М.С.СВИРСК1/1Й
ЭЛЕКТРОННАЯ
ТЕОРИЯ
ВЕЩЕСТВА

ЭЛЕКТРОННАЯ
ТЕОРИЯ
ВЕЩЕСТВА
Допущено
Министерством просвещения СССР
в качестве учебного пособия
для студентов
физико-математических факультетов
педагогических институтов
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1980

ББК 22.31
С24
Рецензент:
кафедра теоретической физики Рос товского-на-Дону
государственного педагогического института,
зав. кафедрой доцент В. Г. ГРАНОВСКИЙ.
Свирский М. С.
С24 Электронная теория вещества: Учеб. пособие для студентов
физ.-мат. фак. пед. ин-тов. — М.: Просвещение, 1980. — 288 с,
ил.
В книге изложен учебный материал по разделу «Электронная теория вещества»
курса теоретической физики физических и физико-математических факультетов
педагогических институтов.
60602—711 ББК 22.31
С 103(03)-80 45-8° 430902Ш° 530-1
© Издательство «Просвещение», 1980 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Электронная теория вещества изучает физические свойства
тел, обусловленные движением и взаимодействием электронов и
ионов. Особая роль электронов в современной теории вещества
определяется тем, что из всех известных в настоящее время
микрочастиц электрон имеет наименьшую отличную от нуля массу покоя и
наименьший электрический заряд. Отклик электронов на внешние
электрические и магнитные воздействия существенно определяет
физико-химические свойства вещества. Поэтому фундаментальное
объяснение макроскопических свойств вещества связано с
определением влияния электронов на формирование этих свойств.
Явления, изучаемые электронной теорией вещества, имеют
первостепенное значение для научно-технического прогресса. Курс
электронной теории вещества занимает важное место в системе
подготовки будущих учителей физики. В частности, в этом курсе
студенты получают представление о том, как различные разделы
теоретической физики (классическая механика, электродинамика,
статистическая физика, квантовая механика й ДР-) применяются
совместно при изучении физических свойств вещества.
Автор благодарен председателю Уральского научного центра
АН СССР академику С. В. Вонсовскому за стимулирующее
обсуждение ряда вопросов электронной теории проводимости и
магнетизма, а также за ряд ценных советов и замечаний.
М- С- Свирский

Глава I
ЗОННАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
§ 1. ТИПЫ СВЯЗЕЙ АТОМОВ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
Вещество существует в твердом, жидком, газообразном и
плазменном состояниях.
В твердом состоянии вещество является кристаллическим или
аморфным. Кристаллические твердые тела имеют упорядоченное
пространственное расположение ионов, атомов или молекул. В
аморфных твердых телах отсутствует дальний порядок в
расположении частиц, но возможен ближний порядок, определяемый
связями соседних частиц.
По типу связей кристаллы классифицируются на ионные, ко-
валентные, металлические, молекулярные и кристаллы с
водородными связями.
Ионные кристаллы состоят из чередующихся положительных
и отрицательных ионов, которые образуются в результате перехода
электронов от атомов одного элемента к атомам другого элемента.
Такие ионы образуются, например, при взаимодействии
щелочных или щелочноземельных элементов с галогенами. В ионных
кристаллах связь обусловлена в основном электростатическим
притяжением разноименных зарядов. Для ионных кристаллов
характерны сильное поглощение излучения в инфракрасной области,
незначительная электропроводность при низких температурах и
хорошая ионная проводимость при высоких температурах.
В ковалентных кристаллах связь образуется парами
валентных электронов, имеющих противоположные проекции спинов.
При этом плотность валентных электронов может оказаться
значительной в области между ионами (в отличие от ионных кристаллов,
в которых валентные электроны в основном локализованы у
определенных ионов). Для ковалентной связи характерна
пространственная направленность, обусловленная гибридизацией s- и р-состоя-
ний. Так, атом углерода, имеющий два валентных электрона в
2s-coctohhhh и два валентных электрона в 2р-состоянии, образует
четыре электронные пары с соседними атомами, расположенными
в вершинах тетраэдра (углеродная связь). Примером ковалентных
кристаллов является алмаз. Для ковалентных кристаллов
характерны большая твердость и малая электропроводность при низких
температурах.
4

В ряде кристаллов связь является промежуточной между
ионной и ковалентной. Так, в кристаллах соединения InSb плотность
электронов больше у сурьмы (Sb), чем у индия (In). В кристаллах
сернистого цинка (ZnS) валентные электроны сосредоточены в
основном у атомов серы (S).
В металлических кристаллах связь образуется
взаимодействием периодически расположенных положительных ионов и
коллективизированных валентных электронов, которые могут
перемещаться по всему кристаллу (электронный газ или электронная
жидкость). В металлах число валентных электронов атома обычно
недостаточно для образования ковалентных двухэлектронных
связей со всеми соседями. Например, в кристалле лития (Li) каждый
атом имеет восемь ближайших соседей. Для образования
двухэлектронных связей со всеми ближайшими соседями атом лития
должен был бы иметь не один, а восемь валентных электронов.
Таким образом, в металлических кристаллах (в отличие от ионных
и ковалентных кристаллов) сравнительно небольшое число
валентных электронов связывает большое число положительных ионов.
Для металлов характерны высокая электропроводность, большая
теплопроводность и высокая пластичность.
В молекулярных кристаллах связь осуществляется силами
притяжения Ван-дер-Ваальса (природа этих сил рассматривается
в квантовой механике — см., например, [2]). Межмолекулярные
силы Ван-дер-Ваальса значительно слабее сил химической связи
(энергия связи молекулярных кристаллов имеет порядок
величины 0,1 эВ на молекулу), но они действуют на значительно больших
расстояниях. В молекулярных кристаллах в узлах решетки
находятся нейтральные молекулы. Молекулярные кристаллы образуют
водород, хлор, двуокись углерода, когда они переходят в твердое
состояние, а также большинство органических веществ.
Кристаллы, которые могут быть образованы инертными атомами, также
относятся к молекулярным, так как в них связь имеет такой же
характер, что и в молекулярных кристаллах. Молекулярные кристаллы
имеют низкие точки плавления и сильную сжимаемость. Это
обусловлено слабой связью, характерной для сил Ван-дер-Ваальса.
Водородная связь несколько сильнее связи Ван-дер-Ваальса
(энергия связи кристаллов с водородной связью порядка 0,5 эВ на
молекулу), но на порядок слабее ковалентной связи. Она
обусловлена тем, что электрон водорода образует связь с одним атомом, а
оставшийся протон образует связь с другим атомом. В результате
атом водорода оказывается связанным с двумя атомами, хотя
электрон водорода может участвовать только в одной ковалентной
связи.
Водородная связь образуется в системах, содержащих водород
и электроотрицательные элементы F, О, N, С, С1 и S. Она
способствует ассоциации молекул и полимеризации. Водородная связь
проявляется в органических кристаллах, белках, живых
организмах.
5

§ 2. ГЕОМЕТРИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ
Пространственная решетка. Структура кристалла описывается
пространственной решеткой, узлы которой определяются
векторами
I = l&i -f 1ф% + 13а3. (1.1)
где U, /2, ls — целые числа, ait a%, а3 — векторы основных
пространственных периодов. Мно-
' гогранник, образованный векто-
->-*■-*-
рами alt az, а3, называется
элементарной ячейкой. Кристалл
может быть построен путем
пространственного повторения
элементарной ячейки.
Выбор векторов ait а2, а3 и,
следовательно, элементарной
ячейки не является
однозначным. Это видно, например, из
рисунка 1, на котором показа-
Рис. 1 но несколько способов выбора
базисных векторов для одной и
• • той же двумерной решетки.
Ячейку можно построить
таким образом, чтобы она была
центрально-симметричной
(ячейка Вигнера — Зейтца). Для
этого необходимо разделить
пополам прямые, соединяющие узел
решетки с соседними узлами,
перпендикулярными к ним плос-
Рис. 2 костями (рис. 2).
о В элементарной ячейке мо-
° гут находиться один или не-
• сколько атомов. Если в ячейке
находится один атом, можно
совместить узел решетки с этим
с атомом. В этом случае решетка
• называется решеткой Бравэ или
• простой решеткой. Если в
ячейке находятся несколько атомов,
решетку можно представить в
виде нескольких простых
решеток, вставленных друг в друга
(рис. 3). При этом решетка опи-
Рис з сывается векторами ait a2, а3 и
с2
«

Рис. 4
базисными векторами А, определяющими
смещение дополнительных простых решеток отно-
сительно решетки с векторами а%, а2, а3-
Решетка такого вида называется решеткой с
базисом.
Кристаллические системы. Кристаллическая
решетка совмещается с собой при
трансляциях (параллельных переносах), определяемых
векторами решетки вида (1.1). Решетка может
совмещаться с собой также при инверсии (пере-
водящей вектор / в вектор — /), поворотах
вокруг определенных осей и зеркальном
отражении в некоторых плоскостях.
В кристаллической решетке возможны оси симметрии только
2, 3, 4-го и 6-го порядков. Действительно, пусть решетка совме-
- „ „ 2л
щается с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол ср = —
п
(где п — порядок оси1). При таком повороте самый короткий
вектор решетки а, перпендикулярный рассматриваемой оси, пере-
ходит в вектор решетки аи равный по модулю а (рис. 4). Поворот
In
на угол ф = — в противоположном направлении переводит век-
п
-> ->
тор а в вектор решетки а2, также равный по модулю а. Сумма
fli + а2 параллельна вектору а и определяет некоторый узел
решетки. Поэтому
-> -+■ -*■
а.\ + аг — аа, (1.2)
где а — целое число. Как видно из рисунка 4,
->■ ->
1 ах + а21 = 2а cos <р = 2а cos
2я
(1.3)
Из (1.2) и (1.3) получаем:
а
2 cos
2я
(1.4)
Так как
2я
cos
^ 1, то из (1.4) следует, что |а| ^ 2. Поэтому
целое число ос может принимать только значения 0, ±1, ±2.
Подставляя значения а = —2, —1, О, 1 в (4), получаем: п = 2, 3, 4, 6.
Таким образом, при поворотах в кристаллах возможны только
преобразования симметрии (совмещающие кристалл с собой) С2,
1 Ось называется осью симметрии л-го порядка, если тело совмещается с
2я
собой при повороте вокруг этой оси на угол —.

Сз, С4 и С6 (где Сп — операция
поворота вокруг оси симметрии
2я\
на угол — .
п)
Если кристалл совмещается
с собой при преобразованиях
симметрии С3, С4 и С6, то он
совмещается с собой также при
отражении в плоскости,
проходящей через ось симметрии.
Рассмотрим, например, случай
п = 4. Пусть flj — самый
короткий из векторов решетки,
перпендикулярный оси симметрии. В
качестве а2 возьмем вектор С^и который равен по модулю
вектору Ci, но направлен перпендикулярно к a4 (вектор щ
поворачивается при операции С4 на угол —). Обозначим символом av
операцию отражения1 в плоскости, проходящей через ось С4 и вектор
йу Тогда в соответствии с рисунком 5
<V*i = au ava2 = — az. (1.5)
Базисный вектор а3 можно представить в виде суммы:
а3=~е + р, (1.6)
где вектор е параллелен, а вектор р перпендикулярен оси
симметрии. При повороте Сг вокруг оси симметрии на угол п вектор р
переходит в вектор —р. Этот поворот можно представить в виде
двух последовательных поворотов С4 на угол —, при каждом из
которых решетка совмещается сама с собой. Поэтому при повороте
Сг получаем:
С2а3 = е—р. (1.7)
Разность векторов решетки (1.6) и (1.7) также является вектором
решетки. Учитывая, что вектор р лежит в плоскости,
перпендикулярной оси симметрии, можно записать:
Ър = тгах + т2оа, (1.8)
где т( и т2 - целые числа. Из (1.5) — (1.8) следует:
1 Операция отражения в плоскости, перпендикулярной оси симметрии,
обозначается символом ой.

<V*3 = e + (T„P = e + ov Ma, + -2a2J = e H- -1a1 — -2a2 =
— e + — (m^! + m2a2) — m2a2 = e + P — m2a2 = a3 — m2a.j. (1.9)
Здесь учтено, что отражение в плоскости и не меняет е. Согласно
(1.5) и (1.9) вектор решетки вида (1.1) переходит при отражении
в другой вектор решетки:
о J = /juj — {mzh + I г) «г + ^Оз-
(1.10)
Следовательно, плоскость, проходящая через ось симметрии,
является плоскостью симметрии кристалла. Аналогично
доказывается это утверждение для п = 3 и п — 6.
Существуют только семь точечных преобразований симметрии
кристалла (т. е. преобразований симметрии, оставляющих
неподвижной по крайней мере одну точку кристалла), которые: 1) содержат
инверсию, 2) не содержат осей 5-го, 7-го или более высоких
порядков, 3) содержат плоскости симметрии, проходящие через оси
симметрии 3-го, 4-го или 6-го порядков. Поэтому существуют только
семь кристаллографических систем (сингоний):
1. Триклинная система: узлы элементарной ячейки
расположены в вершинах параллелепипедов с длинами ребер а Ф
Ф b Ф с и углами между ними а Ф р* Ф у (рис. 6). Система
симметрична лишь относительно преобразования инверсии (/).
2. Моноклинная система: а Ф b ф с, a = у = 90°, РФ
Ф 90°. Система обладает симметрией прямого параллелепипеда
(преобразование симметрии С2/г — ось симметрии 2-го порядка и
перпендикулярная к ней плоскость симметрии). В простой
моноклинной решетке узлы расположены в вершинах параллелепипедов
(рис. 7, а). В моноклинной решетке с центрированным базисом
узлы расположены также в центрах противоположных
прямоугольных граней (рис. 7, б).
3. Р о м'б и ч е с к а я система: а Ф b ф с, a = р = у = 90°.
Система имеет симметрию прямоугольного параллелепипеда (преоб-
/
Рис. 6
Рис. 7

z
7
1
/
7
1
1
z
7
_/
• 7
z
7
Z7 fZ\
•
•7 ,zz
7
7
Рис. 8
разование симметрии D2/, — вертикальная ось симметрии 2-го
порядка, две горизонтальные оси 2-го порядка, пересекающиеся
я
под углами —, горизонтальная плоскость симметрии и две
вертикальные плоскости симметрии, проходящие через вертикальную
ось, и две горизонтальные оси симметрии). В ромбической системе
(рис. 8) наряду с простой решеткой (а) имеются
объемно-центрированная (б), гранецентрированная (в) решетки и решетка с
центрированным базисом (г).
4. Тетрагональная система: а = b Ф с, а = р = y =
= 90°. Эта система имеет симметрию прямой призмы с квадратным
основанием (преобразование симметрии Dik — вертикальная ось
симметрии 4-го порядка, четыре горизонтальные оси 2-го
порядка, пересекающиеся под углами —, горизонтальная плоскость сим-
4
метрии и четыре вертикальные плоскости симметрии, проходящие
через вертикальную ось и четыре горизонтальные оси симметрии).
В тетрагональной системе (рис. 9) имеются простая (а) и объемно-
центрированная (б) решетки.
5. Ромбоэдрическая (тригональная) система: а — Ь=
— с, a = Р = у Ф 90°. Система имеет симметрию ромбоэдра
(преобразование симметрии D3d — вертикальная ось симметрии 3-го
порядка, три горизонтальные оси 2-го порядка, пересекающиеся
под углами —, три вертикальные плоскости симметрии посередине
О
Z
7
с
а
/
7
a 5
Рис. 9
■>*
<ГЫ
dS.
\с
^"Ч
^>
L--*^
a
Рис. 10
10

между соседними горизонтальными осями 2-го
порядка). Возможная в этой системе ячейка
показана на рисунке 10.
6. Гексагональная система: а =
= Ьфс, а = р = 90°, 7 = 120°. Система
имеет симметрию правильной шестигранной
призмы (преобразование симметрии Del!—
вертикальная ось симметрии 6-го порядка, шесть
горизонтальных осей 2-го порядка,
пересекающихся под углами —, горизонтальная плос-
6
кость симметрии и шесть вертикальных
плоскостей симметрии, проходящих через
вертикальную ось и шесть горизонтальных
осей симметрии). Ячейка этой системы показана на рисунке 11.
7. Кубическая система: а = Ъ = с, а = р = y = 90°.
Система имеет симметрию куба (преобразование симметрии 0h —
три оси 4-го порядка, проходящие через центры противоположных
граней, четыре зеркально-поворотные1 оси 6-го порядка вдоль
диагоналей куба, шесть осей 2-го порядка, проходящих через
середины противоположных ребер, шесть плоскостей симметрии,
проходящих через пары противоположных ребер, три плоскости
симметрии, содержащие оси 4-го порядка и параллельные граням куба).
В кубической системе (рис. 12) имеются простая (а),
объемно-центрированная (б) и гранецентрированная (б) ячейки.
Кристаллографические индексы. Кристаллическую плоскость
обозначают тройкой целых чисел (hkl), которая определяется
следующим образом. Проводят оси х, у, z, параллельные ребрам
кристаллической ячейки. Затем находят три точки, в которых
рассматриваемая плоскость пересекает оси х, у, z, и выражают их
координаты в единицах аь а2, а3. Пусть при этом получаются значения
т, п, р. Составляют наименьшую тройку целых чисел (hkl), кото*
рые относятся между собой, как —, —, —. Тройку чисел (hkl)
т п р
называют индексами Миллера. Если, например, плоскость
отсекало о 1 lill 1
ет на осях х, у, z отрезки 2аи За2, 2а3, то — = — , — =— , — = —-
т 2 п 3 р I
и плоскость описывается индексами (3 2 3).
Если плоскость параллельна одной из осей, то соответствую-
щий индекс Миллера равен нулю. Если плоскость пересекает ось
1 В случае зеркально-поворотной
оси п-го порядка тело совмещается с
собой при повороте вокруг оси сим-
2я
метрии на угол — и последующем
п
отражении в плоскости,
перпендикулярной к этой оси.
1С
к
^
^
г—
•
^
r^i
\
Ч
5
Рис. 12
И

1
(100)
(110)
Рис. 13
при отрицательном значении
координаты, то над
соответствующим индексом
помещается знак минус.
Грани кубического
кристалла имеют индексы (100),
(010), (001), (Г00), (ОГО), (00Т).
На рисунке 13 показаны
плоскости кубического кристалла
с индексами (100), (ПО) и
(111).
Совокупность плоскостей
данного кристаллического
типа обозначается индексами
в фигурных скобках.
Например, все грани кубического
кристалла обозначаются
индексами {100}. Октаэдриче-
ские плоскости (111), (111),
(111), (ТП), (111), (Til), (llf), (Iff) обозначаются индексами {111}.
В гексагональных кристаллах используются иногда четыре оси
х, у, и, z, из которых ось г перпендикулярна базисной плоскости,
а оси х, у, и лежат в базисной плоскости и углы между ними
равны 120° (рис. 14). По отрезкам, отсекаемым кристаллической
плоскостью на осях х, у, и, г, определяют указанным выше
способом индексы Л, k, i, I.
Индексы h, k и i связаны равенством
Рис. 14
(h + k).
(1.11)
Действительно, как видно из рисунка 14, отрезки па, та, ра,
отсекаемые плоскостью на осях х, у и —и, удовлетворяют
равенствам:
d — па sin а = та sin (60° — а) = pa sin (60° -j- a). (1.12)
Отсюда следует, что
I + i-i.
п т р
(1.13)
Это равенство эквивалентно (1.11).
Так как индекс ( зависит от h и k, то введение этого индекса не
является обязательным. Однако введение индекса i позволяет
обозначить одинаковыми индексами все плоскости кристалла данного
типа. TaK.js индексах (hkl) однотипные грани гексагональной приз-
мы^(100), (110) определяются различным количеством единиц и
нулей (рис. 15, а), что не позволяет записать их в виде {hkl}. В ин-
12

дексах (hkil) эти же грани
(рис. 15, б) определяются
индексами (1010) и (1100), что
позволяет рассматривать их как
члены семейства граней {1010}.
Направления в кристалле
обозначаются тройкой
наименьших целых чисел [вдсо],
пропорциональных компонентам
вектора решетки (в единицах
#i> 0.2, а3), параллельного
рассматриваемому направлению.
Если, например, вектор
решетки в рассматриваемом
направлении имеет компоненты — ait
— а2, За3, то это направление
обозначается индексами [216].
На рисунке 16 показаны
индексы некоторых направлений в
кубическом кристалле. Все
направления данного
кристаллического типа обозначаются
индексами <ыосо>.
Некоторые простые
кристаллические структуры
твердых тел. Ионные кристаллы
имеют обычно простые
структуры, некоторые из которых
показаны на рисунках 17—21.
В решетке NaCl (см. рис. 17)
ионы одного вида находятся в
вершинах куба и в центрах
каждой из его граней, а ионы
другого вида находятся в центре
куба и посередине ребер куба.
Вокруг каждого иона расположены
шесть ближайших соседей
(координационное число 6) с
противоположным зарядом,
образующих правильный октаэдр.
Структура решетки NaCl
характерна для галогенидов
щелочных металлов. Исключением
являются CsCl, CsBr, Csl,
решетки которых имеют простую
кубическую структуру (см.рис. 18).
0100)
(1010)
Рис. 15
[011]
[110]
Рис. 16
/ У
/ 12-
,4=-^
,1 -А-
И^
,/ V
**~71
Л
?у~ л
/
р /
/
Рис. 17
Рис. 18
13

Рис. 19
Многие ионные соединения с формулой MX
(где М — ион двухвалентного металла, X —
ион О, S, Se или Те) кристаллизуются в
решетку NaCl, цинковой обманки или вюриита.
В решетке вюрцита ионы X расположены в
вершинах шестигранной призмы, в центрах
ее верхней и нижней граней и внутри трех из
шести трехгранных призм, образующих
шестигранную призму. Ионы М расположены
на боковых ребрах шести трехгранных призм
и внутри тех из них, в которых находятся
ионы X (см. рис. 19).
Решетка цинковой обманки может быть
получена из решетки алмаза (см. рис. 22), если одну половину
атомов углерода заменить ионами серы (S), а другую половину —
ионами цинка (Zn) таким образом, чтобы каждый ион был тет-
раэдрически окружен ионами с зарядом противоположного
знака. Структура цинковой обманки характерна для бинарных
соединений, в которых число валентных электронов двух различных
атомов равно восьми (т. е. равно сумме валентных электронов
двух атомов углерода). Структуру цинковой обманки имеют,
например, кристаллы ионных соединений CuCl, Cul, BeS, ZnS,
CdS, HgS, BeSe, ZnSe, CdSe, HgSe, ZnTe, CdTe, HgTe, а также
бинарные соединения SiC, AlP, InAs, InSb и др.
Для кристаллов ионных соединений с формулами МХ2 или
М2Х (где М — ион металла, X — ион галогена, кислорода, серы
или селена) типична структура флюорита (рис. 20). Эта структура
встречается, например, у галогенидов щелочноземельных металлов
(CaF2, BaF2, CdF2) и у окислов и сульфидов щелочных металлов
(Li20, Na20, Li2S, Cu2S). В решетке флюорита восемь ионов
расположены в вершинах куба и окружены 14 ионами Са2+ (восемь
в вершинах и шесть в центрах граней большого куба). Данной
ячейке принадлежат все восемь ионов фтора (F). Каждый ион
кальция, находящийся в вершине большого куба, принадлежит восьми
ячейкам. Ион кальция, расположенный в центре грани большого
куба, принадлежит двум соседним ячейкам. Поэтому данной
ячейке принадлежат только 8 (- 6 • — =4 иона кальция. Таким
8 2
образом в данной ячейке число ионов фтора в
два раза меньше числа ионов кальция Са2+,
что согласуется с формулой CaF2.
Ионные соединения с формулами МХ2
образуют также кристаллы с структурой
рутила (рис. 21). В решетке рутила (Ti02)
атомы титана (Ti) расположены в узлах
объемно-центрированного прямоугольного
параллелепипеда с квадратным основанием. Атомы
Рис. 20 кислорода расположены на диагоналях та-
14

Рис. 21
ким образом, что каждый такой атом
находится в центре равнобедренного
треугольника из трех атомов титана. Вокруг
каждого атома титана расположены шесть
ближайших атомов кислорода,
образующих правильный октаэдр.
Из рисунка 21 видно, что решетку
рутила можно также рассматривать как
объемно-центрированную решетку,
построенную из молекул ТЮ2. Поэтому ионные
кристаллы с структурой рутила иногда
считают промежуточными между ионными
и молекулярными кристаллами.
Типичным представителем ковалентных
кристаллов является алмаз.
Расположение атомов в решетке алмаза показано на
рисунке 22. В этой решетке число
ближайших соседей каждого атома равно
четырем. Ячейка решетки алмаза состоит из
гранецентрированно расположенных
атомов, к которым добавлены четыре атома
в центрах четырех тетраэдров, образованных атомами,
находящимися в вершинах куба, и их тремя ближайшими соседями в центрах
граней.
Большинство металлов имеет гранецентрированную кубическую
решетку (ГЦК), плотноупакованную гексагональную (ГПУ) или
объемно-центрированную кубическую (ОЦК) кристаллические
решетки. Для решеток типа ГЦК и ГПУ-характерны наиболее
плотные упаковки частиц. Они построены из плотноупакованных
плоскостей (октаэдрические плоскости в ГЦК-решетке и базисные
плоскости в ГПУ-решетке). На рисунке 23 показано наиболее плотное
расположение атомов (представленных в виде шаров) на плоско-
Рис. 22
Рис. 23
Рис. 24
15

Рис. 25
сти. При наиболее плотной упаковке слои располагаются таким
образом, что каждый шар второго слоя находится в углублении
между тремя шарами первого слоя (рис. 24). Центры шаров
третьего слоя могут расположиться либо над центрами шаров первого
слоя, либо над углублениями между шарами второго слоя. В
первом случае (расположение слоев вида АВСАВС.) упаковка
является гранецентрированнои, во втором случае (расположение
шаров вида АВАВАВ...) упаковка является гексагональной.
На рисунке 25, а показано расположение атомов в ГПУ-решетке.
Как видно из рисунка 25, б, проекция узла Р на базисную
плоскость (точка Pi) расположена в центре тяжести равностороннего
треугольника со стороной а. Поэтому расстояние d между точками
О и Pi равно -~=. Из рисунка 25, в видно, что
dx sin 60° = d sin 30°.
Отсюда
, da
* ~ yr ~ 1'
Величина dy определяется равенством
dy=Yd* + dl = ^a.
Поэтому точка Pt имеет координаты [—, — а, 0J. Из треугольника
OPiP (рис. 25, б) следует, что
/. v^+f - Vf+r- (L14)
Следовательно, расстояние / между О и Р равно а только в том
случае, когда
Л = |/|~1)6з. (1.15)
16

При этом каждый атом имеет 12
ближайших соседей, находящихся на одинаковых
расстояниях а от него (координационное
число—12).
В таблице 1 приведены металлы с
гексагональной, ГЦК- и ОЦК -решетками.
Как видно из этой таблицы, существуют
кристаллические решетки металлов с
гексагональной структурой, у которых отно-
<ч
К
ч
\
V
ч
Рис. 26
\
\
шение — отличается от теоретического
а
значения (1.15).
В ГЦК-решетке координационное число равно 12 (рис. 26).
Расстояние между ближайшими соседями равно -~~ (половина
длины диагонали грани).
ОЦК-решетка является менее плотной, чем ГПУ- или ГЦК-
решетка. В этой решетке координационное число равно восьми.
Расстояние между ближайшими соседями равно —§- а (половина
длины диагонали куба). Уменьшение координационного числа по
сравнению с его значением для ГЦК-решетки частично компенсируется
наличием шести соседей, следующих за ближайшими, на
расстоянии а.
Таблица 1
Металлы с гексагональной, ГЦК- и ОЦК-решетками
Металл
Li
Na
К
Rb
Cs
Си
Ag
Аи
Be
Mg
Ca
Sr
Ba
Zn
Cd
Al
Y
La
Tl
Тип кристаллической
решетки
оцк
»
»
>
»
ГЦК
>
»
гексагональная
»
ГЦК,
гексагональная
ГЦК
ОЦК
гексагональная
»
ГЦК
гексагональная
гексагональная,
ГЦК
гексагональная,
ГЦК
с
а
1,57
1,62
1,63
1,86
1,58
1,63
1,60
Металл
Ti
Zr
Hf
V
Сг
Fe
Со
Ni
Nb
Ru
Rh
Pd
Та
a-W
Тип кристаллической
решетки
гексагональная,
оцк
гексагональная,
оцк
гексагональная,
оцк
»
»
оцк
ГЦК
гексагональная,
ГЦК
ГЦК,
гексагональная
оцк
гексагональная,
ГЦК
ГЦК
»
оцк
»
с
а
1,60
1,59
1,63
1,62
17

Q Молекулярные кристаллы неона (Ne),
^V^ аргона (Аг), криптона (Кг), ксенона (Хе)
Ь/ имеют ГЦК-решетку. При Т -> 0 гелий
Q—<►-—£"Ч (4Не) является твердым телом только при
\"*^V>i Давлении р > 25-105Па. При 25- 108Па <
X ^J < р<108 Па гелий имеет ГПУ-решетку, а
\-v ПРИ Р>№8 Па—ГЦК-решетку. При р да
О да 25 • 105 Па и Г # 0 у гелия имеется
Рис 27 небольшая область существования ОЦК-ре-
шетки.
Твердые фазы хлористого водорода (НС!) и бромистого водорода
(НВг) имеют высокотемпературную ГЦК-решетку (с двухатомными
молекулами в узлах) и низкотемпературную гранецентрированную
тетрагональную решетку.
В кристаллах органических молекул наблюдается тенденция
к образованию простых структур. Так, молекулы двуокиси
углерода и метана образуют ГЦК-решетки.
Лед имеет кристаллическую структуру, в которой каждая
молекула Н20 соединена водородными связями с четырьмя другими
молекулами Н20 (рис. 27). Каждый атом водорода имеет ковалент-
ную связь с одним атомом кислорода (d\ = 0,099 нм) и
водородную связь с другим атомом кислорода (d2 — 0,176 нм). Каждый
атом кислорода связан с четырьмя атомами водорода (две
сильные и две слабые связи). В обычной модификации льда
(гексагональной) атомы кислорода образуют решетку с структурой вюр-
цита (см. рис. 19). Структура льда получается, если заменить в вюр-
ците ионы Zn2+ и S2- атомами кислорода, связанными с атомами
водорода в соответствии с рисунком 27.
§ 8. ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ
КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ
Движение электрона в поле кристаллической решетки
описывается уравнением Шредингера:
-£va + n?)]t|)(7) = £«H7), (Мб)
где ф — волновая функция, Е — энергия, m — масса электрона,
V — потенциальная энергия, имеющая период кристаллической
решетки:
V(?+T) = vCr)- (1.17)
В случае свободного электрона, когда V = 0, решение уравнения
(1.16) имеет вид плоской волны:
^(7) = АеаГ, (1.18)
где k — волновой вектор, А — амплитуда. При этом энергия
свободного электрона выражается так:
18

2m 2m
где p — hk — импульс, ft—постоянная Планка.
В случае когда V зависит от г, оператор импульса р — —ihу
не коммутирует с гамильтонианом из (1.16) и импульс электрона
не сохраняется. В этом случае
Ч> (г) - j с $) е <"*'<й, (1.19)
1
где с (k) — коэффициенты разложения решения уравнения (1.16)
по плоским волнам.
Условие периодичности потенциала решетки (1.17) приводит
к определенным свойствам волновых функций и энергетического
спектра электрона, движущегося в поле кристалла. Разложим
потенциал решетки в ряд Фурье:
V(r) = УУ-У"*7. (1.20)
g
где V-* — коэффициенты разложения. Из (1.20) и (Ы7) следует:
sjV^-s^»'1'.
й ~ 8 - (1.17,)
g «
Это равенство удовлетворяется, если для всех /
е^7=1. (1.21)
Подставляя выражения дляг|> и V (г) из (1.19) и (1.20) в (1.16),
получаем:
ft*_
2m
j ft2c (ft) <? ''^ft"+ 2]V-»e ' *^J с (ft) в't"dft -
= £J c{k)eikrdk. (122)
->—> -*—*■ > >
Здесь учтено, что va ^ftr = —k2eikr. Умножая (1.22) на e_tt'r и
интегрируя по г, имеем:
2т.
j 62с (ft) J в' (Г-"*') "cWft + ^ V- jc (if) f e' (?+"«-t'' rdrd£ =
= Z-jC(ft)jVM'>r^ft. (L23)
19

Учитывая, что
j ei <?_!,> ?£ = 8я„б $_%j (1.24)
—»•
г
(где б — дельта-функция), получаем1 из (1.23) уравнение
(-^-£)с^)+2у*с(&1~£)==0, (1,25)
g
или, заменяя ftt на ft,
(^-£)С(1) + 2^(^-Ь=0. (1.26)
$
Согласно (1.26) при данных значениях £ и ft коэффициент с (й)
связан только с теми коэффициентами с (ft'), аргументы которых ft'
отличаются от ft слагаемым g. Поэтому интеграл (1.19) принимает
вид суммы:
% Й'- 2 с$■+ 8) * <1+ЪТ- (1-27)
Коэффициенты суммы (1.27) удовлетворяют согласно (1.26) системе
линейных однородных алгебраических уравнений
ft2(fe+g)2 E
2т
c(k + g) + 2V7c(k + g-gl)=0. (1.28)
Z
Эта система имеет отличные от нуля решения только в том случае,
если ее определитель D равен нулю:
D (Е, k) « 0. (1.29)
Корни Eit Ei, ..., Еп, ... уравнения (1.29) зависят от волнового
—*■
вектора k. Поэтому энергетический спектр состоит из областей
—> -*■ ->
Ei (ft), Ez (ft), ..., En{k) ... . Каждая такая область называется
энергетической зоной. Таким образом, энергетический спектр
электрона, движущегося в периодическом поле кристалла, имеет
зонную структуру.
1 Как известно,
j/(1)6(1-■£)<*£=/&).
k
20

Рис. 28
В каждой зоне энергия
является периодической функци-
~> -*■
ей k. Действительно, замена k
на k — g переводит систему
уравнений (1.28) в систему (1.26),
которая отличается от (1.28)
только порядком написания. При
этом корни Еп (k) остаются
неизменными.
Следовательно,
ВЯЩ--ЕЯ$-Ъ; 0-30)
На рисунке 28 схематически показана периодическая зависимость
Еп от k для одномерного случая.
§ 4. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ВДОХА И КВАЗИИМПУЛЬС
Волновая функция (1.27) может быть записана так:
4и(7) = е tt72 с (* + 8)е i7T- U -31)
Вводя обозначение
получаем из (1.31):
*А- (0 =
lkr и- (г).
Функция «->- (г) удовлетворяет условию периодичности
Действительно, из (1.32) следует, что
в* (7+7)« 2 с (*"+ Й в1*^
(1.32)
(1.33)
(1-34)
(1.35)
Учитывая (1.21), получаем из (1.35):
„ (7+l) = 2c(£+g)^";
(1.36)
что согласно (1.32) совпадает с (1.34).
Волновые функции вида (1.33) (где «-» удовлетворяет условию
периодичности 1.34) называются функциями Блоха. Они
отличаются от плоских волн (1.18), описывающих движение свободного
21

электрона, множителем и-, который модулирует плоскую волну
в соответствии с периодом кристаллической решетки. Из (1.33)
имеем:
Ъ (г + 0 = <*ШТ) "х (' + 0- (1-37)
Учитывая (1.34), можно записать:
^(7 + /) = е а7е rk7uS)- (1-38)
Из (1.38) и (1.33) следует, что волновые функции электрона,
движущегося в периодическом поле кристаллической решетки,
удовлетворяют условию Блоха:
qJ(? + Т) =* <*1\(г). (1.39)
->■
Отсюда видно, что при трансляции на вектор решетки / волновая
>■»
функция электрона изменяется на фазовый множитель elkl.
В случае свободного электрона
л
i p a
ф(?+а) = е h ф(Т), (1.40)
л
где а — произвольное смещение1, р — оператор импульса.
Поэтому по аналогии с (1.40) вектор hk называется квазиимпульсом.
Как видно из (1.39), смысл квазиимпульса заключается в том, что
он определяет преобразование волновой функции при трансляции
на вектор решетки.
Между импульсом и квазиимпульсом имеются существенные
различия. Так, в периодическом поле кристалла импульс
электрона не сохраняется (см. § 3). Наоборот, согласно (1.3 ) волновая
функция электрона в кристалле характеризуется определенным
значением волнового вектора k и, следовательно, определенным
-*■
квазиимпульсом hk.
Другое важное отличие квазиимпульса от импульса связано
с тем, что квазиимпульс определяется неоднозначно.
Действительно, волновая функция t|5->- (r), в которой
h = l + g, (1.41)
1 Конечное смещение образуется из последовательного применения беско-
нечно малых смещений а, для которых
i|>(?+a)=\|>(7)+^V*+ •"*■" (' +""V + ...)*- eh $<= Tr).
22

согласно (1.39) и (1.21) удовлетворяет условию Блоха:
tjr + /) = ^. j7 + 0 = e'<ft +e) 'ф- -.(г) - е ik' }Jfi. (1.42)
ft + g
* + £
Из (1.42) и (1.39) видно, что в случае волновых векторов k и kt
из (1.41) при трансляции на вектор решетки / волновая функция
электрона изменяется на одинаковый фазовый множитель elkl.
Поэтому квазиимпульс hki (см. 1.41) и квазиимпульс hk являются
физически эквивалентными.
Несмотря на отличие квазиимпульса от импульса между ними
имеется определенное сходство. Согласно (1.33)
в , fj. i k Г
- Ы') = е
дх k
Отсюда получаем уравнение
dut (г)
ikxu (г) + —%
(1.43)
I кг
Рх «МО = - lh ~ Ыг) = * ■ №х + Рх) МО. (1-44)
k OX k *
в правой части которого проекция квазиимпульса ькх складывается
Л
с оператором импульса рх.
Л
Применяя к (1.43) еще раз оператор рх, получаем уравнение
""2 i /Т\ J k*?
pi *Jr) = е1КГ (hkx + pxf ut(r),
(1.45)
л
в правой части которого фх также складывается с рх
Подставляя ф+ (r) из (1.33) в (1.16), получаем с учетом (1.45)
уравнение Шредингера для и^ (г):
2т
+ V(r)
Ug(r) = Etij*(r),
где в гамильтониане
2т
(1.46)
(1.47)
оператор кинетической энергии получается путем добавления к
проекции импульса рх проекции квазиимпульса hkx. Из (1.47)
следует:
дН
дкх
= —(hkx + px).
т
(1.48)
23

Умножая (1.48) слева на eik ' и справа на и^{г) и учитывая (1.44),
получаем:
dkx *V
ДгФ-^)'
Умножая (1.49) слева на ф-
и^ е
k
т k
> ф
-i к г
(1-49)
и интегрируя по объему,
находим следующее выражение для средней скорости*
у, = < Ф-
♦- > = - < и-
к П к
дН
дк.
к
Так как2
<и_
дН
дк,
и_> =
дЕ
то из (1.50) следует, что
vr =
1 дЕ
h dk.
(1.50)
(1.51)
(1.52)
Аналогичные равенства выполняются также для осей у и г.
Поэтому
v = — grad^E.
(1.53)
В случае свободного электрона, когда Е — — (р2 -f- p2 -f pi) и
9/и ■* " 2
2/я
у„ = —, имеем:
уг =
дЕ
дрх
(1.54)
Сравнение (1.52) и (1.54) показывает, что связь между средней
скоростью электрона в кристалле и производной от его энергии
по квазиимпульсу подобна связи между скоростью свободного
электрона и производной от его энергии по импульсу.
Обратная решетка. Равенство (1.21), полученное при
разложении потенциала решетки (1.20), является следствием условия
периодичности потенциала (1.17). Это же равенство получается при
—*■
разложении в ряд Фурье другой периодической функции/(г),
удовлетворяющей условию
f(r+l) = f(r).
(1.55)
1 В обозначениях Дирака.
2 См. [3]§ 11.
24

Действительно, полагая
f(r) = 2fV~, (1.56)
7 g
где /-+— коэффициенты разложения, получаем вместо (1.170
S^'^^-Sf^'"7. (1.57)
7 g 7 е
Равенство (1.57) удовлетворяется, если для всех £ и всех /
выполняется условие (1.21). Это позволяет при изучении твердых тел,
физические характеристики которых имеют периодичность
решетки, наряду с решеткой в обычном пространстве использовать также
понятие обратной решетки, узлы которой определяются следующим
образом.
Из (1.21) следует, что
gT= п • 2я, (1.58)
где п — целое число. Полагая / = аи получаем из (1.58):
gat == tii ■ 2я, (1.59)
где Л) — целое число.
Аналогично, полагая в (1.58) / = а2 и / = а3, находим:
->■ > —*■—>
ga2 = п2 ■ 2п, ga3 = п3 • 2п, (1.60)
где и2 и и3 — целые числа. Равенства (1.59) и (1.60) имеют решение
g= 2jt («!&, + П262 + Яз&з). (1-61)
где
Ьх = —[а2 о8], £2 = — [а3«J, Ьг = — \аха2]. (1.62)
и v v
Здесь p = ai[a203]— объем параллелепипеда, построенного на
векторах аи а2, а3. Действительно, согласно (1.62) вектор t>i перпен-
дикулярен к векторам а2 и а3, вектор Ь2 перпендикулярен к
векторам а4 и а3 и вектор 63 перпендикулярен к векторам а± и а2.
Скалярное произведение Oi6i равно отношению
-> -> >
о
и, следовательно, равно 1. Аналогично, аг Ьг — а3Ь3— 1. Поэтому
%~»j* (1-63)
25

Отсюда и из (1.61) следует:
■ + -» ->• -+■
gai = 2nniblai — 2лщ, (1-64)
что совпадает с (1.59). Аналогично доказываются равенства (1.60).
Из (1.62) или (1.63) видно, что векторы blt 62. Ь3 имеют
размерность обратной длины. По модулям они равны обратным высотам
-»■->■-»•
параллелепипеда, построенного на векторах at, a%, й3. Поэтому
->
векторы g (см. 1.61) определяют узлы обратной решетки. Отсюда
и из (1.41) следует, что квазиимпульсы, отличающиеся на вектор
обратной решетки, эквивалентны.
Объем v параллелепипеда, построенного на периодах обрат-
ной решетки 2nbit 2nb2, 2nb3, равен
v' = (2я)3 £ [Ml]. (1.65)
Согласно (1.62)
(b2 Ь3] = - [[% ах] [ах аа]]. (1.66)
Учитывая тождество
(d [рс]] з= р (&) - ?(ф), (1.67)
имеем:
Й> £] = т ЙЙ«1] «г) — а2(Й, «i] ах)}. (1 -68)
-> -*—»■
Последний член в (1.68) равен нулю, так как а4 _|_ [ага{\. Поэтому
—>
ЙЛ] = 4 «1 (Й>^] 02) - -• (1-69)
Здесь учтено, что [a3ai]a2 = [a2a3] fli = У. Из (1.69,), (1.65) и (1.63)
получаем:
v' = {^. (1.70)
v
Таким образом, объем элементарного параллелепипеда,
построенного на периодах обратной решетки, обратно пропорционален
объему параллелепипеда, построенного на периодах прямой
решетки.
Так же, как в случае прямой решетки, можно в случае
обратной решетки выбрать в качестве элементарной ячейки область,
ограниченную плоскостями, проходящими через середины прямых,
соединяющих узел обратной решетки с ближайшими узлами,
перпендикулярно к этим прямым (типа ячейки Вигнера — Зейтца,
показанной на рисунке 2). В случае обратного пространства такая
ячейка называется первой зоной Бриллюэна.
26

При данном значении п уравнение (1.58) определяет
кристаллическую плоскость, перпендикулярную вектору g обратной решетки
и находящуюся на расстоянии п— от начала координат.
Действительно,
gl = gl cos a = glg,
где а — угол между векторами / и g, a lg — проекция вектора /
на вектор g. Поэтому из (1.58) следует:
',—Т5- (1-58*>
При данных значениях п и g правая часть (1.584) постоянна.
Поэтому (1.584) определяет плоскость, перпендикулярную к g и
удаленную на расстояние от начала координат (рис. 29).
Если на этой плоскости лежит один узел прямой решетки, олреде-
ляемый вектором I, то на этой же плоскости лежит бесконечное
число других узлов прямой решетки. Действительно, вектор / из (1.1)
и векторы решетки
Т = T+N [ля (at + а2) - (щ + п2) «£] (1.71)
(где N — любое целое число) имеют одинаковое скалярное произ-
ведение с вектором g (см. 1.61):
Tg - 2я (mli + пгк + n,lt) = IgT (1.72)
Поэтому плоскость, определяемая уравнением (1.58) или (1.58i),
является кристаллической плоскостью.
Так как п — любое целое число, то вектор обратной решетки
определяет семейство параллельных плоскостей прямой решетки,
перпендикулярных к g. Увеличение п на 1 приводит согласно
(1.58!) к увеличению lg на —-. Поэтому расстояние между
соседними кристаллическими плоскостями, перпендикулярными к g,
2я
равно —.
8
Равенство (1.58) может быть также
записано так:
2я
g, = n—, (1.58s)
где / — модуль вектора прямой решетки,
gi — проекция вектора обратной решетки
на направление вектора прямой решетки.
Из (1.582) следует, что вектор / прямой Рис. 29
27

решетки определяет семейство параллельных плоскостей в обратной
решетке, перпендикулярных к /.
Из (1.58) и (1.72) следует, что
lg = 2я (itili + «2*2 + Яз'з) = 2лп.
(1.73)
Если кристаллическая плоскость, перпендикулярная к g- и
определяемая уравнением (1.73), пересекает ось х, то величины
/2 и /3 равны нулю. При этом из (1.73) следует, что
/ -- "
н •
Согласно (1.1) это означает, что рассматриваемая плоскость
пересекает ось х в точке с координатой — at. Аналогично отрезки,
отсекаемые рассматриваемой кристаллической плоскостью на осях
у и г, равны — а2 и — а3. Поэтому эта плоскость имеет индексы
(tii, пч,1 пз)> которые после сокращения на общий множитель
совпадают с индексами Миллера. Следовательно, обозначение
кристаллических плоскостей с помощью векторов обратной решетки,
определяемых согласно (1.61) числами щ, п2, п3, эквивалентно
использованию индексов Миллера, пропорциональных (пь пг, п3).
Для иллюстрации рассмотрим решетку, обратную гранецентри-
рованной кубической решетке. Кристаллические плоскости,
перпендикулярные ребрам куба, определяются векторами g,
параллельными ребрам куба. В гранецентрированной решетке (ГЦК)
эти плоскости находятся на расстояний — друг от друга (см.
рис. 12, е). Поэтому
2я
8
Следовательно, рассматриваемым
плоскостям соответствуют векторы обратной решетки g,
направленные вдоль ребер куба и имеющие длину g — — (рис. 30).
а
^Г
/Ы
а
\1
Рис. 30
Рис. 31
28

В ГЦК-решетке (рис. 31) кристаллические плоскости вида (111)
перпендикулярны к диагоналям куба и находятся на расстоянии
-^=друг от друга \-}= равно— длины КЗ а диагонали куба).
Поэтому соответствующий им вектор обратной решетки g направлен по
- 2я Уъ -
диагонали куба и имеет длину g = —-—. Так как диагональ куба
a J
в обратной решетке равна VS~ (см. рис. 30), то конец вектора~g
лежит в середине диагонали, т. е. в центре куба. Таким образом,
решетка, обратная ГЦК-решетке, является
объемно-центрированной кубической решеткой (ОЦК). Очевидно, что решетка, обратная
ОЦК, является ГЦК-решеткой.
Приведение квазиимпульсов. Физическая эквивалентность вол-
новых векторов k и k{ из (1.41) позволяет привести все векторы k
в первую зону Бриллюэна. Соответствующие квазиимпульсы
называют приведенными квазиимпульсами. На рисунке 32 показано
приведение квазиимпульсов в первую зону Бриллюэна в случае
двухмерной квадратной решетки.
В кристалле конечных размеров квазиимпульс принимает
дискретные значения. Конечность размеров кристалла нарушает
его симметрию относительно трансляций. Для сохранения
трансляционной симметрии кристалла принимают циклические
граничные условия Борна — Кармана. Эти условия определяются
следующим образом.
Пусть кристалл имеет вид параллелепипеда с ребрами Л^аь
JV2a2, Nsas (где Ni > 1, Nt > 1, Ns > 1). Если к этому кристаллу
приставить бесконечное число таких же кристаллов, то трансляция
точки кристалла на векторы Niat, N2a2, Nsa3 будет переводить ее
в эквивалентные точки соседних кристаллов. Поэтому
Ц {г + NtOt) =-ф (Г+ N2a2) = ф (7 + Nsaa) = у (Г). (1.74)
Подставляя в (1.74) волновые функции (1.39), получаем:
е'»/%к (Г) = ew,*4|u(7) =
в eiN^\jr) = $Jf). (1.75)
ft k
Отсюда
eiN1kal _ elN2ka2 __ giN3k a„ _ j (1,76)
Согласно (1.61) эти равенства
удовлетворяются, если
Рис. 32
29

k = ^+Xb^ + -\b- (J-77>
где пи «2, «з — целые числа. Таким образом, квазиимпульс Ш
принимает дискретные значения.
Неэквивалентные векторы k получаются согласно (1.77) только
в том случае, когда nt (где i = 1, 2, 3) принимает Nt различных
значений. Действительно, значениям (п{ + Nt, nit п3)
соответствует согласно (1.77) вектор
%1 = % + 2яЬ1, (1.78)
который отличается от k на вектор g — 2nbt обратной решетки.
Поэтому волновые векторы, определяемые значениями (пи я2, па)
и (tii + Л/i. Пц па)> эквивалентны. Неэквивалентные векторы
получаются, когда «1 принимает целочисленные значения от nt до
«1 + Л^1 — 1 (всего Ni значений). Аналогично неэквивалентные
волновые векторы получаются, когда я2 принимает N2 различных
значений и п3 принимает N3 различных значений.
Все неэквивалентные волновые векторы лежат в первой зоне
Бриллюэна, если
—п <kat < я, (1.79)
где I = 1, 2, 3. Действительно, для векторов, лежащих в первой
зоне Бриллюэна,
*«,<!&,. (1-80)
где g — вектор, соединяющий начало координат с одним из
соседних узлов обратной решетки.
Из (1.80)
|Д 1<}|^||. (1.81)
Согласно (1.59) минимальное значение \gat\, отличное от нуля,
равно
Й = 2л. (1.82)
Отсюда и из (1.81) получаем:
|1аг|<я, (1.83)
что совпадает с (1.79).
Согласно (1.77) соседние проекции- k на оси bt, b2, b3 разделены
векторами
Ak, = £ bv Ak, - j£ ь2, Щ = £ ьз. (1.84)
/Vj /Vg /Vg
зо

Поэтому на один волновой вектор приходится в ^-пространстве
объем
Vl = Akt [ДАаДА,] = {?f b, [btbt% (1.85)
где
N - NiN2N3. (1.86)
Из (1.85), (1.65) и (1.70) находим:
(1.88)
Поэтому в единице объема й-пространства имеется
i. Nv
v1 ~~ (2я)3
различных волновых векторов. Это позволяет заменить при
больших N и, следовательно, при малых у4 сумму по волновым векторам
k интегралом:
§ 5. ПОЧТИ СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ
В приближении почти свободных электронов потенциал
решетки рассматривается как возмущение. Согласно теории возмущений
волновая функция электрона имеет в первом приближении вид
*?-V+ 2 Fo Fo *& (i.90)
-+ -»» E-* — £->
Mliil ft ft,
При этом во втором приближении энергия электрона равна
вг=£И*гН«;+ 2 |г; . . (..91)
р — р
ft^ft) ft" ft,
Из (1.20),(1.18) и (1.24) следует, что матричный элемент] i$lA|£.dr
г
не равен нулю только в случае, когда
k-ki-\-g = 0. (1.92)
31

Поэтому из (1.90) и (1.91) находим:
•tb tb° I "V
£(^0) ft
ft * _^*
я °
s ill г
0 Ф* +
1 V-|2
1 й '
eI-eI ~
(1.93)
(1.94)
где V-* = \ *|^2 ->• ViA dr. В случае, когда члены в правой части
(1.94), обусловленные потенциалом решетки, малы по сравнению
с Е-*, энергия Ef близка к энергии свободного электрона.
Члены, обусловленные возмущением, нельзя считать малыми,
если при V-* Ф 0 имеет место равенство
„о „о
(1.95)
Согласно (1.18») равенство (1.95) может быть записано так:
(1+Ь2=>. (1-96)
Отсюда
2kg = -g\ (1.97)
Учитывая, что kg = kgg (где kg — проекция вектора k на вектор g),
получаем из (1.97):
1
k„ = —-в..
(1.98)
Следовательно, конец вектора k лежит на плоскости,
перпендикулярной к вектору — g и проходящей через его середину (рис. 33).
—>
Это означает, что при выполнении условия (1.95) вектор k лежит
на границе зоны Бриллюэна (см. § 2).
Очевидно, что вблизи и на границе зоны Бриллюэна, где
выполняется (1.95), теория возмущений, которая приводит к
выражениям (1.93) и (1.94), неприменима. В этом случае, учитывая
вырождение невозмущенных уровней, описываемое равенством
(1.95), необходимо рассмотреть суперпозицию:
4U = <М1 +а^ ^1 -,. (1-99)
к к k k + g k+g
Подставляя (1.99) в уравнение Шредин-
гера (1.16) и учитывая (1.180, получаем:
0 0 „0 0
МтЧТ + at^Et+7^rg +
+ a J/ (7) i|£ + a^ JV (7) ч£ - -
к k + g
= Еа_& + Еа+ ^1 „, (1.100)
к * k+g k+g
Рис. 33
32

Умножая обе части (1.100) сначала на уЬ*Л, а затем на уЬ*Л -►> интег-
k k+ g
рируя по ги учитывая ортогональность невозмущенных волновых
функций, получаем:
R k k g * + g *
EL ■* flU -v + V-, a^ + V0a^ _, = Ea_+ _.
* + * ft + g g * ft + g * + g
(1.101)
Система линейных однородных уравнений (1.101) имеет
нетривиальные решения, когда равен нулю определитель
-.0 П 17*
Vo + El
V0 + Et - — E
■ ft+g
0.
(1.102)
Из (1.102) вытекает следующее выражение для энергии электрона:
£ = ,0+1(£«+4+7)±-/|(4-4+;)'+
v_
.(1.103)
Отсюда видно, что потенциал кристаллической решетки приводит
к расщеплению энергетических уровней вблизи границ зоны Брил-
люэна. Это расщепление больше или равно 2 I V-*\.
g
Для иллюстрации рассмотрим одномерный случай. Из (1.101)
следует:
а^ _ = - а й -а_. (1.104)
* + g
ft + g °
Подставляя в (1.104) значения Е из (1.103), получаем:
—i- ==<U. (1-Ю5)
о \ ft ft + g/ Г 4 V ft+g/1 I 71
+
ft + g
Из (1.105) и (1.99) имеем:
^ = aj <&-f
iaTft + j
2 V ft ft + g/1 T 4 \ * ft + gj Tl i
(1.106)
На границе зоны, где выполняется (1.98), из (1.106) и (1.103)
2 М. С. Свирский
33

получаем:
(1.107)
(1.108,)
Считая V-» < 0 и учитывая (1.18), находим из (1.107):
g
1>+ = — 2ю sin (i- gA -ф— = 2alCos (i- g*l <1.109)
На рисунках 34 и 35 показана зависимость (1.103) для одномерного
случая в схеме приведенных зон и в расширенной схеме зон.
Из рисунка 35 видно, что вдали от границ зон Бриллюэна закон
дисперсии (зависимость Е от k) почти свободных электронов мало
отличается от закона дисперсии (1.180 для свободных электронов.
Вблизи границ зон Бриллюэна отклонения от параболического
закона дисперсии (1.184) являются существенными. На границах зон
Бриллюэна в энергетическом спектре почти свободных электронов
имеются разрывы, разделяющие спектр на дозволенные и
запрещенные зоны.
Плотность электрического тока обращается на границах зоны
Бриллюэна в нуль. Это следует из выражения для проекции
плотности тока на ось х (см. § 29 из [2]).
u„**US£„i>*f\ (i.iio)
1Х 2т у дх т дх)
Учитывая, что а
где е — заряд электрона.
является постоянной
величиной, а
sin/—gx) и cos/—gx) вещественны, получаем из
\
Е(к)\
К
0
~т
/
3
к
Рис. 34
Рис. 35
34

(1.110) и (1.109):
/±=0. (1.111)
Обращение плотности
тока в нуль обусловлено
сильным отражением от узлов
решетки волн, волновой вектор
которых находится на
границе зоны Бриллюэна. Этот
результат имеет место также
в двухмерном и в трехмерном
случаях. Действительно, как
видно из рисунка 36,
|^| = *sin6, (1.112)
Рис. 36
где 0 — угол между волновым вектором k и плоскостью,
перпендикулярной к g. Согласно § 4 вектор g определяет семейство
перпендикулярных к нему плоскостей кристалла. Поэтому G равен
углу, под которым вектор k направлен на кристаллические
плоскости. Расстояние d между соседними кристаллическими
плоскостями, перпендикулярными к g,
2я
равно — (см. § 4). Поэтому
g
8
In
п7>
(1.113)
где п — целое число. Из (1.113), (1.112) и (1.98) следует, что
ksinQ = п-
(1.114)
2я
Учитывая, что k = —, получаем из (1.114) условие Вульфа-
л
Брэггов:
tik = 2d sin 9.
(1.115)
Таким образом, условие (1.98), определяющее положение
границ зон Бриллюэна, совпадает с условием Вульфа — Брэггов для
отражения волн, длина которых соизмерима с межатомным
расстоянием, от кристаллических плоскостей.
В случаях двух или трех измерений дозволенные
энергетические зоны не всегда разделены запрещенными энергетическими
зонами, хотя в каждой точке границы зон Бриллюэна энергия
внешней зоны больше энергии внутренней зоны. Это иллюстрирует
2*
35

£,,
"L
£,,
ч
Рис. 37
рисунок 37, на котором в направлении ka наиболее низкая точка
внешней зоны расположена на е ниже высшей точки внутренней
зоны в направлении kb; между энергиями обеих зон нет разрыва.
На рисунке 38 показаны изоэнергетические линии (линии
одинаковой энергии) для первой зоны Бриллюэна двухмерной
квадратной решетки. Линии 1 и 2, близкие к точке k = О, являются
окружностями. Это обусловлено тем, что при k < — (вдали от
а
границ зоны) закон дисперсии почти свободных электронов
мало отличается от закона дисперсии (1.18j) свободных электронов.
Поэтому условие Е = const приводит к уравнению окружности:
k* = kl + k2y = const.
При удалении от точки k = 0 в областях, близких к границам
зоны, появляются выпуклости (линии 3). Это связано с тем, что,
как видно из рисунка 37, вблизи границ зоны скорость роста Е
при увеличении kx или ky является малой. Поэтому для данного
увеличения Е вблизи границ зоны требуется большое увеличение k.
Изоэнергетические линии с наиболее
высокими энергиями (вида 4 или 5)
пересекаются с границами зоны.
Изоэнергетические линии (в трехмерном
случае изоэнергетические поверхности)
пересекают границы зоны под прямым углом.
Действительно, полагая
*-*, + *! (1.116)
'/f ^Где вектоР ^и перпендикулярен к
вектору g и, следовательно, параллелен грани-
Рис 38 це зоны), имеем согласно (1.18j):
36

дЕ)
dk„
ft2
дЕ-
k + t
dke
-(kg + g)-
Отсюда
-l(£i+J& -*)=-(2ft. + g).
(1.117)'
(1.118)
Дифференцируя (1.103) no kg и учитывая (1.118), получаем:
(e\-e\ As
\ k k+g)g
dk
2m
n(4-4+JMv;
, (1.119)
Из (1.119) и (1.98) следует, что на границе зоны Бриллюэна
£.-о:
(1.120)
Так как вектор fe? перпендикулярен границе зоны Бриллюэна,
то из (1.120) следует, что изоэнергетические линии (в трехмерном
случае — изоэнергетические поверхности) пересекают границы
зоны Бриллюэна под прямым углом.
Равенство (1.120) тесно связано с равенством (1.111). Как
известно, групповая скорость волнового пакета определяется
выражением
где со —
в виде:
»п>-* = —. 0.121)
rp,x dkx '
частота. Учитывая, что Е — ft со, можно (1.121) записать
«w-тяг- (U22)
ft Ой г
Поэтому условие (1.120) означает, что проекция групповой
скорости почти свободных электронов на нормаль к границе зоны
Бриллюэна обращается на этой границе в нуль. Это согласуется
с (1.111).
Равенства вида (1.122) имеют место также для осей у и г.
Поэтому
1
^гр
= - gracL, E.
(1.123)
Как показано в § 4, это выражение
определяет также среднюю скорость электрона в
кристалле.
В трехмерном случае зона Бриллюэна
является многогранником, грани которого
параллельны кристаллическим плоскостям
отражения Вульфа—'Брэггов. Первая зона
Бриллюэна для гранецентрированной кубической
решетки показана на рисунке 39.
Рис. 39
37

§ в. РАСЩЕПЛЕНИЕ АТОМНЫХ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УРОВНЕЙ
И ОБРАЗОВАНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗОН
В ряде металлов имеются электроны, частично принимающие
участие в проводимости и в то же время сильно связанные с
ионами, находящимися в узлах кристаллической решетки. Для таких
электронов приближение почти свободных электронов является
недостаточным. В этом случае лучшее приближение дает метод
сильной связи.
В методе сильной связи волновая функция электрона в
периодическом поле кристалла представляется в виде суммы:
«U (?) =~2 elt\(?~T), (1.124)
kn У N ~
где N — число узлов решетки, г|з„ (г — /) — сильно
локализованная волновая функция электрона в /г-м состоянии атома, центр
которого находится в узле кристаллической решетки, определяе-
—>
мом вектором /.
Волновая функция (1.124) удовлетворяет условию Блоха (1.39).
Действительно, согласно (1.124)
Ф1п (?+ Tj = ~ 2 е{ tT % (?+ I -?). (1.125)
?
Введем обозначение
h = T—k. (1.126)
Из (1.125) и (1.126) имеем:
% (7+Tl)=,^-^2/4f-4 <1Л27)
kn
V N-
Сумма в правой части (1.127) совпадает с суммой из (1.124).
Поэтому из (1.127) получаем:
Ъ> (г + Ь = е'^Ф- Й. 0.128)
kn kn
что согласуется с условием Блоха (1.39).
В первом приближении теории возмущений энергия электрона
в состоянии (1.124) определяется выражением
Епф) = \у-гпЩ-%пй?, (М29)
г
где Н — гамильтониан из уравнения Шредингера (1.16):
£ = -£-V'+V(?)«£+V$. (1.130)
38

Подставляя в (1.129) волновую функцию \|и из (1.124), получаем:
E«$)=±J£e^-r* \%{г- h)H{f, T)^n{7-T)d?. (1.131)
7 h 7
Положим
'r = r'i + l (1.132)
Тогда из (1.132), (1.131) и (1.126) находим:
Е" (*) = J 22 е'?Г J*» £ + ^ Я (Р, ?i + О Ч>„ £) d?r (1.133)
Согласно условию периодичности потенциала (1.17) можно записать:
Я (р, fi + /) = Я (л г7). (1.134)
Поэтому из (1.133)
где
ел (ft) = j ♦; (?+ /Г) Я>„ (г) dr. (1.136)
При переходе от (1.133) к (1.135), (1.136) было учтено, что
-1 У 1 = 1.
N <Ш
Г
Выражение (1.135) удовлетворяет условию периодичности (1.30).
Действительно, согласно (1.135)
Еп$-ё)^^-Ъ\$) =2VT4(ft). (1-137)
л ft
где учтено, что согласно (1.126) и (1.21) e-t'«ft = 1. Из (1.137) и
(1.135) следует (1.30).
Так как атомные функции г|?л (г) сильно локализованы, то ве-
->
личины ел (ft) из (1.136) сильно уменьшаются с ростом расстояния h
—> —»- ~>
между центрами волновых функций \|>„ (г -f- ft) и \рп (г). Поэтому
можно использовать приближение ближайших соседей и оставить
в сумме (1.135) только значения е (ft) для ft = 0 и ft = fti (где fti —
векторы, соединяющие данный узел кристаллической решетки с
ближайшими узлами решетки). При этом из (1.135)
Еп Щ = е„ (0) + 2 *"Ч (£). (1.138)
39

В случае простой кубической решетки векторы Л4 имеют
координаты (а, О, 0), (—а, 0, 0), (0, а, 0), (0, —а, 0), (0, 0, а) и (0, 0, —а).
Поэтому из (1.138) получаем:
Е„ (ft) = гп (0) + е„ (a) (eik*a + е~^а + (1 139)
+ e'V + е~'У + А" + е-<**°),
или
Еп (ft) = гп (0) + 2ея (а) (cos kxa + cos ftya -f cos kza). (1.140)
Так как —1 ^ cos a ^ 1, то значения энергии из (1.140)
образуют энергетическую зону шириной
Л£= 12 |ея(а)|. (1.141)
При малых значениях ft, когда fta<^l, можно разложить cos kxa,
cos fty а и cos kza в ряд по степеням ft^a, ftya, ft2a:
cosftxa=l-i(ft^)2+ ... (1.142)
(аналогичные разложения имеют место для cos kya и cos kza).
Из (1.142) и (1.140) получаем:
En (ft) - е„ (0) + 6s„ (а) - ел (a) a2ft2. (1.143)
Таким образом, вблизи центра зоны, где fta <C 1» закон
дисперсии является параболическим. Выражение (1.143) с точностью
до постоянной принимает вид (1.18i):
-* я2*2
£n(ft) = 8„(0) + 68„(a) + ^r, (1.144)
где т.* — эффективная масса, определяемая формулой
т* = — — . (1.145)
2аЧп (а) '
Учитывая, что согласно (1.143)
d?E _
Л2 ~
можно записать (1.145) так:
т* ~ ft2 dk*
2аяе„(о). (1-146)
(1.147)
Вблизи центра зоны изоэнергетические поверхности являются
согласно (1.143) сферами. При увеличении ft сферы деформируются
и изоэнергетические поверхности вытягиваются в направлении
границ зоны. Это обусловлено тем, что производные от (1.140)
2Ц® = - 2ae„ (a) sin kji (l. 148)
dkx
АО

(аналогичные производные получаются для
дЕп (ft)
дЕп(ft)
малы вблизи границ зо-
±я, kva = ±я,
йжа
Рис. 40
ны, для которых
kza — ±я. На границах зоны производные
вида (1.148) равны нулю, что согласуется с
(1.120). Отсюда следует, что изоэнергетичес-
кие поверхности пересекают границы зоны
под прямым углом.
На рисунке 40 показана одна из изоэнергетических
поверхностей в простой кубической решетке, когда векторы не лежат
вблизи центра зоны.
Вблизи вершин зоны, где
kJfl = ±n + qxa, qxa « 1 (1.149)
(аналогичные равенства выполняются для kya и kzd), можно
разложить cos kxa, cos ky а и cos kza по степеням qxa, qya, qza:
coskxa~~ 1+1(^0)»+ ..
(1.150)
(аналогичные разл зжения имеют место для cos kya и cos kza).
Из (1.150) и (1.140) следует, что
En (k) = е„ (0) — 6ея (а) + гп (a) a2q\
или
где
£в(*) = ея(0)-6ел(а) +
Л*
ft2?2
2m** '
(1.15.1)
(1.152)
(1.153)
2а28л (а) '
Сравнение (1.153) и (1.145) показывает, что вблизи восьми
вершин зоны эффективная масса т** по модулю равна и по знаку
противоположна эффективной массе т.* вблизи центра зоны.
Если а-> оо, то согласно (1.136) е„ (а)-*- 0 (так как перекры-
тие ближайших атомных волновых функций \|з„ (г + а) и *|)„ (г)
стремится к нулю). При этом ширина зоны АЕ из (1.141) стремится
к нулю и энергия Еп (k) из (1.140) стремится к уровню е„(0). Это
позволяет дать следующую интерпретацию образования
энергетических зон в кристалле.
Пусть N атомов находятся вдали друг от друга в одном и том же
состоянии, описываемом сильно локализованной волновой
функцией г(зл с уровнем энергии е„. Так как электрон может находиться
в каждом из атомов в состоянии г|)„, то уровень е„ является
вырожденным. При сближении атомов они возмущают друг друга.
Поэтому вырождение снимается и атомный уровень расщепляется в
41

энергетическую зону (рис. 41).
Как видно из рисунка, при
достаточном сближении атомов
энергетические зоны,
возникающие из разных атомных
уровней, могут расшириться
настолько, что оказывается возможным
их перекрытие.
§ 7. МЕТАЛЛЫ,
ПОЛУПРОВОДНИКИ
И ДИЭЛЕКТРИКИ
Согласно § 4 в зоне Бриллюэ-
на имеются N различных волно-
—»-
вых векторов k (N — число узлов
кристалла). Так как у электрона
->
с волновым вектором k
возможны две проекции спина, то в
энергетической зоне имеются 2N
состояний1. Поэтому согласно
принципу наули в энергетической зоне могут находиться 2N электронов.
Заполненная зона не дает вклада в электропроводность, так
как в ней нет свободных состояний, заполнение которых под
влиянием внешнего электрического поля привело бы к
преимущественной ориентации волновых векторов. Полностью заполненная зона
называется валентной зоной. Это название сохраняется также,
когда под влиянием внешних возмущений небольшая часть
электронов валентной зоны переходит на другие уровни, не
принадлежащие валентной зоне.
Если в зоне имеется значительное число свободных уровней,
на которые электроны могут переходить под влиянием внешнего
электрического поля, то зона называется зоной проводимости.
Характер заполнения и взаимного расположения зоны
проводимости и валентной зоны имеет важное значение для
классификации твердых тел по типу их проводимости.
Рассмотрим кристалл, в узлах которого находятся ионы
одновалентного элемента (например, лития, натрия, калия, рубидия,
цезия). Так как каждый атом отдает в зону проводимости один
электрон, то зона заполнена только наполовину (рис. 42).
Кристалл с такой зоной обладает хорошей электропроводностью и
является металлом.
Если в узлах кристаллической решетки находятся атомы двух-
1 р- и d-зоны имеют 6jV и ЮЛ/ состояний за счет наложения трех и пяти
зон (возникающих из трех р- и пяти d-состояний), в каждой из которых
имеются 2N состояний.
Е
0
\ ';-
\ *!:
I
^
i!i!^
£:::|s»"* ^
ГЪ г
[jjJJjlU> С*
а
Рис. 42
42

валентных элементов (например, бериллия, магния, кальция,
стронция, бария) и каждый из атомов отдает в зону два электрона, то
число электронов в зоне равно 2N. В этом случае зона является
полностью заполненной и электропроводность должна
отсутствовать. Известно, однако, что твердые тела из указанных
двухвалентных элементов являются металлами. Это объясняется тем,
что в этих металлах энергетическая зона, возникающая от более
высокого атомного уровня е2, частично перекрывается с зоной,
возникающей от более низкого атомного уровня et (см. рис. 41);
поэтому электроны заполненной зоны могут переходить на
свободные уровни более высокой зоны и вещество оказывается в
металлическом состоянии.
Если заполненная зона и вышележащая зона не
перекрываются, возможны два случая. В случае Д С &дТ(гдеД — ширина
запрещенной зоны — рис. 43) тепловое движение1 может переводить
часть электронов из валентной зоны в зону проводимости. При этом
появляются токоносители двух сортов: отрицательные электроны
(е < 0) в зоне проводимости и
положительные дырки (отсутствие
отрицательного электрона характеризуется зарядом —е>
> 0) в валентной зоне. В этом случае
твердое тело является полупроводником с
собственной проводимостью.
В случае А > kBT (рис. 44) тепловое
движение не может привести к заметной
концентрации токоносителей и твердое
тело является диэлектриком.
Если между валентной зоной и зоной
проводимости имеются энергетические
уровни, обусловленные примесями, то
возможна проводимость в результате перехода
электронов из валентной зоны на
примесные уровни или с примесных уровней в
зону проводимости.
На рисунке 45 показана зонная схема
полупроводника с донорными примесями.
Если Ai С kBT (где Ai — интервал
между примесным уровнем и дном зоны
проводимости), то тепловое движение
переводит электроны донорных примесей
в зону проводимости и вещество
является полупроводником. Так как при этом
электропроводность обусловлена
электронами, вещество называется
полупроводником /г-типа.
£
Я
Рис. 43
Л1
Рис. 44
-О- -О-
1 Т — температура, кв — постоянная Больц-
мана.
Рис. 46
43

11
—* * +
» \\H
Рис. 46
Рис. 47
На рисунке 46 показана зонная схема полупроводника с
акцепторными примесями. Если А2 < kBT (где Д2 — интервал между
верхним уровнем валентной зоны и примесным уровнем), то
тепловое движение переводит часть электронов валентной зоны на
акцепторные уровни. При этом в валентной зоне образуются дырки,
которые могут участвовать в электропроводности. Так как ток в
этом случае переносится положительными дырками, вещество
называется полупроводником уэ-типа.
В общем случае при наличии донорных и акцепторных
примесей возможна смешанная проводимость.
Если дно зоны проводимости расположено немного ниже
верхнего уровня валентной зоны, то вещество является полуметаллом
(рис. 47). В полуметаллах в отличие от полупроводников даже при
Т = 0 в зоне проводимости имеется небольшое число электронов,
равное числу дырок в валентной зоне. Незначительность
перекрытия зон приводит к тому, что число электронов проводимости на
один атом значительно меньше, чем в металлах (например, в
висмуте один электрон проводимости приходится на 105 атомов). В
отличие от металлов, в которых число электронов в зоне
проводимости практически не зависит от температуры, в полуметаллах число
электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне
увеличивается при повышении температуры.
Если валентная зона и зона проводимости не перекрываются,
но верхний уровень валентной зоны касается нижнего уровня зоны
проводимости, то вещество является бесщелевым
полупроводником.

Глава II
ДИНАМИКА КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ
§ 8. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ
КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ
В кристаллах атомы (или ионы) совершают малые колебания
около узлов решетки. Рассмотрим кристалл, у которого в каждой
элементарной ячейке находится один атом с массой М- Энергия
колебаний атомов кристалла равна
Е=*К + U, (2.1)
где
к = -м
N
2 г" (2.2)
n=i
есть кинетическая энергия (гп — смещение атома из п-ro узла ре-
—V
шетки, определяемого вектором /J, a
U = U (Ru %..., RN) (2.3)
— потенциальная энергия. Здесь
*»»<* + '*« (2-4)
является радиус-вектором п-го атома.
Из (2.3) и (2.4) следует, что
и = и (7, +7^ Т2 +72,..., 7„+7„). (2.5)
Разлагая £/ по степеням малых смещений гп, получаем:
v xna /о
п=] а=1
i £ £ 4, £, / да
+72S22*3g.'-v (2-6>
2 4 Щ MA \dRn«dRmfio m т*'
п=1 т=1 а=1 р=1
где [/о = U (/i, /г /дг)| а нулевой индекс у производных
означает, что значения производных берутся для положения равнове-
45

сия (/?„ = /„, п — I, 2, ..., N). Индексы а = 1, 2, 3 (и
аналогично р" = 1, 2, 3) обозначают проекции на оси координат х, у, г.
Ограничение разложения (2.6) членами квадратичными по
смещениям соответствует гармоническому приближению.
В положении равновесия потенциальная энергия кристалла
имеет минимальное значение. Поэтому первые производные (■
W#«* /о
равны нулю. Опуская постоянную U0, получаем из (2.6):
л=1 m=l а=1 Р=1 /и
о / d*U \
В кристалле производная ,п дг)— зависит только от оазно-
\окпаркт$}0
сти /„ — /т (зависимость от абсолютных значений 1п и /т привела
бы к нарушению трансляционной симметрии). Поэтому
{щк^ги->Си-Т-)- (2-8)
Из (2.7) и (2.8)
"-т 2 2 2 2 *+ (Г« - & г-'*■ (2-9)
л=1 m=l а=1 3=1
Дифференцируя (2.9) по rm(3, получаем выражение для проекции
силы:
р«*=-#7=- 2 2^(Г«-^Г-- (2-ю)
mp n=i а=1
Согласно второму закону Ньютона
Из (2.11) и (2.10)
п=1 а=1
Уравнения движения (2.12) имеют решение
Где е3 (^) — вещественные коэффициенты. Действительно,
подставляя rmp из (2.13) в (2.12), получаем:
46

M^iMi^i/«^M,]=
-S S^«-Tj S^^^e"*1--810. (2.14)
rc=i a=l -*
» ■»
Отсюда (после деления на eiQ lm) имеем:
-> L n=l a—l
А(Ъе-ШШ^0. (2.15)
x ea (<?) e
Эта система удовлетворяется, если
Mt*(foe,fa -2 i^* u-ij^V^V (2-16)
n=l a=l
Введем обозначения:
h = Tn-1m, (2.17)
^«-S'SM^ (2.18)
Тогда из (2.16)
з
-co2(<7)e3(<?) + 2 G«3 foKfo) =° (2-19)
Система линейных однородных уравнений (2.19) имеет
нетривиальные решения, когда обращается в нуль определитель этой
системы:
-0
(2.20).
[-«а(<7) + С,Л<7)] Gyx(q) Gzx{q)
оху(Ф 1-^(Ъ+оууш огу(ф
Охг(ф GyM l-^(q)+Gzzm
Уравнение третьей степени (2.20) имеет три корня,:.
о,2 (<7>, со! (ф, соз (?).
Так как частота колебаний является положительной величиной,
TQ
0)= со, (ф, s= 1,2,3, (2.21)
47

Согласно (2.19) трем корням (2.21) соответствуют три вектора e{s) (q).
Матрица GaP (<?) из (2.18) является самосопряженной.
Действительно, согласно (2.9)
VQa (С-Q = £/а3 (Тя -U (2.22)
или, учитывая (2.17),
Ц««(-Л) = Ц*Й- (2-23)
Из (2.18) и (2.23) следует условие самосопряженности:
0Ш =^2Ua, (- Л) ^ Г= СаЭ б), (2 24)
где учтено, что величины Uafi из (2.8) вещественны.
Как известно, собственные функции самосопряженных
операторов, принадлежащие различным собственным значениям, вза-
имно ортогональны. Поэтому решения уравнения (2.19) е(1> (q),
-> ->- ■*♦-'-*■
е(2) (^) и е(3) (<?) взаимно ортогональны:
]Mfo)e2l)fo) = 0f (sgfeej. (2.25)
Так как величины eg5 (<?) определяются уравнением (2.19) с
точностью до постоянного коэффициента, можно их нормировать
таким образом, чтобы квадраты векторов eis) (q) были равны
единице. С учетом (2.25) это дает равенство
г^й^'й-в... (2.26)
Если один из векторов es) (q) (например, е(1> (q)) направлен вдоль
волнового вектора q, то соответствующая волна (2.13), в которой
колебания совершаются вдоль q, называется продольной волной.
Два других вектора е(2) (q) и е(3)( д)
ортогональны друг к другу и к
вектору q (рис. 48). Они
определяют две поперечные волны. В общем
,/}i_ случае, когда q ориентирован про-
е (q) извольно относительно направле-
sfi * ^г ний симметрии кристалла,
векторы е(1) (q), e(2) (q), e(3) (q) не оп-
r§fy(Z) ределяют чисто продольные или
чисто поперечные волны. Однако
Рис. 48 в пределе длинных волн (следова-
48
е (q.)

тельно, малых q), когда кристалл можно рассматривать как
изотропное твердое тело, одна волна является продольной, а две
другие — поперечными.
Матричные элементы Ga^ (0) равны нулю. Действительно,
согласно (2.18)
с*(°>=й 2 "«*<*>■ (2.27)
Л*
При смещении кристалла как целого на расстояние а вдоль оси
а (когда все гпа = а) из (2.10) следует:
Fm& = -2Uafi(ln-7m)a. (2.28)
Но смещение кристалла как целого не приводит к возникновению
силы jFmp, действующей на атом т. Поэтому из (2.28) получаем:
"2^(^-0=0- (2-29)
л=1
Сокращая обе части (2.29) на а и учтя (2.17), находим:
2 Ц*в $) ■= О- (2-30)
Отсюда и из (2.27)
h
Ga, (0) - 0. (2.31)
Согласно (2.19) и (2.31) частоты со, (q) стремятся при д->-0 к
нулю. Поэтому рассматриваемые волны называются
акустическими (стремление со к нулю при q -*~ 0 характерно для звуковых волн
в упругоизотропной среде, где со пропорциональна q).
Волновые векторы q из (2.13) лежат в пределах первой зоны
Бриллюэна. Действительно, длина волны, описывающей
колебания атомов, не может быть меньше 2а (где а — межатомное
расстояние). Поэтому
Amin °
Отсюда, например, в случае кубической решетки
—л <^а^я, —л < <7у а <$£ л, —л < qz a ^ л, (2.33)
что совпадает с условием (1.79), определяющим первую зону
Бриллюэна.
Учет циклических граничных условий Борна—Кармана (1.74),
имеющих в данном случае вид
г a +N а)**г ЛЦ ), (а = 1, 2, 3), (2.34)
mil » та ' а а' тр \ та'' ч ' ' ' * v '
49

приводит к дискретности волновых векторов. При этом в
соответствии с (1.77) в первой зоне Бриллюэна имеются N различных вол-
новых векторов q. Таким образом, с учетом трех возможных на-
правлений поляризации (описываемых векторами е{1) (q), e(2) (q),
€(3> (q)) всего имеются 3N состояний, что совпадает с числом
степеней свободы атомов кристалла.
С учетом трех возможных направлений поляризации решение
(2.13) имеет вид:
г« - тк 5 |ef Cq) л°{q) ell7tm ~ф] - (2-35)
ч
В случае, когда в элементарной ячейке имеется р атомов,
выражение (2.35) обобщается следующим образом:
'*+ -уЩ'2 | ЩМя)е1^-^% (2-36)
я
где / — номер узла в ячейке, N — число элементарных ячеек, a s
принимает значения от 1 до 3 р. Соответственно вместо (2.20)
получается уравнение
Зто уравнение имеет 3 р корней:
со = со, (q), s= 1,2 , 3/7. (2.38)
Три из этих частот стремятся к нулю, когда q -*• 0. Они
соответствуют акустическим колебаниям. При «/->0 (когда Я->оо)
эти колебания описывают смещение всех подрешеток в целом и
поэтому их частота стремится к нулю. Остальным 3 (р — 1) частотам
соответствуют оптические колебания. Эти колебания связаны со
смещением подрешеток друг относительно друга, и поэтому при
q -v 0 их частоты не стремятся к нулю. Они называются
оптическими, так как в ионных кристаллах сильно взаимодействуют с
электромагнитным излучением. Относительно большая частота
оптических колебаний в кристалле обусловлена их связью с
внутренними колебаниями молекул.
Решение (2.13) позволяет представить энергию колебаний
кристалла в виде суммы энергий независимых гармонических
осцилляторов. Действительно, полагая
Я, (3-ЛИ «-*«*'. (2.39);
получаем из (2.35):
50

'«-уШ^З*®8'®' т' (2-40)
Отсюда
я
Из (2.41) и (2-2) получаем:
*=4М2 2 V =
n 3=1
=2т 2 2 2 2 24ЧШфвлфК(1) 2 "*+*>*.
3=1 -> -+ s=i s1=i n (2.42)
Согласно (1.1), (1.77) и (1.63)
1уе'*Г» =1 У с V' ° ' ' (2-43)
ЛГ -Ad N Ы
где (см. § 4) lt пробегает значения 0, 1, 2, ..., Nt — 1 (i — 1, 2, 3).
Если яг =т^= 0, то, используя формулу для геометрической
прогрессии, получаем:
jv.—1 .2nii h
2 е = ^Г' (2.44)
л=о < —i
' 1 — е ^
Так как elZmi — 1, то выражение (2.44) равно нулю. Поэтому
правая часть (2.43) не равна нулю только в случае q = 0 или q — g.
В этих случаях выражение (2.43) равно 1 (см. 1.21).
Следовательно,
ySf'TU}1 «-О.?"! (2.45)
(О <7^ 0, ?=£ g
Так как q -4- 71 тоже является волновым вектором, то из (2.45)
следует, что последняя сумма из (2.42) не равна нулю только при
<7i = — g или при <7i = —<7 + g- Волновые векторы, отличающиеся
на вектор обратной решетки, эквивалентны. Поэтому можно огра-
ничиться случаем ft = —q. При этом из (2.42) следует:
к -? 2 2 2 2 ^^\<-9)4s)(9)4s,,(-5- (2.46)
(3=1 -* s=l Sl=l
51

Так как вектор гт является вещественным, то
Подставляя в (2.47) значение г „ из (2.40), получаем:
2 2 ^ (?) В*Л) Г*!7* =22 4S) (?) В, (?) s " V (2.48)
2 4? (?)£(?) ^==2 2
Отсюда
4S)(-?) = 4S)(?), (2.49)
В! (-?) = 5, (?). (2.50)
Учитывая (2.50), (2.49) и (2.26), получаем из (2.46) следующее
выражение для кинетической энергии:
*= J2 2B,(9)#(?). (2.51)
-* s=l
Из (2.40) и (2.9)
3 3 3 3
1 V V V V V" V „<s> /1л ,А>
к=1 0=1 -* ■* s=l s,=l
<7 ft
х Bs (?) б (?,) 2 2 £/ee Й, -1) e (Ч 'п+ *Ч (2.52)
п т
Учитывая (2.17), можно записать последнюю сумму из
(2.52) так:
n m
-2tf«ft--f?*2.*l7"*+.« • (2.53)
Первая сумма в правой части (2.53) согласно (2.18) равна MO^iq),
а вторая сумма согласно (2.45) отлична от нуля и равна N только
при </i = —</ (или при ^ = g — ^)- Поэтому из (2.53)
2 2^ (7п-Ье^Х+^т) *
М^ар (9) при ?1=— ? или 9, *- g — ?,
(2.54)
0 при других qt
52

Учитывая (2.54), получаем из (2.52):
3 3 3 3
и =12 2 2 2 4Si)(-^b,^sSx(-7) 2 #<Зо.Д<2.Б5)
3=1 -* s=l st=l а«=1
Последняя сумма в (2.55) равна согласно (2.19) величине
со? (q) ef (q). Поэтому, учитывая (2.49), находим из (2.55):
3 3 3
t/==i2 2 2вл?К(-?К(?) 2 еШе^)- (2.56)
-+ s=l s,=l 0=1
Согласно (2.26) последняя сумма в (2.56) равна 1 при s = Si
и нулю при s Ф S\. Это приводит с учетом (2.50) к следующему
выражению для потенциальной энергии:
и=\ 2 2ш* йfl*(^ Б*{^- (2-57)
-* s=l
Я
Подставляя значения К из (2.51) и [/ из (2.57) в (2.1), получаем
выражение для энергии колебаний атомов кристалла:
Е=12 2 с^ ^ Б* (?)+^ 5* (3 в«^)1 <2-58)
s=l
ИЛИ
где
£=22 £,(?).
S
<7
(2.59)
я, (?) = { П 4- (?) I2 + <£(ф | в, (?) I2]. (2.60)
В отличие от (2.9) выражения (2.58) или (2.59) не содержат
произведений величин с различными индексами. Поэтому (2.40)
можно рассматривать как переход от обычных координат гшР к
нормальным координатам Bs (q). Каждая координата Bs (q)
является решением уравнения движения для гармонического
осциллятора. Действительно, дифференцируя (2.39) дважды по времени,
получаем уравнение движения гармонического осциллятора:
Ъм~-*Уд)В,(я). (2.61)
Таким образом, нормальная координата Bs (q) описывает
колебания независимого осциллятора, происходящие с частотой со, (q)
53

и энергией Es (q), определяемой (2.60). Энергия колебаний атомов
кристалла (2.59) является суммой энергий колебаний независимых
гармонических осцилляторов.
§ 9. КВАНТОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ
РЕШЕТКИ
Как известно, при переходе от классической механики к
квантовой механике координата частицы q и ее импульс р заменяются
на операторы, удовлетворяющие перестановочному соотношению
[ДО]- = ЯР ~ РЯ = »• (2-62)
Обобщенный импульс ps (q), соответствующий нормальной
координате Bs (q), определяется выражением
Н 3L
Ps (я) = . ~ > (2.63)
дВ3(я)
где
L^K—U (2.64)
есть классическая функция Лагранжа. Подставляя в (2.64)
значения К из (2.51) и U из (2.57) и учитывая (2.50), получаем:
з
1 " Т 2 2 ' Eft ^ ft (~9) - «$) В, (7) В, (-?)]■ (2.65)
я
Из (2.65) и (2.63)
ps (?) = В, (-?), (2.66)
» ->■
где учтено, что при дифференцировании по Bs (q) члены
. -► ->■ . -> ^ ■ - ■-».
В^ (g) В^ (—q) и S^ (—q) Bs (q) дают одинаковый результат.
Из (2.58) с учетом (2.50) и (2.66) получаем:
з
■» s=l
Квантование колебаний кристаллической решетки осуществ-
ляется в соответствии с (2.62) путем замены ps (q) и Bs (q) на
операторы, удовлетворяющие перестановочным соотношениям
При этом выражение для энергии (2.67) преобразуется в
гамильтониан1
* В дальнейшем, где это не может вызвать недоразумения, будем опускать
знак «Л» над операторами.
54

, _ J.
H=12 2[ p*(<?) рЛ~9) +w*((?) s< ((?) 5* (~9)]-(2,69)
s=l
В (2.69) имеются произведения операторов, зависящих от раз-
-> —>
ных аргументов (q и —д). Можно получить произведения
операторов, зависящих от одного и того же аргумента, если представить
ps (q) и Bs (q) следующим образом:
— i
В, (Ф = «, (Я) (а- + а_-).
<?s
где а-> и а+-> — операторы (at — оператор эрмитово сопря-
женный к а-*), а а, (?) и р\ (?) — коэффициенты. Подставляя
—> —>
^ (<?) и As (?) из (2-70) в (2.68), получаем:
+ [fl&J at ]- [а+н. a - ]) = «6^ бщ. <2-71)
Это равенство выполняется, если операторы au удовлетворяют
перестановочным соотношениям
[a„cai 1_ = б-*-* б„ ,
[a- a- ]_ = [ ai at ]_ = 0. (2.72)
L gs (7,8,-1 L „s ?1%J > /
При этом из (2.71) следует, что
2as( фРЛФ=Ш- (2-73)
Подставляя Bs (q) и ps (q) из (2.70) в (2.69), получаем:
я=т 2 2ср*(*>р* <-*> Ч~ a-~^ {a-^_ %> +
+ со? (q) as Cq) as (- q) (eu + a±?s) (a -► + a±)], (2.74)
или, учитывая второе равенство (2.72),
55

-* s=l
9
+ au а -») — В, (о) В. (— о) (ai а^ + a •* а ->■) +
qs — </s' ri "' ' s n' qs qs — <7s — qs'
+ „ I г. „+
y — \Js w :jj v— ч/ v"
+ bJ (?) a, (?) a, (- ?) (a* at + a+- a -+)}. (2.75)
qs qs — qs — qs
-*■ —>-
Отсюда видно, что произведения операторов, зависящих от q и —q,
исчезают, если
Р. (Ъ Ps (-Я) + «2 (Я) <*, (3 «, (- 7) = 0. (2.76)
При этом
+ at си + а - а+- + a±;s a -*). (2-77)
<?s <?s — qs — q s — i?s
Система уравнений (2.73) и (2.76) имеет решение
«,(5 - 1 / V. Р, (?) = * |/| ftS (2-78)
Подставляя значение а Л(<?) из (2.78) в (2.77), получаем:
qs
Н = \2 2*»'8><Ъ°*+***1): ^79)
q
или, учитывая первое из равенств (2.72),
Н^2%Ш, $)[<*,% + }} (2-8°)
-+ s=l
q
Отсюда видно, что собственные значения гамильтониана,
описывающего колебания кристалла, определяются собственными
значениями оператора:
л_ = а+а^. (2.81)
qs qs qs V /
Уравнение для собственных функций ф (v->.) и собственных зна-
qs
чений v^ оператора п-± имеет вид:
qs qs
^(V"%*(V- (2-82)
Так как оператор at является эрмитово сопряженным к
оператору си, то собственные значения v- оператора п^ являются
• qs qs qs
56

вещественными и неотрицательными. Действительно, из условия
нормировки
<V-?JVts>==1 (2.83)
и (2.82) следует:
V-v = < V- I «-> | V-* >. /9 од\
<7S <;s I qs' 17s l^-OI^
Подставляя значение п-> из (2.81) и используя правило
умножения матриц, получаем:
;_ =
<р qs ' qs qs I q:
v.» = < v-v I ai a-> 1 v^ > =
= 2 < v-* I at I v+ > < v- I a^ I v_> >. (2.85)
V-*- «s «s «1S1 «is, qs qs
Согласно определению эрмитова сопряжения матричные элементы
ai и си связаны равенством
qs qs
< v- I at I v+ > = < v- I a-* I v-> > *. (2.86)
qs qs q1si qtst qs qs V"-""/
Из (2.86) и (2.85)
v- « 2 I < v- I a-1 v* > |2>0. (2.87)
Таким образом, собственные значения v-+ оператора tu+ явля-
qs qs
ются вещественными и неотрицательными числами.
Для установления собственных значений оператора п-+ из
qs
(2.81) рассмотрим соотношения:
п-+ а+ — а-* п^ — at а-* а-+ —
qs qs qs qs qs qs qs
— a-> at a-* = (at a-* — a > ai) ou, (2.88)
qs qs qs qs qs qs qs qs
n-* at — at ru = at (a~> at — at a~>). (2.89)
qs qs qs qs qs qs qs qs qs
Из (2.88) и (2.89), учитывая первое из соотношений (2.72),
пол)чаем:
п-* а -* — а-* п~>- = — а-*, /п от
qs qs qs qs qs yz.^\l)
n^ at — atn^ — at. (2.91)
qs qs qs qs qs
Из (2.90)
n-+ а-* ф (v >) = a_> n-+ ф (v^) — ou ф (v->). /9 qo\
qs qs qs qs qs qs qs !S \&-iL)
Заменяя согласно (2.82) в первом члене правой части (2.92)
величину л->-ф (v^) на v->ij) (v-*), приходим к уравнению
п^ а-,, ф (v->) = (v- — 1) а- ф (v->). /2 93)
<7S (?s T qs' qs qs qs (4.У0)
57

Отсюда видно, что аиф (v->) является собственной функцией
qs qs
■ф (v^ — 1) оператора «-*, которой соответствует собственное зна-
<7S qs
чение v.* — 1. Поэтому
qs J
а^(%)==С1(л^Ж%~1)' (2-94)
где Ci (v^) — коэффициент. Так как оператор а-> переводит
qs qs
состояние с собственным значением v-> в состояние с собственным
qs
значением v-* — 1, то а-* является «оператором уничтожения».
qs qs
Аналогично из (2.91)
IU* at Ф (v-*) = at п^ ф (v-) + at ф (v->). (2.95)
17s qs qs qs qs qs qs qs
Учитывая (2.82), получаем:
n^ at *(v_) =.(v- +l)at *(v-*). (2.96)
qs qs qs qs qs qs' '
Следовательно, at ф (v-Л является собственной функцией
qs qs
•ф (v-*-[-1) оператора tu, которой соответствует собственное
значение v-* 4- 1. Поэтому
qs
<7S flS «s qs
где с2 (v->)— коэффициент. Так как оператор at переводит
q s qs
состояние с собственным значением v.* в состояние с собственным
4- ч$
значением v^ -f- '• то °-+ является «оператором рождения».
Действуя оператором си на ф (v-* — 1), получаем согласно
(2.94) состояние ф (v-+ — 2) с собственным значением п-+, рав-
qs qs
ным v-». — 2. Дальнейшее последовательное применение опера-
qs
тора а-* приводит к состояниям с собственными значениями я-v,
qs qs
равными v.* — 3, v^ — 4, ... . Этот ряд должен согласно (2.87)
заканчиваться на некотором неотрицательном минимальном
собственном значении v2>, для которого
а-* ф(Л) = 0. (2.98)
qs qs
Отсюда и из (2.81)
ги ф (А) = at си ф (Л) = 0, (2.99)
qs qs qs qs qs
что согласно (2.82) приводит к
vi.»0. (2.100)
qs
58

Таким образом, минимальное собственное значение оператора
п^ равно нулю. В частности, когда все v-> = 0, то из (2.80)
qs qs
следует выражение для энергии нулевых колебаний кристалла:
£°={2 2**.&. (2.Ю1)
q
Возбужденные состояния кристалла определяются набором
чисел v->, среди которых не все равны нулю. Применяя оператор
qs
at к состоянию Ф (v-+) = \b (О-»), получаем согласно (2.97)
qs qs q s
состояние ib (1-*) с v-» = 1. Действуя оператором at на \b (1^),
qs qs qs qs
приходим к состоянию ty (2^) с v-y = 2. Дальнейшее
последовательное применение оператора at приводит к состояниям с
qs
v-* = 3, 4, 5... Поэтому оператор ги. имеет собственные
значения
v- =0, 1, 2, 3,4 (2.102)
qs
Таким образом гамильтониан колебаний кристаллической
решетки (2.80) имеет собственные значения
£=1)2 £,(?)• (2.103)
9
где
ZUU = ftMU(v-+~) (2.104)
(здесь v-> определяется выражением 2.102). Как известно, из кван-
qs
товой механики, выражение (2.104) определяет энергию линейного
гармонического осциллятора с частотой cos (q). Следовательно,
согласно квантовой теории энергия колебаний кристалла, так же
как в классической теории1, является суммой энергий
независимых гармонических осцилляторов. Однако в отличие от
классической теории энергия каждого осциллятора определяется не
выражением (2.60), а выражением (2.104), содержащим, в частности,
энергию нулевых колебаний.
Из (2.80), (2.103) и (2.104) видно, что при рассмотрении
возбужденных состояний кристалла оказывается удобным
представление чисел заполнения или вторичного квантования. В этом
представлении состояние системы характеризуется набором целых
неотрицательных чисел va, указывающих число частиц, находя-
i Ср. с (2.59).
59

щихся в одночастичных состояниях |а>. Если, например, ^(г) —
одночастичная волновая функция состояния с импульсом р, то
оператор
Г(г)=2я|ф^0 (2.105)
р
описывает рождение в системе одной частицы в точке с радиус-
-> -»■
вектором г (суммирование по импульсам р показывает, что
импульс частицы является при этом неопределенным).
Аналогично оператор
?W = 2Vi;« (2.10^)
описывает исчезновение одной частицы в точке с радиус-вектором г.
Как известно, разложение обычной волновой функции ф (г) по
собственным функциям оператора импульса имеет вид1:
л (7) = 2 а-ф-(г), (2.106)
->■ р р
V
где а-> — коэффициент разложения (величина | а-* |2 определяет
р р
-»-
вероятность состояния с импульсом р). Одночастичная волновая
**•
функция ф-» (г) в правой части (2.105) уже отражает (первично)
квантовые свойства микрочастицы. Поэтому переход от (2.106)
к (2.105) или (2.1054), где, кроме того, коэффициенты a-v заменены
на операторы исчезновения а-+ или рождения at, называется вто-
р р
ричным квантованием.
Перестановочные соотношения, которым подчиняются
операторы вторичного квантования, учитывают свойства симметрии
волновой функции системы по отношению к перестановкам
тождественных частиц (симметричная волновая функция для
бозонов и антисимметричная для фермионов). Так, рождение двух
частиц в состояниях с импульсами pt и р2 (рх ф рг) описывается
оператором at at.
Pi Pi
В случае бозонов такой же результат получается при действии
оператора at at (так как волновая функция симметрична
относительно перестановки двух частиц). Поэтому
[at ati =atat-aiat=0. (2.107)
Pi P2J_ Pi P, рг Pi
1 Ср., например, с (1.27).
60

Аналогично
р, Р2 (2-107х)
Перестановочные соотношения (2.107), (2.107^ согласуются со
вторым равенством (2.72).
В случае фермионов, для которых волновая функция
антисимметрична относительно перестановки двух частиц, имеем:
otat = — at at. (2Л 08)
Pi Pi Рг Pl '
Поэтому для фермионов
[at at]. = at at + at at = 0. (2.108,)
Pl Рг Pi Pi P, Pt U
Аналогично
[яи a*]+ = a~* a* + a* a->. = 0. /0 , пй,
p, p2 p, p2 р„ p, (Z.iUOj)
Другие перестановочные соотношения для фермионов
рассматриваются в § 13.
Коэффициенты d (v->.) из (2.94) и с2 (v-) из (2.97) можно опре-
qs qs r
делить, учитывая, что согласно (2.86)
< v+ | at | v- — 1 > = < v+ — 11 о* | v^ >*. ,9 ,nq,
qs qs' qs qs qs ' qs (A. LVa)
Из (2.109), (2.94) и (2.97)
c2(v-* — 1) < v- |v-> ;
qs qs{ qs
Отсюда, учитывая (2.83), получаем:
qs ^
С другой стороны, из (2.85), (2.94) и (2.97)
= < v^ | at a*1 v^. > = с, (v^) < v^
s qs qs qs' qs qs qs
cx (v^J c, (v-^ — 1)< v.* j v->. > = cx (v-*) c2 (v-* — 1). (2.111)
(2.112)
c2(v^ —l)<v-* Iv- > =c?(v^)<v-, —l|v^—1>. (2.110)
qs qs' qs \ qs' qs ' qs
c2(vts-i) = c;(v1s). (2110i)
v.* = < v^ I at a+ I v-,. > = c, (v-+) < v^ I at I v^ — 1 I > =
qs qs qs qs' qs qs qs qs' qs '
Исключая c2 (v-> — 1) из (2.111) и (2.110!), получаем
QS
|Cl(vt)|2
qs
c2(v^—1)
OS
qs
r qs
' OS
Отсюда
Из (2.1120 и (2.1100
(2.113)
или
l(v^) = l/^T+T. (2.113,)
OS У qs
61

Подставляя значения с4 и с2 из (2.112t) и (2.113!) в (2.94) и (2.97),
приходим к равенствам:
o+|v+ > =j/77|v^— 1>, (2.114),
qs' q s У q s q s
aX I v+ > = T^v-> + 1 | v- + 1 >. (2.114,)
4 S I g S r <; s llJS
Действия операторов а- и ai в (2.114) и (2.114Л характерны
qs qs
для операторов вторичного квантования в системах,
подчиняющихся статистике Бозе—Эйнштейна.
§ 10. МЕТОД КВАЗИЧАСТИЦ. ФОНОНЫ
При теоретическом изучении макроскопических свойств
вещества встречаются значительные трудности, обусловленные
сложностью определения движения очень большого числа
взаимодействующих частиц. Это приводит к необходимости применения
приближенных методов. Одним из них является метод квазичастиц.
Представление о квазичастицах, как общем методе изучения
энергетического спектра макроскопического тела, было введено
Л. Д. Ландау в 1940—1941 гг. при создании теории сверхтекучести
(см. § 42)1. Согласно этому методу каждому слабовозбужденному
состоянию макроскопического тела однозначно сопоставляется
состояние идеального газа невзаимодействующих элементарных
возбуждений. Эти возбуждения описывают движения коллектива
частиц тела (а не отдельных частиц). Каждое элементарное
возбуждение движется в объеме тела как квазичастица, обладающая
определенной энергией и определенным импульсом (или
квазиимпульсом). Энергия слабовозбужденного состояния
макроскопического тела является суммой энергий квазичастиц:
£ = 2е(р)я->, (2.115)
р
-»• -*
где п-* — число квазичастиц, имеющих импульс р и энергию г{р).
р
В отличие от обычных частиц, квазичастицы не существуют
вне макроскопических тел. Их существование связано с
определенной структурой макроскопического тела. При исчезновении этой
структуры (например, при фазовом переходе) исчезают и
соответствующие ей квазичастицы.
При Т Ф0 энергия газа квазичастиц определяется
выражением
£ = je/(e, T)Z(B)de, (2.116)
где f (г, T) — функция распределения, равная среднему числу
1 Этот метод был затем применен при развитии теорий других квантовых
жидкостей.
62

квазичастиц в состоянии с энергией е при температуре Т, а — Z (е)—
плотность состояний. Величина Z (г) d e определяет число
состояний системы в интервале энергии от s до г -f- d e.
Скорость квазичастицы определяется выражением1
o = gra(U e(p). (2.117)
Поток квазичастиц описывается суммой
/= 2 «-+ gracU б (р). (2.118)
-*- р р
р
Полный импульс газа квазичастиц равен
P=J]p7W. (2.119)
р
Квазичастицы переносят также энергию. Перенос энергии
определяется выражением
U = 2 n- e (р) grad-* e (»). (2.120)
-»■ р р
р
В макроскопическом теле могут сосуществовать различные
типы квазичастиц. В этом случае выражения (2.116), (2.118) —
(2.120) обобщаются путем добавления суммирования по всем
сортам квазичастиц. Так, выражение (2.116) переходит в следующее:
£ = 2 JeMe, T)Zs{e)de, (2.121)
где р — число сортов квазичастиц. В общем случае области
существования квазичастиц различных сортов не совпадают между
собой.
Отсутствие взаимодействия между квазичастицами данного
сорта или между квазичастицами различных сортов соответствует
только приближению низшего порядка. В более высоких
приближениях квазичастицы могут взаимодействовать между собой, что
приводит к нарушению идеальности газа квазичастиц. При этом
состояния квазичастиц оказываются квазистационарными. Если
% — время жизни квазичастицы, то неопределенность ее энергии
определяется выражением2
Д£>-. (2.122)
т
Поэтому описание возбужденных состояний макроскопического
тела с помощью квазичастиц возможно только в тех случаях, ког-
i Ср. с (1.53).
2 См. [2], § 99.
63

да выполняется неравенство
е (Р) >
(2.123)
Сравнение (2.103), (2.104) и (2.115) показывает, что
слабовозбужденные состояния кристалла можно в гармоническом
приближении представить в виде совокупности квазичастиц,
каждая из которых имеет энергию
е, = Й (os (q)
(2.124)
и квазиимпульс
p = hq. (2.125)
Квазичастицы, определяемые равенствами (2.124) и (2.125),
называются фононами. Идея о возможности представления
колебаний кристалла в виде совокупности фононов (квантов энергии и
импульса звуковых волн) была высказана И. Е. Таммом в 1930 г.
Согласно (2.104) и (2.102) энергию (2.124) может иметь любое
число фононов. При данных q н s энергетические уровни являются
эквидистантными (рис. 49). Интервал между соседними уровнями
равен h(os (q). Поэтому в тепловом равновесии среднее число
фононов с энергией h&s(q) определяется выражением1
! . (2.126)
kBT
— 1
Отсюда видно, что фононный газ описывается в тепловом
равновесии функцией распределения Бозе—Эйнштейна с равным нулю
химическим потенциалом. Равенство химического потенциала нулю
соответствует несохранению полного числа фононов.
При взаимодействии фононов выполняется закон сохранения
энергии. Закон сохранения квазиимпульса выполняется в
соответствии с (2.45) с точностью до вектора g. Так, в случае слияния
двух фононов с квазиимпульсами
Ь<%)1\
■jbu)s(q.)
jbus(g)
о
fitJsty
V
Vqs-J
Vas=2
Щ5
hqt и hq2 в один фонон с квазиим-
—э-
пульсом tiq (или в процессе
распада фонона с квазиимпульсом
hq на фононы с квазиимпульсами
hqi и hq2) закон сохранения
энергии имеет вид:
%. fti)+'Mft>s»i(fl)-
(2.127)
Рис. 49
* См. [2], § 6.
64

При этом для квазиимпульсов
выполняется равенство
>i<7i + й<?2 => hq + tig.
(2.128)
При g = 0 равенство (2.128)
переходит в следующее:
-у - -> Рис. 50
qi+q2 = q- (2.129)
В этом случае сумма волновых векторов сохраняется.
Столкновение, для которого выполняется равенство (2.129), называется
нормальным процессом (JV-процесс). Взаимодействие, в результате
которого сумма волновых векторов меняется на величину g,
называется процессом, переброса ({/-процесс). Это название
обусловлено тем, что в процессе вида (2.128) вектор g переводит векторе
в первую зону Бриллюэна, в которой находится каждый из вол-
новых векторов qt и q% (рис. 50).
Фононный газ осуществляет решеточную теплопроводность.
Согласно (2.120) поток тепла, переносимый фононами,
определяется выражением
5 = 2 2 rttsЫ* ® &ad? m* to)- (2-129i)
г* «
<7
В случае теплового равновесия, когда применимо выражение
(2.126), распределение фононов по квазиимпульсам является
изотропным и тепловой поток (2.129х) равен нулю. Если в
распределении фононов по квазиимпульсам возникает преимущественное
направление (например, под влиянием градиента температуры),
фононы переносят тепловой поток. В отсутствие процессов,
стремящихся восстановить изотропное распределение фононов, тепло-
сопротивление было бы равно нулю и появившийся тепловой
поток оставался бы неизменным (даже в отсутствие градиента
температуры). В реальных диэлектриках и полупроводниках1 теплосо-
противление не равно нулю. Это указывает на существование
процессов, изменяющих суммарный квазиимпульс фононов.
Поскольку в N-процессах полный квазиимпульс фононов сохраняется,
то эти процессы не дают вклада в теплосопротивление. Поэтому
источником теплосопротивления, обусловленного взаимодействием
фононов (а не примесями или структурными дефектами), являются
процессы переброса, приводящие к существенному изменению
полного квазиимпульса фононов.
1 В металлах преобладает теплопроводность, осуществляемая электронами
проводимости.
3 М. С. Свирский 65

§ 11. ДИСПЕРСИЯ ФОНОНОВ И ЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
С ПОМОЩЬЮ РАССЕЯНИЯ НЕЙТРОНОВ
Дисперсия фононов определяется зависимостью a>s от
волнового вектора q. Согласно (2.18) и (2.20) или (2.18) и (2.37) со, яв-
ляется периодической функцией от q:
<os(q + g) = (os (д), (2.130)
где g—вектор обратной решетки. Действительно, из (1.21) и
(2.17) следует, что
eieh = 1.
Поэтому согласно (2.18)
Сав (Я + ё) =GaB (<?)
оф
Так как при q-+ q -f- g коэффициенты Gap в уравнении (2.20),
определяющего значение величины со^ (q), не меняются, то
выполняется (2.130). Отсюда в соответствии с (2.33) следует, что для
каждой ветви колебаний достаточно рассматривать значения q
из первой зоны Бриллюэна. Из равенства (2.130),
аналогичного равенству (1.30) для электронов, следует также* что h®s (9)
принимает значения,
образующие энергетическую зону
фононов. На рисунке 51 схематично
показана периодическая зависи-
мость as (q) для линейной
решетки из одинаковых атомов.
В трехмерном случае зависи-
мость as (q) изображается
поверхностью. На рисунке 52
схематично показано сечение
поверхностей постоянной частоты
плоскостью рисунка. При задан-
ном направлении q частота cos
является функцией величины q.
На рисунке 53 схематически
показана зависимость as (q) в
направлении [2 1 0] для ГЦК-
решеток. На рисунке 54
схематически показаны продольные (L)
и поперечные (Г) ветви акусти-
Рис. 52 ческих и оптических колебаний
6G

Рис. 53
Рис. 54
в направлении[1 1 1]для решетки, образованной двумя ГЦК-
решетками, сдвинутыми друг относительно друга на вектор (— , — , —\
\ 4 4 4/
Закон дисперсии фононов может быть определен
экспериментально путем изучения неупругого рассеяния частиц, связанного
с излучением или поглощением фонона. Если е (ka) — начальная
энергия частицы, а е (kb) — ее конечная энергия, то согласно
закону сохранения энергии
е (kb) = e (ka) ± has (q).
(2.131)
Начальный импульс частицы tika и ее конечный импульс Ькь
удовлетворяют по аналогии с (2.128) равенству
hk„ = hka zt Ц + tig.
Отсюда и из (2.130) следует:
(2.132)
Лш, (*, — ka—g) = ±lB (к„)- e(ka)l (2.131^
g) = as (k), получаем из
Учитывая, что согласно (2.130) (os(k
равенства (2.1310:
«>*(*6
■*«) = ±-[е(Л6)-е(йв)].
п
(2.133)
Подставляя в (2.133) экспериментально определенные значения
изменения энергии частицы е (kb) — e (ka) и изменения ее импульса
h (kb — ka), можно найти закон дисперсии фононов. Наиболее
эффективным оказывается при этом неупругое рассеяние
медленных нейтронов. Это обусловлено тем, что в случае других
частиц энергии либо импульсы не совпадают по порядку величины с
энергией и импульсом фонона. В случае медленных нейтронов
з*
67

а с энергией порядка 10~3 — Ю-1 эВ им-
# пульс нейтрона имеет порядок величины
• * Ю-19 — Ю-18 —-—, что сравнимо с им-
## о О С
0° пульсом фонона Й<7 ~ Ю-19 —^— при q =
о с
° о ° ° ° = ~~ • Совпадение порядков величин энер-
о
*~ гии и импульсов медленных нейтронов и
1 фононов позволяет получить на основе
(2.133) наиболее точные эксперименталь-
Рис. 55 ные кривые, описывающие закон дисперсии
фононов. На рисунке 55 показаны
экспериментальные данные, полученные методом
неупругого рассеяния нейтронов для Na (светлые точки —для
поперечных колебаний, черные — для продольных).
§ 12. ТЕПЛОЕМКОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПРИ ВЫСОКИХ
И НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ
В классической теории теплоемкости твердое тело
рассматривается как система 2>N независимых линейных гармонических
осцилляторов (предполагается, что каждый атом имеет три степени
свободы). Согласно классической статистике средняя энергия
линейного гармонического осциллятора равна
Г- kBT. (2.134)
Поэтому тепловая энергия твердого тела определяется выражением
F=3NkBT. (2.135)
Отсюда получается выражение для теплоемкости твердого тела
при постоянном объеме V:
Cv=(^jv=3NkB. (2.136)
Согласно (2.136) теплоемкость твердого тела не зависит от
температуры. Это подтверждается экспериментом в области
достаточно высоких температур. Согласно закону Дьюлонга и Пти при
комнатной температуре у большинства элементов в твердом
состоянии теплоемкость 1 моль близка к 3R, где R — газовая постоянная.
Это значение получается из (2.136), если учесть, что в 1 моль
содержится число Авогадро NА атомов и kBNA = R.
В области низких температур постоянство теплоемкости,
вытекающее из классического выражения (2.136), не наблюдается.
При понижении температуры теплоемкость твердых тел
оказывается меньше 3R и при Т -*- 0 она стремится к нулю в соответствии
с теоремой Нернста1.
1 См., например, [4].
68

Первое успешное квантовое объяснение температурной
зависимости теплоемкости твердых тел было дано Эйнштейном (1906 г.).
В модели, рассмотренной Эйнштейном, все атомы твердого тела
совершают тепловые колебания с одинаковой частотой соэ. При
этом средняя энергия линейного гармонического осциллятора
определяется выражением
_ ЙСОс,
е=-^г <2Л37>
квТ
е — 1
Это выражение не согласуется с классической теоремой о
равномерном распределении энергии по степеням свободы, но находится
в соответствии с гипотезой Планка, высказанной в связи с
проблемой излучения абсолютно черного тела1. Согласно теории
Эйнштейна при Т->0 теплоемкость твердого тела стремится к нулю
по экспоненциальному закону.
Дебай (1912 г.) предположил, что твердое тело можно
рассматривать как непрерывную среду, в которой распространяются
упругие волны. При этом средняя тепловая энергия волны
определяется выражением
es fa) = h<i>s {q) , (2.138)
h®s (j)
-1
где (o^ (q) — частота волны. Так как число степеней свободы
твердого тела, состоящего из N атомов, равно 3N, Дебай ввел
максимальную частоту toD и потребовал выполнения условия
e>D
j Z((o)dc» = 3Ar, (2Л39)
о
где Z (со) — функция распределения частот (величина Z(co)d(o
равна числу нормальных колебаний в интервале частот от со до
о + da). Согласно теории Дебая теплоемкость твердого тела
стремится к нулю по закону Т3 при Т ->- 0.
При рассмотрении фононной теплоемкости надо учесть, что
согласно (2.138) тепловая энергия твердого тела определяется
выражением
Ё_у na>s(q) , (2.140)
квТ
е — 1
Дифференцируя (2.140) по температуре, получаем формулу для
* См., например, [2], § 6
69

теплоемкости:
с -Л*-у iiZI {2Л41)
feRT2
В области высоких температур
Нщ (q)
kBT
«1,
и в числителе (2.141) можно экспоненту принять за 1, а в знаменателе
использовать разложение
hajq)
с^Г шЛф (2.142)
kBT
Тогда
Cv = fesZi1- (2.143)
в. s
Сумма в правой части (2.143) совпадает с полным числом степеней
свободы кристалла и равна ЗЛ/ (см. § 8). Таким образом, фононная
теплоемкость твердого тела совпадает в области высоких
температур с теплоемкостью (2.136), к которой приводит классическая
теория.
В области низких температур необходимо отдельно
рассматривать приближение Эйнштейна и приближение Дебая. В
приближении Эйнштейна
M?) = «V (2-144)
При этом из (2.141)
Cv = 3NkBFs{0y (2.145)
где учтено, что 2 1 = ЗА/, и введена функция Эйнштейна
я, s
В области низких температур, когда —- > 1, из (2.146) и (2.145)
kBT
следует, что фононная темплоемкость стремится к нулю в основном
по экспоненциальному закону
C-av-i^f151-. (2-147)
70

В приближении Дебая следует осуществить в (2.141) замену
S -*j... Z((0)d(D. (2И8)
(7, s M '
Функцию распределения частот Z (со) можно определить следующим
образом. В области низких температур можно считать, что
возбуждаются только акустические колебания, причем частота
колебаний пропорциональна модулю волнового вектора:
<*s(q) = uq, (2.149)
где s = 1, 2, 3, и — средняя скорость звука для продольных и
поперечных акустических колебаний. Из (2.140), (2.149) и (1.89)
следует:
Я 2Я
Е =(4f I 1 ~jt~**1*ьШъ (2.150)
4«с0 е=о ф=о ftB r _
где учтено, что dq = <72d<7 sin QdBdy. Интегрирование по ф дает
2л, а интегрирование по 0 дает 2. Поэтому из (2.150) имеем:
Ё *
--Vf- «aa., ,2.151)
или согласно (2.149)
0 ^7^
£=-JJ_( -Я(0 eflfo. (2.152)
2it2u3 J йю v '
Сравнение (2.152) с (2.140) и (2.148) показывает, что в
приближении Дебая зависимость Z от со является параболической:
Z(co) = ——a,2. (2.153)
' 2п2и3 v '
Подставляя значение Z (со) из (2.153) в (2.139), получаем:
шГ^»-8*' <2154)
о
Выполняя интегрирование, находим:
ТТ^ = Ж <2Л55>
Отсюда и из (2.153) следует, что в приближении Дебая
• 9/Vco2 .
— при co<coD, (2.156)
1ВЩ-
0 При (0 > <dD.
71

Z0M
vB о
Рис. 56
Вид функции распределения частот
(2.156) показан на рисунке 56.
Из (2.152) и (2.155)
■аЧа. (2.157)
о о"
_ 9N CD h
„з ) h с
E
ek*T-\
ft to
Полагая x = f~T' П0ЛУчаем из (2.157):
E =
9Nk4BT4
a&ft*
fi<j>£
x3 dx
(2.158)
Обозначим
ft«B£
KR
где jTd — температура Дебая. Тогда из (2.159) и (2.158)
Уд
г
— 9iVfenT*
£ = •
ill Г «L£
2, J ^~l
Функция
A^rfx
n/ \ 3f l?if
(2.159)
(2.160)
(2.161)
называется функцией Дебая. Из (2.160) и (2.161) следует
интерполяционная формула Дебая для фононной энергии твердого тела:
(2.162)
Е = 3NkBTD
Это выражение отличается от классического выражения (2.135)
функцией Дебая. В области высоких температур (при T~$>TD)
выполняется условие п < 1. Так как в интеграле (2.181) х ^ л,
то для х также выполняется неравенство «С1. Поэтому можно
пользоваться разложением.
~^~ =х*-±х3 + —- ...
е*— 1 2 12
Отсюда и из (2.161) следует:
0<ч> = 1-{ч + 1ч'
(2.163)
(2.164)
72

Поэтому в области высоких температур (jT>rD) согласно (2.162)
и (2.164)
Е ш* 3NkBT
i-lllL+llIjL
8 Г1» Г
(2.165)
При Г-»-0, когда -=--*■ оо, из (2.161) следует:
со
xz dx
D(oo) = 4f^
(2.166)
Интеграл в правой части (2.166) равен —. Поэтому
£>(») =
5т)3
Отсюда и из (2.162) следует, что при Г-»-О
- _ з N k^W
5 {TD/Tf
Я n'NkR
£_ £ J'4
5 T%
(2.167)
(2.168)
Дифференцируя (2.162) по температуре, получаем
интерполяционную формулу Дебая для теплоемкости твердого тела:
Cv = 3NkB
D(t|)-tj
4 =
Т •
В области высоких температур из (2.165) следует:
Cv = 3NkB
20 V Г '
В области Г < TD из (2.168) получаем:
t._T_\*
(2.169)
(2.170)
(2.171)
где
f 5 в
(2.172)
Таким образом, в приближении Дебая при Т-+-0 фононная
теплоемкость твердого тела стремится к нулю по закону Т3.
Пропорциональность фононной теплоемкости Т3 подтверждена
экспериментально в области достаточно низких температур для
многих элементов (см. таблицу 2),
73

Таблица 2
Элементы
Be, Al, Co, Pt
Nb, Mo
Zn, Si, V, Та
Ag, In, Tl, Ge, Pb, Ti, Zr
С
Температура, К
<20
<ю
<5
<4
<2
В таблице З приведены значения температуры Дебая ТD для
ряда веществ в твердом состоянии.
Таблица 3
Вещество
К
Na
Ag
Сг
Be
TD, К
100
150
215
485
1000
Вещество
КВг
NaCl
CaF2
FeS2
С (алмаз)
таЛ
180
280
474
645
2000
Согласно (2.169) фононная теплоемкость твердых тел явля-
г
ется универсальной функцией отношения =-. Это
подтверждается при сравнении температурной зависимости теплоемкости ряда
твердых тел: Ag, Al, С (графит), А1203, КС1 и др. Однако в ряде
случаев температура Дебая оказывается функцией температуры.
Это видно, например, из рисунка 57, на котором схематически
показана зависимость ТD от температуры у висмута (Bi).
Отклонения от теории Дебая обусловлены принятыми в ней
приближениями, согласно которым реальный кристалл заменяется упругим
континуумом (с максимальной частотой колебаний coD). В
частности, параболическая зависимость (2.156) для функции распреде-
100-
1
10
Рис. 57
Рис. 58
74

ления частот применима только в области низких частот,
возбуждаемых при низких температурах. Длины волн низкочастотных
возбуждений значительно превышают межатомные расстояния, и
поэтому их распространение не зависит существенно от строения
кристалла. Однако в области больших частот имеются
существенные отклонения Z(со) от параболической зависимости. Это видно
из рисунка 58, на котором показана функция распределения
частот у серебра.
Наличие резких пиков на кривых Z (ш) позволяет при
рассмотрении теплоемкости использовать сочетания формулы
Эйнштейна (2.145) и формулы Дебая (2.169)1. Формула Эйнштейна
(2.145) оказывается применимой также при рассмотрении того
вклада в теплоемкость, который обусловлен оптическими
колебаниями.
§ 13. ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Колебания ионов около узлов кристаллической решетки приво-
дят к изменениям AV {г) потенциала решетки V (г) и,
следовательно, к возмущению движения электронов. Энергия W
взаимодействия электронов проводимости с изменениями потенциала имеет
вид:
W = jp(7)AK(7)d7, (2.173)
-»-
Г
где
р (7) =ег|з* (7)яр (7) (2.174)
есть плотность заряда электрона.
Волновая функция электрона с неопределенным импульсом
имеет вид (см. § 3):
* Й = ~ Ц ct elt \ (2.175)
к
где множитель -у= обеспечивает нормировку волновой функции
электрона по объему Q. Из (2.174) и (2.175)
Р (7) = £ 22 с\ с t ё Т^-Ху- (2.176)
Полагая, что периодический потенциал решетки имеет вид
v (7) = 2 М^-С) (2Л77>
1 Температурная зависимость (2.169) не выполняется в кристаллах,
имеющих слоистую или цепочную структуру. Так, в предельном случае двухмерного
слоя функция распределения частот Z (со) зависит не от <о2, а от ш (в двухмерном
случае dq -*■ qdqdy вместо q2 dq sin QdQdff в трехмерном случае). Это приводит
к замене в (2.157) со2 da на coda и, следовательно, к зависимости £ от Г3 и
соответственно к зависимости теплоемкости от Т\
75

(где v, (r — /„) — потенциал иона узла /„), получаем:
av (7) = 2 vfi-X- Г„) - 2 vj {г -Ъ=- s^grad о/г-Ъ-
п п п
(2.178)
Здесь ?п — смещение п-го иона. Из (2.173), (2.176) и (2.178)
W — К S 2 2 ^Л е' ^_T,)t grad y/ ^- U ^ <*. (2.1.79)
1 г
Подставляя значение гп из (2.40) в (2.179), получаем:
W =* !_.2 S 21 S^fo) е^ f ei(*~^grad v, (г —
Ynm -j -* s=i ri J
'ft в -£
^-Tn)cTrclc-.Bs(q). (2.180)
Переход к фононам осуществляется (см. § 9) путем замены
амплитуд 5^ (</) нормальных колебаний решетки на операторы
вторичного квантования а-*. Аналогичную замену следует
произвести также для амплитуд с-* разложения (2.175) волновой
функции электрона. Соответствующие операторы вторичного
квантования удовлетворяют перестановочным соотношениям
[с- сХ ]f = 6^-8„„, (2.181)
L ka ft,a,f hkl Wi ч '
[с-* с-> ], = let vt ]. = 0, (2.182)
где о — проекция спина. Соотношение (2.182) написано в
соответствии с (2.108*) и (2.1082). Соотношение (2.181) учитывает
принцип Паули.
Действительно, если ввести по аналогии с (2.81) оператор
ко
то из (2.181)
п-> =ct с-*, (2.183)
ко ко ко '
rL ** сХ с- с± с^ = сХ (1— с± с+ ) с- . (2.184)
ft о h H I» J» Act fto ka' ко '
Учитывая (2.182), получаем:
2 4-
Я-». = С-* С-*- = /t-* . /0 1 QC\
fc<T Ьст fco Aa {Z.lOO;
Отсюда следует, что n->- имеет только собственные значения:
Ч« = 0' V.e1' (2.186)
Эти значения v-> согласуются с принципом Паули.
Заменяя в (2.180) амплитуды Bs(q) и с-> на соответствующие
операторы вторичного квантования (см. 2.70 и 2.78), получаем
76

гамильтониан электрон-фононного взаимодействия:
"афФ = SSSS|D-(?. ft-^^^^. + aV' (2-187)
, о -* s=l
ft, ft q
где
Ь. e(*> (q) X
X
2 e£ ~*'"« f e; <*-\*»>^grad аДг —?„) d/\
(2.188)
Умножив и разделив подынтегральное выражение из (2.188)
на ef (*-*!)'„, имеем:
d, (J, *- - Зу=- £-, /"—L_ >> (?) 2 в1 (Г+ ?--й 5 х
" Г 2ММй>,(<7) «
X | е'(М'> <Г-Г«> grad t>, (7 -4^) dr! (2 I89)
-*■
г
Интеграл из (2.189) не зависит от положения п-го узла решетки.
Поэтому, учитывая, что согласно (2.45)
^еип(Т+~к-К) = N8 (q+k-~kx+~g), (2-190)
п
получаем для ЛГ-процессов (g =s 0) из (2.187) и (2.189)
"ЭФф - SSS Ъ й с1г „ ct*H+а-г> (2Л91)
ft #
где
п /о\ ^_ ^11 f l ^ Й f e "^ grad y/ Й *• (2-192)
*W Q К 2WA!a>,(7) i
Из (2.191) видно, что элек- Ч^^ /к+а,<з К+ЯР •
трон-фононное взаимодействие to yr
приводит к процессам поглоще- '^1/
ния (ои ) или испускания (а+->) ,..
фонона при переходе электрона
из состояния \ka> в состояние
| k + q,o > (рис. 59).
Выполняя интегрирование а
по частям, имеем: Рис. 59
77

00 Х=00 00
Г e-iq~?— V{ (Г)dx= е~1~ч rv,(x, у, г) — Г v}(r)
^e-i9rdx-
дх
X*=—OO —OO
= — iqx j v, (r) e l" r dx.
(2.193)
где учтено, что v (oo, у, г) = v (— со, у, z) = 0. Аналогичные
равенства выполняются для осей у и г. Поэтому
Г е-%?gradp/7) d?= — iq Г vt (г) е~Ыdr= — iq^vfi) ~, (2.194)
где
*,{ф-±^$г<~& (2195)
Из (2.192) и (2.194)
DM - ie 1 f ~s ^ (?) и/(Й- (2.196)
V 2NMa>s(q)
Если колебания решетки могут быть разделены на продольные
> ■> -у
и поперечные (см. § 8), то скалярное произведение q e(s) (q)
отлично от нуля и равно q только для продольных фононов. При этом
из (2.191) и (2.196)
Н*ы = fel/i-VVV 9t,/ (<?) с± - с* (а-* + в+-> )• (2.197)
-»• а «* г ю(о)
fe q
Гамильтониан (2.197) получен в приближении «жестких ионов»,
поскольку в (2.178) предполагается, что электрическое поле
жестко связано с ионом и движется вместе с ним. Применяются также
другие приближения (модель деформируемых ионов, приближение
потенциала деформации и др.). Однако во всех моделях общая
структура гамильтониана (2.191) сохраняется:
k, Й,, О, S
Различные модели отличаются друг от друга значением матричного
элемента М~+^ .
ft,ftl,S

Глава 111
ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ В МЕТАЛЛЕ
§ 14. ЗАКОН ДИСПЕРСИИ КВАЗИИМПУЛЬСА
И МЕТОД ЭФФЕКТИВНОЙ МАССЫ
Периодическое поле кристаллической решетки приводит к
существенному отличию состояний и энергетического спектра
электронов металла от состояний и энергетического спектра свободных
электронов (см. § 3—6). Это осложняет решение задач теории
металлов, в которых рассматривается движение электронов во
внешних полях. Значительное упрощение достигается в тех случаях,
когда различие между законом дисперсии электрона в металле и
законом дисперсии свободного электрона удается свести к замене
массы свободного электрона на эффективную массу электрона в
кристалле.
Возможность такой замены иллюстрирует рассмотренный в § 6
методом сильной связи случай простой кубической решетки, когда
вблизи центра и вершин зоны закон дисперсии имеет вид закона
дисперсии свободного электрона с эффективными массами (1.145)
и (1.133).
Введение эффективных масс возможно вблизи экстремальных
значений энергии без рассмотрения способа получения закона
-*■
дисперсии и его конкретного вида. Пусть энергия Еп (k) имеет
экстремум при k — k0. Учитывая, что k = k0 + (k — k0), имеем:
En(k) = E&+(k-kJl (3-1)
Вблизи экстремальных значений энергии, где \k — k0\
является малой величиной, можно разложить (3.1) в ряд
Еп Ck) = ЕПСК) + 23jr ^~ К, а) +
а=1 а
О
1 4? VI *Еп
+i2 2i£*r (^-и^-У+-. <3-2>
и=1Р=1 а Р 0
где три значения а (или Р) соответствуют х, у, г, а индекс нуль при
производной означает, что производная берется при k = k0. Так
как энергия имеет при k = k0 экстремальное значение, то первые
79

дЕп
производные -—-
равны нулю. Поэтому из (3.2)
3 3
ft*
ЕпЩ =£»W+^J
1
fir.
а=1 р=1 ч "■'вЗ /«
1 \ 1 aa£
(*«-*0.«х)(*р-*о.э)' (3-3)
тп
■<#)« h\dkadk^
(3.4)
Тензор обратной эффективной массы (3.4) симметричен. Поэтому
существует система координат, в которой его компоненты являются
диагональными (преобразование к главным осям):
1
1
"сф т v '"a /л
В этой системе координат из (3.5) и (3.3)
з
ЕМ = Еп (К) + ~ J (~) (*« ~ *0. а)2
где
(-
1 д*Ея
dki
(3.5)
(3.6)
(3.7)
Закон дисперсии (3.6) позволяет определить вид изоэнергети-
ческих поверхностей вблизи экстремальных точек. Если при k=k0
энергия имеет локальный минимум, то En(k) — En(k0)>0 и
согласно (3.7) эффективные массы положительны. При этом урав-
нение изоэнергетической поверхности, для которой En(k) = const,
имеет вид:
(kx-\xf (*у-*о,у)' fe-Чг)2
„2 „2 „2
1,
где
а*
2т„
ft2
[£„(*)-£»(*о)]-
(3.8)
(3.9)
Из (3.8) видно, что изоэнергетическая поверхность является
эллипсоидом (рис. 60).
Если при k = k0 энергия имеет локаль-
ный максимум, то Еп (k) — Еп (k0) < 0, и
согласно (3.7). та< 0. При этом из (3.6) опять
Рис. 60 получается уравнение изоэнергетической поверх-
80

ности (3.8), где
2 2l"V,zl
[£„(*„)-£«(*)]• (ЗЛО)
Рис. 61
Отсюда видно, что изоэнергетическая
поверхность, внутри которой находится
точка с локальным максимумом энергии,
также является эллипсоидом.
При незначительном удалении от точек
с локальными минимумами или
максимумами энергии изоэнергетические
поверхности меняют свою форму, но остаются
замкнутыми. Дальнейшее удаление от этих
точек должно привести к более сложным поверхностям, в
частности к открытым изоэнергетическим поверхностям. Это
необходимо для непрерывности перехода от замкнутой поверхности
вокруг точки локального минимума энергии к замкнутой поверхности
вокруг точки с локальным максимумом энергии (в силу
периодичности энергии такие точки и поверхности периодически
повторяются в пространстве волновых векторов). На рисунке 61
показаны замкнутые и открытая изоэнергетические линии в
двухмерном случае для закона дисперсии
ЕМ
IA I (cos kx a -f- cos ky a).
(3.11)
Это выражение имеет минимумы т, равные — 2 \А\, при kxa =
целые числа). Вблизи мини-
Пу2л, kva = пг 2я (где /г4 и и2
* \
mvmob, где cos kxa «1 (kxa — «i 2я)2, cos kva zz 1
—n2 2я)2, изоэнергетические линии являются окружностями:
(kxa — «i2n)2 + (км — п2 2я)2 = const,
const — 2
+ 2
(3.12)
(3.13)
При kjfl — (2«i + 1) я, kya = (2«2 + 1) л выражение (3.11)
имеет максимумы М, равные 2 1А \. Вблизи максимумов, где
1
cos kxa « — {kxa — (2/гх + 1) я]2 — 1,
cos kya:
-lkya-(2n2+l)nf-l,
(3.14)
изоэнергетические линии также являются окружностями:
\kjfl — (2% + 1) "]2 + [&/* — (2n2 + 1) я]2 = const,
const = 2 (2 —
Выражение (3.11) обращается в нуль при
(кх + ky)a = (2л, + 1) я
(3.15)
(3.16)
(3.17)
81

и при
(kx — ky) a = (2я2 + 1) я. (3.18)
Уравнения (3.17) и (3.18) описывают
прямые, на которых Е = 0. Таким образом,
области вокруг минимумов и максимумов
энергии (3.11) разделены открытой изо-
энергетической линией.
На пересечении прямых (3.17) и (3.18)
находятся седловые точки s с
координатами kx a = (2ftt -f- 1) я, ky a = 2«2 я. В
этих точках
dki
= —|Л|а2<0,
dki
Л|а2>0.
Согласно (3.7) это означает, что тх<0,
ту > 0. При этом из (3.8) и (3.9) для изо-
энергетических линий получается
уравнение равнобочной гиперболы:
[^а-(2«!+1) я]2-[^а-2п2я]2= —Н.
IAI
(3.19)
В трехмерном случае возможны
седловые точки двух типов. Первый тип (si)
соответствует случаю, когда одна из трех
эффективных масс положительна, второй
тип (s2) — случаю, когда одна из трех
эффективных масс отрицательна. На ри-
Рис. 64 сунке 62 показан однополостный изоэнер-
гетический гиперболоид для случая /иг<0.
Случай тх < 0, ту < 0, тг > 0, когда изоэнергетическая
поверхность является двухполостным гиперболоидом, показан на
рисунке 63. На рисунке 64 показан участок открытой изоэнерге-
тической поверхности у меди.
-> ->■
Разность Еп (k) — Еп (k0) из (3.6) является собственным
значением эффективного гамильтониана
2 2d
н
эфф, п
а=\
п дх!
(3.20)
Соответствующая собственная функция имеет вид волновой функции
свободного электрона
ф = -L-eUk-h)Ti
(3.21)
Действительно, подставляя значение //эфф1 „ из (3.20) и ф из (3.21)
82

в уравнение
получаем:
Так как
ЯэффЧ> = £г|), (3-22)
_^! у (JJ) JUL et$-t,) ? _ Еет-К) 7 (3.23)
8 е< (*"- **.)"=- (йа - &0 а)2 е' <*-?.) Г, (3.24)
з
-> ->
то £ из (3.23) совпадает с разностью £л (&) — £„ (k0) из (3.6).
Сравнение гамильтониана из (1.16) и гамильтониана #Эфф;„
из (3.20) показывает, что при определении энергии электрона
можно вблизи экстремальных точек заменить уравнение Шредингера
для электрона в периодическом поле кристалла уравнением
Шредингера для свободной частицы с эффективной массой.
Эффективная масса электрона может быть введена также в
том случае, когда кроме поля кристалла с потенциалом V (г) на
электрон действует внешнее поле с медленно меняющимся в
пространстве потенциалом U. В этом случае уравнение Шредингера
имеет вид:
ih J = (Н0 + U) ф, (3.25)
где Но — гамильтониан из (1.16) электрона в кристалле (в
отсутствие внешнего поля), для которого
Я0%> (0 = Е (k)$t (?). (3.26)
Здесь опущен номер зоны га, так как в случае достаточно малого
и медленно меняющегося потенциала внешнего поля можно
пренебречь межзонными переходами.
Разлагая волновую функцию г|з из (3.25) по собственным
функциям ф-* оператора No из (3.26), имеем:
$(г, о = 2«(1оч^Й. (3-27)
Подставляя (3.27) в (3.25), получаем:
»а-2в-Й'^-й+£/#. (3.28)
или, учитывая (3.26),
»$-?'* 0*»^ + "*- (3.29)
83

Согласно (1.30) энергия Е (k) является периодической функ-
цией волнового вектора k с периодом g. Поэтому можно
представить Е (k) в виде ряда
Е$)=2Ет**Т. (3.30)
т
Действительно, учитывая (1.21), получаем из (3.30):
Е (ft + g) = S V(?+^T= 2 Vt7== £Й- (3.31)
T 7
Таким образом, разложение (3.30) удовлетворяет условию
периодичности (1.30).
—> —>*
Заменим теперь в (3.30) волновой вектор & на оператор — i у.
Тогда
> >
£(-iv) = 2£teV<* (3.32)
7
Действуя оператором (3.32) на волновую функцию ip->. из (3.26),
получаем:
£ (- iv) 4>t (r) = 2 £7 е" ' "Мг>« (3.32,)
В § 3 было показано, что
ev "Т^ (7) = ф-v (г + /). (3.33)
Используя условие Блоха (1.39), получаем из (3.33):
е^П (г) = е1ГГ $■£(?). (3.34)
Из (3.34), (3.320 и (3.30)
Е (-/у) Чи (7) = E(k) фг (Г). (3.35)
Учитывая (3.35), получаем из (3.29) и (3.27) равенство
ih^=H3f, (3.36)
где #э — эквивалентный гамильтониан
НЭ = Е Hv) + £/. (3-37)
определяющий изменение волны (3.27) с течением времени.
Сравнение (3.25) и (3.37) показывает, что в присутствии внешнего поля
гамильтониан #0 электрона в кристаллическом поле может быть
заменен на Е (—/у) (где Е (k) — закон дисперсии электрона в от-
84

сутствие внешнего поля). Если закон дисперсии электрона имеет
вид (3.6), то согласно (3.37)
з
Нщ = Е(0) — У — ~+и. (3-38)
М 2m„ flY2
-"« <>х1
Таким образом, в присутствии внешнего медленно
меняющегося и достаточно малого потенциала U влияние кристаллической
решетки может быть учтено путем замены массы электрона т на
эффективную массу та. Этот метод, учитывающий влияние
кристаллической решетки путем изменения инерционных свойств
электрона, называется методом эффективной массы.
§ 15. ПОВЕРХНОСТЬ ФЕРМИ
В соответствии с принципом Паули числа заполнения электро-
нами состояния (k а) равны либо 1, либо 0 (см. § 13). Поэтому
электроны подчиняются статистике Ферми — Дирака. Равновесная
функция распределения электронов с данной проекцией спина
равна
/[£(*)] = —~ .
еквГ +1
(3.39)
где £ — энергия Ферми.
При Т = 0 функция (3.39) принимает значение 1, если E(k) < £0,
—»-
и значение 0, если Е (k) > t0 (рис. 65). Поэтому уровень Ферми
£о равен максимальной энергии электронов при Т = 0.
При Т > 0 энергия Ферми £ определяется из условия
п =]/(£) N (Е) dE,
(3.40)
где п — концентрация электронов, N (Е) — плотность состояний,
N (Е) dE — число состояний в единице объема в интервале
энергии от Е до Е -f dE (ср. с 2.116). В случае Т— 0 из (3.40) следует:
С.
n=\N(E)dE. (3.41)
о
Согласно (1.89) f
N^dE = ^\ dl (3-42) 1
E(k)
где интегрирование ведется по объему слоя ~д
с энергией в пределах от £ до Е + dE.
Множитель 2 учитывает две возможные про-
l0 Em
Рис. 65
85

екции спина. Величина Nv из (1.89) заменена на 1, так как по
определению N (Е) относится к единице объема. Элемент объема в
^-пространстве возьмем в виде цилиндра, основанием которого
является элемент изоэнергетической поверхности dS, а высота
перпендикулярна к этой поверхности и равна dkn. Тогда из (3.42)
N(E)dE = ^f^ d^dS' (3.43)
s
Так как
|gradt£| = -^-. (3.44)
то из (3.43)
М(£)= —f ■• плъ
' (2я)3 J Igrad^fil W-45)
s k
Учитывая (1.53), можно преобразовать (3.45) к виду:
^(£)=i^if- (3-46)
s
В случае изотропного квадратичного закона дисперсии, когда
Е $) = -— (3.47)
(где т*—эффективная масса), изоэнергетическая поверхность
является сферой. При этом kn = k и производная (3.44) имеет вид:
— =—. (3.48)
dk т.*
Отсюда и из (3.45)
N(E)=—"t— f dS, ПД(Л
V ; 4n4*k J (3-4У)
s
где учтено, что на сфере k = const. Так как площадь сферы равна
4я&2, то из (3.49) получаем:
#(£)=^Йг- (3-50)
Из (3.50) и (3.47)
где
80
N (Е) = А УЕ, (3.51)
A=t!l^l!l, (3.52)
л2 ft"

Подставляя значение N (Е) из (3.51) в (3.41), получаем:
« = 1-</2
Отсюда
^ = Тл
Зп V/:
(3.53)
(3.54)
Подставляя значение А из (3.52), находим выражение для
энергии Ферми при Т = 0 (см. таблицу 4):
£0 = JL (Зя2п)2/з.
b0 2m* V '
(3.55)
Таблица 4
Металл
1
п- Ю-22 —
см3
So. эВ
Li
4,6
4,72
Na
2,5
3,12
К
1,3
2,14
Си
8,5
7,04
Ag
5,8
5,51
Аи
5,9
5,54
В случае квадратичного анизотропного закона дисперсии
2 2 2
F (k\ — ^* А- ^у 4- ft2fez
1т,
2mv
2т,
(3.56)
(где тх, ту, тг — положительные эффективные массы), изоэнерге-
тические поверхности являются эллипсоидами. Полагая
kx = Vmx k'x, ky = Vmy k'y, kz = Vmz k'z,
получаем из (3.56):
E = j(k'f.
Согласно (3.57)
dk = dkxdkydkz = (mxmvmz) 2 dkxdkydkz
(3.57)
(3.58)
(3.59)
Поэтому, повторяя рассуждения, которые привели от (3.47)
к (3.50), получаем:
N(E) = 1- (тлттг)'\ (3.60)
пЧ2 '""* J
Отсюда и из (3.58) следует (3.51), где
д _ VI*- (тхтутгу1г
я2Л3
(3.61)
Сравнение (3.61) и (3.52) показывает, что роль эффективной
массы в случае закона дисперсии (3.56) играет величина (т^/Лут^)1'».
87

Поэтому в случае (3.56) величина (тхгПут^1,> называется
эффективной массой плотности состояний.
Изоэнергетическая поверхность, ограничивающая область вол-
новых векторов k, заполненную электронами при Т = О,
называется поверхностью Ферми. Из (3.46) видно, что на поверхности
Ферми плотность состояний определяется выражением
^w-^Jt- <3-62>
SP
где SF — площадь поверхности Ферми.
Применяя теорему о среднем значении, получаем из (3.62):
где ( —] — среднее значение — на поверхности Ферми.
В случае квадратичного закона дисперсии (3.47) из (3.51) и
(3.54) следует:
tf(w«|f (3-64)
Из (3.63) видно, что при данном значении 5f плотность
состояний N (£о) тем больше, чем меньше средняя скорость электронов
на поверхности Ферми. Как показано в § 5, уменьшение скорости
электрона значительно вблизи границы зоны. Поэтому Af (Е)
может заметно отличаться от зависимости (3.64) вблизи границы зоны.
На рисунке 66 схематично показана зависимость плотности
состояний от энергии. При малых значениях Е плотность состояний
N (Е) мало отличается от зависимости (3.51), характерной для
свободных электронов. При приближении к границам зоны в точке А
начинается рост N (Е) сравнительно со значениями, даваемыми
(3.51). Этот рост обусловлен уменьшением скорости электронов.
В точке В плотность состояний имеет максимум, когда
изоэнергетическая поверхность достигает границ зоны. При дальнейшем
увеличении энергии величина N (Е) уменьшается, так как с
увеличением площади соприкосновения изоэнергетической поверхности
и границ зоны уменьшается число
вакантных мест в угловых объемах зоны.
Вблизи максимума N(E) энергия
электронов, движущихся в кристалле, меньше
энергии свободных электронов, так как в
кристалле на данном энергетическом
уровне вблизи Ев может разместиться большее
число электронов. Это согласуется с тем,
что при приближении к границе зоны
энергия электрона становится меньше энер-
88

гии свободного электрона с тем же волновым вектором (см. рис. 35).
Уменьшение энергии электронов способствует реализации такой
кристаллической структуры, при которой уровень Ферми
находится в области большой плотности состояний.
Существуют различные методы, позволяющие определить вид
ферми-поверхности. Наиболее точные данные получены с помощью
эффекта де Гааза — ван Альфена. Этот эффект наблюдается в
области низких температур. Он заключается в осцилляциях магнитной
восприимчивости при изменении величины — (где Н — напряжен-
н
ность магнитного поля). Период осцилляции восприимчивости
непосредственно связан с экстремальным сечением поверхности
Ферми S9 (0 (см. § 30):
д(1\вША.. (3.65)
Измеряя различные периоды Д(—), можно определить
различные экстремальные сечения поверхности Ферми. Изучая
изменение периода с изменением ориентации магнитного поля, можно
определить, является ли поверхность Ферми эллиптической или
гиперболической. Экспериментальные данные, приведенные в
таблице 5, получены с помощью эффекта де Гааза — ван Альфена.
Таблица 5
Сечения
а
Ъ
с
d
е
f
Сечение поверхности Ферми для цинка, нм—2
Приближение свободных электронов
0,030
0,46
1,45
6,0
7.9
25
Эксперимент
0,015
0,25
0,43
4,26
6,1
22
§ 16. ТЕОРИЯ ПРОВОДИМОСТИ МЕТАЛЛОВ
Согласно электронной теории высокая электропроводность
металлов обусловлена электронами, которые могут перемещаться
между положительно заряженными ионами.
В классической электронной теории металлов (Друде — 1900 г.,
Лоренц — 1905 г.) предполагалось, что в металле имеется газ
свободных электронов, который подчиняется классической
статистике. В отсутствие внешнего электрического поля электроны
совершают беспорядочное тепловое движение. При включении
внешнего электрического поля на тепловое движение электронов
накладывается направленное движение, которое приводит к появлению
электрического тока. Сталкиваясь с ионами, электроны передают
89

им кинетическую энергию, полученную под влиянием внешнего
электрического поля, что приводит к нагреванию металла (джоуле-
во тепло). На основе указанных представлений удалось объяснить
законы Ома, Джоуля — Ленца, Видемана — Франца и вычислить
постоянную Холла.
Закон Ома. Плотность электрического тока, обусловленная
движением электронов, определяется согласно Лоренцу
выражением
]х — пёих, (3.66)
где п — концентрация электронов, vx — средняя величина
проекции скорости электронов на ось х, вдоль которой направлена
напряженность £ внешнего электрического поля.
Согласно второму закону Ньютона
m^=eex = Fx, (3.67)
где Fx — проекция силы на ось х. В случае, когда £х не зависит
от времени, из (3.67) следует:
^ = у,о +-**<. (3-68)
т
где vx> о — начальная скорость электрона вдоль оси х. Эта скорость
(после очередного столкновения) имеет с одинаковой вероятностью
положительные и отрицательные проекции на ось х. Поэтому
среднее значение vXt 0 равно 0.
Пусть т — среднее время свободного пробега электрона.
Среднее по времени значение проекции скорости vx между двумя
столкновениями определяется выражением
vr~-Lg I itdt~$-iM (3-69)
т % J 2m
0
или
vx = \xSx, (3.70)
где подвижность \i определяется формулой
'-£■ <3-71)
Из (3.66) и (3.70)
\х = пе)х$х. (3.72)
Подставляя значение у из (3.71) в (3.72), получаем:
/, = №*, (3-73)
90

где
Ъ=—. (3.74)
Согласно классической статистике средняя скорость теплового
движения частиц газа определяется выражением
V-
(3.75)
пт
Отсюда для свободного электрона с массой т ~ 9 • 10~28 г находим
при Т ~ 300 К следующее значение средней скорости: и ~ 107 — .
с
При малой напряженности электрического поля, когда
значение vx из (3.70) значительно меньше значения и из (3.75), время х
определяется в основном тепловой скоростью и и равно
т = -, (3.76)
где /— длина свободного пробега электрона. Подставляя
значение т из (3.76) в (3.74), получаем:
к = —. (3.77)
2ти
Правая часть (3.77) не зависит от напряженности
электрического поля. Поэтому (3.73) представляет собой закон Ома с
коэффициентом электропроводности (3.77). Подставляя в (3.77)
экспериментальные значения X, можно оценить величину средней длины /
свободного пробега электрона в металле. Так, в случае серебра,
у которого п = 5,8 • 1022 см-8 и при комнатной температуре X —
= 6,7 • 107 Ом-1 • м-1, получаем из (3.77): / ~ Ю~в см. Это на два
порядка превышает значение межатомного расстояния а ~ Ю-8 см.
Отсюда следует, что при комнатной температуре электроны
проводимости сталкиваются примерно с одним из ста атомов серебра.
Это согласуется с представлением о газе свободных электронов.
При увеличении напряженности электрического поля могут
возникать отклонения от закона Ома. С ростом 8х согласно (3.70)
увеличивается vx. При vx >> и время между столкновениями
определяется величиной vx и вместо (3.76) выполняется равенство
т = 4-. (3.78)
Из (3.78) и (3.71)
Подставляя (г из (3.79) в (3.70), получаем:
ц = -Л=-. (3.79)
2mvx
V 2т
§х. (3-80)
' X
91

Отсюда и из (3.66)
Таким образом, в отличие от закона Ома (3.73) согласно (3.81)
плотность тока при достаточно большой напряженности
электрического поля пропорциональна Уёх-
Закон Джоуля — Ленца. С законом Ома тесно связан закон
Джоуля — Ленца. Согласно (3.68) в конце длины свободного
пробега электрон имеет кинетическую энергию
т-Ц'-^'-i- (а82)
Энергия Д№, которая передается иону в результате
столкновения, определяется разностью кинетической энергии (3.82) и
начальной кинетической энергии электрона — mvl, o:
^ = |(f,o + ^^)2-f^.o = ^T^0 + 2-^. (3.83)
Иокам, находящимся в единице объема, передается энергия
Шг = nAW = — 81. (3.84)
Здесь учтено, что р 0 = 0 (см. объяснение после формулы 3.68).
Из (3.84) следует, что в единицу времени ионы, находящиеся в
единице объема, получают энергию
2т
- §\. (3.85)
В стационарном режиме такое же количество энергии должно в
единицу времени выделяться в единице объема в виде тепла q:
ч-*£*** (3'86)
Учитывая (3.76) и (3.77), получаем из (3.86) закон Джоуля —
Ленца:
q = Щ (3.87)
Закон Видемана — Франца. Согласно классической теории
коэффициент теплопроводности газа определяется выражением
к = - nukBl, (3.88).
где п — концентрация газа, и — средняя тепловая скорость
молекул газа, / — средняя длина свободного пробега.
В классической электронной теории металлов под п, и, I подра-
92

зумеваются концентрация, средняя тепловая скорость и длина
свободного пробега электронов. Из (3.88) и (3.77)
as ти*
Отсюда, учитывая (3.75), получаем:
х
т
т.
(3.89)
(3.90)
Это выражение объясняет эмпирически установленный закон
Видемана — Франца (1853 г.), согласно которому при одинаковой
температуре отношение — одинаково для всех металлов.
Л
Классическая электронная теория дает не только качественное
объяснение закона Видемана — Франца, но и хорошее
количественное согласие с экспериментом при комнатной температуре.
Согласно (3.90) число Лоренца L, которое определяется как —,
является постоянной величиной
(3.91)
XT \ e
Подставляя в (3.91) значения kB и е, получаем L = 2,45 х
X Ю-8 —^—-. Для сравнения в таблице 6 приведены эксперимен-
К
тальные значения числа Лоренца L для ряда металлов при
температурах 373 К и 473 К-
Таблица 6
Металл
Си
Аи
РЬ
Sn
L -10«ВТ,ОМ
к
373К
2,23
2,31
2,35
2,47
2,52
473К
2,33
2,37
2,40
2,56
2,49
Из таблицы видно, что экспериментальные значения L слабо
зависят от Г и по порядку величины хорошо согласуются с L .
Эффект Холла. Если электрический ток плотности /течетвдоль
пластины, перпендикулярной напряженности внешнего однородного
постоянного магнитного поля Н, то в направлении, перпендикуляр-
ном к / и Н, на боковых сторонах пластины возникает разность
потенциалов
Дф = RjHd, (3.92)
93

где d — ширина пластины, R —
постоянная Холла.
Рисунок 67 иллюстрирует
возникновение эффекта Холла в
случае электронной проводимости. Так
как у электронов заряд
отрицательный (е<0), то скорость их
направленного движения
ориентирована против плотности тока J.
На электрон, движущийся со
скоростью ve в магнитном поле
напряженностью Н, действует сила
Лоренца
F = ~ive Я], (3.93)
которая направлена к боковой стороне /. Поэтому сторона /
заряжается отрицательно, а сторона 2 - положительно. Это
приводит к возникновению электрического поля. Изменение зарядов
боковых сторон прекращается, когда действие силы Лоренца (3.93)
уравновешивается электрической силой е7, направленной от
стороны / к стороне 2:
eS
vtH.
(3.94)
Отсюда и из (3.66) следует:
ё = — /Я.
пес
(3.95)
Умножая обе части (3.95) на d, получаем разность потенциалов:
(3.96)
Дф = Sd = — Щ.
пес
Сравнение (3.96) с (3.92) приводит к следующему выражению для
постоянной Холла:
R
пес
(3.97)
В таблице 7 приведены значения R, вычисленные по (3.97), и
экспериментальные значения этой величины для ряда металлов.
94

Таблица 7
Металл
Li
Na
Си
Ag
Аи
Be
Zn
Cd
в
см • А* Г с
эксп.
— 17,0
—25,0
—5,5
—8,4
—7,2
+24,4
+3,3
+6,0
теор.
— 13,1
—24,4
—7,4
-10,4
— 10,5
—2,5
-4,6
—6,5
Из таблицы видно, что у некоторых металлов
экспериментальные и теоретические значения R имеют одинаковый порядок
величины и одинаковый знак. Однако у бериллия, цинка и кадмия R
имеет положительный знак, в то время когда согласно (3.97)
постоянная Холла должна быть отрицательной (так как е < 0).
Недостаточность классической электронной теории
проводимости. Согласно (3.77) и (3.75) электропроводность
пропорциональна величине -т=- Опыт показывает, что при комнатной
температуре К ~ —. Следовательно, чтобы получить наблюдаемую
температурную зависимость Я, необходимо допустить, что nl ~ -~ .
Однако классическая теория не может обосновать такую
зависимость nl от Т.
Классическая электронная теория приводит при всех
температурах к закону Видемана — Франца (3.90). Однако, как показывает
опыт, при низких температурах закон Видемана — Франца (3.90)
не выполняется.
Классическая электронная теория не может объяснить тот
факт, что у некоторых металлов постоянная Холла является
положительной.
Эти трудности, так же как трудность, связанная с электронной
теплоемкостью1, указывают на необходимость квантового
рассмотрения электронов проводимости металла.
Квантовая теория проводимости металлов. Плотность
электрического тока определяется согласно (3.66) выражением
jx = e$vj,du>, (3.98)
где f — функция распределения электронов в присутствии
внешнего электрического поля. Дифференциал йФ выражает число
1 См. [4], § 39.
95

£"у£ состояний в dk (см. 1.89):
йФ =
(2я)3
dk.
(3.99)
Рис. 68
Множитель 2 учитывает две возможные
проекции спина.
Согласно (3.67)
hk =её — - (k — k0), (3.100)
где её — сила, действующая на электрон при наличии напряжен-
ности электрического поля 8, (k — k0) — сила трения, обу-
т
словленная столкновениями, k0 — равновесное значение k при
S = 0. Действительно, при 8 = 0 из (3.100) следует:
dk , dt
т"
kr — k.
0, х
(3.101)
Интегрируя по времени, получаем из (3.101):
kx(t)~K =[M0)-*oJe
(3.102)
Аналогичные выражения получаются для осей уиг. Отсюда видно,
что при — > 1 вектор ft (t) экспоненциально стремится к
т
вектору k0.
При небольшом отклонении б& = k — k0 от равновесного зна-
—>
чения k0 можно рассматривать второй член в правой части (3.100)
как первый член разложения силы трения по 6&.
В случае постоянного тока среднее значение k равно нулю.
Поэтому из (3.100) следует:
6k = -£.
(3.103)
При смещении k на Ыг в точке k -f- bk оказывается обладающим
энергией Е то распределение электронов, которое в точке k
характеризовалось энергией Е — ЬЕ (рис. 68). Поэтому
ft(E) = f(E-bE). (3.104)
Учитывая, что ЬЕ мало, разложим (3.104) в ряд:
/. (£) « /(В) -| б£ = /(£)- | (^ «*,+ £ 6*у + 25 в*Д
дВ дЕ \dkjc dkv ' dkz )
(3.105)
96

Из (3.105), (3.103) и (1.53)
df
(3.106)
fg(E) = f(E)-^Te(vS).
Подставляя /„ (Е) из (3.106) в (3.98), получаем:
о
Ь = е J4 /(£)d<b + e*jxvx{vS) (-1)dtb. (3.107)
Первый член в правой части (3.107) равен нулю, так как
произведение vJ (E) нечетно. Учитывая (3.99) и преобразование от
(3.42) к (3.46), получаем из (3.107) следующее выражение:
/ =
4я3Й
^x^s)l-M)^dE
Е S
дЕ v
Согласно (3.39) производная
д1_
дЕ
Е-1
kRT
(3.108)
(3.109)
2 квТ
имеет резкий максимум при Е = £ (рис. 69). Поэтому в первом
приближении получаем из (3.108):
ТО (f«f)
dS,
(3.110)
где интегрирование проводится по поверхности Ферми.
Проецируя / на оси координат, получаем из (3.110) выражение
/* = ~~ J 7 Чг М, + vySy + vzS2) dS
SF
и аналогичные выражения для осей у и г. Отсюда
1х = Кх&х + ^ху$у + Кг<$г>
/у — \х$х + ^уу<?у + ^уг^г>
/г = ^zjc^jc + ^-гу^у + ^гг£ z.
где
ар "4я»Й
J 7 "И
^4
UdSF
(3.113)
есть тензор электропроводности, а а и р
принимают значения х, у, г.
В случае кристалла с кубической
симметрией в тензоре электропроводности
(3.113) отличны от нуля Кхх = Хуу = Я7г=Л.
При этом из (3.112) следует закон Ома
(3.111)
(3.112)
I I
I I
I I
I I
V
Рис. 69
4 М. С. Свирский
97

(3.73), где согласно (3.113)
А,= -f-[x^dS. (3.114)
sF
Отсюда видно, что в отличие от классической электронной
теории (см. 3.74) в электропроводность дают вклад не все свободные
электроны, а только электроны проводимости, находящиеся на
поверхности Ферми или в непосредственной близости от нее.
Если т. зависит только от энергии, но не от углов (изотропное
рассеяние), то из (3.114)
X = e^L\^dS. (3.115)
sF
->
Учитывая, что vx = v cos 6 (где 0 — угол между v и осью х),
получаем:
Г — dS = Г ycos29dS. (3.116)
Sf Sp
В случае изотропного квадратичного закона дисперсии (3.47),
когда поверхность Ферми является сферой, имеем:
dS = k2 sin ШЩ. (3.117)
При этом согласно (3.48)
Из (3.110), (3.117) и (3.118)
у=-^-. (3.118)
т*
2я
Г ^dS^-L^t: C0S2esinede Гd<p. (3-из)
sF b b
2
Интегралы в правой части (3.119) равны соответственно — и 2л.
О
Поэтому
f^dS=JLl£EMi. (3.120)
J v m* 3 F
Согласно (3.47) и (3.55)
Зя2
n = ~kF. (3.121)
Поэтому из (3.115), (3.120) и (3.121)
Л- "е'т(^. (3.122)
93

Это выражение внешне аналогично (3.74). Однако в отличие от (3.76)
в (3.122) время между столкновениями определяется не тепловой
скоростью и, а энергией Ферми £.
§ 17. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
ДЛЯ ЭЛЕКТРОНОВ В МЕТАЛЛЕ
Согласно § 16 изменение функции распределения электронов
может происходить в результате переноса электронов и в
результате столкновений. Поэтому
*«(£) +(д±) . (3.123)
д( \dtjndp {&/„ v ;
В стационарном состоянии, когда имеется установившееся
распределение электронов,
|=0. (3.124)
Из (3.123) и (3.124)
[dtjnep \dtjci
В результате переноса тот электрон имеет в момент времени t
радиус-вектор г и волновой вектор k, который в момент времени
t— dt имел радиус-вектор г — vdt и волновой вектор к — kdt.
Поэтому
(#)пер = / (Г - Vdt, % - kdt) ~f(T,k). (3.126)
Учитывая, что dt мало, имеем:
/ (г — vdt, k — kdt) = f(r, i) — dtVjcdt—d-t-vvdt —
дх ду '
* -»- dlkxdt--^Ldt-^
kx x dky y dkz
v.dt—^- kxdt — -^ kvdt — ^-k2dt. (3.127)
дг z dk, x dkv y dk, '
Из (3.127) и (3.126)
(д1) =-vgrad^f-kgradtf, (3.128)
\dt /пер Г k
где индекс г (или k) указывает, что дифференцирование
производится по х, у, г (или по kx, ky, kz). Подставляя | —) из (3.128)
\ot /пер
в (3.125), получаем кинетическое уравнение Больцмана для
установившегося процесса:
v gracU / + к grad? f = (J)c; (3.129)
л*
4 99

Учитывая (3.67), получаем из (3.129) при F~— е (7 + — [«$}]==
= hk следующее равенство:
о gra<U f + L(g+± [Й/-]) grad-, f *= (J) . (3.130)
' ft С к \dtjcr
Если функция распределения / из (3.130) мало отличается от
равновесной функции распределения (3.39), которую в дальнейшем
будем отмечать индексом 0, то
f = fo + g, (3.131)
где£«/„. Из (3.130) и (3.131)
v (grad-, /0 + grad-. g) + ± (g + 1 [>#]) (gradr /0 +
г г п с *
дх
+ grad->g) — (—) .
^s *ё/ U/ст
огласно (3.39)
df0 д !E-t\_ dUIE-t dT dt\
IE — t\ dx \kB T ) dE\kBT дх дх)
\kBr)
dkx dE dkx дЕ
(3.132)
(3.133)
(3.134)
получаем из (3.132):
- ;ш ^ст-grad т+grad s -**) = (li- "eladr е ~
-Ltt+LivH])grad-* g—Z- tvH] v dA (3.135)
ft \ с ft с ос
Последний член в (3.135) равен нулю, так как v X [оЯ]. Член
<? grad->.g пропорционален $*, так как отклонениеg, как видно из
(3.106) и (3.131), пропорционально S. Следовательно, в линейном
по $ приближении, соответствующем закону Ома (3.73), получаем
из (3.135) линеаризованное кинетическое уравнение Больцмана:
~og(^Igradr + gradC-e1) =
= (%) - 0 grad-,g- f \v8]grad->g. (3.136)
\dt /ct r he ft
В случае постоянного и однородного электрического поля, когда
Н = 0, grad Т = 0 и / не зависит от г, из (3.136) следует:
100

' I «-(!)„• <ЗЛ37>
Сравнение (3.137) и (3.106) показывает, что в этом случае
(3.138)
df\ f-h
Интегрируя (3.138) по времени, получаем экспоненциальную
зависимость вида (3.102):
f-h = {f-h)\i=oe~T. (3.139)
Отсюда видно, что при t-y оо отклонение функции распределения
от равновесного значения /0 стремится экспоненциально к нулю.
При этом время релаксации, в течение которого начальное
отклонение (/ — /0) | t=o уменьшается в е раз, равно т.
§ 18. ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ
Для выяснения факторов, определяющих время релаксации,
необходимо рассмотреть изменение функции распределения в
результате столкновений. Это изменение можно записать так:
dt
д1) — (д1
dkv
(3.140)
Здесь ( —L _>. есть отнесенное к единице времени изменение
\dt J к ->• к,
функции распределения /(k), обусловленное переходами электро-
нов в результате столкновений из состояния с волновым вектором k
в состояние с волновым вектором &4. Величина (— L _» равна от-
\dt /ftt- к
несенному к единице времени изменению функции распределения,
обусловленному переходами электронов в результате столкновений
из состояния с волновым вектором ki в состояние с волновым век-
-*■
тором k.
Как известно из квантовой механики1, отнесенная к единице
времени вероятность перехода системы из начального состояния
|а >в конечное состояние IP > определяется выражением
Ра^=^\<а\Н'\^>\Ч(Е^-Еа), (3.141)
где Н' — гамильтониан взаимодействия.
В случае электрон-фононного взаимодействия, когда Н' имеет
вид (2.197), для электронов с данной проекцией спина из (3.141)
следует:
* См. [2], § 84.
101

р _ St < а| У У qv>{q) c+ _, сАа^~
ft q У ti)(q)
-a+j|p>|26(£g-£a). (3.142)
В дальнейшем будем рассматривать колебания решетки в рам-
ках модели Дебая (§ 12). Соответственно положим со (q) = uq
(где и — скорость звука, не зависящая от q). Это позволяет
преобразовать (3.142) к виду:
«Р NMu ЛЛ 4d ч 'w ' ' к+в t Т
/г <?
— «^)1Э> |2б(£р —£J. (3.143)
Согласно (2.114) и (2.114t) отличные от нуля матричные
элементы операторов а-* и at имеют вид:
< v-> — 1 I ou I v->. > = V~vZ,
Я Я Я Я
<v-.+ l|ai|v-+>=l/"^TfT. (ЗЛ44)
Q Я Я Я
Для операторов с-*, допускающих в силу принципа Паули только
значения v-> = 0 и v-* = 1, из двух равенств (3.144) сохраняет свой
ft ft
вид только первое:
< vr - 11 ct | vt > = V\. (3.145)
Согласно (2.181) и (2.183)
ctct = \ — nt. (3.146)
Диагональный матричный элемент от (3.146) имеет с учетом
(3.145) вид:
1 — V-* = < v-v I с-* ct I v-v > = < V-» I с-* I v-*4-
ft ft ' ft ft ' ft ^ ft ' ft ' ft '
+ 1 >< vr + 11 ct I vr > = |< vr + 1 \ct \vt > p. (3.147)
Здесь учтено, что согласно определению эрмитова сопряжения
<vr|cr|v^+l> = < v^+ 1| ci|vr >*. (3.148)
Из (3.147) следует равенство
< v-> + 1| ct | v? > = VY^. (3.149)
(вместо второго из равенств 3.144).
Учитывая (3.144), (3.145) и (3.149), получаем из (3.143):
102

/>, _ = 2 qD(q)v-+ -»(1-л>-*)б(£-*±/ко->-£-* -*) \ Y+1'
ft ±<?, ft ^T W/ A± <7 ft' ft q k± q' \ 1
q V-*
I <? '
(3.150)
А*-, н. =2 »D(?)vu(l- v-> -*)6(£U _ — £^тЫ ( V
ft, k±q ~T ч w ft fe±»' V ft±<? fc »'{ « , ,
9 V-> -f- I,
I. <?
(3.151)
w NMu ' ' W '
Переходя от суммирования по а к интегрированию и учитывая
(1.89), получаем из (3.150) и (3.151):
|(|^ 4 = j<A б) !/(*+5tl-/(*)](/«- +
ft, <7
+ 1) б (£-* + Йсо--£-*-») + f (ft- q) [1 - /(I)] ru 6 (£r -
к i7 ft-f-17 17 ft
— ftco-* — E-+ -*)} da,
« ft— 9"
f f|L -. d*, = f <A (?) \f (ft) [ 1 - / (A + ?)] п- б (£-. -> - £r -
J \d/ /ft-» ft, J « *+ ? *
—*■ —>■
ft, 9
- ft«u) + / (!) [1 - / (ft-J] (/u + 1) б {Et -> + to- - £-)} d?,
(3.152)
D. (?) = -It- 10. (a) I2.
В (3.152) числа заполнения электронов v-> и фононов v-> заменены
ft q
при Г =5^ 0 на функцию распределения электронов f (ft) и функцию
распределения фононов п (q) (см. [2], § 120).
Произведение / (ft ± a) [1 — / (к)'] в (3.152) имеет следующий
физический смысл. Множитель 1 — / (ft) связан с принципом Паули,
согласно которому переход электрона из состояния с волновым
вектором ft ± q в состояние с волновым вектором ft возможен
только в том случае, если до перехода состояние с волновым Еектором ft
не было занято электроном. В противном случае / {k) — 1 и переход
электрона в состояние с волновым вектором ft невозможен. Множи-
тель / (ft ± q) связан с тем, что переход электрона из состояния с
-> -*■
волновым вектором ft ± q в другое состояние возможен только в
103

том случае, если До перехода электрон находился в состоянии с
-*- ->
волновым вектором k ± ц.
Функции б(£-±йо>-* — Е-* -») обеспечивают сохранение энер-
k q k -^q
гии при рассмотренных переходах. Если, например, электрон пере-
->■ -»■
ходит из состояния с волновым вектором k -f- Ц и энергией Е-* -*
k +q
в состояние с волновым вектором k и энергией Е-*, то Е-+ -* = Е-*4-
k k -\-q k
-f fto)^ (где ftto-* — энергия излучаемого фонона).
Из* (3.152) /(3.140)
~(д1) =Г^1(?)'{[/(*+7)0-/(А))(я-+1)-Л*)(1-
\Ш /ст J 1
- f (k + q))n->] б (Et + ftco^ - £-,->) + [f (ft + </I(1 ~ f (*)) n -> -
q к q к + q — q
—f(k)(l~fCk + q))(n + + l)]6(£-> — /ko+ — £-* -)}d£ (3.153)
~ « ft « Я+ 4
Полагая, что функция распределения фононов я-* имеет равновесное
Q
значение (2.126) и что / (k) имеет вид (3.131), получаем из (3.153)
с точностью до членов первого порядка относительно g следующее
выражение:
- (%) e \ 'Ч D* ® &g (k + q) (ft* + 1 - /0 (1)) - g Ck) (ft* +
\ОТ/ст J « <7
*
+ fe № + $)] б (% + Ли- - Et7) +[g(k+ 7,) (n* + /„ (ft)) -
— g(*)(i- + 1 — f0$ + *q))lb(E? — £* *-/z©*)}d£ (3.154)
« h k-\-q a
При получении (3.154) учтено, что при S = 0 и, следовательно,
g = 0 имеет место равенство [ —) =0.
\dt /ст
В соответствии с (3.131), (3.137) и (3.138)
g(A)=-x(£)%^A (3.155)
Подставляя выражение для g (k) из (3.155) в (3.154) и учитывая,
что dq = q2 dq sin Ы 0dcp, получаем:
,7=0 8=0 ф=0
а/0(Я + л^) ,_.
ЮЛ

+ /tow))] 6 (£r + /ko+ - £r _) +
q ' к q k + q
+ l{kx + qx)T(E — fnx>^)x
q
X
df, (E — fiw->)
Q__
dE
(n- + /0 (£))-
-^x(£)M-(^ + l-/0(£-
дЕ ^ я
-йш-»))]6(£-*—£_
■ Йсо^)} d</ sin 8 сШф.
(3.156)
Учитывая (3.109) и (2.126), можно
преобразовать (3.156) к виду:
Рис. 70
(!)„=^<^ГП°.<5<Х1№, + ^
+
7=0 6=0 ф=0
+ До,,) - т (£)] Ai£±^I е *в г g (£ + А _ £ ^ +
/0 (£) * * + q
to (Щ k
Е-+ -v— /!©->)} do sin 0d 0dcp.
k+q q" Ч V
(3.157)
Если угол между k и осью х равен и, а угол между & и q равен 0,
то, как видно из рисунка 70,
qx = q (cos 6 cos x -f- sin 9 sin x cos cp). (3.158)
Учитывая, что
2л
COS X = — И j COS фЙф = 0,
получаем из (3.157) и (3.158):
а=^^П™ч[
7=0—1
(3.159)
l + 3-y)t(E +
hat,,
+ П(о) — т(Е)
l^+^!lekBr8(E^ + h(oa-E^ - ) +
k + a
+ ^1+1уу(Е-Н%)-х(Е)]^=^1ЦЕт-
h«>q)}dqdy, (3.160)
105

где у = cos 6. Аргументы б-функций в (3.160) равны нулю при
(3.161)
q т*(йд
Y ~ 2i+ hkq"
Поскольку
[т* Ч*) h*kq Vr"
то из (3.160) следует:
о
+ йй>?)-т(£)
/о (Е + <К) e"ft5T , [Л «V <72 \ т ,Е
_/ко,)-т(£)
Введем обозначения:
/, (Е - Amq)
/о(£)
d<7.
а =
feBr
'. Р
htoq huq
kBT kBT
' D q
(3.162)
(3.163)
A**-
m*kBT
h4*
-, B=-
1 (kBT
2 l huk
Используя выражение для D\ (q) из (3.152), а также (2.126),
(3.39) и (3.109), получаем из (3.162) и (3.163):
<?/
1 *jr *Sx(<lDaf\VI
dt /ст 4яй ft &ВГЛ4« (1+е_о:)
«1 Г
т \3
X
г
X
Г P2rfp (
.) «р — 11
о I
(1+Лр-Вр2)т(а+Р)-т(а)
+
еа+е-Р
(1 — лр — BPa) -г (а — Р) — т (ее)
еа-р + 1
+
где |о, Г2 — среднее значение |у, (<7) |2.
Из (2.175) для случая продольных колебаний
ч°а -2я-Ш"'-
(3.164)
(3.165)
Поэтому из (3.164) и уравнения Больцмана, записанного в виде
(3.137), следует:
Юб

kBT
к
(TD \3<5/„ 1 Г
[ T J dE i+e-« J
1 0
(1+Лр-5р^т(а + р)-т(а)
ea+e-f
+
(1
i — fip2) т (а — P) — т (g)
ea-'3 + 1
где
В (3.166)
К =
3 у/, ЗяУ | v, |a т*
4я/ Майв Г0йЛ
+
(3.166)
(3.167)
(1 + О"1' (e" + ^V1 = - (1 - e-V1 [/0 (а + Р) - /0 (а)]
(l + ^ri(e«-P+l) I = (l_e-P)-i[/„(а-Р)-/0(а)]. (3.168)
Поэтому, интегрируя (3.166) по а от —оо до с», получаем:
т
wm* -1 TzSh*^*'^™
где
(еР_1)(1_в-Р)
оо
It = J [т (а + р) - т (а)] [/„ (а) - /« (а + Р)]Лх +-
—оо
+ J [т (а - Р) - т (а)] С/о (а - Р) - /о (а)] da
—оо
оо
h = J т (а + р) С/о (а) - /о (« + Р)1 <*а -
—00
оо
- J х (а - р) С/о (а - Р) - /о («)] da
—оо
оо
/з = J т (а + Р) С/о (а) - /о (а + РШ« +
—со
+ J т (а - р) С/о (а - Р) - /« (а)№. (3.170)
После замены a -> a — р нетрудно установить, что
Л = 0. (3.171)
В выражениях для /2 и /3 в интегралах, содержащих т (а + Р).
положим а -> а — р, а в интегралах, содержащих т (а — Р),
заменим а на a + р. Тогда
107

J
0
.
_^ *
W<*-j3)
d.
12 = j т (a) [/0 (a —
—oo
-p)-/o(a + P)-2/0(a)]da;
со
/3 - J т (a) £/. (a -
—OO
-p)-/o(« + P)]da.
(3.172)
Вдали от поверхности Ферми, где a > р (см. 3.163),
подынтегральные выражения в (3.172) стремятся к нулю. Поэтому, учитывая,
что основной вклад дает область вблизи поверхности Ферми, где
а та О, можно в /2 и в /3 вынести из-под знака интеграла т (0) =
= tf. При этом из (3.172) получаем:
h = TF (Д_ + Д+)
/з = МД_-4+), (3-173)
где
со
Ат = J [/о (ОТР)- /о («)] d«. (3.174)
Функция распределения /0 (ее — Р) имеет тот же вид, что функция
распределения /0 (а), но смещена вдоль оси а на расстояние р
вправо (рис. 71). Поэтому Д_ да р (где Р — площадь
прямоугольника, показанного на рисунке 71 пунктиром). Функция /0 (а + Р)
смещена относительно /0 (а) влево на расстояние р. Следовательно,
Д+ « —р. Учитывая значения Д_ и к+, получаем из (3.173):
/2 = 0, /3 = 2Pv (3.175)
Так как функция — ■—■ имеет резкий максимум на поверхно-
СТО!
сги Ферми (см. рис. 69), то интеграл в левой части (3.169) равен
—) . Поэтому из (3.169), учитывая (3.171) и (3.175), следует:
К /f
т,-±(Т»)9(Ц '
F 2В\ т I \К)р -ь
где
I _ { P5dP (3.177)
Подставляя в (3.176) значение К из (3.167) и значение В из (3.163),
а также учитывая (3.165), получаем:
108
к1т&- <3-176)

h(kFaf-MkBTD TD
Ь = = \-~ . (3.178)
9я3/л* | ev, \46 \ T I
Используя (3.55), можно преобразовать (3.178) к виду:
tf = =£—-/—-. (3.179)
Зпт* | ev, P /5 V T I
Величина nc? равна числу r\ валентных электронов на одну
ячейку. Поэтому из (3.179) вытекает следующее выражение для времени
релаксации:
hr\MkB TD (TD \s
*,- -==£ МИ. (3.180)
Отсюда видно, что время релаксации прямо пропорционально
числу валентных электронов на одну ячейку и массе иона и
обратно пропорционально эффективной массе электрона и среднему
значению квадрата фурье-компонента потенциала, определяющего
связь электрона с ионом. Время релаксации зависит также от
температуры Дебая и от температуры. Более подробно температурная
зависимость времени релаксации рассматривается в следующем
параграфе.
§ 19. ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО
СОПРОТИВЛЕНИЯ
В области высоких температур [у— > 1) согласно (3.163)
Р < 1. Поэтому, полагая
£ — 1 «р, 1 — е_р « р, (3.181)
получаем из (3.177):
т
1 /Тп \*
'-Jw-^t-
(3.182)
Подставляя значение /5 из (3.182) в (3.180), находим:
4 ПцМкв TD TD
Отсюда и из (3.122)
*> = т Г "Г"- (3-183)
Х~1. (3.184)
Из (3.184) получаем для удельного электросопротивления:
р = -~7\ (3.185)
109

Таким образом, согласно квантовой электронной теории
металлов в области высоких температур (Т > TD) удельное
электросопротивление в соответствии с опытом пропорционально Т. Этим
самым устраняется трудность классической электронной теории
металлов, указанная в § 16. Для одновалентных металлов
хорошее согласие (3.183) с опытом получается при
eY\v, l2~ 1.4 — 6,2 эВ.
Температурную зависимость (3.185) можно качественно
объяснить следующим образом. Длина свободного пробега / связана с
амплитудой ai тепловых колебаний атома равенством
/= Ц-, (3.186)
где nt — концентрация атомов, па\ — площадь круга радиуса а4.
В области высоких температур (Т > TD), где классическая и
квантовая теории теплоемкости твердых тел приводят к
одинаковому результату (см. § 12), можно использовать теорему о
равномерном распределении энергии по степеням свободы:
±aa\ = kBT, (3.187)
где а — коэффициент упругой связи, — оса? — потенциальная
энергия атома, отклоненного от узла на расстояние а». Из (3.186)
и (3.187)
/~—. (3.188)
Для электронов вблизи поверхности Ферми
l = vFx. (3.189)
Из (3.188) и (3.189)
т~^, (3.190)
что согласуется с (3.183).
В области низких температур (-=— < 1) верхний предел
интегрирования в /5 из (3.177) стремится при Г->0 к
бесконечности. При этом
сю
Г *** = 124,4. (3.191)
Из (3.191) и (3.180)
но

тв~ —
1_
Г6'
(3.192)
Учитывая (3.122), получаем:
р ~ Г5. (3.193)
Таким образом, в области низких температур квантовая
электронная теория металлов приводит к выводу, что удельное
электросопротивление р пропорционально Тъ.
Этот результат можно качественно объяснить следующим
образом. В области низких температур столкновение электрона с
одним фононом не может существенно изменить импульс электрона.
Поэтому вместо длины свободного пробега / необходимо
рассмотреть транспортную длину свободного пробега
L~^J, (3.194)
где п,ф — концентрация фононов, пст — число столкновений,
которые могут существенно изменить импульс электрона. Очевидно,
что L = п„ I (где / — длина свободного пробега электрона между
двумя столкновениями, рассмотренная в § 16). Согласно § 12 в
области низких температур
пф~Г3. (3.195)
Величину пст можно опенить следующим образом. На рисунке 72
схематически показано изменение импульса электрона_&рх,
обусловленное поглощением фонона с импульсом hq
kBT
В
области низких температур hq <^ pF. Поэтому после поглощения
фонона импульс электрона p'F мало отличается по модулю и по
направлению от импульса электрона рР до поглощения фонона.
Изменение импульса электрона вдоль первоначального
направления движения определяется равенством
Ар* — PF — pFcosy = pF(1 — coscp) » рр-
(3.196)
где при малом угле рассеяния ф использовано приближение cos ф
~ 1 ——. С другой стороны, как видно из рисунка 72,
hq щ Рр<(.
(3.197)
Исключая ф из (3.197) и (3.196),
получаем:
(По)2
4г- <зл98>
&Рх =
Отсюда видно, что для того чтобы
столкновения с фононом могли сущест-
Рис. 72
111

венно изменить импульс электрона проводимости на величину
порядка pF, необходим целый ряд столкновений, число гаст
которых может быть определено из условия
nCTApx~pF. (3.199)
Из (3.199) и (3.198)
(3.200)
Подставляя пст из (2.180) и пф из (3.195) в (3.194), получаем:
L-Л (3.201)
С учетом равенства L = vFr (где т — время релаксации) это
согласуется с (3.192).
Температурная зависимость электросопротивления многих
металлов имеет в области низких температур1 вид (3.193).
§ 20. ПЕРЕНОС ЭНЕРГИИ И ТЕПЛА
В случае, когда напряженность электрического поля и градиент
температуры отличны от нуля (но Н = 0), из (3.136) следует:
f)cr=-f o(^-gradr + gradf-e?). (3.202)
Отсюда и из (3.138)
f = fo~ ™(~-$=£-gradT- IgradI +1). (3.203)
—>■ —>-
Правая часть (3.203) отличается от (3.106) заменой 8 на 8 —
grad T grad С- Поэтому, подставляя / из (3.203)
еТ е
в (3.98), получаем вместо (3.108) выражение
В S
x(—Ea)*>dE. (3.204)
\ дЕ/ v
Согласно (2.118) и (2.120) выражение для переноса энергии
получается из выражения для переноса заряда, если в (3.98) заменить
заряд е на энергию Е. Поэтому из (3.204)
Е S
(3.205)
1 В случае сверхпроводников при температуре, большей Тк (см. § 37).
112

В отличие от фононов, у которых химический потенциал равен
нулю (см. § 10), в случае электронов перенос энергии не совпадает
с переносом тепла. Так, при Т => 0 электроны у поверхности
Ферми имеют кинетическую энергию £0, но не совершают теплового
движения. Поэтому при определении потока тепла Q следует из
энергии Е вычесть энергию Ферми £. При этом вместо (3.205)
получаем:
«=iMJT(£-»W-E-:iierad7'-
Е S
Из (3.204) и (3.206)
/,=# (w;+v;+** «о -
где
?'=?— -grad£, (3.209)
e
K~-lSr$"-HV-V{-ty?iB. (3.210)
Аналогичные выражения имеют место для осей у и г.
В случае — = 0, когда grad £ = 0, выражение (3.207) сов-
дх
падает с проекцией (3.108) на ось х. В случае кристалла с
кубической симметрией, когда тензоры сводятся к скалярам (см. § 16),
из (3.207) и (3.208) следует:
/*-*■.. *;+*«■ |> (з-211)
где
L„ =<?»*„, L,r = -±Klt Lre «etflt Lrr = -i-K2. (3.212)
Из (3.212)
ь.г'---7*t.. (3-213)
что согласуется с соотношениями Кельвина — Онзагера1.
1 См., например, [4], § 21.
113

В случае разомкнутой цепи, когда \х — 0, из (3.211)
S' _ ^sT дТ
L.. дх
(3.214)
Подставляя значение S'x из (3.214) в (3.211), получаем:
Wa ^аТ \ дТ
дх'
Q = L
'тт
(3.215)
Коэффициент теплопроводности определяется равенством
п аг
* дх
Из (3.216) и (3.215)
Л | Lu-pj-
^Те ^«Г
(3.216)
(3.217)
Подставляя в (3.217) значения Les, LgT, LTs и LTT из (3.212),
получаем:
Т \ 2 /Со
(3.218)
Используя (57.1) из [7] и учитывая, что (£ — £)п\ = 0, если п Ф О,
получаем из (3.210):
1
(3.219)
Яп
АпЧ
)TO*7'
= (feg 7У g2
л(^,) 24яй д£2
то| (£-£)»
dS
я=Е
(3.220)
После дифференцирования по £ при Е — £ в (3.220) исчезают
все члены, содержащие (£ — £)" (где и > 1). Поэтому
„ (*в Л2 г д Г «dS
К, — — \ то; —
1 12яй [d£J * у
S
Я-С'
к2 =
Из (3.221), (3.222) и (3.219)
(feg Л2
12яй
f 9dS
(3.221)
(3.222)
*i=?(W
— К0(Е)
дЕ ° '
Е=Ъ
К
г-\(квтук0.
(3.223)
(3.224)
Подставляя значения К\ и /Са из (3.223) и (3.224) в (3.218), полу-
114

чаем:
1,2
яЧ%Т I n*(kBT?nd
х-—2— Л
)ЕКЛЕ)
(3.225)
з I ° зл:0
Сравнение (3.219) и (3.114) показывает, что если время
релаксации т одинаково в случае электропроводности ив случае
теплопроводности, то
X = е2К0. (3.226)
В случае изотропного квадратичного закона дисперсии и
изотропного рассеяния, когда К имеет вид (3.122), из (3.226) следует:
К0 = ^Д (3.227)
Если
_ i_
т(Е)=т0Е 2
(3.228)
(где т0 не зависит от Е, а г — постоянное число), то
Отсюда
д-В-=(г-±)^. (3.229)
дЕ [ 2 J Е v '
1 (ЭКр
Ко \ дЕ
я-С S2
(3.230)
Следовательно, второй член в фигурной скобке (3.225) примерно
раз меньше первого члена. Поэтому, оставляя в (3.225)
только член с /С0, получаем:
к==?!*|1_яо. (з.231)
Из (3.231) и (3.226) следует закон Видемана — Франца1:
(3.232)
кт г \ е
Совпадение времен релаксации в случае электропроводности
и в случае теплопроводности имеет место в области высоких
температур (Т > TD). В той области, где ftcoD < kBT,
изменение энергии электрона в результате поглощения или испускания
фонона мало по сравнению с шириной теплового «размытия»
уровня Ферми. Поэтому главным следствием поглощения или
испускания фонона является изменение направления импульса
электрона. Согласно (3.196) при Ар « hqD имеет место равенство
hqD да hkP (1 — cos ф). (3.233)
* Ср. с (3.91).
115

• • •
!00
ооо
оо
-gradT
-gradT
Рис. 73
Рис. 74
Отсюда при &f ~ qD следует, что ф ~ —. Таким образом, в
области Т > TD направление импульса электрона может при
поглощении или испускании фонона повернуться на угол порядка —-
(рис. 73). Такой процесс называется «горизонтальным».
Сравнение рисунков 73 и 68 показывает, что «горизонтальные»
процессы противодействуют смещению поверхности Ферми под
влиянием внешнего электрического поля и, следовательно, приводят
также к электросопротивлению. Поэтому в области Т >
> TD теплосопротивление и электросопротивление
обусловлены «горизонтальными» процессами с одним и тем же временем
релаксации тг. Это приводит к выполнению закона Видемана —
Франца (3.232) в области Т > TD.
В области Т < TD согласно (3.197) имеем:
ф.
kBT
Рр Upp
При рр ~ hqD из (3.234) следует:
ф.
-/-«1.
(3.234)
(3.235)
Отсюда видно, что в области Т < TD изменение направления
импульса электрона в результате поглощения или испускания
одного фонона является незначительным. Поэтому поглощение
или испускание одного фонона не дает «горизонтального» перехода,
необходимого для электросопротивления. Однако
теплопроводность может изменяться (в рассматриваемой области температур)
в результате поглощения или испускания одного фонона, так как
энергия фонона /ш ~ kBT сравнима с шириной теплового
«размытия» уровня Ферми. Поэтому «горячий» электрон, находящийся
над уровнем Ферми £, может при испускании фонона
превратиться в «холодный» электрон и оказаться под уровнем Ферми.
Аналогично «холодный» электрон может поглотить фонон и превратить-
Н6

ся в «горячий» электрон. Такие процессы называются
«вертикальными» (рис. 74). Так как для поглощения или испускания
одного фонона требуется значительно меньше времени, чем для
испускания или поглощения большого количества фононов, то тг>та
(где тв — время релаксации для «вертикальных» процессов).
Поэтому в области Т <^TD время релаксации для теплопроводности
много меньше времени релаксации для электропроводности. Это
приводит к нарушению закона Видемана — Франца (3.232) в
области низких температур.
Качественно температурная зависимость теплопроводности в
области низких температур может быть установлена следующим
образом. Если Т <^ TD, то для «вертикальных» процессов
п„ = 1. Поэтому согласно (3.194)
— ~ Т3, (3.236)
где учтено, что пф ~ Т3 при T<£TD (см. 3.195). Из (3.236),
(3.231) и (3.219)
1
7-а
(3.237)
В случае остаточного электросопротивления, обусловленного
упругим рассеянием электронов на дефектах решетки
(загрязненные или несовершенные образцы) коэффициент
электропроводности Я-о и, следовательно, т0 не зависят от температуры. Поэтому
согласно (3.231) и (3.219)
Т.
Щ
Это приводит в области предельно низких температур
сутствие сверхпроводимости) к соотношению
XT
const,
(3.238)
(в от-
(3.239)
которое согласуется с законом Видемана — Франца.
В общем случае при наличии и фононного, и остаточного теп-
лосопротивления коэффициент теплосопро-
тивления определяется суммой:
(3.240)
Из (3.240), (3.237) и (3.238) следует, что
Ь
W = аТ* +
т'
(3.241)
где а и Ъ — коэффициенты, не зависящие
от температуры. Соответственно
коэффициент теплопроводности равен
"Г
25К
Рис. 75
117

w
b+aT*
(3.242)
la
Это выражение имеет максимум при температуре Т = у
На рисунке 75 схематично показана температурная зависимость
коэффициента теплопроводности отожженного серебра. Из этого
рисунка видно, что в области Т < 25К в соответствии с (3.242)
величина — имеет максимум.
§ 21. ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
Согласно (3.214) и (3.209) в случае разомкнутой цепи (/, = 0),
в которой имеется градиент температуры, возникает
напряженность электрического поля, определяемая выражением
$ =-^
JsT
дТ
е дх Lss дх
Учитывая (3.212), получаем из (3.243):
где
1 ^ . дТ
—2 +«—,
е дх дх
±5l
' еТ Ко'
(3.243)
(3.244)
(3.245)
Если замкнутая цепь состоит из двух различных проводников
(рис. 76), контакты которых поддерживаются при различных
температурах Т1 и Т2, то согласно (3. 244) возникает разность
потенциалов (эффект Зеебека, 1822 г.)
х0 х0
/Г, Г, Г3 v
= _ Па1(1Т + ja2dr + Jaxdr —1
Тг
(3.246)
где a4 относится к проводнику 7, а а2 — к проводнику 2.
Последнее слагаемое в правой части (3.246) равно нулю, так
как в точках х0 и х3 имеется про-
хп х< х, хт водник / при одной и той же тем-
»- пературе Т0 и, следовательно,
X £ (Хз) _ £ (Хо). Остальные
члены (3.246) можно, учитывая,
что Т3 = Т0, преобразовать
следующим образом:
Т2
Рис. 76

т т т т
Дф = f ax dT + f ax dT — f а2 dT = f (ах — а2) dT. (3.247)
г, 5г„ г, г,
Поэтому Аф можно представить как разность
Аф = 9, — 92, (3.248)
где абсолютная термоэлектродвижущая сила (термо-ЭДС)
определяется равенством
т
9 = f adT. (3.249)
Так как 0 является интегралом от а по температуре, то а
из (3.245) является абсолютной дифференциальной термо-ЭДС.
Если цепь замкнута, но в ней поддерживается постоянная
температура (grad T = 0), то согласно (3.211)
\х = Lss К'
Qx~LTt$'x. (3.250)
Исключая 8Х из равенств (3.250), получаем:
Q,
-г«
(3.251)
Отсюда и из (3.212)
где коэффициент Пельтье
Q = п/,,
п =
еК0'
(3.252)
(3.253)
Согласно (3.252) при grad Т = 0 и \х Ф 0 в образце существует
поток тепла, прямо пропорциональный плотности электрического
тока. Сравнение (3.253) и (3.245) показывает, что коэффициент
Пельтье связан с абсолютной дифференциальной термо-ЭДС а
равенством
П = аТ.
(3.254)
Это — так называемое второе
соотношение Томсона.
Если замкнутая цепь состоит из двух
различных проводников (рис. 77), то в
проводнике / поток тепла равен ITj у, а в
проводнике 2 он равен П2/-. В стационарном режиме
потоки тепла не должны меняться со
временем. Поэтому, если П4 j> П2, j, то на
контакте // выделяется в единицу времени
количество теплоты, равное (П» — П2)/, а на кон-
119

такте / такое же количество теплоты поглощается в единицу
времени. При этом контакт / нагревается, а контакт // охлаждается
(эффект Пельтье, 1834 г.).
В случае, когда \х Ф 0 и в цепи поддерживается grad Т Ф О,
из (3.211) следует:
1 . _ l,t дТ
L }х L дх'
Qx^r .^-kin + r E. &•**)
Ts \ L„„ lx L,. дх т ттдх
ее ss
Учитывая (3.209) и (3.212), получаем:
х еЩ0 1х еК0 Т дх е дх
Из (3.256), (3.226), (3.218), (3.245) и (3.253) находим:
х %1х й в дх
Qx==njx-KdJ. (3-257)
х 1х дх
Поток энергии определяется согласно (3.205), (3.206) и (3.204)
следующим выражением:
t/, = Q, + ±£/,. (3.258)
е
Подставляя в (3.258) значение Qx из (3.257), получаем:
£/, = Пь-х^ + 1£/,. (3.259)
дх е
Согласно закону сохранения энергии
Q ="]{ — divfA (3.260)
dQ
где -~ — количество теплоты, которое выделяется в единицу
от
-> ->
времени в единице объема, jS — работа, производимая электриче-
ским полем напряженности ё над током плотности /. Подставляя
значение §х из (3.257) и 1)х из (3.258) в (3.260), получаем:
dt
120
-2г + («-£\/х£ + 1/х£\ (3.261)
Я \ дТ)'хдх дх\ дх) v '

Первый член в правой части (3.261) обусловлен законом
Джоуля — Ленца, третий член представляет собой тепловой поток,
связанный с теплопроводностью. Второй же член связан с эффектом
Томсона. В 1854 г. Томсоном было установлено, что если ток плот-
ности / протекает через однородный проводник с одинаковым
поперечным сечением, то для поддержания градиента температуры
каждой единице объема проводника необходимо сообщать в
единицу времени количество теплоты
где \i — коэффициент Томсона. Сравнение (3.262) со вторым
членом в правой части (3.261) приводит к следующему выражению
для коэффициента Томсона:
* = %-* (3-263)
(первое соотношение Томсона).
Из (3.263) и (3.254)
т
а = Г -Ь dT\ (3.264)
о
Таким образом, согласно (3.264), (3.254) и (3.249) все три
термоэлектрических явления связаны с абсолютной дифференциальной
термо-ЭДС а.
Учитывая (3.226) и (3.223), получаем из (3.245):
as=±n^T(l%)\ . (3.265)
3 е \ X dEJ |я« t
Согласно (3.122) и (3.64)
Ч£) = ^5^т(£), (3.266)
пг
«(£) = - EN (E). (3.267)
О
Из (3.266) и (3.267)
±^==_JLELi£> + — ±1Ет(Е)1 (3.268)
л дЕ N(E) дЕ Ех(Е) dEL /J '
1 й\
Подставляя значение из (3.268) в (3.265), получаем:
A dE
a = i.«»ilr(-i-^^ + _J_jL[£T(£)]} . (3.269)
3 е \N{E) дЕ Et(E)dEL /я=Е '
Если выражение в фигурной скобке (3.269) положительно, то
абсолютная дифференциальная термо-ЭДС а является отрицатель-
121

ной величиной (так как у электрона е < 0). Однако первый член в
фигурной скобке (3.269) может оказаться отрицательным после
достижения границ зоны (см. рис. 66). Поэтому а может быть
также положительной величиной.
Согласно (3.178)
1 (Е) ~ Е3/2. (3.270)
Поэтому
1 JL (Ех) = 4-- (3-271)
Ех дЕ ' 2£ ;
В случае квадратичного изотропного закона дисперсии согласно
(3.51)
! dN (£) _ 1
N (£) дЕ 2£
Из (3.270), (3.272) и (3.269)
(3.272)
k2 т
а = п2—-. (3.273)
е Ъ
Учитывая, что для металлов £ ~ 5эВ, получаем из (3.273) при
Т ~ 100К:
а~10-в-, (3.274)
что по порядку величины согласуется с экспериментальными
данными для ряда металлов.
Из (3.273) и (3.64)1 следует:
а ~ ^, (3.275)
пе
где Се — теплоемкость электронного газа.
Из (3.275) видно, что малое значение абсолютной
дифференциальной термо-ЭДС обусловлено тем, что электронная
теплоемкость Се мала. Более значительные величины получаются при
учете увлечения электронов фононами (эффект Л. Э. Гуревича,
1945 г.).
В § 18 предполагалось, что функция распределения фононов
является равновесной. В действительности при наличии
градиента температуры возникает направленное движение фононов и
перенос ими тепла от более горячего к более холодному концу образца.
При этом электрон-фононное взаимодействие приводит к увлечению
электронов фононами. Электрический ток прекращается, когда
между горячим и холодным концами образца устанавливается
определенная разность потенциалов, связанная с дифференциальной
термо-ЭДС.
1 См. также (39.17) в [4].
122

Аналогично смещение поверхности Ферми под влиянием
электрического поля (см. рис. 68) приводит благодаря электрон-фонон-
ному взаимодействию к появлению направленного движения фо-
нонов. При этом в решетке возникает поток тепла
<Эф ~ CTv, (3.276)
где С — теплоемкость решетки, v — скорость, значение модуля
которой соответствует (3.69). Учитывая (3.66), получаем из (3.276):
<2» ~ -7- (3-277)
пе
Из (3.277) и (3.252) получаем для коэффициента Пельтье выражение
Пф - -. (3.278)
пе
Сравнение (3.278) со вторым соотношением Томсона приводит к
следующему выражению для абсолютной дифференциальной термо-
ЭДС, обусловленной увлечением фононов:
аф - £. (3.279)
пе
Из (3.279) и (3.275)
°± ~ —. (3.280)
а С
Таким образом, в случае С > Се величина аф оказывается
больше а.
Для оценки учтем, что согласно (2.171) теплоемкость решетки,
обусловленная продольными фононами, равна:
C^^Nkyl—J. (3.28I)
(3.282)
Подставляя С из (3.281) в (3.279), получаем:
4 N Ьв , I т
ф В«-|-'ДТ
При N fa п и л4 (—\ ~ 1 из (3.282) следует:
оф - — = — 86 • 10-в £> (3.283)
е К
что на два порядка больше величины о из (3.274).
Увлечение фононов ограничивается процессами переброса. Эти
процессы могут привести к тому, что дрейф фононов будет
направлен против движения носителей электрического заряда. В
зависимости от соотношения N- и ^/-процессов аф может быть как
отрицательной, так и положительной величиной.

Глава IV
ПОЛУПРОВОДНИКИ
§ 22. СОБСТВЕННАЯ ПРОВОДИМОСТЬ ПОЛУПРОВОДНИКОВ
И ЕЕ ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
Плотность электрического тока в полупроводнике определяется
в соответствии с (3.66) выражением
jx=neevex + nheflhx, (4.1)
где пе и vex — концентрация и среднее значение проекции на
ось х скорости направленного движения электронов, nh и vhx —
аналогичные величины для дырок, eh = — е> 0 — электрический
заряд дырки.
Согласно (3.70)
Vex = М*. Vhx=Vh8x> (4-2)
Из (4.1) и (4.2)
1х = (W. + Че1,Ы $х> (4-3)
или
/, = **,. (4-4)
где
Я = пее\уе + nhe„nh. (4.5)
Согласно (3.79) це < 0. Поэтому из (4.5)
^ = А ("* I Н<* I + "лИа)- (4-6)
Отсюда видно, что коэффициенты электропроводности электронов
и дырок складываются. На рисунке 78 показаны направления
средних скоростей электронов и дырок, а также направления
обусловленных ими токов. Средние скорости электронов и дырок
имеют противоположные направления. Однако направления
плотностей токов электронов и дырок, определяемые как направления
движения положительных зарядов, совпадают.
Концентрации электронов и дырок определяются согласно
(3.40), (3.51) выражениями:
ne = AAfeVEdE, (4.7)
124

n/t = Ah J fh YEh dEh,
(4.8)
где энергия электронов Е отсчитывается от дна зоны
проводимости, энергия дырок Eh — от потолка валентной зоны вниз
(рис. 79), fe и fh — функции распределения электронов и дырок.
Согласно (3.52)
(4.9)
4я
(2mlty\
где те и tnh — массы электрона и дырки.
Функции распределения fe и /й связаны равенством
/* +h
1.
(4.10)
Это равенство обусловлено тем, что каждое состояние занято либо
электроном, либо дыркой.
Согласно (3.39)
Ь=1—/«= с_д ■ (4.11)
где, как видно из рисунка 79,
Е = - (А + Eh).
Следовательно,
1
h-
£+Д+£д
(4.12)
(4.13)
е кв Т + 1
Наличие запрещенной зоны шириной Д приводит к тому, что в
полупроводниках концентрации электронов в зоне проводимости
и дырок в валентной зоне обычно значительно меньше, чем в
металлах. Поэтому fe < 1 и /4 « 1. Эти условия выполняются,
*•
Б
%х
а .»."
■to,
Je,x
X
X
F
LC
Ей
-с
v%
'///>
f
.„;;)
»
V7//A
J
-e
<3
Рис. 78
Рис. 79
125

если '
kBT
> 1. В этом случае можно пренебречь в
выражениях (4.13) и (3.39) единицей по сравнению с экспоненциальным
членом:
g-e
fe& e
_Е+Д+5й (4.14)
f ~ р квт
Поэтому в рассматриваемом случае электроны и дырки в
полупроводнике описываются функцией распределения Максвелла —
Больцмана для невырожденного газа.
Из (4.14), (4.7) и (4.8) получаем:
о
_J±^-~ £*_ _ (4.15)
о
Интегралы в правых частях выражений (4.15) одинаковы и имеют
значение
оо Е
^e'^VEdE - If (kBT)'f.. (4.i6)
Из (4.15), (4.16) с учетом (4.9) следует:
2nkRTme \1г_ТГт
пjB;i^>% У'*'*', (4.17)
/2nkBTmey
\ Ла j
nA=s2/2"*B^\V.g *ey# (4I8)
В случае полупроводника с собственной проводимостью, когда
пе — nh> из (4-17) и (4.18) имеем:
Е С+А
rrCi*ekBl = m^e квТ. (4.19)
Отсюда
£ = _*. + ! ь Пп-* (4.20)
2 4 me
В случае тв = /кй из (4.20) следует, что
С = - |. (4.21)
J 26

Таким образом, в случае полупроводника с
собственной проводимостью химический
потенциал £ расположен при те = mh в
середине запрещенной зоны (рис. 80).
Если mh > me, то химический потенциал
смещается из середины запрещенной зоны в
сторону зоны проводимости. Если же me>mh,
то £ смещается в сторону вершины
валентной зоны.
Умножая (4.17) на (4.18), получаем:
Рис. 80
пеп„ = 4
2nkBT
imemh)4
kBT
(4.22)
Отсюда видно, что выполняется закон действующих масс: при
данной температуре произведение концентраций электронов и
дырок является постоянной величиной.
В случае собственной проводимости, когда пе = nh, из (4.22)
следует:
_ д
пд=2(~"°" ) " (т/пк)Ч>е
А2
2*я7"
(4.23)
или
где
«о = 2
2nkB T \
2квТ
(memhyu.
(4.24)
(4.25)
Зависимость (4.24) можно качественно получить следующим
образом. В равновесии число электронов, переходящих из
валентной зоны в зону проводимости, должно быть равно числу
рекомбинаций, при которых электроны переходят из зоны проводимости
в валентную зону. Вероятность перехода электрона под влиянием
теплового движения из валентной зоны в зону проводимости про-
д
порциональна множителю Больцмана е кв т . Число же
рекомбинаций электронов и дырок пропорционально произведению netih.
Поэтому в тепловом равновесии
_ д
Ае
kBT
Bnenh,
где Л и В — постоянные коэффициенты.
Для полупроводника с собственной
пе — nh) из (4.26) следует:
д
' 2kB T
(4.26)
проводимостью (когда
(4.27)
127

где п0 — 1/ —• Зависимость (4.27)
согласуется с (4.24).
Подставляя выражение (4.27) в (4.6),
получаем при пе = пЛ:
А
Х = %(/е~2"вТ f (428)
где
*o = **MI|*J + I*a)- (4.29)
Согласно (4.25) величина Я0 пропорциональна Тк (где k —
некоторое постоянное число). Поэтому, как видно из (4.28),
электропроводность зависит от температуры главным образом по
экспоненциальному закону. Из (4.28) следует, что при Т->0 удельная
электропроводность полупроводника стремится к нулю, а
удельное электросопротивление безгранично растет: р = — -> оо. С
увеличением температуры X увеличивается, а р уменьшается.
Измеряя на опыте зависимость Я от 7\ можно согласно (4.28) определить
ширину запрещенной зоны Д. Если по оси ординат отложить In к,
а по оси абсцисс —, то из (4.28) тангенс угла наклона прямой
1пЯ = 1пЯ0--^А_1 (4.30)
равен —йт— (рис. 81). Определенные таким образом значения
ширины Д запрещенной зоны между валентной зоной и зоной
проводимости приведены для некоторых полупроводников в таблице 8.
Таблица 8

Полупроводник
Д, эВ
Sn (серое)
0,1
Ge
0,7
Si
u
Cu.O
1,4—1,8
ZnO
2,2
§ 23. ВЛИЯНИЕ ПРИМЕСЕЙ. НЕСОБСТВЕННАЯ
ПРОВОДИМОСТЬ
У полупроводника с примесями положение химического
потенциала зависит от концентрации примесей, расположения
примесных уровней и температуры. Условие электронейтральности
приводит к равенству
пе + пд = пп + nhD, (4.31)
где пА — концентрация электронов на акцепторных уровнях,
ln~h i
Рис. 81
128

nhD — концентрация дырок на донорных уровнях. Равенство
(4.31) означает, что сумма числа электронов в зоне проводимости
и числа электронов, захваченных акцепторами, равна сумме числа
дырок в валентной зоне и числа дырок на донорных уровнях.
Величины пА и nhD можно определить следующим образом.
Вероятность найти па электронов в состоянии с энергией Еа
определяется выражением
_ (£а -»"а
Wa=cgae W , (4.32)
гДе Sa — кратность уровня Еа. Из (4.32) и условия нормировки
2 Wa = 1 (4.33)
получаем:
Из (4.34) и (4.32)
.у _ (Еа -I) "g
% 8<хе kBT
(4.34)
{Еа -D '><
'а
V _|£ос ~ыпа
£ 8а е "ВТ
Среднее число электронов определяется выражением
« = 2«А- (4-36)
а
Подставляя сюда значение Wa из (4.35), получаем:
п = — . (4.37)
s^««
*дГ
В случае электронов па равно либо 1, либо 0. Поэтому из (4.37)
следует:
" = яя-С • <4'38)
ft
Кратность пустого донорного уровня равна 1, т. е. g0 = 1.
Кратность, донорного уровня, занятого одним электроном, равна 2,
т. е. gi = 2 (так как электрон может оказаться на данном уровне
либо с положительной проекцией спина f, либо с отрицательной
5 М. С. Свирский 129

проекцией спина |). Поэтому из (4.38)
"D 1
ND j Ep-t
-в kB Т + 1
(4.39)
где ND — концентрация донорных примесных атомов, ED —
энергия донорного уровня.
Из (4.39)
nhD _ j _ nD
Nn Nn l-ED
(4.40)
2e"BT +1
В случае акцепторного уровня go — 2 (это обусловлено тем,
что неспаренный электрон акцептора может иметь либо
проекцию спина |, либо проекцию спина |). Так, нейтральный
трехвалентный примесный акцептор, находящийся в
полупроводнике с четырехвалентными атомами, может захватить один
электрон из валентной зоны. До захвата неспаренный электрон
трехвалентного акцептора может находиться в одном из двух
возможных спиновых состояний. После захвата электрона из валентной
зоны имеется одно состояние со спаренными электронами с
противоположными проекциями спинов (возможные возбуждения муль-
типлетности, требующие значительных энергий, не
учитываются). Поэтому gi = 1. Подставляя значения g0 и gx в (4.38),
получаем:
гА 1
NA ea-i
2еквГ +1
(4.41)
где NА — концентрация акцепторных примесных атомов, Ед —
энергия акцепторного уровня.
Подставляя значения пА, nhD, ne и nh из (4.41), (4.40), (4.17)
и (4.18) в (4.31), получаем:
С g+л)
2еквГ +1 . 2е "в +1
где
v«-2 *;■*] , (4.43)
v„ = 2
h2
/2nkB Tnt/Л V»
/i2
130

В случае полупроводника n-типа, когда пд = 0, из (4.42)
следует:
квТ
vhe
(A+D
kBT
+
Nr
2ekBT + \
(4.44)
При низких температурах, когда -r^f
только второй член в правой части (4.43):
t
v„e
Отсюда
t \2
kBT
ED
Z-Ep
2e kB T + 1
> 1, можно оставить
(4.45)
N,
Ed
Ke"*T) +±ekBTe><BT_/:D_ekBT=0i
2 2v„
Решение уравнения (4.46) имеет вид:
kBT 1
е = — е
4
&N,
\Bd\
— 1+1/ 1 + —- е "в т
(4.46)
(4.47)
где учтено, что ED-=—\ED\ (донорный уровень находится под
дном зоны проводимости (см. рис. 45). При Т -*- 0, когда
ed\
8N,
kBT
»1,
из (4.47) следует:
kBT
или
4 V ve
е 2Авг
С"-||Яд1 + *вГ1п
I/?
_±|£
(4.48)
(4.49)
(4.50)
Таким образом, при Т -*■ О химический
потенциал £ находится посередине
между донорным уровнем и дном зоны
проводимости (рис. 82). Это обусловлено тем,
что в данном случае появление
электрона проводимости связано с уходом
электрона не из валентной зоны, а из донор-
ного уровня.
При повышении температуры, когда
[£р|
-е*вГ«1,
8N,
i
!
ГУ
^
1
ш
щ
"е
(4.51)
Рис. 82
131

из (4.47) следует:
kBT ND
е «-f, (4.52)
или
l~kBT\n^-. (4.53)
Отсюда видно, что при низких температурах химический
потенциал полупроводника «-типа расположен близко к дну зоны
проводимости.
При ND > ve из (4.53) вытекает, что £ > 0. Следовательно,
в этом случае химический потенциал расположен, так же как в
металлах, выше дна зоны проводимости и поэтому приближение
(4.14) может оказаться неприменимым. В этом случае согласно
(4.7)
hVjSdE {* x''dx
пе = Ае\ ~в^Г = К (квТуи -^— (4.54)
JekBT + l J' +1
о о
Е t
где х — -£~¥> £i = ~$Г¥ • ^Ри сильном вырождении из (4.54)
следует, что уровень Ферми понижается с ростом температуры1.
При ND < ve из (4.53) следует, что £ < 0, и поэтому
химический потенциал расположен ниже дна зоны проводимости. При
повышении температуры величина v, растет и химический
потенциал перемещается из положения, указанного на рисунке 82, вниз.
При £ = —\ED\ химический потенциал пересекает уровень
доноров. Как видно из (4.53), это происходит при температуре
1 D —
kB\n^
В ND
(4.55)
При Д — 0,01 эВ, Nd ~ 10,в — и те ~ 10~2' г температура Тп
см3
имеет порядок величины 10К. Дальнейшее увеличение
температуры приводит к возбуждению электронов из валентной зоны (см.
первый член в правой части 4.44), и химический потенциал
перемещается по направлению к середине запрещенной зоны, где он
должен находиться в случае собственной проводимости. Схематично
* См. (39.13) из [4].
132

зависимость химического потенциала от температуры в случае
полупроводника /г-типа показана на рисунке 83.
Аналогично в случае акцепторных уровней (когда ND = 0)
при Т -*■ 0 имеем;
~Wf _ ! -,f&NA
0ывт
(4,56)
или
g^~A — kB T In
ll/:
8Л^_
Е А + Cj,
(4.57)
Таким образом, при Т -> О химический потенциал
полупроводника р-типа находится посередине между потолком валентной зоны
и акцепторным уровнем.
В области низких температур химический потенциал
расположен вблизи потолка валентной зоны. С увеличением
температуры химический потенциал
увеличивается,
(ср. с 4.55)
При температуре
Тл =
кв In
(4.58)
химический потенциал
пересекает акцепторный уровень. При
дальнейшем увеличении Т
оказываются существенными
переходы электронов из валентной
зоны в зону проводимости и
химический потенциал
перемещается к середине запрещенной
зоны. Схематично температурная
зависимость химического
потенциала в случае полупроводника
р-типа показана на рисунке 84.
В области низких
температур температурная зависимость
несобственной проводимости
невырожденного примесного
полупроводника определяется в
основном так же, как и в случае
собственной проводимости,
температурной зависимостью кон-
«J
■J д^
\*^го
шв
Рис. 83
Hj
■•-/
ш>
К(т)
-•■ -•—
Ш1
h
Elf
Ям
Рис. 84
J 33

центраций электронов и дырок. Из (4.17), (4.18), (4.43), (4.49) и
(4.56) следует:
п. - УЩ {2nkBTmelh*yn Г1 Ed I/ 2*s r, (4.59)
_ EA~Ev
nh = VNA(2nkBTmhlhyue ^т
(4.60)
А V-"-""*B ■' "
Из (4.59) и (4.5) получаем для электропроводности
полупроводника /г-типа:
-\ED\
К = К*е 2kBT:
(4.61)
где
(4.63)
(4.64)
2nkB Ттй
В случае полупроводника р-типа из (4.5) и (4.60) следует:
Ел-Е,.
где
К
= Vе
, = ^нУЩ\
Шп:
\п%р =
= 1пХоя
*пКр-
2kBT (
'2nkBTmh\'L
\Е»\
ШВГ
Ед Ev
2kBT
Из (4.61) и (4.64)
(4.65)
(4.66)
Отсюда видно, что In %п и In X линейно зависят от — и
возрастают с увеличением температуры (см. участок / на рисунке 85).
По наклону прямой / на том же рисунке можно определить
величину ED (или ЕА — Ev в случае акцепторов).
При дальнейшем увеличении температуры, когда большинство
электронов, находившихся на донорных уровнях, переходят в
зону проводимости, концентрация пе имеет порядок величины ND
,i и почти не зависит от температуры. В этой
области температурная зависимость
электропроводности полупроводника
определяется согласно (4.5) в основном
температурной зависимостью подвижности.
Если концентрация примесей мала, то
подвижность токоносителей определяется
^_ в основном рассеянием на фононах. С по-
i. вышением температуры она уменьшается,
Т что приводит к уменьшению In Я (см.
рис. 85 участок // на рисунке 85).
134

В случае значительной концентрации примесей существенное
влияние на подвижность токоносителеи может оказать рассеяние
на примесях. При рассеянии на ионизированных примесях
согласно формуле Резерфорда1 сечение рассеяния обратно
пропорционально v4 (где v — скорость электрона). Так как число
столкновений, которые могут существенно изменить импульс электрона,
обратно пропорционально сечению рассеяния, то /гст~ v*. Поэтому
L яст/
V V
V
(4.67)
В случае значительной концентрации примесей длина
свободного пробега / обратно пропорциональна концентрации
примесей и практически не зависит от температуры. Поэтому
температурная зависимость т определяется температурной зависимостью и.
Если электронный газ является вырожденным, то v ~ vF и
время релаксации т не зависит от температуры.
В случае невырожденного электронного газа, когда у~ и ~ 7"/«
(см. 3.75), из (4.67) следует:
Это приводит согласно (3.71) к зависимости:
(4.68)
(4.69)
Таким образом, в этом случае после области / может наблюдаться
рост In X с увеличением Т. При дальнейшем увеличении
температуры, когда оказываются существенными переходы электронов из
валентной зоны в зону проводимости, главный вклад в
электропроводность полупроводника дает собственная проводимость (4.28).
Этот случай схематично показан на участке /// (см. рис. 85).
Более крутой ход участка /// по сравнению с участком /
обусловлен неравенством Д> \ED\ (или А > Ед — Ev в случае
акцепторов). Так, в случае кремния А — 1,1 эВ, \ED\ ~ 0,05 эВ для
пятивалентного донора и Ед — Ev ~ 0,08 эВ для трехвалентного
акцептора. На рисунке 86 схематично показана зависимость In Я
1
- для кремния, содержащего примесь
от
1пЛ
фосфора (nD ~ 4,7 • 101
Как видно
из рисунка, эта зависимость
характеризуется такими же тремя участками, что и
зависимость, схематично показанная на
рисунке 85.
1 См., например, [2], § 82.
f
Рис. 86
135

§ 24. ЭФФЕКТ ХОЛЛА В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Возникновение эффекта Холла при электронной проводимости
показано на рисунке 67. Появление разности потенциалов Холла
в случае дырочной проводимости иллюстрирует рисунок 87.
Сравнение этих двух рисунков показывает, что электроны и дырки
движутся под влиянием магнитного поля к одной и той же боковой
стороне образца.
Выражение для постоянной Холла в полупроводнике может
быть получено следующим образом. Плотность электронного тока
равна
]е = neeve,
где согласно (3.70) при Н Ф 0
~* /-* 1 г-* -м
Из (4.70) при Я, = Яу = 0, Нг = Н следует:
Ux = ПееРе [fx + 7 ^>'Я)'
\еу = nee\ie[sy—~vexH\.
Аналогично из (4.71) следует:
Vex = \^e(^x +^VeyH),
(4.70)
(4.71)
(4.72)
Vey =\ye[Sv — -VexH
(4.73)
Подставляя значения vex и vey из (4.73) в (4.72), получаем с
точностью до членов, линейных относительно Н, следующие
выражения:
g i/++X++ +
]еу = пееце ($у — -Ццеё\
(4.74)
При наличии электронной
и дырочной проводимости
вместо (4.74) имеем:
L = («Л + ппЧН) $х +
+ г(«Ж + %^)<?уя,
Рис. 87
(4.75)
136

/у = (пееце + nheh^ Sy~-(пеец* + лАеАц*)§XH.
В случае эффекта Холла, когда /у = .0, из второго уравнения
(4.75) следует:
S ю1 "M + WHV.I g H (476)
Подставляя значение для 8у из (4.76) в первое равенство (4.75),
получаем (в линейном по Н приближении):
* -- '* (4.77)
nee\ie + "лел^л
Из (4.76) и (4.77)
1 Пвф* + nhehV,l
&v = ]ХН. (4.78)
с (пгецг + "л^лЫ2
Сравнение с (3.95) приводит к следующему выражению для
постоянной Холла1:
R - -i ^"^ , (4.79)
ceft («e I Не I + «А(М)2
где учтено, что е = —ей.
В случае электронной проводимости (когда nh — 0 и пе = п)
из (4.79) следует:
Re = _!_ < 0, (4.80)
пеес
что внешне совпадает с выражением (3.97), полученным для
постоянной Холла в металлах. Однако, так как в полупроводнике
с электронной проводимостью концентрация электронов на много
порядков меньше, чем в металлах, то постоянная Холла в
полупроводниках может оказаться на много порядков больше, чем в
металлах. Увеличение постоянной Холла с уменьшением
концентрации электронов проводимости обусловлено тем, что при меньшей
скорости электронов они сильнее отклоняются магнитным полем.
В случае дырочной проводимости (когда пе = 0 и пЛ = п)
из (4.79) следует:
#А = —^ > 0. (4.81)
nhehc
1 Более строгое рассмотрение на основе (3.136) приводит к замене в (4.79)
К на Н Нн И П На Ре VeH (W »еН = Ъ "^~ [Г (г+ 2)]'' 3 ' °ПреДеЛЯеТ
зависимость \х от энергии по формуле \i — ц0 Ег~'''; в частности, при г = 0
получаем: « 1,18).
и»
»37

Таким образом, в случае дырочной проводимости постоянная
Холла положительна.
В общем случае знак постоянной Холла зависит от знака
разности в числителе (4.79). При nh\i2h < ne\i2e постоянная Холла
отрицательна. Если же nh)x.\ > ne\i2h, то постоянная Холла
положительна. Этим объясняется положительный знак постоянной Холла
у ряда проводников (см. таблицу 7).
В полупроводниках, у которых пе и nh экспоненциально
зависят от температуры, постоянная Холла может существенно
зависеть от температуры. При этом для одного и того же
полупроводника в одной области температур может оказаться, что пп\кгн >
> пец2е и R > 0, а в другой области температур — что пЛи| <
< пе\к2 и R < 0.
При достаточно высоких температурах, когда примесная
проводимость мала по сравнению с собственной проводимостью и
пе « nh, из (4.79) следует:
R =
W? - rf
nhehc (| це | + Ил )2 ' '
Отсюда видно, что в области достаточно высоких температур
знак постоянной Холла зависит от соотношения подвижностей
дырок и электронов
§ 25. ДЫРОЧНО-ЭЛЕКТРОННЫЙ ПЕРЕХОД
Дырочно-электронный переход представляет собой внутреннюю
область монокристалла, в которой граничат области с дырочной
(р) и электронной (п) проводимостью. При равновесии областей с
различным типом проводимости их химические потенциалы
должны быть одинаковыми. Это следует из известного
термодинамического условия равновесия двух.фаз относительно каждого из
компонентов1.
На рисунке 88 показаны
область проводимости р-типа и
область проводимости я-типа до
установления равновесия между
ними. В этом случае £° > £°.
В п-области, кроме электронов,
являющихся основными токоно-
сителями, имеются также дырки,
являющиеся здесь неосновными
токоносителями. Концентрацию
основных токоносителей в п-об-
а а
о о а б о
а а а в в
■е в^ ■& ■& О
О О
tt
-и
Рис. 88
ласти обозначим через пе, а кон-
1 См., например, (86.3) в [7].
138

• • •
■» 1
^p
О О О О О О j—^
1 dp
Г*-"~
0
^V 1
+>^ • • • • •
1-е- -о- -©-■©•'©-
j "
1 "
dn °
1
0 О
X
in
Рис. 89
центрацию неосновных токоносителей — через nh. Аналогично в
р-области имеются основные токоносители (дырки) с
концентрацией nhp и неосновные токоносители (электроны) с концентрацией
пер. Соотношение концентраций основных и неосновных
токоносителей можно оценить, используя закон действующих масс
(4.22):
V*ft = nepnhp. (4.83)
Ю2в _L и „ io" _L т0 п „ 10ю _L .
Если, например, «елА
СМ" СМ" СМ"
Аналогично при /гй_ ~ 101в — имеем «.,„~ 1010—. Следователь-
у см3 см3
но, в рассматриваемом случае концентрация электронов в р-обла-
сти на шесть порядков меньше концентрации электронов в
л-области. Концентрация дырок в n-области на шесть порядков меньше
концентрации дырок в р-области. Поэтому возникает диффузия
электронов из «-области в р-область и дырок из р-области в п-
область. При этом «-область заряжается положительно, а р-
область — отрицательно. Это приводит к понижению
химического, потенциала в «-области и к повышению химического
потенциала в р-области. Динамическое равновесие устанавливается, когда
химические потенциалы |„ и | оказываются одинаковыми (рис. 89).
При этом между областями «-типа и р-типа возникает контактньй
двойной электрический слой из положительно заряженных ионов
донорной примеси и отрицательно заряженных ионов
акцепторной примеси. Плотность положительного заряда в слое
толщиной dn равна — eND. Плотность же отрицательного заряда в слое
толщиной dp равна eN А. Заряд в цилиндре высотой^ и толщи-
139

ной основания 1 см2 равен — eN0dn. Аналогично в цилиндре
высотой dp и площадью основания 1 см2 имеется заряд eNAdp.
Полный заряд двойного слоя равен нулю. Поэтому
-eNDdn + eNAdp = 0. (4.84)
Отсюда
NDdn = NAdp. (4.85)
Полная толщина двойного слоя равна сумме dn и dp:
d = d„ + dp. (4.86)
Из (4.85) и (4.86)
dn - -~j, dp = —*—. (4.87)
1+ —- 1+ —-
"a "d
ND
Отсюда видно, что при — ^> 1 значение d„ близко к нулю,
"а
a dp-*- d и объемный заряд сосредоточен в основном только в
низколегированной области (в данном случае в р-области).
Согласно уравнению Пуассона
£Ь-- ?Р.-?«**. 0<*<d,
дх% г е (4.88)
_^ = р =— — eNA, —dp<x<0,
dxi в е ^
где ф„ — потенциал в «-области, фр — потенциал в р-области,
е — диэлектрическая постоянная. Интегрируя уравнение (4.88),
получаем:
Фа = — eNjjX' + ^x + c»,
6 2л (4"89)
% = — — еЛГ .а;2 + с3х + с4,
где Ci, c2, с3, с4 — постоянные интегрирования.
Эти постоянные определяются из граничных условий:
Фя = Фр ПРИ х~0,
дх
2Н- - 0 при х = d„, (4 90)
^ = 0 при * = — dp.
«Эх
Первое из этих условий обеспечивает непрерывность потенциала
на границе между р- и «-областями. Второе и третье означают
140

равенство нулю напряженности электрического поля
на концах двойного слоя.
Из (4.90) и (4.89) следует:
('•—Э
сг — с4>
4Л eNDdn + Cl = 0,
(4.91)
^-eNAdp + c3 = 0.
Подставляя значения си са, с4 из (4.91) в (4.89), получаем:
Фя = — вЛ/сдса — — e#Dd„* + с2,
<4'92)
% = еЛ^х2 еЛ^х + с2.
8 6
Разность потенциалов Дф между концами двойного слоя
определяется выражением
Аф = Фл (dn) - <?р (dp). (4.93)
Отсюда и из (4.92)
дф = _ 2Л е (ND й\ + NA df). (4.94)
Подставляя в (4.94) значения dn и dp из (4.87), получаем:
d=1/-^E^ + ^ (4.95)
У 2ке NDNA
При равновесии плотность электронного тока ; из «-области в
р-область равна плотности электронного тока / из р-области в
п-область:
inP = iPn- (4-96)
Аналогично
/й, рп = /й, пр, (4-97)
где \h np — плотность дырочного тока из р-области в п-область,
In, пр— плотность дырочного тока из я-области в р-область.
Плотность тока \рп определяется согласно (4.1) выражением
iPn = nepeveg. (4-98)
Здесь veg — средняя скорость диффузии электрона из р-области
к контактному слою. Величина veg равна
veg = k, (4.99)
141

где Le — средняя длина, на которую диффундирует электрон в
р-область за время хе его жизни. Из (4.98) и (4.99)
. __ пер | е\ Le
]рп ' •
(4.100)
Аналогично
lh, пр ~~
nnehLh
(4.101)
где Lh — средняя длина, на которую диффундирует дырка в п-
области к контактному слою за время хр ее жизни. Если р-область
соединить с анодом, а /г-область — с катодом внешнего источника
напряжения V (прямое направление), то потенциальный барьер
для основных токоносителей уменьшается от ф0 до ф0 — eV (рис. 90).
Так как вероятность преодоления потенциального барьера
высотой U пропорциональна e~UlkB\ то снижение потенциального
барьера на величину eV приводит к увеличению плотности тока
основных токоносителей в eeV/ в т раз:
1пР = !
рп
рп
h, -e
еУ
kBT
пр"
(4.102)
Плотности токов неосновных токоносителей ~jpn и )h np при этом
не изменяются, так как их значения, как видно из (4.100) и (4.101),
не зависят от высоты потенциального барьера р — п-перехода.
Следовательно, плотность тока в прямом направлении (прямой
ток) равна
еУ
(iPn + h,np)-is(ekBr-l), (4-103)
/ = 1пр + к,
рп
где
Is
пер\е\ Le I nhehLn
(4.104)
Если р-область соединить с катодом, а «-область — с анодом
внешнего источника напряжения V (обратное направление), то
потенциальный барьер для основных токоносителей увеличится
—■ -•
О)
1
S?
'
OOOOI
з—v
^
41
V
ЬП
1
Рис. 90
Рис. 91
142

от фо до фо -+- eV (рис. 91). Поэтому
плотность тока, обусловленного основными токо-
eV
Л,
в е
kBT
раз:
квТ
1), (4.105)
носителями, уменьшится
eV
/об = /, (е
где /об — плотность обратного тока.
На рисунке 92 схематично показана
вольт-амперная характеристика р —
«-перехода, вытекающая из (4.103) и (4.105).
Как видно из этого рисунка, зависимость
плотности тока от напряжения является
нелинейной и несимметричной. Согласно
Рис. 92
/об
Если V
i
что
/об
0,2 В и Г
- е° ~ 103.
300 К, то
кв Т
eV
— 1
kBT
(4.103) и (4.105)
(4.106)
8, и из (4.106) следует,
Отсюда видно, что р
имеет
п-переход
высокий коэффициент выпрямления. Это свойство р — п-перехода
широко применяется в различных приборах и радиоэлектронных
устройствах.
На рисунке 92 показано также резкое увеличение тока в
случае достаточно большого обратного напряжения (участок П); это
увеличение тока обусловлено пробоем р — n-перехода. Пробой
р — п-перехода может наступать в результате выделения тепла и
повышения температуры, ударной ионизации атомов кристалла,
или туннельного просачивания основных токоносителей через
тонкий потенциальный барьер (для р — n-переходов в Ge и Si
ширина перехода может оказаться порядка 10_в см).
pV
При -/V» 1 из (4.103) и (4.105) имеем:
Ко 1
eV
(4.107)
/ ~ he a .
/об ~ — /V
Отсюда и из соотношений (4.102) и (4.104) следует, что плотность
прямого тока определяется основными токоносителями, а
плотность обратного тока — неосновными токоносителями. При
высоких температурах, когда почти все доноры и почти все
акцепторы ионизированы, концентрация основных токоносителей мало
меняется с повышением температуры. Однако согласно (4.27)
концентрации дырок в валентной зоне и электронов в зоне проводимо-
143

сти увеличиваются с ростом температуры. Поэтому при высоких
температурах плотность неосновных токоносителей может
оказаться по порядку величины, сравнимой с плотностью основных
токоносителей, что приводит к потере выпрямляющих свойств р — п-
перехода. Так, для р — я-перехода в германии с А ~ 0,6 эВ
предельная температура, до которой сохраняются выпрямляющие
свойства р — /г-перехода, примерно равна 75°С. Для р — и-пере-
хода в кремнии с А ~ 1,1 эВ предельная температура примерно
равна 150 °С.
§ 26. ФОТОПРОВОДИМОСТЬ
Одним из важных свойств полупроводников является
возможность изменения концентрации токоносителей под влиянием
света. Изменение проводимости, обусловленное светом, называется
фотопроводимостью. Величина фотопроводимости определяется
согласно (4.5) выражением
К =* е^Ме + eftMn/i, (4- Ю8)
где бпг и bnh — изменение концентрации электронов и дырок под
действием света. Для появления фотопроводимости необходимо,
чтобы частота света v удовлетворяла неравенству
ftv>8, (4.109)
где е — энергия, необходимая для образования токоносителей.
У полупроводников с собственной проводимостью е равна
ширине энергетической щели А между зоной проводимости и
валентной зоной. В этом случае Ьпе = bnh и из (4.108) следует:
У==еА(мА + 1 ^1)4- (4Л1°)
У полупроводников с проводимостью я-типа е равна разности
А, энергий дна зоны проводимости и донорного уровня. У
полупроводников с проводимостью р-типа е равна разности А2 энергий
акцепторного уровня и верхнего уровня валентной зоны.
Рассмотрим полупроводник с собственной проводимостью.
Число электронов, которое за время dt появляется в зоне проводимости,
определяется выражением
dN% - {gT + gj dt, (4.111)
где gT — число электронов проводимости, которые генерируются
в единицу времени за счет теплового движения, a g$ — число
электронов проводимости, которые генерируются в единицу
времени в результате освещения. Число электронов, которые
возвращаются за время dt из зоны проводимости в валентную зону,
определяется выражением
dJV2 = anenhdt = an\dt, (4.112)
где а — коэффициент рекомбинации.
144

В стационарном состоянии dNt — dN2, и из (4.111) и (4.112)
следует:
ёт + ёф^™2*- (4-ПЗ)
Отсюда
пе - VI (8т + «Ф)- <4Л14>
В отсутствие освещения £ф = 0, и из (4.114) следует:
п*>т= У^-ёт - (4-И5)
где пе т — равновесная концентрация электронов проводимости,
обусловленная тепловым движением.
Изменение концентрации электронов проводимости,
обусловленное светом, равно разности выражений (4.114) и (4.115):
Ч = пе — пе< т = ~ (VgT + gt, — VTT)- (4.116)
При относительно слабом освещении, когда g$ < gT, можно
использовать приближение
VI7Tei-VTr = VTT{VTV§-- i)-{-^.(4.ii7)
St I 2 VgT
Тогда
Дя> = ■ !!—. (4.118)
Величина £ф пропорциональна интенсивности света /:
£ф = £/, (4-119)
где & — коэффициент пропорциональности.
Из (4.119), (4.118) и (4.110) следует:
Ч = | Ъ«ь. 0»а + I J*«I) у== L (4-12°)
Таким образом, при относительно слабом освещении
фотопроводимость пропорциональна интенсивности света.
В случае относительно сильного освещения, когда g$ > gT ,
из (4.116) следует:
6/гг~т/£Ф. (4.121)
Из (4.121), (4.119) и (4.110) получаем:
Ч = елОу+Ы) YJ7. (4-122)
145

Таким образом, при относительно сильном освещении
фотопроводимость пропорциональна корню квадратному из
интенсивности света.
На опыте при сильном поглощении света иногда наблюдается
не увеличение, а уменьшение проводимости (отрицательная
фотопроводимость). Возможное объяснение этого явления заключается
в том, что электроны и дырки, генерируемые светом вблизи
поверхности, диффундируют внутри полупроводника, где они ускоряют
процессы рекомбинации, уменьшая тем самым концентрацию
токоносителей.
Сильное поглощение света не всегда сопровождается
фотопроводимостью. Это объясняется тем, что при поглощении фотона
вместо новых токоносителей (электронов проводимости и дырок)
могут появиться возбуждения (экситоны), распространяющиеся
по кристаллу без переноса электрического заряда. Если, например,
после поглощения фотона электрон остается в атоме (или
молекуле) и переходит с некоторого энергетического уровня Е\ на более
высокий энергетический уровень Е2, то энергия возбуждения
Е2 — Ei не остается локализованной в этом атоме (или молекуле).
В силу трансляционной симметрии кристалла энергия
возбуждения атома (или молекулы) распространяется через кристалл от
одного атома (или молекулы) к другому. При этом атомы остаются
нейтральными и электрический заряд не переносится.
Понятие об экситонах было введено советским физиком
Я- И. Френкелем в 1931 г. при объяснении поглощения света в
кристаллических диэлектриках.
Экситоны появляются также, если электрон, возбужденный в
зону проводимости, и дырка в валентной зоне образуют под
влиянием взаимного притяжения связанную систему. Такая система
может перемещаться по кристаллу, осуществляя перенос энергии
без переноса электрического заряда — экситоны Ванье — Мотта
(1937—1938 гг.)
Экситоны Френкеля отличаются от экситонов Ванье — Мотта
величиной радиуса связанного состояния. В случае экситона
Френкеля электрон и дырка находятся в одной и той же молекуле.
Поэтому такой экситон называется экситоном малого радиуса. В
случае экситона Ванье — Мотта радиус связанного состояния может
оказаться значительно большим периода кристаллической
решетки. Поэтому такой экситон называется экситоном большого
радиуса. В этом случае на взаимодействие электрона и дырки
существенное влияние оказывает среда. Учет этого влияния может быть
произведен путем введения диэлектрической постоянной среды е
в потенциальную энергию взаимодействия электрона и дырки:
V(r)=--, (4.123)
ЕЛ
где г — расстояние между электроном и дыркой. Выражение
(4.123) позволяет использовать при рассмотрении экситона Ванье —
146

Мотта решение для атома водорода, известное из квантовой
механики1, в котором следует заменить е на -^=, а т — на приведенную
уе
массу
_да_, (4.124)
me+mh
где те и тЛ — эффективные массы электрона и дырки. При этом
энергия экситона Ванье — Мотта оказывается равной
Еп№ ) = ; -^j— +Д, (4.125)
где первый член равен кинетической энергии движения центра
масс экситона с волновым вектором к, второй — энергии
движения электрона и дырки около общего центра масс (п = 1,2, 3, ...),
а третий — ширине запрещенной зоны (т. е. энергии, необходимой
для перевода электрона в зону проводимости). Как видно из (4.125),
при k = О уровни энергии экситона Ванье — Мотта расположены
в запрещенной зоне под дном зоны проводимости. Взаимное
расположение дискретных уровней экситона подобно расположению
дискретных уровней в атоме водорода. Однако абсолютная вели-
чина энергии уровней экситона в е2 раз меньше, чем в случае
атома водорода (т — масса электрона). Если, например, mnp ~
~ —, а е ~ 10, то энергия уровней уменьшается в 103 раз.
Радиус гп стационарной орбиты в атоме водорода2 обратно
пропорционален те2. Поэтому радиус Rn экситона Ванье — Мотта равен
Д„ = е-^-гя. (4.126)
Отсюда при указанных выше оценках е и тпр следует Rn ~
~ 102г„, что значительно больше периода кристаллической
решетки (как и должно быть для «экситона большого радиуса»).
Первое экспериментальное подтверждение существования во-
дородоподобного спектра экситона вблизи края собственного
поглощения было дано советским физиком Е. Ф. Гроссом и его
сотрудниками (1952 г.).
Из (4.125) видно, что экситон является квазичастицей с энер-
гией Е„ (k) и квазиимпульсом hk. Такое описание движения
экситона применимо только в том случае, если неопределенность Ak,
обусловленная процессами рассеяния (например, на фононах),
мала по сравнению с k. Согласно соотношению неопределенностей3
1 См., например, [2].
2 Т а м же.
3 Т а м же.
147

Ах ~ —. Если Ak сравнимо с размером зоны Бриллюэна, то А*
Ak
настолько мало, что экситон фактически локализован около одной
молекулы или около двух молекул. В этом случае движение экси-
тона состоит из случайных перескоков между молекулами. Такие
перескоки приводят к миграции энергии возбуждения по
кристаллу (также без переноса электрического заряда).
§ 27. ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
В случае невырожденного газа токоносителей теплоемкость,
отнесенная к одному токоносптелю, может оказаться значительно
большей величиной, чем в случае вырожденного электронного газа,
рассмотренного в § 21. Поэтому в полупроводниках
дифференциальная абсолютная термо-ЭДС может оказаться на несколько порядков
больше, чем в металлах.
В случае квадратичного закона дисперсии согласно (3.120)
и (3.50)
ji«.«fim (4,27)
5
Отсюда и из (3.210) следует:
а/о
^E(E-Q^~-^\N(E)dE
Кг _ _0
Кй~ " f df\
0
(4.128)
Подставляя значение — из (4.128) в (3.245) и учитывая (3.51),
а0
получаем:
t JtEV'<e-»(-i)rf£
о
ОС
.г
Если т зависит от энергии согласно (3.228), то из (4.129) следует:
оо
(W-4) (-!)«*
еТ
« = ^г . (4.130)
J
£'« ( _ Щ dE
\ дЕ
о
148

Введем обозначение:
Тогда из (4.130)
f'=!£'(-!)d£-
0
еТ \Fr+. 7
(4.131)
(4.132)
В случае полупроводника с невырожденным электронным газом,
когда можно пользоваться приближением (4.14), из (4.131) следует:
Fr^\Er\-^e квТЫЕ = ~;еквТ\Еге к*т dE, (4.133)
о в о
или
с _
ч
Fr = е кв т (квТу \ p'e-8dp\ (4.134)
£
где р = -г—лг. Интеграл в правой части (4.134) равен Г (г -f 1).
Поэтому
F, = е *в Г (6в7у Г (г + 1). (4.135)
Из (4.132) и (4.135)
Согласно (4.17)
е \ kBT
In. »-*•
(4.137)
kBT 2 (2д£в Гт^)3/г
Подставляя значение , т из (4.137) в (4.136), получаем:
я в j
kR I 2 (2nkR Tme)'l, \
a = _JL(V + 2 + In * )• (4-138)
e \ neh.3 J
При я ~ 10" —, T ~ 300 К и m, ~ ш из (4.138) находим
знаем3
чение а ~ Ю-3 , что на три порядка выше значения а из
К
(3.274) для металлов. Этим определяется применение
полупроводников для термоэлектрического преобразования тепловой энергии
в электрическую.
149

Основной вклад в развитие теории и разработку принципов
устройства термоэлектрических приборов внес акад. А. Ф. Иоффе.
Первые модели термоэлектрогенераторов изготовлялись из PbS и
SbZn с небольшими примесями олова и висмута. Мощность первых
термоэлектрогенераторов, изготовленных указанным выше
способом, была порядка 1,6—3 Вт. В настоящее время имеются
термоэлектрогенераторы мощностью порядка 1 кВт. Для питания
аппаратуры радиометеорологических станций и искусственных
спутников Земли применяются термоэлектрогенераторы, преобразующие
в электрическую энергию тепло, выделяющееся при радиоактивном
распаде элементов. Непосредственное преобразование тепловой
энергии в электрическую энергию осуществляется в атомном
реакторе «Ромашка» (построен в 1964 г.) мощностью 500 Вт.

Глава V
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
§ 28. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИАМАГНЕТИЗМА
В диамагнетиках магнитный момент М и напряженность
магнитного поля Н связаны равенством
М = и Д (5.1)
где %d < 0. Отрицательность диамагнитной восприимчивости ка
означает, что М направлен против Н. Диамагнетиками являются
инертные газы, ряд металлов (медь, серебро, золото, бериллий,
цинк, кадмий, ртуть, бор, галлий, индий, свинец, висмут и др.),
полупроводников (серое олово, германий и др.) и соединений
(бензол, антрацен и др.).
Согласно классической теории причиной диамагнетизма
является вращение электронов, индуцируемое внешним магнитным
полем. Угловая скорость этого вращения определяется теоремой Лар-
мора (1897 г.):
со,
= е-Н.
2тс
(5.2)
Так как у электрона е < 0, то из (5.2)
следует aL ff H. Поэтому дополнительная
скорость вращения электронов Аи;
образует правый винт с Н (рис. 93).
Направление индуцированного тока (т. е.
направление положительных зарядов)
образует левый винт с Я. Так как магнитный
момент образует правовинтовую систему
с круговым током1, то индуцированный
магнитный момент AM направлен против
Н, что и приводит к диамагнетизму.
Для вычисления намагниченности,
обусловленной дополнительным вращением
* См. [5], с. 256.
Рис. 93
151

электронов (5.2), используем соотношение между магнитным момен-
том ^ и моментом количества движения1 К:
* = -Lx <5-3>
Для круговой орбиты, когда г ]_ v и v = cor, имеем: К = rmv.
Поэтому из (5.3) следует:
|i-£«. (5.4)
Подставляя в (5.4) значение со из (5.2), получаем следующее
выражение для индуцированного магнитного момента:
Направим ось z вдоль Я. Тогда г2 = х2 + у2, и из (5.5) следует:
И'-- '<" + *>.!/. ' (5.6)
Магнитный момент атома, имеющего Z электронов,
определяется выражением
•*«-£* 2^+#--5^+y^- (5-7)
где хг и у2 — средние значения *2 и у2.
Если распределение электронов в атоме является сферически
симметричным, то выполняется равенство х2 = у2 — г2 = — а2
(где а2 — среднее значение квадрата расстояния электрона от
центра атома). При этом (5.7) принимает вид:
ц=— ^-=-Н. (5.8)
Умножая (5.8) на число N атомов, содержащихся в единице
объема, получаем выражение для намагниченности:
М = NZfa% И. (5.9)
бтс*
Из (5.9) и (5.1) следует формула Ланжевена (1905 г.) для
диамагнитной восприимчивости (с учетом поправок Паули):
*—"55Г- (5Л0)
Для оценки рассмотрим молярную диамагнитную
восприимчивость Kd<A1. Подставляя в (5.10) вместо N число Авогадро NА, а
1 См. (6.87) из [5].
152

вместо е, т и с их численные значения, получаем
см
к
-2,832
ю10 — zee
"■ м моль
Так как а имеет у атома порядок величины 10~8 см, то к
см;
(5.11)
Таблица 9
2 • ю-6-^-. Для сравнения в таблице 9 приведены эксперимен-
моль
тальные значения диамагнитной
восприимчивости xd M для
инертных газов.
Из таблицы 9 видно, что
формула (5.11) правильно описывает
порядок величины диамагнитной
восприимчивости. Качественно
подтверждается также вытекающий
из (5.11) рост диамагнитной
восприимчивости с увеличением
порядкового номера Z элемента.
Вещество
Не
Ne
Ar
Кг
Хе
z
2
10
18
36
54
хю«^1
МОЛЬ
—1,9
—7,2
—19,4
—28
—43
§ 29. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ДИАМАГНЕТИЗМА
В § 28 фактически содержится квантовое допущение о
существовании в атомах стационарных орбит. Поэтому более
последовательным является квантовое рассмотрение. Согласно квантовой
теории плотность электрического тока в магнитном поле
определяется выражением
J= Ji (<фgradф* — г|>* grad ф) — — А\ ф |2, (5.12)
1т
тс
где А — вектор-потенциал. Магнитный момент, обусловленный
током dl = / da, равен
dMz = - dIS = - /ф donp2, (5.13)
где do и S площади, показанные на рисунке 94, р, ф иг—координаты
цилиндрической системы.
Учитывая, что 2npdo = dV (где dV —
объем трубки радиуса р и сечения
da), можно (5.13) записать в виде:
dM^l-j^dV. (5.14)
Из (5.12) и (5.14) следует:
М2 =
dtp)
4тс .) \
~V£\\\*№ (5.15)
153

Как показывается в квантовой механике1, величина
г?1 4тс .1 V оф <5ф/
V
в случае водородоподобного атома есть магнитный момент, не
зависящий от напряженности внешнего магнитного поля:
Мг, 1 = тМ-в. (5-!6)
где т — магнитное квантовое число, \лв — магнетон Бора.
Что же касается
*... — £ K'+JW
у
то это слагаемое магнитного момента явно зависит от вектора-
потенциала. Направим ось z вдоль напряженности Н однородного
постоянного магнитного поля. Тогда
Лф=|Яр, Лр = Лг = 0. (5.17)
Учитывая (5.17), получаем:
A*...--^fp,l*r*'- (5.18)
v
Интеграл в правой части (5.18) является средним значением р2.
Поэтому
MZ,2 = -^LH, (5.19)
что в случае Z = 1 совпадает с (5.5). Таким образом, согласно
квантовой теории диамагнетизм атома обусловлен второй частью
плотности тока (5.12), явно зависящей от вектор-потенциала.
§ 80. ДИАМАГНЕТИЗМ ЛАНДАУ
Если электроны проводимости металла движутся в магнитном
поле, то согласно классической статистике магнитная
восприимчивость равна нулю. Этот результат обусловлен тем, что сила
Лоренца перпендикулярна к скорости электрона и поэтому она не
совершает работы. При этом распределение электронов по
уровням энергии остается таким же, как в отсутствие магнитного поля,
и магнитный момент оказывается равным нулю.
Решение проблемы диамагнетизма свободных электронов было
дано Ландау. В 1930 г. Л. Д. Ландау показал, что согласно кван-
1 См., например, [2], § 53.
154

товои теории магнитное поле изменяет
распределение уровней энергии. Эти
уровни можно найти, решая уравнение Шре-
дингера для электрона в постоянном
однородном магнитном поле. Для уровней
энергии получается выражение1
П+\) Ыс
Чт
, (5.20)
где &с --
\и
— циклотронная частота,
Рис 95
проекция импульса электрона на направление напря-
—>-
женности магнитного поля Я; квантовое число п принимает
целые неотрицательные значения (п — О, 1,2, 3, ...).
На рисунке 95 показаны уровни (5.20) при рг — 0. Для
сравнения на этом же рисунке слева показаны уровни непрерывного
спектра — (р\ -f pi) при Н = 0. Из рисунка видно, что в маг-
нитном поле уровни энергии оказываются дискретными, причем
в каждый такой дискретный уровень «стягивается» группа уровней
непрерывного спектра. При переходе на дискретный уровень
энергия электронов может возрастать, что приводит к диамагнетизму.
Для вычисления диамагнитной восприимчивости учтем, что2
дФ
М = —
дН'
(5.21)
где Ф — термодинамический потенциал. Согласно статистике
Ферми — Дирака
а
где а — номер квантового состояния8. Из (5.22) и (5.20)
(5.22)
ф = -У2 21п
t-
_1 + е
-4(n+JL)-
квТ
h4 '
~~2m
_
g, (5.23)
где g — кратность вырождения уровня (5.20), которая выражается
формулой4
g = !ii>r (5.24,
1 См., например, (57.12) в [2].
2 См., например, (20.15) в [13].
8 См., например, [4], § 39.
« См. (111.7) в [3].
155

Подставляя g из (5.24) в (5.23),
получаем:
Ф=
+
kBT\e\H
nhc
со оо
2J
П=0 —оо
In
1 +
E-4(«+f)--s?
*«r
dk„.
Pf Pr
(5.25)
В области низких температур
подынтегральное выражение в
(5.25) отлично от нуля только
при
t>ltae(n+±j+ -^(5.26)
(в противном случае подынтегральное выражение стремится к
In ! = 0). Из (5.26) следует, что для данного значения п величина
kz имеет максимальное по модулю значение (рис. 96)
кр(п)~&Уь-гш>е(п + ±
(5.27)
Величина п достигает согласно (5.26) наибольшего значения v
при kz = 0. При этом
(5.28)
i-~v+ 1.
В случае слабых магнитных полей, когда — > —, из (5.28)
ftw„
следует:
ha.
(5.29)
В этом случае для большей части уровней (см. рис. 96) при kBT <g £
(5.30)
аМп + тг1 —
2m
*ВГ
»1.
Поэтому, отбрасывая в (5.25) единицы по сравнению с
экспонентами и учитывая (5.27), получаем:
n=0 -Vfa)
ф =
J 56

Отсюда и из (5.27) и (5.28) следует:
_4 \е\Н(2тР* /Агл w. ^, /., „ , I у/,
3 тел2
-(*»,)•'• J (у-« + -1Г. (5.32)
n=Q
Сумма в (5.32) вычисляется с помощью следующего
приближенного равенства1:
v+F v+L
2/(п)» Г f(n)dn-
а/(п)
ал
(5.33)
Согласно (5.33)
2{v~n+iy^hv+iyu~r6iv+iyu' (5-34)
п*=0
Отсюда и из (5.32) с учетом (5.28) следует:
ф = - ,S S ' + —^г— С *• (5-35>
15л3 24ял
Подставляя Ф из (5.35) в (5.21), получаем2:
М » — (— f (2m)Vz С'ЛЯ. (5.36)
12зй Imc/ V ;
Отсюда и из (3.51) и (3.52) вытекает выражение для диамагнитной
восприимчивости:
2_
3
^ = -4^1 G). (5-37)
где /Vj (£) — плотность состояний у поверхности Ферми на одну
проекцию спина.
Осцилляции магнитной восприимчивости. Энергетический
спектр (5.20) позволяет объяснить осцилляции ряда электронных
свойств металлов, наблюдаемые в области низких температур
(kBT < Лео,, < £) при изменении Н. Как видно из рисунка 96,
сростом Я увеличиваются расстояния 2\лвН между вершинами
парабол, изображающих энергетические уровни (5.20). При этом
параболы одна за другой оказываются над £. После каждого пере-
1 См., например, [12], гл. I, § 2.
2 В рассматриваемом случае уровень Ферми £ слабо зависит от Н.
Приближение (5.33) применимо, если / (л) относительно мало меняется при л -*• л + 1.
Для суммы, вытекающей из (5.25), это означает ha>c < kB T.
157

хода энергетического уровня через £ электроны, которые до
перехода находились на этом уровне, распределяются между другими
уровнями, продолжающими оставаться под t. Это приводит к
периодическим изменениям плотности состояний с увеличением Н
и, следовательно, к осцилляциям величин, связанных с плотностью
состояний.
Период осцилляции можно определить следующим образом.
Если при напряженности Н уровень Ферми пересекает v-я
парабола, а при напряженности Н -f- ДЯ этот уровень пересекает
(v — 1)-я парабола, то согласно (5.20) для данного &г
П\е\Н
тс
v н—Н =
2 2т
h\e\(H + AH)
При ДЯ « Я из (5.38)
v__l)+^.(5.38)
2 2т V '
уДЯ = -(2Я + ДЯ)«Я.
Отсюда получаем период осцилляции:
Д[ — ) « —.
(5.39)
(5.40)
Согласно (5.38) при v > —■
»-" Ш [l -SJ-IR «*-* (5'41)
Здесь (рис. 97) р%—р\ — р\ (где рх — радиус сечения сферы
Ферми плоскостью, перпендикулярной рг). Площадь этого
сечения равна S (£, рг) = пр^. Поэтому из (5.40) и (5.41)
\e\h
■а
Зависимость площади сечения
Рг 1
Рис. 97
cS&. Рг)
(5.42)
от рг приводит к разным
периодам осцилляции. Наиболее
четкие периоды дают электроны с
значениями pz, при которых
S (£, рг) имеет экстремум (так
как при таких значениях рг
величина S (£, рг) медленно
меняется с изменением pz). Поэтому
|е|Л
cSs&)
(5.43)
где S3 — экстремальные
сечения поверхности Ферми.
158

§ 81. ПАРАМАГНЕТИЗМ ИОНОВ, АТОМОВ И МОЛЕКУЛ
В парамагнетиках магнитный момент М и напряженность
магнитного поля Н связаны равенством
М = нрН, (5.44)
где кр > 0. Положительный знак парамагнитной восприимчивости
означает, что в парамагнетиках магнитный момент направлен вдоль
напряженности внешнего магнитного поля. Парамагнетиками
являются обычно вещества, атомы или молекулы которых имеют
магнитные моменты в отсутствие внешнего магнитного поля. Такие
готовые магнитные моменты имеются, например, у атомов и молекул
с нечетным числом электронов, у которых полный спин не равен
нулю (атом натрия, имеющий 11 электронов, окись азота,
имеющая 15 электронов, и др.). Парамагнитными являются также
некоторые атомы и ионы с недостроенными внутренними (3d, Ad, bd,
4/, 5/) оболочками, щелочные металлы, молекулярный кислород
02 и ряд соединений. У большинства парамагнетиков магнитная
восприимчивость сильно зависит от температуры. Однако у
щелочных металлов магнитная восприимчивость практически не зависит
от температуры. При определенных условиях не зависит от
температуры также поляризационный парамагнетизм (когда магнитный
момент частицы возникает под влиянием внешнего магнитного
поля при отличных от нуля недиагональных матричных элементах
оператора магнитного момента).
Классическая теория парамагнетизма. В 1895 г. П. Кюри
установил, что парамагнитная восприимчивость газообразного
кислорода обратно пропорциональна абсолютной температуре
Ъ = р (5-45)
где С — постоянная Кюри. В 1905 г. Ланжевен предложил
классическую теорию парамагнитной восприимчивости, которая
позволила получить закон Кюри (5.45) и выяснить микроструктуру
постоянной Кюри С.
Намагниченность М системы N частиц и свободная энергия F
связаны равенством1
М = — —. (5.46)
дН
Здесь
F = —N kB T In Z, (5.47)
где
_ Ei
Z = 2<? квг (5.48)
i
1 См., например, [13], § 135, где в отличие от (5.21) вычисления
производятся в независимых переменных Т, V, N вместо Т, V, £.
159

2 [ есть сумма состояний системы (Et —
энергия t'-ro уровня). Потенциальная энергия
Н и /~ U частицы с магнитным моментом ц,
находящейся во внешнем магнитном поле на-
/
в А пряженностью Н, определяется выражени-
У I ем1
I —
у U = — (рН) = — \аН cos 9, (5.49)
X где 9—угол между направлениями \i и Н
Рис. 98 (рис. 98). Подставляя в (5.48) вместо Et
потенциальную энергию U из (5.49) и
переходя от суммирования к интегрированию (углы 9 и <р меняются
непрерывно), получаем
V.H cos 9
2л я -
Z=Uy\e *в' sinOdO. (5.50)
о о
Введем обозначения:
a = Yj> * = cos9. (5.51)
Тогда из (5.50) и (5.51)
Z = 2я Г еах dx = — (еа — е~а) = — Фа. (5.52)
j a a
—1
Подставляя Z из (5.52) в (5.47), получаем:
F = — NkBT In /— sha). (5.53)
Отсюда и из (5.46)
М = NkB Т -£_(— I sftfl + ~ cha) % = MfeaT (ctha — -) £. (5.54)
Согласно (5.51)
в sha \ а* а /дЯ в \ a J дН
да _Jf_
дН ~~ kBT'
Поэтому из (5.54) следует:
М = N^L (а), (5.55)
где функция Ланжевена
L(a) = ctha—-. (5.56)
а
В случае а -+■ со, когда с#ш -> 1 и >• 0, из (5.56) следует:
а
L (о) [а*» = 1. (5.57)
1 См., например, [5].
160

При а <^ 1, когда
(5.56) имеем:
L(a)
ctha « \- —
а 3
из
(5.58)
Следовательно, при малых значениях а
функция Ланжевена изображается прямой,
тангенс угла наклона которой к оси абсцисс
равен
dL{a)
da
= tgY =
Рис. 99
(5.59)
При увеличении а рост L (а) замедляется и при а > 1 эта
функция стремится согласно (5.57) к 1. Зависимость функции
Ланжевена от а схематически показана на рисунке 99.
Если [I имеет такой же порядок величины, что и магнетон Бора
цв ~ 10~20 эрг • Э"1, то при комнатной температуре и Н <С 106 э
выполняется неравенство
ц/7
kBT
« I-
Поэтому можно согласно (5.58) заменить L (а) на
из (5.55)
Отсюда и из (5.44)
М
ЪквТ
н.
Vя
3kBT'
что совпадает с законом Кюри (5.45) при
с—2£.
3&и
При этом
(5.60).
(5.61)
(5.62)
Для оценки молярной парамагнитной восприимчивости
подставим в (5.62) значения N ~
~ 300 К. Тогда получим: кр
значением \%d\ ~ Z
Ю23—, ц
моль
,см3
10~20 эрг • Э-1 и Т
10 4 .Сравнение этой величины с
моль
Ю""6——, полученным в § 28 для диамагнитной
моль
восприимчивости, показывает, что в тех случаях, когда готовый
магнитный момент иона, атома или молекулы имеет такой же
порядок величины, что и |лв, вещество ведет себя как парамагнетик.
При низких температурах зависимость намагниченности от
температуры определяется выражением (5.55). Так как функция
б М. С. Свирский
161

Ланжевена L (а) стремится при больших значениях аргумента а
к 1 (см. рис. 99), то согласно (5.55) при низких температурах
должно наступать насыщение намагниченности. Эффект насыщения
намагниченности был обнаружен Камерлинг-Оннесом и его
сотрудниками в 1923 г. При Т = 1,31К и Н = 22000 э намагниченность
сульфата гадолиния достигла 84% от Мтлх.
Квантовая теория парамагнетизма. Теория Ланжевена не
учитывает пространственного квантования. Зависимость (5.55) получена
в предположении, что магнитный момент частицы может иметь
любую ориентацию относительно Н. Согласно же квантовой теории
магнитный момент может иметь только некоторые ориентации1.
В случае, когда полный момент количества движения (сумма
орбитального и спинового моментов) характеризуется квантовым
числом /, возможны 2/ + 1 проекции магнитного момента:
И* = g/npa, (5.63)
где gj — множитель Ланде, /я,- = —/, —/' -4- 1, ..., / — 1, /.
Поэтому, учитывая, что И* cos 6 = \iz, получаем из (5.63) и (5.49)
Umj = —gjmjVBH- (5'64)
Подставляя в (5.48) Umj вместо £,-, приходим к выражению
Z= У e~~*Fr~~. (5.65)
Введем обозначение
ци Я
Используя формулу для геометрической прогрессии, находим из
(5.65)
2^л..^&, (,67)
nij=—i
где учтено, что первый член прогрессии равен е~'а, а число членов
прогрессии равно 2/ + 1.
а
Разделив числитель и знаменатель в (5.67) на е 2, получаем:
(/+>_)« _(/+.)в
»7 $Ч/ + 7,а
2L _* а
е2-е 2 Л-
(5.68)
1 См., например, [2].
162

Отсюда и из (5.47)
sh (/ + —)«
F = - Л/АВГ In i 1L_. (5.69)
а
Подставляя F из (5.69) в (5.46), имеем:
а / 1\/ 1\ а 1 а/ 1 \
М = А^„Г V ^—-i ^ = * ±_А Ц_ х
xjj. (5.70)
Согласно (5.66)
За §7 Ив
<ЭЯ *вг
Поэтому из (5.70)
м = N8jVb [(/ + ~) ctt (/ +1) а - | с/А
(5.71)
или
М = Л^в/Ву (а), а = /а = ^^-, (5.72)
йв'
где функция Бриллюэна 5;- (а) определяется выражением
В. (а) = 2Lti с/А 3L+J a — - с/А -. (5.73)
; 2/ 2/ 2/ 2/
Вдали от насыщения, где a <^ 1, можно использовать приближение
При этом из (5.73)
ctha да —\- —.
о 3
Б;. (а) да ~ LX-i. (5.74)
й 1+1
з /
Учитывая (5.74) и (5.72), получаем:
M = N gMjiitiLfl, (5.75)
Отсюда и из (5.44)
3kBT
xD = 2 -. (5.76)
" ЪквТ v y
Сравнение с (5.61) показывает, что при а < 1 функция Ланже-
вена и функция Бриллюэна приводит к закону Кюри. При этом
6* 163

Bjfah,
магнитный момент \i связан с
множителем Ланде и квантовым
числом полного момента
выражением
И = SiHVl 0 + 0- (5-77)
В случае, если величина а
не является малой по сравнению
с 1, отличие функции (5.73) от
функции Ланжевена
оказывается существенным (рис. 100).
Вблизи насыщения
экспериментальные значения
намагниченности систем, содержащих
парамагнитные ионы Crs+, Fe3t" HGd81",
хорошо описываются
зависимостью (5.72). В поле с напряженностью бООООэ при температуре
1 ,ЗК было достигнуто насыщение порядка 99,5%.
Парамагнетизм, обусловленный поляризацией состояний.
Рассмотрим частицу, которая в основном состоянии 10 > и в первом
возбужденном состоянии |1 > не имеет магнитного момента:
Рис. 100
<0|цг |0> = 0, <1 |ц,|1> = 0.
(5.78)
В первом приближении теории возмущений при включении
магнитного поля волновые функции возмущенных состояний частицы
имеют вид:
o> + 2-<-|(/JO>
НФО)
% =
Ец — Б,,
1 > + У <k\v\l>
НФ1)
E1—Ek
k>,
(5.79)
где в соответствии с (5.49)
V = -^ Н.
(5.80)
Из (5.80) и (5.79)
Фо
*(*0)
< k | цг 10>
Ek — E0
k>,
< k | цг | 1 > | k >
к(ф\)
(5.81)
Среднее значение \кх в состоянии \р0 из (5.81) равно
1**,о = <Ч'в1|*«Ц'о>=-<0|и*|0>+2Я
2"
\<к\рг\0>\>
Еь — ED
.(5.82)
164

Первый член в правой части (5.82) согласно предположению (5.78)
равен нулю. Поэтому
•**■ о - Ш Z ЁТ^Е " (5-83)
Аналогично из второго равенства (5.81) с учетом
предположения (5.78) следует:
Иг'х "2/Y 2 ^Г^ • (5.84)
Если уровни £i и Е0 расположены значительно ближе друг к
другу, чем остальные уровни Eh (где k =? 2, 3, 4...), можно в (5.83)
и (5.84) оставить только член с наименьшим знаменателем
£, — Ео = А > 0. (5.85)
При этом из (5.83) и (5.84)
^о=^-|<11игЮ>|2,р~71 = --^|<1|^|0>|2. (5.86)
Населенности уровней Et и Ег равны
N0 = Ae квТ, N1==Ae квТ, (5.87)
где коэффициент А определяется из условия
£>
NfstN0 + N1 = A(e квТ + е "вТ). (5.88)
Здесь N — полное число частиц. Из (5.87) и (5.88)
.7 N ., N
i д
1 + е "в Т l + ekBT
Согласно (5.86) и (5.89)
Так как
еквТ + 2 + еквТ
X \ I X X
е~* = \е2 +е 2 [е2-е 2
i
_Х_\2
ех + 2 + е~* = {е * +е
х х \2
. S i „~~"2"
(5.89)
паты ^В Т kg T
!££.}< llM0>i* « ~е —. (5.90)
(5.91)
165

то из (5.90)
z д
<1|^|0>|2Ш^Г. (5.92)
Сравнение (5.92) и (5.44) приводит к парамагнитной
восприимчивости
<1Ы0>|2Й~^-. (5.93)
2N
2kBT
В области температур kBT > Д, когда
д д
из (5.93) следует:
2kBT ** 2kBT' (5-94)
., |< 11 иг 10 > |2
Ъ =N ь т ■ (5-95)
к5 1
Сравнение (5.95) и (5.45) показывает, что в области kBT^> Д
для поляризационной парамагнитной восприимчивости
выполняется закон Кюри:
С = N К J1Р» I ° > I*.
ft
в
(5.96)
В отличие от (5.62) вместо готового (диагонального) магнитного
момента ц частицы в (5.96) постоянную Кюри определяет
недиагональный матричный элемент < 1 |цг| 0>.
В области температур kBT < Д, где
из (5.93) следует:
ftjj£r-«». (5-97)
хр»~|.<11|*,|0>|» (5.98)
д
Таким образом, в этой области температур поляризационный
парамагнетизм не зависит от температуры. Этот независящий от
температуры поляризационный парамагнетизм называется
парамагнетизмом Ван-Флека.
Парамагнитная часть плотности тока, обусловленная
поляризацией состояний. Согласно (5.12)
7=/я+?с- (5.99)
где
Те - -г (* Srad Ч5* - ^* grad ♦> (5-ЮО)
Zm
166

—парамагнитная часть плотности тока и
% = -Л|ф|2 (5.101)
тс '
—диамагнитная часть плотности тока. Так как диамагнитная часть
плотности тока зависит от Л, то в линейном по А приближении
поляризация состояний (5.81) не оказывает влияния на jD:
\о^-^\Ъ^ (5.Ю2)
где (f>k = |^!> — невозмущенное состояние1.
Однако на парамагнитную часть тока поляризация состояний
(5.81) оказывает влияние. Действительно, согласно (5.81) волновая
функция возмущенного состояния ilpk имеет вид:
%t = %+ 2 V*. (5-ЮЗ)
где
< k\ и | kt >
"-к
V= V_V/ • (5-104)
Подставляя значение \pfe из (5.103) в (5.100), получаем с
точностью до членов первого порядка по akk и, следовательно, с
точностью до первого порядка по А следующее выражение:
1к1Р = Й,р )о + 2 KkX* + а*Л,)- (5.105)
где
(7*,р)о = -^ (\ grad Ф;( - Ф; grad Ф^) (5.106)
есть парамагнитная часть плотности тока в невозмущенном
состоянии (fk , a
%k = ~ (Ф*. grad ф; - Ф; grad q^) (5.107)
представляют собой недиагональные матричные элементы
плотности тока2.
Если в невозмущенном состоянии qk плотность тока (jk p)0
из (5.106) равна нулю, то согласно (5.105)
Vе 2 KkJw + XkL)- (5.108)
1 Учет суммы из правой части (5.81) привел бы, как видно из (5.101), к
зависимости от произведения АН, т. е. от более высокой степени А, чем первая.
2 См. (114.5) в [3].
167

Подставляя в (5.108) значение akk из (5.104), получаем:
?*.' = 2 ТТГё; С< fei I ^ I ^ > /*,* + < *№ > /«,! (5.109)
где учтено, что в силу самосопряженности L/
<А | t/ |Л,>* = <ki \U\k>. (5.110)
При div Л=0 гамильтониан взаимодействия электрона с
магнитным полем имеет в линейном по А приближении вид1:
£/ = - —$р), (5.111)
тс
где р — оператор импульса электрона.
Подставляя значение U из (5.111) в (5.109), получаем:
+ <k\TP\k1>1kkii &Щ
Согласно (5.107) выражение (5.112) можно записать в виде:
V - 2^ 1 £^ЬГ ( I Ъ ^ Й ^ ** ^ £ X
X [q>ft (r) grad-* ф^ (г) — ф* (?) grad-* ф4 (г)] + компл. сопр.), (5.113)
где оператор импульса /? заменен на —i ft grad и учтено, что
согласно (5.107)
1ы,х=\» (5.114)
Из (5.113)
TklP = ^(klt ?, rfrXfy&b (5.115)
где
*^ i —^—^
1 Cm. (56.3) в [2]. В случае однородного магнитного поля с А = — [Ял] из
(5.111) следует: U = —\iH, что согласуется с (5.80).
168

х К (ri) grad- Фа ('1) [<Pftf (г) gradT cp*k (r) —
— Ф* (r) grad^ 4>kl (r)l + компл. conp.}. (5.116)
Суммируя (5.115) по всем состояниям, в которых находятся
электроны, получаем:
1р (Г) = I К (Г, 7,) A (7t) dru (5.117)
где
К (г, 7,) *= 2 К (*i, Л Г4). (5.118)
Из (5.117) видно, что связь между парамагнитной частью
плотности тока, обусловленной поляризацией состояний, и векторным
потенциалом является в общем случае нелокальной: значение
плотности тока в точке с радиус-вектором г определяется не только
значением векторного потенциала в этой точке, но и значениями
векторного потенциала в других точках с радиус-векторами г4 Ф г.
В случае электронов проводимости металла при Т = О в (5.118)
суммирование по ki следует проводить по всем занятым
электронами состояниям внутри поверхности Ферми, а в (5.116) — по
всем незанятым электронами состояниям вне поверхности Ферми.
Если невозмущенные состояния электронов описываются плоски-
ми волнами вида (1.18), то в (5.116) зависимость от г и гг
появляется только в виде:
ф;,Й) grad-^Й) %(7)gT&uT^h(T)^e^-^^-T) (5.119)
или в виде комплексно сопряженного выражения. В этом случае
К (ki, r, rt) из (5.116) и, следовательно, К {г, ri) из (5.118) зависят
~> -*■
только от разности г — гл. Из (5.117) следует:
?р (г) - j К (г - ГО А (?4) £. (5.120)
->
Используя преобразования Фурье
* (7- й = ~- J X (5 б' 7Tr~Odq,
.. ч
Щ-^Р &'<****» (5.121)
-*■
It
Iti-j

получаем из (5.120):
рР (Я) elTr<%=^~p J ^Ktf)A(foe& jV« *<£d£ (5 122)
-* ->•-*- ^>
Отсюда, учитывая (1.24), находим:
7Р (Ъ = К (я) А (д). (5.123)
Таким образом, нелокальной связи (5.120) соответствует связь
(5.123) между образами Фурье парамагнитной части плотности
тока, обусловленной поляризацией состояний, векторного
потенциала и ядра /С, определяющего в (5. 120) связь между плотностью
тока в точке г и значением векторного потенциала в точке г4.
Из (5.102) видно, что в рассматриваемом приближении образ
Фурье диамагнитной части плотности тока также пропорционален
образу Фурье векторного потенциала. Действительно, суммируя
(5.102) по всем занятым электронами состояниям, получаем:
7D = ~ — X (5.124)
тс
где п — концентрация электронов проводимости. В
рассматриваемом случае
ф 2 = — И > — = — = П,
|т*>' V £l V V
где V — объем, N — полное число электронов.
Полагая
ХЙ.-^ГроЙ^фГ (5Л25)
о
и учитывая выражение для А из (5.121), получаем из (5.124)
формулу
%&**-— A (q). (5.126)
тс
Отсюда и из (5.123) следует для полной плотности тока, равной
сумме диамагнитной и парамагнитной частей, выражение
7(4) = -Q (я) A (q), (5.127)
где
Q(q)=—-KG). (5.128)
тс
Роль нелокальной связи между плотностью тока и
потенциалом возрастает в области низких температур, где длина свободного
пробега электронов является значительной. Это позволяет элект-
170

ронам передавать информацию о состоянии магнитного или
электрического поля на значительные расстояния.
Так, в случае скин-эффекта при данной частоте электрического
поля поверхностная (скиновая) проводимость обычно
пропорциональна V% (где К — коэффициент электропроводности)1. Однако
при низких температурах и достаточно высоких частотах длина
свободного пробега электрона может оказаться больше толщины
скин-слоя. В этих условиях локальный закон Ома (3.73) является
недостаточным, так как плотность тока в данной точке
определяется напряженностью поля не только в этой точке, но и на расстоянии
порядка длины свободного пробега /. Электроны находятся под
влиянием электрического поля в основном в области скин-слоя
(6 < I). Поэтому эффективность носителей тока уменьшается, что
приводит к уменьшению поверхностной проводимости (т. е. к
аномальному скин-эффекту).
Нелокальная связь между плотностью тока и векторным
потенциалом была предложена Пиппардом (1953 г.) для описания
электромагнитных свойств сверхпроводников (см. § 39).
Как показал Бардин (1956 г.), выражения Q (q) из (5.128) и
К (q) из (5.121), (5.118) и (5.116) приводят в приближении
свободных электронов проводимости к результату Ландау для
диамагнитной восприимчивости (5.37).
§ 32. СПИНОВЫЙ ПАРАМАГНЕТИЗМ ПАУЛИ
Независимость парамагнитной восприимчивости ряда
металлов от температуры указывает на то, что в этих металлах
парамагнетизм обусловлен электронами проводимости, которые не
подчиняются классической статистике (Паули, 1927 г.). Согласно
принципу Паули при Т = 0 в отсутствие магнитного поля электроны
заполняют не только нулевой уровень, но и все уровни до энергии
Ферми £. Так как при этом в каждом состоянии находятся два
электрона с противоположными проекциями спина (рис. 101, с),
то магнитный момент системы
равен нулю. При включении
магнитного поля электроны с
положительной проекцией
магнитного момента имеют
потенциальную энергию
V t = — РвН,
а электроны с отрицательной
проекцией магнитного момента
имеют потенциальную энергию
1 См., например, (90.16) в [5].
1 *
4 *
I +
♦ *
4 *
* +
*
♦
*
А
*
1
*
4
♦ t
♦ I
* I
*
и
з;
* *
к \
L *
*
Рис. 101
171

При изменении отрицательной проекции магнитного момента на
положительную проекцию потенциальная энергия понижается на
величину
U\ — Ui = —2цвЯ.
Однако в состоянии, в котором уже находится электрон с
положительной проекцией магнитного момента, согласно принципу Паули
не может перейти другой электрон с такой же проекцией
магнитного момента. Переориентация магнитных моментов может
происходить только путем перехода электронов проводимости на
незаполненные урозни, энергия которых больше £. Такие переходы
связаны с увеличением кинетической энергии электронов. Поэтому
заполняются «перевернутыми» спинами только такие уровни,
энергия которых отличается от первоначальной не более чем на 2цв Н
(рис. 101, б). Химический потенциал для спинов \ и \ одинаков
(рис. 101, е).
В единице объема энергетическую область шириной 2\чв Н
заполняют электроны с положительной проекцией магнитного
момента, число которых определяется выражением
AN = Nl(Q2nBH, (5.129)
где Nt (£) — плотность состояний вблизи уровня Ферми на одну
проекцию спина. Магнитный момент электронов проводимости
равен
М = ц.в AN = 2Ni (£) \i% Н. (5.130)
Отсюда и (5.44) следует выражение для парамагнитной
восприимчивости:
хр = 2ЛМ£)ц|. (5-131)
Сравнение (5.131) и (5.37) показывает, что диамагнитная и
парамагнитная восприимчивости свободных электронов проводимости
связаны отношением
ха = — -хр. (5.132)
Плотность состояний имеет порядок величин — (где п —
концентрация электронов проводимости — см. 3.64). Поэтому
парамагнитная восприимчивость электронов проводимости практически не
зависит от температуры. При п ~ 1022 — и С ~ 10 эВ плотность
см3
состояний имеет порядок величин 1033, и из (5.131) следует, что
v,p ~ Ю-7. Этот порядок величины хорошо согласуется с
экспериментальными данными для парамагнитной восприимчивости ряда
металлов (и Na = 0,63 ••10~в, % к = 0,58 • 10~6 и др.).
172

§ 33. ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
Молекулярное поле Вейсса. В ферромагнетиках (железо,
кобальт, гадолиний и др., ряд сплавов и соединений) при достаточно
низкой температуре имеется самопроизвольная намагниченность.
В 1907 г. Вейсс использовал представление о молекулярном поле
для описания основных свойств ферромагнетиков.
^Согласно Вейссу в ферромагнетике на магнитный момент атома
действует эффективное магнитное поле, напряженность которого
#эфф определяется равенством
Яэфф = Н + ЬМ,
(5.133)
где М — намагниченность ферромагнетика, Ь — постоянная
Вейсса. Намагниченность ферромагнетика определяется по формуле
(5.55), в которой вместо Н следует подставлять выражение (5.133)
для #Эфф:
М = Ml/ /-Н^фф
N\iL
Введем обозначение
Из (5.134) и (5.135)
kBT
а = ^фф
м
= L (а).
С другой стороны, из (5.135) и (5.133)
М . , Я9фф — Н =
_м
knT
.а —
н
ЫЬц,
(5.134)
(5.135)
(5.136)
(5.137)
Поэтому значение
bNp Nbp?
можно определить графически, как
ординату точки Р пересечения кривой L (а) из (5.136) и прямой (5.137).
Точка Р и соответствующая ей ордината КР показаны на рисунке
102, а. На этом рисунке в соответствии с (5.137) прямая пересекает
JS-,
0
н
ЬЫц
/ Р'
/-Х к'
а
у
Р L(a)
1
1
к а
м
Nju
0
н
bNju
1 /
1
i
Ь
а
Рис. 102
173

при а = 0 ось ординат в точке и наклонена к оси абсцисс
bNix
под углом а, для которого
Nb\>?
Ha рисунке 102, а показана также касательная к кривой Лан-
жевена в точке а — 0. Согласно (5.59) тангенс угла у наклона этой
касательной к оси абсцисс равен —. Рисунок 102, а соответствует
случаю, когда а < у. При этом
tga<tgY. (5.139)
Подставляя в это неравенство значение tg а из (5.138) и
значение tg у из (5.59), получаем:
T<j^. (5.140)
Если выполняются (5.139), (5.140), Т — const (фиксированное
значение угла а) и Н -> 0, то прямая К"Р на рисунке 102, а
переходит в положение ОР', отрезок К.Р переходит в отрезок К'Р',
м . г,
а величина — уменьшается, но остается отличной от нуля. Итак,
в области температур, удовлетворяющих неравенству (5.140),
намагниченность не исчезает при выключении магнитного поля,
т. е. вещество имеет спонтанную намагниченность и является
ферромагнетиком.
Температура Кюри. Рассмотрим теперь область высоких
температур
г>«. „,„,
В этом случае вместо (5.139) имеем:
tga>tgT. (5.142)
Отсюда следует, что a > у. Этот случай показан на рисунке 102, б,
из которого видно, что при Н -у 0 точка Р и соответственно
намагниченность стремятся к нулю. Поэтому в области температур,
удовлетворяющих неравенству (5.141), вещество не имеет
самопроизвольной намагниченности и является парамагнетиком.
Из (5.140) и (5.141) следует, что температура
Тк = ^1 (5.143)
Щ
имеет смысл точки Кюри: при Т <Tk вещество является
ферромагнетиком, а при Т > Tk вещество является парамагнетиком.
174

Выше точки Кюри, где а < 1, можно использовать
приближение (5.58) и заменить в (5.134) функцию Ланжевена на —. Тогда
из (5.135), (5.134) и (5.133)
М ~Np-*&**- = ■!!£-Н + У&.М. (5.144)
r 3ft 8 Tj 3ftB T 3ftB Т v '
Отсюда получаем следующее выражение для намагниченности:
yVu.2/3ftB
М = •-!—* н = Y.H. (5.145)
Следовательно, выше точки Кюри зависимость намагниченности
от напряженности магнитного поля является, как у
парамагнетиков, линейной. Однако, в отличие от обычных парамагнетиков,
температурная зависимость определяется не законом Кюри (5.45),
а вытекающим из (5.145), (5.143) и (5.62) законом Кюри—Вейсса:
х= „С- . (5.146)
Из (5.146) следует, что выше точки Кюри и-1 линейно зависит
от разности Т — 7*к. Экспериментальные данные для различных
ферромагнетиков выше их точек Кюри хорошо подтверждают
линейную зависимость х-1 от температуры. При этом, однако, и-1
оказывается пропорциональной разности Т — 9, где 9 иногда на
несколько десятков Кельвинов превышает температуру, при
которой ферромагнетик превращается в парамагнетик. Так, в
классических ферромагнетиках — железе Fe, кобальте Со, никеле Ni —;
точки Кюри соответственно равны 1043, 1393 и 631 К, а величины 9
оказываются соответственно равными 1101, 1403—1428 и 650 К-
§ 34. ОБМЕННАЯ ПРИРОДА ФЕРРОМАГНЕТИЗМА
Феноменологическая теория Вейсса оставила открытым вопрос
о природе молекулярного поля. Для объяснения наблюдаемых
значений 7\ пришлось допустить аномально большие значения
постоянной Вейсса Ь. Если, например, подставить в (5.143) значения
Т\ ~ 102 К, N ~ 1022— и \i ~ 10~20 эрг • э~\ то получается
b ~ 104. При этом для молекулярного поля
"мол ~ Ш = bNil
получается величина порядка 10е э. Эта величина на три порядка
превышает напряженность Я ~ — ~ 103 э, которую магнитный
а3
момент [х атома создает в соседнем узле кристаллической решетки
на расстоянии а ~ 2 • 10~8 см. В 1927 г. советский физик Я. Г. Дор-
фман экспериментально показал, что высокой напряженности
магнитного поля в ферромагнетиках нет. В его опытах изучалось
175

отклонение электронов при прохождении через ферромагнитную
фольгу. Если в ферромагнетике существовало бы магнитное поле
напряженностью 106 э, то сила Лоренца привела бы к заметному
отклонению электронов. На опыте же отклонение электронов
оказалось незначительным (оно соответствовало полю, равному
индукции В — Н -f- 4яМ). Отсюда был сделан вывод, что молекулярное
иоле имеет немагнитную природу.
Решение вопроса о природе ферромагнетизма было дано в 1928 г.
советским физиком Я. И. Френкелем и позже Гейзенбергом. Из
теории атома гелия1 известно, что вклад кулоновского
взаимодействия в энергию двухэлектроннои системы существенно зависит от
взаимной ориентации их спинов. В синглетном состоянии (полный
спин 5 = 0, проекция спина Sz = 0) среднее значение кулонов-
ской энергии имеет вид:
Et = K + A, (5.147)
где
К = J №e (OP Vn\% (2)|2 drldn, (5.148)
A = \Va (1)*, (1) Vi2$a (2Wb (2) d?i d?2.
Здесь Vi2 — потенциал кулоновского взаимодействия двух
электронов, К — кулоновский интеграл, А — обменный интеграл.
В триплетном же состоянии (S = 1, Sz — —1, 0, 1) среднее
значение кулоновской энергии имеет вид:
Е2 = К — А. (5.149)
Существование спонтанного магнитного момента зависит от
знака обменного интеграла. При А < 0 из (5.147) и (5.149) следует,
что Е\ < Е2. Поэтому энергия синглетного состояния с 5 = 0
меньше энергии триплетного состояния с 5 = 1 и магнитный
момент отсутствует. При А > 0 из (5.147) и (5.149) вытекает, что
Ег < Ei, т. е. что энергия триплетного состояния с 5 = 1 меньше
энергии синглетного состояния с S = 0 и имеется спонтанный
магнитный момент.
Обобщение этого результата для кристалла приводит к
выводу, что необходимым условием ферромагнетизма является наличие
положительного обменного интеграла между электронами,
находящимися в соседних узлах кристаллической решетки.
При оценке значения обменного интеграла учтем, что Vi2 ~ —,
а
(где а — расстояние между соседними узлами кристаллической
решетки). Порядок величины Vi2 составляет Ю-11 эрг. В обменном
интеграле А из (5.148) имеются волновые функции, которые экспо-
1 См., например, [2], § 122.
176

ненциально уменьшаются с уве- м
личением расстояния от центра
атома. Это приводит к
уменьшению А примерно на два
порядка. Поэтому А ~ 10 13 эрг.
Приравнивая это значение средней
тепловой энергии в точке Кюри ~
%ТК, получаем: Гк~103К-Это
согласуется с эксперименталь- Рис. 103
ными данными. Следовательно,
обменное взаимодействие объясняет наблюдаемые высокие
значения Тк.
Изложенные выше соображения (модель локализованных
электронов) применимы, строго говоря, только при рассмотрении
ферромагнитных диэлектриков, в которых спины связаны с узлами
кристаллической решетки. Железо, никель, кобальт и ряд других
ферромагнетиков являются металлами, свойства которых в
значительной степени определяются электронами проводимости. Модель,
учитывающая существование как локализованных, так и нелокали-
зованных электронов, была предложена Шубиным и Вонсовским
(1934 г.). В [s — d (/)]-обменной модели, разработанной С. В.
Вонсовским, основную роль в ферромагнетизме играют электроны
внутренних недостроенных (d или /) атомных оболочек, а процессы
переноса электрического заряда осуществляются главным образом
коллективизированными внешними s-электронами, имеющими
обменную связь с d (/)-электронами. Теория [s — d (/)]-обмена
позволяет объяснить основные свойства ферромагнитных металлов,
особенно редкоземельных металлов (их сплавов и соединений).
Кривая намагничения. Кривая намагничения ферромагнетика
была впервые подробно изучена в 1871 г. А. Г. Столетовым. На
рисунке 103 показана характерная для ферромагнетиков кривая
намагничения. Из этого рисунка видно, что при Н — 0 средняя
намагниченность ферромагнетика равна нулю. При увеличении Н
намагниченность растет сначала быстро, а затем медленно
стремится к насыщению. Чтобы совместить факт отсутствия средней
намагниченности ферромагнетика при Н = 0 с утверждением о
существовании спонтанной намагниченности, Вейсс предположил, что
ферромагнетик состоит из малых, спонтанно намагниченных
областей — доменов. В отсутствие внешнего магнитного поля магнитные
моменты доменов ориентированы таким образом, что
результирующая намагниченность ферромагнетика равна нулю. При включении
внешнего магнитного поля происходят изменения ориентации и
значений модулей магнитных моментов доменов, которые приводят
к намагничиванию образца.
Три области, показанные на рисунке 103, объясняются с этой
точки зрения так. В области / происходят главным образом
смещения границ доменов. При этом домены, магнитные моменты
которых направлены вдоль Н, растут за счет доменов, магнитные
177

моменты которых направлены против Я. В области // происходит
преимущественно процесс вращения доменов, при котором
уменьшаются углы между магнитными моментами доменов и
направлением Я. В области /// происходит истинное намагничивание («па-
рапроцесс») — при увеличении Я уменьшается влияние теплового
движения и магнитный момент домена стремится к насыщению.
Первое теоретическое объяснение существования доменов было
дано в 1930 г. советскими физиками Френкелем и Дорфманом.
Согласно оценкам (5.148) обменное взаимодействие значительно
преобладает над магнитным взаимодействием. Однако в отличие
от обменного интеграла, который экспоненциально быстро
уменьшается с увеличением расстояния R между атомами, магнитные
силы уменьшаются по закону —, т. е. значительно медленнее.
Поэтому на малых расстояниях, где преобладает обменное
взаимодействие, образуются области (домены) спонтанной
намагниченности, а на больших расстояниях проявляется размагничивающее
действие магнитных сил, которые сообщают магнитным моментам
доменов различные ориентации. Оценки, проведенные Френкелем
и Дорфманом, привели к выводу, что размер домена а
пропорционален квадратному корню из линейного размера L ферромагнетика
(если L и а выражены в сантиметрах, то а ~ 0,01 Y^L).
Термодинамическая теория доменной структуры
ферромагнетика, построенная Ландау и Лифшицем в 1935 г., в основном
подтвердила этот вывод. У однодоменного ферромагнетика,
показанного на рисунке 104, а, на поверхности образуются магнитные
полюса N и 5. При этом создается магнитное поле, напряженности Я
которого соответствует магнитная энергия
I I
\ 1
I 1
I I
I I
I I
I I
I /
•а
Y
S N S N
N S N S
\ А А '
5
Рис. 104
AAA/
178

Величина намагниченности и, следовательно, магнитная энергия
^маг уменьшаются, если ферромагнетик состоит из нескольких
противоположно намагниченных доменов (рис. 104, б). В случае,
показанном на рисунке 104, в, магнитный поток замыкается внутри
образца и магнитные полюса отсутствуют. Таким образом,
уменьшение магнитной энергии способствует переходу от однодоменной
к многодоменной структуре.
Увеличению числа доменов препятствуют обменное
взаимодействие и рост энергии анизотропии. Так как в ферромагнетике
обменное взаимодействие способствует параллельной ориентации
спинов, то наличие границ между противоположно
намагниченными доменами связано с увеличением энергии. Соответствующая
дополнительная энергия Wt пропорциональна отношению — ,
а
определяющему число доменов, и длине L, характеризующей
размеры границы между доменами:
Wi = a-, (5.150)
а
где а — коэффициент пропорциональности.
Магнитные моменты расположенных вблизи поверхности
«замыкающих» доменов (на рисунке 104, в эти домены показаны
треугольными сечениями) направлены перпендикулярно моментам
остальных доменов, что приводит к увеличению энергии
анизотропии, обусловленной тем, что в ферромагнитных кристаллах
существуют оси легкого и трудного намагничивания. Чтобы
намагнитить кристалл в направлении оси трудного намагничивания,
требуется больше энергии, чем для намагничивания в направлении
оси легкого намагничивания. Поэтому при расположении
«замыкающих» доменов вдоль оси трудного намагничивания происходит
увеличение энергии анизотропии на величину W%, которая
пропорциональна толщине домена:
№2=ра, (5.151)
где р — коэффициент пропорциональности.
Из (5.150) и (5.151)
W = W1 + r2 = a— + pa. (5.152)
a
Дифференцируя это выражение по а, получаем условие
экстремума:
^=-а4- + Р = 0. (5.153)
да а2
Отсюда следует, что энергия (5.152) имеет минимум, когда толщина
домена определяется выражением
а= l/-£-VL. (5.154)
179

Таким образом, толщина домена растет с увеличением размера
ферромагнетика пропорционально Уь.
Зависимость (5.154) имеет ограниченную область применимости.
При больших L, как показал в 1948 г. Е. М. Лифшиц, происходит
разветвление доменов вблизи поверхности ферромагнетика. При
малых L дробление ферромагнетика на домены оказывается
практически невыгодным из-за преобладания на малых расстояниях
обменного взаимодействия над магнитным. Поэтому при достаточно
малых значениях L (по оценкам Е. И. Кондорского при L ~ 10 нм)
ферромагнетик является однодоменным.
§ 35. СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ
В состоянии насыщения магнитные моменты узлов
кристаллической решетки имеют максимально возможные проекции вдоль
определенного направления. Если, например, каждый ион имеет
1
спин —, то в состоянии насыщения в каждом узле решетки
проекция спина равна — или . Изменение проекции спина в
одном из узлов кристаллической решетки ферромагнитного кристалла
на противоположную проекцию связано с изменением обменной
энергии. В силу трансляционной инвариантности «перевернутый»
спин не остается локализованным в узле решетки, а
распространяется по кристаллу. Соответствующая волна называется спиновой
волной, а соответствующая квазичастица — магноном.
Полуклассическая теория спиновых волн. Согласно теореме
классической механики об изменении момента количества
движения
^ = М„ (5-155)
dt F '
•^>- —*■
где MF — момент силы. В магнитном поле с напряженностью Н
к электрону приложен момент силы1
MF = (^Hl (5.156)
где ц — магнитный момент электрона. Из (5.155) и (5.156)
Ав[£я]. (5.157)
Спиновый момент количества движения S электрона связан с его
магнитным моментом равенством
£--lYlS. (5-158)
1 См. (56.7) в [б].
180

где у ~ — —гиромагнитное отношение. Из (5.157) и (5.158)
тс
*jL = -\y\[SH]. (5.159)
По аналогии с (5.133) имеем:
"зФФ,„=Й+ %Ь,
nmVm* (5.160)
где Яэфф п — напряженность эффективного поля в узле п, \кт —
магнитный момент в узле т, Ь,,.„ — положительная постоянная,
характеризующая обменное взаимодействие спинов узлов пит
(вместо постоянной Ь из теории Вейсса).
Из (5.159) и (5.160)
Щфп)
(5.161)
Считая Нх =- Ну = 0, Нг = Я и проецируя (5.161) на оси
координат х, у, г, получаем:
S*H-\y\ 2 bnm(SX-s:s*m), (5-»62)
я)
jt' ~ '!•' ■" Олт (ол^т •Jn'bm)-
Умножая второе из равенств (5.162) на i, затем на —I и складывая
с первым, получаем:
$£
- i | у | HSt + i | YI 2 6BB (S+SS, - S*S+),
— =-i\y\HSn-i\y\ mZbnm(S;S*m-S*nS»), (5.162,)
2
dSl
■ k/im ("« Sm •->« iffl).
Здесь
5+ = S^ + fSi S- = S^-i5?, (5.163)
где Sn, Sln, Sn — проекции Sn на оси координат x, у, г. Система
уравнений (5.162i) имеет решение в виде спиновых ьолн:
181

Szn = SQ = const, 5+ = Aemt ~k 4 S~ = Ае~т~к 4 (5.164)
где А — амплитуда. Действительно, подставляя, например,
значения Sn и St из (5.164) в первое из уравнений (5.1621), получаем:
ш = i | v | Я + iJ у 150 2 Km С 1 -г- е^гРт)-]. (5.165)
т(фп)
Сокращая обе части уравнения (5.165) на i, находим закон
дисперсии для спиновых волн ферромагнетика:
w= \y\H+ \y\S0^b $)Ц-еЩ, (5.166)
где h = rn — гт. При выполнении (5.166) величины Szn, SJ и
5~из (5.164) являются решением также остальных двух уравнений
из (5.162t). В случае кубической решетки ив приближении
ближайших соседей (ср. § 6) из (5.166) при Н = О следует:
ю = 2 | у | S0b (а) (3 — cos kx a — cos kya — cos kz a). (5.167)
Отсюда при ka < 1 получаем:
со = | y\S0 b(a) a*k2. (5.168)
Таким образом, в рассматриваемом случае1 частота спиновой
волны пропорциональна квадрату волнового вектора k2.
Из (5.163) и (5.164)
S* = A cos (со* — &0. Si = A sin (со* — $?„). (5.169)
Отсюда видно, что в каждом узле п спин вращается вокруг оси г,
вдоль которой S„ — S0 = const (см. 5.164) с частотой со,
определяемой формулой (5.166). При k = 0, когда согласно (5.169) фазы
S„ и Sn не зависят от положения узла п, все спины прецессируют
вокруг Я в одинаковой фазе с частотой со = \у\ Н (см. 5.166).
В случае кфО прецессии спинов происходят с различными фазами.
При этом фазы прецессии спинов ближайших соседей, расположенных
—>
вдоль k на расстояние а друг от друга, отличаются на величину
Аф = ka (рис. 105).
т Квантовая теория спиновых
1 волн. Согласно (5.49) в эффектив-
\ // х В антиферромагнетике с двумя под-
\ \у решетками (см. § 36) аналогичное рассмо-
Nl L трение приводит к частоте со ~ sin ka.
Отсюда видно, что при te « 1 в таком
Рис. 105 антиферромагнетике со ~ к.
182
?

ном поле с напряженностью из (5.160) магнитный момент \кп имеет
энергию
Еп = — К#эфф, ,) = — {\>пЩ— Zi Ьпт (Vn Ы- (5.170)
т(фп)
Суммируя выражения вида (5.170) по всем узлам и полагая Й = 0,
получаем энергию системы в отсутствие магнитного поля:
Е = — 7Г 2 Ьпт^п Р"- (5-171)
тфп
Из (5.171), учитывая (5.158), находим:
J Y ■£ "nmWin- (5.172)
£ = -^Т22 fr—S»Sk.
Переход к квантовой теории осуществляется путем замены
спиновых моментов количества движения S на спиновые операторы
S. При этом Е из (5.172) переходит в гамильтониан обменного
взаимодействия1
Н
= -2/ятад». (5-173)
где 1пт — обменный интеграл между спинами узлов пит
(обменному интегралу 1пт соответствует величина —у2Ьпт из 5.172).
В дальнейшем будем для простоты опускать знак Д над
операторами. Учитывая, что
ЗД* = \ (SnS+ + S+S~) + SX, (5.174)
где 5^" и SZ определены в (5.163), можно записать гамильтониан
(5.173) в виде:
н=~ 2Inm \\(5;rs™+S^S^+5^ ]• (5-175)
тфп
Гамильтониан (5.173), (5.175) имеет собственную функцию
^0= 111, t» .... t». -. tm. -.. t*>, (5-176)
описывающую ферромагнитное состояние, в котором во всех узлах
S* = —. Действительно, как известно из квантовой механики2,
2
в случае S =—.
1 Учет возбуждений мультиплетности см. в [11].
2 См., например, [2].
183

S+|f>=0, S-|t>=|J>, 5,!t> = j|t>,
5+||> = |f>, S-|j>=0, S2||>=~-1 |>. (5.177)
Поэтому применение операторов S^ Sm и S^S^ из (5.175),
содержащих Sm или St, к Ч'о из (5.176) дает нуль. Применение же
оператора S^Sm к W0 из (5.176) умножает согласно (5.177) эту функцию
на —. Следовательно,
#■¥„ = £„¥„, (5.178)
где
1
'•' 2 1пт' (5.179)
Е-
Для определения энергии состояния Wi с одним «опрокинутым»
спином учтем, что согласно теореме Эренфеста1 квантовые
уравнения движения для операторов спина должны иметь вид
классических уравнений движения (5.162). Так как2
dS~ 1
-f = -(5~Я-Я5-) (5.180)
at i
(где в знаменателе правой части опущена постоянная Планка h,
поскольку для простоты берем S =» — вместо 5 ■* — ft], то из
второго ив уравнений (5.162j) следует квантовое уравнение движения3:
HSn -^Я-2 2 InmSnSzm - 2 2 hmS7nSl (5.181)
Умножая обе части (5.181) на —ж е;* г« и суммируя по всем п,
получаем:
НА-АН = 2 ^ /nm^-2_J_ ^ /мв' ^ S™ %е' ^т> *
(5.182)
т(фп) У N т(Фп)
где
^-■2^^ (5.183)
ТУ"
1 См., например, § 32 в [2].
2 См., например, (31.6) в [2].
* Уравнение (5.181) можно, конечно, получить непосредственно, подставляя
гамильтониан Я из (5.173) в (5.180) и используя перестановочные соотношения
для спиновых операторов.
184

Последний член в правой части (5.182) можно преобразовать,
заменяя т на п и п на т:
ik r „
= - 2 2 e--^r- S~ ^ Л™ Л"'»' S^ = (5.184)
n У " т(Фп)
= -24 У Imne ^«rV S*m.
пЦфп)
Из (5.182) и (5.184)
ЯЛ = ЛЯ + 2Л 2[/ят~/тяв''й^-^>]^. (5.185)
Применяя (5.185) к состоянию lF0 из (5.176) и учитывая (5.177)
и (5.178), получаем:
НА%^АЕ0% + А ^I^)(\-etint)%, (5.186)
где h = rm — rn. Из (5.186) и (5.183) следует, что состояние
является собственной функцией гамильтониана (5.173). Согласно
(5.176) и (5.177)
¥„ = S;^0= |flf f }„,..., f„> (5.188)
представляет собой состояние с одним «опрокинутым» спином в
узле п. Поэтому (5.187) является суперпозицией состояний с
одним «опрокинутым» спином. Так как
1 •*-*■
i=eikrn
2_J_
~ N
Yn
и эта величина не зависит от номера узла л, то согласно (5.187)
вероятность найти «опрокинутый» спин одинакова для всех узлов.
Состояние (5.187) представляет собой спиновую волну с волновым
вектором k.
Согласно (5.186) и (5.187) энергия спиновой волны равна
Е = £„+ 2/(А)(1-е'**).
(5.189)
Это выражение имеет вид (5.166). Поэтому в случае кубической
решетки по аналогии с (5.168) при ka < 1 имеем:
Е = Е0 + / (a) k4\ (5.190)
185

или
Е-Е.+ ™ (5.191)
(5.192)
где эффективная масса магнона определяется выражением
rrr = .
2/ (о) а2
При / (а) ~ 10"13 эрг из (5.192) следует, что эффективная масса
магнона имеет порядок величины Ют (где т — масса свободного
электрона).
Как известно1,
"я "(1 £>п ^>п = "->«> (5.1Уо)
В случае S?, = из (5.193) получаем соотношение
S-S+-S+S-=l, (5.194)
которое аналогично перестановочному соотношению (2.72) для
бозонов, если рассматривать S^ как оператор уничтожения, a S%
как оператор рождения спинового отклонения. Поэтому при
низких температурах, когда спиновых возбуждений мало и Sz„ мало
отличается от — —, можно приближенно рассматривать магноны
как бозоны. Так как, однако, в отличие от фононов энергия
магнона зависит согласно (5.191) не от k, а от k2, то плотность
состояний имеет согласно (3.51) вид:
NM{E) = AMVE, (5.195)
где индекс М указывает, что Бее величины относятся к магнонам.
Плотность магнонов определяется согласно (2.126) выражением
1
»*-ГЛ^д?« л-(*-*)'■
V, С х dx
Л^-i
е*-1 ' (5.196)
Отсюда видно, что плотность магнонов растет пропорционально
Т . Плотность магнонов определяет отклонение значения
магнитного момента ферромагнетика от соответствующего значения Ms
при насыщении:
М, - М = 2рвпм, (5.197)
где 2цв — изменение проекции магнитного момента
ферромагнетика при появлении одной спиновой волны. Из (5.197) и (5.196)
1 См., например, [2], § 59.
186

следует:
Ms-M=2AM(kBT)-'.p
х dc
(5.198)
Если учесть, что при Т = Tk величина М исчезает, то из (5.198)
получаем:
Ms = 2AM(kBTKp*H
х dx
(5.199)
Из (5.199) и (5.198)
Ms~M = (fJ*Ms,
или
ЛГ = Af.ll
Т \Ч,
(5.200)
(5.201)
Это соотношение представляет собой «закон трех вторых» Блоха
(1930 г.).
Плотность энергии магнонов определяется выражением
ENM (Е) dE
eE/kBT-l
DO
= К (квт)ч. Г
х,гдх
ех—1
(5.202)
■■!,•
Отсюда следует, что теплоемкость магнонов пропорциональна Т
С„ = ^=рГ\ (5.203)
JM
дТ
где
со
х'!г dx
(5.204)
Сумма теплоемкостей, обусловленных фононами и магнонами,
имеет (с учетом § 12) следующий
вид: СТ'2
С = аТ3 + рГ%. (5.205) 200'
Отсюда 1со ■
СТ-'Г* = аГ'» + р. (5.206)
На рисунке 106 схематично по- g
казана зависимость (5.206) для
феррита — граната иттрия. Как Рис. 106
10 ft
187

видно из этого рисунка, указанная зависимость хорошо
подтверждается на опыте в области Т < 10К. Значение р\ полученное
таким образом, приводит к эффективной массе магнона in* -~ 6m
(где m — масса свободного электрона).
g 36. АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ
Приближение молекулярного поля. В антиферромагнетиках
спины упорядочены таким образом, что намагниченность равна
нулю. Существование антиферромагнетизма было теоретически
предсказано Неелем (1932 г.) и Ландау (1933 г.). Экспериментально
антиферромагнетизм был открыт в 1938 г. при исследовании
окиси марганца.
В простейшем случае кристаллическая решетка
антиферромагнетика состоит из двух вставленных друг в друга подрешеток
(обозначим их буквами А и В), намагниченных в противоположных
направлениях. Одномерная модель антиферромагнитного
упорядочения, когда узлы подрешеток А и В намагничены в
противоположных направлениях, показана на рисунке 107.
В приближении молекулярного поля магнитный момент подре-
шетки А определяется в соответствии с (5.Г34) равенством
Мл="Л&№&*\ (5.207)
где NА — число узлов подрешетки А в единице объема, #Эффл—
напряженность эффективного поля, действующего на магнитный
момент ц, расположенный в узле подрешетки А. В соответствии
с (5.133) Я^ф д определяется выражением
#эФФ, л = Я - ЬМВ, (5.208)
где Ь > 0, а знак минус показывает, что намагниченность
подрешетки В ориентирует намагниченность подрешетки А в
противоположном направлении.
Аналогично для намагниченности подрешетки В выполняется
равенство
MB^UB^l№^J.\ (6.209)
где Nв — число узлов подрешетки В в единице объема, а
#эфф, В=Н-ЬМЛ (5.210)
есть эффективное поле, действующее на магнитный момент узла
подрешетки В.
—**■ ■*— —*■ ■*— —*■ «#— Выше точки Кюри можно
А В А в А В применить приближение (5.58).
Рис. 107 Тогда из (5.207) и (5.209)
188

M* = -^¥iH~bM^ м^Ш{Н~Ша)- (5211>
Здесь NA = NB = —N (где Л' — число узлов кристаллической
решетки в единице объема). Из (5.211) получаем уравнение для
полного магнитного момента М = Мд + Мв антиферромагнетика
(в единице объема):
3kBT 6kBT \O.AiZ)
Отсюда получаем зависимость намагниченности
антиферромагнетика от напряженности магнитного поля:
M--Z- ~ в) Н~хН. (5.213)
Таким образом, выше точки Кюри (которая в
антиферромагнетиках называется также точкой Нееля) антиферромагнитное
вещество находится в парамагнитном состоянии. Согласно (5.213)
парамагнитная восприимчивость зависит от температуры по закону
*--тт¥-> (5-214>
где С совпадает с постоянной Кюри (5.62), а температура Ть
определяется выражением
Г*-£-. (5'215)
Зависимость (5.214) имеет вид закона Кюри—Вейсса, где в отличие
от (5.146) Tk не вычитается, а прибавляется к Т.
Величина Tk представляет собой температуру, ниже которой
в антиферромагнетике имеются самопроизвольные намагниченности
подрешеток. Действительно, при Н = 0 из (5.213) следует, что
М = О, следовательно, МА = —Мв. С другой стороны, при Н = О
и МА — —Мв из (5.211) следует:
МА = ^гМА. (5.2,б)
Это уравнение имеет тривиальное решение МА — 0, которое
означает, что при И »= О спонтанная намагниченность отсутствует.
Кроме тривиального решения, характерного для парамагнитного
состояния, уравнение (5.216) имеет также нетривиальное решение
МАфО, которое соответствует наличию спонтанной
намагниченности каждой подрешетки. В этом случае, сократив обе части
(5.216) на МА, получаем, что спонтанные намагниченности
подрешеток возникают в случае понижения температуры при значении
Tk, являющемся решением уравнения
1 - -Як-
189

Вещество
MnO
MnS
FeO
NiO
CrSb
Tk, «
122
165
198
523
725
Величина Тк, определяемая равенством (5.215), представляет
собой решение уравнения (5.217). Следовательно, Тк из (5.215)
является точкой Нееля.
В таблице 10 приведены экспериментальные значения
температуры Нееля (Тк) для некоторых антиферромагнетиков.
Таблица 10 Из этой таблицы видно, что
Тк антиферромагнетиков имеет
в ряде случаев такой же
порядок величины, что и точка
Кюри для ферромагнитного никеля.
Отсюда следует, что в
антиферромагнетиках молекулярное
поле также имеет квантовомеха-
ническое обменное
происхождение.
Поперечная парамагнитная восприимчивость. Рассмотрим
парамагнитную восприимчивость антиферромагнетика при
температуре, лежащей ниже точки Нееля. Здесь необходимо учесть
взаимную ориентацию напряженности внешнего магнитного
поля и антиферромагнитной оси, т. е. линии, вдоль которой
ориентированы самопроизвольные намагниченности подрешеток.
Рассмотрим сначала случай, когда напряженность Н
направлена перпендикулярно к антиферромагнитной оси (рис. 108). Под
влиянием Н спонтанные намагниченности МА и Мв отклоняются
от первоначальных направлений на угол ср. Положения МА и
Мв определяются из условия обращения в нуль момента силы,
приложенной к магнитному моменту. Согласно (5.156) момент
силы равен МН sin а (где а — угол между векторами М и Н). В
рассматриваемом случае намагниченность МА вращает против
часовой стрелки момент силы, модуль которого МАН sin (90°—ср),
а по часовой стрелке — момент силы с модулем МАНаол sin 2cp =
= MAbMB sin 2cp (где напряженность молекулярного поля #мол =
= ЬМВ направлена против Мв).
Поэтому момент сил,
приложенных к МА, обращается в нуль
при выполнении равенства
М АН cos ф
или
Рис. 108
Н = 2ЬМН эшф.
MAbMB sin 2ф,
(5.218)
(5.219)
!90

Учтем, что, как видно из рисунка 108,
намагниченности Мд и Мв имеют
одинаковые проекции на направление Н. Каждая
из них равна Мв sin <р. Поэтому вдоль Н
возникает магнитный момент М, величина
которого определяется равенством
М = 2МВ sin ф.
Отсюда и из (5.219)
где
М
U
(5.220)
Н,
-L Ь
(5.221)
(5.222)
есть (рис. 109) поперечная парамагнитная восприимчивость
антиферромагнетика ниже точки Нееля. В рассмотренном приближении
х± не зависит от температуры. Поэтому на рисунке 109 прямая
х± проведена параллельно оси температур. При Т — Tk
восприимчивость Xj_ совпадает с (5.214). Действительно, полагая в (5.214)
Т = Tku подставляя значения С и Тк из (5.62) и (5.215), получаем:
1Г=Г„
Nu?b ~ Ь ~ -
2-*—
6k д
(5.223)
Продольная парамагнитная восприимчивость. В случае, когда
напряженность Н направлена параллельно антиферромагнитной
оси,
х. I г=0 = 0. (5.224)
Действительно, в этом случае отсутствует тепловое движение.
Поэтому, если напряженность Н внешнего магнитного поля мала по
сравнению с напряженностью молекулярного поля, то
энергетически наиболее выгодным является состояние, в котором
намагниченность одной подрешетки (например, М А) параллельна Н,
намагниченность другой подрешетки (например, Мв) направлена
прогив Н, и М — Мд + Мв = 0. При ТфО тепловое движение
уменьшает влияние . молекулярного поля. Поэтому при Т Ф 0
появляется и;/ Ф 0, которая растет с увеличением Т (см. рис. 109).
При Т — Tk, когда антиферромагнитное упорядочение исчезает,
хя должна быть равной х^:
1
Т=ТК
ч
(5.225)
191

В общем случае, когда напряженность направлена под углом
—*■
Ф к антиферромагнитной оси, можно разложить Я на
составляющую, направленную перпендикулярно к антиферромагнитной оси
и равную по модулю Н± = Н sin ф, и составляющую, направленную
вдоль антиферромагнитной оси и равную по модулю Ни = Я cos ф.
Согласно (5.221) Я создает поперечную составляющую
намагниченности, равную по модулю
М± = х±Н± «■ кхЯ sin ф, (5.226)
а Я„ — продольную составляющую намагниченности, равную по
модулю
М„ = к„ Ни = к/у Я cos ф. (5.2260
Проекция Мм на направление Я равна Ми cos ф, а проекция
М .: на направление Я равна M±sin ф. Поэтому намагниченность
вдоль Я определяется выражением
Мй = Af±sin ф + Мисс& ф. (5.227)
Подставляя значения М х и Мм из (5.226) и (5.2260 в (5.227),
получаем:
Мн « (xxsin2 ф + иЛ cos2 ф) Я = хЯ, (5.228)
где
и = xLsin2 ф + км cos2 ф. (5.229)
Для поликристаллического образца, в котором
антиферромагнитные оси имеют различные направления, следует усреднить
(5.229) по углам ф. Тогда
х = х± sin2 ф -f- хд cos2 ф. (5.230)
Поэтому из (5.230)
J о
При отсутствии избранного направления cos2 ф = —, sin2 ф=—.
о «3
й = |хх+1х„. (5.231)
Учитывая, что согласно (5.223) хх = х (Тк), получаем из
(5.231):
_■*. _ 2 | 1 ХИ (5 232)
х(Тк) 3 3 м(Тк)'
При Г-> 0, когда согласно (5.224) ку/ -> 0, правая часть (5.232)
2
стремится к значению —, а при Т -+■ Tk, когда согласно (5.225)
О
192

над*
7000 Э 2Ш0Э
Рис. 110
у.и -> и (Tk), правая часть (5.232)
стремится к 1. Зависимость
(5.232) от температуры
показана на рисунке ПО. Для
сравнения на этом же рисунке
штриховой линией показана
экспериментальная кривая для МпО. Из
рисунка видно, что
использованное приближение
молекулярного поля позволяет правильно
описать общий ход
температурной зависимости парамагнитной
восприимчивости
антиферромагнетика. Имеющийся на рисунках
109 и 110 максимум
восприимчивости при T=Tk является одним
из характерных признаков, по
которому экспериментально
определяется наличие
антиферромагнитного состояния.
При Т <Tk прямое
экспериментальное подтверждение
существования
антиферромагнитного упорядочения дают данные
по дифракции нейтронов. Метод
магнитной нейтронографии
основывается на зависимости
интенсивности магнитных брегговских
отражений от модулей
магнитных моментов атомов (или
ионов) и от их ориентации
относительно плоскостей и осей
кристаллической решетки. На
рисунке 111 схематически
показаны результаты первого нейтро-
нографического исследования
окиси марганца, проведенного в 1949 г. Шуллом и Смартом.
График, приведенный на рисунке 111, а, получен при температуре
293 К, которая выше Tk для МпО. График, приведенный на
рисунке 111, б, получен при Т = 80 К, которая ниже Tk (см.
таблицу 10). На рисунке 111, б видны дополнительные максимумы
интенсивности, которые обусловлены антиферромагнитной
структурой с магнитной ячейкой, размеры которой (а = 0,885 нм) в
два раза больше размеров химической ячейки (а — 0,443 нм).
Опыты по дифракции нейтронов позволили также установить
существование геликоидальных (спиральных) магнитных структур
(рис. 112). В 1959 г. при исследовании MnAu2 оказалось, что
магнитные моменты Мп лежат в плоскостях кристалла и поворачивают-
7 М. С. Свирский
193

ся при переходе от одной
плоскости к соседней на угол 51°.
Это дает период магнитной
сверхструктуры, примерно
равный семи межплоскостным
расстояниям.
При 132 К гольмий
переходит из парамагнитного
состояния в состояние с
геликоидальной структурой (угол поворота
«49°). При дальнейшем
понижении температуры угол поворота
уменьшается и магнитная
спираль частично «раскручивается».
При Т=20К спираль полностью
«раскручивается» и гольмий
переходит в ферромагнитное
состояние.
Спиральные
(геликоидальные) магнитные структуры наблюдаются также в других
веществах (Мп02, Мп12) диспрозий, эрбий, туллий, тербий и др.).
Реализуются также антиферромагнетики, в которых
самопроизвольная намагниченность одной подрешетки больше
самопроизвольной намагниченности другой подрешетки (нескомпенсирован-
ный антиферромагнетизм). Типичными представителями веществ с
нескомпенсированным антиферромагнетизмом являются ферриты,
состоящие из окислов железа и других металлов с общей формулой
Fe2Os ■ МО (где М — двухвалентный металл, например Си2+,
Ag2b, Zn2+, Mn2+, Ni2+ и др.). Поэтому вещества с
нескомпенсированным антиферромагнетизмом называются ферримагнетиками.
В таких соединениях, как a-Fe203, CoC03, MnC03, RFe03
(где R — редкоземельный элемент) и др., имеется малая
самопроизвольная намагниченность порядка 0,01|лв — 0,1цв на молекулу.
В 1957 г. И. Е. Дзялошинский показал, что в указанных
соединениях благодаря определенной симметрии кристалла
антиферромагнетизм реализуется при нарушении коллинеарности магнитных
моментов. При этом возникает слабый ферромагнетизм.
Квантовомеханическое рассмотрение слабого ферромагнетизма
дано в [8].
<
\--rf
»
Рис. 112

Глава Vi
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ И СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
§ 37. КРИТИЧЕСКАЯ ТЕМПЕРАТУРА
СВЕРХПРОВОДЯЩЕГО ПЕРЕХОДА
Сверхпроводимость была открыта в 1911 г. Камерлинг-Оннесом
при измерении зависимости электрического сопротивления ртути
от температуры. Оказалось, что при температуре порядка 4 К
электрическое сопротивление ртути практически исчезает. Состояние,
в котором электрическое сопротивление вещества равно нулю, Ка-
мерлинг-Оннес назвал сверхпроводящим состоянием, а температуру,
при которой вещество переходит из нормального в
сверхпроводящее состояние, — критической температурой Тк. На рисунке 113
схематически показано исчезновение электрического сопротивления
при критической температуре Тк. В таблице 11 приведены значения
Тк для металлов, у которых обнаружен переход в сверхпроводящее
состояние.
Таблица И*
Элемент
А1
Ti
V
Zn
Ga
Zr
Nb
Mo
Tc
Ru
Cd
In
Sn
Тк.К
1,19
0,40
5,30
0,91
1,09
0,56
9,22
0,95
8,2
0,49
0,56
3,407
3,722
H0, re
99
100
1310
53
51
47
1944
—
—
66
30
283
306
Элемент
Та
Re
Os
Ir
Hg-a
Hg-P
Tl
Pb
La — a
La-p
U — a
U — v
TK, K
4,46
1,70
0,8
0,14
4,153
3,95
3,39
7,19
4,8
5,95
0,6
1,8
H„. re
830
201
65-82
20
411
340
162
803
—
1600
2000
—
.
Сверхпроводимость обнаружена у
значительного числа сплавов и соединений
(более 450), а также у некоторых
полупроводников. Наиболее высокие значения Тк
обнаружены у химических соединений на
основе переходных элементов. В настоящее
1 Данные этой таблицы взяты из [15].
Рис. 113
195

время наиболее высокое значение критической температуры (Тк =
» 23,2 К) обнаружено у Nb3Ge.
Теоретическое объяснение сверхпроводимости встретило
большие трудности. Важное значение для понимания природы
сверхпроводимости имело открытие (Максвелл, Рейнольде и др., 1950 г.)
изотопического эффекта. Оказалось, что Тк изотопов ртути зависит
от массового числа М:
~, const
т«—^, (6.1)
где а ~ —. Изотопический эффект был обнаружен затем у ряда
других элементов (у кадмия а ~ 0,4, у свинца и у олова а ~ 0,46—
—0,50, у таллия а ~ 0,5 — 0,62, у цинка а ~ 0,5). Отсюда следовал
вывод о существенной роли колебаний кристаллической решетки
в установлении сверхпроводящего состояния. Такой вывод
независимо от открытия изотопического эффекта был сделан в 1950 г.
Фрелихом. Согласно Фрелиху сверхпроводимость обусловлена
взаимодействием электронов проводимости, которое появляется в
результате испускания и поглощения виртуальных фононов. Более
подробно вопрос о природе сверхпроводимости рассматривается в
§ 39. Здесь отметим, что у ряда веществ (например, Ru, Mo, Nb3Sn,
Os) изотопический эффект мал или не обнаружен. Это, возможно,
указывает на механизм сверхпроводимости, не обусловленный
колебаниями кристаллической решетки.
§ 38. ЭФФЕКТ МЕЙССНЕРА
В 1933 г. Мейсснер и Оксенфельд обнаружили, что в металл,
находящийся в сверхпроводящем состоянии, при достаточно малой
напряженности внешнего магнитного поля магнитный поток не
проникает. При этом внутри массивного сверхпроводника индукция
магнитного поля равна нулю (В = 0). Так как В— Н ~-\- 4лМ,
то равенство В = 0 приводит к следующей зависимости магнитного
—*• —*-
момента сверхпроводника М от напряженности магнитного поля Н:
М= — i- H. (6.2)
4я
Отсюда следует, что сверхпроводник можно рассматривать как
сверхдиамагнетик с восприимчивостью xd = — — (напомним, что
4я
у обычных диамагнетиков ка ~ 10~6 — см. § 28).
моль
К эффекту Мейсснера приводит уравнение, предложенное в
1935 г. Ф. Лондоном и Г. Лондоном (второе уравнение Лондонов)
totJ ?£.£ (6.3)
те
196

где ns — концентрация, js — плотность тока сверхпроводящих
электронов. Действительно, согласно первому уравнению Максвелла
для постоянного магнитного поля
rot В = — /,. (6.4)
Взяв ротор от обеих частей (6.4), имеем:
rot rot5 =i?rot£. (6.5)
с
Левая часть (6.5) удовлетворяет тождеству
rot rot В =grad divfi"—v25. (6.6)
Поэтому из (6.5)
rptX == ~ (grad div ^ ~ V*A (6.7)
Согласно третьему уравнению Максвелла
divJ3"=0. (6.8)
Следовательно,
Из (6.3) и (6.9)
или
где
rot/, = -fV2S. (6.9)
4Л
уаВ=1™^Д, (6.10)
V*B = ±B, (6-И)
>,:
X. = Т/ тсг . (6.12)
Рассмотрим сверхпроводник, поверхность которого совпадает
с плоскостью (х, у). Пусть вектор В направлен вдоль оси х и не
зависит от у. Тогда из уравнения (6.8) следует, что —- = 0. Поэто-
дх
му Вх зависит только от г и (6.11) принимает вид:
i!^=-L я. (6.13)
Это уравнение имеет решение
Z
B,(z) = R,(0)e **. (6.14)
197

Согласно (6.14) модуль индукции магнитного поля
экспоненциально уменьшается с увеличением расстояния г от поверхности. При
г-i-co магнитная индукция обращается в нуль, что согласуется
с эффектом Мейсснера.
Расстояние XL из (6.12), на котором согласно (6.14) Вх в е раз
меньше значения Вх (0) на границе сверхпроводника, называется
глубиной проникновения магнитного поля. При tn ~ 10~2'г и
п ~ Ю22—■ расстояние А, имеет порядок величины 5 • 10~в см.
s см3
Уравнение (6.3) было получено Лондонами следующим образом.
Плотность is электрического тока в сверхпроводнике определяется
выражением
Js == nsev, (6.15)
где ns — концентрация сверхпроводящих электронов.
Дифференцируя (6.15) по t, получаем с учетом (3.67) первое уравнение Лон-
донов:
-~t=—?". (6.16)
dt m
которое было ранее получено Беккером, Геллером и Заутером.
Взяв ротор от обеих частей (6.16) и учитывая, что согласно
второму уравнению Максвелла
rot? = -l^-, (6.17)
с dt
получаем:
i(rotX)=~^-f. (6.16J
dt mc dt
Интегрируя (6.16!) по времени, получаем:
rotl^~^-(B + B0), (6.18)
тс '
где В0 — постоянная интегрирования, которая не зависит от
времени, но может быть функцией координат. Для того чтобы в
глубине сверхпроводника не существовали магнитные поля (В =
— —В0 при js = 0), необходимо выбрать В0 = 0. Положив В0 — 0,
Лондоны и получили из (6.18) уравнение (6.3).
При выводе уравнений Лондонов использовано классическое
выражение для плотности тока (6.15). Согласно же квантовой
механике плотность тока определяется выражением (5.12). В
отсутствие магнитного поля, когда А = 0, из (5.12) следует:
/о = ~ (\ grad ЧГ0 - ЧГй grad %) = 0, (6.19)
где учтено, что в отсутствие магнитного поля плотность тока равна
193

нулю. Если волновая функция сверхпроводника является
«жесткой» (т. е. она не меняется при включении магнитного поля), то
Чг = ¥0 и из (5.12) и (6.19) следует:
h
_ 1_ ачг*Ч?
тс
А.
(6.20)
В.
Взяв ротор от обеих частей (6.20) и учитывая, что rot A
получаем второе уравнение Лондонов (6.3).
Уравнение Лондонов (6.3) получено при постоянной
концентрации ns сверхпроводящих электронов. В 1950 г. В. Л.
Гинзбург и Л. Д. Ландау обобщили теорию Лондонов с целью учета
зависимости ns от координат. Этот учет особенно важен при
рассмотрении границы между нормальной и сверхпроводящей
областями, где ns меняется от нуля (в области нормального состояния)
до конечного значения (в области сверхпроводящего состояния).
Из теории Гинзбурга и Ландау следует, что в зависимости от
знака поверхностной энергии на границе между нормальной и
сверхпроводящей областями необходимо различать сверхпроводники I
и II рода.
В сверхпроводниках I рода (положительная поверхностная
энергия) эффект Мейсснера существует при Я < Як (где Як —
критическое значение напряженности магнитного поля, при котором
исчезает сверхпроводящее состояние). На рисунке 114 показана
зависимость Ж от Я для цилиндра из сверхпроводника I рода, когда
напряженность магнитного поля направлена параллельно оси
цилиндра. Из рисунка 114 видно, что при Н <НК выполняется
равенство (6.2) и наблюдается эффект Мейсснера. При Н = Нк
восстанавливается нормальное состояние и магнитный момент
обращается в нуль.
Сплошной кривой на рисунке 114 показана зависимость М
от Я для сверхпроводников II рода (отрицательная
поверхностная энергия). Из рисунка 114 видно, что у сверхпроводника II
рода полный эффект Мейсснера имеется только при достаточно малых
напряженностях магнитного поля Н<НК. При Як <Н < Нк
магнитное поле частично проникает в образец и возникает
смешанное состояние. При
магнитное
поле пол-
в образец.
ностью проникает
После перехода внутренней об
ласти образца в нормальное
состояние сверхпроводимость при
Н<НК может сохраниться
вблизи поверхности образца
(поверхностная сверхпроводимость).
При Я = Як сверхпроводимость
исчезает как внутри, так и на
поверхности образца.
-4ЯМ
Рис. 114
199

Смешанное состояние в области Ни < Н < Я было экспе-
риментально обнаружено Шубниковым в 1937 г. Согласно
Абрикосову (1956 г.) в смешанном состоянии проникновение магнитного
поля происходит путем образования нитей, центры которых
находятся в нормальном состоянии.
Значения Я в некоторых сплавах весьма значительны. Так,
к2
если у ванадия (V) критическое магнитное поле имеет при Г-»-О
значение Я0 ~ 1300 э, а у Ga H0 ~ 50 э, то у сплава V3Ga второе
критическое магнитное поле Як имеет порядок величины 300 000 э.
В сульфиде PbMoMS6, у которого Тк— 14,4 К, величина Як
достигает при 4,2 К значения 510 000 э.
Высокие значения Як у сверхпроводников II рода
существенны для создания сверхпроводящих магнитов с высокими
значениями напряженности магнитного поля.
§ 89. ПРИРОДА ЯВЛЕНИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
Взаимодействие электронов, обусловленное обменом фоно-
нами. Согласно современной микроскопической теории явление
сверхпроводимости возникает благодаря межэлектронному
взаимодействию, обусловленному обменом виртуальными фононами.
Качественно возникновение этого взаимодействия можно
объяснить следующим образом. Положительные ионы притягиваются
к электрону, имеющему отрицательный заряд. Поэтому электрон
проводимости, двигаясь сквозь кристалл, вызывает смещения
ионов решетки. Эти смещения оказывают влияние на движение
другого электрона. В результате этого возникает взаимодействие
электронов через кристаллическую решетку.
Гамильтониан межэлектронного взаимодействия может быть по-
лучен следующим образом. Полагая ki = k + q, получаем из
(2.198) гамильтониан
Яэфф " J? Mt ch. о ct0K + а-?> (6-21)
k, q, о
взаимодействия электронов с фононами.
Согласно второму порядку теории возмущений1
<е|Я<2>1а> = У <^|Я8фФ1;><2]Яэфф|а>1 (622)
*
а '
где суммирование проводится по всем промежуточным состояниям
| z>, Ez—энергия промежуточного состояния, \а> — начальное
состояние, Еа — энергия начального состояния, < е| — конечное
состояние.
1 См., например, [3].
200

Рассмотрим начальные и конечные состояния, в которых нет
фононов. В этом случае согласно (6.21)
< * | #эфф I а > =» < U | Нм | 0 > =
Я
= УМ -*ci - с-* < 1-+ \а$ I 0 > = У М _► с± -» c^. /R о,<п
Jdd -q k-q,0 ко q q ' ^d -? ft - ?, CT to VO-йО;
ft, ° ft, a
Здесь |0> есть состояние, в котором нет фононов, а 11-*> —со-
я
-»•
стояние, в котором имеется один фонон с волновым вектором q.
В (6.23) учтено, что ои\0 > = 0 и < U|ai|0 > = 1 — см. (2.98)
я я я
и (2.1141). Так как в начальном состоянии имеется один электрон
с волновым вектором k (исчезновение этого электрона описывается
оператором с^- , а в промежуточном состоянии имеются один
фонон с волновым вектором q и один электрон с волновым вектором
-*■ ** +
k — q (рождение этого электрона описывается оператором cg_-+ a), то
Еа = £->, Ег = Et -> + Гш-+. (6.24)
ft ft — я Я
Аналогично из (6.21) следует, что
<е|Я«Фф|г> = <0|Яафф|1->=У M-4i- c? <0|a-U> =
Я -Ami q ft,+<7, a, ft,a, q q
= У М-+ cX -+ c-v . (R 25'»
Ad q *,+?„<?, ft-,0, (.o.^o;
Mi
Из (6.22) — (6.25) получаем гамильтониан межэлектронного
взаимодействия:
IМ-+1» , ,
ee Id £->_£- --ftco- *>+*'"' *'a' k-"'a ka {Ь2Ь>
£,а„ВД " *-' q
Здесь учтено, что из самосопряженности гамильтониана (6.21)
следует равенство М -> = М*-+.
Используя перестановочные соотношения (2.201), можно
переписать (6.26) так:
I М-> |« , ,
И — V I 1J СХ -* СХ -> С-+ С-+ . (с 97\
ее— J^ ft,+i?. a, к —я, a ft о ft,o, (,O.Z/j
ft,, a,, ft, a,</ ft к — q q
Отсюда видно, что вблизи поверхности Ферми, где | £->—£U_-*|<
<; Л(0о, выражение перед произведением ооператоров является
отрицательным. Это означает, что вблизи поверхности Ферми электрон-
фононное взаимодействие индуцирует притяжение между электро-
201

нами проводимости, исчезающими (операторы с-» с-* ) в состояниях
IАа>, |&iffi> и появляющимися (операторы о^,-^а C£i_^0)
-».-*» —>■ —»-
в состояниях l^j + ?, <*i >. I* — <7. <*>•
Куперовские пары. В 1956 г. Купер показал, что если импульсы
электронов расположены вблизи поверхности Ферми, то при сколь
угодно слабом притяжении между электронами образуются
связанные пары (эффект Купера). Этот результат был получен при
рассмотрении взаимодействия двух электронов с
противоположными по направлению и равными по модулю импульсами,
характеризуемого постоянным отрицательным матричным элементом,
отличным от нуля вблизи поверхности Ферми. Ограничения,
наложенные на матричный элемент, обусловлены тем, что при
взаимодействии (6.27) электроны совершают переходы вблизи поверхности
Ферми в слое шириной ~Ь, сод . Так как с-операторы из (6.27)
удовлетворяют перестановочным соотношениям фермиевских
операторов (2.181) (2.182), то при произвольном порядке их расположения
матричные элементы, характеризующие переходы электронов, имеют
как положительный, так и отрицательный знак. При этом
уменьшение энергии системы, обусловленное переходами электронов
проводимости, может оказаться пренебрежимо малым. Положение
меняется, если образуется когерентное состояние, в котором
переходы двух электронов характеризуются матричными элементами
одного знака. Это происходит, если возможные значения импульсов
-*■ -*■
электронов связываются в пары pt и р2 таким образом, что со-
стояния |pi>H \р2> либо оба заняты, либо оба не заняты.
Действительно, в отличие от случая одиночных операторов фермионов
с+ и с+, для которых согласно (2.182) с+с+ = —cfc^ B случае
парных операторов фермионов вида с+с+ = Ь+„ и b+n —cfcf
1111 Pi Pi F1P2 РяРл Ря Pi
применение (2.182) приводит к перестановке Ь+р Ь+а == b+n b+ ,
характерной для бозонов (см. 2.72), при которой знак не меняется.
При данном значении полного импульса Р = pt -f p2 пары
возможные значения pt и рг вблизи поверхности Ферми в области
шириной Люд или Ар ~ —— j можно определить следующим
образом. Число пар с полным
импульсом Р пропорционально
объему кольца, поперечные
сечения которого показаны на
рисунке 115 заштрихованными
областями. Как видно из этого
рисунка, объем фазового
пространства, доступного парам, име-
Рис. 115 ет максимум при Р — 0, т. е.
202

когда р2 =? —Pi- Поэтому наибольшее понижение энергии
системы получается при образования куперовских пар из электронов
с противоположно направленными и равными по модулям
импульсами.
Как известно из квантовой механики1, в основном состоянии
молекулы водорода спины электронов в результате обменного
взаимодействия имеют противоположные проекции. Поэтому считают,
что в куперовской паре проекции спинов электронов также
противоположны.
Координатная часть волновой функции электронной пары
может быть записана в виде:
Ф Й - U = S V е*"™ - 2 at ^ • (6.28)
fe*" Г
где г = г4 — г2 — относительный радиус-вектор, о^-— амплитуда
вероятности того, что один электрон имеет импульс — hk, а
другой — импульс hk.
Уравнение Шредингера имеет вид:
-^•(Vf+Vl)t + Kt-^. (6.29)
Подставляя ty из (6.28) в (6.29), получаем:
2 Skat t№ + у 2 V Л7 = £2 <У ^ (6.30)
г ft* ft*
где
„ /W
m
Умножая (6.30) на e-'V и интегрируя по г, получаем (с
учетом 1.24):
*к, ч+ 2 «г < £ I у I * > = Еч- (6.31)
л*
В соответствии с изложенными выше соображениями о
матричном элементе, характеризующем переходы электронов вблизи
поверхности Ферми, положим
<hW\t>.~\--V' 6СЛИ } </*'*<£ + А' (6.32)
[0, если Sk, Ski>Z+4,
где V > 0 и А « С. Из (6.32) и (6.31)
Т~~ i -£ 2< т* (б.зз)
1 См., например, [2], § 125.
203

где суммирование по k проводится в области £ ^ £k ^ £ -4- Д-
Суммируя а-* из (6.33) по всем ki в этой же области, получаем:
'*,-
(6.34)
Но сумма а^ по всем &4 равна сумме ctg по всем А. Поэтому из (6.34)
следует, что
V Jj **-
При V = О уравнение (6.35) имеет решение Е — §k =
(6.35)
/ДО
т. е. получается сплошной энергетический спектр. При V Ф О
уровни непрерывного спектра смещаются. Кроме того, один из
уровней отщепляется от сплошного спектра и его энергия
оказывается меньше энергии Ферми £. Действительно, учитывая (6.32),
получаем из (6.35) при Е < £ следующее выражение:
1 ., ,„ч Г dS „ /«.v , £ + Д — £
~ЛГ(0
— £
= JV(£)ln
С-
(6.36)
где N (£) — плотность состояний вблизи уровня Ферми. Отсюда
_д
(6.37)
■^св — э С- —
N(QV
е — 1
где Есв — энергия связи куперовской пары. В случае N (£) V < 1
из (6.37) следует:
Е^-Ье"7^. (6.38)
Таким образом, в случае притяжения (V > 0) существует
связанное состояние куперовской пары с энергией Е < £., отделенное
от сплошного спектра энергетической щелью (6.37), ширина
которой не зависит от объема.
Основное состояние сверхпроводника.
На рисунке 116 схематично показано
испускание электроном, имеющим импульс
—р=— hk, фонона с импульсом p$=hq и
поглощение этого фонона другим
электроном с импульсом р = hk.Y электрона, ко-
-+■
торый имел импульс — р, появляется им-
->-->* -*■
Рис. 116 пульс —р — рф = — р', а у электрона, ко-
204

^'=JL
торый имел импульс р, появляется импульс р -4- А}> — р'■ Таким
образом, в результате обмена виртуальным фононом пара элект-
ронов проводимости с импульсами (—р, р) переходит в пару
-*■ ~* -* -►
электронов с импульсами (—р , р'). Из (6.27), полагая /г4 = —k,
Oi = \, k — q = ki, a = f, получаем:
|M-* Г Is 4- д.
£?_£г_дш? ^ _£ + M It -*V (6-39)
A, ft, " *» *— "i
Введем операторы bX рождения и операторы Ь-> исчезновения
пары электронов проводимости:
6± = с+-*с±, Ь-+ = с^с-+. (6.40)
Отсюда и из (6.39)
Н„=У.У^Ь±Ь-+, ,Rin
£i k>.k К * (6-41)
где
\Mt t\2
vr% - f V • <6-42>
Rj. я Е-+ — £-> — ftttb* -<-
В теории Бардина, Купера, Шриффера (БК.Ш) и Боголюбова (1957 г.)
предполагается (ср. с 6.32), что
V~£T = const = ~~ v ПРИ Iе?"!' I % I ^ ftcoo •
У£1 = 0 при |еГ|, |е-|>йсо0, (6.43)
где е-> = £ft — £ — кинетическая энергия электронов
проводимости, отсчитываемая от уровня Ферми £; coD имеет порядок
величины максимальной частоты фононов. При этом предположении
из (6.41)
Hee^-V^btbf, (644)
где суммирование проводится по области, указанной в (6.43).
Еслигр--* (1) есть состояние, в котором \k\ >и |—к\> заняты парой
-► -*■
электронов, aifu (0) — состояние, в котором \k\> и |—k\> не за-
■k
няты электронами, то волновая функция виртуальной пары может
быть записана так:
*Г = О - V)V' Ф? (0) + ^' ФГ (1), (6.45)
205

где h^ — вероятность того, что состояние |—k\, k\> занято
парой электронов, а 1 ■— h-* — вероятность того, что это
состояние не занято электронами. Согласно (6.40)
V*T-(0)=0, V4>?0) = Ч>?(0),
&+фг(0) = ф^(1), &+фг(1) = 0. (6.46)
Отсюда и из (6.45) получаем следующие выражения для средних
значений Ь^ и Ь+:
k k
k
b+ = < Ф_ I bt I Ф+ > = AV« (1 — fcj1/,. (6.47)
* t ' ft ' * *
Из (6.47) и (6.44) вытекает выражение для среднего значения
энергии взаимодействия электронов:
W = Н =
Согласно (6.45)
_V2 W0-
fta fta ft
-V)^0-
-*£>■
(6.48)
(6.49)
Поэтому среднее значение кинетической энергии электронов
проводимости определяется выражением
£«ин, 5 = 2 Ек (С+ С^ + С+ С ) =
57 ftf ftf ft| ftj.
ft
(6.50)
= 22£ftV = 2 2 ЯАА?+2 2 Ekht.
-j* k<kp k>kp
Отклонение среднего значения кинетической энергии от значения
£к„н,й = 2 2£*. (6-51)
k<kp
характерного для нормального состояния, равно
д е = F F
k<kp k>kf
'-'Kna.s ^кин, n — 2 2 Ek(h£ 1) + 2 2 ^ftAft*- (6.52)
Учитывая, что Ek = £ -f- еЛ, получаем из (6.52):
Д£к„„ = 2 2 «ftV + 2 2 (-е*) (* -V) +
ft>ftp ft<ft/r
+ 2S
203
2 V- 2 0-a?)
(6.53)

Последнее слагаемое в правой части (6.53) равно нулю, так
как среднее число состояний 2 h-+, занятых электронами прово-
k>kF к
димости над уровнем Ферми, равно среднему числу незанятых
состояний 2 О —h-+), образующихся при этом под уровнем Фер-
k<kF к
ми. Поэтому из (6.53)
А£к„„ = 2 2 e*V + 2 2 I Ч\ (1 - М- (6.54)
Здесь учтено, что в области k < fe^., где ьк = Ek — £ < 0,
выполняется равенство гк =—|еА|, Из (6.54) и (6.48)
АЕ = ES-En = 2 2 е,/гг + 2 2 |вА| (1 - М-
- V2 /V (1 - ht) hZ (1 - ht). (6.55)
Это выражение имеет минимум, когда выполняется равенство
д(АЕ)
dht
=0. (6.56)
Отсюда и из (6.55) следует:
Введем обозначение
К
Тогда из (6.57) и (6.58) получаем:
2в, '-2V
бо |//г_,(1_-А-,)
Отсюда
где
If, е*
1
(6.57)
(6.58)
(6.59)
(6.60)
£ (Л) = l/"e| +eg. (6.61)
Из (6.59) с учетом (6.60) следует:
207

Отсюда и из (6.57), (6.60) и (6.55)
-2 «■
1
1 —
8ft
+ 2
h<kp
E(k)\
-И 2
£(*)
£(*)
+ 2
k<kp
\4\
E(k)
l-*l«-i
(A)" (6-63)
Переходя в первом слагаемом в правой части (6.63) от суммирования
к интегрированию, получаем:
Люд
2
k>kp
1
е,
fi(*)J
= j e(l—J-)iV(e)de =
= -±- tf (0) (/uoD)2 - у ЛГ (0) Йсо0 К(Л<о0)» + eg + (6.64)
+ -i/V(0)6£ln(e + £)
1
0
где плотность состояний N (е) вблизи поверхности Ферми считается
постоянной и равной N (0). Такое же значение имеет второе
слагаемое в правой части (6.63). Третье слагаемое в правой части (6.63)
приводит к значению
"8 2£7«-^^J f = e»iV«»ln<e + £)
Из (6.63) — (6.65)
'<■>£>
(6.65)
AE = Es-En = N (0) (ftcoD)2 [l - ]/i + /_£_ J . (6.66)
л/ J
При е0 Ф 0 правая часть (6.66) является отрицательной и,
следовательно, Es < £„. Таким образом, при е0 Ф 0 состояние с
функцией распределения пар (6.60) и энергией Es является
энергетически более выгодным, чем нормальное состояние с энергией Еп.
Энергетическая щель. Из (6.62) и (6.58)
Ьр° л
2E(k)
о
Сокращая обе части (6.67) на е0, получаем:
1
f.(0D
N(0)V ~~ J Е
о
= In (е + Е)
h(u0 + V(haD? + z20
In
Ч
(6.68)
208

Отсюда
h<oD
Р, „ ECS , .
1 \ (6.69)
Л \N (0) V.
Величина е0 равна энергетической щели для одночастичных
возбуждений сверхпроводящего состояния. Действительно, из
(6.55) вытекает, что состояние |—k\, k\> приводит к следующему
вкладу в энергию системы:
Л£ (k) = 2еА - 2V Vhk (l-ftft)2 К\(1-\). (6.70)
Множитель 2 во втором слагаемом учитывает, что в (6.55) импульс
hk содержится как в сумме по k, так и в сумме по kt. Если состоя-
ние с волновым вектором k занято одним электроном, а состояние
с волновым вектором —k не занято, то энергия равна ек. Поэтому
энергия возбуждения АЕВ электрона определяется так:
Д£в= вк- AE(k) = eft(l -2hk) + 2V\/ftft(l-**)2 V\ (l-hk).
(6.71)
Из (6.71), учитывая (6.60), (6.58) и (6.62), получаем:
А^=4|г=/е1Т^- (6-72)
Отсюда видно, что при ед -*■ 0 энергия возбуждения А£в
стремится к е0. Таким образом, е0 представляет собой минимальную
энергию, которую необходимо сообщить системе, чтобы перевести
ее в рассмотренное возбужденное состояние. Этим
сверхпроводящее состояние отличается от нормального состояния, в котором
энергия возбуждения может стремиться к нулю.
Критическая температура. Температура Тк перехода в
сверхпроводящее состояние связана с е0 соотношением
е0 ~ kB Тк, (6.73)
показывающим, что при критической температуре Тк тепловая
энергия электрона по порядку величины равна ширине
энергетической щели при Т = 0. Из (6.73) и (6.69)
т т°
• " 1 \ * (6.74)
ka sh ,
В \N (0) V,
Более строго выражение для Тк может быть получено следующим
образом. Согласно (6.58) и (6.47)
e„ = V2V (6'58l)
209

При Т Ф О, кроме состояния виртуальной пары (6.45) с Л£в = О
необходимо учесть также следующие возбужденные состояния:
%Г = - Щ* фГ (°) + (! - W' ФГ(1) с Ъй = — Щ* (1 - hhyu и
Д£в = 2£(£),
грд = 4 I 0> cfcft = 0 и Д£в = Е (k),
n fct (6.75)
*_4 = с-5| 0> с ь* = ° и Л£" = Е (k)-
Состояние гр-* из (6.75) ортогонально к ip-» из (6.45).
Действительно,
< $£ I фг > = - К'' (1 - А*)'/. < ф_, (0) | фг (0) > +
+ А^(1-/1Й),/-<ФГ(1)|ФГ(1)> = (6.7б)
= _ Av, (I _ h,yu + hp (1 -hkyu = о.
Поэтому ip->. соответствует возбужденному состоянию пары с энер-
гией возбуждения А£в = 2£ (k) (состояние tp-> называется в
отличие отгр-*из (6.45) состоянием реальной пары). Согласно (6.46)
bt\ = {\-hkj\{0).
Поэтому
В состояниях гр^ и гр _► средние значения bk очевидно равны нулю
(так как в них нет пар электронов проводимости).
Но в состоянии гр-* из (6.45) следует:
k
А£в = 0 и bk = hi'* (l - hk)tf'
(см. 6.47). Поэтому согласно (6.75) получаем для статистического
среднего <bk> выражение
2 е-АЯв. ankB T)
а=1
1 _ »-2B(fe)/(*B T)
hV' (1 —Ль)'/. -, !—£ . (6.77)
210

Сокращая числитель и знаменатель на
l+e V
и используя (6.62), имеем:
<л>=-^-.^ _! ^_ = _!<Lft_Ei^L. (6.78)
* 2£ (fc) eE(k)№B Г)+ e-E(k)i(2kB T) 2£ (fc) 2kBT
Подставляя значение <&&>из (6.78) в (6.58j), находим приТ=^0:
~- = ~ У l- Ш "+8°- (6-79)
V 2 4Vz% + 4 2kBT >
При 7 = Tk, когда энергетическая щель е0 обращается в нуль,
из (6.79) следует:
/КОД
—!_= Г «ft Е—. (6.80)
N(0)V ,) e 2kBTk
о
Полагая
л: =
получаем из (6.80):
2kBTk '
Лсод
— » f
tf (0) V ,1
о
а:
*tt*. (6-81)
Интегрируя по частям, находим из (6.81):
Л(В£) ft0)£)
N(0)V
При
2АВГЛ 2*ВГА
ftx In х
"I
ln*dx (6.82)
ch?x
о
ftcoD
»1
2*ВГА
можно верхний предел в интеграле считать равным оо. При этом
= In —, (6.83)
) <А2 х 4у
6
где In у = 0,577 — постоянная Эйлера. Считая
th —»--+ihoo=lt
2kBTk
211

получаем из (6.82) и (6.83) выражение
N (0) V nkBTh
Отсюда
i
1 ( 2уЯсоп
= In ° ■ (6.84)
Tk=l,u'^£_e Ni0)V, (6.840
что при N(0)V < 1 согласуется с (6.74).
Из (6.84х) видно, что, чем больше параметр У взаимодействия
электронов проводимости, индуцированного виртуальными
фононами, тем выше Тк. Этим объясняется тот факт, что
сверхпроводимость не наблюдается в металлах, которые в нормальном
состоянии являются хорошими проводниками электрического тока (в
таблице 11 отсутствуют щелочные металлы, а также золото,
серебро, медь). Высокая электропроводимость этих металлов при
комнатных температурах указывает на то, что в них взаимодействие
электронов проводимости с колебаниями решетки является
относительно слабым. Поэтому взаимодействие электронов
проводимости, индуцированное в них виртуальными фононами, также
является относительно слабым. С другой стороны, в «плохих»
проводниках (олово, свинец и др.) взаимодействие электронов
проводимости с колебаниями кристаллической решетки является
относительно сильным, что приводит к их значительному удельному
сопротивлению. В этих проводниках взаимодействие электронов
проводимости, индуцированное виртуальными фононами, также
является относительно сильным. Это приводит согласно (6.84) к
заметному значению Tk и, следовательно, к возможности
экспериментального обнаружения в этих проводниках явления
сверхпроводимости.
Так как со^, ~ -== (где М — масса иона), то из (6.84!) следует:
Th~±. (6.85)
Таким образом, теория БКШ позволяет объяснить
изотопический эффект (6.1).
Гиперболический синус в знаменателе (6.74) приводит к тому,
_, _ „ _ /г<Вд
что Тh обычно значительно ниже температуры Дебая TD — —
kB
и наблюдается при температурах, указанных в таблице 11.
Вместе с тем выражение (6.84t) не исключает возможность
сверхпроводимости при более высоких температурах, если взаимодействие
между электронами проводимости будет возникать в результате
испускания и поглощения не виртуальных фононов, а других
квазичастиц, энергия которых больше /шд (Литтл, 1964 г.).
Критическая плотность тока. Наличие энергетической щели
приводит к устойчивости электрического тока и к отсутствию элек-
212

трнческого сопротивления при достаточно малых плотностях
электрического тока. Действительно, рассмотрим состояние, в
котором импульсы электронных пар по-прежнему одинаковы, но
отличны от нуля. Пусть компоненты пары имеют импульсы
P+jPи-Р+^Л
так что импульс каждой пары равен Р. При этом плотность тока
в проводнике определяется формулой
/ = «/о = nse—-= -£- . (6.86
2т 1т
Здесь учтено, что для пары электронов Р = 2mv (где т. — масса
одного электрона, v—скорость центра масс пары).
Учитывая, что импульсы р и —р находятся у поверхности
Ферми, кинетическая энергия пары
£кин (Я) = Ь_Х1 + (l!zl . Lp% + £, (6.87)
2m 2m m 4m
где pF — импульс, соответствующий энергии Ферми.
Электрическое сопротивление может появиться только в
результате изменения импульса пар. Пусть одна из пар разрушается
и импульсы ее компонентов принимают значения примерно
одинаковые и равные pF Р. При этом энергия указанных
компонентов равна
Р-2«, + 2 ^-ЪР)\ (6.88)
2m
где 2е0 — энергия расщепления пары, а второе слагаемое в
правой части равно кинетической энергии двух электронов с
импульсами \Рр — — Р
1
2
Из (6.87) и (6.88) следует, что расщепление пары электронов
энергетически выгодно при выполнении неравенства
2.. + 2 '>f~jP)' <lp. + -LP.. ^
2m m 4m
Отсюда
или согласно (6.86)
P > -~°, (6.90)
Pf
/>e-^-. (6.91)
Pf
213

Следовательно, критическая плотность тока jk, выше которой
имеется электрическое сопротивление, равна
/* = -^-. (6.92)
Из (6.92) видно, что с увеличением ширины е0 энергетической щели
критическая плотность тока возрастает.
Критическое магнитное поле. Как было отмечено выше, для
обычных сверхпроводников Th < TD и, следовательно, согласно
(6.69) и (6.73) e0<ftcoD. Это позволяет преобразовать (6.66) к виду:
£,-£„ = -}ачок, (6.93)
где учтено, что при —— <^ 1 имеет место соотношение
/КО ту
J/.+
2 1 / Р„
~ 1 + XI е»
Напряженность критического магнитного поля Hk можно
определить, учитывая, что экранировка внешнего магнитного поля
сверхпроводящими диамагнитными токами связана с увеличением
магнитной энергии на величину — Я2. При достижении критичес-
8л
кой напряженности магнитного поля Н1г увеличение магнитной
энергии равно уменьшению энергии сверхпроводника за счет
образования электронных пар. Это приводит к равенству
±Щ = Еп-Е,, (6.94)
записанному для единицы объема. Отсюда и из (6.93) следует:
Hk = 2 |/"jtrV(0)eo. (6.95)
Учитывая соотношение
1^(0)^=7,
где у — коэффициент при Т в выражении для теплоемкости
электронного газа в нормальном состоянии1, можно из (6.95) и (6.73)
получить:
у /1*Л' = const. (6.96)
Эта константа «0,17. Таким образом, если две из трех величин
Hk, Tk и у известны, то третью величину можно вычислить (закон
соответственных состояний). Соотношение (6.96) достаточно
хорошо выполняется для различных сверхпроводников, несмотря на
сильное различие свойств металлов в нормальном состоянии.
1 См. [4], § 39.
214

Отметим также, что согласно теории БК.Ш в отличие от
нормального состояния, в котором теплоемкость электронного газа
зависит линейно от температуры се = уТ, в сверхпроводящем
состоянии при Т < Tk теплоемкость электронного газа ces зависит
от температуры по экспоненциальному закону, определяемому
множителем Больцмана
e-zJ(kBT)^
Экспоненциальная зависимость
е-ае„/(/гвГ)
также подтверждается на опыте (а ~ 1,5), что является одним из
доказательств существования энергетической щели в спектре
возбуждений сверхпроводника.
Длина когерентности и поверхностная энергия. При Н > ЯА
увеличение магнитной энергии не может компенсировать
уменьшения энергии за счет образования электронных пар, и
энергетически более выгодным оказывается нормальное состояние, в
котором магнитное поле проникает в образец. Это соответствует на
рисунке 114 случаю I (сверхпроводник I рода).
Увеличение магнитной энергии было бы меньшим при
частичном проникновении магнитного поля в образец. Однако в
сверхпроводниках I рода этому препятствует положительная
поверхностная энергия на границе между нормальной и сверхпроводящей
фазами: появление внутри сверхпроводящего образца нормальной
области связано с увеличением поверхностной энергии.
В случае сверхпроводника II рода, когда поверхностная
энергия между нормальной и сверхпроводящей фазами отрицательна,
образование границы между сверхпроводящей и нормальной
областями сопровождается уменьшением энергии. Поэтому при Нк <
< Н < Hk (см. случай 2 на рисунке 114) возникает смесь из
сверхпроводящих и нормальных областей (смешанное состояние) и
магнитное поле частично проникает в образец.
Для определения знака поверхностной энергии между
нормальной и сверхпроводящей фазами существенное значение имеет длина
когерентности
сверхпроводника |. На рисунке 117 показана
зависимость (6.60) вероятности hp
от энергии ер. Как видно из
(6.60), hp существенно
отличается от функции распределения
в нормальном состоянии в
области Де порядка 2е0. Так как
Де = Д i
\2т
Ар, (6.97)
215

то
АР ~ — 2е0. (6.98)
где учтено, что вблизи поверхности Ферми р ~ рр.
Согласно соотношению неопределенностей
Ал; • Ар > h. (6.99)
Отсюда и из (6.98)
top
Ах —, (6.100)
где vF — скорость электрона у поверхности Ферми.
Таким образом, движение электронов пары коррелировано,
если расстояние между ними меньше или того же порядка величины,
что и длина когерентности:
top
(6.101)
(более точное значение: | = _Л
Для металлов обычно vp ~ 108 —. Поэтому согласно (6.101)
и (6.73)
10-19
"BJ ft
Полагая Tk ~ 10K, получаем значение 1 ~ Ю-4 см, что на четыре
порядка больше межатомного расстояния в кристалле. Длина
когерентности обычно также больше глубины проникновения KL ,
которая согласно оценкам, приведенным в § 38, имеет порядок
величины 5 • 10~в см.
Однако в некоторых переходных металлах и соединениях
эффективная масса электрона может увеличиваться на два порядка,
что приводит согласно (6.12) к увеличению на порядок глубины
проникновения (kL ~ Ю-5 см) и к уменьшению на два порядка
фермиевской скорости (ур~ 10е — ]. При этом согласно (6.101)
5 ~ 10~в см и, следовательно, %L > \ (в некоторых веществах §
оказывается порядка 5 нм).
В сплавах длина когерентности и глубина проникновения
зависят от длины свободного пробега электронов /. Уменьшение
длины свободного пробега (в результате, например, добавления
примесей или деформации) может привести к тому, что длина
когерентности станет меньше глубины проникновения. Поэтому
возможны как сверхпроводники с KL > £, так и сверхпроводники
с U <1.
216

Соотношение между kL и | определяет знак поверхностной
энергии. Действительно, когда нормальная и сверхпроводящая фазы
находятся в равновесии, то в глубине сверхпроводника
выполняется (6.94). При этом положительный вклад от магнитной
энергии компенсирует отрицательный вклад от энергии спаривания
электронов и плотность энергии сверхпроводника равна плотности
энергии нормальной области. Однако вблизи границы между
сверхпроводящей и нормальной областями возможна различная
скорость изменения (с увеличением расстояния от границы)
магнитной энергии и энергии спаривания. Это может привести к
локальному преобладанию той или иной энергии и, следовательно, к
положительной или отрицательной поверхностной энергии.
Случай положительной поверхностной энергии иллюстрирует
рисунок 118. Из этого рисунка видно, что при lL < | более быстрый
рост магнитной энергии приводит к появлению положительной
поверхностной энергии. При этом плотность поверхностной энергии
определяется величиной —{l — KL), которая получается, если
для оценки заменить кривые роста магнитной энергии и
уменьшения энергии спаривания прямыми линиями (на рисунке —
штриховые).
Случай XL > £, когда вблизи границы происходит более быстрое
уменьшение энергии спаривания электронов и возникает
отрицательная поверхностная энергия, иллюстрирует рисунок 119.
При этом плотность поверхностной энергии определяется величиной
//2
порядка —- (kL — §).
Таким образом, сверхпроводимость I рода имеет место при
%i < £. а сверхпроводимость II рода — при %L > \.
Рис 118 Рис. 119
217

Нелокальная связь плотности тока и векторного потенциала
в сверхпроводниках. Относительно большая длина когерентности
(£ ~ Ю-* см > Ю-8 см) приводит к нелокальной связи между
плотностью тока / и вектор-потенциалом А в сверхпроводниках.
Вывод о недостаточности локального уравнения Лондонов (6.20)
и необходимости учета нелокальной связи между j и А был сделан
до создания теории БКШ Пиппардом (1953 г.) на основе анализа
экспериментальных результатов. Изучая глубину Я проникновения
магнитного поля в разбавленных сплавах индия в олове, Пиппард
нашел, что при уменьшении длины свободного пробега I значение
% заметно возрастает. Так как согласно теории Лондонов kL из
(6.12) не зависит от /, то Пиппард предположил, что
T777=r + i? (6.102)
где |в — длина когерентности при 1-у со, | (/) — эффективная
длина когерентности, а — постоянная, которая по порядку
величины равна 1. По аналогии с нелокальной связью между
плотностью тока и напряженностью электрического поля в случае
аномального скин-эффекта (см. § 31) Пиппард предложил в качестве
основного уравнения электродинамики сверхпроводников
следующее уравнение:
7й.= - -J2L. f Щл£1 £, (6.ЮЗ)
—►
где R = \r — rt\.
В случае /-> со это уравнение согласно (6.102) принимает вид:
__R
7 (7)=—**_ г *т£м *■ d;, (6.io4>
4л|0тс J /?4
->■
Коэффициент перед интегралом выбран таким образом, чтобы в слу-
чае, когда в окрестности г вектор А (г4) совпадает с Л (г), выражение
(6.104) перешло в локальное уравнение Лондонов (6.20).
Микроскопическая теория сверхпроводимости БКШ приводит к
результату, который при Т = 0 приближенно соответствует уравне-
ниюПиппарда (6.104)1. Нелокальность связи между /и А устанавли-
1 Вместо £—Я/Ео в случае теории БКШ в (6.104) входит функция / (R),
оо
определенная таким образом, что значение интеграла \ / (R) dR = |0 совпадает
со значением интеграла e^'dR = £0.
218

вается путем, аналогичным соображениям, приведенным в § 31.
При этом учитывается, однако, что волновая функция основного
состояния является произведением состояний вида (6.45) и что
энергия возбуждения (6.72) зависит от ширины энергетической
щели е0.
Связь с длиной когерентности устанавливается указанным выше
соотношением
feo — •
§ 40. КВАНТОВАНИЕ МАГНИТНОГО ПОТОКА
КАК ПРИМЕР МАКРОСКОПИЧЕСКОГО КВАНТОВАНИЯ
Изучая эффект Мейсснера, Ф. Лондон пришел квыводу (1935 г.),
что «жесткость» волновой функции (см. § 38) указывает на
существование в сверхпроводящем состоянии некоторого дальнего
порядка, коррелирующего импульсы электронов проводимости на
больших расстояниях. При этом волновая функция
сверхпроводника \р, являющаяся параметром порядка, должна обладать
макроскопической протяженностью. Эти соображения привели к
представлению о сверхпроводнике как о макроскопической квантовой
системе.
Согласно теории БКШ (§ 39) дальний порядок,
предсказанный Ф. Лондоном, заключается в равенстве импульсов центров
инерции всех куперовских пар во всем объеме сверхпроводника.
В отсутствие тока все импульсы центров инерции электронных пар
равны нулю. Волновая функция пары электронов, центр масс
которой движется с импульсом Р, имеет вид:
♦p-V*\ (6Л05)
где % описывает движение электронов пары друг относительно
друга, а г = — (г4 -4- г2) — радиус-вектор центра масс пары, ком-
поненты которой имеют радиус-векторы г4 и г2. Экспоненциальный
множитель представляет волну де Бройля, соответствующую
движению центра масс пары. Из (6.105)
%=%ei(f, (6.1050
где фаза волны <р определяется выражением
Ф = -Рл (6.106)
Отсюда видно, что равенство импульсов всех пар означает
равенство их фаз.
В сверхпроводнике фаза волны (6.105) сохраняет когерентность
на макроскопических расстояниях (в отличие от нормального
219

состояния, в котором рассеяние электронов проводимости может
привести к случайным и значительным изменениям фазы). Согласно
(6.106) между точками А и В сверхпроводника существует
постоянная во времени разность фаз
Лф = Фв — 4>л ==- J Я, dl,
(6.107)
где dl — элемент линии, соединяющей А и В. Если Р = 0
(отсутствие тока), то фаза пары постоянна во всем объеме
сверхпроводника. Если Р Ф 0, то между любыми двумя точками
сверхпроводника имеется определенная для них разность фаз.
Исходя из представления о макроскопической протяженности
волновой функции сверхпроводника, Ф. Лондон высказал в 1950 г.
предположение о квантовании магнитного потока в многосвязных
сверхпроводниках1 (например, в сверхпроводящем кольце, в
сверхпроводнике с отверстием, в сверхпроводящем полом цилиндре).
Рассмотрим, например, сверхпроводящее кольцо, диаметр и
толщина которого велики по сравнению с глубиной проникновения
kL (рис. 120). Волновую функцию сверхпроводника запишем в
виде (6.105!):
ф = Ае'ф,
амплитуда волны. Тогда по аналогии с (6.107)
(6.108)
где А
Фа~Фл
Ptdl,
(6.107,)
где р — импульс электрона (предположение Лондона было
выдвинуто до открытия спаривания электронов проводимости).
Требование однозначности волновой функции (6.105) приводит к тому,
что при обходе кругового контура L, расположенного внутри
кольца (см. рис. 120), фаза волны должна измениться на величину
2пп (где п — целое число). Поэтому согласно (6.1074)
<£ Р[ dl = п 2я h = nh (6.109)
(условие квантования круговых орбит по
Бору).
-* -». е -*■
Из (6.109) и соотношения mv — р А
с
следует:
\j>LVidl +~S)LAidl = nh- (6- 109i)
mi
Рис. 120
1 Тело называется многосвязным, если в нем
имеются контуры, которые нельзя стянуть в
точку, не выходя за пределы тела.
220

Из (бЛОЭ^, учитывая (6.15) и используя теорему Стокса,
получаем:
т
* Ф и dl + 7 frot" ^dS = пк' (6-1Ю)
L S
где S — площадь поверхности, опирающейся на контур L. Так
как В — rot А, то
f roVUS = \ BndS = Ф, (6.111)
где Ф — поток индукции магнитного поля через поверхность S.
Из (6.111) и (6.110)
•-Щ hdl + ф) ^nk. (6Л12)
Величина
Р-Щ^ + Ф (6Л13)
называется флюксоидом. Из (6.113) и (6.112)
F-W-. (6.114)
Таким образом, флюксоид квантуется, причем квант флюксоида
he
равен —.
е
Если контур L лежит в глубине сверхпроводника, где
сверхпроводящий ток равен нулю, то из (6.114) и (6.113) следует:
ф = п- = пФ0, (6.115)
е
где Ф0 — квант магнитного потока, равный
- « 4 • Ю-7 гс • смг.
е
Предположение Лондона было экспериментально подтверждено
в 1961 г. (Дивер, Фэрбенк и независимо Долль и Набауэр). Однако
на опыте величина Ф0 оказалась в два раза меньше значения,
предсказанного Лондоном. Это расхождение рассматривается как
подтверждение того положения теории БКШ, согласно которому в
сверхпроводнике носителями тока являются не отдельные
электроны, а пары электронов. При этом
е*
где <?* = 2е. Эта формула дает значение Ф0 ж 2 • Ю-7 гс • см2.
Квантование магнитного потока возможно также в односвяз-
ных сверхпроводниках II рода, находящихся в смешанном
221

состоянии. Как отмечено в § 38, в этом состоянии магнитное поле
проникает внутрь сверхпроводника в виде отдельных нитей. При
этом центры нитей, находящихся в нормальном состоянии, играют
роль полости кольца, показанного на рисунке 120. Поэтому
магнитный поток, связанный с каждой нитью, квантуется.
§ 41. КВАНТОВАЯ ЖИДКОСТЬ
Квантовой жидкостью называется система сильно
взаимодействующих частиц, не обладающая пространственной
периодичностью, при достаточно низких температурах, когда существенны
квантовые эффекты. Из § 39 и 40 следует, что электроны
проводимости сверхпроводника образуют квантовую жидкость.
Согласно Ландау (1941 г.) энергетические уровни квантовой
жидкости соответствуют стационарным состояниям жидкости в
целом, а не состояниям отдельных частиц. При достаточно низких
температурах возбуждаются только уровни, расположенные
вблизи основного энергетического уровня жидкости. Эти
слабовозбужденные состояния можно рассматривать как совокупность
элементарных возбуждений, или квазичастиц.
Как известно, теория обычных жидкостей значительно
сложнее теории разреженных газов. Это обусловлено тем, что в
жидкости плотность частиц больше, чем в газе, и поэтому в жидкости
взаимодействие частиц более существенно, чем в газе. В этом
же направлении влияет понижение температуры, которое приводит
к уменьшению средней кинетической энергии и, следовательно, к
увеличению роли потенциальной энергии взаимодействия частиц.
При достаточно низких температурах, когда квантовые эффекты
не маскируются беспорядочным тепловым движением частиц,
взаимозависимость движения отдельных частиц становится еще
более существенной благодаря их волновым свойствам. Так, в
системе тождественных частиц принцип неразличимости приводит,
как известно, к определенной симметрии волновой функции
системы относительно перестановок любой пары частиц независимо от
расстояния между ними. Вместе с тем усиление взаимозависимости
движения отдельных частиц приводит к возможности изучения
квантовой жидкости как единой квантовомеханической системы
(ср. с рассмотрением сверхпроводника как единой макроскопической
квантовой системы в § 40).
Если квазичастицы подчиняются статистике Ферми, то
квантовая жидкость называется ферми-жидкостью. Если квазичастицы
подчиняются статистике Бозе, то квантовая жидкость называется
бозе-жидкостью.
Примером фер ми-жидкости является система
взаимодействующих электронов проводимости в нормальном состоянии при низких
температурах (выше Tk). Другим примером ферми-жидкости
является жидкий ^Не. Квантовый характер этой жидкости
проявляется, в частности, в том, что в отсутствие внешнего давления
222

она не затвердевает при самых низких температурах (переход |Не
в жидкое состояние происходит в обычных условиях при Т =3,19 К).
Ферми-жидкость не является обязательным состоянием сильно
взаимодействующих фермионов. Если, например, частицы с
полуцелым спином объединяются в пары, имеющие целый спин,
квантовая жидкость может оказаться бозе-жидкостью1. Примером бозе-
жидкости является жидкий |Не.
§ 42. СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ ЖИДКОГО ГЕЛИЯ
При атмосферном давлении |Не переходит в жидкое состояние
при 4,2 К- В области температур 2,18 К < Т < 4,2 К жидкий гелий
обладает свойствами, характерными для обычной жидкости. В
этой области температур гелий называется Не I. При Tk =2,18 К
Не I превращается в низкотемпературный Не II.
В 1938 г. П. Л. Капица открыл в Не II явление сверхтекучести.
Оказалось, что при значении скорости, меньшем некоторого
критического значения vk, He II протекает без трения (вязкость
меньше Ю-11 Пуаз) сквозь тонкие капилляры или щели, ширина
которых меньше 10~5 см.
При измерении вязкости методом наблюдения затухания
крутильных колебаний маятника, погруженного в жидкость, было
обнаружено, что вязкость Не II мало отличается от вязкости Не I.
В Не II наблюдается механокалорический эффект: при вытекании
из сосуда через тонкий капилляр оставшаяся в сосуде часть
жидкости нагревается. Наоборот, при втекании через капилляр в сосуд
жидкость в сосуде охлаждается.
Наблюдается также обратный термомеханический эффект: если
два сосуда, в которых Не II находится при температурах Ti Ф
Ф Тъ соединены капилляром, то возникает течение Не И из
сосуда с меньшей температурой в сосуд с большей температурой.
В 1941 г. Л. Д. Ландау показал, что свойство сверхтекучести
следует из постулированного им спектра элементарных
возбуждений е (р), показанного на рисунке 121. Закон дисперсии,
показанный на этом рисунке, был
экспериментально подтвержден путем
изучения рассеяния нейтронов *,
в жидком гелии (Ларсен, Хен-
шоу, Ярнейль и др.).
Согласно рисунку 121 при «
малых р энергия возбуждения е
зависит линейно от р:
г = up. (6.116)
1 О возможности реализации
промежуточной квантовой статистики см.
[9], [10]. Рис. 121
223

Сравнение с законом дисперсии фононов (см. § 11) показывает,
что при малых р возбуждения являются фононами.
С увеличением р энергия возбуждения е достигает сначала
максимума, затем уменьшается, достигает при р0 минимума и затем
снова увеличивается. Вблизи р0 энергия может быть разложена в
ряд по степеням (р — р0):
е (р) = е (р0) +
dp
(Р~Ро)2+ ... • (6.И7)
Ро
В точке минимума
Тр
= 0.
Ро
Поэтому, вводя обозначения
е (р0) = А и
получаем из (6.117):
е
<Ре
dp*
Ро
1
Д + -(р.
2fi
Ро)2-
(6.118)
Элементарные возбуждения типа (6.118) называются ротонами.
Равенство
dp
= 0
Ро
означает, что при р = ро групповая скорость
ротонного состояния равна нулю. Так как энергия ротона больше
или равна Л, то число ротонов пропорционально множителю Боль-
цмана е~~А"'вТ. Поэтому при низких температурах, когда
Г*7)«1,
преобладают фононные возбуждения. При более высоких
температурах могут преобладать ротонные возбуждения.
Рассмотрим тело с массой М, которое движется со скоростью v
в жидком Не II при 7 = 0. При наличии вязкости движение тела
должно замедляться. Это замедление должно начаться с появления
в Не II элементарных возбуждений. Пусть в Не II появляется
элементарное возбуждение с импульсом р и энергией е. Тогда по
закону сохранения импульса
Mv = AlVi -f p,
(6.119)
где Vi—скорость тела после появления возбуждения в Не II.
Согласно закону сохранения энергии
224

Из (6.120) и (6.119)
Учитывая, что
£*£:=,_I+e. (6.120)
^+^ = 0. (6-121)
юр = t»p cos9
(где 0 — угол между v и /?), получаем из (6.121):
v =
Р + 2М (6.122)
cos 9
Так как | cos 9| ^ 1, то из (6.122)
с>- + —. (6.123)
"р 2М
Отсюда, если масса УИ достаточно велика [М > —
»>-. (6.124)
Р
Таким образом, возбуждение жидкости (и, следовательно,
замедление тела и возникновение вязкости) возможно только при скорости
тела, удовлетворяющей неравенству
v^vk, (6.125)
где
aft = min—. (6.126)
Р
Этот же результат получается при рассмотрении возможности
замедления Не II, движущегося относительно капилляра.
Отношение — равно тангенсу угла наклона прямой, проведенной
Р
в плоскости (е, р) из начала координат в точку е. Если минимум
отношения — равен нулю, то vk = 0 и жидкость не является сверхте-
Р
кучей, так как для любого уфО выполняется (6.125). В частности,
в случае квадратичного закона дисперсии
Ра
Чт
характерного для идеального газа, сверхтекучесть невозможна.
8 М. С. Свирский 225

Действительно, в этом случае
±_ Р_
р 2т
Минимальное значение этого отношения равно нулю (оно
достигается при р = 0).
В случае закона дисперсии, показанного на рисунке 121,
отношение — имеет отличное от нуля минимальное значение при р <v
Р
fa p0. Следовательно, этот закон дисперсии действительно приводит
к свойству сверхтекучести жидкого гелия.
Экспериментальные значения —= 8,5 К и — — \ g . Ю8 см-1
кв й '
приводят согласно (6.126) к значению критической скорости vk ~
~ 60 —. Опыт показывает, что в действительности скорость vk
с
значительно меньше (порядок ее величины составляет 1 — |.
Поэтому условие
v < min —
Р
следует рассматривать как необходимое, но недостаточное для
сверхтекучести Не П.
Двухжидкостная модель. Изложенные выше соображения
применимы также при Т Ф 0. Действительно, при выводе условия
возбуждения жидкости (6.125) использовались только законы
сохранения энергии и импульса, но не использовалось равенство нулю
температуры жидкости. Случай Т Ф0 отличается от случая Т = 0
тем, что при Т Ф 0 в гелии имеются элементарные возбуждения,
обусловленные тепловым движением. При v < vK новые
элементарные возбуждения, связанные с движением массы через жидкость
(или с движением жидкости относительно капилляра), не
появляются. Но те элементарные возбуждения, которые уже имеются при
Т ф 0, могут обмениваться импульсом с массой М, вызывая
замедление жидкости. При этом вязкость жидкости оказывается
отличной от нуля. Следовательно, элементарные возбуждения,
обусловленные тепловым движением, ведут себя как нормальный
компонент.
Обозначая через р„ плотность нормального компонента, через
р^ плотность сверхтекучего компонента и через р плотность жидкого
гелия, имеем:
Р = Р„+Р,- (6-127)
Это равенство лежит в основе двухжидкостной модели. Согласно
теории Ландау масса Не II состоит из сверхтекучей части,
имеющей нулевую вязкость, и нормальной части, обусловленной
возбуждениями. Между этими частями жидкости нет трения. Из соот-
226

ношения (6.127) не следует, что можно пространственно разделить
нормальный и сверхтекучий компоненты. Два компонента
квантовой жидкости соответствуют двум возможным в ней видам
движения — нормальному и сверхтекучему.
Энтропия Не II обусловлена его возбуждениями. Течение
сверхтекучей части Не II не сопровождается переносом энтропии
и, следовательно, не сопровождается переносом тепла.
Двухжидкостная модель позволяет объяснить многие свойства
Не И.
Так, рассмотренное выше свойство Не II протекать без
вязкости через тонкие капилляры или щели объясняется движением
сверхтекучего компонента. С другой стороны, вязкость,
наблюдаемая при затухании крутильных колебаний маятника, объясняется
взаимодействием между маятником и нормальным компонентом.
Механокалорический эффект объясняется тем, что через
капилляр протекает сверхтекучая часть Не II, которая не уносит тепла
из сосуда. При этом концентрация нормальной части Не II в
сосуде (т. е. концентрация квазичастиц) увеличивается, что приводит
к увеличению температуры гелия, оставшегося в сосуде.
Аналогично охлаждение Не II при втекании в сосуд через капилляр
объясняется уменьшением концентрации квазичастиц в сосуде (так как
втекает сверхтекучая часть Не II).
Термомеханический эффект объясняется тем, что в сосуде с
более высокой температурой концентрация элементарных
возбуждений больше, чем в сосуде с меньшей температурой.
Выравнивание концентраций квазичастиц в сосудах происходит при течении
сверхтекучей части Не II через капилляр из сосуда с меньшей
температурой в сосуд с большей температурой.
Важным выводом из двухжидкостной модели было
предсказание существования в Не II «второго» звука. В отличие от
«первого» звука, представляющего собой колебания плотности (при
которых нормальный и сверхтекучий ком- „
поненты движутся как целое), в случае у^
«второго» звука нормальная и
сверхтекучая части движутся в противофазе. При
этом отношение — периодически меняется
Р
в пространстве и во времени. Так как
отношение — является функцией температу-
Р
ры(рис. 122), то это приводит к
распространению температурных волн. Согласно
теории Ландау (1941 г.) «второй» звук
представляет собой волны плотности в газе
возбуждений. При Т -> О скорость и2
«второго» звука равна -j=ui (где «t — скорость
«первого» звука). «Второй» звук в Не II
Ъ
Рис. 122
&*
227

был экспериментально открыт Пешковым
(1944 г.).
Квантовые вихри в Не II.
Сверхтекучесть, так же как сверхпроводимость,
представляет собой проявление квантовых
закономерностей в макроскопическом
масштабе.
Если Не II движется в двухсвязной
системе, сечение которой показано на
рисунке 123, то, рассматривая Не II как
макроскопическую квантовую систему,
получаем (аналогично 6.109):
фо,Л = п —, (6.128)
где учтено, что р = то. Согласно (6.128) квант циркуляции скорости
равен —. Подставляя значение массы атома гелия, получаем:
Рис. 123
— ~9,4- 10"
т
см"
с
Впервые идея о существовании квантовых вихрей была выдвинута
Онзагером (1948 г.).
Так как L = 2лг, то согласно (6.128) скорость вихря
уменьшается обратно пропорционально г:
v — п-
2лтг
(6.129)
В случае квантованного магнитного потока в сверхпроводнике
согласно (6.14) напряженность магнитного поля и, следовательно,
плотность электрического тока уменьшаются экспоненциально с
увеличением расстояния. Это отличие можно наглядно объяснить
тем, что у атомов гелия1 е = 0, а для таких частиц согласно (6.12)
X. —>- оо.
Таким образом, между сверхпроводимостью и сверхтекучестью
имеется аналогия. Однако сверхпроводимость обладает рядом
специфических свойств, обусловленных тем, что электроны
проводимости являются электрически заряженными частицами.
1 Из (б.ЮЭх) и (6.111) для сверхпроводящей цилиндрической пленки с
сечением, показанным на рисунке 123, следует, что
-т
2птг
Это выражение переходит в (6.129) при е — 0.
228

§ 43. КВАНТОВЫЕ КРИСТАЛЛЫ
В главе II при рассмотрении динамики кристаллической
решетки предполагалось, что амплитуда колебаний атомов около
узлов кристаллической решетки мала по сравнению с межатомными
расстояниями d. Нулевые колебания атомов совершаются с
амплитудой
в,~Дг, (6-130)
УуМ
где М — масса атома, у — коэффициент упругой связи. Эта оценка
следует из приближенного равенства
^~*ш, (6.131)
2 2
где — — потенциальная энергия атома, отклоненного на
расстояние а0 от узла кристаллической решетки, энергия
нулевых колебаний (см. 2.101). Учитывая, что
2
/:
'-Ь
получаем из (6.131) соотношение (6.130).
Согласно (6.130) при
величина а0 значительно меньше d. Однако с уменьшением М и у
значение а0 растет и для легких атомов оно может оказаться
сравнимым с d. Так, в фазе твердого 3Не с ОЦК-решеткой и молярным
объемом 24,7 см3 величина а0 ~ 0,1 нм, ad~ 0,377 нм. В этом
случае приближения, рассмотренные в главе II, оказываются
недостаточными. Кристаллы, в которых а0 имеет такой же порядок
величины, что и d, называются квантовыми кристаллами.
Безразмерным параметром, характеризующим нулевые
колебания, является отношение ( —) . Согласно (6.130)
&?~ %=>-. (6.132)
Величина — равна потенциальной энергии U, связанной с
отклонением атома от узла кристаллической решетки на
расстояние d. Поэтому из (6.132)1
1 В случае потенциала Леннарда—Джонса
К= 4е
J I \г,
характеризующего взаимодействие атомов инертных элементов, в (6.133) вместо
U входит е0, a d заменяется на а.
229

dVMU
Л,
(6.133)
где Л — квантовый параметр де Бура (1948 г.). Наибольшее
значение (0,49) Л имеет у 3Не. Такого же порядка величины является Л
у 4Не и Н2- На порядок меньше величина Л у неона. У других
чистых веществ величина Л значительно меньше.
Одним из следствий больших значений Л у 8Не и 4Не является
их жидкое состояние вблизи Т = 0 при давлениях р < 30 атм
для 3Не и р < 25 атм для 4Не.
Другим следствием больших значений Л является
относительная «мягкость» кристаллов Не. При изучении механических свойств
кристаллов Не рассмотрение независимых колебаний атомов около
узлов решетки оказывается недостаточным. В этом случае
необходимо учитывать корреляцию движений атомов, оказывающихся на
малых расстояниях друг от друга (короткодействующая
корреляция).
Существенное влияние большие нулевые колебания оказывают
на ядерные магнитные свойства кристаллов 3Не. Электронная
оболочка 8Не не имеет магнитного момента. Однако ядро 8Не, состоя-
1
щее из двух протонов и одного нейтрона, имеет спин — и магнитный
момент \i — 1,07 • 10723 эрг-гс-1. Большие нулевые колебания
приводят к относительно сильному обменному взаимодействию,
которое на три (или более) порядка больше, чем в обычных
кристаллах (у 8Не I ~ kB- 10~3 К вместо kB • 10~вК, наблюдающегося у
обычных кристаллов). В области Т ^ Ю-3 К в 3Не наблюдается
магнитное упорядочение.
В жидком 3Не нулевые колебания более значительны, чем в
твердом 3Не. Поэтому обменные эффекты в жидком 3Не также
являются более сильными, чем в кристалле 3Не. Если жидкий 3Ие
переходит под давлением в твердый 3Не при Т >Tk (имеется в виду Tk
для магнитного упорядочения ядерных магнитных моментов 3Не),
то магнитный порядок разрушается и энтропия увеличивается
(рис. 124). Поэтому в отличие от обычных кристаллов переход
3Не в твердое состояние сопровождается при Т<0,3 К (см. рис. 124)
поглощением тепла1. Это
свойство используется для
получения сверхнизких температур (до
ю-3 к).
Большие нулевые колебания
способствуют туннелированию
дефектов в квантовых
кристаллах. В отличие от случая обыч-
1 Это свойство было предсказано
И- Я. Ломеранчуком.
230

ных кристаллов, в квантовых кристаллах дефекты оказываются не-
локализованными. Периодическое поле кристалла приводит к тому,
что состояние движущегося дефекта характеризуется
квазиимпульсом. Соответствующие квазичастицы с квазиимпульсом р и
энергией е (р) называются дефектонами.
В случае квадратичного изотропного закона дисперсии энергия
дефектонов выражается так:
е(Й)==е° + 2^' (6Л34)
где т* — эффективная масса дефектона.
Если н0 > 0, то число дефектонов стремится при Т -у 0 к нулю,
е»
как е
Если е0 < 0, то при Т -> 0 число дефектонов оказывается
отличным от нуля (нулевые дефектоны).
Дефектоны, соответствующие вакансиям в твердом 4Не,
подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна. Нёидеальный газ бозонов с
отталкиванием обладает, как показал Н. Н. Боголюбов (1947 г.),
свойством сверхтекучести. Поэтому нулевые дефектоны приводят
к возможности сверхтекучего состояния квантового кристалла.
В кристалле с нулевыми дефектонами возможны два вида
движения: 1) смещения узлов кристаллической решетки,
характерные для упругого твердого тела; 2) перенос массы в результате
движения дефектонов. Второй вид движения имеет свойства,
характерные для жидкости. При Т Ф О свойством текучести обладают
также обычные кристаллы, в которых имеются вакансии. Однако
в квантовых кристаллах жидкостный тип движения возможен
также при Т = 0.
В случае движения примесей 3Не в 4Не типичными являются
ширина энергетической зоны АЕ Z. Ю-4 К и частота туннелирова-
ния ш Z. 1 МГц. При этом скорость движения примеси оказывается
порядка v Z. 0,1 —. Соответствующие квазичастицы называются
с
примесонами или волнами флуктуации массы.
Условие сверхтекучести, Как показал Б. Т. Гейликман (1973 г.),
может выполняться также в случае неидеального газа примесонов
водорода.

Глава VII
КВАНТОВАЯ РАДИОФИЗИКА
§ 44. ИНДУЦИРОВАННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Рассмотрим двухуровневую систему с энергиями Е2 и Et,
причем Е2 > Ei (рис. 125). Переход между уровнями Е2 и Et связан
согласно постулату Бора с частотой излучения v21, определяемой
равенством
Е% — Е^
v21
h
(7.1)
Согласно теории излучения и поглощения света Эйнштейна
(1917 г.) переход с уровня Ei на уровень Е2 обусловлен
вынужденным поглощением. Число вынужденных переходов dNi2 за время dt
определяется выражением
dNi2 = Bi2pl2Nidt, (7.2)
где В12 — коэффициент Эйнштейна для вынужденного
(индуцированного поглощения), р12 — плотность излучения с частотой v2i
из (7.1), Ni — число атомов на уровне £4. Числу вынужденных
переходов Nn соответствует поглощение энергии
dEi2 = hv2idNi2 = hv2iBl2p12Nidt. (7.3)
Число переходов с уровня Е2 на уровень £t определяется
выражением
dNu = B2ipi2N2dt + A 2iN2dt, (7.4)
где В21 — коэффициент Эйнштейна для вынужденного излучения,
Л 2i — коэффициент Эйнштейна для спонтанного излучения
кванта hv2i, N2 — число атомов на уровне Е2. Числу переходов dN2i
соответствует излучение энергии
dE2i = hv2i (fi21pi2 -f A2i)N2dt. (7.5)
В статистическом равновесии dEi2=dE2i.
При этом из (7.5) и (7.3)
(Bi2p?2 + A U)N% =BiSp?aN°v (7.6)
Отсюда вытекает следующее
выражение для равновесной плотности излуче-
Рис 125 ния:
"21
21
12
%
232

Pi2 = -• (7.7)
Я fjO p л/0
D12'vi — 02l'v2
Согласно распределению Больцмана (и учитывая 7.1)
равновесные населенности N° и N° связаны соотношением
Щ -J5L. _& ' ( 8)
kBT
ft*
где gi и g2 — кратности вырождения уровней Et и Е2. Из (7.7) и
(7.8)
В-
№ = ?—W • (7-9)
12 „ т" Я
е-±.еквТ _^
#2 б12
Это равенство приводит к формуле Планка
8nhvs 1
(7.10)
kBT
е — 1
если учесть соотношения
glB12 = g2B21, A21 = -~^B2i. (7.11)
В отсутствие равновесия между поглощением и излучением
поглощаемая энергия определяется разностью между (7.3) и (7.5):
dE = dEi2 — dE9* = hv,
12 "-^21 'tv21
5isP»(^i-^.)-^i^.
Л, (7.12)
где использовано первое из равенств (7.11). Из второго равенства
(7.11) видно, что при достаточно малых частотах, когда коэффициент
8nhvl.
—~ «1,
с3
коэффициент спонтанного излучения А2\ значительно меньше
коэффициента индуцированного излучения B2i. Поэтому, пренебрегая
влиянием спонтанного излучения (что допустимо при достаточно
малых частотах и больших плотностях излучения р12), получаем
из (7.12):
dE = Av21B„Pu [Nx - & N^dt. (7.13)
Из (7.13) видно, что если
e+N2< Nv
Si
233

то dE > 0 и, следовательно, dEi2 > dE2i — система поглощает
энергию. Если же
8-±-N2>Nv
82
то dE < 0 и, следовательно, dEi2 < dE2i — система излучает
энергию.
Идея молекулярного усиления света была предложена советским
физиком В. А. Фабрикантом и его сотрудниками в 1951 г. В 1954 г.
советские физики Н. Г. Басов и А. М. Прохоров разработали теорию
квантового генератора радиоволн и создали молекулярный
генератор. В 1954 г. была опубликована также работа Ч. Таунса и его
сотрудников, в которой был описан квантовый генератор на
молекулах аммиака. В 1960 г. Т. Мейман осуществил стимулированное
излучение света на рубине. Квантовые генераторы радиоволн
сантиметрового диапазона получили название мазеров. Квантовые
генераторы света называются лазерами (слова «мазер» и «лазер»
составлены из первых букв выражения microwave (light)
amplification by stimulated emission of radiation — усиление микроволн
(света) путем вынужденного излучения. Спонтанное излучение
является некогерентным (несогласованы фазы, направления,
поляризация волн, испускаемых отдельными атомами). Индуцированное
излучение является когерентным. Излучаемый при
индуцированном переходе фотон имеет те же частоту, фазу, направление
движения и поляризацию, что и первичный фотон, вызвавший переход.
Эта особенность индуцированного излучения используется при
создании квантовых генераторов когерентного (монохроматичного
и направленного) излучения.
§ 45. ИНВЕРСНАЯ НАСЕЛЕННОСТЬ УРОВНЕЙ
И «ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ» ТЕМПЕРАТУРЫ
Рассмотрим систему с двумя невырожденными уровнями (£4 <
< Е2). Из (7.8) следует, что в этих условиях
N° квт
-=е . (7.14)
Отсюда видно, что при низких по сравнению с ~^- температурах,
когда -т-Щг > 1, выполняется неравенство Nl < N° и основ-
ная часть атомов находится в невозбужденном состоянии с энергией
Bf При повышении температуры число атомов на уровне Е2
увеличивается. Однако при е кв' < 1 выполняется неравенство N° <
< Ni а большинство атомов остается в невозбужденном состоянии.
Только когда -r^2ir -*■ 0, величина N°> стремится к N°.
RB J
234

Согласно (7.13) в случае gi = g2 = 1 при N2 < Ni
двухуровневая система поглощает электромагнитную энергию. Для
осуществления стимулированного излучения необходимо обеспечить
отличное от равновесного распределение населенности уровней, при
котором большинство атомов находится в возбужденном состоянии
(Nz > Ni). Это распределение называется инверсией (обращением)
населенности уровней.
В двухуровневой системе инверсия населенности энергетических
уровней может быть описана с помощью понятия отрицательной
абсолютной температуры. Действительно, допустим, что отношение
(7.14) содержит определение абсолютной температуры и описывает
не только равновесное состояние с населенностями N° и N°>, но и
неравновесные состояния с населенностями Ni и Nz. Тогда
N-±~ekBT. (7.15)
Отсюда
Г = ^_1_ (7.16)
кв „А"
Из (7.16) видно, что при N\ > Nz, когда большинство атомов
находится в невозбужденном состоянии, In — > 0 и абсолютная тем-
пература Т положительна. При Ni = Nz, когда населенности
уровней Ei и Е2 одинаковы. In —-1 = 0 и абсолютная температура
образа
щается в бесконечность. При Nt < Nz, когда большинство атомов
находится в возбужденном состоянии, In — < 0 и абсолютная тем-
пература отрицательна.
Таким образом, отрицательная температура является
характеристикой неравновесного состояния.
Некоторые способы создания инверсии населенности
рассматриваются в § 46 и 47.
§ 40. ДВУХУРОВНЕВАЯ СИСТЕМА И МАЗЕРЫ
На рисунке 126 схематически показана структура молекулы
аммиака (NH3). Устойчивому взаимному расположению атомов
(см. рис. 126, а) соответствует зеркально симметричное устойчивое
расположение, показанное на рисунке 126, б. Минимумы
потенциальной энергии, соответствующие состояниям а и б, разделены
потенциальным барьером. Так как молекула может находиться вблизи
235

н
н
0
0
N о каждого из двух минимумов
потенциальной энергии, то это приводит
к расщеплению энергетического
уровня молекулы на две энергии
Ег > Et. При этом частоте (7.1)
"Н\\ _^~ |\ соответствует в молекуле аммиака
н длина волны к = 1,27 см.
Инверсия населенности,
необходимая для стимулированного
излучения, достигается путем
сортировки молекул аммиака в
неоднородном электрическом поле. Под
влиянием электрического поля
энергия Ег увеличивается, а энер-
Рис. 126 гия £4 уменьшается. Поэтому
молекула аммиака, находящаяся на
уровне Ег, понижает свою
энергию, переходя в область с малой
напряженностью электрического
поля. Молекула, которая
находится на уровне Ей уменьшает свою
энергию, переходя в область с
большей напряженностью
электрического поля.
На рисунке 127 схематически
показано поперечное сечение сор-
Рис. 127 тирующей системы, в которой
напряженность электрического поля
возрастает при движении от оси симметрии к периферии. Когда
пучок молекул аммиака направляется вдоль оси симметрии О, то
молекулы, находящиеся на уровне Е2, остаются в области с малой
напряженностью электрического поля и проходят без отклонения.
Молекулы, находящиеся на уровне Еи переходят в область с
большей напряженностью электрического поля и отклоняются. Поэтому
почти все молекулы, прошедшие через сортирующую систему,
оказываются в возбужденном состоянии с энергией Е2- Пучок молекул
аммиака, находящихся на уровне Е2, направляется в резонатор,
где при переходе с Е% на Ец индуцируется излучение с длиной волны
"к та 1,27 см и частотой v та. 2,38 • 1010 с"1.
При достаточном количестве возбужденных молекул,
поступающих в резонатор в 1 с, когда мощность, излучаемая молекулярным
пучком, компенсирует мощность потерь, в резонаторе
поддерживаются непрерывные электромагнитные колебания.
В твердом теле для усиления и генерации радиоволн могут быть
использованы два разных энергетических уровня (Е2 > Ei),
соответствующие двум возможным проекциям спина электрона на
напряженность внешнего магнитного поля:
Ег = (V/, Ех = -цвН. (7.17)
©
0
236

Согласно (7.1) уровням (7.17) соответствует резонансная
частота
Если Nz< Ni, то при включении направленного
перпендикулярно к Я переменного магнитного поля Hi с частотой (7.18) возникает
сильное поглощение. Это явление, называемое электронным
парамагнитным резонансом (ЭПР), было теоретически предсказано в
1923 г. советским физиком Я- Г. Дорфманом. Экспериментально
ЭПР был открыт советским физиком К- Е. Завойским в 1944 г.
Если Л^г >Ni, то согласно (7.13) возможны усиление и
генерация электромагнитного излучения. Инверсия населенности,
необходимая для выполнения неравенства N% > Nu может быть
осуществлена импульсной инверсией на 180°, адиабатически быстрым
прохождением через резонанс, внезапным обращением
напряженности магнитного поля и другими методами.
Рассмотрим, например, метод внезапного обращения
направления напряженности магнитного поля. При использовании этого
метода твердое тело помещается сначала в сильное постоянное
магнитное поле с напряженностью Я ~ Ю3 э. После того как тело
намагничивается, величина Я быстро уменьшается до нескольких
эрстед, а затем за время порядка Ю-7 с направление Я изменяется
на противоположное и быстро увеличивается до первоначального
значения. Если время релаксации, в течение которого тепловое
движение успевает восстановить равновесное состояние, превышает
время обращения направления напряженности магнитного поля,
то система спинов оказывается в неравновесном состоянии с
отрицательной температурой.
Экспериментально этот метод был впервые осуществлен в 1951 г.
Перселлом и Паундом ядерными спинами. Поместив монокристалл
LiF в магнитное поле с напряженностью Я = 6376 э, они
уменьшили напряженность до 100 э и затем за время 2 • Ю-7 с изменили
направление вектора Я на противоположное. После этого
напряженность Я была вновь увеличена до 6376 э. Этот процесс занял
несколько секунд, что значительно меньше времени релаксации,
которое при комнатной температуре оказалось у ядер порядка 300 с.
Таким путем удалось получить отрицательную температуру и
наблюдать стимулированное излучение.
Недостатком двухуровневых систем в твердом теле является
невозможность обеспечения инверсии населенности при
непрерывном возбуждении частиц внешним излучением (накачкой). Это
обусловлено тем, что в твердом теле частицы не являются
свободными. В результате взаимодействия частиц с решеткой имеются
определенные вероятности релаксационных процессов. Пусть со12
есть вероятность релаксационного перехода с уровня Et на уровень
Е2, а со21 — вероятность релаксационного перехода с уровня Ег
237

на уровень £4. В тепловом равновесии число релаксационных
переходов с Ei на Ег и с Е2 на Е{ равны между собой. Поэтому
JV°co)2 = Л/°ю21, (7.19)
где N°i и Nu — равновесные населенности. Используя (7.14),
получаем из (7.19):
N1
= еквТ, (7.20)
где АЕ = Е2 — Ei. Из (7.20) видно, что вероятность co2i
релаксационного перехода с уровня Е2 на уровень £\ больше вероятности
«12 релаксационного перехода с уровня Ei на уровень Е2. Поэтому
длительное действие накачки может привести только к
выравниванию населенности уровней (насыщению), но не дает инверсии насе-
ленностей, необходимой для стимулированного излучения.
Для получения инверсии населенностей в двухуровневой
системе в твердом теле, используется кратковременная накачка. В случае
достаточно мощного и короткого импульса накачки вынужденные
переходы имеют место чаще, чем релаксационные переходы. При
этом почти все ионы, находившиеся на уровне Elt переходят на
уровень Е2, а ионы, находившиеся на уровне Е2, переходят на уровень
Ei, что приводит к инверсии населенности. Наибольшее усиление
получается, если накачка прекращается в момент, когда
инверсия населенности достигает максимального значения. Такая
инверсия населенности называется импульсной инверсией на 180°.
Аналогично в случае «адиабатически быстрого» прохождения
через резонанс релаксационные процессы не успевают произойти
за малое время прохождения через резонанс и образуется инверсия
населенности.
Необходимость чередования накачки и усиления и непостоянство
усиления во времени затрудняют применение двухуровневых
усилителей. Поэтому более широко применяются трехуровневые
системы.
V
§ 47. ТРЕХУРОВНЕВАЯ СИСТЕМА И ЛАЗЕРЫ
На рисунке 128 показана схема трех-
->
h-
е
<V' il уровневой системы. Частоты v31, v32 и v2i
,, определяются равенствами
AvSi = Ег — Еи hv32 = Es — Ег,
hv2i = Ег — Ei, (7.21)
' jf а населенности уровней удовлетворяют
i равенству
Рис. 128 Nt + N2 + N3 = N, (7.22)
238

где N — полное число частиц. При накачке с частотой v3i изменения
населенностей подчиняются уравнениям
я = - («si + «W л^з + «Л + «23^2 + wn (N, - лд,
"3
dt
dJ^f- = - (©28 + <»м) А^2 + «З2^з + «>и^1. (7-23)
ей
^Г = - («13 + ©12) ЛГ» + «31^3 + ©21^2 + W3l (N3 - NJ,
at
где G>lk — вероятность релаксационного перехода с уровня Et
на уровень Ек. Величина Wi3 = W3i равна вероятности перехода
с уровня Ei на уровень Е3 под влиянием накачки.
В стационарном состоянии
^- = ®Ь- = ^5- = 0 (7 24)
dt ' dt ' dt
При этом из второго равенства (7.23) следует:
(ш23 + (02i)iV2 = W32N3 + o>12jVi. (7.25)
Учитывая (7.20), имеем:
©за = ©23^ кв Т ,
ftv2.
kBT
J12°
(7.26)
В случае насыщения перехода £4 -г- £3 населенность Л/3 равна A'i.
При этом из (7.25) и (7.26)
^2(©2з + ©21) = 1©2з^вГ + ©21б *В'М. (7.27)
Отсюда видно, что Л^з > Nz (инверсия населенности на переходе
Е3 ■+• £г). если
со28Н-со21>ш23е*вГ+©г1е **Г. (7.28)
В случае, когда -r-~ <g 1 и -т~ < 1, из (7.28) следует:
Ко I «в '
©23 + ©21 > ©23 (1 + 44) + «и (1 - т^], (7.29)
или
©23^32 < ©2lV2i- (7.30)
ЕСЛИ CU23 = ©21. ТО ИЗ (7.30)
£2>1(£3 + £1). (7.31)
239

Рис. 129
Итак, в этом случае инверсия
населенности на переходе Е3 •*• Е2 имеет место,
если уровень Е2 расположен выше
середины интервала между уровнями Et и Е3.
Неравенство N2 > N\ (инверсия
населенности на переходе Е2 •*• £i)
достигается, если
«23^32 > W21V2i. (7-32)
Из (7.32) при ©23 = c°2i вместо (7.31)
получаем:
Е2 < 1 (Еш + EJ. (7.33)
Следовательно, в рассматриваемом случае инверсия населенности
на переходе Е3 -*- Et имеет место, если уровень Е2 расположен
ниже середины интервала между Е3 и Е\.
Если частоты v32 или v2i относятся к микроволновому
диапазону, то трехуровневая система может быть использована для
создания мазера. На рисунке 129 схематично показана зависимость двух
низших уровней хрома в рубине от напряженности магнитного
поля Н при 0 = 54,7 °С (где 0 — угол между Н и
кристаллографической осью). Рубин состоит из окисла алюминия А1203 (корунд), в
котором небольшая часть ионов А13+(0,03—0,05%) заменена ионами
хрома. Под влиянием внутрикристаллического поля основной
уровень иона Сг31" расщепляется на два уровня, переходы между
которыми соответствуют длине волны X = 2,5 см. На нижнем уровне
проекция спина Сг3+ на направление электрического поля кристалла
3 1
равна ± — .На верхнем уровне эта проекция равна ± —. При вклю-
£ 2.
чении внешнего магнитного поля уровень с проекцией спина
е,
^
Е,
Го
F,
11 V
!
'
Рис. 130
2
расщепляется на два уровня с проекциями
3 3
спина — и . Уровень с проекцией спина
± — расщепляется на уровни с проекциями
спина — и . Таким образом появля-
2 2 v
ются четыре уровня. Стрелками на
рисунке 129 показаны наиболее эффективные
переходы для усиления волн в диапазоне
3—5 см.
Лазер на рубине. На рисунке 130
показана схема уровней рубинового лазера.
Уровни ионов Сг8+ лежат внутри
запрещенной зоны А1203. Ионы хрома поглощают
свет от импульсной лампы и переходят из
240

Щ=*ь
основного уровня Ех на уровни Ег и
Ек. Из этих уровней электроны
могут спонтанно возвращаться на
основной уровень. Но значительно
быстрее (т32 ~ Ю-8 с) они
переходят на уровень Е2 безызлуча- Когерентный свет
тельным путем, когда выделяюща- Рис 131
яся энергия уносится фононами
(волнистая линия на рисунке 130). Время жизни электронов на ме-
тастабильных уровнях Е2 имеет порядок величины т21 ~ Ю-3 с, что
на пять порядков больше т32- При вынужденном переходе с уровня
Ег на уровень Ei генерируется излучение с 1» 694,3 нм в
красной области спектра.
Для инверсии населенности необходимо перевести на уровни Е2
не менее половины ионов хрома. Если концентрация ионов хрома
имеет порядок величины 1018 см"3, то для перевода ионов на уровни
£2, Ег необходима энергия порядка 5 • 1018 • 4 • 1СГ12 — ~
~2 • 107 —. Этот перевод должен быть осуществлен за время,
см3
меньшее x2i. Поэтому поглощаемая мощность имеет порядок
величин 2 кВт на 1 см3. Если объем рубина~10 см3, то необходима мошг
ность накачки 20 кВт. При коэффициенте использования световой
энергии лампы ~ 10% необходима лампа мощностью 200 кВт.
В действительности следует возбудить более половины ионов
хрома, так как разность N2 — Nt должна быть больше некоторого
порогового значения. Это обусловлено тем, что для работы лазера
кроме инверсии населенности необходима обратная связь. Часть
излучаемой энергии должна оставаться внутри лазера и
индуцировать излучение новыми атомами. Это обычно обеспечивается с
помощью зеркал, одно из которых является полупрозрачным (рис.131).
Пусть / — расстояние между зеркалами 1 и 2, ограничивающими
лазер, a S — площадь зеркала. Отражаясь от зеркал, свет
многократно участвует в индуцированном излучении, прежде чем он
уходит через полупрозрачное зеркало. Так как коэффициент отражения
зеркала г < 1, то при каждом отражении происходит потеря
энергии. В единицу времени на каждое зеркало падает энергия
Р « uvS, (7-34)
ГДе и _ плотность электромагнитной энергии, v — скорость света
в веществе лазера. На первом зеркале в единицу времени теряется
энергия
Ру = qlUvS, (7.35)
а на втором зеркале —
Р2 = qzuvS, (7-36)
241

где <7i и q2 — коэффициенты потери энергии на первом и на втором
зеркалах.
Для поддержания колебаний в генераторе необходимо, чтобы
мощность индуцированных переходов Е2-+ Et в объеме IS
превышала сумму Pi -4- Р2. Согласно (7.13), (7.35) и (7.36) это приводит
к неравенству
Sthv2lBi2pi2 (N2 — Ni) > (<7i + q2)uvS, (7.37)
где принимается, что gi — g2 = 1- Отсюда
#,-#!> &±3&£-. (7.38)
/Av21p12S12
Плотность и и р12 связаны соотношением
"~Pi2~f, (7-39)
где Av2i — ширина спектральной линии v2i, а К — постоянный
коэффициент порядка 1, зависящий от формы этой линии. Поэтому
из (7.39) и (7.38)
N N> Ж±^А^ь. (7.40)
Klhy21Bw
В рубиновом лазере при q ~ 1% и / ~ 10 см получаем Л^г —
— jVi — 1017 на 1 см*.
Газовые лазеры. В 1939 г. советский физик В. А. Фабрикант
предложил использовать электрический разряд в газе для
получения отрицательного коэффициента поглощения света. Первый
газовый лазер был создан в 1961 г. в двухкомпонентной
гелий-неоновой системе. Инверсия населенности, необходимая для возбуждения
генерации в оптическом диапазоне, создается путем использования
оптической накачки, столкновений первого и второго рода,
диссоциации молекул, рекомбинации, химических реакций и других
методов.
Столкновения I рода приводят к возбужденным состояниям по
схеме
е + Л->Л*+е, (7.41)
где е — электрон, А — невозбужденный атом, А * — возбужденный
атом.
Столкновения II рода приводят к переходу в возбужденное
состояние по схеме
А+В*-+А*+В, (7.42)
где А и В — невозбужденные атомы, А* и В* — возбужденные
атомы.
При диссоциации молекул могут образоваться возбужденные
состояния согласно схемам
А* +ВС-+ А + В* + С,
АВ + hv-+ A* + В, (7.43)
242

первая из которых соответствует столкновению второго рода, а
вторая — фотодиссоциации. Примером схемы (7.43) является
диссоциация
Ne -f 02 ->■ Ne + О* + О (7.44)
или фотодиссоциация
СН18 + hv -> СН3 + I*.' (7.45)
Примером возбуждения в результате химического
взаимодействия является реакция
Н+С12-»-НС1* +С1. (7.46)
В результате процесса (7.41) атом Не, который находится до
столкновения в основном состоянии \lS, переходит в метастабиль-
ное состояние 23S. В гелий-неоновом лазере процесс (7.42)
возвращает гелий в основное состояние и возбуждает Ne в состояние
2pb4s. Из этого состояние Ne переходит в результате вынужденного
излучения в состояние 2ръ3р, затем — в метастабильное состояние
2p53s и отсюда — в основное состояние.
При создании инверсии населенности между 2p64s и 2р53р
наиболее интенсивное излучение происходит в инфракрасной области
на длине волны 1152,3 нм. Другие переходы между этими уровнями
соответствуют длинам волн в области X = 1100 — 1500 нм. В этой
области возможны 30 лазерных переходов. Переходы между (2p55s)
и (2ръ3р) соответствуют длинам волн 590—730 нм. Среди них
сильным является стимулированное излучение на длине волны 632,8 нм.
Переходы между (2p55s) и (2рь4р) соответствуют области Я == 2800 —
— 4000 нм.
Мощное стимулированное излучение получено в молекулярных
лазерах. Молекулы имеют, кроме электронных, также
колебательные и вращательные уровни. Первый молекулярный лазер (Пател,
1964 г.) был создан на переходах между колебательными уровнями
двуокиси углерода (С02). Сначала использовалось возбуждение
СОг в результате столкновений I рода типа (7.41) (где под А следует
понимать молекулу С02). Мощность лазера была увеличена на много
порядков путем добавления к двуокиси углерода молекулярного
азота (N2) и гелия (Не). При этом возбуждение происходило в
результате столкновений II рода типа (7.42) (где роль В* играет
молекула N2, находящаяся на возбужденном колебательном уровне,
энергия которого близка к энергии одного из колебательных
уровней С02). Особенностью С02 является значительное время жизни
лазерного уровня (~ 103 с). Это позволяет накопить значительную
энергию, которая при генерации излучается с большой мощностью.
Созданы также другие молекулярные генераторы (например,
на парах Н20).
В первом химическом лазере использовалась фотодиссоциация
молекул:
CF3I +/zv-*CF3 + I*.
243

При этом мощность излучения
достигала 50 кВт.
В ионных лазерах
когерентное излучение получается при
вынужденных переходах между
уровнями ионизированных
атомов (Аг, Ne, Кг, Хе, Р, S, C1
и др.). Ионизация может быть
многократной. Так, лазер,
дающий излучение в
ультрафиолетовой области (Я=235,8 нм),
работает на ионах Ne3+. Для
возбуждения ионных уровней
используются плотности тока
~1000 —. В ионных лазерах по-
Рис. 132
лучены импульсные мощности
~ 100 кВт.
Высокая мощность стимулированного излучения на 1 см3
активного вещества получена на газовых смесях при давлении до
107 Па в результате возбуждения пучком быстрых электронов.
В электроионизационных лазерах (лазеры с несамостоятельным
разрядом) энергия электрического тока преобразуется в энергию
излучения с КПД ~ 40°/0.
Жидкостные лазеры. В жидкостных лазерах соединяются
высокая концентрация активных частиц, характерная для лазеров на
твердом теле, с высокой оптической однородностью, свойственной
газовым лазерам.
При создании жидкостного лазера необходимо обеспечить
экранировку оптически активных ионов от внешних возмущений. В
противном случае движение молекул раствора приводит к
превращению поглощенной энергии в энергию теплового движения.
Экранировку можно обеспечить, помещая оптически активные ионы
в молекулы, имеющие вид клеток.
В хелатных молекулах («хелат» по-гречески — клешня)
редкоземельный ион окружен экранирующими органическими группами
(лигандами). Пример хелатной структуры показан на рисунке 132.
Здесь хелатная ячейка состоит из еосьми атомов кислорода,
окружающих редкоземельный ион. Органические группы Ri и R2 связаны
с центральным редкоземельным ионом двумя атомами кислорода
и тремя атомами углерода. Редкоземельный ион испытывает
воздействие главным образом ближайшего окружения, аналогичного
ближайшему окружению оптически активного иона в некоторых
кристаллах.
Кроме экранировки лиганды улучшают также передачу энергии
редкоземельному иону в процессе оптической накачки. Так как
полоса поглощения хелатной молекулы значительно шире полосы
поглощения редкоземельного иона, то при оптической накачке
244

могут быть использованы также такие фотоны, которые
непосредственно не поглощаются редкоземельным ионом.
Первый жидкостный лазер (в нем использовался раствор хела-
та европия) был создан в 1963 г. В качестве растворителя была
применена смесь этилового и метилового спиртов. При этом было
получено лазерное излучение с длиной волны К = 613,1 нм.
Недостатком хелатных лазеров является сильное поглощение
(синглетное) излучения слоем раствора толщиной 0,1 мм. При этом
активным оказывается лишь небольшая часть раствора.
Нерадиационные потери можно уменьшить, если применить
неорганические растворители, не содержащие легких атомов
водорода или дейтерия. Увеличение массы М атома растворителя
приводит к уменьшению энергии колебательного кванта е = Я со
(в соответствии с соотношением со ~ -—), к росту числа
колебательных квантов и к уменьшению вероятности безызлучательного
перехода. Кроме того, растворитель должен быть прозрачным для
значительной части излучения, используемого для накачки, и для
испускаемого света. Он должен также растворять достаточное
количество соединений, содержащих активные ионы.
Эти условия выполняются для раствора окиси неодима в
жидком оксихлориде селена (SeOCl2). В этом растворителе самым
легким является атом кислорода. Так как масса атома кислорода в
16 раз больше массы атома водорода, то энергия колебательного
кванта при использовании указанного раствора приблизительно
в 4 раза меньше энергии колебательного кванта, имеющей место
при использовании растворителя, содержащего водород. Главная
линия лазерного излучения трехвалентного неодима в оксихлориде
селена имеет длину волны к = 1055 нм.
В 1970 г. получено лазерное излучение в результате облучения
быстрыми электронами жидкого ксенона.
Когерентное излучение получается также путем вынужденного
комбинационного рассеяния в жидкости мощного излучения лазера.
Полупроводниковый лазер. В полупроводниках инверсия
населенности возникает при выполнении неравенства
fc>h, (7-47)
где fc (fv) — функция распределения электронов в зоне
проводимости (в валентной зоне). Неравновесное распределение, при
котором выполняется (7.47), может быть создано подсветкой, инжекцией
носителей тока через р — п - переход и другими методами.
Неравновесные электроны, появляющиеся в зоне проводимости, за
время т4 ~ (10~10 -+• Ю-13) с отдают свою энергию кристаллической
решетке и скапливаются у дна зоны проводимости. Аналогичным
образом дырки собираются у вершины валентной зоны. Время
жизни электронов и дырок до рекомбинации имеет порядок величины
(10~8 -*- 10"7) с, что значительно превышает т4. Поэтому избыточные
электроны и дырки оказываются в тепловом равновесии с кристал-
245

лической решеткой, но между собой они находятся в неравновесном
распределении. При достаточно сильном освещении число
неравновесных электронов на дне зоны проводимости может оказаться
больше числа электронов у вершины валентной зоны, что приводит
к индуцированному излучению на частоте
v ~ —. (7.48)
В случае р — n-перехода при пропускании электрического
тока в прямом направлении в области р-типа появляется избыток
электронов проводимости, а в области п-типа — избыток дырок.
Условие инверсии населенности удобно при этом выразить через
соотношение для квазиуровней Ферми, которые вводятся
следующим образом.
Так как избыточные электроны проводимости и дырки через
время tj <^ т2 находятся в тепловом равновесии с решеткой, то
можно описывать их функциями распределения (3.39) и (4.13),
в которых, однако, учитывая отсутствие равновесного
распределения электронов и дырок между собой, следует считать, что
химический потенциал электронов проводимости Z,e не совпадает с
химическим потенциалом для дырок £А. Следовательно,
f'=-E=L • h = ЕГ+A+gI • (7-49)
Eft+A+Hft
feBr kBT
e + 1 e +1
Условие (7.47) можно записать в виде:
U > 1 - L- (7-50)
Подставляя (7.49) в (7.50), получаем:
> ',„ • (7.51)
Отсюда
kBT kBT
е -\-\ е +1
kBT
е > 1. (7.52)
Это неравенство выполняется, если
%е - lh > А + Eh + Е. (7.53)
Учитывая (7.48), получаем из (7.53):
AC-C-C*>Av. (7.54)
Таким образом, для инверсии населенности необходимо, чтобы
разность квазиуровней Ферми зоны проводимости и валентной
зоны была больше, чем энергия светового кванта hv, соответствующе-
246

го ширине запрещенной зоны.
Схематично случай, когда выполняет- г
ся (7.54), показан на рисунке 133. а
Инжекционный метод инверсии £Л
населенности был предложен в
1961 г. советскими физиками
Н. Г. Басовым, О. И. Крохиным
и Ю. М. Поповым. Первый инжек- Рис. 133
ционный полупроводниковый
лазер на арсениде галлия был создан в 1962 г. Лазеры на р — п -
переходе обладают высоким КПД преобразования электрической
энергии в излучение (~ 50°/0).
§48. ПРИМЕНЕНИЕ КВАНТОВЫХ ГЕНЕРАТОРОВ
Мазеры обычно работают при низких температурах. При
температуре жидкого гелия плотность теплового излучения мала. В
диапазоне сантиметровых волн спонтанное излучение также мало по
сравнению с вынужденным излучением. Низкий уровень шумов
квантовых усилителей позволяет применять их для обнаружения
слабых сигналов. Этим определяется применение мазеров в
радиоастрономии, радиосвязи, радиолокации и радионавигации.
Мазеры позволяют исследовать далекие источники космического
радиоизлучения, межзвездное вещество, планеты Солнечной
системы.
В лабораторных условиях мазеры применяются в различных
исследованиях, а также как стандарты частоты.
В многочисленных научных и технических применениях лазеров
важную роль играют такие свойства их излучения, как
монохроматичность, когерентность, большая мощность и направленность.
Важной областью научного применения лазерного излучения
является изучение нелинейных оптических явлений (генерации
гармоник, вынужденного комбинационного рассеяния,
взаимодействия и самодействия световых волн).
В технике лазеры используются для создания систем
направленной связи с большим числом каналов, в голографии, скоростной
микрофотографии, для обработки материалов (испарение
тугоплавких материалов, образование малых отверстий, сварка), ионизации
газов, получения высокотемпературной плазмы и ее диагностики,
эмиссии ионов и электронов из твердых тел и т. д. При нагреве
плазмы лазерным излучением получены нейтроны, возникающие
в процессе термоядерной реакции. Применение квантовых
генераторов позволило с высокой точностью подтвердить
экспериментальные основы и выводы специальной теории относительности.
Лазеры применяются также в медицине и биологических
исследованиях. Перспективными являются применения лазеров в
вычислительной технике и в управлении химическими процессами.

Глава VIII
ПЛАЗМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ВЕЩЕСТВА
§ 49. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛАЗМЫ
В плазменном состоянии вещество представляет собой газ
заряженных частиц — ионов и электронов, —имеющий в общем
случае также нейтральный компонент (нейтральные атомы и молекулы).
Одной из основных характеристик классической плазмы,
находящейся в тепловом равновесии, является ее температура Т.
Плазма считается низкотемпературной, если выполняется
неравенство
kBT€I, (8.1)
где / — потенциал ионизации нейтральных атомов или молекул
плазмы. Для атомарного водорода / = 13,59 эВ, что соответствует
температуре порядка 10в К. Поэтому плазма является
низкотемпературной в области Т < 10* — 105 К- В области Т > 10е К
плазма является высокотемпературной.
В классической плазме кинетическая энергия частицы имеет
з
в среднем порядок величины —kBT. Если энергия взаимодействия
частиц плазмы пренебрежимо мала по сравнению с их средней
кинетической энергией, то плазма рассматривается как идеальная.
В почти полностью ионизованной плазме кулоновское
взаимодействие между частицами характеризуется потенциальной
энергией
U = ^2, (8.2)
где Z& и Z2e — электрические заряды взаимодействующих частиц,
г0 — среднее расстояние между ними, связанное с концентрацией
заряженных частиц плазмы п равенством
п — г03=1. (8.3)
О
Поэтому классическая почти полностью ионизованная плазма
является идеальной, если выполняется неравенство
rio=^f«l (8.4)
248

(неравенство Кирквуда — Онсагера). Согласно формуле Резерфор-
да отношение
mv2 «в '
имеет смысл амплитуды рассеяния. Поэтому неравенство (8.4)
можно записать так:
Чкл~-«1. (8.6)
Отсюда ясно, что плазма является идеальной, если амплитуда
рассеяния / мала по сравнению с г0.
В случае слабоионизованной плазмы условие идеальности
плазмы имеет вид:
Чн-Лв-^Cl, (8.7)
где п0 — концентрация нейтральных атомов или молекул, U0 —
фурье-компонент потенциала взаимодействия нейтральной и
заряженной частицы.
В классической плазме взаимодействие между частицами
является кулоновским только на больших расстояниях. При малых
расстояниях между частицами выражение для потенциальной энергии
вида (8.2) расходится. Движение частиц, взаимодействующих ку-
лоновской силой, следует на малых расстояниях между ними
рассматривать с учетом квантовых эффектов. Поэтому при
классическом рассмотрении плазмы следует предположить, что на малых
расстояниях имеются короткодействующие силы отталкивания с
радиусом а. Таким образом, классическая плазма характеризуется
средним расстоянием между частицами г0, средней амплитудой
рассеяния / и радиусом короткодействующих сил отталкивания а.
Если длина волны де Бройля Я„ = — велика по сравнению с
mv
/, то движение частицы определяется законами квантовой механики.
При Кв ~ г0 необходимо учесть также вырождение, характерное
для квантовой статистики.
Квантовая плазма характеризуется размерами Кв, f и г0. Так же)
как в случае классической плазмы, квантовая плазма является
идеальной, если выполняется условие (8.6). Однако при
определении амплитуды рассеяния / квантовой плазмы вместо /от2 следует
подставить не kBT, а энергию Ферми £. Поэтому условие
идеальности квантовой плазмы имеет вид:
Лка=^«1. (8-8)
rot
При гидродинамическом описании плазма рассматривается как
сплошная среда, аналогичная проводящей жидкости. Состояние
249

плазмы характеризуется при этом ее плотностью р, скоростью v,
плотностью тока / и давлением р.
Согласно второму закону Ньютона
Р~г = -[.Ш-ё^р, (8.9)
at с
где В — индукция магнитного поля. Первый член в правой части
(8.9) равен плотности силы Ампера, второй — плотности силы,
обусловленной градиентом давления.
При гидродинамическом описании плазмы необходимо учесть
также уравнение непрерывности (дифференциальную форму закона
сохранения вещества)
|В + div (р?) = 0 (8.10)
и систему уравнений Максвелла
,7? 4я-г . 1 д~£
rotB = -j +~~,
с с at
с dt (8.11)
div£ = 0,
div $ = 4яе {tijZ — ne) = Anq,
где tie — концентрация электронов, nl — концентрация ионов,
Ze — заряд иона. В уравнении (8.9) и в первом из уравнений (8.11)
—*•
введена индукция магнитного поля В. Это обусловлено тем, что
плазма является магнитной средой и поэтому магнитная напряженность
в плазме создается не только внешними токами, но и самой средой.
Величина q = e (nl Z — пе) в правой части последнего из
уравнений (8.11) равна плотности электрического заряда плазмы.
Система уравнений (8.9) — (8.11) не является полной, так как
для определения характеристик плазмы /, р, р, v имеются лишь
уравнения (8.9) и (8.10). Необходимые дополнительные уравнения
—> —*-
могут быть получены путем установления связи между / и £,
являющейся обобщением закона Ома, а также учета связи между
плотностью и давлением, вытекающей из уравнения состояния плазмы.
В случае нейтральной плазмы пе — ntZ = п. Так как масса
ионов значительно больше массы электронов, можно использовать
ускорительное уравнение (6.16):
4 = -^. (8-12)
dt me
250

где
71 = 7 + - lve В] + - grad ре - чТ- (8.13)
с tig
Здесь второй член в правой части (8.13) обусловлен силой
Лоренца, третий — градиентом давления электронов, четвертый — силой
трения между электронами и ионами.
Плотность тока плазмы / связана с плотностью тока ионов
tiiZeVj и плотностью тока электронов neeve равенством
/' = n{Zevi — neeve. (8.14)
В случае нейтральной плазмы из (8.14) следует:
Т=пе{щ — ье). (8.15)
Массовая скорость плазмы определяется выражением
р = n^iVj + nemeve ^ ,g jg.
ЩЩ + neme
Учитывая, что tnl > me, получаем из (8.16):
vw'vi. (8.17)
Отсюда и из (8.15)
ve = v-L. (8.18)
пе
Подставляя значение ve из (8.18) в (8.13), получаем из (8.12):
K. = ^[I+± 1VB) L г/д] + 1 grad р _ уф, (8.19)
at пге\ с пес пе
->
При — = О, В = 0 и grad ре = 0 из (8.19) следует:
У=Г|/? (8.20)
Так как в этом случае должен выполняться закон Ома, то
т|—1. (8.21)
Учитывая (8.21), получаем из (8.19) обобщенный закон Ома для
плазмы:
->
1+ ~ 4 = Ц~$+1 С» 5] - - № + - grad рХ (8.22)
пе2 dt \ с пес пе /
В случае применимости уравнения состояния идеального газа связь
между давлением и концентрацией плазмы имеет следующий вид:
р = (я, + nt)kBT, (8.23)
где Т — температура плазмы. Это уравнение предполагает
наличие теплового равновесия, малое значение энергии взаимодействия
251

частиц плазмы по сравнению с их тепловой энергией и отсутствие
вырождения. Возможны, однако, случаи, когда плазма находится
в неравновесном состоянии или в состоянии частичного теплового
равновесия. Благодаря большому различию масс те и т1
столкновения электрона и иона сопровождаются передачей незначительной
части их энергии. Поэтому электронный и ионный компоненты
плазмы могут каждый в отдельности находиться в тепловом равновесии
и иметь температуры Те и Tt в отсутствие теплового равновесия
между газом электронов и газом ионов (Те Ф Tt). При увеличении
плотности и, следовательно, числа столкновений плазма
приближается к состоянию теплового равновесия, в котором Те = Tt — Т.
При наличии магнитного поля отсутствие силы Лоренца при
v || В может привести к тому, что статистические распределения
продольных и поперечных (по отношению к В) скоростей могут
каждое в отдельности быть близкими к равновесным
распределениям с температурами Т.. и Т. (где «продольная температура»
Гц не равна «поперечнойтемпературе»Т±). При этом двум разным
температурам Т,, и Гх соответствуют различные давления р.., р^
и плазма оказывается анизотропной. Устранению различия между
Т,, и Т± и, следовательно, уменьшению анизотропии температуры
и давления способствует увеличение плотности плазмы. Однако
со стороны высоких плотностей применимость уравнения (8.23)
ограничена тем, что при увеличении п вместо уравнения состояния
идеального газа, соответствующего распределению Максвелла,
оказывается справедливым уравнение состояния вырожденного
газа1, для которого р пропорционально п*1; что соответствует
статистике Ферми.
При изучении разреженной плазмы вместо модели непрерывной
среды более адекватной оказывается в ряде случаев модель
независимых частиц. Применимость модели сплошной среды или
модели независимых частиц зависит от характера рассматриваемых задач.
§ 50. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ПЛАЗМЕ
Если в некоторых областях в целом нейтральной плазмы
плотность электронов отличается от плотности ионов, то кулоновская
потенциальная энергия плазмы увеличивается. Электростатический
потенциал определяется уравнением Пуассона
у2ф==__^д = _4п(^2_п^ (g24)
6 6
где е — диэлектрическая постоянная плазмы. В случае
классической нейтральной плазмы согласно распределению Больцмана
ар
пе = пеквТ, (8.25)
1 См. (56.7) в [7].
252

Из (8.25) и (8.24)
/ _ Zetf «p
Если
Zeq>
knT
«1.
то, ограничивая разложения экспонент членами первого порядка
по —^, получаем из (8.26):
kBT
Введем обозначение:
V4>-a£?(Z+I)q>. (8.27)
5t2 = 5r(z+1)- <8-28>
Из (8.27) и (8.28)
у2ф _ хаф = 0 (8 29)
Это уравнение имеет сферически симметричное решение:
Ф = А £^-. (8.30)
Сравнение этой величины с кулоновским потенциалом точечного
заряда, который получается из (8.30) при х = 0, показывает, что
в плазме при местных нарушениях нейтральности возникает
перераспределение зарядов, экранирующее кулоновское взаимодействие.
Потенциал (8.30) можно записать так:
г
Ф = Л—, (8.31)
где
г0 = 1 (8.32)
Величина rD, характеризующая расстояние, на котором
числитель в (8.31) уменьшается в е раз, называется радиусом Дебая —
Хюккеля. Эта характерная длина была введена в 1923 г. в связи
с теорией электролитов. Учитывая, что в классической плазме
средняя кинетическая энергия Е частицы определяется выражением
£ = |^Г, (8.33)
253

можно (8.28) записать в виде:
tf-^CZ+1). (8.34)
Если электронный компонент плазмы является вырожденным,
следует Е заменить на энергию Ферми £. Тогда
**=^, (8.35)
где ке значение к для электронного компонента. Величина
1
rrF = - (8.36)
Kg
называется радиусом Томаса — Ферми.
В случае вырожденного электронного компонента при больших
г имеется осциллирующая зависимость плотности от г. Это
обусловлено резким изменением функции распределения электронов у
поверхности Ферми1.
§ 51. ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Внешнее магнитное поле оказывает существенное влияние на
свойства плазмы, содержащей заряженные частицы.
Рассмотрим магнитный поток Ф через поверхность, опирающуюся
на замкнутый контур L, проведенный в плазме. Этот магнитный
поток может изменяться либо за счет изменения напряженности
магнитного поля с течением времени, либо за счет изменения кон-
->■
тура, каждый элемент которого движется с локальной скоростью v
плазмы. Скорость изменения Ф за счет движения контура
определяется выражением
^l=(^Bn\[vdb, (8.37)
где [vdf] = dS есть элемент площади, описываемой элементом кон-
тура dl при его движении со скоростью в, an — нормаль к dS.
Выражение (8.37) можно также записать в следующем виде:
(^)=фя[ЗД. (8.38)
L
Осуществляя циклическую перестановку векторов, получаем:
(?)г$ С^]Л- (8-39)
Используя далее теорему Стокса, имеем:
1 См., например, [7], § 120.
254

дФ
dt ц
= Г rot„[By]dS. (8.40)
Скорость изменения магнитного потока за счет изменения
напряженности магнитного поля во времени запишется так:
(SH I* *
s
Суммируя (8.40) и (8.41) и учитывая второе уравнение (8.11),
получаем:
НФ С -*■ -+-*■
^ = — rot„ (eg + IvBJj dS. (8.42;
s
Правая часть (8.42) обращается в нуль, если выполняется
равенство
rot(? + 4[wl])=0. (8.43)
При этом согласно (8.42)
Ф = const. (8.44)
Таким образом, при выполнении (8.43) магнитное поле
оказывается «вмороженным» в плазму: магнитный поток Ф через любой
замкнутый контур, элементы которого движутся с локальной
скоростью плазмы, остается постоянным.
Рассмотрим, при каких условиях выполняется равенство (8.43).
Возьмем ротор от уравнения (8.22):
| rot f + & ~ rot J = rot (7+1 [у В]) L rot ([В]. (8.45)
A nel at с пес
Из (8.45), учитывая (8.9), получаем:
1 rot T+ Z£ J rot| = rot (1+ 4 [d£]) _Л rot fp -g-). (8.46)
a ne2 от с tie \ at /
Отсюда видно, что (8.43) выполняется, если векторами rot —
dt
и rot I p — I можно пренебречь и если плазма является идеально
проводящей (Х-*- °°).
«Вмороженность» магнитного потока в случае идеальной
проводимости можно объяснить следующим образом. Согласно закону
электромагнитной индукции Фарадея при изменении магнитного
потока через поверхность, опирающуюся на замкнутый контур,
в контуре возникает электродвижущая сила. В случае контура из
идеального проводника электродвижущая сила должна быть равна
нулю (в противном случае бесконечно малая ЭДС привела бы к
бесконечно большому току). В точке контура, движущегося со ско-
255

ростью v, имеется напряженность S -\ [vB~\ (где второе слагаемое
с
обусловлено силой Лоренца). Поэтому требование обращения
индукционной ЭДС в нуль приводит к равенству (8.43).
Так как пересечение линий индукции магнитного поля приводит
в возникновению ЭДС индукции, то «вмороженность» магнитного
поля означает, что заряженные частицы идеально проводящей
плазмы движутся вдоль линий индукции магнитного поля.
Поскольку проводимость плазмы конечна, то оказывается
возможным медленное движение плазмы перпендикулярно к линиям
индукции магнитного поля. Ослабление магнитного потока можно
оценить, оставляя в левой части (8.46) первый член. При этом из (8.46)
и (8.42)
S— т№«- (М7>
S
д"
При — = 0 согласно первому и третьему из уравнений (8.11)
rotf=-rotrotfi = — — v2^ (8.48)
1 4л 4л v v '
Поэтому из (8.47)
f = £J(V2S)dS==£>[(V25)d£ (8.49)
s s
c2
где D = —- — коэффициент диффузии плазмы. Отсюда видно,
4лА
что если / — характерная длина плазмы, то время ослабления
магнитного потока в плазме характеризуется временем порядка
4пКР
т = .
с2
Рассмотрим плазму в стационарном магнитном поле. Полная
производная -и- (где а = х, у, z) имеет вид:
dv„ dv„ . dv„ dv„ dv„ lo cm
-jrz=^r+-^r-vx + -^vv + -^vz. (8.50)
at dt dx * ' ду У ' dz
Из (8.50) в линейном приближении следует:
dva „ dva
dt dt
(8.51)
Поэтому в стационарном случае, когда — = 0 и — = 0, из
(8.9) и первого из уравнений (8.11) получаем:
-[ffi]-gradp = 0,
с
256

rotB = -£ (8.52)
с
В стационарном случае согласно первому из уравнений (8.52)
grad p имеет направление векторного произведения [/В] и,
следовательно, направлен перпендикулярно к индукции магнитного
поля В и к плотности / электрического тока. Отсюда следует, что
в стационарном магнитном поле вдоль линий индукции давление р
не меняется. Пространственные изменения давления возможны
только поперек направления индукции В.
Выражая согласно второму из уравнений (8.52) плотность то-
-> —>■
ка /через rot В и подставляя в первое из уравнений (8.52), находим:
grad р = — [(rot В) В]. (8.53)
4я
Из (8.53), используя тождество1
[(rot В) В] яв (Ifgrad) В — - grad B\ (8.54)
получаем:
grad (р + - В2) = — (Вgrad) В (8.55)
(В grad) B = [Bx^ + By^ + Bz^)B = kBz °-Вг. (8.57)
\ 8я / 4я
В частном случае, когда линии индукции являются
параллельными прямыми, выполняется равенство
(ifgrad)B = 0. (8-56)
Действительно, направим ось z вдоль индукции В. Тогда Вх =
= Ву = 0 и В = кВг (где k — единичный вектор вдоль оси г).
Соответственно
дх у ду гдг] г дг
Согласно третьему из уравнений (8.11)
^l + ^ + _^=^ = 0. (8.58)
дх ду дг дг
Из (8.57) и (8.58) следует (8.56). Из (8.55), учитывая (8.56),
grad(p + !)=0. (8.59)
Интегрируя это уравнение по координатам, получаем:
р -I- - = const. (8.60)
8л
1 См. (47*) из [5].
9 М. С. Свирский 257

В2
Из этого равенства следует, что величина — = ры имеет смысл
магнитного давления. В рассмотренном случае сумма
газокинетического и магнитного давлений сохраняется.
Если плазма ограничена областью, в которой В = В0, а р = О,
то из (8.60) следует:
В2 fin
Р + - = -■■ (8.61)
8я 8я v '
Так как р > 0, то В < В0 и индукция магнитного поля S
внутри плазмы меньше индукции В0 на границе плазмы. Отсюда
следует, что плазма выталкивает магнитное поле, т. е. является
диамагнитной средой.
Равенство (8.61) отражает также возможность удержания
плазмы магнитным полем, когда давление плазмы р уравновешивается
1 . во
разностью—(В*— В2) магнитного давления — на границе
8л 8я
В2
плазмы и магнитного давления — внутри плазмы.
8я
§ 52. ДРЕЙФОВОЕ ДВИЖЕНИЕ
Рассмотрим движение частицы с зарядом е в постоянных и
однородных электрическом и магнитном полях с напряженностями &
и Я. Согласно второму закону Ньютона
Положим
т JE. = е7+ - [иЯ]. (8.62)
Ъ^Ъ + сШЬ. (8.63)
Подставляя значение v из (8.63) в (8.62), получаем:
—*■
т % = е7+ -1 [оД + ^ [[?Я] Я]. (8.64)
at с Я2
Так как
[[1я] Ю = Н (?Я) — Я2?, (8.65)
то из (8.64) следует:
т17=7[У1Я] + -^- (8'66)
—у —*■
Если <? JL Я, то последний член в правой части (8.66) равен нулю.
258

Тогда
m^=-№ (8.67)
at с
Это уравнение описывает вращение заряженной частицы вокруг
вектора Н с циклотронной частотой со,.. Поэтому скорость
частицы состоит согласно (8.63) из скорости Vi вращения вокруг Н и
скорости
1>о=сЛ~~> (8-68)
направленной перпендикулярно к 8 и Н. Скорость (8.68)
называется скоростью электрического дрейфа. При 8 L Н величина vD
определяется формулой
1>0=с-|. (8.69)
Скорость электрического дрейфа определяется отношением 8 к Н
и не зависит от знака заряда частицы, от ее скорости и массы.
Появление дрейфа объясняется следующим образом. При 8 ===== О
—>-
частица вращается вокруг вектора Н с циклотронной частотой а>с
(рис. 134). Если е > 0, то частица движется вдоль вектора силы е8
на левой стороне окружности и противоположно вектору е8 на
правой стороне окружности. Поэтому частица на левой стороне
окружности ускоряется, а на правой стороне замедляется. Радиус лар-
моровской окружности пропорционален скорости частицы:
_ сти
r° ~ 7н'
Поэтому радиус кривизны на верхней части траектории (где
скорость больше) оказывается большим, чем на нижней части
траектории, что приводит к дрейфу частиц вправо. Аналогично частица с
е < 0 замедляется на правой стороне окружности и ускоряется на
левой стороне, что также
приводит к дрейфу вправо.
8-о г* о
О ЯШ
Если заряженная частица /*"*\ /*~}С\~Ал~^
движется под влиянием постоян- е>0
ного и однородного магнитного
поля напряженности Н и
постоянного и однородного поля сил /**\ (\ (\ (\ (\
f, то вместо (8.62) имеем: е<0 \^) xJtiW-A-/
m^.~f+LivHl (8.62J а б
at с J v Рис. 134
9*
259

Полагая
v = v1 + c-^^, (8.63.)
при F А_ Н опять получаем для v± уравнение (8.67). Таким
образом, в этом случае также появляется дрейфовое движение со
скоростью
—»- —V
направленной перпендикулярно к вектору F и Я. Если сила F
не зависит от е, то согласно (8.70) направление скорости дрейфа
зависит от знака е. При е > 0 дрейф частиц происходит вдоль
вектора [FHJ, если же е < 0, то дрейф частиц происходит в
противоположном направлении.
Так, в случае гравитационного поля, имеющего компонент силы
mg, перпендикулярный к Я, скорость дрейфа согласно (8.70) равна
cmg, g,
где g. — модуль перпендикулярного к Я компонента вектора g,
сос — циклотронная частота. В этом случае скорость
гравитационного дрейфа положительно заряженных частиц (е > 0) направлена
вдоль вектора ig.ffj, скорость дрейфа отрицательно заряженных
частиц (е < 0) — против вектора [g.B].
Разделение движения зарядов может происходить также в
электрическом поле, если напряженность 8 меняется с течением
времени. В этом случае согласно (8.69) появляется ускорение
vD = cjj. (8.72)
Соответствующая сила инерции равна по модулю
F = mvD = f8, (8.73)
где т — масса частицы. Согласно (8.70) это приводит к
поляризационному дрейфу со скоростью
vDP = — S. (8.74)
DP eHi
При этом возникают электронный поляризационный ток с
плотностью
U-Wdp*2^* (8-75)
260

и ионный поляризационный ток „гай g-Q qrad ВфО
с плотностью
(8.76)
а электрона, т1 — /~*\ [\ (\ (\ (\
Так как mt » «„ e<° ( ) , [) ) 1) () i
т ионный ток. Ч ' х^-~Л_А-Л_У^
(8.76)
где /пг — масса
масса иона.
то преобладает ионный ток.
В случае неоднородного маг- а 5
нитного поля возникает дрейф
в направлении, перпендикулярном Рис- 135
к grad H- Этот дрейф обусловлен
уменьшением радиуса ларморовской окружности при
увеличении Н- В случае, показанном на рисунке 135, радиус кривизны
уменьшается на верхней части траектории, т. е. там, где Н
усиливается. Это приводит к дрейфу частиц с положительным и
отрицательным зарядами в противоположных направлениях.
Если ларморовский радиус много меньше расстояния, на
котором заметно меняется напряженность магнитного поля, то
магнитное поле является слабонеоднородным.
Магнитный момент ц свободно заряженной частицы, имеющей
момент количества движения К. = rmv , определяется выражением
где V, — модуль компонента скорости, перпендикулярного к Я.
При движении по окружности с ларморовским радиусом
ста ,
'с * еН
из (8.77) следует:
ц-=4. (8.78)
Согласно второму из уравнений (8.11) в переменном магнитном поле
появляется вихревое электрическое поле, которое также влияет на
движение заряженной частицы. Однако если Н за период
обращения заряженной частицы по круговой орбите меняется
незначительно (слабопеременное магнитное поле), то величина ц из (8.78)
является адиабатическим инвариантом1. Действительно, согласно
1 Адиабатическим инвариантом называется комбинация из энергии Е
системы и медленно меняющегося параметра Я (определяющего свойства системы
или внешнего поля), которая остается постоянной при движении системы.
Изменение Я является медленным, если
dl .. к
dT < Т>
mv2,
где Т— период движения системы. В (8.78) энергии Е соответствует—Hi,
2
параметру Я— напряженность магнитного поля Н.
261

теореме об изменении кинетической энергии
J. _k )=e(SvJ. (8.79)
Из (8.11) и выражения для ларморовского радиуса следует:
' 2с а/
Подставляя (8.80) в (8.79), получаем
er dH mvL dH
mv\ dH
2Н dt'
Отсюда
(8.81)
dt \ 2 / dt
ИЛИ
„2
dln(^)=Aintf, (8.82)
— ln^=0. (8.83)
dt чн '
Интегрируя (8.83) по времени, имеем:
ти2.
—± = const. (8.84)
2Я '
Из (8.84) и (8.78) следует, что магнитный момент \i является
адиабатическим инвариантом.
Выражение (8.84) применимо также в случае, когда частица
движется в постоянном во времени, но слабонеоднородном в
пространстве магнитном поле.
Потенциальная энергия магнитного момента (л, направленного
против И, равна
U = \iH. (8.85)
Считая (х адиабатическим инвариантом, получаем из (8.85):
F± = —grad± U= —ц gradx Я. (8.86)
Отсюда и из (8.70) следует:
С[1
7н
Из (8.87), учитывая (8.78), имеем;
vD = -&\&adxH\. (8.87)
сто1,
vn = ^\e^d±H\, (8.88)
Отсюда вытекает следующее выражение для градиентного дрейфа:
Аййч. (8.89)
262

Если линии индукции магнитного поля искривлены, то при
движении заряженной частицы вдоль линии индукции со скоростью
v у на нее действует центробежная сила
„,.2
(8.90)
^Ц =
где R — радиус кривизны линии индукции. Это приводит согласно
(8.70) к центробежному дрейфу со скоростью
VD =
'И
eHR Rwc
(8.91)
Градиентный и центробежный дрейфы также приводят к разделению
движения зарядов с противоположными знаками, что затрудняет
удержание плазмы магнитным полем.
§ 53. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ
При возмущении плазмы в ней могут возбуждаться коллективные
колебания и, следовательно, могут распространяться волны. В
зависимости от факторов, преобладающих в колебаниях плазмы,
волны классифицируются на электрические, электромагнитные и
магнитогидродинамические. В намагниченной плазме могут
распространяться низкочастотные электромагнитные волны (геликоны,
циклотронные волны, допплероны).
Электрические волны. Рассмотрим случай, когда В = 0 и Я =
= со. Дифференцируя первое из уравнений (8.11) по времени и
полагая В = 0, получаем:
4л
EL
dt
0.
Из (8.22) при Я -> оо следует:
пе2 ot en
Рассмотрим сначала холодную плазму, в которой Те
= kBneTe -> 0. В этом случае п j,
из (8.93) следует:
(8.92)
(8.93)
0"^ =
dt m
Из (8.92) и (8.94)
"gg a
(8.94)
Атее* -Г &S
т„ 6ta
= 0. (8.95)
J
ЛЕ
Рис. 136
2(515

Отсюда
d*g a -t
где
V
Ann „с2
(8.96)
(8.97)
Уравнение (8.96) имеет решение
8 = £0е
(8.98)
показывающее, что в плазме возникают колебания с частотой (8.97).
Электрические плазменные колебания с частотой (8.97) были
обнаружены Ленгмюром и Тонксом (1929 г.) в газовом разряде. В 1948 г.
была экспериментально обнаружена резонансная структура
потерь энергии электронов, прошедших через тонкую металлическую
фольгу (Рутеман, Ланг). В 1951—1953 гг. Бом и Пайнс показали,
что эта структура (рис. 136) обусловлена возбуждением плазменных
волн (плазмонов), аналогичных колебаниям в газовом разряде,
обнаруженным Тонксом и Ленгмюром.
Возникновение плазменных колебаний объясняется следующим
образом. При локальных нарушениях нейтральности (в целом
нейтральной плазмы) отрицательно заряженные электроны движутся к
положительно заряженным областям. При этом их потенциальная
энергия переходит в кинетическую энергию и электроны не
«останавливаются» в положениях, в которых они экранируют
положительный заряд. Они затем возвращаются обратно к положительно
заряженным областям и снова не «останавливаются». Так
возникают колебания электронной плотности.
Если локальное нарушение нейтральности образуется в
результате смещения электронов из слоя толщины d на малое расстояние
х С d (рис. 137), то образуется как бы «конденсатор» с зарядом
обкладки neSx. При этом поверхностная плотность заряда
a = пех.
Следовательно, напряженность
электрического поля «конденсатора»
§х = — 4ясх = —Annex. (8.99)
/2
-
-
X
1
1»
\Г
У-
/
*т
— -
d
+
+
+
■**»
Рис. 137
На электрон действует сила
Fx = eSx - —Ыпе2х. (8.100)
Согласно второму закону Ньютона
т^ = —4лпе2х. (8.101)
264

Это уравнение имеет решение
где
со' =
Jat
4ппе2
(8.102)
(8.103)
Заметим, что выражение (8.103) совпадает с (8.97).
В таблице 12 приведены значения энергии плазмона /гсорр и
наблюдаемые потери энергии АЕ электронов для некоторых
металлов и полупроводников, а в таблице 13—значения этих величин
для некоторых соединений. Как видно из этих таблиц, между
теоретически вычисленными значениями ftape и экспериментально
установленными потерями энергии электронов имеется достаточно
хорошее согласие. В полупроводниках имеются высокочастотные
плазмоны, обусловленные валентными электронами, и
низкочастотные плазмоны, обусловленные электронами проводимости. При
высоких частотах валентные электроны как бы не «замечают»
существования запрещенной энергетической зоны. Поэтому в случае
возбуждения высокочастотных плазмонов в полупроводниках
спектры потерь аналогичны спектрам потерь энергии электронов,
наблюдаемым в металлах.
Таблица 12
Таблица 13

Вещество
Число
валентных
электронов
ftffl
ЭБ
ре,
Д£,
эВ
Na
К
Be
Са
А1
Sn
Si
Qe
1
1
2
2
3
4
4
4
5
3
18
15,7
14
16,6
15,6
5,7
3,9
18,9
8,8
15,0
14
16,9
16,0

Вещество
ZnS
А1,0,
PbS
Si02
NaCl
Среднее число
валентных
электронов
на атом
4
4,8
5
5,3
4
Пюре,
SB
17
27
16
25
16
Д£,
эВ
17
25
15
25
16
В полупроводниках с изотропной зоной проводимости (GaAs,
InSb) плазменные колебания происходят с низкой частотой
«•„
V
4пяее2
m*en ;
(8.104)
где т* — эффективная масса электронов проводимости, пе — их
концентрация, е0 — диэлектрическая постоянная. В соответствии
с (8.104) энергии плазмонов находятся в области /гсор ^ 0,01 эВ.
Поэтому для изучения таких плазмонов используется рассеяние
инфракрасного излучения.
Учтем теперь влияние ре. При адиабатическом процессе
выполняются равенства
Те = const пе уе-\ ре = const kjij; (8.Ю5)
265

где у = _£ — отношение теплоемкостей при постоянном давле-
нии и постоянном объеме. Из (8.105)
grad р, = const kByeneye~l grad ne = kByeTe grad n,. (8.106)
С другой стороны, согласно (8.11)
grad q — e (Z grad nt — grad ne). (8.107)
При высоких частотах в колебаниях участвуют в основном
легкие электроны и для тяжелых ионов можно считать nt — const.
Поэтому grad nL = 0 и из (8.107)
gradne = — — grad?. (8.108)
е
Отсюда и из (8.106)
grad pe==_^l£f grad q, (8;109)
Из (8.109), (8.93) и (8.92) с учетом (8.97) получаем:
(n%i+^JL ^li-igrad^ = 0. (8.110)
dt2 me
Взяв дивергенцию от (8.110) и учтя четвертое из уравнений (8.11),
приходим к волновому уравнению:
2 . д2а "в yeTe /о1,1Ч
м + & ^v2<7 = o. (8.Ш)
Это уравнение имеет решение:
q==q/^-kz\ (8. II2)
где <7о — амплитуда волны, й — волновое число. Частота со
удовлетворяет равенству
tf~4e + ^~k\ (8. ИЗ)
В предельном случае холодной плазмы, когда
kB УеТе
т„
■ k2 <С ©ре-
частота (8.113) не зависит от волнового числа и совпадает с
плазменной частотой (8.97).
Подставляя в (8.97) численные значения е и те, получаем:
V«9 • \0Yne. (8.114)
При пе ~ 1012 см-3 (хромосфера над солнечными пятнами) частота
vpe имеет порядок величины 1010 с-1. Согласно (8.113) частоты
плазменных волн начинаются с плазменной частоты (8.97) и растут с
увеличением k по квадратичному закону.
266

При низких частотах (со <^ <х>ре) в плазме могут
распространяться колебания, связанные с движением ионов. В этом случае
необходимо учесть (8.9), адиабатичность процесса, а также то
обстоятельство, что легкие электроны успевают следовать за
движением тяжелых ионов, обеспечивая высокую степень нейтральности
плазмы. Скорость распространения ионных волн можно найти из
обычного выражения для скорости звука:
"-]/"?£■ (8Л15)
Учитывая, что в плазме р « п^п^ и используя уравнение (8.23),
получаем из (8.115):
Г ykB(Z+\)T
"=У щ • <8Л16)
В более общем случае, когда Те ф TL и уе Ф yt, выполняется
равенство
U = Y ^РУеТе + У?}. (8.117)
Выражение (8.117) применимо, когда температура Те не очень
сильно превышает температуру Tt. При Те > Tt горячие
электроны, быстро и хаотически перемещаясь, равномерно
распределяются в плазме и ионы совершают колебания относительно почти
однородного фона электронов с частотой
*р^УЩ- <8-118)
Эта формула получается из (8.97) при замене пе и те на щ и mt.
Затухание плазменных волн. Волны могут распространяться в
плазме при выполнении условия
со»р\ (8.119)
где р — коэффициент затухания волны. Это условие означает, что
время затухания т ~ —■ много больше периода волны. Плазменные
волны могут затухать в результате столкновений частиц плазмы.
Затухание плазменных волн возможно также без столкновений
частиц плазмы в результате кинетического эффекта,
предсказанного Ландау (1946 г.).
Качественно возникновение затухания в бесстолкновительной
плазме можно объяснить, рассматривая следующий нерезонансный
механизм поглощения волн (И. Е. Тамм, нобелевская лекция). Если
скорость свободного электрона v больше фазовой скорости волны
Уф, то проекция vk скорости электрона на направление волнового
вектора k может оказаться равной
vk = v cos Э = уф, (8.120)
267

где 9 — угол между v и k. При
этом состояние волны не
меняется в месте расположения
электрона и электрон находится под
влиянием силы, имеющей
постоянное направление1. Это
приводит к поглощению электроном
энергии волны, пока в
результате увеличения его скорости не
нарушится равенство (8.120).
Рис. 138 Равенство (8.120) совпадает с
известным условием для эффекта
Вавилова — Черенкова. Поэтому эффект нерезонансного
поглощения волн свободным электроном при v > иф можно считать
обратным эффекту Вавилова — Черенкова.
Коэффициент затухания волны можно оценить следующим
образом. На рисунке 138 схематически показан потенциал <р волны в
системе координат К', движущейся с фазовой скоростью волны
(В
Т*
Оф
Электрон, имеющий в системе К' скорость v'x = и и кинетическую
энергию
Е' = — < еф0,
(8.121)
где
(8.1210
(ф0 — амплитуда потенциала), упруго отражается от стенки
потенциальной ямы. При этом Е' не меняется, а скорость оказывается
равной v'x = —и. Следовательно, в системе К' энергия электрона
не меняется, а его импульс изменяется на величину
Ар'х = ти — (—ти) = 2ти.
В лабораторной системе отсчета энергия электрона равна2
mv\
Е = Е'+ифрх + -^. (8.122)
1 Этим случай (8.120) отличается от случая vk < v^, когда состояние
волны периодически меняется в месте расположения электрона. Периодические
изменения напряженности электрического поля приводят к периодическим
колебаниям электрона и к чередующимся увеличениям и уменьшениям его
кинетической энергии, которые не могут привести к заметному увеличению его энер-
2 См., например, (67.1) в [7].
268

Поэтому, учитывая, что Д£" = 0 и Дуф = 0, получаем:
£д — £п = Д£ = ифДр; = 2тииф, (8.123)
где £„ — энергия электрона до отражения, а Еп — его энергия
после отражения.
Отсюда видно, что в лабораторной системе отсчета энергия
электрона и, следовательно, энергия волны изменяются следующим
образом: при и >0 электрон отдает волне энергию (8.123), а при
и <0 электрон получает от волны энергию (8.123). В зависимости
от соотношения между энергиями, которые электроны получают
от волны и отдают ей, волна может затухать, сохранять свою
энергию или нарастать.
Волне отдают энергию электроны, скорости которых находятся
в системе отсчета К' в пределах
О <v'x <u0, (8.124)
или (согласно 8.121j)
0<v'x<Y^. (8.125)
В лабораторной системе отсчета в случае (8.124) скорость
электронов лежит в пределах
уф < vx < Уф + и0. (8.126)
Поэтому увеличение энергии волны за счет электронов, движущихся
вдоль Оси х, определяется в среднем выражением
A£a = i. Г fivj^dv,, (8.127)
n J ft
°Ф
где / — функция распределения электронов. От волны получают
энергию электроны, скорости которых в лабораторной системе
отсчета лежат в пределах
оф.-Ыо <ож<»ф. (8.128)
Таким образом, волна в среднем отдает электронам энергию
"Ф
АЕ2 = ~ Г f(vx)^dvx. (8.129)
Сф-fco
Заменяя переменную интегрирования vx на Уф -f- и = — -f- и,
получаем из (8.127) и (8.129):
«о
АЕХ = -^ \ / [ — + и) udu,
nk i [k > (8.130)
269

Д£„ = -^ \ f | h u ] udw.
nk . \k
Суммируя А£,иД Еъ получаем выражение для изменения энергии
волны:
Иг»
2тсо
Д£ =
nk
'т+"-Л
со
и
«da.
(8.131)
Отсюда видно, что при
f
со
"I > /(у + и
(8.132)
изменение энергии волны отрицательно и волна затухает. Условие
(8.132) означает, что с увеличением скорости электрона функция
распределения уменьшается. Если
"т + »>'т
и),
(8.133)
то изменение энергии волны положительно и волна усиливается.
Условие (8.133) означает, что с увеличением скорости электрона
функция распределения увеличивается.
При
.у СО
И < —■
к
можно использовать приближение
' со
f
tlZ + u
fi±\±df
f
dvx \v j,
= 2^"
н,
k j dv,
Подставляя (8.135) в (8.131), получаем:
и.
УФ
Л с, 4 тсо з df
АЕ = но -L-
3 nk 5Уф
»ф
(8.134)
(8.135)
(8.136)
Отсюда видно, что при
волна затухает, а при
д[_
EL
dvr
v<p
<0
Уф
>о
волна усиливается. В случае функции распределения Максвелла
имеем:
EL
dvr
<о.
270

Поэтому в плазме, описываемой функцией распределения
Максвелла, волна затухает. Наиболее сильно затухают волны, фазовые
скорости которых — находятся в области наиболее резкого изме-
k
нения функции распределения. Как известно, функция
распределения Максвелла наиболее сильно меняется в области тепловых
скоростей частиц. Поэтому плазменные волны, фазовые скорости
которых имеют такой же порядок величины, что и тепловые скорости
частиц, сильно затухают.
Условие значительного преобладания фазовой скорости над
средней тепловой скоростью электронов можно записать так:
„..2
kBT
»1
или, учитывая (8.97) и (8.32),
krD « 1.
(8.137)
(8.137t)
Изменение энергии волны Ев за единицу времени в единице
объема определяется согласно (8.136) выражением
dEB 4 та> з df
—- = v Wo — ,
at 3 nk dvx \"Оф
(8.138)
где v — частота столкновении захваченного электрона со стенками
потенциальной ямы. Эта частота имеет порядок величины ku0.
Поэтому из (8.138)
dEB 4 mco 4 df
Ыо -—
dt
dv,
Уф
(8.139)
Учитывая (8.121i), получаем из (8.139):
(8.140)
d£_B 16 _w_ еЧ dl
dt 3 n m dvx
Энергия волны в единице объема пропорциональна S2. Так как
£ = —grad ф, то S ~ kq> и, следовательно, энергия волны Еа
пропорциональна &2ф;*. Поэтому из (8.140)
dEB toe2 df
dt nmb? dv r
Ея.
Отсюда при
получаем:
где
Ч
(8.141)
dvx
dEB
dt
0
= -P^B-
nmk2
dvxJv$
(8.142)
(8.143)
271

Согласно (8.142) энергия волны
экспоненциально затухает с
течением времени:
Ев = Ев(0)£Н». (8.144)
Поэтому величина р* из (8.143)
является коэффициентом
затухания волны.
В случае
Рис. 139
коэффициент пропорциональности между
Я >°
— и Ев
at B
является
согласно (8.141) положительным и энергия волны экспоненциально
возрастает с течением времени. Такой случай реализуется, если,
например, в плазму направить пучок электронов, скорости которых
лежат в таком интервале, что у функции распределения электронов
появляется локальный максимум (рис. 139). При этом возникает
неустойчивое состояние. Колебания плазмы раскачиваются до тех
пор, пока электроны пучка не уменьшат свои скорости до
значений, при которых функция распределения станет монотонно
убывающей.
В случае ионных колебаний фазовые скорости оказываются
согласно (8.117) много больше тепловых скоростей
/
kBT
только при Те > Т[. Если же Те~ Tt, то фазовая скорость
сравнима с тепловой скоростью и затухание является сильным.
Поэтому ионные колебания могут распространяться в плазме без
сильного затухания только при Те ^> Tt.
Электромагнитные волны, Так же, как в случае электрических
волн, будем считать А-> оо. Кроме того, положим div S = О, что
согласно четвертому из уравнений (8.11) означает отсутствие
плотности электрического заряда.
Взяв ротор от второго из уравнений (8.11), получаем:
rotrotJ==graddiv?— уг1 = --rot 5. (8.145)
с dt
Отсюда, учитывая условие div $ = О и первое из уравнений (8.11),
приходим к следующему соотношению:
с2 dt с2 dt2
(8.146)
272

Используя (8.94) и (8.97), имеем:
7V-iii—if (8.147)
с2 ая с2 '
Это уравнение имеет решение в виде поперечной волны
8 = 8Х = 8/Ш~кг). (8.148)
Подставляя выражения для 8 из (8.148) в (8.147), получаем:
со2 = со2, +c2k2. (8.149)
Отсюда видно, что электромагнитные волны могут
распространяться в плазме только при со > сор. При со < сор волновое число k
является мнимым и волна затухает. При со <^ со^ из (8.149)
следует, что
с
Глубина проникновения d (расстояние, на котором амплитуда
волны уменьшается в е раз) оказывается порядка
Так как
с
© =2я-, (8.150)
К
где Хр — длина волны, соответствующая плазменной частоте, то
при со <^ сор
d« — = -=*£. (8.151)
|ft| ш^ 2я
Отсюда и из (8.149) следует, что электромагнитные волны могут
распространяться в плазме только при со > сор и, следовательно,
при л < Хр. Критическая длина волны %р определяется согласно
(8.150) и (8.97) выражением
X»3,3-10e^L. (8.152)
Согласно (8.152) при п, ~ 10е см-3 величина кр имеет значение
« 33 м, а при /гг -— 1012 см-3 величина Кр имеет значение 3,3 см.
Этим объясняется распространение достаточно длинных радиоволн
вокруг земного шара. Отражаясь от ионосферы, в которой они не
могут распространяться при к > Кр, радиоволны достигают
отдаленных мест поверхности Земли, которые находятся за пределами
прямой видимости.
Магнитогидродинамические волны. Волны низкой частоты могут
распространяться в плазме при наличии достаточно большой
магнитной индукции В0. При низких частотах колебаний необходимо
273

учесть движение ионов. Поэтому в уравнении (8.9) можно
пренебречь членом grad р по сравнению с — [/АЛ:
с
P~=1lfB0l (8.153)
at с
Аналогично, считая К -> оо и пренебрегая в (8.22) членами grad pe
те qi -*■
и —- —-, не содержащими В0, получаем:
пе dt
7=-- №] + -№]. (8.154)
с пес
Направим ось z вдоль В0. Тогда векторы [/£0] и [иА)] будут
расположены в плоскости (х, у). Если ось у направлена вдоль /, то
отличной от нуля будет только проекция [/В0]ж = /уВ0. Поэтому,
проецируя уравнение (8.153) на ось х и уравнение (8.154) на ось у,
приходим к равенствам:
,? =±оД,. (8-156)
Р^7 = -/А. (8-155)
•у- с "*"0-
Исключая vx из (8.155) и (8.156), получаем:
Ь-%Чг (8Л57)
Плотность тока (8.157) имеет вид поляризационной плотности тока
(8.76). Из (8.157) и (8.146) следует:
V2£v — -^ = ^?^-. (8.158)
у с2 а^а r2 a*2 '
Волновое уравнение (8.158) имеет решение:
£у = Suem~kz). (8.159)
Подставляя (8.159) в (8.158), приходим к следующему
соотношению между частотой со и волновым числом k:
^/l + lS^fc». (8.160)
Отсюда находим выражение для фазовой скорости:
"Ф = Т=—:=^=. (8-161)
1/ 1 4- 4лрс2
К fig
274

Магнитогидродинамические волны с фазовой скоростью (8.161)
были теоретически предсказаны Альфеном в 1942 г.
Экспериментально эти волны были обнаружены в лабораторных условиях в
1944 г.
Сравнение (8.161) с формулой Максвелла иф = —= показывает,
что в рассматриваемом случае плазма ведет себя как среда с
диэлектрической постоянной
ев = 1 + ^- (8.162)
Для оценки рассмотрим водородную плазму с концентрацией
частиц п = 1013 см-3 при В0 = 104 гс. При этих значениях п и В0
диэлектрическая постоянная ев имеет порядок величины 103 и
согласно (8.161) ^ ~ 0,03 с.
При
4яс2
вв стремится согласно (8.162) к единице и иф приближается к
скорости света в вакууме с.
При
во
Р»
4яс2
efi » 1 и скорость магнитогидродинамических волн значительно
меньше скорости света:
So
Низкочастотные электромагнитные волны в намагниченной
плазме.В присутствии внешнего магнитного поля с
напряженностью Н0 в плазме могут распространяться низкочастотные
электромагнитные волны. Согласно второму закону Ньютона
т — = е7+ - \уНЛ (8.163)
dt с
Умножая обе части (8.163) на пе, получаем для вектора
поляризации Р = пег уравнение
dP
d2P _nf_~t , e_
dt2 m mc
Решение этого уравнения имеет вид:
dt
(8.164)
Р = Р/Ш. (8.165)
Подставим это выражение для Р в (8.164):
■ со2? = ~ 7 + ш [Pel]. (8.166)
т
275

Направим ось z вдоль Я0. Проецируя (8.166) на оси координат,
находим:
пе2 — а>2£г — /<йсо„*\
Р — '
0 х — tuJ"Ve у
/л со1 — (<вюс)2
р __neH(Q(ucSx — (o2£y^ (8.167)
у m со4 — (око,.)2
mco2
Учитывая (21.8) из [5], получаем из (8.167) диэлектрические
постоянные:
р _ р _ 1 р
*ХХ ' уу * п 2 '
(й' — Ы'с
w?uv
£хУ = — <V = — f —у-2—-, (8.168)
-4
to»
Если электромагнитная волна распространяется вдоль Я0,
то
^/(О)^"',
Н = Н(0)еЦ°*-к\ (8-169)
—> —>-
Подставляя значение § и Я из (8.169) в первое и второе из
уравнений (8.11), получаем:
Шу = ± (гхх£х + гху£у),
— тх = — (еух£х + еуу£у), (8.170)
Система (8.170)
Подставляя (8.1
276
-kSy =
kSx =
имеет такие
*>
71)
в (8.170)
со „
-нх,
с '
решения:
i — i&x,
, = -« ,-
, получаем:
(8.171)
(8.172)

—J = *xx + fe
xy
= 1
CO (CO + Шс)
Подстановка же (8.172) в (8.170) дает:
'ck\*
— ехх lexy — *
(8.173)
(8.174)
ш (со — сос)
При малых значениях со правая часть (8.173) отрицательна. Поэтому
—>
волновой вектор k оказывается мнимым и волна (8.171)
распространяться не может.
При малых со < сос <С ©р можно в правой части (8.174) не
учитывать 1. При этом приходим к следующему выражению для
фазовой скорости волны (8.172):
СО С Т^СО,©
ГГ. = ^ -
иф - k Up •
Подставляя в (8.175) значения со<. и сор, получаем:
СС0#„
(8.175)
и* =
V-
Алпе
(8.176)
При Я0 ~ 10* э и т* = т. величина сос имеет порядок 1010 Гц
Поэтому если со„
101в с \ то при со
108 с-1- согласно (8.175)
^ф ~ 30—. Эта скорость на много порядков меньше скорости Ферми
108
см
3 • 1010 —.
(8.177)
Vf ~ 10° — и скорости света с
с с
Волна (8.172) имеет правую круговую поляризацию:
напряженность электрического поля S вращается вокруг оси г с частотой
со, причем направление вращения вектора § связано с
направлением оси г правилом правого винта (рис. 140). Поэтому волна (8.172),
распространяющаяся с фазовой скоростью (8.176), называется
геликоном.
Согласно последним двум уравнениям (8.170)
с
Отсюда и из (8.175) следует, что
Я = — <?=-<£>> 8. (8.1770
СО Уф
Таким образом, в случае распространения
геликона напряженность магнитного поля
в плоскости, перпендикулярной к #„, много
больше напряженности электрического поля.
Существование геликонов в металлах
было предсказано Константиновым и Пере-
лем, а также Эгреном (1960 г.).
Экспериментально геликоны были обнар\ жены в
1961 г. (Бауэре, Ледженди, Роуз).
И,
0м
К\л
и)
&S
Рис. 140
277

В 1965 г. в калии были обнаружены также волны,
распространяющиеся перпендикулярно к Я0. Частоты этих волн близки к па>с
(где/г = 1,2,3, ...). Поэтому эти волны называются циклотронными.
Близость со к гш>с обусловлена тем, что электроны совершают
«циклотронное» вращение вокруг Н0.
В фермиевски вырожденной плазме могут распространяться
также циркулярно поляризованные низкочастотные
электромагнитные волны, обусловленные допплер-сдвинутым циклотронным
резонансом. Такие волны называются допплеронами. Условие доп-
плер-сдвинутого циклотронного резонанса выражается равенством
со — kvF cos 0 = поас, (8.178)
где 0 — угол между направлением распространения волны и Н0.
Левая часть (8.178) равна частоте волны в системе, движущейся
вместе с группой электронов, имеющих скорость vF вдоль Н0.
Второй член в левой части (8.178) характеризует сдвиг частоты за
счет эффекта Допплера.
§ 54. ПЛАЗМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ВЕЩЕСТВА
В ПРИРОДЕ
Перевод нейтрального газа в состояние плазмы осуществляется
в результате ионизации атомов или молекул. Энергия ионизации,
необходимая для отрыва электронов от атомов или молекул,
сообщается термически, электронным или ионным ударом, облучением и
другими путями. Максимальные энергии ионизации имеют инертные
газы, а минимальные — щелочные элементы.
При термической ионизации работа ионизации совершается за
счет энергии теплового движения частиц. В земных условиях
заметная термическая ионизация может происходить в пламени,
особенно при наличии примесей щелочных элементов. В космических
условиях термически ионизованная плазма реализуется в звездах.
Ионизация электронным ударом осуществляется лавинообразно
в электрическом газовом разряде (молния, электрическая искра,
электрическая дуга, газосветные лампы и т. д.), когда
электрическое поле сообщает электрону на длине свободного пробега энергию,
превышающую энергию ионизации.
При ионизации облучением (фотоионизация) выполняется
уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
hv = I + Ef!, (8.179)
где Ek — кинетическая энергия электрона, покинувшего атом в
результате ионизации. Фотоионизация происходит только при
*'<*ш« = 7- (8ll79l)
278

Фотоионизация имеет важное значение для астрофизических
процессов. Излучение звезд вызывает ионизацию газовых
туманностей и межзвездного газа, который представляет собой
разреженную плазму из однозарядных ионов водорода и электронов.
Излучение Солнца ионизирует верхние слои атмосферы Земли, образуя
ионосферу.
Солнце состоит в основном из почти полностью ионизованного
водорода. В слое толщиной порядка 1000 км на расстоянии порядка
700 000 км от центра Солнца находится фотосфера с температурой
~ 6000 К, где водород ионизован значительно слабее, чем в
других областях Солнца. Движение солнечной плазмы в сильных
магнитных полях приводит к зернистой структуре фотосферы,
появлению солнечных пятен и другим нестационарным процессам.
Внешняя атмосфера Солнца образует корону. Вблизи Солнца
корона содержит ~ 108-—109 атомов водорода на 1 см3 при
температуре <~ 106 К- Высокая температура короны приводит к почти
полной ионизации коронального газа вблизи Солнца. Корона
простирается на миллионы километров от Солнца.
С поверхности Солнца испускается поток водородной плазмы,
образующий солнечный ветер. Этот поток имеет концентрацию
и скорость 300—500 км/с; он распространяется в меж-
-10
частиц
планетной плазме, имеющей концентрацию ~ 100
частиц
Высокая
Рис. 141
проводимость солнечного ветра приводит к увлечению им линий
индукции магнитного поля Солнца. Солнечным ветром (и световым
давлением) объясняется тот факт, что хвосты комет всегда
направлены от Солнца.
Вблизи Земли плазма
захватывается магнитным полем
Земли и образует радиационные
поясы, схематически показанные
на рисунке 141. Внутренний
пояс находится на расстоянии от
500 км до нескольких тысяч
километров, а внешний пояс — на
расстоянии 10000—15000 км от
поверхности Земли.
Во время магнитных бурь
быстрые заряженные частицы
вываливаются из радиационных
поясов и возбуждают атомы верхних
слоев атмосферы. Эти атомы
затем высвечиваются и вызывают
полярные сияния.
Захват заряженных частиц
магнитным полем Земли
объясняется следующим образом. На
Рис. 142
279

Рис. 143
Рис. 144
рисунке 142 показано
направление силы F и, возникающей в
результате взаимодействия
поперечного компонента Н
напряженности магнитного поля со
скоростью v± вращения
заряженной частицы вокруг
продольного компонента напряженности
Н ц. Из рисунка видно, что
сила F\\ направлена в сторону
уменьшения густоты линий
магнитного поля и, следовательно,
в сторону >меньшения
напряженности магнитного поля.
Поэтому область сильного
магнитного поля представляет собой
магнитное зеркало, которое
стремится оттолкнуть заряженные
частицы в область слабого
магнитного поля. Область,
ограниченная с двух сторон
магнитными зеркалами (рис. 143),
представляет собой магнитную ловушку. Такая магнитная
ловушка может удержать заряженные частицы, продольная скорость
которых достаточно мала по сравнению с поперечной
скоростью.
На рисунке 144 схематично показано движение заряженной
частицы, захваченной магнитным полем Земли. Движение
частицы складывается из быстрого «циклотронного» вращения
вокруг силовой линии магнитного поля, менее быстрых колебаний
вдоль силовой линии между магнитными зеркалами и медленного
дрейфа перпендикулярно к напряженности магнитного поля Земли.
Магнитные ловушки, подобные схематично показанной на
рисунке 143, используются в земных условиях для изоляции плазмы
(ловушки Будкера — Поста).
Если магнитное зеркало (область сильного магнитного поля)
движется, то при столкновении с заряженной частицей оно может
обмениваться с ней энергией. При столкновениях заряженных
частиц с движущимися областями межзвездного газа, имеющих
магнитное поле, тенденция к равномерному распределению энергии
между заряженными частицами и «сгустками» межзвездного газа
может привести к значительному ускорению заряженных частиц.
По Ферми (1954 г.), это ускорение является одним из механизмов
возникновения космических лучей.
280

§ 55. ФИЗИКА ПЛАЗМЫ И ПРОБЛЕМА УПРАВЛЯЕМЫХ
ТЕРМОЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
При сближении легких атомных ядер до малых расстояний
(порядка радиуса действия ядерных сил) они могут сливаться,
выделяя значительные количества энергии. Слияние ядер элементов,
находящихся в начале периодической системы элементов Д. И.
Менделеева, является одним из источников энергии, излучаемой
Солнцем и звездами.
Примерами синтеза легких ядер являются реакции:
2Н + 2Н -> 3Не + п + 3,3 МэВ,
2Н + 2Н -*- 3Н + р + 4 МэВ,
2Н + 3Н -> 4Не + п + 17,6 МэВ, (8.180)
2Н + 3Не -> 4Не + р + 18,3 МэВ,
2Н + eL; -> 24Не + 22,4 МэВ,
7Li +р-^24Не + 17,3 МэВ,
где 2Н — дейтерий, 8Н — тритий, 4Не — гелий, 3Не — легкий
изотоп гелия, п — нейтрон, р — протон.
Сближению атомных ядер препятствует кулоновское
отталкивание их положительных электрических зарядов. Поэтому
осуществление синтеза возможно при условии преодоления
потенциального барьера кулоновского отталкивания. Необходимая для
этого кинетическая энергия атомных ядер может быть сообщена
нагревом. В этом случае процесс синтеза ядер называется
термоядерной реакцией.
Температуры, при которых реакции синтеза происходят с
заметной вероятностью, имеют порядок 106 К и выше. При таких
высоких температурах вещество ионизируется и образует плазму.
Большие тепловые скорости частиц создают в лабораторных
условиях значительные трудности для изоляции плазмы от
окружающих ее стенок, при контакте с
которыми плазма охлаждается. В
космических условиях удержание горячей
плазмы Солнцем и звездами
обеспечивается мощными гравитационными
силами. В земных же условиях
перспективным является метод магнитной
изоляции плазмы.
Магнитная изоляция плазмы
осуществлена с помощью пинч-эффекта (эффект
самосжатой плазмы). При пропускании
сильного электрического тока через
цилиндр находящаяся в нем плазма
отрывается от стенок и сжимается.
Самосжатие плазмы происходит в соответствии
с известным правилом, согласно которому Рис 145
281

параллельные токи взаимно притягиваются. Наличие силы,
сжимающей цилиндрическую плазму, вытекает также из выражения для
плотности силы Ампера (первый член в правой части выражения 8.9).
Из рисунка 145 видно, что векторное произведение [/#] и,
следовательно, плотность силы Ампера направлены в каждой точке к
оси цилиндра.
Силе Ампера противодействует, как видно из (8.9), градиент
давления. При упрощающих предположениях можно установить
связь между силой тока / и температурой самосжатой плазмы.
Согласно (8.60)
вз Я2,
Р+~ = Ро + Г> <8Л81)
8л 8я
где р и В — давление и индукция магнитного поля на оси, а р0
и #0 — давление и напряженность магнитного поля на границе
плазменного цилиндра. На границе плазмы р0 = 0, а на оси
цилиндра с током1 В = 0. Поэтому из (8.181) следует, что
р = г- <8-182)
оя
Для цилиндра с током напряженность магнитного поля на
границе имеет вид:
Я0 = —, (8.183)
где г0 — радиус плазменного шнура2. С другой стороны, из (8.23),
считая Те = Tt и пе = пь = п, имеем:
р = 2пквТ. (8.184)
Из (8.182) —(8.184)
Т = ? Р. (8.185)
4с2пялд kB
Величина ппг2й равна числу ионов (или электронов) на единицу
длины цилиндра. При плг2 ~ 1018 см-1, / ~ 5 • 106 А из (8.185)
получаем: Т ~ 10е К. Таким образом, в результате пинч-эффекта
могут быть в принципе получены высокие температуры,
необходимые для термоядерной реакции.
Первые эксперименты по использованию пинч-эффекта для
осуществления управляемой термоядерной реакции синтеза
оказались неудачными. Опыты показали, что при включении высокого
напряжения плазма сначала быстро сжимается в тонкую нить с
температурой порядка 106 К- Но затем в течение нескольких
микросекунд возникают радиальные сжатия и растяжения, появляются
неустойчивости, вследствие которых самосжатый разряд исчезает.
1 См. [5], с. 613.
а Т а м ж е, с. 223.
282

//
Существуют различные причины неустойчивости плазменного
шнура. Одна из них схематично показана на рисунке 146. Из этого
рисунка видно, что при изгибе плазменного шнура на вогнутой
стороне (область /) густота линий индукции магнитного поля
больше, чем на выпуклой стороне (область //). Следовательно, Я, >
> Я„ и согласно (8.182) рт > рмп. Различие магнитных давлений
рм1 и рмн приводит к быстрому увеличению изгиба плазменного
шнура, который в течение нескольких микросекунд достигает
стенок разрядной трубки и остывает.
Другая причина неустойчивости плазменного шнура показана
на рисунке 147. В узких местах шнура магнитное давление больше,
чем в широких местах, что приводит к дальнейшему сужению
плазмы.
Для устранения неустойчивостей плазменного шнура
используются различные методы. В частности, для устранения
неустойчивости, связанной с деформацией изгиба, применяют продольное
магнитное поле и металлическую оболочку разрядной камеры.
Стабилизирующее действие внешнего продольного магнитного
поля в случае, показанном на рисунке 146, обусловлено тем, что
сила (В grad) В направлена в сторону вогнутости шнура и,
следовательно, способствует устранению неустойчивости, связанной с
градиентом магнитного давления между областями / и //.
Продольное магнитное поле стабилизирует также
неустойчивость типа перетяжки, показанную на рисунке 147. Вмороженность
магнитного потока приводит к тому, что при сжатии плазменного
шнура напряженность магнитного поля растет обратно
пропорционально квадрату радиуса поперечного сечения этого плазменного
шнура. При этом магнитное давление, которое пропорционально
283
CD
с. 146
OJ>
Рис. 147

В2, растет обратно
пропорционально четвертой степени
радиуса поперечного сечения
плазменного шнура и
противодействует его сжатию.
Стабилизирующее действие
металлической оболочки,
имеющей высокую
электропроводность, обусловлено токами Фуко,
которые имеют направление,
противоположное току в плазме,
Рис- 148 и> следовательно, отталкивают
плазменный ток от стенок
разрядной камеры. Приведенные методы стабилизации
плазменного шнура используют в экспериментальных установках, камера
которых имеет форму тороида (рис. 148) из тонкой
металлической оболочки. На внешней поверхности оболочки О имеется
обмотка Л, создающая внутри тороида вдоль кольцевого
плазменного шнура магнитное поле с напряженностью порядка 104 Э.
Для того чтобы энергия, выделяемая в процессе термоядерной
реакции синтеза, компенсировала потери энергии вследствие
излучения и ухода плазмы из объема, в котором она удерживается,
должно быть достигнуто определенное значение так называемого
параметра удержания плазмы. Таким параметром является
произведение плотности п плазмы на время % существования
высокотемпературной плазмы. Оценку произведения пх можно получить
следующим образом. Количество энергии, выделяющееся за единицу
времени в единице объема, равно
A£ = ve, (8.186)
где v — число реакций за единицу времени в единице объема,
е — энергия, выделяемая в процессе одной реакции. Величина v
определяется выражением
v = папьот, (8.187)
где па и пь — концентрации взаимодействующих ядер, а —
сечение реакции, v — относительная скорость частиц.
В случае, когда па — пь = —п, из (8.186) и (8.187) следует:
Д£ = - гс20те- (8.188)
Потеря энергии в единице объема за единицу времени,
обусловленная уходом частиц из объема удержания, равна
AQ = -lnkRT.
т 2 в
(8.189)
284

Радиационные потери равны
AQpai - пЦ (Г), (8.190)
где / (Г) — степенная функция температуры. Выделение энергии
преобладает над потерями, если
А£ > AQ + Л<2рад. (8.191)
Из (8.188)— (8.191) получаем:
- n2mie > — - nkBT + n2f (Г). (8.192)
Отсюда следует критерий Лаусона:
3LT
мт>т—-5 . (8.193)
-опи —/(Т)
Оценка, проведенная согласно (8.193), показывает, что реакция
синтеза дейтерия и трития может сама себя поддерживать при
пх > 3 • 1014 см-3 -с и Т ~ 108 К. В случае синтеза дейтерия
необходимо выполнение неравенства пх > 101в см-3 • с при
Г~ 5 • 108 К.
Наиболее перспективными среди тороидальных установок для
создания термоядерного реактора являются установки типа «Тока-
мак» (это название составлено из первых слогов слов: ток, камера,
магнитные катушки). В установках «Токамак» плазменный шнур
играет роль вторичной обмотки трансформатора. При разряде через
первичную обмотку трансформатора в камере происходит пробой,
газ ионизируется и нагревается протекающим по нему током.
В результате исследований, проведенных на «Токамаках»,
установлено, что удержанию плазмы способствует увеличение ее
поперечного сечения. В «Токамаке-10» (1975 г.) объем плазмы
составляет 5 м3. Планируются установки типа «Токамак» с объемом
порядка 400 м3.
Разрабатываются также методы получения управляемой
термоядерной реакции с помощью лазеров, гибридных реакторов, двух-
компонентной плазмы и др. Изучается возможность обжатия с
помощью лазерного излучения мишеней до концентрации Ю27 частиц/см3
и последующего нагрева. Увеличение плотности плазмы в 10* раз
должно привести к увеличению выделяемой энергии в 108 раз
(см. 8.188). В гибридных реакторах планируется вызвать деление
изотопа урана U-238 под влиянием быстрых нейтронов (в третьей
из реакций (8.180) нейтрон уносит приблизительно 14,1 МэВ).
Предусматривается применить дополнительный нагрев двухком-
понентной плазмы инжекцией потока быстрых частиц.
Работы, проводимые в связи с проблемой управления
термоядерной реакцией синтеза, способствуют развитию физики плазмы.

ЛИТЕРАТУРА
[ 1.] Св и р с к и й М. С. Электронная теория вещества. Челябинск, 1972.
[ 2.] Б л о х и н ц е в Д. И. Основы квантовой механики. М., Высшая школа,
1963.
[ 3.] Л а н д а у Л. Д. и Л и ф ш и ц Е. М. Квантовая механика. М., Физ-
матгиз, 1963.
[4.]ЗоммерфельдА. Термодинамика и статистическая физика. М.,
ИИЛ, 1955.
[ 5.] Т а м м И. Е. Основы теории электричества. М., ГИТТЛ, 1954.
[ 6.] Ш п о л ь с к и й Э. В. Атомная физика, т. 2. М.—Л., ГИТТЛ, 1951.
[ 7.] Л а н д а у Л. Д. и Л и ф ш и ц Е. М. Статистическая физика. М.,
Наука, 1964.
[ 8.] В о н с о в с к и и С. В., СвирскийМ. С. Письма в редакцию.
ЖЭТФ, 1967, с. 697.
[ 9.] В о н с о в с к и й С. В., С в и р с к и й М. С. ФММ, вып. 33, 1972,
с. 469.
[10.] Исихара А. И. Статистическая физика. М., Мир, 1973.
[П.] Вон сове к и й С. В., С в и р с к и й. М. С. ЖЭТФ, вып. 47, 1964,
с. 1354.
[12.] Зельдович Я- Б., М ы ш к и с А. Д. Элементы прикладной
математики. М., Наука, 1967.
[13.] Эпштейн П. С. Курс термодинамики. М., Гостехиздат, 1948.
[14.] Антиферромагнетизм. Сборник статей. Под ред. С. В. В о н с о в с к о-
г о. М., ИИЛ, 1956.
[15.] Л и н т о н Э. А. Сверхпроводимость. М., Мир, 1964.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава 1
ЗОННАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
§ 1. Типы связей атомов в твердых телах „ 4
§ 2. Геометрия кристаллической решетки 6
§ 3. Движение электрона в периодическом иоле кристаллической
решетки 18
§ 4. Волновые функции Блоха и квазиимпульс 21
§ 5. Почти свободные электроны 31
§ 6. Расщепление атомных энергетических уровней и образование
энергетических зон 38
§ 7. Металлы, полупроводники и диэлектрики 42
Глава II
ДИНАМИКА КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ
§ 8. Классическая теория колебаний кристаллической решетки .... 45
§ 9. Квантование колебаний кристаллической решетки 54
§ 10. Метод квазичастиц. Фононы 62
§ 11. Дисперсия фононов и ее исследование с помощью рассеяния
нейтронов 66
§ 12. Теплоемкость твердых тел при высоких и низких температурах 68
§ 13. Электрон-фононное взаимодействие 75
Глава III
ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ В МЕТАЛЛЕ
§ 14. Закон дисперсии квазиимпульса и метод эффективной массы ... 79
§ 15. Поверхность Ферми 85
§ 16. Теория проводимости металлов 89
§ 17. Кинетическое уравнение для электронов в металле 99
§ 18. Время релаксации 101
§ 19. Температурная зависимость электрического сопротивления . . . 109
§ 20. Перенос энергии и тепла 112
§ 21. Термоэлектрические явления 118
Глава IV
ПОЛУПРОВОДНИКИ
§ 22. Собственная проводимость, полупроводимость и ее температурная
зависимость 124
§ 23. Влияние примесей. Несобственная проводимость 128
§ 24. Эффект Холла в полупроводниках 136
§ 25. Электронно-дырочный переход 138
§ 26. Фотопроводимость 144
§ 27. Термоэлектрические явления в полупроводниках 148
Глава V
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
§ 28. Классическая теория диамагнетизма 151
§ 29. Квантовая теория диамагнетизма 153
§ 30. Диамагнетизм Ландау 154
§ 31. Парамагнетизм ионов, атсмов и молекул 159
§ 32. Спиновый парамагнетизм Паули 171
§ 33. Ферромагнетизм 173
287

§ 34. Обменная природа ферромагнетизма 175
§ 35. Спиновые волны 180
§ 36. Антиферромагнетизм 188
Глава VI
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ И СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
§ 37. Критическая температура сверхпроводящего перехода 195
§ 38. Эффект Мейснера 196
§ 39. Природа явления сверхпроводимости 200
§ 40. Квантование магнитного потока как пример макроскопического
квантования 219
§41. Квантовая жидкость 222
§ 42. Сверхтекучесть жидкого гелия 223
§ 43. Квантовые кристаллы 229
Г л а в а VII
КВАНТОВАЯ РАДИОФИЗИКА
§ 44. Индуцированное излучение 232
§ 45. Инверсная населенность уровней и «отрицательные» температуры 234
§ 46. Двухуровневая система и мазеры 235
§ 47. Трехуровневая система и лазеры 238
§ 48. Применение квантовых генераторов 247
Глава VIII
ПЛАЗМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ВЕЩЕСТВА
§ 49. Основные характеристики плазмы 248
§ 50. Электрическое поле в плазме 252
§51. Плазма в магнитном поле 254
§ 52. Дрейфовое движение 258
§ 53. Колебания и волны в плазме . 263
§ 54. Плазменное состояние вещества в природе . 278
§ 55. Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций 281
Литература 286
Моисей Соломонович Свирский
ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВА
Редактор Г. Р. Лисенкер
Переплет художника А. И. Шаварда
Художественный редактор В. М. Прокофьев
Технический редактор В. Ф. Кожина
Корректоры Л. П. Михеева, Н. И. Новикова
ИБ № 4450
Сдано в набор 06.12.79. Подписано к печати 11.08.80. бОхЭО'/и- Бумага типографская №2.
Гарнитура «Литературная». Печать высокая. Усл. печ. л. 18. Уч.-изд. л. 15,02. Тираж
22 000 экз. Заказ № 272. Цена 65 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета
РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й проезд
Марьиной рощи, 41.
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Росглавполи-
графпрома Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли. Саратов, ул. Чернышевского, 59.