворяет тому, что говорится в теореме.
Знаменатель также удовлетворяет теореме, так как цифра 9 повто-
ряется столько раз, сколько цифр в периоде; нулей же на конце
нет, как нет цифр между запятой и первым периодом (дробь взята
чистая периодическая).

Заметим, что целое число периодической дроби мы могли бы
от нее отделить, т. е. писать так:

23	23

пред. 7,(23) = 7 +пред. 0,(23) = 7	= 7^.

У У	У У

Теперь возьмем смешанную периодическую дробь, напр., 8,52(375)
и положим снова;

п

I-----------1	, 52 .	375

8,52 375 375... 375 = 8+ ^ + ^«5

375
100-10002

375	— У

ЮО-ЮОО"

Умножив обе части этого равенства на 100, а затем в другой
раз на 10'0.1000, получим:

852

, 375

г 1000

375
1000"

= 100Х„.

852375 4

375

1000 "Г

375
1000"-1

100000 Хп,
Вычтя из последнего равенства предыдущее, найдем:

852375 - 852 -	= 99900 Хп>

откуда:

852375 — 852	375	_

99900	“ 1000" • 99900 ~Х'1

или

852375 — 852	_	375

99900	1000й • 99900'

Из последнего равенства видно, что при неограниченном воз-
растании п

852375 — 852	52323

пред. Хп —	9д900	— 8-99900

Целое число периодической дроби мы могли бы и здесь отде-
лить от нее, т. е. писать так:

пред. Хп = 8 + пред.

0 52(375) = 8

52375-52

99900	*

Примеры.

1) Пред. 2,(05) =	205 — 2 _  99	203  99 '	
2) Пред. 0,(063) =	63 	 7  999	111	•	
3) Пред. 0,26(4) =	264 — 26	_238	—119
	900	900	450'
4) Пред. 5,7(8) =	578 — 57	521	71
	90	“	" 90 '	- 5 90*

Замечания: 1) Если существует обыкновенная дробь, обращаю-
щаяся в данную периодическую, то эта обыкновенная дробь, как
мы видели, служит пределом, к которому стремится величина пери-
одической при возрастании числа ее периодов; с другой стороны,
переменное число, изменяющееся по определенному закону, может
иметь только один предел. Из этого следует, что тот предел,
о котором говорится в последней теореме, и есть обыкновенная
дробь, способная обратиться в данную периодическую (из этого
надо только исключить, как увидим ниже, случай, когда период
состоит из цифры 9).

2) Предел периодической дроби находится также при помощи
выводимой в алгебре формулы для суммы членов бесконечной гео-
метрической убывающей прогрессии.

165. Следствия. 1) Знаменатель обыкновенной дроби, спо-
собной обратиться в чистую периодическую, не содержит мно-
жителей 2 и 5, так как до сокращения он оканчивается цифрою
9 и потому не делится ни на 2, ни на 5; след., он не делится на
эти числа и после сокращения дроби (если такое возможно).

2)	Знаменатель обыкновенной дроби, способной обратиться
в сметанную периодическую, содержит множитель 2, или 5, или
тот и другой вместе.

Действительно, этот знаменатель до сокращения оканчивается
нулем и потому делится и на 2, и на 5. Оба эти множителя
могли бы сократиться с числителем только тогда, если бы числитель
оканчивался нулем. Но числитель получается от вычитания числа,
стоящего до первого периода, из числа, стоящего до второго пе-
риода; так как последняя цифра периода не может оказаться оди-
наковою с последнею цифрою до периода (если период взят верно),
-то числитель не может оканчиваться нулем. Поэтому и после сокра-
щения (если такое возможно) в знаменателе останется либо мно-
житель 2, либо 5, либо и тот, и другой вместе.

3)	Обыкновенная дробь, знаменатель которой не содержит
множителей 2 и 5, обращается в чистую периодическую.

3 *	2	5

Напр.: -— = 0,(428571); - = 0,(6); ^ = 0,(45).

Действительно: х) такая дробь должна обратиться в какую-
нибудь периодическую (§158); 2) эта периодическая дробь не
может быть смешанною, потому что смешанная периодическая дробь,
как мы видели, обращается в такую обыкновенную дробь, знаме-
натель которой содержит множители 2 и 5. След., она должна
обратиться в чистую периодическую.

4)	Обыкновенная дробь, знаменатель которой, после сокра-
щения, вместе с другими множителями, содержит множитель
2 или 5, обращается в смешанную периодическую.

Напр.: Ц = А = 0,8(3); • А = 0,5(3);	= 0,26(4) и т. п.

Действительно: 1) такая дробь должна обратиться в какую-ни-
будь периодическую; 2) эта периодическая дробь не может быть
чистою, потому что чистая периодическая дробь, как мы видели,
происходит от такой обыкновенной, знаменатель которой не содер-
жит множителей 2 и 5. След., она должна обратиться в смешан-
ную периодическую.

465а. Число цифр в периоде. Установлены следующие 4
теоремы о числе цифр в периоде (мы опускаем их доказательство):

I.	Число цифр в периоде чистой периодической дроби не за-
висит от числителя обыкновенной дроби, а только от ее знамена-
теля.

II.	Если знаменатель несократимой обыкновенной дроби есть
число простое (кроме 2 и 5), то число цифр в периоде равно либо
знаменателю, уменьшенному на 1, либо одному из делителей этого
числа.

Примеры:

1)	у = 0,(428571); число цифр равно 7 — 1.
$

2)	— = 0,(19512); число цифр .равно делителю числа 41 — 1.

Помещаем здесь ряд простых знаменателей, не превосходящих
200, при которых число цифр в периоде равно знаменателю,
уменьшенному на 1:*

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179,
181, 193.

III.	Если знаменатель несократимой обыкновенной дроби число
составное, не содержащее множителей 2 и 5, то число цифр в
периоде равно числу всех чисел, меньших знаменателя и взаимно
простых с ним, или же одному из делителей этого числа.

Примеры:

1)	= 0, (020408163265306122448979591836734693877551);

число цифр равно 42; число чисел взаимно простых с 49 и мень-
ших 49 есть тоже 42.

4

2)	— = 0,(148); число цифр равно 3; это число есть делитель
& /

числа 18, которое означает число чисел взаимно простых с 27 и
меньших 27.

IV.	Прибавление к знаменателю обыкновенной дроби множителей
2 или 5 (или того и другого)* не изменяет числа цифр в периоде.

164. Периодические десятичные дроби с периодом 9. Такие
дроби выделяются следующими двумя свойствами.

1) Предел периодической дроби с периодом 9 есть конечная
десятичная дробь (в частности целое число).

Пусть допериодическая часть, по отбрасывании в дроби запятой,
есть целое число А и между запятой и первым периодом пусть
будет п цифр, (если периодическая дробь чистая, то п — 0). Тогда
число, стоящее до второго периода, будет, очевидно, А- 10 —9 и,
след., предел такой дроби выразится:,

(Д • Ю+9)-Д

9 • ИР

Числитель этой дроби можно преобразовать так:

Д. 10 4-9 — Д = Д . 10 — Д + 9 = 9Д + 9 = 9(Д + 1)

* Взято из таблицы первообразных корней, приложенной к книге П. Л
Чебышева „Теория сравнений".
и, значит, предел окажется

9(Д + 1)_Л + 1
9 • 10"	10" 9

т. е. предел равен конечной десятичной дроби, у которой числитель
есть допериодическая часть, увеличенная на 1 (для чистой периоди-
ческой дроби это будет целое число дроби, увеличенное на 1).

Примеры: 1) Пред. 2,999. . .=3; 2) пред. 0,3499. . .=0,35.

2) Периодическая дробь с периодом 9 не может получиться
от обращения никакой -обыкновенной дроби.

Действительно, если бы такая обыкновенная дробь существовала,
то периодическая дробь с периодом 9 имела бы 2 различных пре-
дела: один эта обыкновенная дробь, другой —та конечная деся-
тичная, которая получается согласно теореме о пределе. Пределы
эти не могут быть равны, так как обыкновенная дробь, обращаю-
щаяся в бесконечную десятичную, содержит в знаменателе какой-
нибудь простой множитель, отличный от 2 и 5 и, след., она не
может равняться конечной десятичной дроби (согласно теореме
о равенстве двух дробей, § 114). Но периодическая дробь, как
всякое переменное число, изменяющееся по определенному закону,
не может иметь двух разных пределов; след;, нельзя допустить,
чтобы существовала такая обыкновенная дробь, которая обращается
в периодическую с периодом 9.
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ.

ИМЕНОВАННЫЕ ЧИСЛА.

I. ИЗМЕРЕНИЕ ВЕЛИЧИН.

465. Понятие о величине. Все то, что может быть равно,
больше или меньше, наз. я^штано/о.Так вес, предметов есть ве-
личина, потому что вес одного предмета может быть равен весу
другого предмета и может быть больше или меньше веса
другого предмета.

Вот величины, наиболее знакомые каждому из нас:

длина (называемая иногда шириною, иногда высотою,
толщиною...), поверхность, объем, вес, время, цена и многие
другие величины.

Величиною в математике принято называть все то, относительно
чего можно установить точные определения равенства, неравенства
и суммы. Эти определения позволяют представить себе всякую ве-
личину измеренною и выраженною числами и тогда всевозможные
соотношения между величинами становятся соотношениями между
измеряющими их числами и, след., тогда величины могут войти в
область математики, ведающей числами. Таковы, напр., геометриче-
ские величины: отрезки прямой, углы, площади, объемы; или физи-
ческие величины: вес, сила, скорость и пр.

166. „Значение" величины. Если мы представляем себе
какую-нибудь величину, взятую в некотором определенном
размере, то такому состоянию величины мы даем назва-
ние „значения? величины. Напр., вес этой книги есть
одно из бесчисленного множества „значений" веса, про-
должительность урока есть одно из „значений" времени
и т. п.

Если возьмем два значения одной и той же величины (одно
обозначим а, другое Ь), то между ними возможно допустить толь-
ко одно из следующих трех соотношений:

а — Ь,	и а
Соотношения эти подчиняются

следующим аксиомам величин:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Если а — Ъ, то и

Если а Ь, то

Если а — Ъ и

Если а	> Ь " и

Если а	— Ь	и

Если а Ь	и

Если а^>Ь	и

Ь — а.

Ь

Ь = с, то а — с.

Ь^с, то а^>с.

с = с1, то а~у-с = Ь-\- й и а — с = Ь — й.

с^д, то а с^> Ь Ц-

то а — с^>Ь — й.

К этим аксиомам надо добавить еще следующую:

8) Как бы велико ни было значение а и как бы мало ни было
значение Ь (той же величины), всегда возможно найти столь боль-
шое целое число т, что значение Ь, повторенное слагаемым т раз
(т. е. произведение Ьт), сделается большим значения а.

Последняя аксиома известна под названием аксиомы измерения
Архимеда. Она, как сейчас увидим, имеет применение при измере-
нии значений величин.

167.	Измерение значения величины. Положим, что мы
хотим составить себе ясное представление о длине какой-
нибудь комнаты; тогда мы измеряем ее при помощи другой
длины, которая нам хорошо известна, напр., при помощи
метра. Для этого откладываем метр по длине нашей ком-
наты столько раз, сколько можно. Если он уложится по
длине комнаты ровно 10 раз, то длина ее равна 10 метрам^
Подобно этому, чтобы измерить вес какого-либо предмета,
мы берем другой вес, который нам хорошо известен, напр.,
грамм, и узнаем (помощью весов), сколько раз грамм содер-
жится в измеряемом весе. Пусть он содержится ровно 5 раз;
т'огда вес предмета равен 5 граммам.

Известное нам значение величины, употребляемой для из-
мерения других значений той же величины, наз. единицею
этой величины. Так, метр есть единица длины, грамм—еди-
ница веса, и т. п.

Для каждой величины обыкновенно выбирают несколько
единиц, одни более крупные, другие более мелкие. Так, для
измерения веса кроме грамма употребляют еще: килограмм,
гектограмм и т. п.

Вообще, измерить какое-либо значение величины значит
выразить его числом или несколькими числами при помощи
единиц этой величины.

Общий характер измерения состоит в том, что, приняв некото-
рое значение величины за единицу, мы узнаем затем наибольшее
число раз содержания этой единицы в измеряемом значении. Как'
мы это можем узнать, об этот говорится в той науке, которая
ведает величину, подлежащую измерению (в геометрии, физике,
механике ипр.); здесь же мы только можем сказать, что, согласно
аксиоме Архимеда, как бы велико ни было измеряемое значение а
и как бы мала ни была взятая единица Ь, всегда существует столь
большое целое число т, что значение а окажется заключенным
между Ьт и Ь(т-\-\). Тогда число т и будет наибольшее число
раз содержания единицы Ъ в значении а. Если Ьт не7 в точности
равно я, т. е. если при измерении получился некоторый остаток,
то узнаем наибольшее число раз содержания в этом остатке другой,
более мелкой, единицы, напр., какой-нибудь доли первой единицы.
Если при этом получится остаток, находим наибольшее число раз со-
держания в этом новом остатке еще более мелкой единицы и т. д.

168.	Меры. В каждом государстве/ правительство уста-
новило определенные единицы для главнейших величин. Сде-
ланы образцовые единицы: образцовый метр, образцовый
килограмм и т. п., по которым приготовляют единицы для
обиходного употребления. Единицы, вошедшие в употребле-
ние, называются мерами.

Меры наз. однородными, если они служат для изме-
рения одной и той же величины. Так, грамм и килограмм
меры однородные, так как они служат для измерения веса.

Отношением двух однородных мер называется число, по-
казывающее, сколько раз меньшая мера содержится в боль-
шей. Так, отношение метра к сантиметру есть число 100.

II. ГЛАВНЕЙШИЕ МЕРЫ.

169.	Меры длины (называемые иначе линейными мерами,
потому что они служат для измерения длины линий) еще
недавно были у нас следующие:

миля = 7 верстам,
верста =500 саженям, »

сажень = 3 аршинам,
аршин = 16 вершкам,

сажень = 7 футам,
фут =12 дюймам,
дюйм =10 линиям.

В настоящее время у нас введена метрическая система
мер, принятая во многих странах.

За единицу длины в этой системе принята одна десяти-
миллионная часть четверти земного меридиана; эта единица
называется „метр“ *.

* Вследствие некоторых погрешностей при измерении дуги меридиана
употребляемый в практике метр не вполне равен десятимиллионной доле чет-
верти меридиана (парижского, как предполагалось).
Метр разделяется на 10 равных частей, 4 часть метра —
еще на 10 равных частей, метра, в свою очередь, на 10
равных частей, и т. д. С другой стороны, употребляются
меры в 10 метров, в 100 метров и т. д. Чтобы назвать
десятичные подразделения метра, присоединяют к слову
„метр" латинские слова: деци(ддя обозначения 4)> центи(^),
малли (й-^); так, дециметр означает части метра, центи-
метр — часть метра, миллиметр—части метра.

Впрочем,слово „центиметр" чаще заменяется французским
словом „сантиметр".

1 дециметр, разделенный на сантиметры и миллиметры
(в натуральную величину):

Черт. 2.

Меры, кратные метра, называются при помощи греческих
слов: дека (10), гекто (100), кило (1000): так, декаметр
означает 10 метров, гектометр — 100 метров, километр —
1000 метров.

Полезно заметить следующие приблизительные соотноше-
ния метрических мер с прежними нашими:

1 метр = 22 4 вершкам =1,4 аршина — 3 4 футам;

1 дюйм —2^ сантиметрам; 1 вершок = 4-^ сантиметрам;

1 фут — 30| сантиметрам-, 1 километр почтиверсты. *

Название метрических мер, принято сокращенно обозна-
чать так:

Русские	Латинские

обознач.	обознач.

метр		м	или	/и
дециметр . . .	дм	я	с1т
сантиметр . . .	см	я	ст
миллиметр . .	йм	Г,	тт
километр . . .	км	»	кт

* Точнее: 1 метр = 22,497 вершка = 1,406 арш. = 3,28 фута; 1 аршин =
= 0,711 метра.
Для измерения поверхностей употребляются квадратные
меры: кв. метр, кв. декаметр и т. п. Каждая из таких мер
содержит в себе 100 мер следующего низшего разряда; так,
кв. дециметр содержит 100 кв. сантиметров.

Для измерения площади полей употребляется ар и гек-
тар. Ар есть квадратный декаметр-, гектар равен, 100 арам.
Гектар приблизительно равен 0,9 нашей прежней меры-—
десятины * (содержащей 2400 квадр. сажен).

Для измерения объемов служат кубические меры: куб.
метр, куб. дециметр и т. д. Каждая из этих мер содержит в
себе 1000 мер следующего низшего 'разряда; так, кубический
метр содержит 1000 куб. дециметров. Объем, равный куб.
метру называется „стер*, если он служит для измерения коли-
чества дров, угля и т. п.

Для измерения вместимости сосудов (и объемов жидких
и сыпучих тел) употребляется литр. Литр есть объем,
равный одному кубическому дециметру. На наши меры он
приблизительно равен 0,08 ведра. Употребительны также
децилитр и центилитр, декалитр и гектолитр.

Для измерения веса у нас прежде употреблялись:

Пуд	= 40 фунтам.

Фунт	=32 лотам = 96 золотникам.

Лот	= 3 золотникам.

Золотник = 96 долям.

В настоящее время единицею веса служит грамм. Это
есть вес одного кубического сантиметра чистой перегнанной
воды при температуре 4° Цельсия (или 3,2° Реомюра) в без-
воздушном пространстве. Грамм подразделяется на дециграм-
мы, сантиграммы и миллиграммы; веса, кратные грамма, суть:
декаграмм, гектограмм и килограмм (часто наз. сокращенно
,,кило“).	।

На наши прежние меры эти единицы приблизительно со-
ставляют:

1 грамм — 22^ доли = около ---золотнш
2	4

1 килограмм = 2 у фунтам (точнее: 2,44 фунта);

1 пуд— 16,38 килограмма; 1 фунт = 409у граммам.

* Гектар = 0,915 десятины; десятина = 1,09 гектара.
Употребительна еще мера „тонна*, равная 1000 кило-
граммов (приблизительно 61 пуд) и „центнер*, равный
100 килограммам.

Как меры цены, употребляются или металлические монеты,
или кредитные билеты.

Металлические монеты употребительны в настоящее
время серебряные и медные.

Серебряная монета в 1 рубль, в 50 коп. и в 25 коп. че-
канятся из сплава, содержащего на 9 весовых частей серебра
1 весовую часть меди, а серебряные монеты в 20 коп.,
15 коп., 10 коп. чеканятся из сплава, содержащего на'5 ве-
совых частей серебра 5 частей меди.

Медная монета чеканится: в 5 коп., 3 коп., 2 коп., 1 коп.
и полкопейки.

Кредитные билеты употребляются: в 10 руб. (червонец),
в 20 руб. (два червонца), в 30 руб. (три червонца) в 50 руб.
(пять червонцев), в 100 руб. (10 червонцев), в 5 руб., в 3 руб.
и в К руб.	)

Есть две основные меры, времени: сутки и год. Сутки
представляют (приблизительно) то время, в течение кото-
рого земля совершает полный оборот около своей оси; они
разделяются на 24 часа, считаемые от 1 до 12 и затем
опять от 1 до 12. За начало суток принимают полночь, т. е.
12 часов ночи. В настоящее время в практике железных
дорог, почт и телеграфов принято считать часы от 0 до
24 (чтобы избежать излишнего добавленвя слов: „после
полудня", „после полуночи"). Так, вместо „2 часов дня"
говорят „14 часов", вместо „7 часов вечера" говорят „19
часов".

Неделя — 7 суткам^
Сутки =24 часам.
Час = 60 минутам.
Минута = 60 секундам.

Год представляет собою (приблизительно) то время, в
течение которого земля совершает полный оборот кругом
солнца. Принято считать каждые 3 года в 365 дней, а чет-
вертый— в 366 дней. Год, содержащий в себе 366 дней, назы-
вается високосным, а годы, содержащие по 365 дней,—про-
стыми. К четвертому году добавляют один лишний день
по следующей причине. Время обращения земли вокруг солнца
содержит в себе не ровно 365 суток, а 365 суток и 6 часов
(приблизительно). Таким образом простой год короче истин-
138
ного года на 6 часов, а 4 простых года короче 4-х истин-
ных годов на 24 часа, т. е. на одни сутки. Поэтому к каж-
дому четвертому году добавляют одни сутки (29 февраля).
Случилось так, что год, от которого мы ведем наше
летосчисление, был високосный; поэтому следующие за-
тем високосные годы были 4-й, 8-й, 16, 20-й... вообще такие
годы, которых числа делятся на 4 без остатка.

Год разделяется на 12 неравных частей, называемых ме-
сяцами. Вот название месяцев по порядку, январь (31 день),
февраль (28 или 29), март (311, апрель (30), май (31), июнь
(30), июль (31), август (31), сентябрь (30), октябрь (31),
ноябрь (30) и, декабрь (31).

Летосчисление, по которому три года считаются в 365 дней
а четвертый в 366, было установлено римским диктатором
Юлием Цезарем (в 46 году до нашей эры) и потому наз.
юлианским, или старым стилем. Оно было еще недавно
принято у нас, в России, но в 1918 г. заменено международ-
ным новым стилем, или григорианским счислением (назван-
ным так по имени римского папы Григория XIII, введшего
это счисление в 1582 году). По этому счислению счет вре-
мени идет на 13 дней впереди старого стиля; так, когда по
старому стилю, положим, 10-е декабря, то по новому стилю
считают 23-е декабря. Таким образом, чтобы от нового
стиля перейти к старому, надо от числа нового стиля отсчи-
тать 13 дней. Напр., если у нас было 5-е марта 1928 г. то
по старому стилю это означало 21-е февраля, так как, отсчи-
тав 5 мартовских дней, мы остальные 8 дней должны отсчи-
тать от февраля, а этот месяц в 1928 г. имел 29 дней.

170. Понятие о григорианском летосчислении. Время, про-
текающее от одного весеннего равноденствия до следующего весен-
него равноденствия, называется солнечным или тропическим годом-,
время, считаемое за год по гражданскому летосчислению, называется
гражданским годом.

Так как перемены времен года зависят от положения земли
относительно солнца, то солнечный год представляет такой проме-
жуток времени, в течении которого вполне завершаются пере-
мены времен года. Поэтому желательно, чтобы год гражданский
по возможности совпадал с годом солнечным; только при этом
условии времена года будут приходиться в одни и те же месяцы.
Летосчисление, введенное Юлием Цезарем, достигает этого не вполне.
По этому счислению гражданский год считается в 365 дней и
6 часов, тогда как солнечный год содержит (приблизительно) 365
дней 5 часов 48 мин. 48 сек., так что год юлианского счисления
длиннее солнечного (приблизительно) на 11 минут 12 сек., что в
400 лет составляет почти 3 дня. Юлианское летосчисление испра-
влено было впервые папою Григорием XIII в 1582 году. К этому
году разница между гражданским счислением времени и солнечным
составляла 10 суток, так что считали, напр., 1-е сентября, когда
следовало бы по солнечному времени считать 11-е сентября. Чтобы
уравнять гражданское время с солнечным, Григорий XIII повелел
вместо 5 октября в 1582 г. считать 15-е октября. Но так как по-
добное запаздывание должно было повториться и впоследствии, то
Григорий XIII установил, чтобы на будущее время каждые 400 лет
гражданского счисления были сокращены на 3-е суток. Это сокра-
щение должно было производиться таким образом. По юлианскому
счислению те годы, которых числа представляют полные сотни, счи-
таются високосными; напр., годы 1600-й, 1700-й и т. п. должны
считаться по юлианскому счислению в 366 дней. Но Григорий XIII
повелел, чтобы такие годы считались простыми, кроме тех, у кото-
рых число сотен делится на 4. Вследствие этого, по исчислению
папы Григория, год 1600-й должен был считаться високосным
(16 делится на 4), а 1700 -й, 1800-й, 1900-й—простыми, тогда как
по юлианскому счислению все эти 4 года считались високосными.
Таким образом, каждые 400 лет сокращаются на 3 суток. Счисле-
ние, установленное Григорием XIII, известно под именем григориан-
ского. Оно в настоящее время принято почти по всей Европе.
Григорианское счисление называется иначе новым стилем, а юлиан-
ское старым стилем. Так как в 1582 г. новый стиль подвинулся
вперед от старого стиля на 10 дней, а после того еще на 3 дня
(в 1700, 1800 и 1900 годах), то в настоящее время старый стиль,
отстает от нового на 13 дней.

III. ДЕЙСТВИЯ НАД ИМЕНОВАННЫМИ ЧИСЛАМИ.

174. Именованное число. То, что получается после изме-
рения величины (результат измерения), называют числом.
Число наз. именованным, если при нем оставлено название
единицы измерения, напр. 7 метров. Число наз. отвлеченным,
если при нем не поставлено названия единицы, которою
производилось измерение; таково, напр., число 7.*

Именованное число наз. простым, если оно составлено
из единиц только одного названия, напр., 13 граммов.

Именованное число называется составным, если оно со-
стоит из единиц разных названий, напр.:

13 килограммов 5 граммов.

* Не должно смешивать двух различных названий: именованное число и
предметное (конкретное) число. Первое есть результат измерения с указанием,
какою единицею производилось измерение; напр. 7,5 граммов; второе есть ре-
зультат счета с указанием, какие предметы (объекты) считались; напр., 7 столов.
Определение числа, как результата измерения, дает числу более
широкое значение, чем то определение, которое было дано в на-
чале арифметики (§ 1), где число определялось как собрание еди-
ниц. Новое определение включает в себя и числа целые, и числа
дробные, и даже числа иррациональные.

472. Действия над именованными числами. Вследствие
того, что единичное отношение мер метрической системы
равно основанию нашей системы счисления, все действия
над именованными числами, выраженными по этой системе,
выполняются весьма просто.

Пусть, напр., требуется составное именованное число
5 гектометров 7 декаметров 3 метра 8 дециметров 4 санти-
метра и 6 миллиметров выразить в метрах. Так как кило-
метры это—тысячи метров, гектометры — сотни метров и т. д.,
то, очевидно, данное составное именованное число выра-
зится в метрах так: 2573,846 метра. Перенося в этой деся-
тичной дроби запятую вправо или влево, найдем, что
2573,846 метра=257,3846 декаметра=25,73846 гектометра=
= 2,573846 километра = 25738,46 дециметра = 257384,6 санти-
метра= 2573846 миллиметра.

Пусть еще требуется простое именованное число 2380746
миллиграммов превратить в составное (т. е. выразить в ме-
рах высших разрядов). Так как грамм = 1000 миллиграммов,
то 2380746 миллиграммов = 2380,746 грамма = 2 килограммам
3 гектограммам 8 декаграммам 7 дециграммам 4 сантиграм-
мам 6 миллиграммам.

Действия над метрическими именованными числами со-
вершаются так, как над десятичными дробями.

175. Удобства метрической системы. Из сказанного о
метрической системе можно заключить, что она обладает
следующими тремя важными удобствами: 1) меры различных
величин находятся в простой зависимости от основной меры,
метра-, 2) единичное отношение мер одно и то же для всех
разрядов и всех величин (кроме, конечно, поверхности и
объемов); 3) это единичное отношение равно основанию
нашей системы счисления, вследствие чего действия над
именованными числами значительно упрощаются.
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ.

ОТНОШЕНИЕ И ПРОПОРЦИЯ.

1.	ОТНОШЕНИЕ.

174.	Отношение. Часто приходится сравнивать между
собою одну величину с другой величиной, однородной ей,
с целью узнать, сколько раз первая величина содержит в
себе вторую. Напр., мы с этою целью можем сравнивать вес
какого-нибудь предмета с весом другого предмета, цену
одного товара с ценою другого товара и т. п. Во всех таких
случаях результат сравнения выражается числом, которое
может быть и целым, и целым с дробью, и дробным. Пусть,

Черт. 3.

напр., мы сравниваем длину а с другой длиной Ь, и результат
сравнения оказался целым числом 3 (черт. 3, левый). Это
значит, что длина а содержит в себе длину Ъ ровно 3 раза
(другими словами, а больше Ь в 3 раза). Если результат
сравнения есть целое число с дробью, напр. 2- (черт. 3,

А*

правый), то это- значит, что а содержит в себе Ь 2- раза
(а больше Ь в 2^ раза). Если, наконец, результат сравнения
А

з

есть дробь, положим (черт. 4), то а не содержит в себе
3

Ь ни одного раза, а составляет только Ь. Во всех этих
случаях результат4 сравнения есть отвлеченное число, на
которое надо умножить вторую величину, чтобы получить
первую. Так, во взятых нами примерах:

1	ч

а = Ь-3\ а — Ь-2-=--, а — Ь--г.

2’	4

I

Результат сравнения одной величины с другою одно-
родною величиною принято называть отношением первой
величины ко второй. Значит, отношением одного значения
величины к другому значению той же величины называется
отвлеченное число, на которое надо умножить второе зна-
чение, чтобы получить первое.

Можно также сказать, что отношение есть частное от
деления первого значения величины на второе, частное в
смысле нахождения содержания делителя в делимом; дру-
гими словами, в смысле	а

нахождения множителя
по данным произведению

и множимому. Вследствие	Ъ _______________

этого отношение обозна^	I )..т^виививии^

чается знаком деления.	Черт. 4.

Так, можно писать:

а .	и\ о а	3

-г (или а:о) = 3; -т- = 2н-; -г=-т и т. п.

Ь	7	Ь 2’ Ь 4

Значения величин, между которыми берется отношение,
называются членами отношения, причем первое значение
называется предыдущим членом, а второе — последующим.

Если значения величины измерены одною и тою же еди-
ницею и выражены числами, то отношение их можно заме-
нить отношением этих чисел. Напр., отношение двух весов,
одного в 80 г, а другого в 15 г, равно отношению чисел
80 и 15, т. е. оно равно частному 80:15, что составляет 5^;
равным образом отношение угла в 30° к прямому углу равно
частному 30 : 90, т. е. дроби . 

175.	Зависимость между отношением и его членами
та же самая, какая существует между делимым, делителем
и частным, а именно:

а)	. Предыдущий член равен последующему, умноженному
на отношение (делимое равно делителю, умноженному на
частное). Если, напр., отношение некоторого неизвестного
числа хк числу 100 равно 2-^-, то х== 100 • = 250.

б)	Последующий член равен предыдущему, деленному на
отношение (делитель равен делимому, деленному на частное).
Так, если известно, что 15:х = 5, то х=15: 5 = 3.

в)	Отношение не изменится, если оба его члена умножим
или разделим на одно и то же число (частное не изменится,
если...).

176.	Приведение членов отношения к целому виду.
Умножая оба члена отношения на одно и то же число, мы
можем отношение с дробными членами заменить отношением
7

целых чисел. Так, отношение $-:5 по умножении его членов
на 3 обратится в отношение целых чисел 7: 15; отношение
9	10	.	„

14 ' 21" после Умножения его членов на общий знаменатель
42 обратится также в отношение целых чисел 27:20.

177.	Сокращение отношения. Если оба члена отноше-
ния — целые числа, делящиеся на какой-нибудь общий дели-
тель, то такое отношение можно сократить. Так, отношение
42:12 по разделении его членов на 6 будет 7:2.

178.	Обратные отношения. Если мы переставим члены
отношения, т. е. предыдущий член сделаем последующим и
наоборот, то получим новое отношение, которое называется
обратным прежнему. Так, отношение метра к сантиметру
обратно отношению сантиметра к метру; первое равно числу
100, второе равно обратному числу 0,01.

II.	ПРОПОРЦИЯ.

179.	Пропорция. Заметив, что отношение килограмма к
грамму равно 1000 и что отношение километра к метру также
равно 1000, мы можем написать равенство:

килограмм__километр

грамм метр ' *

или

»	килограмм : грамм = километр : метр,

что читается так: отношение килограмма к грамму равно
отношению километра к метру; или так: килограмм отнр-
сится к грамму так, как километр относится к метру (или
еще так: килограмм больше грамма во столько раз, во сколько
раз километр больше метра).

Равенство двух отношении принято называть пропор-
цией. Конечно, величины, входящие в каждое отношение,
должны быть однородны; так, в нашем примере величины
первого отношения — веса, а величины второго отношения —
длины.

Из четырех величин, составляющих пропорцию, первая и
четвертая называются крайними членами, вторая и третья—
средними членами, первая и третья — предыдущими, вторая
и четвертая — последующими. Последняя величина называется
также четвертой, пропорциональной к первым трем вели-
чинам.

Мы будем предполагать, что все четыре члена пропорции
выражены числами; такую пропорцию мы будем называть
числовою.

480. Основное свойство числовой пропорции. Пусть мы
имеем такие числовые пропорции:

21	15 ,	_ч

—=— (каждое отношение = 3)
/ о

и

21

2 10 ,	„К

-х- = -х- (каждое отношение = Зк).

ОО	о

~4

Возьмем в каждой пропорции произведение крайних чле-
нов и произведение средних и сравним их между собою.
В первой пропорции произведение крайних равно 21 -5 = 105,
и произведение средних равно 7-15=105; во второй про-
порции произведение крайних 2^ • 3 = ?1 и произведени

3 1П 71
средних • 10=7%.

Таким образом, в каждой из взятых пропорций произве-
дение крайних членов равно произведению средних.

Чтобы показать, что свойство это принадлежит всякой
числовой пропорции, возьмем пропорцию в буквенном виде:

а: Ь = с: <1 (каждое отношение = д)

10 Киселев. Арифметика.	145


Из этих отношений находим:

а = Ьд д— —.
Я

Перемножив эти 2 равенства, получим новое равенство:

, . с	Ьас	,

аа=Ьа •— —
\	ч д

выражающее, что в числовой, пропорции произведение крайних
членов равно произведению средних.

Отсюда выходит, что каждый крайний член пропорции
равен произведению средних, деленному на другой крайний,
и каждый средний член пропорции равен произведению
крайних, деленному на другой средний. Это дает нам воз-
можность быстро находить неизвестный член пропорции,
если остальные 3 члена ее известны; напр., из пропорции:

10:х = 45:20
выводим:

4

х = (10 • 20): 45 = 4^.
к/

181. Обратное предложение. Положим, мы имеем 4 таких
числа, что произведение двух из них равно произведению
двух остальных, напр.:

5-12 = 30-2.

Такое равенство мы можем превратить в ряд пропорций.
Для этого разделим обе его части на каждое из таких про-
изведений:

5	• 30; 5 • 2; 12 • 30; 12 - 2, ,

в которых один сомножитель взят из одного данного произ-
ведения, а другой — из другого. Тогда получим 4 других
равенства (если равные числа разделим на равные, то полу-
чим равные), а именно:

5-12 _ 30- 2	5 • 12 _ 30-2	5 • 12 _ 30 • 2 .

5 • 30 — 5 • 30 ’ 5 • 2 “ 5 • 2 ’ 12-30-12-30’

5 • 12 _ 30 • 2

12-2 “ 12-2 ’
Сократив все эти дроби, найдем:

12_ 2^ 12 _ 30	_5_30

30~ 5 ’ 2~5’ 30~12; 2 —12*

Мы получим таким образом 4 пропорции, в которых
крайними членайи служат сомножители одного из данных
произведений, а средними членами — сомножители другого
данного произведения.

Подобно этому равенство 0,3 • 4 == 6 • 0,2 мы можем прев-
ратить в такие пропорции:

0,3__0,2 0,3_6	4__0,2	4_б

6	~ 4 ’ 0,2“ 4 ; 6—0,3; 0,2— 0,3;

или равенство 5х = 3_у можем превратить в пропорции:

5:3=_у:х; х :у = 3:5-, и т. п.

Таким образом, если- произведение двух чисел равно про-
изведению двух других чисел, то из этих 4 чисел можно
составить пропорции, беря сомножители одного произведе-
ния за крайние члени, а сомножители другого произведения
за средние члени пропорций.

Следствие. Во всякой числовой пропорции можно пере-
ставить средние члены между собою, крайние члены между
собою, или средние поставить на место крайних и наоборот,
так как от таких перестановок не нарушится равенство между
произведением крайних и произведением средних и, следо-
вательно, не нарушится пропорциональность чисел.

482. Среднее геометрическое. Возьмем пропорцию, в
которой средние члены одинаковы; например:

36:12 = 12:4.

Повторяющийся член такой пропорции называется сред-
ним геометрическим числом двух остальных членов про-
порции: 12 есть среднее геометрическое 36 и 4. Таким обра-
зом, если требуется найти среднее геометрическое двух
чисел а и Ь, то, обозначив его букой х, мы можем написать
пропорцию:

а-.х — Х'.Ь,
откуда
х2 = аЬ.
Значит, среднее геометрическое двух данных чисел есть
такое третье число, квадрат которого равен произведению ;
данных чисел. Напр., среднее геометрическое 25 и 4 равно
10, потому что 102 = 25*4.	1

185.	Среднее арифметическое. Средним арифметическим
нескольких данных чисел называется частное от деления 3
суммы этих чисел на число их. Напр., среднее арифмети’
ческое 4-х чисел: 10, 2, 8, 12 равно:

, 104-2 4-8+12 32 _	'

'	-------4------=4' = 8-

Среднее арифметическое обладает тем свойством, что
если при сложении данных чисел мы заменим каждое из
них средним арифметическим, то от этой замены сумма не
изменится.. Так, сумма чисел 10, 2, 8 и 12 равна 32 и сумма
8+'8 + 8 + 8 также равна 32. Положим, напр., что произ-
водительность фабрики в течение первых четырех месяцев
текущего года, сравнительно с производительностью ее в де-
кабре предыдущего года, повысилась: в январе на 10000 руб.,
в феврале на 2000 руб., в марте на 8000 руб. и в апреле на
12000 руб. Тогда можно сказать, что среднее повышение
.производительности за эти 4 месяца составляет 8000 руб.
в месяц. Это надо понимать так, что производительность
фабрики за все 4 месяца оказалась такая же, какая была бы,
если бы она повышалась в каждый месяц одинаково, именно
на 8000 руб. (сравнительно с декабрьской производитель-
ностью). В подобном же смысле говорят часто о среднем
доходе, о средней скорости движения, о средней плотности
населения и т. п. Во всех таких выражениях подразумевается,
что речь идет о среднем арифметическом.

184.	Производные пропорции. Из одной пропорции
можно получить несколько других пропорций, называемых
производными, основываясь на следующих соображениях.

Возьмем какое-нибудь отношение, напр., 21 :7. Если к
предыдущему его члену приложим последующий, то получим
новое отношение: (21+7): 7, которое, очевидно, больше
прежнего на одну единицу. Если же из предыдущего члена
вычтем последующий (если это возможно, как в нашем при-
мере), то получим новое отношение: (21—7): 7, которое
меньше прежнего на одну единицу.

Заметив это, возьмем какую-нибудь пропорцию:
и составим из нее новую пропорцию таким образом:

(21 4-7): 7 = (30+ 10): 10.	(1)

Эта пропорция верна, потому что каждое отношение в
ней больше отношений данной пропорции на одно и то же
число, именно на 1. Составленную нами производную про-
порцию можно высказать так:

сумма членов первого отношения относится к его по-
следующему члену, как сумма членов второго отношения
относится к его последующему члену.

Составим теперь из данной пропорции такую:

(21 — 7): 7 = (30 —10): 10.	(2)

Эта пропорция верна, потому что, каждое отношение в
ней меньше отношений данной пропорции на одно и то же
число, именно на 1. Составленную нами вторую производную
пропорцию можно высказать так:

разность членов первого отношения относится к его
последующему члену, как разность членов второго отноше-
ния относится к его последующему члену.

Переставим средние члены в первой производной про-
порции и в данной:

(21+ 7): (30+ 10) = 7:10;

21 :30 = 7:10.

В этих двух пропорциях вторые отношения одинаковы;
значит, первые отношения должны быть равны:

(21+ 7): (30+ 10) = 21 :30.

Переставив средние члены получим:

(21 + 7): 21 = (30 + 10): 30.	(3)

Эту третью производную пропорцию можно высказать
так:

сумма членов первого отношения относится к его пре-
дыдущему члену, как сумма членов второго отношения от-
носится к его предыдущему члену.

Переставим средние члены во второй производной про-
порции и в данной:

(21— 7): (30 —10) = 7: 10

21:30 = 7:10.
Откуда:

(21—7): (30 —10) = 21 : 30
или

(21 — 7): 21 =(30 —10) : 30.	(4)

Эту 4-ю производную пропорцию можно высказать так:
разность членов первого отношения относится к его
предыдущему члену, как разность членов второго отношения
относится к его предыдущему члену.

Переставим средние члены в первой и второй производ-
ных пропорциях:

(21 4-7): (30+ 10) = 7:10,
(21— 7): (30 —10) = 7:10.

Откуда:

(21 + 7): (30 + 10) = (21 — 7): (30 —10)
или

(21+7): (21— 7) = (30+ 10): (30 —10). .	(5)

- Эту 5-ю производную пропорцию можно высказать так:
сумма членов первого отношения относится к их раз-
ности, как сумма членов второго отношения относится
к их разности.

185.	Свойство равных отношений. Возьмем несколько
равных отношений, напр., такие отношения:

40:10 = 20:5 = 8:2=...

Так как во всяком отношении предыдущий член равен
последующему, умноженному на отношение, то можем напи-
сать (принимая во внимание, что каждое данное отношение
есть число 4):

40=10-4; 20 = 5-4; 8 = 2-4...

Сложим левые части этих равенств между собою и пра-
вые части между собою. Очевидно, что от сложения равных
чисел мы должны получить и равные суммы; поэтому:

40 + 20+8+... = 10 4 + 5-4 + 2-4 + ...

В правой части этого равенства отдельно умножаются на
4числа 10,5, 2,... и полученные произведения складываются.
Вместо этого можно предварительно числа 10, 5, 2,... сло-
жить и затем сумму умножить сразу на 4. Поэтому последнее
выведенное нами равенство мы можем переписать так:
Разделим обе части этого равенства на сумму 104-54-2...;
от этого равенство не нарушится, и мы получим:

(40 4-20 4-8 4-...) : (104-54-24-...) = 4;

Но каждое из взятых нами равных отношений также равно
числу 4; значит:

(40 4-204-8 4- ...): (Ю4-54-24- ...) = 40 : 10 = 20 : 5 =
= 8 : 2= ...

Таким образом:

если несколько отношений равны друг другу, то сумма
всех предыдущих их членов так относится к сумме всех по-
следующих, как какой-нибудь предыдущий относится к
своему последующему.

Всякая пропорция представляет собою два равные отно-
шения; значит, указанное нами свойство принадлежит также
и пропорции.
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ.

ЗАДАЧИ НА ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

I. ПРОСТОЕ ТРОЙНОЕ ПРАВИЛО.

486. Величины, прямо пропорциональные. Возьмем такую
задачу; 8 м сукна стоят 72 руб. Сколько стоят 15‘м этого
сукна?

Числа 8 м и 15 м представляют собою два значения одной
и той же величины, именно количества метров сукна; числа
72 руб. и искомое число руб. составляют также два значения
одной и той же величины, именно стоимости сукна. Значит,
в предложенной задаче говорится о двух величинах: о ко-
личестве метров сукна и о стоимости их. Эти величины зави-
сят одна от другой, потому что с изменением одной из них
изменяется и другая. Рассмотрим эту зависимость подробнее.

Пусть количеству метров сукна мы дали два каких-нибудь
произвольных значения, напр.: 10 м и 25 м. Тогда стоимость
их получит тоже два значения, но не произвольные, а вполне
определенные, находящиеся в соответствии со взятыми зна-
чениями количества метров. Положим, мы не знаем, сколько
стоят 10 м. и сколько стоят 25 м сукна. Но, и не зная этого,
мы можем все-таки утверждать, что 25 м сукна стоят более,
чем 10 м этого сукна, и притом во столько раз более, во
сколько раз 25 м более 10 лг; другими словами, мы можем
утверждать, что отношение стоимости 25-ти м сукна к стои-
мости 10-ти м этого сукна должно быть такое же, как и отно-
шение 25-ти м к 10-ти м, что можно выразить так:

стоимость 25-ти м 25 м
стоимость 10-ти м 10 м

Действительно, отношение 25-ти м к 10 м есть число 2-|-
и отношение стоимости 25-ти м, к стоимости Ю-ти м тоже
равно числу 2у.
Какие бы два значения количества аршин мы ни взяли,
всегда найдем, что им соответствуют два определенные зна-
чения стоимости, и что отношение этих значений количества
аршин равно отношению соответствующих значений стои-
мости.

Если две какие-нибудь величины зависят одна от другой
так, что каждому значению одной из них соответствует одно
определенное значение другой, при чем отношение каждых
двух значений одной из них равно отношению двух соответ-
ствующих значений другой, то такие величины называются
прямо пропорциональными (или просто пропорциональ-
ными).

Так, количество метров сукна пропорционально стои-
мости их (или стоимость сукна пропорциональна количеству
метров сукна).

Весьма простой признак пропорциональности двух вели-
чин состоит в следующем:

Если с увеличением произвольного значения одной вели-
чины в 2 раза, в 3 раза, в 4 раза и т. д. соответствующее
значение другой [величины увеличивается тоже в 2 раза,
в 3 раза, в 4 раза и т. д., то такие величины пропорциональны.

Так, если произвольное число метров сукна увеличим в
2, 3, 4 и т. д. раза, то стоимость их увеличивается тоже в
2, 3, 4 и т. д. раза; это—величины пропорциональные.

Подобно этому можно сказать также, что:

стоимость товара пропорциональна его весу (если товар
продается на вес, напр., чай);

вес однородного тела пропорционален его объему (напр.,
вес железа);

длина пути, проходимого движущимся равномерно телом
(напр., поездом железной дороги) пропорциональна продол-
жительности движения;

плата рабочим пропорциональна числу их (если каждый
рабочий получает одинаково);

величина дроби пропорциональна ее числителю; и т. п.

187.	Решение способом приведения к единице. Уяснив
зависимость двух величин нашей задачи, выразим ход реше-
ния ее следующими строчками.

Стоимость сукна пропорциональна числу метров его; поэ-
тому 1 м стоит в 8 раз менее, чем 8 м, а 15 м стоят в
15 раз более, чем 1 м\ но

8 м стоят 30 рублей;
значит,	,	30	-

’	1 м стоит-$-руб.,

а

х -	15 ж стоят--5- •15 = 56-4- руб.

О

Способ, которым мы решили эту задачу, наз. приведением
к единице, так как по этому способу одно из условий задачи
приводится к 1 (так, в приведенной задаче мы узнали стои-
мость 1 м).

188.	Решение посредством пропорции. Стоимость сукна
пропорциональна числу метров его; поэтому 15 м стоят более
8-ми м во столько раз, во сколько 15 более 8; значит, обо-
значив искомую стоимость х, получим пропорцию:

х: 30= 15: 8;

откуда	,	,

х = (30Х 15): 8 = 564-
т:

189.	Величины, обратно пропорциональные. Возьмем
такую задачу: 6 человек рабочих оканчивают некоторую ра-
боту в 18 дней; во сколько дней окончат ту же работу
9 человек, работая так же успешно, как и первые?

В этой задаче тоже говорится о двух величинах: о коли-:
честве рабочих и о продолжительности работы их. Эти вели-
чины зависят одна от другой, потому что с изменением одной
изменяется и другая. Но эта зависимость иная, чем в задаче
1-й. Там отношение двух произвольных значений одной вели-
чины было равно отношению двух соответствующих значе-
ний другой величины; здесь же отношение двух произволь-
ных значений одной величины равно обратному отношению
соответствующих значений другой величины. Возьмем, напр.,
два таких произвольных значения количества рабочих: 6 чел
и 12 чел. Им соответствуют два значения продолжительности
работы, но не произвольные, а находящиеся в соответствии
со взятыми значениями количества рабочих; причем, оче-
видно, большему количеству рабочих соответствует меньшее
число дней работы, а именно: число дней во столько раз
должно быть меньше, во сколько раз число рабочих больше;
так, если 6 чел. оканчивают работу в 18 дней, то 12 чел.
окончат работу в 9 дней. Значит, отношение 6 чел. к 12 чел.
равно обратному отношению 18 дней к 9 дням, т. е.:

6 чел.   9 дней

12 чел.	18 дней ’
Если две величины зависят одна от другой так, что каж-
дому значению одной из них соответствует одно определен-
ное значение другой, при чем отношенйе каждых двух зна-
чений одной из них равно обратному отношению соответ-
ствующих значений другой, то такие величину называются
обратно пропорциональными.

Так, продолжительность работы обратно пропорциональна
количеству рабочих (при одинаковых прочих условиях, т. е.
при одинаковом размере работы и одинаковой степени успеш-
ности работы каждого рабочего).

Весьма простой признак обратной, пропорциональности
двух величин состоит в следующем:

Если с увеличением произвольного значения одной вели-
чины в 2 раза, в 3 раза, в 4 раза и т. д. соответствующее
значение другой величины уменьшается тоже в 2 раза, в 3 раза,
в 4 раза и т. д., то такие величины обратно пропорцио-
нальны.

Так, с увеличением количества рабочих в 2, в 3, в 4 и т. д.
раз, продолжительность работы уменьшается в 2, в 3, в 4 и т. д.
раз; это — величины обратно пропорциональные.

Подобно этому можно сказать также, что:

вес товара, который можно купить на данную сумму денег,
обратно пропорционален цене единицы веса этого товара;

время, в течение которого проходится данный путь дви-
жущимся равномерно телом, обратно пропорционально ско-
рости движения;

величина дроби обратно пропорциональна ее знаменателю;
и т. п.

Замечание. Для того, чтобы две зависящие друг от друга
величины были пропорциональны (прямо или обратно), недо-
статочно только того обстоятельства, что одна из этих вели-
чин увеличивается, когда и другая увеличивается (для пря-
мой пропорциональности), или что одна величина увеличи-
вается, когда другая уменьшается (для обратной пропорцио-
нальности). Напр., если какое-нибудь слагаемое увеличится,
то и сумма увеличится; но было бы ошибочно сказать, что
сумма прямо пропорциональна слагаемому, так как если уве-
личим слагаемое, положим, в 3- раза, то сумма хотя и уве-
личится, но не в 3 раза. Подобно этому нельзя, напр., ска-
зать, что разность двух чисел обратно пропорциональна вы-
читаемому, так как если увеличится вычитаемое, положим,
в 2 раза, то разность хотя и уменьшится, но не в 2 раза.
Нужно, чтобы увеличение и уменьшение обеих величин проис-
ходило в одинаковое число раз.

190.	Решение способом приведения к единице. Уяснив
зависимость между двумя величинами нашей задачи, решим
ее приведением к единице, рассуждая следующим образом:
число дней обратно пропорционально числу рабочих;
поэтому 1 чел. окончит работу в число дней, большее в
6 раз, чем число дней, в которое оканчивают работу 6 чел.,
а 9 чел. окончат работу в число дней, меньшее в 9 раз, чем
число дней, в которое оканчивает работу 1 чел.

Но

6 чел. оканчивают работу в 18 дней;
значит,

1 чел. окончит работу в 18-6 дней,
а

9 чел. окончат работу в —= 12 дней.

У

191.	Решение посредством пропорции. Число дней ра-,
боты обратно пропорционально числу рабочих; поэтому 9 чел.
окончат работу в меньшее число дней, чем 6 чел., и во столько
раз меньше, во сколько раз 6 меньше 9; значит, искомое
число х дней должно удовлетворять пропорции х : 18 = 6:9;
откуда:

х = (18X6): 9 = 12 дней.

192.	Простое тройное правило. В каждой из приведен-
ных задач речь шла только о двух величинах, прямо пропор-
циональных (как в первой задаче), или обратно пропорциональ-
ных (как во второй задаче); при этом в каждой задаче дано
было по одному соответствующему значению обеих величин:

Задача 1. Колич. сукна 8 м.

Стоимость их 72 руб.

Задача 2. Колич. рабочих 6 чел.

Продолж. работы 18. дней,

а требовалось узнать, какое значение примет одна из велит
чин, если другая получит новое данное значение:

Задача 1. Колич. сукна 15 м.

Какова их'стоимость?

Задача 2. Количество рабочих 8 чел.

Какова продолж. работы?
В таких задачах, след., даны 3 числа, а требуется отыс-
кать 4-е число, которое вместе с 3 данными числами соста-
вляло бы пропорцию.

Способ решать такие задачи наз. простым тропным пра-
вилом.

И. СЛОЖНОЕ ТРОЙНОЕ ПРАВИЛО.

495. Задача. Для освещения 18 комнат в 48 дней издержано
120 литров керосина, при чем в каждой комнате горело по
4 лампы. На сколько дней достанет 125 литров керосина,
если освещать 20 комнат и в каждой комнате будет гореть
по 3 лампы?

Расположим данные этой задачи в две такие строчки
(неизвестное число поставим в последнем столбце):

18 ком. —120 литров — 4 лам. — 48 дней.

20 „ —125	„	—3 „ —х „

Искомое, число дней было бы 48, если бы число комнат
было 18, число литров керосина было 120 и число ламп в
каждой комнате было 4. Но все эти числа заменены в во-
просе задачи новыми, отчего, вероятно, изменится и число
дней из 48 в какое-нибудь иное. Чтобы удобнее узнать, как
именно изменится число дней, предположим, что сначала
только одно число верхней строчки заменено новым числом,
а потом и другое, и третье. Так, допустим, что сначала
число комнат изменено из 18 в 20, потом число литров из-
менено из 120 в 125 и, наконец число ламп изменено из
4 в 3.

Когда изменим число комнат из 18 в 20, а прочие числа
оставим те же самые, то мы получим упрощенную задачу,
которую можно высказать так:

для освещения 18 комнат керосина достает на 48 дней;
на сколько дней достанет керосина для освещения 20 комн,
(при одинаковых прочих условиях, т. е. если керосина идет
120 ливров и в каждой комнате будет гореть по 4 лампы)?

Эта задача на простое тройное правило. Решим ее при-
ведением к 1.

Число дней обратно пропорционально числу комнат; по-
этому если при освещении 18 комнат керосина достает на
48 дней, то при освещении только одной комнаты его до-
станет на 48-18 дней, а при освещении 20 комнат число
48-18 /	ло 1

дней окажется ——(что равно 43-^- дня, но вычислять это
21)	\ Л	о

выражение теперь бесполезно).

Заменим теперь 120 литров керосина 125-ю литрами.
Тогда получится такая задача на простое тройное правило:
юл	48-18

120 литров керосина сгорают в —дней; во сколько

дней сгорят 125 литров керосина (при одинаковых прочйх
условиях)?

Число дней прямо пропорционально числу литров; по-
.	48-18	1О_

этому I литр керосина сгорит в	Днеи> а 125 л сго-

48-18-125

РЯТ в 20-120 ДНЛ

Наконец, заменим 4 лампы 3-мя лампами. Тогда полу-
чится такая задача на простое тройное правило:

если в каждой комнате горят 4 лампы, то керосина до-
48 - 18-125

станет на ——г™— Дней; на сколько дней достанет ке-
росина, если в комнате будут гореть по .3 лампы (при оди-
наковых прочих условиях)?

Число дней обратно пропорционально чцслу ламп; по-

этому если будет

48 - 18 - 125-4

20 - 120	’ а

гореть одна лампа, то дней окажется
при горении 3-х ламп их должно быть

_ 48- 18- 125-4

Х 20- 120-3 •

Теперь приняты во внимание все условия вопроса; остается
вычислить полученное выражение: х = 60 дней.

194. Сложное тройное правило. В задаче, решенной в
предыдущем параграфе, говорилось о 4-х величинах; о ко-
личестве комнат, о продолжительности освещения, о коли-
честве керосина и о количестве ламп, причем каждая пара
этих величин находится между собою в пропорциональ-
ной зависимости, прямой или обратной (если все прочие
величины не изменяются); при этом дано было по одному
соответствующему значению всех величин:

18 комн. — 120 литров — 4 лампы — 48 дней,

а требовалось найти, какое значение примет одна из вели-
чин, если все прочие получат некоторые новые данные зна-
чения:	- х

20 комн. —125 литров — 3 лампы — х дней.

Способ решать такие задачи, когда данных величин бо-
лее двух, наз. сложным тройным правилом. Решение их,
как мы ивдели, сводится к решению нескольких задач на
простое тройное правило.

III. ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ.

19э. Определение. Процентом какого-либо числа на-
зывается' сотая часть этого числа; след., два, три... про-
цента какого-нибудь числа означают две, три;... сотых этого
числа *.

Так, если говорят, что в таком-то учебном заведении
число успевающих учеников составляет 75 процентов всего
числа учащихся, то это значит, что первое число составляет
75 сотых второго числа (или, что все равно, на каждых сто
учеников приходится 75 успевающих и 25 не успевающих).

Процент обозначается знаком %; напр., 5% означает
5 процентов. Таким образом:

50%	означают	50  100’	т. е.	1  2’
		25		1
25°/о		Тбб’	т. е.	т;
		75		з
75%		Тоб’	т. е.	Т’
10%	»	10  100’	т. е.	1.  10’
		5		1
5%	»	Тбб’	т. е,	20’
		4		1
4%	»	1бо’	т. е.	25 И Т-

Чаще всего слово „процент" употребляется в коммерче-
ских вопросах, когда речь идет о прибыли или убытке.
Напр., говорят, что трест получил 20 процентов прибыли на
затраченный им капитал. Это надо понимать так, что он по-

* Слово „процент* происходит от латинского выражения рго сепйип,
что означает „со ста“ или „на сто".
лучил прибыли 20 сотых затраченного капитала (иначе ска-
зать, 20 рублей на каждые затраченные 100 рублей, или
20 коп. на каждые затраченные 100- оп.).

196.	Некоторые названия, встречающиеся в задачах на
проценты. Когда одно лицо занимает у другого деньги, то
при этом часто ставится условием, чтобы должник уплачи-
вал заимодавцу (кредитору) определенные ежегодные про-
центы. Если напр., говорят, что некто занял 500 руб. по 7%
(или из 7%) годовых, то это значит, что должник обязался,
во 1-х, уплатить по истечении установленного срока эти
500 руб., а, во 2-х, сверх этой суммы уплачивать заимодавцу
ежегодно до конца срока по 7 сотых этого капитала, т. е.
по 35 рублей. Случается, что лица, имеющие свободные
деньги, отдают их в банк или покупают на них государ-
ственные процентные бумаги. В таком случае банк или го-
сударство уплачивает этим лицам за пользование их день-
гами определенные ежегодные проценты. '

Капитал, приносящий проценты, называется начальным ка-
питалом-, число процентов (иначе—прибыль, получаемая в
течение одного года на 100 рублей, выраженная в рублях)
называется процентною таксою-, прибыль на весь капитал—
процентными деньгами (или просто процентами)-, началь?
ный капитал, сложенный с процентными деньгами, называется
наращенным капиталом. Если, напр., 200 рублей отданы на
1 год по 5%, то начальный капитал — это 200 руб., процент-
ная такса — 5, процентные деньги за год—10 руб., наращен-
ный капитал — 210 руб.

197.	Простые и сложные проценты. Проценты бывают
простые и сложные. Чтобы понять разницу между теми и
другими, возьмем пример. Положим, что кто-нибудь отдал
в банк 100 руб. по 5°/о- Если это лицо по прошествии года
не возьмет своих 5 руб. процентных денег, то его капитал
обратится в 105 руб. Может быть поставлено условие, чтобы
в течение второго года проценты нарастали не только на
начальный капитал, т. е. на 100 руб., но еще и на те 5 руб.,
которые наросли в течение первого года; также и в следую-
щие годы. Или же может быть условлено, чтобы в течение
второго и следующих годов проценты считались только на
начальный капитал, т. е. на 100 руб., хотя бы лицо, поло-
жившее капитал, и не брало ежегодно процентных денег.

Когда проценты считаются не только на начальный капи-
тал, но и на проценты с него, образовавшиеся от прошлых
лет и присоединяемые к капиталу, то они называются слож-
ными (проценты на проценты); если же проценты считаются
только на начальный . капитал, то они называются простыми.

В задачах, которое будут приведены ниже, предполага-
ются простые проценты; это всего чаще бывает в действи-
тельности.

198.	Замечание. При решении задач на простые про-
центы надо иметь в виду, что:

1.	Процентные деньги пропорциональны времени и капи-
талу, при одинаковых прочих условиях.

Если, напр., капитал 100 руб. и процентная такса 5%,
то процентные деньги за 1 год будут 5 руб., за 2 года —
10 руф., за 3 года—15 р. и т. д., т. е. они возрастают про-
порционально времени; а если время 1 год и такса 5%, то
процентные деньги со 100 руб. будут 5 руб., с 200 р. —
10 руб., с 300 руб. —15 руб. и т. д., т. е. они возрастают
пропорционально капиталу.

Наращенный капитал хотя и возрастает с течением
времени, но не пропорционален времени.

Если, напр., капитал 100 руб. и процентная такса 5%, то
через 1 год наращенный капитал будет 105 руб., а через
2 года 110 руб. (а не 210 руб.), через 3 года 115 руб. (а не
315 руб.), и т. д.

499. Задача. Найти процентные деньги за 3~ года с ка-
питала 7285 р., отданного по 8% в год.

Так как 8°/о какого-нибудь числа означают 8 сотых этого
числа, то:

'7ПОС	х/ &	7285 • 8

7285 руб. в год приносят: 7285 X ’1оо = —ГбО—РУ^*’ а
о 1	7285 • 8 • 7	оп

в 3= года они принесут:—5— = 2039 р. 80 к.

2	ЮО ® 2

Замечание. Если время содержит месяцы или дни, то
надо найти процентные деньги за 1 месяц или за 1 день, а
потом и за данное число месяцев или дней. При этом надо
иметь в виду, что в коммерческих вопросах для удобства
вычислений принято считать год в 360 дней, а месяц —
в 30 дней.

200. Общая формула. Пусть начальный капитал будет
а (руб-), процентная такса р, время I (лет) и процентные
деньги х (руб.). Так как процентные деньги за один год со-
ставляют р сотых капитала, то

11 Киселев. Арифметика.

161


а руб. принесут в год дохода а • руб.,

а в I лет в I раз больше; значит:

100	100

(1)

Если желаем найти наращенный капитал, то к процент-
ным деньгам надо приложить начальный капитал. Значит:

наращенный капитал = а

, С1ЛУк

(2)

Из этих формул легко найти любое из 4-х чисел а, р, I,
х, если остальные 3 заданы. Так, из формулы (1) находим:

ЮОх

откуда:

100х	100х ,	100х

а = ——, р — —т-> I—-----.

р1	аг ар

Пусть, напр., требуется узнать, на сколько времени над»
отдать 2485 руб. по 7%, чтобы получить 139 руб. 16 коп.
дохода?

По формуле находим:

139,16 - 100_ 13916

2485 • 7 “ 17395

0,8 года = 288 дней.

IV. ЗАДАЧИ НА УЧЕТ ВЕКСЕЛЕЙ.

201.	Понятие о векселе и об учете. Когда одно лицо
занимает у другого деньги под проценты, то обыкновенно
должник выдает своему кредитору письменное обязатель-
ство в том, что он к известному сроку уплатит занятую
сумму вместе с причитающимися на нее процентами. Такое
обязательство, написанное на гербовой бумаге и по устано-
вленной форме, называется векселем. Положим напр., что
должник занял у кредитора 1000 руб. на 1 год по Ю'1/# и
заем был сделан 2-го января 1929 года. Тогда, рассчитав,
что через год 1000 руб. должны обратиться в 1100 р., дол-
жник выдает кредитору, примерно, такой вексель:
„Москва (название города), 2-го января 1929 года. Век-
сель на 1100 руб. Второго января тысяча девятьсот трид-
цатого года по сему векселю повинен (такой-то) заплатить
в гор. Москве (такому-то) или его приказу тысячу сто руб-
лей". (Следует подпись должника.)

В векселе не пишется ни сумма, занятая в действитель-
ности, ни процент, по которому сделан был заем; но выста-
вляется сумма денег, которую надо уплатить, и срок, в
который должна быть сделана уплата. Сумма, записанная и
векселе, называется вексельною суммою или валютою век-'
селя. Валюта есть занятый капитал вместе с причитающи-
мися на него процентами за время, на которое был сделан заем.

Кредитор, имеющий вексель, не может требовать от
должника уплаты ранее срока, назначенного в векселе.
Однако, может случиться, что сам должник пожелает упла-
тить по векселю ранее срока. Положим, напр., что должник
желает заплатить за полгода до срока по своему векселю в
1100 руб. Ему нет расчета платить теперь же 1100 руб.,
потому что он мог бы пользоваться в течение полугода
процентными деньгами с тех денег, которые он теперь пред-
лагает к уплате. Между кредитором и должником в таких
случаях происходит соглашение, по которому кредитор дол-
жен получить несколько менее вексельной суммы. Это со-
глашение выражается в форме некоторого числа процентов
вексельной суммы, которое кредитор предоставляет должнику
удержать из нее; условленная такса процентов обыкновенно
относится к году. Если, напр., между кредитором и должни-
ком произошло соглашение, по которому должник, уплачи-
вая по векселю ранее срока, имеет право удержать 8%, то
это значит, что если он платит за год до срока, то может
$

удержать в свою пользу вексельной валюты, т. е. 8 коп.

. 1
с каждого рубля валюты; если же он платит за года до
срока, то может из каждого рубля валюты удержать только
4 коп.; платя за 1 месяц до срока, удерживает из каждого-
8	2

рубля ТОЛЬКО рт ИЛИ -5- коп., и т. п.
12	о

Сумма, вычитаемая из валюты, когда по векселю уплачи-
вается ранее срока, называется учетом (или дисконтом)
векселя; определить учет за данное время по данному про-
центу значит учесть (или дисконтировать) вексель.
Учитывать вексель приходится еще и тогда, когда кре-
дитор продает вексель своего должника постороннему лицу
(или банку); в этом случае покупатель удерживает в свою
пользу ту сумму, которая придется по условленному годо-
вому % за все время, остающееся до вексельного срока.

При вычислении учета за несколько дней или месяцев
год принимается в 360 дней и каждый месяц — в 30 дней.

202.	Примеры задач на учет векселей. Так как учет
векселя есть не что иное, как процентные деньги, причитаю-
щиеся с валюты по условленной годовой таксе за все время,
недостающее до срока векселя, то задачи на учет векселей
ничем не отличаются от соответственных задач на проценты.
Приведем некоторые примеры.

Задача 1. Вексель в 5600 руб. уплатили за 5 месяцев до
срока с учетом по 6%. Какой сделан был учет по этому
векселю и сколько по нему заплатили?

Искомый учет представляет собою процентные деньги,
причитающиеся с 5600 руб. за 5 месяцев, считая по 6% го-
довых. Поэтому:

5600*6-5

учеТ== 100«12~= 140 (Руб)*

След., уплатили по векселю 5600—140 = 5460 руб.

Задача 2. За два месяца до срока продан вексель с уче-
том в 148 рублей. Определить валюту векселя, если учет
был сделан по 8°/о-

Задача эта равносильна такой задаче на проценты: опре-
делить начальный капитал, с которого процентные деньги
за 2 месяца, считая по 8% годовых, составляют 148 руб.

8

Процентные деньги за 12 мес. составляют капитала;
за 2 месяца они должны быть в 6 раз менее и потому со-

8	1	„1	1/1О

ставляют у=; = = капитала. Эта == капитала равна 148 р.;

600	75	-	75	г г

значит, капитал равен

148.75 = 11100 руб.

V. ЗАДАЧИ НА ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ ДЕЛЕНИЕ.

205. Задача 1. Разделить 84 на три части пропорцио-
нально ряду чисел 7, 5 и 2.

Это надо понимать так: разделить 84 на такие три части,
чтобы первая часть относилась во второй, как 7 к 5, а вто-
рая к третьей, как 5 к 2. Назовем искомые части буквами хь
х2 и Х3. В задаче требуется, чтобы эти части могли удовле-
творить следующим двум пропорциям:

хг : х2 = 7 : 5	(1) х2: х3 — 5 : 2	(2).

Из этих пропорций можно вывести такое заключение:
если х1 разобьем на 7 равных долей, то таких долей в х2
должно быть 5, потому что только при этом условии отно-
шение Х1 к х% равно отношению 7:5; таких же долей в х3
должно быть 2, потому что только при этом условии отно-
шение х2 и хз равно отношению 5 : 2. Отсюда следует, что
седьмая доля хг в сумме хг х2 -|- хз содержится 7 + 5 -{- 2
раза, т. е. 14 раз. Но сумма х1 -р х2 + хз должна составлять 84;,
значит, седьмая доля х{ равна 84 : 14 = 6. Таких долей за-
ключается 7 в 5 в х2 и 2 в х3; след.:

х1 = 6'7 = 42; х2 = 6 • 5 = 30; х3 = 6-2=12.

Правило. Чтобы разделить число на части пропорцио-
нально нескольким данным числам, надо разделить его на
сумму этих чисел и частное умножить на каждое из этих
чисел.

К тому же правилу можно прийти еще иными соображе-
ниями. Переставив в пропорциях (1) и (2) средние члены,
получим:

х< х2 Х2 Х3	х< Х2 Хо

Т = Г след- = У

Отсюда по свойству равных отношений (§ 185) находим

Хх + Х2 4-^3 _ Х\ _ ХЪ _ Х3

7 4-5-4-2 —	~ 5’ — У ‘

Но х1 х» хз = 84 и 7 4-54- 2 = 14; поэтому преды-
дущую строку мы можем переписать так:

84___х, 84____х.3> 84___х;1

14 ~ 7;	14“8‘;	14 — 2

Отсюда выводим:

84	84 _	84 _

*2 = у4'5;	х3 = ]5-2,

т. е. мы приходим к тому же правилу.
Замечание. Из пропорций (1) и (2) можно вывести такую
третью пропорцию:

•	х^: х3 = 1: 2	(3)

Действительно, мы видели, что если х, разбить на 7 рав-
ных долей, то таких долей в х3 должно быть 2; поэтому
отношение хг к х3 равно отношению 7:2.

Пропорции (1), (2) и (3) можно написать сокращенно в
один ряд так:

х1 : х2: хз = 7 : 5 : 2.

204. Задача 2. Разделить 968 на 4 части пропорционально
ряду чисел:

Л А. 2 .1

12 : 4 : 5’ : 8 ‘

Прежде всего заменим данный ряд дробных чисел рядом
целых чисел. Для этого приведем все дроби к общему зна-
менателю и обратим смешанную дробь в неправильную:

Л _3 ,_2^ 3 ^60.30 А А

2 ‘ 4 ' 5 ' 8 — 40'40 ’ 40'40'

Если откинем общий знаменатель, то увеличим каждую
дробь в одинаковое число раз; от этого отношения между
ними не изменятся; след.:

14	9	4

12:4:5;8“60:30:16:16-

Теперь задачу можно выразить так: разделить 968 на 4
части пропорционально числам 60:30:16:15. Эта задача
решается так, как и 1-я.

205. Задача 3. Разделить 125 на такие 4 части, чтобы
первая часть относилась ко второй, как 2 : 3, вторая к третьей,
как 3 : 5, а третья к четвертой, как 5 : 6.

Задача 4. Разделить 125 на такие 4 части, чтобы первая
часть относилась ко второй, как 2 :3, вторая к третьей, как
4:5, а третья к четвертой, как 6:11.

В каждой из этих задач даны отношения между частями
и сумма частей, а отыскиваются самые части. Однако есть
существенная разница между этими задачами. В первой за-
даче отношения:

2:3, 3:5 и 5:6
таковы, что последующий член первого отношения равен пре-
дыдущему члену второго, а последующий член второго отно-
шения равен предыдущему члену третьего. Вследствие этого
можно сказать,* что в первой задаче требуется 125 разделить
на 4 части пропорционально ряду чисел 2 : 3 : 5 : 6. Значит,
эта задача ничем не отличается от задачи 1-й.

Во второй задаче отношения между частями

2:3,	4:5 и 6:11

таковы, что последующий член одного отношения не равен
предыдущему, члену следующего отношения.

Однако этот случай легко привести к первому, напр.,
так. Обозначив искомые части буквами х19 х2, х3 и хъ мы
можем написать следующие три пропорции:

х1 : х2 — 2 : 3
х2 : х3 — 4 : 5
х3 : х4 = 6 : 11.

Из первой пропорции видим, что если разобьем на 2
равные доли, то таких долей в х2 должно быть 3. Узнаем
теперь, сколько таких же долей содержится в х3 и в х4.
Из второй пропорции (которую можно переписать так:
с А	5

х3: х2 — 5 : 4) видим, что х3 составляет х2; но в х2 заклю-
чаются 3 равные доли; значит, в х3 таких долей будет
5	15

3 X ‘4 > т. е. -4 . Из третьей пропорции (которую можно напи-
и г.	Н

сать так: х. : х3 = И : 6) видим, что х4 составляет х3; но
о

. 15

в х3 заключается равных долей -значит в таких долей

15 И 55	55

будет ’у X -0-, т. е. . Итак, в х4 содержится таких рав-
15

ных долей, каких в х3 содержится -р в х2 содержится 3,
а в х1 содержится 2. Значит, для решения задачи надо
число 125 разделить на 4 части пропорционально ряду чисел:

п.о .15,55

2.3.	4 . 8 •

Умножив все эти числа на 8, мы можем -заменить этот
ряд .рядом целых чисел:
16 : 24 : 30 : 55.

Таким образом задача приводится к задаче 1-й.

Замечание. Если бы члены данных отношений были вы-
ражены дробными числами, то полезно эти отношения пред-
варительно заменить отношениями целых чисел.

206.	Задача 5. На железной дороге работало 3 артели
рабочих; в первой артели было 27 рабочих, во второй — 32,
в третьей— 15; первая артель работала 20 дней, вторая — 18,
третья—16; все три артели получили за работу 4068 руб.
Сколько рублей придется получить каждой артели?

Если бы каждая артель работала одинаковое число дней,
то плата каждой артели была бы пропорциональна числу
рабочих в ней; поэтому преобразуем условия нашей задачи
таким образом, чтобы число дней работы для каждой артели
было одинаково. Напр., предположим, что каждая артель
работала бы по одному дню; тогда, конечно, уменьшилась
бы плата каждой артели; для того, чтобы эта плата не изме-
нилась, надо, чтобы число рабочих в каждой артели увели-
чилось во столько раз, во сколько число дней уменьшилось.
Так, чтобы первой артели получить за 1 день ту же плату,
какую она получает за 20 дней, надо, чтобы в этой артели
рабочих было не 27, а 27 X 20; также во второй артели
должно быть рабочих не 32, а 32 X 18, чтобы эта артель
получила за 1 день такую же плату, как и за 18 дней; в
третьей артели должно быть рабочих 15 X 16, чтобы и эта
артель получила ту же плату за 1 день, как и за 16 дней.
Теперь получаем такие два ряда чисел:

числа рабочих (27 X 20) : (32 X 18) : (15 X 16)
,, дней 1	1	1

Остается разделить 4068 на части пропорционально числам
рабочих. Сократив предварительно эти числа (на 3 и на 4),
найдем, что 4068 надо разделить пропорционально 45 : 48 : 20»
Обозначив искомые части буквами и х3, получим, как
было прежде объяснено:

4068 • 45

х ‘

4068 -45	пл г л\

—тух— = 36-45 = 1620 (руб.)
1 10

х3 =

4068 - 48
113

4068 • 20

36-48=1728 (руб.)

113

= 36 - 20 = 720 (руб.)
Вместо того, чтобы проводить к 1 числа дней, мы могли
бы. привести к 1 числа рабочих; тогда мы должны были бы
задаться вопросом: если бы вместо каждой артели было
только по одному рабочему, то сколько дней должен был бы
работать этот рабочий, чтобы получить ту же самую плату?
Очевидно, что рабочий, заменяющий первую артель, должен
был бы работать 20 X 27 дней, вторую — 18 X 32 дней,
третью—16 X 15 дней. Тогда пришлось бы 4060 делить на
части пропорционально только числу дней.

VI. ЗАДАЧИ НА СМЕШЕНИЕ И СПЛАВЫ.

207.	Задача 1. Смешано три сорта муки: 15 кг по 25 коп.,
20 кг по 18 коп. и 25 кг по 15 коп. за кило. Что стоит кило
смеси?

Узнаем сначала, что стоит отдельно вся мука 1-го сорта,
вся мука 2-го сорта и вся мука 3-го сорта; потом — что стоит
вся смесь, затем сколько кило во всей смеси, наконец — цену
одного кило смеси:

15	кг	по	25	коп.	стоят	25 • 15 =	375	коп.

20	„	„	18	„	„	18-20=	360	„

25	„	„	15	„	„	15-25=	375	„

Всего	смесь	стоит . . . .1110	коп.

Всех кило в смеси: 15 + 20 + 25 = 60.

Цена одного кило смеси: 1110: 60= 18^- коп.

Подобным образом решаются такие задачи, в которых
дана цена и количество каждого сорта смешиваемых веществ,
а отыскивается цена единицы смеси. Такие задачи называются
задачами на смешение 1-го рода,

208.	Задача 2. Из двух сортов чая составлено 35 кило
смеси; кило первого сорта стоит 8 руб., кило второго сорта —
6 руб. Сколько кило взято от того и другого сорта, если
смешанный чай стоит (без прибыли и убытка) 7 руб. 60 к. за
кило?

Способ 1-й. Продавая дорогой сорт по 7 р. 60 к., прода-
вец будет получать убытка на каждом кило 40 коп. (8 руб. —
7 руб. 60 к.); продавая дешевый сорт по 7 руб. 60 коп., про-
давец будет получать прибыли на каждом кило 1 руб. 60 к.
(7 руб. 60 к.—6 руб.). Если бы убыток от кило дорогого сорта
был .равен прибыли от кило дешевого сорта, тогда, чтобы убы-
ток покрылся прибылью, надо было бы взять дорогого сорта
столько же, сколько и дешевого. Но в нашей задаче убы-
ток от кило дорогого сорта меньше прибыли от кило деше-
вого сорта; из этого надо7 заключить, что, для покрытия
убытка прибылью, дорогого сорта должно взять больше, чем
дешевого, и во столько раз, во сколько раз 160 бо/ьше40.
Значит, 35 кило надо разделить на две части пропорцио-
нально 160 : 40 (или 4 : 1); первая часть покажет, сколько
кило должно взять от дорогого сорта, а вторая—сколько кило
должно взять от дешевого сорта. Обозначив число кило
дорогого сорта буквою х19 а число кило дешевого сорта
буквою х2, будем иметь, по правилу пропорционального
деления:

35
%,= л- -—.4 = 7.4 = 28;	= 7 • 1 = 7.

4-|- 1

Итак, для того, чтобы при смешении не иметь ни при-
были, ни убытка, количества двух смешиваемых сортов
должны быть обратно пропорциональны числам, показываю-
щим прибыль или убыток на единице каждого сорта.

Способ 2-й. Предположим, что все 35 кило взяты от какого-
нибудь одного сорта, напр., от 1-го. Тогда смесь будет стоить
дороже, чем требуется, потому что составлена только из
дорогого сорта. Узнаем, на сколько дороже. Одно кило
1-го сорта дороже кило требуемой смеси на 40 коп.; значит,
35 кило 1-го сорта будут стоить дороже 35 кило требуемой
смеси на 40 X 35, т. е. на 1400 коп. Чтобы понизить стои-
мость смеси, надо несколько кило дорогого сорта заменить
столькими же кило более дешевого сорта. Если одно кило
1-го сорта заменим кило 2-го сорта, то стоимость смеси по-
низится на 2 руб.; значит, чтобы понизить стоимость смеси на
1400 к., надо заменить столько кило 1-го сорта вторым сор-
том, сколько раз 2 руб. содержится в 1400х к., т. е. 7 кило.
Если 7 кило 1-го сорта заменим вторым сортом, то первого
сорта останется 35 — 7, т. е. 28 кило. Итак, для составления
смеси надо взять 28 кило 1-го сорта и 8 кило 2-го сорта.

Задачи, в которых дана цена единицы каждого смеши-
ваемого вещества, цена единицы смеси и количество смеси,
а отыскивается количество смешиваемых веществ, называется
задачами на смешение 2-го рода.

Вместо цены единицы смеси мсркет быть дана стоимость
всей смеси; но это обстоятельство не может изменить приема
170
решения, потому что, зная количество смеси и ее стоимость,
легко, определим (делением) цену одной единицы смеси.

Заметим, что задачи на смешение 2-го рода возможны

только тогда, когда цена единицы смеси заключается между
ценою единицы 1-го рода и ценою единицы 2-го рода.

209.	Задачи на смешение жидкостей. Если говорят: „вино
в 48 градусов", то это надо понимать так, что в каждых
100 объемных частях этого вина содержится 48 частей чи-
стого спирта, а остальные 52 части составляет вода; число
градусов означает процентное объемное содержание чистого
спирта-, иначе сказать, оно означает, сколько сотых долей
объема смеси приходится на чистый спирт. Задачи на сме-

шение таких жидкостей, которых качество выражается числом
градусов, можно подразделить тоже на 2 рода, подобно за-
дачам, рассмотренным выше. Приведем примеры.

Задача 1. 30 л вина в 48 градусов смешано с 24 л вина
в 36 градусов. Сколько градусов в смеси?

В каждом литре 1-го сорта заключается 48 сотых литра
чистого спирта. Значит, в 30 л 1-го сорта чистого спирта
содержится 48 X 30, т. е. 1440 сотых литра. В 24 л 2-го сорта
чистого спирта заключается 36 X 24, т. е. 864 сотых литра.
Во всей смеси чистого спирта будет 1440-{-864, т. е. 2304
сотых литра. Так как всех литров вина в смеси 30 4 24, т. е. 54,

то в каждом литре смеси чистого спирта будет 2304:54,
2	2

т. е. 42^- сотых литра. Значит, смесь окажется в 42-^-градуса.
О	о

Задача 2. Желают составить смесь из вина двух сортов;
в 48 град, и в 36 град. Сколько надо взять того и другого,
чтобы составить 10 л вина в 45 град.?

Так как литр 1-го сорта содержит спирта на 3 сотых
литра более, а литр 2-го сорта на 9 сотых менее, чем тре-
буется, то 1-го сорта должно взять более, чем 2-го, во столько
раз, во сколько 9 более 3. Значит, 10 л нацо разделить на
2 части пропорционально числам 9 : 3 или 3 : 1.

1-го сорта надо

2-го сорта: -а-— ,
о-|-1

210. Задачи на

10 О

ВЗЯТЬ; я-1.3 = 75-;

• 1 —2—

2‘

сплавы металлов. Золото и серебро, по

причине своей мягкости, не употребляются на изделия в чи-
стом виде, но сплавляются с какими-либо другими более твер-
дыми металлами (чаще всего с медью). Сплавленные с золо-
том или серебром посторонние металлы называются лига-
турой. Количество чистого золота или чистого серебра выра-
жается пробой. У нас чаще всего принято, что проба озна-
чает, сколько весовых частей чистого металла содержится
в 100 весовых частях сплава. Напр., золото 56-й пробы есть
такой сплав, в котором на 100 весовых частей приходится
56 частей чистого золота, а остальные части — лигатура.

Задачи на сплавы металлов, которых качество выражается
пробой, можно подразделить на два рода, подобно задачам
на смешение, рассмотренным выше. Приведем примеры.

Задача 1. 25 кило серебра 84 пробы сплавлены с 12-^-кило
серебра 72-й пробы. Какой пробы сплав?

В каждом кило 1 -го сорта заключается 0,84 кило чистого
серебра. В 25 кило того же сорта содержится 0,84 X 25,
т. е. 21 кило чистого серебра. В 12-^-кило 2-го сорта чистого
серебра заключается 0,72 X 12у, т. е. 9 кг. Значит, во всем
сплаве чистого серебра будет 21-)-9, т. е. 30 кг. Так как весь
сплав весит 25-}- 12^-, т. е. 37^ кг, то в каждом кило сплава
чистого серебра будет 30:37^-, т. е. 0,8 кило. След., сплав
окажется 80-й пробы.

1

Задача 2. Сколько нужно взять золота 91-й и 87у про-
бы, чтобы составить слиток в 1,15 кило 88,9 пробы?

Так как 1 кило Нго сорта содержит чистого золота более,
чем требуется, на 0,21 кг, а 1 кило 2-го сорта содержит
менее на 0,014 кг, то Нго сорта надо взять меньше 2-го в
отношении 0,014:0,021. Значит Г,15 кг надо разделить на
2 части пропорционально 0,014 : 0,021 = 14:21 = 2:3.
ТАБЛИЦА ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ,
не превосходящих 6000.

2	179	419	661	947	1229	1523	1823	2131
3	181	421	673	953	1231	1531	1831	2137
5	191	431	677	967	1237	1543	1847	2141
7	193	433	683	971	1249	1549	1861	2143
11	197	439	691	977	1259	1553	1867	2153
13	199	443	701	983	1277	1559	1871	2161
17	211	449	709	991	1279	1567	1873	2179
19	223	457	719	997	1283	1571	1877	2203
23 ,	227	461	727	1009	1289	1579	1879	2207
29	229	463	733	1013	1291	1583	1889	2213
31	233	467	739	1019	1297	1597	1901	2221
37	239	479	743	1021	1301	1601	1907	2237
41	241	487	751	1031	1303	1607	1213	2239
43	251	491	757	1033	1307	1609	1931	2243
47	257	499	761	1039	: 1319	1613	1933	2251
53	263	503	769	1049	1 1321	1619	1949	2267
59	269	509	773	1051	• 1327	1621	1951	2269
61	271	521	787	1061	1361	1627	1973	2273
67	277	523	797	1063	13&7 137?	1637	1979	2281
71	281	541	809	1069		1657	1987	2287
’ 73	283	547	811	1087	1381	1663	1993	2293
79	293	557	821	1091	1399	1667	1997	2297
83	307	563	823	1093	1409	1669	1999	2309
89	311	569	827	1097	1423	1693	2003	2311
97	313	571	829	1103	1427	1697	2011	2333
101	317	577	839	1109	1429	1699	2017	2339
103	331	587 .	853	1117	1433	1709	2027	2341
107	337	593	857	1123	1439	1721	2029	2347
109	347	599	859	1129	1447	1723	2039	2351
ИЗ	349	601	863	1151	1451	1733	2053	2357
127	353	607	877	1153	1453	1741	2063	2371
131	359	613	881	1163	1459	1747	2069	2377
137	367	617	883	1171	1471	1753	2081	2381
139	373	619	887	1181	1481	1759	2083	2383
149	379	631	907	1187	1483	1777	2087	2389
151	о83	641	911	1193	1487	1783	2089	2393
157	389	6^3	919	1201	1489	1787	2099	2399
163	397	647	929	1213	1493	1789	2111	2411
167	401	653	937	1217	1499	1801	2113	2417
173	409	659	941	1223	1511	1811	2129	2423
2437	2833	3259	г 659	4073	4507	4943	5393	5801
’ 2441	2837	3271	3671	4079	4513	4951	5399	5807
2447	2843	Зх.99	3673	4091	4517	4957	5407	5813
2459	2851	3301	3677	4093	4519	4967	5413	5821
2467	2857	3307	3691	4099	4523	4969	5417	5827
2473	2861	3313	8697	4111	4547	4973	5419	5839
2477	2879	3319	3701	4127	4549	4987	5431	5843
2503	2887	3323	3709	4129	4561	4993	5437	5849
2521	2897	3329	3719	4133	4567	4999	5441	5851
2531	2903	3331	3727	4139	4583	5003	5443	5857
2539	2909	3343	3733	4153	4591	5009	5449	5861
2543	2917	3347	3739	4157	4597	5011	5471	5867
2549	2927	3359	3761	4159	4603	5021	5477	5869
2551	2939	3361	3767	4177	4621	5023	5479	5879
2557	2953	3371	3769	4201	4637	50 <9	5483	5881
2579	2957	3173	3779	4211	4639	5051	5591	5897
2591	2963	3389	3793	4217	4643	5Э59	5503	5903
2593	2969	3391	3797	4219	4649	5077	5507	5923
2609	2971	3407	3803	4229	4651	5081	5519	5927
2617	2999	3413	3821	4231	4657	5087	5521	5939
2621	3001	3433	3823	4241	4653	5099	5527	5953
2633	зон	3449	3833	4243	4673	5101	5531	5981
2647	3019	3457	3847	4253	4679	5107	5557	5987
2657	3023	3461	3851	4259	4691	5113	5563	
2659	3037	3463	3853	4261	4703	5119	5569	
2663	3041	3167	3863	4271	4/21	5'47	5573	
2671	3049	3469	3877	4/73	4723	5 53	5581	
2677	3061	3491	3881	4283	4729	5167	5591	
2683	3067	3499	3889	4.89	4733	5171	5623	
2687	3079	3511	3917	4297	4751	5179	5639	
2689	3083	’ 3517	3911	4327	4759	5189	5611	
2693	3089	3527	3917	4337	4783	5197	5647	
2699	3109	3529	39 9	4339	4/87	5209	5651	
2707	3119	3533	3923	4349	4789	5227	5653	
2711	3121	3539	39-9	4357	4793	5231	5657	
271.3	3137	3541	3931	4363	4799	5233	5659	
2719	3163	3547	3943	4373	4801	5237	5669	
2729	3167	3557	3947	4391	4813	5261	5583	
2731	3169	3559	3967	4397	4817	5273	5689	
2741	3181	3571	3989	4409	4831	5279	5693	
2749	3187	3581	4001	4121	4861	5281	5701	
2753	3191	3583	4003	4423	4871	5297	5711	
2767	3203	3593	4007	4441	4877	5303	5717	
2777	3209	3607	4013	4447	4889	5309	5737	
2789	3217	3613	4019	4451	4903	5323	5741	
2791	3221	3617	4021	4457	4909	5333	5743	
2797	3229	3623	4027	4463	4919	5347	5749	
2801	3251	3631	4049	4481	4931	5351	5779	
2803	3253	3637	4051	4483	4933	5381	5783	
2819	3257	3643	4057	4493	4937	5387	5791	
ОГЛАВЛЕНИЕ.

СТР.

Вместо предисловия............................................  3

Отдел первый

Отвлеченные целые числа.

I.	Счисление............................................... 5

II.	Различные системы	счисления............................ 11

III.	Сложение.....'. . . . ................................. 14

IV.	Вычишние..............................................   18

V.	Римская и славянская	нумерация............... 23

VI.	Умножение............................................... 24

VII.	Деление.................................................. 39

Отдел второй.

О делимости чисел.

Е Признаки делимости....................................   53

II.	Разложение составного	числа на простые множители.....	61

III.	Нахождение делителей................................... 67

IV.	Наименьшее кратное число...............................  73

Отдел третий.

Обыкновенные дроби.

к Основные понятия........................................ 76

II. Изменение величины дроби с изменением ее членов........ 80

Ш. Сокращение дробей.......................................  83

IV.	Приведение дробей к общему наименьшему знаменателю ...	85

V.	Действия над дробными числами .......................   87
Отдел четвертый.

Десятичные дроби.

I.	Главнейшие свойства десятичных дробей. . .............	111

II.	Действия над десятичными дробями....................... 115

III.	Обращение обыкновенных дробей в десятичные............. 121

IV.	Периодические десятичные дроби.......................... 125

Отдел пятый.

Именованные числа.

I.	Измерение величин...................................... 133

II.	Главнейшие меры........................................ 135

III.	Действия над именованными	числами...................... 140

Отдел шестой.

Отношение и пропорция.

I.	Отношение.............................................  142

II.	Пропорция  ............................................ 144

Отдел седьмой.

Задачи на пропорциональные величины.

I.	Простое тройное правило..............................   152

II.	Сложное тройное правило................................ 157

III.	Задачи на проценты...................................   159

IV.	Задачи на учет векселей................................ 162

V.	Задачи на пропорциональное деление......................164

VI.	Задачи на смешение и сплавы....................’....... 169

Приложение. Таблица простых чисел, не превосходящих 6000. . . > .	173








V

? 1 ^ЪхУЙ!

;^^4ад ?^<^*«*'!*Ч1 тЛУг •♦>**	и**О-5



?йй

к §Й®Ш₽ййО«^• ВЭД

•&Л

ВЯЙЗ

йж<

шжшйй

I







»

ГЛ 2^/г?Д1Г ж--'Ъ* о ’,* *’Т» ' т \г .гкЭД^^^ХЗ''*.;	1ч

И Й^^ШОЙЙ* ^-^^^^-в03^сп^;^ЗйШ^йеШЙ

згзй



-’С-'дЦу ’_•
^ШИйОйЖЯ
Л ЙыВД$ Шашй&' МШкшй* >&тодая«®»П1ф-й>ййЙЙтет

/^?>.





ж

Ж

1

3»





р!<

м?;\‘‘^йЙй'И"йв^тед7оч^?адр<я^^^то|иШ1/д®^ВймЖ5ВД^^

♦ ~Д0^р0вх>Ж>{сгквй ' В..-^МмейпНа для х^о . г^ИГ,

РА? *ч ' <,|^--«^;в^%“-.’-<. ';-.-;4.  - '•_.	' ''-	''&

'Книга предаазйЛчена для 5-й грУппы; .’" ' -' •	 •'

,	:х Материал кйигй нетруден для учащихся О грунпы*Внау^ж^

\ шении не вызывает возражений^ ‘ „ '	.- . :« ; * - >

„„	. Полезное пособие для преподавателя. \	/ “?*

. Л е б е д й н ц ев X	Г^тсоводс^дог алгебры. У? С 4йд&1$8*

г и,75х

у Это -—распространенное ‘ Пособие лига Мучеяня1^^
, концентрах школы П ступени* йта обь&жиется соохШй!

< г ? йым требоШням, тщатешго^ обрабай>йь^
изложения. Опытный педагог сказался в иравильнры ме:
ходе л в уменья /сочетать научность Изложений &

Ж

»’

*1ЦэЙ^'

дамаш

-<



\.О р л о в Х^^Цервде 'рабо^Ы^' , ,из^Й»Ж г

Г> ;•	Д;А Л^ЖЯ|1

Книжка описыйет ^актику лтршругйдй ч!ъе«кй;1Ь^
эккера, мензулы, буссоли, астролябии и теодолита,
, . иые таблицы. Изложение простое, отчетливое^ Предусмотреныч'Н№№
* ные затруднения» встречающиеся в практике. , " \	Л?«Ж&

4^Л

ЙЙ

11Г"1,П11.|.1,11П1. II - |,н .;., .^..Й», .,^.у|| .1_ |^ ,11^ .-|. Гф,|.?|^Нй»1|^||«.му^Г*^!^'|>^

^ПРОДАЖА во ВСЕХ МАГАЗЙЙАХ Й

ч..\	' ‘	‘ - ' ''	, . ‘	’	•	- А г- V -	.	•	 '	\

эЖ^41'Ч<-

',*'г	-'/РУ^ ''•

/

••> /7$ж'

'* с* - _

К

V ''- :* ч ' ч'Г I

X


Стр. 143. Ц. 75 к.

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО РСФСР
МОСКВА—ЛЕНИНГРАД

Сборник задач Лебединцевз составлен в тесной связи с курсом алге-
бры того же автора, и подбор примеров, задач и упражнений весьма
удачен как в смысле оформления, так и жизненности затронутых тем;
хотя автор и не вполне свободен от традиций старого времени, но во
всяком случае в целом .Сборник задач по алгебре* Лебединцева не
только не хуже, но лучше большинства алгебраических задачников,
напр., Ланкова, Фридмана и др. Материал систематизирован и вполне
доступен учащимся, гак как приурочен к программным требованиям.

Перельман Я.— Новый задачник по геометрии. Изд. 3-е.

Стр. 160. П. 60 к. *.

Книга может быть использована для 6-го и 7-то годов обучении пре-
имущественно в торонтской школе. По трудности весь материал вполне
доступен указанным возрастные группам,

Книга вполне удовлетворяет методически.! и научным требованиям
Весьма полезна, особенно для учителя; может быть дана на руки и уча-
щимся в добавление к имеющимся пособиям. \

УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

ШКОЛ И СТУПЕНИ •

Учебные книги

ДЛЯ ПЕРВОГО КОНЦЕНТРА

БVмД.. Волков А.,Струве, Р. — Сокращенный сборник упраж-
нений и задач по алгебре. Ч. I. Изд. 6-е. Стр. 180. Ц. 75 к.

Ч. II. Изд. 4-е. Стр. 132. Ц. 70 к. Ч. Ш. Изд. 3-е. Стр. 153.
Ц. 45 к.

Все три части представляют очень хорошее и полно? пособие для
практической проработки курса алгебры приноровленное по характеру
примеров, упражнении и задач к современным программным требов -
ниям. .Сборник* отличается последовательностью и разнообразием мате-
риала, соответствующего возрасту учащихся. Сборник методически вы-
держан, обработка мат риала выполнена с большой тщательно и ь:

Весьма полезное пособие нс только для учащихся II ступени, но к
для всех, кому приходится,? каких-либо целел изучать алгебру.

Берг М., Знаменский М-, По нов Г., С-лудскнЙ И., Хв -
стов Н. и Щетинин Н.—Рабочая книга по математике
в городской школе. Под ред. А. Воронца.

Для 5-го года обучения. Стр. 200. Ц. 70 к., в/п. 84 к.*7.

Для 6-го года обучения. Стр. 212. Ц. 80 к., в/п. 98 к.

Е| Для 7-го года обучении. Ц. 95 к., в/п. 1 р. 15 к. . УЗ
\ Материал нетруден, но требует хорошей подготовки учащихся в пре-
дыдущие годы. В методическом и научном отношениях книга выдержана.

Она обстоятельно излагает теоретичес кий материал и содержит много
разнообразных упражнений, так что вполне может служить рабочею кни-
гою дп° чащша.’а	ьгй'х

Лебединцев К.—Сборник зада^ но алгебре. Ч. I. Изо 4-е.

«0!