Author: Новоселов С.И.  

Tags: алгебра  

Year: 1962

Text
                    С. И. НОВОСЕЛОВ
СПЕЦИАЛЬНЫЙ КУРС
ЭЛЕМЕНТАРНОЙ
АЛГЕБРЫ
ИЗДАНИ Е ШЕСТОЕ
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебника для педагогических
институтов
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
сВЫСШАЯ ШКОЛА»
Москва— 1 962


ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга предназначается в качестве учебника для физико-математических факультетов педагогических институтов по разделу «Алгебра» специального курса элементарной матема- математики. Книга содержит весь учебный материал, предусмотренный программой указанного раздела. Работа студента педвуза над элементарной математикой (как одной из профилирующих дисциплин) не ограничивается изуче- изучением курса, предусмотренного программой. Успешное прохожде- прохождение методики преподавания математики и педагогической практи- практики, занятия в спецсеминарах, а также выполнение курсовых работ немыслимы в отрыве от углубленного изучения элементарной математики. Это понятно, так как от будущего учителя требует- требуется безупречное знание тех дисциплин, которые он станет препо- преподавать по окончании института. Указанные обстоятельства определили структуру настоящей книги, в ней в систематическом изложении представлены все разделы школьного курса алгебры, за исключением учения о чис- числе, которое отнесено программой к разделу «Арифметика» и должно войти в учебник по этому разделу. При рассмотрении курса элементарной математики в педаго- педагогических институтах могут иметь место две в равной мере недо- недопустимые крайности. Первая крайность заключается в отрыве курса элементарной математики от нужд школы. Сюда относятся такие тенденции, как пересказ (в упрощенном виде) в «элементарной» математике того, что было пройдено в «высшей», как отнесение за счет «элементарной» математики ряда вопросов из «высшей» матема- математики, которые почему-либо не вошли в соответствующие курсы» или как превращение курса «элементарной» математики в неси- несистематический набор отдельных «изящных математических этю- этюдов», «избранных» вопросов, «эвристических откровений», «не- «неэлементарных задач в элементарном изложении» и т. д. и т. п. Вторая крайность заключается в пересказе школьного курса 3
математики на научно-идейном уровне, немногим возвышаю- возвышающемся над школьным. В настоящей книге автор старался избегать обеих указанных крайностей. Как мы полагаем, предвузовскому курсу элементарной алгеб- алгебры должны быть присущи следующие черты: 1. В этом курсе должно быть дано научное обоснование ряда важных теоретических вопросов элементарной алгебры, которые в школьном курсе с надлежащей полнотой и стро- строгостью изложены быть не могут, а в высшей математике счита- считаются известными. К числу таких вопросов относится, например, обще'е учение об эквивалентности уравнений и систем уравнений (а также не- неравенств), обоснование учения об элементарных функциях, ряд вопросов комбинаторики. 2. Должно быть дано обоснование ряда методов, широко применяющихся в элементарной математике. Так, например, в высшей алгебре излагаются общие методы исследования линейных систем и устанавливаются общие фор- формулы для их решения (все это, разумеется, будущий учитель должен знать). Однако в практике (и не только школьной) реше- решение и исследование конкретной линейной системы часто бывает проще выполнить непосредственно «элементарными» методами, которые применяются в школе. Очевидно, что научное обоснова- обоснование этих методов должно быть известно учителю. 3. Элементарная алгебра должна воспитывать умение вы- выполнять математическое исследование «прямыми методами» (там, где это, разумеется, целесообразно) непосредственно на основе определения и известных свойств исследуемых объектов. Мы весьма сомневаемся, чтобы без этого умения можно было успешно применять методы современной науки. Так, например, вряд ли будут полезны формулы и теоремы дифференциального исчисления человеку, «не видящему» непосредственно наимень- наименьшего значения функции х2 или оказывающемуся беспомощным при необходимости непосредственно установить несложное нера- неравенство. В частности, в воспитании навыков непосредственного ис- исследования функций элементарная математика имеет огромные возможности. 4. Специальный курс элементарной алгебры должен спо- способствовать выработке твердых навыков в выполнении тожде- тождественных преобразований. Пренебрежительное отношение к тождественным преобразо- преобразованиям, как к чему-то «безыдейному», заслуживает реши- решительного осуждения. Выработка твердых математических навыков есть одна из задач обучения математике в школе.
В самом деле, по меньшей мере легкомысленно считать, что до- достаточно одного «понимания идей», а навыки в их реализации есть дело несущественное. Из сказанного ясно, что учитель школы должен обладать известным мастерством в выполнении тож- тождественных преобразований. 5. Педвузовский курс элементарной алгебры не должен обходить и отдельные вопросы, важные (с точки зрения педа- педагогической или по другим причинам) для школьной практики. Мы подразумеваем такие вопросы, как, например, решение тек- текстовых задач, рассмотрение отдельных частных приемов решения уравнений, рациональных способов решения задач и т. п. Все перечисленные условия могут быть удовлетворены лишь при систематическом изложении основных разделов эле- элементарной алгебры. Однако сист'ема расположения материала в настоящей книге отлична от школьной. Настоящий учебник рассчитан на лиц, прошедших школьный курс математики. Студент педагогического института, уже изучавший ряд серьез- серьезных математических дисциплин и обладающий достаточной мате- математической культурой, сможет подойти к вопросам элементарной математики с более высокой точки зрения. Указанные обстоятель- обстоятельства позволяют в специальном курсе в систематическом изложении всесторонне подойти к каждой теме и отказаться от элементов концентризма, который, в силу возрастных особен- особенностей учащихся, в известной мере неизбежен для курса алгебры средней школы. Мы должны стремиться к тому, чтобы научно- идейное содержание курса элементарной математики гармониро- гармонировало с высоким уровнем, предъявляемым программными требова- требованиями к дисциплинам «высшей» математики, значение которых в образовании учителя невозможно недооценивать. В настоящем курсе приведено большое число до конца решен- решенных примеров и задач. Задачи, примеры и их решение напечата- напечатаны в книге мелким шрифтом, чтобы отделить их от теоретическо- теоретического материала. При изучении элементарной математики невозможно огра- ограничиться изучением теории, и приобретение твердых навыков в решении примеров и задач является совершенно необходимым. Поэтому напечатанные петитом примеры ни в коей мере нельзя рассматривать как необязательный материал. Исходя из потребностей будущего учителя, автор старался представить в настоящей книге по возможности полно все основные виды уп- упражнений по элементарной алгебре. Исключение представляют лишь такие упражнения, как, например, «комбинированные» за- задачи, небезызвестные искусственные задачи «на бином», на про- прогрессии и т. п. Преувеличение значимости подобных упражнений неоднократно подвергалось критике со стороны передовой педа- педагогической мысли. В четвертом издании книга подверглась переработке. В целях
разгрузки текста от материала, знакомого учащимся из прочих математических дисциплин, а также от материала, не имеющего принципиального значения, опущен ряд вопросов, как, например: интерполяционные формулы, конечные разности, общее понятие о линейной зависимости, результат двух квадратных трехчле- трехчленов, общее выражение симметрических функций от корней квад- квадратного трехчлена, возвратные последовательности и т. п. Су- Существенно упрощено изложение теории рациональных функций, упрощено изложение теории радикалов. Систематически изло- изложены теоремы о средних величинах. Мною тщательно просмот- просмотрено решение всех примеров, при этом я стремился к тому, что- чтобы максимально упростить исследования и без ущерба для пол- полноты сделать их по возможности удобообозримыми. Считаю своим приятным долгом отметить большую работу, выполненную кафедрой алгебры Московского областного педа- педагогического института, выразившуюся в детальном просмотре книги в рукописи и в серьезном ее критическом обсуждении. С чувством глубокой признательности я вспоминаю моего покойного учителя академика Николая Николаевича Лузина, который принял живое участие в разработке про- проспекта первого издания настоящей книги и оказал мне неоцени- неоценимую помощь своими советами. Пользуюсь случаем выразить мою глубокую благодарность И. К. Андронову, Б. В. Кутузову, П. А. Ларичеву, П. С. Моденову, чьи критические замечания и дружеские со- советы оказали мне помощь и поддержку в работе над книгой. Выражаю благораность Н. А. Меделяновскому за об- образцовое выполнение иллюстраций. 1 ноября 1961 г. С. Новоселов
ВВЕДЕНИЕ § 1. О содержании курса элементарной алгебры Современная алгебра как наука представляет собой обшир- обширный раздел математики, состоящий из большого числа различных дисциплин (теория групп, колец, полей, линейная алгебра и т. д.), находящихся в состоянии развития. В весьма общем виде содер* жание современной алгебры можно характеризовать следующим образом: основной ('объединяющей различные алгебраические дисциплины) задачей алгебры является изучение алгебраических операций над элементами множеств произвольной природы. При этом, под операцией определенной в данном множестве ЗК, понимается • соответствие, в силу которого произвольным двум элементам а и Ь (взятым в определенном порядке) мно- множества^ ставится в соответствие некоторый вполне определен- определенный элемент с того же множества. Предметом изучения совре- современной алгебры являются операции, обладающие некоторыми вполне определенными, точно описанными ('посредством аксиом) свойствами, и множества (произвольной природы), над элемен- элементами которых установлены эти операции (кольца, поля, группы). Представление, разумеется, не исчерпывающее, о задачах совре- современной алгебры дается в курсе высшей алгебры. Курс элементарной алгебры по своему содержанию значи- значительно отличается от алгебры как науки (в собственном смысле). Содержание элементарной алгебры определяется содер- содержанием школьного курса алгебры. В средней школе под названием «алгебра» понимается учебный предмет, неодно- неоднородный по своему содержанию, в котором излагаются основные сведения, относящиеся не только к алгебре (в собственном смыс- смысле), но и к ряду других математических дисциплин. Известно, что в школьную алгебру входят различные вопросы, как-то: развитие учения о числе, учение об алгебраических выражениях (много- (многочлены, рациональные выражения, иррациональные выражения),
учение об уравнениях, элементы учения о функциях, изучение некоторых трансцендентных функций (показательная, логариф- логарифмическая), понятие о методе координат и его применение к иссле- исследованию функций, понятие о пределе (предел последовательно- последовательности), суммирование простейших рядов (в частности прогрессий), элементы приближенных вычислений и т. д. Некоторые из этих вопросов относятся собственно к алгебре (учение о многочленах, тождественные преобразования, алгебраические уравнения), не- некоторые получают свое дальнейшее развитие в других матема- математических дисциплинах. Например, понятие предела, а также изу- изучение простейших трансцендентных функций относятся не к ал- алгебре, а к математическому анализу. Такая неоднородность школьного курса неизбежна, поскольку школьная математика призвана дать необходимый комплекс общеобразователь- общеобразовательных сведений и навыков, н'е ограничиваясь рамками какой-либо одной математической дисциплины. Курс элементарной математики педагогических институтов ста- ставит своей целью углубленное изучение, развитие и обоснование тех вопросов, которы'е входят в школьный курс математики, и тех методов исследования, которые характерны для школьного курса. Следует отметить также, что ряд важнейших вопросов (как, например, общее учение о равносильности уравнений и не- рав'енств) «высшая» математика не затрагивает, считая их из- известными из «элементарной» математики, а школьный курс не в состоянии изложить их с надлежащей строгостью и полнотой. Указанные причины обусловливают необходимость изучения «элементарной математики» в педвузах в виде самостоятельной учебной дисциплины, весьма важной с точки зр'ения профессио- профессиональной подготовки учителя школы. Настоящий курс охватывает (в углубленном и научно обосно- обоснованном изложении) вопросы школьной алгебры, за исключением учения о числе и о приближенных вычислениях, что отнесено программой к курсу арифметики. В настоящей вводной главе указаны те сведения, которые будут считаться известными из других дисциплин ('изучающихся в педагогических институтах) и которые послужат основанием для изложения курса элементарной алгебры в последующих главах. § 2. Понятия кольца и поля В элементарной алгебре рассматриваются различные кон- конкретные множества, над элементами которых можно произво- производить «арифметические действия». Так, например, действия могут производиться над числами, над многочленами, над алгебраиче- алгебраическими дробями и т. д. Соответствующие общие определения
и аксиомы формулируются в современной алгебре следующим образом. Определение. Кольцом называется множество R, в кото- котором определены две операции (действия): операция сложения, ставящая в соответствие всяким двум элементам а и Ь элемент с, называемый их суммой: с = а-\- Ъ и операция умножения, ставящая в соответствие всяким двум элементам аи Ь элемент d, называемый их произведением d=ab. Операции сложения и умножения характеризуются следу- следующими свойствами. Аксиомы сложения 1.Аксиома ассоциативности: для любых трех эле- элементов а, Ь и с имеем: (a+b)+c=a+(b + c). 2. Аксиома коммутативности: для любых элемен- элементов а и Ь имеем: a+b = b +а. 3. Аксиома обратного действия (для сложения): для любых двух элементов а и Ь существует единственный эле- элемент х, удовлетворяющий условию: а+х= Ь. Элемент х называется разностью элементов b и а и обозначается так х = b — а. Аксиомы умножения 4. Аксиома ассоциативности: для любых трех эле- элементов а, Ь и с имеем: (ab) c=a (be). 5. Аксиома коммутативности: для любых двух элементов а и Ь имеем: ab = Ьа. 6. Аксиома дистрибутивности: для любых трех элементов а, Ь и с имеем: (а -}- Ь)с = ас + be. Примечания: I. В настоящем списке аксиом мы не имели в виду сформулировать минимальное число тре- требований, определяющих понятие кольца, так например, в аксиоме 3 можно не требовать однозначности вычитания. 9
Из условия существования хотя бы одного элемента х, удо- удовлетворяющего уравнению а + х = 6, и из прочих аксиом кольца можно доказать его единственность. II. Мы ограничиваемся лишь коммутативными коль- кольцами, тогда как в современной алгебре изучаются некомму- некоммутативные кольца, для которых аксиома 5 >не имеет места. Определение. Полем называется такое кольцо, содержа- содержащее хотя бы один элемент, отличный от нуля, в котором выполняется следующая аксиома обратного действия для умно- умножения. 7. Для произвольных двух элементов а и Ь, из которых афО, существует единственный элемент ху удовлетворяю- удовлетворяющий условию,: ах = Ъ. Элемент х называется частным от деления b на а и обозна- Ъ чается так: х =—. а В арифметике аксиомы 1, 2, 4, 5 и 6 сложения и умножения называются основными законами действий. Из этих за- конов выводятся правила действий с любым числом компонен- компонентов (правила умножения произведения на сумму, суммы на сум- сумму и т. д.)*. Из аксиом кольца и поля выводятся следующие положения (доказательства см. в курсе высшей алгебры). Во всяком кольце существует единственный элемент: «нуль» данного кольца, сумма которого с любым элементом п кольца равна а: Для всякого элемента а кольца существует единственный элемент—а, называемый противоположным относительно а, удовлетворяющий условию: а + (-а) = 0. Во всяком поле существует единственный элемент «еди- «единица» данного поля, удовлетворяющий следующему условию: а . 1 = 1 . а = а, где а— произвольный элемент поля. Для всякого элемента аФ 0 поля существует единствен- единственный элемент а, называемый обратным относительно а, удов- удовлетворяющий условию' а-а = 1. * При определениях действий с любым числом компонентов и при дока- доказательствах правил действий применяется принцип математической индукции как средство, необходимое при установлении общих свойств конечных множеств. 10
Произведение двух элементов поля равно нулю в том и только в том случае, если по крайней мере один из сомножите- сомножителей равен нулю. § 3. Основные числовые множества, рассматриваемые в элементарной алгебре Натуральный ряд чисел. Аксиомы, характеризу- характеризующие натуральный ряд чисел 1, 2, 3, ..., п, ..., формулируются в арифметике, там же устанавливаются посред- посредством соответствующих определений действия сложения и умно- умножения в множестве натуральных чисел. Множество натуральных чисел не является кольцом (а следовательно, и полем), так как не выполнена аксиома обратного действия для сложе- сложения, а именно, не для всяких двух натуральных чисел а и 6 су- существует число jc, удовлетворяющее условию а + х = Ь. Иными словами, в множестве натуральных чисел ие всегда выполнимо вычитание. Аксиома обратного действия для умножения также не выпол- выполняется. В курсе элементарной алгебры широкое применение имеет метод доказательства, называемый in р и « ц и ti о м матема- математической индукции. Принцип полной индукции основан на следующей аксиоме натурального ряда. Любое множество 93Z натуральных чисел, обладающее свойствами: 1° число 1 принадлежит 90?, 2° если число п принадлежит^, то и непосредственно следующее за ним число также принадлежит 90?, совпадает с множеством всех натуральных чисел. Обычно принципом математической индукции пользуются в следующем виде: если некоторое утверждение, относящееся к натуральным числам, справедливо для числа 1 (п. 1°) и если из справедли- справедливости этого утверждения для числа п следует его справед- справедливость для числа п + 1, следующему за п (п. 2°), то утвер- утверждение справедливо для произвольного натурального числа. Принцип математической индукции вытекает из сформулиро- сформулированной аксиомы: под множеством 90? следует подразумевать множество всех натуральных чисел, для которых справедливо данное утверждение; при соблюдении условий принципа множество 90? совпадает с множеством всех натураль- 11
ных чисел, т. е. данное утверждение справедливо для произволь- произвольного натурального числа. Доказательства общих предложений, имеющих место для всех натуральных чисел, путем непосредственной проверки осуществить невозможно. В самом деле, натуральный ряд есть бесконечное множество и нельзя выполнить бесконеч- бесконечное множество испытаний (для каждого числа в отдельности). Принцип математической индукции позволяет осуществлять до- доказательства общих предложений, имеющих место для произ- произвольного натурального числа. Кольцо целых чисел. В множестве всех целых чисел ..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... выполнимы действия сложения и умножения, причем для сложе- сложения выполняется аксиома обратного действия, а именно: разность двух целых чисел также является целым числом. Следова- Следовательно, множество всех целых чисел есть кольцо. Кольцо целых чисел не является полем, так как для умно- умножения не выполняется аксиома обратного действия, а именно, не всегда одно целое число делится (нацело) на другое. Поле рациональных чисел. Множество всех ра- рациональных чисел состоит из всех целых и дробных чисел (поло- (положительных, отрицательных чисел и числа 0). Всякое рациональ- рациональное число г может быть представлено в виде дроби — , где m и п п — целые числа и п ~h 0 (число п можно считать положитель- положительным). Множество всех рациональных чисел является полем, так как в нем всегда выполнимы действия сложения и умноже- умножения, а также обратные действия: вычитание и деление (кроме деления на нуль). Поле действительных чисел. Числа рациональ- рациональные и иррациональные образуют все вместе множество дейст- действительных чисел. Всякая бесконечная десятичная дробь Р, Qi Я2 -•• Яп---> где р — целое неотрицательное число (целая часть), а 9ь 9г, •••> <7„, ... — десятичные знаки (т. е. qn =0, 1,2,..., 9), изображает положительное действительное число. Обратно, всякое положи- положительное действительное число может быть представлено посред- посредством бесконечной десятичной дроби. Всякое положительное рациональное число может быть пред- представлено в виде конечной, либо бесконечной периодиче- периодической десятичной дроби. Обратно, всякая конечная, либо беско- бесконечная периодическая десятичная дробь изображает рациональ- рациональное число. Всякое рациональное число, изображающееся конеч- конечной десятичной дробью, можно представить в виде бесконечной 12
периодической дроби с периодом 0 и с периодом 9. "Гак, напри- например: — = 0,2 = 0,2000... = 0,1999... о Всякая непериодическая (бесконечная) десятичная дробь изображает иррациональное число. Всякое отрицательное действительное число можно предста- представить двояким образом: с отрицательной, либо с положительной мантиссой (дробной частью), так, например: — 2,79183... = —2 — 0,79183... = — 3 + A —0,79183...) = = — 3 + 0,20816 ... = 3*,20816 ... В множестве всех действительных чисел выполнимы че- четыре арифметические действия (кроме деления на нуль), поэто- поэтому множество всех действительных чисел является полем. В поле действительных чисел выполнимо действие извлече- извлечения корня из неотрицательных чисел: каково бы ни было неотрицательное число а, существует единственное неотрицатель- неотрицательное число х=у^ау удовлетворяющее условию хп=а. Поле комплексных чисел. Всякое комплексное число можно представить в виде а + Ы, где а и Ъ — действительные числа. Два комплексные числа a + bi и a\ + b\i считаются равными в том и только в том случае, если а = аъ Ь — Ьъ Если 6 = 0, то комплексное число считается равным действи- действительному числу а: a+0i= a. Таким образом, действительные числа включаются в множе- множество комплексных чисел. Если b ?* 0, то комплексное число называется мнимым. Мнимое число называется чисто мнимым, если а = 0. В множестве комплексных чисел выполнимы четыре ариф- арифметических действия (кроме деления на нуль), т. е. множество комплексных чисел есть поле. Число i, называемое мнимой единицей, обладает сле- следующим свойством: /2 = — 1. Действия над комплексными числами выполняются по обыч- обычным правилам с заменой i2 на— 1. Степени числа i находятся по формулам: *2 = — 1, i3 = —i, *4 = 1, ...*'4л+А=/*(где п и k — целые числа.) 13
Число p:=|/"a2-f № .называется модулем комплексного числа z = а + Ы\ если zi= 0, то всякое число ф, определенное из условий а . Ь cos 9 = — ¦, sin 9 = — , У а2+Ьг у аг + Ьг называется аргументом комплексного числа z. Всякие два значения аргумента ф1 и фг данного числа связаны соотношением ф2 = ф1 + 2?я (где k — целое число). Всякое комплексное число z можно представить в тригономет- тригонометрической форме: z = p (cos 9 + * sin <p). A) Числу 0 в качестве аргумента «е приписывается никакого числа, при z = 0 в формуле A) следует положить р=0, ав каче- качестве ф можно взять любое число. § 4. Расположенные числовые поля Поле рациональных и поле действительных чисел являются расположенными полями: числа этих полей связаны соотношениями взаимного рас- расположения «равно», «больше», «меньше». Соотношения взаим- взаимного расположения обладают следующими свойствами: I. Для произвольных чисел а и b имеет место одно и только одно из соотношений: II. Свойство необратимости неравенств: если а<&, о 6>а, если жг a>b, mo b <a. III. Свойство транзитивности неравенств: если а<^Ь и 6<с, то а < с. IV. Свойство транзитивности равенства: если а = b и b = с, то а = с. V. Свойство рефлексивности равенства: всегда а = а. Прочие известные из арифметики свойства равенств и нера- неравенств можно вывести из основных соотношений I—V. Арифметические действия и соотношения взаимного располо- расположения связаны между собой следующим образом: Г. Закон мон отояности сложения: если а<^Ьу то a -f с<^b + с. 14
2°. Закон мо.нотон.ности умножения: если а < 6, то ас < be при с > 0 w ac^>bc при с < О, Числа положительные являются большими нуля, а от- отрицательные — меньшими 1нуля. Число а больше числа Ъ в том и только в том случае, если разность а—Ъ положительна: ' >0, если а>6, а — Ъ = 0, если а = 6, <0, если а<6. Если а<^6<с, то говорят, что число 6 расположено между числами а и с. Поле рациональных и поле действительных чисел обладают следующим свойством плотности: каковы бы ни были два различные действительные (или рациональные) числа, существует бесконечное множество дейст- действительных (рациональных) чисел, содержащихся между данными числами. В множестве всех действительных чисел рациональные и ирра- иррациональные числа расположены всюду плотно, а именно, между произвольными двумя различными действительными числами расположено бесконечное множество как рациональных, так и иррациональных чисел. Поле действительных чисел обладает следующим свойством непрерывности (принцип стягивающихся сегментов): если две последовательности действительных чисел аи аа, ..., ал>... {ап} и Ьъ Ь2, ..., bni... {bn} обладают следующими свойствами: Г последовательность {ап} не убывает: Оч < «2 < «з < ... < ап < - • •: 2° последовательность [Ьп) не возрастает: bL>b2>b3>...>bn>...; 3° при всех значениях п имеет место неравенство 4° каково бы ни было заданное (как угодно малое) число е > 0 при всех достаточно больших значениях п имеет место не- неравенство: I Ьп — ап|<8, т. е. lim(bn — ап) = О, 15
то (при выполнении перечисленных условий) существует единственное действительное число ?, заключенное при (произ- (произвольном п) между числами ап и Ьп: ап<Ь<Ьп. Поле рациональных чисел свойством непрерывности не о б- л а д а е т, а именно, для последовательностей {ап} и {Ьп} (ра- (рациональных чисел) могут быть выполнены все перечисленные условия 1° — 4°, однако, в поле рациональных чисел может не существовать числа ? (рационального), удовлетворяющего неравенствам ал<5<&л. В этом случае в поле действительных чисел 5 является иррациональным числом. Множество рациональных чисел яв- М (а Ь) ляется недостаточным для изме- - ' рения непрерывных величин. Так, на- например, известно, что не всякий отре- отрезок соизмерим с отрезком, выбранным за единицу длины. Величины отрез- отрезков, несоизмеримых с единичным от- отрезком, не могут быть выражены ра- рациональными числами. Множество всех действительных чисел является достаточным для измерения непрерыв- Черт. 1 ных (скалярных) величин. Так, напри- например, всякому отрезку (при произволь- произвольно выбранном единичном отрезке) можно поставить в соответст- соответствие вполне определенное положительное число — его длину, при ыом длина отрезка, соизмеримого с единичным, есть рациональ- но'е число, а несоизмеримого с единичным — иррациональное. Обратно, каково бы ни было положительное действительное чис- число, существует единственный отрезок, длина которого (при дан- данной единице измерения) выражается данным числом. Между множеством всех действительных чисел и мнооюеством всех точек прямой линии можно установить взаимно однозначное соответст- соответствие. Простейшим способом установления этого соответствия яв- является введение координат на прямой линии. При введении координат «а прямой выбирается начальная точка (на прямой), выбирается единичный отрезок и устанавли- устанавливается положительное направление (или направление «впра- «вправо»). При этом способе изображения действительных чисел точ- точками прямой линии сохраняется порядок следования элементов. а именно, из двух различных действительных чисел большему числу соответствует точка, расположенная (на прямой) «пра- «правее». Если а<Ь<^с, то число b изображается точкой, расположен- расположенной внутри отрезка, концами которого служат точки, изобража- изображающие числа а и с. 16
Поле комплексных чисел не является расположенным: о именно, для двух различных комплексных чисел (из которых хотя бы одно не является действительным) понятия «больше», «меньше» не устанавливаются никак. Как известно, эти понятия нельзя распространить на комплексные числа так, чтобы сохра- сохранились все те свойства, которые присущи этим понятиям в поле действительных чисел. Множество всех комплексных чисел и множество точек пло- плоскости можно поставить во взаимно однозначное соответствие. Обычно это соответствие устанавливается следующим образом. На плоскости устанавливается прямоугольная декартова систе- система координат, тогда число z—a + bi изображается точкой М с абсциссой равной а и с ординатой равной b (черт. 1). Геомет- Геометрическим изображением числа z = а 4- Ы можно также считать вектор (направленный отрезок) ОМ, начало которого находится в начале координат, а конец в точке М, изображающей число z. Модуль комплексного числа P=|z| есть расстояние точки М. изображающей число z, до начала координат, иначе говоря, Ы есть длина вектора ОМ. Аргумент <р комплексного числа z есгь величина угла, образованного вектором ОМ с действительной осью (т. е. с осью Ох), аргумент определяется (не однозначно, а с точностью до целого числа «полных оборотов», т. е. до слага- слагаемого вида 2kn. Значение ф, взятое при условии 0 <ф<2я (в пределах «первого оборота»), обычно называют главным значением аргумента. § 5. Числовые промежутки Пусть а и b — произвольные действительные числа, взятые при условии О!<6. Определения. Г. Интервалом (а, Ь) называется множество всех действительных чисел х: удовлетворяющих неравенствам: 2°. Сегментом [а, Ь] называется множество всех действитель- действительных чисел, удовлетворяющих неравенствам: Геометрически интервал (а, Ь) изображается на числовой прямой множеством точек, лежащих между точками а и 6, т. е. отрезком с концами в точках а и 6, при этом сами концы исключаются (черт. 2). Сегмент [а, Ь] изображается отрез- отрезком с концами в точках а и 6, причем сами концы а и b в к л ю- чаются в отрезок (черт. 3). В целях единообразия терминологии и обозначений вводятся в рассмотрение «бесконечные» интервалы, посредством следую- следующих определений-* 2 С. И Новоселов 17
1°. Множество всех действительных чисел называется интер- интервалом от — оо (минус бесконечности) до +оо (плюс бесконеч- бесконечности) и обозначается символом (—оо, +оо). 2°. Множество всех действительных чисел больших (мень- (меньших) числа а называется интервалом от а до +оо (или от —оо до а) и обозначается символом (а, + со) или (—со, а) (черт. 4). (o,b) [a.b] Черт. 2 Черт. 3 Принято символы +оо и —оо считать связанными с действи- действительными числами и между собой соотношениями неравенств, именно: всякое действительное число а считается меньшим, чем + оо, и большим, чем —оо, а символ —оо считается меньшим, чем +оо- — оо <а< + оо. Множества чисел х9 удовлетворяющих следующим (неравенст- (неравенствам: + со, a<x<+co, _оо<л;<а соответственно суть: множество всех действительных чисел, т. е. (—оо, +оо), множество всех действительных чисел больших а, т. е. (а, +оо) и множество всех действительных чисел мень- меньших а, т. е. (—оо, а) (черт. 4). Черт. 5 b Черт. 4 Черт. 6 Множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам называется полусегментом [а, Ь) (черт. 5), а множество чисел, удовлетворяющих неравенствам а<Сх< 6, называется полуинтервалом (а, Ь] (черт. 6). Все рассмотренные виды интервалов, сегментов, полусегмен- полусегментов и полуинтервалов (конечных и бесконечных) объединяются общим термином «промежуток». 18
§ 6. Основные понятия учения о функциях В настоящем параграфе дается краткое (конспективное) перечисление основных понятий и положений, относящихся к об- общему учению о функциях. Систематическое изложение общего учения о функциях содержится в пособиях по математическому анализу. Общее понятие функции. Пусть'ЗЛ и ЭТ— два мно- множества, элементами которых могут быть любые объекты. Если каждому элементу х множествами ставится в cooi- ветствие некоторый элемент у множества 9? Л то говорят, что задана функция Элементы х множества ^называются значениями аргу- аргумента, а соответствующие элементы у множества 9?—з наче- ниями функции. Множество ЗЛ называется областью определения функции или множеством значений (допустимых) аргумента. Множество соответствующих значений у = f(x) называется множеством значений функции. Так, например, процесс измерения отрезков (или углов) ста- ставит в соответствие (по определенному правилу) всякому отрезку (углу) число — его меру. Следовательно, длина отрезка (мера угла) есть функция отрезка (угла). Здесь значения аргумента суть отрезки (углы), а значения функции — числа. Если (в частности) областью определения функции является натуральный ряд чисел, то такая функция .называется по сле- следователь «остью (о последовательностях см. гл. VIII на- настоящей книги). Для числовых функций от числового аргумента мно- множество УЯ —область определения, есть некоторое множество «чи- «чисел, значения функции суть числа, а потому и множество зна- значений функции есть также некоторое множество чисел. Применительно к числовым функциям общее определение понятия функции, в его современном панима^ии, впервые было дано великим русским ученым Н. И. Лобачевским. Ниже сформулирован ряд определений, относящихся к дей- действительным функциям от действительного аргумента. Ограниченные функции. Функция f(x) называется ограниченной на данном числовом промежутке (содержащемся в области ее определения), если существует такое число М > О, что при всех значениях аргумента, принадлежащих данному промежутку, имеет место неравенство \f(*)\<M. Если числа М, удовлетворяющего этому условию, не су- существует, то функция f(x) называется неограниченной. 2* 19
Если в данном промежутке выполняется неравенство f(x)<M (или f(x)>M), тде М — некоторое число (не обязательно положительное), то функция /(х) называется ограниченной сверху (сни- (снизу) в данном промежутке. Четные и нечетные функции. Функция f(x) назы- называется четной (нечетной), если ее значения равны (противо- (противоположны) при произвольных двух противоположных значениях аргумента: /(*) =/(—*)> Для четной функции; f(x) = —f(—х)} для нечетной функции. График четной функции симметричен относительно оси OYy а нечетной функции относительно начала координат. Взаимно обрат- X/ *2*з *» */ *б *7 ные функции. Соот- ^ ? ^ Р ^ ? ^ ветствие между значени- значениями аргумента и значе- значениями функции может не быть взаимно однознач- однозначным, именно всякому зна- Y*f(x) У'-у2'"Уз У^Ув Уб Уг чению аргумента соответ- соответствует единственное зна- Черт. 7 чение функции, тогда как всякое данное значение функция может иметь при нескольких (быть может, при беско- бесконечном множестве) значениях аргумента (черт. 7). Если всякому данному значению функции у поставить в соответствие все зна- значения аргумента х, при которых y=f(x), то в общем случае та- такое соответствие не определяет функцию. В самом деле, в общем случае нарушается основное требование: данному значению у со- соответствует не одно, а некоторое множество значений х *. В частных случаях функция у = f(x) может быть такой, что всяким двум различным значениям аргумента соответствуют два различных значения функции, тогда каждому значению у функ- функции можно поставить в соответствие одно единственное число х, то самое, при котором значение функции f(x) равно у. В рассмат- рассматриваемом случае между множествами значений аргумента и зна- значений функции устанавливается взаимно однозначное * При изучении действительных функций от действительного аргумента мы считаем правильным ограничиться лишь однозначными функциями. Поня- Понятие многозначной функции встретится в данной книге лишь в § 46, где речь идет о функциях комплексного аргумента. 20
соответствие. Следовательно, х можно рассматривать как функ- функцию от аргумента у: х = Т(у). Областью определения функции f{y) является множество зна- значений функции f(x). Определение. Функции у= f(x) и x = J(y), устанавливающие взаимно однозначное соответствие между множествами значений х и у, называются взаимно обратными. Понятие предела функции. Понятие предела функ- функции f(x) в данной точке а имеет смысл лишь в том случае, ког- когда в любой окрестности точки а содержатся точки, принадлежа- принадлежащие области определения функции f(x)f отличные от а, т. е. а есть предельная точка для области определения функции f(x). В математическом анализе принимаются следующие опреде- определения: Г. Число Ь называется пределом функции у = f (x) в точке а, если при произвольном заданном числе г > 0 существуем число б > О такое, что неравенство \f(x)-b\<e A) выполняется для всех значений аргумента, отличных от а (т. е. х Ф а) и удовлетворяющих условию 0<\х-а\<Ъ. B) Для обозначения предела пишут = Ь. 2°. Число Ь называется пределом функции f(x) в бесконеч- бесконечности (в минус бесконечности): lim f(x)=b (или соответственно lim / (х) = 6), X -> оо х -> — со если при произвольном заданном е < 0 существует такое число N > 0, что неравенство A) выполняется для всех значений аргу- аргумента, удовлетворяющих неравенству х > N (или соответствен- соответственно х < —N). 3°. Функция f(x) имеет в точке а бесконечный предел, рав- равный + оо (или —оо): lim f(x)= + oo (или lim f(x) = — оо), х -> а х -> а если при любом заданном М > 0 существует такое число б, чю неравенство f(x)>M (или f(x)< — M) выполняется при всех значениях аргумента х Ф а, удовлетво- удовлетворяющих, усювию B). 21
4°. Функция f(x) имеет в бесконечности предел, равный бес- бесконечности (минус бесконечности): lim f (х) = оо (или lim f(x) = — оо), если при любом заданном М > О существует такое число N, что неравенство f(x)>M (или f(x)< — M) C) выполняется при всех значениях аргумента, удовлетворяю- удовлетворяющих условию 5°. Аналогично lim f (x) = оо (шш lim f(x) = — оо) Х->—ОО #->—СЮ означает выполнение неравенства C) яра условии лс <—ЛЛ Понятие предела распространяется на функции от любого числа аргументов. Пусть Л (аь а2, ..., ап) —данная точка. Запись Wmf(xu x2, ..., хп)^Ь ХА означает, что при любом е > 0 существует такое число б > О, что неравенство !f(*i, ** ..., хп)—Ь\<г выполняется в произвольной точке X (хи х2, ..., хп), удаленной от точки А на расстояние меньшее б, т. е. V (*i - ^iJ + (*2 Если предел функции в данной точке является числом, т. е. этот предел отличен от ±оо, то говорят, что функция имеет конечный предел. 6°. Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если ее предел в точке а равен ее значению в точке а; \\mf{x) = f(a). х-> а Это определение применимо к функциям с произвольным чис- числом аргументов. В элементарной математике обычно рассматриваются функ- функции в числовых промежутках. Исключение составляют последо- последовательности, для которых областью определения служит беско- бесконечное множество дискретных точек 1, 2, ..., л,... (см. ниже, § 112). Принцип продолжения по непрерывности. Пусть у= f(x) —данная функция. Если при х = а функция f(x) не определена и, таким образом, f(a) не имеет смысла, но предел 22
(конечный) lim f(x) = А существует, то принято значение х = а х-*а включать в область определения функции, при этом считается: х->а Это дополнительное определение называется принципом продолжения по непрерывности, так как при дан- данном соглашении мы 'получим функцию, непрерывную в точке а. Так, например f(x) = -2- при подстановке х = 0 теряет х смысл, но lim =1 , поэтому следует считать / @) = 1. о х Принцип продолжения по непрерывности применяется к функ- функциям с любым числом аргументов. Принцип продолжения по непрерывности является соглаше- соглашением, которое можно принять, а можно и не принимать. Матема- Математический анализ широко пользуется этим принципом, тогда как элементарная математика обычно его не принимает. Отказ эле- элементарной математики от принципа продолжения по непрерыв- непрерывности обусловлен тем, что школьный (курс математики не содер- содержит достаточных сведений по теории пределов и не располагает соответствующим аппаратом. § 7. Монотонные функции Определение. Функция f(x) называется возрастающей (убывающей) на данном промежутке, если при произвольных двух различных значениях аргумента, принадлежащих данному промежутку, большему значению аргумента соответствует боль- большее (меньшее) значение функции: f(*i)<f(*2), если XiOs, для возрастающей функции и f (*i) > / (*2), если л^Оз, для убывающей функции. Функция возрастающая или убывающая в некотором про- промежутке называется монотонной (строго) в этом промежутке. К монотонным функциям относятся также функции неубы- неубывающая и возрастающая. Первая характеризуется условием: /(*i)</(*2), если *i<*2, а вторая условием: если х1 < х2. 23
Можно рассматривать ограниченные и монотонные функции не только в промежутке, но на любом числовом множестве, со- содержащемся в области определения. Теорема. Всякая возрастающая (или убывающая) функция имеет обратную функцию. При этом обратная функция также возрастает (убывает). Доказательство. Предположим для определенности, что функция f(x) возрастает, тогда из неравенства Х\ <С х2 следу- следует: f(x\) <f(*2), а потому двум различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции. Следовательно, об- обратная функция х =f(y) существует. Докажем, что обратная функция возрастает. Пусть У\<Су2 и^ Х\ = f(t/\) и х2 = /(г/2) — соответствующие значения функции f(y). По условию но это возможно лишь, если так как, предположив противное: Х\^ х2у мы (в силу возраста- кия f(x) получили бы #1>- у2. Определение. Функция f(x) на сегменте а < х < Ъ возра- возрастает (убывает) от m до Л1, если 1° функция f(x) возрастает (убывает) на сегменте [ а, &]; 2° в концах сегмента а и Ь имеет значения, равные (со- (соответственно) m и М; 3° всякое значение с, промежуточное между m и М, т<Сс<^М (для возрастающей функции), т>с>Л1 (для убывающей функции) функция f(x) имеет при некотором значении х = | в интервале (а, Ь): /($) = с, где а<е<6. В силу монотонности функции значение х = 5 един- единственно. Из математического анализа известно, что если функция f(x) возрастает (убывает) и непрерывна на сегменте [а, Ь\ то она воз- возрастает (убывает) на этом сегменте от f(a) до f(b). Аналогично определяется понятие функции, возрастающей (убывающей) от m до М в интервале (а, Ь)\ в этом случае усло- условие 2° заменяется следующим условием: lim / (х) = m, lim f (х) = М. х-> а *-> b 24
§ 8, Понятие аналитического выражения Под аналитическим выражением подразумевается символи- символическая запись ряда м тематических операций, которые следует произвести в определенном порядке над числами, обозначенны- обозначенными буква ни (аргументами) или цифрами, чтобы получить чис- численное значение данного выражения. Примерами аналитических выражений могут служить: х — ух I-у В элементарной математике обычно считают, что все входящие в состав аналитического выражения числа и значения аргументов принадлежат данному числовому полю, а именно либо полю рациональных, либо полю действительных, либо полю комплексных чисел. При этом говорят, что аналитическое выражение рассмат- рассматривается над данным числовым полем. Аналитические выражения могут быть предметом содержа- содержательного исследования, если точно указано, какие именно мате- математические операции над числами и аргументами считаются до- допустимыми. В курсе элементарной математики рассматриваются следую- следующие алгебраические операции: четыре арифметические действия (в частности, возведение в целую степень), извлечение корня, а также следующие простейшие трансцендентные операции: ха (где а — данное иррациональное число), ах', loga.xr (где а — данное число), sinx, cosjc и т. д., arcsinx, arccosx и т.д. Аналитические выражения, рассматриваемые в элементарной математике, строятся посредством последовательного примене- применения указанных простейших операций в любых комбинациях,.од- комбинациях,.однако, в конечном числе раз *. Примерами таких выражений могут служить: *3 + У3 — ху, У х+ arctglO4 , хх — sin lg (! + Vx — У) + х2+ у2+ z2 и т. п. Если в аналитическом выражении U (х, у,..., z), содержащем аргументы х, у,..., 2, придать каждому из этих аргументов некоторое вполне определенное численное значение: х = а, У = Ь,..., z = с (из того поля, над которым данное выражение рассматривается), то возможен один из следующих случаев. * Это значит, что операции, связанные с предельными переходами, как,, например: суммирование бесконечных рядов, вычисление бесконечных произве- произведений и т п., элементарной математикой (как правило) не рассматриваются. 25
Случай Г. При системе значений аргументов х = а, у = 6,..., z = с в результате выполнения всех указанных в дан- данном выражении математических операций получается некоторое определенное число из того поля, над которым выражение U (х, у,..., z) рассматривается. Определение.. Система чисел а, Ь, ..., с называется допусти- допустимой системой значений аргументов, если при х = а, у = ft, ..., 2 = с все математические операции, указанные в данном анали- аналитическом выражении, выполнимы (в данном поле). Соответствующее значение выражения U (х, у,..., г) обозна- обозначается символом U (а, Ь,..., с) и называется его значением в точке (а, 6,..., с). Случай 2°. При х = а, у = 6,..., z = с всех операций ука- указанных выражений U (ху у,..., z) в данном числовом поле выпол- выполнить невозможно., В этом случае значение U (а, 6,..., с) (в данном числовом поле) ие имеет смысла. Выражения, не имеющие смысла ни при каких системах зна- значений аргументов, в дальнейшем рассматриваться же будут. Примечание. В 'некоторых разделах математики рассматриваются многозначные выражения, т. е. такие выражения, для которых (при данной (допустимой) систе- системе значений аргументов получается не одно, а (вообще го- говоря) несколько (или даже бесконечное множество) ана- чений. Как правило многозначные выражения в настоящем курсе рассматриваться не будут, за исключением лишь ир- иррациональных выражений над полем комплексных чисел (см. гл. III, § 46). Примеры 1. Для выражения допустимой является любая система неравных х у чисел хну (например, х = 2, у = 3 или х = 1, у = 5 и т. д.), при х = у деление невыполнимо, и выражение теряет смысл. 2. Для выражения V— 1 — X* — У2 — 22 , рассматриваемого над полем действительных чисел, ни одна система чисел (действительных) х, yf z не является допустимой; над полем комплексных чисел это выражение можно рассматривать при любых ху у и г. 3. Значение выражения х2+у2—z2 в точке A, 2, —2) равно 1+2*—(—2J=1, в точке ( , О, V2 равно 4. Выражение -—;— ; не имеет смысла ни при каких (х + У)г — х* — 2ху —up v 26
системах значений аргументов х и у, а потому, как лишенное смысла, оно должно быть исключено из рассмотрения. 5. Выражение x2+\gx имеет смысл при всех положительных значениях х. Определение. . Областью определения аналитического вира- жения называется множество всех допустимых систем значе- значений аргументов. Иными словами, область определения есть множество всех точек, в которых данное выражение имеет смысл. Иногда, согласно специальному указанию или в соответствии с конкретным смыслом аргументов, на допустимые значения ар- аргументов налагаются дополнительные условия. Имен- Именно допустимыми считаются не все, а лишь некоторые системы значений аргументов, при которых данное выражение имев! смысл. Так, например, если при решении текстовой задачи че- через х обозначено количество людей, то для аргумента х допу- допустимыми являются лишь целые неотрицательные значения. Примеры х2 + 1 1. Областью определения выражения — служит множество всех X \Х 1) чисел, отличных от 0 и 1. В поле действительных чисел это есть совокупность трех интервалов (—оо, 0), @,1) и A, +о°). 2. Областью определения выражения ! 1 служит множество всех систем трех чисел (*, г/, z), ни одного из которых не равно 0. 3. В поле действительных чисел область определения выражения у 1—х1 находится из условия 1—х2^-0, при котором значение корня действительно*, это есть сегмент [—1, 1]. 4. В формуле для площади круга яг2 буква я обозначает определенное число, а г — длина радиуса — есть аргумент: для г допустимым является про- произвольное положительное значение. 5. В выражении для произвольного двузначного числа в десятичной сис- системе: Юх+у допустимые системы значений аргументов суть пары чисел хну, где х — любое целое число не меньше 1 и не больше 9, т. е. *=1, 2, 3,...,9, а у — любое целое неотрицательное число не больше 9, т. е. t/ = 0, 1, 2, 3, . . ., 9. § 9. Элементарные функции Так как всякой допустимой системе значений аргументов со- соответствует некоторое значение аналитического выражения U (х, у,..., г), то это выражение определяет функцию от аргу- аргументов х, у,..., z. Областью определения этой функции является область определений данного выражения. Выражение, не имею- гдее смысла ни при каких системах значений аргументов, не оп- определяет никакой функции. Функция, определяемая посредством аналитического выраже- выражения, .называется также функцией, заданной формулой. 27
Не следует отождествлять понятия функции и аналитичес- аналитического выражения. Как известно, U есть функция от аргументов х} у,..., z, если каждой допустимой системе значений аргументов соответствует некоторое определенное значение U. Это опреде- определение не предполагает, что закон соответствия функции задает- задается формулой. Так, например, поставим в соответствие всякому действительному числу х число у, положив: A, если х — рациональное число, \0, если х--иррациональное число. Здесь функция задается не формулой, а непосредственным описанием закона соответствия. Определение. Функция называется элементарной, если ее можно задать выражением, составленным посредством последо- последовательного выполнения простейших операций элементарной ма- математики (эти операции перечислены на стр. 25). Примеры Примерами элементарных функций могут служить: , /4--* х3 + Зх2 -4- 1, 1/ — —2x4-3, arctg -^- sin У ху + 2 у , lg A + Ух — у)+ х*у*г* и т. п. § 10. Тождественные преобразования, действия над аналитическими выражениями При совместном рассмотрении двух или несколь- нескольких аналитических выражений от данных аргументов допустимы- допустимыми считаются все те системы значений аргументов, при которых каждое из рассматриваемых выражений имеет смысл. Иными словами, при совместном задании нескольких аналитических выражений они рассматриваются в общей части их областей определения. Примеры X п 1. Выражение имеет смысл, если х ф у; выражение —,— имеет х— У х+у смысл, если х =h—у. При совместном рассмотрении этих выражений счи- считается, что х ф ± у. 2. Выражение lg (*+l) имеет смысл при х> —1, а выражение lg (х—1) — при х > 1; совместно эти выражения можно рассматривать при х > 1. 3. Выражения lg л' и lg ( -x) рассматривать совместно не имеет смысла» так как области их определении т. е множество положительных чисел (для первого выражения) и у ~>жество отрицательных "исел (для второго выраже- выражения) не имеют общей части. 28
Определение. Два аналитических выражения 1)(х, у, ..., г) и V (х, у,.., г) от данных аргументов, рассматриваемые совмест- совместно, называются тождественными, если их значения равны при произвольной допустимой системе значений аргументов. Равенство U(x, У, ..., z)=V(x, у, ..., г), имеющее место при всех допустимых системах значений ар- аргументов, называется тождеством. Следовательно, два тождественных выражения определяют в общей части их областей определения одну и ту же функцию. Примеры 1. Выражения \+2х+х2 и A+хJ тождественны, их значения равны при произвольных значениях х. 2. Для выражения 2 lg л: областью определения служит интервал 0<*<оо. Выражение \g х2 имеет смысл при всех значениях х=/=0, областью его определения служит совокупность двух интервалов —оо < я < О и 0 < * <оо. Тождество \gx2=2\gx есть равенство, справедливое в общей части областей определения выражений \gx2 и 2 lgx, т. е. в интервале @, оо). Для обозначения тождественности двух выражений наряду со знаком равенства применяется символ = : U(x9 у, ..., z) = V(x, у, ..., г). Примечание. Введение специального знака = обус- обусловлено тем, что знак равенства может применяться в раз- различных смыслах, например для обозначения равенства чи- чисел или для обозначения уравнения (см. гл. IV, §47). Простейшими и вместе с тем основными алгебраическими тождествами являются равенства, выражающие законы арифме- арифметических действий: а + Ь = b + a, (a+b) + c = a+(b + c), ab=ba, (ab) c = a(bc), (a+ b)c = ac -f be. Эти тождества имеют место в произвольном числовом поле. Тождествами являются также равенства, вытекающие как следствия из законов арифметических действий. Примерами та- таких тождеств являются известные из арифметики равенства, вы- выражающие правила действия с любым числом компонентов: пе- перестановка и группировка слагаемых и сомножителей, умноже- умножение суммы на число, умножение суммы на сумму и т. п. Определение. Замена аналитического выражения другим тождественным ему выражением называется тождественным преобразованием данного выражения. 29
Соотношение тождественности аналитических выражений, рассматриваемых на одном и том же множестве до- допустимых систем значений аргументов, обладает следующими основными свойствами, характеризующими соотношение эквива- эквивалентности: I. Свойство обратимости: если U^V, w V =={]. II. Свойство рефлексивности: U^U. III. Свойствотранзитивности: если U= V и V = Wy Пусть U (х, у, ..., z) и V (х, у, ..., z) два тождественных анали- аналитических выражения; если эти выражения рассматривать не сов- совместно, а по отдельности, то их области определения могут оказаться различными. В этом случае преобразование> заключающееся в замене аналитического выражения другим,, ему тождественным, может привести к изменению области оп- определения. При таком расширенном толковании понятия тожде- тождественного преобразования основные свойства I, II, III не могут безоговорочно применяться. Примеры х+\ 1 1. Тождественное преобразование — = расширяет область X ~~— 1 X —~~ 1 определения левой части, так как лева?, часть имеет смысл при всех значе- ниях х ф ±1, а правая часть при всех значениях х=?*\. 2. При преобразовании lg*2 = 21g* область определения выражения lg х2 сужается: из двух интервалов (— оо, 0) и @, оо) исключается первый интервал. 3. Из тождеств: Ю1^ =, и - не следует, что их левые части также тождественны. В самом деле, левая? часть первого тождества определена в интервале @, оо), а левая часть вто- второго— в интервале (—оо, 0), но эти интервалы не имеют ни одной общей точки и выражения: 101** и - не имеет смысла рассматривать совместно. Определение.Пусть U (x, y,...,z) и V (х, y,...,z) два анали- аналитических выражения, рассматриваемых совместно; выражения: Щх, У у ..., z)+V(x9 у, ...,г); U(x, yy ..., z)-V(xt у, ...,zj; */(*, У> ¦¦-.*) V(x, у, . . .,г) (последнее выражение рассматривается лишь при условии, есл» V не равно тождественно нулю), значения которых равны (со- (соответственно) сумме, произведению и частному значений U ш 30
V, называются соответственно суммой, произведением и частным выражений U и V. Этот общий принцип кладется в основу определения действий над различными частного вида аналитическими выраже- выражениями. § 11. Аналитические выражения, содержащие параметры Рассмотрим некоторое аналитическое выражение, содержа- содержащее две группы аргументов. Будем для определенности аргумен- аргументы одной группы обозначать последними буквами алфавита, капр. л:, у, ..., г, и по-прежнему называть их аргументами, а аргументы другой группы обозначать первыми буквами алфави- алфавита, напр, а, 6,..., с, и называть их параметрами. Нижеследующие выражения могут служить примерами выра- выражений, содержащих параметры: 2 , arctgf — Если параметрам а, 6,..., с придана некоторая система чи- численных значений, то получится выражение, содержащее только лишь аргументы лс, у,..., z. При этом возможен один из следу- следующих двух случаев. Случай 1°. Полученное выражение определяет некоторую функцию от аргументов х, y,...,z (над данным полем). В этом случае данная система численных значений параметров называ- называется допустимой. Случай 2°. Полученное после подстановки значений пара- параметров выражение «е определяет никакой функции от аргумен- аргументов лс, у,..., z иад данным числовым полем, обратившись в выра- выражение, лишенное смысла при всех значениях аргументов х, у,..., z (из данного числового поля). В этом случае данная система зна- значений параметров не считается допустимой. В некоторых случаях >на допустимые значения параметров, в соответствии с их конкретным смыслом, налагаются дополни- дополнительные ограничения. Примеры 1. Для аналитического выражения допустимой является произвольная система двух чисел (из данного поля) а и 6, из которых ни одно не равно нулю. Так, например, при а=2, 6=3 по- получим функцию: х2 у*_ 4 + 9 ' Системы значений параметров @, 2), C, 0), @, 0) не являются допустимыми. 31
2. Для выражения \g(x— а) допустимой является произвольное действи- действительное значение а. Область определения функции \g(x— а) (при данном а) есть интервал (а, оо). Эта область определения различна для различных зна- значений а. Так при а = 1, а = —2 иа = 0 получим функции \g(x—1), Ig(*-f2) и lg х. _ 3. Для выражения ах + а х множеством допустимых значений а служит интервал 0<а<оо, так как функция ах (в элементарной математике) рас- рассматривается лишь при положительном основании. 4. Рассмотрим круговой конус с радиусом основания г, объем этого кону- конуса выразится через высоту х по формуле v= ~rnr2x. Здесь не смыслу зада- чи для параметра г допустимыми являются лишь положительные значения, но выражение~г~ тсг2ху рассматриваемое вне связи с данной задачей, имеет о смысл при произвольных значениях х и г.
ГЛАВА I МНОГОЧЛЕНЫ § 12. Многочлены Определение. Целым рациональным выражением или мно- многочленом называется выражение, составленное из аргументов и из чисел посредством только лишь действий сложения и умножения. Тем же термином «многочлен» называется функция, опре- определяемая целым рациональным выражением. Числа, входящие в состав многочлена, а также допустимые значения аргументов будем считать принадлежащими некоторо- некоторому числовому полю (это поле должно быть указано). Возведение в целую положительную степень п > 1 является частным случаем умножения: п раз Хп = X • X . . . X, при п = 0 и при п = 1 считают (соответственно) х° = I х1 =х. Следовательно, степени (целые положительные) аргументов и целых рациональных выражений от аргументов в свою оче- очередь являются многочленами. Деление на число (из данного числового поля) можно рас- рассматривать как умножение на обратное число. Так, например, X 1 ^ — = —х. Поэтому, целое рациональное выражение может со- содержать действие деления на определенные числа (из данного поля); однако не может содержать деления на аргументы и на выражения, содержащие аргументы. Примеры 1. Примерами многочленов могут служить: х, х\ (х-у)\ х* + 2ах*-а\ ±. + JL+JLf (ах + by)* [(х - у)* + 3 (аН + Ь*у*)*] 4 3 С. И. Новоселов 33
2. Выражения . + + ,, х — у х у содержат аргументы в знаменателях, а потому не являются многочленами. 3. Выражения 2*+ 2""*, sinx+cosx, igx — tgy содержат трансцендентные операции над аргументами, а потому не являются многочленами. Для многочлена допустимой является произвольная система чисел, взятых в качестве значений аргументов из данного числового поля. В самом деле, действия сложения и умножения выполнимы, каковы бы ни были числа-компоненты из данного числового поля. Таким образом, областью определения много- многочлена от данных аргументов х, у,..., z является множество про- произвольных систем численных значений (из данного поля) этих аргументов 4 Один и тот же многочлен можно рассматривать над различ- различными числовыми полями. Допустим, например, что в состав цело- целого рационального выражения, кроме аргументов, входят лишь рациональные числа. Рассматривая данный многочлен .над полем рациональных чисел, мы считаем для аргументов допус- допустимыми произвольные рациональные значения. Так как рациональные числа входят в состав поля действительных (а также комплексных чисел), то этот же многочлен можно рас- рассматривать над полем действительных (комплекс- (комплексных) чисел, считая для аргументов допустимыми произвольные действительные (комплексные) значения. Численные значения многочлена при произвольных числен- численных значениях аргументов принадлежат тому же числовому полю, над которым рассматривается многочлен. Многочлены можно рассматривать над числовыми кольца- м и. Допустим, например, что числа, входящие в состав целого рационального выражения, являются целыми, тогда при рас- рассмотрении данного многочлена над кольцом целых чисел для ар- аргументов считаются допустимыми произвольные целые значения. Примеры 1. Многочлен Р (х) = хв + х2 + 2х + 1 имеет целые коэффициенты; рассматривая его над кольцом целых чисел, счи- считаем для х допустимыми лишь целые значения. Так, например: РA) 5, Р @) = 1, Р(—1\ = —1. При рассмотрении этого многочлена над полем рациональных чисел для х допустимы не только целые, но и произвольные дробные значения. Так, например: 19 27 34
При рассмотрении этого многочлена над полем действительных чисел допустимыми для х считаются произвольные действительные (рациональные и иррациональные) значения. Так, например: Р (Y~2) = (]/7)з + (J/ 7J + 2 У 2 + 1 = 3 + 4 У 7, Р(тс) = тс3 -J-те1+.2 тс + 1, вычислив с точностью до 0,01, получим: Р (тс) =^31,006+9,870+6,283+1 «48,17. При рассмотрении Р (х) над полем комплексных чисел для х считаются допустимыми произвольные комплексные значения: Р A + о = A + о» + A + О2 +2A+<)+1 = = (- 2 + 2«) + 2« + B + 2() + 1 = 1 + 6«. 2. Многочлен 2 + 3 можно рассматривать над полем рациональных, над полем действительных, а также над полем комплексных чисел. 3. Многочлен х2 + У 2 ху + у2 можно рассматривать над полем действительных и над полем комплексных чисел *. 4. Многочлен x2+iy2 рассматривается над полем комплексных чисел. Тождественные преобразования многочленов выполняются на основании законов арифметических действий и вытекаю- вытекающих из этих законов правил действий с любым числом ком- компонентов. Пример На нижеследующем примере показано применение законов действий к тождественному преобразованию многочленов р (а, Ь)=[а (а + 26) + ab] • [(а2 — Ь) 2а]. Имеем: a (a-\-2b) -\-ab = (а2 + a-2b) -f- ah = (дистрибутивность) = (а8 + 2ab) + ab = (коммутативность умножения) = а2 -\- Bab + аЬ) = (ассоциативность сложения) = а2 + B + 1) аЪ — (дистрибутивность) = а* + 3а&, Далее: ^а2 — Ь) 2а = а2 Bа) — Ь Bа) = (дистрибутивность) = Bа) а2 — Bа) Ь = (коммутативность умножения) = 2 (а • а2) — 2 (ab) = (ассоциативность умножения) = 2а3 — 2аЬ. * Разумеется, что многочлены в примерах 1, 2 и 3 можно рассматривать над промежуточными полями, так, например, х2+ У 2ху+у2 можно рассмат- рассматривать над полем чисел вида а+ЬУ 2, промежуточном между полями рацио- рациональных и действительных чисел (а и Ь — рациональные числа). 3* 35
Далее: р (а, Ь)= (а2 + ЪаЬ) Bа3 — 2аЬ) = = а* Bа») + я2 (- 2ab) + Sab Bа«) + ЗаЬ (— 2ab) = (умножение суммы на сумму) = а«2а8 + а>*( — 2)аЬ+Ш-2*а* + ЪаЬ (—2) аб = (ассоциативность умножения) = 2а*а3 + (— 2) аЧЪ + 3. 2ааЧ + 3 (—2) аабб == (коммутативность умножения) «= 2 (а*а8) + (—2) (а2а) 6 + C.2) {аа*) b + (— 3- 2) (аа) F6) = (ассоциативность умножения) § 13. Представление многочлена в каноническом виде Согласно определению, всякий многочлен составляется из чисел и аргументов при помощи действий сложения и умножения, поэтому применением законов этих действий (раскрытие скобок, умножение суммы на сумму) многочлен можно преобразовать в тождественную ему сумму слагаемых (членов), каждое из ко- которых является либо произведением числового коэффициента и степеней аргументов х, у,..., z, либо числом (обозначенным буквой или цифрами). Итак, многочлен от аргументов х, y,...,z может быть преобразован в сумму членов вида Axkyl ... ifi. A) Примечание. Чтобы не делать частых оговорок усло- условимся произведение A) также рассматривать как сумму, содержащую лишь одно слагаемое. Разумеется, что данный член может не содержать некоторых аргументов. Если член A) ,не содержит какого-либо аргумента, то показатель степени этого аргумента считается равным нулю. Если данный член является числом (не содержит аргументов), то показатели степени всех аргументов следует считать равными нулю: k =*/ = ... = q = 0. Определение. Одночленом от аргументов х, у,..., z называет- называется произведение, состоящее из числового коэффициента и целых неотрицательных степеней аргументов: Axkyl ... zq. A) Одночлен, будучи целой рациональной функцией, является частным (простейшим) случаем многочлена. Рассмот- Рассмотрим следующие два возможные случая. Случай 1°. А Ф 0. В этом случае показатель степени, с кото- которым данный аргумент входит в одночлен A), называется сте- степенью одночлена относительно этого аргумента. Так, k есть сте- степень одночлена A) относительно х, I есть степень этого одночле- иа относительно у и т. д. Определение.Сумма всех показателей степени k + / + ... + q, с которыми входят аргументы в одночлен A), называется сте- 36
пенью данного одночлена (относительно совокупности аргумен- аргументов). Всякое отличное от нуля число можно рассматривать как одночлен нулевой степени. Случай 2°. А = 0. В этом случае одночлен называется нуль- одночленом. Нуль-одночлену не приписывается никакой пепени. Все нуль-одночлены имеют значение, тождественно равное нулю. Одночлен, отличный от нуль-одночлена, будем на- называть отличным от нуля. Определение. Два отличные от нуля одночлена от одних и тех же аргументов: называются подобными, если каждый из аргументов содер- содержится в обоих одночленах в одной и той же степени: Таким образом, подобные члены могут отличаться лишь чи- числовыми сомножителями — коэффициентами. Нуль-одночлен считается подобным всякому одночлену. Сумму нескольких подобных одночленов (в силу закона ди- дистрибутивности) можно заменить тождественным ей одночле- одночленом с коэффициентом, равным сумме коэффициентов одночле- одночленов-слагаемых. Для этого достаточно вынести за скобку буквен- буквенные сомножители (каждый в соответствующей степени). Так, например: 2x2y3z — 3x2ysz + 9x2ysz = B — 3 + 9) x2ysz = 8x2y3z. Произведение двух одночленов (в силу законов коммутатив- коммутативности и ассоциативности умножения) можно представить в виде одночлена, коэффициент которого равен произведению коэффи- коэффициентов одночленов-сомножителей, а каждый из аргументов, со- содержащихся в одном из сомножителей, входит в одночлен-произ- одночлен-произведение с показателем степени, равным сумме показателей дан- данного аргумента в обоих сомножителях *. Пример (— Ьх*у*ги) (— x*z*v*) = 3 = (— 5) хгу3ги — x*z*vb = (ассоциативность умножения) = I —5 • —1 x*x3y3zz*uv* = (коммутативность умножения) = I — 5 • —1 (х1*3) уъ B24) uvb = (ассоциативность умножения) 15 = — x5yzzbuvb. * В частности, аргумент, содержащийся лишь в одном из сомножителей, входит в произведение с неизменным показателем, так как показатель, с кото- которым этот аргумент входит в другой сомножитель, следует считать равным нулю. 37
Всякий многочлен после выполнения надлежащих преобра- преобразований можно представить в виде суммы одночленов; в этой сумме можно сгруппировать подобные члены (свойство комму- коммутативности сложения) и каждую группу подобных членов можно заменить одним одночленом — их суммой (свойство ассоциатив- ассоциативности сложения). Эта операция известна из школьного курса алгебры под названием приведения подобных чле- членов. В результате приведения подобных членов может пред- представиться один из двух случаев: Случай Г. Многочлен представится в виде суммы попарно неподобных одночленов: ги + ... + А8хк*У '• ... г \ где ху y,...,z — аргументы, Ль Л 2,..., As —коэффициенты. Нуль- одночлены принято не писать, и каждый из коэффициентов Ль Лг,..., As можно считать отличным от нуля. Случай 2°. Коэффициенты всех одночленов-слагаемых равны нулю А\ = Л2 = ... = А5 =0. Многочлен, все коэффи- коэффициенты которого равны нулю, называется н у л ь-м н о г о ч л е- у о м. Значение нуль-многочлена при всех значениях аргументов равно нулю. Обычно нуль-многочлен обозначается тем же симво- символом 0, как и число нуль в арифметике. Определение. Представление многочлена в виде тождествен- тождественной ему суммы попарно неподобных одночленов или в виде нуль-многочлена называется каноническим представлением дан- данного многочлена. Многочлен, заданный в виде суммы попарно неподобных одночленов, называется заданным в каноническом виде. Приведение многочлена к каноническому виду в школьном курсе называют упрощением целого выражения. По числу одночленов-слагаемых (отличных от нуля) много- многочлены, заданные в каноническом виде, разделяются на одно- одночлены, двучлены, трехчлены и т. д. Примечания: I. Всякий одночлен, будучи целым рациональным выражением, является частным случа- е м многочлена. II. В каноническом представлении многочлена от нес- нескольких аргументов некоторые аргументы могут не содер- содержаться. Если, например, для многочлена от двух аргумен- аргументов Р(х, у) получится следующее каноническое представ- представление: Р(х, У) = а0 + агх + ... + akx\ то при данном х многочлен Р(ху у) имеет одно и то же зна- значение, каково бы ни было значение у. 38
Пример Многочлен от двух аргументов Р = (*- У)% + (х + уJ- 2у* + х имеет следующее каноническое представление (не содержащее у): Р = 2х2+х. Определение. Степенью многочлена, заданного в каноничес- каноническом виде и отличного от нуль-многочлена, называется наиболь- наибольшая из степеней (относительно совокупности аргументов) одно- одночленов-слагаемых, входящих в состав многочлена. Нуль-много- Нуль-многочлену не приписывается никакой степени. Примеры 1. Многочлен 2x+y+2>z+2 имеет первую степень. 2. Многочлен х2+Зху+у2 + 2х-{-у+\ имеет вторую степень. 3. Многочлен хуг—1 имеет третью степень. Определение. Многочлен, заданный в каноническом виде, называется однородным многочленом или формой степени п, если все его члены имеют одну и ту же степень, равную п: *i + k + • •. ¦+ <7i = К + 12 + ... + q2 = ... = п. Всякий одночлен также считается однородным многочленом. Примеры 1. Многочлены ах, ахх -г Ьху, ахх + Ьху + схг, а суть однородные многочлены 1-й степени, или линейные формы от одного, двух, трех и п аргументов (соответственно). Примерами конкретных линей- линейных форм могут служить х — у, 2х + — у — z, Зх+у — z+2u. 2. Многочлены апх*+2а12ху + а^У** аг1х* + 2а12ху + aZ2y2 + 2ai3xz + 2a23yz + суть однородные многочлены второй степени или квадратичные формы. 3. Многочлены х*, х3 + t/3 + г3 — Зхуг, х%у + у2х + г%у суть однородные многочлены третьей степени (кубические формы). 4. Всякое отличное от нуля число можно рассматривать как однородный многочлен нулевой степени. Теорема. При замене аргументов х, у, ..., z однородного мно- многочлена степени п пропорциональными числами tx, ty, ...,tz мно- многочлен умножается на множитель tn: P(tx, ty, ..., tz) = tnP{x, у, ..., z). 39
Доказательство. Рассмотрим какой-либо отдельный член однородного многочлена: Axkyl •.. z?, где k+ 1+ ... + q = п. При замене х, у, ..., г на tx, ty, ..., /z получим: A{txf(tyI .. ¦ (tz) •= ,* + ' + •••+• Лх? ...*• = ЛАгУ ... 2«. Итак, каждый член приобретает множитель tn , следователь- следовательно, tn будет множителем всего многочлена, ч. т. д. § 14. Различные способы расположения членов многочлена В каноническом представлении многочленов с одним ар- аргументом принято располагать члены в определенном поряд- порядке одним из следующих двух способов: 1° по убывающим степеням аргумента: ап*П + ап- \хП~ ' + • • • + а\х + ао (рДе ап ф °); 2° по возрастающим степеням аргумента: ао + а1х+ ... + апхп. При втором способе не исключается возможность (в частных случаях) равенства нулю нескольких первых коэффициентов* если первые k коэффициентов равны нулю, то в каноническом представлении на первом месте будет находиться член akxk> где aki=0. Для многочленов с несколькими аргументами одну и ту же степень могут иметь несколько неподобных чле- членов. Так, например, первый и третий члены многочлена х2 + х + 2ху + 2у + 1 имеют вторую степень, а второй и четвертый члены имеют пер- первую степень. Ниже указаны наиболее часто встречающиеся способы распо- расположения членов многочлена с несколькими аргумен- аргументами, заданного в каноническом виде. Лексикографическое (словарное) расположе н и е. При этом способе сначала устанавливается некоторый п о- рядок расположения для аргументов. Условимся во всех членах многочлена от данных т аргументов х, у, ..., z на первом месте писать некоторый определенный аргумент, напри- например х, «а втором месте аргумент у и т. д., на m-м месте аргу- аргумент z. Всякому члену Ахк у1 ...zq многочлена соответствует си- 40
стема т неотрицательных чисел — показателей, написанных в установленном порядке: k, I, ..., q. Пусть — два неподобные одночлена от данных аргументов. Если k\ Ф k2, то старшим считается тот одночлен, для которого пока- показатель степени аргумента х больше. Так, если &i>&2, то К\ старше, чем К2. Если k\ = k2, но 1\ Ф /2, то старшим считается одночлен, для которого показатель степени аргумента у имеет большее значение, и т. д. Итак, из двух неподобных одночле- одночленов К\ и К2 старшим считается тот, у которого первый по поряд- порядку показатель степени больше показателя степени при том же аргументе у другого одночлена, а все предыдущие показатели равны. При лексикографическом расположении многочлена одночлены выписываются слева направо в порядке стар- старшинства. Пример Чтобы лексикографически расположить многочлен ах3 + by9 + сгъ + dxfy + ez2y +fx + ky+l, установим для аргументов следующий порядок: х, г/, z, тогда получим сле- следующее лексикографическое расположение членов ах3 + dx2y + fx + by* + eyz2 + ky-\- cz3 + I. Приняв для аргументов порядок z, x, у, получим следующее лексикогра- лексикографическое расположение членов того же многочлена cz3 + ez*y + ax8 -f dx2y + fx+by* + ky + I. Расположение многочлена по степеням данного аргумента. Примем данный аргумент, например х, за первый, тогда при лексикографическом расположении членов степень относительно- относительного аргумента х всякого последующего члена будет «е больше степени предыдущего члена. Разобьем все члены ;на группы, от- относя к одной и той же группе одночлены одинаковой степени относительно х. Вынеся за скобки в каждой группе членов со- соответствующую степень аргумента х, получим: Р(х, У, ..., г)=Рп(У, ...> г)хп + рп_х(у, ..., z)xn~l + ... •.. + Ро(У, ..., 2). В этой форме записи коэффициентами (при степенях данно- данного аргумента) являются многочлены Р„(", •-.,*), Рп-\(У* •••> *)> •••> Р0(У> •••> z) от прочих аргументов. При этом коэффициент рп (у,..., г) всегда считается отличным от нуль-многочлена. Число п называется 41
степенью, а 'слагаемое рп {у, ..., z)xn старшим членом многочле- многочлена относительно аргумента х. Аналогично определя- определяется младший от н о С1И т е л ь'н о х член многочлена. Пример Расположим многочлен 2х* +3jc3z — 4jcr/2 + 2у — z — 2хуг + 1 по степеням х: Cz + 2) х3 — 2 (уг + 2у2) х + Bу — г+\). Расположим тот же многочлен по степеням у кг, получим соответственно C*» — 2ху — 1) г + B*з — 4ху* +2у+\). Расположение по однородным многочленам. Всякий многочлен, отличный от нуль-многочлена, задан- заданный в каноническом виде, можно представить в виде суммы однородных многочленов. В самом деле, достаточно, поль- пользуясь законами коммутативности и ассоциативности сложения, разбить члены данного многочлена на группы, состоящие из од- одночленов одной и той же степени. Эти группы образуют (каж- (каждая) однородные многочлены, составляющие в сумме данный многочлен. Обычно однородные многочлены располагают по убывающим (или по возрастающим) степеням, тогда в общем случае многочлен Р(ху у, ..., г) степени п можно представить в следующем виде: Р(Х, У, ..., 2)- PJX, У, ..., z) + Pn_l(Xyy,...iZ)± ... + P0, где Pk (х, у,..., z) — однородный многочлен степени k. Однородный многочлен наибольшей (наименьшей) степени, входящей в состав многочлена Р, заданного в каноническом виде, называют группой старших (младших) членов. Члены однородных многочленов Pk (х, у,..., z) обычно распола- располагают в лексикографическом порядке. Примеры 1. Ниже дано в общем виде расположение многочленов второй степени от двух и трех аргументов по однородным многочленам: (апх* + а12ру + а22у*) + <ахх + а2у) + а0 и (апх* + а12ху + а22У2 + ai&z + агъуг + c33z2) + (аух + а2у + a3z) + a0. 2. Расположив многочлен хуг + 2 + 2х2 + Зу* + х*—у*+х — у по однородным многочленам, получим: (х3 + хуг - у3) + Bх2 + 3*/*) + (х - у) + 2. 42
§ 15. Теорема о многочлене, тождественно равном нулю Теорема. Если при произвольных значениях аргументов (из того числового поля, над которым рассматривается многочлен) значение многочлена, заданного в каноническом виде, равно нулю, то все его коэффициенты равны нулю. Теорема утверждает, что никакой многочлен, представлен- представленный в каноническом виде, кроме нуль-многочлена, не может быть тождественно равным нулю. Доказательство. 1°. Сначала докажем теорему для многочленов с одним аргументом. Применим метод математиче- математической индукции. Для многочленов первой степени Р (х) = ахх + а0 теорема верна. В самом деле, если при всех значениях х значе- значение двучлена Р(х) равно нулю, то, положив (в частности) х = О, получим а0 = 0 и, следовательно, Р(х) = а\Х^ 0. Положив х = 1, получим а\ = 0. Следовательно, Р(х) есть нуль-многочлен. Предположим, что теорема верна для многочленов степени, низшей чем я, докажем, что в этом предположении она будет верна для многочленов степени п. Пусть при всех значениях х (из данного поля) Р (х) = апхп + ап _ 1 хп ~ 1 + ... + а0 = 0, A) докажем, что ап = an-i = ... = a0 = 0. Заменив в тождестве A) х на 2х, получим тождество: РBх) = 2папхп +2n-lan_lXn-l + ... + 2a{x + a0. B) Умножим тождество A) на 2Л и вычтем из него (почленно) тождество B), тогда получим: + Bn-l)a0 = 0. C) По предположению многочлен степени, низшей чем я, может быть тождественным нулю лишь при условии, если все его коэф- коэффициенты равны еулю, следовательно, из тождества C) получим 2»->B-l)an_i==0> 2"-2B2-l)an_2 = 0 2n-*B*-l)an_ft = 0, .... B"-l)ao = 0. Так как 2n~k+ 0 и 2* — \Ф 0, то ап-\ = ап-2= ... = а\ ¦¦= = а0 = 0; но тогда тождество A) примет вид: положив х = 1, получим ап = 0. 43
Будучи верной для многочленов первой степени, теорема вер- верна для многочленов любой степени. 2°. Для доказательства теоремы в общем случае снова вос- воспользуемся методом математической индукции. Допустим, что теорема справедлива для многочленов с числом аргументов мень- меньшим, чем т, докажем, что при этом предположении она будет справедлива для многочленов от т аргументов. Расположим данный многочлен Р(х, у, ..., г) по степеням одного из аргумен- аргументов, например, х: Р(х, у,..., г) = рп{у, ..., z)xn + pn_l(y, ..., г)хп-1 + + ... +Ро(#, .'•., *)• По условию Р(х, у,..., г) = 0 при всех значениях аргументов (из данного поля); докажем, что Р(х, у,...,г) есть нуль-много- нуль-многочлен. Фиксируем произвольно значения аргументов у,..., г, тог- тогда Р(ху у,..., г) можно рассматривать как многочлен с одним аргументом х, который равен нулю при всех значениях х, сле- следовательно, все его коэффициенты равны нулю: Рп(У, ••-, z) = Рп-\(У> •-.,*)=... =Р0(У> •.., 2)=0. Так как значения т— 1 аргументов у, ..., z можно выбирать произвольно, то последние равенства суть тождества. По пред- предположению это возможно лишь, если каждый из многочленов рп , рЛ_1,..., ро от т—1 аргументов является нуль-многочле- нуль-многочленом, но тогда все коэффициенты многочлена Р(х, у> ..., г) также равны нулю. Будучи верной для многочленов с одним аргументом, теоре- теорема верна для многочленов с любым числом аргументов, ч. т. д. § 16. Теорема о тождественности многочленов Теорема. Необходимым и достаточным условием тождест- тождественности двух многочленов (над некоторым числовым полем), заданных в каноническом виде, является равенство коэффи- коэффициентов членов, содержащих одни и те же аргументы в одина- одинаковых степенях (т. е. коэффициентов подобных членов). Доказательство. Условие достаточно. Если все соответственные коэффициенты двух многочленов Р = Л^'//' ...z'« + i4a*Vf... г^2 + ... (А) и Q = Вхх*ч/* ...zQl + B2xk*yh ... zu + ... (В) равны: А, = Ви А2 - В2, ..., то мы имеем одно и то же, а не два различных выражения, 44
поэтому значения данных многочленов рав.ны при всех значениях аргументов. Условие необходимо. Предположим, что при всех значениях аргументов значения многочленов (А) и (В) равны, докажем, что при этом условии многочлены состоят из одних и тех же одночленов. Рассмотрим какой-либо член одного из мно- многочленов, например Aixkiyll...zul , в другом многочлене либо со- содержится член B\Xklylx ...гйх , подобный данному, либо такого члена не содержится. В последнем случае член Вхх 1 у 1...zQl все же может быть написан, если считать В\ = 0. Добавив (в случае надобности) в каждом из данных многочленов недостающее ко- количество членов с коэффициентами равными нулю, можно счи- считать, что каждому члену одного многочлена соответствует по- подобный член другого. По условию значения многочленов (А) и (В) одинаковы при всех значениях аргументов, поэтому, вы- выполнив почленное вычитание, получим при всех значениях аргу- аргументов: /> — Q = (Ai -A) *V' • • • *х + (Л>— B2)*V'... 2* + ... =0. Это возможно лишь при условии А\ — Bi = Л2— В2 = ... = 0, откуда А\ = Ви А2 = В2,..., ч. т. д. Примеры 1. Расположить многочлен х2+Зх+2 по степеням х—1. Решение. Ищем для данного многочлена выражение в следующем виде: *2 + Зх + 2 = А (* — 1J + В(х — 1) + С. Раскрыв скобки и перегруппировав члены в правой части, получим: *2 ¦+- Зх + 2 = Лх2 + (Б — 2Л) х -f А - В + С. По теореме о тождественности должны быть равны соответственные ко эффициенты: Л=1, —2Л + В = 3, Л— Ь + С = 2, откуда Л = 1, В = 5, С=б и jc»+3jc + 2 = (х— 1J + 5(х— 1) + 6. 2. Доказать, что если при произвольных значениях аргументов и при произвольном / имеет место тождество P{tx, ty, ..., tz) = tkP(x> у. ..., z), то Р(х, #,..., z) есть однородный многочлен степени k. Доказательство. Расположим многочлен Р по степеням однород- однородных многочленов: Р(х, у, ..., г) = Рп(х, у, ..., z)+Pn_l(x1y... Заменив аргументы пропорциональными числами tx, ty, ..., tz, получим тождество: tkP(x, у, .... z)=tnPn(x, у, .... z) + tn-1 Pn_x(x,y г) + ... + Ро По теореме о тождественности многочленов это возможно (при произ- произвольном /), если Р(х9 у, .... г) = Рк(х,у,..., г). 45
§ 17. Единственность канонического представления многочлена. Действия над многочленами Теорема. Всякое целое рациональное выражение может быть единственным образом (с точностью до порядка следования од- ночлено в-слагаемых) представлено в каноническом виде. Доказательство. Как известно (см. § 13) всякое целое рациональное выражение можно представить в каноническом виде. Два канонические представления данного выражения суть многочлены, тождественные этому выражению, а потому тож- тождественные между собой. В силу теоремы о тождественности, эти два многочлена состоят из одних и тех же одночленов-сла- одночленов-слагаемых и могут отличаться лишь порядком, в котором они напи- написаны, ч. т. д. Пусть Р(х, У,..., г) = Axxk*yh ... z<* + A2xk*y1' ... zq* + ... ' Q(x, У, ..., z) = BlXklyli ... z9' +B2xk*yU ... z** + ... два многочлена от аргументов xt у,..., z, заданные в канони- каноническом виде; сумма и произведение многочленов суть также целые рациональные функции от тех же аргументов: Р + Q = (Л^У'... а* + ...) + (В,**''/' + .../' + ...), Для получения канонического представления суммы Р + Q и произведения PQ следует воспользоваться общими правилами сложения и умножения двух сумм: Р + Q = ALxkt yh ... zg* + A2xk* yh ... zq* + ... + +B2xk> yl*...zq* +... (P + Q) и PQ = ixh*+k* r/' + /; ... zffi + ^ +... (PQ) (в правой части последнего равенства следует составить сумму произведений каждого члена Р на каждый член Q), после чего выполнить приведение подобных членов в правых частях ра- равенств (Р + Q) и (PQ). Канонические представления многочле- многочленов Р + Q и PQ обычно и называют суммой и произве- произведением данных многочленов. В силу теоремы о един- единственности канонического представления не существует никаких многочленов с другими коэффициентами, значения которых при 46
всех значениях аргументов равны (соответственно) сумме и произведению значений многочленов Р и Q. Основные, характеристические свойства сложения и умноже- умножения остаются в силе для многочленов, т. е. имеют место тож- тождества: PQ = QPy (PQ) R^P (QR), (P + Q)R = PR + QR, где P, Q и R произвольные многочлены (для краткости аргу- аргументы не написаны). Так, например, многочлены Р + Q и Q + Р тождественны, так как (в силу закона коммутативности сложе- сложения чисел) их значения равны при произвольных значе- значениях аргументов. Два многочлена называются взаимно противопо- противоположными» если их сумма тождественна нуль-многочлену. Если Р(Ху уу ..., г) = AlXkl г/1 ... z*' + A2xk* t/' ... z*2 + ... — данный многочлен, то противоположный многочлен — Р(х9 уу ..., г) = Cxxkl ytl..: zQt + C2xk* у1*... zq* + ... находится из условия: Р -I- (-P) = (Аг + Сг)**' t/\..zQi + (Л2 + С)**¦ yl\..,zq* + ... = О, откуда /i + C1 = i42 + C2=... = 0 и Сг = —Аи С2=-Л2>... Следовательно, многочлен — Р, противоположный Р, полу- получается заменой коэффициентов Р противоположными числами. Вычитание многочленов определяется как операция обратная относительно сложения многочленов. Многочленом-разностью Р(х, У, ..., z)—Q(x, у,..., г) называется многочлен R(x, у, ..., z)t удовлетворяющий условию Р (х, уу ..., z) = Q (х, у, ..., г) + /? (х, у, ..., z). Прибавив к обеим частям этого тождества по —Q, получим: Я(хэ г/, ..., 2)-Р + (—Q). Полученный многочлен удовлетворяет поставленному усло- условию, так как Q+ R = Q + [P + (-Q)]^P. Итак, вычитание многочлена Q равносильно прибавлению противоположного многочлена, т. е. —Q. 47
Коэффициенты многочленов суммы, произведения и разности получаются из коэффициентов данных многочленов посредством действий сложения, вычитания и умножения. Следовательно. если коэффициенты данных многочленов принадлежат некото- некоторому числовому кольцу (в частности полю), то коэффициенты их суммы, разности и произведения принадлежат тому же кольцу. Так, например, сумма, разность и произведение многочленов с целыми коэффициентами суть многочлены с целыми коэф- коэффициентами. Сумма, разность и произведение многочленов счет- счетными коэффициентами суть многочлены с четными коэффи- коэффициентами. Сумма, разность и произведение многочленов с ра- рациональными, действительными или комплекс- комплексными коэффициентами суть многочлены соответственно с ра- рациональными, действительными или комплекс- комплексными коэффициентами. В множестве всех многочленов от данных аргументоз х, у, .. . , 2, рассматриваемых над данным числовым кольцом (в частности полем), выполнимы операции сложения и умноже- умножения, обладающие характеристическими свойствами этих опера- операций, а также однозначно выполнимая операция обратная сложе- сложению — вычитание. Следовательно, множество всех многочленов от данных аргументов над данным числовым кольцом, в свою очередь, образует кольцо (относительно операций сложения и умножения многочленов). Это множество называется кольцом многочленов над данным числовым кольцом (в частности над данным полем). В кольце многочленов нулем является нуль-многочлен. Вся- Всякий многочлен, отличный от нуль-многочлена, будем кратко на- называть отличным от нуля. При выполнении действий над многочленами, заданными в каноническом виде, рекомендуется применять форму записи, об- облегчающую получение окончательного результата в канони- каноническом виде. При сложении многочленов рекомендуется под- подписывать подобные члены под подобными, при этой форме запи- записи сложение многочленов сводится к сложению (по столбцам) коэффициентов. При умножении многочленов от одного аргу- аргумента рекомендуется, расположив сомножители по убывающим или по возрастающим степеням аргумента, составлять «частные произведения» множимого на каждый член многочлена-множи- многочлена-множителя и при сложении частных произведений подписывать подоб- подобные члены под подобными. Ниже приводится схема умножения многочлена а хп -J- а хп~1 -4- 4- а х 4- а (Р) П ' П— 1 ' 1 U x ' на многочлен bm *m + bm_, xm-l+...+blx+ b0; (Q) 48
Члены множи- множителя P-Q Члены множи- множимого m-1 п , «,* + «. +(<*А 4 ° l *"д aobLx афох + -агЬ0)х- a0b0 i- aobo Член произведения, содержащий xk% имеет коэффициент akbo + ak-i bi + ak-2 b2 + • • • + aobk (при этома^, при k>n и bk при &>m считаются равными нулю), равный сумме всевозможных произведений afij, взятых при условии i+j=*k. В самом деле, из всевозможных произведений степень k имеют члены, для которых i+j = k. Примеры 1. Выполнить следующие действия над многочленами Dл:3 — 5а2л: — 8а3 — 4ал:2) + Bа2^ — л:3 + 4а3 -f • 2х2) — (9а3 — 5ал:? + 5л:3), где х и а — аргументы. Решение. Подписав подобные члены друг под другом, производим сложение коэффициентов по столбцам. Для определенности выписываем члены в лексикографическом порядке. I 11 III слаг. слаг. слаг. 4л:3 — 4л:2а л \ — 5л:3 + 5л:2а — 2л:2+ 5ха2 ¦ -4а3 -9а8 — 2л:3 + х2а + 2л:2 — Зха2 — 1 За3 2. Найти произведение многочленов (от аргумента х) Х4 _ Зд;за2 4- 2л:а3 — а4 и 2л:3 + х2а — За3; имеем: множимое л;4 — Зл:2а2 + 2ха3 — а4 члены множи- множителя х2а —За3 произведение 2Х1 +4л;4а3 —2л:3а4 +хба —Зл:4а« + 2х3а4 — л:2аб — Зл:4а3 + 9;с2а5 — бха* + За7 2л:7 + л:ва — 6л:ба2 — За7 Примечание. Из приведенного образца записи видно, что при выписывании членов частных произведений, в случае, когда степени аргумента в сомножителях имеют пропуски, надо оставлять места для «недостающих» членов, так как они могут оказаться в следующих частных произведениях. 4 С. И. Новоселов 49
§ 18. Теорема о произведении многочленов Теорема. Если каждый из двух многочленов-сомножите- многочленов-сомножителей, заданных в каноническом виде, отличен от нуля, то: 1° многочлен-произведение также отличен от нуля; 2° если хотя бы один из сомножителей не является одночле- одночленом, то каноническое представление многочлена-произведения содержит не менее двух членов; 3° степень многочлена-произведения равна сумме степеней сомножителей. Доказательство. Для многочленов с одним аргумен- аргументом теорема верна. В самом деле, произведение старших членов anbmxnJ>~m многочленов V (*) =&m * +°m-.\ X + • • • + bm-l X где ял^0 nbmi=O есть отличный от нуля старший член произве- произведения P(x)Q(x) (см. предыдущий параграф). Следовательно, произведение PQ отлично от нуля (пункт 1°) и имеет степень равную п + т (пункт 3°). Если хотя бы один из многочленов Р и Q не является одночленом, то в нем содержатся по крайней мере два члена. В этом случае произведение младших членов а„ ьЬт , не имеет себе подобных среди прочих произведений членов со- сомножителей и является отличным от нуля младшим членом про- произведения. Следовательно, произведение содержит по крайней мере два члена: старший и младший (пункт 2°). Для многочленов с несколькими аргументами доказательства аналогично. Расположим лексикографически члены множимого и множителя (приняв за нормальный один и тот же порядок следования аргументов): Р - Axk ylzm ... ип +... + Bxkl yli zmi...uni + ...; Q = Cxp yqzr ...и* +... + DxPl ygi zri... iix + ... Произведение старших членов многочленов множимого и множителя ACxk+pyl+q...un+t A) есть отличный от нуля член произведения. Этот член не имеет себе подобных среди прочих членов произведения. В самом деле, составим произведение каких-либо двух членов данных сомно- 50
жителей, причем хотя бы один из этих членов выберем отличным от соответствующего старшего члена: BDxkl+Pl ylt+u гт*+г*... ия>+'\ B) Сравним полученный одночлен с произведением старших членов. Если k>ku либо р>рь то k+p>kx + px и член A) старше члена B); если k = kx и р = ри но I > 1\> либо q > qu то k + p = —&1+Р1, I + Я > h + Я\ ъ член A) старше члена B); если k=ku /7 = рх, / = Zi, q = <7ь но т>ть либо г>гь то и в этом случае член A) старше члена B). Это поочередное сравнение показателей закончится как только наступит неравенство пока- показателей, но это неравенство должно наступить, так как хотя бы один из одночленов был взят отличным от старшего члена со- соответствующего многочлена. Итак, каноническое представле- представление PQ наверное содержит член отличный от нуля, следова- следовательно, PQ ^0 (пункт 1°). Если хотя бы один из многочленов Р и Q 1не является одно- одночленом, то произведение младших членов в их лексикографиче- лексикографическом расположении является неподобным прочим членам млад- младшим членом произведения (доказательство аналогично). В этом случае Р* Q содержит по крайней мере два члена (пункт 2°). Докажем ('пункт 3°), что степень (относительно совокупности аргументов) произведения PQ равна сумме степеней сомножи- сомножителей. Предположим сначала, что Р(ху у, ..., z) и Q(xy у, ..., z) являются однородными многочленами степени N и М соот- соответственно. Согласно доказанному (пункт 2°) PQ^O. Докажем, что каждый член многочлена-произведения PQ имеет степень равную N + М. В самом деле, всевозможные произведения каж- каждого члена AxkyK..zq многочлена Р на каждый член Bktylt...zqt многочлена Q имеют одну и ту же степень N+M, так как (Axkyl . . .z')(Bxk*yl* . . .2fl) Следовательно, произведение PQ есть однородный многочлен степени N+M. Пусть Р (х, уу ..., z) произвольный многочлен степени N, а Q(x, У у ..., z) произвольный многочлен степени М. Располо- Расположим каждый из сомножителей по однородным многочленам Р(х,У, • • .,*)=* PN(x, У, . • . Q(x,y, . . .,z)=QM(x,yf . . . где (по условию) Prf^O и qm=? 0. Многочлен-произведение 4* 51
также представим в виде суммы однородных многочленов Р (х, У,-, *) Q (х, у,..., г) = PNQM + (PN_XQM + PNQM_{) + Однородный многочлен PNQM имеет степень N+M, а каждое из прочих слагаемых либо имеет более низкую степень, либо обращается в нуль. Следовательно, степень произведения PQ равна N+M (пункт 3°). Примечание, При доказательстве установлено следую- следующее предложение, имеющее самостоятельное значение: произ- произведение однородных многочленов также является однород- однородным многочленом. Пример Нижеследующий пример показывает, что многочлен-произведение может содержать два члена (т. е. наименьшее возможное число членов, если хотя бы один из сомножителей не является одночленом) (х3 + 2х2у + 2ху2 + г/3) Гх3 — 2х2у + 2ху* — г/3> = х* — уь. § 19. Формулы сокращенного умножения Наиболее часто встречающиеся произведения рекомендуется запомнить и пользоваться ими в качестве готовых формул при выполнении действий над многочленами. Эти формулы на- называются формулами сокращенного умножения. Ниже приводится перечень основных формул сокращенного умноже- умножения. 1. Умножением двучлена х + у на себя получим формулу: (х+ уJ = х2+2ху+ у\ A) 2. Заменив у на —у, получим: (х — yf = х2 — 2ху + у2. B) Аналогично непосредственным умножением устанавливаются формулы: 3. (х + у)(х-у) = х2-у2. C) 4. (х + уK = х'3+ Зх2у + Ъху2 + у\ D) 5. (х — #K = х3— Зх2у+3ху2— у3. E) 6. (х — у) (х2 +ху+ у2) = х3 — у3. F) 7. (х + у) (х2 — ху+ у2) = х3 + у3. G) 8. (х + а) (х + Ь) = х2 + (а + b)x + ab. (8) Формулы A) — ('8) известны из школьного курса, ими широко пользуются в различных преобразованиях и вычислениях. 9. Для представления в каноническом виде квадрата суммы Х\+Х2 + ...+хп с любым числом слагаемых умножим эту сумму 52
самоё на себя. При умножении надо составить сумму 2**к;- все- всевозможных произведений каждого члена данной суммы Х\\-х2 + + ... + хп на каждый член той же суммы. В сумме ^xtXj содер- содержатся квадраты каждого из слагаемых хи х2>..., хп: при / = / имеем xtXj =xf. Если 1ф1, то произведению xtXj r-го члена мно- множимого на /-й член множителя соответствует равное (в силу за- закона коммутативности) произведение /-го члена множимого на i-й член множителя. Объединив равные слагаемые, получим тож- тождество: (*, + х2 + х3+ ... + хпу = х\ + х\ + ... + xl + + 2х{х2+2хххъ+ . . . + 2хп_{хп. (9) 10. Выполним следующее умножение: xV + xyn~l Х*у«-> _Ху"-*-у» \ХП -У" Отсюда формула: (х - у) (Xя-1 + *»-* у+- ...+ хуп~2 + уп~1) = х - / (Ю) или кратко Формулы C) и F) являются частными случаями последней формулы (при л=2 и п = 3). Аналогично устанавливаются следующие формулы: (*+'у)(*"-'-jc^V+x1*-"*2- • . .-у2* )»*•*-у8*; (И) так, например, при 6=3: (х + У) (х5 — х4у + xsy* — x2ys + xy* — у5) = хл — у\ 12. (Х +y)(x2k- xu-'y + x2k~2 у2-. . -ь у2") = /*+' + /й+1 • A2) Так, например (при k=2): (х + у) (х* — xsy + х*у* -ху3+ у*) =х5+ у*. 13. Формула бинома Ньютона дает каноническое пред- представление натуральной степени двучлена х+у. Канонические представление (х+у)п имеет вид: у 53
числа С* (пока неизвестные) называются биномиальными коэффициентами. Чтобы получить удобное правило вычис- вычисления биномиальных коэффициентов, установим рекуррентное соотношение, характеризующее закон их образования. Умножив написанное тождество на х+у, получим: (х+У)п+{ = = С°хп 4- С] г"-1 // 4- ... + Cknxn~k ук + ... + Сп уп С\хп у 4-... + С?х/1+1-/У +...4- Сппхуп 4 С°пхпу+ ... + С*- C Согласно принятому обозначению, коэффициент при xn~^~'X~k yk в каноническом представлении (*4t/)n+1 есть Сл-и, следователь- следовательно, CJ1+1=CJJ и, так как, С} = 1, и аналогично С\ =С\ =С\=...= \\ при КА< п получим: Условимся считать Cg = 1. В силу формулы (С) последовательное вычисление биноми- биномиальных коэффициентов можно осуществить при помощи следую- следующей таблицы, называемой арифметическим треуголь- треугольником. В строках этой таблицы написаны биномиальные коэф- коэффициенты для п = 0,1, 2, 3,... /\ / V'\ / V \' \ ,' \^ Ч5У V Ч, / Ч5^ V \/ Ч5Х \ f 5 /5 Z0 15 6 1 / \ у \ у \ у \ у ч у ч У \ • ••••••• биномиальных коэффициентов (Треугольник Паскаля) Чтобы получить последующую строку таблицы, достаточно сложить рядом стоящие члены предыдущей строки, как показа- 54
но на схеме при помощи стрелок. Так, например, воспользовав- воспользовавшись этой таблицей, получим: (х + уM = х5 + 5х*у + 10Л/2 +10х2у3+5хуА + у5. Докажем, что при 0<&< п имеет место следующая формула для биномиальных коэффициентов: СЛ= n(n-\)...(n-k+\) Воспользуемся методом математической индукции. При п— 1 формула верна: С! 1 Допустим, что формула верна для некоторого натурального п (при &=1, 2,..., /г), докажем, что в этом предположении она верна и для /г+1. В самом деле, при 1<&< п имеем: C*fi = C* + C^ = [в силу (С)] _ гг (лг — 1)... (п — fe + 1) , п (п— 1).. .(/г — к + 2) _ ~~ 1 • 2...Л ^ 1 • 2... (/г — 1) """" (по предположению) = {n+\)n(n-\)...[(n+\)-k+\] \-2...k При k= 1 получим: ci+i = ei + Cn= [в силу (С)] = — + 1 = (по предположению) При k=n+l имеем: Сп+\ ^ (/I + 1) п (п - 1)... Цп + 1) -- (п + 1) + 1] = л+1 1 -2 • з...п(л+ 1) Итак, будучи верной для некоторого натурального /г, формула верна и для /г+1, но формула справедлива при /г=1, следова- следовательно, она справедлива при произвольном натуральном п. В окончательном виде формула бинома Ньютона записывается так: (х+у)п =хя+ nx"-1 y+ -^ll*-1 У2+...+ 55
Формулы A), B), D) и E) суть частные случаи формулы бинома Ньютона. Тождества 1 —13 установлены на основании законов ариф- арифметических действий, они носят общий характер, именно, под х и у можно подразумевать числа произвольного поля (числового); х и у могут быть не непосредственными аргумента- аргументами, а некоторыми выражениями (не обязательно целыми), со- содержащими аргументы. § 20. Примеры тождественных преобразований многочленов На нижеследующих примерах показано применение правил действий над многочленами и формул сокращенного умножения к тождественным преобразованиям целых, рациональных выра- выражений. Примеры 1. Тождество Лагранжа. Так называется следующее тождество: <*? + х\ f .. . + **) (a2 +a22 +...+ а2п) - (ах хх + а2 х2 +.. .+апхп)*= - (хх а2 - а, х2 )« + (хх аг - хг ах J +... + (хп_{ ап - хп ап_х )« или в сокращенном обозначении 2 42 «5-(&-.)*-2 xkxl akat Доказательство. Произведение Л^ xj У^ aj равно сумме всевозмож- всевозможных произведений х2 а2, где i= 1, 2,..., я и / =1, 2,..., л; выражение (Уа1 xiJ Равно сумме квадратов а\х\ + с\х\ + .. .-\-ап х2п плюс сумма удвоенных произведений: Kk xl akal —2 (хх х2 ах а2 + хх хг а{аг +... + хп—\ хп ап—\ пп )• При выполнении вычитания в левой части сократятся все слагаемые ви- вида х2 af ; перегруппировав оставшиеся члены, представим левую часть в ви- виде суммы слагаемых: 4al-2xkxiakai+ А а1> откуда следует справедливость тождества. В частности, при п = 3 тождество Лагранжа примет вид: fl2 _J_ ^2 _|_ С2) (V2 _|_ f/2 __J_ Z2) — (ах _j_ by -f- ??J = = Fx — ar/J + (ex — gzJ + (cy - &zJ. Примечание. Из тождества Лагранжа следует, что равенство при действительных */ и ay возможно лишь, если каждое из неот- неотрицательных слагаемых в правой части тождества обращается в нуль, т. е. 56
если Х\ Х2 __ ХП а, а2 ап 2. Тождество Эйлера. Так называется следующее тождество: (ах + by + cz + ШJ+ фх — ay + dz — ctJ + + (ex — dy — az -f- btJ + (dx + cz/ — bz — afJ = = (a2 + b2 + c2 + d2)(*2 + */2 -f z2 -f- /2). Доказательство. По возведении в квадрат многочленов в левой части сократятся все удвоенные произведения. Выпишем, например, члены,, содержащие произведение ху: 2abxy — 2abxy — 2cdxy + 2cdxy. Аналогично сократятся члены, содержащие прочие произведения аргу- аргументов. Таким образом, в правой части останутся всевозможные произведе- произведения а2*2, б2*2,..., d2t2 (всего 16 членов); сумма этих произведений равна про- произведению, написанному в правой части. 3. Представить в каноническом виде многочлен: Решение. Сгруппируем сомножители так, чтобы можно было приме- применить формулу C) умножения суммы на разность (см. предыдущий параграф) {[(а + Ь) + с].[(а+Ь)-с]} {[с + (а-Ь)] . [с- (а-&)]} = = [(а + ^J — с2] [с2 —(а — ЬJ] = (формула 3) = Bab -f а2 + Ь2 — с2) Bab — а2 — Ъ2 + с2) = (формулы 1 и 2) = 4а2Ь2 — (а2 + Ь2 — с2J = (формула 3) = Аа2Ь2 — (а* + Ь* + с* + 2а2Ь2 — 2а2с2 — 2Ь2с2) = (формула 9) = 2а2Ь2 + 2аЧ2 + 2Ь2с2 — а* — Ь* — с*. 4. Воспользовавшись тождествами: (следующими из формул 1 и 2), представить в каноническом виде многочлены: 1°. Sl== (a + b+c — dJ + (a + b — с f dJ+ + (a - b + с + dJ + (-a + b + с + d)*. 2°. S%=[a(x+y) + b(x-y)\*-[a(x-y) + b(x + y)\*. Решение. 1°. S, = [(a + b) + (c-d)]2 + [(a + b)- (c-d)]* -f + [( + d) (b)]2 + [(+d)(b]* + [ + ) + ()] + [(+) = 2 (a + bJ + 2 (c— d)* + 2 (c + d)« + 2 (a — 6J = 2°. S8 = [x(a + 6) + y(a-6)]«-[x(a + 6)-y(a- = Axy (a + b) (a — b) = 4a2*# — Примечание. Преобразование многочлена ^ можно выпол- выполнить другим способом, показав непосредственно, что все удвоенные произведения сокращаются (см. пример 2). 5. Доказать, что многочлен можно представить в виде квадрата трехчлена второй степени. 57
Решение. Р = [(X + 1) (х + 4)] [(х +2) Oc-f 3)] -f I - = (а;2 + 5а: + 4) (х* + Бх + 6) + 1 = (формула 8) =-- [(*'+ 5*) 4- 4] [(х* + 5х)+ 6] + 1 = = (х2 + БхJ + 10 (х* + 5х) + 25 = (формула 8) 6. Представить в каноническом виде многочлен: Q={x + y + zY-(x->ry-z)*-(x-y + z)*-{ Решение. <2 = [(х+У) + гГ-*[(х + у)-г]*-{[г+(х-у)]* + [г-(х-у)]*} =2z {[(х + у)+ г]2 + l(x + y) + z] [(х + y)-z] -f- [(x + у) - г]2} - 2{[ + ()]2[+^)][и]+[()]2 (формулы 6 и 7). Сгруппировав в каждой фигурной скобке первое и третье слагаемые и применив ко второму формулу 3, получим: Q = 2z [2 (х + уJ + 2га + (х + уJ - zal ~ 2г [2г2 -f 2 (х - уJ -г2 + 0с~# = 2г [3 (^ + (/)» — 3 (а: — у)*] = 24xyz. 7. Представить в каноническом виде многочлены: РЛх, У) = {х + у)п + (х~у)п и Р2{х, у) = (х+ у)п-(х-у)п. Решение. = хп+пхп~1 П{"{) п= хп+пхп~1у+ у+ П(\'~2 *п~2 Следовательно, 1.2 " ' 1-2-3-4 " ' Последний член равен 2уп при п четном и 2пхуп~~1 при п нечетном. Р2(*> у) = 2пх у+2 j #2 .3 * У +'" Последний член равен 2уп при л нечетном и 2пхуп~1 при л четном. Из последних выражений для Pi и Р2 следует, что есть действительное число, равное 2е. —3Z" t(a + ^ V k )n — (a — b V~~k )n] (где a, b и ^—рациональные числа) 58
есть рациональное число, равное У 1-2-3 Круговая перестановка аргументов. Пусть *, У, г, ..., и A) — система букв, заданных в определенном порядке. Замена пер- первой буквы второй, второй буквы третьей и т. д. и, наконец, последней буквы первой называется круговой перестановкой дан- данных букв. На чертеже 8 изображена схема круговой перестанов- перестановки четырех букв. Круговая перестановка переводит расположение букв A) в сле- следующее расположение У, *, ..., и, х. и Применив повторно круговую переста- перестановку, получим Z, . . ., U, X, У И Т. Д. Применение круговой перестановки об- облегчает преобразование сумм (или произ- Черт. 8 ведений), в которых всякое последую- последующее слагаемое получается из 'предыдущего -круговой перестанов- перестановкой аргументов. Для таких сумм достаточно преобразовать лишь первое слагаемое, а результаты преобразования прочих слагаемых получаются путем (последовательного применения круговой перестановки аргументов. Пример Доказать тождество s(s — 26) (s — 2с) + s (s — 2с) (s — 2а) + s (s — 2а) (s — 26) — Sabc = = (s — 2a) (s — 26; (s — 2c) t где s = a + 6 + c. Решение. Второе и третье слагаемые в левой части получаются иа первого круговой перестановкой букв. Преобразуем первое слагаемое: (s — 26) (s — 2с) = (а — 6 + с) (а + 6 —с) = = а2 — F — сJ = а2 — б2 — с2 + 26с. Выполнив последовательно круговую перестановку букв, получим: (s — 2с) (s — 2а) = б2 — с2 — а2 + 2са, (s — 2а) (s — 26) = с2 — а2 —б2 4- 2а6, откуда ; — 26) (s — 2с) -г (s — 2с) (s — 2а) + (s — 2а) (s — 26) = + 0/ч/у 59
Левая часть доказываемого тождества примет вид: (а + Ь + с) Bab + 2Ьс + 2са — а2 — б2 — с2) — 8abc = = [a f- (b + с)] [— (b — cf + 2a (b + c) — a2] — Sabc = = _ аз 4. Q2 ^ + C) + a (b __ CJ _ F + c) (b-c) = (располагаем по ст епеням a) = a2(b + c — a) +-(b —cJ (a — b — c) = (b + с — a) [a2 — (b — cJ] = =5 ф + с — a) (a + b — 0 (a — b + c) = (s — 2a) (s — 26) (s — 2c). § 21. Симметрические многочлены Определение. Многочлен Р(х, у,..., г) от данных аргументов х, у, ..., z называется симметрическим, если он не изменяется при любой перестановке его аргументов Р(х, У, ..., г)^Р{У, х, ... г)^Р(у, г, ..., х) = ... Если в каноническом представлении симметрического много- многочлена содержится юдночлен Axkyl ... z**, то в нем содержатся все одночлены, получающиеся из данного при произвольной пере- перестановке аргументов. Докажем, например, что многочлен Р со- содержит чле/н Aykxl ... 2^, .получающийся перестановкой аргумен- аргументов х и у. В самом деле, пусть Р(х, У, ..., * = Axkyl ... zq+ . . . Переставив 'аргументы х и у, получим: Р(х,у,...,г) = Р(у,х....,г)= Aykxl ...* + ... Следовательно, всякий симметрический многочлен можно представить в виде суммы таких многочленов (симметрических), каждый из которых может быть получен из любого содержаще- содержащегося в нем члена путем всевозможных перестановок аргументов. Примеры 1. Найти общий вид симметрических многочленов 2-й степени с тремя ар- аргументами. Решение. Искомый многочлен может содержать член Ах2, тогда он и содержит члены Лу2 и Az2, получающиеся из первого заменой агрументов. По той же причине многочлен вместе с членом Вху должен содержать члены Вуг и Bzx. В общем случае искомый многочлен содержит члены первой степени Сх, Су, Cz и свободный член D. Общий вид искомого многочлена таков: Р (х, у, г) = А (х2 -и у* + z2) + B (xy + уг +хг)+С(х +у + г) +D, никаких других членов симметрический многочлен второй степени в канони- каноническом виде содержать не может. 2. Аналогично докажем, что симметрический многочлен третьей степени с тремя аргументами имеет вид: А (л* + */з + z3) + В (х*у + x2z + у*х + y2z +z4 +г*у)+ + Cxyz + D (x2 + y* + z2) + E (xy +yz + xz) + F(x+y+z) + G. Нижеследующие многочлены от п аргументов Х\, *ъ...» хп на- называются основными симметрическими функ- функциями. 60
Сумма аргументов: р1=х1+х2+... +хп. Сумма всевозможных произведений аргументов, взятых по два: р2 = ХХХ2 4- ХхХг + . . . + *л-1 Хп Сумма всевозможных произведений аргументов, взятых по k: Рк ~ х\ Х2 • • • xk + Х2хг • • • xk+\ + • • • Произведение аргументов: Рп = *1*2 • • • Хп- В высшей алгебре доказывается, что всякий симметрический многочлен можно представить в виде многочлена от основных симметрических функций. Примеры 1. Выразить сумму квадратов аргументов через основные симметрические функции. Решение. х2 + у* + ... + ы2 + D2 = =р?—2р2 . 2. Выразить через основные симметрические функции следующий симмет- симметрический многочлен: S = Xy2Jr xz2 + ух2 + yz2 + z^2 + zy2. Решение. Произведение PiP2 = (х + У +-г)(ху+ хг + yz) состоит из 9 членов, среди которых содержатся все 6 членов многочлена S. Остальные три члена одинаковы и каждый из них равен p3=xyz. Следова- Следовательно, 5 = Р1Р2— Зр3. § 22. Метод неопределенных коэффициентов Метод неопределенных коэффициентов обычно применяется в тех случаях, когда известно, что в результате преобразования данного выражения должно получиться некоторое выражение определенного вида с коэффициентами, подлежащими вычисле- вычислению. Искомые числовые коэффициенты обозначаются буквами, их рассматривают как неизвестные. В случае многочленов соот- соответственные коэффициенты в каноническом представлении дан- данного и преобразованного выражений должны быть одинаковы. Приравняв эти коэффициенты, получим уравнения для нахожде- нахождения неизвестных коэффициентов. Уравнения для нахождения искомых коэффициентов можно получить другим способом, при- 61
равняв значения данного и преобразованного выражений при частных значениях аргументов. Для примера выведем формулу куба трехчлена. Многочлен (х+y + zK есть однородный симметрический много- многочлен третьей степени с тремя аргументами, поэтому его канони- каноническое представление имеет вид (см. пример 2, стр. 60): (* + У + гK = А (*3 + у3 + z3) + + В(х2у+ у2х + x2z + z2x + y2z + z2y) +Схугу где Л, В и С искомые числовые коэффициенты. Коэффициенты при х3 в каноническом представлении левой части равен 1*, по- поэтому Л = 1. К тому же результату придем, положив х=1, y=z— = 0. Положив х = у=1, 2=0, получим: 8 = 2Л+2В, откуда В = 3. Положив x = y = z=ly получим: 27 = ЗЛ + 6В + С, откуда С=6. Следовательно, ( )* ( у+) = x3 + y3+z*+3 (х2у + у2х + x2z + z2x + y2z + z2y) + 6xyz. Примечание. Воспользовавшись формулой A) (см» пример 2, стр. 61), последнее тождество можно представить в следующем виде: (х + у + zf = х3 + у* + zs + 3 (х + у + z) (ху + yz + гх) — 3xyz. Примеры 1. Представить в каноническом виде произведение (х + 2)(х + 3)(х-5). Решение. Произведение есть многочлен 3-й степени, коэффициент при старшем члене равен 1, а свободный член равен — 30. Положим: (х + 2) (х + 3) (х — 5) = х3 + Ах2 + Вх — 30. Дли вычисления А и В положим х=— 2 и х = — 3, получим: 4А — 2В — 38= 0, 9Л —ЗБ —57 = 0. Откуда Л = 0, В = —19. Следовательно, (х + 2) (х + 3) (х — 5) = х3 — 19* — 30. 2. Расположить многочлен Р(х) = спхп -J- сп_х хп-1 + ... + с{ х +с0 A) по убывающим степеням разности х — а. * Так как коэффициент при старшем члене (относительно х) произведе- произведения равен произведению коэффициентов старших членов сомножителей. 62
Решение. Положим Р(х) = Ап (x-af + Ап_х (х-а)п-[ + ... + Л, (х-аН Ло . B) где Ai искомые коэффициенты. Подсчитав (по формуле бинома Ньютона) коэффициенты при степенях х в правой части B) и приравняв их соответст- соответственным коэффициентом в выражении A). получим: Ап^сп> ~паАп + Лл-1 - сп-\ . П \~ ] а2А (» !) аЛ \2 п - (» - !) аЛл-1 + Ап-2 = *и-2 и т- Д- Откуда последовательно находим: Лл = сп > Лл-1 = ^л-1 + ла*я и т. д. 3. Найти условия, при которых многочлен ах9 + Ьх2 + сх + d является кубом двучлена первой степени. Решение. По условию (Ах + Б)8 = А3х* + ЗА*Вх2 + ЗЛЯ2* + В3 = ах9 + Ьх2 + сх +- d. Откуда (необходимые и достаточные условия) А*=а, 3A2B = bf 3AB2 = c, B*=d. A) Из первого и четвертого равенств имеем: A=yra B=j/~d ; подставив во второе и третье, получим: з(V—>2 кТ= ь. з У~ (У-rf =е; возведя в куб, получим следующие необходимые условия: 27a2d = 63 и 27ad2 = c*. B) Для многочленов над полем действительных чисел условия B) доста- 3/-— b точны. В самом деле, положив Л= у а ( где а^О) и 8=— го. 4V~a) гласно B), получим: б3 В*= = d и 27ad2 = 27Л3Бв = с3, откуда с = ЗЛБ2. 27а2 Для многочленов над полем комплексных чисел эти условия недоста- недостаточны. Примером может служить многочлен, не являющийся точным кубом х9 + Зх2 + 3 е х + 1, где е мнимый кубический корень из 1, но для которого выполнены усло- условия B). § 23. Условные тождества Условным тождеством будем называть равенство, справедли- справедливое при всех значениях аргументов, удовлетворяющих одному или нескольким уравнениям (условиям). 63
Примеры 1. Доказать, что E* - Зу + 4z) Eх - Зг/ - 4г) = C* - ЪуJ A) при условии Ж« = ^ + 2«. Решение. Преобразуем левую часть A): E* — Зг/J — 16z2 = E* — 3$/J — 16 (х2 — г/2) = (Зх — 5 г/J. 2. Доказать, что х3 + у3 + z* = Зхг/z при условии Решение. Для доказательства достаточно принять во внимание фор- формулу куба трехчлена (стр. 62). 3. Доказать, что _{_ у Ъ J_ при условии Решение. Вычислим произведение (*8 + УЪ + 2») (X2 + Г/2 + Z2) = = X6 + У5 + Z5 + Х2У2 (X+IJ)+ X2Z3 (X + 2) + #2Z2 (t/ + 2) = — х5 + г/5 + z5 — x2y2z — x2z2// — y2z2x = (в силу заданного условия) = х5 + уь + z5 — x//z (хг/ + г/z + zx). Тлк как при условии х + у + z = 0 имеем (х + у + zJ = О, откуда ха -f г/2 + Z2 = _2 (д;^ 4- уг + zx) и х3 _|~ г/3 -|- 23 = Зхуг (см. предыдущий пример), то v3 ' пЗ _i_ Z3 v2 I ,#2 _J_ Z2 </6 +г=+ ^^ J ^ (x* + y» + г3) (x2 + у* + г2) = *5 + </6 +г=+ ^^ , о 2, откуда и вытекает доказываемое условное тождество. § 24. Делимость многочленов Определение. Многочлен F(x, у,..., г) делится на многочлен Ф(х, у,..., z)f если существует такой многочлен Q(xf у,..., г), что имеет место тождество: F(x, У,-.., *) = Q(x, у,..., г)Ф(ху у,..., г). A) Многочлены Ф(х, у,..., г) и Q(xf у,..., г) называются делите- делителями многочлена F(xf y,...,z). Пусть сф 0 — произвольное число из числового поля, над ко- которым рассматривается многочлен; имеем: 64
Следовательно, всякое отличное от нуля число (из данного поля), а также всякий многочлен, отличающийся от данного числовым множителем, неравным нулю, суть делители данного многочлена. Эти делители называются тривиальными де- делителями. Все прочие делители данного многочлена называ- называются его нетривиальными делителями. В дальнейшем под делителями многочлена будем подразумевать его нетриви- нетривиальные делители. Примеры 1. Многочлены: х + У> х — у, х3 {- х2у + ху2 f if, xs — х2у-'\- ху2 — у3, х2—у2, х2 + у2 являются нетривиальными делителями многочлена х4 — у4: л-4 — у* = (х + //) (х3 — х2у + ху2 — у3), х* — у*=(х — у) (х3 f х2у + ху* f у3), **^*/*==(*2--*/2)(*а + */2). Примерами тривиальных делителей данного многочлена могут служить: х* if 1 2, Y~2' У*~Х*> 3^4-3r/4, — ит п 2. Доказать, что многочлен пхп~^{ — (п + \)хп + 1 делится на (х — IJ и найти частное. Решение. Представим Р(х) в виде: Р (*) = я*л (* — !) — (*"—1). Двучлен xrt—1 делится на х — 1 в силу тождества A0) (§ 19). Имеем Р(х) = (х-\)(пхп —хп~1 —хп~2-^ ... —1) = = {х—\)[п(хп -.хп~1) + (п— \)(хп-1 —хп~2) 4- ... +(х—\)] = = (х-\J[(пхп-1 + (п—1) х"~2+ ... + 1]. Частным является многочлен, заключенный в квадратные скобки. Теорема. Если многочлен Р(х, у,..., г) делится на многочлен Ф(х, у, ..., г), то существует лишь один единственный много- многочлен-частное. Доказательство. Допустим противное, что при делении многочлена Р на Ф можно получить два различных частных Qi и Q2, тогда имеем: P^OQX и P=OQ2, откуда OQi = =OQ2 или O('Qi—Q2)=0. По условию Ф^О, а потому Qi = Q2, так как в противном случае произведение Ф(С^1—Q2)^0, ч. т. д. В кольце многочленов действие деления выполнимо н е всегда. Ниже указывается ряд признаков невыполнимости деления. Деление, наверное, невыполнимо в следующих случаях. 1°. Если многочлен-делимое F(x, у,..., z) есть одночлен, а де- делитель Ф(х, у,..., z) не является одночленом. 5 С. PI Новоселов 65
В самом деле, каким бы ни был многочлен Q, произведение Q(D (в каноническом представлении) содержит по крайней меро два члена и не может быть тождественно одночлену. 2°. Если степень делимого F относительно совокупности аргу- аргументов ниже степени делителя Ф. В самом деле, каков бы ни был многочлен Q, тождество A) не может выполняться, так как степень произведения QQ) больше степени делителя Ф, а, следовательно, и подавно больше сте- степени F. 3°. Если группа старших (или младших) членов делимого F не делится на группу старших (соответственно младших) членов делителя Ф. В самом деле, каким бы ни был многочлен Q, тождество i'l) не может иметь места, так как в противном случае группа стар- старших (младших) членов Т7, будучи равной произведению гр^пп старших ('младших) членов многочленов Q и Ф, должна делиться на группу старших (младших) членов делителя Ф. В частности, деление невыполнимо, если степень группы младших членов делимого ниже степени группы младших членов делителя. Предположим, что многочлены F и Ф расположены по убы- убывающим степеням некоторого аргумента, например х: F(x, #,..., z)=Fn(y,...iz)x"+Fn_l(y1...i z)x"-i+...+ + Fk(yy..., z)xk\ В частности, для многочлена с одним аргументом коэффи- коэффициенты суть числа данного поля. Известно, что ('стр. 48) старший (младший) относительно данного аргумента член произведения равен произведению стар- старших (младших) членов сомножителей, поэтому деление невыпол- невыполнимо в следующем случае. 4°. Если старший (младший) относительно данного аргумента член Fn(y, ..., z)xn (или (Fk(y, ..., z)xh) делимого не делится на старший (младший) член Фт(у, ..., г)хт (соответственно Q)i(y, ..., z)xl) делителя. В частности, делени'е невыполнимо, если а) степень делимого относительно данного аргумента меньше степени делителя относительно того же аргумента, т. е. п<Сгп и, в частности, если делимое не содержит аргумент, содержащийся в делителе (т. е. л = 0, т>0); b) если k < /; c) Fn(y9 ..., z) не делится на Фт(у, ..., г); d) Fk(y, ... , z) не делится на Фь (у,..., г) 66
Для многочленов с одним аргументом над числовым полем последние два признака 4° с) и 4° d) применения не имеют, так как в этом случае коэффициенты суть числа поля, а в поле поня- понятие «не делится» теряет смысл- Перечисленными простейшими признаками не исчерпы- исчерпываются всевозможные случаи невыполнимости деления много- многочленов. Примеры 1. Одночлен xyz не делится на х— у + z (признак 1°). 2. Многочлен x + y + z не делится на ху-\-yz+zx, так как степень первого многочлена равна 1, а второго равна 2 (признак 2°). 3. Многочлен xAy2z2 + 2х3— Зу3 + 1 не делится на многочлен х2 — у2 + + 2х—у + 3, так как группа старших членов первого многочлена xAy2z2 не делится на х2 — у2 (признак 3°). 4. Многочлен а4 __ /;4 + 2а* -j- b2 не делится на многочлен а2 + Ь2 + а + Ь, так как группа младших членов первого многочлена Ь2 не делится на а + Ь (признак 3°). 5. Многочлен хАу4 + х6 — уъ + 4 не делится на х2у3 + х3у + 2, так как старший относительно х член 1-го многочлена х6 не делится на старший член относительно х 2-го многочлена х3у. 6. Многочлен а5—65 + 4(а3 + 63) не делится на а—Ь + с, так как второй многочлен содержит аргумент, не содержащийся в первом. 7. Если многочлен f (х, у,..., г) делится на многочлен ф(х, */,...,?) той же степени, то частное есть многочлен нулевой степени, т. е. число. Следовательно, в этом случае коэффициенты многочленов F и Ф пропорцио- пропорциональны, т. е. Ф есть тривиальный делитель. Многочлен х6 — у6 + Зх2у2 + 6х2 — 2у2 не делится на х6 + у6 + х2 + у2, так как коэффициенты данных многочленов не пропорциональны. Многочлен х6 — у6 + Ъх2у2 + х2 — у2 не делится па х3 — У3 + х2 + у2, гак как группа младших членов х2 — у2 не делится на х2 + у2. § 25. Деление с остатком Ограничимся рассмотрением многочленов с одним аргу- аргументом над данным числовым полем. Теорема. Каковы бы ни были два многочлена (над данным полем) f (х) - апхп + ап_{ х"-1 + ... + а{х+а0 и 9 (х) = Ьтх™ + Ът_хх™-^ + .тт+Ь{х + Ь0, причем ф('л;)^еО, существует (над тем же полем) единственная пара многочленов q(x) и г(х), удовлетворяющих следующим условиям: 1°. степень г(х) меньше m или г(Х)=О, 2°. имеет место тождество: Многочлены q(x) и г(х) называются соответственно непол- неполным частным и остатком. 5* 67
т Нахождение многочленов q(x) и г(х) называется делением с остатком многочлена f(x) на многочлен ф(л'). Доказательство. Если т>п, то тождество A) удовлет- удовлетворяется при q(x) = 0 и r(x) = f(x). Пусть п > т\ разделим старший член ачхп многочлена f(x) на старший член Ът х многочлена ф(*), умножим полученное частное на у(х) и вычтем произведение из f(x): [апх* + ап_х х»-1 + ... -!- а0] - -^-х»-"Чьтхт 4 Ьт__хх™^ + где а;_, - ап-1 - Ьт-1 ^-, и т. д., откуда: где /?i(jc) многочлен, находящийся в правой части тождества B). Этот многочлен называется первым остатком от деления f(x) на (р(х). Пусть пх степень первого остатка и а'п его стар- старший коэффициент (если п'п_{Ф 0, то П\ — п—1). Если П\ > ту то, поступив с R\ (x) так же, как с f(x), получим: <p(x)+R2(x). Многочлен R%{x) называется вторым остатком отделе- отделения f(x) на ф(л:) и т. д. Для получения последующего остатка надо старший член предыдущего остатка разделить на старший член многочлена ф(#), умножить на полученное частное много- многочлен Ц)(х) и вычесть произведение из предыдущего остатка. Опи- Описанный процесс можно продолжать, пока не получится в остатке многочлен Rkix) степени более низкой, чем т, либо Rk=0. В результате этого процесса получится тождество A), где q(x) - — хп-т+ -€^-хп>~т-\ . . . и r(x) = Rh(x). Докажем, что q(x) и г(х) есть единственная пара мно- многочленов, удовлетворяющих тождеству A). Допустим (против- (противное), что существует другая пара многочленов q\(x) и Г\(х), где степень Г\ меньше т (либо Г\= 0) и f(x)^qi(x)r(x) + r1(x). C) Из тождеств A) и C) получим: Я (х) ? (*) + г (х) = Я\. (х) ? (х) + ri (x) 58
и, следовательно, — Яг Ш ? (*) = 'i И - г (х). D) Последнее тождество возможно лишь при q(x) = q\(x) В са- самом деле, если многочлены q(x) и qi(x) различны, то левая часть тождества D) содержит аргумент х в степени не мень- меньшей т, тогда как правая часть есть многочлен степени низшей, чем т (либо нуль-многочлен), что невозможно. Следовательно, q(x) = q\(xO но тогда и г(х)~ г{(х), ч. т. д. Согласно изложенному, деление с остатком заключается в переходе от делимого к первому остатку, от первого остатка ко второму и т. д. при помощи единообразного выполнения одних и тех же операций. Обычно эти операции выполняются при по- помощи известной схемы (деление «углом»), в которой вычисления располагаются в порядке, показанном на следующем примере. Пример 2Л4 ц Зх3 — 4л'2 + 6х — 8 8хб +!2х5— 16х4^ 4х5 4х4 4- — __ 4х5 —6х4 + 2х4 4- ~ 2х4 Л- В этом приме ре: делимое: делитель: первый остаток: второй остаток: неполное частное: остаток: - 24х3- - 15х3 — - 8х3 - 8х3 Зх3 — 5х3 — 8х64 2х44 —4х? 2х4 --1 4х2 5х3 - - 32х2 -18х2- 12х2- 6х2 4- 4х2 + 2х2 -t- -8х5 — -Зх3- — 4х4 -8х3- — 2x4- - 2х2 4 -ЗОх |- 16х 14х — 10 6х — 8 8х— 2 4х2- 20х4 + 40х3 — 50х2 f 4х2-; 6х —8, 4- 16х3—18х2 + 6х-+ 14х— 10, 1, 8х —2. ЗОх- -2х + ЗОх - -10, 1 10, При делении многочленов с остатком можно применять пред- предложенную М. В. Я к о в к и н ы м более экономную схему записи *. Так как для нахождения членов неполного частного надо делить старшие члены промежуточных остатков на старший член делителя, то нет надоОности находить сами эти остатки, а доста- достаточно знать лишь их старшие члены. Деление по схеме М. В. Яковкина (с незначительным видоизменением) для рас- рассмотренного выше примера расположится так: 8х6 f 8х5 — 20л4 + 40х3 — 50х2 + ЗОх — 10 — Зх3 ~6х 8 I9v5 ! ifiv-4 94 r's 4- 32г у-2 \2х2— 16х 4л:2— 6х- С2 _ 2х -н 1 I | 5х3 — 2х2 + 8х — 2 *М В Яковкин. О схеме деления многочлена, журнал «Математика в школе», № 5, 1954. 69
Здесь в верхней левой клетке записан старший член делителя, а затем в столбец записаны прочие члены делителя с обратными знаками. Делимое выписано в верхней строке. В нижней строке 4х2 есть старший член частного. Произведение старшего члена делителя на старший член частного не пишем, так как при вычитании из делимого это произведение сократится, произведе- произведение же старшего члена частного на прочие члены делителя, взятое с обрат- обратным знаком, записано во второй строке. Далее делим старший член первого остатка: 8х5—12х5 = —4х5 на старший член делителя, получаем второй член частного —2х и продолжаем далее описанный процесс. Остаток 5*3 — 2х2 + 4- 8х — 2 получается сложением записанных «в столбец» подобных между собой членов. Следствие. Необходимым и достаточным условием дели- делимости многочлена f(x) на ф(х) является тождественное равенст- равенство нулю остатка. Это предложение устанавливает связь между операциями деления и деления с остатком в кольце многочленов. Условие необходимо. Если многочлен f(x) делится на ф(х), то имеет место тождество: Сопоставив с A), получим q(x)=Q(x) и г(х) ~0. Условие достаточно. Если в тождестве A) г(х) =0, то f(x) = q(x)y(x) и, следовательно, f(x) делится на ф(лг), ч. т. д. П р и м е ч а н и е. Не следует смешивать понятия дели- делимости многочленов с делимостью их значений. Поясним это примерами. 1°. Многочлен f(x) = x2—1 делится на ф(х)=х+1, так как х2— 1 - (х—1)(х+ 1), но не имеет смысла говорить о делимости их значений при х = —1, так как ф(—1) = 0. 2°. Многочлен f(x) = хъ + х2 + 2х не делится на имеем: х* — х2 + 2х= {х- \)(х2 + 1)-г (*+ 1). Рассмотрим эти многочлены над полем рациональных чисел. Так как при всех значениях аргумента ц)(х) ф 0, то деление на значение ф(я') (в числовом поле) всегда выпол- выполнимо, например: 1M-JL 10' Рассмотрим ту же пару многочленов над кольцом целых чисел. Положив х = 1, получим /A)=2ифA)=2. В коль- 70
це целых чисел значение /A) делится на фA), неполное частное есть 1, остаток равен 0. Неполное частное х—1 и остаток х + 1 от деления / (х) на ф (х) в к о л ь ц е много- многочленов имеют при х = 1 соответственно значения 0 и 2. Примеры 1. Найти неполное частное и остаток от деления двучлена хп—ап на ХР—ар (п и р — натуральные числа и а^О). При каком условии первый двучлен делится на второй? Решение. Разделим с остатком число п на р: п = kp -{- г, где 0 < г < р, откуда vn J4 <Мр jr nkp rX *,? (vkp nkp\ i_ ~kp t ^.т „т \ x —a —x x —a a —x \x —a ) -j-a {x —a ). Двучлен xkp —akp делится на хр—qp, так как (формула 10, § 19) Следовательно, неполное частное равно: / (хР (k-\) + хр (Л-2) аР+ ттт+аР (Л-D) = хп-р _ь ар хп-2р + t_ + +aP(n-\)xr 9 остаток равен akp(xr—аг). Деление выполняется нацело, если хг—аг==0; последнее возможно лиши при условии г = 0. Значит, число п должно быть кратным р. 2. При каких значениях а и Ь многочлен л:3 + 8х2 + 5л;+а делится на трехчлен х2-\-Ъх + Ъ. Решение. Применим метод неопределенных коэффициентов. Пусть Ах+В частное от деления первого многочлена на второй: х3 + 8х2 + Ъх + а = (Ах + В) (х2 + 2>х + Ь). Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях аргумента, получим \=А, 8=ЗЛ + Б, 5=Л6 + 3?, а=ВЬ, откуда Л=1, Б = 5, Ь= —10, а=—50. При делении с остатком многочлена f(x) на ф(х) над коэф- коэффициентами /('*) и ц)(х) выполняются в определенной последо- последовательности четыре арифметические действия, по- поэтому коэффициенты неполного частного и остатка принадле- принадлежат тому же числовому полю, над которым рассматриваю! ся данные многочлены. При этом действие деления производится лишь при делении старших коэффициентов f(x) и промежуточ- промежуточных остатков на старший коэффициент bm многочлена ф(х) Если bm =±1, то коэффициенты неполного частного и остат- остатка (и всех промежуточных остатков) выражаются через коэф- коэффициенты f(x) и ф(х) посредством сложения, вычитания и умножения. В этом частном случае, если коэффициенты много- многочленов f(x) и q(x) принадлежат некоторому кольцу, то и коэф- коэффициенты частного, промежуточных остатков и остатка принад- принадлежат тому же кольцу. Так, например, при делении с остатком многочлена с целыми коэффициентами в общем случае получа- получаются многочлены (неполное частное и остаток) с дробными коэффициентами. Однако, если bm =±1, то в этом случае полу- получаются многочлены с целыми коэффициентами. 71
Будем под f(x) и ф(х) подразумевать многочлены от н е- скольких аргументов х, у,..., г, расположенные по сте- степеням аргумента х, тогда коэффициенты а„, ..., а0, Ьт, ..., Ьо суть многочлены от прочих аргументов. В этом слу- случае деление с остатком приводит к выражениям, не являю- являющимся многочленами (относительно совокупности аргументов), так как коэффициенты получаются в виде дробных выражений относительно аргументов у, ..., г. Если коэффициент Ьт является числом, то коэффициент частного и остатков не содержит аргументов в знаменателях, поэтому в данном частном случае в результате деления с остатком получатся многочлены, располо- расположенные по степеням х. Пример х3у + Зл:2 (у — 1) + ху2 — 1 хъу + 2х2у2 — ху х2 4- 2ху — у ху + (-2#2 + Ъу -3) х2 (—2у2 + Ъу — 3) -|- 2л#2 — 1 х2 (~2у2 + 3у— 3) + 2л: (—2^3 + Зг/2 - Ъу) + B*/3 - 3j/2 -г Зу) 2л- Bг/а — 2//2 + 3f/) + (—2у3 4- Зг/2 — Ъу — 1) Этот пример показывает, что коэффициентами «неполного частною» и «остатка» при делении с остатком данных многочленов, расположенных по степеням х, служат многочлены от у. § 26. Теорема Безу Теорема. Остаток от деления многочлена Р (х) = апхп + ап_х хп~1 + ... + ахх + а0 на двучлен х—а равен значению многочлена Р(х) при >: = а. Доказательство. Неполное частное есть многочлен п— 1 степени, а остаток, будучи многочленом степени ниже 1, есгь число. Следовательно, в тождестве Р (х) = (х—а) (сп_{ x"-i + сп_2 х»-2 +... + cQ) + R значение R одно и то же при всех значениях аргумента х. Поло- Положив х = а, получим P(a)=R, ч. т. д. Рассуждение остается в силе и в том случае, когда Р(х, у,..., г) есть многочлен от нескольких аргументов, а деление про- происходит на разность х—А(у,..., z)y где А (у,..., г) многочлен. В данном случае коэффициенты Си и остаток R суть многочлены от у, ..., z, причем: R(y, .•¦, г) = Р[А(у, ... , г), у, ... , z). Примеры 1. Остаток от деления многочлена 2хг—Зх2—х+\ на х—2 равен 2- 23—3 • 22—2+1=3. Остаток от деления того же многочлена на х+\ равен 2 (—IK — 3 (—IJ — (—1) + 1 = —? 72
2. Найти остаток от деления многочлена Р(х) на (х — а) (х — Ь), где афЪ. Решение. Делитель есть многочлен второй степени, остаток должен быть двучленом первой степени: P(x) = Q (х) (х — а)(х — Ь) + (Ах + В). Положив х = а и х = Ь, получим: Аа + В = Р (а), АЪ + В - Р (Ь). Из этих уравнений найдем* Р(а) — Р (Ь) ЬР (а) - аР (Ь) А = и В = ¦— , Р(а) — Р (Ь) ?Р (а) — а — —а Для вычисления коэффициентов неполного частного и остатка от деления Р(х) на х—а можно воспользоваться методом не- неопределенных коэффициентов. Умножим искомое неполное част- частное на делитель: К -J- . . . , A{X-t Ло ln—2 • п-2 V2 + А0Х Сумма полученного произведения и остатка R юлжна быть тождественна Р(х), следовательно, 4-i = an>An-2—aAn-i - ап-х . • • • > Ао -аАх = ° -^о= Не- Неоткуда находим последовательно: - а0 + аА0. - ^2 + аА п_2,... Вычисления обычно располагают в виде следующей схемы Горнера: ап ап-\ АП—2 °п-2 (= «^л_2 + ап-2 ) . . . R (=аА0 + а0) Коэффициенты неполного частного и остаток вычисляются путем последовательного заполнения второй строки таблицы 73
Примеры 1. Вычислить неполное частное и остаток от деления многочлена — jc3 — х2 + 3* — 2 на х — 2. Составляем таблицу 2 2 1 3 1 5 3 13 —2 24 1 1 0 — 1 — 1 0 2 2 —3 —5 Неполное частное: 2а:3 + Зх2 + Бх + 13. Остаток: 24. 2. Вычислить неполное частное и остаток от деления хА — х2 + 2х «а * + 1 — 1 Неполное частное: л;3 — х2 + 2, остаток: —5. § 27. Теоремы о корнях многочлена Рассмотрим многочлен Р(х) положительной степени (т. е. не являющийся числом) от одного аргумента над некоторым число- числовым полем. Определение. Число а называется корнем многочлена Р(х), если значение Р(х) в точке х = а равно нулю. Иными словами, корень многочлена Р(х) есть корень уравне- уравнения Р(*) = 0. Основная теорема алгебры комплексных насел.Всякий многочлен Р(х) положительной степени имеет в поле комплекс- комплексных чисел хотя бы один корень. Доказательство основной теоремы известно из курса высшей алгебры. Эта теорема утверждает, что для всякого мно- многочлена положительной степени <*пхП + an-i хП~1 +... + ахх + а0 с комплексными коэффициентами существует, по крайней мере, одно комплексное (в частности может быть действительное) число а такое, что при х = а значение многочлена равно нулю. В частности, всякий многочлен с действительными коэффи- коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень, этот корень может быть, а может не быть действительным. Теорема. Если многочлен Р(х) положительной степени с действительными коэффициентами имеет мнимый корень а = |+т]/ (где г) =^0), то сопряженное комплексное число g — r\i также является корнем Р(х). 74
Доказательство. Пусть x = % + r[i некоторое комплексное значение аргумента, а U + IV = Р (S + 7] /) соответствующее значение многочлена. Сопряженному значению аргумента х = § — r\i соответствует сопряженное значение много- многочлена, так как при замене х сопряженным числом х ^каждый член многочлена akxk заменится сопряженным числом akxk. Сле- Следовательно, Если t= + Ц1 есть корень многочлена, то w + vi = О, т. е. и = v = 0. Но когда | — x\i также является корнем многочлена, так как Р (с — 7) /) = U — IV = О, Ч. Т. Д § 28. Разложение многочлена на множители Определение. Многочлен положительной степени Р(х, у, ..., z) называется неразложимым, или неприводимым над данным числовым полем, если он не имеет нетривиальных делителей с коэффициентами из этого поля. Многочлен Р(х, у, ..., z) называется разложимым (или приводимым) над данным полем, если он имеет нетривиаль- нетривиальные делители с коэффициентами из этого поля. Теорема. Всякий многочлен Р(х, у, ..., z) положительной степени (над данным полем) может быть представлен в виде произведения неразложимых множителей: Р (х, У, . • •, г) = pL(x, у,..., г)-р2(х, у,...,г)...рк(х,у,...,г), (Р) где Pi (х,у,..., г), р2 (х,у,..., г), ..., pk (х, у,..., г) неразложимые (над данным полем) многочлены. Это разложение является единственным с точностью до чис- числовых множителей (из данного поля). Доказательство дается в курсе высшей алгебры; в за- задачи элементарной алгебры входит лишь рассмотрение различных частных приемов практического разложения многочленов на множители. Разъяснения: 1°. Слова «с точностью до числовых мно- множителей» означают, что в двух разложениях данного многочлена неприводимые многочлены-сомножители либо (соответственно) тождественны, либо могут отличаться лишь числовыми множи- множителями. Такие разложения не рассматриваются как 75
различные, например, следующие разложения квадратного тр'ехчлена* = (* —3)(* —5)-= (За:—9) (-| -) - и т. п. различными не считаются. 2°. Если сам многочлен Р является неразложимым, то пра- правая часть тождества (Р) рассматривается как состоящая из «одного множителя» и «разложение» принимает вид: Р(х, у, ... , z)= Р(х, у, ... , z). 3°. В формуле (Р) среди неразложимых сомножителей могут встречаться одинаковые (с точностью до числовых множителей). Объединив вместе одинаковые сомножители, получим канони- каноническое разложение многочлена на множители: Р(х, у, ..., г) = Ср\*(х, у, ... , г)р**(х, у, ... ,г).. .p*ss(x, у,.. .,г). где С — числовой множитель, а си, (Х2, •••, cxs- —некоторые нату- натуральные числа. Всякий многочлен первой степени является неразложимым, так как в противном случае он мог бы быть представлен в виде произведения не менее двух сомножителей степени не ниже пер- первой, что невозможно Разложение на множители многочленов от одного аргумента. Теорема. Число а есть корень многочлена Р(х) в том и толь- только в том случае, если Р(х) делится на разность х—а. Доказательство. Если а есть корень многочлена Р(х)* то Р(а) = О, но Р(а) есть остаток от деления Р(х) на (х — я). Следовательно, Р(х) делится на (х — а). Обратно, если Р(х) делится на х — а, то P(x) = (x — a)Q(x), A) откуда Р{п) =0, т. е. число а есть корень многочлена Р(х) ч. т. д. Следствие. Если многочлен Р(х) имеет в данном число- числовом поле корень х = а, то он является разложимым над этим полем, так как х — а есть его нетривиальный делитель. Теорема. Всякий многочлен Рп(х) степени п(где /I > 0) разлагается над полем комплексных чисел на п линейных мно- множителей. Доказательство. В самом деле, в силу основной тео- теоремы многочлен 76
в поле комплексных чисел имеет хотя бы один корень х = Х\ л, следовательно, делится на разность х — х\\ Рп{х)^{х-х{)Рп_{{х). В силу той же теоремы многочлен Рп-\ (х) имеет хотя бы один корень Х2, а потому делится на разность х — х% Следова- Следовательно, имеем: Рп(х) = (x—xl)(x — х2) Р„_2 (х). После п-то шага получим: Рп (*) = (х-хг) (Х-х2)...(х- хп) Ро, (*) где Ро — многочлен нулевой степени, т. е. отличное от нуля чис- число, ч. т. д. Сравнив коэффициенты /при старшем члене в обеих частях этого тождества, получим Р0 = ап. Числа х\, *2, •¦•» хп СУТЬ корни многочлена Рп. Если корень х{ встречается ai раз, х2 встречается а2 раз и т. д. хк встречается a/t- раз, то разложение примет вид: Рп (х) =^ап(х- Xlf* (х ~ х2)а\ ..(х- xkfk , где cti + a2 + ... + ak = п\ число с^ называется кратностью корня xt , а сам корень хь называется at -кратным корнем данного мно- многочлена. Если кратность корня равна 1, то корень называется простым. Принято каждый корень считать столько раз, какова его кратность. Теорема. Всякий многочлен Рп (х) степени п в поле комплек- комплексных чисел имеет п корней, при этом каждый корень считается столько раз, какова его кратность. Доказательство. В самом деле, числа хи х2у ..., хп суть корни многочлена Рп (х). Кроме этих чисел многочлен Рп(х) не имеет никаких других корней, так как ни при каком значе- значении х, отличном от х} (i = 1, 2, 3, ..., п) ни один из сомножи- сомножителей в правой части не обращается в нуль, а потому и Рп (х) ф О, ч. т. д. Следствие. Многочлен Рп (х) степени п в данном числовом поле имеет не более чем п корней. В самом деле, в поле комплексных чисел многочлен имеет в точности п корней. Среди п комплексных корней содержатся (б частности) в се действительные и (в частности) .все «рациональ- «рациональные корни. Число таких корней не больше их общего числа, т. е. п. Теорема. Над полем действительных чисел: 1°. неразложимыми являются только двучлены первой сте- степени и квадратные трехчлены с мнимыми корнями; 2°. всякий многочлен с действительными коэффициентами 77
степени выше 2-й разлагается в общем случае на множители первой степени и неразложимые квадратные трехчлены. В частных случаях в каноническом разложении много- многочлена над полем действительных чисел могут отсутствовать- аибо множители 1-й степени, либо квадратные трехчлены. Доказательство. Предположим, что квадратный трех- трехчлен с действительными коэффициентами ах2 + Ьх + с имеет мнимые корни. Если бы этот трехчлен был приводимым над полем действительных чисел, то имело бы место разложение: ах2 + Ьх + с = (kx -r I) (mx f я), A > где /г, /, m и п — действительные числа. Но тогда, вопреки пред- предположению, трехчлен имел бы два действительные корня: У — l U Y — П k m Следовательно, над полем действительных чисел трехчлен (*1) неразложим. Если многочлен Р(х) с действительными коэффициентами имеет мнимый корень a = % + v\i, то он имеет и сопряженный корень а= ? — т)*', а потому делится на произведение (а: — а) (а:—а) = х2 — (х4- а)х -}- аа = = х*-2;х + (^:2 +ТJ) = х2 + рх + q9 где р = —2§, q = g2 + т]2, т. е. на квадратный трехчлен с мни- мнимыми корнями *. Частное от деления многочлена Р(х) на тр'ехчлен x2 + px + q есть многочлен Q(x) с действительными коэффициентами. Имеем: P(x) = (x2-rPx+q)Q(x). Если ai есть мнимый корень многочлена Q(x), то ai также есть корень Q(x) и Q(x) делится на трехчл'ен (х ~ лх) (х — ai) - х2 -г рхх + qv В этом случае, а, а, сп и ai суть корни многочлена Р(х) и он делится на произведение трехчленов (x*+px+q)(x*+plx + q1). Имеем: Р (х) = (х2 + рх + 9) (х2 + Plx + 9i) Q2 (x). Если, в частности, а есть кратный корень многочлена Р(х)9 то cti = а и ai = а суть также корни многочлена Q(x). В этом случае Р(х) делится на (А:2+рх + ^J. * Действительных корней этот трехчлен не имеет, так как (х—а) (х—а) = (х—5J+Л2>0 ПРИ произвольном действительном х. 78
Описанный процесс попарного выделения сопряженных мни- мнимых корней можно продолжать, пока не будут исчерпаны все мнимые корни многочлена Р(х). Из сказанного следует, что мнимые корни многочлена Р(х) попарно сопряжены; при этом наличие кратного корня влечет за собой наличие сопряженного корня той же кратности. Если в разложении многочлена Р{х) на множители Р (х) = ао(х — Xj)(x — х2).. .(х - х„) над полем комплексных чисел выделить действительные дву- двучлены первой степени, соответствующие действительным корням,, и квадратные трехчлены, соответствующие парам мнимых сопря- сопряженных корней, то получится следующее разложение Р{х) на множители над полем действительных чисел: Р (х) = ао(х- хгр (х - х2)а\ ..(х- xkfk (Xz + PlX+ QlI*... . • • (*2 + Ртх + qm)\ ч. т. д. В этом разложении каждый неразложимый (над полем дей- действительных чисел) множитель берется в степени, равной крат- кратности соответствующего корня. Следствий. Всякий многочлен с действительными коэф- коэффициентами нечетной степени имеет по крайней мере один дей- действительный корень. В самом деле, если бы все корни многочлена нечетной сте- степени были бы мнимые, то их число (равное степени многочлена) было бы нечетным, что невозможно. Примеры 1. При каких условиях многочлен с действительными коэффициентами Р (х) = а0 + агх + а2х2 +... + апхп делится на двучлен х2 + 1? Решение. Для делимости на х2 + 1 необходимо и достаточно, чтобы число i было корнем Р(х). Это ясно, так как наличие корня г", а следова- следовательно, и сопряженного ему корня —i равносильно делимости на (*—/)(* + *) = *а + 1. Искомое условие запишется так: р @ = я0 + i + /2 + '3 + = (Go — а2 + а\ —• • • ) + *" («1 — «3 + «5 — • • • ) = 0 . Откуда Go — ct2 + a4—.. .= О ч и ax —а3 + а5—... =-- 0. 2. Доказать, что трехчлен xZn + x3m+1 + х2р+2 (где n, m и р любые натуральные числа) делится на квадратный трехчлен х2 + х + 1. Решение. Пусть е = ~~ "*"^3 —мнимый кубический корень из 1. Имеем: ?3—1=0 или (е— 1)(е2 + е +П=0, но так как е— 1 =?0, то е2 + е + 1 =0. 79
Докажем, что е есть корень данного трехчлена: ?3/г + g3m+l + ?3*+2 = { + ?Зт? +(^р)в2 ^ { 4 ? + ?2 = 0. —1—*/з Отсюда следует, что трехчлен имеет и сопряженный корень е2= ¦—¦— и делится на (х — е) (х — ?2) = х2 — (е + ?2) х + ?3 -- х2 -ь v j- 1. Над полем рациональных чисел существуют неразложимые многочлены любой степени. Существуют многочлены с несколькими аргументами произвольной сте- степени, неразложимые над каким угодно полем. Примером может служить многочлен Q(x, у)=Р(х) + у, где Р(х)—произвольный многочлеч с одним аргументом. В самом деле, для многочлена Q(x, у) единственно возможное разложение па множители име- имеет вид: Q (х, У) = Pi (х) [р2 М У + Рз (х)]. Откуда Pi(x)p2(x)=i 1 и, следовательно, р\(х) и р2{х) суть числа данно- данного поля Итак, многочлен может иметь лишь тривиальные делители. Геометрическая интерпретация. Если многочлен Р(х, у) является разложимым Р(х,у) = Рг(х,у)Р2(х,у), то линия, определяемая уравнением Р(х, у) = 0, распадается на две линии Pi(x, y) = 0, P2(.v, y) = 0 (каждая из этих линий может распадаться в свою очередь). Если многочлен Р(х, у) неразложим, то соответствующая линия является нераспадающейся на пару (или большее число) линий более низкого порядка. В частности (как известно из курса аналитической геометрии) уравнением апх2 + 2а12ху + а22У* + 2а±х+ 2а2у + а0 = О с неразложимой левой частью изображается нераспадающаяся линия второго порядка (т. е. эллипс, гипербола или парабола). Если левая часть разлагается на два линейные множителя, то линия распадается на пару прямых. Изве- Известное из аналитической геометрии условие распадения линии второго порядка ап а12 ах ап а22 а2 #1 а2 а0 = 0 является необходимым и достаточным условием разложимости многочлена второй степени (над полем комплексных чисел) с двумя аргументами на ли нейные множители. § 29. Различные способщ разложения многочленов на множители В задачу элементарной алгебры входят установление и систе- систематизация различных частных приемов разложения многочле- многочленов на множители. В практике разложения многочленов отдель- 80
ные приемы применяются в различных их комбинациях, и умение целесообразно ими пользоваться приобретается лишь в резуль- результате длительного опыта. Элементарные частные приемы в общем случае не дают возможности установить неразложимость или разложимость данного многочлена и выполнить окончательное разложение на множители. Однако в практическом применении к различным конкретным случаям частные приемы разложения на множители имеют весьма важное значение. Задача разложения многочлена на неприводимые множители н'е может ставиться без указания того числового поля, над кото- которым требуется выполнить разложение. Для различных полей окончательные результаты разложения одного и того же мно- многочлена могут быть различными. В учебной литературе нередко числовое поле, над которым требуется выполнить разложение, явно не указывается, поскольку бывает яоно, о каком числовом поле идет речь*. Простейшие методы разложения основываются на непосред- непосредственном применении законов арифметических действий. Непосредственное применение закона дистрибутивности изве- известно в учебной литературе под названием вынесения об- обид,'его множителя за скобки. Примеры 1. Разложить на множители Bа2 — Зах) Eс + 2d) — Fа2 - 4ах) Eс + 2d) = = [Bа2 — Зад:) — Fа2 — 4ах)] Eс + 2d) = (дистрибутивность) = (ах — 4а2) Eс + 2а*) = а (х — 4а) Eс +- 2d). (дистрибутивность) Обычно применению закона дистрибутивности предшествуют преобразования, основанные на законах коммутативности ^пере- ^перестановка членов) и ассоциативности (группировка членов). Этот прием в учебной литературе называется методом группи- группировки. Иногда целесообразно применение «искусственных» пре- преобразований, заключающихся в разбиении некоторых слагае- слагаемых на сумму двух или нескольких подобных членов, или в вве- введении сокращающихся членов. 2. (ау + bxf + (ах -|- by)* — (а» + Ь*) (х3 + у*) = = За2*? ху* + Заб3 ух2 + За26 х2у + ЗаЬ2 ху2 = (раскрытие скобок и приведение подобных) = ЗаЬ ху (ау + Ьх + ах + by) = (дистрибутивность) = ЗаЬ ху [(ах + ay) + (bx + by)] = (коммутативность и ассоциативность) = ЗаЬ ху [а(х + у) + Ь(х + у)] = ЗаЬ ху (х + у)(а + Ь). (дистрибутивность) 3. х3 + 6х2 -S-llx + 6. Разобьем второй и третий члены на сумму двух слагаемых 6х2=3х2 + 3х2 и 11х=9х + 2х. * Так, например, в задачах для VI и VII классов ни о каком ином поле, кроме поля рациональных чисел, речи быть не может, 6 С И. Новоселов 81
Получим: Х3 + 6х2 + Их+6 = х3 f Зх2 + 3х2-!- 9х-4-2х + 6 = = х2 (х + 3) + Зх (х + 3) + 2 (х + 3) = = (* + 3) (х2 + Зх + 2) = (х + 3) (х2 + 2х+ х + 2) = (х+ 3) (х + 2) (х+ 1). 4. Р = be (b + с) + са (с — а) — аб (а + Ь). Решение. Заметив, что выражение в третьей скобке есть разность выражений в первых двух а + b = (b + с) - (с - а), получим Р =, be (b + с) + са (с — а) — ab {{Ь + с) — (с — а)] = = [be (b+c)~ ab (b + с)] + [са {с — а) + ab (с — а)] = = Ь (Ь + с) (с — а) + а (с — а) (с + Ь) = ф + с) (с — а)(Ь + а). При разложении многочленов на множители формулы сокра- сокращенного умножения применяются для представления суммы в виде произведения. Так, например, формулой х2 + (a -f- Ь) х + ab = (х + а) (х + Ь) удобно пользоваться для разложения на множители квадратного трехчлена x2+px~\-q, если нетрудно непосредственно подобрать числа а и Ь, сумма которых равна р, а произведение равно q. При разложении многочленов на множители часто пользуются преобразованием, называемым выделением полного квадрата. Это преобразование заключается в дополнении (пу- (путем введ'ения сокращающихся членов) некоторой группы слагае- слагаемых до квадрата многочлена. Примеры 5. Разложить на множители трехчлен х2 + 6х + 8. Решение. Заметив, что 6 = 2 + 4 и 8 = 2- 4, получим: х2 + 6х + 8 = (х + 2) (х + 4). 6. Разложить на множители трехчлен 9х2 + 12х + 3. Решение. Применим преобразование выделения полного квадрата: 9х2 + 12х + 3 = [(ЗхJ + 2 • 2 • (Зх) + 4] — 4 + 3= = (Зх + 2)? - 1 = (Зх + 3) (Зх + 1) = 3 (х + 1) (Зх +¦ I) 7. Двухчлен х2 + 1 над полем действительных чисел неразложим. Над полем комплексных чисел имеем: х2 + 1 :_-- х2 — i2 = (x+ i) (х — /). 8. Трехчлены х2 + ху + у2 и х2 — ху + у2 над полем действительных чисел неразложимы. Рассмотрим для определен- определенности первый трехчлен. Применив преобразование выделения полного квад- квадрата, получим: Над полем комплексных чисел получим следующее разложение на линей- линейные множители: 82
Аналогично для другого трехчлена получим: у VI f [ j 9. 4xz2 — Зху* + 4z2y — Ъу* = 4z2 (x + у) — 3y2 (x + y) = Dz2 — 3y2)(x+y). Это разложение следует рассматривать как окончательное над полем рациональных чисел. Над полем действительных чисел разло- разложение может быть продолжено. Рассматривая первый множитель как раз- разность квадратов, получим: 10. Разложить на множители х4 + х2у2 + у4. Решение. Выделим полный квадрат: х4 + х2у2 + у*= (х4 + 2х2у2 + #4) - xV = = (х2 + у2J- х2у2 = (х2 + у2 + ху) (х2 + у2 - ху). Полученное разложение полезно запомнить. Над полем комплексных чисел разложение может быть продолжено (см. пример 8). 11. Разложить на множители над полем действительных и комплексных чисел х4 + у4. Решение. Имеем: х* + г/4 = (х4 + 2х2у2 + у*) — 2х2у2 = (x2 + y2J — (V 2 ху)* = - (х* + )/~2~ ху + у2) (х* - V 2 ху + У1). Применив преобразование выделения полного квадрата к каждому из квадратных трехчленов, получим следующее разложение над полем комплек- комплексных чисел: ( V2 \( V2 V 12. Разложить на множители S = а6 — б6 + а4 + a2b2 + Решение. Имеем: = (а — b) (a2 + ab + Ь2) (а + b) (as — ab + b*). и a4 + a2b2 + 64 = (a2 + ab + 62) (a2 — a6 + 62j. Следовательно, S=(a* + ab + b2) (a2 — ab + b2) [(a — b) {a + b) + 1] = = (a2 + «6 + b2) {a2 — a6 + 62) (a2 — b2 + 1). Над полем комплексных чисел первые два трехчлена разложимы (см. при- пример 8), а третий неразложим (см. стр. 80 «Геометрическая интерпретация»). 13. Разложить на множители (х + уL+х4 + у4. Решение. Применим дважды преобразование выделения полного квадрата: = (х + У)* — 4ху (х + уJ + 2х2у2. Откуда х> + у* + (х + у)*=2[{х + уу-2ху(х + уJ + х*у2\ = = 2[(х + уI — ху}2 = 2 (х2 + ху + у2J. 14. Разложить на множители Р (х) = (х + уM — хь — у5. Решение. f 2х2у + 2#2х + г/3) = Бху [(х3 Jr i/3) + 2ху (х + = Бху (х + У) (х2 + ху + #2). 6*
15. Разложить на множители Р (а, Ь, с) = 2аЧ* + 2а-с2 + 2Ь*с2 — а4 — б4 — с4. Решение. Применим преобразование выделения полного квадрата: а* + б4 + с4 = (Л4 4- б4 + с* + 2а* б2 — 2а2са — 2Ь2с2) — 4а262 =- (а2 + Ь* — с2J — 4a2f>2. Следовательно, Р (a, b с) = 4а?62 — (а2 4 6?—?*J = Bа&—а2 ~ б2 + с2) Bя& + а2 + Ь2 —с2) = =- [ С2 _ (д _ ^J] [(я 4 бJ — б2] = (с 4 а — Ь) (с — а + b) (a + b + с)(а + Ь-с). Знание корней многочлена f(x) позволяет или произвести полностью разложение на множители, или выделить ряд множителей первой степени и свести задачу к разложению на множители многочлена более низкой степени. Примеры 16. Разложить на множители Р (х) = х* + 6х4 + 13л:3 + 14х2 + \2х + 8. Решение. Непосредственной подстановкой нетрудно убедиться, что многочлен обращается в нуль при х = —2, следовательно, он делится на х + 2. Выполнив деление (по схеме Горнера): 1 1 6 4 13 5 14 4 12 4 8 0 при х получим: Р (Х) = (х 4 2) (х4 + 4х3 + 5х2 4 4* + 4). Подстановкой убедимся, что второй множитель также обращается в нуль 2. Выполнив деление на х + 2, получим: Р (х) = (х + 2J (х3 + 2x2 4 х + 2). Второй множитель легко разлагается способом группировки: х* + 2х°- + х + 2 = (х + 2) (х* + \). Имеем окончательно (над полями рациональных и действительных чисел): 17. Разложить многочлен х2п—1 на множители над полем действитель- действительных чисел. Решение. Найдем сначала линейные множители, на которые разлагает- разлагается данный многочлен над полем комплексных чисел. Корнями многочлена слу- служат значения комплексных корней степени 2п из 1. Соответствующие точки располо- расположены в вершинах правильного 2п- угольника, их можно занумеровать, как показано на чертеже 9. Имеем: те те е0 = 1 е, = cos + / sin , п п 2% 2к Ъ е2 =^ cos п sin - п ~г тс . . я е . = cos —— i sin —, ~~1 п п — cos- • — / sin * Черт. 9
Среди этих чисел содержатся два действительные: е0 = 1 и еп = — 1. Корни ?? и е-? (где 0<k<n) дают в разложении х2п—1 два сопряженные комплексные сомножителя: их произведение дает неразложимый (над полем действительных чисел) квадратный трехчлен: / къ kit \ ( kit kiz \ (х — е J (х — г Л = [х — cos — / sin х — cos + i sin = v ^ Л \ n n j \ n n ] I kiz \2 кк kiz = \x — cos + sin2 — x2 — 2x cos h 1. \ n J n n Следовательно, x2rt — 1 = (л: — 1) (x + 1) (x2 — 2x cos — + \) (x2 — 2x cos — + 1 V n \ n I (n— 1)ti N ... Ijc2 — 2xcos— + 1 или сокращенно: Х2п \ — (х 1) (х 4- Г Разделив обе части на х2—1, получим следующее разложение: п— 1 При разложении на множители многочленов от нескольких аргументов не- нередко применяется следующая обобщенная теорема Безу. Теорема. Для делимости многочлена Р(х, у, ..., z) на разность х—Л(у, ..., г) (где Л(у, ..., z)—многочлен) необходимо и достаточно, чтобы результат подстановки х= Л (у, ..., z) в Р(х, у,..., z) был тож- тождественно (относительно у,..., z) равен нулю. Доказательство. Разделив с остатком многочлен Р(х, у, ..., z) на х — А (у,..., г), получим: Р(х, у г)=[х-А(у, ..., 2)]Q(x у,, ..., z) + R(y, ..., z), где R (у, ..., z) = Р (А (у, ..., г), у,... ,z), следовательно, многочлен Р раз- разделится на х—А в том и только в том случае, ески Р (А (у,. . ,2), у,.. .,z)=0 Примеры 18. Найти значение коэффициента /г, при котором многочлен Р{х, У, г) =х*+у*+ z3+kxyz делится на трехчлен х + у + z, и выполнить разложение на множители. Решение. Требуется найти k, при котором многочлен делится на раз- разность х—(—у — z). Необходимым достаточным условием делимости является: Р(-У — г, у, z) = -{y + z)* + y* + z*-k(y + z)yz = Следовательно, k = —3 и Р(х, у, z) = хъ + у3 + z3 — 3xyz. Так как при любой перестановке аргументов делимое и делитель не изменяются, то не из- изменяется и частное. Частное является однородным многочленом, так как в противном случае произведение делителя на частное содержало бы различные между собой группы старших и младших членов и не могло бы быть тожде- тождественным однородному многочлену Р(х, у, г). Итак, искомое частное есть 85
однородный симметрический многочлен второй степени. Применим метод не- неопределенных коэффициентов: х3 + #3 4 г3 — Ъхуг = (х + у + г)[А (ха + у2 + г2) + В (ху + хг+ уг)]. Сравнив коэффициенты при хъ, получим 1 = Л. Положив в последнем тождестве jc= I, y=l, 2=0, получим 2 = 2BЛ + ?), откуда В = — 1. Итак, имеем тождество *3 + j/8 _|_ гз _ 3x«/z = (л: + г/ + z) (х2 + у2 + z2 — ху — хг — уг). Над полем комплексных чисел возможно дальнейшее разложение. Доста- Достаточно принять во внимание, что (X + ? у + S2Z) (X + г*У + ? Z) ЕЕ X* + ?3f/2 + ?322 + (г2 + s) (/ = ,v2 + у2 + z2 — yz — xz — xy, где __ _ -1 + 1^3 _ -\-iVz ? = И ?2 = 2 2 — мнимые кубические корни из 1. 19. Разложить на множители Р = (Ь-с)(Ь + су + (с - а) (с + а)« + (а - 6) (а + 6)*. Решение. Рассмотрим Р как многочлен от аргумента а. Нетрудно заметить, что Р(а, 6, с) обращается в нуль при подстановке а = Ь, а также при подстановке а = с. Аналогично рассматривая Р(а, 6, с) как многочлен от аргумента Ъ, заметим, что он обращается в нуль при b = с. Следовательно, Р(а, Ь, с) делится на линейные двучлены а — 6, а — с и Ъ — с. Эти двучлены не делятся друг на друга, так как каждый из них содержит аргумент, не со- содержащийся в другом. В разложении на неприводимые множители Р(а, bt с) содержится каждый из указанных двучленов, а потому Р(а, 6, с) делится на произведение (а—Ь) (Ь—с) (с—а). Частное является однородным симмет- симметрическим многочленом второй степени. В самом деле, при любой перестанов- перестановке аргументов делимое и делитель либо оба меняют знак, либо оба не меня- меняются, а потому частное не изменяется. Применим метод неопределенных коэффициентов: (Ь - с) ф 4- с)* + (с - а) (с + а)* + (а - Ь) (а 4 6)« ее" ее {а - Ь) ф — с) (с — а) [А (а2 + Ь2 + с2) + В (ab + be + са)]. Сравнив коэффициенты при с46, получим 3 = — А. Положив я=1, Ь = — 1, с=0, получим: —2 = 2 BА — Б), откуда В =¦ — 5. Итак, Р = — (а — Ь) ф — с) (с — а) [3 (а2 + Ь2 + с2) + 5 (ab + be + са)]. § 30. Деление с остатком многочленов, расположенных по возрастающим степеням аргумента Рассмотрим два многочлена от одного аргумента х, распо- расположенные по возрастающим степеням х: f (x) =cio + агх + а2х2 + ... + апхп\ ? (х) = Ьо + bLx + b2x2 + ... + Ътхт, где 60 ф 0. 86
Разделив младший член многочлена f(x) на 60, умножим част, ное на ф(х) и вычтем из f{x): f(x)--^-y(x) = a\x + a'2x2+ ... - xRt(x). Полученный многочлен xR\(x) назовем первым остатком. Имеем: °0 Применив описанный процесс к xR\(x) и ф(х), получим второй остаток: xRx '— ср (а:) = а2х2 +...== x2R2 (x). Ьо Откуда а\ х b0 b0 После k-то шага получим: f(x) = qk_l(x)9(x) + xkRk(xI A) где <7*-i(*) есть многочлен степени не выше чем к — 1 или нуль- многочлен, a xkRk(x), &-й остаток, есть многочлен степени не ниже к или нуль-многочлен. Существует лишь единственная пара многочленов q к_х(к) и Rk(x), удовлетворяющая (при перечисленных условиях) тожде- тождеству A). Допустим противное, что, кроме qk__x(x) и Rk(x), су- существует другая пара многочленов q'k_{ (x) ('степени не выше k—1 или нуль-многочлен) и R'k таких, что имеет место тожде- тождество f(x) = q'k_l(x)<f(x) + x*R'k(x). (Г) Из тождеств A) и (V) получим: l4k^i(x)-q'k^l(x)]V(x)^ Если R'k и Rk не тождественны, то младший член правой части этого тождества имеет степень не меньшую к, но тогда левая часть отлична от нуля и (так как Ьо Ф 0) ее младший член имеет степень меньшую /е, что невозможно. Следовательно, Если многочлен f(x) делится на ф(^), то имеет место тожде- тождество гДе qп-т — многочлен степени п — т9 следовательно, остаток Л ('а также все последующие остатки) есть нуль-много^ 87
член. Обратно, если в процессе деления получится остаток, тож- тождественный нулю, то многочлен f(x) делится на cp(x). Если многочлен f(x) не делится на ф(х), то процесс деления f(x) на ф(#), 'расположенных по возрастающим степеням арту- мента, является бесконечным, он дает бесконечную последова- последовательность остатков, ни один из которых не рав'ен нулю*. При выполнении деления многочленов, расположенных по возрастающим степеням аргумента, последовательное вычисле- вычисление частных и остатков удобно производить путем «деления углом». Примечание. Если окажется, что остаток Rn_m+l от- отличен от нуля, то многочлен f(x) не делится на ср(х). В са- самом дел'е, последующие частные имеют степени больше, чем п—т, и при их умножении на cp(x) будут получаться мно- многочлены степени большей, чем /(х), а потому не тождествен- тождественные f{x). Примеры 1. Ниже показана запись при «делении углом» многочленов, располо- расположенных по возрастающим степеням 1-х 1 -4- V X2 \+х- 1 — 2* + *2 f Xs 4- ... — 2х- -л;2 -2л;2 . .л;2 -2x3 + 2л;3 л;3 — л;4 л;4 хК, (х) &R2 (x) Последовательные частные суть 1, 1 — 2л;, \—2х + х 2. Пусть d0, diy d2, ..., dp. .. 1— 2л: + л;2 -f х3 и т. д. последовательность коэффициентов частных. Доказать, что если n<m, то любые т последовательных чисел влетворяют одному и тому же уравнению: удо- удоdb р т J=0, tn о * В частном получается степенной ряд, дающий представление алгебраи- f(x) ческой дроби—— в круге (на комплексной плоскости) сходимости с цент- у(х) у() ром в точке 0 и с радиусом, равным расстоянию от точки 0 до ближайшего корня знаменателя ()
Решение. Выберем число N достаточно большим (большим, чем р + т). Перепишем тождество A) так (положим k — N+\): ... +апхп = (do + dxx + d^ + ... + dpx>+...+dNx") X X F0 + blX + b2x2 + ... + bmxm) ±xN+1RN+i (x); приравняв нулю коэффициенты при хт , хт+1 , ..., хт^~р , в правой части получим тождества +-.+dmb0 =0,
ГЛАВА И ДРОБНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ § 31. Рациональные выражения и рациональные функции Определение. Рациональным выражением от аргументов х, у, ..., z называется выражение, составленное из аргумен- аргументов и из чисел данного поля при помощи действий сложения, вычитания, умножения и деления. При этом выражения, не имеющие числового значения ни при каких значениях аргументов (т. е. выражения, лишенные смыс- смысла) , рациональными не считаются. Всякий многочлен является рациональным (целым) выраже- выражением. Определение. Рациональное выражение называется дробным, если оно содержит действие деления на выражения, содержащие аргументы. Числа, входящие в состав рационального выражения, а также допустимые значения аргументов считаются принадлежащими не- некоторому числовому лолю; кратко говорят, что рациональное вы- выражение рассматривается над данным полем. Примеры 1. Примерами рациональных выражений могут служить ах + Ьу 1 1 а l b x + y Первое л третье выражения — дробные, второе выражение — целое (т. е. многочлен). 2. Выражения а х — 1 х2 -4- у2 О ' х — х ' (х + уJ — х2 — 2ху — у2 не считаются рациональными, так как они не имеют численного значения ни при каких значениях аргументов. 90
3. Выражения sin x— 1 2х_2-х \х+1 ) cosx+1 содержат трансцендентные операции над аргументом, а потому не являются рациональными. § 32. Алгебраические дроби Определениещ Отношение двух многочленов у на- Q(x,y,...,z) зывается алгебраической или рациональной дробью. По количеству аргументов, содержащихся в многочленах чис- числителе и знаменателе, алгебраические дроби разделяются на дро- дроби от одного, от двух, от трех и т. д. аргументов. Всякий многочлен Р(ху уу ..., z) можно рассматривать как рациональную дробь со знаменателем, равным единице: п / \ Р (ху У,..., г) Р(х,У,...,г)= к >у|—^-. Таким образом, множество многочленов включается как часть в множество всех рациональных дробей. Произвольной системе значений аргументов (из данного чис- числового поля), при которой знаменатель алгебраической дроби не обращается в нуль, соответствует вполне определенное значение дроби, вс'е эти системы образуют множество допустимых систем значений аргументов или область определения алгебраи- алгебраической дроби ('рассматриваемой надданным полем). В частности, А Р(Х) * для дроби одного аргумента——допустимым является любое значение х (из данного поля) за исключением корней знаменателя. При совместном задании нескольких дробей: Р(х,у,...,г) /Чрс, */,..., г) Р2(х,У,..,,г) Q(x, «/,..., г) ' Q1(xt «/,..., г) ' Q2{x, «/,..., z) ' "" допустимой является произвольная система численных значений аргументов (из данного числового поля), при которой ни один из знаменателей Q, Qb Q2, ... не обращается в нуль. Примеры 1. Примерами алгебраических дробей могут служить х*- 1 . . х + у , ——-—-j-— (от одного аргумента), (Ът двух аргументов), X ~\~ X г* 1 X— У (от трех аргументов). 1 — X — У 2 X + 1 2. Областью определения дроби —-—, рассматриваемой над по- \Х *¦) \Х "г 1 / •нем рациональных (действительных) чисел, является множество всех ра- рациональных (действительных) чисел, отличных от 1. Область определения этой дроби, рассматриваемой над полем комплексных чисел, является множество всех комплексных чисел, отличных от 1, i и от —/. 91
3. Областью определения дроби (над любым полем) является мно- х у жество всевозможных пар неравных чисел х и у (т. е. х^у) из данного поля. х2—у2 4. Областью определения дроби 2 , рассматриваемой над полем дей- действительных чисел, является множество всех точек (х, у), отличных от точки х = у = 0. Область определения той же дроби над полем комплексных чисел яв- является множество всевозможных пар комплексных чисел х и у, удовлетво- удовлетворяющих условию хф[у. х-\-у-\-г 5. Дробь " : ;:—_ определена для всех значений х, у, z, кроме \—x2~y2—z2 значений, удовлетворяющих уравнению x2+y2-\-z2=l (поверхность единич- единичной сферы в координатном пространстве). 6. При совместном рассмотрении дробей и допустимые зна- х+у х-у чения аргументов определяются из условий хфу и х ф—у (или в поле действительных чисел |л:| ^=\у\ ). § 33. Тождественность алгебраических дробей По общему определению тождественности двух аналитических выражений две алгебраические дроби считаются тождествен- тождественными, если при их совместном рассмотрении их значения равны для произвольной допустимой системы значений аргументов. Иначе это определение можно сформулировать так: Определение. Две алгебраические дроби: Я (*,*/,..., г) и Р1(х, у,..., г) Q(x,y,..., z) Qi (*,«/,..., z) тождественны, если равенство Р() Pj ) Дроби ~ и —j—- тождественны, так как при совместном их рас- Q(x,y,...,z) Q^x, У,..., г) выполняется при произвольной системе значений аргументов х, у, ..., г, при которой каждый из знаменателей данных дробей отличен от нуля: Q (х,у, ..., 2) ф 0 и Qx (х,у,..., г) ф 0. Пример х—у 1 х2—у2 х-\-у смотрении следует считать хф ±у, но тогда х — у х — у 1_ х2 — У2 ~~ (х — у) {х + у) ~ х + у ' Тождественное преобразование алгебраической дроби может изменить ее область определения. Так, например, при замене дро- дроби дробью значения х = у^О (недопустимые для х2—у2 х-у первой дроби) становятся допустимыми. 92
Теорема .Необходимым, и достаточным условием тождествен- тождественности двух дробей Р(х,у,...,г) „Р3 (*,#,..., г) ,j. Q(x,y,...,z) Qx(x, «/,..., zj является выполнение тождества P(x9y,...,z)Q1(x9y9...9z) = P1(x9y9...9z)Q(x9y9 ...,z). B) Р а зъя си ен1И е. Тождество A) есть равенство, справедли- справедливое при всех допустимых 'системах значений аргументов, т. е. при всех системах чисел х, у, ..., 2, при которых Q=r= 0 и Qi ?= 0. В тождестве B) левая и правая части суть многочл'ены; согласно определению тождественности многочленов, это есть равенство, справедливое при произвольной системе зна- значений аргументов из данного числового поля. Д ю к а з а т е л ь с т ,в о. Условие достаточно. В самом деле, если имеет место тождество B), то произведения PQk и P\*Q, будучи равными при всех системах значений аргумен- аргументов, paiBHbi ('в частности) и при допустимых (для данных дробей) системах. Но если Q ^0 и Q\ Ф 0, то из равенства PQi = р р = PiQ следует равенство —¦= —Ц т. е. тождество A). Q Qi Условие необходимо. Требуется доказать, что если дроби—и—Нравны'при произвольных допустимых сч- Q Qi стемах значений аргументов, то равенство PQ\ = QP\ выполня- выполняется при всех системах значений аргументов (из данного чис- числового поля). Рассмотрим сначала дроби от одного аргумента -1—и—---. Q(x) Qi(x) Множество недопустимых значений аргумента состоит из всех корней двух алгебраических уравнений: Q(x)=0 и Q1(x)=0. Каждо'е из этих уравнений имеет конечное множество корней (число различных корней не больше степени левой части), поэто- поэтому множество недопустимых значений аргумента конечно, а мно- множество его допустимых значений бесконечно (из всех чисел дан- данного поля следует исключить недопустимые значения). Из тож- тождества Р(х) __ Рх{х) Q(x) " QxW следует, что при всех допустимых значениях аргумента Следовательно, значение многочлена R(x) = P(x)Qx(x)-Px(x)Q(x) 93
равно нулю при всяком допустимом значении аргумента. Итак, многочлен R(x) имеет бесконечной множество корней. Следова- Следовательно, R(x) = 0, так как всякий отличный от нуля многочлен имеет лишь конечное множество корней, откуда P{Q = PQi. Рассмотрим две дроби от нескольких аргументов. Ограничим- Ограничимся случаем двух аргументов (доказательство можно распростра- распространить на дроби от любого числа аргументов). Пусть R(xy у) —произвольный отличный от нуля многочлен от аргументов х и у. Множество всех точек (х, у) плоскости, удов- удовлетворяющих уравнению называется, как известно, алгебраической линией*. Расположим многочлен R(x, у) по степеням одного из аргу- м'ентов, например у: ) ) Qo (x) (где (}т(х)ф0). При данном значении аргумента х = х0 возможен один из двух следующих случаев: 1°. Не все коэффициенты Qm(x)9 Qm-i (*),..., Qo(x) Черт. 10 обращаются в нуль. В этом случае уравнение R(xo> у) = 0 имеет лишь ко- конечное множество решений (число кор- корней не больше чем т). Геометрически это обозначает, что параллель оси ор- ординат х = х0 может пересекать алге- алгебраическую линию лишь в конечном числе точек. Для поля действительных чисел этот случай пояснен на черте- чертеже 10. 2°. Все коэффициенты Qm(x0), Qm-i (xo)> ..., Qo(xo) обращаются в нуль. В этом случае R(x0, у) есть нуль- многочлен от у. Геометрически это оз- означает, что прямая линия х = х0 входит в состав алгебраической линии **. * Принятое ниже изложение является геометрическим лишь по форме. Так, например, при рассмотрении многочленов над полем комплексных чисел под «точкой» (х, у) следует понимать пару комплексных чисел х = а + bi, у = с + di, а под «плоскостью» — множество всех этих «точек». ** Так, например, прямая х = 1 входит в состав линии второго порядка х2+2ху—2у—\ = 0 (проверить!). 94
Множество таких особых значений х конечно, так как вся- всякое особое значение является общим корнем всех коэффициентов Q, (х), а каждый нетождественный нулю коэффициент имеет ко- конечное число корней. Итак, всякая параллель оси ординат х = х0 имеет с алгебраи- алгебраической линией конечное множество точек пересечения, за исклю- исключением, быть может, конечного множества параллелей, входя- входящих в состав линии. Если из плоскости удалить все точки алгебраической Линии, то оставшееся 'мкожесрзо точек "плоскости не будет алгебраиче- алгебраической линией. В самом деле, на всякой параллели оси ординат останется бесконечное множество точек, за исключением, быть может, конечного множества параллелей, которые будут пол- полностью удалены из плоскости. Рассмотрим совместно две алгебраические дроби от двух аргу- аргументов Р <х, у) и Pi(x, у) Q(x, у) Qi(x,y) ' Множество допустимых систем значений аргументов есть множе- множество всех точек плоскости, за вычетом точек, принадлежащих хотя бы одной из двух алгебраических линий Q(x, у) = О, Q\(x, у) = О, т. е. точек, образующих алгебраическую линию Q(x, y)-Q\(x.y) = 0. Если данные дроби тождественны, то многочлен R (х, у) = Р (х, у) Qx (х, у) - Рг (х, у) Q (х, у) равен нулю при всех допустимых системах значений аргументов, т. е. во всей плоскости, за исключением, быть может, точек алге- алгебраической линии Q-Qi = 0. Но при этих условиях R(x9 у) есть нуль-многочлен. В самом деле, если Я(х,у)Ф 0, то равенство R(x>y) = 0 может выполняться лишь вдоль некоторой алгебраи- алгебраической линии, а не во всех точках плоскости за вычетом ал- алгебраической линии Q-Qi = 0. Следовательно, R(x,y) -л 0, т. е PQx = PiQ, ч. т. д. § 34. Сокращение алгебраических дробей Теорема. Если числитель и знаменатель алгебраической дроби имеют общий нетривиальный делитель К(х, у, ..., z), то, разделив числитель и знаменатель на этот делитель, получим дробь, тождественную данной: К(х, у, ..., г)Р(х, у, ..., г) __ Р(х, у, ..., z) К(х, у, ..., z)Q(x, у, ..., г) ~ Q(x, у. ..., г) Это тождественное преобразование называется сокраще- сокращением дроби на делит'ель /С. 95
Доказательство. В самом деле, при всех допустимых системах значений аргументов, т. е. системах, определяющихся условиями С}ф О, К Ф 0 значения дробей равны, ч. т. д. Другое доказательство. Дроби тождественны, ибо выполняется (см. предыдущий параграф) необходимое и доста- достаточное условие тождественности алгебраических дробей: Q, ч.т.д. При сокращении дроби область ее определения может расши- КР риться. В самом деле, область определения дроби — находится KQ р из двух условий К Ф О, Q ^0; для дроби же —, полученной после сокращения, условие КФ 0 отпадает. Определение. Алгебраическая дробь р Уч' ' ' называется q(x, у, . . . ,г) несократимой, если многочлены — числитель и знаменатель не имеют ни одного общего (многочленного) делителя положитель- положительной степени. Два многочлена, не имеющие общих делителей, кроме число- числовых, называются взаимно простыми. Значит, числитель и знаменатель несократимой дроби взаимно просты. Рассмотрим разложения числителя и знаменателя несокра- несократимой дроби на неприводимые множители: Эти разложения не содержат ни одного общего (с точностью до числовых множителей) множителя. В самом деле, если р t= qj9 то числитель и знаменатель (вопреки предположению) имели бы общий нетривиальный делитель. Обратно, если в разложениях многочленов р и q не содержится ни одного общего неприводи- неприводимого множителя, то дробь— несократима. В самом деле, если бы я дробь не была несократимой, то многочлены р и q имели бы об- общий делитель s(x, у,...,г): Но тогда (вопреки предположению) неприводимые множите- множители, на которые разлагается s(x, у, ..., z), явились бы общими в разложениях числителя и знаменателя. Примеры , п , x*+bxy+6tj* 1. Дробь — —- несократима, так как разложения числителя и знаменателя: х2 + Ъху + б?/2 = (х + 2у) (х + Зу) и х2 — ху — 2у2 = (х — 2у) {х + У) не содержат общих неприводимых множителей. 96
2 Дробь сократима, так как числитель и знаменатель имеют F х4—у* общий нетривиальный делитель х + у. Тождественность алгебраических дробей обладает характери- характеристическими свойствами соотношения эквивалентности. I. Обратимость: Р Р1 Рх Р если — == ——, то —— = —. Q Qi Qi Q II. Рефлексивность: Q Q III. Транзитивность: Рл Р2 Р2 Р" Р1 Р3 если —— s= —=- и —— = —— , то -——¦ = —--. Qi Q2 Q2 Q3 Qi <Эз Доказательство. Справедливость свойств I и II очевид- очевидна; докажем выполнение свойств III. В самом деле, в силу необ- необходимого и достаточного условия тождественности дробей имеем перемножив эти тождества, получим: (PiQ«) (P2Q3) = (^2Qi) (P3Q2), или PXQ3. P2Q2 = P3Q1 • P2Q2. Откуда, разделив обе части на P2Q2, получим: PLQ3 = P3Qi> или —^ — —~ » ч« т* Д Определение. Каноническим представлением алгебраической Р(х и z) дроби **>•••*; называется всякая тождественная ей несокра- Q(xt у, .. .,z) тимая алгебраическая дробь. Пример Каноническим представлением дроби (х 2 х-у) служит несократимая дробь __ —- . Умножив числитель и знаменатель V2 х-у на произвольный отличный от нуля числовой множитель, например, на У2, получим дробь 2х ем данной дроби. получим дробь г?— , являющуюся также каноническим представлени- 2х—У2 Теорема. Для всякой алгебраической дроби Р(Х, У ,2) . Q(x, у, . . .,г) 1° существует каноническое представление в виде несократи- 7 С. И Новоселов 97
мой дроби P(±JL^): Я(х,У,...,г) Р(х,у, ..., г) ^ р(х, у, .,. г) . Q(x, у, ..., г) Я(х, у...., г) ' 2° это каноническое представление единственно с точностью до общих (отличных от нуля) числовых множителей (из данного поля) числителя и знаменателя. Доказательство. Д° Разложим многочлены Р(ху у,..., г) и Q(x, у,..., г) на неприводимые множители (это разложение единственно). Обозначив через К(х, у,..., г) произведение всех общих множителей многочленов Р и Q, имеем: ...., z)=p1p2...piK, р (если сама данная дробь— несократима, то считаем К = 1). Положим: р(х,у,...9г) = рхр2. ..рь q(x,y,...,z) = qxq2.. .qmf где pt n qk неразложимые многочлены; в частности, мно- многочлен р(х, г/,..., г) или q(x, r/,..., г) может оказаться числом ('так будет, если один из многочленов Р и Q делится на другой). Дробь — несократима ni 2°. Допустим, что существует другая несократимая дробь —_, В тождественная дроби —^-; тогда имеем Разложим многочлены р и q на неприводимые множители В силу тождества A) имеем (PlP2y. Р Я Р Я В силу единственности разложения многочлена на множители левая и правая части этого тождества содержат одни и те же (с точностью до числовых множителей) неприводимые многочле- ны-сомнож,ители. Группы р и q не 'имеют -ни одного общего сомно- сомножителя, поэтому все множители группы р содержатся среди 98
группы множителей р (различие в числовых множителях не при- принимается во внимание). Аналогично докажем, что все множители группы р содержатся среди сомножителей р. Следовательно, мно- многочлены р и р могут отличаться лишь числовым множителем р = Ср (где С Ф 0), но тогда и q = Cq, ч. т. д. При рассмотрении несократимой алгебраической дроби над полем рациональных чисел коэффициенты числителя и зна- знаменателя обычно умножают на наименьшее общее кратное зна- знаменателей этих коэффициентов (разумеется, если среди коэффициентов содержатся дробные числа). В соответствии с этим каноническим представлением дроби с рациональными ко- коэффициентами считается тождественная ей несократимая дробь с целыми взаимно простыми коэффициентами. Пример 1 5 — х2 — — ху + у2 о о Каноническим представлением дроби служит дробь — х2 — ху + —у2 о 3 х-гу с целыми взаимно простыми коэффициентами. х—Ау Для приведения алгебраической дроби к каноническому виду достаточно разделить числитель и знаменатель на многочлен, служащий их наибольшим общим делителем. На практике, обыч- обычно, разложив числитель и знаменатель на неприводимые множи- множители, сокращают дробь на общие множители числителя и знаме- знаменателя. Теорема. Две тождественные алгебраические дроби имеют одно и то же (с точностью до числовых множителей числителя и знаменателя) каноническое представление. Доказательство. Пусть— и— суть канонические Я\ Я2 представления двух тождественных дробей и Qi <7i ' Qi Q2 Qi ~~ Q2 ' тогда — = — (mo свойству транзитивности), но, если две несо- Я\ Яъ кратимые дроби — и— тождественны, то их числители и знаме- 9i Я2 натели могут отличаться лишь общим числовым множителем (см. стр. 98 пункт 2° доказательства). Следствие. Все тождественные между собой алгебраиче- 7* 99
ские дроби имеют единственное (с точностью до общих числовых множителей числителя и знаменателя) каноническое представ- представление. § 35. Рациональные функции Соотношение тождественности {'обладающее свойствами сим- симметрии, рефлексивности и транзитивности) позволяет разбить множество всех алгебраических дробей от данных аргументов (над данным числовым полем) на классы тождественных дробей. При этом разбиении все тождественные между собой дроби отно- относятся к одному классу, дроби же, содержащиеся в различных классах, не тождественны. Каждый класс тождественных дробей содержит единственную (с точностью до числовых множителей числителя и знаменателя) несократимую дробь. Различные тож- тождественные между собой дроби (рассматриваемые по отдель- отдельности) могут иметь различные области определения. Среди дробей данного класса наиболее широкую область определения Р имеет несократимая дробь, так как при переходе от дроби —= kp p ~ ~kq К несокРатимои ДР°^И — область определения первой дроби может лишь расшириться (стр. 96). Примем следующее дополнительное определение. Определение (принцип продолжения). Если алгебраическая дробь ^ХуУ''' 'yZ) теряет смысл в точке (xQy yOi..., z0), но тождест- Q(x,y, ... ,2) венная ей несократимая дробь {<•¦'>*) не теряет смысла в q(x, у,.. . а) р данной точке: q(x0, уоУ..., г0) ф О, то значение дроби — при х = *о, У = Уоу ••-, z = Zq считается равным значению тождествен- тождественной несократимой дроби в точке (xq, y0, ..., zQ): Р(х0, [/о ?о) ^_ Р {х0, г/о,..., г0) Б силу принципа продолжения для всех тождественных меж- между собой алгебраических дробей устанавливается одна и та же область определения, это 'есть область определения несократи- несократимой дроби тождественной данным дробям. Принцип продолжения позволяет беспрепятственно сокращать числитель и знаменатель дроби на общие многочленные множи- множители. Рассмотрим, например, дробь от одного аргумента: Р(х) П[х) = -i-^, если Q(x0) = 0, то знаменатель делится на (х—xo)h (где k — кратность корня х0). Предположим, что числитель де- 100
лится на (х—х0I (I = 0, если Р не делится на х—хо)\ сократив числитель и знаменатель на общие множители, получим если />&, я (х) -^ , если /</г, где р(х) и q(x) взаимно простые многочлены, не обращающиеся d(х ) в нуль в точке х0. Имеем R(x0) = ——, если l = k и R(x0) =0, если я(х0) I > й; если же k > I, со R(x0) не имеет смысла. Определение. Всякая функция f(x, у,..., г), определяемая Р(х и z) алгебраической дробью J , называется рациональной Q(x% у,.. .,г) функцией. В силу принципа продолжения все тождественные между со- собой дроби определяют одну и ту же функцию, которую обычно изображают при помощи соответствующей несократимой дроби. Примеры хп ап 1. Дробь тождественна многочлену хп-\-ахп~1 +... + а". х—а Областью ее определения служит множество всех чисел поля, над кото- х3—8 рым эта дробь рассматривается. Например, значение дроби — в точке к = 2 равно значению трехчлена х2 + 2х + 4 при х = 2, т. е. числу 12. JC3—Г/3 х2+ху+у2 2. Дробь — тождественна несократимой дроби ; . Об- х2—у2 х+у ластью определения обеих дробей является множество всех чисел (данного поля), удовлетворяющих условию х Ф —у. В частности, при х = 2, у = 2 обе дроби имеют значение, равное числу 3. При х = 2, у = —2 обе дроби теряют смысл. 3. Имеем: *4— у* (х2 — у2) (х2 + У2) х?- у2 х*Л-х*у + 2х1у2 ±ху3 + у* ~~ (х2 + у2) (х2 + ху + у2) ~ х2 + ху + у2' Данная дробь, рассматриваемая над полем действительных чисел, имеет смысл при всех значениях х и у, кроме х = у = 0. Над полем комплексных чисел данная дробь адмеет смысл при всех х и у, кроме х = гу и х=г2у, где е и е2 мнимые кубические корни из 1. Установленный выше «алгебраический принцип» продолжения и принцип продолжения по непрерывности (см. § 6) находятся в следующем взаи- взаимоотношении. В случаях, когда применим алгебраический принцип, к тому же результату приводит и принцип продолжения по непрерывности. В самом деле, пусть Р(х, у,..., г) = К(х, у,..., г)р{х, у,..., г), Q(x9 #,..., г) = К(х, y,...t z)q(xy */,..., 2), р дробь — несократима и q(xOy уОу ..., г0) ф 0. q 101
Применим принцип продолжения по непрерывности: равенство Р{х, у, ..., г) р(х, у, ..., г) Q(x, у, ..., г) ~ Q(xt у, ..., г) имеет место во всех точках (х} у, ..., z) окрестности точки (х0, уОу ..., z0), в которых Q{x, */,..., г) Ф 0. Переходя к пределу в точке (х0, уОу ..., z0), получим: У> ••» г) Р(*о, Уо, . • , *о) lim = Jim= Q(x, у, ..., z) q(x, у, ..., z) q(x0, yOy ..., z0) Согласно обоим принципам продолжения следует считать: Р (Хъ, уОу .. • , z0) v»c \Xq , У\) , ...» Zq) Q [Xq у Уи j ...» Zq) § 36. Поле рациональных функций Рассмотрим совместно две алгебраические дроби — и — , со- составим две новые алгебраические дроби PQi + P^ тт РР, /1Ч QQi " QQi 1 A) значения которых (соответственно) равны сумме и произведению значений данных дробей при произвольных допустимых (для них) системах аргументов (Q^ 0, Q\ Ф 0). Дроби A) называ- называются суммой и произведением данных дробей (соответственно). р р Теорема. Если дроби-компоненты — и — заменить тождест- тождественными дробями, то дроби-сумма и произведение также заме- заменятся тождественными им дробями: Р Р' Р1 _ р\ It Q Q' Q{ Q\ P'Q'i + P'iQ' PP\ P'p'\ Q'Q\ QQl Q'Q\ Доказательство. Так как значения совместно рассматри- рассматриваемых дробей-сумм (произведений) при всех допустимых для них системах значений аргументов (Q^ 0, Q'' Ф 0, Q\ ?=0, Q/^0) равны между собой, будучи равными сумме (произведению) значений дробей компонентов: P'Q\ \-P\Q' ^jP^j^^ p' p\ QQl ~ Q'Ql ~~ "О" ' Q, Q' Q\ то обе рассматриваемые дроби-суммы (произведения) тождест- тождественны, ч. т. д. Следствие. Каковы бы ни были две алгебраические дроби, взятые из двух данных классов тождественных между собой 102
дробей, каноническое представление их суммы (произведения) одно и то же (с точностью ~ до общих числовых множителей числителя и знаменателя) независимо от выбора дробей и, таким образом, определяется заданием лишь самих классов. Дробь-сумма (произведение) двух данных дробей определяет некоторую рациональную функцию; эта функция есть сумма (произведение) рациональных функций, определяемых дробями- слагаемыми (сомножителями). Сложение и умножение алгебраических дробей подчиняются основным законам арифметических действий: M\{ R . + q q U + Т)= IT + Т) ^ Т' ' Q ' N ~ N ' Q ' } Q \N ' S)~~\Q ' Nj ' S ' } Q\N S )~ Q ' N Q ' S ' В самом деле, значения правой и левой частей каждого из этих тождеств одинаковы при всех допустимых значениях аргу- аргументов (в силу законов действий над числами). В справедливости этих тождеств можно убедиться и непосредственной проверкой на основании определений действий. Р Для дроби— существует ей противоположная, т. е. дробь X р . X _ Л — удовлетворяющая условию — ~\ = 0. В самом деле, по условию должно быть: Р , X PY4-QX Л — t-Y = —^г— = °> этому последнему условию удовлетворяет всякая дробь — , тож-« р дественная дроби — . Никаких других дробей, удовлетворяю- удовлетворяющих данному условию, не существует, так как все искомые дроби при всех допустимых значениях аргументов должны иметь равные значения, эти значения противоположны значениям дро- *¦§• Аналогично докажем, что если Р # 0, то для данной дроби Р . . Q — существует обратная дробь-1- : ±..± = 1 Этому условию удовлетворяют все дроби, тождественные —. 103
Из изложенного следует, что в множестве всех рациональных функций выполнимо действие вычитания, а также действие деле- деления (кроме деления на функцию, тождественно равную нулю). Дроби, изображающие результаты этих обратных действий, по- получаются по обычным правилам вычитания и деления дробей. Так (по определению вычитания), разность двух дробей — М , X М . X р и— есть дробь —, удовлетворяющая условию Ь — = —. Но этому условию удовлетворяет дробь (а также всякая тож- тождественная ей дробь): X _ ^Р_ /_ Мл = Р_ —ЛЯ = PN — QM Y " Q \ N / Q N ~~ QN так как iV У tf L Q \ N )\ Q' Выполнимость действия деления можно доказать аналогично: Р М Р N PN M I PN \ Р — :— = —• — = , так как —| == —. Q N Q M QM N \QM j Q Теорема. Множество всех рациональных функций образует поле. Доказательство. В самом деле, как доказано выше, в результате выполнения действий сложения, вычитания, умноже- умножения и деления (кроме деления на функцию, тождественно равную нулю) над рациональными функциями получаются функции, изобразимые алгебраическими дробями, т. е. также рациональ- рациональные функции, ч. т. д. *. При выполнении действий над рациональными функциями вы- выполняют соответствующие действия над изображающими их ал- алгебраическими дробями и получают дробь, изображающую результат действия над рациональными функциями. Из изложенного следует, что для алгебраических дробей остаются в силе те же правила, которые имеют место для ариф- арифметических дробей, изображающих рациональные числа. В част- частности, при сложении дробей поступают следующим образом: * Нередко эту теорему формулируют ошибочно, говоря, что алгебраи- алгебраические дроби образуют поле. Поле образуют не сами дроби, аклассы тож- тождественных между собой дробей. Эта ошибка аналогична довольно грубой ошибке, допускаемой в неко- некоторых руководствах по теоретической арифметике, где, например, рациональ^ ные числа определяются как пары, а не как классы равных пар вто- второй ступени. См., например, книгу И. В. Арнольда, Теоретическая ариф- арифметика (Учпедгиз, 1939, стр. 128), где сказано: «Рациональными числами на- называются пары (а, Ь) целых чисел а и Ь...ъ. В более поздней литературе по теоретической арифметике (например, И. В. Проскуряков, Числа и много- многочлены. Изд. АПН), эта грубая ошибка не повторяется. 104
разлагают знаменатели дробей-компонентов на неприводимые множители, составляют наименьшее общее кратное многочленов- знаменателей, для ч'его составляется произведение многочленных множителей, содержащихся в разложении хотя бы одного из многочленов-знаменателей, при этом каждый множитель берется в наибольшей степени, с которой он входит в разложения; далее дроби-слагаемые приводятся к общему знаменателю путем умно- умножения числителя и знаменателя каждой дроби на множитель^ дополняющий знаменатель этой дроби до наименьшего общего кратного знаменателей, при этом дроби-компоненты заменяются (соответственно) тождественными дробями; далее составляют дробь-сумму с числителем, равным сумме числителей и со зна- знаменателем, равным общему знаменателю дробей-слагаемых. В самом деле, при сложении дробей с общим знаменателем! общее правило сложения упрощается: Р м _ PQ + MQ "о" Q " Q2 ~ Пример Найти сумму дробей: Приводим дроби-слагаемые к общему знаменателю. Разлагаем на множители знаменатели: х2 — у2 = (х — у) (х + у), х8 — уъ = (х — у) (х2 + ху+ у2), х* — г/4 = (v — у) (х + у) (х2 + */3). Находим наименьшее общее кратное знаменателей Q = (x + y)(x — y) (х2 + у2) (х2 + ху + у2) = хб + хбг/ + хV —дся?/* — *0В—#• Умножив числитель и знаменатель каждой из дробей на соответствую- соответствующий дополнительный множитель, получим X X (X2 + У2) (X2 -Ь ху + У2) X* хз X4 х2у -у* (х+У)(х-у)(х2 хб + х*у + 2хву2 ¦ Q ху(х+{ (X +у)(х — У) (X2 х*у + х3у2 + л Q х2у (х2 (х + у) (х - г/) (х' х*у + х3г/2 - + ^3 + У)(х* + У + У2) (х2 2уЗ Д. ^^4 4- хг/ + у' 2 | /<2\ /у! + ху + у2) ху* + ху + у2) 2) 2 + ху + */2^ 105
Складываем числители дробей, получившихся после приведения данных дробей к общему знаменателю, хъ + х*у + 2х3у2 + х2у* + ху* х*у 4- х*у2 + х2уъ + ху* х*у + х*у2 + х2у3 х* + Зх*у + Ах •Следовательно, х5 4 Зх*у + ' ;3f/2 + Зх2у* Н 4х8#2 + 3^2г/3 -2д:г/4 4 2ху* § 37. Тождественные преобразования рациональных выражений Всякое рациональное выражение (от данных аргументов) составляется из аргументов и из чисел некоторого поля посред- посредством четырех арифметических действий; в результате после- последовательного выполнения (в надлежащем порядке) указанных действий над многочленами и алгебраическими дробями данное рациональное выражение можно представить в виде некоторой алгебраической дроби. В самом деле, в результате сложения, вычитания, умножения и деления алгебраических дробей (в част- частности многочленов) мы снова получим алгебраическую дробь, а потому последовательное применение этих операций в любом количестве и в любых комбинациях позволяет всякое сложное рационально'е выражение представить в виде отношения двух многочленов и окончательно в виде некоторой несократимой дро- дроби. Исключение может представиться, если в процессе преобра- преобразований обнаружится, что данное выражение не име'ет смысла ни при каких значениях аргументов, но тогда его нельзя рас- рассматривать как рациональное выражение (так будет, если хотя бы в одном из знаменателей получится нуль-многочлен). При вс'ех системах значений аргументов, допустимых для данного и для преобразованного выражений, их значения одина- одинаковы. В процессе выполнения тождественных преобразований алгебраические дроби можно заменять тождественными и, в частности, производить сокращение дробей, так как замена дробей-камшонентов тождественными дробями приводит к тож- тождественным результатам. Следовательно, несократимые дроби, которые могут получиться в качестве окончательного результата преобразования (различными способами) данного выражения, тождественны между собой. Определение. Представление рационального выражения в ви- виде тождественной ему несократимой дроби называется канони- каноническим представлением данного выражения. В каноническом представлении рационального выражения ж*.* *)= pfy г) q(x, «/,..., г) 106
многочлены р(х, у,..., z) и q{x, у,..., z) определяются единствен- единственным образом с точностью до общих числовых множителей. Принцип (алгебраический) продолжения принято применять к произвольным рациональным выражениям, а именно, если при подстановке х = х0, у = */о,..-, z = z0 рациональное выражение Я(х, у, ..., z) теряет смысл, а его каноническое представление R(x и z)= p{x, у,..., z) Q(x, у,..., г) в точке (xq> уо,..., 2о) смысла не теряет, то принято считать: •*\ \ о» Уоу • • •» о/ ~. г • Всякое рациональное выражение определяет единственную рациональную функцию, изображающуюся его каноническим представлением. Обычно в элементарной алг'ебре приведение к каноническому виду называется упрощением рационального выражения. § 38. Примеры тождественных преобразований рациональных выражений Тождественные преобразования рациональных выражений как по своей цели, так и по методам выполнения могут быть весь- весьма разнообразными. Различные частные свойства преобразуемых выражений позволяют рационализировать вычисления. Эти упро- упрощающие моменты никакой общей теорией предусмотрены быть не могут. Навыки в рациональном выполнении преобразований достигаются практикой. Примеры На примерах 1—4 показано непосредственное выполнение действия над алгебраическими дробями. 1. Упростить выражения Решение. Выполняем действия: х — 2 х — 2 — (х — 1) + (х — 1) (х — 2) Ф (х) = х (*_!)(*-2) х_ 2){х2—Зх+\) х2-~Зх+\ х* — Зх+\ х(х — \)(х — 2) х(х—\) х2-х При х = 2 следует считать значение Ф(х) равным ——. При х = 0 и х = 1 выражение Ф(х) не имеет смысла. 107
2. Упростить (Л )г \* 31 ( + )* \р2 ' {q21 (P + qM \ p q J' Решение. Сложим сперва второе и третье слагаемые: 3 L I P2 + q2 , (р + q)* \ р2 q2 } (p + qM \ р я 3 (Р + <7) Следовательно, р» + 1 pq 1 \ <73 / -г 3 (Р (Р + 3 ^7JР 1 q)*p*q* " (p+qJp2q2 3. Упростить выражение — 4- — х« 3 \ у ^ г 7Т7-Т7Т 11^1 у z J yz zx xy Решение. Выполняем действия в следующем порядке: ч У2 — уг + г2 , х1 3 b) 1 с о — X -у< 2 У сз + ¦% + г г/г — у г 4 ! 4- г2) (у + гL- X (f/ + Z) 2 z 11 "" г/3 + z3 — 3xf/z 1 -z2 jc л:3 — 3xf/z 2х (у + z) x+y + z Х+У- 1 2 -г) + * ЗУ* k У+ z х* + у3 + г3 — Зхуг Х(У + 2) -+(Х + У + 2J=: (x+y + zJ. x + y + z Воспользовавшись тождеством, выведенным в примере 18 (стр. 84) па- параграфа 29, получим: S = 2 (х2 + у2 + г2 - ху — xz - у г) + (х + у + гJ = 3(*2 + у2 + 2»). 108
Следовательно, выражение S тождественно многочлену 3 (х2 + у2 + г2). 4. Упростить выражение s- х + х- + х (* — у) (х,— г) (х — О У (у — х) (у — г) {у — t) + + + г(г-л:)(г-г/)B-0 + f (f _x)tf-y) (/-г) Решение. Общим кратным знаменателей данных дробей является многочлен Q=xyzt(x-y)(x-z)(x-t){y-z)(y-t){z-t). После приведения дробей к общему знаменателю получим следующий числитель: Р (х, у, z, t) = yzt (у - z) (у - t) (г -1) - xzt (х -z)(x-1) (z-i) + + xyt (x — y)(x — t) (y — t) — xyz (x — y)(x — z) (y — z)t Заметим, что при х — у числитель обращается тождественно в нуль отно- относительно прочих аргументов: Р(х, x,z,t) = 0. Следовательно, числитель делится на разность х—у. Аналогично убе- убедимся, что числитель делится на все прочие двучленные множители знаме- знаменателя. Следовательно, Р(х, у, z, t) делится на произведение всех двучлен- двучленных множителей знаменателя. Частное есть многочлен нулевой степени, т. е. число. Итак, имеем: Р (х, у, 2, 0 = К (х — у) (х - z) (х — /) (у — z) (у — /) (z — /). Для вычисления К положим х = 0, у = I, z = — 1, / = 2. Получим Р@, 1,-1, 2) = К(—1) • 1 -(—2) • 2 • (—1) • (-3) или —12=/С- 12. Откуда /С = — 1 и, следовательно, S = — . xyzt На примерах 5 и б показан часто встречающийся прием разбиения дроби на сумму двух дробей более простого вида. 5. Доказать тождество b — с с — а а — b {a-b)(a-c) (b — c)(b-a) (c-a)(c-b) a — b b — с с — а* Решение. Замечаем, что дроби-слагаемые в левой части получаются друг из друга круговой перестановкой букв. Преобразуем первое слагаемое, разбив его на две дроби: b — с (а — с) + Ф — а) I 1 (а — Ь) (а — с) (а — Ь) {а — с)л а — b a — с Выполнив круговую перестановку букв, получим: с — а 1 1 ф—.с) ф — a) b — c b — а1 а — Ь 1] 1 (с — а) (с — Ь) ~с — а с — Ь' 109
Доказываемое тождество устанавливается почленным сложением полу- полученных тождеств. 6. Вычислить сумму s= ,\ + , ^ *3, , ... +...+ Х\ \Х\ ~р Х2) \%1 ~Т~ Х2) \Х\ " х„ ... +хп) Решение. Замечаем, что (хх + х2 + ... + xk _ j) (х± + х2 + ... + xk) xk _ ... +¦ х) (х± 1 xk_ хг + х2 + • • • + хк_ j х1 + х2-\- ... -\-xk Положив k = 2, 3,... , п и просуммировав, получим: 1 1 / 1 1 \ / \ хг хг+х2 ) [ хх + х2 Хг + х2 + х3 I хх *i + Хо + ... + хп ~ х1(х1-\- х2+ ... + хп) ' В примерах 7, 8 и 9 показано установление равенств, справедливых при некоторых условиях. 7. Вычислить значение рационального выражения х14+—— при условии х2-\-х+\=0. Решение. Заметим, что из условия х2 + х + 1 =0 следует х4 — = — 1 и х3 = — х2 — х = \. х Имеем: 1 1 1 / 1 \2 122+*+ \Х+—} -2 = -1. = ХХ+= Х+ = \Х+ а:14 х12 • х2 х2 \ х 8. Доказать, что из равенства J_ J_ J 1 a b с = a + b + c A) вытекают следующие равенства: 1 +А+ 1 а2п + 1 I ^2п + 1 . С2п + 1 /1 1 1 \2л + 1 =( h + 1 a b с ПО
Решение. Из условия A) имеем a b с а + 6+ с После приведения дробей к общему знаменателю и сложения получим, приравняв нулю числитель: (be + са + ab) (а + 6 + с) — abc = 0. Имеем: (be + са + ab) (a + b + с) — abc = [с (а + b) + ab] [(а + Ь) + с] — abc = = с (а + b)* + ab (а + Ь) + с2 (а + Ь) = = (а + Ь) [с (а + b) + ab + с2] = (а + Ь) (а + с) ф + с) = 0. Следовательно, должно иметь место хотя бы одно из равенств а = —br а = —с, 6 = —с. При этом условии подлежащие доказательству равенства устанавливаются непосредственной проверкой. 9. Доказать, что a b с ф _ сJ (с — аJ (а — бJ при условии a b b — с с — а а—Ь Решение. Докажем следующее тождество: abc =-°- -г ф — сJ (с —аJ (а —бJ 1 \ / а Ъ /? \ C) — с с — а а — b t В самом деле, разность между правой и левой частями C) равна _1 Г b с I 1 Г с а Л ) — с i с — а а — b \ с — а [ а — b b — с \ Преобразуем первое слагаемое: 1 [ b с "| ab — b2 + с2 — ас b — с I с — а а — b \ ф — с) (с — а) (а — Ь) Прочие слагаемые получаются из первого последовательной круговой перестановкой букв. При круговой перестановке знаменатель дроби не ме- меняется, а для числителей второго и третьего слагаемых получаются следую щие выражения: be — с2 + a2— ab и са — а2 + 6a — cb. Сумма этих трех числителей, а следовательно, и сумма D) тождествен- тождественно, равны нулю. Отсюда следует тождество C). Если выполнено условие B), то имеет место равенство A). На примерах 10, 11 и 12 показаны искусственные преобразования, рассчи тайные на использование «специфических» свойств рассматриваемых выраже- 111
10. Представить в виде дроби с двучленными числителем и знаменателем следующее произведение: S~(x+tft(x* + y>)(x Решение. Умножим 5 на х—у: (х- y)S = i(x Следовательно, 11. Вычислить сумму 2х — а ( 4** <j — 1 л;2 — ал; + а2 л;4 — Решение. Составим 2х + а л;2 + ах +а2 2л; Bл;2 + а2) х4 + а2л;2 + «4 »+!/«) . . .(Х- л; — — 2а2х тождества: 2х — а х2 — ах-\- а2 2х Bл;2 — а2 Х4 _ а2хг + 1/ 2 ) а4 Vя-!-2я 2л; Bл;2 +- а- л;4 + а2х2 + 4л;3 Bл;4 + Л;8 _|_ а4х4 а ) I JH— 1 л;2 г) а4 ' а4) + а8 После почленного сложения, сократив одинаковые дроби в обеих частях, получим: 2"*»*-' Bx2 + 12. Доказать тождество: (л; — Ь) {х — с) (х — с)(х — а) ^ {х — а) (х — b) (а — Ь) {а — с) ф — с)(Ь — а) ' (C — a)(c — b) Решение. Допустимыми системами значений аргументов являются системы чисел х, а, 6, с, взятые при условиях аф Ь> аф с и Ь =fc с. При про- произвольной допустимой системе значений a, b и с левая часть его многочлен не выше второй степени относительно х. Левая часть, будучи многочленом не выше второй степени, при трех различных значениях x = a, х = b и х = с имеет значение, равное 1. Следовательно, при произвольной допустимой систе- системе значений аргументов ху a, b и с левая часть равна 1. В примере 13 показано применение метода математической индукции. 13. Доказать тождество 1+ 1. { ai.+ l j (airt-Л) (+1) [_(Д1 а" аа aaa '" 112
Доказательство методом математической индукции. Предположим, что доказываемое тождество верно для некоторого /г, докажем, что в этом предположении оно верно для п + 1. Положим ал = 1 -+- -f- + . . -i По предположению ап+1 ага2 . .. алая+1 Но тогда "+' " a,a2...an+I on+2 1) (ai fa + 1) fa + !)... (Дя+1 + 1) (Дд+2 + 1) flifl2---VlV2 Итак, формула верна для Sv+\ в предположении, что она верна для 5П. Но при п ~ \ формула верна: s = 1 + l + Ql +! -(Qi" Следовательно, она верна при произвольном натуральном л. 8 С. И. Новоселов
ГЛАВА III РАДИКАЛЫ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ § 39. Радикалы над полем действительных чисел Действие извлечения корня однозначно выполнимо в множе- множестве всех неотрицательных действительных чисел. Теорема. Каково бы ни было неотрицательное действитель- действительное число А, существует единственное неотрицательное действи- действительное числоху п-я степень которого равна А. Доказательство. Рассмотрим последовательность п-х степеней целых неотрицательных чисел: О, 1", 2я,..., #»,... {?«} Пусть N > 0 —любое заданное (как угодно большое) число. Докажем, что при всех достаточно больших значениях k имеет место неравенство kn > N. В самом деле, пусть k любое натуральное число, большее 1 и большее N: \<k и N<k. Перемножив почленно эти неравенства, получим N < k2. Пе- Перемножив почленно последнее неравенство и 1 < k> получим. N < k3 и т. д. и, наконец, N <kn . В частности, в последовательности \kn\ существуют числа большие А. Обозначим через р + 1 наименьшее из этих чисел: рп<:А<(р+ \)\ Разделим сегмент [р, р + 1] на десять равных частей точками: Р> Р +—, Р+-^ у •••> Р + L Пусть р + -^-tl наименьшее из. этих чисел, n-я степень которого больше А\ имеем: 114
Далее делим вновь полученный сегмент на 10 равных частей и так далее неограниченно. В результате получится действитель- действительное число ху определяемое десятичной дробью Его приближенные значения по недостатку и по избытку: хт = Р>ЯхЯ2-Чт и *?=P><7i<72...(<7m+ 1) обладают следующим свойством: (д?)"<Л <(*+)*. A) По правилу умножения действительных чисел, хп есть един- единственное действительное число, удовлетворяющее неравенствам: при всех значениях т. Сопоставив A) и B), получим хп = Л. Никакого другого не* отрицательного числа у, п-я степень которого равна Л, не су- существует. В самом деле, если у < я, то уп<хп (монотонность умножения), т. е. уп< Л, если же у > х, то уп > Л, ч. т. д. Определение. Неотрицательное число ху п-я степень которо- которого равна А. хп = Л, где Л >0, называется арифметическим корнем степени п из числа А. Это число обозначается так: Натуральное число п называется показателем корня. Следствие. Если а>0, то согласно определению корня П Г у ап -¦= а. Выражение JV Л, обозначающее результат извлечения корня^ называется также радикалом*. Действие извлечения корня я-ой степени из числа а можно толковать как разбиение числа а на п равных между собой со- сомножителей: п раз п / п г п г а = у а • у а'"-у а • * Тем же термином «радикал», по сложившейся традиции, называется к сам символ у . 8' 115
Теорема. Соотношений п / ^ п г п / п / п / п г у * <у У > либ<> у х>у У , либо V х = у у (где л: > 0 и у > 0) имеет место в том и только в том случае, если числа х и у связаны тем же соотношением, т. е. (соответ- (соответственно) : х<СУу либо х > у, либо х = у. Доказательство. Пусть, например, у х <^у У > тогда (воспользовавшись законном монотонности умножения), умножив почленно это неравенство само на себя п раз, получим .п / (V [ у) *т*е*х<у' Аналогично: если и если у х = у у ,то х --= у. Следовательно, числа х и у связаны тем же соотношением, что п/ п/ и числа у х и у у . Полученное условие является и достаточным. В самом деле, п/—¦ пг пусть, например, х < у, тогда, допустив что у х > у у, мы по- получили бы следствие х > у, противоречащее условию. Следова- п/ п/ тельно, числа у х и у у связаны тем же соотношением, что и числа х и у, ч. т. д. Эта теорема позволяет устанавливать свойства действия из- извлечения корня путем проверки. Ниже изложены теоремы, на основании которых выполняются тождественные преобразования арифметических корней. В учеб- «ой литературе эти теоремы называют правилами действий Had радикалами. I. Правило извлечения корня из произведения: корень из произведения равен произведению корней той же степени из каждого сомножителя: Доказательство. Разбив каждое из чисел аь а2, ..., 116
на п равных сомножителей и перемножив, получим п раз а2 1- у7~ ах . . !\/~ аг п г п/ п г у а2 • у а2 . . .у а2 п/ пг п г Сгруппировав сомножители по столбцам, представим аи й2, ..., ап в виде произведения п равных сомножителей: аь а2,..., ak - откуда следует равенство (I), ч. т. д. Правило I можно доказать проверкой, путем возведения обе- обеих частей в п-ю степень: , а2)..., ak У = аи а2, ...,ak (по определению корня) У<*1 Va2 • • • Vak У= {Vai )" {Vй* У - • • {Vak У^ага2...а (возведение в степень произведения). Правило I можно сформулировать иначе: произведение кор- корней данной степени равно корню той же степени из произведе- произведения подкоренных чисел: пг пг~ п/ * п/ У п1 У а2 • • • У пк = У ^1а2--'ак- II. Правило извлечения корня из дроби. Корень из ча- частного равен корню той же степени из числителя, деленному на корень из знаменателя: Доказательство. Имеем: п/ пг п/ / п/ \п а -{/ а у а ,..у а [\ а \ У а п Г а откуда = ¦/ —-, ч. т. д. ут V b Правило II можно сформулировать иначе: частное корней дан- данной степени равно корню той же степени из частного подкорен- ных чисел. 117
III. Правило возведения корня в степень. При возве- возведении корня в степень достаточно возвести в степень подкорен- подкоренное число: = f^. (in) Доказательство. Применим правило (I), положив: п\ = а2 = ... = ak = a. V. Теорема об извлечении корня из степени. Для извлечения корня из k -й степени числа а достаточно возвести в я-ю степень корень из а: Это правило является лишь иной словесной формулировкой предыдущего правила. V. Правило вынесения множителя за знак радика- радикала. Так называется следующее тождество: у. (V) Доказательство. п/ ~~ п/ п/~~ п/~~~1 у апЪ = yanyb=ayb. VI. Правило введения множителя под знак радика- радикала: а }/гТ=у/^Ь. (VI) Это правило является лишь иной записью предыдущего тож- тождества. Кратко правило V и VI можно формулировать так: при выне- вынесении за знак корня множителя из него извлекается корень, при введении под знак корня множителя он возводится в сте- степень, равную показателю корня, VII. Правило извлечения корня из корня. При извле- извлечении корня из корня можно перемножить показатели корней, оставив без изменения подкоренное число: (VH) Доказательство. Обозначим у л/~а = а, число а мож- можно получить путем следующих двух последовательных разбие- разбиений: сперва число а разбивается и a k равных сомножителей k I— у а , а затем каждый из этих сомножителей разбивается на п И8
сомножителей, равных а= у(г/~а) У а а =(*) (п) а-а.а...а а-а-а...а а - a.a-а...а Таким образом, число а разбивается на nk сомножителей, рав- равных а, и, следовательно, а == а = а, ч. т. д. Равенство (VII) можно доказать также проверкой путем воз- возведения обеих его частей в степень nk. VIII. Правило умножения показателя степени и по- показателя корня* Величина корня не изменяется, если пока- показатель корня умножить на произвольное натуральное число k, а подкоренное число возвести в ту же степень k: |ЛГ=у^Г (VIII) Доказательство. Имеем (по предыдущему правилу): nk' п г 7 п г у ak - у у^Г = у а, q т ^ Иначе правило VIII формулируют так: показатель степени и показатель корня можно сократить на общий множитель. IX. Правило приведения радикалов к общему пока- показателю. Радикалы (взятые в любом числе) можно заменить соответственно равными радикалами с общим показателем корня. Доказательство. Пусть — данные радикалы, п — общее кратное показателей, a du d2, ..., uk — соответствующие дополнительные множители: п = пхйъ п = n2d2,..., п = nkdk% Воспользовавшись правилом VIII, можно заменить данные радикалы соответственно равными радикалами с общим показа- показателем корня: .т.д. 119
X. Правило сравнения радикалов. Чтобы установить, какое из чисел ТА А или у^ В является большим, достаточно установить, которое из чисел Ап или Вт являртся большим. Доказательство. По приведении радикалов к общему показателю, получим: тп/ пт/ у Ап и у Вт , следовательно, достаточно сравнить между собой подкорен- подкоренные числа, ч. т. д. _ Так, например, у 3> у 2, так как З2 > 23. Для радикалов, не являющихся арифметическими, свойства I—X имеют место не во всех случаях. Четная степень всякого действительного числа неотрицатель- неотрицательна, поэтому в поле действительных чисел уравнение x2k = а, где а < О не имеет решений. Следовательно, действие извлечения корня четной степени из отрицательных чисел невыполнимо в поле дей- 2k /~ — ствительных чисел, а потому символ у а при а < 0 не имеет смысла (в поле действительных чисел). Теорема. В поле действительных чисел однозначно выполни- выполнимо действие извлечения корня нечетной степени. При этом 2k+\/ У — а = — у а . Доказательство. Пусть а — произвольное данное не- неотрицательное число, а> 0, как доказано выше, действие извлечения корня однозначно выполнимо в множестве всех неотрицательных чисел, т. е. уравнение x2k+i = а A) в множестве всех неотрицательных чисел имеет единственное решение х = уа • Так как при х < 0 уравнение A) не 2А-М У удовлетворяется (левая часть отрицательна), то у а явля- является единственным решением этого уравнения и в поле всех действительных чисел. Рассмотрим уравнение x2k+l =-а с отрицательной правой частью. Очевидно, что решениел* этого уравнения может быть лишь отрицательное число х < 0. Так как = а, откуда | *|= 120
2k+\ / Из условия х < 0 получим х = — у а . В самом деле, Bk+\/ \2ft+l = — (^ у a J = — а, — 243 =-3, У^2=- ч. т. д Извлечение корня нечетной степени из отрицательного числа — а можно толковать как разбиение этого числа на 2k + 1 рав- равных между собой отрицательных сомножителей: Bft-H) раз 2ft + l/ \ / 2ft+l/ \ , Уа)Л- Vй )••-[- Если а и b два отрицательные числа и а < 6, то и +1/ ^ 2Л+1/"Т~ f fl < У & • В самом деле, 2ft+ 1/ 2ft+l/"— 2ft+l/"— 2ft+l/" — но \a\ > |Ь|, а потому и |а|> ]/ |6|, откуда— у |а|<— у |6|, т. е. 2ft+l/- 2Л+1/ V а < у 6 . Доказательства правил I—X действий над радикалами оста- остаются в силе применительно к радикалам с нечетными показате- показателями корня при произвольных действительных подкоренных числах, значит, остаются в силе и сами эти правила. При применении этих правил надо следить за тем, чтобы при отрицательных подкоренных числах показатели корней были всегда нечетными. Так например, при а < 0 равенство пк/ п / у ak = у а справедливо, если п и k — нечетные числа. Например: При применении правила IX приведения радикалов к общему показателю в качестве общего кратного показателей следуетг брать нечетное число. Так, например, 121
Для радикалов с произвольными натуральными показателя- показателями и при произвольных действительных подкоренных числах правила действий имеют место не во всех случаях и могут при- применяться лишь с указанными ниже коррективами. Основное тождество п / ап = ау справедливое при а ^> 0, остается в силе при произвольном а, если п = 2k + 1 — нечетное число. В случае четного п = 2k, имеем a2k = \a\2k, а потому: а, если а ^> U, aZR = г/ |аа* = \а\ = <; ^ Л — а, если а<0. Так, например, = 2. Правила I и II при отрицательных подкоренных чис- числах и при четном показателе корня места не имеют. Так, например, равенство V~& = VTVT *fte имеет места, если хотя бы одно из чисел а или Ь отрицатель- отрицательно, ибо тогда соответствующий радикал в правой части, а зна- значит, и правая часть, теряют смысл. Если а < 0 и b <; 0, то ab > 0; в этом случае Если же а и b разных знаков, то и левая часть теряет смысл. Правила III и IV (п / \k п/—~ [у а ) = у ak при а < 0 и при четном п места не имеют, так как у а те- теряет смысл. Правило V вынесения множителя за знак радикала при чет- четном п = 2k и произвольном а применяется в следую- следующем виде: 12k/ a v b , если а ^ 0, — а у b , если а < 0. Так, например, |— 2J3 = 2 И22
Правило VI введения множителя под знак радикала чет- четной степени применяется в следующем виде: 2пг— \ |^a2/lfc , если а>0, ал/ h = » о • Так, например, о Правило VII извлечения корня из корня при а<0 неприме- неприменимо, если хотя бы одно из чисел п или k четно, так как з этом случае выражения 1/ -¦/а и т/^а оба теряют смысл. Правило VIII у а—уак при а<0 и при четном п места не имеет, так как у а теряет смысл. При четном k = 2т правая часть смысла не теряет и ее преобразование вы- выполняется следующим образом: от /¦¦ а, если а>-0, п 2тп у —а у если Так, например, /(=2?= При ^ нечетном, й четном и а<0 правило места не имеет, так как у а < 0, но а* > 0 и }/ а* > 0. Так, например, J/_2<0, но {/г(_2)*--6/4 § 40. Преобразование выражений, содержащих радикалы Определение.Выражение, составленное из чисел (обозначен- (обозначенных буквами или цифрами) при помощи алгебраических дейст- действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня), называется алгебраическим выра- выражением. Алгебраическое выражение называется выражением, содер- содержащим радикалы, если оно содержит символы (один или несколь- несколько) извлечения корня. Алгебраическое выражение, содержащее действие извлече- извлечения корня из выражений, в которые входят аргументы, называет- называется иррациональным относительно данных аргументов. 123
Мы рассматриваем алгебраические выражения по внешне- м у виду. Не исключена возможность, что иррациональное выра- выражение окажется тождественным некоторому рациональному вы- выражению. Так, например, выражение у (х2+IJ—1, данное s иррациональном виде, тождественно рациональному выраже- выражению х2. Примерами числовых и буквенных выражений, содержащих радикалы, могут служить: /I- Тождественные преобразования выражений, содержащих радикалы, выполняются на основании общих законов арифмети- арифметических действий и правил действий над радикалами. В предыду- предыдущем параграфе перечислены эти правила и указаны условия их применимости. Ниже указаны наиболее часто встречающиеся тождествен- тождественные преобразования, которыми обычно пользуются при выполне- выполнении различных преобразований выражений, содержащих радика- радикалы. Для определенности будем предполагать радикалы арифме- арифметическими, в соответствии с этим буквы, содержащиеся под ра- радикалами, обозначают неотрицательные числа. Для радикалов, не являющихся арифметическими, следует учитывать указания, данные в предыдущем параграфе. 1°. Упрощение радикалов вида у XmYn...Zp+ Разделив с остатком числа т, пу ..., р на k> получим: т = qk+ и% п = rk -ь vy... , р = sk+ w и V XmYn...Zp = ¦prxqkXuYrkYz>.. ZskZw = ^XqYr...Zs V XUYV---ZW , где и, v, ..., w — неотрицательные числа меньше k. 2°. Упрощение радикалов вида k f ут уп Л -^4г, где Z Ф 0, ..., Т ф О. Умножим числитель и знаменатель подкоренного выражения на Zk~p ... Тк~я . Имеем: Xm Yn •у tTl -к/П yh—p rpk—Q 124
3°. Возведение в степень радикала. При k < п имеем: !]/" xf"+k = X2]fxk и в общем виде (Ух)"*" = п 4°. В силу закона дистрибутивности: ах n/Y+ a2 YY+ ... + ak J/ЗГ- (аг + а2+ ...+ Это преобразование в учебной литературе называется при- приведением подобных радикалов. 5°. При умножении (делении) радикалов с различными пока- показателями можно пользоваться правилами I и II умножения и де- деления радикалов (см. предыдущий параграф), предварительно приведя данные радикалы к общему показателю: и аналогично: у ?лут(я—1) 6°. Из 3° следует, что всякий многочлен от радикала n-й сте- степени может быть представлен в виде многочлена степени не выше, чем п— 1, от того же радикала. В самом деле, если в вы- выражении F (X) — а0 + ахх -+- а2^ + ... + а„х + ал+1 х ^ + ... сделать подстановку х — у X и воспользоваться преобразова- преобразованием 3° для членов степени большей п, то получим: Р ("/F) =-- К + апХ + а2а X2 +...)+ (а, + ап+1 X + ...)f 7°. Формула преобразования «сложного» квад- квадратного радикала. Так называется следующая формула: где А > О, В > 0 и Л2 > В, а знаки берутся либо верхние, либо нижние. 125
Доказательство. Положим: Возведя в квадрат, получим: х2 = 2А 4- 2 у А2 —В, откуда х = у 2А + 2 Следовательно, — • B) Аналогично найдем: после почленного сложения и вычитания получим формулу A), ч. т. д. Примеры 1. Упростить выражение Р = BУ~8~+зУ~5~ — 7 УТ Ч(У 7i~—5У7о~-2У~2~). Решение. Так как ]/~8~ = У^з~= 2 У~2~; У 72 = = 2 то 2 У 8 +2>V~b—lV 2 =3<УГ~5~ — У 2 ) и У 72 — 5У20~— 2 У~2~:= 2 B У 2 — 5 У "б"). Р =_6 ( УТ" — У 2 ) B У^Г-- 5 _/Т") = = 6 <2 У 5 У2-2У2 У 2 -Ъ_У 5 Уб Л-^У^У 5 ) = = 6 G У10 —29). 2. Установить, какое из чисел 2 т/ з -/^15" или 1/ 30 +у 3 является большим. Решение. Оба числа положительны, так как 8>У15, ибо 82>15. Пусть 2 V 8 —УТбГ v Узо"+ V з, где V означает неизвестный знак >, <, =; возвысив обе части в квадрат,, получим: 4 (8 - J/Тб") V 30 + 2 |/з(Г |ЛТ + /~IT J26
откуда Так как левая часть последнего соотношения (эквивалентного данному) отри цательна, а правая положительна, то знак V обозначает <, следовательно. 3. Преобразовать произведение X X V°— Решение. Все подкоренные выражения положительны, чтобы в убедиться, достаточно проверить, что 2>V возведя в квадрат, получим: возведя в квадрат вторично, получим верное соотношение 2 > 1Лз*. Произведение третьего и четвертого множителей равно Умножив на второй сомножитель, получим произведение и, наконец, 4. Представить т/ g I/9 V % V z — у о \ + VT ¦ К2-УТ ii/3^1]-i/2" в виДе AV* рациональные числа. Решение. Примем во внимание следующее положение* если при раци- рациональных- коэффициентах т, ть /г, пх имеет место равенстве» т VY + п V 3 = тг У~Т + пх VX A> то т == mi и /г = п\. В самом деле, если /п = Ш! то из A) следует, что п = nh * В данном случае доказательство неравенства проверкой возможно, так как числа, возводимые в квадрат, положительны. 127
и аналогично, если п — nh то т = гп\. Допустим, что гафт^ и пфПи тогда из A) получим: ут 2 последнее невозможно, так как —- не является точным квадратом (см. ни- ниже § 41). Применим метод неопределенных коэффициентов. Если з / zz: — V 9 "У 3 — 11 У 2 = А П +BV 3, B) то, возведя обе части в куб, получим: 9 УГ — 11 У 2 = 2Л3У 2 +6Л2Б У~3~ 4-9ЛБ? У ~2~ -f ЗБ3 Уз. C) При рациональных Л и Б это возможно, если система уравнений 2Л*Б + ~" имеет рациональное решение. Непосредственным подбором находим следую- следующее рациональное решение Л = —1, В = 1. При этих значениях коэффи- коэффициентов имеет место равенство C), но если равны кубы, то равны и основа- основания; следовательно, из равенства C) следует B). Итак, имеем: ЗА У 9 У 5. Доказать равенство 3 /~5~РЕ -& s г-^ 5 /-т 5 AT 5 AT Решение. Упростим левую и правую части доказываемого равенства: левая часть равна правая часть равна Достаточно доказать, что вычисляем левую часть, имеем последовательно (можно воспользоваться формулой куба трехчлена, стр. 62): 5/~Т - 5/Т~J= 1 + 5/Т + {/~зГ+ 2 \ГТ- 2 - 2 |/Т"= 1 + 2 {/Г - j/T- 2 {/IT + 128
X -2Узз 5/34 1+2 ут 5 r~ V 5 Г -2 J/^Г -f +6-3 {/Т 10 - 5 у З3 = 5 B 6. Упростить выражение 30 Г П + 4У 2. Решение. Применяем последовательно формулу преобразования слож- сложного радикала. S "" К 13 + 30 ( V 2 + 1) = V 43 + 30 V 2 = 1/ " 7. Преобразовать, пользуясь формулой сложного радикала, выражение vt+ 2 ут Положив А = 4V 2, В=24, получим: *У1 8. Доказать, что при /г>2 имеет место неравенство у п > у п+ 1. 9 С. И. Новоселов 129
Р ° ш е н и е. Достаточно доказать, что яп+' >(л+1)" или что п ^ п \ п Имеем: 1 / ) \п 3 — I I -f- 1 < — ^С 1 (см. ниже, стр. 215), если п ;> 3, ч. т. д. п \ к I п В примерах 9—13 показаны преобразования буквенных выражений, со- содержащих радикалы 9. Преобразовать г~ —aW\/ где а, 6, с и d положительны. Решение. у (а2су ас2 4 А ] y а2с ас2 а2с (правила V и II предыдущего параграфа) : а2с У 3d + 4а°~с У 3d — а2с УзёГ= {а2с + АаЧ — а2с) УзсГ= 4а*сУгсГ (дистрибутивность1!. 10. Преобразовать: d2 5 5 / a*b* \ Dа2 ah23 Г ah\ \/ —)¦¦[--ту щ= (правило 6а2Ь2 d 15 6a2b* /5 /"^ 3 г^\ I "I/ : 1/ — I = (свойства умножения и деления) \V ci V cdi у Ы : у Ы = (правило 1х) ra*b*c*d™ 6a2b* ХЪ Гabd^ (правило И) 130
11. Упростить выражение: л3—З/i+(н2— 1)V я2— 4 —2 я3 — Зя + (л2 — 1) V я2 — 4 + 2 Решение. Радикал -у/ п2—4 имеет действительное значение, если п2>4, откуда /г>2 или я<С—2. Преобразуем отдельно числитель и знаме- знаменатель; числитель равен /гз_зп —2+ (я2 — 1) V я2 —4 = (я -f 1J<я — 2L- (я2 — \)у я2—4; знаменатель равен р _ зя + 2 + (я2 — 1) |Лг? — 4 = (я — IJ (я 1-2) -'- (я2 — 1) Уп2 — 4 При /г> 2 имеем: У п2 - 4 = У я + 2 У /? — 2 п — 2 = 1/(я — 2J и я + 2 = У" (я + 2J Следовательно, (я + 1) Уп — 2 [(я + 1)УОг — 2 + (п — 1) "К/г + 2 ] (/г-1) Уп +2 [(я - 1)У^я + 2 4- (я + \)У п-2 ] _я+1 / л ~ п — 1 ^ я /г —2 + 2 При п < —2 (значение я = —2 исключается как обращающее в 0 знаме- знаменатель) соотношения A) должны быть заменены следующим: Уп* - 4 = У | п + 2 | |/~ | я - 2 | ; Л_2 = -|/7-?| = - A/ | я - 2 | J; я + 2 - - Следовательно, /г + 2 | J. (/I + 1) У\п - 2[[ - (я + 1) У\п - 2[ + (я - \)У\п + 2|] (/г-1) У\п + 2| |- (/2 - 1) У\п + 2| + (я 4-1) ~|/|я - 2| ] я+ 1 я— 1 я —2 _," + 1 л/«~2 __/г + 1 л[2-п п—\ у п + 2 п — \ у —п—2 12 Для сравнения преобразуем выражение (см. пример 9): — аЧ* 1/ —-, ^/ а*с2 не ставя никаких дополнительных условий. Каждое из слагаемых имеет вполне определенное действительное значе- значение, если а^О, с^=0 и d>0, при этих условиях имеем: 1 = — \а*с*\ У 3d + — 2|а3 \с\-а*\ с 3d 9* 131
Так как то а при а > 0 — а при а<0 4а2с V3d, если — 4a2c\^3d, если — 2а2с V3d, если если а >0, а<0, а>0, а<0, с при спри с > О с > О О О с<0, 13. Преобразовать Q= 2Ь Vx2 — 1 где а>0, &>0. Решение. Вычисляем 4аЬ Выполнив подстановку, получим 2Ь \а-Ь\ 2b\a — 2b I a — b I Ho поэтому (a + 6) — | a — b | _ (a — b (при a - \b ^ a O— J b — ^ (при а ^ b) (b —a) (при a < 6). Выполнить данное преобразование, если а < 0, ? < 0. При этих условиях a b радикалы также действительны, так как выражения —~, и ab не меня- меняются при замене чисел а и b противоположными. В данном случае будем иметь: 132
Следовательно, п = 2b\a — b\ ( __ — (а — Ь) при а > b i-a-b)~\a~b\ | а Сопряженные множители Пусть S — данное выражение, содержащее радикалы. Определение. Сопряженным множителем относительно S называется всякое выражение М, неравное тождественно нулю, такое, что произведение SM не содержит радикалов. Выражение 5 можно рассматривать как сопряженный мно- множитель для выражения М. Вопрос об отыскании сопряженных множителей в общем ви- виде рассматривается в курсе «Высшей алгебры», в теории симмет- симметрических функций *. В элементарной алгебре устанавливаются приемы нахождения сопряженных множителей лишь для част- частного вида выражений, содержащих радикалы. 1. Для выражения 5 - где р, q и г — натуральные числа, меньшие п, достаточно поло- положить М — у vn—p уп~~й Zn~~r В самом деле, 2. Для выражения сопряженный множитель определяется на основании тождества хп-уп=(х-у)(хп-1 +хп-2у+хп-3 у2+... + уп->). Положив х = |/ X у у = ]/ Y и М = У хп~х + Vxn~2 Y + У Хп~г У2 + .. . + У Yn получим В частности (при п = 2), для выражения S = yX—yY до. * См., например, книгу проф. А. К. С у ш к е в и ч а, Основы высшей ал- алгебры, учебник для университетов. 133
статочно положить М = у Х+у У: sm = (УТ- УТ) (\Пс + УТ) = х - y. Для выражения S — у X — у Y достаточно положить М = у X2 + у XY 3. Для S = у Х~\~у Y сопряженный множитель находится на основании тождества (знак + при п нечетном, — при п четном). Так, например, для у Х-\-у Y следует положить: М = 4. Нахождение сопряженных множителей для выражений, содержащих квадратные ра- радикалы. Всякий многочлен от квадратного радикала у X можно пред- представить в виде: р (УТ) = рг (X) 4- р2 (X) /У, где Pi и Р2 многочлены* относительно X (см. п. 6°, стр. 125). В качестве сопряженного множителя можно взять выражение так как Р (У Y) М = Р\ (X) — Р\ (X) X. Рассмотрим общий случай, когда выражение S является мно- многочленом от нескольких квадратных радикалов: где Р(х, у, ..., z) есть многочлен от аргументов х, у, ..., z. Нахож- Нахождение сопряженного множителя можно выполнить последова- последовательным применением изложенного приема. Будем рассматри- * Коэффициенты многочлена могут быть рациональными функциями от аргументов, содержащихся в выражении X. 134
вать'Р(х, у, ..., z) как многочлен от аргумента х, в соответст- соответствии с этим представим S в следующем виде: s = p1 + p2 )/~Ty где Pi и P<i суть многочлены от X и от прочих радикалов. Поло- Положив Mx = Pi—Р2у X, получим выражение: SMx = Р\ — Р\ХУ не содержащее радикала у X и являющееся многочленом отно- относительно прочих радикалов. Для полученного выражения можно (в силу изложенного) найти множитель Му такой, что SMxMy не содержит радикалов у X и у У и является многочленом от- относительно прочих радикалов. Применяя это рассуждение по- последовательно к прочим радикалам, окончательно получим выра- выражение SMxM y ... не содержащее радикалов. Достаточно положить М = МхМу ...Мг. 5. Преобразование дробных выражений, со- содержащих радикалы. Дробным выражением, содержащим радикалы, будем называть выражение вида S = —L , где хотя бы одно из выражений Si или S2 содержит радикалы. Знание со- сопряженных множителей позволяет освобождать от радикалов числитель, либо знаменатель выражения S. Если М2 сопряжен- сопряженный множитель знаменателя, то имеет место равенство S2MZ (разумеется при условии М2^0). Правая часть последнего есть выражение, не содержащее радикалов в знаменателе. Аналогич- Аналогично, если Mi есть сопряженный множитель числителя, то и, следовательно, S представлено в виде выражения, не содер- содержащего радикалов в числителе. Примеры 1. Освободить от иррациональности знаменатель 1 а-уТ 135
Решение. ! an-l+an-2y—+^+ybn-l п г ( п / \ / л г пг \ а—у/ b [а—у b)[an-l + an-2y Ь т . . . +у Ьп~х ) ал-1+а л-2 y ь + .. + Y ъп~х ап-Ь 2. Перенести иррациональность из числителя в знаменатель у а —у а а —у а2 а—\ (а— 1) I у а з /—~ - а (а-1)(/Г + а3 (а-1)(/Т + ^ V") — а2 ^") (а (а»--1 а - а 'у7 (]/ 7 +1/7) (а + у^ а- у~) 3. Найти сопряженный множитель для выражения Решение. Умножив данное выражение на М1 = у/"А-\-л/~~В V~C, получим [VT + VT + VT) [VT+VT- V^) = ("Кл" + V в") 2-с= Умножив полученное произведение на М2 = Л + В — С — 2угАВ полу- получим в произведении рациональное выражение (Л 4- Б —СJ —4ЛБ. Следовательно, можно положить М = МХМ2 = (V^~+ V"^" — V^L^) (^ + В — С — 2 4. Освободить знаменатель дроби 1 з /— , з г—, з от радикалов. Решение. Воспользуемся тождеством (см. стр. 86) (x + y + z) (х2 + у2 + z2 — *«/ — уг — xz) = х3 + t/3 + z^ — Ъхуг\ 136
положим: 3 X : 3 / 3 г— 3 / = У а> У= у b> 2= у С. Умножив числитель и знаменатель на 3 /—~ . 3 АТТ" , 3 /—Г~ 3/—Г 3 AT— 3/ Г~ У а ~т У ^ -г у сг — у CLO — у ос — у ао, получим: + j/b+ |/T (a + b + c) - 3 ^/^7 Для окончательного освобождения знаменателя от радикалов следует ум- умножить числитель и знаменатель на (а + Ь + cf + 3 У~аЬс (а + b + с) + 9 У 5. Найти сопряженный множитель для выражения вида Решение. Применим метод неопределенных коэффициентов. Умножим данное выражение на выражение того же вида с неопреде- неопределенными коэффициентами Л, Б и С: (a + b \TT+cyifi) (Л + В|/"Т+ Cyifi) = ---- (аА -4- kcB + kbC) + FЛ + аВ + 6сС) ^ k + + (сЛ + 6Б + аС) В качестве коэффициентов Л, Б и С можно взять любое нетриви- нетривиальное решение линейной однородной системы: сЛ 4- Ь/3 + аС = О если только аА + &сБ + kbC ф 0. Так, например, для выражения: ищем коэффициенты сопряженного множителя из системы д _|_ g _[_ 4С = 0\ 2Л+ Б+ С-- 0/ ; откуда Л Б С — 3 ~~ 7 ~ — 1 ' Следовательно, можно положить Л = 3, Б = —7, С = 1. Так как aA + kcB + kcC = —21 ф 0. то в качестве сопряженного множи- множителя можно взять выражение 137
Изложенный метод неопределенных коэффициентов применим к отыска- отысканию сопряженных множителей для выражений вида: «o + fli \/k+a2 у k2 + . . . +ап_Л/Г kn-\ . § 41. Извлечение корня из чисел В настоящем параграфе будет рассматриваться извлечение корня из положительных чисел, таким образом, все радикалы будут предполагаться арифметическими. Теорема. Если натуральное число N не является п-й сте- степенью никакого натурального числа, то У N есть иррациональ- иррациональное число. Доказательство. По условию число N не содержится в последовательности О", 1", 2я, 3*,...,?*,... {kn} п-х степеней целых неотрицательных чисел, следовательно, у N не может быть целым числом. Докажем, что у Мне может быть дробным числом. Допустим, что у N = —, где р и gвзаимно простые числа и q т= 1, но тогда Последнее равенство невозможно, так как рп и qn также вза- взаимно просты и qn=?\, а потому (вопреки условию) N не может быть целым числом. Будучи числом действительным, у N не яв- является ни целым, ни дробным, следовательно, у N есть ирра- иррациональное число, ч. т. д. Теорема. Если числитель и знаменатель несократимой дроби Р — (где Q?= 1) не являются (каждый) точными п-ми степенями, тоЛ/ —есть иррациональное число*. Доказательство. Допустим, что 1/ — естьрациональ- V Q ное число: * «Точная /1-я степень», значит, n-я степень некоторого натурального числа. 138
где р и q взаимно простые числа, тогда _Р_ _ рп Q " яп Так как рп и ^"также взаимно просты, то Р = рп и Q=qn, т. е. (вопреки предположению) Р и Q суть также n-ые степени. /""" ,]/ — /я Следовательно,]/ —есть иррациональное число, ч. т. д. Если действительное число а не является точной п-й сте- степенью натурального числа, то в последовательности [kn] найдет- найдется наибольшее число kn меньшее а: Определение. Число k называется значением у а с точ- точностью до 1 по недостатку, a k+l значением у N с точностью до 1 по избытку, если kn<^ a< (k + \)п. Имеем Обозначим через N целую часть числа а: а = N + р, где 0 < р < 1^ Правило. Для нахождения значения у си с точностью до 1 (по недостатку или по избытку) достаточно найти значение кор- корня п-й степени с точностью до 1 из целой части числа а. Доказательство. Пусть k значение у N по недостатку с точностью до 1: (случай, когда N есть точная п-я степень, не исключается). Так как (равенство при k = 0) и 0 << C<М, то &"^Л/ + [3 <<(& + 1)", откуда & < у N + Э <^ f 1; т.е. &< у а <fe + 1. Следовательно, й и k+l суть значения корня с точностью до 1 и для числа а, ч. т. д. Определение. Число г называется значением у си по недо- недостатку с точностью до —, если имеют место неравенства: m ~<г+ — пг 139
Число r-\— называется приближенным значением i/ а по избытку с той же точностью. Правило. Для нахождения приближенного значения у а с точностью до — достаточно найти значение корня п-й степени m с точностью до 1 из числа afnn и результат разделить на т. Доказательство. Пусть тогда K^/KHl H^</ о k k , I Следовательно, r = —и 1 суть искомые приближенные m m m значения корня, ч. т. д. Из изложенных правил следует, что на практике для вычис- вычисления корней из чисел с заданной степенью точности достаточно уметь находить корни из натуральных чисел с точностью до I. Правило извлечения квадратного корня с точностью до I из натуральных чисел подробно излагается б школьном курсе алгебры (см., например, учебник алгебры А. П. Киселева). Для извлечения корней более высокой степени (а также и квадрат- квадратных) пользуются различными средствами: непосредственными испытаниями (см. пример 2), таблицами степеней натуральных чисел, логарифмическими таблицами. Для извлечения корней из чисел, близких к I, применяется следующая приближенная формула + *^l+ -^-, где |<х|< I. (I) Установим оценку погрешности этой формулы, считая а>0. Имеем: ( ) 140
Итак, при а>0 формула дает значение корня с избытком с точностью большей, чем а2 *. Для квадратного корня оценку погрешности легко уточнить: „2 Для вычисления дробного числового выражения, содержа- содержащего рациональные числа и числовые радикалы, удобно заме- заменить это выражение выражением, имеющим рациональный зна- знаменатель, так как действие деления на рациональное число вы- выполняется без затруднений. Примеры з / 1. Числа у 2 , у 3 , т/ 11 , |/ иррациональны. 3 г- 2. Вычислить у 72351 с точностью до 1. Решение. Применяем непосредственно метод испытаний. Так как 103< 72351 < 1003, то искомый корень есть двузначное число. Испытываем число 50, имеем E0K = 125 000, следовательно, искомый корень меньше 50. Испытываем число 40; имеем: 403 = 64 000, и, следовательно, 403< 72351 < 503. Так как 413 = 68 921 и 423 = 74088, то 41 < у /2351 < 42. 3. Найти у 2,5с точностью до 0,1. Здесь а = 2,5, п = 2, т = Ю. атп = 250 и 152 < 250 < 162. Искомые приближенные значения суть 1,5 и 1,6. 5/ 4. Вычислить с точностью до 0,001 корень у 2^5. Решение. Имеем: 245 = 243 + 2 = З5 + 2. Следовательно, 6/2i5 = 3l6/l + - ~ зб 2 Применим формулу A), положив а = -^г* с ошибкой меньшей, чем 1 5. Вычислить —— — с точностью до 0,001. /5+/2 * В курсе анализа, в теории рядов, дается более точная оценка погреш- погрешности. 14J
Решение. Умножив числитель и знаменатель на у 5—у 2 , получим: [ __УТ-УТ __ 2,2361-1,4142 _^о ^ ^Т + "/Т 5-2 3 (с точностью до 0,001). § 42. Извлечение корня методом последовательных приближений Рассмотрим функцию т — \ N f() + т тхт-1 в интервале 0<#<^оо, где N>0 — данное положительное число, т — данное натуральное число. Теорема. В интервале 0 < х < оо наименьшее значение функции f(x) равно y/~N при значении аргумента x=yrJJ. Доказательство. Представим f(x) в виде суммы двух слагаемых пг~ 1 N (/+V, где U= x,V = . m m* Произведение Um~lV = (m~1)m~1 N = const постоянно. Следовательно (см. ниже стр. 227 § 60), сумма f(x) = U+V имеет наименьшее значение при условии U V х N = — , откуда — = и х = т— 1 1 т тхт—\ Наименьшее значение функции f(x) равно: График функции f(x) при т = 3 и N = 2 представлен на чер- чертеже 11. Другое доказательство. Вычислим производную: г// ч т— 1 т— 1 N __ m — 1 хт — N т т хт т хт Из выражения для производной видно, что f'(x)<^0 в интервале 0<л:< у N, в этом интервале функция f(x) убывает f'(x) >0 в интервалеу N <^х<оо, в этом интервале функция возрастает; f'(x)=O при х=у N, при этом значении аргумента функция т/ имеет наименьшее значение, равное у N , ч. т. д. 142
Если аргументу х придать произвольное положительное зна- чение а ^у N , то соответствующее значение функции будет больше, чем наименьшее ее значение, равное у N. Докажем, что при произвольном значении аргумента, ббль- шем чем у N, имеет ме- место неравенство: /(*)<*. 0) В самом деле г / \ Ttl — 1 х — f(x) ~х х — пг N шх тпх откуда f(x) <x. Изученные свойства функции f(x) позволяют выполнять приближенное извлечение корня произ- произвольной степени из чисел с любой заданной сте- степенью точности. Этот спо- способ приближенного извле- Черт. И чения корня удобен при вычислениях на арифмо- арифмометре. Пусть а произвольное положительное число, выбранное по возможности близко к значению \' N . Например, можно поло- положить а равным целому числу, m-я степень которого наиболее близка к N. Составим последовательность чисел: хл = X ==z m— I N -t- N mx m—\ т— 1 m N [*n) Эта (последовательность является убывающей и ограничен- ограничения
ной, так как. в силу неравенств A), имеем: а потому эта последовательность имеет предел. Пусть lim xn = х, тогда 1. т— 1 1. , N Хп = ~^г Xn~i ^—; ^гэ т — 1 . N т/ 77 т. е. х = х Н , откуда х = у N. tti tnx т/— Если за приближенное значение у N взять хп , то допущен- допущенная при этом погрешность а будет иметь следующую оценку: а = хп— V N = Хп <хп п f п тг' " п Ym—\ у Nm—1 лп (принять во внимание, что xn>"i/ N) На чертеже 13 пояснен процесс последовательного приближе- приближения при вычислении кубического корня. Примеры (Вычисления выполнены на арифмометре). 1 Вычислить-/35 с шестью значащими цифрами. Решение. Составим функцию положив в общей формуле т = 2, N = 135. Положим а = 12 (ближайшее це- целое значение >/^135). Имеем: 1 ,135 п t 135 93 1 ' w 2 2-а 2-12 8 1-93 4-135 f() + =5,8125+5,8065 *2 f(xi) jJ+ ^ « 11,6190 «11,62 (с избытком). Положив л:з = 11,62, продолжим вычисления 11,62 135 x* = f(x2) = —?—+ 2 ч б2 - 5,81+5,80895^ 11,61895 с ошибкой, меньшей чем 135 Хз — ^ 11,61895—11,61890 = 0,00005. Округлив результат, получим: х^\ 1,6189 (все шесть цифр — верные, учесть, что приближенное значение х3 с избытком). Примечание. Так как хи х2, хэ,... суть приближенные значения корня с избытком, то, чтобы избежать ошибок в оценке погрешностей, обусловленных округлением промежуточных результатов, это округле- округление надо производить, заменяя значения *ь х2,... их приближенными значениями с избытком. 144
3/ 2. Вычислитьу 149 с пятью значащими цифрами. Решение. Составим функцию (т = 3, N = 149) 2 149 10 , 149 Положим а = 5, имеем: лгх = —-— i — = 5,32; о /О с ошибкой, меньшей чем 149 149 х2 — — ^ 5,30153 —————-- «5,30153—5,30117 < 0,0004. у2 28,106о Так как пятая значащая цифра не надежна, продолжаем вычисления, поло- положив х2 = 5,302; получим: с ошибкой, меньшей чем 3 г Поэтому можно положить:!/ 149 « 5,3015. § 43. Обобщение понятия степени По определению натуральной степени числа а имеем: га раз ап = а-а.. .а при п>> 1 и а1 = а при п = 1. Символы а0, а\ а2 у а и т. п. не имеют смысла (со- (согласно этому определению), ибо не имеет смысла умножать число а само на себя 0 или —1, или —, или У 2 раз. Символу atl, где п .не является натуральным числом, можно придать смысл лишь по определению, условившись приписывать ему вполне определенное значение в случае, когда п не есть на- натуральное число. Известны следующие основные свойства степени, вытекаю- вытекающие непосредственно из свойств умножения: апат = ап+т, (I) (ат)п=апт (II) (где пит натуральные числа). Будем руководствоваться сле- следующим принципом: 10 С. И. Новоселов 145
при обобщении понятия степени принимаются такие опреде- определения, при которых сохраняются свойства (I) и (II). Докажем, что если принять за основу этот принцип, то полу- получится единственно возможная система определений, посредст- посредством которых понятие степени распространяется для случая про- произвольного рационального показателя. Нулевой показатель. Если (пока формально) в со- соотношении (I) положить т = 0. то получим: ancfl я ап. Если а^О, то найдем единственно возможное значение а°=1. Это рассуждение не является доказательством равенства а°=\ (так как при т = 0 выражение aw утрачивает смысл), оно лишь показывает, какое определение следует принять для а0, чтобы сохранилось свойство (I). Определение. Если а Ф 0. то считают а°= 1. Символу 0° не приписывается никакого численного значения. Справедливость свойства (II) проверяется непосредственно: (а°)п = 1" = aOnt (О0 - 1 = аОт, (а0H = 1° = 1 = а0*0. Отрицательный показатель. Если в равенстве (I) положить т = —п, то получим: Откуда а~п= — (где аФО); следовательно, чтобы сохра- сохранилось свойство (I), надо принять следующее определение. Определение. Если афО, то считают агп = —. ап Свойство (I) сохраняется при любых целых пит. Пусть, например, число п положительно, а т отрицательно, /л = —ти имеем: аШх п (если п<т1)ш Но во втором случае 1 Итак, в обоих случаях апат = ап-т\= ап + (~ щ) » ап+т. Прочие возможные случаи предлагаем разобрать учащимся. Справедливость свойства (II) проверяется непосредственно. 146
Пусть, например, оба показателя отрицательны, тогда имеем: (а—т\—п i. м "_ 1 __ 1 _ „тп Л(—т) (—п) Прочие возможные случаи предлагаем разобрать учащимся. Дробный показатель. Пусть а — неотрицательное число, a>U. Положим в равенстве (II) т = —, тогда получим: п L IL (ап)п^ап =а. 1 Откуда а п = у а • Заменив в равенстве (II) п на—,получим: п 1_ т J_ (ат) п -- о п и вместе с тем (ат) п = у ат. Согласно принципу обобщения понятия степени, надо принять следующее опреде- определение. т — пг Определение. Если а>0, то считают ап =у аТП и, в на- - "Г" стности, ап=ау а , где m и п — произвольные натуральные числа. Теорема. Если — = —, то и ап= аПх П Hi Доказательство. Имеем тпх = т{п, следовательно. m. f пп и у атП1 _ откуда У ат = V ат\ т. е. ап = ап\ ч. т. д. Проверим справедливость свойств (I) и (II) для произволь- произвольных положительных дробных степеней п=—,т=—-. Я s Имеем: _ fs/ as/ as/ as/ ap • V ar = V aps ¦ V ari=V a ps+rq _? r_ = a iS = a Р Г s г — рг р г II. (a q ) ' = К (V^ aY = У "о*7 = а^" = а~ '~. Ю* Й7
Понятие степени для дробного отрицательного показателя распространяется при помощи определения: р_ а * = -+—. Р а д Проверкой можно установить, что основные свойства (I) и (II) остаются в силе для произвольного рационального (как по- положительного, так и отрицательного и нулевого) показателя (предлагаем учащимся сделать проверку). Если придерживаться определения ап = у а и ПРИ отРИ1*а- тельном а, то ап (при а<0) следует рассматривать лишь для п/— иечетных зна 4ений /г, ибо при п четном у а не имеет смысла (в поле действительных чисел). т При а<0 дробная степень ап рассматривается лишь при -. т следующих условиях: дробь — несократима, а знаменатель п n = 2k+\ нечетное число; тогда имеем: 1 a 2k+l - [а 2*+1 ) - (О 2*+l - Vат. § 44. Степенная функция с рациональным показателем Определение. Степенной функцией называется функция, заданная формулой у = хп, где х— аргумент, а п — данное число. Областью определения степенной функции является множе- множество всех значений аргумента х при которых выражение хп имеет смысл. Степенная функция с натуральным показателем Пусть п — (Произвольное натуральное чоясло. Областью опре- определения функции хп является интервал —оо<х<оо, так как степень имеет 'смысл при в'сех значениях х. Теорема. На полусегменте 0 <х<оо функция хп возрастает от 0 до оо. Доказательство. Требуется доказать нижеследующие положения Г, 2° -и 3°. 1°. На полусегменте [0, оо] функция хп возрастает. В самом деле, в силу свойства монотонности умножения, из 148
двух различных неотрицательных значений х аргумента больше- большему значению х соответствует большее значение хп: если хх < х2, то хпх < х\, 2°. При х = 0 значение функции хп равно нулю (это очевидно) и lim xn =оо. X—»оо В самом деле, пусть N произвольное (как угодно большое) п г число; неравенство xn^>N выполняется при х> у N, значит, lim xn = оо. 3°. Пусть k произвольное неотрицательное число; (на полу- полусегменте 0< х<оо существует значение аргумента х, 'при кото- котором х11 —k. В самом деле, по доказанному в § 39 таким значением (и V притом единственным) является х = у #> ч. т. д. При четном, п = 2&, функция хп = x2k является четной. В самом деле, значения функции x2k в противоположных точках х ,и —х одинаковы: (-*J*-=***. Теорема. При четном n = 2k функция хп = x2k в полуин- полуинтервале — оо <^ х ^ 0 убывает от оо до 0. Доказательство. 1°. Функция д- убывает в полуинтер- полуинтервале —оо<д;<ГО. В самом деле, пусть Xi<x2^0, тогда противоположные числа —хх и —х2 неотрицательны и 0<;—х2 <—хи Следова- Следовательно (в силу 2°): Но так как (- xxfk = x\k и (- x2fk = х\\ то х?> х\\ Итак, большему значению аргумента в полуинтервале (— оо, 0] соответствует меньшее значение функции, т. е. x2k убывает в этом полуинтервале. 2°. При х--=0 функция xk обращается в нуль. Так как при — 2\/ N имеем x2k>(— yf N fk = N, то Wmx2k=oo. 3°. Данное значение m > 0 функция x2k имеет при х = — у m в полуинтервале (— оо, 0]. На чертеже 12 изображены графики функций у = х2 и у= а:4. При п нечетном, /г = 2k + 1, функция хп = х2^4 является нечетной. 149
В самом деле, значения x2k+l и (— хJк+{ суть противополож- противоположные числа: (-xfk+l=-x2k+l. Теорема. При нечетном n = 2k + 1 функция x2k+l в полуин- полуинтервале — оо << х < 0 возрастает от — оо до 0. с)у--х2 Ь) у=х4 Черт. 12 Доказательство. Г. Если хх < х2 <0, то 0 <— х2 <—хи а потому (—Х1Jк+1>(—х2JШ или, что то же —х{2Ш>—х1ш9 откуда x2ik^1 <С хТ^1 - Следовательно, в полуинтервале — оо <^х<С® функция х2к^~х возрастает. 2°. Произвольное отрицательнэе значение —т (где т>0) функция дг ^ имеет при х = — у т. 3°. При х = 0 функция х + обращается в нуль. Так как при а-<— y~N имеем х2?+[ << — N, то \\mx2k+l = — оо, ч. т. д. Так как в полуинтервале (— сю, 0] функция х2к^1 возрастает от — оо до 0, а на полусегменте [0, оо] она возрастает от 0 до оо, то в интервале (— со, оо) (т. е. на множестве всех действительных чисел) она возрастает от — оо до ос. Графики функций у = х и у = х3 представлены на чертеже 13. Степенная функция с целым отрицательным пока- показателем Рассмотрим функцию у = хп, где п =—k, ak — натуральное число. Г. Выражение—- теряет смысл лишь при #=0t поэтому область определения данной функции есть множество всех 150
действительных чисел, отличных от нуля; оно состоит из двух интервалов (—<х>, 0) и @, + оо) (число 0 исключается). Теорема. В интервале @, оо) функция -у убывает от оо до 0. Доказательство. Требуется доказать следующие поло- положения: 10 В интервале 0<Гх<оо функция — при 0<д:1<л:2 имеем 0<>?<л;2, откуда — > — , А 4 т. е. большему значению аргумента соответствует меньшее зна- значение функции. Г. В интервале 0<х<оо функция-^- убывает. В самом деле, а) у=х Ь)у=х3 Черт. 13 2°. Пусть т произвольное положительное число; в интервале 0<#<oo существует значение аргумента х, при котором — = т. В самом деле, если — =т, тол;*= —; последнее равеи- хк т ство выполняется при единственном положительном значении 1 г m 3°. lim ——= оо и lim —;—= 0. 151
В самом деле, неравенство ^ >N выполняется при всех по- положительных значениях, меньших ¦, где N— произвольное (как угодно большое) положительное число, т. е. Игл—- = °°. *->о х* Неравенство —^<С 8 выполняется при всех значениях х, боль- больших —=—, где е произвольное (как угодно малое) положитель- V? ное число, т. е. lim lim —— _ п ч т п При четном k = 21 функция x~~k четная: ~ (— хJ1 ~~ х21 ~~ Х ' В интервале —оо<х<0 функция у = х~21 возрастает от О до +оо (подробнее рассуж- рассуждения предлагаем провести учащимся). На чертеже 14 представлен график функции При нечетном k = 2/ + 1 функция xrk нечетная: Черт. 14 1 (Г В интервале (— оо, 0) эта функция убывает от 0 до — оо. Графики функций у= -1- и I x У—^ представлены на чер- чертеже 15. Степенная функция с дробным показателем Положим п=~> где k — натуральное число. Рассмотрим функцию k/ у = хп — у х на полусегменте 0<л:<оо. Теорема. На полусегменте 0<;d<oo функция ух возрастает от 0 до оо. Доказательство. 1°. На полусегменте [0, оо) функция * r k/ k/ У х возрастает, так как при 0<х{<^х2 имеем 0 < у хх < у х2 (см. стр. 116), 152
2°. Пусть т — произвольное неотрицательное число; на полу- полусегменте СКл;<'Х) существует (и притом единственное) значе- значение аргумента х = т*, при котором значение функции У* равно т. . 3°. При х = 0 имеем у = 0. Так как при всех значениях х> N* имеем \/ х > N, то lim X -> со x = оо, ч. т.д. Черт. 15 Взаимно обратные функции у=У х и х= yk устанавливают взаимно однозначное соответствие между значениями х на по- полусегменте 0<х<оо и значениями у на полусегменте 0<у<оо. Схема этого соответствия представлена на чертеже 16. Черт. 16 Для построения графика функции у=у х достаточно^постро- график функции х == ук для положительных значений у. ить Так, при & = 2 имеем у = У ^; графиком является часть пара- 153
болы, изображенной на чертеже 12а, но расположенная, как по- показано на чертеже 17. р_ Исследование функции у = х9 с дробным положительным по- показателем (где дробь — предполагается несократимой) не пред- v— ставляет затруднений. В самом деле, у=У хр\ можно разбить вычисление значения у на два шага: и=*хр и y=i/ и. 1°. Если q — число четное (р— нечетное), то область опреде- р ления функции х* =у^хР есть полусегмент 0<х;<оо; если q — число нечетное, то область определения есть интервал —оо<\*;< + оо. Черт. 17 Черт. 18 2°. При q нечетном xq *рть нечетная функция, если р не- нечетно, и четная, если р четно. В самом деле, в первом случае Р^= ,7 =^=- и во втором 3°. Функция х9 возрастает в промежутке 0<д:< + оо. В са- самом деле, если 0<a:i<x2, to (согласно изложенному выше) 4°. При q нечетном и р четном функция xq убывает в интер- интервале (—оо, 0), а при q нечетном и р нечетном возрастает в этом интервале (доказательство предоставляем учащимся). 154
5°. lim x q = + сю. В самом деле, если *>i/ Ng, товыпол- X -> со У X -> со няется неравенство р ( — I -f- ж (если q нечетное и р четное), 6°. lim х q = ) . ч ^^_оо I — сю (если q нечетное и р нечетное). На чертежах 18 и 19 представлены соответственно графики 1 2 функции у = хъ и у = Черт. 19 При дробном отрицательном /г функцию у= хп мож,но иссле- исследовать тем же способом, так и при целом отрицательном, при- приняв во внимание, что р х 9 = 1 v- § 45. Явные алгебраические функции над полем действительных чисел Определение. Функции, определяемые алгебраическими вы- выражениями, называются явными алгебраическими функциями*. Алгебраическая функция, не являющаяся рациональной, на- называется иррациональной. Согласно этому определению, закон соответствия явной ал- алгебраической функции можно задать формулой, содержащей лишь алгебраические действия над аргументами и числами дан- ного поля. Как известно, закон соответствия рациональной функции можно задать посредством лишь четырех арифметиче- * Так как в дальнейшем будут рассматриваться только лишь явные функции, то явные алгебраические функции будем кратко называть алге- алгебраическими, 155
ских действий, в отличие от этого, закон соответствия иррацио- иррациональной функции нельзя задать при помощи лишь четырех ариф- арифметических действий: формулы, изображающие иррациональную функцию, непременно содержат аргументы под знаками ра- радикалов. В настоящем параграфе будут рассматриваться алгебраичес- алгебраические функции над 'полем действительных чисел, именно, все данные числа будут предполагаться действительными, а до- допустимые значения для аргументов должны быть таковы, чтобы действия, содержащиеся в формуле (изображающей функцию),, были выполнимы в поле действительных чисел. Не всякая функция, заданная иррациональным выражением. является иррациональной. Так, например, функция, заданная з /— формулой у = V х9, на самом деле является рациональной,, так как ее закон соответствия можно задать формулой у = х3. Таким образом, при классификации функции существенен, характер закона соответствия функции, а не внешний вид фор- формулы, его изображающей. При установлении области определения явной алгебраической функции, рассматриваемой над полем действительных чисел, надлежит руководствоваться следующими правилами. 1°. Значения выражений, содержащихся в качестве делите- делителей в формуле, изображающей алгебраическую функцию, долж- должны быть отличными от нуля, 2°. Подкоренные выражения радикалов четной степени долж- должны быть неотрицательными. Если выражение, изображающее алгебраическую функцию, содержит радикалы четных степеней: у fix, . • ••*). у<?(х,. . .,г), у Ь(х> . • .,2), . . ., то допустимые системы значений аргументов должны удовлет- удовлетворять системе неравенств: /(*, . . .,г)>0, ф(х, . . .,2)>0, . . ., 6(я, . . .,г)>0. Примеры 1. Функция X — является рациональной над полем действительных чисел, так как в изобра- изображающей ее формуле аргумент не содержится под знаком радикала. Ниже даны примеры установления областей определения и исследования иррациональных функций. 156
2. Область определения функции / (х) = V 1 + -V - V 1 - х устанавливается системой неравенств 1 + х > 0, 1—х > 0, это_есть сегмент — 1 <*< 1. На этом сегменте >/"Н х возрастает от 0__до у/~2 ^ a j/'l—х убывает от уЛ2 до 0, функция f(x) возрастает от—у^2 до >^2 . Функция f(x) нечетная, так как /(-*)-= V \-х - V 1+х = - / (х), график представлен на чертеже 20. y=vi+x-vi-x VI* ж -Vt х Черт. 20 Черт. 21 3. Для установления области определения функции у к неравенствам 1+х>0, 1 —х>0 надо присоединить условие: ]/ 1+х фу\ — х , откуда jc ^= 0. Область определения есть совокупность двух промежутков - 1<х<0 и 0 <*<1. Так как ср(я) = ~— (при х фО), где f(x) —функция, рассмотренная в пре- f(x) дыдущем примере, то на полусегменте [—1; 0) функция ср(*) убывает от — —ти- до —оо, а в полуинтервале @; 1] убывает от оо до —гг график пред- представлен на чертеже 21. k k/ 4. Область определения функции / (х) =1/ х2П — а2п (где а 137
при четном k устанавливается из условия хт—а2Л>С, слгода хт > а2п » \х\>\а\. Область определения есть множество двух промежутков — оо < х < — \а\\ и |<з|< х < + °°> функция четная; в промежутке И<*<+ос возрастает от 0 до +°°» а в промежутке (—оо, — |о| ] убывает от + оо до 0. При нечетном k область опре- определения есть интервал (—оо, Н-оо). Так как х2п возрастает от О до +оо в промежутке [0, + оо) и убывает от +оо до 0 в промежут- промежутке (—^оо, 0], то }(х) возрастает от — i/ а2П до +оо в первом проме- промежутке и убывает от +оо до» _т/ °^п во втором. Наименьшее значение }(х) есть —т/ а2п; фун- функция четная (черт. 22). Черт. 22 5. Область определения функции у а2п — х2П есть сегмент —|а|.<;с<|а|, функция четная, на сегменте [0, \а\ ] убывает от у \а\п до 0, а на сегменте \\а\ , 0] возрастает от 0 до у \а\п. 6. Область определения функции у х-\-у —х определяется системой не- неравенств х > 0, х < 0, имеющей единственное решение х = 0. Область- определения СОСТОИТ ИЗ ОДНОЙ ТОЧКИ X = 0. 7. Выражение^—а2 — х2при аф 0 не определяет над полем действи- действительных чисел никакой функции, так как — а2 — х2 < 0 при произвольном действительном х. 8. Область определения функции y—y^x—l y^x-f-l устанавливается системой неравенств х— 1 > 0, х + 1 >• 0, откуда 1 >< х < + оо. Для функ- функции ^х2—\ (см. пример 5) область определения есть совокупность двух промежутков (—«>, —1] и [1, +°о) (черт. 23); тождественное пре- преобразование 158
сужает область определения левой части, так как из этой области исключает- исключается полуинтервал (—оо, —1]. 9. Область определения функции устанавливается условием X— 1 X— 1 х+ 1 0. Следовательно, либо (числитель не- х + \ отрицателен, знаменатель положителен) х — 1 > 0, х -f 1 > 0, откуда х > 1, либо (числитель неположителен, знаменатель отрицателен) х — 1 < О, х+ КО, откуда х<—1. Область определения состоит из двух промежутков — оо<*< — 1 и 1 <! х<оо. Исключив целую часть из подкоренной дроби, получим: ¦1 х+ = 1 —- и /(*) = х+1 Г" На полусегменте 1 <! х < + оо дробь убывает от 1 до 0, а, следо- х+1 вательно, f(x) возрастает от 0 до 1. В интервале —оо < х < — 1 дробь ¦убывает от 0 до —оо, а, следовательно, f(x) возрастает от 1 до 4- «>• ^ам-етим, что график представлен на чертеже 24. 10. Рассмотрим функцию f (х) = область определения есть интервал (—оо, +оо), функция нечетная, возраста- возрастает в интервале (—оо, +оо). В самом деле, при "^ п / {х) = 1 159
Так как —у убывает, то знаменатель также убывает, a f(x) возрастает. При х < 0 имеем: х — 1 /¦?¦+' V' Так как —возрастает, то \f (х)\ убывает, f(x) < 0, а потому f(x) возрастает. Имеем f @) = 0, limf (*) = 1 и limf(*) = —1. * -* + оо *-> — оо Итак, в интервале (—оо, + оо) функция f(x) возрастает от —1 до 1 (черт. 25). Черт. 25 / = 1 Черт. 26 11. Исследовать функцию f(x) = /х2+1 —х. Область определения — интервал (—оо, + оо). В промежутке оо<л'<0 функция убывает от +°° до 1, так как при *<0 оба слагаемые ~ и —х убывают: В промежутке 0 < х < оо функция убывает от 1 до 0. В самом деле (пе- (переносим иррациональность в знаменатель) /(*)= \+х в интервале @, +оо) знаменатель возрастает от 1 до +оо. Итак, в интер- интервале (—оо, + оо) функция f(x) убывает от + оо до 0 (черт. 26). Заметим, что f(x) есть разность между ординатой верхней ветви гиперболы у2 = х2 + 1 и ординатой одной из ее асимптот у = х (черт. 27). При помощи выражений, содержащих радикалы, могут быть заданы раз- различные «разрывные линии», состоящие из отдельных дуг, ломаные линии и т. п. 160
12. Функция у = j^x2 имеет графиком линию, состоящую из биссектрис I и II квадрантов координатной плоскости. В самом деле, у=У х* — |jc| = 13. Функция у = х> если (черт. 28) — х% если х < 0. графически изображается двумя прямолинейными лучами, так как \А 1, если х > 0 — 1, если х < 0. (черт. 29) Область определения состоит из двух интервалов (—оо, 0) и @, + оо), В точке 0 функция не имеет значения. 14. Исследовать функцию /(*) = 2х V 1 — а — Область определения устанавливается условием 1 — х2^ / 2х у откуда хф 0, следовательно, область определения состоит из двух интервалов (—оо, 0) и @, + оо). Имеем: 2х(\ + х*) ( — A +х2)у если х <0 2 |*| 1 1 + л;1, если л; > 0. График представлен на чертеже 30. 15. Исследовать функцию Имеем: У = У (х + 2? +V (х-2)* . х + 2 при л:>— 2 11 С. И. Новоселов 161
-(*-2) прид:<2 * —2 при л: > 2. Область определения есть интервал (—оо, -f °°). Имеем: {— 2х при х< —2 4 при—2<х<2 2х при х > 2. Черт. 30 Графиком является ломаная, состоящая из трех звеньев (черт. 31). 16. Рассмотрим функцию, заданную формулой Черт. 29 Черт. 31 где а — данное отличное от нуля число. Допустимые значения аргумента определяются из условий: 1 — ¦ 1 + >0 и 162
Эти условия выполняются, если \х\ > \а\ . Следовательно, область определе- определения состоит из двух интервалов: — оо < х < — \а\ \а\ < х < + оо. При выполнении тождественных преобразований считаем \х\ > \а\ , а потому х2—а2>0; имеем: X а (х2 — а2) (х8 + /Xl-gt |д| ^ Если а > 0, то у =—г = * ( Если а < 0, то 1/ = —— = | График изображен на чертеже 32. -а а>о Черт. 32 при а > а -1, 1, при дс <—-а. если х > — а если х < а. -а а<о Примечание Применение принципа продолжения по непре- непрерывности позволяет присоединить точки х = ± а к области определе- определения. Так, например, при а > 0 имеем: lim у — lim 1 = 1 и lim у = — 1. Поэтому в точках аи — а следует считать у = 1 и ственно). 17. Рассмотрим функцию = — 1 (соответ- (соответ«/ = ¦ t— х а + х (где а данное число). A) Если а — 0, то дроби, находящиеся под радикалами, обращаются в —1, поэтому над полем действительных чисел данную функцию следует рассмат- рассматривать при а ф 0. Радикалы действительны, если а — х 11* 163
Откуда (числитель и знаменатель положительны) а + х>0 и а — х>0 или (числитель и знаменатель отрицательны) а + х <0 и с — х < 0. B) C Ни одно из равенств а + х = 0 к а — х = 0 не может выполняться, так как при х = а или х = — а теряет смысл одно из подкоренных выражений. Если а > 0, то из системы неравенств B) найдем —а < х < а, а система <3) не имеет решений. Если а < 0, то из системы B) находим а < х <—а, а система A) не имеет решений. Итак, радикалы действительны, если— | а\ <* < | а |. Знаменатель дан- данного выражения у обращается в нуль, если а — х а-Ь. или а + х а — х V J 1> -' ! а — х откуда *=0; а потому *=0 не является допустимым значе- чием аргумента. Следователь- Следовательно, областью определения фун- функции является множество двух интервалов — \а\ < х < 0 и 0<*<\а\ . В каждом из этих интервалов имеем (умножаем числитель и знаменатель на Черт. 33 — 1 Графически функция изображается частью гиперболы у = "—, содержа- содержащейся в полосе, ограниченной прямыми х = ± \а\ (черт. 33}. Преобразования, которые применялись в настоящем примере, изменяют область определения первоначально данного выражения, а именно, для дан- данного выражения область определения состоит из двух интервалов (— \а\, 0) а и @, |я| ), тогда как для преобразованного выражения — областью определе- х ния является совокупность двух интервалов (—с», 0) и @, + оо). Следова- а тельно, функция, заданная выражением A), есть функция—, но рассматри- рассматриваемая в части области ее определения, состоящей из двух интервалов <- |а|,0) и @, |а| ). Примечание. Если применить принцип продолжения по непре- непрерывности, то получим следующие значения функции в точках 164
а а г/== lim —=1 и у—\\т— = —1. X дг-> — а X ±а: 18. Исследовать функцию f (х) _ у Х_^2\/Г х 1 - Область определения находится из условий: х— \ >0 и х — 2 У л Из первого условия най- найдем: х ^> 1: из второго х >2угх—\ откуда х9^4х—4* или xt _ лх + 4 =-- (х — 2)а > 0, последнее неравенство выпол- выполняется при всех действитель- действительных х. Следовательно, область определения есть промежуток 1 <! х < -f 00. Применив к каждому радикалу формулу преобразования сложного ра- радикала, получим (положить А = х, В = А(х— 1)): = 2 [x — 2 V х— 1. Черт. 34 (если х < 2) — 1 (если х>2). График состоит из прямолинейного отрезка и части параболы (черт. 34). Примечание. Выполненное преобразование расширяет область определения первоначального данного выражения до множества всех действительных чисел. Аналогичный случай имел место в предыду- предыдущем примере. § 46. Функция от комплексного аргумента Докажем, что в 'поле комплексных чисел выполнимо действие извлечение корня. Пусть г = а + Ы — данное комплексное число. Теорема. Если гф 0, то существует п различных комплекс- комплексных чисел, удовлетворяющих условию wn = z. При 2 = 0 этому условию удовлетворяет единственное чис- число w = 0. Доказательство. Пусть z — p (coscp + i sirup) — данное отличное от (нуля комплексное число. Будем 'искать комплексное * Почленное возведение в квадрат неравенства возможно, так как при х >• 1 обе части неотрицательны. 165
число w = r(cost|) + i sini|)), /г-я степень которого равна z: wn = г. Согласно правилу возведения в степень мы должны иметь: \z\ = \w\n и arg г = п arg ш. A) Под символом argz можно подразумевать произвольное значение аргумента числа z. Если ср — главное значение аргумен- аргумента 2, то общее выражение для аргумента z будет: arg г = ф + 2& тс, где 0 < ф << 2тс. Условие A) можно переписать следующим образом: гп = р и /г ф = ф + 2k ъу откуда г = т/ р и ф = 1 — . У п п По теореме о существовании арифметического корня (см. л/— § 39) для модуля w получаем единственное значение М=У р. Аргумент я|) определяется неоднозначно. В самом деле, полагая k = 0, +1, '+2, ..., получим бесконечное множество значений для я|г. 9 2те ср "~1 п п п 9 , 2ти , 9 , мл л л и соответственно Докажем, что среди значений w имеется лишь п отличных друг от друга чисел. Полагая k = 0, 1, 2,..., п—1, получим п значений корня w0, oil,..., wn-\. Ясно, что wr=^wn , если r^=s (где 0^/*^/г — 1 и O^s^/г—1). В самом деле, 9 , 2тсг ф . 2ns arg Дог = 1 и arg^s == -^—(- — не могут отличаться на s п п п л кратное 2я, ибо arg wr — arg ws = TC ^r ~"s^, но |г — s|< /г и Г""s л Нетрудно видеть, что шл = до0. В самом деле, 166 = |wo| и arga»n= -2-+ -?!1?- = — + 2« = argto0 + /г /г /г
Аналогично можно установить, это wQ = w2n = . . . == w _n~ *= w—2n- • •» что wi== wn+\~ w2n+\ • • • и во°бще, что wk = wlt если k — / есть число, кратное л, ч. т. д. л/— Символом У z обозначается множество всех корней п-и степени из г\ при гф 0 этот символ имеет п различных значений. В дальнейшем при одновременном рассмотрении комплекс- комплексных и арифметических радикалов последние будем обозначать у символом У . 4- В частности при z = 1 имеем ф = 0, р = 1, откуда найдем п/— следующие значения л значений у 1: 2tz . . . 2iz 4тс . . 4тг 9 cos 1- г sin = е; cos 1- i sin =?, • • •, п п п п 2kn . . . 2kп ъ 2пп . . . 2mz n Л cos \- г sin = г*, ..., cos 1- i sin = еп = 1. п п п п Таким образом, комплексные корни из 1 суть степени е, где б — первое мнимое значение корня из 1 (при k = 1). Из выра- жения для &-го значения корня У z найдем: Г / ф cos — L V п 2k-n \ . . . / ф . 2/гтг + tsin p+ Л/" / ф , • • 9 \ / 2/j7U...2/j = у р cos — + tsin -1-) cos h t sin 4-V J Следовательно, все значения у z можно получить из на- начального значения w0 последовательным умножением его на значения корня п-й степени из 1, г. е. на е, е2, е3, ..., гп~1: п 1 Z —' ХЮ S ХЮ 6 ХЮ Геометрическая интерпретация. Умножение ка число е геометрически означает поворот радиуса-вектора множи- множимого на ю часть полного оборота. Отсюда ясно, что концы п радиусов-векторов, изображающих числа wOi wu ..., wn-U суть вершины правильного л-угольника с центром в начале коорди- координат (черт. 35, где л = 6). Извлечение квадратного корня можно выполнить алгебраи- алгебраически без перехода к тригонометрической форме. Пусть х = х + iy и w = и + iv. Вычислим и и v из условий w2 = z или {и + ivf = х + yi. 167
Следовательно, и2 — v2 + 2uvi = x + yi. Откуда получаем систему уравнений: и2 — v2 = х, A) 2uv = у. B) Возведя обе части -каждого из этих уравнений в квадрат и сложив, получим: (u2+v2J= х2+ у2. Откуда u2+v2= V х2+ у2 C) (берем арифметическое значе- 2 2 V ние корня, так как w из уравнений A) и C) найдем: (V У2-х). « = ±1/ ±—2 + V^Tjz^. Из уравнения B) следует, что при у > 0 числа и и v должны быть одинаковы по знаку, а потому радикалы следует взять с одним и тем же знаком. Если у < 0, то радикалы следует взять с противоположными знаками. Итак, Ух + iy = + если 1/>0и + если у < 0. 168
Применение этого способа к корням степени выше второй встречает трудности, связанные с необходимостью решать си- системы уравнений высших степеней. Так, например, в случае ку- кубического корня, положив х + iy = (и + ivf и возведя в куб, получим x+iy^u* — 3uv2 + i Cu2v — v3). Откуда для определения и и v получим систему уравнений: и* _ 3uv2 = х, 3u2v — v*= у. Попытка решить эту систему снова привела бы к необходимо- необходимости извлекать кубические корни из мнимых чисел, т. е. по сути дела мы возвратимся к первоначальной задаче. Примеры 1. Ниже даны значения комплексных корней из 1. При п = 2 г = cos (- i sin — = — 1, е2 = I. При п = 3 2* . . 2* 1 V 3 е = cos — — t sm — = — — + /- 3 * 3 2 ' 2 При п = 4 2тг 2т: e = cos + /sin =/; е2 = — 1, ?3=—/, ?4 _ \ 4 4 При я = 5 2тг 2тг е = cos — + / sin —- = 5 5 V" 8 5 — 4 V 1/ 10 4-2 4 10-2^1" -1 К 10+21/" 5 -/ ; е»=1. 2ти # тс тс * Как известно cos — = sin —— , но sin — есть половина стороны прав/ильного десятиугольника, вписанного в единичный круг, а потому Sln^= 169-
При п = 6 cos — +/sin— = — + i—?~\ в2==- Y + i~2~'' s8:=~1; 1 f 3 1 V 3 2. Найти у l + i. Решение. Представим подкоренное выражение в тригонометриче- тригонометрической форме: У 2 V 2 Следовательно, но cos — = 12 sin — = Откуда ini=y - ^2+'5 Для нахождения W\ и ш2 следует умножить wQ на — 1 + i У~г~ —l — l s= и е^ . 3. Для извлечения квадратного корня применим формулу (стр. 168): У—5— 12/= ± Всякому комплексному числу гф 0 можно поставить в соот- соответствие п различных чисел — значений корня у г, поэтому л/— выражение w = у z определяет п-значную функцию комплекс- комплексного аргумента z. 170
Рассмотрим две координатные плоскости — плоскость XOY для изображения значений z = х + iy и плоскость UOV для изо- изображения соответствующих значений w = и + iv\ каждой точке плоскости гф О на плоскости UOV соответствует множество п различных точек. Функция, обратная относительно w = у г, есть z = wn} эта функция однозначна, причем в п различных точках w, zwy &2w, п/— ..., е"^ (где е аначение у 1 ) образующих вершины правиль- правильного n-угольника (с центром в w = 0), эта функция имеет одно и то же значение. Возьмем в качестве аргумента z главное его значение ф < 2я и рассмотрим соответствующее значение: wt п/ / ср 9 \ =: у р cos h f sin — . Для главного значения argt0o=— имеют место п неравенства 0 ^ -*— <С — п п На плоскости UOV эти неравенства определяют угол, образованный луча- ми arg^ = O и Внутренюю область этого угла с присоединенной стороной arg w = 0 обо- обозначим через DQ. Итак, значение w0 содержится в Do (черт. 36). Если в качестве аргу- аргумента z взять значение <р + 2jt, то получим соот- соответствующее знач'ение корня: v0 = Черт. 36 7 T Это'значение содержится в угле ?)ь определяемом неравен- неравенствами — , так как — < -1-- + — 171
Значение корня р содержится в угле определяемом неравенствами: 2k n <: arg w < 2 (*+!)*: Пусть 2=? 0 — данное комплексное число; возьмем в качестве arg г главное его значение: 0^ <р < 2л. Рассмотрим окружность Кг радиуса р = \z\ с центром в начале координат (черт. 37). Положение произвольной точки Z этой окружности определяется t=2n Черт. 37 центральным углом ^, который будем отсчитывать от радиуса- вектора точки г. Сегменту 0 ^/^ 2л соответствует полная ок- окружность Кг , при этом концам сегмента t = 0 и t — 2л соот- соответствует одна и та же точка г. По условию \Z\ = |г| == р, а в качестве аргумента Z возьмем следующее, вполне определенное значение ф + t, где 0'^ t<^2л. На плоскости UOV точке z co- ответствует точка wOf лежащая в DQy а точке Z точка W = У Z, п/— лежащая на окружности /Cw радиуса Ур с центром в начале п/ + координат, ибо \W\ = У р. При этом, так как в качестве arg Z выбрано вполне опреде- определенное значение ф + t, то и точка W (при Z =? z) определяется единственным образом: 172
Если точка Z расположена на дуге zA (черт. 37), то 2тг, а потому 0<arg№= 2±! ?И п п Следовательно, точка № расположена иа дуге окружности /Cw , содержащейся в DQ. Если точка Z расположена на дуге Лг, то 2тг < ф + t < 4тс, а потому z и, следовательно, точка W расположена на дуге окружности в области D\. Значению t = О соответствует точка W = а значению t = 2я точка W = W\. Итак, полной окружности К, соответствует в плоскости UOV дуга окружности Kw , соединяю- соединяющая точки w0 и w\. Начальной точке z соответствуют две раз- различные точки ш0 и шь Все сказанное кратко принято описывать так: если точка z, описав в плоскости XOY окружность с центром в точке О, возвращается в первоначальное положение, то значение w0 кор- п / ня У z переходит в значение W\. Заметим, что вместо окружности Kz может быть взята лю- любая простая замкнутая линия, содержащая начало во внутренней области. Аналогично устанавливается, что при обходе точкой z окруж- окружности Кг значение W\ переходит в w^ w2 переходит в w$ и т. д. Wk переходит в Wk+\, Wn—i переходит в w0. гу— Значения wOy wu ..., wn-\ корня У z называются ветвями многозначной функции w = У z , эти ветви переходят друг в друга (в круговом порядке) при обходе точки z вокруг начала координат по простой замкнутой линии. Аналитические выражения, содержащие комплексные ради- радикалы, имеют иной смысл, чем выражения, содержащие действи- действительные радикалы. 1°. В соответствии с определением комплексного радикала, л/— У А есть множество всех решений уравнения Zn=A (а не некоторое определенное его решение). 2°. Пусть дано некоторое выражение У{У А, У В, . . .,ус )> (W) содержащее комплексные радикалы. В дальнейшем мы ограничимся случаем, когда выражение (W) является рациональной функцией относительно радикалов 173
nj тг p/ у А, у В, . . .,у С. Это значит, что функция W(x9 у, ..., z) есть рациональная функция от аргументов х, у, ..., z, а выраже- выражение (w) получается заменой: л л- т j р / х = у Л, у = у В, . . ., z=y С. Если для каждого из радикалов взять некоторое определен- определенное значение, то выражение (W) также получит некоторое опре- определенное значение (если только оно \ке утратит смысла). Выра- Выражение (W), содержащее комплексные радикалы, рассматривает- рассматривается как многозначное: множество его значений есть то множест- множество чисел, которое получится, если каждому из радикалов п / т г р г у Л, у В, . . .,1/ С придавать все возможные для него- значения. п г т/ р г Заметим, что радикалы у Л, у Ву у С могут быть слож- сложными, т. е. подкоренные выражения Л, В,..., С в свою очередь могут содержать радикалы. Если выражение (W) содержит аргументы, то оно определяет в общем случае многозначную функцию от этих аргументов. Равенство двух выражений, содержащих радикалы, понимает- ся в следующем смысле: множество всех значений первого вы- выражения и множество всех значений второго выражения совпа- совпадают (т. е. состоят из одних и тех же чисел). Пример Найти все значения выражения у 25 + 1/ /. Решение. В поле комплексных чисел радикал >/5 имеет два значе- значения: 1/25=5,-5, 3 г— а радикал у i имеет три значения: f~T / тс , 2k ъ \ , . . / тг , 2k тс" 1 =c^T+-r-)+lsinlir+— 2 2 2^2' Комбинируя все возможные значения слагаемых, получим шесть значе- значений данного выражения: ?!±f- + i±., ^ + i. , /+f. -Ю-/Т +-f ¦-»-*¦ 174
Действия над радикалами в поле комплексных чисел имеют иной смысл по сравнению с действиями над арифметическими радикалами в поле действительных чисел. I. Рассмотрим умножение корней одинаковой степени. Пусть zx = Pi (cos 9i + / sin <px), z2 = p2 (cos <p2 -f i sin <p2), где ф1 и ф2 какие-либо значения аргументов сомножителей. Имеем: = Р1Р2 [cos (9l + Фа) + * sin (фх + ф2)] cos Ь±2Ь* + i sin + i sin + L*], B) где ky kx и k2 — произвольные целые числа. Формулы A) и B) определяют (каждая) некоторое множество (конечное) чисел; докажем, что оба эти множества состоят из одних и тех же чисел. В самом деле: 1°. у р!р2 = у pi у р2, в силу свойств арифметических ра- радикалов. 2°. Так как k\ + k2 есть целое число, то можно положить k = k\ + k2, следовательно, всякое число из множества значений п / п/ п/ У zxy z2 содержится в множестве значений У zxz2. 3°. Так как всякое целое число k можно (бесконечным мно- множеством способов) разбить на два целые слагаемые kx + k2 = k, п/ то всякое число множества У ггг2 содержится в множестве чи- сел У zy z2. Следовательно, 175.
П. В силу определения корня имеет место тождество \У z) =z для любого значения радикала, но у k") имеет п зна- значений: ¦2kiz = p^COS — I7—\ V— а потому символыVK z )n w У (zn) имеют различный смысл. III. Правило сокращения показателей не имеет места, сим- символы — п / zk и у z п i— различны: первый имеет nk, а второй п значений. Значения У z nk/— содержатся среди значений У zn . В самом деле пкГ~Т п/ Г / <Р I 2^х те \ . . . / ср 2kiK \1 1/ zk == 1/ р cos — И i— + i sin (-*-- Н — . Если fej делится на k, то получается одно из значений радика- п/ ла У z. п/ п / ,/и IV. Символы: у zm и (У z J не всегда имеют одинако- одинаковый смысл. Имеем: ^ J sin OT? + 2feTC] A) = -j/ F [cos (y + ^ TC) m + i sin (? + ^ *>m]. B) / n/—\m n/ Значения [у z) содержатся среди значений у zm , а так как k\m есть целое число (можно положить k\tn = k). п г-— Обратное не всегда имеет место. Значение у zm содержится (п/—\т среди значений [У г) тогда и только тогда, если существует такое число k\, что числа k и k\tn при делении на п имеют оди- одинаковые остатки, т. е. разность k — tnkx кратна п: k — mkL = qn или kxm + qn = k. 476
Это значит, что линейное уравнение тх+ ny = k C) должно иметь решения в целых числах *. Возможны следующие два случая: Г. Числа тип взаимно просты, тогда уравнение B) имеет п/ решение при любом &; значит, любое значение У zm содержит- / пг-\т ся среди значений \у z) .В этом случае 2°. Числа т и п не взаимно просты, тогда уравнение C) имеет решения не при всех k, а лишь при тех, которые делятся на об- общий наибольший делитель d чисел тип. Сократив на d, полу- получим уравнение: имеющие решение в целых числах. В этом случае не все значе- п/ / п/—\т иия у zm содержатся среди значений [У z) . Дробная степень комплексного числа. Пусть п натуральное число; я степень числа z определяется, как и в поле действительных чисел, посредством равенства г" = V z; это есть /г-значная функция от аргумента z. Дробная степень — числа z рассматривается лишь при усло- условии, что числа тип взаимно просты, в этом случае полагаем: AV z) ¦ Это есть n-значная функция от аргумента z. Возможна следующая постановка вопроса: нельзя ли из мно- V " жества значений корня у z выделить одно, которое считать «главным» значением, назвать его «арифметическим» корнем и обозначить символом у z . Можно было бы, например, в каче- качестве такого «арифметического» корня принять значение w0 с наименьшим неотрицательным аргументом. Однако выделение «главного» значения комплексного радикала являлось бы бес- бесперспективным, бесплодным обобщением ради самого обобще- * О решении линейных уравнений в целых числах см. § 73, стр. 283 «Неопределенные уравнения». 12 С. И. Новоселов 177
ния *. В самом деле, понятие арифметического корня в поле дей- действительных чисел ценно тем, что эти корни обладают рядом свойств, выражающихся правилами действия над радикалами. Если же ввести понятие «арифметического» комплексного ради- радикала, то эти радикалы в общем случае не будут обладать указан- указанными свойствами, а потому и само понятие «арифметического корня» обесценится. Поясним сказанное на примере извлечения квадратного корня. Уравнению w2 = z удовлетворяют два взаимно противополож- противоположные комплексные числа: w = V р (cos — + isin — j и — w = р (cos — + те) -f- изображающиеся на координатной плоскости точками, симмет- симметричными относительно начала координат. Примем например за «главное» значение корня то значение w, которое изображается точкой в верхней полуплоскости: /p [cos -2- + i sin -?- \. Равенство имеет место не всегда. В самом деле, левая часть изображается (по условию) точкой верхней полуплоскости, тогда как этого нельзя сказать про правую часть. Пусть, например, аргументы чисел у ?г и у z2 соответственно суть -jp^ и~ л> тогда аргу- /¦-/"" 2.53 ментом произведения У z^y z2 явится сумма —тс п—^-тс ==~2~7Z> т. е. это произведение изобразится точкой в нижней полупло- полуплоскости, а потому V zLz2 ФУ zx Примеры 1. На неправильном применении к радикалам в поле комплексных чисел правил действия над действительными радикалами основан ряд «парадоксов». Рассмотрим одно из таких ошибочных рассуждений. Известно, что t'2=—1, но с другой стороны, r—\ = i; следовательно, у —1 V— 1 = i2 = 1 * С таким обобщением можно познакомиться, например, по книге* И. В. Арнольда. Теоретическая арифметика. Учпедгиз, 1939, стр. 330—332. 178
Ошибочность рассуждений очевидна. Во-первых, у — 1 = ± i (а не I) и Во-вторых, в поле комплексных чисел у 1 = ±1 (а не 1). / 3/—\з з г— 3/ 2. Имеем \у 1) =1, тогда как у \ъ ~у \ = вг2\ 3/— 3. В поле комплексных чисел у 8 имеет три значения: о у 8 = — 1 -I- /1/ 3, — 1 — / "К 3, 2, 6/ Л V 64 имеет б значений: / 3 А'—' Среди шести значений т/ 64 содержатся значения у 8. 4. Числа 2 и 3 взаимно просты; символы (т/ 8| и у 82 в поле ком- комплексных чисел имеют одни и те же значения. В самом деле: V— 3/ — У 8 =2е, 2е2, 2, а поэтому (у 8 J = 4е2,^4г,[4. Вычисляем з = 4ef 4e2, 4. Получаются одни и те же числа, но записанные в различных порядках. 12*
ГЛАВА IV УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА § 47. Уравнения и системы уравнений Пусть F\(x, уу ..., г) и F2(xy у, ..., z)— функции, рассматри- рассматриваемые совместно в общей части их областей определения (эта общая часть предполагается непустой). Определение. Уравнением называется равенство Fi(x, J/, . . ., z) = F2(x,y, . . ., г), (F) выражающее следующее суждение: значение функции F\(x, у, ..., г) равно значению функции F2(x, у, ..., г). Общая часть областей определения функций F{ и F2 назы- называется областью определения уравнения (F) или множеством допустимых систем значений аргументов. Пусть х = а, у = ft,..., z — с некоторая система значений аргументов из области определения уравнения; возможен один из следующих случаев. Случай 1°. При системе значений аргументов (а, Ъ, ..., с) данное суждение истинно, т. е. в точке (а, Ь, ..., с) значения функций F{ и F2 равны: Fx(ay b, . . .,c)-F2(a, 6, . . ., с). Определение. Система чисел (a, ft, ..., с) называется решени- решением уравнения (F), если значения функций Fx и F2 при х = а, у = Ь> ..., z = с равны. Говорят также, что данная система чисел удовлетворя- удовлетворяет уравнению (F). Случай 2°. При системе значений аргументов (а, 6, ..., с) данное суждение л о ж н о, т. е. значения функций Fx и F2 в точ- точке (а, 6, ..., с) различны: Fx(a, by . . ., с)Ф F2{ay by . . ., с). 180
В этом случае говорят, что система чисел (а, 6, ..., с) не удовлетворяет уравнению (F). Функция F\ называется левой частью уравнения (F), а функция F2 называется правой частью уравнения. Аргументы х, у, ..., z называются неизвестными. Для уравнения с одним неизвестным всякое его решение х = а называется также корнем. Примечание. В частных случаях правая или левая часть уравнения может быть числом, тогда она рассмат- рассматривается как постоянная функция, имеющая одно и то же значение при всех значениях аргументов. Так, например, в уравнении х + у = 2 правая часть постоянна. Случай I. Существует хотя бы одно решение уравнения (F), однако, значения функций F\ и F2 равны не при всех (допустимых) системах значений аргументов. В этом случае множество решений уравнения образует пра- правильную часть области определения уравнения. Случай II. Не существует ни одной системы значений не- неизвестных, при которых значения правой и левой частей равны. В этом случае уравнение называется противоречивым. Проти- Противоречивое уравнение не имеет решений. Чтобы не исключать этот случай из рассмотрения, говорят, что множество решений противоречивого уравнения является пустым. Случай III. Всякая (допустимая) система значений неиз- неизвестных является решением уравнения, иными словами, значе- значения функций Fx и F2 равны по всей области определения урав- уравнения. В этом случае говорят, что уравнение (F) удовлетворя- удовлетворяется тождественно. Примечание. Уравнение, удовлетворяющееся тож- тождественно, мы не называем тождеством. Понятия уравнения и тождества существенно различны. Тождество есть равенство, выражающее имеющее место соот- соотношение тождественности двух выражений (см. стр. 29). Уравнение же есть равенство, выражающее суждение о равенстве численных значений двух функций. Решить уравнение — это значит найти множество всех е~о решений. Множество всех решений уравнения может быть как конеч- конечным, так и бесконечным. Элементарная математика ограничивается изучением лишь частного вида уравнений, в которых правая и левая части явля- являются элементарными функциями. Иными словами, 181
левая и правая части уравнений задаются формулами, содержа- содержащими элементарные математические операции (эти операции перечислены на стр. 25). Решением уравнения является система чисел х = а, у — Ъу -.., г = с, при подстановке которых в аналитические выражения F\(xy у у ..., г) и F2(xy у у ..., г) получается одно и то же число. Уравнения, изучаемые в элементарной математике, рассмат- рассматриваются обычно над некоторым числовым полем, т. е. указывается (либо подразумевается), какому числовому по- полю должны принадлежать допустимые значения неизвестных и числа, входящие в состав аналитических выражений. Множества решений одного и того же уравнения, рассматриваемого над различными числовыми полями, могут быть различными. Уравнения, рассматриваемые в элементарной математике, классифицируются ino характеру математических операций, вы- выполняемых над неизвестными. Уравнение Fi(x,y, • • .J) = F2{x,y, . . .,2) (F) называется целым алгебраическим или, кратко, алгеб- алгебраическим, если F\ и F2 — многочлены. Уравнение (F) .называется дробным (дробным алгебраи- алгебраическим или рациональным), если (F\) и (F2) являются рацио- рациональными функциями, но хотя бы одна из них не является многочленом. Уравнение (F) называется иррациональным (ирра- (иррациональным алгебраическим), если F\ и F2 являются алгебра- алгебраическими выражениями, причем хотя бы одна из функций F\ и F2 неявляется рациональной (содержит действие извлечение корня из выражений от неизвестных). Элементарная теория 'перечисленного вида уравнений изложе- изложена в главах V и VI В частности уравнение F(x, у, .., г) = 0 называется алгеб- алгебраическим уравнением степени /г, если F(x, r/, ..., г) есть много- многочлен степени п. Уравнение называется трансцендентным, если в правой или левой его части (кроме алгебраических) содержатся трансцендентные опсфации над неизвестными. Примеры 1. Система чисел х=0, #=0 есть решение уравнения х2 — у2 — 2ху, так как при х=у = 0 значения правой и левой части равны. Система чисел *=2, у=\ не есть решение этого уравнения, так как при х=2, у=\ (х2 — г/2) = 3 а B*0) = 4. 2. В поле действительных чисел уравнение х2+у2 = 0 имеет единствен- единственное решение х=у = 0. В поле комплексных чисел это уравнение имеет бес- 182
конечное множество решений, ему удовлетворяет любая пара чисел х, y = ix, где х— произвольное число. 3. Уравнение 1*1 + \У\ + И = - 1 яе имеет решений (ни в каком числовом поле), так как значение левой части неотрицательно при произвольных значениях неизвестных. 4. Уравнение х2+2х + 1—(* + 1J=0 удовлетворяется тождественно при всех значениях неизвестного. 5. Уравнение || имеет бесконечное множество решений, множество всех его решений есть множество всех неотрицательных чисел (как в поле действительных, так и в поле комплексных чисел). 6. Нижеследующие уравнения являются алгебраическими х2 + Зх + 1 = 0, х2 — 2ху + 1 = х* — у*. Нижеследующие уравнения являются дробными: * — 1 = j х x + y+z _ х j ' x* + y* + z* у Нижеследующие уравнения являются иррациональными: Нижеследующие уравнения являются трансцендентными: х 2У —х=0, sin х= х+1, arctgA:—arctg у = х + у. Уравнения х + у = 2, х2 + х~ 1 = 0, х3 — у3 — х — 1 = 0, ху—1 = 0 являются алгебраическими, степени которых соответственно равны 1, 2, 3 и 2. 7. Областью определения уравнения lg X = X ~ 1 (над полем действительных чисел) является множество всех положительных чисел, т. е. интервал @, оо). В самом деле, область определения левой части есть множество всех положительных чисел, а правой части — множество всех действительных чисел, общей частью этих множеств является множество всех положительных чисел. 8. Область определения уравнения находится из условий х — у=?0 и х+у>0, или что то же уфх и у>—х. На чертеже 38 соответствующее множество точек заштриховано. 183
Определение. Системой k уравнений с неизвестными х,у,..., ..., z называется множество k равенств Fx(x,y, . . .,z)= F\(x, у, . . .,г) F2(x,y, . . .,z) = F'2(x, у z) Черт. 38 • > г) = Fk (х> У> - • • > г) выражающих следующее суждение: при данной системе значений неиз- неизвестных удовлетворяется каждое из заданных уравнений (F). При этом всегда правые и левые части всех уравнений системы рас- сматриваются совместно в об- общей части их областей определения, называемой областью опреде- определения системы (F). Область опре- определения системы предполагается н е- пустым множеством. Пусть ('а, &, ..., с) — данная (до- (допустимая) система значений неизве- неизвестных, тогда -при х = а, у = Ь, ..., z = c имеет место один из следующих слу- случаев: 1°. Данное суждение истинно; в этом случае зна- значение левой части каждого из уравнений системы (F) равно значению правой части; система чисел х = а, у = 6, ..., z = с «называется решением системы уравнений (F). 2°. Данное суждение ложно, в этом случае хотя бы для одного уравнения системы (F) значение левой час* ти не рав.но значению правой части. Решить систему уравнений — значит найти множество всех ее решений. Система, не имеющая решений, называется противоре- противоречивой. Каждое уравнение системы, рассматриваемое в отдельности, имеет некоторое вполне определенное множество решений (в ча- частности, быть может, пустое); всякое решение систе\Гы содер- содержится в множестве решений каждого из уравнений, рассматри- рассматриваемого в отдельности. Пусть З^, 9R2 ¦-•> ^k множества реше- решений каждого из уравнений (в отдельности) системы (F), тогда множество 5И всех решений системы есть общая часть этих множеств (черт. 39). Следствие. Если хотя бы одно из уравнений системы (F) противоречиво, то и данная система является противоречивой. Пусть, например, уравнение Ft = Ft противоречиво, тогда и вся система (F) «е имеет ни одного решения. В самом деле, в 184
противном случае, всякое решение системы (F) было бы реше- решением /-го уравнения, но последнее, по предположению, не имеет решений. Черт. 39 Геометрическая интерпретация В частности система уравнений Л (*,?) = 0, F2 = (x,y) = 0 изображает множество точек пере- пересечения линий * (черт. 40) F1(xyy) = 0 и F2(x,y) = 0. Система уравнений F, (х, у, г) - 0, F2(x,y,z) = 0 изображает линию пересечения по- поверхностей Fx = 0 и ^2 = 0 (в пред- предположении, что поверхности дейст- Черт. 40 вительно пересекаются по линии). Если множество всех решений уравнения (или системы урав- уравнений) можно задать при помощи одной или нескольких (ко- (конечного числа) формул, то совокупность этих формул называют общим решением данного уравнения (системы). * Условия, которым должна удовлетворять функция F, чтобы уравнение F (х> #)=0 'изображало линию, или уравнение F (х, у, г)=0 изображало по- поверхность, устанавливаются в курсе математического анализа (см., например, М. К. Гребенча и С. И. Новоселов. Курс математического анализа, т. II, § 40). Мы предполагаем эти условия выполненными. 185
Примеры 1. х — 1 = 0 ) \ система двух уравнении с одним неизвестным. хг = 1 J } система двух уравнении с двумя неизвестными. х—у=1J 3. х + 2у + г = 1 1 \ система двух уравнении с тремя неизвестными. х + 2у + z = 5 J 4. х2 +y2 + z2=\, x + y + z = O, x = y + z система трех уравнений с тремя неизвестными. 5. В предыдущих примерах, в примере 1, х=\ есть решение системы; в примере 2, х = 2, у = 1 есть решение системы, а л: = 1, у = 2 не есть решение системы (последняя пара чисел является решеним первого, но не второго уравнения); в примере 3 система не имеет решений, так как в про- противном случае для всякого решения системы многочлен x+2y+z имел бы два различные значения 1 и 5. 6. Система уравнений х2+ 1 = 0, х — у+ 1 =0, рассматриваемая над полем действительных чисел, не имеет решений, так как первое уравнение не имеет решений в поле действительных чисел. Эта же си- система имеет в поле комплексных чисел два решения. В самом деле, первое уравнение имеет бесконечное множество решений: х= it у и х= — i, у, где у — произвольное число. Второе уравнение имеет бесконечное множество решений xt у=х+\, где х — произвольное число. Общим для этих множеств •являются следующие две пары чисел: x=/,f/ = 14-t и * = -—/,#= 1 — /, лающие два различные решения системы. 7. Общее решение уравнения ax-{-by-\-c=Q при афО дается формулой — by — с х а ¦где у—произвольное число. При Ьф$ общее решение этого же уравнения может быть представлено в виде ах-\- с у=— , где х—произвольное число. Ь 8. Общее решение квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0, где аф 0, дается следующей формулой ±Y 4ac Та• 9. Формула х = (— \)п arc sin m + п it, где п — произвольное целое число и \т\ <! 1, дает общее решение уравнения sin x=m. 186
10. Систему уравнений X — lg (— У) = 2 J ие имеет смысла рассматривать. В самом деле, для первого уравнения мно- множество допустимых систем значений для неизвестных определяется из усло- условия у>0 (верхняя полуплоскость), а для второго уравнения из условия у<0 (нижняя полуплоскость). Области определения левых частей уравнения не -имеют общих точек. § 48. Эквивалентность уравнений и систем уравнений Определение. Уравнения (или системы) « Fi = F2 (F) Ф1==Ф2 (Ф) с одними и теми же неизвестными х, у, ..., z называются эквива- эквивалентными над некоторым числовым полем, если множество всех решений в данном числовом поле первого уравнения (системы) и множество всех решений второго уравнения (системы) в том же числовом поле одинаковы. Следовательно, если всякое решение уравнения (или систе- системы) уравнений (F) является решением уравнения (или системы) (Ф), и обратно — всякое решение уравнения (или системы) (ф) является решением уравнения (или системы) (F), то данные уравнения (или системы) эквивалентны над тем числовым по- полем, над которым они рассматриваются. Противоречивые уравнения (системы) эквивалентны, так как множество их решений в данном поле пусто: уравнения (си- (системы) не имеют решений. Примечание. Для алгебраических уравне- уравнений возможно учитывать также кратности корней и счи- считать уравнения FL=F2 и Фх = Фа эквивалентными лишь в том случае, когда всякий корень одного уравнения является корнем той же кратно- кратности другого уравнения. Во избежание неясностей следует делать специальную оговорку в рассуждениях, в которых учитываются кратности корней. Если не сделано никаких оговорок, то будем считать, что кратности корией не учитываются. При решении уравнений (или систем уравнений) возможно данное уравнение (систему) заменить эквивалентным уравне- уравнением (системой), ибо при такой замене множество решений уравнения (системы) остается неизменным. 187
Понятие эквивалентности является относительным, так как данная пара уравнений (систем), рассматриваемая над, одним полем, может быть, а над другим полем может ие быть эквивалентной. Геометрически замена системы уравнений F\(x, у) = F\(x, у) ) ,j у) = р'2 (х, у) \ " эквивалентной системой *1 (X, У) = Ф] (X, У) ®2 (X, У) = Ф'2 (X, У) означает замену двух линий, заданных уравнениями A), двумя другими линиями, заданными уравнениями B), причем лини» B) пересекаются между собой в тех же Черт. 41 точках, в которых пересекаются между со- собой линии A). Определение. Уравнение (или система уравнений) (ф) на- называется следствием уравнения (системы) (F), если множество всех решений уравнения (системы) (F) есть часть множества всех решений уравнения (системы) (Ф). Иными словами, если уравнение (система) (Ф) есть следст- следствие уравнения (системы) (F), то всякое решение уравнения (сис- (системы) (F) есть решение уравнения системы (Ф). Таким образом, все решения данного уравнения (системы) удовлетворяют вся- всякому его следствию. ПустьSRF есть множество всех решений уравнения (системы) (F),3R<i>— множество всех решений уравнения (системы) (Ф). Если (Ф) есть следствие (F), то множество ^ф может быть более широким, чем множество УЛр (схематическое пояснение см. черт. 41), в этом случае уравнение (система) (Ф) имеет решения, не являющиеся решениями (F). Такие решения называются посторонними для уравнения (системы) (F). Может оказаться, что множество ЗЙф совпадает с мно- множеством 30fZF *, в этом случае уравнения (системы) (F) и (Ф1 эквивалентны. Обычно, «а практике уравнение (систему) (Ф) получают из. уравнения (системы) (F) при помощи некоторых математичес- математических операций и общих свойств равенств. Тогда уравнение (си- (систему) (Ф) называют также в ыводным уравнением (систе- (системой). * Как известно из элементов теории множеств, всякое множество считается частью (т. н. несобственной частью) самого себя. 188
Если найдены все решения уравнения (системы) (Ф), выве- выведенного в качестве следствия из уравнения (системы) (F), то для нахождения решений уравнения (системы) (F) достаточно подвергнуть испытанию решения (Ф) посредством подстановки в (F) и затем отбросить все посторонние решения. Примеры 1. Уравнения jca Ч- 1 = 0. *4 + 1=О, х2п+ 1 =0 (где п> 2) над полем действительных чисел эквивалентны, так как ни одно из них не име- имеет решений (действительных). Над полем комплексных чисел эти уравнения не эквивалентны. В самом деле, первое имеет два решения: второе—четыре решения: VI * = ± 0±9. а третье уравнение имеет 2п решений: х ='cos —— + i sin—— (где 6=0, 1,2, .., 2л—1). п а 2. Рассмотрим уравнения ха+ у* = 0 и |*| + | у |=0. Над полем действительных чисел они эквивалентны, так как в этом поле каж- каждое из них имеет единственное решение х — у = 0. Надполем комплексных чисел эти уравнения не эквивалентны, так как первое имеет бесконечное множество решений x=iy, а второе — одно решение х=у=0. 3. Над полем действительных чисел система уравнений эквивалентна уравнению единственным решением как системы A), так и уравнения B); служит 4. Уравнение Xi (ci\X + Ьгу + Ci) + Х2 (а2х + Ь2у + с2) — О, где Xi и ?и2 произвольные данные числа, есть следствие системы fli* + M + c1 = ( О2* + &2# -f C2 = ( В самом деле, если левые части уравнений B) обращаются в нуль (каж- (каждая), то обращается в нуль левая часть уравнения A). В общем случае си- система B) и уравнение A) не эквивалентны. Множество решений первого уравнения B) изображается прямой а\х+Ь\у + с\ = 0, множество решений вто- второго уравнения — прямой а2х + Ь2у + с2 = 0. . При axb2 — Ьха2 Ф 0 решение системы единственно и изображается точкой М (черт. 42) пересечения этих прямых. Если Xi или Х2 отличны от нуля, то множество решений уравнения A) изображается прямой линией, проходящей через точку М. Эта прямая содержит бесконечное множество точек, отличных от точки М. 189
5. Над полем действительных чисел уравнение V fax + Ь^у + CiJ + (а2х c2J =0 эквивалентно системе уравнений B) (см. предыдущий пример). Черт. 42 Пусть дана система п уравнений Fi = F\, F2=F2, ..., Fn=F'n (Fn) с неизвестными х, г/, ..., г. Рассмотрим систему, которую обра- образуют некоторые k (где k<^n) уравнений, выбранные из системы (Fn ). Для определенности рассмотрим систему, образованную k первыми уравнениями данной системы (Fn ): FX^FU F2=F2y ... Fk=Fk; (Fk) рассмотрим также вторую систему, образованную оставшимися уравнениями: Fk+l = Fk+l, Fk+2 = ft+2, . • . , f n = Fn. (Fn-k) Теорема. Если система уравнений эквивалентна системе ), то система уравнений Ф2 ^ Ф2) ф; = ф; | Fk+2 = F^+2, ..., Fn = F'n ] эквивалентна системе (Fn). 190
Иными словами, любое множество уравнений, входящих & состав системы, можно заменить другими уравнениями при ус- условии, что заменяемые и заменяющие уравнения образуют эк- эквивалентные системы. Доказательство. Множество УЯ всех решений данной системы (Fn) является общей частью двух множеств, множест- множества УЯк всех решений системы (F^,) и множества УЛп-k решений системы (F/i-л) оставшихся уравнений. В силу эквивалентнос- эквивалентности систем (F^) и (Ф7) они имеют одно и то же множество 90^ всех решений. При замене уравнений (F*) уравнениями (Ф;) оба множества ЗЛ* и 39?л_^ не изменятся, а потому не изменит- изменится и их общая часть. Следовательно, системы (Fn) и (Ф, F), как имеющие одно и то же множество всех решений, эквивалентны, ч. т. д. В частности, всякое уравнение, входящее в состав системы уравнений, можно заменить эквивалентным уравнением. Теорема. Если какое-либо из уравнений, содержащихся в системе, есть следствие прочих уравнений (той же системы), то- это уравнение может быть отброшено. Доказательство. Пусть, например, последнее уравне- уравнение системы Fx=F'u F2 = F*2, ..., ^-1=^-1, Fn=*F'n (Fn> есть следствие предыдущих (или некоторых из предыдущих); требуется доказать, что система (Fn) эквивалентна системе В самом деле, всякое решение системы (Fn_j ) есть решение системы (Fn), так как уравнение Fn = F* , будучи следствием уравнений (Fn—i ), удовлетворяется произвольным решением си- системы уравнений (Fn_j). Обратно, всякое решение системы (Fn) есть решение системы (Fn_j), так как всякое решение системы (Fn) есть решение общее для всех уравнений (Fn_j), ч. т. д. Следствие. Всякое уравнение системы, удовлетворяюще- удовлетворяющееся тождественно, может быть отброшено. В самом деле, для всякого уравнения, удовлетворяющегося тождественно, множеством всех решений служит вся область определения системы; это уравнение удовлетворяется решениями прочих уравнений системы, а потому является их следствием. § 49. Преобразование уравнений При решении уравнений широко применяются тождествен- тождественные преобразования левой и правой частей данного уравнения. Если тождественные преобразования не изменяют область опре- определения уравнения, то данное и преобразованные уравнения эк-
бивалентны. Если тождественные преобразования изменяют об- область определения уравнения, то может измениться и множество всех его решений. Следовательно, выполнение тождественных преобразований частей уравнения может привести к уравнению, не эквивалентному данному. В частности, если в результате преобразования область опре- определения уравнения расширяется, то может расшириться и мно- множество всех его решений. Посторонними (для данного уравне- уравнения) будут решения преобразованного уравнения, принадлежа- принадлежащие множеству систем значений неизвестных, на которое рас- расширилась область определения уравнения; если таких решений не окажется, то данное и преобразованное уравнения эквива- эквивалентны. Если тождественное преобразование сужает область опреде- определения уравнения, то возможна потеря решений. Потерянными окажутся решения данного уравнения, принадлежащие множеа - ву систем значений неизвестных, на которое сужается область его определения. Если ни одна из систем значений неизвестных, исключающихся из области определения данного уравнения, не удовлетворяет этому уравнению, то преобразованное уравнение эквивалентно данному. Так, например уравнения над полем действительных чисел в общем случае не эквивалент- эквивалентны, так как для первого уравнения допустимые значения неизве- неизвестного должны удовлетворять условиям f(x) > 0, ф(х) >0, а для второго лишь одному условию f(x) ф (х) >0. То же относится и к уравнениям для первого уравнения функции f(x) и у(х) должны удовлетво- удовлетворять условиям f(x) > 0 и ф(х) > 0, а для второго — условию f(x) V(х) >0. Пример. Уравнения Vx—\ VVfl =2 V<2 A) и Vx2— l=2l/2 B) над полем действительных чисел не эквивалентны: первое уравнение имеет единственное решение х = 3, второе уравнение имеет два решения хх = —3 и х2 = 3. Область определения уравнения A) есть полусегмент l<x<-f-oo, область определения уравнения B) состоит из двух промежутков —oo<*< —1 и 1 <х< + оо. Корень Х\ — —3 принадлежит полуинтервалу — оо < х < —1, на который расширилась область определения уравнения. При переходе от уравнения B) к уравнению A) область определения су- сужается и происходит потеря корня Х\ = —3. 192
В практике решения уравнений обычно из данного уравне- уравнения (системы) в качестве следствий выводят другие уравнения (системы) так, чтобы получить уравнение (систему), решения которого известны. Поэтому, существенно установить в общем виде, какие операции приводят к уравнению (системе), эквива- эквивалентному либо >не эквивалентному данному уравнению (системе). Общий признак. Если уравнение (система) *1 = Ф2 (•) есть следствие уравнения (системы) F, = F2, (F) a (F) есть следствие (Ф), то уравнения (системы) (F) и (Ф) эквивалентны. Этот признак является лишь иным словесным выражением определения понятия эквивалентности, так как по условию вся- всякое решение уравнения (системы) (F) должно быть решением (Ф) и обратно, всякое решение (Ф) должно быть решением (F). Теорема. Уравнения и F(x, у, ..., z) = F^x, у, ..., z) (F) F (х, у, ..., z) -f о. (х, у, ,.., z) = Fx (*,*/,..., г) - j- со (х, у, ... , г) (F + co) эквивалентны, если функция со (я, у, ..., z) имеет смысл в области определения уравнения (F). Эту теорему формулируют в виде правила: к обеим частяч уравнения можно прибавить одно и то же слагаемое. Доказательство. Если при некоторых значениях неиз- неизвестных значения выражений F и Fx одинаковы, то одинаковы также и значения выражений F + со и F\ + со, поэтому всякое решение уравнения (F) является решением (F + со), т. е. урав- уравнение (F + co) является следствием уравнения (F). Обратно, урав- уравнение (F) есть следствие (F + со), так как, чтобы получить (F), достаточно к обеим частям уравнения (F + со) прибавить — со(х, у, ..., z). Следовательно, уравнения (F) и (F + со) эквива- эквивалентны, ч. т. д. Следствие. Прибавив к обеим частям уравнения F (х, У, .. ., z) -f а (л:, //, ..., г) = Ф (х, у, ... , г) одно и то же выражение—а(х, у,...,г), получим эквивалентное уравнение: F (х, у, ... , г) = Ф (х, у, ..., г) — а (х, у, ..., z), в котором слагаемое а находится с противоположным знаком в другой части. Правило переноса формулируют так: слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую с противо- противоположным знаком. В частности, всякое уравнение 13 С. И. Новоселов 193
мож,но заменить эквивалентным уравнением вида В самом деле, для этого достаточно перенести функцию F2 в левую часть: F.-F^O. Если область определения функции со(л:, у, ..., г) уже области определения данного уравнения, т. е. если слагаемое со имеет смысл не при всех допустимых системах значений неиз- неизвестных, то при переходе от уравнения (F) к уравнению (F + со) произойдет сужение области определения. Потеря решений про- произойдет, если слагаемое со(л:, у, ..., г) теряет смысл при каких- либо системах значений неизвестных, являющихся решениями данного уравнения. Уравнения (F) и (F + со) эквивалентны, если слагаемое со(л:, у, ..., z) имеет смысл при всех системах значении неизвестных, удовлетворяющих данному уравнению. Примеры 1. Уравнения х + 1 = 0 и log х + х + 1 = log x не эквивалентны. В самом деле, единственное решение первого уравнения х = —1 не удовлетворяет второму, так как log (—1) не имеет смысла. 2. Уравнения х2 = 1 и .х2 -4- = 1 4 эквивалентны, так как при х—2 х—2 переходе от первого уравнения ко второму из области определения исклю- исключается число 2, не удовлетворяющее первому уравнению. 3. Прибавив к обеим частям уравнения jc + = — слагаемое ——> XX X получим х = 0, что не является решением данного уравнения. Причиной появления постороннего решения является выполнение тож- тождественных преобразований. Прибавив к обеим частям данного уравнения слагаемое — —', получим уравнение х эквивалентное данному с той же областью определения, состоящей из всех чисел (данного поля), отличных от нуля; выполнив тождественные преобра- преобразования, получим уравнение х — 0, областью определения которого служит множество всех чисел (данного поля). Теорема. У равнения F{x, у, ..., г)- Fx(x, у, ...,г) (F) и ю(х, у, ..., z)F(x, у, ..., г)= ш(х, у, ..., z)FL(x, у, ..., z) (coF) эквивалентны, если функция co(x, у, ..., z) имеет смысл и от- отлична от нуля при всех системах значений аргументов, допусти- допустимых для уравнения (F). 194
Эту теорему формулируют в виде правила: уравнение можно умножить на любое неравное нулю выражение. Доказательство. Если значения обеих частей уравне- уравнения (F) равны, то равны и значения обеих частей уравнения (coF). Поэтому уравнение (coF) есть следствие (F). Обратно, уравнение (F) есть следствие уравнения (coF). В самом деле, выражение — имеет смысл при всех допустимых системах зна- чений неизвестных, ибо со(х, у, ..., г) Ф 0; умножив (coF) почлен- iKO на —, получим в качестве следствия (F), ч. т. д. Следствие. Обе части уравнения можно умножить на произвольное, отличное от нуля, число. Если множитель (o(x, у, ..., г) может обращаться в нуль при некоторых допустимых значениях неизвестного, то в общем слу- случае уравнения (F) и (coF) неэквивалентны. В самом деле, урав- уравнению (coF) удовлетворяют все числа, обращающие в нуль о>, т. е. все корни уравнения со = 0. Но среди корней последнего уравнения могут быть числа, не являющиеся корнями уравне- уравнения (F). Так, например, уравнение Зх + 1 = 2х имеет корень х = —I, •но уравнение (х — 2)C* + \) = (х — 2). 2х9 кроме х = —1, имеет корень х = 2. При переходе от уравнения (F) к уравнению (coF), где о (л:, у у ..., z) Ф 0, произойдет потеря решений, если множитель о) теряет смысл при некоторых системах значений неизвестных, яв- являющихся решениями уравнения (F); потери решений не про* изойдет, если множитель со не теряет смысла ни при каких систе- системах значений неизвестных, удовлетворяющих уравнению (V). В практике решения уравнений существенно иметь в виду следующее положение: при выполнении над обеими частями уравнения некоторой операции, для которой обратная операция не является однозначной, может получиться уравнение, не экви- эквивалентное данному. Поясним сказанное на нижеследующих двух примерах. I. Если обе части уравнения возвести в некоторую (целую положительную) степень, то в общем случае получится уравне- уравнение, не эквивалентное данному. В самом деле, уравнение [F, (*, у, ..., z)]n = [F2 (х, у, ..., г)\п (Fn) есть следствие уравнения Fi(x, У, .... ^) = F2(xy у, ..., zl (F) Но, кроме решений уравнений (F), уравнению (Fn) удовлет- удовлетворяют решения любого из уравнений. Fi(x, У, ..., z)=BF2(xfy, _,*), (*F) 13* 195
где е — произвольное значение корня п-й степени из 1. В самом деле, по возведении обеих частей уравнения (eF) в п-ю степень получим в качестве следствия уравнение (Fn ). Обратно, всякое решение (в данном числовом поле) уравне- уравнения (Fn ) удовлетворяет уравнению (eF), где е некоторое, впол- 1не определенное (в общем случае) значение корня из 1 (е при- принадлежит тому полю, над которым рассматривается уравнение). В самом деле, если при данной системе значений неизвестных Fn ( F \n F рп __ рпф§ то имеем——= I —— I ¦= 1; следовательно, —— = г Fn \ F I Fn и F\ = eF2 (где е одно из значений у 1 ). Если е Ф 1, то рассматриваемое решение уравнения (Fn) яв- является посторонним для уравнения (F). Если F\ = F2 = 0, то уравнение (eF) удовлетворяется при лю- любом е (из данного поля). Над полем действительных чисел при нечетном п уравнения п/ (F) и (Fn) эквивалентны. В самом деле, У 1 при нечетном п имеет лишь одно действительное значение. При п четном V 1 имеет два действительные значения ±1, поэтому все решения уравнения (Fn) удовлетворяют одному из уравнений (F) и Fx = ~F2. II. Уравнения Р1^= F2 и sin Fi ~ sin F2 в общем случае не эквивалентны. В самом деле, из равенства значений синусов следует, что /4 = (-!)"• ^2 + 1* (!) (где п — любое целое число). Кроме решений первого уравнения, второму уравнению удовлетворяют решения каждого из уравне- уравнений A), которые получаются при п = +1, +2, ±3, ... Никакой общей теорией невозможно предусмотреть многообразие преоб- преобразований, выполнение которых мэжет привести к уравнению, не эквивалент- эквивалентному данному. В каждом конкретном случае должно производиться спе- специальное исследование. Ниже в качестве образца рассмотрен ряд конкрет- конкретных примеров преобразования уравнений. Этими примерами не исчерпывают- исчерпываются различные преобразования, применяющиеся в практике решения уравне- уравнений. 1°. Если обе части данного уравнения IWJiW- m заменить обратными по величине выражениями, то получится уравнение Область определения находится из условий: для уравнения (I) 196
для уравнения (II) fW^O; П(х)фО (b) (кроме подразумевающегося условия: все функции /, fb ф, ф! должны иметь смысл). Всякое значение х (если оно существует), при котором выполнено условие (Ь) и Ч(х)=ъ(х) = 0*, служит корнем уравнения (II), но не является корнем уравнения (I). Всякое значение х, при котором выполнено условие (а) и f(x) = fk(x) = O, служит корнем уравнения (I), но не является корнем уравнения (II). Следо- Следовательно, уравнения (I) и (II) могут не быть эквивалентными. Так, например, заменим уравнение —=—— уравнением х = х2. Послед* X X нее уравнение имеет два решения Х\ = 1 и х2 = О, однако, данному уравне- уравнению удовлетворяет лишь первый корень хх = 1, а второй является посторон- посторонним. 2°. Составим из равенства (I) следующую производную пропорцию: f (*) + ?(*) _ fl (*)+?!(*) Для уравнения (III) область определения находится из условий f(x)*4(xY, П(х)Ф ?i W. (с) Всякое значение х, для которого выполнено условие (с), и служит корнем уравнения (III), но не является корнем уравнения (I). Всякое значение jc, для которого выполнено условие (а) и f (х) = <р (х) и fx (х) — срх (л:), служит корнем уравнения (I), но не является корнем уравнения (III) **. Рассмотрим, например, уравнение х2 ~х + 2 х + \ х* + х + 2 ~ Зх+1 A) Составив указанным способом производную пропорцию, получим: 2х2 + 4 \х + 2 -2х = -2х в B) Для последнего уравнения х == 0 не есть допустимое значение неизвест- неизвестного. Умножив обе части на —2х, получим 2х2 + 4 = 4х + 2, откуда 2 (х IJ = 0 и х = 1 Кроме корня * = 1, данное уравнение имеет корень х = 0. * Заметим, что значения х, при которых ф! (х) =0, но ф1(*) =?0 или ф1 = 0, ф=г 0, или f = 0, fi т^ 0, или f ^ 0, /i = 0, не могут служить решения- решениями ни уравнения (I), ни уравнения (II). ** Следует заметить, что значения х, при которых ф = 0, ф^О или ф^0, Ф1 = 0, или f — ф Ф 0, f 1 — ф! = 0, или f — ф = 0, f 1 — ф Ф 0, не могут слу- служить решениями чи уравнения (I), ни уравнения (III). 197
3°. Уравнения над полем действительных чисел в общем случае не эквивалентны, так как для второго уравнения допустимые зна^ -ния неизвестного должны удовлет- удовлетворять дополнительным условиям /(х)>0, <р(х)>0. Аналогичное замечание относится к уравнениям (основание логарифмов произвольное) для второго уравнения допустимые значения неизвестного цолжпы удовлетво- удовлетворять дополнительным условиям f (х) > 0 и ф(я) > 0. Так, например, логарифмируя обе части уравнения хъ = х, получим: 31og х = log х, откуда 21og х=0 и х=\. Кроме этого, данное уравнение имеет еще два решения х = 0 и х = —1, не являющиеся решениями второго уравнения. § 50. Совокупность уравнений Определение. Совокупностью k уравнений Fi{*> У, •... *)'¦= Фх(*, у, ..., г), ^2 (*, 0, ...,*)-= Ф2 (х, у, ..., г), *¦*(*, У, .... г) = Фл(х, у, ..., г) называется следующее суждение: при данной системе значе- значений неизвестных удовлетворяется хотя бы одно из уравнений данной совокупности. Систему чисел (а, Ъ, ..., с), при которой высказанное сужде- суждение истинно, будем называть решением данной совокупности уравнений; при подстановке х = а, у = Ь, ..., z = с хотя бы одно (но не обязательно все) из данных равенств окажется верным. Чтобы решить совокупность уравнений, достаточно решить каждое из уравнений Fl = Ф1 в отдельности, а затем объеди- объединить в одно множество все полученные решения. Таким образом, если УЯЪ ЗЯ2> • • • > 3W* суть множества всех уравнений F\ = Фь F2 = ф2, ..., Fk = Ф^ (соответственно), то множество ^Я всех решений данной совокупности есть сумма (в теоретико-множес'1- венном смысле) этих множеств: В предыдущих рассуждениях предполагается, что левые и правые части всех данных уравнений рассматриваются совмест- совместно в общей части их областей определения. Если (некоторая систе- система чисел удовлетворяет какому-либо из уравнений данной сово- совокупности, например, первому, но при этом теряют смысл левая 198
или правая часть, хотя бы одного из прочих уравнений совокуп- совокупности, то такая система чисел не считается решением совокупно- совокупности. Геометрическая ин- интерпретация. Совокуп- Совокупность уравнений F\(x, y)=0, ^2(*, У) = 0 изображает па- пару линий, т. е. линию, со- составленную из точек обеих данных линий. Теорема.. Если левая часть уравнения F (#, у, ..., z) = О (F) разлагается на множители: F(xy у, ..., z) =Fx(x9 */,..., ..., г) - F2(x, у, ..., г) ... • -.Fk(x, у, ..., г), то уравнение (F) эквивалент- Черт. 43 но совокупности уравнений, полученной поочередным приравниванием нулю сомножителей левой части: F, = О, F2 = 0, Fk = 0. Доказательство. Всякое решение уравнения (F) удов- удовлетворяет хотя бы одному из уравнений совокупности (F/) так как для равенства произведения нулю необходимо, чтобы хотя бы один из сомножителей был равен нулю. Обратно, всякое ре- решение совокупности уравнений (F^ есть решение уравнения (F), так как, если хотя бы один из сомножителей равен нулю, то и произведение равно нулю, ч. т. д. Примеры 1. Решить уравнение (х— 1) (х + IJ (х2 + 1) = 0. Решение. Приравняв поочередно нулю сомножители, получим сово- совокупность уравнений: х— 1=0, (jt-f 1J = 0, х2+1=0. Взяв множество решений всех этих уравнений, получим корни данного урав- уравнения х = 1, х = —1 (двукратный корень) и х = ± i. 2. Решить уравнение Решение. Приравняв поочередно нулю сомножители, получим три уравнения: 1) х— 1=0, откуда х—\\ 2) х2 + 1 = 0, откуда х = i и х = — г, ^ ~~t iT7 = ^» не имеет решений. 199
Решения данного уравнения суть х = i и х = —i. Корень первого урав- уравнения х = 1 следует исключить. В самом деле, число 1 не принадлежит мно- множеству допустимых значений неизвестного, ибо при х = 1 левая часть исход- исходного уравнения теряет смысл. 3. Решить уравнение Решение. Приравняв нулю по отдельности сомножители, получим: ^-{-1=0, откуда х =%—1; logx=0, откуда х — 1. Но х = —1 не есть допустимое значение для неизвестного, ибо при х =—1 теряет смысл log*, а следовательно, и вся левая часть исходного уравнения. § 51. Основные способы решения систем уравнений Одним из основных методов решения систем уравнений яв- является метод подстановки. Допустим, что известно общее решение одного из уравнений системы: Fi(x9 у, ..., z) = 0 F2 (х, у, .,., z) = 0 (р Fn(x, у, ...,г)=0 например, уравнения Предположим, далее, что общее решение уравнения (Fi) за- задано формулой, выражающей одно неизвестное, например х, че- через другие*: х=х(у, ..., г): (х) Всякое частное решение уравнения (Fi) получается, если не- неизвестным у, .. ., z придать некоторую определенную (допусти- (допустимую) систему численных значений. При всех (допустимых) зна- значениях у, ..., z имеет место тождество (относительно у, ..., z) F!(x(y, ..., г), у, .,., z)=0. A) Теорема 1.Если х = х(у, ..., z) есть общее решение уравне- уравнения (Fi), то система (F) эквивалентна систсче: Fn(x(y, ..., г), г/,..., г) = 0 (F) * Элементарная математика ограничивается рассмотрением лишь этого частного случая. 200
Доказательство. Всякое решение системы (F) х — аг у = Ь, ..., z = c есть решение системы (?'). В самом деле, си- система чисел х = а, у = Ь, ..., z = c есть решение уравнения fi = 0, следовательно, оно (решение) содержится в формуле общего решения этого уравнения: а = *(Ь, ..., с). Итак, последнее уравнение системы (F') удовлетворяется; подставив в прочие уравнения значения у = Ь, ..., z = c, получим: F*[x(b, ..., с), 6, ..., c)=F2(a, Ъ, ..., с) = О, Fn(x(b, .... с), 6, ...,c)=Fn(a,b, ..., с) = 0. В самом деле F2(a, Ъ> ..., с) = ... = Fn(а, 6, ..., с) = 0, так как по условию (а, 6, ..., с) есть решение системы (F). Обратно, всякое решение системы (F') есть решение системы (F). В самом деле, если система чисел (а, 6, ... , с) удовлетво- удовлетворяет уравнениям (F'), то имеем: а = х(Ь, ..., с). Положив в тождестве A) у = Ьу ..., z = c, получим: Fxixib, ..., с), 6, ..., с) = Л(а, 6, .... с) = 0. Следовательно, первое уравнение системы (F) удовлетворя- естся. Так как система чисел у = 6, ..., z = с удовлетворяет пер- первым п—1 уравнениям (F'), то имеем: F*[x(b> ..., с\ Ъ, ..., c) = F2(a4 6, ..., с) = О, Следовательно, удовлетворяются и все прочие уравнения си- сгемы (F). Если одна из систем (F) или (F') противоречива, то и дру- другая противоречива, так как в противном случае всякое решение непротиворечивой системы оказалось бы решением противоре- противоречивой системы. Из изложенного следует эквивалентность систем (F) и (F/)> ч. т. д. Доказанная теорема служит обоснованием способа подста- подстановки. Этот способ излагается в виде следующего правила. Правило. При решении системы уравнений методом под- подстановки следует: 1°. Решить одно из уравнений системы относительно какого-нибудь неизвестного, выразив его через прочие неизвест- неизвестные (формула (х)). 2°. Исключить это неизвестное, подставив найденное выра- выражение в прочие уравнения системы. 201
После подстановки получится система, в которой число урав- уравнений и неизвестных на 1 меньше, чем в первоначальной систе- системе (первые п— 1 уравнений системы (F)'). 3°. Решить полученную систему (относительно неизвестных У, ...* г). 4°. Для каждого решения последней системы вычислить соот- соответствующее значение исключенного неизвестного (подстановкой в формулу (х)). (Примеры применения способа подстановки см. в следующих параграфах: 69, 70, 74, 88, 90, 95.) Для решения системы уравнений, о которой говорится в пункте 3°, в свою очередь, можно применить метод подстановки, это еще раз понизит на 1 число уравнений и число неизвестных и т. д. В практике решения систем уравнений широко применяется следующий способ: некоторые из уравнений, входящие в состав системы, умножаются (почленно) на специально подобранные множители, а затем почленно складываются. Эта операция «ком- «комбинирования» может повторяться несколько раз применительно к разным уравнениям, входящим в состав системы. Множители подбираются так, чтобы в результате «комбинирования» получи- получилась (как следствие) система уравнений, решающаяся уже изве- известным методом. Так, например, складывая и вычитая уравнения ^1 = 0, F2 = 0, } (F) в качестве следствия из (F) получим систему: 7^ + ^=0, /ч-^ = 0. } (F') Системы: (F) и (F') эквивалентны. В самом деле, систему (F) в свою очередь можно вывести в качестве следствия из си- системы (F'); для этого достаточно разделить почленно на 2 урав- уравнения (F') и затем сложить и вычесть: -j (/Ч + F2) + ±-(FL-F2) = Fx = 0, (F+ FJ^iF F)^ F 0 Теорема //. Системы уравнений Л = 0, Ft=O, ..., Fn = 0 } (F) и F, = О, } «мЛ + п?л + «зз^з = О, [ (mF) ^ -I- /и F-4- -l-m F — О 202
эквивалентны, если каждый из «диагональных» множителей W-22, т>гг, . • • > тПп отличен ui нуля. Разъяснение. Множители mik могут быть числами или функциями от неизвестных, в последнем случае условие теоремы требует, чтобы каждый из множителей т22, я*зз, • • > тпп был отличным от нуля во всей области определения системы. Доказательство. Всякое решение системы (F) есть ре- решение системы (mF), так как при всех значениях неизвестных, при которых функции Fu F2i ..., Fn обращаются в нуль (каж- (каждая), обращаются в нуль и левые части всех уравнений системы (mF). Обратно, всякое решение системы (mF) есть решение си- системы (F). В самом деле, пусть при некоторых значениях неиз- неизвестных обращаются в щлъ левые части (mF). Если F± = 0, то второе равенство системы (mF) принимает вид m^F2 = 0, но так как т22^0, то F2 = 0. Далее, из равенств /гг = /72 = 0 и из третьего равенства (mF) следует тъъръ = 0, откуда ^з = 0, и так далее, и, наконец, из равенств /7i = /72= ••• = /7rt_i =0 вытекает tnnnFn =0, откуда Fn =0. Итак, всякое решение системы (mF) есть решение системы (F). Из изложенного следует эквивалентность систем (F) и (mF), ч. т. д. (Примеры применения способа комбинирования уравне- уравнений см. в параграфах 70, 71, 74, 90.) В частности, системы: эквивалентны. Нижеследующие системы /4=0, F2=0 I Z7! —^2=0, и т. п. эквивалентны системе Ft = 0, F2= 0, /-3 = 0.} Доказанная теорема является частным случаем следующей общей тео- теоремы. Теорема. Если детерминант ГП22 ... m2n тП1 m*2 • • • mnt отличен от нуля в области определения системы (F), то системы /г1=0, /72=0> ...yFn — Q \ (F) 203
-+- m2nFn = 0 (mF> эквивалентны. Доказательство. При выполнении равенств (F) выполняются так- также равенства (mF). Обратно, если значения функций F/ удовлетворяют си- системе линейных однородных уравнений (mF) с неравным нулю детер- детерминантом, то F\ = F2 == ... = Fn = 0. Следовательно, системы (F) и (mF) эквивалентны, ч. т. д. Различные частные приемы, применяющиеся при решении систем уравнений, невозможно предусмотреть общей теорией. При применении этих приемов вопрос об эквивалентности сис- систем, получающихся из данной системы, подлежит специальному исследованию. Примеры 1. Для решения системы F1F2 = 0, Ф=0) A) достаточно решить совокупность двух систем F9 = 0 В самом деле, всякое решение системы A) удовлетворяет уравнению F\F2 = 0, откуда F\ = 0, или F2 = 0 и, кроме того, Ф = 0. Следовательно, удовлетворяется хотя бы одна из систем B) или B'). Обратно, если удовлет- удовлетворяется система B) или B7) то Л = 0 или F2 = 0 и, следовательно, FXF2 — О и так как Ф = 0, то удовлетворяется система A). 2. Рассмотрим две системы: F Ф = F, Ф (i ; Система B) есть следствие системы A), так как из равенств (I) вытека- вытекают равенства B). В общем случае системы A) и B) не эквивалентны. В са- самом деле, пусть удовлетворяется система B), причем F = F{-? 0, тогда из первого уравнения B) получим Ф = Фь т. е. удовлетворяется система A). Если же F — F\ = 0, то удовлетворяются оба уравнения B), однако, урав- уравнение Ф = Ф1 может не удовлетворяться, такие решения явятся посторонни* ми для системы A). § 52. Решение уравнений при дополнительных условиях Нередко на допустимые значения неизвестных налагаются дополнительные условия; эти дополнительные условия могут быть различными. Так, например, можно поставить усло- условие, чтобы некоторые из неизвестных были либо целыми, либо положительными, либо рациональными числами, чтобы значения 204
неизвестных удовлетворяли .некоторым неравенствам и т. п. Раз- Различные условия обычно возникают при решении задач посредст- посредством составления уравнений, эти условия устанавливаются в со- соответствии со смыслом задачи. Так, например, если неизвестное обозначает число людей, то допустимыми его значениями явля- являются натуральные числа, если неизвестное обозначает длину от- отрезка, то его допустимые значения положительны, если неизвест- неизвестное обозначает цифру в десятичной системе нумерации, то его допустимые значения суть 0, 1, 2, 3, ... , 9 и т. п. Не исключена возможность, что выражения, служащие пра- правой и левой частями уравнения, имеют более широкую область определения, чем множество допустимых систем значений неиз- неизвестных, определяемое условиями задачи. Если откинуть эти условия, то множество допустимых систем значе- значений аргументов расширится. Будем рассматривать уравнение (или систему) при расширенном множестве допустимых значе- значений неизвестных, а откинутые условия как дополнительные. В множестве всех решений (без дополнительных условий) уравне- уравнения (системы) в частности содержатся все его решения, удовлет- удовлетворяющие дополнительным условиям. Отсюда вытекает следу- следующее часто применяющееся правило решения уравнений (сис- (систем) при дополнительных условиях. Правило. Чтобы решить уравнение (систему) при дополни- дополнительных условиях, достаточно решить данное уравнение (систе- (систему) без этих условий, и из полученного множества всех решений выбрать решения, удовлетворяющие дополнительным условиям. Примеры 1. Найти такое число /г, чтобы 1 +2+34- ... +п= 15. Решение. По смыслу задачи п должно быть натуральным числом. Вы- Выполнив суммирование, получим: ( + 0 1.2 следовательно, д должно удовлетворять квадратному уравнению: п« + п — 30=0. A) Это последнее уравнение можно рассматривать над полем комплексных чисел, считая для д допустимыми произвольные комплексные значения. В этом поле данное квадратное уравнение имеет два решения д = 5 и д = —6, из которых натуральным является число 5. Итак, д = 5 есть единственное реше- решение уравнения A) при данном дополнительном условии. 2. Задача. Имеется 32 сосуда двух размеров. Из двух различных со- сосудов объем большего на два литра больше объема меньшего. Общий объем больших и общий объем малых сосудов один и тот же — 60 л. Определить количество больших и малых сосудов. Решение. Пусть х — число больших сосудов, тогда о2 — х — число малых сосудоь, 60 — объем большого сосуда, 60 — — объем малого сосуда. о2 — х 205
По условию 60 _ 60 х 32 — х ~~ Откуда х2 — 92л; + 960 = 0. По смыслу задачи неизвестное х должно удовлетворять следующим до- дополнительным условиям: a) х — натуральное число; b) х<32. Решив квадратное уравнение без учета дополнительных условий, по- получим два решения: Xi = 12, х2=^80. Из этих двух чисел условию а) удовлетворяют оба, условию Ь) удовле- удовлетворяет первое. Следовательно, больших сосудов было 12, малых сосудов было 32-12 = 20. 3. Вычислить углы А, В и С треугольника, выраженные в градусах, если А + В = 120° и А — С - 130°. Решение. Для А, В к С имеем систему уравнений Л+? = 120; Л —С = 130; Л + Б+С=180 при дополнительных условиях Л > 0, В > 0, С > 0. Решив систему без учета дополнительных условий, получим единственное решение Л = 190, В — —70, С = 60. Задача не имеет решений, так как полученное решение не удовлет- удовлетворяет дополнительным условиям. § 53. Уравнения, содержащие параметры Рассмотрим уравнение F(x, у, ..., г; а, р, ..., т) = 0 (F) с неизвестными х, у, ..., z и с параметрами а, ?$, ..., т*> при всякой допустимой системе значений параметров сю, Ро, • • •, уо уравнение (F) обращается в уравнение F(x, У, ..., г\ сс0, р0, ..., to) = 0 (Fo) с неизвестными х> у, . . ., z, не содержащее параметров. Урав- Уравнение (Fo) имеет .некоторое вполне определенное множества (быть может, пустое) решений. Аналогично рассматриваются системы уравнений, содер- содержащих параметры. Допустимыми системами значений парамет- параметров считаются системы, допустимые для каждого уравнения в отдельности. Определение. Решить уравнение (или систему), содержащее- параметры, это значит, для каждой допустимой системы значе- значений параметров найти множество всех решений данного урав- уравнения (системы). Понятие эквивалентности применительно к уравнению, со- содержащим параметры, устанавливается следующим образом1. 206
Определение. Два уравнения (системы) F(x9 у, . . . ,z; а, ?, . . . Т) = О, (F) Ф(*. у, . . . ,?; а, В, . . ., Т) = О (Ф) с неизвестным х, y,,..f z и с параметрами а, C,..., у называются эквивалентными, если для обоих уравнений (систем) множество допустимых систем значений параметров одно и то же и при вся- всякой допустимой системе значений параметров оба уравнения (системы уравнений) эквивалентны. Итак, эквивалентные уравнения при всякой допустимой системе значений параметров имеют одно и то же множество решений. Преобразование уравнения, изменяющее множество допусти- допустимых систем значений параметров, приводит к уравнению, не эквивалентному данному уравнению. Предположим, что каждое из неизвестных, содержащихся в уравнении F(x, у,. . .,*; О, . . ., T) = 0 (F) задано в виде некоторой функции от параметров: Говорят, что сист'ема функций (X), заданных совместно, удов- удовлетворяет уравнению (F), если при подстановке этих функций вместо неизвестных х, у,..., z в уравнение (Р) левая его часть обращается в нуль тождественно при всех допустимых значениях параметров: Р, • • -Л), 0(«, ?, • • .,7). • • ., 2(а, р, . . .,Т); а, ?, • • . , 7^ 0. При всякой допустимой сист'еме численных значений парамет- параметров а = с*о, р = Cо,—, 7 = 7о соответствующие значения функций (X) образуют решение уравнения F(x, у, . . . , г; а0, %, . . . д0) = 0. Примеры 1. Уравнение V 1 — а2х* + (Ь - а) х + ]/* б2 — а* ,= 0, рассматриваемое над полем действительных чисел, содержит два параметра а и Ь. Допустимые значения параметров определяются из условий: М<1 И |6|>|а|. Так, например, системы а = 0, 6=1; а——, 6= — ]; а = — —-, 6 = —- — допустимые. 3 2 207
Положив а — О, 6 =¦ 1, получим уравнение _л? + х + 1 =* 0; положив 1 и 1 "^ з )/"з = —, 6 = — 1, получим —-— х2 — — х + —-— = U, Системы а — 2 6 = 0; а = *—, 6 = — не являются допустимыми. " 2 4 2. Для уравнения а* + х + 1 = О допустимые значения а определяются условием а > 0, так как функция а в элементарной математике рассматривается лишь при положительном осно- основании. Черт. 44 3. Для уравнения т— 1 -4-1=0. A) множество допустимых значений параметра т определяется условием т ф 1. Умножив уравнение нат-1, получим: jc -{- ш — 1 = 0. (^j Для последнего уравнения т = 1 является допустимым значением пара- параметра. При этом значении левая часть уравнения A) теряет смысл, а урав- уравнение B) имеет решение х = 0. Уравнения A) и B) не эквивалентны. 4. Рассмотрим два уравнения: lgx-\-\gy=\ga П) и ху=а. B) Для первого уравнения допустимые значения неизвестных и параметра определяются из условий х>0, у>0, а>0. Для второго уравнения допустимыми являются произвольные значения неизвестных и параметра. Урвнения A) и B) не эквивалентны. На чертеже 44 208
показаны линии (гиперболы), изображающие данные уравнения при различ- различных значениях параметра. 5. При решении квадратного уравнения. ах2 + Ьх т- с = О в общем виде коэффициенты а, Ь и с рассматриваются как параметры. 6 Задача. Разделать данный отрезок, равный а, на две части так, чтобы большая часть была средней пропорциональной между всем отрез- отрезком и меньшей частью. Решение. Пусть х— длина большей части, тогда а — х длина мень- меньшей части. По условию х2 = а(а — х), откуда х2+ях — а2 = 0. A) Согласно смыслу задачи для параметра а допустимым является произ- произвольное положительное значение, а неизвестное х должно удовлетворять до- дополнительному условию 0<х<а. Решив уравнение A) без учета дополни- дополнительного условия для неизвестного, получим: у -l), x<,= _-|-(j/JF+ 1); условию 0<х<а удовлетворяет первое решение, оно и дает ответ на вопрос задачи. 7. Функция параметра х = а2 удовлетворяет уравнению *3 — rte = o. В поле действительных чисел эта функция дает общее решение уравне- уравнения. В поле комплексных чисел общее решение уравнения может быть задано следующими функциями: х = а2, х = га2, х = г2а2 (где е и е2 — мнимые кубические корни из 1). 8. Функции — m — V m2 + n2 — m+Vm2 + n2 х ^ и у2 = A) п п удовлетворяют уравнению (как легко проверить): пх2 + 2пгх — п = 0 B) и при п т^ 0 дают все решения уравнения B). Однако эти функции не дают общего решения уравнения B), так как при п = 0 и тф 0 уравнение имеет решение х = 0, при т = п = 0 уравнение удовлетворяется тождественно, тогда как при п = 0 формулы A) теряют смысл. § 54. Об исследовании уравнений Необходимо различать два вида исследования уравнений: основное исследование и дополнительное исследование. Основным исследованием будем называть всякое исследование, входящее в процесс решения уравнения в качестве составной его части. Таким образом, основное исследование вытекает из требования «решить уравнений». Например, к основному ис- исследованию относятся следующие вопросы: выявить посторонние решения, найти множество допустимых значений параметров, исследовать, дают ли найденные функции от параметров общее 14 С. И. Новоселов 209
решение, при всех ли значениях параметров эти функции удовле- удовлетворяют уравнению. К дополнительному исследованию будем относить всякое исследование не вытекающее из требования «решить уравнение». В отличие от основного, дополнительное исследование не имеет определенного содержания, если не указано, какие именно свой- свойства уравнений и их решений подлежат исследованию. К допол- дополнительному исследованию относятся, например, такие вопросы: выделить решения, удовлетворяющие дополнительным условиям; установить те или иные свойства функций, удовлетворяющих уравнению (системе); при решении задач посредством составле- составления уравнений установить дополнительные условия, которым должны удовлетворять допустимые значения неизвестных и пара- параметров, исходя из их конкретного смысла. (Примеры исследова- исследования уравнений даны в следующих параграфах: 73, 78, 86, 87, 88, 90, 93, 95, 106) *. § 55. Особые случаи решения уравнений Рассмотрим уравнение ?(*), @ в котором правая и левая части заданы при помощи аналитиче- аналитических выражений. Пусть при значении х = а хотя бы одно из выражений f(x) или <р(я) теряет смысл. Если основываться не- непосредственно на определении корня уравнения, как такого зна- значения аргумента ху при котором значения функций f(x) и ср(л') равны, то число а нельзя считать принадлежащим множеству допустимых значений неизвестного, а значит, нельзя его считать корнем уравнения. Принцип продолжения функции по непрерыв- непрерывности (см. § 6) позволяет расширить понятие корня уравнения. Дополнитель ное определение. Если в точке х = а, хотя бы одно из выражений f(x) и у(х) теряет смысл, и если предел разности f(x) —<р(Х) в точке а равен нулю: то число а считается корнем (особым) уравнения ({). Определение распространяется на уравнения с несколькими неизвестными, а именно, если предел /—ср в точке (а, 6,..., с) ра- равен нулю: 1if(*,y, . . . , z) — ср (х, #, . . . ,z)]-=0, * К сожалению в учебной литературе (особенно в старой) основное ис- исследование не разграничивается от дополнительного и постановка вопроса оО исследовании уравнений делается неопределенной. Так, например, в учебнике алгебры Киселева в исследование упорно включаются случаи «положитель- «положительных, отрицательных и нулевых корней». Однако исследование этих случае» никак не вытекает из требования «решить уравнение». 210
то х = а, у = Ь, .,., z = с считается решением (особым) уравнения' /=Ф. Понятие особого решения может вводиться, может и не вво- вводиться, это зависит от того, принимается или нет принцип про- продолжения по непрерывности (подробности см. стр. 22), в зависи- зависимости от этого на особые решения возможны две точки зрения. I. Согласно п'ервой точке зрения дополнительное определение решения в особом случае не принимается, а потому х = а не счи- считается корнем уравнения (f). II. Согласно второй точке зрения сформулированное дополни- дополнительное определение принимается, и число а считается корнем уравнения (f). Возможно придерживаться как той, так и другой точек зре- зрения, но, во избежание недоразумений (там, где они могут воз- возникнуть) надо указывать, какая из этих точек зрения прини- принимается. В школьном курсе математики обычно принимается пер- первая точка зрения, т. е. особые решения не рассматрива- рассматриваются. Примечание. Следует иметь в виду, что связанное с особыми случаями решений уравнений наивное протаски- вани'е (характерное для старых учебников) всякого рода «раскрытия неопределенностей, «бесконечных корней* и т. п. как чего-то очевидного само по себе», есть глубоко ошибочная, антинаучная точка зрения. Примеры 1. Согласно дополнительному определению, число х = 0 следует считать корнем уравнения в о V самом деле, х-* 0 П п Решить уравнение 1 V V 1 - + х2 1 + Х 1+х - cos 2x -V X 2 X 2х 2 + 1- V 1 1/ 1 sin X2 — X2 — X2 2х =0. 2 sin л: 1 + cos 2л: ^ Решение. После преобразований получим: sin 2х • sin х (cos л: — 1) = 0, B) откуда х = п —^ , х =. пъ и х = 2м 7г. 14* 211
Две последние формулы решений содержатся в первой, поэтому формула те х = п— дает общее решение уравнения B). Переход от уравнения A) к уравнению B) был связан с расширением области определения, поэтому воз- можно появление посторонних решений. Подстановка х = п—в уравнение A) показывает, что здесь имеет место особый случай. Именно, при четном п = 2k теряет смысл левая часть, а при нечетном п — 2k + 1 — правая. Имеем (при х =/= п —): 1 — cos 2x sin 2x sinx — tg*. f(x) y(x) = 2 sm x 1 + cos 2x При нечетном п получим: lim |f (x) — ^ (x)\ — lim Isin x — tg x\ = oo . 2k + 1 7T Следовательно, числа B/г+1)~- не являются корнями уравнения. При четном п имеем: lim (sin x — tg x) — 0. X-> k n Следовательно, числа х = kn являются особыми решениями уравне- уравнения A). Согласно первой точке зрения уравнение A) не имеет решений. § 56. Основные свойства неравенств Учение о неравенствах основыва'ется на характеристических свойствах неравенств и на законах монотонности арифметических действий. Разумеется, что учение о неравенствах относится лишь к расположенным числовым полям (например, поле рацио- рациональных чисел или действительных чисел), в которых определены понятия «больше», «меньше», «равно»; к полю же комплексных чисел оно неприменимо. Отметим основные свойства неравенств и важнейшие следствия из них. I. Из неравенства А<В следует неравенство В>А и обрат- обратно — из второго неравенства следует первое (свойство необра- необратимости). Это свойство можно формулировать в виде следующего правила. При перестановке правой и левой частей неравенства смысл знака неравенства изменяется на противоположный. II Из А<В и В<С следует А<С (свойство транзитивности §4). III. Если А<В, то В—Л>0 и обратно — из второго неравен- неравенства следует первое (см. § 4). IV. Если Л<?, то А + С<В + С (свойство монотонности сло- сложения, § 4). 212
Отсюда правило: К обеим частям неравенства можно приба- прибавить поровну. V. Если А<В и С<Д то A + C<B + D. Доказательство. Из А<В следует А + С<В + С из C<D следует B + C<B+D. В силу транзитивности (свойство II) получим: A + C<B + D, ч. т. д. Отсюда правило. Неравенства одинакового смысла можно складывать почленно. VI. Если А<В, то Am<Bm при т>0 и Am>Bm при т<0 ('свойство монотонности умножения § 4). Отсюда правило. При умножении обеих частей неравенства на положительный множитель смысл знака неравенства не ме- меняется, а при умножении на отрицательный множитель смысл знака неравенства изменяется на противоположный. VII. В частности, при m = —1, получим: если А < В, то —А > —В. Правило. При изменении знака обеих частей неравенства смысл знака неравенства изменяется на противоположный. VIII. Если А<В и ОД то A—C<:B~D. A) Доказательство. По свойству VII имеем —С<—Д сло- сложив почленно с неравенством А <^ В, получим A), ч. т. д. Правило. Неравенства противоположного смысла можно вы- вычитать почленно. IX. Если А<сВ и С<Д где А, В, С и D положительные числа, то AC<BD. Доказательство. Из А<В следует АС<ВС\ из C<D следу'ет BC<BD, откуда AC<BD, ч. т. д. Правило. Неравенства одинакового смысла с положительными частями можно почленно перемножать. Примечание. Если в IX Л, В, С и D отрицательны, то — Л>— В>0 и — О — ?>>0, откуда ЛС>?Д следова- следовательно, при почленном перемножении смысл знака неравен- неравенства изменяется на противоположный. При перемножении неравенств с произвольными числами Л, В, С и D могут представиться разнообразные случаи. Так, например, —2<4 и —2<3: имеем (—2)-(—2)<4-3. С другой стороны, —4<2 и —6<1; но в данном случае (—4)-(— 6)>2-1. X. Из IX следует, что если А<В, где А и В положительные числа, то Ап <С Вп (п — натуральное число). Правило. Обе части неравенства с положительными членами можно возвести в одну и ту же степень. XI. Если А<В и числа А и В одного знака, то ~А ~В' 213
Доказательство Имеем: — = >0, так как Л В АВ В — Л>0 и ЛВ>0, ибо А и В числа одного знака, ч т. д. Примечание Для чисел разных знаков свойство XI не имеет места. § 57. Тождественные неравенства Пусть F\(x, у у ..., г) и F2{x, у, ..., г) некоторые аналитические выражения, заданные совместно. Определение. Неравенство Fx(x, у, . . ., z) \' F2(x, у, . . . , г)* выполняется тождественно, если оно имеет место для значений F\ и F2 при произвольных допустимых системах значений аргу- аргументов. Под доказательством неравенства обычно понимают доказа- доказательство утверждения, что данное неравенство выполняется тож- тождественно при всех системах допустимых зна-чений, входящих в него аргументов. Общих способов доказательства неравенств установить не- невозможно ввиду большого разнообразия как самих неравенств, так и применяемых в доказательствах методов. Наряду с весьма примитивными способами нередко применяются остроумные и искусственные приемы, так что не представляется возможным выработать определенную рец'ептуру. § 58. Некоторые замечательные неравенства Ниже приведен ряд примеров на доказательство некоторых замечательных неравенств и на применение характерных методов Примеры 1. Доказать, что при всех натуральных значениях п: <3 ¦ 1 1 -2 ' 1-2-3 1 -2 . . Доказательство. При п—\ и п = 2 неравенство очевидно непо- непосредственно. Для доказательства в общем виде заменим в знаменателях, на- начиная с 4-го слагаемого, числа 3, 4,... ,я меньшим числом 2. Будем иметь неравенства: 1 1 1 • 2 • . . Л 2k~1' * Знак V может обозначать любой из знаков >, <, >:, <, тогда сим- символом V обозначается знак противоположного смысла, т. е. соответственно <, >, <, >. 214
Следовательно, 1 1 • 2 1 -2• 3 1-2. ..л 1 1 2п 1 <1 + 1+т+ • • •+^ = 1+т~Х=3~^г=гг' "" 2 Отбросив отрицательное слагаемое — 9п~\ » ПОЛУЧИМ A)» ч- т- д- Примечание. При произвольном натуральном п имеет место неравенство: 1 \п — п В самом деле- 1-2 1.2 . . . -2) ¦ ¦ .2-1 2 + 1 • 2 . . . (n-l)/г пл 1 - 2 1 / 1 1 • 2 . . . к \ п 1-2 . . .я \ п } \ п ) \ п Н +Н I Т1.2Т ^ 1.2 ...ft Т 1 -2 . . .п 2. Доказать неравенство при всех натуральных /г. Доказательство. Задача аналогична предыдущей, однако, реше- решение строится на иных принципах. Примем во внимание, что J_ \_ 1 1_ J_ к2 ~~ к • kK (k—\)k~k — \~~ к Положив последовательно к =2, 3,...л и подставив в левую часть неравенства A), получим: /1 1 \ 1 . . •+ --— =2—<2. \п — \ п п 215
3. Теорема об абсолютной величине суммы: абсолютная величина сум- суммы не больше, чем сумма абсолютных величин слагаемых: |(z1 + a2+ • • • + яп| < lail + N + • • •+ |а«|. Доказательство вытекает из правила сложения положительных и отрицательных чисел. Если слагаемые суть числа одинакового знака (возмож- (возможно, что среди них имеются равные нулю), то абсолютная величина суммы равна сумме абсолютных величин слагаемых. В этом случае имеем равенство* |ах -Ь а2 4- . • . + ап\ = \аг\ + \а2\ +...-}- \ап\ Если среди слагаемых имеются и положительные и отрицательные числа, то для вычисления абсолютной величины суммы можно сложить отдельно абсолютные величины положительных и абсолютные величины отрицательных слагаемых и из большей суммы вычесть меньшую. Для вычисления же сум- суммы абсолютных величин достаточно сумму абсолютных величин положитель- положительных слагаемых сложить с суммой абсолютных величин отрицательных сла- слагаемых. В этом случае имеем неравенство: \п1 + а2+ . . .+ая1<|а1| + |аз|Д. . . . + |ол|. Так, например, |2 + 5+ 1| = 8 и |2| 4- |5| + |1| = 8 (имеем равенство), |2 + 5 — 1| = 6 и |2| + |5| + | — 1| = 8 (имеем неравенство) 4. Неравенство Буняковского. При всех значениях а,- и Ъ-ь выполняется неравенство (Ol6,+a262+ . . . + anbn J < (of + а\ + . . . + а2п) №2 + или (в сокращенной записи): ) / = 1 / = 1 / = 1 Равенство имеет место лишь при условии, если числа о/ и Ь[ пропор- пропорциональны: ui = kbi, а2 = kb2, . . . , ап — kbn. Доказательство. Воспользуемся тождеством Лагранжа (см. § 20, пример 1, стр. 56): a'? Z bf - (Z °l bif = (Q' 62 - а2 Правая часть этого тождества, будучи суммой квадратов, неотрицательна, а поэтому: Отсюда следует неравенство Буняковского. Равенство возможно лишь, если каждое из слагаемых в правой части равно нулю, но тогда а, Ь2 = а2Ь1\ alb3 = a3bl, . . . , ап_ j Ьп = ап Ьп _ , Если последние равенства имеют место, то числа а/ и 6/ пропорциональны: al=kbi. ч. т. д. 216
5. При всех действительных а-ь и b-t справедливо неравенство У (а, - b,)t + (а„ - 62)* + • • • + (on - *«J < или кратко = 1 Равенство имеет место лишь, если числа at и Ь[ пропорциональны. Доказательство. В самом деле п п п п i=1 /=1 /=1 *=1 п п п и2- + 2_. bf + 2 У^ |af-| \b;\ <! (теорема об абсолютной величине суммы) i = 1 / = 1 / = 1 af + У' 6? -J- 2 1/ ^ а? 1/ У^ 6? = (в силу неравенства Буняковского) Отсюда и вытекает доказываемое неравенство, ч, т. д. При п = 2 неравенство примет вид: Геометрическая интерпретация. Пусть Л (аь а2) и ^ (^ь ^2) — две точки плоскости. Неравенство A) выражает, что сумма отрезков О А и О В не больше отрезка ЛВ (черт. 45). Аналогичную интерпретацию имеет нера- неравенство при п = 3. 6. Теорема об абсолютной величине суммы имеет место для произ- произвольных комплексных чисел |Zl+*2+ • • • +Z/1I < [Zi| + Ы + • • .+|2Л|. Доказательство. Докажем неравенство для случая двух слагаемых^ Положив Z\ = a\ + b\i, z2 = a2 + b2i, имеем: l«i + г8 = I (аг -t a,) + i (b, + Ьг)\= V(at + a,)» + F, + 62)г Следовательно, достаточно в неравенстве A) (см предыдущий пример) заменить Ьх на — а2г п2 на Ь\ и /?2 на — Ь2. 217
Для суммы с любым числом слагаемых теорема распространяется мето- методом математической индукции. Допустим, что |г2| тогда \гх+ z2+ ...+-*„+ zn+ j| = | (zj -r z2+ • • . + zn) + zn+ ,|< •< |Zj + z2 + . . . + zn\ -f |zn + jI <; (случай двух слагаемых) •^ lzil + I22l"^ • • • ~f~ l2/il + \zn + il (по предположению). D Черт. 45 Черт. 46 Итак, теорема верна для суммы п + 1 слагаемых, если она верна для суммы п слагаемых; будучи верной для суммы двух слагаемых, теорема спра- справедлива для суммы любого числа слагаемых, ч. т. д. Геометрическая интерпретация. Длина замыкающей (черт. 46) не меньше суммы длин звеньев ломаной линии. 7. Теорема о выпуклых функциях. Определение. Функция y=f(x) называется выпуклой (вогнутой) в не- некотором промежутке, если для любой пары различных значений аргумента Х\ и х2 из этого промежутка выполняется неравенство: f xs + х2 (для вогнутой функции выполняется неравенство противоположного смысла). Геометрическая интерпретация. Середина любой хорды гра- графика выпуклой (вогнутой) функции лежит выше (ниже) соответствующей точки дуги (черт. 47). Теорема. Если функция f (x) выпукла (вогнута) . в некотором проме- промежутке, то для п произвольных значений аргумента хь х2, •••, хп из этого про- промежутка имеет место неравенство: f х2 . + хп f(*2)+ A) =хп (для вогнутой функции неравенство противо- противоравенство при х{ = х2 положного смысла). Доказательство. Докажем, что неравенство справедливо для чисел вида п = 2*. В самом деле, по условию (а) неравенство A) справедливо при 218
k=\. Допустим, что неравенство справедливо для некоторого k, докажем, что оно справедливо для /е+1. По предположению Черт. 47 при любых хи х2, ...,х2к, не равных между собой. Имеем: (по условию) (в силу предположения B) В силу принципа математической индукции теорема верна для любых чи- чисел вида п = 2к, т. е. п = 2, 4, 8, ..., 2*, ... Докажем, что, если неравенство верно для некоторого числа п, то оно верно и для п — 1. Допустым, что некоторого п при произвольных х% из данного промежутка имеет место A). Положив в этом неравенстве получим: я— 1 /г— 1 219
n—\ Откуда после преобразований получим: / ,4^2+ • • '+Хп-\ \ Будучи верной для всех чисел вида 2\ теорема верна и для любых мень- меньших чисел, а значит, и для всех натуральных чисел, так как среди чисел '2h содержатся как угодна большие, ч т. д. Для вогнутой функции неравен- неравенства надо заменить неравенствами противоположного смысла. Из дока- •занной теоремы вытекает ряд нера- неравенств* а) при 0 < х функция f(x) = хт .о выпукла. ' В самом деле, при т = 2 и ххф х2 х\ + (х] + х\) Да*1ее применим метод математической индукции. Допустим, что при О < х2, 0 < Х\ и xi ф х2: +х2 vm — 1 , vm — 1 ~т~ 2 Умножив на , получим: + ^2) Так как числа хх —х2 и х™ х — х™ 1 одного знака, то откуда х2х™~~ 1 + ххх™~ 1 < х™ + х™, а поэто му 220
т < Следовательно ( силу принципа математической индукции), неравенство верно при любом т>2 (при т= 1 — равенство). По теореме о выпуклой функции имеем при произвольных положительных хи х2,...,хп: -+*п п I п равенство, если х{ = х2 = ... = хп. Ь) В промежутке от 0 до я функция f(x) — sin x вогнута (черт. 48). В самом деле, / (*i) + / U2) sin хг + sin x2 . хг + х2 хх — х2 = _=sin___cos-___< так как, если 0 <; хх <! тг, 0 < х2 <1 тг и ххФ х2, то 0 < cos — < 1. Следовательно, при произвольных xiy х2,...,хп в промежутке от 0 до я имеем: sin хх + sin х2А- . + sin хп . хг + *2 + • • • + хп < sin , п п равенство, если х{ = х2 = ... = хп. § 59. Средние величины Пусть аи а2, ..., ап — п данных действительных чисел; сред- нии этих чисел называется всякое число М, не большее, чем наи- наибольшее, и не меньшее, чем наименьшее из данных чисел at min a <; М < max a, где min а и max а наибольшее и наименьшее из чисел at. Теория средних величин имеет многочисленные применения в теории вероятностей, в математической статистике, при мате- матич'ехкой обработке результатов наблюдений. Определение. 1°. Средним арифметическим чисел at называ- называется число: «1 + й2 + . . . -f an 2°. Средним геометрическим положительных чисел at назы- называется число: у а{а2 . . . ап -= у^Па^ . 221
3°. Средним гармоническим положительных чисел называется число, обратное среднему арифметическому чисел обратных дан- данным: п п а{ а2 ап 4°. Средним квадратическим называется квадратный корень из среднего арифметического квадратов данных чисел: Теорема о среднем арифметическом и среднем геометриче- геометрическом. Среднее арифметическое неотрицательных чисел не мень- меньше среднего геометрического этик чисел: у а Равенство имеет место при условии ах = а2 =... = ап. Доказательство методом математической индукции. Докажем справедливость неравенства при п = 2 В самом деле, при любых действительных х\ и х2 имеем 2 — 2х{х2 > 0, откуда х{х2 < х Положив Х\ = > at и х2 = у &ъ получим неравенство ('1). Равенство возможно лишь при условии Х\ — х2 — 0, т. е. Xi = х2, а следовательно, а! = а2. Для доказательства неравенства в общем виде установим не- некоторое вспомогательной неравенство. Если х\ и х2 неотрицатель- неотрицательные числа, то при Х\<х2 имеем х1~1 <х"~\ если же х{>х2, то п-1ч п— 1 Следовательно, при любых неотрицательных х\ и лс2 {х1~х — ^""^(^i — *2)>0 (равенство, если Х\ = х2). Раскрыв скобки и перенеся часть членов в правую часть, получим: *?+ х2^х\х2~~ { + х2хГ\~ 1 (равенство, если х{ = х2). Взяв /г неотрицательных чисел х\, х2, ..., .гя, написав соответ- соответствующие неравенства и сложив их почленно, получим: 222
(равенство, если х\ = x2 = ... = хл). Выполнив приведение подоб- подобных членов, получим: + . . - + ^!), B) Допустим, что для любых п—1 положительных чисел среднее арифметическое не меньше их среднего геометрического. Следо- Следовательно, в частности: *Г1 + *Г'+ • • •+ ЯГ1 >("- 0*2*3 •••*!!. (равенства при х\ = х2 = ... = хп_{), Пользуясь последними неравенствами, можно усилить нера- неравенство B): (п—1)(*" + *2 "I" • • • + х„) ^ п (п—1)х{х2 . . . хп (равенство при Х\ = х2 = ... = хп). Положив в последнем соотно- соотношении xf = п\, хп2 = а2, ..., Л'? = а/п получим: (равенство при а\ = а2 = ... =ап). Следовательно, среднее арифметическое п положительных чи- чисел не меньше их среднего геометрического в предположении, что соответствующее неравенство справедливо для п—1 чисел. Но при п = 2 справедливость неравенства установлена непосред- непосредственной проверкой. Следовательно, оно имеет место при любом натуральном п^>2, ч. т. д. 22а
Теорема. Среднее гармоническое положительных чисел не больше их среднего геометрического: J_ _1_ ^2 O-Tl ,ап. A) Доказательство. Среднее геометрическое чисел — не больше их среднего арифметического: — + — — - . ... ^ Ql п2 ' On ^равенство при ai = a2 = ... = ап). Взяв обратные величины от об'еих частей последнего неравен- неравенства и изменив смысл знака неравенства, получим A), ч. т. д. Теорема. Среднее квадратическое не меньше абсолютной величины среднего арифметического данных чисел .+ап\ <Л/ а\+а\+ (равенство при ах = а2 = ... = ап). Доказательство. Рассмотрим квадрат суммы: Воспользовавшись неравенством 2aiaj<a2iJraj (равенство при ai = a?), заменим каждое удвоенное 'произведение суммой квад- квадратов сомножителей, тогда получим неравенство Чтобы получить требуемое неравенство, извлечем корень из обеих частей последнего неравенства, а затем почленно разделим на л, ч. т. д. Среднее арифметическое заключено между наименьшим и наибольшим из данных чисел. В самом деле, если в сумме п\ + а2 + ... + ап заменить каждое слагаемое наименьшим, а за- затем наибольшим числом, то получим: <1 + 2+ +nC n max a ЛИИ <тах«. П Аналогично доказывается такое же утверждение относительно среднего геометрического и среднего гармонического: 224
я/™ fi in a < у II a, <maxa и mina< < max a. min a Среднее квадратич'еское заключено между наименьшей и наи- наибольшей из абсолютных величин данных чисел: 1 2 ' ' ' ^L_<max \a При положительных числах at среднее гармоническое, среднее геометрическое, среднее арифметическое и среднее квадратичес- ское связаны между собой следующими неравенствами: mina 2i Теорема. Если знаменатели дробей а1 а2 ап bi ' b2 bn положительны, то имеет место неравенство: где min — и тах— наименьшая и наибольшая из данных дро- Ь b Доказательство. Обозначим для краткости m = min— и Ь М = max —; о имеем: тйх < ах < МЬЪ mb2 < а2 Сложив почленно и разделив на Ь\ + Ь2 + ... +6П, получим: ^ ^ м, ч. т. д. Равенство имеет место лишь, когда дроби —равны между со- бой. 15 С. И. Новоселов 225
В частности, min a < *'fli + **fl'4- - - -+*"*" < max a, *1 + *2 + • • • + kn где ^ произвольные положительные числа, a min а и max а наименьшее и наибольшее из чисел аь а2, ..., ал. Неравенство Бернулли. При h > О и при любом рацио- рациональном г > 1 имеет место неравенство A + й)'>1 + гА. Доказательство. Положив г=—, где р><7. напишем неравенство, выражающее, что средне'е геометрическое чисел q раз р — ^ раз A +гЛ). A +гЛ), . . . , A4-W0. 1,1, . . .,1 меньше их среднего арифметического Откуда т.е. 1 + гА<A + АГ, ч. т. д. При натуральном г = лг неравенство Бернулли может быть доказано непосредственно. По формуле бинома Ньютона имеем: отбросив положительные слагаемые, начиная с третьего, получим: A + /г)*> 1 + nh. § 60. Задачи на экстремум, решаемые применением неравенств Лемма 1°. Если сумма п положительных чисел Х\> х<±, ..., хп имеет данное значение S, то произведение имеет наибольшее значение, при условиях Х1 __ Х2 __ _ /1 v V JL > пг1 ш2 тп еде m\y m2, ..., шп —любые заданные положительные рациональ- рациональные числа. 226
Доказательство. Предположим, что ти т2, ..., тп — натуральные числа. Рассмотрим тх -\- т2 + ... + тп чисел mi раз т2 раз -^ Х\ e Х2 Х2 Хо , • • . , , > , • • . , 1 тг т2 гп2 т2 тп раз лп лп хп . напишем, что их ср'еднее геометрическое не больше среднего арифметического: 4-1 4~ т., -\- • • • i tn n г* 1/(—Г(- Х\ . Х2 т1 — f/По - '«Л т1 откуда 1 X ' ' ' + тп, B) Наибольшее значение для х^1 х^...л'^ получается, когда по- последнее неравенство обратится в равенство, что будет иметь место при условии (см. стр. 222) V Г Y Y -4- V —1— —1_ г' С •*! -^2 ЛП __ л\ 1^ Л2 1^ • • • ~Т~ Л>п о W-1 t7l2 ПЪц ffli "г tfl2 -f~ . . . ~}~ tn>n Пусть тх =— , m2=p\ ..., mn = — —дробные числа. Обо- Qi Q2 Яп значим через N наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, а через du d2, ..., dn — соответствующие дополнительные множители. Имеем: При данной сумме произведение, находящееся под знаком кор- корня, имеет наибольшее значение, если Pn Разделив знаменатели на N, получим равенства A), ч. т. д. Следствие. При данной сумме х\+х2 + ...-{-хп произведе- произведение чисел х\Х2...хп имеет наибольшее значение, если эти числа равны х\ = х2 = ... = хпщ 15* 227
Лемма 2°. При данном произведении Р = х™*х™*...х%псумма S = х\-+-Х2 + ...+х имеет наименьшее значение, если положи- положительные числа хи *2, -., хп удовлетворяют условию A). Доказательство. Перепишем неравенство B) следую- следующим образом: S >(т1~гт2+ . . . + тЛ т\ 1т2 . тп При условии A) это неравенство обращается в равенство, и тогда при данном Р сумма S получает наименьшее значение, ч. т. д. Черт. 50 Задачи отыскания максимума Р при данном S и минимума 5 при данном Р называются взаимными. Как для той, так и для другой задачи решение дается условиями (I). Примеры 1. Из всех прямоугольников с данным периметром найти тот прямо- прямоугольник, площадь которого является наибольшей. Решение. Пусть х и у — длины взаимно-перпендикулярных сторон пря- прямоугольника, 2s — его периметр и р — площадь. Имеем: x+y=s, но при s данной сумме произведение р имеет наибольшее значение, если х—у — ~гЛ т. е. если прямоугольник является квадратом. Взаимная задача формулируется следующим образом: из всех прямоуголь- прямоугольников с данной площадью найти тот, который имеет наименьший пери- периметр. Решение этой задачи также дает квадрат. 2. Из данного квадрата со стороной а вырезать по углам такие квад- квадраты со стороной х, чтобы после сгибания по пунктирным линиям (черт. 49) получилась коробка наибольшего объема. Решение. Площадь основания коробки равна (а — 2хJ, высота равна х. Отсюда найдем объем: v = х (а—2хJ. Положим а—2х = у, тогда имеем 2v = Bx) у2 228
Сумма сомножителей 2л* и у равна а, следовательно, 2v (а также и v) имеет наибольшее значение, если 2х у а — 2х а ~г=т'т-е-2х=—i— •откуда *=ir 3. Найти цилиндр наибольшего объема, вписанный в шар данного ра- радиуса R Решение. Пусть хну — радиус основания и высота искомого цилинд- цилиндра; имеем: v = nx2y Из чертежа 50, на котором фигура изображена в раз- разрезе, найдем: 4Я2 = 4х2 + У\ откуда v = ^~ у DR* — у2) = ~^- (у2) 2 f(AR2 - у2). 4 4| Сумма сомножителей у2 и 4R2— у2 постоянна, поэтому максимальное зна- значение объема получится, если i<i , откуда „.,,„., ,- 4. Из всех прямоугольных параллелепипедов с данным объемом найти тот, который имеет наименьшую полную поверхность. Решение. Пусть х, у и z — ребра искомого параллелепипеда, v — его объем, а 25 — полная поверхность. Имеем: v—xyz. Ищем минимум: s = ху + хг + уг. Так как значение v дано, то данным можно считать также и значение v2=(xy) (xz) (yz). Минимум суммы s при данном произведении реализуется, если xy = xz = yz, откуда x—y = z. Следовательно, решение задачи дает куб. Взаимная задача формулируется следующим образом: из всех прямоуголь- прямоугольных параллелепипедов с данной полной поверхностью найти тот, который имеет наибольший объем. Решение этой задачи также дает куб. 5. Найти наименьшее значение суммы S = х2 + у2 + z2 при заданном значении ах •+• by + cz = р. (где хотя бы одно из чисел a, b и с отлично от нуля). Решение. Пусть ax+by + cz=p. В силу неравенства Буняковского (см. § 58, стр. 216) имеем: (*2 + у2 л. гг) (fl« + Ь2 + с») > (ах + by+ czJ, откуда 2 наименьшее значение S будет реализовано, когда неравенство обратится в ра- равенство, что будет иметь место при a b с , Из этих соотношений и из уравнения ax+by + cz = p найдем: ар Ьр ср Х У Z Геометрическая интерпретация. На данной плоскости ax+by-{-cz=p ищется точка, для которой расстояние от начала координат yS 229
имеет наименьшее значение. Соотношения A) показывают, что искомой точкой служит основание перпендикуляра, опущенного из точки О на данную плоскость. § 61. Неравенства, содержащие неизвестные, задание элементарных областей при помощи неравенств Пусть Fi(x, у, ..., z) и F2(x, у, ..., г) —функции от аргументов х, уу ..., z, рассматриваемые совместно в общей части их областей определения. Неравенство Fi(x, У,..., z)<F2(x, у,..., г), (F) выражающее следующее суждение: значение функции F{ меньше значения функции F2, называется неравенством с неизвестными ху у, ..., z. Неравенства, содержащие неизвестные, могут быть различ- различных видов: Л > ^2. F, < F2, Ft > F2. Если при некоторой системе значений неизвестных х = а, у — Ъ,..., z = c высказанное суждение истинно, т. е. значение функции Л меньше значения функции F2: Fx(a9 b, ... , c)<F2(a, 6, .. . , с), то система чисел (а, &,..., с) называется решением нера- неравенства (F), говорят также, что эта система чисел удовлетво- удовлетворяет неравенству (F). Можно рассматривать системы неравенств, содержащие неиз- неизвестные. Решением системы неравенств называется система зна- значений неизвестных, удовлетворяющая каждому неравенству данной системы неравенств. Решить неравенство (систему) — значит найти множество всех его решений. Множество всех решений системы неравенств есть общая часть множеств решений каждого неравенства системы, взя- взятого в отдельности. Можно рассматривать также совокупности неравенств, содержащие неизвестные. Решением совокупности неравенств на- называется такая система значений неизвестных, при которой удов- удовлетворяется хотя бы одно из неравенств совокупности. Систему двух неравенств F{ < F2, F2 < Fz принято записывать «цепочкой»: FL<F2<F3. Понятие эквивалентности, сформулированное примени- применительно к уравнениям, распространяется на неравенства (системы 230
если они имеют одно и то =1 W Черт. 51 и совокупности неравенств): достаточно в определении (стр. 187) заменить слово «уравнение» словом «неравенство». Таким образом (по определению), два неравенства (системы либо совокупности) эквивалентны, же множество всех решений. Если неравенство (система или совокупность) является след- следствием данного неравенства (си- (системы или совокупности), то (по определению) множество всех его решений содержит как часть мно- множество всех решений данного не- неравенства (системы или совокуп- совокупности). Заданием неравенства (систе-, мы или совокупности неравен- неравенств), содержащего неизвестные, определяется множество всех его решений. В математике часто неравенствами пользуются как средством задания числовых и точечных множеств. В § 5 (см. стр. 17 и 18) были сформулированы определения различных видов числовых промежутков: сегменты, интервалы, полусегменты (конечные и бесконечные), все эти промежутки определялись как множества всех действительных чисел, удов- удовлетворяющих некоторым неравенствам. Элементарные области на плоскости. Пусть f\(x) и U(x) две функции, непрерывные на сегменте [а, Ь] и удо- удовлетворяющие неравенству /i(*)<72(x) в интервале (а, Ь). Рас- Рассмотрим множество точек (х, у) плоскости, содержащихся внутри фигуры, ограниченной снизу линией y = f\(x), сверху ли- линией у= /гС*)» слева и справа параллелями оси ординат х =- а и х = Ъ (черт. 51) (линии, ограничивающие данную фигуру, к рассматриваемому множеству не причисляются). Аналитически это множество можно характеризовать следу- следующей системой неравенств: a<Cx<Cby fi(x) <Zy<i f2(x), (Di) которой удовлетворяют координаты принадлежащих ему точек. В самом деле, при любом данном х, содержащемся в интервале (а, Ь)у значения у содержатся между числами /i(x) и /г(х). Примечание. Входящие в состав границы боковые отрезки могут (один или оба) выродиться в точку, так бу- будет, если верхняя и нижняя дуги имеют общие концы (один или оба, черт. 52). Аналогично, системой неравенств c<y<dy ?i(#)<*< ?2(#) (D2) внутри 231 характеризуется множество точек плоскости, лежащих
фигуры, ограниченной слева и справа линиями * = ф1 х = Ф2(#) (соответственно), а снизу и сверху прямыми и j/ = d (черт. 53). * Системой неравенств и и определяется фигура, ограниченная снизу линией y=*f(x), а с боков прямыми х = а и х=Ь (черт. 54). a b a b a M/xp г b Черт. 52 Система неравенств а<д;<+оо, fi'(x)<y<f2(x) определяет фигуру, изображенную на черт. 55 Черт. 53 Черт. 54 Определение. Элементарной областью (открытой) называет- называется множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих системе неравенств вида: a<x<bf h(x)<y<:f2 (x) (D2) или c<y<d, zг{у)< х< ср2{у). (D2) Множество точек, получающихся присоединением к эле- элементарной области ограничивающих ее линии, называется замкнутой элементарной областью. 232
Примечание. В неравенствах, определяющих эле- элементарные области, могут участвовать символы ±оо. Для получения системы неравенств, определяющих замкну- замкнутую элементарную область, достаточно в неравенствах, опреде- определяющих соответствующую область (открытую), заменить знаки <знаками < за исключением, разумеется, знаков, относящих- z=ft;x.y} \ Черт. 55 Черт. 56 ся к символам ± оо, и также случаев, когда равенство влечет за собой невыполнимые действия. Системы неравенств могут служить для задания точечных множеств в пространстве. Рассмотрим, например, мно- множество точек, содержащихся внутри тела, ограниченного снизу поверхностью z = f\(ху у), сверху поверхностью z = f2(xy у), с бо- боков цилиндрической поверхностью с образующими параллель- параллельными оси OZ. Если проекцией рассматриваемого тела на плоскость XOY служит элементарная плоская область (черт. 56), то данное мно- множество характеризуется системой неравенств: fi(x, y)<*<h{*> У\ где х и у, координаты проекции на XOY произвольной точки мно- множества, удовлетворяют системе неравенств, характеризующей плоскую область, служащую ^проекцией тела, т. е. системе нера- неравенств вида (Di) или (D2). Примеры 1. Система неравенств а<х < Ь, с < y<d определяет множество точек, лежащих внутри прямоугольника. Системы не- неравенств определяют соответствующий замкнутый прямоугольник (черт. 57). 2. Множество точек, лежащих внутри окружности 233
определяется системой неравенств: , - У\ - х2 < У V\ - х2 (черт. 58). 3. Система неравенств определяет замкнутую область, образованную точками, лежащими в первом квадранте выше гиперболы у=—и на самой гиперболе (черт, 59), эту систему х неравенств сокращенно можно записать так: 0 4. Система неравенств г/ ш i i а Щ [ 1 1 \ ь Черт. 57 О Черт. 59 Черт. 60 определяет изображенный на чертеже 60 треугольник (замкнутый), этот же треугольник можно задать системой неравенств: 0 < У< 1, У < х <\. 5. Система неравенств 1 < х, - Vx* - 1 < у < 234
определяет область, ограниченную ветвью гиперболы х2 — #2=1; область можно (черт. 61) задать системой неравенств: эту же — оо < у < оо, У* < х оо. 6. Рассмотрим область, ограниченную сверху прямой у = х, а снизу пара- параболой у = х2 (черт. 62). Прямая и парабола пересекаются в двух точках (О, 0) и A, 1). Рассматриваемую область можно задать системой неравенств: , х2<у<х Черт. 61 Черт. 62 0 < */< 1, y<x<Vy • 7 Множество точек, содержащихся внутри тетраэдра, ограниченного пло* скостями x + z/ + z=l, х = 0, у=0, z = 0, можно задать системой неравенств: 0<г<1-л; — у, 0<//<1 — х, 0<х<\. § 62. Решение неравенств Во многих случаях (но, разумеется, не во всех) множество всех решений неравенства (системы или совокупности) с одним неизвестным состоит из конечного числа числовых промежут- промежутков. Аналогично для неравенств с двумя (или большим числом) неизвестными множество всех решений может состоять из ко- конечного числа элементарных областей. В этом случае (наиболее важном в приложениях) задача решения неравенства (системы или совокупности) ставится так: установить неравенства, опре- определяющие промежутки или элементарные области, в которых удовлетворяется данное неравенство (система или совокуп- совокупность). 235
Таким образом, в рассматриваемом случае неравенства за- заменяются новыми неравенствами, характеризующими все те промежутки или элементарные области, в которых выполняются данные неравенства. Некоторые положения теории эквивалентности уравнений имеют место, а некоторые не имеют места применительно к не- неравенствам. 1°. Применительно к неравенствам остается в силе общий признак эквивалентности (стр. 193). 2°. Теорема. Неравенства F1 V F2 (F) и ^i + ю V F2 + <*> эквивалентны, если функция ы(х, y,...,z) имеет смысл в облас- области определения неравенства (F). Доказательство, данное на стр. 193 для уравнений, остается в силе для неравенств (надо лишь в рассуждениях знак равен- равенства заменить знаком неравенства). Следствие. Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком. 3°. Имеет место теорема: неравенства Fx{xy у, ...9z)<F2(x, yt ... , г) и F2(x, у9 ... , z)>F1(xf у, ... , z) эквивалентны. Доказательство. В силу свойства I (см. § 56) второе неравенство вытекает из первого, а первое из второго. 4°. Теорема. Если функция co(jt, #,..., z) положительна в об- области определения неравенства то это неравенство и неравенство со F± < a) F2 эквивалентны. Если функция со (х, у,.. .,z) отрицательна, то не- неравенства Fi<F2 и о) F± > a) F2 эквивалентны. Доказательство из F\<F2 при со>0 следует cof^W^ (см. § 56, свойство VI), а при со<0 следует ®Fi>(uF2. Обратно, И3 1 1 со Ft < со F2 при со > 0 следует — (со Fx) < — (со F2), О) (О т. е. Fi</72» ПРИ со<0 из co/7l>coF2 следует (О (О 236
т. е. Л < F2, ч. т. д. Формулировка этой теоремы в виде правила та же, что фор- формулировка свойства VI на стр. 213. При почленном умножении и возведении в степень нера- неравенств следует руководствоваться правилами IX и X, изложен- изложенными в § 56. 5°. Теорема. Неравенство </,..., г) >() Ф(Х, у, . . ., 2) эквивалентно неравенству F (х у, ..., г) Ф (х */,..., z) ^> 0. Доказательство очевидно, так как значения частного — и произведения f-Ф суть числа одного и того же знака, ч. т. д. На основании этой теоремы можно производить освобожде- освобождение неравенств от знаменателей. (Примеры решения неравенств рассмотрены в параграфах 75, 91, 92, 93, 106). Теорема о «комбинировании» (стр. 202 и 203), справедливая для систем уравнений, не имеет места для систем неравенсгв. Так, например, системы: не эквивалентны. В самом деле, вторая система есть следствие первой. Однако первая система не есть следствие второй, так как из условия jFi + jF2>0 при Л>0 следует, что F2>—Fh но не следует, что F2>0. Пример Рассмотрим систему неравенств х— у >0, х + у > 0. Эта система эквивалентна системе у<х, у> — х, т. е. — х<у < х. Последнее возможно, если—х<х, т. е. при х>0. Итак, имеем элементарную область (черт. 63): 0<.х<+оо, — х<у<х, (Dx) Вторая система принимает вид х — у>0, 2л:>0, откуда (черт. 64): 0<*< + оо, у < х. (D2) Элементарная область (Di) есть часть (D2) (вторая система — следствие пер- первой). Неполное решение неравенств Задача неполного решения неравенства, содержащего неиз- неизвестное, заключается в следующем: установить, что существует 237
некоторое непустое множество значений неизвестного х, удов- удовлетворяющих данному неравенству и указать такое множество. Таким образом, при неполном решении неравенства не тре- требуется находить множество всех его решений, а достаточно (во- Черт. 63 Черт. 64 обще говоря) найти некоторую непустую часть этого мно- множества. При такой постановке вопроса в процессе неполного решения неравенства возможно, в целях упрощения, произво- производить над данным неравенством ряд операций сужающих мно- множество всех его решений. Неполное решение неравенств широко применяется в теории пределов. Так, например, чтобы доказать, что lim f(x) = А, досга- точно доказать, что при произвольном заданном е неравенство \f(x) —А\ <е выполняется при всех значениях хфа в некото- некотором интервале, содержащем точку а, при этом вовсе не требует- требуется находить множество всех значений аргумента, удовлетворя- удовлетворяющих неравенству A). Примеры 1. Доказать, что при всех достаточно больших положительных значениях аргумента х выполняются неравенства 0< г5-5 < 0,0001. Решение. Найдем такой интервал (N, сю), в котором наверное вы- х полняются неравенства A). Будем считать, что х>/5, тогда дробь ложительна, а потому достаточно выполнения неравенств: *2—5 по- > 104 или x > 104 + —t X 238
Последнее неравенство наверное выполняется, если х>1001, так как тогда 5 5 — <1 и х>1001>104+—. Итак, неравенства A) выполняются в интервале A001, оо). 2. Найти интервал, содержащий точку х—\, в котором наверное выпол- выполняется неравенство 1*» + * —2| < 0,0001. A) Решение. Имеем* |*з + х _ 2| = \х — 11 \х2 + х + 2|. Возьмем какой-либо определенный интервал, содержащий точку х=\, напри- например, интервал 0<jc<2. В этом интервале \х*+ х + 2\ < 8, а потому \х3 4- х + 2| < 8\х — 1|. 0.0001 Неравенство A) наверное выполняется, если \х—1| <—г—, т. е. в интер- интерес вале 0,9999875 <х< 1,0000125. § 63. Неравенства, содержащие абсолютную величину Пусть h данное положительное число; неравенство \x\<h A) справедливо при положительном ху если x<h; при отрицатель- отрицательном х, если — к<х и при х = 0. Ни при каких других значениях х неравенство A) места не имеет (это следует из определения соотношений «больше» и «меньше» для положительных и отри- отрицательных чисел). Неравенство A) равносильно системе нера- неравенств: — h<x<h. B) Геометрически неравенство A) выражает, что точка х рас- расположена на числовой прямой на расстоянии, меньшем h, от на- начала координат. Точка х должна быть заключена в интервале (—Л, h) (черт. 65), это и выражают неравенства B). Если а > 0, то неравенство \х\ > а выполняется либо если х > а, либо если х < —а. Таким образом, данное неравенство эквивалентно совокупности двух неравенств: общее решение есть совокупность двух интервалов (—оо, —а) и (а, оо). Геометрически неравенство \х\ >а выражает, что точ ка х расположена на числовой оси на расстоянии большем а от начала координат (черт. 66). 239
При а<0 неравенство \х\>а удовлетворяется тождественно. При а = 0 получим неравенство |*|>0, удовлетворяющееся всеми значениями неизвестного, отличными от нуля; общее ре- щение есть совокупность двух интервалов (—оо, 0) и @, оо). Не- Неравенство \x — a\<h (где]Л>0) выполняется, если — h<x— а <й, откуда a — h<x<a+h. Соответствующая точка х должна быть расположена в интервале длины 2ft с середи- серединой в точке а. При выполнении неравенства \х—а\ >h точка х расположена вне этого интер- интервала (черт. 67). а-Ь a+h Черт. 67 Черт. 68 Пусть а —данное комплексное число. Выражение \г—а равно длине отрезка, соединяющего точки г и а. Следовательно, неравенство \z-a\<h выполняется для всех точек, лежащих внутри круга радиуса h с центром в точке а (черт. 68). Примеры 1 Неравенство \х — 2| <1 выражает интервал 1<х<3. В комплексной плоскости неравенство |г —2| <1 выражает внутренность круга радиуса 1 с центром в точке 2. 2. Система неравенств равносильна следующей системе двух неравенств 1<|х — 4) и \х — 4|<2. Первое изображается совокупно- совокупностью двух интервалов — оо<х<3 и 5<*<+оо, 2 3 5 б второе — интервалом 2<#<6. Общую часть составляют два Черт. 69 интервала 2<х<3 и 5<х<6 (черт. 69). 3. В комплексной плоскости неравенство \<\х — 4| изображает множест- множество точек, лежащих вне круга К\ радиуса 1 с центром в точке 4. Неревенство 240
I * — 4| <2 изображает внутренность круга /С2 радиуса 2 с центром в точке 4. Система неравенств 1 < |лг — 4|< 2 изображает множество точек, лежащих внутри кольца, ограниченного кругами Кх и К2 (черт. 70). Черт. 70 Черт. 71 4. Неравенство 2—1 24-1 ИЛИ |z — выражает, что расстояние точки z до точки 1 не больше расстояния z до точки —1. Множество точек z есть правая полуплоскость, включая мнимую ось (черт. 71). § 64. Смешанные системы Определение. Смешанной системой с неизвестными х, у, ..., z называется множество соотношений, из которых неко- некоторые являются уравнениями, а некоторые неравенствами: Ф\(х,у9 .. . , г)>ф1(х,у,.ии,г) (Ф) (?,Ф) выражающих следующее суждение: при данной системе значе- 16 С. И. Новоселов 241
пай неизвестных удовлетворяется каждое из заданных cooi- ношений. Определения основных понятий, относящихся к системам уравнений и неравенств (решение, эквивалентность, следствие и т. д.), распространяются и на смешанные системы. Пример Уравнение х — у = 0 или у = х определяет биссектрису I и III квадрантов. Неравенство лс^О определяет правую по- полуплоскость (включая О У). Смешанная система х — у = 0, х>0 определяет биссектрису первого квадранта координатной плоскости (черт. 72). Черт. 72 § 65. О решении и исследовании текстовых задач на составление уравнений и неравенств В текстовых задачах соотношения между искомыми величи- величинами, числовыми данными и параметрами (при решении задач в общем виде) не задаются заранее, а устанавливаются из ус- условия задачи, сформулированного словесно. Искомые величины или другие величины, зная которые мож- можно определить искомые, обозначают буквами — эти величины называются неизвестными. Все независимые между собой соотношения между данными и неизвестными величинами, либо непосредственно сформулированные в условии (в словесной форме), либо вытекающие из смысла задачи (например, физи- физические законы, которым подчиняются рассматриваемые вели- величины), либо следующие из условия путем некоторых рассужде- рассуждений, записывают в виде равенств и неравенств. Таким образом, по условиям данной задачи составляются соотношения (уравнения и неравенства) с данными неизвестны- неизвестными; эти соотношения в общем случае образуют некоторую сме- смешанную систему. В частных случаях эта система может не содержать неравенств либо уравнений, может состоять лишь из одного уравнения или неравенства. Если величины, считающиеся известными, задаются в общем виде и обозначаются буквами, то полученные уравнения (неравенства) содержат параметры. Не всегда условия, ко- которым должны удовлетворять неизвестные и параметры, выра- выражаются при помощи равенств и неравенств. Так, например, усло- условия быть целым или рациональным числом не задаются при по- помощи равенств и неравенств. Эти условия, налагающиеся на допустимые значения неизвестных и параметров, суть те допол- 242
нительные условия, при которых следует решать смешанную си- систему. Таким образом, в общем случае решение задачи сводится к решению полученной смешанной системы в некотором числовом поле при определенных дополнительных условиях. Последними условиями из множества всех решений (в данном поле) смешан- смешанной системы выделяются те решения, для которых значения не- неизвестных (в соответствии с их конкретным смыслом) являются допустимыми. Если рассуждения, на основе которых были составлены со- соотношения (уравнения, неравенства), неприменимы в некото- некоторых «особых случаях», то эти случаи следует рассмотреть от- отдельно. Обычно в решение и исследование задачи включается истол- истолкование, на основе ее конкретного смысла, случаев, когда полу- полученная система либо не имеет решений, либо имеет бесконечное множество решений. Нередко в исследование задачи включают- включаются дополнительные вопросы, относящиеся к конкретному истол- истолкованию решения. Так, например, если некоторое неизвестное обозначает величину, которая отсчитывается в двух противопо- противоположных нап явлениях, то можно поставить вопрос, при каких условиях этс неизвестное положительно (отсчитывается в уста- установленном положительном направлении) или отрицательно (от- (отсчитывается в противоположном направлении) и т. п. Таковы общие указания, относящиеся к решению и исследо- исследованию текстовых задач. Решение одной и той же задачи может быть более простым или более сложным в зависимости от выбора величин принятых за неизвестные, а также от выбора независимых соотношений, на основе которых составляется соответствующая смешанная си- система. Изложенные указания не являются «абсолютными» и не могут претендовать на исчерпывающую полноту, так как много- многообразие различных соотношений действительности, изучающих- изучающихся методами математики, не может быть уложено в рамки раз и навсегда установленных правил. Различные задачи, возника- возникающие при решении практических и теоретических вопросов, имеют свои индивидуальные особенности, вносящие самые разнообразные моменты в их решение и исследование. Задача. В одном сосуде объемом vx литров в начале наблюдения имеется ах литров води, а в другом объемом v2 литров имеется а2 литров. Каждую минуту в первый сосуд поступает поШ\ литров, а во второй пот*> лит- литров воды. Через сколько минут в обоих сосудах будет одинаковое количе- количество воды? Решение. Парамеры тх и т2 можно считать как положительны- положительными, так и отрицательными. Например, случай т\<0 будем толковать гак. из первого сосуда выкачиваются т{ л в минуту. Будем решать задачу при следующих условиях: поступление (выкачи- 16* 243
вание) воды в сосуды прекращается, как только один из них будет либо на- наполнен, либо опорожнен. Допустимые значения параметров определяются следующими условиями: О < «1 < vL, 0 < а2 <, v2. Пусть х — искомое количество минут, за которое объемы воды в обоих сосудах сравняются. Время х можно считать отрицательным, если про- процесс течения жидкости происходит до и а ч а л а наблюдения. За время х ми- минут в первый сосуд поступает тхх лив нем окажется а2 + т\Х л воды, ана- аналогично по прошествии времени х во втором сосуде окажется а2+т2х л воды. По условию задачи объемы воды в обоих сосудах должны быть равны, это условие выражается уравнением: 01 +т1х = а2+т2х. A) Кроме того, количество воды в каждом из сосудов не отрицательно и не может быть большим чем объем сосуда, эти условия выражаются неравенст- неравенствами: О < ах + тхх < i\ , 0 < я2 + rn2x < v2. B) Итак, требуется решить смешанную систему, состоящую из уравнения A) тя неравенств B). Решив уравнение A), получим: ю Q2 — fli 1°. х = , если тх Ф т2. т1 — т2 2°. Не существует решений, если Ш\ = т2, а2 Ф сц. 3°. Уравнение удовлетворяется тождественно, т\ = т2 и ах = а2. В случае 1°, если значение х удовлетворяет обоим неравенствам B), то задача имеет единственное решение. Если х>0, то количества воды сравня- сравняются в будущем, х<0 означает, ч;о равенство объемов имело место до начала наблюдения. Если значение х не удовлетворяет 'неравенствам B), то равенст- равенство объемов наступить не может, например, один из сосудов наполнится или опорожнится до того момента, когда сравняются объемы. В случае 2° в начале наблюдения в сосудах было различное количество воды и каждую минуту в них поступает одинаковое количество жидкости. Следовательно, объемы никогда не могут сравняться. Случай 3° отличается от предыдущего тем, что в начале наблюдения в со- сосудах было одинаковое количество воды, но тогда в обоих сосудах одинако- ьое количество воды будет в течение всего опыта. Положим, например: ах = 1, а2= 5, vx= Ш, v2 ^= 20, mv = 8 н т2 = 2, 2 2 2 имеем; х = — и 0 <1+8-— <10, 0<5+2- —- < 20, объемы сравняются 3 о о 2 через — мин. о Положим: ui = 32, 02 = 20, тх = А, m2=l, Ui = 40, и2 = 30, тогда х= —4; име- имеем 0<32 — 4-4<40 и 0<20 —4rl<30. В первом сосуде было воды больше, чем во втором, и в него ежеминутно поступает большее количество литров. Объемы в будущем сравняться не могут. Если поступление воды имело ме- место до начала наблюдения, то объемы были равны 4 мин тому назад. Положим: а! = 20, а2 = 30, mi=15, га2=10, 1^ = 30, у2=100. Имеем х — 2, условие п\ + тхх < vx не выполняется: 20 + 15.2 > 30, т. е, первый сосуд наполнится раньше, чем наступит равенство объемов. Предлагаем учащимся самостоятельно привести ряд числовых данных и дать конкретное толкование результатов. 244
Сопоставление различных текстовых задач, приводящихся обычно в сборниках упражнений по элементарной алгебре, по- показывает, что многие задачи отличаются друг от друга лишь фабулой, тогда как некоторые соотношения между данными и искомыми величинами, а также рассуждения, посредством ко* торых устанавливаются эти соотношения, остаются одними и теми же. Две такие задачи дают лишь две различные конкрет- конкретные интерпретации одного и того же математического рассужде- рассуждения, одних и тех же соотношений. Задача Из пунктов Ах и А2, находящихся на расстояниях ах и а2 от пункта О, выходят два курьера и движутся со скоростями Ш\ и tn2 (соот- (соответственно). Вычислить момент встречи курьеров. Пункты А\, А* и О рас- расположены на прямолинейной дороге, по которой и происходит движение. Решение. Пусть х искомое время; за х час первый курьер пройдет расстояние т\х км и окажется на расстоянии а\ -Ь т\Х км от точки О. Ана- Аналогично второй курьер окажется на расстоянии а2 + гп2х от точки О. В момент встречи должно иметь место равенство: ах -\- пгхх = а2 + пг2х. A) В этой задаче и в рассмотренной выше задаче о наполнении сосудов по- получается одно и то же уравнение, для составления которого применяются одни и те же рассуждения. Вместо объемов воды сравниваются расстояния, вместо скоростей течения воды даются скорости движения курьеров. При решении теоретических и практических задач (в науке, в технике, в обыденной жизни) в ряде случаев приходится поль- пользоваться по сути дела одними и теми же рассуждениями, при- приводящими к одним и тем же соотношениям. Одна из целей реше- решения текстовых задач в курсе алгебры заключается в усвоении характерных наиболее часто встречающихся рассуждений при решении задач элементарными математическими методами* и в приобретении навыков в составлении соотношений, выража- выражающих зависимости между величинами. Так как в действительности никакое явление не протекает изолированно от других явлений, то и решение практических задач нередко осложняется необходимостью учитывать явления, связанные с данным. Чтобы наиболее отчетливо выделить сами рассуждения данного типа и показать их применение к решению различных задач составляются «абстрактные» задачи, в усло- условиях которых соотношения между данными и искомыми величи- величинами даются в упрощенном, схематическом описании без уче- учета ряда дополнительных условий, имеющих место в действи- действительности. В «абстрактных» задачах нередко и сама фабула при- приспосабливается к требуемым математическому содержанию и степени сложности. Таковы, например, известные задачи «на смешение», «на курьеров», «на бассейны» и т. п.**. * Как известно из методики математики, эта цель не является единственной. ** О количестве и месте «абстрактных» задач среди прочих упражнений трактуется в методике математики. 245
Рассмотренная в виде примера (стр. 243) задача о наполнении сосудов нередко дается (например, в школьных задачниках) без указания объемов самих сосудов, тогда отпадают и дополнитель- дополнительные условия для неизвестного. Эта задача соответствует лишь абстрактно мыслимому случаю сосудов неограниченной вмес- вместимости. Цель такой задачи показать сами рассуждения, приво- приводящие к составлению уравнения, не осложняя их установлением неравенств, характеризующих дополнительные условия. Примеры решения и исследования текстовых задач даны ни- ниже в § 78 и 95. § 66. Понятие об элементарных графических и приближенных методах решения уравнений Решение уравнения f(*)=0 можно толковать геометрически как отыскание точек пересечения графика функции y = f(x) с осью абсцисс. Если на- начерчен график функции / (х),то, выполнивсоот- --!''*) ^S* ветствующие измере- измерения, можно определить искомые корни уравне- уравнения. На практике по- построение графика (пользуясь известными свойствами функции и таблицей ее значений), а также измерение от- отрезков (линейкой или Черт. 73 на миллиметровой бумаге) могут быть выполнены лишь при- приближенно. Графический способ решения уравнений «в чистом виде» не обладает большой точностью и может служить лишь для гру- грубых расчетов. Нередко графический способ применяется в следующем ви- виде: представив данное уравнение в виде равенства двух функций строят отдельно графики функций f(x) и у(х) и затем при по- помощи измерений находят абсциссы точек пересечения графиков (черт. 73). Графический метод играет незаменимую роль в качестве вспомогательного средства при приближенном решении уравне- уравнений. Знание графиков функций f(x) и ф(х) нередко позволяет определить число решений уравнения A), отыскать «в первом приближении» те промежутки, в которых содержатся искомые корни и определить «примерно» их численные значения. Резуль- 246
таты, полученные графическим путем, подвергаются последую- последующей проверке и уточнению вычислительными методами. Таким образом, графические методы во многих случаях по- помогают наметить путь последующей вычислительной работы. Примеры 1. Определить число корней уравнений 2Х = Ах. Из чертежа 74, на котором представлены графики функций у = 2х и у = 4х, видно, что уравнение имеет два корня. Большего числа корней не может быть, так как показательная ли- линия всюду выпукла и не может пересе- пересекаться с прямой более чем в двух точках (см. ниже, § 99). Значение большего корня х = 4 находится непосредственно. Второй корень (как показывает чертеж) заключен в интервале @,1). Проверим Черт, 74 это вычислением, положив f (х) = 2х — \х, имеем: / @) = 1 > 0, а f(\)=—2<0. Следовательно (в силу непрерывности), в некоторой точке ин- интервала @,1) функция должна обращаться в нуль. 2. Рассмотрим уравнение 2х = х2 Наличие двух положительных корней х = 2 и х ~ 4 усматривается непосредственно. Других положительных корней 247
нет, ибо при х > 0 данное уравнение эквивалентно уравнению х = 2 log2x и линия у = 2\og2x> будучи выпуклой, не может иметь более двух точек пере- пересечения с прямой у = х. Наличие корня в интервале (—1, 0) ясно из чер- чертежа 75. В самом деле, положив f(x) =2Х—х2, имеем: f (_ 1) = _ 1 < о, и /@) = 1 >0 3. Определить число корней уравнения Определим сначала число неотрицательных корней. При х^> 0 соответствую- соответствующие точки пересечения синусоиды у = sin х и прямой у —77^х должны быть расположены в прямоугольнике, ограниченном прямыми х = 0, х = 100, у = 0 и у = 1. Определим, сколько целых полупериодов синуса содержит сегмент [0, 100] Как показывает несложный расчет: 31я<100<32я. Разобьем весь прямоугольник с основанием [0, 100] на 32 прямоугольника, основанием кото- которых служат сегменты. [0, те], [те, 2те], ..., [ЗОтт, 31те], [31те, 100]. Точки пересечения прямой у = 0,01 х и синусоиды содержатся в прямо- прямоугольниках 1-м, 3-м и т. д. в 31-м по две в каждом. Таким образом, уравнение /¦' Черт. 76 имеет 32 неотрицательных корня. Уравнение имеет 63 действительных корня, из них 31 положительный, 31 отрицательный и 1, равный нулю (черт. 76, мас- масштабные единицы осей взяты различными). Предположим, что: Г. Найден такой сегмент а < х < 6, внутри которого содер- содержится единственный корень я = | уравнения /(д:)=0 (функция f(x) предполагается непрерывной). 2°. Значения функции f(x) в точках а и b противоположны по знаку. Корень | считается отделенным, если выполнены перечислен- перечисленные условия (черт. 77). Во многих случаях (см. приведенные выше примеры) отде- отделение корней может быть достигнуто применением графическо- графического способа. В курсе высшей алгебры излагаются методы отделения кор- корней многочленов. 243
Существуют различные методы приближенного вычисления отделенного корня, если точное его значение неизвестно. Эти методы позволяют вычислить корень с любой заданной степенью точности. Изложение наиболее распространенного из этих мето- методов (способ «хорд и касательных») дано в курсе высшей ал- алгебры. Черт. 77 Ниже мы остановимся на элементарном способе прибли- приближенного вычисления корня. Пусть Х\— любая точка, взятая внутри сегмента а < х < 6, в частности, можно взять его сере- середину х\= -^-z—. Если f(xi)=O, то 1 = х{ и, значит, корень най- найден. Допустим, что f(xi)^0\ положим для определенности, что /(а)<0, f(b)>0 и /Ui)<0 (черт. 78). В этом случае искомый корень % содержится в интервале (х\ч Ь). Повторив процесс Черт. 78 Черт. 79 деления промежутка достаточное число раз, можно получить как угодно малый промежуток, содержащий искомый корень, и тем самым вычислись ? с любой заданной степенью точности. К числу элементарных методов относится способ линейной интерполяции, называемый иначе «способом хорд» или правилом «ложного положения». Заменим (приближенно) дугу (кривую) АВ графика хордой (черт. 79), тогда абсцисса Х\ точки пересе- пересечения хорды АВ с осью ОХ рассматривается как приближенное значение корня |. 249
Заменив дугу хордой, мы можем считать приращение функ- функции пропорциональным приращению аргумента: b-a f(b)-f(a) ' Но приближенно ?> = х\ (при замене дуги хордой) и f(*i)=0, откуда (b -a)f {a) хг =а ил-1 . f(b)~f(a) Поправка Дх, которую надо прибавить к а, чтобы получить приближенное значение корня хи равна: Л (b — a)f {a) f(b)-f(a) Способ линейной интерполяции можно комбинировать со спо- способом деления промежутка. При вычислениях следует пользо- пользоваться имеющимися в распоряжении средствами (таблицы лога- логарифмов, таблицы значений функций, счетная линейка, арифмо- арифмометр) и руководствоваться общими правилами приближенных вычислений. Пример. 1 Вычислить меньший корень уравнения 2х = 4л: с точностью до 0,01. Решение. В примере 1, стр. 247, показано, что искомый корень содер- содержится в интервале @,1). Имеем /@) = 1 и /A) =—2, где f(x) =2*— Ах. При помощи линейной интерполяции получим: Вычислим значение f(xi) = 0,2599 —1,3333=—0,0734. О Следовательно, искомый корень лежит в интервале @, — (.Так как V 3 / значение / — j «близко к нулю», то естественно предположить, что иско- мый корень близок к~т~. Положим х% — 0,3, имеем: о f @,3) = 2°'3 — 0,3- 4= 1,2311 —1,2=0,0311 (> 0) (при вычислении дробных степеней числа 2 можно воспользоваться таблицами логарифмов). Следовательно, корень заключен в интервале @,3; 0,333...). При- Применим снова линейную интерполяцию: ^0,3- @.333...-0.3Ж0.3) 0,0333-0,0311 /@,33...)—ДО,3) —0,0734 — 0,0311 Отсюда естественно ожидать, что х = 0,30 есть искомое приближенное значение корня. Для проверки вычислим /@,31), имеем: /@,31) ==20'31 - 0,31-4= 1,237—1,24 < 0. Итак, /@,30) > 0, а /@,31) < 0. Значит, g~= 0,30 и Г*" = 0,31 суть иско- искомые приближенные значения корня с недостатком и избытком.
ГЛАВА V УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ § 67. Линейные уравнения Определение. Линейным уравнением с неизвестными х, у, ..., z называется уравнение вида: ах+by + . . . + cz = dy (L) где коэффициенты а, Ь, ..., с и свободный член d суть числа данного поля (или некоторые функции параметров). К каноническому виду (L) может быть приведено всякое уравнение первой степени, т. е. уравнение: FL(x, у, . . . ,г) = F2(x9 у, . . .,г), левая и правая части которого суть многочлены первой степени от неизвестных. При рассмотрении линейного уравнения (L)'надполем рацио- рациональных чисел обычно умножают обе части на общее наименьшее кратное знаменателей чисел а, Ь,..., с, d, а затем полученное уравнение с целыми коэффициентами сокращают на общие (от- (отличные от ±1) делители этих чисел (если эти делители имеют- имеются). Каноническим ведом линейного уравнения над полем ра- рациональных чисел считается уравнение (L), в котором а, &,..., end суть целые, взаимно простые (в своей совокупности) чис- числа *. Примеры 1. Примеры линейных уравнений: * Известное из школьных учебников правило: «освободить уравнение от дробей, сократить на общий множитель, перенести неизвестное в одну, а данные числа в другую часть» относится к уравнениям над полем рацио- рациональных чисел. 251
над полем рациональных чисел: 2а: =5, За: — 2#=4, х + у — 2=1; над полем действительных чисел: над полем комплексных чисел: C+0 а:— # + Три первые уравнения можно рассматривать также над полем действи- действительных и полем комплексных чисел, а четвертое и пятое над полем ком- комплексных чисел. 2. Привести уравнение над полем рациональных чисел 3 0,2* + 0,1у 4л: — у *+ 2 а: — у 2 ~~ 10 ~~" 30 + 5 к каноническому виду. Решение. Имеем последовательно: умножаем на 20: с и окончательно: 3. Уравнение 2х+ у 20 у*х + у~ — \2х + 7у 4х — 10 = 1, У У) 2*+ 1 "~ 20 "*" = 2х + 1 Ч либо 12а:- х — у 5 - 4 (л: — -7у = • У)\ -1 а:3 —За:2 + 2 = (*— IK +2jc эквивалентно линейному уравнению; имеем последовательно: а:3 — За:2 + 2 = х3 -^ Зх2 + 5х — 1 и (после переноса членов, содержащих х, в левую часть) — 5а: = — 3 и, наконец, ох — 3 Линейное уравнение с одним неизвестным. Линейное уравнение с одним неизвестным имеет следующий вид: ах = ЪУ (L) где а и Ъ числа данного поля. Случай 1°. аф 0. Во всяком числовом поле при произ- произвольном а ф 0 уравнение (L) имеет единственное решение (вы- (выполнимость деления): Это решение принадлежит тому же числовому полю, кото- рому принадлежат а и 6. Случай 2°. а = 0, Ъ Ф 0. В этом случае уравнение не имеет решений. В самом деле, 0х = 0 при произвольном х\ следова- следовательно, если Ь Ф 0, то равенство (L) не может выполняться ни при каком значении х. 252
Случай 3°. а = b = 0. В этом случае уравнение (L) при- примет вид Ojc = 0 и удовлетворяется тождественно; его решением служит произвольное число х данного поля. Примеры 1. Решить уравнение х— 4 3* — 2 2% + 1 5 + 10 " 3 ~~ Решение. Приводим уравнение к каноническому виду: 6 (х — 4) + 3 Cjc — 2) = 10B*+ 1) —210, 15л: —30= 20л: —200, 2>х — 6 = 4* — 40, — *=— 34; х = 34*. 2. Решить уравнение Решение. Приводим к каноническому виду: B+ У2)х = 4 + Уг, откуда х = 2+У2 2 Зная приближенные значения У 2, можно вычислить корень уравнения с любой степенью точности. Так, например: х « 3 — 1,41 = 1,59 с точностью до 0,01 (с избытком). 3 Решить уравнение Решение. Приводим к каноническому виду: 2 A — i) х = - 1 -г 21: откуда 1 + 2/ A 0 __ _1_ , J_. 2^1 — 0 4 ~~ 4 4 1' 4. Уравнение 5* —15=2* —25 + 3* не имеет решений; после приведения к каноническому виду получается про- противоречивое уравнение 0x^ — 10. Линейное уравнение с несколькими неиз- неизвестными. Рассмотрим уравнение с неизвестными х, у,..., z: ах-г by + . . . + cz = d. (L) * Здесь дано решение в подробной записи; по мере приобретения навыков, рекомендуется несложные промежуточные вычисления делать в уме и применять менее подробные записи. 253
Случай 1°. Хотя бы один из коэффициентов при неиз- неизвестных отличен от нуля. Уравнение (L) имеет бесконечное множество решений. Если, например, уравнение (L) содержит неизвестное ху т. е. а ф 0, то общее решение можно представить в виде: (х) где у, . . . , z произвольные числа поля, над которым рассматри- рассматривается уравнение. В самом деле, уравнения (х) и (L) эквива- эквивалентны, так как (х) можно получить из (L) переносом в правую часть слагаемых by, . . . , cz и умножением на отличное от нуля число —. Уравнение (х) дает выражение для значения х через значения прочих неизвестных у, . . ., г, которые могут быть вы- выбраны произвольно. Случай 2°. Все коэффициенты при неизвестных равны нулю: а=Ь = ... = с = Оу но йф 0. Уравнение не имеет ре- решений. Случай 3°. Все коэффициенты при неизвестных и сво- свободный член равны нулю: а = Ъ = . . . =с = d = 0. Уравнение удовлетворяется тождественно произвольной системой чисел (*,#,..., z) из данного поля. Рассмотренные случаи 1°, 2° и 3° дают необходимые и доста- достаточные условия того, чтобы линейное уравнение (соответствен- (соответственно) имело решения, но не удовлетворялось тождественно; было противоречиво; удовлетворялось тождественно. В самом деле, для каждого данного уравнения имеет место один из взаим- взаимно исключающих друг друга трех случаев 1°, 2° и 3°, а по- потому эти случаи выражают соответствующие необходимые и достаточные условия. Геометрическая интерпретация. Из аналитиче- аналитической геометрии известно, что уравнение с двумя неизвестными ах + by = с изображает прямую линию, если хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля; ему удовлетворяет произ- произвольная точка этой прямой линии*. Аналогично уравнение ах -\- by -f cz = d изображает плоскость в пространстве, если хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля. * Элементарное доказательство утверждения, что график линейной функции ах + by = с есть прямая линия, известно из школьного учебника алгебры. 254
Примеры 1. Общее решение уравнения 2х — у = 3 можно представить в виде: у = 2х — 3, где х — произвольное число или У . 3 х= j , у—произвольное число. 2. Приведя уравнение 2 [х — 2у + z) + Зх = х — 4у — 3 к каноническому виду, получим 4а: + 2г = — 3, последнее уравнение не содержит у. Общее решение можно записать в 1 3 3 виде: х — — z , у и г — произвольные числа, или г = —2х — — , х и у — произвольные числа. § 68. Линейные системы Пусть дана система линейных уравнений (или кратко ли- линейная система): a1x+bly + . . .+ ^2 = ^ A), | ахх + Ь2у + . . . + с%г = d2 B), i апх + ЬпУ+ • • -+CnZ = dn (n). ) Признаки, позволяющие по значениям коэффициентов судить, имеет ли данная система решения, а также формулы общего ре- решения устанавливаются в курсе высшей алгебры. В эле|Мен- тарной алгебре изучаются элементарные методы реше- решения и исследогаа/ния линейных систем, эти методы излагаются в виде правил, позволяющих в каждом конкретном случае уста- установить, имеет ли данная система решения и найти эти решения. Таким образом, элементарная алгебра дает алгоритм, позволяю- позволяющий в каждом конкретном случае выполнить решение и иссле- исследование линейной системы. Ограничимся случаем, когда не все коэффициенты при не- неизвестных равны нулю. Если все коэффициенты при неизвест- неизвестных равны нулю, то вопрос об исследовании системы решается непосредственно, именно: если хотя бы один из свободных чле- членов отличен от нуля, то система противоречива, если же и все свободные члены равны нулю, то система удовлетворяется тождественно. Если некоторые из уравнений (L) удовлетворяются тожде- тождественно, то эти уравнения можно отбросить. 255
§69. Треугольные системы Определение. Линейная система называется полной тре- треугольной, если ее уравнения можно записать в таком порядке (каноническом), что 1° первое уравнение содержит только одно неизвестное; 2° в каждом последующем уравнении могут содержаться не- неизвестные, содержащиеся в предыдущих уравнениях, и, кроме того, содержится только лишь одно неизвестное, не входящее в предыдущие уравнения. В канонической записи треугольной системы при переходе от предыдущего уравнения к последующему, к неизвестным, содержащимся в предыдущих уравнениях, присоединяется только одно новое неизвестное, причем первое уравнение содержит лишь одно неизвестное. В общем виде полная треугольная система записывается так: ап\\ = dl9 ^21*^"l ~T~ ^22*^2 ^~" ^2> ^31-^1 I ^32-^2 I ^33-^3 = ^3> а„пхп = dn, (А) где ни один из «диагональных» коэффициентов 0ц, а22>. • • > аг.п не равен нулю. В полной треугольной системе число уравне- уравнений равно числу неизвестных. Пример Система уравнений х = 2, у — и + г — 0, х — 2у=±, х — 3у — г = \ — полная треугольная, ее можно записать так: х =2, х — 2у =4, х — Зу—z = 1, у+ г — и =0. Определение. Линейная система называется усеченной треугольной, если она является полной треугольной относитель- относительно некоторой совокупности неизвестных, причем в уравнениях системы содержатся неизвестные, не принадлежащие этой сово- совокупности. Если усеченная система является полной треугольной отно- относительно неизвестных, jcb x2,..., хп, то в ее уравнениях, кроме этих неизвестных, содержатся некоторые другие неизвестные; обозначим их через t\, U, • • •» tu. 256
Канонической записью усеченной треугольной системы счи тается следующая ее запись: c12t2 + • • • + clktk + апхг = dv У c,2t2 + . . . + c2ktk -f a2lxl 4- a22x2 = d ап1хг + an2x2 (A) где диагональные коэффициенты an, а2з, ••., алл отличны от нуля (каждый). В усеченной системе число неизвестных больше числа уравнений. Примеры Система уравнений х — у -г z -\- w —0, z — и = 0, х 4- 2у + 3! -f " = 3, х -г ^ + и = 1 является усеченной треугольной; она полная относительно неизвестных х, у, z, w, t ru-{ х = 1, | 3/ + и + а: + 2у =3, + г =0, Эту же систему можно рассматривать как полную относительно других неизвестных, например: t, z,y, w, тогда получится следующая каноническая запись. x + u + t =-1, J i (^ ) x + u+3t +2ij =3' X _|_2— f/ + 0U=O. J Эту систему нельзя рассматривать как полную относительно х, у, t, w, так как уравнение z — и — 0 не содержит этих аргументов. Эту систему нельзя также рассматривать как полную треугольную отно- относительно а, х, у, t. В самом деле, за первое уравнение следует взять г — и = 0, но тогда все прочие уравнения содержат (каждое) не менее двух неизвестных х, у, t. Теорема. 1°. Всякая полная треугольная система имеет единственное решение. 2°. Всякая усеченная треугольная система имеет беско- бесконечное множество решений. Доказательство. ld. Решим систему способом подста- подстановки (§ 51), Первое уравнение имеет общее решение; у . L_ 17 С И. Новоселов 257
где х2, *з, ••- *п можно придавать произвольные значения из данного числового поля. Подставив найденное значение для Х\, получим следующую треугольную систему относительно #22*^2 — ^*2 #21 #32*2 ~Г #33*3 = ^3 #31 «11 «11 вя2*2 1- ... + #„А = dn -*anl -±- нз первого уравнения находим х2 и, подставив в прочие урав- уравнения, получим треугольную систему относительно неизвестных Лз, д:4, . .. , хп и т. д. После я-го шага получится вполне опре- определенная система значений неизвестных, дающая единственное решение системы (А). 2°. Перепишем усеченную систему (А) в следующем воде: = dl — cnt1— . . . —clktk9 - B2'2Х2 ~ do '^21^1 • • • ( х2+ ' ' • + annxn = dn — Cnitx— - • • —cnktk. Если неизвестным t\, t2, W придать некоторую (произволь- (произвольную) систему значений / = /@) / - /@) f __ /@) го получится полная треугольная система, имеющая единствен- единственное решение у — у@) у _ у@) у — у@) 1 Л1 » Л2 ~ 2 ' * * * ' n n ' Итак, всякой системе значений неизвестных t{ соответствует единственное решение системы (А), следовательно, (А) имеет бесконечное множество решений, ч. т. д. Для решения усеченной системы достаточно, решив первое уравнение относительно Х\\ Y — dl J±J_/ Clk / an an au подставить найденное выражение в прочие уравнения систе- системы (А). Тогда получится усеченная система с неизвестными л:2, лг3, хп\ t\, h, • • •, tk\ из этой системы найдем х2 и составим усеченную систему с неизвестными х3, х4, ..., хп, tu ..., tk и т. д. Оконча- 258
тельно получим общее решение, в котором неизвестные х\, х2, ••-, *п выражены в виде линейных многочленов от неизвест- неизвестных t\, t2,...,tk\ последним можно придавать произволь- произвольные значения из данного числового поля. Полную треугольную систему можно преобразовать в сле- следующую эквивалентную систему, которую получим, решив (в от- отдельности) первое уравнение относительно хи второе относи- относительно х2 и т. д.; п-е относительно хп: Чтобы решить эту систему, достаточно подставить значение Х\ из первого уравнения во второе, затем значения хх и х2 под- подставить в третье уравнение и т. д. Для усеченной системы в правых частях будут содержаться неизвестные t\, t2,...,tk. Примеры 1 Решить полную треугольную систему (см пример на стр. 256): х =2, х — 2у - 4, х — Зу — z = 1, у -!- z — и = 0. Решение. Из первого уравнения имеем х = 2, подставив во второе, получим 2 — 2у = 4 и у = —1, подставив значения х = 2 и i/ = —1 в третье, получим z — 4; из последнего найдем и = 3. Итак, jc = 2, у = —1, z = 4, и = 3 есть единственное решение системы. 2. Решить усеченную систему i-\- и \-х = 1, 3/+ и + * + 2# =з, -и +г =0, х — У -\- z -\- w =0 (см. пример на стр. 257). Решение. Из первого уравнения получим х — 1 — / — и. Из второго получим 3 3 и J. 3_ _3_ _и_ 1 Из третьего найдем z — и\ и, наконец, из последнего w = — х -|- у — г = — A — / — м) + A — /) — и = 0. Итак, общее решение системы можно представить в следующем виде: где неизвестным w и t можно придавать произвольные численные знач