Сборник задач по физике с решениями и ответами. Часть III. Электричество и оптика: Для учащихся 9-11 классов, абитуриентов и студентов младших курсов / Под ped. А.Н. Долгова. М.: МИФИ, 2001. — 188 с.
Авторы: А.Н. Долгов, В.П. Протасов, Б.В. Соболев
В третью часть сборника включены задачи по электричеству и оптике, предлагавшиеся за последние годы на вступительных экзаменах в МИФИ, в лицеи при МИФИ, а также на олимпиадах им. И.В. Курчатова и И.В. Савельева. Для основной части задач приведены решения, для задач с однотипным решением даны только ответы.
Сборник предназначен для поступающих в МИФИ и физико-математические лицеи при МИФИ, а также может быть использован студентами младших курсов и слушателями всех форм подготовительного обучения.
Рекомендован редсоветом МИФИ в качестве учебного пособия
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие.......
1.	Электростатика.
2.	Электрический ток
3.	Магнитное поле.
4.	Оптика..........
.............4
Задачи Решения и ответы
..5	10	66
22	28	100
39	41	135
47	55	149
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый сборник задач по электричеству и оптике является заключительной третьей частью учебного пособия по основным разделам школьной физики. Две других части были изданы ранее МИФИ: «Механика» — в 2000 г.; «Молекулярная физика и термодинамика» — в 2001 г. Как и первые две части, третья часть данного сборника предназначена для повторения основных разделов физики, изучаемых в средней школе, и для самостоятельной подготовки к вступительному экзамену в вуз по физике.
Данный сборник, как предыдущие, построен единым образом: к каждому отдельному физическому разделу дается краткое теоретическое введение, вполне достаточное для того, чтобы учащийся смог самостоятельно решить задачи этого раздела. Чтобы учащийся мог проконтролировать себя, для многих задач даются подробные решения. Для однотипных задач приводятся только ответы.
Задачи повышенной сложности отмечены звездочкой.
1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
При определенных условиях тела электризуются, т.е. приобретают свойство вступать в электромагнитные взаимодействия. Физическая величина, характеризующая это свойство тел или частиц и определяющая значение сил и энергий при таких взаимодействиях называется электрическим зарядом. Свойства электрического заряда:
электрические заряды делятся на положительные и отрицательные (одноименно заряженные тела или частицы отталкиваются, разноименно заряженные — притягиваются);
электрический заряд — величина, независящая от скорости движения носителя заряда;
электрический заряд — величина, аддитивная, т.е. заряд любой системы тел равен сумме зарядов тел, входящих в систему;
электрический заряд имеет дискретную природу, т.е. заряд любого тела кратен элементарному заряду, равному по величине заряду элементарных частиц — электрона и протона;
при всех явлениях, связанных с перераспределением электрических зарядов в изолированной системе взаимодействующих тел, алгебраическая сумма электрических зарядов остается постоянной (закон сохранения электрического заряда).
Силы электростатического взаимодействия (неподвижных в инерциальной системе отсчета тел) зависят от формы, размеров заряженных тел и характера распределения зарядов на этих телах. В случае неподвижных точечных зарядов q\ и q%, а также заряженных тел шарообразной формы, если их заряды q] и <?2 распределены равномерно по объему или по поверхности этих тел, справедлив закон Кулона', силы F электростатического взаимодействия между зарядами q\ и > находящимися в вакууме, прямо пропорциональны величинам зарядов, обратно пропорциональны квадрату расстояния г между ними (между их центрами в случае шарообраз
ной формы взаимодействующих тел) и направлены по прямой, соединяющей эти заряды (центры шарообразных тел):
г1
где к - —-— = 9 • 109 Нм2/ Кл2 — постоянная закона Кулона в 4 ле о
системе единиц СИ, е0 = 8,85-10~12 Кл/Н-м2 (Ф/м) — электрическая постоянная.
Сила электростатического взаимодействия точечных зарядов или равномерно заряженных шаров в однородном и бесконечном, газообразном или жидком диэлектрике
1Й к 1^11 -Ь1
S-Г2 ’
где е — относительная диэлектрическая проницаемость среды.
Для описания дальнодействия электромагнитного взаимодействия вводится понятие поля. Силовой характеристикой электрического поля является вектор напряженности поля
еЛ,
я
гpff F — сила, действующая на «пробный» заряд q, помещенный в данную точку поля (пространства). Для графического изображения электростатического поля используют метод силовых линий. Силовые линии (линии напряженности) представляют собой воображаемые кривые линии, касательные к которым в любой точке совпадают с направлением вектора Е в этой точке поля. Силовые линии непрерывны, они начинаются на положительных и заканчиваются на отрицательных зарядах или уходят в бесконечность. Силовые линии нигде не пересекаются.
Энергетической характеристикой электростатического поля является его потенциал — скалярная величина, равная
W
<Р = — , Я
где W — потенциальная энергия «пробного» заряда q, помещенного в данную точку поля.
Точечный заряд q, помещенный в бесконечный однородный жидкий или газообразный диэлектрик, создает в окружающем пространстве поле, для которого (тоже для шарообразного однородно заряженного тела)
S • г
s • г
где г — расстояние от данной точки пространства до точечного заряда (до центра шара).
Внутри шара радиусом R с равномерно распределенным по его поверхности зарядом q Е = 0, а. потенциал постоянен и равен
<р = к—.
R
Геометрическое место точек электростатического поля с одинаковыми потенциалами называется эквипотенциальной поверхностью. В каждой точке эквипотенциальной поверхности вектор напряженности поля перпендикулярен к ней, работа по перемещению электрического заряда по эквипотенциальной поверхности равна нулю.
Принцип суперпозиции', напряженность Е и потенциал ср поля системы N зарядов q\...qtq^ (не обязательно точечных) в дан-
_ TV _	N
ной точке пространства равны Е = Е, и <р=У (р,-.
1=1	/=1
Потенциальная энергия системы точечных зарядов qt определяется выражением:
<р,- — потенциал поля, создаваемого всеми остальными зарядами в точке пространства, где находится заряд qt. Следствие: потенциальная энергия заряда q, равномерно распределенного по поверх
ности сферы радиуса R, погруженной в бесконечный жидкий или газообразный диэлектрик с диэлектрической проницаемостью е:
2 г-R
Бесконечная однородно заряженная плоскость создает в пространстве однородное электростатическое поле, модуль напряженности которого равен Е = ° (в СИ). Линии напря-2е0е
женности перпендикулярны плоскости.
Работа силы, действующей на точечный заряд q со стороны электрического поля, при перемещении Дг
А = -q•Дф,
где Дф = ф(г + Дг) - ф(г) в соответствии с определением потенциала. Поскольку в однородном поле А = q  Е • Ег , то Дф = - £ • | Дг | • cos а .
В проводниках электрическое поле вызывает движение свобод
ных зарядов — электронов, поэтому в электростатическом случае напряженность поля внутри проводника должна быть равна нулю. Следовательно, область внутри проводника и его поверхность должны иметь одинаковый потенциал, другими словами, весь объем проводника является эквипотенциалью. Вне проводника электрическое поле не равно нулю, причем вектор Е должен быть перпендикулярен к поверхности проводника в каждой ее точке. Наличие касательной составляющей напряженности поля привело бы к движению свободных зарядов вдоль поверхности.
Заряды и потенциалы заряженных проводников не могут быть заданы одновременно произвольным образом. Если изолированному уединенному проводнику сообщить заряд q и его потенциал будет равен ф, то отношение <?/ф остается постоянным для любых q. Величина C-q/ty получила название емкости проводника. Так
как заряженный проводник можно представить в виде суммы
большого количества точечных зарядов, обладающих одинаковым потенциалом, то энергия заряженного проводника:
ffz_g(P_C(P2
2	2
Пару проводников, заряжаемых разноименными равными по абсолютной величине зарядами, называют конденсатором. Проводники, образующие конденсатор, называют обкладками. Разность потенциалов между обкладками конденсатора называют напряжением (pi - q>2 = U конденсатора. Величина заряда на обкладках q и напряжение U связаны соотношением:
q/U = С,
где С — емкость конденсатора. Простейший конденсатор — плоский — представляет собой две одинаковые плоские пластины, расстояние между которыми d много меньше поперечного размера обкладок, поэтому поле между обкладками можно считать однородным. Емкость плоского конденсатора С = sqzS/d, где .S’ —
площадь поверхности обкладок, е — диэлектрическая проницае
мость однородного диэлектрика, заполняющего пространство между обкладками. Энергию заряженного конденсатора — энергию электрического поля, сосредото- с 1 ченного в пространстве между обкладками, мож- Г"Ч1~ но выразить следующим образом:
w ,Su2 У
2 2С 2
При параллельном соединении конденсаторов соединяют их одноименно заряженные обкладки, общая емкость батареи
С = С] + С% + ••• + сn .
При последовательном соединении конденсаторов соединяются их разноименные обкладки, при этом заряды на всех обкладках одинаковы по величине, а складываются величины, обратные емкостям:
ЗАДАЧИ
1.1.	На расстоянии Z = 2 см друг от друга закреплены два точечных заряда, равных по величине и противоположных по знаку. Величина напряженности электрического поля, созданного этими зарядами в точке, удаленной от каждого из них на d= 1 см, равна Е - 2 В/м. Определите величину зарядов.
1.2.	Два точечных заряда составляют в сумме Q = 880 мкКл. При расстоянии между зарядами г = 3,0 м между ними действует сила отталкивания, равная F = 190 Н. Чему равен по величине каждый из зарядов?
1.3.	Два разноименных точечных заряда величиной q = 4,0 • 10~8 К л каждый помещены в вакууме на расстоянии а = = 1,0 см друг от друга. Определите напряженность электрического поля в точке, удаленной на Ь = 2 см от каждого из зарядов.
1.4.	Напряженность электрического поля у поверхности Земли в среднем равна Е- 120 В/м и направлена по вертикали. Найдите
электрический заряд Земли, учитывая, что ее радиус R3 = 6,4 103 км.
1.5.	Три одноименных заряда q\, q2 и 93 связаны друг с другом двумя нитями. Длина каждой из нитей / (рисунок). Найдите силу натяжения нити, связывающей q^ и q2.
I	I
О	о —  о
91	?2
1.6.	В центре квадрата, в вершинах которого находятся точечные заряды q = 1,6 • 10~12Кл, помещен отрицательный точечный заряд. Какова величина этого заряда, если вся система зарядов находится в равновесии?
1.7.	Три точечных заряда q\ =1мкКл, q2 =4мкКл и 9з =1мкКл находятся на трех взаимно перпендикулярных прямых, пересекающихся в точке А. Расстояния от точки А равны q = 1 см, г2=2 см, Г3 = 3 см соответственно. Найдите величину напряженности электрического поля в точке А.
1.8.	Три одинаковых точечных заряда q = 8,5  10"7 Кл расположены в вершинах воображаемого равностороннего треугольника. Где и какой точечный заряд Q нужно поместить, чтобы вся система находилась в равновесии?
1.9*	. Две стороны равностороннего треугольника образованы одинаковыми равномерно заряженными палочками. При этом в центре треугольника потенциал равен фо = ЮВ, а напряженность электрического поля = 10 В/м. Найдите потенциал, а также модуль и направление вектора напряженности электрического поля в той же точке, если убрать одну из палочек.
1.10*	. Три точечных одноименных заряда помещены в вершинах куба, длина ребра которого равна а. Определите напряжен-
ность электрического поля в точке Л. Рассмотреть случаи (а, б, в, г) относительного расположения зарядов, приведенные на рисунках.
1.11*	. Предположим, что сила, действующая между двумя точечными зарядами, зависит от расстояния между ними, как 1/га . Как будет вести себя точечный заряд, помещенный внутрь (не обязательно в центр) равномерно заряженной по поверхности сферы. В начальный момент времени точечный заряд покоится. Рассмотреть случаи, когда а) а = V5 , б) а = >/7 , в) а = >/7 , г) а = у/з .
1.12*	. Незаряженный металлический цилиндр вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью <в = 2 • 103рад/с. Найдите напряженность электрического поля в цилиндре на расстоянии
г = 1 см от его оси. Заряд электрона равен е = 1,6 • 10 19 Кл, масса т = 0,9 • Ю-30кг.
1.13*	. Два тонких поршня площадью S = 20см2 каждый, помещенные в горизонтальный цилиндр из диэлектрика, образуют плоский конденсатор, заполненный воздухом при атмосферном давлении ро=1О5Па. Во сколько раз изменится расстояние между поршнями, если их равномерно зарядить разноименными зарядами величиной <2 = 3-10-6Кл? Температура в системе постоянна. Поперечные размеры поршней велики по сравнению с расстоянием между ними.
1.14.	Частица массой w = 10 12кг и зарядом <7 = -21О пКл влетает в однородное электрическое поле напряженностью Е = = 40 В/м под углом ф = 120° к его силовым линиям со скоростью Vq =220 м/с. Через какой промежуток времени частица сместится вдоль силовой линии на расстояние ДЛ = 3 м?
1.15*	. Шар массой т = 1 кг и зарядом q = 2 • 10~4 Кл подвешен на изолирующей нити в однородном электрическом поле Е = 3 • 104 В/м, причем вектор Ё перпендикулярен силе тяжести и направлен влево. Шарик отвели вправо так, что нить отклонилась на угол а = 30° от вертикали. Найдите силу натяжения нити при прохождении ею вертикального положения, g = 10 м/с2 .
1.16.	Два одинаковых заряженных шарика, масса и заряд которых равны соответственно: т = 10 г, = 5  10-7 Кл соединены двумя изолирующими нитями одна длиной /= 10 см, другая длиной 21 = 20 см. Систему удерживают за середину длинной нити в точке О, а затем точку подвеса О поднимают с ускорением а = g = 9,8 м/с2 вертикально
вверх. Определите натяжение короткой нити, соединяющей шарики во время их подъема.
1.17.	Шарик массой т = 2,0 г, имею-In-9V
щии заряд q = 2,5 -10 Кл, подвешен на нити и движется по окружности радиуса R = 3 см так, что нить вращается с угловой скоростью <о=2 рад/с. В центр окружности поместили шарик с таким же зарядом. Какой должна стать угловая скорость вращения нити, чтобы радиус окружности, по которой движется шарик не изменился?
О	1.18. Два маленьких заряженных
А	шарика одинаковой массы т = 0,1 кг
подвешены в точке О на двух нерастяжимых нитях той же длины, что и свя-g зывающая их нить АВ. После пережигания ранее натянутой нити АВ шарики
поднимаются на максимальную высоту, соответствующую горизонтальному положению нитей АО и ВО. Определите натяжение нитей в этом положении. Массами нитей (из изолирующего материала) пренебречь.
1.19	. Частица, заряд которой q, а масса т, пролетает область однородного электрического поля протяженностью d за время t. Ско
рость vq частицы на входе в поле направлена вдоль поля. Определите напряженность электрического поля.
1.20	. Совпадает ли траектория свободной заряженной частицы, движущейся в электрическом поле, с силовыми линиями этого поля.
1.21	*. Изобразите примерную картину силовых линий и эквипо-тенциалей электрического поля для следующих систем:
состоящей из точечного заряда и незаряженной металлической сферы (рис.
состоящей из точечного заряда и незаряженного металлического цилиндра (рис. б).
1.22	*. Изобразите примерную картину силовых линий и эквипо-тенциалей для электрического поля заряженного металлического диска (рис. а) и полого металлического цилиндра (рис. б).
I
а)
1.23	. Два точечных заряда <?] = +1 нКл и q^ = -10 нКл находятся на расстоянии друг от друга I = 55 см. Определите напряженность поля в точке линии, соединяющей заряды, где потенциал поля равен нулю.
1.24	. Расположение точечных зарядов <7] =10мкКл, 0 = = 100 мкКл, q% =25 мкКл показано на рисунке. Расстояние между зарядами qy и Q равно = 3 см, а между q^ и Q расстояние
r2 =5 см. Какую минимальную работу необходимо совершить, чтобы заряды q\ и q2 поменять местами? Заряды — точечные.
*1	Ь
1.25	. Четыре одинаковых точечных заряда q помещены в вершинах куба, длина ребра которого равна а. Какую работу необходимо совершить, чтобы перенести заряд из точки А в точку В? Рассмотреть случаи относительного расположения зарядов и точек А и В, приведенные на рисунках.
1.26	. Из бесконечности навстречу друг другу со скоростями Vj и v2 движутся два электрона. Определите минимальное расстояние, на которое они сблизятся.
1.27	. Два одноименных точечных заряда величиной
= 1,0  10-5 Кл и 92 = 3,0 • 10~5 Кл движутся из бесконечности навстречу друг другу вдоль одной прямой. Массы зарядов
ml =1,0-10 5 кг и т2 = 2,0-10~5кг, скорости, с которыми они начинают движение, Vj = 3,0-103 м/с и v2 =2,0-103 м/с. Определите
минимальное расстояние между зарядами.
1.28	*. Скорости двух электронов V] и v2 лежат в одной плоскости и при расстоянии / = 10 мкм между электронами образуют углы а = 45° с прямой, соединяю
щей электроны. На какое мини-
мальное расстояние сблизятся электроны, если
|v]| = |v2| = vo =Ю4м/с? Заряд электрона ^ = 1,6-10-19Кл, масса
т = 0,9 • Ю-30кг.
1.29	*. На горизонтальной поверхности на расстоянии / = 30 см друг от друга удерживаются два заряженных, одинаковых маленьких бруска массой т = 1,6 г каждый. Заряды брусков также одинаковы и равны q = 7,5 10-8Кл. Какое расстояние пройдет каждый
из брусков, если их освободить? Коэффициент трения о плоскость ц = 0,15, g = 10 м/с2 .
1.30	. Два точечных заряда = 3 • 10 4 Кл и q2 - 4 • 10-4 Кл закреплены в вершинах треугольника АиВ соответственно, а третий точечный заряд q^ = 2 - Ю^Кл массой т ~ 20 г удерживают в вершине С. Какую скорость разовьет этот заряд, если его отпустить? АС = 5 см; ВС = 6 см; АВ = 7 см. Силой тяжести пренебречь.
1.31	. Электрон и позитрон движутся по окружности вокруг своего неподвижного центра масс, образуя атом позитрония. Найдите отношение потенциальной и кинетической энергий частиц. Электрон и позитрон отличаются только знаком своего заряда.
1.32	*. л =100 маленьких проводящих сферических капелек с потенциалом ср = 3,0 В каждая при слиянии образовали одну каплю той же формы. Каков ее потенциал?
1.33	*. и = 106 сферических капелек сливаются в одну сферическую каплю. Радиус каждой капельки г = 5,0 • 10-4 см, заряд q = 1,6 -10~14Кл. Какая энергия затрачивается на преодоление электрических сил отталкивания при соединении капелек?
1.34	*. Два металлических шарика— один радиусом R с электрическим зарядом -q§ и другой радиусом V27? с зарядом + 2^о — соединили проволочкой ничтожной емкости и затем разъединили. Расстояние между шариками I» R. Как изменилась потенциальная энергия системы?
1.35	*. Два металлических шарика — один радиусом R с зарядом qQ, другой радиусом -JlR электронейтральный — соединили проволочкой ничтожной емкости и затем разъединили. Расстояние между шариками I» R, шарики неподвижны. Как изменилась потенциальная энергия системы?
1.36	*. Металлический шарик радиусом R с электрическим зарядом - q$ помещен внутрь тонкостенной металлической сферы радиуса 2R, которой сообщен заряд + -j2q0. Центры шарика и сферы совпадают. Шарик и сферу соединили прово
•J2R
2R
лочкой ничтожной емкости и затем разъединили. Как изменилась потенциальная энергия системы?
1.37	*. Металлическому шарику радиусом R, помещенному внутрь элек-тронейтральной изолированной толстостенной металлической сферы, сообщен заряд Qq. Центры шарика и сферы совпадают. Внутренний радиус сферы равен J2R, внешний— 2R.
Шарик и сферу соединили проволочкой ничтожной емкости и затем разъединили. Как изменилась потенциальная энергия системы?
1.38	*. Центры двух неметаллических неподвижных сфер радиусом R = 10 см, по поверхности которых равномерно распределен одинаковый отрицательный заряд = 5 • 10-7 Кл, расположены на расстоянии I = 35 см друг от друга. По линии центров в сферах сделаны небольшие отверстия. Вдоль этой линии движется положи-тельно заряженная частица с зарядом =7-10 Кл, имеющая в средней точке между сферами скорость, близкую к нулю. На какое максимальное расстояние она удалится от этой точки?
1.39	*. Центры двух неметаллических неподвижных сфер радиуса R = 10 см, по поверхности которых равномерно распределен одинаковый положительный заряд q^ = 2 -10—7 Кл, расположены на расстоянии 7 = 24 см друг от друга. По линии центров в сферах сделаны небольшие отверстия. Вдоль этой линии движется отрица-тельно заряженная частица с зарядом <?2 =110 Кл, имеющая в средней точке между сферами близкую к нулю скорость. На какое максимальное расстояние она удалится от этой точки?
1.40	*. В тонкостенной непроводящей равномерно заряженной сфере массой W] =5 10-5кг и радиусом Я = 10-2м имеются два небольших диаметрально противоположных отверстия. Заряд сферы q^ =10~8Кл. Первоначально сфера покоится. По прямой, соединяющей отверстия, из бесконечности движется со скоростью
v = 5 м/с частица массой т2 = 10-5 кг с зарядом q2 = 3 • 10~9Кл, одноименным с q\. Каковы будут скорости тел, после того, как они удалятся относительно друг друга на бесконечность?
1.41	*. Точечный заряд q\ =1,0-10-5Кл массой = 1,0 10-5 кг движется по оси одноименно с ним заряженного кольца. Какую наименьшую скорость должен иметь точечный заряд на очень большом расстоянии от кольца, чтобы пролететь сквозь него? Мас-
—5	—2
са кольца т2 = 2,0 10 кг, его радиус R = 5,0 10 м, а величина заряда q2 = 3,0 -10~5 Кл. Кольцо не закреплено и первоначально покоится.
1.42	*. Электрическая цепь АВ содержит 23 пары конденсаторов емкостью С] =1мкФ и С2 =2 мкФ. Оцените эквивалентную емкость цепи.
1.43	. Плоский воздушный конденсатор, имеющий емкость С = = 40 мкФ, заряжен до напряжения t/= 100 В и отключен от источника. Какую работу совершит внешняя сила при равномерном уменьшении расстояния между обкладками вдвое?
1.44	. Разности потенциалов на конденсаторах с емкостями С] = ЗмкФ и С2 =5мкФ равны Uj = 200 В и U2 =100В соответственно. Конденсаторы соединяют между собой разноименно заряженными пластинами. Найдите энергию, которая выделяется при перезарядке конденсаторов.
1.45	*. Две проводящие сферы радиусами =10 см и В2 = 20 см, имеющие общий центр и заряженные разноименными, но одинаковыми по величине зарядами q = 7,5 • 10-8Кл, соединили проволокой. Какое количество теплоты при этом выделилось?
1.46	*. На два последовательно соединенных воздушных конденсатора с емкостью С] =100 пФ и С2 =250 пФ подано напряжение
U = 300 В. Не отключая источника от конденсаторов, все пространство между обкладками конденсатора С] заполняют диэлектриком
с проницаемостью б = 4,5. Какую работу при этом совершит источник?
1.47	. Один конец проволочки соединили с регистрирующей частью электрометра, а другой перемещают по поверхности заряженного проводника, форма которого показана на рисунке. Каким образом при этом меняются показания электрометра?
2. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
Электрическим током называется упорядоченное движение электрических зарядов. Направлением электрического тока считается то направление, в котором упорядоченно движутся положительные заряды. Силой тока называется скалярная величина I, равная количеству электричества, которое за единицу времени переносится сквозь поперечное сечение проводника
/ = lim —.
Д/-»о Ы
Для постоянного тока в металлическом проводнике I = еп <\’> S, где е — абсолютное значение заряда электрона, п — концентрация электронов, <v> — средняя скорость упорядоченного движения электронов, 5— площадь поперечного сечения проводника. Для существования в проводнике постоянного тока необходимо выполнение следующих условий:
напряженность электрического поля в проводнике должна быть отличной от нуля и постоянной во времени;
цепь постоянного тока должна быть замкнута',
в цепи должны находиться источники энергии (источники тока), которые совершают работу, необходимую для обеспечения упорядоченного движения электрических зарядов в проводнике, и обеспечивают движение электрических зарядов внутри источника тока в направлении, противоположном действию сил электростатического поля, приводящего к упорядоченному движению заряды в проводнике. Для самого общего описания действия источника тока в цепи, независимо от его природы, вводят понятие — «сторонние» силы. В этом случае под работой источника понимают работу этих «сторонних» сил, т.е. сил неэлектростатического происхождения.
Электродвижущая сила (ЭДС) — характеристика источника тока, равная работе, производимой источником при переносе единичного положительного заряда по замкнутой цепи
А
8 = — .
Я
Напряжение (падение напряжения) на участке цепи 1-2 — физическая величина, равная полной работе, которая совершается электростатическими и «сторонними» силами при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2 цепи
Л лэл.ст	JCTOP
t/2_i =	= (Ф1 -ф2) + е2-1,
Я Я я
Ф] и ф2 — потенциалы точек 1 и 2 соответственно.
Для металлического проводника справедливо соотношение (закон Ома для однородного участка цепи)
^2-1 =Ф1 ~Ф2 =RI
(е2_J = 0, т.е. на участке цепи отсутствуют источники «сторонних» сил). В случае однородного цилиндрического проводника его сопротивление Rравно
1—►
1 ----EZ1----0 2
R
где р— удельное сопротивление --------------------------
проводника, I — длина проводника,	______________и
5—	площадь поперечного сечения. и--------------------►
р = р0(1 + а-Г), р0 — удельное со-противление при О °C, t — температура по шкале Цельсия.
Закон Ома для участка цепи, содержащего источник ЭДС (закон Ома для неоднородного участка цепи) в общем виде
А  / = (ф] - ф2) +e2-i 
Для случая на рисунке а
/?-/ = (ф1 - <р2) + е, для случая на рисунке б
R / = (Ф1 -Ч>2)“8 •
/-► _.+
+1
R
а)
Закон Ома для полной цепи, состоящей из источника тока с ЭДС е и внутренним сопротивлением г и внешнего сопротивления R.
Метод расчета разветвленных электрических цепей с использованием правил Кирхгофа', узлом А в разветвленной цепи называется точка, в которой сходится (пересекается) не менее трех проводников.
Первое правило Кирхгофа (правило узлов): алгебраическая сумма сил токов, схо-
N
дящихся в узле, равна нулю: ^/, =0, на-i=l
пример на рисунке Z] + Z2 - /3 - /4 = 0 . Токи считаются положительными, если они втекают в узел, и отрицательными, если они вытекают из узла. Первое правило Кирхгофа является выражением того факта, что при протекании постоянных токов в узлах не накапливаются электрические заряды.
Второе правило Кирхгофа (правило контуров): в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной электрической цепи, электрическая сумма произведений сил токов /,• на сопротивления соответствующих участков этого контура равна
N	M
алгебраической сумме имеющихся ЭДС	=^е,- .	Если токи
1=1	1=1
I, совпадают с выбранным направлением обхода контура, то они считаются положительными. ЭДС s, источников считаются положительными, если они создают токи, направленные в сторону обхода контура. Второе правило Кирхгофа является следствием закона Ома для неоднородного участка цепи, так как при обходе замкнутого контура изменение потенциала оказывается равным нулю.
Расчет разветвленной цепи постоянного тока проводится в следующей последовательности: а) произвольно выбираются направления токов во всех участках цепи; б) записываются п -1 независимых уравнений правила узлов, где п — число узлов в цепи; в) произвольные замкнутые контуры выделяются так, чтобы каждый новый контур содержал по крайней мере один участок цепи, не входящий в ранее рассмотренные контуры. В разветвленной цепи, содержащей п узлов и т участков цепи между соседними узлами, число независимых уравнений правила контуров равно т-п +1.
П р и м е р. На рисунке стрелками указаны выбранные направления токов /j, /2 , /3 на участках цепи. Пунктирными линиями показаны выделенные замкнутые контуры I и II и направления их обхода. Внутренние сопротивления источников ЭДС приняты равными нулю. Запишем уравнения правил:
для узла А
h +12 ~
для контура I
/]Я] -I2R2 =Ej -82,
для контура II
Z2^2 +hR3 ~е2 +£3 
Если известны параметры элементов цепи (R; и е( ) и необходимо рассчитать силу и направление протекающих в цепи токов (Z,), то полученная система уравнений является достаточной. Направление тока определяется знаком полученной при решении системы уравнений алгебраической величины силы тока: если полученное решение для силы тока положительное, то направление тока на данном участке цепи совпадает с выбранным, если — отрицательное, то направление тока — противоположное выбранному.
При составлении электрической цепи проводники могут соединяться последовательно или параллельно. При после-
довательном соединении проводников, а) сила тока во всех частях цепи одинакова; б) падение напряжения в цепи равно сумме падений напряжений на отдельных участках
и = щ +U2 +...+UN
в) эквивалентное сопротивление цепи равно сумме сопротивлений отдельных проводников
R = А] + R2 +... + R]\j.
При параллельном соединении проводников. а) сила тока в неразветвленной части цепи равна сумме сил токов, текущих по отдельным проводникам
*2
/-/1 +I2 + ... + IN;
б) падения напряжения в параллельно соединенных участках цепи одинаковы; в) складываются величины, обратные сопротивлениям параллельно соединенных участков
Работа и мощность тока. Закон Джоуля — Ленца. Если электрический ток постоянен, то при перемещении зарядов на участке электрической цепи за время t электрические и «сторонние» силы совершают работу
A = IUt,
где I — сила тока, U — падение напряжения на рассматриваемом участке. В общем случае, если ток— переменный /(/), то
t
А = ^i(t)-U(t)dt. Мощность (мгновенная) электрического тока
О
P=i-U .
Если проводник (сопротивлением А), по которому протекает ток силой I, неподвижен и в нем не происходят химические реакции, то мгновенная мощность тока
P = I2 R,
и характеризует скорость выделения теплоты в проводнике, поскольку в этом случае вся работа по перемещению зарядов затрачивается на нагрев проводника.
При протекании по цепи переменного тока i(f) его принято характеризовать величиной эквивалентного ему по тепловому действию постоянного тока, силу которого I называют действующим значением силы тока. Количество теплоты, выделяющееся на проводнике сопротивлением R за период Т переменного тока, одинаково в случае протекания по нему переменного тока /(/) и постоянного тока Г.
т	П~т
jR i2(t)dt = R I2 -Т => 1= -jf2(f)dt.
о	Го
Аналогичным образом вводится понятие действующего напряжения'.
Гт
U=\-\u\t)dt .
V о
В случае переменных токов и напряжений, изменяющихся по гармоническому закону i(t) = Im sin coZ и u(f) = Um sin(a>Z + ср), их действующие значения равны:
1 = ^ и U = ^, у2	V2
а средняя (за период 7) мощность тока на участке цепи может быть выражена, как
<Р>= ju(t)i(t)dt/Т =	cosip = 7(7cosip,
о	2
где ip — разность фаз между током и напряжением.
ЗАДАЧИ
2.1.	В проводнике длиной / полный движущийся заряд, равномерно распределенный по проводу, равен q. Определите среднюю скорость движения зарядов, если ток равен 7.
2.2.	По медному проводнику сечением 5' = 1мм2 течет ток 7=10 мА. Найдите среднюю скорость упорядоченного движения электронов вдоль проводника, если на один атом меди приходится один электрон проводимости. Атомный вес меди А = 63,6; а плотность р = 8,9 г/см3. Заряд электрона е = 1,6 • 10~19 Кл.
2.3.	Почему электрический проводник, по которому идет электрический ток, не испытывает никаких механических сил в направлении движения электронов?
2.4.	Пучок ультрафиолетовых лучей с длиной волны А,-10~7м передает металлической поверхности мощность Р = 10~6 Вт. Определите величину возникающего фототока, если фотоэффект вызывают а = 0,01 падающих фотонов. Потенциал облучаемого проводника остается неизменным.
2.5.	Какое количество аккумуляторов нужно соединить последовательно, чтобы получить в цепи ток I = 4 А при разности потенциалов на полюсах батареи U= 220 В? ЭДС каждого аккумулятора е = 2 В, внутреннее сопротивление г = 0,25 Ом.
2.6.	Резистор с сопротивлением R = 38 Ом изготовлен из медного провода массой т = 11,2 т. Чему равен диаметр провода? Удельное сопротивление меди р = 1,8 • 10-8 Ом • м , плотность меди d = 8,9  103 кг/м3 .
2.7.	Когда к источнику ЭДС подключили резистор сопротивлением R] = 5,0 Ом, сила тока стала 7] = 1,0 А, а когда подключили резистор сопротивлением 7?2=15 0м, то /2 =0,50 А. Определите внутреннее сопротивление источника.
2.8.	К батарейке с ЭДС £ = 3,0 В подключили резистор сопротивлением R = 20 Ом. Падение напряжения на резисторе оказалось U = 2,0 В. Определите ток короткого замыкания батарейки.
2.9*	. Чтобы определить место повреждения изоляции двухпроводной телефонной линии длиной L = 5 км, к одному ее концу присоединили источник ЭДС с е = 10 В. При этом оказалось, что если провода у другого конца линии разомкнуты, ток через источник 7] = 2 А; а если замкнуты накоротко, то ток через источник 72 = 3 А. Найдите сопротивление изоляции в месте повреждения. Сопротивление каждого провода линии R = 2 Ом. Внутренним сопротивлением источника пренебречь.
2.10*	. Определите ток, текущий через идеальный диод в цепи, изображенной на рисунке. 17= 100 В, 7?1 = 1 кОм, Т?2 = 2 кОм, 7?з = 3 кОм, Т?4 = 4 кОм.
2.11*	. Определите ток, текущий че-Рез идеальны® диод в цепи, изобра-У I	женной на рисунке. U- 100 В,
+	I УУ *'	= 1 кОм, Т?2 ~ кОм, /?з = 3 кОм,
/?4=4кОм.
2.12.	Какое дополнительное сопротивление необходимо присоединить к вольтметру с сопротивлением R = 1500 Ом, чтобы цена деления на шкале увеличилась в п = 5 раз?
2.13.	Вольтметр, рассчитанный на измерение напряжений до U\ = 20 В, необходимо включить в сеть с напряжением = 120В. Какое для этого требуется включить дополнительное сопротивление, если ток в вольтметре не должен превышать 1т =5 мА?
2.14.	Два одинаковых вольтметра, соединенных последовательно, при подключении к источнику постоянного тока показывают напряжение Щ = 4,5 В каждый. Один вольтметр, подключенный к
тому же источнику, показывает напряжение =8 В. Определите ЭДС источника.
2.15.	Амперметр с сопротивлением А] =2 Ом, подключенный к источнику ЭДС, показывает ток I = 5 А. Вольтметр с сопротивлением ^2 = 150 Ом, подключенный к тому же источнику ЭДС, показывает напряжение U = 12 В. Определите величину тока короткого
замыкания источника.
2.16*. Для схемы, изображенной на рисунке, определите ток через диод. ЭДС Ei=6,0 В и £2 =8,5 В; внутреннее сопротивление источников Г] =100 Ом и Г2=^ООм; сопротивление нагрузки R\ = = 20 Ом и Т?2 =15 Ом. Прямое сопротивление диода гр = 1,5 Ом; обратное Rq =150 Ом.
2.17*. Для схемы, изображенной на рисунке, определите ток через
диод. ЭДС £] =6,0 В и е2 =9,0 В; внутреннее сопротивление источников Г] =120 Ом и г2=150Ом; сопротивление нагрузки R] = 18 Ом и А2 = 25 Ом; прямое сопротивление диода г$ = 1,5 Ом;
обратное Rq =150 Ом.
2.18.	От генератора с ЭДС е = 250 В и внутренним сопротивлением г = 0,1 Ом необходимо протянуть к потребителю двухпроводную линию длиной I = 100 м. Какая масса алюминия пойдет на изготовление линии, если мощность потребителя Р = 22 кВт, и он рассчитан на напряжение U= 220 В? Удельное сопротивление алюминия р = 2,8 • 10~8 Ом • м . Плотность алюминия d = 2,7 г/см3.
2.19.	Четыре проводника с сопротивлением по А] =1,5 Ом каждый требуется соединить так, чтобы получить сопротивление А2 = 2 Ом. Как это сделать?
2.20.	Какое сопротивление и как нужно подключить к проводнику с сопротивлением Aj = 24 Ом, чтобы получить сопротивление А2 = 20 Ом?
2.21.	Величины сопротивлений в приведенном на рисунке участке цепи А] = 1 Ом, А2 = 2 Ом, А3 = 3 Ом, Ад = 4 Ом. Между	Т	,	*(
точками А, В, С, D необходимо подключить	I	“1
добавочное сопротивление г = А2 таким	п	п
образом, чтобы общее сопротивление уча-	*г	т
стка цепи при этом было: а) минимально	д 1—4—i	I &
возможным; б) максимально возможным.	А4
Какие это пары точек для случаев а) и б)?
Каким будет общее сопротивление участка в случаях а) и б)?
2.22.	Величина каждого сопротивления в схеме, изображенной на рисунке, А = 1 Ом. Каково сопротивление цепи между точками ЛиВ?
2.23.	Определите общее сопротивление цепи:
= — Ом, 1 2
2.24.	Из проволоки сопротивлением R= 10 Ом сделали кольцо. Где следует присоединить к кольцу провода, подводящие ток, чтобы сопротивление между точками присоединения равнялось г = 1 Ом?
2.25.	Постройте график зависимости общего сопротивления цепей, показанных на рисунках, от сопротивления реостата г.
в)
2.26*	. Определите сопротивление R^g бесконечных цепей (см. рисунок), состоящих из периодически повторяющихся элементов. Считать сопротивление R известным.
2.27*	. Определите сопротивление цепи, образованной двенадцатью одинаковыми проводниками сопротивлением R каждый, соединенными между собой, как показано на рисунках а), б) и в) при подключении к точкам А и В.
2.28*	. Определите сопротивление цепи, образованной двенадцатью проволочками, составляющими ребра куба и соединенными между собой в вершинах куба, при подключении к точкам А и В. Сопротивление каждой проволочки R. Рассмотрите три варианта расположения точек А и В, показанных на рисунках а), б) и в).
2.29. Резистор сопротивлением R = 45 Ом и конденсатор соединены последовательно с аккумулятором, при этом заряд на обкладках конденсатора равен q\ =6-10~5Кл. Если же резистор и конденсатор подключить к аккумулятору параллельно, то заряд на обкладках конденсатора будет q2 = 4 10~5Кл. Найдите внутреннее
сопротивление аккумулятора.
D R A R/3
2.30.	В электрической схеме, изображенной на рисунке, s = 4 В; г = 1 Ом; Cj = 2 мкФ; С2 = 4 мкФ. Найдите заряд на обкладках конденсатора С]. R = 3 Ом.
2.31.	В изображенной на рисунке схеме конденсатор имеет заряд q^ =10мкКл. Какой заряд q2 будет на конденсаторе, если ключ К замкнуть?
2.32*	. Для приведенной схемы определите разность потенциалов Фл ~ Фв межДУ точками А и В, если ЭДС источника е = 12 В, а его внутреннее сопротивление пренебрежимо мало.
2.33.	Найдите заряд на конденсаторе С2. Внутренним сопротивлением источника ЭДС пренебречь. Емкости конденсаторов равны:	Cj =1мкФ, С2=2мкФ,
С3 = 3 мкФ; сопротивления составляют Ry =10 Ом, А2=20Ом, ЭДС источника е = 6 В.
2.34*	. Определите заряд, который пройдет через сопротивление Rl после размыкания ключа К. Внутреннее сопротивление источ-
ника ЭДС г =10 Ом, е = 50В, Aj = А2 = A3 = Ад =20Ом, С = = 10 мкФ.
2.35	*. Какой заряд пройдет через конденсатор С при переключении ключа К из положения А в положение В1 Внутреннее сопротивление источников г =10 Ом, е = 50 В, Aq=Aj=10Om, А2 = 20 Ом, A3 = 30 Ом, С = 10 мкФ.
2.36	*. Какой заряд пройдет через конденсатор С при переключении ключа К из положения А в положение В1 Внутреннее сопротивление источников ЭДС пренебрежимо мало, е = 50 В, С = 10 мкФ. Сила тока, текущего через сопротивление Ад, при переключении
уменьшается в к = 1,4 раза.
2.37	. Сопротивление R\ при напряжении U = 220 В потребляет
мощность А] =484 Вт, сопротивление А2 — А2 =121 Вт. Если сопротивления Aj и А2 поочередно включать последовательно с неизвестным сопротивлением г, то потребляемая ими мощность в обоих случаях оказывается одинакова. Определите величину сопротивления г.
2.38	. При включении двух неизвестных сопротивлений в сеть напряжением £7=220 В один раз последовательно, а второй раз параллельно, они потребляют мощности А] =16 Вт и А2 =100 Вт соответственно. Определите величину неизвестных сопротивлений. Сопротивление подводящих проводов пренебрежимо мало.
2.39	*. Два одинаковых чайника, каждый из которых потребляет при напряжении U = 220 В, мощность А = 400 Вт, закипают при последовательном и параллельном включении за одно и то же время. Чему равно сопротивление подводящих проводов?
2.40	. Один раз сеть постоянного напряжения соединили проводами с резистором Aj, второй раз с резистором А2. При этом в цепи протекали токи силой /] = 1А и /2 = 0,8 А соответственно.
Если в сеть подключить только соединительные провода, то какой силы ток по ним потечет? Rz! R\ = к = 1,5.
2.41	*. К источнику ЭДС подключают в качестве нагрузки сопротивления. При величине сопротивлений R\ = 25 Ом и Л2=16 0м на нагрузке выделяется одна и та же мощность W = 400 Вт. Определите величину тока короткого замыкания источника.
2.42	*. Источник тока поочередно подключают сначала к одному резистору, а затем к другому. Найдите ЭДС этого источника тока, если в первом случае течет ток Ц = 30 А и в резисторе выделяется мощность Р[ = 180 Вт, а во втором случае ток равен /2 = Ю А и соответствующая мощность в резисторе равна = 100 Вт.
2.43	. В каком случае электрическая лампа потребляет большую мощность: сразу после включения ее в сеть или по прошествии некоторого времени.
2.44	. Цепь, содержащую две лампы ^2	накаливания Л1 (220 В, 40 Вт) и Л2
&	Оу | ку |	(6 В, 3 Вт), включили в сеть при замк-
J нутом ключе К, затем ключ разомкнули. В этом случае обе лампы горели нормально. Когда же эту цепь включили в сеть при разомкнутом ключе К, лампа Л2 сразу же перегорела. Почему?
2.45*	. Шесть лампочек для карманного фонарика включены в сеть с помощью реостата, обеспечивающего нормальный накал каждой лампочки. Как изменится создаваемая этими лампочками освещенность, если одна из них перегорит?
220В
2.46.	Комната освещена пятью последовательно соединенными лампами, на каждой из которых написано: 220 В, 75 Вт. Затем одну из них заменили лампой, на которой написано: 220 В, 100 Вт. Будет ли она светить ярче, чем замененная?
2.47.	Определите во сколько раз увеличивается или уменьшается тепловая мощность, выделяющаяся в приведенных цепях при переключении ключа из положения А в положение В. Сопротивления всех элементов одинаковы; напряжение, приложенное к цепям, постоянно.
2.48.	Постройте график зависимости тепловой мощности, выделяющейся в цепях, показанных на рисунках, от сопротивления реостата г, если прикладываемое напряжение U постоянно.
2.49.	В вашем распоряжении имеются раствор соли азотнокислого серебра AgNCh, источник постоянного тока (батарейка), ам
перметр с неотградуированной шкалой, графитовый и платиновый стержни. Как, пользуясь всем этим, отградуировать амперметр?
2.50*	. Определите, какая масса алюминия выделится на катоде за Д/ = 10 ч при электролизе А12(8О4)з, если в течение этого времени ток через электролит равномерно убывает от /] =1,5 А до /2 = 0,5 А. Атомный вес алюминия М - 27, число Авогадро Ад = = 6 • 1023 моль-1, заряд электрона е -1,6  10-19 Кл.
2.51.	Никелирование металлического изделия с площадью поверхности 5 = 120 см2 продолжалось / = 5ч при силе тока / = - 0,3 А. Валентность никеля Z- 2; атомный вес М- 59, плотность р = 9 г/см3 . Определите толщину нанесенного слоя никеля. Число Авогадро Ад = 6 • 1023 моль-1, заряд электрона е = 1,6 • 10-19 Кл.
2.52.	Определите, какая масса меди выделилась на катоде за t = 100 с, если ток за это время равномерно возрастал от /| = 1,0 А до /2 ~ 3,0 А, а электролитом является C11SO4. Атомный вес меди ц = 64, число Авогадро Ад =6 1023 моль-1, заряд электрона е = 1,6 • 10-19 Кл.
2.53.	Сколько времени нужно производить электролиз воды, чтобы получить V= 1 л водорода Н2 при t = 27 °C и Р = 105 Па. Молярная масса водорода ц = 2 г/моль, число Авогадро Ад = = 6  1023 моль-1, заряд электрона е = 1,6 • 10-19Кл. Ток при электролизе/= 100 А.
2.54.	Можно ли измерить электроскопом или электрометром напряжение в цепи переменного тока?
3. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Магнитное поле в каждой точке пространства характеризуется вектором магнитной индукции В. Условились выбирать направление вектора В в точке расположения магнитной стрелки совпадающим с направлением от южного к северному полюсу стрелки. Графически магнитное поле можно изобразить, если ввести представление о линиях магнитной индукции (иногда их называют силовыми линиями магнитного поля). Линии магнитной индукции — воображаемые линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора В в этих точках поля. Линии магнитной индукции замкнутые (в отличие от линий напряженности электрического поля).
На электрический заряд величиной q, движущийся со скоростью v в магнитном поле индукцией В, действует сила Лоренца, модуль которой равен
|#л | = q • v • В • sin ot,
где а — угол между векторами v и В . Направление силы Fn определяется правилом левой руки, расположим руку так, чтобы линии магнитной индукции (т.е. вектор В) входили в ладонь, а направление четырех пальцев совпало с направлением вектора скорости заряда, тогда направление отогнутого в сторону большого пальца совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд (на отрицательный заряд действует сила противоположного направления).
На прямой проводник с током силы I и длиной I, помещенный в однородное магнитное поле с индукцией В, действует сила Ампера, направление которой определяется правилом левой руки, а модуль равен
|Кд | = I  I • В • sin а,
где а — угол между вектором В и направлением тока в проводнике.
Закон Ампера: на участок длины / одного из двух параллельных прямых бесконечных проводников, расположенных на расстоянии R друг от друга, по которым текут токи силы и /2, действует сила притяжения (отталкивания) при одинаковых (противоположных) направлениях токов, модуль которой равен
- и 2-Zj -z2 1
4л R
где (J.Q — магнитная постоянная в СИ, р. — относительная магнитная проницаемость однородной изотропной среды, в которой нахо
дятся проводники с током.
Потоком магнитной индукции ДФ сквозь участок поверхности с малой площадью AS, такой, что в его пределах поле В можно считать однородным, называется скалярная величина
ДФ = В  AS” • cos а ,
где а — угол между вектором В и нормалью п к поверхности.
Магнитный поток Ф сквозь произвольную поверхность с площадью S находится алгебраическим суммированием потоков ДФ,
N
сквозь участки поверхности Ф = £ ДФ, .
1=1
_	Универсальный закон индукции: если маг-
А k п нитный поток через поверхность, ограниченную __________ замкнутым проводящим контуром, является (_________) функцией времени, то в контуре возникает ин-
дуцированная ЭДС
аФ(г)
е =------.
а/
Задание нормали п к поверхности, ограниченной проводящим контуром, определяет положительное направление на контуре (для индукционного тока) по правилу буравчика (или правого винта).
Таким образом закон индукции определяет не только величину ЭДС индукции, но и ее направление. Отметим, что известное правило Ленца, определяющее направление индукционного тока, отражает свойство любых физических систем, сформулированное в принципе Ле Шателье: при любом внешнем воздействии в системе возникают процессы, препятствующие изменениям, вызванным внешним воздействием.
В контуре с изменяющимся током, который находится в изменяющемся собственном магнитном поле, возникает явление электромагнитной индукции, называемое в этом случае явлением самоиндукции, характеристикой которого служит ЭДС самоиндукции. Собственное магнитное поле тока создает магнитный поток Ф сквозь контур, который пропорционален силе тока I в контуре, если контур находится в неферромагнитной среде, т.е. Ф = L • I, где величина L называется индуктивностью контура. ЭДС самоиндукции в этом случае
г &
Е = -Z--.
df
Для создания тока I в контуре с индуктивностью L необходимо совершить работу на преодоление ЭДС самоиндукции. Энергия контура с током — величина, равная этой работе. Если среда, в которой находится контур, — неферромагнитная, то энергия контура с током
W = ^-
2
ЗАДАЧИ
3.1.	Вы получили доступ к участку двухпроводной линии постоянного тока. Как при помощи вольтметра и компаса определить, с какой стороны находится источник напряжения?
3.2.	На двух легких проводящих нитях подвешено проволочное кольцо, через которое пропущен ток I. Кольцо находится в горизонтальном однородном магнитном поле с индукцией В. Найдите силу, с которой растягивается кольцо.
3.3.	Замкнутый проволочный контур, двигаясь из бесконечности, с постоянной скоростью пересекает зазор между полюсами магнита, создающего однородное магнитное поле. Контур движется перпендикулярно силовым линиям магнитного поля. Изобразите качественно на графике зависимость тока в контуре от времени. Площадь, охватываемая контуром, много меньше площади поперечного сечения зазора магнита.
3.4.	Прямой постоянный магнит падает сквозь металлическое кольцо. Будет ли магнит падать с ускорением свободного падения?
3.5.	По двум прямым очень длинным и параллельным проводам текут токи одинаковой силы. Во сколько раз изменится величина вектора магнитной индукции в точке пространства, удаленной от каждого из проводов на расстояние, равное расстоянию между проводами, если изменить направление одного из токов.
3.6.	На двух легких проводящих нитях горизонтально висит металлический стержень длиной I = 0,25 м и массой тп = 15 г. Стержень находится в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,3 Тл, направленной вертикально вниз. Определите угол отклонения нитей от вертикали, если сила тока в стержне I = 0,2 А.
3.7.	Металлический стержень длиной / = 1 м падает с высоты Н= 10 м, оставаясь все время параллельным поверхности Земли. Какая максимальная разность потенциалов возникнет на концах стержня, если создать однородное магнитное поле, параллельное поверхности Земли и перпендикулярное к оси стержня с индукцией В = 1 Тл? Магнитным полем Земли пренебречь.
3.8.	Проволочный виток, замыкающий об-\ 0 кладки конденсатора, помещен в однородное у	магнитное поле, линии индукции которого
перпендикулярны к плоскости витка. Индукция магнитного поля равномерно растет со скоростью AB/At = 5-\0 Тл/с. Емкость конденсатора С =100 мкФ. Площадь, охваченная витком, S = 200см2. Определите заряд пластин конденсатора.
3.9.	Проволочный контур, имеющий форму равностороннего треугольника со стороной а = 20 см, помещен в однородное магнитное поле с индукцией В = 1,0 Тл так, что перпендикуляр к плоскости контура составляет угол а = 60° с направлением поля. В не
С2
который момент времени индукция магнитного поля начинает равномерно уменьшаться до нуля. Найдите время спада индукции до нуля, если известно, что в контуре возникает ЭДС индукции е = = 100 В.
3.10.	Жесткая проводящая рамка квадратной формы лежит на горизонтальной непроводящей поверхности и находится в постоянном однородном магнитном поле, линии индукции которого параллельны двум сторонам рамки. Масса рамки т = 20 г, длина ее стороны а - 4 см, величина магнитной индукции В = 0,5 Тл. Какой величины постоянный ток нужно пропустить по рамке, чтобы рамка начала приподниматься?
3.11.	По двум параллельным
проводникам, находящимся друг от LC	1	2.
друга на расстоянии / = 0,5 м, перемещают перемычку с постоянной скоростью v = 10 м/с. Между про
водниками включены последовательно два конденсатора, причем отношение их емкостей и = С2 / С1 = 1,5 . Вся система находится в постоянном однородном магнитном поле, вектор индукции которого ортогонален плоскости, в которой лежат проводники. Какова индукция магнитного поля, если на конденсаторе С2 напряжение //=0,5 В.
3.12*	. Провод, имеющий форму незамкнутой окружности радиуса R = 1,0 м, находятся в однородном магнитном поле с индукцией В = 3,0 • 10-2 Тл. По проводу с постоянной скоростью v = 4,0 м/с перемещают проводящую перемычку так, что вектор скорости v ортогонален перемычке. В начальный момент времени перемычка касалась провода в некоторой его точке. Определите ЭДС индукции в образовавшемся замкнутом контуре через время t = 0,2 с после начала движения.
3.13*	. Два замкнутых накоротко прямых провода, образующих стороны угла а = 30°, находятся в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,3 Тл. По проводам скользит с постоянным ускорением а = 2,5 м/с2 проводящая перемычка. Первоначально пере-
мычка находилась в вершине угла, ее ско-уОк	рость в начальный момент времени равна ну-
\ лю, вектор ускорения ортогонален перемычке / — I лгХ. и паРаллелен биссектрисе угла а. Определите / я ▼ — \	ЭДС индукции в образовавшемся замкнутом
' В '	контуре через время t = 0,4 с после начала
движения.
3.14.	Небольшое заряженное тело массы /и = 10-3кг, прикрепленное к нити длиной 7=10 см, может двигаться по окружности в вертикальной плоскости. Однородное магнитное поле индукции В = 1 Тл перпендикулярно этой плоскости. При какой наименьшей скорости тела в нижней точке, оно сможет совершить полный оборот? Заряд тела д = 10~5 Кл.
3.15.	Конденсатор емкостью С = 10 6 Ф зарядили до напряжения U = 2 В и подключили к катушке с индуктивностью L -- 0,9 • 10-2 Гн. Через сколько времени энергия электрического поля в конденсаторе будет в п = 3 раза меньше энергии магнитного поля в катушке?
3.16.	Как следует соединить конденсаторы емкостями Q =120 пФ и С2=156пФ и катушку индуктивностью L-= 125 мкГн, чтобы получить колебательный контур, настроенный на длину волны X = 350 м? Скорость света в вакууме с = 3 • 108 м/с.
3.17*. Колебательный контур со-_—||—______।	держит два	конденсатора	емкостями
J	Q ^1	I	С] = 1,0 мкФ	и С2 = 2,0 мкФ и две ка-
L\ с	5 Z<2
S	r	f	тушки индуктивностями Li	= 1,0 мГн и
I	L2|| ^2	I
1--I _ 1	£2 =2,0 мГн. Омическое сопротивле-
ние контура пренебрежимо мало. В контуре возбуждают электромагнитные колебания. В некоторый момент времени напряжения на конденсаторах равны //] = 9,0 В и
U2 =4,0 В, а сила тока в контуре равна нулю. Направление электрического поля в конденсаторах отмечено на рисунке. Определите амплитуду силы тока в контуре.
3.18	*. Колебательный контур со-	- ц +___
держит два конденсатора емкостями J Cj11 ЩI
С] =1,0 мкФ и =2,0 мкФ и две ка-	L\ с	5 ^2
тушки индуктивностями Ly =1,0 мГн и I _2||_2 I
/-2= 2,0 мГн. Омическое сопротивле-	“ +
ние контура пренебрежимо мало. В контуре возбуждают электромагнитные колебания. В некоторый момент времени напряжения на конденсаторах равны С] =12,0 В и =7,0 В, а сила тока в контуре равна нулю. Направление электрического поля в конденсаторах отмечено на рисунке. Определите амплитуду силы тока в контуре.
3.19	*. Колебательный контур содержит два конденсатора емкостями С] =1,0 мкФ и С2=2,0мкФ и две катушки индуктивностями 1,]= 1,0 мГн и
=2,0 мГн. Омическое сопротивление
контура пренебрежимо мало. В контуре возбуждают электромагнитные колебания. В некоторый момент времени напряжение на конденсаторе Q равно Uq =10,0 В, а конденсатор С2 не заряжен,
сила тока в контуре Iq = 5,0 А. Направление тока в контуре и электрического поля в конденсаторе отмечено на рисунке. Определите амплитуду силы тока в контуре.
3.20	*. Колебательный контур содер-
жит два	конденсатора	емкостями	।	~ ||-+ —.
С] = 1,0 мкФ	и С2 = 2,0 мкФ	и две ка-	J	X I
Ь] с	)5 £2
тушки индуктивностями £1=1,0 мГн и	|	С?	^0/Г
Z2 =2,0 мГн. Омическое сопротивление ---------—1|----
контура пренебрежимо мало. В контуре
возбуждают электромагнитные колебания. В некоторый момент времени напряжение на конденсаторе Cj равно Uq = 10,0 В, а конденсатор С2 не заряжен, сила тока в контуре Iq =5,0 А. Направле
ние тока в контуре и электрического поля в конденсаторе отмечено на рисунке. Определите амплитуду заряда на обкладках конденсатора С 2 
3.21*. Какое количество теплоты выделится на сопротивлении г = 1,0 Ом после размыкания ключа К в приведенной схеме, если сопротивление R = 2,0 Ом, емкость конденсатора С = 3,0 • 10-3 Ф, индуктивность катушки L = 5,5 • 10-3 Гн,	ЭДС источника
е = 12 В? Излучением пренебречь, внутреннее сопротивление источника принять равным нулю.
3.22*. Какое количество теплоты выделится на сопротивлении г = = 1,0 Ом после размыкания ключа К в приведенной схеме, если сопротивление R = 2,0 Ом, емкость конденсатора С - 3,0 • 10-3 Ф, индуктивность катушки L = 5,5 • 10~3 Гн, ЭДС источника
е = 12 В? Излучением пренебречь, внутреннее сопротивление источника принять равным нулю.
3.23. Протон с кинетической энергией Е = 1,6 • 10-13 Дж влетел в
постоянное, однородное магнитное поле перпендикулярно его силовым линиям, индукция поля В = 1 Тл. Какова должна быть минимальная протяженность магнитного поля для того, чтобы направление движения протона изменилось на противоположное? Масса и заряд протона равны, соответственно: т = 1,7 • 10~27 кг, е = 1,6-10-19Кл.
3.24. Альфа-частица прошла ускоряющую разность потенциалов U = 104 В и влетела в область взаимно перпендикулярных однородных электрического и магнитного полей. Напряженность электрического поля Е = 10 кВ/м, а индукция магнитного поля В = 0,1 Тл. Найдите отношение заряда альфа-частицы к ее массе, если она двигается равномерно и прямолинейно.
4. ОПТИКА
В оптике изучаются явления распространения и взаимодействия электромагнитного излучения с веществом. Основными характеристиками электромагнитного излучения являются: v — частота волны, в виде которой представляется излучение; X — длина волны. т.е. расстояние, на котором фаза гармонической волны изменяется на 2 л.
В вакууме электромагнитное излучение распространяется со О
скоростью с = 3-10 м/с, в среде его скорость распространения v уменьшается: v<c. Длина волны, частота и скорость распространения волны связаны соотношением:
V
X = - = v-7\ v
Т 1 2л	_	„
I = — =------период колебании волны; и — циклическая частота
v ®
колебаний. Для электромагнитного излучения в вакууме
Л	гр
Ад — — — Cl .
V
Для описания распространения и взаимодействия электромагнитного излучения с веществом используют различные приближения: геометрической оптики, физической (волновой) оптики и квантовой оптики.
Геометрическая оптика. Приближение геометрической оптики используется в тех случаях, когда длиной волны электромагнитного излучения можно пренебречь по сравнению с размерами приборов, с помощью которых изучается это излучение. В рамках этого приближения рассматриваются законы распространения в прозрачных средах электромагнитного излучения видимой части спектра, т.е. света (Xq =0,4-0,76 мкм). Это рассмотрение проводится на 47
основе представлений о свете как о совокупности световых лучей — линий, вдоль которых распространяется энергия световых электромагнитных волн. Пучки световых лучей, пересекаясь, не взаимодействуют и распространяются после пересечения незави
симо друг от друга.
Отношение скорости света в вакууме с к скорости света v в данной среде п = с!ч =	« Ve называется (абсолютным) показа-
телем преломления этой среды, здесь е и ц— (относительные) диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, — для неферромагнитных сред. Среда называется оптически однородной, если показатель преломления ее везде одинаков. В оптически однородной среде лучи прямолинейны.
Законы отражения света:
1) падающий (АО), отраженный (ОС) лучи и перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча (ВО), лежат в одной плоскости;
2) угол отражения равен углу падения а = р.
Законы преломления света (законы Снеллиуса).
1. Лучи падающий (АО), преломленный (OD) и перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча (ВО), лежат в одной плоскости.
2. Отношение синусов углов падения и преломления есть величина постоянная, равная относительному показателю преломления данных двух сред
sin а _ «2 sin у И]
Если световой луч из оптически более плотной среды падает на границу раздела с оптически менее плотной средой (И] > н2), то при углах падения а > апр, где sin апр = п2 / п\, преломления све
та не происходит. При условии а = а пр угол преломления у = —, и при а > апр свет не переходит во вторую среду. Это явление назы
вается полным (внутренним) отражением. Угол апр называется предельным углом полного отражения. Если свет переходит из вещества с показателем преломления щ = п в воздух, для которого «2 ~1, то условие полного отражения примет вид
sinanp =1/и.
Световые лучи обладают свойством обратимости хода. Если световой луч, испущенный из точки А, двигаясь в оптической среде, попадет в точку В, в которой его направление распространения изменяют на противоположное, то он вновь попадет в исходную точку А, пройдя по той же самой
траектории. Каждая точка S источника света (монохроматического) в геометрической оптике считается центром расходящегося пучка лучей, который называется гомоцентрическим. Если после отражений и преломлений в различных средах пучок остается гомоцентрическим, то его центр S' называется изображением точки S в оптической системе. Изображение S' называется действитель
ным, если в точке S' пересекаются сами лучи пучка, и мнимыми,
если в ней пересекаются продолжения этих лучей (в направлении, противоположном направлению распространения лучей).
Простейшая оптическая система — плоское зеркало. Для того чтобы найти изображение точки (5) в плоском зеркале, достаточно на продолжении перпендикуляра (OS), опущенного из точки на зеркало, отложить за зеркалом такой же отрезок прямой (OS'). Геометрические
размеры протяженного источника света
и его мнимого изображения в плоском зеркале одинаковы. Линза — прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями. Прямую, проходящую через центры сферических поверхностей, называют главной оптической осью. Линза считается тонкой (тонкая линза), если ее толщина много меньше, чем радиус ее
поверхностей. Можно считать, что главная оптическая ось пересекает тонкую линзу в одной точке, называемой оптическим центром линзы. Оси, проходящие через центр линзы и не совпадающие с главной оптической осью, называются побочными осями. Во всех оптических инструментах используются тонкие пучки (т.е. пучки с малым углом раствора), идущие вблизи оптической оси системы. Такие пучки называются параксиальными.
Лучи параксиального светового пучка, распространяющегося параллельно главной оптической оси, пересекаются в точке, лежащей на этой оси и называемой главным фокусом линзы (слово «главный» часто опускают в тексте). У всякой тонкой линзы имеются два фокуса по обе стороны от нее на равных расстояниях от центра линзы. Плоскость, проведенная через фокус линзы перпендикулярно к главной оптической оси, называется фокальной. Расстояние от оптического центра линзы до ее главного фокуса называется фокусным расстоянием линзы (/). Величина, обратная фо-
кусному расстоянию D = —, называется оптической силой линзы.
Она измеряется в диоптриях [дптр]. [£)] = дптр - м-1. Лучи, падающие на линзу параллельно какой-либо побочной оптической оси, после преломления в линзе пересекаются в точке, лежащей на фокальной плоскости (побочный фокус).
Тонкие линзы по своим свойствам делятся на собирающие (рисунки а) и рассеивающие (рисунки б). Особенности прохождения лучей в собирающих линзах показаны на рисунках а).
Луч 1 — 1', проходящий через оптический центр тонкой линзы, не преломляется. Луч 2-2', падающий параллельно главной оптической оси 00', после преломления пересекает главную оптическую ось в фокусе F. Если падающий луч 3-3' проходит через оптическую ось в фокусе, то после преломления он распространяется параллельно главной оптической оси. Параллельные лучи 1-1' и 4-4' после преломления пересекаются в точке А на фокальной плоскости за линзой MN.
Особенности прохождения лучей в рассеивающих линзах показаны на рисунках б.
Луч 1-Г, проходящий через оптический центр тонкой линзы, не преломляется. Луч 2-2', падающий параллельно главной оптической оси ОО', после преломления распространяется таким образом, что его продолжение в противоположном распространению направлении пересекает фокус, лежащий перед линзой. Если продолжение падающего луча 3-3' в направлении распространения пересекает фокус, лежащий за линзой, то после преломления луч распространяется параллельно главной оптической оси. Параллельные лучи 1-Г и 4 — 4' после преломления распространяются таким образом, что их продолжение в противоположном распространению направлении пересекаются в точке А на фокальной плоскости MN перед линзой.
Изображение S' источника света S, получаемое с помощью тонкой рассеивающей линзы, — всегда мнимое (а). Изображение, получаемое с помощью тонкой собирающей линзы, может быть как мнимым (б), так и действительным (в). Для построения изображе
ния необходимо рассмотреть преломление в линзе гомоцентрического пучка лучей, используя свойства тонких линз. Например, в построениях, показанных на приведенных ниже рисунках, рассмотрен гомоцентрический пучок, образованный лучом 1-Г, проходящим через оптический центр линзы, и лучом 2-2', падающим на линзу параллельно главной оптической оси. Важное свойство тонкой линзы: изображением отрезка прямой линии является также отрезок прямой; отрезок прямой линии, ортогональный главной оптической оси, имеет в качестве изображения отрезок прямой также ортогональный главной оптической оси.
Линейным (поперечным) увеличением тонкой линзы Г называется отношение:
V_A'B'
АВ ’
где А'В' — изображение отрезка АВ, причем АВ и А'В' ортогональны главной оптической оси.
A
По построению Г = —, где а и b — расстояние от линзы до а
предмета (АВ) и до его изображения (А 'В') соответственно.
_	-	I 1 . 1 г г
Формула тонкой линзы. ± — = ±— ± —, где j — фокальное рас
f ah
стояние линзы. В левой части знак «+» берется для собирающей линзы и знак «-» — для рассеивающей. Первое слагаемое в правой части берется со знаком «+» для реального предмета (источника расходящего пучка световых лучей) и знак «-» — для мнимого, т.е. сходящего пучка (сформированного в некоторой оптической системе), лучи которого (точнее их продолжения) пересекаются за линзой на расстоянии а от нее.
Второе слагаемое в правой части берется со знаком «+», если изображение, формируемое линзой, — действительное и знак «-», если изображение — мнимое.
Волновая оптика. В рамках волновой оптики распространение в различных средах и взаимодействие электромагнитного излучения, в том числе и света, рассматривается с учетом волновых свойств излучения. Волновое приближение полезно в тех случаях, когда длина волны становится сравнимой с размерами приборов. Длина световой (электромагнитной) волны X в веществе с показателем преломления п уменьшается по сравнению с длиной волны Х() в вакууме: Л = Хо / и, это связано с тем, что в веществе уменьшается в п раз скорость распространения волны, тогда как частота колебаний электромагнитного поля в нем остается неизменной.
Оптической длиной пути волны называется произведение n-d, где п — показатель преломления среды, d — геометрическая длина пути волны. Разность 5 оптических путей лучей, испущенных двумя источниками, называется оптической разностью хода
Ъ = п^2 -	•
При наложении некогерентных световых волн происходит только усиление света. Результатом наложения когерентных волн является интерференция, при этом становится возможным наблюдение, например на экране, интерференционной картины, т е. устойчивого перераспределения интенсивности света. Условие усиления волн от двух когерентных источников (условие интерференционного максимума):
3 = тХ, т = 0, ±1,± 2,... .
Условие ослабления волн от двух когерентных источников (условие интерференционного минимума):
3 = (2/эт-1)|.
Устройство, состоящее из большого числа регулярно расположенных щелей, получило название дифракционной решетки. По принципу Гюйгенса — Френеля каждая щель является источником когерентных вторичных волн, способных интерферировать друг с другом. Если на дифракционную решетку (ДР) перпендикулярно к ней падает пучок параллельных лучей света (плоская световая волна), то под углом дифракции <р на экране (Э), расположенном в фокальной плоскости линзы (Л), будет наблюдаться интерференционная картина. Интерференционные максимумы при дифракции на решетке будут наблюдаться под углами <р, удовлетворяющими условию:
d • sin <p = п  X,
где л = 0, 1, 2, называется порядком максимума или порядком спектра, d называется постоянной (периодом) дифракционной решетки.
Квантовая оптика. Приближение квантовой оптики используется при описании тех особенностей взаимодействия электромагнитного излучения с веществом, которые можно объяснить, отвле
каясь от волновой природы излучения. В квантовой оптике электромагнитное излучение (свет) рассматривается как поток частиц— фотонов, не обладающих массой покоя и движущихся со скоростью света. Основными характеристиками фотона являются его энергия s и импульс Р:
,	v г h
е = nv = па , / = — = —.
с
где v(co) — частота (циклическая частота) электромагнитной волны, h (h = h I lit ) — постоянная Планка.
Фотоэффект — явление взаимодействия света с веществом, в результате которого энергия фотонов передается электронам веще-
2	2
, wvmax	л mvmax
ства. Уравнение Эйнштейна hv = — -----н А , где —------наи-
большая кинетическая энергия фотоэлектронов, А — работа выхода электронов, представляет собой закон сохранения энергии при внешнем фотоэффекте. Минимальную частоту v0 -Alh, при которой еще возможен внешний фотоэффект, называют красной границей фотоэффекта.
Некоторые физические константы, используемые при решении задач данного раздела:
величина заряда электрона (протона) — е = 1,6 • 10~19 Кл;
постоянная Планка — h = 6,6 • 10-34 Дж • с;
Q
скорость света в вакууме — с = 3 • 10 м/с;
масса электрона — т = 0,9 • 10-30 кг;
электрическая постоянная — е0 = 8,9-10”12 Кл/(Нм2).
ЗАДАЧИ
4.1.	Плоское зеркало повернули вокруг оси, проходящей через точку падения луча и перпендикулярно плоскости падающего и отраженного лучей. На какой угол повернули зеркало, если отраженный от него луч повернулся на угол 5 = 42°?
4.2.	На поверхности плоского экрана находится точечный источник света. Параллельно экрану расположено зеркало в форме равностороннего треугольника со стороной а = 20 см. Центр зеркала находится напротив источника. Определите диаметр светового пятна, образованного на экране отраженными от зеркала лучами.
4.3.	Два точечных источника света находятся на одном и том же расстоянии а = 20 см от поверхности плоского зеркала. Расстояние от одного из источников до изображения другого равно b = 50 см. Определите расстояние между источниками.
4.4.	Человек, рост которого h = 1,75 м, находится на расстоянии I = 6 м от столба высотой Н= 7 м. На каком расстоянии от себя человек должен положить на Землю горизонтально маленькое плоское зеркало, чтобы видеть в нем изображение верхушки столба?
4.5.	Человек ростом Н - 1,8 м видит Луну по направлению, составляющему угол а = 60° с горизонтом. На каком расстоянии от себя человек должен положить на Землю маленькое плоское зеркало, чтобы в нем увидеть отражение Луны?
4.6.	В дно водоема глубиной а = 2,0 м вбита свая, которая на h = 0,75 м выступает из воды. Найти длину тени от сваи на дне водоема, если высота Солнца над горизонтом в данный момент Ф = 45°. Показатель преломления для воды и = 1,33.
4.7.	В дно водоема вертикально вбита свая. Длина подводной части сваи в к = 2 раза больше, чем надводной. Полагая дно водоема горизонтальным, определите, во сколько раз длина возвышающейся над дном водоема части сваи больше длины ее тени на дне водоема. Падающие солнечные лучи образуют с поверхностью воды угол а = 60°. Показатель преломления воды п = 1,33.
4.8.	Световой луч падает по нормали на боковую грань прямой стеклянной призмы, поперечное сечение которой — равнобедренный треугольник, а - 70°. Показатель преломления стекла п = 1,5. Определите угол между падающим и вышедшим из призмы лучами.
4.9.	При каких значениях показателя преломления материала прямоугольной призмы возможен ход луча, изображенный на рисунке? Сечение призмы — равнобедренный прямоугольный треугольник, луч падает на грань АВ перпендикулярно.
4.10.	Тонкий световой луч падает на боковую грань стеклянной призмы из воздуха под углом р = 45°. Угол между боко-/а\	\	выми гранями призмы равен а = 30°. По-
' \	1 $	казатель преломления воздуха равен 1, а
стекла п = 1,41. Определите угол смеще-/	\ ния луча от первоначального направления
L___________X распространения 5.
4.11.	Луч, отраженный от поверхности стекла, образует с преломленным лучом прямой угол. Определите угол падения, если показатель преломления для стекла п = 2, а для воздуха равен 1.
4.12.	Луч, отраженный от поверхности стекла, образует с преломленным лучом прямой угол. Определите угол преломления, если показатель преломления стекла п - 1,73; а для воздуха равен 1.
4.13.	В воздухе длина волны монохроматичного света А-о - 0,6 мкм. При переходе в стекло длина волны становится равной X = 0,42 мкм. Под каким углом свет падает на границу раздела воздух — стекло, если отраженный и преломленный лучи образуют прямой угол? Показатель преломления воздуха считать равным единице.
4.14.	Луч падает на плоскопараллельную пластинку из стекла под углом равным 45°. Какова толщина пластинки, если луч при выходе из нее сместится на а = 2,0 см? Показатель преломления стекла п - 1,8.
4.15.	Почему с моста лучше видно рыбу, плывущую в реке, чем с низкого берега?
4.16.	Луч света падает из воздуха на поверхность жидкости под углом aj = 40° и преломляется под углом Р] = 24° . При каком угле падения луча угол преломления будет Р2 = 20° ?
4.17.	Луч света падает на поверхность раздела двух прозрачных сред под углом а] = 35° и преломляется под углом Р] = 25° . Чему будет равен угол преломления, если луч будет падать под углом а 2 =50°?
4.18.	Пучок параллельных световых лучей шириной <70 =1,0 см падает под углом а = 60° из воздуха (показатель преломления равен 1) на плоскую поверхность толстой стеклянной пластинки. Определите показатель преломления стекла, если ширина пучка в пластинке d = 1,6 см.
4.19.	Постройте изображение то-
чечного источника 5 в тонкой соби-	Д
рающей линзе. Используя построе-	|
ние, получите зависимость расстоя-	—1—"—  -----------1—
ния между изображением и главной р А О р оптической осью линзы от фокусно-	у
го расстояния линзы OF, расстояния SA между источником и главной оптической осью линзы, расстояния АО между источником и линзой. Решите эту же задачу для рассеивающей линзы.
4.20.	Постройте изображение точечного источника 5 в тонкой соби-рающей линзе. Используя построение, получите зависимость расстояния р А О р между изображением и линзой от фо-	J-
кусного расстояния линзы OF, рас-
стояния АО между источником и линзой, расстояния SA между источником и главной оптической осью линзы. Решите эту же задачу для рассеивающей линзы.
4.21.	Постройте изображение точки S, лежащей на главной оптической оси тонкой рассеивающей линзы (см. рисунки). F— фокус.
4.22.	Постройте изображение точки .S’, лежащей на главной оптической оси тонкой собирающей линзы (см. рисунки). F— фокус.
--------1--
F S	F
V
а)
4.23.	Постройте ход луча до прохождения им тонкой рассеивающей линзы. F— фокус линзы (см. рисунок).
4.24.	Постройте изображение отрезка АВ, получаемое с помощью тонкой собирающей линзы.
4.25.	Постройте изображение отрезка АВ, получаемое с помощью тонкой рассеивающей линзы.
А В
О'-А—Н+----4----О
F F
А
4.26.	Постройте изображение отрезка АВ, получаемое с помощью тонкой линзы: аи б — собирающей; в — рассеивающей.
в)
4.27.	Постройте изображение отрезка АВ, параллельного оптической оси тонкой собирающей линзы (рисунки а и б), а также па-
раллельного оптической оси тонкой рассеивающей линзы (рисунок в}.
А В
-----+
F
д
а)	б)	в)
4,28.	На рисунке показано изображение S' точечного источника, полученное с помощью тонкой рассеивающей (а) и собирающей (б) линз. Построением определите положение источника.
у •s' о'-*----------^о"
F	F
к
а)
.У Д
О-—1--------1—0"
F	F
V
б)
4.29*	. На рисунке показаны точечный источник S, его изображение S' и главная оптическая ось тонкой линзы. Построением определите положение самой линзы и ее фокусов.
а)
б)
4.30.	Фокусное расстояние тонкой собирающей линзы /= 50 см. Предмет высотой Н= 1,2 см помещен на расстоянии а = 60 см от линзы. Какой высоты получится изображение?
4.31.	Фокусное расстояние тонкой собирающей линзы F= 30 см, расстояние от предмета до фокуса / = 10 см, линейные размеры предмета h = 5 см. Фокус — между предметом и линзой. Определите размеры изображения Н.
4.32.	Фокусное расстояние тонкой рассеивающей линзы f= = 12 см. Изображение предмета находится на расстоянии h = 9,0 см от линзы. Чему равно расстояние от предмета до линзы?
4.33.	Предмет имеет высоту h = 2,0 см, а изображение Н = 80 см. Определите фокусное расстояние тонкой собирающей линзы, с помощью которой получено изображение, если предмет находится на расстоянии а = 20,5 см от линзы.
4.34.	Определите фокусное расстояние тонкой рассеивающей линзы, если известно, что изображение предмета, помещенного перед ней на расстоянии а = 50 см, получилось уменьшенным в п = = 5 раз.
4.35.	Известно, что изображение предмета, помещенного перед тонкой линзой на расстоянии а = 50 см, мнимое уменьшенное в п = = 3 раза. Определите фокусное расстояние линзы.
4.36*	. Сходящийся пучок лучей падает на тонкую рассеивающую линзу таким образом, что продолжения всех лучей пересекаются в точке, лежащей на оптической оси линзы на расстоянии а ~ 15 см от нее. Найдите фокусное расстояние линзы, если после преломления в линзе лучи собираются в точке, находящейся за линзой на расстоянии b = 60 см от линзы.
4.37.	Предмет находится на расстоянии /] =10см от переднего фокуса собирающей линзы, а экран, на котором получается изображение предмета, расположен на расстоянии /2 =40 см от заднего фокуса линзы. Определите фокусное расстояние линзы.
4.38.	Расстояние между предметом и его прямым и увеличенным в п = 2 раза изображением, полученным с помощью тонкой линзы, равно I = 10 см. Найдите оптическую силу линзы.
4.39.	Оптическая сила тонкой собирающей линзы D = 5,0 дптр. Предмет поместили на расстоянии а = 60 см от линзы. На каком расстоянии от линзы получится изображение этого предмета?
4.40.	На расстоянии а - 50 см перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием F= 30 см на главной оптической оси помещен предмет протяженностью Н = 15 см. Какова протяженность вдоль главной оптической оси изображения предмета?
4.41.	Тонкая собирающая линза увеличивает изображение предмета в п = 4 раза. Если этот предмет передвинуть вдоль оптической оси на S = 5 см, то увеличение уменьшится в к = 2 раза. Найдите фокусное расстояние линзы.
4.42.	С помощью тонкой линзы получают двукратно (Г = 2) увеличенное действительное изображение предмета. Затем линзу передвигают на /= 10 см и получают мнимое изображение такого же размера. Определите фокусное расстояние линзы.
4.43.	Предмет находится на расстоянии а = 1,5F от тонкой линзы. Его приблизили к линзе на расстояние Д/ = 0,7F. На сколько при этом переместится изображение предмета, если оптическая сила линзы D - -2,4 дптр? Е — фокусное расстояние.
4.44.	Точечный источник света описывает окружность в плоскости, перпендикулярной оптической оси тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием F= 7 см. Изображение источника наблюдается на экране, расположенном на расстоянии b = 0,35 м от линзы. Во сколько раз отличаются ускорения, с которыми движутся изображение и источник?
4.45*	. Точечный источник света расположен на главной оптической оси тонкой собирающей линзы на расстоянии а = 30 см от линзы. На экране, расположенном перпендикулярно главной оптической оси на расстоянии /] = 10 см от линзы, наблюдается светлое пятно. Размеры пятна не изменяются, если экран расположить на расстоянии ?2 =20 см от линзы. Определите фокусное расстояние линзы.
4.46*	. Расстояние между предметом и экраном I - 120 см. Где нужно поместить тонкую собирающую линзу с оптической силой D = +4 дптр, чтобы на экране получилось отчетливое изображение предмета?
4.47.	Четкое изображение лампы на экране возникает при двух положениях тонкой линзы, помещенной между ними. Найдите фокусное расстояние линзы. Расстояние между двумя положениями линзы равно / - 30 см, между лампой и экраном 5 = 50 см.
4.48*	. На главной оптической оси перед тонкой рассеивающей линзой с фокусным расстоянием F= 20 см расположен точечный источник света. По другую сторону линзы перпендикулярно главной оптической оси линзы расположено плоское зеркало. Найдите расстояние между источником и его изображением в зеркале. Источник удален от зеркала на расстояние I = 1 м, а от линзы на расстояние 5=30 см.
4.49*	. Собирающая линза дает изображение предмета на экране. Между линзой и экраном параллельно плоскости линзы установлена стеклянная плоскопараллельная пластинка толщиной d - 4 см с показателем преломления п = 1,4. Как надо переместить экран, чтобы вновь получить отчетливое изображение предмета? Считать углы падения малыми.
4.50*	. На клин с углом раствора а = 1 ° и показателем преломления /7—1,5 нормально к его грани АВ падает параллельный пучок света. За клином расположена собирающая линза с фокусным расстоянием F= 180 см. Грань АВ перпендикулярна главной оптической оси линзы. В фокальной плоскости линзы находится экран. На сколько сместится светлая точка на экране, если клин убрать?
4.51.	Длина волны света в среде уменьшается в п раз, где п — показатель преломления среды. Означает ли это, что ныряльщик не может видеть окружающие тела в естественном цвете?
4.52.	На белом листе бумаги красным и зеленым карандашами сделали две надписи. Через какое стекло — красное или зеленое — можно прочесть надпись, сделанную зеленым карандашом?
4.53.	Цветное стекло растерто в порошок, который кажется совершенно белым. Как узнать, каков был цвет стекла?
4.54.	Почему днем Луна имеет чистый белый цвет, а после захода Солнца принимает желтоватый оттенок?
4.55.	Почему столб дыма, поднимающийся над костром, при свете дня на фоне дальнего леса кажется серо-голубым, на фоне неба — черным, а на фоне Солнца приобретает желтовато-красный оттенок?
4.56.	Интенсивность солнечного излучения на поверхности Земли в полдень составляет Р = 1,3 кВт/м2 . Считая, что солнечный свет монохроматичен и имеет длину волны X = 0,6 мкм, определите число фотонов, ежесекундно попадающих в глаз, обращенный к Солнцу. Диаметр зрачка принять равным <7 = 4 мм.
4.57.	При аннигиляции электрона и позитрона образовалось два одинаковых гамма-кванта. Найдите длину волны такого гамма-излучения, если кинетической энергией частиц до реакции можно пренебречь.
4.58.	Работа выхода электронов из кадмия А - 6,5 • 10 19 Дж. Какой должна быть длина волны излучения, падающего на поверхность кадмиевой пластинки, чтобы при фотоэффекте максимальная скорость вылетающих электронов была равна vmax = 7,2 • 105 м/с?
4.59.	Красной границе фотоэффекта для алюминия соответствует длина волны Хкр =332 нм. Найдите длину волны, при которой фотоэлектроны, вырываемые с поверхности алюминиевого катода в вакуумном диоде, не достигают анода под действием задерживающего напряжения t/3 = 1 В.
4.60.	При поочередном освещении поверхности некоторого металла светом с длиной волны %] = 350 нм и Х2 = 540 нм обнаружили, что соответствующие максимальные скорости фотоэлектронов отличаются в п - 2 раза. Найдите работу выхода с поверхности этого металла.
4.61.	Определите максимальное число электронов, которые можно удалить с поверхности уединенного цинкового шара с электроемкостью С = 20 пФ, если его облучать светом с длиной волны X = 324 нм. Работа выхода для цинка Лвых = 3,0 • 10~19 Дж.
4.62*	. Определите силу тока насыщения для фотоэлемента с цезиевым катодом. Поток световой энергии, падающей на фотоэлемент Р = 1,0 мВт. Задерживающее напряжение для этого излучения U3 = 0,07 В, красная граница фотоэффекта для цезия Хкр = 650 нм. Считать, что каждый падающий на катод фотон вызывает появление фотоэлектрона.
4.63*	. Под действием света с длиной волны Л = 140 нм фотоэлектрон вылетает с поверхности медного шарика радиусом 7? = 50 мм, имеющего заряд Q = +1,1 • 10~10 Кл. Считая, что электрон вылетел в радиальном направлении, найдите максимальное расстояние, на которое он удалится от поверхности шарика. Работа выхода электрона из меди А = 7,2  10-19 Дж.
4.64.	В однородном поперечном магнитном поле с индукцией В = 8Ю~3Тл фотоэлектроны с максимальной энергией, вырываемые с поверхности металла квантами с длиной волны X = 73 нм, описывают окружности радиуса R = 1,5 мм. Найдите работу выхода электрона из металла.
4.65.	Плоский алюминиевый электрод освещается ультрафиолетовым излучением с длиной волны 1 = 8,3 • Ю-8 м. На какое максимальное расстояние может удалиться фотоэлектрон от поверхности электрода, если вне электрода имеется задерживающее однородное электрическое поле напряженностью Е = 750 В/м? Красная граница фотоэффекта для алюминия соответствует длине волны Хо =
= 33,2-10-8м.
4.66.	Какова длина волны фотона, испускаемого атомом водорода при переходе электрона с орбиты радиусом Г] = 2,1 10-8 см на орбиту радиусом Г2 = 5,3 • 10-9 см?
4.67.	Два когерентных источника и $ испускают электромагнитные волны с длиной * волны X = 1 м и находятся на расстоянии d = 2 м друг от друга. Точка А находится на ' расстоянии / от источника 5] и Я5]15]52 	’
Если разность фаз излучения источников	।
равна нулю, то: а) при каком минимальном / в I точке А наблюдается интерференционный	|
максимум; б) при каком максимальном I в д точке А наблюдается интерференционный максимум; в) при каком максимальном / в точке А наблюдается интерференционный минимум?
4.68. При наблюдении через дифракционную решетку край видимого спектра первого порядка виден на расстоянии I = 3,5 см от середины интерференционной картины. Расстояние от дифракционной решетки до экрана L - 50 см. Период решетки d -10~2 мм. Определите на основе указанных дан-
ных длину волны красного цвета.
4.69.	Параллельный пучок света с длиной волны X = 0,65 мкм падает перпендикулярно на дифракционную решетку, содержащую N = 200 штрихов на длине I = 1 мм. Какое количество светлых полос можно будет наблюдать на экране, расположенном за решеткой?
РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ
1. Электростатика
1.1. Точка, удаленная от каждого из зарядов на расстояние d = 1 см, находится в середине отрезка, соединяющего заряды (рисунок). Каждый из зарядов создает в этой точке напряженности Д и Ё2, вели
чины которых равны, а направления одинаковы. Полная напряженность в соответствии с принципом суперпозиции равна
Р ,2
Е = Е} + Е2 = 2к	. Отсюда q ------«1,1 • 10~14 Кл.
d2	4 2к ’
1.2. Решение системы
Ч\ +Ч1 -Q,

F-к
дает
О 4F  г
gi = — Jl-----«394 мкКл.
1 2 V Ок
q2 = 486мкКл.
1.3.	Модули вектора напряженности электрического поля, создаваемого каждым из зарядов в отдельности в указанной точке равные по величине
Е\ = Е2 = к. Ь2
а
Напряженность поля создаваемого обеими зарядами в этой точке в соответствии с принципом суперпозиции равна векторной сумме полей Е\ и Ё2, т е. Е = Д + Ё2 • Направление вектора Ё параллельно линии, соединяющей заряды (см. рисунок), а модуль его равен
Е = к^ = 4,5-105 В/м. Ь3
1.4.	Если считать, что Земля имеет форму шара, то напряженность электрического поля вблизи ее поверхности Е вследствие сферической симметрии и симметрии распределения зарядов, создающих поле, будет такой же, как и у поля точечного заряда q. помещенного в центр Земли, и имеющего величину, равную заряду
Земли, т.е. Е = —----.
4тге0 Rj
Отсюда ^ = 4те0£'7?з ~5,5-105Кл.
1.5.	Силы, действующие на заряды, показаны на рисунке.
Д*----------о >« Т'2 о Гз2 >< Гп о----------------*5
^21	Я2	?3	Р23
По 3-му закону Ньютона:
= -Лз ’ ^21 = -^12> Лгз =_^32’ ^12 = —^21 ’ ^23 = ~^32 > при этом
Ы = Ы = Ы = Ы =	\Ё23\ = \Ё32\ = к^-,
|Л2| = |^21| = Л) > |^231= |^321= 
Внешнее поле отсутствует, следовательно, система находится в равновесии. Условия равновесия каждого из зарядов имеют вид £Л=о,
или
^3i +^2i =Ль
* Tq +F32 = Т + F]2; F = F13 +F23.
^4.	9\Я1
Из первого уравнения Tq =F\^ + F2 = к —+ к —-—. 4/2	/2
1.6. 2 = -2л^ + 1?»-1,53-1012Кл.
Е = у)е2 +е1 +е1
1.7. В соответствии с принципом суперпозиции полей напряженность поля в точке А Е является векторной суммой напряженностей Д, Ё2 и £3, создаваемых зарядами 7], <?2 и ?з со" ответственно (см. рисунок). Так как заряды расположены на взаимно перпендикулярных прямых, а точка А является точкой их пересечения, то величину напряженности удобнее находить,
используя правила векторной алгебры. При сложении векторов складываются и их проекции. Модуль результирующего вектора находим по трем проекциям на взаимно ортогональные оси. В итоге
Г~2	2 Y
= к Ц- + Ц- + Ц- * 1,56 • 106 В/м.
V П г2 г3
1.8. Чтобы система зарядов могла находиться в равновесии, полная напряженность поля, создаваемая всеми зарядами в месте расположения любого из них должна равняться нулю. Очевидно, что в силу симметрии расположения зарядов q, (z = 1, 2, 3) заряд Q
противоположного знака зарядам q, нужно поместить в месте пересечения высот треугольника. В этой точке полная напряженность поля, создаваемого зарядами q, равна нулю, так как каждый заряд
“Г п/ Я
q, создает напряженность поля, величина которой Е, =3к~-а2
(а — сторона треугольника), а сами векторы Е, ориентированы под углами 120° друг к другу.
Чтобы полная напряженность поля равнялась нулю в месте расположения какого-либо из зарядов qjy напряженность поля от заряда Q в этой точке должна равняться по величине суммарной напряженности поля в этой точке от двух других зарядов qj Последнюю можно найти по теореме косинусов (см. рисунок)
Е = у[Е? + Е% -2ExE2cos120° =4зк-^-. ст
Здесь Е\ - Е2 = к . Итак, а2
Отсюда Q = - -$= « -4,9 • 10’7 Кл.
1.9. Перпендикуляры, опущенные из центра треугольника на каждую из палочек, являются для них осями симметрии. Поэтому в точках, лежащих на этих перпендикулярах к данной палочке, заряд палочки создает напряженность поля, направленную вдоль перпендикуляра (в направлении от палочки). Продольные компоненты напряженности поля (параллельные палочкам) компенсируют друг друга. Пусть Е], Ё2, Е — напряженности полей, создаваемых зарядами первой, второй и двух палочек сразу соответственно в центре треугольника. Модули Д и Ё2 равны, а угол между этими векторами равен 120° (см. рисунок). Поэтому
|ё1|=|ё2|=е=е0 =юв/м.
Потенциал поля фо, создаваемого зарядом двух палочек в силу принципа суперпозиции складывается из потенциалов полей <р, создаваемых зарядом каждой из палочек в отдельности. Так как заряды палочек одинаковы, то в центре треугольника будут одинаковыми и потенциалы полей от каждой из палочек. Поэтому
Ф = ^- = 5В.
2
1.10. В данном случае напряженность поля Е в точке Л, являющуюся векторной суммой полей Е) (г = 1, 2, 3), создаваемых каждым из зарядов qt
Ё = Ё} + Ё2 + Ё3, удобнее находить, вычислив предварительно проекции вектора Е на оси выбранной системы координат, т.е.
Ех Е\х + Е2х + Е3х  Еу = Еуу + E2v +Е3у, Ez = E\z + E2z + E3z 
Модуль вектора Е будет равен
Е = ^(Е\х + Е2х + Е3х)2 + (Е\у + Е2у + Е3у)2 + (Elz + E2z + E3z)2 •
Принимая во внимание особенности расположения зарядов в пространстве, удобно в качестве системы координат взять декартову систему координат с началом в точке А и осями, направленными вдоль ребер куба. Тогда (см. рисунок) в случаях:
a) Ex = E3x = к -	• cos a • cos 45° = к-Д,
(V3a)“
Ev = E? v + Еэ v = к - cos 45° + к . cos a • sin 45° -y y y ы Ы
2 a2 y/3a2
1	1 к Я
7= + ~г\к?’ 12 J3 а2
Ez =E}z +E^Z +E3z = к + к - 2--- sin 45° + к —sin a = a~ [42a)~ [Jiaf
3	2 ?
+ 2V2+3V3j
0
1.11.	Пусть заряд qQ находится в некоторой точке А внутри сферы. Проведем диаметр сферы, проходящий через эту точку.
Ввиду симметрии распределения заряда по поверхности сферы относительно любого ее сечения, проходящего через этот диаметр, а в самом сечении-симметрии распределения заряда относительно диаметра, можно утверждать, что заряд qQ может двигаться только
вдоль этого диаметра. Рассмотрим два узких конуса внутри сферы с вершиной в точке Лис углом при вершине р, осью которых будет этот диаметр (см. рисунок) и сравним силы, с которыми заряды, находящиеся на соответствующих шаровых сегментах, будут действовать на точечный заряд q§.
Величина зарядов qx и q^, находящихся на шаровых сегментах qx = 5] • ст, <72 = $2 ‘ст > ст — поверхностная плотность зарядов на сфере, 5] и ^2 — площади шаровых сегментов. При малых углах Р
В 7	7
qx ~ — -4^ ст = pq ст,
4 тс
В 7	7
92 « — • 47сг2 ст = рг2 ст , 4я
?! и г2 — расстояния от точки А до соответствующего сегмента сферы. При произвольных углах р коэффициент пропорциональности между зарядом сегмента q и расстоянием до него от точки А будет некоторой функцией угла при вершине конуса /(Р) = С(Р), но одинаковой для обеих конусов, т е.
=С(р)/-!2ст,
92 =С(р)г22сг.
Следовательно, на точечный заряд 9q , помещенный внутрь равномерно заряженной сферы, со стороны шаровых сегментов будут
действовать силы, зависимость которых от расстояния г и параметра а будет иметь вид
2
F = ^0^_C(P)=/r(P)o-gr.
Возможны два варианта поведения точечного заряда.
I вариант. Заряды qQ и поверхностный заряд сферы — разноименные. В этом случае F— сила притяжения. Поэтому, если а > 2 (а = Vs , а = л/7 ), то для г2 > q F2 < F] и заряд упадет на ближний к нему участок поверхности сферы.
Если а < 2 (а = 41 , а = V3 ), то для r2 >r\ F2 > F] и первоначально покоившийся заряд будет двигаться ускоренно до центра сферы, а затем начнет замедляться и остановится с другой стороны от центра сферы на расстоянии от поверхности, равном ц . После остановки заряд qg вновь начнет двигаться, но уже в обратном направлении, т.е. заряд qQ будет совершать колебательное движение.
II вариант. Заряды qQ и заряд сферы — одноименные. В этом случае F — сила отталкивания.
При а = 4$ и а. = 41 заряд будет совершать колебательное движение.
При а = 41 и а = л/з заряд упадет на ближний к нему участок поверхности сферы.
1.12.	Металлический цилиндр является проводником. Переносчиком заряда в нем служат свободные электроны. При вращении цилиндра эти электроны удерживаются на определенном расстоянии г от оси цилиндра, так как на них действует кулоновская сила FK, величина которой пропорциональна напряженности электрического поля в этой точке, т.е. FK = еЕ.
Из уравнения динамики для вращающегося электрона: m<i4R = eE
следует, что Е = та * 2,25 • 10~7 В/м.
е
1.13.	Так как поперечные размеры поршней велики по сравнению с расстоянием между ними, то электрическое поле, создаваемое зарядом, находящимся на поршнях, можно найти как поле равномерно заряженной бесконечной плоскости
28q6
где ст = — — поверхностная плотность заряда. Относительная ди-.S"
электрическая проницаемость воздуха е = 1. Сила Кулона, с которой поршни притягиваются, равна
Давление воздуха в промежутке между заряженными поршнями:
F	Q2
Р = Ро +-^ = А) +—5—
S	252е0
Так как температура в системе постоянна, то объем и давление в промежутке между поршнями для случаев заряженных и незаряженных поршней связаны законом Бойля — Мариотта:
= PqVq .
В свою очередь V = Sd, a Vq = Sd®, следовательно, расстояние между поршнями уменьшится в
к - — = — = 1 ч--« 2,25 раза.
d Ро 2S2e0p0
1.14.	Так как заряд частицы отрицательный, то со стороны электрического поля на частицу будут действовать сила FK, ориентированная против вектора напряженности поля (см. рисунок). Направим ось ОХ вдоль направления действия силы FK . В соответствии со 2-м законом Ньютона частица будет двигаться с ускорени-
ем, направленным вдоль оси ОХ. Мо-
дуль ускорения а =----. Уравнение
2т
движения частицы
\q\E >
X(t) = Xq - Vq COS<p -/ +-/“
2m
или
k|£ 2
zVl(l) = -Vq COSip t +----X .
2m
Решая это квадратное относительно t уравнение, находим
ту о cos (р + -^(wvq coscp)2 +	_2
qE
1.15.	Натяжение нити при прохождении ею вертикального положения можно найти из спроектированного на вертикаль уравнения динамики для шарика:
v2 Т р
где Т — сила натяжения нити, /'т = mg — сила тяжести, действующая на шарик, I — длина нити, a v — скорость шарика в момент прохождения нитью вертикального положения. Скорость шарика можно найти из закона сохранения энергии, который в данном случае запишется как
...	.	г., 	WV2
mgl(l - cos а) + qEl sin а = —— .
В данном уравнении первое слагаемое есть работа силы тяжести, равная взятому с обратным знаком изменению гравитационной потенциальной энергии при переходе шарика из начального состояния в состояние, при котором нить вертикальна; второе слагаемое представляет собой работу сил электрического поля по перемеще-
mv* I 2 * нию заряда из начального положения в конечное; —------кинети-
ческая энергия, приобретаемая шариком.
Решая полученную систему уравнений, находим
Т = mg(3 - 2 cos а) + 2<?£,sina »18,7Н.
(j	1.16. До начала движения
системы модуль минимальной / \	кулоновской силы расталкива-
/ Ik'	ни» шариков Fmjn - 9 .
/ т2 Л К	4 * & * *”"'
_______(V	больше модуля силы тяжести
I	FT=mg , т е. шарики разойдутся
I — на максимально возможное рас-▼	стояние и все нити будут натя-
нутыми. Пусть 7\ и Т2 — силы натяжения шариков (см. рисунок). Для ускоренного движения системы уравнения движения каждого из шариков в проекциях на направление движения и на перпендикулярное ему направление будут иметь соответственно вид
7] sin a - mg = ma-,
2
' T2+T\ cos a =-----1---—-.
16ne0/2 cos2 a
2
Отсюда T2 =----------------m(a + g)ctga ~ 0,1H.
167te0Z2 cos2 a
1.17. Из уравнений динамики для двух случаев вращения шариков:
&2R = g tga;
2	<?2
mco2 = mg tga- k-^—,
R2
где первое равенство системы — без заряда в центре окружности; второе равенство — с зарядом в центре окружности; а — угол, образованный нитью с вертикалью. Отсюда
I о
2 ка , „ , ю2 = J®]-----* V м/с.
V mR
1.18.	Рассмотрим, что будет происходить с шариками после пережигания нити. Пережигание нити приводит к тому, что мгновенно исчезает одна из сил, которые удерживали шарики в равновесии, — сила натяжения нити АВ. Равнодействующая оставшихся сил, действующих на каждый из шариков, будет сообщать шарикам ускорение, которое будет менять их скорость как по направлению (центростремительная компонента ускорения), так и по величине (тангенциальная компонента ускорения). В начальный момент скорости шариков равны нулю, а тангенциальные компоненты ускорения имеют наибольшие значения. По мере подъема шариков их линейные скорости будут увеличиваться, а тангенциальные ускорения уменьшаться. Такие особенности движения шариков будут сохраняться до некоторого момента нового положения равновесия сил, в который силы натяжения нитей, силы тяжести и силы кулоновского расталкивания для каждого из шариков уравновесят друг друга. В этот момент тангенциальное ускорение шариков будет равно нулю, а их линейная скорость максимальна. После этого шарики продолжат движение, но теперь равнодействующая сил, действующих на шарики, изменится так, что сообщаемое ею шарикам тангенциальное ускорение изменит свое направление на противоположное и по мере подъема шариков будет возрастать по величине. При этом скорость, которую набрали шарики, будет уменьшаться и в точках их наивысшего подъема скорость шариков будет равна нулю, а величина тангенциального ускорения максимальна. В этих точках сила натяжения нитей Т в соответствии со 2-м законом Ньютона будет равна по модулю силе кулоновского расталкивания шариков, т.е.
T = F -	1	?1<?2 -z Ях<12
4л80 (2/)2	16те0/2 ’
Ч\ Я'!
Для нахождения ——- воспользуемся законом сохранения энер-/2
гии. За нуль отсчета гравитационной потенциальной энергии выберем исходное положение нити АВ. В этом положении шарики обладают только электростатической потенциальной энергией, рав-1 q, о 2
ной W =-----------. Когда шарики поднимаются на максимальную
4л£о I
высоту Н =	, они обладают только потенциальной энергией.
гравитационной и электростатической. Кинетическая энергия, которой обладали шарики, поднимаясь вверх, в этом положении равна нулю. Таким образом,
+ 1 1,192 = '
4ns0 2/ 4тге0 /
471Eq I1
¥ 3
Следовательно, Т = —^-mg »0,86  10~3Н.
1.19.	Для q > 0 уравнение движения частицы в поле
ctf2 x(O = vor+ —,
qE
где a =-----ускорение частицы, которое находится из основного
m
уравнения динамики. При х(/) = cl
„ 2m(d-v0t)
qt2
Для частицы, у которой q < О
2w(t/ + voO
1.20.	В общем случае траектория свободной заряженной частицы, движущейся в поле, не совпадает с силовой линией, так как касательная к силовой линии указывает только направление действующей силы, т.е. направление ускорения, тогда как касательная к траектории указывает направление скорости частицы. Траектория и силовые линии совпадают только при движении частиц в однородном поле, когда начальная скорость частицы направлена вдоль силовой линии.
1.22.
1.23. Пусть х — расстояние от заряда qy до точки, где потенциал равен нулю (см. рисунок). Из условия равенства потенциала этой точки нулю
X I находим
Ч\ +1?21	<71 +1*72
Напряженность поля в этой точке
Е~к^- + к	=	«4-103 В/м.
2	/> ^2	>2Л I I
х2 (l-х)2	/2?1Ы
1.24. Потенциальные энергии системы зарядов в начальном WH и конечном WK состояниях равны соответственно
wn=k
' ?1?2 ! 91Q ! QiQ'
J\+r2 И г2 ,
)УК =к
' <71<72 , <712 , <12@'
Л +г2 г2 И ,
Минимальная работа, которую необходимо совершить, чтобы поменять заряды q-у и q^ местами, равна разности потенциальных энергий конечного и начального состояний:

Пг2
1.25. Работа А равна разности потенциальных энергий взаимодействия зарядов в конечном WK и начальном Wu состояниях системы. Тогда получаем в случаях
х л kq2 в) А = а
Отметим, что в случаях а) и б) А < 0, а в случаях в) и г) А > 0.
1.26. Сближение электронов удобнее рассмотреть в системе отсчета, в которой один из электронов вначале покоился. В этой системе другой электрон будет налетать на покоящийся со скоростью vI + v2. Электроны отталкивают друг друга, поэтому их сближение будет сопровождаться уменьшением скорости налетающего
электрона и увеличением скорости первоначально покоящегося электрона. Это изменение скорости будет происходить до тех пор, пока скорости обоих электронов не сравняются по величине, т.е. относительная скорость их станет равной нулю. Из закона сохранения импульса (систему из двух электронов можно считать замкнутой) следует, что скорость каждого из электронов в этом случае
А	,	,	V]+V2
будет равна v, = v2 =----
При сближении электронов часть кинетической энергии налетавшего электрона переходит в потенциальную энергию кулонов-ке2
ского отталкивания иК =--, е — заряд электронов, г — расстоя
ние между ними.
При максимальном сближении (r = rmm) закон сохранения энергии запишется в виде
/	\2	/ ч2
[ Vi + Vо )	( Vi +Уэ I
т\ _J---£ w ------------£
щ(У1 + v2)	<	2	) V 2	) kez
2	"	2
2 I
min
m — масса электрона. Отсюда rmin
4£е2
w(vi + v2)2
1.27.	Рассмотрим движение зарядов в системе центра масс (с.ц.м.). Пусть ось ОХ направлена вдоль v2 (см. рисунок). Тогда скорость р, с которой сама с.ц.м. движется вдоль оси ОХ.
N2
О
fflv2 - mvx ту + w2
В с.ц.м. заряды начинают движение с импульсами
*	*	ТП\ 771 у .	.
Р\ =Р2= Р2 -₽^2 = А +	=--------(V] + v2).
ту + m2
Кулоновская сила отталкивания будет тормозить заряды и в соответствии со 2-м законом Ньютона в равной мере уменьшать величину импульса каждого из зарядов. Минимальное расстояние между зарядами rmiI1 будет в том случае, когда импульсы зарядов в с.ц.м. станут равными нулю. Из закона сохранения энергии
*2	*2
Р\ ! Pl =kWl2
2wi 2тг
находим
^ = 2^(»V^)=3i24<;m
W]W2(V] +v2)
Если проводить рассмотрение в той системе отсчета, в которой заданы скорости зарядов, то, используя законы сохранения энергии и импульса, можем составить уравнения:
ffljV]2 ! ffl2V2 _	+^2)У2 | к(11Я2 .
2	2	2 г • ’
'mm
mlVl -W2V2 =(W] +w2)v,
так как в момент наибольшего сближения относительная скорость зарядов равна нулю, т.е. они движутся с одной и той же скоростью v . Решая систему уравнений, найдем rmm.
1.28. При движении электронов за счет кулоновского отталкивания будут уменьшаться составляющие их скоростей, направленные вдоль прямой, соединяющей электроны. При максимальном сближении электронов эти составляющие станут равными нулю. Поперечные составляющие скоростей, т е. перпендикулярные этой прямой, меняться не будут.
Для вычисления минимального расстояния между электронами воспользуемся законом сохранения энергии:
2	2	2	2
, (7х	~ mv0 ,	~	. 2
k2— + 2—- = к —— + 2—— sm а.
2 rmin 2
Здесь к = —-—. Отсюда
4 ле о
fmin =--------Ц-----—«ЗЗ-Ю^м.
4лЕолгУо/ cos а
я1
1.29.	Когда бруски перестают удерживать, то на каждый из них в горизонтальном направлении действует постоянная по величине сила трения скольжения = \xmg « 2,4 • 10-3Н и уменьшающаяся по величине по мере удаления брусков друг от друга сила кулоновского расталкивания, начальное значение которой
F"*------«5,6-10~3Н.
4Л80 /2
Пока сила кулоновского расталкивания брусков больше силы трения бруски будут двигаться ускоряясь, а затем, когда знак неравенства сменится на противоположный, бруски будут замедляться и в конце концов остановятся. Ввиду одинаковости брусков и их зарядов каждый из них пройдет одно и то же расстояние. Обозначим его S. Для вычисления 5 воспользуемся законом сохранения энергии. Перемещение брусков сопровождалось уменьшением потенциальной энергии системы Wp => Wp , которая была затрачена на совершение работы против силы трения, т.е. А = -ДИ^ = Wp - W* .
Так как
А = 2[imgS,
»рН =	,
р 4keq/
wk =_______i-____
р 4ле0(/+ 25) ’ то
.S’ ----2-------- « 33,5 см.
SitEQ[imgl 2
Здесь принято, что, ввиду малости брусков, потенциальная энергия их кулоновского взаимодействия такая же, как и для точечных зарядов.
1.30.	По принципу суперпозиции потенциал электрического поля, создаваемого зарядами q\ и q^ в точке С.
q\ qi\
Фс =ф] +Ф2 =к\	+	•
\ВС АС)
В соответствии с законом сохранения энергии работа, которую совершат консервативные силы электрического поля над зарядом q^,
А = q3 ’ ФС
затрачивается на сообщение заряду кинетической г ту2 о
7 =----. Отсюда
энергии
v pl[9L+MM53M/c.
V т \ВС АС)
1.31.	Массы и скорости электрона и позитрона в позитронии равны, поэтому суммарная кинетическая энергия частиц ЕК = ту2,
1 е2
а потенциальная энергия их взаимодействия Еп =--------, е —
47СЕ0 (2г)
заряд электрона, е0 — электрическая постоянная, г — радиус окружности, по которой движутся частицы, 2г — расстояние между электроном и позитроном. Связь между Ек и Еп можно найти, воспользовавшись уравнением динамики для вращательного движения каждой из частиц атома, спроектированным на ось, проходящую через частицы:
2	1	2
mv _	1 q
г 4its0 (2r)2
Учитывая это соотношение, находим
£п / Ек = -2 .
1.32.	Заряд в проводнике распределяется по поверхности, т е. в нашем случае равномерно по поверхности капель. Пусть р — плотность вещества,rnR — радиусы маленькой и большой капель соответственно. Тогда объем, масса и заряд
маленькой капли
тл 4 з	4 з	mr
= — nr , m = — nrp, q = -—;
3	3	к
большой капли
4 т 4 т
Иб= —ял , M=~nRp, Q = nq.
Так как М = пт, то R = tfnr, а потенциал U большой капли
U ^к^- = ^ ф«65В.
R
Полученный результат будет справедлив и для капель непроводящей (диэлектрической) жидкости, если заряд равномерно распределен по объему.
1.33. Энергия, затрачиваемая при соединении капелек на преодоление электрических сил отталкивания, равна потенциальной энергии взаимодействия зарядов N капелек, собранных в одну
большую каплю и рассматриваемых как точечные заряды. Последнюю в соответствии с определением можно найти из выражения:
1 N
21=1
/=*-1 -7/
где ср, = У к-------потенциал поля, создаваемого всеми заря-
7=1 ГУ
дами, кроме /-го в точке пространства, где находится заряд <у; . Поскольку потенциал электрического поля внутри большой капли всюду одинаков и равен потенциалу U на ее поверхности, то (р;
тт	кс1
можно записать как <рг• = U - ср], где <Р| =-потенциал поля,
г
создаваемый отдельным зарядом (капелькой) на ее поверхности и з/ 2
внутри нее, a U = yN • <pi (см. решение задачи 1.30). Так как электрические заряды всех маленьких капелек одинаковы, то
2
WN = -q[^-\\^ = k^—[^N^-1^2,3Дж.
2 у ) 2г У )
1.34.	Электростатическая энергия системы включает в себя собственную энергию каждого из шариков и энергию их взаимодействия.
Собственная энергия заряженного шарика W равна работе внешних сил, которая совершается при сообщении шарику заряда q
2
и равна Wj =	(/ = 1,2 — номера шариков), Сг — емкость ша
риков.
Поскольку заряд q,, находящийся на шариках, связан с создаваемыми им потенциалом <р, соотношением:
ф. = = _
' С, 4пе0Я/
то емкость металлических шариков равна Сг = 47re0^?z, £о — электрическая постоянная. Поэтому собственная энергия z-го шарика W, радиуса R,, имеющего заряд q,, дается выражением:
<L
4л£0 2Rj
Энергия взаимодействия заряженных шариков
4я£0 I
Следовательно, до соединения шариков проволочкой потенциальная энергия системы И/нач равнялась
J ?12 + 1	<?2 + 1	?1<72
47гео 21?]	47Г£о 2Л2 4тсео /
1
8лЕд
<2	2 А
1?2
(1 + 2>/2)^
8 ле о	R
В последней строке учтено, что, так как по условию задачи I» R, то энергией взаимодействия шариков можно пренебречь.
После соединения шариков проволокой их заряды перераспределяются до выравнивания потенциалов. При этом суммарный заряд шариков остается неизменным
Я] + Яг ~	+ 2<7о - <70 •
Пусть установившийся потенциал шариков равен <р0. Тогда новые заряды шариков
q{ = 4лЕ0ф07?], q2 = 4ле0ф0А2 .
Используя условие сохранения полного заряда, находим
4ле0(1?] + R2)
и соответственно
<?i =q° р "h^(Vz-O,
+ Л-2
q2 = Qo „	= <7о ^2 (д/2 -1).
Л] т К 2
После разъединения шариков потенциальная энергия системы ^кон станет равной
w ®	-		fa)2 . (<72 Л		_ (V2-l)gg
*f КОН о o7CEq	*1	R2 J	8тге0 R
^нач 1 + 2V2 Q_ т е. уменьшится в-----= —=-----* 9,2 раза.
И'кон V2-1
1.35.	Электростатическая энергия системы в начальном состоянии
w - 1	<2	2 > + 42	1	?0
11 нач _ л 4tceq	[2RX 2R2)	87CEQ	R
Заряды шариков в конечном состоянии
<1\ =?o/(V3+l), яг+0’
а электростатическая энергия системы
, 1 Г(^1)2 ,te)21	1	<
4яЕд 2/?i	27?2	8тао(>/3 +1) R
Таким образом, полная электростатическая энергия системы в результате соединения шариков проволокой уменьшилась в
w
" нач
W
"кон
(>/3 +2,73 раза.
Указание. См. решение задачи 1.34.
1.36.	Потенциальная энергия системы складывается из собственных энергий шарика и сферы и энергии их взаимодействия.
Собственная энергия любого заряженного тела равна работе внешних сил, которая совершается при сообщении телу электрического заряда. Для уединенного тела сферической формы, каковыми являются и шарик и его оболочка, эту работу можно посчитать как
, 1
где к =-----, s0 — электрическая постоянная, q — заряд тела.
4лео
г — его радиус. Поэтому собственные энергии шарика и сфе-
рической оболочки будут соответственно равны
-к^-
27?
W "ш
^сф
27?
и сферы совпадают, энергию их
Поскольку центры шарика взаимодействия можно найти как
^вз =-?0<Р2>
где - qQ — заряд шарика, q>2 — потенциал, создаваемый поверхностным зарядом сферы q^ в месте расположения шарика. Этот потенциал, как известно, равняется потенциалу поверхности самой сферы и может быть вычислен с помощью принципа суперпозиции полей:
ф2 = к±------
2	27?
В итоге
2
Полная потенциальная энергия Wn начального состояния системы
W =W +W + W =
"н "ш "с ггвз 2 r
После соединения проволочкой оболочки и шара заряд шара перетекает на оболочку и новый заряд оболочки q2 становится равным:
92 = (V2 -1)?0 .
После разъединения шара и оболочки потенциальная энергия системы И'кои будет определяться собственной энергией заряда, находящегося на оболочке, т.е.
w -к^2	3~2>/2^о
кон 2г2	4 R
Таким образом, потенциальная энергия системы уменьшилась в
т] = ^нач = 2(5 + 3V2)® 18,5 раз.
^кон
1.37.	Собственная потенциальная энергия шарика в начальном состоянии.

Потенциальная энергия взаимодействия )ТВЗ зарядов, индуцированных на оболочке, и заряда шарика:
_ t 1 1 1
^вз = 91 -Ф2.3 = кЧо	
Здесь q\=qo — заряд шара, 7?з = 2R, R2 = 42R .
Полная потенциальная энергия системы 1Тнач в начальном состоянии:
W " нач

R 2
ЖЯ3-Я2)
Л2Т?з
Ji R
При соединении шарика и сферы проволочкой заряд шарика перетечет на сферу и после разъединения шарика и сферы потенциальная энергия системы 1Ккон будет равна собственной энергии заряда, находящегося на внешней поверхности сферы, т е.
kq% _kql
кон 2R3 4R
Потенциальная энергия системы уменьшится в
ц = ^3. = 2>/2(V2 - 1)~ 1,17раза.
^кон
1.38.	В средней точке между сферами результирующая сила, действующая со стороны заряда сфер, равна нулю. Когда же частица сместится в сторону какой-либо из сфер, то она начнет втягиваться внутрь той сферы, к которой оказалась ближе. При этом движение частицы будет ускоренным, так как сила, втягивающая частицу в сферу, растет по мере приближения к ней частицы, а сила, действующая на частицу со стороны другой сферы и препятствующая ее втягиванию, уменьшается. Когда частица окажется внутри сферы, на нее перестает действовать втягивающая сила со стороны заряда этой сферы и поле, создаваемое зарядом другой сферы, начнет тормозить частицу. В результате торможения частица остановится. Максимальное расстояние х, на которое частица удалится от средней точки между сферами, будет зависеть от того, где находится точка остановки: внутри самой сферы, или вне ее. Допустим, что точка остановки частицы находится внутри сферы. Тогда закон сохранения энергии для двух положений частицы — начального (в средней точке) и конечного в точке остановке, запишется как
Eki +U\+U2=	+ &2 + Ekf ,
ИЛИ
2	2
к <7192 к ЧУ<12 к 9192 к 9192 , mvf
2	1/2	1/2 R l/2 + х 2
mwf
Здесь	и E^ =—-------кинетические энергии частицы
соответственно в средней точке и в точке остановки, U\ = -к
q-t
и U= -к ----------потенциальные энергии взаимодействия заряда
частицы и сфер 1 и 2 в средней точке между ними, U{ =-к и
R
ТП 1 4X41
и 2 =~к—----------потенциальные энергии взаимодействия заряда
И 2 4- х
частицы и сфер в точке остановки. Так как v(~0 по условию задачи, и vy = 0 (частица остановилась), то закон сохранения энергии примет вид:
1 1 1 1
17,5 17,5 "10 17,5+ х
Отсюда х = 52,5 см. Точка, соответствующая этому удалению от средней точки лежит вне пределов сферы, что противоречит сделанному предположению. Поэтому закон сохранения энергии нужно записать, взяв в нем потенциальную энергию взаимодействия частицы и сфер в точке остановки, находящейся за пределами сферы. Если у — расстояние от точки остановки до поверхности сферы с внешней по отношению к средней точке стороны, то
1 1 1 1
17,5 17,5 ~ 45 +у 10 +у
Решение этого уравнения дает у « 0,75 . Следовательно, максимальное расстояние L. на которое заряженная частица удалится от
средней точки, равно L = ~ + R + у см.
1.39. Максимальное удаление частицы от средней точки х = 3 см (см. решение задачи 1.38).
1.40. Так как частица и сфера имеют заряды одного знака, между ними в соответствии с 3-м законом Ньютона действуют две кулоновские силы отталкивания, которые по мере сближения частицы и сферы увеличиваются по модулю и одна из которых будит тормозить частицу, а другая ускорять движение сферы. При этом
возможны два варианта движения и взаимодействия частицы и сферы.
В одном случае, когда скорость налетающей частицы v меньше некоторой минимальной скорости vmjn, необходимой для попадания частицы внутрь сферы, частица и сфера сблизятся до некоторого минимального расстояния между ними. После этого частица изменит направление своего движения на противоположное и объекты взаимодействия разлетятся в разные стороны.
В другом случае, когда v > vmm , частица попадая внутрь сферы через одно отверстие, вылетает из нее через другое и удалится на бесконечность. В силу симметрии взаимодействия частицы и сферы при разных положениях частицы относительно сферы, а также постоянства энергии взаимодействия зарядов частицы и сферы, когда частица движется внутри нее, скорости сферы vc и частицы v4 при удалении последней на бесконечность примут первоначальные значения, т е. v4 = v, vc = 0.
Для определения минимальной скорости воспользуемся замкнутостью системы «частица + сфера» и применим к ней законы сохранения импульса и энергии:
w2vmin =т\и + т2и,
2	2	2
W1 Vmin _ Я\Я2 т\и + т2и
2	~ R 2	2
При записи уравнений учтено, что минимальная скорость частицы, необходимая для ее проникновения в сферу, определяется электростатическим потенциалом поверхности сферы <ре, т е.
<рс = к —, где R— радиус сферы. Помимо этого в этом случае R
скорость частицы относительно сферы должна быть равна нулю, т.е. в момент проникновения внутрь сферы скорости частицы v4 и сферы vc равны: v4=vc=u. Решая уравнения относительно vmin, находим
_ \2qxq2k(mx + т2) ...
v min = J---„-----------« 2>5 М/С.
у	Rm2mx
Таким образом, частица пролетит сквозь сферу и будет иметь на бесконечности скорость, равную первоначальной
v'4 = v = 5 м/с,
а сфера придет в состояние покоя:
vc =0.
1.41.	Законы сохранения импульса и энергии для системы «точечный заряд + кольцо» имеет вид:
=mXN + m2v,
2	2	2
wlvm.n=OTlv , W2V |/Л1?2
2	2	2 A
Здесь vmm — скорость точечного заряда на бесконечности, v — скорости точечного заряда и кольца в момент, когда заряд оказыва-kqxq2
ется в центре кольца, —-------потенциальная энергия кулонов-
ского взаимодействия точечного заряда и заряда кольца в тот же
момент.
Отсюда vmin
10зм/е
Rmxm2
Указание: см. решение задачи 1.40.
1.42.	Представим эквивалентную схему цепи как показано на рисунке.
Здесь С — емкость всех остальных пар конденсаторов Сх и С2, кроме первой. Эквивалентная емкость цепи Л В Сэкв может быть тогда найдена,
как
Gkb q+c2+c'
или
_ q(C2+C) экв c+q+c2'
При достаточно большом числе пар конденсаторов С] и С2 подключение к цепи АВ очередной пары практически не изменяет емкость цепи. Поэтому, не делая большой погрешности, можно положить Сэкв « С.
Решая получающееся квадратное уравнение, найдем
С *	= (7з - 1)МкФ « 0,73 мкФ.
1.43.	При уменьшении расстояния между пластинами отключенного от источника плоского воздушного конденсатора в п раз, его емкость увеличивается во столько же раз, а заряд на обкладках остается неизменным. Работа внешней силы по изменению расстояния между обкладками равна разности энергий конечного и начального состояний конденсатора, т.е.
2пС 2С 2 п 4
1.44.	Суммарный заряд на пластинах конденсаторов не изменится, а емкость после их соединения равна сумме емкостей (параллельное соединение), т.е.
С = С] + С2 ,
C1t71-C2tZ2=(C1+C2)t7,
U— напряжение на обкладках конденсаторов после их соединения. При записи закона сохранения заряда учтено, что конденсаторы соединяются разноименно заряженными пластинами.
Суммарная энергия конденсаторов до их соединения
2	2
после соединения
(CX+C2)U2 (схих-с2и2)2
f 2	2(СХ+С2)	’
а выделившаяся энергия
AW = W{ -Wf = Q&WllUlL-«8,4-10-2Дж.
f 2(C1+C2)
1.45.	Система из заряженных сфер обладает некоторой начальной энергией Ир®4. После соединения сфер проволокой их заряд и энергия становятся равными нулю. Запасенная энергия выделяется в проволоке и в самих сферах в виде джоулева тепла, величина которого Q в соответствии с законом сохранения энергии равна
Q = -AWp = -(1Кркон - И/рнач)= 1Грнач.
Учитывая, что исходные заряды сфер были одинаковыми по величины, но противоположными по знаку, энергию системы можно рассчитать как энергию заряженного сферического конденсатора. Энергия конденсатора любой формы дается выражением:
W = ^-,
2
где q — его заряд, U — напряжение на обкладках. Эту формулу легко получить, если посчитать работу, которую необходимо совершить для того, чтобы зарядить конденсатор, перенося заряд малыми порциями с одной обкладки на другую. При этом нужно учитывать, что первая порция заряда переносится через нулевую разность потенциалов, а каждая следующая переносится через разность потенциалов U = q!С , пропорциональную уже перенесенному заряду.
Напряжение на обкладках конденсатора, равное разности потенциалов на поверхностях сфер U = <pj - <р2 > посчитаем, воспользовавшись принципом суперпозиции. Будем для определенности считать заряд внутренней сферы положительным. Зависимость потенциала электрического поля, создаваемого зарядом каждой из сфер, как функции расстояния г до центра сфер показана на рисунке.
Так как обе сферы — проводящие, то для внутренних их областей, т.е. для г <Ry для внутренней сферы и для г < /?2 для внешней сферы, потенциал не будет зависеть от расстояния до центра сферы.
В соответствии с принципом суперпозиции потенциал точек поля, находящихся на поверхности внутренней сферы, равен
<Р] =к — - к —
Rx R2
а потенциал точек поля, находящихся на поверхности внешней сферы, равен
Ф2 = к —— к	= 0.
Я2 R2
Следовательно,
t7 = <Pl -ф2 =к
q(R2 ~R\) R}R2
и
“11 = 1,3.
2RtR2
1.46.	Энергия W\ системы последовательно соединенных конденсаторов С] и С2

CjC2 с2
Q+C2 2
Энергия W2 этих же конденсаторов после заполнения диэлектриком обкладок конденсатора С2
W1 = еСА Uj
еС] + С2 2
Работа источника
А = W2 - Wl =
CjCj(e-l) U2
(гС}+С2)(С]+С2) 2
«4-10~6 Дж.
1.47.	Показания электрометра не будут изменяться, так как показания электрометра отражают потенциал исследуемого тела, а потенциал проводника во всех точках его поверхности одинаков.
2. Электрический ток
2.1.	Если скорость движущихся зарядов v, то время А/, за которое заряд Ад пройдет провод длиной /
AZ = 1 / v.
С другой стороны,
Дц = 1Д1 = I — = q . v
гч	И
Отсюда v = —.
q
2.2.	Обозначим п =	---концентрацию атомов меди и, сле-
А
довательно, электронов проводимости в проводнике. Здесь Ад — число Авогадро, А — атомная масса меди. Если е — модуль заряда электрона, то п • е — концентрация свободных зарядов в проводнике. За промежуток времени А/ любое поперечное сечение проводника площадью А пересечет заряд, заключенный в объеме SvAz, где v — скорость упорядоченного движения электронов. Величину перенесенного заряда А<? за время Az можно определить как произведение этого объема на концентрацию свободных зарядов, т.е.
Ад = enSvAZ .
С другой стороны, заряд, переносимый током силой I за время AZ через любое поперечное сечение проводника, равен
А<? = /AZ.
I IA	1
Отсюда v =----------= 7,5-10 ' м/с.
enS epSNA
2.3.	Под действием приложенной электродвижущей силы электроны двигаются вдоль проводника и сталкиваются с атомами, передавая им как энергию, так и импульс. Передаваемая энергия может выделяться в форме, например, теплоты, а передаваемый импульс создает силу, действующую на проводник в направлении движения электронов. Однако величина этой силы ничтожно мала по сравнению с силой тяжести проводника, так как средняя ско
рость перемещения электронов по проводнику и, следовательно, передаваемый импульс являются очень маленькими величинами.
2.4.	aP&t — энергия, передаваемая излучением на образование фототока, за время Д/;
— — энергия, затрачиваемая на образование одного фотоэлек-X
трона;
аРЫХ	.	,
N =---------количество образовавшихся фотоэлектронов;
he
eaPAtX	„
aq-Ne =-----------заряд, образующийся за время Д/.
he
Следовательно, сила возникающего фототока
/ = а?=^ж8.1о-,оа
Д/ he
2.5.	При последовательном соединении нескольких источников тока полная ЭДС батареи равна алгебраической сумме ЭДС всех источников. Чтобы собрать батарею, дающую разность потенциалов U = 220 В, аккумуляторы с £ = 2 В нужно соединить между собой разными полюсами (см. рисунок).
»
Если батарея состоит из п аккумуляторов, то полная ЭДС батареи £б =не, а суммарное внутреннее сопротивление ее R.Q=nr . По закону Ома для неоднородного участка цепи
U = £б - ZRg = н(е - Ir) =>
=> п ------= 220 штук.
г- 1г
... TtD2 ,, m = Va =---la;
4
Я = р1 = ^
S
0 = 4 ^ «0.2 мм.
D — диаметр провода, I — его длина, V —- объем.
2.7.	В соответствии с законом Ома для полной цепи
r + R} ’ е
Г + /?2
где £ — ЭДС, аг — внутреннее сопротивление источника. Решая полученную систему уравнений относительно г, находим
r^J2R2 Л
= 5 Ом.
2.8.	По известной ЭДС £ падение напряжения на резисторе находится как

г •
R + r
R.
г — внутреннее сопротивление батарейки. По определению сила тока короткого замыкания
/кз (£-(/)/?
zU
2.9.	Электрическую схему измерений сопротивления поврежденной линии можно изобразить рисунком.
На рисунке R\ и R% сопротивления участков проводов до места повреждения и после него соответственно, г— сопротивление в месте повреждения изоляции, К — ключ.
При разомкнутом ключе ток в цепи
2А] +г
Откуда 2Я] =----г. Когда ключ замкнут, ток в цепи
Л
I	е	£(27?2 +г)
2 2R I 2/?2Г	4ад>+2Я г
1 2R2+r
Используя эти два соотношения и учитывая, что по условию задачи Я] + R2 - R, получим квадратное уравнение:
h
J2
£
r2Z2 - 2гв — -1 + 1 -E 2R- — =0.
Решая его, находим
г1,2 ~ £
(Л>-Л) [1Т L , (2AZ1 -е)/2 /2/1 I V £(/2-70
Отсюда Г] = 0,62 Ом и г2 = 2,72 Ом.
5 — г
Второе решение не годится, так как Rj =	- > 2, чего быть не
может, потому что для всей линии сопротивление R = 2 Ом.
2.10.	Ток через диод равен разности токов, текущих через сопротивления Я] и Я4 или Я2 и Я3. Чтобы найти эти токи можно воспользоваться тем, что сопротивление идеального диода в прямом направлении близко к нулю и пренебречь падением напряжения на сопротивлении диода. Тогда исходная схема будет эквивалентна изображенной на рисунке.
Токи через сопротивления в этой схеме считаются просто:
рЭКВ _ рЭКВ п 'ЭКВ 234 - 2 +Л34
*1*2	, ^4
У?! + Т?2	^4
и
г»ЭКВ ’
к1234
Un=^2-—^3R4(Ri+R2y
Л]Т?2 (*3 +Я4)
Ж34	, Я|Я2(Яз4-^)’
Л;«4<Я1+«2)
U12	j ^34
---- , i 4 = ----
R\	Rt
Искомый ток
U(R2R4-R3Rx)
 = Л -Ц =-------x-z-« -з-i/------= 10 мА.
д	RXR2(R3+R4) + R3R4(RX+R2)
2 11 J-I I - U(R2R3-RM Z. 1 !• 1 — I'z ~ /? —-----------— • MA.
RXR2{R3+R4) + R3R4(RX+R2)
2.12.	Увеличение цены деления вольтметра означает расширение диапазона измеряемых напряжений. С этой целью к вольтметру надо подключить последовательно добавочное сопротивление 7?доб. В этом случае
U = Ujz + Uдоб , где U — напряжение, измеряемое на нагрузоч-
ном сопротивлении; ^итах — максимальное напряжение, измеряемое вольтметром; £/доб — напряжение на добавочном сопротивлении. Так как токи, текущие через вольтметр и добавочное сопро-т г	^тах доб г,
тивление одинаковы, то ly = 1rqq , или ----=------, Ry — со-
RV Rao6
противление вольтметра.
Отсюда
jr - ^Д06 тт иао6 - Rv Uyn
и
Для расширения диапазона измеряемых напряжений в п =-------
^тах раз требуется включить последовательно с вольтметром сопротивление /?доб = (п -1)7? jz = 6000 Ом.
2.13.	Дополнительное сопротивление, которое нужно включить последовательно с вольтметром
•^доп —
Г^2 и2-их _ _
——-1 —L = — --l = 20kOm
Указание. См. решение задачи 2.12.
2.14.	При последовательном соединении вольтметров сила тока г	Б
в цепи /] =-----, а показания каждого из вольтметров
Ux =1^ = -^— ‘ .1 г+ 2R
Здесь е — ЭДС источника тока, г — внутреннее сопротивление источника, R — сопротивление вольтметра.
о	т е
В цепи с одним вольтметром сила тока 12 =---, а его показа-
r + R
&R
ния U2 =-----. Исключая г из соотношений для показаний вольт-
г + 7?
метров, находим
UdJ-) е =—L-2-«I0B.
2.15.	Пусть 8 — ЭДС источника, г— его внутреннее сопротивление. Тогда
'=77^
г +Л2
Решая полученную систему уравнений, находим
rJU-IR,)R2 (JR2~U) ’
c^IU(R2-Rl)
Б ir2-и ’
и ток короткого замыкания
2.16.	Выберем направления токов на отдельных участках цепи так, как показано на рисунке.
^2
el>
2’ r2
R\
Применим первое правило Кирхгофа к узлу А, а второе правило к контурам и Ве2Я:
j2-h=C
' zi(n + R\) - z>o =-£i;
?2(r2 +R2) + ir0 =-82.
Здесь r0 — сопротивление диода в прямом направлении.
Решая полученную систему уравнений, найдем
; _sl(r2 +R2)~e2(rl +Rl)< q
ro(rl +r2 +^] + /?2) + (rl + ^l)(r2 +^2)
Так как i< 0, то следует повторить расчет, изменив направление тока / на противоположное и взяв в качестве rg обратное сопротивление диода. Получим
j _e2<rl +^l)~el(r2 +R2)х 5.10-4 д г0 (И + r2 + R\ + R2 ) + (Г1 + Л )0*2 + R2 )
2.17.	Ток прямой
К =----------------------------------»8Ю-3 А.
ro(r2 + rl + ^1 +R2) + (R1 +г1)С^2 +г2)
Указание. См. решение задачи 2.16. g
2.18.	Ток через сопротивление нагрузки R: 1~--———,
Rx — сопротивление линии.
Мощность Р, выделяемая в нагрузке:
P = IU =--—------.
г + R + Rx
Отсюда, учитывая, что Р =----, находим
Сопротивление линии Rx и ее массу т можно связать между собой, используя соотношение:
Rx =Р-', Л Г У
m = d -V = d  L- S.
Здесь V — объем расходуемого алюминия, S — площадь поперечного сечения провода, L = 21. Тогда
= *dl2p «15,1кг.
х zU-U2-Pr
2.19.	Одно сопротивление подключается к 3-м другим, соединенным параллельно.
2.20.	Rx = 120 Ом. Параллельно.
2.21.	а) Включая сопротивление, параллельно данному, делаем сопротивление участка меньшим меньшего из них. Следовательно, для того, чтобы сделать сопротивление приведенного участка цепи минимально возможным, надо подключить добавочное сопротивление между точками В и С, в этом случае 7?mjn =8/9 Ом.
б) Очевидно, что следует уменьшить вклад наименьшего из последовательно включенных сопротивлений, так как его вклад и так минимален. Таким образом, добавочное сопротивление надо подключить между точками А и В, в этом случае Ятах =46/29 Ом.
2.22.	Сопротивления /?2, Л3 и Л4 соединены параллельно. Их эквивалентное сопротивление
^234 = Я / 3.
В свою очередь /?234 соединено последовательно с /?6 и оба они параллельны R^:
^2346
Л23465 = уЛ Сопротивление цепи между точками А и В:
RAB =r\+ ^23465 = у R
2.23.	Лобщ = 0,5 Ом.
2.24.	Пусть I — длина всего кольца, х — длина одного из участков кольца между точками подсоединения проводов. Тогда (х — Z) — длина другого участка кольца. Соответственно сопротивление отдельных участков кольца
R}=-R и R2=^—-$-R.
1 I 2 I
Так как участки соединены параллельно, то эквивалентное сопротивление между точками проводов будет равно
х R U - х) п
экв R}+R2 R
Решая полученное квадратное уравнение относительно x/Z, найдем, что отношение длины одного участка к длине всего кольца должно составлять
2.25.	а) Эквивалентное сопротивление цепи
R(R2 + 2Rr-2r2) экЬ~ (2R-r)(r + R)
Для построения графика Z?3KR(r) это выражение удобнее представить в виде
•^экв (r) ~ 2Z?
ЗА3 (2Я-г)(г + Я) ‘
Корни знаменателя второго слагаемого г = 2R и r = -R, следовательно, максимум знаменателя будет при г = R / 2. С учетом диапазона изменения г 0<r<R график 7?экв(г) показан на рисунке.
R экв
R
R экв
R r
б)	Эквивалентное сопротивление цепи Лэкв равно
г2
•^экв ~ Г 2^ +	'
График зависимости R(r) показан на рисунке.
в)	Для построения графика Лэкв (г) эквивалентное сопротивление цепи п (2Л - r)R
лэкв = г 4--------удобно предста-
3R -г
вить в виде суммы двух функций: линейной у] (г) = г + R и гиперболы
, . R2
п2
R3KS(r) = У1 (?) + y2(r) = r + R- —-
jK — Г
График зависимости R^ir) показан на рисунке.
2.26.	а) Цепь, которая начинается со второго из периодически повторяющихся элементов, подобна исходной. Обозначим ее сопротивление г. Тогда исходная цепь эквивалентна представленной на рисунке. Ее сопротивление
rab ~
R(R + 2r)
2R + 3r ~Г'
Отсюда r = R /'4з .
В остальных случаях:
б)	г = я(1 + );
в)
г)
/?(1 + л/з) 2
2.27.	а) Цепь удобно перерисовать в виде, показанном на рисунке. Точки цепи, которые находятся на оси симметрии полученной схемы, проходящей между точками А и В, имеют одинаковые потенциалы и их можно объединить. При этом два сопротивления, пересекаемые осью симметрии, следует представить как сумму двух сопротивлений, каждое величиной по R/2.
4
Яав =-r 
QR^R.
в) В силу симметричности протекающих по цепи токов (см. рисунок) ее можно преобразовать эквивалентным образом, т.е. не изменяя протекающих по ее элементам токов, в цепь, содержащую только параллельные и последовательные соединения проводников.
Rab-^R
2.28.	а) Перерисуем схему цепи так, как показано на рисунке. Точки а. б, в, г имеют одинаковые потенциалы. Следовательно, проволочки, соединяющие точки а и б, а также виг, можно убрать, 3
не изменяя токов в цепи. Тогда А 45 = — г .
б)	Точки 1 и 2, а также 3 и 4 имеют одинаковые потенциалы (см. рисунок).
7г
Объединяя их, находим R^g = —.
в)	В силу симметрии цепи потенциалы точек 1 и 2, 3 и 4 совпадают,
т е. Ф[ = <Р2 и Фз = Ф4 ’ следовательно, 7 и 2, а также 3 и 4 можно объединить.
В результате получаем цепь, представленную на рисунке. Проведем далее мысленный эксперимент — создадим между точками А и В падение напряжения U и получим приведенную систему токов в
цепи, причем искомое сопротивление
Для нахождения величины токов 7] и составим уравнения, используя закон Ома.

т 2U , 6U
7] =---,	—---
1 5R 1 5R
=> RAB =|т?. о
2.29.	При последовательном соединении сопротивления и конденсатора с аккумулятором заряд на обкладках конденсатора можно найти как q\ =Се, где е — ЭДС источника, С — емкость конденсатора.
При параллельном подсоединении конденсатора и сопротивления к источнику напряжения на обкладках конденсатора
U = J2R =	, а заряд q2=CU =	. Здесь J2 — сила тока,
г + R	R + г
текущего через сопротивление R, г— внутреннее сопротивление аккумулятора.
Отсюда
г = <gl R = f= 22,5 Ом.
?2	\Я2	)
2.30.	Сила тока, протекающего через сопротивление R
8
г + R
Падение напряжения на этом сопротивлении и, следовательно, на конденсаторах
U = IR = — r + R
Конденсаторы включены последовательно, поэтому их эквивалентная емкость
с_ с}с2
С] +с2
Заряд на каждом конденсаторе будет одинаковым и равным заряду на эквивалентной емкости
q = CU =
С^С2 aR
С] + С2 R + г
= 4 мкКл.
2.31.	При разомкнутом ключе ток z® через сопротивления
,0 _
1 2R
падение напряжения на конденсаторе Uy = iyR = — , заряд конден
сатора q-y = CUy - —. Отсюда е-
Обозначим токи, текущие по участкам цепи при замкнутом ключе, так, как показано на рисунке.
Используя правила Кирхгофа для двух контуров, содержащих
только омические сопротивления, и одного узла, получим систему уравнений.
Z1 +z2 =z3i
 -iiR + i\R = t', i^R + i2R — О.
2 E
Решая ее, найдем q = —— . Падение напряжения U{ на конден-
саторе при замкнутом ключе
U{=iyR =
2 4*L
3	3 с ’
а заряд на конденсаторе
<?2 =CU{ =—qy «13мкКл.
2.32.	Так как сопротивление R и конденсатор С соединены друг с другом (обозначим точку соединения буквой D), то разность потенциалов между точками А и В можно найти как разность падений напряжений на сопротивлении R:
Ur=4a~ (Pd
и на конденсаторе С:
Uc = ФВ -ф£> •
Действительно,
UR ~ иС = Ф/1 “ ФВ •
3
В то же время Ur = Ir • 7? = — е ,
, Е
Ir = -----ток, текущий через
-R
3 сопротивления R и 7?/3;
последовательно соединенные £	С
Uc =q/C = -, q = e- Сэкв = s • —-заряд на обкладках последо-
вательно соединенных конденсаторов емкостью С и С/2.
Отсюда фл - Ф$ =	= 5 В.
2.33.	Применим за нуль потенциал точки О (см. рисунок). Тогда потенциал точки В будет равен падению напряжения на сопротивлении R2, т.е.

1
А
L. й2
*1
i
е7?2
О
Обозначим фс потенциал точки С. Величину его найдем из условия, что сумма зарядов в месте соединения обкладок всех трех конденсаторов равна О. Заряды каждого из конденсаторов равны
Чсх = <ч(Фл -Фс) = с1(е-Фс);
яс3 =сзФс;
r2
ЧС2 =С2((РВ -Фс)=С2 е - -У V + «2
~Фс •
Итак, -qCx + qc^ -qC2=0, или

С1(Фс -е) + С3фс -С2 S у + Л2
-Фс =°-
Отсюда
£
R2
(pf =---------1 С1 + С 2
ТС Cj+Cj+Cgt
Л1 + R2 , •
и
sC2(R2C3 -ВД)
Qp —-----------------------& 3,3 мкКл.
2 (Л, +/?2)(C1 + C2 +C3)
2.34.	Так как через конденсатор постоянный ток не течет, то при замкнутом ключе К разность потенциалов на обкладках конденсатора равна падению напряжения U2 на сопротивлении R2 . Так как R2 и R3 соединены между собой последовательно и оба они параллельны R4 , то падение напряжения на нагрузке
у ____________(r2 + R3)___________
r(R2 + R3 + R4) + R4 (R2 + R3)
Сила тока через сопротивление R2
eR4
I2 =
r(T?2 + У?з 4- R4 ) + R4 (/?2 + R3 ) а падение напряжения на нем
s/?2^4
U 2 =12R2 ~
r(R2+R3+R4) + R4(R2+R3)
Заряд на конденсаторе
eCR2R4
</2 = CU 2 — r(R2 + R3 + R4) + R4 (R2 + R3)
После замыкания ключа К разность потенциалов на обкладках конденсатора будет равна падению напряжения U3 на сопротивлении R3 . В этом случае сила тока I через R3 :
1 =-----------,
г + R2 + R3 падение напряжения на нем
Щ = IR3 =---,
л 3 r + R2+R3
и заряд на конденсаторе
Чз=СЩ =
£CR3
Г + /?2 + Я3
Так как при переключении ключа разность потенциалов между обкладками конденсатора меняет знак, то заряд, проходящий через сопротивление Л], соединенное последовательно с конденсатором, будет равен сумме зарядов д2 и Чз > т е-
Л<7 = <?2
+ <?3 = еС
+___________R2R4____________
r(R2 + R3 + R^) + R4 (R2 + R3) ,
® 340мкКл.
*3
К 4-
2.35. Когда ключ находится в положении А исходная цепь может быть преобразована в цепь, показанную на рисунке а). Для этой цепи ток z'q, текущий через сопротивление Rq , равен
. _ £
'° "	" RAR2 +А3)
r + RQ +—
Ry + /?2 +
Падение напряжения £/23 на участке, включающем сопротивления /?2 и &з •
у _ . ^1 (^2 + ^3 ) __£^1 (^2 + В-3 )
Л] +/?2 + R3	+ Л0)(Я, + 7?2 +^з) + Л](/?2 3" R3 )
Ток /3, текущий через сопротивление Rj,
z- ^23	_______________е-^1______________
^2 + ^3 (r + ^0)(^l + ^2 + Л3) + 7?! (T?2 +R3)
а падение напряжения на нем
еЛ]Л3
U з — i'iR'i —
(r + R0)(Rl+R2+R3) + Ry(R2+R3)
Так как Uy равно разности потенциалов между обкладками конденсатора, то его заряд qA, когда ключ находится в положении А, равен
ГТт	eCR}R3
q . _ с (7 3 —-------------------------------.
(г + ЯоХ/?! +Д2+/?з) + Д1(Я2+Я3)
________		 Когда ключ находится в по-I_______________а3П :: с ложении В, исходная цепь экви-
А2 П	т	валентна цепи, показанной на
_=Т	а П	рисунке б). Различие между це-
I	1U	пями а) и б) заключается в том,
r fl	I	что, во-первых, сопротивления
Т	Anil	Ai и R-) поменялись местами, и.
I	и L|	1 z.
I	I	во-вторых, к отрицательному
полюсу источника теперь подключена другая обкладка конденсатора. Учитывая эти различия заряд qB конденсатора, когда ключ находится в положении В, может быть найден по формуле для заряда, когда ключ был в положении Л. При этом нужно сделать замену /?]<=> /?2 . Тогда
еСА2 A3 qB =-----------------—-----------------.
(г + Rq )(/?, + А2 + А3 ) + А2 (/?] + Ry)
Так как при переключении ключа А заряд пластин конденсатора поменялся на противоположный по знаку, то заряд &q, прошедший через конденсатор С будет равен сумме зарядов q^ и qB , т.е.
А? = Ча +ЧВ =
(г + Rq )(•/?! + R2 )(^1 + В-2 +	+ ^1 ^2 (R} + ^2 + 2-^3 )
=	[(г + А0)(/?1+7?2+/?з)-+-/?1(Л2+/?з)]	Х
х--------------------------------« 240мкКл.
[(г ч-/?0)(7?1 +Л2 +А3) + А2(А] + Ry)]
2.36.	При ключе К в положениях А и В через сопротивление Rq текут токи, соответственно, равные
бе	Зе
/ Л ~, 1В =---------------
А 6Rq+5R	3R0+4R
(см. решение предыдущей задачи).
По условию Ив-к. Используя это равенство, находим
*0
„(8-5*)
К------.
6(£ -1)
Заряды на конденсаторе при соответствующих положениях ключа:
ЗСЛе	3CRz
Л 6R0+5R	3Ro+4R
При переключении ключа из положения А в положение В полярность заряда на обкладках конденсатора не меняется. Поэтому заряд |Лд|, прошедший через конденсатор С при переключении ключа К, равен разности зарядов q^ и qB, т.е.
1 'ЧА (6Я0+5Л)(ЗЯО+4Я)
8,б.10-’„кКл.
к
2.37.	Если пренебречь сопротивлением подводящих проводов, то величину сопротивлений и R2 можно найти, воспользовавшись определением мощности тока Р = IU и законом Ома для уча-
U2	U2
стка цепи U = IR. Отсюда R] =---- и Rj -----. Мощности, по-
1 Pj	Р2
требляемые этими сопротивлениями при поочередном включении последовательно с ними неизвестного сопротивления г, равны, со-
n U2R, n u2r2
ответственно, /3 =-------— и Р4 =------=—. Поскольку по ус-
(г + Аг)2 (г + Я2)2
ловию задачи 7 3 = Р4, то решение получающегося уравнения от-_________________________
носительно г дает г = JRiR? = ,	=211 Ом.
2.38.	Мощности, потребляемые последовательно и параллельно соединенными сопротивлениями R\ и R2 , равны, соответственно,
р и2 р u2(Rx+R2)
R\ R2 R\ R2
Отсюда
и4 R'R2‘^-
ч
В соответствии с теоремой Виета R] и У?2 будут корнями квадратного уравнения:
r2.^r + ^-_0.
Fl F1P2
Решая это уравнение, находим гт2 ( I др '
R} = — 1-J1—3- =605Ом,
rj2 ( I др '
R2 =-- 1+11----1 = 24200м.
2 2Pj

Р2
4Pi __L -"Minn.,
)
2.39. В соответствии с законом Ома для полной цепи через на-
грузку сопротивлением Rx течет ток, сила которого I - ———, Rx + г
г — сопротивление подводящих проводов. Мощность, потребляе-
2 u2Rx
мая в нагрузке, PX=I Rx =-------— . Если внутреннее сопротив-
(Rx + ?)2
ление чайников R, то при их последовательном соединении Rx = 2R, а потребляемая ими мощность
р _ 2U2R ' (2R + r)2
При параллельном соединении чайников Rx = R / 2, а потребляемая ими мощность
_ u2r
--------гг-
У R Г
2	— + г
U )
Так как при последовательном и параллельном соединении чайники закипают одновременно, то У5] = Р2. Решая получаемое из этого условия уравнение относительно г, находим г = R . При одном включенном в сеть чайнике Рх = Р, Rx =R. Тогда
U2	U2
Р =---, или r-R =-------= 30,25 Ом.
47?	4Р
2.40.	Обозначим U — напряжение в сети, г — сопротивление соединительных проводов. При включении сопротивлений Ry и п	-я	- т и
1<2 в сеть, в ней будет протекать ток силой 1у =------- и
г + Ry
, U	v	R2 ,
12 =----- соответственно. Учитывая, что — = к и исключая из
К + Я2	Ry
этих соотношений U. найдем
-~г.---— •
h2 -п
Подставляя затем Ry в выражение для тока 1у, получим, что при подключении только соединительных проводов по ним потечет ток силой
V _1у12(к~\)
Г ^2
2.41.	Ток в цепи I =---, е — ЭДС источника, г — его внут-
R + r
реннее сопротивление, R — сопротивление нагрузки. Тепловая мощность, выделяемая на сопротивлении нагрузки,
(Я + г)2 ’ 122
Приравнивая друг другу значения мощностей W\ и 1К2, выделяемые, соответственно, на сопротивлениях и г2, находим г = ^T?jJ?2 Из формулы для выделяемой мощности следует
Окончательно, ток короткого замыкания
2.42.	По закону Ома для полной цепи сила тока в цепи находится как
г + R ’
Здесь е — ЭДС источника, г — внутреннее сопротивление источника, R — сопротивление нагрузки. При этом на нагрузке выде-
2	2
ляется мощность Р = I R, откуда следует R- Р /1 . Подставляя R в формулу для силы тока и записывая ее для двух рассматриваемых в условии задачи случаев, получаем
f'.
г + РхН{
h =
г + /2 //2
Решая полученную систему относительно е, находим
е =	----bL. = 12 В.
-Л)
2.43.	По прошествии некоторого времени сопротивление электрической лампы больше сопротивления в момент ее включения. Поэтому, как следует из закона Джоуля — Ленца, потребляемая мощность тока Р -U2 /R будет самой большой непосредственно в самый момент включения лампы в сеть.
2.44.	Удельное сопротивление проводников р зависит от температуры по закону
р = р0(1 + а/),
где ро — удельное сопротивление проводника при 0°С, t — температура в градусах Цельсия, а — температурный коэффициент сопротивления, величина которого для металлов в диапазоне температур 0-г 100 °C порядка (3-г6)10~3 град"1. Следовательно, и сопротивление самих нитей накаливания лампочек R меняется по аналогичному закону
/	I
Я = р- = Ро-(1 + аЦ,
Л	О
где / — длина нити, 5'— площадь ее поперечного сечения. В итоге в холодном и нагретом состоянии нити накаливания электрических лампочек имеют заметно различающиеся сопротивления и, следовательно, выделяющуюся на них тепловую мощность.
Посчитаем тепловую мощность, выделяющуюся на Л2 при изначально разомкнутом ключе К и при ключе, который разомкнули, когда цепь была уже включена в сеть.
Обозначим R*, R[ и R$ , R-2 сопротивления нитей накала ламп Л1 и Л2, соответственно, в не включенном (холодном — индекс «х») и в работающем (горячем — индекс «г») состояниях. Пусть в соответствии с температурной зависимостью сопротивлений проводников эти сопротивления различаются в п раз (и > 1). Например, сопротивление вольфрамовой нити накаливания увеличивается при прохождении по ней тока и, следовательно, при ее нагревании более, чем в 10 раз (и > 10). Тогда
Rf=R\ln, R$=R$/n.
Сопротивления и R2 вычисляются по параметрам ламп,
Г U?	г ul
приводимым на их цоколях: /?] =--= 1210 Ом, R2 = —— = 12 Ом,
Pl
т.е.	•
Ключ К вначале замкнут, затем размыкается. Ток в цепи, а следовательно, и через Л2, сразу же после размыкания ключа в соответствии с законом Ома для участка цепи
Af +Т?2
а выделяющаяся на Л2 тепловая мощность
(/?[» +М
Ключ К разомкнут с самого начала. В этом случае ток в цепи в момент включения ее в сеть
U Un
/?1Х + R2 R{ + R2 ’
а выделяющаяся на Л2 тепловая мощность в этот момент
Так как Т?2 / R{ «1, то
А//’]
' nR{ + R2' . R\ +RT2 ,
' n + R2/R[
J + «2
Как видим, при изначально разомкнутом ключе К тепловая мощность, выделяемая на Л2, во много раз больше мощности, выделяемой на ней при первоначально замкнутом ключе. Этим и объясняется возможность сгорания лампы Л2, когда цепь включается в сеть при разомкнутом ключе К.
2.45.	Мощность, потребляемая шестью лампочками, J72 г _ 6U2r
С 6 J
г — сопротивление одной лампочки, г/6 — эквивалентное сопротивление шести лампочек, R — сопротивление реостата.
Аналогично — мощность, потребляемая пятью лампочками, z 5U2r
5 (5R + г)2
Нормальная работа лампочек возможна, если сопротивление реостата много больше эквивалентного сопротивления лампочек гэкв = ^ / 6, т.е. R» г..^. Полагая, что г / R «1, найдем
Р5/Р6 ®1,2>1, т е. пять лампочек будут потреблять большую (по сравнению с шестью лампочками) мощность и, следовательно, создавать большую освещенность. Если не перегорят.
2.46.	Сопротивления лампочек, использованных для освещения, когда через них протекает ток:
Л = — = 645 Ом, R2 = — = 4840м.
1 Л	Л
Будем полагать, что при замене ламп температура нити накала не изменяется. Следовательно, будут неизменными и сопротивления ламп.
Когда включены последовательно пять ламп, каждая из них по-
2 U2 требляет мощность Р\ : I\ R\ =-----.
25/?]
Если одна из ламп с сопротивлением /?] заменена на лампу с сопротивлением R2, то последняя будет потреблять мощность
(47?! + /?2)2
Отношение потребляемых мощностей ц новой и замененной ламп
Л (4Л|+Я2)2
Следовательно, новая лампа будет светить слабее.
2.47.	Для цепи на схеме а) обозначим сопротивления как показано на рисунке и найдем эквивалентные сопротивления цепи и выделяющуюся в ней тепловую мощность.
Ключ в позиции Л ;	2
лэкв
+/?^>3+/?]э2кв/?45 2 ’
_ _ U2 2U2 А~ ra ~ R /хэкв
Ключ в позиции В:
R™ = 2R
рЭКВ __ р экв . р _ р ^1234 -^123 +Л4 -
RB	5
•''экв - кп - о л ’
Л1И4+Л5	8
_ и2 _w2 в~ RB ~ 5R
2кэкв
При переключении ключа из положения А в положение В тепло-
РА >
вая мощность выделяющаяся в цепи уменьшается в — -1,2з раза. РВ
В других случаях:
б)	уменьшается в 8/7 раза;
в)	увеличивается в 1,25 раза;
г)	уменьшается в 8/7 раза.
2.48.	а) В соответствии с законом Ома для полной цепи ток в
цепи
U г + R
а мощность, выделяемая на внешнем сопротивлении,
2	U2
P = I2(r + R) =----
г + R
График Р(г) показан на рисунке.
б)	Эквивалентная схема цепи показана на рисунке. Сопротивле-r(R- г)
ние цепи /<экв = R + —-----.
Мощность, выделяемая в цепи,
W =--
Л + г- —
R
При г = 0 и г = R
U2
P(O) = P(R) = —— К
При г - R / 2 знаменатель принимает максимальное значение, а мощность — минимальное
4 U2
P(R/2)- — —— 5 R
График зависимости мощности от г показан на рисунке.
в)	Эквивалентное сопротивление цепи
^экв
= /? +
rR r + R
а мощность, выделяющаяся в цепи,

U2 (r + R)
R(2r + R)
Для построения графика Р(г) удобнее представить в виде
U2
Р(г) = — 1 + 2R
R
2r + R
т.е. как сумму константы и части гиперболы. График Р(г) показан на рисунке.
г)	График зависимости тепловой мощности от сопротивления реостата г показан на рисунке.
2.49.	С указанной целью можно осуществить процесс электролиза раствора азотнокислого серебра в воде. Для этого необходимо собрать замкнутую электрическую цепь, как показано на рисунке. Графитовый и платиновый стержни играют роль электродов и погружены в раствор электролита, находящийся в электролитической ванне. Будучи изготовлены из инертных материалов сами они в процессе электролиза, т.е. окислительно-восстановительной реакции, которая протекает под действием и при участии электрического тока, в химические реакции не вступают.
В растворе молекулы азотнокислого серебра под влиянием электрического поля полярных молекул воды диссоциируют, т.е. распадаются, на положительные ионы (катионы) серебра Ag+ и отрицательные ионы (анионы) кислотного остатка NO3 . Под воздействием электрического поля, создаваемого в цепи источником постоянного тока, ионы серебра будут смещаться к отрицательному электроду (катоду), а достигнув его будут нейтрализованы имеющимися на катоде избыточными электронами и, превратившись в нейтральные атомы серебра, будут оседать на катоде. Ионы кислотного остатка будут двигаться к положительному электроду (аноду) и, взаимодействуя на его поверхности с продуктами диссоциации молекул воды, будут образовывать легко диссоциирующие молекулы азотной кислоты и вызывать образование газообразного кислорода. Приведем уравнения соответствующих химических реакций:
AgNO3 ->Ag+ + NO3
Ag + + e“ -»Ag
2H2O-2e“ —>4H + + O2 T
NO3 + h+^HNO3
4AgNO3 +2H2O->4Ag+4HNO3 +O2 t
Обратим внимание, что движение двух ионов Ag+ и NO3 в электролите соответствует перемещению в внешней цепи (от анода к катоду) одного электрона, поэтому при расчете силы тока можем
принимать во внимание движение только одного сорта ионов, например, серебра.
, enAN еп Ат ..
I =-----= --------N& ,
At At ц
где е — заряд электрона, п — валентность иона и ц— молярная масса ионов данного сорта, NА — число Авогадро, AN и Aw-количество и масса ионов данного сорта соответственно, достигших электрода за время At протекания постоянного тока I через электролит. Отсюда легко получить выражение закона Фарадея для электролиза.
Ат = к • I  At,
где к =--------электрохимический эквивалент вещества.
enN А
„	Ат
Измеряя скорость --, с которой осаждается на отрицательном
At
электроде серебро и используя закон Фарадея, можно найти силу электрического тока I. Скорость осаждения серебра на электродах измеряется посредством их взвешивания до и после пропускания электрического тока через ванну в течение промежутка времени At.
2.50.	Полный заряд Aq, прошедший через электролит за время At, можно найти как площадь под графиком зависимости силы тока от времени. В данном случае
2
„	, Aq (/] + 1^)А1
За это время на катоде выделится N =--= —--------- атомов
пе 2-п  е
алюминия, п = 3 — валентность атома алюминия, е — элементарный электрический заряд. Так как масса одного атома алюминия
то = (ц — атомная масса алюминия, NA — число Авогадро), то масса выделившегося на катоде вещества
^ = ^,+/2)^,^
2Аа н е
2.51.	Для нахождения массы нанесенного слоя никеля воспользуемся законом Фарадея
С другой стороны, Am - Shp , h — толщина слоя. Следовательно,
,	1 с л
п = ——— «15,4 мкм. eN^ZSp
~ (Л +^г)м/ А т щ-5
2.52.	т =-------® 6,7 • 10 кг.
2neN^
Указание. См. решение задачи 2.50.
2.53.	Решая систему уравнений, получающихся из объединенного закона Фарадея:
л 7РЛ/
Ат = —-— сАдИ
и уравнения Клапейрона — Менделеева:
pV = — RT,
находим
А/=
enNApV
IRT
«77 с.
Здесь ц— молярная масса молекулы водорода Н2, а не атома Н, поэтому п = 2.
2.54.	Можно. Показания электроскопа и электрометра определяются взаимным отталкиванием двух одноименно заряженных тел —- лепестков электроскопа или стрелки электрометра и проводящей стойки, к которой крепится ее ось. При условии, что частота переменного тока значительно превышает частоту собственных свободных колебаний лепестков или стрелки измерительного прибора, лепестки или стрелка будут совершать колебания малой амплитуды около некоторого среднего положения, соответствующего действующему значению напряжения.
3	. Магнитное поле
3.1.	С помощью вольтметра нужно определить, у какого провода выше потенциал, а с помощью магнитной стрелки направление тока, воспользовавшись при этом правилом буравчика. Направление тока в проводе укажет, с какой стороны находится источник.
3.2.	Под действием силы Ампера кольцо сориентируется в пространстве так, что линии индукции поля будут перпендикулярны плоскости кольца, а направление тока в кольце будет образовывать с направлением поля правый винт. На любой элемент кольца длиной А/ со стороны поля будет действовать сила Ампера AF = BIAI. Эта сила уравновешивается силами натяжения Т (см. рисунок).
Из условия равновесия кольца находим
AF = 27’sin —«ТАа.
2
Так как А/ = R • Да , то Т = BIR .
3.3.	График зависимости I(t) показан на рисунке.
3.4.	Нет, не будет. Свободному падению магнита (т.е. с ускорением а = g) препятствует взаимодействие магнитного поля самого
магнита с магнитным полем индуцированного в металлическом кольце тока.
3.5.	В соответствии с принципом суперпозиции полей вектор магнитной индукции в данной точке В равен сумме векторов магнитной индукции полей, создаваемых каждым током в отдельности, т.е. В = В] + В2 . В случае параллельных токов (рисунок а)
Bi = Вх cos 30° + В2 cos 30° =	,
2па
В случае антипараллельных токов (рисунок б)
В г - Вх cos 60° + В2 cos 60° = J	2па
/3
3.6.	На стержень действуют сила тяжести Fr, сила натяжения нити Т и сила Ампера Fa . Модуль силы Ампера /'д = ВИ sin а, где а — угол между направлением тока в стержне и вектором магнитной индукции. В данном случае а = 0, т.е. FA = ВИ. Условие равновесия стержня в
магнитном поле в проекциях на оси системы координат (см. рисунок) дает
Т sin а = IBI,
Т cos а = mg
или
IBI го a = arctg--«6°.
mg
3.7.	Согласно закону Фарадея в падающем стержне возникает разность потенциалов, равная по модулю ЭДС индукции
ДФ ВД5 D ,	. „
Ф = Еиип =-=------cos а = Bvl cos а sin р,
Д/ Л/
где ДФ = В AS cos а — магнитный поток через поверхность, которую при падении захватывает стержень; а — угол между вектором магнитной индукции В и нормалью к поверхности; AS = IvAt sin р — площадь поверхности, захватываемой проводником, движущимся со скоростью v, за время А/; р — угол между направлением движения и осью проводника. В данном случае а = О, Р = л / 2 . Максимальное значение разности потенциалов будет в момент, когда проводник коснется Земли, т.е. при vmax = JlgH . Окончательно,
Фтах = Bl42%Н ® 14 мВ.
3.8.	Модуль ЭДС индукции, возникающей в контуре при возрастании индукции магнитного поля,
ДФ' АВ е =---= Л — .
At At
Заряд пластин конденсатора
q = Ce = CS — «0,1 мкКл.
At
3.9.	Модуль ЭДС индукции, наводимой в контуре,
ДФ	ДВ
е - --= о cos а —,
kt	kt
S — площадь контура; кВ — изменение индукции магнитного поля. Так как по условию задачи кВ = В, то
д/ = 2/ЗВ^соз«^>(. 10^5с
4s
ЗЛО. Под действием силы Ампера FA = IBa sin а (а = тс / 2) одна из сторон рамки, параллельных линиям магнитной индукции В, будет прижиматься к поверхности, а другая стремиться подняться. Момент силы Ампера МА = IBa1. Момент силы тяжести , х ms а	_
Мт =	. Минимальный ток /т1П, который необходимо пропус-
тить по рамке, чтобы одна из сторон начала подниматься находим из условия равновесия рамки Мт =МА :
•  = mg -5А nun 2Ва
3.11. Модуль ЭДС индукции, возникающей в контуре, образованном конденсаторами и перемычкой, при перемещении перемычки в магнитном поле с индукцией В
E = ^ = Blv.
dt
лентная емкость которых Сэкв =
Соответственно заряд, накопленный конденсаторами, эквива-
С]С2 ------, равен '1+С2
9 = СЭКВ£ = - J ", -Blv. С] + С2
Ho q = <?2 = C2U, ?2 — заряд на емкости С2 . Отсюда
гЛ(С,+С2) = (1^д0|25Тл
С]/v	/у
3.12. В контуре, образованном перемычкой и частью кольцевого провода, по которой скользила перемычка, возникает ЭДС электромагнитной индукции, модуль которой в момент времени t в соответствии с законом Максвелла равен скорости изменения в этот момент времени магнитного потока через поверхность, ограничен
ную данным контуром, т.е.
8 -
с1Ф dt
Поскольку магнитное поле однородно, а угол а между вектором магнитной индукции В и нормалью к поверхности контура п равен 0° или 180°, т.е. jcos а| = 1, то изменение магнитного потока обусловлено только изменением площади поверхности контура S(t). Поэтому
8 = В-
dS dt
Для данной задачи S(t) — сложная функция времени t, для на
хождения которой потребуется проделать достаточно громоздкие вычисления. Чтобы избежать этого, воспользуемся упрощенным
приемом, посчитав модуль ЭДС как е = В —. где в качестве ДВ
1 1 Д/ ’
возьмем изменение площади контура за очень маленький промежу-
ток времени Д/, предшествовавший моменту времени t.
Как видно из рисунка, площадь Д5, «заметаемую» перемычкой за время Д/ к моменту времени /, можно найти как площадь прямоугольника, одна сторона которого DE - уД/, а другая АВ равна длине хорды окружности, на которой в этот момент находится перемычка:
AB = 2у1аО2 -OD2 = 2^R2 -(R-CD)2 = 2<Jvt(2R- vt) .
Окончательно
e = 2B  v  7vr(2fl - vZ) = 0,24 B.
3.13.
— =Ba2t3 tg- = 3,2-10-2 B. dt	2
Указание. См. решение задачи 3.12.
3.14.	На тело действуют сила тяжести FT, сила Лоренца Fn и сила натяжения нити Т . Чтобы тело сделало полный оборот, сила натяжения нити должна быть отличной от нуля во всех точках траектории. Только в единственной, наивысшей точке траектории, А она может стать равной нулю (см. рисунок). При этом скорость в нижней точке В будет минимальной, если в верхней точке траектории сила
Лоренца и сила тяжести направлены в противоположные стороны. Спроектируем основной закон динамики для тела в точке А на направление О А '.
твцс = mg-qvAB + TA,
2
VA г п
или учитывая, что ац с ---, /А = 0
= mg- qvAB.
I 2
у q2B2l
л
Отсюда vj = -— 2m \
Для определения минимальной скорости в точке В vjgin воспользуемся законом сохранения механической энергии. За нуль
отсчета потенциальной энергии выберем положение точки В. В ней
о т\Ув I
тело обладает только кинетической энергией Екин = —, в
Л	-	- г-А mvA
точке А кинетической энергией	= —-— и потенциальной
^пот = 2тё1 
Из закона сохранения энергии
т\УВ
2
^ + 2Wg/
находим
2	2
= Уд + 4/g и, подставив сюда Уд ,
2п2>2
У?'"-. 511 + ^2-
V 2т2
I	9
i-
\	д2В21
2,2 м/с.
3.15.	Первоначальная энергия конденсатора, запасенная в нем при зарядке
си2
W, =——
L 2
Если конденсатор подключить к катушке индуктивности, то в цепи возникнут гармонические колебания, которые, при отсутствии потерь энергии, будут незатухающими.
Энергия электрического поля будет следовать за изменениями напряжения на конденсаторе и зависеть от времени t как
TZZ / ч CU2 2 CU2 „	-
^£(0 = —-—cos at = —-—(1 + cos2со/),
со — круговая частота колебаний.
В силу закона сохранения энергии суммарная энергия электрического поля в конденсаторе и магнитного поля в катушке
WM(t) не будет зависеть от времени и будет равна первоначально запасенной энергии, т.е.
CU2
В искомый момент времени tn
WM _
Решая полученную систему из трех уравнений, находим
cos2<b/„ =
1 +л 2
tn = -л/1с«1(Г4с.
" 3
3.16.	Колебательный контур, состоящий из катушки с индуктивностью L и конденсатора емкостью С, имеет собственную частоту колебаний
Частота колебаний контура, настроенного на длину волны излучения X.
о = 2kv = 2it —.
v = — — циклическая частота колебаний. Отсюда
X2
С =----— «275 пФ.
4тс2Х
Следовательно, конденсаторы нужно соединить параллельно.
3.17.	Так как омическое сопротивление контура пренебрежимо мало, то энергия, запасенная в контуре и равная сумме энергий 142
электрического поля конденсаторов Wf(/) и магнитного поля катушек (Тм (/), не зависит от времени, т.е.
WE (t) +	(/) = const.
По условию задачи в некоторый момент времени /' /(/') = 0. Это означает, что FFM(/') = 0, а энергия электрического поля равна энергии, запасенной на этот момент конденсаторами, т.е.
£	2	2
В любой другой момент времени в силу закона сохранения энергии должно выполняться соотношение:
где 7 — ток в контуре.
Отсюда видно, что амплитудное значение тока 7тах достигается в том случае, когда энергия электрического поля минимальна. Этот минимум удобно найти, представив Wgit) как функцию зарядов, находящихся на конденсаторах, и воспользовавшись сохранением заряда. Обозначим х заряд на обкладках конденсатора С| в некоторый момент времени. Тогда заряд q^ на обкладках конденсатора С2 в тот же момент времени q'2 - Q-x, где Q = 4] ~ 42 ~	_ С2(/2 — полный заряд в контуре.
Энергия электрического поля
X2
2С]
(g~x)2 2С2
Wp (x) минимальна при хэке --------, а значение ее при
С]+С2
г = хэкс:
^min g2 JCXUX-C2U2)2
Е 2(С1+С2)	2(С1+С2)
Следовательно,
ЗД2 ! C2uj _(LX+L2)l2max । (CXUX-C2U2)2
2	2	2	2(6?!+С2)
и
/тах = (^1 + ^2 ),----~ 6,1 А
max 1	2^(С1+С2)(Л1+£2)
3.18.	7тах =|С71 -U2U--^£2--------2,4А.
max | 1	2^(С1 +С2)(£] +£2)
Указание. См. решение задачи 3.17.
3.19.	Из условия сохранения заряда в контуре при возникающих в нем колебаниях
Ч\ +Ч1 =С1Ц)
находим минимальную энергию электрического поля в контуре
jymin _ Ч и0 2(Cj +С2)
Амплитудное значение силы тока в контуре соответствует максимуму энергии магнитного поля и минимуму энергии электрического поля. Из закона сохранения энергии
С^о2 + (А + L2 )702	ry min (А + г2 )/тах
2	2	2
следует
•^max —
'/2 , cxc2ul
0 (C1+C2)(£1+Z2)
«6,9 A.
Указание. См. решение задачи 3.17.
3.20.	В процессе электромагнитных колебаний в контуре заряды и q2 конденсаторов Cj и С2 соответственно меняются со временем как по абсолютной величине, так и по знаку, но суммарный их заряд неизменен и равен Q-Qi (0 + q2(t) -C^Uq.
Так как омическое сопротивление контура пренебрежимо мало, то в процессе колебаний не меняется и полная энергия, запасенная в контуре. Эта энергия равна сумме энергий электрического поля конденсаторов и магнитного поля катушек. С учетом начальных условий закон сохранения энергии при колебаниях имеет вид

Ь 2С]	2С2 м 2
Из этого уравнения видно, что амплитудные значения зарядов на конденсаторах соответствуют максимуму энергии электрического поля WE(t) и минимуму энергии магнитного поля ^M(t), которые достигаются при токе в контуре 1(1) = 0. Для этого экстремального случая закон сохранения энергии запишется в виде
(й + ^2Уо + Ci^o = <?i2(0 +
2	2 2Q 2С2
Решение этого уравнения совместно с уравнением, выражающим закон сохранения заряда, дает
«23-10~5 Кл.
3.21.	После размыкания ключа К в контуре, состоящем из катушки индуктивности L, конденсатора С и параллельно включенных сопротивлений г и Л, возникнут свободные затухающие электромагнитные колебания, в результате которых энергия электрического поля Wc , запасенная в конденсаторе, и энергия магнитного поля тока WR, запасенная в катушке индуктивности, выделится в форме теплоты на сопротивлениях г и R. Пренебрегая потерями энергии на излучение электромагнитных волн, закон сохранения энергии можно записать в виде
Wc+WL=Qr+QR,
где
Се2 —------запасенная энергия электрического поля,
ZZ2
WR = —------запасенная энергия магнитного поля тока,
т e(R + г)
Iq -----------ток, проходящий через катушку индуктивности
г  R
при замкнутом ключе К, Qr и QR — количество теплоты, выделившееся на сопротивлениях г и R соответственно. Теплота, выделившаяся на сопротивлениях, представляет собой работу тока. На каждом из участков, содержащем сопротивления г или R, эту работу2
ту за промежуток времени dt удобно посчитать как dQr =--dt и
г
U2
dQR ----dt. Тогда работа тока на сопротивлениях г и R за все
R
время Т, когда в контуре были электромагнитные колебания, равна
о R
О
Q R соответственно. Отсюда —— = —. Выражая из этого соотношения
Qr г
Qr и подставляя его в закон сохранения энергии, получим
2r2R(r + R)
е2г(СЯ2 + L) 2R2(r + R)
«0,105 Дж.
[Qr R
Указание. См. решение задачи 3.21.
3.23.	На протон, движущийся в магнитном поле, будет действовать сила Лоренца Fn = evB, перпендикулярная его направлению движения и линиям индукции магнитного поля. Вследствие этого протон будет двигаться по окружности, радиус которой R можно найти из 2-го закона Ньютона:
ШУ2 та =----= evB .
R
mv у/2Ет
Отсюда R = -— =------«14.5 см.
еВ еВ
Чтобы поле изменило направление движения протона на противоположное, его протяженность L должна быть
L = 2R = 29 см.
3.24.	а-частица будет двигаться по прямой линии только в том случае, если сила Лоренца, действующая на нее со стороны магнитного поля, будет уравновешена силой, действующей на нее, со стороны электрического поля, т.е.
ZeE = ZeyB,
где е — элементарный электрический заряд; v — скорость ос-частицы; Е — модуль вектора напряженности электрического поля; В — модуль вектора магнитной индукции; Z = 2 для ос-частицы. Отсюда
Е
v = —.
В
При прохождении ускоряющей разности потенциалов в U вольт а-частица приобретает кинетическую энергию Т, равную ZeU, или ту2
Т = ZeU =	. Отношение заряда а-частицы к массе составит
— -	= 0,48 • 108Кл/кг.
m 2UB2
4.	Оптика
4.1.	На рисунке показано исходное положение зеркала и положение зеркала, повернутого на угол ср.
Законы отражения света для этих двух положений имеют вид:
а - а';
/ = i'.
Найдем угол 3 между двумя положениями отраженных лучей:
3 = а' - у = а' -	- ср) =
- а - i’ + ср = 1! + ср - i' + ср = 2 ср .
Следовательно, угол поворота зеркала
ср = 8/2 = 21°.
4.2.	Так как при отражении света угол падения равен углу отражения, а зеркало расположено параллельно экрану, то линейные размеры светового пятна от зеркала будут вдвое больше размеров самого зеркала (см. рисунок). По
этому площадь светового пятна 5П будет в 4 раза больше площади самого зеркала:
5П =л/3а2 -692 см2.
4.3.	Из закона отражения света следует, что изображение и $2 источников 5] и $2 находятся на тех же расстояниях от поверхности зеркала, что и сами источники (см. рисунок), т.е.
5]S{ = S2S2 =2а^ S\S2 = S\S2 = b 
Поэтому расстояние между источниками
L = y]b2 -4а2 = 30см.
4.4.	В соответствии с законом отражения света луч 1, падающий из вершины столба на зеркало (см. рисунок), и луч 2, отраженный от зеркала и попадающий в глаз человека, лежат в одной плоскости. а утлы падения i и отражения г равны:
i = г .
Если х — расстояние от человека до зеркала, то как видно из рисунка,
I - X	X
tg i = —— = tg г = —.
Н	е А
Л/
Отсюда х =------= 1,2 м.
Н + h
4.5.	На рисунке без соблюдения масштаба показан ход лучей:
1	— прямой видимой Луны;
2	— падающего от Луны на зеркало;
3	— отраженного от зеркала и попадающего в глаз человека:
АВ — прямая, параллельная горизонту;
ОВ — перпендикуляр, опущенный из Луны на прямую АВ.
Обозначим L — расстояние от глаза человека до Луны, х — расстояние от человека до зеркала.
В соответствии с законом отражения света
Следовательно,
х FC АВ - AD L cos a - x tg r = — = tg i =-=-------=-----------.
H OC ОС Zsina+Я
Решение этого уравнения относительно х дает
HL cos a
х =----------.
Zsina + 2Н
Поскольку 2Н « Z sin a , то
тг	Н ,
х « Н • ctg a = —= « 1 м.
V3
4.6.	Длина тени от сваи на дне водоема
I = /] + /2 = b ctg q> + a tg г.
По закону Снеллиуса
sin i cos ф
п =------=------.
sin г sin г
Выражая tg г через ф, находим
,	,	COS ф
/ - b ctg ф + а ....	= 2 м.
/ 2	2
\п -COS ф
а + Ь _ (к + п2 - cos2 а
I	I 2	2
ctg ay и - cos a + к cos a
Указание. См. решение предыдущей задачи.
4.8.	Так как луч падает по нормали к боковой грани призмы, то в призме он будет распространяться в том же самом направлении.
Если далее он попадет на другую боковую грань, то на ней он испытывает полное внутреннее отражение и выйдет из призмы через ее основание. Угол падения луча на основание
i = 180°- <180°~а) _ (90° - а) - 90° = 15°.
Угол преломления на основании
г = arcsin(n • sin i) « 22,8°.
Следовательно, отклонение вышедшего луча от первоначального направления составит
ДФ= 2(90°-а)32,2°.
Если в призме луч попадает сразу на ее основание, то он испытает на нем полное внутреннее отражение, и попадает на другую грань под углом i = 0°. Пройдя через эту грань, не преломившись, он отклонится от первоначального направления на угол
Д(р = а = 70°.
4.9.	Угол при вершине призмы а = 45° . На гранях АС и ВС луч должен испытывать полное внутреннее отражение, т.е. должны выполняться условия:
1 sin I > —;
п
 1 sinz >—,
П
где п — показатель преломления призмы. При отражении света
внутри призмы i - г, i' = г', поэтому
. 1
sin I > —; п
.	. (п Л 1
sin 1 ~ sml----1 > —
\2 ) п
1 sin I> —;
п
1
COS 1 > — П
2	* 1
cos а > — п2
Следовательно,
• 2	2^4
=> sin а + cos а > — .
4.10.	Из закона Снеллиуса sin р _ ист

sin У «взд
находим угол преломления луча в призме (см. рисунок):
sin у = sin Р взд « 0,5 => у = 30°. и ст
В треугольнике ОАВ ABAC) = 60° , следовательно, угол падения луча на другую грань призмы равен 90°, т е. луч выходит из призмы, не преломляясь. В таком случае угол смещения луча в призме будет равен углу DAB, т.е.
5 = ZBJO-p = 15°
4.11.	В соответствии с законами преломления и отражения света:
sin; _ п
5 sin г пв ’
i = i',
где пъ — показатель преломления воздуха.
Учитывая, что по условию задачи г + /' = — , и решая систему
уравнений относительно i, находим
z = arctg — = 53°. «в
4.12.	r = arctg~®47°.
«в
Указание: см. решение предыдущей задачи.
4.13.	Угол падения i и угол преломления г (см. рисунок к задаче
4.11) луча света связаны законом Снеллиуса:
sin/ _ «2 _ V1
Sin Г И] У2
где V] и V2 — скорости света в воздухе и стекле соответственно;
Я; = I (воздух); и2 — показатель преломления стекла.
Учитывая. что при прохождении границы раздела сред частота v не меняется, а длина волны света X и скорость v связаны соотношением: v, = Xzv (/ = 1,2), находим
sin / _ X]
sin г Х2
п	• . Xi .
Отсюда sin 1 = —-sinг .
Х2
По закону отражения света / = / '.
п	-I К
11о условию задачи г +1 = — .
2
. “ ^1
Исключая неизвестные из этих уравнении, получаем tg а = —
Х2
X. -
Откуда а = arctg —- = 33° . ^2
4.14.	Ход луча в пластинке показан на рисунке. Обозначим толщину пластинки OB = I. Угол преломления г найдем, воспользовавшись законом Снеллиуса:
Из треугольника ОВС
BC = ~— cos г
а из треугольника BCD
a = ВС sin a = BC sin(z - r).
Решая полученную систему уравнений относительно I, находим
/2	• 2 
. ayn -sin z z =-- --------------r-« 4,5 cm.
 I /2• 2 	 )
sinzl yn -sm z -cosz
4.15.	Из-за явления полного внутреннего отражения (ПВО). С увеличением угла падения света при переходе его из воды в воздух сильно уменьшается доля световой энергии, проходящей через границу раздела, а при угле падения z ® 49° весь свет отражается в воду.
4.16.	Из закона Снеллиуса для двух лучей, падающих на поверхность жидкости под углами aj и a2, справедливо равенство:
sinaj _ sina2 sin 0i sin 02
0j и 02 — углы преломления лучей. Отсюда
sinaj sin 02 a.2 =arcsm —	—
33°.
sin Pt
4.17. 02 =arcsin
sin a 2 sin 0i sinaj
34° (см. решение предыдущей
задачи).
4.18.	Из треугольников АСВ vlABD (см. рисунок) следует
.D dQ d	d
AB =------=------ => cos0 = —cos a =>
cos a cos0	d0
sinp =
'2	2	2
dq -d cos a
d0
n	sin a лст
Полагая в уравнении закона Снеллиуса ---=----, лвзд = 1.
sinp лвзд
sinad0
получаем пст = . -	= 1,44.
•ус/g ~ c°s2 a
4.19.	Построение изображения точечного источника .S' в тонкой собирающей линзе показано на рисунке а.
АО
AS'A'O-ASAO => A'O~SA'--------,	(1)
SA
SSF2A'~SBF2O => SA' = BO^-.	(2)
OF2
Ho A'F2 = A'O + OF2, BO = SA и OF2 = OFX = OF.
v'a’ A'® , i'I
Следовательно, о А - SA\----I-1 .
Lof j
Подставляя сюда А'О из (1) и решая полученное уравнение относительно S'A', находим
„,А, SAOF
S А =------
OF-АО
Построение изображения точечного источника 5” в тонкой рассеивающей линзе показано на рисунке б.
Аналогичное решение для рассеивающей линзы
SAOF ЛА =--------.
OF + АО
4.20.	Построение изображения в линзах смотри на рисунках а и б предыдущей задачи. Из подобия тех же самых треугольников, которые рассматривались в этой задаче, находим:
для собирающей линзы — А'О = АО--—----:
OF-АО
,,п ЛГУ 0F
для рассеивающей линзы — А О = АО------.
OF + AO
4.21.	Изображение S' точки 5 будет находиться на главной оптической оси линзы. Чтобы найти его проведем из точки S произвольный луч / до пересечения его с линзой и другой параллельный ему луч 2 через оптический центр линзы до пересечения его с фо-
кальными плоскостями линзы (побочная оптическая ось). Так как линза — рассеивающая, то луч 1 будет казаться выходящим из точки пересечения побочной оси (луча 2) с фокальной плоскостью. При этом лучи 7 и 2 должны быть расходящимися. Соединяя прямой точку пересечения луча 7 и линзы с точкой пересечения луча 2 с фокальной плоскостью, находим точку пересечения S' этой прямой с главной оптической осью. Эта точка и будет изображением точки S
4.22.	Принципиальное построение хода лучей такое же, как и для рассеивающей линзы (см. предыдущую задачу). Различие заключается в том, что лучи 7 и 2 должны сходиться в одну точку на фокальной плоскости, которая находится по другую сторону от линзы по отношению к источнику. Пересечение с главной оптической осью прямой, проходящей через точки пересечения луча 7 с линзой и луча 2 с фокальной плоскостью, и дает положение изображение S'.
4.23.	Строим продолжение заданного луча 1 до пересечения его с задней фокальной плоскостью линзы в точке А. Строим вспомогательный луч 2, проходящий через точку А и центр линзы О без преломления. Так как лучи 1 и 2 после прохождения линзы кажутся исходящими из одной точки А на фокальной
плоскости, то до прохождения линзы они были параллельны (рису-
нок).
4.24. Для построения изображения отрезка нужно найти изображение начала и конца отрезка. Построение хода лучей в этом случае проводится так же, как и в случае, когда находится изображение точек, лежащих на главной оптической оси линзы (см. задачу 4.22). Удобнее оба луча, исходящие из крайних точек отрезка,

Указание. См. решение задач 4.21 и 4.23.
4.26.
а)
б)
в)
4.27.
Указание. Для построения изображения отрезка воспользоваться лучами, проходящими через концы отрезков и оптический центр линзы, а также лучом, проходящим через отрезок АВ.
4.28.	Проводим из изображения S' источника два луча: один через фокус линзы, находящийся с той же стороны от линзы, что и изображение, до пересечения с линзой, а из точки пересечения луч, параллельный главной оптической оси, и другой, проходящий через оптический центр линзы. Точка их пересечения укажет положение источника S.
4.29.	Прямая /, соединяющая источник и его изображение, является побочной оптической осью линзы. Поэтому, проводя эту пря
мую до пересечения ее с главной оптической осью, находим оптический центр линзы 2. Другой луч 2 проводим через источник параллельно главной оптической оси до точки пересечения его с линзой. Прямая, которая проходит через эту точку пересечения и изображение источника, пересечет главную оптическую ось в фокусе линзы.
4.30.	Из подобия треугольников АОВ и А'ОВ' (см. рисунок) На,
— =	— расстояние от изображения до линзы.
п	~ ь	-	111
Для тонкой собирающей линзы — = — + — .
fab
h-F
4.31.77=-----= 15см.
/
Указание. См. решение предыдущей задачи.
4.32. Так как b <f, то изображение предмета — мнимое
уменьшенное прямое.
Отсюда а - —-— = 36 см. f~b
4.33. Первый случай — мнимого изображения: предмет находится от линзы на расстоянии, не превосходящем фокусное (рисунок а)
Второй случай — действительного изображения: предмет находится на расстоянии, превосходящем фокусное (рисунок б), но меньше двойного фокусного:
1-1 1 fab' н_ь_
. h a
aH ------= 21 см. H +h
4.34.	В рассеивающей линзе изображение всегда мнимое (см. рисунок), поэтому формула тонкой линзы в данном случае
fab
По условию
ABO и А'В'О
АВ _ а
~AfB’ ~b
Решая получившуюся систему уравнений, находим
а _
-----= 12,Э см. п-1
4.35.	Мнимое уменьшенное изображение может быть получено только с помощью рассеивающей линзы. Поэтому
f =	= 25 см
и-1
(см. решение предыдущей задачи).
4.36.	Формула для рассеивающей линзы сходящегося пучка лучей и действительного изображения (лучи собираются в точке) имеет вид:
_1__1 1
f а b
, ab
Отсюда / ---— = 20 см.
b -а
4.37.	Расстояние от предмета до линзы а = f + /] и от линзы до экрана b - f + /2 связаны формулой линзы, которая в данном случае имеет вид:
1-1 1
fab'
f— фокусное расстояние линзы. Подставляя сюда а и Ь, получаем f ~ yjhh ~ 20 см.
4.38.	Прямое увеличенное изображение может быть получено только с помощью собирающей линзы. При этом изображение будет действительным, а предмет должен располагаться между линзой и ее фокусом (см. рисунок).
Тогда
L-l-l
АВ
По определению оптической силы линзы
4.39.	Фокусное расстояние линзы f - — - 20 см < а = 60 см. Из
х	~	1	1
формулы тонкой линзы для этого случая и = —к —, находим
а b
4.40.	Возможны два случая:
а)	на расстоянии а от линзы находится ближний к линзе конец предмета (дальний конец находится на расстоянии а + Н от линзы);
б)	на расстоянии а от линзы находится дальний от линзы конец предмета (ближний конец находится на расстоянии а - Н от линзы).
В случае а) изображение ближнего к линзе конца предмета в соответствии с формулой линзы
1 1 1
— = — + -
f а b
будет находиться от линзы на расстоянии
а изображение дальнего конца предмета на расстоянии

(* + Я)/
а + Н -f
Протяженность предмета вдоль главной оптической оси Я/2
AAi - b„ - Ал =---------—----------® -19,3 см.
Знак «-» означает, что получившееся изображение будет перевернутым.
В случае б) расчет положения предмета проводится аналогичным образом:
ьб =
af
a- f’
ЛЬ? =bn -Ьк =------------------= -135 см.
д (a-f)(a-H-
4.41.	Увеличенное изображение предмета в собирающей линзе можно получить при двух вариантах относительного расположения предмета и линзы:
предмет располагается на расстоянии от линзы больше фокусного и меньше удвоенного фокусного, в этом случае изображение предмета — действительное;
предмет располагается на расстоянии от линзы меньше фокусного, в этом случае изображение предмета — мнимое.
Естественно, что фокусное расстояние линзы не зависит от способа его вычисления. Поэтому рассмотрим случай, когда предмет
располагается дальше фокуса. Тогда п = —(см. решение задачи a~f
4.30), а— расстояние от предмета до линзы. Чтобы изображение предмета уменьшилось в к раз, т.е. увеличение стало равным Г = п!к , предмет нужно отодвинуть от линзы. Для этого положения предмета
” f
к a + S-f
Решая полученную систему уравнений относительно/ находим
f = $П = 20 см.
к-1
4.42.	Линза — собирающая, так как исходное положение предмета создает действительное изображение. Переход от действительного изображения к мнимому возможен, если предмет с расстояния от линзы больше фокусного передвигают ближе к линзе на расстояние, которое становится меньше фокусного.
Для исходного положения предмета:
Г = ——— (см. предыдущую задачу).
a~f
Для нового положения предмета:
Г---------.
/-« + /
г г/
Из этих уравнений: f = -у- = 0,1 м.
4.43.	Так как D < 0, то из формулы для рассеивающей линзы
1 1 1
---•------следует, что вначале предмет находился от линзы на fab
расстоянии
Расстояние от линзы подвинутого предмета
= а - Д/, поэтому новое положение изображения от линзы определяется расстоянием
h fa
2 а2 + f а- Д/ + / ’
Таким образом, изображение предмета придвинется к линзе на расстояние
2
Д/ = fti - 6т =-------------» 0,065 см.
(а + /)(п-Д/ + /)
4.44.	Источник и его изображение вращаются с одинаковой угловой скоростью со, поэтому ускорения, с которыми движутся источник пист и изображение пиз, относятся как радиусы описываемых ими окружностей:
2
ДИЗ _ ®	_ ^И'З
/7	2	»*
мист СО Гист 'ист
Отношение радиусов, в свою очередь, можно найти из формулы линзы:
f а + b’
определив с ее помощью расстояние а от линзы до плоскости, в которой движется источник
Тогда из подобия треугольников (см. рисунок к задаче 4.30, где надо взять гиз = Н', г = Н) находим
гиз _
/"ист а
Следовательно,
ЮИЗ _ b — f _ 4
®ист а f
4.45.	Изложенная в условии задачи ситуация возможна, когда источник 5 помещен перед фокусом линзы F (см. рисунок), а экраны располагаются по обе стороны от изображения источника на равных расстояниях от него. Если обозначить 2х расстояние между
пятнами при двух положениях экранов, то из подобия треугольников ABS' и A'B'S' можно определить положение изображения источника на главной оптической оси как Ь=1^ +х, или b = -х. Отсюда b = ~+— . Из формулы линзы получаем
4.46.	Расстояния от линзы до предмета а экрана b связаны условием I - а + h (см. рисунок) и формулой линзы:
учитывающей, что изображение на экране можно получить, когда
2 I
предмет находится перед фокусом линзы. Отсюда а - al + — = 0.
Решая данное уравнение, получим
I а = —
2
Следовательно, возможны два положения линзы: на расстоянии а] » 36 см от предмета и на расстоянии а2 ~ 84 см.
4.47.	Расстояния между линзой, лампой и ее изображениями на экране при двух возможных положениях линзы (см. рисунок) связаны формулой линзы и условиями задачи.
При записи формулы линзы учтено, что изображения лампы на экране можно получить, когда лампа и экран находятся по разные стороны от линзы. Из этих уравнений следует, что
axbx _ax(S - ax)
47] +/>] S
ИЛИ
47 2 + ^2
(ax + l)(S - ax ~ I) S
Приравнивая правые части этих равенств, находим
2 И 4.8'
= 8 cm.
О] =
4.48.	Источник дает расходящийся пучок лучей, линза — рассеивающая, а изображение для расходящегося пучка— мнимое. Поэтому формула линзы в данном случае записывается, как
F~ S b
Отсюда расстояние от изображения до линзы
Так как расстояние от линзы до экрана / - 5, а изображение в линзе находится по ту же сторону от линзы, что и предмет, то расстояние от изображения в линзе до экрана (см. рисунок)
d = l-S+b .
Учитывая, что на таком же расстоянии d от экрана, но по другую сторону зеркала, будет находиться изображение источника в зеркале, расстояние между источником и изображением в зеркале L можно найти, как
L = l+d = 2l-S + -^— = lS2cM. f + S
4.49.	Построим ход лучей в системе до и после помещения стеклянной пластинки между линзой и экраном (см. рисунок). Луч 1, проходящий через фокус линзы, после преломления в линзе пойдет параллельно главной оптической оси и, следовательно, перпендикулярно поверхности пластинки, поэтому преломляться ею не будет. Луч 2, являясь центральным, упадет на поверхность пластинки под некоторым углом а и испытывает преломление на обеих поверхностях пластинках. Выйдя из пластинки луч 2 останется параллельным падающему. При отсутствии пластинки лучи 1 и 2 определяют положение точки А' и, следовательно, изображения А'В' предмета АВ, а при наличии пластинки положение точки А" и, следовательно, изображения А"В".
Из рисунка следует, что расстояние X, на которое необходимо переместить экран, равно
АТ
X = В'В” = ^=-,
tga
где А 'С = ОК - OL = c/(tg a - tg Р), р — угол преломления луча 2 в пластинке.
Следовательно,
rf(tga-tgP) / tgP А —------------— Cll 1----
tg a	tg a J
По условию задачи углы падения малы, поэтому справедливы соотношения: sin a «tg а и sin P «tg P. Учитывая также закон пре-
sin a Лстек	i
ломления ——- =------ и полагая нвозд = 1, находим
sin Р нвозд
X~d^—— ~ 1,14 см п
Следовательно, экран необходимо отодвинуть от пластинки на расстояние
У = 1,14 см.
4.50.	После прохождения света через клин, пучок сохраняет параллельность, но отклоняется на некоторый угол ср вследствие преломления. Величина этого угла может быть найдена из закона преломления света. На передней грани клина пучок не преломляется, так как он падает нормально к этой грани (угол падения i = 0). На заднюю грань клина пучок падает под углом а, а выходит из клина под углом ср к главной оптической оси линзы, равным (см. рисунок)
cp = r-a,
sm a I
где г находится из закона преломления, -= — . Таким образом,
sin г п
ср = arcsin(« sin a) - a . Параллельный пучок света, падающий на
собирающую линзу под углом (р к главной оптической оси, соберется в точку в фокальной плоскости линзы, отстоящую от главной оптической оси на расстоянии
d = f  tg (р.
Принимая во внимание малость углов а и ф, получаем
d» /(и - 1)а » 1,5  10-2 м.
4.51.	Нет. Восприятие света человеческим глазом зависит не от его длины волны, а от частоты, которая при переходе из одной среды в другую не меняется.
4.52.	Через красное. Красный свет, падающий через красное стекло на бумагу, будет практически одинаково отражаться от белого фона и от красной надписи, в результате чего красная надпись будет неотличима от белого фона. От зеленой надписи красный свет почти не отражается, поэтому зеленая надпись будет казаться черной на светлом красном фоне.
4.53.	Необходимо смочить порошок, например, водой. Поверхность сухого порошка кажется белой потому, что она рассеивает падающий на порошок белый свет во все стороны.
Если порошок смочить водой, то поверхность воды будет рассеивать свет только в определенных направлениях, а зерна порошка будут избирательно рассеивать белый свет, придавая рассеянному свету тона самого стекла. При этом насыщенность рассеянного
света будет усилена за счет рассеяния его более глубокими слоями порошка.
4.54.	Желтоватый оттенок Луны после захода Солнца обусловлен отражением солнечного света от ее поверхности. В дневное время к этому отраженному свету добавляется голубой свет неба, обусловленный рассеянием солнечного света в атмосферной оболочке Земли. Смешение этих цветов и воспринимается глазом как чистый белый цвет.
4.55.	На фоне леса костер наблюдается в отраженном солнечном свете. Так как синий свет рассеивается дымкой сильнее всего, то в цвете дыма на фоне дальнего (темного) леса преобладают сероголубые тона.
Когда костер наблюдают на фоне неба, то глаз улавливает проходящий сквозь дым солнечный свет. Поскольку падающий на дым свет преимущественно голубой, то полное его отражение дымом воспринимается глазом как черный цвет.
На фоне Солнца дым наблюдается в проходящем солнечном свете, т.е. свете преимущественно белого цвета. Опять же вследствие сильного отражения синего света, в проходящем через дым свете преобладают тона, относящиеся к другому участку спектра дневного света, т.е. к желто-красному.
2
4.56.	Q = P S =---------мощность излучения, попадающего
4
в глаз, обращенный к Солнцу.
* и, .	л • «7 2  Р • А/
Air = С) А/ =------------энергия излучения, попадающего в
4
глаз за промежуток времени А/.
£) =hcik — энергия одного фотона.
Число фотонов, ежесекундно попадающих в глаз:
=	=	io16 1
А/ Е) - А/ 4/гс	с
4.57.	Законы сохранения импульса и энергии для аннигиляции электрона и позитрона в два у-кванта имеют вид:
0=Л1 +^2;
‘	2	2
тс + тс =ev + sv ;
Т1 Г2
ръ =pY2;
Еу, = еу2 = тс2.
Так как для у-квантов их энергия е = — и импульс р связаны X
Е соотношением р = —, то с
% = —= А«2,45Ю~12м. е тс
4.58.	Из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта
wvmax
he _
у- вых 2
находим Х =----
л Лвых
he
------— ~ 223 нм.
wvmax
2
4.59.	Фотоэлектроны, вырываемые с поверхности фотокатода в вакуумном диоде, не будут достигать анода под действием запирающего напряжения U3 в том случае, если их кинетическая энергия будет меньше или равна работе против сил электрического поля, тормозящего электроны в межэлектродном пространстве, т.е.
2
Из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта находим, что это возможно при длине волны излучения
/гсХ„п
X =-----------= 262 нм.
he + е£73Хкр
4.60. Из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта следует, что если X] <Х2, то для соответствующих максимальных скоростей фотоэлектронов должно выполняться неравенство:
max max v2 <V1
По условию задачи vjnax = nv™ax . Решая систему уравнений:
,	/ maxV
йс .	2 mV2 /
— = А + и —
. *1 2
he , Hv2 J
1*2	2
относительной, находим
л = л41П2 -х2)^3 [0-|9дж
X]X2(h2-1)
4.61.	При облучении светом шара в результате фотоэффекта с его поверхности удаляются электроны, а сам шар приобретает положительный заряд. Электрическое поле, создаваемое зарядом шара, препятствует удалению электронов (на бесконечно большое расстояние от шара) и при достижении некоторого максимального положительного заряда qms&=eN (N— число удаленных электронов) все вырываемые светом с поверхности шара электроны будут возвращаться на шар. В соответствии с законом сохранения энергии предельная кинетическая энергия электронов Е™ах, при которой это будет происходить, равна работе А, которую необходимо совершить электрону против сил электрического поля для удаления на бесконечно большое расстояние от шара, т.е.
Е™х =A = eUi = <?ф
Здесь U3 = ср - У™* =	— задерживающее напряжение, равное
потенциалу на поверхности шара (так как шар уединенный, то потенциал бесконечно удаленных от шара точек принимаем равным нулю).
Используя уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
— = А + Етах
ЛВЫХ	>
находим
N = С --^°ых = 2,4 • 108 электронов.
Хе2
4.62.	Обозначим AN — число фотонов, поглощенных фотокатодом за промежуток времени Аг. Так как каждый фотон вызывает появление одного электрона, то AN одновременно дает число электронов, вылетающих с фотбкатода. Максимально возможное значение силы тока, называемое током насыщения /нас, будут в том случае, если все фотоэлектроны соберутся на аноде фотодиода, т е. .	А</ AN А А..	„	_
'нас = — = е--> Щ — полный заряд, собираемый на ано-
АГ А/
де.
Мощность поглощаемого катодом светового излучения Р зависит от числа поглощенных фотонов AN, как
где hv — энергия одного фотона, a AN • Av — энергия излучения, еР
поглощаемого за время Аг Отсюда ZHac = — .
hv
Энергию поглощаемых фотонов выразим из уравнения Эйнштейна, в котором максимальную кинетическую энергию электрона выразим через запирающее напряжение U3:
_ wv max
Lmax —	2
= eU3.
Тогда
. he hv =-----+
Лкр
eU3
и
Z’eA.™
нас=-----------«5,1-Ю-4
Hac hc + eU3X
4.63.	В уравнении Эйнштейна для фотоэффекта
he . „
— — А + Етах,
максимальную энергию фотоэлектрона Етах следует взять равной разности потенциальных энергий электрона на поверхности шарика и на максимальном удалении от него, т.е.
Ас	. еО
— = А + ——
X 4тге0
1
1
R К + ''max J
Решая это уравнение относительно rmax, находим
max
_________1 eg
4тге07?2f— - А
— ~ 1,4 см.
R
4.64.	Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
,	2
ZE - д +р - д . WVmax _ Лвых  '-max ~ Лвых т
ЛВЬ1х — работа выхода фотоэлектронов, Етах и vmax соответственно максимальные энергия и скорость фотоэлектронов.
Уравнение динамики для электронов, движущихся в магнитном поле, в проекции на направления радиус-вектора г
'wvmax
~ еутах^ •
Решение полученной системы уравнений дает
Аь.^--‘г2,в2г2»б.б-1о-19дж.
X 2т
4.65.	Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта имеет вид:
he / X = А +	тя„,
К ШаЛ. ’
где Л = йс/Х0 — работа выхода электрона из облучаемого материала, Х() — длина волны света, соответствующая красной границе фотоэффекта, 1Кктах — максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов. Если d — максимальное расстояние от поверхности электрода, на которое может удалиться электрон в задерживающем однородном электрическом поле, то lFKmax = eEd. Отсюда
he ( 1 d = — —
eE\ X
_l_
^0 ,
1,5 cm.
4.66.	На электрон в атоме водорода действует единственная сила — сила кулоновского притяжения
где \qe | = \qp J = q — заряд электрона и протона, г — радиус орбиты электрона. Основной закон динамики для вращательного движения электрона в проекции на радиус-вектор электрона имеет вид
г г2
или
ту2 - к — , г
у — скорость электрона.
Энергия электрона в атоме W равна сумме его потенциальной и кинетической энергий, т.е.
2	2
п	, q	ту
W ~ ^пот + £кин —	*" -
Г 2
Решая полученную систему уравнений, находим
r-tsL.
2г
При переходе электрона с орбиты радиусом гх на орбиту радиуса г2 будет излучаться фотон, энергия которого hv равна
у
Пг2
_	с
Так как v = —, то
X
y^-J™o^g,.2.IO-sM.
кя2(г}-г2) q2(r}-r2)
4.67.	Условие интерференционного максимума в точке Л:
Vt/2 +/2 -/ = «Х,
где п = 1, 2, ..., следовательно,
^2-и2Х2 2лХ
Тогда
d2
a)	/min = —= 1,5мприл= I;
ZA
б)	/max = /min 
в)	Условие интерференционного минимума в точке А при максимальном /:
'2 -I max ‘max
,	d2-X2/4
max =----Z----= 3,75 м.
Л
4.68.	Условие наблюдения в указанной точке экрана интерференционного максимума первого порядка
d • sin q> = X,
/ где sm(p = -7=
Тогда
X- , d!
'll? +l2
®710~7m.
4.69.	Определим максимальный порядок спектра, наблюдаемого за решеткой
d • sin ср = X • п => пт.,.. = I	1I1O.A
777 =[7’8] = 7>
ХУ
здесь положили ф = 90°, т.е. максимальный для наблюдения угол дифракции. Наибольшее количество светлых полос, которое можно будет наблюдать, 2итах +1 = 15.