ТЕХНИЧЕСКИЙ 0 УНИВЕРСИТЕТ
М. ШАБУНИН, Е. ПОЛОВИНКИН, М. КАРЛОВ
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО
ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
Рекомендовано
Учебно-методическим объединением
высших учебных заведений Российской Федерации
по образованию в области
прикладных математики и физики
в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений по направлению
«Прикладные математика и физика»
к
Москва
БИНОМ. Лаборатория знаний
2006

УДК 517(075.8)
ББК 22.161.5
Ш12
Шабунин М. И.
Ш12 Сборник задач по теории функций комплексного
переменного / М. И. Шабунин, Е. С. Половинкин, М. И. Карлов. —
М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. - 362 с: ил. —
(Технический университет)
ISBN 5-94774-330-2
Исчерпывающий сборник задач по теории функций комплексного
переменного, написанный авторами на основе многолетнего опыта
преподавания этого предмета в Московском физико-техническом институте.
Каждый параграф сборника содержит необходимый теоретический
материал, примеры с решениями, а также задачи для самостоятельной
работы.
Содержание настоящего сборника задач тесно связано с курсом
ТФКП, изложенным в учебнике М. Шабунина и Ю. Сидорова «Теория
функций комплексного переменного».
Для студентов инженерно-физических и физико-технических
специальностей вузов, а также для студентов университетов.
УДК 517(075.8)
ББК 22.161.5
По вопросам приобретения обращаться:
«БИНОМ. Лаборатория знаний»
Телефон: (495) 157-19-02, 157-52-72,
e-mail: Lbz@aha.ru, http://www.Lbz.ru
© Шабунин М.И., Половинкин
Е. С, Карлов М.И., 2006
© БИНОМ. Лаборатория знаний,
ISBN 5-94774-330-2 2006

Предисловие
Предлагаемый читателю «Сборник задач по теории функций
комплексного переменного» предназначен для студентов инженерно-
физических и физико-технических специальностей вузов, а также
студентов университетов. При создании сборника авторы опирались на
опыт преподавания ТФКП в Московском физико-техническом
институте (государственном университете).
Сборник состоит из шести глав. В первой главе рассматриваются
комплексные числа, последовательности и ряды комплексных чисел,
комплекснозначные функции действительного и комплексного
переменного, предел, непрерывность и интегрируемость функций комплексного
переменного.
Во второй главе изучаются регулярные функции и их свойства,
последовательности и ряды регулярных функций.
Третья глава посвящена изучению рядов Лорана, изолированных
особых точек однозначного характера, вычислению интегралов по
замкнутому контуру с помощью вычетов.
В четвертой главе речь идет о многозначных аналитических
функциях. Большое внимание уделяется выделению регулярных ветвей
многозначных функций, вычислению значений регулярных ветвей и их
разложению в ряды Тейлора и Лорана. Исследуются аналитические
продолжения и полные аналитические функции, а также их особые
точки.
В пятой главе теория вычетов применяется для вычисления
несобственных интегралов, а также для разложения мероморфных функций
в ряды простейших дробей и в бесконечные произведения.
В шестой главе рассматриваются конформные отображения, их
применение для решения краевых задач, а также элементы операционного
исчисления.
«Сборник» составлен с таким расчетом, чтобы им можно было
пользоваться при любом построении лекционного курса. С этой целью пара-

4 Предисловие
графы сделаны более или менее независимыми друг от друга. Все
необходимые ссылки на задачи других разделов приводятся с указаниями.
Каждый параграф начинается с изложения необходимых
теоретических сведений по тематике параграфа. Далее проведен разбор решений
типичных задач. После этого помещены задачи. Все указания к
решениям даны в основном тексте, а ответы приведены в конце каждого
параграфа.
Значительная часть задач составлена авторами специально для
«Сборника». Авторы также частично использовали материалы
«Сборника задач по теории аналитических функций» под редакцией М. А.
Евграфова, а также задачи, предлагавшиеся студентам МФТИ в
контрольных работах по ТФКП.
Авторы выражают глубокую благодарность коллективу кафедры
высшей математики МФТИ, многолетняя плодотворная работа
которого в значительной степени способствовала появлению этого сборника.

Введение
§ 1. Комплексные числа
Справочные сведения
1. Определение комплексного числа. Комплексные числа —
выражения вида а + Ы (a, b — действительные числа, г —некоторый символ).
Равенство z = а + Ы означает, что комплексное число а + Ы
обозначено буквой г, а запись комплексного числа z в виде а + Ы называют
алгебраической формой комплексного числа.
Два комплексных числа Z\ = а\ + b\i и Z2 = аг + b^i называют
равными и пишут z\ = 22, если а\ = а2, Ь\ = &2-
Сложение и умножение комплексных чисел Zi = ai + bii и
%2 = 02 + &2? производится согласно формулам
2Х + z-i = ai + a2 + (&i + 62)^. (1)
Z1Z2 — 0102 — 6162 + (ai&2 + a2&i)i (2)
Комплексное число вида a + 0 ■ г отождествляют с действительным
числом a (a+0-i = a), число вида О+Ьг (Ь ф 0) называют чисто мнимым
и обозначают Ьг; г называют мнимой единицей. Действительное число a
называют действительной частью комплексного числа z = а + Ы
и пишут Re z = а, число Ъ называют мнимой частью z и пишут Im z = b.
Из формулы (2) следует, что
г2 = -1, (3)
а формулы (1) и (2) получаются по правилам сложения и умножения
двучленов а\ + Ъ\1 и a<i + b^i с учетом равенства (3).
Операции вычитания и деления определяются как обратные для
сложения и умножения, а для разности z\ — Z2 и частного — (при z<i ф 0)
Z2
комплексных чисел z\ = а% + b\i и z^ = 02 + 62^ имеют место формулы
z\ - 22 = ai - a2 + (bi - Ь2)г,
zi _ aia2 + 6162 , «2^1 — ai&2 ■
г2 a| + 6| a\ + b\

6 Глава 1. Введение
Сложение и умножение комплексных чисел обладают свойствами
коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности:
Z\ + Z2 = Z2 + Z\\ Z\Z2 = Z2Z\,
{z\ + z2) + z% = zi + {z2 + z3), (ziz2)z3 = zi(z2Z3);
Z\{Z2 + Z3) = ZXZ2 + Z\Z%.
Множество комплексных чисел, в котором операции сложения
и умножения определяются формулами (1) и (2), обозначается
символом С.
2. Модуль комплексного числа. Комплексно сопряженные
числа. Модулем комплексного числа z = а + Ы (обозначается |г|)
называется число Vа2 + Ъ2, т. е.
\z\ = \/а2 + Ь2.
Для любых комплексных чисел z\, z2 справедливы равенства
\z\z2\ = \zi\ ■ \z2\;
если z2 ф 0, то
\Z\\
\2г\
Число а—Ы называется комплексно сопряженным с числом z = а+Ы
и обозначается z, т. е.
z = а + Ы = а — Ы.
Справедливы равенства
z ■ z= Ы2, z = z.
Для любых комплексных чисел z\, z2 верны равенства:
Z\ ± Z2 = Z\ ± Z2, Z\Z2 — Z\ ■ Z2\
если z2 Ф 0, то I — I = r- •
\Z2j Z2
Частное от деления комплексных чисел можно записать в виде
z\ zi~z2 ziz2 i п ,ЛЛ
z2 z2z2 \z2Y
3. Геометрическое изображение комплексных чисел. Пусть на
плоскости задана прямоугольная система координат. Комплексное
число z = а + Ы изображается точкой плоскости с координатами (а, 6),
и эта точка обозначается той лее буквой z (рис. 1.1). Действительные
числа изображаются точками оси абсцисс (ее называют действительной

§ 1. Комплексные числа 7
z = a + Ы
Рис. 1.1
Рис. 1.2
осью), а чисто мнимые числа — точками оси ординат (ее называют
мнимой осью). Плоскость, на которой изображаются комплексные числа,
называют комплексной плоскостью.
Комплексному числу z — a + Ы можно сопоставить вектор с началом
в точке О и концом в точке z (см. рис. 1.1). Этот вектор будем обозначать
той же буквой z, его длина равна \z\.
Числу z\ + z2 соответствует вектор, построенный по правилу
сложения векторов z\ и z2 (рис. 1.2), а вектор z\ — z2 можно построить как
сумму векторов z\ и — z2.
Расстояние между точками z\ и z2 равно длине вектора z\ — Z2, т. е.
W - z2\ = \/(ai - a2)2 + (bi - 62):
где z\ = a\ + b\i, z2 = a2 + b2i.
Условию \z — zq\ = R, где го — заданное комплексное число, R > О,
удовлетворяют точки, лежащие на окружности радиуса R с центром
в точке zq.
Для любых комплексных чисел z\% z2 справедливы неравенства
\z\ ±z2\ ^ \zi\ + Ы, \z\ ±z2\ ^ Il^i|
\z2\
4. Тригонометрическ£1я и показательнгш формы комплексного
числа. Аргументом комплексного числа z ф- 0 называется угол (р
между положительным направлением действительной оси и вектором z
(рис. 1.1). Этот угол считается положительным, если отсчет угла
ведется против часовой стрелки, и отрицательным — при отсчете по
часовой стрелке.
Связь между действительной и мнимой частями комплексного числа
z — а+Ы и его модулем г = \z\ и аргументом ip выражается следующими

8 Глава 1. Введение
формулами:
' a = r cos (p.
{
о = г sin <р;
COS(f =
ь (6)
Sin (Л = , .
Аргумент комплексного числа z = a + Ы (z ф 0) можно найти,
решив систему (6). Эта система имеет бесконечно много решений вида
У = ¥>0 + 2&7Г, где A; G Z, <^о~одно из решений системы (6), т. е.
аргумент комплексного числа определяется неоднозначно. Чтобы
подчеркнуть зависимость угла щ от точки z, будем использовать
обозначение щ = argz. Множество всех значений аргумента числа z будем
обозначать Argz, т. е. Argz = {argz + 2жк: к G Z}.
Для нахождения аргумента комплексного числа z = a + Ы (а ф 0)
молено воспользоваться формулой
tBV=|- (7)
При нахождении аргумента комплексного числа z с помощью
формулы (7) нужно обратить внимание на то, в какой четверти находится
точка z — a + Ы.
Из равенств (5) следует, что любое комплексное число z = a + bi, где
z ф 0, представляется в виде
z = r (cos if + isimp), (8)
где г = \z\ = Vo? + Ь2, ip — аргумент числа z. Запись комплексного
числа z в виде (8), где г > 0, называют тригонометрической формой
комплексного числа.
Комплексное число cos ip + г sin ip обозначается символом ег(р, т.е.
для любого ip функция ег(р определяется формулой Эйлера
ег<р = cos ip + г sin ip. (9)
Из равенства (9) следует, что е2пг = 1, ет — —1, е7™/2 = i, е-*4/2 = —г
и |ег¥>| = 1 для любого у> G R.
Справедливы равенства
е'
W2
em¥> = (cos у> + i sin y>)n = cos nip + г sin ip, n G Z; (11)
формулу (11) называют формулой Муавра.

§ 1. Комплексные числа 9
Из формул (8) и (9) следует, что любое комплексное число z ф О
можно записать в показательной форме
z = revp, где г = \z\, ср~ аргумент числа z, (12)
а из равенств (10) вытекает, что если z\ = г\егч>х, z<i = гге1^2, где г\ > 0,
Г2 > 0, ТО
ziz2 = rir2ei(vi+<M), (13)
fl — II ^(vi-va) n^
Из формул (13) и (14) следует, что при перемножении комплексных
чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются; модуль
частного двух комплексных чисел равен частному модулей этих чисел,
а разность аргументов делимого и делителя является аргументом
частного.
Если комплексные числа z\ и zi записать в показательной форме, т. е.
представить их в виде z\ = rielipi, z<i = гге1^2, то z\ = z<i тогда и только
тогда, когда
г\ — Г2, (fi = ¥>2 + 2kn, k &Z.
5. Извлечение корня. Рассмотрим уравнение
zn = a, (15)
где а ф 0 — комплексное число, п £ N (п > 1). Пусть z = гег<р, а — регв,
тогда
rneinV = peie^
откуда
гп = р, тр = 6 + 2пк, fceZ,
, г= 1/р, <pk = ^(6 + 2kir). (16)
Таким образом, уравнение (15) имеет п различных корней
zk = VRe^, (17)
где ipk определяется формулой (16), к = 0,1,... ,п— 1, в — аргумент
числа а.
На комплексной плоскости точки Zk (fe = 0,1,... , n — 1)
располагаются в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность
радиуса у|а| с центром в точке О.

10 Глава 1. Введение
Примеры с решениями
Пример 1. Выполнить действия:
1) P-0'i 2)<1±§^>. -
о + г
А 1) Используя формулу куба разности и равенства г2 = — 1, г3 = —г,
получаем: (2 - г)3 = 8 - 3 • 4г + 3 • 2(-1) + г = 2 - 11г.
2) Пусть z\ = (1 + г)(1 — 2г), 22 — 3+г. Тогда по формуле (2) находим
z\ = 3 — г, а по формуле (4) получаем:
zi _ 3-г _ (3-г)2 _ 8 - 6г _ 4 _ 3 .
V2 ~ 3+7 ~ 10 ~~ 10 _5_5г' А
Пример 2. Доказать, что для любых двух комплексных чисел z\ и 22
справедливо равенство
|21 + 22|2 + |*1 - 22|2 = 2(|2l|2 + |22|2).
А Используя свойства комплексно сопряженных чисел, получаем:
\Z\ + Z2\2 + \Z1 - 22|2 = (21 + Z2)(Zi + 22) + (2i - 22)(2l - 22) =
= (2i + 22)(2T + 2^) + (2i - 22)(2l - 2^) =
= 22l2T+2z222- = 2(|2i|2+|22|2). A
Это равенство выражает тот факт, что сумма квадратов диагоналей
параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
Пример 3. Найти множество точек комплексной плоскости,
удовлетворяющих условию:
1) |z + l| = |2-i|; 2) 2 < |2 + 2г| < 3.
А 1) Уравнению |z+l| = \z — г\ удовлетворяют все точки,
равноудаленные от точек 2i = —1 и 22 = г. Это прямая у = — х (биссектриса второго
и четвертого координатных углов).
2) Условию \z + 2г\ < 3 удовлетворяют все точки, лежащие внутри
круга радиуса 3 с центром в точке zq = — 2г, а условию \z + 2г'| > 2 —
все точки, лежащие вне круга радиуса 2 с центром в точке zq. Искомое
множество точек — кольцо между окружностями радиусов 2 и 3 с общим
центром в точке zq = — 2г. А
Пример 4. Записать в тригонометрической и показательной форме
комплексное число:
7Г 7Г
1) 2i = —1 — г; 2) 22 = —cos - + г sin-.

§ 1. Комплексные числа 11
Л 1) Применяя формулу (7), получаем tg ср = 1, откуда ip = —,
так как точка — 1 — г лежит в третьей четверти. Так как \z\\ = V2,
то Zl = ^fcos ^ + г sin *f) = V2e«W4.
2) Так как точка z% лежит во второй четверти, то, используя
формулы приведения, получаем
7Г 47Г . 7Г . 47Г
— cos
и поэтому
— cos — = cos —-, sin — = sin — ,
5 5 5 5
47Г ... 47Г )'4тг/Я
z2 = cos И sin — = ег47Г/ь. А
5 5
Пример 5. Вычислить —; rj—.
(1 + г)
Л Так как 1 — г\/3 = 2е_г7Г/3, 1 + г = у/2егж/4, то, применяя формулы
(13) и (14), получаем:
(1-гУЗ)6 = 2«е-а" ^
(1 + г)4 (У2)4е-
Пример 6. Найти все корни уравнения ze = —8.
Л Используя формулы (16) и (17), где 9 = 7Г, \а\ = р — 8, получаем:
г* = ^2е^+2Ьг)/6, А; = 0,1,2,3,4,5,
где
Zo = ^е-/б = ^ + ^ г, z1 = V2e™/* = V2i,
z2 = V2e^ = -f + ^i, z3 = -z0 = -^-^i, .
z4 = -Zl = -V2z, z5 = -z2 = — —г. А
Задачи
1. Вычислить:
1) (1 + 2г)(2 - г) + (1 - 2г)(2 + г); 2) ^ + JL;
•^ flz*V'. 4^ (1 + 2»)2-(1-»)3
°> \l + i) ' ; (3 + 2г)3-(2 + г)2'

12 Глава 1. Введение
+ г\ = \z-l-i\.
2. Записать в тригонометрической и показательной форме комплексное
число z:
1)г = 1 + г121; 2) г = (-3 + 4г)3;
0\ 1 , 7Г , . . 7Г . (1 + 09
3) z = 1 + cos- -Msin-; 4) z = —> 7=-^.
7 7' ' (1_гУз)6
3. Найти все корни уравнения:
1) z = z3; 2) \z\ -z = l+2i;
3) z + \z + l\+i = 0; 4) \z\2 - 2iz + 2г = 0.
4. Решить систему уравнений:
Г|г-2г|=Ц Г|г2-2г| = 4,
\|г-г| = |г-1|; \|z+l
5. Решить уравнение:
1) г2 = -г; 2) г6 = 64;
3) z7 = -l; 4) z8 = l+i.
6. Пусть г = го — корень многочлена P(z) с действительными
коэффициентами. Доказать, что P(zo) = 0, т. е. zo— корень многочлена P(z).
7. Пусть z\ и 22 — фиксированные точки комплексной плоскости. Дать
геометрическое описание множества всех точек z, удовлетворяющих уравне-
4 нию:
1) |z-zi| = |z-z2|;
2)|z-l| = |Rez|;
3) \z - zi\ + \z - z2\ = 2a, где a > - \z2 - zi\;
4) ||z-zi| -\z-z2\\= 2a, где a < - \z2 - zi\.
8. Пусть Ai —треугольник с вершинами z\, z2, z3, а Д2 — треугольник с
вершинами w\, w2, W3. Доказать, что треугольник А\ подобен
треугольнику Д2, если
Z3 — Z\ _ W3 — Wi
Z2 — Z\ W2 — W\
9. Выяснить, какая линия на плоскости задается уравнением:
l)Re- = - (о>0); 2) Re *—± = 0;
z a v z+1
3)bn§^ = 0; 4)Re^ = 0 (a>0).
10. Выяснить, какое множество точек z комплексной плоскости удовлетворяет
неравенству:
1) \z-i\ + \z + i\<4; 2) Rei<i;
3) \z-2\-\z + 2\<2; 4) |1 + z\ < |1 - z|;
5) 0 < arg Ц4 < J; 6) Re(z(l - t)) < V2;
7) ~ <arg(z + i)< |; 8)|z|>l-Rez; 9) Rez4 > Imz4.

§ 1. Комплексные числа 13
11. Пусть А и С действительные, а В — комплексная постоянные и пусть
АС < \В\2. Доказать, что уравнение
A\z\2+Bz + Bz + C = 0 (A>0),
является уравнением окружности, а также найти центр этой окружности
и ее радиус.
12. Доказать, что уравнение окружности, проходящей через три данные точки
z\, %2, Z3, не лежащие на одной прямой, можно записать в виде
\zi\
ы
ы
Z
Z\
Z2
Z3
Z
Zl
~Z~2
~Z~3
1
1
1
1
= 0.
13.
14.
Доказать, что при любом положительном значении К, отличном от 1,
2 — 21
уравнение
= К является уравнением окружности, а также найти
2 — 22
центр этой окружности и ее радиус.
Доказать, что четыре попарно различные точки z\, Z2, 23, 24 лежат на
одной окружности (или на одной прямой) в том и только в том случае,
когда величина
22 — Zl Z2 — 24
действительна.
2з — 21 2з — 24
15. Пусть а — произвольное комплексное число, удовлетворяющее условию
2 — О
Ima > 0. Доказать, что величина
в нижней полуплоскости больше
16
2 — О
единицы, в верхней полуплоскости меньше единицы, а на действительной
оси — равна единице.
Пусть a — произвольное действительное число. Доказать, что если
многочлен P(z) = zn + a\zn~x + ... + an имеет п действительных корней, то
и многочлен Q(z) = P(z + ia) + P(z — ia) имеет п действительных корней.
17. Найти на отрезке, соединяющем точки z\ и Z2, точку, которая делит этот
отрезок в отношении Ai : A2, где Ai и Аг — положительные числа.
18. Доказать, что три попарно различные точки z\, Z2, 23 лежат на одной
прямой в том и только в том случае, когда величина
23 - 21
действительна.
22 -21
19. Доказать, что точка С лежит на отрезке, соединяющем точки z\ и Z2, в
том и только в том случае, когда существует такое число а, 0 ^ а ^ 1,
что С = olz\ + (1 — a)z2-
20. Пусть в точках z±, ... , zn комплексной плоскости помещены
материальные точки с массами Ai, ... , А„, соответственно. Доказать, что
центр тяжести такой системы материальных точек находится в точке
» _ Al2l + . . . + \nZn
^ ~ Ai + ... + А„
21. Пусть точки z\, Z2, z$ лежат на окружности с центром в точке z = 0.
Доказать, что треугольник с вершинами в точках z\, Z2, 23 является
равносторонним в том и только в том случае, когда z\ + Z2 + 23 = 0.

14 Глава 1. Введение
22. Доказать, что точки Z\, *2, *з, *4> лежащие на одной окружности,
являются вершинами прямоугольника в том и только в том случае, когда
*1 + *з = *2 + zi (точки занумерованы в порядке следования при обходе
окружности).
23. Даны три вершины Z\, 22, 23 параллелограмма, занумерованные в порядке
следования по его границе. Найти четвертую вершину 24
параллелограмма.
24. Доказать, что при любых z G С справедливо равенство
\Vz2-l + z\ + \\/z2-l-z\ = |2-1| + |2+1|.
25. Доказать, что для любых z\ G С, 22 G С справедливы равенства:
1) 1*1*2 + 1|2 + |*1 - Z2? = (|2i|2 + 1) (|22|2 + 1);
2) 1*1*2 - 1|2 - |*i - z2\2 = (|2i|2 - 1) (|*2|2 - 1).
26. Доказать, что величина
А\\\2 + ВХр + Ъ~\ц + С\ц\2
неотрицательна при любых A G С, /J, G С в том и только в том случае,
когда выполнены условия
А > О, С> О, \В\2 < АС.
27. Доказать, что при любых Zk G С, Cfc G С (к = 1, 2, ... , га) имеет место
неравенство
2
Х>а <i>i2-I>i2
fc=i fc=i fc=i
(меравемство Коши^Буняковского—Шварца).
28. Доказать, что при любых Zk G С (fc = 1, 2, ... , га) имеет место
неравенство
fc=i
^
'Ei
п > |*fc|
fc=i
29. Пусть 0 < s' < s. Доказать, что для любых *fc G С (к = 1, 2, ... , га)
справедливо неравенство
30. Пусть s > 0. Доказать, что для любых отличных от нуля *fc € С
(/с = 1, 2, ... , га) справедливо неравенство
( п "J i/« ■
fc=i

§ 1. Комплексные числа 15
31. Пусть 2i, 22, ... , zn —произвольные комплексные числа. Доказать, что:
1) (ЕыУ^пГ-1 £\zk\P, р>1;
\fc=i / fc=i
2) (it\zk\) < ЕЫР, 0<р<1.
\fc=i / fc=i
32. Пусть р > 1, g > 1, а —I— = 1. Доказать, что для любых ^ 6 С, (^ £ С
Р Я
(к = 1, 2, ... , п) имеет место неравенство
/ n \ 1/P / „ \ 1/9
/^кСк
к=1
MEw £|<и
\к=1 / \fc=l
(неравенство Гёлъдера).
Ответы
1. 1)8. 2)3-*. 3) i. 4)^ -А,
2.
1) у/2 (cos | + г sin - J = у/2е™'А.
2) 125(cos3v? + isin3v?) = \2bei3lf>;
3) 2 cos — I cos —- + isin — ) = 2 cos — ег7Г/14;
14 \^ 14 14 у 14
2) 125(cos3v? + isin3v?) = 125ei3¥>; <p = тг - arctg |;
"v/2 / „„ w ,.•„:_ w A _ V^ iir/4
4) — ( cos —h г sin — ) = — e
' 4 \ 4 4,/ 4
3. 1) 2i =0, z2 = 1, 23 = -1, 24 = г, 25 = -г;
2)г=^-2г, 3)г = -1-г; 4) 2 = 1 - i.
4. 1)2 = 1 +г; 2) 2i = 1-г; 22 =-1 + г.
5. 1) 2i = в""/4; 22 = ei37r/4;
2) 2fc = 2eiTfc/6, Л = 0,1,2,3,4,5;
3) 2fc = e^+^Z7, Л = 0,1,2,3,4,5,6;
4)2fe= ^e^+^Z32, fc = 0,l,2,3,4,5,6,7.
7. 1) Прямая, проходящая через середину отрезка, соединяющего точки
2i и 22, перпендикулярная к этому отрезку.
2) Парабола, директрисой которой является мнимая ось, а фокусом —
точка 2 = 1.
3) Эллипс с фокусами в точках 2i и 22 и с большой полуосью, равной а.
4) Гипербола с фокусами в точках 2i и 22 и с действительной полуосью,
равной а.
9. 1) Окружность, построенная на отрезке [0, а] как на диаметре.
2) Окружность радиуса 1 с центром в точке 2 = 0.
3) Действительная ось.
4) Окружность радиуса а с центром в точке 2 = 0.

16 Глава 1. Введение
2 2
10. 1) Внутренность эллипса — + У— = 1. ' ■
2) Внешность круга (х — I)2 + у2 ^ 1.
3) Часть плоскости, лежащая справа от левой ветви гиперболы
4) Полуплоскость, лежащая слева от мнимой оси.
5) Правая половина круга радиуса 1 с центром в точке z = 0.
6) Полуплоскость, содержащая точку z = 0 и ограниченная
касательной к окружности радиуса 1 и центром в нуле, проведенной в точке
г = ±±*.
л/2
О ТУ
проходят через точки z = 1, г = 0.
8) Часть плоскости, лежащая с той же стороны параболы у2 = 1 — 2х,
что и точка г = 1 (и ограниченная этой параболой).
9) Четыре угла раствора — с вершиной в точке z = 0, биссектрисами
которых являются лучи arg z = — — + пк, к = 0,1,2,3.
Во всех случаях точки граничных линий не включаются.
7) Угол раствора — с вершиной в точке z = —г, стороны которого
11 тт в \В\*-АС
11. Центр окружности в точке ——, а радиус равен «/J—!—^ .
,о тт Zl-K2Z2 K\z\—Zl\
13. Центр окружности в точке — -^-, а радиус равен '
К* • " - \-К*
§ 2. Последовательности и ряды комплексных чисел.
Комплекснозначные функции
действительного переменного.
Кривые и области на комплексной плоскости
Справочные сведения
1. Предел последовательности комплексных чисел
1.1. Комплексное число zq называется пределом
последовательности {zn}, если для любого е > 0 существует такой номер ./V = N(e),
что для всех п> N выполняется неравенство
\zn-z0\<e. (1)
При этом пишут Km zn = zq.

§ 2. Последовательности и ряды комплексных чисел 17
Другими словами, число zq называется пределом
последовательности {zn}, если
lim \zn - z01 = 0. (2)
n—>oo tj^
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.
Геометрический смысл неравенства (1) заключается в том, что
точка zn лежит в круге радиуса е с центром в точке zq. Этот круг,
т. е. множество точек z, удовлетворяющих неравенству \zn — zq\ < e, где
е > 0, называется е-окрестностью точки zq. Следовательно, точка zq
является пределом последовательности {zn}, если в любой окрестности
точки zq содержатся все члены этой последовательности, за
исключением, быть может, их конечного числа.
1.2. Существование предела lim zn — zq, где zn = хп + уп, равносильно
п—>оо
существованию двух пределов:
lim хп = х0, lim уп = у0,
п—>схз п—+оо
где z0 = x0 + iy0.
1.3. Свойства сходящихся последовательностей комплексных чисел:
если lim zn = zq и lim Cn = Coj TO
п—>оо п—>оо
lim (zn ± Cn) = z0 ± Со, lim (zn ■ Cn) = z0 ■ Co, lim -^ = -^
n—>сю n—><хз n—»сю t,^ (,0
при условии, что Cn Ф 0, где п = 0, 1, 2, ... .
1.4. Критерий Коти. Последовательность {zn} сходится тогда
и только тогда, когда для любого е > 0 существует такой номер N,
что для всех п > N и т > N выполняется неравенство
\%п zm\ < £•
1.5. Последовательность комплексных чисел {zn} называется
ограниченной, если существует такое число R, что \zn\ < R для всех номеров п.
Всякая сходящаяся последовательность ограничена. Обратное
утверждение, вообще говоря, неверно.
1.6. Если lim zn = zo, то lim \zn\ — \zo\.
п—юо п—юо
1.7. Пусть
.. _ r Jv
^n — ' nc ,
где r„ = |zn|, <pn = arg2„, n € N. Если
lim rn = r0 и lim <pn = <p0,
П—><X3 П—>0O
то lim zn = гоег,ро.

18 Глава 1. Введение
2. Сходимость ряда, составленного из комплексных чисел
2.1. Ряд
оо
составленный из комплексных чисел, называется сходящимся, если схо-
п
дится последовательность его частичных сумм Sn = ^2 zk- При этом
fc=i
предел S последовательности {Sn} называют суммой ряда (3) и пишут
оо
S = Y,zk.
fc=l
Пусть Zk = Xk + гук- Тогда для сходимости ряда (3) необходимо и до-
оо оо
статочно, чтобы сходились оба ряда ^ Xk и Y1 Ук- Если S = А + iB —
fc=i fc=i
сумма ряда (3), то то то
^2хк = А, ^2ук = В.
fe=i fe=i
2.2. Ряд (3) называется абсолютно сходящимся, если сходится
оо
ряд Yl \zk\- Для абсолютной сходимости ряда (3) необходимо и
fc=i
оо оо
достаточно, чтобы абсолютно сходились оба ряда ^ хк и ^ Ук, где
fc=i ik=i
Ч = Zfc + гг/fe.
2.3. Критерий Коти. Ряд (3) сходится тогда и только тогда, когда
для любого е > 0 существует номер N = Ne такой, что для любого
N ^ NE и для любого р € N справедливо неравенство
п+р
k=n+l
3. Бесконечный предел последовательности. Расширенная
комплексная плоскость. Последовательность комплексных
чисел {zn} называют сходящейся к бесконечности и пишут
lim zn = оо, (4)
п—>оо
если
lim |гп| = оо. (5)
п—>оо
Это определение формально совпадает с соответствующим
определением для действительных чисел, так как соотношение (5) означает,

§ 2. Последовательности и ряды комплексных чисел 19
R
Рис. 2.1
что для любого R > О существует такой номер N, что для всех n > N
выполняется неравенство
\zn\>R. (6)
Геометрически неравенство (6) означает, что точка zn лежит вне
круга радиуса R с центром в точке О (рис. 2.1). Это множество
называется окрестностью бесконечности. Следовательно, точка z = оо
является пределом последовательности {zn}, если в любой окрестности
точки z = оо содержатся все члены этой последовательности, за
исключением, быть может, их конечного числа.
Таким образом, «числу» z = оо ставится в соответствие
символическая бесконечно удаленная точка. Комплексная плоскость, дополненная
бесконечно удаленной точкой, называется расширенной комплексной
плоскостью и обозначается символом С. Приведем геометрическую
интерпретацию расширенной комплексной плоскости.
Рассмотрим сферу S, касающуюся комплексной плоскости в точке О
(рис. 2.2). Обозначим через Р точку сферы S, диаметрально
противоположную точке О. Каждой точке z комплексной плоскости С поставим
в соответствие точку М, которая является точкой пересечения сферы S
с отрезком, соединяющим точки z и Р (рис. 2.2).
При этом последовательности {zn}, сходящейся к бесконечности,
соответствует последовательность точек сферы S, сходящаяся к точке Р.
Поэтому точке z = оо поставим в соответствие точку Р.
Такое соответствие между точками расширенной комплексной
плоскости и точками сферы S является взаимно однозначным. Оно
называется стереографической проекцией, а сфера S называется сферой
Римана.
Комплексные числа (включая z = оо) можно изображать точками
сферы Римана. При этом сходящиеся последовательности комплексных

20 Глава 1. Введение
Рис. 2.2
чисел изображаются на сфере Римана сходящимися
последовательностями точек.
При стереографической проекции прямые и окружности переходят
в окружности, угол между пересекающимися кривыми на плоскости
равен углу между образами этих кривых на сфере Римана.
Расширенная комплексная плоскость компактна, т. е. из любой
последовательности комплексных чисел можно выделить сходящуюся
(может быть, к бесконечности) подпоследовательность.
4. Комплекснозначные функции действительного
переменного. Если каждому значению t из интервала (а; Ь) поставлено в
соответствие комплексное число
z{t) = x{t) + iy{t),
где x(t) = Rez(i), a y(t) — Imz(t), то мы будем говорить, что на
интервале (а, Ь) задана комплекснозначная функция z(t) действительного
переменного t.
Для комплекснозначных функций действительного переменного
естественным образом определяются понятия предела, непрерывности,
производной, интеграла и т. д. Именно, полагаем
lim z(t) = lim x(t) + г lim y(t); z'(t) = x'(t) + iy'(t);
t—t-to t—>to t—>io
Ь Ь Ь
I z{t)dt= I x(t)dt + i I y{t)dt.
a a a

§ 2. Последовательности и ряды комплексных чисел 21
5. Кривые на комплексной плоскости
5.1. Пусть на конечном отрезке a ^ t ^ /? заданы две непрерывные
функции £(£) и rj(t). Тогда на этом отрезке задана непрерывная ком-
плекснозначная функция действительного переменного:
z = a(t)=Z(t)+iri(t), a<t</3.
В этом случае говорят, что задана непрерывная кривая
г = a(t), a^t^fi, (7)
а уравнение (7) называется параметрическим уравнением этой кривой.
При этом, если z\ — o-{t\) и Z2 = crfa), где а ^ t\ < £2 ^ Р, то говорят,
что точка Z2 кривой (7) следует за точкой z\ (или: точка z\ предшествует
точке Z2).
Таким образом, кривая (7) является упорядоченным множеством
точек комплексной плоскости. Другими словами, кривая (7) всегда
считается ориентированной в направлении возрастания параметра t.
Направление движения точки z вдоль кривой (7), соответствующее
возрастанию параметра t, называется положительным. Точка а = о~(а)
называется началом (или начальной точкой) кривой (7), а точка Ь = о~(Р) —
ее концом (или конечной точкой).
5.2. Пусть кривая 7 задана уравнением (7). Тогда на комплексной
плоскости точки z = ait), a ^ t ^ Р образуют некоторое множество М(7).
Это множество отличается от самой кривой, во-первых, тем, что кривая
является упорядоченным множеством точек.
Второе отличие кривой 7 от множества М(7) состоит в том, что
различным точкам кривой может отвечать одна и та же точка плоскости:
если a{t\) = crfa) при t\ ф t2, то точки z\ = a{t\) и Z2 — с(*2) являются
различными на кривой 7, но как точки плоскости они совпадают. Такие
точки называются точками самопересечения кривой (7). Исключением
является совпадение начала и конца кривой: если о~(а) = о~(/3), то эта
точка не считается самопересечением кривой (7).
Кривая, не имеющая точек самопересечения, называется простой
кривой. Кривая, у которой начало и конец совпадают, называется
замкнутой кривой.
Замечание. Две кривые z = ai(t), ct\ ^ t ^ /3i, и z = 02(1"), 02 ^ т ^ /?2,
считаются совпадающими, если существует действительная функция
t = s(t), непрерывная и возрастающая на отрезке а.2 ^ г ^ /?2, такая,
что s(a2) = ai, s(P2) = Pi и ai(s(r)) = a2(r) при а2 ^ т ^ p2.
Совпадающим кривым отвечает одно и то же множество точек
плоскости.

22 Глава 1. Введение
Уравнение любой кривой z = a\{t), a ^ t ^ /3, молено записать
в виде z = 02(т), 0 ^ т ^ 1, например, с помощью замены
t = a + (/3 — а)т; o\(t) = o\(a + (/3 - а)т) = сг2(т).
Таким образом, не теряя общности, уравнение кривой молено
записывать с помощью комплекснозначной функции, определенной на
отрезке [0, 1].
Рассмотрим кривую 7, заданную уравнением z = cr(t), a ^ т ^ /3.
Обозначим через 7-1 кривую, полученную из кривой 7 изменением
ориентации на противоположную. Тогда уравнение кривой 7-1 молено
записать в виде z = cr(—t), —/3 ^ t ^ —a.
5.3. Часть кривой 7, проходимая от точки z\ = (j{t\) до точки z^ = crfo),
где t\ и ^2 принадлежат отрезку [а,/3], называется дугой кривой 7-
Пусть a = to < t\ < £2 < • • • < tn = (3 и 7fe — дуга кривой 7>
проходимая от точки Zfe_i = cr(ffe_i) до точки Zfc = a(tk) (k = 1, 2, ... , n).
Тогда будем говорить, что кривая 7 разбита на дуги 71, 72, • • • , 7п или
кривая 7 состоит из дуг 71, 72, • • • , 7п- Этот факт будем обозначать
так: 7 = 7i U 72 U • • • U 7п- Ломаная с последовательными вершинами
в точках Zfe = cr(ffe), A; = 0, 1, ... , п, называется ломаной, вписанной
в кривую 7 (рис. 2.3).
Рассмотрим совокупность всех ломаных, вписанных в кривую 7-
Если множество длин этих ломаных ограничено, то кривая 7
называется спрямляемой, а точная верхняя грань этого множества называется
длиной кривой 7-
5.4. Кривая называется гладкой, если ее уравнение молено записать
в виде z = cr(t) = £(£) + ir](t), a < t < /5, где функции £(£) и r](t)
непрерывно дифференцируемы на отрезке [а, /3], т. е. на этом отрезке
функция a(t) имеет непрерывную производную cr'(t) = £'(£) + *»/(*)
и a'(t) ф 0, причем если кривая замкнута, то доллено выполняться
равенство сг'(а) = сг'(/3).

§ 2. Последовательности и ряды комплексных чисел 23
Кривая называется кусочно-гладкой, если ее можно разбить на
конечное число гладких кривых. Простейшим примером кусочно-гладкой
кривой является ломаная.
Уравнение кусочно-гладкой кривой молено записать в виде z = cr(t),
a ^t ^ /3, где функция a(t) непрерывна и кусочно-непрерывно
дифференцируема на отрезке [a, j3\ и на этом отрезке o~'{t) ф 0.
Всюду в дальнейшем будем рассматривать только гладкие или
кусочно-гладкие кривые.
Геометрический смысл производной комплекснозначной функции
состоит в следующем: если кривая 7 задана уравнением z = (r(t),
а < К ft и в некоторой точке to € [а, /3] существует a'(to) Ф 0, то
кривая 7 в точке zq = cr(to) имеет касательный вектор a'(to).
Следовательно, кусочно-гладкая кривая во всех точках имеет касательную,
кроме, быть может, конечного числа точек, в которых существует
предельное положение касательной слева и справа. Эти исключительные
точки называются угловыми точками кривой.
5.5. Из курса математического анализа известно, что кусочно-гладкая
кривая 7: z = cr(t), a ^t ^ (3, спрямляема и ее длина /(7) выражается
формулой
/з
K'y) = f\o'{t)\dt,
а
так как |<r'(t)| dt — dl — элемент длины кривой 7-
5.6. Введем понятие неограниченной кривой. Пусть на луче t ^ а задана
непрерывная комплекснозначная функция z = a(t) и а(+оо) = оо, т. е.
lim a[t) = 00. Тогда говорят, что задана неограниченная кривая
t—>+оо
z = a(t), a^t<oc, (8)
а уравнение (8) называется параметрическим уравнением этой
кривой. Неограниченная кривая (8) называется кусочно-гладкой, если для
каждого конечного (3 > а кривая z = cr(t), a ^ t ^ /3, является
кусочно-гладкой.
Аналогично определяются неограниченные кривые в случае, когда
параметр t пробегает полуось — оо < t ^ а или всю числовую ось.
Уравнение неограниченной кривой (8) можно записать в виде
z = ai(r), ai ^т < /3i,
где о-\(т) —> оо при т —> /?i, /?i —конечное число. Для определенности
уравнение такой кривой будем записывать только в виде (8).

24 Глава 1. Введение
6. Область
6.1. Множество D точек расширенной комплексной плоскости
называется областью, если это множество:
— открытое, т. е. для каждой точки из множества D существует
окрестность этой точки, принадлежащая D;
— связное, т. е. любые две точки из множества D можно соединить
кривой, все точки которой принадлежат D.
6.2. Граничной точкой области D называется точка, в любой
окрестности которой есть точки, принадлежащие D, и точки, не
принадлежащие D. Множество граничных точек называется границей этой
области. Область D, дополненная всеми своими граничными точками,
называется замыканием области D и обозначается через D.
Всюду в дальнейшем будем рассматривать только такие области,
границы которых состоят из конечного числа кусочно-гладких кривых
и изолированных точек.
Кроме того, будем считать, что все граничные кривые области D
ориентированы так, что при движении точки вдоль граничной кривой
в направлении этой ориентации область D остается слева.
6.3. Область D на комплексной плоскости называется односвязной, если
любую замкнутую кривую, лежащую в D, можно непрерывно
деформировать в точку, оставаясь в области D.
Замечание. В односвязной области любые две кривые с общим
началом и общим концом можно непрерывно деформировать друг в друга,
оставаясь в области.
Область D на комплексной плоскости является односвязной только
тогда, когда внутренность любой простой замкнутой кривой, лежащей
в D, целиком принадлежит области D. Образно односвязную область
можно представить как лист бумаги произвольной формы, может быть,
с разрезами по краям, но без «дырок» внутри.
Ограниченная область является односвязной, если ее граница
состоит только из одной замкнутой кривой.
Пусть кривые 70: z — оо(£), 0 < £ < 1, w. ^\: z = o-\{i), О < t < 1,
лежат в области D и имеют общее начало в точке а = его(О) = cri(O)
и общий конец в точке Ь = сго(1) = cri(l).
Будем говорить, что кривую 7о можно непрерывно деформировать
в кривую 71, оставаясь в области D, если существует функция a(t,s),

§ 2. Последовательности и ряды комголексных чисел 25
непрерывная в квадрате 0 ^ £ ^ 1, О ^ s ^ 1 и удовлетворяющая
следующим условиям:
1) при каждом фиксированном s G [0, 1] кривая 7s: z = &{t,s),
О ^ £ ^ 1, лежит в области D;
2) a(t,0) = a0(t), (r(t,l) = ffi(t), 0 < t < 1; .
3) а(0,я) = а, а(1,я)=Ь, 0 < s < 1.
В частности, если кривая 7о замкнутая, т. е. a = Ъ, а кривая 71 — это
только одна точка a = Ъ = z$ G D, т. е. cri(£) = 20, 0 < £ ^ 1, то будем
говорить, что кривую 7о можно непрерывно деформировать в точку,
оставаясь в области D. При этом можно отказаться от условия 3.
Примеры с решениями
Пример 1. Пусть \а\ < 1. Доказать, что lim nan = 0.
п—>оо
Л Можем считать, что а ф 0. Положим q — —- тогда q > 1 и можно
записать, что q = 1 + 6, где 6 > 0. Отсюда, используя формулу бинома
Ньютона, получаем
qr" = (1 + 5)" > _Ц^—£ ^ > при п > 2,
л 4
откуда п|а|" = — < —^ < е при всех п ^ Ne, где iVe =
+ 1.
Следовательно, lim n|a|n = 0 и lim nan = 0. ▲
Пример 2. Пусть \а\ < 1. Доказать сходимость ряда ^ nan и найти
п=1
его сумму 5".
п
Л Если 5„ = Y. kak>
то используя формулу суммы геометрической
fc=i
прогрессии, получаем
Sn - Sna = а + a2 + ... + ап - nan+1 = а ~ а"+' - nan+1,
1 — а
откуда
a a"+1 na"+1
Ьп —
(1-a)2 (1-a)2 l-o
Так как lim an+1 = 0 и lim nan+1 = 0 (пример 1), то lim Sn = 7 77-
n—>oo n—>oo n—>oo (1 — a)
Итак, если |a| < 1, то данный ряд сходится и его сумма S = г~. ▲
[1-аУ

26 Глава 1. Введение
Пример 3.
Л 1) Кривая z = cos£, 7г ^ £ < 2-к является отрезком [—1, 1],
ориентированным в направлении от точки z = — 1 к точке z — 1 (рис. 2.4).
Уравнение этой кривой можно записать в виде z = t, — 1 ^ £ ^ 1,
или в виде z = 2£ — 1, 0 ^ £ ^ 1.
2) Кривая г = ег*, 0 ^ £ ^ я-, является полуокружностью |г| = 1,
Imz ^ 0, ориентированной против часовой стрелки (рис. 2.5). А
Рис. 2.4
Рис. 2.5
Пример 4. Л Кривая z = elt, 0 ^ £ ^ 2л- является окружностью
|г| = 1, ориентированной против часовой стрелки, с началом и концом
в точке z = 1. Это пример простой замкнутой кривой (рис. 2.6). А
Пример 5. Л Кривая z = a(t), — — < £ < 2л-, где
'е*
а(«) = {
- ^ ^ * < 7Г,
— - 4, тг ^ £ ^ 2тг,
^ 7Г
является незамкнутой с самопересечением в точке z = 1 (рис. 2.7). При
'бтг
ЭТОМ ТОЧКИ Zl = a(0) И Z2 — (7
являются различными на данной
кривой, хотя как точки плоскости они совпадают: z\ = zi = 1.
Рис. 2.6
Рис. 2.7

§ 2. Последовательности и ряды комплексных чисел 27
-1 1
Рис. 2.8
Пример 6. Л Кривая z = cost, — 7Г ^ t ^ 7Г, является отрезком [—1, 1],
проходимым дважды: сначала от точки z = — 1 к точке z — 1 и затем
от точки г = 1 к точке z = — 1 (рис. 2.8). Это пример замкнутой
кривой, у которой каждая точка интервала (—1, 1) является точкой
самопересечения. А
Пример 7. Л Границей области 0 < |г — го| < е, е > О является точка
z = zq и окружность \z — zo\ = e, ориентированная против часовой
стрелки и проходимая один раз (рис. 2.9). Эту область будем называть
так: «круг \z — zq\ < ее выколотой точкой zq» или «проколотая
окрестность точки го». Эта область является неодносвязной. А
Пример 8. Л Область \z\ < 1, 0 < argz < 2ж будем изображать,
как указано на рис. 2.10, и называть так: «круг \z\ < 1 с разрезом по
отрезку [0; 1]». Граничная кривая Г этой области состоит из следующих
частей: отрезок [0,1], проходимый от точки z — 1 до точки z — 0 —
нижний берег разреза; отрезок [0,1], проходимый от точки z = 0 до
точки z = 1—верхний берег разреза; окружность \z\ = 1, проходимая
против часовой стрелки один раз. Отметим, что каждой точке
полуинтервала (0, 1] соответствуют две различные точки кривой Г. А
Пример 9. Л Граница Г области 1 < \z\ < 2 (рис. 2.11) состоит из
кривых Гх и Г2, где Гх—окружность \z\ — 2, ориентированная против
й §<.wttttutiazzafy\
Рис. 2.10 Рис. 2.11
zn-e
zn+e
Рис. 2.9

28 Глава 1. Введение
часовой стрелки, Г 2— окружность \z\ = 1, ориентированная по часовой
стрелке. А
Задачи
1. Доказать сходимость последовательности и найти ее предел:
Чт£4и<1; 2){гтНи>1;
3) |i(l + e^ + ... + eirl^)|, 0<¥><2тг;
4) |-^=(1-е^ + е2^-... + (-1)"е<п^)|, -тг < <р < тг.
2. Доказать, что если \z„\ < М < оо при п > по, то из
последовательности {zn} можно выбрать подпоследовательность {гПк}, сходящуюся к
конечному пределу.
3. Пусть lim z„ = А ф оо. Доказать, что
п—>оо
lim *! + * + ••• + *' = А.
п—юо 71
4. Пусть lim z„ = А ф оо, lim £„ = В ф оо. Доказать, что
п—юо
Л ziCn + ггСп-! + ■ ■ ■ + ZnCi _ ^^
п—►оо 71
5. Пусть числа Ai, Аг,... положительны и пусть
lim (Ai + А2 + ... + А„) = +оо.
п—юо
Доказать, что из равенства lim zn = А ф оо следует равенство
п—юо
У Aizi + A2Z2 + ... An-Zn .
п—►оо Ai -Ь Аг -Ь ■ ■. 4- Ап
6. Доказать, что для сходимости последовательности {zn} к бесконечности
необходимо и достаточно, чтобы сходилась к +оо последовательность
действительных чисел {|ги|}.
7. Доказать, что lim zn = 00 в том и только в том случае, когда lim — =0.
П—ЮО П—ЮО Zn
8. Выберем в пространстве систему координат £, г], С, таким образом, чтобы
оси 0£, и От) совпадали с осями Ох и Оу комплексной плоскости, а ось ОС
была направлена по диаметру сферы Римана (рис. 2.2). Пусть х = Hez,
у = Imz, а точка M(z) имеет пространственные координаты (£, г], £).
Доказать формулы:
£ = х „= У С= |г|2 •
? 1 + N2' ц i + N2' ^ i + N2'
e+v2' y e+rf

§ 2. Последовательности и ряды комплексных чисел 29
9. Пусть точка M(z) имеет пространственные координаты (£, г], £). Найти
пространственные координаты точки М:
l)M(-z); 2) M(z); 3) М ф.
10. Дать геометрическое описание множеств сферы Римана, отвечающих
следующим множествам комплексной плоскости:
1) Re z > 0; 2) Im z < 0;
3) |г| > 1; 4) \z\ < 1.
11. Доказать, что отличные от точек О и N точки M(z\) и M(z2) сферы
Римана диаметрально противоположны в том и только в том случае, когда
точки z\ и z2 связаны условием Z\Z2 = — 1.
12. Доказать, что окружности на сфере Римана отвечает на комплексной
плоскости или окружность, или прямая, причем прямая получается в том
и только в том случае, когда окружность на сфере Римана проходит через
ее верхний полюс N.
13. Найти значения параметра а, при которых окружности комплексной
плоскости отвечают большим кругам на сфере Римана:
z — а\ = а (а > 0);
а (а > 0);
1)
2)
3)
4)
, а
Z+2
z — i\
а (а > 0);
z — 2ai\ = а (а > 0).
14. Расстояние в пространстве между точками M(z\) и М(гг) называется хор-
далъным расстоянием между точками Z\ и Z2 расширенной комплексной
плоскости и обозначается символом k(z\, Z2). Доказать формулы:
1) k(zi, z2) =
2) k(zi, 00) =
21 -22
1
•^/ГT
\Z2
(zi ^00, z2 ф 00);
15. Дать геометрическое описание множества точек z комплексной плоскости,
удовлетворяющих неравенству:
1) k{z, 0) < R, 0 < R < 1;
2) fc(z, 00) < R, 0 < Д < 1;
3) fc(*, г) > -Ь 4) i < fc(*, 1) < -L.
00
16. Доказать, что ряд ^2 zn абсолютно сходится, если выполнено одно из
п=1
условий:
1) \zn\ < Mpn (п > п0, М > 0, 0 < р < 1);
•Zn+l
2) lim
р<1;
3) |г„| < Мп~а (п > п0, М > 0, а > 1);
4) Ы < -т:—тёт (п > по, М > 0, а > 1).

30 Глава 1. Введение
17. Доказать абсолютную сходимость ряда:
1) £ nazn, \z\ < 1, a € R;
n=l
2) Е^*"- И<е;
n=l n
, - (2n-l)I г"
; ^ (гг!)2 1 + г"'
n=l
w^i-
18. Пусть {A„} — последовательность положительных чисел таких," что
Afc+i ^ Afc (к €. N), lim Л„ = 0, а {г„}—такая последовательность
комплексных чисел, что
£) А„г„ сходится.
п=1
fc=l
^ М, М > 0, п € N. Доказать, что ряд
19. Найти все значения a € R, при которых сходится ряд:
оо оо
1) £ n-aein; 2) £ n-aei,r/n;
71=1 71=1
С»
3) £(n2 + l)-e(ei,r/n-l).
n=l
20. Убедиться в дифференцируемости следующих функций и найти их
производные:
1) (1 + г*)2, *еМ; 2)
t +
:, i€M;
3) (l + isfi)3, t>0; 4) e", t6R.
21. Вычислить интеграл:
1 1
1) /(1 + it)2 dt; 2) f(a +(b- a)t)ndt, n = 0, 1, ...;
»>/if* «>Ji±s* 5>/«-"*
7Г
6) / eint<ft, n = ±1, ±2, ... .
22. Пусть функции zi(t) и Z2(t) дифференцируемы. Доказать формулы:
l)§t[z1(t) + z2(t)}=z'1(t) + z'2(t);
2)jt[zl{t)zz{t)]=zl{t)z,2{t) + z>l{t)z2{t)-
3) jt [zi(t)]n = пИ*)]"-1*^*), n = 0, ±1, ±2, ...;
^ d zi(t) _ z2(t)z'1(t) - z'2(t)Zl(t) ^ .^f)_x0
dt 22(t)
Ыь)У

§ 2. Последовательности и ряды комплексных чисел 31
23. Пусть <р(i) —действительная функция, дифференцируемая в точке to,
a z(t) — комплекснозначная функция, дифференцируемая в точке <p{to)-
Доказать, что функция z\(t) = z(ip(t)) дифференцируема в точке to и что
z[(t0) = z'(<p(toW(to).
24. Пусть функция z(t) дифференцируема и отлична от нуля. Доказать
формулы:
3)
d z(t)
^).ImAt)
dt \z(t)\ \z(t)\ z(t) •
25. Пусть действительная функция ip(t) монотонна и непрерывно
дифференцируема на отрезке [a, b], a комплекснозначная функция z(t) непрерывна
на отрезке [у(а), у(&)]. Доказать, что
ь v(b)
f z{ip{t))<p'{t) dt= Г z(t) dt.
26. Пусть комплекснозначная функция z(t) непрерывна на отрезке a < t < b.
Доказать неравенства:
1)
3)
fz(t)dt
a
Ь
fz(t)dt
< f\z(t)\dt; 2) fz(t)dt
< (b — a) max \z(t)\;
a<t<b
>
fHez(t)dt
; 4)
fz(t)dt ^ flmz(t)dt
27. Пусть z(t) и £(i) — комплекснозначные функции, непрерывные на отрезке
a < t < b. Доказать, что:
1) справедливо неравенство Коши—Буняковского—Шварца:
2
fz(t)((t)dt < J\z(t)\2dt- f\((t)\2dt;
2) при p>l,g>l, —|— = 1 выполняется неравенство Гёльдера:
Р Ч
о
I
z{t)({t) dt
€
ь Л1/р ( ь ■ \1/ч
\z(t)\pdt} ■{ | \((t)\4t
3) при р > 1 справедливо неравенство Минковского:
Ь Л1/р ( ь )1/Р Г Ь "*1/Р
£< I \z{t)\pdt\ +1 | \at)?dt\
о
§\z{t) + W)\Pdt

32 Глава 1. Введение
4) при 0 < р < 1 выполняется другое неравенство Минковского:
ь ь ь
f\z(t) + C(t) \pdt^f \z(t) \pdt + j |C(i) |p dt.
a a a
28. Пусть комплекснозначная функция z(t) непрерывна на отрезке [0,1]
1
и пусть z(0) ф 0. Доказать, что несобственный интеграл
о
сходится при а<1и расходится при a ^ 1.
29. Пусть комплекснозначная функция z(t) непрерывна при t ^ 1 и пусть
существует отличный от нуля предел этой функции при t —► +оо. Доказать,
оо
что несобственный интеграл I z(t)t~adt сходится при а>1и расходится
1
при a < 1.
30. Пусть комплекснозначная функция z(t) непрерывна при t ^ 1 и пусть
функции Rez(t) и Jmz(t) неотрицательны и монотонны при t ^ 1. До-
оо
/оо
z(t) dt и ряд 52 z(n) сходятся или
I п=1
расходятся одновременно.
31. Пусть <p(t) —действительная функция, непрерывно дифференцируемая
при ( ) 1 н монотонно стремящаяся к нулю при t —► +оо, a z(t) —
комплекснозначная функция, непрерывная при t ^ 1 и обладающая тем
свойством, что
t
< М < оо, t > 1.
I z(u)du
i
Доказать, что несобственный интеграл I z(t)<^(t) dt сходится.
1
32. Выяснить, при каких действительных значениях параметра а сходится
несобственный интеграл:
1 ОО j
1) (>Vedi; 2)f\^t-"dt;
0 1 1 + lt
1/ \ 2 оо/ 2\4
з)/(^|)'"(1-')'-^ »((Ш) '-'"'•
1 оо
5) j>t-0nt)aa; в)/гз|-«"вет
оо
33. Доказать, что несобственный интеграл J ег* t~adt при действительных
1
значениях постоянных а и /? сходится в том и только в том случае, когда
эти постоянные связаны соотношением a > min(l, 1 — /3).

§ 2. Последовательности и ряды комплексных чисел 33
Рассмотрев функцию z(t) = elt на отрезке [0, 27г], легко убедиться, что
для комплекснозначных функций теорема Ролля неверна. В задачах 34-37
предлагается доказать теоремы, заменяющие до некоторой степени
теоремы Ролля и Лагранжа. В связи с этим определим некоторые понятия.
Плоское множество Е называется выпуклым, если вместе с каждыми
двумя точками, принадлежащими этому множеству, ему принадлежит
и весь прямолинейный отрезок, соединяющий эти две точки.
Легко видеть, что пересечение любого набора выпуклых множеств
также является выпуклым множеством.
Выпуклой оболочкой h{E) произвольного плоского множества Е
называется пересечение всех выпуклых множеств, содержащих множество Е.
34. Пусть f(t) —комплекснозначная функция, непрерывная на отрезке [а, Ь] и
дифференцируемая в каждой внутренней точке этого отрезка. Доказать,
f(b)-f(a) „ ,.
что число А = —^-г— принадлежит выпуклой оболочке множества
о — о
значений, принимаемых функцией f'(t) на интервале (а, Ь).
Указание. Применить теорему Лагранжа о конечном приращении к
функции F(t) = Re{e-ie/(i)}, 0 ^ в < 2тг.
35. Пусть функция f(t) удовлетворяет тем же условиям, что и в задаче 34, а
g(t) —действительная функция, непрерывная на отрезке [а, Ь] и имеющая
отличную от нуля производную в каждой внутренней точке этого отрезка.
тт л f(b) - f(a) „ r
Доказать, что число А = ±~{—-—■ принадлежит выпуклой оболочке
9(b) - д[а)
л. - /'(*) / >л
множества значении, принимаемых функцией на интервале (а, о).
36. Рассмотрев функции
/(<)=«, 5(<) = ей
на отрезке [0, 7г], убедиться, что условие действительности функции g(t)
в задаче 35 существенно.
37. Пусть f(t) и g(t) — комплекснозначные функции, непрерывные на
отрезке [а, Ь} и дифференцируемые в каждой внутренней точке этого
отрезка. Доказать, что можно подобрать три точки т\, т^, тз интервала (а, Ь)
и три неотрицательных числа Ai, Аг, Аз, для которых Ai + Аг + Аз = 1,
таким образом, чтобы выполнялось равенство
Указание. Применить результат задачи 34 к функции
Ввиду отсутствия теорем Ролля и Лагранжа обобщение правила Ло-
питаля раскрытия неопределенностей на комплекснозначные функции не

34 Глава 1. Введение
очевидно. С помощью приведенных выше замен теоремы Лагранжа такое
обобщение возможно.
38. Пусть f(t) и g(t) —непрерывные комплекснозначные функции,
удовлетворяющие условиям:
1) g(t) ф 0 при a ^ t < Ь; 2) lim f(t) = lim g(t) = 0;
t—yb—Q t—»Ь—О
3) функции f(t) и g(t) дифференцируемы при a ^ t < b;
4) lim 4© = А ф oo; 5) | arg (,'(*)! < a < J, a ^ t < 6.
i—>Ь-0 у (с) 2
Доказать, что lim ^4 = Л.
" t-ь-о s(*)
39. Выяснить, какая кривая определяется параметрическим уравнением
(указать множество точек плоскости и порядок их прохождения):
1) z = a + (b - a)t, O^t^l;
2) z = Reu, 0 ^ t ^ 7г, Д > 0;
3) г = * + г*2, i^O;
A)z = t+1-, t>l;
5) г = Ц-е~", 0<*^2тт;
6) z = tcost, 0 ^i ^ 2тг.
40. Пусть кривая 7 задана параметрическим уравнением z = z(i), a ^ t ^ b
и пусть функция z(£) имеет в точке to отличную от нуля
производную z'(io). Доказать, что кривая -у имеет в точке z(to) касательную и что
комплексное число z'(to) изображает на комплексной плоскости вектор,
направленный по этой касательной.
41. Пусть кривая 7 задана параметрическим уравнением z = z(t), a ^ t ^ b,
где z(t) — функция, имеющая две непрерывные производные на
отрезке [a, b]. Обозначим через т(£) комплексное число, изображающее
единичный вектор касательной к кривой -у в точке z(t) (направленный в
ту же сторону, что и сама кривая в этой точке); через v{t) обозначим
комплексное число, изображающее единичный вектор нормали к кривой -у
в точке z(t) (направленный вправо от кривой); через p(t) обозначим
кривизну кривой 7 в точке z(t). Доказать формулы:
3) (>{t) *
z'(t)
И*)1
42. Пусть кривая у задана параметрическим уравнением z — z(t), a ^ t ^ b,
где z(t) — функция, непрерывно дифференцируемая на отрезке [а, Ь].
Доказать, что кривая 7 спрямляема и что для ее длины А(7) справедлива
формула
A(7) = JV(*)|A-
О
43. Доказать, что любая кусочно-гладкая кривая спрямляема.

§ 2. Последовательности и ряды комплексных чисел 35
Натуральным уравнением спрямляемой кривой называется такое ее
параметрическое уравнение, в котором за параметр t принята длина дуги
кривой, отсчитываемая от некоторой фиксированной точки (обычно от
начала кривой).
44. Пусть z = x{t), 0 ^ t ^ /,— натуральное уравнение кривой j и пусть
функция x(t) дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [0, /],
а величины т(£), v{t), p(t) имеют тот же смысл, что и в задаче 41. Доказать
формулы:
1) r(t) = x'(t); 2) u{t) = -»V(t); 3) p(t) = \x"(t)\.
45. Описать с помощью неравенств область D, если ее граница dD состоит из
одной замкнутой кривой, определяемой параметрическим уравнением:
1) z = а + реи, 0 ^ t < 2тг;
2) z = a + pe~u, 0^t^2n;
3) z = -it, -oo < t < оо;
4) z = t + it2, —oo < t < oo;
5)z = t2, -oo < t < oo.
46. Пусть D — конечная область, а ее граница dD состоит из одной замкнутой
кривой, заданной параметрическим уравнением z — z(t), a ^ t ^ Ь, где
функция z(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [а, Ь]. Доказать,
что для площади cr(D) области D справедлива формула
6
a(D) = lJ\z(t)\4m^dt.
а
Указание. Воспользоваться тем, что Im . = — arg^(i) (см. за-
z(t) at
дачу 24.2).
47. Пусть D — конечная область, а ее граница dD состоит из т замкнутых
кривых, заданных параметрическими уравнениями
z = zk(t), ak^t^bk, k= 1,2, ... , т,
где Zk(t) — функции, непрерывно дифференцируемые на отрезках [ад, bk]
соответственно. Доказать, что для площади cr(D) области D справедлива
формула
*(D) = lZf\zk(t)fl™ZJ§dt.
fe=1at
Область D комплексной плоскости называется звездообразной
относительно точки zo G D, если вместе с каждой точкой z\ G D она содержит
и прямолинейный отрезок, соединяющий эту точку с точкой Zq.
48. Доказать, что для выпуклости области D необходимо и достаточно, чтобы
она была звездообразна относительно каждой своей точки.

36 Глава 1. Введение
49. Пусть граница dD области D состоит из одной гладкой замкнутой кривой
с параметрическим уравнением z = z(t), a < t ^ b, где функция z(t)
имеет на отрезке [а, Ь] непрерывную и отличную от нуля производную.
Доказать, что:
1) область D выпукла в том и только в том случае, когда
1ш Щ- > 0, а < t ^ 6;
z(t)
2) область D звездообразна относительно точки zq € D в том и только
в том случае, когда
Im .f;(t) > 0, а ^ t < 6.
г(£) - г0
50. Доказать, что область D, звездообразная относительно одной из своих
точек (в частности, выпуклая область), односвязна.
Ответы
1. 1) 0; 2) 0; 3) 0; 4) 0.
9. 1) (Ч,-ч,0; 2) (£,-77,С); 3) (С, -ту, 1-0-
10. 1) Полусфера, лежащая в полупространстве £ > 0.
2) Полусфера, лежащая в полупространстве т) < 0.
3) Верхняя полусфера. 4) Нижняя полусфера.
13. 1) а = оо; 2) а = —j=\ 3) а = v2; 4) ни при каких.
V3
15. 1) Круг с центром в точке z = 0 и радиусом
VI- Я2
2) Внешность круга с центром в точке г = 0и радиусом - .
3) Полуплоскость, расположенная выше действительной оси.
4) Полуплоскость, расположенная справа от мнимой оси с
выброшенным из нее кругом в центре в точке z = 2 и радиусом \/5-
20. l)2(i-t); 2)-^j; 3) ^ (1 + iVt)2; 4) ге".
oi 1Л 2 , . 0. 1 6n+1-an+1, ,м „. тг гЬ2
21- 1}3+Г' 2) ^ + Т Ь-а (а^Ь); 3>4-—;
4) |-1+гЬ2; 5) -2г; 6) 0.
32. 1) а < 1; 2) а > 1; 3) -1 < а < 2;
4) а > 0; 5) а < 1; 6) а > 1.
39. 1) Прямолинейный отрезок, идущий из точки z = а в точку г = 6.
2) Верхняя половина окружности \z\ = R; направление обхода от точки
z = R к точке z = —R.

§ 3. Предел функции комплексного переменного 37
3) Правая половина параболы у = х2; направление обхода от точки
z = 0 к бесконечности.
4) Часть гиперболы ху = 1, лежащая в угле 0 < argz < —; направление
обхода от точки z = 1 + i к бесконечности.
5) Окружность \z — 1| = 1, обходимая один раз по часовой стрелке.
6) Окружность \z+l\ = 1, обходимая два раза против часовой стрелки.
45. l)\z-a\<p; 2) \z - а\ > р; 3)Rez>0;
4) у > х2; 5) 0 < argz < 27г.
§ 3. Предел и непрерывность
функции комплексного переменного.
Интегрирование функции комплексного переменного
Справочные сведения
1. Понятие функции комплексного переменного. Говорят, что
на множестве G С С определена функция /, если указан закон, по
которому каждому числу z € G ставится в соответствие определенное
комплексное число w € G\ С С. Функцию обозначают
f:G—>Gi или w = f(z).
Когда задана функция w = f{z), говорят, что задано отображение
множества G во множество G\. Множество всех значений f(z) при z € G
обозначают /(G).
Задание функции / равносильно заданию двух действительных
функций u = u(x, у) и v = v(x, у), так как
f(z) =u(x,y)+iv(x,y).
2. Предел функции комплексного переменного. Пусть
функция f(z) определена в некоторой проколотой окрестности точки zq, т. е.
в кольце К = {z: 0 < \z — zq\ < R}.
2.1. Сформулируем два эквивалентных определения предела функции:
по Коши и по Гейне.
Определение предела по Коши. Комплексное число Л
называется пределом по Коши функции f(z) при z, стремящемся к zq
(в точке го), если для любого е > 0 существует такое 6 > 0, что для

38 Глава 1. Введение
всех z, удовлетворяющих условию
О < \z - z0\ < д,
выполняется неравенство
\f(z)-A\<e.
При этом пишут lim f(z) = Л или f(z) —> Л при z —► z$.
Z—»Zo
Определение предела по Гейне. Комплексное число Л
называется пределом по Гейне функции f(z) в точке zq, если для любой
последовательности {zn}, zn £ К, п £ N, сходящейся к zq,
последовательность {f(zn)} сходится к Л, т. е. из условия lim zn = zq следует,
п—»оо
ЧТО
lim f(zn) = Л.
п—»оо
Существование предела функции
/(г) = и(ж, у) + iv(x, у)
в точке zq = xq + гуо равносильно существованию двух пределов
Шо и(х, у) = Ai и ]imov(x,y) = Ви
у—'г/о 2/->2/o
причем
lim /(x) = Ai + гВг.
г—»го
2.2. Свойства пределов функций. Если существуют пределы
lim f(z) = Л и lim 5(2) — В,
2—>2g Z—*ZQ
то существуют пределы
lim [f(z) ± 5(2)] =A±B, lim [/(2)5(2)] = ДБ,
2—»Z() Z—»2о
lim 44 = ^ ГДе й#0.
2^20 fi((2) О
2.3. Предел функции в точке по множеству. Точка zq £ С называется
предельной точкой множества G С С, если для любого д > 0 в
проколотой окрестности
ks(zo) = {z:0<\z-zo\<5}
имеется по крайней мере одна точка из множества G.
Пусть задана функция f(z) на множестве G С С и точка zq,
предельная для множества G. Тогда число Л называется пределом функции /
в точке 2о по множеству G, если для любого е > 0 существует
д = д(е) > 0 такое, что для всех z £ Ks(zq)DG выполняется неравенство
\f(z) -Л\<е.

§ 3. Предел функции комплексного переменного 39
3. Непрерывность функции комплексного переменного
3.1. Непрерывность функции в точке и в области. Функция f(z),
определенная в окрестности точки zq, называется непрерывной в точке zq,
если lim f(z) — f(zo). Это определение эквивалентно следующему:
z—>z0
функция
f(z) = u(x,y) + iv(x,y)
называется непрерывной в точке zq = xq + iyo, если функции и(х,у)
и v(x,y) непрерывны в точке (хо,уо).
Функция f(z) называется непрерывной в области, если она
непрерывна в каждой точке этой области.
Из свойств пределов функции вытекают следующие свойства
непрерывных функций. Пусть функции f(z) и g(z) непрерывны (в точке
или в области). Тогда (в этой точке или области) непрерывны функ-
f(z)
ции f(z) ± g(z) и f(z)g(z), а функция —— непрерывна в тех точках,
9\z)
в которых g(z) ф 0.
Суперпозиция непрерывных функций также является непрерывной
функцией: если функция £ = f(z) непрерывна в точке zq, а
функция F(£) непрерывна в точке £о = /(зо)> то функция F(f(z)) непрерывна
в точке zq.
3.2. Непрерывность функции на кривой. Пусть кривая 7 задана
уравнением
z = a{t) = £(*) + irj{t), a^t^p, (1)
и пусть на отрезке [а, /3] заданы две действительные функции v^t)
и v(t). Тогда будем говорить, что на кривой 7 задана функция
w = f(a(t)) = h(t),T.e.
w = f1(t)=u1(t) + iv1(t), «<*</?. (2)
Функция (2) называется непрерывной на кривой (1), если на
отрезке [а,/3] непрерывны функции ui(t) и vi(t).
Обозначим через M(~f) множество точек z комплексной плоскости,
таких, что z = o-(t), a ^ t ^ /3. Если кривая 7 простая, то
соотношение (2) определяет на М(7) однозначную функцию
w = f(z) = f(a(t))=h(t).
В общем случае, когда кривая 7 имеет точки самопересечения,
функция (2), как функция от z, может оказаться неоднозначной на M(~f)-
Однако и в этом случае вместо записи (2) для краткости будем писать
w = f(z) = /(*(*)).

40 Глава 1. Введение
Рис. 3.1
Справедливы следующие утверждения:
1) если функция f{z) непрерывна в области D, то она непрерывна на
каждой кривой, лежащей в области D;
2) если функция f{z) определена в области D и непрерывна на
каждой кривой, лежащей в области D, то функция f(z) непрерывна
в области D.
3.3. Непрерывность функции в области вплоть до ее границы. Пусть
граница 7 области G (рис. 3.1) состоит из ограниченных кусочно-
гладких кривых Г{ (г = 1, 2, 3, 4), которые называют компонентами
границы. Кривые Г\ (А — ее начало, В — конец) и Гг обладают тем
свойством, что произвольная окрестность любой точки этих кривых
(кроме, быть может, их концевых точек) содержит как точки области G,
так и точки множества C\(G U 1\), г = 1, 2. Эти кривые назовем
гладкими компонентами границы 7-
Кривая Г, (г = 3, 4) такова, что для любой точки zq G 1\ (кроме
концевых точек) найдется окрестность B£q(zq), такая, что
ВеоЫ\Гг С G.
Эти компоненты границы назовем разрезами. Границу 7 области G
назовем положительно ориентированной, если ориентация 7 выбрана
так, что при движении (обходе) каждой компоненты границы 7
область G остается слева. При этом каждый разрез 1\ обходится дважды
и представляется в виде двух берегов (Г^- и Г^~), при движении по
каждому из них область G остается слева.
Пусть zq € Ti (г = 1, 2). Тогда функцию f(z) назовем непрерывной
в точке zq, если эта функция непрерывна в точке zq по множеству G-

§ 3. Предел функции комплексного переменного 41
Пусть zq € Г3 , т. е. принадлежит одному из берегов разреза Гз
(аналогично рассматриваются случаи zq € Г^~, zq € Г4", zq € TJ).
Тогда найдется (считаем, что го не является концевой точкой разреза Гз)
окрестность B£o(zq), такая, что множество Beo{zo)\T^ С G делится
разрезом Гз на две подобласти В+ и В~, одна из которых граничит
с Гз", а другая —с Гд~ (считаем, что z^ € Гд~, Zq~ € Гд~). Если предел
функции f(z) по множеству В+{В~) равен /(-Zq )(/(^)), то говорят, что
функция /(г) непрерывна в точке г0 (г0 ) разреза Гз-
Если функция /(z) непрерывна во всех внутренних точках области G
и во всех точках ее границы 7, то говорят, что функция /(г) непрерывна
в области G вплоть до ее границы.
В том случае, когда область G молено разбить на конечное число
областей Gk (k = 1, 2, ... , п), таких, что функция /(г) непрерывна
на Gfc {к = 1, 2, ... , п), то функция f(z) непрерывна в области G
вплоть до ее границы j.
3.4. Равномерная непрерывность. Функция f(z) называется
равномерно непрерывной на множестве Е С С, если для любого е > О
существует такое 8 > О, что для любых z\ € Е, г2 € Е, удовлетворяющих
условию |zi — Z2I < 8, справедливо неравенство \f(zi) — /(2:2)! < £■
Функция f(z), непрерывная на замкнутом ограниченном
множестве Е, равномерно непрерывна на этом множестве (теорема Кантора).
4. Показательная, тригонометрические
и гиперболические функции
4.1. Показательная функция. Функция ez для комплексных z = х + %у
определяется формулой
ez = ех+гу = ех (cos у + г sin у);
Re ez = ех cos у, Im ez = ех sin у.
Функция ez непрерывна во всей комплексной плоскости.
Свойства функции ez:
gZiez2 _ gZi+z2 ez+27ri _ gz
|ez| = ex, argez = y.
Функция ez принимает все комплексные значения, кроме нуля, т. е.
уравнение ez = А имеет корни для любого А ^ 0. Эти корни находятся
по формуле
z = ln\A\+i(a + 2irk), k G Z, -•■ -
где а — arg Л — одно из значений аргумента числа А.

42 Глава 1. Введение
Например, корнями уравнения ez. = 1 являются числа z = 27гА;г,
к G Z; корнями уравнения ez = — 1 являются числа 2 = 7г(1 + 2А;)г,
fceZ.
Замечание. Совокупность всех решений уравнения ez = А называется
логарифмом комплексного числа А ф 0 и обозначается Ln A;
LnA = \n\A\+iArgA,
Arg A = {arg A + 2ттк, к G Z}.
4.2. Тригонометрические функции. Функции sin z, cos z, tg-г, ctg-г для
комплексных значений z определяются формулами
sin-г = — (eiz -e~iz), cosz = - (eiz + e~iz),
2г 2
sin z , cos z
tgz= , ctgz = -—.
cos z sin z
Все формулы элементарной тригонометрии, справедливые при всех
действительных значениях х, остаются справедливыми и при всех
комплексных значениях z. Например,
sin2 z + cos2 z = 1, sin 1z = 2 sin z cos z,
sin(z + 2tt) = sin z, cos(z + 2tt) = cosz,
sin(—z) = —sin z, cos(—z) = cos г.
Функции sin z и cos z принимают все комплексные значения, а
функции tgz и ctg-г принимают все комплексные значения, кроме ±г.
Для любого z — х + %у имеют место неравенства
1|е2/_е-2/|^ |а1пг| ^ 1(еУ + е~У^
- \еу - е'у\ < | созг|< i (ey + е~у),
откуда следует, в частности, что уравнения sin-г = 0 и cos г = 0 имеют
корни только при у = 0, т. е. на действительной оси.
Все корни уравнения sin z = 0 находятся по формуле
z = ттк, к G Z,
а все корни уравнения cos z = 0 — по формуле
z = — + тгк, к G Z.
Функция tg z определена при z ф — + 7гА:, а функция ctg z — при z ф ттк,
где к G Z.

§ 3. Предел функции комплексного переменного 43
4.3. Гиперболические функции. Функции shz, chz, thz, cthz для
комплексных значений z определяются формулами:
sh z = i (е2 - е"2), ch z = i (e2 4- е~2),
shz chz
th г = —— , cth z = —— .
ch г sh г
Из этих формул следует, что
shz = —zsin(zz), chz = zcos(zz),
thz = —ztg(zz), cthz = zctg(zz).
Поэтому функция thz определена при z ф I — -)-7rfc 1 г, а функция
cth z — при z ф nki, где k € Z. ■ .
Отметим, что формулы для гиперболических функций,
справедливые при действительных х, остаются верными и для комплексных z.
,:■ ■:■■- ■' ■;:;\ dT'.> ■
5. Интегрирование функций комплексного переменного. ,0]
5.1. Определение интеграла. Пусть кусочно-гладкая кривая 7 задана
уравнением
z = a(t), a^t^P,
где zq = z{a) — начало, a z(f3) — конец кривой 7- Рассмотрим
разбиение Т отрезка [а, 0\ точками tk, k — О,1,..., п, где
а = to < h < ... < ifc_i <tk<...<tn = 0. П
Пусть Afc = [*fc_i, *fc], Aife = ife-tfe_i, l(T) = max Aifc — мелкость раз-
биения Т; 7fc —дуга кривой 7, соответствующая изменению параметра t
на отрезке Afc, Cfc = &{тк) — произвольная Точка дуги 7fc (^V £ Afc),
Zk = cr(tk), Azfc = Zfc - Zfc_i (рис. 3.2).
Если на кривой 7 определена комплекснозначная функция f(z), то
выражение г ; 1у = ^ (g) MWMqoc|) а _
п
5]/(Cfe)Azfc , :\ , 1 (з)
v> v.
называется интегральной суммой, соответствующей разбиению Т.
Если существует конечный предел интегральных сумм (3)
при 1{Т) —► 0, не зависящий от выбора разбиения Т (точек tk)
и выбора точек £fc, то этот предел называется интегралом от функции /

44 Глава 1. Введение
Рис. 3.2
по кривой 7 и обозначается
■//м
dz.
(4)
Пусть /(г) = u(x,y) + iv(x,y)—функция, непрерывная на кривой "у.
Тогда интеграл (4) существует и выражается формулой
I f(z)dz= I udx — vdy + i I vdx + udy.
(5)
Сущ_„е „_ J/W* равносильно сущ_„Ю
7
двух криволинейных интегралов второго рода от действительных
функций:
Judx-vdy и J vdx + udy.
7 7
Непрерывная на кривой функция /(г) интегрируема на этой кривой.
Если кривая 7 задана уравнением
z = a(t) = £(t) + iri(t), a^t^p,
то в формуле (5) dx = £'(t) dt, dy = rf(t) dt и
Г /(г) dz = f «' - ш/) dt + г f « + ш/) dt =
7 а а
= f(u + iv)(£' + iTi,)dt= Г f(a{t))a'{t)dt. ; (6)

§ 3. Предел функции комплексного переменного 45
5.2. Свойства интегралов.
1) I [af(z) + bg(z)]dz = a I f(z)dz + b I g(z)dz, где а и 6 —любые
7 7 7
комплексные числа (линейность интеграла);
2) I f(z)dz = — I f(z)dz, т. е. при изменении ориентации кривой
7 7-1
интеграл меняет знак;
3) J f(z)dz = jf(z)dz + ff(z)dz;
71 U 72
71
72
4) если ряд f(z) = ^ /п(-г), составленный из непрерывных на кри-
вой 7 функций /п(-г) (п = 1, 2, ...), сходится равномерно на 7, то
его можно почленно интегрировать, т. е.
ff(Z)dz = Y/ ffn(z)dz.
5.3. Оценки интегралов
1. Пусть функция f(z) непрерывна на кривой j. Тогда
Jf(z)dz ^ J \f(z)\\dz\,
где \dz\ = \/{dx)2 + (dy)2 = ds — элемент длины кривой j.
2. Выполнено неравенство:
/
f(z)dz
< М/(7),
где М — max 1/(2)1, /(7) — длина кривой 7-
3. Пусть функция f(z) непрерывна в области D и кривая 7 лежит
в D. Интеграл от f(z) по 7 можно с любой точностью приблизить
интегралом от f(z) по ломаной, лежащей в области D, т. е. для любого
е > 0 существует ломаная С (близкая к кривой 7), лежащая в области D,

46 Глава 1. Введение
такая, что
ff(z)dz-ff(z)dz
< е.
4. Пусть D — ограниченная односвязная область, 7 — граница
области D. Если функция f(z) непрерывна в области D вплоть до границы,
то интеграл от f(z) по 7 можно с любой точностью приблизить
интегралом от f(z) по замкнутой ломаной, лежащей в области D.
Примеры с решениями
Пример 1
Л 1) Функции z, Rez, Imz, z, \z\ непрерывны во всей комплексной
плоскости С.
2) Многочлен P(z) = a0zn + axzn~x + ...+ an с комплексными
коэффициентами является непрерывной функцией во всей комплексной
плоскости С.
P(z)
3) Рациональная функция R{z) — где P(z), Q(z)—много-
Q\z)
члены, непрерывна во всех точках комплексной плоскости, в которых
Q{z) ^ 0. А
Пример 2
Д Пусть D — полукруг \z\ < 2, Imz > 0 (рис. 3.3). Рассмотрим в этой
области функцию f(z) = y/re1^/2, где z = relip, 0 < <р < тт. Эту функцию
можно записать в виде f(z) = u(x, у) + iv(x, у), где
и(х, у) — y/r cos — = ух2 + у2 cos I - arctg - I ,
v(x, у) = -\/^sin тг = V x2 + У2 sm I - arctg -
2 \2 x
Рис. 3.3

§ 3. Предел функции комплексного переменного 47
Так как функции и(х,у) и v(x,y) непрерывны в области D, то
функция f(z) также непрерывна в этой области. По условленной
договоренности считаем, что эта функция доопределена на граничной кривой
своими предельными значениями изнутри области по формулам:
f{2ei{p) = л/2е^/2 при 0 ^ <р ^ тг;
f(x) = у/х при 0 ^ х ^ 2;
f(x) = iy/\x\ при — 2 ^ х ^ 0.
Поэтому функция f(z) непрерывна в D. А
Пример 3
Л Пусть D — круг \z\ < 2 с разрезом по отрезку [0,2] (рис. 3.4).
Рассмотрим в этой области функцию
f(z) = V^/2,
ГДе z = rei{p, 0<<£<2тг.
Так же, как и в примере 2, можно доказать, что функция f(z)
непрерывна в области D. Впрочем, и геометрически видно, что г — \z\ и
полярный угол ip (рис. 3.4) являются непрерывными функциями от (х,у).
Доопределим функцию /(z) на граничной кривой области D
формулами:
/(2е^) = \/2е^/2 при 0 < <р < 2тг,
на верхнем берегу разреза
/(ж + г0) = lim f(z) = у/х при 0 < х < 2,
lmz>0
Рис. 3.4

48 Глава 1. Введение
на нижнем берегу разреза
f(x — гО) = lim f(z) = —\fx при 0 ^ х ^ 2.
Imz<0
Получилась функция, которая не является непрерывной в D, так как
на разных берегах разреза она принимает разные значения: ее нельзя
«склеить» вдоль разреза так, чтобы она оставалась непрерывной. В этом
случае функцию f(z) будем называть непрерывной в области D вплоть
до ее границы. А
«Разрежем» (разобьем) область D примера 3 отрезком [—2, 0] на две
области: D\ верхний полукруг \z\ < 2, Imz > 0 (рис. 3.3) и D2—
нижний полукруг \z\ < 2, Imz < 0. Тогда функция f(z) примера 3
непрерывна в D\ и D2.
Пример 4. Доказать, что функция f(z) = z2 равномерно непрерывна
на множестве D = {z: \z\ ^ R}, но не является равномерно непрерывной
на С.
А 1) Так как D — замкнутое ограниченное множество, а функция z2
непрерывна в каждой точке г £ С и, в частности, на множестве D, то
она равномерно непрерывна на этом множестве (теорема Кантора).
2) Нужно доказать, что существует число Eq > 0 такое, что для
любого 6 > 0 найдутся точки Z{ — zi(S) е С (г = 1, 2) такие, что
\z1-z2\<6, \f(zi)-f(z2)\^e0.
По заданному 6 > 0 выберем натуральное число neN так, чтобы
1
выполнялось неравенство —— < о, и в качестве искомых точек возьмем
z\ = л/п + 1, z2 = л/п.
Тогда
1
\zi- Z2\ = y/n+l-y/n= — — < —j= < 6,
\f(z1)-f(z2)\ = l = e0. A
Пример 5. Найти все решения уравнения ez = —2.
А Все решения этого уравнения даются формулой
zk — In | - 2| + z(arg(-2) + 2ктг),
где In | - 2| = In 2, arg(-2) = vr, т. е. zk = In 2 + i(2k + l)vr, к e Z. A

§ 3. Предел функции комплексного переменного 49
Пример 6. Доказать, что если z — х + гу, то имеют место
асимптотические формулы
е\у\ еЫ
I sin z\ ~ — , I cos z\ ~ ——
i i 2 . i '2
при у —» oo.
А Так как sin г — - (егг — егг), то, используя свойства модуля
(неравенства треугольника), получаем
I||e«|_|e-«|| ^ |sinz| ^ I (|е«| + |е~"|) ,
где
|егг| = \е-Уе1Х\ = е~у, \e~iz\ = еу.
Отсюда следует, что
- \еу - е~у\ < | sin z| < - (еу + е~у),
i • i еУ
| sin z\ ~ — при у —> +оо
е
-у
и |sinz|~-— при у —» — оо.
Следовательно,
| sin z\ ~ — при у —> оо.
Аналогично доказывается, что
=>!»!
| cos z\ ~ —- при у —> оо.
Пример 7
А Пусть /(-г) = 1, а и 6 — соответственно начало и конец кривой 7-
Тогда интегральная сумма (3) равна
п
y^Qfc - Zfc_!) = Zi - Z0 + Z2 ~ ZX + . . . + Zn - Zn-\ =
k=\
= zn - z0 = b - a,
откуда I dz — b — а. Таким образом, интеграл I dz зависит только от
7 7
начальной и конечной точек кривой 7 и не зависит от пути интегри-
ь
рования. В этом случае вместо I dz можно писать I dz. В частности,

50 Глава 1. Введение
если a — Ь, то I dz = О, т. е. интеграл I dz по любой замкнутой кривой
7 7
равен нулю. ▲
Пример 8. Вычислим интеграл 1п = I (г — zo)"dz, где п — целое число,
С»
Ср — окружность \z — zo\ = р, р > О, ориентированная против часовой
стрелки.
Л Уравнение окружности Ср запишем в виде z = zq + pelt, 0 ^ t < 27г.
Тогда dz = ipeltdt и по формуле (6) находим:
In=ipn+1 f ^{п+1) dt,
О
откуда при п — — 1 получаем /_i = 27гг, а при п ф — 1 по формуле
Ньютона—Лейбница получаем:
„та+1
Г = f eit(n+l)
" гг+1
*=2тГ
= 0.
t=0
Таким образом,
Г , .nj [О, п = 0, 1, ±2, ±3,...,
J ^27гг, п = —1.
\z-z0\=p
Задачи
1. Доказать, что сумма и произведение функций, непрерывных на
множестве Е, также являются функциями, непрерывными на этом множестве.
Частное двух функций, непрерывных на множестве Е, также является
непрерывной на этом множестве функцией, если знаменатель не
обращается в нуль ни в одной точке множества Е.
2. Выяснить, будут ли следующие функции равномерно непрерывны в
области 0 < \z\ < 1:
3)/=(W)!; 4)/ = e-1/z*.
3. Пусть функция f(z) определена и непрерывна на замкнутом
ограниченном множестве Е. Доказать, что:
1) функция \f{z) | ограничена на множестве Е и достигает наибольшего
и наименьшего значения;
2) функция f(z) равномерно непрерывна на множестве Е.

§ 3. Предел функции комплексного переменного 51
4. Функции /(z) и g(z) равномерно непрерывны на множестве Е. Можно
ли утверждать, что функция f{z)g{z) равномерно непрерывна на
множестве Е1
5. Пусть функция /(z) определена и равномерно непрерывна в ограниченной
области D. Доказать, что в каждой точке границы области D
функция /(z) имеет предел и что функция /(z), доопределенная на границе
области D этими предельными значениями, непрерывна в замкнутой
области D.
6. Пусть область D ограничена простой кусочно-гладкой кривой. Доказать,
что функция, непрерывная в области D вплоть до ее границы, равномерно
непрерывна в этой области.
7. Пусть область D можно разбить на конечное число областей
D\, Z?2, ... , Dn, каждая из которых ограничена простой кусочно-гладкой
кривой. Доказать, что для непрерывности функции /(z) вплоть до
границы области D необходимо и достаточно, чтобы функция /(z) была
равномерно непрерывна в каждой из областей D\, ... , Dn.
8. Вычислить значения функции ez в точках:
1) z = 27гг; 2) z = 7гг;
3) z = ттг/2; 4) z = -ттг/2;
5) z = 7гг/4.
9. Доказать формулы:
1) cos(—z) = cosz; 2) sin(—z) = — sinz;
3) sin I z + — I = cosz; 4) sin(-7r + z) = — sinz;
5) sin(z + 2-7г) = sinz; 6) cos I z + — I = — sinz;
7) sin(zi + Z2) = sinzi C0SZ2 + coszi sinz2;
8) cos(zi + Z2) = cos Z\ cos Z2 — sin Z\ sin Z2.
10. Доказать формулы:
1) ch(-z) = ch z; 2) sh(-z) = - sh z; 3) ch2 z - sh2 z = 1;
4) ch(zi + z2) = ch z\ ch z2 + sh Z\ sh z2;
5) sh I z + — I = i ch z; 6) ch I z + — ) = i sh z;
7) sh(z + 7ri) = — sh z; 8) ch(z + iri) = — ch z;
9) th(z + 7ri) =thz; 10) ch(z + 2ттг) = chz.
11. Доказать формулы:
1) shz — — isin(iz); 2) sh(iz) = г sinz;
3) cos(iz) = chz; 4) ch(iz) = cosz;
5) tg(iz) = ithz; 6) th(iz) = itgz;
7) ctg(iz) = — icthz; 8) cth(iz) = —ictgz.
12. Пусть х = Re z, у = Imz. Доказать, что:
1) Re sinz = sinz • chy, Im sin z = cos x • sh y;
2) Re cos z = cos x • ch y, Im cos z = — sin x • sh 1/;

52 Глава 1. Введение
3) Re shz = sha; • cosy, Imshz = cha; • siny;
4) Rechz = chx • cosy, Imchz = sha: • siny;
_, „ sin2x T , sh2y
5)Retgz = , Imtgz = , n ;
; ь cos2x + ch2?/ 6 cos 2ж + ch 2y
„4 „ sin 2a: T -sh2y
6) Re ctg z = -— —, Im ctg z —
ch 2y — cos 1x ch 2y — cos 2x
13. Пусть x = Re г, у = Imz. Доказать, что:
1) |sinz| = \/ch у —cos2a;; 2) |sinz| = \/ch у — sin x;
3) |shz| = \/ch2a; — cos2 y; 4) |chz| = vch x — sin2 y;
_4 , , i /ch2u — cos2a; „si,, i /ch2x + cos2u
5) tgz =w-— ; 6) cthz\ = . —— -2-.
; ' 6 ' у ch2y + cos2a:' V ch2x-cos2y
14. Описать точки z, в которых следующие функции принимают
действительные значения:
1) cosz; 2) chz; 3) sinz; 4) tgz; 5) cthz.
15. Описать точки z, в которых следующие функции принимают чисто
мнимые значения:
1) sinz; 2) shz; 3) cosz; 4) ctgz; 5) thz.
16. Найти все точки, в которых обращаются в нуль следующие функции:
1) sinz; 2) cosz; 3) shz; 4) chz.
17. Найти все решения следующих уравнений:
1) smz = —; 2) sinz = -; 3) cosz = —; 4) cosz = ;
5)tgz=y; 6) ctgz = - j; 7)shz=^; 8)chz=-.
18. Доказать, что при \z\ ^ R имеют место неравенства:
l)|chz|^chi?; 2) |shz| Sjshi?;
3) |cosz| < chi?; 4) |sinz|<shi?.
19. Пусть x = Rez, у = Imz. Доказать, что:
1) Функция ег стремится к бесконечности при х, стремящемся к +оо,
и это стремление равномерно по у.
2) Функция ег стремится к нулю при х —> — оо и это стремление
равномерно по у.
3) Функции sinz и cosz стремятся к бесконечности при у —> ±оо и это
стремление равномерно по х.
20. Доказать, что:
1) Функция е2 стремится к бесконечности при г-t оо в любом угле
вида
| argz — 7г| < а
и в любом угле вида | argz| < а, если только а < —.
2) Функция ег стремится к нулю при z —> оо в любом угле вида
argz ± -

§ 3. Предел функции комплексного переменного 53
21. Пусть P(z) = zn+a\Zn + .. .+ап- Доказать, что функция е 'z' стремится
к бесконечности при z^oob углах
2/С7Г
argz —
<а<^ (fc = 0, 1, ... ,п-1),
и стремится к нулю при z —» оо в углах
argz
(2fc + 1)тг
<a<;f- (fc = 0,l,
n-1).
22. Пусть х = Re z, у = Im z. Доказать неравенства:
2e~2y ^ , , ., „ 2e"2y
1)
1 + e
-2j/
< |tgz -г| <
2p2!/
2) 7i£^<ltg* + iK
1 - e"2»
ге22'
(У > 0);
1 + e'
2e~2y
3) _2;/ <|ctgz + a|<
1 + e " 1-е
1 - e-2y
ге"2"
(У < 0);
2г/- (У>0);
4) Т^-^Г^ |ctg^-i[^ -^-^ (у<0).
1 + е^
1-е'
23. Вычислить интеграл I |z|dz в случаях, когда кривая С является:
с
1) прямолинейным отрезком, идущим из точки z = —г в точку z = г;
2) полуокружностью
\z\ = 1, Rez>0,
идущей из точки г = -«в точку z = г.
24. Вычислить интеграл I z sin z dz, где С — прямолинейный отрезок, идущий
с
из точки z = 0 в точку z = г.
25. Пусть функция /(z) непрерывна во всей расширенной плоскости.
Обозначим через Са прямолинейный отрезок, идущий из точки а в точку а + 1.
Доказать, что
lim ff(z)dz = f{oo).
26. Пусть функция /(z) непрерывна в полуплоскости Imz ^ 0 и
удовлетворяет неравенству
\f(z)\^M\z\m.
Обозначим через Cr полуокружность \z\ = R, Imz > 0, идущую из точки
г = йв точку z = —R. Доказать неравенство
/
f{z)eizdz
< irMRm.
Указание. Воспользоваться неравенством sin <р > — (р (0 < <р < —

54 Глава 1. Введение
27. Пусть функция f(z) непрерывна в угле
—a ^ arg z ^ а (0 < а < 7г),
и пусть zf(z) —► А при z —> оо, | arg 2;| ^ а. Обозначим через Cr
дугу окружности \z\ = R, |argz| ^ а, идущую из точки z = Re~Zl?
в точку z = Re%a. Доказать, что
lim ff(z)
Я->оо J
dz = 2iaA.
Cr
Ответы
2. 1) да; 2) нет.
3. 1) да; 2) нет.
4. Нет.
8. 1) 1; 2) -1; 3) г; 4) -г; 5) ^.
14. 1) Im z = 0; Re z = for, JfceZ;
2)Rez = 0; Im.z = for, к е Z;
3) Im 2; = 0; Re z = ( к + ]- j тт, A; 6 Z;
4)Imz = 0; b)lmz =~, к £Ъ.
15. 1) Rez = for, keZ;
2) Re z = 0; Im z = ^ + ктт, keZ;
3) Rez= \k + -j тг, A; 6 Z;
с 6Z;
5) Imz = (^+^)71". ^6 Z.
16. l)z = for, fceZ; 2) z= (fc + i ) тг, fceZ;
3)z = km, к el; 4) 2; = ( к + i J тгг, /с 6 Z.
17. 1) z = i(-l)fcln3 + for, A:6Z;
2) z = ±iln3+-+2for, А: 6 Z;
3) z = ± ( -iln2 + | j + 2for, к е Z;
4) z = ± ( - l- ln2 + ^ J + 2for, к 6 Z;
5) z = iln2 + 7r(k+^\, keZ;
4) Rez=^, JfceZ;

§ 4. Равномерная сходимость. Степенные ряды 55
6)2 = г1п2 + тг(/с + М, fee
7) г = (-1)к^+ктгг, к € Z;
О
8) z = ± "Щ- + 2кттг, к € Z.
О
23. 1) г; 2) 2г.
24. -ге"1.
§ 4. Равномерная сходимость. Степенные ряды
Справочные сведения
1. Равномерная сходимость
1.1. Последовательность функций {fn(z)}, определенных на множестве
£ С С, называется равномерно сходящейся на множестве Е к
функции /(-г), если для любого е > 0 существует такой номер N = N(e), что
для всех п > N и всех z €. Е справедливо неравенство \fn(z) — f(z)\ < е.
В этом случае пишут
1.2. Критерий Коши равномерной сходимости последовательности.
Для того чтобы последовательность {/n(z)} равномерно сходилась на
множестве Е, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0
существовал номер N такой, что для всех п > N, всех р 6 N и всех z £ Е
выполнялось неравенство
\fn+P(z)-fn(z)\<e.
1.3. Пусть функции fn(z) определены на множестве £ив каждой точке
z E E функциональный ряд
оо
£/»(*) а)
п=1
сходится. Тогда ряд (1) называется равномерно сходящимся на
множестве Е, если для любого е > 0 найдется номер N = N(e) такой, что для
всех п ^ N и для всех z €. Е справедливо неравенство
оо
£ /*(2)
fc=n+l
< е. (2)

56 Глава 1. Введение
Если S(z) — сумма ряда (1), т. е.
оо п
Y^fn(z) = S(z), Sn(z) = ^fk(z), rn(z) = S(z) - Sn{z),
n=l fe=l
то условие (2) примет вид
\rn(z)\<e
при всех п ^ N£ и всех z 6 Е. Это условие выполняется тогда и только
тогда, когда
sup |rn(z)| —> 0 при п —> оо.
1.4. Критерий Кохии равномерной сходимости ряда. Ряд (1) сходится
равномерно тогда и только тогда, когда для любого е > 0 существует
номер N = N(e) такой, что для всех п ^ N, для всех р б N и для всех
z 6 Е справедливо неравенство
п+р
fc=n
< е.
1.5. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда. Если для
всех п б N и для всех г б Е справедливы неравенства |/n(z)| ^ an, a
оо
ряд Y1 ап сходится, то функциональный ряд (1) сходится равномерно
п=1
и абсолютно на множестве Е.
1.6. Если функции fk{z), k 6 N, непрерывны на мнолсестве Е и ряд (1)
сходится равномерно на множестве Е, то сумма S(z) этого ряда
непрерывна на Е.
1.7. Если функции fk{z), к 6 N, непрерывны в области G, 7 —
кусочно-гладкая кривая, j С G, а ряд (1) сходится к своей сумме S'(z)
равномерно на кривой 7, то этот ряд можно почленно интегрировать по
кривой 7, т. е. справедливо равенство
оо
fs(z)dz = Y/ff»Wdz-
п=1 '7
2. Степенные ряды
2.1. Степенным рядом называется ряд вида
оо
£■
п=0
(Cn(z-a)", (3)
)
где а,Сп — заданные комплексные числа, z — комплексная переменная.

§ 4. Равномерная сходимость. Степенные ряды 57
2.2. Теорема Абеля. Если степенной ряд (3) сходится в точке
z\ ф а, то он абсолютно сходится в круге Kq — {z: \z — а\ < \z\ — а\},
а в любом замкнутом круге К\ = {z: \z — а\ ^ р}, где р < \z\ —a\, этот
ряд сходится равномерно.
2.3. Для всякого степенного ряда (3) существует R (R ^ 0 — число или
R — +оо) такое, что:
а) если R ф 0 и R ф +оо, то ряд (3) абсолютно сходится в круге
Вц(а) = {z: \z — а\ < R} и расходится вне круга Br(q); этот
круг называется кругом сходимости ряда (3), a R —радиусом
сходимости ряда;
б) если R — 0, то ряд (3) сходится только в точке а;
в) если R = +оо, то этот ряд сходится во всей комплексной плоскости.
2.4. Радиус R сходимости степенного ряда (3) может быть вычислен по
формуле Коши—Адамара
1
R =
lim
(4)
Если существует конечный или бесконечный lim
-п+1
R= lim
п—>оо
Сп+1
ТО
(5)
Примеры с решениями
оо
Пример 1. Доказать, что ряд Yl ^fne~nz сходится равномерно на мно-
п=\
жестве Е — {z: Re z ^ S > 0}.
А Так как |е
где х = Rez, то на множестве Е справедливо
-пб
неравенство \y/ne~nz\ ^ у/пе~ , а из сходимости ряда ^ \pne~
где 5 > 0, следует равномерная сходимость на множестве Е данного
функционального ряда. А
Пример 2. Найти радиус R сходимости степенного ряда:
°° (п.\Л2
2)ЕЙ?^; 3)Е4
п Jin
п=\
(2п)
п=\

58 Глава 1. Введение
Л 1) Так как |1 + г| = л/2 и существует
.. п/г-, .. „/(л/5)п >Д у 1 V2
hm ус = hm W ' = -— hm —= = -— ,
п—юо п—>оо I/ пЗ 3 п—>оо ->/n 3
3
то по формуле (4) получаем R = —=.
V2
2) В этом случае
_-2_ = Итп Й-
(п + 1)
lim
п—>оо
_ (2п + 2)(2п+1) _
— / i 1\2 '
п—>оо '■" х"
Сп+1
и по формуле (5) находим R — 4.
сю
3) Пусть 4г3 = t, тогда 4пг3п = in. Так как ряд ^ in сходится, если
п=1
|t| < 1 и расходится при Щ > 1, то данный ряд сходится, если 4|г|3 < 1,
т. е. при Ы < —т=, и расходится при \z\ > —=. Следовательно R = —=.
V4 v4 v4
Заметим, что R можно найти и по формуле (4). А
Задачи
1. Пусть на множестве Е определены функции fn(z), n € N, и f(z) такие, что
для всех п 6 N и всех z € Е справедливо неравенство \fn(z) — f(z)\ < a„,
где а„ —> 0 при п —> оо. Доказать, что fn(z) =S f(z), z € E.
2. Доказать, что на каждом замкнутом множестве Е, лежащем в круге
\z\ < 1, последовательность < > равномерно сходится к функции
f(z) = 1, а на каждом замкнутом множестве Е, лежащем в области \z\ > 1,
эта последовательность равномерно сходится к функции f(z) — 0.
с 2 2 1
3. Доказать, что последовательность {nze n z } равномерно сходится в угле
| arg^l < а при любом а, где 0 < а < 7г/4, к функции f(z) = 0.
4. Пусть последовательность {fn(z)} равномерно сходится на множестве Е
к функции f(z), и пусть функции fn(z) непрерывны на множестве Е.
Доказать, что функция f(z) также непрерывна на этом множестве.
оо
5. Пусть ряд 52 |г*тг(-2)| равномерно сходится на множестве Е, а функ-
п=1
ции vn(z) определены на множестве Е и удовлетворяют неравенствам
оо
|f„(.z)| ^ |и„(г)| (z € Е). Доказать, что ряд J2 vn(z) равномерно сходится
п=1
на множестве Е.

§ 4. Равномерная сходимость. Степенные ряды 59
6. Доказать равномерную сходимость ряда на множестве Е:
ОО -I
1) Е^Л Е= {z:\z\Zlh
71=1"
ОО
2) £ n3e-"z, E={z: Rez^S>0};
71=1
ОО QTl 1
з) ЕргЫ' я = {*:И<Р<ф
n=i ^ + -г ^
ОО
4) £ 2-"cosnz, Е = {г: |1шг| ^(5<ln2}.
71=1
7. Пусть lim v/fa^J = 1. Доказать равномерную сходимость ряда на множе-
71—>00
стве Е:
1) £a„z", E={z:\z\^p<l};
n=l
ОО
2) ^ ane-nz, E={z: Rez^S>0};
71=1
3) Ё a„e-n z, £ = {г: Rez > S > 0};
n=l
4) Ё T^cosnz, £ = {г: | Imz| ^ S < In2}.
71=1 2
8. Найти радиус сходимости степенного ряда:
ОО ОО
3) ^ 6"z5n; 4) J] n\e~n zn, a > 1;
n=l n=l
5) £ n (cos 1^ " • г"; 6) £ (2 + ^ z3n.
;nti V V „=1(3-гУ7)2п
ОО
9. Пусть Л —радиус сходимости ряда ^ Сп^™. Найти радиус сходимости
71=0
ряда:
/"VI /v~* rv-i
с„
1) £ с™*". ™ € N; 2) Е С*тап> ™ € N; 3) £ —^
71=0 71=0 71=0 Х + I
г".
"jvj wv ^ ОО
10. Доказать, что степенные ряды ^ CnZ*1, Л 7 ■г"+1 и Е nc^z™-1
71=1 71=1 П + 1 71=1
имеют один и тот же радиус сходимости.
11. Обозначим радиусы сходимости степенных рядов
ОО ОО ОО ОО
^2anzn, ^2bnzn, ^2(an + bn)zn, ^апЪпгп
71=0 71=0 71=0 71=0
через R\, R2, R3, R4 соответственно. Доказать, что
Лз > min(flbfl2), R4 > Ri ■ Д2.

60 Глава 1. Введение
12. Доказать, что если имеет место неравенство
с,
Сп+1
> Д ( 1 + - ) , п>п0,
где a > О, то степенной ряд Е cnZn сходится во всех точках окружности
71=0
своего круга сходимости.
13. Пусть все числа с„ положительны, Ck-i > Ck (к € М) и сп —» 0 при п —> оо.
оо
Доказать, что степенной ряд Е cnZn сходится во всех точках окружности
71=0
\z\ = 1, за исключением, быть может, точки z = 1.
14. Выяснить, в каких точках окружности круга сходимости сходятся
следующие ряды:
l)z+ 2 z2+ 2'4 z3
' ^ 1-3 1-3-5
оо п
п=2 п In п
5> s ,<$, <-1»"г2"=
СЮ 7гт2/2
7) Е *";
+ ..
оо та
•; 2) Е^;
n=1 nVn
.- ^ (2n)! n
4 Е 7^Л ^
6) Е Ц^3";
n=2 nlnn
ОО тггта2/2
8) Е ^-р—«».
гг=1 " п=1 V"
оо
15. Доказать вторую теорему Абеля: если степенной ряд ^ Сп^™ сходится
71 = 0
в точке zq, то он равномерно сходится на всем прямолинейном отрезке,
соединяющем точку z = 0 с точкой zq.
Ответы
8. 1) е3; 2) е; 3) -±=; 4) +оо; 5) е; 6) ^.
9. 1) Rm; 2) >/Д; 3) шах(Д, 1).
14. 1) При z ф 1; 2) во всех; 3) во всех; 4) при z ф -;
5) при л ^±^; 6) при л^-1, z^-±г—;
7) при г ^ 1, г^ ±г; 8) при л ^ 1> г^ ±г.

лава
Регулярные функции
§ 5. Дифференцируемость функций.
Гармонические функции
Справочные сведения
1. Дифференцируемость. Условия Коти—Римана
1.1. Дифференцируемость. Пусть функция /(г) определена в
некоторой окрестности точки го £ С, т. е. на множестве
. Br(zo) = {г: \z- z0\ < г},
n л „ f(z) — f(zo)
где г > 0. ьс л и существует конечный предел отношения —— -—- при
z- z0
z —► zo, тот этот предел называется производной функции /(г) в точке zq
и обозначается /'(го), т. е.
/'(г0) = lim /(Z) " /(го) (1)
Z—>Zo Z — Zq
или
/'(г0)= lim ^~
J v ' д2^о Az
где
Дг = г - г0, Д/ = /(г) - /(г0).
Если функция /(г) имеет в точке го производную, то говорят, что
функция /(г) дифференцируема в точке го-
1.2. Условия дифференцируемости. Для того чтобы функция
/(г) = и(ж,у)+гг;(ж)у)
была дифференцируема в точке го = xq + iyo, необходимо и достаточно
выполнение двух условий:
1) функции и(х,у) = Re/(г) и v(x,y) = 1т/(г) дифференцируемы
в точке (ж0,Уо) 6 К2;
2) в точке (жо,уо) справедливы равенства (условия Коши—Римана):
ди dv ди dv . .
дх ду ' ду дх
При этом - п
■-,,, ч ди . , dv . .
/(zo) = ^(ж0,уо) + г^(ж0,уо)-

62 Глава 2. Регулярные функции
1.3. Условия Коши—Римана в произвольном ортонормированием
базисе. Если в R2 заданы два взаимно перпендикулярных единичных
вектора п и I с той же взаимной ориентацией, что и базисные векторы
71 = (1, 0) и Я2 = (0,1),
то условия Коши—Римана (2) эквивалентны равенствам производных
по направлениям
ди _ dv ди _ dv , .
dn~~~di' ~di ~~дп~' [ >
В частности, в полярных координатах условия Коши—Римана в точке
zq ф 0 эквивалентны равенствам
ди _ 1 dv dv _ 1 ди , .
(9г г (?</? ' дг г dip
1.4. Свойства производной. Если две функции /ид дифференцируемы
в точке го G С, то в этой точке
а) функция / + g дифференцируема и справедливо равенство
(/ + <?)'= /' + </;
б) функция / • g дифференцируема и справедливо равенство
(f9)' = fg' + f'9;
f
в) если g(zo) ф 0, то функция — дифференцируема и справедливо
равенство
7V_/VV/
) ~ я2 ■
Если функция /(г) дифференцируема в точке го, а
функция g{w) дифференцируема в точке wq = /(го), то сложная функция
(p(z) = g{f{z)) дифференцируема в точке го, и справедливо равенство
f'{zo) = g'{w0) ■ f'{z0).
2. Понятие регулярной функции. Функция /: G —»• С называется
регулярной (или голоморфной) функцией в области G С С, если она
определена и дифференцируема в каждой точке области G.
Говорят, что функция / регулярна в точке го G С, если она
регулярна в некоторой окрестности этой точки.
Говорят, что функция / регулярна на множестве D, если
существует область G D D, в которой функция / определена и регулярна.

§ 5. Дифференцируемость функций. Гармонические функции 63
3. Понятие гармонической функции
3.1. Определение гармонической функции. Действительная функция
и(х,у), определенная и дважды непрерывно дифференцируемая в
области G С I2, называется гармонической в области G, если в любой
точке (ж, у) £ G справедливо равенство
д2и д2и п
(символом А обозначен дифференциальный оператор А = —^ + —-g,
д2 ]Р_
Эх2 + ду2
носящий название оператора Лапласа).
3.2. Связь регулярных и гармонических функций. Если функция
/(г) = и(х,у) + iv(x,y) регулярна в области G, то функции и(х,у)
и v(x,y) являются гармоническими функциями в области G.
Если в односвязной области G С К задана гармоническая
функция и(х,у), то существует регулярная в области G функция f(z), для
которой и(х,у) = Re/(г).
Пара функций и(х,у) и v(x,y), гармонических в области G и
удовлетворяющих условиям Коши—Римана в этой области, называется
парой сопряженных гармонических функций (порядок функций в паре
является существенным).
Примеры с решениями
Пример 1. Найти все точки, в которых дифференцируема функция
m = z2.
Л Так как
А/ = (г0 + Аг)2 - z\ = 2г0 • Аг + (Аг)2,
то —— = 2 го + Az, откуда следует, что существует предел
lim У- = /'(г0) = 2г0.
Аг-vO Дг
Итак, /(г) = г2 дифференцируема в любой точке из С.
Дифференцируемость можно проверять, используя условия Коши—
Римана (2).
Так как
/(г) = х2 - у2 + 2ixy,
то
и(х,у) = х2 -у2, v(x,y) = 2xy.

64 Глава 2. Регулярные функции
Функции и и v дифференцируемы на М2 и выполнены условия Коши—
Римана:
ди _ dv ди _ _ dv
дх ду ' ду дх
Следовательно, f(z) — z2 — функция, дифференцируемая во всей
плоскости С, и
Пример 2. Найти все точки, в которых дифференцируема функция
/(*) = *•
А В этом случае
и(х,у)=х, v(x,y) = -y,
откуда
ои _ ov _ 1
дх ' ду
т. е. условия Коши—Римана (2) не выполнены и поэтому функция
/(г) = г нигде не дифференцируема. А
Пример 3. Дана гармоническая функция и = ху. Найти регулярную
функцию f(z) такую, что и(х,у) — Kef(z).
А Для искомой функции f(z) — и(х,у) +iv(x,y) нужно найти v(x,y).
В силу дифференцируемости f(z) долясны выполняться условия Коши—
Римана, т. е.
ди ди ii
Q- = fa = У, откуда v(x, у) = — + ip(x),
где <р(х) — любая дифференцируемая функция. Из второго уравнения
в условиях Коши—Римана (2) получаем
dv _ ди
дх ду
х2
откуда ip'(x) — —х, т. е. <р(х) = \-С.
Итак,
где С — произвольное действительное число.

§ 5. Дифференцируемость функций. Гармонические функции 65
Задачи ■ - т -"*■■
1. Найти все точки z = х + iy, в которых дифференцируемы функции:
1) Imz; 2) |z|2; 3) ж2 - iy2; 4) х2 - у2 - 2ixy;
5) ж — у + i(x + у); 6) г Re г.
2. Доказать, что при любом натуральном значении п функция г"
дифференцируема во всей комплексной плоскости и что (г")' = nz"_1.
3. Доказать, что всякий многочлен от z является дифференцируемой
функцией во всей комплексной плоскости, а всякая рациональная функция
дифференцируема в любой точке, где знаменатель не'обращается в нуль.
4. Определим функцию е2 при любом комплексном значении z = x+iy
равенством е2 = ex(cosy + isiny). Доказать, что функция е2 дифференцируема
при любом z и справедливо равенство (е2)' = е2.
5. Определим функции sh z, ch z, sin z, cos z, равенствами
shz=i(e2-e-2), chz = \ (e2 + e"2),
....,,.. sinz = i(ei2-e-i2), cosz = ±(eiz + e~iz).
Доказать, что
1) (sh z)' = ch z; 2) (ch z)' = sh z; .
3) (sinг)' = cosz; 4) (cosz)' = —sinг.
6. Выяснить, в каких точках г € С дифференцируемы функции, и найти их
производные:
1) esh2; 2) cos(2e2); 3) sinzshz + icoszchz;
4) —; 5) zj> 6)
1 + z2'
7. Выяснить, где дифференцируемы функции, и найти их производные:
l)tgz; 2) ctgz; 3) J±|; 4) *
ег -2' ; tgz + ctgz'
5) (е2 + е-2)-3; 6) —
sin z — cos z
8. Пусть функция
f(z) =u(x,y)+iv(x,y)
дифференцируема в точке г0 = xo + iyo- Доказать справедливость формул:
1) f'(z0) = -^ (х0, yo)-iJi (x0, у0);
f/ll fill
2) f'(z0) = — (х0, уо) - г — (х0, у0);
3) f'(zo) = -^ Ы, Уо) + г -^ (х0, у0).
9. Пусть функция /(г) = u(x, y) + iv(x, у) дифференцируема в области G С С
и пусть одна из функций
1) и(х,у); 2) v(x,y); 3) г(х,у) = \f(z)\; 4) <р(а:,у) = arg/(z)
сохраняет в области G постоянное значение. Доказать, что /(г) = const.

66 Глава 2. Регулярные функции
10. Пусть u,v — пара сопряженных гармонических функций в области G, а
£, 7/ — пара сопряженных гармонических функций в области D. Пусть для
любого z = х + iy £ G значение и(х, у) + iv(x, у) принадлежит области D.
Доказать, что пара функций U, V вида
U(x, y)=£ (и(х, у), v(x, у)),
V{x,y)=r](u(x,y),v{x,y))
образует пару сопряженных гармонических функций в области G.
11. Пусть u, v — пара сопряженных гармонических функций в области G
и пусть ни в одной точке области G функции и и и не обращаются в нуль
одновременно. Доказать, что функция
U(ж, у) = In [u2{x, у) + v2(x, у)]
является гармонической в области G.
12. Пусть u,Vi и u, V2— две пары сопряженных гармонических функций
в области G с одной и той же первой функцией и. Доказать, что
"1 (х, у) - v2(x, у) = const.
13. В следующих задачах дается одна из пары сопряженных гармонических
функций и или v. Найти вторую функцию пары.
1) и = ху; 2) и = х2 — у2 + 2ху;
3) v = у sin х ch у + х sh у cos x;
4) и = rip cos (p + г In r sin ip (z = х +iy = re%,p).
14. Найти все гармонические функции вида
1) и = <р{х2 + у2); 2) и = ip{x2 - у2);
3)« = <Л|); 4)u = v?
15. Пусть Р{х, у) — многочлен от ж и у с комплексными коэффициентами.
Обозначим
P*{z,z) = P
Доказать, что
1) функции и(х,у) = ReP(a:,2/), v(x,y) = lmP(x,y) удовлетворяют
условиям Коши—Римана в том и только в том случае, когда многочлен
P*(z,~z) не зависит от z;
2) многочлен Р(ж, у) удовлетворяет уравнению Лапласа АР = 0 в том
и только том случае, когда многочлен Р*(г,Ж) можно представить в виде
Qi{z) + Q2(z), где Q\ и Q2 —многочлены.
16. Пусть P(z) -— многочлен. Положим
и(х, у) — Re P(x + iy);
v(x,y) = lmP(x + iy).
Доказать, что справедливы формулы
1) PW = 2. (§,§)- W); 2) pW = я* (|, i) + Ж)-
чя-
(z + z z — z\

§ 5. Дифференцируемость функций. Гармонические функции 67
17. Восстановить регулярную функцию f(z) по условию
1) Re f(z) = х3- 6х2у - Зху2 + 2у3, /(0) = »;
2) Re f(z) = х sin x ch у — у shy cos x, /(0) = 0;
3) Imf(z) = ycbxcosy + xsinyshx, /(0) = 1;
4) Im f(z) = у cos x ch у — a; sin a; shy, /(0) = 2;
5) Imf(z) = xsmychx+ yshxcosy, /(0) = 0;
6) Re f(z) = xex cos у — {у + l)ex sin y, /(0) = i;
7)\f(z)\ = (x2 + y2)e*;
8) argf(z)=2xy;
9) \f(z)\ = rer2cos2vJ (г = ге^. ■
10) arg/(z) = tp + rsinip (z = rel,p).
18. Пусть функции f(z) и д(г) регулярны в некоторой области G. Доказать,
что сумма f(z) + g(z) действительна во всей области G тогда и только
тогда, когда f(z) — g{z)-\- С, где С — действительная постоянная.
19. Пусть функции f(z) и g(z) регулярны в некоторой области G и g(z) ф 0.
Доказать, что произведение f(z)g(z) действительно (неотрицательно) во
всей области G тогда и только тогда, когда f(z) = Cg(z), где С —
действительная (неотрицательная) постоянная.
Ответы
1. 1) Нигде; 2) в точке z = 0; 3) на прямой Rez = —Imz;
4) нигде; 5) всюду; 6) в точке z = 0.
6. 1) chzeshz; 2) -2e*sin(2e*);
3) (1 + г) cos z sh z + (1 — г) sin z ch z;
4) (l-^eVz^0; 5) (1 - z)e~';
(1 + z2) cos 2 — 2z sin 2
„s [J. + Z (COS 2 — Z2S1I12 , , .
6) ^ ,, , 2ч2 > Z Ф ±Z-
7. 1)-Л-; 2)-^i-; 3) —i^y; 4) cos2z;
cos 2 sin 2 (e — 2)
, З(е-'-е'), , -1
; (e*+e-*)4' ' (sinz-cosz)2'
13. \) -*-=-£+ C; 2) гет-а^ + ^ + С;
3) a; sin a; ch у — j/ shy cos x; 4) r<£> sin <£> — r In r cos (p + C.
14. 1) C, ln(z2 + у2) + C2; 2) C, (z2 - </2) + C2;
3)Ciarctg^ + C2; 4) C-j-f-j + Ca.
17. 1) (1 + 2i)z3 + г; 2) zsinz; 3)zchz + l;
4) z cosz + 2; 5) zshz; 6) (z + i)ez;
7) z2ez+ia, lmc* = 0, a = const; 8) Ae*2, A > 0 - const;
9) ze*2+ia, lmc* = 0, a = const; 10) Azez, A > 0 - const.

68 .Плава 2. Регулярные функции
§ 6. Теорема Копш. Интеграл типа Коши.
Справочные сведения
1. Теорема Коши. Для всякой функции /, регулярной в односвязной
области G, справедливо равенство
f
f{z)dz = 0,
7
где интеграл берется по любой замкнутой спрямляемой кривой 7,
лежащей в области G. В более общем виде теорема Коши имеет следующую
формулировку.
Теорема. Пусть дана ограниченная конечносвязная область G
с кусочно-гладкой положительно ориентированной границей Г. Пусть
функция f регулярна в области G и непрерывна вплоть до границы Г
области G. Тогда
£f{z)dz = 0.
г
2. Интегральная формула Коши. Пусть G — ограниченная
конечносвязная область в С с кусочно-гладкой положительно
ориентированной границей Г. Пусть функция / регулярна в области G и непрерывна
вплоть до ее границы Г. Тогда для любой точки z G G справедлива
интегральная формула Коши вида:
г
3. Интеграл типа Коши. Пусть 7— кусочно-гладкая
ориентированная кривая в С, и пусть w = q(z) — непрерывная на 7 функция. Тогда
интеграл вида
7
называется интегралом типа Коши по кривой 7 от функции q.
При сформулированных выше условиях функция I(z) определена
и дифференцируема на С\7 бесконечное число раз, причем для ее
производных справедлива формула
""'м-йг/к^рг* n£N' (3)
7

§ 6. Теорема Коши. Интеграл типа Коши. 69
Из интегральной формулы Коши (1) и свойств интеграла типа
Коши (2) получаем следствие: всякая регулярная в области функция
является бесконечно дифференцируемой функцией в этой области.
4. Первообразная. По теореме Коши интеграл от функции f(z),
регулярной в односвязной области G. не зависит от пути интегрирования,
поэтому имеет смысл обозначение
Z2.
/(C)dC, zieG, Z2EG,
для интеграла по любой кусочно-гладкой кривой, лежащей в области G,
с началом в точке z\ и концом в точке zi-
Функция Ф(г), определенная и дифференцируемая в области G,
называется первообразной функции /(-г), определенной в области G, если
Ф'(г) = /(г) (zeG).
Известно, что если первообразная существует, то она единственна
с точностью до постоянного слагаемого.
Теорема Морера. Если функция f(z) непрерывна в области G и для
каждой замкнутой кусочно-гладкой кривой у С G справедливо
равенство
f
./(г)(Ь = 0,
7
то функция f(z) регулярна в области G.
Следствие. При выполнении условий теоремы Морера у функции f(z)
существует в области G первообразная вида
z
*(z) = ff№<%, zeG,
a
где a — произвольная точка из области G.
Примеры с решениями
Пример 1. Вычислить интеграл / = I -^ по полуокружности
7 <'
7 = < z:
1
~ 2
с началом в точке 0 и концом в точке 1
- , Im z ^ О
2 '

70 Глава 2. Регулярные функции
Л Отмечая, что подынтегральная функция f(z) = ^ регулярна
1 + z
в круге
{>
1
Z~2
<
\ + *
}•
то по теореме Коши интеграл от этой функции внутри этого круга не
зависит от пути интегрирования, т. е. можно интегрировать, например,
по отрезку [0,1]. Тогда получаем
1
dx
-/г
+ х'
= arctg х
х=1
х=0
7Г
4
Пример 2. С помощью интегральной формулы Коши вычислить
значение интеграла
/
1С1=2
где окружность |£| = 2 обходится против часовой стрелки.
" f cTTdc'
Л Сравнивая данный интеграл I с правой частью формулы (1), видим,
что если в формуле (1) выбрать функцию f(z) = 2mez, то получим, что
7 = /(-1), т. е. I = 2irie~1. A
Пример 3. Вычислить интегралы Френеля
h
= I cos х2 dx, I2 = I
cos a; dx, /2= I sin a; dx.
Л Пусть R > 0. Рассмотрим контур Гд, указанный на рис. 6.1,
Гд = [0, R] U С л U /. Так как функция elz регулярна внутри Гд, то
R
Гд 0 CR I
(4)
Рис. 6.1

§ 6. Теорема Коши. Интеграл типа Коши. 71
Оценим интеграл I etz dz. При z € Cr имеем z = ife"*5, 0 ^ у? ^ 7г/4,
так что
|еи2| = e-H2sin2¥. ^ е-(4Я2/т)¥>
в силу неравенства sin2<p ^ 4</?/я" (0 ^ ц> ^ 7г/4). Следовательно,
тг/4
fe"2dz < Д f е-С4*2/*)^ = ^ (1 - е-й2) -^ О (Д -► сх>).
Cr 0
Далее, если г € /, то г = rei7r'4, так что eiz = e~r . Поэтому
;■
я
^2dz = -ег^4 I е"7"2dr.
;■
(5)
Из курса математического анализа известно, что
;
е х dx
Переходя в равенстве (4) к пределу при R —► оо, получаем
оо
(6)
Отделяя в равенстве (6) действительные и мнимые части, находим
искомые интегралы:
эо оо
I cos х dx = I sin ж dx =
cos ж dx
о о
2тг
Задачи
1. Доказать, что если функция f(z) регулярна в круге \z — a\ < R и
удовлетворяет условию \f(z)\ < М (\z — a\ < R), то для любых двух точек z\
и 22 из этого круга имеет место неравенство
22
/
жк
<M|z2-zi|
2. Доказать, что утверждение задачи 1 остается в силе, если областью
регулярности функции f(z) является не обязательно круг, а произвольная
выпуклая область в С.

72 Глава 2. Регулярные функция
Замечание. Область называется выпуклой, если вместе с каждой парой
принадлежащих этой области точек ей принадлежит и прямолинейный
отрезок, соединяющий эти точки.
3. Пусть функция f(z) регулярна в выпуклой области D С С и удовлетворяет
условию Ref(z) ^ М > О (г £ D). Доказать, что для любых двух точек
z\ и Z2 из этой области
/(СК >M\z2-Zl\.
I
4. Доказать, что утверждение задачи 3 остается в силе, если условие
Re/(z)>M>0 {z€D)
заменить условием Re {ег¥3/(z)} > М (действительное число f не зависит
от точки z).
5. Пусть функция f(z) регулярна в односвязной области D С С. Доказать,
что функция
z
$(*) = f ДО dC + const (z0 e D, z € D)
го
является первообразной функции f{z).
6. Пусть функции f(z) и g(z) регулярны в односвязной области D С С, a F(z)
и G(z) соответственно первообразные этих функций. Доказать формулу
интегрирования по частям:
ь ь
Г'F{z)g{z)dz = F{b)G{b)-F{a)G{a)- Гf(z)G(z)dz.
a a
7. Найти первообразные функций:
1) еаг; 2) choz; 3) shoz;
4) cosoz; 5) sinoz; 6) eaz cosbz;
7) zeaz; 8) z2chaz; 9) zcosaz.
8. Пусть функция f(z) регулярна в кольце г < \z — a\ < R. Доказать, что
интеграл
f
f(z)dz, r<p<R, -,">,-,-..- --.-
\z-a\=p
не зависит от числа р (окружность обходится против часовой стрелки).
Пусть функция f(z) регулярна в кольце г < \z\ < R, а простая
кусочно-гладкая кривая 7 ограничивает область, содержащую круг \z\ < г
и лежащую в круге \z\ < R, причем при движении по кривой 7 область
остается слева. Доказать, что интеграл J f(z) dz не зависит от выбора
7
кривой 7 (удовлетворяющей поставленным выше условиям).

§ 6. Теорема Коши. Интеграл типа Коши. 73
10. Пусть функция /(г) регулярна в произвольной области D комплексной
плоскости. Доказать, что необходимым и достаточным условием
существования первообразной у функции f(z) в области D является равенство
нулю интеграла от функции /(г) по любой простой замкнутой ломаной,
лежащей в области D.
11. Доказать, что следующие функции не имеют первообразных в областях,
указанных в скобках:
\)\ (0<|г|<оо); Т}\-^-1 (0 < \z\ < 1);
3) т^ (0 < \z\ < ос); 4) 1 (0 < \z\ < 1).
1 + Z 2(1 — Z )
12. Пусть функция /(г) регулярна в ограниченной двусвязной области D,
заключенной между двумя замкнутыми кусочно-гладкими кривыми 71
и 72. и непрерывна вплоть до ее границы. Доказать, что функция f(z)
имеет в области D первообразную в том и только в том случае, когда
f(z)dz = 0.
71
13. Пусть функция /(г) регулярна в односвязной в С области, содержащей
точку z = оо. Доказать, что функция f(z) имеет в этой области
первообразную в том и только в том случае, когда lim zf(z) = 0.
z—>эо
14. Пусть функция f(z) регулярна в односвязной области ВсС, содержащей
точку z = ос. Обозначим через D' область D с выколотой точкой z = 00.
Доказать, что функция /(г) имеет первообразную в области D' в том и
только в том случае, когда
lim *(/(*)-/(оо)) = 0.
Z—>ЭО
15. Пусть функции /(г) и g(z) регулярны в области DcC, содержащей точку
z = ос. и имеют первообразные в области D' (область D с выколотой
точкой z = ос). Доказать, что функции f(z)+g(z), f(z)g(z), P(f(z)), e-^2'
{P{w) — произвольный многочлен) также регулярны в области D и имеют
первообразную в области D'.
16. Пусть функция /(г) регулярна в ограниченной m-связной
области D, граница которой состоит из замкнутых кусочно-гладких
кривых Т\, Гг, .... Г,„. Доказать, что для существования у функции f(z)
первообразной в области D необходимо и достаточно, чтобы
ff(z)dz = 0 {k = 1, 2, ... , m- 1).
17. Пусть функция f(z) регулярна в полосе —а < Imz < а и удовлетворяет
условию
/(г) —> 0 (г —» оо, —а < Imz < а).
f

74 Глава 2. Регулярные функции
Доказать, что если интеграл I f(x) dx сходится, то при любом а из
— сю
ia+oo
интервала (—а, а) интеграл I f(z) dz также сходится и не зависит от а.
ъа—оо
Указание. Применить теорему Коши к одному из прямоугольников
--Ri < Rez < Д2, 0 < |Imz| < |а|,
а затем перейти к пределу при R\ —* + оо, Дг ~* -f со.
18. Пусть функция f(z) регулярна в угле —а < argz < а и удовлетворяет
условиям
z/(z)-»0 (z-»0, |argz| <а),
zf{z)—>0 (z —* оо, |argz|<a).
схз
Доказать, что если интеграл \ f[x) dx сходится, то при любом а из
о
интервала (—а, а) интеграл I f(z) dz также сходится и не зависит от а.
arg z=a
схз
19. Из анализа известно, что I e~x dx = \JH. Вычислить интеграл
—схз
оо
f е-** cosaxdx, -оо < « < оо.
—сх>
+оо
20. Вычислить интеграл I e~%x dx.
21. С помощью интегральной формулы Коши вычислить интегралы (все
окружности обходятся против часовой стрелки):
1) f sinz^; 2) f -^-; 3) f -f-- dz;
|,+i|=3 Z + l \z\=2Z +1 \z\=2Z
4) f ™, dz; 5) f {1 + z^z-ir 6) . f. , J^W ^
|z|=4 |z+l| = l v /x |z—»|=1
7) # "ТГ^ {D : a) |z| < 1/2; 6) |z| < 3/2; в) |z - 1| < 1/2);
*\f_ (,-аПг-Ъ) (1«1<г<|6|, n = l,2,...).

§ 6. Теорема Коши. Интеграл типа Коши. 75
22. Пусть функции f(z) и g(z) регулярны в круге \z\ < 1 и непрерывны
в замкнутом круге \z\ ^ 1. Доказать, что
h§
Ж) + zg(0
C-z zC-1
d( =
ICI=i
23. Пусть функция f(z) регулярна в области D С С, содержащей точку
z ~ ос, и непрерывна вплоть до ее границы. Доказать, что в этом случае
интегральная формула Коши принимает вид
/(С) , _ jf(z) ~ Д°°) ПРИ Z&D,
2m J <~z \-/(oo) при *£Д
а формула для производных /(г) сохраняет прежний вид.
Указание. Применить формулу Коши к функции f(z) в области -Од,
получающейся удалением из области D области \z\ > R, а затем положить
R —> ос.
24. Пусть функция f(z) регулярна в круге \z — a\ < Rvl непрерывна в
замкнутом круге \z — a\ < R. Доказать формулу
2тг
2тг
о
носящую название теоремы о среднем.
25. Пусть функция /(г) регулярна в круге \z\ < R и непрерывна в замкнутом
круге \z\ ^ R. Вычислить интеграл
II
f(z)dxdy.
r<\z\<R
26. Доказать, что функция, регулярная в некоторой области и отличная от
тождественной постоянной, не может принимать во внутренней точке этой
области наибольшего по модулю значения. {Принцип максимума модуля.)
Указание. См. задачу 24.
27. Пусть функция и(х, у) гармонична в круге \z — a\ ^ R. Доказать, что
2тг
— I u(a + Rcosip, p + Rsiiup) dip = u(a, 0) (a = a + ifi).
2-я J
0
Указание. См. задачу 24.
28. Доказать, что функция, гармоническая в некоторой области и отличная от
тождественной постоянной, не может принимать во внутренней точке этой
области ни наибольшего, ни наименьшего значения. {Принцип максимума
для гармонических функций.)

76 Глава 2. Регулярные функции
29. Пусть функция f(z) регулярна в ограниченной области D с С и
непрерывна вплоть до ее границы dD, состоящей из конечного числа замкнутых
кусочно-гладких кривых. Доказать неравенство
/(п)(*)
^
M-L
2жрп+1
(п = 1, 2,...).,
где М = max |/(z)|, p — расстояние от точки z до границы области D,
z€dD
a L — полная длина границы области D.
30. Пусть функция f(z) регулярна в круге \z\ < R и непрерывна в замкнутом
круге \z\ ^ R. Доказать неравенство
/(n)(z)
^
MR
(л-И)-
п+1
(п=1,2,...), (|г|<Д),
где М = max |/(z)|.
|z|=A
31. Пусть функция f(z) регулярна в круге \z\ < R и непрерывна в замкнутом
круге \z\ ^ R. Доказать неравенство
/(П)(*)
^
MR Г /
2тг J *■
i?2 + |^|2-2^|cos^)~(n+1)/2
dp (И<Д),
где М = max |/(z)|, и показать, что при п = 1 это неравенство можно
записать в виде
!/'(*)! ^
MR
R' - Ы
(И < д).
32. Пусть функция f(z) регулярна во всей плоскости и удовлетворяет условию
|/(z)| ^ М при всех z. Доказать, что f(z) тождественно постоянна.
(Теорема Лиувилля.)
Указание. Воспользоваться неравенством для |/'(z)|, скажем, из
задачи 31 при фиксированном z и R —> оо.
33. Пусть функция f(z) регулярна во всей плоскости и удовлетворяет
неравенству
\f(z)\^M(l + \z\r, p>0.
Доказать, что f(z) — многочлен степени не выше р.
34. Во всех точках, не принадлежащих кривой интегрирования, вычислить
значения следующих интегралов типа Коши:
D_L Г К .
А) 2т J С-г'
з)— Г
<к
2ш J C(2C2 + 5C + 2)(C-Z)'
£>
z: Ы < 1,
dD
"§
>
i}-

§ 6. Теорема Коши. Интеграл типа Коши. 11
35. Пусть функция f(z) регулярна в кольце г < \z — а\ < R. Доказать, что
интеграл типа Коши
\(-а\=р
при \z\ < г (или при \z\ > R) не зависит от числа р.
Указание, См. задачу 8.
36. Пусть функция /(С) регулярна в кольце г < |£| < R и непрерывна
в замкнутом кольце г ^ |£| ^ R. Обозначим
\<\=R
(окружности обходятся против часовой стрелки). Доказать, что при
г < \z\ < R имеет место равенство f(z) = /1(2) + /2(2).
37. Пусть функция f(z) регулярна в кольце г < \z — а\ < R. Доказать, что
ее можно представить в виде f(z) = f\(z) + /2(2), где функция /1(2)
регулярна в круге \z — а\ < R, а функция /2(2) регулярна при \z — а\ > г
и /2(ос) = 0.
38. Доказать, что представление функции /(г) из предыдущей задачи
единственно.
Указание. Воспользоваться теоремой Лиувилля (см. задачу 32).
39. Пусть простая замкнутая кривая 7i ограничивает область D\ С С, а
простая замкнутая кривая 72) лежащая в области D\, ограничивает область
Ог С Оь Доказать, что любую функцию f(z), регулярную в
кольцеобразной области D = Di\D2, можно представить в виде f(z) = /1(2) + /2(2))
где функция /1(2) регулярна в области D\, а функция /2(2) регулярна вне
области £>2. Доказать также, что такое представление единственно, если
наложить условие /г(оо) = 0.
40. Пусть 7 — простая замкнутая кривая, ограничивающая область D С С,
а функция ip(z) регулярна в некоторой области, содержащей кривую 7-
Доказать, что для существования функции f(z), регулярной в замыкании
области D и совпадающей с функцией ip(z) на кривой 7> необходимо
и достаточно, чтобы
(£^IdC = 0 {ziD).
41. Пусть 7 ~ простая замкнутая кусочно-гладкая кривая, ограничивающая
конечную область D. а функция tp(t) непрерывна на кривой 7- Доказать.

78 Глава 2. Регулярные функции
что для равенства
£^dt = 0 {z$D)
7
необходимо и достаточно, чтобы
£tncp(t)dt=0 (n = 0, 1, 2, ...),
7
а для равенства
£^-zdt = o (zeD)
7
необходимо и достаточно, чтобы
(ktn(p(t)dt=0 (п = -1,-2, ...).
7
42. Пусть функция f(z) регулярна в полосе —а < Imz < а и удовлетворяет
условиям
f(z)
:L^-L—>0 (z —> оо, |Imz|<a),
z
оо
dx < оо.
Доказать, что функцию f(z) можно представить в виде /i(z) + /2(2), где
функция /i(z) регулярна в полуплоскости Imz > —а и удовлетворяет
условию
АМ-^о (z-юо, Imz^ -a + e)
(е > 0 произвольно), а функция /г(г) регулярна в полуплоскости Imz < a
и удовлетворяет условию
М^-^0 (z-юо, Imz < a-s)
z
(е > 0 произвольно). Доказать также, что такое представление
единственно.
Указание. Взять
—т'+оо
^ = Ь J '®&> bnz>-a'>-a,
—m'—со
m'+oo
m'—oo

§ 6. Теорема Коши. Интеграл типа Коши. 79
43. Пусть функция /(£) регулярна в угле
—a < argC < а, 0 < а < ж,
непрерывна вплоть до его границы и удовлетворяет условиям
dx
/(z)-+0 (z-oo, largzXa), Jl/Or)!^
< 00.
Обозначим
/iW= f /(С)Д, /2(z)= J /(C)
C-z
argC=-a
argC=a
Доказать, что:
1) функция /i(z) регулярна во всей плоскости z с разрезом по лучу
argz = —а, а функция /г(г) —во всей плоскости z с разрезом по лучу
arg z = a;
2) вне угла | argz| ^ а имеет место равенство /i = Д.;
3) внутри угла | argz| < а имеет место равенство Д — Д> = 1т.
Ответы
7. 1)^е°2 + С; 2) -shaz + C; 3)-chaz + C;
а а а
4) - sin az + С; 5) cos az + С;
a a
6) gaz a cos Ь + Ь sin fa + c. 7)l/_ 1 \ gOZ + c
a +b ' a\ a/
8) — sh az , ch az H—5- sh az + C;
a a2 aJ
z 1
9) - sin az H—5- cos az + C.
a a
19. v^Fe-"2/4
20
-е~"/А.
21. l)27rshl; 2)0; 3)27rishl; 4)0; 5)-тг/4; 6)-тггсЫ;
7) а) 2тп; б) тгг(2 - е); в) -тгге; 8) -2ттг(6 - a)~n.
25. тг(Д2-г2)/(0).
34. l)£>1 = {z: |z|< l}, /j(z) =
L>2 = {z:|z|>l}, /2(z) =
2(z - 2)'
2z'
2) £>i = <U
arg
z- 1
<7Г}' Л^ = ^"8^-^111
1 -z

80 Глава 2. Регулярные функции
3)
£>! = {*:
, 2| ll л / ч 1
D2 = {z: |z|>l}, /2(z)
2z'
D3 = |z:
N1 < 1},
,2 1 I , , ч 2z + 5
*+3 >з|. /з(^)-2(2г2 + 5г+2)-
§ 7. Ряд Тейлора *
Справочные сведения
1. Если функция f(z) регулярна в круге
BR(a) = {z: \z-a\ < R},
то она представима в этом круге в виде суммы сходящегося к f{z) ряда
Тейлора, т. е.
/(*) = $>(*-<»)", (1)
п=0
где
Сп —
/W(o)
П!
(2)
2. Вычислив производные в точке z = 0 функций ег, sin z, cos 2, shz,
chz, , можно получить их разложения в ряд Тейлора:
1 — z
smz
cos z
п=0
оо
-£■
п=0
оо
Е
п=0
^ гг! '
(-l)nz2n+1
(2п+1)!
п ~2п
-1)пг
(2п)! '
,2п+1
Sh 2 = > —- -тт ,
^ (2п + 1)!
п=0
~ г2п
п=0
оо
тЬ-5>"-
< +оо;
< +оо;
< +оо;
< +оо;
< +оо;
<1.
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
п=0

§ 7. Ряд Тейлора 81
Ряды (3)-(7) сходятся во всей комплексной плоскости, а ряд (8) —
в круге i?i(0).
3. Арифметические операции над степенными рядами
(рядами Тейлора). Если функции f(z) и g(z), регулярные в круге
Вц(а) = {z: \z — а\ < R}, представляются рядами
ос оо
п=0 п=0
сходящимися в круге Вц(а) = {z: \z — а\ < R}, то
оо
f(z)±g(z) = J2(cn±dn)(z-a)n, (9)
тг=0
оо / тг \
f(z)g(z) = J2 [J2ckdn^)(z-ar. (10)
тг=0 \fe=0
Ряды (9) и (10) сходятся в круге Вц(а)
9 (г
4. Метод неопределенных коэффициентов. Пусть f(z) — ,
ti\z)
где g(z) и h(z) — функции, регулярные в окрестности точки а, причем
h(a) ф 0. Тогда функция f(z) регулярна в окрестности точки а. Если
известно, что
оо оо
g(z) = J2 an(z ~ а)п и h(z) = J2 bn(z - а)п,
тг=0 гг=0
оо
то для нахолсдения коэффициентов сп разложения f(z) — ^ cn(z — а)п
тг=0
нужно приравнять коэффициенты при одинаковых степенях разности
z — а в равенстве f(z)h(z) = g(z) и получить уравнения вида
с0Ьп + cib„_i + ... + cnb0 = ап,
из которых можно последовательно найти числа cq, с\, С2 и т. д.
5. Нули регулярной функции. Точка z = а называется нулем
функции f(z), регулярной в точке а, если /(а) = 0.
Пусть z = а (а ф ос) - нуль функции f(z) и
оо
f(z) = Y/Cn(z-a)n. (11)
тг=0
Если в формуле (11) сто — первый отличный от нуля коэффициент
(со = с\ — ... — cm_i = 0, ст Ф 0), т. е. разложение функции f(z)

82 Глава 2. Регулярные функции
в ряд Тейлора в окрестности точки z = а имеет вид
оо
f(z) = £ cn(z - a)n, Crn^O,
то число т называется порядком (или кратностью) нуля z = а
функции f(z).
/(fe)(a)
Так как с& = —тт—j то порядок нуля г = а функции f(z) равен
наименьшему порядку производной этой функции, отличной от нуля
в точке а.
Точка z — а (а ф оо) является нулем порядка т функции f(z) тогда
и только тогда, когда эта функция представляется в виде
f(z) = (z-a)mh(z),
где h(z) — регулярная в точке а функция, такая, что h(a) ф 0.
Примеры с решениями
Пример 1. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки z = 0
функции
tt \ l tt \ z + n
J v ' (l-zf J v ' z2 + z-2
A 1) Так как — -^ = I j , то используя разложение (8),
получаем оо
v ' n=0
Этот ряд, как и ряд (8), сходится в круге -Bi(O) = {z: \z\ < 1}.
2) Так как
z2 + z-2 = (z-l)(z + 2),
то функцию f(z) можно представить в виде суммы простых дробей, т. е.
tt \ Z+ 11 Л В лаг, о
f{z) = z^7^2 = z=-l + zT2> ГД6 Л=4' В=~3-
Чтобы воспользоваться формулой (8), преобразуем f(z). Получим
4 3
J V
откуда находим
оо
/(z) = -4£V-
п=0
" lz 2N)'
2 Z^v > 2п Z^ I 2"+1
n=0 n=0 ч
-4)zn.
Этот ряд сходится в круге B\(0) — {z: \z\ < 1}.

§ 7. Ряд Тейлора 83
Пример 2. Разложить функцию
№ = (s - з. + у) в6*-*2"8
в окрестности точки z = 3 в ряд Тейлора.
А Пусть z — 3 = t, тогда, воспользовавшись формулой (3), получим:
t2 + 1 !_t2 _ е /v^ (_1)п*2<„+1) ~ (_1}г
/w = i^e-'= е^^- + Е
.2п
2 2 \ ^^ п! ^-^ п! /
\п=0 п=0 /
2+2^^ (п_1)! + „! У
п=0
Ряд сходится во всей комплексной плоскости. А
Пример 3. Разложить функцию ez cos z в ряд Тейлора в окрестности
точки z = 0.
А Для нахождения искомого разложения можно перемножить ряды (3)
и (5). Однако для эффективного вычисления коэффициентов
разложения удобнее использовать тождество
, i е"- + е
е~ cos z = e
l^z(i+i)+e*(i-i)j
2
Так как 1+г = у^е^/4, то, применяя формулу (3), получаем разложение
оо
Е-г..,-g.,...,, _|_ 2"/-е ■ ••■-,- „ _ ^-^
2п! _ ^ п! """ 4
гг=0 тг=0
2п/2ег7ГП/4 + 2n/2e_i7rn/4 n v^ 2П/2 ттп „
е^ cos z — > z = > —- cos — г
Радиус сходимости этого ряда R = +оо. А
Пример 4. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки z — 0 функ-
ции /(г) = -^—у и #(.г) = zctgz.
А Применив метод неопределенных коэффициентов, получим
1 ^ n! ' v ;
г=0
где Вп — числа Бернулли, определяемые из равенств
-Во = 1, В\ = - - ,
Сп+1В0 + Cn+1Bi + ... + С^+1Вп = 0,

84 Глава 2. Регулярные функции
С^+1 — биномиальные коэффициенты (к ■= 0, 1, ... , п). Ряд (12)
сходится в круге _В2тг(0) = {z: N < 27г}.
2) Используя равенство
cos z . eMz + 1 2г
ctg z = 7Л~: = % 3ii—7 = г +
sin z e2iz - 1 e2iz - 1
и формулу (12), получаем:
2iz
zctgz = tz+^r
= iz + 1 + ( - \ J 2iz + JT
^ ' n=l
(2г) ™B2n 2n
(2n)!
г =
=»E^^ a»)
(2n)!
n=l ч '
Ряд (13) содержит только члены с z , так как z ctg z — четная функция,
этот ряд сходится в круге радиуса 7Г. ▲
Пример 5. Найти порядок нуля z — 7Г функции
/(г) = (z2-tt2)2 sin4 г.
Л Так как
Z2-7T2 = (z-7T)hi(z), /ll(7r)^0,
sinz = (z — 7r)/i2(z), /i2(7r)^0,
to /(z) = (z — 7r)6/i(z), где /i(z)— регулярная в точке 7Г функция,
такая, что h(jt) ф 0. Следовательно, точка z = 7Г — нуль функции /(z)
кратности 6. ▲
Задачи
1. Используя формулы (3) и (5), доказать, что:
2. Используя формулу (8), доказать, что:
_2
(1 + z) „=0
^('"+2-"2-^)=So<S
!) 7Г^з= Е (-!)"(« + !)(" + 2)z", |z| < 1;
_, 2(2 +а) £2, п22п , . , , , „
l." z7 n=l "

§ 7. Ряд Тейлора 85
3) -г^—2 = Е (-l)na-2(n+1b2n, \z\<\a\, а^О;
z +а п=0
4)ТТТ^= Е("+1)(-1)"г2и, |z| <1|;
5)%! 2У = ЕЛ2", |г|<1|;
~\ /-, \-m-i ^ (п+ 1)(7г + 2) ... (га+ m) „ ii^i ^ rj
6) (1 — z) п = 2_ - — -. zn, \z\ < 1, met
п=о т-
3. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки г = 0 функцию:
!) 7^7^; 2) ,л Х ■ 3) т^-з^; 4) Х
(1 + гГ ' (1-z2)2, ' (1+z3)2' ' {l-zbY
5) (2 + 1)(2-2); 6) г2-5г + б; 7) (z2 + l)(z2-4Y
z3 1 1
-' (z" + l)(z-l)' ' (г2-1)^^ + 4)
2г — 1 1
п) , 2 „, ,т; 12)
4г2-2г + 1' ' (1 + г)(1 + z2)(l + г4) '
13)
(l~z4)(l+z + z2+z3)'
4. Разложить функцию
z2 +Z-2
в ряд Тейлора в окрестности точки z — — 1.
5. Разложить функцию
,, , г2 +22
/(г) = (7TTF
в ряд Тейлора в окрестности точки 2 = 1.
6. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки г = 0 функции:
l)sin22; 2) cos3 г; 3) sin4 z + cos4 г;
4) cos2 z + ch z; 5) e2sinz; 6) chz-cosz.
7. Разложить функцию
Дг) = (г2-4г + 5)е4г-г2
в ряд Тейлора в окрестности точки z = 2.
8. Разложить функцию
/(*)= ( ^ + 2г - 1 J cos(2z + 6)
в ряд Тейлора в окрестности точки z = — 3.
9. Найти первые три отличные от нуля члена разложения в ряд Тейлора
в окрестности точки z = 0 функции:
1) tgz; 2) Z2-—; 3) е
(1—2 ) Sin 2
г+cos г

86 Глава 2. Регулярные функции
10. Используя метод неопределенных коэффициентов, показать, что
коэффициенты Ап степенного ряда
1-х-
= Х>„2п
п=0
определяются условиями А$ = 1, А\ = 1, Ап+\ = -An +^n-i, тг 6 Щ. Числа
Лп называются числами Фибоначчи. Доказать, что
An —
VE
(W'-M
n+1
п £
11. Определить порядок т нуля z = а функции /(г), если:
1) /(z) = (cos3z - cos5z)2(l - cos2z)3, а = 0;
2) /(z) = (z2 - 7Г2)3 sin3 z, а = тг;
3)/(z) = (z2+7r2)2(e2*-l)4, а = тгг;
4) /(z) = (z4 + 2z3-2z-l)2(ei7r*-|-l)3, а =-I. ~
12. Найти разложение в ряд Тейлора в окрестности точки z = 0 функции,
удовлетворяющей указанным ниже условиям:
1)/'(*) =/(*), До) = 1;
2)(l + z2)/'(z) = l, /(0) = 0;
3)/"(z)+A2/(z) = 0, /(0)=0, /'(0) = А;
4) (1 - z2)f"(z) - zf'{z) = 0, /(0) = 0, /'(0) = 1;
5)zf"(z)+f'(z) + zf(z) = 0, /(0) = 0, /'(0) = 1;
6)(l-z2)/"(^)-5z/'(z)-4/(z) = 0, /(0) = 0, /'(0) = 1.
13. Пусть функция /(z) регулярна в некоторой окрестности точки z ="' 0
и удовлетворяет условиям
/(0) = 0, /(z) = z + /(z2).
Доказать, что /(z) = ^2 z2 .
п=0
14. Пусть функция /(z) регулярна в некоторой окрестности точки z = 0
и удовлетворяет условиям
/(0) = 1, f'(z) = (l+qz)f(q2z),
где q — заданное действительное число, такое, что \q\ < 1. Доказать, что
/m-ES'
п(п+1)
2
п=0
15. Используя формулу (12) (пример 4), доказать, что:
1) tgz = £ (-1)" {LJ } B2nz2n~1
п=\
(2п)!
* <
2'
г.2п
2) — = 1 + £ (-1)" V^T B2«z2n>
sinz „е^ (2n)!
Z < 7Г.

§ 7. Ряд Тейлора 87
16. Пусть функция f(z) регулярна в односвязной области D, содержащей
точку zq. Доказать, что для любой точки геВ справедлива формула
п z
f(z) = /(го) + £ ^^ (z - го)к + -, Г (* - i)"/(n+1) (<) <Й.
*=i ' ' i
17. Доказать, что
оо
п=0
где коэффициенты i?2n (числа Эйлера) определяются условиями
Е0 = 1, Е2к-х = О {ке N),
£0 + С\пЕ2 + С%пЕ4 + ...+ С^Е2п = 0, п е N.
Ответы
1) Е (-!)"(" + i)^n; 2) £(n + i)z
п=0 п=0
2п.
3) Е (-!)"(" + 1)г3п; 4) g (" + !)(" +2) гбп.
п—0 п=0 ^
1 ОО ОО
5) 5 Е ((-1)"+1 - 2"™-1) zn; 6) - Е (2"n_1 + 2,-п~1)гъ
п=0 п=0
1 ос оо
7) ^ Е ((-l)n+1 - 4-™-1) z2n+1; 8) - £ (г4п + г4п_1);
О п=0 *" п=0
-1 ОО
9)^Е (5п + 6 + (-1)"4-"-1)г2™;
оо оо
10) £ (z3n - Z3n+1); 11) g(_l)n(23n+223n+2_23n23n-);
n=0 n=0
оо оо
12) £ (z8™ - z8™+1); 13) £(n + l)(^8™-z8n+1).
п=0 п=0
7 оо
4- /(*) = Ъ + Е (2"(п+1) + (-1)™) (z + 1)™.
Z 71=1
../(,).|+£^l(i-£i±if±2) (,.,)..
оо n2n— 1 ОО о2п , о ~2п
6. 1) E(-i)n_17T^722n; 2) £(-1)"^-^-^—■
„=1 (2")! ' У „tV ' 4 (2п)!!
оо п4п —2 оо г)Ап-\-\
3'1+ £(-')" 155Г *■• 4> ' + £ W"";
-4"
2n J?
5) E2«/2sin^.^; б) Е(_1}п2
п=0 4 "■ n=0 l4n
7. f(z) = е4 + g ^(-l)""1^-!) (z _ 2)„_
n=l
71!

88 Глава 2. Регулярные функции
8. /(г) = -4+ g (-l)"-i22" 2n' "t,24(z + 3)2"-
„=i 6-(2п)!
1 з 2 . . _, 1Х„Х19, . „ч , . . z
2
9. 1) г + - z3 + — z5 + ...; 2) 1 + 2z + ~ z2 + ...; 3) 1 + z + — + ... .
о lO О ^
11. 1) т = 10; 2) m = 6; 3) т = 6; 4) т = 7.
оо 9п оо 2п+1
п=о п- п=о zn +1
оо \2п+1 2п+1 оо f9™M „2п+1
'.е. (2п + 1)! ' 4j ^022"(n!)22n + l'
оо 2п оо ,}2n/ |\2
§ 8. Последовательности и ряды
регулярных функций.
Интегралы, зависящие от параметра.
Справочные сведения
1. Последовательности и ряды. Равномерная сходимость
строго внутри области. Рассмотрим функциональную
последовательность {Sn(z)}, а также функциональный ряд
+оо
ад = £/«(*),' ' а)
п=1
членами которых являются функции, регулярные в некоторой
области G. Говорят, что последовательность {Sn(z)} (ряд (1)) равномерно
сходится строго внутри области G, если она (он) сходится равномерно
в каждом замкнутом круге
Br(z0) = {z: \z- zq\ < г},
содержащемся в области G, т.е. для любого Bt(zq) с G и любого е > 0
найдется номер
N = N(Br(z0),e) : a
такой, что для всех n ^ N справедливо неравенство
sup{|S„(z) - S{z)\: z € Br{z0)} ^ e
n
(для ряда (1), полагая Sn(z) = ^ /fc(z), получаем аналогичное утвер-
fc=i
ждение). .«

§ 8. Регулярные функции. Интегралы, зависящие от параметра 89
2. Теорема Вейерштрасса. Пусть ряд (1), составленный из
регулярных в области G функций fn(z), сходится равномерно строго внутри
области G. Тогда его сумма S(z) является регулярной функцией в
области G, и ряд (1) можно почленно дифференцировать в G любое число
раз, т. е. для любого числа k E N имеет место равенство
n=l
причем каждый ряд (2) сходится равномерно строго внутри области G.
3. Бесконечные произведения. Рассмотрим сходящиеся
бесконечные произведения регулярных в области G функций 1 + fk{z)-
со
Ш1 + /^))' (з)
fc=l
ни один из сомножителей которого в области G в нуль не обращается.
Бесконечное произведение (3) называется равномерно сходящимся
строго внутри области G, если строго внутри этой области равномерно
сходится последовательность функций
п
Pn(z) = l\[l + fk(z)}.
k=l
Из теоремы Вейерштрасса следует, что в случае равномерной
сходимости бесконечного произведения (3) строго внутри области G функция
p(z) = lim pn{z) является регулярной в области G.
Для сходимости произведения (3) необходима и достаточна
сходимость ряда
+ ОС
5>(1 + Д(г)), (4)
fc=i
где под In (1 + fk{z)) понимается некоторая регулярная ветвь
многозначной функции Ln (1 + fk{z)) в области G (см. далее § 17. 18).
4. Интегралы, зависящие от параметра. Пусть даны
спрямляемая кривая 7 С С и область G С С. Пусть дана функция f(C,z),
/: 7 х G ~^ С, непрерывная по совокупности аргументов на 7 x G, а
кроме того при любом С, G 7 функция /(£, ■) регулярна в области G.
Тогда функция
регулярна в области G.

90 Глава 2. Регулярные функции
5. Принцип компактности семейства регулярных функций.
Если семейство функций fn{z), n € N, регулярных в области G,
локально равномерно ограничено (т. е. для любого замкнутого
подмножества В, содержащегося в G, существует число М = М(В) такое, что
|/n(z)|<M, z£B, n€N),
то из последовательности {fn{z)} можно выделить некоторую
подпоследовательность {fnk{z)}, равномерно сходящуюся на каждом замкнутом
подмножестве области G.
Задачи
1. Доказать, что суммы следующих рядов регулярны в областях,
указываемых в скобках:
1) £^р (И<оо); 2) ££sinnz(|Imz|<l);
п=0 п! п=1 п
оо
з) £
п=1
z(z + п)
п
(И<1); 4) Е-т-Цг (z^l.2,...);
„=1 "(2 - П)
5) Е^Нг (z^-1,-2,...); 6) E(-l)nn- (Rez>0);
n=l z "+" п п=1
00 2
7) Ё 2-пгпп (Rez>0); 8) £ е~г ^ (|argz| < тг/4).
п=—оо п=0
2. Пусть {Лп} — возрастающая последовательность положительных чисел
и пусть
liin -^- = а > О, a liin |an|1//n = /э > 0.
п—>оо An п—>оо
Доказать, что сумма ряда
ОО
п=1
регулярна в полуплоскости Re z > a In p.
3. Доказать, что следующие бесконечные произведения представляют
функции, регулярные в областях, указываемых в скобках:
ОО ОО
1) П(1-*п) (И<1); 2) П(1 + *2ппг) (|z|<i);
3) Д (Х " п) е*/П CNI < оо); 4) Д (l + (-1)" ■ ^) (И<оо);
ОО ОО 2
5) ncosi (|z|<oo); 6) П*Ь^ (|argz|<J).
n=l n n=l z 4

§ 8. Регулярные функции. Интегралы, зависящие от параметра 91
4. Пусть ряд Yl \ck\ сходится, а функция u(z) регулярна в области D.
к=\
Доказать, что бесконечное произведение
flu+<*«(*))
fc=l
представляет функцию, регулярную в области D.
5. Пусть сходятся ряды
ос ос
Е^Е^ Е^Е!^1-
к=\ fc=l к=1 к=1
Доказать, что бесконечное произведение
ос
П(1 + с„гГг)
п=1
представляет функцию, регулярную в полуплоскости Re 2 > 0.
6. Доказать регулярность функций, представленных следующими
интегралами в областях, указанных в скобках:
оо _ ■ оо
1) f-^Ldt (Rez>0); 2) jt'^e^dt (\z\ < ос);
0 ' 1
оо
3) JV^e-'cft (Rez>0); 4) f-^ dt (Re2 < 2)i
о l ' +1
ОС _, ОС
5) f-f—dt (0<Rez<2); 6) [—2 ^ — (Rez > 0);
{ t2 + l y о (< +1)(1 + е'г) V ;
7) jf ,1~У 1 (Im2>0); 8) j>(l - t)1"^ (-K Re2 < 2);
0 e + о
1 oo
9)fc-^dt (z£ [-1, 0], гф ос); 10)/-^ (Re* >0).
о z+ о г +z
7. Пусть функция </?(£) непрерывна при t ^ 0 и удовлетворяет условию
t—►-f-oo t
Доказать, что интеграл
оо
I ip(t)e'tzdt
о
представляет функцию, регулярную в полуплоскости Re z > a.

92 Глава 2. Регулярные функции
8. Пусть функция ip(t) непрерывна при —оо < t < оо и удовлетворяет
условиям
hm —L^-l^i=0-b iim —'+±11 = o-2j a2>ai.
t—>+oo t t—*—oo £
Доказать, что интеграл
сю
Г y{tyudt
представляет функцию, регулярную в полосе <Ti < Imz < 02-
9. Найти области регулярности функций, представленных следующими
интегралами:
оо
I) ГШм, \<p(t)\^M{l + t)~a, a>
ot + z
2)/Дл, W)U<M;
i l z
oo
3) f^~dt, Hf)|a(l+f)ro, m<oo;
о е +г
oo
— OO
i v- -z )
6) /ДЛ, |¥>(*)|<M*°, a>-l;
о
7) J dt (7 = {<: argi = a}), —n < a < 7r;
7
8)/-??- (7={*= arg* = a}), (Ka<£;
^ e + z £
7
10. Пусть функции fn{z), n = 1,2,..., регулярны в круге \z\ < 1 и
удовлетворяют условиям
1Ш|а(1-И)-га (N<i, n = i,2,...),
где числа Митне зависят от п. Доказать, что из последовательности
{/„(z)} можно выбрать подпоследовательность {fnk{z)}, равномерно
сходящуюся строго внутри круга \z\ < 1.
11. Пусть граница dD ограниченной области D состоит из конечного
числа простых кусочно-гладких кривых и пусть на dD определены

§ 8. Регулярные функции. Интегралы, зависящие от параметра 93
и непрерывны функции fn{C)- Доказать, что если
последовательность {<fin{()} равномерно ограничена на 3D, то из последовательности
функций {/„(z)}.
dD
(m — фиксированное целое число) можно выделить
подпоследовательность {fnk{z)}, равномерно сходящуюся строго внутри области D.
12. Пусть функции fn{z), n = 1,2,..., регулярны в области D и
удовлетворяют условиям Re/n(z) ^ О (z € D, n = 1, 2, ...). Доказать, что
из последовательности {/„(z)} можно выделить подпоследовательность
{/„fc(z)}, равномерно сходящуюся строго внутри области D (возможно, к
бесконечности).
13. Пусть функции fn(z), 7i = 1, 2, ... , регулярны и равномерно ограничены
в области D. Доказать, что если последовательность {fn(z)} сходится на
множестве Е. имеющем хотя бы одну предельную точку в области D, то
она равномерно сходится строго внутри области D. {Теорема Витали.)
14. Пусть функции un(x,y), n = 1, 2, ..., гармоничны в области D и пусть
последовательность {ип(х,у)} равномерно сходится в области D к
функции и(х, у). Доказать, что функция и(х, у) гармонична в области D.
Указание. Рассмотреть последовательность {un(x,y)} в каждой од-
носвязной части области D. Там можно построить регулярные функции
/n(z), для которых Re fn(x + iy) = un(x,y).
15. Пусть функции un(x,y), n = 1. 2, ..., гармоничны в области D и
удовлетворяют условиям
\un{x,y)\^M ({x,y)£D, n=l, 2, ...).
Доказать, что из последовательности {un(x,y)} можно выделить
подпоследовательность {иПк(х, у)}, равномерно сходящуюся строго внутри
области D.
16. Пусть функции un(x, у), п = 1, 2, ..., гармоничны в области D и
удовлетворяют условиям
un+1(x,y) > un{x,y) ((x,y) e D, п = 1, 2, ...).
Доказать, что последовательность {un(x,y)} равномерно сходится строго
внутри области D (возможно, к +оо).
17. Пусть функции fn(z), n = 1, 2, ..., регулярны в области D, не
обращаются в этой области в нуль и удовлетворяют неравенствам
IAWKM" (*е Д n = i,2, ...)
(постоянная М не зависит от п). Доказать, что из последовательности
{у/|/га(г)|}можно выделить подпоследовательность, равномерно
сходящуюся строго внутри области D к функции |ff(z)j, где g(z) —регулярная
в области D функция.

94 Глава 2. Регулярные функции
18. Пусть степенной ряд Y1 °пгП имеет радиус сходимости R, О < R < оо.
п=0
Доказать, что для каждой точки
zo = Reilfi
существуют такие последовательности {п^} и {z*;}, для которых
lim zk = z0; У] cnz% = 0.
n=0
Указание. См. задачи 17 и 13.
Ответы
9. 1) Вся плоскость z с разрезом по отрицательной части
действительной оси.
2) Вся плоскость z с разрезом по лучам [—оо, —1] и [1, +оо].
3) Вся плоскость z с разрезом по лучу [—оо, —1].
4) Вся плоскость z с разрезом по отрицательной части действительной
оси.
5) Вся плоскость z с разрезами по лучам
[1,+оо],
2т I I
argz = -у. \z\ > 1
argz = -y. \z\ >1
6) Вся плоскость z (включая точку z = оо) с разрезами по
прямолинейным отрезкам, соединяющим точку z = 0 с точками
z = l, z = e2^3, z = e~2^3.
7) Вся плоскость z с разрезом по лучу arg z = a + тт.
8) Вся плоскость z с разрезом по спирали, уравнение которой
9) Вся плоскость z (включая точку z = оо) с разрезом по верхней
половине окружности \z\ = 1.
§ 9. Теорема единственности.
Регулярное продолжение.
Справочные сведения
1. Теорема единственности. Если функции f\ и /г регулярны в
области G, совпадают в ней на бесконечном множестве точек Е, имеющем
предельную точку в G, то эти функции тождественно равны друг другу
в области G.

§ 9. Теорема единственности. Регулярное продолжение. 95
2. Регулярное продолжение. Пусть функция f(z) определена на
некотором множестве Е, а функция g(z) определена и регулярна в
некоторой области G, содержащей множество Е. Если на множестве Е имеет
место равенство f(z) = g(z), то функция g(z) называется регулярным
продолжением функции / с множества Е на область G.
Вопрос о существовании у данной функции, определенной на том или
ином множестве, регулярного продолжения в более широкую область
довольно сложен и методы его решения чрезвычайно разнообразны.
Многие способы регулярного продолжения связаны с теоремой Коши
о независимости интеграла от пути интегрирования. Эти способы
применяются главным образом к функциям, представляемым теми или иными
интегралами.
Примеры с решениями
Пример 1. Существуют ли функции /, регулярные в точке zq = 0.
удовлетворяющие при всех п 6 N условиям
Д а) Функция f(z) = z2 удовлетворяет условиям.
б) Допустим, что функция с указанными свойствами существует.
Рассмотрим функцию f\ вида fi(z) = -. Она удовлетворяет условию
/l ( — 1 = , п 6 N, т. е. совпадает с / на бесконечной
последовали/ п+1
тельности точек < — > и ► 0 при п —* оо. По теореме единственности
[n J п
f(z) = fi(z) в окрестности точки zq = 0. Однако /Н ) ф -.
Получили противоречие, которое возникло в силу предположения, что
регулярная функция / с указанным свойством существует. ▲
Задачи
1. Пусть функция f(z) регулярна в замыкании G области G и f(z) ф const.
Доказать, что в области G лежит лишь конечное число решений уравнения
f(z) = а (при произвольном фиксированном значении а).
2. Существует ли функция f(z), регулярная в некоторой окрестности точки
z = 0 и удовлетворяющая одному из следующих условий (для всех
п=1,2, ...):

96 Глава 2. Регулярные функции
•>'G)
«'G)
•»G)
3. Пусть функции fi(z) и /г(г) регулярны в области D и удовлетворяют
в этой области дифференциальному уравнению f'(z) = P(z,f(z)), где
Р(г, w) — многочлен от своих переменных. Доказать, что если в некоторой
точке zq £ D имеет место равенство fx{zo) = /2(^0), то fi(z) = /2(2)-
4. Пусть функции /i(z) и /г(г) регулярны в области D и удовлетворяют
в этой области дифференциальному уравнению
flmHz) = P(z,f,f, ...,/(m-1)),
где Р — многочлен от своих переменных. Доказать, что если в некоторой
точке zq e D имеют место равенства
ЛЫ = /2Ы, • • •, Л(т_1)Ы = /2(т_1)Ы,
то Л (г) = f2{z).
5. Доказать, что функциональное уравнение /(г) = f(2z) не имеет решений,
регулярных в точке z = 0 и отличных от тождественной постоянной.
6. Пусть g = e2nia, где а — иррациональное число. Доказать, что
функциональное уравнение f(z) = f(qz) не имеет решений f(z), регулярных при
1/2 < \z\ < 2 и отличных от тождественной постоянной.
7. Пусть /(г) — периодическая функция, регулярная в некоторой области,
содержащей точку z — 00. Доказать, что f(z) = const во всей области
регулярности.
8. Доказать, что функции ez, cos г, sin г, chz, sh z, определяемые
первоначально лишь для действительных значений переменного, можно
регулярно продолжить на всю комплексную плоскость, разложив эти функции
в ряд Тейлора.
sm
2 '
= — cos 7гп ;
п
2п + 1'
COS2 7ГП
2п + 1 '
1
In + cos ттп
f
\ п) п*;
-'(-О
2п + 1'
= е
. 7ГП
»>'G)-'(-i)-^
. 27гп
*/G)-'(-=)-^
а)
14) 2"" <
15) га"5/2 <
<e~n;
1
16)
а)
о
2п + 1
<21-п.
< 2п-5/2;
1
< -г-

§ 9. Теорема единственности. Регулярное продолжение. 97
9. Найти возможно более широкую область, в которую можно регулярно
продолжить с действительной оси функции:
l)tgz; 2) ctgz; 3)thz; 4) е1/™82; 5) e~^z;
6) sin(thz); 7) cos(ez2); 8) th(ez); 9) ctg(chz).
10. Доказать, что функцию lnz, определенную для действительных
положительных значений z, можно регулярно продолжить на всю комплексную
плоскость с разрезом по отрицательной части действительной оси и,
обозначив это регулярное продолжение символом h(z), получить для него
формулу
h(z) = ln|z| + iargz (| argz| < 7г).
z
Указание. Воспользоваться формулой lnz = I —, справедливой для
1 f
всех действительных положительных z.
11. Пусть a — произвольное действительное число. Доказать, что функцию
г", определенную для действительных положительных z, можно
регулярно продолжить на всю комплексную плоскость с разрезом по
отрицательной части действительной оси и, обозначив это регулярное
продолжение символом (za), получить для него формулу
(za) = |z|QeMarg2 (|argz|<7r).
Указание. Воспользоваться формулой za = ealnz, справедливой для
всех действительных положительных z.
12. Пусть функция Ф{г\, ... , zn) определена, когда
zkeDk {к = 1, 2, . .. , п)
и регулярна по каждой переменной zk в области Dk при произвольных
фиксированных значениях остальных переменных. Доказать, что если
каждая область Dt содержит непустой интервал (ак, Ьк) действительной
оси и если
Ф(21, ... , zn) = 0 (zi £ (сц, h), ... , zne (a„, &„)),
то Ф(гь ... , г„) = 0.
13. Опираясь на справедливость приводимых ниже формул для
действительных значений переменных, доказать их справедливость и для
произвольных комплексных значений этих переменных:
1) eZl+Z2 = eZl ■ eZ2; 2) cos2 z + sin2 z = 1;
3) sin2z = 2sinz cos z; 4) ch2z = ch z + sh z\
5) sin(zi + Z2) = sinz\ cos Z2 + cosz\ sin Z2\
6) ch(zi + Z2) = eh 21 chz2 + shzi shz2;
7) cos z\ 4- cos z-2 = 2 cos —-— cos —-—;
8)shzi+shz2 = 2sh^4-^ch^—^.

98 Глава 2. Регулярные функции
14. Пусть функция f(z) регулярна в некоторой области, содержащей
отрезок [0,1], и удовлетворяет условию f(z + 1) = f(z). Доказать, что
функцию f(z) можно регулярно продолжить в некоторую полосу — 5 < Im z < 6,
5>0.
15. Пусть функция f(z) регулярна в некоторой области, содержащей
отрезок [0,1], и удовлетворяет условию
f(z + l)=zf(z)+p(z),
где p(z) — многочлен. Доказать, что функцию f(z) можно регулярно
продолжить в некоторую полосу — 6 < lm z < 6, 6 > 0.
16. Пусть функция f(z) регулярна в некоторой области, содержащей отрезок
[1,2], и удовлетворяет условию
f(2z) = f(z)+p(z),
где p{z) — многочлен. Доказать, что функцию f(z) можно регулярно
продолжить в некоторый угол —5 < axgz < S, S > 0.
17. Пусть функция f(z) регулярна в кольце р < \z\ < 1, р > 0, и
удовлетворяет в нем функциональному уравнению
f(z) = f(z2)+g(z),
где g(z) — некоторая данная функция, регулярная в круге \z\ < 1.
Доказать, что функцию f(z) можно регулярно продолжить в кольцо 0 < \z\ < 1.
18. Гамма-функция Эйлера T(z) определена при действительных z > 0
равенством
оо
T(z)= (V-Vdf.
о
Доказать, что функцию Г (z) можно регулярно продолжить на всю
комплексную плоскость, за исключением точек z = 0, —1, —2, ....
Указание. Доказать, что функция Г (z) удовлетворяет
функциональному уравнению T(z + 1) = zT(z).
19. Бета-функция Эйлера B(z, Q определяется при действительных z > 0
и £ > 0 равенством
1
В(2,С)= Г**-1(1-*)С-1Л-
о
Доказать, что функцию В(2,£) можно регулярно продолжить пб каждой
из переменных на всю комплексную плоскость, за исключением точек
z = 0, —1, —2, ... (соответственно £ = 0, —1, —2, ...).

§ 9. Теорема единственности. Регулярное продолжение. 99
Указание. Доказать, что функция В(-г, С) удовлетворяет
функциональным уравнениям
B(z,0=B(C,*), B(z + l,C)=^B(z,C).
20. Пусть функция </?(£) регулярна в кольце г < |£| ^ R. Доказать, что
функцию /(г), заданную в круге \z\ < г с помощью формулы
f(z) = h <£(C-*)"V(C)dC (N<r)
|C|=r
(m — целое число) можно регулярно продолжить в круг \z\ < R и что это
регулярное продолжение g(z) задается формулой
9{z) = h f (C-*)"V(CK (И<Д).
ICN-R
21. Доказать, что следующие функции могут быть регулярно продолжены на
области G, указанные в скобках:
!)/(*)= §■ е(С+^-Д-, |г|<1 (G = {z:|z|<oc});
1С1=1
С-*
2)/(г)= £ е(«+?)-Д-, |г|>1 (G = {z: \z\ > 0});
ICI=1 <"
cos(<+-)
3№) = # У, 77^11. N<2 (С = {г:И<оо});
K|=2 ^ + ^ 2j
cos(c+-z)
4)/(г)= f ;, ;У 77j^, |г|>2 (G = {г: г ^ 0, г, -г});
|C|=2 ^ + ^ Z>
5)f(z)= f sh(C , 7,7^
|CI=i v W <■ +г
Лл^Т 1*1 <1 (G = {г: |г| <«,});
6)/(z)= # ^-^T?' 1г1<1 (.G = {z:z*±ni/2,±3m/2,...}).
22. Пусть функция ip(Q регулярна в полосе —a ^ ReC ^ 0 и удовлетворяет
условию
ИС)|<М(1 + |С|Га, a>0 (-a^ReC^O).
Доказать, что функция
f(z.
i-гос
= Г f^dC {Rez>0)

100 Глава 2. Регулярные функции
допускает регулярное продолжение в полуплоскость Re г > —а и что это
продолжение g(z) дается формулой
-a+ioo
g{z)= J 0LdC (Rez>-a).
—a—ioo
23. Доказать, что для регулярного продолжения g(z), построенного в задаче
22, справедлива также формула
гоо
g{z)= Г ^-z dC - 2тф) (-a^Rez<0).
Указание. Воспользоваться интегральной формулой Коши.
Ответы
2. 1) Нет; 2) нет; 3) да; 4) да.
5) нет; 6) да; 7) нет; 8) нет.
9) нет; 10) нет; 11) да; 12) нет.
13) да; 14) нет; 15) нет; 16) нет.
9. 1) Вся плоскость, кроме точек
z = J(2n+l), n = 0,±l,±2,...;
2) вся плоскость, кроме точек
z = 7гп, п = 0, ±1, ±2, ... ;
3) вся плоскость, кроме точек
z=£(2n + l), n = 0,±l,±2, ...;
4) вся плоскость, кроме точек
z = £(2n + l), n = 0, ±1, ±2, ...;
5) вся плоскость, кроме точек
z=|(2n + l), n = 0, ±1,±2, ...;
6) вся плоскость, кроме точек
z = ^(2n + l), n = 0,±l,±2, ...;
7) вся плоскость;

§10. Принцип максимума 101
вся плоскость, кроме точек
1
z = In
7Г|П , 2
2л-гт + — sgn I n + -
га = 0, 1, 2 ... , т = 0, ±1, ±2,
9) вся плоскость, кроме точек
2 = у(2п+1), п = 0, ±1, ±2, .
z = ± 1п(7гп + V 7г2п2 — 1) + 2/тгт,
га = 1,2,3,..., т = 0, ±1, ±2, ...
§ 10. Принцип максимума
Справочные сведения
1. Принцип максимума для регулярных функций. Пусть
функция f(z) регулярна в области G, f(z) ф const, и пусть
М = sup{|/(2)|: z € G} < +оо.
Тогда в каждой точке области G имеет место неравенство |/(г)| < М.
2. Субгармонические функции. Действительная функция u(z), где
z = x+iy, определенная в области GcK2, называется субгармонической
в этой области, если она удовлетворяет условиям:
а) функция eu^z> непрерывна в области Gel2;
б) если точка zq € G, а число р > 0 таково, что замкнутый круг
Bp{z0) = {z: \z-zQ\ ^ p}
содержится в области G, то имеет место неравенство
2тг
иЫ) ^ тг- I и(г0 + рег<р) dtp.
3. Принцип максимума для субгармонических функций. Пусть
функция u(z) субгармонична в области G, u(z) ф const, и пусть
М = sup{«(z): z £ G} < +оо.
Тогда в каждой точке z области G имеет место неравенство u(z) < М.

102 Глава 2. Регулярные функции
Задачи
1. Пусть функция f(z) регулярна в области G. Доказать, что если для любой
последовательности точек zn 6 G, сходящейся к какой-либо точке границы
области G, имеет место неравенство
Ш |/(zn)| ^ М,
п—>ос
то или в каждой внутренней точке области G имеет место неравенство
\f(z)\ < М, или f(z) = Ме^.
2. Пусть функция f(z) регулярна в круге |г| < 1 и удовлетворяет в этом
круге неравенству |/(г)| < М. Доказать, что если /(0) = 0, то
функция f(z) удовлетворяет в круге |z| < 1 и более сильному неравенству
\f(z)\^M\z\,
причем если хотя бы в одной точке zq, 0 < |zo| < 1, имеет место равенство
|/(z0)| =M|z0|, то
f(z) = Mze*,
где ^ — действительная постоянная. (Лемма Шварца.)
Указание. Рассмотреть функцию f(z)/z и доказать, что ее можно
регулярно продолжить в точку 2 = 0.
3. Пусть функция f(z) регулярна в круге \z\ < R и удовлетворяет там
неравенству |/(г)| < М, а /(0) = 0. Доказать, что
1/'(о)к|,
причем знак равенства возможен только для функции f(z) = Me%tf ■ —.
4. Пусть функция f(z) регулярна в круге \z\ < R, удовлетворяет там
неравенству |/(г)| < М и обращается в нуль в некоторой точке zq этого круга.
Доказать неравенства
5. Пусть функция f(z) регулярна в полосе |Rez| < 7г/4, удовлетворяет там
неравенству \f(z)\ < 1 и обращается в нуль в точке 2 = 0. Доказать, что
|/(z)| ^ |tgz| в этой полосе.
6. Пусть функция f(z) регулярна при Re z > 0, удовлетворяет там
неравенству |/(г)| < 1 и обращается в нуль в точках z\, z%, ... , zm. Доказать,
что
\f(z)\<\z-Zf-z*\---\z-Z™\ (Rez>0). ?:Hf
IM л ^ \z + zi\\z+^3\...\z + zm\ к '
7. Пусть функция f(z) регулярна и ограничена в полуплоскости Re z > 0, а
в последовательности точек {zn}, zn —> оо, этой полуплоскости обраща-
ОО J
ется в нуль. Доказать, что или f(z) = 0, или ряд X) ^е — сходится.

§10. Принцип максимума 103
8. Пусть функция f(z) регулярна и ограничена в круге |г| < R, а в
последовательности {zn} точек этого круга обращается в нуль. Доказать, что или
оо
f{z) = О, или ряд Y, (R - \zn\) сходится.
п=1
Указание. См. задачу 4.
9. Пусть функция f(z) регулярна в круге \z\ < 1, удовлетворяет там
неравенству \f(z)\ < М, а /(0) = «Jo. Доказать неравенство
\f(z)-w0\ И (|Z|<1}
\Мг - f(z)w0\ M
10. Пусть функция f(z) регулярна в круге \z\ < R и удовлетворяет
неравенствам |/(г)| < М, |/(0)| < т < М. Доказать неравенство
11. Пусть P{z) —многочлен степени п, а М{г) ■= тах|Р(г)|. Доказать, что
|г|=г
при 0 < 7*1 < Г2 имеет место неравенство
М(п) М(г2)
причем знак равенства хотя бы при одной паре значений г\ и гъ возможен
только для многочлена вида P(z) = azn.
12. Пусть P(z) = zn + a\zn~l + ... + an. Доказать, что хотя бы в одной точке
окружности \z\ = 1 имеет место неравенство |Р(г)| > 1, или P(z) = zn.
13. Пусть P(z) — многочлен степени п, удовлетворяющий на интервале (—1,1)
неравенству |P(z)| ^ М. Доказать, что в каждой точке zo, лежащей вне
этого интервала, имеет место неравенство |Р(го)| ^ M(a + b)n, где а и 6 —
полуоси эллипса с фокусами —1 и 1, проходящего через точку Zq.
Указание. Рассмотреть функцию Q(C) = (,~nPl -——— ) в области
1С1>1-
14. Пусть функция f(z) регулярна в области G и пусть inf \f(z)\ = fi > 0.
Доказать, что или f(z) = /лег¥!, или |/(г)| > /х для каждой внутренней
точки области G.
15. Пусть функция f(z) регулярна в области G и непрерывна в ее замыкании
G, а на границе области G ее модуль сохраняет постоянное значение.
Доказать, что если функция f(z) отлична от тождественной постоянной,
то она обращается в нуль хотя бы в одной точке области G.
16. Пусть функции /i(.z), ... , fm(z) регулярны в области G и пусть
М = lim {|/i(2)| + .. . + \fm(z)\}- Доказать, что если хотя бы одна из
г—>dG
fk(z) отлична от тождественной постоянной, то в каждой точке из G имеет
место неравенство \fi(z)\ + ... + \fm(z)\ < М.

104 Глава 2. Регулярные функции
17. Пусть функция /(г) регулярна в круге \z\ < R, а т — целое
положительное число. Доказать, что если функция /(г) отлична от тождественной
постоянной, то функция
1т(г) = ± J \Пге*)Г<Ьр
'■ т" '■' '■' "г': о
монотонно возрастает при 0 ^ г < R.
Указание. Представить интеграл как предел интегральной суммы.
18. Доказать, что функция u(z), гармоническая в области G, субгармонична
в этой области.
Указание. См. задачу 6.27.
19. Пусть функция u(z) гармонична в области G. Обозначим
М = sup{u(z): z G G}, т = ini{u(z): z G G}. Доказать, что если т < М,
то в каждой точке области G справедливы неравенства т < u(z) < М.
(Принцип максимума и минимума для гармонических функций.)
20. Доказать, что функция u(z) = |/(z)| субгармонична в области G, если
функция /(г) регулярна в области G.
Указание. См. задачу 6.24.
21. Пусть функция u(z) имеет в области G С С непрерывные частные
производные второго порядка (по х — Re z и по у = Im z) и пусть —, Н » ^ О
дх ду
в области G. Доказать, что функция u(z) субгармонична в области G.
Указание. Написать в неравенстве определения субгармоничности для
функции u(zq + pezv) формулу Тейлора с остаточным членом (перейдя к
переменным х = Re г и у = Imz).
22. Пусть функция /(г) регулярна в области G. Доказать, что функции
u(z) = In \f(z)\ и u(z) — \f{z)\a, a > 0, субгармоничны в области G.
Указание. В точках, где /(г) = 0, требуемое в определении
субгармоничности неравенство очевидно. В остальных точках субгармоничность
легко проверяется, скажем, с помощью результата задачи 21.
23. Пусть функции u\(z) и ui{z) субгармоничны в области G. Доказать, что:
1) если числа а и Ь положительны, то функция au\(z) + bu2(z)
субгармонична в области G;
2) функция u{z) = max{ui(z),U2(z)} субгармонична в области G;
3) функция u{z) = |ui(z)|a при а > 1 субгармонична в области G;
4) при а > 0 функция u{z) = eaUl^ субгармонична в области G.
24. Пусть функции /i(z), ... , fm{z) регулярны в области G. Доказать, что
при a > 0 функция u(z) = |/i(z)|a + ... + \fm(z)\a субгармонична
в области G.

§10. Принцип максимума 105
25. Пусть функция f(z) регулярна в круге \z\ < R. Доказать, что функция
Ia{r) = ^§\f{re^)\adv
при любом a > 0 является монотонно возрастающей функцией г в
интервале 0 ^ г < R (если /(2) ^ const).
Указание. Показать, что функцию Ia(r) можно рассматривать как
субгармоническую функцию переменной z = re1'*'.
26. Доказать, что функция
u{z) = ip(Re2)
субгармонична в полосе a < Re г < b в том и только в том случае, когда
функция <р(х) выпукла книзу на интервале a < х < Ь.
27. Доказать, что функция и(гегв) = ср(г) субгармонична в кольце р < \z\ < R
в том и только в том случае, если функция <р(г) логарифмически
выпукла на интервале (р, R). т. е. если для любых трех значений
р < Г\ < г2 < гз < R имеет место неравенство
, л , , 1ПГ3-1ПГ2 , ЛПГ2-1ПГ1
In Г3 — In П In Гз — In 7-1
28. Доказать, что функция u{re%e) = rp(p(9) субгармонична в угле a < 9 < /3
в том и только в том случае, когда функция (р(в)
тригонометрически р-выпукла на интервале (а, /3), т. е. если для любой тройки значений
#ъ #2, ^3i удовлетворяющих условиям а < в\ < 92 < 9% < в тл 9з — 9\ < тт/р,
имеет место неравенство
,д w 1а ч sinp(6»3 - в2) . т л smp(e2 — 6*1)
^ ^ ^ sinp№-ei) + ^ йп „(fe-flO •
29. Пусть функция f(z) регулярна в кольце р < |г| < R. Обозначим
M(r)= max |/(г)|.
|г|=г
Доказать, что при р <г\ < г2 < г'з < R имеет место неравенство
1 л г с ч .lnr3-lnr2l ,,, , , lnr2-lnri , .,, .
InM(r2) < lnMYnj + lnAf(r3).
Inra-lnri 1пгз—Inn
(Теорема Адамара о трех кругах.)

106 Глава 2. Регулярные функции
30. Пусть функция f(z) регулярна в кольце р <\z\< R. Обозначим
2ir
Ia{r) = h J\f(reilp)\adip («>°)-
0
Доказать, что при р < ri < Ti < Г3 < R имеет место неравенство
/a(ri) In ^ + /а(г2) In И + /а(гз) In ^ > 0.
Г2 Гз Г1
31. Пусть функция f(z) регулярна в полуплоскости Re г > 0 и удовлетворяет
неравенству
|/(2)|<(ТТиг' a>l (Кег>°)-
Доказать, что функция
оо
о
является выпуклой вниз функцией ip на интервале —7r/2 < ip < тт/2.

Ряд Лорана. Особые точки.
Вычеты
§11. Ряд Лорана
Справочные сведения
1. Область сходимости ряда Лорана. Ряд вида
оо
£ cn(z-a)n, (1)
п=—оо
где а — фиксированная точка комплексной плоскости, сп — заданные
комплексные числа, называется рядом Лорана. Ряд (1) называется
сходящимся в точке z, если в этой точке сходятся ряды
оо
£с„(г-аГ, (2)
га=0
—оо ос
£*<»->"-£(j^P («
П = -\ 71=1 V ^
а сумма ряда (1) по определению равна сумме рядов (2) и (3). Область
сходимости ряда (2) — круг
\z — а\ < R
(при R = 0 ряд (2) сходится только при z — а, а при R = оо — во всей
комплексной плоскости). Ряд (3) сходится в области
\z — а\ > р.
Если р < R, то ряд (1) сходится в области
D = {z: p< \z-a\ < R}, (4)
т. е. в круговом кольце с центром в точке а (эту область называют
кольцом сходимости ряда Лорана (1)).
Сумма ряда Лорана в области (4) является регулярной функцией, а
во всяком замкнутом кольце
D\ = {z: р < р\ ^ \z - а\ ^ R\ < R},
где D\ С D, ряд (1) сходится равномерно.

108 Глава 3. Ряд Лорана. Особые точки. Вычеты
2. Разложение регулярной функции в ряд Лорана.
Функция f(z), регулярная в кольце D, представляется в этом кольце
сходящимся рядом Лорана (1), т. е.
оо
f(z) = £ c^z - в)», (5)
п=—оо
где
|С-а|=Яо
окружность в формуле (6) ориентирована положительно (обход
совершается против часовой стрелки).
Разложение (5) функции f(z), регулярной в кольце D, единственно.
3. Неравенства Коши для коэффициентов ряда Лорана. Если
функция f(z) регулярна в кольце
D = {z: р < \z - a\ < R},
и при этом
М = max |/(2)|,
z€7r
где
7г = {z: \z — a\ = г, р < г < R},
то для коэффициентов с„ ряда Лорана (5) справедливы неравенства
l i^ M ^у
|c„|<—, nez.
Замечание. Для нахождения коэффициентов Сп ряда Лорана (5)
функции f(z), регулярной в кольце D — {z: p < \z — a\ < R}, формулы (6)
обычно не используют, а представляют функцию f(z) в виде суммы
fi(z) + f2(z), где функция /1(2) регулярна в области \z — а\ < R, а
функция /2(2) регулярна в области \z — а\ > р. Разложив функцию
/1(2) в ряд Тейлора в окрестности точки а, а функцию /2(2)—по
отрицательным степеням z — а с помощью приемов, указанных в § 7,
можно найти разложение (5). Если f(z) — рациональная функция, то ее
представляют в виде суммы простых дробей.

§ 11. Ряд Лорана 109
Примеры с решениями
Пример 1. Функцию f(z) = — — —, регулярную в областях
D\ = {г: \г\ < 1}, D2 — {z: I < \z\ < 3}, D3 = {z: \z\ > 3}, разложить
в этих областях в ряд Лорана.
А Представим f(z) в виде суммы простых дробей:
л*' - \{ih+ гЬ) ■ (7)
Если \z\ < 1. то
оо
п=0
(9)
а если г| > 1, то
Аналогично, если
а если \z\ > 3, то
1 1 ^ 1
1-х Л 1\ ^ г™ '
z < 3, то
1 _ 1 _ у-ч (-1)™гп
г + 3 о Л Л £-*' 3™+1 '
Ч1 + з) п=0
1 1 ^ (-i)»-^™-1
(10)
г+3 Л 3.
г [ 1 + - | п=\
ill)
а) В области D\, где \z\ < 1, используя формулы (7), (8). (10),
получаем
оо
4
п=0
1+'-1
3«+1
zn.
Этот ряд есть ряд Тейлора для функции f{z).
б) В области D2, где 1 < \z\ < 3, используя формулы (7), (9), (10),
имеем
ОС i ч ОО
71=1 V 7 П=0
-1)"2Г
4-3™+1 '
о
Этот ряд содержит как положительные, так и отрицательные
степени z.

110 Глава 3. Ряд Лорана. Особые точки. Вычеты
в) В области £>з, где \z\ > 3, используя разложения (7), (9), (11),
находим
°° (-l)™-^"-1 - 1
/(*) = £
4z"
n=l
Этот ряд содержит только отрицательные степени z. A
Пример 2. Рациональная функция f(z) разложена в ряд Лорана
y,/(-l)"(n + l) 4-+1
n=0 ^
z2n J2n+\
Разложить ее в ряд Лорана по степеням z в кольце, содержащем точку
z = -. Указать границы кольца сходимости.
л Ряд
п
сходится в области \z\ > 1, а ряд
~2п
п=0
/2(2) — 2-^1 ~2п+1 — _ 2^/ [ ?1
z ^ z *■—' \ z
п=0 п=0 ч
з
< 1, т. е. |г| > 2. Так как точка z = - содержится
сходится, если
в кольце 1 < z\ < 2, то функцию /2(2) нужно представить рядом
по степеням z, сходящимся в области \z\ < 2. Используя разложение
ОО 1
Y^, tn = , запишем /2(2) в виде
П=0 1 ~1 ... .--Г;
f ( \ — _ 1 1 _ _ 4z _ z
ы*)---■—£- ^4~7^'
z2 4
откуда
00 22n+l
~4"
п=0
а искомое разложение
/М-Е^ВД + Е^. i<W<,
г-2™ / у ATI
п=0 п=0

§ 11. Ряд Лорана 111
Пример 3. Разложить в ряд Лорана в кольце с центром в точке z — О,
которому принадлежит точка z — 3, функцию
,, , 3z3 + 6z2 -8
/(Z)= ^-3,-4 •
Указать границы кольца сходимости.
А Разделив многочлен 3z3 + 6z2 — 8 на многочлен z2 — 3z — 4, запишем
функцию f(z) в виде
а затем представим полученную правильную дробь в виде суммы
простых дробей:
_ 57z + 52
где
.V7z -I- S2 57 z -I- 52
л =
(*-4)(* + 1)
57г + 52
г + 1
= 56,
z=4
z-4 2+1 '
„ Ыг + 52
Б = ,-4
z=-l
Следовательно,
/(г) = Зг + 15 + -^ + 1
2-4 2+1
Функция /(z) регулярна во всей комплексной плоскости с выколотыми
точками z\ — — 1, Z2 = 4 и ее можно разложить в ряд по степеням г
в областях \z\ < 1, 1 < \z\ < 4 и \z\ > 4. Точка г = 3 принадлежит
56
кольцу 1 < \z\ < 4. Поэтому функцию нужно разложить в ряд по
положительным степеням г, а функцию — в ряд по отрицательным
z + 1
степеням г. Преобразуем исходную функцию:
/(г) = Зг + 15-^- + ^-т
1--А z(l + -
4 \ z
откуда
т = 3z+15-uy: m + В-1)"^ =
n=0 ч ' n=0
oo
71=2 7J = 1
Полученный ряд сходится в кольце 1 < \z\ < 4.

112 Глава 3. Ряд Лорана. Особые точки. Вычеты
z2 + 2
Пример 4. Разложить функцию f(z) — — — в ряд Лорана по
степеням z — 2г в кольце D, которому принадлежит точка z = 1. Указать
границы кольца сходимости.
Л Представим f(z) в виде
,, ч z2+2iz-2iz + 2 л . (\ 1
f\z> = 1 , о.л = Х ~ г 7 +
z(z + 2i) \z z + 2i
Функция f(z) регулярна во всей комплексной плоскости с выколотыми
точками г = 0 и г = -2г. Поэтому ее можно разложить в ряд Лорана
по степеням z — 2* в областях
\z — 2*| < 2, 2 < \z - 2*| < 4, |z - 2г| > 4.
Полагая z — 2г = t, получим f(z) = (p(t), где
(p(t) = l l— .
YK > t + 2i t + 4i
Так как точка z = 1 принадлежит кольцу
2 < \z - 2г| < 4,
то функцию </>(£) нужно разложить по степеням t в области 2 < \t\ < 4.
Преобразуем функцию <p(t):
ф)=1- *' г
"-! <Ы
Тогда
р(*) = 1 - i
у> (-1)"(2г)" у> (-1)"*"
n=0 n=0
oo
/w-Es^i + i + E^^-M)". *<i*-*i<4-
n=l v ; n=l v '
Пример 5. Разложить функцию
/(z)=(£-2z + jj)coe- *
2 2J z-2
в ряд Лорана по степеням z — 2 в кольце
* £> = {z: 0< |z-2| <oo}.

§11. Ряд Лорана 113
Л Пусть z — 2 = t, тогда
1 2 | iy ИГ1 , (-i)M 1
2 2^\(2п + 2у. (2п)! ) t2n
1 2 . ! V^ (-l)"(4n2 + 6n+l)
= <2+ +£
2 4 ^ 2(2п + 2)!£2™
П=1
(-l)"(4n2 + 6n+ l)
^-^Ч + Е
4 ^ 2(2п + 2)!(,г-2)2™
n=l
Задачи
1. Найти множество точек z, в которых сходится ряд Лорана:
ос оо п
1) £ 2-1"1г"; 2) £ -£—;
71= — ОС' П= — СЮ '^ ' ^
ос / -|\п оо
5) £ (2- +l)-4z-af: 6) £
п= — ос
"^ ^2 3
п2 + 1'
7) £ 2_п z" ; 8) £ 2'^"'.
п — — ос
2. Опираясь на формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической
прогрессии, а также используя дифференцирование и интегрирование,
доказать:
1) -L- = Е ь-"-1*», N > |ь|;
z ° п=-ос
2) -J-j = £ &-2("+1)^2п, |z| > |Ь|;
z - I
П— — ОС
Z
2 О
3) ~^-т-2 = £ (-1Г&-2"22», \z\ > \Ь\;
z +b „ = -х
4) * = - £ (п+1)&-п-2г", |z| > |Ь|;
(г - Ь)<
п — — ос
-1
5)-^—= £ {Ъ - a)~n-1 {z - о)п, афЬ, \z - а\ > \Ь - а\:
z " п=-ос
6) (ЧЛ) = £ (l-n)(b-a)-n(z-a)n, афЬ, \z-a\>\b-a\.
\z "/ п=-зс

114 Глава 3. Ряд Лорана. Особые точки. Вычеты
3. Разложить в ряд Лорана по степеням z в кольце 1 < \z\ < 2 функцию:
(z + l)(z-2)' ; (z-l)(z + 2)'
3) , а , iv , о^ 4) 7—^7 ■
(z2 + l)(z + 2)' ' (z-l)2(z + 2)
5) /.а , ,» 2 ТС 6)
(z2 + l)(z2 - 4)' ' (z2-l)2(z2 + 4)'
4. Разложить в ряд Лорана по степеням z — а в кольце Z? (точка о и кольцо D
указаны в скобках) функцию:
J_
z{z - З)2
!) 777-4^2 (« = 1. D = {z: К \z - 1| < 2});
2)(?^9j? (a = 1, ^ = {^:1<l^-1l<2});
3) Ц^ (о = t, -г € £>);
4) ^\ (а = 1, 2г € D);
5>z(z-iXz-2) (° = o. -1^);
6)7^ (а=1' ~1€jD);
7)(z + 1Kz-2) (e = -1- I>={*:0<|* + 1|<3});
8)(z»-l)V+4) (« = 0, Л = {*:|*1>2».
5. Разложить данную функцию /(г) в ряд Лорана по степеням z в кольце,
которому принадлежит точка zq. Указать границы кольца сходимости.
1) /(*) = z' + 1 , *о = 1;
z2 + ^z-l
2) /(^) = 2Z ~ 0> го = й;
z — z — 2 ^
„х ,, х 3z2+l 1
3)/(z)=3z2-2z-l' Z0=2;
4) /(^) = ТХ7 + ^V' *° = 2;
z + 6 2z — 3z
5)/(г) = ^-?Т^' Zo = 1'
йх ,, х 3z3 + 6z2 - 5 „
6)f{z)= z2+2z-3' Z° = 2;
8z3 + 6z2 - 3 _ 1
4z2 + 3z-l' Z°~2-
„ч ,, x 5Z" + OZ - CJ
7) /(Z) = A 2 , o- Г' Z°

§ 11. Ряд Лорана 115
6. Рациональная функция f(z) разложена в ряд Лорана по степеням z.
Разложить ее в ряд Лорана по степеням z, в кольце, содержащем точку zq,
и указать границы кольца сходимости, если:
-оо оо /2 С_1\1г\
!)/(*) = Е (п+1)3"г"+Е (~+(-iph)zn., г0 = -3;
тг=-1 п=0 V4 2 /
оо 2
2) /(г) = Е (3"г3" + ^ г3"-1), z0 = -1;
-оо оо 2 -,
3)/(г)= Е (п5п + (-1Г2")г"+ Е Jr г", г0 = ±
тг=-1 ra=0 "J "J
7. Разложить функцию /(г) в ряд Лорана по степеням z — а в кольце D,
которому принадлежит точка zq. Указать границы кольца D.
1) f(z) = -о • а=—1. z0 = 3.5:
; w z2 + 3z- 18
3.
(z + 2)(z + l)2' " "' "и 2'
5-4г
(z + l)(z2-l)2
4г
(г-1)(г2-1)'
2)/(*) = ,, , J. , ,ч2- а = -2' ^0
3)/(*)= ,_ , "„Г ,,2. « = 1- 20 = 0
4) /W = ,. ,ч2 1Ч. « = -1' z0 = "2;
5)/(2) = ib^)' в = ~4, 20 = ^;
2г - 1 1
о • a = 3. zq = -:
z2-z + i + l' 6'
Зг — i 1 5
—~ . 0> — 1, Zq = — .
z2 -{i+l)z-i-2' ' U 2
6) f{z) = ~2 .,..,,. а = 3, 20
8. Разложить функцию f(z) в ряд по степеням z в кольце, которому
принадлежит точка zq. Указать границы кольца сходимости.
-,-, ,, \ г2 + бгг + 3
1)/(г)=г2 + 2*г + 3> 20=гб;
Згг2
2) /(г) = -г— -, zq = Зг;
г — 5гг — 4
7-Зг 9г2 + 24
Зг2-4г+1 (Зг-1)(г-2)2
о\ */ \ i — oz az -t- z^
3) Я2) = Т^ Г-ГТ + 75 7Т7 ^ 20 = г + 1;
5) /(^) = . 2(,1Г/)^5 Я' 2о = 1 + 3i;
гг + (3 — 2i)z — 6
6) /(^ = . 2(1_\:г)г"5 -, г0 = 1 + 2г;
iz + (2 — Зг)г — 6
ч\ -с/ \ Зг - 4 г +4
7)/(г)=(г + 3)(,-2г) + г2-(1+2г)г + 2? 2° = 1+г<

116 Глава 3. Ряд Лорана. Особые точки. Вычеты
8)/(*)= 2 +,. \, V+ 11 \' ^о = 1+г.
z + (г — 2)z — 2г z + z — 6
9. Разложить функцию f(z) в ряд Лорана по степеням z — а в кольце,
которому принадлежит точка zq- Указать границы кольца сходимости.
1)/(г)=(г-Г-ИКг-5)' 0 = 1' г0 = 1 + «;
2) /(*) = (, + Г+ 2i)(z _ з) ■ а = -!^o = -1 - 5г;
2z - 3 + 2г
г2 -(1 + 2г)г + 2г'
J. _2гг
+ (i-4)z + 4-2i z2
3) /(*) = г2 ,, , I, , о.-> « = 2, г0 = 4г;
4) f(z) = -ГТТ-—л\ i л—^ + ~^7> а = !. го = 2г;
5)/(г)=22+У+г)2+5г' а=1' 20 = 3;
г + 2г
iz2 — 4г + 5г'
2 + 15г - 2
г2+г(1-5г)-5г'
6) /(г) = —г—7ГТТ7' а = 1> 20=3;
7) /(г) = 2 , ,/-, ^—?:> а = -3, г0 = 1 + г;
, ,, . (1 + г)г + 6 ■ , .
8)/(*)=iz2 + (5 + i)z + 5' а=-3' г0 = 1 + г"
10. Разложить функцию /(г) в ряд Лорана по степеням z — а в кольце,
которому принадлежит точка го- Указать границы кольца сходимости.
1^^=,2-^ + 4,'a = 2-3^0=0;
2)/(^)=2/(2^_г, ^2 + Зг, ,о = 0;
,^ ,, 1 (г - 3)г + 4г
3) /(-г) = —^——L г , a = -2 + г, zq = г;
1 Jy ' 3iz2 + (1 + 9i)z + 3
(г - 2)г - 2
2^2-(6 + г)г + 3'
4) /(г) = ^тт—,g , .л. , о' а = -*. 20 = г - 1;
5)/(г) = ^ + (6-ф + 9-Зг + ^' 0 = 1 + i' г°^-2;
6)/(г) = г2-2г + 2 + г2-г(1 + 2г)-1+^ а = 2г'- *> = 0;
7)fiz) = ^W' а = -3-5г'' ^ = -1-^
г + 5г 6г + 8г
г2 + 1 г2 + 31г-2'
п\ t/ \ г + ог , oz-t-ог
9) f(z) = ~ТТТ + .2 , ,,.■_ о' а = 1 + *> г0 = 0;
lnW/ ч 6г + 8 + 8г Зг - 2г
10) /(г) = -я : г 5 1 а = 1 + г, го = —1.
' Jy ' z2 + 2г(2 + г) + 8г z2 + 4 ' '

§11. Ряд Лорана 117
11. Разложить функцию f(z) в ряд Лорана по степеням z — а в кольце D:
1) f{z) = zV^, a. = 0, £> = {г: 0 < \z\ < ос};
2) /(г) = г25т7г(г+1), а = 0, £> = {г: 0 < |г| < оо};
3) /(2) = гзс08_1_! a = 0j £> = {*: 0 < |z-2| <oo}.
12. Используя разложение функции zctgz в ряд Тейлора (§7, пример 4 (2)),
разложить в ряд Лорана по степеням z в кольце тт < \z\ < 2тт функцию
ctgz.
13. Используя разложение функции ——- в ряд Тейлора (§7, пример 4 (1)),
разложить в ряд Лорана по степеням z в кольце 2-7Г < \z\ < 47г функцию
1
14. Пусть ряды Лорана Е o,n{z — a)n и Е bn(z — a)n сходятся в кольце
п = — оо го= —оо
D = {z: г < \z — a\ < Д}, а их суммы соответственно равны /(г) и g(z).
оо оо
Доказать, что ряд Лорана Е cn{z — a)n, где сп = Е akbn-k, также
п = — ос /с—— оо
сходится в кольце D, а его сумма равна произведению f(z)g(z).
15. Пусть ряд Лорана Yl cn(z — a)n сходится в замкнутом кольце
п~ —оо
~D = {z: r ^ \z-a\ ^ Д}.
Доказать, что
|с„|<М0"-"+Д-п), nGZ,
где М — постоянная, не зависящая от п.
Ответы
1. 1) 1/2< |z| <2; 2)l<|z|<3; 3) e~a < \z - 1| < ea;
4) 0< |z + l| <oo; 5) 0 < |z - a| < 1;
6) |z| = 1; 7) |z| = 1; 8) пустое множество.
— оо / -i\n+l оо -i
3- i) E LJf- *"+£—^-*";
n = -l ° n=0 J ' ^
-oc / i\n-l —оо о ( i \ r», — 1 oc t л\п — 1
О n=—1 J п=П ^ Э
■ z
n=-l ° n=-l J n=0
4) E -^—^~" + g ±-^zn-
n=-l 9 n=0:

118 Глава 3. Ряд Лорана. Особые точки. Вычеты
6.
— СЮ / 1\П СЮ 1
5) Е {-^г2п+Ег^г2п;
п=-1 ° п=0 й ' 4
^2° -5п-6 2п , °° (-1)"
2п
4. 1) Е ^(^-ir+EfS^-ir;
п=-\ у n=0 9-г
2) Е (п + 1)9( 1} (,-l)"+E( У- * (z-l)";
—оо
3) Е (п + 2)г"+1(г-г)п;
п=-1
— СХ)
4) 1 + Е (-1)"+12-?+! sin ^ (z - I)""1;
п=0 4
— СЮ I ОО
5)- Е г"- ^-Е2
п=-2 * п=0
—п—2 ~п.
1 -п-\(г, _ 1 \п _l V^ ( ■*■/
п=-1 п=о (2 +г)
6) Е i-^z-ir+E ,Л п+1(^-1Г
1) Ey^r+E ( ' , \<\z\<2;
П=1 Z Z 71=1 Z Z
о оо п оо / i\n-l
2)|-Е^тг+Е^^, KN<2;
Z П=1 Z n=l Z - - ,.; r-
3) E Vt^ - E z", i < \z\ < 1;
n=l •> z n=l J
OO / iNn + l 2n+l q OO I _-l\n — 1 1
n=0 a zz n=2 z z z
6)| + f z + sgt^+g^.KlzKS;
0 y n=2 *> n=l z
oo oo i i
n=2 n=l 2 Z 4
-oo / с i \"+i \ oo 2
!)/(*) = E ((n + l)3n+[-^r- +E Jrz", 2<|Z|<4;
n=-l \ Z У п=04
— OO OO „2 -I
2) /(*) = - E 3"z3"+ E ^z3"-1, -i= < \z\ < $2;
n=-l n=l z VO
5<lZl<i
-oo oo /2 \ i
3)/(z)= E n5"Z"+E Jr + (-l)"+12" z", i
n=-l n=0 V^ / °
7. 1)/(г) = |+Е7^-?Г+Е(-1)п^г(г + 1Г, 4<|Z + 1|<5;
a n=i 1г -г a; n=i &
n oo
2)/(z) = 7T9- E(^ + 3)(z + 2)", 0<|z + 2|<l;
z ~r z n=0

§ 11. Ряд Лорана 119
3)/(*
4) f(z
5)/^
6)/^
7) Я*
1)Я*
2) Я^
3)Яг
4) Яг
5) Яг
6) Яг
7) Яг
8) Я^
1)Я*
2) Яг
3)Яг
1 <
4) Яг
5) Яг
6) Яг
1 +g(_1)n+i^_MO(2_1)„; 0<|2_1|<2.
4(г-1)
71 = 0
2 +
7 + Е ^ттг(г + 1)п, 0<|г + 1|<2;
1 „_о Z
п=2
Е
+ |+ЕЁУР(г + 4)", 4<|г + 4|<5;
„^(г + 4)" 5 „ti 5
(-!)"(*-3)" , °° (-1)™(2 + г)"
п=0 (3 - *)
е ™ "л:+у + е к7: k:z:i . V5<k-3i<^;
of (1 + г)" I Г
„Ъ(г-1)"+1 + ^
п=0 (г - 3)
(-!)"(*-!)
п=0
3-^-, 72<|г-1|<2;
. \ п + 1
= Е рпт - * - Е ТТТГ^Т, К |г| < 4;
п=0 г „=i (4г)
оо , оо /2\П_1
= 2Е4т+ЕЗп U , К|г|<2;
г=0 г
п=1
= Е^ТГ-4Е^Й, К|г|<2;
п=0 z n=0 г
•^ Q71+1 ' 2-1
71=0 "Э
п=-1
1
гп, 2 < Ы <3;
71=0 О П = 1 Z
_ ^ (-4 + 2г)(-г)" °° (4 + 3»)(-1)" .,
" ^ 5^+1 + А 5-3-+1 ' 1<121<^
п=0
Е
71 = 0
(2г)™-1 ^ 4П
Е
„f 1 (« - 1)" nf о (г - 1)
7Г+Г> |г-1|>4;
тг —1 ОО
= E^V-Et—^тт, |г + 1|>4;
„=1 (.2+ IJ n=0 (z+ 1)
— ОС СЮ о/1 1 \п
= Е (-1)"(г-2)"+Е J%Li^-2)",
п=-1 п=0 (2 - •«)
2|<78;
n=0 J n=0 (,z _ l)
ОО /1\n+l
(-1)
ОО { 1 \П
(-!)"(! +г)"
Е^(г-В"+Е Г \А" ' ^<l^-1l<6;
n=0 J ' b n=0 (z - 4
г(-1)™+1
V н-^; , nn | f (-0(»-l)"
п^02(1+5г)
л/2< |z-l| < \/26;
nfo 2(z - 1)"

120 Глава 3. Ряд Лорана. Особые точки. Вычеты
10.
11.
ОО г . п\п ОО птг
ОО ' ОО пп
8)/^ = Д(^Г^(г + 3)" + „?0(7^' 2<|z + 3|<^4.
Л f(A = f (-г)(-1)"(г-2 + Зг)" , f (Зг)"
,П> tb (2 - 5г)"+1 + п%0 (г - 2 + Зг)"+1'
3 < \z - 2 + Зг| < V29;
9А fM - V (-1-г)(-1)"(г-2-Зг)" , f г(-1)"(1 + Зг)"
2(2+— ' п=о(^-2-Зг)т
VT0< U — 2 — Зг| <
\/65
2 '
2г
— ии ОО / 1
3)/(г)= £ i(-l-i)-"- 1^+2-0"+Eo(-Jj(2-^) (г+2-г)",
n=-l
-n-1
>/2<|z + 2-i|<| УШ;
*)/(*) = £
n=-l
И^+0 " +i(-2i)-"-1
(z + г)",
2 < |z + i| < +00;
OO { i\n
(-1Г
(2-*)n
n=0 4 n=0 (г - 1 - г)
•у/5 < |z - 1 - г| < 4;
6)/(г)= Е
(-3)(г- 2г)п ~ (-
=0 (1-ЗгГ+1 """„^(г-й)"'
z^l+i 1 < |z-2i| < УШ;
7Wf 1 = V (г + 3 + 5г)" 4- V ^'"(З + г)""1
' 7 {Z) tv (3 + 5г)"+1 + tx {z + 3 + 5гГ+1 '
v/10< |г + 3 + 5г| < у/М;
Ь) J[Z) ~ t, (г + 2 + 2гГ+1 „ti (2 + 7г)"+1 '
2^2 < |z + 2 + 2i| < л/53;
9) fЫ - Е 3(-1^""1 + V 4(-1)"(г-1-»)"
9j f[Z) - ti (*- 1-0" + „to (1 + ЗгГ1 '
гф-г, 1 < |z-1-г| < VTO;
„=0 (5 + г) T „=i (г - 1 - г)
гф-2г, у/2 < \z-l-i\ < v^6.
1 1 OO „ — n
l)/(z)=z3 + z2 + iz+UE
2 6 „^(n + 3)!
2) /(z) - -irz + E
(-1Г+Ч
n + l 2n+l
-2n+l.
=1 (2n+l)!

§ 12. Изолированные особые точки однозначного характера 121
3)/(2) = (2-2)3 + 6(z-2)2 + |(z-2) +
°° 2(-1Г(16п2 + 24п + 5)
+ 5h (2^)! <z 2> +
°° (-l)"(48n2+72n+23) 2п+1
+ £i (2n + 2)! ^ ^
— 00
12. ctgz = J2 2ir'2nz2n-1 -г-Зг^1 +
п=-1
13. :J±-T = J2 (-l)n2-2n+1ir-2nz2n-1 + Зг"1 -- +
В2п , 2(-1)Л ,„_!
71=1
+ Е S +
(2п)! (2п)
2п
Z
§ 12. Изолированные особые точки
однозначного характера
Справочные сведения
1. Классификация изолированных особых точек. Пусть
функция f(z) регулярна в некоторой окрестности точки а ф оо, т. е. в кольце
О < \z — a\ < р,
но не регулярна в точке а. Тогда точка а называется изолированной
особой точкой однозначного характера функции f(z).
Аналогично, бесконечно удаленная точка называется изолированной
особой точкой однозначного характера функции /(-г), если эта функция
регулярна в некоторой области
р <\z\ < оо.
В зависимости от поведения функции f(z) вблизи особой точки а
различают три тина особых точек. Изолированная конечная или
бесконечно удаленная особая точка а однозначного характера функции f(z)
называется
1) устранимой особой точкой, если существует конечный предел
lim /(г);
г—>а
2) полюсом, если существует бесконечный предел lim f(z) — оо;
z—>а
3) существенно особой точкой, если не существует (ни конечного, ни
бесконечного) предела функции f(z) в точке а.

122 Глава 3. Ряд Лорана. Особые точки. Вычеты
2. Ряд Лорана в окрестности особой точки. Если функция f(z)
регулярна в кольце 0 < \z — a\ < p, то ее можно представить в виде
сходящегося в этом кольце ряда
оо
/(z)= ]T Cniz-aT, (1)
п=—оо
который называют рядом Лорана функции f(z) в окрестности точки а,
а ряды
оо
n=l v '
оо
h{z) = Y,cn{z-a)n (3)
п=0
называют соответственно главной частью и правильной частью ряда
Лорана функции f(z) в окрестности точки а.
Аналогично, если функция регулярна в области R < \z\ < оо, то она
представляется сходящимся в этой области рядом
оо
f(z) = ]Г cnzn, (4)
п=—оо
который называют рядом Лорана функции f(z) в окрестности
бесконечно удаленной точки, а ряды
оо
Л(г) = ^спг", (5)
п=1
оо
/2(z)=co + ]Tc_nz-" (6)
п=1
называют соответственно главной и правильной частью ряда (4).
Главные части (2) и (5) рядов Лорана (1) и (4) состоят из всех тех
и только тех членов этих рядов, которые стремятся к бесконечности
при z —» a (z —> оо). Функцию f(z) называют регулярной в точке
z = оо, если эта функция регулярна в кольце R < \z\ < оо и существует
конечный lim f{z).
z—юо
3. Устранимая особая точка. Для того чтобы конечная или
бесконечно удаленная изолированная особая точка а была устранимой,
необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты главной части ряда
Лорана в окрестности точки а были равны нулю, т. е. f\{z) = 0. Если

§12. Изолированные особые точки однозначного характера 123
точка z = а, где а ф ос, является устранимой особой точкой функции
оо
/0) = ^2 с"(2 ~ аГ> 0 < \z - а\ < R,
п=0
то, полагая
/(а) = lim/(z) = с0,
z—>а
получаем функцию, регулярную в точке а. Поэтому нередко
устранимую особую точку рассматривают как точку регулярности.
4. Полюс
4.1. Для того чтобы изолированная особая точка а (конечная и
бесконечно удаленная) была полюсом функции f(z), необходимо и
достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции f(z) в окрестности
точки а содержала конечное число ненулевых слагаемых.
4.2. Полюс в конечной точке
а) Точка z = а, где а ф ос, является полюсом функции f(z) тогда и
только тогда, когда эта функция представляется в виде
f(z) = (z-a)-mh(z), На)фО, т G N, (7)
где h(z) — функция, регулярная в точке а. Число т называется
порядком полюса.
Если точка а ф оо —полюс функции f(z), то его порядок — такое
число теК, что
\imf{z){z-a)m = a,
где а ф 0, или
б) Пусть f(z) = -г-т-т, где g(z) и h(z) —функции, регулярные в точке
h{z)
а ф оо. Тогда если д(а) ф 0, а точка а —нуль кратности т
функции h(z), то z = а —полюс т-го порядка функции f(z); если
точка а является нулем функций g{z) и h(z) кратности кит
соответственно, то при т > к точка z = а — полюс функции f(z)
кратности т — к, а при т ^ к — устранимая особая точка.
4.3. Полюс в бесконечно удаленной точке
а) Точка z = оо является полюсом функции f(z) тогда и только
тогда, когда эта функция представляется в виде
f(z) = zmg(z), д(оо)фО, т G N. (9)
Число т в формуле (9) называется порядком полюса z — оо.

124 Глава 3. Ряд Лорана. Особые точки. Вычеты
Если z = оо— полюс функции f(z), то его порядок m — такое
f(z)
число, что Пт —— = а, где а ф 0, или
г—+оо Z
f{z) ~ azm, афО (z -»• оо). (10)
б) Порядок m полюса z = оо функции /(.г) равен кратности нуля
функции / I - I в точке z = 0.
5. Существенно особая точка
5.1. Для того чтобы изолированная особая точка а была существенно
особой точкой функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы главная
часть ряда Лорана функции f(z) в окрестности точки а содержала
бесконечное число ненулевых слагаемых.
5.2. Теорема Сохоцкого. Если a G С — существенно особая точка
функции f(z), то для любого AgC найдется последовательность точек
{zn}, сходящаяся к точке а и такая, что Hm f(zn) — А.
п—кх>
5.3. Теорема Пикара. Если a G С — существенно особая точка
функции f(z), то для любого А £ С, кроме, быть может, одного, уравнение
f(z) = А имеет в любой окрестности точки а бесконечное множество
решений (корней).
6. Целые и мероморфные функции
6.1. Если функция f(z) регулярна в каждой точке г £ С, то такая
функция называется целой. Функция f(z) называется мероморфной,
если на каждом ограниченном множестве G £ С эта функция регулярна,
за исключением, быть может, конечного числа полюсов.
6.2. Если z = оо —полюс порядка п целой функции f(z), то f(z) —
многочлен степени п, а если целая функция f(z) регулярна в точке
z — оо, то f(z) = const. Целую функцию, для которой z = оо —
существенно особая точка, называют целой трансцедентной. Такими
являются функции
ez, sin z, cos z, shz, caz.
6.3. Теорема Лиувилля для целой функции. Если целая
функция f(z) удовлетворяет в области R < \z\ < оо неравенству
\f(z)\^M\z\m,
где М > 0, m — целое, m ^ 0, то f(z) —многочлен степени не выше т.

§12. Изолированные особые точки однозначного характера 125
Примеры с решениями
Пример 1. Найти все особые точки функции f(z) и определить их вид
(тип), если:
1) f(z) = е1/*2; 2) f(z)
(z + lY(z2+A)
5)/(2) = e1/sin,. 6) /(2) 1 1
z ег - 1
А 1) Функция е1'2 регулярна во всех точках г£С, кроме точки z — 0.
Пусть z = х + iy, тогда если z = х, то е1'11 —» оо при х —> 0, а если
2 = iy, то е-1'27 —> 0 при у —> 0. Таким образом, функция е1'2 не имеет
предела в точке 2 = 0 и поэтому z = 0 — существенно особая точка
этой функции. Это можно установить, представив функцию е1'2 рядом
Лорана в окрестности точки z = 0, т. е. рядом
оо
п=1
ос ^
Главная часть этого ряда f\(z) = ^ 2w содержит бесконечное число
n=l n'z
ненулевых слагаемых.
Точка z — оо есть точка регулярности функции е1'2 , так как
lim е1/2' = 0.
z—юс
Это утверждение равносильно тому, что функция е^ регулярна в точке
С = о.
2) Нули функций (z+1)2 и 22+4, т.е. точки z\ = — 1, 22 = 2г, 2з = — 2г
являются полюсами функции /(г), причем z\ —полюс второго порядка,
а 22 и 2з — полюса первого порядка, так как эти точки не являются
нулями функции 26, z\ — нуль кратности 2 функции (z + I)2, а 22 и 23 —
нули кратности 1 функции 22 + 4.
Точка 2 = оо — полюс второго порядка функции f(z), так как f(z)
регулярна в области \z\ > 2 и f(z) ~ 2 при 2 —» оо. Других особых
точек в С у функции f(z) нет.
3) Нули функции cos -, т. е. точки
• zk = , fceZ,
7Г

126 Глава 3. Ряд Лорана. Особые точки. Вычеты
являются полюсами первого порядка. Действительно, если </?(z) = cos -,
z
то
1 1 г_Л"+1
Точка z — 0 не является изолированной особой точкой. Она является
предельной точкой (точкой накопления) полюсов zk.
Точка z = оо —точка регулярности функции f(z), так как
функция регулярна в точке С = 0. Других особых точек в С у функ-
cos£
ции f(z) нет.
4) Пусть g(z) = sin 2z — 2 sin z, тогда
g(z) — 2 sm z(cos z — 1).
Так как zk = kir (k G Z) — нули кратности 1 функции sin z, a Jm — 2ттт
(m G Z) — нули кратности 1 функции cosz — 1, то z'n = 2п7г (n G Z)—
нули кратности 2 функции g(z), a
< = (2n + 1)тг (n G Z)
— нули кратности 1 этой функции. Поэтому точки z'n — полюсы второго
порядка функции f(z), а точки z'£ (кроме точки z — 7г) — полюсы
первого порядка функции f(z), так как z = 7Г — нуль функции z — 7Г.
Точка z = оо является предельной точкой полюсов функции f(z), a
других особых точек (кроме перечисленных) у функции /(г) в С нет.
5) Покажем, что точки z^ = kir, к G Z (нули функции sin z) являются
существенно особыми точками функции f(z). Пусть g(z) = sinz, тогда
g(zk) = 0, g'(zk) = cos ктг=(-1)к
и поэтому
sinz = (—1) (z — kir)h(z), где h(kir) — 1.
Пусть к — 2п, тогда
sinz = (z — 2im)h(z).
Если z = х и х —* 2тт + 0, то sin х —* +0 и f(x) —* +оо, а если z = х
и х —* 27Г — 0, то sin ж —* — 0 и f(x) —* 0. Таким образом, функция f(z) не
имеет предела при z —* 2irn, n G Z, и точки 2тгп — существенно особые.
Аналогично установим, что точки (2п + 1)тт, п G Z, также являются
существенно особыми. Итак, точки Zfc = kir, к G Z, — существенно
особые точки функции f(z), а точка z = оо — их предельная точка.

§ 12. Изолированные особые точки однозначного характера 127
6) Запишем f(z) в виде
5г - 1 - Z
№
z(ez - 1)
Нули функции е2 — 1, т. е. точки Zk = 2&7тг (fceZ, к ф 0) — полюсы
первого порядка функции f(z) (они не являются нулями функции е2 — 1 — z).
Точка z = 0 —устранимая особая точка, так как она является нулем
второго порядка функций ег-1-гиг(е2-1). Точка z — оо — предельная
точка полюсов функции f(z). A
Пример 2. Найти главную часть f\{z) ряда Лорана функции f(z) в
окрестности точки а и определить вид особой точки а, если:
1) /(г) = zV/*, а = 0; 2) f(z) = (;g2 j1)2, а = г;
3) /(г) = 2cos —-, о = 1; 4) /(г) = ^ * , а - оо.
ОО 1
Л 1) Так как е1'2 = Y1 ~1Г"7' то
п=о *'п\'
/w-^ + f + i + s-ii
п=4
/1(^)-Х,(п + з)!г"'
n=l v '
Главная часть /i(z) содержит бесконечное число ненулевых
слагаемых и поэтому z = 0 — существенно особая точка функции f(z).
h(z)
2) f(z)
(z-i)
2 !
1 -,^,/^ .л , ^ №({),„ ,,fc
^) = гхл2 = W + ь'(*)(* - *) + Е ^ ^ "г
1
4' '" ч"' (2г)3 4!
где /i(z) = - -, ti(i) = - —3 = - 7, откуда
ли = 7^3 + ь'й
(г - г)2 г - г 4(г - г)2 4(г - г)
a z = г — полюс второго порядка функции f(z).

128 Глава 3. Ряд Лорана. Особые точки. Вычеты
3) Пусть z — 1 = t, тогда f(z) = <p(t) — (t + l)cos-. Представим
функцию ip(t) в окрестности точки t = 0 ее рядом Лорана
^) = (t+i)(i+g^)
Отсюда следует, что главная часть ряда Лорана функции f(z) в
окрестности точки z = 1 — ряд
m ' L, (2n)\z2n-1 "*" ^ (2n)!z2" '
n=l n=l
аг = 1 — существенно особая точка функции f(z).
4) Разделив многочлен z5 + z2 на многочлен z2 + 4, представим
функцию f(z) в виде
/(,) = ,>-4.+f£f.
_ , ч z2 + 16z
Функция g{z) = —g—~г регулярна в точке z = oo, так как она
регулярна в области \z\ > 2 и существует lim g(z) = 1.
2—>00
Поэтому главная часть ряда Лорана функции f(z) в окрестности
бесконечно удаленной точки есть сумма z3 — 4z, a z = сю — полюс
третьего порядка функции f(z). A
Пример 3. Пусть а ф оо — существенно особая точка функции f(z)
и полюс функции g(z). Докая^ем, что z = a — существенно особая точка
функции ip(z) = f(z)g(z).
Д Предположим противное. Тогда z = a — либо устранимая особая
точка, либо полюс функции ip(z). Если z — a — устранимая особая
точка функции ф(г), то существует конечный lim tp(z) = А. По условию,
z—>a
Kz)
{z-af
Но тогда функция
z = a — полюс функции g(z) и поэтому g(z) = —, h(a) ф 0, m£N.
. f{z)-^-W){z~a)
имеет в точке a предел, равный нулю, что противоречит условию
(функция f(z) не имеет предела в точке а, так как для нее точка а является

§ 12. Изолированные особые точки однозначного характера 129
существенно особой). Если z = а —полюс функции (p(z), то
(z — a)
и тогда
f(z)=k0t(z-ar-k,
откуда следует, что при m ^ k точка z — а является устранимой, а при
m < к — полюсом функции f(z), что противоречит условию.
Итак, z = a . — существенно особая точка функции (f(z). A
Пример 4. Найти все особые точки функции f(z) и определить их вид:
pl/(i-z) „ctgirz
ЧЛ'Н —*r 2|J("'f-№it,);
1 + sin
1/г3 1
е ' cos-
Л 1) Особыми точками функции f(z) в С могут быть только точка
. niz
z = г и корни уравнения sin = — 1 — точки z^ такие, что
— = -- + 2Аж,
откуда Zk — г(1 — 4/с), /с G Z. Точка г является существенно особой
точкой функции е Аг_г) и полюсом функции —- .
1 + sm(7riz/2)
Откуда следует (пример 3), что z = г ■■ - существенно особая точка
функции f(z). Точки Zk (к ф 0) — полюсы первого порядка
функции f(z), так как в силу условия cos ф 0 они являются нулями
1 л, 1 I • niz
кратности 1 функции 1 + sin —-, a z — ос — предельная точка полюсов.
2) Особыми точками функции f(z) в С могут быть только точки 1
и — 1. а также корни z\~ уравнения sin7rz = 0 (числа z\- = к, к £ Z)
и корни 2fc уравнения ch z = — 1, равносильного уравнению ez = — 1,
откуда 5fc = in + 2&7гг (A* £ Z).
Точки г/~ = к (к £ Z, к ф ±1)—существенно особые точки
функции /(^), точки z — ±1 также являются (пример 3) существенно
особыми - это полюсы функции —^ = .
1 (;z2-l)2(ch.z + l)
Точки Zk — полюсы первого порядка (shzfc ф 0) функции f(z). Точка
z = оо — предельная точка для точек z^ и 2^.

130 Глава 3. Ряд Лорана. Особые точки. Вычеты
и 3) j Точка z — 0 — нуль функции sin z = 0 (полюс функции /(z)e-1'2 )
и существенно особая точка функции e~l'z является существенно
особой точкой функции f(z) (пример 3). Точка z = — 1 также является
существенно особой точкой функции f(z).
Корни уравнения
z4 = -1,
т. е. точки Zfc = el7r(2fe+1)/4 (fc = 0, 1, 2, 3) — полюсы второго порядка, а
точки ifc = кп (к G Z, к ф 0) —полюсы третьего порядка функции f(z).
Точка z = оо — предельная точка полюсов 2^.
S 4) 0е
обыми точками в С могут быть только нули функций cos z, sh z
и точка z = 0. Точка z = 0 — существенно особая точка функций en'(2z>
и /(г), точки Zfc = — + кп (fceZ) — нули кратности 1 функции cosz —
являются полюсами первого порядка функции f(z). Нули функции
shz — точки ifc = kni (fe 6 Z, к ф ±1) — являются полюсами первого
порядка функции /(г), a m и —in — устранимые особые точки, z = оо —
предельная точка полюсов Sfc. ▲
Задачи
1. Доказать, что точка z — а является устранимой особой точкой для
следующих функций:
1)т£т (а = 1); 2) Ч1 (а = 0);
3)^ (а = 0); 4) 1^££ (а = 0);
5)ctgz-i (а = 0); в) ^ - ^ (а = 0);
COS Z
НУ
2. Доказать, что точка z = а является полюсом следующих функций:
1); (а = 0); 2) ^L-s (a = i);
•г2 + 1 / ч .ч 2
з) ^^ (а = оо); 4) т-1— (а = °);
' 2 + 1 Ч " ' 1-COSZ Ч '
5) (е* 11)^ (а = °)' 6) ct§ J (а = °°)5
7) (ТТТ^ (a = 7ri); 8) tg7rz (а = ±5> ±1' •••)•
3. Пусть функции /(z) и g(z) регулярны в точке z = а и /(а) = д(а) = 0.

§ 12. Изолированные особые точки однозначного характера 131
Доказать, что:
z^a g(z) z->a\f'(
1) lim ЦЦ = lim ^ff; 2) _._ , ч , „ ,
z^a g{z) z^a g (z) z^a g(z) z^ayf{z)g{z)
4. Пусть функции /(г) и <?(z) регулярны в точке z = а и /(а) = <?(а) = 0.
Доказать, что точка z = а является изолированной особой точкой
однозначного характера для функции F{z) = f(z)/g(z) и что она не может
быть существенно особой точкой.
5. Пусть z = a — изолированная особая точка однозначного характера для
функции f(z). Доказать, что точка z = а является существенно особой
точкой функции f(z) в том и только в том случае, если существуют такие
две последовательности z[, z'2, ... и z", z2', ... , что lim z'n = lim z" = a,
n—>oo n—>oo
a lim /«) = A, lim /«) = В, АфВ.
n—»oc n—»oo
6. Доказать, что точка z = ос является существенно особой точкой для
функции sinz.
7. Доказать, что точка z = а является существенно особой точкой функций:
1) ez (a = oo); 2) е~2 (а = сю); 3) sin —^ (а = 0);
4)z2cos- (а = 0); 5) etgz (a=f); 6) sin(e2) (а = oo);
7) cos (а = —1); 8) sin — (а = —г).
8. Найти все изолированные особые точки однозначного характера для
следующих функций и определить их вид:
Z nS 1— COSZ oN 2 •- z *s 1 7TZ
1) -—; 2) ——2 ; 3) z^sin ——; 4) -—-cos- -,
sinz sin z z+1 z - 1 z + 1
5)ctgz--; 6) z(el/z-l); 7)ects*; 8)sin(e1/z).
9. Доказать, что изолированная особая точка однозначного характера z = a
является для функции /(z) устранимой особой точкой, если выполняется
одно из следующих условий (расположенных в порядке ослабления
ограничений):
1) функция f(z) ограничена в некоторой окрестности точки z = a;
2) lim(z-a)/(z) = 0;
3)lim J |/(z)||d(z)| = 0.
\z-a\=p
10. Пусть z = a — изолированная особая точка однозначного характера для
функции /(z), удовлетворяющей в некоторой окрестности этой точки
неравенству \f{z)\ < M\z — a\~m, где М и т —некоторые положительные
постоянные. Доказать, что точка z = а не может быть существенно особой
точкой функции /(z).
11. Пусть функция /(z) имеет в конечной точке z = а полюс порядка т.
Определить порядок полюса в точке z = а функции f^n\z).

132 Глава 3. Ряд Лорана. Особые точки. Вычеты
12. Пусть Pm(z) и Qn{z) — многочлены степеней тип соответственно. Найти
порядок полюса в бесконечности для следующих функций:
1) Pm{z) + Qn{z), тфщ 2) Pm{z) ■ Qn{z);
3) тпК> гп>п.
13. Пусть функции f(z) и g(z) имеют в точке z = оо полюсы порядков т
и п соответственно. Доказать, что функция F(z) = f{g{z)) имеет в точке
z = оо полюс порядка т.п.
14. Пусть функция g(z) регулярна в точке z = а и g(a) — 6, а функция
/(С) имеет в точке £ = 6 полюс порядка т. Доказать, что функция
F(z) = f{g{z)) имеет в точке z = а полюс порядка тп, где п —кратность
нуля функции g(z) — Ь в точке z = a.
15. Найти все особые точки функции f(z) и определить их вид, если:
1-ch-
!) Я*) = -J—£r\ 2) f(z) =
1-
ег
-ch|
-е3г'
е2г - е2
г2 - 4г - 5
(г + 3)(1 +COS7T2)'
3) /(2) = (/-leers' 4) /(2) = 4^(ЬТ) + ^ЬТ5;
5)/H=6sh;:!(yg2); 6)/(,) = ^^-3cth,;
e'^sin^
7) Я*) = ,„.■ ,^ ,; 8) /(*) = 4z^-;
9) Я*) = ,, " 5; io) /(^ =
(2г
г3-
(вг
4г
г3
+ 1)(ег
-sh3z
-I)5'
2 + 47Г2
(e2i* -
+ 2ттг2
+ 1)'
-87Г2
I)2
+ 7Г22
tg4z
e^g-cos —
4
(z-l)2(chz + l)'
12) /К * "1""" т" * ' *
sin° z z + 7г
16. Пусть последовательность функций {/«(г)}, регулярных в кольце
0 < \z — a\ < г, равномерно сходится в каждой замкнутой части этого
кольца. Доказать, что если каждая функция fn(z) имеет в точке z = a
полюс порядка т, то предельная функция f(z) регулярна в кольце
0 < 1-г — <х| < ги имеет в точке z — а полюс порядка не выше т, или
устранимую особую точку.
17. Найти все особые точки функции f(z) и определить их вид, если:
7Г
-jt-S,- sin -
. гж
1 — sin —
3) f(z) = „„ * ; 4) f(2
7Г
COS —
z
sin z + 1
z2 + 4z -
1 + sin
- 12
Зтг
г

§12. Изолированные особые точки однозначного характера 133
COS
5)f(z)=8z ~6г + 1; 6)/(*)= г + 1
7Г 1 + COS 7Г2
1 — COS —
z
7) /(г)= (г~2)(3г2-4г-4). 8) /(г)
1 — sin —
z
l/(z-2i) cos(«/2z) _ -,
9)/(z) = -^ —; 10)/(z) = - -.
; •* v ; 1 - cos inz i ■> у i ^ 3nz
г + sh —
18. Пусть z = a — полюс функции /(-г). Доказать, что для функции е-^2' точка
z = а является существенно особой.
19. Пусть f(z) -■■■ функция, регулярная на множестве С, за исключением
единственного полюса z = а первого порядка. Доказать, что если a = со,
то f(z) —линейная функция, т. е. f(z) = Az + В, где А ф 0, а если а ф ос,
то f(z) — дробно-линейная функция, т. е. f(z) = ——-. где ad — be ф О,
с фО.
20. Найти все особые точки функции f(z) и определить их вид, если:
4г2 + 7Г2 / . 71-
1) /(г) =
3) f(z) =
5) /(г) =
7) f(z) =
z2 + ln22 . 1
— ch -;
о z
sin z — -
z2 + In2 2 ,1
: 5~sh-;
Зг г
cos z + —
4
shTrz — cos —
z
(i-'*")* '
7гг
' " 2(г - 1) .
enz + е* '
2) /(г) =
4) f(z) =
6) /(^) =
8) f(z) =
ch - - 1
z
4z2 - 12гг-5 ei/(sh,r/z).
shivz — i
{2z-n)e1/m
z cos 2 г cos;
siri7rz — 1
gl/(sin tt/z) .
1/Anz, 2 , 47г2ч г ЬП4
г shz e ' — e '
21. Пусть f(z) — целая функция, принимающая каждое конечное значение
только один раз. Доказать, что f(z) —линейная функция, т.е. f(z) = az+b.
афО.
22. Пусть z = а —существенно особая точка функции /(г). Можно ли
утверждать, что и для функции точка г = а является существенно особой?
/(г)
23. Пусть точка г = а является существенно особой точкой функции f(z).
Обозначим М(р) = max \f(z)\. Доказать, что при любом к > О
lim pkM(p) = +оо.

134 Глава 3. Ряд Лорана. Особые точки. Вычеты
24. Пусть функция g(z) регулярна в точке z = а и g(a) = b, а £ = b —
существенно особая точка функции /(C)- Доказать, что z = a — существенно
особая точка функции -F(z) = f(g(z)).
25. Пусть функции a\(z), ... , an{z) регулярны в точке а или имеют там
полюс, z = a — существенно особая точка функции f{z). Доказать, что
z = a — существенно особая точка функции
F(z) = fn(z) + ai(z)r-\z) + ■■■ + an(z).
26. Найти все особые точки функции f{z) и определить их вид, если:
2) /(*)= 1
3) f(z)
4) /(«) = - 1 L
г2 sin2 zsin(z-(7r/2)) 1 pSinz/z.
(cosz — l)2
e°
Щ
1 + cos -
,coaz/2/(l-f cos z)
(z + tt)3(1 + cos2z)'_
/""N. „sin z/(l—cos z)
ч2У(2) = (2*r-z)a(l + sin2 z)'
^/(*) = ^г(в"/Сж~Я)-1)с»вя*;
i
(cosz — 1)
1
\z I cos z cos
10) f{z) = ± 2J
(sinz-1)2
27. Пусть Fm(z) и Qn(z) — многочлены степени тип соответственно, не
имеющие общих нулей. Доказать, что нули многочлена Qn(z) и только эти
точки являются полюсами функции f(z)= " |, а других особых точек
Qn(z)
в конечной плоскости у функции f(z) нет. Показать, что точка z = оо
является полюсом порядка m — п функции f{z), если m > n и точкой
регулярности, если m ^ п.
28. Пусть мероморфная функция f(z) имеет в С лишь конечное число
полюсов ai, аг, ... , am (точка z = оо также может быть полюсом). Доказать,
что f(z) —рациональная функция (отношение двух многочленов) и пред-

§ 12. Изолированные особые точки однозначного характера 135
ставляется в виде
m
/(*) = Л+ /„(*) + £/*(*),
fe=i
гДе fk{z) и /о(г)—соответственно главные части ряда Лорана
функции f(z) в окрестностях точек а& и z = оо, Л = lim (/(2) — /0(2)).
г—» 00
29. Пусть функция /(г) регулярна в области D = {z: 0 < \z\ < р} и /(z) ^ 0.
Каким условиям должна удовлетворять функция f(z) в точке 2 = 0,
чтобы можно было указать регулярную в круге Вр(0) = {z: \z\ < р}
функцию g{z), где g(z) ф 0, такую, что lim [f(z)g(z)\ = 0.
z—»0
30. Пусть функция /(г) регулярна в проколотой окрестности точки z = 0, т. е.
в области -О={2:0<|г|<р}и для всех z (z D справедливо неравенство
|/(2)К^=, где А>0.
Доказать, что z = 0 — устранимая особая точка функции f(z).
31. Пусть целая функция f(z) в некоторой области \z\ > R удовлетворяет
условию |/(2)| ^ ^4|-г|т, где А > 0, т ^ 0 —целое число. Доказать,
что /(г) —многочлен.
Ответы
8. 1) z — 0 —устранимая особая точка, z = ктт (fc 6 Z, fc ^ 0) —полюсы
первого порядка;
2) 2 = 2fc7T (fc 6 Z) —устранимые особые точки, z = тг + 2ктг (к 6 Z) —
полюсы второго порядка;
3) 2 = с» — полюс второго порядка; z = — 1 — существенно особая
точка;
4) 2 = 1 и z = оо — устранимые особые точки, z = — 1 — существенно
особая точка;
5) 2 = 0 —устранимая особая точка, z = ктт (к 6 Z, fc ^ 0) —полюсы
первого порядка;
6)2 = 0 — существенно особая точка, z = 00 — устранимая особая
точка;
7) z = — (fc £ Z, fc 7^ 0) и 2 = 00 — существенно особые точки;
/С
8)2 = 0 — существенно особая точка, z = 00 — устранимая особая
точка.
11. гп + п.
12. l)max(m,n); 2) m + n; 3) m — п.
15. 1) z = 47гга (п 6 Z) — устранимые особые точки, z = irki (fc 6 Z,
fc ^ 4n) —полюсы первого порядка, z = 00 —предельная точка полюсов;
2) 2 = 2fc + 1 (fc 6 Z, к ф — 1, fc ^ ±2)—полюсы второго порядка,
2 = —1 и 2 = 5 —полюсы первого порядка, z = —3 —полюс третьего
порядка; 2 = оо — предельная точка полюсов;

136 Глава 3. Ряд Лорана. Особые точки. Вычеты
3) z = ±1 — полюсы второго порядка, z = к (к € Z, к ф О, к ф ±1) —
полюсы первого порядка, z = 0 — устранимая особая точка, 2 = со —
предельная точка полюсов;
4) 2 = 5 — полюс первого порядка, 2 = 1 — устранимая особая точка,
2 = 1 + 7rfci (А; ё Z, к ф 0) ~ полюсы первого порядка, z = оо — предельная
точка полюсов;
5) z = 0 — устранимая особая точка, z = 2kiri (к g Z, к ф 0) —полюсы
пятого порядка, z = оо — предельная точка полюсов;
6) 2 = 0 —устранимая особая точка, z = nki (fc gZ, к ф 0) —полюсы
первого порядка, 2 = оо — предельная точка полюсов;
7) 2 = к + - (к ё Z) — существенно особые точки, z = m(l + 2к)
(к ё Z) — полюсы первого порядка, z = оо — предельная точка полюсов
и существенно особых точек;
8) z = тгк (к € Z) — устранимые особые точки, 2 = — Ч (А; € Z) —
полюсы первого порядка, 2 = — +ттк (к ё Z) —существенно особые точки,
2 = оо — предельная точка полюсов и существенно особых точек;
9) z = 0 — устранимая особая точка, z = 2nki (к g Z, fc ^ 0) —полюсы
первого порядка, z = оо — предельная точка полюсов;
10) z = к (к € Z) — существенно особые точки, 2 = i(2fc+ 1)7Г, к € Z, —
полюсы первого порядка, 2 = оо — предельная точка существенно особых
точек и полюсов;
11) 2 = ктт (к € Z, А; / —2, к ф 1) — полюсы второго порядка, 2 = 7Г —
полюс первого порядка, z = —2тт — устранимая особая точка, z = оо —
предельная точка полюсов;
12) 2 = ктт (fc 6Z, к ф 0, /г / — 1) —полюсы третьего порядка, 2 = 0 —
полюс второго порядка, z = — 7Г — устранимая особая точка, z = оо —
предельная точка полюсов.
"О
•
17. 1) 2 = 1 и 2 = 2 — устранимые особые точки, 2 = —2 —полюс первого
порядка, 2 = 0 — существенно особая точка;
2) 2 = + 2ктг (к € Z) — полюсы второго порядка, 2 = 0 —
существенно особая точка, z = оо — предельная точка полюсов;
3) 2 = 0 — существенно особая точка, z = 2г — устранимая особая
точка, 2 = 2ik (к ё Z, /г / 1)—полюсы первого порядка, 2 = оо —
предельная точка полюсов;
4) 2 = 2к + 1 (к € Z, А; ^ —1, А; ^ ±2, А; / —3) —полюсы второго
порядка, 2 = —3 — полюс третьего порядка, z = — 1 и z = 5 —полюсы
первого порядка, 2 = оо — предельная точка полюсов;
5) 2 = —- (А; € Z, к ф 1, А;/ 2)—полюсы второго порядка, 2 = -
2fc 2
1
и 2 = - — полюсы первого порядка, z = оо — полюс четвертого порядка,
2 = 0 — предельная точка полюсов;

§ 12. Изолированные особые точки однозначного характера 137
6) z = 1 + 2k (к G Z, к ф 0, к ф — 1, fc ^ —2)—полюсы второго
порядка, z = 1 и z = —3 — полюсы первого порядка, г = — 1 — существенно
особая точка, г = оо— предельная точка полюсов;
' 2
7) г = — (t £ Z, к ф О, /с т^ —1)—полюсы второго порядка,
2
2 = полюс первого порядка, z = ос — полюс третьего порядка,
z = 2 -устранимая особая точка, z — 0 —предельная точка полюсов;
2г
8) z = — — г (к G Z, /с ^ 0) —полюсы первого порядка, г = —Зг —
устранимая особая точка, z = сю — существенно особая точка, z = — i —
предельная точка полюсов:
9) z = 2/сг (к G Z, /с т^ 0 -полюсы второго порядка, г = 2г —
существенно особая точка, z = ос -предельная точка полюсов;
10) г = — —— (fc eZ, к ф 0, /с т^ —1) ~- полюсы второго порядка,
z = — - и z = i — полюсы первого порядка, z = 0 — существенно особая
точка, z = оо -предельная точка полюсов.
20. 1) z = —Ь 2/стг ± г In 2 {к G Z) — полюсы первого порядка, z = 0 —
существенно особая точка, г = ос — предельная точка полюсов;
2к + 1
2) г = m—-— (к G Z. к ф 0. к ф — 1)—полюсы первого порядка,
г = —— и z = —— устранимые особые точки, г = 0 — существенно особая
точка, г = ею — предельная точка полюсов;
3) z = — — + 2ктт — i In 2 иг = — + 2/гтт + г In 2 (fc G Z) — полюсы первого
порядка, z = 0 — существенно особая точка. 2 = ос — предельная точка
полюсов;
г(1 — 4к)
4) г = ——-—- (к G Z, к ф 0, к ф —1)—полюсы второго порядка,
г = — — полюс первого порядка, z = - (к G Z, /с ^ 0) — существенно
особые точки, г = 0 — предельная точка существенно особых точек, z = ос■ —
предельная точка полюсов;
2 г
5) г = — (к G Z, /с т^ 0) —полюсы второго порядка, г = —2г-
полюс первого порядка, z = оо — существенно особая точка, z = 0 —
предельная точка полюсов;
■77" "ТГ К* "ТГ
6) 2 = 0 и z = — н—— (A; G Z) — полюсы первого порядка, 2 = —К тг/с
(fc G Z) — существенно особые точки, z — ос — предельная точка полюсов
и существенно особых точек,
7) z = 1 + (1 + 2/с)г, /cgZ, fc^O, к ф — 1 — полюсы первого порядка,
2 = 1 + гиг = 1 — г — устранимые особые точки. 2 = 1 — существенно
особая точка, z = ос — предельная точка полюсов:

138 Глава 3. Ряд Лорана. Особые точки. Вычеты
8) г = —-—, (fc e Z, k ф О, к ф 1)—полюсы второго порядка,
1 5
z = — (к 6 Z, к Ф 0) — существенно особые точки, г = - — полюс первого
порядка, г = 0 — предельная точка существенно особых точек, z = оо —
предельная точка полюсов;
9) z = irk, (к 6 Z) —существенно особые точки, z = iirk, (к 6 Z, fc ^ 0,
fc = —2, к Ф 2) —полюсы первого порядка, z = 27П и г = —27тг —
устранимые особые точки, z = оо — предельная точка полюсов и существенно
особых точек;
10) z = ——- (fc 6 Z) —полюсы первого порядка, z = —— (fc 6 Z,
fc ф 0) — устранимые особые точки, z = оо — полюс третьего порядка,
г = 0 — предельная точка полюсов.
22. Нет. Пример: f(z) = sin-. Точка г = 0 — предельная точка полюсов для
z
f(z) (не является изолированной).
26. 1) z = ln-^ + ш(п + 1), fc 6 Z, п 6 Z, fc ^ 0 —полюсы первого
К7Г — 1
порядка, z = i-кк (к 6 Z) — полюсы первого порядка, г = г7т(2А; + 1), fc 6 Z
и z = 0 — неизолированные особые точки;
2) г = b|^| + г2ттп (fc e Z, fc ^ 0, к ф 1, fc ^ -1, n e Z) —
полюсы первого порядка, z — Z7r(2fc+1), fc € Z, — полюсы первого порядка,
z = i2irk (fc 6 Z) и z = оо — неизолированные особые точки;
3) z = 0 —устранимая особая точка, z = 2ттк (fc 6 Z) —полюсы второго
порядка, z = существенно особая точка, z = оо — предельная точка
полюсов;
/ пт 7ГК* \
4) z = t I — + — I, fcGZ — существенно особые точки;
г = —j——— — 1, fc 6 Z, fc ф 0 —полюсы второго порядка,
1 1 1
z = 1 — полюс первого порядка, z = — 1 — предельная точка полюсов;
7Г
z =j2p_— предельная точка существенно особых точек;
т5) z>= тг(1 + 2fc), fceZ — существенно особые точки;
(1 + 2fc) — ^ln(3 i VS) — полюсы первого порядка, z =
сопредельная точка полюсов и существенно особых точек;
6) z = 0 — существенно особая точка, z = — и z = —— (fc 6 Z, fc ^ 2),
fc ф — 2 — полюсы первого порядка, z = ni vi z = ~ттг — устранимые особые
точки, z = —Ь 7rfc (fc 6 Z, fc ф 0)—полюсы второго порядка, z = оо —
предельная точка полюсов;
7) z = 2nk (fc 6 Z) — существенно особые точки, z = -кк— -ln(3± \/8~),
fc 6 Z — полюсы первого порядка, z = сю — предельная точка полюсов
и существенно особых точек;

§13. Вычисление вычетов 139
8) z = 2 — существенно особая точка, 2 = 0иг= — г Н—— (к G Z,
6 3
к ф 1, к ф —2) —полюсы первого порядка, г = ± ——устранимые особые
точки, г = irfc (4 £ Z, к ф 0) — полюсы второго порядка, г = сю —
предельная точка полюсов;
9) z = 0 — устранимая особая точка, г = 27г/г (fc 6Z) — полюсы первого
порядка, z = l— существенно особая точка, z — оо — предельная точка
полюсов;
10) z = — — устранимая особая точка, z — — + 2тгк (к G Z) — полюсы
третьего порядка, z = тт — существенно особая точка, z = оо — предельная
точка полюсов.
29. Если z = 0 —устранимая особая точка функции f(z), то g(z) = z.
Если z = 0 — полюс порядка m функции /(г), то g(z) = zm+1.
Если z = 0 — существенно особая точка функции f(z). то указанный
в задаче предел не существует для любой регулярной в круге Вр(0)
функции g(z), если g(z) ф 0.
§ 13. Вычисление вычетов
Справочные сведения
1. Определение вычета
1.1. Вычет в конечной точке. Пусть а € С — изолированная особая
точка однозначного характера функции f(z). Тогда функция /(г)
регулярна в кольце 0 < \z — а\ < р.
Если
7д = {z: \z-a\= R},
где 0 < R < р — положительно ориентированная окружность, то
вычетом функции f(z) в точке а называется число
-fmdz,
7Д
которое обозначается res f(z). Итак,
z=a
tf{z) = h f I{z)dZ- (1)
res
" ч ' 2тгг
\z-a\=R
Символ Я> указывает на то, что обход контура совершается в
положительном направлении (против часовой стрелки).

-140 Глава 3. Ряд Лорана. Особые точки. Вычеты
1.2. Вычет в бесконечно удаленной точке. Пусть функция f(z)
регулярна в области \z\ > р (точка z = оо является либо изолированной
особой точкой однозначного характера, либо точкой регулярности
функции /(-г)). Тогда вычетом функции f(z) в бесконечности называется
число, определяемое формулой
res f(z) = -^ £f(z)dz, 0<p<R, (2)
z=oo 27гг j
где 7д = {z: \z\ = R}— окружность радиуса R, ориентированная по
часовой стрелке (при обходе 7я область \z\ > R остается слева).
Заметим, что если функция f(z) регулярна в точке а ф оо, то
res Hz) = 0, а если функция Hz) регулярна в точке z = оо, то отсюда
z=a
не следует, что ее вычет в бесконечности равен нулю ( res \lz = —1).
\z=oo /
2. Теорема о вычетах. Если функция f(z) регулярна в С, за
исключением конечного числа изолированных особых точек z\, 22, ... , zn, то
сумма всех вычетов функции /(-г), включая и вычет в точке z = 00,
равна нулю, т. е.
Eres f(z) + res f(z) = О,
Z=Zu Z=00
fc=l
откуда
n
res f(z) = -V res f(z). (3)
z=nn ' * 7.—Z1.
Z-Zk
fc=l
3. Вычеты и ряд Лорана
3.1. Если функция f(z) регулярна в проколотой окрестности точки а,
т. е. в кольце 0 < \z — а\ < р, то она представляется в этом кольце рядом
Лорана
оо
/(*)= £ cn(z-ar, (4)
п=—оо
°° с . ■■■■■-■. --.i .-,■•■
где /i(z) = Yl 7—~П\п — главная часть ряда Лорана.
n=i (z ~ а)
Тогда
res/(z) = c_i, (5)
z=a
т. е. вычет функции f(z) в точке а равен коэффициенту ряда Лорана (4)
1
при .
z — а

§13. Вычисление вычетов 141
3.2. Если f(z) = Yl cn,zn — ряд Лорана функции f(z), регулярной
п=—оо
в окрестности точки z = оо (в области |z| > р), то
res /(z) = -ci, (6)
г=оо
т. е. вычет в точке z = оо равен коэффициенту этого ряда при -, взятому
Z
со знаком минус.
4. Формулы для вычета в конечной точке.
4.1. Полюс первого порядка. Если z = а (а ф оо) —полюс первого
порядка (простой полюс) функции f(z), то
res f(z) = lim [(г - a)f(z)] . (7)
г=а г—>а
Пусть f(z) = , где /i(z) и <p(z) — функции, регулярные в точке а,
ip(z)1
причем
tp(a) = 0, if'(a) ф 0.
Тогда
res/(г) = АН (8)
В частности, если f(z) = z — а, т. е.
Hz)
/(*) =
z — а
то
res f(z) = Д(а). (9)
4.2. Полюс порядка m > 1. Если 2 = в (а / оо) — полюс порядка m > 1,
то
J l(m-l)
В частности, если
fe(z
(z-a)
где /i(z) —функция, регулярная в точке, и /i(a) 7^ 0, то
res f(z) = —i— lim [(z - a)mf(z)}^^ . (10)
z=a m — i ! z^a
/(*) = 7T^W> (П)
res/(z) = ?-lT-/l("'-1>(a), (12)
т. е. вычет функции f(z) в точке a равен коэффициенту при (z — a)
ряда Тейлора h(z) = Yl cn{z — а)п.
71 = 0

142 Глава 3. Ряд Лорана. Особые точки. Вычеты
5. Формулы для вычета в бесконечно удаленной точке.
5.1. Если функция /(z) регулярна в точке z — оо, то
res /(z)= lim [z(/(oo)-/(z))]. (13)
z=oo z—»oo
5.2. Пусть z — oo— нуль порядка к функции /(z), тогда
f(z) ~т при 2-*oo, A^O. (14)
Если в асимптотической формуле (14) k = 1, то
/(z) ~ — и тогда res /(z) = —A, (14)
а если к ^ 2, то res /(z) = 0.
z=oo
5.3. Если функция /(z) представлена в виде /(z) = V ( ~ ) > гДе Функция
<р(() регулярна в точке ( = 0, то
res /(z) = -У(0). (15)
Примеры с решениями
Пример 1. Найти res /(z), если:
г=а
1) /(г) = /_+/_г2, а = -1; 2) /(z) = ze1/*2, а = оо;
оЧ ,, . 2cosz-cos3z л. ,, . г3 + 2г2 + Зг
3)/(2) = ^ ' ° = 7Г; 4)/(*)= (.-I)3 > °=1''
5) /(г) = ^5ГГ1)» ° = °; 6) /U) = ег/(1-г)- а = 1 и а = оо;
Д 1) Так как
7)/(z) = zsini±|, tt=l; 8)/(г) = ^-^_ а = оо.
z2-z-2 = (z + l)(z-2),
то /(г) = ^-, где g(z) = -^. По формуле (9), где д(-1) = 2,
находим
res /(г) = </(-1) = 2.
г=—1
2) Функция /(г) представляется в области D = {z: 0 < \z\ < oo}
рядом Лорана
1 °° 1
п=2

§13. Вычисление вычетов 143
в котором коэффициент при - равен 1. По формуле (6) находим
res /О) = -1.
z=oo
3) Точка z = 7г — полюс первого порядка функции f(z), так как
z — 7г — нуль кратности 1 функции sin z. Пусть
h(z) = 2 cos z — cos3 z, (p(z) — sin z.
Тогда по формуле (8), где Н{-к) = — 1, <p'(n) = — 1, находим res f(z) = 1.
Z=1T
4) Точка z = 1 —полюс третьего порядка функции f(z). Пусть
h(z) = z3 + 2z2 + Зг,
тогда по формуле (12), где h"(z) = 6z + 4, h"(l) = 10, находим
res/(,) = qi>=5.
Z = l I
5) Точка z — 0 — полюс второго порядка функции f(z).
Воспользуемся формулой (10)..Найдем
,. , z V ,. e2z-l-2ze2z
lim -^ = lim
"0\e2z-lj z^O (e22-l)2 '
Применяя формулу Тейлора для функции e2z, получаем
e2z - 1 - 2ze2z = -2z2 + ... , {e2z - l)2 = 4г2 + ... ,
1 t( \ l
поэтому искомый предел равен и res j\z) — .
2 z=0 2
z 1
6) Так как = — 1 , то
' 1 -z z-\
/w=«-..«-./<-.. _e-.(1__lI+_i_I+...),
откуда следует, что
res f(z) — —e~ .
z=\
Функция f(z) имеет в С единственную изолированную особую точку
z — 1 и регулярна в области 1 < \z\ < oo. По теореме о вычетах

144 Глава 3. Ряд Лорана. Особые точки. Вычеты
(формула (3))
res f(z) = — res f(z) = e .
2 = 1
7) Положим t = z — 1, тогда
f(z) = (t + l)sm[l + 1)=<p(t)
res f(z) = res <p(z).
2=1 t=0
Найдем коэффициент c_i при - ряда Лорана
(л 2 - • 2
sin 1 •
cos —h cos 1 • sin - =
sin 1 1 =• + ... I + cos II —^ + ...
<p{t) = (t + l)
Отсюда следует, что c_i = 2 cos 1 — 2 sin 1 и res f(z) = 2(cos 1 — sin 1).
2=1
8) Функция f(z) регулярна в области 2 < \z\ < oo, а точка z = oo
является для этой функции нулем кратности 1, причем f(z) ~ - при
z —> оо. Это означает, что коэффициент ряда Лорана функции f(z) в
окрестности точки z = оо равен 1 и поэтому res f(z) = — l. ▲
Пример 2. Найти вычеты функции /(г) во всех ее конечных особых
точках и в бесконечности, если:
sinz
1) /(ж) = тт^; 2) /<*) = -,„;
3) f(z)
z +
-eV*; 4) /0О = ?
(z-тг)'
1 z-1
cos
z + 1
A 1) Нулями функции z4 + 1, т. е. корнями уравнения z4 = — 1,
являются числа Zk = егп+2кж'4, к — 0, 1, 2, 3, и точки Zfc — полюсы первого
порядка функции f(z). По формуле (8) находим
_ ^fc
Zk
-^ I{Z) - АЛ ~ 4 '
где
2=2/с
^0
22 = -20 = ~
1 + »
л/2 '
lj-i
л/2 '
z\ =
г-1
7Г'
z3 = ~z\
1-г

§ 13. Вычисление вычетов 145
По теореме о вычетах
3
res f(z) = - V res f(z) = 0.
2 = OC z—' 2 = 2fc
fc=0
Этот результат также следует из того, что ряд Лорана функции f(z)
в окрестности бесконечности содержит только члены вида С2к%2к
(fcez).
2) Точка z = 0 — полюс второго порядка функции f(z), а точка
z — 7Г — устранимая особая точка этой функции (точка регулярности).
Других особых точек в конечной плоскости у функции f(z) нет. Найдем
коэффициент с_1 ряда Лорана при - функции f(z). Имеем
z
1 /, 22 \ / Z Z2
= 2 1-^Г + --- ! + - + — + •••
7tz у 3! J \ 7Г 7Г
откуда c_i = у и res /(2) = =■.
7Г 2=0 7Г
Далее, res /(2) = 0, a res f(z) = — res f(z) — —*.
2 = 7Г 2 = 0О 2=0 7Г
3) В конечной плоскости функция f(z) имеет две изолированные
особые точки: z = — 1 (полюс первого порядка) и существенно особую
точку z = 0.
По формуле (8) находим res /(2) = —е-1. Для нахождения вычета в
2=—1
бесконечности воспользуемся разложением функции f(z) в ряд Лорана:
\ z z zu ) \ z 2z Qzu
1 1 1
откуда находим, что коэффициент c_i при - равен hi — 1. т. е.
z 6 2
1 1
с_1 = . Поэтому res /(2) = -. По теореме о вычетах
3 2 = ЭС 3
res f(z) = - res f(z) - res /(2) = e"1 - - .
2=0 2= —1 2=00 о
4) В конечной плоскости функция /(z) имеет три особые точки:
z\ = 2 и 22 = —2—полюсы первого порядка, 2 = — 1 — существенно
особая точка.

146 Глава 3. Ряд Лорана. Особые точки. Вычеты
По формуле (9) находим
где
Следовательно,
Аналогично находим
res/(*) = <?(2),
Z=l
qiz) — cos -
yw z + 2 z + 1
i«/(Z) = iooe-.
res f(z) — —- cos3.
z=-i v ' 4
Функция f(z) регулярна в бесконечности и имеет там нуль второго
порядка (f(z) ~ cos 1/z2 при z —> оо). Поэтому res /(г) = 0. По теореме
z=oo
о вычетах
res f(z) = — res f(z) — res /(г) = - ( cos3 — cos -
z=-lJK ' z=2JK ' z=-2 V 4 \ 3
Пример З. Пусть
Pn(z) = anzn + an-\zn~l + ... + a\z + a0,
Qn(z) = Ьпгп + bn-^"-1 + ... + hz + b0,
где an ф 0, bn ^ 0, т. е. Pn(z) и Qn(z)— многочлены степени п.
Р (г)
Найдем res f(z), где f(z) = -р^~т.
А Функция f(z) регулярна в точке z = оо. Для нахождения искомого
вычета воспользуемся формулой (13), где /(оо) = -^-. Тогда
*(/M - /(«)) = Ч — - «. .п ■ ,.—^1П гггт-г- 1 = ¥>(*)
a« _ anzn + an-i^"-1 + ... + a\z + ар
tb„ Ьпгп + Ь„_1гп-1 + ... + Ь1г + Ьо
или
ап + h • • • + — \ , ,
/ *\ ~ l a« z г I o,non-i — onan-i , , ч
*) = г|^ + ^ + ... + ^ —* + ад'
где h(z) —> 0 при z —> оо, откуда
hm <p(z) = Г2 = res f(z). A
•<:•.■.. Z—>00 0„ Z=QO

§13. Вычисление вычетов 147
Задачи
1. Вычислить
sin г
1) res —5-; 2) res е'/г; 3) res- -~:
z=oo z г=ос 2=1 (г — 1)
4) res z2sin—: 5) res ; 6) res ze1^z~1\
Z = 00 Z ' 2 = 7r/4 7Г 2=1
г"4
2. Найти вычеты следующих функций во всех их конечных особых точках:
1 22 Z2 1
г + г3' ' 1 + г4' "' (l + z)d' ' (z2 + iy
1 „л г2п
7) -^—; 8) ctgTrz; 9) thz; 10) cth27rz;
Sin7TZ
И) С08г ■ 12) 1 ■ 13) sin^ ■ 14) _L
j (z-1)2' j e' + l' 1Jj (z-1)3' i4j sina
3. Найти res f{z), если:
СГП?' fl = oc; 2)/(г) = (?Ti)v
*) /(*) = ,.., »2. a = °°; 2) /(*) = , 2, ,ч2 3- a = °;
3)/(z) = sin f i + ДД a = 0; 4) /(г) = z2 cos f i - ij , a = 0;
5) /(2) = г2 sin -^-, a = 1; 6) /(z) = ^—^-^, a = 00.
4. Найти вычеты следующих функций в бесконечности:
. 1
4 О Sin -
Df^; 2)cos^; 3)_L;
cos2 - (z10 + 1) cos i
4) ; 5) —= = ; 6) zcos2—.
' z+1' ' (г5 + 2)(г6-1)' ; z
5. Найти вычеты следующих функций во всех их особых точках и в
бесконечности:
1 ^ 1 + г8 п, l + z10
1} г6(г-2); 2) г6(г + 2); 3) г6(г2 + 4)'
4) It*2",, a^O, n€N;
г (z — о)
5) sin z sin -; 6)
г' -' (г2 + 1)2'
■?\ 1 + г8 , n\ sin г
7) —:—^ cos z en г: 8) —5 т-
; г4(г4+1) ^ (г2 + 1)2
6. Вычислить:
1Л г"-1 -.. „ч sin3z — 3sinz
1) res , _ , п е N; 2) res -—— r;
2=о sin z г=о smz(smz — z)
3) res / tSZ~\2: 4) res^, neN, n^l;
z=0 (1-COS2)2 ' z=0sh"z' ^

148 Глава 3. Ряд Лорана. Особые точки. Вычеты
5) res г" 3 ctg" z, n 6 N, п ф 1; 6) res
г=о" ~'° "' " -■'■'' ' ' i=ochz-l~z2/2'
7. Пусть функция g(z) регулярна в точке z = oo, а функция h(z) имеет
в точке z = оо нуль кратности 1. Доказать, что
res \g(z)h(z)] = —g(oo) lim (zh(z)).
2 = OC 2 —*00
8. Доказать, что для каждой четной функции f(z)
res f(z) = res f(z) = 0
2=0 2 = 00
(в предположении, что написанные вычеты имеют смысл).
9. Доказать, что для четной функции f(z) имеет место равенство
res f{z) = - res f(z),
Z—Z0 2 = —20
а для нечетной функции f(z) —равенство
res f{z) = res f{z),
2 = 20 2= —20
(в предположении, что написанные вычеты имеют смысл).
10. Пусть f(z) = g(az), где а ф 0. Доказать, что
res f{z) = - res g{z).
z=zoa a 2=20
11. Пусть f(z) = zmg(zn), где m и n — целые числа, удовлетворяющие
условиям m ^ О, m < п. Доказать, что
res f{z) = e2<»ri(m+l)/n reg д^
z=zoe2k'"t/n z=2o
12. Пусть функции <^(z) и ф(г) регулярны в конечной точке zq и имеют в ней
нуль порядка т. Доказать формулы:
1)ге8Ш._Ц-«-1-
2=20 \-ф(г) z-z0j -ф(т){го)'
2) res [^z) 1 )- *
2=20 \^(г) (г-г0)2 J m + 1
^(ттг)Ы
y(m+1)(zo) У.(т"+1)(г0)
L ^(т)(го) ^(т)(го)
ч/>(т)Ы
13. Найти res {f(z)ip(z)}, если функция <^(z) регулярна в точке го, а функ-
2=20
ция f(z) имеет в точке zq полюс первого порядка с вычетом А.
14. Найти res ,. , если функция f(z):
2 = 20 f(Z)
1) регулярна в точке zq и имеет там нуль кратности т\
2) имеет в точке zq полюс порядка т.
15. Найти res < <p(z) >, если функция <p(z) регулярна в точке z = zq, а
2=20 (_ f(z) J
функция f(z):
1) регулярна в точке zq и имеет там нуль кратности т;
2) имеет в точке zq полюс порядка т.

§ 13. Вычисление вычетов 149
16. Найти res / (<p(z)), если функция tp(z) регулярна в точке zq и <p'(zq) ф О,
а функция f(z) имеет в точке ip(zo) полюс первого порядка с вычетом А.
17. Пусть функция f(z) регулярна при R < \z\ < ос. a res f(z) = 0. Доказать,
что функция /(г) имеет первообразную, регулярную при R < \z\ < ос.
18. Выяснить, при каких значениях параметров а, Ъ следующие функции
однозначны во всей комплексной плоскости:
l}ja + e^dc. 2) JasinC + bCcosC^. 3) ] "п(С + a& d(.
1 *> 1 *» 1 ^
Ответы
1. 1) 1; 2) -1; 3) е; 4) £; 5) ^; 6) \.
2. 1) 1 при z = 0, — - при 2 = г, — - при г = —г:
2) —— при г = е7™/4, —=■ при г = е-7™/4,
4^2 4V2
_1+* Приг = е3™/4, -i^i при^е"3"/4.
4V2 4^
Зг Зг
3) 1 при z = —1; 4) при 2 = г, — при г = —г;
16 16
о) — - при 2=1. - при г = г, - при 2 = —г;
6) С™"1 при г = 1:
(-1)"
7) — при 2 = п, где п & Z:
8) — при 2 = п, где г; е Z;
9) 1 при 2 = f п + - I 7гг, где n G Z;
10) 0 при 2 = 7ггп, где n£Z;
11) — sin 1 при 2=1;
12) —1 при 2 = (2п + 1)7гг, где n G Z; 13) 0 при 2 = 1;
14) 0 при 2 = 0, —== при 2 = ik^/nn, где /с = 0. 1, 2, 3. п£ N.
2\/ттп ...
3. 1) -1; 2) -^: 3)1; 4)1; 5) | cos 1 - sin l; 6)-^.
4. 1) 0; 2) тг; 3) 0: 4) -1; 5) -1; 6) тт2.
1 1
5. 1) — при 2 = 2: — —■ при 2 = 0; 0 при z = ос;
64 64
257 1
2) —— при z = —2: — — при 2 = 0; —4 при z = ос;
64 64
„, „ „ 1023 . _. 1023 .
6) 0 при 2 = 0и2 = оо; ——— г при z = 2г; —— г при z = —2г;
256 256
4) а™ + а-™ при 2 = 0; —а~™ при z = а; —а" при 2 = ос;

150 Глава 3. Ряд Лорана. Особые точки. Вычеты
5) 0 при z = 0 и z = оо;
6) при z = г; — при г = —г; 0 при z = оо;
4е 4е
7) 0 при z = 0 и z = оо;
_ 1 e7ri(2fc+i)/4(cos У2 + ch л/2) при z = е^2к+1У4, к = О, 1, 2, 3;
8) — — при z = г; — — при г = —г; —- при z = оо;
4е 4е 2е
6. 1)1; 2) 24; 3) |; 4) 0; 5) -1; 6) -1.
§ 14. Вычисление интегралов по замкнутому контуру
Справочные сведения
При вычислении интегралов по замкнутым контурам применяется
следующая теорема.
Теорема Коти о вычетах. Пусть D — область в С с кусочно-гладкой
границей Г, а функция f(z) регулярна в области D за исключением
конечного числа изолированных особых точек a^ G D (к = 1, 2, ... , п)
(к их числу относится и точка z = оо, если оо S D), кроме того,
функция f(z) непрерывна вплоть до границы Г области D. Тогда
J fe^iZ=ak
f(z)dz = 2m'S2 res f(z),
где Г+ — положительно ориентированная относительно области D
кривая Г.
Следствие (теорема о полной сумме вычетов). Пусть
функция f(z) регулярна во всей плоскости С за исключением конечного числа
изолированных особых точек а\, ... , ап. Тогда
Eves f(z) + res f(z) = 0.
z=ak
fc=l
Примеры с решениями
Пример 1. Вычислить интеграл
/= ф^т&.
= f
1*1=4
Л Найдем все конечные особые точки подынтегральной функции f(z).
Это корни уравнения е2 + 1 = 0, т. е. точки Zk = 7гг + 27тгА;, A; S Z.

§14. Вычисление интегралов по замкнутому контуру 151
Из них внутри круга {z: \z\ < 4} лежат только точки zq = ixi
и 2_i = —ixi. Следовательно, по теореме о вычетах
/ = 27гг( res f(z) + res f(z)).
\2=7гг z=—ттг /
Так как точки ±7гг — полюсы первого порядка для функции f(z), то
г=±7гг [е -+- 1)
2=±7гг
4 . ^ _ _Л„Ь
— —7Г
г=±тгг
откуда находим / = 2т{—7г — 7г ) = —Airi
Пример 2. Вычислить интеграл
cosz
1*1=3
А Найдем все особые точки подынтегральной функции f(z). Это корни
уравнения cos z = 1, т. е. точки Zj- — 2ттк, к 6 Z, а также точка 2"= 1.
Из них внутри круга {г: |z| < 3} лежат только точки г = 1 и zq = 0.
Следовательно, по теореме о вычетах
/ = 27гг I res f(z) + res /(г) J .
Так как ~z = 1 — полюс второго порядка для функции f(z), то
res/W = lim (/(*)(, - I)2)' = Вт (j-Ljj)' =
(1 — cosz)
sinl
2 = 1
fl-cosl)2 '
Хотя точка zq = 0 также является полюсом второго порядка
для f(z), но вычет в ней удобнее находить, вычислив коэффициент с-\
ряда Лорана функции f(z) в окрестности точки 0. Так как
1
(1-z)2
1
1 — COS Z
1
\- Z
= 1 + 2г + Зг2 + ... ;
1
2 + 4! 6! +"
?'•
12
+
1 + -
12
то при перемножении этих рядов получим:
7 fc = l
Cfe2fc,

152 Глава 3. Ряд Лорана. Особые точки. Вычеты
откуда c_i = 4. Следовательно,
sinl
res f(z) — c_i = 4, I = 2iri 4 - .„ ,.
z=0JX ' \ (1-COSl)
Замечание. В примерах 1, 2 нельзя использовать при вычислении
интегралов вычет в бесконечности (см. способ 2 примера 3), так как
в этих примерах точка оо является неизолированной особой точкой для
подынтегральных функций.
Пример 3. Вычислить интеграл
f
z2 . 1
1 = & 2_п sin ~ dz.
\z+i\=2
z2 1
А У подынтегральной функции f(z) = —^—- sin - всего четыре особые
точки: zq = О, z\ = 3, 22 = —3, 23 = 00. В соответствии с этим
интеграл / можно вычислить двумя способами.
1 способ.
/ = 2ni res f(z).
z=0
Точка zq = 0 является существенно особой точкой для f(z). Чтобы найти
вычет в точке zo, вычислим коэффициент с-\ ряда Лорана в
окрестности zq — 0. Так как
. 1 _ 1 _ 1 _1 \__
z2 z2 1 z2 Л z2
1 + ^г + ^ +
z2 - 9 9i_f! 9 V 9 92
z2 z4
9 92 93 """ '
то, перемножив полученные ряды, находим
fM = A_^_,_j 1 \ /"_f!_^_£!
J{Z> \z 3! ■ *3 + 5! ■ *5 7!./ + "7\ 9 92 93
г ^31-9 5!-92 + 7!-93 '''У f-* k '
fc=—00
откуда
_ 1 _ 1 1 _ _ 1 1
3!-9 5!-92 7!-93 '" 3! • 32 5! • 34 7! • 36

§14. Вычисление интегралов по замкнутому контуру 153
Так как
. 1 1
sin
1 1
+
то
С_1
3 3 3!-33 5!-35 '" '
sini-i).3 = l-3sini.
. 1ч
Следовательно. / = 2ттг ■ с-\ = 27гг(1 — 3sin
2 способ. По теореме о вычетах для области D = {г: \z + г| > 2}
имеем:
/ = —27гг res /(г) + res /(г) + res /(У
. 2 = 3 2= —3 2 = 0С
Точки ±3 являются полюсами первого порядка для функции /(г) в
области D, найдем вычеты функции в этих точках:
res f(z)
z=±3JV У
(г2-9)'
2г
г=±3
, 3 . 1\ 3 . 1
± - sin ± - = - sm - .
2 V 3 / 2 3
2 = ±3
Точка oo является устранимым нулем первого порядка
функции f(z). причем /(г) ~ - при z —> ос, откуда res f(z) = —1.
Z " 2 = ОС
Следовательно.
/ = — 2ттг ( - sin - + - sin - - 1 J = 2ттг f 1 - 3 sin -
Пример 4. Вычислить интеграл
1 -ch;
23 +47Г22
dz.
2 =7
А Найдем все особые точки подынтегральной функции /(-г), решив
уравнение
г(г2 + 4тт2) - О,
откуда zq = 0, zi = 27гг. гг = —2iri.
Точки ±27гг являются нулями числителя первого порядка
(1 — сп(±27гг) = 0. — sh(±27ri) ф 0), а также нулями знаменателя
первого порядка. Поэтому эти точки являются устранимыми для f(z).
Значит, res /(г) =0.
2=±27гг

154 Глава 3. Ряд Лорана. Особые точки. Вычеты
Точка zq = О является нулем числителя второго порядка (1—chO = О,
— sh 0 = 0, — ch 0 ф 0) и нулем знаменателя первого порядка. Поэтому
эта точка также является устранимой и res f(z) = 0. В итоге по теореме
2=0
о вычетах для круга {z: \z\ < 7} получаем:
/ = 2тгг( res f{z) + res f{z) + res f{z)) = 0. ▲
V 2=0 г=27тг 2=—27гг /
Замечание. Вычисление интеграла в примере 4 вторым способом по
теореме о вычетах для внешности круга было возможно, но более
сложно, чем вычисление первым способом.
Пример 5. Вычислить интеграл
1= f^dz.
1*1=4
А Найдем все конечные особые точки подынтегральной функции f(z).
Это корни уравнения z8 = 1 (восемь полюсов первого порядка на
окружности {z: \z\ = 1}).
Поскольку вне круга {z: \z\ < 4} находится только одна особая точка
zq = оо, то в данном примере удобнее вычислить интеграл с помощью
вычета функции f(z) в точке z = оо.
Заметим, что f(z) — четная функция и ее ряд Лорана в окрестности
точки z = оо содержит только четные степени z. Поэтому коэффициент
этого ряда при - равен нулю и res f(z) — 0.
2 2=0О
Следовательно, / = —27гг res f(z) = 0. ▲
2=0О
Пример 6. Вычислить интеграл
dz
I
= $
е2Д _ е1/« •
2| = 1
Л Найдем все конечные особые точки подынтегральной функции f(z),
решив уравнение е2/г = е1/2 или е1/2 = 1, откуда - = 2irik, k G Z,
z
к ф 0, т. е.
zk = ^-k, keZ, кфО.
Кроме того, особой является точка г$ = 0 — предельная точка
полюсов Zfc.

§14. Вычисление интегралов по замкнутому контуру 155
Следовательно, теорему о вычетах можно использовать только для
области D = {г: |г| > 1}, в которой лежит лишь одна особая точка
z = оо. Учитывая, что
4) f{z)dz,
|г| = 1
получаем / = —2-7гг res /(г).
z=oo
Для данной функции /(г) точка г = оо —полюс первого порядка
и поэтому ее ряд Лорана в окрестности оо имеет вид
/(г) = Аг + Б + ^ + ^ + ... .
z zA
Пусть tp(z) =/(-),
тогда
^4
ip{z) = - + B + C-iz + ... .
Для нахождения с—\ нужно найти коэффициент при z ряда Лорана
функции <p(z) в окрестности точки z = 0. В данном примере
e~~z 1 Д г2 \ Д z г2 N
1 Д г2 \(Лг z2
= l(1-Z+T + -J(1-2 + i2+-
Нужно найти коэффициент при г в произведении выражений
„ 1 1 1 13
в скобках. Он равен — -\ (- - = — •
1. Zt £ & J. Lj
Итак, c_i = — и res /(г) = - —.
IZ z=oc iZ
Тогда
'=-4-Ю-
Пример 7. Вычислить интеграл
2тг
J a + sm y>
0
Л Пусть г = ег1р, (р £ [0; 27г], тогда
е*у _ e-iv 1
^ 2г 2г
dz = ie%4>d<p — iz dip,
137гг
6
а > 1.
(z-1-)
V *)'
, dz
dip = —
iz

156 Глава 3. Ряд Лорана. Особые точки. Вычеты
Интеграл / сводится к интегралу по замкнутому контуру
{г:|г| = 1}:
2dz
$,.(.^4. 4\~f
и лгг[а+—[z
Nl=1 V 2г V z
z + 2iaz — 1
1*1=1
Найдем все особые точки подынтегральной функции f(z), решив
уравнение
z2 + 2iaz -1 = 0.
Так как D = -4а2 + 4 = 4(1 - а2), то
—2га ± 2г\/а2 - 1 ., Г~о 7ч
Zl,2 = 2 = _г^а Т ^ ~ 1)'
Внутри круга {z: \z\ < 1} лежит только одна особая точка
z\ — i{ya2 — 1 — а).
Точка z\ — полюс первого порядка для f(z). Поэтому
™1 № ~ (z2 + 2iaz - 1)'
I = 2ттг res /
2тг
2z + 2аг
1
iVat^l'
=zi у/а2 — 1
Задачи
1. Вычислить интегралы от рациональных функций:
\z\ = l
\z\=2
3) f-£? 4) ^
|г|=2
|г|=3
{z-iy
dz
z2+z + l'
5) £
z2 + z - 2
dz; 6) Ф
dz
|z|=3 |z+i|=2
2. Вычислить интегралы:
7Г
z2(z-7z + 12)
1) £
|z|=3
г + 2г
dz;
2) <£
N1=4
5i/(*-i)
z-2
dz;
*3pV*
3) Ф 2 ^i 4) Ф z2 sin dz;
N-4 =i
N1=2
5)i *
1 5i
cos ■
Nl=i
+ 3z 6z + Ы
dz; 6) f -K-e^l^-^dz
z|=2

§ 14. Вычисление интегралов по замкнутому контуру 157
|z|=3/2 *■ 7 |г|=5/2
; -Г „г2+ 9 г-2 ' >Ye»+i
\z — i\ = S \z =b
|г|=3 v 7 v 7 |z|=2
13) £ Зг + 1т dz; 14) £ - г(Ь
./г , 1/2*'
11 = 1 1 -Sin-— |г|=4 ^
15) # -^ ^; 16) #
zdz
г =2
z(l + z ) , J , cos г — спг
|*-f(l-i)|=7r
1 г
(г — г) sin — (z + 1) cos -
!7) <£ — #- rfz; 18) <£ -^- dz:
; J (z- Зг J w - ^
г =1
=1 (2i-«r
z + - 2(2 + Зг) ch -!-
!9) <£ -7 7^ г" dz= 20) <£ -3 5-^" ^:
|z| = l/2 f2sin^-l) |г+г|=3/2 Z +iU2 +У
1
z
3
z + i , .. r zdz
21) <£ V^ ^ 22) # ^^И ^
M=i е U-f 1=3 tgz-
23) £ Z + l 1 rfs; 24) £ -
|z+i-i|=2 (z — г) sh " '
3z)(l + cos3z)
3. Сделав соответствующую замену переменной, свести данный интеграл к
интегралу по замкнутому контуру в С и вычислить его:
2г^^ 2) J , ^ N2 (а>Ь>0):
' J o + cosip v -i a + bcosu})2 K '■
2z
_ ,-cosip ' J (a + bcosip)
27Г 27Г
3) Г dV 2 ,?■ 4) [ecos,ficos(rup-simp) dip, n e Z.
g (a + bcos y>)
0
В задачах 4-6 предполагается, что при движении по границе Г
области D в направлении интегрирования сама область D остается слева.
4. Доказать, что интеграл
;■
е
г^т dz,
взятый по границе Г полуплоскости {z: Im z > 0}. равен сумме вычетов
подынтегральной функции в этой полуплоскости, и найти его значение.

158 Глава 3. Ряд Лорана. Особые точки. Вычеты
Указание. Применить теорему о вычетах к интегралу, взятому по
границе полукруга {z: Ьпг > 0, \z\ < R}, а затем перейти к пределу
при R —► оо.
5. Убедиться в применимости теоремы о вычетах к следующим интегралам,
взятым по границам Г бесконечных областей D, и вычислить эти
интегралы:
!) ('Ч— dz {D = {z: Rez>0});
•£ z -1
2>/i^^ (D={2:-l<Im'<j})
3>/(^T?e"'"^(D={2:-?<arg2<5})-
6. Убедиться, что к интегралам, взятым по границам Г указанных
областей D теорема о вычетах неприменима:
l)I = je-z2dz {D = {z: Im z > 0});
г
2)J = /-^dz (D = {z:Jmz>0}).
7. Пусть функции f(z) и g(z) регулярны в замыкании D конечной области D,
причем функция f(z) имеет в области D нули а\, ... , ап (каждый нуль
пишется столько раз, каков его порядок) и не имеет других нулей ни
в области D, ни на ее границе Г. Доказать, что
f
g(z)^dz = 2mJ29(ak).
f(z)
г fc=1
8. Пусть функция f(z) задачи 7 имеет в области D еще и полюсы Ь\, ... , bm
(каждый полюс также пишется столько раз, каков его порядок). Доказать,
что
га m
^(z)^j4 dz = 2iri^2g(ak) - 2TTiJ2g(bk).
f
/(*)
9. Пусть функция f(z) регулярна в замыкании D конечной области D
с границей Г, а точки а\, ... , ап лежат в области D и попарно различны.
Обозначим
P(z) -{z~a{)...{z- an)
г
Доказать, что функция Ф(г) аналитически продолжается на всю
плоскость и представляет собой многочлен степени п — 1, удовлетворяющий

§15. Принцип аргумента. Теорема Руте 159
условиям
$(ak) = f(ak) (к = 1, 2, ... , п).
(Многочлен Ф(г) называется интерполяционным многочленом Лагранжа.
10. Доказать формулу
Ь^1{^'±{1)
2n+l
2ni J ^ V2/ n!(n + l)!
|*|=i n=0
Ответы
77Г7
1. 1) 2rri; 2) 0; 3) 0; 4) 0; 5) -lOrri; 6) ^-.
2. 1) 4тг; 2) 2i; 3) тг^е"1 - 3); 4) - ^ m; 5)^(l-cosl)
О О
6) 2тг(1-е2); 7) 0; 8) 27ri(10cosl +7sin 1 - 9sin3);
9-f 6i\ ,„4.3.. 1lN _, /" 1
3.
9) тгг 2chl-ch^-^ ; 10) 5тт3г; 11) ттг —5 1
\ 13 J \sh 1
12)7rri; 13) Щр 14)^; 15) 2ттг(1 - e"1); 16) 2ттг(1 - e"1)
17) 2m I sin - - - cos - J; 18) 2ni I 1 — cos — sin -
19'2"(^-!-l); »)^(lcoSI-cosl);
21>2"(sfH> 22'1^ 23»-^ 24»-#
, 2тт . тг(2а + 6)
' v^^T ' а3/2(а + 63/2)'
3) (aa !^)3/2 ; 4) 7 = ° ПРИ " < °; I = S ПРИ " ^ °'
4. -—. 5. 1) ^; 2) тг; 3) 0.
e e
§ 15. Принцип аргумента. Теорема Руше
Справочные сведения
1. Принцип аргумента
Теорема. Пусть D — ограниченная односвязная область в С с кусочно-
гладкой положительно ориентированной границей Г, и пусть
функция f(z) регулярна в D = D U Г, за исключением конечного числа
полюсов, принадлежащих области D, кроме того f(z) ф 0 для любого

160 Глава 3. Ряд Лорана. Особые точки. Вычеты
z £ Г. Тогда приращение аргумента функции f(z) вдоль кривой Г
удовлетворяет равенству
Дгагё/(,г) = 27г(ЛГ-Р), ,
где N и Р соответственно число нулей и число полюсов функции f(z)
в области D с учетом их порядков.
Замечание 1. Определение понятия «приращение аргумента функции
вдоль кривой» и его свойства см. в § 16.
Замечание 2. Регулярность в замыкании D области D предполагает,
что функция f(z) регулярна в некоторой области G, такой, что D С G.
2. Из принципа аргумента следует
Теорема Руше. Пусть D С С — ограниченная односвязная область
с кусочно-гладкой границей Г, а функции f(z) и g(z) регулярны в D,
причем
I/C0I > Ш\
для всех z G Г. Тогда функция f(z) и функция h(z) = f(z) + g(z) имеют
в D одинаковое число нулей с учетом их порядков.
3. Основная теорема алгебры. Алгебраический многочлен
Pn(z) = anzn + ... + a\z + a0
степени n G N с комплексными коэффициентами (an ф 0) имеет в С
ровно п нулей с учетом их порядков.
Примеры с решениями
Пример 1. Для многочлена Рь{%) = 25 + 5г + 1 определить число нулей
с учетом их порядков в следующих областях:
а) Di = {z: \z\ < 1};
б) D2 = {z: К \z\ <2};
в) Ds = {z: \z\ >2}.
Д а) Положим ,
/!(z) = 5z + l, gi(z) = z5.
Тогда, если \z\ = 1, то
\9l(z)\ = 1, \h(z)\ = |5z + 1| > |5z| -1=4,
т.е. \h(z)\ > \gx(z)\ при \z\ = 1. (1)
Тогда по теореме Руше, примененной к области D\ и
функциям /i и д\, получаем, что Рь{%) — fi(z) +g\{z) имеет в D\ столько же
нулей, сколько fi(z) = 52 + 1, т. е. один.

§ 15. Принцип аргумента. Теорема Руше 161
б) Выберем /2(2) = z5, g2(z) = bz + 1. Тогда, если \z\ = 2, то
|/2(г)| - 32, |52(г)| = |5г + 1| ^ |5г| + 1 = 6,
т.е. |/2(z)| > \g2{z)\.
Тогда по теореме Руше, примененной к области D2 = {z: \z\ < 2}
и функциям /2 и 52; получаем, что Рь(г) = f2{z) + g2(z) имеет в D2
столько же нулей, сколько f2(z) = z5, т. е. пять.
Но
D2 = D2UTUD1, где Г = {г: |г| = 1}.
В области D\ (см. п. а)) функция P§(z) имеет один нуль. Если \z\ = 1,
то
\P5(z)\ = \h(z)+gi(z)\ > |/i(z)| - |51(г)| > О,
согласно (1), т. е. на окружности Г у P'0{z) нулей нет. Следовательно,
в D2 многочлен Ps(z) имеет 4 нуля.
в) Согласно основной теореме алгебры P^{z) имеет в С пять нулей.
Выше (п.б)) было показано, что все они лежат в D2. Следовательно,
в области Di нулей нет. ▲
Пример 2. Определить число корней уравнения
z + А - ez = О
в полуплоскости D = {z: Re z < 0}, если A S М., А > 1.
Л Для каждого R > 0 рассмотрим полукруг
D(R) = {z: Rez < 0, \z\ < R}.
Его граница T(R) состоит из отрезка I(R) = [—iR, iR] и полуокружности
C(R) = {z:z = Reilo, \ < ц> < Ц }.
Пусть f(z) — z + A, g(z) — —ez. Если z S I(R), то 2 = iy, где
—R ^ у ^ R, следовательно
|/(iy)| = |A + zy| = ^А2 + У2^А>1,
|5(гу)| = |е^| = 1,
откуда \f(z)\ > \g(z)\ для z € I(R)-

162 Глава 3. Ряд Лорана. Особые точки. Вычеты
Если z 6 C(R), то \z\ = R, поэтому
|/(z)| = |z + A|^|z|-A = JJ-A.
Выберем R > А + 1, тогда
\g(z)\ = \е^У\ = \е*\ < 1,
так как ж < 0 для z 6 C(R). Таким образом,
для z 6 C(R) при R > А + 1.
По теореме Руше для каждого R > А + 1 в области D(R)
функция h(z) = z + А — ez имеет столько же нулей, сколько функция
f(z) = z+X, т. е. ровно один нуль. Так как D — \J D(R), то в области D
Я>о
функция h(z) также имеет ровно один нуль.
Замечание. Единственный нуль zq функции h(z) в D лежит на оси R.
Действительно, для ж 6 R функция /г(ж) = ж+А—ех непрерывна, причем
h(0) = А - 1 > 0, lim h(x) = -оо.
X—У — ОО
Поэтому по теореме о промежуточном значении непрерывная
функция /г(ж) имеет хотя бы один нуль zq на интервале (—оо;0), т.е.
zq 6 (—оо;0). А
Задачи
1. Найти число корней уравнений в областях, указанных в скобках:
1)24-32+1=0 {{z: \z\ <1});
2) 224-52 + 2 = 0 ({г: \z\ < 1});
3)27-524 + 22-2 = 0 ({г:|г|<1});
4) 28-425+z2-l = 0 ({г:|г|<1});
5) г3- 122 + 2 = 0 ({г: \z\ <2});
6) 24 -92+ 1=0 {{z: \z\ <2});
7) г6- 62+10 = 0 ({г: |г| > 1});
8) 24 + 23-4z+l=0 ({2: 1<|2| <2});
9) 25 + 22 + 32 + 1 = 0 ({z: \z\ < 1});
10) 26 + З24 + 223 + 1 = 0 ({2: |г| < 2}).
2. Доказать, что при любом комплексном значении а и при целом п > 2
уравнение 1 + 2 + а2п = 0 имеет хотя бы один корень в круге {z: \z\ < 2}.
Указание. Помимо теоремы Руше воспользоваться формулами Виета
(при достаточно больших значениях |а|).

§ 15. Принцип аргумента. Теорема Руше 163
3. Доказать, что при Л > 1 уравнение
zex'z = 1
имеет в круге {z: \z\ ^ 1} ровно один корень (и к тому же
действительный).
4. Доказать, что при Л > 1 уравнение
z = \-e'z
имеет в полуплоскости {z: Re г ^ 0} ровно один корень (и к тому же
действительный).
5. Доказать, что уравнение
az3 - 2 + 6 = e~z(z + 2)
при a > 0, Ь > 0 не имеет корней в полуплоскости {z: Re г > 0}.
6. Пусть функция f(z) регулярна в круге {z: \z\ < 1}. Доказать, что
существует такое число р > 0, что для всех w из круга {w: \w\ < р] уравнение
z = wf(z) имеет в круге {z: \z\ < 1} ровно один корень.
7. Пусть функция f(z) регулярна в круге {z: \z\ < 1} и /(0) ф 0.
Доказать, что существует такое число р > 0, что для всех w из кольца
{w: 0 < |го| < р] уравнение zm = wf(z) имеет в круге {z: \z\ < 1} ровно m
различных корней.
8. Доказать, что уравнение 2 sin 2 = 1 имеет только действительные корни.
Указание. Найти число действительных корней этого уравнения на
отрезке
и сравнить его с числом всех корней этого уравнения в круге
|*:|*|<(n+ij7r|.
9. Доказать, что уравнение tg z = z имеет только действительные корни.
10. Определить число корней многочлена
Р5(г) = z5 - Ш2 + 14
в правой полуплоскости D = {z: Re 2 > 0}.
11. В каких четвертях находятся корни уравнения z4 + z3 + 4z2 + 2z + 3 — 0?
12. Доказать, что если функция f(z) регулярна в области D и для каждой
точки z из D найдется такое п, что f^n\z) = 0, то f(z) — многочлен.
13. Пусть функции f(z) и F{z) регулярны в ограниченной области D и
непрерывны вплоть до ее границы Г, на которой функция Im i} не
обращается в нуль. Доказать, что число нулей в области D у функций F(z)
и F{z) + f(z) одинаково.

164 Глава 3. Ряд Лорана. Особые точки. Вычеты
14. Пусть функция f(z) регулярна в ограниченной области D, за исключением
конечного числа полюсов, и непрерывна вплоть до ее границы Г (за
исключением тех же полюсов). Обозначим
М = max|/(z)|.
Доказать, что для каждого комплексного значения а, удовлетворяющего
условию |а| > М, число нулей функции f(z) — а в области D равно числу
ее полюсов в этой области.
15. Пусть функция f(z) регулярна в ограниченной области D, за
исключением конечного числа полюсов, и непрерывна вплоть до ее границы (за
исключением тех же полюсов). Доказать, что если функция Im/(z) не
обращается в нуль на границе области D, то число нулей функции f(z)
в области D равно числу ее полюсов в этой области.
Ответы
1. 1) 1 корень; 2) 2 корня; 3) 4 корня; 4) 5 корней;
5) 1 корень; 6) 1 корень; 7) 6 корней; 8) 3 корня;
9) 1 корень; 10) 6 корней.
10. 2 корня.
11. В первой и четвертой четверти корней нет, во второй и третьей четверти
два корня.

Многозначные аналитические
функции
§ 16. Приращение аргумента функции
вдоль кривой
Справочные сведения
1. Выделение непрерывно дифференцируемой ветви
аргумента функции действительного переменного. Пусть на
отрезке [0,1] задана комплекснозначная функция z(t), t G [0,1], такая,
что z(t) ф 0 при всех t G [0,1] и z(t) непрерывно дифференцируема
на [0,1]; это обозначается так:
z{-)eCx[Q,l\.
Пусть щ G Argz(0). Тогда существует непрерывно дифференцируемая
действительная функция <p(t) на [0,1], такая, что
ip(Q) — щ, ip(t) G Argz(t) при всех t G [0,1].
Эта функция единственна и вычисляется по формуле
t
о
2. Приращение аргумента функции действительного
переменного. Приращением аргумента непрерывно дифференцируемой
функции z(t) на отрезке [0,1] (при условии z(t) ф 0 Vt G [0,1]) называется
число
A[0,i]argz(t) = Im
о
Приращениелг аргумента непрерывной функции z(t) на отрезке [0.1]
(при условии z(t) ф 0 Mt G [0,1]) называется число
Д[0д] argz(t) = А [од] arg2e(i),
где z£{-) — любая гладкая е-аппроксимация функции %\) при достаточно
малом значении е > 0, причем такая, что
г(0) = z£(0). z(l) = z£(l).
Г
z'(r)
z(r)
dr.

166 Глава 4. Многозначные аналитические функции
3. Приращение аргумента z вдоль кривой, не проходящей
через точку 2 = 0. Приращение аргумента z вдоль ориентированной
непрерывной кривой •у, заданной параметрически с помощью
непрерывной функции z(t), t G [0,1], такой, что 0 ^ 7> называется число
A7argz = A[0ii]argz(i),
4. Приращение аргумента функции вдоль кривой. Пусть в
области G С С заданы регулярная функция f(z) и ориентированная
кусочно-гладкая кривая 7 С G такие, что f(z) ф 0 при всех z G 7-
Пусть Г = /(7) — образ кривой 7 ПРИ отображении /. Тогда
приращением аргумента функции f вдоль кривой 7 называется число
A7arg/(z) = Arargw = A[0>1]argty(i),
где w(t) = f{z(t)) при i e [0,1], a z(t) есть некоторая кусочно-гладкая
параметризация кривой 7- Определенное выше понятие не зависит от
выбора параметризации кривой 7-
5. Логарифмическое свойство приращения аргумента
функции вдоль кривой. Если функции /х, /г и кривая 7 удовлетворяют
условиям приведенного выше определения, то справедливо равенство
(называемое логарифмическим свойством)
A7arg(/!(2) • f2(z)) = A7arg./i(z) + A7arg/2(2). (1)
Замечание. Геометрический смысл приведенных понятий достаточно
очевиден. Так, например, геометрический смысл приращения аргумента
функции z: [0,1] —» С на отрезке [0,1] означает угол поворота вектора z
на плоскости С от начального состояния z(0) в конечное состояние z(l)
при движении по кривой z(t) (см. рис. 16.1).

§16. Приращение аргумента функции вдоль кривой 167
6. Свойство устойчивости при непрерывной деформации.
Пусть в области G С С даны две ориентированные кривые 7а и 7ь- Пусть
эти кривые можно дополнить до некоторого семейства ориентированных
кривых {7а} С G, a G [a,b], которое допускает параметрическое
задание одной функцией z(t,a), t G [0,1], a G [a,b], дифференцируемой
no t и такой, что функции
z: [0,1] x[a,b]-*C и
z't: [0,1] х[а,Ь]-С
непрерывны. Пусть z(t,a) ф 0 при любых t G [0,1], а G [а, Ь] и
существует число A G С, А т^ 0, такое, что справедливо равенство
z(l,a) = Л ■ z(0,a)
при всех a G [а, Ь]. Тогда функция 1(a) = А7а arg г является постоянной,
в частности справедливо равенство
А7а arg z = А7ь arg z.
Примеры с решениями
Пример. Найти приращение аргумента функции f(z) — г3(г + 1) вдоль
кривой 7, заданной параметрически:
7Г
z = z(t) = cos t + i sin t, t G
°-2
чальной точки z(0) = 1 до конечной точки z( — ) = г, т. е. А7 arg z — —.
Л По логарифмическому свойству (1) получаем, что
А7 arg f(z) = ЗА7 arg z + А7 arg(z + 1).
Из геометрических соображений приращение А7 arg z равняется
углу поворота вектора z, когда вектор z пробегает по кривой 7 от на-
-I =г, т. е. A7arg£ = -.
В свою очередь А7 arg(z + 1) равняется углу поворота вектора
(z + 1) при пробегании вектором z кривой 7, чт0 очевидно совпадает
с углом поворота вектора С (начало которого есть точка —1, а конец
принадлежит кривой 7), который пробегает по кривой 7 от начальной
7Г
ее точки до конечной. Очевидно, что в нашем случае Д7 arg(z + 1) = —
(см. рис. 16.2). В итоге получаем, что
A7arg/(z) = 3- \ + \ = l^-

168 Глава 4. Многозначные аналитические функции
Рис. 16.2
Задачи
1. Найти приращение аргумента функции z(-) € С1 [0,1] на отрезке [0,1],
заданной в виде z[t) = x[t) + iy{t), где
x{t)=4cos(jtj -3, y{t) = 3sm(^t\
2. Найти приращение аргумента функции z(-) € С1 [0,1] на отрезке [0,1],
заданной в виде z(t) = x(t) + iy(t), где
x(t) = (2 + t) sin47rt, y(t) = (1 +1) cos47rt + - .
3. Вычислить приращение аргумента функции z2 +1 вдоль ориентированной
кривой 7, заданной в виде z(t) = x(t) + iy(t), где
x(t) = 5cost, y{t) = 2sint, (S
0,
4. Вычислить приращение аргумента функции -=
z + 2z
ной кривой 7, заданной в виде z(t) = x{t) + iy(t), где
вдоль ориентирован-
c(t) = 3sint, y(t) = 2cost, (€
0,
5. Вычислить приращение аргумента функции -=
г — 4
вдоль
ориентированной кривой 7, заданной в виде z[t) = x(t) + iy(t), где
'■к 3
x[t) = cost, y{t) = 2sint, (€
2 ' 2
• 7Г
6. Вычислить приращение аргумента функции -=— вдоль ориентированной
замкнутой кривой, задаваемой уравнением
А ^1/2 + |у|1/2 = 21/2)
при однократном ее обходе против часовой стрелки.

§ 17. Выделение регулярных ветвей 169
7. Вычислить приращение аргумента функции вдоль ориентированной
замкнутой кривой, задаваемой уравнением \х\ + \у\ = 3, при однократном
ее обходе по часовой стрелке.
8. Доказать равенство
Д7 argz = Д7 arg(z — 1)
для любой простой кусочно-гладкой замкнутой кривой 'у, содержащей
в области, ограниченной кривой 7? отрезок [0,1].
Ответы
1. -тг; 2. 2тг; 3. тг: 4. - - тг; 5. 2тг; 6. -4тг; 7. бтг.
4 ' 4
§ 17. Выделение регулярных ветвей
Справочные сведения
1. Понятие ветви. Пусть каждой точке z области G расширенной
комплексной плоскости С поставлено в соответствие множество F{z)
из С. Данное соответствие F: G —> 2 называется многозначной
функцией. Если существует непрерывная (или регулярная) функция
f'. G —> С, удовлетворяющая условию /(г) € -F(z) Vz € G, то
говорят, что многозначная функция F допускает выделение непрерывной
(регулярной) ветви в области G, а функция /: G —-> С называется
непрерывной {регулярной) ветвью многозначной функции F: G —* 2е.
2. Примеры многозначных функций, определенных на С\{0}
1) Argz = {</?() + 27г/с | к € Z}, где 2 = х + гу и <р$ — любое решение
системы х
cos (f0 = — , sin (po = — ;
2) Lnz = In |z| + г Argz;
3) {^} = n^ed/n)Argz.
4) {za} = eaLnz, где о€ С
Пусть функция /: G —► С регулярна в области G и /(г) ^ О Vz € G.
Тогда получаем многозначные функции на G:
5) Ln/(z) = ln|/(z)|+?-Arg/(z):
6) {у/7Щ} = \/\f{z)\el/nArsf(^]
7) {№))°} = еаЬпНг\ где а е С.

170 Глава, 4. Многозначные аналитические функции
3. Необходимые и достаточные условия существования ветвей.
Если функция /: G —► С регулярна и f(z) ^ О, Vz € G, то для
существования в области G
1) регулярных ветвей многозначной функции Ln/(z) необходимо
и достаточно, чтобы для любой простой замкнутой кусочно-
гладкой кривой 7 С G выполнялось условие A^arg f(z) = 0;
2) регулярных ветвей многозначной функции {\//(z)} необходимо
и достаточно, чтобы для любой простой замкнутой кусочно-
гладкой кривой -у С G существовало целое число к("у) такое, что
A^arg f(z) = 2тгп • fc(7).
Задачи
1. Доказать, что существует единственная функция h{z), непрерывная на
всей комплексной плоскости с разрезом по положительной части
действительной оси и удовлетворяющая условиям:
h(z) €Lnz, h(— 1) = 7ri.
Доказать, что эта функция регулярна в области ее определения.
2. Пусть функция /: G —» С регулярна в области G и /(г) ^0 Vz e G.
Пусть функция h: G —► С есть непрерывная ветвь многозначной функции
Ln/(z). Доказать, что ft является регулярной функцией.
3. Существуют ли регулярные ветви в области С\[—1,1] у многозначной
функции Ln(z2 + г)?
4. Существуют ли регулярные ветви в области С\[—1,1] у многозначной
функции {s/z2 — z}?
5. Существуют ли регулярные ветви в области G = {z: \z\ > 2} у
многозначной функции {y/z — 1}?
6. Существуют ли регулярные ветви в области G = {z: \z\ > 2} у многознач-
z2-l
ной функции Ln -j ?
7. Существуют ли регулярные ветви в области G = С\[—г,г] у многозначной
функции {v^l + г2}?
8. Существуют ли регулярные ветви в области G = С\[0, +оо) у
многозначной функции {zz}?
9. Доказать, что следующие многозначные функции допускают выделение
регулярных ветвей в областях G, указанных в скобках:
1) {УП^Ьпг}, G = C\([-oo,-l]U[0,+oo));
2) {(z2 + l)2}, G = C\((-»oo,-*)U[»,+*oo));
3) Ln(z2-l)Lnz, G = C\[-l,+oo);
4) {(z2-l)^}, G = {z:ImO0}.

§ 17. Выделение регулярных ветвей 171
10. Пусть функция f(z) регулярна в области G и удовлетворяет там условию
Ref(z) > 0. Доказать, что следующие многозначные функции допускают
выделение регулярных ветвей в области G:
l + if(z)
1) {</7WTI}; 2) Ln^
if{z)
11. Пусть функция f(z) регулярна в области G и не принимает там значений,
лежащих на луче [а, +оо], где о еМ. Доказать, что многозначная
функция U/a — f(z) \ допускает выделение регулярных ветвей в области G,
причем существует единственная ветвь <p(z), удовлетворяющая условию
Reip(z) > О (z e G).
12. Пусть функция f(z) регулярна в области G и не принимает значений,
лежащих на кривой 7, идущей из точки z — 0 в точку z = 00, оставаясь
в левой полуплоскости. Доказать, что многозначная функция hnf(z)
допускает выделение регулярных ветвей в области G, и существует такая
ветвь ip(z), для которой справедливо неравенство
|Im^)|<^ (zeG).
13. Доказать, что следующие многозначные функции допускают выделение
регулярных ветвей в областях G, указываемых в скобках:
1) {Ln^ + vTTz5)} (G={z: Rez>0});
2) Wz + y/z} (G = {z:lmz>0});
3) {Ln(i2 + \/I^2)} (G = C\((-oo,-l]U[l,+oc)));
4) {Ln(^+V^I)} (G = C\((-oc,0]U[l,+oo)));
5) h/Lnz} (G= {z: Imz> 0}).
14. Доказать, что многозначная функция
{y/(z - ai)(z -bi)---(z- an)(z - bn) }
допускает выделение регулярных ветвей во всей комплексной
плоскости с разрезами по непересекающимся прямолинейным отрезкам [<ifc,bfc],
к = 1,2,... .п.
15. Доказать, что следующие многозначные функции допускают выделение
регулярных ветвей в указываемых областях:
22 _|_ 2z + 2
1) Ln -J (плоскость С с разрезами по отрезкам, изображенным
на рис. 17.1);
2) {\/l — zA } (плоскость С с разрезами по отрезкам, изображенным на
рис. 17.2);
3) [\/4:Z + z5 } (плоскость С с разрезами по отрезкам, изображенным
на рис. 17.3);

172 Глава 4. Многозначные аналитические функции
-1+1 1+/
-1-j 1-1
Рис. 17.1
Рис. 17.2
\-1+!
Чо
1+1
-1-1 1-1
Рис. 17.3
4) {v^bl} (G={zGC:z^[27rfc;7r(2fc + l)], Vfc = 0,±1,±2,...});
5) {Lntg-г
>н
z£C: z£
irk;irk + -
, Vfc = 0,±l,±2,...}\
6)
jVia^yLn^l (G={*€C:z£[0,l]}).
§ 18. Вычисление значений регулярных ветвей
многозначных функций.
Ряды Лорана для регулярных ветвей.
Справочные сведения
Если многозначная функция допускает выделение регулярной ветви
в области G, то таких ветвей, как правило, больше одной. Для
выделения из всего множества регулярных ветвей одной определенной ветви
нужно еще какое-либо дополнительное условие. Обычно таким условием
является задание значения ветви в некоторой точке области G.
1. Значения на одной регулярной ветви. Допустим, что в
области G задана регулярная функция f(z), такая, что f(z) ^ 0 при
любом z G G. Пусть существуют в области G регулярные ветви
h(z) G Ln/(z) и g(z) G {^//(z)} (условия существования таких ветвей
содержатся в справочных сведениях предыдущего параграфа). Тогда
для любых точек о, Ь G G справедливы выражения
f(b)
h(b) = h(a) + In
9(b) = 9(a)-i
№
Да)
+ *Д7аЬаГё/(2)>
е(г/п)Д7аЬагё/(г)
(1)
(2)
где 7аЬ — произвольная, лежащая в области G кусочно-гладкая
ориентированная кривая с началом в точке а и концом в точке Ь.

§ 18. Ряды Лорана для регулярных ветвей 173
2. Производная регулярной ветви. Производные регулярных
ветвей h(z) € Ln/(z) и g(z) € {y/f(z)} B области G вычисляются по
формулам
3. Ряды Тейлора и Лорана регулярных ветвей. В соответствии
с общими свойствами регулярных функций регулярные ветви
многозначных функций могут быть представлены в виде рядов Тейлора
и Лорана.
Примеры с решениями
Пример 1. Пусть hk(z) — регулярная ветвь многозначной функции
Ln(l + z) в области G = {z: \z\ < 1}, такая, что hk(0) = 2ттгк. Разложить
функцию hk(z) в ряд Тейлора по степеням z в области G.
А По формуле (3) получаем, что h'k(z) = - . Отсюда легко вычис-
1 -*f~ Z
лить и остальные производные:
h"(z) - -1 h^(z) - (^Г-Чп-1)1
Вычисляя коэффициенты сп ряда Тейлора по формуле сп = —^—.—,
получаем искомый ряд
"^ (-1)
тг=1
hk(z) = hk(0) + J2{ \ N<1- (4)
Пример 2. Пусть а € С, а ф 0, и щ{г) —регулярная ветвь
многозначной функции {(1 + z)a} в области G = {z: \z\ < 1}, такая, что
<Рк{и) = е
Разложить каждую функцию <pk(z) в ряд Тейлора по степеням z в
области G.
А По определению многозначной функции
{(1 + zf} = eaLn(l+z)
существует регулярная ветвь hk(z) € Ln(l + z) в области G, такая, что
ifk(z)=eah^z\ hk(0)=2mk.

174 Глава 4. Многозначные аналитические функции
Дифференцируя сложную функцию, получаем
/ / \ / \ a ■ (п) / \ , , а(а - 1)... (а - п + 1)
<Pk(z) = <Pk{*)Y^> •••' <Pk (z) = <Pk(*)- (1 + z)„ -■
Вычисляя коэффициенты Сп ряда Тейлора, получаем
п=0
_ о(о - 1)... (а - п + 1)
ГДе Са ~ п\ • А
Пример 3. Разложить в ряд Тейлора по степеням z регулярную
ветвь g(z) многозначной функции {\^1 — z2} в области G = {z: \z\ < 1}
с начальным значением д(0) = е2т/3.
Л По формуле (5) при а = - и делая замену £ = —z2, сразу получаем
О
ответ:
+оо
g(z) = е2-/3 ^ ^(-l)^2", |z| < 1. А
п=0
Пример 4. Пусть h(z) — регулярная ветвь многозначной функции
1 — z
Ln- в области G = С\[—1,1], такая, что предельное значение
Л(0 + tO) = lim h(iy) = 0.
Найти значения /г(0 — гО), /г(г), /г(оо). Разложить функцию h(z) в ряд
Лорана по степеням z в окрестности бесконечности и указать кольцо
сходимости этого ряда.
А Прежде всего отметим, что такая регулярная ветвь h(z) существует
и единственна в данной области G, так как выполнены все условия
существования ветвей (см. справочные сведения из §§ 16 и 17). В том
числе для любой замкнутой ориентированной простой кусочно-гладкой
кривой 7 С G справедливо равенство
1 — z
Д7 arg = Д7 arg(z — 1) — Д7 arg(z + 1) = 0.
По формуле (1) вычислим значения h(0 — i0), h(i), h(oo). Выберем
кривую 7i — {z: \z + 1| = 1} с началом в точке 0 + г0 (на верхнем

§18. Ряды Лорана для регулярных ветвей 175
краю границы [—1,1]) и концом в точке 0 — гО (на нижнем краю
границы [—1,1]). Тогда
+ г(Д71 arg(z - 1) - А71 arg(z + 1))
h(0 - гО) = h(0 + гО) + In
= г(0 - 2тт) = -2тгг.
Выбирая отрезок мнимой оси 72 = [0, г] с началом в точке 0+гО и концом
в точке г, получаем
1-г
Л(г) = Л(0 + гО) + In
1+г
+ г(Д72 ащ(г - 1) - А72 arg(z + 1)) =
= г
7Г f _ . 7Г
4 ~ 4 j ~ ~1 2
Для вычисления h(oo) выберем произвольное действительное число
х > 1 и вычислим вначале значение h(x). Для этого возьмем
соответствующую кривую 7з с началом в точке 0 + гО и концом в точке х. По
формуле (1) получаем
h(x) = Л(0 + гО) + 1п
1-х
1-х
= 1п
1 + х
1+х
+ г(-тт + 0)
+ г(Д73 arg(z - 1) - А7з arg(z + 1)) =
откуда lim h(x) = /i(+oo) = —in. Так как оо является изолированной
особой точкой регулярной функции h(z), то из равенства заключаем,
что со есть устранимая особая точка и /i(oo) = — in.
Для разложения функции h(z) в ряд Лорана в окрестности
бесконечности представим в G многозначную функцию в виде
Lnb£-Ln(-.) + L.(l-i)-I*(l + i)-
= Ln(-l) + /ii(z)-/i2(z).
(6)
В последнем выражении многозначность содержится в первом
слагаемом, а функции h\{z) и hi{z) однозначны, причем h\(z) — регулярная
ветвь функции Ln I 1 1 в данной области G и такая, что h\ (со) = О,
a hi{z) — регулярная ветвь функции Ln I 1 И— 1 в области G, такая, что
/12(00) = 0. Делая замену £ = -, легко убедиться, что такие регулярные
z
ветви в области G существуют, а в силу примера 1 получаем выражения

176 Глава 4. Многозначные аналитические функции
для их рядов Лорана (см. (4)):
Из определения функции /1(2) как ветви многозначной функции
1 — z
Ln и из выражения (6) получаем
h{z) - hi(z) + h2{z) €Ln(-l),
т.е. h(z) — h\{z) + h,2(z) = i(n + 2nk(z)),
где k(z) принимает целочисленные значения. Так как в равенстве слева
стоят непрерывные функции, то k(z) = ко — const. Переходя к пределу
при z —► оо, получаем h(oo) = г(7г+27г&о), т-е. h(z) = h\{z) — h2{z)+h{oo)
при \z\ > 1. Отсюда получаем ряд Лорана (в силу его единственности)
функции h вида
m - -ы+g |(-"" -" - Л - -о - Е -Л «-^' -
w ^-^ тг z™ ^-^ 2& +1
п=\ fc=0
в кольце сходимости Ы > 1. ▲
Задачи
1. Пусть G — односвязная область, не содержащая точек z = 0 и z = 00,
но содержащая точку z = 1. Выяснить, сколько различных регулярных
ветвей tp(z) в области G, удовлетворяющих указываемому условию,
допускают следующие многозначные функции:
l)(z-l)Lnz, ¥>(!)= 0; 2) {z*}, у>(1) = 1;
3){z"}, v>(l) = 1; 4) {z1^}, y,(l) = 1;
5) {zV"}, ф) = 1; 6) {z*}, <//(l) = 1.
2. Пусть <p(z)—регулярная ветвь многозначной функции Ln(z + г) в
области G, удовлетворяющая условию </?(1 — г) = 0. Найти значение <р{—1 — г)
в случаях, когда область G:
1) вся комплексная плоскость с разрезом по лучу [—гею, —г];
2) вся комплексная плоскость с разрезом по лучу [—г, Н-гоо].
3. Пусть G — вся комплексная плоскость с разрезами по лучам [—оо, —1]
и [1, +оо], a tp(z) —регулярная ветвь многозначной функции Ln(l — z2)
в области G, удовлетворяющая условию f(0) = 0. Найти:
1М0; 2)^-0; 3)<p(±±f); 4) у, (^

§18. Ряды Лорана для регулярных ветвей 177
4. Пусть G — вся расширенная комплексная плоскость с разрезом по отрезку
[—1, 1]. Через ipi(z) обозначим регулярную ветвь многозначной функции
> в области G, удовлетворяющую условию <p-[(+iO) = 1, а через
p2(z)—регулярную ветвь многозначной функции Ln в области G,
удовлетворяющую условию <P2(—iO) = 0. Найти величины:
1)р,(-г0); " 2) у>,(-г); 3) <р2(+г0); 4) ^(г).
5. Пусть G — вся расширенная комплексная плоскость с разрезом по
прямолинейному отрезку [—г, г], a <p(z) —регулярная ветвь многозначной функ-
1 -Ь iz
ции Ln в области G, удовлетворяющая условию <р(1) = т/2. Найти
1 — iz
значения:
1) р(-0); 2) р(-1); 3) p(-V3); 4) ^(оо).
6. Пусть G — вся комплексная плоскость с разрезами по отрезкам
[—2, —1] и [1,2], a (p(z) — регулярная ветвь многозначной функции
{\/(z2 — l)(z2 — 4)} в области G, положительная на интервале ( — 1. 1).
Найти значения:
1) у>(3); 2) р(-3); 3) ф); 4) ^(-г).
7. Пусть G —вся комплексная плоскость с разрезами по отрезкам [— 1.г]
и [—г. 1], a (fi(z) —регулярная ветвь многозначной функции {\/1 — z4}.
положительная на интервале ( — 1, 1). Найти значения:
М# 2)К-# з)К*# 4)К-г^)'
8. Пусть а и b — две различные конечные точки комплексной плоскости, a j —
некоторая простая непрерывная кривая, идущая из точки а в точку Ъ.
Через G обозначим всю комплексную плоскость с разрезом по кривой 7,
а через ip(z) —произвольную регулярную ветвь многозначной функции
z — a
Ln в области G. Доказать, что для каждой точки Zq кривой 7-
о — z
отличной от точек а и Ъ, имеет место равенство ^(^о") — y{zo) = 27Г«,
где символ <f(z0 ) означает предел функции ip(z) при стремлении точки z
к точке zq справа (слева для знака « —») от кривой 7-
9. Пусть <f{z) — регулярная ветвь многозначной функции |\/1 — г2} в
области G. удовлетворяющая условию <р(0) = 1. Найти значение р(—3) в
случаях, когда область G:
1) вся комплексная плоскость с разрезами по лучам [1. +ос]
и [—1. — 1 + гос];
2) вся комплексная плоскость с разрезами по лучам [1. 1 — г'эс]
и [—1, —1 4- гоо];
3) вся комплексная плоскость с разрезами по лучам [1. 1 — гос]
и [—1, —1 — гоо].
10. Пусть P{z) — многочлен. Доказать, что любая функция f(z). регулярная
во всей комплексной плоскости с разрезом но положительной части
действительной оси. непрерывная вплоть до границы этой области и при всех

178 Глава 4. Многозначные аналитические функции
действительных х > 0 удовлетворяющая условию
fix + »0) - fix - »0) = Р(х),
имеет вид
m = -^-4z)+giZ),
где giz) — функция, регулярная во всей комплексной плоскости, a /i(z) —
регулярная ветвь многозначной функции Lnz в плоскости с разрезом по
положительной части действительной оси.
Указание. Для доказательства регулярности функции giz) во всей
комплексной плоскости воспользоваться теоремой Морера.
11. Найти общий вид функции /(г), регулярной во всей комплексной
плоскости с разрезом по положительной части действительной оси, непрерывной
вплоть до границы этой области, за исключением точки z = 0, и
удовлетворяющей одному из условий (х > 0):
1) /(х + г0)-/(х-г0) = (1 + х)21пх;
2) f{x + гО) - f{x - гО) = In2 x;
3) fix + гО) - fix - гО) = sin у/х;
4) f(x + i0)-f(x-i0) = ^^l.
5) f(x + i0)-f(x-i0) = f+1 2;
in X + 7Г
6) /(х + г0)-/(х-г0) = Vibx;
7) /(x + i0)-/(x-i0) = ^;
Ь2 X + 7Г2
8) /(х + гО)-/(х-гО)=1Г1°х2(х + 1).
12. Пусть G — вся комплексная плоскость с разрезом по положительной части
действительной оси, a y>(z) — регулярная ветвь многозначной функции
Ln(l + y/z), удовлетворяющая условию (р(—1) = -1п2+—. Найти значение
V?(4 —гО).
13. Пусть G — вся комплексная плоскость с разрезами по лучам [—гоо, —г] и
[г, +гоо], а регулярная функция y>(z) определена условиями
(p(z)&Ln(z+y/l + z2), 95(0)= 0 (zGG).
Найти значения:
Ц¥> 2)vH> 3ЧН'
14. Пусть <p(z) —регулярная ветвь многозначной функции Ln(\/z + 2\/1 — z),
удовлетворяющая условию
^ (I)= i1п I
Найти значение <р(4) в случаях, когда область G:

§18. Ряды Лорана для регулярных ветвей 179
1) вся комплексная плоскость с разрезами по лучам [—ос, 0]
и [1, 1 + гоо];
2) вся комплексная плоскость с разрезами по лучам [—гоо, 0]
и [1, 1 — гоо].
15. Пусть G— вся комплексная плоскость с разрезами по лучам [—гоо, 0] и
[1,1+ гоо], а регулярная функция <p(z) определена условиями
ip(z) £ LnLnz, ip(e2) = 1п2 (zeG).
Найти значение <р(—е"").
16. Пусть G — вся комплексная плоскость с разрезом, изображенным на
рис. 18.1, а регулярная функция <p(z) определена условиями
ф) е {vV + lVz}, <р(1) = тг (zeG).
Найти значения:
1) ip(i); 2) vj(-i).
17. Пусть G —вся комплексная плоскость с разрезом, изображенным на
рис. 18.2, а регулярная функция <p(z) определена условиями
ф)е {^/l + ^Tl}, v>(8) = 2 (геС).
Найти значения:
1) у?(-3/4); 2) р(-2).
18. Пусть G —вся комплексная плоскость с разрезом, изображенным на
рис. 18.3, а регулярная функция tp(z) определена условиями
tp{z) e Ln(i2+ \/l -z2), ip(0)=m (zgG).
Найти значения:
1) v>(l/2); 2) у>(-1/2); 3) ^(4г/3).
19. Доказать, что многозначная функция {^1 — z2j не допускает выделения
регулярной ветви в области G = {z: l<|z|<oo}.
20. Выяснить, допускают ли приводимые ниже многозначные функции
выделение регулярных ветвей в областях G, указываемых в скобках:
!) {\[Щ} (С = {г:1<И<оо});
2) {2Ln(z+l) -Ln(z-i)} (G = {z: 1 < j2| < oo});
-1
-1-/
V2
W
-1\ /0
Рис. 18.1
Рис. 18.2
Рис. 18.3

180 Глава 4. Многозначные аналитические функции
3) y(z2-l){z2-A)} {G = {z: Rez>0, |z - 3| >2,5});
4) {s/Г^} {G={z:Rez>0,z£ [1, e2™/5], г 0 [1, е"2™/5]}).
21. Выяснить, при каком соотношении между числами а\ и с*2 многозначная
функция
ai Ьп(г — 1) + a2 Ln z
допускает выделение регулярной ветви в области 1 < \z\ < оо.
22. Выяснить, при каком соотношении между числами а\, с*2 и аз
многозначная функция
{{z-l)ai{z + l)a*za3}
допускает выделение регулярной ветви в области 1 < \z\ < оо.
23. Доказать, что в плоскости с разрезом по отрицательной части
действительной оси существует регулярная ветвь многозначной функции
Ln(l — \fz), удовлетворяющая условию с/з(2г) = — 7гг/2.
24. Пусть <p(z) —регулярная ветвь многозначной функции Lnz в области,
изображенной на рис. 18.4, удовлетворяющая условию ip(l) = 0. Найти
i/)'(2). Разложить функцию tp(z) в ряд Тейлора в окрестности точки z = —3
по степеням 2 + 3.
Рис. 18.4
25. Пусть g(z)—регулярная ветвь многозначной функции {\/Щ в области,
изображенной на рис. 18.4, такая, что д(—1) = —1. Найти д(—2), д'(—3).
Разложить g(z) в ряд Тейлора в окрестности точки z = 2 по степеням
z-2.
26. Пусть <pi(z), V2{z)—функции из задачи 4. Найти ^(—2), у>2(2)-
Разложить функцию <f2{z) в ряд Тейлора в окрестности точки z = 4 по степеням
(г—4). Разложить i/'iC-z) и ^(-г) в ряды Лорана в окрестности точки z = оо.
27. Пусть g(z) — регулярная ветвь многозначной функции {-y/i } в плоскости
с разрезом по лучу [0,+оо) такая, что д(1 + г0) = 1. Найти д(1 — гО),
3(16-г0), «,(-16), (/'(-16), fl"(-16).
28. Опираясь на разложение регулярных ветвей многозначной функции
{(1 + z)a} в ряд Тейлора (см. пример 2 в справочных сведениях), доказать
формулы для всех получаемых регулярных ветвей g(z), w(z), h(z) в круге
\z\ < 1:
D ^ = ^ + ?ЙДгде9(г)б{^Г?};
9(.z) fl(0)
n=l
2in(n\y

§18. Ряды Лорана для регулярных ветвей 181
+ О0
(2w-2)!
2) g(z) = g(0) + Е (-1)"+1 92пГ/' Т1М *2", где 5(г) е {ч/ГТ^};
71=1 ^ /1ДТ1 1J.
3) ш(г) = u-(0) + g ^(W,%L+1) 22"+1' Ще W(2) £ ArCSin2;
4) ОД = /г(О) + +Е (-1)" 042"^Пп' гДе М*) £ Ln(z + g(z)),
g(z) e {v^T^}, 5(0) = 1.
29. Для всех регулярных ветвей h(z), w(z) многозначных функций в круге
\z\ < 1 доказать формулы:
+ О0 2п+1 , ,
1) Цг) = Ц0) + 21£^-П,^Цг)еЪп\Ц;
71 = 0 Z" + i i ~~ Z
+ OC ,2n+l
2) w(z) = u'(0) + E (-1)" f—т, где ш(г) е Arctg2;
3) -^ Ь(г) = -1 + E z£-TTV ^e Ц*) e Ln(l - z), h(0) = 0.
Z 71=1 "Л™ + -V
30. Найти разложение в ряд Тейлора по степеням z в окрестности точки
2 = 0 следующих функций, содержащих регулярные ветви g(z). h(z)
многозначных функций:
1) shg{z) ■ smg(z). где g(z) £ {s/z}, s(0) = 0;
2) ш h (г^Й!)'где 9{z) e {vi}'9{0) = °' Mz) e Ln2' h{1) = 0;
3) -±- где g(z) e {Vl - 23}, 5(0) = 1;
54 ^7
4) h(z), где /i(z) 6 Ln(l + z + 22), h(0) = 0.
31. Используя тот факт, что регулярная функция f(z) £ < -=== > удовле-
I VI - z2 J
творяет дифференциальному уравнению
(l-z2)f'(z)-zf(z) = l, /(0) = 0,
доказать формулу
/W = E(-1)"(^1T)n^+1' И<1-
n=0 V '"
32. Для регулярной ветви
Дг)б{(^)2}, /(0) = 1,
доказать формулу
n=l ч '
Указание. Подобрать для функции f(z) подходящее
дифференциальное уравнение, которому она удовлетворяет.

182 Глава 4. Многозначные аналитические функции
33. Используя биномиальный ряд, доказать справедливость формул
разложения в ряд Лорана регулярных ветвей f(z) многозначных функций:
1) /(*).= 1+ е й(а+1);-^гп-1)лгДе
f{z)e{{j~[) }' ^°°) = 1' N>1:
2) f(z) = -+ Е >„V ^""^де
{л/i^T/'
/WMi^b /(2) = 7!' М>1;
3) /(*) = 1+ Ё д(а + 1):"|[;-Я-1)(Ь-а)-"-(г-а)",где
п=—оо v 'v-
{(Hi)'}
а ^6, /(г)£ -— }, /(оо) = 1, |г-а|>|Ь-а|;
^ (-1Г+1 2 ' 2 • • ■ ( 2 П V
4) /(г)=1п2 + пЕоо^— ' ' (Г.), ^^.где
/WeLni±^H, /(2) = In (l + f) , |г|>1.
34. Убедиться, что следующие многозначные функции допускают выделение
регулярных ветвей в кольце G, и разложить все регулярные ветви в ряд
Лорана по степеням z — а в кольце G (точка а и кольцо G указаны
в скобках):
V L°[: iZl 2) (a = 0,G = {z:l<N<2});
2) Ln^tif (a = 0, G={z:|z|>2});
z +4
3) La(2;(2ZK23-l) (a = -l,G={*:K|*+l|<2»;
4) La(2|Z^3) (а = -1,С={г:|г+1|>2}).
35. Пусть g(z)—регулярная ветвь многозначной функции \\/z + 9} в
плоскости с разрезом по кривой z = 9elt, — п ^ t ^ — и лучу z = 9i + ti,
2ж
t ^ 0, такая, что argg(10) = —. Вычислить д(—8), g(—1), #(—9 + 8г), <7'(0).
О
Разложить g(z) в ряд Тейлора в окрестности точки г = 3 по степеням
z — 3 и нарисовать наибольшую область, в которой этот ряд сходится к
функции д(z).
36. Пусть h(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln(2 — z) в плоско-
сти с разрезом по кривой z = 2elt, 0 ^ t < - 7г, и лучу z = — 2г + £, £ > О,

§18. Ряды Лорана для регулярных ветвей 183
такая, что Im/i(-3) = 0. Вычислить h(-2 - 0), h(-2 + 0), h(2 + г),
h'(0). Разложить функцию h(z) в ряд Тейлора с центром в точке z = —1.
Найти радиус сходимости этого ряда. Нарисовать наибольшую область,
в которой ряд сходится к функции h(z).
37. Пусть g(z) — регулярная ветвь многозначной функции {y/z(2 — z)2} в
плоскости с разрезом по отрезку [0, 2], такая, что д(1 + г0) = 1. Найти
д(1 — гО), д(—3), д'(3). Разложить g(z) в ряд Лорана по степеням z
в окрестности точки z = оо.
z + 1
38. Пусть h(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln в плоско-
о z
сти с разрезом по отрезку [—1, 3], такая, что /i(l -ЬгО) = 0. Найти h(l — гО),
д(—2), д'(—3) Разложить h(z) в ряд Тейлора с центром в точке z = 5
и в ряд Лорана по степеням z в окрестности точки z = оо. Найти области
сходимости этих рядов.
39. Пусть h(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln в плоско-
сти с разрезом по линии
z: \z\ = 1, - - < argz < ж
такая, что h(0) = г—. Разложить h(z) в ряд Лорана по степеням z
в окрестности точки z = оо.
40. Пусть /i(z)—регулярная ветвь многозначной функции
т z — г 1
Ln-
z + i
в плоскости с выколотой точкой z = 2 и разрезом по полуокружности
{.г: |г| = 1, Rez > 0}, такая, что /г(0) = — г-л- + -. Разложить h(z) в ряд
Лорана по степеням z в кольце 1 < \z\ < 2.
41. Пусть g(z) — регулярная ветвь многозначной функции
в плоскости с выколотой точкой z = Зг и разрезом по отрезку [0, 1]. такая,
что д( — 1) — v^2 — —. Разложить g(z) в ряд Лорана по степеням z в
кольце 1 < \z\ < 3.
42. Пусть h(z) —регулярная ветвь многозначной функции Ln(z2 — z — 6) в
плоскости с разрезом по линиям {Re z = —2, Imz ^ 0} и {Re 2 = 3, Imz ^ 0},
такая, что /г(4) = In 6. Разложить h(z) в ряд Тейлора с центром в точке
г=1и найти радиус сходимости этого ряда.
43. Пусть f(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln(z2 — 2z) в
плоскости с разрезами по положительной части мнимой оси и по отрезку [0, 2]

184 Глава 4. Многозначные аналитические функции
действительной оси, выделяемая условием
Im/(-l + V3t) = -f-
Вычислить /(1 + 2г). Разложить f(z) в ряд Тейлора с центром в точке
z = 1 + 2г. Найти радиус сходимости. Вычислить сумму ряда при
z = -1 + -у/Зг.
44. Пусть f(z) —регулярная ветвь многозначной функции {v^z4 + 64 } в
плоскости с разрезами по лучам
{z: z = 2-2it; t^ -1}
и {z: z = -2-2it; t > -1},
выделяемая условием f(2y/2) — 4^2. Вычислить /(0). Разложить /(z)
в ряд Тейлора с центром в точке z = 0. Найти радиус сходимости.
5
Вычислить отношение суммы ряда к f(z) при z = — -.
45. Пусть f(z) —регулярная ветвь многозначной функции Ln(z + iz2) в
плоскости с разрезами по положительной части действительной оси и по
отрезку [0, г] мнимой оси, выделяемая условием
Im/(e-i7r/6) = 0.
Вычислить / (l + j). Разложить f(z) в ряд Тейлора с центром в точке
z = 1 + -. Найти радиус сходимости. Вычислить сумму ряда при
z = е~™/&.
46. Пусть f(z) —регулярная ветвь многозначной функции {y/z^ + 4 } в
плоскости с разрезами по лучам {z: z = i + t; t ^ — 1} и {z: z = — i +1; t ^ 1},
выделяемая условием f{\/2i) = —у/2. Вычислить /(О). Разложить f(z)
в ряд Тейлора с центром в точке z = 0. Найти радиус сходимости.
Вычислить отношение суммы ряда к f(z) при z = — - i.
47. Пусть f(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln(l + z2) в
плоскости с разрезом по лучу мнимой оси [—г, +гоо), причем Im/ I — - ) = 0.
Разложить f(z) в ряд Тейлора с центром в точке z = 1 и найти радиус
сходимости. Вычислить сумму ряда при z = — -.
48. Пусть f(z) —регулярная ветвь многозначной функции {\/9 — z2 } в
плоскости с разрезом по дуге окружности {z: \z — 4г| = 5, Imz ^ 0}, причем
/(4г) = 5. Разложить f(z) в ряд Лорана по степеням z в окрестности
z = оо и найти область сходимости. Вычислить сумму ряда при z = 4г.
49. Пусть f(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln(l — z2) в
плоскости с разрезом по лучу действительной оси (—оо, 1], причем Im/ I - ] = 0.

§18. Ряды Лорана для регулярных ветвей 185
Разложить f(z) в ряд Тейлора с центром в точке z = —г. Найти радиус
сходимости. Вычислить сумму ряда при z = -.
50. Пусть f(z) — регулярная ветвь многозначной функции {\/z2 + 16 } в
плоскости с разрезом по дуге окружности {z: \z + 3| = 5. Re z ^ 0}, причем
главная часть ряда Лорана функции f(z) в окрестности z = ос равна z.
Разложить /(г) в ряд Тейлора с центром в точке z = 0, найти радиус
сходимости. Вычислить сумму ряда при z = 3.
Ответы
2.
3.
5.
6.
7.
9.
тгг
Т'
1) Бесконечное множество; 2) бесконечное множество;
3) одну; 4) бесконечное множество;
5) бесконечное множество; 6) одну.
) тгг; 2) -тгг'.
)1п2: 2) In 2; 3) |b2-^; 4) | In 2
)-1; 2) ^; 3) -2тгг; 4) - | тгг.
) 2тп; 2) | тгг; 3) | тгг; 4) тгг.
) -\/40; 2) -v^O: 3) л/Щ 2)
4г _4г 4г 4г
; 3 ; 3 ; 3 ' 3
10.
1-г>/3; 2) 1 -г^; 3) 1 + г\/3.
11. Пусть /г(г) 6 Lnz, <fi{z) 6 {V2"}' u>(z) 6 j^} — регулярные ветви в
С\[0. +эс) такие, что /i(—1) = тгг. <р( — 1) = г, г<;( — 1) = е7"/3. Пусть g(z) —
целая функция. Тогда
(l + z)2(h(z)~7Vl)2
4тгг
~h(z)(h(z)-m)(h(z)-2Tri) + g(z);
1)
2)
3) ^simp(z) + g(z)
4)
5)
6)
■$(*);
2i(z- 1) \l-e
1 z + 1
iali(z)
iah(z)
1 -e
2™
+ 5W;
+ 5(г);
2тгг h(z) - тгг
^(г)(/г(г)-ттг) + ^);
„, З-г'-УЗ /г(г) 2 . 1
7 a V\ ~ q m ~Г
о w(z) 3 ш(г
8) 2№Ы+^
■5(2);

186 Глава 4. Многозначные аналитические функции
12. 7гг.
13. 1)^; 2) -£; 3) Ь3+^.
14. 1) 21п2 + у; 2) 21м2-у.
1 7
15. 1п7Г +-1п2 — - 7гг.
16.
17.
18.
20.
1) - | тггл/5; 2) 1тг^3.
1) -Ь 2) ^е-"/«.
!) ¥*"• 2) 7Г7™'- 3) -Ь3 + 2тгг.
О О
1) Да; 2) нет; 3) да; 4) да.
21. ах +а2 =0.
22. «1 + аг + «з равно целому числу.
24. р'(2) = I; ф) = ЬЗ + 5ттг - +f {^±^.
„=1 п-3"
25. 3(-2) = -^е2"/3; </(-3)
3v^9
е-2ттг/3.
+ 00 / п\п
26. v>i(-2)=-|; ^(2) = -|;
<p2(z)=ini-ni+j:tR—
6 71=1 П
J 1^
5" Зп
(г - 4)";
+оо
1
+ 00
2"
27. g(l - гО) = г; д(16 - гО) = 2г; g(-16) = 2ei,r/4;
32
3'(-16) = 55 e-3-/4. ^(_16) = _3_ е-з«/4.
+оо
30.
34.
92п+1
,2п+1.
; 2) Е
1}£0( 1)П(4п + 2)!- ' "' nf02n + l'
+°° (2тг)! - +°°
3) Ей^ЗП; 4) Е^тт(
п=0 * \п) п=0 п + 1
^n+1 ^3n+3\
1) V " r2n+l _ V^ _2_ ,2n+l
„^ 2n + 1 „=o 2« + !
fc = 0, ±1, ±2, ...;
E^—Tz2n+1 + (2fc+l)7ri;
2) £
n=-l
1 - (-l)n4"n
,2n
- £
n±li 2n + 1
z2n+i + 2kni; k = 0, ±1, ±2, ...;

§18. Ряды Лорана для регулярных ветвей 187
— ОС су +00 I
3) „£, ^тт <* + 1>2n+1 + £ <&ш* ^ + 1>2n+1 + ^ + «
к = 0, ±1, ±2, ...;
4) £ 2-^-(-1Г(1 + 2-)
п=-1 "
/с = 0, ±1, ±2, ... .
35. ff(-8) = l; 5(-1) = 2;з(-9 + 8г) = 2е"/6;
36. /г(—2 — 0) = 1п4; ft(-2 + 0) = In4 - 2ттг; ft(2 + г) = - J г; /»'(0) = *
/»(г) = 1пЗ-2тгг- £ l +qnj ; Л = 3.
71 = 1 П ' J
37. 5(1-г0) = е27"/3; ff(-3) = v/75e"/3;
ff'(3) = 1|1 е4«/з. 5(z) = e-2W3 +f C? (Z?f.
9 n=0 г
2'
2
3'
38. ft(l-iO) = 2ттг; ft(-2) = - In 5 + г'тт; ft'(-3)
(г-5)", |г-5| < 2;
J 1_
СП о71
+ оо /_i \тг+1
/г(2)=1пЗ + гтт+ £ *—У
71 = 1 П
+ °° f'_1'\n+1 _1_ Чп 1
/»(*) = гтг + £ — — ■ 4 W > 3.
71=1
П
39. Л(г) = 2ттг + £ — (*п - 1) 4r. M > 1-
71=1 " ^
+ 0О 7> I +00 п-271+1 1
71 = 1
nf0(2n + l)
АЛ ( \ V2? *" , i+1 8 , V?™ (-1)П + 1
42. ft(2) =1п6 + тгг+ Ё
71 = 1
П
тг=2
1 , (-1)"
2П 3"
(г-1)", Д = 2.
43. /(1 + 2г) = In 5 + Зттг. Ряд Тейлора
-4-DT,
5(г) = In 5 + Зттг + ^
71=1
1 | (-1)"
(1 + 2г)п (1-2г)"
(г - 1 - 2г)п;
|г - 1 - 2г| < v7^; 5(-1 + V3i) = /(-1 + V3i) + 4ттг = 1п4^3 + - ттг.
44. /(0) = 4е2"/3. Ряд Тейлора
+ ОС
S(z) = 4е2™/3 53 Ci,
/з
тг=0
(64)*
<2>/2;
S(z)
-2тгг/3

188 Глава 4. Многозначные аналитические функции
45. / I 1 + - I = In - — - 7гг. Ряд Тейлора
<гм i5 7 • ■ ^ (~1)n+1 Г 1 , 1 U 1 Л"
5(г) = 1п1--тгг+^^^ + + _ I, - 1 - - I ,
тг=1 L j \ /
z~l~k
<^, S (е-гп/6) = / (е""/6) - 4тт» = In у/% - 4тгг.
46. /(0) = #4 е-2™/3. Ряд Тейлора
+ 00
5(г) = ^4е-2^з + ^СГ/б£;, |г| < ^2, fg
га=0
+оо c_i\n-l
47. /(г) = 2ттг + 1п2 + £ —
2™ +Inf.
/(^)
ci7T/3
z=-(6/5)i
-0
1 + l
(l+i)n (1-г)п
(г-1)га, |г-1|<ч/2,
48. /(z)=*EC1n/2(-l)n-^=r, k-l| > 3, S(4i) = -5.
ra=0 Z
+oo /_i\n-l
49. /(г)=1п2-2тгг+ £ —
n=\ n
(-1)" , 1
(1 + г)п (1-г)п
(г + г)га, |z + t| <\/2,
-2^ + lnf.
50. /(z) = -4 £ <?Г/2 fj~> N < 4> 5(3) = "5-
n=l iD
+00 In
§ 19. Интегралы от регулярных ветвей
Справочные сведения
Интегралы от регулярных ветвей многозначных функций находятся
с помощью вычисления значений регулярных ветвей многозначных
функций, разложений этих ветвей в ряды Лорана и с использованием
теории вычетов.
Примеры с решениями
Пример 1. Пусть регулярная ветвь g(z) многозначной функции
\y/z2 — 4} определена в области G, представляющей собой
комплексную плоскость с разрезом по полуокружности {z: \z\ = 2, Imz ^ 0}

§19. Интегралы от регулярных ветвей 189
2 х
Рис. 19.1
(рис. 19.1), причем главная часть ряда Лорана функции g(z) в
окрестности z = оо равна z. Вычислить интеграл
dz
J
g(z)~3z
|*|=l
Л Прежде всего следует проверить, что в заданной области G
действительно существуют регулярные ветви функции {л/z2 — 4}. (Сделайте это
самостоятельно.)
Для вычисления интеграла J по теории вычетов надо найти особые
точки подынтегральной функции, т. е. точки, в которых справедливо
равенство g(z) = 3z. Чтобы их найти, замечаем, что из последнего
равенства следует g2{z) = (З2)2. Так как по определению корня g2{z) = 22 — 4,
ГГ1'"4 ГГАТГ1Г11ЛГ1Ч 7Г\ 1Л т-1 ,-1 т Т у-> m П 1~\ Л. l_L "-f • ■ I ■ I-" S ~\ ("» I
возможно равенство g(z) = Зг.
4 = 9z2, т. e. 2:1,2 = i —7= —точки, в которых
Уточним значения g
± —^ ). Для этого удобно вначале вычислить
v2.
значение функции g в конечной точке, например в точке 2 = 0.
Допустим, что мы знаем значение 5(0). Тогда для любого действительного
числа х > 2 вычислим значение д(х) по формуле (2) из § 18:
9{х)
3(0)i
3(0)
=г/2(Д7 arg(z-2)+A7 arg(z+2))
1
5W+o) = t (0).x !
+ о
Последнее равенство записано с помощью формулы Тейлора для
функции действительного переменного. По теореме о единственности
регулярной функции отсюда следует, что
9W = i9(o)L-l + o i
zeG.

190 Глава 4. Многозначные аналитические функции
Так как по условию задачи главная часть ряда Лорана функции g(z)
в оо равна z, отсюда получаем, что д(0) = —2г. Теперь легко вычислить
значения д I —р иЛ j= I по той же формуле (2) из § 18:
»1-ж ) = -*,
Аналогично получаем, что
-(1/2)-4
(j/2)(-arcctg2^+arcctg2^) _ _ j^_
у/2'
д\~Т2
72'
т. е. равенство g{z) = Зг справедливо в точке z = -=. Так как
1 г
^ , = - Ф 3. Таким образом, точка г = ^=
V27 3 V2
5'(Z) = ^? Т° 5' ' - '
есть полюс первого порядка подынтегральной функции f(z) =
1
В итоге вычисляем интеграл по теореме о вычетах
1 Зтгг
'~4~
J = 27гг res / = 2ni
/л/2
-ч - vs J -3
g{z)-3z'
Задачи
1. Для всех регулярных в области G ветвей /ifc(z) или gk{z) указанных
многозначных функций вычислить интегралы по положительно
ориентированной границе dG области G:
iTri7hl(z)dZ'mehk{z)eLnZ> ^={г:|г + 1|<1}
пг, G= iz: |г - 1| < - >;
dz, где hfe(z) G L
г-1
9G
hfe(z) dz, где /ifc(z) e Ln ———, G = {z: \z\ > 2};
z + 1
£ -^, где fffc(z) e {V4z2 + 4z + 3}, G = {z:\z\> 1};
dz
dG
5- z + 4gk(z)
, где fffc(z) e {VI - г}, G = {z: |z + 3| < 1}.
2. Проверить, что многозначные функции допускают выделение в области G
регулярной ветви, удовлетворяющей заданным условиям, и вычислить
интеграл от этой ветви по положительно ориентированной границе dG
области G:

§ 19. Интегралы от регулярных ветвей 191
Л(1
dG
9(4) = -2.
lim
Z—*OG
lim
z—*oo
9
f
dG
dz
(2+ <?(£)) sin
;, где G = |z: И < | J, g{z) € {>/F=T}, ff(0)
3G
f 1 +^(г), где G = {z: |z - 3| < 0,99}, h(z) € Ln(z - 2), /i(3) = 0.
§ 1^Г^Г7'гДеС= \ z: \z + 2\ < t; }•> M2) eLnz, /i(-e) = 1-тгг.
dG
/i(z) — Зетг'
f
2 + 2
3G
е) = 1.
г + h(z)
dz, где G = b:|z + 2|<jU, /i(z) € Ln(l - z),
fg(z)dz,TAeG={z: \z\ > 1,1}, 9(2) € | J|—jl, 3 ( | j = - i.
/.r
dz
-, где G = {2: |z - 10| < 9,99}, g(z) e {^5},
3G
+ 2 sin g(z)
fg(z)dz, где G = {z: \z\ > \a\ + \b\}, g(z) e {vXz - a)(z - &)},
1.
f ^, где G = {z: \z\ > \a\ + \b\}, g{z) e V(z - a){z - &)},
dG
<?(*)
-1.
f Z-£- где G = {z: \z\ > \a\ + \b\}, g{z) e {^(z - af{z - &)},
Hm £(£) = e-2-V3.
г—*оо 2
10) f ?£ где G = {z: \z\ > \a\ + \b\}, g(z) € {</'(г - af{z - b)},
dG ^ '
lim ^ I 1.
z—>oo Z
11) £ <?(z) dz, где G={z:\z\> \a\ + |6|}, 9(2) e {(г - а)а(г - 6)1""},
dG
lim ^1 = 1.
z—*oo 2
12) fzg(z)h(z)dz, где G = {z: |z| > |a| + |6|}, <?(z) e {7Щ }-
lim <j(z) = 1, h(z) € Ln -, lim h(z) = 0.
z—>oo Z — О z—*oo
13) fg(z)h(z)dz, где G = {2: \z\ > \a\ + \b\}, g(z) e
dG
z-b
lim g(z) = 1, h{z) € Ln -, lim h(z) = 2wi.
z—*oo 2 — О z —>oc

192 Глава 4. Многозначные аналитические функции
)h¥ dz,
14) £znh(z)dz, где G = {z: \z\ > \a\ + \b\}, h(z) e Ln^-?,
BG Z~b
lim h(z) = 2тгг, n = 0, 1, 2, ... .
15) £/(г)<*г, где G = {z: - К Rez < 1}, /(z) G {^*}.
16) £ ,4,^ rV ГДе G = ^Z = z + iy: x > y2}> 9^ E W1 + z2}>
dG ^Z ' 9(z)
9(0) = 1.
3. Вычислить интеграл от регулярных в области G ветвей многозначных
функций по границе dG области G:
J 1 + 2
dG
где G = {z e С: z <£ (-oo,0]}, g{z) e {v^}, g(l) = 1, h(z) £ Lnz,
Л(1) = 0.
Указание. Сначала рассмотреть интеграл по границе области
<2р,я = {%'■ р < \z\ < R, —ж < argz < 7г} (кольцо с разрезом), а затем
перейти к пределам при р —> 0, R —* +оо.
4. Вычислить интегралы от регулярных в области G ветвей многозначных
функций по границе dG области G:
1) / g,(2!)5ff d*> где G = {г е С: - тг < argz < тг}, <,(*) е {y/i},
8G ^ 1>
д(1) = 1, /i(z)eLnz, Л(1) = 0;
2) /<?(z)dz, где G = {z е С: г $ [-1,1]}, 9Й £ {\/йт}'
lim g(z) = 1;
2—ЮС
3) /4^> где G = {z e С: z £ [-»,»]}, 3(z) e {v^T^},
dG Z
S(0 + 0) = 1.
5. Пусть /(z)—регулярная ветвь многозначной функции \y/z + 9} в
комплексной плоскости с разрезом по кривой {z: z — 9elt, —7Г ^ t ^ —},
и лучу {z: z = 9г + ti, t > 0}, такая, что arg/(10) = —. Вычислить
О
интеграл
■1)
У (г + ^2
|г|=5
6. Пусть /(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln(z + 3) в
комплексной плоскости с разрезом по кривой {z: z = 3elt, — 7Г ^ t ^ —}

§ 19. Интегралы от регулярных ветвей 193
и лучу {z: z = Зг — t, t ^ 0} такая, что Im /(4) = 2тт. Вычислить интеграл
^ dz.
z{z + 2)2
|z|=2,5
7. Пусть /(z)— регулярная ветвь многозначной функции {\/z + 16} в kos

комплексной плоскости с разрезом по кривой {z: z = 16e'*, — — ^ t ^ 7г},
и лучу {г: 2 = —16г — ti, t ^ 0}, такая, что arg/(20) = . Вычислить
интеграл
/(г)
2(2 + 12)
dz.
= 13
8. Пусть /(г)— регулярная ветвь многозначной функции Ln(z + 5) в
комплексной плоскости с разрезом по кривой {z: z = 5ег', — — ^ t ^ тт}
и лучу {г: z = —5г — t, t ^ 0}, такая, что Im/(6) = —2тт. Вычислить
интеграл
^ dz.
z\z + A)
|z|=4.5
9. Пусть f(z). /(0) = In2 + гтт, —регулярная ветвь многозначной
функции Ln(z — 2) в плоскости с разрезом по отрезку [1,2] и лучу
{2:2 = 1 + гу. — ос< у < 0}. Вычислить интеграл
*Щ dz.
■-з)
[г-4| = 1,5
10. Пусть f(z), /(1 — г) = г, — регулярная ветвь многозначной
функции {\/z — 1} в плоскости с разрезом по отрезку [1.2] и лучу
{z: 2 = 2 — гг/, 0 < у < +эс}. Вычислить интеграл
z-im^idz.
(2-9)2
z-8|=2
11. Пусть f(z). /(0) = In4 —гтт,—регулярная ветвь многозначной
функции Ln(z — 4) в плоскости с разрезом по отрезку [3.4] и лучу
{г: 2 = 3 + гу. 0 < у < +эс}. Вычислить интеграл
^ dz.
(г-6)(г-5)2
-71 = 2..
12. Пусть /(г). /(—2) = 1 — i. -регулярная ветвь многозначной
функции {\fz — 2} в плоскости с разрезом по отрезку [1.2]. и лучу

194 Глава 4. Многозначные аналитические функции
{z: z = 1 + iy, 0 ^ у < +оо}. Вычислить интеграл
Г (* + 2)(/(г)-2)
Р (z-Щ2 ^
|г-15|=4
13. Пусть f(z), /(2) = О, — регулярная ветвь многозначной функции
Ln(z — 1) в плоскости с разрезом по отрезкам [0,1], [0,г], и лучу
{z: Imz = 1, Rez^O}. Вычислить интеграл
f{z) dz
J (г-1-4г)(.г-1-Зг)2
|г-1-4г|=2 •
14. Пусть f(z), /(9) = 2, — регулярная ветвь многозначной функции
{\/z — l} в плоскости с разрезом по отрезкам [0,1], [0, — г], и лучу
{z: Imz = —1, Rez ^ 0}. Вычислить интеграл
У (,-1 + Зг)3^
|z-l+3i| = l
15. Пусть f(z)—регулярная ветвь многозначной функции {\/2z — 8} в
комплексной плоскости с разрезом по лучу {z: z = 4 — it, t € [0, +oo)}, причем
/(8) = —1 — г-\/3. Вычислить интеграл
P'f(z)-z + 2
dz ,
dz,
где 3D — граница круга D — < z: \z — 2| < - >.
z2 + 2z
16. Пусть f(z) —регулярная ветвь многозначной функции Ln —-— в
плоскости с разрезом по лучу [—2, +оо) действительной оси, причем
Im/(—4) = 0. Вычислить интеграл
X dz
OD
где область D состоит из точек круга \z + 2| < 4, расстояние от которых
до разреза больше 1.
17. Пусть f(z) — регулярная ветвь многозначной функции {^/z2 — 4} в
плоскости с разрезом по полуокружности {z: \z\ = 2, Rez ^ 0}, причем главная
часть ряда Лорана функции f(z) в окрестности z = оо равна z. Вычислить
интеграл
Г dz
Р f(z) + 3z-
18. Пусть /(z) —регулярная ветвь многозначной функции Ln(z2 — z) в
плоскости с разрезом по положительной действительной полуоси, причем

§ 19. Интегралы от регулярных ветвей 195
Im/(—2) = 0. Вычислить интеграл
dz
J '/(г)-тг» '
8D
где D — область, состоящая из точек круга \z\ < 2, расстояние от которых
до разреза больше 1/2.
2+1
19. Пусть f(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln в
плоскости с разрезом по отрезку [—1,3] такая, что /(1 + Of) = 0. Вычислить
интеграл
f z-2
\z\=7
dz.
20. Пусть /(г)— регулярная ветвь многозначной функции {y/z3(Q — 2)} в
плоскости с разрезом по отрезку [0, 6] такая, что /(3 + 0г) = 3. Вычислить
интеграл
1*1=7
dz.
5 — z
21. Пусть /(г) —регулярная ветвь многозначной функции Ln в
плоскости с разрезом по отрезку [—3,5] такая, что /(1 + 0г) = 0. Вычислить
интеграл
\z\=7
22. Пусть f(z)—регулярная ветвь многозначной функции {-^/.г2(4 — z)} в
плоскости с разрезом по отрезку [0,4] такая, что /(2 + 0г) = 2. Вычислить
интеграл
f z-2
|z|=7
dz.
1 — z
23. Пусть f(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln в
плоскости с разрезом по дуге: {z: \z\ = 1, Imz < 0} такая, что / I —j= J = ——.
Вычислить интеграл
dz
f
(3/(2) - 2ni)(z - 3)
24. Пусть /(г)— регулярная ветвь многозначной функции {y/2z2 + 1} в
плоскости с разрезом по дуге: {z: \z\ — —= , Неz ^ 0} такая, что /(0) = 1.
у2

196 Глава 4. Многозначные аналитические функции
Вычислить интеграл
f (z + 2)(/(z)+3)'
|Z|=1
25. Пусть /(z)—регулярная ветвь многозначной функции Ln — в
плоскости с разрезом по дуге: {z: \z\ = 2, Rez ^ 0}, такая, что /(2) = — г.
Вычислить интеграл
Г dz
J (z + 4i)(3/(z)+27ri)'
N1=3
26. Пусть /(г) —регулярная ветвь многозначной функции {\/z2 + 3} в
плоскости с разрезом по дуге: {г: |г| = %/3, Rez ^ 0} такая, что /(1) = 2.
Вычислить интеграл
f
zdz
(*-3)(/(г)+2л/3)'
N1=2
27. Пусть /(г)—регулярная ветвь многозначной функции {\/z2 — 1} в
плоскости с разрезом по кривой
7 = {z: г = е", 0 < t < 7Г; г = t, -oo <*<-!}
такая, что /(0) = е7"/4. Пусть 5(г) = J2 Ak(z — 2i)k — регулярная в круге
fc=0
сходимости функция, совпадающая с /(г) в окрестности точки z = 2г.
Найти радиус сходимости ряда S(z) и вычислить интеграл
f
S« dz.
\z~2i\
=§(*-!')
28. Пусть f(z) — регулярная ветвь многозначной функции {\/z(z — 1)} в
плоскости с разрезами по кривым 71 и 72, где
7i = {z: z = it, t > 0},
72 = {z: z = 1 - it, 0 < t < 2; г = i - 2г, -oo < i < 1},
- J = — //-. Пусть S(z) = ^ Afc(z + 3i)fc —регулярная
2/ V 4 fc=o
в круге сходимости функция, совпадающая с /(г) в окрестности точки

§ 19. Интегралы от регулярных ветвей 197
z = —Зг. Найти радиус сходимости ряда S(z) и вычислить интеграл
S& dz.
{z + if
|z+3i| = f
29. Пусть f(z) -регулярная ветвь многозначной функции {\/1 — г2} в
плоскости с разрезом по кривой
7 = {z: z = ей, 0 sC t sC тт; z = 1 + it. 0 < t <oc}
+ OC
такая, что /(0) = 1. Пусть S(z) = Yl Ak{z — 3i)k - регулярная в круге
fc=0
сходимости функция, совпадающая с f(z) в окрестности точки z — Зг.
Найти радиус сходимости ряда S(z) и вычислить интеграл
^ dz.
ЗЛ2
30. В комплексной плоскости с разрезами по кривым 71 и 72 • где
7l = {г: 2 = *, £ < -2},
l2 = {z: z = t, -1 < i < 0; z = г£ - 1, 0 < t < oc},
рассматривается регулярная ветвь f(z) многозначной функции
{y/z{z + 2)}. такая, что
/(-§
+ х
Пусть S(z) = J] Ak{z — Зг)'с— регулярная в круге сходимости функция,
к=0
совпадающая с f(z) в окрестности точки z = Зг. Найти радиус сходимости
ряда S(z) и вычислить интеграл
-5«- -dz.
3 + iz
31. Пусть f(z) —регулярная ветвь многозначной функции Ln в
плоскости с разрезом по отрезку [1,3?] такая, что /(0) = 1пЗ — тгг. Вычислить
/(ос) и интеграл
*Mdz.
z + 3
Ы=4
32. Пусть /(z)—регулярная ветвь многозначной функции {уЛ.3(2г — z)}
плоскости с разрезом по отрезку [0. 2г] такая, что
/(2) = 2у/2е37Гг/16.

198 Глава 4. Многозначные аналитические функции
Вычислить /(г + 0) и интеграл
z + г
N1=3
33. Пусть /(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln в плоско-
1 5
сти с разрезом по отрезку [—г, 2] такая, что /(0) = In - + - ях Вычислить
/(со) и интеграл
z + 2
N1=3
dz.
34. Пусть /(z)— регулярная ветвь многозначной функции {y/z2(i — z)} в
плоскости с разрезом по отрезку [0,г] такая, что /(1) = \^2е17Г/4.
Вычислить / I - + 0 1 и интеграл
^ dz.
Ъг + г
\г\=3
1i — z
35. Пусть g(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln — в плоско-
Z + 1
сти с разрезом по кривой 7 = 7i U 72, гДе
7l = {z: \z\ = 2, —к ^ argz ^ ^},
72 = {z: z = ж, -2 < а; ^ -1}
числи
*g(*)
37гг
такая, что д(0) = In 2 —. Вычислить интеграл
г=4 ! + *ё Т
dz.
36. Пусть /(z)—регулярная ветвь многозначной функции \y/z2{i — z)} в
плоскости с разрезом по кривой 7 = 7i U 721 гДе
7i = •Ь: z+| = -, Rez>ol,
72 = {z: |z + i| = 1, Rez ^ 0}
такая, что /(—i) = v/2V7*'/6. Вычислить интеграл
f 1 + e»/-
N1=4
'<*> dz.
1 — z
37. Пусть g(z) —регулярная ветвь многозначной функции Ln в
плоскости с разрезом по кривой
7= lz: \z\ = 1, | ^argz ^ 2тг \

§ 19. Интегралы от регулярных ветвей 199
такая, что д(0) = — 4ni. Вычислить интеграл
f . 1 1
, , _ sin —Ь cos -
« =5 7 7
29(2) dz.
38. Пусть /(г)— регулярная ветвь многозначной функции \^J z2(2i + z)2}
в плоскости с разрезом по кривой 7 — 7i U 72; где
7i = {г: |z + 2i| = 2, Rez < 0},
72 = {г: |г + 3г| = 1, Rez ^ 0},
такая, что /(—Зг) = -^/Зе7™. Вычислить интеграл
f(z)
f
1 + 2 sin -
dz.
2+12
39. Пусть h(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln — в
плоскости с разрезом по кривой
7
\z: \z\ = 2, -7Г < aigz < | !■
такая, что h(oo) = - 7гг. Вычислить и интеграл
(4
|г| = 1
^ld,
40. Пусть д(z) — регулярная ветвь многозначной функции {\/2z2 + l} в
плоскости с разрезом по
Вычислить интеграл
кости с разрезом по кривой 7 = ■{ z: \z\ = —= , Rez ^ 0 ^, где д(0) = 1.
Г dz
f (z-2)(g(z) + 3)
\z\ = l
41. Пусть g(z) — регулярная ветвь многозначной функции {{/(z — 2)2(2г — -г)}
в плоскости с разрезом по отрезку [2г, 2] такая, что главная часть ее ряда
Лорана в оо равна e~ln^z. Вычислить интеграл
f&
dz.
sh°z
|г| = 1
3 + 2
42. Пусть h(z) —регулярная ветвь многозначной функции Ln в
плоскости с разрезом по кривой
7 = < z: \z\ = 3, — — ^ argz ^ 7Г

200 Глава 4. Многозначные аналитические функции
5
такая, что /i(oo) = ni. Вычислить интеграл
Г dz
|г| = 1
2 + z
43. Пусть h(z) —регулярная ветвь многозначной функции Ln в
плоскости с разрезом по кривой
-у = |z: |z| = 1, - | < argz < тг| U [-2, -1]
37Г
такая, что Im/i(oo) = —. Найти /i(0) и вычислить интеграл
h(z)
\*\=k
44. Пусть g(z) —регулярная ветвь многозначной функции \y/l + 2z2} в
плоскости с разрезом по кривой
7= \z: \z\ = -j=, -| ^argz^Trl
такая, что д(0) = 1. Пусть f(z) = —— ?- Найти res / и вычислить
(p(z) + 3) z=oo
интеграл
<k f(z) dz.
45. Пусть g(z)—регулярная ветвь многозначной функции {\/z2 + l} в
комплексной плоскости с разрезом по кривой 7 = 71 U 72, где
7i = < z: \z\ = l, O^&igz^ y\ >
72 = {z: Imz = -1, Re2>0},
причем д(0) = e~27"/3. Вычислить интеграл
f
*®-^dz.
|г+3| = 1
46. Пусть /(г)— регулярная ветвь многозначной функции Ln(z2 — 1) в
комплексной плоскости с разрезом по кривой 7 = 7i U 72 j где
7i = {г: |z| = 1, —л- ^ argz < 0},
72 = {г: Im г = 0, Re z > 1} ,
причем Im h(—2i) = Зп. Вычислить интеграл *[
|г-Зг|=22/7
-^^« dz.

§ 19. Интегралы от регулярных ветвей 201
47. Пусть g{z) - регулярная ветвь многозначной функции [\/z2 — 1} в
комплексной плоскости с разрезом по кривой 7 = 71 U 72, где
7i = {г: |г| = 1, 7r < argz < 2тт} ,
72 = {г: Iraz < -1, Rez = 0},
причем g(2) = v^3. Вычислить интеграл
9{Z) У' dz.
g(z) - е-/4
48. Пусть h{z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln(z2 + 1) в
комплексной плоскости с разрезом по кривой 7 = 7i U 72; где
7i = w: N = 1. | < argz ^ -у
72 = {г: Im 2 = 1, Re 2 ^ 0} .
причем lm/i(0) = 0. Вычислить интеграл
Mz)
|-з?;|:
h{z * 2
dz.
49. Пусть /(z)— регулярная ветвь многозначной функции Lnl ) в
области G = {z: \z\ > 1} такая, что /(ос) = 0. Доказать, что многозначная
функция {у/(г) + 4г} распадается в G на регулярные ветви.
Пусть g(z) —регулярная ветвь функции {\/f{z) + 4г} в G такая, что
д(ос) = —\/2(J + 1). Вычислить интеграл ф ——- .
J 0(2)
50. Пусть /(z)— регулярная ветвь многозначной функции <J-—- > в
области G = {z : \z\ > 3} такая, что /(оо) = —г. Доказать, что многозначная
функция Ln(/(z) — г) распадается в G на регулярные ветви.
Пусть g(z) — регулярная ветвь функции Ln(/(z) — i) в G такая, что
<?(оо) = In2 — г' ~. Вычислить интеграл (р —f— .
\z\-A
Ответы
1) — 27п'соз1. если h{)( — 1) = —тп: и 0 для остальных ветвей:
2) 47гА\ если /ia-(I) = 2ттА*г: 3) 4л"г для всех ветвей:
4) 7гг. если <7o(J') > 0 при х > 1; — ттг, если gi(.f) < 0 при х > 1;
5) 0. если <?о(~3) = 2: —4ттг, если ^i(—3) = —2.
1) |тг(1 + 2г): 2) ~: 3) 0; 4) - | тп:

202 Глава 4. Многозначные аналитические функции
5) -27П; 6) -|^; 7) ^ (Ь-а)2; 8) 2^;
9) J(2o + b)(-V3 + *); 10)-f(3a + b);
11) тгга(1-а)(а-Ь)2; 12) 2тгг(а-Ь)Ь;
13) |ЛЬ_в)(1-|); 14) ^(а--^);
15) 2тгг; 16) - ^ \/l + V2.
3. ^=i. 4.1) -тг2
л/2
1 + |-<(1
(l-|) ^ 2) 2тгг; 3) 2тгг(л/2 - 1).
5.--. 6
..«(iln3-l).
7. ^-2). 8. g(4_51n5).
9. -гтг. 10. -тгг. 11. 2тт(61п2 - 5)г. 12. ^ттг.
!G
13. 2тгг(^+1п^У 14. ?\УЗтгг. 15. | тт(1 - Зг). 16.
4
17. -7гг. 18. -т=.
4 л/3
47Г
75'
250
19. 16тг2 + ^ тгг. 20.
9тт(1+г)
4л/2
21. 8тг(37г-10г). 22. -
'17
4тг(Уз + г)
24. 7тг
12
-^).
25.
9
61пЗ
23. - =: +
2пг
5(31пЗ + 5тгг)'
5 31п2 + 57гг'
27. R = л/5, J = ^ е3-/4. 28. R = 3, J = -2тг ±±Д
' 3\/4
25
29. R=s/lO, J=-*^i. Ъ0.Я = Ъ, J^-^Л^Д.
Зтг
31. /(оо) = -—, J = 9тг(3тг - 2) + 4тгг
Зл/2
32. /(г + 0) = г, J = - ^тте3™'4. 33. /(оо) = Зттг, J = 4тг(1 - бтг) - Зтгг.
34
37
1, j = _^e5W6. 35. 27r(37r-2 + ?
-'(И
.2,(i+ 55I).
40. - ^. 41. 2тгг (1 + Л е"^6. 42.
24 у 9 J
43. /г(0) = 1п2 + 3ттг, J = Зтг
27
38. тг(4г-9). 39. - (тт+ 4тг2 + ^ J.
36
тт(З-г)
3(1 +тт)(г- 1)
4тт^
2--(! + ln2)- ^-«5,/W = -5' J=T"
._ т 3847гг , /= , . п >/7 w2 ~/ 3\
45. J=--jj=-, g{-s/7 + w)=2-—w- — + 0(wi).

§ 20. Аналитическое продолжение. Полные аналитические функции. 203
46. J = 2ir3(^ + i\ h(z) = ni-z2-^- + 0(z6).
z2 3z*
47. J = -40™, g(z) = 1 - z- - ^- + 0(z6) 1 ."/4
4 32
48. J = - -^-= ( — + 3 J, h(-iV2 + w) = -m + 2iV2w + 2>w2 + 0(w3
49. <1-}\ 50. - ^
4^/2
2 '
ln2--
§ 20. Аналитическое продолжение.
Полные аналитические функции.
Справочные сведения
1. Аналитическое продолжение. В силу теоремы единственности
для задания регулярной функции достаточно знать значения этой
функции в сколь угодно малой области или на сколь угодно малой дуге
некоторой кривой. Поэтому возникает вопрос: как, имея регулярную
в некоторой области G функцию /, расширить область определения
этой функции, т. е. построить новую область, содержащую область G,
и определить в ней такую регулярную функцию, сужение которой на
область G совпало бы с функцией /.
Такое расширение области определения регулярной функции
называется процессом ее аналитического продолжения, а полученная при
этом функция на новой области — ее аналитическим продолжением.
Частным случаем аналитического продолжения является регулярное
продолжение, описанное в § 9.
Расширим понятие аналитического продолжения.
1.1. Пусть выбраны точка а € С и круг
Вг(а) = {z: \z — а\ < г}, г > 0,
на котором задана регулярная функция /. Тогда упорядоченная пара
(Вг(а), /) называется аналитическим элементом, а точка а центром
этого элемента.
Элемент (Br(a),f) называется каноническим элементом, если круг
Вг(а) выбран максимальным для функции /, т. е. если функцию /
разложить в сходящийся степенной ряд по степеням (z — а), то Вг(а)
есть круг сходимости этого ряда.

204 Глава 4. Многозначные аналитические функции
1.2. Говорят, что (аналитический) элемент {Вр(Ь),д) является
непосредственным аналитическим продолжением (аналитического) элемента
(Br(a),f), если
Вг(а) П Вр(Ъ) ф 0 и f(z) = g(z), Vz € ВГ(а) П Вр(Ь).
При этом по заданному элементу (Вг(а), /) и кругу -Вр(Ь) функция g
на Вр(Ь) определяется однозначно в силу теоремы единственности.
Говорят, что два элемента (Br(a),f) и (Bp(b),g) эквивалентны, если
они имеют общий центр а = Ь и один из этих элементов является
непосредственным аналитическим продолжением другого, т. е., если г < р,
то f(z) = g(z) при всех z € Вг(а).
1.3. Говорят, что элемент (Bp(b),g) является аналитическим
продолжением элемента (Br(a),f) через конечную цепочку кругов (также
говорят: через конечную цепочку элементов), если существует конечный
набор элементов (Bri(ai),/i), (Br2(a2),f2), •••, (Brn(an),fn) таких,
что для каждого номера к € 2, п пара элементов (-Brfcl(ajt-i),/jt-i)
и (-Brfc(aA;))/fc) является непосредственным аналитическим
продолжением друг друга, причем справедливы равенства
(Bri(a1),f1) = (Br(a),f)
и (Brn(an),fn) = (Bp(b),g).
1.4. Пусть кусочно-гладкая ориентированная кривая 7аЬ с началом в
точке а и концом в точке Ь задана через параметр ее длины s, т. е.
z = z(s), O^s^l, z{0) = a, z(l) = b.
Говорят, что элемент (Вго(а), /о) продолжаем вдоль кривой 7af>> если
существует число г € (0,Го], непрерывная функция ip: [0,1] -»Си
семейство элементов (Br(z(s)), fs), Vs € [О, I], удовлетворяющих условию:
для всякого so € [0,1] справедливо равенство
fS0(z(s)) = p{s) при всех s € [0,1] П {s0-r,s0 + r).
При этом говорят, что элемент (Br(b),fi) является аналитическим
продолжением элемента (ВГо(а), /о) вдоль кривой 7аь-
Если элемент (Вго(а),/о) можно аналитически продолжить вдоль
кривой 7аЬ (или через конечную цепочку кругов), то это продолжение
единственно, т. е. в результате его аналитического продолжения вдоль
этой кривой получается единственный с точностью до эквивалентности
элемент с центром в точке Ъ, независимо от выбора радиуса г > 0 кругов
и семейства элементов, осуществляющих указанное продолжение.
Понятия аналитического продолжения вдоль конечной цепочки
кругов и аналитического продолжения вдоль кривой эквивалентны.

§ 20. Аналитическое продолжение. Полные аналитические функции. 205
2. Аналитическая функция
2.1. Полной аналитической функцией, порожденной начальным
элементом (Вг(а), /о), называется совокупность J- всех канонических
элементов, получающихся аналитическим продолжением элемента (Br(a),fa)
вдоль всех таких кривых, начинающихся в точке а. вдоль которых
аналитическое продолжение возможно.
Аналитической функцией (без слова: полная) называется любое
связное подмножество элементов из совокупности J-, т. е. такое
подмножество, любые два элемента которого являются аналитическими
продолжениями друг друга через некоторую конечную цепочку элементов
из выбранного подмножества.
Объединение G = UaBra(za) кругов всех элементов, принадлежащих
аналитической функции, представляет собой область. Поэтому говорят,
что аналитическая функция задана {определена) на области G.
В частности, всякая функция, регулярная в некоторой области,
очевидно является однозначной аналитической функцией в этой области, а
регулярное продолжение (см. § 9) является частным случаем
аналитического продолжения.
2.2. В общем случае аналитическая функция не является однозначной
функцией точек на плоскости (см. примеры 1,2).
В случае, когда область определения аналитической функции одно-
связна, имеет место следующее утверждение.
Теорема (о монодромии). Если элемент (Br(a),fo) аналитически
продолжаем по любой кривой 7аб! лежащей в односвязной области G,
то результат его продолжения в произвольную точку b £ G не зависит
от кривой 7аЬ; a однозначно определяется ее концом Ь.
Часто это формулируют и так: аналитическая функция,
определенная на односвязной области G, является однозначной регулярной
функцией, определенной на G.
Например, совокупность элементов вида (B\ai(a).ha(z)). где
a € С\{0}, ha(z) любая регулярная ветвь многозначной функции
Ьпг в круге B\a\(a). образуют полную аналитическую функцию Ьпг,
определенную в С\{0}. Для любых точек a.b G С\{0} любой элемент
(B\a\(a), ha) может быть продолжен вдоль любой ориентированной
кусочно-гладкой кривой "„;, С С\{0} с началом в точке а и концом
в точке Ь. причем для полученного в конце элемента (Biu(b),hb)

206 Глава 4. Многозначные аналитические функции
справедливы формулы:
Z
hb(b) = ha(a) + J^, hb(z) = hb(b) + J ^ , zeBw(b). (1)
lab
Примеры с решениями
Пример 1. Л Степенной ряд Y2 гП сходится в круге 5i(0) и расхо-
г^О
дится при \z\ ^ 1. При этом по теореме Вейерштрасса сумма f\ данного
ряда является регулярной в круге -Bi(O) функцией, и она совпадает
в этом круге В\(0) с функцией /г(г) = , которая определена
1 — z
и регулярна в С\{1}. Таким образом, при любом a € С\[1, +оо) элемент
(В|а_1|(а),/г) является непосредственным аналитическим
продолжением элемента (Bi(0), /i) (так как не пусто множество -Bi(O) П B|0_i|(a),
в котором эти функции совпадают). При любом действительном a > 1
множество -Bi(O) П В\а_ц(а) пусто, но элемент (-B|a_i|(a), /2) является
аналитическим продолжением элемента (Si(0),/i), так как введя,
например, еще один элемент (B^_^(i), /2), мы убеждаемся, что последний
элемент является непосредственным аналитическим продолжением как
элемента (Bi(0),/i), так и элемента (B|a_i|(a), /2). А
Пример 2. А Рассмотрим пять элементов, составленных из
регулярных ветвей многозначной функции {y/z}, вида (Bi(l),/o), (Bi(i), /тг/г),
(Bi(-»),/-w/2), (Bi(-l),/,r), (Bi(-l),/-.), где
fs(z) = у/Ще*'2ах*'*,
причем
args г € ( я - |, я + | ) , s = О, ±тт/2, ±тг.
Легко убедиться, что каждая функция fs на соответствующем ей
круге является регулярной ветвью многозначной функции {д/5}, причем
/тг(г) = —f-w(z) при всех z € Bi(—1). В силу определения элемент
(Bi(i),fn/2) (так же, как и элемент (Bi(—г), /-„-/г)) является
непосредственным аналитическим продолжением элемента (Bi(l), /0), так как на
множестве Bi(l) П -Bi(i) функции /о и f^/2 равны (см. рис. 20.1).
Аналогично элемент (В\(—1),/^) есть непосредственное
аналитическое продолжение элемента (i?i(i), /тг/г), а элемент (Bi(—1), /_тг) есть
непосредственное аналитическое продолжение элемента (Bi(—i),f-n/2)-
В итоге получили, что два разных элемента (Bi(—1), /,г) и (5i(—1), /-тг)

§ 20. Аналитическое продолжение. Полные аналитические функции. 207
являются аналитическим продолжением одного и того же элемента
(£i(i),/o). *
Задачи
1. Доказать, что функция, регулярная в области G, является функцией,
аналитической в области G.
2. Доказать, что если функция, аналитическая в области G, не зависит от
формы кусочно-гладкой ориентированной кривой, вдоль которой ведется
аналитическое продолжение, а зависит только от ее конца, то эта функция
регулярна в области G.
3. Пусть F\ и F2 — две аналитические функции в области G. Доказать, что
функции Fi+ F-2 и Fi- F2, определяемые элементами вида {Br(a), f\ + /2),
(Вг(а), /г/г), где (Br(a), /i) и (Вг(а), f2) —любые элементы F\ и F%, также
являются аналитическими функциями в G.
4. Пусть F\ и ^2—две аналитические функции в области G, определяемые
элементами вида (Br(a),fi) и (Br(a),f^), причем для любого элемента
(Br(a),f2) функции F2 регулярная функция /г(г) ^ 0, z € Вг(а).
Доказать, что функция -—-, определяемая элементами вида [ Вг(а). ^- ),
*2 \ h J
аналитична в области G.
5. Пусть F — аналитическая функция в области G, определяемая элементами
вида (Br(a),f). Пусть д: С —> С —регулярная функция на плоскости С.
Доказать, что функция, определяемая элементами вида (Br(a),g(f)),
является аналитической в области G.
6. Определим для всякой точки а € С\{0} и для всякой кусочно-гладкой
ориентированной кривой ja с началом в точке 1 и концом в точке а, причем

208 Глава 4. Многозначные аналитические функции
такой, что 0 ^ 7а) величину
с
7а
и функцию hia : £|а|(а) —+ С вида
hia{a) = I -
2
hia(z) = hia{a) + I у > гё S|a|(a).
Доказать, что семейство элементов
(S|a|(a),/j7a), aeC\{0}
образует функцию (обозначаемую Lnz), аналитическую во всей
комплексной плоскости с выколотой точкой z = 0.
7. Пусть a — произвольное комплексное число. Доказать, что семейство
элементов
(S|a|(a),e^-W), a£C\{0},
где функция hia определена в задаче 6, образует функцию za,
аналитическую в С\{0}.
8. Определим для всякой точки a £ С, а ф i, a ф —г, и для всякой
кусочно-гладкой ориентированной кривой ja с началом в точке 0 и концом
в точке а, причем такой, что i $ ja, —г 0 -ya, величину
9la(a) = J J
и функцию gla : BTa (a) -> С вида
+ c2
7a
Z
9ia(z) = 9i*(a) + J j^72 . z£Bra{a), ra=mm{\a-i\,\a + i\}. _
a
Доказать, что семейство элементов
(Bra(a),gla), аф±1,
•: образует функцию (обозначаемую Arctg z), аналитическую в C\({i}U{—г}).
9. Пусть функция </j(z) регулярна в области G и zq — некоторая точка этой
области. Для всякой точки а £ G и всякой кусочно-гладкой кривой ja С G
с началом в точке Zq и концом в точке а, определим величину
/7» = JV(ck
7a
и функцию /7а : £г(а) —► С вида
2
/7.W = /7» + JV(C)dC, 2£fira(a),

§ 20. Аналитическое продолжение. Полные аналитические функции. 209
где ra > О, такое, что ВГа(а) С G. Доказать, что семейство элементов
(Br»,/,J. a eG,
образует функцию, аналитическую в области G.
10. Доказать, что множество значений, принимаемых элементами
аналитической функции Lnz (см. задачу 6) в произвольной точке a S С\{0}.
совпадает с множеством значений выражения
Lna = In ja| + i Arga.
11. Доказать, что множество значений, принимаемых элементами
аналитической функции za (см. задачу 7) в произвольной точке а е С\{0},
совпадает с множеством значений выражения
К} =
a Ln a
12. Доказать, что множество значений, принимаемых элементами
аналитической функции Arctg z (см. пример 8) в произвольной точке а из области
G = {z € С: z ф ±г} совпадает с множеством значений выражения
1 т 1 + га
Ln ■
2г 1 — га
13. Для следующих многозначных выражений и областей G найти
аналитические в области G функции, которые изображаются этими выражениями:
1) {2г}:гдеС = {геС:2/0};
2) {г2Ьп2г}, где G = {z G С: z ф 0}:
3) Ln(l - z2), где G = {z e С: z ф 1, z ф -1};
4) {^ТТ^}, гдеС* = {геС: z ф г. г ф-г}\
5) {n/1 -24}, где G= {z € С: z ф ±г\ гф ±1};
6) Ln ^—^ где G = {z e€: z ф ±i. г/ ±1}.
7) {/z~T^\}.TjxeG = {zeC: гф±1};
8) Ln^—J-. гдеС= {ze С: гф±1}.
14. Пусть функция /: G —> С регулярна и отлична от пуля в области G.
1) Обязано ли выражение {\/j(z)} изображать функцию,
аналитическую в области G9
2) Может ли выражение {у/М} изображать функцию,
аналитическую в области G'!
15. Доказать, что если начальные элементы двух аналитических в области G
функций эквивалентны, то эти функции тождественно равны.

210 Глава 4. Многозначные аналитические функции
16. Доказать, что если какой-либо элемент аналитической в области G
функции эквивалентен нулю, то эта функция тождественно равна нулю.
17. Пусть начальный элемент (Br(a),fo) порождает в области G С С
аналитическую функцию. Доказать, что в области G существует аналитическая
функция с начальным элементом
z
(вР(а),|*/о(С)с*с).
а
18. Доказать, что существует функция, аналитическая во всей комплексной
плоскости с выколотыми точками z = 0 и z = 1, которая изображается
формулой LnLn2.
Указание. Применить результат задачи 17 к элементу (Bi(2),/o), где
19. Доказать существование функций, изображаемых следующими
многозначными формулами и аналитических в данных областях G:
1) {{z + l)a{Lnzf}, где G = {z £ С: z ф О, гф ±1};
2) Ln(z + Vz2 + 1), где G = {z £ С: z ф ±г};
3) Ln(l - #г), где G = {z £ С: z ф О, г ^ 1};
4) yZ + yfi), где G = {z £ С: г ф О, z ^ 1};
5) {-^тгг + Lnz}, где G = {г £ С: г ф 0, z ^ -1};
6) {/TTVhnz}, где G={z£ С: гф 0, гфе}.
оо п
20. Доказать, что сумма степенного ряда Yl z2 является полной аналитиче-
га=0
ской функцией в круге сходимости В\(0) ■=■ {z: \z\ < 1}.
+00
21. Доказать, что в случае, когда радиус сходимости степенного ряда Yl an.zn
п=0
равен единице и все ап > 0, то такой ряд не может быть продолжен в точку
z — 1 (теорема Прингсхейма).
22. Доказать, что функция /, определенная рядом
в круге его сходимости является непосредственным аналитическим про-
+°° (2z\n
должением функции д, определяемой рядом Y1 [ — ) в кРУге его сходи-
п=о \ а )
мости.

§21. Особые точки полных аналитических функций 211
23. Пусть функция / регулярна в окрестности точки z = О, а
последовательность {f^n'(z)} сходится там равномерно и
lim /(n)(0) = 1.
п—>оо
Доказать, что предельная функция этой последовательности
аналитически продолжается в С.
Ответы
14. 1) Нет, пример: f(z) = z2. 2) Может, пример: f(z) = z.
§ 21. Особые точки полных аналитических функций
Справочные сведения
1. Точки границы области определения полной аналитической
функции называются ее особыми точками.
2. Расшифруем данное определение. Пусть аналитическая функция Т
содержит элемент (Br(a),fa) с центром в точке а Е С, и пусть
существует кусочно-гладкая ориентированная кривая 7аЬ с началом в точке а
и концом в точке 6 £ С, такая, что элемент (Вг(а), /п) продолжаем
вдоль любой части 7аг кривой 7аб при z G 7аб\{^}> но не продолжаем
вдоль всей кривой 7аб (т- е- не существует элемента (Br(b),fb) с
центром в точке Ь, являющегося продолжением элемента (Br(a),fa) вдоль
кривой 7аб)- Тогда точка b называется особой точкой аналитической
функции J7 (см. рис. 21.1).
Пусть точка b = оо такова, что при замене переменного z = - в
элементах данной аналитической функции T(z) получаем аналитическую
Рис. 21.1

212 Глава 4. Многозначные аналитические функции
функцию Т I - ), у которой точка £ = 0 является особой точкой. Тогда
точка Ь = оо называется особой точкой аналитической функции J-{z).
3. Наибольший интерес представляют собой изолированные особые
точки.
Пусть z = а — изолированная особая точка полной аналитической
функции J-, Вг(а) — ее проколотая окрестность, принадлежащая
области определения Т. Пусть 7 С Вг(а)—замкнутая ориентированная
жорданова кривая, охватывающая точку z = а. Тогда:
1) если обход по кривой 7 приводит к исходному элементу, то точка
z = а называется особой точкой однозначного характера;
2) если обход 7 приводит к элементу, отличному от исходного, то
z = а называется особой точкой многозначного характера или
точкой ветвления.
В первом случае аналитическое продолжение исходного элемента
в Вг(а) определяет однозначную регулярную в Вг(а) функцию,
являющуюся регулярной ветвью полной аналитической функции Т. Для этой
ветви точка z = а будет согласно классификации § 12 либо полюсом,
либо существенно особой точкой. Так как устранимая особая точка
не является граничной точкой полной аналитической функции (после
доопределения по непрерывности в точке а получаем элемент), то она
не является особой точкой полной аналитической функции.
Пусть а — точка ветвления полной аналитической функции J-, а
(Br(ai), /0)—произвольный элемент с центром в точке а\ € Вц(а)
функции Т. Если существует наименьшее число m € N, m ^ 2, такое,
что в результате аналитического продолжения элемента (Br(ai), /0) по
окружности, лежащей в В^(а), с центром в точке а (или в точке О,
если а = оо), причем с m-кратным ее обходом в одном и том же
направлении, получаем конечный элемент {Br(a{), f\), эквивалентный
элементу (Вг(ах), /о), то говорят, что точка а есть точка ветвления
порядка т. В противном случае, если нет такого конечного т, то
говорят, что точка а есть логарифмическая точка ветвления или точка
ветвления бесконечного порядка.
4. Пусть точка z = а является точкой ветвления конечного
порядка для полной аналитической функции ^(z). Если существует
предел lim T(z) (конечный или бесконечный) по любым элементам
z—>a
(-В|а_ь|(Ь)>/ь) функции ^(z), то точка z = а называется алгебраической
точкой ветвления функции Т(г).

§ 21. Особые точки полных аналитических функций 213
5. Теорема Коши—Адамара. Пусть степенной ряд
j^cn{z-a)n (1)
имеет ненулевой конечный радиус сходимости R. Тогда на границе круга
сходимости Вц{а) лежит хотя бы одна особая точка его суммы.
Примеры с решениями
+ ОС ^
Пример 1. Ряд Yl zn сходится в круге -Bi(O) к функции и расхо-
п=0 1 - Z
дится в каждой точке окружности \z\ = 1, а особой точкой суммы ряда
является лишь одна точка z = 1 — полюс первого порядка.
Пример 2. Ряд
^ п(п+1) ' '
сходится в круге -Bi(O) к функции
S(z) = -z+(l + z)h0(l + z),
где
ho(z) = In |г| + iargrjI z, и argrjI z € (7г, 7г),
при этом очевидно, что ряд (2) абсолютно сходится в любой точке
окружности \z\ ~ 1. Особой точкой суммы ряда (2) является точка
z = — 1, это логарифмическая точка ветвления полной аналитической
функции, получаемой из элемента (Bi(0),S(z)).
Пример 3. Точки 0, эс являются точками ветвления полных
аналитических функций Lnz и tfz. В самом деле, по формулам (1) из §20
при 7 = {z: \z\ — г} с началом в точке а, \а\ = г, после одного
обхода окружности против часовой стрелки получаем другие значения
элементов
ha(a) = ha(a) + 2тп, ga(a) = g(a) ■ e2™'n. (3)
После нескольких обходов окружности из формул (3) получаем, что
у функции д/г точки 0 и эс суть точки ветвления п-го порядка, а у
функции Ln z точки 0 и эс суть логарифмические точки петв.тения.
Пример 4. Рассмотрим аналитическую в С\{1} функцию . ко-
s/z - 1'
торая имеет элемент (В\(2). fo). где регулярная функция /о определена

214 Глава 4. Многозначные аналитические функции
по формуле
/0(Z) = _J=e-(*/8)(AT3,arg(z-l))-
V\z~M
Продолжая элемент (Bi(2),fo) по окружности \z — 1| = 1, получаем, что
точки z = l, оо — точки ветвления 8-го порядка.
Пример 5. Рассмотрим аналитическую в С\{0} функцию cosyfz. Для
этого возьмем элемент (В\(\),до) аналитической функции y/z такой, что
Sb(l) = 1-
При однократном обходе точки 0 по замкнутой кривой значение
функции go(z) меняется на значение — go(z), а функция cosgo(z) в силу
четности cos z не меняется, т. е. аналитическая функция однозначна в С,
причем точка z — оо — существенно особая точка, а точка z = 0 —
правильная точка (т. е. точка, где функция регулярна). Это же видно
из разложения функции cos y/z в степенной ряд
Z Z
cos-v/z = 1 - — + — — ... , \z\ < оо.
Пример 6. Рассмотрим аналитическую в С\{0} функцию sin y/z.
Любой ее элемент можно представить в круге В|а|(а), а ф 0, в виде
регулярной функции
smy/z = g0(z) ( * ~ |[ + |[ _ • • •) = 9o(z)- f(z),
где (-В|а|(а), </о) — элемент аналитической функции y/z, а / — регулярная
в С функция. Таким образом, аналитическая функция sin y/z имеет, как
и функция y/z, точки ветвления второго порядка в точках 0 и оо.
Задачи
1. Найти и исследовать особые точки полных аналитических функций:
1) V/i^rT; 2) </Т^; 3) ™^; 4) Ln^;
у Z Z -+" 1
5) TTS7=> 6) Lnsinz; 7) yVe^T; 8) *
2+ у? ' ' ; v ' ; 2 + Ьпг'
2. Приведенные ниже функции аналитичны в кольце G = {z: О < |z| < 1}.
Определить характер точки ветвления z = 0.
1) -L; 2) ^/Щ. где ОД G Ln(l + г), Л(0) = 0;
3) Ln^-Ц 4) ^i+^i; 5) Ln(^i+z); 6) ^j 7) г^2;
z шг
8) л/Еп~г; 9) v'sinTrz; 10) LnLnz; 11) Lnctg^; 12) е"УЕ^.

§ 21. Особые точки полных аналитических функций 215
Найти и исследовать особые точки полных аналитических функций:
1 • з) - ^ ■
z + V
1 т 1
^—^; 5) у/^-1; 6) -Ln-
Z
Указанные ниже функции аналитичны в плоскости с разрезом по
отрезку [—1.1]. Определить характер особой точки z = сю.
1) ^/ф2-1); 2) Ln(z + v^=T);
г + 1
3) y/h(z), где h(z) € Ln -; h(x) > 0 при х > 1; 4) LnLnz;
5) /Ln^±^, где 5(2) е {V^I}; 5(2) > 0 при х > 1;
22
6) v/bn ^±|^, где 5(2) е {у/^Т}; д(х) < 0 при х > 1;
5. Пусть 2 = а — точка ветвления конечного порядка для функций T(z)
и Q(z). Доказать, что для функций T(z) + G{z) и T(z)Q(z) она также
является точкой ветвления конечного порядка, или изолированной особой
точкой однозначного характера.
6. Пусть z = a — точка ветвления порядка m для функции T(z) и точка
ветвления порядка п для функции Q(z). Определить порядок точки ветвления
z = а для функций T(z) + Q(z) и T(z) ■ Q(z) в предположении, что тип
взаимно просты.
7. Решить предыдущую задачу, предположив, что тип различны, но не
обязательно взаимно просты.
8. Найти и исследовать особые точки полных аналитических функций:
1) ^/2(1-2)2; 2) Arctg2; 3) Ln(2 + v/^TT); 4) (ArcsiiLz)2;
5) sPArcsinz; 6) eArcts*; 7) ^/zAictgz; 8) l""^
9. Пусть функция T(z) аналитична в кольце G — {z: r < \z\ < R}, a
(Br(a), fa) — какой-либо элемент функции T(z) с центром в точке a £ G.
Символом (Br(a), {fa}m) обозначим элемент, получаемый из элемента
(Вг(а), fa) продолжением по окружности 7 = {z: \z\ = \a\}, проходимой m
раз против часовой стрелки. Доказать, что для n-значности функции T(z)
в кольце G необходимо и достаточно, чтобы {fa(z)}m ф fa(z), z £ BT(a),
при m = 1, 2, ... , n - 1, a {fa{z)}n = fa{z), z e Br(a).
10. Пусть 2 = a — точка ветвления порядка n для функции T(z), Доказать,
что выражение Т{а + £п) представляет собой п функций, имеющих точку
С = 0 изолированной особой точкой однозначного характера.
11. Доказать, что если функция T(z) имеет точку z = а точкой ветвления
порядка п. то ее можно представить в виде
z
где функция f(w) имеет точку w — 0 изолированной особой точкой
однозначного характера.

216 Глава 4. Многозначные аналитические функции
12. Пусть функция f(z) регулярна в круге \z — a\ < г, имеет в точке z = a
нуль порядка тине имеет других нулей. Доказать, что выражение y/f(z)
представляет собой:
а) если числа тип взаимно просты, то функцию, аналитическую
в кольце 0< \z — a\ <ги имеющую в точке z — а алгебраическую точку
ветвления порядка п;
б) если m делится на п, то п различных функций, регулярных в круге
\z - a\ < r;
в) если числа тип имеют общий наибольший делитель р, 1 < р < п,
то р различных функций, аналитических в кольце 0 < \z — a\ < r
и имеющих в точке z = а алгебраическую точку ветвления порядка п/р.
13. Доказать, что утверждения а) и в) задачи 12 сохраняют силу и в случае,
когда функция f(z) имеет в точке z = а полюс порядка m и не имеет
в остальных точках круга \z — a\ < г ни нулей, ни полюсов.
14. Доказать, что функцию ^{z), имеющую в точке z = а алгебраическую
точку ветвления порядка п, можно представить в виде T(z) = /( \/z — a),
где функция f{w) регулярна в точке w = 0 или имеет в ней полюс.
15. Доказать, что функцию T{z), имеющую в точке z = а алгебраическую
точку ветвления порядка п, можно представить в виде
П*) = 9o(z) + {z- a)l'ngi{z) + (z - a)2lng2{z) + ...+
+ (z-a)<-1>/nSn_1(z))
где функции gk(z) регулярны в точке z = а или имеют в ней полюсы.
16. Пусть z = a — алгебраическая точка ветвления функции T{z). Доказать,
что существует кольцо 0 < \z — a\ < 5, в котором все элементы
функции T(z) не обращаются в нуль.
17. Пусть z — a — алгебраическая точка ветвления функций T{z) и Q{z).
Доказать, что для функций
?(z) + g(z), ?(z)g(z), Щ
точка z = а мо^кет быть только или алгебраической точкой ветвления,
или полюсом, или устранимой особой точкой.
18. Пусть z = a — алгебраическая точка ветвления функции F(z)
и lim T{z) = Ъ, а w = b — алгебраическая точка ветвления функции
z—*a
Q{w). Доказать, что z = а — алгебраическая точка ветвления функции
g[T{z)}.
19. Пусть z = а — алгебраическая точка ветвления функции F{z)
и lim T(z) = b, з. b ф oo, а функция f(w) регулярна в точке w = b
z—*a
и f'(b) ф 0. Доказать, что точка z = а является алгебраической точкой
ветвления одного и того же порядка для функций f[T{z)] и T{z) (если
! f'(b) = 0, то порядок точки ветвления для функции f[T{z)] может быть
меньше, чем для функции F(z); см. задачу 12).

§ 21. Особые точки полных аналитических функций 217
20. Пусть z = a — алгебраическая точка ветвления второго порядка для
функции F{z) и lim T(z) = b, a w = b — алгебраическая точка ветвления
2—>a
третьего порядка для функции Q(w). Каким может оказаться порядок
точки ветвления z = а для функции ^[^Г(г)] (указать все возможности)?
21. Решить предыдущую задачу для произвольных порядков ветвления m и п
(для функций !F(z) и Q{w) соответственно).
22. Доказать, что если точка z = а является логарифмической точкой
ветвления для функции T{z) и алгебраической точкой ветвления для функции
Q{z) = eF{- \ то предел Q{z) при z —> а может быть равен только или
нулю, или бесконечности.
23. Пусть функция T{z) аналитична в кольце г < \z — a\ < R. Доказать,
что выражение Т{а + сг) представляет собой совокупность конечного или
бесконечного числа функций, регулярных в полосе In г < Re £ < In R.
24. Пусть функция f(z) регулярна в области G, ограниченной простой
кусочно-гладкой кривой, а кривая j лежит в области G, за исключением
ее конца (\ расположенного на границе этой области. Доказать, что если
при некотором к
то точка £ — особая точка функции f(z).
25. Используя результат задачи 24, доказать, что все регулярные ветви
приводимых ниже функций в области G имеют точку ( своей особой точкой
(точка С и область G указаны в скобках после формулы для функции).
1) Arctgz (С = л С= -'': G= {z: \z\ < 1});
2) Ln(z + \/l +z2) (С = г; С = -*, С = ос: G = {z: Re z > 0});
3) Arc-sins (C = 1. С = -1: С = эо: G = {z: Imz > 0});
4) z3Lnz (C = 0; G = {z: \z - \\ < 1}).
26. Доказать, что все регулярные в области G ветви приводимых ниже
функций имеют особую точку в бесконечности (область G указана в скобках):
1) ~ (G = {z: Imz >()}).
2) -L (G={z: Rez>l}).
3) -^- (G={z: 1шг>0}).
z Ln z
Указание. Исследовать точку С = 0 для функции /(1/С)-
27. Доказать, что функция <=-(Ln- допускает выделение регулярных ветвей
в полуплоскости Re с > 0 и что каждая из ветвей имеет особые точки
z = 0 и z = зс.
28. Функция (1 + i<Jz)~~ имеет две ветви, регулярные в верхней
полуплоскости. Доказать, что точка z = эс является особой точкой для обеих ветвей,
а точка z = — 1 только для одной из них.

218 Глава 4. Многозначные аналитические функции
29. Пусть /(г) —регулярная ветвь функции (l + iy/z) , определяемая
условием \fz > 0 при z > 0. Доказать, что если функцию f(z) рассматривать
только как функцию в верхней полуплоскости, то точка z = — 1 является
для нее особой точкой, а если как функцию только в нижней
полуплоскости, то не является особой.
00 -tz
/р
—;^=^ dt регулярна в полуплоскости
0 V1 +12
Re z > 0 и что точка z = 0 является для нее особой точкой.
31. Пусть функция <p{t), непрерывная и положительная при t ^ 0,
удовлетворяет условию
-Mint < In<p(t) < Mint (t>l).
oo
Доказать, что функция f(z) — J ip(t)e~tzdt регулярна в полуплоскости
о
Re z > 0, и что точка z = 0 является для нее особой точкой.
32. Пусть функция ip(t) непрерывна при <^0и удовлетворяет условию
\tp{t) - eiat\ < Me~st, t > 0 (5 > 0, -oo < а < оо).
оо
Доказать, что функцию f(z) = J ip(t)e~tzdt можно аналитически продол-
о
жить на полуплоскость Re г > — 6 с выколотой точкой z = ia, в которой
эта функция имеет простой полюс с главной частью .
z — га
33. Доказать, что аналитическое продолжение каждой из следующих
функций не имеет во всей плоскости никаких особых точек, кроме полюсов.
Найти все полюсы этих функций и главные части в этих полюсах.
оо _( оо _t
!) /lfF^dt' Q>°; 2) /(!+% <**' Q>°;
о ' о
оо . оо
3) 1ттг=-*м> 4) / e~t а е dt> Q>0' f3>0-
34. Пусть функция <p(t) непрерывна и положительна на отрезке [0,1].
Доказать, что функция f(z) = I ^ (ft, регулярная при Imz > О (и даже во
всей плоскости с разрезом по отрезку [0,1]), имеет особые точки z = О
и z = 1.
35. Пусть функция </?(£) регулярная в некоторой области, содержащей
отрезок [0,1]. Доказать, что функция /(г) = J ^ (ft, регулярная при
о b~z
Im z > 0, имеет особые точки г = 0 и z = 1.

§ 21. Особые точки полных аналитических функций 219
36. Пусть радиус сходимости ряда f(z) = J2 anzn равен единице и все
п
коэффициенты а„ действительны. Обозначим Sn = J2 ak- Доказать, что
fc=0
если Sn —» +оо или Sn —> — оо, то точка z = \ — особая.
оо
Указание. Использовать тождество f(z) = (1 — z) J2 Snzn.
ос
37. Доказать, что если на окружности круга сходимости ряда f(z) — J2 anzn
имеется хотя бы один полюс f(z), то ряд расходится во всех точках этой
окружности.
38. Пусть последовательность {cn}, n = 0. 1, 2, ... удовлетворяет условию
|сп + Ле-г(п+1)а| < Ц, п = 0, 1, 2, ..., (Д > 1, -оо < а < оо).
К
оо
Доказать, что функцию f(z) = X] cnZn можно аналитически продолжить
п=0
в круг \z\ < Re выколотой точкой z = ега, причем в точке z = ега
функция f(z) имеет простой полюс с главной частью A(z — ега)~~1.
39. Доказать, что если функция f(z) регулярна в круге \z\ < R, за исключе-
нием простого полюса в точке Rela, с главной частью —, то
z - Reta '
f(z) = J2cnz\
где
\cn + AR-n'le^n+l^\<^~,, n = 0,1,2,... (е > 0).
оо
40. Пусть ряд f(z) = Yl anZn имеет на границе круга сходимости лишь
одну особую точку, а именно полюс z = zo порядка m. Доказать, что
An"1"1
ап = — [1 + е{п)], где е(п) —> 0, при п —» оо, А— постоянная, А ф 0.
41. Доказать, что если на границе круга сходимости степенного ряда
сю
f(z) = J2 anzn лежит лишь одна особая точка z — zq, являющаяся
п=0
полюсом для f{z), то существует предел
urn = zo-
n—>oo an+i
оо
42. Пусть радиус сходимости ряда f(z) = J2 cnzn равен R, 0 < R < оо.
п=0
Введем обозначение:
i/(r, ф) = Иш
/(n)(rei¥;)
l/n
, 0 < г < R. О < <£ < 2тг.

220 Глава 4. Многозначные аналитические функции
Доказать, что:
а) функция v(r, if) является непрерывнеой функцией гир
удовлетворяет неравенству u(r, if) < (Я — r)~l;
б) max u(r, ф) =
0^<2тг R — r
если v(
функции f(z)
г) если ь>('.
функции f(z).
в) если v(r,<p) = — , то точка z = Re%v является особой точкой
г) если v(r,ip) < — , то точка z = Relip не является особой точкой
43. Пусть f(z) = J] cnzn, lim Icnl1'™ = 1, и все коэффициенты сп неотрица-
тельны. Доказать, что точка z = 1 —особая точка функции f(z).
44. Доказать, что утверждение задачи 43 остается в силе и при более слабых
предположениях:
Recn>0 (п>п0), Йт (Recn)1/ra = 1.
^ п—>оо
45. Пусть р и q — некоторые целые положительные числа, а радиус сходимости
оо
ряда f(z) = J] cnznp+q равен единице. Доказать, что:
п=0
а) функция f(z) имеет не менее р особых точек на окружности \z\ = 1;
б) если zq = ега —особая точка функции f(z), то точки
2fc=ei(a+(27rfc/p)); fc = l,2, ... ,р-1,
также являются ее особыми точками.
оо
46. Пусть радиус сходимости ряда f(z) = J2 спгП равен единице и пусть
71 = 0
Сп = 0, когда п делится на р (здесь р —целое положительное число).
Доказать, что:
а) функция f(z) имеет на окружности \z\ = 1 не менее двух особых
точек;
б) если zq — eia —особая точка функции f(z), то среди точек
Zk = e'(°+(2Tfc/p)), fc = i,2, ...,p-l,
есть еще хотя бы одна ее особая точка.
Указание. Воспользоваться легко проверяемым тождеством
р-1
fc=0
^ / (ze2nki/p) = 0.
47. Доказать, что каждая точка окружности \z\ = 1 является особой точкой
для функций
оо сю
1) /(*)= £*2"- 2) f(z)= E^!-
71=0 71=0

§ 21. Особые точки полных аналитических функций 221
Ответы
1) 1. —1—точки ветвления второго порядка; ос—полюс первого
порядка.
2) 1. — 1, ос — точки ветвления третьего порядка.
3) ос — существенно особая точка.
4) 1, — 1 — логарифмические точки ветвления.
5) 0, ос — точки ветвления третьего порядка, —23-полюс первого
порядка.
6) irk. где к = О, ±1, ±2, ... , — логарифмические точки
ветвления, ос — предельная точка точек ветвления.
7) 2тгЫ. где к — 0, ±1, ±2, ... , — точки ветвления третьего
порядка, ос — предельная точка точек ветвления.
8) 0, оо — логарифмические точки ветвления, е-2 — полюс первого
порядка.
1) Точка ветвления второго порядка.
2) Точка ветвления второго порядка.
3) Логарифмическая точка ветвления.
4) Точка ветвления шестого порядка.
5) Логарифмическая точка ветвления.
6) Логарифмическая точка ветвления.
7) Логарифмическая точка ветвления.
8) Логарифмическая точка ветвления.
9) Точка ветвления третьего порядка.
10) Логарифмическая точка ветвления.
11) Логарифмическая точка ветвления.
12) Логарифмическая точка ветвления.
1) 0, ос —точки ветвления второго порядка, 1 — существенно особая
точка.
2) 0, ос—логарифмические точки ветвления, е — полюс первого
порядка.
3) 0. ос — точки ветвления четвертого порядка, 1 — полюс первого
порядка.
4) 0. ос точки ветвления второго порядка, 1 — логарифмическая
точка ветвления.
5) 0 — точка ветвления третьего порядка, 1 — точка ветвления второго
порядка, ос — точка ветвления шестого порядка.
6) 1, ос логарифмические точки ветвления. 0 — полюс первого
порядка.
1) Точка ветвления второго порядка.
2) Логарифмическая точка ветвления.
3) Точка ветвления третьего порядка.

222 Глава 4. Многозначные аналитические функции
4) Логарифмическая точка ветвления.
5) Устранимая особая точка.
6) Точка ветвления третьего порядка.
6. тп.
7. Общее наименьшее кратное чисел тип.
8. 1) 0, 1 — точки ветвления третьего порядка, оо — полюс первого
порядка.
2) г, —г —логарифмические точки ветвления.
3) оо — логарифмическая точка ветвления; г, —г — точки ветвления
второго порядка.
4) сх) — логарифмическая точка ветвления; 1, — 1 — точки ветвления
второго порядка.
5) оо—логарифмическая точка ветвления; 1, — 1 — точки ветвления
второго порядка, 0 — точка ветвления третьего порядка.
6) г, —г — логарифмические точки ветвления.
7) г, —г — логарифмические точки ветвления; 0 — точка ветвления
второго порядка.
8) 1 — точка ветвления второго порядка.
20. Особой точкой однозначного характера, точкой ветвления второго,
третьего или шестого порядка.
21. Функция Q(!F(z)) может быть однозначна или иметь точку ветвления,
порядок которой равен одному из делителей числа тп.
(-1)"
33. 1) Полюсы z = —an, где п = 0, 1, 2, .... с главными частями -—-—.
z + an
2) Полюсы z = —an, где п = 0, 1, 2, ..., с главными частями
(-1)и(п+1)_
(z + an)2
3) Полюсы z = — п, где п = 0, 1, 2, ..., с главными частями
(-1)"п!
(z+n)n+1'
4) Полюсы z = —п, где п = 0, 1, 2, ..., с главными частями -—— а"
z + п

Приложения теории вычетов
§ 22. Разложение мероморфных функций
в ряды простейших дробей
и в бесконечные произведения
Справочные сведения
1. Разложение в ряд простейших (элементарных) дробей
1.1. Правильная система контуров. Пусть Гп(п G N) — замкнутый
кусочно-гладкий положительно ориентированный контур; Gn —область,
ограниченная кривой Г„ (dGn = Гп). Тогда систему контуров {Гп}
называют правильной, если выполняются условия:
а) Gn С Gn+1, n e N; О G d;
б) если dn — min \z\, то dn —> оо при п —> оо;
2бГ„
в) если /п —длина контура Гп, то существует число А > 0 такое, что
для всех п £ N справедливо неравенство
1.2. Теорема Коши. Пусть для мероморфной функции f(z)
существует правильная система контуров {Гп} такая, что выполняются
условия:
а) еп — max |/(г)| —> 0 при п —> ос; (1)
zern
б) лолюсы функции f(z) пронумерованы так, что для любого п £ N
область Gn содержит ровно п первых по порядку полюсов
функции f{z), а на контурах Гп полюсов нет.
Тогда функция f{z) представима в виде ряда простейших
(элементарных) дробей, т. е.
оо
/(*) = £/*(*)> (2)
fc=l
mk c(k)
где fk(z) — Yl 7 ———главная часть ряда Лорана функции f(z)
p=l \z - Zk)P
в окрестности ее полюса z^ кратности т^.

224 Глава 5. Приложения теории вычетов
Ряд (2) в любом круге Вц(0) = {z: \z\ < R} с выброшенными из него
полюсами функции f(z) сходится равномерно.
Замечание. Пусть в теореме Коши выполнены все условия, кроме
условия (1), вместо которого выполняется условие
£n = max|/(z)K C<\ c>0, m е N. (3)
zern
Тогда, добавляя при необходимости еще один контур Г = {z: \z\ < р},
Г — внутри Ti, получаем, что для функции т+1 выполнены все условия
теоремы Коши и поэтому справедливо равенство (2).
2. Разложение в бесконечное произведение. Рассмотрим
бесконечное произведение
оо
П(1 + №))' (4)
fe=l
где fk(z) — функции, регулярные в области G (см. § 8), предполагая, что
ни один из множителей в (4) не обращается в нуль в области G.
Теорема. Пусть целая функция f(z) такова, что мероморфная функ-
f(z)
ция F(z) = . удовлетворяет условиям теоремы Коши и при этом все
J\z)
полюсы Zfe функции f(z) являются простыми. Тогда
/(г) = f(0)eB° U(l~i)
AW, В = Ш. (5)
/(0) . V ;
Бесконечное произведение (5) равномерно сходится в каждой
ограниченной части плоскости.
Примеры с решениями
Пример 1. Разложить мероморфную функцию w = ctgz в ряд,
состоящий из элементарных дробей.
Л Особые точки функции ctgz —полюсы первого порядка Zk = ктг
(fc 6 Z). В качестве правильной системы контуров Гп выберем систему
квадратов (рис. 22.1), где
/п = 4тгп, dn ^~(п-1), ^<1б, neN.

§ 22. Разложение мероморфных функций в ряды lib
±
in
'? Г,
Гз
Jt-
■*
-2 %
. Зл
Рис. 22.1
Пусть точка z лежит на одной из вертикальных сторон квадрата Гп,
тогда
z = — + пт + гу, т € Z, т ^ О,
ctgz =
cos [ — + гу + irm
7Г . \
— + IV + 7Г771
I smiy\
| cosiy\
e~v + ey
^ 1.
Аналогично, если точка z лежит на одной из горизонтальных сторон
квадрата Гп, то
z = x + iyn, где \Уп\ = -т (т € Z, т > 0),
|e«+e-iz| |егх-у„ +e-ix+y„| e-J/„+e2/„ l+e-2|i/„|
Ctg Z\ = f— 7Г7 = b^ г^ТТ-^ ^ -, — = ^Г-т < 2.
-*z| |егх-у„ _е-«+у„| - |e-i,„ _eyn| 1-e-
2|y„|
Итак, функция ctg z ограничена на квадратах Гп, причем каждый
квадрат Г„ содержит ровно п полюсов функции ctg z и на кривых Г„
cts z
нет полюсов этой функции. Функция удовлетворяет условию (1)
z
теоремы Коши.
Найдем главные части fk(z) рядов Лорана функции /(г) =
в ее полюсах z^ = ктт (к € Z).

226 Глава 5. Приложения теорий вычетов
В полюсе zq = О имеем
cte z cos z 2 " 1 , , ч
-5- ~ -g г- = -j + Л(г),
где /i(z)—функция, регулярная в точке z = 0. Следовательно,
/o(z) = р. Точ*
функции /(г), а
*а ( 1 - ^т + ' *
/o(z) = —. Точка Zfc = ктг (к 6 Z, /с ^ 0)—полюс первого порядка
,, . (cosz
res /(z) = I —-
z=zk \ z
2=2fc {smz)'\z=Zk vrfe
Следовательно, /fe(z) = —— г. По теореме Коши (формула (2))
TTKyZ Zfc)
z z2 t—' -кк(г--кк) z2 t—' z \-nk z — itk)''
fc=—oo k=—oo
fe^O fe^O
откуда
ctgz = i+ V * ,.=!+ V (i+i ). (6)
z l—» тгк(г-тгк) z l—* \кк г-тгк! К '
fc=—oo fe=—oo '
fe^O fe^O
Пусть Gn — область, ограниченная контуром Гп, тогда z = 0 6 Ti,
z = 7г б Гг, z = —7г б Гз и т. д. Объединяя в сумме (6) слагаемые,
соответствующие полюсам &7г и — /с7г (/с 6 N), получаем
Ctg Z = - + V ( — + , ) = - + V -= ^=-5- • (7)
ь z ^-^ \z-kir z + k-к I z t—' z2 - к2ж2 К '
fc=l v ' fc=l
Пример 2. Разложить на элементарные дроби функции:
1 „ч 1
~~2 '
sin z
!) <**; 2) —; 3) е«_г

§ 22. Разложение мероморфных функций в ряды 227
чаем
А 1) Так как tgz = — ctg ( z ), то используя формулу (7), полу-
1
7Г
Z-2
^—< 1 7Г , 7Г
fe=l \г — — — 'С7Г z — о' ~*~ /
fc=i
оо
1
+
1
2/с - 1 2/с - 1
2z
откуда
*=1 z2 _ ( ?*__L ж
2) Используя равенство
т-5- = -(ctgz)'
sin2 z
и дифференцируя равномерно сходящийся ряд (6), получаем
sin2 г z2 2-* (z - for)2 Z—' (z- for)2 '
к=—оо к=—оо
кфО
3) Используя равенства
1
,-z/2
_ _ 1 е-'/2 - е*'2 + е*/2 + e~z'2 _ _ 1 z
е* - 1 - е*/2 - е"г/2 ~~ 2 ' ег/2 - е"г/2 ~ 2 + 2
cthC = «'ctg«)
и формулу (7), получаем
сю
-1 2 2 ^
2г
fc=l
г2 + 4к2тг2 "
Пример 3. Разложить функцию sinz в бесконечное произведение.
sin г
А Рассмотрим целую функцию f(z) = . Она имеет нули кратно-
z
сти 1 в точках z^ = кп (к £ Z, к ф 0), а функция

228 Глава 5. Приложения теоривг вычетов
удовлетворяет условиям теоремы о разложении в бесконечное
произведение. Так как /(0) = 1, /'(0) = 0, то по формуле (5) находим
fe=i
=г-П('- = )«^"(' + с)«-'/м.
откуда
sin z
fe=l
= *П i-й? ■
(8)
А
Пример 4. Разложить в бесконечное произведение целую функцию
ег-1.
Д Используя равенства
«■-i-*-/»'""-"*
)=2ЛЬ|,
sh С = — % sin гС
и формулу (8), получаем
°° / 2
fe=l
1. Доказать формулы:
1
1)
2)
3)
Задачи
_I + _J_+ v 2(г - а)
(-1Г.
n= — oo
1 1
+ £
П(-1)П 27Г22
ch 2z — cos 2z 4z2 ' £?1 sh 7rn 4z4 + n47r4'
2. Доказать формулы:
1)
п= — оо
(Z+12-n]

§ 22. Разложение мероморфных функций в ряды 229
„, eaz 1 , 52, 2г ■ cos 2nna — Ажп sin 2жпа _ .,
4 = - + Е 2 , Л 2 2 > 0 < а < 1.
3. Пусть F{z) —целая функция, удовлетворяющая неравенству
\F(z + iy)\ < А/еа|у|, -тг<а<тг,
при всех действительных х я у. Доказать, что
nF(z) _ у^ / ^п F{n)
sin 7гг ^—' 2 — п
Г
4. Доказать, что
,, sinaz 2 52, ( — l)nnsinna
*) ^^Z = ^ E 3 2 > -7Г < a < тг;
1
Sin 7Г2 7Г
n=l
„, chaz 1 , 1 52, , ,._ 2zcosna
2) ZjTZr = — + ~ E (-1) 2^ 2 . -7Г<«<7Г;
Sh7T2 7Г2 7Г n=1 Z + 71
ex: i{Tzn-\-an — az)
3) = E 1 ~^ < a < Ti";
„, v^ / i\r> sina г — п) „
4) E (_1) Z " = О, -7Г < a < тг;
n= — oo г n
_, 7Г2 , Vs» cos а(г-п)
5) —2—=7tq;+ E —;—^—^-- 0 < a < 7Г.
Sin 7Г2 n=-cc (2 - П)
5. Доказать формулы:
e("+g)^ _ i _ /1 I \ i oo / 2az 2/Зг
J (е"-1)(е"*-1) Va /3/ г+^Да2г2 + 4А;27г2 /?222 + 4fc27r V
a/3^0, a^/3;
ОС 1
2) ctg(z-a)+ctga = z E ? w ; r> sina ^ 0;
„^эо (a-7m)(2-a + 7m)
„, sina 52, 2a , _
3) = E ~5—; r?j sina 7^0:
cos г-cos a n=-oo ° — (z + 27m)
, , cos a 52, n — 2a . „
4) : = > 7 r- r—T-, COS a 7*0.
sina —sin2 n=^oo \z ~ a + 27m) (2 + a + (2ra — 1)тг)
6. Пусть f(z) — мероморфная функция с полюсами ai, аг, ... и нулями
6i, 62, ... (каждый нуль пишем столько раз, какова его кратность, а
каждый полюс столько раз, каков его порядок), причем точка г = 0 не
является ни нулем, и полюсом функции f(z). Предположим, что
ос ■ ос
f(z) Z-^z-bn L^z-ar

230 Глава 5. Приложения теории вычетов
причем оба ряда равномерно .сходятся в каждой ограниченной части
плоскости. Доказать, что
n=l \ °n/
причем оба произведения также равномерно сходятся в каждой
ограниченной части плоскости.
7. Доказать формулы:
ОО , 2 ч
1) Shz = z п (i+ -£-*);
„=1 Ч П 7Г /
[1 + (2/7Гп)2]
3) thz^zf]
п=\
1 +
U(n-(l/2))j J
г(п-(1/2)),
4) eaz_ebz = (a_b)2e(l/2)(a+b)z fj Г1+(а-Ь)ага1
П=1 >■ 4n 7Г J
5) e, _ ea = (z _ a)e(*+a)/2 Д ^ + (L^)'] .
6) dlZ-COSZ = Z2 П (1 + T-4-I J?
n=l Ч 4П 7Г /
7)cos7r2-cos7ra = -^(22-a2) fj fl - С^Я П
2 nil L ч 2п У J „^
8) «.«-^b+Dn,^-^^);
Q4 COS 2 — COS О 2 /. 22 \
> 1-coso „jl^y ~ (2тт + а)2У'
1гЛ . , > . г(7г + 2о-г) i-r |\ . г(7г + 2а-г) "1
10) sinfz — a) + sin a = — - 11 < 1 + -—-Л-— <4 ' . >;
' K ' 7T + 2o ny-„l 2тгп(7г(2п-1)-2о)/'
_ г(г - 2a)
ш sin(z-a) ^ S ~ тг2(2п +1)2 - a2 .
(^У
Sill О — Sill 2
71=0
1
2(2 + 2a)
тг2(2гг + 1)2-а2
00 ' (г-1)4
12) e»a+e2»-l = 2e(1/2)(»a+2»-i) П Л+ (in!) V
тг=1 V. 7Г (2n - 1) /
13) e2«*»_e2A» = 2ee*-* fi (! +Va)-
„=1 V 7Г П /

§ 23. Вычисление несобственных интегралов 231
8. Доказать равенства:
v^ 1 тг / .. 1
ctn air
■^—' П2 + О2 2о V 07Г
п=1
£ (^vf = i? U^ + 07rcth07r ~ 2J'
предполагая, что ни один из знаменателей в этих равенствах не
обращается в нуль.
§ 23. Вычисление несобственных интегралов
Справочные сведения
1. Метод вычисления несобственных интегралов с помощью теоремы
Коши о вычетах (см. § 14) состоит в следующем. Пусть требуется
вычислить интеграл от действительной функции /(ж) по какому-либо
(конечному или бесконечному) интервалу (а, Ь) оси Ш. Тогда (а, Ь)
дополняется какой-нибудь кривой Г, которая вместе с интервалом (а, Ь)
ограничивает некоторую область D в С Если функция /(ж) регулярно
продолжается в D (и непрерывно вО),за исключением конечного числа
изолированных особых точек а& G D, к = 1, 2, ... , п, то по теореме
Коши о вычетах получаем
J f(z) dz = j/(z) dx + Jf(z) dz = 2тгг Ij2 /Д f(z) j .
dD a Г V = l ' '
b
Тогда исходный интеграл / = I f{x)dx удается вычислить, если удается
a
вычислить интеграл I f(z) dz или выразить его через /.
2. Заметим, что в теореме Коши dD (граница области D) должна
иметь конечную длину. Если (а, 6) = R, то часто удобно выбирать
отрезок [-R, R] действительной оси, а в качестве дополняющей кривой Г —
полуокружность Г = Гд радиуса R > О, расположенную в верхней
полуплоскости (рис. 23.1), т. е.
Гд = {z: \z\ = R, Imz ^ 0}.
При этом может быть использована следующая теорема.

232 Глава 5. Приложения теории вычетов
R х
Рис. 23.1
Теорема 1. Пусть функция f регулярна в верхней полуплоскости
{z: Imz > 0}, за исключением конечного числа изолированных особых
точек Oi, ... , an и непрерывна вплоть до действительной оси. Тогда,
если
Гя
где TR = {z: \z\ = R, Imz> 0}, то
lim | f(z) dz = 0,
(1)
г (n \
v.p. \ f(x) dx — 2ni I > res f(z) 1 .
(2)
Замечание 1. Существование несобственного интеграла (2) здесь
можно гарантировать лишь в смысле главного значения по Коши.
3. Укажем случаи, в которых выполнено условие (1) теоремы 1.
Случай 1.
Лемма 1. Пусть функция f(z) непрерывна на замкнутом множестве
{z: Imz ^ 0, |z| ^ До > 0} и пусть
lim ДМ(Д) = 0, где M{R) = max \f(z)\.
R—>-+оо г€Гя
Тогда lim I /(z) dz = 0, где Tr = {z: \z\ = R, Imz > 0}.
Гя
Замечание 2. Лемма 1 применима, например, в случае, когда /(z) —
рациональная функция, т. е. /(z) =
Pn(z)
, где Pn(z) и Qm{z) — мно-
Qm{z)
гочлены степеней пит соответственно. Если m ^ п + 2, то интеграл
I /(ж) dx сходится как несобственный и знак v.p. в формуле (2) молено
—сю
опустить. При этом предполагается, что Qm(z) ^ 0 на действительной

§ 23. Вычисление несобственных интегралов 233
-t-oo
;
оси. Для указанного случая формула (2) примет вид
+оо
f(x)dx = 2m У^ res f(z). (3)
_оо lmzfe>0
В формуле (3) содержатся вычеты по всем полюсам функции R(z),
расположенным в верхней полуплоскости.
Случай 2.
Лемма 2 (Жордана). Пусть функция g(z) непрерывна на замкнутом
множестве {z: Imz ^ 0, \z\ ^ Ro > 0} и пусть lim M(R) = О, где
R—>+оо
М(Д) = max \g(z)\, TR = {z: \z\ = R, Imz > 0}.
Тогда, если a > 0, то
lim Г'g(z)eiaz dz = 0.
Гд
С помощью леммы Жордана можно вычислять интегралы вида
/i = I cos ax ■ g(x) dx и/2 = I sinax • gr(x) dx,
—00 —00
где gr(x) — рациональная функция, т.е. g(x) = " , где Р„(ж)
и Qm(x) — многочлены степеней пит соответственно, причем т ^ п+1.
В этом случае интегралы сходятся как несобственные, а формулу (2)
можно записать в виде
+ СО
Д + г/2 = Г g{x)eiaxdx = 2ттг ]Г res (#(.г)егаг) . (4)
_оо lmzfc>0
В равенстве (4) содержатся вычеты по всем полюсам функции
g(z)e%az, расположенным в верхней полуплоскости.
Примеры с решениями
Пример 1. Вычислить интеграл
-оо
h
х j
-—jdx.
Д Функция f(z) — j удовлетворяет условиям леммы 1 и имеет в
области D (рис. 23.1), ограниченной кривой Гд (R > 1) и отрезком

234 Глава 5. Приложения теории вычетов
[-R, R], только две особые точки
Zl = ein/* и г2 = еш'А,
которые являются полюсами первого порядка
_ 1
z=zk J v~/ 4z
находим
Так как res f(z) = -j-~3
, к — 1, 2, то по формуле (3)
z=zk 4zk
I = 2m( res f(z) + res f(z)\ = ^ fe"^4 + e~i3n/4) =
\Z=Z1 2=22 J 4 \ /
-^-(g ' +^3'r/4)=7r 2 =7rC°S4=^
Пример 2. Вычислить интеграл
+0O
-;
т , dx
—oo
(z2+4)3
Л Как и в примере 1, в области D, ограниченной полуокружностью
Гд и отрезком [—R, R], применима лемма 1 (замечание 2) к функции
1
(z2T4)3
единственную особую точку z\ = 2г — полюс третьего порядка. По
формуле (3) находим I = 2m res f(z).
z—2i
f(z) = y~2 ttj, имеющей в верхней полуплоскости {z: Imz > 0}
Так как f(z) = -,— 3> гДе Мг) = (z + 2г) 3, то
res f(z) = I h"(2i) = ЩЛ {z + 2г)"5
г=2г 2 2
z=2i 2-4S'
г о • 3 Зтг
1 = 2m 2-4S = 556
Пример 3. Вычислить интеграл Лапласа
-+-00
/COS OCX
9 dx, a 6
+ х2
Д Если a — 0, то 7(0) = 7Г. Кроме того, 7(a)—четная функция.
Поэтому достаточно вычислить 7(a) при a > 0. Пусть
-Ьоо
/eiax
» dx, где a > 0.
—оо

§ 23. Вычисление несобственных интегралов 235
Тогда 1(a) = Re J(a). К функции
Я*) = 1
+ z*
где a > О,
применима лемма Жордана и поэтому
/(г) dz —> О при Л —> +оо,
где Гд = {г: |г| = Я, Imz ^ 0}.
Функция /(г) имеет в верхней полуплоскости единственную особую
точку го = г — полюс первого порядка, вычет в которой равен
2i
и поэтому по формуле (4) находим
J(a) = 2-7гг ■ res /(г) = 7те~а при a > 0,
z=i
I (a) = Re J (a) = ire~a при а > 0,
/(а) = 7ге-|а|, QGl.
Пример 4. Вычислить интеграл
+ О0
J х2 - 2ж + 5
Л Вычислим интеграл
J
+ 0О
Г(х_
J *
(х - l)ei(-Sx~V
2 - 2х + 5
о?ж
и воспользуемся тем, что / = Im J. К функции
(г-1)е-
■7г
/(г)=р(г)ег«г, где р(г) =
г2 - 2z + 5
применима лемма Жордана и поэтому I /(г) о?г —► 0 при Л —» +оо,
Гя
где Гд = {г: |г| = Л, 1тг ^ 0}. Функция /(г) имеет в верхней
полуплоскости единственную особую точку zq — 1 + 2г — полюс первого
порядка, а
(г - 1)е'(8*-7>
-16
г=1+2г
= * ег(1+16г) = е (cog l + isin ^

236 Глава 5. Приложения теории вычетов
По формуле (4) находим
откуда
J = 2ттг res f(z) = 7re lbi(cos 1 + г sin 1),
г=1+2г
I = ImJ = ire 16cosl.
-t-oo
Пример 5. Вычислить интеграл Дирихле
+оо
I
О
А Пусть TPtR — контур, изображенный на рис. 23.2. Рассмотрим инте-
/eiz
— dz.
г *
1
-R "PO
p Л **
Рис. 23.2
Этот интеграл равен нулю, так как функция elz /z регулярна внутри
контура ГР)д. С другой стороны, он равен сумме интегралов, взятых по
полуокружностям Тр, Гд и отрезкам [—R, — р], [р,R]. Имеем
егг 1
V = j+*(«).
где h(z) — функция, регулярная в точке 2 = 0. Если z € Гр, то
z = peiip, O^ip^ir, dz-ipe^cbp
и
и
I - dz — i I dip — —m.
Функция h(z) ограничена в окрестности точки z = 0 и,
следовательно, £l (р) = Jh{z)dz^0, при р —> +0. Отсюда получаем
/:
dz = — iir + е\(р).

§ 23. Вычисление несобственных интегралов 237
Г eiz
По лемме Жордана £2(-R) = I — dz стремится к нулю при
R —► +оо. Далее, сумма интегралов по отрезкам [-R, —р], [р, R] равна
-р R R R
/е%х Г eix Г gix _ e—ix Г
— dx + I — dx = I dx = 1i I
x J x J x J
-R P P p
Следовательно,
smx ,
dx.
R
/sin x
— dx-iir + e1(p)+e2(R), (5)
p
где £\{p) —> 0 (p —> +0), £2{R) —> 0 (i? —► +oo). Так как интеграл /
сходится, то существует
л
/ sin ж
lim dx = I.
Р
Р^+о J х
R—»+oo p
Переходя в соотношении (5) к пределу при р —► +0, R —► +оо, получаем
2г/ — гтт = 0, откуда / = 7г/2. ▲
Пример 6. Вычислить интеграл
О
-|-оо
= Г , ^\ndX- (6)
J (x + 8)2 w
А В комплексной плоскости с разрезом по лучу [0, +оо) функция
f(z) — ^/Щег^'3, 0 < ip < 27Г, является регулярной ветвью многозначной
функции {^z} (§ 18-19).
Рассмотрим область D — круг {z: \z\ < R}, R > 8, с разрезом
по радиусу [0, R]. Граница этой области Г = 7+ U Сл U 7-, гДе 7+ ~~
верхний берег разреза, Cr — окружность {г: |г| = R}, 7-~нижний
берег разреза, ориентация кривой Г показана на рис. 23.3.
Рис. 23.3

238 Глава 5. Приложения теории вычетов
f(z)
Функция g(z) = 2 регулярна в области D, за исключением
{z + 8)
точки z = — 8 — полюса второго порядка, и непрерывна около Г вплоть
до Г. По теореме о вычетах получаем
/g(z)dz = 2ni res g(z), т.е.
2 = -8
f/%dz+f7^dz+f7^dz = 2niveS7f%. (7)
J (z + 8)2 J (z + 8)2 J (z + 8)2 2=-8(z + 8)2 w
Cr 7+ 7-
Покажем, как с помощью этого равенства молено вычислить
интеграл (6). Рассмотрим поочередно члены равенства (7).
1. Оценим интеграл
'-.to*-
. С
При \z\ = R получаем
\f{z)\ = \fR, |г + 8|>||г|-8|=Д-8>0,
откуда ■ — < ——-. Поэтому
•"* z + 8 Д-8 J
17«1 ^ п> Q^2 ' 27rR -^ ° ПРИ R -* +°°-
(Д-8)2
2. Если г 6 7+, то
/(г) = /(ж + гО) = s/i, ж ^ 0.
Поэтому
J (z + 8)2 J (z + 8)2
7+ 0
Отметим, что при R —» +оо этот интеграл стремится к искомому
интегралу (6).
3. Если z 6 7-, то
f{z) = f{x - гО) = #же2™/3, x > 0.
Поэтому интеграл
R
2 J (z + 8)2dZ e J (z + 8)2^ e 1Ъ
7-

§ 23. Вычисление несобственных интегралов 239
4. Правая часть равенства (7) не зависит от R при R > 8 и равна
2пг ■ res
№
г=-8 г ■
= 2ттг-
= 2ттг
/(*)
32
г=-8
2 е™/з _ _ HI eW3
3(-8) " 6
В результате из равенства (7) при R —> +оо получаем
\_е2жг/з\1 = _™еШ/3
7гг
откуда
пге
7гг/3
6 (1 - е2"/3) 12 е"'/3 - е""'/3 1П. тт 6^
v ; 12 sin —
2г
Пример 7. Вычислить интеграл
2
Д Для вычисления этого интеграла с помощью вычетов регулярно
продолжим подынтегральную функцию с интервала (1,2] в некоторую
область в С, граница которой содержит отрезок [1,2]. Так как
подынтегральная функция при продолжении в С становится многозначной
функцией
{2-zf
., с, то необходимо позаботиться о возможности
z - 1)Л
выделения регулярных ветвей этой функции в полученной области.
Следуя результатам § 18-19, получаем, что в области С\[1, 2] у функции
/(2-г)3]
п -д > существуют регулярные ветви. Выберем такую ее
регулярную ветвь f(z), у которой f(x + гО) > 0 при х £ (1,2). Если для
разреза [1, 2] ввести, как и в предыдущей задаче, два берега: верхний 7+
Рис. 23.4

240 Глава 5. Приложения теории вычетов
и нижний 7_! то эта ветвь f(z) непрерывно продолжима на границу
7+ U 7_ всюду, кроме точки 1. Чтобы выполнялись условия теоремы
Коши о вычетах, нужно исключить точку 1 из границы и рассмотреть
область
Z>(r)=C\([l,2]U{z:|z-l|<r}), где г€(0,1).
В этой области функция f(z) всюду регулярна (кроме оо) и непрерывно
продолжима вплоть до ее границы Гг = Cr U 7^ U ^~, где окружность
Сг = {z: \z — 1| = г} ориентирована по ходу часовой стрелки, rf—
верхний берег разреза отрезка [1 + г, 2] с ориентацией от точки 1 + г
до точки 2, 7^ — нижний берег разреза отрезка [1+г, 2] с ориентацией от
точки 2 до точки 1+г. Таким образом выбранная ориентация границы Гг
является положительной для области D(r).
Так как в области D(r) функция f(z) имеет единственную особую
точку z — оо, то по теореме Коши о вычетах получаем
ff(z)dz + ff(z)dz + ff(z)dz = 2mies^f{z).
(8)
-V4
tr
Покажем, что второе слагаемое левой части (8) стремится к нулю при
г —► +0. Имеем
ff(z)dz < f\f(z)\\dz\
€
<
$(^)35№\=(^)35^г-*0 при г
+0.
Если х £ 7r"> TO fix) =
2-х
х-1) '
I f(z)dz= I f(x)dx—*I при г —> +0.
(9)
Если х G 7г > то
/w = tf Иг!'-4*.
так как
Д7 arg ( ——j ) = -67Г,

§ 23. Вычисление несобственных интегралов 241
где 7 = {z: \z — 2| = е, 0 < е < 1}— окружность, ориентированная по
ходу часовой стрелки. Поэтому
;
f(z)dz
-fori/5/ при г _, +0,
(10)
Найдем res f(z) — —c_i, где c_i —коэффициент при - ряда Лорана
г=оо 2
функции /(л) в окрестности точки z = оо. Если х € К и а; > 2, то
3/5
/И
(2-х)3
(а; - I)3
е гЗтг/5 = е-Зттг/5 (\_ ±
X
1-1
а;
-3/5
37тг
е~— 1
5х
+ •••
5х
-3W5f1+(3_6\ 1 +
5 I х
S(x).
Так как сумма аналитического продолжения полученного ряда 5(z)
и функция f(z) регулярны в кольце {z: \z\ > 2}, причем f(x) — S(x)
для всех х € Ш, х > 2, то по теореме единственности для регулярных
функций
для всех г € С, |л| > 2.
Следовательно,
— „-Зттг/5
е-Зтгг/5 з
fc=2
к
res /Ы = -c_i = -е'3"/5.
z=oo 5
(И)
Переходя к пределу в равенстве (8) с учетом соотношений (9)—(11),
получаем
6
или
III- е-6™/5
=37тг/5
тгге
-37тг/5
2г
-Зя"г/5
Зтг
откуда находим

242 Глава 5. Приложения теории вычетов
Пример 8. Вычислить интеграл
+0О
О
+0О
/In а:
(х + 1)(х
+ 2):
dx.
(12)
А В комплексной плоскости с разрезом по лучу [0, +оо) функция
h(z) = In \z\ + i<p, О < if < 27г является регулярной ветвью многозначной
функции Lnz (§ 17).
Рис. 23.5
Обозначим
R(z) =
, f(z) = R(z)h2(z)
(z+l)(z + 2)2
и рассмотрим область D, граница Г которой показана на рис. 23.5,
где 0 < р < 1, R > 2. В этой области функция f(z) регулярна, за
исключением точек z = — 1, z = — 2, и непрерывна около Г вплоть до Г.
По основной теореме о вычетах получаем
Г /(г) dz+f f(z) dz+ Г f(z) dz +
Cr
7+
+
/f(z) dz = 27гг res f(z) + res f(z)
|_Z = -1 2=-2
(13)
Рассмотрим поочередно члены этого равенства. Так как
\h(z)\ < |ln|z|| +27T, то
ff(z)dz = J
h2{z)dz
J'w* " /(ГГ
(z + l)(z + 2)2
\z)dz
l)(z + 2)2
^
€
(|1пр| + 27г)22тгр
(l_p)(2-p)2
(1пД + 27г)22тгД
(Д-1)(Д-2)2 '
О при р —► +0,
0 при R —► +oo.

§ 23. Вычисление несобственных интегралов 243
Если z € 7+5 TO h(z) — In ж, а если z G 7-> TO h{z) = 1пж + 2ттг. Так
как сумма интегралов по 7+ и 7- в левой части (13) равна
я я
\ \п2 х ■ R(x) dx - I (\nx + 2iri)2R(x)dx =
p p
я я
= — 47гг
р р
то переходя в левой части равенства (13) к пределу при р
R —► +оо, получаем — 4ттг'7 + 47r27i, где
+оо
da;
+0,
J (х + 1
о
)(* + 2)
2 -
Найдем значение правой части (13), которая не зависит от р и R. Так
как z = — 1 — полюс первого порядка, a z = — 2 — полюс второго порядка
функции f(z), то
/>2(z)
2LeV^=(, + 2)2
res /(*) = №
z=-2J У ' \z + l
= (гтг)2 = -тг2
2=-1
I
2 = -2
2/i(z) /i2(z)
2 = -2
z(z+l) (z + l)2_
= 1п2 + гтг- (1п2 + гтг)2 = тг2 + In2 - In2 2 + гтг(1 -2In2).
Из равенства (13) следует, что
-Ami + 4tt27i = 2тгг (in 2 - In2 2 + гтг(1 - 2 In 2)) ,
откуда находим, приравняв действительные и мнимые части и
учитывая, что I\ € R,
7= ^ (In2 2-In 2). ▲
1. Вычислить интегралы:
■> /
— ОО
ОС
») /
a; da;
(^ + 1)(ж2 + 9)'
da;
- 2га; - 2'
Задачи
ч /
а;2 - х + 2
10а;2 - 9
dx;
4) / V^ds;
J х+1

244 Глава 5. Приложения теории вычетов
4 . 1
5) /^TTdx; 6) /
х dx
-оо
Ч /
dx
— оо
+оо
х4 + 6х2 + 25'
(х2 + 9)(х2 + 16)'
«) /
dx
(х2 + I)3
2. Вычислить интегралы:
+оо з
1) I 3-sin3xdx;
; J 1 + х4
—оо
+оо
. г (x+l)sin2x
^ J х2-4х + 8 ЙХ'
+оо
2) /f
cos4x
+ xD
dx;
+00
«> /
(x — 2) cos x
x2 - 6x + 10
dx;
+oo (x + 3) sin —
5) J" 2 , ,_, ^rfx;
x^ + 4x + 20
+oo (x — 4) cos - x
6) J —2—7.— nn dx;
х" - 6x + 90
+oo
+oo
—oo
+00
_, г (2 - x) cos(3x - 2) . г (x-3)sin(x-l) ,,_.
'> J x2-2x + 2 ' j J х2 + 4х + Я dX'
— OO
+ 00
9) | (2x + 3)sin(x + 5)dx; ш
— oo
ii) +f (д34+7д)Г2д^;
-oo
+oo
13) /
x4 + 5x" + 4
cos(3 — 8x)
-oo
+ 00
4x'! - 7x + 5
dx;
12
14
15) Г xsin(2-x)
y J x2 + 2
-OO
+00
17) / С08(1-25д)а*;
-oo x — 4 H—
x
+ 00
19) /
x3cos(l -2x)
(2x2 + l)(x2 + 4)^'
18
dx; 20
x2 + 4x + 5
' ~f (x + 7)cos(x + 2) dx_
— oo
+oo
Г 4х
J x1^
x-1 + 2x + 5
4x2 cos x
8x' + 16
' F sin(3 - 6x)
J Я-г-2 _ 4-r J- .4 '
-oo
+oo
—oo
+oo
/
—oo
+oo
Зх"" - 4x + 3
xcos(l — 2x) ,
x2 + 4
dx;
J Sin(1-3^dx;
-oo x-2 +
+00
i •" /""v"_ "; dx.
x3 sin(2 - x)
(x2 + 2)2
3. Пусть R{z) —рациональная функция, имеющая полюсы ai, «2, ■ ■ ■ , a„ в
верхней полуплоскости и полюсы Ъ\, &2, ... , bm на действительной оси (и
не имеющая других полюсов при Imz > 0). Доказать, что если функция
R(z) удовлетворяет условию R(z) = О ( - J
формула
при z —* оо, то справедлива
°°r n m
v.p. I R(x)eixdx = 27ггУ^ res #(z)eiz + яг У^ res R(z)ei
(при условии, что интеграл в левой части существует).

§ 23. Вычисление несобственных интегралов 245
Указание. Применить теорему о вычетах к интегралу от функции
R(z)elz по границе области
{z: Imz > 0, \z\ < R, \z - h\ > p1,... ,\z - bm\ > pm},
а затем перейти к пределу при R —> +ос, рк —> +0. Пределы интегралов
по малым окружностям будут, вообще говоря, отличны от нуля.
4. Вычислить интегралы:
ос
1 -elax
х
2— dx, а) а > 0; б) а < 0;
— ос
+ оо
„ч Г 1 - cos ax
2) J 2 dx, а > 0;
о x
+ CO / , ч П
3) J ( 2|2 j dx, n = 2, 3, 4;
+ OC
,ч г cos 2ax — cos 2bz , „ ,
4) J z dx, а > 0. b > 0;
о г
+oo
5) Г Slnfflz rfa.; a > 0, Reb>0;
•^ x(x +6 )
+°° 2 Л2 ■
6) I —, о dx, a > 0, Reb>0;
J x2 + b2 x
+ oo . 2
7) I „/ 9 ot^i a > 0, Re6>0;
•^ г (г + b )
/г — sin x , _
Q/ , ~- ax, Rea>0.
0 x3(x2 + a2)
5. Вычислить интегралы:
2 2
3) ((x-3)Vx-x»; 4){xTiV6^d:E;
5 ,^= r= 1
5) f ^(5 ~ X)T dx; 6) f^EfLcfa;
; J x2 - bx - 6 ; J, x2 - 3x + 2
0 _l
7ч Г dx s г ^/х2(2 - z)
0 J (, + 2)2^(3^)' "j J (x + 2)2 **'
3 1
9) f t/(3-x)x4x: 10) fv^? , &;
о о x +
1 i , 0
11) Ul\^y\t2Q dx; 12) Г./-!-!^^.
_lV1_a; (x + 2)2 _j V x3z + 4

246 Глава 5. Приложения теории вычетов
6. Вычислить интегралы:
1) y^J^-V-dx;
1
аГ + Зя
з) /
»> I
yfx In xdx
In xdx
о
Ч /
(х+1)(2х + 1)Ух"'
dx
J ^х"(х+1)2
7. Вычислить интегралы:
1) Г / nxs2dx;
In xdx
(х2 + 1)2''
х In х ,
2 1 \2 <*2''
+оо
3) /
О
« /
О
(х2 + I)2
7) /
dx;
о
Ч /
О
lnx
Х^Л
1п2х
(х2 + I)2
dx;
11
13
15
17
19
21
23
25
J shx
—оо
Г -^— dx;
J chx
j(lnT^) ^
boo
/
О
hoo
/
О
1
/■
+ oo
dx
•J (x2 + 7r2)chx'
J (х2 + 9тг2)спх'
dx
/ 1 _L
('"B)
+ oo
l x2 +
+ 9тг"
lnx da;
+oo
2) Г ln(x-2)_
; J (x2-1)7x^2
4) f !E£ dx-
' J (х + 1)^з '
+ °o
6) J (х2 + 1)л/х^Т;
V^lnx
+oo
8>/^
0
+oo
(x + l)(x + 2)
dx.
2) /
0
+ 00
In x dx
x2 + 2x + 2'
.4 Г In xdx
j J (x + l)(x2 + l)''
+ oo
x2lnx
6) / wf^dx;
dx;
J0 (^ + 1)
+°° / i \ 5
s» / (Й)
+oo / x 3
">> / (£r) *
12> / -iT^-i
•i sh x ch x
+ 00 , ч 3
14) / (£)2&;
1
1-х dx
+ «
20) /
exdx
(x2 + 7r2)chx'
+ 00
22) /
dx
2 „ , _2\ >
^ (Х+1)(1П2Х+7Г2)
24)/
xdx
2 l
2
2ax cos Л + a
0 (lnr^) +*
a > 0, a < Л < 7Г.

§ 23. Вычисление несобственных интегралов 247
8. Пусть R(z) — рациональная функция, непрерывная и действительная при
действительных значениях z, a a\, ... , ап — ее полюсы, лежащие в
верхней полуплоскости. В предположении сходимости интегралов доказать
формулы:
+°° п
1) I R(x)ln \х — a\dx = — 27rlm J2 res R{z)q{z)
J ,-1 2=ds
— OO 3—J.
(здесь а — действительное число, а g(z)—произвольная ветвь
многозначной функции hn(z — а), регулярная в верхней полуплоскости);
2) R{x)\x-a\a-1dx = — Ira V res R{z)g{z)
•J 7ГО: 1 z = a„
, 7ra
slnT
s=l-
(здесь а — действительное число, а > 0, a g(z) — ветвь многозначной
функции I —:— J , регулярная в верхней полуплоскости и положитель-
г-я,
ная при положительных значениях );
г
3) Г R(x) In \x2 - a2\dx = -2ттГт ]Г res R(z)g(z)
_ s=i2=a»
(здесь a > 0, а <?(,г) — произвольная ветвь многозначной функции
Ln(z2 — а2), регулярная в верхней полуплоскости);
+ °° п
4) Г Д(я) ln(x2 + a2) dx = -4тг1га ]Г res R{z)g{z)
J i z=a„
— oo s—j.
(здесь a > 0, a g(г)—произвольная ветвь многозначной функции
Ln(z + аг), регулярная в верхней полуплоскости).
9. Вычислить интегралы:
ц 7^?* «Т^* »)7ь",;*+а)
— оо —оо —оо
+ ос + оо
4, /у^ттт^ 5, ;_^-5™>
dx:
-оо —оо
+оо „ +оо
1п(х2 + 2х + 2) , . Г ln(l + х2) dx
{ (х2 +1)2 ^ П I х2 ГТ^:
+ оо +оо
arete, x dx ^ч Г , Ч2 ^
/arete х dx _ч Г , ,-.
-^hrr^-> 9) J (arct^)
о х 1+г о
10) Г 7arctgX \п(х2 + 1) dx
11
х2 - 4х + 5
ч Г л/л/х2 + 1 + х - л/л/х2 + 1 -"х ,

248 Глава 5. Приложения теории вычетов
+оо
12) f (у у/1 + X2 + X + vVl + X2 - X - 2) Щ;
+оо
13) /
у/у/1 + х2 + х - vVl + x2 -:
О
+оо
с%/Г+1
dx;
14) j" ^уДх^Та2){х2 + Ь2)+х2-аЬ-^-^, а > О, 6>0
(*2 + I)2
10. Доказать, что
+ оо
dx 7Г
1
2n . 2m + 1 '
где тип, т < п, — целые неотрицательные числа, рассмотрев интеграл
от функции z2m(l + г2™)-1 по границе угла 0 < argz < —.
11. Вычислить интегралы:
+ 0О
.. Г xdx
■I. (4ж2 + 7Г2) shx'
+00
, Г е riz
+ 00
sh2 xdx
/sh a:
„ (4ж2 + 7Г
«>/
_^ (4s + 7г ) сЬж
-oo
+00
£ (4s2 + 97r2)sha:'
£ (4ж2+тг2)сЬ2ж
+ oo +oo
/1пжяж „, Г уж In a; ,
„ (х2 + 1)(41п2х + 9тГ2)'' j l (х2-1)(1п2х + тг2) ;
+ °° 1 / AT T\ +°°
rln(x + V^T) f ln* + ^gli-*^;
•{ ж2 ; J x - y/x2-l x2 + 1'
/In жйж
0 (х2 + а2)(41п2х + тг2)' a> ;
г In f x + y/x2 — a2 ) ,
10) J ^ 2 , _2 ^cfcr, a>0;
+00
x2 +a2
a dx
11) f arctg -7"* ,, a>0;
J ж ух2 — а2
a v
+? ln^e* + Ve2* - e2a )
СПЖ
dx.
1.
2.
Ответы
1) j; 2) g; 3) 0; 4) Zfi; 5) f; 6) J; 7) i; 8) f.
2) ^е"4 + ^е-2(со8 2\/3 + \/38т2^3);
О О

§ 23. Вычисление несобственных интегралов 249
3) 7ге 4 I cos4 + - sin4 J; 4) 7ге х (cos3 — sin3);
5) ^-(4cosl-sinl); 6) - Ц— (cos2 + 9sin2);
7) 7re'3(cosl +sinl); 8) 7re_1(5sin3 + cos3);
9) |e-2(4cos3-sin3); 10) 7re~2(3cos 1 - sin 1);
11) 7r(2e-2-e"4)
12) -же
-2.
13) 27rsinl2^-=^; 14) 2ttcos4%=^
15)
—= cos2: 16) —rsinl;
17) 7re-2(2cos3-sin3); 18) -^ (2cos2 + sin2);
19)
27rsin 1
1
2e
У2
20)
7r(v/2-2) cos 2
„V2
1) а) тга, б) -тга; 2) ^; 3) I2 = £, I3
Зтг
4) тг(б-а); 5) ^ (1 - e~ab)
6)
|+тге-аЬ;
тга _ *_ .
' 2b2 4b3 1
-2аЬч
'> ^ 2| S; 3) 57!=
4) -■
j 2'
5) vM6^-^
15
4
7г(2^-3);
7)
17тг
40v/10'
ff|— -1
9)
sin
2тг_
7!;
10) ttv/G; 11) ^;
3
12) 0.
1) fin 2; 2)
^J; 3) ^; 4) -v^tt2:
2^3 4
7Г 37Г
5) -тгч/21п2; 6) -^cos^; 7)
v2
7T\/21n2.
5 sin
7. 1) 0; 2) ^ln2; 3) -J; 4) -g; 5) 0: 6) J;
7. f
13) ?
2тг2
9) ZL; io) Ютг2; 11) —: 12) —:
; 16' ; > 2 ' 8
14) ^(20 + 79тг2); 15) ~: 16) ^ In2:

250 Глава 5. Приложения теории вычетов
17) ^(1п22 + 7г2); 18) Ц-; 19) * - h 20) 1;
6 о 7Г I
21) К^~^); 22)^ 23)^~i; 24)^; ^ А1Па
6 тг2 '12' ' а sin A'
1) 21/63-1/27rv/2 + V3; 2) тг1п2; 3) тгЬ ^4 +v^+4«A±^j;
4) тг; 5) тг«/Щ±1; 6)Jln5-|; 7)тг(1-1п2);
9.
8) |1п2; 9) тг1п2; 10) ^тг21п2; 11) — 1п(>/2 + 1);
12) |; 13) тг; 14) J д/^ + ЩП).
И- 1) ^; 2) I; 3) 1; 4) ^; 5) 0; 6) f 7) f;
8) тг1п(1 + У2); gjJ^ + ^L.); 10)^ln(l + V2);
11) Jlna + 7rln(l + V2); 12) |ln^g+|.
§ 24. Интегралы, сводящиеся к гамма-функции
Справочные сведения
1. Гамма-функция Эйлера Г(г) для точек z € С, Re 2 > О
определяется интегралом по положительной полуоси:
+ 0О
Г(»= Г**-1е-*<Й,
о
где под tz 1 при £ > О понимается функция e^z 1)lnt. Данный интеграл
равномерно по z сходится на любом компакте, лежащем в полуплоскости
{z: Rez> 0}.
Перечислим основные свойства гамма-функции.
1) Функция T(z) регулярна в полуплоскости {z: Re z > 0} и может
быть аналитически продолжена на всю плоскость С с выколотыми
точками zn — —п (п € Z, п ^ 0).
2) В точках Zn = —n (n E Z, п ^ 0) гамма-функция имеет полюсы
первого порядка, причем
res Г(г) = ^—^ (п е Z, n ^ 0).

§ 24. Интегралы, сводящиеся к гамма-функции 251
3) Для всех z € С справедлива рекуррентная формула
T(z + l) = zT{z).
4) Для всех z € С справедливы формулы дополнения:
Г(г) • Г(-2) = - —— , Г(2)-Г(1-2) =
zsmnz
T(l+z)-T{l-z)
zsmnz smnz
TIZ
Sin7T,Z
(при целых z каждая из частей этих равенств обращается в
бесконечность),
т(иЛ.т(1-Л= -
2 I \ 2 I cosnz
5) С помощью рекуррентной формулы и формул дополнения молено
находить точные значения Г(г) в отдельных точках z. В частности,
Г(1) = 1; Г(га + 1) = га! (га € N);
Г(1/2) = v^; Г(-1/2) = -2у^;
Г(п + 1/2) = ^1'3-5-"(2п-1) (neN);
( — 2)п
rt-. + l/i)'^!.,.,',.' _„ (»€
1
B(z,™)= fr^Hl-r)--^
2. Бета-функция Эйлера B(-z,w) для всех 2,it> € С, Re2 > О,
Rett» > 0 определяется формулой
1
Чт.
о
Бета-функция выражается через гамма-функцию по формуле
_, , T(z)T(w)
В(2,го) — —-^——$- , которая позволяет аналитически продолжить бета-
T(z + if)
функцию на всю комплексную плоскость значений z и w.
Примеры с решениями
Пример 1. Выразить через значения гамма-функции интеграл
1
)Чх,
-1
где р, g € М, р > —1, g > —1.
/= Г(1-ж)Р(1+а;)«

252 Глава 5. Приложения теории вычетов
Л Делаем замену переменного:
х-\-1
х = It — 1, £ = —-— , dx = 2 <й,
если х G [—1; 1], то t G [0; 1].
Тогда, используя формулы для бета-функции, получаем
1
1= f{l-(2t-l))p-{l + (2t~l))q-2dt =
о
1 1
= f(2-2t)p-(2t)q-2dt = 2p+q+1 ftq(l-t)pdt =
о о
= 2p+q+! В(« + 1,Р + 1) = 2»+*+1 rt+1)r(g^1} •
Пример 2. Выразить через значения гамма-функции интеграл
1
/ = J>'(i-,»r4.,
о
где p,q,m G M, p,q,m> 0.
Л Делаем замену переменного
хт = £, х = £™, dx = —t^^dt,
m
если х G [0; 1], то t G [0; 1].
Используя формулы для бета-функции, получаем
1
1 = ft2Zr(l-t)q-1-tm-1dt =
J ГП
О
Г(£|Г(,)
= ir«s-.(i-«r'*-±B(*.0-i.-W4
0 4m V
Пример З. Выразить через значения гамма-функции интеграл
тг/2
1= I sinp_1<pcos9_1<pdc/;,
о
где p,g6l, p,g > 0.

§ 24. Интегралы, сводящиеся к гамма-функции 253
А Делаем подстановку
х = sin ip, cos ip = у 1 — sin2 <p> — (1 — ж2)1'2,
dx = cos (/? d<p, d(/? = = —-p-,
если (/? e [0; 7г/2], то ж £ [0; 1].
Интеграл / сводится к интегралу из примера 2:
1
г f тР-1(1 _т2\(9-1)/2__<&: _
J U j (l-z2)1/2~
О
fxP-\l - x2)^-ldx = I V \2
Jo 2 r(£±«)
Пример 4. Выразить через значения гамма-функции интеграл
7г/2
J = I tgr v?d(^, где г £ М, -1 < г < 1.
о
Л Сведем интеграл / к интегралу из примера 3:
■к/2
1= I s'mr (p cos~r ip dip,
о
где р = г + I, q — 1 — г.
Получим
/= ! V 2 У V 2 7 = 1Г( L±1)Y ll'T
2 /r + 1 + 1 -r\ 2 \ 2 / \ 2
так как Г(1) — 1.
Ответ можно упростить, исключив из него гамма-функцию. Если
г + 1 ,
взять г = —-—, то по формуле приведения получаем
sin 7TZ . I Т + 1 \ 7ГГ
Sill I 7Г ] COS
откуда 1 =
■кг
2 cos —
2

254 Глава 5. Приложения теории вычетов
Пример 5. Выразить через значения гамма-функции интеграл
1
fm^-dx,
гдереМ, р> -1.
А Делаем замену переменной
In — = t, x = e_t, dx = —e~tdt,
x
если x £ [0; 1], то t меняется от +оо до 0.
Используя представление гамма-функции в виде интеграла,
получаем
О +оо
/= ftp(-e-t)dt= Гtve-bdt = T($ + l). к
+оо
О
Пример 6. Выразить через значения гамма-функции интеграл
/= f t'-V**,
где z G С, 0 < Rez < 1. <;
А Если г, R > 0, г < R, то рассмотрим область
D(r,R) = {z:r< \z\ < R, 0 < argz < тг/2}
(рис. 24.1).
Рис. 24.1

§ 24. Интегралы, сводящиеся к гамма-функции 255
Заметим, что граница D(r, R) состоит из дуг окружностей
Cr = {z: \z\ = R, 0 < argz ^ тг/2},
Cr = {z: \z\ — r, 0 < argz ^ тг/2}
и отрезков [r, R], [ir, iR].
Пусть f(() = (z~1e~*>, ( € С. Тогда по теореме Коши
f /(CR =
0,
dD+(r,R)
т. e.
R
J /(CR + J /(CR + J /(CR + J /(CR = 0.
:d
Cr r C+ iR
Если С € Cr, to |C2_11 ^ Rx~l стремится к нулю при R —> +оо (по
условию х = Rez < 1). Поэтому по лемме Жордана
J~/(CR^0 (Д^+ос).
сг
Если С, € Сг, то \(z | ^ гх . Поэтому
//(СК < /l/COI-MCI = r—1 J^|dCI =
= г
I 7ГГ 7ГГа
0 (г->+0),
так как по условию х = Rez > 0. Переходя к пределу при г
R —у +оо в равенстве (1), получаем
0 0
0 0
+о,
т. е.
e~ltdt,

256 Глава 5. Приложения теории вычетов
откуда
+0О
Г tz-le-udt = T(z)e-™/2.
о
Пример 7. Выразить через значения гамма-функции интегралы
I cosxndx, I sinxndx, n G N, n > 2.
А Используя результат примера 6, где z = —, n G N, n ^ 2, получаем
71
+ 0О
fl\ е-«/2» = Г ^-1е-«сЙ = J.
+ 0О
/1 \
г
О
Делаем в интеграле замену переменной
tn = X, t = ХП.
Тогда
dt = nxn~1dx = nt (n"1)/ndx,
откуда
1= С t(1-nVne-ixnnt(n-1Vndx = n С e~ixndx,
о о
о
Выделяя в этом равенстве действительные и мнимые части,
получаем соответственно
/cosxndx = — Г I — ) cos — ,
п \nj 2n
о
/sin xndx = - Г I - 1 sin —- .

§ 24. Интегралы, сводящиеся к гамма-функции 257
В частности, при п = 2 имеем
+ 0С
Г 2j 1Г /1\ 7Г 1 /- 1
J cos х ax = - L I - I cos — = - л/тг
2 V2/ 4 2 v^ 2^2'
/2 , 1 _ / 1 \ . 7Г л/7Г
sinidi = - I |-| sin — =
2 V27 4 2у"2
Задачи
1. Доказать формулы:
1) B(z,C) = B(C,*);
2) B(m.n) = С™ (m, n = 1, 2, ... . m< n);
3) в(г + 1,С) = -^7В(г,С);
г + С,
4) Г(п + z + 1) = (п + z)(n + z-!)■■■ zT(z) (n = 1, 2,
2. Доказать формулы:
1) J xze-x2dx= -Г
1г/г+1
0
(Rez > -1)
2) Г a^e^'ate = -Г ( ^±1 ) (p > 0, Rez > -1);
0 P \ P J
3) f tz-1e-(tdt = (~zr(z) (Rez>0, |argC| < £)
о 2
4) f ^-1cosidt = r(z)cos— (0<Rez>l);
о 2
5) J f*_1sinf <#
0
+ OC
r(z)sin^, z/0(-KReKl)
7Г
2! '
z = 0;
6) f™.
„, Г 1- COS X-
p~dX~~ p-l' \pl ~~"2p
rfMcosjl fp>i|;
0
+OC
d:r = S г Г - cos — \ p > -
(p-l)(2p-l) \pl 2p \F 2
j e-x* cosp\ ms(xp sinpx)dx = -Г ( -) cos Л
0
^ 7Г , 7Г
P>0'-2p-<A<2p-

258 Глава 5. Приложения теории вычетов
9) Г xz-xe-xP cos A sin(xP sin X)dx = - Г ( - ] sin —
J0 P \Pj P
(r*z>0, p>l, - | < A < JV
3. Доказать формулы:
1) /t"-^! - t2)'3-1^ = | В Г|, /з") (Rea>0, Re/3>0);
2) fta-1(l-tP)l3~1dt=-B(-,p\ (p>0, Rea>0, Re^>0);
3) J ' 7+g = B(a, /3) (Rea > 0, Re/? > 0);
о U + rJ
4> J (£& = £»(!•'-?) («•»>O.R.(fl-|)>o);
4. Доказать формулы:
!) | '(7+^(^X7 d* = 2"(a/2bl B (f » /») (Rea>0,Re/?>0);
2) J'a"1(1"{?H>=12-(a/rtBfS,^
' J0 (i+t*)<e/p>+" p Vp /
(здесь p > 0, Re a > 0, Re /9 > 0);
з) I (1+ГЛ1°+/"1 Л=2a+/3_1(a+i)_a(a -i)_/3 в^ #
_1 V1 + a)
(здесь a > 1, Re a > 0, Re (3 > 0);
5. 1) Пусть Rea > 0, Re/3 > 0. Доказать, что
2) При а > 0, Re a > 0, Re /? > 0 доказать, что
J / , ■ 2 J+0 «V = о (a + 1) aa "В(а, /3).
■{, (a + sin v?) TP ^
3) При | Rea| < | Re/?| доказать, что
/e-(chx)-^x = 2'3-1B(^, ^J.

§ 24. Интегралы, сводящиеся к гамма-функции 259
4) При |Rea| < |Re/3| доказать, что
JQ (спж)р \ 2. I
5) При Re а > 0, Re(a + 0) < 0 доказать, что
Г (sha;)2Q-1(chx)2/3-1dx = - в(а, -а - /3).
о 2
6. Пусть Г — произвольная спрямляемая кривая, идущая из точки z = — —
в точку z = —, оставаясь в полуплоскости {г: Imz > 0}. Под (sinz)"
на кривой Г мы будем понимать ту ветвь этой функции в полуплоскости
{z: Imz > 0}, которая обращается в единицу в точке z = — —. Доказать,
что при всех комплексных значениях а справедлива формула
(smz) dz = Б
J ^,~, „~ 2 " ^ 2 ' 2
Г
7. Пусть Г — произвольная спрямляемая кривая, идущая из точки z — —г
в точку z = г. оставаясь в полуплоскости {г: Rez > 0}. Под г™'1
и (z2 + l)'3-1 на кривой Г мы будем понимать те ветви этих функций
в полуплоскости {z: Re z > 0}, которые обращаются в единицу в точках
z = 1 и z — 0 соответственно. Доказать, что при Re/? > 0 и при любом
комплексном значении а справедлива формула
;
Г
га" V + l)^1 йг = icos ^ В ( ^ ,/? ) .
8. Доказать, что
1) при любом а и при Re /3 > 0
2
;
i \0~i j п-в ■ т(13 — a) i a — P + 1
(cosip)^ cosa(pdip = 2 p sin —^—-—-B1
о
2) при любом а и при Re/3 > — -
-Л-/2
Г (cos <^)2/3 cos2 aip dip = 2~2/3~2 coS7r(a - 0) B(a - /3, 2/3) + ^ В ( 0 + \
1 1
2
о
3) при Re/3 < 1 и Re(a - /3) > 0
J (sha;
0
dx=2^B(^l,l-0

260 Глава 5. Приложения теории вычетов
4) npHRe/3>-l, Re(a +/3) < О, Re(a - /3) > 0,
oo
f{shxfshaxdx = 2-0-2
в(Р + 1,-^)~в(р + 1,а~0
9. Доказать, что при Re a > 0, Re/J > О
тг/4
Г (cos tp - sin v)2""1 (cosip + sin¥г)23-1^ = 2а+"~2 в(о, /J).
-тг/4
10. Доказать, что при 0 < Re a < 1 справедлива формула
тг/4
I
-тг/4
11. Доказать формулу
COS <£ — Sin if
cos <£> + sin ip
2a-l
С?(/? :
2 sin 7ra
^/е'г*Л = щ-
где Г — положительно ориентированная граница области
{t:\t\>p, | argi| <7Г-?7}, (О^ту^
7Г
12. Обозначим через Dap полуплоскость {г: Re г < <т}, из которой
выброшены круги {г: |г + п| < р}, п = 1, 2, ... . Доказать, что при любых
фиксированных значениях постоянных р > 0, <т и m справедливо
неравенство
|Г(г)КМ(1 + |г|)-то (Z6DJ
с некоторой постоянной М, зависящей от выбора чисел р, а, тп.
13. Доказать, что
Г(£+*
сптг£'
-оо < £ < оо.
14. Доказать, что при любых значениях s, лежащих в угле {s: | args| < — },
справедлива формула
5+ioo
z)s г dz = е~

Конформные отображения
§ 25. Геометрический смысл производной
Справочные сведения
Пусть функция w = /(г) регулярна в точке го 6 С (т. е. ее
производная f'(z) существует в некоторой окрестности точки го) и пусть
ГЫ Ф о.
Рассмотрим гладкую кривую Г на С, проходящую через точку го
(считаем, что Г принадлежит окрестности точки го, в которой
существует /'(г)). Ее образ Г' = /(Г)—также гладкая кривая, проходящая
через точку wq = /(го). Для произвольной точки г 6 Г, г ^ го,
обозначим Аг = z — го, Aw = /(г) — /(го) = w — wq.
Поскольку существует и не равна нулю производная /'(го), то
Aw = /'(го)Аг + о(Лг), откуда
arg /'(г0) = arg b' - arg 6, (2)
где Ь' — касательный вектор к кривой Г' в точке ivq, Ь — касательный
вектор к кривой Г в точке го, причем в силу неоднозначности arg
равенство (2) следует понимать с точностью до слагаемого 2ттп.
1. Постоянство линейных растяжений
1.1. Правая часть формулы (1) является коэффициентом линейного
растяжения кривой Г в точке zq при отображении /. Как видно из
равенства (1), эта величина для заданной точки го не зависит от выбора
гладкой кривой Г и равна |/'(го)|. Это свойство называется свойством
постоянства линейных растяжений отображения / в точке zq.
Итак, геометрический смысл модуля производной состоит в том, что
|/'(го)| — это коэффициент линейного растяжения в точке zq.
1.2. Если / взаимно-однозначно переводит кривую Г в кривую Г', то их
длины можно вычислить соответственно по формулам:
l(F) = f\dz\, l(r') = f\dw\=f\f'(z)\\dz\. (3)
Г Г' Г
Отсюда следует, что величина |/'(г)| является коэффициентом
линейного растяжения кривой Г в точке г при отображении /.

262 Глава 6. Конформные отображения
1.3. Из формулы (1) также следует, что
|Дад| = |/'(зд)||Дг| + о(|Д2|),
т. е. при отображении w = f(z) окружность {z: \z — zq\ = р} с точностью
до о(р) переходит в окружность {w: \w — wq\ = p|/'(zo)|}. Поэтому
свойство постоянства растяжений называется также свойством сохранения
окружности в малом при отображении w = f(z).
2. Сохранение угла между кривыми
2.1. Правая часть формулы (2)—это угол поворота кривой Г
в точке zq. Как показывает формула (2), угол поворота в точке zq
один и тот же для всех гладких кривых Г и равен arg/'(zo).
Таким образом, геометрический смысл аргумента производной
состоит в том, что arg/'(zo) —это угол поворота кривых в точке zq.
2.2. Если Т\ и Г2~две разные гладкие кривые, проходящие через
точку zq, то при рассматриваемом отображении w = f(z) каждая
из них повернется на один и тот же угол, равный arg/'(zo). Отсюда
получается следующее свойство сохранения углов: при отображении
w = f(z) угол между кривыми Т\ и Г2 в точке zq равен углу между
их образами (соответственно Т\ и Г"2) в точке wq = f(zo); при этом
кривые поворачиваются в одном и том же направлении.
3. Коэффициент растяжения областей. Если отображение
w - f{z) = и(х, у) + iv(x,у)
регулярно в области D С С, то из условий Коши—Римана следует, что
для отображения
и = и(х,у), v = v(x,y)
якобиан равен
(ди ди\
дх ду/
т. е.
J(z) = J(x,y) = \f'(z)\2.
Если при этом функция / осуществляет взаимно-однозначное
отображение области D на область G С С, то площадь области G равна
5(G) = Jjdudv = JJ\J(x,y)\dxdy = JJ\f'(z)\2dxdy. (4)
G D D
du dv du dv _ (du\ (dv\
дх ду ду дх \dxJ \dxJ '

§ 25. Геометрический смысл производной 263
Примеры с решениями
Пример 1. Найти множество всех точек zq & С, в которых коэффи-
,- с, х az + b
циент линейного растяжения при отображении w = j(z) — ;—;, где
а, Ь, с, d € С, сф 0, ad — Ъсф О, равен единице.
cz + d
А Так как коэффициент линейного растяжения в точке zq равен
|/'(*о)|, то
Откуда
1 = 1/'Ы1 =
\ad — bc\ = \czq + d\2,
ad — be
(cz0 + df
zq +
y/\ad — bc\
M
т. е. искомое множество точек zq — это окружность с центром в точке
с
и радиусом
\J\ad — Ъс\
Пример 2. Найти множество всех точек zq € С, в которых угол
поворота кривых при отображении w — f(z) = , где а, Ь, с, d € С,
cz + a
с ф 0, ad — be ф 0, равен нулю.
Л Так как угол поворота в точке zq равен arg/'(zo), то
0 = arg/'Oo) = arg
Тогда
id — be
(cz0 + d)2
aig(ad — be) = arg ((czq + g?)2)
(если выбирать &rg(ad — be) € [0;27г), то arg(czo + d)2 € [0;27г)), т. е.
комплексные числа (ad—be) и (czo+g?)2 лежат на одном луче, выходящем
из нуля. Тогда (его + d)2 = (ad — be) ■ t для некоторого t > 0. Отсюда
cz0 + с! = ±VW - bc\ егч>/2 ■ уД, где ip = arg(ad - be) € [0: 27г).
zo
v/|arf - Ьс| ег^2
т
т €
т.е. искомое множество точек zq — это прямая, проходящая через
d
точку с направляющим вектором
V\ad-bc\ iv,/2
е
Пример 3. Пусть отображение w = /(z) регулярно в точке zq и при
этом /'(го) ^ 0- Рассмотрим гладкие кривые Г1! и Гг. проходящие

264 Глава 6. Конформные отображения
через z0 так, что |/(z)| = |/(z0)| для любой z € Гх, arg/(z) = arg f(z0)
для любой z еГг.
Доказать, что Гх и Г 2 пересекаются в точке zq под прямым углом.
Л Из условий следует, что образом Гх при отображении / является
дуга Т[ окружности с центром О радиуса |/(2о)|> а образом Гг является
отрезок Г'2 луча, выходящего из точки О под углом arg/(zo). Отсюда
следует, что Т[ и Г'2 пересекаются в точке /(го) под прямым углом.
Значит, по свойству сохранения углов кривые Гх и Г 2 пересекаются
в точке zq под прямым углом. А
Пример 4. Найти длину Г' — образа кривой
Г = {«еС: z = eit, t € [0;тг]}
1 ( 1
при отображении w = - \ z H—
2 V z
Д Длина кривой Г' (образа кривой Г) выражается формулой (3), т. е.
1{Т>) = J \w'(z)\ \dz\ = J |I (l - 1) I |<fe| = JI |l - -^
г г о
= h^f=rUA=h|e»-l|A =
J 2 |e2l*| J 21 '
0 0
7Г
= I hcos(2t)-l + ism(2t)\dt =
о
7Г 1Г
= \ f \/(cos(2t) - l)2 + sin2(2t)dt = | Г ^2 - 2cos(2i)cft =
о о
7Г 7Г 7Г
- I v4sin2£cft = I |sin£|cft = I sintdt = 2.
2 ^
0 0
Пример 5. Найти площадь G — образа области
D = \z € С: 2 < |z| < 3, - | < argz < ||
при отображении ги = z2.

§ 25. Геометрический смысл производной 265
Л Площадь области G выражается формулой (4), т. е.
5(G) = ff\w'(z)\2dxdy = ff\2z\2dxdy = 4: ff{x2 + y2)dxdy.
D D D
Переходя к полярным координатам х = г cos <р, у = г simp, получим
тг/2 3
S(G) = 4 Г dip Г
r dr = 47Г -—
-тг/2 2
3
= 65^. А
2
Задачи
1. Пусть дан луч {z: arg(z — 2о) = у}, выходящий из точки zq. Найти
коэффициент линейного растяжения R(tp) в точке z0 и угол поворота а(<р)
в точке zq для этого луча при следующих отображениях:
1) w = z2, zo = 1; 2) ги = z2, zo = г;
3) w = ie2z, z0 = 0; 4) w = 2z + £z, z0 — 0;
5) ш = ^-—^ (z0 ^ 0); 6) ш = —-4^, z0 = -i.
Z + Zq 1 + IZ
2. Найти множества всех точек zq, в которых коэффициент линейного
растяжения при следующих отображениях равен единице:
1) w = z2- 2)w = z3; 3) w = z2~2z: 4) w = -; 5)w=i±2£.
' ' z 1 — iz
3. Найти множества всех тех точек zq, в которых угол поворота при
следующих отображениях равен нулю:
1) w = iz2; 2)w=-z3; 3) iu = z2 - 2г;
i\ * с \ l + iz
4) w = -; 5) w = .
2 1 — iz
4. Пусть функция w(z) регулярна в точке zq, а гладкие кривые Т\ и Гг,
проходящие через точку zq, обладают тем свойством, что
Rew(z) = Reu'(zo) (z G Гх);
lmw(z) = Imw(zo) {z G Г2).
Доказать, что если w'{zq) ф 0, то кривые Y\ и Г 2 пересекаются под прямым
углом.
5. Пусть функция u.'(z) регулярна в точке z$, а гладкие кривые I~i и Гг,
проходящие через точку zq, обладают тем свойством, что
\w(z)\ = \w{z0)\ (z € Ti):
Rctv(z) = Rew(z0) (г£Г2).
Доказать, что если ic'(zq) ^ 0, то кривые Т\ и Г 2 при пересечении
в точке 2о образуют углы ± argtt'(zo) + kn.

266 Глава 6. Конформные отображения
6. Найти длины образов следующих кривых Г при указанных отображениях:
1) Г= {z: z = it + l, O^t^ 1}, w = z2;
2) T = {z: z = it, 0< i< 2тг}, w = ez;
3) Г = {z: z= (l+i)t, O^t^ 2тг}, w = ez;
4) Г= {z: z= (l+i)t, O^t^ 1}, w = zm (m = 1, 2, ...)•
7. Найти площади образов областей D при указанных отображениях:
1) D = lz: 2< \z\ < 3, |argz| < ^ I, ги = z2;
2) £> = {z: 0< |Rez| < 1, |Imz| < тт}, w = ez;
3) D = {z:0< |Rez| < 1, l< |Imz| < 2}, w= ^-\.
8. Найти область, на которую функция w = ez отображает прямоугольник
D = {Kx<2, 0<2/<8}.
Вычислить площадь области w(D) с помощью формулы (4) и объяснить,
почему эта формула дает неправильный ответ.
9. Пусть
P(z) = а0 + a\z + ... -+- anzn.
Обозначим через L(r) длину образа окружности {z: \z\ = г} при
отображении w = P(z), а через S(r) — площадь образа круга {z: \z\ < г} при том
же отображении. Доказать, что:
1) справедливо неравенство S(r) ^ 7гг2|Р'(0)|2;
2) справедливо неравенство
г
/
Q& dt < 2nS{r);
о
3) справедливо неравенство L(r) > 27rr|P'(0)|.
Указание. Вначале доказать формулы
2тг
^ fp^re**) dip = Р'(0); ff\P'(z)\2dxdy = тг ^ m\an
|2 2m
27Г J * "" '"" * '"" " '* '""" ~~" " '
n i^i--_ тп=0
10. Пусть Q(z) = z+^2 CkZ~k. Найти площадь образа кольца {z: г < \z\ < R}
fc=i
при отображении w = Q(z), считая площадь каждой элементарной
площадки с центром в точке wq столько раз, сколько раз функция Q{z)
принимает значение wq в кольце {z: r < \z\ < R}.
11. Пусть функция w(z) регулярна в области D и пусть ее отображение
w = w(z) сохраняет евклидово расстояние между точками, т. е. для любой
пары точек z\ е D и z2 € D имеет место равенство
\w(z2) - w(zi)\ = \z2 - zi\.
Доказать, что w(z) = el,pz + a, где tp действительная и a комплексная
постоянные.

§ 26. Определение и общие свойства, конформных отображений 267
Ответы
1. 1) R(ip) = 2, a(ip) = 0;
2) R&) = 2, afa) = -ty-\\ 3) R{<p) = 2, а(^) = f;
1 - tg2 ^
4) -R(v?) = т/5 + 4sin2i/3, a(<£>) = arctg
2 1 + tg^ + tgV
2- 1) ko| = |; 2) N = ^; 3) \z0-l\=1-;
4) |*0| = 1; 5) |20+г| = ^2.
3. 1) &rgz0 = -?-; 2) Rez = 0; 3) 1 < z0 < +oc;
4) 1ш((1+г)*о) = 0; 5) Im((l - i)(z0 + г)) = О.
6. 1) ^2+1п(1 + х/2); 2) 2tt; 3) V2(e27r - 1); 4)2m/2.
7. 1) f rr; 2) тг(е2-1); 3) i + ^arctgi.
8. w(D) = {w: e < \w\ < e2, 0 < arg-ш < 2т:}; нарушается взаимная
однозначность w(z) в D.
§ 26. Определение и общие свойства
конформных отображений
Справочные сведения
1. Однолистные функции и конформные отображения. Пусть
функция w = f(z) задана на множестве D С С и принимает значения
в множестве G = f(D) С С (если точка zq из D — полюс функции
w = f(z), то считаем, что f(zo) = оо). Тогда говорят, что функция /
осуществляет отображение множества D на множество G.
Функция /(г) называется однолистной на множестве D С С, если
для любых точек z\, 22 £ D, для которых справедливо равенство
/Oi) = /02), следует, что zx = z2.
Отображение, осуществляемое функцией /, называется конформным
в области D С С, если
1) функция /(г) однолистна на D;
2) функция /(г) регулярна в проколотой окрестности каждой точки
из D.

268 Глава 6. Конформные отображения
Говорят, что отображение / конформно в точке zq £ D, если оно
является конформным в некоторой окрестности этой точки.
Для конформности отображения / в области D необходимо, чтобы
для каждой точки zq £ D отображение / было конформно в zq. Заметим,
что если 2о — существенно особая точка функции f(z), то отображение,
ею осуществляемое, не является конформным в этой точке.
Критерий конформности в точке. Пусть функция f(z) регулярна
в проколотой окрестности точки 2о С С. Тогда ею осуществляемое
отображение f является конформным в точке zq в том и только в том
случае, когда выполняется одно из следующих условий:
1) zq ф оо — точка регулярности функции f(z) и f'(zo) ф 0;
2) zq = оо — точка регулярности функции f(z) и ip'(0) ф 0 где
v(0 = /(£);
3) zq —полюс первого порядка функции f(z).
Как показывают приводимые ниже примеры 1 и 2, конформности
отображения / в каждой точке области D не достаточно для
конформности / в области D, поэтому указанные выше условия (1)-(3) необходимы,
но не достаточны для конформности отображения / в области D С С.
2. Основные свойства конформных отображений
2.1. Групповые свойства
Свойство 1 (принцип сохранения области). При конформном
отображении / образом области DcC является область f(D) с С.
Свойство 2. Отображение, обратное к конформному отображению,
также является конформным.
Свойство 3. Суперпозиция (последовательное выполнение)
конформных отображений также является конформным отображением.
2.2. Геометрические свойства
Свойство 4 (постоянство линейных растяжений). При
конформном отображении / области ОсС коэффициент линейного
растяжения в каждой точке zq G D такой, что zq ф оо, /(го)фоо, одинаков
для всех гладких кривых, проходящих через zq, и равен |/'(.го)|- Это
означает, что образом окружности {z: \z — zq\ = р] с точностью до о(р)
является окружность {w: \w — wq\ — р|/'(2о)|}, где wq = f(zo) (см. § 25).
Свойство 5 (сохранение углов). При конформном
отображении / области DcC углы между кривыми сохраняются в каждой точке

§ 26. Определение и общие свойства конформных отображений 269
zq G D, т. е. угол между кривыми в точке zq равен углу между образами
этих кривых в точке wq = /(-го), причем если zq ф оо и /(го) Ф О, то угол
поворота всех кривых в точке zq при отображении / равен arg/'(zo).
Замечание. Углом между кривыми в точке zq = оо называется угол
между образами этих кривых в точке Со = О ПРИ отображении £ = -.
В случае конформного отображения односвязной области верна
следующая теорема.
Принцип соответствия границ. Пусть D и G ограниченные одно-
связные области в С с жордановыми границами Т и Ti соответственно
и пусть функция w = f(z) конформно отображает D на G. Тогда f(z)
можно продолжить непрерывно на множество D U Г, причем это
продолжение отображает Г на Ti взаимно-однозначно с сохранением
ориентации.
3. Теорема Римана. Пусть D — односвязная область расширенной
комплексной плоскости, граница которой состоит более чем из одной
точки, G — односвязная область расширенной комплексной плоскости w,
граница которой также состоит более чем из одной точки. Тогда
существует конформное отображение w — f(z) области D на область G.
Исключительными являются следующие области:
1) вся расширенная комплексная плоскость — ее можно конформно
отобразить только на всю расширенную комплексную плоскость;
2) вся расширенная комплексная плоскость с одной выколотой
точкой — ее можно конформно отобразить только на всю
расширенную комплексную плоскость с одной выколотой точкой.
Отметим, что конформное отображение односвязной области D на
односвязную область G не единственно. Для единственности
достаточно, например, выполнения условий
f(z0) = w0, arg f'(z0) = a, (1)
где zq g D, шо£ G, а —действительное число.
Условия (1) называют условиями нормировки конформного
отображения w = f(z). Эти условия содержат три произвольных
действительных параметра: если точка zq G D задана, то точка wq G G содержит
два действительных параметра Reu>o. Imu'o и, кроме этого, условия (1)
содержат еще один действительный параметр а.
Геометрические условия (1) будем изображать так. как показано на
рис. 26.1.

270 Глава 6. Конформные отображения
Рис. 26.1
Условия нормировки конформных отображений могут быть и
другими, например:
/(го) = w0, f(z\) = w\,
где zq G D, wo G G, а точки z\, W\ принадлежат соответственно
границам областей D и G; или
f(zk) =wk, k = 1, 2, 3,
где Zk, Wk — точки соответственно границ областей D, G, взятых в
направлении ориентации этих границ.
Примеры с решениями
Пример 1. Доказать, что отображение f(z) = ez конформно в каждой
точке z G С, однако не является конформным во всей С.
Д Так как f'(z) = ez ф 0 для всех z G С, то / является конформным
в каждой точке z€C.
Однако eZl = eZ2 при z% = z\ + 2тткг, к G Z, т. е. однолистность
нарушается в любой области, содержащей хотя бы две разные точки z\
и Z2, такие, что z% = z\ + 2wki, к G Z. A
Пример 2. Каким условиям должна удовлетворять область D С С,
1 / 1\
чтобы отображение f(z) = - I z -)— I в ней было конформным?
Д 1) Во-первых, отображение / должно быть конформным в каждой
точке области D. Пусть z G С и z ф 0, тогда
f'{z) = l{1~h)=° Прт г = ±1' .
Следовательно, отображение / конформно во всех точках плоскости С,
кроме точек 0; 1; —1. Точки 0 и оо полюсы первого порядка функ-

§ 26. Определение и общие свойства конформных отображений 271
ции f(z), следовательно, отображение / конформно в этих точках.
Итак, отображение / конформно в каждой точке С, кроме точек 1 и — 1.
2) Выясним, каким условиям должна удовлетворять область D,
чтобы функция f(z) была однолистна в этой области.
Пусть f(zi) = f(z2) hzi^ 22, тогда
Кг1+£и(г2+£ь
откуда z\ ■ 22 = 1.
Таким образом, однолистность функции f(z) нарушается в любой
области, содержащей хотя бы одну пару точек z\, z2 таких, что z\-z2 = 1.
1 ( Л
Итак, для конформности отображения f(z) = - z Н— ) в области
_ 2 V z)
D С С необходимо и достаточно, чтобы:
1) область D не содержала точек ±1;
2) область D не содержала двух разных точек z\ и 22, таких, что
21 ■ 22 = 1. ▲
Пример 3. Доказать, что области С, С и D = {z: \z\ < 1} невозможно
конформно отобразить друг на друга.
А 1) Если / конформно переводит С или С в единичный круг, то f(z) —
целая функция и |/(г)| < 1 для всех 2 Е С, поэтому по теореме
Лиувилля f(z) = const, что противоречит ее конформности.
2) Если / конформно переводит С в С, то f(z) — целая, причем
/(ос) ф ею, т.е. / ограничена в окрестности точки оо. Тогда / ограничена
в С, и следовательно, f(z) = const. Противоречие. ▲
Пример 4. Найти все конформные отображения
а) С на С; б) С на С.
А а) Пусть / конформно переводит С на С и пусть точка zq E С
такова, что /(го) = оо. Тогда zq — полюс первого порядка (критерий
конформности в точке).
Главная часть разложения функции f(z) в ряд Лорана в
окрестности 2о равна g(z) = c\z. если zq = ос, или g(z) = —^—. если zq ф оо.
Z — 2о '
Вычитая из / функцию д, получаем, что {f — д) — целая и ограниченная
в С функция. Следовательно, по теореме Лиувилля / — д = const, т. е.

272 Глава 6. Конформные отображения
в обоих случаях
f(z) = ;, где ad — Ъсф О.
J к ' cz + d r
В частности, если /(оо) = оо, то /(г) = c\z + d\ (с\ ф 0).
б) Пусть отображение / конформно переводит С на С. Тогда оно
однолистно в С и образом любой точки из С является точка из С.
Следовательно, точка оо является изолированной особой точкой
функции f(z). Она не может быть существенно особой точкой или полюсом
порядка выше первого, так как иначе нарушается однолистность в
некоторой проколотой окрестности точки оо.
Главная часть разложения функции /(г) в ряд Лорана в
окрестности точки оо равна g(z) = C\z, если оо —полюс первого порядка или
g(z) = 0, если оо — устранимая особая точка. Тогда аналогично пункту
(а) f~9 — const, т. е. /(г) = ciz+di (с\ ф 0) (случай с\ = 0 невозможен
из-за однолистности /). ▲
Задачи
1. Выяснить, конформно ли отображение f(z) в областях D, указываемых
в скобках:
cz -\- a
2) f(z) = z2 (d = L: К \г\ < 2, 0 < arg* < Ц-
3) f{z) = z+\ (D = {z:\z\<l});
4) f(z) = e* {D = {z:\z\<A})-
5) f{z) = z2 (d = Iz:3< \z + 2\ < 4, 0< arg(* + 2) < Ц-
6) f(z)=e* (D = {z:\Re[(l + i)z}\<n});
7) f(z) = z+\ (D = {z:\z-i\<V2}).
2. Доказать следующие утверждения:
1) отображение z2 конформно в области D в том и только в том
случае, когда области D и — D не имеют общих точек;
2) отображение - I z -\— ] конформно в области D в том и только
в том случае, когда области D и — не имеют общих точек;
3) отображение ег конформно в области D в том и только в том
случае, когда области D и D + 2ni не имеют общих точек;

§ 26. Определение и общие свойства конформных отображений 273
4) отображение tg z конформно в области D в том и только в том
случае, когда области D и D + ж не имеют общих точек;
5) отображение cosz конформно в области D в том и только в том
случае, когда области D, —D,D + 2тт, —D-\-2ix не имеют попарно общих
точек.
3. Пусть n ^ 2 —целое число, a a — произвольное действительное число.
Доказать, что отображение zn + nelaz конформно в круге {z: \z\ < 1}.
4. Доказать, что отображение z2 + az конформно в полуплоскости
{z: Im z > 0} в том и только в том случае, когда выполняется неравенство
Ima > 0.
5. Доказать, что ни одна из регулярных в полуплоскости {z: Imz > 0}
ветвей функции vz5 не задает конформное отображение этой полуплоскости.
6. Доказать, что если функция Lnz допускает выделение в области D
регулярной ветви, то эта регулярная ветвь задает конформное отображение
области D.
7. Пусть п — целое положительное число. Доказать, что если функция ^fz
допускает выделение в области D регулярной ветви, то эта регулярная
ветвь задает конформное отображение области D.
8. Пусть отображение f(z) конформно на множестве Е, а отображение g(Q
определено на множестве Е' значений f(z). Доказать, что отображение
g(f(z)) конформно на множестве Е тогда и только тогда, когда <?(£)
конформно на множестве Е'.
9. Пусть функция f(z) регулярна и задает конформное отображение круга
{z: \z\ < 1}, а /(0) = 0. Доказать, что многозначное отображение
{\//(ги)} в круге {z: \z\ < 1} распадается на п регулярных и задающих
конформные отображения в круге функций.
10. Доказать, что для конформности квадратного трехчлена az2 + bz + с в
выпуклой области D необходимо и достаточно, чтобы этот трехчлен был
конформным в каждой точке области D.
Указание. Воспользоваться тем, что середина отрезка, соединяющего
любые две точки области D, также лежит в области D.
11. Пусть а, 6 и zq — заданные комплексные числа. Найти наибольшее
значение R, при котором отображение z2 + az + b конформно в круге
{z: \z- zo\ < R}.
12. Доказать, что отображение z2 + az + b конформно в каждой области D,
лежащей по одну сторону от какой-либо прямой, проходящей через точку
a
13. Доказать, что многочлен anzn + ... + a\Z + а$ может быть конформным
отображением в полуплоскости {z: Imz > 0} только в том случае, если
его степень не выше второй.

274 Глава 6. Конформные отображения
14. Убедиться, что следующие отображения не конформны в указываемых
областях D, хотя и конформны в каждой точке этих областей:
1) z2 {D: ={z:l< \z\ < 2});
2) z3 (D: = {z: lmz > 0});
3) e*(D: ={z:\z\<4}).
15. Доказать конформность отображения z3 — dz в области
{z: (Rez)2 > 1 + (lmz)2, Rez > 0}.
16. Доказать конформность отображения z + ez в полуплоскости
{z: Rez < 0}.
17. Пусть —оо < a\ < ... < an < +oo. Доказать, что любая регулярная ветвь
многозначной функции f(z) = y/(z — ai)... (z — an) в полуплоскости
{z: lmz > 0} задает конформное в этой полуплоскости отображение.
18. Пусть —оо < а\ < аг < аз < а$ < +оо, 0 < а < 1. Доказать, что любая
регулярная ветвь многозначной функции
z
№ = J(C - ai)a-X(C - а2Га(С - «зГ-ЧС - a4)-°dC
о
в полуплоскости {z: lmz > 0} задает конформное отображение этой
полуплоскости.
19. Пусть функция f(z) регулярна в области D, ограниченной простой
замкнутой кривой Г, и непрерывна в замыкании этой области. Доказать, что
если образ кривой Г при отображении w = f(z) является простой
замкнутой кривой, то отображение f(z) конформно в области D.
Ответы
1. 1) Да; 2) нет; 3) да; 4) нет; 5) да; 6) да; 7) да.
11. R=\Zo + ^\.
§ 27. Дробно-линейные отображения
Справочные сведения
Дробно-линейной называется функция
И7(г) = ^± , ad - be ф 0, (1)
v ' cz + d ч '
где a, b, c, d — заданные комплексные числа. Условие ad — be ф 0
означает, что w ф const. Отображение, осуществляемое функцией (1),
называется дробно-линейным. При этом предполагается, что если с ф О,

§27. Дробно-линейные отображения 27'5
то гу I = оо, го(оо) = -, а если с = 0, то ъи(оо) = оо. В
частности, если с = 0, то функция (1) является линейной, а отображение,
осуществляемое линейной функцией, называется линейным.
1. Свойства дробно-линейных отображений
1.1. Конформность. Отображение w(z) = является конформным
cz + a
во всей расширенной комплексной плоскости.
1.2. Групповое свойство. Совокупность всех дробно-линейных
отображений образует группу, т. е.
1) суперпозиция (произведение) дробно-линейных отображений
является дробно-линейным отображением;
2) отображение z(w) = , обратное к дробно-линейному отоб-
cw — a
, s az + Ь г
ражению w{z) = -, также является дробно-линейным.
cz + a
1.3. Круговое свойство. При дробно-линейном отображении образом
любой окружности или прямой является окружность или прямая.
Отметим, что дробно-линейное отображение w(z) = -, где с ф О,
d
переводит окружности и прямые, проходящие через точку z = ,
в прямые, а остальные окружности и прямые —в окружности.
1.4. Свойство сохранения симметрии. Точки z и z* называются
симметричными относительно окружности с центром zq и радиусом
R > 0, если эти точки лежат на одном луче, выходящем из точки zq,
и связаны равенством (рис. 27.1):
l I I * | т->2
\Z — Zq\ ■ \Z ~ Zq\ = К .
Рис. 27.1

276 Глава 6. Конформные отображения
Симметричные относительно окружности {z: \z — zq\ = Щ точки z
и z* связаны соотношением
* , R
Z = ZQ + — .
z- z0
При этом центр го окружности считается точкой, симметричной с
точкой г = оо.
В частности, точки гиг*, симметричные относительно единичной
» 1
окружности, связаны равенством г = — .
При дробно-линейном отображении пара точек, симметричных
относительно окружности или прямой, переходит в пару точек,
симметричных относительно образа этой окружности или прямой.
2. Примеры дробно-линейных отображений.
2.1. Дробно-линейное отображение, переводящее три точки в три
точки. Существует единственное дробно-линейное отображение, при
котором три различные точки z\, Z2, гз из С переходят соответственно
в три различные точки wi, W2, ws из С. Это отображение определяется
формулой
w - wi и>з - w2 _ z — z\ zz - z-i
W - U>2 W3 - Wl Z - Zi Z3 — Zi'
2.2. Конформное отображение полуплоскости на круг. Любое
конформное отображение верхней полуплоскости {г: 1тг > 0} на круг
{w: \w\ < 1} имеет вид
w(z) = Z-^- ■ eia,
Z - ZQ
где Im го > 0, a G R.
2.3. Конформное отображение круга на круг. Любое конформное
отображение круга {г: \z\ < 1} на круг {w: \w\ < 1} имеет вид
z ~ z0 Ла
w(z) = -
Zq ■ Zq
где |го| < 1, а 6 R.
2.4. Конформное отображение полуплоскости на полуплоскость.
Любое конформное отображение верхней полуплоскости {z: Гтг > 0} на
верхнюю полуплоскость {w: Im w > 0} имеет вид
/ ч az + b
v ' cz + d
где а, 6, с, d 6 R и ad — be > 0.

§ 27. Дробно-линейные отображения 111
Примеры с решениями
Пример 1. Найти образы следующих линий при отображении w = -:
z
1) Т\ — оси Оу\ 2) Гг —прямой у — х;
3) Гз — прямой у = 2;
4) Г4 — окружности (х — I)2 + у2 = 1.
Л Согласно круговому свойству, образы указанных линий будут
прямыми или окружностями. Для их нахождения достаточно найти образы
каких-нибудь трех точек или воспользоваться свойством сохранения
углов при конформном отображении.
1) Так как и>(0) = оо и О G Гх, то w(Ti) — прямая. Учитывая
равенства w(i) = —г, w(—i) = г, получаем, что w(T\) = Гг (рис. 27.2.)
©
—/
©
w(T,)
Рис. 27.2
Рис. 27.3
2) Так как w(0) — ос и О G Гг, то w(T2) — прямая. Учитывая
равенства
w{l + i) = --'-, w(-l~i) = -- + 1-,
получаем, что го(Г2)—прямая у = —х (рис. 27.3).

278 Глава 6. Конформные отображения
3) Так как точка 0 не принадлежит Гз, то ги(Гз) — окружность.
Находим значения w(2i) = — -, го(оо) = 0. Прямые Ti и Г3
ортогональны. Поэтому окружность w(T3) ортогональна прямой w(Fi) = Гх
(оси Оу). Следовательно, окружность ги(Гз) касается оси Ох в точке
w = 0 и проходит через точку w = — -. Поэтому ее центр — точка
w —
-, а уравнение имеет вид ж2 4- I у + - I = — (рис. 27.4).
©
tr,
2г
©
w(T,)
w<T3)
Рис. 27.4
4) Так как точка 0 € Г4 (рис. 27.5), то г^(Г4) — прямая.
Окружность Г4 касается в точке 0 мнимой оси Гх и проходит через точку z = 2.
Поэтому прямая w(F4) проходит через точку w(2) = - и параллельна
гу(Г1) = Ti — мнимой оси. Следовательно, w(Ti) — прямая х — -. А
© ,
1
г,
V
Л
У'
©
к
*<Г,)
0
L
w(T4)
1
2
Рис. 27.5

§ 27. Дробно-линейные отображения 279
Пример 2. Найти образы следующих линий при отображении функ-
циеи «;(zj = ::
1) Ti — прямой у — х\
2) Гг — прямой у = х + 2;
3) Гз — окружности х2 + (у — 4)2 = 1;
4) Г4 — окружности ж2 + (у — I)2 = 1.
Л 1) Для данного отображения ги{2г) = оо. Так как точка 2г 0 Г!
(рис. 27.6), то wij'i) будет окружностью. Найдем ее. Точка z = 2г
симметрична относительно прямой Г\ точке 2 = 2, причем
2 + г
w(2) =
2г
1 3 .
4 + Г-
©
Рис. 27.6
Рис. 27.7
По свойству сохранения симметрии точек при дробно-линейных
отображениях точки w\ — - + — и 00 симметричны относительно
1 3
окружности u'(ri), т.е. W\ = - + -г —центр искомой окружности w(T\).
Кроме того, точка оо 6 Г! и ги(оо) = 1, т. е. 1 Е «;(ri). Поэтому радиус
окружности w(T\) равен
R
+
Ъл/2
откуда w{T\) — окружность, заданная уравнением (рис. 27.7):
+ v

280 Глава 6. Конформные отображения
2) Точка 2г е Г2 и w(2i) = оо (рис. 27.8). Поэтому ш(Г2) — прямая.
Так как оо е Г2, то w(oo) = 1 е ги(Г2). Поскольку —2 е Г2, то
w(—2) — е ги(Г2). Через две точки wj = 1 и ю2 =
4 4 4 4
проводим прямую ш(Г2) и получаем ее уравнение v = u — 1 (рис. 27.9).
©
Рис. 27.8
Рис. 27.9
3) Так как окружность Гз не содержит точку 2г (рис. 27.10), то ее
образ ш(Гз) также будет окружностью. Найдем точку z*, симметричную
точке z = 2г относительно окружности Гз- Очевидно, что z* = ai, где
(а - 4) • (2 - 4) = R2 = 1,
т. е. а = 3.5, а значит, ,
х-= 3.5..-, -(З.К) = |^ = 3.
©
У+
3/
+ 2/
@ vА
€^
Рис. 27.10
Рис. 27.11

§27. Дробно-линейные отображения 281
По свойству сохранения симметрии точек при дробно-линейных
отображениях, и так как точки w\ = ос и w\ — 3 симметричны
относительно окружности ги(Гз), получаем, что центр окружности го(Гз)
находится в точке 3. Кроме того, точка z = 3i £ Гз, и значит, точка
го(Зг) = 4 G го(Гз). Поэтому радиус окружности го(Гз) равен 1, а ее
уравнение имеет вид (и — З)2 + v2 — 1 (рис. 27.11).
4) Так как окружность Г4 содержит точку 2г и w(2i) = 00
(рис. 27.12). то ее образ будет прямой. Точка 0 принадлежит Г4, поэтому
ЦО)
£ ги(Г4). Так как го (г) мнимую ось отображает на
действительную ось, а окружность Г4 ортогональна в точке 0 мнимой оси, то по
свойству конформных отображений о сохранении углов получаем, что
прямая w(T4) ортогональна в точке z = действительной оси. В итоге
ю(Г4) есть прямая вида и
(рис. 27.13).
w(T4)
1
2
v i
k
0 и
Рис. 27.12
Рис. 27.13
Пример 3. Найти образ области D
(рис. 27.14) при отображении w = -.
= C\{z: \z-l\ ^ 1,
i\ < 1}
Рис. 27.14

282 Глава 6. Конформные отображения
Л Найдем образ границы области D при отображении w. Образом
окружности {z: \z — 1| = 1} будет прямая х = - (гу(0) = оо, гу(2) = -,
угол с осью Ох в точке 2 сохраняется). При этом дуга Г^ этой
окружности, которая является частью границы D (рис. 27.15), отобразится
1
I Л
2 2/
на связное подмножество прямой х = -, соединяющее точки
и оо (образы концов дуги). Это будет луч, идущий вниз (рис. 27.16),
так как он не содержит точку - (образ точки 2, принадлежащей дуге,
дополняющей Гх до окружности {z: \z — 1| = 1}).
©
0
1+/
.'2
1 ..
Рис. 27.15
w(l+*)
w(T.)
Рис. 27.16
Аналогично функция w — - отображает окружность {z: \z — i\ = 1}
на прямую у — — -, причем дуга Гг (рис. 27.17) этой окружности,
являющаяся частью границы области D, перейдет в луч, идущий вправо
(рис. 27.18).
©
>
1
1
1
1
\
\
0
к
А
0
w(T2)
w (1 + г)
Рис. 27.17
Рис. 27.18

§ 27. Дробно-линейные отображения 283
©
2
к
0
1
2
w(T2)
w(\+i)
w(T,)
©
г
7777777777777777777777777>
Рис. 27.19
Рис. 27.20
Итак, образом границы области D являются два луча (рис. 27.19).
Они делят плоскость С на две области. Так как отображение w
взаимнооднозначно в С и образ w(D) области D является областью (согласно
принципу сохранения области), то w(D) совпадет с одной из двух
образовавшихся областей. Чтобы узнать, с какой именно, достаточно найти
образ хотя бы одной точки или из D или из дополнения к D. Например,
w(l) = 1. Поэтому w(D) — область, содержащая точку 1 (рис. 27.20). А
Задачи
1. Пусть х = Re z, у = Im z, а С — положительная постоянная. Найти образы
каждой линии указанных семейств при отображении w = -:
z
1) семейство окружностей {(х, у): х2 + у2 = Сх}\
2) семейство прямых {(х, у): у = х + С};
3) семейство прямых {(х, у): у = Сх}.
2. Пусть х = Kez, у = Imz. Найти образы каждой области указанных
семейств при отображении w = -:
Z
1) семейство кругов {(х, у): х2 +у2 < Сх} (здесь С — положительная
постоянная);
2) семейство кругов {(х,у): х2 + у2 < Сх} (здесь С — отрицательная
постоянная);
3) семейство кругов {(х,у): х2 + у2 < Су} (С — положительная
постоянная);
4) семейство полуплоскостей {(х,у): у > Сх} (С — положительная
постоянная);

284 Глава 6. Конформные отображения
5) семейство кругов {z: \z — a\ < R}, где a — фиксированная точка, а
положительная постоянная R удовлетворяет условию R < \а\;
6) семейство кругов {z: \z — а\ < R}, где а — фиксированная точка, а
постоянная R удовлетворяет условию R > \а\.
3. Найти образ круга {z: \z — 1| < 2} при следующих отображениях:
1) w = l-2iz; 2)w = -^-; 3) w = ^1; 4) w = Z ~ *
2 + 3' ' 2-2' ' 22-6
4. Найти образ полуплоскости {z: Rez < 1} при следующих отображениях:
1) w={l+i)z + l; 2) w=—L:-i;
3) w = -; 4) w — -; 5) w = :.
; 2-2' ; z+V ' z+1+г
5. Найти образы указанных областей D при указанных отображениях:
1) D = {z: \z\ < 1, lmz>0}, w = ^—-;
1 + 2
2) D = {z:zt [-2,1]}, ^=j3f;
3) D = {z:\z-i\> 1, Imz > 0}, w = -;
2
4) D = {z: 1 < \z\ <2}, гу=-^—.
6. Отыскать дробно-линейные функции iu(z), удовлетворяющие условиям:
1) го(0)=4, го(1 + г) = 2 + 2г, гу(2г) = 0;
2) го(0)=0, гу(1+г) = 2 + 2г, w{2i) = 4;
3) го(0) = 0, гу(1+г) = сю, гу(2г) = 2г.
Найти образ круга {z: \z — i\ < 1} при отображениях, задаваемых
этими функциями.
7. Отыскать дробно-линейные функции w(z), удовлетворяющие условиям:
1) w(i) = 2, ги(оо) = 1 + г, w(—г) = 0;
2) гу(г') = 0, ги(оо) = 1, w(—г) = оо;
3) гу(г) = -2, гу(схз) = 2г, гу(-г) = 2.
Найти образ полуплоскости {z: Rez > 0} при отображениях,
задаваемых этими функциями.
8. Найти функцию w(z), конформно отображающую область D на область
£>1 и удовлетворяющую указанным условиям:
1) D = {z: \z\ < 1}, D\ = {w: \w\ < 1}, w(z0) = 0, argw/(z0) = a
(Ы < l);
2) D = {z: \z\ < 1}, D\ = {w: \w\ < 1}, w(zq) = w0, a,vgw'(z0) = а
(\z0\ < 1, |го0| < 1);
3) D = {z: \lmz\ > 0}, Dx = {w: \w\ < 1}, w(z0) = 0, argw/(z0) = a
(Imzo > 0);
4) £> = {z: | Imz| > 0}, D\ = {w: \w\ < 1}, w{zq) — wq, argiy'(zo) = а
(Imzo > 0, |wo| < 1);

§27. Дробно-линейные отображения 285
5) D = {z: \Imz\ > 0}, Dx = {ш: Imiu > 0}, w(z0) = w0,
&rgw'(zo) = a (Imzo > 0, Imwo > 0);
6) D = {z: \z\ < 1}, Dx = {w: \w\ < 1}, w(l) = 1, w(i) = ^^,
w(-l) = -1;
7) D = {z: \z\ <l}, Dx - {w: \w\ < 1}, w(i)=i, w
8) D = {z: \z\ < 1}, Dx = {w: \w\ < l}, w
9) D = {z: Imz > 0}, Dx = {w: \w\ < 1}, w(0) = i, w(-l) = I,
u'(oo) = —1;
10) D = {z: Imz > 0}, Dx = {w: \w\ < l}, w;(0) = -г, w(2i) = l--
11) D = {z: Imz > 0}, Dx = {w: \w\ < 1}, w(l + i) = 0,
aigw'(l + i) = 7r;
12) D = {z: Imz > 0}, Dx = {w: Imw > 0}, Ц-1) = 0, w;(0) = 2,
w(l) = oc;
13) D = {z: Imz > 0}, Dx = {w: Imw > 0}, Ц-1) = -2,
u,(_2 + j) = 1 + Зг;
14) D = {z: Imz > 0}, Dx = {w: Imw > 0}: w(l + i) = i,
argw/(l+j) = |;
15) D= {z: \z-l-i\ < 2}, Dx = {w: \w\ < 1}, w(i) = 0, argw'(z) = |;
16) D = {z: Rez > -1}, Di = {w: \w\ < 1}, w;(0) = 0, argw'(O) = тт.
9. Найти общий вид конформного отображения следующих областей на
кольцо {w: 1 < |ги| < R}:
1) {г: |г-3| > 9, \z - 8| < 16};
2) {г: |г-5| > 4, Re2>0}.
10. Пусть w{z)—произвольная дробно-линейная функция, a zx, %2- z%, z^ —
четыре попарно различные точки расширенной комплексной плоскости.
Обозначим
Wk = w{zk), к = 1, 2, 3, 4.
Доказать, что
Wi — wx _ г«з — гиг _ «4 — 2i _ гз — «i
1U4 - гог гиз — w2 zn — z2 гз — гг
11. Доказать, что линии уровня модуля дробно-линейной функции являются
окружностями или прямыми линиями.
12. Доказать, что линии уровня действительной части дробно-линейной
функции являются окружностями или прямыми линиями.
13. Найти условие, которому должны удовлетворять точки zx ■ z^. 22, 22, чтобы
существовала окружность (или прямая), относительно которой точки Zk
были бы симметричны с точками z*k (к = 1. 2).
4г.
5 '
-, argu/
7Г
2'

286 Глава 6. Конформные отображения
14. Пусть функция w(z) мероморфна в области D. Доказать следующие
утверждения:
1) если при отображении w = w(z) образом любого отрезка прямой
(лежащего в области D) является отрезок прямой, то w(z) — линейная
функция;
2) если при отображении w = w(z) образом любого отрезка прямой
(лежащего в области D) является дуга окружности или отрезок прямой,
то w = w{z) — дробно-линейная функция.
Точка а € С называется неподвижной точкой дробно-линейного
преобразования /, если /(а) = а.
15. Доказать утверждения:
1) каждое дробно-линейное преобразование имеет хотя бы одну
неподвижную точку (конечную или бесконечную);
2) каждое дробно-линейное преобразование, отличное от
тождественного, имеет не более двух неподвижных точек (конечных и бесконечных).
16. Доказать, что дробно-линейное преобразование / с единственной
неподвижной точкой а € С удовлетворяет уравнению
1 1 +Д ЛёС,
/(г) — a z — а
при а ф оо, а при а = оо имеет вид
f(z) = z + A, AeC.
17. Доказать, что дробно-линейное преобразование / с двумя различными
конечными неподвижными точками а и b удовлетворяет уравнению
M^=A.z-^h, AeC.
/(г) — о г — о
Ответы
1) Семейство прямых Rew = —;
О
. 1 + г
w +
2) семейство окружностей „ ,
3) семейство прямых Imiu = —СRew.
CV2'
1) Семейство полуплоскостей Rew > —;
О
2) семейство полуплоскостей Rew < —;
3) семейство полуплоскостей Imiu < — —;
4) семейство полуплоскостей Imiu < —СRew;

§ 27. Дробно-линейные отображения 287
5) семейство кругов
a(\a\2-R2)
R
RJ
6) семейство кругов
w
a(\a\2-R2)
>
R
R2
3.
4.
13
1)
3)
5. 1)
3)
6. 1)
2)
3)
7. 1)
2)
3)
8. 1)
3)
5)
7)
10)
12)
14)
9. 1)
Z2 - ZX
|w-l + 2i|<4; 2) |ги| < 1; 3) \w - 2| > 4; 4) Rew < ^.
Rew — Imw < 3; 2) Rew — lmw < 1;
|w| < 1; 4) |w-3| > 1; 5) \w\ > 1.
- - < argw < 0; 2) w & [0, +oo];
< Imw < 0; 4) Rew > -1,
w = 2iz + 4, \w -2| < 2;
2г-, |w-2|>2;
>
w
z — г
(i-0*
г — 1 — г
г + г
, Rew > 0.
w = (1 + г
1
|w-l| > 1;
£ — 2
w = , Imw > 0;
z + г
z — 1
w = 2г -, Ы < 2.
1 - zzo
z0 ia.
2) w
гг_^о_ега. 4) го =
(е'а - w0z0)z - wp - z0ela
(w0ela - z0)z + 1 - uJ()Z0e8Q '
(iu0 + eta)z - z0w0 - iz0ela
1-го ' "' (1+г'ш0ега)г - z0 - г'г0тооега'
(ui0 — uJoeia)z + z0woeta — wqZq . ~\ 2z — 1
(1-ега)г + г0ег
2z + i
z0
6)
2-2 '
г — 1 — z
w =
w
w
w
w =
zl
2-
iz
z
22
1
2
eia
~Z*i
■ :
12
+ 1
+ i '
+ 2.
— z
2
- Z
32
z + 24
>0.
(5-Зг)г-4 m
w=+ ^——; 9) го , .
' 2+1+г
11) w
13) w =
15) to
4г - 5 - Зг
г — 1 — гг
z~1 + г'
2- 1
2 + 2'
2г'г + 2
г + 3 - i'
16) w
2 + 2
, lma = 0; 2)w = 2e"*^-4, Ima = 0.
2+3'
z2 — Zi 22 - 2i

288 Глава 6. Конформные отображения
§ 28. Конформные отображения
элементарными функциями
Справочные сведения
1. Степенная функция. Пусть t G R. Рассмотрим на области
G = С\[0, +оо) функцию
w = |z|V*argz, где argz G (0, 2тг).
(1)
Эта функция регулярна на G. Причем при t ф О функция (1)
однолистна на области D С G, если D не содержит двух различных
точек 2i, «2, таких, что Z2 = zi • е2пгк^, к 6 Z.
В частности, при £ > 0 функция (1) осуществляет конформное
отображение угловой области Go>¥>0 = {г: |г| > 0, 0 < argz < y?o},
где </?о ^ 27Г, |f|vo ^ 27Г, на угловую область Go,t^o (рис. 28.1).
Рис. 28.1
Например, функция w = z2 конформно отображает
1) верхнюю полуплоскость {z: Imz > 0} на плоскость с разрезом
С\[0,+оо) (рис. 28.2);
©
©
Рис. 28.2

§ 28. Конформные отображения элементарными функциями 289
2) полукруг {z: \z\ < 1, Imz > 0} на круг с разрезом
{w: \w\ < 1}\[0,1) (рис. 28.3);
Рис. 28.3
3) полуплоскость {z: Imz > а > 0} на внешность параболы
{w = u + iv: v2 > 4a2(u + a2)} (рис. 28.4).
©
Ут
Ч1/)//////ШИ>1)))^///////////////)//,
ш
V > 4а2(и + а2)
Рис. 28.4
2. Экспоненциальная функция. Функция w = ez осуществляет
конформное отображение в области DcC тогда и только тогда, когда D
не содержит двух различных точек z\, 22, таких, что Z2 — z\ + 27г/сг, где
к £1.
Например, функция w = ez конформно отображает
1) полосу {z: 0 < Imz < 7г} на верхнюю полуплоскость
{w: lmw > 0} (рис. 28.5);
2) полуполосу {z: Re z < 0, 0 < Imz < 7г} на полукруг
{w: \w\ < 1, lmw > 0} (рис. 28.6);
3) полуполосу {z: Rez > 0, 0 < Imz < 7г} на область
{w: \w\ > 1, lmw > 0} (рис. 28.7).

290 Глава 6. Конформные отображения
© Ау
$шшштщ
ршш
ni
0 х
^■«iwsee»'
©
шшшшшшш. т
X
©
т\
/if/////////////////////,
Т>Ш///)///)//ШШ, *
О х
О 1
Рис. 28.5
w = е,
Рис. 28.6
6)
w = e
•шиши/т;
-1
47777777777777^
1 U
Рис. 28.7
3. Логарифмическая функция. Многозначная функция w = Lnz
распадается на регулярные ветви во всякой односвязной области G С С,
не содержащей точек 0 и оо. Каждая регулярная ветвь f(z) £ Lnz в
такой области G является однолистной функцией (так как обратная к ней
функция ez является однозначной), поэтому эта ветвь f(z) осуществляет
конформное отображение области G на область /(G), которое является
обратным к отображению области /(G) на область G функцией w = ег.
Например, регулярная ветвь f(z) функции Lnz конформно отображает
1) плоскость С с разрезом по лучу [0, +оо) на полосу 0 < Im w < 2ж
(если /(-1) = тгг) (рис. 28.8);
2) область {г: 1тг > 0, \z\ > 1} на полуполосу
{w: 0 < 1тги < тг, Rew > 0} (если /(2 + гО) = In2) (рис. 28.9).

§ 28. Конформные отображения элементарными функциями 291
©
О
*> =я*1
^таттташ^
О
-1 О
Рис. 28.8
Рис. 28.9
w
A v
2п i
О
-///////////////////
4. Функция Жуковского w — - \z -\— I осуществляет конформное
отображение области D С С тогда и только тогда, когда точки ±1 не
принадлежат области D и для любой точки геД точка - 4. D.
z
Например, функция Жуковского конформно отображает
1) верхнюю полуплоскость {z: Imz > 0} на плоскость С с
разрезами по лучам (—оо, —1] и [1, +со), т. е. на С\ ((—со, —1] U [1, +оо))
(рис. 28.10);
©
■lkW.kk*,^kl,UW4 .
-1 1
ь'=№
d=f(a)
Рис. 28.10
2) нижнюю полуплоскость {г: 1тг < 0} на С\ (( — ос. —1] U [1,+со));

292 Глава 6. Конформные отображения
3) единичный круг {z: \z\ < 1} на плоскость С с разрезом по отрезку
[-1,1], т. е. на С\[-1,1] (рис. 28.11);
©
®
-1 a=f(a) 1
Рис. 28.11
4) внешность единичного круга (т.е. {z: \z\ > 1}) на С\[—1,1]
(рис. 28.12);
-1
*'=/(*)
1
Рис. 28.12
5) область {z: Imz > 0, \z\ > 1} на верхнюю полуплоскость
{w: 1тги>0} (рис. 28.13);
©
(W)
77777977777
-1
Рис. 28.13
6) полукруг {z: \z\ < 1, Imz < 0} на верхнюю полуплоскость
{w: lmw > 0} (рис. 28.14);

§ 28. Конформные отображения элементарными функциями 293
©
(w)
Рис. 28.14
7) область {z: \z\ > p > 1} (и круг {z: \z\ < 1/р}) на внешность
эллипса
U2 Vs Л
W = U + IV. —о + ТТ > ^
al К
тдеар = - (Р+- , Ьр=-
Р-
(рис. 28.15);
Рис. 28.15
угловую область {z: а < argz < 7Г — а}, где а 6 I 0, — ),
на
внешность гиперболы
cos2 a sin2 a
= 1 (рис. 28.16);
9) угловую область {z: 0 < argz < а}, где а 6 ( 0. — ), на
внутренность правой ветви гиперболы
лучу [1,+ос) (рис. 28.17);
cos2 a sin2 a
1 с разрезом по

294 Глава 6. Конформные отображения
©
Рис. 28.16
©*
Рис. 28.17
10) угловую область {z: 0 < argz < тг — a, \z\ > 1}, (рис. 28.18) где
7Г
a 6 ( 0, — ), на область
u2 v2 Л
,W = U + IV. 5 9— > lj 11 > 0
cos^ a sin a
, «>o|
<&- Щ/>/»/»»»//»»н))»>
0 1
°**)>>>1)&>>>>>>>>>1Я>>»»»
0 cos a J
Рис. 28.18
5. Функция, обратная к функции Жуковского. Многозначная
функция w — z + y/z2 — 1, являющаяся обратной к функции
Жуковского, в любой односвязной области G С С, не содержащей хотя бы
одной кривой, соединяющей точки z = ±1, распадается на две регулярные

§ 28. Конформные отображения элементарными функциями 295
ветви. Всякая регулярная в области G ветвь функции w — z + V' z2 — 1
является однолистной (так как обратная к ней функция Жуковского
является однозначной).
Например, регулярные ветви fi(z) и /2(2) обратной функции к
функции Жуковского конформно отображают
1) плоскость с разрезом по отрезку [—1,1] на внешность единичного
круга (если брать fi{z) такую, что /i(oo) = сю) или на
внутренность единичного круга (если брать /2(2) такую, что /2(00) = 0)
(рис. 28.19);
©
-1 ь 1
©
«~i&
a'=f{a)
b'=f(b)
©
-1
Лик»чЧ^Г^Т^
Рис. 28.19
©
0 1 a'=/i(fl)
a'=f2(a)
0 1 b'=f2(b)
Рис. 28.20
2) плоскость с разрезами по лучам (—ею,—1] и [1,+ос) на верхнюю
полуплоскость (если брать f\{z) такую, что /i(0) = г) или на
нижнюю полуплоскость (если брать /г(г) такую, что /г(0) = —г)
(рис. 28.20):

296 Глава 6. Конформные отображения
3) верхнюю полуплоскость {z: Imz > 0} на область
{w: Imw > 0, \w\ > 1} (если брать /i(z) такую, что /i(0 + i0) = г)
или на область {w: \w\ < 1, Imu; < 0} (если брать /г(.г) такую,
что /2(0 + гО) = -г) (рис. 28.21).
©
а Ь
-1 0 1
Рис. 28.21
6. Тригонометрические и гиперболические функции. Основные
тригонометрические и гиперболические функции можно разложить в
суперпозицию уже ранее рассмотренных элементарных функций.
Например, функция w(z) = ch z =
является суперпозицией
двух функций:
((z) = e*, ' w(0 = Hc + i
Функция
w(z) — tgz
Sin 2
1 etz - e
cos 2 г e" + e
является суперпозицией трех функций:
— = (-»)
01iz
-1
,2iz
+ 1
C(z) = 2iz, 77(C) = eC, w(rj) = (-»)
лЧ-1
Г7 + 1
Примеры с решениями
Пример 1. Найти конформное отображение области D, являющейся
верхней полуплоскостью {z: Imz > 0} с разрезом по отрезку [0, ih],
где h > 0 (рис. 28.22), на верхнюю полуплоскость {ги: Imu; > 0}.

§ 28. Конформные отображения элементарными функциями 297
©
ih D
©
'//////////////Ж///*1
О х
Рис. 28.22
Dl
Рис. 28.23
© I
D-,
Рис. 28.24
А Функция £ = /i(z) — z2 однолистна на области D и конформно
отображает область D на область £>i, являющуюся плоскостью с разрезом
по лучу [-h2,+oo) (рис. 28.23).
Функция г\ = fi (£) = £ + /i2 конформно отображает область £>i
на область Di, являющуюся плоскостью с разрезом по лучу [0, +оо)
(рис. 28.24).
Функция w = /з(?7) = у/\ц\ег;хщг112, где arg?7 6 (0,2л"), конформно
отображает область £>2 на верхнюю полуплоскость {haw > 0}.
Итак, функция w = /з(/2(/1(<г))) конформно отображает область D
на область {w : lmw > 0}. А
Пример 2. Найти конформное отображение области D, являющейся
верхней полуплоскостью {z: lmz > 0} с разрезом по дуге окружности
{z: \z\ = 1, 0 ^ argz ^ а}, где 0 < а < 7г (рис. 28.25), на верхнюю
полуплоскость.
А Функция Жуковского £ = fi(z) = - I z -\— I отображает область D
на плоскость с разрезами по лучам (—со, —1] и [cos а, +ос) (область D\)
(рис. 28.26).
©
cos a
■ ' ""'
А
Рис. 28.26
с — cos ос
Дробно-линейная функция г\ = /2 (О = —т отображает область
D\ на область Дг, являющуюся плоскостью с разрезом по лучу [0,+со)
(рис. 28.24).

298 Глава 6. Конформные отображения
Функция w = /з(т]) = \/Meiargr''2, где argr/ £ (0,27г), конформно
отображает область Т>2 на верхнюю полуплоскость {w: Imu; > 0}.
Итак, функция w = /з(/2(/1(^))) является искомой. А
Пример 3. Область D = {z: Rez > 0, \z - 1| > 1}\[2,3] (рис. 28.27)
конформно отобразить на верхнюю полуплоскость.
©
©
'/////////////у/////////////////,
a ni n
■ 5
■
i
i
'»l)W»»n)//»H/)>}>W)/h
0
Рис. 28.27
Рис. 28.28
Л Функция £ = /1(2) = - отображает область D на область Z?i,
являющуюся полосой с разрезом, т. е.
^ = {£:0<Re£<i}\[i,i.
Линейная функция г\ = /г(£) = 7гг(1 — 2£) отображает область Z?i на
область ^
Дг = {^?: 0 < Im г? < 7г}
•■I'
(рис. 28.28). Функция w = /3(17) = е° отображает область D2 на область
7Г
рис. 28.25 при a = —. Далее см. пример 2. А
Пример 4. Найти конформное отображение области D (рис. 28.29),
являющейся полуполосой {z: 0 < Imz < 7г, Rez > 0} с разрезом по
отрезку
7гг 7гг
на верхнюю полуплоскость.
Л Функция £ = fi(z) = е2 отображает область D на область Z?i
(рис. 28.30), являющуюся верхней полуплоскостью с выброшенным
единичным полукругом и разрезом [г, ег]. Функция г/ = /г(£) = - ( £ + -z
отображает область D\ на верхнюю полуплоскость с разрезом [0, ishl]
(рис. 28.22 при h — shl). Далее воспользоваться решением
примера 1. А

§ 28. Конформные отображения элементарными функциями 299
©
/
V//////////M
А
07№
0
ei
i
JI>7T\
У.
////////////////Г
Рис. 28.30
Задачи
1. Найти образы при отображении w — z2 следующих линий:
1) {г: argz = a} (—7Г < a < 7г); 2) {z: Rez = a} (a > 0);
3) {2: Imz = a} (a > 0); 4) i z: \z\ = p, \ argz\ < j\-
2. Найти образы при отображении w = z2 следующих областей:
1) {z:lmz>0}; 2) {z: Rez > 0}; 3) iz : тг < arg2 < Ц-1:
I 5"7Г 37Г
4) iz: \z\ < 1, — тг < argz < —
5) {г: 1тг < -1}; 6) {z: Re z > 1};
7)
|г| < 2. 0 < are г <
z: \z\ > - , Re2: > 0
3. Найти образы следующих областей D при отображении регулярной
ветвью f(z) функции {z: \fz}, выделяемой ее значением в указанной точке:
1) D = {z: lmz>0}, g(i) = -i±i;
2) D = {z: Rez > 0}, 5(1) = 1;
3) D = {z:z#[0,+oo]},g(-l) = -i;
4) D = {z:z?[-oc,-l}}, 5(4) = 2;
5) D = {г: |г| < 1, Imz > 0}, g(i/2) = I±i;
6) D= jz: |г| > 1. Щ- <argz < ^l, p(-l) = i:
7) D= {г: (Imz)2 > 2Rez + l}, g(-l) =-г;
8) D= {z: Imz > 0. (Imz)2 > 4Rez + 4}, p(-l) =/.
4. Найти образы множеств i? при указанных отображениях:
1) Е
2) Е
z: агй з
w
z : г = 2. — < arg 2 < — >. го
1 8 4

300 Глава 6. Конформные отображения
3) E = {z: \z\ < 1, Imz > 0}, w = z3/2,
1-i
4) E = {z: \z\ >4, Rez>0}, w = z~3'2, w(9) = - ^~;
5) S={z:|argz|<|, z€[0,l]|,
27'
w = z".
5. Найти какие-либо функции w(z), осуществляющие конформные
отображения областей, изображенных на рис. 28.31-28.45, на полуплоскость
{w: Imw > 0}.
ih
О
>ШШНШШШШ.
Рис. 28.31
Рис. 28.32
-1 '0 1
Рис. 28.34
Рис. 28.35
Рис. 28.36
:/(V2+i)
1/))))»»>ГЛ "ф- #777777777777
-1 о; 1
Рис. 28.37
Рис. 28.38

§ 28. Конформные отображения элементарными функциями 301
f(V2+l)
Рис. 28.39
. мшшишшшшши/тт*- -
Рис. 28.40
I
&0-
Рис. 28.41
\п
X
о
Рис. 28.42
-1 О
Рис. 28.43
Рис. 28.44
Рис. 28.45
6. Найти функцию w(z), конформно отображающую область
{{т. у): у2 > Цх + 1)} (х = Rez, у = 1шг)
на круг {w: |u'| < 1} и удовлетворяющую условиям
u'(-4)=0. argu/(-4) = 0.
7. Найти функцию и'(г). конформно отображающую угол < z: |arg^| <
на круг {w: \w\ < 1} и удовлетворяющую условиям
(г(1)=0. argw'(l) =тг-

302 Глава 6. Конформные отображения
8. Найти образы следующих областей D при отображении регулярной
ветвью функции w — z + vz2 — 1, выделяемой ее значением в
указываемой точке (в неравенствах, определяющих область, положено х = Re z,
у = lmz, a a, 6 и а — действительные постоянные):
1) D=\(x,y): 4 + ^->l|, (а>0), tu(oo) = 0;
(^ о о — 1 J
2) D=Ux,y): 4--^<l), (0<а<1), tu(O) = i;
^ о 1 — о )
3) D = {z:z&[-oo,-i],z&[l,+oo]}, w(0) = i;
4) D = {z: z<£ [-1,1]}, w{oo)=oo;
5) D = {z: lmz > 0}, ги(-Иоо) = О;
6) D={{x,y): ? + -^<l, у>оу, (а>1), и>(-И0) = г;
7) U = |
(0<а<|),
)|, (а
2 2
}'
0 < а < - ), гу(+оо) = 0;
8) D = {(x,y): ^ + -Jf—<l,z<?[-l,l]\, (а>1), ti>(-N0) =-t;
(^ о о — 1 J
9) D={(x,y):^ + ^<l,£ + 1J^>l},,:
(a > b > 1), гу(г) > 1 при b < z < a.
9. Доказать, что образом области {г: \z — ih\ > \/l + h2} при отображении
гу = - I г Н— I является вся плоскость w с разрезом по дуге окружности,
имеющей концы в точках w = ±1 и проходящей через точку w = г/г.
10. Найти какие-либо функции w(z), осуществляющие конформные
отображения областей, изображенных на рис. 28.46-28.61, на полуплоскость
{w. lmw > 0}.
2i
i®
- ЖШиШШЫ, -к iqWMWAWW-
-2 |0 4
Рис. 28.46
Рис. 28.47

§ 28. Конформные отображения элементарными функциями 303
\f-H /-/-/f+f f-*-f fr -
Рис. 28.48
Рис. 28.49
МШШЧУ -
Рис. 28.51
Рис. 28.52
Рис. 28.53
Рис. 28.54
Рис. 28.55

304 Глава 6. Конформные отображения
Рис. 28.56
4jc2 + у = 4
Рис. 28.58
Рис. 28.59
Рис. 28.60
Рис. 28.61
11. Найти какие-либо функции w(z), осуществляющие конформные
отображения областей, изображенных на рис. 28.62-28.69, на круг {w: \w\ < 1}.
12. Найти функцию w(z), конформно отображающую полукруг
{z: \z\ < 1, Imz > 0}, на круг {w: \w\ < 1} и удовлетворяющую условиям
ti;|-l=0, argu/^|=0.

§ 28. Конформные отображения элементарными функциями 305
Рис. 28.62
Рис. 28.64
Рис. 28.65
Рис. 28.66
-1 10 1
Рис. 28.67
V2-1 V2
Рис. 28.68
"i\\~l -W /12-., N
Рис. 28.69
13. Найти функцию w(z), конформно отображающую область
{z = х + iy: x1 — у2 < 1} на круг {w: \w\ < 1} и удовлетворяющую
условиям w(0) = 0. ir(l) = 1.
14. Найти функцию w(z). конформно отображающую круг {z: \z\ < 1},
разрезанный по радиусу [—1,0], на круг {w: \w\ < 1} и удовлетворяющую
условиям
w(l) = -1, го(-1-м0) = , w(-l-i0) =

306 Глава 6. Конформные отображения
15. Найти функцию w(z), конформно отображающую всю плоскость z с
разрезом по дуге окружности {z: |г| = 1, Imz > 0}, на всю плоскость w
с разрезом по отрезку [—1,1] и удовлетворяющую условиям w(l) = 1,
w(oo) = оо.
16. Найти образы следующих линий при отображении функцией
1) {z:|z| = l, lmz>0}; 2) jz: |z| = 1, - ^ < argz < - J j;
3) {z:|z| = 2}; 4) |z:|z| = i|;
5) jz:argz = ||; 6) jz: argz = -j j.
17. Найти образы следующих областей при отображении функцией
1) {z:|z|>2}; 2) jz:|z|<±};
„\ I 7Г 37Г 1
3) jz: -<argz = T|;
4) jz: j <argz = ~-, z£[0,i]|;
5) {z:|z|<l, zg[0,l]};
6) {z:|z|>l, z£[-2,-l], z£[l,+oo]};
7) {z: Imz > 0}\ < z: \z\ = 1, 0 < argz < т , -j- < argz < 7r>;
8) Iz: \z\ < 1, Imz < 0, z£ -г,-Щ;
9) jz: |z| < 1, 0<argz < | l;
10) |г: |z| < 1, -^ <argz < -|l.
18. Найти образы областей D при отображениях, осуществляемых
указанными функциями:
1) D — {z: -7T<Imz<0}, w = ez;
2) D = {z: |Imz| < n}, w = ez;
3) £>= jz: |Imz| < ||, w = ez;
4) D = {z: 0 <Imz < 2тт, Rez>0}, w = ez;
5) D= lz: 0<lmz < |, Rez > Ok w = e2z;

§ 28. Конформные отображения элементарными функциями 307
6) D = i.z: 0 < Rez < тг, Imz > 0|
7) D = {z: z $ [0,+оо]}, го = In г, го(-1) = -7ri:
8) £> = {z: Imz > 0}, w = lnz, го(г') = —;
9) D = {z: z g [-ос, 0], z^[l,+oc]}, го = 1пг, го(г)
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
D = {z: \z\ < 1, Imz > 0}, to =
£ = {z: |z|<l, z#[0, 1]}, to
£> = Iz: llmz! <
In г, го(г — г0) = —;
= In z, w(—l + 0) = —7гг;
w = thz;
D = {z: 0 < Rez < 7r}, u; = tgz;
7Г
£>
г: 0 < Re z <
w = ctg z;
D = {z: 0 < Rez < 1, Imz > 0}, w = tgnz;
D = {z: 0 < Imz < tt}, io = chz;
D = {z: Rez > 0, — 1 < Imz < 0}, w = chtrz;
'" i 1 + i
2 ' 2
D = {z: \Imz\ < 7Г, Rez > 0}, го = shz;
D = {z: 0 < Rez < 27Г, Imz > 0}, го = sinz.
D
z: Rez > 0, 0 < Imz < 1. z
го = chTTz;
19. Найти какие-либо функции го(гг), осуществляющие конформные
отображения областей, изображенных на рис. 28.70-28.85, на полуплоскость
{го: Imw > 0}.
-ih
Рис. 28.70
Рис. 28.71
Рис. 28.72
Рис. 28.73

308 Глава 6. Конформные отображения
Рис. 28.74
Рис. 28.75
Рис. 28.76
Рис. 28.77
яг i
--шгшшшшшк
-яг
-ill I
2^
ШЩШ
яг|
Н&_в
-JUJUJUIUUil+- -ШШШН.
ri Г
-яг
^^
^
Рис. 28.78
Рис. 28.79
яг|
-яг
I яг
Рис. 28.80
Рис. 28.81

§ 28. Конформные отображения элементарными функциями 309
ы
и0 1$
^шзщЬшш
I,
О 1
- _ т\ч\\чч\4жжж - -
Рис. 28.82
Рис. 28.83
4/:
Рис. 28.84
20. Найти какие-либо функции w(z), конформно отображающие области,
изображенные на рис. 28.86-28.91, на полосу {го: 0 < Imw < 1}.
V2-
■Tllfllllllllllllllllllllllllllll
Рис. 28.86
*///?///////,
Рис. 28.87
Рис. 28.88
Рис. 28.89

310 Глава 6. Конформные отображения
Рис. 28.90
\2ih
<8гтп»»»»»»>»;
(1+0 h
Рис. 28.91
21. Найти функцию w(z) конформно отображающую полосу {z: |Imz| < 7г}
на полосу {w: |Im«;| < ж} и удовлетворяющую условиям
гу(7гг) = +оо, гу(+оо) = — 7гг, w(—7гг) = —оо.
22. Найти какие-нибудь функции, осуществляющие конформные
отображения областей, изображенных на рис. 28.92-28.107, на полуплоскость
{w: Imw > 0}.
Рис. 28.92
Я
I
УЬ
I
-1 0 Iх
Рис. 28.93
Рис. 28.94
Рис. 28.95

§ 28. Конформные отображения элементарными функциями 311
1| = 1 У\ |г-1| = 1
-4/
Рр
У
ic. 28.96
1 |2-/|=V"2
\jz-V"2|=l
0 j£
/Шг
|z+/[=V2
Рис. 28.99
Рис. 28.100
Рис. 28.101
>"
|z| = Lj^
М о
i
X
Рис. 28.102
Рис. 28.103

312 Глава 6. Конформные отображения
Рис. 28.104
к
i
—I
ШХХЯЯЯХфяЯбХ^^
Рис. 28.105
Рис. 28.106
Рис. 28.107
Ответы
argw = 2а; 2) Rew = a2 ^ (Imw)2
4а*
Rew = -a2H ^(Imw)2; 4) \w\=p2, Rew>0.
4o
w£[0,+oo]; 2) w <£ [-oo, 0];
Imw > 0; 4) w < 1, — < argw < 7r;
Rew < -H-^(Imw)2; 6) Rew > 1 - i (Imw)2;
|w| < 4, lmw>0; 8) \w\ > -, w £
—7Г < argw < - -; 2) | argw| < -;
Imw < 0; 4) Rew > 0, w £ [0, 1];
\w\ < 1, 0 < argw < |; 6) |w| > 1,
-oo;--
- -argw
/2
Imw < - —-; 8) Rew > 0, Imw > 1.
<

§ 28. Конформные отображения элементарными функциями 313
1) argui = -j-; 2) \w\ = 1, — < argu' < 7г;
3) \w\ < 1, —7Г < argui < -J-;
1 37Г
4) M < g> к - arsH < -j-; 5) ui ^ [-oo, i].
6. u;
8.
2г
v^
7. u> =
1 — z
I7I2"
12. w
13. w
14. u>
15. w
16.
1) |iu| < a — \Ja2 — 1; 2) a < argui < 7Г — a. a = arcsin\/l — a2:
3) lmw>0; 4) juj > 1: 5) |iu| < 1, lmw<0:
6) 1 < \w\ < a+ \Ja2 - 1, lmw>0;
7) \w\ < 1, -a < argu; < 0; 8) a - Va
9) 6 + v/1 + b2 < \w\ <a + ч/Г+о2.
_ 2i(l + z2) -3z
~ 3iz -2(1 +z2)'
1<Ы< 1;
_ 2-i2+(z + Vz2 - 2)2
" 2 + i2-(z + y/z2 - 2)2 '
" v^ + v^-zv^'
= 1 + i
4z
1) lmw = 0, -1 < Reui < 1;
2) lmw = 0. -^ <Reu< ^;
; '2 2
3) — u2 + —- v2 = 1 (u = Rew, v = lmw);
[(z + l)(z - i) + (z - 1)у/^ГЦш
25
л\ 16 2
4) 25 "
16
,2 -
1 (и = Reu, v = Imw);
5) u2 — v2 = -, u > 0 (u = Rew, v = Imw);
6) u2—v2 = -, u<Q(u = Rew, v = lmw).
17.
1) — u2 + — w2 > 1 (u = Rew, v — Imio);
25
2) 25й
16 9 , 16 9 , . _, т ч
-1- — v > 1 (u = Re w, v = Imw);
3) u2 — v2 < - (u = Rew, ii=Imiu):
4) u2 - v2 < -, u> ^ [—гоо; 0] (и = Rew, v = Imio);
5) w ^ [—г;+оо]; 6) w
: +oc

314 Глава 6. Конформные отображения
8) Imiu > 0, w £
Зг
' 4
9) -- <argu; < 0;
18.
10) u2 -v2 < -, v > 0 (u = Rew, v = lmw).
1) 1тгу<0; 2) w 0 [-оо, 0]; 3) Rew > 0;
4) |го| > 1, го0[1,+оо]; 5) |го| > 1, 1тги > 0;
6) |го| < 1, 1тгу>0; 7) -2п < 1тго < 0;
8) 0<1тгу<7г; 9) |1тго|<7г, го0[О,+оо];
10)
— +1тгу
< -, Rett; < 0;
21. гу = 21п
11) -2тг<1тги<0, Rew<0; 12) |го| < 1;
13) го0[-г, г]; 14) \w\ > 1, Rett; > 0;
15) 1тги>0, ги0[О, г]; 16) w 0 [-оо, -1], ги 0 [1, +оо];
17) Imw < 0; 18) Imw > 0, w <£ [0, sh |];
19) w 0 [-оо, 0], w 0 [-г, г]; 20) w 0 [-1, 1], гу 0 [0, +гоо].
+ ег/2
1 - ie*'2
§ 29. Принцип симметрии
Справочные сведения
Область D из С будем называть симметричной, если она обладает
симметрией относительно какой-нибудь прямой или окружности.
Следующий принцип помогает существенно упростить нахождение
конформного отображения области D на область G в С в случае, если
обе они симметричны.
Принцип симметрии. Пусть области D uG принадлежат верхней
полуплоскости и их границы содержат соответственно Г и Г" — интервалы
действительной оси. Пусть функция w = f(z) конформно отображает
область D на область G (рис. 29.1) и непрерывна на D U Г, причем
/(Г) = Г'. Тогда функция
F{z) =
'f{z), 2GDUT;

§ 29. Принцип симметрии 315
0 ©
Рис. 29.2
конформно отображает область D U Г U D* на область G U Г' U G*,
где D* и G* — области, симметричные областям D и G соответственно
относительно действительной оси (рис. 29.2).
Данная теорема позволяет находить конформные отображения
областей, симметричных относительно действительной оси.
Общий случай конформного отображения симметричных областей
можно свести к рассмотренному случаю с помощью дробно-линейных
отображений. Действительно, если Г —дуга окружности или отрезок
прямой, относительно которой симметричны области D и D*, а Г'—
дуга окружности или отрезок прямой, относительно которой
симметричны области G и G*. то строятся дробно-линейные отображения,
переводящие Г и Г' в отрезки действительной оси. При этом, согласно
свойству сохранения симметрии при дробно-линейных отображениях,
пары областей D и D*. G и G* переходят в пары областей, симмет-

316 Глава 6. Конформные отображения
ричных относительно оси К. В итоге ситуация сводится к той, которая
рассмотрена в теореме 1.
Примеры с решениями
Пример 1. Пусть D — плоскость с разрезом по лучу [—4;+оо) и по
отрезку [—Зг;3г] (рис. 29.3). Найти конформное отображение области D
на верхнюю полуплоскость {w: Im w > 0}.
©
3i
-4
D
>кЧЧЧЧЧЧЧккккккккккк^<к'.Чк,^^Ч,кк^ЧЧЧЧЧЧ<ЧЦ^ЧЧЧЧЧЧЧЦЧЦЦк^ЧЧ^ЦЧ^ЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧ^^
о
-3i
Рис. 29.3
Л Область D симметрична относительно оси Ох. Рассмотрим область
D\ = {z: Imz > 0}\[0;3г] —верхнюю полуплоскость с разрезом по
отрезку [0;3г]. Пусть DJ — область, симметричная D\ относительно
оси Ох. Заметим, что D = -DiUTU-D*, где Г —луч (—оо; -4) (рис. 29.4).
Найдем отображение W\ = fi{z), переводящее область D\ в верхнюю
полуплоскость G = {wi: Im W\ > 0} так, что при непрерывном
продолжении функции /1(2) на границу Г получается /i(r) — интервал оси Ох.
Согласно принципу симметрии, F\ — регулярное продолжение f\ в
нижнюю полуплоскость, будет конформно отображать D на (С\М) U /(Г).
©
А
те\.'чттчттчтгч\с<гчччч<А^,ч\.\.\Л
VVVV4V44V.V.4 4 4 4V44 4
Рис. 29.4

§ 29. Принцип симметрии 317
В качестве w\ можно взять отображение из примера 1 § 28:
wi (z) = vV + 9|eiarg(
22+9)/2
arg(z2 + 9)G (0;2vr).
Но здесь дополнительно надо следить за образом луча Г при
отображении W\.
Последовательно применяя к Г отображения
C(z) = z2, г)(() = С + 9,
wl(r]) = ^\-ei^l2, arg^G (0;2vr),
суперпозицией которых является отображение w\(z), получаем, что
wi(Г) = (-ос;-5) (рис. 29.5).
©
3/ Q
,w*s^5S5mssms^ssssssssj
А
-Л
ШЖШШшШшшШ
©
ЯчЧ^^^ч^ткццч^^^^
о
16
$(П
®
<t\^^^w\^^^^^
о
25
л($(0)
©
w,(T)
-5
Рис. 29.5

318 Глава 6. Конформные отображения
Тогда отображение F\, являющееся регулярным продолжением
функции w\ = fi(z) в нижнюю полуплоскость, переводит область D
в область G = С\[—5; +оо) (рис. 29.6).
Далее, применяя отображение --■■:■■ •: ;■> -г>"г;
w2
получаем
(wi) = Vki+5| ■ eiarg(Wl+5V2, arg(wi + 5) e (0; 2тг),
u>2{G) = {ги2: Гтгиг > 0}.
В итоге w(z) = W2(wi(z)). ▲
Заметим, что в примере 1 в исходной области D нельзя было
использовать отображение w = z2, так как оно не конформно в D (нарушается
однолистность).
G
-5
Рис. 29.6
Рис. 29.7
D
Пример 2. Пусть
D = { z = х + гу: у1 < 2р ( х + |
Р>0,
т.е. D — внутренность параболы у2 = 2р I х + - I (рис. 29.7). Найти
конформное отображение области D на верхнюю полуплоскость
{ги: Гтги > 0}.
А Заметим, что область C\D одной из регулярных ветвей функции
{л/z} можно перевести в полуплоскость (см. §28, п. 1). Однако в
области D регулярные ветви корня выделить нельзя (так как его точка
ветвления z = 0 принадлежит D).
Область D симметрична относительно оси Ох. Рассмотрим область
Di = {z £ D: Imz > 0}. Заметим, что D = DiUruDj, где D\ —область,
симметричная D\ относительно Ох, Г = I — - ; +оо ] —луч (рис. 29.7).

§ 29. Принцип симметрии 319
Найдем отображение w\ = fi(z), переводящее конформно область
D\ на верхнюю полуплоскость так, что при непрерывном
продолжении /i на D\ U Г получается /i(r) —интервал оси Ох. Тогда, согласно
принципу симметрии, функция F\, являющаяся регулярным
продолжением /i в нижнюю полуплоскость, будет конформно отображать D на
U/(Г).
Подействуем на D\ U Г конформным отображением
0iargz/2
((z) = y/\z\ -е-
где aigz € (0;7г), и получим область
Z>i=C(A) = {ceC:0<ImC< ^f, ReC>0J
— полуполосу, причем образ луча Г имеет вид
U[0;+oo),
г' = С(Г)=(^;0
гр
~2
т. е. является объединением полуинтервала мнимой оси и
положительной полуоси Ох (рис. 29.8) Здесь D\ —объединение лежащих в верхней
полуплоскости ветвей парабол
У
Pi
2pi [х + ^ ,pi€(0;p) ,
каждая из которых отобразится в горизонтальный луч
С: ГтС=м/|, ReC>0|>,
I"
а полуинтервал
[0;+оо) на Г отобразится на себя (см. § 28, п. 1).
на Г перейдет в полуинтервал ( i\/-\0
луч
©
«■vi|
1
УККККККККККЗККК
D,
Г'
^ SJSSSS^^S^SSSSS^
Рис. 29.8

320 Глава 6. Конформные отображения
Подействуем конформным отображением г)(С) = \ - • С на D[ и Г'
и получим
D'{ = r](D[) = {rj: 0 < Imr] < тг, Rerj > 0},
Г" = 77(Г')-(г7г;0]и[0;+сх))
(рис. 29.9).
©
©
f
^ /£ '/.////////////////////////////////////////.
г'
и ш/мшшммшншшншт *
О *
,У X '//////////////////////////////////If////.
1
!
А
VJffffffffffffffffffffffftffffffffffff7f7r*'
Рис. 29.9
Подействуем конформным отображением -и^) = е7' на D" и Г"
и получим
D"' = u{D") = {u: Imu > 0, |u| > 1}
— верхнюю полуплоскость с выброшенным единичным полукругом,
Г'" = и(Г") = {и: и = ei{p, <р 6 [0;тг]} U [1; +оо)
— объединение верхней единичной полуокружности и луча (см. § 28,
п. 4) (рис. 29.10).
©
jn ч- .ххххххххххххххххчх
_s
о
D\
г\ г
SxxxxxxxxxxxxxlxxxxV >
©
yttt
-1
i
0
k
1|. d"'
vl1
1
Рис. 29.10

§ 29. Принцип симметрии 321
Подействуем конформным отображением
Wl{u) = \(u+l-
на D'" и Г"' и получим
wi(D'") = {wi: Imiwi > 0}
— верхнюю полуплоскость,
и;1(Г",) = [-1;+оо)
— луч (см. § 28, п. 4) (рис. 29.11).
© А
w,(r'")
Ш^ШШШ»1
-1
№\\Ч^
0 1
Рис. 29.11
Тогда отображение F\, являющееся регулярным продолжением
функции w\ = fi(z) в нижнюю полуплоскость, переводит область D
наС = С\(-оо;-1].
Далее, действуя на G конформным отображением
W2{wi) = y/\Wl + l|e-rg(m+i)/2 (arg(t0i + 1} 6 (0;2тг)),
получаем
^г(С) = {г^г: Imw2 > 0}.
Искомое отображение w{z) = W2{w\{z)). к
Пример 3. Доказать, что любое конформное отображение верхней
полуплоскости D = {г: Imz > 0} на верхнюю полуплоскость
G = {w. Imw > 0} является дробно-линейным.
Л Пусть функция w = /(г) осуществляет конформное
отображение D на G. Выделим D* и G* — области, симметричные областям D
и G соответственно относительно действительной оси. При помощи
принципа соответствия границ отображение / может быть
непрерывно продолжено из области D на замыкание D = D U Г, где
Г = {z: Imz = 0} — действительная ось, причем / взаимно-однозначно
отображает Г на Г1 = {w. Imtv = 0} —действительную ось.

322 Глава 6. Конформные отображения
Заметим, что
D U Г U D* = С
G U Ti U G* = С.
регулярное продолжение / в С кон-
Согласно принципу симметрии, F
формно переводит С на С. Следовательно, F — дробно-линейная
функция (см. § 26, пример 4). Поэтому отображение /, которое есть
сужение F на верхнюю полуплоскость, также является дробно-линейным
отображением. ▲
Задачи
1. Обозначим через w(z) функцию, конформно отображающую угол
<z: 0 < argz < — > на сектор < w: \w\ > 1, 0 < argw < — >, и
удовлетворяющую условиям ги(1) = 1, ги(г) = г, ги(оо) = oo. Отыскав
функцию w(z), убедиться, что она:
1) конформно отображает область, изображенную на рис. 29.12, на
область {w: Imw > 0, |ги| > 1};
2) конформно отображает область, изображенную на рис. 29.13, на
область {w: \w\ > 1}.
©
i;
i
--ШШШШ
-1
—jKI
fjWAf/jWTTSi
о
Рис. 29.12
Рис. 29.13
2. Обозначим через w(z) — w(z; z\, Z2, Z3) функцию, конформно
отображающую полукруг {z: \z\ < 1, Imz > 0}, на такой же полукруг в плоскости w
и удовлетворяющую условиям
w(zi) = 1, w(z2) = г, w(z3) = -1
(точки zi,Z2,zz лежат на границе полукруга {z: \z\ < 1, Imz > 0}).
Установить, каким условиям должны удовлетворять точки z\, zi, z$,
чтобы функция w(z) конформно отображала круг {z: \z\ < 1} на:
1) круг {w: \w\ < 1};
2) полуплоскость {w: lmw>0};
3) область, изображенную на рис. 29.14; '
4) область, изображенную на рис. 29.15; :
5) область, изображенную на рис. 29.16;
6) область, изображенную на рис. 29.17. ,.,.

§ 29. Принцип симметрии 323
Рис. 29.14
Рис. 29.15
3. Найти какие-либо функции w(z), конформно отображающие области,
изображенные на рис. 29.18-29.29, на полуплоскость {w: Imw > 0}.
& i
V
—<ацл-ц u.uu
1Щцо1цшити.у
?-г
■ _i„M,w,w,W4|ij,WM.W,-^5v- -
-1 | 0 1
!
I
7-2/
Рис. 29.18
Рис. 29.19
Рис. 29.20
Рис. 29.21
Рис. 29.22

324 Глава 6. Конформные отображения
-1
-VMWM>*6> ф
Рис. 29.23
Рис. 29.24
Зя( ^-д
еА^^
/
i
i
ъиЖняяяяяя
1/
ЙЗХХй*-^ Я1
дЧ>е4
а \
я \
Я \
WSSMWAwdiiM
Рис. 29.25
2/
I .
(f
I '
I
-2i
Рис. 29.28
■ 0 1
Рис. 29.26
Рис. 29.27
I
-2/
01 1
«шшшшшш
Рис. 29.29
4. Найти какую-либо функцию tu(z), конформно отображающую область
{-
x + iy:
> 1, z >0
(а — постоянная, 0 < а < 7г/2) на полуплоскость {w: Imw > 0}.
5. Найти какую-либо функцию w(z), конформно отображающую область
lz = x + iy: у2 <2р(х+^)\, р>0,
на полуплоскость {w: liaw > 0}.
6. Найти какие-либо функции w(z), конформно отображающие области,
изображенные на рис. 29.30-29.33, на круг {w. \w\ < 1}.

§ 29. Принцип симметрии 325
1+i
Рис. 29.30
Рис. 29.31
-е 6
Рис. 29.32
Рис. 29.33
7. Найти какую-либо функцию w(z), конформно отображающую область
{z: z £ [km, km + гоо] (к = 0, ±1, ±2, ...)}
на полуплоскость {w: Imw > 0}.
8. Найти какую-либо функцию w(z), конформно отображающую область
{z: Imz > 0, z <£ [кп, ктг + пг] (к = 0, ±1, ±2, ...)}
на полуплоскость {w: Imw > 0}.
9. Найти какую-либо функцию w(z), конформно отображающую область
{z: Im> 0, z g [2k, 2k + 2i], zg[2k+l, 2fc + 1 + г] {к = 0, ±1,...)}
на полуплоскость {w: Imw > 0}.
10. Найти какие-либо функции w(z), конформно отображающие области,
изображенные на рис. 29.34-29.36, на полуплоскость {w: Imw > 0}.
-1+j
-1-;
1+г
ШШШШШШ1А -
Рис. 29.34

326 Глава 6. Конформные отображения
о -1) f -*-(!+/)!
-4--
-(1 + /)|-|«.(1-/)|
—я/1
Рис. 29.36
11. Пусть функция /(z) регулярна при {z: Imz > 0}, непрерывна при
{z: Imz ^ 0} и принимает на действительной оси действительные
значения. Доказать, что функцию f(z) можно регулярно продолжить на всю
комплексную плоскость.
12. Пусть функция /(z) регулярна при {z: 0 < Rez < 1}, непрерывна при
{z: 0 ^ Rez ^ 1} и принимает действительные значения на прямых
{z: Rez = 0} и {z: Rez = 1}. Доказать, что функцию /(z) можно
регулярно продолжить на всю комплексную плоскость и что функция F(z),
осуществляющая это аналитическое продолжение, удовлетворяет условию
F(z + 2) = F(z).
13. Пусть функция /(z) регулярна при {z: 0 < Imz < 1}, непрерывна при
{z: 0 < Imz ^ 1} и удовлетворяет условиям
Re/(z)=0 (lmz = 0); Im/(z) = 0 (Imz = l).
Доказать, что функцию /(z) можно регулярно продолжить на всю
плоскость и что функция F(z), осуществляющая это аналитическое
продолжение, удовлетворяет условию F(z + 2г) = —F(z).
14. Пусть функция /(z) регулярна в прямоугольнике
{z: |Imz| < h, 0 < Rez < l},
непрерывна в замыкании этого прямоугольника и удовлетворяет условиям
lm/(z) = 0 (Rez = 0, |lmz| < К);
Im/(z) = 1 (Rez = 1, | Imz\ < h).
Доказать, что функцию /(z) можно регулярно продолжить на полосу
{z: |Imz| < h} и что функция F(z), осуществляющая это продолжение,
имеет вид iz + F\(z), где функция F\(z) регулярна в полосе {z: |Imz| < h}
и периодична с периодом 2.
15. Пусть функция /(z) регулярна в полукольце
{z: p < \z\ < R, Imz > 0},
непрерывна в его замыкании и принимает действительные значения на
отрезках (—R, — р) и (р, R). Доказать, что функцию /(z) можно регулярно
продолжить в кольцо {z: p < \z\ < R} до регулярной в этом кольце
функции.

§ 30. Отображение многоугольников 327
16. Пусть функция f(z) конформно отображает прямоугольник
{2: |Rez| < h. |Imz| < h} на какой-либо круг (или полуплоскость).
Доказать, что регулярное продолжение функции f(z) является функцией,
мероморфной во всей плоскости и периодической с периодами Ah и Aih.
17. Пусть функция /(г) конформно отображает сектор
< z: \z\ < 1, 0 < argz < -
I n.
на треугольник с теми же вершинами 0, 1, е7™/™. причем таким
образом, что эти вершины остаются на месте. Доказать, что функцию f(z)
можно регулярно продолжить в круг {z: \z\ < 1} и что функция F(z),
осуществляющая это аналитическое продолжение, конформно отображает
круг {z: \z\ < 1} на правильный 2п-угольник (с центром в точке 0 и одной
из вершин в точке 1).
18. Доказать, что любое конформное отображение круга на круг (или на
полуплоскость) является дробно-линейным отображением.
19. Доказать, что не существует функции, конформно отображающей кольцо
{г: 1 < \z\ < Ri} на кольцо {z: 1 < \z\ < R2}, если только R\ ф i?2-
20. Пусть функция f(z) конформно отображает полуплоскость {z: Imz > 0}
на область:
Imw > 0. 0 < Rem < 1,
1
1
>2
Доказать, что регулярное продолжение функции f(z) приводит к
функции F(z). регулярной во всей расширенной комплексной плоскости с тремя
выколотыми точками (прообразы точек 0, 1 и оо).
1)
3)
5)
21
21
21
-1, 2з = -1;
= 0, 23 = -1;
= -1, 23 = г;
Ответы
2) zi = -1, 23 = 1;
АЛ 1 1
4) *! = -, ^ = ~-г
6) Zl = e3"/4, z3 = е^4
§ 30. Отображение многоугольников
Справочные сведения
1. Если П —ограниченный многоугольник на плоскости С, то по
теореме Римана существует конформное отображение верхней
полуплоскости на внутренность П. Заметим, что такое отображение заведомо
определяется неоднозначно. Следующая теорема описывает все
подобные отображения для заданного многоугольника П.

328 Глава 6. Конформные отображения
Теорема Кристоффеля—Шварца. Пусть функция w = f(z)
конформно отображает верхнюю полуплоскость {z: Imz > 0} на
внутренность ограниченного многоугольника с углами а^ (0 < а^ ^ 2,
к = 1, 2, ... , п) при вершинах, причем известны точки а^
действительной оси, являющиеся прообразами вершин многоугольника при
отображении /. Тогда
Z
f(z) = с J*(£ - ахГ"1^ - аз)"2"1 ...(£- а^""1 # + сь
о
где с, с\ — комплексные константы и интеграл берется по произвольной
кривой в верхней полуплоскости, соединяющей точки 0 и z (рис. 30.1).
©
Im z > 0 w =f(z)
*~
я, a2 аъ ап
7777777fft7777777ff777T?n777ft77r,
-1 0 1
Рис. 30.1
В формуле Кристоффеля, задающей функцию f(z), предполагается,
что известны а\, ... , ап — прообразы вершин многоугольника. Однако
в задачах на конформные отображения обычно задаются лишь вершины
А\, ... , Ап многоугольника, а точки а^ остаются неизвестными.
Три из них (например, ai, 02, 03) можно выбрать произвольно.
Тогда будет выполняться одно из условий нормировки конформного
отображения односвязной области, приведенных в § 26, и искомое
отображение / будет единственным. Следовательно, оставшиеся точки а^
и константы с, с\ должны единственным образом определяться из
условий задачи.
Конкретные способы нахождения величин а^, с, с\ рассмотрены
в примерах.
2. Формулу Кристоффеля—Шварца, приведенную в теореме, можно
обобщить на перечисленные ниже случаи.

§ 30. Отображение многоугольников 329
Случай 1. Одна из точек а^ совпадает с бесконечностью.
Без ограничения общности пусть ап = оо. Тогда формула для
отображения / изменяется так:
2
/(г) = c^ii - axr~l{i - а2Г~1 ...(£- ап_ху^-1 <% + сь
о
Этот факт можно использовать в решении задач, так как специально
выбирая ап = ос, мы получаем более простое подынтегральное выражение.
Случай 2. Одна или несколько вершин А^ многоугольника П
лежат в бесконечности.
Тогда формула для / не изменяется:
Z
№ = cftt- а1Г-1(£ " ^Г2"1 .-.(£- an)"""1 dH + сЛ.
о
Заметим, что здесь угол между двумя прямыми в точке оо понимается
как угол в конечной точке их пересечения, взятый со знаком минус.
Случай 3. Отображение верхней полуплоскости на внешность
многоугольника П.
Тогда формула для / изменяется так:
Z
№ =cftt- ^Г"1^ - ^Г"1 ...(£" апГ-~1 (g_g)^__)2 + сь
о
где с, с\ — комплексные константы, а^л — внешние углы
многоугольника П, <2fc — прообразы его вершин при отображении /, а —прообраз
точки ос.
Примеры с решениями
Пример 1. Найти конформное отображение верхней полуплоскости на
треугольник с вершинами А\ — 0, Аг = а (о > 0) и углами а\тг, а.2^
(рис. 30.2).
Д Согласно условиям нормировки конформных отображений односвяз-
ных областей (§ 26), в роли прообразов точек А\, Лг, Аз можно взять
три произвольные точки на границе верхней полуплоскости.
Пусть а\ — 0, а2 = 1, аз = ос, тогда
2
f(z) = cfci-1(C-l)a2-1dC + c1.
о
Так как /(0) = 0, то су = 0.

330 Глава 6. Конформные отображения
.^^^<h^^^0^^^^v ЖчЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧ<
©
lmz>0
а3 = 0° fli = 0 a2— 1 а3 = 0°
y4j=0 A2= a
Рис. 30.2
Запишем /(z) в виде
2
/(z)=?JcQ1"1(i-C)Q2"4
о
и подставим z — 1. Получим
1
а = /(1) = с^Са1_1(1-СГ-Ч,
о
откуда
с =
В(«1,а2) '
о
где В(«1,0:2) —бета-функция Эйлера (см. § 24).
Следовательно,
2
B(ai,a2) J
О
Пример 2. Найти конформное отображение верхней полуплоскости на
прямоугольник с вершинами А\ = 1, А2 = 1 + гН, Аз — — 1 + Ш,
At = -1 (Я > 0) (рис. 30.3).
Д Найдем конформное отображение w = f(z) первой четверти
плоскости z на правую половину заданного прямоугольника такое, чтобы
образом мнимой полуоси {iy: у ^ 0} был отрезок [0; гН]. Тогда по
принципу симметрии регулярное продолжение / во вторую четверть
будет отображать верхнюю полуплоскость на весь прямоугольник
(продолжение также будем обозначать /).

§ 30. Отображение многоугольников 331
©
© Аъ=-\+Ш 4 A2=[+iH
^\\\\\\\\\\\\\\^Ч\\\\\\\\\\\\\^
lmz>0
_\_ I
k -1 0 1 *
«~s>
I
iwwm^w^^^i
1
АЛ=-\
А, = 1
Рис. 30.3
Согласно условиям нормировки конформных отображений односвяз-
ных областей (§ 26) в роли прообразов точек 0, 1, Ш можно взять
произвольные точки на границе первой четверти.
Пусть /(0) = 0, /(1) — 1, /(ос) = Ш. Этим соответствием
функция / задана единственным образом, причем f({iy: у ^ 0}) = [0; Ш].
Прообразом вершины 1 + Ш будет некоторая точка - > 0 (к 6 Ш,
к
к < 1), так как порядок расположения точек на границе области
сохраняется при конформном отображении /.
Согласно принципу симметрии
/(-1)
■1, / "
к
■1 + Ш.
По условию углы равны а\тт, аътт, «зтг, оцж, где
1
«1 = «2 = «3 = «4 — -z ■
Поэтому по формуле Кристоффеля—Шварца находим
Z
/W = cJ(C-l)^2>-1(C-(-l))(1/2)-1x
(1/2)-1
-1/2
(1/2)-1
J(c2-d-1/2(c2-^)" ^с + С1 =
J л/(1-С2)(1
V(i-c2)(i-fc2c2)
+ Cl.

332 Глава 6. Конформные отображения
Так как /(0) = 0, то с\ — 0, а константы с, к можно найти из условий:
а) Д1) = 1,т.е.
J л/(1-С2)(1
- к2С2)
(1)
б) f[-j=l + iH,T.e.
i/fc
'{^
dC
v/(i-C2)(i-fc2C2)
= 1 + iH,
или, с учетом равенства (1),
l/fc
l
J V(i-c2)(i
fc2C2)
= ztf.
(2)
Система равенств (1), (2) достаточна для нахождения чисел с и к
через значения специальной функции
г
J V(i-C2)(i
V(i-C2)(i-fc2C2)'
и
которая называется эллиптической функцией Якоби с модулем к
(0 < к < 1). Она определена для всех z G С. А
Пример 3. Найти конформное отображение верхней полуплоскости на
область D, содержащую первую четверть, граница которой состоит из
полупрямых {w: Kew < 0, Imu; = 1}, {w: Kew ^ 0, 1тш = — 1} и
отрезка [—г; г] (рис. 30.4).
©
0
А=°°
Im г > 0 —
а3 = ооа1 =—1 fl2=l Яз = 0°
--4-
4-. — —1 Л, = оо
Рис. 30.4

§ 30. Отображение многоугольников 333
А Область D является треугольником с вершинами А\ = г, А2 = —г,
Аз — оо и углами соответственно ai7r, а27г, аз7г, где
3 х 1
а1 = 2 ' а2 = 2 ' аз =
Согласно условиям нормировки конформных отображений односвяз-
ных областей (§ 26), в роли прообразов точек А\, А2, А% можно выбрать
произвольные три точки на оси R.
Пусть сь\ = — 1, а2 = 1, аз — °°- Тогда искомое отображение примет
вид
z
= /w = c/(c + i)3/2-1(c-i)1/2-4 + ci =
с
О 1
где
1
ci=Cl+cjY^) dC-
о
1/2
-с,
Так как /(1) = —г, то с\ = —г, а из условия /(—1) — i следует, что
С
_1 1/2
г/(г^' ^С-г' = г. (3)
1
Согласно примеру 1 § 24 (если взять р = —1/2, g = 1/2), имеем
1
Г М _ п-1'2 ■ (I + nl'2dC - 2-V2+1/2+1 Г(-1/2 + 1)-Г(1/2+1) _
J[ Cj l +U C" Г((-1/2) + (1/2) + 2) "
-1
_0Г(1/2)-Г(3/2)_0 (1\ /3
" Г(2) -Z'l[2j'l\2
= 2.Г(1)|Г(1)=^,,
Здесь использованы значения Г(2) = 1, Г(1/2) = у^ и свойство
Г(2 + 1) = гГ(г).
Подставляя вычисленное значение интеграла в равенство (3),
получаем
~ , . . . ~ 2г
С • (, —7Г) — 1 = 1, С = .
7Г

334 Глава 6. Конформные отображения
Следовательно,
/(*) =
*!№Г
d(-i.
Задачи
1. Найти функции w(z), конформно отображающие полуплоскость
{z: Imz > 0} на многоугольники, изображенные на рис. 30.5-30.18,
таким образом, чтобы гу(0) = A\, w(l) = A2, гу(оо) = Аз (вершины Ak
обозначены на рисунках).
А3 = оа
-*Д,= i
*А,= -i
A2 = il
А3=оо
I
I л,
0l
00
Рис. 30.5
| 71/
Ч\\\\\\\\\\\ХХУ^\\\Х\\\\\\\\\\^
I
-fAl =nih
А-^ — ю
"0
Рис. 30.6
Ах =оо
A,— i
у43 = оо
\А2=0
Рис. 30.7
Рис. 30.8
л, = о;/а=о
чшштфш/гншш».
i
А,— оо
Рис. 30.9
л,=о
Л2=1
1
Рис. 30.10
i^WWiWtsN
>h»i>>m>h
П777Т7Т7ТТТТТ.
О
Рис. 30.11
Рис. 30.12

§ 30. Отображение многоугольников 335
1 Л = 1
А, = 0
^S^SSX^
А3= со
^
1 L
§| A3=h + iH
А\=0 А2=со
1 1
•О
$
^^^^^^^,
I
Рис. 30.13
Рис. 30.14
А=С0 1 А = ,-L
^ lA3=mh
iA=0
--р
/42 = оо
Рис. 30.15
Рис. 30.16
\ А,= h А, = со
Л5= оо
/43 = 0°
-4г_°|
А = /г + г'Я
*~Н
у4,=оо
Рис. 30.17
Рис. 30.18
2. Найти какие-либо функции w(z), конформно отображающие
полуплоскость {z: Imz > 0} на симметричные многоугольники, изображенные на
рис. 30.19-30.24.
3. Найти функции w(z), конформно отображающие область {z: \z\ > 1} на
многоугольники с внутренней точкой го = со, изображенные на рис. 30.25-
30.27, таким образом, чтобы го(оо) = оо, u>(l) = A\.
Ш
^^о^^<^«^>^^^^^^
Аъ — со ■
Л5 = сс-
А, = оо'
-@ AA = ih
i
А2 = (х>
ih
^^
1-я/
А. = оо Л, = 0,
Рис. 30.19
Рис. 30.20

336 Глава 6. Конформные отображения
А,= ih
А7=е*
А, = оо А2 =
I *
A5=-H+ih> A^H+ih
А{=<х, '
1 л^тлш<Аww,w.w
!0
A2 = co
Рис. 30.21
Рис. 30.22
ПрТн
^Ч«ЧЧЧЧЧ\<
,/Я
ЧХХХХХХХХХУХХХХХХХХХХХ
Л, = оо i
-14"
^^^^ххт:
,0
4 = 001^5=~гЙ
^чхТ^хЯ^ххТхх^ххх^
Ля
Л2 = 0°
Рис. 30.23
Рис. 30.24
я/(1-а)
Л,= 0
Рис. 30.26
4. Найти функции u>(z), конформно отображающие полуплоскость
{z: Imz > 0} на области, изображенные на рис. 30.28-30.31, таким
образом, чтобы
w(0) = Аг, w(l) = А2, го(оо) = А3.
А = О А-,= <х>
1*3
/<! = -! |Л2=Г
Рис. 30.28
Рис. 30.29

§ 30. Отображение многоугольников 337
-1+Л/2
-1+г
Л, = -1-г
Рис. 30.30
Рис. 30.31
5. Найти функции w(z), конформно отображающие всю плоскость z с
разрезом но отрезку [—1, 1] на области, изображенные на рис. 30.32-30.34,
таким образом, чтобы w{oo) = oo, w{\) = A\.
А, = 0
-®—
i 1
Рис. 30.32
-1+г
1+г
-1 + г
1+г
Рис. 30.34
6. Найти функции w(z), конформно отображающие полосу <z: | Im | <
на области, изображенные на рис. 30.35-30.37, таким образом, чтобы
ги(0) = 0, w(+oo) = Ai.
ih
wwwwwww
AL=2_x
i
57U I
'б I f6JT
- -^
„T I
e 6
-1 +/
-1-г
A, = l + i
1 -г
Рис. 30.35
Рис. 30.36
Рис. 30.37
7. Найти функции w(z). конформно отображающие полуполосу
z: Re г > 0, |1тг| < — f на области, изображенные на рис. 30.38-30.39.

338 Глава 6. Конформные отображения
таким образом, чтобы
w(~'y) =Al' w(°°) = yl2,
l+i
Рис. 30.38
(7гг
"2"
А,-
У X V X X X X Л. N.4X4 Л. V Л. V X V X хУ^
Л, = -2 Л2 = О Л3=2
Рис. 30.39
8. Найти какую-либо функцию w(z), конформно отображающую
полуплоскость {г: Im z > 0} на плоскость w с разрезами по лучам
[ki, ki + гоо], I А; + - 1 г, (^+т)г +
гоо
(* = 0,±1,±2, ...)•
9. Найти какую-либо функцию w(z), конформно отображающую
полуплоскость {г: Imz > 0} на полуплоскость w, из которой выброшены полосы
{
w: Rew < 0, \k-lmw\ < - \ [к = 0, ±1, ±2, ...).
10. Найти функции w(z), конформно отображающую полуплоскость
{г: Ьпг > 0} на многоугольники, изображенные на рис. 30.40-30.42,
таким образом, чтобы и; (0) = Ai, w(l) = А2, w(oo) = A3.
11. Найти функцию w(z), конформно отображающую круг {z: \z\ < 1} на
правильный n-угольник, вписанный в круг {w: \w\ < 1}, таким образом,
чтобы ги(0) = 0, w(l) = 1.

§ 30. Отображение многоугольников 339
Ответы
Рис. 30.5: -ш = - (-^ + 21пг+1-тгг);
7Г
рис. 30.6: w = — (z — In z — I + 7гг);
рис. 30.7: w = h ln(z - 1) + (1 - h) In ( 1 +
hz
l-h
рис. 30.8: №
рис. 30.9: u>
_ ЗУ^ (z-l)2,
16 2-y/z
,1-a
(1 — q)2 + a
h
4
e"
рис. 30.10: w = - 7 (1 + a)1+a(l - a)1"^^1^ - l)2;
рис. 30.11: го = —
7= +ln"i г
IZ 1 — -^/2
рис. 30.12: го = - (3 — z)\fz\
рис. 30.13: w = — ( — + arcsin(2z — 1) + 4 I г
7г \ 2 \ 2
10) рис. 30.14: w= - ( Я In 1 + vf + гЫп ^,,
11) рис. 30.15:
Я-Л I. л/г - 1 - г , Я . (H-h)Vz^l + iH
W = ^ 1П . 1" — 1П ■; ' ,
V/2^rT + г Я -/г {H-h)^fz^l~iH
12) рис. 30.16:
, f (1 + о)г(2г + а-1) . а(1 - г) ]
S (l-a)(l-z)(z + a) 2 + о ''
а + 1 1 ,
где а — единственное положительное решение уравнения = - in а;
а — 1 2
13) рис. 30.17: w = i +
z(z + а)
1 +а
1 — In z — In
2 + a
1 + a
(a + 2)2 , ,
ственное положительное решение уравнения -^—-^т + m
где a — един-
а2
14) рис. 30.18:
4(а + 1) 4(а+1)
= —nh:
w(z) =
Я
\{a2 - 1)(а + 2) -1па = -тг
V-1 (а-
2
Я '
-1)(2-
2
-I)2
— In z
h + гН,
3. 1) Рис. 30.25: w=-{z- l)l+2a(z+l)l-2a, С = (1 ~ 2а)Д1±^а) ";
г 2г\Л — 4а2
2) рис. 30.26: iu =- (z2 - 1)2«(г2 + l)1"2". C= (1 ~ 2^"~(1/2):

340 Глава 6. Конформные отображения
3) рис. 30.27:
W = _г2а"(3/2)(1 + COS0)-(1/2b« . I [z + \f-2a(z2 + 2ZCOS0 + 1)(1/2)+а?
где 0 — единственное решение уравнения
, ч(1/2)-а , Ч(1/2)+а
(l+cos0)*-" = (i_cos0)fi-aj U+a)
лежащее в интервале I 0, — I.
27Г
4. 1) Рис. 30.28: го = =^ -;
z - In г — 1
2) рис. 30.29: W=2^-;i + 2^^EI;
3) рис. 30.30:
. (1 + л/2)(1 - 2г)3/2 + (1 + ;)33/4^(1-г)
ги = г -
(1 + v/2)(l - 2г)3/2 - (1 + г)33/4 v^T^I
(здесь Аз = г + Ог);
4) рис. 30.31: w =
z — 2 In z + 7гг — 7Г — 1
5. 1) Рис. 30.32: го = (1 + г)21/2 • З"3/4 • </(z - l)(z + l)3;
2) рис. 30.33:
■ / 1 , 1, vT^^+l)"1
где а — единственное положительное решение уравнения
2а , , о + 1
3) рис. 30.34:
'(l + a2)z + a2-l , sfz~^\ + д/(1 + а2)г + а2 - 1 тг
го = —7тг | ч / — La —
z - 1 ay/z^l 2
где а — единственное положительное решение уравнения
a 2
6. 1) Рис. 30.35:
го = | /ь^е" + Va2 + е2™) - \/l + a2e2™ - Ino} ,
где a — единственное положительное решение уравнения
л/l + a2 = cth л/l + a2;
2) рис. 30.36: го = 2^33-^2shirz(chirz)-^3;
3) рис. 30.37:
± |. 4у ^.11 и л -г (1 -г *) sh7rz , ., 2\/di~7rz + (1 — i)sh7rz
го = - < In —, —; - h г In —==—i
sh7rz 2vch7T2 — (1 — г) sh7rz
1_ f. 2Vchirz+(l + i)
тг \ 2%/ch7rz- (1 + г)

§ 31. Применение конформных отображений в краевых задачах 341
1) Рис. 30.38:
тг(а2 - 1)
W
a — 1 , 1 — ishz
ishz — m ■
2 1 + г sh z
где a — единственное положительное решение уравнения
2a .0—1
in = 7г;
a* - 1 a + 1
2) рис. 30.39: w = ™
2 — Cth 2
10. 1) Рис. 30.40:
™ = ^nr, ^l{l-a) f ~й^ rfC;
Г(а)Г(/3)
2) рис. 30.41:
'3 — Q
2Г
w = evla/2 ■
3) рис. 30.42:
тгГ(2-а)
l
Г(а + :
Г(/3)Г(а - /3 ■
11. w = —
Г2
Z
™ С a - cn)-2/ndc
\П/ \ Пj П
§ 31. Применение конформных отображений
при решении краевых задач
для гармонических функций
1. Конформные отображения применяются при решении краевых
задач для уравнения Лапласа в плоских областях. Рассмотрим некоторые
из этих задач.
Классическая задача Дирихле для уравнения Лапласа. Для
ограниченной области D С К2 с кусочно-гладкой границей 8D = Г
и непрерывной на Г функции щ(х,у) найти функцию и = и{х,у) из

342 Глава 6. Конформные отображения
класса C2(D) П C(D) такую, что
(Аи = О вД
Ы(х,у)ег = ио{х,У)-
Общая задача Дирихле для уравнения Лапласа. Для области
D С К2 с кусочно-гладкой границей 3D = Г и функции щ(х,у),
ограниченной и непрерывной на Г, кроме быть может конечного числа
точек Cfc € Г (к = 1, 2, ... , п), в которых функция и(х,у) имеет
разрывы 1 рода (вдоль по кривой Г), найти ограниченную функцию
из класса C2(D), непрерывную в D, кроме точек (,к (к = I, ... , п),
такую, что
Ди = 0 вД
ul(x,2/)er\{Ci,...,Cn} =щ(х,у).
Заметим, что в общей задаче Дирихле область D может быть
неограниченной, а если точка ос принадлежит D, то решение и(х,у) должно
быть ограничено в том числе и в проколотой окрестности точки оо. Для
удобства функцию и(х,у) будем записывать в виде u(z), где z = х + iy.
Из курса уравнений математической физики известно, что решение
общей задачи Дирихле при указанных условиях на область D и
функции и 1Л uq существует и единственно.
2. Приведем результат решения задачи Дирихле в случаях, когда D —
единичный круг и когда D — верхняя полуплоскость.
1) Решение общей задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге
D = {z: \z\ < 1} с заданной на окружности Г = {£: |£| = 1}
функцией щ = uq(Q представляется интегралом Пуассона:
г
2) Решение общей задачи Дирихле для уравнения Лапласа в
полуплоскости D = {z: Imz > 0} с заданной на действительной
прямой функцией щ = щ(Ь), t € К, представляется интегралом
Пуассона:
+оо
u(z) = - I . V'U°}' 9 dt, z = x + iy G D.
w it J (t - xf + y2
—oo

§ 31. Применение конформных отображений в краевых задачах 343
3. В случае областей более произвольного вида применима следующая
теорема.
Теорема 1. Пусть регулярная функция w = f(z) конформно
отображает область D на область G и пусть функция u = u(z) является
гармонической в области G. Тогда функция u{z) = u(f(z)) является
гармонической в области D.
Согласно теореме 1, для решения задачи Дирихле в произвольной
области D достаточно найти конформное отображение области D на
более простую область G, в которой решение задачи Дирихле уже
известно, или может быть найдено более простым способом, чем в D. Этот
прием и лежит в основе метода решения задачи Дирихле с помощью
конформных отображений.
4. Функцией Грина общей задачи Дирихле для оператора Лапласа
в области D называется функция с действительными значениями вида
G(z,0 = ^-in|*-CI + 3(*,C), z,CeD
такая, что:
1) при каждом фиксированном £ € D функция g(z,Q является по
переменной z гармонической в области D и непрерывной в D;
2) при каждом £ £ D справедливо равенство G(z, C)|zer = 0.
Зная функцию Грина, можно получить решение (при определенных
условиях на гладкость G) общей задачи Дирихле в виде:
u(z) = J^^lu0(C)\dCl
г
где дифференцирование в направлении единичной внешней нор-
оп
мали п к границе Г области D по переменной £.
Если функция w = w(z) реализует конформное отображение
области D на единичный круг {w: \w\ < 1}, то функция Грина для области D
имеет вид
G(zX) = ±ln\wc(z)\,
где
1 — w(z) ■ w(Q

344 Глава 6. Конформные отображения
5. Вторая краевая задача, или задача Неймана. Для заданных
ограниченной области D С. Ш с гладкой границей Г и непрерывной
на Г функции и\(х,у) найти функцию и = и(х,у) класса C2(D) C\C(D),
j, ди
имеющую непрерывную на 1 производную —— в направлении единичной
внешней нормали п к Г и такую, что
'Аи = 0 в D,
дп
ди
дп
= ui(x,y).
{х,у)ег
Из курса уравнений математической физики известно, что при
условии
/
ui(s)ds = 0
решение задачи Неймана существует и разность двух разных решений
является константой.
В случае односвязной области D задачу Неймана молено свести
к классической задаче Дирихле следующим образом:
1) найти функцию v = v(x,y), которая является сопряженной
гармонической для и — и(х,у), решив следующую задачу Дирихле:
ГДи = 0 вД
С
v\CeT = J ui(s)ds,
Со
где £о — фиксированная точка на Г и интеграл берется по
произвольной связной части границы Г, соединяющей точки £о и (.
2) с помощью условий Коши—Римана их = vy, uy = —vx найти и
по v (с точностью до постоянного слагаемого).
Примеры с решениями
Пример 1. Найти решение классической задачи Дирихле
' Аи = 0, \z\ < 1,
simp
ullz|=l
5 + 4 cos <p
А Воспользуемся формулой Пуассона для решения задачи Дирихле
в единичном круге. Для этого выразим граничное условие через ком-

§ 31. Применение конформных отображений в краевых задачах 345
плексную переменную (" = ev. Тогда
Л 1
sin
У
с-
"о(0 =
С/ 2г
sin (p
C0S'^=2^C+C
C2-i
5 + 4cos<p 2i(2C2 + 5C + 2) '
Подставляя Uo(C) B формулу Пуассона, получаем, что u(z) — Rel(z).
где I(z) интеграл вида
'<*> = ^
(С2-1)(С + г)
2/:(2С2 + 5С + 2)(С-г)С
dC-
lcl=i
Вычислим I(z) с помощью вычетов. Найдем все конечные особые
точки подынтегральной функции
(С2-1)(С + 2)
/(0 =
2г(2С2 + 5С + 2)(С-г)С
Это точки Со = 0; Ci = ~~ 2, ^2 = —1/2 (корни уравнения 2С2+5С+2 — 0),
Сз = z. где \z\ < 1.
В области {(: \(\ > 1} функция /((") имеет только одну конечную
особую точку (д = —2. По теореме Коши о вычетах
I(z) = - res /(С) - res /(C),
С=-2 С=:=с
с учетом ориентации единичной окружности.
Так как ^ = —2— полюс первого порядка для /(С), то
(С2-1)(С + г)
C=V 2г(С-г)С(2С2 + 5С + 2)'
3(2-2)
С=-2
2-г
2г(-2-г)(-2)(-3) 4/(2 + 2)'
Точка £ = ос является нулем первого порядка для функции /(£),
причем /((") ~ —— (С ~~*■ °°); поэтому
res /(С) = - i
С=оо 4г
Тогда
Эткуда
и(х, г/) =
, _ z~2 I _ z-2 + z +
^ 4г(г + 2) 4/ 4г(г + 2)
2 z
2i(z + 2) '
= Re — = Re — —- = Re
2i{z + 2) 2i{x + iy + 2)
(У ~ ix) {x + 2 - ty)
2 {x + 2)2 + y2_
y{x + 2)-xy у
2((x + 2)2+y2) (x + 2)2+y2

346 Глава 6. Конформные отображения
Пример 2. Найти решение общей задачи Дирихле
'Ди = 0, у > 0,
1Л«=° 1 + х2'
А Воспользуемся формулой Пуассона для решения задачи Дирихле
в верхней полуплоскости:
+оо
У
"(г)4/(Г
+ t2)((t-x)2+y2)
dt.
Вычислим этот несобственный интеграл с помощью вычетов. Для
функции /(С)
otttz го от в верхней полуплоскости есть
(1 + {2Ш-х)2+у2)
только две особые точки £i = г и ^ = х + iy (так как у > 0 по условию).
Это полюса первого порядка. По теореме 1 § 23 находим
u{z) = - • (2тгг • (res/(С) + res. /(C))) ,
7Г \ С=г С=х+гу I
где
У
^■КО- ((С_ж)2+у2).(С2 + 1),
У
,.2ч '
С=г
У
сЛ+*т~ (1+ем-х)2+у2у
У
1
2i((i-x)2+y2)
_ У
(1 + С2)(2(С-^))
C=x+iy
(1 + {х + iyf)2iy 2г(1 + {х + iy)2)
Следовательно,
u(z) = — 2-кг
7Г
У
+
2г((г - х)2 + у2) ' 2i{l + {x + iyf)
У 1
+
(г — х + iy){i — х — iy) (1 + г(х + гу))(1 — г(х + iy))
{у + 1)(1 + ix - у) = у + 1
(1 + у + ix){\ + у — ix)(l + ix — у) (у + I)2 + х
2 •
Пример 3. Решить в области G — {z: \z\ < 1, Imz > 0} общую задачу
Дирихле
= 1.

§ 31. Применение конформных отображений в краевых задачах 347
Л Функция ,
W = -\{Z+\
конформно отображает полукруг G = {z: \z\ < 1, Imz > 0} (рис. 31.1)
на верхнюю полуплоскость D = {w: Imw > 0} (см. §28, п. 4). При
этом верхняя полуокружность Ti = {z: \z\ = 1, Imz ^ 0}
переходит в отрезок w(Ti) = [—1;1], а отрезок Г 2 = [—1:1]—в два луча
™(Г2) = (-oo;-l]U[l;+oo).
Рис. 31.1
Тогда, согласно теореме 1, если и —решение задачи Дирихле в
области D = w(G):
(Au^Ob D,
1«ЦГ1) = 1' "Цг2) = °>
то функция u(z) = u(f(z)) будет решением исходной задачи Дирихле
в области G.
Функцию u = u(w) = u{Q,rf), где w = ( + irj, найдем по формуле
Пуассона:
1 -1 (---I +i
1
\V VJ
' arctg I
1 / /l -СЛ M + C
= — arctg + arctg
к V V v ) \ v
Осталось выразить £, V через ж, у, где z — х + гу, w = £ + irj, из
формулы
W = -\{Z+\
Приравнивая действительные и мнимые части в равенстве
1 ( ■ 1
С,+гг) = — -\x + iy +
2 у х + iy

348 Глава 6. Конформные отображения
получаем
х ( 1
2 \1+х^Т7
v 2 i -2 -■- "2
-1
Подставляя С, ?7 в формулу для й(£,г]) и упрощая, находим
u(x,y) = u(C(x,y),rf(x,y)) =
_ 1 / 2(ж2 + j/2) + ж(ж2 + j/2) + х
— — I arctg — 2 2\ '
тг V у(\-х* -у*)
+ arctg
2(ж2 + у2) - ж(ж2 + j/2) - х
у(1-х2 -у2)
Задачи
1. Решить классическую задачу Дирихле для единичного крута {z: \z\ < 1}:
'Ди = 0, \z\ < 1;
где z = re
= rv=W
4*1=1 2 +simp'
2. Решить общую задачу Дирихле для верхней полуплоскости {z: Im z > 0}:
[Аи = 0, У>0;
и\ __ = sin ж, где z = х + гу.
3. Решить общую задачу Дирихле для нижней полуплоскости {z: Im z < 0}:
(Ди = 0, y<0;
1, u
lmz=0
V Rez>0
0.
Imz=0
Rez<0
4. Решить общую задачу Дирихле для внешности единичного
круга {z: \z\ > 1}:
'Ди = 0, \z\ > 1;
i 1
'1г1—! 5 — 4cos<p '
5. Решить общую задачу Дирихле для первой четверти плоскости
D= {z: lmz>0, Rez>0}:
(Au = 0,
zeD:
= 0, и
Rez=0
1тг>0
= 1.
1тг=0
Rez>0

§ 31. Применение конформных отображений в краевых задачах 349
6. Решить общую задачу Дирихле для полуполосы
D = {z: 0 < Imz < тт, Rez > 0}:
lmz=0
Rez>0
0, U
= 0. U
Im z=tt
Rez>0
= 1.
Rez=0
7. Решить общую задачу Дирихле для области
D = {z: Imz > 0, \z + il\ < R},
где I > R > 0:
(Au = 0, z e D;
' u\, _ = 0, u\. , ... _= T = const.
8. Найти функцию Грина задачи Дирихле для оператора Лапласа в
единичном круге {z: \z\ < 1}.
9. Найти функцию Грина задачи Дирихле для оператора Лапласа в на
верхней полуплоскости {z: Imz > 0}.
10. Найти функцию Грина задачи Дирихле для оператора Лапласа в
единичном полукруге {z: \z\ < 1, Imz > 0}.
Ответы
1. u(x,y) = (g+уз)2 С*'*»2) , 2. u(x,y) = e-ysmx.
3. u(x, y) = — arcetg
4. u(x,y)
4x2 + 4y2 - 1
3((2ж - l)2 + V
1 (y2-x2
5. u(x,y) = —arcetgI ^—
/ ч 1 / , 1 — cos и ch x , , 1 + cos v ch a;
6. u{x,y) = - arctg —: 2 1_ arctg ^
7Г \ sinj/shz sinyshz
„ , v T . yV + y2 - a2)2 + 4а2ж2
7. Ця, у) = ;—— In ■
\nRi
где
a = VI2-R2, Ri =
x2 + {y- a)2
R + l - a
R + 1 + a'
8- G(z,C) = ^ln
10. G(z,Q = -^\n
*-C
1-zC
. 9. G(z,C) = ^ln
(г-О(С-г)
(C-*)(C + 0
(С -г)(гС-1)(С + 1 + 2гС)
(г-С)(Сг-1)(С2 + 1-2гС)

350 Глава 6. Конформные отображения
§ 32. Преобразование Лапласа
(операционное исчисление) и его применение
к решению дифференциальных уравнений
Справочные сведения
1. Оригинал и его изображение
1.1. Оригиналом называют комплекснозначную функцию f(t)
действительного переменного, удовлетворяющую следующим условиям:
1) f(t) = 0 при t < 0;
2) на каждом отрезке полуоси t ^ 0 функция f(t) непрерывна, кроме,
быть может, конечного числа точек разрыва первого рода;
3) существуют такие действительные числа М > 0 и а, что для всех
t ^ 0 выполняется неравенство
\f(t)\^Meat.
1.2. Изображением оригинала f(t) называют комплекснозначную
функцию
F(p)= je-^mdt (l)
о
комплексного переменного р.
Интеграл (1) называют преобразованием Лапласа функции f(t).
Функция F(p) регулярна в полуплоскости Rep > а и
Ию F(p) = 0.
Rep—»+oo
Связь между оригиналом /(£) и его изображением F(p) записывают
так:
f(t) = F(p), или F(p) = /(0.
2. Свойства преобразования Лапласа
2.1. Линейность. Если
f(t) = F(p), g(t) = G(p),
то
af(t) + bg(t) = aF(p) + bG(p),
где а, Ъ — любые комплексные числа.

§ 32. Преобразование Лапласа 351
2.2. Подобие. Если /(*) = F(p) и (3 > О, то
Я/*) Hi *■(§). (2)
2.3. Дифференцирование оригинала. Если /(£), /'(£), ••• ,
/("-'(£)—оригиналы и /(<) =' F{p), то
/(«)(*) = p-F(p) - pn-V(0) - pn^2/'(0) - ... -
_р/("-2)(0) _/("-!)(()), (3)
где
/<fc)(0) = lim f{k){t), к = 0, 1, ... , n - 1.
Замечание. Если /^(0) = 0 при к = 0, 1, ... , п — 1, то
/(n)(*).= pnF(p),
т. е. дифференцированию оригинала соответствует умножение на р его
изображения.
2.4. Дифференцирование изображения. Если -F(p) .=' /(£), то
F^(p) = (-t)nf(t). (4)
2.5. Интегрирование оригинала. Если /(£) .=' F(p), то
}/(r)dr=*M. (5)
о
2.6. Интегрирование изображения. Если /(£) = F(p) и -/(<)
—оригинал, то
ос
\f(t) = §F{QdC, (6)
р
где (р, оо) — горизонтальный луч. принадлежащий полуплоскости
Rep > а, от точки р до точки Rep — +эс.
2.7. Запаздывание оригинала. Если /(f) = F(p) и /(f) = 0 при t < т, где
г > 0, то
f(t-T) = e-^F(p). (7)
2.8. Смещение изображения. Если /(Y) =' F(p). то для любого
комплексного числа а
f(t)eat = F(p-n>. (8)

352 Глава 6. Конформные отображения
3. Формула обращения преобразования Лапласа
Теорема 1. Пусть F{p) = f(t), где функция f(t) непрерывна при t^O.
Тогда
b+ioo
/(*).= ^ f F(p)^dp, (9)
b—ioc
где b^ a.
4. Теорема разложения
Теорема 2. Пусть функция F(p) регулярна в точке р = оо и F(oo) = О,
т. е.
оо
F(P) = ES ПРИ W>A (Ю)
п=1 У
Тогда оригиналом функции F(p) является функция
оо
5. Таблица оригиналов и их изображений
Оригинал Изображение Оригинал Изображение
1 - sh wt
Р
tn —-J-r ch wt
pn+\
eat t sin wt
p — a
n'
tneat -. -—ГТ t cos wt
(p - a)n+1
sin wt -5 ^ eat sin wt
yr + wr
cos wt -5 Ti eat cos wt , 4„ „
yr + wr (p — ay + wr
6. Применение преобразования Лапласа к решению
дифференциальных уравнений. Рассмотрим линейное дифференциальное
уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами
Lx = x(n\t) + a1x(n-1\t) + ... + an-1x'(t) + anx(t) = f(t). (12)
Р2-
Р2
{р2
р-
(р2
(р-
- W2
р
- W2
2wp
+ W2)2
+ w2)2
w
- a)2 + w2
p — a

§ 32. Преобразование Лапласа 353
Поставим задачу Коши: найти решение уравнения (1),
удовлетворяющее условиям
х(0) = хо, х'(0)=Ж1, ... ,s(n-^(0) = sn_i, (13)
где хо, xi, ... , xn_i—заданные постоянные. Предполагая, что f(t) —
оригинал, будем искать решение x(t) задачи (12)—(13) такое, что x{t) = О
при t < 0. Пусть x(t) = Х(р), f(t) f= F(p). По правилу
дифференцирования оригинала и свойству линейности, переходя к изображениям
в уравнении с учетом условий (13) получаем
рпХ(р) - рп~1х0 - ... - ржп_2 - xn-i +
+ ai{pn-lX{p) - рп~2х0 - ... - рхп-з ~ zn_2) + • • • +
+ an-i{pX{p) - xQ) + anX{p) = F(p),
или
A(p)X(p)-B(p) = F(p),
где
A(p) =pn + aipn~l + ... + an_ip + an
— характеристический многочлен уравнения Lx = 0,
B(p) = xQ{pn-1 + alPn-2 + ... + an_i) +
+ xi{pn~2 + alPn-3 + ...+ an_2) +
+ . .. -f xn^2{p + ai) + Xn-i-
Отсюда X(p) — {B(p) + F{p))/A{p). Для нахождения искомого решения
x(t) задачи (12)—(13) нужно восстановить по изображению Х{р) его
оригинал x(t). Это можно сделать с помощью формулы обращения. При
практическом применении операционного метода вместо формулы
обращения обычно используются таблицы оригиналов и их изображений.
В частности, если f(t) —квазимногочлен (линейная комбинация
функций вида tre ), то Х{р) - рациональная функция. Для нахождения
оригинала эту функцию часто бывает удобно представить в виде суммы
элементарных дробей. Способ решения задач для дифференциальных
уравнений с помощью преобразования Лапласа называют операционным
исчислением.
Примеры с решениями
Пример 1. Найти изображение F{p) функции /(£), считая, что /(£) = 0
при t < 0. если:
1) /00= sin2 t; 2) f(t) = cos St sin t:

354 Глава 6. Конформные отображения
3) f(t) = cos3t; 4) f(t) = t<ht.
Д 1) Используя тождество
. о , 1 — cos It
sini = __
и таблицу оригиналов и изображений, получаем
^-Ш-^) =
р(р2 + 4)
2) Так как
cos 3£ sin £ = - (sin 4i — sin 2£),
то по таблице находим
F(P) = ^
1/4 2 \ p2 - 8
2 \p2 + 16 p2 + 4^ (p2 + 4)(p2 + 16)
3) Используя тождество
cos3 t = - (cos 3i + 3 cos t),
находим
F(P) = UV-,+ 3P
4 \p2 +9 p2 + l
4) Так как
£ch£ = ^(t^ + te"1),
то по таблице находим
m-k(7+*+ * ^- p! + 1
2 V(p-i)2 (p + DV (p2-i)2'
Пример 2. Найти оригинал /(£), если задано его отображение F(p):
ч ™ - ?^Ь 2) F(rt - ст;
Л 1) Так как р2 + р — 2 = (р — 1)(р + 2), то F(p) можно представить
в виде суммы простых дробей, т. е.
р-\ р+2'

§ 32. Преобразование Лапласа 355
где
А = res *±* = (Р±
Р=1(р-1)(р + 2) \р + 2/р=1
В = res F(p) = (^] = -2.
Числа А и В можно найти из тождества
р + 8 = А(р + 2) + В(р-1).
3 2
Итак, F(p) = , откуда по таблице находим
р-1 р+2
f(t) = Зе* - 2e~2t.
2) Представим F(p) в виде суммы элементарных дробей:
г( \ А j. В i С
откуда
1 = А(р + 1) + Бр(р + 1) + Ср.
Полагая в этом тождестве р = 0, находим А = 1, а если р = — 1, то
С = — 1. Наконец, приравнивая в этом тождестве коэффициенты при р,
получаем 2А + В + С = 0, откуда Б = — 1. Итак,
[Р> р р+1 (р+1)2'
откуда
fit) = 1 - е"* - te"*.
3) Чтобы воспользоваться таблицей, преобразуем изображение
F^ = (р2 + 1)(р2 + 4) = 4 V? +Т Р^+ 9
откуда с помощью таблицы находим
f(t) = j (3 sin t - sin 3t) = sin3 t.
4) Чтобы использовать таблицу, преобразуем изображение:
р2 + 4 - (р2 - 4) 1 / 1 _ р2-4
W 8(р2 + 4)2 8 \Р2 + 4 (р2 + 4):
По таблице находим оригинал
/(£) = -4 sin2t — -tcos2t.
J w 16 8

356 Глава 6. Конформные отображения
Пример 3. Решить задачу Коши для уравнения
x"(t) - 3x'(t) + 2x(t) = бе"'
с начальными условиями х(0) — 2, х'(0) = 0.
Л Пусть x(t) = Х(р), тогда, используя свойство (3)
дифференцирования оригинала, получаем
x'(t)=pX(p)~x(0)=pX(p)-2,
x"(t) = р2Х(р) - р х(0) - х'(0) = р2Х(р) - 2р.
Поэтому, переходя в уравнении к изображениям, находим
р2Х(р) -2р- 3(рХ(р) - 2) + 2Х(р)
Р+1'
Y, , 2р 1 1
откуда Х{р) = -^—- = + ——.
р — 1 р — 1 р+1
По таблице получаем
x(t) = e* + e_t = 2cht.
Пример 4. Решить задачу Коши для уравнения
x"(t)+x(t) = t cos 2t
с начальными условиями х(0) = х'(0) = 0.
Д Пусть x(t) = X(p), тогда
x"(t)=p2X(p).
Переходя в уравнении к изображениям, получаем
p2X(p)+X(p) = J^,
откуда
р2-4
Х(Р) = (р2 + 1)(р2 + 4)2 •
Заметим, что таблица содержит оригиналы для функций —^~
р2 + 1 рг + 4

§ 32. Преобразование Лапласа 357
Кроме того, воспользуемся тем. что в примере 2 (4) для изображения
1
2 найден оригинал
(р2 + 4)
— sin2t cos2£.
16 8
Учитывая это, представим Х(р) в следующем виде:
Х( ) - А В С
[Р) ~ 7ТТ + 7Т4 + (р2 + 4)2 '
Чтобы найти А, В я С, введем обозначение р — s и приведем дроби
к общему знаменателю. Тогда
s - 4 = A{s + 4)2 + B{s + \){s + 4) + C(s + 1).
О
Полагая в этом тождестве s = —4, s — — 1 и s = 0, найдем С = -,
о
А = --, -4 = 16А + 4В + С, откуда В = ^.
Так как -^ .=' sin £, -^ = - sin 2£, то
р2 + 1 ' р2 + 4 2
с 5 1 8 / 1 I \
ж(£) = sin t + - ■ - sin 2t -\— I — sin 2t t cos 2t 1 , т. е.
w 9 92 3 \16 8 у '
5 4 1
x(£) = — - sin t + - sin 2£ t cos 2£. ▲
Пример 5. Решить задачу Коши для системы уравнений
(x'(t) + y'(t)+x(t) + y(t)=t,
\ x"{t) - y'{t) + 2x(t) = 3(е~* - 1)
с начальными условиями х(0) = у(0) = 0, ж'(0) — — 1.
Д Пусть ж(£) .=' Л"(р), y{t) = Y{p). Тогда
*'(*) .= РХ(р), x"(t) = р2Х(р) + 1, у'(0 = рУ(р).
Переходя к изображениям в системе уравнений, получаем
рХ{р) +pY{p) + Х{р) + Y(p) = 1 ,
р2Х(р) + 1 - pY(p) + 2Х(р) = 3 f-^ - i
Решая эту систему, находим
откуда x(t) — е~* — 1, y(t) = £.

358 Глава 6. Конформные отображения
Задачи
1. Найти изображение F(p) оригинала f(t), если:
1) f(t) = sinisin3i; 2) /(*) = tsht;
3) f(t) = sin31; 4) f{t) = cos41 + sin41.
2. Найти оригинал f(t) по его изображению F(p), если:
!) F(P) = 2 1 , E; 2) F(p) = '
p2-4p + 5' ' ^ pV + 1)'
3) f(p) = з Л+1е , a; 4) ^(p) - *
p3-2p2-5p + 6' ; v ; p(p-l)(p2 + 4)'
5) F(P) = , , J , o^з; 6) F(p) = p2 + 2p- X
(p+l)(p+3)3' v; р3 + Зр2 + Зр+Г
7) ^=(р-1)УД + 5)' 8)F(P)^(P2 + 4KP2 + 9);
9) f(p) = , , ,1 , o.; 10) f(p) =
(p+l)3(p + 3)' ' VF; (p-l)2(p-2)3"
3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения с заданными
начальными условиями:
1) x"{t)-2x\t)+x{t)=t2e\ a;(0)=0, х'{0) = 1;
2) XW{t) + 3xW{t) + 3x'{t)+x{t) = l, z(0) = z'(0)=z"(0)=0;
3) xW{t)-2xW{t)+x'{t) = 4, z(0) = l, z'(0) = 2, z"(0) =-2;
4) x(-3\t) + x^2\t) = cost, z(0) =-2, сс'(О) = сс"(0) = 0;
5) x"(t)+x(t) = 2cost, х(0) = -1, z'(0) = 1;
6) z"(t)+4:r(t) = 2sin2t, z(0) =-1, сс'(0) = 0; ''■
7) x^(t) - x{t) = 1, z(0) = 1, г'(0) = 1, z"(0) = 2, z(3)(0) = -1;
8) x& (t) - 5z<2) (t) + 10z'(i) " M*) = 0,
z(0) = 1, x'{0) = 0, x"{0) = 6, a;(3)(0) = -14.
4. Решить задачу Коши для системы дифференциальных уравнений с
заданными начальными условиями:
jx'(t) = -x(t)+2y(t),
1) < „ч .. , ,. iO=»o=i;
U (*) =-^(*) - 4»(*),
2) , // о ,' п х{0) = 2, 2/(0 = 1;
[y'(t)+x(t) + 2y(t)=0,
(x'{t) + 3x{t)-4y{t) = 9e2t,
3W z(0) = 2, 2/(0) = 0;
J\2x(t)+y'(t)-3y(t) = 3e2\
(x'(t) + y'(t) = l,
\х^(г) + у'(г)+х(г) = е\
x(0) = l, а/(0) = 2, 2/(0) = 0, 2/(0) = -!•

§ 32. Преобразование Лапласа 359
Ответы
р \ бр
Г) F^ 2Vp2+4 p2 + 16j (p2+4)(p2 + 16)'
3) F{p) 6
4) F(p)
(p2 + l)(p2+9)
4 \p p2 +4
1) /(t) = e2tsint; 2) f(t) = t - sint:
t -2t 2 3t
4) /w=44+?-^
5) f(t)=,e~-e-^-(2f + 2t+l):
6) /(t) = e-<(l-t2);
7) /(*) = \ (2e* - 2е~' cos 2t + Зе"* sin 2t);
8) /(t) = ^(3sin3t-2sin2t);
9) /(t) = | (2t2e~' - 2ie-' - e"' - e"3');
10) /(t) = I (t2e2* - 4te2t + 6e2t - 2te* - 6e')
12/' "' ~w " " \ 2
1) ^) = eM« + M; 2) a;(i) = l_e-t(L + t+i
3) x(t) = 4t + 3 - 2e'; 4) x(t) = -1 - i (sint + cost + e_t)
5) x(t) = t sint — cost + sint;
6) x(t) = - sin 2t t cos t — cos 2t;
7) x(t) = -l + sint + 2cht;
-e* + -
2 2
1) ж = 4е~2* - Зе"3*, у = Зе"3' - 2e-2t;
2) z(t) = 2 + 8t, y(t) = 1 - 4t;
3) x(t) = e* + e2*, y(t) = e* - e2*;
4) z(t) = e* - 1 + e*/2 [cos ^ + -L sin ^ t), j/(i) = t + 1 - z(t).
rr(t) = e*(cos t + sin t) - ^ e* + - e'3t.

Литература
1. Бицадзе А. В. Основы теории аналитических функций комплексного
переменного. — М: Наука, 1984.
2. Волковысский Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И. Г. Сборник задач по
теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1975.
3. Евграфов М. А. Аналитические функции. — М.: Наука, 1968.
4. Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции. — М.: Наука,
1979.
5. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — М.: Высшая школа,
1981, тт. 1, 2.
6. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного
переменного. — СПб.: Издательство «Лань», 2002.
7. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. — М.: Наука, 1967,
т. 1; 1968, т. 2.
8. Никольский С. М. Курс математического анализа. — М.: Высшая школа,
1975, тт. 1, 2.
9. Половинкин Е. С. Курс лекций по теории функций комплексного
переменного. — М: Физматкнига, 2003.
10. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. —
М.: Наука, 1984.
11. Сборник задач по теории аналитических функций / Под ред. Евграфова
М. А. - М: Наука, 1972.
12. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексного
переменного. — М.: Наука, 1979.
13. Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории
функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1989.
14. Тер-Крикоров A.M., Шабунин М. И. Курс математического анализа. —
М.: Наука, 1988.
15. Федорюк М. В. Метод перевала. — М.: Наука, 1977.
16. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1985.
17. Шабунин М. И., Сидоров Ю. В. Теория функций комплексного
переменного. — М.: ЛБЗ, Физматлит, 2002.

Оглавление
Предисловие 3
Глава 1. Введение 5
§ 1. Комплексные числа 5
§ 2. Последовательности и ряды комплексных чисел. Ком-
плекснозначные функции действительного переменного.
Кривые и области на комплексной плоскости 16
§ 3. Предел и непрерывность функции комплексного
переменного. Интегрирование функции комплексного
переменного 37
§ 4. Равномерная сходимость. Степенные ряды 55
Глава 2. Регулярные функции 61
§ 5. Дифференцнруемость функций. Гармонические функции 61
§ 6. Теорема Коши. Интеграл типа Коши 68
§ 7. Ряд Тейлора 80
§ 8. Последовательности и ряды регулярных функций.
Интегралы, зависящие от параметра 88
§ 9. Теорема единственности. Регулярное продолжение 94
§ 10. Принцип максимума 101
Глава 3. Ряд Лорана. Особые точки. Вычеты 107
§ 11. Ряд Лорана 107
§ 12. Изолированные особые точки однозначного характера . . . 121
§ 13. Вычисление вычетов 139
§ 14. Вычисление интегралов по замкнутому контуру 150
§ 15. Принцип аргумента. Теорема Руше 159
Глава 4. Многозначные аналитические функции 165
§ 16. Приращение аргумента функции вдоль кривой 165
§ 17. Выделение регулярных в<ч !;>■:"! 169

362 Оглавление
§ 18. Вычисление значений регулярных ветвей многозначных
функций. Ряды Лорана для регулярных ветвей 172
§ 19. Интегралы от регулярных ветвей 188
§ 20. Аналитическое продолжение. Полные аналитические
функции 203
§ 21. Особые точки полных аналитических функций 211
Глава 5. Приложения теории вычетов 223
§ 22. Разложение мероморфных функций в ряды простейших
дробей и в бесконечные произведения 223
§ 23. Вычисление несобственных интегралов 231
§ 24. Интегралы, сводящиеся к гамма-функции 250
Глава 6. Конформные отображения 261
§ 25. Геометрический смысл производной 261
§ 26. Определение и общие свойства конформных
отображений 267
§ 27. Дробно-линейные отображения 274
§ 28. Конформные отображения элементарными функциями .. 288
§ 29. Принцип симметрии 314
§ 30. Отображение многоугольников 327
§ 31. Применение конформных отображений при решении
краевых задач для гармонических функций 341
§ 32. Преобразование Лапласа (операционное исчисление) и его
применение к решению дифференциальных уравнений ... 350
Литература 360

Шабунин Михаил Иванович
Половинкин Евгений Сергеевич
Карлов Михаил Иванович
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Ведущий редактор М. Стригунова
Художник Н. Лозинская
Художественный редактор О. Лапко
Оригинал-макет подготовлен С. Янковой, М. Копаницкой
в пакете ЬУЩХ 2е с использованием кириллических шрифтов LH
семейства Computer Modern
Подписано в печать 02.06.06. Формат 70 х 100/16.
Гарнитура Computer Modern. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 23. Тираж 2000 экз. Заказ 3178
Издательство «БИНОМ. Лаборатория знаний»
Адрес для переписки: 119071. Москва, а/я 32
Телефон (495) 157-1902', 157-5272,
e-mail: Lbz@aha.ru, http://www.Lbz.ru
При участии ООО «ПФ «Сашко»
Отпечатано в ОАО «ИПК «Ульяновский Дом печати»
432980. т. Ульяновск, ул. Гончарова, 14