/
Author: Фоменко А.Т. Матвеев С.В.
Tags: геометрия топология серия кибернетика теория трехмерных многообразий гамильтонова механика
ISBN: 5-02-013655-7
Year: 1998
Text
Матвеев А.Т. Фоменко
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ
И КОМПЬЮТЕРНЫЕ
МЕТОДЫ
В ТРЕХМЕРНОЙ
ТОПОЛОГИИ
. В. Матвеев А. Т. Фоменко
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
СЕРИЯ "КИБЕРНЕТИКА:
НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ
И ВОЗМОЖНЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ"
Основана в 1963 г.
С. В. Матвеев А. Т. Фоменко
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ
И КОМПЬЮТЕРНЫЕ
МЕТОДЫ
В ТРЕХМЕРНОЙ
ТОПОЛОГИИ
2-е издание,
переработанное и дополненное
о
МОСКВА"НАУКА"
1998
Scan AAW
ББК 22.15
мзз
Редакционная коллегия:
академик И.М. Макаров (председатель)
академик С.Е. Емельянов (зам. председателя)
академик Н.Н. Шереметьевский (зам. председателя)
кандидат философских наук С.Н. Гониюрек (ученый секретарь)
академик О.М. Белоцерковский
доктор философских наук
Б.В. Бирюков
академик Б.В. Бункин
академик Е.П. Велихов
академик Ю.В. Гуляев
академик Н.Н. Евтихиев
академик Ю.И. Журавлев
академик Ю.А. Митинский
академик В.А. Кабанов
член-корреспондент РАН
С. П. Курдюмов
академик Н.Н. Моисеев
академик Д.Е. Охоцимский
писатель ВД. Пекелис
академик Р.В. Петров
доктор технических наук
Д.А. Поспелов
академик Ю.А. Рыжов
академик А.А. Самарский
академик К.В. Фролов
академик А.Е. Шейндлин
доктор физико-математических
наук В.В. Щенников
Ответственный редактор академик ИМ. Макаров
Матвеев С.В., Фоменко А.Т.
Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топо-
логии. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1998. - 304 с., ил. (Ки-
бернетика: неограниченные возможности и возможные ограничения).
ISBN 5-02-013655-7
Книга содержит доступное изложение теории трехмерных многообразий, играющей
огромную роль в современной математике и механической физике. Основной акцент
сделан на алгоритмических проблемах трехмерной компьютерной геометрии, доступно
рассказано об эффектных и неожиданных применениях компьютеров в топологии и
геометрии. Книга учит грамотному использованию компьютеров для формирования
(а иногда и для доказательства) геометрических гипотез и их проверки. Показано
приложение методов компьютерной геометрии к проблемам гамильтоновой механики.
Для математиков, топологов, геометров.
По сети АК
ISBN 5-02-013655-7
© С.В. Матвеев, А.Т. Фоменко, 1998
© А.Т. Фоменко, рисунки, 1998
© Российская академия наук и из-
дательство "Наука", серия "Киберне-
тика: неограниченные возможности
и возможные ограничения" (разра-
ботка, составление, оформление),
1963 (год основания), 1998
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.................................................... 5
§ 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ.................................. 7
1.1.0 стиле изложения. - 1.2. Некоторые сведения из общей топологии. - 1.3.
Склеивания. - 1.4. Полиэдры и комплексы. - 1.5. Фундаментальные группы. -
1.6. Алгоритм вычисления фундаментальной группы. - 1.7. Вторая
гомотопическая группа и первая группа гомологий. - 1.8. Многообразия.
1°. Определения и примеры. 2°. Структуры на многообразиях. 3°. Регулярные
окрестности. - 1.9. Расслоения и накрытия. - 1.10. Общее положение и тран-
сверсальность. - 1.11. Ручки. - 1.12. Алгоритмические вопросы. - 1.13.
Источники дополнительной информации
§ 2. ПОВЕРХНОСТИ.................................................... 35
2.1. Примеры поверхностей. - 2.2. Классификация поверхностей. - 2.3.
Гомотопические эквивалентности поверхностей. - 2.4. Техника разрезания-
склеивания. - 2.5. Применения техники разрезания-склеивания. - 2.6. Лемма
Дена и теорема о петле. - 2.7. Алгоритмические вопросы. 1°. Алгоритм
распознавания поверхности. 2°. Алгоритм распознавания связности. 3°. Алго-
ритм распознавания ориентируемости связной поверхности. 4°. Алгоритм рас-
познавания типа поверхности. 5°. Гомотопическая эквивалентность. 6°. Вхож-
дение данного элемента в ядро. 7°. Сопряженность гомеоморфизмов
§3. ГРУППА ГОМЕОТОПИЙ ПОВЕРХНОСТИ................................... 69
3.1. Группа гомеотопий. - 3.2. Скручивания. - 3.3. Группа гомеотопий диска по
модулю края. - 3.4. Группа кос. - 3.5. Группа крашеных кос. - 3.6. Группы
гомеотопий диска с дырками. - 3.7. Группа гомеотопий произвольной
поверхности порождена скручиваниями. - 3.8. Группа гомеотопий произвольной
поверхности порождена конечным числом скручиваний. - 3.9. Группа
гомеотопий полного кренделя. - 3.10. Комментарии
§ 4. ЗАДАНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ ОТОЖДЕСТВЛЕНИЕМ
ГРАНЕЙ МНОГОГРАННИКОВ.............................................. 103
4.1. Трехмерные многообразия с коническими особенностями. - 4.2. Критерий
отсутствия особенностей. - 4.3. Линзовые пространства. - 4.4. Многообразия
рода 1
§5. РАЗБИЕНИЕ ХЕГОРА И ДИАГРАММЫ ХЕГОРА............................ 116
5.1. Разбиение Хегора. - 5.2. Стабильная эквивалентность разбиений Хегора. -
5.3. Диаграммы Хегора. - 5.4. Эквивалентные диаграммы. - 5.5.
Нормализованные диаграммы. Связные диаграммы. - 5.6. Волновое
преобразование диаграммы Хегора. - 5.7. Структура диаграмм Хегора рода 2. -
5.8. О перечислении трехмерных многообразий^
§ 6. АЛГОРИТМИЧЕСКОЕ РАСПОЗНАВАНИЕ СФЕРЫ.......................... 136
6.1. О постановке задачи классификации трехмерных многообразий. - 6.2.
Алгоритм распознавания сферы S3 в классе многообразий рода 2. 1°.
3
Возвратная волна. 2°. Исчезающая волна. 3°. Попутная волна. 4°.
Выживающая волна. 5°. Параллельная волна. - 6.3. Комментарии к § 5, 6
§ 7. СВЯЗНЫЕ СУММЫ.............................................. 148
7.1. Свойства связного суммирования. - 7.2. Неприводимые и примарные
многообразия. - 7.3. Теория нормальных поверхностей. - 7.4. Существование
разложения на примарные слагаемые. - 7.5. Единственность разложения на
примарные слагаемые
§8. УЗЛЫ И ЗАЦЕПЛЕНИЯ.......................................... 166
8.1. Основные определения. - 8.2. Дистрибутивные группоиды в теории узлов.
- 8.3. Подход Конвея. - 8.4. Специальные реализации инварианта w. - 8.5.
Коэффициент зацепления
§ 9. ПЕРЕСТРОЙКИ ВДОЛЬ ЗАЦЕПЛЕНИЙ............................... 191
9.1. Целые перестройки и трехмерные многообразия. - 9.2. Перестройки по
оснащенным зацеплениям и кобордизмы. - 9.3. Исчисление Кирби. - 9.4.
Четные перестройки. - 9.5. Представления гомологических сфер. - 9.6. О
диаграммах Хегора гомологических сфер. - 9.7. Источники и комментарии
§ 10. МНОГООБРАЗИЯ ЗЕЙФЕРТА..................................... 212
10.1. Определение многообразия Зейферта. - 10.2. База многообразия
Зейферта. - 10.3. Многообразия без особых слоев. - 10.4. Многообразия
Зейферта с особыми слоями. - 10.5. Число Эйлера и послойная классификация
многообразий Зейферта. - 10.6. Фундаментальная группа многообразия
Зейферта. - 10.7. Многообразия Зейферта с краем. - 10.8. Несжимаемость
края. - 10.9. Неприводимость многообразий Зейферта с краем. - 10.10.
Послойность колец с послойными краями. - 10.11. Послойность существенных
колец. - 10.12. Большие многообразия Зейферта. - 10.13. Послойность
несжимаемых торов. - 10.14. Топологическая классификация больших
замкнутых многообразий Зейферта. - 10.15. Малые многообразия Зейферта с
конечными фундаментальными группами. - 10.16. Малые многообразия
Зейферта с бесконечными фундаментальными группами
§ 11. КЛАСС Н................................................... 250
11.1. Определение и простейшие свойства класса Н. - 11.2. Грубые и тонкие
торы. - 11.3. Классификация многообразий класса Н. - 11.4. Класс Н и
итерированные торические зацепления
§ 12. МЕТОД X АКЕН А............................................ 265
12.1. Нормальные поверхности как решения системы уравнений. - 12.2. Фун-
даментальная система решений. - 12.3. Геометрическое суммирование. - 12.4.
Алгоритм Хакена. - 12.5. Один пример устойчивого свойства. - 12.6. Алгоритм
распознавания тривиального узла
§ 13. КОММЕНТАРИИ К РИСУНКАМ.................................... 277
Литература...................................................... 298
Предметный указатель.......................................... 302
ПРЕДИСЛОВИЕ
Топология многообразий малой размерности занимает особое место в
современной геометрии и топологии. Это вызвано тем, что боль-
шинство мощных методов многомерной топологии не работают в раз-
мерностях 3 и 4. Достижения многомерной топологии сравнительно пол-
но освещены в ряде современных книг, имеющихся на русском языке. Иначе
обстоит дело с размерностью 3. Последняя полная для своего времени
книга на русском языке вышла в 1936 г. (Зейферт и Трельфалль.
Топология). Отдельные важные темы изложены, например, в книгах Мас-
си, Столлингса, Скотта и др. Однако в основном эти темы довольно
специальны и не позволяют читателю получить полное представление о
современном состоянии топологии трехмерных многообразий (3-многооб-
разий), переживающей сегодня свой расцвет (в научных публикациях).
Настоящая книга нацелена на частичную ликвидацию этого пробела.
В книге излагаются основные факты и методы топологии
трехмерных многообразий. Особое внимание уделяется алгоритмическому
подходу и применению компьютеров. В настоящее время в современной
топологии бурно развивается новое научное и прикладное направление,
которое условно может быть названо "компьютерная геометрия и
топология". Оказалось, что многие важные прикладные задачи механики,
теоретической физики сводятся к алгоритмическим проблемам трех-
мерной топологии, для решения которых можно успешно применить
современную вычислительную технику. В последние годы в нашей стране
и за рубежом были получены глубокие результаты в этом направлении,
изложение которых содержится в многочисленных научных специальных
публикациях, малодоступных широкому читателю.
В то же время отсутствует книга, предназначенная именно для
широких кругов читателей, в которой было бы изложено это новое
научное направление. Отсутствие соответствующего руководства,
ориентированного на студентов, аспирантов, заметно ощущается в
учебном процессе в университетах.
Данная монография представляет собой первую часть издания,
подготовленного авторами, и может рассматриваться как введение в
предмет. Вторая книга (С.В. Матвеев, А.Т. Фоменко. Современная то-
пология трехмерных многообразий. Содержательное изложение класси-
ческих результатов. Трехмерные многообразия в механике. Применение
компьютеров) будет опубликована авторами позднее. Настоящее изда-
ние является "элементарной частью" всего труда. Оно основано на лек-
циях, неоднократно читавшихся авторами на математических факулъ-
5
тетах Челябинского (С.В. Матвеев) и Московского (А.Т. Фоменко)
университетов. Характер материала, включенного в книгу, и стиль
изложения отражают, в частности, работу научно-исследовательского
семинара "Компьютерная геометрия”, действующего на механико-мате-
матическом факультете МГУ (руководитель соответствующей науч-
но-исследовательской темы - А.Т. Фоменко). Многие разделы в той или
иной степени обсуждались на заседаниях семинара и аккумулируют
наиболее выдающиеся достижения компьютерной топологии последних
лет. Книга снабжена достаточно богатым иллюстративным мате-
риалом (рисунки выполнены А.Т. Фоменко), который помогает восприя-
тию математических конструкций.
Книга предназначена для самых широких кругов читателей: сту-
дентов и аспирантов физико-математических специальностей универ-
ситетов, специалистов по компьютерным разработкам в теории и
приложениях сплайнов и геометрическом моделировании, геометров и
топологов, математиков, участвующих в создании современных алго-
ритмов, нуждающихся в геометрических моделях.
Изложение ведется на содержательном уровне. Авторы часто жерт-
вуют общностью результатов ради простоты изложения и геомет-
рической наглядности (особенно важной при изучении трехмерных
многообразий). Технически громоздкие и не проясняющие сути дела дока-
зательства опускаются и заменяются соответствующей ссылкой на
специальную литературу.
§ 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
1.1. О стиле изложения
Формально мы предполагаем знакомство с элементами общей топо-
логии, но на самом деле собираемся объяснять все вводимые понятия по
крайней мере на интуитивно-наглядном уровне. Очень желательно, а для
некоторых разделов необходимо, знание математического анализа и ал-
гебры в объеме первых двух курсов университета. Впрочем, для настой-
чивого читателя вполне достаточно понимания терминов ’’линейное
пространство”, "дифференцируемое отображение" и "группа".
Каждый математический текст представляет собой некий шифр,
которым мы кодируем сообщаемые сведения. Обычно стремятся сделать
его максимально емким и формальным, чтобы не допускать двусмыс-
ленностей. При этом главная трудность для читателя часто состоит не в
понимании сути утверждения, а в расшифровке его формулировки. Такой
подход имеет свои преимущества, но мы от него отказываемся в пользу
содержательного изложения, сознательно стремясь приблизить текст книги
к тексту живой лекции.
Все дальнейшие пункты этого параграфа читатель может пропустить
и возвращаться к ним по мере надобности. Впрочем, в дальнейшем мы
воздержимся от рекомендаций подобного рода, вполне доверяя Вашему
здравому смыслу.
1.2. Некоторые сведения из общей топологии
Напомним, что введение топологии на данном множестве X заклю-
чается в выделении в нем семейства подмножеств, замкнутого отно-
сительно операций объединения и конечного пересечения. Пустое мно-
жество 0 и все X должны лежать в семействе. Подмножества из
выделенного семейства называются открытыми, их дополнения -
замкнутыми. Множество X с введенной на нем топологией называется
топологическим пространством. Все пространства, которые мы собираемся
рассматривать, будут метрическими, более того, будут подпространствами
евклидова пространства RN достаточно большой размерности. Если X -
подмножество пространства RN, то топология на нем вводится так:
подмножество U а X считается открытым, если каждая его точка входит в
него вместе с некоторым открытым шаром ненулевого радиуса с центром
в этой точке. При этом открытый шар в X радиуса е > 0 с центром в
точке a g X определяется как множество всех таких точек
х g X, что р(х, а) < е, где р(х, а) - обычное расстояние от х до а в RN. На
7
Рис. 2
рис. 1 изображено несколько открытых шаров в подмножестве плоскости,
состоящем из круга с добавленным к нему букетом трех отрезков.
Отображение f: X —> Y одного топологического пространства в другое
называется непрерывным, если прообразкаждого открытого мно-
жества U с Y открыт в X. В случае метрических пространств это
определение полностью эквивалентно определению на языке е-6. Интуи-
тивно непрерывное отображение можно представлять себе так: мы берем
X, как-то деформируем его и прижимаем к пространству Y (рис. 2).
Гомеоморфизмом называется биекция/: X -» У, непрерывная в обе
стороны. Другими словами, гомеоморфизм - это биекция, сохраняющая
структуру топологического пространства, поскольку при гомеоморфизме
открытые множества в X соответствуют открытым множествам в К, и
наоборот. Поэтому в топологии гомеоморфные пространства считаются
одинаковыми: с точки зрения тополога пространство ничем не отличается
от своей гомеоморфной копии.
Если Z - подмножество топологического пространства У, рассмат-
риваемое с индуцированной топологией, то любой гомеоморфизм/: X —> Z
называется вложением X в У. Нужно подчеркнуть, что далеко не всякая
непрерывная инъекция X в У является вложением. На рис. 3 приведен
пример отличной от вложения инъекции полуинтервала в плоскость.
Топологическое пространство называется компактом, если из любо-
го его покрытия открытыми множествами можно выбрать конечное под-
покрытие. Для подмножеств пространства
RN это условие эквивалентно замкнутости
и ограниченности. Уплотнение (непрерыв-
ная биекция) компакта на любое метри-
ческое пространство всегда является го-
меоморфизмом. Практический вывод от-
сюда такой: чтобы доказать гомеоморф-
ность двух компактных подпространств
пространства RN, достаточно построить
непрерывную биекцию одного из них на
Другое.
Два непрерывных отображения/),/:
X —» У называются гомотопными, если одно из них можно непрерывно
продеформировать в другое. При этом под непрерывной деформацией
(гомотопией) понимается семейство отображений ft\ X —> У, t е [0, 1],
непрерывное в том смысле, что определенное формулой F(x, Г) = ft(x)
отображение F: X х [0, 1] —> У должно быть непрерывным.
Топологические пространства X, У называются гомотопически экви-
валентными, если существуют такие непрерывные отображения/: X —> У
и g: У —> X, что суперпозиции fg и gf гомотопны тождественным
отображениям У и X соответственно. Подпространство У сХ называется
деформационным ретрактом пространства X, если существует такая де-
формация /: X —> У, что /(у) = у при любых t и у е У, а/0 = 1х и/(Х) = У.
Пространство всегда гомотопически эквивалентно любому своему дефор-
мационному ретракту. Наглядный смысл деформационной ретракции:
пространство X постепенно сжимается по себе в свое подпространство У,
причем У остается неподвижным. Это позволяет придать наглядный смысл
гомотопической эквивалентности (по крайней мере для "хороших” прост-
ранств, например, для клеточных комплексов, см. ниже): для любых двух
гомотопически эквивалентных пространств найдется третье пространство,
которое деформационно ретрагируется на каждое из них.
Гомотопия /: X —» У называется изотопией, если для любого момента
времени t отображение / является вложением. Наглядный смысл изотопии
состоит в том, что пространство X скользит по пространству У без
разрывов и склеек. В частности, если пространство У скользит по себе, то
вместе с ним движется и любое его подпространство X. Такая изотопия
пространства X по У называется объемлемой. Все изотопии, которые
встретятся в книге, будут объемлемыми. Пример изотопии, не являю-
щейся объемлемой, изображен на рис. 4.
9
1.3. Склеивания
Пусть X - топологическое пространство и - отношение экви-
валентности на нем. Обозначим через X/ множество классов эквива-
лентных элементов. Имеется естественное отображение р : X —> Х/^,
сопоставляющее каждой точке х е X содержащий ее класс эквивалент-
ности. На множестве X/ можно ввести топологию, полагая, что мно-
жество U а X/ открыто тогда и только тогда, когда множество p~l(U)
открыто в X. Множество X/ с введенной таким способом топологией
называется фактор-пространством пространства X по отношению экви-
валентности
Рис. 6
Приведем пример. Введем на цилиндре Хх1 отношение эквива-
лентности, полагая, что две точки эквивалентны тогда и только тогда,
когда они либо совпадают, либо лежат на верхнем основании Хх{1}
цилиндра. Тогда фактор-пространство Хх// называется конусом над
пространством X (рис. 5). Оно обозначается через Con X.
Частными случаями конструкции фактор-пространства являются опе-
рации приклеивания одного пространства к другому и склеивания прост-
ранств. Пусть X, Y - топологические пространства и/: Z —> У - непре-
рывное отображение, где Z - подпространство пространства X. Введем на
дизъюнктном объединении X U Y отношение эквивалентности, порож-
денное отношением z где z - произвольный элемент из Z и/(г) g Y.
Тогда пространство XUK/^ обозначается через Y UyX. Говорят, что
оно получается приклеиванием пространства X к пространству Y по
отображению /. Пространство Con X, например, есть результат приклеи-
вания цилиндра Хх/ к точке по отображению в нее его верхнего
основания. Если/- вложение пространства Z с X в У, т.е. гомеоморфизм
на подпространство Z' cz У, то мы имеем дело с операцией склеивания
пространств X и У по/. В большинстве рассматриваемых случаев
операцию склеивания можно реализовать фактически, разместив прост-
ранства X и У в пространстве RN достаточно большой размерности так,
чтобы все склеиваемые точки совпали, а других совпадений не было.
Тогда операция склеивания сводится просто к объединению пространств.
Например, склеивание двух экземпляров круга по тождественному
отображению их краев дает двумерную сферу (рис. 6). Можно склеивать
не только сразу несколько пространств, но и пространство с собой. Так, на
Рис. 7
рис. 7, 8 изображены результаты
склеивания нескольких пространств
по точке (букет пространств) и "шу-
товской колпак", который получа-
ется склеиванием сторон треуголь-
ника по показанной рядом схеме.
Операция, обратная к операции
склеивания, называется разрезанием.
Ее прямое описание можно дать так.
Пусть X - замкнутое подпространст-
во пространства RN и У - такое его
подпространство, что разность X-Y
состоит из конечного числа компо-
нент Х}, Х2, ...» Хп. Обычно считают,
что подпространство У "тонкое", т.е. что замыкание пространства Х-Y в
RN совпадает с X. Разнесем компоненты Хь Х2, Хп на разные высоты в
RN+i = RNxR\ т.е. рассмотрим пространство X' = |J X', где X' = Xi х {г}.
/=1
Тогда результат разрезания пространства X по подпространству У
определяется как замыкание пространства X' (см. рис. 9 для случая п = 2).
1.4. Полиэдры и комплексы
Выпуклый многогранник - это выпуклая оболочка конечного числа
точек, лежащих в RN. Полезно иметь в виду следующее эквивалентное
определение: выпуклым многогранником называется пересечение конеч-
ного числа замкнутых полупространств в случае, если это пересечение не
пусто и ограничено.
Точки х0, jq, ..., хк при £ < = N + 1 называются независимыми, если они
не лежат в одной (к - 1)-мерной плоскости (^-мерную плоскость через них
провести можно всегда). Натянутый на независимые точки х$, хь ..., хк
выпуклый многогранник называется ^-мерным симплексом. Понятие симп-
лекса естественным образом обобщает понятия точки, отрезка, треуголь-
ника и тетраэдра, которые являются симплексами размерностей 0, 1,2, 3.
Точки х0, хь ..., хк называются вершинами симплекса. Любое подмно-
11
жество множества вершин определяет симплекс, который является
гранью исходного. Плоскость размерности к, в которой лежат все вер-
шины ^-мерного симплекса, называется его несущей плоскостью.
Полиэдр - это объединение конечного числа выпуклых многогран-
ников, лежащих в некотором RN. Любой полиэдр можно разбить на
симплексы очень аккуратным образом - так, чтобы любые два симплекса
либо не пересекались, либо пересекались по их общей грани. Такое раз-
биение называется триангуляцией полиэдра, а полиэдр с фиксированной
триангуляцией - симплициальным комплексом. Удобно считать, что все
грани всех симплексов триангуляции являются симплексами триангуляции.
Если v - вершина (нульмерный симплекс) симплициального комплекса
К, то объединение всех симплексов комплекса К, для которых и служит
вершиной, называется ее звездой и обозначается через St (t/, К). Объеди-
нение всех тех симплексов звезды St(u, К), для которых и не служит
вершиной, называется линком вершины и и обозначается через Ik (у, К)
(рис. 10). Справедливо соотношение St (и, К) = Con lk(t/, К), где вершина
конуса совпадает с вершиной v.
Один и тот же полиэдр имеет много различных триангуляций. Систе-
матический способ получения более мелких триангуляций состоит в пере-
ходе к подразделениям. Симплициальный комплекс L называется подраз-
делением симплициального комплекса К, если их тела (т.е. определяемые
ими полиэдры) совпадают и каждый симплекс комплекса L целиком
содержится в некотором симплексе комплекса К. Звездное подразделение
комплекса К с центром в лежащей в нем точке а получается так: симп-
лексы, не содержащие точки а, остаются без изменений, а каждый
симплекс о, содержащий ее, разбивается на конусы с вершиной а над теми
гранями симплекса о, которые не содержат точки а. На рис. 11 приведены
примеры трех типов звездных подразделений тетраэдра. Известно, что
12
любые две триангуляции одного и
того же полиэдра имеют общее
подразделение, которое получается
из каждой из них последова-
тельностью звездных подразделе-
ний. Поскольку при каждом звезд-
ном подразделении топологические
типы звезды и линка вершины не
меняются, то имеет смысл говорить
о звезде и линке точки в полиэд-
ре (с точностью до гомеоморфиз-
ма).
Если выполнить звездные под-
разделения с центрами во всех
симплексах комплекса К в порядке
убывания их размерностей, то получится производное подразделение К'
комплекса К (рис. 12, а). Выбирая в качестве центров звездных
подразделений центры тяжести симплексов, получим барицентрическое
подразделение (рис. 12, б).
Отображение /: К -» L одного симплициального комплекса в другой
называется симплициальным, если образ/(о) каждого симплекса о комп-
лекса К является симплексом комплекса L и ограничение отображения /на
симплекс о линейно (или, вернее, становится линейным, если в качестве
начал систем координат на несущих плоскостях симплексов а, /(о) взять
какие-нибудь точки лес и/(х) g /(о)).
Кусочно-линейное отображение одного полиэдра в другой опреде-
ляется как отображение, которое становится симплициальным при
подходящем выборе триангуляций полиэдров. Суперпозиция кусочно-ли-
нейных отображений является, конечно, кусочно-линейным отображением.
Справедлива теорема симплициальной аппроксимации, которая утверж-
дает, что любое непрерывное отображение/: Р -» Q одного полиэдра в
другой можно аппроксимировать кусочно-линейным отображением
g : Р —> Q. При этом аппроксимируемость можно понимать сразу в двух
смыслах: в смысле равномерной близости (р(Дх), g(x)) < £ для всех хе Р) и
в смысле гомотопности (f гомотопно g).
Понятие клеточного комплекса удобнее всего ввести по индукции.
Клеточный комплекс размерности 0 - это конечный набор точек. Кле-
точный комплекс размерности 1 получается из него приклеиванием
нескольких одномерных клеток (дуг) по отображениям их краев (пар
точек). Клеточный комплекс размерности 2 строится путем приклеивания
к одномерному комплексу нескольких двумерных клеток (кругов) по
отображениям их граничных окружностей и т.д. В общем случае под
^-мерной клеткой понимается ^-мерный шар, и он приклеивается к
(£ - 1)-мерному комплексу по отображению сферы на его крае. Например,
изображенное на рис. 13 представление двумерного тора в виде
клеточного комплекса содержит 4 нульмерные, 8 одномерных и 4 дву-
мерные клетки (минимальное представление тора содержит одну вершину,
две дуги и одну двумерную клетку).
13
Рис. 13
Каждый триангулированный полиэдр является клеточным комплексом
(клетками служат симплексы), но не каждый клеточный комплекс является
полиэдром. Например, если приклеить круг к окружности так, как это
изображено на рис. 14, то получится клеточный комплекс, но не полиэдр.
Рис. 14
Пусть К - клеточный комплекс. Обозначим через с^К) число его
клеток размерности L Эйлерова характеристика х(^) комплекса К по
оо
определению равна £ (-Л/сД/Г). Известно, что она не зависит от вы-
/=0
бора разбиения комплекса К на клетки. Для симплициальных комплексов
этот факт можно доказать геометрически, заметив, что при переходе к
звездному подразделению эйлерова характеристика комплекса не
меняется. Эйлерова характеристика объединения двух пересекающихся
полиэдров вычисляется по формуле %(PU 2) = х(Р) + х(б) ~ Х(^ О-
14
1.5. Фундаментальные группы
Напомним определение фундаментальной группы топологического
пространства X. Выберем в нем произвольную точку х0, которую в
дальнейшем будем называть базисной. Петлей в пространстве X с базис-
ной точкой х0 называется такое непрерывное отображение/: [0, 1] —
что /(0) = /(1) = х0. Две петли будем называть эквивалентными
(гомотопными), если одну из них можно непрерывно продсформировать в
другую при неподвижных концах. Например, петли 1, 2 на кольце S}xl
(рис. 15) гомотопны, а петли 1 и 3 - нет.
Это отношение эквивалентности разбивает множество всех петель
О(Х, х0) на классы гомотопных петель. Множество этих классов обозначим
через щ(Х, х0). Таким образом, фундаментальная группа как множество
совпадает с множеством классов гомотопных петель. На множестве Q(X,
х0) имеется операция умножения, состоящая в последовательном
прохождении двух петель с удвоенной скоростью (рис. 16). Точное
определение таково: если/, g : [0, 1] -» X - две петли с концами в х0, то их
произведение - петля h : [0, 1] X - задается формулой
Л(х) =
/(2х),
#(2х-1),
если 0 х ;
2
1
если — х 1.
2
Операция умножения петель индуцирует корректно определенную
операцию на множестве щ(Х, х0), относительно которой оно становится
группой. Эта группа и называется фундаментальной группой пространства
X. Отметим, что представителем единичного элемента этой группы
служит постоянная петля (отображение отрезка [0, 1] в базисную точку).
Обратный элемент задается прохождением петли в обратном нап-
равлении.
Рис. 15
15
Если точки х0, Xi g X можно соединить непрерывным путем
.у: [0, 1] —> X, то сопоставление каждой петле/с концами в точке петли
sfs~x с концами в точке х0 индуцирует изоморфизм группы jq) на
группу щ(Х, х0). Таким образом, фундаментальная группа не зависит от
выбора базисной точки, если пространство линейно связно (это означает,
что любые две его точки могут быть соединены непрерывным путем).
Любое непрерывное отображение f: X -» Y одного пространства в
другое отображает и петли, а поэтому индуцирует гомоморфизм
/ф: К\(Х) —> Я](У). При этом гомотопные отображения индуцируют один и
тот же гомоморфизм. Отсюда следует, что фундаментальные группы
гомотопически эквивалентных пространств (в том числе пространства и
его деформационного ретракта) изоморфны.
1.6. Алгоритм вычисления фундаментальной группы
Одним из наиболее распространенных способов задания групп
является способ задания с помощью списка образующих и соотношений,
т.е. с помощью копредставлений. Пусть А - произвольное конечное
множество. Будем называть его алфавитом, а его элементы - буква-
ми. Словом в алфавите А называется произвольная конечная после-
довательность символов вида а, а~}, где а е А. Удобно принять
следующие соглашения: ак, где к - натуральное число, обозначает слово
аа.,.а, символ сгк служит сокращенной записью слова а~1а~1
к к
Пусть •••, Rn ~ некоторые слова в алфавите А, состоящем
из букв а2, ат. Опишем конструкцию, которая указанным дан-
ным (буквам <2j, а2, называемым образующими, и словам Rb
R2, ..., Rn, называемым соотношениями) сопоставляет группу G =
= <аь а2, ат | /?! = 1, /?2 = 1. = 1)-
Введем на множестве W(A) всех слов в алфавите А отношение экви-
валентности следующим образом: скажем, что два слова эквивалентны,
если от одного к другому можно перейти с помощью конечной последова-
тельности преобразований вида (I), (II).
(I). Вставка или вычеркивание пары последовательных букв вида аа~х
или а~ха.
(II). Выделение и вычеркивание в слове подслова /?у или вставка
такого подслова.
На множестве всех слов имеется операция умножения: произведение
слова Wj на слово w2 получается приписыванием второго слова к первому
справа. Эта операция индуцирует операцию умножения на множестве
классов эквивалентных слов, относительно которой оно становится
группой. Ее мы и обозначили через G.
Для читателей, не имеющих навыков обращения с копредставлениями
групп, опишем несколько основных приемов. Будем говорить, что соотно-
шение и’ = 1, где w - слово в алфавите А, выводимо из соотношений R} =
~ 1, ..., Rn = 1, если w можно привести к пустому слову операциями (I), (II),
i 6
т.е. если слово w определяет единичный элемент группы G. Если к списку
соотношений группы добавить выводимое соотношение, то группа не из-
менится. Группа не меняется и при вычеркивании выводимого соот-
ношения.
Другая операция над копредставлениями, не меняющая групп, состоит
в добавлении к списку образующих новой буквы а, к списку соотноше-
ний - нового соотношения w~]a = 1 (которое, впрочем, удобнее записывать
в виде w = а), где слово w не должно содержать буквы а. Группа
сохраняется и при обратной операции: вычеркивании одного образующего
элемента а и соотношения w = а, при условии, что слово w не содержит
буквы а, а во всех остальных соотношениях все входящие в них буквы а
заменены на слово w.
Легко доказать, что если копредставления задают изоморфные груп-
пы, то от одного можно перейти к другому с помощью конечной последо-
вательности описанных операций. Однако поиск конкретной последова-
тельности операций весьма труден. Доказано, что никакого алгоритма,
который по двум данным копредставлениям выясняет, задают они изо-
морфные группы или нет, не существует. Алгоритмически неразрешимы и
многие другие проблемы в теории групп: проблема распознавания единич-
ного элемента в данной группе, проблема распознавания сопряженных
элементов.
Копредставления абелевых групп удобно записывать аддитивно и не
писать при этом соотношения коммутирования, подразумевая их. Абелева
группа полностью определяется матрицей соотношений. Например, для
абелевой группы (a, b | а + 2Ь = 0, За + 4Ь = 0) матрица соотношений
(1 2 А
имеет вид К д I. При элементарных преобразованиях матрицы соотно-
шений (добавлении строки к строке, перестановке строк, смене знаков
всех элементов одной строки и аналогичных операциях над столбцами)
группа не меняется. Любая матрица такими операциями приводится к
матрице (а^) с = 0 при i Ф j, что дает разложение задаваемой ею
абелевой группы в сумму циклических групп. Если матрица соотношений
квадратная, то модуль ее определителя равен порядку группы (в случае
нулевого определителя группа бесконечна).
Сформулируем теорему Ван-Кампена, которая позволяет выписывать
копредставление фундаментальной группы объединения X о Y двух прост-
ранств по известным, копредставлениям групп 74 (X), тс1(У) и образующим
группа 74 (Z), где Z = X n Y.
ТЕОРЕМА 1.1. Если пространства X, У, Z = X n Y линейно связны, то
копредставление группы 74 (X о У) можно получить так:
1) выписать образующие группы 74 (X), 74(У);
2) выписать соотношения групп 74(Х), 74(У);
3) написать еще серию соотношений - по одному для каждого
образующего элемента с группы 74 (Z). Это соотношение выглядит так:
<р1 (с) = (р2(с), где <Р1(с) - выражение образующего с через образующие
группы 74 (X), ф2(с) “ его выражение через образующие группы 74(У).
17
Рис. 17
Отметим, что требование линейной
связности пространства Z существенно:
хотя окружность, например, получается
склеиванием двух отрезков по концам и
отрезки имеют тривиальные фундамен-
тальные группы, фундаментальная группа
окружности не тривиальна, а изоморфна
группе целых чисел Z. Целое число и, со-
поставляемое при этом изоморфизме дан-
ной петле f = [0, 1] —> 51, показывает,
сколько оборотов в положительном на-
правлении вокруг центра окружности со-
вершает точка /(г) при изменении
параметра г от 0 до 1.
Чтобы успешно применять теорему
Ван-Кампена, нужно уметь разбивать
данное пространство на более простые части, каждую из них - на еще
более простые и т.д. Готовым разбиением такого типа обладают
клеточные комплексы. Применение теоремы Ван-Кампена к объединению
пространства X и окружности, имеющих общую дугу (рис. 17), показы-
вает, что эффект приклеивания одномерной клетки к пространству X сос-
тоит в добавлении к списку образующих группы лфХ) еще одного обра-
зующего элемента. По аналогичной причине эффект приклеивания дву-
мерной клетки к пространству X заключается в добавлении к списку соот-
ношений группы л^Х) нового соотношения, которое показывает, как
граничная окружность клетки записывается через образующие группы
7tj(X). Для корректного применения теоремы Ван-Кампена в случае, когда
Рис. 18
18
граничная кривая имеет самопересечения, нужно выполнять приклеивание
в два этапа: сначала приклеить каемку (окрестность края диска D2), затем
вклеить оставшийся двумерный диск (рис. 18). При приклеивании каемки
фундаментальная группа не меняется, поскольку каемка деформационно
ретрагируется на край диска, а вклеивание оставшегося диска выпол-
няется уже по вложению его края. Приклеивание л-мерных клеток при
п > 2 никак не отражается на группе Я1(Х).
Учитывая, что любое дерево (граф без циклов) гомотопически эквива-
лентно точке, т.е. стягиваемо, получаем следующий алгоритм выписы-
вания копредставления фундаментальной группы клеточного комплекса.
Чтобы вычислить фундаментальную группу связного клеточного
комплекса К, нужно:
1. В одномерном остове комплекса К (объединении одномерных кле-
ток) выбрать максимальное дерево (граф без циклов, содержащий все
вершины). Все оставшиеся ребра ориентировать и обозначить буквами.
Эти буквы и будут образующими фундаментальной группы.
Эквивалентный способ: нужно по очереди разрезать ребра, одновре-
менно обозначая их буквами и указывая направления так, чтобы полу-
чался связный граф, до тех пор пока это возможно (рис. 19).
2. Для каждой двумерной клетки написать соотношение, которое
показывает, как ее граничная окружность проходит по обозначенным
ребрам.
Особенно просто этот алгоритм выглядит в случае клеточного комп-
лекса с одной вершиной, когда максимальное дерево состоит всего из од-
19
ной точки - этой вершины. Тогда образующих фундаментальной группы
ровно столько, сколько одномерных клеток, а соотношений - столько,
сколько двумерных клеток. Отсюда же следует, что любая конечно-
порожденная группа реализуется фундаментальной группой некоторого
клеточного комплекса: нужно взять букет такого числа окружностей,
сколько имеется образующих, и приклеить к нему столько двумерных
клеток, сколько имеется соотношений.
Приведем пример. Двумерный тор Т2 = 51 х S1 можно представить в
виде клеточного комплекса с одной вершиной А, двумя одномерными клет-
ками а, b и одной двумерной клеткой с (рис. 20). Применяя алгоритм,
получаем, что щСГ2) — Z® Z.
1.7. Вторая гомотопическая группа
и первая группа гомологий
Вторая гомотопическая группа л2(Х) пространства X строится точно
так же, как и фундаментальная группа лДХ), только вместо петель в X,
т.е. отображенной окружности, нужно рассматривать отображения
двумерных сфер в X. Высшие гомотопические группы л„(Х) при п > 2
определяются аналогичным образом. Все они абелевы, но вычислять их
гораздо труднее: никакого алгоритма вычисления нет. Группы ял(Х) при
п > 2 мы не будем использовать совсем, а группы Y л2(Х) - только
эпизодически. Вполне достаточно понимания следующего очевидного
факта: любое отображение сферы S2 вХ гомотопно постоянному (т.е.
л2(Х) = 0) тогда и только тогда, когда любое отображение сферы S2 в X
продолжается до отображения ограничиваемого ею шара. Это свойство
может служить определением равенства л2(Х) = 0.
Первая группа гомологий //ДХ) пространства X определяется как
фактор-группа фундаментальной группы л^Х) по ее коммутанту, т.е. как
прокоммутированная группа Л](Х). Ее элементами являются отображения
окружности в X, причем два отображения/: 5’1-»Х,^:52-^Х двух
экземпляров окружности в X гомологичны (задают один и тот же элемент
группы тогда и только тогда, когда их можно продолжить до ото-
бражения в X некоторой ограничиваемой окружностями двумерной пленки
(ориентированной поверхности). В частности, отображение/: 51 -» X гомо-
логично нулю, если существует двумерная ориентированная поверх-
ность Р с краем 51 и отображение F: Р —»X, продолжающее/.
1.8. Многообразия
1°. Определения и примеры. Топологическое пространство М назы-
вается л-мерным многообразием, если каждая его точка имеет окрест-
ность, гомеоморфную пространству Rn.
Другими словами, многообразие - это локально евклидово пространст-
во. Пространство Rn гомеоморфно открытому л-мерному шару, поэтому
20
топологическое пространство является многообразием тогда и только тог-
да, когда каждая его точка имеет шаровую окрестность. Чтобы избежать
патологических примеров, обычно накладываются два дополнительных
условия. Во-первых, требуется, чтобы многообразие было хаусдорфовым
топологическим пространством. Это означает, что любые две его точки
должны иметь непересекающиеся окрестности. Во-вторых, требуется,
чтобы многообразие имело счетную базу, т.е. чтобы его можно было
покрыть счетным числом шаровых окрестностей. Оба этих условия
автоматически выполнены, если мы, как и договаривались, рассматриваем
только подпространства пространства RN.
Есть только два связных одномерных многообразия - окружность S1 и
прямая Я1. Двумерных многообразий гораздо больше: любое открытое
подмножество плоскости является некомпактным двумерным многообра-
зием, например, дополнение к канторову континууму. Примеры компакт-
ных двумерных многообразий: сфера S2, тор S1 х S1. Сфера Sn и тор
Тп = Тп~х х S1 являются примерами компактных л-мерных многообразий.
Другие примеры можно построить с помощью замечания, что прямое
произведение многообразий размерностей тип есть многообразие раз-
мерности т + п.
Очень удобно расширить понятие многообразия, включив в него
многообразия с краем. Хаусдорфово топологическое пространство М со
счетной базой называется л-мерным многообразием с краем, если каждая
его точка имеет окрестность, гомеоморфную либо пространству Rn (т.е.
шаровую окрестность), либо замкнутому полупространству R+ (т.е. полу-
шаровую окрестность). Объединение точек многообразия Л/, не имеющих
окрестности первого типа, называется его краем и обозначается через ЪМ.
Отметим, что если край л-мерного многообразия не пуст, то он яв-
ляется (л - 1)-мерным многообразием без края. Доказательство этого
утверждения вполне очевидно, так как все точки на граничной гиперплос-
кости полупространства R+ равноправны и имеют в ней (л - 1)-мерные
шаровые окрестности. С другой стороны, существование хотя бы одного
многообразия с непустым краем является весьма нетривиальным, хотя и
интуитивно очевидным фактом, так как априори неясно, почему полу-
пространство R+ не гомеоморфно пространству Rn. На самом деле это
является прямым следствием теоремы Брауэра об инвариантности области
[1].
Примеры многообразий с краем: полуинтервал, отрезок (одномерные),
диск Ь2, кольцо 51 х /, лист Мебиуса (двумерные) (рис. 21). Их края
состоят из точки, двух точек, окружности, двух окружностей, окружности
соответственно. Примером трехмерного многообразия с краем может слу-
жить полный крендель Нп рода л (шар с л ручками, рис. 22). Для любого л
л-мерный шар Dn и полупространство /?+ являются примерами л-мерных
многообразий с краем. Уточним терминологию: многообразие с пустым
краем называется замкнутым, если оно компактно, и открытым, если не-
компактно.
Прямое произведение многообразий размерности типе краем яв-
ляется многообразием размерности т + п с краем. При этом справедлива
формула д(М х N) = ЭМ х N о М х Э/V, напоминающая формулу диф-
21
Рис. 22
ференцирования произведения двух функций. Отметим, что эта аналогия
не ограничивается внешним сходством.
Пусть л-мерные многообразия с гомеоморфными краями и
h : —> дМ2 - гомеоморфизм. Если склеить многообразия М2 по
гомеоморфизму h, то получится л-мерное многообразие без края. Действи-
тельно, каждая точка хе дМх имеет полушаровую окрестность в
точка h(x) - полушаровую окрестность в Л/2- Эти полушаровые окрест-
ности склеиваются и дают шаровую окрестность соответствующей точ-
ки в Мх М2. Можно склеивать многообразия и по подмногообра-
зиям нулевой коразмерности их краев, получая при этом многообразия с
краем.
2°. Структуры на многообразиях. Пусть имеется некоторая псевдо-
группа G гомеоморфизмов областей евклидова пространства Rn, т.е. класс
гомеоморфизмов, замкнутый относительно операций взятия обратного го-
меоморфизма и операции суперпозиции в тех случаях, когда суперпозиция
определена. Приставка "псевдо" означает, что суперпозиция может и не
быть определена, так как образ одного гомеоморфизма не обязан совпа-
дать с областью определения другого.
Мы хотим определить понятие G-многообразия или, более точно,
понятие G-структуры на многообразии М. Для простоты ограничимся слу-
чаем замкнутых многообразий. По определению многообразия М, каждая
его точка имеет окрестность G, гомеоморфную пространству Rn. Конкрет-
ный гомеоморфизм ср : Rn —> М назовем картой, совокупность карт, по-
крывающих М, - атласом. Если ф, \\f: Rn М - две карты и Z =
- ф(/?л) п ф(/?л) - пересечение их образов, то определен гомеоморфизм пе-
рехода ф^ф : ф-1(7) —> ф-1(2), отображающий одну область в Rn на дру-
Рис. 23
гую (рис. 23). Карты ср, у G-согласованы, если гомеоморфизм перехода
XfHcp лежит в псевдогруппе G. G-структурой на многообразии М называет-
ся атлас, состоящий из G-согласованных карт (иногда под G-структурой
понимают максимальный G-согласованный атлас). Многообразие, снабжен-
ное G-согласованным атласом, называется G-многообразием.
Приведем примеры. Если псевдогруппа G состоит из диффеоморфиз-
мов, то G-многообразие - это просто гладкое многообразие. При этом под
диффеоморфизмом понимается взаимно однозначное, бесконечно диффе-
ренцируемое отображение, якобиан которого нигде не обращается в 0;
последнее условие эквивалентно бесконечной дифференцируемости обрат-
ного отображения. Рассматривая в качестве псевдогруппы G класс всех
кусочно-линейных гомеоморфизмов, приходим к понятию кусочно-линейно-
го многообразия. Кусочно-линейное многообразие всегда можно триангули-
ровать так, чтобы линк каждой вершины триангуляции был кусочно-
линейно гомеоморфен стандартной кусочно-линейной сфере - краю и-мер-
ного симплекса. Такая триангуляция называется комбинаторной. Обратно,
каждый полиэдр, допускающий комбинаторную триангуляцию, является
кусочно-линейным многообразием.
Можно говорить также о плоских, гиперболических, липшицевых,
квазиконформных и других структурах, имея в виду, что все гомеомор-
физмы перехода являются движениями пространства Rn, гиперболическими
движениями пространства Лобачевского Нп — Rn, липшицевыми или
квазиконформными гомеоморфизмами и т.д. В частности, многообразие
ориентируемо, если оно имеет атлас, для которого все гомеоморфизмы
перехода сохраняют ориентацию пространства R”. В гладком случае
гомеоморфизм сохраняет ориентацию, если его якобиан положителен во
всех точках.
23
Удобно считать, что все рассмат-
риваемые многообразия являются подмно-
гообразиями евклидова пространства Rn
некоторой размерности. При этом под
подмногообразием пространства RN (или
любого /V-мерного многообразия) мы
понимаем такое подмножество X a RN, что
для некоторой окрестности U каждой
точки х g X существует гомеоморфизм
пары (U, U n X) на стандартную пару (RN,
Rn). Число N - п называется при этом
коразмерностью подмногообразия. Если
все эти гомеоморфизмы выбраны так, что
они являются кусочно-линейными гомео-
морфизмами или диффеоморфизмами, то
мы имеем дело с кусочно-линейным или
гладким подмногообразием.
Очень важное для нас обстоятельст-
во: при п 3 понятия топологического,
гладкого и кусочно-линейного многообразий практически совпадают. Бо-
лее точно, на любом топологическом многообразии М размерности п 3
можно ввести как гладкую, так и кусочно-линейную структуру. При этом
такая структура единственна в смысле существования диффеоморфизма
или кусочно-линейного гомеоморфизма между любыми двумя гладкими или
кусочно-линейными многообразиями, гомеоморфными многообразию М.
Более того, если кусочно-линейное многообразие размерности п 3
гомеоморфно гладкому, то существует гомеоморфизм первого на второе,
ограничение которого на каждый симплекс некоторой триангуляции
дифференцируемо и не имеет особых точек.
Мы рискнем предложить несколько наивную, но удобную и правильно
отражающую суть дела точку зрения на описанную выше ситуацию в
размерности 3: любое трехмерное многообразие, или любая кривая, или
поверхность в трехмерном многообразии кусочно-линейны, т.е. имеют
комбинаторные триангуляции, но эти триангуляции выбраны настолько
мелкими, что симплексы не различимы невооруженным глазом и многооб-
разие, кривая или поверхность кажутся гладкими (рис. 24).
3°. Регулярные окрестности. Пусть Т - триангуляция кусочно-линей-
ного многообразия и К - ее подкомплекс. Рассмотрим подмногообразие
С’(Х) = U St(y,T"), где St(z>, Т") обозначает звезду вершины во втором
и еК'
производном подразделении Т" триангуляции Т, а объединение берется по
всем вершинам первого подразделения К' комплекса К (рис. 25). Подмно-
гообразие U(K) называется регулярной окрестностью комплекса К в Г.
Смысл названия состоит в том, что U(K) очень точно повторяет очертания
комплекса К. Если выполнить звездное подразделение триангуляции Т, то
регулярная окрестность может измениться, но, как легко проверить, су-
ществует неподвижная на К кусочно-линейная изотопия, переводящая
24
Рис. 25
новую окрестность в старую. Таким образом, если рассматривать регу-
лярную окрестность с точностью до неподвижной на К изотопии, то при
переходе к звездному подразделению она не меняется. Напомним, что
любые две триангуляции полиэдра имеют общее звездное подразделение.
Отсюда следует, что регулярная окрестность, рассматриваемая с точ-
ностью до изотопии, не зависит от триангуляции Т. Поэтому имеет смысл
говорить о регулярной окрестности подпол иэ др а кусочно-линейного много-
образия М, Отметим еще раз, что регулярная окрестность подполиэдра
Р сМ является компактным подмногообразием коразмерности 0 и очень
точно повторяет очертания полиэдра Р.
25
1.9. Расслоения и накрытия
Расслоением называется произвольное непрерывное отображение
р : Е ->В пространства Е на пространство В. Смысл введения термина
"расслоение" состоит в акцентировании внимания на том, как пространство
расслоения разбито на слои - прообразы точек базы В.
Два расслоения р} : Е} В} и р2 : Е2 В2 считаются одинаковыми
(изоморфными), если существует гомеоморфизм h : Е] —> Е2, переводящий
слои в слои, т.е. такой, что p2h = hxpx для некоторого гомеоморфизма h\ :
: Вх —> В2. Полезно иметь в виду важный пример тривиального расслоения
р : В х F В, где проекция расслоения р задается формулой p(b,f) = b и
все слои каноническим образом гомеоморфны данному пространству F.
Расслоение называется локально-тривиальным, если его ограниче-
ние на некоторую окрестность каждой точки базы является тривиальным
расслоением. Все
Рис. 26
слои локально-триви-
ального расслоения
р : Е —» В над связ-
ной базой гомео-
морфны (но не кано-
нически) одному и
тому же пространст-
ву Е. Поэтому иног-
да пространство Е
называют косым
произведением базы
В на слой Е. При-
мером нетривиально-
го косого произведе-
ния служит косое
произведение окруж-
ности на отрезок,
т.е. лист Мебиуса.
На рис. 26 хорошо видно существование локальной структуры прямого
произведения.
Пусть М - гладкое многообразие. Пространство ТМ касательного
расслоения р : ТМ —> М состоит из всех пар (а, т), где а Е М и т -
касательный вектор к многообразию М с началом в точке а (если М С RN,
то понятие касательного вектора определяется очевидным образом: в
общем случае внутреннее по отношению к многообразию М описание ка-
сательного вектора состоит в рассмотрении класса гладких кривых в М,
проходящих через точку а и имеющих один и тот же вектор скорости).
Проекция р сопоставляет паре (я, т) точку а - начало вектора т. По-
скольку касательное расслоение евклидова пространства тривиально, то
касательное расслоение любого гладкого многообразия локально-три-
виально.
Если О - гладкое подмногообразие гладкого многообразия М, то
пространство NQ нормального расслоения р : NQ —> Q состоит из всех пар
(а, т), где а £ Q и касательный к М вектор т с началом в точке а орто-
гонален подмногообразию Q. Предполагается, конечно, что на М введена
риманова метрика, т.е. в каждом слое касательного расслоения задано
скалярное произведение, гладко меняющееся от точки к точке. Это нужно
для того, чтобы имело смысл говорить об ортогональности. Нормальное
расслоение также локально-тривиально.
Локально-тривиальное расслоение называется накрытием, если его
пространство связно, а слой дискретен, т.е. состоит из конечного или
бесконечного числа изолированных точек. Индуцированный проекцией
р : Е ~^В накрытия гомоморфизм р* : л^Е) -^(В) всегда имеет три-
виальное ядро, т.е. является вложением. Таким образом, каждому накры-
тию с базой В можно сопоставить подгруппу группы Я](В) (с точностью до
сопряжения, что отвечает возможному произволу в выборе базисной точки
в пространстве Е). Обратно, каждую подгруппу группы 7^ (В) можно
реализовать накрытием, причем любые два таких накрытия изоморфны
как расслоения. Индекс этой подгруппы равен кратности накрытия (числу
точек в слое).
Накрытие называется регулярным, если отвечающая ему подгруппа
группы л}(В) нормальна. В частности, универсальное накрытие, отвечаю-
щее единичной подгруппе группы л}(В), всегда регулярно.
Пусть р : Е В - расслоение. Отображение f-.X-^E называется
поднятием отображения f-.X-^B, если f = pf. Локально-тривиальные
расслоения обладают свойством поднятия гомотопии: любую гомотопию
ft‘.X —> В можно поднять, если задано поднятие fQ:X —> Е отображения
/0 : X В. Если слой расслоения р дискретен (т.е. если оно является
накрытием), то при данном поднятии /0 поднятие ft единственно. В
частности, любой путь в базе можно рассматривать как гомотопию точки,
а тогда его поднятие единственно, если задано поднятие начала.
1.10. Общее положение и трансверсальность
Понятия общего положения и трансверсальности означают примерно
одно и то же; отсутствие ’’лишних", т.е. не диктуемых размерностными
соображениями, пересечений двух полиэдров или многообразий. При этом
понятие "общее положение" относится обычно к полиэдрам, понятие
"трансверсальность" - к гладким многообразиям.
Пусть а и Р - ^-мерная и m-мерная плоскости в пространстве Rn. Тогда
одну из них можно немного пошевелить так, чтобы размерность s их пере-
сечения была равна к + т - п (множество отрицательной размерности счи-
тается пустым). В этом случае коразмерность п - s пересечения будет
равна сумме коразмерностей п - к и п - т плоскостей.
Будем говорить, что набор точек а2, as в Rn находится в общем
положении, если
1) никакие к п из них не лежат в одной (к - 2)-мерной плоскости;
2) пусть Аъ А2,..., Ai - какие-нибудь попарно не пересекающиеся под-
множества множества А, состоящие из к}ч к2, точек, а1} «2, •••> ~
натянутые на их плоскости. Тогда коразмерность пересечения плоскостей
схь а2, •••' а/ должна быть равна сумме их коразмерностей.
27
Например, семейство точек на плоскости находится в общем поло-
жении, если все они различны, никакие три не лежат на одной прямой,
среди проходящих через них прямых нет параллельных и никакие три из
этих прямых не пересекаются в точке, не принадлежащей семейству.
Ясно, что любой набор точек в Rn можно привести в общее положе-
ние, немного пошевелив его, причем если точки уже находились в общем
положении, то малыми шевелениями испортить его уже нельзя.
Приведение двух симплициальных комплексов в Rn в общее положение
заключается в приведении в общее положение всех их вершин. Если к-
мерный и ди-мерный симплексы в Rn находятся в общем положении, то
размерность пересечения их несущих плоскостей равна к + т - п. Поэтому
размерность пересечения ^-мерного и ди-мерного симплициальных комп-
лексов, находящихся в общем положении в Rn, не превосходит к + т - п. В
частности, при к + т < п они не пересекаются. Имеются и другие прият-
ные свойства общего положения. Например, две находящиеся в общем
положении кривые на плоскости или кривая и плоскость в пространстве
пересекаются по конечному множеству точек. Две поверхности в общем
положении в R? пересекаются по одномерным подмногообразиям, т.е. по
дугам (если поверхности имеют край) и по нескольким окружностям.
Хотя любое кусочно-линейное многообразие М локально евклидово,
попытка определить понятие общего положения для его подполиэдров
наталкивается на трудности, связанные с тем, что при переходе от одной
карты к другой приходится рассматривать триангуляции пространства Rn и
дополнительно триангулировать полиэдры, объявляя, например, новыми
вершинами точки пересечения их ребер с (п - 1)-мерными симплексами
триангуляции Rn. Новые вершины уже не обязаны находиться в общем
положении. Тем не менее практически все хорошие свойства общего
положения полиэдров в Rn переносятся на случай полиэдров в произволь-
ном кусочно-линейном многообразии, по крайней мере все свойства
локального характера. Для этого можно расширить понятие общего поло-
жения, постулировав, что свойство двух полиэдров в Rn находиться в об-
щем положении сохраняется при гомеоморфизме пространства Rn. В этом
случае определение общего положения полиэдров в многообразии как
общего положения их пересечений с каждой картой фиксированного
атласа уже корректно. Трудности, связанные с некомпактностью пересе-
чения полиэдров с картами, легко ликвидировать, рассматривая такой
атлас, что несколько уменьшенные карты уже покрывают М.
Для того чтобы привести в общее положение данное линейное на
каждом симплексе отображение/: К -» Rn симплициального комплекса К в
Rn, нужно небольшим шевелением добиться общего положения образов
вершин. Как и выше, понятие общего положения распространяется и на
отображения полиэдров в произвольное кусочно-линейное многообразие.
Размерность самопересечений ^-мерного полиэдра, отображенного в
общем положении в n-мерное кусочно-линейное многообразие, не превос-
ходит 2к - п. Отметим существенное отличие случаев двух вложенных
кусочно-линейных многообразий и одного отображенного (в общем
положении). Если в первом случае пересечение всегда является много-
образием, то во втором самопересечение уже может не быть таковым -
28
достаточно рассмотреть конус над подходящей замкнутой ломаной в R3
(рис. 27).
Перейдем к гладкому случаю. Напомним, что любое гладкое отоб-
ражение f: М —> N одного гладкого многообразия в другое индуцирует
отображение df: ТМ —> TN их пространств касательных расслоений,
которое линейное переводит каждый слой ТХМ, состоящий из всех
касательных к М векторов с началом в точке х, в слой T^xyN. Отобра-
жение ^называется дифференциалом отображения/. Гладкое отобра-
жение/: Л/—> N трансверсально к данному гладкому подмногообразию
L CN, если для каждой точки х E.f~\L) линейные пространства dflJTxM) и
Tf(x£, порождают пространство T^X^N. Прообраз/4^) при трансверсальном
к L отображении f'.M-^N является гладким подмногообразием той же
коразмерности, что и L.
Оказывается, что для любого гладкого отображения fiM—>N
найдется такая малая изотопия ф,: /V —» /V, что отображение ф/*: Л/ —> N
уже трансверсально к L. Отметим важный частный случай
трансверсальности: отображение/трансверсально к точке * Е N тогда и
только тогда, когда эта точка является регулярной, т.е. когда в ее
прообразе нет критических точек. Существование упомянутой выше
изотопии для случая L = * легко вытекает из теоремы Сарда (см.,
например, [2]). Если N = Lx Rk, то теорему Сарда нужно применить к
суперпозиции р/, где р : Lx Rk —> Rk - проекция прямого произведения, а
построение изотопии ф, в общем случае легко проводится с помощью
использования локальной тривиальности нормального расслоения
многообразия L С N.
Трансверсальность подмногообразийM,LCN понимается как транс-
версальность к L вложения i: М —> /V. Другими словами, М и L транс-
версальны, если в каждой точке их пересечения xeMnL касательные
пространства ТХМ, T*L порождают касательное пространство TJV ко всему
многообразию /V.
29
Рис. 28
Пусть М, N - замкнутые ориентированные гладкие многообразия раз-
мерности nnf\M—bN- гладкое отображение. Гомотопно деформируя
отображение /, можно сделать его трансверсальным к данной точке
a G N. В этом случае прообраз fx{d) будет состоять из конечного числа
точек Х1,Х2> —, причем по теореме об обратной функции [2] отобра-
жение/будет диффеоморфно переводить некоторую окрестность каждой
из них на окрестность точки а. Каждой точке xz припишем число +1 или
-1, смотря по тому, положителен или отрицателен в ней якобиан
отображения/(другими словами, сохраняется или меняется ориентация
при диффеоморфизме окрестности). Степень deg /отображения /по
определению равна сумме приписанных чисел (рис. 28). При гомотопии
отображения /(в частности, при другом выборе точки а, который
реализуется изотопным сдвигом многообразия /V) степень не меняется.
Более того, за счет гомотопии любую пару точек в/^/я) с приписанными
числами +1 и -1 можно уничтожить. Выполняя такие сокращения, можно
добиться, чтобы все числа имели одинаковые знаки. В этом случае deg/=
= ±к, где к - число прообразов точки а. Отметим, что два отображения
f,g:Sn-^Sn гомотопны тогда и только тогда, когда их степени равны,
причем только отображения со степенью ±1 гомотопны диффеоморфиз-
мам. При суперпозиции отображений многообразий их степени
перемножаются.
Гладкое отображение/: М —> W w-мерного гладкого многообразия М в
и-мерное гладкое многообразие N (т п) называется погружением, если в
каждой точке его якобиан имеет максимально возможный ранг (т.е. т\
30
Ограничение погружения на некоторую окрестность каждой точки х G. М
является вложением. Имеет смысл говорить о трансверсальности погру-
жения самому себе, подразумевая при этом, что для любых различных
точек х, у G М, отображающихся в одну и ту же точку/(х) =/(у) G N,
линейные пространства df(TxM) и df(TyM) порождают касательное
пространство Tf(x)N в точке Дх). Далеко не всякое гладкое отображение
можно с помощью малой гомотопии превратить в погружение, даже в
случае отображения поверхности в R3. Этому мешают точки ветвления.
1.11. Ручки
Естественная идея изучать многообразия путем их разбиения на
простые части наиболее полно реализована в теории ручек. Операция
приклеивания и-мерной ручки индекса X к и-мерному многообразию М с
краем состоит в следующем. Нужно представить стандартный л-мерный
шар в виде прямого произведения х Dn~x шаров в размерности X и
п - X и приклеить его к М по некоторому вложению ф : dD^ х Dn~^ —> дМ.
В размерности 3, например, приклеивание ручки индекса 0 к много-
образию М заключается в добавлении отдельно взятого шара, ручки
индекса 1 - цилиндра / х D1, ручки индекса 2 - шайбы D2 х / и ручки
индекса 3 - в заклеивании шаром одной из сфер на дМ (см. рис. 29).
Рис. 29
Любое кусочно-линейное или гладкое многообразие можно разбить на
ручки, т.е. получить из пустого множества последовательным приклеива-
нием ручек индексов 0, 1, ... , п. В кусочно-линейном случае, например,
можно поступить так: рассмотреть второе барицентрическое подразде-
ление Т" комбинаторной триангуляции Т и в качестве ручек индекса О
31
Рис. 30
взять звезды в Т" вершин триангуляции Т, ручек индекса 1 - звезды
барицентров одномерных симплексов триангуляции Т, ручек индекса 2 -
двумерных и т.д. (рис. 30).
Если в разложении на ручки многообразия М последовательно стянуть
каждую ручку £>х х Dn~^ индекса X на ее осевой диск £>х х {0}, то полу-
чится клеточный комплекс К, гомотопически эквивалентный мно-
гообразию М и совпадающий с ним, если оно замкнуто. Каждая Х-мерная
клетка комплекса К соответствует ручке индекса X. Поэтому копред-
ставление фундаментальной группы многообразия можно вычислять исхо-
дя из его разбиения на ручки. Если, например, имеется только одна ручка
индекса 0, то образующие фундаментальной группы соответствуют руч-
кам индекса 1, а соотношения показывают, как к ним приклеиваются руч-
ки индекса 2.
Топологически м-мерная ручка независимо от ее индекса представляет
собой м-мерный шар. Индекс появляется только тогда, когда становится
ясным, по какому подпространству ее края приклеивается ручка. Для каж-
дого разбиения на ручки замкнутого и-мерного многообразия М мож-
но рассмотреть двойственное разбиение, состоящее из взятых в обрат-
ном порядке ручек исходного разбиения. Ручка индекса X становится
уже ручкой индекса п - X, поскольку она пересекается с объедине-
нием ручек большего индекса по свободной части своего края, т.е. по
D1 х dD"~\
Пусть многообразие М} получается из многообразия М после-
довательным приклеиванием ручки Н} = D^x Dn~x индекса X и ручки Нл =
12
Рис. 31
= £>x+1 х индекса X + 1 так, что подошвенная сфера dDk+1 х
х {0} ручки Н2 трансверсально пересекает секущую сферу {0} х dDn~^
ручки Н\ ровно в одной точке. Тогда объединение Н} и Н2 представляет
собой л-мерный шар, который приклеен к М по вложению в дМ (п- 1)-
мерного шара на его крае. Поэтому многообразия М и естественным
образом гомеоморфны (см. рис. 31 для п = 3 и X = 0, 1,2).
Описанная операция называется устранением или сокращением
дополнительной пары ручек.
1.12. Алгоритмические вопросы
Нас вполне устраивает интуитивное понимание того, что такое ал-
горитм: алгоритм - это точное предписание, применение которого к лю-
бому набору исходных данных из заранее заданной совокупности наборов
исходных данных всегда приводит к выдаче однозначно определенного
результата. В частности, алгоритм перечисления счетного множества М -
2. С.В Матвеев, А.Т. Фоменко
33
это алгоритм, который при применении к натуральным числам 1, 2, 3, ...
последовательно выдает все элементы множества М (дубликаты
допускаются). Язык полиэдров и кусочно-линейных многообразий хорошо
приспособлен к постановке и решению алгоритмических вопросов топо-
логии многообразий, поскольку любой компактный симплициальный
комплекс задается финитным образом: достаточно указать множество его
вершин и перечислить, на какие наборы вершин натянуты симплексы.
Простейший пример симплициального комплекса - одномерный комплекс
(или граф), который задается своей матрицей инцидентности. Симп-
лициальное отображение одного комплекса в другой определяется ука-
занием образов вершин. Гомотопическая эквивалентность, вложение, го-
меоморфизм, гомотопия, изотопия являются частными случаями отоб-
ражений и поэтому также допускают финитные задания. Немного сложнее
обстоит дело в гладком случае. Гладкие многообразия и отображения
финитным образом задать нельзя, за небольшими исключениями типа
полиномиального случая. Однако в интересующей нас размерности 3
гладкие и кусочно-линейные точки зрения практически совпадают.
Поэтому впредь мы всегда будем в тех разделах, где речь идет об
алгоритмических вопросах, под гладкими терминами понимать их кусочно-
линейные аналоги. Например, понятие трансверсальности в гладком
случае дублируется понятием общего положения в кусочно-линейном.
1.13. Источники дополнительной информации
Универсальным источником дополнительной информации может
служить Математическая энциклопедия [1], хотя списки литературы к
отдельным ее статьям и сами статьи не всегда удачны с учебной точки
зрения. Полезно, хотя и не обязательно, иметь под рукой книги [3-7]. Для
общего знакомства с основными идеями топологии многообразий советуем
прочитать обзор С.П. Новикова [8] (особенно раздел, относящийся к
маломерной топологии). Мы не избегаем обычно не принятых в учебной
литературе ссылок на научные статьи, имея в виду, что следовать им
вовсе не обязательно, поскольку все необходимые для понимания сведения
содержатся в тексте книги.
§ 2. ПОВЕРХНОСТИ
2.1. Примеры поверхностей
Поверхность - это двумерное многообразие. Мы будем рассматривать
только компактные поверхности. Край компактной поверхности состоит из
окружностей. Если каждую из них заклеить диском, то получится
замкнутая поверхность. Обратно, любая компактная поверхность с краем
получается из замкнутой поверхности удалением нескольких открытых
дисков - все равно каких, важно только число удаляемых дисков. Огра-
ничимся пока изучением замкнутых поверхностей.
Нетривиальный пример замкнутой поверхности проще всего получить
так: взять несколько выпуклых многоугольников с четным суммарным
числом сторон, разбить их стороны на пары и склеить стороны, входящие
в каждую пару, по какому-нибудь гомеоморфизму одной стороны на
другую (можно ограничиться одним из двух возможных линейных
гомеоморфизмов отрезка на отрезок). Получившееся пространство F бу-
дет замкнутой поверхностью. Действительно, существование круговой
окрестности для точки х Е F, отвечающей внутренней точке много-
угольника или паре точек на сторонах, не вызывает сомнения. Если же х -
вершина, то ее круговая окрестность получается склеиванием круговых
секторов - окрестностей отвечающих ей вершин многоугольников
(рис. 32).
Этот способ универсален, поскольку дает все замкнутые поверхности:
любая поверхность триангулируема и, следовательно, может быть полу-
чена склеиванием треугольников.
По каждым двум поверхностям Fb F2 можно построить новую по-
верхность F = Fx # F2, которая называется их связной суммой. Для этого
нужно вырезать из каждой поверхности по диску и склеить возникшие в
результате разрезания окружности на крае по какому-нибудь го-
меоморфизму (какому именно - все равно) (рис. 33).
Напомним, что тор Т2 определяется как прямое произведение двух
окружностей, а проективная плоскость RP2 - как результат отождествле-
ния всех диаметрально противоположных точек сферы S2. Очень удобна
другая модель проективной плоскости в виде листа Мебиуса, край
которого заклеен диском. Тор ориентируем, а проективная плоскость -
нет, как и любая другая поверхность, содержащая лист Мебиуса.
Используя тор Г2, проективную плоскость RP2 и операцию связной суммы,
можно получить две серии замкнутых поверхностей: связные суммы торов
35
Рис. 32
Рис. 34
(поверхности полных кренделей) и связные суммы проективных
плоскостей. При этом сферу удобно считать связной суммой нуля торов
(рис. 34).
2.2. Классификация поверхностей
Оказывается, что других замкнутых поверхностей, кроме связных
сумм торов и проективных плоскостей, не существует.
ТЕОРЕМА 2.1. Любая связная замкнутая поверхность гомеоморфна
либо с поверхности ориентируемого полного кренделя некоторого рода,
либо сфере с несколькими листами Мебиуса.
Доказательство. Триан-
гулируем поверхность и затем ра-
зобьем ее на ручки, взяв вместо
каждой вершины триангуляции диск
(ручку индекса 0), вместо каждого
ребра - полоску (ручку индекса 1),
см. рис. 35, где буквами D обозна-
чены диски, буквами Р - полоски, а
буквами Z - оставшиеся части (ручки
индекса 2), которые удобно называть
заплатами. Каждая полоска пред-
ставляет собой прямоугольник, при-
клеенный к объединению дисков по
двум противоположным сторонам, а
каждая заплата - круг, который
заклеивает окружность на крае
объединения дисков и полосок. Та-
ким образом, каждую поверхность
можно получить так: взять т дисков, рис
приклеить к ним п полосок и каждую
из к окружностей на крае полу-
чившейся поверхности заклеить заплатой. В этом случае будем говорить,
что поверхность имеет тип (т, п, к).
Докажем, что каждая связная замкнутая поверхность имеет тип (1, и,
1). Для этого нужно научиться уменьшать число дисков и заплат. Сделать
это легко: если число дисков больше 1, то из-за связности поверхности
найдутся два диска, соединенные полоской. Тогда нужно их объединение
объявить новым диском. В результате число дисков и полосок умень-
шается, а число заплат остается прежним (рис. 36). Уменьшение числа
заплат достигается с помощью двойственного рассуждения: две заплаты, к
которым своими боковыми сторонами примыкает одна из полосок, можно
объединить с ней и объявить новой заплатой.
Пусть теперь замкнутая поверхность F имеет тип (1, л, 1), т.е.
получается из диска D приклеиванием п лент и одной заплаты. Прямо-
угольник можно приклеить к диску D двумя способами: так, чтобы его
одинаково направленные противоположные стороны задавали одно и то
же направление окружности dD, и так, чтобы они задавали различные
направления. Получающуюся полоску будем называть перекрученной или
37
Рис. 36
неперекрученной соответственно. Полоски 1, 2 на рис. 37 перекручены,
полоски 3, 4 не перекручены.
Допустим сначала, что все полоски не перекручены. Пусть Р\ - одна
из них. Тогда обязательно должна найтись полоска Р2, соединяющая две
дуги, на которые край диска dD разбивается основаниями полоски Ръ так
как в противном случае потребовалось бы по крайней мере 2 заплаты. От-
метим, что основания каждой следующей полоски можно изотопно сдви-
гать по краю объединения диска D с предыдущими полосками (рис. 38).
38
Рис. 40
Поверхность при этом не меняется, т.е. остается гомеоморфной исход-
ной. С помощью таких сдвигов можно освободить от оснований полосок
выделенные на рис. 39 участки, отделив тем самым так называемую пару
скрещенных полосок. Повторяя это рассуждение, получаем, что в случае
отсутствия перекрученных полосок поверхность получается из диска
приклеиванием нескольких отдельных пар скрещенных полосок и одной
заплаты (рис. 40). Легко проверить, что тогда поверхность гомеоморфна
связной сумме нескольких торов. Число торов совпадает с числом пар
скрещенных полосок.
Допустим теперь, что имеется хотя бы одна перекрученная полоска.
Тогда выделенный на рис. 41 участок окружности 6D можно, как показано
выше, освободить от оснований других полосок, отделив тем самым по-
лоску Р от остальных полосок. В результате подобных преобразований мы
придем к случаю нескольких отдельных перекрученных полосок и
нескольких отдельных пар скрещенных полосок. На рис. 42 видно, как
пару скрещенных полосок можно заменить на пару отдельных
перекрученных полосок. Таким образом, поверхность получается из диска
приклеиванием нескольких (пусть т) отдельных перекрученных полосок, с
последующей приклейкой заплаты. В этом случае она гомеоморфна сфере
с т листами Мебиуса, т.е. связной сумме т проективных плоскостей.
Отметим, что все поверхности,
указанные в теореме 2.1, различны.
Действительно, поверхности первой
серии ориентируемы, а второй се-
рии - нет, так как они содержат
листы Мебиуса. Это отличает по-
верхности первой серии от поверх-
ностей второй серии, поскольку
свойство "поверхность содержит
лист Мебиуса" является инвариантом
39
Рис. 42
гомеоморфизма. Внутри одной серии поверхности различаются с помощью
эйлеровых характеристик: %(7\) = 2 - 2п и %(Afn) = 2 - п, где Тп - связная
сумма п торов и Мп - сфера с п листами Мебиуса (указанные формулы
легко выводятся с помощью соотношения %(F\ # F2) = X(^i) + X(F2) - 2 из
равенств %(Г) = 0 и %(FF2) = 1).
Из теоремы 2.1 следует теорема классификации компактных по-
верхностей с краем. Каждая такая поверхность получается удалением
нескольких открытых дисков либо из связной суммы нескольких торов,
либо из связной суммы нескольких проективных плоскостей.
Приведем пример. Что можно сказать про поверхность F, если
известно, что она имеет две компоненты края и ее эйлерова харак-
теристика равна -3? После заклеивания дисками окружностей на крае
получается замкнутая поверхность с эйлеровой характеристикой -1,
т.е. связная сумма трех проективных плоскостей. Поэтому исходная по-
верхность F гомеоморфна связной сумме трех проективных плоскостей с
двумя удаленными открытыми дисками. Если бы эйлерова характеристика
поверхности Fx была четной, то была бы нужна дополнительная инфор-
мация об ориентируемости поверхности F.
Вычислим фундаментальные группы и группы гомологий поверх-
ностей. Любая поверхность с краем деформационно ретрагируется на
одномерный полиэдр. Можно, например, представить ее в виде диска с
полосками и сжать каждую полоску на ее осевую дугу, а диск - в точку, в
результате чего получится букет окружностей. Его фундаментальная
группа свободна, так как нет двумерных клеток и поэтому нет соотно-
шений. Следовательно, фундаментальная группа любой поверхности с
краем свободна. Ее ранг равен 1 - %(F). Группа гомологий //i(F) является
свободной абелевой группой того же ранга. Другими словами, она
изоморфна прямой сумме 1 - /(F) экземпляров группы Z.
40
Рис. 44
Рис. 43
ПРЕДЛОЖЕНИЕ. 2.1. а) Если F - замкнутая ориентируемая поверх-
ность рода g, то
их(Р) = {хх,х2,...,х^ух,уг,...,ук\[Х\,ух ][x2,y2]...[xrys] = ’>’
где [х, у] обозначают коммутатор хух~ху~х элементов х, у.
б) Если F - связная сумма п проективных плоскостей, то
Л|(/7) = <х1,х2,...,хп1х12х^...х„2 =1).
Доказательство. Обозначим через F\ поверхность, которая
получается из поверхности F удалением открытого диска DP Представим
ее в виде диска Deg отдельными парами скрещенных полосок, если она
ориентируема, и в виде диска с п отдельными перекрученными полосками,
если неориентируема. Как отмечалось выше, фундаментальная группа
поверхности Fx свободна, причем ее образующими служат осевые
окружности полосок. Приклеиванию к поверхности F\ удаленного диска Dx
отвечает добавление одного соотношения, которое показывает, как край
поверхности Fx проходит по полоскам. На рис. 43 хорошо видно, что
каждой паре скрещенных полосок отвечает сомножитель x^-x^yf1, а
каждой перекрученной полоске - сомножитель z2 .
СЛЕДСТВИЕ 2.1. а) Если F - замкнутая ориентируемая поверхность
рода g, то группа H\(F) изоморфна прямой сумме 2g экземпляров груп-
пы Z.
б) Если F - связная сумма п проективных плоскостей, то группа H^F)
изоморфна группе Z © ... © Z © Z2, где число входящих в сумму групп Z
равно п - 1.
Доказательство очевидно.
Выделим важный частный случай замкнутой ориентируемой по-
верхности рода 1, т.е. тора. Фундаментальная группа тора тс1(Т2) =
= (х, у\хух~ху~х =1) абелева и поэтому совпадает с группой гомологий
тора Нх (Г).
Очень полезной характеристикой взаимного расположения двух кривых
на ориентируемой поверхности является индекс пересечения. Пусть F -
41
ориентированная поверхность и ос, Р - две замкнутые ориентированные
кривые в ней. Приведем кривые ос, Р в общее положение и каждой точке
их пересечения сопоставим число +1 или -1 в зависимости от того,
определяют ли вектор скорости кривой ос и вектор скорости кривой Р в
этой точке выбранную ориентацию поверхности F или нет (другими сло-
вами, пересекает ли кривая ос кривую Р в этой точке слева направо или
справа налево). Тогда индекс пересечения ц(ос, Р) кривой ос с кривой Р
определяется как сумма поставленных чисел.
Если кривые рь р2 находятся в общем положении по отношению к
кривой а и гомотопны между собой, то индексы пересечения ц(ос, РО и
ц(ос, Р2) равны. Действительно, при деформации кривой Р] в кривую р2
число ее точек пересечения с кривой ос не меняется, кроме конечного
числа особых моментов, когда добавляются или исчезают сразу по две
точки пересечения с индексами +1 и-1 (рис. 44). Общий индекс пере-
сечения при этом сохраняется. Отсюда следует, что индекс пересечения
ц(ос, Р) на самом деле зависит только от элементов фундаментальной
группы, определяемых кривыми а, р. Более того, индекс ц(ос, Р) аддитивен
по каждому аргументу (т.е. ц(ос, Р1Р2) = Ц(ос, Pi) + ц(ос, Р2) и
ц(0С]0С2, Р) = ц(ось Р) + ц(ос2, р)) и равен нулю, если одна из кривых а, Р
задает элемент из коммутанта группы Tt^F). Поэтому он зависит только
от задаваемых кривыми элементов группы /7](F). Мы имеем тем самым
билинейную форму на группе H}(F) (целочисленную). Эта форма кососим-
метрична и, если поверхность замкнута, невырождена. Индекс пересе-
чения кривых можно определить и для неориентируемой поверхности, но
принимать значения он уже будет в группе Z2.
2.3. Гомотопические эквивалентности поверхностей
Основная цель этого пункта состоит в доказательстве того, что любая
гомотопическая эквивалентность одной замкнутой поверхности на другую
всегда гомотопна диффеоморфизму.
Напомним, что вторая гомотопическая группа л2(Х) пространства X
тривиальна тогда и только тогда, когда любое отображение двумерной
сферы в X гомотопно постоянному (или, что то же самое, когда любые два
совпадающие на крае отображения двумерного диска в X гомотопны
между собой при неподвижной на их краях гомотопии).
ЛЕММА 2.1. Если связная поверхность F отлична от сферы и про-
ективной плоскости, то n2(F) = 0.
Доказательство. Для читателей, освоивших основы гомотопи-
ческой топологии, этот факт тривиален. Действительно, универсальное
накрытие F поверхности F Ф S2, RP2 стягиваемо и поэтому 7t2(F) = 0, а, с
другой стороны, группа 7i2(F) всегда изоморфна группе n2(F). Мы приве-
дем геометрическое доказательство для того, чтобы на этом простом
примере познакомиться с нужной для дальнейшего техникой устранения
лишних прообразов.
Рис. 45
а) Пусть 3F Ф 0. Представим поверхность F в виде диска с приклеен-
ными к нему полосками (двумерными ручками индекса 1). Выберем в
полосках дуги а2, ..., ап (секущие диски ручек), по одной в каждой
полоске. Их объединение обозначим через А. Будем считать, что данное
отображение f: S2 —> F трансверсально к ним. Прообраз f~x(A) С S2
является подмногообразием коразмерности 1, т.е. состоит из нескольких
окружностей. Пусть С - самая внутренняя из них, т.е. такая, что
ограничиваемый ею диск не содержит других окружностей из/ЧА), см.
рис. 45, на котором внутренние окружности помечены звездочками. Пусть
/(С) = ах. Отождествим малую регулярную окрестность U (С) окружнос-
ти С с кольцом S1 х /, малую регулярную окрестность (#i) дуги ах - с
прямым произведением ах х I. По определению трансверсальности можно
считать, что вблизи окружности С отображение f устроено так: каждый
отрезок хх/ гомеоморфно переходит в отрезок/(х) х/, причем все
внешние концы отрезков переходят в ах х {1}, все внутренние - в
а{ х {0}. Так как отображение/с: С —> ах гомотопно отображению в
точку а\, то можно добиться, чтобы f переводило все кольцо U (С) в
отрезок {*} х/. Тогда отображение f раскладывается в суперпозицию
f= \|др, где <р - отображение сферы в пространство X, которое состоит из
двух соединенных отрезком I сфер , S2 и получается отождествлением
всех отрезков вида {х} х / кольца S1 х I ~ U (С) в один отрезок (рис. 46).
Так как окружность С самая внутренняя, то \|/ (S2) А = 0. Поэтому
ограничение отображения \|/ на сферу S2 гомотопно постоянному, т.е.
продолжается на шар. Построим теперь новое отображение j\: S2 —> F,
которое совпадает с/вне кольца U (С), а кольцо и ограничиваемый им
внутренний диск переводит в одну точку (образ внешнего края кольца).
Согласно сказанному выше, отображение / гомотопно отображению/,
причем число окружностей в /-1(А) на одну меньше: исчезает окруж-
ность С. Повторяя это рассуждение, мы придем к отображению с пустым
прообразом множества Л, которое гомотопно постоянному, так как после
разрезания поверхности F по дугам ах, а2, ап получается стягиваемый в
точку диск.
б) Пусть Э F = 0. Так как поверхность F отлична от сферы и про-
43
Рис. 46
ективной плоскости, то в ней найдется такая простая замкнутая кривая А
(т.е. вложенная окружность), что порядок определяемого ею элемента
группы лДГ) бесконечен (т.е. индуцированный вложением гомоморфизм
/*: Z = л} (Л) —> Л) (Е)инъективен). Например, на крае поверхности полного
кренделя в качестве такой кривой можно взять меридиан (край секущего
диска) одной из ручек. Будем считать, что данное отображение/: S2 —> F
трансверсально к А. Если /-1(А) = 0, то, согласно части ”а"
доказательства, отображение / гомотопно постоянному, поскольку его
образ лежит в поверхности с краем - разрезанной по А поверхности F.
Если прообраз/’ДА) не пуст, то среди составляющих его окружностей
выберем самую внутреннюю окружность С. Обозначим через к степень, с
которой она отображается в окружность А. Обозначим также через а
элемент группы л ДЕ), отвечающий окружности Л, через у- элемент,
представленный отображением /с: С —> F. Тогда оД = у, причем у = 1, так
как окружность С ограничивает диск в S2. Поскольку по условию порядок
элемента а бесконечен, то к - 0, а тогда за счет гомотопии можно
добиться, чтобы при отображении/вся окружность С переходила в точку
* е А.
Дальнейшее рассуждение полностью аналогично доказательству "а”.
Отображение / раскладывается в суперпозицию отображений <р: S2 —> X,
у: X —> F. Поскольку v (52) п А = 0, то ограничение отображения у на
сферу S2 X продолжается на шар. Поэтому с помощью гомотопии
отображения / можно устранить окружность С и вслед за ней все
остальные окружности в
44
Замечание. Уже на примере доказательства леммы 2.1 можно
понять, почему достаточно большие (т.е. содержащие несжимаемые по-
верхности) трехмерные многообразия легче поддаются изучению, чем
остальные. Рассматриваемые нами в доказательстве окружность или
объединение дуг А можно считать аналогом несжимаемой поверхности. В
этом смысле все поверхности, кроме 52, RP2, D2, являются достаточно
большими, и основной метод их изучения состоит в последовательном
разрезании по несжимаемым дугам или окружностям до тех пор, пока не
получится диск.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.2. Пусть связные поверхности Fb F2 с непустыми
краями и отображение/: F^ F2 таковы, что % (F^ % (F2),f(dFi) С
С dF2 и ограничение отображения/на dF} является вложением. Тогда/
гомотопно при неподвижной на крае гомотопии гомеоморфизму.
Доказательство. Докажем сначала, что f(dF}) = dF2, т.е. что
/1Э/^ :dF{ —> dF2 - гомеоморфизм. Возьмем произвольную точку у0 е dF2.
Соединим ее с какой-нибудь точкой yj g f(dF}) простой дугой / и
неподвижно на крае продеформируем отображение/так, чтобы оно стало
трансверсальным к /. Тогда прообраз/’Ц/) состоит из окружностей и ровно
одной дуги, начинающейся в точке/’1(у1). Образом второго конца этой
дуги может служить только точка у0. Это означает, что вложение
f\dF —> dF2 сюръективно, т.е. является гомеоморфизмом.
Рассуждая, как и при доказательстве леммы 2.1, представим поверх-
ность F2 в виде диска с полосками и выберем разрезающие эти полоски
дуги а2, ..., ап. Их объединение обозначим через А. Трансверсальный
прообраз 7м (я,) каждой дуги состоит из нескольких окружностей и ровно
одной дуги lj с концами в двух точках/* (Эя,), поскольку из-за гомео-
морфности на dFi край одномерного многообразия/"1^,) обязан состоять
ровно из двух точек. С помощью гомотопии отображения / можно
добиться, чтобы каждая дуга /, отображалась на дугу д, гомеоморфно. Мы
утверждаем, что объединение L дуг /, не разбивает поверхности Fj.
Действительно, любые две не лежащие в А точки на dF2 можно соединить
минующей А простой дугой. Ее трансверсальный прообраз обязан
содержать дугу, которая, минуя (А), соединяет соответствующие точки
на крае dFx. Такое соединение вне L любых точек на dF{ было бы
невозможно, если бы L разбивало Fb
Обозначим через Ff и F2 поверхности F} и F2, разрезанные по дугам L и
А соответственно. Тогда х(^2) = 1, так как F2 - диск. Поскольку
X(Fi) %(F2) и при каждом разрезании по дуге эйлерова характеристика
поверхности увеличивается ровно на единицу, то X(F1')^: Х(Е2) = 1- Един-
ственной связной поверхностью с непустым краем и эйлеровой характе-
ристикой х 1 является диск. Поэтому F( ~ D1, откуда следует, что все
окружности в F{ тривиальны. Как и в доказательстве леммы 2.1, их
можно устранить за счет гомотопии отображения /. Получившееся в
результате отображение /': Ff-» F2 одного диска в другой гомеоморфно
на крае и поэтому гомотопно гомеоморфизму, который и определяет
искомый гомеоморфизм поверхности Fj на поверхности F2.
Следующая теорема о деформации гомотопической эквивалентности в
гомеоморфизм является прямым следствием предложения 2.2.
45
ТЕОРЕМА 2.2. Любая гомотопическая эквивалентность одной поверх-
ности в другую, которая край гомеоморфно переводит в край, гомотопна
гомеоморфизму при неподвижной на крае гомотопии.
Доказательство. Пусть f: Fx F2 - данная гомотопическая
эквивалентность. Если ЭГ2 =/(Э^)^0, то, поскольку % (F}) = % (F2),
можно применить предложение 2.2.
Если многообразия FbF2 замкнуты, то степень deg/ отображения f
равна ±1 (как степень любой гомотопической эквивалентности). Заменяя
отображение f на гомотопное, можно добиться, чтобы прообраз некото-
рого диска D2 С F2 состоял ровно из одного диска D\ С F1 и чтобы
отображение /Ц : D2 было гомеоморфизмом. Удаляя из поверхнос-
тей внутренности упомянутых дисков, мы опять попадаем в сферу дей-
ствия предложения 2.2, что позволяет продеформировать гомотопическую
эквивалентность/в гомеоморфизм.
Замечание. Прокомментируем теорему 2.2. Во-первых, условие
"край переходит в край" существенно, поскольку лист Мебиуса и кольцо
гомотопически эквивалентны, но не гомеоморфны. Во-вторых, в замкну-
том случае можно не требовать, чтобы отображение f было гомотопи-
ческой эквивалентностью, можно ограничиться условиями % (F\) = % (F2) и
deg/= ±1, ведь в доказательстве мы использовали только это.
В дальнейшем мы для простоты ограничимся рассмотрением замкнутых
ориентируемых поверхностей. Итак, любая гомотопическая эквивалент-
ность одной поверхности на другую всегда деформируется в гомеомор-
физм. Что можно сказать про гомотопные гомеоморфизмы? Оказывается,
что они всегда изотопны. Для доказательства этого факта нам пона-
добится лемма об изотопности гомотопных кривых, которая, как и любой
результат типа "гомотопическое утверждение => топологическое утверж-
дение", весьма полезна в различных ситуациях.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Пара трансверсальных простых замкнутых
кривых а, Р в поверхности F называется нормализованной, если среди
частей, на которые они разбивают поверхность, нет двуугольников, т.е.
дисков, примыкающих к кривой а по дуге на крае, а к кривой р - по
дополнительной дуге.
Ясно, что любую пару простых замкнутых кривых можно нормали-
зовать с помощью изотопии одной из них, постепенно устраняя дву-
46
ЛЕММА 2.2. Пусть а, Р - нормализованная пара негомологичных нулю
простых замкнутых кривых в ориентируемой поверхности F. Тогда:
а) если кривая р гомотопна такой кривой Р', что апр’ = 0, то кривые а,
Р не пересекаются;
б) если кривые а, Р гомотопны, то они не пересекаются и ограничивают
в Fкольцо.
Смысл леммы состоит в том, что если две замкнутые кривые раз-
водятся с помощью гомотопии, то они разводятся и с помощью изотопии,
и что гомотопные кривые изотопны, если они определяют нетривиальные
элементы группы гомологий. На самом деле последнее условие можно
ослабить, потребовав, чтобы кривые а, Р были нетривиальными (не
ограничивали дисков в F), но нам это не понадобится.
Доказательство, а) Пусть f:S[xI—>F - гомотопия между
кривыми р, р’, причем /(51 х {0}) = р, /(51 х {1}) = р'. Будем считать, что
отображение/трансверсально к кривой а. Тогда прообраз/-1 (а) является
одномерным многообразием и поэтому состоит из нескольких окружностей
и нескольких дуг с концами на х /). Концы дуг отображаются в точки
пересечения кривых р, р' с кривой а. Так как апр’ = 0, то дуги могут
опираться только на нижнее основание 51 х {0} цилиндра 51 х/ (рис. 48).
Как и раньше, все тривиальные окружности в S1 х 1 можно, начиная с
самых внутренних, устранить за счет гомотопии отображения/(на рис. 48
они перечеркнуты).
Допустим, что в/-1 (а) есть хотя бы одна дуга. Тогда найдется самая
внутренняя дуга /, которая отсекает от цилиндра S1 х 1 диск Db внут-
ренность которого уже не пересекается с/-1 (а). Мы утверждаем, что
образ диска/(£>/) является двуугольником. Действительно, он совпадает с
47
одной из частей, на которые кривые а, Р разбивают поверхность F. Эта
часть D ограничена двумя дугами: дугой/(/) Саи дугой/(/j) С Р, где
/j = Dt n(S] х {0}) (см. рис. 48). Отображение f\D : Dt —> D переводит край
в край, причем оно гомеоморфно на дуге 1Х и поэтому деформируется в
отображение, гомеоморфное на всем крае. Эйлерова характеристика
диска Di равна 1, и связных поверхностей с краем с большей характерис-
тикой не бывает. Поэтому %(/)). Согласно предложению 2.2, D
также является диском. Он примыкает к кривым а, Р по дугам, т.е.
является двуугольником. Это противоречит нормализованности пары а, р.
Таким образом, в/*1 (а) нет дуг, а это означает, что ап[3 = 0.
б) Гомотопные простые замкнутые кривые с ориентируемой поверх-
ности всегда могут быть разведены с помощью гомотопии, поэтому
по п. "а" леммы кривые а, р не пересекаются. Рассмотрим гомотопию
f:S{xI-+F между ними, где /(.S'1 х {0}) = х {1}) = р. Можно
считать, что она трансверсальна к кривой а и что прообраз 7м (а)
содержит только нетривиальные окружности. Пусть С - самая верхняя
из них (рис. 49). Обозначим через [а] и [С] элементы группы //j(F),
определяемые отображениями /I. : S1 х {0}—> F (т.е. кривой а) и
fxc\C-^F. Так как между кривыми С и 51 х {0} имеется двумерная
пленка (нижняя часть цилиндра), то [С] - [а]. С другой стороны, [С] =
£[а], где к - степень, с которой кривая С отображается на а. Поскольку
[а] * 0 по условию и в группе гомологий ориентируемой поверхности нет
элементов конечного порядка, то к = 1. Поэтому можно считать, что
отображение/гомеоморфно переводит кривую С в кривую а. Обозначим
через А верхнее кольцо, отсекаемое от цилиндра 51 х / кривой С (рис. 49).
Мы утверждаем, что его образ В = f(A) является искомым кольцом,
ограниченным кривыми а, р. Действительно, он совпадает с одной из
частей, на которые кривые а, р разбивают поверхность F, и отображение
/л: А -» В гомеоморфно на крае. Эйлерова характеристика кольца А
равна 0. Поскольку связных поверхностей с двумя компонентами края,
имеющих большую характеристику, не бывает, то %(А)^ %(В) и можно
применить предложение 2.2.
ТЕОРЕМА 2.3. Если гомеоморфизмы h, g: Fx F2 одной замкнутой
ориентируемой поверхности на другую гомотопны, то они изотопны.
Доказательство. Достаточно доказать, что любой гомотоп-
ный тождеству гомеоморфизм h\ F —> F поверхности на себя изотопен
тождеству. Рассмотрим в поверхности F два набора кривых: набор М =
= {тх, m2,...,mg} и набор L = {lx, /2,...,Zg}, где g - род поверхности F
(рис. 50). Займемся сначала возвращением на место первого набора. Если
среди частей, на которые кривые М и L разбивают поверхность F, есть
двуугольники, то уничтожим их с помощью изотопии гомеоморфизма h. По
лемме 2.2 каждая пара кривых т,, h (т^ ограничивает кольцо в F, причем
эти кольца не имеют общих точек. Используя кольца, изотопно возвратим
кривые h (т^ на прежние места.
Итак, можно считать, что h (т,) = т, для всех i g. Займемся теперь
кривыми L и h (L). Как и в предыдущем случае, все ограниченные ими
двуугольники можно устранить с помощью изотопии гомеоморфизма h.
При этом можно добиться, чтобы в процессе этой изотопии каждая кри-
48
Рис. 51
вая mi скользила по себе. Действительно, если уничтожаемый двуугольник
не пересекается с кривыми М, то это очевидно. Если же какая-то кривая
mj пересекает одну сторону двуугольника, то она обязана пересекать и
вторую, а тогда существование искомой изотопии ясно из рис. 51.
После уничтожения всех двуугольников кривые h (/) будут
ограничивать по лемме 2.2 кольца. Эти кольца не пересекаются, и каждое
из них пересекается с М = h (Л/) по одной или двум дугам с концами на
различных компонентах края кольца. Теперь можно вернуть кривые /, на
прежние места, изотопно продеформировав тем самым гомеоморфизм h в
гомеоморфизм, неподвижный на М u L. Изотопность тождеству такого
гомеоморфизма сомнений не вызывает, так как после разрезания по-
верхности F по кривым Ми L получается диск.
2.4. Техника разрезания-склеивания
Мы переходим к изучению поверхностей в трехмерных многообра-
зиях. Для простоты ограничимся случаем, когда и многообразие и поверх-
ности ориентируемы, причем сразу отметим, что ориентация поверхности
в ориентируемом многообразии задается выбором направления нормали.
Если трехмерное многообразие имеет край, то всегда будем считать,
что рассматриваемая поверхность F С М3 собственная, т.е. что
F пЭЛ/3 = dF (опыт работы с поверхностями показывает, что рассмот-
рение несобственных поверхностей в большинстве случаев бесполезно).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Пусть/: F -э М - находящееся в общем поло-
жении отображение ориентируемой поверхности F (может быть, несвяз-
ной) в ориентируемое трехмерное многообразие М, причем f~](dM) = dF.
49
Рис. 52
Тогда образ F = f(F) отображения/называется собственной сингулярной
поверхностью. Исходная поверхность F называется ее оригиналом.
Сингулярная поверхность F может иметь следующие особенности:
двойные линии, тройные точки (точки пересечения двойных линий), точки
ветвления типа конуса над самопересекающейся кривой (рис. 52). Как их
устранить? Для этой цели служит техника разрезания-склеивания. Рас-
смотрим сначала простейший случай, когда все особенности являются
двойными линиями. Есть два типа операции разрезания-склеивания: пере-
ключательное расщепление и параллельное расщепление.
Переключательное рас-
щепление. Пусть С - одна из двой-
ных кривых, U (С) - ее регулярная ок-
рестность в М. Тогда пару {U (С),
[/(С) nF) можно отождествить с парой
(D2x51, (J1uJ2)x^1)» если С - окруж-
ность, и с парой (Z>2 х I, Циб/2)х/),
если С - дуга, где dx, d2 - два пере-
секающихся диаметра круга £>. Концы
этих диаметров можно соединить внутри
круга D дугами /ь 12 двумя различными
способами (рис. 53). Выберем один из них.
Тогда операция переключательного
расщепления вдоль/? состоит в вырезании
на поверхности F ее пересечения с
окрестностью U (С), (т.е. в вырезании
прямых произведений диаметров d2 на
окружность или отрезок) и вклеивании
вместо них прямых произведений дуг /ь /2 на окружность или отрезок
(рис. 54).
В результате переключательного расщепления получается новая син-
гулярная поверхность с другим, вообще говоря, оригиналом. Положитель-
ный эффект операции переключательного расщепления состоит в том, что
число двойных линий в самопересечении уменьшается ровно на единицу.
Параллельное расщепление. Пусть двойная линия С
такова, что после разрезания сингулярной поверхности F по ней полу-
чается несколько частей, одна из которых (обозначим ее через Е) не
50
Рис. 54
Рис. 55
содержит особых точек. Добавим к поверхности F две параллельные
копии поверхности находящиеся по разные стороны от нее, и удалим
участок поверхности F, ограниченный их краями (кольцо, если кривая С
замкнута, и полоску, если незамкнута) (рис. 55). Будем говорить, что
новая сингулярная поверхность Fx получается из поверхности F операций
параллельного расщепления.
Операцию переключательного расщепления можно применять всегда,
а параллельно - нет: нужно, чтобы двойная линия отсекала неособый
участок Е. С другой стороны, при параллельном расщеплении гораздо
чаще удается добиться, чтобы топологический тип оригинала сохранился.
51
Перейдем к общему случаю, когда самопересечения состоят не только
из двойных линий. Докажем сначала, что других особенностей, кроме
двойных линий, тройных точек и точек ветвления, сингулярная поверх-
ность иметь не может.
ЛЕММА 2.3. Любая особая точка сингулярной поверхности является
либо двойной или тройной точкой, либо точкой ветвления.
Доказательство. Поскольку мы обсуждаем локальную про-
блему, достаточно ограничиться случаем М = R3. Пусть/: F —> R3 - ото-
бражение в общем положении, где F - триангулированная поверхность.
Обозначим через уи у2..., уп прообразы произвольной точки х E.f(F), Если
все точки yt- лежат внутри треугольников, то п 3, так как четыре плос-
кости в общем положении всегда имеют пустое пересечение, и мы имеем
дело либо с неособой точкой при п = 1, либо с точкой на двойной линии при
п = 2, либо с тройной точкой при п = 3. Если одна из точек у,- (пусть yj
лежит строго внутри ребра, то либо п = 1 и тогда точка х неособая, либо
п - 2 и тогда вторая точка у2 не может лежать на ребре, поскольку
образы различных ребер в общем положении не могут пересекаться. По-
этому точка у2 лежит внутри треугольника, откуда следует, что точка х
лежит на двойной линии. Если же одна из точек у, является вершиной, то
п = 1. Линк вершины у, = yj в F (т.е. окружность) отображается в общем
положении в линк точки х в R\ т.е. в сферу. Если образ упомянутой
окружности не имеет самопересечений, то точка х неособая, а если имеет,
то является точкой ветвления.
Следующая лемма позволяет добиться, чтобы все точки ветвления
были простейшими - имели тип конуса над восьмеркой (рис. 56).
ЛЕММА 2.4. Любая сингулярная замкнутая кривая в сфере S1 = dD3
ограничивает в шаре D3 сингулярный диск без точек ветвления, если число
ее точек самопересечения четно, и ровно с одной простейшей точкой
ветвления, если нечетно.
50
Рис. 58
Доказательство. Рассмотрим два типа элементарных пре-
образований сингулярной кривой в сфере S2. Преобразования Т?*1 состоят
в рождении или уничтожении пары точек пересечения, преобразование
/?2 - в переносе одного участка кривой через точку пересечения двух дру-
гих ее участков (рис. 57). Пусть кривая С2 получается из кривой Сг одним
из преобразований 7?*1, R2. Докажем, что если кривая С2 ограничивает в
шаре сингулярный диск нужного типа, то кривая С1 - тоже. Дейст-
вительно, рассмотрим сферу S? cz D3, ограничивающую концентрический
шар D3 cz D3, и разместим кривую С2 на ней. Из рис. 58 ясно, что кри-
вые С1? С2 ограничивают в области между двумя сферами кольцо без
точек ветвления, которое вместе с сингулярным диском, натянутым на
кривую С2 в D3, дает искомый сингулярный диск, натянутый на кри-
вую Сь
Докажем, что любая сингулярная кривая в сфере с помощью пре-
образований , R2 сводится либо к окружности, либо к восьмерке (этого
достаточно для доказательства леммы).
Рассмотрим участок кривой С, выходящей из какой-нибудь ее точки
самопересечения А и возвращающийся в нее же по другой ветви, т.е.
петлю. Если же кривая пересекает себя в какой-то точке В, то возьмем
петлю с концами в точке В, и т.д. В результате мы дойдем до петли, уже
не имеющей точек самопересечения. С помощью преобразований , R2
эту петлю можно подтянуть вплотную к ее началу и сделать простой, т.е.
53
очень маленькой и не пересекающей других участков кривой С (рис. 59).
Общее число точек пересечения кривой С при такой операции умень-
шается. Простые петли не мешают дальнейшему выполнению подобных
преобразований - на них можно просто не обращать внимания. В резуль-
тате мы получим окружность с несколькими простыми петлями (если
случайно окажется, что одна простая петля расположена на другой, то ее
можно сместить со второй с помощью преобразований R±x, R^, рис. 60).
Любую петлю можно обнести вокруг всей сферы и превратить в петлю,
расположенную с другой стороны (рис. 61). Если же две соседние петли
расположены по разные стороны окружности, то их можно взаимно
Рис. 61
54
Рис. 62
Рис. 63
уничтожить (рис. 62). Четность числа самопересечения при всех этих пре-
образованиях сохраняется. В результате мы придем либо к окружности
без петель, либо к окружности с одной петлей, т.е. к восьмерке.
Лемма 2.4 показывает, что любую сингулярную поверхность F можно
превратить в сингулярную поверхность, имеющую только простейшие
точки ветвления типа конуса над восьмеркой. Для этого нужно вырезать
регулярную окрестность каждой точки ветвления (эта окрестность
представляет собой сингулярный диск) и заменить ее на существующий по
лемме 2.4 сингулярный диск с не более чем одной точкой ветвления
простейшего типа. Топологический тип оригинала при таких операциях не
меняется. Поскольку все изменения происходят внутри отдельных шаров,
то гомотопический класс отображения/: F —» М также сохраняется.
Как устранить простейшие точки ветвления? В каждой из них начи-
нается одна двойная линия, которая обязана оканчиваться либо в другой
такой же точке, либо в точке самопересечения края поверхности. Если
эту двойную линию пересекает какой-то другой участок поверхности F, то
его можно столкнуть с нее так, как это изображено на рис. 63. Поэтому
можно считать, что рассматриваемая двойная линия не содержит тройных
точек. Тогда ее можно уничтожить с помощью аналога операции
переключательного расщепления (рис. 64). Топологический тип оригинала
при этом, конечно, меняется.
В случае, когда оба конца двойной линии являются точками прос-
тейшего ветвления, уничтожить эти точки ветвления можно и другим
способом, сохраняющим оригинал. Окрестность двойной линии в много-
образии является трехмерным шаром, который пересекается поверх-
ностью по сингулярному кольцу. Мы заменяем это сингулярное кольцо на
другое, уже не содержащее точек ветвления (рис. 65). И оригинал F, и
55
Рис. 65
гомотопический класс отображения при такой операции сохра-
няются. Итоги наших рассуждений сформулируем в виде предложения.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.3. Если собственная сингулярная поверхность F
не имеет особенностей на крае, то она гомотопна при неподвижной на
крае гомотопии поверхности без точек ветвления.
Замечание. Это предложение, как и доказанный нами выше
факт о регулярной деформируемости любой кривой на сфере в окружность
или восьмерку, является прямым следствием теоремы классификации в
теории погружений [9].
5 Ь
Пусть теперь сингулярная по-
верхность не имеет точек ветвления.
В этом случае ее можно интер-
претировать как гладко погружен-
ную поверхность. Наличие тройных
точек не мешает переключатель-
ному расщеплению, правда, здесь
есть две тонкости. Первая тонкость
заключается в том, что если ори-
гинал данной сингулярной поверх-
ности связан, то из двух возможных
переключений вдоль данной двойной
кривой (см. стрелки а и б на рис. 66)
только одно (стрелка а) дает ори-
ентируемую сингулярную поверх-
ность. Вторая тонкость состоит в
том, что переключательное расщеп-
ление нужно выполнять постепенно:
сначала сделать его вдоль неболь-
шого участка двойной линии С (рис.
67) . Затем этот участок нужно постепенно расширять, пока мы либо не
вернемся в исходную точку, либо не дойдем до точки самопересечения
края поверхности. При этом в тех случаях, когда двойная линия С имеет
Рис. 67
57
=>
Рис. 68
самопересечения, приходится сворачивать с избранного пути при
повторном прохождении тройной точки (рис. 68). Тем не менее в итоге мы
всегда получаем ориентируемую сингулярную поверхность с меньшим чис-
лом двойных линий. Продолжая этот процесс, мы дойдем до поверхнос-
ти без самопересечений. Ее топологический тип отличается, вообще
говоря, от топологического типа оригинала исходной сингулярной поверх-
ности.
Важное замечание: если край сингулярной поверхности не имел само-
пересечений, то он не меняется ни при устранении точек ветвления, ни
при переключательном расщеплении.
2.5. Применения техники разрезания-склеивания
Пусть два вложенных собственных диска DX,D2 в ориентируемом
трехмерном многообразии М расположены так, что их края не пере-
секаются. Можно ли на кривые Э£>ь dD2 натянуть непересекающиеся вло-
женные диски? Положительный ответ на этот вопрос легко получается с
помощью техники разрезания-склеивания.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.4. Если собственные диски D2 сМ таковы,
что dD{ п ЭГ>2 =0, то в М найдется диск D2 со свойством: dD2 = dD2 и
D2 n = 0.
Доказательство. Выберем среди двойных линий пересечения
дисков £>i, D2 окружность С, самую внутреннюю по отношению к диску
Dx. Она ограничивает в дисках DX,D2 меньшие диски Е2, причем диск
Е\ уже не пересекает диска D2. Выполним операцию параллельно рас-
щепления вдоль кривой С. В результате получится новая сингулярная
поверхность, состоящая из диска Dh еще одного диска D2 и сферы (см.
58
рис. 55). Сферу отбросим. Так как диски D2 пересекаются по мень-
шему числу двойных линий, то повторное применение этого рассуждения
приводит к непересекающимся дискам.
Посмотрим, что мешает применить приведенное в доказательстве
предложения 2.4 рассуждение для уничтожения пересечений произвольной
поверхности и диска D\. Самую внутреннюю по отношению к диску ок-
ружность выбрать, конечно, можно. Она ограничивает диск Е\ в Dx. Если
она ограничивает диск и в поверхности F, то рассуждение проходит без
каких-либо изменений: за счет перестройки поверхности F пересечение с
диском можно уменьшить, не меняя топологического типа поверхности
F. Трудность заключается в том, что окружность С не обязана огра-
ничивать диск в F. Поверхности, для которых такая ситуация невозмож-
на, называются несжимаемыми.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3. Собственная
поверхность FcM называется ежи- ------
маемой, если в М найдется такой диск --------
D, что Dr\F = 3D и кривая 3D не ___
ограничивает диска в F. В противном / \
случае поверхность F называется не- / \
сжимаемой. 1^*** J
Замечание. Иногда сферы и
диски, которые очевидным образом \ /
удовлетворяют приведенному выше on- \ /
ределению несжимаемой поверхности,
не включают в число несжимаемых
Смысл термина "сжимаемая поверх-
ность" состоит в том, что участок ежи- Рис- 69
маемой поверхности, расположенный
вблизи диска D, можно сжать вдоль него до тонкой трубочки, с которой
можно потом обращаться как угодно (например, разрезать ее и края
заклеить дисками, получив тем самым новую поверхность, которая проще
исходной).
Итак, пересечения диска и несжимаемой поверхности всегда можно
устранить за счет выбора другой поверхности того же топологического
типа. Можно ли избавиться от пересечений за счет неподвижного на крае
изотопного сдвига поверхности F? В общем случае ответ отрицателен.
Пример двух неразделяемых с помощью неподвижной на крае изотопии
дисков в S2 х / изображен на рис. 69. Причина невозможности разделения
дисков в этом примере заключается в том, что в многообразии S2 х /
имеется двумерная сфера, не ограничивающая шар. Оказывается,
отсутствие таких сфер уже обеспечивает возможность устранения пере-
сечений с помощью изотопии.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4. Трехмерное многообразие называется непри-
водимым, если любая вложенная в него двумерная сфера ограничивает
шар.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.5. Пусть М - неприводимое ориентируемое трех-
мерное многообразие и D, F - такие собственные диск и несжимаемая
59
поверхность в нем, что dD пЭЕ = 0. Тогда существует такая непод-
вижная на крае изотопия: ф,: М -» М, что ф0 = 1 и ф! (F) n Е> = 0.
Доказательство. Пусть С - самая внутренняя по отношению
к диску D окружность из пересечения Fr>D. Она ограничивает в D диск
Еь который не имеет общих точек с поверхностью F. Из несжимаемости
поверхности F тогда следует, что окружность С ограничивает диск Е2 в
Выполнив операцию параллельного расщепления, т.е. заменив диск Е2 на
параллельную копию диска Еь получим новую поверхность F' (сферу,
которая также получается при операции параллельного расщепления,
просто отбросим). Теперь мы используем неприводимость многообразия Л/.
Диски Еь Е2 имеют общий край и не имеют других общих точек. Поэтому
их объединение является вложенной в М двумерной сферой. Так как
многообразие М неприводимо, то она ограничивает шар, а тогда диски Еь
Е2 изотопны. Отсюда следует, что поверхности F, F' также изотопны
(рис. 70). Ясно, что описанным приемом можно уничтожить все пере-
сечения диска и поверхности
В качестве второго применения техники разрезания-склеивания дока-
жем предложение 2.6 о существовании несингулярной пленки, затя-
гивающей данную гомологичную нулю кривую в ЭМ.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.6. Пусть простая замкнутая кривая I в крае дМ
трехмерного ориентируемого многообразия М гомологична нулю в М. Тог-
да существует такая ориентируемая поверхность F с М, что ЭЕ = /.
Доказательство. Гомологичная нулю кривая ограничивает в
М сингулярную поверхность (это свойство можно взять в качестве опре-
деления гомологичности нулю). С помощью техники разрезания-склеи-
вания устраним все точки ветвления и все двойные кривые. В результате
мы получим другую, но вложенную поверхность в М с тем же краем.
Можно ли устранить самопересечения собственного сингулярного
диска в М так, чтобы он остался диском? Техника разрезания-склеивания
изменяет, вообще говоря, топологический тип поверхности. Однако в
частном случае диска без тройных точек и точек ветвления она применима
в полном объеме. Чтобы избежать рассмотрения тривиальных дисков,
получающихся продавливанием относительно края внутрь многообразия М
дисков на дМ, дадим определение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.5. Пусть В - двумерное подмногообразие края дМ
ориентируемого трехмерного многообразия М и G ст ТС] (В) - нормальная
подгруппа. Собственный сингулярный или несингулярный диск DcM на-
зывается (лДВ) - G)-диском, если его край лежит в В и определяет не
принадлежащий группе G элемент группы Щ(В).
ЛЕММА 2.5. Пусть В - двумерное подмногообразие края дМ ориен-
тируемого трехмерного многообразия М и G с Щ(В) - нормальная под-
группа. Если в М имеется сингулярный (лДВ) - С)-диск без точек вет-
вления и тройных точек, но, возможно, с сингулярным краем, то найдется
и вложенный (л^В) - С)-диск.
Доказательство. Самопересечения диска D состоят из
двойных окружностей и двойных собственных дуг. Окружности устра-
няются точно так же, как и при доказательстве предложения 2.4, вы-
Рис. 71
полнением операций параллельного расщепления вдоль самых внутренних
окружностей. Операция параллельного расщепления, выполненная вдоль
самой внутренней дуги, ограничивающей диск Е, дает два диска D',D"
(рис. 71). Если диск Е стянуть в точку и взять эту точку в качестве
базисной, то станет ясно, что элемент группы лДВ), определяемый краем
диска £>, равен (с точностью до сопряжения) произведению элементов,
определяемых краями дисков D', D". Поэтому оба этих элемента не могут
лежать в G и один из дисков D',D" является (лДВ) - С)-диском с меньшим
числом дуг в самопересечении. Этот процесс можно продолжать до тех
пор, пока не получится вложенный (л^В) - С)-диск.
2.6. Лемма Дена и теорема о петле
В своем оригинальном доказательстве [10] Ден, пытаясь ограничиться
только техникой разрезания-склеивания, допустил ошибку, и только почти
через полвека Папакириакопулос нашел верный путь с использованием
чрезвычайно красивого построения - башен двулистных накрытий.
ЛЕММА 2.6 (лемма Дена). Пусть простая замкнутая кривая в крае
дМ трехмерного многообразия М ограничивает сингулярный диск в М.
Тогда она ограничивает несингулярный диск в М.
61
Следующая тесно связанная с леммой Дена теорема о петле поз-
воляет прикоснуться к краю многообразия диском вдоль нетривиальной
окружности всегда, когда можно прикоснуться сингулярным диском вдоль
сингулярной петли.
ТЕОРЕМА 2.4 (теорема о петле). Пусть в ориентируемом трех-
мерном многообразии М найдется собственный сингулярный диск с
нетривиальным (т.е. не стягиваемым в точку внутри ЭМ) краем. Тогда в М
найдется несингулярный диск с нетривиальным краем.
Мы изложим принадлежащее Дж. Столлингсу [6] доказательство
приведенной ниже леммы 2.7, следствиями которой являются лемма Дена
и теорема о петле. Эта лемма отличается от леммы 2.5 тем, что точки
ветвления и тройные точки допускаются.
ЛЕММА 2.7. Пусть В - двумерное подмногообразие края трех-
мерного многообразия М и G с - нормальная подгруппа. Если в М
имеется сингулярный - С)-диск, то найдется и вложенный (П\(В) -
С)-диск.
Для доказательства нам понадобится несколько предварительных
лемм.
ЛЕММА 2.8. Пусть одна из компонент края ориентируемого трех-
мерного многообразия М не гомеоморфна сфере. Тогда группа
бесконечна, т.е. имеет вид Z®...
Доказательство. Для специалиста в теории гомологий спра-
ведливость этой леммы очевидна: сопоставление точной последова-
тельности Н2(М, ЭМ; Q) —» Н}(дМ; Q) -» НХ(М; Q) с двойственностью
Пуанкаре Н2(М, дМ; Q) ~ НХ(М\ Q) и универсальным соотношением Н\М\
Q) = Q) сразу приводит к нужному результату. Мы изложим другое
доказательство, лучше отражающее геометрическую природу этого фак-
та.
Пусть Т - не гомеоморфная сфере компонента края ЭМ. Тогда на ней
найдутся две простые замкнутые кривые а, р, индекс пересечения кото-
рых равен 1. Допустим, что обе они определяют в группе гомологий эле-
менты конечных порядков, скажем, кит. Тогда на к параллельных копий
кривой а можно натянуть сингулярную ориентируемую поверхность
Fa с М. Так же как и при доказательстве предложения 2.6, эту
поверхность можно превратить в несингулярную, и то же самое сделать
для поверхности Fp, затягивающей т параллельных копий кривой р.
Подчеркнем, что ориентации поверхностей Fa, Fp индуцируют одинаковые
ориентации на всех копиях кривой а и всех копиях кривой р. Приводя
поверхности Fa, Fp в общее положение, мы придем к противоречию: в
каждой точке пересечения кривых a, Р должна начинаться линия
пересечения поверхностей Fa, Fp, и ей негде кончаться, так как индекс
пересечения в другом ее конце обязан иметь обратный знак.
ЛЕММА 2.9. Если группа Н}(М) бесконечна, то существует двулист-
ное накрытие р : М М.
Доказательство. Так как группа Ну(М) бесконечна, то суще-
ствует сюръективный гомоморфизм группы на группу Z2. Ядро этого
гомоморфизма является подгруппой индекса 2 группы П\(М). Накрытие,
отвечающее этой подгруппе, оказывается искомым.
62
Полезно иметь в виду следующее, более конструктивное доказа-
тельство, которое позволяет построить многообразие М фактически. Так
как группа НХ(М) бесконечна, то существует сюръективный гомоморфизм
(р : —» Z. Мы утверждаем, что он индуцирован некоторым отобра-
жением/: М —Чтобы построить отображение/, представим много-
образие М в виде клеточного комплекса с одной вершиной. Отобразим эту
вершину в базисную точку окружности, а каждую клетку одномерного
остова отобразим так, как это предписывает гомоморфизм ф (здесь нужно
вспомнить, что одномерные клетки - это фактически образующие фунда-
ментальной группы). Полученное отображение можно продолжить на
двумерные клетки, которые отвечают соотношениям, а затем и на остав-
шиеся трехмерные клетки, так как ^(S1) = 0.
Построенное отображение будем считать гладким. Транс-
версальный прообраз какой-нибудь точки окружности является ориен-
тируемой двумерной поверхностью в М. Хотя бы одна из ее компонент не
разбивает многообразия М. Действительно, пусть замкнутая кривая I cz М
находится в общем положении по отношению к поверхности и реализует
тот элемент группы л/М), который отображается в образующей элемент
группы ЛД51) = Z, т.е. в единицу. Тогда кривая I обязана пересекать по-
верхность F = /-1 (*) в нечетном числе точек, что было бы невозможным,
если бы все компоненты поверхности F были разбивающими.
Обозначим через Fx неразбивающую компоненту поверхности F.
Разрежем многообразие М по поверхности Fx и возьмем два экземпляра
МХ,М2 получившегося многообразия. Склеим их крест-накрест: каждую
появившуюся в результате разрезания компоненту края одного экзем-
пляра приклеим не к ее дубликату в этом экземпляре, а к ее дубликату во
втором экземпляре (рис. 72). Ясно, что получившееся многообразие М
двулистно накрывает многообразие М. Отображение проекции сопос-
тавляет точку х g М паре ее копий в Мх и М2 = Д.
Доказательство леммы 2.7. Пусть DcM - данный сингу-
лярный - 6)-диск. Построим башню двулистных накрытий. В каж-
дый этаж башни будут входить: трехмерное многообразие Nk, двумерное
подмногообразие его краяВк, нормальная подгруппа Gk cz ъх(Вк) и (лДВр-
6А,)-диск Dk. Многообразие Nk будет регулярной окрестностью диска Dk,
двумерное подмногообразие Вк с DNk - регулярной окрестности в 3Nk края
диска Ьк.
63
Для нулевого этажа башни возьмем в качестве Nq регулярную ок-
рестность диска D в М, в качестве Bq - ее пересечение с дМ, т.е. регу-
лярную окрестность кривой dD в ЭЛ/, в качестве Gq - прообраз группы G
при индуцированном вложением гомоморфизме z*: » 7Cj(B) и в ка-
честве диска Dq - диск D. Допустим, что к-й этаж башни уже построен.
Если все компоненты края многообразия dNk гомеоморфны сфере, то
построение заканчивается. Если нет, то по лемме 2.8 и лемме 2.9 найдется
двулистное накрытие р : Мк+Х Nк. Мы утверждаем, что прообраз
р~\Ё)к) состоит из двух дисков Dk+i, Dk+\- Действительно, диск Dk
можно рассматривать как отображение кольца 51 х / в Nk, переводящее
окружность S1 х {0} в точку, т.е. как гомотопию. Любая гомотопия в базе
поднимается до гомотопии в накрытии, если задано ее поднятие в
начальный момент. Остается заметить, что поднятие постоянного
отображения можно выполнить только двумя способами.
Многообразие Мк+Х связно и является регулярной окрестностью объе-
динения дисков DkV[ и Dk+\. Поэтому D'k+i, Dk+{ пересекаются по одной
или нескольким двойным линиям, не проходящим через точки ветвления.
Отсюда следует, что число не проходящих через точки ветвления двой-
ных линий самопересечения диска Dk+} строго меньше числа двойных ли-
ний Dk. Диск Dk+l мы и возьмем в качестве диска Dk+i. Пусть Nk+X -
регулярная окрестность диска Dk+i в Вк+1 - регулярная окрестность
его края в ЭЛ/^+1, GM - прообраз группы Gk при индуцированном отоб-
ражением р : Bk+i —» Вк гомоморфизме р* : Tt[(Bk+}) —> П}(Вк). Построение
(£+1)-го этажа башни закончено.
Так как при подъеме на каждый следующий этаж число не про-
ходящих через точки ветвления двойных линий диска Dk строго умень-
шается, то для некоторого числа к построение оборвется, т.е. все ком-
поненты края многообразия Nk будут сферами.
Мы утверждаем, что на верхнем этаже башни найдется вложен-
ный - Сг£)-диск. Так как группа iti(Bk) порождена простыми
замкнутыми кривыми (как и фундаментальная группа любой поверхности),
то хотя бы одна из них определяет элемент группы Kj (ВД не лежащий в
группе Gk. Поэтому диск Dk, ограничиваемый кривой в той сферической
компоненте края dNk, в которой она лежит, является вложенным (щ(Вк) -
Сг^)-диском (если нужно, его можно чуть продавить внутрь многообра-
зия Nk).
Теперь начинается спуск с башни. Диск Dk можно немного пошевелить
так, чтобы диск p(Dk) находился в общем положении. Диск p(Dk) син-
гулярен, но не имеет точек ветвления (так как в противном случае точка
ветвления была бы и на диске Dk) и не имеет тройных точек, поскольку
кратность накрытия равна 2. По построению он является (n}(Bk_i) - Gk_x)~
диском. Применяя лемму 2.5, можно в Nк_х построить вложенный
(щ(Вк_}) - д^_])-диск. Итак, мы спустили вложенный диск на один этаж.
Повторяя это рассуждение, мы в конце концов дойдем до нулевого
этажа.
Как уже отмечалось, лемма Дена и теорема о петле являются пря-
мыми следствиями леммы 2.7. В качестве еще одного следствия приведем
критерий несжимаемости поверхности в трехмерном многообразии.
64
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.7. Отличная от сферы и диска собственная
ориентируемая поверхность F в ориентируемом трехмерном многообразии
М является несжимаемой тогда и только тогда, когда индуцированный
вложением гомоморфизм /*: л/F) —» Л] (Л/) инъективен.
Доказательство. Пусть поверхность F сжимаема. Тогда по
определению 2.2 найдется такой диск DcM, что DoF = 3D и кривая 3D
нетривиальна в F, т.е. задает элемент из ядра гомоморфизма ь.
Докажем предложение в другую сторону. Пусть гомоморфизм I* имеет
нетривиальное я^цро. Мы^ утверждаем, что в найдется такой син-
гулярный диск Д что D(oF-3D и кривая 3D нетривиальна в F,
Действительно, пусть кривая la F представляет нетривиальный элемент
Рис. 73
ядра. Тогда существует такое отображение f: D2 М, что f(3D2) = I.
Будем считать его трансверсальным к поверхности F. Прообраз f~}(F)
состоит из нескольких окружностей. Обозначим через С самую внут-
реннюю из них, через Dc - ограничиваемый ею диск. Если кривая/(С) не-
тривиальна в F, то в качестве диска D можно взять диск f(Dc). Если же
она стягиваема, то изменим отображение/следующим образом. Сначала
переопределим его на диске Dc, отобразив его в поверхность F (это
возможно, так как кривая/(С) стягиваема в F). Затем "столкнем” диск /
(Dc) с поверхности F (рис. 73). Положительный итог этой операции состоит
в том, что число окружностей ь f~\F) уменьшилось на одну. Поэтому
описанный процесс заведомо обрывается и рано или поздно мы получим
искомый сингулярный диск D.
3. С.В. Матвеев, А.Т. Фоменко
65
Обозначим через Мх многообразие, получающееся из многообразия М
разрезанием по поверхности F. Диск D лежит в нем и является (тг^ЭМ]) -
{1})-диском, так как его край задает нетривиальный элемент группы
яДЭЛ/j). По лемме 2.7 его можно заменить вложенным - {1})-
диском, который после обратного склеивания многообразия М из много-
образия становится искомым сжимающим диском.
Сформулируем еще знаменитую теорему о сфере, доказанную Папа-
кириакопулосом вместе с леммой Дена и теоремой о петле.
ТЕОРЕМА 2.5 (теорема о сфере). Если в ориентируемом трехмерном
многообразии М имеется сингулярная нетривиальная (т.е. не стягивае-
мая в точку) двумерная сфера, то найдется и нетривиальная вложенная
сфера.
Доказательство этой теоремы основано на тех же идеях, что
и доказательство леммы 2.7, однако оно несколько сложнее и использует
башни, состоящие не только из двулистных накрытий. Поскольку теорема
о сфере нам практически не понадобится, мы не будем приводить ее
доказательства, отсылая интересующегося читателя к книге [6] или
оригинальной статье Папакириакопулоса [11].
2.7. Алгоритмические вопросы
1°. Алгоритм распознавания поверхности. Как узнать, является
ли данный двумерный симплициальный комплекс поверхностью? Комп-
лекс может быть задан набором своих вершин с указанием, на какие
вершины натянуты симплексы. Ответ прост: нужно найти линки всех
вершин, и если все они окажутся окружностями или отрезками (т.е.
замкнутыми или незамкнутыми ломаными), то комплекс является
поверхностью.
2°. Алгоритм распознавания связности. Как узнать, является ли дан-
ный комплекс К связным? Можно поступить так: пометить произвольную
его вершину, затем пометить все вершины, соединенные с ней ребром,
затем - все вершины, соединенные ребрами с вершинами первого слоя, и
т.д. Поскольку комплекс конечен, то этот процесс заведомо оборвется.
Если к этому моменту все вершины окажутся помеченными, то комплекс
К связен, в противном случае - нет.
3°. Алгоритм распознавания ориентируемости связной поверхности.
Выберем произвольный треугольник триангуляции и ориентируем его, т.е.
укажем направление обхода его сторон. Все примыкающие к нему тре-
угольники ориентируем согласованно: так, чтобы индуцированные
ориентации на каждом общем ребре были противоположными. Затем
согласованно ориентируем треугольники, примыкающие к уже ориенти-
рованным, и т.д. При рассмотрении нового треугольника, примыкающего
к уже ориентированным по двум или трем сторонам, нужно проверить, не
возникает ли противорения, т.е. не диктуют ли его уже ориентированные
соседи противоположные направления обхода. Если хотя бы раз возникает
противоречие, то поверхность неориентируема, если процесс
заканчивается без противоречий, то ориентируема.
66
4°. Алгоритм распознавания типа поверхности. Нужно прове-
рить связность поверхности, вычислить ее эйлерову характеристи-
ку, подсчитать число компонент края и узнать, ориентируема она или
нет. Полученных данных вполне достаточно для определения ее
типа.
5°. Гомотопическая эквивалентность. Как узнать, является ли данное
симплициальное отображение f'.F} -» F2 замкнутых ориентируемых
триангулированных поверхностей гомотопической эквивалентностью? До-
статочно убедиться, что эйлеровы характеристики поверхностей равны
между собой и степень отображения равна ±1. Степень можно вычислить
так: рассмотреть все треугольники поверхности Fb отображающиеся на
один фиксированный треугольник поверхности F2, и вычислить разность
между числом треугольников, отображающихся с сохранением ориен-
тации, и числом треугольников, отображающихся с изменением ориента-
ции. Деформацию гомотопической эквивалентности в гомеоморфизм
также можно выполнить алгоритмически, продублировав доказательства
теоремы 2.2 и предложения 2.2. Еще проще распознать изотопность двух
гомеоморфизмов h2 одной замкнутой ориентируемой поверхности на
другую. Для каждой кривой ос из набора (см. доказательство
теоремы 2.3) нужно нормализовать пару Л Да), h2(u). Для изотопности
гомеоморфизмов необходимо и достаточно, чтобы каждая пара
нормализованных кривых h Да), Л2(а) не пересекалась и ограничивала
кольцо (с учетом ориентаций).
6°. Вхождение данного элемента в ядро. Техника разрезания-склеи-
вания носит алгоритмический характер. Сложнее обстоят дела с леммой
Дена и теоремой о петле, которые мы вывели из леммы 2.7. Дело в том,
что после подъема на верхний этаж башни (который можно выполнить
алгоритмически) приходится выяснять, какая из простых замкнутых кри-
вых в поверхности Вк задает элемент группы тгДВД не лежащий в данной
подгруппе Gk. Проблема вхождения данного элемента w свободной группы
в данную ее нормальную подгруппу в общем случае алгоритмически не-
разрешима: она эквивалентна проблеме распознавания тривиального эле-
мента в группе яДВ^/Gjt, которая может быть алгоритмически неразре-
шимой [15]. Однако те подгруппы Gk, которые возникают при доказа-
тельстве леммы Дена и теоремы о петле, являются ядрами гомомор-
физмов, индуцированных отображениями поверхностей Вк в ЭЛ/. Вопрос о
вхождении данного элемента в ядро эквивалентен вопросу о тривиаль-
ности его образа, который для групп с одним определяющим соотноше-
нием (какими являются фундаментальные группы поверхностей) алгорит-
мически разрешим.
Впрочем, если сингулярный диск с нетривиальным краем дан, то су-
ществующий по лемме Дена или теореме о петле вложенный диск можно
найти и с помощью алгоритма грубого перебора: постепенно измельчая
триангуляцию, просматривая все двумерные подкомплексы каждой
триангуляции, выбирая на них диски и проверяя края отобранных дисков
на нетривиальность, мы обязательно через конечное число шагов найдем
вложенный диск.
3*
67
7°. Сопряженность гомеоморфизмов. Очень важный для топологии
многообразий вопрос: существует ли алгоритм, который по двум данным
гомеоморфизмам /, g поверхности на себя выясняет, сопряжены они или
нет, т.е. существует ли такой гомеоморфизм А, что g = hfh~x- Поло-
жительный ответ на этот весьма нетривиальный вопрос дан в работе [12].
Изложение этого результата вывело бы нас слишком далеко за рамки
настоящей книги.
§ 3. ГРУППА ГОМЕОТОПИЙ ПОВЕРХНОСТИ
3.1. Группа гомеотопий
В топологии трехмерных многообразий часто приходится склеивать
многообразия по различным гомеоморфизмам их краев. При этом склеи-
вание по изотопным гомеоморфизмам приводит к одному и тому же
результату (это будет доказано позднее). Поэтому имеет смысл изучить
группу гомеоморфизмов поверхности на себя по модулю гомеоморфизмов,
изотопных тождеству. Пусть F - поверхность (возможно, с краем). Группа
гомеотопий H(F) поверхности F определяется как фактор-группа группы
гомеоморфизмов поверхности F на себя по подгруппе Iso(F) гомео-
морфизмов, изотопных тождеству. Если h(\ F —> F, h\ = Л, Ло = 1 -
изотопия гомеоморфизма h к тождеству, то fhf~x - изотопия сопряженного
гомеоморфизма fhf~x к тождеству. Поэтому подгруппа Iso(F) нормальна.
Обычно удобнее рассматривать группу неподвижных на крае гомеотопий
H(F, dF). Каждый ее элемент задается неподвижным на крае гомео-
морфизмом, причем два гомеоморфизма задают один и тот же элемент
тогда и только тогда, когда они изотопны при неподвижной на крае
изотопии.
3.2. Скручивания
Простым примером нетривиального гомеоморфизма поверхности на
себя является скручивание вдоль кривой. Пусть с - простая замкнутая
кривая в ориентируемой поверхности F. Разрежем поверхность F по кри-
вой с, скрутим один из краев разреза на 360° в одном из двух возможных
направлений и склеим края разреза назад (рис. 74). Полученный гомео-
морфизм F —» F называется скручиванием вдоль кривой с. Он не-
подвижен вне кольца U(c) С F, одной из компонент края которого служит
кривая с. Если отождествить кольцо (/(с) с кольцом {z: 1 Izl 2}
комплексной плоскости, то скручивание Тс можно задать правилом ге1^
—> + W-D) на кольце [/(с) и тождеством вне его. Выбор другого
кольца U(c), dU(c) Z) с, как и замена кривой с на изотопную, приводит к
изотопным скручиваниям. Существен только выбор направления
скручивания, причем скручивания в противоположных направлениях опре-
деляют обратные друг другу элементы группы гомеотопий.
Скручивания - весьма несложные гомеоморфизмы - играют заметную
роль в изучении группы гомеотопий. Оказывается, что группа H(F, dF)
порождена конечным числом скручиваний. Другими словами, в любой
компактной ориентируемой поверхности F найдется такой конечный набор
69
Рис. 74
простых замкнутых кривых с2,..., сп, что скручивания тс. порождают
группу H(F, 3F). Программа доказательства этого результата такова:
сначала мы докажем его для диска, потом - для диска с дырками и затем -
для произвольной компактной ориентируемой поверхности. Глубокие при-
менения этой теоремы будут приведены в следующем параграфе.
3.3. Группа гомеотопий диска по модулю края
Оказывается, что группа H(D2, dD2) тривиальна. Другими словами,
справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА 3.1. Любой неподвижный на крае гомеоморфизм диска на
себя изотопен тождеству.
Простое и наглядное доказательство этого факта носит название
"прием Александера" и проходит для шаров любой размерности. Пусть
h : D2 —> D2 - неподвижный на крае гомеоморфизм диска. Рассмотрим ци-
линдр D2 х I и определим гомеоморфизм ср: Э(Р2 х /) —» Э(£)2 х /) его края
на себя, полагая ср = 1 на объединении боковой поверхности dD2 х I с
верхним основанием D2 х {1} и (р = h на нижнем основании (т.е. ср(х, 0) =
= (А(х), 0)). Выберем внутри цилиндра D2 х I какую-нибудь точку Р.
Продолжим гомеоморфизм "по радиусам" до гомеоморфизма Ф всего
цилиндра D2 х I на себя, полагая Ф(х) - ср(х) для х g Э(П2 х /), Ф(Р) = Р и
отображая каждый отрезок [х, Р] линейно на отрезок [ср(х), Р] (рис. 75). Из
построения ясно, что гомеоморфизм Ф - послойный (т.е. отображает каж-
дый слой D2 х {t} на себя). Поэтому он и задает искомую изотопию
гомеоморфизма h к тождеству. Сам Александер брал в качестве точки Р
не внутреннюю точку, а центр верхнего основания. Очень полезно про-
следить, как при таком выборе выглядит реальная изотопическая дефор-
мация гомеоморфизма h к тождеству (см. рис. 76, на котором изображены
ограничения гомеоморфизма Ф на слой D2 х {г} при t = 0, 1/3, 2/3, 1).
Замечание. Если гомеоморфизм h кусочно-линеен, то построен-
ный гомеоморфизм Ф также кусочно-линеен. С другой стороны, гомео-
морфизм Ф никогда (при h Ф 1) не бывает гладким, даже при гладком
70
Рис. 76
гомеоморфизме h. Этот факт лежит в основе того глубокого отличия
гладкой категории от кусочно-линейной, которое, как доказал Дж. Милнор
[13], начинается с размерности 7.
3.4. Группа кос
Для описаний группы гомеотопий диска с дырками нам понадобится
группа кос Вп и ее подгруппа крашеных кос Кп. Эти группы играют
одинаково важные роли как в алгебре, так и в топологии. Выберем на оси
OY ХУ-плоскости R2 п точек я2>—> ап и рассмотрим в XYZ-пространстве
/?3 п пар точек а. х {0), а,- х {1}, где 1 i п. Соединим
каждую верхнюю точку с одной из нижних простой кривой (нитью) так,
чтобы нити не имели общих точек и чтобы каждая нить монотонно шла
71
Рис. 77
Рис. 78
I
вниз (т.е. пересекала каждый слой 7?2х {z}, 0 z 1, только в одной
точке) (рис. 77).
Полученный объект - набор из п нитей - называется косой. При этом
две косы а, р эквивалентны (т.е. определяют один и тот же элемент
множества Вп), если существует послойная и неподвижная на слоях
R2 х {0}, R2 х {1} изотопия пространства /?3, переводящая одну косу в
другую. Например, тривиальная коса - это коса, которую можно рас-
путать в набор из п вертикальных отрезков. Произведение ар косы а на
косу р определяется так: нужно приставить к косе а сверху косу р и сжать
полученную косу высоты 2 в два раза (рис. 78).
Читатель легко докажет, что введенная операция корректна, т.е. не
зависит от выбора представителя, и превращает множество Вп в группу.
В частности, обратным элментом к косе а служит симметричная ей
относительно плоскости R2 х {1/2) коса а, поскольку их произведение -
тривиальная коса (рис. 79).
Рис. 79
72
Рис. 80
Рис. 81
Обозначим через <7/, 1 i' п - 1, косу, в которой однократно скре-
щиваются z-я и (/ + 1)-я нити, а все остальные нити вертикальны
(рис. 80).
ТЕОРЕМА 3.2. Группа Вп имеет копредставление (о19 о2,.••
..., <7Л_11(7/0; = оу<7/, если I/ -j\ > 1, И о,<7/+ 1О/ = О/ + 1(7/0/+ 1).
Замечание. Из теоремы следует, в частности, что
Bi = 1, В2 « Z, В3 = <СГ1, О21(71О2^1 =
Доказательство теоремы. Будем говорить, что коса а нахо-
дится в общем положении, если в ее проекции на плоскость YZ имеются
только двойные точки пересечения, все они расположены на разной
высоте и нет случаев касания, см. рис. 81, где изображены запрещенные
ситуации.
Любую косу можно небольшим шевелением привести в общее
положение. Проведем горизонтальные плоскости R2 х {z,}, 0 = z0 < Z\ < ...
... < zm = 1 так, чтобы они не содержали точек пересечения проекции и
чтобы между двумя соседними находилась лишь одна точка пересечения.
Из рис. 82±ясно, что коса а распадается в произведение т элементарных
кос вида о, . Таким образом, косы О/ порождают группу Вп.
Рис. 82
73
Рис. 83
Выполнение указанных в копредставлении соотношений проверяется
непосредственно. Посмотрим, как может изменяться при послойной
изотопии полученная выше запись косы через образующие. Можно счи-
тать, что деформируемая коса всегда находится в общем положении,
кроме конечного числа особых моментов времени, причем при переходе
через каждый особый момент она подвергается одному из преобразований
типа R±\ R^, R^ (рис. 83). Эти три типа преобразований отвечают трем
запрещенным ситуациям, упомянутым выше. На записи косы эти
преобразования отражаются так: преобразование Rx отвечает замене
подслова <5^1+ iO,- на + -+ ь преобразование R2 - замене подслова azo7
на (т.е. коммутированию "далеких" образующих), преобразования
/<; - вставке или уничтожению подслова вида снег, (что никак не отраже-
но в определяющих соотношениях, поскольку соотношения типа аа~х = 1
выполнены в любой группе). Итак, выполнение указанных соотношений
не только необходимо, но и достаточно для перехода от записи через об-
разующие одной косы к записи любой ей эквивалентной косы.
3.5. Группа крашеных кос
Имеется естественный гомоморфизм группы Вп на симметрическую
группу 5,г степени п, сопоставляющий каждой косе перестановку на мно-
жестве п1,п2,..., ап: точка at переходит в такую точку <7у-, что точки
//, х (]) и cij х {0} соединены нитью. Ядро Кп этого гомоморфиз-
ма называется группой крашеных кос. Таким образом, коса краше-
ная, если конец каждой нц,ти л^жит jdobho под ее началом. Обозначим
(срез СУ Кису ] . а, _ _2 -П, (рис. 84).
74
ТЕОРЕМА 3.3. Косы о,у, 1 i < j
п, порождают группу Кп.
Замечание. В алгебре имеется
метод Радемайстера-Шрайера, который
по данному копредставлению группы поз-
воляет найти копредставление любой ее
подгруппы конечного индекса. С помощью
него можно найти не только образующие,
но и соотношения группы Кп. Для тех, кто
не хочет вспоминать этот метод, мы
приводим непосредственное доказательст-
во теоремы.
Доказательство. Пусть а -
крашеная коса из п нитей. Рассуждая
методом индукции по числу нитей, можно
считать, что коса Р„ _ ь составленная из
всех нитей косы а, кроме первой, уже раскладывается в произведение
элементарных кос вида с/у. Пусть коса [3 получается из косы Р„ _ i добав-
лением отдельной первой нити, не зацепляющей остальные. Она тоже
представляется в виде произведения с,у. Так как коса р-1р эквивалентна
тривиальной, то существует выпрямляющая ее послойная изотопия
пространства R3. Эта изотопия переводит косу р-1ос в косу, все нити
которой вертикальны, кроме первой, которая петляет между остальными
(рис. 85).Представить такую косу в виде произведения кос вида а/у очень
легко. Для этого нужно до и после каждой точки пересечения, где первая
нить проходит перед другой, протащить малый участок первой нити сзади
Рис. 85
75
всех остальных нитей (см. рис. 85). Таким образом, коса р-1а, как и коса р,
раскладывается в произведение кос Cfy. Отсюда следует, что коса а также
обладает этим свойством.
3.6. Группы гомеотопий диска с дырками
2 П
Пусть F = Cl(D ,иА)-Дисксл дырками (непересекающимися
i=\
дисками А], А2>—, Ал с центрами в точках аь ял)- Оказывается, что
группа крашеных кос имеет прямое отношение к группе H(F, ЭГ)
неподвижных на крае гомотопий поверхности F. Каждый элемет h группы
H(F, dF) можно продолжить тождественным на каждый диск А,. Поэтому
группа H(F, dF) естественным образом изоморфна группе HfJ)1, U А )•
i
ТЕОРЕМА 3.4. Группа H(D2, (JA) изоморфна прямому произведе-
i
нию группы крашеных кос Кп на свободную абелеву группу ранга п.
Доказательство. Как сопоставить гомеоморфизму h G
g Я(Т>2, U А) косу? По теореме 3.1 гомеоморфизм А, как и любой непод-
i
вижный на крае гомеоморфизм диска на себя, изотопен тождественному.
Поэтому найдется такой послойный гомеоморфизм Ф: D2 х / —> D2 х I
цилиндра D2 х / на себя, что Ф неподвижен на объединении dD2 х / о D2x
х {1} боковой поверхности с верхним основанием и совпадает с гомео-
морфизмом h на нижнем основании. Тогда образ к = Ф(Щх/) три-
i
виальной косы является, вообще говоря, нетривиально крашеной косой.
Ее и сопоставляем гомеоморфизму h. Менее строго, но более наглядно
косу к можно описать так: при изотопии гомеоморфизма h к тождествен-
ному точки а,- путешествуют по диску D2 и в итоге возвращаются на
прежние места. Заставим их одновременно с движением по диску равно-
мерно подниматься вверх. Тогда их траектории составят нити косы к.
Итак, мы имеем гомоморфизм <р группы H(D\ UA) на группу Кп.
i
Например, скручиванию тс вдоль кривой (рис. 86А, Б) отвечает коса
Су. (Замечание. В целях наглядности этот процесс изображен двумя не-
сколько различными способами на двух рисунках: 86А и 86Б. И в даль-
нейшем мы будем иногда пользоваться таким ’’двойным изображением",
обозначая соответствующие рисунки ’’А" и "Б". Мы надеемся, что такие
дополнительные рисунки будут способствовать скорейшему пониманию
текста.)
Как сопоставить косе гомеоморфизм? Сожмем косу к оси цилиндра
D2 х / так, чтобы ее нити целиком лежали внутри него. Заставим п точек
равномерно спускаться вдоль нитей косы начиная с верхних концов до тех
пор, пока они не совпадут с нижними. Проекции этих точек на плоскость
R2 будут при этом перемещаться по диску D2. Заставим вместе с ними
перемещаться и диски А, так, чтобы они не вращались. Это перемещение
76
j
накрывается изотопией всего диска D2, конечный гомеоморфизм которой и
является искомым. Итак, мы имеем гомеоморфизм ф: Кп H(D2, UA)-
i
Суперпозиция фф тождественна, и нетерпеливый читатель, вероятно,
ожидает, что и фф = 1. Однако это не так, поскольку гомоморфизм ф
имеет нетривиальное ядро J, порожденное скручиваниями вдоль краев
дисков А,. Каждое такое скручивание имеет бесконечный порядок в группе
H(D2, UА) и лежит в ее центре. Поэтому ядро J является свободной
i
абелевой группой ранга п. Отсюда же следует, что группа H(D2, UA)
i
изоморфна прямому произведению группы ф(Кл) ~ Кп на группу J ®
~ Z®Z®...®Z. Для нас особенно важен следующий факт, легко извле-
кающийся из доказательства теоремы.
СЛЕДСТВИЕ 3.1. Группа H(D2, UA) порождена конечным числом
i
скручиваний.
77
На самом деле, группа H(D2, UA ) порождена скручиваниями вдоль
i
кривых Cij, 1 i <j п (см. рис. 86), и вдоль кривых ЭА,. Для диска с 3
дырками все эти кривые изображены на рис. 87.
3.7. Группа гомеотопий произвольной поверхности
порождена скручиваниями
Наша ближайшая цель - доказать, что порожденность группы гомео-
топий скручиваниями справедлива не только для диска с дырками, но и для
произвольной поверхности. Будем говорить, что гомеоморфизм h по-
верхности на себя является с-гомеоморфизмом, если он изотопен супер-
позиции конечного числа скручиваний.
ТЕОРЕМА 3.5. Любой неподвижный на крае гомеоморфизм h ком-
пактной ориетируемой поверхности F на себя является с-гомеоморфизмом
(если ЭГ = 0, то h должен сохранять ориентацию).
Рис. 88
гомеоморфизма, переводящего ее
Доказательство теоремы
удобно начать с леммы. Назо-
вем две простые замкнутые
кривые а, b в поверхности F с-
эквивалентными (обозначение
а^Ь), если существует с-го-
меоморфизм, переводящий одну
кривую в другую (без учета
направлений). Изображенные
на рис. 88 кривые а и б не
являются с-эквивалентными:
кривая b разбивает поверх-
ность на две части, и поэтому
в неразбивающую кривую а, не
существует. Оказывается, других препятствий к с-эквивалентности нет.
ЛЕММА 3.1. Любые две неразбивающие кривые внутри связной
ориентируемой поврехности F с-эквивалентны.
Доказательство леммы разобьем на несколько этапов. Пусть
а, b - две неразбивающие кривые внутри поверхности F.
1. Пусть кривые а, b трансверсально пересекаются лишь в одной точ-
ке. Тогда а переводится в b двумя скручиваниями: скручиванием хь и
скручиванием (рис. 89). Читатель с удовольствием убедится, что супер-
позиция тьтать переводит кривую а в кривую b и кривую b в кривую а~х.
Отсюда следует, в частности, что гомеоморфизм (т^Т/,)2, где b - любая
кривая, пересекающая кривую а в одной точке, обращает ориентации
обеих кривых. Чтобы наглядно представить себе его геометрический
смысл, изобразим окрестность кривых а, b в виде ручки. Тогда гомео-
морфизм (Т/,таТь)2 изотопен скручиванию ручки вдоль основания на 180°
(рис. 90А, Б).
2. Пусть кривые а и b не пересекаются. Тогда найдется простая
78
Рис. 89
замкнутая кривая d, которая пересекает каждую из них лишь в одной точ-
ке и также не разбивает поверхности. Это хорошо видно на рис. 91, где
объединение кривых а, b не разбивает поверхности F, и на рис. 92, где
разбивает. Так как согласно 1°, a^d и d^b, то а^Ь.
3. Рассуждая методом индукции по числу # (а п Ь) точек пересечения
кривых а, Ь, предположим, что из # (а п Ь) < к следует, что а^Ь. Допу-
стим, что # (а п Ь) = к > 1. Среди точек пересечения кривых а, b выберем
две соседние на b точки М и /V. Пусть / С b - соединяющая их дуга, т. е. /
П а = М и N. Обозначим через тъ т2 дуги, на которые кривая а
разбивается точками М9 N. Тогда простые замкнутые кривые I и тх и
/ о т2 имеют общую дугу I и не имеют других общих точек. По крайней
мере одна из них (обозначим ее через d) не разбивает поверхности F, так
как в противном случае кривая а, которая получается из их объединения
удалением дуги /, разбивала бы F. Чуть смещенная в сторону кривая d
либо не пересекает кривой а в точках М и N, либо пересекает ее в одной
из этих точек, а число точек пересечения кривой d с кривой b строго
меньше к (см. рис. 93а для случая, когда дуга / подходит к кривой а с
одной стороны, и рис. 936 - когда с разных). По индукционному
предположению d ^a и d^b. Поэтому а^Ь. Лемма доказана.
79
Рис. 90Б
Рис. 91 Рис. 92
Доказательство теоремы 3.5. По теореме классификации
поверхностей любая компактная ориентируемая поверхность F гомео-
морфна поверхности полного кренделя некоторого рода g с т 0 дырками
..., Ат. Выберем в F семейство т^, непересекающихся
простых замкнутых кривых, разрезающих поверхность до диска с 2g + т
80
- 1 дырками (рис. 94). Под действием гомеоморфизма h кривые гщ перехо-
дят в какие-то другие кривые Наша задача - вернуть их на прежние
места с помощью с-гомеоморфизмов. Так как кривые тъ h(m}) не раз-
бивают поверхности F, то по лемме 3.1 найдется с-гомеоморфизм 51 со
свойством: Sxh(mx) = тх. Точно так же строится такой с-гомеоморфизм s2,
что s2sih(<m2) = /и2. При этом можно считать, что гомеоморфизм s2 не-
подвижен на гп\ (а тогда s2s}h(m}) = т{) - для этого нужно сначала раз-
резать поверхность F по кривой тх, применить лемму и склеить края раз-
реза опять. Аналогичным способом возвращаются на место все остальные
кривые /и,. Пусть 5 = ^...Si - такой с-гомеоморфизм, что sh(mj) = mh 1
i g. Гомеоморфизм sh может переводить кривую т1 в себя с обра-
щением ориентации. Этот недостаток легко исправить, выбирая кривую
ph которая пересекает кривую только в одной точке и не пересекает
других кривых mh i Ф j, и домножая гомеоморфизм sh на (тр.тт.тр. )2 (см.
п. 1° леммы 3.1). Таким образом, можно считать, что гомеоморфизм sh
неподвижен на кривых Он определяет поэтому неподвижный на крае
гомеоморфизм поверхности F, разрезанной по кривым mh т. е. непод-
81
вижный на крае гомеоморфизм диска с 2g + т - 1 дырками. По теореме
3.4 этот гомеоморфизм раскладывается в произведение скручиваний. По-
этому и гомеоморфизм sh, а вместе с ним и гомеоморфизм h расклады-
ваются в произведение скручиваний.
3.8. Группа гомеотопий произвольной поверхности
порождена конечным числом скручиваний
В этом пункте мы докажем следующую теорему.
ТЕОРЕМА 3.6. На произвольной компактной ориентируемой поверх-
ности F существует такой конечный набор простых замкнутых кривых с},
с2, cN, что группа H(F, dF) порождена скручиваниями Tq, ,..., xCn .
Этот результат нужен не только для эстетической завершенности
рассматриваемой темы. Дело в том, что система кривых сь с2, ..., cN
будет конкретно указана, и ее анализ позволит сделать новые выводы о
структуре группы гомеотопий, в первую очередь для замкнутой поверх-
ности рода 2.
Доказательство теоремы удобно начать с леммы. Пусть L = {1},
12, !т} - произвольное семейство попарно непересекающихся простых
замкнутых кривых в F. Назовем простую замкнутую кривую ccF L-
допустимой, если она пересекает каждую кривую из L не более чем в двух
точках, и если в двух, то в различных направлениях (т. е. индексы
пересечения в этих двух точках должны иметь разные знаки).
ЛЕММА 3.2. Группа H(F, dF) порождена скручиваниями вдоль L-
допустимых кривых.
Рис. 95
82
Доказательство. Обозначим через GL подгруппу группы H(F,
dF), порожденную скручиванием вдоль L-допустимых кривых. Так как по
теореме 3.5 группа H(F, dF) порождена скручиваниями, то для проверки
равенства H(F, dF) = GL достаточно доказать, что тр g Gl для любой
простой замкнутой кривой р с F. Если кривая р Е-допустима, то вклю-
чение тр 6 Gl следует из определения группы GL. Пусть кривая р не
является Е-допустимой. Тогда возможны два случая.
1. Кривая р пересекает ка-
кую-нибудь кривую Ц из L в двух
соседних точках в одном направ-
лении (см. рис. 95, на котором
возможный дальнейший ход кри-
вой р вне участка D поверхности F
изображен пунктиром). Пусть
р2 - кривые, которые вне участка
D поверхности F идут в точности
по кривой р (рис. 96). Анализ рис.
97 показывает, что кривая х (р2)
изотопна кривой р. Тогда
скручивание вдоль кривой р
изотопно суперпозиции скручива-
ния т"1, которое переводит кри-
вую р в кривую р2, скручивания
и скручивания тр1, которое
возвращает кривую р2 в кривую
Рис. 96
. Другими словами, тр = ^Р1^Р2^р'-
Задача сводится тем самым к доказательству включений t^gGl,
ТР2 G &L Для кривых pi, р2, пересекающих семейство L в меньшем числе
точек каждая.
Рис. 97
83
Рис. 100
Если кривая р L - недопустима и случай 1 не наблюдается, то
обязательно имеет место случай 2.
2. Кривая р пересекает какую-нибудь кривую I, из L в трех соседних
точках в чередующихся направлениях (рис. 98). Без ограничения общ-
ности можно считать, что кривая р, покидая участок D в точке а', воз-
вращается в него в точке Ь, не проходя при этом участка сс' - в про-
тивном случае нужно переименовать а, а' на Ь, Ь'. Обозначим через р\,р2
кривые, которые вне участка D поверхности F идут в точности по кривой
р (рис. 99). Анализ рис. 100, на котором кривая р\ чуть-чуть смещена в
сторону, в положение р{, чтобы добиться трансверсальности пересечения
с кривойр2, показывает, что кривая изотопна кривой р. Как и в
случае 1, что сводит доказательство включения хр е GL к
84
доказательству включений т , тр2 g GL для кривых рьр2> пересекающих
семейство L в меньшем числе точек каждая.
Повторное применение рассуждений п. 1 и 2 заканчивает доказатель-
ство леммы.
Доказательство теоремы 3.6. Представим поверхность F в
виде сферы с п ручками и к дырками. Обозначим через т2, ..., тп
меридианы ручек, через рь р2, --^Рп ~ их параллели, через b2,Ьп -
их основания (рис. 101). Пусть подгруппа Нт р <z H(F,dF) порождена
скручиваниями вдоль всех меридианов гщ и всех параллелей ph подгруппа
Fix(zn) cz H(F,dF) - гомеоморфизмами, которые неподвижны на всех
меридианах /и, и крае Э/7. Мы утверждаем, что группа H(F, dF) порождена
этими подгруппами. Этого достаточно для доказательства теоремы, так
как после разрезания поверхности F по меридианам получается диск с 2п +
+ к - 1 дырками, группа гомеотопий которого порождена конечным числом
скручиваний (следствие 3.1 теоремы 3.4). Возьмем в качестве семейства L
набор тщ, т2,..., тп меридианов и Ьъ..., Ьп оснований ручек. По лемме 3.2
скручивания вдоль L-допустимых кривых порождают группу H(F, dF).
Пусть р - произвольная L-допустимая кривая. Рассмотрим одну ручку. Так
как кривая pL-допустима, то она пересекает как ее основание bh так и ее
меридиан не более чем в двух точках, причем если ровно в двух, то в
различных направлениях. Если р пересекает меридиан т, в двух точках,
то это пересечение устраняется с помощью изотопии (рис. 102), если же в
одной, то с помощью нескольких скручиваний вдоль меридиана mh одного
скручивания вдоль параллели р, и изотопии (рис. 103). Точно так же
кривая р снимается с других меридианов. Итак, любую L-допустимую
кривую р можно с помощью суперпозиции h е Нтр скручиваний вдоль
меридианов и параллелей и изотопий перевести в кривую р', не пере-
секающую меридианы, а тогда тр = h~xTpfh, где хр> eFix(m). Это завер-
шает доказательство теоремы.
Замечание. Конкретная система кривых , с2, ...» cN,
скручивания вдоль которых порождают группу H(F, dF), легко извлекает-
ся из доказательства теоремы 3.6. Кроме меридианов, параллелей и
кривых, параллельных компонентам края поверхности F, в нее входят не
пересекающие меридианов кривые, отвечающие кривым на диске с 2п
+ к - 1 дырками, т. е. на разрезанной по меридианам поверхности F (см. п.
3.6). Разберем подробно случай замкнутой поверхности рода 2. Система
{с,} состоит из кривых Ci = mi, с2 = pi, с3 = т2, с4 = р2 (рис. 104А, Б) и
кривых с5, с6, с7, отвечающих кривым сх 2, с1>3, с2>3 на диске с 3 дырками
(рис. 105).
В действительности кривые с6 и с7 - лишние. Дело в том, что согласно
замечанию п. 1 леммы 3.2 суперпозиция h = TmjTpiT”J изотопна скручива-
нию одной из двух ручек кренделя на 180° вдоль ее основания, т. е. кри-
вой с6. Поэтому скручивание вдоль кривой с6 на 360°, т. е. скручивание
85
86
Рис. 104Б
Рис 105
87
тСб, выражается через скручивания tW| и . С другой стороны, кривая с7
изотопна кривой Л(с5). Поэтому скручивание тС7 также можно удалить из
системы образующих группы H(F, dF).
Приведенное ниже следствие этого результата показывает сущест-
венное отличие замкнутой ориентируемой поверхности рода 2 от поверх-
ностей большего рода (и тем самым отличие трехмерных многообразий
рода 2 (см. § 5) от трехмерных многообразий большего рода). Обозначим
через г симметрию кренделя Н2 относительно оси ОХ (рис. 106).
Рис. 106
СЛЕДСТВИЕ 3.2. Любой гомеоморфизм поверхности дН2 на себя изо-
топен симметричному (т. е. коммутирующему с инволюцией г) гомео-
морфизму.
Доказательство следствия вытекает из симметричности отно-
сительно ИНВОЛЮЦИИ Г КрИВЫХ С1-С5.
3.9. Группа гомеотопий полного кренделя
Группа //(//л) гомеотопий полного кренделя Нп рода п определяется,
аналогично случаю поверхности, как фактор-группа группы гомеомор-
физмов по нормальной подгруппе гомеоморфизмов, изотопных
тождественному. Удобно не быть излишними формалистами и считать, что
группа Н(Нп) состоит из гомеоморфизмов кренделя Нп на себя, причем два
гомеоморфизма задают один и тот же элемент тогда и только тогда, когда
они изотопны. Имеется естественный гомоморфизм i: Н(Нп) —> Н(дНп),
сопоставляющий каждому гомеоморфизму кренделя Нп его ограничение на
край. Оказывается, что ядро гомоморфизма i тривиально. Другими сло-
вами, группу Н(Нп) можно отождествить с подгруппой группы Н(дНп),
порожденной теми гомеоморфизмами поверхности дНп, которые продол-
жаются на внутренность кренделя. Тривиальность ядра вытекает из сле-
дующей теоремы о тривиальности группы Н(Нп, с частным случаем
которой (при п = 0, т. е. для трехмерного шара) мы уже знакомы (см.
"прием Александера", в п. 3.3).
88
Рис. 107
ТЕОРЕМА 3.7. Любой неподвижный на крае гомеоморфизм полного
кренделя на себя изотопен тождественному.
При доказательстве этой теоремы нам понадобится лемма об изо-
топности дисков, лежащих в Нп и имеющих общий край в дНп, Единст-
венным существенным для доказательства свойством кренделя Нп яв-
ляется его неприводимость, поэтому мы сформулируем ее в общем случае.
Напомним, что трехмерное многообразие называется неприводимым,
если любая лежащая в нем двумерная сфера ограничивает трехмерный
шар. Неприводимость полного кренделя, как и любого вкладываемого в R3
компактного трехмерного многообразия со связным краем, следует из
теоремы Александера [14] о неприводимости пространства /?3, которую мы
докажем в п. 7.1.
ЛЕММА 3.3. Любые два диска DX,D2 в неприводимом трехмерном
многообразии М с общим краем = dD2 с дМ изотопны.
Доказательство. Если диски D}, D2 не имеют общих внут-
ренних точек, то их объединение Dx u D2 является сферой, которая из-за
неприводимости обязана ограничивать шар. Этот шар можно отожде-
ствить со стандартным шаром так, чтобы диски Dx и D2 совпали с нижней
и верхней полусферами, а тогда существование искомой изотопии совер-
шенно очевидно (см. рис. 107, на котором изображена изотопия в шаре,
причем для наглядности шар разрезан на две половины).
Допустим, что диски Dj, D2 имеют общие внутренние точки. Тогда их
89
пересечение (будем считать, что диски пересекаются трансверсально)
состоит из конечного числа окружностей. Выберем из них окружность С -
самую внутреннюю по отношению к диску Dv Это означает, что внут-
ренность диска Е{ a D{, отсекаемого окружностью С, не должна пересе-
кать диска D2. Отметим, что таких окружностей может быть несколько и
что пересечение диска Dx с внутренностью отсекаемого окружностью С
диска Е2 cz D2 может не быть пустым. Диски Е2 имеют общие края и
не имеют других общих точек, поэтому Е\ и Е2 - сфера, которая из-за
неприводимости ограничивает шар. Отсюда следует существование изо-
топии ht: М —> М, 0 t 1, уничтожающей часть пересечения дисков, в
которую заведомо входит окружность С (рис. 108).
Повторное применение этого рассуждения сводит доказательство лем-
мы к уже рассмотренному случаю дисков без общих внутренних точек.
Доказательство теоремы 3.7. Пусть h.Hn —» Нп - неподвиж-
ный на крае гомеоморфизм кренделя Нп на себя. Обозначим через
D2, ..., Dn меридиональные диски кренделя Нп, после разрезания, по кото-
рым крендель превращается в шар. Под действием гомеоморфизма h эти
диски переходят в диски h(D1 i п, с теми же краями. По-
следовательно применяя лемму 3.3, их можно с помощью изотопии вер-
нуть на прежние места, т. е. добиться, чтобы каждый диск h(Dj) совпал с
диском Dj. Теперь нужно дважды воспользоваться приемом Александера:
для двумерного диска и трехмерного шара. Сначала, применив его к
гомеоморфизму h\D. :Di —> £>z, добьемся тождества на дисках Затем,
применив его к кренделю Нп, разрезанному по дискам D,-, т. е. к шару,
построим искомую изотопию.
Займемся теперь исследованием подгруппы Н(Нп) группы Н(дНп). К
сожалению, она не является нормальной подгруппой. Например, пусть го-
меоморфизм ф тора меняет местами меридиан fl и параллель X. Тогда
гомеоморфизм = ф~1'Тцф> где - скручивание вдоль меридиана, явля-
ется скручиванием вдоль параллели X, причем гомеоморфизм поверх-
ности дНх продолжается на внутренность полного тора (т. е. лежит в
подгруппе //(//])), а гомеоморфизм не продолжается.
90
/ Здесь уместно привести полезный критерий продолжаемости данного
Гомеоморфизма поверхности кренделя на его внутренность.
ТЕОРЕМА 3.8. Гомеоморфизм поверхности полного кренделя на себя
тогда и только тогда продолжается на его внутренность, когда образ
каждого меридиана стягиваем в полном кренделе.
Доказательство. Необходимость очевидна, так как каждый
меридиан по определению ограничивает диск в полном кренделе, т. е.
стягиваем, а образ стягиваемой кривой должен быть стягиваемым. Дока-
зательство достаточности опирается на лемму Дена о том, что если про-
стая замкнутая кривая в крае трехмерного многообразия М стягиваема в
М, то она ограничивает диск в М. Пусть h : дНп —> дНп - гомеоморфизм,
Рис. 109
D2, Dn- меридиональные диски полного кренделя Нпъпц, ...,тп-
их края. Предположим, что кривые h(m^ стягиваемы в Нп. Тогда по лемме
Дена найдутся такие непересекающиеся диски Д', D2, ..., D'n cz Нп, что
можно продолжить гомеоморфизм h сначала на диски Dh положив
и(Д) = D-, а потом по радиусам на оставшийся трехмерный шар.
Следует отметить, что приведенный критерий носит алгоритмический
характер. Действительно, фундаментальная группа полного кренделя сво-
бодна и проверка стягиваемости кривой сводится, таким образом, к про-
верке тривиальности слова в свободной группе. Алгоритмическая разре-
шимость такой проблемы известна [15].
Поставим себе следующую задачу: найти порождающие элементы
группы Н(Нп). По аналогии с теоремой 3.6 можно предположить, что
группа Н(Нп) С Н(дНп) порождена скручиваниями вдоль тех простых
замкнутых кривых в дНт которые ограничивают диски в Нп (скручивание
вдоль органичивающей диск кривой продолжается на внутренность оче-
видным образом: нужно разрезать полный крендель по диску, скрутить на
360° и склеить опять). Однако, при чуть более внимательном рассмот-
рении, оказывается, что скручивание TD вдоль любого диска D С Нп инду-
цирует тождественный автоморфизм фундаментальной группы щ(Нп) ~ Fn.
Действительно, образующие группы можно реализовать кривыми у,,
1 z и, так, чтобы они пересекали диск D только в его центре, а тогда
скручивание xD никак не затрагивает кривых уг (рис. 109). Таким обра-
зом, любой порожденный скручиваниями вдоль ограничивающих дис-
ки кривых гомеоморфизм полного кренделя индуцирует тождество в
91
фундаментельной группе, т. е. алгебраически тождествен. Существуют ли
алгебраически нетождественные гомеоморфизмы кренделя Нп? Ответ на
этот вопрос резко положителен.
ТЕОРЕМА 3.9. Любой автоморфизм свободной группы ранга и реали-
зуется гомеоморфизмом полного кренделя Нп.
Доказательство. Обозначим через уь у2, •••> Уп свободные
образующие группы Fn ранга п. Пусть автоморфизм pik переставляет
образующие у, и ук, автоморфизм oz заменяет образующий элемент у, на
у~\ автоморфизм uik состоит в приписывании образующего у, к обра-
зующему ук. Во всех случаях не упомянутые образующие не меняются.
Как доказал Нильсен [см. 15], группа Ф/7 автоморфизмов группы Fn
порождена автоморфизмами pik, a,, uik, где 1 iк п. Поэтому для
доказательства теоремы достаточно построить гомеоморфизмы pik, ,
uik, геометрически реализующие указанные автоморфизмы.
Следующее очевидное соображение весьма полезно для построения
гомеоморфизмов. Представим себе, что у нас есть изотопия ср,: Нп —> R3
кренделя Нп, в процессе которой он сдвигается со своего места, "путе-
шествует" по пространству /?3 и в конечный момент возвращается назад.
Конечный гомеоморфизм этой изотопии отображает крендель Нп в себя,
его мы и имеем в виду.
Рассмотрим три изотопии кренделя по пространству R3, Первая из них
переставляет ручки с номерами i и к, вторая поворачивает ручку с
номером i на 180°, в процессе третьей одно из оснований ручки с номером i
протаскивается по ручке с номером к (рис. 110). Будем считать, что в
качестве кривых, задающих образующие у, группы Fn, взяты оси ручек с
соответствующими номерами. Тогда простой анализ рисунка показывает,
что конечные гомеоморфизмы описанных изотопий можно взять в каче-
стве искомых реализаций pik, , uik автоморфизмов pik, uik. Итак, все
нильсеновские автоморфизмы реализуемы, откуда следует реализуемость
любого автоморфизма.
Следующее свойство замечательно тем, что в нем мы впервые и в
самой простой ситуации встречаемся с задачей о деформации гомотопи-
ческой эквивалентности в гомеоморфизм, исследование которой оказало
существенное влияние на становление современной топологии трехмерных
многообразий.
СЛЕДСТВИЕ 3.3. Любая гомотопическая эквивалентность полного
кренделя на себя гомотопна гомеоморфизму.
Доказательство. Гомотопическая эквивалентность индуци-
рует изоморфизм фундаментальных групп, который по доказанному
реализуется гомеоморфизмом. Гомотопность данной эквивалентности и
гомеоморфизма следует из того, что на фундаментальную группу они
действуют одинаково, а все высшие гомотопические группы полного
кренделя тривиальны.
Продолжим исследование задачи о нахождении образующих группы
Н(Нп). Как было выяснено, скручивания вдоль дисков заведомо не по-
92
Рис. НО
рождают группу Н{Нп\ так как все они алгебраически тождественны.
Добавим к скручиваниям гомеоморфизмы plk, <5h uik. Тогда оказывается,
что полученная система гомеоморфизмов уже порождает группу Н(Нп).
Нам удобно доказать этот результат в несколько иной форме. Обозначим
через Sfl подгруппу группы Н(Нп), порожденную теми гомеоморфизмами
93
полного кренделя Нп, которые переводят множество меридианов
z=l
в себя (поточечной неподвижности меридианов не требуется). Сразу отме-
тим, что гомеоморфизмы pik и oz лежат в группе Sn, поскольку гомео-
морфизм pik переставляет меридианы mz, тк, гомеоморфизм о, переводит
меридиан mz в т[1, а на остальных меридианах эти гомеоморфизмы
неподвижны.
ТЕОРЕМА 3.10. Группа Н(Нп) порождена элементами подгруппы Sn и
гомеоморфизмами щк.
Сразу сформулируем полезное следствие этой теоремы.
СЛЕДСТВИЕ 3.4. Группа Я(//л) порождена конечным числом скру-
чиваний вдоль ограничивающих диски кривых в Нп и гомеоморфизмами plk,
^ik'
Доказательство следствия 3.4. Группа Sn гомеотопий, ин-
вариантных на меридианах, очень близка к рассмотренной ранее группе
Н^дНп, гомеотопий, неподвижных на меридианах. Более точно,
группа Sn порождается элементами подгруппы Н^ЭЯЛ, и гомео-
морфизмами pik, о,. Действительно, каждый элемент группы Sn как-то
переставляет меридианы, но с помощью гомеоморфизмов pik меридианы
можно вернуть на прежние места, да еще и с сохранением ориентаций (за
счет применения гомеоморфизмов oz), что эквивалентно неподвижности
меридианов. В результате получается элемент группы Н^ЭНЛ,
Для доказательства следствия остается заметить, что группа
( A f 2 2п"1
Н\ ЭНп, |Jmz естественным образом изоморфна группе Н\ D , (J А-
V i ) \ *=1 J
гомеотопий диска с 2п - 1 дырками. Из п. 3.6 следует тогда, что она
порождена скручиваниями вдоль конечного числа простых замкнутых
кривых в дНп, которые не пересекают меридианов и по этой причине
ограничивают диски в Нп.
Прежде чем доказывать теорему 3.10, подробно обсудим понятие
системы меридианов полного кренделя.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1. Собственные непересекающиеся диски
О2, ,Dn составляют систему меридиональных дисков, если они раз-
бивают крендель Нп до шара.
Края меридиональных дисков называются меридианами полного
кренделя. Обычно одну систему меридианов (например, систему т},
т2, тп, изображенную на рис. 101) фиксируют и считают базисной.
Конкретный выбор не имеет значения, так как любую систему мери-
дианов можно перевести в любую другую гомеоморфизмом полного
94
Рис. Ill
кренделя - это легко следует из определения меридиональной системы
дисков. Более того, если гомеоморфизмы /гь Л2 : Нп-^> Нп переводят
систему m1,zn2, ...,тп в одну и ту же систему меридианов, то они
отличаются на гомеоморфизм из группы Sn. Действительно, гомеоморфизм
5 = переводит систему пц, ..., тп в себя, а тогда 5 е Sn и Л2 = h^s.
Итак, каждому гомеоморфизму полного кренделя отвечает система
меридианов - образ базисной системы, и каждой системе меридианов
отвечает гомеоморфизм (определенный, правда, с точностью до эле-
ментов из группы Sn). Это позволяет свести изучение группы Н(Нп)
к изучению систем меридианов (или, что то же самое, систем мери-
диональных дисков).
Изложим два полезных приема, позволяющих по одной системе
меридианов строить другую. Первый прием называется /-модификацией
или модификацией вдоль кривой /. Пусть т j, m2, ..., тп - система
меридианов и / с дНп - простая кривая, которая своими концами опирается
на один из меридианов, причем подходит к нему с одной стороны, а других
общих точек с меридианами не имеет. Поскольку порядок меридианов
несуществен, будем считать, что кривая / опирается на меридиан пц. Он
разбивается концами кривой / на две дуги а' и а". Присоединяя каждую
из них к кривой /, получим две простые замкнутые кривые т{ = I и а' и
т"= /иа" (рис. 111). Мы утверждаем, что из систем т{, /и2, ..., тп и т{'
т,2,'-.,тп только одна (на рис. 111 - первая) является системой
меридианов. Для случая п = 1, т.е. для полного тора, это очевидно, а
общий случай сводится к нему разрезанием кренделя Нп по дискам,
натянутым на меридианы m2, т3, ..., тп (рис. 112). Будем говорить, что
новая система меридианов является /-модификацией старой.
Второй прием получения новых систем меридианов называется
операцией связной суммы и состоит в замене одного меридиана связной
95
Рис. 112
суммой двух других. Опишем эту
операцию подробнее, для опреде-
ленности полагая, что к меридиану
гщ добавляется меридиан т2. Пусть
Р - простая кривая, которая соеди-
няет два различных меридиана гщ и
т2 и не имеет с меридианами других
общих точек. Рассмотрим малую
замкнутую окрестность объедине-
ния u Р и т2, гомеоморфную
диску с двумя дырками. Если
гомеоморфизм выбран так, чтобы
края дырок отвечали изотопным
копиям меридианов, то третья
компонента края окрестности,
отвечающая краю диска, называется связной суммой меридианов пц и т2
и обозначается тх # т2. Система кривых тх # т2, т2, ..., тп также
является системой меридианов (рис. ИЗ). Будем говорить, что она
получается из исходной с помощью операции связной суммы.
Отметим ряд полезных свойств модификации вдоль кривой и операции
связной суммы. Во-первых, операция, обратная к операции модификации
вдоль кривой /, является также операцией модификации вдоль той дуги
меридиана ть которая не вошла в новый меридиан т{. Точно так же
Рис. 114
96
Рис. 115
4. С.В. Матвеев, А.Т. Фоменко
97
Рис. 117
операция, обратная к операции связной
суммы, является операцией связной сум-
мы, так как (гщ # т2) # т2~ /щ (при подхо-
дящем выборе кривой, вдоль которой
производится связное суммирование)
(рис. 114). Во-вторых, операция связного
суммирования является частным случаем I-
модификации, где в качестве кривой /
нужно взять кривую, которая идет вдоль
Р, обходит меридиан т2 и возвращается
вдоль р назад. Очень важное для нас
обстоятельство состоит в том, что любую
/-модификацию можно разложить в супер-
позицию операций связного суммирования так, как это изображено на
рис. 115.
ЛЕММА 3.4. Любая система меридианов полного кренделя может
быть получена из любой другой с помощью операций связного сум-
мирования.
Доказательство. Пусть т®,т®, ..., rn® - одна система ме-
ридианов (будем считать ее базисной), тх,т2, ...,тп - вторая. Наша
задача состоит в том, чтобы вторую систему перевести в первую
с помощью изотопий и операций добавления одного меридиана к другому.
Нумерация и ориентации меридианов в системе не имеют значения. Пусть
Въ Въ ...,Вп- такие собственные непересекающиеся диски, что каждый
диск Bi отсекает от кренделя Нп полный тор с меридианом т®
(рис. 116А,Б). Обозначим через D^, D2, ..., Dn меридиональные диски,
натянутые на меридианы пц, т2, ..., тп. Приведем диски В, и Dj в общее
положение и рассмотрим пересечение какого-нибудь диска В, с дисками
D2, ..., Dn. Это пересечение (обозначим его через L) состоит из
замкнутых и незамкнутых дуг. Замкнутые дуги легко уничтожить с
помощью техники устранения пересечений (см. лемму 3.3). Как быть с
незамкнутыми дугами? Выберем самую внутреннюю из них, т.е. такую
дугу а с: L, что отсекаемый ею от диска В, диск В/а не содержит других
дуг из L (см. рис. 117, на котором самые внутренние дуги выделены). Край
диска В/а состоит из двух дуг - дуги а и дополнительной дуги Z, которая
лежит в ЭНп. Внимательно рассмотрим дугу /. Она опирается своими
концами на один из меридианов (обозначим его через т;), подходит к нему
с одной стороны и не имеет с меридианами т}, т2, ..., тп других общих
точек. Поэтому ее можно добавить к меридиану Эффект этой
операции состоит в том, что новая система меридиональных дисков
пересекает диски Bi,...,Bn по меньшему числу дуг, так как новых
дуг пересечения не добавилось, а дуга а заведомо исчезает при малой
изотопии (рис. 118). Как отмечалось выше, добавление дуги реализует-
ся несколькими добавлениями одного меридиана к другому. Описан-
ным способом можно уничтожить все пересечения, а тогда полученная
98
система меридианов будет
изотопна базисной. Действи-
тельно, каждый полный тор
должен содержать хотя
бы один меридиональный
диск этой системы (иначе тор
останется неразрезан-
ным, что противоречит опре-
делению системы меридиа-
нов). С другой стороны,
число меридианов совпадает с числом торов, поэтому в каждом торе
лежит ровно один меридиональный диск системы, край которого изотопен
меридиану т® (поскольку любые два меридиана полного тора изотопны).
Доказательство теоремы 3.10. Как отмечалось выше, каждой
системе меридианов отвечает определенный с точностью до элементов
группы Sn гомеоморфизм кренделя Нп на себя, переводящий базисную
систему меридианов в данную. Как изменяется этот гомеоморфизм при
добавлении одного меридиана к другому? Оказывается, что он с
точностью до элементов группы Sn домножается на гомеоморфизм
z?12. Если этот факт установлен, то справедливость теоремы 3.10 сразу
следует из леммы 3.4, поэтому займемся его обоснованием. Пусть
..., тп - система меридианов и I - соединяющая меридианы и
дуга, вдоль которой производится добавление меридиана т, к меридиану
mj. Выберем гомеоморфизм h : Нп-ь Нп, который переводит эту систему
в базисную, причем меридиан т1 - в меридиан т®, меридиан - в ме-
4*
99
ридиан zftO, а кривую I - в кривую /°, изображенную на рис. 119. На
рис. 120 хорошо видно, что гомеоморфизм Wj2, который состоит в про-
таскивании одного из оснований второй ручки по отмеченной пунктиром
кривой, переводит меридиан т® в связную сумму mf #т2 и неподвижен на
остальных меридианах mf°, причем связное суммирование выполняется
вдоль кривой Z0. Отсюда следует, что гомеоморфизм h~xU\2h как раз и
реализует добавление меридиана пу к меридиану т, вдоль кривой I.
3.10. Комментарии
Группу гомеотопий часто называют группой классов отображений.
В связи с этим полезно отметить, что в случае замкнутой поверхности F
группу гомеотопий H(F) можно интерпретировать как группу гомотопи-
ческих эквивалентностей поверхности F на себя (гомотопные отображения
считаются, конечно, одинаковыми). Сравнительно просто доказывается,
что любая гомотопическая эквивалентность замкнутой поверхности на
себя деформируется в гомеоморфизм; в случае поверхности с краем могут
существовать и экзотические гомотопические эквивалентности, не де-
формируемые в гомеоморфизм (см. § 2). Более трудной задачей является
доказательство изотопности гомотопных гомеоморфизмов - здесь при-
ходится использовать теорему Бэра [см. 16] о том, что нетривиальные
простые замкнутые кривые на ориентируемой поверхности изотопны тогда
и только тогда, когда они гомотопны (см. § 2).
Понятие скручивания было введено Деном в работе [17]. Там же Ден
указал конечную систему скручиваний, порождающих группу H(F). Приве-
денное нами доказательство существования такой конечной системы
основано на доказательстве Ликориша [18] (см. также работу Д. Бирман
100
Рис. 121
[19]). Скручивания вдоль кривых а,-, ру, 8Ь где 1 с i,j п, \ к п -
называются образующими Ликориша группы Н($Нп) (рис. 121). Можно
доказать, что уже скручивания та.,Тр_, 1 i,j^ п, и 8] порождают
группу Н(дНп). Таким образом, группа Н(дНп) порождена 2п + 1 обра-
зующими и, как доказал С. Хумфрис [20], при п > 1 это число минимально
(группа гомеотопий тора порождена двумя скручиваниями та1 и ТрД
Вопрос о системе определяющих соотношений группы Я(Э//Л) долгое время
оставался открытым, за исключением случая тора группа гомеотопий
Н(дН}) которого изоморфна группе целых унимодулярных матриц второго
порядка SL2(Z). Ее копредставление имеет вид
= (тцтхтц) = 1^- Первое продвижение в случае
п > 1 было достигнуто Д. Бирман и X. Хилденом [21], которые нашли
копредставление группы Н(дН2). Их основное соображение состояло в том,
что любой гомеоморфизм поверхности кренделя рода 2 изотопен сим-
метричному относительно сохраняющей ориентацию инволюции г (этот
факт мы уже отмечали, см. п. 3.7). Оказалось, что и любую изотопию
между симметричными гомеоморфизмами можно сделать симметричной.
Фактор-пространство поверхности дН2 по инволюции г гомеоморфно сфере
S2. Обозначим через alf а2, а6 точки, отвечающие неподвижным
точкам инволюции г. Каждый симметричный гомеоморфизм поверхности
ЪН2 определяет гомеоморфизм сферы S1 на себя, переводящий множество
6
А = (J в себя. Точно так же, каждая симметричная изотопия по-
,=]
верхности дН2 определяет инвариантную на А изотопию сферы. Поэтому
группа Н(дН2) тесно связана с группой H(S2, А) инвариантных на А
гомеотопий сферы 52, которая, в свою очередь, тесно связана с группой
косВ5. Копредставление группы кос известно давно (см. п. 3.4).
Изложенный метод выписывания копредставления группы //(Э//2) не
переносится на поверхности большего рода. В 1975 г. с помощью алге-
браической техники было показано, что и для п > 2 конечное копред-
ставление группы Н(дНп) существует [22]. В 1980 г. Хэтчер и Терстон [23]
101
нашли способ явного выписывания копредставления группы Н(дНп), на
основе которого Вайнриб [24] предложил систему определяющих соотно-
шений вполне приемлемых размеров.
Приведенное доказательство конечной порожденное™ группы гомео-
топий полного кренделя Н(Нп) принадлежит С.В. Матвееву (1973). Другое
доказательство можно найти в статье [25]. Интересно отметить, что число
образующих группы H{Hn) может быть уменьшено до пяти независимо от
того, чему равен род кренделя.
§4. ЗАДАНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИИ
ОТОЖДЕСТВЛЕНИЕМ ГРАНЕЙ
МНОГОГРАННИКОВ
4.1. Трехмерные многообразия с коническими особенностями
Пусть имеется конечное число многоугольников, ребра которых раз-
биты на пары. Для каждых двух ребер одной пары выберем какой-нибудь
гомеоморфизм одного ребра на другое. Обозначим через К пространст-
во, получающееся из многоугольников отождествлением ребер по всем
выбранным гомеоморфизмам. Как было доказано в п. 2.1, К всегда
является замкнутой поверхностью.
Перейдем к трехмерному случаю. Пусть имеется конечное множество
выпуклых многогранников, грани которых разбиты на пары. Каждые две
грани, входящие в одну пару, должны иметь одинаковое число сторон.
Склеим грани каждой пары по какому-нибудь гомеоморфизму, переводя-
щему вершины - в вершины, ребра - в ребра. Оказывается, что резуль-
тат такого склеивания уже не обязан быть многообразием - могут наблю-
даться особенности типа конуса над замкнутой поверхностью. Опишем
объекты такого вида более формально.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.1. Топологическое пространство К называется
трехмерным многообразием с коническими особенностями, если оно полу-
чается из некоторого компактного трехмерного многообразия М взятием
конуса над каждой компонентой его края.
Мы требуем, конечно, чтобы все конусы имели различные вершины,
не пересекались друг с другом и пересекались с многообразием М только
по своим основаниям (рис. 122).
ТЕОРЕМА 4.1. Любое пространство, полученное попарным склеива-
нием граней конечного числа выпуклых многогранников, является много-
образием с коническими особенностями.
Доказательство. Обозначим через К пространство, о кото-
ром идет речь в теореме. Докажем, что каждая точка х е К имеет окрест-
ность, гомеоморфную конусу над замкнутой поверхностью. Этого доста-
точно для доказательства теоремы, так как особые точки (т.е. точки с
окрестностями типа конуса над не сферой) всегда изолированы, по сообра-
жениям компактности их будет лишь конечное число и удаление их от-
крытых конических окрестностей приводит к такому многообразию М с
краем, что взятие конусов над его компонентами края дает наше прост-
ранство К.
Если точке х е К отвечает точка внутри какого-нибудь многогранни-
103
Рис. 122
ка или пара точек на гранях, то существование шаровой окрестности
точки х в К очевидно. Пусть точка х получается отождествлением точек
хь х2, —, хп> лежащих на ребрах или в вершинах многогранников. Каждая
точка Xj имеет в содержащем ее многограннике окрестность типа конуса
над многоугольником (своим линком). Если х; - вершина, то число сторон
многоугольника равно числу исходящих из нее ребер, если xz лежит на реб-
ре, то многоугольник является криволинейным двуугольником (рис. 123).
За счет правильного выбора конических окрестностей точек х, можно
добиться, чтобы при попарном склеивании граней стороны многоуголь-
ников (линков вершин) также попарно склеивались. Как отмечалось
выше, такое склеивание всегда дает замкнутую поверхность F, а тогда
склеивание конических окрестностей точек xz дает окрестность точки х в
К, гомеоморфную конусу над поверхностью F.
Обсудим теорему 4.1 более подробно, чтобы выяснить, как возникают
особые точки и какие они могут быть. Если точка хе К склеивается из
вершин многогранников, то воз-
никновение особенности абсолют-
но ясно: из многоугольников, отсе-
кающих вершины, может скле-
иться любая замкнутая поверх-
ность, причем нетрудно выяснить,
какая именно поверхность реаль-
но получается при данной склейке
(см. разобранный ниже пример).
Пусть точка х получается
отождествлением точек х1?х2, ...,
104
xlv лежащих на ребрах многогранников. Тогда поверхность F, конус над
которой гомеоморфен окрестности точки х, склеивается из двуугольников.
Если в результате склеивания вершин этих двуугольников получаются
две точки, то поверхность F гомеоморфна сфере S2. Точка х в этом случае
не является особой. Если же вершины двуугольников склеиваются в одну
точку, то поверхность F гомеоморфна проективной плоскости. Этот факт
легко доказывается путем подсчета эйлеровой характеристики поверх-
ности F. Второй случай бывает тогда и только тогда, когда каждая точ-
ка Xi совпадает с серединой содержащего ее ребра (предполагается, что
склейки линейны на ребрах). После выполнения всех отождествлений это
ребро склеивается с собой с изменением направления, т.е. складывается
пополам.
В дополнение к теореме 4.1 полезно разобрать следующий важный
вопрос: когда при склеивании многогранников получается ориентируемое
многообразие с особенностями? Под ориентируемостью многообразия с
особенностями можно, как и в случае обычного многообразия, понимать
отсутствие обращающего ориентацию замкнутого пути. Разумеется, путь
не должен проходить через особые точки. Выберем на каждом многогран-
нике одну из двух возможных ориентаций и рассмотрим индуцированные
ориентации граней. Другими словами, выберем на каждой грани направ-
ление обхода так, чтобы оно казалось положительным, если смотреть из-
нутри многогранника. Каждое общее ребро двух примыкающих много-
угольников проходится при этом в двух противоположных направлениях.
Назовем склейку ориентируемой, если она меняет направление обхода
граней. Мы предпочли судить о склейке не по тому, что она делает
(меняет ориентацию), а по конечному результату (дает ориентируемое
многообразие).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.1. Многообразие с коническими особенностями,
полученное склеиванием граней многогранников, ориентируемо тогда и
только тогда, когда ориентации многогранников можно выбрать так, что-
бы все склейки стали ориентируемыми.
Доказательство. Пусть / - замкнутый путь в многообразии,
полученном ориентируемыми склейками. С помощью небольшого шеве-
ления добьемся, чтобы он не проходил через образы ребер многогран-
ников. Тогда путь / можно разбить на участки, каждый из которых лежит
в своем многограннике и идет от одной его грани к другой. При движении
точки по такому участку ориентация его окрестности остается согласован-
ной с ориентацией всего многогранника. Поскольку склейки ориентируе-
мы, то это же остается верным и при переходе через грань из одного
многогранника в другой. Поэтому путь I сохраняет ориентацию.
Докажем предложение в другую сторону: если многообразие ориенти-
руемо, то его ориентация дает ориентации всех многогранников. Ясно, что
по отношению к этим ориентациям многогранников все склейки являются
ориентируемыми.
Замечание. Ориентируемое многообразие с коническими осо-
бенностями не может иметь особенностей типа конуса над проективной
плоскостью, как, впрочем, и типа конуса над любой замкнутой неориенти-
105
Рис. 125
руемой поверхностью, поскольку в противном случае обращающий ориен-
тацию замкнутый путь на поверхности обращал бы ориентацию много-
образия. Поэтому в случае ориентируемых склеек особенностей на ребрах
заведомо не возникает.
Разберем пример, наглядно показывающий, как может возникнуть
особенность типа конуса над тором. Рассмотрим два тетраэдра ABCD,
EFGH и склеим их грани по правилу ABD <-> FEH, BCD EFG, ADC <-»
EGH, АСВ <-» FHG.
Анализ этих склеек показывает, что они ориентируемы и что все
вершины склеиваются в одну. Поэтому в результате получается много-
образие М, имеющее не более одной особой точки. Чтобы узнать тип
особенности, отрежем от тетраэдров уголки (рис. 124) и выясним, какая
поверхность получается из возникающих в результате отрезания тре-
угольников. Схема склейки треугольников диктуется схемой склейки
тетраэдров. Например, ребро А^2 треугольника приклеивается к
ребру F\F2 треугольника F1F2^3, поскольку грань ABD склеивается с
гранью FEH. Из рис. 125 ясно, что искомая поверхность F представляет
собой четырехугольник с отождествленными противоположными сторо-
нами, т.е. тор.
106
Замечание. Можно доказать (см. [26]), что многообразие М с
краем тор (т.е. М с удаленной конической окрестностью особой точки)
гомеоморфно дополнительному пространству узла "восьмерка".
4.2. Критерий отсутствия особенностей
Как узнать, получается ли в результате склеивания многогранников
настоящее многообразие, т.е. многообразие без особенностей? Преды-
дущее обсуждение показывает, что для этого ребра не должны склады-
ваться пополам и каждая вершина должна иметь окрестность типа конуса
над сферой. Эти условия допускают прямую проверку, но она довольно
громоздка. Оказывается, существует простой и эффективный критерий
того, что данное многообразие с коническими особенностями на самом
деле является настоящим многообразием. Напомним, что эйлерова харак-
теристика /(А") клеточного комплекса К определяется формулой %(К) =
= X (-1/ ci (^), гДе С/(Ю - число клеток размерности I.
i
ТЕОРЕМА 4.2. Эйлерова характеристика любого замкнутого трех-
мерного многообразия равна нулю.
Доказательство. Справедливость этой теоремы для много-
образий любой нечетной размерности легко вывести из выражения эйле-
ровой характеристики %(/С) = £(-l)z rank//ДА") через ранги групп гомо-
i
логий и двойственности Пуанкаре. Мы предпочитаем привести прямое
доказательство теоремы, поскольку оно лучше проясняет геометрическую
суть дела. Воспользуемся тем, что эйлерову характеристику многообра-
зия К можно вычислять, исходя из его разбиения на ручки: в формуле
%(АГ) = <\(К) под числом с,(АЭ можно понимать число ручек индек-
i
са i. Если приклеивать ручки в обратном порядке, то каждая ручка
индекса i становится ручкой индекса 3 - i. Поэтому с^К) =
i
= Х(-1)3”гсДАЭ, откуда следует, что %(АЭ = 0.
i
СЛЕДСТВИЕ 4.1. Эйлерова характеристика любого компактного
трехмерного многообразия М с краем равна половине эйлеровой харак-
теристики края.
Доказательство. Рассмотрим удвоение W многообразия М,
т.е. многообразие, получающееся из двух экземпляров М\,М2 много-
образия М склеиванием по тождественному отображению на крае. Так как
многообразие W замкнуто, то по теореме 4.2 его эйлерова характеристика
равна нулю. С другой стороны, %(И0 = + %(Л/2) - %(Mi А М2) = 2%(М)
- %(ЭМ). Поэтому х(Л/) = 1/2Х(ЭЛ/).
Сформулируем теперь критерий отсутствия особенностей.
ТЕОРЕМА 4.3. Многообразие с коническими особенностями являет-
ся настоящим многообразием тогда и только тогда, когда его эйлерова
характеристика равна нулю.
107
Доказательство. Справедливость теоремы в одну сторону
прямо следует из теоремы 4.2. Докажем ее в другую сторону. Пред-
положим, что М - многообразие с коническими особенностями и %(М) = 0.
Пусть хъ..., хп - особые точки многообразия М и U\ = Con ..., Un -
- Con Fn - их конические окрестности. Эйлерова характеристика каждой
из них равна 1, как и всякого конуса. Вырезав из многообразия М объеди-
нение U = U Ц окрестностей Uh получим настоящее многообразие /V, край
i
которого состоит из поверхностей F2,Fn. Так как М = N U U и
N А I/ = Э/V, то %(А/) = %(W) + - %(3/V). Учитывая, что %(£/) = п и
X(W) = VzXC^N) по следствию 4.1, эту формулу можно переписать в виде
п
= п - l/2x(3/V) = У (1-1 /2х(^)). Каждая точка х, по предполо-
Г = 1
жению является особой, т.е. поверхность Fj отлична от сферы. Ее эйле-
рова характеристика поэтому меньше двух, откуда следует положитель-
ность каждого слагаемого 1 - ^Х^/)- Таким образом, равенство X(bf) = 0
возможно только в случае п = 0, т.е. в случае отсутствия особых точек.
п
Замечание. Равенство х(^) = Z 0 ~ / 2х(^)), появившееся в
/=1
процессе доказательства теоремы 4.3, можно применять для определения
типов особенностей. Например, если особая точка только одна и много-
образие ориентируемо, то тип поверхности Г, служащей основанием ее
конической окрестности, однозначно определяется по эйлеровой характе-
ристике x(F) = 2 - 2х(ЛТ).
Сопоставление этой формулы с формулой %(F) = 2 -2g, где g - род
поверхности Г, показывает, что в рассматриваемом случае род поверх-
ности g численно равен эйлеровой характеристике многообразия М. В
разобранном выше примере склейки двух тетраэдров многообразие М
имеет одну вершину, 2 ребра, 4 двумерные грани и две трехмерные. По-
этому х(^) - 1, т.е. поверхность F - тор.
4.3. Линзовые пространства
В этом пункте мы расскажем о линзовых пространствах (или просто
линзах) - первом полностью классифицированном классе трехмерных
многообразий. Класс линзовых пространств очень важен для понимания
структуры трехмерных многообразий, хотя он и невелик, и не ’’типичен".
Пусть р > q > 0, р 3 - пара взаимно простых целых чисел.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2. Рассмотрим р-угольную бипирамиду, т.е. объ-
единение двух конусов над правильным р-угольником. Обозначим через
Ао, Аь ..., Ар_х вершины р-угольника, через 5+, - вершины конусов. Для
каждого i склеим грань А$+Ам с гранью Ai+qS_ Ai+q+i (индексы берутся по
модулю р и вершины склеиваются в том порядке, в котором они напи-
саны) (рис. 126). Получившееся пространство и есть линзовое простран-
ство Lp q.
108
Простой подсчет показывает, что
эйлерова характеристика пространства
Lpq равна 0. По теореме 4.3 оно
является замкнутым трехмерным мно-
гообразием, причем ориентируемым,
так как все использованные склеивания
ориентируемы.
Не все линзовые пространства
различны.
ТЕОРЕМА 4.4. Если q =
+qx mod р, то линзовые пространства
Lp q и Lp гомеоморфны.
Доказательство. Так как
поворот на угол 2nqlp совпадает с
поворотом на угол 2я(р - q)/p в обрат-
ную сторону, то линзы Lp q и Lp p_q
гомеоморфны. Докажем, что при
qqx = Imod р линзы Lp,qLPtq также
гомеоморфны.
Разрежем бипирамиду S^S^AqA^ ... Ар_у на р тетраэдров А,- А/5, S/,
0 i < р - 1 (рис. 126 и 127). Если в этом множестве тетраэдров вы-
полнить сначала все внутренние склеивания (т.е. склеить каждую грань
AfS,- Я* с гранью А^Д+Д^), то получится исходная бипирамида, а если
затем выполнить внешние склеивания (т.е. склеить каждую грань
с гранью А/+^5/+^АД^+1), то получится линза Lp q. Выполним
теперь склейки в обратном порядке - сначала внешние, потом внут-
ренние. После выполнения внешних склеек получается бипирамида 5^ ...
... Sq(p-\)A+А~. Перенумеруем вершины ее основания в естественном по-
рядке: ... Вр_\. Внутренние склеивания теперь приобретают вид:
грань ВД+В'+у склеивается с гранью Bl+q^A~Bi+qi+v В результате полу-
чается линзовое пространство Lp qv Таким образом, линзовые простран-
ства Lp q и Lp qx получаются из одних и тех же тетраэдров путем одних и
тех же склеек. Так как порядок выполнения склеиваний несуществен, то
линзы Lp qnLp qx гомеоморфны.
Справедливо и обратное утверждение: если линзовые пространства
qi, Lp q гомеоморфны, то р = рх и q = ±q j mod p. Равенство p = P\
очевидно, так как фундаментальная группа линзы Lp q изоморфна группе
Zp порядка р, а порядок фундаментальной группы является инвариантом
гомеоморфизма. Доказательство того, что при q Ф ip^mod р линзовые
пространства Lp q,Lp qx не гомеоморфны, представляет собой довольно
сложную задачу. Эта задача была решена в 1935 г. Райдемайстером с
109
Рис. 127
помощью придуманного им для этой цели алгебраического инварианта,
который называется теперь кручением Райдемайстера. Изложение кру-
чения Райдемайстера далеко бы увело нас за рамки настоящей книги,
поэтому мы отсылаем читателя к работе [27].
Другое решение этой задачи можно предложить на основе теоремы о
единственности разбиения Хегора линзового пространства, доказанной в
работе [28] (см. § 5).
Чтобы описать линзовые пространства с различных сторон, дадим еще
несколько определений линзовых пространств, эквивалентных определе-
нию 4.2. Предварительно приведем классификацию простых замкнутых
кривых на торе.
Напомним, что фундаментальная группа двумерного тора Т2 = S1 х 51
изоморфна свободной абелевой группе Z Ф Z. В качестве свободных обра-
зующих можно взять меридиан ц и параллель X, т.е. ориентированные
окружности S1 х {*) и {*} х 51. Таким образом, каждой ориентированной
замкнутой кривой на торе отвечает пара целых чисел </,р, где ц^Хр -
запись соответствующего ей элемента фундаментальной группы через
образующие.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.2. Элемент ц5Хр фундаментальной группы тора
реализуется нетривиальной ориентированной простой замкнутой кривой
тогда и только тогда, когда числа р, q взаимно просты.
Доказательство. Пусть р, q взаимно просты. Отметим на
цилиндре D2 х I р его образующих, являющихся ребрами правильной
вписанной р-угольной призмы. Склеим теперь основания цилиндра с пово-
ротом на угол iTtq/p (рис. 128). Из отмеченных образующих склеится при
этом несколько простых замкнутых кривых, число которых равно наи-
большему общему делителю чисел р, q. При взаимно простых р, q полу-
чится всего одна кривая, которая очевидным образом имеет тип
Для доказательства того, что простой замкнутой кривой на торе
отвечают взаимно простые числа, мы привлечем понятие индекса пере-
сечения. Напомним, что индекс пересечения двух кривых на ориентиро-
ванной поверхности определяется так: нужно привести кривые в общее
положение и около каждой точки их пересечения поставить число +1 или
-1 в зависимости от того, согласован ли составленный из их векторов
скорости репер с ориентацией поверхности или нет. Индекс пересечения
кривых равен сумме поставленных чисел. Он зависит только от клас-
сов гомологий, определяемых кривыми, и аддитивен по каждому
аргументу.
Для каждой нетривиальной простой замкнутой кривой на торе най-
дется кривая, пересекающая ее только в одной точке. Если первая
кривая имеет тип q, р, вторая - q\,P\, то их индекс пересечения равен
- pq{ (это следует из аддитивности по каждому аргументу и из того,
что индекс пересечения меридиана с параллелью равен 1). Так как кривые
пересекаются ровно в одной точке, то qp\ - pqx = ±1, откуда следует, что
q. р взаимно просты.
111
Пару чисел (q, р) будем называть типом кривой pq№ на торе. Отме-
тим, что кривые одного типа гомотопны, а если они не имеют самопересе-
чении, то и изотопны (см. § 2).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.3. Выберем целые числа </i,Pi так, чтобы опре-
(q
делитель матрицы , где р> q > 0, р 3 - данные взаимно простые
PiJ
целые числа, был равен 1. Пусть h - отвечающий матрице гомеоморфизм
поверхности полного тора. Тогда линзовое пространство Lpq есть ре-
зультат склеивания двух полных торов по гомеоморфизму h.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.4. Выберем на поверхности полного тора D2 х 51
простую замкнутую кривую / типа (q, р). Приклеив к тору ручку индек-
са 2 вдоль кривой Z, получим трехмерное многообразие с краем сфера.
Линзовое пространство Lp q есть результат заклеивания этой сферы
шаром.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.5. Отождествим пространство /?4 с комплексным
пространством С2 и представим единичную сферу в виде S3 = {(гъ
z2) I IZ] | 2 + I z2 I = 1}. Зададим на ней действие циклической группы Jp =
= ( а I ар = 1 ) порядка р, полагая a(zxz2) = (ezb eqz2\ где е = е2к г1р.
Линзовое пространство Lpq есть пространство орбит этого действия.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.3. Определения 4.2-4.5 эквивалентны.
Доказательство. Приклейку одного полного тора к другому
можно выполнить в два этапа: сначала приклеить шайбу D2 х с, где с -
дуга окружности S1, затем оставшийся топологический шар D2 х сь где
- дополнительная дуга (рис. 129). Шайба представляет собой не что
иное, как ручку индекса 2, приклеенную вдоль кривой / = А(ц) типа (q,p).
Поэтому определение 4.3, в сущности, совпадает с определением 4.4.
Чтобы разобраться с определением 4.5, модифицируем его двумя
способами. Во-первых, сферу S3 можно заменить на край $□ полукруга
{(z1? z2) I I I 1, I z2 I 1}, во-вторых, на джойн 5* окружностей
{zj I I zj I = 1} = 5 J и [z2 I I z2 I = 1) = S2i задаваемый равенством S3 =
= {(zb z2) I I Zi I + I z2 I =1}. Здесь следует напомнить, что джойн S3 =
= S} * 52 состоит из всех отрезков, один конец каждого из которых лежит
на окружности Sb второй - на окружности S2. Правило (zb z2) —> (Ezb eqz2)
задает действие группы Jp как на пространстве SD, так и на пространст-
ве S3. При этом проекция из начала координат определяет эквивариант-
о 3 з
ный гомеоморфизм сферы S на SD и S*, см. рис. 130, где изображены
з 3 з
действительные аналоги сфер S , , S*. Поэтому линзу Lp д в опре-
з
делении 4.5 можно трактовать и как фактор-пространство сферы $□, и
как фактор-пространство сферы S3.
112
з
Пространство Sq/Jp разбивается на
два эквивариантных полных тора Нх =
{(zH z2) I I Z1 I 1, I Z2 I = 1} и =
{(z!, z2) I I zj I = 1, | z2 I 1}, причем
меридиан ц2 = {(zb z2) I Zj = 1,1 z2 I = 1}
второго тора совпадает с парал-
лелью Xj первого. Нетрудно видеть,
что фактор-пространства Hx/Jp и H[Up
также являются полными торами. Тор
HJJp получается, например, из
цилиндра {(zb z2) I I zx I 1,1 z2 I = 1,
0 argz2 2п/р] отождествлением
оснований с поворотом на угол 2nq/p.
Меридиан Ц2 второго из них одновре-
менно является кривой типа (q,p) на
крае первого. Это устанавливает эквивалентность определений 4.5 и 4.4.
Чтобы установить эквивалентность определений 4.5 и 4.2, рассмотрим
фундаментальную область действия группы Jp на сфере 5*. В качестве
такой области можно взять джойн а * S2, где а С - дуга, составляющая
(1/р)-ю часть окружности Sp Если изобразить окружность s\ в виде
р-угольника, а дугу а - в виде отрезка [В+, В_], то эту фундаменталь-
ную область можно считать бипирамидой. Пространство Lp q получается
из нее отождествлением верхней части границы пирамиды В+ * 52 с нижней
частью В_*52 по правилу В+*{г2} —> В_*{е^г2}. Так как действие числа
на вторую окружность состоит в повороте на угол 2itq!p, то это отож-
дествление совпадает со склеиванием, использованным в определении 4.2
линзового пространства.
Очень полезно увидеть, почему линзы Lp q и L? х гомеоморфны,
опираясь на определения 4.3-4.5. Для этого, имея в виду определение 4.4,
нужно рассмотреть обратную матрицу, т.е. приклеивать не первый пол-
ный тор ко второму, а второй к первому. В случае определения 4.5 доста-
точно сменить образующий элемент в группе Jp: вместо образующего а
взять образующий agi, где qx = «у-1 mod р.
4.4. Многообразия рода 1
Общее определение рода замкнутого ориентируемого трехмерного
многообразия мы дадим в § 5, а пока ограничимся родом 1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.6. Трехмерное многообразие имеет род 1, если
его можно получить склеиванием двух полных торов по какому-нибудь
гомеоморфизму их краев и нельзя получить склеиванием двух шаров.
Единственное многообразие, которое можно получить склеиванием
113
двух шаров по гомеоморфизму краев, -
это сфера S3. Из определения 4.3 сле-
дует, что любое линзовое пространство
имеет род 1. Оказывается, почти всег-
да верно и обратное: если трехмерное
многообразие имеет род 1, то оно либо
является линзой, либо гомеоморфно
одному из многообразий S2 х S1, RP3.
Убедимся, что S2 х 51 и RP3
действительно имеют род 1. В случае
многообразия S2 х S1 это очевидно: оно
представляется в виде объединения
двух полных торов 5+ х S1, S2. х ЗЛгде
S2_ - верхняя и нижняя полусферы
сферы S2. Матрица, по которой склеиваются эти торы, единична.
Действительное проективное пространство RP3 можно определить как
трехмерный шар с отождествленными диаметрально противоположными
точками края. Построим его разбиение на два полных тора. Одно-
полостный гиперболоид х2 + у2 - z2 = 1 разбивает шар х2 + у2 + z2 1 на
две части, которые мы обозначим через U и V (рис. 131). Обозначим через
U и V пространства, получающиеся из них отождествлением диамет-
рально противоположных точек края шара. Непосредственно видно, что
U - полный тор, так как это пространство получается из цилиндра U
склеиванием оснований. На рис. 131 изображен меридиан этого полного
тора. Несколько сложнее увидеть, что пространство V также гомео-
морфно полному тору. Заметим, что пересечение каждой плоскости ос,
проходящей через ось OZ, с частью V состоит из двух дисков, которые
при склеивании по дуге на крае шара дают один диск. Эти диски можно
параметризовать углом между плоскостью а и плоскостью XOZ,
принимающим значения от -я/2 до тг/2. При этом углам -л/2, л/2
отвечает один и тот же диск. Отсюда следует, что пространство V также
гомеоморфно полному тору. Отметим, что меридиан т полного тора U
пересекает каждый из описанных меридиональных дисков тора V только
в двух точках с одинаковыми индексами пересечения. Поэтому в качестве
матрицы гомеоморфизма, при склеивании двух полных торов по которому
получается проективное пространство, можно взять матрицу
1
2 V
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.4. Любое трехмерное многообразие рода 1 яв-
ляется либо линзовым пространством, либо гомеоморфно одному из много-
образий S2 х S1, RP3.
(а
Доказательство. Пусть матрица гомеоморфизма, по
уу 6J
114
которому один экземпляр полного тора приклеивается к другому, в
результате чего получается данное многообразие М рода 1. Заметим, что
меридиан ц полного тора определен однозначно с точностью до изотопии и
смены ориентации. Это легко получается с помощью техники разрезания-
склеивания (см. § 2). Смена ориентации меридиана первого тора приводит
к смене знаков элементов а, у, второго - элементов а, (J. Поэтому можно
считать, что у 0, а 0. Любая кривая вида является параллелью
полного тора - она ничем не хуже параллели X, поскольку переходит в
нее при гомеоморфизме полного тора на себя (при л-кратном скручивании
вдоль меридионального диска). Замена параллели X на параллель р'гХ (т.е.
замена системы координат) отражается на матрице так: первый столбец
добавляется ко второму с коэффициентом и, если замена выполняется на
первом торе, и второй столбец вычитается из первого с коэффициентом п,
если на втором. Если у * 0, то такими операциями можно добиться, что-
бы 0 ос < у, 0 5 < у. Если у 3, то, согласно определению 4.3,
М = Lp q, где р = у и q = а. При у = 2 получается многообразие RP3, при
у = 1 — сфера S3. Если же у = 0, то с помощью упомянутых операций над
матрицей легко добиться, чтобы а = 1, р = 0 и у = 1, а тогда М = S2xSl.
Замечание. Формально можно было бы положить S3 = Ll<0, S2 х
х S1 = Lqд, RP3 = L2J, но по традиции многообразия S3, S2 х S1, RP3 обычно
не считают линзами (отдавая тем самым дань классическому определению
4.2), поскольку правильных двуугольников (тем более 1- и 0-угольников)
не бывает.
В заключение отметим без доказательства следующий факт (см. [1]):
линзы Lp qn Lp q} гомотопически эквивалентны тогда и только тогда,
когда qi = ±m2qi:}mod р для некоторого целого т.
§ 5. РАЗБИЕНИЕ ХЕГОРА И
ДИАГРАММЫ ХЕГОРА
5.1. Разбиение Хегора
Пусть Му,М2 - компактные трехмерные многообразия с гомео-
морфными краями и h: дМу —> дМ2 - какой-нибудь гомеоморфизм. Склеив
по нему многообразия М2, получим топологическое пространство М =
= M2Uh Му. Докажем, что оно является замкнутым трехмерным много-
образием. Действительно, если точка х g М отвечает точке Ху внутри Му
или М2, то ее шаровая окрестность соответствует шаровой окрестности
точки %! в Му или М2. Если же точка х е М получается склеиванием двух
точек Ху 6 дМ} и х2 е дМ2, то ее шаровая окрестность склеивается из
полушаровых окрестностей точек Ху в Му и х2 в М2. Таким образом,
операция склеивания дает систематический способ построения 3-много-
образий - нужно брать различные (по возможности простые) многообразия
Му, М2 с гомеоморфными краями и склеивать их по различным гомео-
морфизмам краев. Например, склеивание двух экземпляров трехмерных
шаров по тождественному отображению на краях дает трехмерную
сферу, как, впрочем, и склеивание двух шаров по любому гомеоморфизму
их краев. В общем случае результат склеивания существенно зависит от
выбора гомеоморфизма. Например, склеивание двух экземпляров полного
тора по тождеству на краях дает многообразие S2 х S1, тогда как
склеивание по гомеоморфизму, переводящему меридиан в параллель и
параллель в меридиан, дает сферу S3. Проще всего справедливость
последнего факта устанавливается с помощью формулы ’’дифферен-
цирования” д(Му х М2) = = дМу xM2UMyX дМ2, выражающей край пря-
мого произведения двух многообразий через края сомножителей. Взяв Му
= D2y, М2 = £>2, получим разбиение сферы S3 = Э£>4 ~ Э(£> у х D2) = дЬ\ х d\
U Dy х dD2 на 2 полных тора dDyX D2 и D у xdD 2 с общим краем д
2 2 2
Dy xdD2. Меридиан {*} х dD2 первого тора является параллелью вто-
рого, а меридиан dD у х {*} второго - параллелью первого. Полезно
иметь наглядное представление о том, как именно сфера разбивается на
два полнотория. На рис. 132 сфера S3 представлена как результат вра-
щения сферы S2 = R2 U 00 вокруг окружности I U <*>. При этом диск D за-
метает один тор разбиения. Каждая из дуг, соединяющих диски D и Dy,
заметает двумерный диск в S3, причем множество таких дисков пара-
метризуется точками окружности / U Поэтому замыкание дополнения
к первому тору также является полным тором.
116
Оказывается, что любое замкнутое ориентируемое 3-многообразие М
можно получить склеиванием двух полных кренделей подходящего рода.
Другими словами, в М всегда можно найти два таких полных кренделя Я,
И' С Л/, что HUH'= МиНПН' = дН = дН' (крендели Я, Н' обязаны
иметь одинаковый род, поскольку у них одна и та же поверхность).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.1. Разбиение 3-многообразия М в объединение
двух полных кренделей без общих внутренних точек называется разбие-
нием Хегора. Род разбиения равен роду кренделей.
ТЕОРЕМА 5.1. Любое замкнутое ориентируемое 3-многообразие
имеет разбиение Хегора.
Доказательство. Эта теорема является тривиальным следст-
вием существования разбиения любого компактного 3-многообразия на
ручки. Так как каждая ручка индекса 1 приклеена по своему основанию к
ручкам индекса 0, то объединение всех ручек индексов 0 и 1 является
полным кренделем (по определению полного кренделя). Этот крендель
ориентируем, так как лежит в ориентируемом 3-многообразии. Его
дополнение состоит из ручек индексов 2 и 3. Топологически объединение
ручек индекса 3 представляет собой объединение трехмерных шаров,
причем каждая ручка индекса 2 пересекается с этим объединением по
двум дискам. Таким образом, ручки индекса 3 можно трактовать как
ручки индекса 0, ручки индекса 2 - как ручки индекса 1. Это означает,
что объединение ручек индексов 2 и 3 также является полным кренделем.
Эти два кренделя и задают искомое разбиение Хегора.
Говорят, что род Хегора замкнутого ориентируемого 3-многообразия
М равен л, если М допускает разбиение Хегора рода п и не допускает
разбиений Хегора меньшего рода.
Единственное многообразие рода Хегора 0 есть сфера S3, так как
только ее можно получить склеиванием двух кренделей рода 0, т.е.
шаров. Не следует думать, что сфера допускает разбиение Хегора только
117
нулевого рода: ее можно разбить на два полных тора (это мы уже
видели), на два полных кренделя рода 2 и т.д. Аналогичным образом об-
стоят дела и с другими многообразиями. Если род многообразия М равен я,
то М допускает разбиения Хегора любого рода т > п. Как можно
увеличить род разбиения Хегора? Для этого нам понадобится операция
стабилизации.
5.2. Стабильная эквивалентность разбиений Хегора
Пусть Н g U Я' = М - разбиение Хегора рода g многообразия М.
Добавив к кренделю Hg незаузленную ручку В С М индекса 1, получим
полный крендель Hg+i рода g + 1. При этом ручка называется незауз-
ленной, если в М найдется такой 2-диск £>, что D A Hg+1 =dD и кривая 3D
проходит по ручке В только один раз (т.е. трансверсально пересекает по
одному разу каждое основание ручки). Другими словами, диск D должен
Рис. 133
"затягивать” возникшую при добавлении ручки В дырку (рис. 133). Мы
утверждаем, что Н'+1 = С1(Л/-Иg+1) также является полным кренделем.
Действительно, рассмотрим утолщенный диск £>, т.е. ручку С индекса 2,
которая приклеена к Hg+l и осевым диском которой служит диск D. Тогда
ручки В и С составляют устранимую пару ручек: их объединение В U С
представляет собой трехмерный шар, приклеенный к кренделю Hg по
диску на его крае. Поэтому Нg~ Нg U (В U С) = Hg+1 U С, где
обозначает изотопность. Переходя к дополнениям, получаем, что Я' ~
~ Cl(Hg+i - С), причем по отношению к кренделю С1(Я'+1 - С) ручка С
является уже ручкой индекса 1, так как их пересечение состоит из двух
дисков - чуть смещенных экземпляров диска D. Итак, Hg+} = Cl(Hg+1 -
- С) U С получается приклеиванием ручки С индекса 1 к полному
кренделю С1(Я^+1 - С) рода g и поэтому явлется полным кренделем рода
g + 1. Будем говорить, что разбиение Hg+} U Я'+1 = М получается из
разбиения HgU Hg = М операцией стабилизации (или добавлением устра-
118
нимой пары ручек). Обратная операция (уничтожение устранимой пары
ручек) называетсчя операцией дестабилизации.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.2. Два разбиения Хегора многообразия М назы-
ваются эквивалентными, если существует гомеоморфизм многообразия М
на себя, переводящий одно разбиение в другое.
Иными словами, разбиение И' U Hg=M эквивалентно разбиению
h(Hg) U h{Hg) = М, где h : М -» М - гомеоморфизм. Иногда эквивалент-
ность разбиений понимается несколько шире: требуется, чтобы
гомеоморфизм h переводил только общую поверхность кренделей в об-
щую поверхность кренделей, и не требуется, чтобы первый крендель
переходил именно в первый, а второй - во второй. Мы не будем акцен-
тировать внимание на разнице между эквивалентностью и расширенной
эквивалентностью, поскольку они отличаются всего лишь на пере-
становку кренделей.
Вопрос о том, сколько различных (не эквивалентных) разбиений
Хегора рода g имеет данное трехмерное многообразие, всегда труден. Его
мы коснемся ниже, а пока рассмотрим более простой случай стабильной
эквивалентности.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.3. Два разбиения Хегора многообразия М назы-
ваются стабильно эквивалентными, если они становятся эквивалентными
после применения к каждому из них нескольких операций стабилизации.
Например, единственное разбиение Хегора сферы рода 0 стабильно
эквивалентно изображенному на рис. 132 разбиению рода 1. Действи-
тельно, если к первому разбиению применить одну операцию стабилиза-
ции, то получится второе. Оказывается, что наблюдаемая в этом примере
ситуация носит весьма общий характер.
ТЕОРЕМА 5.2. Любые два разбиения Хегора произвольного трехмер-
ного многообразия стабильно эквивалентны.
Доказательство. Кратко изложим идею. Каждой триангуля-
ции многообразия М мы сопоставим разбиение Хегора так, чтобы оно
обладало двумя свойствами: 1) все порожденные триангуляциями разбие-
ния стабильно эквивалентны; 2) любое разбиение Хегора многообразия М
стабильно эквивалентно разбиению, порожденному некоторой триангуля-
цией. Ясно, что выполнение этих двух условий обеспечивает справед-
ливость теоремы. Доказательство свойств основано на теореме об общем
звездном подразделении (см. п. 1.4).
Пусть Т - триангуляция многообразия М. Как сопоставить ей раз-
биение Хегора? Для этого заменим каждую вершину триангуляции на шар
(ручку индекса 0), каждое ребро - на "цилиндр” (ручку индекса 1), каждый
треугольник - на "плитку” (ручку индекса 2) и каждый тетраэдр - на шар
(ручку индекса 3) (см. рис. 134, на котором изображены шары, цилиндры и
отдельно одна из плиток). Более строгое описание того, как данная
триангуляция порождает разбиение на ручки, можно найти в § 1.
Как уже отмечалось при доказательстве теоремы 5.1, объединение
Н(Т) шаров и цилиндров является полным кренделем. Точно так же пол-
ным кренделем является и объединение Н'(Т) плиток и ручек индекса 3.
119
Рис. 134
Поэтому Н(Т) U Н'(Т) = М является разбиением Хегора многообразия М.
Его мы и сопоставляем триангуляции Т.
Важное замечание, справедливость которого становится очевидной
при внимательном рассмотрении рис. 135: если триангуляция Т\ получает-
ся из триангуляции Т с помощью одного элементарного звездного под-
разделения, то разбиение Н(ТХ) U = М получается из разбиения
Н(Т) U Н'(Т) = Мс помощью нескольких операций стабилизации. На рис.
135 хорошо видно, что если центр берется внутри тетраэдра, то крендель
Н(1\) получается из кренделя Н(Т) последовательным приклеиванием трех
незаузленных ручек (отвечающие им пленки, т.е. осевые диски
дополнительных ручек, отмечены). Если центр берется внутри треуголь-
ника, то нужно уже четыре операции стабилизации. В случае звездного
подразделения с центром в ребре число стабилизаций совпадает с числом
тетраэдров, содержащих это ребро.
Рис. 135
120
Это замечание вместе с существованием общего звездного подразде-
ления позволяет сделать вывод о том, что для любых двух триангуляций
Т2 многообразия М разбиения Н(7\) U = М и Н(Т2) U Я'(Г2) = М
стабильно эквивалентны.
Докажем, что любое разбиение Хегора стабильно эквивалентно раз-
биению, порожденному какой-нибудь триангуляцией. Для этого потре-
буется небольшая подготовка. Пусть К - какой-нибудь одномерный под-
комплекс триангуляции Т некоторого многообразия. Будем через U(K)
обозначать объединение тех шаров и цилиндров, которые отвечают вер-
шинам и ребрам комплекса К. Пространство U(K) является, конечно,
полным кренделем и представляет собой не что иное, как регулярную
окрестность подкомплекса К (см. § 1).
Пусть букет окружностей Г С Int Hg служит осевым графом стан-
дартного полного кренделя Hg. Он получается сжатием каждой ручки
индекса 1 на одномерную клетку, а шара - в точку. Мы утверждаем, что
существует триангуляция Т кренделя Hgt в которой граф Г является
подкомплексом и которая удовлетворяет двум условиям:
1) крендель и(Т^), где Т™ - одномерный остов триангуляции Т, полу-
чается из кренделя U(T) последовательным приклеиванием незаузленных
ручек;
2) крендель U(T^) получается последовательным приклеиванием
незаузленных ручек к кренделю ЩЭТ^), где ЭТ(1) - одномерный остов
ограничения триангуляции Т на край dHg кренделя Hg.
В самом деле, для нас вполне достаточно, чтобы условия 1 и 2 выпол-
нялись по отдельности: существовала триангуляция с условием 1 и
существовала триангуляция с условием 2.
Как построить такую триангуляцию? Трудно, хотя и можно, по-
строить триангуляцию, не удовлетворяющую условию 1 или условию 2.
Построить же "хорошую" триангуляцию ничего не стоит - подойдет прак-
тически любая. Можно представить, например, крендель в виде прямого
произведения диска с дырками на отрезок и в качестве триангуляции Т
взять барицентрическое подразделение (чтобы граф Г реализовывался
подкомплексом) стандартной триангуляции прямого произведения.
Очень важный момент состоит в том, что свойство "триангуля-
ция удовлетворяет условию 1 или условию 2" сохраняется при переходе
к звездному подразделению. Действительно, эффект каждого эле-
ментарного звездного подразделения состоит в том, что к кренделю U(T^)
добавляется несколько незаузленных ручек индекса 1. Из теоремы об
общем звездном подразделении тогда следует, что любая триангуляция
имеет подразделение, удовлетворяющее условиям 1 и 2.
Пусть теперь Н U Н' = М - произвольное разбиение Хегора.
Выберем триангуляцию Т многообразия Л/, в которой крендели Н, Н'
являются подкомплексами. Переходя, если нужно, к звездному подраз-
делению, можно добиться, чтобы ограничение т триангуляции Т на
крендель Н удовлетворяло условию 1, ограничение т' триангуляции Т на
крендель Н' - условию 2. Обозначим через Г осевой граф кренделя Н. Из
121
условия 2 следует, что крендель Я((т')(1)) получается из кренделя
£/((Эт')(1)) добавлением незаузленных ручек. Добавление тех же ручек к
кренделю Я(т(1>) дает крендель Крендель Я(т(1>), в свою очередь,
получается приклеиванием незаузленных ручек из кренделя U(T),
изотопного кренделю Н. Сопоставление этих фактов приводит к диа-
грамме
—= Н(Т),
где ----> обозначает изотопность, ----> - добавление незаузленных
ручек индекса 1 и Н(Т) - первый крендель разбиения Хегора, построен-
ного по триангуляции Т. Отсюда следует, что исходное разбиение Н U
U Н' = М стабильно эквивалентно разбиению Н(Т) U Н'(Т) = М,
построенному по триангуляции Т. Это завершает доказательство теоре-
мы.
В качестве информации сообщим, что любые два разбиения Хегора
одного и того же рода сферы 53 эквивалентны. Это означает, что если
каждая из двух замкнутых ориентируемых поверхностей в сфере
разбивает ее на два полных кренделя и если род поверхностей одинаков,
то поверхности изотопны. Аналогичный результат справедлив для линз
(см. [28]). Уже связные суммы линзовых пространств допускают различ-
ные разбиения Хегора. Точное число различных разбиений Хегора
минимального рода известно весьма для немногих многообразий, например
для некоторых малых многообразий Зейферта [29].
5.3. Диаграммы Хегора
Диаграммы Хегора представляют собой распространенный и удобный
способ задания замкнутых ориентируемых трехмерных многообразий. Он
тесно связан с разбиениями Хегора.
Пусть Н U Н' = М - разбиение Хегора многообразия М, F = ЭН =
~ ЭЯ' - общая поверхность рода g кренделей, и = {«],..., ug} - система
меридианов кренделя Я и v = {i^,..., vg} - система меридианов кренделя
Я'.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.4. Тройка (F, и, у) называется диаграммой Хегора
многообразия М.
Отметим, что по своей диаграмме Хегора трехмерное многообразие
восстанавливается однозначно: если тройка (F, и, v) служит диаграммой
Хегора как многообразия М, так и многообразия Мъ то существует
неподвижный на поверхности F гомеоморфизм h : М М^. Мы докажем
этот факт в более общей ситуации гомеоморфных диаграмм.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.5. Диаграммы Хегора (F, и, v}, (F', и', v')
многообразий М, М' называются гомеоморфными, если существует такой
гомеоморфизм h : F —> F', что h(u) = и , h{v) = v или h(u) = v , h(y) = и
(порядок меридианов при этом не имеет значения).
122
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.1. Любой гомеоморфизм h : (F, и, и) —> (F', и, и')
продолжается до гомеоморфизма h :M М'.
Доказательство. Сначала мы продолжаем гомеоморфизм h на
меридиональные диски кренделей первого разбиения, гомеоморфно ото-
бражая их в меридиональные диски кренделей второго разбиения. Затем
продолжаем гомеоморфизм на оставшиеся трехмерные шары, каждый из
которых получается разрезанием соответствующего кренделя по этим
дискам.
П ример. Если в качестве кривой и на торе Т2 = d(D2 х 51) взять
меридиан т, а в качестве кривой и - кривую типа (#, р), где q,p - взаимно
простые целые числа, то тройка (Г2, и, и) является диаграммой Хегора
линзового пространства Lp q.
Каким условиям должны удовлетворять замкнутая ориентируемая
поверхность F рода g и две системы и, и простых замкнутых кривых на
ней, чтобы тройка (F, w, и) служила диаграммой Хегора некоторого много-
образия?
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.2. Пусть F - замкнутая ориентируемая поверх-
ность рода g и и = (п1? п2,..., ug), и = (1УЬ ug) - две системы простых
замкнутых кривых с условиями П = 0, ц П = 0 при i Ф j. Для того
чтобы тройка (F, п, и) служила диаграммой Хегора некоторого трех-
мерного многообразия, необходимо и достаточно, чтобы поверхности
F - и, F - и были связными (т.е., чтобы ни система и, ни система и не
разбивали поверхность F).
Доказательство. Необходимость очевидна, так как система
меридианов не разбивает поверхность кренделя. Для доказательства
достаточности мы просто построим многообразие М. Рассмотрим много-
образие F х [0, 1]. Приклеим к нему g трехмерных ручек индекса 2 вдоль
кривых и{х {1}, w2 х {I},---, ugx {1}. Какой край будет иметь
получившееся многообразие? Одной компонентой края служит поверх-
ность F х {0}. Смысл условия ’’система и не разбивает F” состоит в том,
что оставшаяся часть края (обозначим ее через 5) является связной
поверхностью. Вычислим ее эйлерову характеристику. Характеристика
поверхности F х {1} равна 2 - 2g, и при каждом приклеивании ручки
индекса 2 она увеличивается на 2, поскольку при наклеивании ручки из
поверхности F х {1} удаляется кольцо и добавляются два диска. Так как
всего ручек ровно g, то %(5) = 2, т.е. 5 является сферой. Заклеив эту
сферу шаром, получим очевидным образом полный крендель, который мы
обозначим через Н. Аналогичным образом, если к многообразию F х [- 1,
0] приклеить g ручек индекса 2 вдоль кривых х{- 1},..., ugx {- 1} и
получившуюся сферу на крае заклеить шаром, то получится крендель Н'.
Крендели Я, Н' имеют общий край ЭН = ЭН' = F х {0}, поэтому М = Н U
U Н' является замкнутым трехмерным многообразием, для которого
тройка (F, w, и) служит диаграммой Хегора (утолщения F х [0, 1], F х [- 1,
0] мы брали только для того, чтобы имело смысл говорить о приклеивании
ручек).
123
5.4. Эквивалентные диаграммы
Могут ли различные диаграммы задавать одно и то же трехмерное
многообразие? Разумеется, да. Чтобы детально разобраться в этом
вопросе, дополним данное выше определение гомеоморфных диаграмм
еще двумя определениями.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.6. Диаграммы Хегора (F, и, и), (F, и', и')
называются изотопными, если существует такая изотопия ф,: F —» F, что
ф0 = 1,ф1(и) = и',ф](1/) = 1/.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.7. Диаграммы (F, м, и), (F, и', и') называются
полуизотопными, если существуют такие изотопии ф„ \|/,: F —» F, что
Фо = Фо = 1. <Р1(“) = и' И У](и) = 1/.
Рис. 136
Различие этих понятий состоит в том, что при изотопии все кривые
диаграммы скользят по поверхности как единое целое, тогда как при
полуизотопии каждое семейство движется по-своему. На рис. 136 приве-
дены стандартная диаграмма Хегора сферы рода 1(a), изотопная ей
диаграмма (б) и полуизотопная ей диаграмма (в).
Как изотопные, так и полуизотопные диаграммы определяют одно и
то же трехмерное многообразие. По существу, мы не меняем кренделей
Н, Н' соответствующего разбиения Хегора, а только заменяем в каждом
из них меридиональные диски на изотопные.
В § 3 мы определили операцию связной суммы меридианов, т.е.
операцию добавления одного меридиана к другому. Ее можно применить к
каждому семейству и, и диаграммы Хегора. Дадим строгое определение,
ради простоты обозначений полагая, что кривая и2 добавляется к кривой
их.
Пусть (F, и, и) - диаграмма Хегора и р - простая кривая, соеди-
няющая меридианы iq, и2 диаграммы и не имеющая с кривыми других
общих точек. Пусть С - замкнутая окрестность объединения
U и2 U Р, гомеоморфная диску с двумя дырками и не пересекающая
124
других кривых и. Обозначим через и} Ф и2 ту компоненту ее края, кото-
рая не изотопна кривой или кривой и2. Систему {# и2, u2i..., ug]
обозначим через й.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.8. Будем говорить, что диаграмма (F, й, и)
получается из диаграммы (F, и, и) операцией добавления кривой и2 к
кривой вдоль кривой р.
Аналогичным образом определяется операция суммирования кривых
системы и. Кривые системы и к кривым системы v и наоборот добавлять
не разрешается. Добавление одной кривой системы к другой кривой того
же семейства не меняет не только соответствующего многообразия, но и
его разбиения Хегора - крендели разбиения остаются прежними, ме-
няются только их меридиональные диски.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.9. Диаграммы (F, и, и) и (F, и, i/) называются
эквивалентными, если от одной можно перейти к другой с помощью
гомеоморфизмов, полуизотопий и операций добавления одного меридиана
к другому.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.3. Диаграммы Хегора эквивалентны тогда и
только тогда, когда эквивалентны отвечающие им разбиения Хегора.
Доказательство. О том, что эквивалентные диаграммы дают
с точностью до гомеоморфизма одно и то же разбиение Хегора, мы уже
говорили. Достаточно доказать обратное. Доказательство же в другую
сторону получается с помощью леммы 3.4 из § 3: любую систему мери-
дианов полного кренделя можно перевести в другую с помощью операции
связной суммы и изотопий.
СЛЕДСТВИЕ. Любые две диаграммы Хегора сферы S3 одинакового
рода эквивалентны.
Это прямо вытекает из предыдущего предложения и теоремы Вальд-
хаузена [30] об эквивалентности любых разбиений сферы.
5.5. Нормализованные диаграммы. Связные диаграммы
Пусть (F, и, v) - диаграмма Хегора многообразия М, отвечающая
разбиению Хегора М = Н U Н'. Кривые и, и разбивают поверхность F на
несколько частей. Допустим, что какая-то часть не гомеоморфна диску.
Тогда в ней (и тем самым в поверхности F) найдется нетривиальная
простая замкнутая кривая /, не пересекающая ни меридианов и кренделя
Я', ни меридианов и кренделя Н. Поэтому она ограничивает диски в
каждом из кренделей Я, Я'. Эти диски вместе дают сферу 5, которая либо
разбивает многообразие М в связную сумму, либо рассекает слагаемое
S2 х 51 (т.е. М имеет вид А/ = М1Ф52х51,а5 отвечает сфере 52х{*}) .
В обоих случаях изучение диаграммы сводится к изучению одной или двух
диаграмм меньшего рода. Поэтому такая ситуация нам не интересна. В
дальнейшем мы будем предполагать, что кривые и, и разбивают поверх-
ность на диски. Это бывает тогда и только тогда, когда объединение
и U v является связным графом. Такие диаграммы будем называть
связными.
125
Итак, пусть (F, и, и) - связная диаграмма Хегора. Гомеоморфные
диску области, на которые граф и U и разрезает поверхность F, будем
трактовать как криволинейные многоугольники, считая вершинами точки
пересечения меридианов различных систем. Каждый многоугольник имеет,
конечно, четное число сторон.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.10. Диаграмма Хегора (F, м, и) называется
нормализованной, если среди областей, на которые меридианы разбивают
поверхность, нет двуугольников.
ТЕОРЕМА 5.3. Любая диаграмма Хегора полуизотопна нормализо-
ванной. Если две нормализованные диаграммы полуизотопны, то они
изотопны.
Доказательство. Каждый двуугольник диаграммы ограничен
дугами двух меридианов различных систем. На рис. 137 хорошо видно, как
его можно уничтожить изотопным сдвигом одного из меридианов. Уничто-
жив таким образом все двуугольники, мы получим нормализованную
диаграмму, что доказывает первое утверждение теоремы.
Докажем второе. Пусть ф„ у,: F —> F - полуизотопия, переводящая
одну нормализованную диаграмму в другую. Для простоты будем считать,
что (pf = 1, т.е. что меридианы и неподвижны. (Общий случай сводится к
рассматриваемому заменой полуизотопии ф„ у, на полуизотопию 1, ф”1^,).
Назовем момент времени особым, если кривые и и у,, (и) пересекаются
не трансверсально. По соображениям общего положения можно считать,
что имеется только конечное число особых моментов времени tn,
причем при переходе через каждый особый момент г, (т.е. при изменении
параметра t от г, - е до + е) происходит рождение или уничтожение
двуугольника (рис. 138). Вне особых моментов времени полуизотопию
можно заменить на изотопию.
Допустим, что в момент происходит рождение двуугольника £>2, а в
момент г/+1 - уничтожение двуугольника Dx. Если эти двуугольники
находятся далеко друг от друга (т.е. не имеют общих вершин), то опе-
рации рождения и уничтожения можно переставить: сначала уничтожить
двуугольник Db а затем породить двуугольник £>2 (рис. 139). Если
двуугольники имеют одну общую вершину, то операции рождения и
126
Рис. 139
уничтожения можно не выполнять совсем, как и в случае совпадения
двуугольников £>ь £)2 (рис. 140).
За счет таких перестановок и сокращений операций рождения и
уничтожения двуугольников можно добиться, чтобы все операции унич-
тожения, если они есть, выполнялись сначала, а все операции рождения -
потом. Отсюда и следует изотопность исходных диаграмм, поскольку ни
одной операции уничтожения двуугольника к нормализованной диаграмме
применить нельзя.
5.6. Волновое преобразование диаграммы Хегора
Волновое преобразование диаграммы Хегора состоит в том, что одна
диаграмма Хегора заменяется на другую, эквивалентную ей диаграмму.
Новая диаграмма всегда проще старой в том смысле, что при волновом
преобразовании общее число точек пересечения меридианов строго умень-
шается. Волновое преобразование можно применить далеко не к каждой
диаграмме - нужно, чтобы диаграмма имела волну. Пусть (F, и, и) -
нормализованная диаграмма Хегора.
127
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.11. Простая
кривая IGF называется м-волной
(или просто волной), если:
1) ее концы лежат на одном из
меридианов щ системы и;
2) других общих точек с мери-
дианами м, v кривая / не имеет;
3) концевые точки кривой / при-
надлежат различным дугам, на ко-
торые меридианы и разбивают мери-
диан wt;
4) в этих двух точках кривая /
подходит к меридиану с одной сто-
роны.
На рис. 141 изображена типичная волна.
В § 3 мы определили /-модификацию системы меридианов и =
= (&!, ..., ип) как набор меридианов (щ,.... и-, ui+i, ..., ип), где мери-
диан и' состоит из кривой / и одной из частей меридиана щ, на которые он
разбивается концами дуги / (эта часть однозначно выделяется требо-
ванием, чтобы система (иъ ..., и', ..., ип) являлась системой меридианов).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.12. Волновое преобразование диаграмм Хегора
состоит в операции /-модификации вдоль некоторой волны / с после-
дующей операцией нормализации.
Рис. 142
128
Как уже отмечалось, число точек пересечения меридианов при вол-
новом преобразовании строго уменьшается: исчезает "половина” мери-
диана, на который опирается волна, вместе с лежащими на ней точками
пересечения, и еще несколько точек может исчезнуть при нормализации.
Следует отметить важное отличие волнового преобразования от /-моди-
фикации вдоль произвольной кривой /: на поведение кривой / по отно-
шению к меридианам другой системы не накладывается никаких огра-
ничений, тогда как волна не должна иметь с ними общих точек.
Полезно понять геометрический смысл волнового преобразования.
Для этого представим крендель Н в виде шара с ручками, в основаниях
которых лежат меридианы м2, —, ug- Обозначим через D диск на крае
шара, ограниченный волной и той частью меридиана uh которая от-
брасывается при волновом преобразовании. Тогда волновое преобра-
зование можно интерпретировать как протаскивание по ручке с номером i
тех ручек, основания которых лежат в диске d (рис. 142).
Замечание. Имеется простой критерий существования волны.
Если в графе и U и на поверхности F стянуть в точки меридианы иь ..., ug
(каждый - в свою точку), то получится плоский граф Wu, который
называется графом Уайтхеда диаграммы (F, и, v). Граф Wv определяется
аналогичным образом как результат стягивания меридианов ..., vg.
Обещанный критерий теперь можно сформулировать так: диаграмма (F,
и, v) имеет w-волну (или глволну) тогда и только тогда, когда граф Wu (или
Wv) имеет разбивающую вершину.
5.7. Структура диаграмм Хегора рода 2
Опишем удобный способ изображения диаграмм Хегора. Пусть
(F, и, и) - нормализованная диаграмма. Если поверхность F разрезать по
меридианам ..., ug, то получится сфера с 2g дырками D2i ...9 D2g,
которые удобно интерпретировать как выделенные диски на сфере.
Дырки естественным образом разбиты на пары - в каждую пару D2/_i,
D2i входят дырки, отвечающие меридиану Меридианы и при
этом разрежутся на дуги, различными способами соединяющие дырки
(рис. 143).
Чтобы по такому изображению диаграмму Хегора восстановить од-
нозначно, нужно знать, как край каждой дырки Z)2<-i склеивается с краем
дырки D2i. Удобно занумеровать для этого точки пересечения меридиа-
на Ui с меридианами и в том порядке, в котором они встречаются при
обходе меридиана uif и эти номера сохранить при разрезании.
Сейчас мы собираемся разбить все нормализованные диаграммы
Хегора рода 2 на три класса. Для этого договоримся к параллельных дуг,
соединяющих одну дырку с другой, изображать одной дугой, помеченной
числом к (рис. 144).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.13. Диаграмма Хегора (F, м, и) рода 2 имеет тип
I, II или III, если она выглядит так, как изображено на рис. 145, а, б или в
5. С.В. Матвеев, А.Т. Фоменко
129
соответственно. Например, диаграмма на рис. 143 имеет тип I, причем
а=0, b = 1, с = 2, d = 1.
ТЕОРЕМА 5.4. Любая нормализованная диаграмма рода 2 гомео-
морфна диаграмме одного из типов I, II, Ш.
Доказательство. Сначала несколько общих замечаний, отно-
сящихся ко всем трем случаям. Обозначим через (j. j) число дуг,
соединяющих дырку с дыркой £>у. На краях дырок D2 должно
заканчиваться одинаковое число дуг, и то же самое верно для дырок £>3,
D4. Поэтому числа должны удовлетворять соотношениям 0 и
z ч f а1,3 + а1,4 + а\,\ = а2,3 + ^2,4 + а2,2 »
(*) 1
[а1,3 + ^2,3 + а3,3 “ а1,4 + ^2,4 + а4,4 •
Если каждую дырку стянуть в свою точку и каждый пучок па-
раллельных дуг заменить на одну дугу, то получится граф G С S2. Наша
задача состоит в том, чтобы с помощью
Рис. 144
инвариантного на вершинах гомеомор-
физма сферы перевести его в один из
графов Gj, Gn, Gm (рис. 146). Гомео-
морфизм сферы может переставлять
вершины, но только так, чтобы вер-
шины одной пары (т.е. 1 и 2 или 3 и 4)
переставлялись как единое целое. За-
пас таких гомеоморфизмов довольно
велик. Можно, например, любую дугу,
соединяющую вершины 1 и 2, перевес-
ти в отрезок, а любую петлю с концами
в вершине 1, которая отделяет верши-
130
Рис. 147
ну 3 от вершин 2, 4, - в стандартную петлю, охватывающую вершину 3
(рис. 147).
Возможны три случая: 1) граф g не имеет петель и двойных ребер;
2) петель нет, но двойные ребра есть; 3) есть петли. Эти случаи как раз
соответствуют типам I, II, III. Разберем их отдельно.
1) Пусть петель и двойных ребер нет. Тогда из системы следует, что
<21 ,з = <32,4> ^1,4 = а2,з- Положим а = а} з = я2>4, b = а} 2, с = я3 4 и d = ах 4 =
= <з2 3. Если <7, b, с, d > 0, то граф G представляет собой полный граф
с 4 вершинами (т.е. граф с 4 вершинами, любые две из которых
5* 131
соединены только одним ребром). Граф Gj также обладает этим свой-
ством. Поскольку все вложения такого графа в сферу эквивалентны
(переводятся друг в друга гомеоморфизмами сферы), то существование
гомеоморфизма, переводящего граф G в граф Gj, не вызывает сомнений.
Если некоторые из чисел a,b,c,d обращаются в 0, то проходит тоже
самое рассуждение, нужно только рассматривать соответствующие под-
графы графов G и Gp
2) Пусть петель нет, но двойные ребра есть. Нужно отметить, что
каждое двойное ребро должно разбивать сферу на две части, каждая из
которых содержит только одну вершину - в противном случае ребра были
бы параллельны и мы заменили бы их на одно ребро. Можно считать, что
общее начало пары двойных ребер находится в вершине 1. Тогда их
общий конец не может находиться в вершине 3 или 4, так как тогда
система (*) оказывается несовместной. Поэтому общий конец двойного
ребра находится в вершине 2 и гомеоморфизмом сферы его можно
совместить с двойным ребром графа Gn. Совмещение остальных ребер
графов G, Gn не вызывает затруднений.
3) Пусть есть петли. Каждая петля разбивает сферу на части, одна из
которых содержит только одну вершину. Будем считать, что петля
начинается в вершине 1. Тогда она не может охватывать вершину 2 -
система (*) получается несовместной. Вершины 3 и 4 равноправны.
Поэтому можно считать, что петля охватывает вершину 3. С помощью
гомеоморфизма сферы ее можно перевести а аналогичную петлю графа
Gm. Анализ системы (*) показывает, что я2,2 = а1,з = ^2,4’ причем
петля с концами в вершине 2 должна охватывать вершину 4. Выправ-
ление остальных ребер не вызывает затруднений.
Теорема доказана.
Диаграммы каких типов допускают м-волну? В диаграмме типа III
волна есть всегда. В диаграмме типа II волна есть только при условии
а = 0 или d = 0. Если с = d = 0, то м-волна есть и в диаграмме типа I.
Случаи b=d = Q, а = Ь = 0,а=с=0ие дают здесь ничего нового, так
как за счет перестановки первой и второй пар дырок или за счет
перестановки 3-й и 4-й дырок можно всегда заменить a на d и b на с.
Если нас интересуют только мно-
гообразия, а не их диаграммы, то диаг-
раммы с волнами можно не рассмат-
ривать, поскольку они упрощаются
с помощью волновых преобразова-
ний.
При этом существование не только
w-, но и у-волны можно усмотреть
исходя из диаграммы. Например, если
один из ориентированных меридианов ц
системы и входит в какую-то дырку в
одной точке и выходит в соседней, то
iy-волна существует (рис. 148).
132
На основе приведенного описания структуры диаграмм Хегора ро-
да 2 можно предложить простой алгоритм перечисления замкнутых
ориентируемых трехмерных многообразий, род которых не превосходит
двух.
1. По очереди перечислить все наборы значений параметров а, Ь,
с, d.
2. Для каждого из них построить диаграмму типа I или И. Что-
бы знать, как отождествляются края дыр, нужно занумеровать на каждой
из них концы дуг в циклическом порядке. На нечетных дырках можно
выбрать положительные направления обхода и нумерации зафиксировать,
тогда на соответствующих четных дырках нужно выбрать отрицательные
направления обходов и последовательно перебирать все циклические пе-
рестановки.
3. Выяснить, действительно ли построенная диаграмма является
диаграммой Хегора. Для этого нужно проверить, получаются ли в
точности две кривые и не разбивают ли они поверхности. Если ответы на
оба этих вопроса положительны, то диаграмма является диаграммой
Хегора некоторого замкнутого ориентируемого многообразия рода не
более 2.
Приведем результаты машинного перечисления диаграмм типа I при
а, Ь, с, d R 5, выполненного студентом Челябинского университета
П. Сырцовым.
к 1 2 3 4 5
Общее число диаграмм 9 332 3024 15 040 53 125
Из них диаграмм Хегора 8 113 1201 4 779 19 065
Из них диаграмм многообразий рода 2, не более 0 27 523 2 342 10 648
Из них диаграмм Хегора без волн 4 50 470 1 891 6 997
5.8. О перечислении трехмерных многообразий
Существуют много способов алгоритмического перечисления трех-
мерных многообразий. Наиболее простой в идейном смысле можно описать
так: перечисляем все конечные трехмерные симплициальные комплексы и
среди них отбираем те, которые являются трехмерными многообразиями.
Доказательство того, что данный трехмерный комплекс является мно-
гообразием, не вызывает затруднений. Нужно для каждой вершины
определить симплициальную схему ее линка и выяснить, задает ли она
двумерную сферу или диск (см. § 2).
Другой способ, заставляющий перерабатывать меньше лишней ин-
формации, основан на перечислении гомеоморфизмов поверхностей одного
133
кренделя на поверхность другого. Если A: dHg —> dHg гомеоморфизм, то
пространство Mh = Hg uh H'g является трехмерным многообразием,
причем любое замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие может
быть получено таким способом (это следует из теоремы 5.1).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.4. Если гомеоморфизмы k{\'dHg —>dHg,
к2 • ЭН' —> dHg продолжаются на внутренности кренделей, то многооб-
разие Mh и Mk2hkx гомеоморфны.
Доказательство. Гомеоморфизм (р : Mh —> Mk^hkx определяется
правилом
кГ}(х\ если хеН*
(р(х) = s - 8
к2(х) если хеН%,
где к{, к2 - продолжения гомеоморфизмов кх, к2 на внутренности крен-
делей. Так как диаграмма
ч—-—Щ
коммутативна, это определение корректно.
СЛЕДСТВИЕ 5.1. Если гомеоморфизмы h2 : 3Hg -ь dH'g изотопны,
то многообразия гомеоморфны.
Доказательство. Изотопные гомеоморфизмы отличаются на
гомеоморфизм, изотопный тождеству, который всегда продолжается на
внутренность кренделя.
Таким образом, многообразие Мп зависит только от элемента группы
гомеотопий Н( dHg), определяемого гомеоморфизмом h (мы отождествили
крендели Hg, H'g). Перечисляя все элементы группы гомеотопий (на-
пример, как слова в образующих Ликориша, см. п. 3.10), мы тем самым
будем перечислять все трехмерные многообразия (замкнутые и ориен-
тируемые). При этом нужно использовать треугольный процесс, как при
доказательстве счетности множества рациональных чисел: перечислить
несколько многообразий рода 1, затем - рода 2, затем вернуться к роду 1,
к роду 2, захватить несколько многообразий рода 3 и т.д.
Иногда бывает полезной следующая "алгебраическая классификация"
трехмерных многообразий. Обозначим через полный крендель бес-
конечного рода в 53 (рис. 149), через Н'ж - его дополнение. Можно
представлять себе крендели Н'ж как "пределы" стандартных крен-
делей Hg, Hg(^S3 = Hg<j Hg при#-» ©о. Обозначим также через G
группу неподвижных на окрестности бесконечности гомеотопий поверх-
134
ности ЭЯ^=Э//', через и G'() - ее
подгруппы гомеотопий, продолжающихся на
крендели Hg и И' соответственно. Под
окрестностью бесконечности понимается до-
полнение к некоторому компакту. Группы Gj
и Gj изоморфны, но не совпадают, а только
сопряжены с помощью гомеоморфизма (р,
меняющего местами меридианы и параллели:
Ga=<?G;)<9-
Следующая теорема легко доказывается
с помощью предложения 5.5 и теоремы 5.2.
ТЕОРЕМА 5.5. Существует естест-
венная биекция между множеством всех
замкнутых ориентируемых трехмерных
многообразий и элементами множества
G^ \G / Gd двусторонних классов смежности
группы G по подгруппам G'^, G^. Рис. 149
Эта теорема может служить основой
еще более экономного способа перечисления трехмерных многообразий.
Она сводит также задачу алгоритмического распознавания
гомеоморфности трехмерных многообразий к задаче алгоритмическго
распознавания совпадения двух классов смежности группы G по
подгруппам G'd, G& которая носит алгебраический характер.
В заключение отметим, что теорему Вальдхаузена о единственности
разбиения Хегора данного рода для трехмерной сферы [30] можно пе-
реформулировать так: многообразие Mh = Hg \Jh Hg гомеоморфно сфере
тогда и только тогда, когда гомеоморфизм h: dHg -» dHg имеет вид
h = к^к2, где гомеоморфизм к2 продолжается на внутренность стандартного
кренделя Hg в S3, а гомеоморфизм kj - на его внешность.
§ 6. АЛГОРИТМИЧЕСКОЕ РАСПОЗНАВАНИЕ
СФЕРЫ
6.1. О постановке задачи классификации
трехмерных многообразии
В § 2 была приведена теорема классификации замкнутых двумерных
многообразий. Все они исчерпываются двумя бесконечными сериями:
связными суммами торов и связными суммами проективных плоскостей.
Задача классификации трехмерных многообразий не решена до сих пор.
Это одна из самых важных и трудных проблем топологии многообразий.
Некоторые, довольно значительные достижения здесь есть. Классифи-
цированы многообразия Зейферта, граф-многообразия. Недавние резуль-
таты Иогансена, истоки которых лежат в работах Вальдхаузена и
Хакена, привели к решению задачи алгоритмической классификации так
называемых многообразий Хакена. Это породило оптимистические на-
дежды на близкое решение проблемы классификации трехмерных мно-
гообразий в полном объеме. Оказалось, однако, что трехмерных мно-
гообразий, не входящих в упомянутые классы, довольно много. Они и
составляют "белое пятно", непознанную часть трехмерных многообразий.
Ясно одно: простой, коротко формулируемой и прозрачной теоремы
классификации трехмерных многообразий не существует. Возникает
вопрос: что вообще понимать под классификацией? В настоящее время в
топологии многообразий установилась единая точка зрения: решение
задачи классификации заключается в предъявлении алгоритма, который
по каждым двум поданным на его вход трехмерным многообразиям
выясняет, гомеоморфны они или нет. Поясним, почему существование
такого алгоритма распознавания гомеоморфности многообразий можно
понимать как решение задачи классификации. Как мы уже отмечали,
алгоритм перечисления трехмерных многообразий (с повторениями) за-
ведомо имеется. Если бы алгоритм распознавания существовал, то его
можно было бы скомпоновать с алгоритмом перечисления по следующей
схеме: по очереди перечислять все трехмерные многообразия и каждое
следующее сравнивать со всеми предыдущими с помощью алгоритма
распознавания гомеоморфности. Если новое многообразие гомеоморфно
одному из предыдущих, то мы его отбрасываем, если не гомеоморфно, то
включаем в список. В результате получится алгоритм, последовательно
составляющий перечень всех трехмерных многообразий без повторений.
Наличие такого алгоритмически выписываемого перечня и следует
понимать под решением задачи классификации.
Итак, задача классификации трехмерных многообразий эквивалентна
следующей.
136
Проблема. Существует ли единый конечный алгоритм, который
по каждым двум многообразиям выясняет, гомеоморфны они или нет?
Обсудим эту проблему. Пусть имеются два трехмерных много-
образия. Гомеоморфны они или нет? В некоторых случаях гомеоморф-
ность удается установить каким-нибудь способом. Например, в § 4 мы
доказали гомеоморфность линз Lpq и L? , показав, что они склеиваются
из одних и тех же симплексов одним и тем же способом. Интересно
отметить, что любые две триангуляции любых двух гомеоморфных
трехмерных многообразий имеют изоморфные звездные подразделения
(см. § 1). Поэтому гомеоморфность многообразий всегда можно устано-
вить с помощью указанного способа. Предъявление алгоритма, распо-
знающего изоморфность двух триангуляций, не вызывает затруднения.
Если бы удалось найти оценку нужного числа звездных подразделений, то
проблема классификации была бы решена!
Иногда удается доказать различность многообразий с помощью каких-
нибудь алгебраических или геометрических инвариантов. Если, например,
группы гомологий многообразий различны, то они не гомеоморфны.
Однако все известные инварианты такого типа помогают далеко не
всегда и вопрос остается открытым.
Проблему алгоритмического распознавания гомеоморфности можно
ставить и в ослабленной форме, ограничивая ее для какого-нибудь спе-
циального класса трехмерных многообразий или заменяя на проблемы
алгоритмического распознавания гомеоморфности какому-нибудь кон-
кретному многообразию М. Отрицательное решение ослабленной проб-
лемы дало бы отрицательное решение проблемы распознавания в общей
постановке. Оказывается, что для класса многообразий рода 2 проблема
алгоритмического распознавания сферы S3 решается положительно.
6.2. Алгоритм распознавания сферы S3
в классе многообразий рода 2
Обещанный алгоритм основан на следующей важной теореме.
ТЕОРЕМА 6.1. Любая связная нормализованная диаграмма Хегора
рода 2 сферы S3 имеет волну.
Заметим, если диаграмма Хегора рода 2 сферы не связна, то она
изображается двумя дугами, соединяющими 1-ю дырку со 2-й и 3-ю с 4-й,
т.е. гомеоморфна стандартной диаграмме сферы (рис. 150).
Прежде чем доказывать теорему, изложим алгоритм. Пусть имеется
нормализованная диаграмма Хегора рода 2, задающая трехмерное мно-
гообразие М. Если в ней нет волны, то М * S3. Если волна есть, то
выполняем волновое преобразование и получаем новую диаграмму того
же многообразия М. Затем опять выясняем, есть ли волна. Если нет, то
М Ф S3, если есть, то выполняем волновое преобразование, и т.д. При
каждом волновом преобразовании число точек пересечения меридианов
уменьшается. Поэтому через конечное число шагов мы получим либо
ответ либо несвязную диаграмму. Если она не гомеоморфна
стандартной, то М * S3, а если гомеоморфна, то, разумеется, М = S3.
137
Рис. 150 Рис. 151
Следует отметить, что диаграммы Хегора рода 2 можно закодировать
в удобной для компьютера форме. Волновое преобразование реализуется
конкретным алгоритмом, который перерабатывает один код в другой. При
этом речь идет не об абстрактной возможности типа теоремы суще-
ствования, а о конкретной, явно написанной программе вполне прием-
лемого объема и времени работы. Подробности можно посмотреть в
работе И.А. Володина, В.Е. Кузнецова, А.Т. Фоменко [31].
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.1. Диаграмма Хегора £ принадлежит классу Dk,
если существует последовательность из к или меньшего числа волновых
преобразований, сводящая ее к стандартной диаграмме сферы. Диаграмма
% принадлежит классу DM, если существует какая-нибудь последова-
тельность волновых преобразований, сводящая ее к стандартной диа-
грамме сферы (другими словами, = |J Dk).
к
ТЕОРЕМА 6.2. Если диаграмма Хегора рода 2 лежит в классе Dx и
диаграмма получается из нее с помощью одной операции суммирования
меридианов, то е DM.
Сразу отметим, что из справедливости теоремы 6.2 следует спра-
ведливость теоремы 6.1. Действительно, любая диаграмма Хегора сферы
получается из стандартной операциями суммирования меридианов. Так как
стандартная диаграмма лежит в классе DqGiS^, то и все диаграммы
Хегора рода 2 сферы лежат в классе Dx и, следовательно, имеют волны.
Будем доказывать теорему 6.2 методом индукции по к.
Индукционное предположение. Если £ е Dk и диаграмма получа-
ется из диаграммы £ одной операцией суммирования меридианов, то
База индукции (случай к = 0) очевидна: к стандартной диаграмме
Хегора операцию суммирования # можно применить только одним
(с точностью до гомеоморфизма) способом (рис. 151). Получающаяся
диаграмма сводится к стандартной с помощью одного волнового
преобразования w (волна на рисунке выделена).
Приступим к выполнению индукционного перехода. Возьмем диаг-
рамму Хегора рода 2, которая сводится последовательностью волн
W], w2, ..., к стандартной диаграмме сферы. Пусть диаграмма
получается из нее добавлением одного меридиана к другому вдоль дуги с.
138
рис. 153
Наша задача состоит в доказательстве того, что g Dx. Доказательство
разбивается на несколько случаев в зависимости от типов волны Wj
и дуги с. Самый простой случай - существование ’’возвратной волны",
т.е. существование волнового преобразования wq, переводящего диаграм-
му в диаграмму Если возвратная волна существует, то g Dx,
так как последовательность волн vv0, Wj,..., переводит ее в стандарт-
ную диаграмму.
Напомним, что операция суммирования меридианов состоит из двух
этапов. Первый этап (собственно суммирование) заключается в том, что
один из меридианов заменяется на ту компоненту края малой окрестности
объединения U и2 U с, которая не изотопна ни меридиану ни меди-
диану и2. Полученная диаграмма обозначается через Второй этап
состоит в нормализации диаграммы , т.е. в переходе от диаграммы
к нормализованной диаграмме Как правило, возвратная волна суще-
ствует в тех случаях, когда второй этап не нужен, т.е. когда уже
диаграмма нормализована.
1°. Возвратная волна. Для определенности будем считать, что дуга с
соединяет меридианы и2, причем меридиан и2 добавляется к меридиа-
ну и\. С помощью изотопии нормализуем дугу с: уничтожим все дву-
угольники, ограниченные ею и меридианами и2, а также все треуголь-
ники, ограниченные меридианами и2, ц, и2 с дугой с (рис. 152).
а) Допустим, что нормализованная дуга с пересекает хотя бы один из
меридианов и19 и2. Тогда диаграмма нормализована, так как существо-
вание двуугольников в диаграмме, составленной из меридианов и1 #
# и2, и2, иъ v2, противоречило бы нормализованности дуги с. На рис. 153
139
В дальнейшем будем считать,
хорошо видно, что в этом случае
возвратная волна существует
(волна на рисунке отмечена).
б) Рассмотрим случай, когда
дуга с не пересекает меридианов
i/2, т.е. целиком расположена в
одном из многоугольников диаг-
раммы Допустим, что дуга с не
параллельна ребру многоуголь-
ника. Тогда существование воз-
вратной волны ясно из рис. 154.
Нужно отметить, что если дуга с
параллельна ребру содержащего
его многоугольника, то это рас-
суждение не проходит, так как
диаграмма получается не нор-
мализованной и при нормализации
волна разрушается.
что дуга с целиком содержится в
некотором многоугольнике и параллельна ребру. Наши рассуждения будут
зависеть теперь от того, одноименны или разноименны дуга с и волна
с которой начинается разборка диаграммы При этом волна W] и дуга с
называются одноименными, если они применяются к меридианам одного
семейства, например, если волна Wj является u-волной и дуга с соединяет
меридианы и2. В противном случае волна Wj и дуга с называются
разноименными.
Рассмотрим случай одноименных волны и дуги, для определенности
считая, что волна wj опирается на меридиан и\. По теореме о структуре
диаграмм Хегора рода 2 диаграмма £ относится к типу I, П или III, причем
существование волны накладывает строгие ограничения на кратности
дуг: должны выполняться равенства с = d = 0 в случае диаграмм типа I и
равенство d = 0 в случае диаграмм типа II (рис. 155).
2°. Исчезающая волна. Пусть при суммировании меридиан и2 добав-
ляется к меридиану их. Дуга с обязана быть параллельной ребру с индек-
сом "а”. Тогда и при волновом преобразовании, и при операции суммиро-
140
Рис. 156
Рис. 157
вания меридианы и2, щ, v2 не меняются, а меридиан их в обоих случаях
заменяется на один и тот же меридиан*^ (рис. 156). Поэтому диаграм-
ма совпадает с диаграммой = w](£,), которая получается при волно-
вом преобразовании и']. Применение остальных волн w2, w3,...,
сводит диаграмму к стандартной диаграмме сферы.
3°. Попутная волна. Пусть меридиан и} добавляется к меридиану и2.
Из рис. 157 ясно, что если к диаграмме применить волновое преобразо-
вание vvb то получится диаграмма т.е. wj(^) = Поэтому волны
vvb w2,..., wk+} сводят диаграмму к стандартной.
Нам осталось рассмотреть случай разноименных дуги с и волны wb
Будем считать, что волна W] опирается на меридиан ub а при суммирова-
нии меридиан и2 добавляется к меридиану вдоль соединяющей их и
параллельной ребру многоугольника дуги с. Меридиан при этом получает-
ся не нормализованным, и процесс нормализации состоит в последова-
тельном уничтожении двуугольника (рис. 158).
4°. Выживающая волна. Допустим, что волна W] не пересекает норма-
лизованного меридиана т.е. служит волной и для диаграммы Тогда
операции суммирования # и волны W] можно переставить. Таким образом,
мы имеем коммутативную диаграмму
£> -*-> U
Wj i Wj,
£1 ^2
где ^2 = ^10=
Здесь мы единственный раз используем индукционное предположение.
141
Рис. 159
По условию диаграмма с, сводится к стандартной последовательно-
стью из £+1 волновых преобразований, которая начинается с преобразо-
вания и’]. Поэтому диаграмма сводится к стандартной последователь-
ностью из к волновых преобразований w2, w3, w*+1, откуда следует,
что она лежит в классе Dk. По индукционному предположению диаграм-
ма ^2 тогда лежит в классе D
диаграмма
, а вместе с ней в классе DK лежит и
5°. Параллельная волна. Анализ
рис. 159 показывает, что волна, па-
раллельная любому ребру содержа-
щего ее многоугольника, всегда выжи-
вает при суммировании меридианов.
Поэтому в дальнейшем можно рас-
сматривать только волны, не парал-
лельные ребру (рис. 160).
Обратимся опять к теореме о
структуре диаграмм рода 2. Случай,
когда диаграмма имеет тип III,
можно не рассматривать, поскольку
любая ее волна параллельна одной из
петель диаграммы.
Для рассмотрения диаграмм остав-
шихся двух типов нам понадобится
некоторая подготовка. Напомним, что
в § 3 мы определили инволюцию г
142
1
1
3
Рис. 161
Рис. 162
поверхности кренделя рода 2 с 6 неподвижными точками и доказали, что
любой гомеоморфизм поверхности на себя изотопен гомеоморфизму,
симметричному относительно инволюции г. Инволюцию г можно тракто-
вать как поворот поверхности на угол 180° относительно оси ОХ, а сим-
метричность гомеоморфизма h понимать как справедливость равенства
hr = rh. Отсюда следует, что любая диаграмма Хегора рода 2 изотопна
симметричной, т.е. такой, что при инволюции г каждый меридиан пере-
ходит в себя (с обращением ориентации). Для случая диаграммы типа III
это хорошо видно на рис. 161. Так как дуги 1, 2 симметричны, то они
лежат на одном и том же меридиане, как и дуги 3, 4, дуги 5, 6 и дуги 7, 8.
Аналогичные заключения о при-
надлежности дуг одному меридиану
можно сделать и для диаграмм
других типов.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.2. Будем
говорить, что диаграмма £ рода 2
имеет квадратный тип, если:
1) она имеет тип I, причем d = 0,
b Ф 0, с Ф 0;
2) крайние дуги, соединяющие
дырки 1, 2, и крайние дуги, соеди-
няющие дырки 3, 4, лежат на разных
меридианах.
ЛЕММА 6.1. Если диаграмма £
имеет квадратный тип и С, G
то - стандартная диаграмма сферы
(т.е. а = 0, b = с = 1).
Доказательство. Рас-
суждая от противного, допустим, что
£ е Doo и £ отлична от стандартной.
и-волны в ней нет, зато есть две
v-волны: w' и w" (см. рис. 162, где
143
Рис. 163
Рис. 164
меридиан, на который опираются волны, обозначен через i/j). Направ-
ления всех дуг однозначно определяются указанием направлений на одной
дуге меридиана щ и на одной дуге меридиана и2. При выполнении
волнового преобразования вдоль любой из волн (пусть вдоль волны wz)
снова получается диаграмма квадратного типа, причем число дуг и2, соеди-
няющих дырки 1 и 2, сохраняется. Новое число дуг соединяющих
дырки 3 и 4, становится не меньше двух, так как сохраняется крайняя
правая дуга и еще одна дуга добавляется при волновом преобразовании.
Общее число дуг 2а + b + с строго уменьшается, поскольку часть
меридиана щ при волновом преобразовании отбрасывается. Снова
применим волновое преобразование, снова получим квадратную
диаграмму и т.д. Процесс обязан закончиться, причем на нестандартной
диаграмме, а это противоречит условию £ е Ож.
Продолжим доказательство теоремы 6.2. Напомним, что сейчас мы
находимся в следующей ситуации: из диаграммы которая упрощается
w-волной Wj и волнами и>2,..., до стандартной, применением операции
суммирования меридианов и вдоль кривой с получена диаграмма При
этом кривая с параллельна стороне содержащего ее многоугольника, а
волна wj - нет. Нужно доказать, что диаграмма упрощается волнами
до стандартной, т.е. что е Dx.
144
Рис. 166
В диаграммах типа III все волны параллельны дугам поэтому
имеет тип II или тип I, причем d = 0 в случае типа IIhc = J = 0b случае
типа I (см. рис. 155).
а) Пусть Е, имеет тип II при d = 0. Тогда в ней имеются две и-волны:
и1] и одна из которых содержится в области А, другая - в симметрич-
ной ей области г(А) (рис. 163). Отвечающие им волновые преобразования
полностью совпадают. Если хотя бы одна из них выживает при суммиро-
вании меридианов и, то мы возвращаемся к уже рассмотренному случаю
выживающей волны. Простой анализ показывает, что обе волны могут
пропасть только тогда, когда дуги 1, 2, 3, 4 лежат на одном меридиане
системы v (пусть на t/0, дуги 5, 6, 7, 8 - на другом (на i/2)» т.е. мы имеем
дело именно с той разметкой "внешних” дуг меридианов и, которая
показана на рис. 163. Дуга с (будем считать, что она находится в об-
ласти A) может занимать положение с' или положение с".
Все диаграммы, которые мы рассматривали до сих пор, были и-диаг-
раммами - поверхность кренделя разрезалась по меридианам и. Построим
^-диаграмму отвечающую диаграмме £ (рис. 164). Она имеет квадрат-
ный тип и лежит в DM с Dx. По лемме 6.1 диаграмма £ и вместе с ней
диаграмма являются стандартными диаграммами сферы. Поэтому
%* е DK.
145
Рис. 167
б) Пусть диаграмма имеет тип I при с = d = 0. Этот случай аналоги-
чен случаю "а". В диаграмме также есть две u-волны и обе могут
пропасть при суммировании меридианов лишь тогда, когда разметка внеш-
них дуг меридианов и соответствует рис. 165, а суммирование выполня-
ется вдоль одной из изображенных пунктиром дуг. Отвечающая диаграм-
ме [/-диаграмма £ изображена на рис. 166. После первого же волнового
преобразования она превращается в квадратную диаграмму, которая по
лемме 6.1 должна быть стандартной. Поэтому и диаграмма Е, одним волно-
вым преобразованием превращается в стандартную, что может быть
только при а = b = 1. В этом случае диаграмма просто является стан-
дартной. Доказательство теоремы 6.2 закончено.
Замечание. Диаграмма Хегора рода 3 сферы S3 уже не обязана
иметь волну. Пример такой диаграммы, построенной в [32], изображен на
рис. 167. Никакого алгоритма, распознавания сферы S3 в классе много-
образий рода 3 и выше пока не построено*. Имеется, правда, двухстра-
ничное сообщение Хакена, что он умеет строить такой алгоритм, но
доказательства отсутствуют.
6.3. Комментарии к § 5,6
Идея использовать единственность кусочно-линейной структуры на
трехмерном многообразии для доказательства стабильной эквивалентнос-
ти любых разбиений Хегора данного трехмерного многообразия взята из
работы [33]. Понятия волны и волнового преобразования были введены в
работе [31]. Там же были сформулированы гипотеза о существовании
волны в любой диаграмме Хегора трехмерной сферы и основанная на ней
гипотеза о существовании алгоритма распознавания сферы. Нужно
отметить принципиальное отличие этого подхода от многих других
упоминавшихся нами алгоритмов в топологии многообразий размерности 3:
* В 1994 г. А. Томпсон, основываясь на идеях В. Хакена и X. Рубинштейна, предложила
такой алгоритм (см. п. 12.7). Дополнение ко второму изданию.
146
не только доказывается абстрактная теорема существования алгоритма,
но и предъявляется конкретный, практически работающий алгоритм,
допускающий реализацию на компьютере. В упоминавшейся работе [31]
приведены описание машинной программы и результаты обширного
вычислительного эксперимента, которые показали, что существование
волны - типичное явление (см. детали в [5, 67]).
Эта деятельность была подхвачена позднее японскими математиками
[34-36]. Изложенное нами доказательство теоремы 6.2 является модифи-
цированной версией рассуждения из работы [36]. В настоящее время
построены алгоритмы распознавания некоторых других трехмерных
многообразий в классе многообразий рода 2, основанные на тех же сообра-
жениях.
Дополнение ко второму изданию.
В начале этого параграфа мы упомянули об алгоритмической класси-
фикации многообразий Хакена (неприводимых, гранично неприводимых
трехмерных многообразий, которые являются достаточно большими, т.е.
содержат несжимаемую, гранично несжимаемую поверхность с бесконеч-
ной фундаментальной группой). Хотя о существовании такой классифика-
ции было объявлено в 1978 г. [72, 73], после того как Дж. Хемион решил
проблему распознавания сопряженности гомеоморфизмов поверхностей
[74] и сделал тем самым решающий шаг, полный текст так и не появился
в печати. Книга [75], посвященная этой теме,не решает проблемы, так
как она носит описательный характер и в ней отсутствуют доказатель-
ства ключевых моментов.
В 1995-1997 годах мы предприняли обширное исследование этого
вопроса. Результаты оказались весьма интригующими.
Во-первых, выяснилось, что в оригинальной схеме имеется существен-
ный пробел - остался не разобранным очень важный случай так называе-
мых квази-многообразий Столлингса, без которого доказательство теоре-
мы классификации не проходит. Эту трудность можно преодолеть, если
удастся построить алгоритм, который по каждым двум гомеоморфизмам
поверхности на себя выясняет, изотопен ли один из них степени другого.
Положительное решение указанной проблемы извлекается из появившей-
ся гораздо позднее 1978 года теории В. Торстона [76] гомеоморфизмов
поверхностей, вернее, из ее алгоритмической версии [77]. Вполне возмож-
но, что здесь будут полезны также старые работы Дж. Нильсена.
Во-вторых, доказательство теоремы алгоритмической классификации
удается приблизить к оригинальной схеме В. Хакена [78] и за счет этого
существенно упростить его. В частности, в модифицированном доказа-
тельстве не используется теория характеристических подмногообразий
К. Иогансена, изложение которой занимает целый том [79]. Полный текст
доказательства опубликован в [80].
Что касается проблемы алгоритмического распознавания трехмерной
сферы, то в настоящее время она решена в полном объеме, см. п. 12.7 и
работу [81].
§ 7. СВЯЗНЫЕ СУММЫ
7.1. Свойства связного суммирования
Эпизодически мы уже использовали операцию связной суммы много-
образий. Изучим ее подробнее для трехмерного случая.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.1. Пусть Afb Л/2 _ Два трехмерных многообра-
зия. Удалим из каждого по открытому трехмерному шару и склеим остат-
ки по какому-нибудь гомеоморфизму сфер, возникших на их краях.
Полученное многообразие называется связной суммой многообразий
Afb М2 и обозначается через # М2.
Отметим, что связная сумма многообразий зависит, вообще говоря, от
выбора гомеоморфизма, по которому склеиваются сферы. Существуют
только два различных (не изотопных) гомеоморфизма сферы на сферу.
Поэтому связное суммирование многообразий можно выполнить двумя
способами. Бывает ли так, что они дают различные результаты? В раз-
мерности 2 - нет, так как обращающий ориентацию гомеоморфизм окруж-
ности на себя всегда продолжается до гомеоморфизма затягивающей ее
поверхности. Для листа Мебиуса, например, таким гомеоморфизмом
служит поворот на 180° вокруг оси ОХ (рис. 168).
В размерности 3 резуль-
таты связного суммирования
могут быть различными. Для
этого нужно, конечно, чтобы
каждое слагаемое было не-
симметричным, т.е. не су-
ществовало бы гомеомор-
физма, переводящего какой-
нибудь шар в нем на себя с
обращением ориентации.
Любое неориентируемое
многообразие в этом смысле
симметрично, так как шар
можно обнести по дезо-
риентирующему пути и вернуть на место с обращением ориентации.
Ориентируемое многообразие симметрично тогда и только тогда, когда
существует его обращающий ориентацию гомеоморфизм на себя. Уловить
различие между ориентированными многообразиями М и -А/ (минус
обозначает другую ориентацию) довольно трудно, тем более, что часто
его нет. Все же мы приведем пример, без доказательства, но со ссылкой
148
Рис. 169
на повседневный опыт завязывания узлов. Все знают, что левый и правый
трилистники (рис. 169) - различные узлы. Обозначим правый трилистник
через К, дополнение в сфере к его открытой регулярной окрестности -
через М. Тогда многообразия М # М и М # (-М) не гомеоморфны, так
как первое есть дополнительное пространство двух правых трилистников,
второе - левого и правого.
Впредь мы всегда при взятии связной суммы двух ориентированных
многообразий будем выбирать меняющий ориентацию гомеоморфизм
сферы на сферу. В такой интерпретации операция связной суммы опре-
делена однозначно.
В определении связной суммы никак не участвует порядок слагаемых.
Поэтому эта операция коммутативна. Так как все шары в трехмерных
многообразиях равноправны (изотопны между собой), то она еще и
ассоциативна. Сфера S3 служит нейтральным элементом, поскольку
М # S3 = S3 # М = М. Отметим еще, что взятие связной суммы много-
образия с шаром эквивалентно удалению из него открытого шара.
7.2. Неприводимые и примарные многообразия
В § 2 было дано определение неприводимого трехмерного многообра-
зия: многообразие неприводимо, если любая двумерная сфера в нем огра-
ничивает шар. Мы обошли молчанием вопрос о существовании неприводи-
мых многообразий. Представьте себе, что в пространстве R3 имеется
вложенная двумерная сфера, не ограничивающая шар. Тогда неприводи-
мых многообразий не было бы совсем, так как в любом трехмерном много-
образии содержится экземпляр пространства R3. К счастью, такая ситуа-
ция невозможна.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.1. Пространство R3 неприводимо.
Доказательство. Пусть 5 - гладкая сфера в пространстве R3.
Рассмотрим функцию/: S R, сопоставляющую каждой точке сферы ее
координату z (функцию высоты). Сферу 5 или систему координат R3
всегда можно немного пошевелить так, чтобы все критические значения
функции/были различными и чтобы она имела только невырожденные
морсовские особенности, т.е. в малой окрестности каждой особой точки
записывалась бы в виде /(х, у) = с, + Xjx2 + Х2у2, где Х2 О,
х, у - локальные координаты на сфере и q - критическое значение.
149
Интуитивно этот факт абсолютно очевиден, а строгое доказательство
можно посмотреть в любой книге по теории Морса (например, в [37]).
Введем на сфере 5 отношение эквивалентности, полагая, что точки
х, у g S эквивалентны тогда и только тогда, когда /(х) = f(y) и они лежат
в одной компоненте связности линии уровня (т.е. одномерного множества
ЛТСО)- Фактор-пространство = Г является графом, вершины которого
могут иметь степень 1 или 3 (рис. 170). Вершины степени 1 отвечают точ-
кам локальных максимумов и минимумов, вершины степени 3 - тем связ-
ным компонентам линий уровня, которые содержат седловые особые
точки. Каждой отличной от вершины точке графа Г соответствует окруж-
ность в сфере S. Очень важное соображение: так как каждая окружность
в сфере разбивает ее, то каждая точка графа Г разбивает граф. Поэтому
Г - дерево.
Рассуждая методом индукции по числу особых точек, т.е. по числу к
вершин дерева, предположим, что все сферы с к-\ или меньшим числом
особых точек ограничивают шары. Если Г - отрезок или триод (букет
трех отрезков), то сфера 5 ограничивает шар очевидным образом
(рис. 171). Если нет, то в Г найдется точка на ребре, разбивающая Г на
две части с двумя или большим числом вершин в каждой. Отвечающая ей
окружность С разбивает сферу на два диска £>ь D2, каждый из которых
содержит не более к-2 особых точек.
а) Пусть окружность С на плоскости L = {z =f(C)} является самой
внутренней. Тогда, добавляя к дискам Db D2 по копии ограничиваемого
ею диска D С L, получим две сферы Si,iS2 с или меньшим числом
150
Рис. 171
Рис. 172
особых точек в каждой (рис. 172). По индукционному предположению они
ограничивают шары Вь В2, но тогда и сфера S ограничивает шар незави-
симо от того, лежит ли один из шаров В2 внутри другого или нет.
б) Пусть окружность С не является самой внутренней. Тогда из тех
окружностей, которые лежат внутри нее, возьмем самую внутреннюю
окружность С] С L. Если С\ разбивает сферу на части с двумя или
большим числом особых точек в каждой, то С можно заменить на Сх и
вернуться к пункту "а". Если же одна из частей содержит только одну
особую точку (точку максимума или минимума), то окружность Cj можно
устранить с помощью изотопии сферы S, не добавляющей новых особых
точек (рис. 173). Действуя таким образом, мы рано или поздно попадем в
ситуацию "а".
151
СЛЕДСТВИЕ 7.1. Если трехмерное многообразие вкладывается
в /?3, то оно неприводимо.
Доказательство очевидно.
Сохраняется ли свойство многообразий быть неприводимыми при их
склеивании или при разрезании по поверхности? Вообще говоря, нет. Если
из двух отличных от сферы S3 трехмерных многообразий удалить по
открытому шару и склеить возникшие на краях сферы, то получится при-
водимое многообразие - их связная сумма. Поверхность склеивания мо-
жет и не быть сферой - объединение двух полных торов по тождеству на
крае дает приводимое многообразие S2XSJ. Причина такого эффекта
лежит в том, что в первом случае склеивание выполняется по сфере, во
втором - по сжимаемой поверхности. Оказывается, что других причин
нет.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.2. Пусть F - отличная от сферы собственная
несжимаемая поверхность в трехмерном многообразии М. Обозначим
через трехмерное многообразие, получающееся из многообразия М
разрезанием по поверхности F (если поверхность F разбивает М, то М\
состоит из двух компонент). Тогда многообразие М неприводимо, если и
только если неприводимо многообразие А/р
Доказательство. Допустив неприводимость многообразия Мр
рассмотрим сферу S С М. Пересечение S A F можно уничтожить изотоп-
ным сдвигом сферы S (см. доказательство предложения 2.5). Рассмотрим
самую внутреннюю по отношению к сфере S окружность С С 5 A F. Из
несжимаемости поверхности F следует, что она ограничивает диск в F,
который вместе с ограничиваемым ею диском D в S дает двумерную
сферу в Мр Так как многообразие неприводимо, то эта сфера ограни-
чивает шар, который позволяет построить уменьшающую пересечение
изотопию сферы S. После устранения всего пересечения мы получим
сферу S] С Мр изотопную исходной. Так как М\ неприводимо, то она
ограничивает шар в и, следовательно, в М.
152
Пусть теперь неприводимо многообразие М. Каждая сфера, лежащая
в Л/ь лежит и в Л/, ограничивая там шар. Этот шар не может содержать
поверхность F (это противоречило бы ее несжимаемости), но тогда он
лежит в .
Как отмечалось, множество всех трехмерных многообразий относи-
тельно операции связной суммы образует коммутативную ассоциативную
полугруппу с нейтральным элементом. Имеет смысл провести аналогию с
полугруппой ненулевых целых чисел относительно операции умножения.
Аналог простого числа называется примарным многообразием.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.2. Трехмерное многообразие М называется при-
марным, если его нельзя представить в виде связной суммы двух много-
образий, каждое из которых отлично от сферы S3.
Это определение можно переформулировать так: многообразие при-
марно, если любая разбивающая сфера в нем ограничивает шар. Отсюда
следует, что понятия неприводимости и примарности очень близки друг
другу.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.3. Классы неприводимых и примарных много-
образий совпадают, за исключением сферы 53 (которая неприводима, но
обычно не считается примарной, как и число 1, обычно не считающееся
простым) и многообразий 51 XS2, S1^:^2, которые примарны, но приво-
димы.
Доказательство. Достаточно доказать, что примарное много-
образие М, содержащее неразбивающую сферу S, гомеоморфно косому
или прямому произведению окружности на сферу. Так как сфера S не раз-
бивает многообразия М, то найдется простая замкнутая кривая / С М,
трансверсально пересекающая сферу 5 только в одной точке. Тогда регу-
лярная окрестность U(S U /) объединения сферы и кривой гомеоморфна
одному из многообразий SlXS2, S}xS2 с удаленным шаром. Так как М
примарно, то сфера dU(S U /) ограничивает шар. Это означает, что М
гомеоморфно одному из многообразий 51 XS2, SlxS2 .
Продолжим аналогию с целыми числами. Любое целое число одно-
значно раскладывается в произведение простых чисел. Хотелось бы иметь
подобную теорему и для многообразий. Верно ли, что любое трехмерное
многообразие представимо в виде связной суммы примарных, и если да, то
однозначно ли? Казалось бы, обычное доказательство представимости
целого числа в виде произведения простых переносится на случай много-
образий. Берем многообразие М. Если оно не примарно, то раскладываем
его в связную сумму двух других. Если каждое из них примарно, то про-
цесс закончен, если нет, то раскладываем слагаемые еще раз и т.д. Труд-
ность заключается в доказательстве того, что этот процесс не будет
продолжаться до бесконечности. Для решения этой задачи мы применим
теорию нормальных поверхностей Хакена. Хакен придумал ее для
построения алгоритма распознавания тривиального узла, но позднее выяс-
нилось, что теория нормальных поверхностей является мощным инстру-
ментом изучения поверхностей в трехмерных многообразиях и пригодна
для решения многих других задач.
153
7.3. Теория нормальных поверхностей
Грубо говоря, нормальная поверхность - это поверхность в трехмер-
ном многообразии, которая правильным образом расположена по отноше-
нию к данному разбиению многообразия на ручки. Разумеется, слово
"правильный" нуждается в уточнении. Суть теории нормальных поверх-
ностей состоит в возможности замены любой поверхности на нормальную
так, чтобы сохранились нужные свойства, различные в каждом конкрет-
ном случае. Для простоты будем рассматривать только замкнутые поверх-
ности.
Пусть дано разбиение р многообразия М на ручки. Ручки индекса О
будем называть шарами, приклеиваемые к ним ручки индекса 1 - цилинд-
рами, ручки индекса 2 - плитками. Каждый цилиндр имеет структуру
прямого произведения диска на отрезок, каждая плитка - тоже. Разница в
том, что цилиндр D2XI приклеивается к шарам по двум дискам D2X {0, 1},
а плитка D2XI приклеивается к объединению шаров и цилиндров по коль-
цу Э£>2Х/. Пересечения краев шаров с цилиндрами (т.е. основания ручек
индекса 1) будем называть островами, с плитками - мостами (рис. 174).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.3. Замкнутая поверхность F С М называется
нормальной по отношению к разбиению Р, если выполнены следующие
условия:
1) поверхность F не пересекает ручек индекса 3;
2) пересечение поверхности F с каждой плиткой D2XI состоит из
нескольких параллельных копий диска D2, т.е. имеет вид D2X {хь хп},
где х{- - отдельные точки в отрезке / и л 0;
Рис. 174
154
3) пересечение поверхности F с каждым цилиндром D2XI имеет вид
ЛХ/, где L - конечное множество дуг с концами на 3D2 (окружности запре-
щаются);
4) пересечение поверхности F с каждым шаром состоит из дисков (эти
диски называются элементарными);
5) пересечение каждого элементарного диска с каждым мостом либо
пусто, либо состоит из одного отрезка.
Пусть F - замкнутая поверхность в трехмерном многообразии М и
D С М - такой диск, что D A F = 3D. Разрезав поверхность F по кривой
3D и заклеив края разреза двумя копиями диска D, получим новую поверх-
ность FБудем говорить, что поверхность Fx получается сжатием
поверхности F вдоль диска D (рис. 175). Операция сжатия вдоль диска
очень похожа на операцию параллельного расщепления (см. § 2).
Рис. 176
155
Рис. 177
ТЕОРЕМА 7.1. Пусть р - разбиение на ручки трехмерного много-
образия М. Тогда любую замкнутую поверхность F cz М можно с
помощью изотопий, сжатий вдоль дисков и удалений тривиальных
(ограничивающих шары) сфер перевести в поверхность, нормальную по
отношению к разбиению р.
Доказательство. 1. Изотопно сместим поверхность F так,
чтобы она не пересекала ручек индекса 3, т.е. целиком содержалась в
объединении шаров, цилиндров и плиток. Для этого нужно внутри каждой
ручки индекса 3 взять не пересекающий поверхности маленький шар и
изотопно раздуть его до размеров всей ручки. При такой изотопии
поверхность смещается за пределы ручки (рис. 176).
2. Выпрямим пересечение поверхности F с каждой плиткой. Для этого
проткнем поверхность трансверсальным отрезком вида х х I. Если DqCiD
- маленький диск, содержащий точку х, то поверхность F пересека-
ет цилиндр по нескольким дискам, которые можно изотопно
выправить в диски, параллельные основанию цилиндра. Изотопно разду-
вая цилиндр DC) х I до всей плитки D х /, мы изотопно смещаем
поверхность F в нужное положение (рис. 177). Отметим, что число
параллельных дисков в пересечении получившейся поверхности F с
156
Рис. 179
плиткой равно числу точек в пересечении исходной поверхности с
отрезком х х /.
3. Выпрямим пересечение поверхности F с каждым цилиндром D2 х /.
Выберем секущий диск D2 х {х} цилиндра D2 х /, который трансверсалей
поверхности F. Пересечение L поверхности F с ним состоит из нескольких
дуг и окружностей. Окружности можно последовательно, начиная с самых
внутренних, уничтожить сжатиями поверхности F вдоль дисков,
ограничиваемых ими в диске D2 х {х} (рис. 178). Затем с помощью
изотопии поверхности F добьемся, чтобы ее пересечение с D2 х /ь где
cz I - маленький отрезок, содержащий точку х, имело вид L х
Изотопно растягивая цилиндр D2 х до цилиндра D2 х /, добиваемся,
чтобы пересечение поверхности F с цилиндром удовлетворяло условию 3
определения 7.3 (рис. 179).
4. Выполнения условия 4 определения 7.3 легко добиться с помощью
сжатий поверхности F вдоль дисков и удалений тривиальных сфер
(рис. 180). Фактически все пересечение поверхности F с шаром заменяется
на набор дисков с тем же краем.
Обозначим через c(F) общее число дисков в пересечении поверхнос-
ти F со всеми плитками. Важное замечание: при преобразованиях 3, 4 оно
не меняется.
5. Край ЭЕ каждого элементарного диска Е разбивает каждый мост на
прямоугольники. Если дЕ проходит по мосту более одного раза, то хотя
бы один из этих прямоугольников (обозначим его через Р) не примыкает к
боковым сторонам моста. Кривая ЭЕ разбивает поверхность шара на два
диска, один из которых (обозначим его через Dj) содержит прямоуголь-
157
Рис. 180
Рис. 181
Рис. 182
158
ник Р (рис. 181). Если края других элементарных дисков пересекают
прямоугольник Р, то каждый из них пересекает его по крайней мере
дважды. Из всех этих дисков можно выбрать диск с самой внутренней
по отношению к диску Dx окружностью и заменой диска Е на Е}
перейти к меньшему прямоугольнику. Поэтому будем считать, что по Р
не проходят другие элементарные диски.
Возьмем на боковых (т.е. на примыкающих к островам) сторонах
прямоугольника Р две точки Ль Л2 и соединим их двумя дугами: дугой Ц в
Р и дугой / в Е. Объединение дуг /, ограничивает в шаре диск В,
который пересекает поверхность F только по дуге /. Используя диск В,
изотопно сместим дугу / вместе с содержащим ее участком поверхности F
в дугу Ц и затем вытолкнем ее за пределы шара внутрь примыкающей к
мосту плитки (рис. 182). Положительный эффект такой операции состоит
в следующем: плитку D2 х /, примыкающую к рассматриваемому мосту,
можно проткнуть отрезком вида х х I так, чтобы он пересекал поверх-
ность в меньшем числе точек. После этого нужно вернуться к п. 2,
получить поверхность с меньшим числом c(F), опять выполнить пункты 3,
4 и т.д. Так как число c(F) все время уменьшается, то этот процесс
оборвется на нормальной поверхности F.
7.4. Существование разложения на примарные слагаемые
Дополнение к двумерной сфере в трехмерном многообразии может
быть либо связным, либо нет. Сначала разберемся с неразбивающими
сферами. Пусть трехмерное многообразие М содержит неразбивающую
сферу S. Тогда найдется простая замкнутая кривая Z, пересекающая
сферу S только в одной точке. Регулярная окрестность U(S и /)
гомеоморфна многообразию S1 х S2 или многообразию S1 х S2 с удаленным
шаром, а ее край является двумерной сферой. Таким образом, М = #
# S1 х S2 или М = # S1 х S2. Из теоремы Ван-Кампена следует, что
копредставление фундаментальной группы многообразия М получается из
копредставления фундаментальной группы многообразия Мх добавлением
одного нового образующего элемента. Поэтому ранг группы гомологий
ровно на единицу меньше ранга группы Так как ранг группы
всегда конечен, то от многообразия М можно отщепить только
конечное число слагаемых вида S’1 х S2 или S’1 х S2. В дальнейшем будем
считать, что М не содержит неразбивающих сфер.
Пусть S = S] о S2 и ... о Sn - система попарно не пересекающихся
двумерных сфер в М. Они разбивают М на п + 1 частей. Некоторые из
этих частей могут быть гомеоморфными дырявому шару, т.е.
трехмерному шару с вырезанными из него несколькими меньшими шара-
ми. Остальные части будем называть существенными. Число существен-
ных частей называется весом системы S.
ЛЕММА 7.1. Пусть S = 5] u S2 и ... - система попарно не
пересекающихся двумерных сфер в трехмерном многообразии М, не
159
Рис. 183
содержащем неразбивающих сфер. Тогда при изотопии и устранении
тривиальных сфер вес системы сохраняется, а при сжатии вдоль диска
либо сохраняется, либо увеличивается.
Доказательство. Сохранение веса при изотопии очевидно.
При устранении тривиальных сфер вес также сохраняется, так как при
заклеивании шаром одной из компонент края дырявого шара снова
получается дырявый шар. Пусть диск D <z Vj <z М примыкает краем к
сфере отделяющей часть V} от части V2. После сжатия сферы вдоль
него получаются две сферы 5"! и S"2. Поскольку каждая из них разбивает
многообразие Л/, то вместо частей V2 появляются три части У/, Ц',' V2
(рис. 183). Часть V'2 получается из части V2 добавлением ручки индекса 2,
что эквивалентно удалению из многообразия V2 открытого шара. Поэтому
части V'2, V2 либо обе существенны, либо обе являются дырявыми
шарами. Если обе части V/, Ц" - дырявые шары, то часть Vl также
является дырявым шаром, так как при соединении двух дырявых шаров
ручкой индекса 1 снова получается дырявый шар. Отсюда следует, что
вес системы сфер не может уменьшаться при сжатии вдоль диска.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.4. Пусть трехмерное многообразие М не содер-
жит неразбивающих сфер. Тогда вес любой системы сфер в нем не
превосходит удвоенного числа тетраэдров любой его триангуляции.
Доказательство. Для простоты ограничимся случаем замк-
нутого многообразия М. Пусть Т - его произвольная триангуляция.
Построим по ней разбиение на ручки р, взяв в качестве ручек индекса i
звезды во втором барицентрическом подразделении Т" триангуляции Т
барицентров симплексов размерности З-z. Это разбиение двойственно
разбиению, построенному в п. 1.11. Другими словами, ручками индекса О
(шарами) будут служить регулярные окрестности барицентров
тетраэдров, ручки индекса 1 (цилиндры) будут соединять эти шары,
проходя сквозь треугольники - по одной для каждого треугольника. Ручки
индекса 2 (плитки) отвечают ребрам, а ручки индекса 3 представляют
собой регулярные окрестности вершин. Поскольку каждый тетраэдр
имеет 4 двумерные и 6 одномерных граней, то на крае каждого шара
появляются 4 острова, каждые два из которых соединены мостом
(рис. 184). Согласно теореме 7.1, данную систему сфер S можно заменить
160
Рис. 184
на систему, нормальную по отношению к разбиению р. По лемме 7.1, ее
вес при этом не может уменьшиться. Поэтому достаточно доказать, что
вес любой нормальной системы сфер (вернее, системы нормальных сфер)
не превосходит удвоенного числа ручек индекса 0, т.е. шаров. Удобно
считать, что новая система сфер S включает в себя края ручек индекса 3,
т.е. край объединения шаров - цилиндров - ручек (добавление тривиаль-
ных сфер не влияет на вес системы).
Будем говорить, что два элементарных диска в шаре разбиения Р
относятся к одному типу, если они параллельны (более строго: если
существует неподвижная вне островов и мостов изотопия края шара,
переводящая край одного диска в край другого). Проанализируем
возможные типы элементарных дисков.
ЛЕММА 7.2. В крае шара разбиения Р имеется 7 типов элементар-
ных дисков. Из них 4 (называемые короткими) проходят по трем мостам
каждый, а 3 (называемые длинными) - по четырем. Короткие типы не
пересекаются между собой и с остальными, любые два длинных типа
пересекаются.
Доказательство. Из условия 5 определения 7.3 следует, что
край элементарного диска не может проходить по одному мосту дважды.
Поскольку к каждому острову подходят ровно три моста, то и остров
может проходиться не более одного раза. Если элементарный диск не
проходит по одному из 4 островов, то мы имеем короткий тип. Если же он
проходит по всем 4 островам, то мы имеем один из длинных типов,
который задается парой не примыкающих к одному острову мостов и
характеризуется тем, что диск не проходит по мостам выбранной пары.
На рис. 185 изображены края элементарных дисков всех 4 коротких типов
и одного длинного (еще 2 получаются из него поворотом рисунка на
±120°).
Продолжим доказательство предложения 7.4. Элементарные диски
разбивают каждый шар на области. Некоторые из этих областей
6. С.В. Матвеев, А.Т. Фоменко
161
тривиальны - ограничены двумя параллельными копиями элементарного
диска одного и того же типа. Остальные будем называть существенными.
Ключевой момент доказательства состоит в том, что в каждом шаре V
есть только две существенные области, если присутствует элементарный
диск длинного типа, и только одна, если нет. Чтобы часть, отсекаемая от
многообразия М сферами S, была существенной, необходимо, чтобы она
содержала хотя бы одну существенную область одного из шаров, так как
в противном случае она будет гомеоморфна многообразию S2 х /. Поэтому
число существенных частей (т.е. вес системы S) не превосходит
удвоенного числа тетраэдров триангуляции.
ТЕОРЕМА 7.2. Любое трехмерное многообразие можно разложить в
связную сумму примарных.
Доказательство. Как отмечалось, можно ограничиться случа-
ем, когда многообразие М не содержит неразбивающих двумерных сфер.
Если многообразие М не примарно, то разобьем его в связную сумму двух
отличных от сферы многообразий М2. Разбивающую сферу обозначим
через Sp Если хотя бы одно из многообразий МХ,М2 не примарно, то
разобьем его в связную сумму сферой и т.д. При каждой такой операции
вес системы сфер возрастает на единицу. По предложению 7.4, этот
процесс должен закончиться через конечное число шагов.
7.5. Единственность разложения на примарные слагаемые
Сначала избавимся от неразбивающих сфер.
ЛЕММА 7.3. Пусть S2 - неразбивающие сферы в ориентируемом
многообразии М. Тогда существует такой гомеоморфизм h: М —> Л/, что
= S2.
Доказательство. Если сферы не имеют общих точек, то
утверждение леммы очевидно. Действительно, разрежем многообразие Л/
по ним и заклеим возникшие на крае сферы Sf, S" и S2, S2 шарами. Если
получившееся многообразие Мх будет состоять из двух компонент, то в
каждой из них должно лежать по одной сфере каждой пары, либо в
противном случае одна из сфер S2 была бы разбивающей. Поскольку
все шары в многообразии равноправны (переводятся друг в друга гомео-
морфизмом), то существует гомеоморфизм разрезанного многообразия М,
меняющий пары Sf, SfnSj, S" местами. Этот гомеоморфизм и опре-
деляет искомый гомеоморфизм h: М ->.М.
Далее будем рассуждать методом индукции по числу окружностей в
пересечении сфер S2. Вдоль окружности С a Sx n S2, самой
внутренней по отношению к сфере выполним операцию параллельного
расщепления (см. § 2). В результате сфера S2 распадется на две сферы
S2, $2 , каждая из которых пересекает сферу S] по меньшему числу
окружностей и (после изотопного сдвига) не пересекает сферу S2. Хотя бы
одна из них (пусть S'2) не разбивает многообразия Л/ - в противном случае
сфера S2 была бы разбивающей. По индукционному предположению
162
существует гомеоморфизм h}: М —> Л/, переводящий сферу Sj в сферу S'2,
и гомеоморфизм Л2, переводящий сферу S 2 в сферу S2. Их суперпозиция
h2hx является искомым гомеоморфизмом.
ТЕОРЕМА 7.3. Пусть М = Мх # М2 # ... # Мт и М = # N2 # ...#Nn
- два разложения ориентируемого многообразия М на примарные слагае-
мые. Тогда т = п и для любого i существует сохраняющий ориентацию
гомеоморфизм многообразия Mt на многообразие /V, (с точностью до
перестановки слагаемых).
Доказательство. Из леммы 7.3 следует, что если многооб-
разия А] # S1 х S2 и А2 # S1 х S2 гомеоморфны, то многообразия Ар А2
тоже гомеоморфны. Действительно, многообразие А, получается из много-
образия Ai # х S2 разрезанием по сфере {*} х S2 и заклеиванием двух
сфер на крае шарами. Лемма 7.3 утверждает, что совершенно неважно,
какую именно неразбивающую сферу мы берем. Поэтому все слагаемые
типа S1 х S2 можно отщепить и доказывать теорему только для
многообразий без неразбивающих сфер.
Будем считать, что первое разложение устроено так: из трехмерной
сферы S3 вырезаны шары ВЬВ2,..., Вт, ограниченные двумерными
сферами S2,..., Sm и вместо них вклеены многообразия Л/р т.е. много-
образия с удаленными открытыми шарами.
а) Пусть сфера отсекающая от многообразия М многообразие ?/р
не пересекает сфер SX,S2, ..., Sm. Если она расположена в одном из
многообразий Л/0 (пусть в Л/J), то из-за неприводимости многообразия М®
она изотопна сфере Sp Тогда Л/j ~ Np Л/2 # ... # Мт ~ N2 # ... # Nn и
доказательство сводится к случаю с меньшим числом слагаемых. Если же
сфера S'i расположена вне многообразий Л/?, то многообразие содержит
одну из сфер S( и по тем же причинам мы приходим к рассмотрению
меньшего числа слагаемых:
б) Пусть сфера S'x пересекает сферы S15..., Sm и пусть самая
внутренняя по отношению к ней окружность С пересечения (будем,
считать, что она лежит в сфере Si) ограничивает в S'i диск Z), лежащий в
многообразиимРх. Из-за неприводимости многообразия этот диск отсе-
кает от него шар, а тогда пересечение сферы со сферами S, можно
уменьшить с помощью изотопии (рис. 186).
в) Пусть самая внутренняя окружность С cz Sj n ограничивает в
диск D, лежащий в дополнении к шарам ..., Вт. Она разбивает сфе-
ру Sj на два диска Dp D2. Соединим диск Dx с диском D2 дугой I cz М р не
пересекающей сферы З'р Рассмотрим новую сферу Sp которая полу-
чается из сферы Sj сжатием вдоль диска D и соединением двух
получившихся при этом сфер тонкой трубочкой вдоль дуги I (рис. 187).
Сфера ограничивает многообразие М® = М® uU(JX) - Int U(l), где U(D) -
регулярная окрестность диска D и Int U(l) - внутренность регулярной
6*
163
Рис. 186
Рис. 187
окрестности дуги I. Сфера обладает двумя важными свойствами: 1) она
пересекает сферу по меньшему числу окружностей; 2) существует
гомеоморфизм многообразия М на себя, неподвижный на сферах S2, ..., Sm
и переводящий сферу в сферу Первое свойство очевидно: окруж-
ность С исчезает, а новых окружностей не появляется. Чтобы доказать
второе свойство, временно сделаем обратную замену многообразий Л^,...,
..., М°т на шары В...» В°т. В результате многообразие Л/ превратится в
и его подмногообразие Л/J не будет содержать шаров Поэтому
сфера как и сфера Sj, будет отсекать от многообразия шар,
содержащий все шары В2, ..., Вт. Сферы Sj, Sj в М\ очевидным образом
изотопны (как любые сферы в неприводимом многообразии). При этой
изотопии шары В2, ,Вт будут, конечно, двигаться по многообразию, но
в конечный момент их можно вернуть на прежние места. Поэтому
164
конечный гомеоморфизм изотопии неподвижен на шарахВ2, ..-,Вт. После
обратной замены шаров В2, ..., Вт на многообразия ...» М°т он дает
искомый гомеоморфизм всего многообразия М.
Итак, за счет гомеоморфизма многообразия М на себя мы добились
уменьшения числа окружностей в пересечении сферы Sj со сферами
Sm. Многократным применением рассуждений ”б”, "в", мы придем к
уже рассмотренному случаю "а”. Теорема доказана.
Теорема о единственности разложения неориентируемого трехмерного
многообразия на примарные слагаемые тоже справедлива, но с учетом
следующего замечания: если многообразие М неориентируемо, то много-
образия М # S1 х S2 и М # S1 х S2 гомеоморфны. С аналогичным
обстоятельством мы уже встречались в случае двумерных многообразий
(см. § 2). Вопрос об алгоритмическом разложении на примарные слагаемые
решается положительно, поскольку он эквивалентен проблеме алгебраи-
ческого распознавания трехмерной сферы (См. п. 12.7).
§ 8. УЗЛЫ И ЗАЦЕПЛЕНИЯ
8.1. Основные определения
Теория узлов - одна из самых старых и далеко продвинутых областей
трехмерной топологии. В топологии часто приходится исследовать вопрос
о том, как одно топологическое пространство может быть расположено
внутри другого. Рассмотрение уже на первый взгляд простого частного
случая - проблемы расположения окружности в R3 или S3 - приводит к
чрезвычайно красивой, богатой и сложной теории, которая получила
название теории узлов. Наглядное представление об узле может дать
кусок веревки со сшитыми концами (см. рис. 188, на котором изображены
тривиальный узел (а) и узел "турецкая чалма" (б)).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.1. Зацеплением называется конечный набор
попарно не пересекающихся простых замкнутых кривых в пространст-
ве R3. Зацепление, состоящее из одной компоненты, называется узлом.
Сразу отметим, что узлы и зацепления можно рассматривать в
произвольном трехмерном многообразии. При этом теория зацеплений в
пространстве R3 практически не отличается от теории зацеплений в сфе-
ре S3, поскольку сфера получается из пространства R3 добавлением всего
одной точки. Разумеется, нет смысла изучать одно конкретное зацеп-
ление. Теория зацеплений становится содержательной, если рассматри-
вать классы эквивалентных зацеплений.
а
166
Рис. 189
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.2. Два зацепления называются эквивалентными,
если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм пространст-
ва R3 на себя, переводящий одно зацепление в другое.
Часто исследуются и другие варианты определений зацепления и
эквивалентности зацеплений. Можно рассматривать ориентированные
зацепления (т.е. наборы кривых с указанными на них направлениями) и
требовать, чтобы устанавливающий эквивалентность гомеоморфизм
переводил одно зацепление в другое с сохранением ориентации компонент.
Можно учитывать нумерации компонент зацепления, можно включать в
рассмотрение обращающие ориентацию гомеоморфизмы пространства R3
- тогда правый и левый трилистники, различные с точки зрения нашего
определения, станут эквивалентными, так как один получается из другого
отражением относительно плоскости.
Известно, что любой сохраняющий ориентацию гомеоморфизм про-
странства R3 на себя изотопен тождественному. Если h: R3 —> R3 -
гомеоморфизм, переводящий узел АГ0 в узел и ht\ R3 —> R3 (где h0 = 1 и
hx = h) -«его изотопия к тождественному, то семейство кривых Kt = ht{KQ)
представляет собой непрерывное семейство узлов, начинающееся узлом
Kq и заканчивающееся узлом К\. Таким образом, принятое нами
определение эквивалентности узлов хорошо согласуется с интуитивным
пониманием "одинаковости” узлов, как узлов, один из которых можно
непрерывно и без самопересечений продеформировать в другой.
Чтобы избежать трудностей, связанных с возможным плохим
локальным поведением зацепления, ограничимся рассмотрением так
называемых ручных зацеплений. Узел называется ручным, если он экви-
валентен замкнутой конечнозвенной ломаной без самопересечений (см.
рис. 189 на котором изображен "узел грузчика”). Зацепление называется
ручным, если оно состоит из ручных узлов. На рис. 190 изображены
примеры "диких" узлов. Один из них состоит из бесконечной последо-
вательности уменьшающихся трилистников, второй замечателен тем, что
любое конечное число петель может быть развязано, но, как доказал
Р. Фокс, его дополнение не гомеоморфно дополнению тривиального узла.
Изображение узлов и зацеплений в виде ломаных не очень удобно и
часто затемняет суть дела. Будем по-прежнему рисовать гладкие кривые,
167
Рис. 190
Рис. 191 Рис. 192
имея в виду справедливость следующей теоремы: любой гладкий узел
(т.е. образ дифференцируемого вложения без особых точек) является
ручным и любой ручной узел эквивалентен гладкому. Можно обойтись и
без ссылки на эту теорему, представляя себе изображенную гладкую
кривую состоящей из настолько малых прямолинейных звеньев, что они
неразличимы невооруженным глазом.
Несколько слов об общепринятом способе задания зацеплений. Зацеп-
ление задается с помощью его проекции на плоскость. При этом проекция
должна быть регулярной, т.е. должны отсутствовать точки кратности
больше двух и точки касания (см. рис. 191, на котором изображены
запрещенные случаи). Чтобы показать, какой участок зацепления
проходит под другим, принято разрывать проекцию в нижних двойных
точках. Компоненты связности разорванной таким образом поверхности
проекции называются переходами. Например, проекция узла восьмерки
состоит из четырех переходов (рис. 192).
Теория узлов сравнительно плохо отражена в учебной литературе. В
некоторой степени этот недостаток восполняет книга [39]. Мы огра-
ничимся отдельными интересными аспектами теории узлов и зацеплений,
не вошедшими в нее.
168
8.2. Дистрибутивные группоиды в теории узлов
Самый простой и распространенный способ доказательства эквива-
лентности двух узлов КХ,К2> заданных своими проекциями К2,
состоит в постепенной переделке Кх в К2 (рис. 193). Тщательный анализ
процесса переделки показывает, что К2 всегда можно получить из Кх с
помощью последовательности изотопных деформаций проекции и
преобразований RX,R2,R3 (рис. 194). Этот интуитивно очевидный факт
был доказан Райдемайстером. Отсюда следует, что любое свойство
проекции узла, сохраняющееся при преобразованиях Я3, является
инвариантом самого узла. Хороший пример такого свойства можно найти в
книге Кроуэлла и Фокса [39]. Раскрасим переходы проекции узла тремя
цветами, каждый переход своим цветом так, чтобы в каждой точке
Рис. 193
169
Рис. 195
пересечения все три перехода имели либо различные, либо одинаковые
цвета. Такую раскраску назовем правильной.
ТЕОРЕМА 8.1. Число правильных раскрасок сохраняется при преоб-
разованиях Райдемайстера.
Доказательство этой теоремы абсолютно элементарно и
состоит в следующем. Для каждого преобразования R*1 нужно перебрать
все правильные раскраски изменяемого фрагмента и убедиться, что
каждой из них соответствует только одна правильная раскраска нового
фрагмента. Например, изображенная на рис. 195 раскраска (к - красный,
ж - желтый, с - синий цвет) обязывает нас покрасить обозначенный
стрелкой переход нового фрагмента красным цветом.
Из этой теоремы следует, например, что трилистник не является
тривиальным узлом, так как стандартная окружность имеет только три
одноцветные раскраски, а трилистник - еще по крайней мере одну (на
самом деле - шесть) разноцветную (рис. 196 А, Б). По-видимому, это
самое простое доказательство существования нетривиальных узлов. С
другой стороны, существуют нетривиальные узлы (например, восьмерка),
все правильные раскраски которых одноцветны.
Рис. 196Б
Рис. 196 А
170
Рис. 198
Естественная попытка обобщения построенного инварианта состоит в
использовании более богатой палитры. Пусть Г - произвольное мно-
жество. Его элементы будем называть цветами. Пусть а: Г х Г —> Г -
произвольная бинарная операция (элемент а(а, Ь) обозначается через
а ° Ь). Раскраской ориентированной проекции К узла К назовем сопостав-
ление каждому переходу проекции К определенного цвета так, чтобы для
каждой точки пересечения цвета, соответствующие верхнему переходу
(цвет Ь), переходу, расположенному слева (цвет а), и переходу, рас-
положенному справа (цвет с), были связаны соотношением а ° b = с
(рис. 197). Каким условиям должна удовлетворять операция °, чтобы
число правильных раскрасок сохранялось при преобразованиях Райде-
майстера? Несложный анализ показывает, что это число сохраняется при
преобразовании R±\ если операция идемпотентна, т.е. если для любого
a g Г справедливо равенство а ° а = а. Преобразования Я*1 требуют
левообратимости операции °; для любых a, b g Г уравнение х ° а = b
должно иметь единственное решение. Число правильных раскрасок
сохраняется при преобразованиях Я*1, если операция ° праводистри-
бутивна, т.е. (а ° Ь) ° с = (а ° с) ° (Ь ° с) для любых a, b, с g Г. Для
краткости идемпотентный левообратимый праводистрибутивный группоид
Г (т.е. множество Г с бинарной операцией, удовлетворяющей трем ука-
занным условиям) будем называть просто дистрибутивным. Таким об-
разом, справедливо следующее предложение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 8.1. Число правильных раскрасок проекции узла
элементами дистрибутивного группоида является инвариантом узла.
Разумеется, аналогичный факт верен и для зацеплений. Примером
дистрибутивного группоида является множество из трех элементов
{к, ж, с} (красный, желтый, синий), операция в котором задана таблицей
на рис. 198.
Проанализируем смысл условий идемпотентности, левообратимости,
праводистрибутивности в терминах правых сдвигов. Для любого груп-
поида Г и любого элемента a g Г можно определить правый сдвиг Та:
Г —> Г по правилу Та(х) = х ° а. Условие идемпотентности говорит, что
элемент а служит неподвижной точкой сдвига Та. Условие левооб-
ратимости требует, чтобы любой правый сдвиг являлся биекцией, а
171
условие праводистрибутивности - изоморфизмом. Это показывает есте-
ственность условий. Приведем примеры дистрибутивных группоидов.
Пример 1. Пусть t- обратимый элемент кольца А с единицей и
М - левый Л-модуль. Тогда М относительно операции а ° b = ta +
4- (1 - t)b является дистрибутивным группоидом. Этот группоид будет
обозначаться через Mt.
П р и м е р 2. Пусть G - произвольная группа и п - целое число.
Тогда G относительно операции а ° b = bnab~n является дистрибутивным
группоидом. Этот группоид обозначается через G^n\ Отметим, что любой
гомоморфизм группы G\ в группу С2 одновременно является гомомор-
физмом группоида Gfn) в группоид G2n\
ПримерЗ. Пусть G - группа, // - ее подгруппа и т - элемент из
центра группы Н. На множестве GIH левых смежных классов определим
операцию °, полагая аН о ЬН = bmb~lаН. Так как т лежит в центре под-
группы //, то это определение корректно. Полученный дистрибутивный
группоид будет обозначаться через {GIH, т).
Проверка аксиом во всех трех примерах проводится непосредственно.
Левая обратная операция к операции ° в дистрибутивном группоиде Г
обозначается через /. Другими словами, Ыа есть решение уравнения
х °а = Ь. Из аксиом и определения операции / следует, что множество Г с
операцией / является дистрибутивным группоидом и что операции °, /
связаны соотношениями (а ° b)/c = {ale) ° {blc), {alb) ° с = {а ° с) / {Ь ° с).
Общим способом описания дистрибутивных группоидов служит их за-
дание образующими и соотношениями. Пусть А - произвольный алфавит.
Словом в алфавите А назовем произвольную последовательность, состоя-
щую из элементов множества А и символов (), °, /. Множество D{A) до-
пустимых слов в алфавите А индуктивно определяется следующим об-
разом.
1. Слово а, где а & А, допустимо.
2. Если слова w2 допустимы, то слова (wj) ° (w2) и {w^)/{w2) также
допустимы.
Например, слова {а/Ь) ° {Ь ° J), {а ° {b))/d в алфавите a, b, d до-
пустимы, а слова {а[)Ь, {а° Ь) ° ) не допустимы.
Пусть R - некоторое множество соотношений, т.е. равенств вида
г = s, где r,se D{A). На множестве D{A) введем отношение эквива-
лентности, полагая, что w2, если от слова можно перейти к слову
w2 с помощью конечной последовательности преобразований вида I, II, 1Г,
II, IV:
I. х ° х <-> х;
II. {х ° у)/у <-> х;
1Г. {х/у) ° у <-» х;
III. (х ° у) ° z <-> (х ° z) ° {у ° z);
IV. г s.
172
Во всех случаях х, у, z -
допустимые слова, равенство г =
= 5 принадлежит списку соотно-
шений, а символ <r->v2 озна-
чает выделение подслова щ и
его замену на подслово v2 или
наоборот. Полученный дистрибу-
тивный группоид с операцией °
будем обозначать через Г(А|7?).
Как показывает предложе-
ние 8.1, дистрибутивные груп-
поиды весьма полезны для по-
Рис. 199
строения инвариантов узлов.
Оказывается, что каждому узлу или зацеплению можно сопоставить
дистрибутивный группоид, который является его универсальным инва-
риантом. Для простоты ограничимся случаем узлов. Универсальный груп-
поид узла можно описать двумя способами: геометрическим и алгебраи-
ческим.
Геометрический способ. Пусть К - ориентированный
узел в пространстве Я3, N(K) - его регулярная окрестность и Е(К) =
= С1(/?3 - N(K)) - его дополнительное пространство. Фиксируем в Е(К)
базисную точку хк. Обозначим через Гк множество гомотопических клас-
сов путей в Е(К) с началами в базисной точке и концами на dN(K) (условия
на начало и концы должны сохраняться в процессе гомотопии, т.е. начало
должно быть закреплено в базисной точке, а конец скользить по dN(K)).
Отметим, что ориентация пространства R3 и направление на узле К опре-
деляют ориентации меридианов его регулярной окрестности (по правилу
буравчика, например). По определению полагаем, что a°b = [bm^b~]d],
где точка сверху обозначает выбор пути, представляющего данный
элемент множества Г^, квадратные скобки - класс, содержащий данный
путь, а - ориентированный меридиан, проходящий через конец пути Ь.
На рис. 199 представитель класса а ° b отмечен пунктиром. Выполнение
аксиом дистрибутивного группоида проверяется непосредственно, как
и независимость дистрибутивного группоида от выбора базисной
точки.
Алгебраический способ. Для данной проекции К узла К
обозначим через А% множество ее переходов. Пусть Р - точка пере-
сечения, лежащая на стыке переходов а, с и на переходе Ь. Напишем
соотношение а ° b = с, где а - переход, расположенный от перехода b
слева, а с - справа. Множество написанных соотношений (по одному для
каждой точки пересечения) обозначим через R%. Теперь можно рас-
смотреть дистрибутивный группоид Г(А^ | R%), заданный множеством об-
разующих А% и множеством соотношений R%.
173
Рис. 200
Рис. 201
ТЕОРЕМА 8.2. Группоиды и Г(А^ | R^) изоморфны.
Эту теорему можно интерпретировать двояко. С одной стороны, она
показывает, как можно выписать задание образующими и соотношениями
геометрического группоида Г^. С другой стороны, она демонстрирует
независимость группоида Г(А^ | R%) от выбора конкретной проекции узла.
Теорема 8.1 и предложение 8.1 тривиально следуют из этой теоремы, так
как правильная раскраска проекции узла элементами дистрибутивного
группоида Г является, в сущности, представлением группоида Г(А^
в Г.
Доказательство. Сопоставим каждому переходу а проекции
К путь sa в дополнении Е(К) так, чтобы:
1) путь sa соединял базисную точку с точкой той части тора ЭЛ^,
которая отвечает переходу а;
2) во всех точках, где проекция пути sa пересекает проекцию К, путь
sa должен проходить выше узла (рис. 200). Ясно, что этими условиями
гомотопический класс пути sa определен однозначно. Таким образом, каж-
дому образующему элементу группоида Г(А^ сопоставлен элемент
группоида Г^. Рис. 201 показывает, что при таком сопоставлении соот-
ношения группоида Г(А^ | R^) переходят в верные равенства. Тем самым
определен гомоморфизм <р: Г(А^ | R^) —> Г^. Чтобы определить обратное
отображение у: —> Г(А^ | R^\ для каждого элемента 5 6 выберем
представляющий его путь так, чтобы его проекция пересекала проекцию
К трансверсально и не проходила через точки пересечения проекции К.
Обозначим через ап,ап_},...,а} те переходы проекции К, под которыми
проходит путь s. Через aQ обозначим тот переход, вблизи которого лежит
конец пути s. Сопоставим элементу 5 элемент (...(а0Е1а1)Е2...алЧ)Елал
группоида Г(А^ | R^), где Е/ = /, если путь 5- проходит под переходом
слева направо, и е, = °, если справа налево (рис. 202). Нетрудно про-
174
верить, что это определение корректно и что отображение \|/ обратно
отображению ф. Теорема доказана.
Изложим способ, который по инварианту узла К позволяет строить
ряд других инвариантов. Для этого удобно использовать элементы теории
категорий. Обозначим через 2Г категорию дистрибутивных группоидов,
объектами которой служат дистрибутивные группоиды, морфизмами -
гомоморфизмы группоидов. Пусть - произвольная категория (в наших
примерах - категория групп или модулей). Представим себе, что мы при-
думали правило, которое каждому объекту категории Чо сопоставляет
дистрибутивный группоид, каждому морфизму - гомоморфизм группоидов.
Другими словами, пусть задан функтор F: из категории в
категорию дистрибутивных группоидов.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.3. Объект А категории присоединен к груп-
поиду Г с помощью гомоморфизма/0: Г —> F(A), если он обладает сле-
дующим универсальным свойством: для любого другого объекта В
категории <€ и любого другого гомоморфизма/: Г —» F(B) существует и
является единственным такой морфизм А: А —> В, что/= F(h)f0 (через F(h)
обозначен гомоморфизм группоидов, отвечающий морфизму А, см. диа-
грамму).
fo
Г------F(A)
\F(h)
-------F(B)
Единственность присоединенного объекта вытекает из общекатегор-
ных соображений: если /: Г —> В(Аг) - другой гомоморфизм с универ-
сальным свойством, то из-за универсальности существуют как морфизм
ф: А —> Aj, так и морфизм \|/: Аг —> Аг причем суперпозиции <р\|/ и \|/ф -
тождества опять же из-за свойства универсальности. Будем обозначать
присоединенный объект через Е*(Г). Ясно, что для произвольного узла К
объект F*(TK) является инвариантом узла.
175
Рис. 203
Пример 1. Пусть - категория групп и гомоморфизмов, а функ-
тор F: —> 2Г сопоставляет группе G группоид С(1), т.е. множество G с
операцией сопряжения a°b = bab~x. Тогда группа F*(I\) является ин-
вариантом узла К. Докажем, что она совпадает с фундаментальной груп-
пой дополнения узла К в 53 или /?3. Для этого приклеим к трехмерному
шару D3 ручки индекса 1 вдоль проходов проекции К так, как это по-
казано на рис. 203. В окрестности каждой двойной точки приклеим ручку
индекса 2 (рис. 204). Мы получим разбиение на ручки дополнительного
пространства с удаленным шаром. Если к нему применить изложенный в
1.5, 1.11 алгоритм выписывания копредставления фундаментальной груп-
пы, то получится в точности копредставление группы
П р и м е р 2. Пусть М - категория левых модулей над кольцом поли-
номов Лорана Z[/,/-1], а функтор F сопоставляет каждому модулю М
группоид Mt, т.е. множество М с операцией а о b = ta + (1 - t)b. Тогда мо-
дуль Е*(Гаг) является инвариантом узла.
Существование присоединенных объектов в обоих примерах дока-
зывается так: если задан с помощью образующих и соотношений
R^, то присоединенный объект задается теми же образующими и со-
отношениями вида bab~x = с в примере 1 и вида ta + (1 - t)b = с в примере
2 для каждого соотношения вида а о b = с из R^- Более подробно задание
фундаментальной группы дополнительного пространства узла можно
описать так: множеством образующих служит множество переходов лю-
бой проекции К узла, а соотношения имеют вид bab~x = с, по одному для
каждой точки пересечения проекции, где b - верхний переход, а - левый и
с - правый. Присоединенный модуль во втором примере носит название
модуля Александера. Он имеет квадратную матрицу соотношений,
причем в каждой строке ненулевые элементы равны г, 1 -1 и -1. Отсюда
176
Рис. 204
видно, что сумма всех столбцов матрицы равна нулевому столбцу. Поэ-
тому ее определитель равен нулю. Определитель любого минора на еди-
ницу меньшего порядка называется полиномом Александера узла. Поли-
ном Александера определен с точностью до умножения на ±tn. Это очень
сильный инвариант узла. Среди узлов с 11 и менее пересечениями он
различает примерно 80% узлов. Приведем пример вычисления: для три-
листника матрица соотношений имеет вид
< t 1-t -1'
-1 t 1-r .
J-r -1 t ,
Полином Александера трилистника равен 1 - г + А
Далеко не случайно, что такие классические инварианты узлов, как
фундаментальная группа дополнения и полином Александера, выража-
ются через дистрибутивный группоид 1\. Оказывается, что это верно и
для всех других инвариантов: группоид полностью характеризует узел.
Сейчас нам удобно считать, что два узла в сфере S3 эквивалентны, если
существует гомеоморфизм сферы на себя, который переводит один узел в
другой с сохранением ориентации меридианов их регулярных окрестностей
(т.е. либо одновременно сохраняет ориентации сферы и узла, либо
одновременно меняет их).
ТЕОРЕМА 8.3. Два узла эквивалентны тогда и только тогда, когда
отвечающие им группоиды изоморфны.
177
Доказательство. Приведем схему доказательства этой
теоремы. Часть "только тогда" следует из инвариантности группоида Г^.
Докажем, что изоморфность группоидов влечет эквивалентность узлов.
Так как дополнительное пространство нетривиального узла в сфере яв-
ляется неприводимым достаточно большим многообразием, то по теореме
Вальдхаузена [40] оно полностью характеризуется его фундаментальной
группой и одной из его периферических подгрупп; под периферической
подгруппой группы яj (Е(К)) понимается образ индуцированного вложением
гомоморфизма/*: тг1(ЭЕ(Е)) —»тг1(Е(Е)). Если известен еще и меридиан
периферической подгруппы, то тем самым известен и узел: пара (53, №(КУ)
получается из дополнительного пространства вклеиванием полного тора
по гомеоморфизму, переводящему меридиан тора в меридиан узла. Таким
образом, достаточно показать, что тройка (G, Н, т), где Н - пери-
ферическая подгруппа с меридианом т фундаментальной группы G =
= л1(Е(А’)), определяется группоидом Г^. С группой G все ясно: она
присоединена к группоиду Г\. В качестве меридиана можно взять образ
любого элемента а е Гк при присоединяющем гомоморфизме /0: Г -» G.
Докажем, что периферическая подгруппа Н cG есть не что иное, как
стационарная подгруппа элемента т при естественном действии группы G
на группоид Г^. Действительно, по определению группы Н каждый
элемент h е Н имеет вид h = [dha~x ], где п - петля в дЕ(К) с концами в
конце пути а. Поэтому h(a) = [dna~xd] = [dn] = а. Это означает, что группа
Н действует на элемент а тривиально. С другой стороны, если g(a) = а, то
пути ga и а гомотопны. Пусть псЭЕ(ЯГ) - путь, описываемый концом
пути gd при этой гомотопии. Тогда путь gdha~x гомотопен постоянному,
т.е. g = [dn~xd~x]. Это означает, что элемент g лежит в Н. Итак, пери-
ферическая подгруппа Н также определяется группоидом Г\. Теорема
доказана.
8.3. Подход Конвея
Введенные в предыдущем пункте инвариант и его производные
(фундаментальная группа, модуль Александера) обладают общим недо-
статком: трудно сравнивать инварианты различных узлов. Проблема
распознавания изоморфных группоидов наверняка не проще распознавания
изоморфных групп, которая алгоритмически неразрешима. Приятным
исключением является полином Александера - распознать совпадение
двух полиномов ничего не стоит. Хотелось бы иметь и другие, более
мощные инварианты такого типа, когда инвариантом служит не ал-
гебраический объект типа группоида, группы, модуля и т.д., а элемент
некоторого одного для всех узлов алгебраического объекта. Пути по-
строения таких инвариантов открыл Конвей, который предложил
следующий геометрический способ вычисления полинома Александера
узла или зацепления.
178
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.4. Проекции
L+, L_, Lq трех ориентированных
зацеплений составляют тройку Кон-
вея, если они совпадают вне некото-
рого круга на плоскости, а внутри
круга ведут себя так, как это изо-
бражено на рис. 205.
Конвей сопоставил каждому
ориентированному зацеплению L
полином QL(z) с целыми коэффи-
циентами (который теперь называ-
ется потенциальной функцией Кон-
вея) так, что для любой тройки
Конвея выполняется соотношение
полином три-
виального узла равен 1 и полином любого тривиального зацепления из
двух или более компонент равен 0.
Очень важное обстоятельство: указанные условия достаточны для
вычисления полинома Конвея - как именно он определен, совершенно не-
важно. Действительно, любое зацепление можно свести к тривиальному,
если разрешается менять проход на переход, т.е. делать самопересе-
чения. При каждом самопересечении (замене L+ на L_ или наоборот) воз-
никает зацепление Lq, которое, однако, имеет меньшее число точек пере-
сечения. Соотношение Конвея позволяет по полиному и полиному
восстанавливать полином или по и восстанавливать
. Эта процедура представлена на рис. 206. Так как =0 и = 1,
то =z. Далее, = 1 и = QL ~^Lq = 1-z2- Таким образом,
полином узла восьмерки равен 1 - z2.
Итак, упомянутые условия вполне достаточны для того, чтобы оп-
ределить полином <2^(z), правда, появляется задача доказательства его
существования. В рассматриваемом случае нет никаких проблем, так как
потенциальная функция Конвея связана с полиномом Александера AL(z)
соотношением QL(r-Г-1) = AL(r2) (предполагается, что полином Алек-
сандера записан в виде а_п^ + ... + а0 + ... + а^, ап, а_п ф 0). Однако при
определении методом Конвея других инвариантов (чем мы сейчас и
займемся) именно задача существования вызывает наибольшие трудности.
Итак, будем реализовывать следующую идею: сопоставить каждому
ориентированному зацеплению L его инвариант w(L) - элемент не-
которого алгебраического объекта. В качестве такого алгебраического
объекта возьмем произвольную алгебру (А, °, /), т.е. множество А с двумя
произвольными операциями °, /. Условимся, что тривиальному зацеплению
из п компонент соответствует элемент ап е А. Потребуем, чтобы элемен-
ты w(L+), w(L_), w(L0), сопоставляемые зацеплениям тройки Конвея, были
связаны соотношениями w(L+) = w(L_) ° w(L0) и w(L_) = w(L+)/w(L0)- Так
179
Рис. 206
как любое зацепление сводится к совокупности тривиальных с помощью
замен L± на объединение и Lo и так как указанные соотношения
позволяют выразить w(L±) через w(L^), w(L0), то любому зацеплению L
соответствует элемент w(L) алгебры Л, записанный через элементы ап и
операции °, /. Полученная функция L —> w(L) априори является неодно-
значной, так как одно и то же зацепление можно свести к совокупности
тривиальных различными способами. Вопрос: каким условиям должна
удовлетворить алгебра А, чтобы функция w(L) была однозначно опре-
деленным инвариантом зацеплений?
Приведем несколько наводящих соображений.
а) Так как w(T+) = w(L_) ° w(L0) и w(L_) = w(L+)/w(L0), то w(L+) =
= (w(L+)/w(L0)) ° w(L0) и w(L_) = w(L_) ° w(L0))/w(L0). He будем излишне
экономными и потребуем, чтобы всегда выполнялись тождества
(а ° b)/b = а и (alb) ° b = а, не обращая внимания на то, что произвольные
элементы а, b могут и не реализовываться как w(L±) hw(L-). Итак,
первое условие: операции ° и/ должны быть взаимно обратными.
б) Можно сделать вид, что мы не замечаем тривиальности зацеп-
ления, изображенного на рис. 207, а, и свести его к совокупности три-
виальных с помощью одного преобразования Конвея (рис. 207, б). Тогда
ему отвечает элемент ап о ап+1 алгебры А. С другой стороны, так как за-
180
n-1
Рис. 207
Рис. 208
цепление все же тривиально, то ему отвечает элемент ап. Второе
условие: ап о ап+1 = ап и ап / ап+} = ап для любого п 1.
в) Выделим в проекции зацепления L две, скажем, положительные
точки р, q (рис. 208). При этом точка пересечения проекции называется
положительной, если в ней проход проходит под переходом справа налево.
Условимся в обозначении Lz^, где £z = +, -, 0, первый индекс считать от-
носящимся к точке р, второй - к точке q. Например, зацепление L++ сов-
падает с зацеплением L. Выполним операцию Конвея сначала в точке р,
затем - в точке q: w(L++) = w(L_+) ° w(L0+) = = (w(L__) о w(L_q)) ° (w(L0-) °
° w(Z>oo))-
Теперь выполним операцию
Конвея сначала в точке q, затем в
точке р: w(L++) = w(L+_) ° w(L+0) =
= (w(L__) ° w(L0-)) ° (w(2L_0) °
° w(L00)). Сопоставление этих ра-
венств приводит к третьему усло-
вию: (а ° Ь) ° (с ° d) = (а ° с) °
°(b° d). Если это рассуждение
применить к двум отрицательным
точкам, то получится другой вари-
ант условия 3: (alb)l(cld) = (alc)l
(b/d), если к одной отрицательной
и одной положительной, то еще
один вариант: {alb) ° (c/J) =
= {а ° c)/(b о d).
Итак, приведенные условия
необходимы для того, чтобы w(L)
был однозначно определенным ин-
вариантом зацепления L. Оказы-
вается, что эти условия доста-
точны.
181
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.5. Алгебра А с двумя взаимно обратными опе-
рациями °, / и фиксированной последовательностью элементов ап, п
1, называется алгеброй Конвея, если выполнены следующие аксиомы:
1. ап оди+1 = ап / ап+] = ап для любого п 1.
2. (а ° Ь) ° (с ° d) = (а ° с) ° (Ь ° d)\
(alb)l(cld) = (alc)l(bld)\
(a/b) ° (c/J) = (a ° c)/(b ° d).
ТЕОРЕМА 8.4. Для любой алгебры Конвея А функция w(L) является
однозначно определенным инвариантом ориентированных зацеплений.
Схема доказательства теоремы такова. Обозначим через класс
зацеплений, проекции которых имеют не более к точек пересечения. Бу-
дем рассуждать методом индукции по к.
Основное индукционное предположение. Функция w(L) однозначна на
Ск и инвариантна относительно тех преобразований Райдемайстера, кото-
рые не выводят зацепления из класса Ск.
База индукции (случай к = 0) тривиальна, так как класс Ск состоит из
тривиальных зацеплений. Чтобы выполнить индукционный переход, мы
сначала канонизируем способ сопоставления элемента w(L) зацеплению
L 6 Q+1 за счет выбора базисных точек и упорядочения компонент. Затем
докажем независимость элемента w(L) от выбора базисных точек, инва-
риантность относительно преобразований Райдемайстера и независимость
относительно выбранного порядка компонент.
Занумеруем компоненты зацепления и на каждой первой выберем
базисную точку на второй - базисную точку Ь2 и т.д. Базисные точки
не должны попадать в точки пересечения проекции. Опишем правило,
которое по каждому помеченному зацеплению однозначно сопоставляет
элемент и^(Л) (/? обозначает упорядоченный набор базисных точек). Будем
обходить компоненты зацепления по указанным на них направлениям так:
начнем с базисной точки Ь\, обойдем первую компоненту, потом начнем с
базисной точки Ь2, обойдем вторую и т.д. Назовем точку пересечения р
проекции зацепления хорошей, если она сначала проходится снизу, затем -
сверху, и плохой в противном случае. Если все точки хорошие, то
зацепление тривиально. По определению полагаем, что для такого
зацепления и^(Л) = ап, где п - число компонент. Далее рассуждаем
индуктивно по числу плохих точек. Пусть мы уже определили элемент wh
для всех зацеплений с к + 1 пересечениями и не более чем т плохими
точками и пусть L - зацепление с т + 1 плохими точками. В той из них,
которая встречается первой при выбранном нами обходе (будем считать
ее положительной), выполним преобразование Конвея. Мы получим два
зацепления: зацепление L_, которое имеет на одну плохую точку меньше
(следовательно, элемент m^(L_) определен по индукционному предположе-
нию), и зацепление Lo, которое лежит в Ск (следовательно, его инвариант
w(L0) определен по основному индукционному предположению). По
определению полагаем, что и^(Л+) = wb(L) = wb(L_) ° w(L0).
182
Итак, мы определили однозначную функцию wb на классе .
1. Докажем, что функция wb удовлетворяет тождеству Конвея
и^(Л+) = wb(L_) ° w(Lq) для любой (скажем, положительной) точки пересе-
чения q. Будем считать, что точка q плохая. Если она первая плохая
точка в порядке обхода зацепления, то равенство wz?(L+) = wb(L_) ° w(Z>0)
справедливо по определению wb. Рассуждая методом индукции по номеру
точки q, будем считать, что если ее номер меньше т, то тождество
Конвея, записанное для этой точки, справедливо. Пусть р - первая плохая
(скажем, положительная) точка пересечения. Применяя определение
элемента wb, индукционное предположение и основное индукционное
предположение, аксиому 2 алгебры Конвея, опять индукционное
предположение и основное индукционное предположение, получаем:
Wb(L++) = wb(L^) ° wh(L(y+) = (wh(L__) ° w(L_o)) ° (w(Lo-) ° H^oo)) =
= ° w(LoJ) ° ° w^oo)) =
= WbiL^) ° ^(L+o).
В обозначении Lzz первый индекс относится к точке р, второй - к
точке q, поэтому итоговое соотношение wb(L++) = wb(L+_) ° w(L+0) совпа-
дает с соотношением Конвея для точки q, которое мы и хотели доказать.
Если же точка q - хорошая (скажем, положительная) точка пере-
сечения для зацепления L+, то для зацепления L_ она уже является пло-
хой. По доказанному для нее справедливо равенство w^(L_) = wz?(Z^+)/w(2L0).
Равенство wb(L+) = wb(L2) ° w(L0) является его следствием.
2. Докажем, что функция wb не зависит от выбора базисных точек при
сохранении порядка компонент. Достаточно рассмотреть случай, когда
только одна из базисных точек (обозначим ее через Ьк) переходит через
одну точку пересечения q зацепления L в положение Ь'к (рис. 209). Будем
считать точку q положительной. Если точка q является хорошей и для
базисных точек b = (Z^, ..., bк, ..., /?„), и для базисных точек
b' = (Z?j,...,b'k,...,bn), то равенство wb(L) = wb,(L) прямо следует из
определения wb и wb>, так как точка q тогда не участвует в
преобразованиях Конвея, применяемых при
определении. Если точка q плоха в обоих
случаях, то wz?(L+) = и^(Л_) ° w(L0), W//(L+) =
- wb'(L_) ° w(Lq), так как обе функции wb, wb- \
удовлетворяют соотношению Конвея. «
Учитывая, что для зацепления L_ точка q S X.
является хорошей при обоих выборах базисных г
точек, получаем, что m^(L_) = а тогда и рис> 209
wb (L+) = = wb> (L+). Остается рассмотреть
случай, когда точка q - хорошая для базисных точек b и плохая для Ь'
(или наоборот). Это бывает только тогда, когда обе части зацепления
L, проходящие через точку q, лежат на одной компоненте зацепления.
183
Можно считать, что больше плохих точек зацепление L не имеет ни по
отношению к /?, ни по отношению к /?', так как в противном случае плохие
точки являются общими для b и Ь' и можно преобразованиями Конвея
превратить их в хорошие, не влияя при этом на справедливость равенства
w^(L) = wb(L). Итак, зацепление L не имеет плохих точек по отношению к
b (тогда по определению wb(L) = ап) и имеет только одну плохую точку q
по отношению к Ь’ (тогда по определению wb'(L) = wb(L_} ° w(L0)).
Остается заметить, что зацепления L_ и Lo также не имеют плохих точек
(и, следовательно, тривиальны) и что w(L_) = ani w(L0) = ап+}. Так как
ап = ап °ап+1 по аксиоме 1, то wb(L) = w^(L).
3. Докажем, что функция w^(L) инвариантна относительно преобра-
зований Райдемайстера, не выводящих зацепления за пределы класса
За счет перемещения базисной точки точку пересечения петли, возни-
кающей или уничтожающейся при преобразовании R*1 можно сделать хо-
рошей, а тогда присутствие петли никак не влияет на результат вычис-
ления wb. По той же причине wb не меняется при преобразованиях Лг1 »
если обе точки, появляющиеся или исчезающие при преобразованиях /?21»
хорошие. Если же обе точки плохие и это не может быть исправлено за
счет перемещения базисных точек (это бывает тогда, когда в преобра-
зованиях /?21 участвуют два фрагмента различных компонент зацепле-
ния), то нужно сделать их хорошими - в обеих точках применить преобра-
зование Конвея и заметить, что L_q ~ Lq_ и w(L_0) = w(L0_) (рис. 210).
Так как wb(Z>_+) = wb(L__) ° w(L_q) = (wh(L+_)/w(Lo_)) ° w(L_o) =
184
= wh(L+_), то превращение плохих точек в хорошие не влияет на
поведение функции wb при преобразованиях 1 •
Разберем случай преобразований R3X. Будем считать, что все базис-
ные точки находятся вне участвующих в преобразовании R3 дуг зацеп-
лений. Точки пересечения обозначим через х (пересечение верхней и ниж-
ней дуг), у (верхней и средней), z (нижней и средней) (рис. 211). Зацеп-
ление, получающееся в результате преобразования R3, обозначим через
L'. Сразу отметим, что точка х не может быть единственной хорошей или
единственной плохой точкой из этих трех. Если, например, точка х -
хорошая, а точки у, z - плохие, то при обходе зацепления участок xz
проходится раньше участка ху, участок ху - раньше участка yz, а участок
yz - раньше участка xz, но так не бывает из-за транзитивности понятия
’’раньше”. Поэтому если точка х - хорошая, то и одна из точек у, z (пусть,
для определенности, точка у) также хорошая, а тогда перенесение
участка ху через точку z (т.е. выполнение преобразования 7?3) никак не
влияет на вычисление инварианта ^(L). Если же точка х плохая, то одна
из точек у, z (пусть z) также плохая. Выполняя в точках z, х пре-
образования Конвея, получаем
Wb (L++) = wb (L_+) о w(Lq+ ) = (wb (L__) о w(L^)) о w( Lq+ ),
wb(L'++ ) = wb(LL+)°w(L^+) = (wb(LL)° w(L’_q))° w(L^+).
В обозначении первый индекс относится к точке z, второй - в точке
х (см. рис. 212, где для определенности выбран случай положительных то-
чек z, х). Так как для зацепления L__ точки х, z - хорошие, то по преды-
дущему wb(L__) = wb(L'__). Зацепления L_q и L'_q совпадают, а зацеп-
ление L^+ получается из зацепления преобразованиями R±1, не меняю-
щими функцию wb. Таким образом, wb(L++) = wb(L'++).
4. Осталось последнее - доказать, что функция wb не зависит от вы-
бора порядка на множестве компонент. Введем еще одну "запрещенную”
операцию Ro смены прохода на переход (рис. 213). Нам понадобится
следующее обстоятельство: любое зацепление сводится к стандартному
тривиальному зацеплению, не имеющему точек пересечения, с помощью
преобразований Rq, R^, R^, R3. Докажем это. Дугу I с: L назовем
185
Рис. 212
Рис. 213
186
Рис. 214
петлей, если она начинается и кончается в одной и той же точке пере-
сечения проекции L. Петля называется простой, если она не имеет само-
пересечений и если в ограничиваемой ею области нет других петель.
Будем говорить, что две дуги /н/2 c:L ограничивают двуугольник, если
они не имеют самопересечений, начинаются в одной и заканчиваются в
другой точке пересечения проекции и не имеют других общих точек. Дву-
угольник называется простым, если он не содержит меньших дву-
угольников и петель. Из рис. 214 ясно, что если в проекции L есть простой
двуугольник, то число ее точек пересечения можно уменьшить, очищая
двуугольник с помощью преобразований /?0, /?3 и затем устраняя его с
помощью преобразования R^. Если простых двуугольников нет, но есть
простая петля, то проекция L упрощается с помощью аналогичного рас-
суждения: нужно очистить простую петлю преобразованиями /?0, /?3 и за-
тем устранить ее преобразованием TJf1. Остается заметить, что если про-
екция зацепления имеет хотя бы одну точку пересечения, т.е. если за-
цепление отлично от стандартного тривиального зацепления, то простой
двуугольник или простая петля всегда найдется.
Отметим, что если равенство wb(L) = wb,(L) было верным до при-
менения преобразования /?0, то оно останется верным и после - это
следует из справедливости для функции wb, wb> соотношений Конвея. По
доказанному ранее, справедливость этого равенства не нарушается при
преобразованиях /fj"1, R^, R$. Так как для стандартного тривиального
зацепления L имеем wb(L) = wb,(L) по очевидным причинам, то это ра-
венство имеет место и в общем случае. Теорема 8.4 доказана.
8.4. Специальные реализации инварианта w
В этом пункте мы покажем, что потенциальная функция Конвея, зна-
менитый полином Джонса и не менее знаменитый полином Р(1, т) от двух
переменных являются частными случаями инварианта w для специальным
образом подобранных алгебр А.
187
ai
a,«(a2
ffn2«a,)«ap
сцчаг’СЦ)
(QftQj’OjD'dtt^OjbfafCa^apD
Рис. 215
Итак, каждой алгебре Конвея А отвечает инвариант ориентирован-
ных зацеплений w(L) е А. Среди всех алгебр Конвея есть одна универ-
сальная алгебра Конвея Ау. Она порождена счетным числом образующих
ап, п 1 и не имеет других соотношений, кроме тех, которые диктуются
аксиомами. На рис. 215 изображена таблица инвариантов w(L) для всех
простых узлов с 6 пересечениями. При изменении ориентации про-
странства R3 операции ° и / в записи элемента w(L) через образующие ап
188
меняются местами. Для правого трилистника, например, инвариант w(L)
равен ах о (л2 о а}), для левого - / (л2 / Щ )• Универсальный инвариант
w(L) 6 Аи - самый сильный среди всех инвариантов подобного типа, но у
него есть недостаток: трудно сравнивать различным образом записанные
алгебры Аи. Например, определяют ли записи ах о(а2 / а}) и / (я2 otjj)
один и тот же элемент алгебры Аи, или это разные элементы? Су-
ществует ли в алгебре Аи алгоритм распознавания, неясно. Покажем, как
можно построить целое семейство других алгебр Конвея. Принимающие в
них значения инварианты w(L) более удобны, чем универсальный.
Пусть А - произвольное коммутативное кольцо с единицей, ах - его
произвольный элемент и а, Р - произвольные обратимые элементы.
Определим операции °, /, полагая х ° у = ах + Ру и х/у = а"1* - а-1ру.
Пусть ап =(а“1(1-Р))/1-1д1, п > 1.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 8.2. При любом выборе элементов а, Р, ах кольцо
А с операциями °, / и выделенными элементами ап является алгеброй
Конвея.
Доказательство состоит в прямой проверке аксиом.
1. Пусть А - кольцо полиномов от z с целыми коэффициентами,
а =1, р = z, ах = 1. В этом случае инвариант w(L) является полиномом.
Он совпадает с потенциальной функцией Конвея, так как соотношения
Конвея w(L+) = w(L_)o w(jLo) в этом случае сводится к соотношению
2. Пусть А - кольцо полиномов Лорана от д/7, а = /2,
Р = r(V? -1 / V?), а} = 1. В этом случае инвариант w(L) называется по-
линомом Джонса (он был открыт с помощью рассмотрения представлений
групп кос в алгебре Ноймана, см. [41]). Нетрудно доказать, что для
зацепления с нечетным числом компонент (например, для узла) полином
Джонса является полиномом от переменной t, а не от переменной VF.
3. Пусть А - кольцо полиномов Лорана с целыми коэффициентами от
двух переменных /, т. Положим а = -mH, р = 1/Z, ах = 1. Полученный
инвариант Р(1, т), который является полиномом Лорана от двух пере-
менных, замечателен тем, что он сильнее двух предыдущих.
Замечание. Полином Р(/, т) был открыт сразу несколькими
авторами [41]. Наше построение универсального инварианта w(L) яв-
ляется модифицированной версией построения из работы [42]. В упо-
мянутых работах можно найти доказательства различных полезных
свойств этих инвариантов. Построенный в п. 8.2 универсальный ин-
вариант Г\ был открыт С.В. Матвеевым [43] и независимо Джойсом [44].
8.5. Коэффициент зацепления
В дальнейшем мы будем использовать понятие коэффициента за-
цепления двух кривых в Я3. Пусть /], /2 - Две ориентированные замкнутые
кривые в /?3, не имеющие общих точек. Натянем на кривую Ц ориен-
189
тированную поверхность F. Тогда
коэффициент зацепления lk(Zb Z2) оп-
ределяется как индекс пересечения
кривой Z2 с поверхностью F, т.е. как
алгебраическое число точек пересе-
чения кривой Z2 с поверхностью F.
При этом точка пересечения счи-
тается положительной, если кривая
Z2 пересекает поверхность F в на-
правлении ее нормали, и отрица-
тельной, если в противоположном (рис. 216). Мы предпочитаем дать
конструктивное описание коэффициента зацепления.
Отметим в проекции зацепления L-lx oZ2 все точки, где кривая Ц
проходит под кривой Z2. Отмеченную точку снабдим числом +1, если кри-
вая проходит под кривой Z2 справа налево, и числом -1, если слева на-
право. Коэффициент зацепления lk(Zb Z2) равен сумме поставленных чи-
сел. Легко доказать, что коэффициент зацепления сохраняется при преоб-
разованиях Райдемайстера. Отсюда следует его инвариантность. При
изменении ориентации одной из компонент зацепления L = 12 коэф-
фициент зацепления меняет знак; при перестановке кривых не меняет.
§ 9. ПЕРЕСТРОЙКИ ВДОЛЬ ЗАЦЕПЛЕНИЙ
9.1. Целые перестройки и трехмерные многообразия
Между зацеплениями в сфере S3 и замкнутыми ориентируемыми
трехмерными многообразиями существует тесная связь, состоящая в
следующем: любое замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие
получается из сферы переклейкой регулярной окрестности некоторого
зацепления, т.е. удалением этой окрестности и вклеиванием ее назад по
некоторому гомеоморфизму двумерных торов на краях. Чтобы уточнить
формулировку этого результата, рассмотрим для простоты случай
однокомпонентного зацепления, т.е. узла, в замкнутом ориентируемом
трехмерном многообразии М. Пусть К - узел в М и N(K) - его регулярная
окрестность. При разрезании по тору dN(K) многообразие М распадается
на две части: дополнительное пространство узла Е(К) - М - InW(AT) и
полный тор N(K), который можно отождествить со стандартным полным
тором D2 X S1. Выберем какой-нибудь гомеоморфизм h:dD2 X 51 -> dN(K)
и приклеим тор D2 X 51 к Е(К) по нему. Получившееся пространство
Q = M(K)\3hN(K) является замкнутым ориентируемым трехмерным
многообразием. Будем говорить, что Q получается из многообразия М
перестройкой по узлу К. Оно зависит, конечно, от выбора гомеоморфизма
h. На самом деле многообразие Q полностью определяется образом
меридиана dD2 X {*} тора D2 X S1, т.е. кривой / = h(dD2' X {*}).
Действительно, операцию приклеивания полного тора по гомеоморфизму h
можно разбить на два этапа: сначала приклеить ручку D2 X J индекса 2,
где /Э* - малая дуга окружности S1, а затем сферу на крае
получившегося многообразия заклеить шаром (см. рис. 129). Так как
приклеивание ручки полностью определяется кривой / и заклеивание
шаром выполняется однозначно, то многообразие Q зависит только от
выбора нетривиальной простой замкнутой кривой I с ЭМ(ЯГ). С точностью
до изотопии такие кривые на торе дМ(К) задаются парами взаимно
простых целых чисел. Напомним, почему это так. Выберем на торе
дМ(К) = dN(K) базис: меридиан Ц (край диска в N(K), трансверсально
пересекающего К только в одной точке) и параллель X (любую простую
замкнутую кривую в dN(K), которая трансверсально пересекает меридиан
лишь в одной точке). Тогда кривая / записывается в виде и задается
тем самым парой целых чисел (р, q). Так как кривая I не имеет
пересечений и не тривиальна, то числа р, q должны быть взаимно
191
Рис. 217
простыми. При этом пары (р, q) и
(-р, -q) определяют одну и ту же
кривую /, так как ее ориентация для
нас несущественна. Пару взаимно
простых целых чисел р, q удобно
задавать несократимой дробью p/q.
Итак, существует биекция между
множеством попарно не изотопных
нетривиальных простых замкнутых
кривых на торе dN(K) и множеством
несократимых дробей типа plq (мери-
диану |1 по определению отвечает
дробь 1/0 = оо). Поэтому перестройки
описанного вида называются рацио-
нальными. Если q = ±1, т.е. если
кривая /является параллелью, то
перестройка называется целой. Ана-
логично определяется целая пере-
стройка по зацеплению L cz М: об-
разы меридианов торов, приклеиваемых к многообразию E(L) = М -
- IntV(L), должны служить параллелями торов из dN(L). Теперь мы готовы
строго сформулировать упомянутый выше результат.
ТЕОРЕМА 9.1. Любое замкнутое ориентируемое трехмерное
многообразие М получается из сферы S3 целой перестройкой по
некоторому зацеплению L cz 53.
Суть доказательства теоремы заключается в следующей лемме.
ЛЕММА 9.1. Пусть гомеоморфизмы hx,h2.dH\ —> дН2 поверхности
одного полного кренделя на поверхность другого таковы, что h} = /i2T/.
где tz - скручивание вдоль некоторой простой замкнутой кривой I с дН}.
Тогда многообразие M2 = H2\JH} получается из многообразия
h2
Mi-H2ljHi целой перестройкой вдоль некоторого узла КсМ},
h\
изотопного образу кривой I.
Доказательство. Продавив кривую / внутрь кренделя
получим узел КаНх. Пусть N(K) - его регулярная окрестность и
А = S} X / -кольцо, соединяющее / и дМ(К) (рис. 217). Рассмотрим
гомеоморфизм (р: - InW(AT) —» Нх - IntA(^), состоящий в разрезании
пространства -IntN(K') по кольцу А, скручивании одного из краев
разреза на 360° и обратном склеивании. При ограничении на дН^
гомеоморфизм (р дает скручивание Т/ вдоль кривой /, при ограничении на
dN(K) - скручивание вдоль параллели 'Af\N(K) узла К. Пусть
М- = Н2 U(Hj - Int 7V(/Q). Тогда формула
fcp(x), хеН1 -IntN(K\
4 и
[ х, х е Н2
192
Рис. 218
определяет гомеоморфизм многообразия М\ на многообразие М 2. Условия
/г, = и <р / дН} = т, обеспечивают согласованность двух частей
формулы на поверхности дНх (рис. 218). Таким образом, если из
многообразий Л/], Л/2 удалить по полному тору, отвечающему тору N(K),
то получатся гомеоморфные многообразия. Это означает, что М2
получается из Мх перестройкой по узлу К. Так как под действием
гомеоморфизма Ф, который при ограничении на dN(K) дает скручивание
вдоль параллели Х = АГ1ЛДЮ» меридиан ц тора dN(K) переходит в
параллель цХ*1, то эта перестройка - целая.
Доказательство теоремы 9.1. По теоремам 3.6 и 5.1
многообразие М и сферу S3 можно представить в виде A/ = //jU#2,
S3 = Н} (JH2, где гомеоморфизмы h2 представимы в виде суперпозиций
Л1
скручиваний. Представим гомеоморфизм h^h}B виде произведения
скручиваний: По лемме 9.1, эффект домножения
гомеоморфизма склеивания на одно скручивание состоит в применении к
многообразию целой перестройки вдоль узла. Поэтому домножение на
последовательность скручиваний дает последовательность целых
перестроек по узлам, т.е. целую перестройку по зацеплению.
9.2. Перестройки по оснащенным зацеплениям и кобордизмы
Как было выяснено в предыдущем пункте, любое замкнутое
ориентируемое трехмерное многообразие можно получить целой
перестройкой сферы S3 по некоторому зацеплению L. При этом результат
перестройки зависит не только от зацепления L, но и от выбора параллели
/ в крае регулярной окрестности N(K) каждой компоненты К зацепления L.
Конкретный выбор параллелей называется оснащением зацепления L, при
7. С.В. Матвеев, А.Т. Фоменко
193
этом изотопные в dN(K) параллели определяют одно и то же оснащение
компоненты К. Зацепление L с фиксированным оснащением будем
называть оснащенным зацеплением и обозначать через L. Через %(М; L)
обозначается многообразие, получающееся из многообразия М
перестройкой по оснащенному зацеплению L с 53.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.1. Ориентируемое четырехмерное многообразие
W называется кобордизмом между замкнутыми ориентируемыми
трехмерными многообразиями МЬМ2, если его край состоит из двух
компонент, одна из которых гомеоморфна многообразию вторая -
многообразию М2.
Замечание. Допускается случай, когда одно из многообразий
М2 пусто. Если, например, М2 = 0, то dW = и многообразие М\
кобордантно нулю.
Оказывается, существует тесная связь между перестройками по
оснащенным зацеплениям и кобордизмами. Пусть К - оснащенный узел в
замкнутом ориентируемом трехмерном многообразии М и / с Э7У(К) -
задающая оснащение параллель. Обозначим через О центр
диска D2, через а - какую-нибудь точку на его крае. Тогда существует
такой единственный с точностью до изотопии гомеомор-
физм h:Sx X D2 -» N(K), что h(Sx X {0}) = К и h(Sx X {а}) = /. Прикле-
ив к многообразию М X I ручку D2 X D2 индекса 2 по вложению
h:Sx X D2 = dD2 X D2 —> N(K) С M = М X {1}, получим четырехмерное
многообразие W = М х I\Jh D2 х D2.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 9.1. Многообразие W является кобордизмом между
многообразиями М и %(М; К), т. е. 3W = Э_1УиЭ+1У, где ~ М
и Э+Ж«х(М; К).
Доказательство. Край многообразия W состоит из двух
компонент, и одна из них (многообразие М X {0}) гомеоморфна
многообразию М. При приклеивании ручки D2 X D2 к многообразию М X I
многообразие М X {1} меняется так: из него удаляется полный тор
194
N(K) = h(dD2 X D2), который попадает внутрь многообразия W (рис. 219),
и добавляется полный тор D2 X dD2 (свободный край ручки). Ме'ридиан
dD2 X {а} тора D2 X dD2 отождествляется при этом с параллелью
/ = h(dD2 X {а}). Это означает, что многообразие Л/Х {1} подвергается
целой перестройке по узлу К с оснащением, задаваемым параллелью /,
т.е. что d±W = х(Л/; К).
9.3. Исчисление Кирби
Напомним, что для двух непересекающихся ориентированных кривых
Y1, у2 в сфере 53 определен их коэффициент зацепления 1к(у15 у2). Он
легко вычисляется по проекциям кривых У], у2 на плоскость: нужно
подсчитать, сколько раз первая кривая проходит под второй справа
налево и сколько раз - слева направо. Коэффициент зацепления равен
разности этих чисел.
Использование коэффициента зацепления дает очень удобный способ
задания оснащений. Чтобы задать оснащение узла KaS\ достаточно
приписать ему некоторое целое число п (рис. 220), подразумевая под этим
такой выбор параллели /сЭ7У(/С), что IkfZ, К) = п. При этом выбор
ориентаций узла и параллели, необходимый для подсчета коэффициента
зацепления, не имеет значения (при условии, что эти ориентации
согласованы), так как 1к{-1, -К) = 1к(/, К).
Другой удобный способ задания оснащений состоит в представлении
узла в виде замкнутой ленты (гомеоморфного образа кольца 51 X /) (рис.
220). Один (все равно, какой) край этой ленты задает узел, второй -
параллель. Точно так же оснащенное зацепление интерпретируется как
зацепление, состоящее из замкнутых лент.
Когда два оснащенных зацепления в сфере S3 задают одно и то же
трехмерное многообразие? Опишем два элементарных преобразования
оснащенных зацеплений, называемых движениями Кирби.
Рис. 220
7*
195
Рис. 222
Преобразование К1. Добавление незаузленной компоненты с
оснащением ±1, взятой внутри некоторого шара В cz 53, который не
имеет общих точек с другими компонентами зацепления, или удаление
такой компоненты (рис. 221).
Преобразование К2. Добавление одной компоненты зацепле-
ния к другой.
Опишем преобразование К2 подробнее. Для этого удобно представ-
лять себе оснащенное зацепление в виде зацепления замкнутых лент.
п
Пусть А2 - две ленты зацепления А = U АР Соединим их незамкнутой
Z-1
лентой Р (гомеоморфным образом прямоугольника), не пересекающей
других лент зацепления А (рис. 222). Поверхность F = A, (JF|JA2 гомео-
морфна диску с двумя дырами. Каждая из трех окружностей в dF лежит в
F с воротником (прямым произведением на отрезок), который также
является замкнутой лентой. Обозначим эти ленты через Аи А2, А#, где
Aj с Aj иА2сА2. Зацепление Ар А2, А3, ... Ап изотопно исходному
196
Рис. 223
зацеплению А. Зацепление А#, А2, А3, ..., Ап по определению получа-
ется из него преобразованием К2, т.е. добавлением компоненты А2 к
компоненте Аь На рис. 223 изображено применение преобразования К2 в
более сложной ситуации.
Используя упомянутое выше правило подсчета коэффициентов
зацепления, нетрудно установить, что при преобразовании К2 числовые
значения и, оснащений всех неизменяемых компонент сохраняются.
Оснащение новой компоненты А# равно пх + п2 + 1к(А1? А2), где для
подсчета коэффициента зацепления lk(Ab А2) направления на компонентах
АьА2 нужно выбрать так, чтобы они определяли одно и то же
направление на компоненте А*.
ТЕОРЕМА 9.2. Оснащенное зацепление Lj с S3 можно соединить
цепочкой преобразований KI, KI"1, К2 с оснащенным зацеплением
L2 с53 тогда и только тогда, когда многообразия %(S3; Li), X(S3; L2)
гомеоморфны.
Замечание. Преобразования KI, К2 были известны задолго
до Кирби. Его заслуга состоит в том, что он доказал часть
К±[ К
%(53; L1) = x(53; L2)=>L, 1 ’ L2 теоремы. Мы ограничимся
доказательством теоремы только в одну (легкую) сторону <=.
197
Рис. 224
Доказательство. Случай преобразования К1. Обозначим
через В шар, который содержит добавляемую компоненту К и не
пересекает других компонент. Достаточно доказать, что многообразие
%(В; К) также является шаром. Пусть D - диск в В - IntN(K), край
которого лежит на ЭЛД/С) (существование такого диска следует из
незаузленности компоненты К). Разрежем многообразие В - Int/V(A7) по
диску D, скрутим один из краев разреза на 360° в нужном направлении и
склеим края разреза опять. Мы получим гомеоморфизм многообразия В -
Int/V(/Q на себя, переводящий задающую оснащение параллель I в
меридиан ц удаленного полного тора. Отсюда следует, что многообразие
/(В; К) гомеоморфно многообразию, получающемуся вклеиванием
полного тора в многообразие В - IntN(AT) по такому гомеоморфизму
h:dD2 X S1 —» dN(K), что h(dD2 X {*}) = ц. Поэтому оно гомеоморфно
шару.
Случай преобразования К2. Для упрощения обозначений ограничимся
случаем двухкомпонентного зацепления. Пусть зацепление А* Ц1А2 из
двух замкнутых лент в S3 получается из ленточного зацепления
Al U А2 применением преобразования К2. Рассмотрим многообразие
М = %(S3; А2). Так как ленты А#, Aj не пересекают ленты А2, то можно
считать, что они лежат в М. Докажем, что ленты А# и Aj изотопны в М.
Действительно, лента Aj изотопно сдвигается в ленту А# по диску,
натянутому в М на один из краев ленты А2, т.е. на задающую оснаще-
ние параллель. Поэтому %(М; А#)==%(М; АД откуда следует, что
x(s3; A|Ua2) = %(s3; a#ua2).
Замечание. Как было доказано раньше, оснащенное зацепление
L в сфере S3 определяет представление многообразия %(53; L) в виде края
четырехмерного многообразия W(L), получающегося приклеиванием ручек
198
индекса 2 к четырехмерному шару. Геометрический смысл преобразо-
вания К2 состоит в том, что основание одной из ручек протаскивается по
другой ручке. Многообразие W(L) при этом не меняется, меняется только
его разбиение на ручки (рис. 224).
9.4. Четные перестройки
Назовем оснащенное зацепление L в сфере S3 четным, если
оснащения всех его компонент задаются четными числами. Перестройку
по четному зацеплению будем также называть четной. Напомним, что
многообразие называется параллелизуемым, если его касательное
расслоение тривиально. Эквивалентное определение: и-мерное многообра-
зие параллелизуемо, если на нем существует п невырожденных и линейно
независимых в каждой точке векторных полей.
ТЕОРЕМА 9.3. Пусть четырехмерное многообразие VK(L), где
dVK(L) = X(S3; L), получается из четырехмерного шара приклеиванием
ручек индекса 2 по четному зацеплению L. Тогда многообразие VK(L)
параллелизуемо.
Доказательство. Для упрощения обозначений приведем
доказательство для однокомпонентного зацепления, т.е. для узла
KcS3, с оснащением, задаваемым четным числом п. Пусть
Н ~ D2 х £>2, ЯП= 3D2 х D2 = N(K) - ручка, приклеенная к шару D4.
Касательное расслоение к шару D4 тривиально, касательное расслоение к
ручке Н - тоже. Поэтому достаточно добиться, чтобы тривиализации этих
расслоений совпадали на N(K). Задающие эти тривиализации четверки
векторных полей можно считать ортонормированными, поэтому они
отличаются на отображение полного тора N(K) в группу SO(4)
сохраняющих ориентацию движений пространства /?4 (сохраняющих
начало координат). Пространство SO(4) гомеоморфно пространству
RP3 X S3 (см. [45]), фундаментальная группа которого изоморфна группе
Z2. Полный тор стягивается на окружность. Поэтому две тривиализации
четырехмерного векторного расслоения над полным тором N(K)
отличаются, в сущности, на элемент а группы ir1(SO(4)) = Z2. Легко
видеть, что этот элемент а равен приведенному по модулю 2 числу п,
которое задает оснащение. Так как п по условию четно, то а = 0.
ТЕОРЕМА 9.4. Любое замкнутое ориентируемое трехмерное
многообразие получается из сферы S3 перестройкой по четному зацепле-
нию.
Идея доказательства состоит в том, что любое оснащенное
зацепление можно свести с помощью движений Кирби к четному
зацеплению. Прямолинейная попытка последовательного уменьшения
числа нечетных компонент не приводит к успеху - сравнительно нетрудно
добиться, чтобы осталась только одна нечетная компонента, но что с ней
делать дальше, совершенно неясно. Правильная стратегия состоит в
уничтожении так называемого характеристического подзацепления.
199
Пусть L = U Д - оснащенное зацепление, п, - оснащения компонент.
i=i
Ориентируем компоненты зацепления и введем матрицу зацепления (а,у),
где azy = lk(Lz, Ly), если i*j к аа = nif 1 i,j п.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.2. Подзацепление L' cL называется характери-
стическим, если для любого i выполняется равенство X ан ~ан> где
LycL'
суммирование ведется по всем таким j, что Lj с L'.
Сразу отметим, что если зацепление L имеет пустое характеристи-
ческое подзацепление, то зацепление L четно. Чтобы доказать
существование характеристического подзацепления, рассмотрим систему
(*) над полем Z2:
0,1^1 + а,2-^2 +• • • +Л/Л = ««, 1« i « п.
Вычеты по модулю 2 чисел обозначаются теми же буквами.
Существует естественная биекция между решениями этой системы и
характеристическими подзацеплениями: если Xjf 1 j п, - решение, то
подзацепление L' = {Lj с Llxj = 1} является характеристическим, и
наоборот. Таким образом, решение системы (*) можно рассматривать как
характеристическую функцию на множестве компонент.
Матрица системы (*) симметрична, и столбец правых частей состоит
из диагональных элементов. Назовем такую систему специальной.
Совместность любой специальной системы - элементарный алгебраи-
ческий факт.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 9.2. Любая специальная система над полем
совместна.
Доказательство. Добавим второе уравнение системы к
первому и затем второй столбец матрицы коэффициентов к первому.
Полученная система снова будет специальной, и если х1? х2,..., хп -
решение старой системы, то хь х2 + хь х3,..., хл - решение новой. Такими
операциями и операциями перестановки строк с одновременной
перестановкой соответствующих столбцов любая система сводится к
?0 П
системе, матрица которой состоит из единиц, нулей и блоков вида I I
1 В Ж Ж?
0 1 й
в 1 0 1 $ й
ж щ 1 0 1
ж Я 1 0 в
Я! 0
Рис. 225
по диагонали (рис. 225). Совместимость спе-
циальной системы с такой матрицей очевидна:
х, = 1, если i-й элемент диагонали равен 1, и х, = О
в противном случае.
Итак, характеристическое подзацепление
всегда существует. Может быть и несколько
характеристических подзацеплений, если матрица
системы вырождена.
Из доказательства предложения 9.2 ясно, как
характеристическое подзацепление ведет себя при
преобразованиях Кирби: добавляемая при преоб-
200
разовании К1 окружность с оснащением ±1 обязана входить в
характеристическое подзацепление, а при добавлении j-и компоненты к ьй
число Xj заменяется на хг + ху. Например, при добавлении характери-
стической компоненты к характеристической компоненте добавляемая
компонента перестает быть характеристической, так как 1 + 1=0.
Доказательство теоремы 9.4. Пусть L - произвольное
оснащенное зацепление и L' - его характеристическое подзацепление.
Если в L' более одной компоненты, то добавим одну из его харак-
теристических компонент к другой преобразованием К2. В результате
получим новое оснащенное зацепление с меньшим числом характе-
ристических компонент. Таким образом, можно считать, что харак-
теристическое подзацепление состоит из ровно одной компоненты К.
Допустим, что узел К тривиален, хотя, может быть, зацеплен с другими
компонентами зацепления. Из рис. 226 ясно, как изменить его оснащение
на ±1 (здесь и далее точка на компоненте обозначает, что эта компонента
входит в характеристическое подзацепление). Будем считать, что
оснащение компоненты К равно 1. Пусть D - диск в 53, ограниченный
узлом К. Добавляя компоненту К ко всем компонентам зацепления,
пересекающим диск D, можно добиться, чтобы внутренность диска D
не пересекала зацепления (рис. 227). Незаузленную и не зацепленную с
201
остальными характеристическую компоненту с оснащением ±1 можно
устранить с помощью преобразования К1.
Как добиться незаузленности компоненты К? Введем преобразование
Р узлов, состоящее в замене одного фрагмента проекции узла на другой
(рис. 228).
ЛЕММА 9.2. Любой узел сводится к тривиальному с помощью
последовательности преобразований типа Р.
Доказательство. Любой узел ограничивает в S3 компактную
ориентируемую поверхность F. Из теоремы классификации поверхностей
следует, что поверхность F изотопно деформируется по себе в диск с
полосками (ручками индекса 1), которые могут быть перекручены и
зацеплены, но перекручены только четное число раз каждая (рис. 229). С
помощью преобразований типа Р можно полоски расцепить и разузлить, а
также оставить на каждой полоске не более одной двойной перекрутки,
поскольку применением двух преобразований Р всегда можно убрать две
двойные перекрутки (рис. 230). В результате получится узел весьма
простого вида: связная сумма узлов рода 1, каждый из которых
получается приклеиванием к диску незацепленных и не более двух раз
перекрученных полосок. Такой узел сводится к тривиальному с помощью
преобразований типа Р очевидным образом.
Продолжим доказательство теоремы 9.4. Последнее, что осталось
сделать, - реализовать преобразование Р характеристической компоненты
202
К преобразованиями Кирби зацепления. Это легко делается с помощью
одного преобразования К1 и трех преобразований К2, каждое из которых
состоит в добавлении новой компоненты с оснащением 1 к одному из
участков фрагмента (рис. 231).
Из теорем 9.3, 9.4 прямо вытекает следствие.
СЛЕДСТВИЕ 9.1. Любое замкнутое ориентируемое трехмерное мно-
гообразие является краем параллелизуемого четырехмерного многообра-
зия, которое получается из четырехмерного шара приклеиванием ручек
индекса 2.
СЛЕДСТВИЕ 9.2. Любое ориентируемое трехмерное многообразие
параллелизуемо.
Доказательство. Из предыдущего следствия вытекает, что
замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие всегда стабильно
параллелизуемо, т.е. что его касательное расслоение становится три-
виальным после добавления тривиального векторного расслоения. Парал-
лелизуемость легко следует из стабильной параллелизуемости (см. [46]). В
случае многообразия с краем всегда можно взять его удвоение и
применить предыдущее рассуждение.
9.5. Представления гомологических сфер
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.3. Замкнутое трехмерное многообразие М назы-
вается гомологической сферой, если его первая группа гомологий Н\(М)
тривиальна.
По двойственности Пуанкаре = Н\М) группа Н2(М) также три-
виальна. Группы Н0(М) и Н3(М) изоморфны группе Z. Отсюда следует, что
все группы гомологий гомологической сферы изоморфны соответствую-
щим группам гомологий стандартной сферы S3. Это подчеркивает естест-
венность термина "гомологическая сфера".
Сформулируем знаменитую гипотезу Пуанкаре.
ГИПОТЕЗА. Любое замкнутое односвязное трехмерное многооб-
разие является стандартной сферой.
203
Рис. 232
Из односвязности (т.е. тривиальности группы 71}(МУ) следует, что
многообразие Л/ гомотопически эквивалентно сфере. Поэтому гипотезу
можно переформулировать так: любая гомотопическая сфера является
стандартной. Сначала Пуанкаре считал, что даже гомологическая сфера
обязана быть стандартной, но вскоре сам же придумал контрпример.
Построенное им многообразие называют иногда пространством доде-
каэдра, иногда - гомологической сферой Пуанкаре. Оно получается отож-
дествлением противоположных граней правильного додекаэдра с поворо-
том на угол 2л/10 в положительном направлении (рис. 232). Оно же -
результат перестройки сферы S3 по трилистнику с оснащением ±1. Второй
способ позволяет строить неограниченное число примеров гомологических
сфер.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 9.3. Результат перестройки сферы S3 по любому
узлу с оснащением ±1 является гомологической сферой.
Доказательство. Обозначим через Е(К) дополнительное про-
странство узла К, получающееся вырезанием из сферы S3 регулярной
окрестности N(K) узла К. Группа Н}(Е(К)) изоморфна группе Z, причем
образующий элемент этой группы можно реализовать меридианом ц тора
N(K). Нулевая (т.е. не зацепляющая узел) параллель X этого тора гомо-
логична нулю в Е(К) - на нее можно натянуть ориентируемую поверх-
ность Зейферта. Поэтому параллель / = Хц±1, задающая оснащение,
гомологична меридиану. Чтобы завершить перестройку, нужно вместо
тора N(K) вклеить другой полный тор так, чтобы его меридиан попал на
кривую /. Определяемый ею элемент группы гомологий при этом
зануляется, и вместе с ним зануляются как меридиан ц, так и вся группа
Hi.
Если перестраивать сферу не по узлу, а по зацеплению с единичными
204
оснащениями компонент, то результат не обязан быть гомологической
сферой. Например, при перестройке сферы по оснащенному единицами
зацеплению Хопфа (рис. 233) получается то же многообразие, что и
при перестройке по незаузленной окружности с нулевым оснащением,
т.е. многообразие S2 X S1. Тем не менее доказательство предложения
9.3 полностью проходит и для оснащенного (±)-единицами зацепления
L = L\<j ... в S3 при дополнительном предположении, что зацепле-
ние L является ограничивающим, т.е. если существует такой набор
F2, Fn ориентируемых поверхностей в S3, что = Lh 1 < i < п.
Единственное отличие состоит в том, что группа H\(E(L)) изоморфна
прямой сумме п экземпляров группы Z и порождена уже не одним, а п
меридианами. Это никак не мешает занулению всех меридианов при
вклеивании полноторий. Итак, справедлив следующий результат.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 9.4. Результат перестройки сферы S3 по любому
ограничивающему зацеплению с (±)-единичными оснащениями компонент
является гомологической сферой.
Докажем, что справедливо и обратное утверждение, причем в не-
сколько более сильной формулировке.
ТЕОРЕМА 9.5. Трехмерное многообразие М является гомологической
сферой тогда и только тогда, когда его можно получить из сферы S3
перестройкой по зацеплению L, компоненты которого оснащены числами
±1 и ограничивают гомеоморфные тору с дыркой попарно не пересекаю-
щиеся поверхности в S3.
Для доказательства этой теоремы нам понадобится небольшая подго-
товка. Сопоставим каждому ориентированному оснащенному зацеплению
L = LjU ... в S3 симметричную матрицу AL - (а у), где а у = lk(L,, Lj)
при i * j, а каждое число а„ совпадает с оснащением компоненты При
преобразовании К1 матрица AL стабилизируется добавлением ±1 по диаго-
нали, при преобразовании К2 добавления компоненты L, к компоненте Lj
происходит добавление столбца и строки с номером i к столбцу и строке с
номером j. Операция изменения ориентации компоненты приводит к смене
знаков элементов соответствующих столбца и строки. Таким образом,
класс X(Af) стабильно эквивалентных симметричных матриц с целыми
элементами является корректно определенным инвариантом трехмерного
многообразия М. При этом две матрицы /ЦМг называются стабильно
эквивалентными, если существует такая целая матрица Р, det Р = ± 1, что
матрицы А{, А^у полученные из матриц Аь А2 добавлением нескольких ±1
по диагонали, удовлетворяют соотношению А2 = Р + А\Р. Задача выяс-
нения стабильной эквивалентности двух данных матриц довольно трудна,
но ее можно свести к выяснению целой стабильной эквивалентности
отвечающих им квадратичных форм. В теории целых квадратичных форм
эта задача полностью решена [47]. Следует отметить, что инвариант
Х(М) определяет группу Н^М). Фактически матрица 4/ является матрицей
соотношений группы Н](Л/), если в качестве образующих взять меридиа-
ны. В нашем случае группа гомологий тривиальна, поэтому определитель
205
a W б
Рис. 234
матрицы Al равен ±1. Привести такую матрицу к диагональной не со-
ставляет труда. Например, матрица
О
1
приводится так:
О 1V1
Ло 1 оЛ <11
К2
<1
К2
1 О А fl
К2
(Л
О -1
1 о
1 О о
1 о
1
о
1 о о
о
о
О 0 1
1 о
О О 1
о о
1
Введем еще одно преобразование W оснащенных зацеплений. Выде-
лим в сфере S3 шар В, который пересекает данное зацепление L так,
как это изображено на рис. 234, а. При этом обе компоненты пересечения
В n L должны лежать на одной и той же компоненте зацепления L.
Преобразование W не меняет зацепления вне шара В, а внутри него
заменяет проход на переход так, как это изображено на рис. 234, б.
Оснащения не меняются. Ясно, что любую гомотопию одной компоненты
зацепления в дополнении к остальным можно реализовать изотопиями и
преобразованиями W. Проанализируем, что происходит с многообразием
X(S3; L) при применении к зацеплению L преобразования W.
ЛЕММА 9.3. Пусть оснащенное зацепление L'cS3 получается из
оснащенного зацепления L cz S3 преобразованием W. Тогда многообразие
%(53; L*) получается из многообразия %(53; L) вырезанием полного крен-
деля рода 2 и вклеиванием его назад по гомеоморфизму скручивания
вдоль нетривиальной гомологичной нулю кривой в его крае.
Доказательство. Пусть В - шар, участвующий в определении
преобразования W, hN(Li) - регулярная окрестность пересекающей его
компоненты Li зацепления L. Тогда пространство В u N(L\) можно отож-
дествить с полным кренделем Н2 рода 2. Преобразование W можно реали-
зовать вырезанием кренделя Я2> скручиванием его вдоль диска D на 360°
и вклеиванием назад (рис. 235). Поэтому достаточно доказать, что
многообразие Х(Я2; 1ч) гомеоморфно полному кренделю.
Представим крендель Н2 в виде результата склеивания двух полных
торов Нх, Н{ по дискам на их краях. Из рис. 236 ясно, что пара (Н2, L0
206
гомеоморфна паре (Я2, гДе К ~ осевая окружность тора Н} (го-
меоморфизм h: (Н2, L0 —> (Н2, К) является конечным гомеоморфизмом
изотопии кренделя по пространству /?3, в процессе которой одно из
оснований одной ручки протаскивается по другой ручке). Поскольку
Нх - IntJV(£) = 51 X S1 X /, то при перестройке тора Н\ по узлу К с
любым оснащением снова получается полный тор. Поэтому многообразие
%(//2; Lj) есть объединение двух полных торов по дискам на их краях, т.е.
полный крендель рода 2.
Доказательство теоремы 9.5. Утверждение теоремы в одну
сторону совпадает с предложением 9.4. Докажем ее в другую сторону.
207
Пусть М - гомологическая сфера и М = %(53; L) - ее представление в виде
перестройки по оснащенному зацеплению L. Как отмечалось, матрицу AL
можно привести к диагональной преобразованиями Кирби. По диагонали
матрицы будут стоять ±1. Теперь можно с помощью преобразований W по
очереди делать компоненты тривиальными и устранять их с помощью
преобразований КТ-1 до тех пор, пока не получится пустое зацепление.
Таким образом, зацепление L можно получить из пустого зацепления с
помощью преобразований W и движений Кирби. Движения Кирби не
меняют многообразия, а каждое преобразование W реализуется переклей-
кой полного кренделя рода 2 по гомеоморфизму скручивания вдоль
нетривиальной гомологичной нулю кривой в его крае. Из доказательства
леммы 9.1 следует, что эта переклейка эквивалентна перестройке вдоль
узла К с оснащением ±1, изотопного кривой Z. Каждая кривая I ограни-
чивает тор с дыркой (половину поверхности кренделя, в которой она
лежит). Остается заметить, что крендели можно считать непересекаю-
щимися, поскольку они представляют собой регулярные окрестности
одномерных полиэдров, а одномерные полиэдры в трехмерном много-
образии всегда могут быть разведены с помощью изотопии.
9.6. О диаграммах Хегора
гомологических сфер
Группа гомологий поверхности ориентируемого полного кренделя рода
g изоморфна прямой сумме 2g экземпляров группы Z. Любой гомеомор-
физм h поверхности кренделя на себя индуцирует автоморфизм этой
группы, который удобно записывать в виде квадратной целой матрицы
А(Л) порядка 2g: в нечетных столбцах стоят образы меридианов, в четных
- образы параллелей, расписанные по меридианам и параллелям. Матрица
А (А) далеко не произвольна: во-первых, из-за обратимости ее опре-
делитель должен быть равен ±1 (для определенности будем считать, что
он равен +1), во-вторых, она должна быть симплектической. Под симплек-
тической матрицей в данном случае мы понимаем матрицу, сохраняющую
кососимметричную билинейную форму индекса пересечения. Сохранение
индекса пересечения кривых при сохраняющем ориентацию гомеомор-
физме поверхности совершенно очевидно. Практически симплектичность
означает следующее: если определить произведение столбца aki на стол-
бец akj (i, j фиксированы, к меняется от 1 до 2g) как число
a2/-l,i a2l-ljy
L det
/=1 a2l,i a2lj J
то произведение каждого нечетного столбца на следующий четный
должно быть равно 1, а произведения любых других столбцов должны
быть равны 0.
Стандартный гомеоморфизм ф^: dHg —> dHg, дающий стандартную
сферу, меняет местами параллели и меридианы. Его матрица состоит из
208
блоков I I ио диагонали. Любой другой гомеоморфизм с такой же
матрицей дает если не настоящую, то во всяком случае гомологическую
сферу.
ТЕОРЕМА 9.6. Любую гомологическую сферу можно получить
склеиванием двух полных кренделей рода g по гомеоморфизму их поверх-
ностей с матрицей (pg, где g - род Хегора.
Доказательство. Для простоты ограничимся случаем гомоло-
гической сферы рода 2. Пусть М = Н2 Нх — гомологическая сфера, где
h: дН2 —» дН2 - сохраняющий ориентацию гомеоморфизм. По предло-
жению 5.5 мы имеем право домножать гомеоморфизм h с обеих сторон на
гомеоморфизмы поверхности кренделя, продолжающиеся на внутрен-
ность. Многообразие М при этом не меняется. У нас есть достаточно
Рис. 237
большой запас гомеоморфизмов полного кренделя рода 2: гомеоморфизмы
Р1,2>^1>о2,й12,й211, Tm|,Tm2,Tmi#m2 (СМ. п. 3.9). Гомеоморфизм р,>2
меняет две ручки местами, гомеоморфизмы Qj, п2 состоят в скручивании
одной из ручек на 180°, гомеоморфизмы й}2 и w2,i состоят в протаски-
вании одного из оснований второй ручки по первой и одного из оснований
первой ручки по второй. Гомеоморфизмы тШ[, тт2, Tmj#m2 - это скручи-
вания вдоль меридианов т}, т2 и их связной суммы т2. Матрицы
гомеоморфизмов w1>2, Tmj, Tmj#m2 изображены на рис. 237, матрицы других
перечисленных гомеоморфизмов выписываются аналогичным образом.
Для доказательства теоремы достаточно убедиться, что матрицу A(h)
можно свести к матрице <р2 с помощью умножения слева и справа на
матрицы восьми упомянутых гомеоморфизмов и их обратных. В справед-
ливости этого фактора нетрудно убедиться с помощью несложных
манипуляций с матрицами. Мы ограничимся краткой схемой.
1. Сначала сконцентрируем свое внимание на миноре, расположенном
в пересечении строк 2, 4 со столбцами 1,2. Этот минор показывает, как
меридианы приклеиваемого кренделя проходят по параллелям исходного.
Поэтому он представляет собой матрицу соотношений группы Н\(М). Так
209
Рис. 238
Рис. 239
как М - гомологическая сфера, то определитель минора равен ±1. При
умножении матрицы А (Л) слева или справа на матрицы А±х(и}2^
Л±1(й2,] \ А(р1<2), А^), А(а2) рассматриваемый минор подвергается эле-
ментарным преобразованиям над строками или столбцами, в число кото-
рых мы включаем добавление одного столбца или строки к другому
столбцу или строке, перестановки строк или столбцов, а также смену
знаков элементов строки или столбца. Такими операциями любая матрица
с определителем ±1 сводится к единичной.
2. Будем считать, что рассматриваемый минор единичный (рис. 238).
При умножении матрицы A(h) справа или слева на матрицу A(tWi#W2)
происходит добавление столбцов 1, 3 к столбцам 2, 4 или строк 2, 4 к
строкам 1, 3 (на рис. 238 это отмечено). За счет таких умножений и
умножений на А-1 (т^*^) добьемся, чтобы элементы я1>3 иа4)2 стали
нулевыми. Наконец, за счет умножения на матрицы A±1(tZZIi ), A±1(tW2 )
занулим элементы на диагонали матрицы А(Л). Оставшиеся элементы
(соответствующие клеточки на рис. 239 заштрихованы) заполняются
однозначно, так как матрица А(А) симплектична.
9.7. Источники и комментарии
Приведенное доказательство теоремы 9.1 принадлежит В. Ликоришу
[48]. Он же доказал, что любое трехмерное многообразие ограничивает
четырехмерное многообразие, спайном которого служит букет двумерных
сфер. Сам факт существования четырехмерного многообразия, ограничи-
ваемого данным трехмерным, был установлен еще В.А. Рохлиным [49].
Существование параллелизуемой четырехмерной пленки составляет со-
держание теоремы Дж. Милнора [50]. Возможность объединить упомяну-
тые два свойства (параллелизуемость и стягиваемость на букет двумер-
ных сфер) первым, по-видимому, заметил М.А. Штанько [51]. Приведен-
ное нами доказательство теоремы является модификацией доказательства
С. Каплана [52]. При этом мы не используем параллелизуемость ориен-
тируемого трехмерного многообразия, что позволяет получить ее в ка-
честве следствия.
210
Первый результат в духе теоремы 9.5 о представлениях гомоло-
гических сфер был получен X. Хилденом [53]. Назовем зацепление
2п
L=U Lz с Л//^-ограничивающим, если в М найдется такой набор
,=1
F1? F2,...» Fn попарно не пересекающихся поверхностей, что каждая
поверхность F, гомеоморфна тору с двумя дырками и Э/; =
Хилден доказал, что любую гомологическую сферу можно получить из
стандартной перестройкой по некоторому /^-ограничивающему зацепле-
нию, оснащенному числами ±1 так, что одна из компонент края каждой
поверхности F, оснащена числом ±1, другая - числом -1. Предложенное
нами усиление принадлежит С.В. Матвееву [54]. Им же доказано, что
результат X. Хилдена переносится на произвольные трехмерные много-
образия: многообразия Л/ь М2 имеют одинаковые группы гомологий Н\(М^
и одинаковые инварианты тогда и только тогда, когда многообразие
Л/2 получается из многообразия перестройкой вдоль некоторого То-
ограничивающего зацепления с описанным выше оснащением.
В заключение отметим, что все упомянутые результаты носят кон-
структивный характер.
§ 10. МНОГООБРАЗИЯ ЗЕЙФЕРТА
Расслоенные многообразия Зейферта представляют собой очень важ-
ный класс трехмерных многообразий. Это объясняется двумя причинами.
Во-первых, класс многообразий Зейферта довольно широк. Если вы
возьмете лист бумаги и нарисуете на нем диаграмму Хегора какого-нибудь
трехмерного многообразия, то оно почти наверняка окажется многообра-
зием Зейферта. Дело в том, что на листе бумаги можно изобразить не
слишком сложную диаграмму, а все такие диаграммы задают либо много-
образия Зейферта, либо их связные суммы. Во-вторых, наличие структу-
ры расслоения Зейферта открывает пути их систематического изучения.
Грубо говоря, многообразие Зейферта ведет себя поддающимся контролю
образом в направлении слоев, и остается изучить его поведение в пер-
пендикулярном двумерном направлении. Следует отметить, что много-
образия Зейферта важны и с точки зрения топологии произвольных
трехмерных многообразий. В каждом неприводимом трехмерном много-
образии с непустым несжимаемым краем можно выделить однозначно
определенное так называемое характеристическое подмногообразие Зей-
ферта, дополнение к которому обладает рядом полезных свойств. Напри-
мер, каждая компонента дополнения имеет гиперболическую структуру -
это утверждение составляет содержание доказанной части знаменитой
геометризационной гипотезы Терстона.
10.1. Определение многообразия Зейферта
Многообразие Зейферта - это трехмерное многообразие, представ-
ленное в виде объединения попарно не пересекающихся простых замкну-
тых кривых, которые называются слоями. При этом слои должны "хоро-
шо" примыкать друг к другу. Пример "плохого" примыкания изображен на
рис. 240, где полный тор представлен в виде объединения осевой окруж-
ности и семейства однократно зацепляющих ее меридиональных окруж-
ностей. Чтобы строго описать "хорошее" примыкание, введем понятие
расслоенного полнотория.
Полноторие D2 X 51, разбитое на слои вида {*} X S1, называется три-
виально расслоенным полноторием. Чтобы определить нетривиально рас-
слоенное полноторие, выберем пару взаимно простых целых чисел а, V,
где а > 1. Рассмотрим цилиндр D2 X S1 и склеим его основания по
повороту на угол 2лу/а. В результате получится полный тор. Разбиение
цилиндра на отрезки вида {*} X I определяет разбиение этого полного
тора на окружности, называемые слоями. Один из слоев, который полу-
212
Рис.240 Рис. 241А
Рис. 241Б
213
чается склеиванием концов отрезка {0} XI, один раз обходит тор. Он
называется особым. Каждый другой слой обходит тор ровно а раз. Число
ос называется кратностью особого слоя. На рис. 241 А, Б изображено
полноторие с параметрами а = 3, v = 2. Особый слой и один из неособых
выделены.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.1. Компактное ориентируемое трехмерное мно-
гообразие, разбитое на непересекающиеся простые замкнутые кривые
(слои), называется многообразием Зейферта, если каждый слой имеет
целиком состоящую из слоев окрестность, послойно гомеоморфную рас-
слоенному полноторию.
Прокомментируем это определение. Под многообразием Зейферта
понимается трехмерное многообразие вместе с фиксированным разбие-
нием на слои. Естественно считать поэтому многообразия Зейферта
одинаковыми, если они послойно гомеоморфны (под послойным гомеомор-
физмом понимается гомеоморфизм, переводящий слои в слои). Слой 5
многообразия Зейферта называется особым, если он при некотором
гомеоморфизме/его послойной окрестности на нетривиально расслоенный
полный тор переходит в центральный слой. Следует отметить, что крат-
ность а особого слоя не зависит от выбора гомеоморфизма и является
поэтому инвариантом особого слоя. Она показывает, сколько раз нормаль-
ный к особому слою диск пересекается с каждым близким неособым слоем.
Следует отметить еще, что в расслоенном полнотории все слои, кроме
центрального, неособые. Поэтому в многообразии Зейферта все особые
слои изолированы. Из компактности вытекает, что их конечное число.
Край многообразия Зейферта не содержит особых слоев и состоит из
двумерных торов, расслоенных на окружности.
Чтобы разобраться, в какой степени число v является инвариантом
особого слоя, поставим вопрос: когда расслоенное полноторие с пара-
метрами (a, Vj) послойно гомеоморфно расслоенному полноторию с
параметрами (a, v2)? Для определенности ориентируем полноторие, ука-
зав направление на меридиане и на особом слое. Неособые слои ориенти-
руем согласованным образом. Условимся считать, что v > 0, если при
движении точки в указанном направлении по неособому слою она вра-
щается вокруг особого слоя в направлении, указанном на меридиане.
Отметим также, что сохраняющий ориентацию гомеоморфизм одного
полнотория на другое одновременно либо сохраняет ориентации мери-
диана и слоев, либо меняет.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 10.1. Пусть 7}, Т2- ориентированные расслоенные
полнотория с параметрами (ос, Vj) и (a, v2). Сохраняющий ориентацию
послойный гомеоморфизм/: 7\ —> Т2 существует тогда и только тогда,
когда Vj = v2 mod а.
Доказательство. Любой сохраняющий ориентацию гомео-
морфизм полнотория D2 X 51 на себя изотопен либо n-кратному скручи-
ванию вокруг меридионального диска, либо суперпозиции такого скручива-
ния с инволюцией г, которая переводит меридиан в себя и особый слой в
особый слой и с изменением ориентаций. Справедливость предложения вы-
текает из того, что при скручивании число v заменяется на v ± па, а при
инволюции оно не меняется.
214
Таким образом, параметр v особого слоя определен с точностью до
некоторого кратного числа а. При изменении ориентации многообразия
инварианты V всех слоев меняют знаки. Например, если одно многообра-
зие Зейферта имеет два особых слоя с инвариантами (3, 5) и (4, 3), а
второе - два особых слоя с инвариантами (3, 2) и (4, 1), то они заведомо
послойно не гомеоморфны. Заменяя число v на v ± ла, всегда можно до-
биться, чтобы оно удовлетворяло условию 0 < v < а.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.2. Числа а, v, 0 < v < а, называются орбиталь-
ными инвариантами особого слоя.
Замечание. Для простоты мы рассматриваем только ориенти-
руемые многообразия Зейферта. В принципе можно изучать и неориен-
тируемые, и здесь есть две точки зрения. При первом подходе опреде-
ление многообразия Зейферта совпадает с нашим, нужно только убрать из
него слово "ориентируемое". При втором подходе допускаются неизолиро-
ванные особые слои. Подробно об этом написано в книге [45].
10.2. База многообразия Зейферта
Пусть М - многообразие Зейферта. Введем на нем отношение экви-
валентности, полагая, что две точки эквивалентны тогда и только тогда,
когда они лежат в одном слое. Фактор-пространство многообразия М по
этому отношению эквивалентности обозначим через В и назовем базой.
Другими словами, пространство В получается из многообразия М стяги-
ванием каждого слоя в свою точку. Образы особых слоев будем называть
особыми точками базы.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ. 10.2. База В любого многообразия Зейферта яв-
ляется компактной поверхностью.
Доказательство. Достаточно доказать, что фактор-прост-
ранство расслоенного полнотория является диском. В случае триви-
ально расслоенного полнотория это
очевидно. В случае нетривиально
расслоенного полнотория оно полу-
чается из диска D2 отождествлением
точек, получающихся друг из друга
поворотами на углы, кратные углу
2nv/a. Поскольку числа a, v взаим-
но просты, то результат не изме-
нится, если отождествить точки, от-
личающиеся поворотами на кратные
2я/а. Отсюда следует, что база
полнотория получается из кругового
сектора с углом 2л/а склеиванием
образующихся его радиусов, а тогда
она представляет собой боковую
поверхность конуса и поэтому
гомеоморфна диску (рис. 242).
Рис. 242
215
10.3. Многообразия без особых слоев
Многообразия Зейферта без особых слоев совпадают с пространст-
вами обычных локально-тривиальных расслоений над поверхностями со
слоем окружность. Классификация таких расслоений хорошо известна (см.
[46]). Мы предпочитаем дать "кустарное’1, но более наглядное описание,
взяв из теории расслоений только следующий интуитивно очевидный
факт: любое локально-тривиальное расслоение над диском тривиально.
Пример 1. Пусть F - компактная ориентируемая поверхность с не-
пустым краем. Тогда М = F X 51 является многообразием Зейферта, слои
которого имеют вид {*} X 51 (рис. 243).
П р и м е р 2. пусть F - замкнутая ориентируемая поверхность. Уда-
лив из нее открытый диск, получим поверхность F} с краем окружность.
На крае многообразия Зейферта F{ X 51 естественным образом определе-
ны меридиан ц = dF} X {*} и параллель X = {*}Х 51. Возьмем теперь в
стороне тривиально расслоенный тор D2 X 51 и приклеим его к Fx X S1 по-
слойному гомеоморфизму/: d(£>2 X 51) —> dFx X S1, который переводит
меридиан dD2 X {*} в кривую типа на крае многообразия F{ X 51
(рис. 244). Гомеоморфизм/обязан переводить параллели вида {*} XS1
тора dD2 X S1 в параллели вида {*} X S1 тора dF} X 51. Существование
такого гомеоморфизма не вызывает сомнений: фактически он отличается
216
Рис. 244
от гомеоморфизма, переводящего меридиан в меридиан и параллель в
параллель, на n-кратное скручивание вдоль параллели. Многообразие М =
= F X S1, которое получается в результате приклеивания, является много-
образием Зейферта с базой F без особых слоев. Число п называется
числом Эйлера расслоения. Выбор названия связан с тем, что если рас-
слоение со слоем окружность ассоциировано касательному расслоению
поверхности F, то его число Эйлера совпадает с эйлеровой характе-
ристикой поверхности F.
Пример. 3. Пусть F - неориентируемая поверхность с краем.
Представим ее в виде диска с приклеенными полосками и каждую полоску
разрежем, обозначив через lx At появившиеся отрезки - сле-
ды разрезов. Умножим теперь диск с разрезанными полосками на
окружность и для каждого разреза склеим кольцо /у X S1 с кольцом /< х 51
по тождеству, если соответствующая полоска не перекручена, и по сим-
метрии относительно проходящего через точку 1 е 51 диаметра, если пе-
рекручена. В результате получим ориентированное многообразие F X S1,
расслоенное на окружности без особых слоев. Причина того, что оно ори-
ентируемо, совершенно ясна: если замкнутый путь в нем проектируется в
меняющий ориентацию путь на базе, то эта проекция проходит по пе-
рекрученным полоскам нечетное число раз, и при каждом проходе мы
меняем ориентацию слоя. В итоге при обходе по этому пути ориентация
не меняется.
П р и м е р 4. Пусть F - замкнутая неориентируемая поверхность.
Удалим из нее диск, построим многообразие Зейферта F} X 51 так же, как
217
и в предыдущем примере, и приклеим к нему полный тор так, как это опи-
сано в примере 2, выбирая в качестве меридиана тора d(F} X 51) кривую
вида где 5 - какое-нибудь сечение расслоения р : Fx X 51 —> Fx (та-
кое сечение можно задать правилом s(x) =х X 1, корректность которого
следует из того, что используемые склейки сохраняют точку 1 g 51). Чис-
ло п по-прежнему называется числом Эйлера многообразия F X S1.
Итак, мы описали семейство многообразий Зейферта без особых сло-
ев: по одному для каждой поверхности с краем и по одному для каждой
пары (F, и), где F - замкнутая поверхность ин- число Эйлера. Поскольку
при изменении ориентации многообразия число Эйлера меняет знак, то в
дальнейшем будем считать, что число Эйлера неотрицательно. Оказыва-
ется, что других многообразий Зейферта без особых слоев нет.
ТЕОРЕМА 10.1. Все перечисленные в примерах 1-4 многообразия
Зейферта послойно не гомеоморфны друг другу. Любое многообразие Зей-
ферта без особых слоев послойно гомеоморфно одному из них.
Доказательство. Поскольку послойно гомеоморфные много-
образия Зейферта обязаны иметь гомеоморфные базы, доказательство
распадается на 4 случая.
1. Почему любое многообразие Зейферта без особых слоев, базой ко-
торого служит ориентируемая поверхность F с краем, имеет вид F X S1?
Представим поверхность F в виде диска с полосками и разрежем полоски.
Расслоение над поверхностью с разрезанными полосками тривиально,
причем исходное расслоение получается из него склеиванием по послой-
ным гомеоморфизмам колец, сохраняющим ориентации слоев и индуци-
рующим обратное склеивание полосок на базе. Остается заметить, что
любой такой гомеоморфизм изотопен тождественному.
2. Это же рассуждение проходит и в случае неориентируемой поверх-
ности F с краем, нужно только использовать тот факт, что любой меняю-
щий ориентации слоев и индуцирующий обратное склеивание полосок на
базе послойный гомеоморфизм кольца на кольцо изотопен симметрии от-
носительно диаметра.
3. Пусть М - многообразие Зейферта с замкнутой поверхностью
F=FiuD2 в качестве базы. Обозначим через р : М -» F проекцию рас-
слоения. Мы уже знаем, что p~\Fx) = Fx х S\p~}(D2) = D2 х S1, и ос-
тается только выяснить, как полный тор D2 XS1 приклеивается к много-
образию F{ X 51. Такая приклейка полностью характеризуется числом Эй-
лера, которое можно интерпретировать как индекс пересечения кривых
s’!(д/7!) и s2(dD2), где s2 - сечения расслоений над Fx и D2. Докажем,
что число Эйлера не зависит от выбора сечений. Пусть ^'zFj —> F} х S1 -
другое сечение, дающее другое представление многообразия Fj X S1 в
виде прямого произведения. Приведем поверхности (Fj) и ^'(Fj) в общее
положение. Тогда они будут пересекаться по нескольким замкнутым ок-
ружностям, которые нас не интересуют, и по нескольким кривым с кон-
цами в точках пересечения кривых S\(dFx) и Sj'(3Fj) Нетрудно убедиться,
218
Рис. 245
что индексы пересечения в концах таких дуг имеют разные знаки
(рис. 245). Поэтому индекс пересечения кривых ^(dF]) и (Э7^) равен ну-
лю. Поскольку они расположены на поверхности тора, то это означает,
что они изотопны. По тем же причинам меридиан тора р-1(£)2) выбирается
однозначно с точностью до изотопии. Это доказывает корректность опре-
деления числа Эйлера.
4. Это же рассуждение полностью проходит и для многообразий Зей-
ферта с замкнутой неориентируемой поверхностью в качестве базы.
Единственное отличие состоит в том, что, вообще говоря, индексы пере-
сечения в концах одной дуги пересечения двух поверхностей не обязаны
иметь разные знаки. Однако в нашем случае поверхности не произвольны,
а являются сечениями расслоения над одной и той же поверхностью и
утверждение о различности знаков остается справедливым.
10.4. Многообразия Зейферта с особыми слоями
Первым примером многообразия Зейферта с особым слоем может слу-
жить нетривиально расслоенный полный тор. Как построить другие при-
меры? Проще всего поступить так: взять многообразие Зейферта с кра-
ем, которое не имеет особых слоев, и несколько торов на его крае
заклеить нетривиально расслоенными полноториями по послойным гомео-
морфизмам. Опишем эту процедуру более подробно.
219
Пусть даны компактная поверхность F, целое число п > 0 и п пар
взаимно простых чисел (ось pj), (а2, р2),..., (ослРл) с условием at > 1. Уда-
лив из поверхности F п открытых дисков, получим поверхность Fx. Края
удаленных дисков обозначим через q ,с2,...,сл. Как отмечено в пре-
дыдущем пункте, существует единственное многообразие Зейферта М\ с
базой не имеющее особых слоев (М\ - F} X если F} ориентируема,
и Мх = F} X 51, если нет). Фиксируем на нем ориентацию и обозначим
через 5 : F{ —> какое-нибудь сечение расслоения р : » /q. На каж-
дом торе Ti = p~[(ci) выберем систему координат, взяв в качестве мери-
диана mz кривую s(q), в качестве параллели Zz - слой расслоения.
Меридиан и параллель ориентируем так, чтобы вместе с внутренней
нормалью к тору Г, они давали выбранную ориентацию многообразия .
Эквивалентным образом можно потребовать, чтобы индекс пересечения
меридиана с параллелью был равен 1. Для каждого i подберем числа vz, xz
так, чтобы 0 < v(- < az и azxz + pzvz = 1 (это можно сделать из-за взаимной
простоты чисел ocz, Pz, причем условие 0 < vz < az гарантирует единствен-
ность).
Рассмотрим нетривиально расслоенный полный тор Az с меридианом т
и параллелью Z, который получается из цилиндра D1 X I склеиванием ос-
нований по повороту на угол 2nvz/az. Неособые слои этого тора имеют
вид mV/Za', кратность особого слоя равна а,. Так как определитель мат-
( (X —V • А
рицы I р' 1 I равен 1, то существует гомеоморфизм Zzz тора dAz на
тор Г;, переводящий меридиан т в кривую типа mf'lf1, параллель / - в
кривую типа . Каждый неособый слой тора ЗА, перейдет при этом в
кривую типа Zz = : )v‘; , т.е. в слой многообразия Зейфер-
та М}. Поэтому гомеоморфизм Ziz можно считать послойным. Это означа-
ет, что после приклеивания торов А,- к многообразию получается новое
ориентированное многообразие Зейферта, которое мы обозначим через
A/(F;(az ,Pz ),l i и). Оно имеет п особых слоев с орбитальными инва-
риантами az, vz, где 0< v, <ai и (Jzvz =lmodocz, а его базой служит по-
верхность F.
Замечание. Многообразие Af(F;(az,pz),l i п) не зависит
от допущенного при его построении произвола в выборе сечения 5. Если
s': Fx —> - другое сечение, то существует послойный геоморфизм
многообразия на себя, который переводит сечение s в сечение s'. Он
продолжается до послойного гомеоморфизма M(F;(at,pz),l i м), пост-
роенного по сечению 5, на многообразие M\F\ (az, Pz), 1 i л), пост-
роенное по сечению s'.
220
10.5. Число Эйлера и послойная классификация
многообразий Зейферта
Пусть поверхность F и число п фиксированы. Напомним, что через Мх
обозначается единственное многообразие Зейферта без особых слоев,
базой которого служит поверхность Fx, получающаяся из поверхности F
удалением п открытых дисков с краями сь..., сп. Многообразия вида
M(F;(otz,Pz), 1 i п) можно описать так: это те и только те мно-
гообразия Зейферта, которые получаются из многообразия Мх приклеива-
нием п нетривиально расслоенных полноторий по послойным гомеомор-
физмам их краев. Нетрудно видеть, что любое многообразие Зейферта с
базой F и п особыми слоями имеет такой вид. Действительно, если
удалить из него послойные окрестности особых слоев, проектирующиеся в
диски, то получится многообразие Зейферта без особых слоев, которое
можно отождествить с многообразием Мх. Но тогда и М получается из Мх
добавлением выброшенных окрестностей, т.е. нетривиально расслоенных
полноторий.
Как по многообразию М восстановить параметры az, Р,? Это можно
сделать однозначно, если фиксировать сечение 5-: Fx —> Мх расслоения р:
М\ Fx нужно для каждого i п выразить меридианы h^m) приклеи-
ваемого нетривиально расслоенного полнотория в виде mf'lf'. Что полу-
чится, если взять другое сечение s' : Fx —> Если обозначить индекс
пересечения меридиана = s(Cj) с меридианом т'=/(<?,) че-
рез kh то т' = mtlkl', а тогда меридиан запишется в виде =
= ф~к'а'. Таким образом, справедливо следующее предложение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 10.3. Для того чтобы многообразия ^(ГДа^р,-),
1 i п) и Af(F;(a,, р-), 1 iп) были послойно гомеоморфными (с сох-
ранением ориентации), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись
равенства Р' =PZ где - индекс пересечения кривых s(q), ^(q),
1^ iп.
Какие значения могут принимать параметры kfi Пусть край по-
верхности Fi состоит из N компонент: кривых сь ..., сп (краев удаленных
из поверхности F дисков) и кривых сл+1,...,сдг (компонент края поверхности
F). Фиксируем сечение s . Fx Мх. Будем говорить, что набор чисел
kx,k2,...,kN реализуется сечением s'\Fx —» Мх, если для каждого i N
индекс пересечения кривой s(q) с кривой s\c{) равен к,.
Замечание. При вычислении индекса пересечения кривых s(c,),
/(q) их нужно ориентировать так, чтобы после проектирования на
кривой с,- получалось одно и то же направление.
ЛЕММА 10.1. Пусть - многообразие Зейферта без особых слоев,
базой которого служит поверхность Fx с N > п компонентами края сь
с2,...,суу, и пусть 5 : Fj —> Мх - сечение расслоения р = Мх —> Fx. Для того
221
чтобы набор целых чисел kx,k2,...,kN был реализуем некоторым сечени-
N
ем s', необходимо и достаточно, чтобы X к; =0.
i=\
Доказательство. Необходимость. Пусть s':Fx —>МХ-
сечение. Приведем поверхности s(Fx),s'(Fx) в общее положение. Тогда
они будут пересекаться по нескольким замкнутым кривым, которые нас не
интересуют, и по нескольким дугам с концами в точках пересечения
кривых 5(с/), s'tcj'). Как отмечалось в п. 3 доказательства теоремы 10.1,
индексы пересечения в концах одной дуги равны по модулю единице и
имеют разные знаки, поэтому их сумма равна нулю. Отсюда следует, что
I л,=о.
1=1
Достаточность. Рассмотрим в поверхности Fx простую кривую аь со-
единяющую компоненту края Ci с компонентой края cN. Разрежем мно-
гообразие Мх по кольцу р~\ах), скрутим один из краев разреза на 2ъкх и
склеим опять. При такой операции сечение s-j перейдет в новое сечение,
реализующее набор кх, 0,...,0, -кх. Если такую же операцию выполнить
для дуг а2, a^...,aN_x, соединяющих кривые с2, c3,...,cN_x с кривой cNi то по-
/V-1
лучится сечение s', реализующее набор кх,к2,...,kN_x,- X £/• Так как по
/=1
условию X К - б, то это сечение является искомым.
/=1
Теперь мы готовы доказать теорему послойной классификации много-
образий Зейферта.
Теорема 10.2. Для того чтобы многообразия Зейферта
i п) и A/(F';(a-p-),l iп') были послойно гомео-
морфными (с сохранением ориентаций), необходимо и достаточно, чтобы
выполнялись следующие условия: 1) поверхность F гомеоморфна поверх-
ности F’\ 2) и = п'\ 3) az = a-,py = Р' mod а, для всех 1 i п (после под-
ходящей перенумерации особых слоев); 4) если поверхность F замкнута,
то X Р< = X
/=1 /=1
Доказательство. Необходимость. Если послойный гомеомор-
физм существует, то он индуцирует гомеорфизм баз и переводит особые
слои в особые слои с сохранением их кратностей, т.е. чисел ос,-. По пред-
ложению 10.3 числа Р, ,р' связаны соотношением Pf-= Р, - ^af-, откуда
Р- = р- modat. В случае замкнутой поверхности F по лемме 10.1 справед-
п п
ливо равенство Х^=б, которое эквивалентно условию У р(/ос- =
/=1 /=1
= z
Z —1
222
Достаточность. Пусть F = F',ii = n',az =а- и P-^P^moda,. Тогда
найдутся такие целые числа kh что Р • = pz - £zaf. Если поверхность F не
замкнута, т.е. если число компонент края поверхности Fx больше м, то
п
положим кп+х = кп+2 =•..= kN_{ = О, Тогда по лемме 10.1 су-
/=1
ществует сечение s': которое реализует набор чисел kh 1 i
N, и тем самым набор чисел kh 1 i п. По предложению 10.3 мно-
гообразия 4/(F;(az,Pz),l i n),M(F';(oc-,P'),l i п') послойно гомео-
морфны.
Если поверхность F замкнута, то проходит то же самое рассуждение.
Единственное отличие состоит в том, что свободных компонент края по-
верхности нет, и приходится пользоваться условием У kt = 0, которое
t=i
п п'
эквивалентно условию Z P,/a, = L ₽;/a'.
Z = 1 1 = 1
Кратко прокомментируем теорему. Условия az = a-, Pz = р' mod ос, оз-
начают совпадение орбитальных инвариантов соответствующих особых
слоев (напомним, что орбитальные инварианты ocz,vf, где 0 <vf <az,
связаны с числами Р, соотношением Pz v, = 1 mod az).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.3. Число е(М)=У Pt/a, называется числом
/=1
Эйлера замкнутого многообразия М = M(F;(azpz),l с i п). Из теоремы
следует, что число Эйлера является инвариантом многообразия Зейферта.
При изменении ориентации многообразия числа р, и, следовательно, число
Эйлера меняют знаки.
Сопоставление теоремы 10.1, 10.2 приводит к следующей оконча-
тельной формулировке теоремы о послойной классификации многооб-
разий Зейферта.
ТЕОРЕМА 10.3. Два ориентированных многообразия Зейферта по-
слойно гомеоморфны (с сохранением ориентации) тогда и только тогда,
когда они имеют гомеоморфные базы, одинаковое число особых слоев с
одинаковыми орбитальными инвариантами и, если они замкнуты, равные
числа Эйлера.
Например, существует только одно многообразие Зейферта с базой
диск и двумя особыми слоями кратности 2. Его можно записать в виде
Л/(Л2; (2, р]), (2, р2)), где рь р2 - любые нечетные числа. Инварианты v
обоих слоев равны 1, а число Эйлера здесь не определено (и не нужно),
так как край не пуст.
Еще пример. Известно, что многообразие Зейферта М с базой сфера
имеет три особых слоя с орбитальными инвариантами (3, 1), (7, 2), (5, 3), а
его число Эйлера равно 32/105. Как представить его в виде M(S2; (ab Р0,
(а2, р2), (а3, рз))? Разумеется, (X] = 3, а2 = 7, а3 = 5, а числа р1? р2, Р3
нужно подобрать так, чтобы Pj = I-1 mod3, р2 =2-1 mod 7, р3 = 3“* mod 5
223
и 0! / 3 + р2 / 7 + ₽3 / 5 = 32 /105. Можно взять, например, pj =1, Р2 = -3,
Рз = 2. Полезно иметь в виду, что числа Эйлера любых двух замкнутых
ориентированных многообразий Зейферта с одинаковыми базами и оди-
наковыми орбитальными инвариантами особых слоев могут отличаться
только на целое число, и это целое число может быть любым. Много-
образия с орбитальными инвариантами (3, 1), (7, 2), (5, 3) и числом Эйлера
31/105, например, просто не существует, поскольку 1/105 - не целое
число.
10.6. Фундаментальная группа многообразия Зейферта
Вычисление (т.е. выписывание копредставления) фундаментальной
группы многообразия Зейферта не представляет затруднений. Допустим
сначала, что особых слоев нет. Все такие многообразия Зейферта рас-
падаются на четыре класса в зависимости от того, ориентируема ли база и
имеет ли она край (см. примеры 1-4 из п. 10.3).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 10.4. Пусть многообразие Зейферта М с базой F
не имеет особых слоев. Обозначим через g ориентируемый или неориен-
тируемый род поверхности F, через к - число компонент ее края, через е -
число Эйлера многообразия М (если оно замкнуто). Тогда:
1. Если поверхность F ориентируема и имеет край, то
2. Если поверхность F ориентируема и замкнута, то
3. Если поверхность F неориентируема и имеет край, то
4. Если поверхность F неориентируема и замкнута, то
(Запись х у означает, что х коммутирует с у, [х, у] обозначает коммута-
тор хух~ху~х.)
Доказательство. Мы будем опираться на описания много-
образия М, приведенные в примерах 1-4 п. 10.3, и на копредставления
фундаментальной группы поверхности из п. 2.2 § 2.
1. Этот пункт очевиден, так как М = F х 51 и Kj(A/) =
224
2. Группа щ(М) получается из группы 7Cj(Afj) = 7tj(F\) х ТС](S1) добавле-
нием одного соотношения d}te = 1, которое отражает тот факт, что на
кривую mle на крае многообразия Мj = Fx х 51 наклеивается диск - мери-
диональный диск добавляемого полнотория.
3. Поверхность F можно представить в виде диска с g однократно
перекрученными и к - 1 неперекрученными полосками. Образующие я,
отвечают перекрученным полоскам, образующие dj - компонентам края.
Соотношения 1 = t~x отражают тот факт, что при проходе по одно-
кратно перекрученной полоске ориентация слоя меняется - это необхо-
димо для того, чтобы многообразие М было ориентируемым.
4. Это копредставление получается из копредставления типа 3 для
многообразия Mj точно так же, как и копредставление 2 - из копредстав-
ления 1 в ориентируемом случае.
Рассмотрим многообразия Зейферта с особыми слоями.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 10.5. Пусть М = M(F\ (ос„ р,), 1 i п).
1. Если поверхность F ориентируема, то
п к
Я](Л/) = (a,., П [а,-, Ь,] П с„, П '
гат$т — 1
j=i
>ai,bi,cm,dj j.
2. Если поверхность F неориентируема, то
Tti(M')-(aj,dj,cm,t
Й «,2 П ст П dj = 1, c“m А = 1,
/=1 m=l j-\
=t t<—>dj,cm
Доказательство. Справедливость этого предложения выте-
кает из предыдущего предложения и представления многообразия М
(см. п. 10.4) в виде многообразия = F} х 51 или Мх = FxS* с п вклеен-
ными полноториями. Соотношения = 1 отвечают меридиональным
дискам полноторий.
Замечание. Из копредставлений, выписанных в предложениях,
видно, что циклическая подгруппа, порожденная отвечающим неособому
слою элементом г, всегда нормальна. Если база ориентируема, то она
лежит в центре группы л^М), если нет, то ее централизатор (множество
элементов, коммутирующих с t) является подгруппой индекса не более 2.
Докажем следующее важное предложение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 10.6. Если многообразие Зейферта имеет край, то
порядок отвечающего неособому слою элемента t его фундаментальной
группы бесконечен.
Замечание. На самом деле это предложение верно и для боль-
шинства (но не всех) замкнутых многообразий Зейферта. Подробно мы
обсудим этот вопрос позднее.
8. С.В. Матвеев, А.Т. Фоменко
225
Доказательство. В случае ориентируемой базы сформулиро-
ванный в предложении факт верен даже на уровне гомологий, т.е.
порядок элемента t равен бесконечности в прокоммутированной группе
я ДМ). Обозначим через N произведение чисел аь а2,..., ал. Определим
отображение ср группы яДМ) в группу целых чисел Z, полагая
ф(а,) = ф(6,) = 0, ф(с„) = N$m /ат,
Ф(^1) = -X /ат, ф(^) = 0 при 2^j^k, <p(t) = N.
т=1
Прямая проверка показывает, что соотношения группы яДМ) переходят в
верные равенства. Поэтому ср - гомеоморфизм, а тогда порядок элемента
t равен бесконечности потому, что порядок его образа (т.е. числа N)
в группе Z равен бесконечности.
В случае неориентируемой базы коммутирование является слишком
грубой операцией - порядок элемента t после коммутирования становится
равным 2. Вместо группы Z рассмотрим группу G = {а, т|ятя-1 = т-1), изо-
морфную фундаментальной группе бутылки Клейна. Порядок элемента т
этой группы равен бесконечности.
Пусть N = Определим отображение ф группы яДМ) в груп-
пу G, полагая
ф(а,) = а, ф(с„г) = тЛ^'п/а"2, cp(J1) = a-2nT m=1
ф(<7у) = 1 при 2 j к, ф(г) = xN.
Как и в случае ориентируемой базы, соотношения переходят в верные
соотношения. Отсюда следует, что ф - гомоморфизм и что порядок эле-
мента t равен бесконечности.
10.7. Многообразия Зейферта с краем
Доказанная нами теорема послойной классификации многообразий
Зейферта весьма полезна, но все же оставляет в стороне вопрос об их
топологической классификации. Всегда ли гомеоморфные многообразия
Зейферта послойно гомеоморфны? Оказывается, что почти всегда, кроме
некоторых конкретно описываемых исключительных случаев. Идея дока-
зательства этого результата (как и многих других теорем топологии
многообразий) носит индуктивный характер: мы разрезаем многообразие
по поверхностям, удовлетворяющим специальным условиям, на такие
простые части, для которых желаемый результат можно доказать непо-
средственно. Принципиальные трудности такого подхода связаны с выпол-
нением первого разреза. В случае многообразий с краем таких трудностей
не возникает. Таким образом, изучение многообразий Зейферта с краем
легче, чем замкнутых, и именно с них мы и начинаем.
226
10.8. Несжимаемость края
Край тривиально или нетривиально расслоенного полнотория сжи-
маем. Оказывается, что это - единственные примеры многообразия Зей-
ферта со сжимаемыми краями.
ТЕОРЕМА 10.4. Край любого отличного от расслоенного полнотория
многообразия Зейферта несжимаем.
Доказательство. Пусть М - многообразие Зейферта с базой
F,p : М —> F - проекция и dx - такая компонента края поверхности F, что
тор Т\ =p~x{dx) сжимаем. Тогда найдется нетривиальная кривая типа таР
в торе Т1, где m - его меридиан и I- параллель (слой), стягиваемая в М.
Отвечающий параллели элемент группы яДМ) равен 1. Так как
порядок элемента t равен бесконечности (предложение 10.6), то а 0.
Профакторизовав группу яДМ) по элементам t и cm, 1 т п
(см. копредставление группы яДМ), выписанное в предложении 10.5),
получим фундаментальную группу it\(F) поверхности F, В этой группе
равенство d± = 1 возможно только тогда, когда F - диск. В этом случае
группа имеет копредставление А =...= с“л^л =1). Про-
факторизовав ее по элементу г, получим группу (cb...,cjqai =...= с“л = 1),
т.е. свободное произведение п циклических групп. Элемент dx = (ср..^)”1
этого свободного произведения может иметь конечный порядок, только
если п 1, что как раз и отвечает случаям тривиально и нетривиально
расслоенного полного тора.
10.9. Неприводимость многообразий Зейферта с краем
ТЕОРЕМА 10.5. Любое многообразие Зейферта с краем непри-
водимо.
Доказательство этой теоремы прямо вытекает из предло-
жения 7.2, утверждающего, что свойство многообразия быть неприво-
8*
227
димым сохраняется при разрезании по несжимаемой поверхности. Из того
что отвечающий слою элемент t фундаментальной группы многообразия
имеет бесконечный порядок, следует, что для любой не проходящей через
образы особых слоев простой дуги а в базе F с концами на dF кольцо р~\а)
несжимаемо. Поверхность F можно разрезать по таким дугам на диски,
каждый из которых содержит не более одной особой точки (рис. 246).
После разрезания многообразия по соответствующим кольцам получается
набор тривиально или нетривиально расслоенных полных торов, каждый
из которых, конечно, неприводим.
10.10. Послойность колец с послойными краями
Под послойным кольцом в многообразии Зейферта понимается
собственное кольцо, целиком состоящее из неособых слоев, т.е. прообраз
при проекции некоторой не проходящей через особые точки простой дуги
в базе с концами на крае. Собственное кольцо в многообразии Зейферта
может и не быть послойным, но иметь послойный край. Край кольца
послоен, если он состоит из слоев. Заметим, что если одна окружность на
крае кольца изотопна слою, то вторая - тоже. Действительно, в этом
случае отвечающий ей элемент группы Tq(М) сопряжен и, как следует
из соотношений, выписанных в предложении 10.5 (копредставление
группы 71] (Л/)), совпадает с t или г1. Из несжимаемости края вытекает,
что рассматриваемая окружность также изотопна слою (случай много-
образий Зейферта со сжимаемым краем, т.е. расслоенных полных торов,
легко рассматривается отдельно).
ТЕОРЕМА 10.6. В любом многообразии Зейферта любое кольцо
с послойным краем изотопно послойному (при неподвижной на крае изо-
топии).
Доказательство этой теоремы основано на следующей лемме.
ЛЕММА 10.2. Пусть (может быть не-
связное) многообразие Зейферта М' получа-
ется из многообразия Зейферта М разреза-
нием по послойному кольцу A cz М. Тогда,
если утверждение теоремы 10.6 верно для
многообразия М’, то оно верно и для
многообразия М.
Доказательство. Пусть В -
кольцо с послойным краем в М. Можно счи-
тать, что ЭВпЭА = 0. Приведем кольца А,
В в общее положение. Тогда их пересечение
будет состоять из конечного числа окруж-
ностей. Все тривиальные окружности легко
устраняются с помощью изотопии кольца В
(см. § 2; здесь мы используем несжимаемость
любого послойного кольца и неприводимость
многообразия М). Все нетривиальные
228
окружности в пересечении можно изотопией превратить в слои (рис. 247),
которые разбивают кольцо В на несколько колец Bj,B2,...,Br
с послойными краями. Кольца В В2,... ,Вг лежат в М' и по усло-
вию изотопны послойным. Это и дает изотопию всего кольца В в по-
слойное.
Доказательство теоремы 10.6. Как отмечалось в доказа-
тельстве теоремы 10.5, любое многообразие Зейферта М с краем можно
разрезать по послойным кольцам на расслоенные полнотория. Для рас-
слоенных полноторий теорема 10.6 верна очевидным образом. Из леммы
10.2 следует, что тогда она верна и для многообразий Л/.
ТЕОРЕМА 10.7. Пусть гомеоморфизм h : —> Л/2 одного много-
образия Зейферта на другое таков, что образ п(1) какого-нибудь слоя
I cz ЭЛ/j является слоем многообразия Л/2. Тогда гомеоморфизм h изотопен
послойному.
Доказательство. Сначала заметим, что гомеоморфизм h мож-
но считать послойным на той компоненте 1\ края многообразия Л/ь кото-
рая содержит слой /. Обозначим через dx ту компоненту края базы
многообразия в которую проектируется тор 7\. Разрежем базу F{
дугами а2,.. .,ап, один или оба конца каждой из которых лежит на dlt
на диски, содержащие не более одной особой точки. Тогда кольца
А? = р-1 (я,) послойны и по крайней мере одна компонента края каждого
кольца A2 = h(A-) также послойна. В этом случае вторая компонента его
края изотопна послойной, и по теореме 10.6 каждое кольцо А2 изотопно
послойному. Изотопно деформируя гомеоморфизм /г, можно добиться,
чтобы он послойно переводил кольца А? в кольца А2. В результате разре-
зания многообразий Л/2 по кольцам А?, А2, 1 z п, они рассы-
паются на тривиально и нетривиально расслоенные полнотория, для
которых справедливость теоремы 10.7 очевидна. Отсюда следует, что
исходный гомеоморфизм h изотопен послойному гомеоморфизму.
10.11. Послойность существенных колец
Так как порядок отвечающего слою элемента t фундаментальной
группы многообразия Зейферта с краем бесконечен, то любое послойное
кольцо в нем несжимаемо. Верно ли обратное, т.е. верно ли, что любое
несжимаемое кольцо изотопно послойному? Интерес к этому вопросу
вызван тем, что если бы ответ на него был положителен, то послойная
классификация многообразий Зейферта совпадала бы с топологической
(по крайней мере для многообразий с краем). Действительно, пусть на
многообразии М есть две структуры расслоения Зейферта. Можно взять
несжимаемое кольцо А, послойное относительно одной структуры, и изо-
топно пошевелить вторую структуру так, чтобы оно стало послойным и
относительно второй структуры. Тогда после разрезания многообразия М
по кольцу получится более просто устроенное многообразие Зейферта
229
с двумя структурами, совпадающими на целом кольце в его крае.
По теореме 10.7 одна структура изотопна другой.
Оказывается, что ответ на сформулированный вопрос действительно
положителен, но с одной оговоркой, а указанную процедуру можно дейст-
вительно реализовать, но с некоторыми исключениями. Обсудим эту
оговорку и исключения.
Суть оговорки состоит в том, что в сформулированном вопросе
понятие несжимаемого кольца нужно заменить на понятие существенного
кольца. Пусть М - произвольное трехмерное многообразие и I - нетри-
виальная простая замкнутая кривая в ЭЛ/. Рассмотрим ее кольцевую
окрестность и чуть-чуть продавим ее внутрь многообразия (неподвижно на
крае) (рис. 248). Будем говорить, что кольцо А с М параллельно краю,
если его можно получить описанным способом. Если край ЭЛ/ несжимаем,
то параллельное краю кольцо автоматически несжимаемо. Однако если
М - многообразие Зейферта и кривая I не изотопна слою, то кольцо А
заведомо не изотопно послойному. Поэтому параллельные краю кольца
следует из рассмотрения исключить. Да они и бесполезны для намечен-
ного нами процесса разрезания многообразия Зейферта по послойным
230
Рис. 250
кольцам, так как при разрезании по послойному и параллельному краю
кольцу отсекается тривиально расслоенный полный тор, что никак не
упрощает оставшегося многообразия!
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.4. Несжимаемое кольцо в трехмерном много-
образии называется существенным, если оно не параллельно краю.
Иногда используется другое определение существенного кольца:
несжимаемое кольцо существенно, если оно гранично неприводимо.
Сформулированный выше вопрос можно теперь поставить так: всякое
ли существенное кольцо в многообразии Зейферта изотопно послойному?
Ответ на этот вопрос положителен для всех многообразий Зейферта,
кроме двух. Опишем эти исключения.
(1) Многообразие 51 х 51 х / (в качестве слоев берутся окружности
вида {*} х 51 х {*}), Выберем на торе 51 х 51 нетривиальную простую
замкнутую кривую / типа (р, р), где числа (р, q) взаимно просты. Тогда
кольцо Ixl aS1 xS1 х I существенно, но не изотопно послойному, если
(р, q) Ф (0, ±1). Отметим, что компоненты края кольца I х I лежат на
различных компонентах края многообразия 51 х 51 х I и имеют одинако-
вый тип (р, р), а также что любое существенное кольцо в № xS1 х I
изотопно кольцу вида / х / для некоторой нетривиальной простой замкну-
той кривой I cz 51 х 51.
(2) Ориентируемое косое произведение К1 х I бутылки Клейна К2 на
отрезок. Его можно реализовать в пространстве R3 (с самопересечениями)
как регулярную окрестность стандартным образом погруженной бутылки
Клейна (рис. 249). Это многообразие можно представить как многообразие
Зейферта двумя способами: как многообразие Зейферта с базой D2 и
двумя особыми слоями кратности 2 (такое многообразие Зейферта един-
ственно) и как многообразие Зейферта без особых слоев с листом Мебиуса
М2 в качестве базы. Докажем это. Рассмотрим "толстый" цилиндр
51 х [-1, 1] х / и отождествим его основания 51 х [-1, 1] х {0} и 51 х
231
Рис. 251
Рис. 252
х [-1, 1] х {1} по суперпозиции симметрии относительно окружности и
симметрии относительно ее диаметра (рис. 250). Если реализовать окруж-
ность в комплексной плоскости, то такое отождествление можно задать
формулой (z, х, 0) (z, -х, 0) (черта обозначает комплексное сопряжение).
Нетрудно видеть, что при таком отождествлении цилиндр 51 х {0} х/
склеится в бутылку Клейна, а "толстый” цилиндр 51 х [-1, 1] х/ - в
многообразие К2 х/. "Толстый" цилиндр можно разбить на окружности
вида S1 х {*} х {*}, и это разбиение индуцирует на К2х1 структуру
расслоения Зейферта без особых слоев с листом Мебиуса в качестве базы.
Его же можно разбить на отрезки вида {*} х {*} х /, и это разбиение
индуцирует на К2 х I структуру многообразия Зейферта с базой диск и
двумя особыми слоями кратности (они получаются склеиванием концов
отрезков {±1} х {0} х /). Рассмотрим в К2 х / два существенных кольца:
кольцо Aj (образ кольца 51 х [-1, 1] х {*) при склеивании многообразия
К2 х I из "толстого" цилиндра S1 х [-1, 1] х {*}) и кольцо А2 (образ двух
прямоугольников {±/} X [-1, 1] X /). Кольцо А] послойно во второй
структуре, но не изотопно кольцу, послойному в первой структуре, а
кольцо А 2 послойно в первой структуре, но не изотопно кольцу,
послойному во второй. Чтобы это доказать, заметим, что для каждой
структуры имеется только одно послойное относительно нее сущест-
венное кольцо (кольцо Ai или кольцо Л2). Поэтому достаточно устано-
вить, что кольца Alf А2 не изотопны. Проще всего это можно сделать
так: если на компонентах края кольца Ah i = 1, 2, выбрать одинаковые
направления, то в торе д(К2 х /) эти кривые будут сонаправлены при
i = 2 и противоположно направлены при i = 1. Отметим также, что
каждая компонента края кольца A j пересекает каждую компоненту края
кольца А2 только в одной точке.
232
Рис. 253
ТЕОРЕМА 10.8. Если многообразие Зейферта М с краем не гомео-
морфно многообразию 51 х S1 х / или косому произведению бутылки
Клейна К2 на отрезок, то любое существенное кольцо в нем изотопно
послойному.
Доказательство. Пусть В - существенное кольцо в М и
Т{ адМ - такая компонента края, что ЭВпТ] ^0. Сначала рассмотрим
случай, когда многообразие М имеет особые слои. В базе F многообразия
М выберем простую дугу а с концами на окружности dx отсе-
кающую от поверхности F какую-нибудь одну особую точку (рис. 251).
Тогда послойное кольцо А =р~}(а) существенно (в противном случае
вторая часть поверхности F была бы диском без особых точек, а все
многообразие М - нетривиально расслоенным полноторием, в котором
существенных колец нет). Можно считать, что индекс пересечения кривой
дВ п 7] со слоем отличен от 0, так как если он равен 0, то край кольца В
изотопен послойному и можно применить теорему 10.6. Приведем коль-
цо В в общее положение с кольцом А и рассмотрим их пересечение Аг\В.
Оно состоит из простых кривых. Будем
говорить, что кривая I а А п В имеет
по отношению к кольцу А тип 1, если
она ограничивает диск в А, тип 2, если
ее концы лежат на одной компоненте
края кольца А, тип 3, если ее концы
лежат на различных компонентах края
кольца А (рис. 252), и тип 4, если она
замкнута и не ограничивает диска в А,
т.е. изотопна средней линии кольца А.
Аналогичным образом определяется
тип кривой I а А п В по отношению к
кольцу В. Будем говорить, что кривая /
233
Рис. 255А
имеет двойной тип (/,;), если она имеет тип i относительно кольца А, и
тип j - относительно кольца В. Тогда кривые двойных типов (1,4) или (4,
I) отсутствуют из-за несжимаемости колец, кривые типов (/, J) при z = 1, 4
и j = 2, 3 или z = 2, 3 и j = 1, 4 - из-за того, что кривые типов 1, 4
замкнуты, а типов 2, 3 - нет. Кривые двойных типов (2, 3) и (3, 2)
отсутствуют из-за существенности колец (точнее, из-за их граничной
неприводимости). Если есть кривая двойного типа (2, 2), то объединение
отсекаемых ею от колец лунок представляет собой диск, индекс
пересечения края которого со слоем равен 0. Край такого диска обязан
ограничивать диск в ЭЛ/, а тогда такое пересечение можно убрать с
помощью изотопии кольца В (рис. 253). Кривых двойного типа (4, 4) нет,
так как тогда бы отсутствовали кривые двойного типа (3, 3) и края колец
А, В не пересекались бы. Итак, можно считать, что все кривые в
пересечении колец А, В имеют двойной тип (3, 3) (рис. 254). Они
рассекают кольцо В на части В2,...,ВГ. Каждая из них представляет
собой диск, край которого только в двух точках пересекает среднюю
линию кольца А. Обозначим через Л/ь М2 многообразия Зейферта, на
которые кольцо А рассекает многообразие Л/. Если какой-нибудь диск Bt
234
тривиален в М j, j = 1, 2, то
изотопией кольца В можно
уменьшить число кривых в
Ап В (рис. 255А, Б). Поэтому
можно считать, что все диски
Bi нетривиальны. Тогда много-
образия Мх, М2 имеют сжима-
емые края и по теореме 10.4
являются расслоенными полно-
ториями. При этом неособый
слой каждого полнотория пере-
секает его меридиональный
диск только в двух точках.
Итак, многообразие М содер-
жит лишь два особых слоя
кратности 2 и его базой служит
диск, т.е. мы имеем дело с многообразием К2 х /.
Рассмотрим теперь случай, когда многообразие М не имеет особых
слоев. Если его база гомеоморфна кольцу или листу Мебиуса, то мы
имеем дело с исключительными случаями прямого произведения кольца на
окружность или косого произведения листа Мебиуса на окружность. Если
база F не гомеоморфна кольцу или листу Мебиуса, то найдется простая
дуга a a F с концами на окружности dx = р(1\), которая не отсекает от
поверхности F диска и после разрезания поверхности F, по которой не
получается диск. Кольцо А = р~\а) является существенным. Как и при
рассмотрении первого случая, все дуги в пересечении колец А, В можно
устранить, в том числе дуги двойного типа (3, 3), поскольку особых слоев
нет. Тогда кривые дАпТ] и дВпТ} не будут иметь общих точек, что
гарантирует изотопность кольца кольцу с послойным краем. Остается при-
менить теорему 10.6.
Метод доказательства теоремы 10.8 позволяет также полностью
выяснить вопрос о том, какие существенные кольца содержит многообра-
зие К2 х /.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 10.7. Любое существенное кольцо в многообразии
Кх! изотопно либо кольцу А ], либо кольцу А2.
Доказательство. Пусть А с: К2 х I - существенное кольцо.
Если оно изотопно послойному относительно второй структуры, то оно
изотопно кольцу А2. Если нет, то, минимизируя его пересечение с кольцом
А2, добьемся, чтобы его пересечение с каждым из нетривиально расслоен-
ных полноторий, на которые кольцо А2 разбивает К2 х/, состояло из
меридиональных дисков (рис. 256). При этом две дуги из А п Д2, лежащие
на крае одного меридионального диска в одном полнотории, обязаны
лежать на крае одного меридионального диска в другом полнотории.
Поэтому используется всего по одному меридиональному диску каждого
полнотория, а тогда кольцо А изотопно кольцу Аь
235
СЛЕДСТВИЕ 10.1. На многообразии К2у.1 имеются только две
структуры многообразия Зейферта: одна индуцирована отождествлением
х I = М(Р2; (2, 1), (2, 1)), вторая - отождествлением К2 х I = М2 х 51,
где М2 - лист Мебиуса.
Доказательство. Любое многообразие Зейферта с краем рас-
секается послойными существенными кольцами на полные торы. В К2 х I
только два существенных кольца: А] и А2. Кольцо Ах отвечает структуре
М2 xS1; кольцо А2- структуре M(D2; (2, 1), (2, 1)).
ТЕОРЕМА 10.9. Если многообразия Зейферта М2 с краем не
гомеоморфны многообразиям D2 х S’1, S1 х S’1 х I, К2 х I, то любой гомео-
морфизм h : —> М2 изотопен послойному.
Доказательство. Так как многообразие Мх отлично от рас-
слоенного полнотория, то в нем найдется послойное существенное кольцо
А. Кольцо А(А) также существенно и по теореме 10.8 изотопно послой-
ному. Изотопно деформируя гомеоморфизм h, можно добиться, чтобы он
послойно переводил кольцо А в кольцо h(A). Разрежем многообразия А/ь
М2 по кольцам А, /г(А). Гомеоморфизм h индуцирует тогда гомеоморфизм
h': М\ М 2, получившихся в результате разрезания многообразий, кото-
рый переводит по крайней мере один из слоев (например, среднюю линию
кольца А) в слой. По теореме 10.7 он изотопен послойному, но тогда и
исходный гомеоморфизм h изотопен послойному.
В дальнейшем нам понадобится следующая теорема про несжимае-
мые торы.
ТЕОРЕМА 10.10. Любой несжимаемый тор в многообразии Зейферта
с краем изотопен послойному.
Доказательство. Путь Т - несжимаемый тор в многообразии
Зейферта М с краем. Рассмотрим послойное существенное кольцо А в М.
В пересечении A n Т можно, пользуясь несжимаемостью, устранить все
кривые, ограничивающие диски в А или Т. Все оставшиеся кривые будут
изотопны средней линии кольца А, т.е. слою. Если A n Т * 0, то тор Т
разбивается такими кривыми на кольца с послойными краями, которые по
теореме 10.6 изотопны послойным. Это и дает изотопию тора Т в по-
слойный. Если А п 7 = 0, то задача сводится к рассмотрению несжи-
маемого тора в многообразии Зейферта которое получается из мно-
гообразия М разрезанием по кольцу А. Остается заметить, что такими
разрезаниями можно любое многообразие Зейферта рассыпать на рас-
слоенные полнотория, в которых несжимаемых торов заведомо нет.
10.12. Большие многообразия Зейферта
Метод разрезания по послойным существенным кольцам не проходит
при изучении замкнутых многообразий Зейферта - нет края, значит, нет и
колец. Естественно попытаться использовать послойные несжимаемые
торы. При этом достаточно научиться выполнять только первый разрез -
236
в результате получится одно или два многообразия Зейферта с краем, с
которыми мы уже разобрались. Во всяком ли многообразии Зейферта
найдется послойный несжимаемый тор? Нет, не во всяком. Разделим все
замкнутые многообразия Зейферта на два класса: большие многообразия,
которые содержат послойные несжимаемые торы, и малые многообразия,
которые послойных несжимаемых торов не содержат.
Замечание. Термин "большое многообразие Зейферта" не нужно
путать с термином "достаточно большое многообразие" (см. [40]). Хотя
всякое большое многообразие Зейферта является достаточно большим, но
достаточно большим может быть и малое многообразие Зейферта.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 10.8. Многообразие Зейферта является большим
тогда и только тогда, когда его база отлична от сферы с ^3 йот
проективной плоскости с с 1 особой точкой.
Доказательство. Пусть М - большое многообразие Зей-
ферта. Тогда проекция содержащегося в нем послойного несжимаемого
тора является простой замкнутой кривой в базе, не отсекающей диск
с 1 особой точкой (в противном случае тор был бы сжимаемым). В
сфере с ^3 особыми точками и в проективной плоскости с =^1 особой
точкой таких кривых нет.
Если же указанные ограничения на базу выполнены, то простая
замкнутая кривая а в базе, не отсекающая от нее диск с 1 особой
точкой, всегда найдется. В этом случае тор Т =р~}(а) будет несжи-
маемым. Действительно, если бы он был сжимаемым, то после разрезания
многообразия М по нему получалось бы (может быть, несвязное)
многообразие Зейферта со сжимаемым краем. По теореме 10.4 одна из
его компонент должна быть расслоенным полноторием, а это
противоречит выбору кривой а.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 10.9. Любое большое многообразие Зейферта
неприводимо.
Доказательство. После разрезания большого многообразия
Зейферта по послойному несжимаемому тору получается одно или два
многообразия Зейферта, которые по теореме 10.5 неприводимы. Отсюда
следует, что и исходное многообразие Зейферта неприводимо (см. § 7).
10.13. Послойность несжимаемых торов
Всякий ли несжимаемый тор в большом многообразии Зейферта
изотопен послойному? Ответ на этот вопрос почти всегда положителен.
Опишем исключительные случаи.
Пример 1. Представим многообразие 51 х 51 х 51 в виде мно-
гообразия Зейферта, разбив его на слои вида { * } х { * } х 51. Тогда тор
51 х 51 х ( * } несжимаем, но не изотопен послойному.
Пример 2. Пусть М - многообразие Зейферта с базой сферы и 4
особыми слоями типов (2, 1), (2, 1), (2, -1), (2, -1) (число Эйлера этого
многообразия равно 0). Его можно представить в виде объединения по
тождеству на крае двух экземпляров М2 многообразия М(£>2; (2, 1),
(2, -1)) с базой диск и двумя особыми слоями кратности 2. В многообразии
237
M(D2; (2, 1), (2, -1)) есть существенное кольцо не изотопное
послойному (см. п. 10.11). Объединение двух экземпляров таких колец,
взятых в многообразиях М2, дает не изотопный послойному несжи-
маемый тор в М. Из определения многообразия М следует, что оно
гомеоморфно удвоению (объединению двух экземпляров по тождеству на
крае) многообразия К1 х I. Его можно представить также в виде ре-
зультата склеивания компонент края многообразия Т1 х I по гомеомор-
Г-1 0А
физму h'.T2'* {0} —> Т2 х {1} с матрицей I I. Представление тора
Т2 в виде прямого произведения двух окружностей индуцирует на М
структуру многообразия Зейферта без особых слоев с бутылкой Клейна в
качестве базы.
ТЕОРЕМА 10.11. Если большое замкнутое многообразие Зейферта М
не гомеоморфно многообразию 51 х S1 х S1 или удвоению многообразия
К2 х I, то любой несжимаемый тор В в нем изотопен послойному.
Доказательство. Пусть М - большое многообразие Зей-
ферта, А с М - послойный несжимаемый тор в нем и В с М - произ-
вольный несжимаемый тор. Пользуясь несжимаемостью торов и непри-
водимостью многообразия, устраним в пересечении А п В те простые
замкнутые кривые, которые ограничивают диск хотя бы на одном из то-
ров. Тогда тор В разбивается кривыми А п В на несколько колец. Несу-
щественные по отношению к разрезанному по тору А многообразию М
кольца можно устранить изотопией тора В. После всех таких устранений
либо пересечение А п В будет пустым, либо останутся только су-
щественные кольца ВХ,В2,Вг. В первом случае тор В изотопен по-
слойному по теореме 10.10 о послойности несжимаемых торов в мно-
гообразиях Зейферта с краем. Рассмотрим второй случай. Если кривые
А п В изотопны в торе А слою, то все кольца В2,...» Вг изотопны
послойным по терреме 10.6. Это дает изотопию тора В в послойный тор.
Если кривые А п В не изотопны слою, то существенные кольца В},
В2,..., Вг не изотопны послойным. По теореме 10.8 после разрезания
многообразия М по кольцу А получается либо многообразие 51 х 51 х /,
либо два экземпляра многообразия К2 х I, а тогда мы имеем дело с
исключительными случаями. Докажем это. При обратном склеивании
многообразия М из S1 х S1 х I слои должны склеиваться со слоями и края
колец #1, В2,..., Вп имеющие одинаковый тип (р, q), - с краями колец
Въ В2, ...э Вг. Это бывает только при склеивании либо по тождеству, либо
Г-1 0А
по инволюции тора с матрицей I I. В первом случае получается
многообразие S'1 х 51 х S1, во втором - удвоение многообразия К2 х I.
При обратном склеивании многообразия М из двух экземпляров
многообразия К2 х I тор В должен склеиваться либо из двух экземпляров
238
кольца А] (тогда оба экземпляра многообразия К1 х I как многообразия
Зейферта имеют вид М(£)2; (2, 1), (2, -1)), см. выше), либо из двух
экземпляров кольца А2 (тогда оба экземпляра многообразия К1 х I пред-
ставляют собой косое произведение листа Мебиуса на окружность). Сме-
шанный случай колец Ар Д2 невозможен, так как из них склеивается не
тор, а бутылка Клейна. Каждый слой при этом должен попадать в слой, а
край кольца - в край кольца. Это бывает только при склейке экземпляров
многообразия К1 х 1, либо по тождеству, либо по гомеоморфизму с
-1 (П
I. В обоих случаях получается удвоение многообразия
К2 х/.
матрицей
10.14. Топологическая классификация больших замкнутых
многообразий Зейферта
Любой ли гомеоморфизм больших многообразий Зейферта изотопен
послойному? Другими словами, может ли на одном трехмерном многооб-
разии существовать более одной структуры многообразия Зейферта (с
точностью до изотопии)? Два примера многообразий с несколькими
структурами мы уже знаем: тор 51 х 51 х 51 и удвоение многообразия
К2 х I. Еще один пример многообразия по крайней мере с двумя неизо-
топными структурами: многообразие М = M(RP2\ (2, 1), (2, -1)). Его можно
получить склеиванием двух экземпляров многообразия К1 х I по го-
0
1
1
0
меоморфизму с матрицей
(в качестве меридиана и параллели тора
д(К2 х / ) взяты компоненты краев колец Аь А2). Структура многообразия
Зейферта на многообразии М получается склеиванием двух различных
структур на экземплярах многообразия К1 х I. Один экземпляр нужно
представить в виде косого произведения листа Мебиуса на окружность,
второй - в виде М(П2; (2, 1), (2, -1)). Если поменять эти экземпляры
местами, то многообразие М останется прежним, но структура многооб-
разия Зейферта будет уже другой. Оказывается, что приведенные при-
меры исчерпывают все случаи существования нескольких структур.
ТЕОРЕМА 10.12. Если замкнутые большие многообразия Зейферта
Мр М2 отличны от многообразий 51 х 51 х S1, M(S2; (2, 1), (2, 1), (2, -1),
(2, -1)), M(RP2; (2, 1), (2, -1)), то любой гомеоморфизм h = М2
изотопен послойному.
Доказательство. Рассмотрим в М i послойный несжимаемый
тор Гр По предыдущей теореме можно считать, что тор Т2 = h(T}) с М2
также послоен. Обозначим через М'2 многообразия, получающиеся из
многообразий М2 разрезанием по торам Гр Т2. Если индуцированный
гомеоморфизмом Zz: М2 гомеоморфизм h'z М\ —> М'2 изотопен
239
быть только при склеивании по матрице
, а тогда
послойному, то и А изотопен послойному. Если же гомеоморфизм А' не
изотопен послойному, то по теореме 10.9 многообразие М\ либо гомео-
морфно многообразию 51 х S1 х /, либо состоит из двух экземпляров мно-
гообразия К1 х / (случай полного тора запрещается требованием не-
сжимаемости тора 7\). Докажем, что тогда мы имеем дело с исключе-
ниями.
При обратном склеивании многообразия М} из многообразия М\ =
= 51 х S1 х / его слои должны склеиваться со слоями, как и не изотопные
им прообразы слоев многообразия М'2 - с прообразами слоев. Это может
1 0А Г-1 0
или
0 1) 0 -1
гомеоморфно многообразию S1 х 51 х 51 или удвоению многообразия
К2 х/.
Пусть многообразие М\ состоит из двух экземпляров многообразия
К2 х /. На каждом из них имеется ровно по две структуры многообра-
зия Зейферта, слои которых можно взять в качестве базиса на торе
Э(Х'2х/). При склеивании слои должны попадать на слои. Отсюда
следует, что матрица гомеоморфизма склеивания должна иметь вид
(±1 0А Г 0 ±Р|
I или I I, но тогда гомеоморфно удвоению мно-
гообразия К2 х I или многообразию M(RP2\ (2, 1), (2, -1)).
Замечание. Если нас интересует не изотопность данного го-
меоморфизма A: М2 послойному, а существование какого-нибудь
послойного гомеоморфизма h'\M\ Л/2, то формулировку теоремы 10.12
можно упростить.
ТЕОРЕМА 10.13. Если два замкнутых больших многообразия Зей-
ферта гомеоморфны, то они послойно гомеоморфны, за исключением
случая гомеоморфных, но не послойно гомеоморфных многообразий М(52;
(2, 1), (2, 1), (2,-1), (2,-1)) и K2xS'.
10.15. Малые многообразия Зейферта
с конечными фундаментальными группами
Напомним, что замкнутое многообразие Зейферта является малым,
если его базой служит сфера не более чем с 3 особыми точками или
проективная плоскость не более чем с одной особой точкой. Выделим
сначала простые случаи.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 10.10. Многообразие Зейферта с базой сфера и не
более чем с 2 особыми слоями имеет род Хегора 0 или 1 (т.е. является
линзовым пространством или гомеоморфно одному из многообразий
S3, 52х51,/?Р3).
Доказательство. Представим базу в виде объединения двух
дисков Db D2, каждый из которых содержит не более одной особой точки.
240
Тогда многообразия Л/,= p~x(Pi) являются полноториями, объединение
которых совпадает с данным многообразием Зейферта.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 10.11. Пусть многообразие Зейферта М, база
которого проективная плоскость, имеет к 1 особых слоев. Тогда М
гомеоморфно либо многообразию Зейферта с базой сфера и к + 2 особыми
слоями, два из которых имеют кратности 2, либо многообразию RP3 # RP3.
Доказательство. Представим проективную плоскость в виде
объединения листа Мебиуса МР без особых точек и диска D2 не более чем
с одной особой точкой. Многообразие Зейферта М\ = p~[(D2) гомеоморфно
полному тору, многообразие М2 = р-1(М2) - косому произведению листа
Мебиуса на окружность. Многообразие М2 можно представить также в
виде многообразия Зейферта с базой D2 и двумя особыми слоями
кратности 2 (см. пример 2° п. 10.11). Если меридиан полнотория Мх не
изотопен слою нового расслоения, то структуру нового расслоения можно
продолжить и на полноторие Мь В результате получится представление
многообразия М в виде многообразия Зейферта с базой сфера и не более
чем с 3 особыми слоями. Если же меридиан полнотория совпадает со
слоем, то М гомеоморфно многообразию RP3 # RP3.
Предложения 10.10 и 10.11 показывают, что при изучении малых
многообразий Зейферта можно ограничиться изучением многообразий с
базой сфера и только тремя особыми слоями, поскольку все остальные
малые многообразия Зейферта имеют род Хегора 0 или 1 и их структура
абсолютно ясна.
Замечание. На любом многообразии рода 0 или 1 имеется много
различных структур расслоения Зейферта. Например, многообразие M(S2;
(аь рО, (а2> р2)) гомеоморфно линзовому пространству -
где числа и, и таковы, что а2и-Р2и = 1, и совершенно ясно, что различные
значения параметров аь рь а2, Р2 могут давать одну и ту же линзу. Еще
отметим, что все охваченные предложениями 10.10 и 10.11 многообразия
Зейферта неприводимы, кроме многообразий S2 х S1, RP3 # RP3, и все
имеют конечную фундаментальную группу, кроме S2 х S1, RP3 # RP3.
Выделим теперь многообразия с конечной фундаментальной группой
среди многообразий Зейферта с базой сфера и тремя особыми слоями.
Назовем тройку целых чисел (аь а2, аз), где 2 ai < а2 < аз,
исключительной, если 1/aj + 1/а2 + 1/а3 > 1. Нетрудно убедиться, что
все исключительные тройки содержатся в следующем списке: (2, 2, л), где
п 2, (2, 3, 3), (2, 3, 4), (2, 3, 5). Обозначим через G(ab a2, a3) группу с
копредставлением
, С12, Л3 | 1 — С12 2 = Л3 3 = 62}62262з ~ 1).
ЛЕММА 10.3. Группа G(ab a2, a3) конечна тогда и только тогда,
когда тройка (ab a2, a3) исключительна.
Доказательство. Рассмотрим сначала частный случай (ab a2,
a3) = (2, 3, 6). Построим на плоскости сетку треугольников с углами л/аь
241
Рис. 257
я/а2, л/ос3, получающуюся из одного треугольника А]А2А3 с такими углами
последовательными отражениями относительно сторон (рис. 257). Обозна-
чим через группу движений плоскости, которые сохраняют ориентацию
и переводят сетку в себя. Сопоставим каждому образующему элементу я,
группы G(<xb <х2, аз) поворот плоскости на угол вокруг точки Ah
i = 1, 2, 3. Непосредственно доказывается, что при таком сопоставлении
соотношения группы G(ab ос2, <х3) переходят в верные равенства. Таким
образом, появляется гомоморфизм (р: G(ab а2, а3) —» Gb Суть дока-
зательства состоит в том, что ср - изоморфизм. Сюръективность прак-
тически очевидна. Действительно, элементы группы G(ab ос2, ос3), сопря-
женные образующим, реализуют повороты вокруг всех вершин сетки. С
помощью таких поворотов легко перевести треугольник А^А2А3 в любой
другой заштрихованный треугольник, используя какой-нибудь соединяю-
щий их барицентры и минующий вершины сетки путь на плоскости. Три-
виальность ядра можно доказать с помощью анализа того, как меняется
запись движения через образующие ах, а2, а3 при деформации этого
пути.
Порядок группы G] совпадает с числом заштрихованных треуголь-
ников сетки. Поэтому в рассматриваемом случае (аь ос2, ос3) = (2, 3, 6)
порядок группы G(cxb <х2, а3) и группы G} равен бесконечности.
Приведенное доказательство бесконечности группы G(2, 3, 6) пол-
ностью проходит для всех неисключительных значений параметров аь ос2,
а3. Если 1/ot! + 1/а2 + 1/а3 = 1, то строим плоскую сетку треугольников с
углами л/аь л/а2, я/а3. Это возможно, так как сумма этих углов равна тс.
Если 1/ocj + 1/а2 + 1/а3 < 1, то нужно строить сетку треугольников на
плоскости Лобачевского.
242
Рис. 258
Пусть тройка (аь а2, <*з) исключительна. Тогда рассмотрим сетку
треугольников с углами л/аь л/а2, тс/ос3 на сфере единичного радиуса (см.
рис. 258 для троек 2, 2, 6 и 2, 3, 5). Стороны треугольников должны
являться дугами больших окружностей. Площадь S сферического треу-
гольника и сумма Е его углов связаны соотношением S = Е - л. Так как
площадь единичной сферы равна 4л, то сетка состоит из 4/(1/ос1 + 1/ос2 +
+ 1/а3 - 1) треугольников, из которых ровно половина заштрихована.
Поэтому порядок W группы G(ab a2, a3) равен 2/(l/aj + l/a2 + l/a3 - 1),
т.е. 2л, 12, 24, 60 для исключительных троек (2, 2, л), (2, 3, 3), (2, 3, 4),
(2, 3, 5) соответственно.
ТЕОРЕМА 10.14. Многообразие М = М(52; (ab р^, (а2, р2), (а3, р3))
имеет конечную фундаментальную группу тогда и только тогда, когда
тройка (ab a2, a3) исключительна.
Доказательство. По предложению 10.5 группа л КМ) имеет
копредставление (aba2, а3, =1, [дьГ,] = 1, 1 i 3, а^а2а3 = 1).
Добавив соотношение t = 1, получим ее эпиморфизм на группу G(ab a2,
a3). Это дает бесконечность группы л КМ) в случае неисключительной
тройки (ab a2, a3).
Пусть тройка (ab a2, a3) исключительна. Построим сферический
треугольник А]А2А3 с углами л/аь л/а2, л/а3 и, последовательно отражая
его относительно сторон, нарисуем сетку из 2W = 4/(1/ос1 + 1/а2 + 1/а3 -
1) сферических треугольников. Все вершины этой сетки можно разбить на
три группы t/|, 1/2, ..., 1 с 3, в зависимости от того, какой из
вершин А, они соответствуют. Степень каждой вершины z-й группы равна
2а„ и в эту группу входит только одна вершина каждого треугольника.
Так как общее число треугольников равно 2/V, то к, = Nlat.
Рассмотрим многообразие 52х51. Для каждой вершины Vj сетки
вырежем из него регулярную окрестность Nj = xS1) слоя vj х S1 и
243
вклеим вместо нее полный тор D2 х S1 по гомеоморфизму
? 1 (1 0>1
tp'jtdD xS —>dNlj с матрицей К I. В результате получится мно-
гообразие Зейферта L с базой сфера, не имеющее особых слоев. Его
число Эйлера e(L) равно + Р2£2 + Рз^з» т-е-
PjM + р2и + 2р3 при (aj,a2,a3) = (2,2,и);
6pj + 4р2 + 4Р3 при (aba2,a3) = (2,3,3);
12р] +8р2 +6Р3 при (aba2,a3) = (2,3,4);
ЗОр!+20р2+12р3 при (ара2,а3) = (2,3,5).
Используя выписанные формулы, нетрудно установить, что число e(L)
отлично от 0. В случае e(L) = 30pj + 20Р2 + 12р3, например, из равенства
e(L) = 0 следует четность числа рь что противоречит его взаимной про-
стоте с двойкой. Итак, многообразие L расслоено над сферой с ненулевым
числом Эйлера. Поэтому оно является линзовым пространством, проек-
тивным пространством или сферой. Порядок его фундаментальной группы
конечен и равен |e(L)|.
Мы утверждаем, что существует накрытие р: L —> М, кратность
которого равна N. Представим базу В ~ S2 многообразия М = M(S2;
(ab Pi), (a2, Рг)» (аз> Рз)) в виде объединения двух треугольников (черного
и белого) с общими сторонами (рис. 259). Вершины АгА2А3 этих треу-
гольников отвечают особым слоям с параметрами (ab р2), (а2, р2), (а3, р3)
соответственно. Многообразие М получается из многообразия В х 51 выре-
занием регулярных окрестностей /V, = /V(AZ xS1) слоев А, х S1 и вклеива-
нием вместо них полных торов по гомеоморфизмам <pz:3D21 х 51 ч 37V,. с
<at- -vA
матрицами | | (см. п. 10.4). Имеется естественное отображение
р': S2 —> В, переводящее каждый черный тре-
угольник сетки в черный треугольник базы
В, каждый белый треугольник сетки - в бе-
лый треугольник базы. Вершины i-й группы
переходят при этом в вершину А,. Формула
Р\(х, t) = (р'(х), t) определяет тогда накрытие
xS1-Ц IntAf'-» BxS*-|J Intty. в
ij *
один и тот же тор dN, переходят при этом
ровно = A7a; торов Np 1 j kh причем
ограничение отображения рх на каждый из
них является накрытием кратности а, и
(ai 0
задается матрицей
Рис. 259 к0 1
244
S2x5-UIntN^
iJ J
DXi) -UlntN:
i
Рис. 260
Напомним, что многообразия LuiM получаются из многообразий
52 х 51 - (J Int TVj и В х 51 - |J Int TV, вклеиванием полных торов по го-
i
меоморфизмам <pj, ср,- с матрицами
1 0>| |Ч-
0/ U40,-
. Зададим отобра-
Ki)
жение \|/у: 3Z>2 х 51 —> ЭР2 х S1 матрицей
1
0
Vi I
I и продолжим его на
внутренность полнотория D2 х до накрытия p'j.D2 xS1 -~>Z)2 xS1
кратности а,. Прямым вычислением проверяется коммутативность диа-
граммы на рис. 260. Поэтому накрытия р’ и p’j задают корректно опре-
деленное накрытие р: L —> М кратности /V. Из существования этого
накрытия следует, что циклическая группа тцСЛ) порядка |e(L)| является
подгруппой группы 7С] (Л7) индекса /V. Поэтому порядок группы
конечен и равен TV|e(L)|.
Замечания. 1. Если рассуждение, примененное при доказа-
тельстве теоремы 10.14 для исключительных случаев, провести для
245
неисключительного набора (ось а2, а3), то получится накрытие р: L —> М
бесконечной кратности, где L - пространство локально-тривиального
расслоения над плоскостью R2 (или Н2) со слоем окружность, т.е. про-
странство 7?2х5'1. Каждый неособый слой многообразия М является
гомеоморфным образом окружности вида {*} xS1. Отсюда следует,
что порожденный им элемент t группы имеет бесконечный по-
рядок.
2. В статье Дж. Милнора [55] приведен список всех конечных групп,
которые ортогонально действуют на сфере 53 без неподвижных точек
(нижний индекс показывает порядок группы):
1) группы 1, 28п =(х,у|х2 =(ху)2 = у2"),
р4& =<х,у\х2 = (ху)3 = /, х4=1>,
^120 =<х,у\х2 = (ху)3 =у5, X4 = 1>;
2) группы D2k(2n+r) = <х,у|х2‘ =1, у2п+' = 1, хух = у-1), где к s* 2,
п 1;
3) группы Р' к =(x,y,z|x2 =(ху)2 =у2, zxz-1 = у, zyz~x =ху, z3< = 1),
0*3
где к 1;
4) прямые произведения перечисленных групп на циклические группы
взаимно простых порядков.
Фундаментальная группа фактор-пространства сферы по любой из
перечисленных групп изоморфна этой группе. Покажем, как по данному
многообразию Зейферта с базой сфера и тремя особыми слоями, крат-
ности (аь а2, аз) которых составляют исключительную тройку, найти в
списке такую группу G, что = G.
Пусть (аь а2, а3) - исключительная тройка. Рассмотрим мно-
гообразие М = M(S2; (аь рО, (а2, р2), (а3, р3)). Мы имеем право заменять
числа pz на числа Р; - kt-ah где к{ + к2 + к3 = 0. Можно также одновременно
изменять знаки всех чисел р,. За счет таких замен можно, не меняя
многообразия Л/, для любой исключительной тройки добиться, чтобы р} =
= Р2 = 1. Число Рз будем обозначать через р.
а) Пусть (аь а2, а3) = (2, 2, и). Тогда
Гбдл х если п четно;
1 ~ | ^2к+2п Х > если п нечетно,
где п + р = 2k(2m + 1).
б) Пусть (аь а2, а3) = (2, 2, 3). Тогда
7:^^) = рз;+28х zr
где Зку = 2р + 5 и у не делится на 3.
в) Пусть (аь а2, а3) = (2, 3, 4). Тогда
Я1(Л/) = Р48 х Z3p+io-
г) Пусть (аь а2, а3) = (2, 3, 5). Тогда
Я1(М) = Р120 х Z6p+25.
246
10.16. Малые многообразия Зейферта
с бесконечными фундаментальными группами
Исследуем многообразия вида М = A/(S2; (аь Р,), (а2, р2), (аз> Рз)) Для
троек (аь а2, аз), которые не являются исключительными. Множество
таких многообразий распадается на два подмножества: на многообразия с
конечной группой гомологий Н\(М) и на многообразия с бесконечной груп-
пой НХ(М). Из предложения 10.5 следует, что матрица соотношений груп-
пы (М) такова:
«1 0 0 р.
0 а2 0 ₽2
0 0 аз fe
1 1 1 0
Ее определитель А = а1а2а3(р1/а1 + Р2/а2 + Рз/а3) равен порядку
группы если она конечна, и нулю, если бесконечна. Обозначим че-
рез N2 сферу с тремя дырками, через 3zjV2 х S1, 1 i 3, - компоненты
края многообразия N2 х S1.
ЛЕММА 10.4. Пусть F - такая несжимаемая, гранично несжимаемая
и не параллельная краю связная собственная поверхность в N2 х 51, что
пересечение FC^N2 х№ состоит из kj простых замкнутых кривых типа
(az, Р,), где az 2 и 1 i 3. Тогда: 1) А = 0; 2) £z = y/az, где у - наи-
меньшее общее кратное чисел ab a2, a3; 3) поверхность F изотопна (при
неподвижном крае) такой поверхности c^xS1, что ограничение про-
екции прямого произведения р : N2 х S1 —> N2 на нее является накрытием
кратности у.
Доказательство. Представим поверхность N2 в виде двух ко-
лец Аь А2, склеенных по общей дуге / на крае. Рассмотрим пересечение
поверхности F с кольцом А = р-1(/). Все тривиальные окружности в FA А
можно устранить за счет изотопии поверхности F, как и все дуги с кон-
цами на одной и той же компоненте кольца края кольца А. Тогда пере-
сечение поверхности F с каждым из многообразий A, х S1, А2 х S1 будет
состоять из несжимаемых поверхностей. Любая связная несжимаемая по-
верхность в многообразии Az х 51 ~ 51 х S1 х I гомеоморфна кольцу или
тору, поскольку ее фундаментальная группа изоморфна подгруппе группы
я, (51 х S1 х /) и, следовательно, коммутативна. Случай тора исключается,
потому что любой несжимаемый тор в N2 xS1 параллелен краю. Случай
колец, изотопных послойным, - тоже, так как послойные кольца могут
склеиться вдоль кривых, параллельных средней линии кольца А, только в
послойный тор. Обе компоненты края кольца из FQ А не могут лежать на
одной компоненте края многообразия Az х 51, поскольку это противоречит
граничной несжимаемости поверхности F. Любое же другое (т.е. не по-
247
слойное и с краями на разных компонентах) кольцо изотопно сдвигается в
кольцо, ограничение проекции р на которое является накрытием над
кольцом А/. Выправив таким способом все кольца из FA А, мы добьемся,
чтобы отображение p\F\F —> TV2 стало накрытием. Это обеспечивает вы-
полнение условия 3 леммы.
Группа гомологий многообразия N2 Х51 изоморфна группе Z Ф Z Ф Z.
В качестве образующих можно взять элементы [aj, [я2], г, отвечающие
двум компонентам края поверхности /V2 и слою (элемент [я3] равен [aj +
+ [б?2])- Так как край поверхности F гомологичен нулю, то числа аь а2, аз
должны удовлетворять соотношениям
oq/q -а3&3 =0,
* ос2к{ ос3&3 := 0,
.Mi + Рг^2 + Рз^з =°-
Эта система имеет ненулевое решение только тогда, когда ее опре-
делитель А равен 0, что доказывает утверждение 1 леммы. Кратность на-
крытия P\F‘.F —> А2 над i-й компонентой края поверхности /V равна Zqoq.
Поскольку она совпадает с кратностью у самого накрытия p\F\ F —» /V2,
то у = = к2а2 = к3а3. Поэтому у является общим кратным чисел oq,
ос2, а3, причем наименьшим общим кратным, так как в противном случае
F несвязна.
ТЕОРЕМА 10.15. Многообразие М = M(S2; (oq, Р0, (а2, р2), (а3, р3))
при аь а2, а3 2 и 1 / oq +1 / а2 +1 / а3 1 неприводимо. Оно содержит
ориентируемую несжимаемую поверхность тогда и только тогда, когда
его группа гомологий бесконечна.
Доказательство. Пусть F - нетривиальная сфера или несжи-
маемая поверхность в М. Изотопно продеформируем ее так, чтобы ее
пересечение с особыми слоями состояло из минимально возможного числа
точек. Вырежем из многообразия М регулярные окрестности особых сло-
ев, из поверхности F - диски, по которым она пересекает регулярные ок-
рестности слоев. В результате получим многообразие А2 х S1 и поверх-
ность F\ в нем. Поверхность F} обязана быть несжимаемой, так как в
противном случае была бы сжимаемой поверхность F, и гранично несжи-
маемой, так как в противном случае ее пересечение с особыми слоями
можно было бы уменьшить (рис. 261). По лемме 10.4 поверхность F}
накрывает поверхность /V2 с кратностью у, поэтому x(F) = -y + Aq +
+ к2 + к3 = у(1 / «1 +1 / ос2 +1 / а3 -1). По той же причине определитель А
матрицы соотношений трупы гомологий равен 0, т.е. группа НХ(М) бес-
конечна. Так как 1 / oq +1 / а2 +1 / а3 < 1 по условию, то %(Г) 0. Поэто-
му поверхность F не сфера у.
Обратно, пусть А = 0. Как и при доказательстве леммы 10.4,
разобьем поверхность /V2 в объединение двух колец Аь А2. Из кх = y/oq
экземпляров кольца типа (oq, Р}) в Aj х S1 и к2 = у/а2 экземпляров кольца
248
Рис. 261
типа (а2, ₽2) в А 2 которые пересекаются по у дугам в кольце
А = (Aj Г)А2)х^1» нетрудно составить поверхность накры-
вающую поверхность N2 с кратностью у. Добавление к ней дисков дает
поверхность F в М.
Докажем, что поверхность F несжимаема.
Согласованно ориентируем слои многообра-
зия М. Поверхность F разбивает их на ориен-
тированные отрезки. Каждый неособый слой
разбивается на у отрезков, особые слои
разбиваются на у/а}, у/а2, у/а3 отрезков
соответственно. Эти отрезки задают на
разрезанном по поверхности F многообразии М
структуру прямого произведения поверхности F
на отрезок. Сопоставление каждому началу
каждого отрезка его конца определяет
гомеоморфизм h : F —» F. Многообразие М
получается из цилиндра F х I склеиванием
оснований по гомеоморфизму h. Рассмотрим
многообразие Л/ь которое получается из
цилиндра F х [0, у] склеиванием оснований по
гомеоморфизму ЬУ. Сопоставление каждой
точке (х, r)eFx[0, у] точки (Л
Рис. 262
t / у) е Fx [0, 1] определяет у-кратное накрытие р \ М (рис. 262). С
другой стороны, гомеоморфизм ЬУ тождествен, так как за у шагов вдоль
слоя многообразия М мы совершаем полный оборот и возращаемся в
исходную точку. Поэтому Л/j-FxS1. Отсюда вытекает, что
индуцированный вложением гомоморфизм i^:n{(F) —> 7ij (Л/) инъективен,
что обеспечивает несжимаемость поверхности F.
§ 11. КЛАСС Н
В этом параграфе мы собираемся описать очень интересный и полез-
ный класс многообразий, открытый Ф. Бальцхаузеном [56]. Вальдхаузен
называл многообразия этого класса граф-многообразиями. Своим вторым
рождением и используемым нами названием класс Н обязан открытой
автором (А.Т. Фоменко) тесной связи между интегрируемостью гамильто-
новых механических систем на четырехмерных симплектических много-
образиях и топологической структурой поверхностей уровня гамильто-
ниана Н. Оказалось, что класс Н - это в точности множество всех
изоэнергетических 3-многообразий интегрируемых динамических систем
(см. [57-59]).
11.1. Определение и простейшие свойства класса Н
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1. Компактное ориентируемое трехмерное мно-
гообразие М лежит в классе Я, если его можно получить склеиванием
нескольких экземпляров многообразий D2 х S1 и N2 х S1 по го-
меоморфизмам некоторых компонент их краев (Я2 обозначает диск D2 с
двумя дырками).
Например, линзовые пространства лежат в классе Я, поскольку они
получаются склеиванием двух полноторий. Каждое многообразие Зей-
ферта с базой сфера и тремя особыми слоями тоже лежит в классе Я, так
как оно есть сумма многообразия N2 х S1 и трех полноторий. Аналогичный
факт нетрудно доказать и для произвольного многообразия Зейферта.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 11.1. Произвольное многообразие Зейферта лежит
в классе Н.
Доказательство. Достаточно доказать, что многообразия ви-
да F х S1 или F х S1, где F - ориентируемая или неориентируемая по-
верхность с краем, лежат в классе Н, поскольку все остальные мно-
гообразия Зейферта получаются из них вклеиванием полноторий. Любую
ориентируемую поверхность F можно разрезать по окружностям на диски
и копии поверхности N2 (см. рис. 263 для случая поверхности рода 2 с
одной дыркой). Это разбиение определяет разбиение многообразия F х
на полнотория и многообразия вида N2 х S1. Аналогичное рассуждение
проходит и для неориентируемой поверхности, нужно только предва-
рительно вырезать из нее все листы Мебиуса. Косое произведение листа
Мебиуса на окружность лежит в классе Я, так как оно гомеоморфно
многообразию Зейферта с базой диск и двумя особыми слоями кратности 2
(см. п. 10.11).
250
Из предложения 11.1 следует, что если ориентируемое трехмерное
многообразие М можно разбить системой непересекающихся торов на мно-
гообразия Зейферта, то оно лежит в классе Н. Это свойство Ф. Вальд-
хаузен выбрал в качестве определения граф-многообразия. Обратное
утверждение о возможности разбиения любого многообразия М из класса
Н на многообразия Зейферта справедливо просто по определению 11.1: М
разбивается на многообразия Зейферта вида D2 х 51 или TV2 х S1.
Пусть ориентируемое трехмерное многообразие М лежит в классе Я,
т.е. пусть М представимо в виде объединения элементарных блоков
Р2» •> Рту бь •••» бл» каждые два из которых либо не пересекаются, либо
пересекаются по двумерным торам на их краях. Через Р, мы обозначили
полнотория, через Qj - блоки вида N2 х S1. В силу теоремы 10.10 струк-
тура расслоения на окружности многообразия TV2 х 51 единственна с точ-
ностью до изотопии. Попытаемся упростить данное разбиение.
1. Назовем полный тор Р, тривиальным, если он примыкает к неко-
торому блоку Qj так, что индекс пересечения его меридиана со слоем ра-
вен ±1. В этом случае многообразие Pj^Qj гомеоморфно многообразию
51 х 51 х I и его можно присоединить к одному из примыкающих к нему
блоков, не меняя типа этого блока. Общее число блоков в разбиении мно-
гообразия М при этом уменьшается (см. рис. 264, где изображена условная
двумерная картинка).
251
Рис. 265
Рис. 266
Единственным исключением из этого рассуждения является случай,
когда М состоит всего из двух блоков: тривиального полнотория Рх и бло-
ка Тогда многообразие М либо гомеоморфно многообразию S1 х S1 х /,
либо получается из него склеиванием компонент края по некоторому го-
меоморфизму, т.е. представляет собой косое произведение окружности на
двумерный тор (рис. 265).
2. Назовем полный тор Р, суммирующим, если он примыкает к неко-
торому блоку Qj так, что его меридиан изотопен слою многообразия Qj.
В этом случае многообразие 7? u Qj гомеоморфно связной сумме двух
полноторий. Докажем это. Представим многообразие N2 х 51 в виде до-
полнительного пространства зацепления L в S3, состоящего из двух три-
виальных окружностей, зацепленных третьей (рис. 266). Меридиан
третьей окружности совпадает со слоем многообразия TV2 х S1. Вклеивание
суммирующего полнотория превращает многообразие N2 х S1 в дополни-
тельное пространство тривиального зацепления из двух компонент. Это
пространство гомеоморфно связной сумме двух полноторий, поскольку до-
полнительное пространство тривиального узла есть полноторие. Заменив
связную сумму двух полноторий Pi и Qj на два полных тора Р', Р", мы
получим новое многообразие М' g Н. Если оно состоит из двух компонент
М2, то если из одной, то М = М'# S2 х S1. В любом
случае число блоков типа N2 х S1 строго уменьшается, а общее число
блоков не увеличивается. Повторное применение этих рассуждений унич-
тожает все тривиальные и суммирующие полнотория, правда, за счет
разбиения многообразия М в связную сумму.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 11.2. Если в разбиении М-P^jQ, где Р =
- Рх и ... и Рт и Q - Qx и ... и Qn, многообразия М на элементарные
252
1
блоки нет тривиальных и суммирующих полноторий и Л/^7?Р3#
# RP3, S2 х 51, то М неприводимо, а если еще и М Ф Рх, то оно гранично
неприводимо (т.е. край ЭЛ/ несжимаем).
Доказательство. Среди всех двумерных торов, рассекающих
многообразие М на элементарные блоки, выделим стыковочные торы,
которые отделяют блоки типа N2 х 51 друг от друга, т.е. которые не
ограничивают полноторий Р,. На условной двумерной картинке (рис. 267)
стыковочные торы выделены. Мы утверждаем, что все стыковочные
торы несжимаемы. Это следует из того, что они разбивают многообразие
М на части, каждая из которых гомеоморфна многообразию N2 х S1,
многообразию Зейферта с базой диск и двумя особыми слоями или
многообразию Зейферта с базой S1 х I и одним особым слоем. Здесь мы
использовали отсутствие тривиальных и суммирующих полноторий. Если
хотя бы один стыковочный тор был сжимаемым, то одна из частей имела
бы сжимаемый край, что невозможно по теореме 10.4.
Итак, все стыковочные торы несжимаемы. Так как упомянутые части
неприводимы и неприводимость сохраняется при склеивании по несжи-
маемым поверхностям, то М неприводимо. По аналогичной причине ЭЛ/
несжимаем. Исключения RP3#RP3, S2xS\ D2xS] появляются в слу-
чае, когда стыковочных торов нет совсем.
11.2. Грубые и тонкие торы
Пусть Л/= IJ/; u(U2y) - такое многообразие класса Н, что среди
' j
полноторий Pi нет тривиальных и суммирующих. Напомним, что двумер-
ный тор ГсМ называется стыковочным, если Т2 = dQj и Т2а/-.
Стыковочные торы разбивают многообразие Л/ на части R2, ...» Rn>
каждая из которых гомеоморфна многообразию N2 х S1, многообразию
Зейферта с базой 51 х I и одним особым слоем или многообразию Зей-
ферта с базой D2 и двумя особыми слоями. На каждой из частей /?у
253
имеется только одна структура расслоения Зейферта, кроме случая Rj =
= М (£)2, (2, 1), (2, 1)), когда имеются ровно две структуры: структура
расслоения над диском с двумя особыми слоями кратности 2 и структура
косого произведения листа Мебиуса на окружность. Таким образом, на
каждом стыковочном торе появляются одна или две структуры расслоения
на окружности, приходящие с одной стороны, и одна или две структуры,
приходящие с другой стороны. Будем называть стыковочный тор грубым,
если среди этих структур нет одинаковых (изотопных), и тонким, если
одна из структур, приходящих с одной стороны, изотопна структуре, при-
ходящей с другой стороны. Очевидно, что если многообразие М разрезать
только по грубым стыковочным торам, то оно распадется в объединение
многообразий Зейферта.
Пусть теперь М - произвольное трехмерное ориентируемое много-
образие, Т2 cz М - несжимаемый тор в нем. Рассмотрим многообразие Мъ
получающееся из многообразия М разрезанием по тору Т1. Через 7]2, Т22
обозначим торы на которые появляются в результате разрезания.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2. Тор Т2 cz М называется тонким, если в
найдутся такие существенные (т.е. несжимаемые и гранично несжи-
маемые) кольца Д2, что cz 7]2, ЭА2 cz Т2 и пары кривых ЭА2
определяют одну и ту же пару кривых на Г2. В противном случае тор Т1
называется грубым.
Мы обязаны объяснить, почему тонкий или грубый стыковочный тор с
точки зрения согласованности расслоений Зейферта на примыкающих к
нему частях является тонким или грубым в смысле определения 11.2. Если
Т2 cz Р, n Rj - тонкий стыковочный тор, то в Я, и в Rj найдутся послойные
существенные кольца с совпадающими краями. Поэтому тор Т2 является
тонким (см. определение 11.2). Обратно, пусть стыковочный тор Т1 тонок
с точки зрения определения 11.2 и пусть Аь А2 ~ кольца, существующие
по определению 11.2. За счет изотопии устраним все тривиальные окруж-
ности в пересечении колец Аь А2 с другими стыковочными торами. Тогда
пересечение колец Аь А2 с частями /?,, Я;, примыкающими к тору Г2, будет
состоять из несжимаемых колец. Те из них, которые примыкают к тору
Г2, заведомо существенны. По предложению 10.7 или по теореме 10.9 они
изотопны послойным, а это означает согласованность на Т2 структур рас-
слоений Зейферта на частях Я„ Rj.
Итак, каждый тонкий стыковочный тор является тонким в смысле
определения 11.2. Разумеется, произвольный тонкий тор не обязан быть
стыковочным (рис. 268). Реальную картину можно получить из изобра-
женной условной умножением на окружность. Удивительный факт: любой
грубый тор в многообразииМеН должен быть стыковочным!
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 11.3. Пусть Т2 - грубый тор в таком многообразии
М = \jPtu(U2y) класса И, что среди полноторий Р, нет тривиальных и
* J
суммирующих. Тогда Т1 изотопен стыковочному тору.
254
Доказательство. Пользу-
ясь несжимаемостью тора Г2, несжи-
маемостью стыковочных торов и не-
приводимостью многообразия Л/, уст-
раним в пересечении тора Т2 со сты-
ковочными торами все тривиальные
окружности. Ни один из стыковочных
торов не может пересекать дополнение
к открытой регулярной окрестности
тора Т2 в М (т.е. многообразие М}) по
существенному кольцу - это проти-
воречило бы грубости тора Т2,
а все несущественные кольца в пере-
сечении можно устранить с помощью
изотопии тора Т2 (рис. 269). В резуль-
тате тор Т2 будет лежать строго внутри
Рис. 269
одного из многообразий /?у, 1=^ j а тогда он параллелен его краю.
Это означает, что тор Т2 изотопен стыковочному тору, так как из-за своей
грубости он не может быть параллельным ни заклеиваемой тором
компоненте Э/?;, ни свободной компоненте.
11.3. Классификация многообразий класса Н
Ограничимся рассмотрением многообразий класса Я, в разбиении ко-
торых на элементарные блоки нет тривиальных и суммирующих полно-
торий. Как было показано в предыдущем пункте, любое такое
многообразие М разрезается грубыми стыковочными торами на многообра-
зия Зейферта. Если грубых стыковочных торов нет, то М является
многообразием Зейферта. Этот случай мы из рассмотрения исключаем,
поскольку классификация многообразий Зейферта уже имеется (см. § 10).
Многообразия Зейферта (обозначим их через Z,), на которые грубые
стыковочные торы разрезают М, получаются объединением многообразий
Rj вдоль тонких стыковочных торов. Каждое многообразие Rj послойно
гомеоморфно многообразиям N2 х S1, М2 х 51 (М2 - лист Мебиуса), много-
образию Зейферта с базой S1 х / и одним особым слоем или с базой D2 и
двумя особыми слоями. Отсюда следует, что многообразие М может быть
любым многообразием Зейферта с краем, кроме расслоенного полнотория,
многообразия N2 х S1 и косого произведения листа Мебиуса М2 на окруж-
ность, которое для определенности мы всегда будем интерпретировать
как М (£)2; (2, 1), (2. 1)). На каждом из многообразий Z, структура рас-
слоения Зейферта единственна, кроме многообразия М (D2\ (2, 1), (2. 1)),
на котором есть две различные структуры.
Классификация многообразий класса Н основана на следующей
теореме.
255
Рис. 270
ТЕОРЕМА 11.1. Пусть - гомеоморфизм многообразия
= u(U2y) класса Н на многообразие М' = U^T^dJS/) класса Н,
1 J < J
причем среди полноторий Ph Р' нет тривиальных и суммирующих. Тогда
гомеоморфизм h изотопен гомеоморфизму, переводящему грубые стыко-
вочные торы в грубые стыковочные торы.
Доказательство прямо вытекает из того, что грубость тора
сохраняется при гомеоморфизме, и из предложения 11.3 об изотопности
любого грубого тора стыковочному.
Сопоставим каждому многообразию МеН граф G-G (М). Вершины
этого графа отвечают многообразиям Z,, на которые грубые стыковочные
торы рассекают многообразие Л/, а ребра символизируют грубые стыко-
вочные торы. Условное изображение описанной ситуации см. на рис. 270.
Из теоремы 11.1 следует, что гомеоморфным многообразиям отвечают
гомеоморфные графы. Поэтому достаточно классифицировать многообра-
зия класса Н, отвечающие одному фиксированному графу G. Для того
чтобы по графу G можно было восстановить многообразие М, нужно
знать, какие многообразия Зейферта отвечают его вершинам и как они
склеиваются. Чтобы описать склеивания, нужно ввести системы коорди-
нат на компонентах краев многообразий Z,.
Пусть Z - ориентированное многообразие Зейферта. Вырежем из него
регулярные окрестности особых слоев, из его базы В - регулярные окрест-
ности особых точек. Полученные расслоенное на окружности ориентиро-
ванное многообразие и поверхность обозначим соответственно через Z' и
В'. Пусть 51: В' -+Z' - сечение. Тогда на каждом торе из 8Z' можно ввести
систему координат, взяв в качестве меридиана |1 образ при 51 соответ-
ствующей компоненты ЭВ', в качестве параллели X - слой расслоения.
256
Меридиан и параллель ориентируем так, чтобы их индекс пересечения
был равен 1 (считается, что ориентация края 3Z' индуцирована данной
ориентацией многообразия Z'). Каждая вырезанная регулярная окрест-
ность особого слоя представляет собой полноторие. Его меридиан за-
писывается в выбранной системе координат в виде т = ±р,аХ0, где а > 1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.3. Число X называется кратностью особого
слоя.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.4. Сечение 5 называется допустимым, если пара-
метры а, р каждого особого слоя удовлетворяют неравенству 0 < Р < а.
Выбор сечения s определяет меридианы торов 3Z. Если поверхность В
неориентируема, то ориентируем их произвольным образом, если ориенти-
руема, то потребуем, чтобы их ориентации были индуцированы ориента-
цией поверхности В. Параллели ориентируем так, чтобы индекс пересе-
чения каждого меридиана с отвечающей ему параллелью был равен 1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.5. Построенные системы координат на <3Z назы-
ваются допустимыми.
Проанализируем произвол, допущенный при построении допустимых
систем координат.
ЛЕММА 11.1. Пусть (ц,-, X/) - допустимые системы координат на то-
рах 3Z. Для того чтобы системы координат (ц', Х<), 1 с i п, были также
допустимы, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие числа kh
что |1- =|1у/Х^' , X' = Х^, £&/ =0 и 8, = ±1, причем в случае ориен-
i
тируемой базы все числа Е, должны быть одинаковы (т.е. все они должны
быть равны либо +1, либо -1).
Доказательство. Присутствие чисел Е/ отражет произвол,
допущенный в выборе ориентаций меридианов. Необходимость и доста-
точность условия =0 следует из леммы 10.1.
i
Отметим, что все допустимые системы координат равноправны: одну
из них всегда можно перевести в любую другую с помощью сохра-
няющего ориентацию гомеморфизма многообразия Z на себя, переводя-
щего каждый тор на крае в себя.
Чтобы строго сформулировать теорему классификации многообразий
класса Н, введем понятие избыточного оснащения данного графа. Будем
считать, что каждой его вршине ц сопоставлено такое отличное от рас-
слоенного полнотория и многообразий 51 х 51 х /, М2 х 51 ориентирован-
ное многообразие Зейферта Z/, что число компонент его края не меньше
степени вершины ц. Каждому инцидентному вершине ц- ребру сопоставим
тор из 3Z,-, причем разным вершинам сопоставим разные торы (петле с
концами в вершине ц должны отвечать два тора). Выбор конкретной би-
екции множества инцидентных вершине ц ребер на подмножество ком-
понент 3Z, не имеет значения, так как любые две компоненты края
многообразия Зейферта равноправны. Будем считать, что ребра графа G
ориентированы и что сам граф G отличен от точки.
9. С.В. Матвеев, А.Т. Фоменко
257
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.6. Избыточным оснащением графа G называется
- - A (Xi У,'
сопоставление каждому его ребру е, целочисленной матрицы At= I 1 '
\ V i J
с определителем -1. Элементы каждой матрицы А, должны удовлетворять
следующим условиям:
2) если концу ребра е, отвечает многообразие М (D2; (2, 1), (2, 1)), то
пара (у/, ц) должна быть отличной от пары (1, -1);
3) если многообразие М (D2*, (2, 1), (2, 1)) отвечает началу ребра eh то
пара (х,-, у,) должна быть отличной от пар ±(1, 1);
4) если многообразия М (D2; (2, 1), (2, 1)) отвечают и концу, и началу
ребра в/, то матрица А,- должна быть отличной от матрицы
( У+1 У
l^-y-2 -у-1/
Замечание. Все ограничения на матрицу А, вызваны тем, что
слой не должен переходить в слой при гомеоморфизме, описываемом мат-
рицей Az.
Введем на множестве всех избыточных оснащений данного графа G
отношение эквивалентности, полагая, что одно оснащение эквивалентно
другому, если их можно соединить цепочкой преобразований следующих
типов.
(А) . Пусть ц - вершина графа G. Сопоставим каждому инцидентному
ей ребру ej целое число к (efi. Если степень вершины ц совпадает с числом
торов в 3Z/, то дополнительно потребуем, чтобы сумма всех чисел к
была равна 0. Тогда для каждого такого ребра нужно заменить отве-
чающую ему матрицу Ау на новую матрицу А'. Матрица AJ получается из
матрицы Aj добавлением второго столбца к первому с коэффициентом
к (еу), если ребро исходит из вершины ц, и вычитанием первой строки из
второй, если входит. Если ребро является петлей, то нужно выполнить
оба преобразования (в каком порядке - безразлично).
(В) . Назовем вершину ц положительной, если база отвечающего ей
многообразя Зейферта Z; ориентируема, и отрицательной, если нет. Пусть
ребро ej инцидентно некоторой отрицательной вершине. Тогда разреша-
ется изменить знаки всех элементов матрицы Ау.
(С) . Пусть ц - положительная вершина. Тогда разрешается одновре-
менно изменить знаки всех матриц, отвечающих инцидентным этой
вершине ребрам (кроме петель).
Будем говорить, что два многообразия М, М' е Н, которым отвечают
совпадающие графы: G (Af) = G (М') = G, называются эквивалентными,
если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм одного из них
на другое, индуцирующий тождество на графе G.
ТЕОРЕМА 11.2. Существует естественная биекция между классами
эквивалентности избыточных оснащений данного графа G и классами
эквивалентных многообразийMeHcG (М) = G.
258
Доказательство. Совершенно ясно, как данному многообра-
зию М е Н с условием G (М) = G сопоставить избыточное оснащение
графа G. Вершинам графа отвечают те многообразия Z/? на которые
грубые стыковочные торы разрезают М. Выберем на каждом из них до-
пустимые системы координат. В этих системах координат гомеоморфиз-
мы, склеивающие многообразия Zz, описываются матрицами Аь которые
мы и сопоставим ребрам. Из леммы 11.1 следует, что при другом выборе
допустимых систем координат получается эквивалентное избыточное
оснащение. Обратно, по данному избыточному оснащению графа G легко
построить многообразие М. Для этого нужно склеить многообразия Z, по
матрицам А,-. Из леммы 11.1 следует, что эквивалентные избыточные
оснащения дают эквивалентные многообразия.
Наша ближайшая задача состоит в том, чтобы избавиться от избы-
точности избыточных оснащений, т.е. в отыскании естественной числовой
параметризации всех классов эквивалентности избыточных оснащений
данного графа G. Опишем точное (т.е. не избыточное) оснащение графа
G. Напомним, что вершины, которым сопоставлены многообразия Зей-
ферта с ориентируемыми базами, называются положительными. Ребра с
положительными концами будем называть также положительными.
Обозначим через G+ подграф графа G, состоящий из всех положительных
вершин и положительных ребер. Назовем положительную вершину ц
отмеченной, если все инцидентные ей ребра положительны и число
компонент края многообразия Z, совпадает с ее степенью. Будем считать,
что вершины графа G занумерованы так, что вершины и19 ..., vs
отмечены, а Цу+1,..., vm - нет. Сопоставим каждой отмеченной вершине ц
целое число Наконец, каждому ориентируемому ребру сопоставим
рациональное число , 0 г- < 1. Числа г,, п, должны удовлетворять ог-
раничениям: если одному из концов ребра сопоставлено многообразие
М (D2; (2, 1), (2, 1)), то число г, должно быть отлично от 1, а если мно-
гообразие М (D2; (2, 1), (2, 1)) сопоставлено обоим концам ребра то либо
отвечающие этим концам числа п2, п2 должны быть различными, либо
число гу- должно иметь вид = а/b, где а Ф ±1.
Замечание. Эти ограничения вытекают из ограничений на мат-
рицы А;, которые связаны с существованием двух структур расслоения
Зейферта на многообразии М (D2; (2, 1), (2,1)).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.7. Набор, состоящий из чисел ry, 1^ j^n, чи-
сел nz , 1 i s, и фиксированного элемента а группы Я1 (G+; Z2), назы-
вается точным оснащением графа G.
ТЕОРЕМА 11.3. Существует естественная биекция между классами
эквивалентности избыточных оснащений данного графа G и его точными
оснащениями.
Доказательство. Напомним, что ориентации ребер
1 j и, графа G фиксированы. Элементы матрицы А;, задающей осна-
щение ребра ер будем, как и прежде, обозначать через Хр ур Up Vp Для
9*
259
каждого j в качестве Гу возьмем число Ху/уу mod 1. Другими словами, число
Гу задается условиями: 1) 0^ г- <1 и 2) число Xj/yj- - целое. Вспо-
могательные числа rj определяются аналогичным образом: г* =
= (-v j /yy)mod 1. Будем через v_ (еу) обозначать начало ребра через
v+ (ej) - его конец. Определим числа/у, 1 i т, 1 j п, полагая
0,
rj-vj'yj’
если v_(ej) h v + (ej)^vi;
еслиy_(ey) и+(ej)*u
если У_(ву) v + (ej)=u
ecnnu_(ej)=uif u + (ej)=vi.
Определим числа nh 1 m, равенствами nz = £ fij • Наконец, сопоста-
J
вим каждому положительному ребру ej графа G число 0, если уу > 0, и чис-
ло 1, если уу < 0. Это сопоставление задает одномерный коцикл а1 с коэф-
фициентами Z2 графа G. Порожденный им элемент группы Н} (G+; Z2)
обозначим через а.
Итак, по данному избыточному оснащению графа G мы построили
точное оснащение, состоящее из чисел ry , 1 j’ п, чисел n-, 1 1s,
и элемента а группы И1 (G+;Z2) (числа п, при s<i^m в нем не
участвуют).
Докажем, что построенное оснащение не изменится, если исходное из-
быточное оснащение заменить на эквивалентное. Достаточно проверить
сохранение точного оснащения при преобразованиях (А), (В), (С), при-
мененных к исходному избыточному оснащению.
Пусть преобразование (А) применяется к вершине vk с коэффици-
ентами к (ej). Числа уу при этом сохраняются, числа Ху, ц могут измениться
только на целые кратные чисел уу. Поэтому числа ry , rj и элемент а
сохраняются. Число/у может измениться только тогда, когда i = к и ребро
еу инцидентно вершине vk. Его новое значение будет равно Д + k(ej). Так
как при к 5 сумма участвующих в преобразовании (А) коэффициентов
к (ej) равна 0, то числа nh 1 s, сохраняются.
Посмотрим, что происходит при преобразованиях (В), (С). Они никак
не влияют на числа Гу, nh причем преобразование (В) не меняет и коцикла
а1, поскольку оно затрагивает только те ребра, которые не являются по-
ложительными. При применении преобразования (С) к положительной
вершине ц коцикл а1 изменяется на кограницу цепи, принимающей зна-
чение 1 на вершине ц и значение 0 на всех остальных вершинах. Поэтому
элемент а не меняется.
Для завершения доказательства теоремы 11.3 нам понадобятся две
леммы.
ЛЕММА 11.2. Любое избыточное оснащение эквивалентно тако-
му, что все числа Д равны 0, кроме, возможно, одного числа для
каждого z’o
260
Доказательство. Операция (А), примененная к вершине ик,
никак не меняет чисел Д при i Ф к. Поэтому достаточно доказать лемму
для каждого конкретного числа к, 1 к т, отдельно. Пусть вершина vk
такова, что число компонент края многообразия Zk строго больше ее
степени. Тогда к ней можно применять преобразование (А) с любыми
коэффициентами £(еу). Положив к{е^ ~-fkp добьемся зануления чисел Д.
Если степень вершины vk совпадает с числом компонент края много-
образия Zk, то должно выполняться условие ££(еу) = О. Поэтому можно
J
занулить все числа Д, кроме одного (любого).
ЛЕММА 11.3. Если два избыточных оснащения Ау,Л' таковы, что
rj ~ rj'fij ~ > 0» 1 1 т> 1 Jто они совпадают.
Доказательство. Из равенств г- = г] следует, что |у; | = |у' |.
Неравенство у -у'- > 0 показывает, что числа уу, у' имеют одинаковые зна-
ки, а тогда у у = у'-. Совпадение чисел Ху, х' следует из равенства Д = Д',
где в качестве вершины V; взято начало ребра ву. Если в качестве
вершины ц- взят конец ребра ву, то получится равенство v j =v'j. Совпа-
дение чисел Uj, иj следует из того, что определители матриц Aj равны -1.
Продолжим доказательство теоремы 11.3. Докажем, что если двум
избыточным оснащениям отвечает одно и то же точное оснащение, то
исходные избыточные оснащения эквивалентны. За счет преобразований
(В) можно добиться, чтобы для любого неположительного ребра ej выпол-
нялось неравенство у7у' > 0, т.е. чтобы числа уу, у' имели одинаковые
знаки. Совпадения знаков чисел уу, у' для положительных ребер можно
добиться с помощью преобразований (С), используя при этом совпадение
элементов а, а' е H*(G+; Z2). По лемме 11.2 можно добиться, чтобы все
числа fij для обоих избыточных оснащений стали нулевыми, кроме одного
числа Дуд для каждого /0 < s и каждого оснащения. Совпадение ненулевых
чисел для каждого оснащения вытекает из того, что единственное
ненулевое Д для каждого i должно равняться числу и,. Лемма 11.3 гаран-
тирует тогда эквивалентность данных избыточных оснащений.
Докажем, что любое точное оснащение индуцировано некоторым
избыточным. Фактически это уже объяснено при доказательстве леммы
11.3, где показано, как по данным Гу, и знакам чисел уу- можно восста-
новить матрицы Aj. Для неположительных ребер ву знаки чисел у7 выби-
раем произвольным образом, для положительных - так, чтобы они
определяли коцикл, представляющий данный элемент а группы
Z2). Полагая Д = 0, кроме ровно одного числа= niQ для каждого
z0 s, мы восстанавливаем матрицы Aj искомого избыточного оснащения.
Теоремы 11.2 и 11.3 вместе дают теорему классификации многооб-
разий класса Н: классифицирующим инвариантом служит точно оснащен-
ный граф. Отметим, что многообразия Зейферта Z,, отвечающие верши-
261
нам графа, можно также задавать с помощью числовых параметров 8/, gh
bh где 8; = 1, если база ориентируема, и 8, = -1, если нет, g, - род базы в
ориентируемом случае и число листов Мебиуса (неориентируемый род) в
неориентируемом, Ь{ - число компонент края.
11.4. Класс Н и итерированные торические зацепления
В дальнейшем через E(L) будем обозначать дополнительное простран-
ство зацепления L a S3, т.е. пространство, получающееся из сферы S3
вырезанием регулярной окрестности N(L) зацепления L. Пусть I а dE(L) -
некоторая простая замкнутая кривая.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.8.
Операция перехода от зацепления L
к зацеплению L' - I называется
операцией обмотки. Операция обмот-
ки тривиальна, если кривая I огра-
ничивает диск в 3E(L).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.9.
ЗацеплениеLcS3 называется итери-
рованным торическим зацеплением,
если его можно получить из три-
виального узла применением конеч-
ного числа операций обмотки.
На рис. 271 изображен пример
итерированного торического зацеп-
ления.
ЛЕММА 11.4. Если зацеп-
ление L' получается из зацепления L
операцией нетривиальной обмотки,
то многообразие E(L') получается из
многообразия E(L) приклеиванием
многообразия М2 х № по гомео-
морфизму одной из компонент его
края на одну из компонент ЪЕ(Ь).
Обратно, пусть многообразие М получается из дополнительного прост-
ранства E(L) зацепления L приклеиванием многообразия N2 х № по одной
из компонент ЭМ х №. Тогда М гомеоморфно дополнению E(L') зацепления
£', получающегося из зацепления L операцией нетривиальной обмотки..
Доказательство. Пусть L' = L о I и L\ - та компонента
зацепления Ц в крае регулярной окрестности которой лежит I. Обозначим
через M_(L]) и чуть меньшую и чуть большую регулярные
окрестности компоненты Lb через М(/) - лежащую вне M_(Li), но внутри
M+(Lj) регулярную окрестность кривой /. Так как любые две нетривиаль-
ные кривые в торе № х 51 равноправны, то многообразие C1(M+(L]) -
ЛС(£]) - М(/)) гомеоморфно многообразиюN х №. Отсюда следует справед-
ливость утверждения леммы в обе стороны.
262
ЛЕММА 11.5. Пусть зацепление L' получается из зацепления L
операцией тривиальной обмотки. Тогда многообразие E(L') получается из
многообразия E(L) последовательным приклеиванием двух экземпляров
многообразия^x S1 и одного полнотория (каждый экземпляр многообра-
зия N х 51 приклеивается по одной компоненте своего края).
Доказательство. Рассмотрим зацепление L" = L u mi и т2,
где т2 - меридиан регулярной окрестности меридиана одной из
компонент зацепления L (рис. 272). По лемме 11.4 многообразие E(L"}
получается из многообразия £(£) последовательным приклеиванием двух
экземпляров многообразия N2xS\ Остается заметить, что вклеивание
полнотория - регулярной окрестности меридиана тх - превращает много-
образие E(L") в многообразие £(£').
торый показывает схему склеивания многообразий Qj = N2 х 51. Вершины
графа Г(М) отвечают блокам Qp ребра - стыковочным торам. В отличие
от случая графа G(M) (см. п. 11.2) здесь рассматриваются все, а не только
грубые стыковочные торы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.10. Многообразие Me Н называется
древовидным, если граф Г(М) - дерево.
Будем говорить, что многообразие М получается частичной пере-
стройкой по зацеплению L cz S3, если оно является результатом заклеива-
ния полноториями нескольких компонент края многообразия.
ТЕОРЕМА 11.4. Многообразие М получается частичной перестройкой
по итерированному торическому зацеплению тогда и только тогда, когда
оно древовидно.
Доказательство. Пусть М - древовидное многообразие.
Обозначим через Мх древовидное многообразие, получающееся из него
удалением всех полноторий, участвующих в склеивании многообразия М.
Тогда М} есть результат склеивания блоков типа N2 х S1. Докажем, что
М} является дополнительным пространством некоторого итерированного
торического зацепления. Из древовидности многообразия Мх следует, что
хотя бы один экземпляр блока N2 х S1 приклеивается к объединению М2
остальных экземпляров по одному тору на крае.
263
Рассуждая методом индукции по числу экземпляров многообразия
N2 х S1, можно считать, что М2 Уже является дополнительным простран-
ством итерированного торического зацепления. База индукции обеспе-
чивается тем, что N2 х 51 гомеоморфно дополнительному пространству
итерированного торического зацепления, изображенного на рис. 266. По
второму утверждению леммы 11.4 многообразие М} также является
дополнительным пространством итерированного торического зацепления
L. Поэтому М есть результат частичной перестройки по L.
Докажем теорему в обратную сторону. Пусть М получается частич-
ной перестройкой по итерированному торическому зацеплению L. Тогда
древовидность многообразия = £(£) доказывается индукцией по числу
компонент зацепления £, причем индукционный переход осуществляется с
помощью лемм 11.4, 11.5. Приклеивание полноторий не влияет на древо-
видность.
СЛЕДСТВИЕ 11.1. Многообразие М принадлежит классу Н тогда и
только тогда, когда его можно получить из дополнительного пространства
итерированного торического зацепления L вклеиванием нескольких
полноторий и склеиванием нескольких компонент края по меняющим
ориентацию гомеоморфизмам.
Доказательство. Пусть М е Н. Разрежем его по нескольким
стыковочным торам так, чтобы граф Г(М) получившегося многообразия
Мх стал деревом. По теореме 11.4 многообразие получается вклеива-
нием полноторий в дополнительное пространство £(£) некоторого итери-
рованного торического зацепления L. Остается вспомнить, что М полу-
чается из Mi склеиванием нескольких компонент края.
Обратно, пусть М получается из дополнительного пространства £(£)
итерированного торического зацепления L вклеиванием полноторий и
склеиванием нескольких компонент края. Из теоремы 11.4 следует, что
£(£) 6 //, но тогда иМ е Н.
§ 12. МЕТОД ХАКЕНА
12.1. Нормальные поверхности как решения
системы уравнений
Напомним, что замкнутая поверхность F в трехмерном многообразии
М нормальна по отношению к данному разбиению р многообразия М на
ручки, если: 1) она не пересекает ручек индекса 3; 2) она пересекает каж-
дую плитку D2 х I (ручку индекса 2) по нескольким параллельным копиям
диска D2 х {*}; 3) ее пересечение с каждым цилиндром D2 х I (ручкой
индекса 1) имеет вид Е х /, где L - конечное множество дуг в D2 с концами
на ЭЕ2; 4) ее пересечение с каждым шаром (ручкой индекса 0) состоит из
дисков, называемых элементарными; 5) пересечение каждого элементар-
ного диска с каждым мостом либо пусто, либо состоит из одного отрезка
(см. п. 7.3).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.1. Два элементарных диска в шаре разбиения р
относятся к одному типу, если существует неподвижная вне островов и
мостов изотопия шара, которая переводит один диск в другой.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 12.1. Для любого шара любого разбиения р су-
ществует только конечное число типов содержащихся в нем элемен-
тарных дисков.
Доказательство. Пересечение края каждого элементарного
диска Е с каждым мостом состоит из не более чем одного отрезка.
Поэтому общее число способов, по которым кривая ЭЕ может пересекать
мосты, конечно и не превосходит 2Л, где п - число мостов. Если пере-
сечение кривой ЭЕ с мостами, т.е. набор отрезков, фиксировано, то
внутри каждого острова отрезки можно соединить также только конечным
числом способов. Отсюда и следует конечность числа типов элементарных
дисков. Отметим, что если на крае шара имеются ровно 4 острова,
каждые два из которых соединены только одним мостом, то число типов
элементарных дисков равно 7 (см. лемму 7.2).
Обозначим через Еь Е2,..., Еп элементарные диски, представляющие
без повторений все типы во всех шарах разбиения р. Нормальная поверх-
ность F может пересекать шары по нескольким параллельным копиям
каждого диска Ez. Число этих копий обозначим через х1. Итак, каждой
нормальной поверхности F сопоставлен вектор x(F) = (х1,х2,...,хл) с
неотрицательными целыми координатами.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.2. Две нормальные поверхности называются
265
эквивалентными, если существует изо-
топия, которая инвариантна на шарах,
цилиндрах и плитках разбиения и
которая переводит одну поверхность в
другую.
Следующее предложение абсолют-
но очевидно.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 12.2. Нормаль-
ные поверхности F2 эквивалентны
тогда и только тогда, когда
x(F}) = x(F2).
Итак, нормальная поверхность F
полностью определяется своим век-
тором x(F). Разумеется, далеко не
каждый вектор х = (х\х2 ,...,хп) с це-
лыми неотрицательными координатами
отвечает некоторой нормальной по-
верхности. Попробуем описать мно-
жество тех векторов, которые реализу-
ются нормальными поверхностями.
Рассмотрим цилиндр D2 х I разбие-
ния р. К нему по прямоугольникам вида d х /, где d - дуга в Э£)2,
примыкают плитки. Пусть d^x /, d2x I - два таких прямоугольника и
/ cz D2 - дуга с концами в d2 (рис. 273). Обозначим через Во, В} шары
разбиения, к которым по своим основаниям - островам D2 х {0} и
D2 х {1} - примыкает цилиндр. Среди всех возможных типов элемен-
тарных дисков в шаре Bq отберем те, пересечения которых с островом
D2 х {0} содержат дуги типа I х {0}. Обозначим их через Eiv Eiy ... , Eik.
Аналогичным образом поступим и для шара В\. отберем элементарные
диски Е?1, Ejr ... , Ejm, пересечения которых с островом D2 х {1} содержат
дуги типа I х {1}. Если вектор х(Е) сопоставлен нормальной поверхности
F, то число х'х + х'2 +...+х'к показывает, сколько дуг типа Z х {0} имеется
в пересечении поверхности F с островом D2 х {0}. Число х71 + х72 4-... +х7/л
равно числу дуг типа I х {1} в F n (D2 х {1}). Ключевой момент: так как
пересечение поверхности F с цилиндром D2 х I имеет вид Lx /, то число
дуг типа /х {0}в F n (D2 х {0}) должно совпадать с числом дуг типа
1х {1}в (D2 х {1}). Другими словами, координаты вектора х должны
удовлетворять уравнению
(*) х'1 + х'2 +... +х'к - xh - х72 -... —х7т = 0.
Если плитки примыкают к цилиндру D2 х I по 5 прямоугольникам, то в
диске D2 можно провести s(s - 1)/2 различных дуг, каждой из которых
отвечает одно уравнение типа (*). Общее число уравнений, выписанных
для всех цилиндров разбиений р, обозначим через N. Все эти уравнения
266
однородны, линейны и имеют целые (более точно, равные 0 или ±1) коэф-
фициенты. Составленную из них систему линейных однородных уравнений
обозначим через 5([3). Подведем итоги нашего рассуждения.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 12.3. Для того чтобы вектор х = (х1, х2, ... , хп) с
целыми неотрицательными координатами соответствовал некоторой нор-
мальной по отношению к разбиению [3 поверхности, необходимо, чтобы
его координаты составляли решение системы 5(р).
Далеко не каждое решение системы 5(р) реализуется нормальной по-
верхностью. Назовем элементарные диски Eif Ej несовместными, если
любые два элементарных диска E'.Ej тех же типов пересекаются. В
противном случае диски Eif Ej называются совместными.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.3. Решение х = (х1, х2, ... , х”) системы 5(р), где
х' - целые неотрицательные числа, называется допустимым, если из того,
что х1 Ф 0, ху Ф 0, следует, что диски Eh Ej совместны.
ТЕОРЕМА 12.1. Вектор х = (х1, х2, ... , хп) реализуется нормальной
поверхностью тогда и только тогда, когда его координаты составляют
допустимое решение системы 5(Р).
Доказательство. В одну сторону утверждение теоремы оче-
видно: вектор, реализуемый нормальной поверхностью, должен быть
допустимым решением системы 5(р) (см. предложение 12.3). Докажем
теорему в обратную сторону. Пусть х = (х1, х2, ... , х") - допустимое
решение. Для каждого i возьмем х' параллельных копий диска Е, так,
чтобы все выбранные таким образом элементарные диски не пересе-
кались. Это можно сделать ввиду допустимости решения х. Так как х -
решение системы S(p), то для каждого цилиндра D2 х I построенные
элементарные диски пересекают острова D2 х {0} и D2 х {1} совершенно
одинаково. Поэтому, приклеивая к ним полоски вида L х I cz D2 х /, можно
построить поверхность Еь лежащую в объединении шаров и цилиндров.
Добавляя к ней параллельные диски вида D2 х {*} внутри каждой плитки
D2 х /, получим нормальную поверхность F, реализующую данное
допустимое решение х.
12.2. Фундаментальная система решений
Пусть 5 - произвольная система линейных однородных уравнений с
целыми коэффициентами.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.4. Конечный набор целых неотрицательных ре-
шений - системы 5 называется фундаментальной системой
решений, если: 1) любое целое неотрицательное решение х системы 5
можно представить в виде суммы фундаментальных решений (одно и то
же слагаемое может повторяться несколько раз); 2) ни одно из решений ft-
нельзя представить в виде суммы нескольких других решений , i Ф j.
ТЕОРЕМА 12.2. Для любой однородной системы линейных уравнений
с целыми коэффициентами фундаментальная система существует и един-
ственна.
267
Рис. 274
Доказательство. Рассмот-
рим данную систему S как систему
линейных однородных уравнений над
полем рациональных чисел. Ее решения
параметризуются рациональными точ-
ками плоскости L некоторой размер-
ности d в пространстве неизвестных Rn
с координатами х!х2, . , хп. Не-
равенства х* О высекают в плоскости
L бесконечный конус С. Конус С
состоит из всех лучей с началом в точке
О, проходящих через точки выпуклого
многоугольника Р = Lry<x:^xl =}
(рис. 274). Обозначим через решения, отвечающие вершинам
многоугольника Р. Ясно, что любое рациональное неотрицательное
решение х имеет вид х = Ха/Л’ гДе а/ ~ рациональные числа. Каждое
решение Т, умножим на минимально возможное натуральное число так,
чтобы получилось целое решение, которое мы обозначим /?,. Выделим
теперь в множестве всех целых неотрицательных решений конечное
множество К, состоящее из всех решений, каждая координата которых не
больше соответствующей координаты решения R{ + R2+...+Rm. Среди
решений из множества К выберем все неразложимые решения, т.е.
решения, которые нельзя представить в виде суммы двух
неотрицательных целых решений (нетривиальных). Мы утверждаем, что
построенное множество решений составляет
фундаментальную систему решений. Действительно, невозможность
представления любого решения / в виде суммы других решений
следует из его неразложимости. Докажем, что любое целое
неотрицательное решение х представимо в виде суммы решений
Л’Л’-’-’Л- Как отмечалось, решение х представимо в виде x = £az/?t,
i
где a, - неотрицательные рациональные числа. Если хотя бы одно из них
(пусть az) больше 1, то решение х можно заменить на решение х' = х - R\
и свести доказательство представимости решения х к доказательству
представимости меньшего целого неотрицательного решения х'. Если же
все az не больше 1, то решение x = ^a.iRi лежит в К и его представи-
i
мость вытекает из определения системы Д,..., fk.
Итак, система целых неотрицательных решений j\, f2,..., fk является
фундаментальной. Докажем ее единственность. Пусть , g2,..., - дру-
гая фундаментальная система. Тогда любое решение представимо в
268
виде суммы решений gj. С другой стороны, решение / неразложимо. Это
возможно только тогда, когда решение совпадает с одним из реше-
ний gj. Отсюда следует, что к = к' и, с точностью до перестановки, / = gi,
1 i к. Теорема доказана.
Замечание. Очень важное обстоятельство: доказательство
теоремы 12.2 носит конструктивный характер. Другими словами,
построение фундаментальной системы можно выполнить алгоритмически.
В первую очередь нас будут интересовать допустимые фундамен-
тальные решения. Следующее свойство допустимых решений очевидно.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 12.4. Если сумма решений является допустимым
решением, то каждое слагаемое также допустимо.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.5. Поверхность F, нормальная по отношению к
данному разбиению р трехмерного многообразия М на ручки, называется
фундаментальной, если отвечающее ей решение x(F) системы 5(р) яв-
ляется фундаментальным.
Из теоремы 12.2 следует, что число фундаментальных поверхностей
(с точностью до эквивалентности) конечно. Система фундаментальных
поверхностей может быть построена алгоритмически.
12.3. Геометрическое суммирование
Пусть х2 - такие допустимые решения, что решение + х2 также
допустимо. Решениям хьх2 отвечают нормальные поверхности Fb F2,
решению х^ + х2 - нормальная поверхность F. Как связаны поверхности
Fb F2, Fl Поверхности F2 всегда можно реализовать так, чтобы их
элементарные диски не имели общих точек. Пересечения поверхностей с
цилиндрами D1 х 1 состоят из полосок типа I х /, где / - дуга в D2.
Полоски, отвечающие поверхности могут пересекать полоски, отве-
чающие поверхности F2. Выпрямляя их, добьемся, чтобы они пере-
секались только по двойным линиям, соединяющим их боковые стороны.
При этом каждые две полоски должны пересекаться не более чем по
одной двойной линии (рис. 275). Аналогичным образом можно привести в
надлежащий вид пересечения поверхностей внутри плиток - можно
добиться, чтобы они состояли из двойных дуг с концами в краях плиток
(рис. 276). Такое расположение поверхностей F2 назовем правильным.
269
В § 2 мы изучили общий спо-
соб устранения пересечений -
операцию переключательного рас-
щепления. Если ее выполнить
вдоль каждой двойной линии, то
пересечение исчезнет. Вдоль каж-
дой двойной линии операцию пере-
ключательного расщепления мож-
но выполнить двумя способами.
Переключательное расщепление,
изображенное на рис. 277,я, на-
зовем продольным, изображенное
на рис. 277,6 - поперечным. Пря-
моугольники на рис. 277 симво-
лизируют цилиндры или плитки,
примыкающие к заштрихованным
шарам. Преимущество продоль-
ного расщепления перед попе-
речным состоит в том, что при его применении ко всем двойным кривым
получается нормальная поверхность. Так как расщепление никак не
затрагивает элементарных дисков, то эта поверхность эквивалентна
поверхности F.
Напомним, что для поверхности, пересекающей плитки по дискам
вида D2 х {*}, мы определили плиточную степень c(F) как общее число
таких дисков. При переделке такой поверхности в нормальную ее
плиточная степень не увеличивается. Отметим, что если вдоль хотя бы
одной из кривых в Fj n F2 выполнено не продольное, а поперечное
расщепление, то полученная поверхность будет изотопна поверхности со
строго меньшей плиточной степенью, так как появившиеся в результате
поперечного расщепления складки можно вытеснить за пределы плиток
(рис. 278).
ЛЕММА 12.1. Пусть нормальные поверхности Fb F2, F таковы, что
x(Fi) + *(^2) = *(^)- Тогда найдутся две нормальные поверхности Ff, F2,
удовлетворяющие условиям:
1) поверхности Fj', являются вложенными поверхностями;
2) поверхности Ff, F2' связны;
3) каждая кривая из пересечения поверхностей F/, F2 не разбивает по
крайней мере одну из них;
4) x(^ + x(F2') = x(F).
Доказательство. Будем интерпретировать объединение
Fx u F2 как несвязную сингулярную поверхность. Поверхность F полу-
чается из нее выполнением продольных перестроек вдоль всех кривых ее
самопересечения. Выберем среди кривых самопересечения такое
подмножество кривых /2, ... , 0, что: а) в результате продоль-
ного расщепления Fj о F2 вдоль них получается несвязная сингулярная
270
поверхность F'; б) никакое большее подмножество кривых самопере-
сечения не обладает свойством "а". Мы утверждаем, что сингулярная
поверхность F' есть объединение двух нормальных поверхностей Ff, ,
удовлетворяющих условиям леммы. Если хотя бы одна из поверхностей
F{, F{ имеет самопересечения, то обозначим через 1М одну из кривых
самопересечения. Если хотя бы одна из поверхностей Ff, F{ не является
связной, то в качестве кривой 4+1 возьмем любую двойную кривую.
Наконец, если в пересечении поверхностей Ff, F2' есть кривые, разбиваю-
щие обе поверхности, то в качестве кривой 1к+\ возьмем одну из них.
Тогда подмножество /ь /2, ... , 1к, 1м всех кривых самопересечения
поверхности Fj u F2 удовлетворяет условию ”а", что противоречит
условию "б”. Это доказывает справедливость условий 1—4 леммы. Спра-
ведливость условия 4 очевидна.
12.4. Алгоритм Хакена
Пусть М - трехмерное многообразие, р - его разбиение на ручки.
Допустим, что мы имеем некоторое свойство Р поверхностей в М.
Другими словами, предположим, что множество всех поверхностей в М
271
разбито на два класса, причем поверхности, лежащие в одном из них,
обладают свойством Р, лежащие в другом - не обладают.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.6. Свойство Р называется устойчивым, если из
того, что в М имеется хотя бы одна поверхность со свойством Р, следует,
что по крайней мере одна из фундаментальных поверхностей обладает
свойством Р.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.7. Свойство Р называется алгоритмическим,
если существует алгоритм, который по данной поверхности F определяет,
обладает она свойством Р или нет.
ТЕОРЕМА 12.3. Для любого устойчивого алгоритмического свойства
Р существует алгоритм, который определяет, есть в многообразии поверх-
ности со свойством Р или нет.
Доказательство. Искомый алгоритм работает так: сначала он
строит конечную систему фундаментальных поверхностей в ней (см.
теорему 12.2 и замечание к ней), затем для каждой фундаментальной
поверхности определяет, обладает она свойством Р или нет. Если таких
поверхностей не окажется, то из-за устойчивости свойства Р в М нет ни
одной поверхности со свойством Р.
Мы отдаем себе отчет в том, что теорема 12.3 станет содержа-
тельной только тогда, когда будут предложены нетривиальные примеры
устойчивых свойств. Вот два таких примера: 1) свойство поверхности
быть несжимаемой; 2) свойство поверхности быть двумерной сферой,
разбивающей многообразие М на две части, каждая из которых содержит
хотя бы одну из компонент края многообразия М. Оба свойства являются
алгоритмическими. Приняв на веру эти факты, можно сформулировать
два следствия.
СЛЕДСТВИЕ 12.1. Существует алгоритм распознавания достаточно
больших многообразий (т.е. многообразий, содержащих несжимаемые по-
верхности).
СЛЕДСТВИЕ 12.2. Существует алгоритм распознавания расщепляе-
мых зацеплений в S3 (зацепление LcS" называется расщепляемым, если
можно разбить на два таких шара В2, что L п = 0 и Bt? n L Ф 0,
i = 1, 2).
Доказательства устойчивости всех известных устойчивых свойств
похожи друг на друга. Мы ограничимся рассмотрением только одного
(исторически первого) свойства, с помощью которого Хакен построил свой
знаменитый алгоритм распознавания тривиального узла. Разумеется, наше
изложение отличается от оригинального в первую очередь тем, что ради
простоты мы рассматриваем только замкнутые поверхности.
12.5. Один пример устойчивого свойства
Пусть р - разбиение на ручки ориентируемого трехмерного много-
образия М и Я = D2 х / -такая ручка индекса 2 разбиения р, что по ней не
проходят основания ручек индекса 3. Другими словами, мы предлагаем,
что дополнение к основанию dD2 х / ручки Я, т.е. ее свободная поверх-
ность D2 х Э/, лежит в ЪМ.
272
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.8. Поверхность F с М обладает свойством Р,
если она является двумерной сферой и пересекает ручку Н ~ D2xl по
диску D1 х {1/2}.
ТЕОРЕМА 12.4. Если в М нет неразбивающих сфер, то свойство Р
является устойчивым алгоритмическим свойством.
Доказательство. Алгоритмичность свойства Р очевидна:
определить тип поверхности F и узнать, как она пересекает ручку Н, не
составляет труда. Доказательство устойчивости разобьем на несколько
этапов. Допустим, что в М есть поверхность F со свойством Р. Мы хотим
доказать, что тогда одна из фундаментальных поверхностей обладает
свойством Р.
III а г 1. За счет изотопии добьемся, чтобы поверхность F пересекала
каждую плитку по параллельным копиям ее осевого диска (см. дока-
зательство теоремы 7.1). Пересечение поверхности с ручкой Н мы не
меняем, так что свойство Р сохраняется. Обозначим через c(F) плиточную
степень поверхности F.
III а г 2. Превратим поверхность F в нормальную поверхность так,
как это сделано при доказательстве теоремы 7.1. При этом приходится
выполнять сжатия вдоль дисков, не пересекающих плиток. Сфера F
превращается при каждом таком сжатии в две сферы, только одна из
которых пересекает ручку Н. Вторую сферу мы просто отбросим.
В результате таких операций мы придем к нормальной поверхности
F, обладающей свойством Р и имеющей небольшую плиточную степень.
Ш а г 3. Если отвечающее поверхности F решение x(F) системы 5(Р)
нельзя представить в виде суммы двух решений, то поверхность F
является фундаментальной. В этом случае теорема доказана.
III а г 4. Пусть решение x(F) представимо в виде суммы двух
решений X], х2. Эти решения обязаны быть допустимыми. Поэтому в М
найдутся такие нормальные поверхности Fb Р2, что = x(F\) и х2 = х(Р2).
Применяя лемму 12.1, добьемся, чтобы поверхности Fb F2 были связными
и каждая кривая из F\ r\ F2 разбивала бы только одну из них.
III а г 5. Сумма эйлеровых характеристик поверхностей Fb F2 равна
эйлеровой характеристике поверхности F, т.е. сферы. Это возможно
только тогда, когда одна из них (пусть Fj) гомеоморфна сфере, вторая -
тору или бутылке Клейна, поскольку эйлерову характеристику 1 имеет
только проективная плоскость, которая не вкладывается в ориентируемое
многообразие. Одна из поверхностей Fb F2 пересекает ручку Н по диску,
вторая - нет. Если ручку Н пересекает сфера, то она обладает свойством
Р и имеет меньшую плиточную степень. Заменим поверхность F на эту
сферу и вернемся к шагу 3.
III а г 6. Пусть ручку Н пересекает поверхность F2, т.е. тор или
бутылка Клейна. Однако любая простая замкнутая кривая на сфере Fx
разбивает ее, но ни одна из кривых F{ n F2 не должна разбивать
поверхность F2. Отсюда следует, что кривые F^ n F2 разбивают по-
верхность F2 на кольца, каждое из которых лежит в одной из половин
273
Рис. 279
многообразия М, на которые сфера F\ разбивает его. Обозначим через А
кольцо, пересекающее ручку Я, через Dj, D2 cz Fx - непересекающиеся
диски, ограниченные кривыми ЭА. Выполним вдоль кривых dD^dD2
операции переключательного расщепления так, чтобы диски D1?D2
приклеились к кольцу А (рис. 279). Независимо от того, являются ли такие
расщепления продольными или поперечными, сфера A u D} uD2 будет
обладать свойством Р и иметь меньшую плиточную степень. Заменим
поверхность F на эту сферу и вернемся к шагу 2.
Единственный выход из цикла шаг 1 - шаг 6 находится в шаге 3,
завершающем доказательство теоремы. Процесс не может продолжаться
до бесконечности, поскольку при выполнении шагов 5, 6 плиточная сте-
пень поверхности строго уменьшается.
12.6. Алгоритм распознавания тривиального узла
Пусть К - узел в £3, Е(К) - его дополнительное пространство,
получающееся из сферы S3 вырезанием регулярной окрестности N(K) узла
К. Обозначим через / cz dN(K) нулевую параллель узла К, т.е. нетри-
виальную простую замкнутую кривую в dN(K), гомологичную нулю
в Е(К). Очевидно, что узел К тривиален тогда и только тогда, когда
кривая / ограничивает диск в Е(К). Выберем такое разбиение Р' много-
образия Е(К) на ручки, что кривая I проходит только по ручкам индексов О
и 1. Приклеим к Е(К) ручку Н ~ D2 х I индекса 2 вдоль кривой /.
Полученное трехмерное многообразие обозначим через Л/, его разбиение
на ручки, состоящее из ручек разбиения р' и ручки Я, - через р.
274
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 12.5. Узел К aS3 тривиален тогда и только тогда,
когда в М имеется хотя бы одна поверхность, обладающая свойством Р.
Доказательство очевидно, так как если F - со свойством Р,
то F п Е(К) является диском, натянутым на параллель узла, и если D -
диск, натянутый на параллель узла, то добавление к нему осевого диска
ручки Н дает сферу со свойством Р.
СЛЕДСТВИЕ 12.3. Алгоритм распознавания тривиального узла суще-
ствует.
Отдельно опишем схему работы этого алгоритма. Для данного узла
К cz 53 нужно разбить его дополнительное пространство на ручки и до-
бавить к нему еще одну ручку Н индекса 2 вдоль параллели. Для
получившегося разбиения Р многообразия М = Е(К) о Н на ручки нужно
выписать систему уравнений 5(р)', найти ее фундаментальные решения,
отобрать допустимые фундаментальные решения, реализовать их фунда-
ментальными поверхностями и проверить, есть ли среди них сферы
со свойством Р. Если есть, то узел тривиален, если нет - то нетривиа-
лен.
Разумеется, практическая реализация этого алгоритма весьма затруд-
нительна, даже для самых простых узлов. Причина состоит в том, что
число неизвестных и число уравнений в системе 5(Р) довольно велико,
кроме того, среди фундаментальных решений много лишних (недопу-
стимых).
12.7. Алгоритм распознавания сферы*
Пусть S, - разбиение на ручки гомологического шара М, т.е. трех-
мерного многообразия с краем сфера, гомологии которого совпадают
с гомологиями стандартного шара. Допустим, что в М найдется не
параллельная краю и нормальная по отношению к разбиению S, двумерная
сфера. После разрезания по ней получается новый гомологический шар и
новое многообразие гомологического типа S2 х /, которое в свою очередь
превращается в гомологический шар удалением открытой трубчатой
окрестности дуги, соединяющей две сферы на крае. Нетрудно показать,
что исходный гомологический шар является настоящим тогда и только
тогда, когда настоящими являются оба новых шара. Важное обстоя-
тельство: каждый из этих гомологических шаров допускает естественное
разбиение на ручки, которое порождено разбиением S, и проще него.
Если бы удалось доказать, что все нетривиальные (т.е. состоящие
более чем из одной ручки) разбиения на ручки стандартного шара
допускают не параллельные краю нормальные двумерные сферы, то
построить алгоритм распознавания трехмерной сферы было бы совсем
легко: нужно удалить из тестируемого многообразия открытый шар, и
если останется гомологический шар, то разрезать его по нормальным
сферам до тех пор, пока это возможно. Исходное многообразие является
* Этот пункт был добавлен при переиздании.
275
сферой тогда и только тогда, когда в результате получится набор
тривиально разбитых на ручки (и, следовательно, настоящих) шаров.
К сожалению, уже на самых простых примерах видно, что далеко не
все разбиения на ручки стандартного шара допускают нормальные сферы.
В одном из своих препринтов В. Хакен попытался преодолеть эту
трудность за счет замены двумерной сферы на двумерный комплекс
специального типа, и даже намекнул, что алгоритм есть, но публикации
доказательства мешают его чудовищные размеры. Как выяснилось
позднее, идея Хакена абсолютно правильна, причем вовсе не нужно
рассматривать сложные двумерные комплексы - достаточно ограничиться
почти нормальными двумерными сферами. Почти нормальная сфера
отличается от нормальной тем, что краю элементарного диска раз-
решается проходить по мосту два раза. В 1992 году на конференции
в Хайфе X. Рубинштейн объявил, что каждое разбиение на ручки
стандартного шара допускает не параллельную краю почти нормальную
двумерную сферу [82]. Поскольку все описанные выше этапы проходят и
для почти нормальных сфер, это дает алгоритм распознавания трехмерной
сферы. Полного доказательства Рубинштейн так и не опубликовал, но
в 1994 году А. Томпсон, основываясь на его идеях и используя введенное
Д. Габаем понятие "тонкого положения" зацеплений в S3, полностью
решила проблему алгоритмического распознавания сферы [83]. Сущест-
венно модернизированный и упрощенный вариант доказательства зани-
мает всего 15 страниц и полностью изложен в [81].
В заключение отметим, что идеи X. Рубинштейна позволяют полу-
чить и другйе важные результаты, например, построить алгоритм вы-
числения рода Хегора данного замкнутого трехмерного многообразия [84].
§ 13. КОММЕНТАРИИ К РИСУНКАМ
Как уже отметил читатель, книга снабжена достаточно большим
количеством рисунков. Объяснение этому простое: трехмерная тополо-
гия - это один из наиболее наглядных разделов современной математики,
поэтому многие математические разъяснения значительно удобнее давать
при помощи соответствующих рисунков, чем оставаясь в рамках ’’фор-
мульного анализа". Все рисунки были сделаны специально для этой книги.
Каждый из 279 предшествовавших рисунков несет точную математи-
ческую нагрузку, раскрывая перед читателем геометрическое содержание
соответствующего математического построения.
В этом последнем параграфе мы предлагаем вниманию некоторые
дополнительные рисунки, бблыпая часть которых возвращает нас к уже
пройденному материалу, собранному в настоящей книге. Это рисунки
с номерами 280-316. Однако мы не уточняем здесь, к какому именно
математическому понятию относится тот или иной рисунок из данного
параграфа. Мы предлагаем читателю простое и полезное упражнение:
Рис. 280
277
Рис. 282
Рис. 284
278
ж
яаннпкгя»
галаните
гзпквапл»
БПЯПНПЯН
пмйяивп
nSl^KfiQDH
KJWUSrlilH
Рис. 286
Рис. 285
Рис. 287
279
Рис. 288
280
281
Рис. 294
Рис. 295
282
попытайтесь сообразить, какой уже
известный Вам математический факт
изображен на рисунке. Можете
рассматривать это как упражнение,
показывающее, насколько успешно
Вы усвоили прочитанный материал.
Кроме того, такое упражнение
полезно для развития геометри-
ческой интуиции - совершенно
необходимого качества для успешной
работы в современной топологии и
геометрии.
В то же время мы вкратце
прокомментируем те новые рисунки,
которые затрагивают вопросы, не
отраженные в книге (или отражен-
ные лишь намеком ввиду недостатка
места).
На рис. 304 показана операция зеркального отражения узла в дву-
мерной плоскости в трехмерном пространстве. Узлы, изображенные на
рисунке, называются левым и правым трилистниками. Левый трилистник
см. также на рис. 299.
Рис. 298
283
Лебый
трилистник
Рис. 299
Рисунки 306, 307 посвящены решению
известной задачи наглядной топологии по-
верхностей в трехмерном евклидовом прост-
ранстве. Вопрос: может ли человек перейти
путем непрерывной деформации из началь-
ного положения на рис. 306 (зацепленные
пальцы) в конечное положение (пальцы
расцеплены)? При этом, конечно, запрещено
размыкать пару соединенных пальцев
(например, большой и указательный). Как
видно из рис. 306, ответ на вопрос -
положительный. Однако здесь, оказывается,
есть небольшой подвох. Человек, условно
изображенный на рис. 306, в действитель-
ности должен быть обнаженным по пояс.
Если на нем есть какая-либо одежда или, например, на руке у него часы,
то ситуация меняется (см. рис. 307). В этом случае руки можно развести,
но за это придется ’’заплатить" тем, что ремешок часов займет совсем
другое (более сложное) положение. Аналогичные события произойдут,
если на Вас надета рубашка. Решение этой же задачи, но в более
абстрактной форме, показано на серии рис. 309-313.
На рис. 308 условно изображено действие операции "перекручивания".
Она же - но в другом виде - показана на рис. 314.
Рисунок 315 посвящен другой теме - здесь Вы видите различные
перестройки торов внутри многообразий Зейферта. Такие перестройки
играют исключительно важную роль в симплектической топологии ин-
тегрируемых систем гамильтоновых дифференциальных уравнений.
Рисунок 316 геометрически реализует идею математической бес-
конечности.
Рис. 300
284
П-1
Рис. 302
285
„ беседочный узел “
Рис. 303
Рис. 304
Рис. 305Б
Рис. 305А
286
Рис. 306
287
Рис. 307
288
10. С.В. Матвеев, А.Т. Фоменко
289
Рис. 308
Рис. 309
290
Рис. 310
0*
291
Рис. 311
292
Рис. 312
293
Рис. 313
Рис. 314
295
Рис. 315
296
Рис. 316
297
ЛИТЕРАТУРА
1. Математическая энциклопедия: В 5-и т. - М.: Советская энциклопедия, 1975-1985.
2 НарасимханР. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. - М.:
Мир, 1971.
3. Р о х л и н В.А., Фук сД.Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. - М.:
Наука, 1977.
4. Ф о м е н к о А.Т., Ф у к сД.Б. Курс гомотопической топологии. - М.: Наука, 1989.
5. Ф о ме н к о А.Т. Топологические вариационные задачи. - М.: Изд-во Моск, ун-та,
1984.
6. М а с с и У., С толлинге Дж. Алгебраическая топология. Введение. - М.: Мир,
1977.
7. Р у р к К., С андерсонБ. Введение в кусочно-линейную топологию. - М.: Мир,
1974.
8. Н овиков С.П. Топология //Современные проблемы математики. Фундаментальные
направления. Т. 12. (Итоги науки и техники). - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1986. С. 5-
252.
9. S т a I е S. The classification of immersions of spheres in euclidean space // Ann. Math. 1959.
Vol. 69. P. 327-344.
10. D e h n M. Uber die Topologie des dreidimensional Raumes // Math. Ann. 1910. Bd 69. S.
137-168.
11. 77 ana кириакопулос СД. О лемме Дена и асферичности узлов // Математика.
1958. Т. 2, № 4. С. 32-49.
12. Н е т i о nG.On the classification of homeomorphisms of 2-manifolds and the classification of
3-manifolds // Acta Math. 1979. Vol. 142. P. 123-155.
13. M и л н о p Дж. О многообразиях, гомеоморфных 7-мерной сфере // Математика. 1957.
Т. 1, № 3. С. 35-42.
14. А I е х a n d е г J.W. On the subdivision of 3-space by a polyhedron // Proc. Nat. Acad. Sci.
USA. 1924. Vol. 10. P. 6-8.
15. M а г н у с В., К a p p а с А., С о л и m э p Д. Комбинаторная теория групп. - М.:
Наука, 1974.
16. Epstein D.BA. Curves on 2-manifolds and isotopies // Acta Math. 1966.Vol. 115. P. 83-
107.
17. D e h n M. Die Gruppe der Abbildungen Ц Acta Math. 1938. Vol. 69. P. 135-206.
18. L i ckori s h W.B.R. A finite set of generators for the homeotopy group of a 2-manifold //
Proc. Cambridge Philos. Soc. 1964. Vol. 60. P. 769-778.
19. В i rmanJ.S. Braids, links and mapping class groups I I Ann. Math. Stud. 1975.M 82.
20. H umphriesS. Generators for the mapping class group // Topology of low-dimensional
manifolds. Lecture Notes in Math. 1979. Vol. 722. P. 4447.
21. В i r ma n J., H i I d e nH. Mapping class groups of closed surfaces as covering spaces // Ann.
Math. Stud. 1976. Vol. 66. P. 81-115.
22. Me С о о I J. Some finitely presented subgroups of the automorphism group of a free group // J.
Algebra. 1975. Vol. 35. P. 205-213.
23. H at c her A.,T hurs ton W. A presentation for mapping class group of a closed
orientable surface // Topology. 1980. Vol. 19, № 3. P. 221-237.
24. W a i n r i b B. A simple presentation for the mapping class group of an orientable surface // Isr.
J. Math. 1983. Vol. 45, № 2-3. P. 157-174.
25. 5 и z и k i S h i n’i c h i. On homeomorphisms of a 3-dimensional handlebodies // Can. J.
Math. 1977. Vol. 29, № 4. P. 111-129.
26. 7 hu rs to n W.P. The geometry and topology of 3-manifolds I I Preprint. 1981.
27. M и л н о p Дж. Кручение Уайтхеда // Математика. 1967. Т. 11, № 1. С. 3-42.
298
28. В о nahonF.,О tai J.-P. Scindements de Heegaard des espaces lenticulaires // C.R. Acad.
Sci. Paris. 1982. Ser. I Vol. 294. P. 585-587.
29. В о i I e а и M., C oil ins D.J., Z i e s c h a n g H. Scindements de Heegaard des petites
varietes // C.R. Acad. Sci. Paris. 1987. Ser. I. Vol. 305, № 12. P. 557-560.
30. W a I d h a и s e n F. Heegaard-Zerlegungen der 3-sphere // Topology. 1968. Vol. 7. P. 195—
203.
31. В оло дин И.А., К у з н е ц о в В.Е., Фоменко А.Т. О проблеме алгоритми-
ческого распознавания стандартной трехмерной сферы // Успехи мат. наук. 1974. Т. 29,
№ 5. С. 71-168.
32. В и р о О.Я., К обелъский В.А. Гипотеза Володина-Кузнецова- Фоменко о
диаграммах Хегора трехмерной сферы не верна // Успехи мат. наук. 1977. Т. 32, № 5. С.
175-176.
33. С г a g g s R. A new proof of the Reidemeister-Singer theorem on stable equivalence of
Heegaard splittings // Proc. Amer. Math. Soc. 1976. Vol. 57. P. 143-147.
34. T aka has h i M. Some simple cases of Poincare conjecture // J. Math. Soc. Jap. 1980. Vol.
32, № 2. P. 373-392.
35. О c h i a i M i t s и у и k i. Heegaard-diagrams and Whitehead graphs // Mat. Semin. Notes
Kobe Univ. 1979. Vol. 7, № 3. P. 573-591.
'i
36. H о m m a T., О chi ai M.,T akahashiM. An algorithm for recognizing 5 in 3-
maniforlds with Heegaard splittings of genus two I I Osaka J. Math. 1990. Vol. 17. P. 625-648.
37. П о с m н и к о в М.М. Введение в теорию Морса. - М.: Наука, 1971.
38. F ox R.H. A remarkable simple closed curve // Ann. Math. 1949. Vol. 50. P. 264-265.
39. К p о у э л л Р., Ф о к с Р. Введение в теорию узлов. - М.: Мир, 1967.
40. W a I d h а и s е п F. On irreducible 3-manifolds which are sufficiently large // Ann. Math.
1987. Vol. 87, № 1. P. 56-88.
41. F г e у d P., Yetter D., Hoste J., Lickorish W.B.R., Mil I e t t K.C.,
Оспе a n и A. A new polynomial invariant of knots and links // Bull. Amer. Math. Soc.
1982. Vol. 12. P. 239-246.
42. P r z у t у c k i J.H., T r a c z у k P. Invariants of links of Conway type // Kobe J. Math. 1987.
Vol. 4. P. 115-139.
43. M a m в e e в С.В. Дистрибутивные группоиды в теории узлов // Матем. сборник. 1982.
Т. 119, № 1. С. 78-88.
44. J о у с е D. A classifying invariant of knots, the knot quandle // J. Pure and Appl. Algebra.
1982. Vol. 23, № 1. P. 37-65.
45. С котт П. Геометрии на трехмерных многообразиях. - М.: Мир, 1988.
46. X ьюзмоллерД. Расслоенные пространства. - М.: Мир, 1982.
47. К а с с е л с Дж. Рациональные квадратичные формы. - М.: Мир, 1982.
48. L i ckorish W.B.R. A representation of orientable combinatorial 3-manifolds
// Ann. Math. 1962. Vol. 76, № 3. P. 531-540.
49. P о x л и н В.А. Теория внутренних гомологий // Успехи матем. наук. 1959. Т. 14, № 4.
С. 3-20.
50. М i I п о г J. Differentiable manifolds which аге homotopy spheres (mimeographed). Princeton,
1959.
51. Ш m а н ь к о M.A. Четные перестройки в 3-многообразиях // VI Всесоюзная
топологическая конференция. Тезисы. Тбилиси, 1972. С. 133-134.
52. К а р I а п S. Constructing framed 4-manifolds with given almost framed boundaries // Trans.
Amer. Math. Soc. 1979. Vol. 254. P. 237-263.
53. H i I d e n H.M. Representations of homology 3-spheres Ц Pacif. J. Math. 1981.Vol. 94, № 1.
P. 125-129.
54. M a m в e e в С.В. Обобщенные перестройки трехмерных многообразий и представления
гомологических сфер // Матем. заметки. 1982. Т. 42, № 2. С. 268-277.
55. М i I п о г J. Groups which act on Sn whithout fixed points // Amer. J. Math. 1967. Vol. 79. P.
623-660.
56. W a I d h a и s e nF. Eine Klasse von 3-Mannigfaltigleiten // Invent. Math. 1967. Vol. 3, № 4.
P. 308-333; Vol. 4, № 2. P. 88-117.
57. Ф о м e н к о А.Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых
гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости // Изв. АН СССР. 1986. Т. 50,
№ 6. Р. 1276-1307.
299
58. Ф о м е н к о А.Т., Ц ишангХ.О топологии трехмерных многообразий, возникающих
в гамильтоновой механике //Докл. АН СССР, 1987. Т. 294, № 2. С. 283-287.
59. М а т в е е в С.В., Ф о м е н к о А.Т. Изоэнергетические поверхности интегрируемых
систем, перечисление трехмерных многообразий в порядке возрастания их сложности и
вычисление объемов замкнутых гиперболических многообразий // Успехи матем. наук.
1988. Т. 43, № 1. С. 5-22.
60. Hake п W. Theorie der Normalflachen. Ein Isotopiekriterium fUr der Kreisknoten // Acts Math.
1961. Vol. 105. P. 245-375.
61. Ш у б e p m X. Алгоритм для разложения зацеплений на простые слагаемые // Мате-
матика. 1966. Т. 10, № 4. С. 45-78.
62. М а т в е е в С.В. Аддитивность сложности и метод Хакена в топологии трехмерных
многообразий Ц Укр. матем. журнал. 1989. Т. 41, № 9. С. 1234-1239.
63. J а с о W. Lectures on three-dimensional topology // Providence. R.I. Amer. Math. Soc. 1980.
Vol. XII.
64. H e m p e IJ. 3-manifolds // Ann. of Math. Stud. 1976. Vol. 86.
65. О r I i k P. Seifert manifolds // Lecture Notes in Math. 1972. Vol. 291.
66. J о h a n n s о n K. Topologie and Geometric von 3-Mannigfaltigkeiten // Jahresber. Dtsch.
Math. Ver. 1984. Bd 86, № 2. P. 37-68.
67. Ф о м e н к о А.Т. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы. -
М.: Изд-во Моск, ун-та, 1983.
68. Ф о м е н к о А.Т. Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых
систем// Успехи матем. наук. 1989. Т. 44. Вып. 1 (265). С. 145-173.
69. Ф о м е н к о А.Т. Топологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых
по Лиувиллю // Функц. анализ и его приложения. 1988. Т. 22. Вып. 4. С. 38-51.
70. Ф оменко А.Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. - М.: Изд-во
Моск, ун-та, 1988.
71. Т р о ф и м о в В.В. Введение в геометрию многообразий с симметриями. - М.: Изд-во
Моск, ун-та, 1989.
Т2. W a I d h а и s е п F. Recent results on sufficiently large 3-manifolds, Proc, of Symp. in Pure
Math. AMS 32, 1978, 21-38.
73. ./ о hannso n K. Topologie und Geometric von 3-Mannigfaltigkeiten, Jahresber. Deutsch.
Math. - Ver., 86, 1984, 37-68.
74. Hemion G. On the classification of homeomorphisms of 2-manifolds and the classification of
3-manifolds, Acta math. 142, 1979, 123-155.
75. H e m i о n G. The classification of knots and 3-dimensional spaces, Oxfor Univ. Press, 1992,
162 pp.
76. T hurs tonW. On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces, Bull. AMS,
19, 2, 1988, 417-431.
77. В e s t v i n a M.,H a nd e IM. Train tracks for surface homeomorphisms, Topology, 34, 1,
1995, 109-140.
78. H a k e nW. Uber das Homoomorphieproblem der 3-Mannigfaltigkeiten, I. Math. Z. 80, 1962,
89-120.
79. J ohannsonK. Homotopy equivalencies of 3-manifolds with boundaries, Springer LNM
761, 1979, 303 p.
80. M a m в e e в С.В. Классификация достаточно больших трехмерных многообразий,
Успехи математических наук, 1997.
81. М а т в е е в С.В. Алгоритм распознавания трехмерной сферы (по А. Томпсон). Мате-
матический сборник. 1995. Т. 186, № 5. С. 69-84.
82. R и b i п s t е i п И. The solution to the recognition problem for S^, Lectures, Haifa, Israel,
May 1992.
83. T h о m p s о n A. Thin position and the recognition problem for S^, Math. Research Letters, 1
(1994), 613-630.
84. 5 t о c k i n g M. Almost normal surfaces in 3-manifolds, Preprint, 1997, 43 p.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебра Конвея п. 8.3 (стр. 182)
Алгоритм
- вычисления фундаментальной группы п. 1.5 (стр. 16)
- перечисления 3-многообразий рода 2 п. 5.7 (стр. 137)
Алгоритм распознавания
- гомотопической эквивалентности поверхностей п. 2.7 (стр. 67)
- достаточно больших многообразий п. 12.4 (стр. 272)
- поверхности и ее типа п. 2.7 (стр. 67)
- расщепляемых зацеплений п. 12.4 (стр. 272)
- сферы п. 12.7 (стр. 275)
- сферы рода 2 п. 6.2 (стр. 137)
- тривиального узла п. 12.6 (стр. 274)
Букет п. 1.3 (стр. 11)
Волновое преобразование п. 5.6 (стр. 128)
Волна п. 5.6 (стр. 128)
- возвратная п. 6.2 (стр. 139)
- исчезающая п. 6.2 (стр. 140)
- попутная, выживающая п. 6.2 (стр. 141)
- параллельная п. 6.2 (стр. 142)
Гипотеза Пуанкаре п. 9.5 (стр. 204)
Гомеоморфизм п. 1.2 (стр. 8)
Гомологическая сфера п. 9.5 (стр. 204)
Гомотопия, гомотопическая эквивалентность п. 1.2 (стр. 9)
Гомотопическая группа п. 1.7 (стр. 20)
Группа
- гомеотопий п. 3.1 (стр. 69)
-кос п. 3.4 (стр. 71)
- крашеных кос п. 3.5 (стр. 74)
Дистрибутивный группоид п. 8.2 (стр. 175)
Деформационный ретракт п. 1.2 (стр. 9)
Диффеоморфизм п. 1.8 (стр. 23)
Зацепление п. 8 (стр. 166)
- оснащенное п. 9.2 (стр. 194)
- четное п. 9.3 (стр. 199)
- итерированное торическое п. 11.4 (стр. 262)
Звезда п. 1.4 (стр. 13)
Изотопия п. 1.2 (стр. 9)
Кобордизм п. 9.2 (стр. 194)
Кольцо
- послойное п. 10.10 (стр. 228)
- существенное п. 10.11 (стр. 231)
Компакт
Комплекс
- клеточный п. 1.4 (стр. 14)
- симплициальный п. 1.4 (стр. 12)
Конус п. 1.3 (стр. 10)
Копредставление группы п. 1.6 (стр. 16)
Коэффициент зацепления п. 8.5 (стр. 190)
Кратность накрытия п. 1.9 (стр. 27)
301
Лемма Дена п. 2.6 (стр. 61)
Линзовое пространство (линза) п. 4.3 (стр. 108)
Линк п. 1.4 (стр. 12)
Меридианы полного кренделя п. 3.9 (стр. 94)
Многообразие п. 1.8 (стр. 20)
- гиперболическое п. 1.8 (стр. 23)
- гладкое (дифференцируемое) п. 1.8 (стр. 23)
- древовидное п. 11.4 (стр. 263)
- замкнутое, открытое п. 1.8 (стр. 21)
- Зейферта п. 10.1 (стр. 214)
- класса Н (граф-многообразие) п. 11.1 (стр. 250)
- кусочно-линейное п. 1.8 (стр. 23)
- неприводимое п. 2.5 (стр. 59)
- ориентируемое п. 1.8 (стр. 23)
- с краем п. 1.8 (стр. 21)
- с коническими особенностями п. 4.1 (стр. 103)
- примарное п. 7.2 (стр. 153)
Модификация вдоль кривой п. 3.9 (стр. 96)
Накрытие п. 1.9 (стр. 27)
- регулярное п. 1.9 (стр. 27)
- универсальное п. 1.9 (стр. 27)
Общее положение п. 1.10 (стр. 28)
Оснащение
- графа п. 11.3 (стр. 258-2
-зацепления п. 9.2 (стр. 193)
Отображение
- кусочно-линейное п. 1.4 (стр. 13)
- непрерывное п. 1.2 (стр. 8)
- симплициальное п. 1.4 (стр. 13)
Первая группа гомологий п. 1.7 (стр. 20)
Переключательное и параллельное расщепление
поверхности п. 2.4 (стр. 50)
Перестройка по зацеплению п. 9.1 (стр. 191)
- четная п. 9.3 (стр. 199)
Переход узла п. 8.1 (стр. 169)
Поверхность п. 2.1 (стр. 35)
- критерий несжимаемости п. 2.6 (стр. 64)
- несжимаемая п. 2.5 (стр. 59)
- нормальная п. 7.3 (стр. 154)
- сингулярная п. 2.4 (стр. 50)
- собственная п. 2.4 (стр. 50)
- фундаментальная п. 12.2 (стр. 269)
Подмногообразие п. 1.8 (стр. 24)
Подразделение п. 1.4 (стр. 12)
- барицентрическое п. 1.4 (стр. 13)
- звездное п. 1.4 (стр. 12)
- производное п. 1.4 (стр. 13)
Полином
- Александера п. 8.2 (стр. 177)
- Конвея п. 8.3 (стр. 179)
Полный крендель п. 1.8 (стр. 21)
Прием Александера п. 3.3 (стр. 70)
Приклеивание п. 1.3 (стр. 10)
Пространство додекаэдра п. 9.5 (стр. 204)
Полиэдр п. 1.4 (стр. 12)
Преобразование Райдемайстера п. 8.2 (стр. 170)
Проективная плоскость п. 2.1 (стр. 35)
Проекция узла, зацепления п. 8.1 (стр. 169)
302
Разбиение на ручки п. 1.11 (стр. 31)
- двойственное п. 1.11 (стр. 32)
Разрезание п. 1.3 (стр. 11)
Расслоение п. 1.9 (стр. 26)
- локально-тривиальное п. 1.9 (стр. 26)
- касательное п. 1.9 (стр. 26)
- нормальное п. 1.9 (стр. 26)
Регулярная окрестность п. 1.8 (стр. 25)
Ручка п. 1.1 (стр. 31)
Связная сумма
- поверхностей п. 2.1 (стр. 35)
- меридианов полного кренделя п. 3.9 (стр. 96)
- многообразий п. 7.1 (стр. 148)
Симплекс п. 1.4 (стр. 11)
Склеивание п. 1.3 (стр. 11)
Скручивание вдоль кривой п. 3.2 (стр. 69)
Степень отображения п. 1.10 (стр. 30)
Теорема
- Ван-Кампена п. 1.6 (стр. 17)
- Кирби п. 9.3 (стр. 197)
- классификации поверхностей п. 2.1 (стр. 37)
- об эйлеровой характеристике многообразия п. 4.2 (стр. 107)
- о группе гомеотопий поверхности п. 3.8 (стр. 82)
- о группе гомеотопий полного кренделя п. 3.9 (стр. 88)
- о деформации гомотопической эквивалентности
поверхностей в гомеоморфизм п. 2.3 (стр. 47)
- о петле п. 2.6 (стр. 62)
- о симплициальной аппроксимации п. 1.4 (стр. 13)
- о сфере п. 2.6 (стр. 66)
- о стабильной эквивалентности разбиений Хегора п. 5.2 (стр. 119)
- об изотопности гомотопных гомеоморфизмов
замкнутых поверхностей п. 2.3 (стр. 48)
Топологическое пространство п. 1.2 (стр. 7)
Тор
- стыковочный п. 11.1 (стр. 253)
- грубый, тонкий п. 11.2 (стр. 254)
Трансверсальность п. 1.10 (стр. 30-31)
Триангуляция п. 1.4 (стр. 12)
- комбинаторная п. 1.8 (стр. 24)
Узел п. 8.1 (стр. 166)
- ручной,дикий п. 8.1 (стр. 167)
Устранение пересечений поверхностей п. 2.5 (стр. 60-62)
Фундаментальная группа п. 1.5 (стр. 15)
Эйлерова характеристика п. 1.4 (стр. 14)
Характеристическое подзацепление п. 9.4 (стр. 200)
Хегора
- диаграмма п. 5.3 (стр. 122)
- разбиение п. 5.1 (стр. 117)
-род п. 5.1 (стр. 117)
Научное издание
Матвеев Сергей Владимирович
Фоменко Анатолий Тимофеевич
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ И КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ
В ТРЕХМЕРНОЙ ТОПОЛОГИИ
2-е издание, переработанное и дополненное
Утверждено к печати
Редколлегией серии
"Кибернетика: неограниченные возможности
и возможные ограничения"
Заведующая редакцией
"Наука - экономика, философия, право"
Т.В. Савич
Редактор Н.В. Ветрова
Художественный редактор Г.М. Коровина
Технический редактор Н.В. Мелкова
Корректоры Р.В. Молоканова,
А.В. Морозова, Т.Н. Шеповалова
Набор и верстка выполнены в издательстве
на компьютерной технике
ЛР № 020297 от 23.06.1997
Подписано к печати 20.01.98 г. Формат 60 х 90V16
Гарнитура Таймс. Печать офсетная
Усл. печ. л. 19,0. Усл. кр.-отт. 19,3. Уч.-изд. л. 19,5
Тираж 300 экз. Тип. зак. 3481
Издательство "Наука"
117864 ГСП-7, Москва В-485, Профсоюзная ул., 90
Санкт-Петербургская типография "Наука"
199034, Санкт-Петербург В-34, 9-я линия, 12
ство