А. И. Субботин, А. ГЛенцов
ОПТИМИЗАЦИЯ
ГАРАНТИИ
В ЗАДАЧАХ
УПРАВЛЕНИЯ

А. И. Субботин, А. Г. Ченцов
ОПТИМИЗАЦИЯ
ГАРАНТИИ
В ЗАДАЧАХ
УПРАВЛЕНИЯ
Под редакцией Н. Н. КРАСОВСКОГО
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1981

22.18
С 89
УДК 519.6
Оптимизация гарантии в задачах управления. С у б б о-
τ и н А. И., Ч е н ц о в А. Г. Под редакцией Η. Η. Красовского.—
М.: Наука. Главная редакция фиаино-математической
литературы, 1981.
Книга посвящена математической теории управляемых
процессов. В пей рассматриваются задачи управления в
условиях неопределенности и конфликта. Математические модели
подобных задач исследуются в рамках теории
дифференциальных игр. Построенная в книге теория базируется на
конструктивных определениях. Решения задач управления получены в
форме физически реализуемых процедур.
(£\ Издательство «Наука».
„ 20205 — 057 -- „, .елоплпппп Главная редакция
С —„ ..—:— 55-81. 15иДЮ1Н1иО. физико-математической
^ 053 (02)-81 литературы, 1981

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора 5
Предисловие 7
Глава I. Игровые задачи управления 9
§ 1. Управление в условиях неопределенности 9
§ 2. Программное управление 12
j 'Л. Иозициопные стратегии 17
§ 4. Квагшстратегня в линейной управляемой системе 24
§ 5. Позиционное управление с поводырем 28
§ 6. Дифференциальная игра 36
§ 7. Дифференциальная игра преследования — уклонения для двух
однотипных объектов 45
§ 8. Нелинейная упраиляемая система 52
Глава II. Альтернатива для дифференциальной игры сближения —
уклонения 57
§ 1. Формулировка альтернативы 57
§ 2. Стабильные мосты 60
§ 3. Решение задач сближения и уклонения 68
§ 4. Устойчивость решений 76
§ 5. Экстремальные позиционные стратегии 80
§ 6. Примеры 85
§ 7. Цена дифференциальной игры ■ . 91
§ 8. Альтернатива для нелинейной дифференциальной игры
сближения — уклонения 97
ГлаваШ. Обобщение основного уравнения 109
§ 1. Осповное уравнение . 109
§ 2. Свойства потепциала г° (■) 114
§ 3. Кусочно гладкие функции 119
§ 4. Необходимые и достаточные условия для кусочно гладкого
потенциала 121
§ 5. Условия регулярности программного максимииа 129
§ 6. Свойства потенциала с°(·) 133
§ 7. Регулярный потенциал пелинейной дифференциальной игры . . 139
Глава IV. Метод программных итераций (общая теория) 145
§ 1. Содержательное обсуждение метода 145
§ 2. Обобщенные программные управления в копфликтно-управляе-
мой системе 155
§ 3 Квазистратегии 170
§ 4. Итерационная программная конструкция в игровой задаче
наведения 175
§ 5. Дифференциальная игра с фиксированным временем окопчапия 184
§ 6. Пример 190
3

Г ла в а V. Метод программных итерации (частные случаи) . . . 196
§ 1. Обобщение иаотроппого случая 196
§ 2. Связь с условиями регулярности 210
§ 3. Некоторые замечания по поводу задач с нефиксированным
временем окопчапия ■. 223
§ 4. Общая характеристика метода программных итераций . . . 231
Глава VI. Информационная согласованность в дифференциальных
играх 237
§ 1. Три типа позиционных дифференциальных игр 237
§ 2. Контрстратегии 244
§ 3. Смешанные стратегии 248
§ 4. Итерационные программные конструкции 252
§ 5. Дифференцируемый по направлениям потспциал
дифференциальной игры 267
Библиографический комментарии . . . . . . ... . 277
Литература 279
Предметный указатель 287

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Прошло около двадцати лет с тех нор, как началось последовательное
изучение игровых задач управления. Пройден этап эвристических методов.
Близится к завершению и этап формализации дифференциальных игр. К па-
стоящему времени доказаны теоремы существования ситуаций равновесия,
изучена, в осповном, структура оптнмальпых решепий, выделены классы
дифференциальных игр, в которых оптимальные стратегии можно
синтезировать на базе решепий задач программного управления. На смепу
интенсивному пакоплению фактов приходит, вероятно, этап эволюционного
развития теории дифференциальных игр. Дальнейшее продвижение требует
большого труда и хорошего владепия арсеналом средств, которыми
располагает теперь теория дифференциальных игр.
В данной книге изучаются задачи управления в условиях
неопределенности. Предполагается, что движение управляемой системы описывается
обыкповеппыми дпфференциальпыми уравнениями. Исследование
рассматриваемых задач управления проводится в рамках теории
дифференциальных игр. При этом привлекаются также идеи π методы вариационного
исчисления, принципа максимума Л. С. Понтрягпна. Материал книги
излагается с едипых позиций. В основе постановки рассматриваемых задач
управления лежит концепция гарантированного результата. В кппге приведепа
теорема об альтернативе в дифференциальных играх, которая слуя?ит в
качестве математического обоснования избранной системы определений.
Основу книги составляют новые результаты, получеппые авторами за
последние годы. В главе III приведены необходимые и достаточные
условия для кусочпо гладкой функции цены днфферепциальной пгры. Этот
результат получен как развитие известного в теории дифференцпальпых игр
понятия стабильности, которое дано в янфинитезимальной форме, что
привело к обобщению на случай пегладкнх фупкций известных уравнений
динамического программирования типа Гамильтопа — Якоби. Получеппые
здесь результаты могут послуяшть в качестве формальпой осповы для даль-
5

вейшего развития методов динамического программирования в
дифференциальных играх. В IV, V и частичпо в VI главах рассматривается метод
программных итераций для построения решопия дифференциальной игры.
Этот метод дает классификацию дифференциальных игр по степени
регулярности вспомогательных программных конструкций. В книге указаны
новые классы задач, в которых эффективное решение можно получить
конечным числом программных итераций.
Книга дает достаточно полное представление о важном круге
вопросов, возникающих в теории дифференциальных игр. Намечалось написать
данную книгу максимально доступпой. Это памерение авторам удалось
осуществить не в полной мере. Будем, однако, надеяться, что читатель ие
пожалеет усилий, затраченных при знакомстве с этой книгой.
Н. П. Красовский

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая монография относится к математической теории
управляемых процессов. В ней рассматриваются задачи управления в условиях
иеопределеппости и конфликта. Потребность в изучении таких задач
возникает, например, при решении важных технических проблем, где нужно
построить управление по принципу обратной связи, гарантирующее
определенное качество управляемого процесса в условиях, когда этот процесс
подвержен воздействию неконтролируемых факторов.
Математические модели подобных задач для систем, описываемых
дифференциальными уравнениями, исследуются в рамках теории
дифференциальных игр. Стаповлепие теории дифференциальпых игр связано с
исследованиями следующих ученых: Р. Айзекса, А. Брайсопа, Н. Н. Красовского,
Е. Ф. Мищенко, Л. С. Понтрягипа, Б. Н. Пшеничного, У. Флемипга, Ю. Хо.
Последние годы были периодом интенсивного развития теории
дифференциальных игр. В это время были получены новые глубокие результаты.
Наряду с накоплением различных фактов происходила также их
систематизация, складывались основные направления теории дифференциальных игр.
Одно из направлений теории дифференциальпых игр составляют
работы, выполненные в Свердловске. Предложенная здесь формализация
позиционных дифференциальных игр и подход к их решению базируются
на конструктивных определениях, допускающих переход к физически
реализуемым процедурам управления. Этот подход позволяет установить общие
теоремы существования ситуаций равповесия в дифферепциальных играх
и одновременно получить выходы к эффективным методам решения
игровых задач управления.
Основу мопографии составляют результаты, которые авторы получили,
следуя упомяпутому подходу. В книге шесть глав. Центральное место в
ней занимают два раздела. В одном из пнх получены необходимые и
достаточные условия, которым удовлетворяет кусочно гладкая функция цены
(потенциал дифференциальной игры). Указанные здесь соотпошення можно
рассматривать как обобщение известного в теории динамического
программирования уравнения в частных производных первого порядка. Эти
соотношения описывают поведение потенциала не только там, где он
дифференцируем, но и на сингулярных поверхностях. Этот материал представлен
в главе III., В другом разделе, в главах IV и V, развит метод программных
итераций. Здесь установлено, что решение задачи позиционного управления
можно свести к последовательности решений более простых задач програм-
7

μπογο управления. Прн построении метода программных итераций введены
новые формализации дифферепцнальпых игр. Исходя из метода
программных птераций, получены выходы к эффективному построению
оптимального позиционного управлепия.
Перпые две главы содержат осповпые определения классов стратегий,
порожденных имн движений и формулировки задач управлепия. Здесь же
ипедепы основные попятия теории дифференциальных игр, доказаны
теоремы существования ситуаций равновесия в дифференциальных играх,
указана структура оптпмальпых стратегий, образующих седловую точку.
15 главах I—V управляемая система удовлетворяет специальному условию —
условию седловой точки маленькой игры, при котором дифференциальные
игры обладают ситуацией раиповесия в классе чистых познциоыпых
стратегий; в последней, шестой главе рассмотрено построение ситуаций
равновесия в случае, когда упомянутое условие седловой точки в маленькой
игре может нарушаться. Для рассматриваемых здесь дифференциальных игр
указаны модификации осповпых конструкций из предыдущих глав.
В книге дапа качественная картина позицпонпых дифференциальных
пгр и развита концепция гараптировапного результата, которая
последовательно проводится при исследовании задач управления в условиях
конфликта и неопределеппости. Изложение материала в значительной мере дапо
для случая лпнейпой управляемой системы, что позволяет
сконцентрировать внимание на ключевых моментах предлагаемых конструкций. При этом
оговариваются технические детали, которые следует учитывать при
переходе к пелпнейному случаю. Основные попятия и результаты
иллюстрируются примерами.
В книге принят следующий порядок пумерацин параграфов, теорем,
лемм и формул. При ссылках внутри главы указывается порядковый номер
параграфа в этой главе. При ссылках на параграф из другой главы
указывается номер параграфа и главы (например, § 3 гл. II). Теоремы и леммы
нумеруютсн тремя индексами, первый из них — помер главы, второй —
номер параграфа, третий — помер теоремы пли леммы внутри параграфа,
формулы нумеруются двумя нпдексами, первый из пих — номер параграфа,
второй — помер формулы. При ссылках на формулы из другой главы
добавляется третий индекс — номер главы; этот индекс стоит па первом месте.
Ссылки па справочную литературу, приведенные в основном тексте, отног
сятся главным образом к сведениям общематсматического характера. Эти
ссылки обозначаются цифрами со звездочками.
Авторы сердечно благодарят своего учителя Η. Η. Красовского, который
предложил идею написания этой кпиги н постояпно помогал в процессе
работы над пей.
Мы благодарим товарищей по работе — сотрудников отдела
динамических систем Института математики и механики УНЦ АН СССР. за
плодотворные обсуждения материала кпиш па семинарах отдела.
Авторы: выражают благодарность Л. В. Голубенко, а также В. Л. Туро-
вой, В. П. Дятлову, В. Е. Паку, В. Я. Рузакову, В. Н. Ушакову за помощь
при оформлении рукописи.

Г л а в а I
ИГРОВЫЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ
§ 1. Управление в условиях неопределенности
Данный параграф содержит предварительное обсуждение
задач управления в условиях неопределенности. С этой целью
обратимся к задаче об автоматической посадке самолета, которую
опишем в самых общих чертах. Заранее отметим, что
приведенные ниже рассуждения не претендуют на необходимую точность
и служат лишь в качестве наводящих соображений для
формулировки математической задачи управления в условиях конфликта
и неопределенности.
Итак, обсудим постановку задачи об автоматической посадке
самолета. Эта задача- состоит в конструировании устройства,
которое, управляя движением самолета, обеспечивало бы
приведение его к началу посадочной полосы со скоростью, лежащей в
допустимых пределах.
При математическом описании указанной задачи положение
самолета в текущий момент времени t задается фазовым
вектором x(t) = (.Xi(t), ..., хпШ). Компонентами нектора x(t)
являются, в частности, геометрические координаты самолета и
составляющие его вектора скорости. Полагаем, что изменение во времени
фазового вектора удовлетворяет дифференциальному уравнению
вида
«(*)=/(*, s(i), utt), *(*)), («>«,). (1.1)
Здесь ιι(ί) = (Ui(i), ..., ιΐρ(ί))—вектор управляющих воздействий,
его компоненты характеризуют положение различных рулей и
режим работы двигателей в момент времени i; v(t) = (vi(f), ...
..., vq(t)) — вектор внешних возмущений, этот вектор
характеризует, например, силу и направление ветра. Функции времени
n(-) = (u(i), t ~S* ί0) и υ{·) = (v(t), f>U) будем называть в
дальнейшем управлением и помехой соответственно. Решение х(·) —
= (я(£), ί^ί0) уравнения (1.1) будем называть движением
управляемой системы. Предполагается, что допустимые управления и
9

помехи удовлетворяют ограничениям
в(«)еР, v{t)^Q (ί>ί,),
где Pu^- множества в Rp и R" соответствепно, заданные
физическими условиями задачи. Функция /: R X R" Χ Ρ X Q -*■ R" в
правой части уравнения (1.1) определена физическими законами,
которым подчинено движение самолета. Предполагается, что имеет
место достаточно хорошее соответствие математической модели
реальному процессу.
Автоматическое управление посадкой включается в момент
ί = ί0 = 0, когда самолет находится в определенном районе,
которому отвечает область Хй фазового пространства R". В
обсуждаемой задаче требуется обеспечить приведение самолета к началу
посадочной полосы со скоростью, величина и направление которой
лежат в допустимых пределах. При этом должны выполняться
также некоторые условия безопасности полета. Примем, что эти
требования можно формализовать в виде условий
iWeJli, x{t)*=N при Ο^ί^τ. (1.2)
Здесь Μ — совокупность фазовых состояний, допустимых в
момент посадки; N — множество в фазовом пространстве R",
отвечающее техническим условиям безопасности; τ = τ(α:(·)) —момент
посадки, т. е. момент времени, когда для движения х(-) = (x(t),
t > 0) впервые выполняется условие x(t) <= М.
Отметим, что задача об автоматической посадке самолета
рассматривается в условиях неопределенности, которая состоит здесь
в том, что нельзя заранее предугадать, какая помеха реализуется
в процессе движения. В такой ситуации важно различать два
способа управления — программный и по принципу обратной связи.
При первом способе управление ι*( ·) = (u(i), t ~S* ta) выбирается
в начальный момент t0 как фиксированная функция времени,
определенная на всем последующем промежутке времени; следует
сразу признать, что рассматриваемую задачу нельзя решить в
классе программных управлений. При втором способе управление
формируется в процессе движения в зависимости от
поступающей информации.
Предположим, что в процессе движения можно измерять
какую-либо часть компонент фазового вектора хШ, например
первые m компонент (хМ, ..., хп,Ш) =a;[ml(i). Предполагаем, что
положение рулей u(t) назначается в зависимости от
поступающей информации x{m](t). В математической модели этому усло-
вию может отвечать формирование управления по закону u(t) =
= f/U[m)(i))(i>i0), где U: xlml -*■ t/U[m]) — некоторая функция,
принимающая значения в множестве Р. В дальнейшем способ
формирования управлении будем называть стратегией. В данном
случае стратегия задается функцией U.
Итак, математическая задача управления будет состоять здесь
в построении функции (стратегии) t/°, которая гарантирует вы-
10

полнение следующего условия: каковы бы пи были помеха и(-) =»
= Ы£), t>0) и начальная точка х0 = я(0) из области Х„, для
движения я(-) = (ζ(ί), ί ^0) управляемой системы
i («) = /(«,*(«), С/о (χΐ«](ί)), У(0) (1.3)
должны быть выполнены условия (1.2).
Пусть г2?(Х0, 17) — множество движений я(-) = (χ(ί), ί^Ο)
системы
z(i)=/(i, *(t), t/U,m](i)), ϋ(ί)), a;(0)=a:„eZ0, ί ^ 0, (1.4)
которое получается при переборе всех начальных точек ха <= Х0
и всех допустимых помех v(-) = (v(t) ^Q, ί^Ο). Обозначим
черев Ж совокупность всех непрерывных функций х(-) = (я($),
fS*0), для каждой ив которых выполнены два условия: 1)
существует момент времени τ = τ(α;()), когда впервые x(.t) <= M; 2)
выполняются включения x(t)*=N при 0<ί< тЫ·)). Используя
введенные обозначения, приходим к следующей формулировке
обсуждаемой задачи. В классе допустимых стратегий требуется
определить стратегию U°, для которой справедливо вложение
Я?.(Х„ г7°)с=лГ.
Отметим, что в задачах, где управление формируется по
принципу обратной связи, важными и не такими простыми вопросами,
как это может показаться на первый взгляд, являются
адекватный выбор класса допустимых стратегий и определение
соответствующих им движений. Однако здесь, на этапе
предварительного обсуждения, анализ указанных вопросов можно опустить.
На этом завершим обсуждение задачи об автоматической
посадке самолета. Следует признать, что оно имело довольно
отвлеченный характер,) тем не менее намечавшаяся цель достигну·
та — приведенное обсуждение подсказывает схему, которой можно
придерживаться при постановке различных задач управления в
условиях неопределенности и конфликта. Эта схема заключается
в следующем.
Пусть веданы управляемая система и некоторый класс U
допустимых стратегий. Выделено множество D„ начальных позиций
(ί0, Хо) (в обсуждавшемся примере было D0 = {0} X Х0). Для
каждой стратегии UeU определен пучок 8s{Dt, U) движений
x(-) = (a;(f), ί^ί0, x(t0)=x0), где (ί0, x<,)<=D0. Этот пучок
порожден стратегией 17 в паре со всевозможными допустимыми
помехами. Наконец, задано свойство движений, выполнение которого
требуется гарантировать выбором подходящей стратегии.
Заданное свойство выделяет некоторое целевое множество Ж. Задача
об управлении в условиях неопределенности формулируется
теперь следующим образом.
Задача 1.1.1 (задача наведения). Требуется определить
стратегию ί/ΈΙΙ, которая обеспечивает вложение
Se{D„ и°)^Ж. (1.5)
11

Рассмотрим постановку другой задачи, где нужно определить
стратегию, гарантирующую наименьшое значение показателя
γ(.τ(·)), заданного на движениях управляемой системы. Иначе
говоря, в этой задаче качество стратегии U оценивается
значением, фупкцнонала γ, которое он принимает на самом
неблагоприятном движении из пучка S6{DU, U). Стратегию U0 из класса
II требуется выбрать так, чтобы такая оценка была наименьшей.
Итак, приходим к следующей формулировке.
Задача 1.1.2. Требуется определить стратегию J70eU,
удовлетворяющую условию
Г* (D0, U0) = min Г* (Z>0, U) при U(=V, (1.6)
и
где
Г* (D0, ff)= sup γ (*(·)) при χ (·) s Я? (D0, U). (1.7)
Если же минимум в (1.6) не достигается, то для произвольного
ε >0 требуется определить стратегию Uетакую, что
τ*(Ό0,υε)^ίηΐΓ*{Ό0,υ) + ε при U(=V. (1.8)
и
Отметим, что постановки задач 1.1.1 и 1.1.2 отличаются лишь
по форме. Задачи 1.1.1 и 1.1.2 можно трактовать как игровые,
в которых первому игроку предоставлен выбор стратегии U иэ
U, а его противнику — выбор движения х(.·) из пучка #?(Z>0, U).
При такой трактовке стратегия L\ (1.6) является минимаксной
стратегией.
Общая постановка задач 1.1.1 π 1.1.2 конкретизируется в
следующих параграфах, где указаны несколько типов стратегий,
определены соответствующие им пучки движений, рассмотрены
различные целевые множества Ж и функционалы γ.
§ 2. Программное управление
Рассмотрим некоторые типы стратегий. Будем считать, что
движение управляемой системы описывается линейным
дифференциальным уравнением. В последнем параграфе этой главы
приведеп материал, относящийся к случаю нелинейной системы.
Итак, пусть движение управляемой системы описывается
линейным дифференциальным уравнением
;: kt)=A(t)xtt) + B(t)u{t)+C(tMt). (2.1)
Здесь и в дальнейшем х, и и ν — некторы-столбцы размерности
η, ρ и q соответственно; Ait), Bit) и СШ — га X га, гаХр и nXq
матрицы, зависящие от времени t непрерывным образом.
Предполагается, что управление и помеха удовлетворяют условиям
и(»)бР, v(i)e=0, (2.2)
где Ρ и Q — выпуклые компакты-в R" и R4 соответственно.
12

Обозначим через Τ фиксированный отрезок времени [tm, Ы.
Этот отревок ограничивает продолжительность во времени
исследуемых ниже задач управления, т. е. полагаем, что в качестве
начального момента времени ί0 может быть выбрана точка из
промежутка У = [ί0ο, Φ], и процесс управления должен быть
завершен не позже, чем в момент времени t = Ь.
Описание конкретных типов стратегий начнем со случая,
когда в начальный момент времени t0^T известно начальное
состояние х0 = ζ(ίο) u в процессе управления не поступает какой-либо
дополнительной информации о реализующемся движении. В этом
случае естественно полагать, что управление и{·) выбирается в
начальный момент времени i0 сразу па весь промежуток [i0l О].
Поэтому стратегии U можно отождествить с функциями времени
и(■): [ίο, ϋ]-*-Ρ, которые полагаем измеримыми по Борелю.
Однако, желая определить класс стратегий, не зависящий от
момента ίο, который может варьироваться в пределах [ί00, Φΐ, полагаем,
что функция и(·) определена на всем отрезке У = [ί0ο, ДО,
включая промежуток [ί0ο, ίο), лежащий до момента i0.
Итак, совокупность измеримых по Борелю функций и(-):Т-+
-*■ Ρ обозначим символом UT. Стратегию ί/ = ιι(·)ε=υΓ будем
называть программной стратегией либо· программным управлением.
Аналогичное обозначение VT будем использовать для
множества измеримых по Борелю функций у(-): Τ-*■ Q. Полагаем, что
в качестве помехи может осуществляться любая функция и(·)
И8 Vr.
Пусть !ΐ(·)εΐ]Γ, ΐ)(·)ενΓ| ί0 «= Τ, χ0 — точка фазового
пространства R". Обозначим через х(·, i0, ха, u(·), v(·)) решение
а;(·) = (a;(i), ί0<ί<Φ) уравнения (2.1), удовлетворяющее
начальному условию ζ(ί0) = *о. Известно, что такое решение существует
и единственно (см. [4*], стр 221). Дл'я заданной программной
стратегии и(·) и заданного множества D0^TXJ{n начальных
точек (ίο, Хц) пучок движений 8Ь\D0, и(·)) определяется естествен-
ным образом:
8?(DQ и(-)) = Ы-, ί0, χ», β(·), v(-)):(ta, xQ)*=DB, ΐ)(·)εΥ,}, (2.3)
Отметим, что для решения χ(·, ί0* Χο, ιι(·), υ(·)) уравнения
(2.1) справедлива формула Коши (см. [4*], стр. 224; [6*], стр. 37):
x{t, t0,x0, и(-), »(·)) =Φ(*ι *о) ^о +
t , ■ . .
+ f Φ(ί, τ) [Β (τ) и {τ) + С (τ) ν (τ)] άτ (ί0<ί<θ). (2.4)
*·
Здесь матрица-функция τ -*■ Φ(ί, τ) удовлетворяет уравнению
**^β_Φ(*/τ)Α(τ) - \ : (2.5)
и условию Φ(ί, ί) = Ε, где Ε — единичная матрица. В случае,
когда A(.t) = А (постоянная матрица); справедливо равенство
13

Φ (ί, τ) = Φ* (ί — τ), где матрица-функция ζ-»-Φ* (ζ)
удовлетворяет уравнению
-™±βΙ=ΑΦ*(ζ) (ζ>0) (2.6)
и условию Φ* (0) = Ε. J
В качестве примера задачи 1.1.1 для системы вида (2.1) и
класса программных стратегий укажем задачу, в которой требуется
выбором программного управления и(·) обеспечить приведение·
системы (2.1) на заданное множество Μ cR" в конечный момент
времени t = θ. Таким образом, множество Ж определяется здесь
условием JC = {x(·): x(Q)^M). Требуется выбором подходящего
управления и°(-)^иг вложить пучок движений S5Wa, u°(·)) в
это множество Ж. Иначе говоря, требуется определить
управление ΐί0(·)εΙΙι так, чтобы выполнялось условие
Gift, D„, и°(-))сЛ/, (2.7)
где
G(#, Д., u(-)) = {xift, U, х0, и(·), v(-)h (i0, x,)eD0) ν(·)^\τ}
есть область достижимости системы (2.1), построенная для
фиксированного управления и(·), заданной начальной области D0 и
конечного момента ft.
Укажем эадачу другого типа. Пусть ведана непрерывная
функция σ: Rn -*■ R. Требуется выбором программного управления в(·)
гарантировать наименьшее значение, которое может принимать
эта функция на конечных состояниях x(ft) системы (2.1). Таким
образом, в данном случае имеем задачу 1.1.2, которая здесь
состоит в определении управления ιι0(·)^υΓ, удовлетворяющего
уеловию
Г*(£>„, и0(-))=ттГ*(£>„, в(·)) при в(-)е=и„ (2.8)
u()
где
Γ*(Ζ)0, u(-))=maxo(z) при ieG№, D0, в(0). (2.9)
χ
Условие (2.8), определяющее управление и0(), можно
записать в следующей эквивалентной форме:
Г* (DQ, щ(·)) = max σ(χ (ft, tQ, х0, и0(·), ν(·))) =
= min max ο(ϊ(ί,ί0,ϊ||,«(·),ΐ)(·))) (2.10)
«(■) t0.*0rt·)
при u(-)eUr, (ί0, x0) eD0, ι;(·)«= Vr.
Ограничимся здесь лишь постановками задач (2.7) и (2.8),
не рассматривая их решения. Отметим, что задачи (2.7), (2.8)
относятся к хорошо изученному разделу теории оптимального
управления. Решение этих задач известно, в частности, в случае
когда Ζ>ο = ί(ίο, Хц)), а целевое множество Μ или целевая
функция σ выпуклы (см., например, [6*, 8*, 11*]).
14

П^р и м θ р. Рассмотрим управляемую систему
xiit)=Xt(t), x1(t) = -axl(.t)-2bx1tt) + u(t) + v(t). (2.11)
Эти уравнения описывают движение материальной точки на
прямой. Здесь Χι и Хг — координата и скорость точки соответственно,
—αϊ, — упругая сила, — 2Ъхг — сила трения, и — управляющая
сила, ν — возмущающая сила (помеха). Управление и помеха
стеснены ограничениями
|в(«)|«г„ b(i)l«r, (0<ί«1), (2.12)
где Τ = [0, 1] — веданный отрезок времени, на котором будем
рассматривать эадачу управления. Таким образом, в данном
примере множества Ur и VT составляют борелевские функции и(-):
[О, 1] -*■ [—η, г,] и ϋ(·): [0, 1]->-[—г2, г2] соответственно.
Положительные параметры г,, г2, а и Ь удовлетворяют условиям
т*>ти а>Ь\ (2.13)
Предполагаем, что в начальный момент времени U = 0 точка
находится в состоянии покоя, т. е. х,(0) = а;2(0) =0. Примем, что
качество движения xi·) = (x(t), 0<£<1) оценивается
функционалом
y(x(-)) = max\x1(t)\. (2.14)
0<«1
Задача состоит в определении программного управления ц0(')е
<= Ur, для которого
Г*(и„(.))=П11пГ*(и(-)) при u(.)eUr, (2.15)
где
Г* (и (·)) = тах7 (х (·, и (·), ν (·)) =
= max|a;1(i, u(-),v(-))\ при ν (·) e= Vr, 0<ί <1. (2.16)
',"(■)
Здесь ζ(·, u(·), ι>(·))— решение уравнения (2.11),
удовлетворяющее начальному условию агДО) = а:2(0) = 0. В этом обозначении
также, как и в обозначении величины Г* опущены символы,
отвечающие начальной точке (£0, x<s)·
Величина Г*(ц(·)) есть максимальное отклонение
управляемой точки от ее исходного положения я,(0)=0, которое может
реализоваться на промежутке времени [0, 1] при фиксированном
управлении в() и при переборе всех помех и(·) eV,.
Отметим, что решение этой задачи не представляет большого
самостоятельного интереса. Однако оно потребуется, чтобы
сравнить результаты, которые гарантируют стратегии различных типов.
Итак, обратимся к исследованию поставленной задачи. Можно
проверить, что функционал Г* является выпуклым и для него
выполняется равепство
Γ·(β(·))-Γ*(-β(·)), (b(-)sUt) (2.17)
15

(при доказательстве (2.17) следует учитывать, что я,(0) =а^(0) =
= 0). Из этих свойств функционала Г* получаем, что его
минимум на выпуклом множестве Ur достигается на нулевом
управлении и0(-) = (и0(г) = 0, 0<ί<1).
Вычислим значение Г*(и0(·))· Согласно (2.16) для нулевого
управления и0(·) величина Г*(и0(·)) определяется равенством (
Г*(и,(-))=тах|а:,(*, »(·))! при w(-)eV,f 0 « i=S 1, (2.48)
где χ(·, ν{·)) — решение дифференциального уравнения
хМ) = x2(t), x2(t) =—axl(t)—2bx2(t) + v(t), (о ла\
ж,(0)=ж,(0) = 0, 0«ίί«1.
Учитывая начальное условие яДО, v{·)) =хг(0, и(·)) =0,
можно проверить, что максимум по t в (2.18) достигается в
последний момент времени ί = 1. Остается вычислить max Ιζι(1, ν{·))\
при υί·) ^ VT.
Воспользуемся формулой Копш (2.4). Определим матрицу —
функцию Ф*(·), удовлетворяющую уравнению (2.6), где
согласно (2.11)
*-{-'. -L·}
Для элементов матрицы Φ* (ζ) получаем следующие выражения:
φιι(ξ) = (1/с)(Ь sin с£ + с cos с%) ехр (—δξ),
φ«(ζ) = (l/c)(sin βζ) ехр (-δζ),
φιι(ξ) = —(α/c)(sin с£) ехр (—δξ),
φ22(ζ) = (1/с)(—δ sin c£ + с cos οξ) ехр (—δξ),
где с = Уа — δ2. По формуле Кошп имеем
ι
x^l^i ·)) = {Не) j ν (τ) sin с (1 - τ) ехр (- δ (1 - τ)) Λ. (2.20)
о
Откуда следует, что
ι
max 1*1 (1, ^(0)1 =^ι(1. ^о(·)) = (r2/c) j| sin ст| ехр (—δτ)ώτ,
«>(·) о
(2.21)
где
»«(*) = г» sign sin c(l-t), 0<i«l. (2.22)
Таким образом, в рассматриваемой задаче
minr*(u(.)) = r*(Mo(.)) =
u()
1
= (r2/c) j|sinст|ехр (-δτ)ώτ (при u(.)e=Ur). (2.23)
ό
16

§ 3* Позиционные стратегии
В предыдущем параграфе программные стратегии были
введены для решения задач управления в случае, когда информация
о реализующемся движении отсутствует. Выбор управляющего
воздействия u(i) был предопределен в начальный момент
времени и не зависел каким-либо образом от конкретной помехи,
реализовавшейся к текущему моменту времени ί. Будем теперь
предполагать, что в каждый момент времени t > ί0 известна
точка (i, a;(f)), где x(t)— положение, в которое пришла управляемая
система в этот момент времени t. Точку (i, a;(f)) назовем
позицией управляемого процесса в момент ί (в дальнейшем в игровых
задачах пара (£, xit)) будет называться позицией игры).
Рассмотрим позиционные стратегии, которые в отличие от программных
управлений формируют управление по принципу обратной связи,
т. е. в данном случае — в зависимости от текущей позиции
управляемого процесса.
Будем по-прежнему полагать, что движение управляемой
системы описывается уравнением (2.1) с ограничениями (2.2).
Естественно попытаться отождествить позиционные стратегии с
функциями U: (ί, χ)-*- UU, χ), определенными для всех t^T, ieR"
и принимающими значения в множестве Р. При этом возникает
вопрос о дополнительных требованиях, которым должны
удовлетворять функции U. В самом деле, если формально полагать, что
управление формируется по закону u(t) = Uti, x(t)), t0^.t^i},
то соответствующее движение x(t) (i0^i<^) должно
удовлетворять дифференциальному уравнению
kt) = АШхШ + B(t)U(t, xit)) + CU)v{t). (3.1)
Для существования классических решений этого уравнения
достаточно потребовать, чтобы функция U была измерима по t
при всех ieR" и непрерывна по χ при ief (см., например,
[4*], стр. 217).
Совокупность таких функций U обозначим символом Uc
Элементы множества Uc будем называть непрерывными
позиционными стратегиями (имея в виду непрерывность по χ
соответствующих функций U). Для стратегии [/eUc СИМВОЛОМ <Х/(ίο, ^0, Uу
v(·)) обозначим множество решений уравнения (3.1) с начальным
условием x(t0) = Хц. Это множество всегда не пусто и может
содержать не одно решение. Полагаем далее
#?(£>„, U) = {U#(f„ xo, U, »(■)): (ίο, ж,) е£>„, »(-)sVr}. (3.2)
Замечание. Отметим, что для определения множества
#?(ί0, χ,,, U, у(·)) достаточно, чтобы функция U была определена
на множестве [ί0, θ] X R" с: Τ Χ R\ Однако в этом случае класс
стратегий U зависит от параметра ίο. Использование таких
стратегий оказывается неудобным в тех ситуациях, где требуется
варьировать начальный момент времени ί0.
17

При указанном определении пучка движений #?(Д,, U) можно
в принципе рассматривать задачи 1.1.1 и 1.1.2 в классе
позиционных стратегий U Обсудим такую возможность и с этой целью
обратимся к примеру.
Пример. Пусть движение управляемой системы
описывается уравнением
х(г) = и(г) + (2-гЫ<), 0<*«2. (3.3)
Здесь х, и и ν — 2-мерные векторы ί0ο = ί0 = О, Φ = 2. Управление
и помеха удовлетворяют ограничениям
в(г)е5, i)(i)e5, 0^ί«Ξ2, (3.4)
где 5 = {j/eR2: Пг/Н < 1} — круг единичного радиуса с центром
в точке r/i = т/2 = 0. Здесь и в дальнейшем II уII — евклидова норма
вектора у. Полагаем, что задано начальное положение £ι(0) =
= я2(0) = 0. Требуется выбором стратегии U максимизировать
расстояние от точки я(О) до начала координат.
Рассмотрим решение этой задачи в классе непрерывных
стратегий. Заметим, что данная задача есть частный случай задачи
1.1.2, в котором
ЧЫ-)) = -На:Ш, U = UC, D0 = {(io = 0, Ζοι = ζ„2 = 0)},
а пучки движений Ввфй, U) определены согласно (3.2). В
обсуждаемом примере множество Uc составляют функции U'· [0, 21 X
XR2-* S такие, что функция U{-, χ) измерима на [0, 2] при
любом xsR2, а функция U(t, ·) непрерывна на R2 при каждом
*е[0, 21.
В множестве Uc выделим подмножество Ur, — совокупность
непрерывных функций U: [0, 2] X R2 -»■ S, для каждой из
которых существует постоянная Липшица по переменной ж, т. е.
iiirtt, xw) - ии, х™)\\ *s λ · ib(i> - *<2>ιι,
(ί, z(i))e:[0, 2]XR2 (ι = 1, 2).
Выберем сначала стратегию U <= Ur, и оценим результат,
который гарантирует такая стратегия. С этой целью проведем
следующие построения.
Выберем точку ν <= S и рассмотрим дифференциальное
уравнение
kt) = Uti, *(«)) +(2-t)», 0«ί«2, агЛО) =»*ι(0) = 0. (3.5)
Это уравнение имеет единственное решение, которое обозначим
я(·, v) = (xtt, ν), 0 < ί < 2). Отметим, что для уравнения (3.5)
выполнены условия теоремы о непрерывной зависимости
решений дифференциального уравнения от параметра (см., например,
110*], стр. 178) (в данном случае параметром является вектор
ν е S). Поэтому отображение, которое точке ν е S ставит в
соответствие функцию ζ(·, ν), будет непрерывным. Следовательно,
18

непрерывным будет и отображение ν -*■ х(2, ν), которое точке
у е S стдвит в соответствие правый конец решения χ(·, ν).
Введем в рассмотрение функцию
y{v) = v- ЩЛ, (V е S). (3.6)
Эта функция непрерывна. Оценим область ее значений. Для
любого v^S имеем
\У{»)\ =
•Δ 'Δ
ν —g- J U (ί, χ (ί)) dt L J (2 - t) ydi
J" J7 (i, a: (ί)) Λ
<1.
Получаем, что непрерывная функция у(·) отображает единичный
круг S в себя. По теореме о неподвижной точке (см. [4*], стр. 195)
существует вектор ^eS такой, что J/(w*) = у*. Из построения
функции ?/(·) сразу следует, что при реализации постоянной
помехи- v(t) = Vj. (0<ί<2) решение χ(·, и#) уравнения (3.5)
будет удовлетворять равенству χ (2, νΛ) = 0.
Таким образом, для любой стратегии J/eU^ справедливо
равенство
min Пяг(2)П = 0 при i(-)s«(P), (3.7)
Здесь используется редуцированное обозначение пучка S8W) =
= ^(ί0, £о, ί/), где f0 = 0, ζ0 = 0. Учитывая, что γ(χ(·)) = — 1Ь(Ф)И,
этот вывод можно сформулировать в виде равенства
r*(tf)=maxv(*(«)) = 0 при x{-)e=&{U), (3.8)
которое будет справедливо для любой стратегии i/eUt.
Покажем, что равенства (3.7), (3.8) сохраняются для любой
непрерывной стратегии. Приведем схему доказательства этого
положения.
Пусть U <= Uc. Известно, что существует последовательность
функций C/^'eUi, (ft = l, 2, ...), удовлетворяющая условию
(см. [4*], стр. 158):
2
f шах || С/ (ί, а;) — г/(А) (ί, ж) || di -^ 0 при *-*.«>,
о «ее
где G — {х <= R2, llarll < 3). Этот круг выбран эдесь так, чтобы x(tt
u(·), y(-))sG при всех t^[0, 2], y(-)^VT) в(0е=иг. Как
показано выше, для стратегии Uw можно укавать вектор vw e S
такой, что для решения х{к)(·) уравнения
>>(*) = uw(t, x^Kt)) + (2- ib<*>
(*(*>(0)=0, is [0,2])
1»

будет выполнено равенство я"')(2)=0 (Λ· = 1, 2, ...). Можно
полагать, что xw {·)-*-х* (■) и v<h>-*-v*. Тогда функция х#(·)
будет решением уравнения
*„(«)= tf (i, ж» (0) + (2 - 0 "·, (*·(0) = 0, 0<i<2), (3.9)
причем ζ* (2) = lim ж<Л) (2) = 0 при к -*■ <». Получаем, что для
любой непрерывной стратегии U существует помеха ν (t) = ι>*
(0<ί ^2) и решение χ*(·) уравнения (3.9) такие, что ||ж* (2) J =0.
Иначе говоря, для любой стратегии U <= Uc справедливы
равенства (3.7), (3.8).
Покажем, что, используя информацию о текущей позиции
(ί, хШ), в данном примере можно все-таки построить такой
способ управления, который гараптирует удаление точки ж(Ф) от
начала координат.
Введем в рассмотрение функцию
-Ξ-— при х^О, 0<ί<2,
(3.10)
0) при х = 0, 0<ί<2.
U0{t,x)
Заметим, что функция U0 разрывна на множестве Ш, а;): а; = 0,
0<*<2}.
Разобьем промежуток [0, 2) полуинтервалами [τ<, τί+ι) = [ϊδ,
(i + l)6), i = 0, 1, ..., 21 — 1, где δ = 1/1. Полагаем, что
управление ιι0(ί) (0«£ί<2) формируется с помощью функции UB
следующим образом.
На промежутке [τ0, τ,) назначаем постоянное управление
ιΐο(ί) = ϊ/0(ίο, Χα)· Управление α0(·) = (ιι0(ί), τ0<ί<τι) и помеха
у(·) = (ΐ'(ί), τ0^ί<τ,) порождают движение ζ(·) = U(f), τ0<
<ί<Τι) системы (3.3) на отрезке [τ0, xj. На следующем шаге
в момент ί = τι определяем постоянное управление и0(£) = Ϊ70(τι,
x(tJ) (τι<ί<τ2), которое в паре с реализующейся помехой
ν{·) = (y(i), τι<ί<τ2) порождает движение χ(ί) на следующем
отрезке [τι, тг]. Указанная процедура повторяется на
последующих шагах вплоть до конечного момента τ2ι = 2.
Оценим результат, который гарантирует описанный способ
управления. Пусть х(·) = (x{t), 0<ί<2) — движение системы,
которое реализовалось при построенном управлении и0(·) и
произвольной помехе у(-). На любом отрезке Ιτ<, T<+t] (i = 0, 1, ...
..., 2ϊ — 1) справедливо равенство-
■ч+ι
a:(Tl+1)=z(Ti) + u0(Tt)-e+ J (2-«)в(«)Й,
20

где ΐίο(τ() = ί/0(τ„ ΐ(τ,Ο). Поэтому
υ* (Ti+1) И > |j ж (Ti) + ио (τι) -β Ц —
Ч+l
J" (2 — ί) у (ί) dt
(3.11)
Из построения функции 170 следует равенство
ΙΙ*(τ<) + i*,(t,) · δΙΙ = Иж(т,)11 + б, (3.12)
которое имеет место, как в случае х(хд Φ О, так и при x(xt) = 0.
Поскольку помеха удовлетворяет ограничению Hi>(£)ll < 1, то
получаем оценку
τί+1
J (2 — t)v(t)dt
<2δ-6·τί
2 "
(3.13)
Из (3.11)—(3.13) вытекает неравенство
ΙΙ*(τί+1)ΙΙ > ί«τ<)11 + δ · (τ,- - 1). ' (3.14)
Напомним теперь, что т(=г'б, 6 = 1/ί, Τι = 1; поэтому из (3.14)
следуют рекуррентные оценки
1Ь(т,+-,)1Г> Ыт,)!, Ь(т(+1)П > ΙΙχ(τί+1)ΙΙ + б2 > 11х(т,)И + б2,
Ытиз)\\ > Ι1χ(τί+2)ΙΙ + 2δ2 > Иж(т,)И + б2 + 2δ2, .. .,'■
|1ж(тм)п > 1Ь(т,>п + б2 + 2δ2 +... + a- D62 =
= Пж(т,)И + 1/2 — б/ 2 > 1/2 - δ/2.
Следовательно, построенный способ управления гарантирует
выполнение неравенства
М2)И = 1*(та)П > 1/2 - 6/2; (3.15)
параметр б > 0 здесь можно выбрать сколь угодно малым. Таким
образом получаем результат, который существенно лучше
результата, достижимого в классе непрерывных стратегий. Этот вывод
дискредитирует (по крайней мере, в данном примере) попытку
успешно решать позиционную задачу управления в классе
непрерывных стратегий. Отметим, что ситуация, разобранная в этом
примере, не является экзотической, напротив, она достаточно
типична.
Данный пример показывает, что при реализации непрерывных
позиционных стратегий предоставленная информация
используется не лучшим образом. Поэтому, чтобы определить позиционные
стратегии, пойдем по другому пути.
·' Рассмотрим множество Uno37 которое составляют всевозможные
функции U: Τ X Rn -*■ Ρ, не стесненные никакими
дополнительными условиями. Элементы множества ипоз будем называть
позиционными стратегиями. Движения управляемой системы,
порожденные позиционной стратегией U <= UU03, определим следующим
образом.
21

Пусть (ί0, χ„)^ΤΧΒ.η, Δ = {[τ(, τί+1): ί = Ο, 1, ..., /}
—некоторое разбиение полуинтервала [ί0, Φ), ν(·) eVr — произвольная
помеха. Определим пошаговое движение xl·, ί0, х0, U, υ(·), Δ) как-
непрерывное решение а;(·) = (a;(i), ί0^ί^ΰ·) пошагового
уравнения
t
x{t) = x (η) + j [Α (τ) χ (τ) + Β (τ) U (η, χ (Tf)) + С (τ) ι; (τ)] ώτ,
"4
Ti^i<Ti+i, i = 0, 1, ···,/, ζ(τ0) = 2:0. (ЗЛО)
Следовательно, пошаговое движение а;(·, ί0, х<>, U, ν{·), Δ) есть
решение χ(·) уравнения (2.1) с начальным условием x(t0)=Xo,
где управление и(·) формируется по закону
Ш) = г/(т() *Ы), τ( «£ t < τί+1, i = 0, 1, ..., I. (3.17)
Далее, допуская возможность выбора сколь угодно мелких
разбиений Δ, пучок движений $&(ta, х„, U) определим как
совокупность пределов, к которым стремятся пошаговые движения
при измельчении Δ.
Итак, полагаем, что пучок движений $?(i0, z0, U) есть
совокупность всех абсолютно непрерывных функций я(·) = (xit),
ίο^ί^ΌΟ, для каждой из которых существует равномерно
сходящаяся к ней последовательность пошаговых движений
*(Ч( ■)=*(·, U, *„ *7, vwl·), Δ"") (ft = l, 2, ...), (3.18)
где
diamA""-0 при ft-»-», »«*>(■) e=VT (ft = 1, 2, ...). (3.19)
Здесь diam Δ = maXj (τί+ι — хд при i = 0, 1, ..., Ζ.
Пусть Ζ)0 — множество начальных позиций системы. Пучок
движений г2?(/)0, U) определим соотношением
#?(£>„, Ш = {U #?(*„, ж,, U): (ίο, Xo)^D}. (3.20)
Пучок S6i.U, Хо, U) для любых (ί0, z0)e=;rXR" и U<^\Jao3
непуст, поскольку рассматриваемые здесь пошаговые движения
равноограниченны и удовлетворяют условию Липшица с общей
константой, что позволяет использовать теорему Арцела ([5*],
стр. 105) и установить существование сходящейся
последовательности (3.18). Смысл данного определения достаточно прост:
пучок 85 (ta, xo, U) составляют функции х{·), которые можно
аппроксимировать соответствующими пошаговыми движениями при
достаточно мелких разбиениях Δ.
Таким образом, для любой позиционной стратегии U <= Unoa
определен пучок г2?(Ь0, U) порожденных ею движений. Тем
самым построены основные элементы, необходимые для постановки
задач 1.1.1 и 1.1.2 в классе позиционных стратегий.
22

В главе II будут рассмотрены конкретные типы таких задач,
и будет показано, что решение этих задач, определенное при
указанном построении пучков движений S6(U, х0, U) и 12? (Д,, U),
является в определенном смысле неулучшаемым при веданном
здесь характере информации. Содержание полученных ниже
результатов будет раскрываться при переходе к аппроксимации
этих пучков пошаговыми движениями.
В заключение вернемся к примеру, обсуждавшемуся в этом
параграфе. Отметим, что построенному управлению Uo(-)
отвечает пошаговое движение я(-, ί0, ^о, U0, υ{·), Δ), где ίο = 0, хв = О,
позиционная стратегия U0 определена равенством (3.10), Δ —
разбиение промежутка [0, 2) с постоянным шагом б. Для такого
движения получена оценка (3.15). Нетрудно проверить, что
подобная оценка имеет место при выборе любого разбиения Δ с
diam Δ < б. Поэтому в пределе при diam Δ -*- 0 получаем
движения а;(·), для которых справедливо неравенство Иж(2)11 5* 1/2.
Поскольку это неравенство имеет место для всякого движения χ{·)
из пучка 8?(t0, х0, U0), то заключаем, что
min 1Ы2)И > 1/2 при «(■) е #?(*„, x<h Ua)
или, что то же самое, при γ(;ε(·)) =— ΙΙζ(2)ΙΙ
Г*(*7„)=тах^Ы-))^-1/2 при*(·) s*(t„ x,, U0). (3.21)
Сопоставляя (3.8) и (3.21), видно, что переход от непрерывных
стратегий к разрывным позиционным стратегиям позволил
существенно улучшить гарантированный результат.
Замечание. Поскольку множество Uc вложено в
множество UB03, то для непрерывной стратегии U e Uc c Unn3 имеем
два определения пучка движений 95(Du, U). В первом
определении пучок движений составляют классические решения
уравнения (3.2), во втором определении рассматривается предельный
переход от пошаговых днижений. Нетрудно привести примеры,
когда для стратегии U <= Uc два этих определения дают
различные пучки движений. Поэтому в тех случаях, когда будут
рассматриваться непрерывные позиционные стратегии, условимся,
что пучок движений определен пределом от пошаговых
движений. Разобранный в этом параграфе пример показывает, что при
иыборе непрерывных стратегий соответствующие им пучки
классических решений содержат «плохие» движения, т. е. для этих
движений значения целевого функционала γ существенно больше
тех величин, которые принимает функционал γ на движениях из
пучка $6(U, х0, ί/ο), определенном для разрывной стратегии U„
предельным переходом от пошаговых движений. Если для
непрерывных стратегий определить пошаговые движения, то среди
этих движений по-прежнему будут «плохие» движения. В обсуж-
23

даемом примере имеет место неравенство
min Г* (U) < Г* (U0) < — 1/2 < 0 = min Г* {U),
иеиП03 и<=ис
где
Γ*(ί7) = πιβχγ(2:(·)) при хк') ^ οι* νίοι *^oj U),
χ(·)
Таким образом, непрерывные стратегии не аппроксимируют
результат, который доставляет разрывная стратегия U0.
§ 4. Квазистратегия в линейной управляемой системе
Рассмотрим еще один способ управления — квазистратегию.
Прежде чем дать формальные определения, приведем наводящие
соображения.
При управлении по обратной связи (например, при
использовании позиционных стратегий) управляющее воздействие u{t)
выбирается в зависимости от реализовавшегося к моменту t
движения системы. В свою очередь это движение осуществляется
при реализации в системе некоторой помехи υ(τ) (ίο«£τ<£).
Таким образом получаем, что управление по обратной связи
строится в неявной зависимости от помехи, реализовавшейся к
текущему моменту времени. Отметим важное свойство этой
зависимости. Пусть v{i){·) и ι/2)(·) — две помехи, совпадающие на
некотором промежутке [ί0, £*). Обозначим через цс<)(·)
управление, которое назначает позиционная стратегия U согласно (3.17)
при у(·) = vli){·) (i = 1, 2). Тогда управления иС1)(·) и ит{·)
будут совпадать по крайней мере на [t0, ί*).
Предположим теперь, что задано правило, назначающее
управление и(·) в явной зависимости от помехи у(·). Если это
правило (это отображение) удовлетворяет указанному выше свойству,
то будем называть его квазистратегией. Таким образом, приходим
к следующему определению.
Квазистратегией назовем отображение
a: VT -+ UT, (4.1)
удовлетворяющее следующему условию (.условию физической
осуществимости): пусть** е (£00, θ], ис0(·) е Vr (j = 1, 2), иС1)(£) =
= vmU) почти всюду па [ί00, £*), тогда uw(t) = um{t) почти
всюду на [ί00, ί»), где u("(·) = о(»Н)(·)) (i = 1, 2).
В литературе по теории управления и теории
дифференциальных игр условие физической осуществимости называется также
условием наследственности, либо причинности, либо
информационным ограничением и т. д. Управление и(-) = а(и(·))
называется откликом на помеху υ(·).
Приведем определение движений, отвечающих квазистратегии
а. Пусть ΐ)(·)ενΓ, (ί0, ха) «= Τ X R" — некоторые помеха и
начальная позиция. Полагаем, что xl·, t„, x0, α, и(·)) есть решение
24

xU) (ί0 ^ί <Φ) уравнения (2.1) с начальным условием ζ(ί0) = х<>,
где ц(-) =«(у(·))—управление, определенное квазистратегией а.
Полагаем далее
$в(.и, х„, а) = {х(·, U, ха, а, ι>(·)): у(·) ^ Vr).
Отметим, что при работе с квазистратегиями будем
рассматривать только пучки движений, выходящие из одной начальной
ТОЧКИ (ίο, Хц).
Формальные определения квазистратегий и соответствующих
движений довольно просты, однако могут возникнуть сомнения
относительно их практической ценности. Поэтому здесь следует
сказать, что квазистратегии будут привлекаться, в основном, в
качестве вспомогательного инструмента, который оказывается
удобным при изучении ряда свойств игровых задач управления.
При этом для конкретных типов задач управления будет
установлено, что оптимальные результаты, достижимые в классе
квазистратегий и классах позиционных стратегий, эквивалентны.
Более того, конструкции, которые будут развиты в главах IV и V
при решении задач управления в классе квазистратегией, можно
использовать для решения задач в классе позиционных
стратегий и в классе процедур управления с поводырем (см.
следующий параграф).
Вернемся к обсуждению понятия квазистратегип. В качество
частного случая рассмотрим квазистратегии, которые задаются
контруправлениями. Контруправлепием называется эдесь
измеримая по Борелю функция
U: TXQ-+P. (4.2)
Пусть заданы контруправление U π помеха у(0 е VT. Движе-
пие χ{·, ί0, хв, U, у(·)) определим как решение уравнения (2.1)
с начальным условием xtto) = Хо, где управление построено по
правилу
ult) = mt,v(t)) (ί, <*<*). (4.3)
Пучок ί2?(ί0, Яо, U) определяется здесь соотношением
#(«,, *., U) = Ы·, ί„, *,, U, !;(·))■■ »(-)sV,}.
Поскольку U — борелевская функция, то для любой помехи
p(-)eVr правило (4.3) определяет измеримую функцию ц(-): [ί0,
■&] —-Ρ ([5*], стр. 280). Таким образом, получаем некоторое
отображение а из VT в Ut. Нетрудно заметить, что для этого
отображения α выполняется условие физической осуществимости.
Следовательно, функция а: \т -*■ Ur, отвечающая
контруправлению U, есть квазистратегия.
Как видно из (4.3) при реализации контруправления,
требуется энать время t и реализовавшееся в этот момент времени
воздействие — помеху vit). Однако контруправления
представляют интерес не только в тех случаях, когда можно практически
25

располагать указанной информацией. Ниже рассмотрена одна
задача, решение которой получено в классе контруправлепий.
В следующем параграфе решение этой эадачи используется для
построения процедуры управления в случае, когда известна
только текущая позиция (i, a;(f)). Итак, рассмотрим следующую
задачу.
Пример. Рассмотрим управляемую систему (2.11), для
которой предполагаем выполненными условия (2.12), (2.13).
По-прежнему движение этой системы начинается иэ точки я,(0) = я2(0) =
= 0. Качество движе-ний оценивается функционалом γ (2.14).
Требуется обеспечить наименьшее возможное удаление точки
XiH) от начального положения жДО) = 0. Решение этой задачи
рассмотрим в классе контруправлений.
Итак, требуется определить контруправление UB, для которого
Γ*(ί7ο) = πιίηΓ*(ί/), (4.4)
ν
где
Г*(£Л =πιβχγω·)) =max|xi(<)l (4.5)
χ(·) х(), t
при ι(·)ε^(ί/), ie[0, 1].
В (4.4) минимум вычисляется по всем контруправлениям,
которые в настоящем примере, суть борелевские функции U: [0, 1] X
X [—г2, г2] -*■ [—Г|, rj. Элементами множества S6W) являются
решения уравнения
kit) = x2it), kit) = - ахМ) - 2bx2(t) + Uit, vit)) + vit),
(4.6)
*,(0) = аь(0) = 0, 0 «S t < 1.
Это множество получается при переборе всевозможных
измеримых помех vi·): [0, 1] -*■ [—г2, г2].
Покажем, что решение задачи (4.4), (4.5) доставляет
контруправление
U0 (t, ν) = - A v (is [0,11, »е[-г„г,]), (4.7)
причем
1
T*(U0) = γ° = Γ2~Γι -flsincTl ·βχρ(-6τ)ώτ, (4.8)
о
где с = Т/а — Ьг.
Рассмотрим систему
хМ) = ХгШ, kit) = - ахМ) - 2Ьх2Ш + U0it, vit)) + vit),
(4.9)
я,(0) = а;2(0) = 0, 0<ί=^1.
26

Справедливо .равенство (см. (4.7))
ем*. ») + »= Гг7г' ν·
2
Поэтому
Γ*(#,)-πι&χγ(*(·))-πΐΒχγ(*(·, Л(·))). (4.10)
х(.) Л(·)
Здесь #(·) е SSWo), a я(·, hi·)) — решение уравнения
я,(г) = z2(i), x2{t) = -axdt)-2bxM + k(t), (4.11)
ж,(0) = ж,(0) = 0, 0 < t < 1,
где Mi) = (г2 — п) · vit)/rt. Максимум в (4.10) вычисляется по
всем борелевским функциям hi·), удовлетворяющим ограничению
\hit)\ ^гг-г, (0<t<l).
Чтобы вычислить тахч(а;(·, hi.·))), можно воспользоваться
Λ(·)
выкладками, приведенными при решении примера в § 2.
Простой заменой ν{·) на &(·) и г2 на г2 — Γι из этих выкладок
получаем (см. (2.18) — (2.23))
maxy(x(.,h(-))) =у(х{-, М·))) =
ι
^JlLZIiL Г|атст|-вхр(—&τ)ίτ = γ°, (4.12)
о
где
A°U) = (г2-г,) -signsinc(l -t), 0 «S t < 1.
Таким образом, да (4.10), (4.12) следует (4.8).
Остается проверить, что
Т*Ш) > Т*Ш,) (4.13)
для всякого контруправления U.
Рассмотрим решение xi·) = ixit), 0 < t «£ 1) уравнения
«,(*)-*,(«), (4.14)
ζ2(ί) = - «χ,(ί) - 2W*) + u(i) + v0it),
где
ж.(0) = z2(0) = 0, lu(i)l < г„
(4.15)
v„(t) = г2 · sign sin c(l — ί), 0 «£ t sS 1.
27

По формуле Копти (см. (2.20)) имеем
ι
*,. (1) =4" f К" (*) + "о ('))sin с ί1 — ')! ехР (— Ь (1 — t)) dt =
о
1
= —- \ | sin сх | ехр (— Ъх) dx -\-
о
ι
+ -~ V [и (t) sin с (1 — t)) ехр (— Ъ (1 — t)) «ft. (4.16)
о
ПОСКОЛЬКУ \jl(t)\ ^ Γι, ТО
1
J [и (i) sin с (1 — ί)] ехр (— Ъ (1 — t)) eft >
о
1
>-^~\ |sincT|exp(— &т) Л. (4.17)
о
Поэтому из (4.16), (4.17) получаем
ι
^ι (!) > ■ 2 с Γι ] | sin сх | ехр (— Ъх) dx = γ",
о
Следовательно,
γ (а; (·)) = max | хх (ί) | > а^ (1) > γ». (4.18)
0<(«£1
Это неравенство справедливо для любого допустимого управления
«(■), в частности, для управления, которое формируется
контруправлением U по правилу u(t) = U(t, vti)), 0 *£ t < 1.
Итак, Γ*(17).>γ· = Γ*(17,). Неравенство (4.13) доказано.
§ 5. Позиционное управление с поводырем
В этом параграфе введем в рассмотрение позиционную
процедуру управления, которую условно назовем управлением с
поводырем. Чтобы общее определение не выглядело слишком
отвлеченным, обратимся сначала к конкретной задаче, ее решение
будет примером позиционного управления с поводырем.
Пример. Рассмотрим опять управляемую систему (2.11),
для которой выполнены условия (2.12), (2.13). Полагаем, что
качество движений оценивается функционалом γ (2.14). Требуется
выбрать стратегию, которая ' гарантирует наименьшее значение
функционала γ.
В § 2 и § 4 эта задача была поставлена в классах
программных управлений и контруправлепий соответственно. Ниже будет
28

построено позиционное управление с поводырем, которое
гарантирует тот же результат, что и оптимальное контруправление из
примера в § 4. Отметим, что в отличие от примера,
рассмотренного в § 4, будем предполагать, что известно реализовавшееся
фазовое состояние xlt) управляемой системы, а не текущее
значение помехи и (ί).
Опишем сначала предлагаемое решение в общих чертах, не
уточняя отдельных его деталей.
Пусть выбрано разбиение Δ = ilrt, Xi+l): i = О, 1, ..., I)
промежутка [0, 1) и определены скалярные функции U0: (x, w) -*■
-+■ и„(х, w) и Я0: (χ, w) -» Н0(х, w), где χ и w — 2-мерные
векторы.
На промежутке [т0 = 0, Τι) выберем постоянное управление
u0U) = и0(.х0, w0),
где х„ — w0 = 0. Выбранное управление иа( ■) в паре с некоторой
помехой υ(·) = (v(t) <= [ — г2, г2], т0 < ί < tJ порождает движение
управляемой системы на отрезке [т0, tj. Это движение
описывается дифференциальным уравнением
i,(f) = хг(г), хгЬ) = - ахМ) - 2bx2(t) + u,(i) + v(t). (5.1)
Чтобы построить управление u0(t) на следующем промежутке
[τι, τ2), потребуется определить вектор u>(Tf). Для этого введем
в рассмотрение дифференциальное уравнение
κ>,(ί) = w2U), wt(t) = - aw,(t) - 2bw2(t) + hQ(t). (5.2)
Проинтегрируем уравнение (5.2) при w(0) = xa = 0 и
Kit) = //„(*„, ц?0) (τ0 s£ t < τ,). (5.3)
Пусть w(-) = (u;(i), to *£ t «£ τ,) — решение уравнения (5.2), (5.3),
цДт,) -т- значение, которое принимает функция и>(-) при t = xx.
В момент времени t = τι поступает информация о
реализовавшемся состоянии a;(ti) управляемого объекта. Полагаем, что
к этому моменту вычислен вектор u>(ti). На полуинтервале
[τι, т2) выберем постоянное управление
ua(t) — υ0(χ(τι), u;(ti)), Τι «£ t < τ2.
Это управление в паре с некоторой помехой у(-) = (ι;(ί), τι < t <
<τ2) порождает движение системы (5.1) на отрезке времени
Ft!, τ2]. Одновременно будем интегрировать уравнение (5.2), где
полагаем
ha{t) = Я0(ж(т1), κ?(τι)), τ, < t < τ2.
Вычислим точку wixz), в которую приходит решение и>() =
= (u>(i), to < t ^ τ2) уравнения (5.2) при указанном выборе
функции Ао(·).
29

Таким образом, на каждом промежутке [τ{, τ<+ι) производим
следующие построения. Выбираем постоянное управление
u0(i) = J/oU(Ti), и;(т()), τ<^ί<τ1+1. (5.4)
Здесь х{%,) — реализовавшееся в момент t = τ< состояние
управляемого объекта, и>(т<) — точка, в которую приходит при t = τ<
решение wl·) = (wit), τ0 <ί< τ,) уравнения (5.2), где и>(т0) = Ζο,
u„(i) = ЯоЫт,), κ>(τ,)), τ, < ί < tj+1, ; = 0, 1, ..., t - 1. (5.5)
Управление u0(·) (5.4) в паре с некоторой помехой и(·) = (y(f),
τ; < ί < τ(+ι) 1юрождает движения управляемого объекта, на
отрезке [ti, Ti+|]. Одновременно интегрируем уравнение (5.2), в
котором функция А0(") (5.5) доопределена равенством
Α„(ί) = #0(.г(т(), и>(т<)), τ<<ί<τ<+1. (5.6)
Построенная процедура назначает управление в системе (5.1)
в зависимости от ее реализовавшегося состояния. Однако нельзя
сказать, что здесь используется позиционная стратегия,
поскольку выбор управления n0(f) (τ4 < t < τ<+ι) зависит еще от одной
переменной — точки и;(т<), которая вычисляется в рамках
предложенной процедуры интегрированием уравнения (5.2).
Решение ιν(-) уравнения (5.2) назовем движением поводыря.
Отметим принципиальное различие между движением поводыря
и>(·) и движением х(.) управляемой системы. Движение ж(·) есть
движение управляемого объекта; оно описывается подходящей
математической моделью — управляемой системой (5.1), которая
предполагается заданной при постановке задачи; информация о
движении х(-) поступает в форме измерений ж(т|) управляемого
процесса. Напротив, система-поводырь (5.2) не эадана в
постановке задачи управления, а построена в процессе ее решения;
информацию о движении поводыря доставляют вычисления,
которые предусмотрены в рамках предлагаемой процедуры.
Движение ιν(·) моделируется параллельно с реализацией
движения х{·). Эти движения оказываются взаимосвязанными,
поскольку функции Л0() в системе (5.2) формируются в
зависимости от состояний системы (5.1), а управления и0(·) в системе (5.1)
выбираются в зависимости от реализующихся положений
системы-поводыря (5.2).
Перейдем теперь к определению функций U0 и Я0. Пусть .τ(·)
и и>() — движение управляемой системы (5.1) и
системы-поводыря (5.2), которые реализовались в описанной процедуре. Наша
цель состоит в таком выборе функций t/0 и Я0, чтобы, во-первых,
выполнялось неравенство
γ(κ;(·))= max |w,(i)| < γ° (5.7)
0«<£1
30

(число γ° определено в (4.8)) и, во-вторых, была справедлива
оценка
max Wx(t) — w(t)W *£ ε при (НатД«£б(е). (5.8)
0<ί<1
Из (5.7), (5.8) будет следовать, что при выборе достаточно
мелкого разбиения Δ будет выполнено неравенство
γ(χ(-))= max |*,U)| « γ° + β. (5.9)
Это положение будет справедливо при реализации в (5.1) любой
допустимой помехи ν{·). Таким образом, процедура управления
с поводырем будет гарантировать результат (5.9). Можно
заметить, что этот результат будет неулучшаемым по существу,
поскольку число ε в (5.9) можно взять сколь угодно малым, и
вместе с тем известно, что при реализация помехи у(-) = и0() (4.15)
и любого допустимого управления и(-) для соответствующего
движения х(·) системы (4.14) справедливо неравенство γ(ζ(·)) 35 γ"
(см. (4.18)).
Покажем, что выполнение соотношений (5.7), (5.8) будет
обеспечено при следующем построении функций U0 и Я0.
Пусть g(s) = 26s, + (α + l)s2,
, \—r1q(x — w)/\g(x — w)\ при д{х — ю)фО,
*· <*·">-( 0 при д(х-ш) = 0,
(5.10)
„ , ч Ι0"ι —»Ί)?(* —и>)/|д(« —и>)| при д(х — ю)ф0,
I 0 прп q(x — w)=0.
(5.11)
Отметим, что \UB{x, w)\ «£ г, при всех ieR' n weR2, поэтому
управление u0(·), которое формируется по правилу (5.4), будет
допустимым. Заметим также, что \На{х, w)\^r2 — rt (ieE!,
iceR!), следовательно, функция Λ0() в уравнении (5.2)
удовлетворяет неравенству \к„Ш\ ^п — ъ при 0 «ί ί < 1 (см. (5.6)).
Поэтому, как показано при решении примера в § 4, будет
выполнено неравенство (5.7). Таким образом, иэ ограничения \На(х,
w)\ < г2 — г4 сразу следует, что движение поводыря оказывается
«хорошим», т. е. удовлетворяет оценке (5.7).
Покажем, что выбранные функции Ua и Я0 обеспечивают
взаимное отслеживание движений xl·) и и>(), т. е. выполнение
оценки (5.8).
Итак, рассмотрим пару движений я(·) = Ыг), 0<f<l) и
ш(·) = iw(t), 0 *£ ί ^ 1), которые построены в описанной
процедуре при выборе разбиения Δ и при реализации в системе (5.1)
допустимой помехи у(-) = (у(£) е [—r2, rj, 0 < t s£ 1). Оценим
расстояние между функциями я() и w(·). Пусть sti) = x(t) — w(t)
31

<0<ί<1), тогда согласно (5.1), (5.2) имеем уравнение
sM) = s2(i), kti) = - asAt) - 2bs2(t) +
+ Ββ(ί) + v(t) - k0U), i,(0) = *,(0) - 0. (5.12)
Полагаем
L (s) = (a2 + a + ib2) s\ + Absxst + (a -(-1) sf. (5.13)
В последующих рассуждениях функция L играет роль
функции Ляпунова. Вычислим ее производную вдоль решения
уравнения (5.12). Получаем
dL%(t)) = - 4αδ (st (t) + *? (t)) + 2? (* (ί)) («ο (ί) + v(t)-
- Λ° (ί)) < 2? (* (ί)) (во (i) + ι; (ί) - Λ» (ί))· (5.14)
Напомним, что g(s) = 2bs, + (α+ l)s2.
Оцепим правую часть неравенства (5.14). Поскольку д(·) —
линейная форма, a s(·) удовлетворяет уравнению (5.12), то
lg(s(i))-g(s(T,))l <δκ при τ^ί^τ(+1, (5.15)
где δ = diam Δ, κ — постоянное число, которое определяется
значениями а, Ъ.
Если qis(xi)) = 0, то u0(i) = Λ0(ί) = 0 при т< *£ ί < tl+, (см.
(5.4), (5.6), (5.10) н (5.11)). В этом случае (см. (5.15))
g(*(i))(u,(i) + ϋ(ί) - *.(«)) = g(*(i))w(i) ^ δκΓ2,
τ< *S ί < τ1+1.
Если g(s(T()) ^ 0, то из (5.4), (5.6), (5.10) и (5.11) получаем
равенство u<,(t) — k0(t) = — r2g(s(Ti))(lg(s(Ti))l)-1, t<s£i<T,+i.
Отметим, что справедливы неравенства
g(*(Ti)Wi)<r,lg(*(Ti))l,
y(i) - r2g(s(t<))/lg(s(t,))l < 2r2.
Поэтому в случае д($(.х())Ф0 имеем оценку
q(s(t))luBW + vit) - h0(t)] =
= д(*(т,))Ы«) - г,д(*(т,))/|д(*(т())|] +
+ (g(*(i)) - g(*(T,)))lu(i) -г2д(8(т<))/1д(5(т,))и <2δκΓ2.
Таким образом, приходим к оценке
Д£^(0)<46хга, 0<«<1. (5.16)
Учитывая, что s(0) = 0 и L(s(0)) = 0, us (5.16) получаем
L(s(t)) < 4δκΓ2, . 0 < ί < 1.·- . ' (5.17)
32

Поскольку функция (5.13) есть положительно определеппая
квадратичная форма, то
£(*)^(*Ϊ + *ϊ)·ρ = ΙΙ*Ρ·ρ, (5.18)
где ρ — некоторая константа. Иэ (5.17), (5.18) получаем, что при
б «£ δ(ε) = ε2 ■ ρ · (4xr2)_1 справедливо неравенство
ΙΙ*(ί)ΙΙ - lb(i) - ι»(ί)ΙΙ < β, 0<ί<1.
Таким образом, оценка (5.8) доказана. Как уже отмечалось,
из соотношений (5.7), (5.8) следует, что построенная процедура
управления обеспечивает результат (5.9).
На этом рассмотрение примера заканчиваем. Перейдем к
общему определению процедуры управления с поводырем. Как и в
предыдущих параграфах, предполагаем, что движение
управляемой системы описывается дифференциальным уравнением (2.1).
Пусть задана тройка
°U> = Ш, ψ, χ), (5.19)
состоящая из функций U, ψ и χ.
Здесь
U: U, х, и»)-* UU, х, у>): rxRnXRn->-> (5.20)
— функция, которая будет формировать управление в системе
(2.1).
Функция
ψ: (ί„ t*, *„ Β>,)-*ψ(ί», ί·, *», i»,):7'txRnxRn-».Rn
(П={(*„«*)еГхГ: i*<**}),
есть переходная функция поводыря. Значение переходной
функции ψ(ί*. t*, хл, ιυ#) есть положение w*, в котором поводырь
окажется в заданный момент времени t = t? при условии, что в
момент ί = ί* управляемая система и поводырь находились в
точках х* и ινΛ соответственно.
Третья функция
χ: (ί„, х„) ->- χ(ί„, χ,): Τ Χ Rn ->- Rn (5.22)
начальной позиции (ί0, £<>) управляемой системы ставит в
соответствие начальное положение поводыря χ(ί0, х<>) = wt = w(t0).
Будем говорить, что тройка °U (5.19) определяет позиционную
процедуру управления с поводырем. Совокупность процедур
управления с поводырем °U вида (5.19) будем обозначать символом
Un0B. Процедура управления °U формирует пошаговые движения
системы (2.1) следующим образом.
Пусть (ί0, Хц) <= Τ X R" — начальная позиция управляемой
системы, Δ = {[τ<, Τ(+ι): i = 0, 1, ..., Ι) — разбиение промежутка
[ί0, θ), i)(')eVr — некоторая помеха. Начальное положение
поводыря и>(т0) определим равенством гя(т0) =χ(ί0, Хц)· Выберем на
33

промежутке [τ0, τι) постоянное управление uti) = ί/(τ0, χ0, w(x0)),
τ0 «S ί < τι. Это управление в паре с помехой и(·) порождает
движение χ(·) = (χ(ί), τ0<ί^Τι) системы (2.1).
В момент времени ί = Χι поступает информация о
реализовавшемся состоянии χ(τι) управляемой системы. Положение
поводыря в момент ί = х1 определим с помощью переходной функции ψ.
Полагаем u>(ti) = ψ(τ0, τ1( χ0) и>(т0)). Далее выберем управление
u(f) = С/(Т|, a;(Ti), u?(ti)), Τι ^ ί < τ2, которое в паре с помехой
у(-) порождает движение системы (2.1) па отрезке [τι, τ2].
Пусть в момент ί = τ< управляемая система пришла в
состояние χ(τί). Положение поводыря в момент ί = τ< определим
равенством
иКтЛ = ψ(τ<-„ Τ(, zUi-J, ΐί;(τ<-ι)), (5.23)
где аКъ-,) и wixt-ι) — точки, в которых находилась управляемая
система и поводырь в момент ί = τ^. Полагаем, что на
промежутке [tj, τί+1) управление в системе (2.1) назначено по правилу
u(t) = Шх{, хЫ, и>(т,)), Xi^t<xi+l. (5.24)
Такие построения продолжаются вплоть до последнего
промежутка [τι, τΊ+ι = Φ). Движение системы (2.1), которое получается
при указанном способе управления, обозначим символом х{ ·, i0, Xo,
°U, ν(·), Δ) и будем называть пошаговым движением,
порожденным процедурой управления с поводырем. Отметим, что набор
(ί0, Xo, °U, υ(-), Δ) одноэвачно определяет соответствующее
пошаговое движение.
Отметим также, что в указанном построении эволюция
поводыря была определена переходной функцией ψ, которая
назначала положение поводыря в дискретные моменты времени t = τ,-
(i = l, 2, ..., Ζ+1). Β дальнейшем иногда будем рассматривать
не только дискретную эволюцию поводыря, но и его непрерывное
движение, заданное на всем промежутке [ί0, Φ]. Определения
этих движений будут даны при рассмотрении конкретных
процедур управления с поводырем там, где использование таких
движений окажется удобным. Отметим, что ниже наряду с
терминами «поводырь», «движение поводыря» будут использоваться их
синонимы «ш-моделы>, «движение ^-модели».
При решении конкретных задач результат, гарантированный
для пошаговых движений, обычно будет тем лучше, чем мельче
разбиение Δ. Поэтому, допуская возможность выбора сколь
угодно мелких разбиений, построение пошаговых движений эамкнем
предельным переходом при diain Δ -*■ О и определим пучок
движений $6'(ί0, Xo, °U) следующим образом.
Элементами пучка «2?(ί0, Xo, °U) будут те и только те
абсолютно непрерывные функции χ{·) = U(i), ί0 < t < Φ), для каждой из
которых существует сходящаяся к ней последовательность
пошаговых движений xw{·) = х(-, ίο, χ*, U, ι/*>(·), Δ(*>) (Α: = 1, 2, ...),
удовлетворяющая условию diamA"0 -*■ 0 при к -*- °°.
34

Для множества Da начальных позиций системы (2.1) полагаем
Обсудим данные определения. Отметим сначала, что
управляемая система (2.1) завязана с системой-поводырем, поскольку
выбор управлений в системе (2.1) зависит от положения, в котором
оказался поводырь (см. (5.24)), а выбор точек, через которые
проходит поводырь, определяется, в частности, реализовавшимися
положениями системы (2.1) (см. (5.23)). В общем случае, как и
в разобранном примере, эволюция и>-модели материализуется
лишь в форме вычислений, которые используются для
определения управляющего воздействия в системе (2.1).
В формальном определении процедуры °U (5.19) выбор
составляющих ее элементов может быть произвольным. Что же
касается процедур управления с поводырем, которые будут
доставлять решение рассматриваемых задач, то для них выбор
функций U, ψ и χ подчинен достижению двух целей: (1) построить
поводыря, обладающего только «хорошими» движениями
(например, в задаче наведения, все движения поводыря должны
принадлежать множеству Л); (2) — иметь возможность отслеживать
движения м;-модели и управляемой системы. Отметим здесь, что
обычпо χ(ί0, Χο) = 1ц и задачу взаимного отслеживания можно
решать с привлечением методов теории устойчивости и
стабилизации, при этом движения поводыря и управляемой системы
трактуются как невозмущенное и возмущенное движения
соответственно.
Центральное место в построения разрешающих процедур
принадлежит определению снетемы-новодыря. В разобранном выше
примере переходная фупкция поводыря ψ0 набору (£*, t*, xx, w#)
ставит в соответствие точку Ψο(ί*, **. х*, ">*) =">(**), в
которую приходит решение w(-) — (wit) t^^t^t*)
дифференциального уравнения (5.2), где w (ί*) = ύ'#ι k0 (t) — Hn (я*, w%).
Используя формулу Коши, в этом примере для отображения ψ„
можно указать явное выражение, которое состоит из
арифметических операций пад элементарными функциями. К сожалению,
так просто определить переходную функцию поводыря удается
далеко не всегда. Можно сказать, что вся тяжесть решения задач
позиционного управления здесь переносится на построение
эволюции поводыря. Ниже будут рассмотрены случаи, когда
движение поводыря определяется в результате решения
вспомогательных задач управления, поставленных либо в классе программных
управлений, либо в классе конгруправлений, либо в классе
квазистратегий. Весьма важно, что при работе с позиционной
процедурой с поводырем имеется свобода в выборе вспомогательных
средств.
В заключение параграфа еще раз обратимся к примеру,
рассмотренному в начале параграфа. В этом примере построена
процедура управления с поводырем °Ua = (?70, ψο, χ<>), где функ-
3*
35

цпя Ua определена равенством (5.10), переходная функция
поводыря ·φ0 описана в предыдущем абзаце, а функция χ0 задана
равенством χ0(ίο, Χα) = Хо- В выкладках, приведенных в этом
примере, рассматривались пошаговые движения х(-) = х(-, £0, Ха, °Ua,
ν{·), Δ), для которых была установлена оценка (5.9), где е -*- 0
при diam Δ -*■ 0. Поэтому для движений х(-) из пучка #?(£0, х», ^о),
которые получаются предельным переходом от пошаговых
движений χ(·, ίο, хо, °Μό, ι>(·), Δ) при diainA->-0, получаем оценку
γ(α:(·)) *£ γ°. Следовательно, построенная процедура управления
с поводырем будет удовлетворять оценке
r*(^0)=supv(a;(-)Xv0 при χ (·) е= « {t0, x0, °UQ)- (5.25)
ж(.)
§ 6. Дифференциальная игра
В предыдущих параграфах рассмотрено несколько типов
стратегий — программные и позиционные стратегии, квазистратегии
и позиционная процедура управления с поводырем. Все это
различные способы формирования управления ц(-). Другое внешнее
воздействие на систему, которому отвечала функция ν(·), до сих
пор трактовалась как помеха. Предполагалось, что в качестве
помехи может реализоваться произвольная функция времени из
заданного класса Vr.
Перейдем теперь к изучению конфликтных ситуаций. Будем
предполагать, что в системе (2.1) имеем пару управлений и{·) и
υ{·), которые формируются в процессе движения стратегиями U
и V соответственно. Выбор стратегий U и V иэ некоторых
классов U и V предоставлен двум противоборствующим сторонам —
первому и второму игрокам соответственно. Будем рассматривать
антагонистические дифференциальные игры — конфликтные
ситуации, где интересы игроков противоположны.
Опишем сначала дифференциальную игру наведения —
уклонения. Эта игра складывается из задачи 1.1.1 (задачи наведения),
стоящей перед первым игроком, и противоположной ей задачи
уклонения второго игрока.
Постановка задачи 1.1.1 остается прежней: требуется
определить стратегию U°, гарантирующую попадание в заданное
множество Ж любого движения иэ пучка движений S&(D0, U°),
отвечающего стратегии 17°. При постановке этой задачи неважно, из
каких соображений и каким способом второй игрок будет
формировать свое управление υ{·),— это управление по-прежнему
можно трактовать как помеху и допускать, что возможна любая
реализация и(-) ив класса Vr.
Приведем постановку задачи об уклонении.
Задача 1.6.1. Требуется определить стратегию Γεν
такую, что
#?(£>„, Г)ПЛ = 0. (6.1)
36

Здесь V — задапный класс допустимых стратегий V второго
игрока, $6(Do, V) — пучок движений, определенный для
стратегии F^Ve множества D0 начальных позиций системы.
Поставленная задача имеет простой смысл: выбором
стратегии V второй игрок должен обеспечить уклонение движении
;С(.) е #?(/}„, V) от попадания в множество Jt. Нетрудно видеть,
что эта задача есть задача наведения на дополнение к
множеству Ж.
Укажем теперь конкретные типы стратегий игроков. Для
первого игрока будем рассматривать классы стратегий, определенные
в §§ 2—5. Аналогичные типы стратегий введем и для второго
игрока.
Так программной стратегией или программным управлением
второго игрока будем называть любую функцию ν(·) из класса
Vr (см. § 2).
Позиционной стратегией второго игрока назовем функцию
V: TXRn-+Q. (6.2)
Квазистратегию второго игрока определим как отображение
β: Ur-Vr, (6.3)
удовлетворяющее следующему условию физической
осуществимости: пусть ί*<=(ί00, θ], «'"(OeU, (i = l, 2), u^(t) = um(t)
почти всюду на [ί00, £*), тогда yci)(f) = vm(t) почти всюду на
[*оо. **), где »<"(·) = β(α<«(·)) (i = 1, 2).
Контруправлением второго игрока назовем измеримую по
Борелю функцию
V: ТУ-P^Q. (6.4)
Наконец, процедуру управления с поводырем для второго
игрока определим тройкой
r=W, ψ, χ), (6.5)
где V: Τ X R" X R" -»- Q, а общее опнсапие функций ψ и χ
остается таким же, как и в процедуре 41 (5.19), определенной для
первого игрока.
Пошаговые движения и пучки движений, отвечающие
указанным типам стратегий второго игрока, определим так же, как это
сделано в предыдущих параграфах для аналогичных стратегий
первого игрока. Приводить соответствующие построения не
будем, поскольку опи отличаются от построений из §§ 2—5 простой
переменой ролями функций и(-) и и(·).
Таким образом, теперь можно говорить о задаче 1.6.1,
поставленной в любом из перечисленных классов стратегий второго
игрока. Однако, чтобы в рамках дифференциальной игры
наведения — уклонения объединить задачу 1.6.1 второго игрока с
противоположной ей задачей 1.1.1 первого игрока, нужно
рассмотреть вопрос о совместности стратегий игроков. Объясним, что
здесь имеется в виду.
37

Пусть заданы классы стратегий U u V. Предположим, что
первый π второй игроки могут независимо выбрать стратегию U
из U и стратегию V из V соответственно. Поэтому нужно
позаботиться о том, чтобы существовало движение управляемой
системы, порожденное произвольной парой стратегий W, V) <=
е U X V.
Пару стратегий {U, F) e U X V назовем совместной, если для
любой начальной позиции (t0, х0) е Τ X R" определен непустой
пучок днижений 9SiU, x<s, U, V), порожденный стратегиями U и
V. При этом требуем, чтобы
a?(i„ χο, и, v)<=a?(tt, ж., и) na?(i„, Χβ, ν), (6.6)
где #?(i0, я0, Ϊ7) и 93 iU, x0, V) — пучки движений, определенные
для стратегий U π V соответственно. Будем говорить, что классы
U и V совместны, если любая пара стратегий Ш, V) е U X V
совместна.
Отметим, что для перечисленных типов стратегий
несовместной может быть либо пара (U, V) = (α, β), составленная из двух
кваэистратегий, либо пара контруправлений первого и второго
игроков; либо пара, состоящая из квазистратегии одного игрока
π контруправления другого. В качестве конкретного примера
несовместной пары стратегий можно указать два контруправления
2 при v^O, te=T,
1—2 при и<0, t<=T,
[—1 при ц>0, «еГ,
1 при u<0, ί6=Γ.
Пусть движение управляемой системы описывается уравнением
U* («, ν) = {_
У* («, и) = {"
x(t) = u(t) + v(t) (χ, и υ. ν — скаляры), χ(0) = χα = 0,
B(()sf = [-2,2], v(t)^Q = [-i, 1],
ίοο = ίο = 0, * — 1.
Рассмотрим пучки движений 92 {tQ, xQ, U*) и #? (ί0, а;0, У*),
отвечающие указанным контруправлениям J7* и V*. Согласно
определениям из § 4 получаем, что на отрезке [0, 1] справедливы
неравенства
\x(t)\>2t для всех х(-) е %%,χ<>, С/*),
|z(£)| «£ i для всех я(·) <= #?(£„, a;0, У*)·
Следовательно, #? (£0, £0ι ^*) Π <& (^ο> *ο> ^*) — 0> поэтому в
рассматриваемом случае пара контруправлений £/*, У*
несовместна.
За исключением отмеченных пар квазистратегия-квазистрате-
гия, квазистратегия^коптруправление, контруправлепие-контруп-
равление, все другие комбинации перечисленных классов
стратегий образуют совместные пары.
38

Рассмотрим, например, пару позиционных стратегий Ш, V)
первого и второго игроков. Пусть Δ = [[ti , τί+1): i = 0, 1, ...
..., l<»] и Δ(2) = Ι [τ<·2>, τ^ι): / = 0,1 ϊ2)] - разбиения
промежутка [ί0, Φ), выбрапные первым и вторым игроками
соответственно. Полагаем, что пошаговое движение xl·, ί0, х0, U, V, Δ(1),
Δ<2)) есть решение χ{·) = (x(t), ίο^ϊί^Φ) уравнения (2.1), где
*(«.)=*. ии(0 =υ(τ<ι1\χ{τ[1))), tf>< t < τ',ϊχ, i=0, 1, ..., ϊ(1\
„ (ί) = V (τ?\ χ (τ<2))), τ<·2> < ί < τ^ι, J =0,1,..., Ζ(2). Такое ре-
шение существует для любой пары позиционных
стратегий Ш, V) и для любых разбиений Δ(1), Δ(2). Определим пучок
S&tto, Xa, U, V) как совокупность функций xl·) = (ζ(ί), ί0 ^ t *ζ ■&),
для каждой из которых существует сходящаяся к ней
последовательность пошаговых движений χ (·, ί0, ж0, ί/, V, Δ»,1', A{t2)) (λ; =
= 1, 2,...), удовлетворяющая условиямdiam Δ^'-ν 0, diam Δ$,2'-ν 0
при к -*■ °°. Нетрудно показать, что #f (i0, х„, U, V) Φ 0 н
#?(i0) z0, i/, V)<^SS{U, хц, U) Π £?(ί0, z0, F), т. е. произвольная
пара позиционных стратегий оказывается совместной.
Аналогичным образом можно ввести пошаговые движения
xl·, ίο, xt, °U, Τ, Δ(1), Δ(2>), xl·, ί„, χο, <U, V, Δ(", Δ(2>) и xl·, ί„
я0, ί/, У, Δ(1), Δ(2)), определить затем пучки движений #?(ί0, χ0,
<U, Τ), a?(i„ ж,, <2/, F) и #(«,, ж,, ί/, Г), где tf и 7 —
позиционные стратегии, a °U и Ψ — процедуры управления с поводырем
первого и второго игроков соответственно. Несложно определить
также пучки движений для всех остальных комбинаций
стратегий первого и второго игроков и установить их совместность.
Теперь можно формально определить дифференциальную игру
наведения — уклонения как совокупность двух взаимно
противоположных задач 1.1.1 и 1.6.1, поставленных в совместных
классах U и V стратегий первого и второго игроков.
Обсуждение этой дифференциальной игры будет продолжено
в конце параграфа, а сейчас обратимся к описанию другой
дифференциальной игры.
Пусть для любой непрерывной функции xl·) = (x(t), ί0 < ί =S
*£ ■&) определено значение функционала γ(α;(·)). Этот функционал
будем называть платой игры. Предположим, что заданы
совместные классы стратегий U и V первого и второго игроков
соответственно. Первый игрок решает задачу 1.1.2 в классе U. Он
должен найти стратегию, минимизирующую показатель
Г* (D0, t7) = sup γ (*(·)) при ϊ(.)ε*(Ο0,ϋ),
*(■)
т. е. первый игрок заинтересован в минимизации платы. Здесь
величина Γ*(Ζ)0, U) — результат, гарантированный ему при
выборе стратегии U. Второй игрок, напротив, заинтересован в
максимизации платы, поэтому задача, стоящая перед ним,
формулируется следующим образом.
39

Задача 1.6.2. Требуется определить стратегию V0 e V,
удовлетворяющую условию
Г*Фо. V») = тахГ*(Ц). V) при 7<=V, (6.7)
ν
где
Г*(М). У) =inf γ (*(■)) при i(-)e»(D0l V)· (6-8)
У^сли лее максимум в (6.7) ке достигается, то для произвольного
ε > О требуется определить стратегию FteV такую, что
Г* (£>0, Ve) ^ sup Г, (А,, У) - ε п/ш 7е V. (0.9)
ν
Дифференциальную игру, складывающуюся из задач 1.1.2
π 1.6.2 будем, в основпол!, рассматривать в случае, когда Д, =
= {(i0, £ο)}, т. е. множество начальных позиций состоит нз
единственной точки. В этом случае гарантированные результаты
Γ*(Ζ)0, U) и Г* {D0, V) обозначаются символами Γ*(ί0, ж0, U) и
Г* (*о» ^о' ^0 соответственно. Укажем основные вопросы,
которые будем изучать в данной игре.
Введем следующие обозначения:
Γ°(ί0, ж0, U) = infr*(*0, ж0, U) при [ίεϋ, (6.10)
и
Г0(*о. *о. V)=suPr*(i0, ж0, V) при FeV. (6.11)
ν
Таким образом, Γ°(ί0, Жо, U) и Γ0(ί0, ж0, V) — оптимальные
гарантированные (быть может с точностью до произвольного ε)
результаты первого и второго игроков в классах стратегий U и V
соответственно.
Сравним величины Γ°(ί0, ж0, U) и Γ0(ί0, ж0, V). Пусть ε > 0 и
Ue <= U, Vt <= V — стратегии, выбранные из условий (1.8), (6.9).
Из (6.6) имеем вложения
#(*,, ж„, Ut, Vt) с a?(t„ χ,, Ut),
a?(t„ «,, г/«, v.) c= a?(*„ ж„, v.).
Поэтому согласно (1.7), (1.8) и (6.8), (6.9) получаем
Γ°(ί„, ж., U) + ε > Γ*(ί„, ж,, J7.) =
= sup γ(#(ί,, ж„ ?/«)) 5* sup7(^(i0, ж„ 17., Fc)) >
5* inf γ(#?(ί„, ж„, J7„ V.)) > inf γ(#?(ί0) ж„ 7.)) =
=Γ*(ί0, Жо, V.) > Γ„(ί0, Же, V) - ε
(здесь sup7(#?) = вирч(ж(·)) при ж(-)е=#?, infγ (Я?) = inff(.x(-))
при ж(·)^^). Поскольку ε>0 произвольно, то заключаем, что
40

для любой пары совместных классов U и V справедливо
неравенство
inf Г* (ί0, «о, U) = Г» (ί0, *0, U) ^
^Γ0(ΐ0, *0,V) = sup Г* («о, *о, *0 (Peu, VeV). (6.12)
Полученное соотношение есть пе что иное, как модификация
известного в теории игр неравенства
inf sup φ (α, b) ^ sup inf φ (a, b).
аельев ьеВаеА
Особый интерес представляют случаи, когда имеет место
равенство
Г(г„, х0, U) = Г„(г„, *„, V). (6.13)
Величину c°(f0, Хо) = Γ°(ί0, хо, U) = Γ0(ί0, х<>, V) будем
называть ценой дифференциальной игры. При выполнении равенства
(6.13) будем говорить, что в дифференциальной игре имеет место
ситуация равновесия. Причем, если в (6.10) или (6.11) нижняя
или верхняя грань не достигается, будем говорить, что в
дифференциальной игре имеет место ситуация е-равновесия. Если же
существует пара стратегий (Со, V0) e (U X V) такая, что Γ*(ί0,
xQ, U0) = Γ°(ί0, ха, U) = Γ0(ίο, Χα, V) = Γ*(ί„, χ0, V0), то эта пара
стратегий называется седловой точкой дифференциальной игры..
Чтобы сопоставить данные эдесь определения с известными
понятиями теории игр, рассмотрим дифференциальную игру, где
плата определена равенством γόε(·)) = а(х{&)).
Функция σ: Rn -»- R предполагается непрерывной. Известно,
что в дифференциальной игре с указанной платой в классе
позиционных стратегий существует седловая точка Wo, Vt) (см. гл. II
§ 7). Это означает, что справедливы неравенства
γ(χ(-)) = а(.хШ) < с0(ίο, Хо) для любого ar(-) e#?(t0| χ0, Ua),
(6.14)
γ(χ(0) = σ(ζ(θ)) > c°(i0, χα) для любого ζ(·) е= #?(*„, x0, F0)
(6.15)
(c°(i0, Xo) — цена дифференциальной игры).
Рассмотрим пошаговые движения, отвечающие стратегии U„.
Из определения пучка г2?(£0, х<>, U0) Осм. § 3) следует, что для
любого ζ>0 можно укаэать δ>0 так, чтобы при любом у(-) е
е Vr пошаговое движение я(·, i0, x», U0, ρ(·), Δ(1)) попало в ζ-οκ-
рестность пучка SBlU, Хо, U0) при diamA'1' «S δ. Учитывая, что
γ — непрерывный функционал, иэ неравенства (6.14) получаем,
что для любого ε > 0 можно укаэать δ (ε) > 0 так, чтобы
выполнялась оценка
γ(«(-, ί„, х„, U„, »(■), ДС1>)) < c°(i„, ха) + ε
при diamAcl) < δ(ε), i;(-)eVr.
41

В частности, это неравенство будет справедливо при реализации
управления
v{t) = v№\x{xY% τ^<ί<τ£ι, / = 0,1 Ζ<»
Здесь V — некоторая позиционная стратегия второго игрока,
[tj , Tj^i),;' = 0, 1, ..., I — полуинтервалы разбиения Δ(2),
выбранного вторым игроком. Для такого управления и(-)
движение *(■)=*(·, i„, х0, Uo, ι>(·), Δ(,)) =ζ(·, ί„, z0, U0, V, Δ(1), Δ<2)).
Поэтому заключаем, что при любом выборе позиционной
стратегии V и разбиения Δ(2) будет справедливо неравенство
γ(*(·, ί„, хо, U0, V, Δ"\ Δ(2')) < c°(io, χ») + ε 1β)
при diam Δ(1) ^ δ(ε).
Аналогичными рассуждениями из (6.15) выводим, что для
любого ε > 0 можно указать число δ(ε) > 0 так, чтобы при любом
выборе позиционной стратегии U и разбиения Δ(1) выполнялось
неравенство
γ(*(·, ίο, хо, U, V0, Δ'1', Δί2))) > c°(i„, *,) - ε {β 1?)
при diamAC2) «£ δ(ε).
Предположим, что стратегией а первого игрока является
выбор функции U <= ипоз и разбиения Δ(1). Совокупность таких
стратегий а обозначим символом А. Аналогичным образам введем
класс В стратегий Ъ = (V, Δ(2)) второго игрока. Тогда получаем
дифференциальную игру в так называемой нормальной форме,
когда заданы классы А и В стратегий игроков и иа прямом
произведении АХ В определена функция платы <р(·): AXB-^R
([3*1, стр. 9). В данном случае эта функция задается равенством
φ(ο, Ъ) = γ(χ(·, ί„, z„, U, V, Δ(,), Δ'2'))
(α = (Ζ7, Δ(,)), 6 = (7, Δ(2>)).
Из (6.16), (6.17) следует, что в игре <φ, Α, Β> существует
ситуация ε-равновесия (в том смысле, в каком она определена для
игры в нормальной форме), т. е.
φ(αε, b) — ε < φ(α„ bt) «£ φ(α, bc) + ε,
здесь αε=(^0, Δΐ1'), δε = (70, Δΐ2)), где Δΐυ и Δε2) суть
разбиения, удовлетворяющие оценке diamA,;*' <!б (ε), (i = 1, 2).
Важно отметить, что функции U0 и V0 не зависят от параметра ε.
/Итак, приведенные выкладки показывают, что предлагаемая
формализация дифференциальной игры допускает переход к
определению игры в нормальной форме.
В дальнейшем значительное место уделено исследованию
ситуаций равновесия в дифференциальных играх. Покажем, что
потребность в изучении этих вопросов возникает не только при
рассмотрении конфликтных ситуаций, но и при решении задач
управления в условиях неопределенности.
42

Пусть вас интересует решение задачи типа 1.1.2.
Предположим, что класс стратегий U, в котором следует определить
решение 'задачи 1.1.2, не зафиксирован и допускается возможность
выбора стратегий различных типов. Попробуем спачала решить
эту задачу в классе наиболее простых стратегий — в классе
программных управлений. Пусть при этом будет получена величина
Г°р = Γ°(ί0, х0, Ur) (см. (6.10)) —оптимальный результат в
классе программных стратегий. Затем можно рассмотреть решение
задачи в классе Uno3 позиционных стратегий. Обычно получается,
что Гдоз = Г° (t0, х0, ипоз) < Г„р, т. е. переход к более сложным
стратегиям позволяет улучшить результат. Далее можно
переходить к решению задачи в классе стратегий еще более сложного
вида (например, в классе квазистратегий), надеясь еще улучшить
результат. И здесь возникает вопрос, можно ли указать класс
стратегий U0, для которого оптимальный гарантированный
результат Γ00 = Γ°(ίο, Хо, U0) будет неулучшаемым.
Чтобы ответить на этот вопрос, введем в рассмотрение
дифференциальную игру, которая складывается из интересующей нас
задачи 1.1.2 и противоположной ей задачи 1.6.2. Предположим,
что удалось доказать существование ситуации равновесия в
некотором классе V* X V*. Тогда результат Γ°(ί0, Хо, U*) будет
неулучшаемым при переходе к любому классу U, совместному с
классам стратегий V*. Действительно, согласно (6.12) имеем
Γ°(ί„, хо, U*) = Γ.(ί„ Хо, V*) ^ Г°«о, χ», U). (6.18)
В следующей главе указаны конкретные типы функционалов
платы и установлено существование цепы соответствующих
дифференциальных игр в классе Uno3 X Vno3 позиционных стратегий
(равно, как и в классе υπ0Β X VnoB процедур управления с
поводырем). Возвращаясь к обсуждаемой задаче 1.1.2, напомним, что
в этой задаче управление осуществляется в условиях
неопределенности, когда помеха и(·) заранее неизвестна. Полагая, что
помеха может формироваться в зависимости от текущей позиции,
в частности, по закону vti) = У(т,, х(т()), τ,- < t < τί+, (i =
= 0, 1, ... I), приходим к следующему выводу: допустимыми
классами стратегий U могут быть лишь те, которые совместны
с классом стратегий VUiJ3. Итак, если в дцфферепциальной игре,
складывающейся из задач 1.1.2 и 1.6.2 в классе UnM X Vno3,
существует ситуация равновесия, то результат Γ°(ί0, х<>, U„n3),
достижимый в задаче 1.1.2 в классе Un03, будет неулучшаемым при
переходе к любому допустимому классу стратегий U. Отметим, что
при этом получается Γ°(ί0, Хо, Uno3) = Γ°(ί0, Хо, U„0D).
Приведенные соображения показывают, что рассмотрение
дифференциальных игр может оказаться полезным в качестве
методологической основы при постановке задач управления в
условиях неопределенности. Рассуждение из предыдущих двух
абзацев можно проиллюстрировать примером задачи 1.1.2, поставлен-
43

пой для системы (2.11)—(2.13) при выборе функционала γ (2.14).
Как показано при решении примеров в § 2 ιΐι в § 5 (см. (2.23),
(5.20)),
ι
Р°(«о. *о, Ur) = Г* (ц0(·)) = \ jlsinctl-exp {~bx)dx\
>
о
1
> Г* (Ш0) = γ0 = ^-^ j I sin ex I exp (- δτ) άτ > Γ» (ί0, ζ0, UnoD).
(6.19)
(Напомним, что здесь опущено обозначение начальной позиции
(ί0, я,,)·) Следовательно, переход от программного управления к
позиционной процедуре управления улучшает гарантированный
результат. Чтобы показать, что результат Г°(ип0в) является не-
улучшаемым, рассмотрим дифференциальную игру, поставленную
для системы (2.11)—(2.13) в классе Unon X Vr и складывающуюся
из эадач 1.1.2 и 1.6.2 при указанном выборе функционала γ.
Напомним, что для программного управления у0(·) (4.15)
справедливо неравенство (см. (4.18))
Г*(Уо(-))=т1п7И-))>70 при x{-)<=a?(t0,x0,v0{·)).
*(■)
Следовательно,
Т0(\т)=яи?Т*(и(.))^у° при i;(.)eVr.
Учитывая (6.12), (6.19), заключаем
r0(Vr) = Г°(ипо11) = γ°,
т. е. рассматриваемая дифференциальная игра имеет седловую
точку i.°Ua, v0l·)) «= Uno» X Vr. Поэтому результат Г°(ипов),
достижимый в классе позиционных процедур управления с поводырем,
будет неулучшаемым.
Выше был намечен круг основных вопросов, которые будут
изучаться в дифференциальной игре, складывающейся иэ задач
1.1.2 и 1.6.2. Покажем, как формулируются аналогичные
вопросы для дифференциальной игры наведения — уклонения.
Определим функционал
ν(^(·)) = (1
0 при х(-)<=Л,
при х{-)фЖ-
При указанном выборе функционала γ дифференциальную игру,
складывающуюся из задач 1.1.2, 1.6.2, можно рассматривать как
дифференциальную игру наведения — уклонения. Для
произвольного функционала было установлено неравенство (6.12), которое
44

в данном случае означает, что возможны следующие соотношения:
Γ°(ί0ι х„, U) = 1 > Γ„(ί„, х„, V) = 0, (6.20)
Γ°(ί0, *., U) = Γ.(ί„ χ0, V) = 0, (6.21)
Γ(ί„ χ„, U) = Γ0(ίο, *., V) = 1. (6.22)
Если выполнено (6.20), то равенство Γ°(ί0, Хо, U) = 1
означает, что Γ*(17)=-8ΐιργ0*(·)) = 1 при i(-)s»(i„ х0, U), U^V,
т. е. при всяком выборе стратегии ί/ иэ класса U в пучке S8(.ta,
.го, U) существует движение х(-), не принадлежащее множеству
Ж. Иначе говоря, эадача 1.1.1, стоящая перед первым игроком,
не может быть решена в классе стратегий U. Аналогичным
образом из равенства Γ0(ί0, Хо, V) = 0 следует, что в классе стратегий
V отсутствует решение задачи 1.6.1, стоящей перед вторым
игроком. Итак, в случае (6.20) ни первый, ни второй игрок не могут
решить поставленную перед ними эадачу.
Если же имеет место равенство Γ°(ί0, хо, U) = 0, то оно
означает, что существует стратегия U° <= U, для которой
Γ*(ί0, Хо, tf°)=sup4(x(-))=0 при х(-)е=#?(г0, ζ„, U"),
т. е. S&(tB, Хо, 17°) с: Л. Итак, в случае (6.21) разрешима эадача
1.1.1, стоящая перед первым игроком.
В случае (6.22) получаем, что существует стратегия V°eV,
для которой 85{U, х0, V) ПЖ= 0, т. е. в этом случае имеет
решение эадача 1.6.1 второго игрока.
Подобно тому, как в игре, складывающейся иэ задач 1.1.2 и
1.6.2, было важно, чтобы эта игра имела цену, так и в
дифференциальной игре наведения — уклонения будем выделять
случаи, когда справедлива следующая альтернатива.
Альтернатива. Либо существует стратегия первого
игрока 17° е U, разрешающая задачу 1.1.1, либо существует
стратегия второго игрока V ^ V, доставляющая решение задачи 1.6.1.
§ 7. Дифференциальная игра преследования —
уклонения для двух однотипных объектов
В качестве примера рассмотрим дифференциальную игру
преследования — уклонения. Пусть движения двух управляемых
систем описываются уравнениями
y\t) = AU)yit)+B(t)u{t), (7.1)
*(f) = A(t)zi.t) - CitMt). (7.2)
Заданы начальные точки y(t0) = у0 и ζ(ί0)=ζ0. Управление uti)
формирует первый игрок — преследователь, управление vtt)
назначает по ходу игры второй игрок — преследуемый. Выбор
управлений u(f) и v(t) стеснен ограничениями
uit)eP, v{t)*=Q, ί„<ί^θ. (7.3)
45

Первый игрок стремится обеспечить встречу преследующей и
преследуемой систем за наименьшее возможное время. Второй
игрок, напротив, стремится избежать встречи, либо максимально
оттянуть момент встречп. При этом встреча преследователя и
преследуемого определяется условием
yit)-zit)eM, (7.4)
где Μ — заданное замкнутое множество в R". Момент времени,
когда впервые выполняется условие (7.4), называется моментом
встречи. Будем полагать здесь ί0 == ίοο· /
Уточним формулировку этой дифференциальной игры. Пусть
x(t) = y(t) — ζ(ί), тогда функция χ{·) будет удовлетворять
уравнению
kt) =A(t)x(t) + BtiMt) + C(fMf), {7 ,.
ίο < t < ft, x{t„) = Xa = ?/0 — Z0.
Плату в игре определим равенством
,min{t er» (*(·))} при Т°{х{-))Ф0,
Τ(χ(·))-*·(*(·)) = ,θ + 1 при Г.(х(.)).01
(7.6)
где Γ(ϊ(·)) = {ίε[ί0, τ)]: z(f) e ДО. Отметим, что в случае
Т°(х(·)) = & в качестве соответствующего значения платы можно
назначить любое число ft* > ft, например несобственное число
ft* = °о.
Полагаем, что рассматриваемая дифференциальная игра
преследования — уклонения складывается из задач 1.1.2 и 1.6.2,
где функционал γ определен равенством (7.6), Ζ)„ = Ш0, ха)),
U = U„0B, V = V„0D, т. е. игра преследования — уклонения будет
рассматриваться в классе позиционных процедур управления с
поводырем.
Укажем условия, при которых будет построено решение (сед-
ловая точка) этой игры. Пусть
P*it) = ВШР = {ВШи: и е Р),
QHt) = - C№Q = i- C(t)v: v^Q}.
Будем полагать, что для любого tej1 существует непустое
выпуклое множество Hit) с: R" такое, что справедливо равенство
P*(t) = Q4t) + Bit) = iv* + h: υ* e Q*lt), h s Hit)}. (7.8)
Соотношение (7.8) в задачах преследования и уклонения
называется условием однотипности преследующего и преследуемого
объектов. При выполнении этого условия дифференциальные игры
можно решить наиболее простыми способами.
Обозначим черев Ж множество измеримых функций hi·): T-*■
-*- R", удовлетворяющих ограничению
hit) e Hit) при t s T. (7.9)
46

Заметим, что многозначное отображение t -*■ Hit) непрерывно,
поэтому множество 3@ непусто (см. в следующем параграфе
теорему об измеримом выборе).
Будем также предполагать, что
xainfiwi; ίο, ячЛ(-))=г0Ы·, ίο, ζ„, h°{·)) = Г < Ъ
приЛ(-)е5*. (7.10)
Здесь wi-, U, Хо, hi·)) —решение дифференциального уравнения
wit) = Ait)wh) + hit) (ί0<ί<θ) (7.11)
с начальным условием wit0) = Хц. Неравенство (7.10) означает,
что при выборе подходящей функции hi·) = h°{·) ^36 систему
(7.11) можно привести на множество Μ не позже, чем в момент
времени t = θ. Отметим, что функция h°(-)^3e, на которой
достигается минимум в (7.10), существует, поскольку функционал
wi-) -*- t°iwi·)) полунепрерывен снизу, а множество Iwi·, t0, x0,
hi·)): hi)^3e} компактно (см. замечание 3 в § 8).
Рассмотрим сначала решение задачи преследования.
Построим процедуру управления с поводырем<2/0 = Ι^οι "ΨΪ» %°Ь для
которой
Γ*(ί0, Хо, <%) = maxi°U(·)) = i00 при я(·) е= #>(*„, x0, <Ы0). (7.12)
В процедуре °Ы,а функцию Ua: Τ X R" X R" -+- Ρ определим из
условия
ix - w)'Blt)U0it, χ, w) = min ix - w)'Bit)u. (7.13)
ueP
(Здесь и в дальнейшем символ ' означает транспонирование.)
Переходную функцию поводыря "ψ? построим следующим
образом. Пусть эадан набор (ί*, ί*, х*, u>*), где to0 ^ tx <j f* <J Ъ,
г*ейп, ιυΛ e Rn. Определим решением (·) = (w (ί), ί* <! t <! ί*)
уравнения
w(t)=A(t)w(t)+h°(t), U7(i,) =«,,. (7.14)
Полагаем ψϊ (ί*, ί*, χ*, w*) = w*, где и;* = wit*) — точка, в
которую приходит рассматриваемое решение wi·) в момент времени
t = ί*. Отметим, что построенное отображение
(**. **, **, ">*)-► ·ψ?(ί*, **, **, "'*)
не зависит от переменной х#.
Наконец, функцию χ°: (ί*, ζ+)->χ°(ί*, а;*) зададим
равенством
χ°(ί*, а;*) = ζ* для Bcex(i*, z*)e= TxR". (7.15)
Процедура °U^ полностью определена. Перейдем к
доказательству соотношения (7.12).
47

Пусть Δ = {[τ(, τ<+ι): i = 0, 1, ..., Ι)—некоторое разбиение
промежутка [ί0, θ), y()eVr — произвольное управление второго
игрока. Рассмотрим пошаговое движение xi-)=xi·, to, ха, Шй,
ν{·), Δ). Рассмотрим также движение поводыря wi·) = {wit),
ίο ^ t < ■&), которое определим как решение уравнения (7.14) с
начальным условием wit0) = ιν0 = х„. Отметим, что из построения
функции ψ? сразу следует, что в моменты ί = τ< (i = l, 2, ...
..., l+i) решение wi-) = wi-, ί0, ха, /h°{·)) проходит как раз
черев те точки, которые назначает переходная функция ψϊ, т. е.
w (το) = Х° (*о. Ч) = χο, и> (τι) = ψ? (Ti-i, Ti, a; (τ^χ), w (т^)), i =
= 1,2,....ί + 1.
По выбору функции h°i·) (см. (7.10)) для движения поводыря
w(-) = w(-, t„, ха, Л°(·)) имеем равенство i00 = i°(u>(·, U, ха, й°(·)).
Поэтому для того, чтобы доказать (7.12), достаточно проверить,
что пучок S5iU, Xo, Шъ) состоит из единственного движения xi·),
совпадающего с движением поводыря wi; U, х„, h°i·)). В свою
очередь проверка этого факта сводится к доказательству
соотношения
max Wx(t, ί0, χ„, <%/„, υ(·), Δ) — wi-, U, xa, Λο(·))ΙΙ->-0
(„<«»
при diamA -»- 0. (7.16)
Итак, докажем (7.16). Полагаем sit)=xit, ί0, х<>, °Uu, vi·),
Δ)— wit, ί0, Ζο, h°{·)) = xit) — wit). Согласно (7.5), (7.11) имеем
Щ£1 = 2s' (ί) [Α (ί) s (ί) + Β (t) u0 (t) + C(t)v (t) - k° (t)].
(7.17)
Здесь по определению пошагового движения xi·) = xi·, ί0, Χο,
Wo, υ{·), Δ) управление u0i·) формируется по правилу
u0(i) = ί7ο(τ<, χ(τ{), wirt)), τ<<ί<τ<+ι, i = 0, 1, ..., I. (7.18)
Оценим правую часть равенства (7.17). Квадратичную форму
s'A it)s можно оценить неравенством
s'4(i)s<X*flsf (ter.ieR"). (7.19)
Рассмотрим вектор h°it) — Cit)vit). Здесь k°it) ^Hit), поэтому
согласно (7.7), (7.8) получаем h°it) — Cit)vit) *=P*it) или, что то
же самое, h°(t)-Cit)vit) = Bit) u* (ί), где i(t(t)eP, ί0*£ί<Φ.
Поэтому при ί <= [τ<, τ<+ι), δ = diam Δ имеем
s1 (ί) [5 (ί) u0 (ί) + С (ί) υ (ί) - Λ» (ί)] =
= s' (ί) Β (ί) («0 (ί) - щ (ί)) = s' (τ<) Β (τ*) (u0 (ί) - и* (ί)) +
+ [s' (ί) 5 (ί) - s' (τ<) Β (τ*)] Κ (ί) - u* (ί)) < ζ (δ), (7.20)
ζ (δ) -> 0 при δ -ν 0.
48

Здесь используется неравенство
8'(т{)5(тОК(0-и*(0)<0,
которое получено из (7.13) и (7.18), а также оценка
[s> (ί) В (ί) - s' (Т1) В (т,)1 («о (t) - «, (ί)) < ζ (δ),
которая следует из непрерывности функций s(·) и Ж·).
Согласно (7.17), (7.1Θ), (7.20) получаем
1Μ^%2λ*.||«(ί)ΙΡ + 2ζ(δ).
Напомним, что s(i0) = x(t0) — u>(i0) = 0, поэтому приходим к
оценке
| s (i) f = || χ (ί) - и; (ί) ρ < (ζ (δ)/λ*) [ехр2 λ* (ί - ί0) - 1]. (7.21)
Здесь ζ(δ) -*■ 0 при δ -*■ 0. Следовательно, получаем (7.16), что
доказывает соотношение (7.12).
Перейдем к решению вадачи об уклонении. Построим
процедуру управления с поводырем
для которой
Г* (ί0, *о. *%) = min *»(*(■)) = ί°° при χ (·) е= Я? (t0l х0, ?%)■
(7.22>
Функции V0, ψ" и χ°, составляющие процедуру То, определим
следующим образом.
Полагаем, что функция (ί, χ, w) -*■ F0(i, x, w) выбрана и*
условия
(χ — w)' С (ί) V0 (ί, χ, w) = min (a; — и?)' С (t) υ
"eQ (7.23)
(VQ(t,x,w)(=Q, (t1x,w)^Tx'RnxRn).
Чтобы построить переходную функцию поводыря ·ψ£, Для
любого seR" определим функцию Л* (·, s) e Зё, удовлетворяющую
условию
s'h+(t, s)=max{s'A: h<=H(t)} (ie7) (7.24)
(существование такой функции А* (·, s) установлено в
следствии из теоремы об измеримом выборе, см. § 8). Пусть ίοο^Ξ**^!
<[ t* <; ft, хл e Rn, Wt e Rn. Определим решение wl·) = (и>(£),
ί* <J ί <J t*) дифференциального уравнения
w(t) = .4 (ί) и; (ί) + Λ* (ί, **— u>*), κ> (**) = ">*·
Полагаем теперь, что отображение ·φ2 набору (tt, ί*, я*, W+)
ставит в соответствие точку ^(ί*, **> х*> w*) = w*i в которую
приходит в момент t = t* решение w(-).
49

Функцию χ° здесь, как и в задаче преследования, определим
равенством (7.15).
Обозначим через УУ пучок решений w{-, t0, х„, Μ·))
уравнения (7.11), получающийся при переборе всевозможных h(-)<^3@.
Множество W является компактом в Сп(.Т) (см. замечание 3
в § 8). По определению числа ί°° (см. (7.1Q)) имеем неравенство
г0Ы·)) > Г для любого vji·) e Ж. (7.25)
Поэтому для доказательства (7.22) достаточно показать, что
£?(*„, *о, То) а ТТ. (7.26)
Действительно, из (7.25) и (7.26) следует неравенство Г* (ί0,
ж., Т0)>Г, а из (6.12), (7.12) - оценка Г* (ί0, χ0, 3>%Χί00.
таким образом, (7.22) будет доказано.
Итак, докажем (7.26). Пусть Δ — некоторое разбиение, ц(-)<=
е Ur — произвольное управление первого игрока. Рассмотрим
пошаговые движения χ(·)=χ(·, U, х„, Та, ц(·), Δ) и и>(·) =
= w{-, ί0, хв, То, ц(·), Δ) управляемой системы (7.5) и поводыря
соответственно. Здесь движение поводыря определено как
решение уравнения
w(t)=A(t)w(t)+k**(t), w(t0) = x0, *о<*<А, (7-27)
где
ft**(i) =Л*(*. ж(т{) —u>(ti)), Ti<i<T1+i, i = 0, Ι,.,.,Ζ.
(7.28)
Отметим, что такое определение движения поводыря
соответствует построению переходной функции ·ψ2, т. е. движение w(·) =
= u;(·, ίο, Χα, To, u(-), Δ) проходит в моменты времени ί = τ<,
i = l, 2, ..., ϊ+l, через точки, которые назначает переходная
функция ·ψ£ по правилу
w (το) = Х° (*о, *о) = *o>
w (τ4) = ψ" (η-!, τ{, χ (Гц), «> (fi-i)) (ί = 1,..., Ζ + 1).
Функция Λ**(·) в (7.27) принадлежит множеству 36,
поэтому
ы>(·, ίο, Хо, То, u(·), Δ) еЗГ (7.29)
для любых Δ и ц(-) е UT.
Ниже показано, что
шах ||χ(ί, ί0, ζ0, Т0, и(-), A)-w(t, t0, χ0, Τ0, и(-), Δ)||->0
при δ = diam Δ -ν 0 (7.30)
равномерно по ϋ(·)εΐΙ,. Из (7.29), (7.30) и компактности
множества W следует, что всякий предел последовательности
пошаговых движений χ{·, t„, Xo, To, uw{·), Δ1*') (fc = l, 2, ...
..., diam Δ'*' -*- 0 при А;-»-"») будет принадлежать множеству Ж,
50

том самым вложение (7.26) и вместе с пим равенство (7.22)
будут доказаны.
Остается доказать (7.30). Полагаем xit) = x(t, t„, х0, У0, u(·),
Δ), wit) = w(t, ί0, xo, To, u(-), Δ), s(i) = xU) - wti). Как и в
задаче преследования получаем
d\\s(t)f/dt < 2λ* \\s(t)f + 2s' (t) [Β#) u(t) + C (t) vQ (t) - h^ (01.
(7.31)
Здесь
vo{t) = V0{n, χ{τ{), w(n)),
h**(t)=K(t, х{п)-и?{-ц)), Ti<i<T1+1, (7.32)
i = 0, 1,..., I.
В силу (7.7), (7.8) справедливо равенство Bti)u(t) = —C{t)v(t) +
+ Λ(ί), где v(t) и Α(ί) —некоторые точки из Q и #(ί)
соответственно. Поэтому
*' (0 [В (i) u(t)+C (t) v0 (0 - Λ,, (ί)1 =
= *' (t|) С (τ,) Κ (t) - и (ί)) - *' (τ,) (Λ„ (i) - Λ (ί)) +
+ {[*' (t) С (t) - s' (τ,) С (τ,)Ι Κ (ί) - у (ί)) - [s (ί) -
-*(Τ|)Γ (*·*(*)-А (*))>< ζ (β), ζ (δ) -> 0 при β-νΟ. (7.33)
При выводе этой оценки используются неравенства
«' (τι) С (τ,) (*о (9 ~ » (0) < 0 и ί'(τί)(Α**(0-Λ(0)>0,
которые следуют из (7.23), (7.32) и (7.24), (7.32) соответственно.
Величина, стоящая в фигурных скобках в (7.33), стремится к
пулю при б -*- 0 в силу непрерывности функций «(·) и С(·).
Подставляя оценку (7.33) в (7.31), приходим к (7.21), откуда
следует (7.30), что завершает доказательство соотношения (7.22).
Приведенные формальные выкладки показывают, что
построенные процедуры управления с поводырем <2/0 и 7% образуют
седловую точку дифференциальной игры преследования —
уклонения. Рассмотрение данного примера завершим формулировкой
тех свойств, которыми обладают пошаговые движения я(-, £<>,
х0, <ий, и(-), Δ) и χ(·, ί0, #о, 7°0, и(|·), Δ).
В задаче преследования получаем следующее положение.
Для любого ε > 0 можно указать δ(ε) > 0 такое, что при
diamAs£6(e) пошаговые движения χ(·, ί0, χ0, "%, ν(·), Δ)
сближаются с множеством Μ па расстояние ε не позже, чем в
момент t = f°. Здесь »(')sVf — любые управления второго
игрока. Справедливость этого утверждения вытекает из приведенных
выше оценок.
Рассмотрим свойство пошаговых движений в задаче
уклонения. Пусть ί* — произвольное число из полуинтервала [ί0, ί00).
Поскольку есть компакт в Сп(.Т) (см. лемму
1.8.1 в § 8), то из равенства (7.22) следует существование числа
51

e(i*)>0 такого, что' для любого движения г(')е№,, х„, У°а>
будет справедлива оценка dist (хШ, M)>2&(t*) при i0 < t < t*
(символом dist (χ, Μ) обозначено расстояние от точки χ до
множества М).
Поэтому получаем следующее утверждение. Для любого i* <=
<= [f0, ί00) существуют числа ε+ = β(ί*) > 0 и δ* = δ (ε*) > 0
такие, что при diamA^ δ* пошаговые движения х(·, U, х0, У0,
id·), Δ) уклоняются от попадания в ε*-окрестность
множества Μ на отрезке [to, t*]. Здесь !ί(·)εϋΓ — произвольные
управления первого игрока.
§ 8. Нелинейная управляемая система
До сих пор рассматривались эадачи управления линейной
системой вида(2.1). Определим теперь условия, при которых
конструкции из предыдущих параграфов можно перенести на
нелинейный случай.
Итак, пусть движение управляемой системы описывается
уравнением
xtt) = fti,xtt),u(t),v(t)). (8.1)
Здесь χ — и-мерный фазовый вектор, управление и(·) и помеха
ν{·) по-прежнему реализуются как борелевские функции,
удовлетворяющие условиям
«(ί) е Ρ, vit) s Q, (8.2)
где Р и Q — некоторые компакты в R^ и R* соответственно.
В отличие от линейного случая теперь не требуется, чтобы Ρ
и Q были выпуклы. Как и прежде, совокупность борелевских
функций
и(·): Г = [*„„, θ] —Ρ, v(-):T-+Q
будем обозначать символами Ur и Vr соответственно. Отметим,
что при рассмотрении дифференциальных игр и(-) и и(·) суть
управления первого и второго игроков.
Будем предполагать, что функция /(·): ТХИпХР X Q-*Rn
удовлетворяет следующим условиям:
1) непрерывна на TXWXPXQ;
2) липпгицева по х, т. е.
Il/tt, xw, и, υ) - fit, хт, и, v)W < Я(б) · Их1" - *сг>11 {
Ш, ж(0, и, v)e=GXPXQ, 1 = 1, 2),
где G — любая ограниченная область в TXRn, λ(0 —
постоянное число;
3) справедлива оценка
[x'ftt, х, и, ν) Ι < κ(1 + 1Ы12) (g 4)
((i,i,M,i;)erXR"XPX0.
52

Из теории дифференциальных уравнений известно ([4*1,
стр. 215—220), что при выполнении указанных требований для
любых (ίο, Хо) «= Τ X R", !ί(·)εΐ]Γ и ν{·)^Υτ существует и
одипственно решение хК·) = KxKt), ί0 *S t «S ft) уравнения (8.1),
удовлетворяющее начальному условию xKta) = Χα- Это решение
ио-прежнему обозначается символом хК-, ί0, х0, иК·), vK·)).
Замечание 1. Пусть
SeKU, Хо) = Ы·, ίο, хо, иК·), vK·)): u(-)e=Ur, ΐ)(·)ενΓ),
G(i0, a:0) = ί(ί, xKt))e=TX~R": U<t^Q, ζ(·) e= #?(ί„, χ»)).
Из оценки (8.4) следует, что G(i0, Хц) — ограниченное
множество. Оценку (8.4) можно заменить другими предположениями,
которые обеспечивают ограниченность множества GKU, x0\
например, условием ΙΙ/(ί, χ, и, v)\\ *S κ(1 + 1Ы1) при (ί, χ, и, !))efX
X R" X Ρ Χ Q, либо можно непосредственно предполагать, что
GKU, Xo) —■ ограниченное множество при любом выборе (ί0, я0) <=
е Τ Χ R".
Общие определения позиционных стратегий и процедур
управления с поводырем, приведенные выше при рассмотрении
линейной системы, при переходе к нелинейному случаю остаются
без изменений. В нелинейном случае для стратегий U е \]поз
пошаговое движение χΚ·, ί0, х<>, U, νΚ·), Δ) определяется как
решение соответствующего уравнения
t
х («) = х (τ{) + J" / (τ, χ (τ), и (τ), υ (τ)) άτ,
Tl (ο.ο)
χ(τ0) = χ0, τ1<ί<τ{+1, i =0,1,..., Ι,
где иКг) = ίΑ-η, χΜ). Аналогичным образом для процедуры
управления с поводырем °U = KUa, ψ, χ) пошаговое движение χΚ·,
U, xB, °U, νΚ·), Δ) есть решение уравнения (8.6), где иКх) = UKx<,
χΚτ{), и>(т,)), здесь wKxt) —состояния поводыря, которые так же,
как и прежде, формирует переходная функция ·φ. Пучки
движений SSKu, Xo, U) и SeKU-, Χα, V) вводятся, как и в линейном
случае, предельным переходом от соответствующих
последовательностей пошаговых движений.
Таким образом, при переходе к нелинейной системе остаются
прежними определения позиционных стратегий, а также
процедур управления с поводырем и сохраняются прежние построения
соответствующих им движений. Что касается квазистратегий, то
для определения их в случае нелинейной системы требуются
специальные построения, которые будут развиты в главе IV.
Пусть C„[i0, ϋ·]—пространство непрерывных функций хК·):
[io, fl]-*Rn с нормой |ζ(·)|= max fz(i)||. Исходя из опре-
делений пучков SSKU, x0, U) и S6KU, х<>, °U) (здесь U *=\JB03, <U «=
<= Uno»), можно доказать следующее утверждение.
53

Лемма 1.8.1. Для любых (i0, ^lefXR", i/eU,DJ и °U^
е UnuB пучки #?(i0, Жо, t^) и <Э?(£о, #ο, "2/) сг/гь непустые компакты
в Cn[U, О].
Доказательство. Рассмотрим множества $?(ί0, ^ο) "
G{t0, xa), определенные соотыошепиями (8.5). Из оценки (8.4)
следует, что £?(£0, х<>) ограничено.
Поэтому
A = sup{ll/(i, χ, и, ν)\\: (ί, χ, и, ν) е= G(i0, z„) X Ρ Χ ρ} < °ο.
Любая функция ж(-) из пучка S&iU, x0) удовлетворяет условию
Липшица с постоянной Λ. Таким образом, множество S6{U, x0)
состоит из равномерно ограниченных и равностепенно
непрерывных функций х(-): [t0, ■&] -*■ R".
Рассмотрим теперь последовательность пошаговых движений
*<"(·) = *(·, U, *., U, vm (·), Δ""), где i-'"(-)eV, (ft = 1, 2, ...),
diam Δ"0 -»- 0 при ft -*■ °°. Поскольку а:с*Ч·) е <3?(ί0, #ο)ι а
множество £??(i0, Xo) удовлетворяет условиям леммы Арцела (см.
[5*], стр. 105), то последовательность xw{·) (ft=l, 2, ...) имеет
предельную точку. Следовательно, $?(£„, ха, U) ¥= 0.
Пусть £,(·) <= #?(£„, а;0, ί/) (ϊ = 1, 2, ...). Выберем сходящуюся
к нулю последовательность положительных чисел ε( (Ζ=1, 2, ...).
По определению пучка #?(i0, 2Ό, ί7) существует пошаговое
движение χιιΚ-) = χ(·, ί0, Хо, U, ι/°(·), Δ(,)), i/'4-)eVr такое, что
diamA(,)^e, и |*,(·)-*"4·)Ι «β,. (8.7)
Последовательность яЧ·) (ί = 1, 2, ...) имеет предельную точку
я*(·). В силу (8.7) и условия г, -*■ 0 при Ζ -*- °° получаем, что
х*{·) содержится в $B(.U, xQ, U) и является предельной точкой
исходной последовательности я,(·) (Z = l, 2, ...). Лемма доказана.
Приведем краткую сводку определений и утверждений, на
которые в дальнейшем часто делаются ссылки. Эти факты
приведены здесь без доказательств с указанием источников, где
молено найти достаточно подробное изложение соответствующего
материала.
Приведем сначала формулировку теоремы об измеримом
выборе. Пусть Ζ — замкнутое множество в пространстве R'.
Рассмотрим многозначное отображение
Я: *-#(*), (8.8)
которое определено на Ζ π точке zeZ ставит в соответствие
непустой компакт H{z)*c=- Rm.
Для множества F a Rm и числа ε > 0 символом F" обозначим
г-окрестность множества F, т. е. F' = {f + y: f^F, llj/ll < β>. Для
ζχ, ζ* е Ζ полагаем
Ρι (ζ*, ζ*) = inf (ε > 0, Я (ζ*) с Ηε (ζ,)},
Ρο(ζ*. ζ*) =max{p1(z*, ζ*), ρ^ζ*, ζ*)};
54

ρ0(ζ„., ζ*) — хаусдорфово расстояние между множествами Η (ζ%)
и Η (ζ*).
Будем говорить, что многозначное отображение ζ -*■ Η(ζ)
полунепрерывно сверху по включению (непрерывно по включению),
если для всякой точки ζ#^ Ζ выполняется соотношение
Ρι (ζ*, ζ*) -*■ 0 (р0 (ζ*, ζ*) -ν 0) при ζ* -ν ζ*, ζ* е= Ζ.
Функция (однозначная) h: Ζ -*- Rm называется селектором
многозначного отображения Η (8.8), если Λ(ζ) <= #(ζ) при любом
ζ е Ζ. Справедлива следующая
Теорема 1.8.1 (об измеримом выборе). Для любого
полунепрерывного сверху по включению многозначного
отображения Η (8.8) существует измеримый по Ворелю селектор h:
Z-*Rm.
Следствие. Пусть на замкнутом множестве ZcR'
определено непрерывное многозначное отображение Η (8.8), которое
точке ζ^Ζ ставит в соответствие непустой компакт #(ζ) с: R'\
Пусть (z, h) -*■ r(z, h) — непрерывная скалярная функция,
определенная на R' X Rm. Тогда существуют измеримые по Борелю
функции hjk(·): Z->Rm и Α*(·): Ζ -»■ Rm, удовлетворяющие
условиям
г (ζ, Α* (ζ)) = min г (ζ, А) при k^II(z),
h
r (ζ, k* (ζ)) = max r (z, h) при he Η (ζ),
h
h* (ζ) e Η (ζ), k* (ζ) e Η (ζ) ирц всех ζε Ζ.
Это следствие справедливо, поскольку отображения
ζ -> Н# (ζ)^Ίη^ е Я (ζ): г (ζ, Α*) = min r (ζ, Л) при А е Я (ζ)1,
ζ -*■ #>(ζ) = {А*еЯ (ζ): г (ζ, Α*) = max г (ζ, А) при йеЯ (ζ) \
полунепрерывны сверху по включению.
Отметим, что известны более общие теоремы об измеримом
выборе (см., например, [4*], [15*]). Однако для дальнейших
построений достаточно приведенных здесь формулировок.
Рассмотрим теперь дифференциальное включение (или, что
в данном случае то же самое, дифференциальное уравнение в
контингенциях)
i(i)e#(f,a:(i)). (8.9)
Здесь Н: (£, х) -*■ H(t, χ) — многозначное отображение, которое
определено на Τ X R" и точке (ί, χ) ставит в соответствие
непустой выпуклый компакт Hit, x) <=■ R". Будем предполагать, что
отображение Η полунепрерывно сверху по включению и
удовлетворяет оценке
\x'h\<xii + \\x\\2) (κ = const) (8.10)
при всех А е Hit, χ), {t, г)еГХ R".
55

Пусть (ί0, ϊο) е ϊ" Χ Β"; абсолютно непрерывная функция
xi·) = ixit), ί0^ί<^, xit0)=x0), удовлетиоряющая (8.9) при
почти всех fe[£0) OJ, называется решением дифференциального
включения с начальным условием x(t0) = х0.
Множество всех решений дифференциального включения (8.9),
удовлетворяющих начальному условию xit0) = х0, обозначим
через 86iU, Xo). При указанных условиях 9SiU, х„) есть непустой
компакт в Cn[t0, ϋ].
Пусть D — компакт в Г X R". Полагаем
G(£„, *,)={(*, i(i))eTXR«: ί0^ί<θ, ι(-)ε^(ί„ *„)}, (8.11)
GiD) = {U G(i„, ж,): (ί„, Xt) s Z)}. (8.12)
Множества G(i0, £о) и G(D) компактны в Г X R".
Замечание 2. В дальнейшем часто рассматриваются
дифференциальные включения (8.9), в которых
Hit, x)=FU, х, и) = со {/«, х, и, ν): ν ε Q) (8.13)
либо
Hit, x)=Fit, χ, ν) = со {fit, а;, и, v): u^P). (8.1'4>
Здесь символ со обозначает выпуклую оболочку, и в (8.13) и
ν в (8.14) — фиксированные точки из Ρ и Q соответственно.
Нетрудно видеть, что отображение Η в случае (8.13) и в случае
(8.14) удовлетворяет всем требованиям, указанным выше для
правой части дифференциального включения (8.9). Поэтому
пучки соответствующих движений S6itu, х0) и множества GiD) в
случаях Hit, х) = Fit, χ, и) и Hit, χ) = Fit, χ, ν) суть непустые
компакты в пространствах С„[£0, θ] и Τ Χ Rn соответственно.
Замечание 3. Пусть Hit) (teD- непустой выпуклый
компакт в R". Предположим, что многозначное отображение·
t -*■ Hit) полунепрерывно по включению и существует компакт
Я*, содержащий множество Hit) при любом ίεΓ. Тогда
многозначное отображение
(ί, χ) - H*it, x) = Uit)x + h:h€= Hit))
удовлетворяет всем требованиям, указанным для правой части
дифференциального включения (8.9). Поэтому пучок SSiU, x0)
решений xi·) = ixit), t„<t^i>, xit0) = ха) дифференциального
включения г(()еЯ*((, xit)) будет непустым компактом в
C„[ta, θ]. Отметим также, что здесь
SeiU, ж,) = {*(·, U, χ*, hi·)): hi-) s Ж),
где xi-, t„, х„, hi-)) — решение дифференциального уравнения
x(t)=Ait)xit) + hit),
а множество 36 — совокупность измеримых селекторов
многозначного отображения t -*■ Hit).

Г л а в а II
АЛЬТЕРНАТИВА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ИГРЫ
СБЛИЖЕНИЯ - УКЛОНЕНИЯ
§ 1. Формулировка альтернативы
В настоящей главе исследуется дифференциальная игра
сближения — уклонения. Для этой игры доказана теорема об
альтернативе, и, как ее следствие, установлено существование
ситуаций равновесия для различных типов дифференциальных игр.
Как и в предыдущей главе, здесь достаточно подробно изучается
случай линейной управляемой системы (1.2.1). Дополнительные
факты, которые нужны для перехода к случаю нелинейной
системы, отмечены в конце главы в § 8.
Укажем сначала некоторые обозначения. Пусть G^TXRn,
t еТ, ε > 0. Полагаем
6, = (ieR": (i,i)eCl, (1.1)
CE = l(i,i)erxRn: |«-«*| <e, \x -**|<ε, (**, χ») e=G}·
(1.2)
Отметим, что в пространстве позиций Τ X R" используется
метрика
p((ici), хш), (tm, z(2>))=max{Ut,>-iC2,|, ΙΙζ(,)-ζ(2)ΙΙ},
в соответствии с которой определена ε-окрестность множества
G с Τ Χ ΒΛ
Итак, пусть движение управляемой системы описывается
уравнением (1.2.1). Для этой системы будем изучать диффереп-
циальую игру, которая складывается из задачи сближения и
задачи уклонения. Определим сначала рассматриваемую здесь
задачу сближения.
Пусть эаданы замкнутые множества N с: Τ X R71 и Μ^Ν.
Непрерывной функции х(.·) :[ta, θΙ-^Β" поставим в соответствие
множество
Flx{-))-ite[t„u]:{ttx(t))em (1.3)
57

Рис. 1.
и число
lmin{*e= Г» (*(·))} при Т°(х(-))Ф0,
τ {х{')}~\Ъ + 1 при Г°(*(.)) = 0. ( '
Равенство (1.4) определяет момент времени, когда позиция
it, x{t)) впервые встречается с множеством М. Если на отрезке
[ίο, Ό] точка (£, x(t)) не
попадает на М, то в качестве
соответствующего значения
функционала т°(а;(·)) можно
выбрать любое число ■&*, большее
чем θ (здесь полагаем О* =
= 0+1). Заметим, что
множество Т°(х{·)) замкнуто,
поскольку я(-)—непрерывная
функция, а М — замкнутое
множество. Поэтому минимум в (1.4)
при Τ°{χ{·))¥=0 действительно
достигается.
Будем говорить, что для движения я(-) имеет место Ш, Ν)-
сближение, если
τ"(*(·))<* и (i, x(t))eN при ί. < *<т*(ж(·)). (1.5)
Соотношения (1.5) означают, что позиция (i, x(t)) попадает
на множество Μ не позже, чем в момент Ф, и при переходе из
начальной точки (ί0, Хо) на целевое множество Μ позиция (£, хШ)
остается во множестве Ν, не нарушая фазового ограничения.
На рис. 1 жирными линиями обозначены границы множеств Μ
и Ν, штриховая линия изображает движение х(·), для которого
имеет место (Л/, ЛО-сближение.
Задача (А/, Λθ-сближения формулируется теперь следующим
образом.
Задача 2.1.1. Для заданной точки (i„, i,)efXR" u
заданных замкнутых множеств N <= 2" X R" и Μ <=Ν требуется
определить процедуру управления с поводырем <U° так, чтобы для
любого движения ί(·)ε^(ί„ χ0, °№) имело место Ш, Ю-сбли-
жвлис*
Отметим, что данная задача представляет собой частный
случай общей задачи наведения (задачи 1.1.1), в котором
£>„ = Ш„, ж,)}, U = UnoB, .* = {*(·) eC„([i„ Ы):
τ'(ι(·))<*, (t,x(t))*=N при ί,<ί<τ·(ϊ(·))}. (1.6)
Перейдем к формулировке задачи уклонения. Пусть ε > О,
М' и Ne — открытые ε-окрестпости миожеств Μ и N (см. (1.2)).
Для непрерывной функции х(-): [f0, #1 -+R" определим мно-
ЖбСТВО
T'(x(-)) = {t^lU, #1: {t,xW)*№ (1.7)
58

и число
IminliEf^f·))! при Г{х{-))Ф0,
τ (х(·)) = „ (1.8)
U при Γε(χ(·)) = 0.
Будем говорить, что для движения х(·) имеет место (М, Ю'-ук-
лонение, если
(i, zti))&M' при ίβ<ί<τ·(Γ(-)). (1.9)
Указанное условие означает, что либо позиция (£, a:(i)) покидает
ε-окрестиость множества N прежде, чем она попадет в
ε-окрестность множества М, либо
при всех t е [f0l φ] позиция
(ί, x(t)) не встречается с Ме.
Отметим, что множество Г'(а:(·))
замкнуто, поэтому минимум в
(1.8) при Т'(х(-))¥=0
достигается. На рис. 2 жирными и
тонкими линиями изображены
множества Μ, Ν и Μ*, N*
соответственно, штриховыми линиями
отмечены движения, для
которых имеет место {М, ЛО'-укло-
нение.
Итак, приходим к следующей формулировке задачп Ш, NY-
уклонения.
Задача 2.1.2. Для заданной точки (U, j0) е Τ Χ R",
заданных замкнутых множеств Ν <= Τ X R", Μ <= N и числа ε > 0
требуется определить процедуру управления с поводырем Υ" так,
чтобы для любого движения х{·) е #?(ί0, χ0ι У") имело место
(М, NY-уклонение.
Пусть Ж— множество функций я(·), удовлетворяющих
условию (Л/, ΛΟ-сближения (см. (1.6)). Согласно формулировке задачи
2.1.1 разрешающая ее процедура управления Ш" должна
обеспечить вложение $?U0, х<>, 'И°)<=Ж. Нетрудно видеть, что
процедура управления У0, разрешающая задачу 2.1.2, напротив, будет
удовлетворять условию «δ?(ί0, χ0, Τ°) Π Ж = 0. Следует
подчеркнуть, что в задаче (Μ, Ν)'-уклонения требуется не только
исключить Ш, ЛО-сближение, но и обеспечить уклонение от ε-
окрестности М' внутри ε-окрестности Ν'.
В данной главе будет доказана следующая теорема об
альтернативе для дифференциальной игры сближения — уклонения,
складывающейся из задач 2.1.1 и 2.1.2.
Теорема 2.1.1. Каковы бы ни были замкнутые множества
Nc:TXJ{", M<=N и точка (i0, х„) e=TXJ{", справедливо одно и
только одно из следующих двух положений: либо существует
стратегия ^'eU,,,, разрешающая задачу 2.1.1 о Ш, Ы)-сбли-
жении, либо существует число 8>0 в стратегия У** е Vn0D,
доставляющие решение задачи 2.1.2 об (Λ/, NY-уклонении.
59

Определенная в этом параграфе игра сближения —
уклонения представляет достаточно универсальный тип
дифференциальной игры, к которому можно свести исследования целого ряда
задач управления.
§ 2. Стабильные мосты
Рассмотрим схему доказательства теоремы 2.1.1. Важное
место в дальнейших рассуждениях будут занимать стабильные
мосты. Неформально понятие стабильного моста можно описать
следующим образом.
Обратимся сначала к задаче сближения. Пусть в
пространстве позиций Τ X Rn выделено некоторое множество W. Полагаем,
что
Wc=N, WX9czMx„ (2.1)
где τ*—максимальное число среди чисел τ^7'=[ίοο, ϋ], для
которых И\'= iw e R": (τ, w) e=W) ¥= 0, т. о.
τ* = юах{теГ: \νχφ0}. (2.2)
Условия (2.1) указывают, как множество-И7 соотносится с
множествами Μ ж N. Другое условие, так называемое условие
и-сгабильности, устанавливает связь множества W с динамикой
управляемой системы. Оно состоит в том, что первый игрок
может удерживать позицию (i, a;(f)) на множестве W до ее встречи
с множеством М. При выполнении условий (2.1) и условия и-
стабильности множество W называется и-стабильным мостом в
задаче Ш, N)-сближения. Из данного описания видно, что при
движении позиции (i, a;(i)) по мосту W, который содержится в
множестве N и обрывается на множестве М, точка (i, x(t))
сохраняется в множестве N и обязательно встречается с Μ не
позже, чем в момент τ* <j ft, т. е. для соответствующего
движения имеет место (Л/, ЛО-сближепие.
На рис. 3 тонкими линиями изображен ы-стабильный мост
в задаче (Л/, ΛΟ-сблпжения. Жирными линиями обозначены
границы множеств Μ и N.
Аналогичным образом можно описать понятие υ-стабилъного
моста в задаче Ш, NY-уклонения. Пусть теперь W — множество
в пространстве позиций Г X R", ε — некоторое положительное
число. Предположим, что
W Л Ме = 0 и {(τ*, w): (τ*, w)<=W} [) Νε = 0, если τ* < ft.
(2.3)
Здесь, как и в предыдущем случае, число τ* определяется
равенством (2.2). Предположим также, что множество W обладает
свойством и-стабильыости, при котором второй игрок может
удерживать позицию (£, x(t)) на множестве W либо при всех U < t <
<Ф, либо до первого выхода ее из N'. Таким образом, при дви-
60

жении по у-стабильному мосту будет выполнено условие (Л/, Λ')*-
уклонения.
На рис. 4 тонкими линиями изображены два и-стабильных
моста в вадаче Ш, N)"-уклонения, штриховыми линиями здесь
отмечены множества М' и Ne.
Ниже приведены формулировки понятий ц-стабильных и v-
стабильных мостов. Затем рассмотрены свойства стабильных
мостов и установлено, что пространство позиций Τ Χ R" разбивается
Рис. 3. Рис. 4.
на две части W1 и Wn. Множество Wn определяется как
объединение всех и-стабильных мостов, а множество W1 — как
дополнение к Wu до ГХК", причем оказывается, что W1 есть и-
стабильный мост.
β следующем параграфе завершено доказательство теоремы
2.1.1 об альтернативе. Здесь построена стратегия ^еипоо,
которая доставляет решение задачи 2.1.1, если начальная позиция
(ί0, Χο) принадлежит u-стабильпому мосту. Построена также
стратегия y°°eVnoB, которая разрешает вадачу 2.1.2 из позиций,
лежащих на у-стабильном мосту. Таким образом, в случае (£0, х<>) е
е= W1 будет разрешима эадача о сближении, поскольку W1 — и-
стабильный мост, если же (ίο, х0) ^ W1, то (i0, х<>) «= W11 и
начальная позиция принадлежит одному из у-стабпльных мостов,
следовательно, в этом случае будет разрешима задача об
уклонении. Тем самым, теорема об альтернативе будет доказана.
Перейдем теперь к точным определениям ц-стабильных
мостов и и-стабильных мостов.
Множество W из пространства Τ X R" назовем и-стабилъным
мостом в задаче Ш, Ю-сближения, если выполняются
следующие условия:
(1.) W<=N, W*^Hh; (2.4)
(2U) {условие и-стабильности) каковы бы· пи были (i*, w+) e
е W, i* e [£*, й|и!;,е Q, существует управление ut(')eUr
такое, что решение w (·) = (w (ί), ί* < ί < ί*) уравнения
w (t) = A (t) w{t) + B (t) u* (i) + С (ί) i;*, w (f*) = u>* (2.5)
61

Судет удовлетворять условию
{t*,w{t*))(=W, либо {(ί, ы>(0): ί* <<<<*} П Μ Φ 0. (2.6)
t Поясним данное определение. Условие u-стабнлыюсти
означает, что по известному наперед постоянному управлению
v [t) = у* (£* <Ξ| t <ΞΙ ^*) второго игрока можно подобрать
программное управление первого игрока так, чтобы перевести
систему (2.5) из позиции (£*, w*) ef либо в позицию (ί*,
w(t*)), принадлежащую опять множеству W, либо в позицию
(τ, ιρ(τ))εϋ/, где τ — некоторый (нефиксированный) момент
времени из промежутка [£*, ί*]. Отметим далее, что в условии
(1J формально допускается случаи Wt = 2>. Можно проверить,
что из условий (1J и (2J следует включение WTf с: М"т,(см. (2.1)).
Определим теперь понятие и-стабильиого моста. Множество
W из пространства Τ X R" назовем v-сгабилъным мостом в задаче
(М, NY-уклопения, если выполнены следующие условия:
(1.) W П Μ" = 0; (2.7)
(2J (условие v-стабильности) каковы бы ип были (<*, w*) £Ξ
е W, t* e [t*, ■&] и ιΐχ^Ρ, существует программное
управление второго игрока ι>*(·) eVj такое, что для решения
и> (·) = (w (t), t* sg: ί <; t*) уравнения
w(t)=A (ί) u> (0 + £ (t) u* + C (t) vm (t), w (t,) = w* (2.8)
будет выполнено условие
(ί*, w (ί*)) e= И7, либо {(ί, w (t)): tx < ί < t*} П (№)c gfe 0,
(2.9)
где (7V-)C = (Г X R") Y/V* — дополнение κ TV8 до Г X Rn.
Заметим, что из условий (1J и (2J в случае τ* <; Φ (см. (2.2))
следует второе из соотношений (2.3). Содержание условия и-ста-
бильности примерно такое же, как и в условии и-стабильности.
Оно состоит в том, что по известному наперед управлению
и (ί) = щ (i„. <J t ^ t*) второй игрок может выбрать
программное управление i'* (t) (t% <J t <J t*) так, чтобы перевести
систему (2.8) из позиции (tt,w*)^W либо в позицию (i*, w (i*)) e
ей', либо в позицию (τ, ιυίτ)) & Ν*, где τ — некоторый момент
времени из промежутка [i*, £*Ь
Укажем теперь некоторые свойства стабильных мостов.
Лемма 2.2.1. Пусть W{ — υ-стабилъный мост в задаче
UM, №л-уклонения (i = l, 2, ..., к). Тогда множество
. W* = U Wi
ег.ть υ-стабилъпый мост в задаче (Μ, Ν)* -уклонения, где г* =
= min {ef, i = 1, ..., /с).
62

Справедливость этого положения проверяется
непосредственно.
Лемма 2.2.2. Пусть (£*, и>*) е W, где W — некоторый
υ-стабилъный мост в задаче (Μ, Ν)* -уклонения. Полагаем
ε* = ε*/2. Тогда существуют число г*>0 и υ-стабилъный мост
W* в задаче (Μ, Ν)ε* -уклонения, который содержит
множество {(t,w): t = ^,||м;_ и;» |К г*}.
Доказательство. Рассмотрим квадратичную форму
s'Ati)s (seR"). Известно, что существует величина λ(ί) такая,
что s'AU)s ^λ(ί)ΙΙ«ΙΙ2. Поскольку матрица АШ зависит от
параметра t непрерывным образом, то можно указать
положительную величину λ* так, чтобы выполнялась оценка
s'A(t)s^X* ·№ (ίεΓ, seR"). (2.10)
Для заданного моста W условия (lv) и (2J выполняются при
ε = ε* > 0. Полагаем
ε(ί) = (ε*/2)βχρλ*(ί-ϋ), ί*<ί<0, (2.11)
где λ * — константа из оценки (2.10). Определим множество
W*={(t,x) : ί*<*< Φ, diet (ж, W,)<e(i)}. (2.12)
Здесь
dist (χ, Υ) = inf \\x - j/ll
i/eY
есть расстояние от точки а: до множества Y.
Проверим, что построенное множество W* удовлетворяет
условиям (1J и (2„) при ε = ε* = ε*/2.
Заметим сначала, что ε(ί) ^ε* = ε*/2 при ί* <! ί <! {К
Поэтому из условия W Π Ме*= 0 сразу следует, что W* |"| Με* =
= 0.
Покажем, что для множества W* выполнено условие (2„)
при ε = ε*. Пусть (tv ж(1)) e W*, i2 <= [il7 ■&], и* е Р. По
построению множества W* существует точка (tl, wit)) e W такая,
что 1\х{1) — и;(1,11 < ε(ίι). Множество W удовлетворяет условию (2„)
при ε= ε*, поэтому для (i,, w0))^W, U «ξ If,, ϋ] и utef
существует управление у*(·) eV, такое, что для решения м;(·) =
= (u;(i), ί, < i «S U) уравнения
w (ί) = A (i) w{t) + B (ί) и* + С (ί) »„ (ί), w (ίχ) = u,(1) (2.13)
будет выполнено либо условие
(ί„ u>(i,))sTT, (2.14)
либо условие
(τ, и; (τ)) ^ iVe* (2.15)
при некотором τε[ί,, f2]. Рассмотрим решение ж(·) = Wi), it ^
< t < i2) уравнения
i (ί) = 4 (0*(0+* («)«· + £(«) MO, *(*i) = *(!)■ (2-16)
63

Оценим величину lls(f)ll = Wx(t) — w{t)\\. Согласпо (2.13), (2.16) и
(2.10) получаем
^pi2 = 2s' (ί) A (ί) , (t) < 2λ* I, (i) f. (2.17)
Поскольку lls(i,)ll = lb(i) — u;(1)IKe(ii), то из (2.11), (2.17)
следует оценка
Πβ(ί)ΙΙ = 0*(ί) - u>(i)H < β(ίι) e-κρλ *(ί - ί,) = ε(ί) < ε* ,0 ._.
(ί, < ί < ί,).
Пусть для решения м;(·) выполнено условие (2.14), тогда из
построения множества W^ (2.12) и оцепки (2.18) при t = ί2
-сразу следует включение (i2, ar(ia)) eW*. Если же выполнено
условие (2.15), то из оценки (2.18) при t = τ получаем (τ, а; (τ)) ^
Таким образом, при произвольном выборе (£х, а;(1)) е W*,
ί2 ^ [^ц Φ] и "* s Ρ существует управление и* (·) е Vr
такое, что для решения х(-) уравнения (2.16) либо (i2, ζ(ί2))<= W*,
либо (τ, χ(τ))^Λ/8· при некотором τε[ί,, ί2], τ. e. W*
удовлетворяет условию (2„) при ε = ε*. Выше было показало, что
W* ПМЕ, = 0 (условие (1.)).
Построенный у-стабильный мост W* содержит множество
{(«»,*) : Цж-ю.Кг»), гДе г» = (β*/2)βχρλ» (ί, -*)>0 (см.
(2.11), (2.12)). Лемма 2.2.2 доказала.
Перейдем к формулировке следующего утверждения. Пусть
(ίχ, и;(1)) е TxR", и* е Q. Обозначим через 85 (ίχ, и;(1), у*)
пучок решений w(·) = (wit), ίι<ί^Ο) дифференциального урав-
денпя w(t) =Ati)wti) + Bti)u(t) + Ctt) у*(и>(<,) = w(i>), который
получается при переборе всевозможных управлений u(-)^Vt.
Пусть ί2<= (ί,, ϋ]. Определим множество
^ G = {(t,w(i))e2'xRn: tx<i <i2, w (·) - Я? (ilt ю{1), у*)}.
(2.19)
Справедлива следующая
Лемма 2.2.3. Пусть множество G (2.19) удовлетворяет
условиям
zde W* — некоторый v-стабильный мост в задаче (Μ,Ν)ε*
-уклонения. Тогда множество
W* = W* U G (2.20)
будет v-стабилъным мостом в задаче (Μ, Ν г* -уклонения, где
е„. = min ίε*, г), а положительное число г выбрано из условия
. G П ЛГГ — 0.
64

Доказательство. Заметим сначала, что множество G —
компакт в Τ X Rn (см. § 8 гл. Ι), Μ замкнуто в Г X R". Поэтому
нз условия G Π Μ = 0 следует, что G Л Мт = 0 при некотором
г > 0. Поскольку и-стабильный мост И7* удовлетворяет условию
W* Π Με = 0, то для мпожества И7* (2.20) справедливо
W* П Λ/ε* = 0 при ε* = min{e*, r).
Проверим, что для множества W* (2.20) выполнено
условие (2J при ε = ε* (тогда оно будет выполнено и при 8* =
= min {ε*, ή). Пусть (ί*, w») e= W*, ί* e= [i*, т>] и и, ε i5.
Требуется показать, что существует управление у* (■) е Vr,
удовлетворяющее условию (2.9) при ε = ε*.
Предположим сначала, что [ίφ, ί*1 с= [£х, Ц ((,, itt) ε G,
тогда в качестве у() возьмем постоянное управление у* (ί) =
= у» (f„.^f <;£*). Получаем решение м> (·) = (ιυ (£), ί* <! t < ί*)
уравнения (2.8), для которого по определению множества G
(2.19) будет справедливо включение (£*, wtt*)) <= G <=W».
Предположим теперь, что (£*, и\) ge И7*. Тогда существование
требуемого управления ΐ7*(·) есть следствие условия (2С),
которое выполнено для у-стабильного моста W*.
Осталось рассмотреть случай, когда ίχ<!<* <£»<** и
(ί*, м>„.)"еЕ G. В этом случае управление ΐ7*(·) построим
следующим образом. Полагаем г* (£) = и* при ί» <! t < ί2. Тогда
решение w(-) уравнения (2.8), определенное на отрезке [£*,£21»
будет удовлетворять включению w (£2) e G<2 с Wt2. Учитывая,
что W* удовлетворяет условию (2„), управление ν*(·) можно
доопределить до момента t — t* так, чтобы соответствующее
решение w (■) = (w(t), ί*^ t^.t*) уравнения (2.8) удовлетворяло
условию (2.9).
Итак, установлено, что множество Wx (2.20) является г;-ста-
бильным мостом.
Теорема 2.2.1. Пусть множество W11 определено как
объединение всех υ-стабилъпых мостов (г. е. (£, w) e W', если
существует число ε > 0 и существует υ-стабилъный мост в задаче
Ш, Ю'-уклонения, содержащий точку (i, w)). Тогда множество
WI = {TXnn)\Wn (2.21)
есть и-стабильный мост в задаче (Л/, Ю-сближения.
Доказательство. Рассмотрим одноточечное множество
W = Ш, w)), где (£, w) <£ Ν. Учитывая, что Μ <= Ν, нетрудно
проверить выполпсние условий (1J, (2„) для множества W при
ε > 0, удовлетворяющем условию (£, w) Φ Ν'. Объединяя все
такие мосты W, получаем, что [Τ X R")W<= Wn, откуда следует
вложение W1 ^ N.
Рассмотрим теперь одноточечное множество W = {U>, ц>)},
где (t>, w) Φ Μ. Можно непосредственно проверить, что такое
множество W является и-стабильным мостом в задаче (Λί, ΝΥ-
уклонения, где ε > 0 таково, что (■&, ιυ) Ψ Μ'. Объедипяя всевоз-
5 А. И. СуВботиц, А. Г. Чепцов
65

можные множества W указанного вида, получаем, что {(Ф, ю) :
: (θ, w) Φ Μ) <= W11, следовательно, W\ а Мц. Таким образом,
множество W1 удовлетворяет условию (1„).
Покажем, что множество W1 удовлетворяет условию (2U).
Предположим противное. Пусть существуют (tb и>(1)) е W ,
ί2 е [ίχ, ί] и »„. е ^ такие, что при любом управлении α(·) =
= (u(i) еР, ί, < ί «S ί2) для решения w(·) уравнения
ш (i) = A (i) w (ί) + 5 (ί) w (ί) + С (t) »,, »(*!)= w<i),
вьшолняются соотношения
(t2, wUz)) Φ W\ (ί, w(t)) Φ Μ при ί, «Ξ ί =S ί2.
Эти соотношения можно переписать следующим образом:
<?ПМ=0, Gtt<=W)l2. (2.22)
Здесь множество G определено равенством (2.19).
По определению множества Wn вложение G\2 с= Wt2
означает, что для любой точки (£2, у) е G существуют число е(г/) > О
и и-стабильный мост Wbj) в задаче (Л/, ЛО'С|"-уклонения,
содержащий точку it2, у). Пусть ε* (у) = ε (г/)/2, тогда согласно
лемме 2.2.2 существуют число Лу) > 0 и у-стабильный мост W* (у)
в задаче (М, N)e*iv) -уклонения, содержащий множество Ш2, х):
\\х — г/11 ^ r(j/)}. Итак, получаем, что каждой точке у е Υ = Gt2 =
= (ί/: (*2> ί/) е G) отвечают окрестность S(y,r(y)) = {х: Hz — i/H s£
=ξ г(?/)} и у-стабильный мост W^ (у) такие, что Ш2, х): ie5(y,
r(»))>«=W,(»).
Отметим, что Υ — компакт в R", поэтому из покрытия его
системой окрестностей S(y, Ну)) (je7) можно выбрать
конечное подпокрытие, т. е.
Ус U S{yitr{Vl)).
При этом получаем также конечный набор чисел е4 = ε* (т/{) > О
и у-стабильыых мостов Wt в задаче (Μ, Ν) ί -уклонения таких,
что Ш2, χ): χ е= Sbji, Ну{))) <=W{ (г = 1, ..., к). Следовательно,
Gt^Yczl^Wi) =W*tt. (2.23)
h
Согласно лемме 2.2.1 множество W* = [} Wi будет у-стабильным
1=1
мостом в эадаче (Μ, iV)8*- уклонения, где ε* = πιπι{ε<, i = 1, ...
..., к) > 0.
Итак, получаем, что множество G вида (2.19) удовлетворяет
условиям (2.22), (2.23). Обращаясь к лемме 2.2.3, заключаем, что
66

объединение G U W* будет и-стабильным мостом. Точка
(/„ uJeG (см. (2.19)), поэтому (i„ !D(1)) e G U И7* с Г1,
следовательно, (ίι, и;С1() 5^ W1. Пришли к противоречию. Теорема
доказана.
Теорема 2.2.1 занимает важное место в доказательстве
альтернативы, сформулированной в § 1. В отличие от этой теоремы,
указанные ниже замечания не используются при доказательстве
теоремы 2.2.1. Приведем их формулировки без доказательств.
Замечание 1. Замыкание любого ц-стабильного (и-стабиль-
ного) моста есть опять ц-стабильный (и-стабильный) мост.
Сформулируем теперь другое положепие.
Замечание 2. Пусть W с: Τ X R" — замкнутое множество.
Тогда условие u-стабильности этого множества (условие 2„)
будет эквивалентно следующему условию: (2U) каковы бы ни
были (ί*, к?*) е W, i*e[i*,6l и измеримое управление ϊ>*(·) =
= (у (i) e Q, **<!£<!<*), существует измеримое унравлепие
и^ (■) = (u(t), t* <J£ k^t*) такое, что решение w(·) уравнения
w (t) = A (t) w (i) + В (t) u* (i) + С (t) v* (t), w (t,) = w*
(**<*<**) (2.24)
будет удовлетворять условию (2.6).
Аналогичным образом можно утверждать, что для
замкнутого множества W условие (2„) эквивалентно следующему условию:
(2Г) каковы бы ни были (i*, w*) e W, i*e[i#, ■&] и
управление м* (■) = (u* (t) e P, t^^t^t*), существует управление
v* (") = (v* (') е <?i £*<ji<j£*) такое, что для решения ц>(·)
уравнения (2.24) будет выполнено соотношение (2.9).
Пример. В качестве иллюстрации определений рассмотрим
стабильные мосты в случае, когда га = 1 (я — скаляр),
М = {(0, ж): !»♦<«<»»*}, N^TxW. (2.25)
Полагаем, что изменение переменной xti)it0 «£ t =^Ф)
описывается скалярным уравнением
*'(*) = ο(ί)χ(ί) + Ht)u(t) + c{t)vtt), (2.26)
где α(·), δ(·) π с() — непрерывные функции, их значениями
являются скаляр, р-мерпын и g-мерный векторы-строки
соответственно.
Итак, в задаче сближения, рассматриваемой для системы
(2.26), требуется обеспечить попадание точки zW в заданный
отрезок [τη#, τη*], фазовое ограничение отсутствует.
Полагаем
5*
/* (t) = min b (t) и -f max с (t) ν,
veQ (2.27)
/* (t) = max b (t) и -\- min с (t) v.
67

Определим решения w*(·) n "·'*(■) дифференциальных
уравнений
(2.28)
w*(t)=a(t)w*{t) + f*(t),
w,(i) = «(0«'.(0+/*(0,
удовлетворяющие на правом конце условиям
w* (β) = то*, ιυ* (θ) = то*. (2.29)
Будем сдвигаться влево от момента ί = Φ до тех пор, пока
будет сохраняться неравенство
w*(t)^w*(t). (2.30)
Определим отрезок [ί**ι Щ максимальной длины, на котором
выполняется (2.30), т. е. эдесь
^** —
Т*ф0,
Г* = 0,
(sup {ί е= Г*} при
Uoo при
где Γ*={ίε [ί00, Щ: w* (i) < ш* (i)}·
Рассмотрим множество (см. рис. 5)
W = {(t, w): ί**<ί<ϋ, w,(i)<w<ii*(t))· (2.31)
Можно непосредственно проверить, что построенное множество
является в данном случае ц-стабильным мостом. Более того,
множество W (2.31) есть максимальный ы-стабильный мост, т. е.
любой в-стабильный мост вкладывается
в построенное множество W.
В качестве упражнения можно
предложить определить
максимальный ц-стабпльный мост для
системы (2.26) в случае, когда
Л/ = Ш, х): ί„„<ί*£ϋ, то*<
'.. * ' s£zsSto*}, N = TXW.
Рис. 5. Таким образом, здесь требуется
привести точку x(t) на отреэок [та*, то*)
не позже, чем в момент θ (в рассмотренном примере требовалось,
чтобы условие χ (ί) s [то*, то*1 выполнялось в фиксированный
момент времени ί = θ).
§ 3. Решение задач сближения и уклонения
В этом параграфе показано, что эадача сближения имеет
решение, если существует ц-стабильный мост, включающий
начальную позицию (ί0, Χα)· Аналогичным образом вадача уклонения
имеет решение, если начальная позиция (ίο, #о) принадлежит
у-стабильному мосту.
68
X
т.
<г <.ш

В самых общих чертах содержание предлагаемых пиже
построений можно описать следующим образом. В задаче сближения
пошаговые-движения xtt) и w(t) (.U^t^b) управляемой
системы и системы-поводыря формируются так, что, во-первых,
поводырь остается на м-стабильном мосту W вплоть до момента его
встречи с множеством М, во-вторых, движение поводыря wU)
и движение x(t) управляемой системы взаимно отслеживают друг
друга и в пределе при измельчении разбиения Δ эти движения
совпадают. При этом получается, что для предельного движения
поводыря имеет место условие (Л/, ΛΟ-сблпжения, следовательно,
это же условие будет выполнено π для совпадающего с ним
предельного движения управляемой системы. Тем самым задача
сближения будет решена.
Рассмотрим построение пошаговых движений x{t) и w(t)
(i0 < t «£ ■&) в процедуре управления с поводырем, которая
разрешает задачу сближения. Пусть задан и-стабпльный мост W в
задаче Ш, ΛΟ-сблпжения, содержащий начальную позицию (ί0, Хц).
Определим функцию t/°: rXR-XR-ч-Р π F*: Γ X R" X R"-·-0.
удовлетворяющие условиям
(χ - w)'B(.t)U°(.t, x, w) = min U - гсУВШи, (3.1)
life P
ix-w)'C(t)V*(t, χ, uO=maxu:-w)'C(f)i;. (3.2)
Выберем некоторое разбиение Δ = {[τ„ τ,+ ι): i = 0, 1, ..., Ι;
То = ίο, τ(+ι = Φ). В начальный момент времени определим
постоянное на полуинтервале [τ0, "η) управление u°(t) = ί/°(τ0, я0, u?0),
где w„ = ха — пачальное положение поводыря. Выбранное
управление u°(i) (τ0 < t < τι) в паре с управлением u(i) <= Q (τ0 =S i <
< Ti), реализованным вторым игроком, определит движение x(t)
управляемой системы
kt) = Ait)x(t) + B(t)u%t) + Cit)v(t), x(t0) = x0 (3.3)
па отрезке времени [τ0, τ,]. На отрезке [т0, xj вычислим также
движение поводыря wti). Как уже отмечалось, поводырь выходит
из точки u>(i0) = и;0 = х<>· Полагаем, что движение поводыря
удовлетворяет уравнению
w(t)=A (ί) w(t) + B (i) и* (t) + С (t) ν, (i), (3.4)
где i>*(f) = F* (τ0, .r0, w0) (τ0 «S t < τ,), а управление u*(-) =
= (u* (0 e Ρ, τ0^ί<τ,) определено так, чтобы для поводыря
выполнялось либо условие (τ, ιυ(.τ)) *= Μ при некотором τ<ξ
е [τ0, τι], либо условие (τι, μ>(τι)) «= W. Такое управление
существует по определению ц-стабильного моста W и в силу условия
(ίο, .г0) = (ί0, ц.'о) е W. Заметим, что на полуинтервале [т0, Τι)
выбор управлений u°{t) и и* (ί) является по сути произвольным,
поскольку здесь х0 = w„, и поэтому условия (3.1) и (3.2), которые
определяют выбор этих управлений, вырояедаются.
69

Определим движение поводыря wti) (τι «£ t < τ2) π
управление u"{t) (τι «£ t < τ2) в системе (3.3) па следующем шаге. Пусть
.гЧт,) и w{%i)—положения, в которые пришли в момент ί = xt
управляемая система (3.3) и система-поводырь (3.4)
соответственно. Предположим, что для поводыря реализовалось
включение (τ,, u;(ti)) ^ W (т. е. встреча поводыря с множеством Μ на
отрезке [τ0, τ,] пе произошла). На отрезке [τι, т2] выпустим
движение поводыря из точки w{xi) и вычислим это движение
согласно уравнению (3.4), где и* (t) = Ϋ**(τι, χ{χι), и>(т,)), τι <
<ί<τ2, а управление и*(·) = (u^it) &P, Xi «£ t < τ2)
обеспечивает выполнение либо условия (τ, 1р(т))еЖ при некотором
x<=[xit τ2], либо условие (τ2, и>(т2)) ей^. Такое управление опять
существует в силу предположения (τι, u>(ti)) ^W. В
управляемой системе (3.3) полагаем u°(f) = ί/Ήτι, z(ti), и>(т,)), ti < t < τ2.
Это управление и°(·) в паре с некоторым управлением ν{·) =
= (ι>(ί) <= ζ), τ, < t < τ2), реализованным вторым игроком,
определяет движение xXt) при τ, «£ t =S τ2.
Пусть ΐ(τ,) н w{xd — положения, в которые пришли
управляемая система (3.3) π система-поводырь (3.4) в момент времени
t = τ,·. Предположим, что на отрезке времени [t0, xil встреча
поводыря с множеством Μ не произошла, т. е. (i, w(t)) ^ Μ при
ί0 ^ t < τ,. Тогда из построений на предыдущих шагах имеем
включение (τ,-, w(xt))^W. Определим движение w(t) (τ<<ί^
< τί+ι) и управление u°(t) (τ,· «£ ί < τί+1) в системе (3.3)
следующим образом. Из точки и>(т,) выпустим решение w(t) (τ< < t <
«£ τί4ι) уравнения (3.4), где υχ (t) = V^ (τ(, x(x(), u>(tj)), а
управление и* (ί) еР (т<«£ t < τ,·+ι) выбрано так, чтобы выполнялось
либо условие (τ, и>(т))еА/ при некотором те[т<, τ,+J, либо
условие (τ<+ι, Κ)(τι+ι))εψ. Такое управление и*(·) опять же
существует по определению и-стабильного моста if и в силу
предположения (τ,·, w(xi))^W. Указанное решение w(t) будет
движением поводыря на отрезке [т„ Т(+1]. Далее определим постоянное
управление и°Ш = Ц°(х{, x(xt), и>(т<)), τ,·<ί<τί+ι в системе (3.3).
Это управление и управление v(t), выбранное вторым игроком
при ti < t < τί+ι, определяют движение x(t) системы (3.3) на
отрезке [τ,-, τ(+1].
Как показано ниже, управление (фиктивное) и*(·) в
системе-поводыре (3.4) и управление (реальное) ц°(·) в системе (3.3),
которые выбираются из условий
v*(f) = V*(tu *(ti), ιυ(τί)),
u*(t) = U°{xi,x(xl),w{Tl)), τι<ί<τ1+1, i = 0, 1, ...,l,
обеспечивают взаимное отслеживание поводыря и управляемой
системы.
Указанные построения продолжаются до тех пор, пока
поводырь впервые пе встретится с множеством М, Из определения
ц-стабильного моста W следует, что встреча (τ, w{x)) е Μ всегда
70

происходит при x = r°(w{·)) <■&. По смыслу задачи о сближении
построение движений x(t), wit) достаточно проводить лишь до
момента т = т°(и>(·)). Однако, в дальнейших рассуждениях
удобно будет продолжать движения x(t) и wit) до момента ί = θ,
формально полагая, что на промежутках [τ,-, τ(+1], где τ< >
>x°iwi·)), в качестве движения поводыря выбирается решение
уравнения (3.4), где у* (ί) = V* (ть χ (τϊ), и;(тг)),т{<; ί< τ{+1, а
M^ijei, tj <J ί <; τ1+1, — произвольное управление. При этом
в системе (3.3) по-прежнему выбирается управление
u°(f) = СЛЧтг,, χ(τ,), ш(т,)), τ, *£Ξ ί < τ,+,.
Приведенным здесь построениям отвечает следующее
формальное определение процедуры управления с поводырем °UU =
= \и\ ψϊ, х«).
Полагаем, что функция t/° : Г X R" X R" -*■ Ρ выбрана из
условия (3.1).
Переходная функция поводыря ψι: 7"+xR"xRn-»-Rn
(напомним, что Т\ = {(i*, ί*) е= Τ х Г: ί* > ί*}) набору (ί*, ί*. ж», wm)
ставит в соответствие точку ψΧ (ί*, ί*, a;*, if») = w*, в которую
приходит в момент времени ί = ί* решение wi·) = (u>(i), t *<f <
<ί*) уравнения (2.5), где u> (f*) = и'*, и* = F* (i*, a;*,
"'л)» а управление и* (·) = (м* (i) eP, i* <j ί < ί*) выбрано так,
чтобы в случае (i*, ">*) s W выполнялось условие (2.6), если же
(**, w*) Φ W, то и* (·) —произвольное допустимое управление.
Наконец, функцию χ°: Г X Rn -*- R" в процедуре 16" можно
определить равенством
χ°(ί, х)=х ((i,i)erXR"). (3.5)
Отметим, что приведенное определение задает функции U° и
ψ?, вообще говоря, неоднозначно. Сформулированная ниже
теорема справедлива для произвольной процедуры указанного вида.
Теорема 2.3.1. Пусть W — и-стабилъиый мост в задаче
(А/, Ы)-сближения, (i0, x0) <= W и °UU = (U°, φ?, χ°) — построенная
процедура управления с поводырем. Тогда для любого движения
xi-)^S6iU, ха, W) имеет место (Л/, Ы)-сближение.
В доказательстве этой теоремы важную роль играет оценка
расстояния между соответствующими движениями поводыря и
управляемой системы. В свою очередь эта оценка для всего
промежутка [ίο, Φ] выводится ив локальной оценки для пошаговых
движений xit) и wit) на малом промежутке [τ<, τί+ι]. Вывод
локальной оценки выделим в отдельную лемму.
Приведем предварительные выкладки и обозначения, которые
используются в формулировке и доказательстве этой леммы.
Пусть Х0 — компакт в R", S6itu, Xa) — пучок всевозможпых
движений xi-, ί0, хо, и(·), и(·)) системы (2.1) при ι,εΧ,,
«(■)eur, i-(.)eVr. Полагаем
X('*) = l*(i*)eRn: x(')ts#{t0,X0)l t»e=[i0,*].
71

Отметим, что X(t*)—компакт в R", а #?(ί0, Хо)— компакт в
пространстве Cn[tB, ϋ-], причем равномерно па #?(£,,, Xa)
выполняется условие Липшица, т. е.
ΙΙϊ(ί,) — a:(i.)ll «S Λΐίι — «J, ί,- s [ta, *],
l-l, 2, i(.)si(|„ X„).
Из непрерывности матриц-функций 5(0, C(·) н компактности
.множества 86{U, X0) следует, что по числу δ>0 можно
подобрать положительную величину ζ* (б) так, чтобы ζ* (δ) -*- 0 при
й-+0и выполнялись оценки
|*'(*1)Я(«1)-*'(*«)Я(*2)КС*(в).
\\х' (fj С (tj - χ' (i2) С(<2)||< ζ* (δ) (3.7)
при i,e=|i0, θ], « = 1, 2, lii-ίίΚβ, *(·)€= Я? (ί0, Х0).
Полагаем далее
ζ (δ) = 4ζ* (δ) -max [r (P), r (<?)}," (3.8)
где г(Р) = max Hull при и е Ρ, Κζ>) = max Ml при ι;ε^,
Справедлива следующая
Лемма 2.3.1. Пусть ί* е [ί0ι Φ]. M*(-)sUr, y(-)eVr,
i (ί) = 4 (ί) * (ί) + Β (ί) и» + С (ί) ν (t), χ (ί.) =Ι#6Χ (ί*),
ν (ί) = A (ί) w{t)+B (П um (t) + С (t) υΛ, w (t.) = u>„ e= X(t*),
(3.9)
u° = ί/» (ί,, ж,, и>„), w, = F* (i„ a:,, u>#),
где функции U° и Vt выбраны из условий (3.1) и (3.2). Тогда
почти всюду на [ί+, ί* + δ] имеет место неравенство
Μ?£)1<2λ*.\\8(1)ψ+2ζ(δ), (3.10)
где 6е(0, θ- ft], s(t) = χ (ί) — и; (ί), λ* — величина из
оценки (2.10), ζ (δ) определена равенством (3.8).
Доказательство леммы. Согласно (3.9) имеем
-£lliil£ = 2s' (ί) [А (*) s (ί) + Β (ί) (и» - и* (ί)) + С (ί) (ν (ί) - ρ,)].
Из (3.2), (3.7), (3.8) получаем оценку
*' (ί) Β (ί) («· - и* (ί)) = (я, - ю.)' 5 (ί*) (и» - и* (ί)) +
+ [*' (0 5 (ί) - *' (ί*) 5 (ί*)] (и· - и* (ί)) - [н>' (ί) # (ί) -
- ю' (ί*) 5 (ί*)] (и° - и» (ί)) < 4ζ* (δ) τ (Ρ) < ζ (δ).
Аналогичным образом из (3.2), (3.7), (3.8) следует неравенство
s'(t) С (t) (v(t) — νΛ) <|ζ(δ). Поэтому, учитывая (2.10),
приходим к оценке (3.10). Лемма доказана.
72

Продолжил доказательство теоремы 2.3.1. Пусть (ί0, х0) е W,
оцй = (U°, ψ?, χ°) — построенная выше процедура управления
с поводырем, х(·) — произвольное движение из пучка e2?(i0,
Рассмотрим последовательность пошаговых движений
х1кЧ-)=х(; ίο, *., °U\ νΜ(·), Δ("),
W*4-) = W(; ίο, Χβ, <U\ Vih)(-), Δ1"'), /c = l, 2, ...
управляемой системы (3.3) и системы-поводыря (3.4), построенных
согласно процедуре W при Δ = Δ"0, ν(·) = i/k)(·). Полагаем, что
xw(·) ik = 1, 2, ...) есть как раз та последовательность, которая
сходится к движению ж(-) е #?(*„, ж0, <2/°), т. е.
*<*>(·)-*(·), 6w = diamAck>^0 при/с^°°. (3.11)
Заметим, что по определению процедуры W пошаговые движения
ХМ (.) и ww (.) па каЖдоМ шаге [тУ°, τφΟ,μ = 0, 1, ..., Ц/с))
удовлетворяют уравнениям (3.9), где ί* = τ\ , t*—τι+1, ν (·) =
= i/h>(·), χχ =а;(тУ°), u>* = и>(т(/°). Поэтому согласно лемме
2.3.1 будет справедлива оценка
d 11 »<»> (О И2 ^ 2λ> ,| s(ft) (f) ||2 + 2ς (6(fe)) (*„<-*<-£), (3.12)
где sih)(t) = xih) it) — w{),Kt), δΜ = diam Δ1*', а при определении
величины ζ(δ) полагаем Хв = {х„}. Напомним, что w'-k)(t0) =
= χ(ί0, х<,)=Хо (см. (3.5)). Следовательно, s(M(io) = Zo — *ο = О,
и из (3.12) получаем
max I) xW (t) - ц,(*> (ί) ψ < (ζ (δ^»)Α*) [exp 2λ* (* - ί0) - 1]. (3.13)
u<t<e
Здесь ζίδ'*0) -»■ 0 при к -*■ °°, поэтому
*(·)-1ϊπι*("(-) = lim ww(·) = и>(·) при А; -* °°. (3.14)
Рассмотрим пошаговые движения поводыря и>с,°(·). В
начальный момент времени ί0 = το имеет место включение (ί0, ха) =
= (i0, wih4ta)) <= W. Возможны два случая:
(τ?0, в>(« (τ^0)) е W при всех i = 0, 1, ..., I (к) + 1, (3.15)
(τψ\ wW (·#>)) eW при 1 = 0,1,...,/; (х(&, и><"> (τ^)) φ W.
(3.16)
В случае (3.15) при τ$ι+1 = ft получаем {ft, ww(ft)) «= Μ (см.
(2.4)). Рассмотрим случай (3.16). По определению движения
поводыря в этом случае на отрезке [τ(/°, τ,+Ί] позиция (ί, κ;"°(ί))
встречается с Μ.
73

Итак, в любом случае имеем
гв(и>№)(·)) *£# (ft = l, 2, ...). (3.17)
Функционал τ° (1.4) полунепрерывен снизу, поэтому из (3.17)
следует, что
т°Ы·))=£■& (где w(-)=\imwll,4·) hdh к -*■ «>). (3.18)
Покажем, что
(«*, u>(t,))etf при *0<**<т°(и;(.)). (3.19)
По заданному ε > 0 выберем к = /с(е) так, чтобы
max || wW (t) — w(i) |K ε diam Δ<*> < ε, τ° (u?<« (·) > τ° (и; (·)) — ε.
(3.20)
Тогда для любого^е [i0, т°(и>(·))] найдетсяτ(/° е[*0, τ° (и;<*> (·))]
такое, что| t» - τ^' | < 2ε u (·#>, »<*> (τ({Λ))) s W. Заметим, что
|w (ί.) - ю(*> (τ^) 1 < || w (ί.) - ы><» (ί») || +
+ II wW (ί,) _ „,(*) (т<*>) || <- ε + 2εΛ (см. (3.6), (3.20)).
Следовательно,
Μ» **> w«)) s
e{(t,B>): |ί-ί,|<2β, H-w(i,)Ke + 28A>nW.
Напомним, что W<=-N (см. (2.4)), поэтому
{(t,w): |i-t,|<2e, || w -u>(i»)|<e + 2εΛ}Π W=^ 0·
Поскольку ε > 0 выбрано произвольно, а множество N замкнуто,
то получаем (3.19).
Движения xl·) и ю(-) совпадают (см. (3.14)). Поэтому из
(3.18), (3.19) следует, что т°(а:(·)) =£<>, (i, x(t))^N при ί0^ί<
< τ°(ζ(·)), т. е. для произвольного движения х(-) <= #?(£„, я„, <2/°)
имеет место Ш, ΛΟ-сближенпе. Теорема 2.3.1 доказана.
Приведем формулировку аналогичной теоремы для задачи об
уклонении.
Пусть W — некоторый и-стабильный мост в задаче Ш, Ν)'-
уклонения. Отвечающую ему процедуру управления с поводырем
Т° определим набором трех функций V0, ·ψ2, χ°.
Полагаем, что функция V°: Τ X R" X Rn -*■ Q выбрана из
условия
(ы> - χ)' С (ί) F° (i, χ, w) ■-= max (w - ж)' С (t) v. (3.21)
Для определения переходной функции поводыря ψ2: Γ+xR Χ
XR"-*-Rl* выберем сначала функцию U*: 2™ х Rn x R"-»-Ρ,
74

удовлетворяющую условию
(ы> - х)' В (i) U* (t, χ, w) = min {w — χ)' В (ί) и. (3.22)
ueP
Полагаем, что функция ψ° набору (ί*, <*, а-*, и;*) ставит в
соответствие точку ψ?!**) **> ж*> "'*) = Μ'*ι в которую приходит
в момент времени t = ί* решение ш (·) = (ιυ (ί), ί* <! t <! ί*)
уравнения (2.8), где w (£*) = ω*, u* = t/* (ί*, xt, w*), а
управление ι>*(·) =r (w (i) e Q, i* <[£<!£*) выбрано так, чтобы в
случае (**, w#) ew выполнялось условие (2.9), если же (i*, ю») ^ W,
то !>*(·) — любое допустимое управление. Наконец, функцию
χ°: Τ X R" -»■ R" определим равенством (3.5).
Содержание указанных построений состоит в следующем.
Поводырь выходит из точки wtto) — Щ = х„ (напомним, что
(i0, xj s W). Его движение удовлетворяет уравнению
w(t)=A{t)w(t)+B{t)u*{t) + C(t)Vt(t), ί0<ί<τ>. (3.23)
Здесь κ»(ί) =Ε/»(τ4, г(тч), н?(тО), Ti<<<Ti+1 (i = 0, 1,...
. . ., Ι; τ0 = <0, Т|+г = О);управлениеi'+ (·) подбирается так, чтобы
(τ(, wixt)) e W при i = 0, 1, ..., /, причем в случае / < I + 1 имеет
место условие (τ, ιυ(τ)) Φ Ν' при некотором те [xh τΗι]; я(т*) —
положение управляемой системы в момент t = η, ее движение
описывается уравнением
хШ=-АШхШ + ВШиШ + СШилИ), h^t^ft, (3.24)
где u0(i) = Vo(t(, ζ(τ(), ы>(т()), Ti<i<T(+i, i = 0, 1, ..., Ζ, в(-)—
управление, реализованное противником. Управление (реальное)
и0(·) в системе (3.24) и управление (фиктивное) "*(·) в системе
поводыря формируются так, чтобы движения χ(·) и и>(·) взаимно
отслеживали друг друга (см. (3.21), (3.22)). В пределе при
измельчении разбиения Δ движения управляемой системы и
системы-поводыря совпадают, и для них имеет место Ш, ЛО'-уклоне-
ние. Этот факт доказывается по той же схеме, что и теорема
2.3.1. Итак, справедлива следующая
Теорема 2.3.2. Пусть W — v-стабильный мост β задаче
Ш, NY-уклонения, (i0, аг0) «= W и Тй = (У0, ψ", Х°) —
построенная процедура управления с поводырем. Тогда для любого
движения х(-) =#?(£,), ха, У") имеет место (М, NY-уклонения.
Из теорем 2.2.1, 2.3.1 и 2.3.2 следует теорема 2.1.1 об
альтернативе. Действительно, как установлено в теореме 2.2.1,
начальная позиция (ί0, Хц) либо принадлежит ц-стабильному
мосту W1 в задаче Ш, ΛΟ-сближения, и тогда по теореме 2.3.1
будет разрешима задача 2.1.1 о сближении, либо точка (£0, Хо)
содержится в множестве W11, т. е. она принадлежит некоторому
у-стабильному мосту W в задаче (Л/, ЛОе-уклонения, и в этом
случае по теореме 2.3.2 имеет решение задача 2.1.2. Нетрудно
поверить, что задачи 2.1.1 и 2.1.2 не могут быть разрешимы
одновременно. Если допустить противное, т. е. предположить, что
75

для пекоторой позиции Ua, х„) существуют процедуры <2/*^ Uno,
11 ?"*ενω, доставляющие решение задач 2.1.1 и 2.1.2
соответственно, то получаем, что существует движение/ а;(·)^
εξ#? (t0, xn, qi*) Π $6 (ί*, χχ, У*),для которого выполняется два
взаимоисключающих условия Ш, ΛΟ-сближения и (Л/, ЛО'-укло-
иеяия,—приходим к противоречию. Теорема 2.1.1 об
альтернативе полностью доказана.
Заметим, что ΐί-стабнльпын мост W1, определенней в теореме
2.2.1, оказывается максимальным, т. е. для всякого /и-стабильного
моста W будет справедливо вложение W с: W1. Это положение
непосредственно вытекает нз теорем, установленных в данной
главе.
§ 4. Устойчивость решений
Итак, установлено, что задача сближения (задача уклонения)
разрешима в классе процедур управления с поводырем, если
начальная позиция (ί0, .г-о) содержится па соответствующем
«-стабильном (и-стабильном) мосту. Это утверждение доказано в
рамках формализации, где рассматривались «идеальные» движения,
определенные предельным переходом от последовательностей
пошаговых дипжешш. С такими и другими идеальными
конструкциями удобно работать на этапе формального исследования
дифференциальной игры. Обратимся теперь к вопросу о содерясатель-
ной трактовке полученных результатов. Здесь речь пойдет об
аппроксимации формального решепия физически реализуемой
пошаговой процедурой. Возможность такой аппроксимации
нетрудно усмотреть в доказательстве теоремы 2.3.1. Ниже будет
показано, что процедура управления с поводырем устойчива по
отношению к информационным помехам.
В определениях процедур управления 11" <= иЯ0п и Т° е VnoBi
разрешающих эадачи 2.1.1 и 2.1.2, полагалось, что начальное
положение поводыря u>(i0) = w<i совпадает с начальпой точкой
x(t0) = ха управляемой системы (1.2.1). Такой выбор точки wtto)
был естественным, поскольку допускалось, что пачальпое
положение управляемой системы измеряется точно и известно, что
стабильный мост содержит начальную позицию. Ниже будет
рассматриваться ситуация, когда позиция U0, .r0) находится в
малой окрестности стабильного моста, но, вообще говоря может
не принадлежать ему, кроме этого, будет допускаться
возможность неточного измерения точки х0. Поэтому в определения
разрешающих процедур W τι Τ" потребуется внести некоторые из-
мененпя.
Рассмотрим задачу сближения. Пусть для этой задачи
определен замкнутый u-стабилъный мост W. Отметим, что
предположение о замкнутости моста W не ограничивает общность
предлагаемых построепий (см. замечание 1 в § 2).
76

Пусть (ί, ι)εΓχ R". Определим множество
Wt{x)^{w°e=Wt·. ||а: — ш° Ц = min||а: — и; || при we=Wt}.
\ w
Напомним, Vro Wt = iw e Rn : (f, и;) е= W). Итак, W° (а;) —
совокупность точек w" из множества Wt, ближайших к точке х.
Полагаем, что функция χ': Τ X R" -*■ Rn определена соотношениями
(t,«)elfj(a) при Wt(z)=^0, (4 j}
'(«, ζ) =ζ при W,U) = #.
ΐ
Для ааданногошоста Wпостроим процедуру °Ue = (U°, i|?J, χ6),
в которой фукциц U" и ψϊ определены в § 3, а функция %'
выбрана указанным выше способом.
Пусть первым игроком выбрано некоторое разбиение Δ =
= {[τ<, Tf+i):t = 0, 1, ..., 1} промежутка [ta, Φ). Определим
пошаговые движения управляемой системы и системы поводыря,
которые формирует процедура °№ в случае, когда допускается
неточное измерение положения управляемой системы.
Полагаем, что движение управляемой системы выходит ив
точки x(t0)=x<i, положение которой измеряется первым игроком
неточно. В результате этого измерения он получает точку х0 =
= хй-\- ξ(τ0), где |(τ0) — погрешность измерения, произведенного
и начальный момент времени. В качестве начального положения
поводыря назначаем точку w0 = хе (ί0, χ0). На промежутке
[т0, τ,) назначаем управление и0 {t) =U°(t0, χζ, wQ). Это
управление в паре с некоторым управлением v(t) <= Q (т0 < t < ti)
второго игрока переводит систему (3.3) из точки х(.и)=хй в точку
χ{.Χι). Положение поводыря в момент ί = τι вычислим с помощью
переходной функции ψι, полагая ιν (τΧ) = ψ? (τ0, τΧ, χ0, ιν0).
Далее в результате неточного измерения получаем точку a:*(ti) =
= a:(ti) + |(Tt), где ξ (Τι) —погрешность измерения,
произведенного в момент t = τι. Определим управление u°(t) = ?7°(т„ χ*(τι),
Η>(τ,))(τ, < t < τ2), которое в паре с управлением v{t) (τ, «£ t <τ2)
переводит систему (3.3) иэ точки ι(τι) в точку я(т2). Положение
поводыря в момент t = та определим равенством
w (τ2) = ψ? (тъ т„ х* К), w Ю).
Указанные построения продолжаем вплоть до конечного
момента t = ■&. Получающееся при этом движение управляемой
системы (3.3) обозначим символом х(-, U, x0, °U', ν{·), ξ(·), Δ), где
ξ(·) = (ξ(τ(), i = 0, 1, ..., I) — погрешности измерений.
Наряду с движением управляемой системы будем
рассматривать движение поводыря wl·, t0, х0, <%/', ν(·), ξ(·), Δ). Согласно
определению переходной функции ψι движение поводыря
удовлетворяет уравнению (3.4), где ί0<ί<6. w (ί0) = χ' (t0, x%),
°*Ю = У*{ъ, χ*(τί), ι»(τϊ))(τ1<ί<τ1+1, i = 0, i,...,l), a yn-
77

равлениеи* (·) = (κ„(ί)εί, tj <; t < xi+l) выбирается т?к, чтобы
в случае (τ,·, и?(т,))е>7 решение w(-) = iw(t), τ4^ ί </<+,)
уравнения (3.4) удовлетворяло либо условию (τ(+ι, шСт.+^Уе W, либо
(τ, и;(т)) «= Μ при некотором те [т(, τ,+ iJ, если же (ту'ю(т«)) Ψ W,
то управлением* (·) = ("* (*) е jP, Tj< ί <г1+1) выбирается
произвольно. Отметим, что набору (г0, я0, <2/°, υ(·), ξ(·>, Δ) отвечает
единственная пара пошаговых движений ж(·, tl xB, <Ue, ν\·),
ξ(·), Δ) и w(-, ί0, Xo, <2Λ у(·), ξ(·), Δ) управляемое системы (3.3)
и системы-поводыря (3.4) соответственно.
Следует подчеркнуть, что в указанном построении
информационные помехи имеют место лишь в измерениях текущих по-
ножений управляемой системы (3.3), в то время как текущие
состояния системы-поводыря (3.4) вычисляются точно. Такое hq-
ложение отвечает общему определению процедуры Ш <= UB00 (см.
гл. I, § 5), согласно которому можно полагать, что моделируемое
в рамках этой процедуры движение поводыря может быть
вычислено с любой требуемой точностью. '
Перейдем теперь к формулировке результата. Пусть
символами Мш и W*1 обозначены замкнутые ε-окрестности множеств
Μ и N соответственно. Будем говорить, что для движения х{·) =
= (α:(ί), ί0 *S ί sS ft) имеет место Ш, М)1е]-сближение, если
τ'"ϋ;(·))«Φ и (ί, «(Metf1·1 при ί0 < ί < т[е1Ы·)),
здесь xU](xl·)) — момент времени, когда позиция (ί, хШ)
впервые попадает в MU1. Справедливо следующее положение.
Теорема 2.4.1. Пусть Х„ — компакт в R" такой, что Х0 с:
cz Wt , где W — замкнутый и-стабильный мост; <%l' = (U°, ·ψ°, χβ)—
процедура управления с поводырем, определенная для этого
моста. Тогда для любого ε > 0 можно указать числа б > 0, α > О,
ζ* > 0 так, чтобы для любого пошагового движения х(·, i0, х0,
<U\ »(·), &(·), Δ), где ι0εί,α, »(.)eVT, Шт{)1К£* (i = 0,
1, ..., I), diamA<6, имеет место (М, Юм-сближение.
Таким образом здесь утверждается, что пошаговая процедура
управления аппроксимирует формальное решение задачи 2.1.1
устойчиво по отношению к информационным помехам.
Опишем схему доказательства этой теоремы.
Рассмотрим пару пошаговых движений ζΔ(·) =ж(·, t„, х0, 41', ι;(·),ξ(·),Δ),
1Уд(-) = ш(-, ίο, Хо, °U\ vl·), ξ(·), Δ). Как и в доказательстве
теоремы 2.3.1, эдесь можно установить, что для пошагового
движения поводыря м?д() встреча с Μ происходит не позже, чем в
момент ί = ■&, т. е.
т°(шл()) <θ и (η, и>д(т.·)) s W при т<<тв(в>д(-)) (4.2)
Расстояние между движениями и>д(·) и яд(·) можно оценить,
используя неравенство
ДЧ'д(°Р < 2λ,.||*Δ (i) f + 2ζ(δ) + 2ξ*·κ. (4.3)
78

Здесь syi) = ϊ4(ί) — w^ti), ζ(δ)-*0 при δ-»-Ο, λ* и κ —
константы. Неравенство (4.3) выводится, в основном, так же, как и
неравенство (3.10).
Заметим^ что по выбору функции χ" при Х0 cr Wto и х0 е X"
справедливо неравенство
II *v («о) II =\*δ (*о) - ^д (ίο)! = 1 *ο ~ Xе (ίο, 4) Ι < « + ξ*.
Поэтому из (4.3\следует оценка
max flsA(i)|l2<{k + U2 + iaS)+S*-*]/Mx
X exp 2λ, (d - 0 - IS (δ) + ξ*κ]/λ*. (4.4)
Эта оценка справедлива для любых i0eXj, υ(·)ε VT, Δ и
£(·), удовлетворяющих условиям diainA^o, ξ(τι)^|* при
i = о, ι г.
Учитывая (4.2), из (4.4) получаем, что при достаточно малых
δ>0, α>0 и ξ+>0 для пошагового движения χ(·, ί0, Хч, °№,
υ{·), |(·), Δ) будет выполнено условие Ш, Юил-сближения.
Замечание. Как видно иэ оценки (4.4), при λ* > 0 выбор
параметров δ, α и ξ*, обеспечивающий условие Ш, ЛОи1-сближе-
ния для движений х(-, t„, х0, <U', и(-), ξ(·), Δ), существенно
зависит от величины (Φ — ί0). Привлекая методы теории стабилизации,
можно модифицировать процедуру °№ <= Unoo так, чтобы
улучшить оценку (4.4) π избавиться в ней от экспоненциального
множителя. Изложение соответствующего материала дано, например,
в [7*], стр. 258, [58].
Приведем теперь формулировку теоремы об аппроксимацион-
ном решении задачи уклонения.
Теорема 2.4.2. Пусть W — замкнутый υ-стабилъный мост
в задаче {М, N)Et -уклонения, Х0 — компакт в R",
удовлетворяющий условию Х0 с= Wt0, Те = (V°, Ч>«, Хе)-процедура управления
с поводырем, отвечающая мосту W. Тогда для любого ее(0, ε *)
можно указать числа δ > 0, α > 0 и ξ* > 0 τακ, чтобы для
движения х(-, t„, Χα,Τ', ιι(·), ξ(·), Δ), где ι0εΧ?,ΐί(·) е UT, ξ(τί)<ξ*
(i = 0, 1, ..., I), diamA<j6, имело место условие (М, Ю'-укло-
нения.
Отметим, что здесь процедура У задана функциями V0, ·φ2
и χ", из которых первые две определены в § 3, а функция %'
выбрана из условия (4.1). Движения xl·, t„, xa, У", ιι(·), ξ(·), Δ)
определяются так же, как это сделано выше для пошаговых
движений х(-, t0, х„, Щ', ν{·), |(·), Δ). Доказательство теоремы
2.4,2 не отличается по существу от доказательства теоремы 2.4.1.
79

§ 5. Экстремальные позиционные стратегии
В· предыдущих параграфах было рассмотрено реп/ёние
игровых задач сближения и уклонения в классе позицисшных
процедур управления с поводырем. Определим теперь
дифференциальную игру сближения — уклонения в классе позиционных
стратегий. Полагаем, что эта игра складывается из следующих двух
задач. Τ
Задача 2.5.1. Требуется определить стратегию i7°eUnoD
так, чтобы для любого движения xk-)^S6{U, Xo/U") выполнялось
условие Ш, N)-сближения.
Задача 2.5.2. Требуется определить позийионную стратегию
VeVn,, так, чтобы для любого движения ϊ(·) e=S&(t0, х„, V)
выполнялось условие (М, NY-уклонения.
В задачах 2.5.1 и 2.5.2 Μ ж N — заданные замкнутые
множества в TXR", (ί„, хв)— фиксированная /начальная позиция,
ε > 0 — заданное число. Постановки эадач^ 2.5.1 и 2.5.2
отличаются от формулировок задач 2.1.1 и 2.1.2 лишь заменой классов
UB0B на ипоз и VB0I> на Vn0a соответственно.
Имеет место следующая теорема об альтернативе.
Теорема 2.5.1. Для дифференциальной игры сближения —
уклонения, складывающейся из задач 2.5.1 и 2.5.2, справедливо
одно и только одно из следующих двух положений: либо
существует стратегия U" <= ип0з, разрешающая задачу 2.5.1, либо
существуют число ε > 0 и стратегия У° <= Уаоз, доставляющие
решение задачи 2.5.2.
Опишем схему доказательства теоремы 2.5.1. В § 2
было установлено, что Τ X R" = Wl U Wu, где Wl — u-стабильный
мост, a Wn — объединение всех и-стабильных мостов. Поэтому
теорема 2.5.1 будет доказана, если показать, что для начальной
точки (<о, Яо), лежащей на u-стабильпом (и-стабильном) мосту
разрешима задача 2.5.1 (задача 2.5.2). С этой целью определим
экстремальные позиционные стратегии.
Пусть W — замкнутое множество в Τ X R". Функцию χ':
fXR'^R" определим соотношениями (4.1). Определим теперь
позиционные стратегии U': Τ X Rn -* Ρ и Vе: Τ X R" -* Q.
Полагаем, что эти функции 8аданы равенствами
U'it, x) = U°U, χ, χ'(ί, *)), (5.1)
VU, χ) = Vit, χ, χ·(ί, χ)) ((ί, χ)^ΤΧ R»), (5.2)
где функции it, χ, w) — £/·(«, χ, w) и (ί, χ, w) -*■ Vit, x, w)
выбраны из условий (3.1) и (3.21) соответственно.
Определенные эдесь стратегии U' и V будем называть
стратегиями, экстремальными к множеству W.
Поясним определение экстремальных стратегий. Пусть
(ί, χ) — некоторая точка из Τ Χ R". Предположим, что Wt¥=0
и χ Φ W, (в противном случае χ"(ί, χ) = х и в качестве U'ti, x)
80

(шш У*Ц, χ)) можно взять любую точку нз Ρ (из Q)). Поскольку
s° = χ'ίί,γ) — χ — вектор, направленный из точки χ на
ближайшую к Ηθΐί точку χ"(ί, χ) из Wt, а вектор UeU, x) удовлетворяет
условию (сЦ. (3.1))
И' В (ί) U" (ί, я·) - max (β·)' В (ί) и,
ueP
то можно сказать, что стратегия Ϊ7* назначает управление и" =
= U'it, x) первого игрока так, чтобы в течение малого
промежутка [i, t + At) гарантировать максимальное перемещение
управляемой системы из Уточки χ в направлении на множество Wt.
Аналогичный смысл( имеет определение экстремальной стратегии
второго игрока. Отметим, что для заданного множества W
соотношения (3.1), (3.2т-), (4.1) определяют стратегии U' и Vе,
вообще говоря, неоднозначно.
Справедливы следующие леммы.
Лемма 2.5.1. Пусть W—замкнутый и-стабилъный мост в
задаче Ш, Ю-сближения, (ί0, Ζο) е W и Ue — позиционная
стратегия первого игрока, экстремальная к множеству W. Тогда для
любого движения ι(·)ε^(ί0ι х0, U') имеет место Ш, N)-c6.tu-
жение.
Лемма 2.5.2. Пусть W — замкнутый v-стабилъный мост а
задаче Ш, NY-уклонения, (t„, x0) ^W и V' — позиционная
стратегия второго игрока, экстремальная к множеству W. Тогда для
любого движения x(-)^$5{.ta, х„, V) имеет место (М,
NY-уклонение.
Отметим, что в леммах 2.5.1 и 2.5.2 рассматриваются
замкнутые стабильные мосты. Предположение о замкнутости
«-стабильных и у-стабнльных мостов не мешает использовать леммы 2.5.1
и 2.5.2 в доказательстве альтернативы (теоремы 2.5.1), поскольку,
как уже отмечалось (см. замечание 1 в § 2), замыкание любого
стабильного моста сохраняет свойство стабильности.
Укажем схему доказательства леммы 2.5.1. Пусть x.d-) =
= х{-, ί0, Яо, U", υ(-), Δ) — пошаговое движение, порожденное
экстремальной стратегией U°. Обозначим через ρ(ί) расстояние
от точки Xsit) до множества W,. Оценим изменение величины
рШ при t е= [τ,-, τ,41]. Пусть wi{) = χβ(τ<, χΛτι)). Предположим, что
(τ<, w{i)) εψ, тогда
ρ(τ,) = ΙΙ*Δ(τ<) - и>с<)Н. (5.3)
Определим решение и>с,,(·) = (wit), τ, *S t «S τ1+ι, и>(т<) = и>(")
уравнения (3.4), где ν*(ί) = V*(Xi, Xn(Xi), w<V), τ{<ί<τί+1,
а управление w* (ί) s Ρ (хг <J ί < Xi+i) выбрано так, чтобы либо
(т,+1!и?(,)(т,+ 1))бТГ1 (5.4)
либо
/τ, ιυω(τ)) ^ Μ при некотором те [ъ, Ti+i]. (5.5)
81

Используя лемму 2.3.1 и равенство (5.3), получаем оцеяусу
Ρ*(τ1+1)-ΐ£;<«(τί+1)Ρ<
< 1Ра (τι) + ζ (δ)/λ J βχρ 2λ* (τ1+1 -η)-ζ (δ//λ*. (5.6)
' Предположим, что имеет место (5.4). Поскольку wli){xi+l) <=
е Wxt+1, то справедливо неравенство ■
ρ(τ<+1) < ΙΙ*(τ,+1) - ι»(,,(τ,+ι)ΙΙ (5.7)
(здесь строгое неравенство имеет место, если wfr(xi+i) не
является ближайшей к χΑ(τί+ί) точкой множества W-Л^). Таким
образом, при выполнении (5.4) из (5.6), (5.7) получаем оценку
Ρ2 (τ1+ι) < [ρ2 (τ,) + ζ (δ)/λ„] exp 2λ* (τί+1 - yj - ζ (δ)/λ». (5.8)
Пусть теперь [τΛ τί+ι] — отрезок, на котором впервые
выполняется условие (5.5). Такой отрезок всегда'существует по
определению u-стабильного моста W. Тогда при всех ί = 0, 1, ...
..., / — 1 будет справедлива рекуррентная оценка (5.8), из
которой выводится неравенство
Р2 Ы) < [ρ2 (τ0) + ζ (β)/λ,] exp 2λ* (τ» - τ0) - ζ (δ)/λ,. (5.9)
При этом получается также, что точка (τΛ ζΛ(τ,·)) попадает в
(p(xj) + 2Λδ) — окрестность множества Μ, где Λ — константа
Липшица в (3.6). Отметим еще, что в (5.9) ρ(τ0) = 0, так как
#0 <= w f0. Поэтому иэ указанных оценок в пределе при б =
= diam Δ -»- 0 получаем утверждение леммы 2.5.1.
Аналогичные рассуждения используются для доказательства
леммы 2.5.2.
Приведем теперь формулировки тех свойств пошаговых
движений ζ(·, ίο, £o, U', ν(·), Δ) и χ(·, ί0, Ζο, Vе, u(·), Δ), которые
следуют из оценок вида (5.9) и определений стабильных мостов.
Теорема 2.5.2. Пусть Х0 — компакт в R" и Х0а Wt0, где
W — некоторый замкнутый и-стабильный мост в задаче (Л/, N)-
сближения. Тогда для любого ε > О можно указать числа δ > О
и α >0 такие, что для пошаг&вого движения χ(·, ί0, х<>, Ue, υ{·),
Δ), где U' — стратегия, экстремальная к мосту W, u(-)eVr,
х0 е Χ?ι diam Δ <! δ, будет иметь место условие Ш, Юм-
сближения.
Теорема 2.5.3. Пусть Х„ — компакт в R" и Х0 с: Wto, где
W — замкнутый υ-стабилъный мост в задаче (Μ, Ν)ε*- уклонения.
Тогда для любого ε е (0, ε*) можно указать числа δ > 0 и а > О
такие, что для пошагового движения χ(·, ί0, х<>, Vе, и(·), Δ), где
Vе — стратегия, экстремальная к W, ΐί(·)ευΓ, я0еХ?
diam Δ < δ, будет иметь место условие Ш, NY-уклонения.
Отмстим, что теорема 2.5.2 справедлива при выборе любого
компакта X0czW\ , в качестве u-стабильного моста W здесь
следует взять само множество W1, а теорема 2.5.3 имеет место
82

для произвольного компакта Х0 <= Wt^, поскольку в этом случае
обязательно существует у-стабильный мост W, удовлетворяющий
условию л\ cz Wt0.
3 а м е ч ан π е 1. Важно обратить внимание на следующее
обстоятельство. В теоремах 2.5.2 и 2.5.3 пошаговые движения
рассматриваются лишь в случае точного измерения текущей
позиции. Дело в\том, что, в отличие от решений задач сближения
и уклонения в^классе процедур управления с поводырем,
решения задач 2.5.1 н 2.5.2 могут не обладать устойчивостью по
отношению к информационным помехам. Анализ конкретных
примеров, где не удаетЬя построить устойчивые решения задач
сближения и уклонения в классе позиционных стратегий, позволяет
выявить, что неустойчивость экстремальных стратегий связана
с нерегулярным поведением функции χ6, фигурирующей в
определении стратегии U" (пли V). Функция χ* разрывна по х,
поэтому малым погрешностям в измерении точки χ может отвечать
существенное изменение соответствующих значений функции χ'.
В связи с этим при наличии информационных помех могут
возникать такие скользящие режимы, когда часто происходит
существенное изменение направления s'(t() = xe(t,·, х*{хд) — χ*(τι)Ύ
в котором управление u*(.t) = U'{xt, я*(т;)) (т(<£<т(+1)
прицеливает движение системы (1.2.1). Результирующее действие
такого скользящего управления и*() не обеспечивает требуемого
движения вблизи стабильного моста. Уместио здесь же сказать,
что в тех случаях, когда множества Wt выпуклы при всех t e
<= [£0) ф], функция (ί, а;) -*■ χ*(ί, χ) оказывается непрерывной по
х, и решение задачи 2.5.1 (или задачи 2.5.2), которое доставляет
стратегия, экстремальная к стабильному мосту с выпуклыми
сечениями, будет устойчивым по отношению к информационным
помехам.
Замечание 2. Используя экстремальные позиционные
стратегии, можно модифицировать процедуры упраилення с
поводырем, указанные в §§ 3, 4, и предложить более
конструктивные определения. Рассмотрим, например, задачу {М, ЛО-сближе-
ния. Пусть U* — позиционная стратегия, экстремальная к
заданному ц-стабильиому мосту, пусть V*: ΤXR"XR"->■ Q—
функция, выбранная из условия (3.2). Рассмотрим решение и>(·) =
= (u>(i), £* < t < t*, M?(i*) = iy*) дифферепцнального уравнения
(3.4), где полагаем и *= Ue (t#, и\), ν% = V* (£*, х%, w^).
Обозначим через ψ* ('*, t*, х#, w^) правый конец w(t*) рассматриваемого
движения ц>(·). Таким образом, получаем функцию (£*, i*, x*,
wj) -*-ψι(ί*, t*, xx, ΐϋχ), которую можно взять в качестве
переходной функции поводыря вместо функции ψ£ι , которая прежде
определяла эволюцию и>-модели в процедурах Щ* или °U\ При
указанной модификации сохраняется устойчивость решения по
отношению к информационным помехам. Отметим еще, что дви-
6*
8г

жеыие поводыря можно формировать с помощью переходной
функции т|)е по тагам [τ*, τ*+1] (/ = 0, 1, . .., I*), прячем
разбиение Δ* = 1[τ;·, tj+1): / = 0, 1, ..., I*} можно взять более
мелким, чем разбиение Δ, которое используется при построении
управления и°() в реальной системе. В этом случар улучшается
точность аппроксимационного решения для соответствующих
пошаговых движений.
В заключение параграфа отметим одно положение, на
которое будем ссылаться при решении примеров. /
Пусть для управляемой системы (1.2.1) рассматривается
дифференциальная игра сближения — уклонения, ■ складывающаяся
из задач 2.5.1 и 2.5.2. Произведем замену переменных. Новый
wi-мерный фазовый вектор будем обозначать /через у. Полагаем,
что точки (ί, χ) и (ί, у) связаны соотношением
(ί, у) = U, FWx), (5.10)
где Fit) = {/,j(i), i = 1, ..., m, / = 1, .. .,ra} — mX га — матрица,
функции /у(·) дифференцируемы на Т.
Пусть т X т — матрица-функция t -> A* (ί) удовлетворяет
равенству
A*(t)F(t) = ¥£l + F(t)A(t), «е=Г, (5.11)
Ά mX p n mX q матрицы 5* (ί) и С* (ί) заданы равенством
B*{t)=F(t)B.(t), C*(i)=F(i)C(i). (5.12)
Обозначим через у(-, t„, уа ц(·), ι>(·)) решение уравнения
'у (t) = 4» (ί) у (0 + Я* (ί) и (0 + С* (ί) ν (О, У (ί4) = »ο· (5.13)
Предположим, что г/0 = ^(ί0)^ο- Тогда, как нетрудно проверить,
для любых «(■) eUr и ν{-)^\τ решение у(·, t0, y0, u(-), у(·))
уравнения (5.13) и решение х{·, t„, х0, ц(·), υ{·)) уравнения
(1.2.1) будут связаны равенством
y(t, ί0, у,, и(·), i>(·)) = ί4ί)ζ(ί, i0, ar0, «(■), vl·)). (5.14)
Предположим далее, что в пространстве Г X Rm выбраны
множества М* и JV* и они связаны с заданными в задачах 2.5.1
и 2.5.2 множествами Μ cfXR» и iVcfXR" соотношениями
{(«,*): (г,^(()г)ЕМ,} = М,
{(ί,*): (ί, F(*)*)e #*}=#. ( ' ]
Допустим, что функция £/*: 7,xRm-*-P есть позиционная
стратегия для управляемой системы (5.13), эта стратегия U*
такова, что для любого движения ϊ/(·)^^(ί0, ί/ο, ^*) имеет
место (М-*, Л^) -сближение. Здесь пучок движений ЩКи, у о,
£/*) системы (5.13) определяется обычным образом предельным
переходом от соответствующих пошаговых движений //(·, t0, y0,
84

Uχ, υ(·),\Δ). Определим позиционную стратегию 17° для
исходной системы (1.2.1) равенством
ΐΆ(ί,χ) = υ*(ί, F(t)x) {(t,x)<=TxHn). (5.16)
Можно показать, что стратегия 17° будет доставлять решение
валами 2.5.1 из печальной позиции (f0, х<>), удовлетворяющей
равенству FUoteo = !/о\
В основе доказательства этого положения лежит равенство
F (t) χ (ί, t0, x0, U\ υ (·), Δ) = у (t, tQ, y0, U*, υ (·), Δ),
которое справедливо при условии FUa)x0 = j/0 (см. (5.14)).
Аналогичное положение имеет место для задач уклонения,
поставленных для исходной и преобразованной систем (1.2.1) и
(5.13).
§ 6. Примеры
Пусть в дифференциальной игре сближения — уклонения,
рассматриваемой для системы вида (1.2.1), множества Μ и N
определены равенствами
M = {(i, x): i = fl, ЦВДКг*}, N = TxRn, (6.1)
где Ft —некоторая шХи-матрица (wi<Jra), r*^ 0 —заданное
число. Таким образом, в задаче сближения фаговое ограничение
отсутствует, и требуется в конечный момент времени t =■&
обеспечить выполнение неравенства || i^a: Ц <! г*. В частности, эдесь
Μ может быть множеством
{(*, χ): ί = Φ, J, x\^r\ }.
Приведем данную игру к более простому виду и для
преобразованной игры при определенных ниже условиях построим
максимальный и-стабильный мост. Затем будут разобраны решения
конкретных задач сближения.
Пусть Ф(Ф, ί)(ί0ο =S t «£ Φ) — матрица-функция,
удовлетворяющая уравнению
ίΦ^10 = _φ(θ|ίΜ(ί)| (6.2)
Φ(ΰ·, fl) = Ε.
Полагаем, что F(t) = F^-Φ (■&, t) и позиции (£, riefXR"
поставлена в соответствие точка (ί, у) = U, F(t)x) еГХ Rm.
Воспользуемся положением, сформулированным в конце
предыдущего параграфа. Согласно (6.2) получаем, что в данном случае
равенству (5.11) удовлетворяет нулевая матрица-функция А# (t) =
= ia*ij (*) = 0i i, / = 1»..., τη). Поэтому изменение нового
85

фазового вектора ?/(£) будет описываться уравнением
У (ί) =*·(*)« (0 + С* (О "(0. У{*о) = Ц6, (63)
д, (0 = ^·φ (θ, t)B(t), c*(t) = F*a>($,t)C(t).
При выполнении условия у0 = F(t0)x0 решения М-, t0, х0, ц(-),
у(·)) и !/(·, <о, 1/о, "(), "(■)) уравнений (1.2.1) и (6.3) будут
связаны равенством y(.t, U, г/0, в(-), у(·)) = F(t)xtt, i0, я0, u(·), ι>(·))
Для управляемой системы (6.3) рассмотрим задачу сближения
с целевым множеством
Л/*={(0, у): 1Ы<г*}
внутри множества ΝΛ = TxRm. Заметим, что в силу равенства
F (ф) = F#(D(fl, ft) = Fx определенные здесь множества М* и
ΝΛ связаны с множествами Μ и N (6.1) соотношениями (5.15).
Поэтому решение задачи сближения, поставленной для системы
(1.2.1), можно получить в виде стратегии U°: (i, x)-+U°(t, x) =
= U*(t, F(t)x), где U^: TxRm-*-P— позиционная стратегия»
которая доставляет решение вспомогательной задачи
сближения, определенной для системы (6.3). Итак, достаточно решить
вспомогательную задачу сближения.
Будем предполагать ниже, что выполняется условие
В* (ί) Ρ = {5* (ί) u:ueP} = {r, (t) и,: u* е= Rm, ||и* |] < 1},
(6.4>
C»{t)Q={Ct{t)v: ve=Q} = {rt(t)vm: ^ е= Rm, |Ы|<1},
т. е. множества 5* (ί) Ρ и С„. (ί) ζ> суть шары в Rm радиусов
r,(i) и r2(i) соответственно.
Определим максимальный ц-стабильный мост W* для
вспомогательной задачи сближения. Множества 5* (ί) Ρ, С* (ί) (? и
Λ/.tf = {г/е Rm: || ί/||<>*1 являются шарами в Rm. Поэтому
множества W,< также будут шарами в Rm. Чтобы обосновать это
положение, рассмотрим преобразование поворота. Пусть Η — соот-
вествующая этому преобразованию матрица, т. е. ИЯг/Н = И г/И для
любого у <= Rm. Определим множество
WH = {(t,Hy): (ί, г/) е W*}.
Можно проверить, что для системы (6.3) множество W будет
u-стабильным мостом. Это положение следует из инвариантности
множеств 5* (t) Ρ, Ct (t) Q и М»в относительно
преобразования Η (отметим, что при доказательстве свойства и-стабильности
множества Wn удобна воспользоваться формулировкой этого·
свойства, приведенной в замечании 2 в § 2). Итак, получаем, что
максимальный и-стабильный мост W* включает множество WH.
Поскольку матрица поворота Η была выбрана произвольно, то
86

теперь можно заключить, что множество W* представимо в виде
W. = {(*,»): ί**<ί<^,|ί/«<Γ«(ί)}, (6-5)
где ***— некоторый момент времени из промежутка [ί0ο, Φΐ,
>·°(·) — скалярная функция на [***, О], удовлетворяющая условию
r°(fl) = r*.
Перейдем к определению функции г°(·). Можно проверить,
что эта функция не зависит от размерности т фазового вектора
системы (6.3), следовательно, достаточно построить функцию г°(·)
в случае т = 1. Для этого воспользуемся решением примера ив
§ 2. Определим функции /* и /* (2.27). Из (6.4) вытекает, что
- /* (*) = /* (*) = max δ* (ί) и + min с* (ί) ν = rx (ί) - г2 (ί),
u<=p neQ
где δ* (ί) = 5* (ί) и с* (ί) = С* (t) — матрицы, содержащие
одну строку (поскольку эдесь тп = \). Решая эадачу (2.28), (2.29),
где α(ί) = 0 при тп* = г*, тп^ — — г*, получаем
I* (t) = Ю* (ί) = -»,(*)= Г, + \ (Г1(Ъ-Г)-Г2(&-Г))<1Т.
(6.6)
Согласно результатам, полученным при решении примера в § 2,
полагаем теперь, что ί** = t00, если r°(i) > 0 при всех ί <= Г, и
*м = sup {ί е Г: г° (ί) < 0}в противном случае. Итак,
максимальный u-стабильный мост W^ (6.5) для вспомогательной задачи
сближения полностью определен.
Для системы (6.3) построим стратегию, экстремальную к
мосту W* (6.5). Для этого моста получаем отвечающую ему
функцию χ' (см. (4.1)):
ч КЮНуИ при |Ы>г°(<), ί„<ί<*.
Г(,У> [у при ||ϊ/||<Γ°(ί). либ° *<***·
Обозначим через С/*: 2'xR'"-»-i> стратегию для системы (6.3),
экстремальную к мосту W*. Эта функция J7* выбирается здесь
из условия
У'В* (О U* (ί, у) = шах у'В* (ί) и. (6.7)
«ер
Теперь решение исходной задачи сближения, поставленной для
системы (1.2.1), можно определить в форме стратегии U",
заданной равенством
U°{t,x) = Ut(t,Fm<S>(b,t)x) {(t,x)<=Tx-Rm). (6.8)
Испольэуя результаты предыдущих параграфов и проведенные
выше выкладки, можно сформулировать следующую теорему.
Теорема 2.6.1. При выполнении условий (6.1), (6.4) задача
сближения имеет решение тогда и только тогда, когда
г° (*) > 0 при ί0<ί<θ и ||^Ф (θ, ί0)χ0||< г» (ί0), (6.9)
87

где (ί0, Хч)—заданная начальная позиция, функция г°(·)
определена равенством (6.6); при этом решение задачи сближения
доставляет позиционная стратегия U", определенная
соотношениями (6.7), (6.8).
• Перейдем к решению модельных примеров. Рассмотрим
сначала следующую задачу. Пусть движение двух управляемых
объектов описывается уравнениями
i:c,) = -axw + и, Hull si pc,), . (6.10)
xm = ν, Ы =£ р(г>, (6.11)
где £С1), хт, и л ν — те-мерные векторы. В случае m = 3
уравнение (6.10) определяет движение материальной точки, а —
коэффициент линейного трения, и — сила, приложенная к точке;
уравнение (6.11) описывает движение безынерционной точки,
управляющим вектором ν является скорость безынерционной
точки.
Полагаем, что выбором управления u(t) распоряжается
первый игрок, который должен обеспечить в конечный момент
времени ί = Φ сближение точки xw с точкой хт на расстояние,
непревышающее заданного числа г*. Данная игровая эадача
относится к описанному выше типу. Чтобы показать это, введем в
рассмотрение Зяг-мерный фазовый вектор
-В
Тогда изменение во времени этого вектора будет описываться
уравнением (1.2.1), где
A(t)=U-aE о), В(«) = 1я1, С(«) = (о).
Здесь 0 и Ε — соответственно нулевая и единичная матрицы
размера тпХтп. Условие сближения!ха) (О) — ζ<2> (■&)|| <|г* будет
эквивалентно неравенству \F+ χ (·θ·)||<>*, где F* = (Ε, 0, — Ε).
Определим матрицу-функцию Ф(Ф, t), t^T, удовлетворяющую
уравнению (6.2). В данном примере получаем
(Ε Ψι(ί-θ)£ 0\
φ (θ, t) = 0 φ2(ί-θ)£ 0 ,
\0 0 EJ
где
<Ρι(τ) = α-ι(1 — ехр ατ), φ2(τ) = exp αχ. (6.12)
Проверим выполнение условий (6.4). Для матриц 5* (ί) и С* (t)
88

(см. (6.3)) имеем эдесь следующие выражения:
jMO = <Pi(*-*)£.
C*(i) = --E (*οο<ί<0)·
Поскольку P = {ueR">:llull<p(,)}i Q = {у e Rm : ПЫ1 < p(2)}, то
заключаем, что в данном примере условия (6.4) выполнены,
причем
ri(i)=A,(t-*), Γ2(ί) = ρ,!|(ίεΓ). (6.13)
Подставляя (6.12), (6.13) в (6.6), получаем
г° (ί) = г* + р(х) [ехр (_ о (* — ί)) — 1 + β (* — 01 а~* —
-pw(ft-t). (6.14)
Построим стратегию U* (6.7), (6.8). В рассмотренном случае
имеем
t/*(i'J/)-\ 0 при у = 0.
Поэтому (см. (6.8), (6.12)) приходим к следующему выражению:
^<,,«) J-p'1^1·*)!^·^1 ПР" ίί'/*}^?· (6.15)
ν ' ' (О при Λ(ί, а;) = 0. ν
где A(t, ζ) = *<"-*сг) + α-'[1-ехр (α(ί--&))]>>.
Утверждение теоремы 2.6.1, в рассматриваемом примере
конкретизируется следующим образом: для того чтобы в задаче
сближения, поставленной для системы (6.10), (6.11), существовало
решение, необходимо и достаточно, чтобы функция г°(·) (6.14)
была неотрицательна при всех t^[tB, ft] и выполнялось
неравенство
14υ - *о2) + а"1 [1 - ехр α (ί0 - Щ #> | < г° (ί0).
Тогда решение этой задачи будет доставлять построенная
стратегия U0 (6.15).
Укажем решение данного примера при a = 0 (задача
сближения материальной точки с безынерционной). Определив в этом
примере решение уравнения (6.2), получаем матрицу-функцию
(Е {b — t)E 0'
ф(6, t) = (o Ε Ο
\о о я,
Затем приходим к следующим выражениям, определяющим
89

функцию г°(-) и стратегию U°(t, χ):
r° (t) = r* + (±^- p«>_ p<2) {fi - ί), (6.16)
U° (I, *> = if'71 (ί' *> IA (ί' *> Г ПРИ \ £ *> * 9' (6.17)
v ' [0 при ft(i, a;) = 0, v '
где Λ(ί, β) = χί1) - xm + {■»- t)'xw.
Таким обраэом, для того чтобы задача сближения,
поставленная для системы
'xw = u, i(2) = i>, Ы1^рС1>, llyll<p(2>, (6.18)
имела решение, необходимо и достаточно, чтобы функция г°(£)
(6.16) была неотрицательна при t <= [f0) ft] и выполнялось
неравенство
lxP-xP + {1>-t0)'xP\^T*(t0).
Тогда решение этой задачи будет доставлять стратегия U° (6.17).
Рассмотрим другой пример. Пусть движение двух
управляемых объектов описывается уравнениями
2»--«<"+и, М<р<«
x™ = -bxw + v, И<р(2).
Здесь, как и в предыдущих примерах xw, хт, и и υ — m-мерные
векторы, управление и формирует первый игрок, который
стремится обеспечить в момент £ = ■& сближение точки ж("(Ф) с
точкой хт{$) на расстояние, не большее, чем заданное число г*.
Полагаема:=(а;(1)', xiiy, x{2) »я2) ) —4те -мерный вектор-столбец.
Получаем, что целевое множество Μ определяется в этом примере
соотношением
M = {(t,x): ί = О, |F,a:| =(*<«-*<«!<»■*>. (6.20)
где FJt={E, 0 — E, 0) — т X 4т-матрица.
Опуская промежуточные выкладки, которые проводятся так
же, как и в предыдущем примере для системы (6.10), (6.11),
сформулируем окончательный результат. Для того чтобы в
рассматриваемом примере задача сближения имела решение,
необходимо и достаточно, чтобы функция
r° (t) = г* + р<» [exp a (t — θ) — 1 — α (ί — ■&)] or* —
- ρ<2> [exp b (t - θ) - 1 - b (t - 0)1 Ъ~г (6.21)
была неотрицательна на [ί0, Ь\ и выполнялось неравенство
HfcUo, *,)И < Γ°(ί0),
90

где
h (ί, ζ) = χΐν — χιϊ> + 'xw [ί —
— exp a(t — #)] α-ι — а:<2> [1 — exp b (t — d)l 6-1. (6.22)
Тогда решение задачи сближения доставляет позиционная
стратегия
т/, ν |—ρ(ΐ)Λ(ίτ a;)|l^(i, a;) Ih1 при Л («,*)=* О,
U°(t, χ) = ', (6.23)
10 при k(t, x) = 0. ч
Отметим известные результаты, полученные для задачи
сближения (6.19), (6.20) в случае г* =0. В работе [53а] было
показано, что при выполнении неравенств
р(1)/а > рС2,/Ь, р(,)>р(,\ (6.24)
где хотя бы одно строгое, для любой начальной точки (£0, ^о)
можно подобрать Φ > t0 так, чтобы задача сближения имела
решение (при указанном в этой работе условии информационной
дискриминации противника). Как установлено в работе [7*], при
выполнении неравенств (6.24) в данном примере имеет место
так называемый регулярный случай программного поглощения,
и стратегию, разрешающую задачу сближения, можно построить
путем синтеза решений вспомогательных задач программного
управления (что приводит к стратегии вида (6.23)). Заметим
еще, что при выполнении условия (6.24) неравенство r°(i) ^ 0,
где г°(£) определено соотношением (6.21), имеет место при
всех t sS θ.
Имея необходимые и достаточные условия разрешимости
задачи сближения (6.19), (6.20), выраженные в форме неравенств
r°(i) < 0 при ί, < ί < *, "Mo, .Zo)11 *£ r°tt„),
для функций (6.21) и (6.22), можно показать, что задача
сближения (6.19), (6.20) разрешима для некоторых начальных
позиций в случае г* = 0 и при нарушении условия (6.24). Например,
при рС1) = 3, рсг) = 1, а = 0,4, Ъ = 0,1 условие (6.24) нарушается,
но задача сближения (6.19), (6.20) имеет решение при t„ = 0,
θ = 25:
§ 7. Цена дифференциальной игры
До сих пор в этой главе изучалась игра сближения —
уклонения. Рассмотрим теперь дифференциальную игру другого типа.
Пусть задан функционал γ, который реализовавшемуся
движению ζ(·) = (χ(ί), ί0 =S t <Ф), ставит в соответствие число γ(ζ(·)) —
значение платы дифференциальной игры. Полагаем, что в задаче,
91

стоящей перед первым игроком, нужно выбрать позиционную
стратегию, гарантирующую наименьшее значение платы. В
задаче второго игрока, напротив, требуется определить позиционную
стратегию, которая максимизирует гарантированное значение
платы. Таким образом, в данном параграфе будем изучать
дифференциальные игры, образованные задачами 1.1.2, 1.6.2 и
поставленные в классе стратегий Uno, X V„03. Будем рассматривать
конкретные типы функционалов платы. Для таких
дифференциальных игр будет доказано существование цены и седловых
точек (напомним, что эти понятия были введены в гл. I, § 6).
Перейдем к описанию конкретных типов дифференциальных
игр. Начнем с рассмотрения дифференциальной игры, плата в
которой определена функционалом
?,(*(·)) ~σ(*(#)), (7.1)
где σ(·): R"-*· R — непрерывная функция. Рассматриваемую вдесь
игру составляют следующие две вадачи.
Задача 2.7.1. Для исходной позиции (i0, x0)e=TXR.n
требуется определить стратегию U0 e Uno8 такую, что
Τι (*о. *о>^о) = min I\ (i0, x0,U) при U ев Ua03, (7.2)
и
где
Γι (*о.*о. U) = Г* (ί0, *ο. V) = maxa(s (θ))
*<> (7.3)
при ϊ(·)ε*(ί„ xQ,U).
Задача 2.7.2. Для исходной позиции (i0, ij е Г X R"
требуется определить стратегию Va e \П0Я такую, что
Тг (t0, х0, V,) = max Г2 (t0, х0, V) при V е= Vu03, (7.4)
где
rt(«0. *oi У) = Г* (ί0, *о, F) = mina (*(©))
*<·> (7.5)
при ι(.]ε*(ί„ χ0, V).
Заметим, что задачи 2.7.1 и 2.7.2 являются частными
случаями вадач 1.1.2 и 1.6.2 соответственно, в которых функционал
платы задан равенством (7.1), U = Uno3, V = Vnoo, D0 = {(f0l χ0)}.
Докажем следующую теорему.
Теорема 2.7.1. Для любой исходной позиции (ί0, ι() е f X
XR" дифференциальная игра, складывающаяся ив задач 2.7.1 и
2.7.2, имеет цену cj(£0, ^o), т. е.
min 1\ (t0, x0, U) = max Г, (t0, х0, V) = cj (t0, x0)
и ν (7.6)
(i/eUn03, FeVn03).
92

Доказательство. Пусть
N = TX~R", Л/1(с) = {(0, х): aU)<c). (7.7)
Эти множества определены так, что для движения χ{·) = (z(i),
ίο^ί^τ» неравенство γι(ζ(·)) *£ с эквивалентно условию
(Л/Дс), ЛО-сближения. Поэтому оценка rt(i0, XoU) < с будет
справедлива тогда и только тогда, когда стратегия U доставляет
решение задачи (ЛЛ(с), Λθ-сближения. Для исходной позиции
(ίο, аго) обозначим через С^ множество чисел с, для которых
М^с)Ф&, и существует позиционная стратегия U, которая
доставляет решение задачи (МДс), ΛΟ-сближения. Из приведенных
здесь рассуждений следует, что решение задачи 2.7.1
эквивалентно определению позиционной стратегии U0, которая
гарантирует (Afi(ci), ΛΟ-сближепие при ci = minC\.
Покажем, что С\ — замкнутое множество, откуда следует, что
оно содержит минимальный элемент с ι. При доказательстве этого
факта используется следующее положение, которое является
прямым следствием теоремы 2.5.1. Для того чтобы задача 2.5.1
имела решение необходимо и достаточно, чтобы для любой
стратегии FeVD0, существовало движение ж(·)е «2?(<0, х0, V),
для которого имеет место (Λ/, ЛО-сближение.
Обратимся к доказательству замкнутости множества С\.
Пусть с<*> е Сх (к = 1, 2, ...), сМ-*-сл при к -*■ °°. Покажем, что
с* е Сг. По определению С, и согласно сформулированному выше
следствию теоремы 2.5.1 для любой стратегии V е Vnoa
существует движение xw(·) ^ <8?(ί0, ^о, V), для которого имеет место
(M,(cch)), ΛΟ-сближение. Можно полагать, что я''" (·)-»-·£* (·)
равномерно на [<0, ^. Тогда, во-первых, х* (·) е $6 (i0, x0, V)r
поскольку пучок $6{tu, х0, V) есть компакт в CJ.U, ·&] (см.
лемму 1.8.1), во-вторых, как это следует из непрерывности функции
σ(·), для движения х* (■) имеет место {Мг(с%), Λ7)-сближение.
Получаем, что для любой V е Vno:j существует χ (·) <= 85{tu, xa, V),
для которого имеет место {Мг (с*), N) -сближение, поэтому
с* е С\. Таким образом, доказана замкнутость множества С\.
Заметим, что по определению множества Сг из с* е Сг,
с* ^ с* следует с* е Сх. Поэтому
С,-[в,, оо). (7.8)
Итак, при указанном определении числа с, задача (Mi(Ci), N)-
сближения разрешима в классе Uno3. Пусть U0 — позиционная
стратегия, которая доставляет решение этой задачи. Тогда
стратегия U0 будет доставлять решение задачи 2.7.1, т. е.
min I\ (t„ xQ, U) = Гх (ί0, *о. U0) =c1{Ue= Un03). (7.9)
и
Отметим, что стратегию ί/0 можно определить как
экстремальную к максимальному u-стабильному мосту W\ в эадаче
(Д/ДсД ЛО-сближения.
93

Пусть теперь с* < с1# Поскольку с* ^ Clf то согласно
определению множества С, и теореме 2.5.1 существуют число ε*>0
и стратегия F* ε Vnoa такие, что для любого движения я(-)е
^ Щ (ί0, х0, V*) имеет место (М]^^^), Л^)Е*-уклонение. По
определению множеств А/Дс) и N (см. (7.5), (7.7)) имеем Г2 (t0, х0,
У*) ^ с*· Число с* е= (— оо, Cj) можно взять сколь угодно близко
к числу с,, поэтому sup Г2 (ί0, х0, V)~^tcx (7eVDM). Учитывая
(1.6.12) и (7.9), заключаем, что
min Ι\ (ί0, х0, U) = Ι\ (f„, z0, U0) = сх =
= sup Г2 (i0f ζ0, 7) (i/eU„, 7eV„03). (7.10)
ν
Итак, доказано существование цепы рассматриваемой игры.
Остается показать, что существует оптимальная стратегия
второго игрока, т. е. в последнем соотношении sup Г2 (£0, х0, V) =
ν
= Г« (£„, хй, V0) для некоторой стратегии V0 e Vno:i.
Пусть
N = TXR\ Мг{с) = {(θ, χ) : о(ж) > с}. (7.11)
Тогда для любого движения я(·) = (я(г), ί,,^ί^Φ) неравенство
γι(#(·)) = σ(α:(#)) > с будет эквивалентно условию (Л/2(с), Λ0-
сближеипя.
Отметим, что задача (Д/2(с), АО-сближения рассматривается
здесь в классе Vno3. Формулировка задачи Ш, ΛΟ-сблпжения в
классе позиционных стратегий второго игрока получается из
формулировки задачи 2.5.1 простой подстановкой класса Vno3 на
место класса Ull0a. Для задачи Ш, ΛΟ-сближения, поставленной
в классе V„03, и противоположной ей задачи Ш, Λθ'-уклонения,
рассматриваемой в классе Uno3, остается справедливой
альтернатива, аналогичная теореме 2.5.1. Определения у-стабильных
мостов в задаче Ш, ΛΟ-сближеяия и u-стабпльных мостов в задаче
{Μ, Ν)'-уклонения получаются пз соответствующих определений
«-стабильных и и-стабильных мостов простой переменой ролями
управлений и π ν.
Пусть С2 — множество чисел с, для которых множество
Мг(с) ¥= 0 и задача (Л/2(с), ΛΟ-сближения имеет решение в
классе V„03. Рассуждая так же, как и выше, можно показать, что
множество С2 замкнуто и решение задачи 2.7.2 эквивалентно
определению позиционной стратегии V,, которая гарантирует
<Д/2(с2), ΛΟ-сближенпс при с2 = тахС2. Стратегию У0 можно
построить как экстремальную к максимальному у-стабильному
мосту И^ в задаче (Л/2(с2), ΛΟ-сближения.
34

Согласно (7.10) имеем
sup Г2 (ί0, х0, V) = Г2 (t0, х0, V0) = с2 = сг = с\ (ί0, ж0) =
= min Ι\ (ί0, ζ0, ϋ) =ΓΧ (ί0, x0, U0).
Теорема 2.7.1 доказана.
Рассмотрим теперь следующую дифференциальную игру.
Пусть на движениях я(·) = UU), £0^*<Ф) функционал платы
определен равенством
γ,(*(·))= min ω («,*(«)), (7.12)
где ω: !ГХКп-»-К— непрерывная функция. Задачи, стоящие
перед первым и вторым игроком, формулируются обычным
образом.
Задача 2.7.3. Для исходной позиции (ί0, Хц) <= Τ X R"
требуется определить стратегию U0 <= Uno» такую, что
Г3 (t0, х0, U0) = min Г3 (ί0, а;0, U) при U е= Uno3, (7.13)
где
Г3 («о. *o> U) = T* (ί0, z0, CJ) = max min ω (ί, a; (ί))
sc(-) ta<t<&
(7·14)
rapu χ{·) e ж (ί0) ζ0, U).
Задача 2.7.4. Для исходной позиции (i0, lolefXR" rpe-
буется определить стратегию V0 e Vno3 такую, что
Г4 («о, «οι ^о) = тах Г4 ('о. хо< v) пРи v е= Vno3, (7.15)
ν
где
Г4 (*о. *о* *0 = Г* (*0, ж0, ^ = min min ω (t, x (ί))
*(■) *„<«<*
о
при ж(-)е Я? (t0, х0, V).
(7.16)
Покажем, что в дифференциальной игре, складывающейся из
задач 2.7.3, 2.7.4, существует ситуация равновесия.
Теорема 2.7.2. Для любой исходной позиции (ί0, х0)^ТХ
XRn дифференциальная игра, складывающаяся из задач 2.7.3 и
2.7.4, имеет цену с\ (i0, х0), т. е.
min Г3 (i0, x0, U) = max Г4 (<0, х0, V) = с\ (ί0, χ0)
и ν (7.17)
(PeUmJ, 7eVn08).
Доказательство. Схема доказательства этой теоремы
такая же, как и в доказательстве предыдущей теоремы. Полагаем
ЛГ = ГхНя, M,(c) = |(t, *)е=ГхНп: ω(ί, *)<<;}. (7.18)
95

Для любого движения х(-) = (xU), U < t «S О) оценка γ2(ζ(-)) ^ с
эквивалентна условию (Д/3(с), ΛΟ-сблнжения. Обозначим через
С3 множество чисел с, для которых М3(с) Φ 0 и для начальной
позиции (i0) Xo) в классе стратегий Uno3 разрешима задача
Ш3(с), ΛΟ-сближения. Так же, как и в предыдущей теореме,
получаем, что С3 = [с3, °°), и решение задачи 2.7.3 сводится
к определению стратегии U0 <= Uno3, которая доставляет решение
задачи Ш3 (с3), ΛΟ-сближения. Эту стратегию U„ можно
построить как экстремальную к максимальному и-стабильному
мосту Wl в задаче (Л/3(с3), ΛΟ-сближенпя. Из теоремы 2.5.1 и
построения множеств (7.18) следует, что
min Г3 (t0, x0, U) = Г3 (i0. *о. U0) - с.л =SUp Г4 (t0, х0, V). (7.19)
υ ν
Чтобы показать существование оптимальной стратегии
второго игрока, введем в рассмотрение множества Λί4 = {(Φ χ):χ^
eR"}, 7V4(c) = {(i, ileTXR': ω(ί, χ) > с). Для всякого
движения x(-) = ix(t), *<,=£*< Φ) условие (Л/4, ]У4(с))-сближения
эквивалентно оценке γ2(ζ(·)) > с. Пусть С4 — множество чисел с,
для которых N^c) Φ 0, и для начальной позиции (£0, ^о) в классе
Vn03 разрешима задача (Л/4, Л^4(с))-сближения. Можно проверить,
что С, есть полуинтервал (—°°, cj. Решение задачи 2.7.4 сводится
к определению стратегии Va, которая доставляет решение задачи
<Л/4, 7У4(с4))-сближения. Эту стратегию можно построить как
экстремальную к максимальному и-стабильному мосту Win
задаче (Л/4, Л/4(с4))-сближения. Согласно (7.19) получаем
ciin Г3 (i0) x0, U) = Г3 {t0, x0, U0) =с3=с1 =
и
= с\ (t0, х0) = max Г, (*0, x0l V) = Г4 (ί0, z0, V0).
ν
Теорема 2.7.2 доказана.
Отметим, что исследование дифференциальной игры,
складывающейся из задач 2.7.3 и 2.7.4, может оказаться полезным,
например, при решении игровых задач преследования и уклонения
от встречи. Действительно, пусть фазовый вектор χ
характеризует положение преследующего и преследуемого объектов,
а множество Μ с: Rn таково, что попадание на него точки χ
означает встречу преследующего и преследуемого. Полагаем, что
ρ (7.12) функция ω задана равенством ω(ί, я) = distU, M)
((£, i)eTXR"). Пусть с\ (t0, x0) — цена дифференциальной
игры с платой γ2 (7.12) при указанном определении функции ω.
Тогда для исходной позиции (ί0, Хо) задача преследования будет
разрешима к моменту t = Φ тогда и только тогда, когда с2 (ί0,
л0) = 0, а задача уклонения разрешима па отрезке [ί0, Φΐ в том
и только в том случае, когда с2 (i0, x0) > 0, причем в этом
случае второй игрок может исключить сближение фазовой точки
96

xti) с множеством М на расстояние, меньшее чем величина
С2 Cm хо)·
Замечание. Используя теорему об альтернативе для
дифференциальной игры сближения — уклонения, можно доказать
существование ситуации равновесия не только для указанных
выше двух типов дифференциальных игр, но и для целого ряда
других дифференциальных игр, решение которых можно свести
к решению игровых задач сближения и уклонения. Отметим
далее, что в этом параграфе дифференциальные игры были
определены в классе позиционных стратегий обоих игроков.
Доказательство теорем 2.7.1 и 2.7.2 опиралось на теорему 2.5.1 —
альтернативу для дифференциальной игры сближения — уклонения
в классе Uno3 X \„03. Нетрудно видеть, что ситуации равновесия
сохраняются, если в рассмотренных пграх заменить позиционные
стратегии на позиционные процедуры управления с поводырем.
Чтобы доказать существование цены дифференциальной игры,
в классе U,,™ Χ νπο» можно использовать приведенные выше
рассуждения, в которых следует лишь заменить ссылки па теорему
2.5.1 соответствующими ссылками на теорему 2.1.1. Отметим,
наконец, что цена дифференциальной игры не изменяется при
замене класса U„0D на U„0I> и класса Vnu3 па V„0I>.
§ 8. Альтернатива для нелинейной дифференциальной игры
сближения — уклонения
В этом параграфе рассматривается теорема об альтернативе
для нелинейной дифференциальной игры сближения —
уклонения. Конструкции, которые используются здесь, совпадают
в значительной мере с построениями, проведенными в линейном
случае. Поэтому ниже будут указаны лишь те изменения,
которые следует учитывать при переходе к нелинейному случаю.
Итак, пусть движение управляемой системы удовлетворяет
уравнению
i«)=/(i, *(ί), uti), иШ), и(ЙбР, 0it)eQ. (8.1)
Предполагается, что функция / : Τ X R" X Ρ Χ Q -+■ R"
удовлетворяет всем условиям, перечисленным в § 8 гл. I. Наряду с
этими условиями будем предполагать, что для любых seR" и
U, х)*=ТХ R" выполнено равенство {условие седловой точки
в маленькой игре)
min max s'f (t, χ, и, ν) = max inin s'f (t, x, u, υ). (8.2)
ueP isQ »eQ «ep
Это предположение имеет важное значение при исследовании
дифференциальных игр, рассматриваемых в классе позиционных
стратегий, либо в классе позиционных процедур управления с
поводырем. В главе VI будут рассмотрены дифференциальные
7 А. И. Субботии, А. Г. Ченцов
97

игры в случае, когда допускается нарушение условия (8.2).
Отметим, что условие ссдловой точки в маленькой игре
выполняется, например, в случае
fit, χ, и, ν) = /<»>(*, χ, и) + /(2,tt, χ, ν).
Перейдем к формулировке теоремы об альтернативе. Отметим
сначала, что постановки задач Ш, ΛΟ-сближения и Ш, N)'-yn-
лонения остаются без изменений (см. § 1). Следует лишь
учитывать, что пучки движений #?(i0, ха, Ш) и #?(£,,, Ха, У)
определяются согласно построениям, указанным для нелинейного
случая в § 8 гл. I. Ниже будет показано, что для нелинейной
системы при выполнении условия (8.2) остается справедливой
теорема 2.1.1.
В доказательстве этой теоремы используются u-стабильные и
у-стабильные мосты.
В случае нелинейной системы множество W <= Τ X R"
называется и-стабилъным мостом в задаче (М, Ю-сближения системы
(8.1), если оно удовлетворяет соотношениям (2.4), а также
следующему условию (условию ы-стабильности): каковы бы ни были
точки ((^,μι^εΨ, vx e Q и i*e[i*,ft], существует решение
w (") = (ιυ (Ο* ** ^Ξ t ^Ξ **) дифференциального включения
w(t)^co{f(t,w(t),u,v*): ικεξΡ}, ш (ί*) = ιυ*, (8.3)
удовлетворяющее соотношению (2.6).
Множество W с Τ X R" называется υ-стабильным мостом в
задаче (Λ/, NY-уклонения для системы (8.1), если оно
удовлетворяет соотношению (2.7), а также следующему условию (условию
у-стабильности): каковы бы ни были точки (£■*, w^) e W, и^еРи
t* е [£*, Ф], существует решение w (·) = (w (<), ί* < < < t*)
дифференциального включения
w(t)<=co{f(t,w{t),u*,v):v(=Q}, «>(**)=»*, (8.4)
удовлетворяющее соотношению (2.9).
/<· Замечание. Пусть & — множество вероятностных мер,
нормированных на компакте Р. Пусть μ(·): [ί*, ί*]—*-3* — слабо
измеримая функция (см. [4*], стр. 294—325, а также ниже
в § 2 гл. IV). Рассмотрим дифференциальное уравнение
">(*) = f/(*. «'(О. и» v*)Vt(du)> w{tjt) = wjt. (8.5)
ρ
Известно (см. [4*], стр. 404), что множество решений
дифференциального включения (8.3) совпадает с пучком решений
уравнения (8.5), который получается при переборе измеримых
управлений-мер μ(·). Поэтому условие u-стабильности можно
определить в следующей эквивалентной форме: каковы бы ни были
(ίί,ΐίί)εΙ1', у* е Q, t*e(i*,6], существует слабо измеримое
управление-мера μ(·): [ί*»**!-*-^* такое, что решение и>(·)
98

дифференциального уравнения (8.5) будет удовлетворять
соотношению (2.6). Аналогичным образом можно получить, что условия
^-стабильности допускает следующую формулировку: каковы бы
ни были (i*,w*)eW, i(*ei, Z* е (ί*, Ь], существует слабо
измеримое управление-мера ν(·): [£*, ί*]-νζ? такое, что
решение дифференциального уравнения
w(t) = \ f(t, w(t), ц*, v)vt(dv), u; (**)=">* (8.6)
Q
будет удовлетворять соотношению (2.9).
Как в липейпом, так и в нелинейном случаях, важное место
в доказательстве альтернативы занимает теорема 2.2.1.
Справедливость этой теоремы в нелинейном случае можно установить,
используя леммы 2.2.1—2.2.3. Первая из этих лемм
формулируется и доказывается в нелинейном случае точно так же, как и
в случае линейной системы (1.2.1). Формулировка леммы 2.2.2
также сохраняется, но ее доказательство изменяется.
Прежде чем переходить к доказательству леммы 2.2.2 для
нелипейного случая, проведем предварительные построения,
которые потребуются в этом доказательстве, а также в
последующих рассуждениях данного параграфа.
у Пусть
Fit, χ) = со {/(г, х, и, ν): и е= Ρ, υ s Q}.
Символом 8В (ί*, х*) обозначим пучок решений χ(·) = (χ (ί), ί» <
<Ji<Jft, χ (ί*) = χ*) дифференциального включения
kt)e=F(t, *(*)). (8.7)
Введем также обозначения
G° (t„ ж») = {(i, χ (0) e7xR":ie [ί„ θ], χ (·) ε= « («*, ж*)),
(8.8)
G° (Ζ») - { U G° (<*, χ,): (ί„ хч) e= Ζ)},
где ΰ — пекоторое множество в пространстве позиций Τ Χ R".
Напомним, что для компакта D <= Τ X R" множество G"(D) —
также компакт в Г X R" (см. § 8 гл. I).
Замечание. Из построения множества G°(D) вытекает
следующее его свойство: пусть U*, г*) е.СШ); тогда для любого
решения #(·) = U(i), t* =S t ^ ft, x{t*) = ж*) дифференциального
включения (8.7) справедливо it, x(t)) ^ G"(JD) при t* < ί < θ.
Используя это свойство, нетрудно проверить следующее
положение: пусть W — u-стабильный мост в задаче {М, ЛО-сближения;
тогда пересечение G°W) Л W будет опять u-стабнльным мостом
в задаче Ш, ΛΟ-сближения. Аналогично G"(D) Л И7 есть и-ста-
бильиый мост в задаче Ш, Λ0 "-уклонения, если таковым было
множество W.
7* 99

Полагаем далее
F,(f, χ, и) = со {/(ί, х, и, ν) : υ е <?}, (g g)
< F2(f, χ, y) = co{/(i, а;, ц, и): и е= Ρ},
|,(ί, a;, s, и) = maxs'/U, а;, м, и) = inax{s'/: /e^iU, х, и)),
(8.10)
!г(*, a:, s, у) =mins7(i, χ, и, υ) = min is'/: /εί2(/, χ, υ)}.
ueP
Согласно условиям, указанным для функции / (см. § 8, гл. I),
справедлива оценка
|/(ί«1>,*(ι>,«,ΐ')-/(ί(»>,3:(>>,«,ΐ')Κλ··Ι*(1)-*<ί)Ρ+Ε·(δ),
(*«>,*<«) е= G», (и,в)еРх^ |ί«)_ί(«>Κδ, (8Л1)
здесь б* компакт в Г X R", λ* — постоянное число, ζ* (δ) -»- 0
при б -*- 0. Определим величину
A = max|/(i, ж, и, у)| при (ί, а;, и, v) e G^xPxQ. (8.12)
Иэ (8.10)—(8.12) можно вывести следующие оценки:
g^id), *<«, «ω, и) -^(«<«, *(2), »(,>, и)<
< || *«) || [λ, || *<» - *<»> || + ζ* (δ)] +1 β<« - s(» || Λ,
ξ2 (ί»), *«>, sd), в) - ξ2 ((d), *<«>, β<«, ν) > (' '
> -1| β») || Ιλ, Ι ard) - а;<*> || + ζ* (δ)] - || *<« - s<*> || Λ,
(i!V(i))eG*, s<i)eRn, це=Р, we С, | ί(1) - ί(2)| <δ.
Доказательство леммы 2.2.2 (нелинейный
случай). Пусть (tt, ш,,.) ε 1^, W — и-стабильный мост в задаче
(Μ, Ν)Ε* -уклонения (ε* — некоторое положительное число).
Полагаем (см. (8.8))
£>,={(**, а;): ||а;-ю*||<1}, С» = G» (Л,).
Пусть λ* — величина из оценки (8.11) при указанном здесь
выборе компакта G*. Определим величину
ε (ί) = (ε*/2) ехр λ* (t -ft) (ί, < t < ft). (8.14)
Рассмотрим множества
W** = {(ί, *): ί» < ί < ft, dist (χ, ТУ, П G,f) < ε (ί)},
Полагаем г* = (ε*/2) ехр λ* (ί* — ft) и г* = inin {r*, 1}. Из (8.15)
следует, что
{(*„»): |ю - ю» II}<r,}cz W,.
100

Покажем, что множество (8.15) есть в-стабильный мост в
задаче (М, Лг)6,-уклонепия, где ε* = ε*/2. Как и в линейном
случае, из неравенства ε (ί)<!ε* = ε*/2 и условия Wf\Me = 0
следует W* Π Ме* = 0, т. е. множество W* (8.15) удовлетворяет
соотношению (2.7) при ε = ε*.
Проверим, что множество W* удовлетворяет условию у-ста-
бильности при ε = ε*. Согласно замечанию, сделанному выше,
для этого достаточно проверить, что требуемое условие у-ста-
бильности выполняется для множества W** (см. (8.15)).
Отметим также, что в силу этого замечания множество
W* = W[\G* (8.16)
есть у-стабильный мост в задаче (Λ/, TV)8 -уклонения.
Пусть (tu x(l)) е= И7**, t2 e= [ilt Φ], в-* е= Р. Согласно (8.15)
существует точка (i„ ww)^W* такая, что lb(i) — ww\\ ^ e(it).
Пусть в>(·) = (w(.t), ti =S t «S £2) — решение дифференциального
включения (см. (8.9))
ώ (0 е= ^(t, »(*),«*), w {tj = ы>(1), (8.17)
удовлетворяющее либо условию (£2, u>(i2)) <= W*, либо условшо
(τ, и? (τ)) ψ Νε* при некотором т«=[гь ί2]. Такое решение и>(·)
существует, поскольку (tx, и>(и) е W*, а И7* — у-стабильный
мост в задаче (Μ, Ν)* -уклонения.
Ниже будет построено решение х{·) = (я(£), ί,<ί<ί2)
дифференциального включения
i(i)efi(M(t),"*) (*(«i) =*<i'>), (8-18)
для которого справедлива оценка (аналог оценки (2.17))
disd(tt)f<2K*.\\s(t)f (*!<«<*,), (8.19)
где s(i) = w(i) — χ(ί). Из этой оценки, так же, как и в линейном
случае, выводится, что множество W** (8.15) удовлетворяет
условию у-стабильностн при ε = ε„. = ε*/2.
Итак, чтобы завершить доказательство, построим решение
дифференциального включения (8.18), удовлетворяющее оценке
(8.19).'Пусть м>(-)—рассматриваемое решение
дифференциального включения (8.17). Полагаем
F* (*, х, в») = {/* е= Fx (ί, χ, в.): (и? (i) - χ)' /* =
=-- max (w (t) — x)' / при f e= fi\(t, χ, и*)}. (8.20)
Пусть χ(·) = (·τ(ί), ί, ϊξ ί < ί2) — решение дифференциального
включения
χ (ί) e= F* (ί, χ (ί), в»), *(«!) = *(!>. (8.21)
101

Нетрудно проверить, что здесь выполнены условия
существования решения (см. § 8, гл. I). Отметим также, что F* (t, χ, ил) а
С Ρχ(ί, χ, ил), поэтому рассматриваемое здесь решение х(·) бу-
де<г удовлетворять дифференциальному включению (8.18).
Покажем, что справедлива оценка (8.19). Пусть /*(i) = x(t),
fit) = w{t). Тогда
Al^ll^2s'(t)(f(t)-f*(t)). (8.22)
Согласно (8.10), (8.17) π (8.20), (8.21) имеем
s' (i) / (i) < max {«' (t)f: / g= F, (t, w (i), щ,)) -=
= ξ1(ί, u;(i), *(0. «**). .82g.
5'(<)/*(() = тахК(г)/:/е^(^(*).«*)} =
= £ж (ί, *(0, *(*).«**)·
Отметим, что в силу (ilt £(d) еС, и (£х, u>(1)) e G* имеем
(i, j;(())eG и (ί, №(())еб,. Поэтому из (8.13) следует, что
ξχ(ί, ы>*(«), ί(ί), »·)-δι(*. *(*), «(0, "*)<λ|μ(ί)||2. (8.24)
Из (8.22)—(8.24) получаем требуемую оценку (8.19). Лемма 2.2.2
в нелинейном случае доказана.
Рассмотрим третью лемму, которая используется в
доказательстве теоремы 2.2.1. Определим множество
G={{t,w{t)): «!<«<«„ »(·)ε»(ίι, "><ΐ). "*)}, (8-25)
здесь «2? (<х, ww, υ%) — пучок решений w(-) = (w(t), £ι < ί «£ £2,
ϋ^'(ίι) = W(i)) дифференциального включения
w (t) e= ^, (i, и> (i), t'*) = со {/ (t, w (£), u, »»): u e= P).
При переходе от линейного к нелинейному случаю в
формулировку леммы 2.2.3 следует ввести единственное изменение —
множество G (2.19) заменить множеством G (8.25).
Доказательство этой леммы в нелинейном случае можно уложить в схему
рассуждений из § 2, если воспользоваться замечанием,
приведенным выше в данном параграфе, и заменить построения
управления у* (·) = (у* (<) е Q, i* <! t <! ί*) построением управления-ме-
Pbiv,(.)=(v,fe=#, *„<-*<-**).
Располагая леммами 2.2.1—2.2.3, которые остаются
справедливыми для системы (8.1), доказательство теоремы 2.2.1 в
нелинейном случае можно провести точно также, как это было
сделано в § 2 в случае линейной системы.
Перейдем теперь к построению процедуры управления с
поводырем, которая доставляет решение задачи Ш, АО-сближения
в случае, когда начальная позиция содержится на и-стабильном
102

мосту W. Определим функции U° ■ Τ X R" X R" - Ρ н V*: Г X
X R" X R" -ν (9 условиями
max (ζ — ΐϋ)7 (ί, χ, U0 (t, a;, u>), ν) =
= min max (χ — w)'f {t, x, и, ν), (8.20)
ие.р ve=-Q
min {x — ίί>)'/ (fi χ·< «ι ^* (*) ζ> ">)) =
— max min (χ — it;)'/ (£, .τ, и, ν). (8.27)
ueQ ue ρ
Отметим, что в лилейном случае эти соотношения обращаются
в условия (3.1) и (3.2).
Пусть W — и-стабильнын мост в задаче Ш, ЛО-сближения.
Полагаем, что переходная функция поводыря "ψι: jT+XR XR —>
->-Rn пабору (£*, t*, χ*, w*) ставит в соответствие точку w* =
= w(t*), в которую приходит в момент t = t* решение м>(·)
дифференциального включения (.8.3), где у* = V* (£*, x*, и>*)·
Это решение w{) в случае (i,,., w*) e W должно удовлетворять
соотношению (2.(5), а в случае (i*, w#) ^W w (■)— произвольное
решение дифференциального включения (8.3). Наконец, функцию
χ° : Τ X R" -*- R" определил! здесь равенством (3.5).
Итак, для нелинейной системы (8.1) получаем процедуру
управления с поводырем <2/° = (t/°, ψ?, χ°). Содержание
указанного построения процедуры Щ" остается тем же, что и в
линейном случае. При выполнении условия (8.2) для указанной
процедуры 41" справедлива теорема 2.3.1. Доказательство этой
теоремы в нелинейном случае опирается па сформулированную и
доказанную нпже оценку (см. лем.му 2.8.1), которой в линейном
случае отвечает лемма 2.3.1.
Чтобы сформулировать эту оценку, введем следующие
обозначения. Полагаем G* = G0 (t0, х0) (см. (8.8)). Пусть λ^., ζ* (δ)
и Λ — величины из оценок (8.11) и (8.12) при указанном выборе
множества G*. Пусть ·
ζ (δ) = 4A(ft - ί0)[ζ* (δ) + λ*Λδ) + 8Λ2δ. (8.28)
Справедлива
Лемма 2.8.1. Пусть (ί*, ^eG,, (i*, w^) e G», u° =
= U°(t*, x*, ">*), у* = V* (£*, χ*, ίί'*), y(-)e vr· Далее пусть
x (·) = (x (*)i £* ^ t ^ i* -\- б <J f}) — решение уравнения
χ (ί) = / (ί, х (ί), и», ι; (ί)), * («·) = *», (8.29)
α u; (.) = (u; (ί), ίΛ ^ ί ^ ί + δ) — некоторое решение
дифференциального включения
w (t) e= F2 (ί, ш (ί), ν»), и> (ί*) = ю». (8.30)
103

Тогда при выполнении условия (8.2) справедлива оценка
ίΙ±ί£ΐί<2λ*Η*)||8 + 2ζ(δ), (8.31)
где. s(i) = x(t) - w(t).
Доказательство. Введем обозначения /* (£) = х (t),
f*(t) =w{t). Тогда
rtjlsr^ = 2s' (0(/.(ί)-/* (*))·
Согласно (8.10), (8.29) π (8.30)
β' (ί) /* (t) < max *·' (ί) / (t, χ (ί), и°, у) = ξχ (ί, χ (ί), * (0, «*·),
β' (ί) /* (ί) > min {,' (ί) /: / e= F (ί, w (ί), »,)} =
= min 8' (t) f (i, «. (ί), и, г») = |2 (ί, и? (ί), * (0. у*)·
Поэтому
^il^J- < 2 & (ί, a; (ί), * (0. и°) - S« («♦ и» (ί), * (ί), ι?»)Ι- (8.32)
Из (8.13) следует
ξ2(ί, 117 (ί), 8(ί),^)>ξ2(ί, *(ί).*(ί), Ι'*) "λ* 1U (Of,
ξχ (ί, χ (ί), s (ί), и0) < ξχ (ί*, χ*, * (ί„), и°) + (8.33)
■ + II * (0 №* II * (0 - ** II + ζ* (δ)] + Λ| s (ο - « (ί*) |.
Учитывая, что ||ί(ί)ϊ< 2A(ft - ί„), \χ (ί) -χ*||<Αδ, | s(t) -
— s (**)[<;4Λδ, получаем (см. (8.28))
lx (t, χ (ί), s (ί), «») < Ιι (**, χ*, * (ί*), и°) + ζ (δ)/2. (8.34)
Аналогичным образом приходим к оценке
ξ2 (ί, а; (ί), * (ί), ι;,) > ξ2 (t„ a:», s (*,), νΛ) - ζ (β)/2. (8.35)
Поскольку u° =V° (**, a;*, iy*), у* = V* («*, a;*, ιυ*), s (ί„.) = χ* —
— U7t, то из (8.10) и условия (8.2) (эдесь впервые используется
условие (8.2)) следует равенство
i2(f*. **> s (**).*>*) = maxg2(i*, a;*, s («„.), у) =
= max min s'(«»)/(«„., a;*, u, v) = min max s' (**)/(«„,, a;*, u, y) =
= ming1(t„ a:», *(«*), и) = ξχ(ί*, χ*, *(t,), и0). (8.30)
uep
Из (8.32)—(8.36) следует оценка (8.31). Лемма 2.8.1 доказана.
Дальнейшее доказательство теоремы 2.3.1 для нелинейной
системы (8.1) полностью совпадает с выкладками, приведенными
в § 3.
104

Аналогичным образом для заданного у-стабильпого моста
можно определить процедуру управления Т° = {V0, ψ§, χ°).
Функцию V°: Τ X R" X R" -*■ Q выберем из условия
min (w — χ)' f (t, χ, ц, V° (t, x, w)) —
«eP
= max min (w — x)' f(t, x, u, v). (8.37)
reQ u<=P
Определим также отображение i/* = Τ Χ Rn x R -*-Ρ,
удовлетворяющее условию
max (w — x)'f (t, χ, U*(t, χ, w), ν) = min max {w — x)' f (t, x, u, v).
»eQ ueP veQ
Пусть W — у-стабильный мост в эадаче (Λ/, ЛОе-уклонения для
системы (8.1). Для этого моста переходную функцию ψ2: Τ\ Χ
xRnxRn-»-Rn определим следующим образом. Полагаем, что
набору (i*, t*, х#, и;*) функция ·φ2 ставит в соответствие точку
w* = Ψ2 (**, t*, х#, w^), в которую в момент времени t = t*
приходит решение w (·) = (w (ί), ί* <J t <! ί*)
дифференциального включения (8.4), где u*=#*(£„., ζ*, Μ*). В случае (ί*, w+) e
e W это решение ιν(·) должно удовлетворять условию (2.9),
а в случае (i*, w#) ςέ W решение u>(·) выбирается произвольно.
Для указанной процедуры управления с поводырем Уй =
= (V0, ·ψ2, χ°) в нелинейном случае при выполнении условия
(8.2) справедлива теорема 2.3.2. В нелинейном случае так же,
как и в линейном случае иэ теорем 2.2.1, 2.3.1 и 2.3.2 следует
теорема 2.1.1.
Альтернативные условия разрешимости задач Ш, ЛО-сближе-
ния н (Л/, ΛΟ'-уклонения остаются в силе, если
дифференциальная игра сближения — уклонения рассматривается в классе
позиционных стратегий. В этом случае вводятся в рассмотрение
стратегии, экстремальные к стабильным мостам.
Пусть W — замкнутое множество в пространстве позиций
Τ X R", для этого множества W функцию χ": Τ X RK -*- R"
определим соотношениями (4.1). Полагаем, что стратегии U':.TX
X R" -»- Ρ и V: TXR" -* Q заданы равенствами
U'(t, χ) =ί7°(ί, χ, χ·(ί, *)), (838)
V'(t, χ) = 7·(ί, χ, χ'(ί, χ)),
где функции U" и V выбираются иэ условий (8.26) и (8.37)
соответственно. Определенные эдесь стратегии U* и V* будем
называть экстремальными к множеству W. Для нелинейной
системы (8.1), удовлетворяющей условию (8.2), остаются
справедливыми леммы 2.5.1 и 2.5.2, из которых следует теорема 2.5.1.
При доказательстве этих лемм можно использовать выкладки,
приведенные в § 5, при этом следует лишь заменить ссылку на
лемму 2.3.1 ссылкой на лемму 2.8.1.
105

Используя теорему об альтернативе, можно доказать
существование ситуации равновесия в нелинейной дифференциальной
игре с платой вида y^xl·)) (7.1) либо γ2(α;(·)) (7.12). Таким
образом, в нелинейном случае при выполнении условия (8.2)
остаются справедливыми теоремы 2.7.1 н 2.7.2. Доказательство их
полностью укладывается в рамки рассуждений,
приведенных в § 7.
В заключение параграфа приведем два вспомогательных
утверждения, которые потребуются в следующей главе.
Пусть D — компакт в Г X Л". Множество G°(D) определим
согласно (8.8). Пусть λ* π Λ — величины из оценок (8.11) и (8.12),
где G*= G'\D). Полагаем, что ASM. Для точек ((*,^)еА и
(£*, х*) е D определим величину
ε* (ί„ xt, t*, χ*) = 11 ж, - χ* 1 -Ι- Λ I <* - t* | ] exp λ, (θ - t00)
(8.30)
и множества
Мщ = Mu* П &(D), Λ', = Λ·['·] Π G°(D),
где Ми] и ./V[el — замкнутые ε-окрестпости множеств Μ η Ν,
ε* = ε* (i*, xx, £*, χ*). Справедлива следующая
Лемма 2.8.2. Пусть W — и-стабилъный мост в задаче Ш, Ю-
сближения, D — компакт в Τ ХЛ". Пусть (ί*, а;*) е D и (£*,
i*)efl Π W. Тогда можно построить позиционную
стратегию С/* такую, что для любого движения χ (·) е=. 26 (i*, x^, U*)
будет выполняться условие (Λ/*, N ^-сближения.
Доказательство. Полагаем G*=G0(£>). Рассмотрим
множество W* = W f] G*. Это множество есть компактный
и-стабильнып мост в задаче Ш, ΛΟ-сближения, содержащий
точку (£*, χ*) (см. замечание па стр. 99). Пусть х^Т, г>0.
Определим множество
W„(T,r)=G» f\{(t,w): τ<ί<ί>,
/ *\ (8.40)
dist (w, Wt) < r exp λ* (ί - τ)}.
Множество W'** (τ, г) есть u-стабнльный мост в задаче \М Π
Π Gx, Νίε] Π G*)-сближения при ε = r exp λ* (Φ — τ).
Проверка этого факта почти полностью укладывается в рамки
рассуждений, приведенных при доказательстве леммы 2.2.2.
Воспользуемся множеством W** (τ, г) для построения ы-стабнльного моста
в задаче (Λ/*, #*)- сближения, содержащего точку (£*, я*).
Пусть £$ <Ι t*. Построим множества
У* = {(i, w): ί* < ί < ί*, (ί, ιρ) e G° (i,, χ*)),
(8.41)
W*=y* U W«(i*. г*), где г* =Цл:ф — «*|| + Λ(ί* — ί„).
Напомним, что G°{t*, а:^.) определено согласно (8.8). Учитывая
вложение {(**, w): (ί*, ш)еУ,.}с1У»* (ί*, г*), можно
106

проверить, что множество W* (8.41) есть ы-стабильный мост в
задаче (М*, ЛГ*)-сближепия. Мост W* содержит точку (**,£*).
Пусть теперь ί*>ί*. Определим миожество (см. (8.8))
У* = {(i, w): t* < t < ί,, (ί, ι») e= G° (ί·, ж*)}.
В сплу и-стабильности моста W* в задаче (Л/, ЛО-сближеншя
возможны два случая.
Первый случай. Существует точка (i*, w*) еУ* Π W*.
Рассмотрим множество
W,=W,%(i*,r»), где г„, --= Ц я:* — ж* Ц + Λ (ί. — ί*>. (8.42)
Это множество есть u-стабильный мост в задаче (М*, ЛГ*)-сблн-
жения. Поскольку \х* — wt|<A (ί* — ί*), то \и># — аг^ЦО*.
Отсюда выводится, что множество W* содержит точку (ί*, хл).
Второй случай. Существует точка (ί, ш) е У* П ¥, В этом слу-
чав1а:,-ш1<||а:%-х*|| + ||**-»|<|а:*-а:*|| + Лч(?-«*)<
^ε„ = ε* (£*, χ*, t*, χ*). Учитывая, что Л>1 и ie [t*, £*],
получаем | ί* — ί | <j ε* и приходим к оценке max {| хл — х* ||,
!«„« —ί*|}<ε»: Поскольку (ί, ш) е Л/ Π G* с: ΛΓ П G*, то (ί*,
£„.) е Л-ί,,. с ЛГ*. В качестве ц-стабильного моста в задаче (Л/*,
Л^)-сблпжения выберем здесь множество W*, состоящее из
одной точки (£*, х*).
Итак, в каждом из возможных случаев построен ц-стабильный
мост W* в задаче (Л/*, Л^-сблпжения, содержащий точку
(£„., х#). Стратегия U*, экстремальная к W*, обеспечивает
(Л/,, ^*)-сближение для любого движения χ (·) е 86 (ί*, х#,
ί/*). Лемма 2.8.2 доказана.
Рассмотрим второе вспомогательное утверждение. Пусть
?7eUno3, Uo, «o)e21XRn, ί*^(ί0, Φ). Рассмотрим следующее
множество:
&ltti{t0,x0, ί7) = {*(.) = (*»(*) при *0<ί<ί*,
χ*(ί) при ί*<ί<·&): ι,(·)εί?(ί„ *0. tf).
**(.)е= #(«*,*„(«*), 17)}. (8.43)
Таким образом, элементами этого множества являются
непрерывные на [t0, ·&] функции а;(·), которые на отрезке [i0, t*] совпадают
с одним из движений £*(·) пучка #?(ί0, Χα, U), а на отрезке
it*, ·&] совпадают с некоторым движением я* (·) е 93 (t*, х# (ί*),
U). Отметим, что множество Я?*'*' (ί0, χ0, U) может пе совпадать
с пучком $P(t0, Жо, U). Тем не менее справедлива
Лемма 2.8.3. Пусть W—и-стабильный мост в задаче (Л/, Ν)-
сближения, (i0, x<>) eW, ί* е (ί0, φ), ί/· — стратегия,
экстремальная к W. Тогда для любого χ(·)^9? ' (ί0, я<>, Ϊ7") имеет место
Ш, Ю-сближение.
107

Доказательство. Пусть
я (·) = (** (О при t0 < t < t*, χ* (t) при ί* <*<#)€=
^^t1,)(t0,x0,Ue). (8.44)
Для ζ* (·) s Й? (ί0, ж0, t/e) справедливо (ί, ζ* (ί)) gfcA' при
'.<;ί<τ·(ϊ4(.)).τ·(ϊ»(·κ*.
Если τ° (ж* (·))<;£*, то сразу получаем, что для функции х(-)
(8.44) имеет место Ш, ЛО-сближение. Если же τ°(χ* (·))7>ί*,
то (ί*, a;* (t*)) e >У. Откуда следует, что
(*, xHt))eW<=N при ί*<ί<τ·(β·(.)), τ°(ζ*( ■))<#.
Учитывая, что (ί, χ* (t)) е ΛΓ πρπ ί0 < ί < £*, получаем, что в
этом случае для функции ж(·) (8.44) также имеет место Ш, Ю-
сближение.
Следствие. Пусть решение задачи 2.7.£ U = 1 или 3)
построено в форме стратегии U0, экстремальной к
соответствующему и-стабильному мосту W\ (см. § 7). Тогда для любой функции
χ{·) ε Я?('*> (ί0, χ0, U0) (t* е= (ί0, О)) справедливо
У1{х('))^с1(*о' хо) (в задаче 2.7.1),
7г (*(■))<сг (*о-ζ0) (в задаче 2.7.3).
Пусть решение задачи 2.7.г О" = 2 или 4) построено в форме
стратегии V0, экстремальной к соответствующему υ-стабильному
мосту W\ · Тогда для любой функции х (·) е 8S{t*) (t0, x0, V0) (t* e
^ (*0' &)) справедливо
7i(a;(-))>ci(io. «о) (« задаче 2.7.2),
Y2 (*(·))> сг (*о. *о) (в задаче 2.7.4).
Справедливость этого утверждения вытекает из леммы 2.8.3
и эквивалентности задач 2.7.1—2.7.4 соответствующим задачам
сближения (см. доказательство теорем 2.7.1 и 2.7.2).

Г л а в а III
ОБОБЩЕНИЕ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ
§ 1. Основное уравнение
В предыдущей главе рассмотрены дифференциальные игры,
для которых доказано существование цены. Согласно теореме
2.7.1 любой исходной позиции (ί0, #ο) <= Τ Χ Rn можно поставить в
соответствие цену сх (ί0, χ0) дифференциальной игры,
складывающейся ив эадач 2.7.1 и 2.7.2. Следовательно, можно ввести в
рассмотрение скалярную функцию {tQ, xQ) -*- сх (ί0, х0),
определенную на множестве Τ Χ R". Эту функцию будем называть
потенциалом дифференциальной игры либо функцией цены
дифференциальной игры с платой
γ,(*(-)) = σ(*(θ)). 11.1)
Согласно теореме 2.7.2 можно определить также функцию
сг(-): rxRn-»-R, которая исходной позиции (ί0, Ζο) ставит
в соответствие цену с\ (£0, х0) дифференциальной игры,
складывающейся ив эадач 2.7.3 и 2.7.4. Эту функцию будем называть
потенциалом (либо функцией цены) дифференциальной игры с
платой
γ, (*(■))= min ω («,*(«)). (1.2)
ί0«<*
В настоящей главе, в основном, исследуется потенциал с?(·)
дифференциальной игры с платой вида (1.1). В § 6 будут
рассмотрены свойства потенциала с*-(·) дифференциальной игры с
платой (1.2). Как обычно, будем предполагать, что движение
управляемой системы описывается линейным уравнением (1.2.1).
Результаты, полученные при исследовании потенциала линейной
дифференциальной игры, будут перенесены на нелинейный
случай в последнем параграфе этой главы.
Итак, рассмотрим дифферейциальную игру, складывающуюся
из задач 2.7.1 и 2.7.2. Укажем некоторые свойства потенциала
сх(·) этой игры.
109

Лемма 3.1.1. Потенциал cj(·): ΓχΙ^-^Κ есть
непрерывная функция.
Доказательство. Пусть D — компакт в ГXR".
Определим множестно G°(D) (2.8.8) (здесь /U, χ, и, ν) = A(t)x + B(t)u +
+ C(t)v). Поскольку σ(·)—непрерывная функция, а множество
CfW) — компакт, то
Ισ(ζ(1))-σ(2:(2))|*£ζ(ε), ζ(ε)->0 при ε-> О, (1.3)
где ΙΙα;(,)-χ(2)ΙΙ^ε, (θ, xw) s G4D) (i = l, 2).
Полагаем Ν = Τ Χ Rn и
Af(e)-{(#, x): oixXe). (1.4)
Отметим, что из (1.3) и (1.4) следует оценка
σ (*)< с + ζ (ε) для всех (О, ж) е= Д/Се] (с) П G0 (О), (1.5)
где Л/[eI — замкнутая ε-окрестность множества М. Выберем две
точки (ί*, χ*) efl и (ί*, χ*) efl. Как показано при
доказательстве теоремы 2.7.1, точка (ί*, χ*) принадлежит максимальному
u-стабильпому мосту W в задаче (Л/(с*), ΛΟ-сближения, где
с* = cj(f*, χ*).
Воспользуемся теперь леммой 2.8.2. Согласно этой лемме
существует стратегия i7*eUn03, которая переводит управляемую
систему из начальной позиции (£*, х*) на множество Μ (с*) Π
Π G°(D). Напомним, что
ε* = е»(«„ ж», ί*, χ*) = Ц«*-х*|| + Л|^-«*|] X
χ ехр λ*(ϋ — ί00). (1.6)
Из (1.5) следует оценка
Υι (*(■)) = σ (* (*)) < с* + ζ (ε*) = с? (ί*, **) + ζ (β,). (1.7)
Неравенство (1.7) справедливо для любого движения а;(-)е
е # (ί*, а;*, ί/*), поэтому в силу (2.7.3), (2.7.6) и (1.7) получаем
с°г («., **) < Г* (*„ *„ U*) < с? (ί*, χ*) + ζ (ε*). (1.8)
В неравенстве (1.8) можно переставить местами точки (£*, а;*) и
(ί*, я*), что приводит к оценке
|βϊ(ί.,**)-β?(ί*,**)|<ζ(β.). (1.9)
Из (1.3) и (1.6) следует, 4Τοζ(ε*)-»-0 при Ця* — ζ*||-»-0, | i* —
— £* | тз- 0. Лемма 3.1.1 доказана.
Справедлива также следующая
Лемма 3.1.2. Пусть функция σ(·): R" -*■ R удовлетворяет
условию Липшица в каждой ограниченной области Υ <= R". Тогда
потенциал ci(·)'· rxRn-vR также удовлетворяет условию
Липшица в любой ограниченной области OcfX R".
110

Доказательство. Пусть D — ограниченная область в
TXR". Определим согласно (2.8.8) ограниченное множество
G — G"{.D). В области Y — G* выполняется оценка (1.3), где
ζ(ε)=£*ε, (1.10)
L*—постоянная Липшица функции σ(·) в области У.
Подставим (1.10) и выражение (1.6) для величины ε* в оценку (1.9),
получаем
< L* ехр λ» (θ - «„о) (Ι я* - χ* Ц + Λ11* - t*\)
((«», **)€=/>, (»»,i»)6i)).
Откуда видно, что потенциал cj(·) удовлетворяет условию
Липшица в области D. Лемма 3.1.2 доказана.
Таким образом, в рассматриваемой игре потенциал наследует
липшицевость функции платы. Можно задаться теперь
следующим вопросом: если функция платы σ(·) является гладкой
(всюду дифференцируемой), будет ли также гладкой функцией и
потенциал дифференциальной игры? Ниже приведен контрпример,
который показывает, что ответ на этот вопрос будет
отрицательным.
Продолжим рассмотрение случая, когда функции σ(·): R"-»-R
с° (·): 7'xRn-^R являются локально липшицевыми.
Согласно теореме Радемахера (см. [16*] и [14*], стр. 122) липшице-
вая функция <Ч(·) будет дифференцируема почти всюду на
Τ X R\ Обозначим черев £) множество точек в Г X R", в которых
потенциал дифференцируем. Мера оставшегося сингулярного
множества 9'= (2™XRn)Y2> будет равна нулю. Справедливо
следующее положение.
Теорема 3.1.1. Пусть с?(-): ΤX~Rn-*-~R — потенциал
рассматриваемой дифференциальной игры. Тогда в каждой точке
(£, а;) ^ 3) выполняется соотношение
дс°. г .
—ят- (*. х) + пип max I gradx сг (t, χ) ■ (A (t) χ +
+ B{t)u + C(t)v)] =0 (1.11)
и при любом ieR" справедливо краевое условие
с[ (θ, χ) = σ (χ) (1.12)
(здесь
8га«1яв(*, *) = (-£-(*,*), ...,^-(ί)3;))
— вектор-строка).
Ш

Доказательство теоремы 3.1.1 будет получено ниже (см.
замечание 1 в § 4). Отметим, что в теории дифференциальных игр
соотношение (1.11) имеет несколько названий: оно именуется
основным уравнением, уравнением Беллмана — Айзекса,
уравнением метода динамического программирования. Липшицеву
функцию с(·): rXIf-^R, которая удовлетворяет основному
уравнению во всех точках, где она дифференцируема, назовем
обобщенным решением этого уравнения.
Итак, теорема 3.1.1 устанавливает, что потенциал
дифференциальной игры должен быть обобщенным решении уравнения
(1.11) с краевым условием (1.12), т. е. в этой лемме указано
необходимое условие, которому удовлетворяет потенциал с°(·)·
Однако сформулированное эдесь условие не является
достаточным, поскольку среди обобщенных решений основного уравнения,
удовлетворяющих условию (1.12), могут быть и другие функции,
отличные от потенциала с?(·). Один такой пример рассмотрен
ниже. Чтобы среди обобщенных решений основного уравнения
выделить потенциал дифференциальной игры, нужно исследовать
его поведение на «сингулярной поверхности» —множестве SP, где
функция сх(·) недифференцируема. Этот вопрос будет изучаться
в последующих параграфах этой главы.
Перейдем теперь к рассмотрению примера.
Пример. Пусть х, и, ν — скаляры. Изменение фазовой
переменной χ удовлетворяет уравнению
kt)-!>(«) +(2-«)«(*), (1.13)
где управления первого и второго игроков стеснены
ограничениями
ЫШ\ «1, |w(i)l =£1, «е=Г = [0, 21. (1.14)
Функционал платы задан равенством
Ч1Ы-)) = хЧ2) (т. е. здесь θ = 2, σ(χ) = ζ2). (1.15) ·
Потенциал рассматриваемой игры определяется соотношением
max {φι (t, χ), φ2(*, ж), φ3 (ί, χ)}
при 0<ji<jl, zeR,
max{q>i(f, x), φ2(*. *)}
при 1<ί<2, ieR,
где
φ,(ί, x) = ix + t-tz/2)\
φ»(ί, x) = (-x + t-t1/2)\ (1.17)
φ,(ί, x) = 1/4.
cl(t,x) =
(1.16)
112

Рис. 6.
Обоснование равенства (1.16) можно предложить в качестве
упражнения. Отметим также, что в § 4 показано выполнение для
функции с?(·) (1.16) необходимых и достаточных условий,
сформулированных там для
потенциала дифференциальной игры. а,
Как видно из рис. 6, где
изображены поверхности уровня
потенциала, функция cj(·) (1.16)
не является дифференцируемой,
хотя плата ведана здесь
дифференцируемой функцией σ(·).
Функция с? (·) (1.16)
удовлетворяет краевому условию с\ {Ь =
= 2, χ) = σ (х)=х2. Покажем, что
почти всюду на [0, 2\ X R
функция с? (·) (1.16) удовлетворяет
основному уравнению.
Определим открытые множества
£. = {(*, ζ)«ξ(0, l)XR: x>t2/2-t+i/2)U
U{(i, aOell, 2JXR: x>0),
D2 = {(i, aOe=(0, DXR: x< —(i*/2 —t + 1/2)} U
U{(i, *)e[l, 21XR: x<0),
A, = M, a:)e(0, l)XR: Ы < «V2-1 + 1/2).
На рис. 6 область Ζ), лежит выше кривой ΑιΒΕ, область D2
расположена ниже кривой АгВЕ, область D3 находится между
кривыми ΑιΒ и АгВ. Согласно (1.16) иШеем
с\ (t, χ) = φι(ί, χ) при (ί, i)eflj" (t = l, 2, 3). (1.19)
Обозначим черев Λ4(ί*, χ#, и, у) производную функции t-*-<pM,
χ(ί)), вычисленную в точке ί* вдоль движения ж(·) системы
•
a;(£) = i7-f (2 — t)u, χ(ίΛ)=χΛ, t^t^. Для этих производных
получаем следующие выражения (см. (1.17)):
К (ί„ ж», и, ν) = 2 (ж, - ίί/2 + t») [(1 - i») + ν + (2 - t») «1,
К («·, **, и, у) = 2 (- χ, - t\l2 + ί*) [(1 - ί») -
-у-(2-*»)и],
Μ'*, а:*, и, у) = 0.
Нетрудно проверить, что в области D( функция φ((·)
удовлетворяет основному уравнению, т. е.
min max hi (£*, хл, и, ν) = 0 при |и|<11, |у|<;1. (1.21)
(1.18)
(1.20)
ИЗ

Таким образом, в каждой из
областей А функция с?(·) (1.16)
удовлетворяет основному
уравнению. Мера оставшегося
(сингулярного) множества
^=([0, 2]X-R)VD1\)D2\)D3)
(1.22)
равна
Следовательно,
нулю,
функция сх(·) (1.16) есть
обобщенное решение основного
уравнения с краевым условием
с?(0 = 2, χ) = σ (χ) = χ*.
Покажем, что в этом примере
Рис. 7. существуют и другие
обобщенные решения основного
уравнения, удовлетворяющие краевому условию с(Ф, х)=о(х).
Таковыми будут, в частности, функции
q>! (t, χ) при (ί, x) e Z)1 (α),
ca(t, χ)= φ2(ί, χ) при (ί, г) е Ζ)^ (α),
α2 при (i, ζ) e Z)3(oc).
Здесь параметр а принимает значения из отрезка [0, 1/2J,
А(«) = {(*. *)е[0, ta] X R: x^t2/2 — t + a} U
U {(ί, χ) <= [<α, 2] xR: ζ>0},
Z?s (α) = {(ί, i)e[0,i.lxR:· a: < - (ί2/2 - t + a)} U
U {(f, ж) e= [t«, 2] χ R: z<0},
D3 («) = {(*, x) e 10, („]XR: | * | < i2/2 - t + a),
где ία = 1 — VI — 2a. Отметим, что при a = 1/2 функции ca(·) и
cj(·) совпадают. Можно проверить, что при любом aelO, 1/2J
функция СаС·1) непрерывна, удовлетворяет краевому условию
ca(fl·, а;) = а(х) = f и во внутренних точках областей Д(сс) (i =
= 1, 2, 3) удовлетворяет основному уравнению. Итак, получаем
целое семейство са(·), (а е [0, 1/2]) обобщенных решений
основного уравнения. На рис. 7 изображены поверхности уровня
функции са(·) при а = 0.
§ 2. Свойства потенциала cj (■)
Продолжим изучение потенциала дифференциальной игры,
складывающейся из задач 2.7.1 и 2.7.2. Ниже указаны
необходимые и достаточные условия, которым должеп удовлетворять по-
114

тенциал этой дифференциальной игры. Содержание полученных
условий аналогично тем свойствам, которые были
сформулированы для стабильных мостов. Материал данного параграфа будет
использован в доказательстве основных результатов этой главы
в §§ 4, 5.
Пусть с(-): Τ X R" -<- R — непрерывная функция, (t^, х#) —
некоторая точка из множества [ί00, θ) Χ R". Сформулируем
следующее условие, характеризующее поведение функции с() вдоль.
движений конфликтно управляемой системы в окрестности точки
(£*) х*)·
Будем говорить, что непрерывная функция с(): ГХ
XR"-i-R удовлетворяет в точке (ί*, ι») е [tM, ^xR71 условию
и-стабильности, если
supinf Йт {c{t, x(t)) — c(t*, χ*))·(ί — ί*)_1< 0. (2.1>.
ν a:(-)Ui*
Здесь v^Q, г(-)е^(^, ι„ в) ={г(-, ί„ ι», «(■), ρ): и(«)е
eUT), lim — верхний предел при ί-νί* + 0. Будем говорить,
ни
что непрерывная функция с(): Τ X R" ->- R является υ-стабилъ-
ной в точке (ί*, я*) е [i00, flJxR11, если
inf sup lim (с (ί, а; (ί)) — с (**, *,)) · (ί — f *)-1 > 0, (2.2>.
" *<■> 7VU
где ие=/>, 1(.)е^((„ χ*, и)={х{-, ί„ χ*, и, »(■)): у (■) eVr},.
lim — нижний предел при £-»- ί* + 0.
Таким образом, условие и-стабильности означает следующее:
для любых v^Q и ε > 0 существуют число б > 0 и движение
χ (·) е $? (ί*, я*, и) такие, что неравенство c(i, я (*))<!с(£*,.
я*) + ε (г — **) будет справедливо при всех ie[i», ^+ δ]>
Аналогичным образом для г>-стабильной функции с() при любых
и^Р и ε>0 можно указать число б >0 и движение х{·)^
е $6 (ί*, я*, и) такие, что с (ί, χ (ί)) ^ с (**, χ*) — ε (ί — i*) при
г* < г < г* + δ·
В дальнейшем функцию с(·): 2™XRn-»-R будем называть,
и-стабильной (и-стабильной) в области G <= [ί0ο, Φ) Χ R", если она.
удовлетворяет условию и-стабильности (у-стабильности) в каждой
точке (i*, x#) e G.
Лемма 3.2.1. Если функция β(·): fXR"-^R и-стабильна
в области [t00, ft) XR", то в каждой точке (£*, z*) e [ί00, ΰ·) xR№
справедлива оценка
max min max с (ί, я (ί)) <! с (£*, ж*)
о ж( ·) t
при v^Q, χ (·) е J2? (ί*, χ*, у), ie[f», ■&].
(2.3>
115.

Аналогично, если функция с(-) υ-стабильна в области [ίρο,^ΧΒ",
то в каждой точке (£*, a;*) s [t00, Φ) χ R" справедлива оценка
minmaxminc(i, χ (i))>c(i*, ж») (2.4)
U *(·) ί
гари не Ρ, а; (·) е= ^ (ί*, **, и), «е[<4, *].
Доказательство. Покажем, что для ιι-стабильной
функции справедлива оценка (2.3). Допустим противное. Пусть
существуют (£*, я*) е [ί00, Ο) X Rn, i;*eCna>0 такие, что
min max с (ί, а; (ί)) > с (i*, a:,,.) + α
*<> ' (2 5)
при *(.)е=Я?(«*, ж», w,), te|i„*l.
Пусть а; (·) е #? (i*, а-*, и*), полагаем
Г» (*(·))={« е= Ιί», θ]: с (ί, χ (ί)) < с (ί», χ.) + ε (ί - ί*)},
τ* (χ (·)) = max (τ: [ί,, τ] с= Г* {χ (.))}, (2.6)
где
β = α(θ-ί,Γ1. (2.7)
Отметим, что в силу (2.5), (2.7) имеем Τ* (χ (·))^0 и
τ* (ж (·)) < ^ Для любого χ (·) е «2? (ί*, χ+, ν+). Можно прове*
рить, что функционал а; (·) -*- τ* (ж (·)) полунепрерывен сверху,
поэтому в компакте S3 (ί*, χ*, ν%) можно выбрать движение
х+ (·) такое, что
т*(х,(>))=тахт*(х(·)) при i(.)ef (t„i„»t). (2.8)
Полагаем ί* = τ* (χ* (·)), χ* = χ* (ί*). По выбору числа ί*
имеем (см. (2.6))
c(t, «*(ί))<β(ί·. *·) + β(ί—ί») при ί*<ί<ί*,
с (ί*, а;* (ί*)) = с (ί„ β.) + ε (ί* - ί*). (· · '
Поскольку ί*<Φ и в точке (ί*, а;*) функция с(·)
удовлетворяет условию в-стабильности, то можно укаэать число δ е (0, ft —
— ί*] и движение а;* (·) е S6 (i*, a;*, v*) так, чтобы
еС#, i*(t))<e(l*, χ*) + β(ί-ί·) при ί*<ί«ί* + δ. (2.10)
Рассмотрим движение а; (·) = (χ* (ί) при f^^f^t*, а;* (ί) при
i* <J t <J ί* -|- δ). Это движение содержится в пучке S3 (£*, х+, у*).
Из (2?9), (2.10) получаем
c(i,i(i))<e(i*,a:,)+^i-*,) при ί, < ί < «* + в.
Поэтому согласно (2.6) имеем τ* (ж(-))^5 ** + δ>ί* = τ* (я* (·))·
Однако это неравенство противоречит условию (2.8). Полученное
противоречие доказывает, что w-стабильная функция должна
удовлетворять соотношению (2.3). Аналогичным обраэом можно
проверить, что у-стабильная функция удовлетворяет оценке (2.4).
116

Лемма 3.2.2. Пусть и-стабильная в области [f00, Φ) X R"
функция c*(·): iXR'^R удовлетворяет оценке с*(0, x)>o(x)
(x e R"). Пусть U' — позиционная стратегия, экстремальная к
множеству
W*=-i(t, j)erXR": e*(i, x)^cHt0, x„)). (2.11)
Тогда
4 (ί0. *ο) < Γ* (ί0, x0, IT) < с* (t0, ж0). (2.12)
Далее пусть v-стабильная функция с* (·) удовлетворяет оценке
с* (Ф, я)<!с(ж) UeR"), Пусть V — позиционная стратегия,
экстремальная к множеству
W* - {(«, г)еГх R": с» (ί, ж) > с* (i0f ж0)]. (2.13)
Тогда
ci(t0,x0)>Tik(t0,x0,r)^c1,(tu,xu). (2.14)
Здесь с? (£0, ж0) — цена рассматриваемой дифференциальной игры,
определенная для исходной позиции (ί0, х<>), величины Г*(£0, Хо,
U') и Г* (f0, x0, Vе) определены соотношениями (2.7.3) и (2.7.5).
Доказательство. Пусть
М* = {(*, ж): с*(*, ж) < β*(ί„ ж,)}, N* = TXR".
Согласно лемме 3.2.1 множество И7* (2.11) есть ц-стабильный
мост в задаче Ш*, #*)-сближения. Поскольку (ί0, Χα) е W*, то
из материала § 5, гл. II следует, что (Ф, ж(Ф)) ^M*, т. е. с*(Ф,
х(Ф)) *£ c*(f0, а;0) для всех ж(·) «=^2?(г0, ж0, ί/*). Учитывая оценку
а(ж)<!с* (■$, х), приходим к неравенству о(ж(Ф)) <c*(f0, ж0),
которое справедливо для всех x{-)*=86{U, x0, U'). Согласно (2.7.3),
(2.7.6) получаем
с? (Ό. *о) < г* (^0, «о. ^) = тах σ (χ (θ)) <
*(■>
<с* (ίΟΙ ж0) (где χ (·) е= Я? (ί0) ж0, t/e))·
Итак, оценки (2.12) доказаны. Второе утверждение леммы 3.2.2
можно доказать аналогичным образом.
Лемма 3.2.3. Потенциал cj(·) дифференциальной игры,
складывающейся из задач 2.7.1 и 2.7.2, удовлетворяет равенству
сх (Φ, χ) = σ (ж) deR"), α также условиям и-стабильности и
v-стабилъности в области [ί00, Ο) Χ R".
Доказательство. Равенство с\ (■&, х) = σ(χ) сразу
следует из определения цены рассматриваемой игры. Докажем, что
для любых (ί*, ж*) е [i00, ft)xR" и и* е Q справедлива оценка
inin шах с\ (t, x (t)) ^ cj (£*, ж,,.)
*<·> ' . (2.15)
при ж (.) е #? (£*, ж*, ν#), t e [ί*, θ].
117

Нетрудно видеть, что иэ этого положения следует ц-стабильность
потенциала с?(·) в области [ί0ο, Ο) Χ R".
Пусть J7* е ип0з — стратегия первого игрока, оптимальная
для исходной позиции (ί*, χ*). Как следует из материала § 7
гл. II, эту стратегию можно определить в форме стратегии,
экстремальной к максимальному ц-стабильпому мосту W в задаче
(Λίχ (с*), ΛΟ-сближения, где сх = сг (£*, х*). Для любого я(-)е
е 86 (ί*, χ*, U*) справедливо неравенство
σ(β(θ))<ί!(ί*,β*). (2.16)
Выберем произвольную точку и^е^· Рассмотрим движение
я* (·) е 96 (ί*, ж*, ί/*) Π #?(**,£*, и*)(это пересечение не пусто).
Пусть ί* е [ί*, Φ] и х* = ж* (i*). Определим множество
<у = {;/(·) =(«*(«) при ί*<ί<ί*, χ*(ί) при ί*<ί<#):
ι*(·)ε*(ί·,ϊ*,^}. (2.17)
Таким образом, элементами этого множества будут непрерывные
функции у(·)'· [**, Ф]->-Кп, которые на отрезке [ί*, ί*]
совпадают с функцией х* {·), а на отрезке [**, О] — с одним из движении
х* (■) е= SB (ί·, χ*, I/»). Отметим, что у с= Я?"*' (ί*, *,, 17») (см.
(8.43)).
Как показано в гл. II (см. следствие леммы 2.8.3),
неравенство (2.16) остается справедливым для любого я(-)е S6 (ί*,
хл, U*). Поэтому, в частности, таха(?/(Ф))<JcJ(i*, а;*) при
ν<·)
Далее из построения множества ^ следует, что
Г* (ί*, л;*, 17») = max σ (χ* {■&)) < с? ((», ж»)
при **(.)е= Я? (ί*,*Μ7„).
По определению цены игры ((2.7.3), (2.7.6)) получаем
с? (ί*, **) < Г* (ί*, χ·, 17») < Cl° (ί*, a:»).
Напомним, что здесь t* — произвольное число из отрезка [ί*, θ],
ζ* = хх (ί*), χ* (·) e #?(ί*, ж», и*). Итак, оценка (2.15) доказана.
Доказательство и-стабильности потенциала с\ (·) проводится
аналогичным образом.
Из лемм 3.2.2 и 3.2.3 следует
Теорема 3.2.1. Для того чтобы непрерывная функция с(-):
Τ X R" -*- R была потенциалом с\ (·) дифференциальной игры,
складывающейся из задач 2.7.1 и 2.7.2, необходимо и достаточно,
чтобы эта функция была одновременно и-стабильной и v-стабилъ-
ной в области [too, {ЮХН" и удовлетворяла равенству с($, х) =
= u(i)(ieR").
118

Замечание. Из приведенных в этом параграфе построений
вытекает, что решение задачи 2.7.1 доставляет стратегия U0,
экстремальная к множеству
W> = {(t, χ) е Τ xRn: c° (t, χ) < c° (ί0, χ0)},
i\ стратегия V0, экстремальная к множеству
W0 = [(t, χ) erxR": cl(t, x)>c\(tu, x0)},
ость решение задачи 2.7.2.
§ 3. Кусочно гладкие функции
Основной результат предыдущего параграфа — теорема 3.2.1
содержит необходимые и достаточные условия, которым
удовлетворяет потенциал с?(·)· Эта теорема справедлива в общем случае
для любой дифференциальной игры, складывающейся из задач
2.7.1 и 2.7.2, где предполагается лишь, что функция платы
непрерывна. При дополнительных предположениях можно развить
полученные результаты и сформулировать другие более удобные
соотношения, определяющие потенциал дифференциальной игры.
Например, предположив, что потенциал с?(·) есть функция,
дифференцируемая на (i0o, ft) X R", можно доказать, что функция
с?(·) должна удовлетворять основному уравнению (1.11) (всюду
на (ί0ο, Φ)ΧΚ") и краевому условию (1.12). Причем для гладкого
потенциала <4(·) выполнение соотношений (1.11), (1.12)
является и необходимым и достаточным условием. Отметим, однако,
что предположение о гладкости потенциала выполняется лишь в
весьма редких случаях.
В следующем параграфе получены соотношения,
определяющие потенциал в случае, когда он принадлежит классу кусочно
гладких функций. Определение этого класса будет дано в
настоящем параграфе, но прежде, чем переходить к формальным
определениям, рассмотрим два простых примера кусочно гладких
функций.
В качестве первого примера возьмем функцию у-*-\у\, где
\у\ —модуль числа у. Отметим, что эта функция недпфференци-
руема в точке у = 0. Заметим также, что функцию |·| можно
определить равенством \у\ =тах{?/, —у) (j/eR), т. е.
рассматриваемая функция есть верхняя огибающая двух гладких функций
φ,(·): у-*- у и φ2(·): у-* -у.
Приведем другой пример. Пусть у = (уι, у·) е R2. Рассмотрим
функцию
с (у) = ιηίτι шах сру (у) (jeR!, i = 1, 2; 7 = 1,2),
ί j
где.ф(Д-) —гладкие функции. Представление о возможном поведе-
119

нии функции с() дает рис. 8. Здесь изображена часть
поверхности функции с(·) в некоторой окрестности точки у* = (г/*, [/£),
где совпадают значения всех четырех функций fp,,j(). На рис. 8
Fiy— часть поверхности функции φ(,,·(·). Функция с(·)
дифференцируема всюду эа исключением линий, отмеченных в
координатной плоскости.
В рассматриваемых здесь примерах кусочно гладкие функции
построены из гладких функций с помощью операций минимума
и максимума. В общем случае
кусочно гладкой будем
называть функцию такую, что для
каждой точки области
определения можно указать
окрестность, в которой
рассматриваемая функция образуется из
конечного набора гладких
функций посредством операций
минимума и максимума.
Чтобы дать точное
определение кусочно гладкой функции,
введем некоторые обозначения.
Пусть N — множество натуральных чисел, Li — конечное
подмножество множества N. Полагаем, что любому Zt <= £, отвечает
конечное множество Ζ,2(Ζι)<=Ν. Далее для каждой пары (U, Z2),
где Ζ, eLlt Iz^LziU), определено конечное множество L3Ui, Z2)
и т. д. Наконец, набору (Z,, 1г, ..., lh-ι), где Z, eLi, Z2eL2(Z,), ...
. ■ ·, Ζ»-, <= Lh-tU,, ..., h-г), отвечает конечное множество Lh(l„ ...
..., Ζ,,-,) с: N. Полагаем
L = {Ζ = (Ζ„ ..., ZJ: Z, s L„ k e= LM, ...
k^L^U k-J). O.I)
Введем следующий символ:
mix = mm max mm
leL
i-,
'■2
3
mm max,
lh-l lh
(при k — четн.),
mix = mm max mm
1<=L
',
!<·
!1 '2 '3
(при k — нечетн.),
max mm
Ift-l >k
(3.2)
где Ι,εί,, Z,eL2(Z,), ..., lhe=LhUu ..., lh-t).
Пусть GcRn, c( ·): G -+■ R — непрерывная функция, г/* —
внутренняя точка множества G. Будем говорить, что функция
с(·) является кусочно гладкой в точке у*, если можно
указать окрестность S (у*, г) = [у е Rm: \у — у*||<е} с= G и набор
120

дифференцируемых в точке ι/* функций ψ(·,1): S (ул, e)-^R
такой, что
с (у) = mix φ {у, I) (у <= S (г/*, ε)), (3.3)
в(У.)=ф(У.,0 (^L). (3·4)
где £— некоторое множество вида (3.1).
Функцию с(): G-<-R назовем кусочно гладкой, если она
является кусочно гладкой в каждой внутренней точке множества G.
Ниже сформулировано утверждение, которое устанавливает
возможность перехода от операции mix к обычным операциям
мныимакса или максимина.
Пусть L — множество вида (3.1) и операция mix задана
равенством (3.2). Тогда можно построить конечные множества
/c:N и /<=N и определить отображение π(·): IXJ-+L так,
чтобы для любой функции р(): L -*- R были справедливы равенства
mix ρ (Ι) = min max ρ (π (£, /)) = maxmin ρ (π (έ, /)). (3.5)
leL iei jeJ jeJ lei
Доказательство этого положения опускаем. Отметим, что
согласно этому утверждению в определении кусочно гладкой
функции вместо набора φ(-, I) (Z<= L) можно использовать набор
функций ψ,j(·) = φ(·, π(ί, /)) (ie/, /e/). При этом соотношения (3.3)
и (3.4) следует заменить равенствами
с(у) = min max ·ψ5ι ^(j/) = max min ψ J,,· (у) (yeS^.e)), (3.6)
ί(ϊ*)=Φ«ω (is/, /eJ). (3.7)
Таким образом, получаем следующее определение кусочно
гладкой функции: непрерывная функция с(-): G -*■ R называется
кусочно гладкой, если для любой точки у* е int G существует
окрестность S (у^, ε) с G этой точки, в которой справедливы
соотношения (3.6), (3.7), где / и / — некоторые конечные
множества, Ψυ(·): £(ί/*, e)-vR — функции, дифференцируемые в
точке у*.
Второе определение является более простым по форме. Однако
основным будем считать первое определение, поскольку оно
более удобно в тех конструкциях теории дифференциальных игр,
которые содержат последовательности операций минимума и
максимума. Отметим также, что ниже будет дано другое, более
широкое определение операции mix, в котором вообще не будут
фигурировать операции min и max (см. § 7).
§ 4. Необходимые и достаточные условия
для кусочно гладкого потенциала
Перейдем к формулировке и доказательству необходимых и
достаточных условий, которым должен удовлетворять кусочно
гладкий потенциал ci (·) дифференциальной игры с платой
γ,(«(·))-σ(««»).
121

В настоящем параграфе будем рассматривать кусочно гладкие
! функции с(·): Τ X R" -*■ R. Отметим, что в последующих
построениях допускается одно незначительное отличие от общего
определения кусочно гладкой функции. Это отличие состоит в том,
чсо вместо окрестности S ((ί*, χ*), α) = {(t, χ): (t — t%)2 -\-\\χ —
— я^Р^а2} будем использовать множества
Sa (i*, *„) - {(«, х): <* < t < i, + α, 1 χ - ζ* \\ < α}.
В соответствии с этим для функции φ (·): $α (^*, ^*)-»-Ri
дифференцируемой в точке (£*, χ*), символ·^-(ί*, х%) будет
обозначать правую производную.
Итак, пусть с(): Τ X R" -*- R — кусочно гладкая функция.
Выделим некоторую точку (ί*, χ*) е [£00, 0)xRn. Согласно
определению кусочно гладкой функции для указанной точки (ί*, χ*)
можпо указать число α = а (£*, х%) е (О, Φ — £*], множество L =
= L(t^,x^) вида (3.1) и набор дифференцируемых в точке
(£*, х*) функций φ(·, I): £а(?*> 1*)->-К (iei),
удовлетворяющих условиям
c(t, χ) =mixrp(i, a·, I), (i,i)eia((„4 (4.1)
c(i*, ζ*) = φ(ί*, я*, ί), iei. (4.2)
Полагаем, что выбранная точка (ί*, χ#) зафиксирована.
Введем некоторые величины, которые потребуются в дальнейшем.
Пусть и* еР, ν* е (). Определим движение я (·) = (х (t), <* <!
<11 <j Φ) системы - . ,
x(t)=A (t) x (t) + Β (ί) u, + С (t) ол, x («») = χ*. (4.3)
Вычислим в точке t = t* правую производную функции t -*■
-*■ φ(ί, x(t), I), т. е. производную функции (£, х) -*- φ(£, χ, Ϊ) вдоль
движения χ(·) системы (4.3). Обозначим эту производную
символом k{t^, хл, I, и#, υ#), получаем для нее следующее выражение:
"- ('*| x*i h u*i ϋ*) = ~qY (^* ι χ*ι ') "t"
+ grad*cp (ί„ хл, I) [A ((,) ж» + 5 (i*)u* + С (ί«) у*]. (4.4)
Напомним, что gradbcp (ί*, я*, Ϊ)—вектор-строка, состоящая из
компонент я^(^*> x*i I) (i = l, ···, и).
Введем в рассмотрение величину
# (**. х*, и*, у*) = mixft(£*, х*, I, и», и*) =
, = mixj^-(i*, a;*, /) + grad:cCp(i*, ζ*, ί)·[Λ (<*)** +
+ "Я (**)«*+<?(**)"*]}. (4.5)
122

Для кусочно гладкой функции с(·): 3" X R" ->- R эту величину
//(ί*, а;*, и*, ν#) можно вычислить в любой точке (i*, a:.,.) e
^ [*оо> Φ)ΧR" и для любых u»ei и и»е^.
Справедлива следующая
Теорема 3.4.1. Для того чтобы кусочно гладкая функция
с(·): 2™XRn->-R была потенциалом дифференциальной игры с
платой 7,(,г'(·)) = а(д:(-0)), необходимо и достаточно, чтобы
ctt>, ζ) = σ(ζ), (4.6)
inaxmin# (ί+, а;*, и, υ) <! 0, (4.7)
veQ ueP
minmaxJi^, ι», ΐί,ϋ)^0 (4.8)
uep reQ
/г/ш всех a: <= R", (£*, a:*) e [ί00, Ο) Χ Rn.
Итак, теорема 3.4.1 содержит два утверждения. Первое: если
кусочно гладкая функция с() удовлетворяет условиям (4.6) —
(4.8), то она совпадает с потенциалом рассматриваемой игры.
Второе: если потенциал рассматриваемой игры является кусочно
гладкой функцией, то для него выполняются условия (4.6) — (4.8).
Доказательство теоремы 3.4.1. Ниже доказано, что
неравенство (4.7) эквивалентно неравенству (2.1), а выполнение
неравенства (4.8) равносильно выполнению оценки (2.2). После
доказательства такой эквивалентности утверждение теоремы
3.4.1 будет сразу следовать из теоремы 3.2.1.
В последующих рассуждениях (i*, a:*) — произвольная точка
области [i00, Φ) X R". Для этой точки, согласно определению
кусочно гладкой функции с(-), определим окрестность Λ'α(ί*, а;*),
конечное множество L<=Nk вида (3.1) и набор дифференцируемых
в точке (ί*, χ*) функций ψ(·,1): Sa(t^, a^-vR так, чтобы
выполнялись соотношения (4.1), (4.2).
Воспользуемся следующей оценкой, обоснование которой
опускаем.
Пусть u(-)«=UT, v{-) <=VT — некоторые управления, х(-) =
= (a:(i), tx <; ί ^ ■§ — решение уравнения
x(t)=A(t)x(t) + B(t)u(t) + C(t)v(t), *(«»)=*». (4.9)
Пусть момент времени ί* е (£*, ■&] выбран так, что*, χ (ί*)) е
е Sa (ί„., а:*). Полагаем
ι* t*
и = (t* — ί*)-1 j и (t) dt, v = (ί* — ί*)_1 j υ (ί) di. (4.10)
ΰ и
Тогда справедлива оценка
1φ(ί*. *(«*), 0— Ф(«·, *·, 0-(**-**)*(*·.«·,«, «. ΐ)1<
<(ί*-ί,)ε(«·,<*), где ζ(ί„ г*) + 0 при ί* + ί*. (4.11)
Здесь величина ζ(**, t*) не зависит от выбора управлений и()е
е Ur, [)(')eV, и индекса I «= L.
123

Обратимся теперь непосредственно к доказательству
эквивалентности неравенств (4.7) и (2.1). Пусть выполнено неравенство
(4.7). Докажем, что тогда справедлива и оценка (2.1).
, По заданному числу ε > 0 определим число б > 0 так, чтобы,
во-первых, при любом выборе и*еР и v* e Q для решения
х(-) уравнения (4.3) было справедливо включение (i*, a; (i*)) e
е Sa (ί*, х#) при £* <! ί* <! ί* + δ, во-вторых, было
справедливо неравенство
ζ (ί„ ί*) < ε при ί, < t* < ί» + δ, (4.12)
где ζ(ί*, t*)— величина из оценки (4.11). Далее по заданной
точке и*еС определим точку и* е Ρ такую, что
#(**, хх, и*, v*) = minff (ί*, χ*, и, υ*).
иеР
Отметим, что согласно (4.7) справедливо неравенство
#(«„*„ и„ 17.Х 0. (4.13)
Пусть t* e (£*, ί* + δ], χ (·) = (ζ (£), £* <! t <; θ) — решение
уравнения (4.3) при указанном выборе постоянных управлений
и* и у*. Из (4.2), (4.11) и (4.12) следует оценка
φ(ί·, *(«*), Ζ) < φ («»,*», Ζ) +
+ (t* - ί.) k («„, a:,, Z, B„ »,) + ε (t* - ί.) =
= с (t„ я.) + (ί* - ί») Λ (ί„ χ», Ζ, щ, υ*) + ε (ί* - ί*). (4.14)
Здесь испольвуется, что при u(t) = и%, ν (ί) = ν# (is [£*, ί*])
справедливы равенства и = ц*, ι; = νΛ (см. (4.10)).
Неравенство (4.14) справедливо для любого l^ L, поэтому
mix φ (ί*, χ (t*), Ζ) < с (£*, а;*) +
+ (ί* - ί*) mix k (t„ a:,, Z, и», в,) + ε (ί* - ί»). (4.15)
Согласно (4.1) имеем
mix φ (ί·, я: (ί*), Ζ) = с (i*t x (t*»t (4.16)
а из (4.5), (4.13) получаем
mixft(i*, а;*, Ζ, и*, ν*) = Η (ί*, ж», и*, и*)< 0. (4.17)
Подставим (4.16) и (4.17) в (4.15), приходим к оценке
с (ί*, χ (ί*)) < с (ί„ χ.) + ε (ί* - t,). (4.18)
Таким образом доказано, что для любых ε > 0 и !)„.е^
можно указать б>0 и utei так, чтобы для движения а;(-) =
= (χ(ί), ί* <Ι ί <; ■&) системы (4.3) при всех t* е [ί*, ί# + δ)
была справедлива оценка (4.18). Из этого положения следует
выполнение неравенства (2.1).
124

Предположим теперь, что выполнено неравенство (2.1).
Докажем, что в этом случае выполняется и неравенство (4.7).
Выберем точку у* е Q из условия
min Η (£*, х#, и, у*) = maxinin #(£*, х#, и, ν). (4.19)
иер veQ ueP
Согласно оценке (2.1) для выбранной точки у* е Q и для
любого числа ε >0 существуют управление и*(-)е^г и число δ >0
такие, что для движения xl·) =а;(·, ί*, хЛ) и* (·), у*) будет
справедливо неравенство (4.18) при всех t* е [ί*, ϊΛ -\- δ]. Выберем
t* е [t^, ί* -\- δ] так, чтобы выполнялись условия
(t*. i(t»))ei«(i„i,), ζ(«·,«*)<β, (4.20)
где а; (ί*) = ж (ί*, ί*, z*, u* ( ·), у*), ζ (ί*, ί*) —величина из
оценки (4.11).
В силу (4.2), (4.11) и (4.20) имеем
φ(ί*. x(t*), i)>q>(f*, **, ί) + (ί* —**)*(**. **. г, ". "*) —
- ζ (ί*, f *)(«* - ί») > с (ί*, *») + (ί* - **) λ (ί*, *„ Ι, и, у*) -
t*
- ε (ί* - ί*), где и = (ί* - ί*)"1 f «, (ί) Λ. (4.21).
ί.
Неравенство (4.21) справедливо при всех ZeL, поэтому из (4.1),
(4.5) следует, что
с (ί*, χ (ί*)) = mix φ (ί*, χ (ί*), Ι) > с (ί„ χ*) +
+ С* — ί*) mix'fe (i*, χ*, Ζ, и, у*) — (t* — ί*) ε =
= с (t„ *,) + (ί* - ί») Я (ί*, χ», и, и») - (ί* - ί*) ε. (4.22)
Из (4.18) и (4.22) получаем неравенство Η (£*, ж*, и, у*) <I 2ε.
Далее согласно (4.19) справедлива оценка
max min Η (ί*, я*, и, у) — min Η (ί*, х#, и, у*)<!
<! Η (**, ж*, u, у*) <; 2е.
Здесь ε — произвольное положительное число. Итак, неравенство
(4.7) доказано.
Аналогичным образом можно установить эквивалентность
неравенств (2.2) и (4.8). Как уже отмечалось выше, в силу теоремы
3.2.1 и эквивалентности неравенств (2.1) и (2.2) неравенствам (4.7)
и (4.8) соответственно следует справедливость теоремы 3.4.1.
Замечание 1. При доказательстве эквивалентности
неравенств (2.1) и (4.7), а также эквивалентности неравенств (2.2) и
(4.8) не требуется, чтобы функция с(·) была кусочно гладкой на
множестве Τ Χ R" — достаточно, чтобы она была кусочно гладкой
12S

лишь в рассматриваемой точке (£*, я*). Учитывая это замечание,
из теоремы 3.2.1 получаем следующее утверждение.
Для того чтобы функция с(·): Τ X R" ->- R была потенциалом
рассматриваемой дифференциальной игры, необходимо, чтобы
выполнялось краевое условие (4.0) и в каждой точке (f*, x*) e
^ Коо» *)xR"i где фупкция с(-) является кусочно гладкой,
выполнялись неравенства (4.7) и (4.8). В частности, пусть (f#, х*)—
точка, в которой функция с(·) дифференцируема. Тогда в этой
точке функция с(·) является кусочно гладкой, и согласно (4.4),
(4.5) имеем
H(t*, **, и, υ) =
= -£■ (ί«, **) + grad* с (ί„ *,)И (i*) x* + β (i*) и + С (i*) и],
поэтому minmax Η (t^, х#, и, υ) = maxmin// (ί^, χ#, и, ν), а из
U V Ό U
неравенств (4.7), (4.8) следует равенство
-■£(**. **) + miQmax{grad3Cc(i», х*)[А (ί*) ζ* +
+ Я(«»)« + С(«»Н} = 0. (4.23)
Если с(.) = cj (·) есть потенциал дифференциальной игры, в
которой функция платы лишшщева, то почти всюду функция с(·)
дифференцируема, и из предыдущих рассуждений следует, что
в точках дифференцируемости функция с(·) удовлетворяет
равенству (4.23). Таким образом, получаем утверждение теоремы 3.1.1.
_ Замечание 2. Из доказательства теоремы 3.4.1 и
результатов § 2 можно получить односторонние оценки
гарантированных результатов. В частности справедливо следующее положение.
Пусть кусочно гладкая функция с(): TXRn-*-R
удовлетворяет неравенствам
c№,x)>oix), ieR",
maxminff(i*, я», и, ϋ)<ζ, (**, χ») е= [«„„, fl^xR",
V U
где ζ—некоторое положительное число, а величина Η (t^., х#,
и, ν) определена согласно (4.5). Тогда для стратегии U'^lJnm,
экстремальной к множеству
W* = ί(ί, ί)ε7Χ R": dt, x) s£ c(t„, ж.) + ζ(ί - <„)},
справедлива оценка
Γ*(ί,, χ», tf')= max σ(.τ(θ)Χ (·(*„, ζ,ϊ + ζίθ-ί.)
(ι(·)εί?(ί„ *„, ί/')).
Чтобы обосновать это положение, определим функцию c*(i,
χ) = c(i, a;) + ζ · (τ> — ί), (ί, ι)εΓΧ R". Эта функция будет кусоч-
126

но гладкой. Поэтому в соответствии с (4.4), (4.5) для нее можно
вычислить величину ff*(i*, χ*, и, υ), а затем вычислить
max inin Η* (£*, х#, и, ν) = max inin H (£„., x^, и, υ) — ζ ^ 0
пи ν и
((ί*,**) 6= 1*оо. tf)xR'1)·
Из этого неравенства следует, что функции с*(·) удовлетворяет
неравенству (2.1). Итак, здесь выполнены все условия леммы
3.2.2, из которой получаем сформулированное положение.
Аналогичным образом можно доказать следующую оценку.
Пусть кусочно гладкая функция с(-): 7,XR"-*-R
удовлетворяет неравенствам
с(Ф, яХоЫ, deR"),
min max II (<*, xx, и, у) > — ζ, (ί*, χ*) е [ί00, ft)xRn,
U V
где ζ > 0. Тогда для стратегии V e Vn03, экстремальной к
множеству
W* = {(ί, χ) е= Г XR": с («, ж) > с (<0, ж0) - ζ (i - ί0)},
справедлива оценка
Г* (ί0. *о, ^) = mirl σ (* (*))^ с (*о. *о) - С(# - «о)
при ж(.)еЯ?(«0, *0, V).
Пример. В заключешш параграфа возвратимся к примеру
из § 1. Проверим выполнение
условий теоремы 3.4.1 для
функции с?(.) (1.16). Как
показано в § 1, функция Ci (·)
является обобщенным
решением основного уравнения и
удовлетворяет краевому условию
с? (θ·, χ) = σ (χ) = χ2. Поэтому
остается проверить, что на
сингулярном множестве 9" (1.22)
для функции с? (■) (1.16)
выполнены неравенства (4.7) и (4.8).
Разобьем множество 9" на
три подмножества
Fi = {{t, χ): 0<ί<1,
x = -(tV2-i+l/2)>,
I\ = {(t, χ): 0«ί<1, x = t2/2~
F3 = {(t, ж): 1 < ί < 2, x = 0).
На рис. 9 изображены множества Ft π Д- (i = 1, 2, 3), напомним,
что множества Dt были введены в § 1 (см. (1.18)).
127
Рис. 9.
t + 1/2),
(4.24)

Пусть (ί#, г») е ?!. Согласно (1.16) имеем
с0 (t, χ) = max{cp2 {t, χ), φ3 (ί, а;)) при (ί, ζ) е= 5α (£*, а;*),
«° (**. **) = Φ2 (**. **) = Фз (**» χ*) = 1/4·
где число α>0 выбрано так, чтобы Sa(ί$, χ#) f) £>ι ь= 0.
Отметим, что χ* + ί*/2— ί* = — 1/2 для (f*, a:*) e /\ (см. (4.24)),
поэтому для производной h2 (£*, я*, ц, г') (1.20) получаем
выражение /ι2(ί*, а:*, ц, у)= —у—(2—ί*) и-J-(1 — ij. Согласно (4.5),
(1.20) и (4.25)
Η (£„., х#, и, ν) = max{A3(i„., х*, и, υ), h2 (£*, χ#, и, ν)} —
= тах{0; [(1 — ί*) — ν — (2 — **) и]}.
Следовательно,
max min ff (f *, a;*, u, v) =
Ό U
= max /0, max min [(1 — f„.) — ν — (2 — f*) u]l = 0,
minmax/f(i^, a;*, u, v) =
u г
= max /0, min max [(1 — i„.) — l» — (2 — i*) «IJ. =0
при ΙιιΙ «£ 1, \v\ < 1. Получаем, что в точке (i*,ar*)e/'1 условия
(4.7),- (4.8) выполнены. Аналогичным образом можно проверить
выполнение условий (4.7), (4.8) в любой точке (£*, а;*) е F2.
Пусть теперь (i*, a;*) e F3. Согласно (1.16), (4.24) имеем
с0 (t, χ) = max {ψ1 {t, χ), φ2 (ί, χ)} при (t, χ) е= 5β (ί*, а;*),
«°(**, **) = Φι(**> **) = Φ2 (**> **) = ('* — **/2)2,
здесь в качестве α можно взять любое число из промежутка
{0, 2 — ί*1. Из (4.24) следует, что (а;* + t, — **/2) = (- а;* +
+ ** — f*/2) = ί* — tl/2 > 0 при (ί*, а;*) е F3. Поэтому
согласно (4.5), (1.20) и (4.26) получаем
-#(**. **, и, ν) = max{hr (ί*, a;*, u, у), А2(**. **· и« ι')} =
=2 (ί, - ίϊ/2)-[(Ι - «») + I » + (2 - ί») и |].
Отметим, что
max min | и + (2 — ί*) и | = £* — 1,
» и
min max | у-}-(2 — £„.) и | = 1 при |и|^1, |у|<!1.
и я
Поэтому
max min H (f#, x#, и, ν) = 0,
ν и
min max Я (£*, а;*, и, и) = 2(2 — **) (** — ί*/2) > 0.
U J)
12β

Следовательно, в любой точке (i^ijef, также выполнены
неравенства (4.7) и (4.8).
Итак, для функции cj(-) (1.16) выполнены все условия
теоремы 3.4.1, поэтому эта функция действительно есть потенциал
дифференциальной игры (1.13) —(1.15).
§ 5. Условия регулярности программного макснмнна
Продолжим изучение потенциала дифференциальной игры.
Ниже будут указаны условия, при которых цена Ci(i0, ха)
дифференциальной игры совпадает с программным максимином
c*(i0, xa) = maxmino"(a;('o\ i0, ха, и(·), у(·))), (5.1)
где ц(·) eUT, ν{·) s Vr, χ(·, to, x<>, «(■), у(·)) — решение уравнения
(1.2.1) с начальным условием x(ta) = х0. Будем рассматривать
условия, при которых равенство cj (t0, x0) = с* (t0, x0) имеет
место для всех позиций (ί0) Хо) е2"Х R". Прежде чем переходить
к определению этих условий, сформулируем одно
вспомогательное положение.
Пусть функция с(-): Τ X R" -*■ R представима в виде
c(t, χ) = max φ(ί, χ, Ι), (ί, χ) e Γ Χ R", (5.2)
где L — множество в некотором метрическом пространстве.
Перечислим условия, которые предполагаются выполненными для
функции φ(·):
1) функция φ(·): 7,XR"XL->-R непрерывна;
2) для любой точки (ί*, я+) е Τ xRn множество
£о(**. **) = /гое ^: ф(^*, я*, k) = max(p(i#, ζ*, Z)}
есть непустой компакт;
3) в каждой точке (i*, χ*, I) e [i0, 'o4)xRnxL существуют
частные производные-^-(ί*, χ*, Ι), ^- (**, ж,,., Z)(i = 1 η),
причем функции ^γ-(·), 2Γ~(·) (i = l, · ·., га) непрерывны на ita, τ)) Χ
Χ R" X L.
При указанных здесь условиях можно определить величину
η(ίχ, х^, Ι, и%, ν%) (4.4), которая есть производная функции t -*■
-»·φ(ί, x(t), I), вычисленная в точке f* вдоль движения #(·) =
= (#(ί), ί^ί^) системы (4.3). Полагаем далее
Η (£*, χ*, и, ν) = maxu(i*, a:,,., I, и, ν) при Ζ е L0 (ί^., д^). (5.3)
Справедлива следующая лемма.
Лемма 3.5.1. Для того чтобы функция с(-) вида (5.2) была
потенциалом дифференциальной игры с платой γ,(^(·)) = σ{χ{$)),
129

необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
с{Ъ,х) = о(.х), zeR", (5.4)
шьхттН (t^, х#, и, ν) ^ 0, (5.5)
ν и
inin max #(£„., я*, и, ν)~^ 0. (5.6)
и ν
В этой лемме не предполагается, что функция с(·) склеена из
конечного набора гладких функций. Доказательство леммы 3.5.1
опускаем, поскольку оно сводится, в основном, к рассуждениям,
приведенным в доказательстве теоремы 3.4.1.
Воспользуемся леммой 3.5.1 для вывода условны регулярности
программного максимиыа. Ниже предполагается, что функция
платы σ(·): R" -»- R выпукла и удовлетворяет условию Липшица
Ισ(*(Ι))-σ(*(ί>)Ι<λΙΙ*(Ι)-α:(ίΊΙ
(5.7)
(λ = const, zc,)eRn i = l, 2).
Определим функцию ρ(·): R" -»- R, сопряженную к выпуклой
функции σ(·). Эта функция определяется равенством
р{1) =sup{x'l — o(x): ieR").
Из выпуклого анализа известно (см. [12*] стр. 177), что
р() — выпуклая функция, непрерывная на множестве
L = domp(0 = {le=R": ρ(ϊ)< °°). (5.8)
Известно также, что справедливо равенство
o(x) = supix'l-p(l): /eR"}. (5.9)
Здесь супремум можно вычислять не по всем I e R", а лишь по
/ei. Из условия Липшица (5.7) выводится, что множество L
ограничено (см. [12*] стр. 134). Наконец, можно проверить, что
для любого i*eR" существует k<^L такой, что σ (χ#) =.r»Z0—
— Ρ(^ο)ι τ· е· соотношение (5.9) можно заменить равенством
а(х)=тлх1х'1-р{1): le=L). (5.10)
Воспользуемся равенством (5.10) для вычисления величины
программного максимина с* (t#, x%) (5.1). По формуле Коши
(1.1.2) имеем
а; (θ, ί», ζ», u(.), v{·)) =
0· 9
= Φ (θ, ί,) *„ + f Φ (θ, ί) Β (ί) и (ί) dt + J Φ (θ, ί) С (ί) v (t) dt.
138'

Поэтому согласно (5.1), (5.10) получаем
с* (t*, х%) = max min max
»<■) u(·) ί
Ζ'Φ (^ ί*) χ* + [ Ζ'Φ(ϋ,ί) 5 (t) u (t)dt-\
и
+ J Ζ'Φ (ft, ί) С (t) ν (ί) di — ρ (Ζ)
(при υ (■) e νΤί u(-)^Ur, lei).
Воспользуемся теоремой о мпнимаксе ([3*] стр. 31), в силу
которой здесь можно переставить операции min и max. Приходим
и(·) I
к следующему выражению для величины с* (i*, х%):
с* (t#, хл) =max
1<=L
IT
Ι'Φ (ft, ί,) ζ* + max f 'Ι'Φ (ft, t) С (t) ν (t) dt
= max [Ζ'Φ (ft, t») я* +
+ min f Ζ'Φ (ft, f) Β (t) и (t) dt — p (I)
+ Г! (ft, i„ I) + r2 (ft, t», Z) - ρ (ί)], (5.11)
где, стало быть,
*i (*t ί*. ^ = 1 тш [ί'φ (Ο. f) 5 (0 "Ι ώί.
ft
r2 (ft, i„ Z) = f max [Ι'Φ (ft, f) С (ί) у] df.
и "e«
Обозначим через φ (ίΛ, α:Λ, ί) величину, стоящую в (5.11) в
квадратных скобках, т. е.
Φ (**, *„ I) = Ι'Φ (θ, ί,) s» + η (ft, «„, Ζ) +
+r2(ft, ί„ Ζ)-ρ(Ζ). (5.12)
Отметим, что функция φ(·): Γ Χ R" X i ■+ R удовлетворяет
условиям (1)—(3), указанным перед формулировкой леммы 3.5.1. Для
рассматриваемой функции
§-(**,*·»*) = - ί'Φ (#ι «*) Л (ί,)*, - min [Ζ'Φ (ft, ί*) 5 (ί*) и] -
01 иеР
-max [Ι'Φ (ft, ί*)С (ί,)И
gradxV(i»1x*. Z) = Ζ'Φ (ft, ί*)·
131

Поэтому согла'сио (4.4) получаем
h (i„ -r*, I, u„ ι'*) = Ι'Φ (ft, ί,) 5 (ί,) н* -
- min [ΓΦ (ft, ί,) 5 (ί,) и] + Ι'Φ (ft, ί») С (ί#) у„ -
— max [ΓΦ (θ·, ί*) С (i*) у]. (5.13)
reQ
Справедлива следующая
Теорема 3.5.1. Пусть функция платы σ(·): R" -*- R выпукла
и удовлетворяет условию Липшица (5.7). Для того чтобы
функция программного максимина (i0, Хц) -*■ c*{U, хй), определенная
равенствами (5.1), (5.11), была потенциалом дифференциальной
игры, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее
условие (условие регулярности):
max min max h (t%, x%, l, и%, v%) ^ 0
»,sQu»eP[sL0(/„i,) (5 14)
((ί„*1|1)Ξ[ί00,θ)ΧΚη)ι
где L0 (ί#1 xj = ll0 «= L: φ (£*, я*, Z0) = max φ (i*, x^, l)\. (5.15)
Доказательство. Сразу отметим, что условие (5.14)
совпадает с условием (5.6). Поэтому в силу леммы 3.5.1 остается
показать, что из определения функции φ() (5.12) вытекает
выполнение условий (5.4), (5.6). Тогда утверждение теоремы 3.5.1 будет
следовать из леммы 3.5.1.
Итак, при ί* = ft имеем Φ (ft, i* = ft) = Ε, r,-(ft, ft, Ζ)=0
(i = i, 2), поэтому cp(ft, χ, 1) — 1'χ — ρ{ΐ). Согласно (5.10)—(5.12)
получаем
с* (ft, χ) = max φ (ft, χ, ΐ) = max [/'χ — ρ (Ζ)] = σ (χ),
leL 1<=L
т. е. условие (5.4) ныполнено.
Покажем, что справедливо также неравенство (5.6). Согласно
(5.3), (5.13) имеем
min max Π (£*, х%, их, υ*) =
»» ι·»
= min max max/г (ί%, χ^, 1, и#, ν*) —
и* ι>* ί
= min max ΙΙ'Φ (ft, t0) Β (ί„) u* — min [ГФ (ft, г*) Β (ί*) u]l
u» ί I uep /
(м* e^^E^leLj (г», .ζ*)).
Для любых b,sP, I e L0 ({^, я*) величина, стоящая в
квадратных скобках, неотрицательна, откуда следует перавепство (5.6).
Теорема 3.5.1 доказана.
Следствие. Пусть для любой точки (£*, я*) efxR
функция ψ (**,#*, ·): Ь-э-R, заданная равенством (5.12), вогнута.
Тогда всюду на TXR" уе/са дифференциальной игры совпадает
с величиной программного максимина.
132

Доказательство. Поскольку φ (ί*, я*, ·) вогнута, то
множество L0 (t^, х%) (5.15) ость выпуклый компакт. Покажем, что
функция i-Wt(i*, 2:*. I, и^, у*) вогнута на А)(г*> х*)·
Пусть χ (·) = (χ (£), ί* ^ t <!θ) — движение системы (4.3).
По определению величины h (£*, хх, I, «*, v*) имеем равенство
[φ (i* + б, χ (ί, + б), I) - φ (ί„ я*, ί)] δ"1 =
= h (<*, **, Ζ, u*, у*) + г (**. **. Ζ, «*. *>*> δ), (5.10)
где
г (£*, χ%, Ζ, u^, у*, δ)-»-0 при δ->- 0. (5.17)
Функция Ι -*- [φ (ί* + δ, χ (ί* + δ), Ζ) — φ (ί*, я*, Ζ)] вогнута на
L0 (ί*, χ,,.), поскольку φ (ί* + δ, χ (ί* + δ), ·) — вогнутая
функция, а функция φ (ί*, χ%, ■) имеет постоянное значение на Ζ>0 (^<
г*). Отметим также, что сходимость (5.17) является
равномерной по I e L0(tf, я*). Поэтому нз (5.16), (5.17) следует, что
функция I-*-Л (£*, я*, Ζ, и*, у*) вогнута на-£»о('*' ^*)·
Функция м*-»-А(^, хх, I, и*, у*) линейна на выпуклом
компакте Ρ (см. (5.13)). По теореме о мннпмаксе (см. [3*], стр. 31)
имеем равенство
minmaxu (ί.,., χ%, I, и*, v#) = maxminA(i*, χ*, I, г/*, ν+)
(«*ei, !el0(i*, a:»)).
Следовательно (см. (5.13)),
max min max A (t^, x#, I. u#, v%) =
Г» Я, ί
= max max min h (£*, xx, I, ux, y*) = 0.
ί »* u*
Получаем, что выполнено условие (5.14), откуда в силу теоремы
3.5.1 следует сформулированное утверждение.
§ 6. Свойства потенциала сг{·)
В предыдущих параграфах настоящей главы были
рассмотрены свойства потенциала дифференциальной игры с
фиксированным моментом окончания. Обратимся теперь к случаю, когда
плата дифференциальной игры определена равенством
уг(х{-))= min ω(ί, x{t)). (6.1)
Здесь ω(·) ; Τ Χ R" -+- R — непрерывная функция, χ(·) = (я(£),
ίο < t s£ О) — движение системы на отрезке [ί0, Φί.
Итак, будем рассматривать дифференциальную игру,
складывающуюся из задач 2.7.3 π 2.7.4. Как показано в § 7 гл. II, для
любой начальной позиции (Ζ0, ϊ0)εΓΧ R" эта игра имеет цену
с2 (*о> #о)· В соответствии с введенными ранее понятиями
функцию (tQ, xu) -vcj (t0, x0) будем .именовать потенциалом
133

дифференциальной игры с платой γ2() (6.1). Укажем основные
свойства потенциала.
Лемма 3.6.1. Потенциалс\{·) есть непрерывная на fXR"
функция.
Доказательство. Пусть D — компакт в УХ R".
Определим множество G°(D) (2.8.8) (напомним, что здесь /(£, х, и, ν) =
= A{t)x + B{t)u + C(t)v). Множество G°(Z?) — компакт в Τ X R",
поэтому функция ω(·) равномерно непрерывна на G"\D). Поэтому
ω (ί, ж)< е + ζ (β) при (ί, χ) <=/WEe] (с) П G° (D), (6.2)
здесь M(c) = {(ί, a;) efXR": ω(ί, χ) <c), MM — замкнутая
ε-окрестность множества Μ, ζ(ε) -*- 0 при £ -*- 0.
Пусть W(c) — максимальный и-стабильный мост в задаче
(Л/(с), ΛΟ-сближения, где N = Г X R". Возьмем пару точек (ί*,
а;*) ей и (<*, ж*) е Ζ). Как показано при доказательстве
теоремы 2.7.'2, множество W(c*), где с*=с£(£*, а;*), содержит (ί*, ж*).
Воспользуемся леммой 2.8.2. Согласно этой лемме существует
стратегия V'х такая, что для любого движения х (·) е= #?(£*, х*,
ί/*) имеет место сближение с множеством
Поэтому пз (6.2) следует, что
Γ*(ί#, χ*, U*) =max min ω(ί, a; (i))<c* -г ζ(ε*) =
= с» (ί*, χ*) + ζ(β»), (ί(.)6*(ί„ *„ tf»)).
Поскольку cj(i», **)<r*(i*,a:*,t/*) (см. (2.7.14), (2.7.17)), το
приходим к оценке
c°(i*, a:»)<cS(t*, χ*) + ζ(β„).
Переменив ролями точки (£*, ж,,.) π (ί*, χ*), получаем
I <£ (ί.. **)-<£(**,**) Ι <ζ (β,).
Здесь ε* =e(f*,z*, <*, χ*) = [Ця* — χ*\ + Λ | ί» — i* | ] οχρλ*Χ
Χ (θ· — ί0ο) (см. (2.8.39)), поэтому ε*-*-0 u ζ(ε*)->-0 при
\]χ*— я*|| + Ι ** — ί*|-*-0. Таким образом, доказано, что функция
с2(·) непрерывна на любом компакте D <= Τ Χ R". Лемма 3.6.1
доказана.
В последующем изучении потенциалас2 (·) важную роль
играют понятия «-стабильности и ^-стабильности, введенные
в § 2. Справедлива следующая
Лемма 3.6.2. Пусть непрерывная функция £·(·): Τ X R" -»-R
удовлетворяет равенству
с(д,.аО = ω(θ·, ж) (ieR'l, (6.3)
а также условию и-стабильности в области
£ = {(*, ijeTXR": c{t, χ) < ω(ί, a:)}. (6.4)
134

Тогда в любой точке (£*, а-*) е Ε справедлива оценка
sup min max с (t, χ (t)) <! с (ί*, я„.) (G.5)
1) *(·) t
(we ρ, ж(.)еЯ?(«*,ж», в), **<«<т0(а:(.))),
где
τ0 (χ (·)) = min {ί e= [f *, *]: с (ί, ж (i)) = ω (ί, χ (ί))}. (6.6)
Доказательство. Отметим, что в силу (6.3) для любого
χ (.) е #? (i*, я*, и) справедливо неравенство т0(а:(·)) < Ф.
Отметим далее, что функционалы х{·) -*■ т0(я(·)) и я(·) -*■ κ(ζ(-)) =
= max {c(i, z(i)): £*<! ί<!τ0 (a; (.))} полунепрерывны снизу.
Поэтому на компакте SS (£*, х#, ν) функционал κ(χ(·)) достигает
минимума.
Допустим от противного, что для некоторых (ί*, хЛ) е Е,
v^^Q и α > 0 справедливо неравенство
min max с (ί, χ (ί)) ^>c(t^, χ*) + α
*<■> « (6.7)
(ϊ(·)ε«(ί,,ί„ »»), ί*<ί<τ0(«(.))).
Следуя доказательству леммы 3.2.1, определим множество
У* (£(·)) и число τ%(χ(·)) (см. (2.6)). Затем иэ условия (2.8)
выберем движение я* (·) е 93 (ί„., χ*, ν*) и определим точку
(i*, а;*), где t* = τ* (я* (·))ι χ* = я* (**)■ Получаем, что
выбранное движение аг+(·) удовлетворяет соотношениям (2.9).
Можно показать, что (ί*, χ*) е Ε. Действительно, из (2.6),
(2.7) π (2.9) имеем
е('.г*(0)<е(«*.«*) + и (**<«<**).
С другой стороны, в силу (6.7) получаем
max с (i, x*(i))> с (**, х*) + а (при ί» < ί <τ0 (ζ*(·)))·
ι
Следовательно, ί* < τ0(#* (·)), и в силу (6.4), (6.6) заключаем, что
(ί*, χ*)<ξΕ.
Итак, в точке (<*, х*) функция с(-) удовлетворяет условию
zt-стабильностп. Поэтому можно построить движение а;(·) (см.
доказательство леммы 3.2.1) и получить для него τ* (я (·)) >
>τ* (я* (·))» что противоречит выбору движения х* (·)·
Полученное противоречие доказывает лемму 3.6.2.
Лемма 3.6.3. Пусть функция с*(·) : Τ X R" -*- R и-стабилъ-
на в области Ε = Ш, χ) е= Τ X R", c*(i, χ) < ω(ί, χ)) и
удовлетворяет равенству
с* (θ, χ) = ω (ϋ, χ), ieR". (6.8)
Пусть IIе — позиционная стратегия, экстремальная к множеству
^* = ((i,j)erXR»: c*U,x)^c*U0,Xo), e*(t, χ) < ω(ί, а;)}.
(6.9)
1135

Тогда
с\ (*о, *о) < Г* (i0) x0, Ue) < с* (ί0, χ0). (6.10)
Далее пусть функция с%(·): TxR"—>-R v-стабильна в области
[ί0ο, θ) X R" и удовлетворяет неравенству
e*(i, *)<ω(ί, *) при (ί,ϊ)εΓχΗ". (6.11)
Пусть V — позиционная стратегия, экстремальная к множеству
Wm = ((ί, χ) е= Г χ Я": с* (ί, .τ) > с, (ί0, «„)}. (6.12)
Тогда
4 («о. *ο) ^ Γ* (ί0, χΟΙ Г) ^ с* (ί0Ι *0). (6.13)
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда
(ίο, Ζο) ^ W*, это возможно, еслп ω(ί0, Χα) < c*(i„, ж0) (см. (6.9)).
В данном случае из определения функционала γ2 (6.1) сразу
следует неравенство
У2(х(-))= нип ω(ί, χ(ί))<ω(ί0, z0)<c*(i0, χ0),
которое справедливо для любого движения х(-) е $?(i„, я0, t/'*).
Поэтому согласно (2.7.14), (2.7.17) получаем оценки (6.10).
Рассмотрим теперь случай, когда (ί0, Хц) е W*. Полагаем
]V* = rXR"H
Μ* = {(ί, ж) s Г X R" : c*(i, χ) *£ c*(i„, ж,), c*(i, χ) = co(i, ж)).
Из (6.8), (6.9) получаем, что Wo· = Mq. Из леммы 3.6.2 следует,
что множество W* (6.9) есть u-стабильнын мост в задаче (Л/*,
Л^*)-сближения. Поскольку (ί0, ж„) е Т7*, то для любого ж(-)^
e#?(i0, ж0, ί/') имеет место (М*, Лг*)-сближение, т. е. для любого
движения ί(·')ε^(ίο, ^о, £^*) существует момент т0 = т0(ж(-)) =
s [ί0| φ] такой, что с*(т0, х(т0)) = ω(τ0, ж(т0)) < c*(i0) ж0).
Следовательно,
уг(х{-))= min ω(ί, z(f))<c*(i0, a:0),
откуда опять получаем оценки (6.10).
Докажем оценки (6.13). В силу леммы 2.2.1 множество W*
(6.12) есть и-стабильный мост в задаче (.1/*, N*)-сближения,
где Л/* ={(θ, χ): 'х<^Ип}, Ν* = ΤxRn . Множество tF*
содержит точку (ί0, Жо), поэтому (ί, χ (ί)) е IV# (i0 «S ί < θ) для
любого ζ(·) e#4i0j ж0) 7е). Согласно (6.11), (6.12) получаем
ω (ί, χ (t)) > с* (ί, χ (ί)) > с» (ίο- *ο) (Ό < г < <>)·
Этп неравенства спрапедливы для любого движения ж(·) е
136

e#?(i0l .Го, Vе). Следовательно,
Ϊ2 (■*·"(■)) = min ω(ί, x(i))>c»(i0, д:0)
(ϊ(·)εί(ί„ а;„, V)).
Откуда в силу (2.7.16) и (2.7.17) приходим к оценкам (6.13).
Лемма 3.6.3 доказана.
Лемма 3.6.4. Потенциал сг(-) : Τ X R" -*■ R
дифференциальной игры, складывающейся из задач 2.7.3 и 2.7.4,
удовлетворяет соотношениям
с\{Ъ,х)=ч>(Ъ,х), c\{t,x)^.(a(t,x) (6.14)
при (i, riefX R",
α также удовлетворяет условию и-стабилъности в области
E° = [{l,x)z=Tx Rn: c\ (t, х)«й (ί, ж)} (6.15)
и условию v-стабильности в области [ί00. θ) Χ Rn.
Доказательство. Соотношепия (6.14) сразу следуют из
определения цены рассматриваемой игры и функционала γ2(·)
(6.1). Докажем, что функция Cg(-) u-стабильна в области Е°.
Пусть (ί*, я*) —произвольная точка области Е°. Выберем
число i e (ί», ϋ·] так, чтобы неравенство
ω(ί, ж (i))>c° («*,«,), **<*<? (6.16)
было справедливо для всякого движения я(-)е U {86 (ί*, ж*, у):
v^Q). Покажем, что
sup min max c5> (t, χ (ί)) <J c° (£*, χΛ)
0 *(·> ' (6.17)
(weρ, *(.)ε=#(ί„**, у), «»<«<?).
Нетрудно видеть, что из (6.17) следует (2.1).
Пусть и# — стратегия первого игрока, оптимальная для
исходной позиции (£*, х*). Из материала § 7 гл. II следует, что
эту стратегию можно определить в форме стратегии, экстремаль-
нон к подходящему мосту Wt cfXR", Согласно (2.7.14), (2.7.17)
для любого χ (·) е 86 (i*, x*, U%) справедливо неравенство
γ8 (*(·)) = min ω(ί, ж(0)<с2(«*, *·)- (6-18)
Далее, следуя доказательству леммы 3.2.3, рассмотрим движение
я* (·) е Ж1 (ί*, ζ„., С/,,.) f| 86 (£*, ж,,., у*), где у* —произвольная
точка из Q. Выберем произвольное t* е [ί*, ί] и определим
множество °Ц (2.17), которое вложено в множество 86w (ί%, #*,
£л*)· Как показано в § 8 гл. II (см. следствие леммы 2.8.3),
неравенство (6.18) остается справедливым для любого а; (·)<=
137

<^$B (£*, Χχι U^) и, поэтому, в частности,
γ. (?(·))< *£(«·,**) (б·19)
для любого у(-) &Щ. Из построения множества Щ (2.17) π
определения функционала γ2 (6.1) следует
?«(?(·)) = mb ω(ί, ?/(ί)) =
= mm/ min ω (*,*,(*)), γ, (**(·))!. (6.20)
где х*(.)еЯ?(«*,х*,^,).
Согласно (6.16) и неравенству <* < ί получаем
mini ω(ί, £*(£)) >с°(г*, ζ*).
Поэтому в силу (6.19), (6.20) заключаем, что неравенство
Уг(х* (*))^5С2(**1 #*) будет справедливо для любого г*(-)е
<=% (ί*. χ*, U*).
По определению цены (см. (2.7.14), (2.7.17)) имеем оценки
с\ (t*, χ*) = min Г* (ί·, χ*, U) < Γ* (ί·, **, У*) =
= max ъ {χ* (· ))< c° (t#1 ж,) (**(.) e Я? (ί·, χ*, t/*))
χ*(.)
(напомним, что эдесь χ* = χ* (£*)). Приходим к следующему
положению: какова бы ни была точка υ* е Q, существует
движение Xif (·) е 86 (£*, х#, ν#), для которого при любом i*e[i#, t\
справедливо неравенство с° (£*, х* (t*)) ^ с0 (Ζ*, я*). Таким
образом, соотношение (6.17), а вместе с ним и ы-стабпльность
функции с2(·) в области Е° доказаны. Доказательство и-ста-
бильности потенциала с2 (·) в области [toc, Ф)ХН" опускаем,
поскольку оно, в основном, совпадает с приведенными выше
рассуждениями.
Доказанные в этом параграфе леммы дают необходимые и
достаточные условия, которым удовлетворяет потенциал
рассматриваемой игры.
Теорема 3.6.1. Для того чтобы непрерывная функция с(·):
Τ X R" -*- R была потенциалом дифференциальной игры,
складывающейся из задач 2.7.3 и 2.7.4, необходимо и достаточно, чтобы
функция с(-), во-первых, удовлетворяла условию и-стабильности
в каждой точке (£*, χ*), где с (£*, х%) <ω (t#, x#), во-вторых,
была υ-стабильной в каждой точке (f^, i^) e[i00, θ) Χ R",
в-третьих, удовлетворяла соотношениям
c(i, ι)<Β(ί,ϊ)((ί, ζ)€=ΓΧΗ") и c(ft, *)«=ω(#, x), ze=R\
В заключение рассмотрим случай, когда потенциал
рассматриваемой игры принадлежит классу кусочно гладких функций.
138

Пусть с(·) — некоторая кусочно гладкая функция. В каждой
точке (**, я*) ^ [ioo, 0)XR" п для любых неР и v^Q можно
определить величину (см. § 4)
# (**, я*· ". у) = mix[-$-(**> ж*, Z) +
+ grad* φ (ί„ я*, Ζ) [Α (ί„) χ* + 5 («») и + С (i»)u]}.
Как показано в доказательстве теоремы 3.4.1 условие и-стабиль-
ности (у-стабильности) функции с(·) в точке (^#ι ^ψ)
эквивалентно maxminH (ί*, хл, и, y)<;0(mmmax# (ί*, a:*, u, υ) ^ 0). Таким
ν и иг
образом, справедлива
Теорема 3.6.2. Для того чтобы кусочно гладкая функция
с(·) : Τ X R" -»■ R была потенциалом дифференциальной игры,
складывающейся из задач 2.7.3 и 2.7.4, необходимо и достаточно,
чтобы функция с(·) удовлетворяла следующим условиям:
Ш max min Η (ί*, χχ, и, υ) ^ 0
reQ uep
нры ecea: (ί*, x*)e=[t00, fl)xR", гЗе c(i#, a;*) <<<)(£*, χ$),
(2) min max Я (ί*, а-*, и, υ)~^ 0
uep reQ
при всех (i*, а:*) е [t00, ϋ)χ/?η,
(3) c(i, a;) 5* ω(ί, ж), сМ>, а;) = <о(Ф, а;)
гари всеа; (ί, г)еГХ R".
§ 7. Регулярный потенцпал нелинейной
дифференциальной игры
Результаты, полученные для кусочно гладких потенциалов
линейных дифференциальных игр, будут перенесены в настоящем
параграфе на случай нелинейной управляемой системы. Другое
обобщение будет состоять в замене класса кусочно гладких
функций более широким классом регулярных функций.
Итак, пусть движение управляемой системы описывается
нелинейным дифференциальным уравнением
*(*)=/(«, *(«), ц(«), v(t)). (7.1)
Будем предполагать, что функция /: rXR"XPX(?-+Rn
удовлетворяет трем условиям, указанным в § 8 гл. I. Будем также
предполагать, что функция / удовлетворяет условию седловой
точки в маленькой игре, сформулированному в § 8 гл. II (см.
равенство (2.8.2)).
139

Для системы (7.1) в классе позиционных стратегии U,J03 X
X V„03 будем рассматривать дифференциальные игры с платами
γι (1.1) и γ2 (1.2). Таким образом, первая дифференциальная игра
складывается из задач 2.7.1 и 2.7.2, вторую игру составляют
задачи 2.7.3 и 2.7.4. Как отмечалось в § 8 гл. II, нелинейная
позиционная дифференциальная игра с платой γ< (£ = 1, 2) имеет
цену c°i(t0, х0).
Обратимся сначала к рассмотрению нелинейной
дифференциальной игры с платой γι (1.1). Для потенциала (ί0, £ο) -*■
—+cl(tQ,x0) этой пгры остаются справедливыми леммы 3.1.1 π
3.1.2, а также утверждения, сформулированные в § 2.
Доказательства всех этих утверждений, приведенные в §§ 1, 2 для
линейной системы, пе требуют изменений при переходе к случаю
нелинейной управляемой системы. Отметим лишь, что для
нелинейной системы в определениях условий ц-стабильности и у-ста-
бильности (см. § 2) множества S3 (ί*, χ*, ν) и $6 (t*, х#, и) суть
пучки решений х()'= (x(t),t* <ji <j θ·, χ (t%) = χ%)
дифференциальных включений
x(t) €= со {/(*, x(t), и, ν): us=P)
и
xtt) е= со {/U, x(t), и, ν) : v^Q}
соответственно.
Введем теперь новые понятия.
Пусть Rb — пространство скалярных функций π(·) : L -*■ R,
определенных на некотором непустом множестве L. Пусть на
некотором множестве IIcR' определен функционал (оператор)
mix : Π -»■ R. Значение, которое операция mix ставит в
соответствие функции я(')еП, будем обозначать символом mixit(i).
Полагаем, что операция mix обладает следующими свойствами.
Если η(·)εΠ, reR, ю функции I ->■ яШ + г и I -*■ г · π(ϊ)
также принадлежат множеству Π и справедливы равенства
mix (г + пШ) = г + mix π(Ζ),
IGL l(=L
mix (rn(i)) = rmixn(i) (r>0).
leL H=L
Если πι(·) e Π (i = 1, 2) и π,(ϊ) ^ лгИ) d e= L), то
mix πι(ϊ) «£ mix π2(/).
leL leL
В § 3 операция mix была определена для функций π(·) : L -*■
-*■ R, где L — конечное множество в N\ При этом операция mix
была задана выражением (3.2), состоящим из последовательности
операций min и max. Нетрудно проверить, что операция mix
(3.2) удовлетворяет всем указанным здесь требованиям. Отметим,
что приведенному эдесь описанию функционала mix
удовлетворяют операции sup, inf, lim, а также суперпозиции этих
операций.
440

Определим понятие регулярной функции. Пусть с( ■): Τ Χ R" ->-
-*- R — непрерывная функция. Будем говорить, что функция с()
регулярна в точке (£*, х*) <= [i00, 0)XRn, если в некоторой
окрестности Sa (£*, a;*) = {(ί, я): £* < ί < ί* + α, || χ — χ*\ < α}
выполняются соотношения
с (ί, а;) = mix φ (ί, χ, Ι) ((t, x) «= 5α (i*, a:»)),
teI· (7.2)
«(**, **) =φ(ί*. a:*, 0 (iei).
Здесь функция φ: Sa(i*, а;.,.)х£-»-Н удовлетворяет
следующим условиям: для любого JeL существуют производные
У-(f*i я*| О U = 1, ..., /г) и существует правая производная
ΟΧ ι
■£j(i*, «*, 0» более того
lim sup Ι φ (ί, χ, 0 — φ (ί*, χ*. Ι) —-£ (**ι **, Ζ) χ
(«,*)-»(«„*,) ieL Ι -σι
Χ (ί - ί*) - gracl, φ (ί*, xm, Ι) (χ - χ+)\ [(ί -t*)+\\x — χχ ψ1 = 0
(здесь (i, r)eSa(i», а:*)),
sup
U (*··*·· 0 I <oo (i = l,...,ra).
4
В (7.2) mix — операция указанного вида. Предполагается, что
φ (ί, χ, ·)εΙΙ,|^(ί„ хХУ ■ ) +gradxcp(f», x*, -)s еП
для любых (t, χ) е 5α (ί*, #*) и s e R".
Отметим, что требования, указанные для функции φ, будут
выполнены, если L — метрический компакт, а функции дср/dt и
θφ/дх, (ι = 1, ..., га) определены и непрерывны на множестве
Sa(t^, x^)xL.
Пусть функция с(-) : Τ XR" -*■ R регулярна в точке (ί*, я*)е
s[i00, *)XR\ Тогда для любых l^L, μ*=£Ρ, ν «= ζ?, «еР и
fsC можно определить величины
&(**> **, Ζ, μ, у) =
= !*■(**· **> г) +егаажгр(^, a;», Z) J /(**, **, и, ι;)μ(ώΐί),
ρ
Α(ί», а:», Ζ, и, ν) =
= -jt (**, я*. Ц + gradx(| (ί*, x*,l)\f (£*, a:», u, υ) ν (dv),
Q
(7.3)
-π (ί*, a:*, μ, υ) = mixra(i*, a:*, lt μ, у),
Я (f%, a;*, w, v) = mix га (f*, a;*, Z, и, ν),
leu
141

где μ π ν — вероятностные меры, нормированные на Ρ и Q
соответственно. В этих соотношениях L — множество, φ — функция
и mix — операция, которые отвечают функции с(·) согласно
свойству ее регулярности в точке (**, я*)·
Лемма 3.7.1. Пусть движение нелинейной системы
описывается уравнением (7.1). Пусть функция с(·) регулярна в точке
(£*, х%). Тогда условие и-стабилъности функции с(·) в точке
(ί*, хх) эквивалентно неравенству
sup inf Η (f*, a·*, μ, υ) < 0, (7.4)
а условие v-стабильности в точке (£*, я*) функции с(·)
эквивалентно оценке
inf supff(f*, а:*, ц, v)^ 0. (7.5)
«ер v>=^
Доказательство этой леммы опускаем, оно во многом
совпадает с рассуждениями, приведенными при доказательстве теоремы
3.4.1.
Из леммы 3.7.1 и теоремы 3.2.1 следует
Теорема 3.7.1. Для того чтобы регулярная в области [ί0ο»
■flOXR" функция с(-): rXRn-*-R была потенциалом нелинейной
дифференциальной игры с платой γι (1.1), необходимо и
достаточно, чтобы выполнялись равенство
с(0, x)=*oix) dsH") (7.6)
и оценки (7.4) и (7.5) при всех (ί*, £*) е= [ί00, τ» X Rn.
Для нелинейной дифференциальной игры с платой γ2 (1.2),
решение которой рассматривается в классе позиционных
стратегий, сохраняются бел изменений формулировки и доказательства
всех утверждений (за исключением теоремы 3.6.2), приведенных
в § 6. Из леммы 3.7.1 и теоремы 3.6.1 получаем следующую
теорему (обобщение теоремы 3.6.2)
Теорема 3.7.2. Для того чтобы регулярная в области
[too, t)) X R" функция с(-): Τ X R" -*- R была потенциалом
нелинейной дифференциальной игры с платой γ2 (1.2), необходимо и
достаточно, чтобы выполнялись соотношения
с(0, я)=со(т>, х), c(t, х)< a>(t, х)
(7.7)
при (ί, ι)εΓΧ R",
а также оценка (7.5) при всех (ί*, χ*) е [ί00, Ο) X Rn и оценка
(7.4) при всех (<*, **) «ξ [ί00> θ) X Rn, для которых с (£*, χ*) <
<ω(ί*, ж*).
В заключение укажем еще один класс негладких функций
и сформулируем необходимые и достаточные условия, которым
удовлетворяет потенциал дифференциальной игры,
принадлежащий этому классу.
142

Пусть φ: Τ Χ R" Χ К X L ->■ К — непрерывная функция, где Я
и L — некоторые метрические компакты. Полагаем, что для
функции φ справедливо равенство
minmaxcp(£, χ, к, I) = maxinincp(<, χ, к, I)
he к leL leL лек
при (ί, г)еГХ R".
Предполагается также, что функции
{t,x,k,l)^^(t,x,ktl),
{t,x,k,l)-+^-(t,x,k,l) (i = l,...,n)
определены и непрерывны па [ί0ο, θ) X R" X ·/£ X L. Рассмотрим
функцию
(ί, χ) -*■ c(t, x) =minmaxm(i, χ, к, I) =
Лек ieL
= maxmincpU, x, h, I) (U, x) eTXR"). (7.8)
ieL fteJC
Подчеркнем, что это представление имеет место при всех
(i, ilsTXR", а в определении регулярной функции равенство
(7.2) выполнялось в окрестности Sa (ί*, я*) точкп (£*, £*)·
Важно также отметить, что в определении регулярной функции
требовалось, чтобы функция Ζ-*-φ(<*, £*, Ζ) принимала
постоянное значение на L, а в определении функции с(·) (7.8) подобное
требование отсутствует. В некоторых случаях при изучении
негладкого потенциала удобно исходить из представления его в
форме (7.8), а не из локальных равенств (7.2). Один пример
такой ситуации был рассмотрен в § 5 (заметим, что равенство (5.2)
есть частный случай равенства (7.8), если полагать, что в (7.8)
множество К состоит из одного элемента).
Перейдем теперь к формулировке результата. Полагаем
K°(h, х*) = fk°<E=K: maxcpii*, χ*, к0, I) =
I lei,
= min шах φ (Ζ*, χΛ, к, I)),
Лек геь /
L° (t„, *„) = П° е= L: min φ (**, χ*, λ·, ϊ«) =
I fteK
h{t:b, XifX к, I, μ, υ) = -Jy-(**, ж*> ^ О
= max min φ (г*, я*, к, Щ,
let heK
+ gradj-φ (ί*, .r*, fc, Ζ) / (f*, a-*, u, υ) μ (cZit),
Μ**.**, fc,. Z, «, v) = ^-(i», *,,*, i) -f
dt
+ grad^cp (i*, я*, к, I) j / (i*, x%, u, ν) ν (di>).
Q
(7.9)
143

Η* (ί*, χ^, μ, ν) = min шах Α (ί*. χχ, к, Ι. μ. ν),
h I
Η* {tx, χ#, и, ν) = max min Α (£*, χ#, к, Ι, и, ν)
I ft
πρπ /се Λ.'°(ί#, χ*), Ze £°(ί*, χ*).
Справедливы следующие утверждения.
Для гозо чтобы функция с(·): fXR'-^R вида (7.8) была
потенциалом нелинейной дифференциальной игры с платой γι
(1.1), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенство
(7.6) и оценки
max min tf * (ί*, χ*, μ, ι;) < 0, (7.10)
min max Я* (f*, ζ*, ц, ν) ^ 0 (7.11)
иея veQ
ирц всея (f*, я*) <= [i00, ΰ) X Rn.
Функция с(·): 2" X R" -*■ R виЗа (7.8) является потенциалом
нелинейной дифференциальной игры с платой γ2 (1.2) тогда и
только тогда, когда выполняются соотношения (7.7), оценка (7.11)
при всех (ί„, х#) e=li00, ΰ·) X R" и оценка (7.10) иры гея
(ί#, ζ*) е [ί00> φ) χ R", для которых с (ί*, хЛ) < ω (£*,'#*).
Доказательство этих утверждений опускаем.

Г л а в а IV
МЕТОД ПРОГРАММНЫХ ИТЕРАЦИЙ
(ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
§ 1. Содержательное обсуждение метода
Как уже отмечалось, для успешного решения рассмотренных
выше дифференциальных игр нам надлежит научиться
определять теми или иными способами такие основные элементы этих
игр, как множество позиционного поглощения и потенциал, т. е.
цену игры, как функцию начальной позиции. При определенных
условиях регулярности эти наиболее существенные (для
нахождения решения) элементы игры удавалось непосредственно
извлечь из решения некоторых вспомогательных задач
программного управления. Сейчас мы постараемся перенести этот
подход на общий случай дифференциальной игры. Для этого нам
потребуются, однако, программные конструкции, существенно
отличающиеся от ранее рассмотренных. Кроме того в дальнейшем
мы рассматриваем дифференциальные игры для нелинейной
системы
х = /(£, χ, и, ν),
удовлетворяющей естественным ограничениям на правую часть
дифференциального уравнения. С конструкциями регулярных
дифференциальных игр такие вспомогательные программные
задачи формально объединяет лишь то, что в том и другом случае
мы будем считать, что игрок-противник (пусть, для
определенности,— второй игрок) управляет системой в условиях
информационной дискриминации, характер которой раскрывается ниже.
Отметим, что в этой и последующих главах мы рассматриваем
оолее общий случай дифференциальной игры, в связи с чем нам
удобно будет изменить некоторые определения и обозначения по
сравнению с предыдущими главами. Так, например, в
дальнейшем мы обозначаем 7, = [ί00, Φοί, где ί0ο<ΌΌ, а букву ■&
используем в качестве аргумента при определении итерационных
процедур программного поглощения. Кроме того, нам удобпо будет

здесь несколько иначе записывать формулировку условий
Ш, ЛО-солнженпя и (Λ/, АО-уклонения. Эти и некоторые другие
изменения технического характера ие затрагивают существа
конструкции, изложенных ранее для случая линейных
дифференциальных игр.
Пусть в момент ί* е Τ =[ί00, ΰ0] система находилась в
состоянии х$, так что х (ί*) =£*. Дальнейшее ее
функционирование зависит от поведения обоих игроков па промежутке [ί*, Ό01-
Тогда, по условиям наших вспомогательных программных задач,
игрок-противник (второй пгрок) обязан сообщить нам, т. е.
игроку-союзнику (первый пгрок), свое управляющее воздействие
на всем оставшемся промежутке времени [ί*, Ο0]. Пусть это
воздействие
v(.)=(v(t), i*<i<fl0)
выбрано вторым игроком ivit) е Q при всех ie [ί*, τ>0]). Тогда
оно не может быть им скорректировано и дальнейшем, как бы
ин складывалась текущая позиция (t, x(t)). Вместе с тем, по
существу, такая информационная дискриминация
игрока-противника здесь будет сказываться (по отношепшо к исходной задаче)
в меньшей степени, чем в ранее рассматриваемых
вспомогательных программных конструкциях для регулярных
дифференциальных игр, поскольку цели-этого игрока эдесь будут выбираться
как раз ггз учета возможности осуществления коррекций его
управления в исходной содержательной задаче. В связи с этпм
мы можем выделить два типа таких программных задач. Задачи
первого типа просто будут программными аналогами исходных
позиционных игровых задач при условии описанной выше
дискриминации игрока-противника (здесь — второго игрока) н,
возможно, при некотором изменении параметров этих пеходпых
задач. Программные задачи второго типа, напротив, не будут
такими программными аналогами, а будут π по форме другими
задачами, но также в той или иной мере приспособленными для
решения исходных позиционных игровых задач с многократными
коррекциями управления игрока-противника. Рассмотрим
содержательно некоторые конструкции первого типа для
позиционной задачи о наведении на замкнутое множество Л/, лежащее
в пространстве познцпй (£, х), внутри замкнутого множества N
(в том же пространстве). Осуществление такого наведения или
сближения ί(Μ, Λ'")-сближение) будет составлять нашу цель, т. е.
цель первого игрока, реализации которой он добивается
соответствующей организацией своего управления иШ^-Р. Напомним,
что множество Μ является при этом его целевым множеством,
а множество N — фазовыми ограничениями. При этом для
игрока-союзника допустимы лишь некоторые способы формирования
управления и(<) е Р. Пусть эти способы исчерпываются
всевозможными стратегиями U{t, χ) е ρ (саг. § 3 гл. I). Тогда
вспомогательные программные задачи мы определим как такие же по
146

форме задачи, но уже с дискриминацией второго игрока π
с варьированием одного из параметров этих задач, а именно
фазовых ограничений. Рассуждая таким образом, мы придем к
программным задачам (М, £)-наведения (или Ш, -^-сближения),
где в качестве Ε мы будем использовать уже различные
замкнутые подмножества Ν, т. е. некоторые более узкие фазовые
ограничения. Правила поведения игроков в таких задачах (на
содержательном уровне) будут состоять в следующем.
Пусть Ш, Ε), Ε <= Ν,— заданная пара замкнутых множеств;
(it, xt) —некоторая начальная позиция иэ Е: {t.M,x*)^.E.
Тогда второй игрок может выбрать любое свое управление-
программу
т. е. функцию t -*■ v(t) со значениями в Q, по он обязан
немедленно объявить ее нам, т. е. первому игроку. Первый игрок
вправе отреагировать на нее своим управлением-программой
(отождествляемой пока, на содержательном уровне, с функцией
г-й(Й,н«)еР):
м(-) = ад1,Е(у(·))
по возможности так, чтобы получившееся в результате движение
x{t), ί*<ί<ϋ„.
системы (из начальной позиции (£*, #*)) достигло не позднее
ΰ0 множества М, не покинув до осуществленпя такой встречи
множества Ε (а не только множества Ν). Если такая реакция
7.л/,е(у(·)) существует при всякой реализации υ{·) программного
управления второго игрока, то мы скажем, что из данной
позиции (£*, хх) множество Μ поглощается программно при фазовых
ограничениях Е. Множество АМ(Е) всех таких позиций
(впоследствии мы определим его более строго) назовем множеством
программного поглощения цели Μ при фазовых ограничениях Е.
Это множество объединяет^ таким образом, все начальные
позиции, пз которых первый игрок успешно решает свою задачу при
любой помехе ι>(·), если только она ему становится известной
я начальный момент времен п. Реально такая удачная для игрока-
союзника информационная ситуация неосуществима. Поэтому
условие
(ί„ χ*) е= Ам (Е)
еще не исключает для него той неприятной возможности, что
второй игрок (помеха) сможет организовать свое управление
v(t) e ()t t% ^ t ^ Ф0, так, что Ш, £)-наведение (и, может быть,
Даже (Μ, Ν)-наведение) на самом деле не состоится. Действп-
мож"0' " Пр" ЭТ0М Условии ((**' х*) еАм{Щ) второй игрок
СТ поставить перед собой следующую «локальную» цель: вы-
...- тРабкторию ζ(·) системы сначала пз множества -4iV(£)
147

(a ue обязательно на множества Ε) с помощью некоторой
программы w* (·), сохранив за собой право коррекции этой
программы в подходящий момент времени ί* (ί# ^ ** ^ Όό , (£*, τϋ*)) <£
.& Λ:.,{Ε) до некоторой другой программы
которая исключает уже (Л/, £)-наведение из новой сложившейся
позиции (f*, #(i*)). При этом саму программу ί>*(·)> если
таковая существует, он может даже объявить своему противнику,
т. е. первому игроку, не сообщая впрочем и, быть может, даже
не намечая заранее (в момент i*) значение t* и новую программу
у*(·). Эти элементы (ί* и и*{·)) второй игрок может выбрать по
ходу дела, наблюдая текущую позицию (t, хШ) π дожпдаясь
(при удачном выборе ν% (·)) реализации условия
(ί, χΜ)ΦΑΜ№).
Организовав такую двухшаговую процедуру,
игрок-противник сможет исключить (Л/, £')-цаведение. Чтобы лишить его
такой возможности, падо, *1тобы выполнялось пе только условие
(t%, х%) е Ам (Е), но и более сильное условие
(*„, ж») е= Лм (Лм (/?)) --= A|f (E).
Но π этого условия первому игроку мало, т. к. его противник
может не ограничиться одной коррекцией своего управления,
а сделать пх, например, две по упомянутому выше правилу
(сначала поставив своей целью выход из A\j(E), затем из АМ{Е)
п, в конце концов, исключить (Л/, £)-навсдепие). Чтобы π такой
возможности у второго игрока по было, надо, чтобы
Это рассуждение можно продолжить неограниченно, получая
(желательные для нас, т. о. для первого игрока) условия (£*,
£*)= АМ(Е), /с = 1, 2, .... При Ε = N эти условия имеют
самое непосредственное отношепие к исходной проблеме Ш, ЛО-на-
ведення, поскольку они характеризуют возможный исход игры
в случае использования вторым игроком (противником) того или
пного конечного числа коррекций своего управления при
своевременном оповещении о них первого игрока. Описание этих
важных для нас условий мы осуществим посредством итерационного
процесса на базе оператора Ам в пространстве подмножеств N.
В пределе этот итерационный метод будет доставлять нам
множество позиционного поглощения, т. е. множество всех позиций
(£, х) е Ν, для каждой из которых, как для начальной,
разрешима (при должной формализации) позиционная задача (Л/, ЛО-на-
ведення первого игрока и не разрешима соответствующая задача
(Л/, ΛΟ-уклонения второго игрока (см. § 6 гл. I). Последняя, как
уже упоминалось, сводится к осуществлению такой ситуации, что
148

траектория системы либо совсем минует целевое множество Л/,
либо покидает N до выхода на это множество М. Тем самым
операция построения нужного нам для решения исходной задачи
множества позиционного поглощения свелась к выполнению,
вообще говоря, счетного множества операций построения множеств
программного поглощения в задачах, отличающихся по форме
от исходной лишь фазовыми ограничениями (и, разумеется,
характером информированности игрока-союзника). Выполнив
счетное множество таких операций для программных аналогов пашен
позиционной задачи Ш, N)-наведения, мы получим ее наиболее
существенный для нас элемент, после чего можно определить
стратегии, разрешающие эту задачу.
Аналогичная ситуация складывается и в уже упомянутых
программных конструкциях второго типа, которые мы здесь
рассмотрим для простейшей игровой задачи на мпнпмакс
терминального функционала σ(ζ(\τ0)), где χ -*■ σίχ) — непрерывная
скалярная функция фазового состояния. Приведем
содержательное описание этих построений. Предположим, что нгрок-союзннк
(пусть снова это первый игрок), формируя тем или иным
способом свое управление' иЦ) e P, tx ^ i^ if0, стремится
реализовать (из начальной позпцпп (£*, х*)) траектории
конфликтно-управляемой системы с наименьшим значением
α(χ{ϋ0)). В достижении этой цели ему, по нашим представлениям,
препятствует второй игрок. Возникающая при должной
формализации (см. § 6 гл. I) дифференциальная игра на минимакс-
макспмин функционала σ(ΐ(Ο0)) обладает седловой точкой
U*{t, x), V*{t, x) в классе позиционных стратегий, если
выполняется так называемое условие седловой точки в маленькой игре,
обсуждение которого мы сейчас проводить не будем.
Предположим, что это последнее условие (см. (2.8.2)) выполнено. Пусть
с0 = с0 (ί*, х%)—цена игры в классе позиционных стратегий.
Более точно эта величина может быть определена по аналогии
с предыдущими главами, если для произвольных позиционных
стратегий U(t, x), VU, χ) ввести, подобно § 6 гл. I, некоторые
их показатели качества для данной начальной позиции (£*, х%):
Г* (U) = sup σ (xv [ft0l), Г» (V) = inf σ (χν [ϋ0]).
Тогда, как и в § 6 гл. I, цена игры с0 и седловая точка U*, V*
определяются из условий
Г* (U*) = min Г* (U) = Г» (t/no3) = Г0 (Vn03) = шах Г* (V) =
ν ν
= T*(F*) =c°. (1.1)
Аакие же построепия можно выполнить для всех начальных
149

позиций (ί, χ), получив тем самым семейство величин c"(i, x),
т. е. потенциал плп цену игры, как функцию пачальпоп позиции
(£, х) этой пгры:
(ί, χ) — c°(t, χ).
Если такая фупкция нам пзвестпа, то (для всякой начальной
позиции (£*, х*)) всегда может быть определена седловая точка
(£/*, V*) в соотношении (1.1). Так стратегия U* может быть
выбрана, например, как экстремальная к множеству
V™ = [(t, х): (и)еГхГ, c°(i, i)<c»(i„ .τ*)},
которое образует стабильный мост первого игрока, уппрающпйся
в момент f>o в (замкнутое) множество
Л/с = {χ: а; е=R", а{х) ^ с)
при с = c°(i*, 2:$). Из апалогпчных соображений можно выбрать
и стратегию V*. Таким образом, задача по существу сводится
к нахождению потенциала с°(£, x). В свою очередь к этому
вопросу можно подойти следующим образом. Предположим, что для
нашей управляемой системы определена функция ε°: Τ X R" -*■ R1,
значения которой ε° (i^, x%) суть программный макснмпн платы
о(я(Фо)) при фиксированной начальной позиции (ί*, χ%), т. е.
наибольший гарантированный вторым игроком результат в классе
его управлений — программ на отрезке [£*, θ0]. Содержательно
эти программы суть функции ν (·): [t%, θ0]-^ζ>, а велпчппа ε°(£*,
х*), как и раньше, есть макснмнн на множествах всех программ
v(-): [tt,Q0]^Q, u(.): [i»,O0l-*-P
функционала F(m(·), у(·)), определяемого как oW^o)) па
движениях х(), реализующихся из начального состояния x(tx) = х*
в силу управлений ы(·), ν{·). Вопросы конструктивного
нахождения функции ε° мы сейчас обсуждать не будем. Отметпм только,
что, как мы уже убедились, в случае линейной
дифференциальной игры сближения с выпуклым множеством в фиксированный
момент времени зта функция определяется в явном впде с
помощью известной формулы (см. [7*1, стр. 159). Теперь мы
рассмотрим с точки зрения второго игрока уже другую, локальную
задачу: как из заданной пачальпой позиции (£*, x%)
гарантированно перевести систему в такое состояние (ί*, χ*), £,,.<£*,
для которого ε° (ί^, х$) < ε° (£*, χ*). С этой целью оп (второй
игрок) в данной вспомогательной задаче (допустим, что она
разрешима) для начальной позпцпи (£*, χ*) намечает и объявляет
лпшь отрезок v(t), ί* ^ £< £*, своего управления, избранного для
достижения вышеупомянутой целп. Этот отрезок управления
второго игрока вместе с некоторой реализацией и(£) ^Р, t%^t<Ct*
управляющего воздействия его противника осуществляют перевод
системы
150
(ί,, *,)-*.(*·,**)

так, что ε° (t%, χ.*) <εη (ί*, χ*). После этого у второго игрока
есть возможность гарантированной реализации неравенства
ε"(/*, .г*) s=a(.r(tf0)) (а не только ε° (£*, χ.+)<σ (χ (ϋ0))) в классе
его управлений-программ vtt), ί*<ί<Οο· Правило поведения
второго игрока на первом промежутке [ί*, £*), правый конец
которого он также вправе выбрать сам, составляет основу повой
игровой задачи программного управления. Эта задача
содержательно описывается соотношением
(Г (ε0)) (ί*, χ*) = шахтахпппг0 (<*, χ (t*, ί*, χ*, u(-), v (■))). (1.2)
Вполне поиятпо, что он (второй игрок) может не
останавливаться на такой двухшаговой схеме построения своего управления,
а повторять такую процедуру многократно, реализуя уже
последовательность «степеней» ε(|" программного максимина ε°,
определяемых в виде рекуррептпой зависимости
6«·)=β·, в(*+,) = Г(е(Ч).
Воздействие оператора Г определяется соотношением (1.2)
при замене ε° на ε1*' (к = 0, 1, 2, ...). Предел последовательности
(ε'*4ί, х), к = 0, 1, 2, ...) для всякой позиции (t, х) как раз и
совпадает с величиной c°(i, x). Для выбранной начальной
позиции (ί*, я*), второй игрок, возможно, и не сможет реализовать
этот предельпый элемент с0 (ί*, χ*) в виде гарантированного
неравенства с0(£*, х*)^ σ {χ (θ0)) посредством построения на базе
оператора Г отрезков i?U), U < ί < ί,·+1, своего управления с ко-
печным числом коррекции, хотя в ряде частных случаев, о
которых пойдет речь в дальнейшем, это удается. Но зато он может
реализовать этот результат с0 = с0 (£.,., х%), используя лишь
конечное число таких Г-коррекций своего управления, со сколь
угодно высокой степенью точности. Мы, однако, пе будем его
заставлять это делать с помощью Г-коррекций, связанных с
оптимизацией моментов коррекции и отрезков программ, а пойдем
по уже проторенной дорожке построения экстремальных
стратегий, что легко делается при известной функции c°(i, .τ).
Отметим теперь, что для каждой позиции (f*, а:*) величина
ε° (ί*, χ^) может быть реализована первым игроком в форме
перавеиства σ (я (Ф0)) ^ ε° (ί*, χ%) при использовании в качестве
допустимых процедур управления откликов у(·) -*■ а(и(·)),
«(у(·))—обычное или «обобщенное» управление первого игрока,
на реализации управления партнера. Однако эти отклпкп α = αβ°
могут пе обладать (даже в случае решения задачи в классе
обычных управлений id-) и v(·)) свойством физической
осуществимости, т. е. может случиться, как уже отмечалось, что для двух
Реализаций иД·) н ι>2(·) программного управления второго игрока
(помехи), удовлетворяющих для некоторого те [t%, ■&„] условию
W-) |[ί*,τ))=(υ2(·)|[ί*,τ)), а-реакцпи «,(■) =а(у,(·)) и иЛ·) =
~~k(uz(-)) на эти управления будут такими, что по суще-
151

ству будет нарушиться условие (иг (·) 1 [U* т)) = ("г (")| U*· т))·
Проиллюстрируем это обстоятельство следующим простым
примером. Рассмотрим скалярную Ы = 1) систему
χ = (1 — t)u + υ,
иеР=[-2, 2J, уе<?=[-1, 1J, »еГ=[0,1]
«о = 0, θ, = 1)
при условии, что σ(#) = |#|. Для такой управляемой системы в
программных конструкциях можно ограничиться классами
обычных управлений — борелевских функций времени со значениями
в Ρ = [—2, 2J, Q = [—1, 1] соответственно. Для каждого ί е [0, 1]
мы обозначим здесь через U, (через V,) множество всех таких
управлений
и(-): [ί, 11 -»Р (ι?(·): ti, ll -* <?).
Далее пусть начальная позиция (ί0, ос«) = (0, 0) зафиксирована и
t t
*о(«, "(О, y(-))i= f (1 - ξ) « (ξ) ί|+ ft'(l)^
0 η
(if(.)eU0li(.)eV0)ier)
— соответствующее программное движеппе из этой начальной
позиции. Тогда
ε° (ί0. *ο) = ε° (°. °) = max min l*o (1. "(·)» ν(·))ι\ =0·
»(-)ev0u(-)eU0
Это значит, что для всякого d(·) e V, множество ао(у(·)) всех
управлении u(-)^U0: .г'0(1, «(·), f(-))i = 0 непусто, т. е. первый
игрок (союзник) имеет возможность отвечать на реализации у(-)
так, что получающееся движение в момепт Ф0 = 1 обязательно
приходит в начало координат. Такие управления u(·) e aj.v(·))
как раз и будут наилучшими ответами первого игрока на
реализации у(·) управления второго игрока. Пусть далее «'"('isV,,
i/t2)(·) s V0 (V0 = V, при t = 0) — программные управления,
определенные условиями:
»">(О=0 (ie[0, 1/2)), ϋ(1>(0 = 1 (ίε [1/2,1]);
i/2>(i) = 0 (is [0,1/2)), ι/2>(ί)=-1 (ie [1/2,1]).
Очевидно, что
(»(1)(·)|[0, 1/2)) = (ϋ(ϊ)(·)|[0, 1/2)).
Рассмотрим множество сс0(уС1)(·)) (множество α0(ν(2)(·))) всех
удачных для первого игрока реакций и„{·) на управление νιι4·)
(на управление vm{·)) помехи: x0(i, w„(·), i;cl)(-))i = 0 (χ0-1,
Uo(·), ι/2)(·))ι = 0). Попытаемся решить следующую задачу: найти
пару (и(1)(-), ιι|!|(-))εαι(ΐ'Ι"(·))Χαι(ι;,!Ι(·)) оптимальных
реакций на управления ν(1,(·) и ι>(2)(·). для которых u{l)(t) = uw(l)
152

почти всюду па [0, 1/2). Оказывается, что эта задача не
разрешима. Действительно, допустим противное. Пусть пара ы("(·) s
еа,(у[1|(·)), киЧ·) εα,(ριί)(·)) такова, что αιί|(ί) = wt2,(i) почти
всюду па 10, 1/2). Тогда
ι ι
j (1 - Ε) и(1) (ς) dl = - -L, j (1 - I) «<« (?) ds = 4-,
о о
1/2 1/2
j (1 — ξ) «(ι) (c) d| = j (1 - ξ) u<« (ξ) ίξ,
откуда после несложных иреооразовашш вытекает, что
ι
J (1 - ξ) («'·« (ς) - и<«> (ξ)) ϋ =\- 1;\ (1.3)
1.2
с другой сторопы, поскольку цсп(0 eU0, ϋ'2)(·) s U0, то |ы(1)(Ж=^
s£ 2 и |н|2Ч01 «£2 при всех ie[0, 1]. Поэтому, как легко
проверить,
(1 - ξ) (И(1) (ξ) - u<2) (I)) dl
1/2
<-τ·
(1.4)
Получеппое противоречие (см. (1.3), (1.4)) показывает, что наше
предположение неверно. Таким образом реализации ι/"(·) н
у<2,(·) управления второго игрока таковы, что для любых
«<"(■) ea.(v(l)(·)), a(2)(-)eao(yc2)(·))
нарушается условие iiCi)(i) = um(t) почти всюду на [0, 1/2). Это
означает, что любое управляющее отображение — отклик у(-)-»-
-*ae(i;(·)), для которого при всех ciOa'W-DeajW·)) или
α°(ι;(·)) <= а0(и(0) в зависимости от того, одпозначное это
отображение или многозначное,— не может обладать свойством
физической осуществимости и, следовательно, этот отклик a°(t;(·))
опирается на использование информации пе только о прошлом и
настоящем реализующегося управления v(t), но и о будущем этой
реализации. Следствием этого обстоятельства является
несовпадение цены игры (для начальной позиции (£0, ха) = (0, 0)) н
величины ε°(ί0, £ο) = ε°(0, 0). Таким образом, в данной позиции
вспомогательная задача управления на программный макспмин
не доставляет непосредственно, т. е. в качестве своего
гарантированного результата, цену игры. Данная диффепепцпальная
игра не является регулярной.
Рассмотрим простой пример другого рода, аналогичный
материалу § 4 гл. I. Пусть конфликтно-управляемая система (также
для простоты скалярная) описывается уравнением
χ = и + ν, и е. Ρ = [—α, а\, ν е Q = [~b, Ы,
153

где £ξΓ = [0, 1], 0< α < δ. Обозначим также с = bfa. Пусть
снова oU) = \х\ при всех гей1, (ί0, ζ0) = (0, 0). Как легко
проверить, в данном случае ε°(ί0, #о) = β°(0, Ο) = & — α. Введем ото-
бражеяпе-отклик ι;(·) -*- α°(ι>(·)) по правилу: α"(ν(■)) = u(·)
таково, что u(i) = —vW/c при всех ie [0, 1] (у(·) eVDi где V0. как
и в предыдущем примере,— множество всех борелевских
функций [0, 1] —■ Q). Из определения непосредственно следует, что
отклик и(·) -*■ а°(у(0) обладает свойством физической
осуществимости: для любой пары (ι/°(·), уС2)(·)) ^ V0 X V0 и момента
τ ^ [0, 1] из того, что
(ι/"(·)|[0, τ)) = (Ι;(2)(·)|[0,τ)),
следует, что
(αο(ι/"(·))|[0, τ)) = (α°(ι;(24-))|[0, τ)).
Пусть далее ν(·) <= V0. Тогда, если ы°(·) = α°(ι>(·)), то
1 1
J [«"(6)+ "(5)1^ = ^ J» (£)<*!
о о
< ^=-* δ = (с - 1) а = Ь - я =ε° (0, 0),
откуда следует включение и0 (·) е ае0 (у (■))· Итак, в данном
случае существует отклик υ{·) -*■ а°Ы·)), α° (у (·)) s αε« (ν (·)),
удовлетворяющий условию физической осуществимости. Отметим
также, что в этом примере (в отличие от предыдущего) ε°ύο, #ο) —
цена игры. Таким образом, в двух рассматриваемых примерах
решения игровых задач программного управления па максимнн
принципиально различны по своим свойствам. Это различно
можно пояснить следующим образом (при этом мысленно мы
опять будем отождествлять себя с первым игроком). В условиях,
когда в нашей управляемой системе реализуется полезное
управление u(t) e ρ π помеха i)(i)e^, наилучшей для нас (первого
игрока) информационной ситуацией будет такая, когда эта
(произвольная) помеха v(t) нам известна полностью. Тогда при
заданной начальной позиции (£*, χ*) игрок-союзник в состоянии
организовать свое управление и(<) е ρ как программу на
отрезке [**, х>0] в форме отклика αεο(ϋ(-)) на (своевременно
узнаваемую) реализацию управления помехи так, чтобы на
получающемся движении x{t) выполнялось перавепство
σ (ζ (Φ0))<ε° ('*>**)·
Сам отклик ν (·) -*·αε0.(υ (·)) может быть определен при этом,
вообще говоря, неединственным образом и, несмотря на это.
может случиться так (как это было в первом примере), что его
нельзя задать в пределах класса физически осуществимых откли-
154

ков "Л·) — α(ί-·(·)). Это означает, что для всякого отклика ν (·) -»■
->-aEo(w (")): выбранного из условия σ (χ (00)) ^ ε° (ί*, x.t), по
существу используется информация о всей реализации
управления — помехи, в том числе о ее будущем. Последнее
обстоятельство по играет большой роли для программных задач в условиях
упомянуто]"! наилучшей информационной ситуации, но является
весьма существенным при попытке использовать решение этих
программных задач в условиях реальной информационной
ситуации, когда если и можно узнать что-то о реализующейся помехе
ν it), то это лишь ее прошлые и, быть может, настоящее значения.
Если отклик αε0 является физически осуществимым, то
результат, гарантируемый этим откликом (программный макспмин),
достижим и в этой новой информационной ситуации. Отметим,
однако, что если бы для произвольной начальной позиции it, x)
удалось сконструировать отклик υ (·)-*■ α^6°' (ν (■)) пз того
условия, что на движениях χίτ) системы, порождаемых
всевозможными парами (и(), гД·)), и (·) = α ^ (у (■)) программных
управлении игроков из этой позиции (ί, χ), на всем последующел1
промежутке времени" ε°(τ, xix)) < ,ε"(ί, χ), то такие отклики снова
оказались бы пригодными для использования в реальной
информационной ситуации с тем же гарантированным результатом.
Однако, и сожалению, функция it, χ) -*- ε°(ί, χ) программного
макснмипа в общем случае пепрнгодна для этой цели. Вместе
с тем есть другая, вообще говоря, функция, а именно потенциал
игры, с помощью которой эту задачу уже можно решить.
Определить эту новую функцию позиции c"it, x) можно как раз
итерационным способом, отправляясь от функции программного
макснмииа. Тем самым итерационный процесс позволяет
восстановить условие физической осуществимости в решениях игровых
задач программного управления. Обоснование этого факта
приводится в дальнейшем.
§ 2. Обобщенные программные управления
в конфликтно-управляемой системе
В предыдущих главах было рассмотрено решение линейных
дифференциальных игр на базе программных конструкций,
использующих обычные программные управления (борелевекпе
функции времени со значениями в множествах Ρ я Q
соответственно). В случаях, когда система нелинейна, использование только
таких программных управлении приводит к определенным
неудобствам даже в (неигровых задачах) обычного управления.
Такие ситуации рассмотрены, в частности, в монографии [4*]. В
конфликтно-управляемой системе к этому добавляется еще ряд осо-
Gc-нпостен. касающихся информационной дискриминации того или
ппог·) игрока. Некоторые из этпх вопросов мы рассмотрим в этой
и последующих главах, где наряду с обычными реализациями уп-
155

равлешги игроков будут использоваться также их обобщенпые
аналоги или управления-меры.1 Обсудим па содержательном
уровне эти понятия сначала безотносительно к исследуемым типам
конфлнктпо-управлясмых систем. Как уже отмечалось рапее. па-
. рой обычных управлений па отрезке it, ϋ0], t^T, мы называем
произвольную пару борелевекпх функции
?/(·): Г/, OJ -/', ι·(·): It, ϋ,Ι-^Q.
Каждая такая пара управлении, будучи поданной
последовательно во времени па вход нашей управляемой спстомы, приведет к
реализации и а ее выходе некоторого двнжеппя — абсолютно
непрерывной функции примени, являющейся решением нашего
дифференциального уравнения. Сейчас мы, отправляясь от понятия
пары (;ίί·), ν(-)) таких обычных управлений, введем повое
понятие, а именно, попятпе обобщенного программного управления.
Отмстпм, что обсуждоннс вопросов такого рода содержится в
работах [7*, 76, 206] п, в частности, в монографии [4*]. Мы
рассмотрим здесь эти вопросы применительно к исследуемым
игровым задачам, стремясь к формализации программной конструкции
для задач позиционного управления.
Начнем с некоторых наводящих соображеппн. Прежде всего
отметим, что идея построения обобщенных управленпй-мер состо-
7гт в замене обычного управления-пары w(·) = (ц(·), у(·)) со
значениями wit) = iu(t), v(t)) пэ множества Ρ X Q на функцию
t -"· i](. где r)i является уже нормированной борелевскон (т. е.
вероятностной) мерой на РХ Q. Итак', управляющая функция,
значение которой суть сосредоточенные (в точке) меры на PX-Q,
обобщается до новой управляющей функции, значения которой
уже произвольные (нормированные, борелевскле) меры па PXQ.
Такая обобщенная управляющая функция (времени) трактуется
как совокупное обобщенное управляющее воздействие обоих
игроков подобно тому, как пара ">(·) = («(·), v(-)) трактовалась как
совокупное обычное управляющее воздействие этих iirpoiioBi Что
касается воздействия таких обобщенных управлений на систему,
то оно определяется также по элалопгп со случаем обычных
управлений, а именно: мы переходим от решений исходного
дифференциального уравнепня
x = fU, χ, κ(ί), v(t))
к решениям обобщенного дифференциального уравнения
х= f f(t, χ, и, v)r\t(d(u, v)),
PXQ
с которыми π работаем затем, как с (программными) движениями
системы. При этом свойства таких (обобщенных) программных
движений позволяют решать в замкнутой фор.ме задачи
программного управления для нашей системы. Так, например, если у пас
фиксирован некоторый момент времени '* *= Т, задана последо-
15С

Ьгггельность начальных состоянии (i»"')iieN (N = {1, 2, ...}),
сходящаяся к начальному состоянию -г*.π равномерно
сходящаяся последовательность (φ(,;'(ί), £* ^ t <! i)0), программных
движений (φ"" (f*) = х*:))' отвечающих каждое соответствующему
сообщенному программииму управлению (т. е. функции времени со
значениями в пространстве вероятностных мер на Ρ Χ Q), то
предел этой последовательности снова будет (обобщеппым)
программным 'движением. У класса обычных управлении t -- (u(t), v(t))
такого свойства, вообще говоря, пет^С другой· стороны, пучок
всевозможных обобщенных движений, исходящих из фиксированной
начальной нозицпл, обладает компактностью в пространстве
непрерывных вектор-функций па оставшемся отрезке времени. Что
касается обычных программных движении, отвечающих
всевозможным управлениям ί -»- (ϋ(ί), ι4ί)), то опп образуют в этом
пучке (обобщенных решении) плотнее множество, т. е.
(обобщенное) программное движение может быть сколь угодно точно
приближено обычпым. Все это дает основание говорить о том, что
при замене обычных пар управлений t—>- Ui(t), v{t)) на
обобщенные управления-меры t—>- η( мы в значительной степени
сохраняем для системы общего вида те свойства, которыми обычные
управления обладали в случае линейных систем и которые были
уже разобраны рапее. Все это делает переход от обычных
управлений к обобщенным весьма целесообразным. Отметим еще
одну особенность, имеющую уже непосредственное отношение к
позиционной формализация игрового управления. Именно, предсть-
пые движения, соответствующие (при выбраппой л
зафиксированной начальной позиции (ί#, £*)) произвольной позиционной
стратегии UЦ, .г), не являются, вообще говоря, обычпыми
(классическими) решениями нашего исходного дифференциального уравпения,
т. с. не являются движениями, отвечающими каким-либо парам
(и(·), и(-)) обычных управлений. Вместе с тем каждое такое
(предельное) движение является некоторым обобщенным решепп-
ом (с. начальным условием х (ί*) —- а'*), т. е. программным
движением, соответствующим некоторому управлению-мере ί-*-η(.
Последнее обстоятельство позволяет, как мы увидим в
дальнейшем, для системы общего вида вложить (в смысле порождаемых
движений) множество U,,,* позиционных стратегий U{t, χ) в
множество квазпетратегий, по уже квазнстратегнй обобщенных,
заданных на пространствах допустимых программных
управлений-мер.
Перейдем к непосредственному рассмотрению обобщенных
программных управлений. Как мы уже отмечали, такие
управления естественно представлять как функции t -*■ η, со значениями
в нросгранстве вероятностных мер на РУ-Q. При этом,
естественно, следует отличать такое понятие обобщенного программного
управления/—*■ η( нлп (η,, ί* sgl ί <ξ! {\0) в целом (это функция
времени) от его отдельных зпачепнй (это борелевскне меры на
157

Ρ Χ Q). Нам придется пметь дело с такими управлениями
именно как с функциями (времени) в целом, т. е. как с функциями
(η,, ί*<^έΞυ·0)> определенными па тех или иных промежутках
времени. Однако, если выделить самое существенное для пас
в этом понятии, то можно заметить, что каждое такое
обобщенное управление (функция времени) порождает, при выполнении
определенных условий измеримости, непрерывный линейный
функционал g -*■ ψ(#) на множестве непрерывных (скалярных)
фупкццй
it, и, υ) —>- git, и, υ)
трех переменных (t е [ί*, Ф0], и ·= Ρ, ν е (?), имеющий вид
Ψ(*)= I ( \ gt{u,v)y\i(d{u, u))]dt,
■ [l„>0] \PXQ :J
где gi — сечение функции g'· gt(u, v) = git, и, ν). С точки зрения
порождаемых движений именно эти фупнционалы важны для нас,
поскольку каждому такому функционалу отвечает свое решение
(обобщенного) дифференциального уравнения. Но каждый такой
функционал ψ однозначно определяется, как известно ([4*],
стр. 138), некоторой борелевской мерой η на произведении
ΩΪ = [«·, θ0]χΡχ(?.
Таким образом, (через функционал ψ) обобщенной управляющей
функции t —►■ T)i мы можем сопоставить подходящую меру η на
множестве Ω/,. Эта мера η является, кстати, весьма удобным
описанием управляющей функции ("Πί^ ♦^ί^'θ'ο) «в целом». Зная
эту меру, при желании можно однозначно (с точностью до
эквивалентности) восстанавливать порождающую ее функцию t—►■ η(.
Можно, однако, такую задачу перед собой л не ставить, а
работать сразу с мерами η (которые в этом случае и естественно
назвать обобщенными программными управлениями),
отвечающими каким-то своим функциям t -*- η(, стесненным, конечно,
определенными условиями измеримости. При этом нам следует лишь
четко оговорить класс таких управлений-мер η, исключив из
него «лишние» борелевскне меры на Ω(« (пе отвечающие никаким
управляющим функциям времени t—*-τ\ι), что весьма важно
сделать, поскольку с этих пор именно мера η (а не функция t—►■ r\t)
будет для нас исходным понятием обобщенного программного
управления. Осуществив такое видоизменение конструкции
(обобщенного) программного управления, мы так же естественно, как
и в первом случае, можем интерпретировать на таком языке пары
iui·), ι>(·)) обычных управлений (ί* е Т)
u(-) = (u(t), ί»<ί<θ0), ϋ(·) = Η0, *»<«<*„)■
Именно, каждой такой паре отвечает функционал g—*"tyui-i,vi-)(g)
158

па пространстве непрерывных скалярных функций (/, и, υ)—*-
—- g(/, и, ν), i* ^ t ^ ft0, значения которого суть
Ψ«(.).»(.) (Я) = J g(t,u(t),v(t))dt,
и
а этот функционал, в свою очередь, однозначно представляется
соответствующей борелевской мерой η = Лио.ш·)» отвечающей,
следовательно, выбранной паре обычных управлении (и(-), и(-)).
Мы будем отождествлять в дальнейшем понятие обобщенного
программного управления именно с мерами η (а не с функциями
t —>- Ц1), поскольку это приводит к определенным удобствам в
используемых конструкциях. Перейдем теперь к основным
определениям, опуская, однако, в ряде случаев те или иные
особенности технического характера.
Мы будем обозначать для всякого мпожества Ε и всякой σ-
алгебры (см. [9*], стр.30) 8 его подмножеств через s{E,&)
множество всех (конечных, неотрицательных) мер на этой σ-алгебре
с?, т. е. множество всех σ-аддитивных (см. [9*], стр. 28) функций
ξ : & -*■ [0, о°). Далее, для каждого множества Ε и
произвольного класса *3 подмножеств Ε мы обозначим через Ое-С$) σ-алгебру
подмножеств Е, порожденную (см. [9*], стр. 22) классом &'. Если
при этом класс & является топологией ([4*], стр. 16) Е, то
обычно σ-алгебра σΕ(30 называется борелевской (σ-алгеброй борелев-
ских подмножеств Е), а меры ζ на σ-алгобре 8 = Ojr(S') — боре-
левскими мерами па Е. Вполпе понятно, что эти определения
имеют смысл, когда задана вполне определенная топология 3?
мпожества Е. Однако, если Ε — множество в конечномерном
пространстве, то в качестве 3? выбирается, как правило, естественная
топология Е, отвечающая обычпому понятию сходимости
последовательностей векторов в это.м конечномерном пространстве. Это
обстоятельство мы используем в дальнейшем без дополнительных
оговорок. Пусть теперь для всяких t е Τ, τ> е [ί, t>0]; τ( .Ζ, ,д> t —
естественные (метрические) топологии множеств [ί, ϋ],
Z&t=\t, τ>]χζ>, Ω? = [ί,τ>1χΡχ(?
соответственно, „ ■
*"? = *[*.»] (τ?), ΦΪ = *Α$Υ *Ϊ = !?#ΧρΪ).
Zt i2t
В результате мы получаем тройку борелевсклх пространств
),(Z?, S)\) и ([ί, т>|, 3~Х), первое из которых мы будем
использовать уже при определении обобщенных программных
управлений η, а второе π третье — при определении понятия
согласованности таких управлений, что потребуется, в частности,
для построения специальных множеств в пространстве
управлений η, называемых программами. Мы заметим сейчас, что для
159

любых f е= Г, θ e= U, fl„]:
Гх<?е.®? (ГеУ?),
Ζ>χΡ = {(ί, м, ν): (ί, и, у) «= ω£0, (i,»)eB]e?J
(fle2)J),
откуда следует, в свою очередь, что при Г Ξ 9~\ TxPxQ ^fft ■
Пусть, наконец, λ — мера Лебега на Т.
Теперь.мы готовы к тону, чтобы дать строгое определение
программного управления, как борелевской меры на
соответствующем произведении пространств. Пусть ief, ft e ft, ΰ0]. Тогда
допустимым программным управлением па отрезке it, ϋ] мы
назовем всякую меру ηе s(Qf , "?%), для которой прп всех Ге^"(
η(ΓΧΡΧ(?)=λ(Γ).
Такие управления мы будем использовать при исследовании
нашей конфликтно-управляемой системы вместо пар («(·), у(-))
обычных управлений ы(·) и ι>(·) на соответствующих
промежутках времени. Далее нам удобно здесь (и в дальнейшем) также
перейти от обычных управлений
f—*-y(i), i?(i)e()
второго игрока к их обобщенным аналогам v. Повторяя
содержательные рассуждения, совершенно аналогичные используемым
в случае конструирования допустимых программных управлений
η, мы придем сначала к управляющим функциям t —*■ \t (v, —
вероятностные меры на Q), а затем и к способу описания таких
функций
(vf,f*<i <<>„), (*еГ,
как целого, посредством .мер ν, заданных на борелевскпх
подмножествах произведения пространств [ί *, 0й] и Q, т. е. на борелев-
ских подмножествах 2t* · Сразу приведем соответствующее
определение. Именно, для любых t^T, ΰ е [t, ф0] программным
управлением второго игрока на отрезке [г, ■&] мы называем всякую
меру ves (Ζ*, 3)t), для которой при всех Ге^"|
ν(ΓΧ<?)=λ(Γ).
Обозначим для любых iefzieli, й0] соответственно через
{Ж>., it, ϋ·]) и (&\, it, Ы) множество всех допустимых
программных управлений η и множество всех (обобщенных) программных
управлений ν второго игрока па отрезке [t, ϋ·].
Будем обозначать также через 9* — множество всех
нормированных регулярных борелевскпх мер на Р, через ^Ф — σ-алгеб-
ру борелевскпх подмножеств Р. Для всякой функции μζ- %t -*■& >
1Γ,Γι

где t^T, н любого ('μ')εΖι0 μζ(ξ, ν) —мера на (Ρ, st), так что
каждому мпожеству A^s4- отвечает значегше (μζ(ξ, ι?))(Л) этой
моры. Пусть для всякого tef °U(.t, Ф0) — множество всех
функции (обобщенных программных контруправлении) μζ: Zt -v^,
обладающих тем свойством, что для всякого множества А е зф
функция значения
β,ν)^(μζβ,ν))(Α), β,ν)<Ε=ζ4\
мор μζ(ξ, ν) на множестве А является борелевским отображением
из %t в [0, 1]. Тогда с учетом известных результатов теории
меры (см. [9*], стр. 110) мы получим, что для любых t^T, μζ е
е<2/(г, φ,,), ν^{&χ, [ί, ΌόΙ} корректно определено единственное
программное управление η s {Ж^, [t, θ0]), обозначенное ниже
νμζ и обладающее тем свойством, что для всяких множеств D е
<= 2>t° и 4е^
η ({(ξ, и, ν): (ξ, ы, в) е= Ω?0°0, (ξ, ι;) е= Ζ), и е= л}) =
= f (μζ(ξ, ν))(^)ν(ί?(ξ,ι;)).
b
Отметим, что для любых ief, η е {<9#λ) [ί, ■&„]} всегда
существуют такие μζΞίΖ^(ί, Фо) и ve{^ [ί, ΰγΙ}, что η=ν·μζ. Таким
образом мы имеем здесь некоторый способ разложения
программных управлений η, который допускает следующую
содержательную трактовку для случая обычных программных управлений:
и(-): U, θ,]-Λ »(■): [i, QJ-+Q it^T).
Предположим, что первый игрок выбрал некоторое отображение
(ί, ν) ->- и* (t, ν)
па множестве Zt° (г* е Τ) со значениями из множества Р. Пусть
второй игрок по своему усмотрению может реализовать любое
обычное программное управление
v(-) = (v{t), ί»<ί<θ0).
Если при этом первый игрок будет получать по ходу дела
информацию о значениях w(i) <= Q, то в силу выбранного
отображения у него будет вырабатываться управляющая функция
«(■)·■ [*·, θ01-νΡ,
определяемая условием и (ί) = ц* (£, υ (ί), и, таким образом, будет
сформировано некоторое совокупное воздействие (u(·), v(·)) 71а
систему. Описанный выше способ образования программных
управлений η как ν · μ2 является обобщенным аналогом этого
построения, где роль (обычной) программы ν{·) исполняет ν, роль
161

отображения U,I;) -*" и* (^ ^стесненного, конечио,
определенными условиями измеримости,— обобщсппое коптрунравление μζ,
а роль нары (id), y(·)), как уже отмечалось
выше,—программное управление η.
Теперь мы определим понятие согласованности допустимых
программных управлений η и программных управлений ν нто-
рого игрока. Именно для произвольных t е Т, О «= [t, ϋ0], η ^
е {5ί?,, [ί, #]}, ν е {<?Γλ, [t, О]} мы будем говорить, что η
согласовано с ν на отрезке [t, ffl, еслп при всех D^ £>t
η (Dx_P) = η ({(Ι, и, ν): (ξ, и, ν) е= Ω?0°0, (ξ, ») e Ζ)}) =-- ν (D).
Далее (при ίεϊ1, О е= [f, #„], Vе (#\, It, ФП) множество всех
допустимых программных управлений η ^ (<9ίί*, \l, ft]),
согласованных с ν, мы называем v-программой, порожденной этим
(обобщенным) программным управлением ν, и обозначаем это множество
(программу) через (IKv), [i, ■&]). Отметим, что при любых t^T,
\^Ш>., it, ФоП программа ШМ, [t, Φ0Π совпадает с множеством
всех допустимых программных управлений νμζ, когда μζ
пробегает множество °U(.t, ■&„), так что перебор управлений η в
пределах (зафиксированной) программы (IKv), [t, O0]) эквивалентен
перебору μζ в пределах множества %L(t, ϋ·0) при зафиксированном
ν, т. е. перебору всевозможных обобщенных копт.руправлений
ι первого игрока. В дальнейшем мы будем рассматривать задачи
программного управления, в которых выбор программы находится
в распоряжении второго игрока, а выбор конкретного
(обобщенного) управления η в пределах этой (ранее выбранной)
программы — в распоряжении первого игрока соответственно. Заметим,
что, при данном определении программ, такое представление
возможностей игроков в исследуемых программных задачах не дает
но существу ничего нового по сравнению с ситуацией, когда
второй игрок- выбирает произвольное (обобщенное) программное
управление ν, а первый игрок — некоторое, не зависящее от этого
управления, действие (обобщенное контрупранление), что
эквивалентно выбору конкретного допустимого программного
управления-меры среди всех согласованных с ν программных управлений.
Это связано с вполне определенной конкретной конструкцией ν-
программы, позволяющей сводить выбор программы в пределах
семейства всех программ к выбору тех или иных (обобщенных)
программных управлений v. Можно, однако, отказаться от такого
представления программ, а именно, отказаться от ее трактовки
как некоторой v-программы, сохранив, однако, прежним характер
поведения игроков во вспомогательных программных задачах, т. е.
предоставить второму игроку, как и ранее, право выбирать
программу (т. е. пекоторое множество допустимых управлений η) в
пределах того или иного семейства программ (определяемого, быть
может, аксиоматически), а первому игроку затем — право выбора
162

допустимого программного управления η в продолах уже выбран-
пон ранее программы второго пгрока. Такое представление будет
удобно для нас в главе 6, где мы будем рассматривать так
называемые минимаксные дифференциальные игры [7*], для которых
известное условие седловой точки в маленькой игре (см. (2.8.2) $· )
уже может ие иметь места. Отметим, что вышеупомянутые опре-
пепения согласованности допускают также следующую
трактовку. Именно, при (εΓ,θεΙί, ■&„], ν s Шк, [t, §]},ηε {Зёх, [t, φ]}
условие η s {Π(ν), [f, f>]} эквивалентно тому, что для всех
непрерывных функций (τ, ν)-+g(r, v), т.е. для всех функций
geC (Zf), справедливо равенство
\ g (τ, ν) η (d (τ, и, ν)) = J g (τ, υ) ν (d (τ, ν)).
"/ ζί
Далее при t e 7\ 0 e= Li, «„J, η e= s (Ω?, tf ?) (ν e= *(Z?, 5)?))
условие ηε{%, [ί, О]} (условие veil,,, [t, ■&]}) эквивалентно тому,
что для всех непрерывных функций τ-»-^(τ), т. е. для всех
функций g^C([t, ■*>]),
β
J *(τ)η(<*(τ, и, ν)) = j $(τ)<ίτ
i
Jg(x)v(d(t, y)) = j'g(T)dA
соответственно, где J g (τ) dr — суть интеграл Рпмана от (непре-
t
рывной) функции g на отрезке [f, ■&]. Теперь мы определим
понятие программного движения. Пусть CSU, Ф0]), ief,—
множество всех непрерывных функций
Г- [i, <U—R".
Будем предполагать в дальнейшем, что функция
/: R'XR"XPX<?-^R"
непрерывна по совокупности своих аргументов, удовлетворяет для
каждого ограниченного множества в пространстве позиций it, χ)
условию Липшица по χ с некоторой (зависящей, вообще говоря,
от этого множества) константой Липшица, а также условию
равномерной продолжимости решении (см. [7*]), которое для нашего
случая можпо сформулировать в следующей конкретной форме:
существует некоторая консгапта κ 3s 0 такая, что при всех t е= Т,
х s R", и <= Ρ „ ν е Q
ΙΙ/(ί, х, и, и)К<У.(1 + Ы„).
163

Тогда для всяких (t, .с) е Г X R", η ε Wi, [t, fta]) мы называем
программным движением, порожденным управлением η из
начальной позиции it, χ), такую функцию (она существует и
единственна)
φ(-, t, χ, η) = (φ(|, t,x, η), t <\ < ft;) е С a([t, x%\),
что
ψ (θ, i, χ, η) = χ + ) /(ξ, φ(ξ, ί, *,η),
[t,0)'xPXQ.
и, »)η(ί(ξ, η, у)) (2.1)
при всех 8е [г, ф0]. В дальнейшем для обозначения таких
(обобщенных) программных движений мы будем использовать букву
φ с соответствующими аргументами, а не букву х, используемую
для аналогичных обозначений в случае обычных управлений.
Определение программных движений, как решений (2.1), отвечает
интегральной форме дифференциального уравпения. Сделаем
несколько замечаний о соотношениях между различными
определениями программных управлений и порождаемых ими
программных движений. Прежде всего мы заметим, что если нам заданы
отрезок [t, ft] <= Τ и функция
(ть, t^r^ft),
отображающая отрезок U, ft] в множество всех нормированных
борелевских (вероятностных) мер на Ρ Χ Q и обладающая тем
свойством, что для всякой непрерывной функции g- Ρ X Q —»- Rl
функция
( ) g(u, v)r\T(d{u, ν)), ί<τ<0]
\p'xQ J
A
(измерима относительно σ-алтебры У х борелевских подмножеств
It, ft], то существует (единственное) программное управление η е
е {&$■)., [t, ft]) такое, что для любой непрерывной функции
*: Qf-^R1: J s (ξ, и, ν) η (d (ξ, и, υ)) =
= J ( J *ξ(«. w)ns(d(«, ι>)Λ<ίξ.
[t,0I \PX<3 )
Как уже упоминалось, справедливо и обратное утверждение о
восстановлении зависимости τ —>- ητ по известному η с точностью до
эквивалентности. Что касается решений (2.1), то они совпадают
с решениями уравнения
Φ(τ)= ] /(*, φ(τ), и, υ)ηΤ(<ί(Μ, ι;))
PXQ
почти всюду на [t, fta], φ(ί) = χ, если (ητ, ί < τ < Όό) — суть
отвечающая η управляющая функция со значениями в пространсг-
164

не вероятностных мор на PXQ. Аналогичное замечание можно
сделать о соотношении функций (vt, ί^τ^ϋ), отображающих
отрезок [£, О] в множество всех вероятностных мер па ζ) и
стесненных определенными условиями («-слабой) измеримости,
и программных управлений ν второго игрока на отрезке [ί, φ-J.
Мы ограничимся пока обсуждением только таких типов
(обобщенных) программных управлений и только такой
согласованности их между собой.
Отметим, что при всех ί е f, § е [ί, т}0] множества {Эё\, [ί, ΰ·]},
Ш,., it, fl·]} и ίΠ(ν), [t, θ]} (д>е{#Х1 [г, #]}) *-слабо замкнуты.
При этом *-слабая сходимость управлений-мер определяется
известным образом (см. [7*1, стр. 125). Именно, если t^T и г1} е
е [i, flj, то последовательность (ηΟΛ6Ν допустимых программных
управлении (последовательность (vfc)fteN программных управлении
второго игрока) *-слабо сходится к допустимому программному
управлению η (к программному управлению ν второго игрока)
на отрезке [i, ft]:
Лк-^η (vk-^v),
где -*- — символ *-слабой сходимости, если
J g (τ, и, ν) r\k (d (τ, и, ν)) — j g (τ, и, υ) η (d (τ, и, ν))
ω?
[ g (τ, ν) νΛ (d (τ, »)) — J g (τ, ν) ν (d (τ, ν))
7° 7°
zt zt
(geC(Of)),
0 (gsC(Z?))V
Здесь для всяких (ef, фе^ O0l: C(Qt) ж С (Zt) суть
множества всех непрерывных функций
соответственно. Вторая важная для нас особенность такой
вспомогательной программной конструкции состоит в том, что
программные движения, т. е. решения (2.1), зависят непрерывным
образом от действующих на систему обобщенных программных
управлений η и начальных значений х. Сформулетруем это более
точно. Пусть для любых t е= Т, ■& е [t, ■&„]
IUII*= sup ||g(T)|n (feC,([l,»]))i
xe[/,Oj
\Cn ([t, 61), I · |t) — соответствующее лппойное нормированное про-
страиство n-мерных непрерывных вектор-функций, определенных
на отрезке [t, <Й. Тоща для каждых ί е= Τ, (η(Μ)»οΝ—
последовательности из {2ви it, θ0]), (xm)i,qn — последовательности из R",
i|s(^,., [t, i)J), .г-eR" „з η"" - η, \\х,к) -xW„-* 0 следует, что
ί|ψ(-,ί, х("), η"")-φ(·,ί, г, η)ί°-*0.
165

Это свойство в сочетании со *-слабой компактностью (в себе!)
соответствующих множеств программных управлений как раз и
составляет для нас основное удобство при использовании
обобщенных программных управлений по сравнению с обычными
управлениями. Отметим также, что для каждого ie Г определенное
выше множество {^., [t, Ф0]) допустимых программных
управлений η может рассматриваться как *-слабое замыкание
множества всех таких управлений η«(·),ι-(·), которые соответствуют
кусочно-постоянным управлениям-функциям
»(·): [ί, θ,]-* Ρ, ы(-): [ί, QJ-+Q
или, проще говоря, замыканием в соответствующем смысле самого
множества всевозможных пар (и(·), ν(·)) кусочно-постоянных
управлений. Сейчас мы рассмотрим некоторые вопросы
использования таких обобщенных управлепий-мер в нашей
конфликтно-управляемой системе; Прежде всего мы отметим, что это понятие
может оказаться полезным для описания не только программных
конструкций, но и при описании движений, отвечающих
позиционным процедурам управления. Обсудпм сейчас этот вопрос
подробнее. В § 3 гл. I была приведена формализация движений,
порождаемых позициоппымн стратегиями в предположении о том,
что игрок-противник реализует в соответствующих пошаговых
движениях обычные управления — борелевекпе функции времепп
со значениями в Ρ пли Q соответственно. Рассмотрим, пока в
нестрогой форме, замену этих функций па их обобщенные аналоги.
Именно, в дальнейшем пам удобно будет считать, что
игрок-противник и аналогичной ситуации может реализовать и управления
обобщепные, т. е. меры v. Так при формировании пошаговых
движений Тд[·], порожденных стратегией // из позиции (<*г х*) при
некотором разбиении Δ отрезка [ί*ι ФпЬ можно считать, что второй
игрок реализует на полуинтервалах [т;, т,Ч1), отвечающих
разбиению Δ, уже функцию t —*■ v( со значениями в пространстве
нормированных борелевскнх (вероятностных) мер на Q, а не
обязательно функцию t —·- ν(ί) со значениями из Q. В итоге па каждом
шаге [τ,·, τ,·+ι) разбиения Δ пошаговое движение ζΔ[]
определяется как решение уравнения
х = J / (t, χ, U (ть х± [Ti]), ν) ν, (dv), (2.2)
Q
выходящее из начальной позиции (τ,·, XaLtJ). Отметим, кстати, что
у пас нет никаких оснований лишать в своих построениях
игрока-противника такой возможности, предпочитая функции ί —- v{t)
функциям t—*-Vi. Более того, если замена управляющих
воздействий (реализаций) вида t—*-vU) на реализации управления
вида t—"ν, приводит к расширению пучка движений, порождаемых
этой стратегией И из нашей пачальпой позиции (<*.х*),то учет
таких движений (отвечающих обобщенным реализациям
управления второго игрока) становится еще более обоснованным. Заме-
166

■ШАГ, что такая ситуация (расширение пучка двшкепий) вполне
возможна. Мы проиллюстрируем ее па простом примере. При
этом мы 'опускаем строгие обоснования π ограничимся лишь
содержательным обсуждением возникающей ситуации. Рассмотрим
систему па плоскости, описываемую уравнением
Χι = \χζ\ + Ц, Хг = V,
где цеР = {0, 1}, ν е Q = {- 1, 1). Положим Т = [0, 11, «* = 0,
ζ*ι~0' х*г— О» а стратегию Я определим условием HU, х) = 1
для всех (ί, г) ε Г X R! = [0, ll X R2, удовлетворяющих условию
х,¥= 0, и Жг, х) = 0 ((£, .ι) е Г X R!, Л;1=0). Нетрудно проверить,
что функция
X: [0, 1] - R2,
для которой
Χ.(ί) = Хги) = 0 Ое[0,11),
не содержится в множестве всех движений, порожденных
стратегией И из позиции (ί*, а:!).)е7'хК2при условии, что на этапе
формирования ломаных Эйлера второй игрок (противник)
использует лишь обычные управления
»(·): [0, 1]-*ρ.
С другой стороны, если мы рассмотрим отображение (ν(, 0 =? t ^
< 1) со значениями в множестве Q всех нормированных борелев-
скнх мер на Q = {—1, 1), определяемое тем условием, что при всех
,(еГ= [О, И
(здесь для всякого ν <ξ () = {— 1, 1) δ„ — суть борелевская мера
на (?, сосредоточенная в точке ν, τ. е. для всякого борелевского
множества В <= Q δ? (В) — 1, если ν s 5, и δ? (β) = 0, если υ & Β),
то мы получим, что X является, для всякого разбиения Δ отрезка
Τ = [0, 1] точками τ,·, iel, m (meN = (l, 2, ...}), пошаговым
движением вида (2.2), т. е. аппрокспмацнонпьш движением,
отвечающим стратегии И и этой реализации (ν(, 0=ζ£<1) при их
совместном воздействии на систему при данном разбиении Δ.
Если теперь ввести равномерные пределы всех таких пошаговых
движений, а не только пошаговых движении, порожденных (как
это было ранее) парами И, ν(·) = (v{t), O^i^l) при
всевозможных разбиеппях отрезка Τ = [0, 1], то функция X будет,
очевидно, содержаться и среди так определенных предельных
движении. Таким образом, пучок движений, отвечающих той или
иной стратегии первого игрока, вообще говоря, становится шире,
если на этапе формирования пошаговых двлгжепий
игроку-противнику разрешить использовать обобщенные реализации вида t -*■
~" ν,, несмотря па то что обычные его реализации t -*■ v{t)
167

плотны в пространстве этих обобщенных реализации. В приведеп-
пом выше примере это происходит, очевидно, за счет разрывности
стратегии И. Отметим теперь, что, если пользоваться тем
описанием обобщенных программных управлений второго игрока,
которое принято в данном параграфе, а именно как мер
ve{#,., [*, <U> (ie Г),
то нам следует в определениях движений перейти к
соответствующим интегральным аналогам соотношений вида (2.2). Отметим
в связи с этим обстоятельством, что здесь нам удобно будет
несколько отойти от обозначений параграфа 3 гл. I, сохраняя
однако смысл введенных ранее определений. Приведем эти
определения с учетом упомянутого обстоятельства. Для этого мы сначала
введем для всяких t е Τ = [ί0ο, Φοί и т е Ν = (1, 2, ...}
множество Atm всех /«-последовательностей (τ,-, i ^ 0, т), где 0, к =
= {/: /eN0, CK/sS/c} при всех iieN, (N0 = (0, 1, ...}), облада-
ющих каждая теми свойствами, что: т0 = t, тт = {),0, τ,·^τ,·+ι
(i е 0, m — i). Далее, как обычно, для каждого t^T Cn(lt, θ„])
суть множество всех непрерывных функций
Тогда для всяких t e T, meN,geC,([i, θΊ>]),£=^(τ{, ieO, /п)еД£т)
и стратегии И первого игрока (Жт, х) е Ρ для любых позиций
(τ, i)ef XR") мы обозначим через Rj (L, g, И) множество
всех функций ц(-) = (и(т), t < τ < θ), отображающих отрезок
[ί, ftp] в множество Ρ, для каждой из которых при любом i s
е0, то—1, м(т) =м(т() = Жт.-, £(τ,-)) на [τ„ τ1+1) и (для
определенности) ц(О0) = и(тт-|). Это, очевидно, есть множество
управляющих функций первого игрока, не противоречащих (при
данном «разбиении» L) стратегии И и поступающей этому игроку
информации в виде функции g, т. е. множество всех таких
(кусочно постоянных) функции
»(■): U, 0,1 —*Р,
каждая из которых может быть сформирована согласно стратегии
И при условии, что анализируется информация в виде функции g,
и решение о коррекции управления (на основе стратегии И)
принимается только в моменты Т(, являющиеся узлами разбиения L.
С учетом этого мы введем для всяких (i, ileTXR" стратегии И
первого игрока, числа meN, m-последовагсльностп L =
= (tj, ieO, /rc)e Atm) и обобщенного программного управления ν
второго игрока (на [t, Ф01),— множество ^ίΓ (<, я, Ж v)scex
движений, порожденных из начальной позиции {I, х) (при данном
разбиении L) парой (//, ν) как множество всех (непрерывных)
функций
Х- It, *.] — R-,
каждая из которых может быть представлена как (программное)
168

движение φ(·, t, x, η), порожденное некоторым (обобщенным)
программным управлением η, отвечающим совокупному воздействию
па систему (обобщенной) программы ν н некоторой
(кусочно-постоянной) функции и (·) е Rj"1^, X, Я). Уточним это
определений, раскрывая понятие такого совокупного управляющего
воздействия.
Будем обозначать здесь для всяких t е Τ и борелевской
функции
через 6g такой элемент <2/(ί, τ>0), что при всяком (ξ, ν) е Ζt°
δβ (Ι, у) суть мера на Р, сосредоточенная в точке g(£, v). Тогда
для всяких позиции (ί, г)еГХ R", стратегии Я e Unoa, числа
msN, wi-последовательности L= (т(,£еО, т)^&™ и
обобщенного программного управления ν ^ {^λ, [£, φ,,]}, по определению,
#?z,m) (ί, χ, Я, ν) суть множество всех функций XeC„(U, t>0J),
для каждой пэ которых существует такая фупкция и (·) е
eRim)(L, X, Я), что
Ζ = φ(·, ί, х, νδ^.)), (δ^.) = (δ^τ), (τ, ν) e Zt°j).
Пусть теперь, как и ранее, при всех t ^ Т, meN функция
б(,т): А^т) -* Ю, со)
такова, что для всякой wi-носледовательности Ь s A4m 5<т (£)
суть наибольший шаг разбиения, порожденного £>, т. е.
6(tm) (L) = sup ({τ1+1 - Tl: i e= 0, то-1}),
где £ = (τ,-, i e 0, τη). Ранее мы в аналогичной ситуации
использовали символ diam. Далее, для любых t ^ Т, meN, δ > 0 через
Δ (то) * ν τ
t>y мы ооолначаем множество всех ^-последовательностей ^ ^
еД(™ (образующих соответствующие разбиения [t, 00J), для
каждой из которых шаг соответствующего разбиения меньше, чем δ,
т. е.
А$ = 1£:£бА(,т\в{т) (£)<«}■
Теперь можно ввести понятие движений, порожденных
стратегией первого игрока из той или иной начальной позиции, следуя в
идейном отношепии § 3 гл. I. Пусть для всяких позиций (i, x)^
е Τ Χ R" и стратегии И первого игрока
&lin)(M\t,x)= U ^"'(ΐ,ϊ,ί,νΙ^εΝ, Ье=А(,т)),
£?(η,)(1ί|ί, *,δ) = U Я?кт) (^ |«, *) (meN, δ>0),
169

&(M\t,x,6)-= и а?1т{и\1,х, δ)(δ>ο),
ntSN
&{t,x,ii)= η [&(H\t, χ, β)ΐβ»,
β>0 /
гдо[-Ь —операция замыкания в пространстве Cn([i, Ф0]) с
нормой ||-||( .Элементы χ[·] множества #?(i, x, И) мы называем
движениями, порожденными стратегией И из начальной позиции
(£, я). Отметим сразу, что, несмотря на некоторое -отличие в
форме заплси, все такие движения являются равномерными
пределами соответствующих пошаговых движений вида (2.2) при
неограниченном измельчении разбиения соответствующего отрезка
■времени. Как показывает пример, приведенный выше, такой
пучок движений является более широким по сравнению с тем
случаем, когда игроку-противнику при формировании аппрокспма-
ционных пошаговых движений разрешается использовать только
сосредоточенные управления t —►■ u(t). В следующем параграфе
мы рассмотрим другой класс управляющих процедур —
обобщенные квазистратегии и исследуем их связь с рассмотренными
выше позиционными процедурами управления (стратегиями).
§ 3. Квазистратегии
В § 4 гл. I было введено понятие квазистратегии как
отображения типа ϋ(·)-*· α(ν(·)) (квазнстратегии первого игрока),
стесненного естественным условием физической осуществимости.
Переход от обычных управлений и(·), ν{·) к обобщенным (меры η, ν)
требует некоторой его модификации. Эти модифицированные
процедуры управления —отклики мы будем называть здесь
обобщенными квазистратегиями. Поясним содержательную сторону этих
определений. В § 4 гл. I мы отождествляли для каждого (*еГ
квазистратепш первого игрока (союзника) с откликами
у(·) -+α(»(·)), α(ι»(-)) = »(■)
обычпых программных управлений у(-) второго игрока в обычные
программные управления в(-) игрока-союзника, стесненными,
конечно, условием физической осуществимости. Там же был
приведен пример (обычной) квазистратегии на основе понятия
(обычного) контруправления вида ν -*■ u(v), v <= Q, Вообще говоря,
механизм образования квазистрателги может быть сложнее π иметь,
например, вид операции
%(-)t^u(t), u(t)<=P,
формирующей текущее управление игрока-союзника по уже
реализовавшемуся «хвосту»
170

обычного программного управления
Формировать u(t) следует, конечно, так, чтобы в итоге всегда
(т. fi. при любых v(-)) вырабатывалась функция борелевская.
Г[риведем простой пример операщш такого рода. Пусть т е N,
ζ0: TXQ-^VT, ζ": ТХВГ-+Р
— две задапные непрерывные функции, отклики
ν(0—«■»(!;(■)), ιΊ-leV,, <*(»(■)) е=иг
определяются тем условием, что функции в(-) = св(у(·)), в(·) =
= (w(i), i0o < ί *S θ0) таковы, что при всех t е Τ
«(ί) = ζ°(ί, J4o(l. »№))<$]■
V Όο /
Тогда вырабатываемые в ответ на у(-) функции <х(у(·))
непрерывны, а сам отклик α является квазистратегией на отрезке
[ί00, Οοί = Т. В дальнейшем мы познакомимся с другим
механизмом образования квазистратегий, связанным с осуществлением
(до некоторого момента времени) фазовых ограничений,
обладающих свойством стабильности, которое и будет осуществлять
аналог интегральной операции в разобранном примере. Сейчас,
поскольку мы перешли к обобщенным управлениям-мерам, нам
надлежит, следовательно, ввести отклик вида
ν -*-α(ν), α(ν) = η,
где η и ν — взаимно согласованные ^обобщенные) программные
управления. Отметим еще раз, что η — это аналог пары (и(-),
и(·)) обычных программных управлений, а не управления в(-).
Однако это отличие по сравнению со случаем обычных квазистра-
тегнп несуществен™, ибо и там можно было бы отождествлять
кваэнстратеггш не с откликом ν(-) — »(·), а с откликом ν(·) -*-
^ (и(·), υ(·)), для которого пара (и(·), у(·)) согласованна с у(-):
у(-) = у(-). Более существенным является то обстоятельство, что
в дальнейшем пам потребуются квазпетратепш многозначные,
сопоставляющие каждом обобщенной реализации ν не одно, а
целое множество программных управлений η. Такое обобщение
позволит нам определять разрешающие квазнстратегия
конструктивно. Впрочем, можно заметить, что в рассматриваемых ниже
случаях разрешающие квазистратегии α можно выбирать такими
(■имеются в виду многозначные квазистратегии), что они будут
обладать однозначными селекторамп-квазистратегиями
ν—>-α'(ν), α'(ν) εξ α(ν).
Отметим также, что для второго игрока можно определять ква-
зистратегии β по аналогичной схеме, хотя в отдельных случаях
171

пам удойно модифицировать их с учетом тех или иных
конкретных особенностей задач, решаемых вторым игроком. Последнее
замечание можно отнести, например, к задаче об уклонении прп
рассмотрении дифференциальной игры сближения — уклопешш.
Дело в том, что задача уклонения обладает в некотором смысле
свойством открытости, подобно тому, как задаче о паведенпн
соответствует свойство замкнутости, Это свойство уклонения с
некоторым запасом позволяет, например, нам не замыкать образы
значений соответствующей квазистратегнп второго игрока.
Кроме того, определение квазистратегий и первого и второго игроков
мы приведем здесь в такой форме, что достигаемое (в классах
таких квазистратегий) решение будет иметь место и при отказе
от условия седловой точки в .маленькой игре, а это потребует
некоторой песимметрши в определении самих квазистратегий
первого и второго игроков. Обсуждение же универсального
определения обобщенных квазистратегпй мы отложим до главы VI, где
это будет сделано па основе подходящего аппарата абстрактных
программных конструкций, специально приспособленного для
решения позиционных дифференциальных игр в различпых
постановках. Перейдем к строгим определениям.
Пусть
2<**-['*]> (ie7·)
— класс всех подмножеств {дё>., [t, fyJJ,
^^^'((ЕГ)
— класс всех подмножеств K&r., [t, Ф0]}.
Тогда для всякого t е Τ (обобщенной) квазистратегией
первого игрока на отрезке [ί, Φοί мы называем всякую функцию
α
:<*χ, [*.*.!>-*2{Ж^Ч
удовлетворяющую трем условиям:
1) непустота образа
αΜΦΖ (ve(^[i,*J});
2) согласованность
α(ν) «= (Π(ν), [i, *,]} (v s {#λ, [г, #,]});
3) физическая осуществимость (понимаемая в многозначном
смысле):
для любых (ν,, ν2) е= {<g\, [t, Ф„П X {&к, [t, &<>]}, те [t, ф0]
справедлива импликация
[ν,; τ) = [ν2; τ) =*- [αίν^; τ) = la(v·,,); τ),
где для любых t<^T, τ^[ί, φ0]; [η; τ) и [ν; τ) обозначают
сужение мор η и ν на классы всех борелевских подмпожеств Ω« =
172

--U, $o\xPxQnZt°=--[t, ®o]XQ, содержащихся каждое в [t, τ) Χ
XPXQ π it, x)XQ соответственно (η е (Ж, [f, ОД), ν e= {<g\,
Ι/, «ο»),
1*;τ)~{[η;τ): η е Я} (яе 2<*^·1>).
Из перечисленных выше условий 1)—3) основным является
условие 3), которое мы именуем условием физической
осуществимости в многозначной форме. Пусть для каждого t^T A[t,o0] —
множество kpex (обобщенных) квазистратегий первого игрока на
отрезке [i, ОД. Определим сейчас квазистратегии второго игрока
несколько иначе, исходя из представления (в программной
конструкции этой главы) обобщенных программных управлений η s
е= {Жь, it, ОД) как ν · μζ, где μζε=<2/(ί, ОД выбирается первым
игроком, a ve{^,, [t, ОД} — вторым игроком. Именно, для
каждого ief мы называем здесь (обобщенной) квазистратегией
второго игрока па отрезке [t, ОД всякую функцию
для которой β(μζ) ^ & нри всех μζ и для любых
μ^ε^ίί, θ0), μζ2)ΕΞ^(ί, ΐ>0), 8e[i,#0l
из совпадения
μ^β, 0=μ1?>(ξ, ν) ((ξ.ΐ')Ξ[ί,θ)χρ)
мер μζ^ξ, у) и μ^' (ξ, ν) на [ί, θ) Χ Q следует, что
[β(μηθ) = [βίμ£>);θ),
где, как π в случае квазистрагегпй первого игрока, для всякого
множества Ε <= {gu [t, ОД} и момента τ <= [t, ОД:
ΙΕ; τ) = {[ν; τ): ve£).
Понятно квазистратегий второго игрока такого типа в
дальнейшем используется сравнительно мало (см. § 4), поэтому мы не
будем раскрывать его более подробно. Отметим только
следующую содержательную аналогию со случаем формирования
обычных управлений. Пусть £* s Т. Рассмотрим семейство
всевозможных контруправлений
(ί, »)—·-»*(*, υ), u*(t, в)еР,
определенных па Zf* — [<*, ^olxC и стесненных, конечно,
условиями измеримости по Ворелю. Если выбор такого контруправле-
пия делается первым игроком и объявляется затем его
противнику в момент <* или ранее, то он (второй игрок) может ответить
на эту «реализацию» контруправления любым обычным своим
управлением-программой ν(·). Более того, второй игрок может
173

запрограммировать свой ответ, так что на конгруправленле
(i, ν) -*■ uc"(i, υ) он отвечает реализацией ι/'Ч·), на коптруправ-
лош1е (£, υ) -*■ um(t, ν) — реализацией νί2){·) и т. д., наметив таким
образом отклик (реакцию) па подаваемые контруправлеипя
первого игрока. Если при этом такой отклик β будет удовлетворять
условию: для всяких двух контруправлений
(i, w) —u,n(f, ν), (ί, υ)-* um(t, ν)
и момента времени ί* <ξ [/*, 00] из совпадения tt(i)(i, у) = tiC2)(i, v)
на [ί*, ί*) XQ следует совпадение uci)(i) = utz'(£) на'[ί*. ί*)ι где
ι/"(·), i = 1, 2, суть отклик в силу отображения β на
контруправления (£, ν)—*ц(,)(г, υ), то эту реакцию β можно' назвать
физически осуществимой π объявить квазистратегпоп второго игрока.
Такая реакция β будет гибко отслеживать подаваемые по ходу
дела контруправлеипя первого игрока и исполнять таким образом
роль физически реализуемой управляющей процедуры второго
игрока-союзника. Приведенное выше определение на языке
обобщенных управлений является полной аналогией этой
содержательной конструкции.
Сейчас мы вернемся к понятию квазистратогнй первого
игрока и установим связь этого понятия с процедурами его
позиционного управления. Ограничимся случаем позиционного
управления в классе (чистых) стратегии Uit, χ) <ξ Рш
Пусть для всяких позиции (t, χ) е Τ X R", стратегии! U e UBOa
η программного управления ν е {^Γλ) [t, &„]}; Π(ν|ί, χ, U) —
множество всех управлений η е (Π(ν), it, ϋ-J) (согласованных с ν),
для каждого из которых
<р(-, t, χ, η) ea?<i, x, U).
Если теперь рассмотреть зависимость
ν—*-Π(νΙί, х, U),
то мы получим некоторое многозначное отображение,
назначающее всякой обобщенной реализации ν (управления второго
игрока) множество согласованных с ν программных управлений η.
Это отображение для всяких позиции (£, χ) π стратегии U
первого игрока мы обозначаем Π(·|ί, χ, U), так что
Π(·Ιί, χ, U) = (iKvli, χ, U), vs»», [t, ϋ„Π).
Теорема 4.3.1. Для всяких позиции (i, i)eTXR" и
стратегии U первого игрока Π(·1ί, χ, U) суть квазистратегия первого
игрока на отрезке it, Ф01:
U(-\t, х, U)<=A[t,ao],
причем
&(t,x,U)= U φ(·, t, χ, Π (ν Ι ί, χ, U)),
174

где для всякого множества II допустимых программных
управлений η на отрезке It, Ф0]:
φ(·, t, χ, Η) = {φ(-, t, χ, η): η е #}.
Приведенное утверждение говорит о возможности погружения
мпожества всех позицноппых стратегий игрока-союзника (ври
зафиксированной начальной позиции) в .множество всех его квазп-
стратепш ыа оставшееся промежутке управления. Это утвержде-
ыие в дальнейшем мы будем неоднократно использовать для
обоснования эквивалентности различных формализации
дифференциальной пгрчы.
§ 4. Итерационная программная конструкция
в игровой задаче наведения
Сейчас мы рассмотрим для заданной (и фиксированной) пары
MczTXW, NczTXB."
замкнутых множеств процедуру построения максимального
стабильного моста (множества позиционного поглощения)
итерационным методом, используя па каждом шаге лишь программные
задачи с дискриминацией игрока-противника. Пусть 9Ί,- — класс
всех замкнутых подмножеств N. Каждому множеству Ε <= ^Х)
т. е. каждому замкнутому подмножеству Ν, мы сопоставим
следующую программную задачу: найти множество всех начальных
позиций (i, х)^Е, для каждой из которых первый игрок, зная
реализацию управляющего воздействия своего противника
(которая может быть любой, допустимой при данном ресурсе Q
второго игрока), может осуществить Ш, £)-наведепне, т. е. наведение
па цель Μ при соблюдении фазовых ограничений Е. Это
множество естественно назвать множеством программного (А/,
^-поглощения. Содержательно это множество, следовательно, состоит из
всех таких позиций (ί, χ), для каждой из которых, как для
начальной, по всякой программе и(-) второго игрока па
последующем промежутке времени (ι>(·): it, O0] -<- Q) первый игрок-союз-
пик может подобрать свое управление-программу так, что
получающееся для этой пары управлений движение (Ηξ), ί^ς^Οο)
перейдет из начальной позиции (£, х) на множество М, не
покидая до этого множества Е. Важно отметить, однако, что многое
здесь зависит от того, из какого класса управлений первый игрок
вправе такой выбор осуществить. Из теории оптимального
управления известно [4*1, что ответ (т. е. множество программного
поглощения) может получиться существенно различным для
случаев, когда такой выбор он осуществляет в пределах множества
«обычных» программ
и(-): [i, Φ.]-* Ρ (<еГ)
и в пределах множества «обобщенных» программ. Именно, во
175

втором случае искомое множество программного (Л/,
^-поглощения может оказаться существенно шире. Поскольку мы
стремимся nai'nii в конце копцов максимальный стабильный мост, го
вторая возможность оказывается для пас более
предпочтительной. Обсудим эту ситуацию подробнее, начав с .чадач
оптимального управления. В монографин [4*] было отмечено, что в ряде
случаев обобщенная задача оптимального управления можег оки-
заться для наших целей полезней, чем более попятная и, на
первый взгляд, более естественная обычная задача. При этом дело
не только (а, может быть, и не столько) в том, что в обычной
задаче может пе существовать оптимального управления. Такая
ситуация имеет место, например, в задаче минимизации
терминального функционала
oU(l))=s,(l)
для системы
χι = (:г2)2, Хг = и
(|«| =1, Τ = [0, 1]) па ее траекториях
t-+x(t), i(i)eR',
выходящих из начальной позиции
Vfoj Xq/· ίθ == too == U, 2^01 == ^-% ^02 == U.
Важнее то, что результат, достигаемый в этой задаче, может быть
существенно хуже, чем оптимальный исход обобщенной задачи,
допускающей вместе с тем весьма естественную аппроксимацию
в классе обычных управлений. Однако эта аппроксимация
оптимальных обобщенных решений обычными управлениями можег
оказаться такой, что (точные) условия исходной задачи будут
чуть-чуть нарушаться. Проиллюстрируем это обстоятельство
следующим простым примером управляемой системы на плоскости:
Χι = cos и, х2 = sin ы,
где и — скалярный управляющий параметр, выбираемый из
отрезка
'-[-ί·τ|·
Пусть наша система функционирует па промежутке времени
Τ = [0, 1]. Предположим также, что по условиям задачи нам
задано множество Ν, состоящее из всевозможных позиций (£, х):
Χι &*0, хг = 0, и определяющее фазовые ограничения задачи.
Рассмотрим сначала ситуацию, когда (как и в [4*]) в процессе
управления для заданной начальной позиции (£0, £о): ίο = 0, χ,,ι = 0,
£о2 = 0, требуется минимизировать целевой функционал goixi·)) =
= £,(1) на траекториях
*(■) = (*(«), 0«««1)
исследуемой управляемой системы с соблюдением фазовых огра-
176

цнченнй N в каждый момент времени t из отрезка Т: x(t)&N.
Ιϊριι этом, как π раньше, в качестве обычных управлений мы
используем борелевские функции иШ, 1м(г)1<л/3, на отрезке Τ
(здесь можно было бы с тем же «успехом» использовать н
функции, измеримые по Лебегу). Тогда, поскольку множество всех
управленпй-программ м(·), соблюдающих эти ограничения W,
состоит из единственного (с точностью до эквивалентности)
управления м(£) = 0, то оптимальный результат, отвечающей
обычной задаче аптимального управления, есть число 1, и он
достигается на в ьнлеу помяну том (нулевом) управлении. Класс
обобщенных управлений-программ μ( е^·, 0 < ί < 1, содержит, однако,
больше управлений, соблюдающих ограничения N па траекториях
системы *
x-i= \ cos ιιμ^άιι), x-z= \ sinu^ii (du)
[-*■*] [-f-ϊ]
с тем же начальным условием x(t0) = х0 № здесь, как и прежде,
есть множество всевозможных вероятностных мер на jP = L—п/3,
л/3]). Так, например, обобщенная программа (μ?, 0<j£<jl),
для которой мера μ< прн всех iefO, 1] сосредоточена в двух
точках и = —л/3, и = л/3 с равными весами 1/2:
μ« = -ζ 0-я/з + γ °π/3ι
является таковым управлением. Нетрудно проверить, что эта
программа минимизирует функционал gu(x(·)) в обобщенной задаче
на множестве всевозможных (обобщенных) программных
управлений, соблюдающих ограничения N, т. е. является оптимальным
решением этой обобщенной задачи, доставляя результат, равный
1/2. Отметим здесь же. что минимум функционала g0(x(·)) в
обычной задаче не образует непрерывной зависимости от
фазовых ограничений. Так замена множества N на сколь угодно
малую его окрестность приводит к резкому улучшению
оптимального результата обычной задачи до величины 1/2. Это
обстоятельство как раз и раскрывает причину несовпадения оптимальных
результатов обычной и обобщенной задач. Именно,
аппроксимация обобщенной оптимальной программы μ* обычными
управлениями idt) может происходить только при условии нарушения,
пусть очень небольшого, исходных фазовых ограничений N, что,
однако, недопустимо по условиям «точной» задачи.
Рассмотрим теперь для той же управляемой системы задачу
о наведении (в классе программных управлений) на целевое
множество М, состоящее только из одпой позиции (0°, я0): т>° = 1,
хг = 1/2, х\ = о, при фазовых ограничениях в виде того же
МН0*(1Ства ^' ^Ри этом снова мы можем рассмотреть обычную
и обобщенную задачи о нахождении множества программного
177

(А/, ЛО-поглощения. Поскольку обычиая программа,
соблюдающая ограпнчения N, едипствепна (по существу) для каждого
отрезка [ί, 1] (ief) ц определяется условием w(i) = 0, то, как
легко, проверить, для всякого t < 1/2 сечение множества
программного (А/, АО-поглощешш гиперплоскостью t = const в обычпой
задаче попросту пусто. В то же время аналогичные сечения для
множества обобщенного программного (А/, ΛΟ-поглощения уже
непусты и содержат, например, позиции (£, xt), где а;(, ι = ί/2,
xt.i = 0. Таким образом, множество обобщенного программного
(А/, ΛΟ-поглощения здесь по существу шире множества обычного
программного (А/, ΛΟ-поглощения. Заметим, что Многда в классе
обычных программных управлений вообще может не оказаться
таких, которые соблюдали бы фазовые ограничения задачи, в то
время как в обобщенной задаче такие унравлепия уже есть.
Например, для скалярпой управляемой системы
х = и, \и\ = 1,
функционирующей на отрезке У = tO, 1], просто нет обычных
управлений, соблюдающих фазовые ограничения .τ(ΐ) = 0, в то
время как обобщенное управление (постоянное во времени),
реализующее выбор точек и = —1 и и = 1 с весами 1/2, такую
задачу уже решает. Рассмотренные примеры показывают
существенность использования обобщенных программных управлений в
задачах (А/, £,)-наведения, тем более что потом (на этапе
позиционного решения) мы все равно сможем обойтись управлениями
обычными, компенсируя их экстремальными свойствами эффект
обобщенных управлений-мер во вспомогательных программных
задачах. Итак, будем считать, что первый игрок «умеет» отвечать
на реализацию управления партнера способом, более общим, чем
реакция в виде и(·), а именно, программными управлениями-
мерами, согласованными с этой реализацией. Если принять это
соглашение, то естественно и сами реализации υ{·) второго
игрока заменить на управления-меры. С учетом всего этого можно
дать следующее определение множества программного
поглощения.
Для всякого множества Ε е 9>к множеством программного
(А/, Е)-поглощения мы называем множество всех позиций (ί, χ) е
^Е, для каждой из которых для любого ν ^ ί^Γλ, t, ft J)
существует пара (η, ■&) е {JIM, It, &0]) X It, ■&„] такая, что
(О, φ(·δ\ ί, χ, r|))e=A/,
(6, φ(ξ, t, x, η))6ί (ί<|<*)·
Мы напомним, что для всякого ί е Τ {&и [t, i>0J} — множество
всех (обобщенных) программных управлений ν второго игрока на
отрезке U, ϋ·η], являющихся аналогами его «обычных» управлений
ιΛ·): it, ■*>„]-*<?. Далее для любых t&T, vef^i, It, d0J}
программа (Π(ν), [t, ·&„]) является множеством всех допустимых π ро-
178

граммпых управлении η (аналоги пар (и{·), гД·)) обычных
управлений) на отрезке it, Όί,], согласованных с «реализацией» v. При
лтом согласованность обобщенных программных управлений
η е {Ж,„ [t, θ0]} н ν е (δΊ, It, Όό]) (ί^Γ) является аналогом
естественной согласованности нары (ы(·), у(-)) (обычных)
управлений с (обычным) управлением ν(·) второго игрока: и() = !;(■).
Таким образом, формализуется с учетом игрового характера
решаемых задач обобщенная задача {М, ЕЭ-наведения.
Можно проверить, что для всякого Ε^9"Ν множество
программного (Λ/, 2?)-поглощения снова является элементом 9Ί,-
С учетом этого обстоятельства мы определим оператор
А'. Sry —*■ Sr?i
(программного поглощения) тем условием, что при любом Е^Я'т,
:шачеыие этого оператора в «точке» Е, т. е. множество А(Е),
совпадает с множеством программного (М, /^-поглощения. Таким
образом, приведенное выше определение программного (Λί,
^-поглощения (на языке обобщенных программных управлений)
является определением нужного нам отображения Ε ->- А{Е), так
что для каждого множества йе^., А(Е) суть множество всех
позиций U, х) ^Е, для каждой из которых по любому обобщенному
программному управлению ν ^ Шк, [t, а%]} можно подобрать пару
(η, ■&), ηε{ΙΙ(ν), [ί, θ0]} и 0^ [t, flj, для которых (О, φ(ϋ, t, χ,
η)) содержится в Μ π (ξ, φ(|, ί, χ, η)) е Ε па отрезке [ί, θ].
Далее, мы обозначаем через (Л');(!=л0' Ν„ = {О, 1, 2j . ..},—
последовательность степеней оператора А: А" = / — тождественный
оператор
1(E) = Ε (Е^9>к),
Ak+l=A°Ah (ieN,)—суперпозиция Л и Ак. Эта
последовательность опораторов определяет, в свою очередь,
последовательность множеств (3^/,)asn0 в пространстве 9Ή' Wk = Ah{N) ирн
всяком A- s N0. Такую последовательность, очевидно, можно
определить и рекуррентным соотношением
ЗГо = N, FVm = ЖЗГк) (/с е N„). (4.1)
При этом 7^k+l<=7f°h (fceN0), и поэтому наша последовательность
мнол{еств обладает пределом Ж = П ^ft = Π JfjlmeN,),
который также является элементом 5Ί,, т. е. замкнутым
подмножеством Лг: W е д>х. Весьма важным является следующее
свойство Ж: множество W является наибольшим (на пространстве
5Ά-) решением уравнения Е = А(Е), т. е. во-первых, W = A{W),
и, во-вторых, для всякого Е^Р'у из условия Ε = Л(£) вытекает
вложение £ с )fjP. Здесь мы отметим, что множество всех решений
уравпения Е = Л{Е), Ε<ξ9Ί,, может содержать более одного
179

элемента. Например, "в скалярной системе (и = 1)
χ = ΐί + ν, \и\ ^ 1, |у| ^ 1,
рассматриваемо]'! па отрезке Г = [0, U, для случая, когда целевое
множество Μ задается в виде множества всех позиций (1, х),
\х\ ^ 1, а фазовые ограничения Л; совпадают со всем
пространством позиции (ZV = 7,XRi), решением вышеупомянутого
уравнения является, например, всякое множество вида
[О, 1J X lc„ c2\=TX Lc„ сЛ (-1 > с, < с, ^ 1),
а мажорирующее эти решения множество Ж определяется
условием
Ж = 10, 11X1-1, 11.
Можно отметить также что в соотношении (4.1) в качестве
начального элемента можпо выбрать любое множество E^^n, для
которого Ж с: Е, и при этом предел такой последовательности
программных итераций снова будет совпадать с Ж. Последнее
обстоятельство легко проверить с учетом соотношения Ж = А(Ж)
и свойства монотонности оператора А: для всяких Ε,^^κ, Е2^
е 9>х пз Е1 <= Е2 следует А (£,) <= А (£,).
Мы не будем здесь заниматься подробным обоснованием
вышеупомянутых свойств, а ограничимся лишь их содержательным
обсуждением. Для этого мы отметим прежде всего, что для нас
весьма желательным является нахождение таких замкнутых
множеств Ε <= Ν (лежащих, следовательно, в пространстве позиций
(Α, χ)), для которых множество программного Ш, .Е)-поглощения
совпадает с Е, т. е. Е = А(.Е). Действительно, это свойство
аналогично свойству стабильности и, с точки зрения решения задачи
наведения, всякое такое множество можно использовать в
качестве стабильного моста, упирающегося в целевое множество Μ и
лежащего в множестве Ν, определяющем фазовыо ограничения
задачи. Однако мы располагаем по условиям задачи лишь
множествами Μ η Ν (и, быть может, некоторыми оценками II
искомых множеств Ε сверху: Ε <= Н) и не зпаем, следовательно, этих
множеств Е, хотя и знаем то свойство Е = Л(Е), которое
выделяет эти множества среди всех подмножеств N. Поэтому мы
начинаем последовательно применять это свойство (Е = А(Е)) к
имеющимся у нас данным задачи: сначала к множеству N (пли
к оценке II искомых множеств/?, если таковая имеется), затем,
обнаружив, что N этим свойством не обладает Ш =£ А Ш)), к
множеству программного (Л/, Ν)-поглощения как оценке сверху
искомых стабильных мостов Ε и т. д. Таким образом, известное пам
свойство Ε = А{Е) определяет итерационную процедуру в
пространстве замкнутых подмножеств Ν, которая может оборваться
только на тех множествах, которые этим свойством обладают.
При этом оказывается, что предел такой последовательности как
180

раз ιι составляет максимальный стабильный пост. Относительно
доказательства сходимости вышеупомянутой последовательности
УРъ ограничимся лишь следующими замечаниями. Несмотря на
то что упомянутая конструкция доставляет решение
позиционной дифференциальной игры, строгое обоснование этого факта в
рамках формализации такой дифференциальной игры весьма
затруднительно. Поэтому удобно в качестве промежуточного
шага связать предельный элемент Ж последовательности (4.1)
сначала с идеализацией дифференциальной игры, а именно с
игрой в классе квазнстратегий, для которой Ж как раз и совпадает
с множеством успешной разрешимости задачи наведения, а
дополнение Ж — с множеством успешной разрешимости задачи
уклонения. С учетом этого обстоятельства, а также соотношений
между двумя различными формализациями дифференциальной
игры, можно показать уже, что Ж определяет решение и
позиционной дифференциальной игры. Итак, мы приходим от
итерационной последовательности (4.1) и ее предела Ж к реализуемому
на практике решению дифференциальной игры через
промежуточный этап — решение дифференциальной игры в квазистрате-
гпях. Отметим, что такая логика используется для обоснования
π других итерационных методов решения дифференциальных игр
на мпнимакс — максимин терминального функционала,
излагаемых в дальнейшем. Применительно к данной дифференциальной
игре мы отметим сейчас, каким образом множество Ж
конструктивно определяет решение игры в классе квазистратегий. Имеп-
но, разрешающие квазнстратегий мы найдем сейчас как решения
некоторых программных задач, в которых Ж выступает в роли
параметра.
Рассмотрим две вспомогательные программные задачи для
некоторой нары F, с Г X R" (i=l, 2) замкнутых множеств и
начальной позиции (ί*, χ*) е 7'xR . Первая задача (задача 1°)
будет состоять в следующем: для заданного программного
управления ν е {^,, [t*, ■&(,]} (аналог обычного программного
управления ι- (·) : [ί*, θ0] ->■ Q второго игрока) пайтн множество
Я(,,* .» (v \Flt F2) всех допустимых программных управлений
η (аналоги пар (ы(-), !>(·)) обычных программных управлеппн
и(·) : U*. ft0]-»-P, ν (·): \t*, θ0]-^ζ>), согласованных с ν,
для каждого из которых
{ϋ : О 6= [i,, θ0], (τ>, φ (Ο, ί,, ж,, η)) e= Flt
(Ε, φ (ξ, «·, χ*, η)) e= F2 (ί, < ξ< θ)} Φ- 0.
Если рассматривать теперь решение этой задачи как функцию ν,
т. е. как функцию
то мы, естественно, приходим к задаче о нахождении предельно
широкого отклика
α*:{β·λ, [«., θ01}-ν2^·[«..»ο]},
181

обладающего тем ейойство.м, что для любых ve{e*T?,, [ί*, ΰ·0|}τ
ην е а% (ν) программное движение φ (·.'*, #*, ην)
удовлетворяет условиям (/'\, /,'г)-]1аведепня. Этот отклик а* как раз
совпадает с "ι,,*· ("Ι^Ίι ^ί) ιι в общем случае пе обладает свойством
физической осуществимости. Множества F„ Fz являются
параметрами задачи о нахождении упомянутого отклика.
Прежде чем сформулировать вторую программную задачу,
мы папомннм о представлении допустимых программных
управлений ηε(%, U, θ0]} it^T) как νμζ. Будем полагать, что
выбором (обобщенного) коитруправления μζ ведает первый игрок, а
выбором (обобщенного) программного управления ν — второй
игрок. Тогда задача 2° содержательно состоит в следующем. Пусть
Fi, i = l, 2,—заданные замкнутые множества в пространстве
позиций, (£*, х*) — заданная начальная позиция. Рассмотрим
сначала задачу об отыскании (при заданном контруправлении
μζ^ 41 (i*, Ф0)) множества п«»,ж» (μζ | ^ 1"\) всех таких
программных управлений ν е {&\, [ί*, θ0]}, что движение
φ(·, ί*, я*, v-μζ) удовлетворяет условиям CF,, ^-уклонения,
т. е. для любых θ е [f*, Ο0]
((θ, φ (0, **, ζ*, νμ2)) «= 7'Ί) -> ({ξ : ξ «= [t,, θ],
(Ι, Φ (Ι. г*> **, νμζ)) ψ F2) φ 0).
Если теперь рассмотреть зависимость
μζ-^ίϊ,,,^μζΙίΊ, Fj),
то мы получим многозначный отклик
Ъ.,х, {-\FV F.J = (^„«.(μζΙίΊ. F*h μζ^(ί*, #0))
второго игрока на обобщенные коитруправления его противника,
причем этот отклик
β*-£ί..*.(-Ι*'Ί.*,ϊ)
обеспечивает второму игроку уклонение, если он своевременно
узнает реализации контруправления первого игрока. Задача 2° как
раз н состоит в нахождении такого отклика β*. Отметим, что для
рассмотренной выше содержательной аналогии с обычными
управлениями и{·), υ{·) смысл задачи 2° состоит в нахождении
такой (вообще говоря многозначной) зависимости программы ν{·) от
контруправлепия (ί, ν) -<- и* (ί, υ), при которой получающаяся
пара (ц(-), ν(·)) обычных программных управлении, где и (t) =
= u#(i, v(t)) при всех ie [£*, θ0], реализует движения,
удовлетворяющие условиям {Fi, ^-уклонения.
Чтобы подчеркнуть зависимость задач 1° и 2° от множеств
F^ Fz и позиции (£*, х*), их, вообще говоря, следует именовать
как 1° {Flt F2, ί», **)■ и 23 (ί\, F21 i», ж,).
Вернемся к нашей дифференциальной игре сближения-укло-
пення, но уже рассмотрим ее не только для исходной пары {М,
182

Ν) замкнутых множеств, но и для всех замкнутых ε-окрестностей
Л/1*1, ΝΜ этих множеств Μ, Ν в пространстве Τ Χ Rn всех
позиции (Ζ, χ) (ε>0). Отметим, что при всяком ε>0 можно
организовать итерационную процедуру (4.1) при замене М-+Мил,
N -*■ Ν1'1. Соответствующие предельные элементы мы обозначаем
Ж,, (ε >0). Далее, мы рассмотрим при (i, х)^Ж отклик π,,χΗΛ/,
Ж) и при И,~х)ФЖ,, ε > 0,-отклик п- -(■ /*%, ЛГМ).
Справедливы следующие утверждения.
Теорема 4.4.1. Для всякой позиции (£, х)^Ж отклик
щ,х(- \М, Ж) : {&χ, [t, д0]}-*-2* λ'' ' °1' является
квазистратегией первого игрока на отрезке it, ft9], гарантирующей
выполнение условий Ш, Ю-наведения на каждом порождаемом этой
квазистратегией движении, т. е. для любых ve(^, [t, &<,]},
ηεπ,.,ΜΜ, Ж):
{0: вб[(,#,], (θ, φ(θ, t,x, т)))еЛ/,
(ξ, φ(1, ί, χ, η))ε# (ί*5|«θ)>*=0.
Теорема 4.4.2. Для любой позиции (ί, я) S^ 2Р существует
ε > 0: (ί, аО^ЗРе, лг,х[· \Же, Ν^ )— является квазистратегией
второго игрока на отрезке it, O0J, гарантирующей (Μ1*1, Nui)-yn-
лонение для каждого движения, порождаемого этой
квазистратегией, т. е. для любых μζ&1£(.ί, f>0),v е π(^-(μζ | Жг, Ν1*1), θε
е=[1, θ,Ι:
((Θ, φ (Θ, Ί, χ, ν μζ)) e= Λ/[ε]) =Φ ({ξ : ξ e= [Τ, Θ] (ξ, φ (ξ, Τ, χ, ν·μζ))^
Мы будем называть для каждой позиции (i, i)ef XR"
квазистратегию α е ^[t,o0i (стратегию U e Uno3) квазистратегией
(стратегией), разрешающей задачу (Л/, ΛΟ-наведення, если при
произвольном выборе
η<ΞΞ U α (ν)(*υ е= #((,*,£/))
νε{^λ, [(,»„]}
Для движения
X = φ(·, t, χ, η) (Χ = Xtf)
выполняются условия Ш, ЛО-наведения: существует момент
fte [ί, Ο0], для которого
(θ, Х(О)) е Μ, (ξ, Х(|)) е W (ί *£ % *£ θ).
Таким образом, если множества Ж, Жг (ε > 0) найдены
(например, с помощью итерационной процедуры), то решения
приведенных выше двух программных задач (т. е. 1°Ш, Ж, t, x) и
2°(Же, NM, t, x)), в которых в качестве параметров выступают
183

множества W и Ж% соответственно, доставляют решения
исходных задач наведения и уклонении (с окрестностью) в классе ква-
знстратсгнй. Эти решения можно в дальнейшем использовать для
конструирования «.'-моделей, описанных в предыдущих главах.
Отмстим, сейчас, что, как легко проверить рассуждением но
индукции, для всякой итерации Жк (feeN) множества Ж и для
всякой позиции (£, χ), но лежащей в Wh, никакая квазнстратешн
α е -<4[t,ft0] гарантировать успешное решение задачи Ш,
ЛО-наведения уже не может. Поэтому такое свойство (неразрешимость
задачи (М, ЛО-наведения в классе квазистратегнй а) имеет место
для всех начальных позиций, не лежащих в W. С учетом этого
обстоятельства π теоремы 4.4.1 мы получаем справедливость
следующего утверждения:
Теорема 4.4.3. Множество всех начальных позиций U, x) e
еГХ R", для каждой из которых существует квазистратегия
α е Α[ίβι, разрешающая задачу (Л/, Ю-наведения,
совпадает с Ж.
Далее, с учетом теорем 4.3.1 и 4.4.3, а также стабильности Ж
можпо проверить, что при выполпеннн условия (2.8.2)
справедлива следующая
Теорема 4.4.4. Множество всех начальных позиций (ί, χ) е
efXR", для каждой из которых существует стратегия i/eUm3
первого игрока, разрешающая задачу (Λ/, ^)-наведения,
совпадает с Ж.
§ 5. Дифференциальная игра с фиксированным временем
окончания
В этом параграфе мы рассмотрим применение итерационного
метода к решению игровых задач с заданной непрерывной
функцией платы. Речь пойдет об итерационных конструкциях второго
тина, содержательно изложенных в первом параграфе главы.
При этом мы ограничимся здесь игрой с фиксированным
временем окончания. Аналогичные конструкции для
дифференциальных игр, в которых момент окончания не фиксируется, мы
кратко обсудим в конце следующей главы. Итак, предположим, что
нам задаиа некоторая непрерывная функция σ: R" -" R'. Эта
функция порождает для всякого (ef функционал g-* σ(#(ΐ>ο))
на множестве Cn([t, ·&α]) всех непрерывных (на it, OJ) функций
g: it, Ф0] -*■ R". Пусть выбрана некоторая начальная позиция
системы: (i, ilefXR*, Тогда мы полагаем, что первый игрок
стремится (с помощью управления u(x) e P) минимизировать, а его
противник (второй игрок) — максимизировать (с помощью
управления и(т)е^) значение оЫФо)) этого функционала на
траекториях х(-) системы, выходящих из начальной позиции (£, х).
В результате возникает игра на минимакс-максимии
функционала о(а;(О0)). которая может рассматриваться для различных клас-
184

сов допустимых процедур управления и при должной их
формализации обладает седловои точкой. Так, например, если эту игру
рассматривать в классах Un,>3, Vn03 позиционных стратегий
[t, χ) -*■ U(t, .r), (/, χ) -»- V(t, χ) первого и второго игроков
соответственно при вышеупомянутом условии седловои точки в
маленькой игре, то для каждой начальной позиции (i*, x*)
обязательно существует седловая точка, т. е. пара (f/°, V°) таких
стратегии U" π F°. что
niin max σ (χ [ θ·0]) = max min σ(χ[ΰ0]), (5.1)
причем минимум (максимум) в левой (в правой) части
достигается на U° (на V). Величина, определяемая (5.1), будет ценой
этой игры. Итак, цена игры и ее седловая точка определяются
соотношением (1.1). Если теперь вычислять эту величину уже для
произвольных позиций (£, х), то мы получим скалярную
функцию позиции (потенциал), которую мы обозначили
г" = (c°«, χ), ί00 < t < ϋο, х s R").
Рассмотрим теперь более подробно и более аккуратно
программные задачи первого параграфа главы. При этом мы используем
здесь уже обобщенные управления-меры, а не обычные, как в
первом параграфе управления — борелевскне функции со
значениями в Ρ и Q соответственно. Пусть СЧГХК") — множество всех
непрерывных функций g: Τ X R" ->- R1. Далее, для всяких (ί, χ) е
еГХRn, v e {(gu [t, θ0]}, τ e [f, ·0·0] мы обозначаем через
G(t, t, χ, ν) = {φ(τ, ί, χ, η): η e (Π(ν), [i, Ф„Ш
область достижимости для v-программы {Π(ν), it, fl\J} из
начальной позиции it, x). Определим теперь оператор Г, отображающий
множество СЧГХН") в множество всех функции g: 7'XRn->-R1,
тем условном, что для каждой функции geC(rXR") функция
T(g): TXR" — Rl
такова, что для произвольной позиции (£, ileTXR"
(Г (g)) (t, χ) = max max min g (τ, w).
/<;г<»0 vej^j ,[lfiQ]} ι<··εΟ(τ,ί,χ,ν)
Нетрудно проверить (см. [746]), что из g^CiT XRn) вытекает
Yig) е С(Т X R"). Таким образом, в действительности
Г: CtrXR^+CtrXR").
Далее, определим, как и ранее, программный максимин
ε°: 7'XRn-»-R1 как функцию позиции, следующим соотношением:
для любой позиции (£, х) ^ Τ Χ R"
ε° (ί, χ) = max min a(w).
νε{<?Γλ,[ί,ο·0]| weG(e0,i,x,v)
185

Можно показать, что ε" е С(.Т XR"). Оператор Г н функция ε"
определяют в C(TXRn) последовательность (e(h))fteN0 (N0 =
= {0, 1, ...}) программных итераций так, что при всяком к е N0
ε""=Ρ(ε°), где
— соответствующая степень оператора Г (fteN0). Другими
словами, (ε );ieNo—последовательность в CCTXR"), определенная
условиями
8("=β°, е№+1> = Г0е1*>) (ftsN,). (5.2)
Таким образом, формализуется процедура, описанная
содержательно в первом параграфе главы. При этом из определения
оператора Г непосредственно следует, что для любых к е N0, (£, x) e
efXR": e(W(f, ζ) «£ e<k+i)(i, χ). Кроме того,
8(k,U>o, ·) = (ε(*>(θ„, χ), ieR")=o (AeN,).
Для каждой позиции (£, ι)εΓΧ R" последовательность
(ε(Λ) (ί, г))ьег?0 ограничена сверху. Пусть теперь функция
с„: TXR-'-vR1 такова, что
c0(t, χ) = limte(ft) (i, χ) ((ί, χ) е ГхКп). (5.3)
Корректность определения предела вытекает из вышеупомянутых
свойств последовательностей (ε"0 (ί, x))i,eN0 при (ί, ι) е J1 X R",
Подчеркнем, что функция с0 определена нами на основе
программной конструкции, без использования каких-либо элементов
позиционных дифференциальных игр. Отметим следующее
обстоятельство. Пусть G0 — множество всех функции g0 e 642" XR"),
для каждой из которых
r(g„) =go, g№a, ·) = σ,
τ. e. G0 суть множество всех решений уравнения
T(g)=g (seCtrXR"))
с краевым условием #(θ0, -)=σ. Тогда ca^Glu При этом
множество G0, вообще говоря, не исчерпывается функцией с„.
Действительно, для всякой монотонно певозрастающей непрерывной
функции
ζ: Т-~ТИ1, ξ(θ„) = 0
(ζ(ί2)^ζ(ίι) для всех (i1,i!)eJ'+) также справедливо
включение
(с(«, χ) + ζ(ί), (ί, х)^ТХ R") e G„,
186

'так как для каждой позиции (ί*, х%) е TxR":
G (*„, *„, ι„ν)= {ж,} (ν е= {#λ, [**, θ01}),
Μ**. **) + £(**)< max
max min c0 (f, w) -\-
ve{ffx.l',-eol)«--ec('.«».**.v)
+ S (01 <(Γ Μ (**.**)+ max ζ(ί) = c0 («„,, *,) + ζ (*„).
Итак, решений у нашего операторного уравнения действительно
много. Но потенциал игры с0 выделяется (единственным образом)
среди всех прочих функций go е G0 следующим свойством:
функция с0 является наименьшим элементом множества Ga, т. е. с0 «ξ g„
(c0(i, a;) < gt(t, χ) на Г X R") для всякой функции ga e G0.
Для нас особенно важным является тот факт, что эта функция
(предельный элемент последовательности программных итераций)
совпадает при условии (2.8.2) с функцией цены игры в
позиционных стратегиях (см. (1.1) и (5.1)):
β,(ί, x)=c"(.t, x) ((i, i)erXR"). (5.4)
Мы не будем приводить здесь подробного обоснования равенства
(5.4), а поясним лишь его основную идею. Поскольку познцион-
пая формализация дифференциальной игры сама по себе не
совсем удобна для обоснования (5.4), то для этой цели привлекается
аппарат квазистратепш. В связи с этим отмстим два
существенных момента этого обоснования: во-первых, это доказательство
того, что c0(i, x) является наименьшим гарантированным
результатом в задаче на мннимакс σ(χ(·θ0)) в классе квазпстратегий и,
во-вторых, соотношение двух формализации игрового управления
(квазпстратегий и позиционные стратегии).
Основными моментами в доказательстве того, что для всякой
позиции (i, x)^TXRn c„(t, χ) суть мннимакс платы а(.гЧ0и)) в
классе квазистратепш является: а) доказательство того, что для
любых fee No и αε2[(,}0] существуют ν е (I1», It, ϋ·α]) ιιηε
s α(ν) такие, что
σ(φ(Οβ1 t, χ, η))»ε(*4ί, x),
в) доказательство результата, аналогичного теореме 4.4.1, о том,
что функция ν->α,*(ν),
«?.* (ν) = (η: Я 6= (Π (ν), μ, θ0]}, с0 (ξ, φ (ξ, ί, χ, η)) <
<c0(i, i)(t<K»o)} (ν e= {8%, [t, θ„1}) (5-5)
является квазистратегией первого игрока па оставшемся отрезке
it, ■&„]. Этп доказательства мы здесь опустим. Отметим только,
что квазистратегпя (5.5) является как раз оптимальной для
начальной позиции (i, x) квазистратегией первого игрока. После
того, как установлено, что функция c0U, х) определяет минимакс
σ(χ(ΰ0)) в классе квазпстратегий, мы используем представление
187

процедур позиционного управления через некоторые, им
соответствующие, квазнстратегии (см. теорему 4.3.1). С учетом этой
теоремы мы получим, что результат с° (t*, хх), гарантируемый
первым игроком в классе позиционных, стратегии, пе может быть
лучше результата с0 (£.,., х%), который может гарантировать себе
этот игрок в классе квазнстратегии, т. е. с0 (ί*, х%) ^с° (ί*, я*)·
Далее, если мы рассмотрим множество
l(i,ar): (*,*)«= 7'х R", с„ (*, я)<с0 (f,, ж,)),
то, как легко проверить с учетом вышеизложенного, это
множество стабильно, причем c0(Oo, ·) = σ, т. е. для всякого z-eR"
с0(Оо, χ) = σ(ζ).
Поэтому стратегия £/*, экстремальная к этому множеству, при
выполнении условия содловон точки в маленькой игре (см.
(2.8.2)) обеспечит неравенство
sup в(1[ад<с0((,,1,),
откуда тем более следует неравенство с" (ί^, χ*) ^с0 (г*, я*).
Если условие седловой точки в маленькой игре не выполняется,
то аналогичное рассуждение следует провести уже не для
позиционных стратегий первого игрока, а для контрстратегий, и
трактовать с (t^, х^) уже как наименьший гарантированный в
классе контрстратегий результат. При этом также получается
равенство с°(£*, х*) и Со(**! х*) Таким образом, обосновывается
соотношение (5.4). Следовательно, последовательность (5.2)
программных итераций действительно определяет в пределе (см.
(5.3)) потенциал игры.
Отметим, что в регулярной дифференциальной игре с
фиксированным временем окончания цена игры совпадает с
программным максимином в интересующей пас области начальных
позиций и, следовательно, потепциал игры определяется уже как
начальный элемент последовательности программных итераций
(5.2). Проиллюстрируем это обстоятельство на следующем
простейшем примере, решение которого хорошо известно L7*, 56J.
Пусть рассматривается конфликтно-управляемая система
x = u + v (ΙΐΜΐΙ„<α, llyll„<b), (5.6)
где а>0 н Ъ > 0. Будем считать, что σ(χ) — Qχ||„ = 1/ 2я?
(^eR"). Как легко проверить, в данном случае программный
макспмин в задаче с фиксированным временем окончания fr0 для
каждой начальной позиции (t, aOeuHXR" определяется
соотношением
β°(ί, Λ)=·8ΐιρ({ΐωΐη + (&-α)(θ.-<), 0)). (5.7)
188

Что касается класса программных управлении, то в данном
случае, как к в главах 1 — 3, их можно просто отождествлять с боре-
левскими га-вектор-фушсцнямн, стесненными мгновенными
ограничениями IIu(i)II„ «£ a, lly(i)Hn ^ Ъ. Для каждой начальной
позиции (ί, χ) е Г X R", программного управления ι>(·) второго игрока
на отрезке [t, ·&0] и момента τ^Ιί, {U область достижимости
G(t, t, χ, vl·)) управления-программы υ(·) в этот момент времени
% суть евклидов шар в R" радиуса α(τ — t) с центром
χ + J ν (ξ) dl е= Rn.
[ί.τ]
Оператор Г в нашей управляемой системе определяется из
условия: для всякой функции geCCTXR")
(Г (g)) (t, x) = max max min g (τ, у) (5.8)
<<τ«>0 υ(·) j/eG(T,i,*,»(■))
((£, r)efXR"). Из соотношений (5.7), (5.8) легко следует, что
для всякой позиции (ί, χ) е Г X R"
e4>(i,a;) =
= sup/ίθ, max (max min ||г/|^ -f- (6 - a) (f>0 - τ))\Υ (5.9)
Ц «u»0 »(■) i/ec(T,i,x,D(·)) )}
Однако с учетом свойств областей достижимости можно
проверить, что
max min ||г/||„ = sup ({0, ЦжЦп + (Ъ — α) (τ— ί)})
τ(·) !ieG(T,l,i,t(0)
((t,i)erxR",i<T<d,),
так что в силу (5.9)
ε(1) (ί, а;) = sup/ί 0, шах (sup ({0, \\xl +
+ (6 _ α) (τ - i)}) + (δ - α) (Φ0 - τ))]) -
= s
up /|0, sup /f max (δ - α) (θ0- τ),|*|„ + (b - α) (θ0- ί)]])] -
= sup /ί max (δ - α) (*0 - τ), |ж|„ -(- (Ь - α) (θ0 - *)]) =
= sup Π max (6 —ο) (θ0 - т), e°(i, ar)|^ ((ί, *)е= ГхН"). (5.10)
Отметим, с учетом (5.7), что для каждой полиции U. х) при я < Ъ
max (6 — а) (00 - т) =-- (Ь - а) (*0 — <)< ε° (ί, χ),
a при ft ^ а
max (6 — ri)(u0 — τ) - 0<ε°(ί, χ).
189

С учетом этих соотношений и равенства (5.10) мы получаем
окончательно, что для каждой позиции (i, ileTXR": c0U, x) =
= εΠ)(ί, χ) = ε°(ί, χ) определяется соотношением (5.7).
§ 6. Пример
Отметим, что построение последовательности программных
итераций (5.2) для общего случая дифференциальной игры
является весьма затруднительным. В связи с этим особое значение
приобретает выявление тех случаев, когда цена игры как
функция начальной позиции может быть определена после некоторого
конечного (и, желательпо, не слишком большого) числа
итераций. Некоторые такие случаи мы рассмотрим в следующей главе.
Сейчас мы отметим, что в общем случае дифференциальной игры
на это рассчитывать нельзя, и для определения потенциала
(t, χ) ->- c"(t, χ)
методом (5.2) может по существу потребоваться построение всей
последовательности программных итераций (а пе конечного их
числа). Рассмотрим следующий простой пример такой ситуации.
Пусть паша конфликтно-управляемая система является
скалярной (и = 1) и описывается линейным дифференциальным
уравнением
x = u + v (иеР, v^Q) (6.1)
(простое движение), где jP = [—1, lJ, Q = [—2, 2]. Пусть далее
Г = [0, 1] (ί0 = 0, θ0 = 1), Л/=(-°°, — 1] U [1, оо) И фуПКЦНЯ
σ: R' -»- [0, оо) определяется условием
σ (χ) — min | χ — т \ (ieR1).
тем
Для этого случая мы постараемся исследовать последовательность
(5.2) и ее предельный элемент (5.3). Следует отметить, что в
данном примере мы стремимся прежде всего к иллюстрации метода
(5.2), (5.3), а не к решеппю пгры указанным методом, поскольку
само это решение легко определяется из более простых
соображений, связанных с динамикой системы и свойствами целевого
функционала, без привлечения каких-либо особых теоретических
средств. Более того, в данном примере иные программные коп-
струкцип, которые мы сейчас пе рассматриваем, оказываются
более предпочтительными, чем уже рассмотренная выше. Это свя-
запо в значительной степени с тем, что мы используем для пост-
роопня пашей последовательности программных итераций по
возможности более простые вспомогательные (программные) задачи.
Так, в даппом примере наша последовательность итераций на
базе программных задач использует следующий, уже
упоминавшийся ранее, вид дискриминации игрока-противника: второй нг-
190

рок для той или иной начальной полиции (ί^,χ^) ныбнраот
обычное управление-программу
v(-) = (o(t), ί^Κι%)
со значением в Q и объявляет ее противнику, на которую
последили реагирует своим управлением u(«) = (u(f), i* ^ t ^ Ф0)
со значениями в Р. В результате потенциал игры получается для
данной итерационной последовательности лишь в пределе. Если
же изменить характер дискриминации в программной задаче, то
картина может резко измениться, а именно, цена игры для новой
итерационной последовательности может определиться уже
некоторым конечным числом итераций. В этом плане можно было бы
рассмотреть программные задачи, где второй игрок намечает
заранее «коптрпрограмму»
(t. и)-+Съ (t, и)
со значениями в Q, предоставляя затем своему противнику
возможность реализовать любое управление-программу ;/(·) и, в
конечном итоге, любую пару программных управлений вида u(t) e
^Р, Vx(t, u(t))^Q; можно было бы рассмотреть задачи с
дискриминацией первого игрока, т. е. задачи, где он выбирает
первым свою программу ц(-) и сообщает ее противнику, т. е.
второму игроку, который затем реализует любое
управление-программу и(0, и т. д. Эти интересные сами по себе вопросы мы не
рассматриваем, ограничиваясь здесь исследованием одпой
определенной выше последовательности программных итераций. Итак,
в данном примере мы занимаемся не столько решением
конкретной дифференциальной игры, сколько исследованием возможных
свойств конструкций (5.2), (5.3). Отметим, что в системе (6.1)
при сделанных предположениях нет нужды попользовать в
программных задачах (обобщенные) программные управления-меры.
В связи с этим в данном примере мы пользуемся обычными
программными управлениями — борелевскими функциями времени
t. Обозначим
Ек = {(*, х): (i, χ) е [0, 1] X R1, ф, х) = ε""(ί, χ)} (/с е Ν„),
£„ = {(*, χ): (ί, *)е[0, WXR1, cj.t, χ) ¥"ε'*'(ί, χ) (feeN.)>.
Мы рассмотрим для данного примера структуру множеств Ек
{к е Ν0), Ет и покажем, что
Ek+l\Eh^0 (ieN,U.#0.
Пусть для всякого is [0, 1] здесь U, и V,—множества всех бо-
релеиских функций u(·): U, 1J-»-Ρ и ν(·): [f, IJ -»■ Q
соответственно. Для любых (начальной) позиции (t, χ) е [О, U XR1,
управления у(')еу, и момента Oe[f, 1] (как π и случае обобщенных
управлений) G(9, t, χ, ν(·)) — область достижимости (обычного)
программного управления у(-) в момент времени θ из этой позп-
191

ции (ί, χ) при переборе всех и(-) eU,. Тогда для всякой позиции
(ί, ж)е[0, 1JXR1
min σ(χ) = sup f] 0, ί —
KeG(i,i,x,r(·)) U
и, как легко проверить,
β"(ί, z)=sup({0, i-sup({0, |ζ|-2(1-ί)Ι)}). (6.2)
Обозначим через L0 множество всех позиций (£, а;) е L0, 1] X R',
для каждой из которых ε°(ί, χ) > 0. Тогда в силу (6.2)
U = ί(ί, χ): (ί, х) s (0, U X R1, Ul < 2 - ί).
Перейдем к определению потенциала. Пусть для каждой позиции
(i,«)s[0, 11XR':
6*(ί, ζ) = sup ({О, Ы-(1-г)},
S*(t, χ)-{(τ., г/): (τ, y)e[0, 1JXR1, lyl «Ь*(«, *) + (1-τ)λ
Тогда можно показать, что (для любой позиции (i, .r) e L0, 1J X
XR') 5*(ί, а;) суть и-стабильное множество и, следовательно,
стратегия Vt,x, экстремальная к S*(t, x), гарантирует
реализацию неравенства о(х[Ш > sup ({0, 1 — δ*(ί, χ)}) на всяком
движении χ[·], порождаемом этой стратегией из начальной позиции
(i, x). Отсюда с учетом (1.1) следует равенство
e\t, x) = et{t, x)=inf({l, sup ({0, 2-(*+Ы)»>) (6.3)
для всяких (ί, χ) <= [0, 1] XR1, поскольку при формировании
движений, порождаемых произвольной стратегией V из начальной
позиции (i, я), второй игрок может столкнуться с управлением
и(·): it, l]-+P,
для которого «(τ) = sign χ при всех τ=1ί, U. Из соотношений
(6.2), (6.3) легко следует равенство
Е, = Ш, χ): (ί, x)eL0, llXR1, kl >2(1-ί)ί. (6.4)
Можно проверить, что для всех /ceN„, (ί, χ) е L0, 1JXR1:
e<k)(i, χ) = ε"°(£, —χ). Аналогичным образом (см. (6.3)) с0(£, ж) =
= c0(i, —а:) для любых (i, ilefXR1. Далее, если обозначить
L„ = {(t, у): (τ, у)е[0, UXR', είΜ(τ, г/)>0} (fteN.).
то для любых А: <= N0, (i, a;) eL,, δ <= t0, U:
ε(Λ)(ί, δχ+(!-&)(-*)) 2* ε("4ί, χ). (6.5)
Далее, пусть (α/,)/ι<=Ν0 последовательность положительных
чисел, определяемая из условий
а0 = 2, ak+1 = ^- (*e=N0). (6.6)
1 т "л
192
Х+ j" ϋ(ξ)<ίξ
))
И·) е= V,)

Тогда, можно проверить, что: 1) ак> 1 (/ce=N0), 2) ak+l<ak
(A:eN0), 3) ак-*- 1. Пусть теперь
5 = Ш, χ): (ί, χ) e [0, 1) X R', |a:| < 1 - ί}.
Отметим, что из (6.2) легко следует, что для всякой позиции
U, i)eS e°U, ж) < 1. С учетом этого обстоятельства
рассуждением по индукции можно проверить, что
β,Μ(ί, х) < 1 (Л е Ν01 (ί, χ) е 5). (6.7)
С другой стороны, из соотношения (6.3) вытекает, что
с°«, х) = 1 (W,x)s5). (6.8)
Из соотношений (6.7), (6.8) следует, что для любых (£, i)eS,
fteN0: eCk)(i, аОт^сЧг, а;), откуда, в свою очередь, следует
вложение
Sc£„. (6.9)
Теперь мы покажем, что
£„={(ί, ж): (t,a:)e[0, U XR\ |г| >afc(l-i)} (fceN,). (6.10)
Действительно, прп к = 0 это соотпошенпе следует из (6.4) π
(6.6). Пусть вообще для некоторого wieN0
£, = {(i, .r): (ί, г)е10, 1JXR', |*| >α,(1-ί)> (ZsO, m), (6.11)
где
0, г = {/: / е No, 7 < г} (г е N0).
Тогда, с учетом (6.9), £mc£mtlc([0, UXR')\5. Пусть далее
(ί*, £„.), а;Л<;0,— произвольная, пе содержащаяся в S позиция
((£*, х#) е ([0, 1]XRX)\5), для которой вместе с тем(£*, х^)фЕт\
функции
Х0: [ί,,ΙΙ-^R1, Χ»: [«», l]-*Ri
определены условиями
XQ (ί) =*„ + (*- **), Х° (ί) = х» + 3 (i - i JI
em-C + IM)
ί· =
am - !
Тогда, как легко проверить, ί*<£0<1, (е[^, 1].
Рассмотрим отдельно следующие два случая: 1°. ат+1 (1 — £*) <! | х#\,
2°. |^|<Ят+1(1-^).
_ 1°._В этом случае с учетом (6.11) можно проверить, что ί° «Si,
U, ΧαΓί)) si„ Х°(7) =-Χ„(ί), |Χ0(ί)| = lxJ/2. Пусть, далее,
МО = (МО. *·<*<*)· МО =2 (ί*<ί<1).
193

Тогда область достижимости G (t, t%, χ*, г0 (·)) для
(обычного программного управления у0(-) н момент t удовлетворяет
соотношению
• C(t, «*, яг*. "„(■)) = Η Хо(')1- l*o(«)U =
Далее, с учетом (6.3) можно проверить, что
с0 (i, X0 (t)) = c0 (ί,, *„) = 2 - (f* + | *„ |) (ί, < t < 1),
откуда для исследуемого случая вытекает неравенство
c0(i*.a:*X miQ г(т) Q, у)
yeG(t,ί»,ж♦,г^o(■))
н тем более с0 (£*, £*)<;e<m+i> (£*, χ*). Поскольку е(т+1> (t*,
x*)^co(i*i ·τ*)ι по определению величины с0 (ίΛ, χΛ), то
ε<"ι+1)(ί^, ζ#) =с0(^, х*) п, следовательно, (£*, х*)&Ет+1
в исследуемом случае 1°. Итак,
{ат+1 (1 - г*)) < | ас, |) =>- ((i„ x*) е= 5 (6.12)
2°. В этом случае 7"< t\ Покажем, что с0 («*, a:») ^=e(m+1> (i*, #*).
Допустим противное:
Тогда, как легко проверить, для всяких i*e[i#, 1] и у*(-)е
е V<, из условия
min ε<™> (ί*, а;) = ε("*+ι> (ί*, α:») (6.13)
следует (такие ί* и у*(·) в нашем случае действительно
существуют), что t* > t\ v*it) =2 почти всюду на [ί*, t*\ и
X°(i*)eC(i*, ί#Ιχ„ι;*(.)), (6.14)
где G (t*, i»,_a;#, v* (·)) — область достижимости для
управления-программы у*(·) в момент t*. Но тогда в исследуемом случае
для таких £*, v*() должпы выполняться неравенства — Xa(t*) <
<Х°«*), c„(i*, Χ°(ί*)) < c0(i*, ж») откуда с учетом (6.13), (6.14)
тем более справедливо е(т+1) (ί*, χ*) <с0 (ί*, х^) вопреки
сделанному предположению. Полученное противоречие доказывает,
что (£*, х*) φ Em+i в рассматриваемом случае 2°. Итак,
(| хч \ < ат+1 (1 - **)) => ((**, **) ^ Дт+1). (0.15)
Поскольку (it, it), ι, < 0, выбрано произвольно из условия
(ί„ **)6=(([0, l]xR1)\S)\£m, το (см. (6.12), (6.15)) тем
самым доказано, что для всякой позиции (ί, х), г<0, из (L0, 1J X
XR')\iS, пе содержащейся в Ет, из условия а,„+,(1 — £) «£ I re f
следует включение (ί, х)^Ет+1, а из условия Ы <am+1(l — t)
вытекает, что (t, χ) Φ Em+i. Далее, с учетом четности функций
eCm+1)(i, ·) и cs(t, ■) при всех ie [0, U, в этом утверждении можно
194
if-1, ψ

отказаться от условия ^<0. Поскольку Ет<=-Ет+1 и S Л Ет+1 = 0
в силу (6.9), то из приведенного выше рассуждения вытекает ра-
псиство
£т+1 = Ш, χ): (t, z)eL0, UXR1, oM+l(l - t) s£ \x\),
чем и завершается (см. (6.11)) проверка очередного шага
индукции. Таким образом, соотношение (6.10) доказано. Поскольку при
ίτομ liinak = l, то с учетом (6.10) и определения 5 мы получим,
к
что Е„ = S. Из этих соотношений с учетом свойства 2)
последовательности (aft)heN„ следует, в частности, что
Eh+l\Eh¥=0 UeN,),£.^0.
Из анализа рассмотренного примера видно, что в общем случае
последовательность (5.2) программных итераций доставляет цену
игры лишь в пределе. Вмсте с тем в ряде случаев потенциал игры
(т. е. цепа как функция начальной позиции) реализуется уже
после того или иного конечного числа итерации. Примером такой
ситуации являются уже разбиравшиеся ранее регулярные
дифференциальные игры с фиксированным временем окончания. В
следующей главе мы рассмотрим некоторые нерегулярные случаи,
в которых потенциал игры определяется второй итерацией
данного метода (5.2). Более того, в этих случаях для потенциала мы
приведем явное выражение, содержащее операцию срезки
функции программного максимина.
13»

Г л а в а V
МЕТОД ПРОГРАММНЫХ ИТЕРАЦИИ
(ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ)
§ 1. Обобщение изотропного случая
В этой главе мы рассмотрим итерационные процедуры,
изложенные в § 5 предыдущей главы, с целью выделить классы
задач, в которых решение можно довести до конца, понимая под
этим получение формулы для потенциала игры. Основное
внимание будет сосредоточено на решении дифференциальных игр
с фиксированным (и равным Ф0) временем окончания. В
заключении главы рассмотрим также и некоторые другие тины
дифференциальных игр.
Мы будем по-прежнему, как и в § 5 главы 4, исследовать
случай игры с фиксированным временем окончания ■&„ и
заданным (посредством функции σ) функционалом я(·) -»■ oWfro))·
При этом будут исследоваться случаи, когда на Τ X Rn функция
с°(£, а;) совпадает с ε("(£, χ), хотя, быть может, с° и ε° не
совпадают. Всюду в этом параграфе рассматривается случай
собственно линейной управляемой системы: для всяких ieR1, jeR",
и е Ρ, ν е Q
/(ί, χ, и, v)=AWx + j(t, и, ν), (1.1)
где A(i) — матрица raXra ((eRl), коэффициенты которой суть
непрерывные на R1 (скалярные) функции,
?: R1 Χ Ρ X Q — R"
— некоторая непрерывная вектор-функция. Далее для всякого
jel, τι мы обозначаем: 0Cl)—вектор из R , все координаты
которого нулевые, через {x)s (x е Rn) — вектор первых s
координат вектора х, а через conv (R') — пространство всех
ограниченных, замкнутых, выпуклых и непустых подмножеств R* ·
Относительно функции σ мы полагаем здесь, что
aU)=minll{a:}ft-mllft (.resR"), (1.2)
196

Где /eel, re, ^ e conv (R*) — заданное множество, II ·ΙΙΑ —
эвклидова норма в R*. Далее, как и ранее, через Ф(£, τ) мы
обозначаем фундаментальную матрицу решений однородной системы
х = ЛЦ)х. Для каждых sel, re, Geconv(/i°) череву Ρ g будем
обозначать опорную функцию выпуклого компакта G, т. е.
pg (Ζ) = max (l'w) (ieR!).
Тогда в исследуемом случае, как уже упоминалось выше, для
всякой позиции (Ζ, л:) е У ;,'Τΐ": ε°(ί, я) = sup ({0, ε(ί, χ)}), где
ε (t, χ) = max
Ζ'{Φ(*ο. 0*м
?
+ f max min (i' {Φ (00, ξ) / (ξ, и, v)}„) άξ - рж (Ζ)
(1.3)
Рассмотрим в дальнейшем некоторые классы систем, у
которых с° = еС1). При этом будем накладывать те или иные
условия на правую часть (1.3). Отметим, что в идейном отношении
исследуемый эдесь класс систем близок обсуждавшемуся в § 6
второй главы. Обозначим
Lh = {Ζ: I s R\ HZllfc = 1}.
Условие А. Существуют функция
G: r^conv(Rk)
и непрерывные на Τ функции
h: T-+W, ζ: Τ - R\
для которых при всех t^T, Ζ <= Lk
"о
j" max min (V {Φ (φ0, ξ) / (ξ, Μ, V)]M) dl·, -
{ reQ usp
- Pdif (Ζ) = l'z (t) - pcfo (0 + A (<), (1.4)
причем для любых it, у) е= Τ Χ R"
max[Z'i/-pW)(Z)]^0. (1.5)
Предположим, что выполнено сформулированное выше условие
А. Тогда пз соотношений (1.3), (1.4) следует, что для всякой
позиции (/, а;) е Г χ R"
ε (t, x) = max [l'y° (Ζ, x) - pG(0 (l)\ + h{t),
ieLh
197

где ί/4ί, χ) = {Φ(θ0, t)x}h + ζ(ί). Далее, мы обозначаем для
любых «, х) s Г X R", Θ s [ί, flj, ν e {«"χ, [i, θ,])
Υ(Θ, ί, χ, ν) = {ί/°(θ, и?): ы> е G(6, t, x, ν)};
тогда (при условии А) можно проверить, что
mia max[i'u> — pG(t) (/)] =
ιυεΥ(θ,Ι,Χ,ν) leLh
= sup (ίθ, max min [I'w — pG(f) (I)]}). (1.6)
Ц ieik«.-ey(e,t,»,v) J/
Перейдем к определению функции ε(1). Пусть для всяких
(i, ileTXR", O-eU, ft0] величина γ(£, χ, Φ) такова, что
γ(£, χ, Ό)— max min max[Z'u;— ΡβΦ){1)]—
= max. min max [l'y° (ft, w) — pG(9) (i)]. (1.7)
vs{g,^,[/,»0]}u'eG(e,t,.-c,v) ieth v
Мы заметим, что (с учетом (1.6)) последнее выражение можно
преобразовать к следующему виду Ш, х) ^ TXRn, ft<^[t, iM):
γ(ί, χ, О) = sup ({Ο, max [l'y4t, χ) -pC(()U)J +
+ ft(i)-ft(G)})=sup({0, e(i, ж)-WO)}),
откуда с учетом легко проверяемого свойства
max min ε° (fl, w) = sup ({Ο, γ (ί, χ, Ο) + h {Щ)
νε{<§τλ,[(,<>·„]} u*=G(0,t,sc,v)
вытекает (при условии Л) следующая
Лемма 5.1.1. Для всякой позиции (£, rJefXR"
справедливо равенство
ε(1)(ί, χ) =sup({e°(i, χ), max Λ (О)}). (1.8)
t«KO0
Определим функцию ε(2) = Γ(ε(ι)). Обозначим для любых
(ί, ϊΙεΓΧΗ',φεΙί, ф0]
γΊ(ί, χ, ■»)= max min ε(1) (ϋ, w). (1.9)
Тогда, по определению оператора Г, для каждой позиции
(£, г)еГХГ
ε(2) (ί, ζ) = max γ! (ί, .г, θ·).
Лемма 5.1.2. Для всякой позиции it, x)^TX'R" и момента
θ 6= [t, θ0]
γχ (ί, χ, ϋ-) = sup ({ max h (τ), max min ε° (ft, и;)}).
0·<τ<ΰ0 νε{ίΤλ,[Ι,(}0]} u;eG(e,(,.x:,v)

Для доказательства (1.10) мы заметим, что в силу (1.8) и
(1.9) для любых U, х) е Τ X R", О е [f, ф„] и для
γ (i, а;, О) = max min ε°(θ, и;)
νε{<§Γλ,[ί,β0]} uec(»,(,*,v)
γ(ί, χ, «XviC, *> Ο). πιβχΛίτΧγ^ί, ж, θ), (1.11)
β<τ<ο·0
так что
sap ({ max ft (τ), γ (ί, χ, Щ) <|ух (ί, я, О).
0·<τ<*0
Покажем, что в действительности здесь имеет место равенство.
Допустим противное. Пусть (ί*, χ*) е TxR", Φ* е [£*, Ф01
таковы, что
sup({ max 'ft (τ), γ (t*, χ*, Ο*)}) <γχ («*, ж*, ft*).
Пусть, далее (см. (1.9)), ν* е {&\, [f*, Ф0]} — такое
программное управление игрока II, что
sup({ max ft (τ), γ (ί*, ζ*, **)})< min ε(1;(ϋ*, w).
0·*<τ<.»0 iceGl»,,!»,1»^,)
(1.12)
С учетом леммы 5.1.1 для всякого вектора wgG ('θ*, ί*, χ#, ν*)
max ^(τ)<ε(1)(θ·4:, гг) = sup ({ε°(·θ·+, ».')' max ^(τ)})>
0·»<τ<(}0 0·* :τ<00
откуда следует, что
ε(ιΊ (ft*, и;) = ε» (ft*, ω) (и? εβί&,,ί,,ι,, ν»))
и, в силу ι(1.12)
sup(f max ft (τ), γ(^, л:*, ft*)})< min e0(0*,u?),
ft»it<*o it£G(9,,!,,«,,v,)
что невозможно по определению γ (£*, #*, О,,.) (см. (1.11)).
Противоречие доказывает лемму.
Лемма 5.1.3. Функции ε(1) и гт совпадают: ε(1) = ε'2'.
Доказательство. Пусть (i», ^efxR". Тогда,
поскольку для всякого Ое[(„., ft0]
max ft (τ) ^ max ft (τ)
»<τ<00 ί*<τ'Θ0
π (по определению ε(" π оператора Г)
max min ε° (ft, w) <ε!1) (f#1 ж»),
νε(£"λ· ['*·*<)]} 4EG((},i*,.x*,v)
199

то с учетом леммы 5.1.1 и леммы 5.1.2
Vi (*., **, ΰ) < ε(1) (ί„, χ,) (i* < 0 < θ0),
откуда.
ε(2)(ί*, χ*) = max γΊ (ί*, χ*, τ)<ε(1) (£*, χ*).
Из последнего неравенства (при условии А) следует, что
е(1)(**, х*)= ε ('*> х*)· Таким образом (в силу произвольности
выбора (£*, я*)), установлено равенство еС1) = ε<2).
Теорема 5.1.1. Для всякой позиции (ί, ι) е Г X R"
c0Ci, a;) = ecl,U, a;) = sup (ίε°(ί, χ), max Λ(τ)}).
Таким образом, установлено, что потенциал игры
определяется функцией ε<1), т. е. второй итерацией программного макси-
мина, причем соответствующее выражение для этой второй
итерации дается в виде явной формулы, связывающей функции ε(1>
и ε°. Прежде чем переходить к исследованию разрешающих
процедур управления, мы обсудим в качестве непосредственного
следствия теоремы 5.1.1 на простейшем примере управляемой
системы, удовлетворяющей условию А, вопрос выбора одного из
параметров этой системы, исходя из условия обеспечения
заданного показателя качества. Пусть снова нам задана система
Χι = Хг + V, Хг = и
{u€=P = [-a,a],v^Q = [-b,b]), (1.13)
где Τ = 10, 1], σ(χ) = \xi\- Допустим сейчас, что значение 6 >0
задано и характеризует (известный нам) уровень «помех» в
нашей управляемой системе. Значение а &* 0 (собственный ресурс
управления) находится в нашем распоряжении, и мы стремимся
по возможности его выбрать меньшим, по так, чтобы в
результате управления системой при выбранном ресурсе можно было
бы гарантировать (с помощью какой-либо допустимой процедуры
управления) на реализующихся из задаппой начальной позиции
(^о, £ο) движениях системы неравенство σ(ζ(1)) ^ α, где α —
заданное по условиям задачи положительное число (допуск). Итак,
мы ставим вопрос о выборе ресурса управления а при заданном
уровне помех b и заданном допуске α па значение величины
σ(χ(1)). Для большей наглядности мы зададим конкретные
числовые значения вышеупомянутым величинам, а именно: будем
считать, что
δ = 1, α = 0,25, *ο = <οο=0, ζ0ι=2:οζ = 0.
Для данной системы при каждом а &* 0 программный максимин
200

ε° = ε° определяется соотношением εϋ (t, χ) = sup ({0, εα (t, χ)})
для всякой позиции U, х) е Τ X R2 = LO, 1J X R2, где
* = (*J, β„(ί,χ) = |ίτ1 + (1-ί)*«| + (ΐ--|-(1-θ)(1-ί)·
Отметим, что условие А, как легко проверить, здесь выполняется
при всяком а ~5* О, поскольку можно выбрать
G (0 a* {Q}, ζ (ί) ees 0, Α (ί) = Л„ (ί) = (l - ΐ (1 - θ) (1 - t).
При этом для всякого а > 0 потенциал игры
с" (t, χ) = с» (ί, χ) ((ί, χ) е [0, 1] X Л2),
как видно из теоремы 5.1.1, определяется соотношением
c°a(t, χ) = sup"({e2(f, χ), max Αα(τ)}).
В частности, для всякого α > О
c2 (i0, *o) = c°o (0. 0(2)) = max ka (τ). (1.14)
0<τ<ι
Отметим также, что при всех а е [0, °°)
ε£ (ί0, *,) = ε°α (0, 0(f») = sup ({θ, 1 - f}) < & (О, 0W).
Из последнего соотношения легко следует, что c°(0, 0(2 )<!0,25=а
лишь при α>ί. Поскольку мы в состоянии обеспечить
гарантированное выполнение условия σ(χ[11) <0,25 в классе
позиционных стратегий для того или иного а ^ 0 лишь при условии
с° (0, 0(2>) <! 0,25, то из предыдущего замечания вытекает, что при
дальнейшем анализе этого примера можно ограничиться случаем
α^Ι. Однако для всякого а, а&*\, из (1.14) следует, что
с°а (0, 0(2)) = {2а)-1. Последнее соотношение определяет
допустимый ресурс аХ) из условия с°(0, 0(2))^«, а именно: ресурс
а > 0 допустим, если 2 «£ а. Если мы теперь будем стремиться
к минимизации ресурса а среди всех допустимых, то естественно
остановить свой выбор на случае а = 2. Тогда при этом значении
ресурса найдется позиционная стратегия Ий, гарантирующая на
всяком (предельном) движении χ[·], порождаемом этой
стратегией из позиции (ί0) Ха\ неравенство |хД1]| ^ 0,25, т. е.
требуемый допуск. Для реализации этого допуска уже в классе ап-
проксимационных (пошаговых) движений нам надлежит
несколько увеличить ресурс а, т. е. сделать замену
а = 2 -*■ а = 2 + ε,
подобрав эатем разрешающую стратегию и0, реализующую гго^
2Й

равенство | Χχ[ί] |<!е°+£! (θ, 0(2)) па порождаемых ей движениях,
и, кроме того, такое число б, 0 < 6, что для всякого разбиения Δ
отрезка [О, 1J, диаметр которого не превосходит б, для любых
аппроксимационных движений xj.·], порождаемых стратегией
И0е при этом разбнепгш
Ι ^Λ.ι [1] | < 0,25 = "JczViT + κβ' Хе = 0'25--2Т21М)··
Такое б подобрать по данному κ» всегда можно, что следует из
результатов § 3 гл. I. Данный пример показывает, что
нахождение цопы игры, выполняемое эффективно, позволяет решать
(наряду с нахождением разрешающих стратегий) отдельные
вопросы конструирования управляемой системы.
Теперь мы перейдем к исследованию способов реализации
потенциала игры для управляемых систем, удовлетворяющих
условию А. Более точно вопрос, стоящий сейчас перед пами,
состоит в следующем. Пусть потенциал игры
с"U, х) = сМ, χ) = ε(1)(ί, z)=sup({e°(i, x), max ftCt)}),
где h — функция, участвующая в формулировке условия А,—
определен. Теперь нам требуется определить для заданной
начальной позиции (£*, £*) е Τ xRn (оптимальную) стратегию £/*,
для которой
Г* (£/-„)= sup σ(*[θ0]) = с" («„,**). (1.15)
В принципе эту стратегию всегда можно построить, как и в § 1
предыдущей главы, введя множество Ж;1' всех позиций (ί, χ) е
eTXR", для каждой из которых с0(ί, я)^1с0 (ί„., it), и определив
далее U* в форме стратегии, экстремальной к Ж,. Вместе с
тем в данном конкретном случае (при условии А) стратегию U*
можно определить иначе, минуя трудоемкую операцию
построения множеств W^ . Рассмотрим эту возможность. Пусть снова
G, h, z — соответствующие функции в условии А, которому, как
мы предполагаем, удовлетворяет наша управляемая система с
терминальным функционалом, определяемым целевой функцией
(1.2); y\t, х)^Н\ как и ранее, суть {Φ(θ„, t)x)k + z{t) ((£, χ) e
efXR"). Далее, для всякой позиции it, j)efXR" через
L°U, x) мы обозначим здесь множество всех векторов I" <= Lk:
l°'i/(t, χ) - pocl)U°) = max U'y\t, x) - ρβ(|)«)].
,eLh
Тогда можно проверить, что для каждой позиции (i, ileTXR*
из условия sup ({0, Mi)))<e°(f, χ) следует, что L\t, χ) суть
одноточечное множество. Пусть теперь для всякой позиции
(ί, г)еГХR", для которой sup ({0, ft(i)l) < ε°(ί, χ), l\t, x)€=Lk —
такой вектор, что L"(t, x) = {Ζ°(ί, x)}. Последнее утверждение по-
202

^воляет построить разрешающие стратегии (мы полагаем
выполненным условие седловой точки в маленькой игре) по аналогии
со случаем регулярных дифференциальных игр. Действительно,
(*,*)-*#·(*,«), U\t,x)czP,
функция, определенная условием: для любой позиции (ί, χ) s
е= Τ X Я", sup ({0, Λ(ί)»<β°(ί, *),
Я°(г, z) = {u°: u°e=P, max U°'(i, *){Φ(θ„, i)?(i, u«t »))») =
teo
= min max W'tt, χ){Φ(ϋ0, ί)/(ί, и, »)}»)>, (1.16)
«ер reQ
и для каждой позиции (ί, χ) е Τ Χ R", ε°(ί, a;)<sup({0, Ш)})
Я°(г, ж) = Р.
Отметил!, что множества Я°(£, χ), (ί, .г)еГХН", здесь
полунепрерывны сверху по включению. Поэтому в принципе, по
аналогии с [266], здесь можно определять движения, порожденные
стратегией И° из позиции (£*, х*), как решения
дифференциального включения
х^А(1)х + со ({f(t, и, »):ие И0 (ί, χ), ν е (?}), χ (ί*) = ж*.
(1.17)
При этом Я0 мы называем здесь (многозначной) стратегией,
а решения (1.17) трактуем как движения, порожденные Я0 из
позиции (ί*, ж*), действуя по аналогии с [266]. С учетом этого
можно проверить справедливость (прп условии А) следующего
утверждения.
Теорема 5.1.2. Стратегия Я° оптимальна для любой
позиции ('*, х^)еГхКп: для всякого решения уравнения (1.17)
справедливо неравенство σ (χ [π·01) <^е° (t%, x*).„
Сразу отметим, что использование для определения движений,
порожденных стратегией Я0, решений (1.17), конечно, не
является обязательным (можно сделать стратегию Я0 однозначной и
использовать движения ι[·]εί? (ί*, χ*, Я0)), но удобно с точки
зрения более краткой формулировки и более краткого
обоснования результата по схеме, аналогичной [266].
Проиллюстрируем условие А па следующем простом, хотя и
не регулярном, примере конфликтно-управляемой системы:
Х,=*з+ VU
Xz == X/, ι V^t
χ3 = — αχι + uu
Χι = — aXi + u2,
203

u&P, v^'Q, где Ρ = Ρ» + S,(0(2>, я),
Ρ*={(2κ-1)Μ:|::κ<=[0, 1]} (u»eR!), α>0,
причем для всякого б >0
52 (0<2), б) = {w: w e= R2, /ю· + и,* < б].
В этой системе, очевидно, η = 4, /? = g =*2. Для даппой системы
фундаментальная матрица решений соответствующей однородной
системы имеет (при всех tef, τε[ί0ι β) вид
Φ(ί,τ) =
где i\(t, τ)=α~41 —е α(| τ)). Мы обозначим также для каждых
R* (t, τ) = J re (ί, ξ) # = Цр + 1 (£-«'-'> - 1).
τ α
Отметим, что для любых моментов времени (еГ и ft^lt, 00J:
ra(0, /) > 0. Пусть, далее,
1
0
0
,0
0
1
0
0
га (ί, τ) 0
0 ra (t, τ)
β-α(ί-τ) 0
ο е-*<'-о
σ (χ) = /*! + я* = \ {χ},1 (xe R1).
Тогда для функции ε(ί, χ), it, χ) e Τ Χ R4, имеет место
следующее выражение:
ε(ί, а;) = max [ll(xl + га(Ф0) t)x3) + /2U2 + re(fl0» t)xj +
i<=l2
+ /?α(Οο, t) min (Ζ,β, + i2u2)] + ί»(00 - ί).
Поскольку при этом для каждого вектора I e L2
min {1{UX -f- i2ua) = miQ (Ί"ι + ^2) — αι
min (Z^ -f- Z2u2) = min Z'u ==
= min (2κ — 1) (Z'u*) = - | ZiU^-f- ^ut21,
0<κ<£1
то для всякой позиции (ί, ilefXR1
e (i, χ) = max Ux (a^ + ra (fl0, f) лт3) + l2 (x2 + ra (ft0, t) xt) —
iei2
-Λα <*o. 0 I Ί"*ι + г2"*а 11 + Ь (*o - *) - a^a (θ0, ί)·
Можно проверить, что условие А в данном случае выполнено.
2b4

При .jtom в качестве значений Git), hit), zit), y"il, x)
соответствующих функции можно выбрать следующие:
G{t) = Ra{Q0,t)Pm (is Г),
h(t) = b(O0-t)-aRa(QQ,t) (is Г),
ТакиΜν, образом (см. теорему 5.1.1), в данном примере функции
Со = с0 \ц ε(1) совпадают. При этом для всякой позиции it, χ) <=
еГХН?
с0 (ί, г) )= с0 (ί, χ) = εα) (t, χ) =
= ?ιψ(ί 0, max [^ (.Τι + ra (O0, i) *3) + i2 (*a + ra (ft0l t) xt) -
\l. leb;,
- К (Oo. 0 I *i"*i + i-2"*211 -f & (O0 - 0 - «Λβ (*o> 0.
mix lb(Oo-S)-a/?e(ft0,g)l}V
i<U»o J/
Приведем теперь выражение для оптимальной (см. теорему 5.1.2)
стратегии Я0. Как легко проверить, в данном примере для
любой позиции it, x) efXR1, где
sup ({О, MM) = sup ((О, Μϋ„ - ί) - α/Шо, ί)»<ε·(ί, χ),
множество #°(ί, а;) состоит из всех векторов вида и° = ы°С1) + и0С2),
где и0(1) = РЛ удовлетворяет условию
ГЦ, x)uHl) = min V'it, x)w;
■ш<=Рщ
u'm = -aP{t,x).
Сейчас мы рассмотрим другой, более сложный, модельный
пример управляемой системы такого рода, получающийся на
основе задачи о встрече одного управляемого объекта с другим в
фиксированный момент времени. Итак, пусть у нас заданы два
дифференциальных уравнения:
s=Aas + Lu iu^P), r=-Atr+Lv (ye(?), (1.18)
где seR', reR', α > 0, β > 0, Ρ и Q — некоторые
ограниченные, выпуклые и замкнутые подмножества пространства R3.
Здесь матрицы Ах, κ > 0, и L имеют следующий вид:
Л =
0
0
0
0
0
о
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
—κ
0
0
0
1
0
0
—κ
0
0
0
1
0
0
-κ J
205

L =
(0
0
0
1
0
о
0
0
0
0
1
0
0)
0
0
0
0
1
Первый игрок посредством управления и^Р стремится (в
момент О0) минимизировать значение ИЫФ0))з — {г('б,0)}3113.//Цель
второго игрока, распоряжающегося управлением υ & Q,
противоположна. Мы отметим, что уравнения (1.18)
описывают/движение в пространстве двух материальных точек, па которые
помимо управляющих сил действуют силы, обусловленные
сопротивлением среды. Полагая Χι = Si — rit хг = s2 — r2, xu= s3 — r3,
Xi = Si, Хь = s5, x, = s,, x7 = rt, x, = r5, xt = r„ мы можем свести
дифференциальную игру (1.18) к дифференциальной игре (в
пространство R") на минимакс-максимпн функционала α(χ(·&0)), где
для системы
■V·
j:,=
Л2 ~~~
Х3 =
Я; =
Т5 =
•£g ""=
^7 =
3^8 =
α/g —
Г ~Г #2 + х3
,г4 - я7,
Хй Х&1
X) Х$,
— OLXi + Ut,
—ахл + иг,
—axt + и3,
-§х7 + vt,
— β#β + V2,
—βχβ + ν3,
(*e=R9),
(1.19)
при тех же самых множествах Ρ и Q. Конкретизируем вид атпх
множеств Ρ и Q. Пусть i* e L, и
S* = {w: lieR1, l*'w = 0).
Далее, пусть, как обычно, для всякого κ е [0, °°) 5з(0<3), κ) —
евклидов шар в трехмерном пространстве с центром в начале
координат:
S3 (0<3), κ) = {w: we= Rs, \rw\ + w\ + w\ < κ}.
206

Ьудем предполагать, что
р\ Р* + Ss(0(,\ а) + и° = Ы'" + м(2) + и": и"' е Р*, и'2' е
е53(0,3), а)}, (1.20)
ρ = 5,(0(5), Ь) + р°, (1.21)
где \>0, Ь ^ О, «"eR1, y°eR3, P* — выпуклое, ограниченное
и замкнутое множество в трехмерном пространстве,
содержащееся в Д?: Р* с: 5*. Отметим, что выбор α, β, α, b, a", v", P* в
пределах указанных ограничений может быть произвольным. Так,
например, если положить Р* = (0(3)) (0<3) — трехмерный вектор,
все координаты которого равны 0), то мы получим игру, в
которой множества Ρ и Q будут задаваться евклидовыми шарами
в трехмерном пространство.
Фундаментальная матрица решений однородной системы,
отвечающей (1.19), будет определяться следующим образом: для
любых, моментов времени ie ?', fte Li, θ0]
Φ(θ, ί) =
1
0
0
0
0
0
0
0
, 0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
«■<*<».
0
0
-α(0
e
0
0
0
0
0
η
-'<>
D
гя&·
0
0
-α(0
e
0
0
0
0
0
-')
D
0
га«Ы)
0
0
-αίΟ-Ι)
е
0
0
0
-rp(ft
0
0
0
0
0
e-P(0-
0
0
0
0
0
-rp(tt
0
0
0
0
0
e-P<0-
0
0
-0
0
0-
-rpte.f)
0
0
0
0
0
е-В(0-м
где
Γκ(0, ί) = κ-1(1-6-κ1<,-,))
при всяком κ > 0. Тогда, для нашего случая выражение
ПФ(Ф„, l)fa, и, v)}, UsL,,|er)
приобретает вид
Г{Ф(О0, |)7(|, и, »)), = гв(*„ 1П1'и)-㹄, lUl'v) (usP, i;^ ρ),
откуда с учетом (1-.20) и (1.21) следует, что для всяких %^Т,
ieL„ ,i">ep*, ц<*> е 53(0(3\ α), »"> s S3(0C3), 6)
ΠΟύ'!,,, υΓ(ξ, u(1> + u<2> + u«, i7{1> + μ·)}, =
= Γ,(θ„ 5Ш'и(1,)+гв(0,, ^)(i'aW) + rB(0„ ξ)«'α')-
- Γ,(θ„ £)UV") - r,(*0, |)UV). (1-22)
207

Далее, из (1.20)—(1.21) после простых преобразований следуе/,
что для любых | е= Т, I <= Ьг в нашем случае
maxmin (Г (Φ (θ0, ξ) /(ξ, и, ν)},) =
»eQ uep
, = min max (/' {Φ (*0, ξ) / (ξ, и, у)},) = ra (θ0, ξ) (ϊ'β·) - ,
ueP reQ /
- гр (00> ξ) (ϊ'ι/>) -Γα(θ0, ξ) pp. (-1) + &Γβ(*0, ξ) -ara({>0, ξ), jfl.23)
Мы будем, как и ранее, обозначать для всяких κ > 0, t^T
Дн(*0, t)=j M^,l)dl=^ + l,(e-X{0Q^-i) (1.24)
Тогда, пптегрируя (1.23) с учетом (1.24), мы получим/ что для
псследуемой вадачи при всех t е Τ, 1 e L,
f max min (V {Φ(θ0, ξ) J (ξ, и, i;)}3)d£ = V (Ra(V0, t)u° -p
-Λρ(θ0, 0^ο)--βα(θο1ί)ρρ*(-0 + ^β(θο, i)-afla(fl0,i)· (1-25)
Отметим, что для нашей задачи множество Ж в соотношении
(1.3) следует полагать одноточечным: M=*W3)}, где 0(J) —
трехмерный вектор, все компоненты которого равны нулю. Далее
напомним, что для каждого ief — /?α(φ„, t)P* = {—ϊ?α(·θΌ, f)u*:
ц* <= Ρ*} причем, как легко проверить,
#α(θ0, Орр· (—г) = Р-на(»о.4)р*(г) (*е=£,). (1.26)
Теперь мы заметим, что
max[^-p_Be(*0lf)p.(Z)]>0 ((«.yJeTxR3). (1.27)
В самом деле, пусть (£*, j/#) e Г XRS. Тогда, если вектор
?/* е R3 такой, что 1*'у* ^0, то с учетом (1.26) и вложепия
P*<=S*
™£[l'V* - Ρ-·\χ(βο.'.)ρ· (θ] > '*'#* ~ Р-да(во.',)р* ('*) >
>-ВД>0, ί*)Ρρ· Ы*) = -Λ«(θ0, ί») max ((-I*) и*) = 0. (1.28)
Если же вектор г/* е R3 таков, что £*'«/* < 0, то вектор — I* e
εί,, удовлетворяет неравенству (— Z*)'J/* > 0 и с учетом (1.26),
по аналогии с (1.28)
max [Γι/* — Р-да(в0.(ф)р« (0] >
г> (-ι*)' у* - р-да(»о.'*)>* (-**) > -/f« (*·· '*> Рр* ('*> =
= —7?e(fto. **) max (i*'u*) = 0.
u'ei"
208

)йз анализа этих двух случаев в силу произвольности выбора
(Ц, у*) следует справедливость (1.27). Пусть теперь функция
G: T + conwiR1) (1.29)
определяется тем условием, что для каждого fef G(t) =
= -*«(*., t)P*, функция
k: Γ-R' (1.30)
такова что для каждого t^T
hit) = bRfiOo, <)-α/?α(·00, t),
н функция
\ ζ: Γ-R3 (1.31)
определяется условием: для всякого (еГ
■ν ζ(ί) = /Ш„, t)u° - #p(fl„, ί)ιΛ
ι
Тогда из (l.25)—(1.27) следует (в этих обозначениях)
справедливость условия А. С учетом теоремы 5.1.1 мы получаем, что
в исследуемой задаче функции с0 и ε(1) совпадают. При этом
c0(i, χ) = с°(£, а;) =
= sup({e°(i, χ), max (6i?s(^0, τ) - α#α(ϋ0, τ)))),.
ί<τ<*0
где программный максимин ε°(ί, χ) определяется (в
обозначениях (1.29)—(1.31)) условием
ε°(ί, χ) = sup ({0, max [Ζ'({Φ(Φ„, t)x)3 + z(<)) - p0(1)(Z)] + kit)))
ieL3
и координаты вектора ^ι,χ = {Φ(θ·0, iblj^R' определяются
условием
1ft. χ.ι = Jti + Γα(·θ·0, i)xt — Γρ(·θ0, i)a;7,
ί/ί.χ, ζ = 2:2 + ^(θο, i)xs —Γί(θΌ, *)z«,
i/i.*, 3 = ^3+ί'α(·θΌ, i)a;6 —rp(0o, <)ζβ.
Перейдем к описанию оптимальной стратегии первого игрока,
которая, как мы уже убедились (см. теорему 5.1.2), может быть
выбрана универсальной для всех начальных позиций из Τ Χ R*.
Прежде всего мы заметим, что для каждой позиции U, х) <=
efXR·,
ε°(ί, z)>sup({0, M)))=sup({0, &/?(,(#„, ί) - аЯа(Ф0) ί)}),
вектор i°(i, a;) определяется (в обозначениях (1.29), (1.31)) из
условия
I" (*, ж) г/° («, χ) - pC(f) (J° (ί, *)) = Й («,*) («ι + га (ϋ0, t) χ, -
- 4 {ϋ0, t) х-, + zx (0) + A («,*) {x2 + ra (fl0, t) хъ-
- Γβ (flb, t) xe + z2 (i)) + l°3 {t, x) {x3 H- re (00, 0 *, -
200·

- ''β (0„, ί) χ9 -г ζ3 (0) - рек, (/° (t, χ)) -
= max [Ι, (χι -L γ« (,%, ί) *4 - гр (00, t) χΊ -j- ζ, (ί)) +
;ei3
-г /., {χ, -'- ra (0,„ ί) .?·,-, — γρ (οΟΙ ί) хя -f ζ, (ί)) -!-
+ Α.· (Χ3 τ '« (ΰο· 0 Λ·; - '"Ρ №>> Ο *9 И" Ζ3 (<)) - PG. Ο (01 =(
=max [Гг/° (ί, χ) - pG(I) (/)]. /(1.32)
iez.3
На основе найденного вектора l°(t, x) можно получить дАя
каждой позиции U, 2·) е?'Х R", для которой ε°(ί, χ) > sup {{OJhlt)}) =
= sup((0, Ь/?ц(г}„, ί)-αί?α(00, ί)}), множество J?°(i, .z)/ из
следующего условия: H°(t, χ) — суть множество всех векторов ιΐο^Ρ
(см. (1.20)), для каждого из которых
I0' (t, χ) и0 = min (I0' (t, χ) и) = min (Ρ' (t, χ) и*) — α -|-,
+ la'(t,xju*, (1.33)
т. е. множество всех векторов ц(1) — αί°(ί, z) + u°: κ'^εΡ*,
Ζ°'(ί, я)ц!1) = min (i°'(i, я)и*). На этом мы ограничимся рас-
и*е р»
смотрением примеров задач для конфликтно-управляемых систем,
удовлетворяющих условию А. Отметим лишь следующее
обстоятельство, содержательно поясняющее это условие. Согласно
условию А выражение под знаком максимума в правой части (1.3)
за вычетом слагаемого, обусловленного свободным движением
системы, должно раскладываться в сумму трех компонентов (с
соответствующим знаком): линейного по I слагаемого,
обусловленного некоторым вектором сдвига, сингулярного слагаемого,
удовлетворяющего соотношению (1.5), и евклидова слагаемого.
При этом весьма жестким ограничением на второе слагаемое
является условие (1.5). Сейчас мы постараемся для некоторых
случаев отказаться от этого условия. Однако прежде, чем это
сделать, мы постараемся связать исследование некоторых
линейных конфликтно-управляемых систем, для которых с° и еС1)
совпадают, с анализом условий регулярности дифференциальной
игры, которые, будучи выполненными в тех или иных областях
в пространстве позиций, также реализуют равенство с0 = еП).
При этом мы по-прежнему будем рассматривать задачи с
фиксированным временем окончания на минимакс терминального
функционала оЫФо)), удовлетворяющие условиям,
сформулированным в начале параграфа, Условие А мы, однако, не будем
предполагать выполненным.
§ 2. Связь с условиями регулярности
В дальнейшем мы ограничимся исследованием задач, в
которых выполняются следующие условия А"\ β("
(квазисимметрии).
210

Условие А{1). Существует функция
h0: TXLk^lV,
для\которой при всех ief, l^Lk ha{t, l)=h0(t, —/), и непрерыв-
иаялфункцил
такие\ что
Г maxinin (V {Φ (ft0, |) / (ξ, и, v)}k) d\ = Г у (t) -\- h0 (t, Z)
■J net) -ile Ρ
(lef.leL,).
veQ lie Ρ
Условие 5(l). Существуют вектор m0 e R" » выпуклое
множество Жъ <= R\ для которых
Ж = тв + Ж о,
Тогда (при выполнении условий Ап\ Ви>) значения функции
(1.3), определяющей программный максимип, для всякой
позиции (ί, χ) ef XR" имеют вид
ε (ί, χ) = max [V ({φ (#ο> t) x}h + ~y (ί) _ ,^) + Κ (ί> Ζ) _ ρ (Ζ)].
Напомним еще раз, что мы рассматриваем здесь систему (1.1}
с терминальным целевым функционалом, определенным посред-
, ством функции (1.2), но не предполагаем, вообще говоря,
выполнения условия А. Будем обозначать здесь через ε такую
функцию, отображающую Τ в R1, что для каждого момента
времени tef
S(i)=max [h0(t,l)-p^ (I)]. (2.1}
Тогда, как легко проверить,
e(t)<e!i,i) ((ί, аОеГХН"). (2.2>
Пусть L- — множество всех позиций (ί, ιΙεΓΧ R",
удовлетворяющих условию ε(ί, χ)=ε(ΐ). Это множество, как легко
проверить, замкнуто в пространстве Τ Χ R".
Лемма 5.2.1. Для всякой позиции U, х) е Τ Χ Rn
sup({e°(i, χ), max ε (τ)}) <ε(1) (ί, я) <с° (ί, ζ).
Доказательство. Пусть (ί*, я*)—произвольная позиция
(U*> я*) е TxR"). Тогда из свойств рассмотренной выше
итерационной процедуры сразу следуют неравенства
ε° (ί*, χΛ) < е(1) (ί„ **) < с0 (ί„ ζ*) = с° (ί, *,). (2.3)
211

Далее, функция ε пепрерывпа на Т. Пусть fefi*, θ0] —точка
максимума этой функции на отрезке [£*, θ01:
ε (ί°) = шах ε (τ).
Тогда при всяком ν e {<gy., [t*, Ф0]}, очевидно, справедливо''
неравенство
ιηίη е^^шХе'1'^,!*),
iceG(I°, ί*. λ·*, ν)
откуда, с учетом (2.2), вытекает неравенство ε (ί°) ^ε(1)(ίΛ, x+)t
и, следовательно,
max ε (τ) ^ε(1)(ίψ, а;,,.).
(♦ -:τ<».
υ
Из последнего неравенства и (2.3), η свою очередь, следует
неравенство sup /ίβ»(ί#, χ*), max ~г (τ)\\ <ε(1) (i*, ж,), чем и
завершается доказательство леммы.
Обозначим для всякой позиции (/, л)еГХR",
удовлетворяющей условию ε°(ί, χ)>0, через _2%U, χ) множество всех
векторов V е £ц, для каждого из которых
Ι0' ({Φ (θ„, t) x)h -f у (ί) - m0) - &ο (*, i°) - Pjf0(i°)=e (*, *) ==β·(ί,χ).
Тогда справедливо следующее утверждение.
Теорема 5.2.1. Пусть для каждой позиции (ί, аО <= (rXR")\
\ L-, удовлетворяющей неравенству ε°(ί, а;) > 0, выполнено
условие:
{μ: μ 6=^, sup ϊ'ίΐΦ(θ0,0Χ/(ί,«,ι>*))*μ(Λ0-
-ιη8χπιϊη[ί'{Φ(*ο.Ο/(ί.«.ΐ'))*]]<Ο|#0 (»»effl, (2.4)
reQ uep
Тогда для любой позиции (ί, ι) е Г X R"
c„U, jr) = c°(i, *) = ε(1)(ί, λ·) =sup({8°(i, x), max ε(τ)}).
i<X<00
Отметим, что содержание теоремы 5.2.1 отличается от
соответствующих утверждений для случаев регулярных
дифференциальных игр преяеде всего тем, что в этих утверждениях при
выполнении условий регулярности в «полосе» позиций ω0 <
< ε°(ί, χ) < ω°, где ω0 < ω° — заданная пара вещественных
чисел, делается вывод о совпадении цены игры с°(£, х) и значений
программного максимина ε°(ί, χ) также в «полосе» позиций
о)о < ε°(ί, χ) < ω°. Здесь же при выполнении соответствующих
условий вне множества L- (а также вне множестиа (ε°(ί, χ) =·
= 0)) дается выражение потенциала игры для всех позиций во-
212

обще и, в частности, для тех позиций, где эти условия не
выполняются. Рассмотрим краткую схему доказательства последнего
утверждения.
Пусть (ίχ,χ^) е Τ xRn — произвольная позиция игры,
ε* = \шах ε (τ). С учетом (2.2) можно проверить, что для лю-
бой позиции U, ilefXR" из неравенства sup ({0, ε*}) < ε° (ί, ζ)
вытекаем условие: (ί, χ) Φ L-. Но в этом случае для каждого
числа с е [0, °°), sup ({0, ε*}) <! с, множество
*1.«. = ((*,*): (ί,^Ε^,^Χ^,ε^ί,ιχο] (2.5)
ц-стабильно, поскольку для всякой позиции {t, х) е [£*, ϋο\ X Rn
такой, что sup ({0, ε*}) < ε°(ί, χ), выполняется условие (2.4),
что π приводит к стабильности множеств (2.5). Отсюда, в
частности, следует, что (при сделанном предположении о
выполнении условия седловой точки в маленькой игре) стратегия U",
экстремальная к множеству Wc*,t*, где с% = sup ({ε° (£*, х#), ε*}),
гарантирует неравенство
sup σ(χ[0·0])<^,
*He2?(f»,*»u0)
непосредственным следствием которого, по самому определению
величины c°(i+, хл), является неравенство с° (i#, я*)<^с*, и,
следовательно,
ε(1)(ί*,ζ^<; с0 (£*,**)< с*. (2.6)
Из соотношения (2.6), с учетом леммы 5.2.1, вытекает равенство
с (£*ι £*) = ε (**» х*) — с*·
Мы отметим, однако, что, в отличие от класса задач,
удовлетворяющих условию А, при выполпении условий теоремы 5.2.1
оптимальные стратегии первого игрока мы можем определить
лишь в форме экстремального прицеливания к
соответствующему множеству позиционного поглощения. В связи с этим мы
заметим, что это множество в данном случае (при выполнении
условий теоремы 5.2.1) также определяется весьма просто, что
вытекает из следующего утверждения.
Теорема 5.2.2. Пусть выполняются все условия теоремы
5.2.1, и пусть для всякого множества Ε <= Τ Χ R"
70(£) = {г: ief, £(fc) φ 0 (f «Ξξ <fl0)},
где
Е{%) = {х: хе= Rn, (ξ, χ) g= Ε] (ξε Τ);
Fc°=((ii): (u)erxRV°(i,i)<d (сб=[0,оо)).
Тогда для каждого числа се [0, °°)
УГС = {(ij х) : (ί| х) еГХГ, с0 (i, х)< с] - ТГ* f| (Λ (rc°)XRn).
213

Доказательство этого утверждения мы здесь опустим и перейдём
сразу к рассмотрению конкретного класса
конфликтно-управляемых систем, удовлетворяющих условиям теоремы 5.2.1. Введем
предварительно некоторые новые обозначения. Пусть для<
всякого к е N /
||у||° -max \yi\, \у$~ ^\у,\ (ffeR1);
Sl{y,b) = [u>: u;e=R\|u>-p|2<e]
(i/eR\ e>0),
Sh{y, e) = {t/;: w «= R», Ww - y\\h < г)
(г/eR", e>0).
Рассмотрим далее системы, описываемые линейными
дифференциальными уравнениями вида
χ = АШх + ВШи + CWv (uef, De Q),
где .4(£), 5(ί), C(i) —матрицы га X га, ηΧρ, nXq соответственно
с непрерывно зависящими от t коэффициентами, так что
ft, и, ν) = ВШи + СШи ((ей1, и s Ρ, υ е ζ».
Предположим, что выполнены следующие условия Ы2, 52).
Условие (А2, 52). Существуют такие непрерывные на Τ
функции
у: Г-»-Н\ z: T-^R*,
йР: Γ-»-[0, оо), h^: T-*[0,oo), htf: Τ-*-[0, ос)
и такие тпй eRl, re [О, «О, re [0, °°), что
{Ф (#0, О β (ί) P}ft = S& (у (ί), ЛР (0) (ί е= Т),
•о
f max [Г {Φ (θ0, ξ) С (ξ) i>}fc] dS = Λ(<ί' (ί) +
+ Ab" (О !*Й+ *'*(*) («εΓ,Ιεί»),
»ο
/$> (ί)< j hP(τ) ώτ + r (is Γ),
t
^ = ^0 + 5Ηθ(,ι),0 + 5Λ(θ(Λ),Γ).
Сразу отметим, что при выполнении условия Ыг, Вг), как
легко проверить, выполняются и условия Аи В, квазисимметрии.
214

Да^ее, функция ε (1.3) имеет в даипом случае следующий вид:
ε (t,\c) = max V {Φ (fl0, t) x}„ + \ у (ξ) ώς + ζ (Ι)
l^4l \ t
mn —
J Ap(S)dg + r-A(Q2)(i))|lft
((U)erxR"). (2.7)
Из (2.7), в частности, следует, что в обозначениях, принятых
для условий А, и Βι, в данном случае
Ж, = S°h(Ow, г) + Sh(Olh\ г) (2.8)
К (ί, 0 = < (ί) -ПНр (ξ) ώξ - /42) (ί)) 11 \1 (ί e= Γ, Ζ e= Lfe).
(2.9)
Мы введем также следующее вспомогательное обозначение: для
каждого момента (еГ
»о
Λ* (ί) = J Ар (ξ) ίξ + г - А^ (ί)-
t
Тогда h*: Г-»-[0, °°) суть непрерывная на Τ функция.
Определим теперь выражение для функции ε (2.1), используя (2.8),
(2.9). После несложных преобразовании мы получим, что для
каждого iej1
i (ί) = /#> (ί) _ h* (ί) - г. (2.10)
Действительно, из (2.1) следует с учетом неотрицательности
функции h* для рассматриваемого случая, что
ε (ί) = k'tf (ί) - г - h* (t) min \\l\\ =
h
= λ£> (ί) - г - h* (t) min Σ \U\ (*e Л-
ietft i=i
Отметим, что вектор 1^ Lh минимизирует па Lh вырал<ение
k
2 I M тогда и только тогда, когда он минимизирует на Lh
выражение
\i=l / 1=1 ίφί ϊφΐ
а последний минимум равен 1 и достигается, например, на век-
215

торе I <= Lh, у которого U — 1, U = 0 для всех i е 1, k, не равных
1. Тогда, очевидно, min 2 I h I = I ^il = 1ι откуда и вытекает
(2.10).
Пусть теперь для каждого вектора у е Rk
n(j/) = {i: г^я*, ^,»о (i«j«ft»,
/(?/) = {i: iel, /с, j/,^0),
По(?/) = (i: i e Щу), lt = 0 (i^i; M(//)J.
Далее, для любой пары (ί, у) ^ТХ R*, для которой i/ ^ Ock),
мы обозначим
&t{y) = [lo- l0^Lk, l'0y-h*(t)\l0fk =
= max[(l'y)-h*(t)\l\l]. (2.11)
lGLh
Лемма 5.2.2. Для всякой пары, (i, !/)efXR*, уФОа\
справедливо вложение 3?\ (у) с= П0 (у).
Доказательство. Сначала мы покажем, что для всякой
пары (г, i/lerxR*, удовлетворяющей условию уФ01к),
справедливо вложение
<??(г/)с=П(г/).
В самом деле, допустим противное. Пусть (ί*, у*) еГХ Rk, !/*¥=
¥= Ощ и i+e j??· (г/*)\П (г/*). Тогда найдется индекс г el, к
такой, что 1щУ{ < 0. Пусть γ е 1, к как раз таково, что
1#уУу <0. Образуем вектор l*^Lh по следующему правилу:
lf = l*i, (1<«<А, <=*γ), l?=~l*y, Тогда |μ„№=φΊΙκ,
причем i«i/*<Z** у*, откуда следует неравенство
l'uy* -h* (t*)\\ln\\<l*'y* -h* (t*)\\l*Ц
противоречащее включению Z# e j?°* (г/*). Для доказательства
леммы нам осталось, таким образом, установить, что для каждой
пары (i, i/lefXR11 такой, что уФО{к\ справедливо
утверждение
k = 0 [ΐ = 2Ϊ{ν), ieCfcVM). (2-12)
Предположим противное. Пусть (£*, i/^eTxR ,У*фО , Z0 e
е= S'u (?/*), /el,ic\/ (у*) таковы, что lai Φ 0. Пусть / (г/*) =
={ω,: 1<s^s,}(s,eN), причем при всех sxe 1, s„., s2e 1, s#
216

Пусть, далее, се 1, s*, α0 = у ЩШа + 1\, — 1Ζ0ωσ|· Поскольку
|Zoil>0, то π α0>0. Рассмотрим вектор 1° e Дк, для которого
ή = 0, Ζ »σ = (Ι ίοωσ | + «ο) sign ί/*ωσ.
Тогда из (2.13) непосредственно следует, что
Σ (ιϊΥ = Σ Hi - (ϋ.σ + &) + (ϋα)' = i & = ι.
т. е. I" е Lk. Рассмотрим выражение (Z° ι/*) — A* (f*)||Z°|fc. Тогда
с учетом (2.13) мы получим, что
(1°'у*) - h* (f,) 1 Ζ" ft = ((&») - h* (i%) i Z0 fh) -
- (W*°a - A* (t.) | /οωσ J) + h* (tj | ^ | +
+ (Ζ°ωσ!/*°σ - h* (t„) | Ζ°ωσ|) = ((Ziy.) - A* (Z*)l Z0||i +
+ ((| Ζοωσ| + α0) I у*Ша\ - Ιο<*σν*ωα) +
+ h*(t*)(-\Hc\ + \lma\+\l0}\). (2.14)
При этом Ζ0(0σ!/*Οσ<|Ζ0ωσ||2/»ωσ| — \10ааУ*аа\< α0|ί/*ωσ|>0,
откуда вытекает неравенство
(|^ο|+αο)|0*ω^-ίοωσ.ν*βσ>Ο. (2.15)
Далее, как легко проверить, ao<lZwl, откуда, в свою очередь,
следует неравенство (см. также (2.13))
I hi I + | ΖοωσI - Ι Ζ°ωσ| >α0 + J ΖοωσI - (Ι ΖοωσΙ + a0) = 0. (2.16)
Из (2.14)—(2.16) с учетом неравенства h* (Ζ*) ^ 0 вытекает, что
вектор Iй <= Lk удовлетворяет условшо
1°'У* - h* (Z*) I Z°\i > l'0'U - h* (i.) II *0 III
Но это условие противоречит включению Z0 е i?", (ι/*)· Лемма
доказана.
Обозначим
Fly) = il: JeR\ ί, = 0 (iel, к\1{у))) (ι/eR*),
Λ* (у) = S£ (0(W, Ар (ί)) П F (У) (iefj sR*).
Пусть, да;1ее, для всякой пары (Z, i/)erXRk такой, что y¥=Ow
по определению u°(Z, j/) e Pt {у) — такой вектор, что
"? (*. .'/) = — hP (Z) sign ^ (is/ ((/)),
"?(ί,ϊ) = 0 (isITftV (■/)).
217

Л_е м м а 5.2.3. Для всякой пары {t, j/lefXR', у Φ Ok, век-
гор u"{t, у) обладает тем свойством, что
V{?{t,y)= min (l'u) = -hP(t)\l\$ (!e<?|(rt).
Доказательство. Пусть ((*, ^jefxR1,
y+ φ 0«\ Ζ9 = ц° (ί„, J,,), /„ = /(у,).
Тогда
«& = — Ы**) sign y.i (ie/,),
~n (2.17)
С другой стороны в силу леммы 5.2.2 справедливо вложение
2'?*(i/*)c=n0(!/Jfc). Тогда для каждого вектора ie^.y
выполняются следующие условия:
ΖεΠ (у*), Zi = 0 (le="ps\/,), (2.18)
откуда, в частности, следует, что
Z'u = Σ hui [l e= ^?, (у»), ue= S£ (0(fe), ΛΡ (**))). (2.19) '
С другой стороны, из (2.18) следует, в частности, для каждого
вектора Ζ e 9?t, (.У*) условие
и, следовательно, для каждого индекса i s /* либо U = 0, лиОо
signii = signi/„{l т.е.
h = Ui 1 sign j/,i.
Из (2.17) —(2.19), таким образом, следует, что uje= S°h{Oik), kP(t*))
и
гч° = Σ /4°i = - hP {и) Σ I /i 1 = - M'*) I /111 (i e st Ы)-
(2.20)
Однако для любых и е 5" (θ , Ар (i*)) и Ζ е Lft
Ζ'ΐ = Σ Ζ,ΐί > - 2 | Z( 11 u( | > - Ар (i*) ΙΖ ||1 (2.21)
t —1 i=l
Из (2.20), (2.21), (2.11) вытекает, что
I'Zl = min {I'll) ^= - Λρ (ί*) [ Ζ β (!ε2Ί°, Ы) ■
SesX(0(W.hp(i,))
Лемма доказана.
218

Покажем, что (при условиях А2, Вг) выполняются все
условия теоремы 5.2.1. Для этого мы прежде всего напомним, что
при наших условиях (см. (2.10))
ii=l(t, x):(t, x)<=TxRn, β(ί, χ) = /#> (ί) - h* (i) -7), (2.22)
где для каждой позиции (ί, ι) е ?' X R" ε(ί, χ) определяется
условием
ε (t, χ) = max [V ({Φ (d0, ί) *}Λ + ?(«)- «о) - ** (О IIгК] +
+ fe(Q1)(i)-':. (2·23)
ι/(ί), ft*(i) определяется упомянутыми выше выражениями.
Далее, с учетом (2.9), (2.11), (2.23) можно проверить, что в
данном случае для любой позиции (i, i)sfXR" такой, что
ε°(ί, χ) > 0, 2Ό(ί, ζ) суть множество всех векторов Г е Lk таких,
что
г0' ({Ф (#о.f) *}* + у (0 - то) - h* (t) ι г° ц! =
= max [Г ({Φ (*0, ί) x}ft + у (t) — n^) — Α* (ί) || i |ft],
l<ELh
т. е.
5Ό (ί, х) = #? «Φ (#0! t) x)h + У (0 - т0). (2.24)
Ломма 5.2.4. Для всякой позиции it, i)e(rXR")\ Lz,
'ε°(ί, χ)>0, справедливо условие (2.4) георемы 5.2.1.
Доказательство. Пусть (<*, я*) е (ТхН^Х £ε>
ε° (**, ζ») > 0, у» = {Φ (ΰ·0! ί*) χ*}Λ + г/ (ί*) — та0,
!/(«·) = J £(£)<*!+ «(«.)■
t.
Из (2.24) следует равенство
W·.*.)-·?!.^)- (2.25)
При этом у#фО(1 , поскольку в противном случае (см. (2.23))
ε (ί*, χ*) = htf (ί*) - /г* (ί*) - г
и, в силу (2.22), в этом случае выполнялось бы включение (£*,
хх) е Lg вопреки сделанному предположению. Поэтому (см.
лемму 5.2.3) с учетом (2.25)
г'и° (*·, У·) = min (Гυ) = - ΛΡ (ί*) || I \\\
ueS°(o(fc),hP(U))
(Ze <?„(**, **)). (2.20)
219

Рассмотрим вектор и°т = 7t°(i*, χ*) +1/ (t*) е (Φ (θ·„, t) B(t)P}h.
Отметим, что в исследуемом случае
Γ{Φ(θ„ i)/U, и, ν))„ = ί'ίΦ(*;, i)SU)u>fc +
+ ΠΦ(θ„ i)C(i)i>}k (2.27)
(ie7\ ίεί„ ВеР, t>e(}),
max miu (Г {Ф (fl0, ί) J(t, u, v))k =
= min (Г {Φ (θ0> ί) Ζ? (ί) u}ft) + max (Г (Φ (*0, t) С (t) v}h) =
= min (Z'a) + max (Г {Ф (tf0, i)C(i)w}k) (iei1, isii),
"5е{Ф(»о.')в<'>р}л re«
(2.28)
min (i'u) = Z'i/(f) + min (Z~) =
-ге{ф(*0.|)В(ОР}л Тге8Ц(о(1|>>Лр(«и)
= l'y{t)-hP(t)\l$ {te=T,le=Lh). (2.29)
Но в этом случае можно проверить с учетом (2.27)—(2.29), что
Vul = min (l'u) =
^e{O(ft0,U)S(i»)P}h
= min (V {Φ (φ0, i,) В (ί*) w}ft) (IsSO(i„i,)). (2.30)
Поскольку существует вектор и°^Р: и\ = {Φ (Ф0, ί„.) В (i*) u0}^,
то из (2.28), (2.30), в силу произвольности выбора (£*, я*),
вытекает утверждение леммы.
С учетом теоремы 5.2.1, леммы 5.2.4 и (2.10) мы получаем
(при условиях Аг, Вг) следующее утверждение.
Теорема 5.2.3. Для всякой позиции (ί, χ) <= Τ Χ R" цена
игры определяется соотношением
c0(t, x)=c*(t, ζ) = ε(1)(ί, χ) =
= sup ((ε" (ί, χ), max ftp (τ) _ h* (τ)) _7}).
Рассмотрим один модельный пример, удовлетворяющий
условиям А2, Вг. Начнем с некоторых наводящих соображений. Пусть
даны два управляемых объекта Σι и Σ2, функционирующих на
промежутке времени Т. Объектом Σι управляет «настоящий»
первый игрок (игрок-союзник), или игрок Г, стремящийся в
момент Фо сблизиться в нужном смысле с объектом Σ2, которым
управляет «настоящий» второй игрок, или игрок II', имеющий
противоположную цель. Вместе с тем па объект Σι в процессе
его функционирования действуют еще и некоторые помехи,
формирующиеся независимо от игрока Г. В результате игрок Г
сталкивается как с явно противоборствующим фактором (пове-
220

дение игрока ΙΓ), так и с неопределенным фактором (влияние
помех). Рассматривая игрока Г как игрока-союзника и
ориентируясь на наименее благоприятную для него реализацию двух
последних (неподвластных этому игроку) сил, мы можем прийти
к новой игре двух лиц (первого и второго игроков), в которой
первый игрок суть снова игрок Г, а второй игрок является,
в известной мере, фиктивным, распоряжающимся как выбором
помех объекта Σι, так и выбором управления игрока ΙΓ. Таким
образом, второй игрок получается «усилением» игрока II' за
счет дополнительных управлений — помех системы Σι. Пусть
объект Σι описывается линейным дифференциальным уравнением
• · *
h = ss, s2 = s4, s3 = — as3 + Ul + vlt
sA = — ccs4-{- u2 + vl,
где
Ρ=5?(ω°, σ) = [и: ией!, \щ — ω?|<α, |u, —ωϊ|<α],
Q* = S°2 (ω*, ft*) = [с*: ν* e Л2, | v\ - щ | < b*, \ v*t - ω*21 < b*},
0<a, 0<ft*<a., o)°e=R2, o)*e=R2.
Объект Σι описывается уравнением,
где
d<=Q, Q = S2(a*, 6) = {i:ieR2,
]/(?! - ω+1)2 + (Γ, - ω,,)2 < ft}, 0<ft, a>*eR2.
Качество управления оценивается величиной
и*Ш)г ~ {r(*.)>A = r(s,(i)-o) — r.C^o'))2 -i- (^(θ·0) — 7·2(0-ο))2-
Полагая χ, = s( — rt, хг = s2 — гг, х3 = s3, xk = s4 и приводя
данную игру к стандартному виду, мы получаем следующую
конфликтно-управляемую систему:
Χ ι == ^jT L? ι,
■'■'г = Xi + Ι-'ζι
r3 = — ах3 + Κι + Уз,
хк = — αζ4 + и2 + ι>4,
(2.31)
221

где
u^P=S°2(o>°,a), i> «= ρ = ι·: ΐ е R*. ГА^-Q, (~W*)
с целевой функцией {к = 2)
σ (χ) = \ίχ\ + χ
Мы будем использовать без дополнительных пояснений
неоднократно упоминавшиеся ранее обозначения га(£, τ) и /?aU, τ), где
те Г, ie[Ti ■&„]. Отметим лишь, что в данном случае для
всякого t ε= Г
{Φ (Οβ, ί) β (f) Ρ}2 = 5° (θ(2), ra (Ο0, ί) α) + ra (*0Ι ί) ω», (2.32)
*?
f max [/' {Φ (&0Ι ξ) С (ξ) w}2] ώξ = Ra (θ0, ί) (Ζ'ω·) -
veQ
-(^„-Oii'ioJ-r-tOo-fJb + fla^o, 0 6*1^,1 (/eL,). (2.33)
•^ — одноточечное множество: Ж = Шг)). Мы полагаем для
данного случая, что
АР (i) = га (θ0, t) а,
V(0=r«(*o, ί)ω°,
W (t) = (#ο - ί) Ь, Ад' (0 = ^a (#o. t) Ь*,
z(t) = Да (д0, ί) ω* - (ft0 - ί) ω* (ί e= Τ).
Тогда с учетом соотношений для функций /?а(0и, ·) н га(Ф0, ·)
и неравенства Ь* =S α, мы получим, что
»о
ЛЯ} (ί) = Дя (#о. ^) δ* < да (θ0. Ό α = j йр (τ) ^ (ί <ξξ Γ).
t
(2.34)
Из (2.33) — (2.34) с учетом введенных обозначений вытекает
справедливость условий Аг, Вг для рассматриваемого примера. Прп
этом в исследуемой задаче значения функции ε (1.3)
определяются для каждой позиции (ί, г) е Г X R" соотношением (2.7), где
hpit), yti), Aq' (ί) при i = 1, 2, z(t)_ определяются
вышеупомянутыми выражениями, т0 = 0<3). г = г = 0,
Далее, в соответствии с теоремой 5.2.3, в данном примере, для
222

всякой позиции [t, ,ϊ) е Г χ R"
CoCi, χ) = c°(i, a:) = ε(1)«, a;) = sup ({ε°(ί, ж),
max [(θ0 - τ)6 — fle(ft„ τ)α + Ra (ft0| τ)6*]>).
В заключении параграфа мы отметим, что условие А (А2, Вг)
выполняется в известной системе
х, = х3 + у,,
.Г.. = Χί + У 2,
#з == ^1)
а:* = uz,
где
меР(" (цеР), ν s ^
σ(ΐ)=|Λχϊ + χ5 (*еД4),
Ρ(1) = 52(0(2),α), Ρ(2) = 5°(0(2),α),
<?=S2(0(2), 6), α>0, b>0.
При этом (в обоих случаях) для всякой позиции (£, х) е Г X R'
цена игры есть
c„(f, χ) = ε(1)(ί, x) = sup(iee(i, χ), тахе(т, От)))\
здесь
ε (τ, 0(2)) =(&-£.(*„_ τ)) (θ0 - τ) (ί0 < τ < ΰ0).
Итак, в этом и предыдущем параграфах мы рассмотрели ряд
случаев, в которых потенциал игры с°(£, х) = c0(i, ж), (т. е. цена
игры) как функция (начальной) позиции может не совпадать со
значениями ε°(ί, χ) программного максимина, но обязательно
определяется по ε° после выполнения операции Γ(ε°), причем во
всех рассмотренных случаях результат этой операции
записывается весьма просто, а именно как срезка значений ε°(£, χ)
некоторой функцией, зависящей только от времени t.
§ 3. Некоторые замечания по поводу задач
с нефиксированным временем окончания
В предыдущем параграфе мы исследовали решение
некоторых дифференциальных игр с фиксированным моментом
окончания, для которых оно определяется после несложных
преобразований функции программного максимина. Сейчас мы кратко
обсудим на теоретическом уровне возможности решения
дифференциальных игр, в которых момент окончания не фиксируется,
по не должен при этом превосходить заданного по условиям эа-
223

дачи момента Ο0· Мы снова рассматриваем здесь случай
конфликтно-управляемой системы общего вида. Пусть для этой
системы на траекториях процесса задан функционал (более
точно, система функционалов), оценивающий качество управления.
Мы будем считать, что эти функционалы определяются с
помощью некоторой заданной функции ω(ί, а;) позиции игры так,
что для каждого itef для всякой траектории
значение этого функционала gt, суть число
*f. (*(·)) = min ω (ί, *(«)).
При фиксированной начальной позиции (£*, ζ*) gt„ является
функционалом траектории, минимизация которого составляет
цель первого игрока (цель второго игрока — противоположна).
Уточным постановку задачи. Пусть
ω: 2,XR"-^Rl
— заданная полунепрерывная снизу функция π для всякого
се R1 Л/С = (»"Ч(—°°, с]) соответствующее множество уровня
фупкции ω. При этом, очевидно, Мс (ceR1) суть замкнутые
множества в пространстве позиций.
Предположим спачала, что допустимыми процедурами
управления первого игрока являются квазистратегии. Напомним, что
['•*ol — множество всех его квазистратегий на отрезке [ί, θ0]
(ί <ξ Τ). Введем для каждой квазистратегии первого игрока
соответствующий показатель качества по отношению к
(зафиксированной) начальной позиции. Для этого предварительно обозначим
для всяких (i, risfXR", η е= {<Ж*, It, ϋ0ϊ) через
e(t, χ, η) = inf ω(|, φ(|, t, χ, η))
показатель качества программного управления η, после чего
положим для любых (ί, г)еГХ R", а <= А [',»0]
b(t, χ, α) = sup/fe(f, χ, η): ηε [) α(ν)\\.
Величина δ(ί, χ, а) как раз и оценивает для данной начальной
позиции (ί, χ) качество квазистратегии а. Наконец, для каждой
позиции (£, г) е Г X R" полагаем по определению
Ь0 (ί, χ) = inf b (i, χ, a),
a квазистратегию α0 e A[t,&0] называем оптимальной (для
данной начальной позиции), если &(£, χ, α0) = boti, х). Тогда
решение задачи в классе квазистратегий первого игрока при
фиксированной начальной позиции будет заключаться, в конечном ито-
224

re, n определении оптимальной для отой начальной позиции
квазистратегии а0.
Аналогичная задача может быть поставлена π в классе Uno3
всех позиционных стратегии
U: Τ X If -»- P.
Имешш. для произвольной (начальной) позиции (ί, .г·) е?Х R",
мы полагаем по определению
g(t,x,U) = sup gt(zl·])
7l-ie8?(t.x,U)
(Ε/6=υπο3),
g0{t,x) = inf g(t,x,U);
uevnoa
стратегию U0 e Unua назовем (для этой начальной позиции) опти-
мальпой, если git, x, Ua) = g0{t, x).
Заметим, что для всякой познцнп (ί, χ) <= Τ Χ R" величины
bu{t, χ) и g0(i, а:) определяют цепу игры в соответствующих
классах управляющих процедур и, как мы увидим дальше, совпадают.
Мы, однако, будем заниматься вопросом нахождения
оптимальных процедур управления первого игрока на базе
вспомогательных программных конструкций и, по этой причине, будем
рассматривать здесь лишь соответствующие игровые задачи о
нахождении вышеупомянутых оптимальных процедур а0 и U0, a
не решение соответствующей игры в целом. Отметим также, что
в этой задаче, как и в других ранее рассматриваемых, для
целого ряда практически интересных классов управляемых систем
при решении можно обойтись без введения обобщенных
управлений-мер, ограиичиваясь классами обычных управлений и(-),
у(-). Соответствующие утверждения для таких систем будут
являться частными случаями приводимых ниже.
Сейчас мы кратко рассмотрим метод программных итераций
для нахождения функций b0(t, x), g№, x). Будем обозначать
через Φι множество всех полунепрерывных снизу функций
γ: rxRn-*R'.
Напомним понятие программного максимина применительно к
нашей задаче. Именно, для каждой позиции (£, ι) е Г X R" мы
обозначим
e0(t,x) = sup inf <?(£, χ, η)
νε{«'λ.[ΐ.*0]}1>ε{Π(ν).[ί,*0]}
максимнн функции e(t, x, ■) на соответствующих множествах
программных управлений. Тогда семейство значений β,,ίί, χ),
когда (ί, χ) пробегает пространство Τ X R* всех позиций игры,
225

образует функцию е0 (программного макспмнна). Можпо
проворить, что е0 е Зй. При этом е0 < ω, τ. е.
e,(t, χ) s£ ω(ί, х) ((ί, ж) еГХ R"). (3.1)
Мы будем обозначать через Шш множество всех функций yel,
для каждой из которых γ < ω. Далее, на множестве Шш мы
определил! оператор Γω, отображающий ЭД,,, в множество всех
функций s: Τ X R" -*- R1. Для этого мы сначала для всяких γ е Зйш,
ίεΓ, seC„([i, О0]) введем множество £(£, γ, s) всех ceR1, для
каждого из которых
(τ: те [ί, $„], ω(τ> ,(τ)) < с> γ(ξ, β(|)) < с (ί < ξ «S τ)} *= 0.
Тем самым мы ввели множество всех таких чисел с, что
«траектория» s достигает множество уровня Ме, не покидая до этого
фазовых ограничений γ~'((—*>, с]). Таким образом, Мс суть
аналог множества М, в γ~'((—°°, с\) — аналог множества .V
§ 4 предыдущей главы. Пусть, далее, для всяких позиции (£, х)^
е= Τ X R" π функции γ е 5КИ
/?т(£, я, η) = £U, γ, φ(·, ί, .τ, η))
и ρΤ(ί, χ, η) — точная нижняя грань множества /?Τ(ί, χ, η) для
каждого η е {<?#λ, [ί, ■&]},
ρ?(ί, χ) = sup inf ρν(ί, χ, η). (3.2)
νε{<§Τλ,[ί,*0]}τιε{Π(ν).[ί,»ο]}
Тогда оператор ΓΌ мы определим условием Γω (γ) = ρν (γ е
elj. Отметим, что для любых γε!„, (ί, x)^TXW, ηε%,
[ί, Φο]}, как легко проверить, справедливо при «η = φ(-, t, χ, η)
равенство
ρτ(ί, χ, η) = inf sup({u)(T, sn(r)), sup ·γ(ξ, s„(|)))).
Прп этом выражение
sup γ(|, 8η(|))
может принимать для некоторых τ и бесконечное значение,
однако рт(£, χ, η) всегда конечно, поскольку ρΤ(ί, χ, η) «£ sup ({coU, χ),
γ(£, а;)}). С учетом последнего соотношения оператор Γω можпо
определить также и соотношением: для всяких γ е 2JL и
(i, i)eTXR"
(Γβ (γ)) (ί, ж) = sup inf inf χ
νε{<!Γλ,[<,0ο]}η^Π(νΐ,[(,»„]} t<t«»0
Xsup(ju)(T, «η(τ)), sup γ(ξ, 5η(ξ))|\, (3.3)
где для краткости обозпачено
s„ = φ(·, ί, χ, η) (η e {^λ, [ί, θ,]}).
226

Последнее соотношение эквивалентно (3.2) н следует нз него.
Отметим, что данную конструкцию можно построить и для более
общего по сравнению с рассматриваемым здесь случаем (см.
[74bJ), в котором, однако, определение оператора Ги посредством
соотношений, аналогичных (3.2), оказывается более
предпочтительным по некоторым причинам, которые мы здесь обсуждать
не будем.
Отметим также следующее обстоятельство. С помощью
несложных преобразований можно проверить, что
Tjg)^Wla igemj. (3.4)
Соотношение (3.4) и условие е0е2Яа (cai. (3.1)) позволяет
определить в ЗЯЫ последовательность программных итераций (ε^^Ν·
ε, = е0, ek+, = Γω(ε„) (к е Ν),
которая обладает монотонным пределом Ст-.
c°T(t,x) = \im\eh{t, χ),
h
причем ст е Φίω. При этом справедлива следующая
Теорема 5.3.1. Пусть Φίω —множество всех решений
уравнения g = Гв(#), т. е.
тогда с^ является наименьшим элементом множества Φί£, т. е.
4е»в и сг< g(ge Til): для каждой позиции U, х) е= ГХК"-
<£(*,*)<*(«,*).
Для нас особенно важным является то обстоятельство, что
для любой (начальной) позиции (ί, ι)εΓΧ R"
b0(t,x) = g~0(t, x) =CT{t,x). (3.5)
Мы не будем приводить здесь обоснование равенства (3.5).
Отметим только, что для его доказательства, как и в случае
дифференциальной игры с фиксированным временем окончания,
используется аппарат квазистратегий, являющийся удобной для
наших целей идеализации дифференциальной игры. Таким
образом, сначала доказывается совпадение функций b^t, χ) и c\(t, x),
и лишь затем, с учетом представления позиционных стратегий
через некоторые отвечающие им квазистратегии (см. § 3 гл. IV),
устанавливается равенство g° (ί, χ) = сг (t, x). Подчеркнем еще
pas, что приведенные выше рассуждения справедливы лишь
при выполнении условия седловон точки в маленькой игре.
В противном случае равенство (3.5) может нарушаться. На этом
мы окончим обсуждение вопроса о решении дифференциальных
игр с нефиксированным временем окончания, отметив лишь, что
227

па основании известной функции ст для всякой начальной
позиции (ί*, χ%) оптимальная стратегия U„ первого игрока может
быть определена как экстремальная к множеству
{(ί, χ): (t, x) efxR", c% (t, χ) < <& (f*, χ,)},
а оптимальная квазистратегня а„ — как решение
соответствующей игровой задачи программного управления по методике гл. IV
при выборе вышеупомянутого множества в качестве параметра
этой вспомогательной задачи.
Сейчас мы рассмотрим один случай, когда решение
дифференциальной игры с нефиксированным временем окопчапия сводится
к решепию некоторой другой игры, но уже с фиксированным
моментом окончания. Для этого мы сначала сформулируем один
общий результат о соотношении дифференциальных игр с
различными целевыми множествами. Обоснование его проводится с
помощью аппарата квазистратегнй и здесь опущено.
Итак, мы вернемся к материалу § 4 гл. IV, в котором
рассмотрена дифферепциальная игра сближения — уклонения при
заданном целевом множестве Μ и заданных фазовых
ограничениях N. Этой паре мпожеств, как мы убедились, соответствует
множество Ж = Жм,п — предел соответствующего итерационного
процесса, или множество позиционного поглощения. Сейчас мы
будем рассматривать дифференциальные игры сближения —
уклонения, различающиеся по некоторым своим параметрам, а
именно, различающиеся целевыми множествами. Таким образом,
мы рассматриваем сейчас случай, когда Μ и N являются теми
или иными замкнутыми множествами в пространстве Τ Χ R"
позиций игры и каждой такой паре Ш, Ν) сопоставлено множество
WM-K = W{M, N), являющееся пределом (соответствующей этой
паре Μ, Ν) последовательности программных итераций,
построение которой осуществляется по .методике § 4 гл. IV. Пусть 9~ —
класс всех замкнутых подмножеств Τ X R". Тогда
W: & Χ Ρ -+ &■
есть функция, ставящая в соответствие заданной паре Ш, Ν),
где Μ — целевое множество первого игрока, a JV — его фазовые
ограничения, множество \УШ, Ν) всех пачальпых позиций, для
каждой из которых задача наведения успешно разрешима (в
каждой из формализации: позиционные стратегии,
квазистратегнй). При этом мы по-прежнему будем предполагать
выполненным условие седловой точки в маленькой игре. Таким образом,
по существу IV является функцией, сопоставляющей каждой
дифференциальной игре сближения — уклонения ее решение —
максимальный стабильный мост пли множество позиционного
поглощения в этой дпфферепциальиой игре.
228

Лемма 5.3.1. Для всяких множеств Mw e £Г, Д/(2) е <?",
,νε^" из вложения Мс1) Π Ν с W(Mll>, N) вытекает вложение
W(M"\ Ю с W(MW, N).
Из этой леммы следует, в частности, что для всяких множеств
jj/"> e ff~, М{г> ι= &~, Ν ^ &~ верна следующая импликация:
(А/<2> П N с Mw П N с W4MC2), ΛΟ) =*-
>=*- (ίΓΙΙ1", ΛΟ = ТШ/(2), ΛΟ). (3.6)
Соотношение (3.6) определяет возможность решения одних
дифференциальных игр (возможно достаточно сложных) через
решение других (быть может более простых) игр. Для иллюстрации
этой возможности мы рассмотрим следующий случай. Пусть ρ =
= g = ieN, <?<=ί\ G=P — Q = {u— v. u^P, ν *=■ Q) π для
любых ieR'.ieR", цеР, v^Q:
fit, χ, и, υ) = /*(ί, χ, и — ν),
где /* : R1 X R" X G -+ R" - заданная __пепрерывная функция.
Пусть, _далее, для каждой позиции (ί, χ) е Τ X R" g*(t, χ) =
= /*(7, χ, 0(,)) π
?/*(·, i, ж) = (у*(т, ί, ж), Кт<«,)еСД θ,Ι)
— решение дифференциального уравнения
ρ(τ) = **(τ, ?/(τ)) (ί<τ*£ϋ0)
с начальным условием ?/(i) = a; (оно единственно). Далее, как
легко проверить, для каждой позиции (i, ilefXR" существует
обобщенное контруправление μζ ^ °U (f, θ0), порожденное
(обычным) контруправлением и -*- и°(и), ы°(у) = у, и такое, что
у' (·, ί, ζ) = φ(·, ί, я, ν·μ£)(ν€= {84,[ί,θ0]})·
Пусть теперь Мх е <?", Λ7"* е <?" и М0 е <?" — произвольные
(замкнутые) множества, причем М0 с: М* и выполняется
следующее
Условие L. Для всякой позиции U, χ) *=Μ*Γ\Ν*
существует момент О е= [£, ■&„] такой, чго (О, г/*(Ф, t, χ)) е= Л/0,
(ξ, У*И, t, x))eN* («<£«<».
Теорема 5.3.2. Пусть выполняется условие L. Тогда
W(M*,N*) = W(MQ,N*).
Сейчас мы рассмотрим одпн конкретный пример ситуации,
когда выполняется условие L. На даппом примере мы
проиллюстрируем возможность решения некоторых дифференциальных
игр с нефиксированным временем окончания путем их сведения
к играм, в которых момент окончания уже фиксирован. Итак,
229

пусть га = 2, ρ = q = Ζ, Q <=-P, G =P — Q и для любых (ί, ζ, и,
t;) e R1 X R2 Χ Ρ χ ζ) '
nt\X'U'v) = [ftlt.*.u,,))=[ x\) + 8(t,x,u-»),
где g : R^XR!XG-+R!- заданная непрерывная функция, для
которой g(i, χ, 0(с")=0(2> для всяких (i, ^efXR». Кроме
того, мы предполагаем, конечно, что функция g выбрана такой, что
получающаяся функция / удовлетворяет всем ранее
сформулированным для систем общего вида ограничениям (липшицевость по
χ — условие, обеспечивающее равномерную продолжимость
решений). Класс таких функций g достаточно широк. Далее, пусть
а*е= [0, оо),
М, = Гх5,(0(»,а») ={(*,«): (ί, χ) е ΓχΚ2, γχ\ + χ\ s^a*},
Mo = {*ο}Χ^2 (Ow, a*) = {(θ0, χ): ieS2 (0, а*)} =
= {(Оо, х): х е= Rz, \Гх\ + х\ < а*}
— крайнее правое сечение множества Л/*,Л^е &~—
произвольное (замкнутое) множество, содержащее М* : М# с= Ν%. В данной
игре условие L, как легко проверить с учетом свойств линейной
системы
Χι = Хг, %г = %и
выполняется. При этом в силу теоремы 5.3.2 справедливо
равенство W(M*, N#) = W(M0, N χ) для рассматриваемого нами
случая. Игра сближения — уклонения, соответствующая паре
Ша, А^), является здесь игрой с фиксированным временем
окончания.
Рассмотрим другой пример ситуации, когда справедливо ут-,
верждение теоремы 5.3.2. Рассмотрим систему (p = g = neN)
χ — и — ν, ие= Р, v&Q,
где Ρ и Q — выпуклые компакты, причем Q <= Р. Пусть
множества М* и Ν#— цилиндрические в направлении осп t, так что
Μ* = ΤχΜ·, Ν*=ΤχΝ*, (3.7)
где М* и Ν* — произвольные замкнутые множества в
пространстве R". Пусть, далее, М0 — множество, образованное сечением
цели Λ/* гиперплоскостью t = Ф0, т. е. множество всех позиций
230

(Oo. ·*'): x e Μ*. Тогда снова справедливо равенство W (Μ*, Ν#) =
= \V (Л/0, iV*). В самом деле,
Л/»ПЛГ* = Гх(Л/*ПЛГ*), (3.8)
а функции !/*(·, ί, а;) для каждой позиции (i, а-) суть константы,
равные х. Каждая такая фунция при условии (£, я) е М* f]-W*
обязательно достигает (в момент τ>0) множество Ма и не покидает
до этого Ν*, что следует из (3.7), (3.8). Таким образом, условие
L здесь выполнено и утверждение теоремы 5.3.2 для нашего
случая справедливо.
§ 4. Общая характеристика метода программных итераций
В этом параграфе мы сравним различные методы, связанные
с построением последовательностей программных итераций для
реализации решения позиционной дифференциальной игры.
Прежде всего мы отметпм, что реализация этих итерационных
процедур является в общем случае делом весьма трудным,
поскольку оператор, порождающий соответствующую
последовательность программных итерации, требует решения сложных задач
программного управления, в частности, задач программного
управления при наличии фазовых ограничений. При этом в общем
случае нам следует для решения таких программных задач
осуществлять перебор тех или пных допустимых элементов из
соответствующих бесконечномерных пространств. Так при
решении игры сближения — уклонения для заданной пары (Л/, Ν)
замкнутых множеств (см. § 4 гл. IV) для принятия решения о
том, принадлежит ли позиция ('*, #*) множеству А{Е), Ε <= Ν,
программного {Μ, £)-поглощешш пли нет, нам следует для
каждого управления-программы второго игрока (пусть это, для
простоты, функция v{t), <* <Ξ|ί <Ξ|ΰ·οι со значениями в Q) проверить
возможность наведения (из начальной позиции (ί*, я*)) на Μ
внутри Ε всевозможных решений xti), ί* <!ί<1 $0, нашего
дифференциального уравпеппя, удовлетворяющих начальному
условию χ (£*) = χ* и не противоречащих этой программе vtt).
Каждая программа и(-), а это элемент функционального
пространства, порождает, таким образом, свою (весьма сложную) задачу
управления. Но и самих программ l'(·) слишком мпого, так как
нам надлежит перебрать (и проверить для каждого разрешимость
своей задачи программного управления) все элементы из
множества в (бесконечномерном) пространстве вектор-функций.
Можно ли такой перебор функций ν(·) заменить, скажем, на
перебор векторов ие(>? Оказывается, что такую замепу можно
произвести, не нарушив при этом сходимость последовательности
соответствующих итераций к множеству позиционного
поглощения. Такую возможность мы обсудим содержательно в конце
данного параграфа, а сейчас заметим, что и при фиксации
управления— программы ι;(·) игрока-протпвника, какой бы она ни была
231

(функцией ν(I) или константой ν), нам предстоит для характери-
зпции (**,£„.) перебрать и проверить на условия (Λ/, ЕЭ-наведе-
ния всевозможные движения χ(·), χ (£*) =я*, не противоречащие
этой программе, а это есть снова перебор в пределах
бесконечномерного просграпства. С этим обстоятельством дело обстоит
существенно проще в случае задач с фиксированным временем
окончания (и без фазовых ограничений), рассмотренных в § !5
гл. IV, т. к. в этом случае путем некоторого видоизменения
оператора, задающего итерационный процесс, можно свести перебор
на пространстве движений (т. е. вектор-функций) л(-) к перебору
в пределах конечномерных областей достижимости. Это
обстоятельство позволило (см. § 1, 2 гл. V) продвинуться в решении
задач с фиксированным временем окончания для некоторых
классов дифференциальных игр вплоть до вывода в этих случаях
формулы потенциала игры, определяемого второй программной
итерацией επι. Все же и в этих задачах с фиксированным
моментом окончапия решение определяется аналитически с
помощью достаточно простых соотношений лишь для
определенного круга задач, привлекая те или иные конкретные особенности
рассматриваемых классов управляемых систем. Обсудим коротко
одну возможность реализации итерационных процедур в общем
случае. По сутн дела этот метод мы уже упоминали в этом
параграфе, когда обсуждали решение игры сближения — уклонения
в плане упрощения общей итерационной процедуры путем
замены произвольных программ υ{·) игрока-протнвннка па
постоянные управления г; при решении вспомогательных задач
программного управления. Сейчас нам удобно придать этой
конструкции несколько иную форму.
Рассмотрим наряду с пашей исходной управляемой системой
семейство так называемых у-енстем (и е (?)
χ = /„Of, χ, и), «еР,
где U суть и-сечение функции /, так что /„(ί, χ, и) = fit, χ, и, υ).
Значение v^Q является, таким образом, просто индексом
соответствующей управляемой системы. Эти ^-системы нам надлежит,
вообще говоря, рассматривать при воздействии обобщенных
управлений-мер первого игрока, которые являются аналогами
его обычных управлений
и( ■) = («( τ), t< τ^τ>0), t^T, (4.1)
что является существенным моментом при анализе
дифференциальной игры общего вида. Однако сейчас, чтобы не усложнять
изложение, мы будем считать с некоторой натяжкой, что в этих
управляемых системах для решения соответствующих
программных задач в замкнутой форме достаточно все же класса обычных
управлений «(·). Отметим здесь, что υ-системы наследуют от
исходной копфликгпо управляемой системы свойства существо-
232

вання и единственности решений соответствующего
дифференциального уравнения. Снова рассмотрим вопрос о реализации
множества позиционного (Л/, ΛΟ-поглощения для заданной пары
замкнутых множеств Μ л Ν, лежащих в пространстве позиции
(ί, χ). При этом нам опять удобно будет считать целевое
множество Μ первого игрока зафиксированным, а его фазовые
ограничения — варьируемыми в пределах класса 9Ή всевозможных
замкнутых подмножеств N. Тогда, каждые такие фазовые
ограничения Ε е gPN снова определят нам задачу программного
(М, £)-наведення, которую можно уже рассмотреть для каждой
из и-систем. Возникающую таким образом задачу назовем
задачей Ш, £)„-наведения. Она состоит в отыскании множества всех
позиций (/, х) е Е, для каждой из которых как для начальной
возможен перевод данной р-системы на М:
(i, χ) — Μ
в пределах фазовых ограничений Ε посредством некоторого
управления-программы вида (4.1) со значениями из множества /'.
В итоге мы получаем для каждой f-спстемы задачу обычного
(пеигрового) программного управления; найти множество всех
начальных позиций, для каждой нз которых существует
управление ΐί(·)εΙΙ|, реализующее для данной позиции Ш, £)„-на-
ведение. Напомним, что U, — суть множество всех обычных
программных управлений и(·): [t, ■&„] -*-Р. Обозначим решение этой
задачи через AW(E): это некоторое подмножество Е. Тем самым
■ у нас определено отображение
Е—* Л<">(£), Е^9>к,
для каждой управляемой ^-системы. Обозначим его кратко Ам.
Заметим, что, как и следовало ожидать, каждый такой оператор
Л<г), v^Qt пе порождает сам по себе какой-либо нетривиальной
последовательности итераций, т. е.
AiT4Aw(E)) = Aw№ № е д>к)
и, следовательно, каждый такой, отдельно взятый оператор пе
годится для отыскания множества позиционного поглощения. Но
мы введем некий результат Ат совокупного действия семейства
{Лм: v^Q) всех этих операторов, положив
Ат(Е)= Л AW(E) (£es»K).
Новый оператор Ε—>- A{Qi{E) может и пе обладать свойством
А1ЩА1<,ЧЕ)) = А1ЯЧЕ),
в результате чего уже возникает в общем случае
последовательность множеств (итераций)
W[Q1 = N, W[% = A™ (W[Q]) (k e N0). (4.2)
233

Это есть пекая новая последовательность программных итераций.
Прп этом каждое последующее множество И/ι+ι вложено в
предыдущее: Wh+l cz Wh , а сама последовательность является,
таким образом сходящейся. Для пас особенно важно то
обстоятельство, что ее предел совпадает как раз с множеством
позиционного Ш, ΛΟ-поглощения, так что
П TTLQ1 = y. (4.3)
7<eN0
Таким образом, паша концепция расщепления задач программно-4
го (Л/, £)-поглощения по семейству и-систем приводит к
реализации в пределе решения исходной дифференциальной игры.
Можно отметить, что при такой процедуре мы можем вообще не
интересоваться решением нужных нам программных задач для
исходной конфликтно-управляемой системы. Например, если нам
трудно исследовать решения этой системы при произвольных
программных управлениях vU) e Q, то этого можно и не делать,
сведя все к случаю, когда такие программы постоянны во
времени, т. е. к изучению отдельных и-спстем. Проиллюстрируем
данный способ на простейшем модельном примере, аналогичном
тому, что рассматривался в § 6 гл. IV. Именно, мы рассмотрим
скалярпую систему (ге= 1)
χ = и + v, liil^Oo, \v\=b0, (4.4)
функционирующую на отрезке Τ = [0, 1] (0 < α0, 0<Ь0). При
этом будем полагать, что множество Μ = Мс, где с > 0,
складывается из всевозможных позиций (1, х), \х\ > с, а фазовые
ограничения N совпадают со всем пространством позиций игры:
iV=7,XR' = [0, llXR1. Нам удобно рассмотреть нужные
конструкции не только при одном зафиксированном с > 0, но и для
различных значений этого параметра, задающего целевое
множество в исходной задаче. С учетом этого обстоятельства мы к
обозначениям (4.2) добавим индекс с, так что AW-+APK
W\Ql^W\®. Пусть Wc — множество всех позиций (£, а;) из
Τ X R1, для которых с — (а„ — b0)(i—t) «S \х\ (с > 0). Тогда, как
легко проверить, для всякого с > 0
Wl$ = {(ί, χ): (t, ж) е= [0,1] X R1,
I * [ < («о + Ь0) (1 - ί) - с} U Wc.
Для построения последующих итераций оказывается полезным
следующее параметрическое представление оператора Лс ·
Пусть
yeW=c(l+^l+d%L (C>0,d>0). (4.5)
234

Тогда, как легко проверить, для всяких с > О, d > с из неравен-
ства d < γ0(ώ) следует, что
4Q] (w™ и wc) = n1ev]c(d) и wc,
а из неравенства γ0(ώ) < d:
w[Ql \jwc = wc.
Последние соотношения позволяют построить последовательность
(4.2) уже при фиксированном с, сведя упомянутую процедуру к
построению очень простых итераций в пространстве
вещественных чисел, т. е. осуществляя параметризацию процедуры (4.2):
£<0) = с, £<"+1) = 7с &ck)) (к е= N0), (4.6)
так что при всех fce\
W[QI - Wi^ U We U^"-1*. (4.7)
Что же касается ее предельного элемента, т. е. множества
позиционного поглощения, отвечающего паре Мс, N = [0, 1] X R1, то
оп совпадает, как легко проверить, с множеством Wc. Таким
образом, в данном случае реализация (4.2) осуществляется весьма
просто посредством процедуры (4.5), (4.6) с учетом затем
соотношений связи (4.7). Обсудим некоторые частные случаи.
Из приведенных соотношений при Ь0 < а0 следует в случае
О < с «£ α0 — b0, что при всех к е Ν„ \\\Φ Wi,], в то время
как при условии а0 — Ьа< с номер к, прп котором We = W^c},
уже существует. Последнее свойство имеет место и в случае
а0 ίξ ba (при всяком с > 0); при условии а0 = Ь0 можно, например,
по любому наперед выбранному числу к е N указать такое число
с > 0, что для реализации Wc потребуется в точности /(итерации.
Здесь можно также, наряду с параметризацией метода (4.2),
отметить следующую особенность. Множество Л/с, где с > 0,
является, очевидно, объединением двух попарно непересекающихся
замкнутых множеств, составленных каждое из позиций вида
(1, а:). Одно из этих множеств задается условием χ < — с, а
другое — условием х> с. Для каждого из этих множеств можно
построить свое множество позиционного поглощения. Множество
Wc является в данном случае их объединением. Итак, в нашем
примере операции объединения двух целевых множеств отвечает
операция объединения мпожеств позициопного поглощения. Это
обстоятельство имеет место пе всегда. Приведем без
доказательства условия, гарантирующие ого справедливость. Для этого мы
условимся здесь обозначать множество позициопного
поглощения, отвечающее паре Μ ιι Ν замкнутых подмножеств Τ Χ R",
символом УРШ, Л'), так что W = WiM, Ν) в соответствующей
задаче (Л/, Л")-паведения.
235

Теорема 5.4.1. Пусть /ceN; M{ (ie 1, к), /V — замкнутые
множества, лежащие в пространстве Τ Χ It", для которых
множества ЖШ{, N) попарно не пересекаются:
ЖШ\,ЮПЖШ{2,Ю = 0
при /', ¥= ύ. Тогда
У (υ MitN) = \J1T (Mi,N).
Отметим, что усяовие конечности числа множеств Ми слагающих
целевое множество сложной структуры, и условие попарной
непересекаемости являются существенными, что подтверждается
простыми примерами.

Г л а в а VI
ИНФОРМАЦИОННАЯ СОГЛАСОВАННОСТЬ"
В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГРАХ
§ 1. Трп типа позиционных дифференциальных игр
В данной главе рассматриваются новые типы стратегий.
В частности, в этом параграфе определены смешанные
позиционные стратегии π коптрстратегин. Отметим, что в исследуемых
ниже задачах существенное значение имеет характер
информации о реализующейся помехе, новые классы стратегий вводятся
для того, чтобы отразить характер этой информации.
Будем рассматривать нелинейную управляемую систему
kt) = fit, ar(i), u{t), vW), u{t) e= P, v{t) e Q. (1.1)
Полагаем, что функция / удовлетворяет условиям, которые
гарантируют существование, единственность и продолжимость
решений системы (1.1) (см. § 8, гл. I). Напомним, что в
предыдущих главах исследование нелинейных дифференциальных игр
проводилось при дополнительном условии (2.8.2) — условии сед-
ловой точки маленькой игры. Это условие использовалось при
доказательстве существования ситуации равновесия в классе
позиционных стратегий, либо в классе позиционных процедур
управления с поводырем. В данной главе условие седловой точки в
маленькой игре (равенство (2.8.2)) не предполагается
выполненным.
При постановке рассматриваемых здесь задач управления
будем полагать, что по-прежнему известна текущая позиция
(t, .τ(ί)). Уточним теперь характер информации о реализующейся
помехе v(t). Будем различать следующие три случая.
Случай I. Значение помехи vit), реализовавшейся в
текущий момент времени i, не известно. Более того, допускается, что
значение помехи v(t) может реализоваться в зависимости от
управляющего воздействия иШ, выбранного в этот момент
времени t.
237

Случай II. Значение помехи vti), реализовавшейся в
текущий момент времени ί, ые известно. Однако известно, что помеха
v(t) реализуется независимо от управляющего воздействия u(t).
Случай III. В каждый момент времени t известно значение
помехи v(t), реализовавшейся в этот момент времени.
Рассмотрим постановки задач управления в каждом из
указанных трех случаев.
В случае I будем решать задачи управления либо в классе
UII03 позиционных стратегий, либо в классе UnoB позиционных
процедур управления с поводырем. Определения стратегий U <=
е= Un03 и процедур управления °и «= Un0B, а также порожденных
ими пучков движений #?U0, Хо, U) и «δ?(ί0, х0, °U), были даны
в § 8, гл. I.
В случае II решение задач управления будем рассматривать
в классе смешанных позиционных стратегии. Формальные
определения этих стратегий и порожденных ими пучков движений
приведены пнже. Содержательный смысл этих определений
будет пояснен в § 3.
Итак, пусть & и Q — совокупности вероятностных мер,
нормированных на компактах Ρ и Q соответственно. Смешанной
позиционной стратегией будем называть функцию
U : rxR"-).^.
Пусть (ίο, ζ<ι) е Τ X R" — исходная позиция, Δ = {[τ(, Τί+ι):
/ = О, ..., I)—разбиение промежутка [ί0, θ), vc.( : Ιί0, θ! -*■ Q —
слабо измеримая функция, U — смешанная позиционная
стратегия. Пошаговое движение х{-, t0, х0, U, \\.и Δ) определим как
пошаговое решение уравнения
χ (t) = χ (τ0 + | ) )ί(τ,χ (τ), и, ν) μτ{ (du) ντ (dv) it,
ii'p'Q
ti<i<ti+1, t = 0,1, ...,l, (1.2)
где
x (τ0) = * (i0) = x0, μΤί = U (tb χ (τ{)).
Далее пучок 8ЬЧ/о, х<>, U) определим как совокупность абсолютно
непрерывных функций х(·) = (x(i), i0 *£ t < О), для каждой из
которых существует сходящаяся к ней последовательность
пошаговых движений xw{-) =x(-,t0,x0, E/,v$,A<w), где diamA"" -* 0
при к -*- оо.
В случае III для решения задач управления введем в
рассмотрение контрстратегии, которые определим как функции
U-- TxRnXQ-+P.
Здесь предполагается, что для любой точки (ί, χ) ^ Τ Χ R"
функция Uit, χ, ■)■ Q -*- Ρ является борелевской.
Полагаем «„, /,)eTXR", Δ = ([τ<, τί+,): i = 0, 1, ..., I)
(t0 = io, τ,+ι = θ·), U — контрстратегия, в(-)еУ,, Пошаговое
238

.чшжечие .r(-)=.r(·, t„, ,r0, t/, f(0, Δ) определим здесь как поша-
гояос решение уравнения
t
x(t)=x(Ti) + J /(τ, a: (τ), и (τ), ν (τ)) dx,
ti<t < τ1+1, i = О,1, .. .,1, (1.3)
где
ζ(τ0) = х„, "(τ) = ί/(τ(, zCtj), υ(τ)).
Отметим, что функция τ -*■ и(т) = Z7(tif ж(т,·), ι>(τ)) измерима,
поскольку она определена как суперпозиция борелевской
функции U(xi, χ(τι), ■) π измеримой функции υ(·). Далее, как обычно,
полагаем, что 85{U, Хо, U) составляют абсолютно непрерывные
функции ζ(·)= (z(i), ί0<ί^ΰ), для каждой из которых
существует сходящаяся к ней последовательность пошаговых движении
.t'*'(·) = «(-, ίο, ж,, U, »(4(·), Δ""), где diam Δ(Μ-» О прн fc —°°.
Будем обозначать символами U, , Un и UiU классы
позиционных (чистых) стратегии, смешанных позиционных стратегий и
контрстратегий (стало быть здесь Ui = Uno3). Перейдем теперь
к формулировкам задач управления. Пусть на движениях «(·) =
= (.ε(ί), ίο^ί^'θ) задан функционал γ(χ(0). Для определенности
будем полагать, что
γω·))=γ,(χ(·))=σ(3:(θ)), (1.4)
либо
γ(«(-))=γ,(χ(·))= rain ω(ί, s(i}). U.5)
Будем рассматривать задачи типа 1.1.2, т. е. полагаем, что
требуется определить стратегию J/0, гарантирующую
наименьшее зпачение функционала f(a;(·)). Таким образом, для каждого
из указанных трех случаев получаем следующую формулировку
задачи управления.
Задача 6.1.1 (/). Для исходной позиции (f0, ^J ε Γ χ R"
требуется найти стратегию U„ <= U/ такую, что
Г*(*„ а-о, tfo)=minr*(i„, χ*, U) (i/eUj), (1.0)
где Γ*(ί0, Жо, Ζ7) =тах γ(.τ(·)) при ϊ(·)ε^((0, ζ0, {/). Здесь / =
*( ·)
= (1, II, III).
Покажем, что результат, который гарантирует стратегия U0,
оптимальная в классе 1Ь. является иеулучшаемым при заданном
характере информации. С этой целью рассмотрим
дифференциальную игру, складывающуюся из задачи 6.1.1 (Л и
противоположной ей задачи 6.1.2 (/), формулировка которой приведена
ниже. Предварительно определим классы стратегий V/ U =
= 1, II, III).
239

Полагаем, что Vr — совокупность контрстратегий второго
игрока, которые суть функции
V: TXWXP-^Q
такие, что для любой точки (i. ,r)efXR" функция V'.t, χ, ·):
Ρ -*■ Q измерима по Борелго.
Затем класс Vn смешанных позиционных стратегий второго
игрока определим как совокупность функций
V: ТХВ.п-+<2
(напомним, что Q — множество вероятностных мер,
нормированных на Q).
Наконец, полагаем, что Уш есть класс позиционных (чистых)
стратегий V: Τ X R" -> Q, т. е. V,„ = VB01.
Пучок движений $?U„, х0, V), порожденный стратегией V из
класса Vt (либо Vn, либо Vm), определяется так же, как и
пучок c2?(i0, x<i, U), отвечающий стратегии U из класса Uin (либо
Un, либо Ui). Таким образом, теперь можно определить
следующую задачу
Задача 6.1.2 (/). Для исходной позиции (i0, a;0)e7'XR"
требуется определить стратегию Т0 е V/ такую, что
r*(to,*0>V0)=mc\xT*(t0,x0,V) (V<=Yj), (1.7)
ν
где Tj).{t0,x0,V) = mmy(x(·)) при χ{·) е= 85 (и, ха, V).
*(■)
Отметим, что для любой пары Ш, V), где C/eUi— чистая
позиционная стратегия, а V eVj — контрстратегия, можно
определить пучок движений #?(f0) x0, U, V) <= 8S\U, х„, U) Г) 95(t0, x0, V).
Поэтому классы стратегий Ui и Vj совместны (напомним, что
общее определение совместных классов стратегий было дано в § 6
гл. I). Аналогичным образом можно отметить совместность
классов Un и Vn, а также Uni и Vm. Следовательно, в каждом из
трех случаев U = I, либо / = И, либо / = Ш) можно
рассматривать дифференциальную игру, складывающуюся из эадач
6.1.1 (/) и 6.1.2 (У). Как показано ниже, эта дифференциальная
игра имеет цепу с" (i1;. ,r„). т. е.
min Г* (t0, х0, U) = c°j (t0, x0) = max Г* (ΐ0, χα, V) (1.8)
υ ν
(ί/eU,, FeV7),
Существование цены с° (i0, хй) означает, что при заданном
характере информации (в случае /) результат, гарантированный
в классе стратегий Vj, является неулучшаемым.
Величины cj (i0, x0) удовлетворяют неравенствам
с? (ί0, χ0) > с?! (ί0, х0) > с°ш (ί0, j?0), (1.У)
240

причем здесь все неравенства могут быть строгими (см. пример
в конце параграфа), т. е.
е°(*о. *ο)>«3ι(*οι *о)>сш(*„. х0)· (1-W)
Из (1.10) видно, что в случае / = Ш первому игроку не
следует пренебрегать предоставленной ему информацией о
реализующейся помехе. Если же первый игрок будет игнорировать эту
информацию а вместо контрстратегий будет использовать чистые
либо смешанные позиционные стратегии, то результат, на
который он сможет рассчитывать, окажется хуже оптимального
результата, достижимого в классе контрстратегий. Аналогичным
образом можно заключить, что в случае /=П игроку не следует
пренебрегать возможностью решить задачу в классе смешанных
стратегий, т. е. ему не следует сужать свой выбор допустимых
стратегий, скажем, до класса чистых позиционных стратегий. Из
(1.10) также следует, что здесь в дифференциальной игре,
рассматриваемой в классе чистых позиционных стратегий обоих
игроков, отсутствует цена. Действительно, в этом случае
min Г* (t0, х0, U) = с\ (t0, хй) > шах Г* (£„, х0, V) = с°ш (t0. x0)
υ ν
(U е ϋϊ = ипоз, V е= Кш = Vn03).
Замечание 1. Отметим, что неравенства (1.10) возможны,
если нарушается условие седловой точки маленькой игры
(равенство (2.8.2)). Если же функция / в правой части системы
.(1.1) удовлетворяет равенству (2.8.2), то оказывается, что
с? {t0, *о) — сп (?о' Яо) = сш (t0, x0)·
При выполнении равенства (2.8.2) использование контрстратегий
или смешанных позиционных стратегий не будет улучшать
результат, полученный в классе чистых позиционных стратегий.
Поэтому при выполнении условия седловой точки маленькой
игры можно было ограничиться исследованием дифференциальных
игр в классе чистых позиционных стратегий, в котором
достигается ситуация равновесия рассматриваемых игр.
Замечание 2. В указанных трех случаях
информированности игроков о текущих управлениях противника можно
рассматривать дифференциальные игры, определенные в
соответствующих классах процедур управления с поводырем. Так в
случае /=1 первый игрок может использовать процедуру
управления °U = {U, ψ, χ), определенную в гл. I. В случае / = П введем
в рассмотрение процедуру смешанного управления с поводырем,
которую определим как тройку Щ = Шц, ψ, χ), где t/ц: ΓΧΙ^Χ
X R" -*■ 9* — функция, слабо измеримая по Борелю. В случае
/ = П1 первый игрок может воспользоваться процедурой
контруправления с поводырем <и = Шш, ψ, χ), в этой процедуре
Ьтш: Τ X R" X R" X Q -*- Ρ — функция, борелевская по переменной
~ 241

v^Q. Во введенных зде.сь процедурах управления общее
определение функций ψ н χ остается тем же, что и в гл. I. Пучки
движений %>'(ίο, £ο, °U)t отвечающие новым процедурам управления,
вводятся, как обычно, предельным переходом от
соответствующих пошаговых движений, которые в случае / = П и / = Ш
удовле'1воряют уравнениям (1.2) и (1.3) соответственно, где
μΤί= Ufa, x{Xi), w(Ti)),
u (τ) =-U(Ti, χ (τ-,), ιυ(τ{), ν (τ)) (τ4 < τ < τ,·^),
win) — положеппс поводыря в момент ί = τ{. Оптимальные
результаты, гарантированные первому игроку в указанных классах
процедур в случаях / = 1, II, III, совпадают с соответствующими
ноличинамп
min Γ*(ί0, Хц, U) при U^XJj.
и
Пример. В качестве простейшего примера, в котором
имеют место неравенства (1.10), рассмотрим следующий. Пусть х,
и и ν — скаляры. Изменение фазовой переменной удовлетворяет
уравнению
x-u-υ, Ы=1, Ы = 1, (1.11)
т. е. здесь множества Ρ π Q состоят из двух точек иС1) = и(|) = 1,
В(») = 0т = _L Пусть
ί0 = 0, я„ = 0, 0 = 1, γ(*(·)) = σ(*(1)) = *(1).
Отметим, что для системы (1.11) равенство (2.8.2) не
выполняется. Действительно,
тштахыу = 1, maxmin uv = — 1, (1.12)
и ν ν и
при |ц| = 1, Ы = 1.
Для указанпого примера рассмотрим решение задач 6.1.1 (/).
Случай / = 1. Из первого равенства (1.12) следует, ч?о
первый игрок выбором «чистого» управления и не может
обеспечить, чтобы скорость xU) была меньше единицы. Поэтому
получаем
' minr*(<0, ζ0, U) = i (tfeU,). (1.13)
и
В данном случае оптимальной стратегией U ι будет любая
функция U: Τ X R -ч- Р.
Случай II. Отметим сначала, что справедливы
соотношения
\ ] ιινμ0 {du) ν (du) - \ \ ιινμ0 (du) v0 {du) --- J j ιινμ (du) v0 (dv) =-- 0.
Ί· Q t'Q PQ
(1.14)
Здесь μ и ν — произвольные вероятностные меры, нормпровап-
242

ные на Ρ и Q соответственно, т. е. мера μ (мера ν) сосредоточена
в точках 1 и —1 с весами р(,) и рт (дС1) и qm) соответственно,
μ0 и ν0 — вероятностные меры указанного вида, у которых
р<.» _pU> = gd) _ g(2) = 1/2_ Заметим также, что в данном
примере
J f ηνμ (da) ν [do) = (p(1) - ρ™) ?(1) - ?(2) (P(1) - РШ),
P Q
откуда видно выполнение равенства (1.14). Выберем смешанную
стратегию
U\i (ί, χ) = μ0 при t e [0, 1], χ e R.
Согласно (1.14) при выборе смешанного управления μ0 и при
любом выборе управления-меры ν( получаем x(t) = 0. Поэтому
Г* (f0l *0, t/?i) = 0. (1.15;
Случай III. Рассмотрим контрстратегню
#?ιι (*, х, ν) = — ν при (ί, х, ν) е [0, l]xRx<?.
При выборе этой контрстратегии и любого управления v(t)
имеем равенство xit) = — 1. Поэтому
г* (* 0, *01 £/;„) = -1. . (1.16)
Обратимся теперь к исследованию задач 6.1.2 (/).
В случае / = I получаем
Г* (ί0, ίο. V°i) = 1. (1.17)
где контрстратегия Vi определена равенством
V°(t, χ, и) = и при (ί, х, и) е [0, IJxRxP.
Эта контрстратегия обеспечивает равенство x(t) = 1, откуда
следует (1.17).
В случае / = II имеем
Г» (ίβ, х0, V°u) = 0, (1.18)
где Уц (ί, ζ) = ν0 при всех (ί, ж) е [0, 1]XR. Соотношение
(1.18) так же, как и (1.15), следует из равенства (1.14).
В случае /=Ш для любой стратегии V?n: [0, l]XR-»-(>
справедливо равенство
Г* (ίο, *„. У°ш) = - 1- (1.19)
Теперь, учитывая неравенство (1.6.12) из соотношений (1.13)
и (1.17), (1.15) и (1.18), (1.16) и (1.19) можно получить, что
в рассмотренном примере
с° (ί0, *о) = ! > c?i (Ό> х0) = ° > с°т (го> *о) = — 1-
243

Отметпм, что в данном примере
minr*(i0, х0, U) ^-c\(t0l х0)=1>тахГ*(г0, х0, V) =с?п (<0, х0) =
и ν
= -1 (i/eUM3, 7eVJ;
такпм образом, здесь в классе чистых позиционных стратегий
отсутствует ситуация равновесия.
§ 2.Контрстратегнц
Обсудим решение дифференциальной игры в классе чистых
позиционных стратегий одного ц контрстратегий другого игроков.
Примем для определенности, что первому игроку предоставлен
выбор чистых позиционных стратегий, а второму игроку — контр-
стратегий. Таким образом, будем рассматривать дифференцпаль-
пую игру, складывающуюся из задач 6.1.1 (Т) и G.1.2 (I).
Используемые ниже построения повторяют в значительной
мере конструкции из глав II π III, поэтому ограничимся
кратким изложением, акцентируя внимание на новых элементах этих
построений.
Как и в главе II, начнем с рассмотрения дифференциальной
игры сближения — уклонения. В данном случае справедлива
Теорема 6.2.1 (Альтернатива). Для любой исходной
позиции (for xJeiXB" и любых замкнутых множеств N сГХ
X R" и Μ <= Ν имеет место одно и только одно из следующих
двух положений: либо существует чистая позиционная стратегия
i/0eUi такая, что для любого движения я(-)е $?(£„, я0, £/°)
имеет место (Α/, Ν)-сближение; либо существуют число ε > 0 и
контрстратегия F°eVi такие, что для всякого движения х(·) <=
^ #?(£о, х<>, V°) имеет место Ш, NY-уклонение.
Доказательство этой теоремы можно провести по схеме,
рассмотренной в главе П. При этом потребуется ввести следующие
новые понятия.
Пусть W — множество в Г X R". Будем говорить, что
множество W <= Τ Χ R" есть минимаксно и-стабильный мост в задаче
(М, ΛΟ-сближения, если оно удовлетворяет соотношениям W^N,
W« <= Λ/ο, а также следующему условию (.условию минимаксной
и-стабильности): каковы бы пи были точки (£», х„) е W, t* e
е (ί», О·] и контруправление ν(·): P-+Q, существует решение
χ (·) = (х (t), t9^.t <J ■&, χ (t^) =Хщ) дифференциального включения
i(i)eclco{/(i, x(t), и, v(u)): u^P), (2.1)
удовлетворяющее либо условию (i*, x(t*)) ^W, либо условию
В доказательстве теоремы 6.2.1 используется следующий
факт (аналог теоремы 2.2.1). Пусть WB — объединение всех у-ста-
244

Сильных мостов (определение у-стабильного моста было дано
в § 8 гл. II). Тогда множество
TF = (rXRn)W„ (2.2)
есть минимаксно u-стабильный мост в задаче (Л/, ЛО-сближепия.
Проверка этого положения почти полностью укладывается в
рамки соответствующих рассуждений, приведенных в гл. II.
В силу (2.2) для того, чтобы завершить доказательство
теоремы 6.2.1, остается показать, что в случае (ί„, я0) е W° имеет
место первое положение альтернативы, сформулироваппой в
теореме 6.2.1, а в случае (i0, z0) ^ Wa выполняется второе
положение данной альтернативы. Этой цели служат следующие две
леммы.
Лемма 6.2.1. Пусть W — минимаксно и-стабильный мост
в задаче Ш, Аг)-сближения, Uc e Uj — позиционная стратегия,
экстремальная к мосту W. Предположим, что (ί0, £ο) *= W, тогда
для любого движения х(·) е $&(t0. xa, £/*) имеет место Ш, Λ0-
сближение.
Лемма 6.2.2. Пусть W — υ-стабилъный мост в задаче
(Л/, NY-уклопения, FceVi — контрстратегия, экстремальная к
множеству W. Предположим, что (ί0, х<>) е W, тогда для любого
движения #(·) е j??(i0, a?0, Vе) имеет место Ш, NY-уклонепие.
Отметим, что без ограпичения общности рассматриваемые
здесь стабильные мосты можпо полагать замкнутыми
множествами (см. замечание 1 § 2 гл. II). Определенно позиционной
стратегии, экстремальной к множеству W было дапов§ 8 гл. II. Чтобы
определить экстремальную контрстратегию V, введем в
рассмотрение борелевскую функцию V: Τ X R" X R" Χ Ρ -*- Q, выбранную
из условия
(w — x)'f(t, χ, и, VU, х, w, и)) = m&x(w — x)'f(t, χ, и, υ) (2.3)
v=Q
(возможность измеримого выбора функции V0 отмечена в
следствии теоремы 1.8.1). Пусть (ί, χ) -*■ χ*(ί, χ)—функция, которая
определена для замкнутого множества W соотношениями (2.4.1).
Полагаем
Fe(i, χ, и) = V°U, χ, χ·(ί, χ), и). (2.4)
Эту функцию V: Τ X R" Χ Ρ -*■ Q будем называть контрстрате-
гией, экстремальной к мосту W.
В доказательстве лемм 6.2.1 и 6.2.2 используются оценки,
аналогичные лемме 2.8.1. Напомним, что доказательство леммы
2.8.1 опиралось па условие (2.8.2) седловой точки в маленькой
игре. Можно сказать, что в рассматриваемом случае также
используется условие седловой точки маленькой игры, которое
модифицируется следующим образом:
inisups'/(£, χ, и, v(u)) =· sup inf s'f(t, x, и-, v(u))
и »(·) υ(·) u
(se=fl», (ef, ieR'); (2.5)
245

эдесь «еР, и(-): Ρ -*■ Q — произвольные функции. Указанное
здесь равенство справедливо для любой функции /.
Итак, сформулируем оцепку, которая нужна для
доказательства леммы 6.2.2. Пусть G» = G°(U, х„) (см. (2.8.8)), (i», г,)еб„
(ί,, ιυ4) е G,. Определим точку !4,еРи8 условия
max (ж, — "-'*)'/('*> ж», и», ν) = minmax (χ, — ">*)'/ (ί*, х+, и, у)·
Γ U 1)
Полагаем также ν° (u) = V° (i», ж», u;,, ц). Тогда для решений
дифференциального уравнения
χ (*) = / (ί, χ (i), u (i), у° (и (*))) (ί. < ί < i, + δ, χ (Ο = χ,)
и дифференциального включения
u; (i) e cl со {/ (t, w (i), "*, v): v^Q}
(t, < ί < i, + 6, № (i,) = н-J
справедлива оценка
^!^<2λ,|μ(ί)||2 + 2ζ(δ),
где s(t) = x(t) — w(t), величины λ» и ζ(δ) определены в § 8 гл. П.
Учитывая равенство (2.5), доказательство этой оценки можно
уложить в рамки рассуждений, указанных при доказательстве
леммы 2.8.1. На этом можно закончить краткое изложение
доказательства теоремы 6.2.1.
Так же, как π в § 7 гл. II, теперь можно доказать
существование цены Ci (i0, x0) (1.8) дифференциальной игры,
складывающейся из задач 6.1.1 (I) и 6.1.2 (I), где γ = γ, (1.4) или
γ = γ2 (1.5). Отличие от рассуждений, приведенных в § 7 гл. II,
будет состоять здесь в замене ссылки на теорему 2.1.1 ссылкой
на теорему 6.2.1.
В заключение параграфа сформулируем необходимые и
достаточные условия, которым должны удовлетворять потенциал
(^о' хо) -*· ci (^о> то) дифференциальной игры, складывающейся
из задач G.1.1 (1) н 6.1.2 (I), где γ = γΓ (1.4). Введем следующее
определение: непрерывную функцию с(·): Τ X R" -*■ R назовем
мппимаксно u-стабнльноп в точке (£», χ„) ^.[ί0ο, Φ) Χ R", если
выполнено неравенство
sup inf lim (с (t, χ (t)) — с (ί», χ J)(£ — ί J-1 <! 0.
Здесь верхняя грань вычисляется по борелевским функциям
у(·): Ρ-*■ Q, нижняя грань вычисляется по всем решениям х(-) =
= (x(t), i^^T £<!£*, χ (t9) — x9) дифференциального включения
(2.1).
246

Справедлива
Теорема G.2.2. Для того чтобы функция с(·): rXR"->-R
была потенциалом дифференциальной игры, складывающейся из
задач 6.1.1(1) и 6.1.2(1), где γ = γι (1.4), необходимо и
достаточно, чтобы она удовлетворяла краевому условию с(Ф, х) = σ(χ)
и была одновременно минимаксно и-стабилъной и υ-стабильной
в каждой точке (ί* , χ и ) е [ί00) ■&) XR".
Доказательство этой π следующей теорем можно провести,
придерживаясь схемы рассуждений, указанной в §§ 2,4,7 гл. III.
Пусть с(-)— регулярная функция (в смысле определения,
данпого в § 7 гл. III). Тогда условие ее минимаксной и-стабиль-
ности в точке (ί*, χ%) будет эквивалентно неравенству (см.
аналогичные соотношения в § 7 гл. Ill)
sup inf Η (ί,, χ„,, μ, υ (■)) ^ 0,
где
'tf(f*, ζ„ μ, ν(.)) = mix
|?(<*. *·.ο +
ι Iй*
- gradxtp (ί», a;,, Ζ)·|/(ί¥, а·,, и, ι·(ω)) μ (<*«)]·
ρ
В этих соотношениях vl·): Ρ -*- Q — борелевскне функции, με
е ^ — вероятностные меры, нормированные на компакте Р.
Учитывая это обстоятельство, а также эквивалентность
условия и-стабильности функции с(·) неравенству (3.7.5), из
теоремы 6.2.2 следует
Теорема 6.2.3. Для того чтобы регулярная функция с(·):
Τ X R" -»- R была потенциалом дифференциальной игры,
складывающейся из задач 6.1.1(1) и 6.1.2(1), где γ = γι (1.4),
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие соотношения:
ctt>, χ) = σ(χ), ieR", (2.6)
S'.ip iuf//(i,, χ,, μ, ί-'(·))<0. С2·'')
ι·( · ) μ
inf sup/7 (ί¥, a:,, u, ν) > 0 (2.8)
(ί<=1*00, e),i,eR").
Для дифференциальной игры с платой γ = γ2, решение
которой рассматривается в классе Ui X Vt, формулировки
необходимых и достаточных условий, которым должен удовлетворять
потенциал этой игры, отличаются от теорем 6.2.2 и 6.2.3 тем, что
равенство (2.6) заменяется соотношениями
c(fl, χ) = ω (Φ, χ), c(t, x) sS ω(ί, χ) (ί «ξ [*„„, ft], χ e= R"),
а условие минимаксной и-стабильностн и неравенство (2.7)
должны выполняться в области {(£,, я,) е [ί00, Φ) X R":c (i,, x»)<
<; ω (£,, а;,)} (при этом по-прежнему требуется, чтобы уело-

вне г-'-стабп.чьшн'ти и иерапеистпо (2.8) имели место при всех
(ί„ ж.) е= [to, 0)xRn).
Заметим, что в точках (i», x„), где функция с(·)
дифференцируема, неравенства (2.7) и (2.8) обращаются в равенство
(основное уравнение)
°С ('*' *** + minmax grad с (ί*, χ,) / (ί„ .г», и, и) = 0.
§ 3. Смешанные стратегии
Данный параграф состоит из двух частей. В первой из них
приведена сводка основных определений и результатов,
относящихся к исследованию дифференциальных игр в классе
смешанных стратегий. Опущенные здесь доказательства можно провести
в рамках единого подхода, который был достаточно подробна
рассмотрен в предыдущих главах при изучении
дифференциальных игр, определенных в классе чистых позиционных стратегии.
Во второй части параграфа рассмотрена аппроксимация
смешанных стратегий стохастическими процедурами управления. Эта
аппроксимация является физически реализуемым способом
управления и раскрывает содержательный смысл формального
решения дифференциальных игр в классе смешанных стратегий.
Итак, начнем опять с формулировки теоремы об
альтернативе в дифференциальной игре сближения — уклонения.
Теорема 6.3.1. Для любой исходной позиции (i0, Хо) <=
е Τ X R" и любых замкнутых множеств N <= Τ Χ Rn и Μ czN
имеет место одно и только одно из следующих двух положений:
либо существует смешанная позиционная стратегия U° e Un
такая, что для любого движения х(·) е $6{и, х<>, U") имеет место
(Л/, Ю-сближение\ либо существуют число ε > 0 и смешанная
позиционная стратегия V° e \и такие, что для всякого движения
х(.·). <=9S(.U, χ0ι V") имеет место Ш, Ы)'-уклонение.
Доказательство этой теоремы хорошо укладывается в рамки
конструкций из § 8 гл. II, если воспользоваться следующим
обозначением:
f(t, χ, μ, ν) = [ [/(ί, χ, и, ν) μ (du) ν (dv) (με^1, ν<=φ,
PQ
и в выкладках, приведенных в § 8 гл. II, формально заменить
«чистые» управления и^Р и v^Q смешанными управлениями
μεί1 и ν еQ соответственно. Отметим, в частности, что условие
седловой точки в маленькой игре (равенство (2.8.2)), которое
предполагалось выполненным в главе II, принимает эдесь
следующую форму:
rain max s'f (t, χ, μ, ν) =шах min s'f (t, χ, μ, ν)
/ ν ν μ ч (3.1)
(sesRn, (i, i)erxR", με^, ve^).
248

Это равенство справедливо для всякой непрерывной функции /
(см. [3*], стр. 31).
Из теоремы 6.3.1 выводится существование цеиы с°г (i0, ха)
дифференциальной игры, складывающейся из задач 6.1.1 (II) и
6.1.2(11), где γ = γι (1.4) или γ =fi (1.5). Рассмотрим свойства
потенциала (t0, х0) -^-c?i (<0, .τ„)· Введем следующие понятия.
Непрерывную функцию с(·): TXRn-»-R назовем μ-сгабилъной
в точке (i», x„) e [f0n, 0)XR", если выполнено следующее
неравенство:
sup inf Пт (с (t, χ (ί)) — с (£*, .τ,)) (г — г,)-1 < 0.
ν *(·) fit*
Здесь ν ^ ζ?, χ (·) e ^ (ί», a:,, ν), #? (£*, a.¥, ν) — пучок решений
χ (·) = (χ (ί), ί^ ^ <^ Ο, α· (ί,) = χ¥) дифференциального
включения
а: (ί) е= со { f / (*, * (0. «. ν) ν (A;): u 6= P}.
Q
Будем говорить, что непрерывная функция с(-): 71XRn->-R v-
стабилъна в точке (ί„ г,) е [i00, u)xR , если выполнено
неравенство
inf sup lim (с (t, χ (ί)) — с (i¥, xj) (ί — ί,)-1 ^ 0,
где μεί1, ϊ(·)ε^(ί„ι„μ), #?(£*,#», μ) — пучок решений
χ(·) = Lxti), i»<ji^d, a; (ί,) = .г,) дифференциального вкяюче-
• ПИЯ
хШ е со {/(ί, χ(ί), ц, υ)μ(ίΖίί): ве^}.
Укажем необходимые и достаточные условия, которым
удовлетворяет потенциал дифференциальной игры с платой γ = γ8
(1.5).
Теорема 6.3.2. Для того чтобы функция е(-): TXRn->-R
была потенциалом дифференциальной игры, складывающейся из
задач 6.1.1(11) и 6.1.2(11), где γ = γ2 (1.5), необходимо и
достаточно, чтобы выполнялись соотношения
c(t, χ) «S ω(ί, χ), с (Φ, χ) = о>Ы при ί е= 7', j;efi", (3.2)
функция с(·) была μ-стабильна в каждой точке (ί», χ») е
<= [ί00, ft)XR", где с (ί*, 3'*)<ω(ί», χ»), а также v-стабильной
в области it00, Φ) Χ R".
Для регулярной функции с(·) условия μ-стабнльности и v-ста-
бильности в точке (ί*, х*) эквивалентны неравенствам
sup inf H (t9, i¥, μ, ν)< 0, (3.3)
ν μ
inf sup II (i¥, a:,, μ, ν) ^ 0 (3.4)
μ ν
2-49

соответственно. Здесь
dt
#(ί»,ζ», μ,ν)=ηιίχ
ι
-h grad* φ (f*, α·», /)·/(*». *». μ. ν)1
(см. аналогичные обозначения в § 7 гл. III). Для регулярной
функции с(·) получаем следующее утверждение
Теорема 6.3.3. Для того чтобы регулярная функция с(·):
Τ X R" -»- R была потенциалом дифференциальной игры,
складывающейся из задач 6.1.1(11) и 6.1.2(11), где γ = γ2 (1.5), необ-
ходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения (3.2),
а также неравенство (3.3) гари (i», я,) е [i00, 0)xR", c(f», .τ,) <
< ω (£», a;,) u неравенство (3.4) га/ш ece.r (/„., .r J e [i00, u)xR".
Для дифференциальной игры с платой γ = γ4 (1.4), решение
которой рассматривается в классе смешанных позиционных
стратегий Un X Vh, формулировки необходимых и достаточных
условий для потенциала этой игры отличается от формулировок
теорем 6.3.2 π 6.3.3 следующим образом: соотношения (3.2)
заменяются равепством с(Ф, x)=oix) (z^R"), условие μ-стабиль-
ности и неравенство (3.3) должны выполняться при всех
(ί», г,)е[г00, 0)xRn. Заметим, что в тех позициях (i», х»),
где функция с(-) дифференцируема, неравенства (3.3) и (3.4)
обращаются в равенство (основное уравнение)
f mm max gradx c(<„ я,) / (t„, z„ μ, v) = 0.
dt
Перейдем теперь к обсуждению вопроса об аппроксимации
смешанных стратегий физически реализуемых процедурами
управления. Отметим, что в формальном решении задач 6.1.1 (II)
и 6.1.2(11), которое рассматривалось до сих пор, пошаговые
движения (см. (1.2)) были порождены управлениями-мерами t-?\\.t
и t -*■ vt. Использование таких управлений-мер является
математической идеализацией, допускающей мгновенное смешивание
управлений аеР и v^Q. Опишем теперь стохастические
процедуры управления, которые формируют кусочно постоянные
случайные управления игроков u(t) и y(i). Эти процедуры будут
аппроксимировать формальное решение задач 6.1.1 (II) и
6.1.2(11).
Итак, обратимся к задаче 6.1.1 (II), стоящей перед первым
игроком. Пусть Uo ^ Un — смешанная позиционная стратегия,
которая доставляет решение этой задачи. Выберем некоторое
разбиение Δ = {[τ(, τ,·+ι): i = 0, 1, ..., 1} промежутка [ί0, Ъ). Будем
формировать стохастическое управление uit) и отвечающее ему
пошаговое движение следующим образом. В начальный момент
времени t = i0 стратегия U0 назначает вероятностную меру μ0 =
= ί/0(ίο, х„). Произведем случайное испытание по выбору точки
и0 в вероятностном пространстве (Ρ, μ). Результат этого
испытания — точка и0 определяет управление первого игрока u(t) =
250

= u0 (τ0<ί<τ!), постоянное на первом промежутке. Это
управление в паре с некоторой реализацией υ(·) = (υ(ί), τ0 < t < τι)
управления второго игрока порождает движение системы (1.1) на
отрезке [τ0, τι]. В момент времени t = Xi реализуется позиция
(τ,, α··(τι)). Определим' меру μι = ?7ο(τ1, χίτ,)). Произведем
случайное испытание по выбору точки u(i) в вероятностном
пространстве (Ρ, μι). Полагаем, что на промежутке [τ,, τ2) первый
игрок применяет постоянное управление u(t)=uii) (τι<ί<τ2),
которое в паре с некоторым управлением второго игрока
порождает движение на отрезке [τι, τ2]. Указанный процесс
повторяется последовательно на следующих промежутках: [τ2, τ3),
[τ3, τ4), ..., [τ,, τί+ι = <Ю.
Управление второго игрока может назначать стохастическая
процедура управления, подобная той, которая была описана для
первого игрока. Допускается также, что второй игрок может
использовать какой-либо детерминированный способ управления,
например может формировать свое управление с помощью чистой
позиционной стратегии. При определенных условиях можно
построить вероятностное пространство движений, порожденных
указанной стохастической процедурой управления первого игрока
и некоторым допустимым способом управления второго игрока.
Аккуратные формулировки предположений, а также
соответствующие построения вероятностных пространств опускаем.
Отметим, что здесь потребуется измеримость по Борелю
функции U0: TXR"-»-^, которая определяет рассматриваемую
смешанную позиционную стратегию. Отметим также, что важным
условием, при котором возможна стохастическая аппроксимация,
является предположение о взаимной независимости (либо слабой
зависимости) управлений uti) и vti) на малых промежутках
времени [τ, τ + δ). Это условие будет выполнено, например, в
случае, когда второй игрок так же, как и первый, реализует
стохастическую процедуру управления, аппроксимирующую
смешанную стратегию V, причем разбиение Δ, выбранное первым и
вторым игроками, совпадают, а случайный выбор точек ис<} и и({,
в вероятностных пространствах (Ρ, μ,·=ί/(τ(, ж(т())) и (ζ>, ν( =
= V(r{, я(т())) является взаимно независимым.
При условии взаимной независимости либо слабой
зависимости управлений u(t) н vti), (е[т, τ + δ) для указанной
стохастической процедуры управления первого пгрока справедливо
следующее положение.
Каковы бы ни были числа ε > 0 и α > 0, можно указать
такое δ > 0, что при выборе любого разбиения Δ,
удовлетворяющего оценке diam Δ «£ δ, для случайных движений х(-) = (xti),
ij^i^O1), порожденных указанной стохастической процедурой
управлепия первого игрока, неравенство γ {% (■)) ^ сп (*о, хо) ~Ι- ε
будет справедливо с вероятностью, пе меньшей числа 1 — а.
Здесь γ = γ, (1.4) или γ = γ2 (1.5), c°i (ί0. ζ0) — цена
дифференциальной игры, складывающейся из задач 6.1.1 (II) и 6.1.2 (II).
251

Справедливо также аналогичное утверждение о
стохастической аппроксимации оптимальной смешанной стратегии второго
игрока F0 e Vn. В этом случае для соответствующих случайпых
движений х(·) с вероятностью, не меньшей, чем 1 — а, будет
выполнено неравенство у (χ (·)) ^ сц — ε.
В заключение отметим, что требование взаимной
независимости управлении uti) и vit) па малых промежутках [τ, τ + δ)
можно заменить более естественным предположением о наличии
погрешностей либо запаздывапня при измерениях текущей
позиции (i, x(.t)). В этом случае неточная информация о
реализовавшейся позиции игры не позволяет игрокам определить
управление, выбранное противником, поэтому требуемое условие
взаимной независимости управлений будет следствием неполноты
информации о текущей позиции. Однако информационные
погрешности могут разрушать работу смешанной позиционной
стратегии (см. аналогичное замечание в § 4 гл. II относительно
чистых позиционных стратегий), поэтому здесь вместо стратегий
i/^Un либо VeVtl следует использовать процедуры
смешанного управления с поводырем, которые обеспечивают
аппроксимацию оптимального результата, устойчивую по отношению к
информационным погрешностям. Строгое построение вероятностных
пространств случайпых движений, точная формулировка
результатов и их обоснование составляют предмет большой работы и
здесь не приводятся.
§ 4. Итерационные программные конструкции
В этом параграфе мы рассмотрим вопрос о том, в какой
форме для задач, рассматриваемых в этой главе, можно применять
метод программных итераций π какие средства для этого
требуются. Речь пойдет, таким образом, о конструкциях, аналогичных
используемым в главах IV и V. Ситуация в данном случае
существенно осложняется тем, что, в зависимости от постановки
задачи, от класса используемых для ее решения стратегий нам
потребуются различные программные конструкции. Обратимся
к следующему простому примеру скалярной
конфликтно-управляемой системы (уже рассматривавшемуся в начале главы):
x = uv, Ы=1, 1Ы = 1, (4.1)
функционирующей на промежутке Т = [О, 1]. Рассмотрим для
простоты задачу с фиксированным моментом окончания Ф0 = 1
и термипальпым функционалом, определяемым соотношением
σ(χ{·&<,)) =ζ(,&ο). Пусть начальная позиция фиксирована: i0 = О,
.Го = 0. Будем по-прежнему считать, что первый игрок стремится
к минимизации данного терминального функционала с помощью
надлежащего выбора своего закона управления по принципу
обратной связи U*, который может быть: а) чистой стратегией, как
252

это было во всех предшествующих главах, в) смешанной
стратегией, с) коптрстратигией. В первом случае по реализовавшейся
позпцип (ί, χ) правило U* назначает, как и ранее, вектор и* е Рг
во втором случае — вероятностную меру
на мпожествеР, π в третьем случае — контруправлепие ν-*-u*(v)
со значениями в Р. Тогда каждому такому копкретному закону
управления U* будет отвечать свой пучок $&Ш*) движений,
построенных как предел некоторой последовательности пошаговых
движений, а этому пучку, в свою очередь, будет соответствовать
определенная величина, оценивающая качество процедуры U*,
а именно, число
sup σ(χ11]).
*[-]еЯ?(17*)
Минимальное (на множестве всех допустимых законов
управления U*) значение этого показателя качества как раз и будет
ценой дифференциальной игры для соответствующей постановки
при фиксированной начальной позиции (ί0, #о). Ранее показапо,
что в этих трех случаях цена игры будет равна соответственно:
а) 1, в) 0, с) —1. При этом каждая из упомянутых
дифференциальных игр будет такой, что цена игры совпадает с
соответствующим программным максимипом. Но сами программы как
множестиа, задающие вспомогательную программную
конструкцию, следует определить по-разному. Именно, в случае а) можно
.считать, что программа задается выбором контруправлення
и -*■ v(t, и) второго игрока со значениями в множестве Q и полу-
чается_как семейство всех пар («(■), и(0), u(-)eUr, у которых
y(£) = y(i, u(t)) при всех t. В случае в) программа (второго
игрока) задастся отображением t -»- ν,, где ν, — вероятностные меры
на Q, и получается как совокупность пар отображений
ί-*-μ(, ί-»-ν,
при всевозможных зависимостях t -*■ μ(, μ,^^". Наконец, в
случае с) можно считать, как и раньше, что программу задает
функция ν{·), и эта программа суть множество всевозможных пар
(ц(·), у(·)), υ(')ευΓ. Понятно, что в первом и третьем случаях
можно расширить реакции первого игрока в пределах указанной
ему программы до обобщенных управлений ί —*- μ,, μ,^^ по это
ничего не изменит в смысле достигаемого результата. Мы
постараемся в дальнейшем дать более пли менее универсальное
определение семейства программ (набора программ), которое бы
годилось при соответствующей конкретизации в упомянутых трех
(а, быть может, и еще в каких-то других) случаях. Как это
сделать? Постараемся ответить на этот вопрос в рамках данного
примера, пользуясь простейшими содержательными
построениями, пе лретепдующимп па строгость. Сначала мы укажем вид
253-

оптимальных программ для каждого из трех случаев, а затем
постараемся по возможности приблизиться к универсальному
определению программы. Именно, в случае а) оптимальная
программа второго игрока задается контруправлением v°(t, a) = и.
В случае в) оптимальное программное «смешанное» управление
есть функция ί-»-ν?, где мера vf при каждом t распределена
с равными весами 1/2 в точках ν = — 1 и υ = +1. Наконец
в случае с) всякое обычное программное управление и(·)
является оптимальным. Заметим, что если в случае в) нам никак не
обойтись без обобщенных программных управлений-мер, то в
случаях а) и с) мы можем пока без них прожить π оперировать
с обычными управлениями—программами и(·) и ν(·), что и
будем делать но мере возможности. Так вот, если игнорировать
случай в), то программы-множества (в классе обычных
управлений) можно задать следующим, универсальным для двух
оставшихся случаев, приемом. Именно, предположим, что программа
конструируется па базе контруправления (ί, и) -*- v*(t, и) боре-
левски измеримого по совокупности переменных и является при
этом такой, как и в случае а), т. е. семейством всевозможных
пар (ц(·), v{·)), у которых n(-)eUr и u(i) = y*(f, ait)). Тогда
программы для третьего случая с) будут частным случаем такого
определения при v*it, u) = v*(t). Таким образом, если встать на
такую позицию, то программы в обоих случаях а) и с)
определены одинаково, но в случае с) их просто меньше, что и приводит
второго игрока, ими распоряжающегося, к менее удачному для
пего исходу при оптимальном поведении: —1. Вспомним теперь,
что у нас есть еще (промежуточный) случай в), который пам
также хотелось бы подвести под общую схему определения
семейства программ. Но мы такой возможности просто лишены,
так как игнорировали пока само понятие обобщенного
программного управления. Теперь пам следует изменить свою точку
зрения по этому вопросу и разрешить второму игроку кроме
контруправлений использовать еще и обобщенные
управления-программы t-*-vt, а первому игроку соответственно предоставить
право выбора (обобщенных) программных управлений t -*■ μ(, без
которых нам трудно обойтись при решении дифференциальной
игры в смешанных стратегиях. Совместить упомянутые выше
соображения удается, если допустить, что второй игрок
определяет свою программу (программу-множество) выбором
обобщенного контруправления
(ί, и) — v,,„, ν,, „«=#, (4.2)
где Q — множество всех вероятностных мер па Q, а сама эта
программа (множество) получается как множество всех
(обобщенных) программных управлений η, возникающих каждое в
результате совокупного воздействия на систему некоторого
обобщенного управления-программы
«-•-μ,, μ,^ό3 (4.3)
254

(^, как и ранее,— множество всех вероятностных мер на Р)
первого игрока и (зафиксированного) контруправления (4.2) второго
игрока,— при переборе всевозможных реализаций (4.3).
Возникающее из (4.2), (4.3) управление η мы пока не будем
определять строго (это можно сделать по апалогии с представлением
управлений-мер η как ν · μζ в главе IV). Просто будем считать,
что совокупность таких управлений при зафиксированной
компоненте (4.2) составляет программу, которую будем называть лш-
пимакспой. Тогда в случае а) мы будем считать, что второй
игрок обладает (в соответствующих программных задачах)
правом выбора любой минимаксной программы; программный
максим ни при этом равен 1. В случае в) в распоряжении второго
игрока будет меньшее число минимаксных программ, а именно,
только такие программы, для которых порождающее их контр-
управлепие (4.2) от ц не зависит; программный максимип здесь
будет равеп 0. Наконец, в случае с) мы оставим второму игроку
совсем мало минимаксных программ, а именно, лишь те из них,
которые порождаются независящими от и π сосредоточенными
при всяком i контруправлениями (4.2), т. о. попросту функциями
t -*■ v(t). Программный макспмнн в третьем случае равеп —1.
Таким образом, мы как будто цашли универсальный (для всех
трех постановок дифференциальной игры) и притом весьма
конструктивный способ определения программы
(программы-множества), а именно — минимаксной программы второго игрока.
Отметил!, однако, одну неприятность, проявляющуюся в случае с).
Дело в том, что для этого третьего случая хорошо приспособлена
программная конструкция главы IV, а именно, семейство всех
v-программ. Будем называть ее в дальнейшем максиминной
программной конструкцией. Например, в этой конструкции
семейство v-управлепий (νε)^, [t0, ■&„])) *-слабо замкнуто, а
зависимость пучка движений, отвечающих каждой v-программе, от
порождающих v-управленпй непрерывна в хаусдорфовом смысле.
В результате максиминная программная конструкция в задачах
с непрерывной целевой функцией χ -*■ oix) всегда обладает
оптимальной v-программой. Так вот, при нашем определении
программы, как минимаксной, максиминная программная
конструкция пе охватывается данным определением, поскольку каждая
v-программа образуется как совокупность всех управлений-мер
ν · μζ, где μζ является уже обобщенным контруправлением
первого игрока, и, следовательно, способ построения ее (v-програм-
мы) опирается (см. § 2 гл. IV) на тип дискриминации,
отличающейся от (4.2), поскольку μζ это отклик
(£, ι;)-*μζ(ί, ν), μζ(ί, v)e=&>.
Погружение всей максиминной конструкции в семейство
универсально определяемых программных конструкций требует, к
сожалению, другого, более широкого, определения этого семейства,
которое мы приведем позднее. Сейчас же мы отметим, однако^
255

что в паше множество минимаксных программ может быть
погружена наиболее существенная часть максиминнои программной
конструкции, а пмепно семейство у(-)-программ (т. е. ν-προ-
грамм, у которых, мера ν порождается некоторым обычным
управлением !.'(■)), которое является плотным в нужном нам
смысле в пространстве уже всевозможных, v-программ. Оно, это
семейство, правда не замкнуто и не содержит, вообще говоря,
оптимальной программы, что затрудняет использование только
таких программ в тех илн иных классах игровых задач, где
решение находится эффективно. Но в итерационных конструкциях
§§ 4, 5 гл. IV семейство у(-)-программ пригодно для
использования так же, как и семейство всех v-программ, с небольшими
отличиями технического характера (например, в соотношениях для
оператора Г и функции ε° § 5 гл. IV максимумы на семействе
и(-)-программ могут не достигаться). Таким образом, из
приведенной конструкции на основе понятия минимаксной программы
все равно можно для каждой из постановок дифференциальной
игры извлечь свое семейство программ, пригодное для
организации итерационной процедуры решения игры в соответствующей
постановке. Заметим, что в нашем примере (4.1) цепа игры
совпадает уже с соответствующим программным макснмнном для
каждой из трех постановок этой игры.
Перейдем теперь к общим определениям, имея целью
формализовать приведенные выше содержательные построения. Прежде
всего, условимся обозначать для всяких ί^Γ π ^e[i, O0l:
Ж t — σ-алгебру борелевских подмножеств У ι (аналог σ-алгебры
<£>t борелевских подмножестн Zf в § 2 гл. IV), Шк, [t, θ]} —
множество всех мер μ на борелевском пространстве (У«, J£\)
(т. е. μ ξ s(yt, Jiff)), для каждой из которых
μ(ΓχΡ) = λ(Γ) (ГеЗ-|)
(аналог множества {<!?*, [ί, ϋ]}). Элементы μ множества (52χ,
[t, О]}, где ief и де[^ $:„], мы будем называть обобщенными
программными управлениями первого игрока на отрезке [ί, θ].
К такому понятию можно прийти, отправляясь от обычных
управлений и(·): U, ft] -*- Ρ, через промежуточное определение
обобщенного управления в виде зависимости
τ-*μ„ μ,^ό3 (*ΐ£τ<θ), (4.4)
трактуя эти элементы μ, как характеризацшо функций (4.4)
«в целом». Далее, для любого t^T мы введем множество T(.t,Ьа)
всех функций
νγ: y?°-v<?
:256

(ζ? — множество всех нормированных регулярных борелевских
мер на Q), для каждой иэ которых при всяком выборе борелев-
ского множества В, B<=Q, функция
(l,u)-+{vY(tu))(B), (ξ,ιι)ε^0,
значения мер νγ(ξ, и) на множестве В является борелевским
(т. е. измеримым относительно σ-алгебры Жг") отображением из
Yt° в [0, 1]. Элементы ντ множества Tit, θ0) будут как рае
исполнять роль контруправлений (4.2) в последующих общих
конструкциях. Отметим, что для любых
t s Τ, μ е {#λ) [it β,]}, ντ s y(i, φ0)
корректно определено единственное программное управление
νΓμε(*, [t, *.]>,
о·
для которого при всяком выборе борелевских множеств ΛΓ с У< °
н 5с()
(νγμ) ({(ξ, и, ν): (ξ, и, υ) е Ω?0°0, (ξ, u)ei,^ β}) =
= ί(νγ(ξ,«))(β)μ(<*(ξ,ιΟ). (4.5)
к
Отметим также, что программные управления (4.5) обладают
тем свойством, что для всякой непрерывной вещественной
функции
β, «,!?)-**(£,«, и), а, и, ν) 6= ωΓ°,
и для каждого множества ΛΓ е ,3ίί°/ ^гц)-пнтеграл от
функции g по множеству всех (ξ, и, ν): (ξ, и) ^ К, v^Q, совпадает
с μ-интегралом по множеству К от функции
(ξ, и) -» f ftiU (») (νγ (ξ, u)) (dw), (ξ, и) <ξξ Υ*°.
Q
Введем, наконец, для всяких t^T и vr e y°(f, ф0) множество
{π*(νγ), [ί, ·&„]} всех программных управлений η = ντμ: με{^,
[ί, Ф0П. Эти множества и будут минимаксными программами
второго игрока на отрезке [t, Ь0]. Мы заметим, что программные
управления вида νγμ как раз и описывают совокупное
воздействие на систему обобщенных программных управляющих процедур
вида (4.2), (4.3) для рассмотренного выше примера. Таким
образом, мы теперь для общего случая получили формализацию
понятия минимаксной программы второго игрока, содержательно
изложенную в начале параграфа для примера простейшей
минимаксной дифференциальной игры. Если теперь ввести три
семейства таких программ, аналогично тому, как это сделано
257

в примере, то мы получим для общего случая три определенные
строго программные конструкции, аналогичные случаям а), в), с)
в разобранном примере. Мы увидим, однако, что можно пойти
в этом направлении еще дальше, вводя определенные градации
для семейств таких минимаксных программ и получить таким
образом целый спектр программных конструкций па основе
одного и того же понятия программы-множества, а именно,
минимаксной программы. Но мы несколько отложим эти построения,
а сейчас рассмотрим другой, более общий способ единого
определения программных конструкций, а именно, понятие так
называемого набора программ. Предварительно мы отметим, что в
разобранных ныпте случаях мы стремились к получению
программных конструкций, специально приспособленных для описания
таких игровых задач программного управления, в которых
выбором программы-множества из некоторого допустимого семейства
ведает второй игрок, а последующим выбором управления из
указанной программы — первый игрок. При определении набора
программ мы, вообще говоря, можем такого соглашения не
придерживаться. Тем не менее в целях получения более содержательных
конструкций, а также для обеспечения большей преемственности
данного материала по отношению к конструкциям предыдущих
глав мы будем все-таки ориентироваться на такие правила
поведения игроков в возникающих программных задачах. Итак,
перейдем к обсуждению концепции набора программ. Прежде всего
мы напомним, что в нашем простейшем примере мы так и не
смогли истолковать максиминную программную конструкцию
гл. IV как семейство минимаксных программ. Попытаемся это
сделать на другой основе, не привязываясь уже к понятию
минимаксной программы. Для этого мы просто допустим, что
семейство программ задается аксиоматически, т. е. будем предполагать,
что для каждого отрезка [t, ftj, t&T, у пас задано какое-то
семейство 3?t множеств L, лежащих каждое в пространстве КЖ^ U, θ·0Π
допустимых программных управлений η на отреэке [t, O0l. Если
говорить о содержательной стороне дела, то можно провести
опять-таки следующую аналогию со случаем обычных
программных управлений: семейство 2*« можно было бы отождествить
с семейством множеств L, лежащих каждое в произведении U» X
XV( множества U( всех обычных управлений ιι(·): [ί, θ0ί -*- Ρ и
множества V( всех обычных управлений у(·): [f, ϋ-0] -*■ Q. К
сожалению, такая аналогия будет неполной, ибо потребность
в столь абстрактных наборах программ обычно возникает именно
при рассмотрении случаев, в которых существенным является
использование обобщенных управлений — мер (мы в этом
убедились в какой-то степени на примере, когда вынуждены были,
наряду с крайними случаями а) и с), рассмотреть случай в), где
по существу использовались обобщенные управления). Вернемся
к нашим общим построениям. После того как мы задали для
всякого ief соответствующее семейство 2Ί множеств L, можно
258

рассматривать игровые задачи программного управления, в
которых один из игроков (мы договорились уже, что это второй
игрок) распоряжается выбором множеств L из семейства 2\, а
другой — выбором управления η из указанного ему множества L.
Множества L в этом случае естественно назвать программами,
а семейства 2Ί — семействами программ на отреэке It, Ь0]. Если
иметь в виду перспективу приложения этих конструкций к
дифференциальной игре, то следует предусмотреть возможность
коррекции программ, а это потребует наложения определенных
условий уже на всю совокупность (J?f, t^T) семейств программ.
Условия эти таковы, что при их выполнении допускаются
склейка и сужение программ на меньший промежуток времени,
склейка управлений внутри отдельно взятой программы. Ситуация
эдесь совершенно аналогична случаю обычных управлений и(·)
и у(0, которые можно склеивать из кусков, сужать на меньший
промежуток времени и т. д. Введем строгие определения. Пусть,
для краткости,
Я( = 2<*х-['.·»]} (ί6ΞΓ)
— семейство всевозможных множеств допустимых программных
управлений η на отрезке it, {U- Мы будем обозначать для
всяких ie=7\ £e=[f, ф0], ч,е{Д, [t, θ„]} и η2 е {^λι [ζ, φ0]) через
(ηι -1- ηζ)ζ склеенное (в точке ζ из ηι и η2) допустимое
программное управление на отрезке [ί, Ф01:
■fti-L η2)ζ (Η) = %(Я П ([ί, ζ)χΡχ(?)) + η2 [Π(]Ώ>) (ffe У?0).
Аналогичным образом (t<=T, ζ <= [t, Ф0], ηΞ {3&\, [ί, Ф0Ш
у\ Ι ®Έ J — Сужение программного управления η на отрезок
[ζ, *,].· (η I Wl°) (Η) = η (Η) для любых Η е= ^*° (при этом учи-
тывается легко проверяемое свойство ffr0 с; ^(°). Далее, 2 —
тт 3{t
множество всех подсемейств % для каждого fe^ Π 2 — про-
teT
изведение вышеупомянутых множеств.
Набором программ будем называть всякий элемент
(2М,еГе= Π 2*',
удовлетворяющий следующим условиям 5, — S4:
Si) для всяких ί е= Τ, ζ е [ί, ϋ0], L, «= 2%, L, <= 2%
ί(ηι-1-η2)ζ: ηι^^ι, η2ε4)ε2Ί;
S2) для всяких ief, ζ е= [f, ft0], teS7,
259

S3) для всяких t^T, ζ^[ί, ф„], LeS',, η^Α ηζ^-ί»
(ηιΧίη,Ι^ΜΝϋ;
St) для всяких ief: 9?ХФ® и при этом Ζ,^Φ (Lei,).
Сразу же отметим, что макспмшшая программная конструкция
гл. IV порождает набор программ. Более точно это можно
сформулировать следующим образом. Пусть для каждого момента
tef g,(tn) — семейство всех v-программ па отрезке [£, θ01:
#ίΠ) = {{Π (ν), [ί, *„]}: ν e= {#λ, [t, θ0]}} (ί е= Г).
Тогда (й?{ш)«ег является набором программ. Таким образом,
данное определение охватывает конструкцию гл. IV. С другой
стороны, приведенное определение охватывает также π все
семейства минимаксных программ, о которых шла речь в примере,
разобранном в начале параграфа. Рассмотрим этот вопрос
несколько подробнее и полнее. Для этого мы прежде всего введем
следующие определения. Пусть для всякой функции ξ,
отображающей множество Ρ в множество Q всех вероятностных мер
на (Q, ЗВ), и для всякого множества Н^ЗИ
(ЕС-))(Я)-((Е(и))(Я), и^Р)
— суть функция значения мер ζ("), и^Р, на множестве Я.
Пусть, далее, Bq (jP, зФ) — множество всех функций ζ: P-+Q,
для каждой из которых
ЦШЮ = BiP, st) (Яе#),
где через В(.Р, si-) обозначено множество всех ограниченных и
измеримых относительно σ-алгебры si- функций g: P -*■ R\ Пусть
наконец для всяких момента JeJ1, функции vy : Yt °—> Q и
момента \ «= U, θ0]
ντ(ξ, ·) = (ντ(ξ, и), иеР)
суть ξ-сечение функции vr, так что
ν,(ξ, ·): P-+Q.
Тогда для произвольных ief и множества Ε, Ε a Bq (Ρ, зФ)
по определению
fit, θ„|£) = (vr : ντ s T{t, #,), ντ(ξ, ■) e Д (i < 6 < flo)> (4.6)
суть множество всех обобщенных контруправлений второго
игрока на отрезке [i, fyj, все ξ-сечения которых содержатся в Е.
Тогда для каждого непустого множества EcBq{P, si-)
система множеств (4.6) формирует некоторый набор минимаксных
программ. Более точно это можно сформулировать следующим
260

образом. Пусть для каждого непустого множества F <= Bq (Ρ, si)
по определению
^5n)(F) = {{n*(vy),[i,00l},vyer(i, ^0|F)} (ίε?'); (4.7)
^ si
тогда элемент (6=7· е Π 2 является набором программ
(F cBgiP, si-), F¥=0). Придавая различные значения
множеству F в соотношении (4.7), можно получать наборы программ,
соответствующие тому или иному характеру информированности
игроков в исследуемых задачах управления. Так, если считать,
что F = Bq{P, si), то мы получим набор всех минимаксных
программ (аналог случая а) в разобранном выше примере),
пригодный для итерационного решения (минимаксной)
дифференциальной игры, в которой первый игрок распоряжается выбором
чистой стратегии, а второй — выбором контрстратегии. Если
предположить, что множество F исчерпывается совокупностью
всех постоянных на Ρ функций (т. е. функций-констант ζ <= Q),
то мы получим набор «смешанных» программ (аналог
вышеизложенного случая в) конструкции для решения
дифференциальной игры в смешанных стратегиях). Наконец, если мы выберем
в качестве множества F подмножество всех таких функций-
констант, отвечающее только сосредоточенным в каких-то точках
v^Q мерам ζ, то мы получим аналог конструкции,
возникающей в случае с) нашего примера. Остановимся па этом случае
подробнее. Итак предположим, что множество F в соотношении
(4.7) составлепо из всевозможных постоянных на Ρ функций ζ,
%(и) = %, когда | пробегает множество всех мер на (Q, &),
сосредоточенных каждая в некоторой точке ds^ Тогда для
всяких ief и vr е= Tit, $<\F) можно указать некоторую
функцию
ι?(·): it, 00]-ρ, !;(·) = (ι;(ξ), [<%<■&,)
такую, что для каждого момента ξ ^ [tt О0]
vy (1, и) = β?(ξ) (и е= Р) (4.8)
(б„ при всяком ν & Q обозначает нормированную меру на (Q, $}),
сосредоточенную в точке ν). Можно проверить, что эта функция
ν{·) в соотношении (4.8) будет борелевским отображением из
It, τ>0] в Q, так что ι;(·) — обычное управление па отрезке [t, ΟόΙ.
Следовательно, в рассматриваемом третьем случае всякое
обобщенное контруправление vreF(i, fl0lF) (ίе Τ) порождается
каким-то своим обычным управлением ?(■) второго игрока на
отрезке. Но в этом случае каждая такая минимаксная vr-npor-
рамма суть г?(0-программа. Последнее утверждение требует
некоторого разъяснения. Дело в том, что в четвертой главе мы
поставили в соответствие каждому (обобщенному) программному
управлению ν е {gu [£*, θ·0]} (ί* е Τ) второго пгрока^-програм-
261>

му {П (ν), [<*,Ф01], которая совпадает с множеством всех
управлении νμζ, \Уг^-Ч1 (/*, О0). Допустим теперь, что ν
порождается некоторым обычным (борелевским) управлением ν{·), так что
v-программу (Π (ν), [ί*, ft0]] можно назвать (максиминпой)
г>(-)-программой. При этом на ν(-) мы смотрим здесь, как на
обобщенное программное управление-меру ν и именно в этом
смысле считаем его порождающим соответствующую максимин-
ную гГ(-)-программу. Но па эту же функцию vl·) можно смотреть
и как на контруправленпе vY, (i, u)-*-vr(f, и), (ί, и) е г^,_для
которого vy(f, и) e£f — суть мера, сосредоточенная в точке v(t).
И в этом смысле обычное управление ν(·) порождает
минимаксную и(-)-программу. Оказывается, что минимаксная и максимин-
пая у(-)-программы совпадают. Проверку этого утверждения мы
сейчас опустим. +- -..... -~»»-.>лаи..
Рассмотрим еще один пример набора минимаксных программ.
Сначала обсудим его на содержательном уровне, стараясь по
возможности вести разговор на языке обычных управлений и
контруправлений. Предположим, что, по условиям эадачи, для
второго игрока наблюдение всего вектора u(.t) е Ρ невозможно,
а наблюдение какой-то его (неполной) характеристики все же
допустимо. Здесь для простоты мы допустим, что он (второй
игрок) имеет возможность точпо узнавать по ходу дела лишь
первую координату udt) вектора u(t) е Ρ и делать с этой
информацией все, что ему заблагорассудится. Иначе говоря, мы
ограничим выбор его контруправления (для простоты
полагаемого эдесь обычным) множеством всевозможных борелевских
функций
(i, и,) — vHt, и,), и*(г, в,)е(),
где ul^Pi = iul: u^P), t^T. Тогда, при совместпой
реализации какого-то управления-программы
* —u(i), ief
первого игрока и контруправления ν* в системе реализуется пара
t -*■ u(t), t-*-v*it, Uiti)) обычпых программных управлений.
Рассмотрим, каким образом может быть построен набор
минимаксных программ, формализующий действие уже обобщенных контр-
управлений такого рода. Для этого мы введем Pt = {ul: и^Р}
и функцию πι: Ρ->-Pi проектирования на /\, так что лДц) = Ui
(и е р). После этого мы введем σ-алгебру $ФК всех борелевских
подмножеств Р, и множество Bq(Pu si-,) совершенно аналогично
множеству Bq(P, si-) заменой в нем:
р -* ри а-+ stt.
После этого в качестве множества F в (4.7) мы выберем
совокупность всех суперпозиций g°ni: ge Bq{P,, sld- В результате
2G2

мы получим полое семейство минимаксных программ (набор
программ), отвечающих данному типу дискриминации первого
игрока. Условимся называть его набором программ с неполной
дискриминацией первого игрока. В конце параграфа мы кратко
обсудим некоторые аспекты использования такого набора
программ, а сейчас мы перейдем к описанию метода программных
итераций применительно к абстрактному понятию набора
программ. При этом можно заметить, что в идейном отношении эти
конструкции не содержат ничего нового по сравнению с
материалом двух предшествующих глав: они могут быть получены
формальной заменой v-программ на программы из выбранного
набора программ. Поэтому мы ограничимся здесь их описанием
для игры с фиксированным временем окончания, имея своей
целью выяснение этой аналогии. Итак пусть 9? — (2Ί)(εΓ
произвольный (зафиксированный в дальнейших построениях) пабор
программ (в частности, это может быть некоторый набор
минимаксных программ). Снова, как и в § 4 гл. IV, мы будем
полагать, что целевой функционал определяется посредством
непрерывной скалярной функции χ -*■ а(х) как х(-) -+ oixifto)).
Введем оператор Г^и функцию z°cg (абстрактного) программного
максимпна,
Tz\ C(fXRn) + C(rxRn), е°геС(ГхВп),
с помощью соотношений: g-*■ Tg(g); для всякой позиции (ί, я)е
efXR»
(^ ν (g)) {t, x) = max sup inf g{$,y),
' t<o<o0 Le5>( ι/εφ(β,t.x.L)
e'g* (t, x) = sup inf σ (y)N,
где cpOfr, t, x, L) (ί ^ θ < θο, L^-S?i) суть множество всех точек
φ(·θ·, t, χ, η), когда η пробегает множество L. Затем введем, как
и в § 4 гл. IV, (абстрактную) последовательность Ыер, к е N0J
программных итераций:
е^ = е°г,е^ = Гг(е^Г1)) (к е= N)
и ее предел (он существует) c<g, с eg (t, χ) = lime^ (t,x) па
a
Τ X R". Можно отметить, что ε^ (ί, χ) для каждой позиции (ί, х)
суть аналог программного максимина § 4 гл. IV, оператор Τ eg
описывает реализацию оптимального результата в специальной
вспомогательной задаче программного управления. Что касается
величины с eg it, x), то ей также можно придать смысл
наименьшего гарантированного результата первого игрока в некоторой
идеализированной игровой эадаче. Чтобы сделать это, мы, по
263

аналогии с предыдущими главами, введем понятие (абстрактных)
квазистратегий, отвечающих выбранному типу программной
конструкции. Именно, для данного набора программ 3? π всякого
ief мы введем сейчас понятие i?,-квазистратегии, как реакции
на вырабатываемые вторым игроком программы. Для всякого
ief мы назовем 3?t-квазистратегией первого игрока всякую
функцию α: 3Ί-*■№/, Для которой ([·]* —операция *-слабого
эамыкания в {<Ж, U, Ф0]})
0=£а(Цс[Ц; (Lei,)
и для всяких Li^St (i = 1, 2), те[(, θ0] таких, что [L(; τ) =
= [L2; τ),—справедливо равенство [a(L,); x) = [a(L2); τ). Пусть
далее, At [3?t] — множество всех .2\-квазнстратегпй первого
игрока на отрезке U, #0].
Теорема 6.4.1. Для каждой позиции (ί, ι) е Г X R"
Cg{t,x)= min sup σ(φ(θ0, t, χ, η)).
Отметим, что, конкретизируя должным образом набор программ
& = (St'dteTi из данной теоремы можно извлечь
соответствующее утверждение для каждой из трех вышеупомянутых
постановок дифференциальной игры. Так, полагая 3Ί = <§г{П) (is T), мы
получим в качестве cg(t, χ) потенциал c°(i, x), изучаемый в
предшествующих главах. Если в качестве 3Ί выбирать множества
(4.7) при условии F = Bq (Ρ, si-), то величина с<р U, х) для
всякой позиции (ί, ϊ) е Г X R" совпадает с ценой позиционной
дифференциальной игры, в которой класс допустимых процедур
управления первого игрока исчерпывается множеством ипо> всех
(частых) стратегий, а класс допустимых процедур управления
второго игрока — суть класс всевозможных контрстратегий.
Наконец, в случае, когда 2Ί (t «= Τ) определяется (4.7) при
условии, что F суть множество всевозможных постоянных на Ρ
функций-мер,—мы получим в качестве cg(t, χ), (ί, χ) <= Τ Χ R",
цену игры в смешанных стратегиях. Обсудим на простом примере
еще и тот, ранее упоминавшийся случай, когда &t = &% (F) и
в (4.7) множество F исчерпывается семейством всевозможных
суперпозиций g ° nt: g ^ Bq(.Pi, si-J. Пусть для простоты
рассматривается скалярная (и = 1) управляемая система
χ = и'υ, меР = Р,ХРг, v^Q = Q,XQz,
где множества Plt Р2, Qt. Q2 совпадают каждое с двухточечным
множеством (—1, 1) па числовой прямой. При этом мы снова
будем считать, что Τ = [0, 1] и а(х) = χ deR'), При этом нам,
264

очевидно, потребуется исследовать обобщенную управляемую
систему вида
χ = \ ( \ (u'v) (v (i, uj) (dv)\ μ, (du),
где соответствующие интегралы сводятся к конечным суммам.
Тогда для каждой позиции (ί, χ), как легко проверить, ε^> (i, х)
будет совпадать с величиной χ + (1 — t). Далее, для любых
(ί, χ) е [0, 1] X R1
ей (ί, .г) = max sup Г inf ср {■&, t, χ, η) + (1 — *)1 =
= max f sup inf φ (■&, t, χ, η) + (1 — Φ)
= шах[х + (О — ί) -Ь (1 — θ)1 = χ + (1 — ί) = 8%, (ί, г),
так что функции сер и ε^> совпадают. Заметим, что величине-
С£>(0, 0) можно дать следующую интерпретацию как цепы
дифференциальной игры. Пусть класс допустимых процедур
управления первого игрока исчерпывается множеством всех
смешанных стратегий, а класс всех допустимых процедур управления
второго игрока составляют всевозможные смешанные
контрстратегии F(f, χ), сопоставляющие позиции (ί, χ) функции ui -*■ νΥ{ιΐι)-
со значениями из ζ?. При этом здесь можно даже обойтись
смешанными программными стратегиями и контрстратегиями. Тогда
с%> (0, 0) суть цена игры для таких классов управляющих
процедур игроков, eg (0, 0) = 1. Для сравнения заметим, что
соответствующие аналоги пеличин цены игры, для примера, в начале,
этого параграфа будут а) 2, в) 0 и с) —2, так что наш случай
является примером постановки дифференциальной игры,
отличной от всех ранее упоминавшихся в этой книге.
Отметим сейчас также следующее обстоятельство,
относящееся к решению тех дифференциальных игр, в которых решение,
достигается на множествах Un03 и Vno3 чистых позиционных
стратегий игроков. Для большей наглядности рассуждения
проведем на примере § 6 гл. IV, удовлетворяющем условию седло-
вой точки в маленькой игре. Мы знаем, что в этом примере все
три известные и упоминавшиеся в начале параграфа постановки'
дифференциальной игры дают один и тот же потенциал игры,,
совпадающий с функцией
(i, x) -*■ Co(i, x), (i,i)erXR",
определяемой итерационным методом § 5 гл. IV. Но, как уже·
упоминалось рапсе, для каждой из этих трех постановок игры
26S

можно предложить свой набор минимаксных программ,
реализующих в пределе ее решение (потенциал игры). Так, если взять
набор всех минимаксных программ, то мы получим набор
программ для решения игры в классе пар «чистая стратегия первого
игрока — контрстратегия второго игрока». Но потенциал этой
игры снова есть с„ = с0. Таким образом, в данной игре для
реализации потенциала с° можно использовать другой метод
программных итераций, отличный от изложенного в § 5 гл. IV.
Естественно возникает вопрос о том, как соотносится число
итераций, потребных для реализации с0 этим методом, с
аналогичным показателем итераций для метода § 5 гл. IV. Оказывается,
что при использовании для построения потенциала игры
итерационного метода на основе набора всех минимаксных программ
такое потребное количество итераций существенно меньше, чем в
§ 6 гл. IV, т. е. в смысле числа итераций, затрачиваемых па
реализацию с0, итерационные конструкции этого параграфа могут
быть более предпочтительны. Покажем это.
Пусть (в условиях примера (4.6.1)) для каждой позиции
(f, i)erXR' = [0, 1] XД1 функция
ΐ7β(-|ί, x) = (v°(u\t, χ), иеР),
отображающая множество Ρ в Q определяется следующими
условиями:
1) если 1 — t ^ |х|, то
v°(u\t, х) =—Ы +sgax) (и^Р),
2) если \х\ < 1 — ί, то
v'(u\t,x)=-[u + T^ (иеР).
Пусть, кроме того, для всякой позиции (ί, а;) е [0, 1] X R1
(обычное) контруправление
v*{-\t, χ) = (ν*{τ, u\t, χ), ί<.τ«1, u^P)
второго игрока на отрезке [ί, 1],
o*{.\t,x): Y}-*Q,
таково, что при всех и <= Р:
у*(т, u\t, χ) = v°(u\t, x);
так что
и -f- ν* (τ, u\1, χ) ч= ζ*,χ (ί<τ^1, меР),
где число tt,x^[—1,1] равпо —sgna; при 1 — £ < Ы (здесь
sgn у = — 1 при у < О, sgn у = 1 при 0 < у) π —хИ — t)~l при
266

Ы < 1 - t. Пусть
хН; t, χ, u(0) = (χ*(τ, t, χ, u(-)), t < χ < 1)
суть движение, реализующееся (из начальпон позиции (ί, χ))
в системе (4.6.1) под воздействием (обычного) управления и(-)
и (обычного) контруправления v*(-\t, x), так что
χ* (τ, t, χ, и (·)) = х + ζ*,* (τ — *)
при всех τ e= [t, 1] ((ί, a;) e= [0, 1] X R\ u(·) e U,, U, —
множество всех обычных управлений первого игрока на отрезке [t, 1]
со значениями в множестве Ρ = [—1, 1]). Тогда, для функции
χ -*■ <з{х) § 6 гл. IV справедливо, для всяких (£, χ) «= Τ X R1
и м(-) <= и(, равенство
σ*(ί, а:, и(·)) -= σ(χ*(1, ί, J·, «(·))) "=
«sup (|0, l-|*-f ζί.χ(1-θΙΙ)
и, следовательно,
σ*(ί, χ, u(·)) = suP({0, 2 - (|*| + *)})
при \x\ ~> 1 — £, и
σ*(ί, я, u(·)) = 1
при Ы < 1 — t, так что, с учетом (4.6.3), для каждой позиции
it, χ)
σ*(ί, χ, u(·)) = c°(i, a:).
Из этого равенства вытекает для данного примера совпадение
потенциала с0 с функцией ejg, при условии, что
ЯГ, - £(fn> (F) (tef),
где F = Bq(.P, si-). Таким образом, если рассматривать нашу
дифференциальную игру в свете минимаксных программных
конструкций этого параграфа, то она является регулярной в
смысле равенства ε^. = с0, где & — набор всех минимаксных
программ.
§ 5. Дифференцируемый по направлениям потенциал
дифференциальной игры ^
Данный параграф содержит дальнейшее обобщение
основного уравнения теории дифференциальных игр. Приведенные здесь
результаты были получены после того, как книга была сдана
в печать. Авторы благодарны редакции за предоставленную
возможность включить в книгу эти результаты.
Напомним, что в гл. III приведены необходимые и
достаточные условия, которым удовлетворяет кусочно гладкий либо
267

регулярный потенциал дифференциальной игры. Указанные там
условия даны в форме дифференциальных неравенств,
обобщающих основное уравнение па случай негладких функций.
Дальнейшие исследования позволили установить
необходимые и достаточные условия для потенциала,
дифференцируемого по направлениям. При этом было получено компактное и
естественное обобщение основного уравнения теории
дифференциальных игр. Отметим, что класс функций, дифференцируемых
по направлениям, охватывает кусочно гладкие и регулярные
функции, определенные в гл. III. Обратимся к формулировке
результатов.
Пусть с(·): Τ X R" -»- R — локально лппшицепая функция.
Предположим, что для любых («#, х* ) е [ίί0; fl)XR" и ;/eR"
существует предел
%(н'»?)= К™ И'*+ «.*· +«У)-'(**.**)! δ-1· (5.1)
Таким образом, здесь предполагается существование
производной функции с(·) по направлению (га +1)-мерного вектора,
первая компонента которого равна 1, а остальные η компонент
суть компоненты вектора у. Направление, в котором
вычисляется производная, определяется вектор-столбцом (1, у,, ..., уп)';
в обозначении производной 3c(i#, я*)/3(1, у) символы
транспонирования опущены. Совокупность локально липшицевых
функций с(·): Г X R" -»■ R, дифференцируемых по любому
направлению (1, у) (i/ e R") будем обозначать символом LD.
Отметим одно свойство производных по направлениям. Пусть
с(·) е LD, (i*, х*)^ [foot ■*) X Rn. Рассмотрим функцию у-*■
-*■ dc(t%, Χχ)Ιδ (\, у). Нетрудно показать, что эта функция
удовлетворяет условию Липшица. Действительно, для любых j/c<> ^
eR" (i = l, 2) имеем (см. (5.1))
1ГСгЛ= Нт(а(б)-|-Р(б)),
"(1. У(Л)) Л-^ + 0
где ·
α(δ) = [φ* , β, ** -Ι- г/(2)б — φχ, ж*)^-1,
Ρ(δ) = [c(<*+e, χ* -:- ι/(ΐ)δ — β(**+β, χ* -ι- ί/(2)δ)]δ-1.
Поскольку функция с() удовлетворяет условию Липшица, то
3(δ) «£ λΙΙϊ/(ΐ, — [/(2,1!. Получаем оценку
jj^; = lim α (δ) + lim β (δ)< ^ТГГТ + λ И ί/<ι>-</(*, ||·
'Ч1· %)) e-»+o a-+o a(l>'Jw)
Переменив местами у(1) π ут, заключаем
Рассмотрим дифференциальную игру, движение в которой
описывается уравнением (1.1). Функция / в правой части этого
263

уравнения удовлетворяет стандартным требованиям,
перечисленным в § 8 гл. I. Будем сначала предполагать, что выполнено
также условие седловой точки маленькой игры — равенство
(2.8.2). Полагаем, что плата дифференциальной игры эадана
фупкцпоналом γ(#(·)) вида (1.4) либо вида (1.5). Как показано
в гл. III (см. § 1 и § 7), потенциал с{(·): Τ χ R" -* R
дифференциальной игры с платой γι(ζ(·)) = σ(χ(θ)) удовлетворяет
условию Липшица в любой ограниченной области G<=-TX. R",
если функция - платы σ: R" -*- R локально липшицевая.
Аналогично потенциал с\ (·): Τ χ Rn ->- R дифференциальной игры
с платой γ2(^(·)) =min ω(ί, x(t)) будет локально лишшщевой
t0<t«>
функцией, если таковой была функция ω. Укажем необходимые
и достаточные условия, которым удовлетворяют потенциалы
*"?(·) п сг(·) в случае, когда опи дифференцируемы по
направлениям.
Справедливы следующие теоремы.
Теорема 6.5.1. Пусть выполнено условие (2.8.2). Для того
чтобы функция с(·): 7,XR"->-R, принадлежащая классу LD,
была потенциалом дифференциальной игры с платой γ, (1.4)
необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке ieR"
выполнялось равенство
с(0, χ) = σ(χ) (5.2)
и в каждой позиции (ί*, χ*) <= [t00, О) X R выполнялись
неравенства
шах mm "Λ,."*.* <j 0 при v^Q, у е Ft (ί*, χ*, ν), (5.3)
mininax c\ *' **' ^0 при и<=Р, y^F2{t*,x*,u), (5.4)
здесь
I'\{t*, ί*, ν) = со{/(i#, а:*, и, t>):u (=/>},
F2 (£*, x*, и) = со {/ (i*, a;*, u, ν): υ e= <?}.
Теорема 6.5.2. Пусть выполнено условие (2.8.2). Для того
чтобы функция с(-): 7,XR"->-R из класса LD была
потенциалом дифференциальной игры с платой γ2 (1.5), необходимо и
достаточно, чтобы при любых ief и χ е Rn, выполнялись
соотношения
c({,i)<B(i,i), c(ft, χ) =ω(-0, ж); (5.6)
в каждой позиции (ί*, χ*) е [ίου, θ) xR имело место
неравенство (5.4) и га/ш. всея (£*, а:* ) 7/з области {(i, a;) e Li0o, OXR":
cU, x) < ω(£, ж)} выполнялось неравенство (5.3).
Отметим, что в (5.2) достигаются минимум по у из
^ι (<*, я*, у) π максимум по и из С, а в (5.3) достигаются
максимум по у из F2{t^, х*,и) н минимум по и из Р. Это сле-
209

дует из лиишицевости функции у-*- 5c(i.+, х*)1д (1, у), компакт-
пости множеств ί\(£*, χ*, ν), F2(t^, х%, и), Q и Ρ и
непрерывности многозначных отображений V-*■ ^(ί*, хх, v), u->F2(t*,
х%< Щ1
Доказательство теорем 6.5.1 и 6.5.2 сводится к
проверке эквивалентности неравенств (5.3) и (5.4) неравенствам
(3.2.1) и (3.2.2) соответственно. После проверки такой
эквивалентности доказываемые здесь утверждения сразу следуют из
теорем 3.2.1 и 3.6.1. Напомним, что при выполнении условия
(2.8.2) теоремы 3.2.1 и 3.6.1 справедливы для нелинейной
дифференциальной игры (см. § 7 гл. III). Для доказательства
требуемой эквивалентности рассмотрим вспомогательное
утверждение.
Пусть (t, χ) -ν F# {t, χ) — непрерывное многозначное
отображение (см. § 8 гл. I). Предполагается, что при каждом (ί, χ) <=
efXR" множество F* (t, x) есть выпуклый компакт в R",
удовлетворяющий вложению
F* (ί, χ) с: со {/ (ί, χ, и, ν): веР, we Q}.
Обозначим через 26* {t#, x%) пучок решений
дифференциального включения
i(i)ei,(t,i(t)) (**<ί<θ, *(*„)=*„).
Пусть задана функция с(-): 2™ X R"-»-'R. Определим величины
d* (χ (·)) = ΊϊπΤ [с (ί, + б, χ (t, + δ)) - с (*„, ж»)] δ-1,
d* (χ (·)) = "Йт [с (ί, + δ, я (ί* + δ)) - с (f „ ж,)] δ-1,
δ->+0
здесьа;(·) е $?* (£*, г*). Справедлива следующая лемма.
Лемма 6.5.1. Если с(-) eLD, ro множества
D*={d*{x(·)): х(.)еЯ?,(«„а:»)},
D, = {<**(*(■))= *(')е Я?* (**.**)}.
совпадают.
Доказательство леммы. Пусть ώ е D* (J £>*. По
определению множеств .D* и D* существуют х{·) е #?* (ί*, χ*)
и последовательность бк > 0 (й: = 1, 2, ...), δ* -»- 0 при к -*- °°
такие, что
<2 = lira [с (ί, + δΛτ ж (ί* + 6h)) - с (ί*, «*)] βΓ1. (5.7)
ft-»oo
Из свойств многозначного отображения ^*(·) следует, что
ж (** + δΛ) = а;* + Уь. · 6h + zX,
где n»eF,(t„ij) (Λ = 1,2,...), |**|-»-0 при к-» °°. Мно-
270

жество F* (<*, а;*) компактно, поэтому последовательность ук
(fc = l, 2, ...) имеет предельную точку ^ е f, (tt) it). Для
упрощения обозначений можно сразу полагать, что Ук~*-У* при
к -*■ °°. Используя обозначение zh = zft + Уъ. — У*, получаем
a: (i* + Sft) = ж* + г/*бЛ + zA, (5.8)
Uh\ = Uk + Vk-y\-+0 при ft->~. (5.9)
Подставив (5.8) в (5.7), имеем
d= lim(ch + rft).
ft.-»oo
c/ι = [с (ί* + δΛ, а;* + г/*А) — с (ί*, а;*)] δ^"1,
• rh = [с (i* + 6ft, a:* + ?/^6fc + zh6h) — с (£* + Sft, a:* + z/*6A)l δ^"1.
Функция с() липшицевая, поэтому
|rk| <L HzJI-^0 при А:-*-<».
Далее, согласно (5.1)
lim Ch = *1|ь^.
fc-,οο ^(1. У»)
Итак, получаем, что для любого ώ е D* \J D* существует ,v* s
е^Л'*! а;*) такой, что d= dc{t*, х*)/д(1, j/,). Тем самым
доказано вложение
D*UO*cC. (5.10)
Пусть теперь J/* — произвольный вектор из множества
F*(t*i х*)· Рассмотрим решение а;(·) е -\-χ* (ί*, а;*),
удовлетворяющее условиям (5.8), (5.9) для любой последовательности δ* >
> 0 (А = 1, 2, ...), бк-*-0 при /с -+■ оо. Такое решение
существует в силу свойств многозначного отображения ί,Λ(·). Из
приведенных выше выкладок следует, что предел (5.7) существует и
равен величине dc(i*, x*)/d(l, j/*). Отметим, что для
рассматриваемого здесь движения я(-) предел (5.7) не зависит от
выбора последовательности δ* (&=1, 2, ...). Поэтому получаем
<?(!> !/») *
Итак, доказано вложение
Ccz{D+r\D*). (5.11)
Из (5.10), (5.11) следует утверждение леммы.
Воспользуемся леммой 6.5.1 для доказательства теорем 6.5.1
и 6.5.2. Полагая F^it, х) = F1(t, х, и)]в силу леммы 6.5.1
получаем равенства
inf Шп [с (/, χ (i)) -c(t*, «„)] (ί - f*)-1 =
«•им»
= inf 5c (£*, ж#)/3 (1, у) = min 5с (ί#, х*)/д (1, ι/) (5.12)
ν ι/
271

при
ϊ(·)ε*(ί„ a:*, ν), ye^li,,!*,»),
где й? (£*, а;*, у)— пучок решений дифференциального
включения
χ (t) e= ί\ (£*, а;*, и) (f* < t <и, τ (ί*) = ζ*).
Равенство (5.12) справедливо для любого v&Q, поэтому
sup Ы "Йш [с (t, χ (t)) — с(г*, χ*)] (t — i*)_1 =
г> дч-)(4/,
= max min дс (*„, a·*)/^ (1, a)
r I/
при
i'e=<?, a:(.)e= #?(£*, а;*, у), ί/e ^(ί*, ι*, у).
Полагая Fx (f, a;) = F2 (t, x, и), приходим к равенству
inf sup lim [с (ί, a: (ί)) — с (t*, χ*)] (t — ί*)-1 =
u *<·>Τ777
= min max дс (£*, а;*)/д (1, у)
и у
при
и е Р, х{·) е ^ (i*, хл, и), у ^ F2(t^, x^, и),
где #? (£*, я*, и) — пучок решений дифференциального
включения
χ (i) e F2 (i, а; (ί), и) (i* <! i <! у, а; (ί,,.) = χ*).
Таким образом, получаем, что неравенства (5.3) и (5.4)
равносильны неравенствам (3.2.1) и (3.2.2) соответственно. Как
отмечалось выше, этого достаточно для доказательства теорем
6.5.1 и 6.5.2.
Рассмотрим некоторые следствия из теорем 6.5.1 и 6.5.2.
Покажем сначала, что там, где функция с(·)
дифференцируема, неравенства (5.1) и (5.4) обращаются в основное уравнение
^%i£^-|-minmaxgradxc(ii!,a:*)/(i*,a;!)!,«,i;) = 0. (5.13)
Действительно, пусть функция с() дифференцируема в точке
(**t я*). Тогда для любого #eRn производная по направлению
определяется равенством
272

Учитывая равенства (2.8.10), получаем
dc(i,,x,)
max mm ,,. .
= Ι, + max mm grad^c (t*, ζ*) у =
(при jefjlt,,^,»))
= с д/ J* + max min grad^c (£*, χ*) f (f*, ζ*, u,u),
5< bsq uep
-f- min max grad^c (£*, я*) у =
mm max .,. .
ueP „ д (1, V)
(при iieF,((„^B))
dc (t χ }
= v, + min max εΓ&^ (f*. **) / (**, **>".ν)-
Здесь в силу условия (2.8.2) операции минимума по и и
максимума по ν перестановочны, поэтому из (5.3), (5.4) следует
равенство (5.13).
Укажем теперь модификацию неравенств (5.3) и (5.4) для
случая, когда множества
{/(<*, я*, и, v):u(=P},
{/((„ι,Λΐ)):ιιε?} (5.14)
выпуклы при любых (ij.jiJerxR'^e^uei'. В данном
случае множества (5.14) совпадают с множествами ^Ί(ί*» x*iv)
Η„^Ί(**ι х*> и) соответственно. Поэтому, используя обозначение
<?<·(<*>**) r>c(tm,xt)
d[u,v] ~~ d(i,1(t0,Xt>,u,v)) ^ ' >
неравенства (5.3) и (5.4) можно записать следующим образом
max min dc{t*, х*)/д [u,v]^.Q, (5.16)
min max 9c (ί,,., Хц)1д [и, v]^ 0. (5.17)
Отметим, что введенный в этом параграфе класс LD
функций, дифферепцпруемых по направлениям, достаточно широк,
он содержит, в частности, кусочно гладкие и регулярные
функции, определенные в §§ 3, 7 гл. III. Можно показать, что для
273

этих функций производная по направлению определяется
равенством
^ = mm p>i^'*«> + gradl9l (ί%, *„) у.
££_('»> г*)
Используя это равенство и теоремы 6.5.1 н 6.5.2, можно получить
необходимые и достаточные условия, сформулированные в гл. III
для кусочно гладких и регулярных потенциалов
дифференциальных игр.
Укажем выражение для производпой по направлению для
кусочно гладкой функции вида
(t, x)-*-c(t, χ) = тштахфу((,г), (5.18)
lei jeJ
где / и / — некоторые конечные множества, φ«(·): ΤΧΚ"-»-!!
((ί, ;)е/Х/) — непрерывные функции, дифференцируемые па
(ίοο, ш X R". Для функции с(-) вида (5.18) справедливо равенство
g\l y* = mm max ^—J— 1_ βΙβά«φυ (**, ζ*) у J (5.19)
при i е Ι0 (ί*, χ*), j e J0 (t*, χ*, i).
Здесь
J0 (**, ·τ*, 0 = {/'„ «= /: q>i,j0 (i*, ζ*) = max cp{j (г*, а;#)|,
^o (f*. a:*) = /i0 «= /, max cpy (ί„ a:*) = с (i*, ж»)|.
Вывод равенства (5.19) см. в [16].
Подставив (5.19) в (5.3) и (5.4) согласно теоремам 6.5.1 и
■6.5.2 получаем необходимые и достаточные условия для
потенциала вида (5.18).
Отметим еще одно следствие из доказанных здесь теорем.
Рассмотрим задачу управления, движение в которой описывается
уравнением
x = f(t, χ, и),
где по-прежнему функция / удовлетворяет стандартным
условиям, указанным в § 8 гл. I, а управление и стеснено
ограничением и^Р. Полагаем, что задан функционал γ(ζ(·)) вида (1.4),
значение которого требуется минимизировать выбором
управления u{-)^UT. Будем предполагать, что множество {/(ί, χ, и):
и^Р) выпукло для всех U, iJefXR». Символом cx(i*, xx)
обозначил! оптимальный результат в рассматриваемой задаче
управления, определенный для исходной позиции (ί*, я,,.).
274

Согласно принятой в книге терминологии, фупкцию (ί*, χ*)—*·
—*-ci(**ι χ*).будем называть потенциалом в задаче управления.
Дапную задачу управления можно рассматривать как частный
случай дифференциальной игры, в которой второй игрок не
может влиять на управляемый процесс. Формально можно
полагать, что множество Q состоит из одного элемента. Тогда,
используя обозначение (5.15), из неравенств (5.3), (5.4) получаем
г, . дс (ί*, х~) . дс (i*, xj)
О < mm max „\* *' = mm /*' *' ■ =
= max mm _, , < 0.
Таким образом, приходим к выводу:
Для того чтобы функция e(-)eLD была потенциалом в
рассматриваемой задаче управления необходимо и достаточно,
чтобы выполнялись равенство (5.2) и равенство
inin *,(|·'*** » - 0 (5.20)
при (i^^el/^^xR".
Равенство (5.20) можно трактовать, как обобщение основного
уравнения в случае задачи управления. Обратим внимание на
то, что в задаче управления потенциал всюду удовлетворяет
•равенству (5.20). В дифференциальных играх, в отличие от
задач управления, возможны ситуации, когда в соотношениях
(5.3), (5.4) реализуются строгие неравенства.
В заключение укажем изменения, которые требуется внести
в формулировки необходимых и достаточных условий для
потенциалов дифференциальных игр при отказе от
условия (2.8.2).
Пусть дифференциальная игра складывается из задач 6.1.1
(I) и 6.1.2 (I), где γ = γι (1.4). Для потенциала этой игры
формулировка необходимых и достаточных условий получается из
формулировки теоремы 6.5.1 при замене операции максимина
в (5.3) операцией maxmin, где ι;(·): Ρ -*■ Q — всевозможные
*(■> у
контруправленпя,
?/е cl со{/ (£*, х^, и, v(u)): не Ρ).
Производя такую же замену в формулировке теоремы 6.5.2,
получаем необходимые и достаточные условия для потенциала
дифференциальной игры 6.1.1 (I), 6.1.2 (1), где γ = γ2 (1.5).
Чтобы получить необходимые и достаточные условия для
потенциала дифференциальной игры 6.1.1 (II), 6.1.2 (II), где
γ = γι (1.4) или γ = γ2 (1.5), следует в формулировках теорем
275

6.5.1 и 6.5.2 операции максимнна н минимакса определить
следующим образом:
maxmin при ve^,i/e {/(**. я*, μ, ν) :це^}
V и
min max при μ е &, у е {/ (ί*, я*, μ, v):ve ζ?}.
Наконец, в дифференциальной игре 6.1.1 (III), 6.1.2 (III)
в неравенстве (5.4) операция мипимакса заменяется операцией
min max, где u(-): Q->P — всевозможные контруправления,
у е= d со {/ (/*. .τ*, ιι (ι·), ν) : ν <εξ Q).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ КОММЕНТАРИИ
К главе I
Определения позиционных стратегий, процедур управления с
поводырем и соответствующих им движений были предложены в работах [7*, 26 в),
г), 29 а), б)]. Определение квазлстратегии как одпозпачного отображения
восходит к работе [112], в последующем такое определение
рассматривалось многими авторамп (см., папример, [95, 100 в), 114 а)]), дальнейшее
развитие этого понятия связано с определением квазистратспш как мно-
гозиачпого отображения и привлечепием аппарата управлешш — мер (см.
комментарий к гл. IV). Дифференциальная игра преследования-уилонопия
для однотипных линейных объектов была впервые изучена в работах
[26 а) б)].
К главе II
Доказательство теорем об альтернативе следует, в основпом, схеме,
предложенной в работах [7*, 26 в), г), 29 а)]. Примеры дифференциальных
игр, указанные в § 6, исследовались различными методами в статьях [46 а),
53 а), 71 а)]. В § 7 доказано существование цепы дифференциальных игр
и указана структура оптимальных стратегий, образующих седловую точку.
В теории дифферепцпальных игр известно также другое доказательство
существования цены, основанное на аппроксимации дифференциальной
игры последовательностью многошаговых игр. Этот подход восходит к статье
[94], в последующем оп был развит в работах [14*, 47, 119, 120], Заметим,
что в отмеченных работах пе выявляется структура оптимальных стратегий.
К главе III
Полученные здесь соотношепия для кусочно-гладкого функционала
имеют такую же природу, что и известные ранее условия регулярности
программных конструкций (см., например, работы [7*, 8, 26 в), г)]). Для
задачи, рассматриваемой в § 5, условия регулярности программного макси-
мина исследовались ранее в работе [67 а)].
Решение различных примеров дифференциальных игр, которое
сводится к интегрированию основного уравнения и анализу сипгулярпостей,
составляет предмет большого числа статей (см., например, [86, 89, 109, 111]),
последовавших за работой [1*].
К главе IV
Методы программных итераций для решения позиционных
дифференциальных игр рассматривались в [38 б), 74, 80]. Программные
конструкции на базе обобщенных управлений-мер для построения оптимального
управления по принципу обратной связи в нелипейных копфлпктно-управ-
ляемых системах были нредложеиы в работах [7*, 7, 26 в), г)] π
рассматривались затем многими авторами. Определение квазистратегий на
пространстве обобщоипых управлении дано в [74, 106].
277

К главе V
Задачи конфликтного управления с фиксированным моментом
окончания, в которых потенциал игры совпадает с первой итерацией
программного максимипа, рассматривались в [38 б), 74 б)]. В ряде работ (см.,
например, [71 б)]) решения такого рода задач трактовались на языке множеств
программного поглощения и их первой итерации. Методы программных
итераций для дифференциальной игры с нефиксированным временем
окончания предложены в [74 в), 80]. Итерационные процедуры построения
множеств позиционного поглощения предложены в [71 б), 74 а)].
К главе VI
Решение игровых задач управления в классах коптрстратегий а
смешанных позиционных стратегий было определено в работах [7*, 26 в), г),
29 а)]. Аппроксимация смешапных позиционных стратегий
рассматривалась в работах [7*, 26 е), 30]. Методы программных итераций § 4 для
решения минимаксных дифференциальных игр, базирующиеся на понятии:
пабора программ, предложены в [74 г)].

ЛИТЕРАТУРА
Справочная литература
1*. Айзеке Р. Дифференциальные игры.— М.: Мир, 1967.
2*. Б а р б а ш и π Ε. А. Введение в теорию устойчивости.— М.: Наука, 1967.
3*. Бескопечные антагонистические игры: Сб. статей.— М.: Физматгнз, 1963.
4*. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными н
функциональными уравнениями.— М.: Наука, 1977.
5*. К о л м о г о ρ о в А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и
функционального анализа.— М.: Наука, 1976.
6*. К ρ а с о в с к и и Н. Н. Теория управления движением.— М.: Наука, 1968.
7*. К ρ а с о в с к и й II. II., Субботин А. И. Позиционные
дифференциальные игры.— М.: Наука, 1974.
8*. К у ρ ж а п с к π й А. Б. Управление и паблюдение в условиях
неопределенности.— М.: Наука, 1977.
9*. Η е в ё Ж. Математические основы теории вероятностей.— М.: Мир, 1969.
10*. Π о н τ ρ яг и н Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.—
М.: Наука, 1974.
И*. Π он τ рягин Л. С, Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В.,
Мищенко Ε. Φ. Математическая теория оптимальных процессов.—
М.: Наука, 1976.
12*. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ.— М.: Мир, 1973.
13*. Филиппов Λ. Φ. Дифференциальные уравнения с разрывной
правой частью.—Матсм. сб., 1960, 51 (93), № 1.
14*. Friedman A. Differential games.— New York: Wiley Intersci., 1971.
15*. Kuratowski K., Ryll-Nardzewski С A general theorem on
selectors.— Bull. Acad. Polon. Sci., 1965, 13, Λ· 6.
16*. Rademachcr H. Ober partielle und tolale Differenzierbarkeit von
Funktionen mehrer Variablem under iiber die Transformation der Dop-
pelintegrale.— Malh. Ann., 1918, 79, p. 340—354.
Специальная литература
1. Альбрехт Э. Г. О встрече квазилинейных объектов в регулярном
случае.— ПММ, 1971, 35, № 4.
2. А л ь б ρ е χ τ Э. Г., Логинов М. И. О непрерывной зависимости
линейной игры сближения от параметра.— ПММ, 1976, 40, № 2.
3. Б а й б а з а ρ о в М., Субботин А. И. Обобщенные потенциалы'в
дифференциальной игре с фиксированным моментом времени.— ПММ, 1978,
42, № 2.
4. Байдосов В. А. К вопросу о конфликтно управляемых системах в
метрическом пространстве.— Дифференту урави., 1978, 14, № 7.
5. Байсакалов И. Б. Регуляризуемый случай игровой задачи
наведения.— Труды ИММ АН Каз.ССР, 1971, 2.
6. Б а р а б а н о в а Н. Н., Субботин А. И. О классах стратегий в
дифференциальных играх уклонения от встречи.—ПММ, 1971, 35, № 3.
279

7. С а т у χ τ π ιι В. Д.
а) О дифференцируемое™ цепы дифференциальной игры сближения.—
Дцфферснц. уравн., 1972, 8. № 12;
б) Экстремальное прицелипапие в полинейной игре сближения.— ДАН
СССР, 1972, 207, № 1;
в) О соотношении между условиями разрешимости
дифференциальных игр.— ПММ, 1976, 40, Λ» 2.
8. Б а т у χ τ и π В. Д., Чепцов А. Г. Об одной программной
конструкции в позиционной дифференциальной игре.— Изв. АН СССР. Серия
матом., 1975,39, №4.
!). Б γ с л а е в а Л. Т. Стохастическое управление в дифферепцнальпой
игре.— ПММ, 1978, 42, № 4.
10. В а х ρ а м е о в С. А. Теорема об альтернативе для нестациопарпой
дифференциальной игры сближепия-уклопония.— ПММ, 1978, 42, № 6.
11. Габриолян М. С. Определение стратегии и доказательство альтер-
пативы для дифференциальной игры с несколькими целевыми
множествами при меняющихся систеА1ах.— Изв. АН Арм.ССР Серия механика,
1978, 31, № G.
12. Грнгоренко II. Л. О структуре одного класса дифференциальных
игр с общими интегральными ограничениями.— В кн.: Упр. системы.
Вып. 12. Методы нсслед. операций. Новосибирск, 1974.
13. Гусев М. И., Куржанский А. Б. О ситуациях равповгепя в
многокритериальных игровых задачах.— ДАН СССР, 1976, 229, № С.
14. Г у с я τ н и к о в П. Б.
а) Об одной проблеме Z-уСегапия.— ПММ, 1976, 40, Кг 1.
б) О необходимости одпого достаточного условия оптимальности
времени преследования.— ПММ, 1978, 42, № 1.
15. Гусятников П. Б., II и к о л ь с к и и М. С. Об оптимальности
времени преследования.— ДАН СССР, 1969, 184, № 3.
16. Д е м ь я н о в В. Ф. Мипимакс, дифференцируемость по напранлипиям.—
Л.: Изд-во ЛГУ, 1974.
17. Жуковский В. И.
а) Об аналитическом конструировании оптимальных стратегий в
некоторых дифференциальных играх. Ч. I.— Автомат, π телгмех., 1970,
№ 4.
б) Об аналитическом конструировании оптнмальпых стратегий в
некоторых дифферепциальпых играх. Ч. II. Автомат, н тслемех., 1970,
№ 5.
18. Зава л ищи и С. Т., Ушаков В. II. Задача о приведении прп
ограничениях па полиые импульсы управляющих сил.— ПММ. 1975, 39,
JVi 2.
19. Зайцев А. В. Построение множеств поглощения в
дифференциальной игре сближения—Управляемые системы. Новосибирск. 1970, 7.
20. Зелпкип М. И. Об одной дифференцпальвой игре.—УМП. 19G(i, 21,
№ 4.
21. Зо н пев е н д Д.
а) Об одпом методе ирес.чедопапия.— ДЛИ СССР. 1972, 204, Л» 6;
б) Об одпом типе превосходства игрока.— ДАН СССР, 1973, 208, № 3.
22. Зубов В. И. Построение управлений в задачах преследовании.—
Дифференту уравн., 1973, 9, № 2.
23. Керимов А. К. О нелинейпых дифференциальных играх
преследования.— ДАН СССР, 1976, 228, № 6.
24. Клейменов А. Ф. Задачи копфлнктпого управления.— ПММ. 1975,
39, № 2.
25. К о π ο π е н к о А. Ф. О равновесных позиционных стратегиях в
неантагонистических дифференциальных играх.— ДАН СССР, 1976, 231, № 2.
26. К ρ а с о в с к и й Η. Η.
а) Об одной задаче преследования.—ПММ, 1963, 27, № 3;
б) Игровые задачи о встрече движеппй.— М.: Наука, 1970;
280

в) Дифференциальная игра сближспия-уклопення, I.— И;ш. АН СССР
(Техп. киборн.), 1973, № 2;
г) Дифференциальная игра сближения-уклонения, II.— Изв. ΛΙΙ СССР,
(Тохн. киберн.), 1973, № 3.
д) К задаче упифнкацин дифференциальных игр.— ДАН СССР, 197G,
226, № 6.
е) Игра сближения-уклонения со стохастическим поводырем — ДАН
СССР, 1977, 237, № 5.
ж) Дифференциальные игры. Аппрокспмациоииые н формальные
модели.— Матем. сб., 1978, 107, № 4.
27. К ρ а с о в с к и й Н. Н., Осипов 10. С. Линейные днфференцпальпо-
разпостпые игры.—ДАН СССР, 1971, 197, К· 4.
28. К ρ а с о в с к и й Η. Η., Ρ с π и π Ю. М., Третьяков В. Е. О
некоторых игровых ситуациях η теории управляемых систем.— Изв. АН СССР.
Сер. техн. киберн., 1965, № 4.
29. Красовскнй Η. Η., Субботин А. И.
а) Альтернатива для игровой задачи сближения.— ПММ, 1970, 34, Кг 6;
б) Аппроксимация в дифферепциальной игре.— ПММ, 1973, 37, № 2.
30. К ρ а с о в с к и й Н. П., Субботин А. II., Россохин В. Ф.
Стохастические стратегии в дпфферепциальпых играх.—ДАН СССР, 1975, 220,
№ 5.
31. К ρ у ж к о в С И. Нелинейные уравнения первого порядка и
связанные с ними дифференциальпые игры.— УМН, 1969, 24, № 2.
32. К ρ я ж и м с к н й А. В.
а) К теории позиционных дифференциальных игр сближепня-уклоне-
ния.— ДАН СССР, 1978, 239, № 4;
б) О стохастической аппроксимации в дифференциальных играх.— ДАН
СССР, 1978, 241, № 5.
33. К у ρ ж а н с к π й А. Б.
а) Дифференциальные игры сближепия при ограниченных фазовых
координатах.— ДАН СССР, 1970, 192, № 3;
б) Программное управление по неполным дапным.— Дифференц. уравн.,
1974, 10, № 12.
34. Л а г у н о в В. П. Введение в дифференциальные игры: Методическое
пособие.— Вильнюс: Ип-т матем. π киберн. АН ЛитССР, 1979.
35. Логинов М. И. Об одной линейной пгровой задаче паведенпя.— ПММ,
1978, 42, № 4.
36. Μ а л а ф с е в О. А. О существовании обобщенного значения днпамп-
ческон игры.— Вестн. Леиингр. ун-та, ;1972, вын. 4, № 19.
37. Мезенцев А. В. Прямой метод в линейных дифференцнальпых
играх с разными ограничеппями.—ЖВМ и МФ. 1971, 11, № 2.
38. Μ с л и к я π А. А.
а) Об оптимальном выборе интервалов помех в дифференциальных
играх сближения.— ПММ, 1975, 39, № 2;
б) Цена игры в линейной дифференциальной игре сближения.— ДАН
СССР, 1977, 237, № 3.
39. Мищенко Ε. Φ.
а) Задачи преследования н уклонения от встречи в теории
дифференциальных игр.— Изв. АН СССР. Сер. техн. киберн.. 1971, № 5;
б) О некоторых игровых задачах преследования и уклонения от
встречи.— Автомат, π телсмех., 1972, № 9.
40. Мищенко Ε. Φ., Понтрягип Л. С. Липейпые дифференциальпые
игры.—ДЛИ СССР, 1967. 174, № 1.
41. Μ и щ с π κ ο Ε. Φ., С а т и м о в II. Задача об уклонении от встречи в
дифференциальных играх с пелинейпыми управлениями.— Дифферепц.
уравн., 1973, 9, № 10.
42. Никольский М. С.
а) Нестационарные линейные дифференциальпые игры, I.—
Кибернетика, 1970, № 6;
б) О квазцлпттонпой задаче л-бегаппя.—ДАН СССР, 1075, 221, № 3;
281

в) Об одном управлении в свертках, возникающем и теории
убегания.—Изв. АН СССР. Сер. техн. киберп., 1975, № 1.
43. Ы и Кольский М. С, У χ о б о τ о в В. И. О некоторых классах
линейных дифференциальных игр.— Вестн. Моск. ун-та. Сер. матсм., механ,
1973, № 5.
44. О с и и о в Ю. С.
а) Альтернатива в дифференциально-разностной пгре.— ДАН СССР,
1971, 197, № 5;
б) К теории дифференциальных игр.—ПММ, 1971, 35, № 2;
в) К теории дифференциальных игр в системах с распределенными
параметрами.— ДАН СССР, 1975, 223, № 6.
45. Π а ц к о В. С.
а) К игровой задаче программного уиравлеппл.— Ш\Ш. 1971, 35,
№ 1;
б) Об одной дифференциальной игре второго порядка.— ПММ, 1971,.
35, № 4;
в) Дифференциальная игра уклонения на плоскости.— ПММ. 1977, 41г
№ 4.
46. Π а ш к о в А. Г.
а) Об одной оценке в дифференциальной пгре сближения.— ПММ, 1972г
36, № 6;
б) Об одном подходе к решению нелинейных позициопных
дифференциальных нгр.— Техн. кпберп., 1979, № 1.
47. Петров Η. Η. О существовании значения игры преследования.— ДАН
СССР, 1970, 190, № 6.
48. Π е τ ρ о с я π Л. А.
а) Итеративный метод решения игры преследования на
быстродействие.— В кн.: Матем. методы в соц. науках, Вильнюс, 1976, вып. 8;
б) Дифференциальные игры преследования.— Л.: Изд-во ЛГУ, 1977.
49. Π о ж а р и ц к и й Г. К.
а) Импульсные преследования в случае линейных однотипных
объектов второго порядка.— ПММ, 1966, 30, № 5;
б) Игровая задача импульсного сближения с противником,
ограниченным по энергии.— ПММ, 1975, 39, № 4.
50. Π о л и щ у к Е. Г. Вычисление цепы для некоторых дифференциальных
игр.—ПММ, 1977, 41, № 4.
51. Π о л о в и н к и н Е. С. Неавтономные дифференциальные игры.— Дпф-
ференц. уравн., 1979, 15, № 6.
52. Пономарев А. П., Розов Н. X. Устойчивость и сходимость
альтернативных сумм Понтрягина.— Вестн. Моск. ун-та. Сер. вычисл мат. π
кпберп., 1978, № 1.
53. Π о н τ ρ я г и н Л. С.
а) К теории дифференциальных игр.— УМН, 1966. 21, Л° 4;
б) О линейных дифференциальных играх, I.— ДАН СССР, 1967, 174,.
№ 6;
в) О линейных дифференциальных играх, II.— ДАН СССР, 1967, 175,
№ 4;
г) Линейная дифференциальная игра убегаиня.— Труды Матем. ин-та
АН СССР, 1971, 112.
54. Π о н τ ρ я г π π Л. С, Μ и щ е н к о Ε. Φ.
а) Задача об убегании одного управляемого объекта от другого.— ДАН
СССР, 1969, 189, № 4;
б) Задача об уклонении от встречи в линейных дифференциальных
играх.—Дифференц. уравн., 1971, 7, № 3.
55. Пшеничный Б. Н.
а) О линейных дифференциальных играх.— Кибернетика, 1968, № 1;
б) Структура дифференциальных игр.— ДАН СССР, 1969, 184, № 2;
в) О задаче убегания.— Киберпетика, 1975, № 4;
г) Простое преследование несколькими объектами.— Кибернетика, 1976.
№ 3.
282

5(5. Π ш е н и ч π ы ίί Г>. Η., Сагайдак Μ. И. О дпфференциальпых играх
с фиксированным времспсм.— Киберпетика, 1970, № 2.
57. Пшеничный Б. Н., Ч и к ρ и й А. А. Задача об уклонении от
встречи в дифференциальных играх.— ЖВМ π МФ, 1974, 14, № 6.
58. Ρ с ш с τ о в В. М. Задачи сближепия-уклопепия в собственно линейных
системах.—Дифферснц. уравн., 11975, 11, № 10.
59. Ρ о с с о χ и н В. Ф. Об игровой задаче сближепня в смешанных
управлениях.— ПММ, 1974, 38, № 3.
60. Сагайдак М. И. О выборе управления в липейпых играх с
фиксированным временем.— В кн.: Прикладн. математика и программирование,
4971, 4.
61. С а τ π м о в Η.
а) О задаче преследования по позиции в дифференциальных играх.—
ДАН СССР, 1976, 229, № 4;
б) К теории дифференциальных игр убегания.— Матем. сб., 1977, 103,
№ 3.
62. С и м а к о в а Э. И. К задаче преследования и уклонения.— Автомат,
и телемех., 1970, № 8.
63. С м о л ь я к о в Э. Р. Дифференциалг.пые игры в смешапцых
стратегиях.— ДАН СССР, 1970, 191, № 1.
64. Соколов Б. Н. Диффсренциальпая игра наведепия с интегральными
ограничениями на управления противников.'— Дифференту уравн., 1974,
10, № 3.
65. Су б бот ип А. И.
а) К задаче об игровой встрече движений.— ПММ, 1967, 31, № 5;
б) Экстремальные стратегии в дифференциальных играх с полпой
памятью.— ДАН СССР, 1972, 206, № 3;
в) Дипамическая игра сближения-уклопения.— ДАН СССР, 1977, 234,
№ 2.
66. С у б б о τ и н А. И., С у б б о τ и н а Н. Н.
а) Игровая задача управления при неполной ипформации.— Техн. ки-
берн., 1977, № 5;
б) Необходимые и достаточные условия для кусочно-гладкой цени
дифференциальной игры.— ДАН СССР, 1978, 243, № 4.
67. Τ а р л и н с к и й С. И.
а) Об одном регулярном классе дифференциальных игр.— Изв. АН
СССР. Сер. техн. киберн., 1973, № 6;
б) Об одной линейной дифференциальпой игре сближения
нескольких управляемых объектов.— ДАН СССР, 1976, 230, № 3.
68. Томский Г. В. Задачи о сближении-уклонении в квазидинамических
системах.— ПММ, 1978, 42, № 2.
69. Τ ρ е τ ь я к о в В. Е. Регуляризация одной задачи о преследовании.—
Дифференц. уравн., 4967, 3, № 1.
70. Τ ы н я н с к и й Н. Т. Основы теории двойственных задач нелинейного
программирования и дифференциальпые игры.— М.: 1968.
71. У хоботов В. И.
а) Об одном классе дифференциальных игр.— Кибернетика, 1974,
№ 1;
б) Построение стабильного моста для одного класса линейных игр.—
ПММ, 1977, 41, № 2.
72. У ш а к о в В. Н.
а) Экстремальные стратегии в дифференциальных играх с
интегральными ограничениями.— ПММ, 1972, 36, № 1;
б) Минимаксное поглощенне в дифференциальных играх.— В кн.:
Экстремальные стратегии в позиционных дифференциальных играх.
Свердловск: ИММ УНЦ АН СССР, 1974.
73. Φ е д о ρ о н к о Р. П. О задаче Коши в теории преследования.— Вы-
числ. мат. и мат. физ., 1969, 9, № 5.
74. Ч е н ц о в А. Г.
а) К игровой задаче наведения.—ДАН СССР, 1976, 226, № 1;
283

б) Об пгропой задаче сближения в заданный момент времени.— Мат.
сб., 1976, 99, № 3;
в) Об игровой задаче сближения к заданному моменту времени.— Изв.
ЛН СССР. Серия матем., 1978, 42, № 2;
г) Итерационная программная конструкция для дифференциальной
игры с фиксированным моментом окончания.— ДАН СССР, 1978, 240, № 1.
75. Ч е ρ π о у с ь к о Ф. Л.
а) О дифференциальных играх с запаздыванием ппформацип.— ДАН
СССР, 19G9, 188, № 4;
б) Одна задача уклонения от многих преследователей.— ПММ, 1976,
40, № 1.
76. Ч е ρ н о у с ь к о Ф. Л., Μ с л и к я н А. А. Игровые задачи управления
и поиска.— М.: Наука, 1978.
77. Ч и г и ρ ь С. А. Об игровой задаче о долпхобрахистохроне.— ПММ, 1976,
40, № 6.
78. Ч и к ρ и й А. А.
а) Задача уклонения в нестационарных дифферепцпальных играх.—
ПММ, 1975, 39, № 5;
б) Квазилинейная задача сближения с участием нескольких лиц.—
ПММ, 1979, 43, № 3.
79. Ч и к ρ и й Г. Ц. Линейная дифференциальная игра с непрерывным
запаздыванием информации.— Теория оптимальн. решений, 1978.
80. Чистяков С. В. К решению игровых задач преследования.— ПММ,
1977, 41, № 5.
81. Шишмаков В. С. Минимаксная задача преследования при
запаздывании информации.— Изв. вузов. Сер. техп. киберн., 1973, К« 3.
82. Anderson G. Μ. A near-optimal closed-loop solution method for non-
singular zero-sum differential games.— J. Oplimiz. Theory & Appl., 1974,
13, № 3, p. 303-318.
83. Basar T. Some thoughts on saddle-point conditions and information
structures in zero-sum differential games.— J. Optimiz. Theory & Appl.,
1976, 18, № 1, p. 165—170.
84. В с η s о u s s a n Α., Friedman A. Nonlinear variational inequalities
and diflerential games with stopping times.— J. Funct. Anal., 1974, 16»
№ 3, p. 305—352.
85. В e r k ο ν i t ζ L. D.
a) A variational approach to differential games.— Ann. Math. Stud., 1964,
№ 52, p. 127—174.
b) Necessary conditions for optimal control strategies in a class of
differential games and control problems.— SIAM J. Control, 1967, 5, № 1,
p. 1—24.
80. Bern hard P. Singular surfaces in differential games.—Lect. Xolcs
Contr. Inform. Sci., 1977, № 3, p. 1—33.
87. Π 1 a q u i ё г о A. From the main equation to the Klein-Gordon equation.—
J. Optimiz. Theory & Appl., 1979, 27, Jf» 1, p. 71—87.
SS. Blaquiere Α., Gerard F., Lcitmann G. Quantitative and
qualitative games.— New York, London: Acad. Press, 1969.— (Math. Sci. &
Eng.; 58).
89. В г e a k w e 11 J. V., Η a g e d о г η P. Point capture of two evaders in
succession.— J. Optimiz. Theory & Appl., 1979, 27, № 1, p. 89—97.
90. Bruno ν sky P. Completing linear differential games by slate
dependent strategies.— Kybernetika, 1974, 10, № 1, p. 1—12.
91. Ciletti M. D. On the contradiction of bang-bang-bang surfaces in
differential games.—J. Optimiz. Theory & Appl., 1970, 5, № 1—6, p. 163—
169.
92. Elliott R. J., Kalton N. J. Cauchy problems for cerlrain
Isaacs-Bellman equations and games of survival.— Trans. Amer. Math. Soc, 1974,
198, p. 45—72.
93. Elliott R. J., Kalton N. J., Μ а г k u s L. Saddle points for linear
differential games.—SIAM J. Control, 1973, 11, № 1, p. 100—112.
284

84. F1 с m i n g W. II.
a) A note on differential games of prescribed duration. Contributions to
the theory of games.— Princeton Univ. Press, 1957, 3;
b) The convergence problem for differential games.—J. Math. Anal. &
Appl., 1961, vol. 3, № 1, p. 102-116;
c) The convergence problem for differential games. II. Adv. in game
theory.— Ann. Math. Stud., 1964, .Y· 52, p. 195—210.
95. Flynn J. Pursuit in the circle: lion versus man.— In: Different. Games
and Contr. Theory. New York, 1974, p. 99—124
96. Foley M. H., S chmitendorf W. E. A class of differential games
with two pursuers versus one evader.— IEEE Trans. Automat. Contr., 1974,
19, № 3, p. 239-243.
97. Friedman A.
a) Computation of saddle points for differential games of pursuit and
evasion.— Arch. Rat. Mech. & Anal., 1971, 40, № 2, p. 79—119.
b) Differential games.—New York, 1971.—350 p.
98. G u t m a n S., L e i t m a η η G. On a class of linear differential games.—
J. Optimiz. Theory & Appl., 1975, 17, № 5—6, p. 511-522.
99. II a g e d о г η P., В г е а к w e 11 J. V. A differential game with two
pursuers and one evader.— J. Optimiz. Theory and Appl., 1976, 18, № 1,
p. 15—29.
100. Hajek 0.
a) Duality for differential games and optimal control.— Math. Syst.
Theory, 1974, vol. 8, Xs 1, p. 1—7.
b) Pursuit games.—New York: Acad. Press, 1975.— (Math. Sci. and Eng.;
120).
101. Ho Y. С Differential, games, dynamic optimization, and generalized
control theory.—J. Optimiz. Theory & Appl, 1970, 6, № 3, p. 179—209.
102. Ho Y. С, В г у s ο η Α. Ε., jr., Baron S. Differential games and
optimal pursuit-evasion strategies.— IEEE Trans. Automat. Control, 1965, 10,
№ 4, p. 385-389.
103. К a 11 ο η N. J. Differential games of survival.— In: Theory and Appl.
Different. Games.— Dordrecht-Boston, 1975. p. 45—61.
104. Kaskosz B. On a nonlinear evasion problem.— SIAM J. Control &
Optimiz., 1977, 5, JVs 4, p. 661—673.
105. К i m u r a II. Differential games of prescribed duration.— J. Optimiz.
Theory & Appl., 1971, 8, № 6, p. 431—440.
106. KrasovskiiN. N., ChentsovA. G.
a) On the design of differential games. I.— Probl. Control & Inform.
Theory, 1977, 6, № 5-6, p. 381—395;
b) On designing differential games. II.— Probl. Control & Inform. Theory,
1979, 8, Л· 1, p. 3-11.
107. Loitmann G.
a) Cooperative and non-cooperative many players differential games.—
Wien: Springer, 1974
b) Guaranteed asymptotic stability for a class of uncertain linear
dynamical systems.—J. Optimiz. Theory & Appl., 1979, 27, № 1. p. 99—106.
108. L i u P.—T. Pursuit evasion games with generalized terminal conditions.—
J. Math. Anal. & Appl., 1973, 42, № 3, p. 499—506.
109. L e w i η J., О 1 s d e r G. J. Conic surveillance evasion.— J. Optimiz.
Theory & Appl., 1979, 27, № 1, p. 107—125.
110. Lukes D. L., Russell D. L. A global theory for linear-quadratic
differential games.— J. Math. Anal. & Appl., 1971, 33, № 1, p. 96—123.
111. Marchal С Analytical study of a case of the homicidal chauffeur game
problem.— Led. Notes Comput. Sci., 1975, 27, p. 472—481.
112. Nardzewski С R. A theory of pursuit and evasion. Adv. in game
theory.— Ann. Math. Stud., 1964
113. О lech С Differential games of evasion.—Different. Equat., Stockholm,
1977, p. 155—161.
285

114. Roxin E.
a) Axiomalic approach in differential games.—J. Optimiz. Theory & Appl.,
1969, 3, № 3, p. 153—163;
b) Singular manifolds in partial differential games.— In: Different.
Games.and Control Theory. 2. New York, Basel, 1977, p. 229—236.
115. SakawaY. On pursuit and evasion problems.— Lect. Notes Math., 1971,
243, p. 193—207.
116. Schmitendorf W. E. Differential games without pure strategy
saddle-point solutions 1, 2.—J. Optimiz. Theory & Appl., 1976, 18, № 1,
p. 81-92.
117. Sonnevend G. On constructing invariant sets in linear differential
games.— Lect. Notes Comput. Sci., 1975, 27, p. 493—501.
118. St a I ford II. L., Leitmann G. On saddle-point optimality in
differential games.— J. Optimiz. Theory & Appl. 1976, 18, № 1, p. 141—151.
119. V а г a i у a P. P. On the existence of solutions to a differential game.—
SIAM J. Control, 1967, 5, № 1, p. 153—162.
120. V a r a i ν a P., L i η J. Existence of saddle points in differential games.—
SIAM J. Control, 1969, 7, № 1, p. 141—157.
121. War ga J. On a class of pursuit and evasion problems.— J. Different.
Equat, 1971, 9, № 1, p. 155—167.
122. Wilson D. J. On a nonsingular singular surface of a differential
game.— J. Optimiz. Theory &Appl., 1972, 9, № 5, p. 344—358.
123. Yu P. L. Some fundamental qualifications of optimal strategies and
transition surfaces in differential games.—J. Optimiz. Theory & Appl., 1972,
9, № 6, p. 399—425.
124. Ζ i e b a A. Geometrical theory pursuit on the plane.— Zesz. nauk. WSP
Opolu. Mat., 1973. № 11, p. 87—111.
125. Ζ о г о а Р. Continuity of the value function in a differential game.— Rev.
Acad. Ci. Madrid. 1970, 64, p. 413-420.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Беллмана — Айзекса уравпение 112
Движение пошаговое 22, 33, 169
— ш-модели 34,
Дифференциальпая игра 36
Дифферепциальное включение 55
Задача наведения 11
— (Л/, /V)-сближения 58
(Λ/, Ν) '-уклонения 59
Игра сближепия — уклопения 57
Квазистратегия 24, 172
Коптрстратегия 238
Контруправление 25, 161
Коти формула 13
Кусочно гладкая функция 120
Многозначное отображение 54
непрерывное 55
полунепрерывное сверху 55
Мост минимаксно и-стабильный 244
— ц-стабильный 60, 61
— у-стабильный 62
Обобщенное решение основного
уравнения 112
Осиовпое уравнение 112
Переходная фупкция поводыря 33
Плата дифферепциальной игры 39
Позиционная процедура управления
с поводырем 33
Позиция игры 17
— управляемого процесса 17
Помеха 9
Потенциал дифференциальной пгры
109
Программа 162
Программный максимин 129, 150"
Регулярпая функция 141
Ссдловая точка 41
Селектор измеримый 55
Сингулярная поверхность 112
Ситуация равновесия 41
— е-равновесия 41
Совместные стратегии 38
Сопряженная функция 130
Стратегия 10
— позиционная 22
— программная 13
— сметанная позиционная 238
— экстремальная к множеству 80"
Управление 9
— программное 13, 160
Условие минимаксной ц-стабильно-
стп 244
— регулярности 132, 212
— седловой точки в маленькой игре
97
— физической осуществимости 21,
172
— и-стабильностн 61
— и-стабильности 62
— μ-стабильности 249
— v-стабильности 249
Хаусдорфово расстояние 55
Цена дифферепциальной игры 41
(Л/, Л^-сближение 58
(Л/, N) «-уклонение 59
и-стабнльная функция 115
г>-стабильная функция 115
ш-модель 34

Андрей Измаилович Субботин.
Александр Георгиевич Ченцов,
ОПТИМИЗАЦИЯ ГАРАНТИИ
В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ
М., 1981 г., 288 стр. с илл.
Редактор Н. Л. Григоренко
Техн. редактор Л. В. Лихачева
Корректор М. Л. Медведекая
ИБ NS 11743
Сдано в набор 28.11.80. Подписано к печати 11.05.81.
Т-05798. Бумага 60 χ 90'/u, тип. Μ 1. Обыкновенная
гарнитура. Высокая печать. Услови. печ. л. 18. Уч.-изд.
л. 19,5. Тираж 4500 экв. Заказ Μ 365. Цена книги 2 р. 20 к,
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической
литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука»
630077, Новосибирск, 77, Станиславского, 25