Геометрия 8-9 классов - Александров А.Д.

Author: Александров А.Д.

Tags: геометрия топология математика

ISBN: 5-09-003387-0

Year: 1991

Similar

Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики

Геометрия. Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса

Геометрия. 7-9 классы. Учебник

Геометрия: для 6-8 классов средней школы

Text

А.Д. АЛЕКСАНДРОВ АЛ.ВЕРНЕР В.И.РЫЖИК
ББК 22.151я72
А46
Сведения о пользовании учебником
№ Фамилия и имя ученика Учебный год Состояние учебника
В начале года В конце года
1
2
3
4
5
Александров А. Д. и др.
А46 Геометрия для 8—9 классов: Учеб, пособие для учащихся шк. и
классов с углубл. изуч. математики/ А. Д. Александров, А. Л. Вер-
нер, В. И. Рыжик.—М.: Просвещение, 1991.—415 с.: ил.—
ISBN 5-09-003387-0.
.4306020500—656 .
А----------------инф. письмо — 91, № 157
103(03)—91
ББК 22.151я72
ISBN 5-09-003387-0
© Александров А. Д. и другие, 1991
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ...................................................... 8
Задачи на повторение курса 7 класса ........................ 10
8 КЛАСС
Глава I. Площади многоугольных фигур
> I. Многоугольники и многоугольные фигуры.................... 18
§ 2. Площадь многоугольной фигуры............................. 32
| 3. Площадь треугольника и трапеции.......................... 43
§ 4. Параллелограмм и его площадь............................. 51
Задачи к главе I............................................... 61
I лава II. Метрические соотношения в треугольнике
§ 5. Теорема Пифагора......................................... 64
§ 6. Применения теоремы Пифагора.............................. 73
§ 7. Синус ................................................... 86
§ 8. Применения синуса........................................ 98
§ 9. Косинус................................................... 112
§ 10. Применения косинуса...................................... 123
§11. Тангенс и котангенс...................................... 133
Задачи к главе II.............................................. 143
Глава III. Многоугольники и окружности
§ 12. Хорды и диаметры. Касательные и опорные прямые .... 146
§ 13. Выпуклые многоугольники................................ 163
§ 14. Вписанные и описанные окружности .... .... 171
§ 15. Правильные многоугольники.............................. 182
§ 16. Длина окружности....................................... 190
§ 17. Площадь круга.......................................... 199
Задачи к главе Ill............................................207
U клл< <
I ii и и и IV Векторы и координаты
§ IH Векторы ................................................212
§ 19 Сложение векторов.......................................219
§ 20. Умножение вектора на число..............................229
§21. Проекция вектора на ось.................................232
§ 22. Координаты вектора......................................240
§ 23. Скалярное умножение.....................................249
§ 24. Векторный метод.........................................254
§ 25. Метод координат.........................................271
Задачи к главе IV.............................................286
Глава V. Преобразования
§ 26. Движения и равенство фигур..............................289
§ 27. Виды движений...........................................298
§ 28. Классификация движений..................................315
§ 29. Симметрия фигур.........................................324
§ 30. Равновеликость и равносоставленность....................340
§31. Подобие ................................................345
§ 32. Инверсия..................................•.............368
Задачи к главе V..............................................377
Глава VI. Основания планиметрии
§ 33. Аксиоматический метод и основания планиметрии Евклида . . 380
§ 34. История развития геометрии..............................387
§ 35. Планиметрия Лобачевского................................394
Дополнение. Геометрия треугольника............................407
Предметный указатель..........................................414
Дорогие друзья!
•»тот учебник должен помочь вам
глубже узнать геометрию. Геометрия
и । lainia изучается на высоком теорети-
чг< ком уровне: доказывается каждая
I еорема, а решение каждой задачи опи-
рав кя на теоремы, доказанные к этому
моменту. Так что, изучая геометрию,
цы совершенствуете свою логику, учи-
|<> I. убедительно рассуждать. А это
и.окно не только для изучения геомет-
рии
Геометрия с древнейших времен по-
Moi.ier людям в решении многих прак-
гических задач (да и сама она, как
вы знаете, зародилась в Древнем Егип-
|с в результате решения задач об из-
мерении земли). И в теоретическом
материале, и в задачах вы встрети-
|г( |> с различными применениями гео-
метрии, сможете проявить свою сме-
калку.
Наконец, геометрия развивает вооб-
ражение, она говорит о формах ок-
ружающего мира и поможет вам по-
знать их красоту. И величайшие ху-
дожники не могли творить без гео-
метрии, а на их картинах мы можем
увидеть сцены из жизни знаменитых
геометров. Удачное, красивое, неожн
данное решение геометрической задачи
всегда приносит радость.
Мы приводим некоторые сведения
из истории геометрии. В частности, за
ставки к главам взяты из сочинений
Евклида, Архимеда, Ферма, Ньютона,
Лобачевского.
Учебник делится на главы, главы
на параграфы, параграфы разбиты на
пункты. Пункты имеют двойную нуме
рацию: например, п. 2.3 — это третий
пункт из § 2.
В учебнике много задач — к параг
рафам, к главам.
Среди задач есть такие, в которых
предлагается вопрос: «Как найти (вы
числить) ту или иную величину?» Чис
ловых данных при этом нет. В таких
задачах главное — составить план ре-
шения. Затем можно получить ответ в
виде формулы, введя для этого необ-
ходимые величины. Если вы в такой за
даче хотите получить численный резуль
тат, то сами выберите исходные числен
ные значения. Если вы считаете без
калькуляторов, то исходные численные
данные выбирайте попроще.
5
В некоторых задачах спрашивается:
«Как сделать?» Это значит, что нужно
такую фигуру, например, вырезать из
бумаги или выпилить из фанеры. От
нас же требуется сделать необходимую
разметку. При этом можно пользовать-
ся любыми инструментами, а не только
циркулем и линейкой, как это принято
в обычных задачах на построение.
Среди задач есть такие, в которых
данных меньше, чем нужно для реше-
ния, тогда для получения результата
данные можно дополнить по своему ус-
мотрению. Есть и такие задачи, в ко-
торых данных больше, чем нужно для
решения, тогда надо понять, без каких
данных можно обойтись и нет ли вооб-
ще между ними противоречия. Учтите,
что задача может не иметь решения,
как бы она ни была сформулирована.
Обнаружить это — все равно что ре-
шить задачу.
Наиболее важные утверждения в
теории выделены как теоремы. Форму-
лировки аксиом, теорем и их следст-
вий, а также некоторые важные
признаки и свойства набраны полужир-
ным курсивом. Остальные же предло-
жения, на которые надо обратить осо-
бое внимание, выделены курсивом.
В учебнике встречаются различные
условные обозначения.
Значком * в теории отмечены более
трудные места. Значок означает
окончание доказательства, а знаком (?)
отмечены те места, где вам самим надо
дать обоснование.
О
Q
А
м
Б

2.3
— таким знаком отмечены во-
просы для самоконтроля после
изучения теоретического текста
параграфа.
— так отмечены основные зада-
чи, результаты которых исполь-
зуются при решении других за-
дач.
— так обозначены задачи груп-
пы А — более простые задачи.
— задачи группы Б — более
сложные.
— таким знаком отмечены зада-
чи, в которых рассматриваются
пространственные фигуры.
— таким образом отмечается но-
мер пункта, к которому относит-
ся следующая группа задач.

ВВЕДЕНИЕ

Этот курс опирается на немногие уже известные вам
теоремы. Давайте вспомним эти теоремы.
треугольники. Важнейшими из известных вам теорем
являются три признака равенства треугольни-
ков (рис. 1):
Первый признак. Если две стороны и угол, зак-
люченный между ними, одного треугольника равны двум
сторонам и углу, заключенному между ними, другого тре-
угольника, то такие треугольники равны.
Второй признак. Если сторона и два прилежащих
Рис. I к ней угла одного треугольника равны стороне и двум
I.Ec/tuA'B=AB,A'c=AC,
LA-LA, mo да'в'с^давс
Л.ЕслиДА'=ДА,1в'=ДВ,
а'в'=ав, то да'в'с'=давс
Ш.Еспи А'В'=АВ, а'с = АЕ,
в'с'=вс, то да'в'с'=давс
н
прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие
I реугольники равны.
Третий признак. Если три стороны одного треуголь-
ника равны трем сторонам другого треугольника, то такие
г реугольники равны.
Далее следуют свойства равнобедренного тре-
угольник а:
Н равнобедренном треугольнике:
I) углы при основании равны;
2) медиана, проведенная из вершины, является биссект-
рисой и высотой (рис. 2).
В связи с этими свойствами равнобедренного тре-
угольника рассматривается понятие серединного перпенди-
куляра отрезка — прямой, перпендикулярной отрезку и пере-
секающей его в середине (рис. 3).
Верны два следующих взаимно обратных утверж-
дения:
I) Каждая точка серединного перпендикуляра отрезка
равноудалена от концов этого отрезка (рис. 3, а).
2) Если точка равноудалена от концов отрезка, то она
имит на серединном перпендикуляре этого отрезка
(рис. 3, 6).
параллельность. Вспомните, какие прямые называются
параллельными. Справедливы следующие признаки па-
раллельности прямых (рис. 4):
Первый признак. Если при пересечении двух прямых
третьей прямой окажется, что сумма внутренних односто-
ронних углов равна 180°, то прямые параллельны.
В
Если Ав=ОС,
то 2А=СС
ЕслиАВ=ВС uAD"OC
то Л ABD =ADBC
UBD1AC
Рис. 2
а)ЕслиАО=во
иPO1AB,
то ра = рв
б) Если РА = РВ
и РО1АВ,
тоАО=ов
тоаНЬ
Л. Если/. 1=/2, то а//Ь
Рис. 4
<1
a b Второй признак. Если при пересечении двух прямых
третьей прямой окажется, что соответственные углы равны,
то прямые параллельны.
Третий признак. Если при пересечении двух прямых
третьей прямой окажется, что внутренние накрест лежащие
' С углы равны, то прямые параллельны.
Частным случаем этих признаков является следующее
tcnuaLc и Ыс, утверждение: две прямые, перпендикулярные третьей пря-
мо а//Ь мой, параллельны (рис. 5).
Утверждения, обратные признакам параллельности пря-
₽ис’ 5 мых, являются следующими свойствами п а раллель-
Рис. 6 ных прямых (рис. 6):
LA+LB +LC=180°
Рис. 7
Если две параллельные прямые пересекаются третьей
прямой, то:
1) сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
2) образованные ими соответственные углы равны;
3) образованные ими накрест лежащие внутренние углы
равны.
Наконец, опираясь на свойства параллельных, была до-
казана следующая важная теорема о сумме углов
треугольника:
Сумма углов треугольника равна 180° (рис. 7).
ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ КУРСА VII КЛАССА
Свойства
равных
треугольников.
Свойства
параллельных
прямых.
1. Докажите, что в равных треугольниках равны соот-
ветственные: а) медианы; б) биссектрисы; в) высоты.
2. Докажите, что две параллельные прямые высекают на
двух других параллельных прямых равные отрезки. Могут
ли этим свойством обладать две пересекающиеся пря-
мые?
К)
3. а) Докажите, что две прямые параллельны, если:
I) параллельны прямые, перпендикулярные данным;
) внешние односторонние углы дают в сумме 180°; 3) внеш-
ние накрест лежащие углы равны.
б) Пусть AB\\DC, AB = DC и точки В и С лежат по
пану сторону от прямой AD. Докажите, что вС||Л£> и
BC~=AD.
4. Докажите, что два одноименных угла равны, если
их стороны соответственно: а) перпендикулярны; б) па-
рпллельны.
5. Докажите, что в равнобедренном треугольнике:
в) биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию,
совпадают; б) биссектрисы (медианы, высоты), проведен-
ные из вершин основания, равны; в) отрезок, соединяющий
концы биссектрис (медиан, высот), проведенных из вершин
основания, параллелен основанию; г) пересекаются в одной
ючке все его биссектрисы; все его медианы; все его высоты
(или их продолжения).
Решение, г) Докажем утверждение о биссектрисах.
Пусть в треугольнике АВС равны стороны АВ и ВС, АА\ —
биссектриса угла А, ВВ\ —биссектриса угла В. Пусть эти
биссектрисы пересекаются в точке О (рис. 8). Докажем,
чго биссектриса угла С также пройдет через точку О.
Здесь можно пойти разными путями: 1) соединить точ-
ки О и С и доказать, что СО — биссектриса угла С; 2) про-
нес! и биссектрису угла С, предположить, что она пересечет
ВВ\ в какой-то точке О\, отличной от точки О, и получить
противоречие. Возможны и другие способы решения.
Попробуем пойти первым путем. Обозначим для крат-
кости Z.OCB| = Z1, Z_OCA\ = /_2. Итак, нам надо дока-
шп>, что Z1 = Z2. Для доказательства равенства углов
(и также отрезков) первая идея — найти такие равные
।реугольники, где эти элементы являются соответственными.
Здесь напрашивается рассмотреть треугольники ОВ\С и
ОА\С. Но их равенство возможно только в случае равно-
стороннего треугольника АВС (?).
Если сразу не получается, то попробуем порассуждать,
д ВОС=А ВОА (?). Но тогда zLBAO = zL2 и ОА — ОС.
Гак как AAi—биссектриса угла А, то /LBAO=Z_OAC.
Затем видим из равнобедренного треугольника АОС, что
Z.O<4C=Z.l. В результате получается, что Z_1 = Z2.
Признаки
равнобедренного
треугольника.
Свойства
п рямоугольного
треугольника.
Решив задачу, не спешите с ней расставаться. Про-
смотрите еще раз свое решение: а вдруг в нем найдутся
не вполне обоснованные, хотя бы даже и очевидные, утверж-
дения? Ничего не находите?
А вот откуда взялась точка О? Мы считали, что бис-
сектрисы углов А и В пересекаются. Но как это доказать?
Затем попробуйте поискать другие доказательства,
может быть, вам удастся найти более короткое или более
красивое решение. Можно попробовать, например, взять
сначала биссектрисы углов А и С, а затем точку их пере-
сечения соединить с точкой В.
А кроме того, есть еще и второй путь решения, указан-
ный вначале. Попробуйте теперь сами решить задачи о
медианах и о высотах. Может быть, вам удастся сделать
это примерно такими же рассуждениями?
Мы решили действительно хорошую задачу. Вот другая
задача на ту же тему, но потруднее: будет ли все это вер-
но для треугольника, который не является равнобедренным?
6. Докажите, что треугольник является равнобедренным,
если совпадают проведенные из одной и той же вершины:
а) медиана и высота; б) биссектриса и высота; в) ме-
диана и биссектриса. Какие еще вы знаете признаки рав-
нобедренного треугольника?
7. Докажите, что в прямоугольном треугольнике: а) ка-
тет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы;
б) справедливо утверждение, обратное утверждению а);
в) середина гипотенузы равноудалена от его вершин.
8. а) Пусть известны все углы треугольника. Как можно
вычислить угол между двумя его биссектрисами? Приведите
пример такого вычисления. Необходимо ли знать все углы
треугольника, чтобы решить эту задачу?
б) Пусть один угол в треугольнике равен ср. Чему равен
угол между биссектрисами двух других его углов?
в) Могут ли две биссектрисы одного и того же тре-
угольника быть взаимно перпендикулярными?
9. а) В равностороннем треугольнике АВС проведена
медиана AAt. 1) Есть ли такая точка X на AAi, из которой
отрезок ВС виден под прямым углом (иначе говоря,
Z.BXC = 90°)? Как построить такую точку? 2) Есть ли
такая точка Y на AAi, из которой все его стороны видны
под равными углами?
12
6) Можно ли найти точки X и У (см. а)) в равнобед- В
репном треугольнике?
Решение, а) Будем мысленно перемещать точку X по f \
отрезку ДА] от Л к А\. Угол ВХС (его величину) обо- // .хХ1
мычим <р. Когда точка X находится достаточно близко /'\
< >| А (рис. 9, а), тогда <р мало отличается от 60°, а потому Ay ---------
< |i- 90". Когда точка X находится достаточно близко от
Л| (рис. 9, б), тогда ср мало отличается от 180°, а потому а)
< 1 >90°. Значит, при каком-то положении точки X на AAt В
< р -90°. А
И в дальнейшем будут встречаться задачи, решать ко- /
горые удобно, используя принцип непрерывности: пусть ве- /
личина v (угол, длина, площадь) зависит от положения /
гонки X на отрезке (ломаной или другой линии). Если
при одном положении X на отрезке и<0, а при другом
положении X на отрезке и>0, то найдется такое положение
А на этом отрезке, при котором у = 0. рис
В только что решенной задаче такой величиной v явля-
ется разность <р — 90°. Сначала она была отрицательной,
л 1атем стала положительной. Значит, где-то она равна 0.
Ни практике для удобства ее сравнивают не с нулем, а с
некоторым другим значением величины (в нашей задаче
мы сравнивали с углом 90°).
10. Нарисуйте прямоугольный треугольник. Из вершины
прямого угла проведите высоту и медиану. Нас будет инте-
ресовать угол х между ними, а) Сначала докажите, что
угол между высотой и катетом равен углу между медианой
и другим катетом, б) Вычислите х, если острый угол в пря-
моугольном треугольнике равен 20°. в) Сделав несколько
рисунков, попытайтесь указать границы для х. г) Может
ли х равняться 45°? д) Может ли х равняться острому
углу исходного треугольника? е) Выведите формулу для
величины х, когда острый угол исходного треугольника
равен <р. ж) Исходя из формулы, полученной в задаче е),
решите задачи б) —д).
II. Нарисуйте треугольник АВС. Есть ли такие точки
К на АВ и М на ВС, что: a) б) ЛК-)-МС= КМ;
в) АК= КМ = МВ? Если есть, то постройте их.
12. В равнобедренном треугольнике АВС АВ = АС, АК —
медиана, точка L лежит на стороне АВ, точка М лежит
па стороне АС. Пусть AL = AM. а) Докажите, что тре-
13
угольник KLM равнобедренный, б) Может ли треугольник
KLM быть равносторонним? Если да, то постройте такие
точки.
13. Чему равна сумма всех углов при вершинах пятико-
нечной звезды?
14. Постройте прямоугольный треугольник по: а) катету
и медиане, проведенной к гипотенузе; б) катету и высоте,
опущенной на гипотенузу; в) высоте и биссектрисе из вер-
шины прямого угла; г) высоте и медиане из вершины пря-
мого угла.
15. Постройте равнобедренный треугольник по: а) осно-
ванию и высоте, опущенной на боковую сторону; б) углу
при основании и высоте, опущенной на боковую сторону;
в) биссектрисе угла при основании и высоте, проведенной
из той же вершины.
16. Постройте треугольник по: а) двум сторонам и ме-
диане к третьей стороне; б) двум сторонам и высоте, опу-
щенной на третью сторону; в) углу и высотам, опущенным на
стороны этого угла; г) стороне, углу при ней и высоте к
ней; д) стороне, медиане к ней и высоте, опущенной на
другую сторону; е) стороне, медиане и высоте, опущенной
на эту сторону; ж) стороне, медиане и высоте, опущенной
на другую сторону; з) стороне, высоте, опущенной на
вторую сторону, и биссектрисе угла, противолежащего
третьей стороне; и) углу, высоте и медиане, проведенным
к одной и той же стороне; к) периметру и двум углам.
17. Через данную внутри угла точку проведите его хорду,
которая этой точкой делится пополам. (Хорда фигуры —
это отрезок, соединяющий две точки на ее границе.)
18. Дано п прямых. Докажите, что существует прямая,
которая пересекает все эти прямые.
19. Возьмите пустой спичечный коробок. Сможете ли вы
с его помощью нарисовать на бумаге прямоугольный тре-
угольник, катеты которого равны двум его наибольшим
размерам (длине и ширине)?
20. Сколько отрезков получится на прямой, если поста-
вить на ней п точек?
21. На какое наибольшее число частей разбивают плос-
кость: а) три прямые; б) четыре прямые; в) п прямых?
22. На плоскости проведено некоторое число попарно
пересекающихся прямых, причем никакие три не пересекают -
14
। и и одной точке. Пусть Т — число общих точек этих прямых,
О число образовавшихся отрезков или лучей на этих
прямых, Y число образовавшихся участков плоскости.
Проведя на плоскости 3, 4, 5, ... прямых, подсчитайте
I О, I' Попытайтесь найти зависимость между этими чис-
лами.
23. Как сделать равнобедренный треугольник, у которого:
,i) угол между высотой и одной стороной в два раза больше
Vi и между этой же высотой и другой стороной; б) бис-
leiiipiica одного из углов равна его стороне; в) медиана
и пыгота, проведенные из одной вершины, делят угол на
ipn рапные части; г) угол между биссектрисами равных
vi лов в два раза больше угла при вершине?
24. Как сделать прямоугольный треугольник, у которого
угол между медианой и биссектрисой, проведенными из
nepiiiiiiibi прямого угла, равен 20°?
25. Как сделать треугольник, у которого: а) высота и
медиана, проведенные из одной вершины, делят угол при
ной вершине на три равные части; б) высота, медиана и
биссектриса, проведенные из одной вершины, делят угол
при ной вершине на четыре равные части?
26. Как, имея в руках только веревку, начертить на земле
примой угол? Предложите как можно больше способов,
in пользуя разные инструменты для: а) деления отрезков
пополам; б) деления угла пополам; в) проведения перпен-
днкуляра; г) проведения параллельных прямых.
27. Исходя из рисунков 10, на самом деле неверных,
можно доказать, что: а) любой треугольник равнобедрен-
ный (например, дДВС на рис. 10, а); б) прямой угол
ранен тупому (например, прямой угол А равен тупому
VIлу В на рис. 10, б). Найдите ошибки на этих рисунках.
28. Нарисуйте на картоне или на плотной бумаге остро-
угольный треугольник. Вырежьте его. Отметьте середины
грех его сторон. Проведите три отрезка, соединяющие от-
меченные точки. Если вы согнете эту фигуру по проведен-
ным отрезкам и склеите между собой половины сторон
исходного треугольника, то получите фигуру, которая на-
п.пп1ется треугольной пирамидой (тетраэдром). Треуголь-
ники па поверхности тетраэдра—это его грани. Сколько
граней у тетраэдра? Стороны этих треугольников — это
ребра тетраэдра. Сколько ребер у тетраэдра? Вершины
Рис. 10

15
Рис. I I
EJ
El
этих треугольников — это вершины тетраэдра. Сколько их?
Рисуют тетраэдр так, как показано на рисунке 11. Как вы
думаете, из любого ли треугольника можно склеить тет-
раэдр?
29. Укажите равные грани в тетраэдре РАВС, если: а) все
его ребра равны; б) РА = ВС, РВ = АС, РС=АВ;
в) Z_APB = Z_APC= Z.BPC, РА = РВ = РС.
30. Пусть в тетраэдре РАВС одна грань —ЛВС —
равносторонний треугольник, РА = РВ = РС. В этом случае
он называется правильной треугольной пирамидой, а) До-
кажите, что в правильной треугольной пирамиде РАВС
грани РАВ, РВС, РСА равны. Что отсюда можно вывести
относительно высот в этих гранях, проведенных к сторонам
основания (треугольника ЛВС)? А относительно высот, про-
веденных к боковым ребрам этих граней? б) Пусть точка
N — середина ребра РА (оно, а также ребра РВ и PC
называются боковыми ребрами). Докажите, что треуголь-
ник CNB равнобедренный. Будет ли треугольник CNB рав-
нобедренным при другом выборе точки N внутри этого
ребра? в) Пусть точка О — середина ребра РВ. Докажите,
что треугольник CNO равнобедренный.
31. Пусть в тетраэдре РАВС все ребра равны — в этом
случае он называется правильным тетраэдром, а) Какие
надо взять точки на ребрах тетраэдра, чтобы они оказались
вершинами равнобедренного треугольника? А равносторон-
него? б) Пусть точка N— середина ребра РА, точка М —
середина ребра ВС. Нарисуйте отрезок MN. Нарисуйте
два треугольника на поверхности тетраэдра, в которых этот
отрезок является высотой, в) Пусть точка X движется по
ребру АР от Л к В. Каждый раз из нее проводится перпен-
дикуляр на ребро ВС. Нарисуйте несколько таких перпенди-
куляров. Какую фигуру заполняют все такие перпендику-
ляры? А куда попадет такой перпендикуляр, если точка X
выйдет за пределы ребра, находясь на прямой АР?
32. В тетраэдре РАВС /_ ВВЛ = 90°, Z.BBC=90°.
Пусть ВЛ = ВС. а) Докажите, что РА = РС. б) Докажите,
что ХА = ХС при любом положении точки X на прямой
РВ. в) Пусть (ВК) ± (ЛС). Докажите, что (ВК) ± (ЛС).
33. Сможете ли вы из шести одинаковых палочек соста-
вить четыре равных треугольника?
КЛАСС
ГЛАВА I
ПЛОЩАДИ
МНОГОУГОЛЬНЫХ
ФИГУР
§ 1. МНОГОУГОЛЬНИКИ И МНОГОУГОЛЬНЫЕ
ФИГУРЫ
1.1. ломаная. Ломаной линией или, короче, ломаной на-
зывается конечная последовательность отрезков, такая, что
один из концов первого отрезка служит концом второго,
другой конец второго служит концом третьего и т. д. При
этом соседние отрезки не лежат на одной прямой. Ломаную
обозначают (и называют) по последовательным концам
ее отрезков — звеньев. Так, на рисунке 12, а изображена
Рис. 12 ломаная ABCDEFGH.
Коццы ломаной могут совпадать. Тогда ломаная назы-
HiK’Hii шмкнутой (рис. 12, б). Ломаная может пересекать
• ими себя, как на рисунке 12, в, коснуться сама себя,
10' на рисунке 12, а, а также налегать на себя, как на
рю унке 12, д; если таких особенностей у ломаной нет,
to оно называется простой (рис. 12, а, б).
। -• многоугольник. Простая замкнутая ломаная вместе
। то гыо плоскости, ограниченной ею, называется много-.
ViojibiiHKOM (рис. 13). Сама ломаная называется грани-
цей ггого многоугольника, составляющие ее отрезки —
ею сторонами, а концы этих отрезков — его вершинами.
В каждой вершине многоугольника его стороны задают
некоторый угол многоугольника. Он может быть как меньше
ри ширнутого (рис. 14, а), так и больше развернутого
(рис 14, б).
У каждого многоугольника есть углы, меньшие 180°.
* Докажем это утверждение. Пусть дан многоугольник
/' Проведем какую-нибудь прямую, не пересекающую его
(риг 15, а). Будем перемещать ее параллельно в сторону
многоугольника. В некоторый момент мы впервые получим
прямую а, имеющую с многоугольником Р хотя бы одну
огпиую точку (рис. 15, б). От этой прямой многоугольник
||< ЖИ1 ио одну сторону (при этом некоторые его точки
к ка। на прямой а).
На прямой а лежит хотя бы одна вершина Л много-
угольника. В ней сходятся две его стороны, расположен-
ный по одну сторону от прямой а (считая и тот случай,
мн ла одна из них лежит на этой прямой, рис. 15, в).
При <той вершине угол меньше развернутого.
6)
Рис. 14
Рис. 15
19
Рис. 16
Рис. 17
Число сторон многоугольника равно числу его вершин,
т. е. числу его углов. Многоугольник называют по числу
его углов: треугольник, четырехугольник, н-угольник (чи-
тается «эн-угольник»). Стороны и углы многоугольника на-
зывают его элементами. Многоугольники, как и треуголь-
ники, обозначают и называют, перечисляя последовательно
его вершины.
О точках многоугольника, не лежащих на его границе,
говорят, что они лежат внутри многоугольника. Например,
точка М на рисунке 16 лежит внутри многоугольника
ABCDEFG.
Диагональю многоугольника называется отрезок, соеди-
няющий его несоседние вершины (например, АС на рис. 16).
1.3. ВЫПУКЛЫЕ И НЕВЫПУКЛЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ. Мно-
гоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну
сторону от каждой прямой, содержащей его сторону
(рис. 17).
Определение выпуклого многоугольника можно наглядно
истолковать так: выпуклый многоугольник можно вырезать
из плоскости, разрезая ее по прямым (как из листа бумаги,
разрезая его до краев, рис. 18, а).
Тем самым выпуклый многоугольник является пересече-
нием полуплоскостей, ограниченных прямыми, которые со-
держат стороны многоугольника (рис. 18, б).
Напомним, что пересечением данных фигур называется
фигура, которая содержит все точки, принадлежащие всем
этим фигурам, и не содержит никаких других точек (рис. 19).
(Короче говоря, пересечение фигур — это фигура, которая
состоит из всех их общих точек.)
20
Каждый треугольник является выпуклым многоугольни-
ком (рис. 17, б). Но, например, для четырехугольников
это уже не всегда так (рис. 20). Многоугольники, кото-
рые не являются выпуклыми, так и называются — невы-
пуклые многоугольники.
Выпуклые многоугольники обладают многими интересны-
ми свойствами. До сих пор находят новые свойства выпук-
лых многоугольников. Установим несколько простейших
свойств выпуклых многоугольников.
Свойство 1. У выпуклого многоугольника все углы
меньше 180°.
Доказательство. Возьмем любой угол А выпуклого
многоугольника Р и его сторону а, идущую из вершины
А (рис. 21). Пусть I — прямая, содержащая сторону а.
Так как многоугольник Р выпуклый, то он лежит по одну
сторону от прямой I. Следовательно, и его угол А лежит
по одну сторону от этой прямой. Значит, угол А меньше
развернутого угла, т. е. меньше 180°.
Свойство 2. Отрезок, соединяющий любые две точки
выпуклого многоугольника (в частности, любая его диаго-
наль), содержится в этом многоугольнике.
Доказательство. Возьмем любые две точки А и В
выпуклого многоугольника Р (рис. 22). Многоугольник Р
является пересечением нескольких полуплоскостей. Отрезок
АВ содержится в каждой из этих полуплоскостей. По-
этому он содержится и в многоугольнике Р.
Свойство 3. Сумма углов выпуклого п-угольника
равна (п — 2) 180°.
Доказательство. Пусть дан выпуклый «-угольник
Р. Возьмем внутри его точку О и соединим ее отрезками
с вершинами многоугольника (рис. 23). Отрезки эти «раз-
режут» многоугольник на треугольники с общей вершиной О
и противолежащими ей основаниями на сторонах «-уголь-
ника. Число треугольников (по числу сторон) будет п.
У каждого сумма углов 180°. Поэтому общая сумма их
углов будет «-180°. Чтобы получить сумму всех углов п-
угольника, из общей суммы углов вычтем 360° — сумму
всех углов треугольников при вершине О. Стало быть, сумма
углов «-угольника равна «• 180° —360°= (« — 2) 180°.
Замечание. Подумайте, верен ли этот результат для
певыпуклых многоугольников. Если да, то как доказать?
Рис. 21
Рис. 23
21
Рис. 24
1.4. четырехугольник. У четырехугольника четыре угла,
четыре вершины, четыре стороны (рис. 24). Стороны че-
тырехугольника, имеющие общие концы, называются смеж-
ными, а не имеющие общих концов — противоположными.
Вершины, соединенные стороной, называются соседними,
а не соединенные стороной — противоположными. Отрезок,
соединяющий середины противоположных сторон четырех-
угольника, назовем его средней линией.
У каждого четырехугольника две диагонали — это отрез-
ки, соединяющие противоположные вершины четырехуголь-
ника. Диагонали выпуклого четырехугольника пересекают-
ся (рис. 24, а), а невыпуклого не пересекаются (рис. 24, б).
Сумма углов любого четырехугольника равна 360°.
1.5. МНОГОУГОЛЬНЫЕ ФИГУРЫ. РАЗБИЕНИЕ МНОГОУГОЛЬ-
НЫХ фигур. Многоугольной фигурой называется объедине-
ние конечного числа многоугольников (рис. 25). Много-
угольная фигура может состоять из многоугольников, вовсе
не имеющих общих точек (рис. 25, а) или имеющих толь-
ко отдельные общие точки на границе (рис. 25, б).
Будем говорить, что многоугольные фигуры не перекры-
ваются, если они не имеют общих внутренних точек (на
рис. 25, в фигуры Р и Q перекрываются, a R, S и Т на
рисунке 25, г не перекрываются).
Говорят, что многоугольная фигура F составлена (или
состоит) из данных многоугольных фигур, если она явля-
ется их объединением, а сами эти фигуры не перекры-
ваются (рис. 25, г), или, что многоугольная фигура F разбита
на данные многоугольные фигуры.
Рис. 25
22
Например, каждый четырехугольник можно разбить на
дна треугольника диагональю (рис. 26, а). Выпуклый мно-
гоугольник разбивается на треугольники всеми диагоналями,
проведенными из одной (любой) его вершины (рис. 26, б).
Диагоналями можно разбить на треугольники любой мно-
гоугольник (но не обязательно идущими из одной вершины,
рис. 26, в).
Поскольку каждый многоугольник составляется из тре-
угольников, а каждая многоугольная фигура составляется
из многоугольников, то каждую многоугольную фигуру
можно составить из треугольников.
Верно и обратное: каждая фигура, составленная из
треугольников (в том числе и треугольник), будет много-
угольной (по определению).
Разбивать многоугольники мы будем не только их диаго-
налями, но и другими отрезками, соединяющими точки их
сторон, например треугольник его медианами или биссектри-
сами. Часто встречается интересное разбиение треуголь-
ника его средними линиями — отрезками, соединяющими
середины сторон треугольника (рис. 27, а). Покажем, что
средние линии треугольника разбивают его на четыре рав-
ных треугольника. Для этого докажем, что средние линии
треугольника параллельны его сторонам и вдвое их мень-
ше.
Доказательство. Пусть точки К, L, М — середины
сторон АВ, ВС, СА треугольника АВС соответственно. Про-
должим отрезок КВ за точку В на отрезок BN=KB
(рис. 27, б). Тогда /±КВВ= &NBC (KL = LN, BL = LC и
Z l = Z_2 как вертикальные). Поэтому BK = CN и /_В =
=Следовательно, AK=CN (так как АК=КВ и КВ =
Рис. 26
N
а)
б)
Рис. 27
23
= CW) и AK\\CN (так как ZS = Z4). Поскольку AK = CN
и CN, то K.N = AC и KN\\AC (задача 3, б из повторе-
ния). Поэтому Z.3=Z.X, Z.1 = Z.C и KL = -^~AC. Значит,
углы треугольника KBL равны углам треугольника АВС,
а стороны его вдвое меньше сторон треугольника АВС. Это
же верно и для треугольников АКМ, MCL, K.ML, так как
они равны треугольнику KBL.
el. В чем разница между простой ломаной и ломаной, не
являющейся простой?
2. Что такое многоугольник?
3. Какие части многоугольника вы знаете?
4. Перечислите свойства выпуклых многоугольников.
5. Чему равна сумма всех углов /1-угольника?
6. Что такое многоугольная фигура?
7. Какие свойства средней линии треугольника вы знаете?
Задачи к § 1
1.1. На каком рисунке изображена ломаная (рис. 28)?
Какая из них простая?
1.2. На какое число частей могут разбить плоскость
две замкнутые простые ломаные: а) четырехзвенные; б) пяти-
Рис. 28 звенные?
А
а)
д)
24
I 1 • можете ли вы сделать из гибкой проволоки замк-
ну lym питизвенную ломаную, имеющую: а) одну точку
। пмиигрссечения; б) две точки самопересечения; в) три
fti'iKii самопересечения; г) четыре точки самопересечения;
II пип. почек самопересечения?
I -I Перед вами рисунок куба (рис. 29). Пусть его ребро
|||||||ц> I Простая ломаная идет по его ребрам. Какую
iiniioo'ii.iiiyio длину она имеет, будучи: а) незамкнутой;
П) ымкнутой?
I П Путь из А в В через пункт С занимает 1 ч. Можно
in проделать этот путь быстрее, двигаясь с той же скоростью
Пн цпум направлениям: параллельно АС и параллельно
С Hi1 (Все дороги прямые.)
I <1 Никакие три вершины замкнутой ломаной не лежат
Ни одной прямой, и никакие три звена не пересекаются
и о зной точке. Какое наибольшее число точек самопересе-
чении может иметь такая ломаная, если в ней: а) пять
iiiriii.ru, б) семь звеньев; в) п звеньев, где п — число
inn. nine; г) п звеньев и п четно?
1.7 О некоторой ломаной была выдана такая информа-
ннн I) Она замкнутая. 2) Каждое свое звено она пересе-
МН«<। ровно один раз. 3) У нее шесть звеньев.
1’1 и. ли противоречие в этих данных? Если есть, то
никое изменение можно внести в исходную информацию
1»*к, чтобы избавиться от противоречия?
I N Нарисуйте шахматную доску 8x8. Отметьте на ней
пне соседние клетки. Требуется соединить их ломаной, на-
чнзо которой находится в одной из данных клеток, а конец —
и зругой При этом: 1) Она должна проходить через все
HiiriKii цоски. 2) Она должна быть простой. 3) Угол между
•iiofn.iMii двумя ее соседними звеньями прямой.
Ио (можно ли удовлетворить всем этим условиям? Под-
(чцннйте число звеньев полученной вами ломаной. Смо-
ж* ir hi вы уменьшить число звеньев такой ломаной?
I'iHiutc аналогичную задачу, если две взятые вами
H'lrnui не будут соседними.
I I». а) На листе бумаги в клетку отметьте девять точек,
кик показано на рисунке 30. Проведите ломаную так, чтобы
инн проходила через все эти точки. Сколько звеньев в
и 1рн< овинной вами ломаной? Можете ли вы нарисовать
iliiMiiiiyio из четырех звень'ев, удовлетворяющую условию?
Б
Рис. 30
25
a)
Рис. 31
б) Нарисуйте аналогичным образом 16 точек. Нарисуйте
1.2, 1.3
О
А
шестизвенную ломаную, проходящую через них.
в) Пусть аналогичным образом расположено п2 точек.
Докажите, что есть ломаная из 2п — 2 звеньев, проходя-
щая через них.
1.10. Один любознательный муравей заинтересовался
геометрией. Он ползет по ломаной, все звенья которой
равны, поворачивает только по часовой стрелке и всегда
на один и тот же угол. При каких углах поворота он вер-
нется в исходную точку?
1.11. Ломаная соединяет некоторые вершины куба так,
как показано на рисунке 31. Нарисуйте, как она видна
со стороны каждой из граней куба.
1.12. По поверхности куба идет некоторая ломаная
(рис. 32). Нарисуйте эту ломаную на изображении куба.
1.13. Докажите, что сумма внешних углов выпуклого
многоугольника, взятых по одному при каждой вершине,
равна 360°.
1.14. Может ли число вершин многоугольника не рав-
няться числу его сторон?
1.15. Какие многоугольники по числу сторон можно сло-
жить из: а) двух треугольников; б) трех прямоугольных
треугольников? При этом треугольники не перекрываются.
1.16. Нарисуйте различные по форме многоугольники,
которые могут образоваться из двух треугольников. Какие
из них являются выпуклыми многоугольниками (треуголь-
ники могут перекрываться)?
1.17. На листе бумаги отметьте точку. Нарисуйте много-
угольник так, чтобы точка была видна: а) из всех вершин
многоугольника; б) только из двух его вершин; в) только
из одной его вершины.
26
5)

Рис. 32 е?

1.18. Многоугольник Af таков, что из некоторой точки О
видна вся его граница. Докажите, что из любой точки
видна хотя бы одна его сторона.
1.19. а) Какое наибольшее число острых углов может
быть в выпуклом многоугольнике?
б) Нарисуйте пятиугольник с четырьмя острыми углами.
в) Нарисуйте шестиугольник с пятью острыми углами.
1.20. а) Докажите, что в выпуклом пятиугольнике найдет-
ся пара соседних углов, которые дают в сумме больше
180°.
б) Обобщите утверждение а).
1.21. Одна из граней пирамиды — пятиугольник. Сколько
у этой пирамиды вершин, ребер и граней? Ответьте на
такой же вопрос о пирамиде, одна из граней которой
п-угольник.
Б
1.22. а) В выпуклом п-угольнике провели все диагонали.
1) Сколько получилось диагоналей? 2) Сколько получилось
треугольников, все вершины которых находятся в вершинах
данного многоугольника?
б) Сколько шахматных партий должно быть сыграно
в турнире с п участниками?
1.23. Нарисуйте равносторонний треугольник АВС. От-
метьте точки X на АВ, Y на ВС, Z на АС. Проведите
ЛАЦАС, где К лежит на ВС, YL\\AB, где L лежит на
AC, ZM\\BC, где М лежит на АВ. Пусть XKYLZM — шести-
угольник. а) Докажите, что все его углы равны.
б) При каком выборе точек X, Y, Z все его стороны равны?
в) Пусть разность двух каких-либо параллельных его сто-
рон равна 1. Можете ли вы вычислить разность других
пар параллельных сторон?
1.24. Нарисуйте выпуклый шестиугольник. Разбейте его
на треугольники непересекающимися диагоналями, а) Под-
считайте число полученных треугольников. А какое число
получилось у вашего соседа? Какое вы можете сделать
предположение? Можете ли вы его обосновать? б) Подсчи-
тайте число диагоналей такого разбиения.
Обобщите полученные результаты.
1.25. Как сделать выпуклый пятиугольник А1Л2А3А4А5,
в котором: а) четыре стороны равны, ZA|=9O°, ZA2 =
= ZA3=ZA4=ZA5; б) ZAi=90°, AA2=ZA3 = ZA4 =
= z±A5, AiA2 = AiA5, А2Аз = АзА4 = А4А5; в) все стороны
28
раины, /LA\ = Z/15 = 90o, AA2 = Z.A3 — Z,44; г) Z.j4i =
/ Л.ч = Z_ А5 — 90°, Z~A2=l/_A\, A1A 2 — A 4A 5 ,A ?A 3 =
- A.,A4 = A5Ai; д) AAi = AA2=^A3 = 90°, Z43=Z44,
Л?/1 л = Л4Л5, A1A2=Л3Л4 — A1Л5; e) Z.A1 = Z_A2 = Z_Л5 =
“ 90", Z. Л3 = Z. Л4, A1 A2 = A3A4 = Л5Л1, ЛгЛ3 = Л4Л5-
Решение, д) Прежде всего заметим, что такой пяти-
угольник можно получить как часть квадрата. В самом
деле (рис. 33, а), если отрезок /(L (где CK = CL) провести
близко к С, то KL<AB. Если KZ, провести близко к В,
го KL>AB. Значит, при каком-то положении точки К
будет выполняться равенство K.L = AB. Но как найти это
положение точки К?
Предположим, мы решили задачу и нашли такое поло-
жение К (рис. 33, б). «Сблизим» равные отрезки f(L и АВ.
Для этого на BD (a BD\\KL— объясните это) отложим
ВМ = ВА. Через полученную точку М проведем прямую,
параллельную AD. Там, где она пересечет прямую CD, по-
лучим искомую точку L. Проведем затем через L прямую,
параллельную BD. Там, где она пересечет ВС, получим
точку К-
Докажем, что ABK.LD — нужный нам пятиугольник. В
самом деле, AB = AD, K,L = BM (?), ВМ = АВ. Значит, иско-
мую тройку равных сторон мы получили. Другие две его
стороны В К и DL также равны (?), Z_ К, как и Z_KLD,
равен 135° (?), а оставшиеся углы прямые.
1.26. а) Нарисуйте выпуклый пятиугольник. Продолжите
нее его стороны до взаимного пересечения. Вычислите сумму
острых углов полученной звезды.
б) Обобщите задачу а).
1.27. Нарисуйте такие два четырехугольника, которые
дают в пересечении: а) два треугольника; б) два четырех-
угольника; в) пятиугольник; г) шестиугольник.
1.28. Какой по виду многоугольник может получиться
в результате объединения двух четырехугольников?
1.29. Нарисуйте такой четырехугольник, который можно
одной прямой разделить на: а) три треугольника; б) тре-
угольник и пятиугольник.
1.30. Нарисуйте четырехугольник, в котором: а) каждая
диагональ больше любой его стороны; б) каждая диаго-
наль меньше любой его стороны; в) умещается отрезок,
больший любой диагонали.
Рис. 33
А
29
1.31. Чему равен неизвестный угол х на рисунке 34?
1.32. Будет ли четырехугольник выпуклым, если: а) два
его соседних угла равны; б) два его противоположных
угла равны; в) его средние линии равны; г) его средние
линии пересекаются внутри четырехугольника; д) сумма
всех его углов равна 360°?
1.33. Какими свойствами обладает выпуклый четырех-
угольник ABCD, в котором: а) все стороны равны; б) АВ =
= CD, AD = BC; в) АВ = ВС, AD = CD; г) AB = CD, АА =
= AD; д) АА = АС, AB=AD; е) AA=AD, АВ =
= АС; ж) АВ= AD, диагональ BD делит пополам диаго-
наль АС?
Б
1.34. В вершинах четырехугольника сделали шарниры.
Будет ли такой четырехугольник жесткой фигурой? Сколько
Рис. 34
различных четырехугольников можно построить по четырем
сторонам?
1.35. Докажите, что выпуклые четырехугольники равны
(т. е. имеют соответственно равные стороны и диагонали),
если: а) составлены из двух соответственно равных тре-
угольников, причем одинаковым образом; б) у них равны
по три стороны и углы между этими сторонами; в) у них
равны стороны и по одной диагонали.
1.36. Постройте четырехугольник по: а) четырем сторо-
нам и одной из диагоналей; б) трем сторонам и двум
диагоналям; в) трем сторонам и одной диагонали; г) двум
сторонам и двум диагоналям; д) трем сторонам и двум
углам между ними; е) четырем сторонам и одному углу
между ними; ж) диагонали и четырем углам, которые она
образует с его сторонами.
1.37. Нарисуйте четырехугольник, а) Постройте круг,
внутри которого он умещается. Можете ли вы построить
меньший круг, удовлетворяющий условию? А наименьший
из всех таких кругов? б) Постройте круг, который уме-
щается в данном четырехугольнике. Можете ли вы построить
больший круг, удовлетворяющий условию? А наибольший
из всех таких кругов?
1.38. а) Отметьте любые пять точек. Докажите, что
можно выбрать четыре из них такие, которые являются
вершинами выпуклого четырехугольника.
б) Поставьте на листе бумаги пять точек так, что любые
четыре из них являются вершинами выпуклого четырех-
30
угольника. Докажите, чтр все пять являются вершинами
выпуклого пятиугольника.
1.39. Как сделать выпуклый четырехугольник ABCD,
в котором три стороны АВ, ВС и CD равны и: а) сторона
ВС видна из вершин А и D под равными углами; б) АС=
= BD, АС±В£); в) AC = BD\ г) середина AD равноудалена
от В и С; д) середина ВС равноудалена от А и D; е) есть
точка, равноудаленная от всех вершин; ж) биссектрисы
всех углов пересекаются в одной точке; з) биссектрисы
углов В и С пересекаются на AD; и) сторона АС делит
угол А пополам и перпендикулярна СО; к) прямые АВ и
СО перпендикулярны?
1.40. В основании четырехугольной пирамиды PABCD
лежит прямоугольник ABCD. Ее боковые ребра РА, РВ, PC,
PD равны, а) Для каждой ее треугольной грани укажите
равную ей грань, б) Пусть KL — средняя линия основания.
Докажите, что треугольник PK.L равнобедренный, в) Пусть
от вершин А и О отложены на ребрах АВ и ОС равные
отрезки AM и DN. Докажите, что треугольник PMN равно-
бедренный. г) Тот же результат (см. задачу в)) получите,
если отрезок, равный AM, отложить на СО от точ-
ки С.
1.41. В основании четырехугольной пирамиды PABCD
лежит квадрат ABCD, а ее боковые ребра РА, РВ, PC, PD
равны. Такая пирамида называется правильной четырех-
угольной. Пусть точки Кн L — середины ребер АВ и AD,
а точка Q — точка пересечения диагоналей квадрата ABCD.
Докажите, что: а) боковые грани этой пирамиды равны;
б) треугольник PKL равнобедренный; в) можно найти такую
точку N на ребре PC, что треугольник BDN будет равно-
бедренным; г) PQ — высота в треугольниках РАС и PBD\
д) треугольники PAQ; PBQ, PCQ, PDQ равны; е) NQ.LBD;
ж) QXJ_BD, где точка X лежит на (PC).
1.42. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD
все ребра равны. Установите вид треугольников PCD, АРС,
BPD, PQC, где Q — точка пересечения диагоналей квадра-
та ABCD.
1.43. Докажите, что хорда треугольника является его
средней линией, если она: а) выходит из середины стороны
и параллельна другой стороне треугольника; б) парал-
лельна стороне треугольника и равна ее половине.

31
1.44. Докажите, что средняя линия треугольника делит
пополам любой отрезок, который соединяет вершину тре-
угольника с точкой на стороне, параллельной средней
линии.
§ 2. ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНОЙ ФИГУРЫ
2.1. ПОНЯТИЕ площади, равновеликие фигуры. Все зна-
ют, что такое площадь комнаты, площадь участка земли...
Если участок земли состоит из нескольких участков, то
его площадь слагается из их площадей. Также ясно, что у
одинаковых участков одна и та же площадь. Это пред-
ставление о площади кладется в основу определения пло-
щади многоугольных фигур.
Определение. Для многоугольных фигур площадью
называется положительная величина с такими свойствами:
1) Если фигура составлена из нескольких многоуголь-
ных фигур, то ее площадь равна сумме площадей этих
фигур.
2) Равные треугольники имеют одну и ту же площадь.
Площадь фигуры F будем обозначать S(/?).
Фигуры, имеющие одну и ту же площадь, называются
равновеликими. Простейший пример равновеликих фигур
дают равные треугольники: они равновелики по свойству 2.
И если фигуры составлены из попарно равных треуголь-
ников, то они равновелики (рис. 35, а). В частности,
квадраты с равными сторонами (равные квадраты) рав-
новелики. Действительно, диагонали разбивают их на рав-
ные прямоугольные треугольники (рис. 35, б).
Рис. 35
6)
.42
2.2. ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДИ. Измерение площади состоит
и сравнении площади данной фигуры с площадью фигуры,
принятой за единицу измерения. В результате сравнения
получается некоторое число — численное значение площади
данной фигуры. Это число показывает, во сколько раз
площадь данной фигуры больше (или меньше) площади
фигуры, принятой за единицу измерения площади.
За единицу измерения площади принимают площадь
подходящего квадрата. Жилую площадь измеряют в квад-
ратных метрах, площадь государства — в квадратных кило-
метрах, площадь участка земли — в гектарах или сотках.
Тогда пишут, например, 15 м2 или 3,5 га. Когда единица
тмерения площади не указана, будем считать, что выбран
некоторый квадрат и длина его стороны принята за еди-
ницу. Площадь этого квадрата называют квадратной еди-
ницей площади, а его самого — единичным квадратом.
В этом случае для площади фигуры F пишем, например,
S (F)=25 кв. ед. Запись S (Л) =25 является сокращением
записи S (F)=25 кв. ед.
Вы должны уметь перейти от одной единицы площади
к другой. Покажем на примере, как это делается:
12 га = 12-1 га= 12-100 м-100 м = 120 ООО-1 м2 =
= 120 000 м2.
При измерении площадей часто приходится выбирать до-
статочно мелкие единичные квадраты. О том, как изменя-
ются площади при таком измельчении, говорится в следую-
щей лемме.
Леммой называется теорема, имеющая значение не столь-
ко сама по себе, сколько для доказательства других
теорем.
Лемма (об отношении площадей квадратов). Если сто-
рона одного квадрата в п раз меньше (п — натуральное)
стороны другого квадрата, то площадь его в п2 раз меньше
площади второго квадрата.
Доказательство. Пусть сторона квадрата Q в п раз
меньше стороны квадрата Р (рис. 36). Тогда квадрат Р
можно разбить на п2 квадратов, равных квадрату Q (объяс-
ните это подробнее). Следовательно, S (P) = n2S (Q), т. е.
S(Q)=sipl. а
33
2.3. площадь прямоугольника. Вам давно известно, что
площадь прямоугольника равна произведению его сторон.
А именно если Р — прямоугольник со сторонами а и Ь, то его
площадь
S(P)=ab. (1)
Говоря, что площадь прямоугольника равна произведе-
нию его сторон, мы ради краткости допускаем вольность
речи. Точнее следовало бы сказать, что площадь прямо-
угольника равна произведению длин его сторон. А еще
точнее, что численное значение площади прямоугольника
равно произведению численных значений длин его сторон
(когда выбран единичный квадрат).
Но и здесь, и во всех последующих теоремах о пло-
щадях мы, упрощая формулировки, будем допускать анало-
гичные сокращения: например, площадь квадрата равна
квадрату его стороны и т. п. К путанице это не приведет,
но следует помнить об этом соглашении.
Формулу (1) вы вывели еще в начальной школе, когда
измеряли площадь прямоугольника Р, длины сторон кото-
рого — целые числа а и Ь. Сделали это так. Разбили пря-
моугольник Р на единичные квадраты (рис. 37, а). Получили
b рядов, в каждом из которых по а квадратов. Всего ab
квадратов (единичных). Складывая их площади, получаем
Рис. 37 формулу (I).
Докажем, что формула (1) справедлива для любых
прямоугольников. Могут представиться две возможности.
I) Найдется такое натуральное число п, что обе стороны
прямоугольника Р кратны ~й части единичного отрезка е,
г е. .отрезку (Случай, когда а и b—целые числа,
соответствует значению п = 1.)
2) Такого натурального числа нет.
Рассмотрим первую возможность. Пусть на одной стороне
п с
прямоугольника Р отрезок — откладывается ровно s раз.
а на другой — ровно t раз. Это значит, что а = ^-и Ь = ~.
Откладывая последовательно отрезок на сторонах пря-
моугольника Р, разобьем их на s и I равных частей. Соеди-
нив соответствующие точки деления противоположных сто-
рон, разобьем прямоугольник Р на st равных друг другу
мелких квадратов (рис. 37, б). Их стороны в и раз меньше
стороны единичного квадрата. По лемме о сравнении пло-
щадей квадратов площадь квадрата со стороной в гг раз
меньше площади единичного квадрата, т. е. равна —. По-
скольку прямоугольник Р составлен из st таких квадратов,
то его площадь
S {P)=st-— = —-—=ab.
п'2 п п.
Мы доказали формулу (1) для первого случая.
*Докажем формулу (1) для второго случая. В этом случае
хотя бы одна из сторон прямоугольника Р (а может быть,
и обе) измеряется единичным отрезком е или любой его
//-и частью — лишь приближенно.
Пусть на сторонах прямоугольника Р отрезок уло-
жится s и t раз, но уже не укладывается s -|-1 и /-|-1
раз (рис. 37, в). Отложим на сторонах прямоугольника Р
«. е . е
от одной вершины s — и t — и построим на них прямоуголь-
ник Р\.
35
Прямоугольник Р содержит прямоугольник Р\ и высту-
пает из него на один или два узких прямоугольника ши-
риной меньше . Поэтому если п велико, то отрезок
мал и разность площадей прямоугольников Р и Р\ мала.
Иначе говоря, площадь прямоугольника Р\ отличается от
площади прямоугольника Р тем меньше, чем больше п.
Как уже доказано, S(Pi)=-^-. Поскольку
S(P) =S(Pi)+S(tf),
где R — фигура, которая дополняет Р\ до Р, то
S(P)=i-^+S(«). (2)
В равенстве (2) числа -—и это приближенные зна-
чения длин а и b с точностью до . А их произведение —
это приближенное значение площади прямоугольника Р с
точностью до поправки S (R). Когда число п растет и ста-
новится сколь угодно большим, поправка S (R) убывает
и становится сколь угодно малой.
Таким образом, из равенства (2) следует: площадь пря-
моугольника приближенно равна произведению приближен-
ных значений длин его сторон. При этом эти приближе-
ния могут быть сколь угодно точными. А это и означает, что
верна формула (1) для площади прямоугольника.
Замечание. Формулу для площади прямоугольника
S = ab легко получить, когда а и b — натуральные числа.
Если же стороны прямоугольника не являются натураль-
ными числами, то ее вывод становится, как мы только что
видели, довольно громоздким. Но можно ее получить иначе.
Докажем, что величина ab удовлетворяет для любых
прямоугольников первому основному свойству площади.
Разобьем прямоугольник Р со сторонами а и b на два
прямоугольника Pi и Р2 со сторонами ai, b и а2, b соответ-
ственно (рис. 37, г). Поскольку а = а\ -фаг, то щb+а2Ь =
= (ai --а2) b = ab.
Поскольку второе основное свойство площади касается
треугольников, то его для прямоугольников проверять не
надо и величина ab для прямоугольников удовлетворяет
36
определению площади, ,т. е. ab является площадью пря-
моугольника.
Может возникнуть такой вопрос: только ли величина ab
удовлетворяет определению площади для прямоугольников?
В самом деле, если мы возьмем величину kab, где k —
положительное число и k=£\, то, повторив проведенное
цоказательство, снова докажем, что величина kab для пря-
моугольников также удовлетворяет определению площади.
Но тогда оказывается, что у прямоугольника не одна, а
много площадей, что, конечно, нелепо. Вопрос решится,
если по формуле S = kab вычислить площадь единичного
квадрата. Тогда получим, что 1 = Аг • 1 • 1, т. е. неравенство
/?У=1 невозможно, и приходим к формуле S = ab.
Вообще после выбора единичного квадрата численные
шачения площади определяются однозначно. И если ка-
кая-то величина (в рассматриваемом случае ab) удовлет-
воряет определению площади, то уже никакая другая ве-
личина площадью быть не может. К этому (непростому)
разговору мы еще раз вернемся в XI классе.
I. Что такое площадь многоугольной фигуры?
2. Какие фигуры называются равновеликими? Приведите
примеры равновеликих фигур.
3. Что значит «измерить площадь»?
4. Пусть сторона единичного квадрата увеличилась в два
раза. Как изменится при этом численное значение площади
фигуры? Сформулируйте этот вопрос в общем случае.
Ответьте на него.
5. Измерили площади двух фигур Fi и F2 и получили их
значения: S (/д) и S (Л2). Зависит ли их отношение от
выбора единичного квадрата?
Задачи к § 2
2.1. Пусть F\ и F-2 — многоугольные фигуры, Gi —мно-
гоугольная фигура, являющаяся их объединением, G2 —
многоугольная фигура, являющаяся их пересечением. Дока-
жите, что S (Fi) -|-S (F2) = S (GJ +S (G2).
2.2. Пусть ABCD — прямоугольник, точка К — середина
CD, точка L — середина ВС, точка М — середина AD,
точка N — середина АВ. Какую часть от площади прямо-
Пр
А
37
КА DM
S)
г)
Рис. 38

угольника составляют площади таких фигур: a) ABD;
б) АВМ; в) ABKD; г) ABLKD\ д) ABLKM; е) KLN'M;
ж) пересечения ALD и ВМС?
2.3. Пусть ABCD — квадрат, точки A, L, М, N —
середины сторон AD, ВА, СВ, DC соответственно. Какую
часть от площади квадрата составляют площади таких
фигур: а) АКСМ; б) объединения АКСМ и BLDN\ в) пересе-
чения АКСМ и BLDN?
2.4. В треугольнике АВС АВ = АС. На сторонах АВ и
АС от вершины А отложены равные отрезки АК и AL,
Р — точка пересечения СК и BL. Докажите, что:
a) S(ABL)=S(AKC); б) S (KBP) = S (LPC); в) S(KBL) =
= S(KCL).
2.5. На гипотенузе равнобедренного прямоугольного
треугольника построили квадрат. Квадрат построили и на его
катете. Докажите, что площадь первого квадрата в два
раза больше площади второго квадрата. Теперь придумайте
способ построения квадрата, площадь которого в два раза
больше площади данного квадрата.
2.6. а) Дан прямоугольник ABCD. 1) На ВС взята
точка К. Докажите, что S(ABCD) = 2S(AKD). 2) На ВС
взяты точки К и L. Докажите, что S (AKD) =S (ALD).
3) Будут ли верны эти результаты, если точки К и L взять
на прямой ВС? 4) На прямой ВС взята точка А, а на
прямой AD взята точка L. Докажите, что S(AKD) =
= S(BLC).
б) Как разделить треугольник на два равновеликих тре-
угольника одним разрезом?
2.7. Докажите, что равновелики ABCD и F (рис. 38).
2.8. Как одним прямым разрезом разделить площадь
прямоугольника пополам? Будет ли при этом делиться по-
полам его периметр?
2.9. Как из данного квадрата вырезать квадрат, равно-
великий оставшейся части? А как его разделить на две
равновеликие части?
2.10. В X в. Абу-ль-Вефа написал «Книгу о том, что
необходимо ремесленнику из геометрических построений».
Вот несколько задач из нее. Докажите, что равновелики
фигуры на рисунке 39.
2.11. Как, перекроив в прямоугольник (квадрат), найти
площади таких фигур: а) треугольника; б) трапеции; в) па-
38
S (CFD) = S(FKD) = S(ABCH) = S(ADH)
=S(KALD) = S(LBD)
5) 6)
рпллелограмма? (Перекроить фигуру F\ в фигуру F-i —
ио значит разрезать F\ на такие части, из которых можно
составить Fz.)
2.12. Даны два равновеликих прямоугольника. Докажи-
ге, что один из них можно перекроить в другой (см. за-
дачу 2.11).
2.13. Докажите, что: а) любой четырехугольник можно
перекроить в прямоугольник; б) один из двух равновеликих
четырехугольников можно перекроить в другой. Обобщите
полученные результаты.
2.14. Докажите, что из всех прямоугольников с одинако-
вым периметром наибольшую площадь имеет квадрат.
Решение. Прежде всего, надо разобраться в условии
(ядачи. Что значит фраза «из всех прямоугольников»? Их же
бесконечное множество! Поэтому условие задачи сформули-
руем иначе: «Имеется квадрат. Рассмотрим прямоуголь-
ник с тем же периметром. Докажем, что площадь квадрата
больше площади прямоугольника».
На рисунке 40 ABCD — квадрат, AKLM — прямоуголь-
ник с тем же периметром. Что можно увидеть на этом
рисунке? А вот что:
S(ABCD) =S4-Si, (?)
S(AKLM) =S + S2. (?)
Для сравнения их площадей достаточно сравнить пло-
щади Si и S2.
Рис. 39
О
Рис. 40
39
Имеем:
S^KN-KB,
S2 = DN-DM.
A
Но KN>DN и KB = DM (?). Поэтому Si >5г, а тогда
и S(ABCD) >S(AKLM).
Эта задача легко переводится на язык алгебры. Пусть
прямоугольники, измерения которых (т. е. длину и ширину)
мы обозначим а и Ь, имеют равные периметры. Это значит,
что величина а-\~Ь является одной и той же для всех пря-
моугольников, т. е. постоянной. Площадь таких прямоуголь-
ников равна а-b. Так как согласно решенной задаче наиболь-
шую площадь из всех таких прямоугольников имеет квадрат,
то получаем такое предложение на языке алгебры: «Для
всех положительных чисел, сумма которых постоянна, на-
ибольшее произведение получается тогда, когда они равны».
Кстати, после такого перевода геометрической задачи на
язык алгебры мы могли бы решить ее только средствами
алгебры (?). Очень полезно для собственного математиче-
ского развития решать одну и ту же задачу разными ме-
тодами.
2.15. Докажите, что из всех равновеликих прямоуголь-
ников наименьший периметр имеет квадрат.
2.16. Пусть стороны прямоугольника равны d\ и d2. За-
пишите формулу площади прямоугольника, а) Какие вели-
чины составляют формулу? б) Выразите из формулы длину
каждой стороны прямоугольника, в) Пусть одна из величин
в формуле постоянна. Какой зависимостью связаны между
собой оставшиеся величины? г) Как изменилась площадь
прямоугольника, если одна из его сторон увеличилась в
2 раза, а другая уменьшилась в 3 раза? Обобщите за-
дачу. д) У вас в руках линейка с делениями в 1 см. Вам
требуется найти площадь длинной и узкой, много уже чем
1 см, полосы. Как вы будете действовать? е) Шагреневая
кожа имеет вид прямоугольника и равномерно уменьшает-
ся. Через год от нее остался прямоугольник, составляющий
4- от исходного по длине и исходного по ширине. На
сколько ее еще хватит?
2.17. Сторону квадрата увеличивают на одну и ту же ве-
личину. а) Докажите, что, чем больше периметр квадрата,
40
ц’М больше приращение площади, б) На сколько надо
увеличить его сторону, чтобы приращение площади равня-
лось исходной площади? в) Сторона квадрата, равная I,
ci ала расти со скоростью v. С какой скоростью растет
его периметр? А его площадь?
2.18. Дайте геометрическую иллюстрацию таким равен-
ствам с положительными числами: а) а (Ь Ц-с) = ab 4-ас,
б) a(b — с) = ab — ac, в) (c-|-d) —ac-\-ad-\-bc-\-bd\
। I (a — b) — a1 — b~\ д) (a4-6-|-c)2 = a2+62 + ^24-
| 2ab -\-2bc-}-2ac, e) a:b = c:d.
2.19. Площадь поверхности куба (и вообще любого
многогранника) —это сумма площадей всех его граней,
а) Во сколько раз площадь поверхности куба больше пло-
щади поверхности его грани? б) Все ребра куба удвоили.
Как изменилась площадь его поверхности? Обобщите задачу.
2.20. Куб разрезали на два равных прямоугольных
параллелепипеда (что это значит?), а) Будут ли равны
площади поверхностей этих частей? б) Какую часть состав-
ляет площадь поверхности одного из полученных параллеле-
пипедов от площади поверхности исходного куба? в) Можно
ли куб с ребром 1 см разбить на кубики так, чтобы суммарная
и ющадь поверхностей этих кубиков была больше чем
I кв. км?
и
2.21. Диагонали выпуклого четырехугольника перпенди-
кулярны. Их длины равны d\ и dz. Найдите его площадь.
Изменится ли результат, если четырехугольник не будет
выпуклым? <
2.22. Докажите, что площадь прямоугольника не больше
Б
чем половина площади квадрата, построенного на его диаго-
нали. В каком случае имеет место равенство?
2.23. Нарисуйте две перпендикулярные прямые, пересека-
ющиеся в точке А. а) Точка К движется внутри одного
из прямых углов. Из нее проводятся перпендикуляры на эти
прямые KL и КМ. По какой линии движется точка, если
площадь прямоугольника KLAM не меняется? 6) Некото-
рая прямая пересекает данные прямые в точках К и L. По
отрезку KL движется точка X, а из нее проводятся перпен-
шкуляры ХХ\ и ХХ-2 на данные прямые. Проследите, как
1кменяется площадь прямоугольника ХХ1АХ2.
2.24. Через вершины квадрата перпендикулярно его диа-
гоналям проведены прямые до их взаимного пересечения.
41
7
X
X
Сравните площадь полученного четырехугольника с пло-
щадью квадрата (установите их отношение). Обобщите
шдачу.
2.25. Выразите как функцию от х площадь закрашенной
части квадрата со стороной 1 (рис. 41).
2.26. Из листа картона размером 60x40 см хотят сделать
коробку в виде прямоугольного параллелепипеда высотой
10 см. Коробка крышки не имеет. Допустимые операции: раз-
метка, сгибание, склеивание. Как вы будете действовать?
А если коробка должна быть закрытой?
2.27. Вычислите площадь поверхности многогранника —
части куба с ребром 1, заданного своими тремя проек-
циями (рис. 42).
EJ
§ 3. ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА И ТРАПЕЦИИ
Зная, как вычисляется площадь прямоугольника, мы в
/том параграфе выведем еще формулу площади треуголь-
ника. Умея вычислять площадь треугольника, мы сможем
вычислять площади любых многоугольных фигур, разбивая
их на треугольники. Начнем же мы с прямоугольного тре-
угольника, а затем рассмотрим общий случай.
з.1. площадь прямоугольного треугольника. Лемма.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине про-
изведения его катетов.
Доказательство. Пусть дан прямоугольный тре-
угольник Т с катетами а и Ь (рис. 43, а). Достроим его
до прямоугольника Р со сторонами а и Ь, проведя через
вершины его острых углов прямые, перпендикулярные ка-
ютам (рис. 43, б). Гипотенуза треугольника Т разбивает
прямоугольник Р на два равных треугольника: треугольник
Г и равный е-му треугольник 7\ (докажите, что 7’1 = 7’).
Поэтому S (Р) =5 (7") 4-5 (Г|) и 5 (Т) =S (Т\). Значит,
.S’ (P)=2S (7). Так как S (Р) =ab, то 5 (Т)=±аЬ.
з.2. площадь произвольного треугольника. Теоре-
ма 1. Площадь треугольника равна половине произведения
любой из его сторон и проведенной к ней высоты.
Сторону, к которой проводится высота, обычно называют
основанием и теорему формулируют кратко: площадь тре-
угольника равна половине произведения основания и высоты.
Рис. 43
43
Рис. 44
Рис. 45
Доказательство. Рассмотрим какой-нибудь тре-
угольник АВС. Обозначим его Т. Сторону треугольника Т,
противоположную вершине С, обозначим с, а опущенную
из вершины С высоту СН обозначим Кс. Докажем, что
Х(Т)=|сЛс; (1)
Возможны три случая расположения точки Н на АВ.
1) Точка Н (рис. 44, а) совпадает с одним из концов
основания с, например, с точкой А. В этом случае высота
hc совпадает со стороной С А, так что треугольник Т пря-
моугольный. Его катеты — отрезки CA=hc и ВА=с. По
лемме п. 3.1 получаем, что S (Т) =ус/тс, т. е. выполняется
равенство (1).
2) Точка Н лежит внутри основания с (рис. 44, б).
Тогда высота СН разбивает треугольник Т на два пря-
моугольных треугольника Т\ и Л с катетами п и сч и об-
щим катетом hc.
Площади треугольников Т\ и Т2 вычисляются по фор-
мулам
5 (ГД = уС1Йс и S (Т2) = уСчЬс.
А так как S (Т) =S (ТА Д-S (Т2), то
S (Т) = ~2 Cihc~\~ "грСчкс= "2" (^i 4~^2) /ic= "2"chc,
т. е. формула (1) выведена и во втором случае.
3) Точка Н лежит вне основания с, например, так,
что точка В лежит между А и Н (рис. 44, в). Тогда пря-
моугольный треугольник Т\ = /±АСН разбивается отрезком
СВ на треугольник Т и прямоугольный треугольник Т2 =
= /\ВСН. Поэтому S (Тi) = 5 (Т) -|-S (Тч). Следовательно,
S(T) =S±T A—S(T2).
Поскольку S (Т\) = ^c\hCy S (Т2) =-^-c2hc и с = с\—сч,
го S (Т) =—c\hc—гуСч!тс= -?f-(ci—Сч) hc= ~^chc.
Утверждение теоремы доказано во всех случаях.
Замечание. Принято высоты, опущенные на стороны
а, Ь, с, обозначать ha, hc, а площадь — S. Согласно до-
казанной теореме S = уahu = -^-bhb = -^chc (рис. 45).
44
з.з ТРАПЕЦИЯ. Как уже сказано, площадь многоугольника,
। шачит, четырехугольника вычисляют, разбивая его на
треугольники. Но для некоторых четырехугольников каждый
раз этого можно не делать, например для прямоугольника.
Мы изучим еще два вида таких четырехугольников —
трапецию и параллелограмм. Они определяются парами
параллельных сторон: в трапеции одна такая пара, а в
параллелограмме две (рис. 46).
Итак, трапецией называется четырехугольник, у которого
только одна пара параллельных сторон (рис. 47, а).
Параллельные стороны трапеции называются ее основа-
ниями, а две другие — боковыми сторонами (или боками).
Трапеция, боковые стороны которой равны, называется
равнобедренной (или равнобокой, рис. 47, б). Высотой
трапеции называется общий перпендикуляр ее оснований
(или прямых, содержащих основания, рис. 47, в). Высотой
и.11ывается также длина этого перпендикуляра.
3.4. ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ. Теорема 2. Площадь трапе-
ции равна произведению полусуммы оснований и высоты,
г. е. если а и b — основания трапеции, h — высота и S —
площадь трапеции, то
S=a-^--h. (2)
Доказательство. Проведем диагональ трапеции
(рис. 48). Получим два треугольника с основаниями а, b
и одной высотой h. Их площади будут равны
S\ = ~ah и
11лощадь же трапеции
S=Si + S2=2^-A.
Замечание. Треугольник можно считать вырожденной
|рапецией, когда одно из ее оснований «стянулось» в точку.
Н >том случае можно считать, что Ь = 0, и равенство (2)
является обобщением равенства S = ~-ah для площади тре-
у| ельника.
Рис. 4В
°)
6)
Рис. 47

Рис. 48
45
el. Можно ли площадь прямоугольного треугольника вычис-
лить по формуле площади треугольника?
2. Можно ли площадь треугольника вычислить по формуле
площади трапеции? А площадь прямоугольника?
3. Можно ли вычислять площадь треугольника и трапеции
по формуле S=d'h, где d — средняя линия, ah — высота
треугольника или трапеции соответственно?
4. Нарисуйте любой многоугольник. Предложите способ вы-
числения его площади. Можно ли уменьшить количество
произведенных при этом вычислений?
5. Можете ли вы предложить другие способы вывода фор-
мулы площади треугольника и трапеции?
Задачи к § 3
зТ]Д
А
Б
3.1. Докажите, что в прямоугольном треугольнике про
изведение катетов равно произведению гипотенузы и высоты,
проведенной к ней. Каждую из величин в полученной форму
ле выразите через остальные. Запишите эту формулу в виде
пропорции.
3.2. а) Дан равнобедренный прямоугольный треугольник
с катетом d. 1) Каждый его катет увеличили на величину х
Найдите площадь нового треугольника. Найдите приращение
площади (т. е. разность между новым и старым значениеы
площади). 2) Выполните те же задания, если каждый его
катет уменьшили на величину х.
б) Пусть теперь дан прямоугольный равнобедренный
треугольник с площадью S. Каждый его катет увеличилр
в два раза. Чему равно приращение площади?
в) Составьте сами аналогичные задачи о произвольно»
прямоугольном треугольнике.
3.3. Два равных равнобедренных прямоугольных тре
угольника расположены так, что вершина прямого угл^
каждого из них находится на гипотенузе другого. В и;
пересечении получился квадрат со стороной 1. Вычислит!
площадь их объединения.
3.4. Гипотенузу прямоугольного равнобедренного тре
угольника увеличили в два раза. Во сколько раз увеличилас
его площадь? Сможете ли вы ответить на вопрос, есл!
треугольник не будет равнобедренным?
3.5. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна I.!
46
Докажите, что его площадь не превосходит —, а высота,
опущенная на гипотенузу, не превосходит —. Когда дости-
нпотея равенства?
3.6. Известно, что для треугольника справедливо равен-
ство a-ha = b-hb. а) Запишите эту формулу в виде про-
порции. б) Докажите, что а = Ь, если h.a = h.b. Сформули-
руйте и докажите обратное утверждение. Сформулируйте
оба эти результата как одно утверждение, в) Докажите,
что а>Ь, если ha<.hb. Сформулируйте и докажите обратное
утверждение. Сформулируйте оба эти результата как одно
утверждение.
3.7. а) Основания двух треугольников равны. Докажите,
чго их площади относятся как высоты, проведенные к этим
сторонам.
б) Высоты двух треугольников равны. Докажите, что их
площади относятся как основания, к которым проведены
ни высоты.
3.8. а) Какие величины входят в формулу площади тре-
угольника? Выразите из этой формулы удвоенную площадь,
основание, высоту. Какой зависимостью связаны между со-
бой две из этих величин при постоянной третьей?
б) Может ли треугольник со сторонами больше кило-
метра иметь площадь, меньшую 1 мм2?
в) Нарисуйте круг, а в нем два радиуса с маленьким
углом между ними. Придумайте способ приближенного
вычисления площади фигуры, ограниченной радиусами и
дугой, которая лежит внутри маленького угла.
3.9. Докажите, что в равных треугольниках равны соот-
нсгственные высоты.
3.10. Будет ли площадь одного из данных треуголь-
ников больше площади другого, если: а) периметр одного
hi них больше, чем периметр другого; б) каждая сторона
одного больше соответственной стороны другого; в) каждая
• ।орона одного больше любой стороны другого?
3.11. На стороне АС треугольника АВС взята точка К,
и на отрезке В К — точка L. Проведены отрезки LA и LC.
< фавните площади образовавшихся треугольников, если:
I) Л—середина AC, BL: LK = 2:1; б) Д/С:КС = 2:1, L —
(средина ВК; в) АК: KC=BL’.LK = 2:1.
Рпните задачу в общем виде.
Q ЕЕ
А
47
Рис. 49
Б
3.12. По рисунку 49 найдите неизвестную площадь тре-
угольника.
3.13. а) Докажите, что из всех равнобедренных тре-j
угольников с данной длиной боковой стороны наибольшую
площадь имеет прямоугольный треугольник.
б) Две стороны треугольника равны d\ и di. Каково
наибольшее значение его площади?
3.14. а) Нарисуйте равнобедренный треугольник АВС с
основанием АС. Отметьте точку X на основании, прове-
дите из нее перпендикуляры к боковым сторонам. Докажите,
что сумма этих перпендикуляров не зависит от выбора
точки X.
б) Будет ли верно утверждение а), если перпендику-
ляры попадут на продолжения сторон?
в) Будет ли верно утверждение а), если точку % взять
внутри данного треугольника, а перпендикуляры проводить
ко всем его сторонам?
г) Будет ли верно утверждение а), если исходным будет
равносторонний треугольник и точка X будет взята внутри
его?
д) Можно ли обобщить результат задачи г)?
48
3.15. а) В прямоугольном треугольнике с углом 30° через
середину гипотенузы провели прямую, ей перпендикуляр-
ную. Какую часть площади треугольника составляет пло-
щадь меньшей полученной части?
б) Составьте задачу, обратную задаче а).
3.16. Внутри квадрата находится треугольник. Докажите,
что его площадь не больше половины площади квадрата.
3.17. а) На сторонах ВС и DA выпуклого четырехуголь-
ника ABCD взяты точки К и L. Вычислите S(BKDL):
:S (ABCD), если К и L — середины.
б) Обобщите задачу а).
3.18. а) Стороны выпуклого четырехугольника разделе-
ны пополам. Середины его сторон являются вершинами дру-
гого четырехугольника. Докажите, что его площадь состав-
ляет половину площади данного четырехугольника.
б) Пусть теперь на каждой стороне выпуклого четырех-
угольника взяты точки, которые делят стороны в одном
отношении (по обходу границы—в одном направлении).
Докажите, что площадь четырехугольника с вершинами в
»тих точках не меньше половины площади данного че-
।ырехугольника.
в) Вернитесь к условию пункта а). Проведите две сред-
ние линии данного четырехугольника. Они разобьют данный
четырехугольник на четыре части. Пусть площади трех из
них известны. Можете ли вы найти площадь четвертой
части?
3.19. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD
псе ребра равны d. Чему равна площадь треугольника РАС?
3.20. а) Дана равнобокая трапеция. Из вершин ее мень-
шего основания проведены высоты к большему основанию,
/(окажите, что эти высоты отсекают от трапеции равные
। реугольники. •
б) Докажите, что углы при каждом основании равно-
бокой трапеции равны.
в) Докажите, что диагонали равнобокой трапеции равны.
г) Боковые стороны равнобокой трапеции продлили до
пересечения. Какие равнобедренные треугольники есть на
рисунке?
3.21. В трапеции проведена средняя линия через сере-
1ННЫ ее боковых сторон. Докажите, что она параллельна
основаниям и равна их полусумме.
Q
3.3—3.4
49
3.22. Как составить трапецию из: а) квадрата и прямо-
угольного треугольника; б) двух трапеций; в) двух пря-
моугольных треугольников; г) равностороннего треугольника
и прямоугольного треугольника; д) двух равнобедренных
треугольников; е) трех равносторонних треугольников;
ж) четырех прямоугольных треугольников; з) прямоуголь-
ника и двух прямоугольных треугольников?
3.23. а) Запишите формулу площади трапеции. Выразите
из нее высоту, среднюю линию, проведенную через середины
боковых сторон.
б) Можно ли считать формулу площади треугольника
частным случаем формулы площади трапеции?
в) Можно ли считать формулу площади трапеции обоб-
щением формулы площади прямоугольника?
3.24. Основания равнобокой трапеции равны а и Ь, боко-
вая сторона образует с основанием угол 45°. Чему равна ее
площадь?
Решение. Запишем формулу площади трапеции:
S==AD±BC^ BBl = i±b..h (рис 50
ВВ\ —высоту трапеции найдем из треугольника АВВ\, где
= (?). Треугольник АВВ\ равнобедренный (?).
Поэтому ВВ\= АВ\-^-^~.
Отсюда = Ь2).
Рис. 50 Вот и все. И что же тут интересного?
50
Иногда, глядя на полученный результат, можно приду-
мать другое решение. В числителе полученного ответа стоит
разность квадратов: d2 — b2. Ее можно понимать буквально
как разность площадей двух квадратов со сторонами а и Ь.
На рисунке 50, б вы можете увидеть и нашу трапецию,
и разность квадратов, и само решение.
Но эту же площадь трапеции можно записать и так:
/ я \2
— (—). А в этой формуле можно увидеть
разность площадей квадратов со сторонами у- и По-
смотрите теперь на рисунок 50, в — может быть найдете еще
одно решение?
3.25. Как разделить трапецию на две равновеликие
части? на три равновеликие части? Обобщите задачу.
3.26. Докажите, что середины диагоналей трапеции ле-
жат на средней линии, проведенной через середины ее бо-
ковых сторон.
3.27. Докажите, что в равнобокой трапеции: а) средние
линии перпендикулярны; б) равны биссектрисы углов при
одном основании.
Какие еще свойства равнобокой трапеции вы можете
обнаружить?
3.28. а) Докажите, что трапеция является равнобокой,
если: 1) углы при одном ее основании равны; 2) диаго-
нали трапеции делят пополам углы при одном из ее основа-
ний.
б) Какие признаки равнобокой трапеции вы можете обна-
ружить сами?
3.29. Нарисуйте трапецию. Вам надо построить такую же.
Как вы будете действовать?
3.30. а) Одна из средних линий выпуклого четырех-
угольника делит его площадь пополам. Докажите, что две
его стороны параллельны.
б) Обобщите задачу а).
в) Верно ли утверждение, обратное б)?
Б
§ 4. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ И ЕГО ПЛОЩАДЬ
4.1. определение и свойства параллелограмма. Па-
раллелограммом называется четырехугольник, у которого
две пары параллельных сторон (рис. 51, а). Параллело-
51
S)
Рис. 51
грамм можно получить пересечением двух полос между
параллельными прямыми (рис. 51, б).
Теорема 3 (о свойствах параллелограмма). 1) Про-
тивоположные стороны параллелограмма равны.
2) Диагонали параллелограмма точкой пересечения де-
лятся пополам.
Доказательство. 1) Пусть ABCD— параллело-
грамм (рис. 52, а). Проведем его диагональ АС. Так как
отрезки АВ и CD параллельны, то накрест лежащие углы
Z 1 и Л 2 равны. Аналогично так как BC\\AD, то Z3= Z.4.
У треугольников АВС и ACD сторона общая, а углы,
прилегающие к этой стороне, соответственно равны. Сле-
довательно, &АВС= & CDA (по второму признаку равен-
ства треугольников). А тогда AB = CD и BC=DA. Первое
свойство доказано.
2) Проведем и вторую диагональ (рис. 52, б). О — точ-
ка пересечения диагоналей АС и BD. Треугольники АВО и
CDO равны, так как AB = CD, ZI = Z.2 и Z5=Z6. По-
этому АО —СО и BO = DO.
4.2. ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА. Теорема 4. Че-
тырехугольник является параллелограммом, если:
1) он имеет две пары равных противоположных сторон;
2) его диагонали, пересекаясь, делятся пополам;
3) две его противоположные стороны равны и парал-
лельны.
Доказательство. 1) Пусть в четырехугольнике
ABCD противоположные стороны равны: AB = CD и AD = BC
(рис. 53, а). Пусть диагональ АС четырехугольника
ABCD разбивает его на два треугольника. Треугольники
АВС и CDA равны, так как AB = CD, ВС —AD и сторона
АС общая. Следовательно, соответственные углы этих тре-
52
a) S) S)
угольников равны. Поэтому Z3=Z4. Из равенства этих Рис. 53
накрест лежащих углов, образованных прямыми ВС и AD
и секущей АС, вытекает, что ВС||AD.
Аналогично из равенства углов 1 и 2 вытекает парал-
(гльность АВ и CD. Итак, ABCD — параллелограмм.
2) Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали АС и
BD пересекаются в точке О и делятся ею пополам: АО =
♦ СО и BO = DO (рис. 53, 6). Так как вертикальные углы
равны, то дАО£)=дСОВ (по первому признаку равен-
• ।на треугольников). Следовательно, AD = BC. Аналогично
\B = CD. По первому признаку четырехугольник ABCD —
параллелограмм.
3) Пусть в четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD
равны и параллельны: AB = CD и AB\\CD (рис. 53, в).
Проведем диагональ АС и рассмотрим треугольники АВС
и CDA. Они равны по первому признаку равенства тре-
угольников. Следовательно, BC = AD и ABCD — параллело-
грамм (по первому признаку).
Замечание. Обратите внимание, что первое свойство
параллелограмма и первый признак параллелограмма (а
1акже второе свойство и второй признак) являются взаимно
обратными утверждениями.
4.3. площадь параллелограмма. Высотой параллело-
|рамма называют общий перпендикуляр его противополож-
ных сторон (или содержащих их прямых, рис. 54). Высотой
называется также длина этого перпендикуляра. У паралле-
юграмма две пары противоположных параллельных сторон
к соответственно две высоты.
Теорема 5. Площадь параллелограмма равна произ-
ведению его стороны и проведенной к ней высоты.
Доказательство. Проведем диагональ параллело-
грамма (рис. 55). Она разбивает его на два треугольника
53
a
с равными основаниями а и равными высотами h. Пло-1
щади этих треугольников равны ±-ah. Площадь S парал-1
лелограмма равна сумме площадей этих треугольников.!
Значит, S = ±-ah + ^ah = ah.
4.4. ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА.
Прямоугольник можно определить как четырехугольник,||
все углы которого равны. Действительно, сумма всех углов i|
четырехугольника равна 360°. И если все углы четырех-!
угольника равны, то каждый из них равен 90°. Следова-И
тельно, такой четырехугольник является прямоугольником!
(рис. 56, а).
Прямоугольник, конечно, является параллелограммомя
его противоположные стороны параллельны как перпенди-Я
куляры к одной прямой.
Докажем важное свойство прямоугольника!
диагонали прямоугольника равны.
Проведем в прямоугольнике ABCD диагонали АС и SZ)!
(рис. 56, б). Прямоугольные треугольники BAD и CDA равны!
(по двум катетам). Поэтому равны и их гипотенузы: АС = 1
= BD.
Верно и обратное утверждение:
Признак прямоугольника. Параллелограмм
диагонали которого равны, является прямоугольником.
Доказательство. Пусть в параллелограмме ABCD
диагонали равны: AC = BD. Тогда £±ACD= £±DBA. Сле-
довательно, Z_D = Z_A. Аналогично доказывается, чтс
/СА = Л В и zLB=Z_C. Поэтому =
= 90°. Итак, ABCD — прямоугольник.
Доказанный признак дает практический способ проверю
того, является ли реальный четырехугольник (например,
крышка стола) прямоугольником. В таком четырехуголь-
54
нике бечевкой достаточно установить равенство двух пар
противоположных сторон и равенство диагоналей.
Ромбом называется четырехугольник, все стороны ко-
юрого равны (рис. 57, а). Ромб является параллелограм-
мом (по первому признаку параллелограмма).
Свойство ромба. Диагонали ромба взаимно перпен-
дикулярны и являются биссектрисами углов ромба
(рис. 57, б).
Доказательство. Пусть диагонали АС и BD ромба
ABCD пересекаются в точке О. Так как АО —ОС, то
ВО — медиана равнобедренного треугольника ЛВС. Поэтому
ВО — биссектриса и высота этого треугольника. Следова-
тельно, Z. А ВО = /_СВО и ВО ЛАС.
Докажите самостоятельно следующие два признака
ромба:
1) Если диагонали параллелограмма взаимно перпен-
дикулярны, то параллелограмм является ромбом.
2) Если диагональ параллелограмма является биссектри-
сой его угла, то параллелограмм является ромбом.
Квадрат. Как вы знаете, у квадрата все углы прямые
и все стороны равны. Поэтому квадрат является прямоуголь-
ником и ромбом одновременно (рис. 58). Следовательно,
его диагонали равны (как диагонали прямоугольника) и
взаимно перпендикулярны (как диагонали ромба).
4.5. ХАРАКТЕРНЫЕ СВОЙСТВА ФИГУР И ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
О параллелограмме мы доказали два взаимно обратных
Vi верждения:
1) Противоположные стороны параллелограмма равны.
2) Четырехугольник, противоположные стороны которого
равны, является параллелограммом.
Первое из этих утверждений выражает свойство парал-
Н'лограмма. Второе же является его признаком. О свойстве
фигуры, которое одновременно является и ее признаком,
говорят как о характерном (или характеристическом)
свойстве фигуры. Таким образом, равенство противополож-
ных сторон четырехугольника — характерное свойство па-
раллелограмма. Точно так же равенство углов (или ди-
агоналей) параллелограмма—это характерное свойство
прямоугольника, а перпендикулярность диагоналей парал-
нглограмма — характерное свойство ромба.
В определении какой-либо фигуры всегда указывают ее
Рис. 57
а)
5)
Рис. 58
55
характерное свойство. Но одна и та же фигура может иметь
несколько характерных свойств. Поэтому возможны различ-
ные определения одной и той же фигуры. Например, возмож-
ны такие определения прямоугольника:
1) Прямоугольником называется четырехугольник, все
углы которого прямые.
2) Прямоугольником называется четырехугольник, все
углы которого равны.
3) Прямоугольником называется параллелограмм, диаго-
нали которого равны.
Все эти определения задают одну и ту же фигуру.
В этом случае говорят о равносильности нескольких воз-
можных определений.
©1. Какие вы знаете свойства параллелограмма, признаки
параллелограмма, характерные свойства параллелограм-
ма? Какие вы можете дать определения параллелограмму?
2. Ответьте на те же вопросы, что в № 1, для прямоуголь-
ника.
3. Ответьте на те же вопросы, что в № 1, для ромба.
4. Ответьте на те же вопросы, что в № I, для квадрата.
5. Можно ли вычислить площадь параллелограмма по фор-
муле площади трапеции?
6. По какой одной и той же формуле можно вычислять
площади треугольника, трапеции и параллелограмма?
7. Можете ли вы предложить другой вывод формулы пло-
щади параллелограмма?
4.1
А
Задачи к § 4
4.1. Докажите такие свойства параллелограмма: а) сум-
ма соседних углов равна 180°; б) противоположные углы
равны.
4.2. Докажите, что в параллелограмме биссектрисы со-
седних углов перпендикулярны, а биссектрисы противопо-
ложных углов параллельны или лежат на одной прямой.
4.3. Дан параллелограмм ABCD, точка О — его центр
(точка пересечения его диагоналей). Докажите, что: а) центр
делит пополам любую хорду параллелограмма; б) площади
треугольников АОВ, ВОС, COD, DOA равны. Есть ли в
параллелограмме еще такая же точка?
56
4.4. Дан параллелограмм ABCD. а) Биссектриса угла А
целит сторону, которую она пересекает, на отрезки длиной
I и 2. Вычислите периметр параллелограмма, б) Пусть
1/3=1, а биссектрисы углов А и D делят сторону ВС на
i ри равные части. Вычислите периметр параллелограмма,
и) Пусть биссектрисы углов А и D пересеклись на стороне
ПС. Какими свойствами обладает такой параллелограмм?
।) Биссектрисы углов А и D могут и не пересекать сторо-
ну ВС. Для этого случая составьте задачу, аналогичную
»адаче б).
4.5. У вас в руках шарнирный параллелограмм. Как
г его помощью: а) разделить данный отрезок пополам;
б) разделить данный угол пополам; в) построить перпен-
дикуляр к данной прямой?
4.6. Дан параллелограмм ABCD. а) Пусть точки М и Л/ —
(средины сторон ВС и AD. Докажите, что Л4М||Д£?, ММ =
= АВ. б) На сторонах AD и ВС отложили равные отрезки
}М и ВМ, а на сторонах АВ и CD — равные отрезки АК
и DL, затем провели KL и ММ. Сколько параллелограм-
мов на этом рисунке? в) На сторонах ВС и AD отложили
равные отрезки ВК и DL. Докажите, что AK\\CL и DK\\BL.
4.7. Какие из свойств параллелограмма являются его
признаками?
4.8. Восстановите параллелограмм, если на рисунке со-
хранились такие его элементы: а) сторона и точка пере-
сечения диагоналей; б) три вершины; в) середины трех
сторон; г) вершина и середины двух сторон.
Решение. Задачу б) можно понимать так. На доске
был нарисован параллелограмм ABCD. Вершину С и все
сю стороны стерли. Остались три точки А, В, D. Требуется
посстановить исходный рисунок, пользуясь любыми сред-
ствами — не только циркулем и линейкой.
Решение ясно. Сначала проводим отрезки АВ и A D.
1атем можно действовать по-разному. Проще всего провести
окружности с центрами в точках В и D радиусами AD и
\В соответственно. Точка С находится там, где они еще
раз пересекутся. Затем проводим отрезки ВС и CD.
Мы решили задачу в предположении, что нарисованный
параллелограмм был как-то назван и неизвестным было
положение именно вершины С. Но ведь такое понимание
шдачи вовсе не является обязательным. Параллелограмм
Б
4.2
57
мог быть и не назван. Что же мы тогда знаем? Был ри-
сунок параллелограмма, и остались от него только три
его вершины. Как же решать задачу теперь?
Наверное, вы придумали ответ. Будьте внимательны —
сколько у вас получилось возможных положений для чет-
вертой вершины параллелограмма? Должно получиться три.
Но тогда невозможно однозначно ответить на вопрос о по-
ложении четвертой вершины, а значит, невозможно восста-
новить исходный рисунок.
И разумеется, возникают новые вопросы. Например, по
каким трем своим точкам параллелограмм восстанавливает-
ся однозначно? А если нельзя восстановить параллелограмм,
то, может быть, можно восстановить по трем точкам какой-
нибудь частный вид параллелограмма? Затем можно пофан-
тазировать и сочинить задачу вроде такой: «Пираты зарыли
клад на необитаемом острове...» А дальше сами.
4.9. Постройте параллелограмм по: а) сторонам и диаго-
нали; б) сторонам и углу; в) двум диагоналям и углу
между ними.
4.10. Выберите сами элементы параллелограмма как дан-
ные и постройте параллелограмм по этим элементам.
Всегда ли это вам удастся?
4.11. На отрезке AD построили два параллелограмма:
ABCD и AEFD. Докажите, что четырехугольник BCFE тоже
параллелограмм, если прямые ВС и EF не совпадают.
4.12. Пусть а и b — стороны параллелограмма, ha и hb —
высоты, проведенные к ним. Докажите, что aha = bhb. а) Вы-
разите из этой формулы каждую из величин, б) Запишите
эту формулу в виде пропорции, в) Какие следствия можно
вывести из пропорции, полученной в задаче б)?
4.13. Пусть одна из сторон параллелограмма равна а,
высота, проведенная к ней, равна h. Запишите формулу
площади параллелограмма, а) Какие величины входят в
эту формулу? б) Выразите из этой формулы каждую из
величин, в) Пусть одна из величин в этой формуле по-
стоянна. Как связаны между собой остальные величины?
4.14. Какую часть составляет площадь S от площади
параллелограмма ABCD на рисунке 59?
4.15. Запишите формулу площади трапеции. При каких
условиях из этой формулы можно получить формулу пло-
щади параллелограмма?
58
4.16. Найдите неизвестную площадь по рисунку 60
{ABCD — параллелограмм).
4.17. Нарисуйте выпуклый четырехугольник и его диаго-
нали. Через его вершины параллельно его диагоналям про-
цедите прямые. Проведенные прямые ограничат другой
четырехугольник. Сравните площадь исходного и получен-
ного четырехугольников.
4.18. Докажите такие свойства прямоугольника: а) его
центр равноудален от его вершин; б) хорда прямоуголь-
ника, перпендикулярная его стороне, делит его на два пря-
моугольника; в) хорды прямоугольника, перпендикуляр-
ные его соседним сторонам, перпендикулярны между собой.
4.19. Докажите такие признаки прямоугольника: а) если
и параллелограмме есть прямой угол, то он прямоугольник;
б) если в параллелограмме диагонали равны, то он пря-
моугольник; в) если два равных отрезка пересекаются
н их общей середине, то их концы являются вершинами
прямоугольника.
4.20. Можно ли восстановить прямоугольник, если на
рисунке остались такие его элементы: а) сторона и точка
на противоположной стороне; б) диагональ и точка на дру-
жи диагонали; в) точка пересечения диагоналей и две
гочки на противоположных сторонах?
4.21. Как разрезать прямоугольник на: а) четыре равных
i реугольника; б) шесть равных треугольников; в) четыре
ранных прямоугольника; г) пять равных прямоугольников;
/I) гри равнобедренных треугольника; е) четыре равнобед-
ренных треугольника; ж) равносторонние треугольники.
4.22. Докажите такие свойства ромба: а) диагонали
к пят его на четыре равных треугольника; б) высоты, про-
нгденные из одной его вершины, равны; в) хорды, параллель-
ные его сторонам, равны между собой. Найдите сами другие
< пойства ромба.
4.23. Какие из свойств ромба, указанные в задаче 4.22,
♦шляются его признаками? Найдите сами другие признаки
ромба.
4.24. Постройте ромб: а) по стороне; б) по диагоналям;
п) по одной из диагоналей и углу; г) с вершинами на
। тронах данного равнобедренного треугольника; д) с вер-
шинами на сторонах данного прямоугольника.
4.25. Запишите формулу, выражающую площадь ромба
Б
4.4
Рис. 60
59

HJ
через длины его диагоналей, а) Выразите из этой формулы
длину диагонали, б) Пусть одна из величин в этой формуле
постоянна. Какой зависимостью связаны между собой ос-
тальные величины?
4.26. Дан ромб с острым углом 60°. Докажите, что его
2
площадь составляет — площади равностороннего треуголь-
ника, сторона которого равна большей диагонали ромба.
Как изменится результат, если угол ромба будет отличен
от 60°? Как изменится результат, если вместо ромба взять
параллелограмм?
4.27. Восстановите квадрат, если на рисунке остались
такие его элементы: а) диагональ; б) середины двух сторон;
в) центр и две точки на его сторонах.
4.28. Постройте квадрат, вершины которого лежат на сто-
ронах данного: а) прямоугольного равнобедренного тре-
угольника; б) ромба; в) квадрата.
4.29. а) Выразите площадь квадрата через его диагональ.
б) Пусть диагональ квадрата увеличилась в 2 раза. Как
изменилась его площадь?
в) Нарисуйте квадрат. На его диагонали возьмите точку.
Проведите из нее перпендикуляры к двум соседним сторонам.
Где взять такую точку, чтобы площадь полученного квадра-
та была в 2 раза меньше площади исходного квадрата?
4.30. В кубе шесть граней и все они квадраты. Обозна-
чим куб ABCDA\B\C\D[. а) Докажите, что треугольник^
BC\D правильный и тетраэдр A\BC\D правильный, б) Сколь
ко треугольников, равных треугольнику BC\D, лежит на по-
верхности куба? в) Какие вершины куба равноудалены от
центра грани ABCD? г) Пусть точка X движется по пря-
мой СС\. Из нее проводятся перпендикуляры на BD. Какук
фигуру заполнят все эти перпендикуляры? д) Пусть ребро
куба равно а. Чему равна площадь его поверхности? е) Куб
разрезали на восемь равных кубов. Чему равна площадь-
поверхности каждого из них? А всех восьми? Какой выво/
можно сделать из этой задачи?
4.31. Постройте квадрат. На его сторонах во внешнюю
сторону постройте равные равнобедренные треугольники, ос-1
нованием которых является сторона квадрата. Перед вами
развертка правильной четырехугольной пирамиды. Саму пи-И
рамиду можно получить, скрепив между собой соседние?
стороны равнобедренных треугольников.
60
4.32. Нарисуйте правильную четырехугольную пирамиду. гг
Назовем ее PABCD, где ABCD — исходный квадрат. Пусть
сочка Q — его центр. Докажите, что: а) треугольник РАС
равнобедренный; укажите равный ему треугольник на по-
верхности пирамиды; б) Рф_1_ЛС, PQ.LBD; в) PQ пер-
пендикулярен любой хорде квадрата, проходящей через Q;
।) треугольник BXD, где точка X лежит на PC, равнобедрен-
ный; нарисуйте его высоту.
I А Д А Ч И К ГЛАВЕ1
1.1. а) Докажите, что середины сторон четырехугольни-
ка являются вершинами параллелограмма. Исследуйте вид
полученного параллелограмма в зависимости от вида исход-
ного четырехугольника.
б) Из какого многоугольника делается конверт?
1.2. а) На сторонах параллелограмма во внешнюю сто-
рону построены равносторонние треугольники. Вершинами
какого четырехугольника являются те их вершины, которые
не лежат на сторонах параллелограмма? Исследуйте вид
полученного четырехугольника в зависимости от вида парал-
лелограмма.
б) Составьте сами задачу, подобную данной.
1.3. Каким по виду четырехугольником является четырех-
a)
б)
г)
1.4. Внутри выпуклого гг-угольника поставили k точек.
Никакие три из них не лежат на одной прямой. Много-
угольник разрезается на треугольники, вершинами которых
являются все вершины многоугольника и все k точек.
Сколько получится треугольников?
1.5. Диагональ выпуклого четырехугольника делит его
площадь пополам (точнее, на равновеликие треугольники).
Какими свойствами обладает такой четырехугольник?
1.6. Предложите как можно больше способов деления
пополам площади произвольного четырехугольника.
1.7. Из квадрата со стороной 1 вырезается фигура пло-
щадью S. Выразите зависимость S от х (рис. 62).
1.8. Как разметить квадрат (рис. 63), чтобы площадь
буквы равнялась 1 м2?
1.9. Вычислите неизвестную площадь по рисунку 64.
1.10. а) Каждую сторону равностороннего дЛВС про-
должили на расстояние, равное стороне треугольника: АВ
за точку В, ВС за точку С, СА за точку А. Полученные
точки являются вершинами треугольника, который назовем
В|С|Л- Во сколько раз площадь треугольника В|С|/1|
больше площади треугольника АВС?
б) Обобщите задачу а).
1.11. Дан параллелограмм. Постройте: а) равновеликую
ему трапецию; б) равновеликий ему прямоугольник; в) рав-
новеликий ему параллелограмм, не равный данному; г) рав-
новеликий ему треугольник.
Решите те же задачи, если дан произвольный четырех-
угольник.
1.12. Русские крестьяне в XIX в. измеряли площадь че-
тырехугольника (не прямоугольника) ABCD по формуле
S = ±-(4B + CZ)) (ДСА-BD).
Для каких четырехугольников формула дает верный ре-
зультат? Для каких четырехугольников она дает приемле-
мые результаты? Для каких совершенно неприемлемые?
1.13. Внутри выпуклого многоугольника движется точка.
Из нее проводятся перпендикуляры на все стороны много-
угольника (или их продолжения). Изменяется ли сумма длин
этих перпендикуляров?
62
Рис. 64
L
ГЛАВА II
МЕТРИЧЕСКИЕ
СООТНОШЕНИЯ
В ТРЕУГОЛЬНИКЕ
• * -
Продолжим изучение треугольников. Основная цель этой
главы — выразить одни элементы треугольника (стороны и
углы) через другие его элементы. Пока мы умеем решать
лишь одну такую задачу: зная два угла треугольника,
мы можем вычислить его третий угол. Но как, например,
зная длины двух сторон треугольника и угол между ними,
вычислить длину третьей стороны? Такие задачи часто встре-
чаются в практике, например при измерениях на мест-
ности.
§ 5. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
5.1. ФОРМУЛИРОВКА И ИСТОРИЯ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА.
Начнем с прямоугольных треугольников. Для них выпол-
няется знаменитая теорема Пифагора. Она названа так в
честь древнегреческого мыслителя, с которым связывают
ее открытие.
Теорема 6 (теорема Пифагора). В прямоугольном
треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов
катетов.
Итак, если Т — прямоугольный треугольник с катетами
а, b и гипотенузой с (рис. 65, а), то теорема Пифагора
утверждает, что
с2 = а2Н-/?2. (1)
Заметим, что а2, Ь2, с2— это численные значения пло-
щадей квадратов со сторонами а, Ь. с. Поэтому равенство
с2 = а2-\-Ь2 означает, что площадь квадрата, построенного
64
на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построен-
ных на катетах (рис. 65, б).
Пифагор, именем которого названа эта теорема, жил
в VI в. до н. э. (ок. 570 — ок. 500 гг. до н. э.). Тогда ма-
к'матика только складывалась у греков в теоретическую
науку и Пифагор оказал на нее большое влияние. Однако
он не открыл теорему, носящую его имя. Она была известна
еще раньше в Древнем Египте и Вавилоне, но, возможно,
голько как факт, выведенный из измерений. Надо думать,
Пифагор знал это, но нашел доказательство. И вот факт,
взятый из отдельных измерений, выступил как необходимый
«икон, потому что если уж доказано, то значит «оно не
может быть иначе». Теорема относилась тогда к площадям
квадратов, а не к численным значениям длин. Само на-
»вание второй степени числа — «а квадрат» или «а в квад-
рате» — происходит от геометрического понятия «квадрат со
стороной а». Сначала была геометрия, алгебра появилась
позже.
5.2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА. Пусть Т —
прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой
। (рис. 65, а). Докажем, что с2 = а1-\-Ь2.
Построим квадрат Q со стороной а-{-Ь (рис. 66). На
I Iоронах квадрата Q возьмем точки А, В, С, D так, чтобы
ю резки АВ, ВС, CD, DA отсекали от квадрата Q прямоуголь-
ные треугольники Ti, Т2, Т3, 7\ с катетами а и Ь. Четырех-
уюльник ABCD обозначим буквой Р. Покажем, что Р —
квадрат со стороной с.
Все треугольники Т\, Т2, Т3, Г4 равны треугольнику Т
(по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе
Пифагор
треугольника Т, т. е. отрезку с. Докажем, что все углы этого
четырехугольника прямые.
Пусть аир — величины острых углов треугольника Т.
Тогда, как вам известно, а 3-0 = 90'. Угол у при вершине А
четырехугольника Р вместе с углами, равными аир, состав-
ляет развернутый угол. Поэтому а-|-|3-|-у= 180°. И так как
а-|-0 = 90°, то у = 90°. Точно так же доказывается, что
и остальные углы четырехугольника Р прямые. Следователь-
но, четырехугольник Р — квадрат со стороной с.
Квадрат Q со стороной а А-b слагается из квадрата Р
со стороной с и четырех треугольников, равных треуголь-
нику Т. Поэтому для их площадей выполняется равенство
S(Q) = S(P) +4S(T). (2)
Так как S(Q) = (а-(-/?)2, S(P)=c2 и S(T) =±-ab, то,
подставляя эти выражения в (2), получаем равенство
Рис. 67
(а + 6)2 = с2 + 4.|ад. (3)
Поскольку (aA-b)2 = a2A-b2-\-2ab, то равенство (3) мож-
но записать так:
а2 А~ Ь2 А~2аЬ = с2-\~2ab. (4)
Из равенства (4) следует, что с2 = а2А~Ь2.
5.3. о значении теоремы Пифагора. Теорема Пифаго-
ра — это одна из главных и, можно сказать даже, самая
главная теорема геометрии. Значение ее состоит прежде
всего в том, что из нее или с ее помощью можно вывести
большинство теорем геометрии. В нашем курсе она будет
служить основой многих дальнейших выводов. Поэтому
ее нужно твердо усвоить.
Теорема Пифагора замечательна еще и тем, что сама
по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равно-
бедренного треугольника (рис. 2) можно видеть непосред-
ственно на рисунке. Но сколько ни гляди на прямоуголь-
ный треугольник, никак не увидишь, что между его сторо-
нами есть такое простое соотношение: с2=а2А~Ь2. Зато
это соотношение между соответствующими площадями ста-
новится очевидным из построения на рисунках 67, а и 67, б.
На них мы видим два различных разбиения одного и того же
квадрата Q со стороной аА~Ь. На первом из них квадрат Q
слагается из квадрата со стороной с и четырех треуголь-
66
ников. На втором такой же квадрат слагается из квадра-
те со сторонами а и b и таких же четырех треугольников.
Исключив и там и там треугольники, видим, что с2 =
— сг-\-Ь2. В этом и состоит самый лучший геометрический
стиль: посредством остроумного построения сделать неоче-
видное очевидным. В математических трактатах Древней
Индии, доказывая теорему, часто приводили только рисунок.
Сопровождали его лишь одним словом: «Смотри». Сравнить
два рисунка нетрудно, а в них вся суть доказательства.
5.4. квадратный корень. Теорема Пифагора позволяет
но любым двум сторонам прямоугольного треугольника
найти его третью сторону. Сначала находят квадрат стороны.
Например, если катеты прямоугольного треугольника равны
3 см и 4 см, то по теореме Пифагора квадрат его гипоте-
нузы равен 32-|-42 = 25. Поэтому площадь квадрата, по-
строенного на гипотенузе, равна 25 см2. И чтобы завершить
решение задачи, надо найти сторону квадрата, площадь
которого равна 25 см2. Ясно, что она равна 5 см, так как
5'= 25. Итак, гипотенуза рассматриваемого треугольника
равна 5 см. Прямоугольный треугольник со сторонами 3,
I. 5 был известен еще в Древнем Египте.
Если известны гипотенуза и один из катетов, то можно
найти другой катет. Например, если гипотенуза равна 13 см,
а катет равен 5 см, то по теореме Пифагора квадрат другого
катета равен 132 —52= 169 —25= 144. И мы снова приходим
К такой задаче: найти положительное число, квадрат ко-
горого известен. В данном случае, когда квадрат числа
равен 144, легко подобрать нужное число. Оно равно 12.
Следовательно, второй катет рассматриваемого треугольника
равен 12 см.
В обеих рассмотренных задачах нам пришлось по извест-
ному квадрату положительного числа находить само это
число. А именно, зная некоторое число а>0, мы находим
такое число /?>0, что Ь2 = а. Найденное положительное
число b обозначается так: Ь=^[а — и читается: «6 равно
корню квадратному из а». Операцию нахождения числа
по его квадрату называют извлечением квадратного корня.
Нахождение положительного квадратного корня можно
и< толковать геометрически как нахождение стороны квадра-
та, площадь которого известна. Подробно об извлечении
квадратного корня говорится в курсе алгебры.
67
1.
2.
3.
Бывают случаи, когда нельзя наити точное значение
квадратного корня. Тогда мы будем искать его приближен
ное значение по таблицам или с помощью микрокалькулято
ров (например, -\/2« 1,414) или оставлять в ответе знак
квадратного корня (например, д/2).
В чем заключается теорема Пифагора? Какое ей можно
дать истолкование, используя понятие площади?
Что вы знаете о Пифагоре?
Знаете ли вы другие доказательства теоремы Пифагора
А
Задачи к § 5
5.1. а) Как, зная стороны прямоугольника, вычислит
его диагональ? б) Используя теорему Пифагора, докажите
что диагонали прямоугольника равны.
5.2. Вычислите длину отрезка х на рисунке 68.
5.3. В равнобедренном треугольнике известны все сто
роны. Как вычислить: а) высоту, проведенную к основанию
б) высоту, проведенную к боковой стороне; в) медиану
проведенную к боковой стороне?
5.4. В прямоугольном треугольнике рассмотрим таки
величины: оба катета, гипотенузу, медианы ко всем сто
ронам. Выберите две из них и, считая их известными, ука
жите план нахождения остальных.
Решение. Выберем ситуацию посложнее,
пример, известны две медианы, проведенные
АА 1 = Ш| и ВВ\=т.2 (рис. 69). Неизвестными
будут стороны треугольника. Чтобы найти их
точно знать любые две (?). Попробуем найти катеты. Обыч
ный способ состоит в том, что неизвестный отрезок рас
сматривается как сторона треугольника, из которого о
затем и определяется при помощи подходящей теоремы
Подходящей
Катет А С
Пусть, на
к катетам
величинами
все, доста
теоремой
лежит в
Катет ВС
лежит в
2
у нас будет теорема Пифагора
треугольнике ACAi, откуда имеем
треугольнике BCBi, откуда имеем
ml
Получается система уравнений относительно неизвестных
величин а и Ь. Решив эту систему (?), мы и найдем катеты
68
л гатем по теореме Пифагора гипотенузу. Таков план реше-
ния задачи. Теперь его надо осуществить, т. е., считая т\
и гп2 известными величинами, выразить через них стороны
।реугольника а и Ь.
И в процессе решения, и при его оценке будьте внима-
гельны: можно кое-что заметить из того, что не относится
прямо к вопросу задачи. Например, можно заметить, что
и прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к кате-
iy, меньше удвоенной другой медианы, проведенной к дру-
юму катету (?).
Любопытно заметить также, что гипотенузу такого тре-
уюльника можно найти, не находя самих катетов (?):
С2 = 4-(ГИ14-Щ2)-
и
Из этого следует, что катеты можно было найти и не
гак, как это сделали мы (?). Полученное равенство можно
и< толковать таким образом: если в прямоугольном треуголь-
нике гипотенуза постоянна, а меняются только катеты, то
«умма квадратов медиан, проведенных к катетам, тоже
постоянна.
Тут есть чему удивиться. В самом деле, на данной гипоте-
пузе можно построить сколько угодно прямоугольных тре-
угольников, причем разных, а сумма квадратов медиан,
проведенных к катетам, будет все время постоянной. И даже
Пол ее того, будет постоянной сумма квадратов всех медиан
in кого треугольника (?). Этим удивительным свойством
обладают только медианы. Ни биссектрисы, ни высоты этим
свойством не обладают. Вы можете в этом убедиться сами.
Зная это, вы теперь сами могли бы сочинить, например,
шкую задачу: «В прямоугольном треугольнике гипотенуза
рпнна 1. Чему равна сумма квадратов его медиан?»
5.5. АВ и CD — два перпендикуляра к прямой BD. Рас-
ширим величины АВ, CD, BD, АС. Пусть эти перпенди-
куляры лежат по одну сторону от прямой BD. Сколько
hi взятых нами величин определяют остальные? Например,
.. иточно ли знать две из них, чтобы найти остальные?
i ри? а) Изменятся ли ваши ответы, если эти перпенди-
Иуляры будут лежать по разные стороны от прямой BD?
<') 11<менятся ли ваши ответы, если не будет указано, как
|ьп положены перпендикуляры относительно прямой BD?
ц| Пусть известны BD, АС и отношение АВ: CD. Сможете

9)
(><>
Рис. 69
Б
ли вы найти AD? г) Пусть прямая АС пересекает прямую®
BD в точке О. Какие величины в четырехугольнике с вер-Ц
шинами А, В, С, D вам понадобятся, чтобы найти расстоя-п
ние от О до ближайшей точки отрезка BD?
5.6. Как вычислить: а) сторону ромба, зная его диаго-®
нали; б) высоту равнобокой трапеции, зная ее стороны;»,|
в) диагональ равнобокой трапеции, зная ее стороны?
5.7. Как вычислить площадь: а) равнобедренного тре-|1
угольника, зная его стороны; б) равностороннего треуголь-||
ника, зная его сторону; в) равнобедренного прямоуголь-И
ного треугольника, зная его гипотенузу; г) прямоугольного|1
треугольника, зная его гипотенузу и то, что один из его I
острых углов равен 30°; д) треугольника, зная две егоЦ
стороны и высоту, опущенную на третью сторону; е) тре-11
угольника, зная все его стороны?
5.8. а) Пусть один из катетов прямоугольного треуголь-Ц
ника остается одним и тем же, а другой увеличивается.II
Что происходит с гипотенузой такого треугольника? Составь-!]
те обратную задачу.
б) Два отрезка соединяют точки разных сторон прямого!]
угла. Концы одного из них ближе к вершине, чем концы .1
другого. Какой из них длиннее? Составьте обратную задачу. I
в) На сторонах прямого угла с вершиной О взяты две||
точки А и В так, что ОА = ОВ. Точки К и М двинулись по I
• I
сторонам угла одновременно и с одной и тон же скоростью,||
причем точка К от О к А, а точка /М от В к О. В каких грани-®
цах изменяется величина КМ?
5.9. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 1 J
а) Пусть один из катетов равен у-. Чему равен второй катетЯ
б) Пусть один из катетов меньше чем -р В каких границах!
лежит второй катет? в) Пусть один из катетов изменяется от
у-до-^-. В каких границах изменяется второй катет? г) Пусти]
j
один из катетов увеличили на —. Может ли другой умены
шиться на -—? Обобщите эту задачу. I
5.10. а) Лестницу длиной 6 м, упирающуюся одним
концом в стену, а другой конец которой отстоит от стены на
3 м, пододвинули к стене на 1 м. На сколько ее верхний
70

конец стал выше? На сколько ее надо отодвинуть, чтобы
г* верхний конец стал на 1 м ниже?
б) Лестница стоит на полу в 2 раза ближе к одной
- и не, чем к противоположной ей. Приставленная к ближай-
|Ц»и стене, она упирается в потолок, а приставленная к более
дплекой стене, она упирается в ее середину. Длина лест-
ницы 3 м. Чему равно расстояние между стенами комнаты
и высота комнаты?
5.11. Эта задача из древнего китайского трактата «Мате-
мл гика в девяти книгах»: «Имеется квадратный водоем
си стороной в один чжан. В центре его растет камыш,
который выступает над водой на один чи. Если потянуть
клмыш к берегу, то он как раз коснется его. Спрашивается,
мпкова глубина водоема и какова длина камыша». (Чжан
и чи — меры длины, I чжан= 10 чи.)
5.12. На отрезке А В как на гипотенузе по разные сто-
роны от АВ построено два прямоугольных треугольника:
/\ АВС\ и дАВС2- В дЛВС'1 катеты равны а и Ь, дАВС2
рввнобедренный. Чему равна длина отрезка С1С2?
5.13. а) На тетрадном листе поставьте точку. Пусть
и шсстны ее расстояния до двух соседних вершин листа.
( можете ли вы вычислить расстояние от нее до других
ш ршин? А если будут известны расстояния от нее до про-
। пноположных вершин?
б) На плоскости даны прямоугольник и некоторая точ-
i'..i Сколько расстояний от нее до вершин прямоугольника
Индо знать, чтобы вычислить все четыре таких расстояния?
5.14. Придумайте способ для построения циркулем и
швейкой отрезка, длина которого равна корню квадратному
hi любого заданного натурального числа, например -/Г 1.
5.15. Возьмите лист бумаги в форме прямоугольника и
।шиите его так, чтобы: а) совпали его противоположные
концы; б) одна из вершин листа оказалась в середине
* гороны, не содержащей ее. Как вычислить длину линии
сгиба, сделав как можно меньше измерений?
5.16. В треугольнике ABC Z С = 90°, Z.A=45°, АС=1.
и) Пусть К^ВС, ВК = х. Выразите через х длину лома-
ной ВКА. Может ли она равняться 1,5? б) Пусть М^АВ,
ВМ = х, МРЛ-АС, Р<=АС. Ответьте на те же вопросы,
что и в задаче а) для ломаной BMP. в) Ответьте на те же
иопросы (см. задачу а)) для ломаной ВМС.
71
5.17. На отрезке АВ длиной 1 выбрана точка С и по

одну сторону от него построены два равносторонних тре-
угольника: АСК\ и ВСК?. В каких границах лежит расстоя-
ние /СХз? Сможете ли вы решить задачу, если треуголь-
ники будут расположены по разные стороны от прямой АВ?
5.18. Исходя из рисунков (рис. 70), найдите другие
доказательства теоремы Пифагора.
5.19. В тетраэдре РАВС Z_PCB= АРСА = АВСА = 90°,
PC = BC = AC = d. Чему равна площадь поверхности этого
тетраэдра? Решите эту задачу, если Z_ 6С\4=6О°; 120°.
5.20. Общая сторона двух равных равнобедренных тре-
угольников АВС\ и АВСг равна d. Точка К — середина
АВ, Z. Cl/CC2 = 90°. Чему равна длина отрезка С\Сч?
5.21. Ломаная идет через вершины куба, ребро которого
uSJ равно 1. Три ее проекции изображены на рисунках 32 и
Рис. 70
71. Чему равна длина такой ломаной?
§ 6. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА
Как уже было сказано, теорема Пифагора является ос-
новой многих дальнейших выводов. В этом параграфе мы
получим самые важные из них.
6.1. равенство прямоугольных треугольников. След-
ствием теоремы Пифагора является еще один признак
равенства прямоугольных треугольников —
п<> катету и гипотенузе.
Если катет и гипотенуза одного прямоугольного тре-
угольника равны катету и гипотенузе другого прямоуголь-
ного треугольника, то такие треугольники равны.
Докажем его. Используя теорему Пифагора, в каждом
и । данных треугольников выразим через гипотенузу и данный
катет другой катет. Из условия следует, что они равны.
Следовательно, в рассматриваемых треугольниках стороны
соответственно равны. Поэтому и треугольники равны.
6.2. ПЕРПЕНДИКУЛЯР, НАКЛОННАЯ, ПРОЕКЦИЯ. Мы пере-
ходим к важной задаче о расстоянии между точкой и фи-
(урой. Вот примеры таких задач: расстояние от корабля
но берега, от туриста до шоссе и т. п. Простейший пример
|нкой задачи — вычислить расстояние от точки до прямой.
Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся понятия, ука-
итные в названии пункта.
Пусть р — любая прямая и точка А не лежит на ней
(рис. 72). Из точки А опустим перпендикуляр АС на р.
Точка С называется проекцией точки А на прямую р. (Если
гочка лежит на прямой, то ее проекцией на эту прямую
является сама точка.) Возьмем также на прямой р точку
I В. отличную от точки С, и соединим А с В отрезком АВ.
Отрезок АВ называется наклонной, проведенной из точки
I Л к прямой р, а отрезок СВ называется проекцией на-
клонной АВ на прямую р. Наклонная, перпендикуляр и
проекция наклонной являются гипотенузой и катетами
прямоугольного треугольника АВС. По теореме Пифагора
АВ2 = АС'2 + СВ'2. (1)
Поэтому АВ2>АС\ а значит, АВ>АС. Аналогично
\В>СВ. Итак, мы доказали такое свойство наклонной:
Если из одной и той же точки проведены к некоторой
примой перпендикуляр и наклонная, то перпендикуляр и
проекция наклонной короче наклонной.
Рис. 72
73
Часто эти утверждения формулируют короче: перпен-
дикуляр и проекция короче наклонной (подразумевая,^
что они проведены из одной и той же точки к одной и
той же прямой).
б.з. неравенство треугольника. Теорем а 7 . В каждом
треугольнике любая сторона меньше суммы двух других
его сторон.
Дано: дЛВС со сторонами а, 6, с (рис. 73).
Доказать:
а<Ь-{-с (2)
(а также Ь<а-\-с и с<а-4-6).
Доказательство. Неравенство (2) докажем лишь
для случая, когда сторона а — наибольшая из сторон
треугольника АВС. В других случаях неравенство (2) оче-;
видно (почему?).
Проведем высоту AD (рис. 73, а). Она лежит внутри
треугольника АВС. Действительно, в противном случае
(рис. 73, б, в) оказалось бы, что сторона а = ВС не наиболь-
шая (наклонная АВ была бы больше проекции BD и тем
более больше ее части — отрезка ВС, и оказалось бы, что
АВ>ВС).
В прямоугольном треугольнике ABD катет BD меньше
гипотенузы АВ = с, т. е. BD<Zc. Аналогично в прямоуголь-
ном треугольнике ADC катет DC<.b. Но BDDC = BC = a,
а потому а<.Ь-\-с.
Неравенство треугольника дает ответ на такой вопрос:
всегда ли можно построить треугольник, сторонами которого
будут заданные отрезки а, Ь, с? Такой треугольник нельзя
построить, если один из этих отрезков, например отрезок
а, не меньше суммы двух других отрезков: а^Ь-\-с (рис. 74,
а, б). Если же наибольший из этих отрезков меньше сум-
Рис. 73
74
Рис. 74
мы двух других, то треугольник построить можно
(рис. 74, в).
6.4. расстояние от точки до фигуры. От точки, с которой
бьют пенальти, до линии футбольных ворот 11 м (рис. 75, а).
Что это значит? Длина какого отрезка, идущего из этой
гочки, равна 11 м? Ответ всем ясен: это длина самого
короткого отрезка от этой точки до точки на линии ворот.
Гак же определяется расстояние от точки А до любой
фигуры F. Из всех отрезков АХ, где X — точка фигуры F,
находится самый короткий — кратчайший отрезок. Его
длина и называется расстоянием от точки А до фигуры
I (рис. 75, б).
Например, если измеряем расстояние от точки А до
прямой р, то таким кратчайшим отрезком является пер-
пендикуляр АВ из А на р (рис. 75, в). Поэтому его длина
н является расстоянием от А до р.
Расстояние от точки А до фигуры F обозначается
|/1 FI. Рис. 76
75
б)
Рис. 76
Кратчайших отрезков, соединяющих точку А с точками X
фигуры F, может быть и больше одного. Например, если
F — окружность и А — ее центр.
Определяя расстояние от точки до фигуры, мы можем не
предполагать, что эта фигура и точка лежат в одной плос-1
кости: данное определение годится и для пространственных
фигур. Например, как найти расстояние от точки А до
плоскости а, не содержащей эту точку? Надо взять длину
самого короткого (кратчайшего) отрезка из всех отрезков,
соединяющих точку А с точками плоскости а (рис. 76, а).
Такой кратчайший отрезок АВ называется перпендикуляром
к плоскости а, опущенным из точки А. Он перпендику-
лярен любой прямой, проходящей через точку В в плос-
кости а (подумайте почему). Реальным примером перпен-1
дикуляра к горизонтальной плоскости могут служить верти-;
кально стоящие столбы или мачты (рис. 76, б), а также*
отвесы.
6.5. ХАРАКТЕРНОЕ СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ УГЛА. Понятие |
о расстоянии от точки до прямой позволяет по-новому ।
рассматривать биссектрису угла. А именно справедлива
следующая теорема:
Теорема 8 (о биссектрисе угла). 1) Каждая точка
биссектрисы угла равноудалена от его сторон.
2) Верно и обратное: точка угла, равноудаленная or!
его сторон, лежит на биссектрисе угла.
1) Дано: X — точка биссектрисы угла А со сторонами!
k, I.
Доказать: |ХАг| = |Х/|.
Доказательство. Опустим из точки X перпендику-1
ляры ХВ и ХС на стороны k, I угла А (рис. 77, а). Так как,
Рис. 77
76
V — точка биссектрисы угла А, то Z_XAB= /LXAC. Прямо-
угольные треугольники ХАВ и ХАС равны (по гипотенузе
и острому углу). Поэтому ХВ = ХС. Но XB=\Xk\ и ХС=
• |А7|. Следовательно, |Л7г| = |Л7|.
2) Д а н о: X — точка угла А и |Х&| = |Х/| (рис. 77, 5).
Доказать: луч АХ — биссектриса угла А.
До казательство. Опустим перпендикуляры ХВ и КС
на стороны k и / угла А. Так как ХВ= |А7г| и ХС = I А/|,
го ХВ = ХС. Прямоугольные треугольники АХВ и АХС равны
(по гипотенузе и катету). Следовательно, Z_ ХАВ= Z_ ХАС,
। е. луч АХ — биссектриса угла А.
Теоремы о характерных свойствах фигур часто формули-
руют, употребляя оборот «тогда и только тогда». Напри-
мер, доказанную здесь теорему можно сформулировагь
тнк: точка угла лежит на его биссектрисе тогда и толью
тогда, когда она равноудалена от сторон угла. Другой
пример: четырехугольник является параллелограммом тогда
и только тогда, когда его противоположные стороны равна.
6.6. МНОЖЕСТВО (ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО) ТОЧЕК. Пусть
фигура имеет характерное свойство, определяющее, какие
|очки принадлежат фигуре. Тогда про эту фигуру говорят,
по она является множеством точек, обладающих данным
< нойством (или геометрическим местом точек, обладающих
нинным свойством).
Например, биссектриса угла — это множество точек угли,
равноудаленных от сторон угла, или геометрическое место
ючек угла, равноудаленных от сторон угла. А серединный
перпендикуляр отрезка — это множество точек, равноудс-
(енных от концов этого отрезка
Когда говорят «множество точек», то всегда имеют в
пилу множество всех точек, обладающих данным свойством.
Если точка X принадлежит множеству F, то пишут
V<=F.
6.7. формула герона. Теорема Пифагора позволяет ре-
шить две важные задачи:
I) зная стороны треугольника, найти его высоты;
2) выразить площадь треугольника через его стороны
I >га формула и называется формулой Герона).
Найдем сначала высоту AD треугольника АВС, прове-
п пную к большей его стороне ВС (рис. 78). Как обычно,
положим ВС = а, AC = b, АВ = с, AD = ha- Кроме того.
Рис. 78
77
положим BD = x. Тогда CD = a — х. По теореме Пифагора
AD1 2 3 4=AB2-BD2 и AD2 = AC2-CD2. Поэтому AB2-BD2 =
= AC2-CD2, т.е.
c2 — x2 = b2— (а—х)2. (3)
Из уравнения (3) получаем, что
2ах = а2 + с2 — Ь2.
Поскольку AD2 = АВ2 — BD2, то fi2a = c2— х2 и (4)
= (а* + с*-Ь2)\ (5)
4а2
Последовательно раскладывая на множители как раз-
ности квадратов в числителе правой части (5), получаем:
h2 = (аА-Ь~\-с) (а-\-Ь — с) (а4-с — Ь) (Ь + с — а). (6)
4а2
Периметр a-j-b-j-c треугольника АВС обозначим 2р.
Получим:
aA~b — с = 2р — 2с, аА~с — Ь = 2р — 2Ь, ЬА~с — а = 2р — 2а.
Поэтому окончательно
^ = ^-л/р(р — а) (р — Ь) (р — с). (7)
Проверьте, что формула (7) справедлива и для случая,
когда высота лежит вне треугольника.
Так как площадь S треугольника АВС выражается
формулой S — ^-aha, то, подставляя в нее ha по формуле
(7), получаем, что
S = -\/р(р — а) (р — Ь) (р — с). (8)
Эта формула была получена в I в. н. э. древнегре-
ческим ученым Тероном.
1. Какие вы знаете следствия из теоремы Пифагора?
2. Как найти расстояние от точки до фигуры?
3. Даны три точки. Пусть известны расстояния между любы-
ми двумя из них. При каком условии на эти расстояния
заданные точки: а) являются вершинами треугольника;
б) лежат на одной прямой?
4. Как понимать предложение: «Фигура F является мно-
жеством точек, обладающих свойством Р»? Перескажите
это предложение другими словами.
5. Приведите примеры геометрических мест.
6. Какие вы знаете теперь формулы площади треугольника?
Задачи к § 6
6.1. Пусть точка А —точка пересечения двух перпенди-
кулярных прямых, а точка В не лежит ни на одной из этих
прямых. Пусть точки В\ и В2 — проекции точки В на эти
прямые. Докажите, что АВ2 = АВ2 ф-ДВг-
Возьмите еще одну точку С, не лежащую на этих прямых,
и пусть точки С] и С2 — проекции этой точки на эти же
прямые. Докажите, что ВС2 = В{С2А~ В2С2- Сформулируйте
доказанное.
6.2. Из точки А к данной прямой проведены перпенди-
куляр АВ и две наклонные АС и AD. Докажите, что:
а) если BC—BD, то AC = AD, б) если AC = AD, то ВС =
= BD; в) если BC>BD, то AC>AD\ г) если AC>AD,
го BC>BD. Дайте различные формулировки этим утверж-
дениям.
6.3. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины
прямого угла С проведен перпендикуляр CD к гипотенузе.
Докажите, что: a) CD2 = AD • BD\ б) AC2 = AD-АВ; в) ВС2 =
= BD-BA. Дайте формулировки этим равенствам.
Решение. Мы докажем формулу из пункта а), осталь-
ное вы сделаете сами.
По теореме Пифагора из &АВС (рис. 79) имеем с2 =
= а2А~Ь2. Так как с = а\ -|-6i, то (tzi -j-6i)2 =а2 ф-Ь2.
Раскрывая скобки, получаем такое соотношение:
a2 + &i -|-2ai6i =а2-\-Ь2. (1)
Из треугольника ACD по теореме Пифагора имеем:
b2 = h2-\~bt (2)
Из треугольника BCD по теореме Пифагора имеем:
а2 = h2
(3)
Сложив равенства (2) и (3), получим:
a2 ф-62 A-2h2 = a2 А~Ь2. (4)
Сравнивая равенства (1) и (4), видим, что
262 = 2tZ|6|,
откуда
h2 = a\bl.
79
Формулы из этой задачи важны сами по себе, но не
только. Как всегда, из этих формул можно получить разно-
образные следствия.
Формулу (5) можно переписать в виде пропорции
a\’.h = h\ b\.
В дальнейшем эта пропорция поможет при построении
циркулем и линейкой отрезков вида д/ц, где п — натураль-
ное число.
Далее, если зафиксировать h, то и произведение а\Ь\
не будет меняться. Тогда, как уже известно, сумма at-j-bi
будет наименьшей, когда ai = bi. Переведем этот факт на
язык геометрии. Получится вот что: из всех прямоугольных
треугольников с данной высотой гипотенуза с = а1-|-Ь| будет
наименьшей в том случае, когда at = bt, т. е. когда этот
треугольник будет еще и равнобедренным (?). Или еще
такой вариант: из всех прямоугольных треугольников с дан-
ной высотой наименьшую площадь имеет равнобедрен-
ный прямоугольный треугольник.
И наконец, рассмотрим формулы из пунктов б) ив).
В наших обозначениях они выглядят так:
a2 = cai, b2 = cbi.
Сложив оба равенства, получим:
а2 -ф Ь2 = са\ 4- cb\ — с («1 + b\).
А так как то а2-\-Ь2 = с2. Мы пришли к теореме
Пифагора. Значит ли это, что мы нашли еще один способ
ее доказательства?
Вы, конечно, догадались, что нет. Дело в том, что соот-
ношения, выведенные в этой задаче, получены как раз с
использованием теоремы Пифагора. Тем самым допущена
логическая ошибка: для дбказательства некоторого утверж-
дения в неявном виде использовалось оно само. Ошибка
такого вида известна очень давно и называется «пороч-
ный круг».
С другой стороны, если формулы этой задачи удастся
получить как-то иначе, не используя теорему Пифагора,
то тогда, действительно, найдено будет еще одно доказа-
тельство теоремы Пифагора. В некоторых учебниках так
и сделано.
80
6.4. Точка X движется по стороне ВС прямоугольника
ABCD. Пусть ХА увеличивается. Что происходит с XD?
6.5. Из одной точки к одной и той же прямой проведены
перпендикуляр и две наклонные. Докажите, что разность
квадратов наклонных равна разности квадратов их проек-
ций. Проверьте обратное утверждение. Какие следствия вы
можете получить из этого?
6.6. Нарисуйте две взаимно перпендикулярные прямые и
любой отрезок а. Пусть а\ и а2 — проекции этого отрезка
на эти прямые. Пусть а=1. а) Докажите, что ajA~a2=l-
б) Докажите, что с увеличением одной из этих проекций
другая уменьшается, в) Пусть а\ > 0,5. В каких границах
находится а2? г) Пусть 0,01 <а2<0,1. В каких границах
лежит Д|? д) Пусть Д]=2а2. Вычислите каждую проекцию,
с) Пусть А| >а2. В каких границах лежит каждая проекция?
6.7. Найдите длину неизвестного отрезка по рисун-
ку 80.
6.8. Докажите, что в равнобедренном треугольнике равны
проекции: а) боковых сторон на основание; б) боковых
сторон на прямые, проходящие через другие боковые сто-
роны; в) основания на прямые, проходящие через боковые
стороны; г) высоты к основанию на боковые стороны; д) вы-
сот к боковым сторонам на основание; е) высот к боковым
сторонам на прямые, проходящие через другие боковые
стороны. Составьте сами задачи о медианах и биссектри-
сах, аналогичные задачам д) и е).
6.09 . Вычислите длину х, у, z по рисунку 81.
6.10. На сторонах угла, равного 45°, взяты точки А и В
на расстояниях 1 и 2 от вершины. Отрезок АВ проектируется
на каждую из сторон угла, а) Вычислите длины этих проек-
ций. б) Вычислите АВ.
Сможете ли вы решить задачу для других углов?
6.11. Внутри угла А, равного 60°, взята точка В. Дли-
ны проекций отрезка АВ на стороны угла равны 2 и 3.
Вычислите АВ. Сможете ли вы решить задачу в общем
виде, считая длины проекций равными а и Ь? Сможете ли вы
решить задачу для других углов?
6.12. Пусть А, В, X», Х2— любые точ-ки плоскости. До-
кажите, что ДВ^ЛХ|-f-X)X2H-X2B. Обобщите этот резуль-
тат. В каком случае имеет место равенство?
Б
г)
81
a)
z
в)
3
г)
6.13. Докажите, что каждая сторона треугольника боль-
ше разности двух других его сторон.
6.14. Имеется кусок гибкой проволоки. Можно ли ее
согнуть в треугольник, у которого: а) большая сторона
равна половине длины проволоки; б) большая сторона
равна трети длины проволоки; в) большая сторона равна
четверти длины проволоки?
6.15. Из складного метра делают треугольник. В каких
границах лежит его наибольшая сторона?
6.16. Нарисуйте прямую /<£ и две точки А и В вне ее.
Пусть точка X лежит на отрезке KL. Какой путь короче-
АХВ или AKLB? А если точка X лежит на прямой KL?
6.17. Докажите, что: а) любая сторона в треугольнике
меньше его полупериметра; б) любая хорда треугольника
меньше его полупериметра. Обобщить эти утверждения?
6.18. а) Докажите, что медиана треугольника меньше
полусуммы сторон, между которыми она проходит.
6) Что следует из утверждения а) для суммы всех медиан
треугольника?
в) Верно ли утверждение а) для любой хорды треуголь-
ника, выходящей из вершины?
6.19. а) Точка X находится в треугольнике АВС. До-
кажите, что АХ-]~ХВ<АС-1- СВ.
б) Точка X находится в треугольнике АВС. Ее соеди-
нили отрезками с вершинами треугольника. Оцените сверху
сумму XA-f-XB + XC. Теперь оцените эту сумму снизу.
в) Может ли внутри данного треугольника лежать
треугольник с периметром, большим, чем периметр данного?
6.20. а) Докажите, что в выпуклом четырехугольнике
сумма противоположных сторон меньше, чем сумма диаго-
налей. Оцените сверху и снизу сумму его диагоналей.
б) Найдите в выпуклом четырехугольнике такую точ-
ку X, что сумма всех расстояний от нее до его вершин на-
именьшая.
6.21. Пусть ABCD — замкнутая ломаная, а точки К, L,
M, N— середины ее последовательных звеньев. Оцените
суммы: а) АС-|-В£); б) KMA-CN. Будут ли верны эти
оценки для точек пространства?
6.22. Эта задача взята из книги польского математика
Г. Штейнгауза «100 задач». Называется эта задача «Фран-
Рнс. 81
цузские города».
82
«Доктор Шарадек, знающий хорошо стратегию, интере-
совался последней войной и в 1940 году познакомился
। картой французского театра военных действий. Отсюда,
вероятно, и возникла следующая задача. Расстояние по
воздуху, как и все расстояния в этой задаче, от Шалона
до Витри равно 30 км, от Витри до Шомона 80 км, от
Шомона до Сэн-Кантэна 236 км, от Сэн-Кантэна до Ремса
Кб км, от Ремса до Шалона 40 км. Вычислить в этом
|.з минутом многоугольнике расстояние от Ремса до Шомона.
1>сз карты это умеет сделать только доктор Сильвестр Ша-
радек!» Но может быть, и вы попробуете?
6.23. Наибольшая высота в треугольнике равна 1. Оце-
ните другие его высоты.
6.24. Вычислите расстояние от каждой вершины треуголь-
ника до прямой, проходящей через противоположную этой
вершине сторону, для: а) равностороннего треугольника со
•тороной 1; б) равнобедренного треугольника с боковой
। гороной 3 и основанием 2; в) равнобедренного треугольника
। боковой стороной 3 и основанием 5; г) прямоугольного
। реугольника с катетами 2 и 3; д) треугольника со сторо-
нами 4, 5, 6.
В каждом случае ответьте на вопрос: будет ли вычислен-
А
6.4
ное вами расстояние расстоянием от вершины до противо-
положной стороны?
6.25. а) Дана прямая а. Пусть |Ла| =2. Точка X дви-
жется по плоскости так, что ХЛ = 1. В каких границах на-
ходится |Ха| ?
б) Ответьте на этот же вопрос, если |Ла| = 1, ХА =2.
в) Решите задачу в общем виде, когда | Ла| = d\, ХА = d-2.
6.26. На данной прямой лежат основания ВС и В\С\ двух
равносторонних треугольников АВС и А\В]С\ со стороной 1.
< )бщих точек у них нет. Расстояние между ближайшими
вершинами этих треугольников С и В\ равно 1. Вычислите
расстояния: а) ВВ\\ б) ВА\\ в) от В до прямой А\В\\
।) от 8 до стороны Д|В|; д) от 8 до треугольника Л1В|С|.
(При решении учтите возможные расположения этих тре-
\юльников относительно данной прямой.)
6.27. Пусть АВ — перпендикуляр к плоскости а, опу- 1^1
тонный из точки А. Докажите, что АВ является перпен- Lx-
шкуляром к любой прямой плоскости а, проходящей через
гочку В.
ЯЗ

Б
Ц]
HJ
6.28. Пусть точка А не лежит в плоскости а. Сколько
перпендикуляров можно провести из точки А к плоскости а
6.29. Составьте задачу, аналогичную задаче 6.2, дл
перпендикуляра и наклонных, проведенных из данной точк
на данную плоскость, и ответьте на такие вопросы: сколько
равных наклонных можно провести из данной точки н
данную плоскость? Какую фигуру образуют концы все
таких наклонных, лежащие на плоскости?
6.30. Перпендикуляр к плоскости прямоугольника прохо
дит через его центр. Докажите, что любая точка этог
перпендикуляра равноудалена от вершин прямоугольника
Проверьте обратное утверждение. Можете ли вы обобщить
полученные результаты?
6.31. Пусть АВ — перпендикуляр, опущенный на плос
кость а из точки А, ВС — его продолжение, точка X — не
которая точка плоскости а. а) Пусть АВ = ВС. Докажите
что ХА — ХС. Докажите обратное, б) Пусть АВ>ВС. До
кажите, что ХА>ХС. Докажите обратное.
6.32. Постройте прямую, проходящую через вершину
треугольника и равноудаленную от двух других его вершин
6.33. а) Расстояния от двух концов отрезка до данной
прямой равны d\ и d2- Чему равно расстояние до это
прямой от середины данного отрезка? В этой задаче возмож
ны два случая — какие?
б) Пусть известны расстояния от данной прямой д
трех вершин квадрата. Как найти расстояние от этой пря
мой до его четвертой вершины? Сможете ли вы найт
еще и сторону квадрата? Можно ли обойтись меньши!
числом данных? Для облегчения работы можно считат!
что квадрат лежит по одну сторону от данной прямой
Существенно ли это дополнение? Сможете ли вы решить
аналогичную задачу для ромба? параллелограмма?
6.34. Пусть РАВС — правильный тетраэдр. Докажите
что расстояния от Р до сторон основания равны. Дл:
каких других тетраэдров это тоже верно? Приведите пример
другой по виду пирамиды, для которой это тоже вернс
6.35. Пусть АВ — перпендикуляр к плоскости прямо
угольного треугольника BCD, Z.B = 90°. Рассмотрим длины
отрезков АВ, ВС, BD, AC, AD, CD. Выберите любые тр
отрезка и считайте, что их длины известны. Сможете ли bi
вычислить длины оставшихся отрезков?

84
6.36. Пусть ОА — перпендикуляр к плоскости равнобед-
ренного треугольника АВС (АВ = АС), точка К — середина
ВС. Докажите, что OK-LBC. Вычислите ОК, если: а) Z_A =
= 90°, АВ = АС = ОА = \-, б) Z.4=120°, АВ = АС = ОА = 2.
6.37. Пусть АВ — перпендикуляр к плоскости прямо-
угольного треугольника ACD (Z_ CAD = 90°). а) Пусть
AB = AC = AD. Установите вид треугольника BCD. б) Пусть
треугольник BCD равносторонний. Что из этого следует?
в) Может ли треугольник BCD быть прямоугольным?
6.38. а) Докажите, что точка пересечения двух бис-
сектрис треугольника равноудалена от всех его сторон.
б) Докажите, что все биссектрисы треугольника имеют
общую точку.
6.39. Какую фигуру образуют все точки, равноудален-
ные от двух данных пересекающихся прямых?
6.40. Какую фигуру образуют все точки, удаленные от
данной прямой на данное расстояние? на расстояние, мень-
шее данного?
6.41. Какую фигуру образуют все точки, равноудаленные
от двух заданных параллельных прямых? все точки, ко-
торые к первой из них ближе, чем ко второй?
6.42. Дана прямая а. Нарисуйте фигуру, образованную
всеми такими точками X, что: а) |Ха| ^.d\\ б) |Ха| ^d^,
в) I Ха I
6.43. Какую фигуру образуют все точки, которые: а) рав-
ноудалены от сторон угла; б) к одной из его сторон ближе,
чем к другой?
6.44. Найдите точку, равноудаленную от сторон: а) ром-
ба; б) прямоугольника; в) трапеции.
6.45. Точка движется по плоскости так, что она нахо-
дится на одном и том же расстоянии от: а) отрезка; б) угла;
в) квадрата; г) треугольника. Нарисуйте такую линию.
6.46. Какую фигуру образуют середины всех хорд по-
лосы?
6.47. В данном угле найдите точку, которая: а) удалена
от одной его стороны на расстояние d\, а от другой — на
расстояние^; б) удалена от каждой из сторон на расстояние
d\ в) равноудалена от сторон, а от данной точки угла удале-
на на расстояние d.
6.48. В равнобедренном треугольнике проведена хорда,
i оединяющая точки на боковых сторонах. Докажите, что

D
А
6.5—6.6
8.'»
Б

она параллельна основанию, если она соединяет концы:
а) медиан; б) биссектрис; в) высот.
6.49. Как вычислить ширину полосы, если известны рас-
стояния от некоторой точки до ее краев?
6.50. Постройте треугольник по: а) основанию, высоте
и углу при основании; б) высоте и двум углам при осно-
вании; в) двум высотам.
6.51. Постройте ромб по высоте и: а) стороне; б) остро-
му углу; в) диагонали; г) углу между двумя высотами,
проведенными из одной вершины.
6.52. Постройте трапецию по высоте и: а) основанию и
диагоналям; б) двум бокам; в) двум бокам и диагонали.
6.53. Два треугольника А\ВС\ и А2ВС2, имеющие один
и тот же угол В, имеют равные площади. Докажите, что
Л2С| ||Л1С2 (точка А2 лежит на луче ВЛ|).
6.54. Через произвольную точку на стороне треугольника
проведите хорду, которая делит его площадь пополам.
6.55. Нарисуйте на плоскости четыре точки так, чтобы
каждые три из них были вершинами тупоугольного тре-
угольника. Добавьте к ним еще одну точку с тем же свой-
ством. Обобщите задачу.
6.56. По углу движется точка так, что: а) сумма рас-
стояний от этой точки до сторон угла одна и та же; б) раз-
ность расстояний от этой точки до сторон угла одна и та же.
По какой линии движется точка?
6.57. У вас в руках двусторонняя линейка. Как, исполь-
зуя только ее: а) разделить пополам данный угол; б) раз-
делить пополам данный отрезок; в) удвоить данный от-
резок?
6.58. Нарисуйте правильный тетраэдр. Нарисуйте на его
поверхности фигуру, все точки которой: а) равноудалены
от двух данных его вершин; б) равноудалены от трех его
вершин; в) удалены от одного из его ребер на данное
расстояние; г) равноудалены от двух его соседних ребер.
§ 7. СИНУС
Начиная с этого параграфа и до конца главы мы будем
изучать большой и важный раздел геометрии, который на-
зывается тригонометрией. Главную задачу тригонометрии
составляет решение треугольников. Решить треугольник —
4G
шачит вычислить (найти) одни элементы треугольника,
тая другие его элементы (например, найти углы треуголь-
ника, зная его стороны).
Все основные понятия тригонометрии выражаются через
отношение отрезков. С них мы и начнем.
7.1. отношение отрезков. Сравнивая длины предметов,
расстояния и т. п., мы часто говорим об их отношении.
Например, высота комнаты в 1,3 раза меньше ее ширины.
Но вместо отношения длин отрезков можно говорить об
отношении самих отрезков. Действительно, при замене еди-
ницы длины отношение численных значений длин двух от-
резков не изменится (так как каждое из них умножится
на одно и то же число). Например, 3 м:2 м = 300 см:200 см.
Именно поэтому можно говорить просто об отношении этих
отрезков.
7.2. отношение перпендикуляра и наклонной. Начнем
с практического примера. Крутизну подъема на ровной на-
клонной дороге (рис. 82) можно задать не углом наклона,
.1 высотой подъема, приходящегося на длину пройденного
пути. Например, подъем 2 м на 100 м пути. В этом случае
крутизна подъема задается отношением высоты к пройден-
ному пути. В рассмотренном примере она равна 0,02. (Ра-
Рис. 82
87
Рис. 83
зумеется, можно было бы говорить и о спуске, например,
по той же дороге.) Это отношение 0,02 не зависит от прой-
денного пути. Рассмотренный пример подводит нас к следую-
щей теореме:
Теорема 9 (об отношении перпендикуляра и наклон-
ной). Пусть из точки В, лежащей на стороне р острого
угла А, опущен перпендикуляр ВС на сторону q этого
угла (рис. 83, а). Тогда отношение перпендикуляра ВС
к наклонной ВА не зависит от выбора точки В.
Доказательство. На стороне q выберем любую точку
М (рис. 83, б). Выразим площадь S треугольника АВМ
двумя способами. С одной стороны, S = — nia, где а = ВС,
m = AM. С другой стороны, S = ^-ch, где h = MD — высота
треугольника АВМ и с = ВА. Поэтому ma = ch. Это равен-
ство можно записать как пропорцию (проверьте!):
- = —. (1)
с т ' '
Если на стороне р взять другую точку В\ (рис. 83, в)
и повторить проведенные рассуждения, то снова получим,
01 Л г-г а\ а
что — = —. Поэтому ---=---.
С\ т J С\ с
Отношение перпендикуляра к наклонной не зависит от
того, на какую сторону угла опущен перпендикуляр. Чтобы
пояснить это, вернемся к равенству (1). Пусть, как и раньше,
М — точка на стороне q угла А и MD_Lq. В правой части (1)
стоит отношение перпендикуляра MD к наклонной МА. Слева
в равенстве (1) стоит отношение, которое с выбором точки
М не связано. Значит, и правая часть равенства (1) от
выбора точки М не зависит.
7.3. определение синуса. Снова рассмотрим острый угол
А. На одной из его сторон возьмем точку В и опустим из
88
нее перпендикуляр ВС на другую сторону угла А (рис. 84, а).
ГЛы доказали в п. 7.2, что отношение — не зависит от по-
ел
ложения точки В на стороне угла А. Поэтому каждому
острому углу А можно сопоставить значение этого отно-
шения. Оно называется синусом угла А и обозначается
sin А, т. е.
Sin/l = -f£. (2)
Вспомним практический пример о движении по наклонной
дороге, с которого мы начали предыдущий пункт. Пред-
ставим себе, что одна сторона угла А — это дорога, другая
же его сторона горизонтальна. По дороге от А движется
точка В. Тогда синус угла А — это отношение высоты подъе-
ма ВС к пути ВА, пройденному точкой В, т. е. крутизна
подъема.
Для угла с горизонтальной стороной синус угла — это
высота подъема по наклонной стороне угла, приходящаяся
на единицу пути (рис. 84, б); если ВА=1, то sin4 = £C.
(Можно было бы даже сказать: удельная высота подъема.)
Если же из равенства (2) выразить высоту подъема
ВС, то получим, что
ВС= (sin Л) ВА. (3)
Это равенство можно истолковать так: высота подъема
ВС прямо пропорциональна пройденному пути ВА. Коэф-
фициентом пропорциональности является крутизна подъема,
т. е. sin А.
Зная пройденный путь £4 и sin А, можно из формулы
(3) найти высоту подъема ВС.
Определим теперь синус для тупого угла А (рис. 84, в).
Считаем, что прямая q\, на которой лежит q, горизонталь-
на. Представим себе, что точка В двигается по стороне р
тупого угла А. Крутизна подъема точки В относительно
прямой qt точно так же задается отношением перпендику-
ляра ВС к наклонной ВА. Это отношение, как нам уже
известно, будет синусом острого угла ВАС, смежного ту-
пому углу pq.
Поэтому для тупого угла его синус определяется как
синус смежного ему острого угла. Это вполне естественно.
Действительно, перпендикуляр и наклонную из определения
синуса острого угла В А С можно отнести и к смежному с ним
Рис. 85
3
тупому углу pq. При этом надо считать, что перпендикуляр
опускается не на сторону угла pq, а на ее продолжение.
Итак, синусы смежных углов равны.
Пусть теперь угол А прямой. Тогда высота подъема
точки В по одной из сторон угла А относительно другой
его стороны всегда равна пройденному пути: ВС=ВА
(рис. 84, г). Поэтому отношение ^-= 1, т. е. синус прямо-
го угла равен 1.
Наконец, когда угол А развернутый, то высота подъема
точки В нулевая (перпендикуляр ВС вырождается в точку
В. рис. 84, д). Поэтому синус развернутого угла равен
нулю.
Подведем итог:
1) Синус острого угла равен отношению перпендикуляра
к наклонной.
2) Синус тупого угла равен синусу смежного острого
угла.
3) Синус прямого угла равен единице.
4) Синус развернутого угла равен нулю.
7.4. синус величины угла. Итог, к которому мы при-
шли в предыдущем пункте, еще не окончательный. Дело
в том, что угол обычно задают его величиной. Пусть надо,
например, найти синус угла 50°. Но если взять два таких
утла, т. е. два угла по 50°, и, пользуясь определением,
найти их синусы, то будут ли равны эти синусы?
Докажем, что синусы углов, имеющих равные величины,
равны.
Возьмем два равных острых угла: Z_A и (рис. 85).
Из некоторой точки В на стороне угла А опустим перпенди-
куляр ВС на другую сторону угла А. Получим прямоуголь-
ный треугольник АВС. Отложим на сторонах угла М отрезки
МР = АВ и MQ = AC. Тогда по первому признаку равен-
ства треугольников &MPQ = Л АВС. Поэтому ZQ=ZC =
= 90°. Итак, PQ — перпендикуляр, опущенный из точки
Р одной стороны угла А на другую его сторону.
Докажем теперь, что sinAf=sin4. Во-первых, sinM =
= -^-. Во-вторых, sin4 = -|j-. Поскольку PQ = BC и РМ =
= ВА, то Значит, sinM = sin/l.
рм ВА
Итак, синус однозначно определяется не только самим
углом, но и его величиной. Поэтому мы можем говорить
не только о синусе угла, но и о синусе величины угла и
писать, например, sin 50°. Вместо фразы «Синус прямого
угла равен единице» мы можем писать теперь короче:
sin 90° = 1. Аналогично sin 180°=0.
Удобно ввести угол величиной 0°. Таким углом можно
считать вырожденный угол, стороны которого совпадают
(как стрелки часов в 12.00). Для такого вырожденного
случая полагают по определению sin0° = 0.
Так как синусы смежных углов равны, то
sin (180° — a) =sin а (4)
для любого угла а от 0° до 180°.
7.5. СИНУСЫ ОСТРЫХ УГЛОВ ПРЯМОУГОЛЬНОГО треуголь-
ника. Синус чаще всего используется в прямоугольных
треугольниках. В прямоугольном треугольнике АВС
(рис. 86, а) с прямым углом С катет а = ВС — это перпенди-
куляр к прямой АС, а гипотенуза с = АВ—это наклонная.
Из определения синуса sinA = y. Аналогично sin 5 =
= 7-, где b = АС.
Итак, синус острого угла в прямоугольном треуголь-
нике равен отношению противолежащего этому углу катета
к гипотенузе.
Используя это, а также теорему Пифагора, мы можем
вычислить синусы 30°, 45°, 60°.
Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник
\ВС. Его острые углы равны 45° (рис. 86, б). Пусть
иго катеты АС и ВС равны 1. Тогда гипотенуза АВ =
\/1 + 1 = -\/2. Поэтому sin 45° ==-L .
Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник АВС, в
котором ZA = 30° и /15 = 60° (рис. 86, в). Тогда в этом
(реугольнике ВС=^-АВ. (Вспомните, что на два таких
S)
Рис. 86
। реугольника разбивает высота правильный треугольник.)
Пусть АВ —2. Тогда ВС=\ и АС—л/А— 1 = д/3. Поэтому
cin Qn°_ВС_ 1 ,, гтйл0_ЛС Уз
sm3° -ВД-2“И Sln60 =7В= 2
91
a)
AK=OL = sina
Рис. 87
7.6. свойства синуса и его график. Так как каждому
углу соответствует его синус, то синус является функцией
угла, а точнее, функцией величины угла. Укажем простей-
шие свойства этой функции.
1. Синус каждого угла не больше единицы.
Это следует из того, что перпендикуляр короче наклон-
ной.
2. При возрастании угла от 0° до 90° его синус возрас-
тает от 0 до 1.
Действительно, возьмем прямой угол О со сторонами
р и у (рис. 87, а). Из вершины О внутрь этого угла проведем
единичный отрезок ОА, образующий с лучом р острый
угол а. Из точки А опустим перпендикуляры А К и AL на
лучи р и q. Получим прямоугольник OKAL. Так как ОА = 1,
то .4K = sina. А поскольку OL = AK, то OT = sina. Итак,
sin а равен длине проекции OL единичного отрезка ОА на
луч q.
Когда угол а возрастает от 0° до 90°, отрезок ОА повора-
чивается вокруг точки О от положения 0Ао на луче р до
положения OAi на луче q. Точка А пробегает четверть
окружности. При этом точка L движется от точки О до
точки .4]. Длина отрезка OL, т. е. sin а возрастает от 0 до
1, что и утверждается в свойстве 2.
3. При возрастании угла от 90° до 180° его синус убывает
от 1 до 0.
Когда тупой угол возрастает от 90° до 180°, смежный
ему угол убывает от 90° до 0°. В этом случае по свойству
2 синус такого угла убывает от 1 до 0. и
Изменение синуса тупого угла при увеличении угла от
90° до 180° легко увидеть, если проследить за изменением
проекции вращающегося единичного радиуса, когда конец
радиуса пробегает еще четверть окружности (рис. 87, б).
4. Величина острого угла определяется синусом этого
угла, т. е., зная синус острого угла, можно найти сам угол.
Это значит, что для острых углов из равенства sin а = sin 0
вытекает равенство а = 0. Докажем это.
Пусть sin а = sin 0. Для углов аир логически воз-
можны три случая:
а) а>0. Тогда (по свойству 2) sina>sin0. Значит,
этот случай не имеет места.
92
6) а<0- Тогда (по свойству 2) sin а <sin 0. И этот
случай не имеет места.
Поэтому имеет место третья возможность: в) а = 0.
Аналогично из равенства синусов тупых углов следует
равенство самих углов. Если же не известен вид углов,
io из равенства синусов равенство углов не следует, углы
могут быть смежными. Например, если sina = sin0 =
, то один из этих углов равен 30°, а другой— 150°.
Если задана величина острого угла в градусах, то синус
и ого угла находят по таблицам или с помощью калькуля-
ция. Синус тупого угла находится как синус смежного ему
грого угла. По таблицам же или с помощью калькуля-
|цра решают обратную задачу: находят величину острого
Vi ла, если известен его синус. Сколь угодно точное вычис-
|' пне синуса для любых углов и обратно осуществляется
п<» формулам высшей математики.
На рисунке 88 изображен график синуса: на горизон-
Глльной оси откладывается угол в градусах, на вертикаль-
||ип значение синуса. На графике хорошо видно, как из-
меняется синус при изменении угла от 0° до 180°.
। От чего зависит отношение перпендикуляра к наклонной?
Как вы это объясните? А от чего оно не зависит?
Как вычислить синус острого угла? Зависит ли его вели-
чина от того, в каких единицах мы проводим измерения
длин?
I Дайте синусу острого угла несколько разных толкований.
I Как найти синус острого угла в прямоугольном треуголь-
нике?
<• Какие свойства синуса вы знаете?
Задачи к § 7
7.1. Вычислите длину отрезка х по рисунку 89.
Решение, л) Задача кажется совсем простой. И сразу
видны разные ее решения. Можно решать с помощью теоремы
Пифагора, можно с помощью синуса, есть и другие пути.
(Какие?) Вот решение с помощью синуса.
Из треугольника BCD запишем выражение для sin В.
Имеем sin В = -у-. Синус того же угла В запишем из тре-
угольника АВС, используя для нахождения АС теорему

Пифагора в треугольнике ACD. Получим sinB = —-—.
Приравняем правые части полученных для sin В равенств
з ‘
4
Решив это уравнение, найдем х =
Рис. 89
Если бы мы решали задачу без использования синуса,
а только с помощью теоремы Пифагора, то возможен был бы
такой вариант решения.
Из найдем АС = у7. Тогда и? &ACD получим
х = д/б.
Как вы понимаете (?).
В чем же дело? Ведь каждое вычисление само по себе
верно! Так почему же получились противоречивые резуль-
таты?
Дело в том, что противоречивы исходные данные и
приведенные решения как раз это и показывают. Значит
ли это, что впредь необходимо каждую задачу решать
разными способами на предмет выяснения, есть ли в условии
противоречие? Иными словами, можно ли увидеть противо-
речие в условии, не решая задачу вторым способом?
Можно. Например, можно проверить, выполняется ли при
найденном нами значении х=~у/7 теорема Пифагора для
треугольника АВС — он же прямоугольный! Проверьте, по-
/калуйста... Вы, конечно, убедились, что нет, не выполняется.
Значит ли это, что для нахождения противоречия в ус-
ловии найденные в задаче результаты необходимо сопостав-
лять с остальными данными в условии? Может быть, такое
противоречие можно увидеть, вообще не решая задачи?
Можно. Для этого требуется вдуматься в условие за-
дачи. Посмотрите, в треугольнике АВС даны гипотенуза и
катет. Тем самым он уже определен полностью, т. е. все
его стороны, углы и прочие его элементы: высоты, медианы,
биссектрисы и т. д. — можно вычислить. Высоту CD в том
числе. А она почему-то задана в условии задачи. Как говорят
и таких случаях, в задаче есть лишнее данное. Как раз из-за
пего и может случиться противоречие. (Разумеется, мы
могли бы считать, что известны не гипотенуза и катет, а
1ипотенуза и высота или катет и высота—все равно одно
условие будет лишним.)
Но по причине лишнего данного противоречие случает-
ся не всегда. Если бы, например, высота по условию задачи
равнялась не 1, а ^7, то никакого противоречия бы не
было (?). Остался бы только вопрос: а зачем дано то,
чю и так можно вычислить? Вопрос, конечно, разумный,
по кто из вас задал его себе в начале задачи?
95
a)
Рнс. 90
7.3—7.5
7.2. Запишите зависимость у от х по рисунку 90.
7.3. Как вычислить синусы углов: а) прямоугольного
треугольника; б) произвольного треугольника; в) парал-
лелограмма; г) равнобокой трапеции? Приведите численные
A
примеры.
7.4. Вычислите синусы углов по рисунку 91.
7.5. Запишите в тетрадь таблицу и заполните ее.
а 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
sin а
Б
7.6. Докажите, что синус одного из углов треуголь-
ника равен синусу суммы двух других его углов.
7.7. Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма
синусов острых углов больше 1 и меньше 2. Можно ли
сузить границы этой суммы?
7.8. а) Постройте прямоугольный треугольник, у ко-
торого синус одного из углов равен больше у, мень-
ше 4-.
4
б) Сможете ли вы построить такой прямоугольный
треугольник, у которого синус одного угла равен у, а синус
96
2 Ч
другого угла равен у? синус одного угла равен у, а дру-
гого угла равен -|-?
7.9. Нарисуйте полуокружность с диаметром АВ = 2.
Пусть точка О — его середина, а переменный луч ОХ пере-
секает полуокружность в точке X. Постройте точки этой
полуокружности, такие, что sin Z.XOB равен у, больше у,
меньше s^sin Х_ХОВ^.±-.
о о Z
7.10. Используя sin, докажите, что в прямоугольном
феугольнике АВС: а) а2 = саь б) b~ = cb\; в) К2 = а\Ь\.
7.11. а) Внутри угла со сторонами а и b провели луч
с с началом в вершине угла. На луче с взята точка X.
Докажите, что при любом ее положении величина |Ха\ : |Х&|
не меняется.
6) Попытайтесь доказать обратное утверждение.
7.12. Расположите в порядке возрастания синусы углов:
и) 35°, 45°, 140°; б) 135°, 145°, 40°; в) 35°, 120°, 50°;
г) 62°, 115°, 120°.
7.13. Верны ли такие утверждения: а) если углы не
равны, то и синусы их не равны; б) если синусы углов
иг равны, то и сами углы не равны?
А
7.6
97
Б
7.14. Какая лестница более крутая: в 20 ступенек, под
нимающаяся на 3 м, или в 15 ступенек, поднимающаяся
на 2 м?
7.15. Из точки А проведены к прямой а наклонные AL
и АС. Если АВ = АС, то Z_B=Z_C. Сравните эти же углы
если АВ<сАС. Проверьте обратное утверждение. Како!
вывод можно сделать из этой задачи для произвольного
треугольника? Как будет выглядеть аналогичная задача i
пространстве?
7.16. В равнобедренном треугольнике медиана, проведен
ная к основанию, видна из вершин основания под равными
углами. Сравните эти же углы для неравнобедренного
треугольника. Проверьте обратное утверждение. Сможете лг
вы обобщить задачу?
7.17. В треугольнике АВС АВ = АС. Через точку А про
ходит перпендикуляр к плоскости АВС. Докажите, что и:
любой точки этого перпендикуляра, отличной от А, отре
зок ВС виден под меньшим углом, чем из А.

§ 8. ПРИМЕНЕНИЯ СИНУСА
Рис. 92
8.1. РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ С ПО
мощью синуса. Зная стороны а, Ь, с прямоугольного тре
угольника АВС (рис. 92), мы можем теперь найти ег<
острые углы А и В. Сначала находим один из синусов
этих углов, используя равенства
sin А = —, sin В = -^. (I
С ’ С '
Затем по найденному синусу находим величину этого
угла. Второй угол дополняет найденный до 90°.
Легко решить и обратную задачу: по острому угл\
и одной из сторон прямоугольного треугольника найти
остальные его элементы.' Возможны два случая: 1) даны
острый угол и гипотенуза; 2) даны острый угол и катет
Случай I. Даны гипотенуза с и острый угол А. Тогда
ЛВ = 90° —Z.A. Из (1) находим катеты: a = csinA, b =
= с sin В.
Запомните: катеты находят умножением гипотенузы нс
синус противолежащего угла.
Случай 2. Даны острый угол А и катет а. Тогда
ZLB = 90°—ZA. Гипотенузу с найдем из формулы sinA =
98
= у. Тогда Катет b можно вычислить по теореме
Пифагора: Ь=^/с* — а?. Но можно и так: b = csinB.
Запомните: гипотенузу находят делением катета на синус
противолежащего угла.
8.2. вычисление площади треугольника. Площадь
треугольника можно найти, зная две его стороны и угол
между ними. Пусть известны стороны Ь, с треугольника
АВС и угол А между ними (рис. 93). Тогда площадь S этого
треугольника вычисляется по формуле
5 = -|-Z?csin А. (2)
Рис. 93
Докажем ее. Проведем высоту hc=CD из вершины С. Тогда
sin 4 = у-. Поэтому hc = b sin А. Подставляем выражение
для hc в формулу площади треугольника S=^chc.
Отсюда S = y6csin4.
8.3. теорема синусов. Теоремой синусов называют сле-
дующее важное утверждение:
Теорема 10. Отношение двух сторон треугольника
равно отношению синусов противолежащих им углов.
Дано: д АВС.
Доказать.
a sin A
b — sin В'
Доказательство. Проведем в треугольнике АВС
высоту CD из вершины С. Выразим CD из прямоугольных
треугольников ACD и BCD. Тогда CD = b sin А и CD =
easin В. Следовательно, b sin A = asin В. Отсюда -£- =
о
__ sin А
sin В ’
Теорему синусов можно сформулировать и так: синусы
углов треугольника пропорциональны противолежащим сто-
ронам, т. е. для любого треугольника имеют место равен-
ства
sin A sin В sin С ,.,
—=—=—• <4)
99
гг „ a sin 4 ft sin В
Действительно, та к как v г и - = —, то
- = аг,и si”g — s|n С- Поэтому справедливо (4).
Теорема синусов — вторая (после теоремы Пифагора)
центральная теорема о треугольниках. Всего в этой главе
мы выделим три такие теоремы.
8.4. РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ
СИНУСОВ. Задача «решить треугольник по некоторым задан-
ным его элементам» может рассматриваться в двух вариан-
тах.
а) Имеется треугольник, и известны некоторые его эле-
менты. Найти остальные его элементы.
б) Заданы некоторые отрезки и углы (или их величины).
Найти (построить) треугольник, для которого заданные от-
резки и углы являются заданными его элементами.
Теорема синусов позволяет решить треугольник по сто-
роне и двум углам и по двум сторонам и углу против
одной из них. Рассмотрим оба варианта решения этих
задач.
Задача 1, а. Имеется треугольник АВС. Известны, его
сторона и два угла. Найти две другие его стороны и третий
угол треугольника.
Решение. Возможны два случая.
Случай I. Даны сторона (обозначим ее а) и два
прилежащих к ней угла: Z_B и Z_C. Так как сумма углов
треугольника равна 180°, то третий угол А получаем так:
/_А = 180°— / В — Z. С. Затем, пользуясь теоремой синусов,
из равенства -у-— находим сторону Ь. Получим Ь =
=а-~В-. Точно так же находим с = а sin .
sin A sm А
Случай 2. Даны сторона а и два угла: противоле-
жащий угол А и прилежащий угол В. Сначала находим
третий угол: Z_ С= 180° — /LA — Z. В. Стороны b и с нахо-
дим, как в случае 1.
Задача I, б. Заданы два угла а и р и отрезок d.
Найти (построить) треугольник с углами, равными а, р, и сто-
роной, равной d.
Решение. Ясно, что в обоих рассмотренных в за-
даче I, а случаях задача имеет единственное решение,
00
когда а + Р< 180°. Если же а-|-р^ 180°, то задача решения
не имеет.
3 а д а ч а 2, а. Имеется треугольник АВС. Известны
две его стороны а и b и угол А против стороны а. Найти
сторону с и два других угла этого треугольника.
Решение. По теореме синусов sin В = sin А. Находим
угол В по значению его синуса. Если -^-sin4<l, то таких
углов два (один острый, другой тупой) и задача имеет два
решения. Если ~ sin Л = 1, то ZB = 90° и задача имеет
единственное решение. Наконец, если получилось, что
^-sin4>l, то такого угла В нет и задача решения не
имеет.
Задача 2, б. Заданы два отрезка а, b и угол А. Найти
(построить) треугольник со сторонами а, b и углом А
против стороны а.
Проведите построение такого треугольника с помощью
циркуля и линейки и укажите случаи, которые соответству-
ют возможностям, рассмотренным при решении задачи 2, а.
8.5. ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ СИНУСОВ.
С помощью теоремы синусов решаются важные практи-
ческие задачи.
Задача 1. Найти расстояние до недоступного предмета
(например, найти расстояние до цели, рис. 94, а).
Рис. !И
101
Решение. Пусть надо определить расстояние от дан-
ного пункта А до недоступного пункта В. Берут еще пункт
С и измеряют расстояние АС = Ь, а также углы между от-
резками АВ и АС, СВ и СА. Получается геометрическая
задача: в треугольнике АВС известны сторона АС и при-
лежащие к ней углы А и С; найти сторону АВ (рис. 94, б).
Эта задача решена нами в предыдущем пункте.
Задача 2. Определить высоту недоступного предмета
(рис. 95).
Решение. Предполагаем, что есть возможность переме-
щаться по горизонтали в направлении к предмету (рис. 95, а).
Выберем два пункта А и В и в каждом из них найдем
угол, под которым виден предмет. Так получается геомет-
рическая задача: в треугольнике АВС известны сторона
АВ, ЛА-'у. и внешний угол 0; найти высоту, опущенную
из вершины С.
Обозначим искомую высоту CD через h и положим
АВ = с, ВС = а (рис. 95, б). Из треугольника BCD высота
h = a sin р. Поэтому надо найти а. По теореме синусов а =
= . Угол р внешний для треугольника АВС. Следо-
вательно, р = а+ /LC.
Отсюда ZC=p — а. Теперь мы можем вычислить а, а
Рис. 95 затем Л.
02
Как, используя теорему синусов, решить такую задачу:
определить ширину реки, оставаясь на одном ее берегу.
I Какие задачи по решению прямоугольного треугольника
вы можете решить с помощью синуса?
Какие вы знаете теперь формулы площади треугольника?
3 В чем заключается теорема синусовг* Дайте несколько
разных ее формулировок.
I Предложите другие доказательства теоремы синусов.
3 Какие следствия можно получить из теоремы синусов?
<> Какие задачи по решению треугольников вы можете
решить с помощью теоремы синусов?
/ Какие практические задачи вы можете решить с помощью
теоремы синусов?
1адачи к § 8
8.1. В равнобедренном треугольнике рассмотрим такие
величины: основание а, боковую сторону Ь, высоту, опу-
шенную на основание /г, угол при основании |3, угол при
вершине а. Как найти неизвестные величины, если известны:
• О h и Ь\ б) h и а; в) а и Ь\ г) Ь и 0? Выберите сами лю-
(ihie две из этих величин и ответьте на тот же вопрос. При-
всците численные примеры.
8.2. Решите прямоугольный треугольник, если известны
|.1Кие его элементы: а) с=12, Z.A = 40°; б) с = 6,3, Z_A =
- 72°; в) а=1, ZB = 54°; г) а=1, zM = 22°.
8.3. Две прямые а и b пересекаются в точке О под
\1Лом <р. На прямой а лежит точка А, такая, что OA=d.
в) Чему равно |ДЬ|? б) Пусть точка А переместилась
по прямой а на расстояние d\. На каком расстоянии от
прямой b она находится теперь? в) В результате некото-
рого перемещения по прямой а точка А оказалась на рас-
< । оянии di от прямой Ь. На сколько она переместилась
По прямой а?
8.4. Известны стороны прямоугольного треугольника.
И Как вычислить его биссектрисы? б) Через фиксированную
н»чку гипотенузы проводится прямая, ей перпендикуляр-
пн и Она пересекает прямые, проходящие через катеты,
в (вух точках. Как найти расстояния от этих точек до
первоначально взятой? В каких границах лежит отношение
них двух расстояний?
8.1
А
103
8.5. Как вычислить углы прямоугольного треугольника,
если известны: а) катеты; б) отношение катетов; в) катет
и медиана, проведенная к другому катету; г) катет и ме-
диана, проведенная к этому катету; д) катет и медиана,
проведенная к гипотенузе; е) площадь и сумма катетов;
ж) площадь и гипотенуза? Приведите численные примеры.
8.6. а) Пожарная лестница, стоящая на машине, может
быть выдвинута на 20 м, а ее крутизна может достигать
70°. Основание лестницы находится на высоте 2 м. До какого
этажа можно по ней добраться, если высота этажа 3 м?
б) Для фасадных работ используется передвижная кон-
струкция (рис. 96). Рассчитайте ее элементы так, чтобы
с ее помощью можно было работать на всех этажах пяти-
этажного дома.
Рис. 96
104
8.7. Дана полоса шириной d. а) Какова длина ее хорды,
лежащей на прямой, которая пересекает полосу под углом ср?
б) Пусть такая ее хорда имеет длину d\. Под каким углом
она пересекает полосу? в) Под каким углом пересекаются
две такие ее хорды длиной d? длинами d\ и J2? г) Внутри
полосы возьмите точку. Постройте хорду полосы, проходя-
щую через эту точку и имеющую заданную длину.
8.8. Дан прямоугольный треугольник. Известны расстоя-
ния от вершин его острых углов до некоторой прямой.
Сможете ли вы найти расстояние до этой прямой от вер-
шины прямого угла?
8.9. Пусть АВ — перпендикуляр к плоскости прямоуголь-
ного треугольника CBD (А 6 = 90°). Вычислите углы, под ко-
горыми видны из вершин тетраэдра ABCD ребра противо-
положных граней, если: а) АВ = 1, BC=BD = ‘2\ б) Лв=1,
ЯС = 2, BD = ?>.
8.10. Чему равна площадь поверхности тетраэдра РАВС,
и котором PA_L (АВС) и: а) ЛВАС=90°, Z_ABC = <p,
BC = di, PA = d2\ б) ZB?1C = 90o, PA = d, ABPA = ^,
Z CPA = y2\ b) za4C = 90°, PB = d, /СРВА=ц>\, Z_ABC=
-4)2.
8.11. На сторонах треугольника, равных а и b, отложе-
ны от их общей вершины отрезки ai и bh Их концы соеди-
няет хорда данного треугольника. Докажите, что отношение
площадей полученного и данного треугольников равно
(r/i/?i) : (ab). Как выглядит эта формула, если и данный,
н полученный треугольники равнобедренные?
8.12. Пусть а и b — длины смежных сторон параллело-
|рамма, а ср — угол между ними. Докажите, что площадь
параллелограмма вычисляется по формуле S = ab-sin<p.
Как эта формула выглядит для частных видов паралле-
лограмма? В каких границах изменяется площадь парал-
лелограмма при изменении угла между его сторонами?
8.13. а) В треугольнике АВС точка К лежит на стороне
IC. Пусть ABKC=<f>. Тогда для площади S треуголь-
ника АВС справедлива формула S = y ДС-в/Gsin ср. До-
кажите это.
6) Пусть <р — угол между диагоналями выпуклого четы-
рехугольника ABCD, a S — его площадь. Докажите, что
Б
EI
Q Гй
ЮГ)
S = -|-.4C-BD‘Sin ф. Как выглядит эта формула для част-
ных видов четырехугольника?
8.14. В выпуклом четырехугольнике d\ и d2— длины его
средних линий, а ф — угол между ними. Докажите, что
его площадь S вычисляется по формуле S = di -</2-sin ф.
Каковы следствия из нее? Как ее можно обобщить?
Решение. Сделаем рисунок к задаче (рис. 97, а).
Средние линии четырехугольника соединяют середины его
противоположных сторон. А вы знаете, что середины всех
сторон четырехугольника являются вершинами параллело-
грамма. Поэтому сделаем еще один рисунок (рис. 97, б).
Согласно формуле, полученной в задаче 8.13, б, площадь
S параллелограмма KLMN равна S = -yd1d2«sin ф. Вместе
с тем площадь этого же параллелограмма составляет поло-
вину площади четырехугольника ABCD (?). Значит,
S (ABCD) =2S (KLMN) =2 • у ф^^г-sin ф.
Обратите внимание: для решения этой задачи мы ссы-
лаемся не только на теоретические сведения, но и на ранее
решенные задачи.
Посмотрим теперь, как связана эта формула с уже
известными формулами площадей четырехугольников.
Если ф = 90°, то получаем формулу площади прямо-
угольника (?). В формуле площади трапеции S = u9r— -h
уже есть одна средняя линия, равная -у(а-|-6), а высота
106
грапеции равна произведению другой средней линии и
in <р (?). Таким образом, из полученной нами формулы
сразу следует известная формула площади трапеции.
В параллелограмме средние линии равны его соседним
• горонам, а угол между средними линиями равен углу
между соседними сторонами — острому (?). Поэтому из
нашей формулы сразу следует известная формула площади
параллелограмма: S = a-b-sinq), где а и b—его соседние
стороны, ф — угол между ними. Получается, что, зная только
формулу, найденную в этой задаче, мы можем вычислять
площади известных видов четырехугольников.
Любопытно заметить, что она годится и для треуголь-
ника, если считать его вырожденной трапецией, т. е.
грапецией, у которой меньшее основание «стянулось» в
точку. Одна из средних линий станет средней линией тре-
угольника, а другая превратится-в медиану, угол ф— это
yiол между медианой и основанием, к которому она про-
ведена,— проверьте все это!
В условии задачи дан выпуклый четырехугольник. Но
। де в решении это использовалось? И если нигде, то, может
быть, полученная формула верна и для невыпуклых
четырехугольников? И даже более того, выпуклость четырех-
угольника была нужна именно для приведенного доказа-
к льства, но сама формула может быть верной и без вы-
пуклости — надо только проверить это.
Итак, есть два пути в дальнейшем исследовании:
I. Выявить явно все ссылки, приведенные в нашем дока-
ытельстве, и проверить, будут ли они верны для случая
невыпуклых четырехугольников. Если да, то формула верна
I in четырехугольников любого вида, а не только для вы-
пуклых.
2. Попытаться опровергнуть эту формулу для каких-
лнбо невыпуклых четырехугольников. Если опровержения
Н.1ЙГИ не удалось, то попробовать найти доказательства
именно для этого случая.
Гак каким же путем пойдете вы? Или выберете свой
путь?
8.15. Запишите формулу для вычисления площади
гргугольника по двум его сторонам и углу между ними,
и) Выразите из нее синус этого угла. Как можно толко-
н.। и» синус угла из этой формулы? б) Пусть две задан-
ные стороны равны. Как выглядит формула в этом случае?
107
I
А
Выразите из нее длину стороны, в) Пусть в треугольнике
при заданных длинах сторон угол между ними начинает
изменяться. Как будет изменяться площадь треугольника?
В каких границах она будет лежать?
8.16. Вычислите отношение площадей по рисунку 98.
8.17. а) В каких границах лежит площадь прямоуголь-
ника с постоянной диагональю?
б) В каких границах лежит диагональ прямоугольника
с постоянной площадью?
Б
8.18. Длины сторон треугольника не больше 1. В каких
границах лежит его площадь?
8.19. В равнобедренном треугольнике основание делится
на три равные части. Какая из них видна из вершины под
большим углом?
8.20. Найдите площадь треугольника, в котором извест-
ны: а) высота, опущенная на одну из сторон, и два угла
при этой стороне; б) высоты, опущенные на две его стороны,
и угол между этими сторонами; в) сторона и два угла
при ней.
8.21. Пусть известны две стороны треугольника и угол
между ними. Как найти биссектрису этого угла?
8.22. Треугольник АВС остроугольный. Треугольник
A\BiC\ таков, что АВ>А[В\. ВС~>В\С\, AC>AiCi. До-
кажите, что площадь треугольника АВС больше, чем пло-
щадь треугольника Л|В]С|. Будет ли это верно, если тре-
угольник АВС не будет остроугольным?
Рис. 98
108
8.23. Диагонали выпуклого четырехугольника а и Ь, а его
• ргцние линии равны. Чему равна его площадь? Сможете
пн вы ответить на этот вопрос для невыпуклого четырех-
угольника?
8.24. а) Посмотрите на рисунок 99. На нем указаны
и ющади треугольников, а х—неизвестная площадь. До-
нижите, что х>3. Вычислите х. Обобщите задачу.
б) Пусть известна площадь всего четырехугольника и
"Iношения отрезков на каждой его диагонали. Чему равна
и ющадь каждого из треугольников?
8.25. Пусть a, b, с, d — длины четырех последователь-
на сторон выпуклого четырехугольника. Докажите, что
по площадь S удовлетворяет таким неравенствам:
f»> -^-(ac-\-bd);
в) S^.±-(ab -}-cd);
г) S ^-^-(ad-\- be).
Рис. 49
8.26. В выпуклом шестиугольнике все углы равны по
I'.'О', а стороны равны 1 и 2 (через одну). Вычислите его
н ющадь.
8.27. В тетраэдре известны длины трех ребер, выходя-
|||п\ из одной его вершины, и углы между этими ребрами,
кик вычислить площадь его поверхности? Приведите числен-
И!
iii.il примеры.
8.28. В тетраэдре РАВС ребро РА перпендикулярно 1^1
ip.nui АВС, в которой АВ=АС. Пусть известны РА, РВ,
/< 1С. Как вычислить площадь поверхности тетраэдра?
Нринедите численные примеры.
8.29. Пусть в треугольнике АВС проведена биссектриса
IA yiла А. Докажите, что АВ:АС = КВ:КС. Какие след-
II ния можно получить из этого равенства? Верно ли об-
ройте утверждение? Можно ли получить доказательство
Пг» использования теоремы синусов?
8,30. В треугольнике медиана является биссектрисой.
Докажите, что этот треугольник равнобедренный.
8.3
А
8.31. Спортивный самолет летит по замкнутому треуголь-
ним\ маршруту. Два угла этого треугольника равны 60°
и 100 ('торону, лежащую против третьего угла, он пролетел
• и I ч. За сколько времени он пролетит весь маршрут,
ii'sp.niHH постоянную скорость?
109
8.32. Три дороги образуют треугольник АВС. При этом
Z.A = 20°, zCB=150°. Автомобилист, находясь в пункте А,
хочет попасть в С побыстрее; АС и СВ
проселки,
АВ —

шоссе. Скорость на шоссе в два раза больше, чем на про-
селке. Какой маршрут ему выбрать?
8.33. В 12.00 нарушитель свернул с основной магистрали
и помчался по шоссе со скоростью 140 км/ч. В 12.00 инс-
пектор ГАИ помчался по проселку со скоростью 70 км/ч
наперерез нарушителю. Успеет ли инспектор остановить
нарушителя у перекрестка (рис. 100)?
Б
8.34. Используя теорему синусов, докажите, что в тре-
угольнике: а) против равных углов лежат равные стороны
и обратно; б) против большего угла лежит большая сто-
рона и обратно.
8.35. В треугольниках АВС\ и АВС2 известны все углы.
Как найти АСг.АС2? Приведите численные примеры. За-
пишите формулу для вычисления этого отношения. Какие
следствия можно из нее получить?
8.36. Два треугольника и ОА2В2 расположены так,
что точки А|, А2, О лежат на одной прямой и точки В\,
В2, О лежат на одной прямой. Известны углы этих треуголь
ников и отношение OB2:OBi. Сможете ли вы найти отноше-
ния OA2:OAi, A2B2:AiBt?
8.37. а) В треугольнике АВС ЛА=60°, AB-j-AC= 1,
ЛАВС = <р. Чему равно ВС?
б) В равносторонний треугольник АВС вписан другой
равносторонний треугольник А\В\С\, и при этом
В\£еАС, С\^АВ, zLCiA}B= /LCB\A\ = ZAC,Bi = <p. Чему
равно отношение сторон этих треугольников?
110
А
Б
в) Решите задачу б) при условии, что ср = 90°.
г) Составьте утверждение, обратное утверждению, по-
лученному в пункте в).
8.38. Решите треугольник АВС, в котором: a) tz=10,
/.Л =45°, ZB = 65°; б) с = 2, ^А = 10°, Z£=100°;
и) 6 = 10, а = 20, Z./1=30°; г) ZB=10°, с=10, 6 = 3,
угол С тупой; д) ZB = 10°, с=10, 6 = 3, угол С острый;
г) Zfi=10°, с = 3, 6 = 10.
8.39. Угол при вершине равнобедренного треугольника
равен 120°. а) Пусть его боковая сторона равна 1. Вы-
числите основание, б) Пусть его основание равно 1. Вычис-
лите боковую сторону.
8.40. Как найти площадь параллелограмма, если извест-
ии его диагональ и углы, которые она составляет с его
сторонами? Приведите пример.
8.41. В прямоугольном треугольнике известна гипоте-
ку <а и острый угол. Как вычислить, используя теорему
- инусов, биссектрису прямого угла? другие биссектрисы?
8.42. В треугольнике известны две стороны: 3 и 4 — и
два угла: 30° и 40°. Чему равна его третья сторона?
8.43. Внутри равностороннего треугольника АВС взята
н»чка X, такая, что /СХАС=45°, А ХСА = 30°. Под каким
умом видны из точки X стороны треугольника?
8.44. В трапеции ABCD известны АВ, ВС. Х.В, Z_C.
Как найти другие стороны трапеции? Приведите примеры.
8.45. Перпендикулярно отрезку КА с началом в точке А
проводится луч. На этом луче последовательно отклады-
ваются точки Л|, Л2 и т. д. так, что АА\ =Л1Лг = ... . а) Какой
к । последовательных отрезков виден из точки К лучше
других? б) Пусть известен угол, под которым виден из К
первый отрезок, а также КА. Как найти угол, под которым
инден из К п-й отрезок?
8.46. Пусть РА — перпендикуляр к плоскости треуголь-
ника АВС. Вычислите площадь поверхности тетраэдра РАВС,
м ли: а) РА=ВС=\, АРСВ = 45°, гСРВС=Ы)°; б) РС = 2,
РН = 3, РА = \, Z4C5=120°.
Составьте аналогичные задачи.
8.47. В тетраэдре РАВС ААРС= АВРС, <САСР= |
( * Z ВСР. а) Сколько равнобедренных треугольников среди • “
•чо граней? б) Пусть известны PC, Z_APC, Z.ACP. Сможете
in вы найти площадь поверхности тетраэдра?
8.4
III
8.5
Рис. 101
8.48. Из вершины триангуляционного пункта хотят из-
мерить ширину реки. Высота пункта известна. Как это
сделать?
8.49. Турист поднялся на скалу над берегом озера. С нее
хорошо видно облако и его отражение в озере. Налюбо-
вавшись этой красотой, он захотел узнать высоту облака.
Сможет ли он это сделать?
8.50. Вы находитесь на прямой дороге, идущей мимо
высокого здания. К основанию здания не подойти. Как
можно вычислить высоту этого здания? Приведите числен-
ный пример.
§ 9. КОСИНУС
9.1. определение косинуса. С помощью синуса вы на-
учились решать многие важные задачи. Однако у синуса
есть существенный недостаток — он не определяет угол.
Если, например, sin а = 0,5, то а = 30° или а=150°. По-
этому мы не можем однозначно по синусу найти угол.
Угол находится однозначно с помощью другой функции —
косинуса угла,— изучение которой мы начинаем.
Начнем с примера. Рассмотрим маятник, скажем метро-
ном АВ (рис. 101). Он совершает колебательное движе-
ние, отклоняясь от вертикали в разные стороны. Этому
отклонению соответствует длина проекции АС маятника АВ
на горизонтальную прямую х. Но длина АС не определяет
однозначно положение маятника. Мало знать длину проек-
ции АС, надо знать еще, на каком луче прямой х лежит
АС. Поэтому прямую х делают числовой осью с началом
в точке А. Если проекция АС лежит справа от А, то ей при-
писывают знак «плюс», а если слева от Л, то знак «минус».
Проекция АС, взятая со знаком, уже однозначно определит
положение маятника АВ, т. е. угол а, который образует
маятник с осью х.
Длину АВ, длину проекции АС, взятую со знаком, и
угол а связывает функция угла, называемая косинусом
угла.
Перейдем к определению. Пусть дан угол А, взят отре-
зок АВ на одной стороне угла А и АС — проекция отрезка
АВ на другую сторону угла А или ее продолжение (рис. 102).
Тогда косинусом угла называется число, которое обозна-
чается cos Л и определяется равенствами:
112
cos A =
когда угол А острый;
— когда угол А тупой или развернутый;
О, когда угол А прямой.
(Если ЛА прямой, то длина АС равна нулю. Именно
поэтому cos/4 = 0.)
Из данного определения следует, что косинусы смежных
у. лов противоположны (в то время как синусы смежных
углов равны).
Докажем это. Рассмотрим два смежных (не прямых)
Vi ла с общей вершиной Л и общей стороной АВ (рис. 102, б).
Опустим перпендикуляр ВС на другую сторону острого
vi ла А. Тогда по определению косинус острого угла А равен
'О ’ А с
, а косинус смежного ему тупого равен—Следо-
пательно, эти косинусы отличаются только знаком.
Если же смежные углы прямые, то их косинусы равны
нулю и утверждение тоже справедливо (рис. 102, в).
11аконец, отметим, что для развернутого угла А проек-
ция АС = АВ. Поэтому согласно определению косинуса
cos А = — 1.
9.2. ОСНОВНОЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО. Для
нобого угла А его синус и косинус связаны важным равен-
। гном
sin2 A +cos2 А = I. (1)
I го называют основным тригонометрическим тождеством.
Оно вытекает из теоремы Пифагора (а для прямоуголь-
ного треугольника с единичной гипотенузой и есть теорема
Пифагора). Докажем его.
11усть А — острый угол и ВС — перпендикуляр, опущен-
HI.in из точки В одной стороны угла А на другую его сторону
(риг. 102, а). Тогда по определению косинуса и синуса
_ . АС . . вс
с os/4 = —— и sin Л = ———.
Рис. 1(12
Но теореме Пифагора АВ2 = АС2 ВС2.
Используя все это, имеем:
NM)’+(c»4)’=(£)2+(£)2
ВС2 + АС2
АВ2
АВ2 _ ।
АВ2
113
Равенство (1) доказано для острых углов. Если угол А
прямой, то sin 4 = 1, cos 4=0 и (1) тоже справедливо.
Пусть А—тупой угол и ВС — перпендикуляр из точки
В одной стороны угла А на продолжение другой его сто-
роны (рис. 102, б). Тогда sin 4 = -^-, cos 4=--^- и
АС'2 + ВС2 = АВ3. Поэтому снова
(sin 4)2 + (cos 4)2 = (^-) +(—4тг) =
_ BC2-j-AC2 _ АВ2 = ।
АВ2 АВ2
Проверьте, что равенство (1) верно и в оставшихся
случаях для углов 0°, 90° и 180°. Итак, равенство (1) спра-
ведливо для любых углов.
Используя равенство (1), мы можем показать теперь, что
косинус, как и синус, зависит только от величины угла.
Действительно, если угол А острый или прямой, то ко-
синус неотрицателен. Тогда из равенства (1) получаем,
что ,--------
cos А =у 1 — sin2 А . (2)
Если же угол А тупой или развернутый, то косинус его
отрицателен. Тогда, снова используя (1), имеем, что
cos А = — -^/1 — sin2 4 . (3)
Поскольку sin А зависит лишь от величины угла А,
то из (2) и (3) следует, что и cos А тоже зависит лишь от
величины угла А. Поэтому, как и для синуса, мы пишем,
например, cos 30°, cos 50°, cos а, где а — величина угла А.
Так, cos 90° = 0, cos 180°= — 1. Кроме того, полагаем по
определению cos 0°=1. Это согласуется с данным опреде-
лением для косинуса острого угла: в этом вырожденном
случае АС = АВ и потому cos 0° = ^-=1.
Зависимость косинусов смежных углов теперь можно вы-
разить так:
cos (180°— а) =—cos а. (4)
9.3. КОСИНУС ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬ-
НИКА. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с катета
ми ВС = а, АС = Ь и гипотенузой АВ = с (рис. 103)
Запишем
I 14
косинусы острых углов треугольника АВС. Так как катет
АС — проекция гипотенузы АВ, то по определению косинуса
острого угла cos4 = ^-, или короче,
cos Л = А. (5)
Аналогично
cosB = f- (6)
Итак, косинус острого угла прямоугольного треугольника
равен отношению катета, прилежащего к этому углу, к гипо-
тенузе.
Короче: косинус равен отношению прилежащего катета
к гипотенузе.
Из равенства (5) и (6) следует, что
b = ccosA (7)
и
a = ccosB. (8)
Поэтому, чтобы найти катет с помощью косинуса, надо
умножить гипотенузу на косинус прилежащего к этому катету
острого угла. А как с помощью косинуса найти гипотенузу?
Теперь вспомним, что
f = sinA (9)
и
y = sinB. (10)
Сопоставив (6) и (9), получим, что
sinA=cosB. (11)
Аналогично из (5) и (10) следует, что
cosA=sinB. (12)
По, как вам известно, Z.А + Z_fi = 90°. Острые углы,
-умма которых равна 90°, называют дополнительными
( ।руг к другу до 90°). Поэтому оба равенства (11) и (12) вы-
ражают такое свойство: синус одного из дополнительных
и-' к>в равен косинусу другого угла, т. е.
sin а = cos (90° — а).
(13)
Рис. 103
115
Используя последние равенства и найденные нами уже
значения синуса, получаем, что cos 60° = sin 30° =
cos 45° = sin 45° = » cos 30° = sin 60° = .
2
9.4. свойства косинуса и его график. Косинус, как и си-
нус, является функцией угла, точнее, функцией величины
угла. Укажем некоторые свойства этой функции. Первые
два свойства вытекают из определения косинуса.
1. Косинус любого угла не больше 1 и не меньше — 1,
т. е.
— 1 ^cos 1.
При этом если cosa= — 1, то а =180°, а если cosa=l,
то сс = О°.
2. cos (180° — а) = — cos а.
3. При возрастании угла от 0° до 180° косинус убывает
от 1 до —1. Убывание косинуса означает, что если а>р, то
cos a<cos 0.
Чтобы доказать это свойство, воспользуемся полуокруж-
ностью единичного радиуса с центром А и диаметром DE
(рис. 104). Зададим на прямой DE числовую ось с началом
в точке А и единичным отрезком АЕ. Проведем радиус АВ
и получим угол ВАЕ некоторой величины а. Пусть точка С —
проекция точки В на прямую DE. Тогда соза = ДС при
а^90° (рис. 104, а) и cos а= —АС при а>90° (рис. 104,6).
Это значит, что cos а равен координате точки С на оси
АЕ.
Когда а возрастает от 0° до 180 (т. е. когда точка В
пробегает полуокружность от точки Е до точки D), точка
С пробегает диаметр ED от точки Е -до точки D. При
этом координата точки С, т. е. cos а, убывает от 1 до — 1. и
116
Замечание. Это свойство можно было бы доказать
II н1к. Воспользуемся равенством cosa = sin (90° — а) для
IM iporo угла а. Зная свойства синуса, получим, что косинус
убывает, когда а возрастает от 0° до 90°. А затем применим
свойство 2. Подробное доказательство проведите самостоя-
нльно.
4. Косинус однозначно определяет угол. Это значит, что
И1 равенства cosa = cos0 вытекает равенство а = р.
Это свойство доказывается так же, как аналогичное
свойство для синуса острого угла. Докажите его самостоя-
1ГЛЫ1О.
Косинус, как и синус, находят по таблицам или с по-
мощью калькулятора. В особой таблице для косинуса нет
Необходимости, если уже составлена таблица значений си-
пу» л Действительно, для углов до 90° cosa = sin (90° — a),
и если a^90°, то косинус можно находить из равенства
м»ч a = —cos (180° — a).
Как и для синуса, приведем график косинуса (рис. 105).
I Как вычислить косинус угла?
? Какой формулой связаны между собой синус и косинус:
а) одного угла; б) дополнительных углов?
I Как вычислить косинус острого угла в прямоугольном
треугольнике?
I Какие свойства косинуса вы знаете?
!» Как доказываются свойства косинуса: а) без исполь-
ювания синуса, исходя только из определения; б) с ис-
пользованием синуса, причем разными способами?
1идачи к § 9
9.1. Дан отрезок длиной d. Он проектируется на пря-
мую а, и d\ —длина его проекции. Угол между а и прямой,
содержащей отрезок, равен <р (<р^90°). Запишите формулу,
• ня гывающую J, d\ и <р. а) Укажите в этой формуле про-
порциональные величины, б) Выразите из нее d, cos ср.
it) Зафиксируйте одну из данных величин, и пусть одна
in оставшихся величин начинает изменяться. Что будет
происходить с другой оставшейся величиной? г) При каком
уме ср проекция отрезка фиксированной длины достигает
ниибольшего значения? наименьшего значения?
9.1
117
9.2. Две прямые пересекаются и не перпендикулярны,
а) На одной из них даны два равных отрезка. Докажите,
что их проекции на другую прямую равны, б) Пусть на
одной из них взяты два отрезка а и Ь, причем b = ka. До-
кажите, что их проекции а( и Ь\ на другую прямую свя-
заны равенством b\ = ka{.
9.3. Запишите выражения для синусов и косинусов
углов, указанных на рисунке 106.
9.4. Вычислите косинусы углов треугольников, рассмот-
ренных в задаче 7.4. Для случаев а), б), в) вычислите
сами углы.
—~ 9.5. Запишите основное тригонометрическое тождество.
9' а) Выразите из него cos2 a, cos а, sin2 а, sin а. б) Пусть
cos а растет. Что происходит с sin а? в) Пусть sin а убы-
вает. Как изменяется cos а? г) Как из этого тождества
получить неравенства |sina|^l, |cosa|^l?
I 2
9.6. а) Чему равен sin а, если cos а равен: —, ——,
<5 о
1
—Я?
Л/з
Рис. 106 б) Чему равен cos а, если sin а равен: у, -у-, —а?

18
в) Могут ли sin а и cos а равняться соответственно Рис. 107
ни —а, а и 2а, а и —, а,~1 и 2а ?
a а2 + 1 а2+1
9.7. В каких границах лежит sin а, если cos а: а) больше
I 1 .
чем —; б) меньше чем —; в) лежит в промежутке от
Z о
I 4
, до —; г) изменяется от а до 2а?
9.8. Для каких углов a: a) sin a>cosa; б) sin a<cosa?
9.9. Вычислите синусы и косинусы углов по рисунку
107.
9.10. Составьте для косинуса таблицу, аналогичную таб-
шце в задаче 7.5.
9.11. Решите задачу 8.2, используя косинус.
9.12. Решите, используя косинус, задачу 8.1.
9.13. Величины d, d\, <р соответствуют обозначениям,
указанным в задаче 9.1. Заполните таблицу.
А
d d\ <Р d d> Ф
1 1/3 1 90°
1 0,5 1 20°
1 1 1 45°
1 30° 1 60°
1 50°
9.14. В равностороннем треугольнике АВС АК и ВМ —
медианы. Пусть ДВ=1. Вычислите проекции: а) АВ на
(ДС); б) АС на (ДВ); в) ДК на (ДС); г) ВМ на (ДВ);
i) АК на (ВМ).
119
Б
9.15. Как найти: а) углы равнобокой трапеции, зная ее
стороны; б) площадь равнобокой трапеции, зная ее диаго-
наль и угол, который она составляет с основанием?
9.16. а) Вертикальный отрезок длиной 1 повернулся во-
круг своего конца на острый угол ф. На сколько сместился
другой его конец по вертикали и по горизонтали? Как из-
менится результат, если угол ф будет прямым или тупым?
(Эту задачу легко понять, поглядев на часы.)
б) Ломаная АВС состоит из двух перпендикулярных от-
резков: горизонтального отрезка длиной d\ и вертикального
отрезка длиной d%. Ломаную повернули вокруг А на угол ф.
Чему равно горизонтальное и вертикальное смещение точ-
ки С? Чему равно расстояние между начальным и конеч-
ным положением точки С?
в) Отрезок О А, равный 1, составляет с прямой, прохо-
дящей через О, угол <р. Его повернули вокруг О на угол
90°, в результате чего он занял положение ОВ. При этом
точки А и В лежат по одну сторону от прямой а. Пусть
Л]В1 — проекция АВ на прямую а. 1) Чему равна длина
Я|В1? 2) При каком угле <р А\В\=АВ? 3) В каких гра-
ницах лежит Л1В| при изменении угла <р?
9.17. Из точки А на одной из сторон угла провели пер-
пендикуляр АВ на другую сторону, а затем из точки В
провели перпендикуляр ВС на первую сторону. Известны
длины этих перпендикуляров. Сможете ли вы найти сам угол
и расстояние от А до вершины угла?
9.18. В равнобедренном треугольнике известны его вы-
соты. Как найти его углы?
Решение. Сначала постараемся ответить на вопрос:
определяется ли равнобедренный треугольник его высотами?
Иначе говоря, можно ли построить равнобедренный тре-
угольник по двум неравным его высотам? При этом тре-
угольник должен определяться однозначно, т. е. не должно
существовать двух неравных между собой равнобедренных
треугольников с данными высотами (?).
На первый взгляд ответ на поставленный вопрос поло-
жительный. В самом деле, любой треугольник является
пересечением трех полос (?).
Для равнобедренного треугольника две из этих трех по-
лос имеют одинаковую ширину (?). Попытаемся восстановить
равнобедренный треугольник, зная ширину этих двух полос.
120
Нарисуем полосу, ширина которой равна высоте, про-
веденной к основанию равнобедренного треугольника. Возь-
мем на границе полосы некоторую точку А и проведем из А
иве равные наклонные к другой границе полосы АВ и АС
(рис. 108, а). Ясно, что точки В и С могут располагаться
и сколь угодно близко друг от друга, и сколь угодно далеко.
В первом случае вторая полоса, т. е. полоса шириной, рав-
ной второй высоте треугольника, будет сколь угодно узкой,
и во втором случае она будет сколь угодно широкой (?).
Причем ширина второй полосы при увеличении ВС будет
юлько увеличиваться (?). В какой-то момент ВС будет та-
ким отрезком, что ширина соответствующей полосы ока-
жется равной второй высоте треугольника. Но тогда иско-
мый равнобедренный треугольник существует. При этом
можно доказать, что если на границе полосы выбрать любую
другую точку А, то получится такой же треугольник, что и
сначала.
Убедиться в существовании нужного нам треугольника
можно непосредственным построением его с помощью цир-
куля и линейки. Сначала построим полосу с краями а и Ь,
ширина которой равна высоте, проведенной к основанию
равнобедренного треугольника. Из произвольной точки А
и.। прямой а проведем AAt-Lb. Для дальнейшего заметим,
что перпендикуляр, проведенный из середины основания
равнобедренного треугольника на его боковую сторону, в два
раза меньше, чем та его высота, которая в треугольнике
нам известна. Тогда можно считать известным и перпендику-
ляр, восставленный из середины основания. В нашем слу-
чае считаем известным перпендикуляр, опущенный из точки
li на боковую сторону искомого треугольника. Задача све-
лась к построению прямоугольного треугольника ЛД1Л2
(рис. 108, б) по гипотенузе AAi и катету Д|Д2-
Итак, мы поняли, что задачу решить можно. Теперь
постараемся найти величины углов данного треугольника.
Из формулы площади треугольника имеем aha = bhb.
Отсюда получаем пропорцию
Рис. ЮН
a', b — hb'.ha.
Но тогда
"2*0: b — ha-
121

А
Правая часть равенства известна из условия, значит,
известна и левая его часть, которая в соответствии с нашим
рисунком равна А\В:АВ. Но это отношение не что иное,
как косинус угла В. Дальнейшее просто (?).
Естественно поставить более общую задачу: найти углы
треугольника, зная его высоты, но это гораздо более сложная
задача.
И наконец, для решения задачи мы полагали, что из-
вестны не только высоты треугольника, но и то, куда они
проведены. Подумайте, что мы получили бы, если бы от-
казались от этого дополнительного предположения (?).
9.19. Одна из вершин прямоугольника лежит на данной
прямой. Известны стороны прямоугольника и угол, который
составляет одна из его сторон с данной прямой. Как найти
расстояния от других вершин прямоугольника до данной
прямой?
Составьте сами аналогичные задачи.
9.20. Точка К лежит внутри угла А величиной <р. Из-
вестны расстояния от К до сторон угла, а) Как найти /1ft?
б) Проведите расчеты для угла <р = 60°.
Составьте и решите обратную задачу.
9.21. Корабль плывет на восток с постоянной скоростью
v. В некоторый момент времени пеленг на маяк равен ф(,
а спустя время t он равен <р2- Через какое время маяк будет
для этого корабля точно на севере? (Пеленг — это угол
между направлением на север и направлением на маяк.)
9.22. Треугольник АВС равносторонний, ВР— перпен-
дикуляр к его плоскости. Пусть известны АВ и угол, под
которым виден из А перпендикуляр ВР. Как вычислить
площадь поверхности тетраэдра РАВС?
9.23. В тетраэдре РАВС грани РАВ и САВ — равные
равнобедренные треугольники с общим основанием АВ. Ме-
диана Pft грани РАВ перпендикулярна грани АВС. Пусть
известны АВ и угол при основании в грани РАВ. Как вы-
числить площадь поверхности тетраэдра?
9.24. Расположите в порядке возрастания косинусы
углов, указанных в задаче 7.12.
9.25. Нарисуйте угол а, такой, что a) sina>y,
1 . 1 _ 1 < . _ 1 я
cos сх> — ; б) sin ct<— , cos a>— ; в) sin , cos a<v ;
о о 3 о о
22
i) sin a < у-, cosa<-^~.
Составьте сами аналогичные задачи.
9.26. Докажите, что: а) если cos a = sin 0 и р<90°,
ю <х-|-р = 90о; б) если cosa = — cos р, то а + р=180°.
9.27. Пусть ф! и ф2—два острых угла. Пусть известно,
что cos ф[ <cos ф2. Докажите, что ф|>ф2. Как изменится
результат, если ф] и ф2 — два тупых угла? Как изменится
результат, если ф] — острый угол, а ф2 — тупой?
9.28. Могут ли косинусы трех углов треугольника в сумме
давать нуль?
9.29. Может ли сумма синусов двух неравных углов
। реугольника равняться сумме косинусов этих же углов?
Л если перейти к трем углам?
9.30. Из точки А перпендикуляра к плоскости прово-
дятся разные наклонные к этой плоскости. Докажите, что,
Б
чем длиннее наклонная, тем лучше видна из А ее проекция.
11 наоборот.
§ 10. ПРИМЕНЕНИЯ КОСИНУСА
юл. обобщенная теорема Пифагора. Сейчас мы до-
кажем последнюю из трех основных теорем о соотноше-
ниях между сторонами и углами треугольника. Для пря-
моугольного треугольника это соотношение даст просто тео-
рему Пифагора. Поэтому его естественно назвать обобщен-
ной теоремой Пифагора или сокращенно ОТП.
Теорема 11.В каждом треугольнике квадрат любой его
стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус
удвоенное произведение этих сторон и косинуса угла между
ними.
Дано: дАВС (рис. 109).
Рис. 109
123
Доказать: выполняется равенство
c2 = a2A~b2 — 2ab cos С (1)
(а также аналогичные равенства для а2 и 62).
Доказательство. Для угла С есть три возможности.
1) Угол С прямой. Тогда cos С = 0 и формула (1)
становится в этом случае теоремой Пифагора для треуголь-
ника АВС.
2) Угол С острый. В треугольнике АВС есть еще
хотя бы один острый угол. Пусть это будет угол В
(рис. 109, а). Из вершины А проведем высоту AD. Так
как углы В и С острые, точка D лежит внутри ВС. От-
резок CD = b\ будет катетом в прямоугольном треуголь-
нике ACD с гипотенузой АС = Ь и прилежащим острым
углом С. Поэтому
6, = 6 cos С. (2)
По теореме Пифагора находим с2 из другого прямо-
угольного треугольника ABD с катетами AD = h и BD =
= a — b\. Получаем
с2 = (a — &i)2 + /i2. (3)
Но h2=b2 — b2 из треугольника ACD. Подставив это
выражение для h2 в равенство (3) и заменив Ь\ по формуле
(2), придем к доказываемому равенству:
с2 = а2— 2ab\ -j-b2 4-Z>2 — Ь2 = а2 — 2ab cos C-\~b2.
3) Угол С тупой. Снова проведем высоту AD = h.
из вершины А. Теперь ее основание — точка D лежит на
продолжении стороны ВС за точку С (рис. 109, б). Снова
обозначим отрезок CD через Ь\. В этом случае BD = a-\-b{
и из прямоугольного треугольника ABD по теореме Пифа-
гора
С2 = /12+(а + /,1)2. (4)
По определению косинуса тупого угла cosC=—По-
этому b\ = — bcosC. Наконец, из треугольника ACD снова
получаем, что h2 = b2 — b2. Подставляя в (4) это выражение
для h2 и выражение для Ь1( т. е. b\ = — bcosC, снова полу-
чаем (1):
c2=b2 — b2A-a2A-^ab\A-b2 = a2A-b2 — 2ab cos С.
Доказанную теорему называют еще теоремой ко-
синусов.
124
10 .2. РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ с помощью отп. Эту
теорему удобно применить для решения следующих задач:
Задача 1. Даны три стороны треугольника. Найти
<’i’o углы.
Решение. Пусть известны стороны а, Ь, с треуголь-
ника АВС. Тогда из ОТП получаем, что
И так как значение косинуса определяет угол, то из (5)
угол находится однозначно. Аналогично находим ZA
и Z. В.
Отметим, что формула (5) позволяет сделать такие
выводы:
I) Если c2 = d2-\~b\ то cos 6 = 0 и £С=№ (теорема,
обратная теореме Пифагора). Согласно именно этой теореме
«египетский треугольник» со сторонами 3, 4, 5 прямоуголь-
ный (а не по теореме Пифагора, как иногда говорят).
2) Если с2<а~-\~Ь2, то cosC>0 и АС острый.
3) Если с2>а24-^2, то cosC<0 и АС тупой.
Задача 2. Даны две стороны треугольника и угол
между ними. Найти третью сторону и остальные два угла.
Решение. Пусть известны стороны а, b треугольника
\ВС и угол С между ними. Тогда по формуле (1) находим
третью сторону с. Затем, снова пользуясь ОТП, находим
yi 1Ы А и В (как указано при решении задачи 1). Но эти
yi н>1 можно найти и по теореме синусов (объясните как).
ю.з. средняя линия треугольника. Вот еще пример
применения ОТП — теорема о средней линии треугольника,
доказанная другим способом еще в п. 1.5. Когда говорят
о средней линии, две стороны треугольника, середины ко-
торых она соединяет, называют боковыми, а третью сто-
рону - основанием. Это позволяет сформулировать такую
1горему:
Теорема 12. Средняя линия треугольника параллельна
основанию и равна половине основания.
Доказательство. Проведем в треугольнике АВС
• реднюю линию KL, где К — середина стороны AC, L —
м редина стороны ВС. Пусть KL = d. Тогда по ОТП из тре-
угольника KLC
125
( a \2 i ( h \2 г» a b n
~\2 ) \ 2 ) ^22 COS ~
= ^- (a2 -\-b2 — 2ab cos C) = -^-.
Поэтому d=~~, т. e. средняя линия треугольника равна
половине основания.
Положим Z_CKL = a. Вычисляя cos а по ОТП из тре-
угольника KLC, получаем:
Поэтому а=/1Д. Так как соответственные углы при пря-
мых KL и АВ и секущей АС равны, то KL\\AB.
10.4. сравнение сторон и углов треугольника. След-
ствием ОТП и свойств косинуса является и такая теорема:
Теорема 13. В каждом треугольнике против большей
стороны лежит и больший угол.
Верно и обратное: в каждом треугольнике против боль-
шего угла лежит и большая сторона.
Доказательство. Рассмотрим треугольник АВС со
сторонами а, Ь, с (рис. 110, а). Используя ОТП, получаем:
cos Л CQSB-62+c2-q2 “3+c2-t>2-
2Ьс 2ас
аЬгас2 —a3— a2b — bc2-\-Ь3 (fe —g)(a-f-d-{-c)(a-|-6 —с) / J
2abc 2abc ‘
Так как согласно неравенству треугольника аА~Ь — с>0,
то знак разности cos Л— cos В совпадает со знаком разности
Ь — а. Из этого и вытекают оба утверждения теоремы:
1) Если Ь>а, то Ь — а>0 и поэтому cos A —cos В>0,
т. е. cosH>cosB. Так как косинус убывает, то угол В
больше угла А.
2) Если угол В больше угла А, то cos4>cosB и,
значит, cos А—cosB>0. Поэтому b — а>0, т. е. Ь>а.
Замечание. Эту теорему легко доказать и чисто геон
метрически. Вспомните, что в равнобедренном треугольнике
углы при основании равны и что внешний угол треуголь-
ника больше внутреннего, с ним не смежного. Как, исполь-
зуя эти утверждения, доказать, что против большей стороны
126
лежит больший угол, показано на рисунке НО, б. Эти Рис. по
доказательства хорошо показывают различие между двумя
методами — вычислительным и наглядным. У каждого Me-
юда свои преимущества.
Теорему 13 можно использовать, например, определяя
вид углов треугольника по его сторонам. Для этого доста-
гочно узнать, какой угол лежит против большей стороны
। реугольника.
10.5. ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИМЕНЕНИЯ ОТП. За да ч а 1. Найти
расстояние между двумя недоступными предметами при
наблюдении из данной точки, располагая дальномером.
Решение. Пусть предметы расположены в точках А, В,
и мы находимся в некоторой точке С (рис. 111). Измеряя
расстояние дальномером, находим СА=Ь, СВ = а. Измеряем
угол С между СА и СВ. Тогда расстояние АВ = с можно
найти по ОТП.
Рис. 111
Рис. 112
127

Задача 2. Найти расстояние между двумя недоступны
ми предметами, когда нет дальномера.
Решение. Пусть предметы расположены в точках A, i
и видны из точек С, D (рис. 112). Измеряя CD и нужные
углы, находим расстояния СА и СВ (задача 1, п. 8.5)
Измеряем также угол между СА и СВ. После этого находим
ЛВ, применяя ОТП к треугольнику АВС.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
В чем заключается обобщенная теорема Пифагора?
Докажите ОТП.
Почему ОТП имеет такое название?
Какие задачи по решению треугольников вы можете
решить с помощью ОТП?
Как определить вид углов треугольника с помощью ОТП?
Какие еще следствия из ОТП вы знаете?
Какие практические задачи вы можете решить с помощью
ОТП?
10.1
A
Б
Задачи к § 10
10.1. Две стороны треугольника постоянны, а угол между
ними увеличивается. Докажите, что при этом третья сторона
треугольника увеличивается. Докажите обратное утвержде
ние. Какие следствия отсюда вытекают?
10.2. а) Докажите, что сумма квадратов диагоналей
параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон
б) Используя задачу а), получите формулу для вычисле
ния медианы треугольника по трем его сторонам.
в) Докажите, что треугольник с двумя равными медиа
нами равнобедренный.
10.3. Пусть в треугольнике АВС известны стороны а и b
а также угол С. Составьте план вычисления стороны с
Вычислите с, если а = 2, 6=1, Z.C = 60°.
10.4. Дан треугольник-ЛВС. Запишите ОТП для сторо
ны а, стороны Ь. Какие следствия вы можете получить и
этой системы равенств?
10.5. Докажите, что в параллелограмме против боль
шего угла лежит большая диагональ. Докажите обратное
утверждение.
10.6. Докажите, что большая медиана треугольника
проводится к меньшей его стороне. Докажите обратное
утверждение.

128
10.7. Дан угол. Проводятся всевозможные его хорды,
«утекающие от угла треугольники данной площади. Какой
•и 1.1ких треугольников отсечен наименьшей хордой?
10.8. Докажите теорему синусов, исходя из ОТП.
10.9. Вычислите неизвестные элементы треугольника
\НС:
А
10.2
а b с Z4 ЛВ Z.C
3 2 60°
3 4 135°
2,4 1,3 28°
0,15 0,62 161°
4 5 6
1 6 6
12 5 13 <
0,3 0,4 0,5
10.10. Ножки циркуля-измерителя, упираясь концами в
отрезок длиной 1, образуют угол 30°. Какой угол они будут
образовывать, упираясь в концы отрезка длиной 2? Обоб-
щите задачу.
10.11. Определите вид треугольника по углам, если: а) его
< троны равны: 5, 6, 7; 5, 6, 10; 5, 10, 10; 30, 40, 50; а, а-}- 1,
и | 2; б) одна из его медиан равна средней линии треуголь-
ника, которую она пересекает.
10.12. В треугольнике известны все стороны. Как вычис-
ли ть: а) хорду треугольника, соединяющую вершину с данной
точкой на противоположной стороне; б) биссектрису тре-
угольника; в) высоту треугольника; г) хорду треугольника,
.........линяющую две данные точки на его сторонах?
10.13. Точка находится внутри равностороннего треуголь-
ника, сторона которого известна. Известны также расстоя-
ния от этой точки до вершин треугольника. Как найти рас-
стояние от нее до центра треугольника? Все ли данные
нам понадобились?
10.14. Длины всех сторон треугольника умножили на
одно и то же число. Могут ли полученные числа быть
спинами сторон какого-либо треугольника?
129
Б
10.15. Дан параллелограмм. Как вычислить: а) его диаго-
нали, если известны стороны и угол между ними; б) фиксиро-
ванную хорду, если известны стороны и одна из диагоналей;
в) стороны, если известны диагонали и угол между ними?
10.16. Известны стороны и диагонали четырехугольника.
Как узнать, является он выпуклым или нет?
10.17. Стороны треугольника равны 4, 5, 6. Вычислите
его наибольшую медиану и наименьшую биссектрису.
10.18. В равнобедренном треугольнике известны осно-
вание, периметр и площадь. Установите связь между этими
величинами.
10.19. В выпуклом четырехугольнике известны две сто-
роны, диагональ и углы, которые она образует с двумя
сторонами. Хватит ли этих данных, чтобы вычислить осталь-
ные элементы четырехугольника?
10.20. Диагонали четырехугольника перпендикулярны,
а) Докажите, что суммы квадратов его противополож-

ных сторон равны.
б) Докажите утверждение, обратное а).
в) Пусть одна из его сторон неограниченно уменьшает-
ся и в конце концов становится равной нулю. Что пред-
ставляет собой этот «вырожденный» случай задачи?
10.21. Точка А удалена от прямой а на 1. По прямой
а движется отрезок длиной 2. В каком положении он виден
из А лучше всего? Можете ли вы решить задачу в общем
виде и дать ей практическое истолкование?
10.22. На прямой лежат три точки: А[, А2, 4з, причем
AiA2 = di, A2A3 = d2. Из точки К отрезки А\А2 и А2А3 видны
под углом ср. Вычислите расстояния от К до данных точек.
Как решить задачу в общем случае?
10.23. Пусть BD — перпендикуляр к плоскости треуголь-
ника ADC. Пусть известны BD, Z.ABD, Z.CBD, Z_ABC.
Как вычислить площадь поверхности тетраэдра ABCD? При-
ведите численный пример.
10.24. Пусть РВ — перпендикуляр к плоскости треуголь-
ника АВС, АВ —ВС, АС=\, Z_APC = q, РВ=\. Найдите
zLABC и площадь поверхности тетраэдра РАВС.
10.25. Пусть РВ — перпендикуляр к плоскости прямо-
угольного треугольника ЛВС (Z С = 90°). Докажите, что
Z_ACP = 90°. Сформулируйте и докажите обратное утверж-
дение.
130
10.26. В правильном тетраэдре РАВС сочка Л' сере-
iiiini ЛС, точка /, середина /'Л, сочка Л4 середина
/71 и PQ.LKB (точка Q лежне ни прямой КН). Ребро
и 1ри>дра равно 2. а) Вычислите KI, IM, BL, PQ, MQ.
А) Докажите, что PQ1.AQ. в) Какой еще прямой перпен-
ннвулярна прямая PQ?
10.27. а) Докажите, что самая длинная хорда выпуклого
многоугольника — его сторона или диагональ.
6) Верно ли аналогичное утверждение для невыпуклого
мши ©угольника?
10.28. а) В прямоугольном треугольнике АВС (АВ =
‘•(Г ) взята точка О. Найдите в треугольнике А ОС наиболь-
шую сторону.
А) Решите аналогичную задачу для тупоугольного тре-
\| и н.ника с тупым углом при вершине В.
10.29. Нарисуйте любой четырехугольник. Можете ли вы,
имея на руках только транспортир, установить, какая сто-
I'"П.1 в нем наибольшая? А справитесь ли вы с такой за-
пев ii для произвольного многоугольника? Составьте анало-
/ичную задачу про углы.
10.30. Из вершины треугольника проведены биссектриса,
высота и медиана. В каком порядке они расположены,
м hi смотреть от меньшей из сторон при этой вершине
и Польшей?
Решение. Прежде чем что-то доказывать, надо знать,
что доказывать. Поэтому сначала поставим эксперимент.
Нарисуем любой неравнобедренный треугольник АВС
1Н.\>ВС) и построим—для точности циркулем и линей-
коп из вершины В высоту ВИ, медиану ВМ и биссект-
рш у BL (рис. 113). Увидим, что порядок точек на отрезке
If именно такой, как на рисунке: А, М, L, И, С. Но будет
in )то верно для любого треугольника? Давайте мыслен-
А
Б
10.4
131
но двигать точку А влево, а точки В и С оставим на своих
местах. Что будет происходить с точками Н, L, М?
Точка Н не изменит своего положения. Займемся теперь
точкой L. Так как угол СВА будет увеличиваться, то будет!
увеличиваться и его половина — угол CBL. Значит, точка I.
будет двигаться влево от своего начального положения
При этом угол СВА не будет больше чем 180° — /_ С (?),
значит, угол CBL не будет больше чем 90° — y-ZC. По
этому для точки L существует некоторое предельное по-
ложение на луче СА, за которое точка L не перейдет
И наконец о точке М. Так как отрезок СА увели-
чивается, причем неограниченно, то увеличивается и тоже
неограниченно отрезок СМ — его половина. Значит, точка М,
как говорят, «уйдет в бесконечность», т. е. на луче СА они
может находиться сколь угодно далеко от его начала С.
Итак, из некоторых соображений следует, что порядок
точек М, L, Н будет всегда один и тот же. Но являются ли
эти соображения доказательными (?).
Давайте рассуждать иначе. Имеем /LABH=Z_C,
гССВН = Z/4 (?). Так как угол С больше угла А (?), то
угол АВН больше угла СВН. Но тогда Z_ABH> y-Z ABC,
а поэтому биссектриса BL лежит внутри угла АВН, т. е.
точка L лежит левее Н.
Далее, так как АВ>ВС, то AL>LC (?). Но тогда
AL>^-AC, а потому середина АС — точка М лежит на

AL, т. е. левее точки L.
10.31. В трапеции рассматриваются углы при большем
основании. Докажите, что против большего из них лежит
большая диагональ трапеции. Проверьте обратное.
10.32. У двух выпуклых четырехугольников ABCD и
А)В|С1Д| соответственные стороны равны. Пусть /_А боль-
ше, чем Z/4|. Сравните величины остальных их углов.
10.33. В треугольнике АВС АВ>ВС. Провели биссект-
рисы AAi и СС\. Сравните отрезки ACi и СД». Проведите
отрезок Д|С]. Сравните его с отрезками АС\ и СД|.
10.34. Пусть РАВС — правильный тетраэдр. Точка X
внутри ребра АС, точка Y внутри ребра ВС. Какая сто-<
рона в треугольнике XPY является наименьшей?
132
10.35. Вы располагаете прибором для измерения расстоя-
нии Как определить скорость движения удаленного объекта
(корабля, самолета)?
10.36. Вы находитесь на вершине триангуляционного
пункта. Его высота известна. У вас в руках только тран-
• портир. Как вычислить площадь треугольника, расположен-
ии о на земле?
10.37. Требуется найти расстояние от точки А до точки
\ на местности. Объект X виден только из точек А и С,
i n с некоторая точка местности. Расстояние Л С на мест-
ши гн не поддается измерению. Придумайте способ вычисле-
нии расстояния АХ.
10.5
| II. ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС
и.I. определение тангенса. Начнем с одной практиче-
• кой задачи: как измерить высоту столба (дерева или
мачты) по длине тени (рис. 114, а)? Будем предполагать,
•но мы можем измерять углы, в частности угол, под которым
инден измеряемый предмет из конца его тени (рис. 114, б).
Мы получили такую геометрическую задачу:
найти катет ВС = а прямоугольного треугольника, зная его
ьагет АС=Ь и угол А.
11одобные задачи мы уже решали. Вспомним, что sin А =
•» - и cos/l = —. Поделив первое равенство на второе, Рис. im
б)
1.33
a sin А
получим — =------г- Отсюда
b cos A
A
Рис. 115
В равенство (I) входит отношение двух функций угла —
синуса и косинуса. Его рассматривают как еще одну функ-
цию угла — тангенс.
Определение. Тангенсом угла называется отношение
синуса угла к его косинусу.
Тангенс обозначается символом tg, так что по определе-
нию
(2>
Для прямого угла тангенс не существует, так как
cos 90° = 0 и отношение • для прямого угла А теряет
смысл.
11.2. ТАНГЕНСЫ ОСТРЫХ УГЛОВ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕ-
УГОЛЬНИКА. В прямоугольном треугольнике АВС с катетами
а = ВС и Ь=АС (рис. 115) sin А = у и соэЛ ——. Поэтому
, . sin А а b а
tg Л =—— : — = — . (3)
& cos Асе b
Итак, тангенс острого угла в прямоугольном треуголь-
нике равен отношению катета, противолежащего этому углу,
к прилежащему катету.
Например, тангенс острого угла равнобедренного пря-
моугольного треугольника равен 1.
Равенство (1), дающее решение задачи о нахождении
высоты предмета по его тени, теперь запишется так: а =
— b tg Л.
А вот другое практическое истолкование тангенса. Тан-
генс характеризует крутизну подъема в горах, если под
крутизной подъема понимать отношение смещения по вер-
тикали к смещению по горизонтали. Это удобно при работе
с картой.
н.з. свойства тангенса и его график. Тангенс есть
отношение синуса к косинусу. А синус и косинус зависят
лишь от величины угла. Поэтому и тангенс зависит лишь
134
пт величины угла, т. е. является функцией величины угла:
sin а
II» гх =-.
cos а
Вычислим несколько значений этой функции:
tn 0° = ———~ = 0‘ tg 30° — sin 30 = 1 — 1 •
cos 0° ’ 6 cos 30° 2’2 л/3 ’
4. .ro sin 45 1
tg 45 =-------
й
Рис. 116
сг.о sin 60 л/3 1 /—
tg60 =------= —:—=Л/з
cos 60° 2 2 V*-
Л теперь выясним, как изменяется tga, когда а воз-
|нн i.ict от 0° до 90°. Построим прямоугольный треуголь-
ник ЛВС, у которого катет АС=1 и АА = а (рис. 116).
1-1 ,'Ы другой его катет BC = tga. Когда угол а возрастает
01 0" до 90°, катет ВС возрастает от 0 до бесконечности.
IIi.ik, мы доказали важное свойство тангенса:
I При увеличении угла от 0° до 90° тангенс растет
in О до бесконечности.
Из этого свойства вытекает второе свойство тангенса:
2. Для острых углов значение тангенса определяет угол.
• >ц(1 доказывается так же, как аналогичное свойство си-
пу* .< (п. 7.6.) Докажите его самостоятельно.
Н.4. котангенс. Изменим геометрическую задачу, решен-
ную в п. 11.1. Пусть теперь требуется найти катет АС = Ь
прямоугольного треугольника, зная его катет ВС = а и
yiпл А. Тогда из равенства (1) получим:
Ь = а—~. (4)
sin А
И опять отношение косинуса к синусу рассматривают
inn еще одну функцию угла — котангенс.
Определение. Котангенсом угла называется отноше-
ние косинуса угла к его синусу.
Котангенс обозначается символом ctg, так что по опре-
I* лснию
ctg4 = ^. (5)
° sin Л ' ’
Котангенс не существует тогда, когда синус обращается
и пуль, т. е. для 0° и 180°. Котангенс, как и остальные
।рпгонометрические функции, зависит лишь от величины
Vi ла.
135
Для тех углов, где и тангенс, и котангенс отличны от
нуля, они связаны простым соотношением
<1
При возрастании угла от 0° до 180° (сами эти значе-
ния не рассматриваются) контангенс убывает от + оо до
— оо (объясните почему). График котангенса приведен на
рисунке 117, а, а график тангенса на рисунке 117, б.
Замечание. Иногда рассматривают еще две тригоно-
метрические функции — секанс (обозначается так: sec) и
косеканс (обозначается так: cosec). Они определяются
следующими равенствами:
seca = —-— и coseca = -J—. (7)
cos a sin a ' '
В нашем курсе эти функции не употребляются.
11.5. об истории тригонометрии. Тригонометрия — «из-
мерение треугольников» — развивалась прежде всего в свя-
зи с потребностями астрономии, географии, навигации.
Поэтому ее зачатки были уже в Древнем Вавилоне, где
астрономия получила значительное развитие. В знаменитом
труде греческого ученого Птолемея «Альмагест» (II в),
где изложена античная система мира, содержатся элементы
не только тригонометрии на плоскости, но и на сфере.
В Древней Греции вместо синуса угла рассматривали длину
136
хорды, соответствующей удвоенному углу между радиусами
единичной окружности (рис. 118). Это, по существу, то же
< амое, так как синус равен половине такой хорды. Первые
|ригонометрические таблицы хорд были составлены Гип-
пархом во II в. до н. э. Синус и косинус появляются в
астрономических сочинениях индийских ученых IX—X вв.
В частности, тангенс появился в связи с задачей опреде-
ления высоты Солнца по длине тени, решение которой необ-
ходимо для изготовления солнечных часов.
Выделение тригонометрии в специальный раздел матема-
1ики связано с именем выдающегося персидского ученого
Насирэддина Туси (1201 —1274). В Европе первое
изложение тригонометрии было дано в XV в. немецким
ученым Региомонтаном (1436—1476). Современный вид
। ригонометрия получила в работах крупнейшего математика
Will в. Леонарда Эйлера (1707—1783).
Обобщенная теорема Пифагора в другом виде доказана
уже в «Началах» Евклида. Теорема синусов была получена
выдающимся среднеазиатским ученым Бируни в XI в.
I В чем разница между тангенсом и котангенсом? А в чем
их сходство?
Как вычислить тангенс острого угла в прямоугольном
треугольнике? А котангенс?
.1 Какие задачи на решение треугольников можно решить
с помощью тангенса (котангенса)?
I Как можно доказать возрастание тангенса, исходя из
рисунка 116; другим способом?
!> Какие практические задачи можно решить с помощью
тангенса (котангенса)?
<• Какие вы знаете теперь тригонометрические функции?
7 Что вы знаете из истории тригонометрии кроме того,
что написано в этом параграфе?
Рис. 118
1адачи к § 11
11.1. Докажите, что тангенсы смежных углов противопо-
ложны.
11.2. Пусть известны проекции отрезка на две взаимно
и* рпендикулярные прямые. Как, используя тангенс, вычис-
IIIin угол, который составляет прямая, проходящая через
>|<н отрезок, с каждой из данных прямых?
Q ЕЕ
137
11.3. Составьте для тангенсов таблицу, аналогичную
таблице к задаче 7.5.
11.4. Запишите формулу тангенса. Выразите из нее:
а) синус; б) косинус. Докажите, что для острого угла
тангенс больше синуса.
11.5. Используя тангенс, докажите, что квадрат высоты,
проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника, ра-
вен произведению проекций катетов на гипотенузу. Обобщите
это равенство.
11.6. Докажите, что произведение тангенсов острых углов
прямоугольного треугольника равно единице.
11.7. Вычислите тангенсы углов треугольников, рассмот-
ренных в задаче 7.4, и найдите сами углы.
11.8. Вычислите неизвестные элементы прямоугольного
треугольника АВС’.
а b Z.4 ZB
3,2 4,6
0,12 24°
570 66°
7,1 33°
0,63 10°
11.9. Как вычислить сторону АС треугольника АВС,
если известны: а) высота, опущенная на сторону АС, и
углы, которые эта высота образует со сторонами ВА и ВС',
б) высота, опущенная на сторону АС, ЛА, Л С?
11.10. Как вычислить углы: а) равнобедренного тре-
угольника, если известно основание и высота к нему; б) тре-
угольника, если известны его высота, опущенная на одну
из сторон, и проекции других сторон на прямую, содер-
жащую первую сторону; в) между диагоналями прямо-
угольника, если известны его стороны; г) ромба, если из-
вестны его стороны и диагональ; д) ромба, если известны
его диагонали; е) равнобокой трапеции, если известны все
ее стороны; ж) равнобокой трапеции, если известны ее осно-
вания и площадь?
11.11. Даны две взаимно перпендикулярные прямые и две
точки А и В. Известны расстояния от этих точек до данных
прямых. Как вычислить угол между прямой АВ и данными
прямыми?
11.12. Как вычислить площадь: а) прямоугольника, если
известна его сторона и угол между нею и диагональю;
б) прямоугольника, если известна его сторона и угол между
/шагоналями; в) ромба, если известен его острый угол и
одна из диагоналей; г) равнобокой трапеции, если извест-
ны ее основания и острый угол?
11.13. а) Параллелограмм ABCD, в котором AB = di,
AD = di, AC-LAB, перегнули по диагонали АС. Отрезки
AD и ВС пересеклись в точке К. Чему равно расстояние
от К до АС?
б) Обобщите задачу а).
Решение, б) Обобщать можно по-разному. Например,
можно начать перегибать другие четырехугольники, да и
вообще многоугольники, и ставить аналогичные вопросы.
Мы же пойдем иным путем.
К чему свелась задача а)? Вот к чему. Дан отрезок
АВ. Из точек А и В по одну сторону от прямой АВ проведены
равные отрезки АА} и ВВ}. Отрезки АВ\ и ВА\ пересекают-
ся в точке К- Чему равно расстояние от К до (АВ)
(рис. 119, а)?
Для того чтобы обобщить эту ситуацию, достаточно от-
казаться от условия равенства отрезков АА\ и ВВ\. Итак,
пусть AB = d, AAt=a, BBt = b. Чему равно теперь расстоя-
ние от К
Б
Ad = d
139
Проведем KLYAB и обозначим KL=x. Далее обо-
значим Z. KAL = a, Z. KBL = $, AL = d\, BL = dz.
Главную роль в решении этой задачи будет играть, как
вы, наверное, уже догадались, тангенс.
Итак, из &KLA имеем tga = x:di, из &В\ВА имеем
tga = 6:d. Поэтому
Точно так же из треугольников K.LB и А\АВ имеем:
И так как
i/1-|-(i2 = d, (3)
то мы получили систему трех уравнений с тремя неизвест-
ными: х, d\, d2- Решается она просто. Из (1) имеем
di d ,о di d
— = —, из (2) имеем — = —.
xb ' ха
Сложим последние два равенства и получим:
d\ , di _ d । d
x ' x a ' b '
откуда (di4-rf2) = . Заменяя d\A~(h на d,
приходим к равенству
из которого и находим:
Результат получился удивительный — вы видите, почему?
Оказалось, что величина х не зависит от величины dl На
живом примере это значит вот что. Имеется два столба,
скажем, высотой 2 м и 3 м. С помощью двух проволок
делается такая конструкция, как в задаче. Предположим
далее, что в точке пересечения проволок подвешивается
лампа. Так вот, высота лампы над землей будет одна и та же
независимо от расстояния между столбами, будь она 10 м,
или 100 м, или гипотетически 1 км.
О
Далее можно задаться таким вопросом: а что будет про-
н« ходить, если перпендикуляры АА\ и ВВ{ смотрят в разные
< троны от прямой АВ (рис. 119, в)? Если вы не ошибетесь
п выкладках, то должна получиться для х такая формула:
мй ! ——р (в предположении, что a<zb). А можно ли рабо-
fl Ь
in и. с этой формулой при а>Ь? А при а = д? Что будет
происходить на самом деле при таких соотношениях между
и и />?
Можно обобщать задачу и дальше. Именно: как изменит-
н |адача, если вместо перпендикуляров к (АВ) проводить
hi резки, которые образуют с (АВ) равные острые углы?
II как ее тогда решать?
11.14. Как сделать трапецию площадью 1, если при этом:
и) ее основания равны 2 и 3; б) она равнобокая с большим
in кованием 2 и углом при нем 60°; в) ее большее основа-
iiiie 2, а острые углы при нем 30° и 45°; г) она составлена из
двух прямоугольных треугольников?
11.15. Как вычислить угол подъема эскалатора метро?
11.16. Как вычислить среднюю крутизну склона по
нарте?
11.17. Солнце видно под углом ср. Чему равна наиболь- |^1
иыя площадь тени на земле от стоящих вертикально на ней
объектов: а) правильного треугольника со стороной of;
б) квадрата со стороной J?
11.18. а) Как вычислить высоту башни, не подходя к ней?
б) Пусть вы подошли к башне на 100 м, а угол, под ко-
к>рым вы ее видите, изменился от 16° до 16°20'. Чему равна
высота башни?
11.19. Как вычислить: а) ширину реки, глядя на нее
< пышки; б) высоту дерева, растущего на склоне горы?
11.20. Вы идете по прямой дороге. Из двух ее мест, рас- 1^|
• гояние между которыми известно, вы видите гору под
\i iom фЬ а посередине между ними вы видите гору под
। |ом <р2- Найдите высоту горы.
11.21. Из треугольника требуется вырезать прямоуголь-
ник наибольшей площади. Как это сделать, если исходный
||ц‘угольник: а) равнобедренный прямоугольный; б) прямо-
угольный с неравными сторонами; в) равнобедренный с про-
ноюльным углом при вершине; г) произвольный?
141
11.22. В трапеции ABCD ADA-AB, АСА-BD. Докажите,
11 -3
и

А
Б

что ААА^. = АА^-= ААА. (точка О общая у АС и BD). Ис-1
ов ОА OD ' J
пользуя это утверждение, знаменитый древнегреческий уче- I
ный Платон с помощью двух специально рассчитанных
плотницких угольников решил задачу удвоения куба. По
пробуйте и вы.
11.23. В тетраэдре ABCD ребро АВ перпендикулярно
грани BCD, Z_CDB = 90°, AB=l, BD = 2, CD = 3. Вы- I
числите углы во всех гранях этого тетраэдра.
11.24. Ребро BD тетраэдра ABCD перпендикулярно
грани ABC, Z- ВАС = (УА°. Пусть известны BD и все углы
при вершине D. Как вычислить площадь поверхности тетра- ]
эдра? Приведите численный пример.
11.25. В основании четырехугольной пирамиды PABCD
квадрат, а ребро РВ перпендикулярно основанию ABCD. I
Пусть известны РВ и все углы при вершине Р. Как вы- |
числить площадь поверхности пирамиды? Приведите числен- |
ный пример.
11.26. В основании четырехугольной пирамиды PABCD
прямоугольник. Грань PCD является равнобедренным тре- 1
угольником (PD = PC). Высота РК этой грани перпенди-1
кулярна основанию. Пусть известны РК и все углы при вер ।
шине Р. Как вычислить ее площадь поверхности? При-
ведите численный пример.
11.27. Расположите в порядке возрастания тангенсы та-
ких углов: а) 70°, 80°, 100°; б) 60°, 110°, 120°; в) 130°,
140°, 160°.
11.28. Постройте угол ф, такой, что: а) 1§ф = -|-;
б) tg<p=—0,5; в) tg(p>4: г) l^tg<p^2.
11.29. Чем ближе вы подходите к вертикальному пред-
мету, тем под большим углом вы его видите. Объясните это.
11.30. а) Вы приближаетесь к уличному фонарю по пря-
мой. Что будет происходить с вашей тенью? Дайте этому
объяснение. 1
б) А что будет происходить с вашей тенью, если вы
идете по прямой мимо фонаря? I
11.31. Два уличных фонаря освещают вертикальный
предмет. Что еще нужно знать, чтобы установить, от какого
из них тень будет длиннее?
11.32. Через точку на гипотенузе АВ прямоугольного
142
ipryr-ольника АВС проводится перпендикуляр к ней. Он
Встречает прямые АС и ВС в точках /( и L. Требуется
выяснить, будет ли сумма расстояний от этих точек до АВ
lioi гоянной. Если да, то чему она равна? Если нет, то в каких
। рпницах она лежит?
1АДАЧИ К ГЛАВЕ II
II I. Рассмотрим четыре функции угла ср: sin tp, costp,
IИ <| , ctgtp. Пусть одна из них известна. Как вычислить,
in вычисляя угла, остальные?
11.2. Докажите, что в остроугольном треугольнике АВС:
a) c = acos B-\-b cos А;
б) sin (Д-рВ) = sin A cos В-|-cos Д sin В;
в) sin 2Д = 2 sin Д cos Д;
г) cos 2A = 2cos2 А — 1 = 1 — 2 sin2 А.
11.3. Определите вид треугольника АВС, если известно,
что:
<i) a:b =cos A :cos В;
б) a2 = b2A~c2 — 2bc sin А;
в) d2 = b2 -\-с2 А~^Ьс cos А;
г) а2 = Ь2 — с2 — 26сcos А.
11.4. Два равных прямоугольных треугольника с гипоте-
нv юй d и острым углом ср расположены так, что они имеют:
я) общую гипотенузу и лежат по одну сторону от нее;
о) общий прямой угол. Чему равна площадь их объеди-
нения?
11.5. На прямой взяты точки А, В, С. При этом AB = di,
/Ь -d2 (d\=^d2). Через точку А проводится перпендикуляр
к »той прямой. Есть ли на этом перпендикуляре такая
Гичка, из которой отрезки АВ и ВС видны под равными
VI ими?
11.6. а) Из всех прямоугольных треугольников с данной
I нпотенузой найдите тот, который имеет наибольшую
площадь.
б) Из всех прямоугольных треугольников с данной вы-
toi'iii, опущенной на гипотенузу, найдите тот, который имеет
ниименьшую площадь.
11.7. Треугольник АВС равнобедренный. На его основа-
нии 4С взята точка Л’ и через нее проведена прямая, пер-
Hi'liшкулярная АС. Пусть L и М — точки пересечения этой
примой с прямыми АВ и ВС. а) Докажите, что треуголь-
143
ник BLM равнобедренный, б) Пусть AB = d, Л-АВС—цч,
АК=х. Выразите через х площадь треугольника MBL.
в) Может ли площадь треугольника MBL быть больше
площади треугольника АВС? г) При каком значении х пло*^
щадь треугольника MBL равна площади треугольника АВС?
д) В каких границах лежит величина KL + KM?
II.8. а) Пусть известны диагонали четырехугольника и
угол между ними. Как вычислить его средние линии и угол
между ними?
Можно ли решить обратную задачу?
б) Площадь какого четырехугольника можно найти, зная
его диагонали и средние линии?
в) Можно ли найти площадь какого-либо четырехуголь-
ника, зная только три элемента из этих четырех?
II.9. От угла С квадрата ABCD со стороной 2 отрезали
прямоугольный равнобедренный треугольник со стороной I.
Точка К движется по ломаной BB\D\D, где точка В\ —-I
середина ВС, а точка D\ — середина CD. а) Пусть Z_BAK=
= (р. Выразите АК как функцию от ф. б) В каких границах
лежит А К? в) В каких границах лежит площадь прямо-
угольника АК\КК.ч, где точки К\ и К2 — проекции точки К
на АВ и AD?
11.10. а) Треугольник АВС равнобедренный прямоуголь-
ный с катетом 2. На гипотенузе АВ взята ее середина О.
Пусть OD.LBC. Пусть точка М движется от С к В. 1) Чему
равна площадь треугольника AOD? 2) Что при этом происхо-
дит с площадью треугольника ОАМ? 3) В каких границах
изменяется площадь треугольника ОАМ? 4) Найдите
площадь треугольника ОАМ, когда Z_OAM = q. 5) Чему ра-
вен Z-OAM, когда площадь треугольника ОАМ равна 3?
б) Выполните задания 2 и 3 задачи а), если вместо точ-
ки О взять любую другую точку /V на АВ.
в) Выполните задания 2 и 3 задачи а), если вместо
точки А взять любую другую точку Р на АС и рассмотреть
площадь треугольника МРМ.
11.11. Найдите наименьшую хорду: а) угла, проходящую
через точку на его биссектрисе; б) равностороннего тре-
угольника, проходящую через его центр.
11.12. Через середину К стороны АС равностороннего
треугольника АВС со стороной 2 проводится переменная
144
прямая. Выразите длину отрезка, по которой прямая пере-
• • I-.лет треугольник, как функцию угла <р, образованного
•Той прямой с прямой АС. В каких границах лежит эта
пина?
11.13. Как сделать трапецию, у которой: а) три стороны
рлвны, а диагональ имеет данную длину; б) две стороны
рлвны, а диагонали перпендикулярны; в) три стороны рав-
ны. а диагональ равна большей стороне; г) боковые сто-
роны равны, диагонали перпендикулярны, угол при осно-
влнни равен 60°, а площадь равна 1; д) боковая сторона
Перпендикулярна основанию, диагональ является биссектри-
гой, а площадь равна 1; е) три стороны равны, угол между
'т.ноналями равен <р, а площадь равна 1?
11.14. На косогоре надо устроить насыпь для будущей
Пороги. Известны уклон поверхности земли на косогоре, угол
oihoca насыпи и ширина насыпи на ее горизонтальном
У'шстке. Как найти ширину насыпи вдоль косогора? Составь-
ir лналогичную задачу про траншею на косогоре.
11.15. Вам нужно спроектировать канатную дорогу. Ка-
ин геометрические величины вам понадобятся для этого?
11.16. Сможете ли вы узнать ширину реки, хотя бы при-
м< рпо, не имея никаких измерительных инструментов? При
пом вы можете измерять расстояния шагами, фиксировать
влкне то углы тем, что есть под рукой.
11.17. Вы сидите на берегу реки и захотели узнать ее глу-
Лину. не заходя в нее. Можно ли это сделать?
ГЛАВА III
МНОГОУГОЛЬНИКИ
И ОКРУЖНОСТИ
Цель этой главы — изучение основных свойств окруж
ности и круга. Итогом ее будет вывод формул длины окруж
ности и площади круга. Эти формулы получают, приближая
круг близкими к нему многоугольниками. Поэтому в этой гла
ве будут рассмотрены и многоугольники, связанные с окруж
ностью и кругом.
§ 12. ХОРДЫ И ДИАМЕТРЫ.
КАСАТЕЛЬНЫЕ И ОПОРНЫЕ ПРЯМЫЕ
12.1. СВОЙСТВА ХОРД и диаметров. Напомним, что отре-
зок, концы которого лежат на окружности, называется ее
хордой (рис. 120). Хорда, проходящая через центр окруж-
ности,— это ее диаметр. Перечислим несколько свойств хорд
(в том числе и диаметров), объединяя вместе пары взаимно
обратных утверждений.
Свойство 1. Диаметр перпендикулярен хорде, не явля-
ющейся диаметром, тогда и только тогда, когда он про-
ходит через середину хорды.
Доказательство. Пусть диаметр MN окружности с
центром О проходит через середину С хорды АВ (рис. 121, а).
Поскольку медиана ОС равнобедренного треугольника ОАВ
является и его высотой, то ОС ДАВ, т. е. диаметр MN пер-
пендикулярен хорде АВ.
Обратно: если MN.LAB, то высота ОС равнобедрен-
ного треугольника ОАВ является и его медианой, т. е.
АС —СВ (рис. 121, б).
Согласно свойству 1 расстояние от центра окружности до
хорды равно расстоянию от центра до середины хорды.
Мб
Свойство 2. Хорды одной окружности равны тогда и
ш> 1ько тогда, когда они равноудалены от ее центра.
Доказательство. Пусть АВ и CD — две хорды
окружности с центром О (рис. 122), а точки Р и Q — их
к редины. Тогда если AB = CD (рис. 122, а), то AP=CQ.
Н прямоугольных треугольниках ОАР и OCQ гипотену-
зы ОА и ОС равны (как радиусы) и Л ОАР= Л OCQ,
и потому OP=OQ.
Обратно: если OP — OQ (рис. 122, б), то &ОАР =
*>&OCQ и AP = CQ, т. е. AB = CD.
Угол, вершина которого лежит в центре окружности, на-
плюется центральным углом (рис. 123).
Каждая пара радиусов задает в круге два центральных
yi и, дополняющих друг друга до полного угла, т. е. до 360°.
О хорде, соединяющей концы дуги, говорят, что она
। впивает эту дугу, а также центральный угол, соответ-
• । нующий этой дуге. В следующем свойстве речь идет о
п< игральных углах, не больших 180°.
Свойство 3. Хорды данной окружности равны тогда и
in 1ько тогда, когда они стягивают равные центральные
углы.
Это свойство можно сформулировать и так: равные хор-
ды видны из центра окружности под равными углами и
наоборот.
Свойство 3 непосредственно следует из признаков pa-
in иства треугольников (рис. 124, а, б).
12.2. КАСАНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ. Говорят, ЧТО пря-
мая и окружность касаются, если они имеют единственную
общую точку (рис. 125). Такую прямую называют каса-
тельной, а их общую точку — точкой касания. В следующей
ггореме мы объединим два взаимно обратных утверждения.
а)
S)
Рис. 122
Рис. 124
Рис. 125
147
Рис. 126
Рис. 127
Теорема 14 (о характерном свойстве касательной к
окружности ).
I) Свойство касательной: если прямая каса-
ется окружности, то она перпендикулярна радиусу, прове-
денному в точку касания.
2) Признак касательной: прямая, проходящая
через точку окружности и перпендикулярная ее радиусу,
проведенному в эту точку, касается окружности.
Доказательство. 1) Пусть прямая р касается окруж-
ности F в точке А, т. е. А — их единственная общая точка.
Докажем, что она перпендикулярна радиусу ОА. Допустим,
что прямая р не перпендикулярна радиусу О А (рис. 126, а).
Проведем перпендикуляр ОВ к прямой р. Отложим на р от-
резок ВС —В А. Тогда дОВД = дОВС (по двум катетам).
Поэтому ОС=ОА. Значит, точка С лежит на F. Следова-
тельно, р и F имеют две общие точки А и С, что противоречит
условию. Итак, p_LOA.
2) Возьмем любую точку А окружности F и проведем
радиус ОА (рис. 126, б). Затем проведем прямую р, пер-
пендикулярную радиусу ОА. Любая точка В прямой р,
отличная от точки А, удалена от О больше чем на радиус,
поскольку наклонная О В длиннее перпендикуляра О А. По-
этому точка В не лежит на F. Значит, точка А — единст-
венная общая точка р и F, т. е. р касается F в точке А.
12.3. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ.
опорные прямые. Теперь можно перечислить все возмож-
ные случаи взаимного расположения прямой и окружности
(в зависимости от расстояния между центром окружности и
прямой).
1) Если расстояние от центра окружности до прямой
больше радиуса, то прямая и окружность не имеют общих
точек (рис. 127, а). При этом окружность лежит по одну
сторону от прямой.
2) Если расстояние от центра окружности до прямой рав-
но радиусу, то окружность имеет с прямой единственную
общую точку, т. е. прямая касается окружности (рис. 127, б).
И в этом случае окружность лежит по одну сторону от
прямой.
3) Если расстояние от центра окружности до прямой
меньше радиуса, то прямая пересекает окружность ровно в
двух точках (рис. 127, в). (Подумайте, почему окружность
148
и прямая не могут иметь более двух общих точек.) В этом
। цчае на окружности имеются точки, лежащие по разные
и >>роны от прямой (т. е. внутри разных полуплоскостей,
inраниченных данной прямой).
Такие же три случая взаимного расположения возможны
для любой фигуры F и прямой р, если не обращать вни-
м.1ния на число их общих точек. А именно возможно,
что:
I) F и р не имеют общих точек и фигура F лежит по
одну сторону от прямой р (рис. 128, а);
2) F и р имеют общую точку А и F лежит по одну сто-
рону от р (рис. 128, б). В этом случае прямая р называется
опорной к фигуре F в точке А;
3) имеются точки фигуры F, лежащие по разные стороны
in прямой р (рис. 128, в).
Итак, согласно определению опорной прямой касатель-
ная прямая к окружности является опорной к этой окруж-
ности в точке их касания (а также опорной к кругу, ограни-
ii iiHOMy данной окружностью).
Каждая прямая, содержащая сторону выпуклого много-
мольника, опорная. Теперь можно сформулировать опреде-
ление выпуклого многоугольника так: многоугольник вы-
пуклый, если каждая прямая, содержащая его сторону,
опорная для него.
Опорными к выпуклому многоугольнику будут не только
прямые, содержащие его стороны, но и прямые, проходящие
через его вершины внутри соответствующей пары вертикаль-
ных углов (рис. 129).
Опорная прямая всегда проходит через граничную точку
фигуры. Граничными точками фигуры называются такие точ-
ки, которые обладают следующим свойством: в любом круге
с центром в этой точке есть точки, как принадлежащие фигу-
ре, так и не принадлежащие ей (рис. 130).
Точки фигуры, не являющиеся ее граничными точками,
называются внутренними точками фигуры.
Множество всех граничных точек образует границу фи-
|уры. Фигура может содержать свою границу, а может и не
содержать (как, например, внутренность круга).
*12.4. диаметр и ширина фигуры. В этом пункте мы
будем рассматривать лишь ограниченные фигуры. Фигура
называется ограниченной, если она лежит внутри некоторого
Рис. 129
Рис. 130
149
Рнс. 131
Рис. 132
круга (рис. 131). Расстояние между наиболее удаленными
друг от друга точками фигуры (если такие точки существу-1
ют) называется диаметром фигуры. Другими словами, диа- I
метр фигуры — это наибольшее расстояние между ее точками.
Отрезок, соединяющий наиболее удаленные друг от друга |
точки фигуры, тоже называют ее диаметром.
Вспомним теорему 14 о касательной к окружности (или
к кругу). Вторую ее часть можно пересказать так: прямая,
проходящая через конец диаметра круга перпендикулярно
этому диаметру, не имеет с кругом других общих точек и
является его опорной прямой. Оказывается, эта теорема
дословно обобщается на произвольные ограниченные фи-
гуры!
Теорема 15. Прямая, проходящая через конец диамет-
ра фигуры перпендикулярно этому диаметру, не имеет с
фигурой других общих точек и служит ее опорной прямой
(рис. 132).
Повторите (с небольшими изменениями) доказательство
теоремы о признаке касательной, и вы получите доказа- |
тельство этой теоремы. Это примечательно! Один из моментов
в развитии математики состоит в том, что результаты, ко- |
торые прежде относились к более специальным фигурам, 1
уравнениям или иным объектам математики, обобщаются
позже на гораздо более общие объекты. Теорема о каса- I
тельной к окружности восходит к древним грекам, а общее I
понятие опорной прямой и теорема 15 принадлежат гео- I
метрии XX в.
Ограниченная фигура, содержащая свою границу, лежит ]
в полосе между двумя параллельными опорными прямыми
любого направления (рис. 133, а). Для разных направлений
ширина такой полосы может быть различной. Наименьшая
из них называется шириной фигуры. Например, ширина '
круга равна его диаметру, а ширина треугольника равна
наименьшей из его высот (рис. 133, б, в).
Замечание. Обратите внимание на терминологию:
ограниченная фигура — это не та фигура, которая содержит
свою границу, а та, которая лежит в некотором круге, т. е.
имеет конечные размеры.
12.5. градусная мера дуги окружности. С градусным ;
измерением дуг вы знакомы, например, из географии и
знаете, что значит: точка на Земле имеет координаты, к при-
50
меру, 60° северной широты и 30° восточной долготы
(рис. 134, а). В геометрии градусное измерение дуг вво-
IIHся так. Между дугами данной окружности и ее централь-
ными углами устанавливается так называемое взаимно одно-
tn/iMHoe соответствие: каждому центральному углу соответ-
• шует та дуга, которую этот угол «высекает» из окружности
(рис. 134, б), и наоборот.
Градусная мера дуги окружности определяется как гра-
IV пая мера центрального угла, который соответствует этой
дуге. Четверть окружности имеет градусную меру 90°, полу-
окружность— 180°, вся окружность — 360°. Если дуга АВ
имеет градусную меру а°, то пишут: <МВ = а°.
Две дуги одной окружности называют равными, если их
|радусные меры равны.
12.6. вписанные УГЛЫ. Говорят, что угол вписан в окруж-
ное гь, если его вершина лежит на окружности, а обе его сто-
роны пересекают окружность (рис. 135). Говорят также, что
нписанный угол опирается на дугу окружности, лежащую
между его сторонами.
Теорема 16 (о вписанном угле). Мера угла, вписанного
ч окружность, равна мере половины дуги, на которую он
опирается.
Короче обычно говорят так: вписанный угол измеряется
половиной дуги, на которую он опирается.
Доказательство. Пусть угол АВС вписан в окруж-
ность, ВА и ВС — хорды окружности. Возможны три случая.
I) Центр окружности — точка О лежит на одной из сто-
рон угла АВС, например на стороне ВС (рис. 136, а). Про-
ведем радиус ОА и рассмотрим треугольник ОАВ. Он равно-
Педренный, так как ОА = ОВ. Поэтому в нем Z_A = /_B.
А так как Z.AOC внешний для треугольника ОАВ, то
АОС=АА + /-В = 2<СВ
Рис. 134

151
Следовательно, Z_ В — \ ДОС. Но центральный угол
ЛОС измеряется дугой АС. Значит, его половина — угол В
измеряется половиной дуги АС. Для первого случая теорем.i
доказана.
2) Центр О лежит внутри угла АВС (рис. 136, 6).
Тогда проведем диаметр BD и разобьем угол АВС на два
угла: zLABD и Z_DBC. Как уже доказано, угол ABD изме-
ряется половиной дуги AD, а угол DBC — половиной
дуги DC. Поэтому угол АВС — сумма углов ABD и DBC
измеряется полусуммой дуг AD и DC, т. е. половиной ду
ги АС, что и требовалось доказать.
3) Центр О лежит вне угла АВС (рис. 136, в). Снова
проводим диаметр BD и рассматриваем угол АВС как раз-
ность получившихся вписанных углов. Проведите доказа-
тельство для этого случая самостоятельно.
Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и
ту же дугу, равны (рис. 137, а).
Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на по-
луокружность (т.е. на диаметр), прямой (рис. 137, б).
—1- Какие вы знаете свойства хорд в круге?
Х/\ 2. В чем состоит характерное свойство прямой, касательной
\ хЛ к окружности?
О \ V 3. Перечислите случаи взаимного расположения прямой и
\ у окружности. Каковы признаки для каждого из них?
Ус 4. Какая прямая называется опорной для фигуры?
----5. Какие определения можно дать касательной к окруж-
ности?
6. Какие точки называются граничными? внутренними? Мо-
рис. 136 жете ли вы дать другие определения таким точкам фи-
гуры?
7. Обязательно ли граничная точка фигуры принадлежит
самой фигуре?
8. Может ли фигура не иметь: а) граничных точек; б) внут-
ренних точек?
9. Что такое диаметр и ширина ограниченной фигуры?
Задачи к § 12
12.1 . В круге проведена хорда. Рассмотрим такие вели-
чины: R — радиус круга, d — длина хорды, h — расстояние
152
<ч центра круга до хорды и <р— угод, под которым хорда
ни чиа из центра, а) Пусть известны R и h. Как найти d и <р?
г») Выберите любые две из этих величин и, считая их из-
|ич гными, найдите остальные, в) Объясните, почему с увели-
чением <р увеличивается d.
12.2 . Через некоторую точку внутри круга проведена
норда, а) Докажите, что произведение полученных отрезков
хорды — величина постоянная независимо от того, какая
проведена хорда, б) В каких границах изменяется сумма
них отрезков?
12.3 . В круге радиусом 1 проведена хорда. Вычислите ее
мл ину, если: а) она удалена от центра на */3; б) она видна из
и» игра под угл'ом 150°; в) она равна перпендикулярной ей
хорде, проходящей через ее конец,; г) она образует с равной
• II хордой, имеющей с ней общий конец, угол ср; д) она делит
перпендикулярный ей диаметр в отношении 1:2.
12.4 . В круге радиусом 3 проведена хорда. Под каким
Vi лом она видна из центра, если ее длина: а) равна 1;
П) равна 3; в) меньше чем 0,1; г) больше чем 4; д) равна
расстоянию от нее до центра; е) равна длине хорды, имеющей
। пей общую точку на окружности и перпендикулярной ей?
12.5 . Переменная хорда АВ движется в круге радиусом
R с центром в точке О так, что она: а) параллельна самой
себе; б) проходит все время через одну и ту же точку.
В каких границах лежит площадь треугольника ОАВ?
12.6 . а) Через точку А данной окружности проводят
хорды. 1) Объясните, почему из А выходит не больше двух
хорд заданной длины. 2) Пусть Л В и АС — две равные хорды,
/[окажите, что хорда ВС перпендикулярна диаметру, вы-
ходящему из А.
6) Пусть точка А лежит внутри круга. Составьте зада-
чи, аналогичные задаче а).
12.7 . Пусть АВ — хорда окружности. По одну сторону
oi нее проведены хорды AAt и BBt, составляющие равные
углы с АВ. Сделайте рисунок. Что можно доказать по этому
рисунку? Составьте утверждения, обратные тем, какие вы
предложите. Верны ли они?
Решение. Пусть рисунок 138 будет рисунком к задаче.
II что же мы на нем видим? Видим ли равные отрезки?
равные углы? Если таковые существуют, то можно затем
получить разнообразные следствия.
Рис. 137
Рис. 13R
153
Сразу видно, что АА\ = ВВ\. Для доказательства этого
проведем ОА и ОВ. Тогда АОАВ= АОВА в равнобедрен-
ном треугольнике О АВ. Отсюда, используя еще равенство
углов из условия, получим, что ZCM/li = Z_ ОВВ\. Но тогда
.4Л, = еЗ| (?).
Разумеется, надо посмотреть и другие возможные рисун
ки, соответствующие условию.
Обратные утверждения сформулировать несложно. Но
это еще не значит, что они верны. В частности, неверно
утверждение, обратное доказанному. Но интересно найти та-
кое утверждение, которое имеет верное обратное ему утверж-
дение. Попробуйте это сделать.
На всех рисунках к этой задаче видна симметричность
левой и правой половин, точнее, симметричность рисунка
относительно диаметра, перпендикулярного АВ. Эта сим-
метричность подсказывает свойства данной конфигурации,
в частности равенство отрезков АА{ и ВВ},
которое
мы

стали доказывать с самого начала. И в других задачах
того же типа стоит обращать внимание на наличие сим-
метрии. Другое дело, ссылки на нее для обоснования ре-
шения. Как по-вашему, можно ли было бы сказать:
«Так как рисунок симметричен относительно прямой, пер-
пендикулярной АВ, то ЛЛ| = вВ]»?
12.8 . В круге радиусом R проведены две параллельные
хорды, а) Они видны из центра под углами q?i и <р2- Чему
равно расстояние между ними? б) Одна из них имеет длину d.
Чему равна длина второй, удаленной от первой на расстоя-
ние й?
Б
Составьте другие задачи на этот сюжет.
12.9 . Две окружности пересекаются в двух точках. Их
радиусы известны. Как вычислить длину их общей хорды?
12.10 . Как с помощью одной только линейки нарисовать
две хорды одной окружности: а) параллельные; б) перпен-
дикулярные?
12.11 . В круге радиусом R через концы одного диаметра
проведены две хорды длинами d\ и d?. Как найти: а) угол
между прямыми, на которых лежат эти хорды; б) рассто-
яние между их концами, не лежащими на данном диа-
метре?
12.12 . В окружности радиусом R через одну ее точку
проведены две хорды, образующие между собой угол ср,
154
тины хорд равны d\ и d2. Установите зависимость меж-
iy этими величинами, а) Как выглядит эта зависимость
при d]=d-2? б) А если <р = 90°? в) Как найти одну из этих
пгличин, зная остальные?
12.13 . В круге радиусом R через точку внутри его про-
iu-дены две взаимно перпендикулярные хорды длиной d.
и) I [айдите расстояние от центра круга до точки пересечения
хорд, б) Найдите расстояние между концами этих хорд,
и) Сможете ли вы решить задачу б), если длины хорд будут
равны d\ и б/2? г) Сможете ли вы решить задачу б), если
г1ины хорд будут d, а угол между ними ср? д) Обобщите
1Ндачу.
12.14 . Две окружности радиусами и R2 с центрами
О| и 0-2 пересекаются в точках А и В. а) Докажите, что
1/$±О1О2- б) Докажите, что АВ делится прямой О\О2 по-
полам. в) В каком случае О\О2 делится прямой АВ пополам?
i) Установите связь между R\, R2, АВ, О\О2. Как она вы-
।лидит при /?| = /?2? д) Как выразить одну из этих величин
через другие? Выразите длину отрезка АВ через остальные
величины. Как изменяется эта величина при изменении
одной из других?
12.15 . По окружности на земле расставляют столбы
и.। равных расстояниях друг от друга. Известны радиус
круга и расстояние между соседними столбами. Как вы-
числить расстояние между столбами, идущими через один?
м< жду любыми столбами?
12.16 . От точки А окружности радиусом R отложили
ни* хорды АВ и АС длиной d. Хорду АВ продолжили
».i точку А на расстояние d до точки D. Чему равно CD?
К.iK, исходя из этой задачи, можно разметить окружность
пл земле?
12.17 . В круге радиусом R провели две взаимно пер-
пендикулярные хорды. Известно одно из расстояний между
концами этих хорд. Сможете ли вы найти какое-нибудь
п । других таких же расстояний?
12.18 . Хорда соединяет две любые точки сферы. Приду-
м.нпе сами задачи о хордах сферы. Для начала вы можете
ни гавить задачи, аналогичные тем, которые есть в этом
пункте.
12.19 . Постройте касательную из данной точки вне
окружности к этой окружности. Сколько таких касательных

можно построить? Докажите, что их отрезки от данной точки
до точек касания равны.
12.20 . Пусть через точку А проведена касательная АН
к данной окружности (В — точка касания). а) Через точку А
и центр окружности проведена также прямая, которая встре-
чает окружность в точках С\ и С2 (считая от Л). Докажите,
что АВ2=АС\-АС2. Что отсюда следует? б) Через точку А
проведена теперь прямая, пересекающая окружность в точ
ках D\ и D2 (считая от Л). Докажите, что АВ2 = ADi • AD<.
Что отсюда следует? в) Через точку Л проведены теперь две
прямые, пересекающие окружность в точках D\, D-> и Е\, Ej
(считая от Л). Докажите, что AD\-AD-2 = АЕ\ -АЕ2. Что
отсюда следует?
12.21 . Хорда АВ видна из центра окружности под
углом Какой угол составляет она с касательной к окруж-
ности, проведенной через точку Л? Составьте обратное
утверждение.
А
12.22 . В круге радиусом R проведена хорда. Под каким
углом она видна из центра, если она: а) удалена от парал-
лельной ей касательной на расстояние d‘, б) образует с каса-
тельной, проходящей через ее конец, угол ср; в) равна каса-
тельной, проведенной через некоторую точку на своем про-
должении?
12.23 . Из точки Л проведены к окружности радиусом R
с центром О две касательные. Они касаются окружности
в точках В и С. Пусть АВАС = (р. а) Какая связь есть
между величинами R, АО, ВС и <р? б) Как изменяется <р,
если возрастает АО? /?? в) Проведите среднюю линию тре-
угольника АВС. Будет ли она иметь с окружностью общие
точки?
12.24 . К одной и той же окружности проводятся всевоз-
можные касательные. Какую фигуру образуют все точки
пересечения каждой пары касательных?
12.25 . К данной окружности из точки Л проводится ка-
сательная АК (К — точка касания) и переменный луч,
пересекающий окружность в точках X и Y (точка X ближе
к Л, чем У). Пусть точка X движется по дуге этой окруж-
ности. а) В каких границах лежит отношение AY:AX?
б) В каких границах лежит отношение XY:AY? в) В каких
границах лежит сумма АХ-Y А У? г) Пусть известны Л К и R, а
Z_ KAY = q. Как вычислить АХ и Л У?
156
12.26 . Как построить полосу данной ширины, края кото-
|нш проходят через две данные точки?
12.27 . Какую линию образуют: а) центры окружностей,
Юн лющихся данной прямой в данной точке; б) центры рав-
ных окружностей, касающихся данной прямой; в) центры
окружностей, касающихся сторон угла?
12.28 . Нарисуйте окружность. Как выбрать на ней три
не точки, чтобы касательные к окружности, проведенные
к них точках, ограничили: а) равнобедренный треугольник;
Л| равносторонний треугольник; в) прямоугольный треуголь-
ник, г) треугольник с заданными углами; д) треугольник с
in 1.Н1НЫМИ сторонами?
12.29 . а) К данной окружности проведена касательная.
'1<»рез центр окружности О проводится диаметр АВ. Точки
I и В проектируются на касательную. Пусть Ai и Bi— их
пр и кции. При каком положении АВ площадь четырехуголь-
HIII..I ABB)Ai является наибольшей?
б) В данной окружности проводится диаметр АВ и через
|ички А и В проводятся касательные к данной окружности.
Hi одной из образованных полуокружностей берется пере-
менная точка X и через нее проводится касательная, пере-
к кающая первые две в точках С и D. В каких границах
лггкиг площадь четырехугольника ABCD?
12.30 . а) Как узнать расстояние с мостика корабля до
IIIIIIIH горизонта?
б) Как узнать, с какого расстояния увидят свет маяка с
•..uniганского мостика?
и) Находясь на высокой горе и зная ее высоту, вы смо-
in вычислить радиус Земли. Как?
12.31. а) Как вычислить радиус цилиндрической башни,
иг подходя к ней?
б) Придумайте идею прибора для вычисления радиуса
•к ружности.
12.32. Докажите, что в одном круге равны дуги, заклю-
ченные между: а) параллельными хордами; б) касательной и
нпраллельной ей хордой.
12.33. Верно ли, что в одной и той же окружности
• i'i п.шая дуга стягивается большей хордой? Верно ли об-
|Н11 нос?
12.34. Как вычислить величины дуг окружностей по ри-
гунку 139?
157
12.6
Б
A
12.35. Дана окружность радиусом R. Угол между двумя
ее диаметрами равен ср. Параллельно диаметрам проведены
две равные хорды. Каждая из них стягивает центральный
угол, равный а. Чему равно расстояние между ближай
шнми точками этих хорд?
12.36. Проведены две хорды АВ и ВС некоторой окруж-
ности. Пусть известны их длины и величины дуг, которые они
стягивают. Можете ли вы найти длину АС и величину дуги,
которую стягивает хорда АС?
12.37. а) По краю монеты катится край другой монеты
того же достоинства. По первой монете она прокатилась по
дуге величиной а. Можно ли узнать, на какой угол повер-
нулась вторая монета?
б) Сможете ли вы решить задачу а) для монет разноги
достоинства?
12.38. а) Две прямые пересекаются. Каждая из них пере*
секает данную окружность в двух точках. Пусть известны
величины всех полученных при этом дуг окружности. Как
найти величину угла между прямыми? Все ли величины
дуг при этом необходимы?
6) Как можно обобщить все полученные в задаче а) ре-
зультаты?
12.39. Вычислите неизвестный угол по рисунку 140.
нс. 140
58
12.40. На окружности отмечены две точки А и В. На
№tii"ii из полученных дуг взята точка X, а на другой —
• нчю) Y, причем ни одна из них не совпадает с точками
А н В /(окажите, что сумма углов АХВ и AYB одна и та же
При любом положении точек X и Y.
Г.* 41. Нарисуйте полуокружность с центром О и диа-
MripiiM АВ. Пусть ОК — радиус этой полуокружности, пер-
ПШ1дикулярный АВ. На прямой ОК находится точка X.
При каком положении точки X прямая ВХ делит пополам
)Ц|\ ЛК, В К? б) Пусть Х.ОХВ — Ц). Чему равны дуги
.... KL и LB, где L — точка пересечения пря-
ЦнН \Н с полуокружностью?
12.42. а) Пусть точка X лежит внутри круга диамет-
ром Л В, но не на АВ. Докажите, что угол АХВ тупой.
0) Пусть точка X лежит вне круга диаметром АВ, но не
Min на прямой АВ. Докажите, что угол АХВ острый.
и) Проверьте утверждения, обратные а) и б).
I ) Как выглядит задача, аналогичная а) и б) в простран-
• । не?
12.43. Точка С лежит на окружности диаметром АВ,
lo'ih.i С| — проекция точки С на АВ. Рассмотрим величины:
/' радиус окружности, СС\, АС, ВС, ACi, ВС\. Выберите
'ihiitijc две из них как известные и постарайтесь найти
..........
12.44. а) Хорда длиной d делит радиус круга пополам и
||| р|н ндикулярна ему. Чему равен этот радиус?
Л) Хорда длиной d удалена от одного из концов перпенди-
Иулнрного ей диаметра на расстояние d\. Чему равен радиус
KpVi и?
12.45. Через точку А на окружности проведены касатель-
ная \В (В — точка касания) и хорда АС. Биссектриса
Vi it ВАС пересекает окружность в точке К. а) Докажите,
Hi" A I КС. б) Докажите обратное, в) Как, используя ре-
Мды.тгы а) и б), можно строить точки окружности, имея на
pin \ нке только касательную и хорду?
12.46. Треугольник ЛВС равнобедренный. На стороне АС
пип и.। диаметре построена полуокружность. Она пересекает
Лнипные стороны треугольника АВ и ВС в точках К и L
Цнп пгтственно. а) Докажите, что KL\\AC. б) Пусть
\В( <р. Чему равно отношение площадей четырехуголь-
iiiii'.i Л К ВС и треугольника АВС? Как изменяется это от-
Б
159
ношение, если изменяется <р? При каком значении <р это от-
ношение равно 0,5? Чему равны дуги полуокружности? При
каком значении ср эти дуги равны? в) На какие вопросы из а)
и б) вы сможете ответить, если полуокружность будет
пересекать не стороны АВ и ВС, а их продолжения?
12.47. Через точку В данной окружности проведен диа-
метр АВ и касательная. Через точку А проведена прямая.
Пусть она пересекает касательную в точке Л', а окружность
в точке Х|. В каких границах лежат величины: а) АХ-АХг,
б) 4Х + ЛХ1?
12.48. Пластинка имеет форму сегмента круга. Как, ис-
пользуя измерительные инструменты, вычислить радиус этого
круга? А как убедиться, что перед вами именно часть
круга?
12.49. Нарисуйте отрезок. Как его удвоить, имея в руках
только циркуль?
Задачи на применение формулы rf = 2/?-sincp
12.50. Одну из величин в формуле d = 2/?-sin<p считайте
постоянной, а вторую начните изменять. Как в зависимости
от этого будет изменяться третья величина? В каких грани-
d л
цах лежит отношение -£-?
Л
12.51. Даны окружность радиусом 2 и точка А на ней.
Чему равна длина хорды этой окружности, если она видна
из точки А под углом: а) 30°; б) больше чем 90°; в) меньше
чем 120°?
12.52. Нод каким углом видна из центра круга ра-
диусом R его хорда длиной d, если: a) R — 2, d=\', б) /? = 2,
d>2; в) R = 2, г) d = R; д) d<R-yfi\ е)
ж) R<d<2R?
12.53. а) Верно ли утверждение: если из точки на окруж-
ности две ее хорды видны под равными углами, то эти хорды
равны? Верно ли обратное утверждение?
б) Верно ли, что большая хорда окружности из данной
точки на этой окружности видна под большим углом? Верно
ли обратное?
12.54. На одной из сторон угла дан отрезок. На другой его
стороне найдите точку, из которой данный отрезок виден луч-
ше всего.
12.55. Дан сектор круга, меньший чем полукруг. В каких
|раницах лежит его хорда? (Ее концы могут лежать как на
цуге окружности, так и на ее радиусах.)
(адачи о сегменте, вмещающем данный угол
12.56. а) Найдите множество точек плоскости, из которых
1.ШНЫЙ отрезок виден под данным углом. Выделите случай
прямого угла. Как построить найденную фигуру?
б) Каким будет множество точек плоскости, из которых
чанный отрезок виден под углом, большим данного? мень-
шим данного?
в) Как выглядят в пространстве фигуры, аналогичные
найденным в задачах а) и б)?
12.57. Нарисуйте ломаную АВС. Постройте точку X, та-
имо, что: a) /_АХВ = Z.ВХС = 70° (как вычислить угол
ИС?); б) ААХВ^Ж, Z ВХС>100°; в) Z ДХВ>90°,
. /ИС >90°.
D
А
12.58. а) Найдите такую точку, из которой два данных
отрезка видны под углом ср.
б) Найдите точку в треугольнике, такую, из которой все
' го стороны видны под равными углами.
в) На данной прямой (окружности) найдите точку, из ко-
|<>рой данный отрезок виден под данным углом.
12.59. Постройте треугольник по стороне, противолежа-
щему углу и: а) высоте, опущенной на эту сторону; б) меди-
ане, проведенной к этой стороне.
12.60. Какой из треугольников с данным основанием и
и иным углом против него имеет: а) наибольшую площадь;
П) наименьший периметр?
12.61. Объясните, почему точки А, К, С, L лежат на одной
окружности (рис. 141).
12.62. Из некоторой точки квадрата две его соседние
• । ороны видны под углом 120°. Под каким углом видны из
Мг две другие его стороны? Обобщите полученный ре-
•ультат.
12.63. Нарисуйте острый угол А и внутри его точку В.
Ilvcib В\ и В2 — ее проекции на стороны угла, а) Дока-
кик1, что отрезок ВВ\ виден из точек А и В2 под равными
углами, б) Из каких точек видны под равными углами от-
|н щи ВВ2, АВ, АВ27
Б
161
Рис. 141
Изменятся ли полученные результаты для углов других
видов?
12.64. а) На стороне АС треугольника АВС находится
точка X. Пусть и Х2 — ее проекции на стороны АВ и
ВС. При каком положении точки X треугольник ХХ\Х2
имеет наименьший периметр?
б) Изменится ли результат, полученный в задаче а), если
хотя бы одна проекция точки X не лежит на стороне
треугольника?
12.65. Пусть АА\В\В — квадрат, точка О — его центр.
На стороне квадрата АВ как на гипотенузе построен во
внешнюю от квадрата сторону прямоугольный треуголь-
ник АВС. а) Докажите, что СО — биссектриса угла С.
б) Пусть сторона квадрата равна 1. Вычислите СО. в) Будет
ли СО биссектрисой угла С, если треугольник построить по
другую сторону от прямой АВ?
12.66. В четырехугольнике два противоположных угла
тупые. Докажите, что диагональ, соединяющая их вершины,
короче другой диагонали. Изменится ли результат, если эти
углы будут прямые? острые?
12.67. Дан прямой угол. Отрезок ВС длиной а движется
162
।лк, что его концы находятся на сторонах угла, а) По какой
шнни движется середина отрезка ВС? б) По какой линии
(нижется вершина прямого угла А прямоугольного тре-
угольника АВС? Найдите длину пути, пройденного точ-
кой А от одного крайнего положения до другого.
12.68. а) На стороне ДР квадрата ABCD построен равно-
• юронний треугольник ADM так, что вершина М лежит
внутри квадрата. Под каким углом видны из точки М сто-
роны квадрата?
6) Из точки М, лежащей внутри квадрата ABCD, сто-
рона AD видна под углом 60°, а сторона ВС видна под
углом 150°. Под каким углом видны из М другие стороны
квадрата?
в) Из некоторой точки X, лежащей вне равностороннего
треугольника АВС, его сторона ВС, равная 1, видна под
углом 150°. Вычислите ХА.
12.69. Как определить свое местонахождение кораблю,
гели с него видно: а) два ориентира на земле; б) три ориенти-
ра на земле?
12.70. На чертеже осталась прямая, на которой ле-
жали две вершины треугольника и их проекции на другие
• тороны. Сможете ли вы восстановить треугольник?
12.71. Из какой точки поверхности куба его диагональ
видна лучше всего?
§ 13. ВЫПУКЛЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
13.1. выпуклые фигуры. Согласно определению, дан-
ному в п. 1.3, многоугольник называется выпуклым, если он
лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его
сторону.
Вместе с тем в геометрии есть общее понятие выпуклой
фигуры, которое определяется совсем иначе. Фигура назы-
вается выпуклой, если она вместе с любыми двумя своими
।очками содержит также соединяющий их отрезок; на ри-
сунке 142 фигура F выпуклая, a G невыпуклая.
Удобно считать, что выпуклыми являются также фигуры,
состоящие из одной точки, и пустая фигура (или пустое
множество) —фигура, не имеющая точек.
13.2. примеры выпуклых фигур. 1) Круг. Пусть А, В —
две точки данного круга К. Проведя отрезок АВ и продолжив
к
Рис. 143

его, если нужно, до пересечения с окружностью, получим хор-
ду (рис. 143, а). Хорда содержится в круге (докажите это
сами). Значит, отрезок АВ содержится в круге. Тем самым
крут — выпуклая фигура.
2) Плоскость, прямая, луч, отрезок.
3) Полуплоскость — это часть плоскости, ограниченная
прямой (рис. 143, б). Полуплоскость является выпуклой
фигурой, так как отрезок, соединяющий две любые точки
полуплоскости, содержится в ней (рис. 143, в).
Полуплоскости, как мы увидим, являются в некотором
смысле самыми важными выпуклыми фигурами.
Приведите еще примеры выпуклых и невыпуклых фигур
13.3. ДВА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЫПУКЛОГО МНОГОУГОЛЬНИКА
В п. 1.3 мы доказали, что выпуклые многоугольники явля
ются выпуклыми фигурами (свойство 2). Верно и обратное
выпуклая фигура, которая является многоугольником, будет
выпуклым многоугольником (в смысле определения, данногс
в п. 1.3).
Доказательство. Пусть многоугольник Р является
выпуклой фигурой. Докажем, что он лежит по одну сторону
от каждой прямой, содержащей его сторону.
Допустим противное, т. е. допустим, что у многоуголь-
ника Р есть такая сторона АВ, что многоугольник имеет
точки, расположенные по обе стороны от прямой АВ.
Пусть С и D — две такие точки (рис. 144). Тогда из-за вы-
пуклости многоугольник Р должен содержать все отрезки,
соединяющие точку С с точками X отрезка АВ. Следова-
тельно, многоугольник Р содержит треугольник АВС. Точно
так же он содержит и треугольник ABD.
Оба треугольника лежат по разные стороны от прямой А В
и, значит, образуют четырехугольник, содержащийся в мно-
гоугольнике Р. Внутренние точки отрезка АВ лежат внутри
Рис. 144
•и ।трехугольника ABCD, а значит, и внутри многоуголь-
ника Р. Следовательно, отрезок АВ не может быть стороной
многоугольника Р.
11олучилось противоречие, которое показывает, что пред-
положение, будто у многоугольника Р есть точки по разные
। троны от прямой, содержащей его сторону, неверно. Зна-
||| ।. он лежит по одну сторону от каждой такой прямой, что и
|ребовалось доказать.
Итак, мы убедились, что два различных определения вы-
пуклости многоугольника дают один и тот же результат:
многоугольник, выпуклый в смысле первого определения,
будет выпуклым и в смысле второго и наоборот. Значит,
ни определения равносильны. (По существу, каждое из
рннносильных определений некоторого понятия является его
характерным свойством.)
13.4. пересечение выпуклых фигур. При пересечении вы-
пуклых фигур свойство выпуклости сохраняется. А именно
имеет место такая теорема:
Теорема 17. Пересечение двух выпуклых фигур вы-
пукло.
Доказательство. Пусть и F2 — две выпуклые фи-
|уры и F — их пересечение (рис. 145). Если две точки А и В
принадлежат F, то, значит, они принадлежат и Ft, и F2. А так
кик фигу pa F{ выпуклая, то она содержит отрезок АВ. Точно
гак же F2 содержит отрезок АВ. Поэтому он содержится в
пересечении F\ и F2, т. е. в F. Итак, отрезок, соединяющий
пюбые две точки А, В фигуры F, содержится в F, т. е. (ри-
Гура F выпуклая.
Замечание 1. Эта теорема справедлива и для пересе-
•II ния любой совокупности выпуклых фигур. Доказательство
ег останется тем же.
Рис. 145
Рис. 146
165
Замечание 2. В частности, пересечение фигур может
быть пустым или состоять из одной точки. Если бы пустое
множество и одна точка не считались выпуклыми фигурами,
то эти случаи надо было бы исключить из теоремы и ее нельзя
было бы формулировать так просто, как это сделано.
Доказанная теорема позволяет получать новые выпуклые
фигуры как пересечение известных. Мы уже говорили в п. 1.3,
что выпуклые многоугольники можно получить как пересе-
чение конечного числа полуплоскостей, ограниченных пря-
мыми, которые содержат стороны многоугольников. Круг яв-
ляется пересечением бесконечного семейства полуплос-
костей, ограниченных его касательными (опорными) прямы-
ми (рис. 146).
13.5. опорные прямые выпуклых фигур. Будем рассмат-
ривать выпуклые фигуры, содержащие свою границу. Для
них выполняются следующие теоремы:
1. Через каждую точку границы выпуклой фигуры про-
ходит опорная прямая.
Доказательство. Пусть А — граничная точка выпук-
лой фигуры F (рис. 147, а). Проведем через каждую точку X
фигуры F луч АХ. Все эти лучи лежат в одной полуплос-
кости а. (Допустив противное, найдем треугольник XYZ,
который содержится в F и внутри которого лежит точка А
(рис. 147, б). А это невозможно, так как точка А граничная.)
Граница полуплоскости а и является опорной прямой фигу-
ры F, проходящей через точку А.
2. Каждая выпуклая фигура, содержащая свою границу,
является пресечением полуплоскостей, ограниченных опор-
ными прямыми (рис. 148).
Рис. 147
Рис. 148
166
Именно поэтому мы говорили, что полуплоскость — самая
иижная выпуклая фигура. Доказать эту теорему попробуйте
< .состоятельно.
I
у
Л
Какие вы знаете выпуклые фигуры?
Какие свойства выпуклых фигур вы знаете?
Как доказывается равносильность двух определений вы-
пуклого многоугольника?
1пдачи к § 13
13.1. Выпуклая фигура содержит три точки, не лежащие
и.। одной прямой. Докажите, что она содержит треугольник с
п< ршинами в этих точках. Будет ли это верно для невы-
пуклой фигуры?
13.2. Может ли фигура иметь ровно один диаметр? ровно
два диаметра? ровно три диаметра? Разберите отдельно
< |учаи для выпуклой и невыпуклой фигур.
13.3. Может ли фигура иметь два параллельных диа-
метра?
13.4. Есть ли такая фигура (выпуклая и невыпуклая),
которая разбивается на две части, каждая из которых имеет
диаметр меньший, чем диаметр данной фигуры? Зависит ли
Н.П11 ответ от того, является линия разбиения прямой или нет?
13.5. Можно ли круг разбить на две части диаметра мень-
шего, чем диаметр круга? А на три такие части?
13.6. а) Из плоскости убрали одну точку. Оставшуюся
фи гуру хотят представить как объединение выпуклых фигур.
Каково наименьшее число выпуклых фигур, решающих
шдачу?
6) Какое будет число выпуклых фигур, если в их объеди-
нении требуется получить плоскость без двух точек? без
।рех точек?
13.7. Пусть фигура имеет два диаметра. Обязательно ли
они имеют общую точку?
13.8. а) Даны выпуклая фигура F и точка А вне ее. Точ-
ка А соединяется отрезками со’ всеми точками F. Будет ли
объединение всех этих отрезков выпуклой фигурой? Изменит-
ся ли результат, если F не будет выпуклой фигурой?
б) Даны две выпуклые фигуры Fi и F2. Все точки каждой
из них соединяются со всеми точками другой. Будет ли объе-
А
Б
13.1 13.2
167
13.3
A
1
динение всех этих отрезков выпуклой фигурой? Изменится ли
результат, если Fi и F2 не будут выпуклыми фигурами?
Будет ли выпуклой фигурой множество середин всех этих
отрезков?
13.9. Как найти диаметр фигур по рисунку 149?
13.10. Докажите, что диаметром выпуклого многоуголь-
ника является либо его сторона, либо диагональ. Верно
ли это для невыпуклого многоугольника? Сколько сторон
в выпуклом многоугольнике может равняться его диаметру?
А диагоналей?
13.11. а) Дан выпуклый п-угольник. 1) Чему равна сум-
ма всех его углов? 2) Чему равна сумма всех внешних его
углов?
б) Дан невыпуклый многоугольник. 1) Чему равна сум-
ма всех внутренних его углов? 2) Чему равна сумма всех
внешних его углов?
13.12. Внутри многоугольника Mi с периметром Pi лежит
выпуклый многоугольник М2 с периметром Р2. Докажите,
что P2cPi. Будет ли это верно, если многоугольник М2 не
будет выпуклым?
13.13. Какие свойства выпуклого четырехугольника сле-
дуют из того, что он: а) разбивается своей диагональю на
два равных треугольника; б) разбивается двумя своими
диагоналями на четыре равных треугольника?
13.14. Сколько сторон и углов выпуклого четырехуголь-
ника надо знать, чтобы вычислить остальные его элементы?
13.15. Какое наибольшее число острых углов может иметь
выпуклый n-угольник? а невыпуклый?

Fi8
13.16. На накое наибольшее число частей могут разбить
Плоскость два: а) треугольника; б) выпуклых четырехуголь-
ника; в) выпуклых «-угольника?
13.17. Середины всех сторон выпуклого многоугольника
являются вершинами другого многоугольника, а) Объясни-
п*. почему второй многоугольник является выпуклым, б) До-
Б
нижите, что периметр второго многоугольника не меньше по-
'|<>вины периметра первого. А когда достигается равенство?
будет ли верна аналогичная оценка для их площадей?
13.18. Нарисуйте пять точек на плоскости так, что любые
и гыре из них являются вершинами выпуклого четырехуголь-
ника. Докажите, что и все пять являются вершинами вы-
пуклого пятиугольника. Как вы это обобщите?
13.19. Нарисуйте пять точек на плоскости так, что ника-
кие три из них не лежат на одной прямой. Докажите, что
четыре из них являются вершинами выпуклого четырех-
уюльника. Как вы это обобщите?
13.20. В выпуклом пятиугольнике провели все диагонали.
Они ограничивают разные многоугольники, лежащие в дан-
ном. Найдется ли среди них пятиугольник? Сделайте ана-
югичную работу в шестиугольнике. Как вы обобщите ре-
зультаты своей работы?
13.21. Нарисуйте выпуклый четырехугольник и проведите
и нем все диагонали. Получим разбиение четырехугольника
на треугольники. Внутри любого из этих треугольников вы-
берите точку и подсчитайте, сколько треугольников с вер-
шинами в вершинах данного четырехугольника ее содержат.
Проведите аналогичные наблюдения за другими выпуклыми
многоугольниками. Какое вы можете сделать предположе-
ние? Можете ли вы его опровергнуть? а доказать?
13.22. Внутри выпуклого многоугольника берется любая
точка и проектируется на все его стороны. Докажите, что
коть одна ее проекция окажется именно на стороне, а не на ее
продолжении.
13.23. Нарисуйте плоскую фигуру, которая в каждой
своей точке, где имеется опорная прямая, имеет их беско-
А
ночное множество.
13.24. Может ли фигура: а) не иметь опорных прямых;
б) иметь только одну опорную прямую; в) не иметь опорной
прямой только в одной точке; г) иметь опорную прямую
только в одной точке?
169
Б
пря-
ко-
Теп-

13.25. Чему равна ширина: а) прямоугольника со сторо-
нами 1 и 2; б) правильного треугольника со стороной I
в) равнобедренного треугольника с боковой стороной 1 1
углом <р при вершине?
13.26. Как найти ширину каждой из фигур на рисун
ке 149?
13.27. Нарисуйте фигуру, отличную от круга, для которой
расстояние между любыми параллельными опорными
мыми равно ширине фигуры.
Решение. Разберитесь в решении этой задачи,
торое дано в очень хорошей книге Г. Радемахера и О.
лица «Числа и фигуры». Мы приводим его полностью.
«Простейшая кривая постоянной ширины, не являю-
щаяся окружностью,— это равносторонний треугольник
составленный из дуг окружностей таким образом, что каж-
дая вершина его совпадает с центром противолежащей дуги
(рис. 150). Все три дуги имеют один и тот же радиус, кото
рый и представляет собой постоянную ширину кривой. Ведь
из двух параллельных опорных прямых либо одна непремен
но проходит через вершину, а другая касательна к противо-
положной дуге, либо обе проходят через вершины, и тогда
обе они в этих вершинах касательны к дугам. И в том и е
другом случае расстояние между двумя параллельными
опорными прямыми равно длине радиуса, перпендикуляр
ного к касательной в точке касания».
Все ли вам понятно в этом тексте? Считаете ли вы, что
нужны какие-либо промежуточные доказательства?
Продолжим текст из этой книги.
«Из всех кривых постоянной ширины этот дуговой тре-
угольник впервые был замечен (!) в технике. Механик Рело
в своей классификации механизмов установил, что эта фи
гура допускает вращение внутри квадрата при постоянном
соприкосновении с его сторонами, а это свойство характерно
для всех кривых постоянной ширины».
Не хотите ли вы проверить наблюдение Рело?
Далее в книге рассказывается, как строить другие фи-
гуры постоянной ширины. Попытайтесь сами построить «пя-
тиугольник» постоянной ширины. Есть в ней и другие инте-
ресные факты о таких кривых. Есть, к примеру, такие кри-
вые постоянной ширины, никакая часть которых не является
дугой окружности.

Рис. 150
170
И еще одно. Сверло обычно делает круглые отверстия.
Л можно ли просверлить квадратное отверстие?
| 14. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ
Из всевозможных случаев взаимного расположения
окружностей и многоугольников выделяют те случаи, когда
окружность проходит через все вершины многоугольника или
касается всех его сторон. В первом случае говорят, что
окружность описана около многоугольника, а во втором —
чю она вписана в него. Такое взаимное расположение мно-
юугольников и окружностей находит разнообразные приме-
нения.
Не в каждый многоугольник можно вписать окруж-
ность или описать ее около него. Нет таких окружностей у
певыпуклого четырехугольника (и вообще у любого невы-
нуклого многоугольника). Но ясно, что, скажем, у квадрата
1якие окружности есть (рис. 151). Поэтому прежде всего
выясним, в каком случае около многоугольника можно опи-
«ать окружность и когда в многоугольник можно вписать
окружность.
14.1. ОКРУЖНОСТЬ, ОПИСАННАЯ ОКОЛО МНОГОУГОЛЬНИКА.
Говорят, что многоугольник вписан в окружность, если все
его вершины лежат на ней (рис. 152, а). Тогда об этой
окружности говорят, что она описана около многоугольника.
Ясно, что около многоугольника можно описать окруж-
ность, если найдется точка, равноудаленная от всех его
вершин (рис. 152, б). Эта точка лежит на серединном пер-
пендикуляре каждой стороны многоугольника (рис. 152, в).
< 1ледовательно, около многоугольника можно описать окруж-
ность тогда и только тогда, когда серединные перпендику-
ляры всех его сторон имеют общую точку. Эта точка и будет
центром описанной окружности.
Рис. 152
171
Около каждого треугольника можно описать окружность
(это доказано в следующем пункте). Но не около каждого
даже выпуклого четырехугольника можно описать окруж
ность. Например, для параллелограмма это можно сделать
лишь тогда, когда параллелограмм является прямоуголь-
ником (объясните почему, рис. 153).
14.2. ОКРУЖНОСТЬ, ОПИСАННАЯ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА.
Чтобы утверждать, что серединные перпендикуляры любых
двух сторон треугольника пересекаются, докажем сле-
дующую лемму:
Лемма. Прямые, перпендикулярные пересекающимся
прямым, пересекаются.
Доказательство. Пусть прямые а и b пересекаются,
прямая р±.а и прямая q_\_b (рис. 154). Допустим, что пря-
мые р и q параллельны. Тогда поскольку и p\\q, то
alq. А так как и bJLq, то а||6. Это противоречит условию
леммы. Итак, допущение, что р||q, привело к противоречию.
Поэтому р и q пересекаются.
Теорема 18. Около каждого треугольника можно опи-
сать окружность.
Доказательство. Пусть дан треугольник АВС
(рис. 155). Проведем серединные перпендикуляры р и q его
сторон АВ и ВС. Они пересекутся в некоторой точке О
(по лемме). Так как Оер, то ОА = ОВ. А так как 0<=q, то
ОВ = ОС. Поэтому ОА = ОС, т. е. точка О равноудалена от
всех вершин треугольника АВС. Значит, около треуголь-
ника АВС можно описать окружность с центром в точке О
и радиусом R = OA.
Выделим важный частный случай: центром окружности,
описанной около прямоугольного треугольника, является се-
редина его гипотенузы.
Действительно, пусть АВ — гипотенуза прямоугольного
треугольника АВС (рис. 156), точка О — середина АВ, а
точка М — середина катета АС. Так как средняя линия ОМ
параллельна катету ВС (см. п. 10.3), то прямая ОМ пер-
пендикулярна катету АС. Поэтому ОМ — серединный пер-
пендикуляр катета АС. Значит, ОА = ОС. А так как ОА = ОВ,
то точка О — центр окружности, описанной около треуголь-
ника АВС.
Как же найти радиус R окружности, описанной около
треугольника АВС, если известны его стороны а, Ь, с?
Рис. 154
172
с
в
(Вспомните, что равенство этих отношений является теоре-
мой синусов.)
Докажем равенство (1). Проведем через центр О окруж-
ности, описанной около треугольника АВС, диаметр BD
(рис. 157). Получим прямоугольный треугольник BCD с ги-
потенузой BD. Тогда
BD
вс
sin D
(2)
Но вписанные углы А и D опираются на одну и ту же
дугу ВС. Поэтому Z_A = /LD. Так как BD = 2R и ВС = а,
го из (2) следует (1).
Так как из (1) sin 4=-^-, то, подставляя значение
sin А в формулу S =у dcsin/1, получаем, что площадь
с abc
(3)
14.3. ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В МНОГОУГОЛЬНИК. Гово-
рят, что многоугольник описан около окружности, если все
его стороны касаются данной окружности (рис. 158, а).
Тогда об этой окружности говорят, что она вписана в данный
многоугольник. Итак, окружность вписана в многоугольник,
если она касается всех его сторон.
Так как расстояние от центра окружности, вписанной в
многоугольник, до его сторон равно радиусу окружности, то
173
Рис. 158
ее центр равноудален от всех сторон этого многоугольника
(рис. 158, б). Значит, в многоугольник можно вписать
окружность, если найдется точка, равноудаленная от всех
его сторон. Она и будет центром вписанной окружности. Эта
точка лежит на биссектрисе каждого угла многоугольника
(рис. 158, в). Следовательно, в многоугольник можно вписать
окружность тогда и только тогда, когда биссектрисы всех
углов многоугольника имеют общую точку. Эта точка и бу-
дет центром вписанной окружности.
В каждый треугольник можно вписать окружность (это
доказано в следующем пункте). Но не в каждый четырех-
угольник можно вписать окружность. Например, для парал-
лелограмма это можно сделать лишь тогда, когда параллело-
грамм является ромбом (объясните почему, рис. 159).
14.4. ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В ТРЕУГОЛЬНИК-
Теорема 19. В каждый треугольник можно вписать
окружность.
Доказательство. Пусть дан треугольник АВС
(рис. 160). Проведем биссектрисы р и q его углов А и В. Они
пересекутся в некоторой точке О. Так как О^р, то она равно-
удалена от сторон АВ и АС, а так как O^q, то она равно-
удалена от сторон ВС и В А. Поэтому точка О равноудалена
от всех сторон треугольника АВС. Итак, в треугольник АВС
можно вписать окружность с центром в точке О.
Площадь S треугольника АВС, его периметр Р = аА-Ь-\-с
и радиус г вписанной в него окружности связаны равен-
ством
S = j-Pr. (4)
Действительно, высоты треугольников О ВС, ОСА и О А В,
проведенные из вершины О, равны г. А сумма площадей
Рис. 159
174
этих треугольников равна S. Поэтому
S =±ar + j-br + ±cr=+- (a + b + c)r = ±Pr,
т. е. имеет место (4).
Из равенства (4) и находят радиус вписанной окруж-
ности.
Равенство (4) справедливо и для любого многоуголь-
ника, в который можно вписать окружность. Докажите его
самостоятельно, разбив многоугольник на треугольники с об-
щей вершиной в центре вписанной окружности и основа-
ниями на сторонах многоугольника (рис. 161).
I. Окружность описана около многоугольника. Как это мож-
но сказать иначе? При каком условии это возможно? Как
построить такую окружность? Откуда следует единствен-
ность такой окружности?
2. Ответьте на вопросы в № 1, но для окружности, вписан-
ной в многоугольник.
3. О многоугольнике высказаны два утверждения: а) около
него можно описать окружность; б) в него можно вписать
окружность. Приведите пример такого многоугольника,
для которого: верны оба утверждения; только одно из них;
ни одно из этих утверждений не является верным. Какую
роль при этом играет выпуклость многоугольника?
I. Как вычислить радиус окружности, описанной около:
а) треугольника; б) многоугольника?
5 Как вычислить радиус окружности, вписанной в: а) тре-
угольник; б) многоугольник?
I /
Задачи к § 14
BUD
А
14.1. Докажите, что можно описать окружность около:
а) прямоугольника; б) равнобокой трапеции. Проверьте
обратные утверждения.
14.2. Докажите, что во вписанном четырехугольнике сум-
мы противоположных углов равны 180°. Верно ли обратное
утверждение?
14.3. Нарисуйте многоугольник, около которого нельзя
описать окружность: а) невыпуклый; б) выпуклый.
14.4. Пусть АВ — диаметр окружности. Из точек А и В
проведены две параллельные хорды АС и BD. а) Каким по
виду будет четырехугольник ACBD? б) Пусть АС = х. Вы-
разите площадь четырехугольника ACBD как функцию от х,
если радиус окружности равен 1. В каких границах изменяет-
ся площадь?
14.5. Как вычислить радиус окружности, описанной около
равнобокой трапеции, если в трапеции известны: а) все сто-
роны; б) два основания и диагональ; в) большее основание,
боковая сторона и угол между ними; г) большее основание и
угол, под которым оно видно из вершины другого основания;
д) диагональ и угол, под которым она видна из противо-
положной вершины?
Решение. Обычное решение задач на нахождение ра-
диусов описанной и вписанной в многоугольник окружностей
состоит в том, что устанавливают положение центра окруж-
ности, затем рисуют нужный радиус, заключают его в под-
ходящий треугольник и т. д.
Здесь можно обойтись без всего этого. В самом деле,
окружность, описанная около этой трапеции, будет прохо-
дить через ее вершины А, В, С, D (рис. 162). Но тогда она
будет проходить через любую тройку этих вершин, например
через А, В и D. Тем самым она будет окружностью, описан-
ной около треугольника ABD. Верно и обратное (?). (Кстати,
а нужна ли ссылка на справедливость обратного утвержде-
ния?) Поэтому радиус, который мы хотим найти, можно ис-
кать как радиус окружности, описанной около треуголь-
ника ABD.
В задаче а) его можно найти по такому плану:
1. Проведем хорду трапеции В К. параллельную CD\
BK=CD (?).
176
2. Из треугольника АВК найдем Z А (?).
3. Вычислим радиус описанной окружности по формуле
/?= вк-.= CD (5)
2 sin А 2 sin А
Переходя к задаче г), можно увидеть, что идея решения
Гочно такая же, как ива). Интересно, однако, то, что тра-
пеция ABCD и л ABD не определяются однозначно большим
основанием и данным углом (?).
11о радиус описанной окружности у всех трапеций с этим
основанием и этим углом будет согласно написанной фор-
муле (5) один и тот же.
Л сами описанные при этом окружности будут разными
или это будет одна и та же окружность?
14.6. а) Чему равна площадь равнобокой трапеции, если
радиус описанной окружности равен /?, ее основания видны
и । центра окружности под углами аир?
б) Чему равен радиус окружности, описанной около рав-
нобокой трапеции, у которой угол при основании равен ср, а
площадь равна S?
14.7. Как сделать трапецию, вписанную в круг ра-
шусом /?, у которой: а) диагональ перпендикулярна стороне;
б) три стороны равны; в) угол при основании равен <р?
14.8. Какие отрезки и углы можно найти на рисунке 163?
14.9. В круг радиусом R вписываются прямоугольники.
Чему равна наибольшая из их площадей?
14.10. Из всех четырехугольников, вписанных в данную
окружность, найдите тот, который имеет наибольшую пло-
щадь.
14.11. Как вычислить радиус наименьшего круга, содер-
жащего данную равнобокую трапецию?
14.12. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. До-
кажите, что АВ • CD -[-AD • ВС=АС • BD. (Теорема Птоле-
мея.)
К каким равенствам приводит эта теорема в случае пря-
моугольника? равнобокой трапеции? Проверьте справед-
ливость обратного утверждения.
14.13. Пусть a, b, с, d — стороны вписанного в окруж-
ность четырехугольника, р—его полупериметр, a S — его
площадь. Докажите, что S = ^/~(p — а) (р — Ь) (р — с) (p — d).
Какие следствия вы можете получить из этой формулы?
£ВА0 = а
а)
ВК = а
АН = b
CD = d
д)
дк=а
KD=b
в)
Рис. 163
177
A
14.14. Понадобилась доска шириной 20 см и толщиной
2 см. Каков наименьший диаметр бревна, из которого можно
выпилить такую доску?
14.15. У тонкого конца бревно имеет диаметр 450 мм.
Из него нужно выпилить доски шириной 360 мм и толщиной
30 мм. Сколько получится досок? А сколько будет досок, если
их взять той же толщины, но шириной 270 мм?
14.16. Пусть треугольник АВС таков, что биссектриса
угла В и серединный перпендикуляр стороны АС пересе-
каются в точке О, лежащей внутри треугольника. Соедините-
точку О с вершинами А и С и проведите из нее перпендикуля
ры на стороны В А и ВС. Попробуйте доказать, что данный
треугольник является равнобедренным.
14.17. Установите положение центра окружности, описан-
ной около равнобедренного треугольника, в зависимости от
угла при его вершине.
14.18. В окружность радиусом R вписан равнобедренный
треугольник. Пусть его высота, проведенная из вершины,
равна h, а ее продолжение до окружности равно d, основа-
ние равно а, а боковая сторона равна Ь. а) Докажите, что
b'1 = elRh.. Выразите из этой формулы R. Как изменяется R
в зависимости от h, если считать b постоянной? б) Докажите,
что a2 = Adh.
14.19. Пусть а, Ь, с — стороны треугольника, S — его
площадь, R — радиус описанной около него окружности. Ка-
кие следствия можно получить из формулы S = -^-?
14.20. а) Вычислите сторону равностороннего треуголь-
ника, вписанного в окружность радиусом 1.
б) Вычислите радиус окружности, описанной около рав
постороннего треугольника со стороной 1.
в) Установите зависимость между стороной равносторон-
него треугольника и радиусом описанной около него окруж-
ности.
14.21. Вычислите радиус окружности, описанной около
равнобедренного треугольника, если в нем: а) основание
равно 2, а боковая сторона равна 3; б) основание равно 1
а угол при вершине равен <р; в) площадь равна S, а угол при
основании равен <р.
14.22. В окружность радиусом 1 вписан равнобедрен
ный треугольник. Чему равна его площадь, если: а) боковая
178
। трона равна 1; б) высота, опущенная на основание, рав-
и.। v; в) основание равно 2d; г) угол при вершине равен <р?
14.23. Вычислите радиус окружности, описанной около
|рсугольника АВС, в котором: а) стороны равны б, 8, 10;
о) стороны равны 6, 8, 9; в) с = 2, ЛА—20°, ЛВ = 40°;
I) а = 3, b=4, ZC = 60°.
14.24. Около треугольника описана окружность ра-
диусом R. Как найти его площадь, если известны: а) его
углы; б) две его стороны; в) один угол и одна сторона?
14.25. Может ли радиус описанной около треугольника
окружности быть: а) меньше каждой его стороны; б) больше
। аждой его стороны; в) равен каждой его стороне?
14.26. В треугольнике все стороны различны. Можно ли
у шать, какая из них видна из центра описанной окружности
под наибольшим углом?
14.27. Треугольник лежит внутри круга. Сравните радиус
и ого круга с радиусом описанной около треугольника
Б
окружности.
14.28. В окружность вписан ранобедренный треугольник.
.|) Можно ли провести хорду этой окружности, параллель-
ную основанию треугольника, которая делится боковыми сто-
ронами треугольника на три равные части? б) Будем двигать
основание треугольника параллельно самому себе. Как будет
при этом изменяться площадь треугольника? Может ли при
ном получиться треугольник с такой площадью, как и дан-
ный? Когда площадь такого треугольника достигает наиболь-
шего значения?
14.29. Докажите, что: а) из всех прямоугольных тре-
угольников, вписанных в данную окружность, наибольшую
площадь имеет равнобедренный треугольник; б) из всех
равнобедренных треугольников, вписанных в данную окруж-
ность, наибольшую площадь имеет равносторонний тре-
угольник.
14.30. Рассматриваются треугольники с общим основа-
нием и равными углами, лежащими против него. Пусть
разность между боковыми сторонами этих треугольников
увеличивается. Что при этом происходит с его: а) пло-
щадью; б) периметром? Что следует из полученных ре-
iy./i ьтатов?
14.31. По окружности, описанной около равносторон-
него треугольника, движется точка X. Сторона треуголь-
179
ника известна. В каких границах изменяется сумма рас-
стояний от X до вершин треугольника?
14.32. Около треугольника описана окружность. Из лю-
бой точки этой окружности проведите перпендикуляры на
его стороны или их продолжения. Что можно заметить на
рисунке? Сможете ли вы это доказать?
14.33. Сможете ли вы восстановить равнобедренный тре-
угольник, если на рисунке остались центр описанной около
него окружности и его: а) боковая сторона; б) основание?
14.34. Сможете ли вы восстановить треугольник, вписан-
ный в некоторую окружность, если на рисунке остались точки
пересечения с этой окружностью продолжений: а) его бис-
сектрис; б) его высот; в) его медианы, биссектрисы и вы-
соты, проведенных из одной вершины?
14.35. Как, имея в руках маленькую линейку, найти ра-
14.3
Q
А
диус большого круга?
14.36. Докажите, что можно вписать окружность в:
а) квадрат; б) ромб.
14.37. Докажите, что в описанном четырехугольнике сум-
мы противоположных сторон равны. Докажите обратное.
14.38. Чему равен радиус окружности, вписанной в:
а) ромб со стороной а и углом ос между сторонами; б) четы-
рехугольник, являющийся объединением двух равнобедрен-
ных треугольников с общим основанием (дельтоид), если
боковые стороны этих треугольников равны а и Ь, а угол
между этими сторонами с общей вершиной равен (р?
14.39. Около окружности описана равнобокая трапеция.
Докажите, что: а) прямая, соединяющая точки касания
Б
окружности с основаниями, перпендикулярна этим основа-
ниям; б) прямая, соединяющая точки касания окружности
с боками, параллельна основаниям. Вершинами какого по
виду четырехугольника могут быть четыре точки касания?
14.40. Какие элементы трапеции можно вычислить по
данным, указанным на рисунке 164?
14.41. Нарисуйте окружность. Как выбрать на ней четыре
такие точки, чтобы касательные к окружности, проведен-
ные в этих точках, ограничили: а) параллелограмм; б) ромб;
в) прямоугольник; г) квадрат?
14.42. В каких границах лежит площадь описанной око-
ло данной окружности фигуры: а) ромба; б) равнобокой
трапеции?
180
Рис. 164
14.43. От квадрата отрезали прямоугольный равнобед-
ренный треугольник. Катет его равен половине стороны
квадрата. Пусть сторона квадрата известна. Как найти ра-
шус наибольшего круга, умещающегося в оставшемся от
квадрата пятиугольнике?
Попробуйте на этот сюжет сами составить задачу.
14.44. Постройте четырехугольник, описанный около дан-
ной окружности. Постройте прямую, проходящую через
середины его диагоналей. Что можно заметить на рисунке?
Как это доказать?
14.45. Как сделать трапецию, в которую можно вписать
окружность и у которой при этом: а) три стороны равны;
б) бока равны, а диагонали перпендикулярны; в) один бок
перпендикулярен основаниям, а другой — диагонали?
14.46. а) Вычислите радиус окружности, вписанной в
равносторонний треугольник со стороной 1.
6) Вычислите сторону равностороннего треугольника,
описанного около окружности радиусом I.
14.47. Как вычислить радиус окружности, вписанной в
прямоугольный треугольник, у которого известны: а) катеты;
б) гипотенуза и острый угол; в) площадь и острый угол;
г) периметр и острый угол?
14.48. Выразите радиус окружности, вписанной в равно-
бедренный треугольник, через: а) стороны; б) основание и
угол при вершине; в) высоту и угол при основании; г) пло-
щадь и угол при вершине; д) периметр и угол при основании;
е) радиус описанной окружности и угол при вершине;
ж) две высоты; з) основание и расстояние между центрами
вписанной и описанной окружностей.
14.49. В равнобедренный треугольник с известными сто-
ронами вписана окружность. В ней проведена хорда, соеди-
А
181
няющая точки касания с боковыми сторонами, а) Как найти
длину этой хорды? б) Сравните длину хорды со средней ш
Б
нией, проведенной через середины боковых сторон треугол
ника, в) Сравните хорду с радиусом этой окружности.
14.50. В треугольник вписана окружность. Как вычисли и
ее радиус, если известны: а) две стороны и угол между ними
б) сторона и два прилежащих к ней угла?
14.51. В прямоугольный треугольник вписана окруж
ность. Пусть точка О — ее центр, точка L —точка касания i
катетом ВС, точка М — точка касания с катетом АС, том
ка К— точка касания с гипотенузой АВ. а) Какой по виду
четырехугольник OLCM? б) Может ли какая-либо точки
касания быть серединой соответствующей стороны? в) Пуск.
Какая из хорд окружности: KL, LM или МК —
ближе к центру? г) Пусть точка К делит гипотенузу на oi
резки длиной di и d2. Чему равна площадь треугольника?
14.52. Окружность радиусом г, вписанная в треугольник,
разбивается точками касания на дуги а, |3, у. Чему равны
стороны треугольника? Составьте обратную задачу.
14.53. Какие элементы равнобедренного треугольника вы
сможете найти, зная: а) радиусы вписанной и описанной
окружностей; б) их отношение?
14.54. В треугольнике совпадают центры вписанной и
описанной окружностей. Докажите, что он является равно-
сторонним.
14.55. Восстановите равнобедренный треугольник, от ко-
торого остались: а) вершина и центры вписанной и описан-
ной окружностей; б) две вершины и центр вписанной окруж-
ности.
§ 15. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
15.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРАВИЛЬНОГО МНОГОУГОЛЬНИКА. На
рисунке 165, а изображены многоугольники, имеющие
наиболее «правильную» форму в сравнении с другими много-
угольниками с тем же числом сторон (рис. 165, б).
Определение. Многоугольник называется правиль-
ным, если у него все стороны равны и все углы равны.
Вам хорошо известны правильные треугольники и четы-
рехугольники (это равносторонние треугольники и квадра-
ты) и их свойства. Теперь мы познакомимся с общими
свойствами любых правильных многоугольников.
182
Рис. 165
Прежде всего заметим, что все углы правильного много-
yiи п.ника меньше 180°. Действительно, как было доказано
н п 1.2, у каждого многоугольника есть хотя бы один угол,
меньший 180°. У правильного многоугольника все углы рав-
ны Значит, все они меньше 180°.
15.2. центр правильного многоугольника. В правиль-
ним треугольнике есть такая точка, которая равноудалена
nt всех его вершин и всех его сторон (какая?). Такая же
in'iis.i есть и в квадрате (где именно?). Оказывается, такая
же точка есть в любом правильном многоугольнике. Она
и.11ывается центром правильного многоугольника. Итак,
игчтр правильного многоугольника — это точка, равноуда-
/кнная от всех его вершин и от всех его сторон. Докажем
< v шествование центра.
Теорема 20 (о центре правильного многоугольника).
Н каждом правильном многоугольнике есть точка, равно-
удаленная от всех его вершин и от всех его сторон.
Доказательство. Пусть Л|Л2...ЛП— правильный п-
угольник. Проведем биссектрисы р и q углов At и А2
(рис. 166). Лучи р и q пересекутся в некоторой точке О
(почему?). Докажем, что О является центром правильного
н угольника.
Сначала докажем, что О равноудалена от всех его вер-
шин, т. е. ОА\ = ОЛ2 = ОЛ3 = ... = ОЛЯ. Так как Z.1 = Z.2
(как половины равных углов), то треугольник ОЛ|Л2 равно-
бедренный. Поэтому ОЛ| = ОЛ2. Далее, л ОЛ]Л2 = л ОЛ2Л3,
1ак как Л1Л2=Л2Л3, сторона ОЛ2 у них общая и Z2=Z3
(поскольку А2О — биссектриса угла Л2). Поэтому ОА, = ОА3.
Отсюда получаем, что ОА3 = ОА2 и Z4=Z.3.
Далее, Z 3=у Z. Л2, zLA2= Z_A3 и потому Л3=~- Z. Л3.
Но Z3 = Z4. Значит, /_\=~ Z_A3, т. е. Z4=Z5. По-
следнее равенство означает, что А3О — биссектриса угла Л3.
Рис. 166
183
Рнс. 168
Повторяя проведенные рассуждения, мы получаем нуж-
ные равенства:
О А з = ОЛ 4, ОАп— 1 = 0/4 п-
Докажем теперь, что точка О равноудалена от всех сто-
рон правильного /7-угольника. Как ясно из предыдущего,
треугольники OAtA2, ОА2А3, ОА3А4, ..., OAn-iAn, OAnAi —
равнобедренные треугольники, равные между собой. Значит,
равны их высоты, проведенные на основания, т. е. на стороны
правильного /7-угольника. Иначе говоря, точка О равно-
удалена от всех сторон Д|Д2...Д„.
Из этой теоремы следует, что: 1) около правильного мно-
гоугольника можно описать окружность; 2) в правильный
многоугольник можно вписать окружность.
15.3. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ О ЦЕНТРЕ ПРАВИЛЬНОГО
МНОГОУГОЛЬНИКА.
Следствие 1. Сторона ап правильного п-угольника
связана с радиусом R описанной около него окружности
формулой
e„ = 2/fsin-!^-. (|)
Доказательство. Пусть А (А2 — сторона правильного
/7-утольника Р, а точка О — его центр (рис. 167). Тогда
OAi = R, а высота ОК треугольника ОА\А2, опущенная из
вершины О, является его медианой и биссектрисой. Так как
Z_A}OA2 = ^~, то ЛАКЖ = ~ АА,ОА2 = ^~-. Из пря-
моугольного треугольника А\ОК с катетами ОК и ги-
потенузой R получаем -^-a„ = /?sin , откуда и вытекает
нужное нам равенство.
Следствие 2. Периметры правильных п-угольников
относятся как радиусы описанных около них окружностей.
Доказательство. Его несложно найти самим. Обо-
значьте стороны п-угольников а, и а2, затем выразите их
периметры. Составьте отношение периметров и восполь-
зуйтесь формулой (1).
15.4. ПОСТРОЕНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ. ЯСНО,
чтобы построить правильный /2-угольник, достаточно разде-
лить окружность на п равных дуг — точки деления и будут
его вершинами (рис. 168). Тем самым существуют пра-
184
пильные n-угольники для любого натурального Но в
(лементарной геометрии речь идет о построении правиль-
ного n-угольника циркулем и линейкой. Эта задача имеет
интересную историю.
Легко построить правильные треугольник и четырехуголь-
ник. Зная свойства правильных многоугольников, вы легко
построите правильный шестиугольник: радиусами описанной
окружности он разбивается на шесть правильных треуголь-
ников. Поэтому его сторона равна радиусу описанной окруж-
ности (рис. 169). Если от некоторой точки окружности по-
следовательно откладывать ее хорды, равные радиусу, то и
получатся вершины правильного шестиугольника.
Если уже построен некоторый правильный п-угольник
/\, то циркулем и линейкой легко строится правильный
'*// угольник Р2п. Для этого можно описать около Рп окруж-
ность и разделить пополам каждую дугу этой окружности,
стягиваемую стороной многоугольника Рп (рис. 170). Точки
деления этих дуг вместе с вершинами многоугольника Рп
и будут вершинами правильного 2п-угольника Р2п. Повторяя
ио построение, можно затем построить правильный 4п-
угольник, правильный 8п-угольник и т. д. Указанное по-
строение называется удвоением правильного многоуголь-
ника.
Какие правильные п-угольники можно построить цирку-
1ем и линейкой? Например, можно ли построить правильный
пятиугольник и правильный семиугольник? Оказывается, что
правильный пятиугольник циркулем и линейкой построить
можно, а правильный семиугольник нельзя.
Задача о построении циркулем и линейкой правильных
многоугольников изучалась еще древнегреческими геомет-
рами, а окончательно была решена лишь в 1801 г. великим
немецким математиком Карлом Гауссом (1777—1855).
К. Гаусс, используя средства алгебры, доказал, что цирку-
лем и линейкой правильные n-угольники могут быть по-
строены лишь тогда, когда число п имеет следующее раз-
ложение на множители:
п = 2тр}
где т — неотрицательное целое число, а ..., pq — простые
числа вида 22‘ + 1 (k — неотрицательное целое число). Чис-
ло 5 имеет такой вид, так как 5 = 22 + 1, а число 7 не имеет.
Рис. 170
Карл Гаусс
185
°)
6)
Рис. 171

т. е
Строят правильный пятиугольник так. Сначала находят
сторону а правильного десятиугольника, вписанного в крут
радиусом I (рис. 171, а), строят правильный десятиугольник
а затем через одну соединяют отрезками вершины этого де-
сятиугольника.
Сторону же десятиугольника а находят так. В равно-
бедренном треугольнике ОАВ, в котором ОА = ОВ=\ и
ZO = 36°, проведем биссектрису АС (рис. 171, б). Тогда
АО=ЛСАВ = ЛСАО = 36° и АОАВ=АОВА = ААСВ =
= 72°. Поэтому ОС=СА = АВ = а и СВ=\—а. Проведя i
равнобедренных треугольниках ОАВ и АС В высоты, нахо
дим синусы половины угла при вершине:
1 —а
sin 18° =4- и sin 18°=—-—.
2 а
Поэтому для а получаем уравнение у = 1~Q
a2 *+а— 1=0. Отсюда а = ^~ — у (отрицательный корень
отбрасываем, так как а>0). Построение отрезка а цирку
лем и линейкой указано на рисунке 171, в.
Следующее после пяти простое число вида 22‘ -f-1 ujif
k = 2 равно 17. Именно задачу о построении правильного
17-угольника сначала решил Гаусс, и этот многоугольник оь
завещал изобразить на своем надгробии.
Но приближенное разбиение окружности циркулем не
любое число равных частей (а значит, и построение цир
кулем и линейкой любого правильного «-угольника) с любой
сколь угодно высокой точностью всегда осуществимо. Это f
делается с древнейших времен на практике, когда изготов
ляют циферблаты, астрономические инструменты, рисуют
орнаменты (рис. 172).
1.
2.
3.
Какой многоугольник называется правильным? Может лр
правильный многоугольник быть невыпуклым?
Какие свойства правильных многоугольников вы знаете?
Пусть в правильном «-угольнике рассматриваются трр
величины: сторона, радиус вписанного круга и радиус
описанного круга. Как, зная одну из них, найти осталь
ные?
Какие правильные многоугольники вы
циркулем и линейкой?
можете построить
186
Задачи к § 15
Рис. 172
15.1. Докажите, что в правильном многоугольнике:
а) равны диагонали, соединяющие его вершины через одну
(а через две?); б) все его стороны видны из центра под одним
и тем же углом; в) из любой его вершины каждая сторона
(кроме тех, которым эта вершина принадлежит) видна под
одним и тем же углом; г) все треугольники, вершины которых
находятся в вершинах данного многоугольника, имеют один
н тот же радиус описанной окружности; д) его наибольшая
диагональ проходит через его центр при четном числе сторон
и не проходит через его центр при нечетном числе сторон.
15.2. Пусть известна сторона правильного п-угольника.
Как вычислить: а) угол при его вершине; б) его площадь?
15.3. Вычислите в правильном шестиугольнике: а) угол
между диагоналями, выходящими из одной вершины; б) угол
между пересекающимися наименьшими диагоналями; в) от-
ношение большей диагонали к меньшей; г) отношение частей
большей диагонали, на которые ее делит меньшая диагональ;
д) отношение частей, на которые делят друг друга, пересе-
каясь, две меньшие диагонали; е) отношение площадей
шестиугольника и треугольника, сторонами которого явля-
ются меньшие диагонали.
15.4. Пусть сторона правильного п-угольника равна 3, а
радиус вписанной окружности равен 2. Чему равен радиус
описанной около него окружности?
Решение. Вся информация, нужная нам для ответа на
вопрос, находится на рисунке 173. Здесь АВ — сторона пра-
вильного n-угольника, АВ = а, R — радиус описанной окруж-
ности, г — радиус вписанной окружности. По теореме Пифа-
гора из д ОД С сразу получаем, что
г=лд2_(4)2. (1)
А
О
Рис. 173
187
И это вся задача? Не торопитесь. Вы обратили внимание
на то, что в задаче дано еще число сторон правильного мно-
гоугольника — оно равно п. И эту информацию мы никак не
использовали в приведенном решении. Но тогда задача мо-
жет быть, как говорят, «переопределенной», ибо еще одно
данное в условии может повлиять на ответ. Причем повлиять
даже так, что задача перестанет иметь решение.
Как это может случиться здесь? А вот как.
Найдем радиус вписанной окружности из того же тре-
угольника ДОС по формуле r = /?-cos Z_ О. Так как =
_ _360_ то 180 . Поэтому
п п J
180°
r-/<.cos-^-. (2)
Теперь ясно, что задача имеет решение, если оба по-
лученных результата совпадают, т. е.
Л/Я2~(4)2 =*-c°s-T-
Если не совпадают, то решений нет.
Видно, что это равенство выполняется не при любых зна-
чениях /?. а и п. Например, не выполняется, если /?=3, /? = 2,
а=2.
Но г можно найти и по формуле
Надо ли проверять совпадение этого значения г с тем,
которое получено ранее?
Задача оказалась действительно «переопределенной».
Этого не надо бояться, а надо хорошо понимать, что делать
в этом случае.
Поставим теперь такой вопрос: ну, а если бы число сторон
правильного многоугольника не было дано и вместо правиль-
ного n-угольника был бы дан правильный многоугольник — <
что бы изменилось в решении?
Ясно, что ответ по формулам (2) и (3) уже не получится,
ибо нет п. Значит ли это, что задача решается по форму-
ле (1)?
Возьмем, например, такие данные: /? = 5, а = 8. Будет ли
верным ответ г = 3? Будет ли он отвечать условию задачи
188
в полном объеме, т. е. будет ли треугольник со сторона-
ми 5, 5, 8 частью правильного п-угольника? Еще точнее:
выполняется ли при этих числовых данных равенство
tg
180°
п
4
3
(можно взять также аналогичное равенство для синуса,
косинуса или котангенса)?
Начнем работать по порядку. При д = 3 получим
|ц60° = л/3=/4.
о
При п=4 получим tg45°=i#=y.
I яо°
При больших значениях п угол -° будет меньше 45°,
л потому это равенство не выполняется при любых зна-
чениях п.
Исходные числовые данные оказались противоречивыми.
Ответ г = 3 неверен, ибо такого правильного многоугольника
не существует.
15.5. В круглой пластинке надо просверлить пять одина-
ковых отверстий на равных между собой расстояниях и на
одном и том же расстоянии от центра. Как вы разметите
пластинку?
15.6. Как построить вписанный в данную окружность:
а) правильный треугольник; б) правильный четырехуголь-
ник? Сможете ли вы это сделать, пользуясь одним только
инструментом?
15.7. Дан правильный шестиугольник. Докажите, что:
и) для каждой его диагонали есть равная диагональ;
6) среди его диагоналей есть перпендикулярные; в) среди
<то диагоналей есть параллельные. Как это обобщается?
15.8. Пусть AS — разность площадей двух правильных
а угольников, ДР — разность их периметров, А/? — разность
радиусов описанных около них окружностей. Есть ли связь
между этими величинами?
15.9. а) Дан правильный пятиугольник. 1) Докажите, что
псе его диагонали равны. 2) Докажите, что каждая его
шагональ параллельна какой-либо его стороне. 3) Вычис-
Б
иие, в каком отношении делится каждая диагональ теми
диагоналями, которые ее пересекают. 4) Какой по виду
многоугольник ограничен всеми его диагоналями? Какую
189

часть составляет его площадь от площади данного пяти-
угольника?
б) Возьмите длинную полоску бумаги и аккуратно завя-
жите ее узлом. Докажите, что при этом получился пра-
вильный пятиугольник.
15.10. Стороны правильного пятиугольника продолжили
до взаимного пересечения. При этом получилась пятико-
нечная звезда — многоугольник с многими интересными свой-
ствами. а) Докажите, что равны ее стороны, б) Докажите,
что равны ее острые углы, в) Какие еще свойства звезды
вы сможете обнаружить?
Как вы обобщите эту задачу?
15.11. Является ли описанный многоугольник правиль-
ным, если у него: а) все стороны равны; б) все углы равны?
Ответьте на те же вопросы для вписанного многоуголь-
ника.
15.12. Докажите, что из всех «-угольников, вписанных
в данную окружность, правильный «-угольник имеет: а) на-
ибольшую площадь; б) наибольший периметр.
Составьте аналогичную задачу для описанного «-уголь-
ника.
15.13. Правильный шестиугольник можно разрезать на
ромбы. Как? Обобщите эту задачу.
15.14. Пусть Л1Л2...Дл — правильный многоугольник, точ-
ка О — его центр. Возьмем точку Р, не лежащую в его плос-
кости, и соединим ее отрезками со всеми его точками. Пусть
при этом отрезки РА{, РД2, ..., РАп равны. Мы получили
многогранник, который называется правильной «-угольной
пирамидой. Многоугольник A|A2...Art называется основа-
нием пирамиды, треугольники РЛ1Л2, ••• называются боко-
выми гранями, а) Докажите, что боковые грани равны между
собой, б) Докажите, что все треугольники РОА, равны между
собой, в) Докажите, что РО перпендикулярен любой диаго-
нали основания, проходящей через О.
Что еще вы сможете доказать для такой пирамиды?
§ 16. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ
16.1. длина кривой линии. Длину сравнительно корот-
кого пути можно измерять шагами, например длину изви-
вающейся дороги или тропинки. Длину железнодорожного
<10
nvi и можно измерять, считая промежутки между i-елеграф
ними столбами. Длину кривой линии на чертеже или на
карте измеряют циркулем с постоянным раствором
(рис. 174). Во всех этих случаях длину линии измеряют по-
< н'цовательными отрезками, концы которых лежат на данной
пинии. Эти отрезки образуют ломаную, длина которой рав-
на сумме длин отрезков, и она дает более или менее точное
(качение длины линии.
Ломаную, вершины которой лежат последовательно на
шиной линии от одного ее конца до другого, называют
ломаной, вписанной в данную линию (рис. 175, а). Линия
может быть и замкнутой (например, окружность или дис-
।акция кросса, старт и финиш которого находятся в одном
месте). Измеряя длину замкнутой линии, вписывают в нее
замкнутую ломаную (рис. 175,6). Например, вершины такой
ломаной для дистанции кросса — это флажки вдоль дистан-
ции, которыми она размечена.
Длина кривой линии приближенно равна длине вписан-
ной ломаной и вычисляется она тем точнее, чем меньше
(венья ломаной и чаще располагаются вершины ломаной на
данной кривой.
16.2. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ. ВЫЧИСЛЯЯ ДЛИНЫ Кривых ЛИНИЙ,
можно брать любые вписанные в них ломаные, лишь бы вер-
шины этих ломаных располагались на кривой линии доста-
точно часто. Для окружности таким свойством обладают
границы правильных многоугольников, вписанных в эту
окружность, когда число их сторон неограниченно увели-
чивается (рис. 176). Поэтому, измеряя длину окружности,
рассматривают вписанные в нее правильные «-угольники и
вычисляют их периметры. Чем больше п, тем периметр такого
многоугольника меньше отличается от длины окружности.
В результате измерений, проводившихся с древнейших
времен, было установлено, что длина окружности пропор-
Рис. 176
191
Рис. 177
циональна ее радиусу /? (или, что все равно, ее диаметру),
Это выражает давно известная вам формула длины /
окружности, т. е. L = 2nR, или А = л(2/?), л — коэффи-
циент пропорциональности между L и 2R.
И тогда вопрос о вычислении длины окружности сво-
дится к вычислению числа л.
Мы сначала установим пропорциональность длины
окружности ее радиусу (диаметру), а затем расскажем о
числе л.
Теорема 21 (о длине окружности). Длина окружности
пропорциональна ее радиусу, т. е. отношение длины окруж-
ности к ее радиусу не зависит от окружности.
Доказательство. Пусть F\ и Г2 — две окружности с
радиусами R\ и /?2, a Qi и Q2— вписанные в них правильные
n-угольники (рис. 177). Обозначим через Р\ и Р2 периметры
этих многоугольников. Периметры правильных л-угольников
относятся как радиусы описанных окружностей (следствие 2,
п. 15.3). Поэтому
Pi = /?,
Рг Рг
Если неограниченно увеличивать число сторон много-
угольников Q, и Q2 (например, удваивать его), то их пери-
метры будут сколь угодно мало отличаться от длин Li и L2
окружностей и F2. («Сколь угодно мало» — это значит, что
разность между периметрами и длиной окружности можно
сделать меньше чем, например, 0,001; 0,0001 и вообще любого
положительного числа). Тогда число ~ будет сколь угод-
Ь2
Р| г- °
но мало отличаться от величины -р-. С другой стороны,
как уже сказано, Д- = Д-. Значит, число будет сколь
<2 А2 • Ь2
угодно мало отличаться от числа Но такое возможно
*
лишь тогда, когда эти числа равны.
Т I /. I R | L | / •О АЛМ
Итак, -р- = —откуда получаем, что — = — . Ц
L2 Ki Кч
Из результата теоремы следует, что отношение Д, т. е.
2Р
отношение длины окружности к ее диаметру, есть величина
постоянная. Оно и обозначается буквой л.
192
Замечание. Вычисляя длину окружности, можно при-
ближать ее периметрами не только правильных вписанных
и окружность многоугольников, но и периметрами правиль-
ных многоугольников, описанных около окружности.
Действительно, пусть правильный «-угольник Q описан
около окружности F с радиусом R и центром О (рис. 178).
Соединим отрезками точку О с вершинами многоуголь-
ника Q. Эти отрезки пересекут окружность F в точках, кото-
рые являются вершинами правильного «-угольника Q', впи-
саиного в F. Пусть сторона АВ «-угольника Q касается
окружности F в точке С, а отрезки ОА и ОВ пересекают F в
точках А' и В'. Радиус ОС пересечет отрезок А'В' в сере-
дине — точке С'.
Отношение периметров Р и Р' правильных «-угольни-
ков Q и Q' равно отношению их сторон АВ и А'В', т. е.
А С 180°
отношению их половин: И так как ЛС = /? tg п и
I
Рис. 178
А'С =R sin 8 -, то — ———— Поэтому Р = —_—
п ’ Р’ 180° J 180° •
cos---- cos---
п п
Когда число « неограниченно увеличивается, cos-5-^—
приближается к cosO0, т. е. к единице, а Р'— к длине
окружности F, т. е. к 2л/?. Следовательно, периметры Р
правильных «-угольников, описанных около окружности F,
как и периметры вписанных «-угольников, приближаются к
длине окружности F. Этим мы воспользуемся при вычисле-
нии площади круга.
16.3. о числе л. Число л иррациональное, т. е. оно может
быть представлено десятичной дробью лишь приближенно.
Вам известно такое приближение: л <^3,14. Более точное
приближение: л^3,1416.
Вычислять л с любой точностью можно, находя пери-
метры Р правильных многоугольников со все большим
Р
числом сторон. Тогда отношение где R — радиус опи-
санной окружности будет приближаться к л.
Немного посчитаем. У правильного шестиугольника пери-
р
метр равен 6/?. Поэтому -у^- = 3. Это дает первое прибли-
жение для л. Далее можно взять 12-угольник. Вычисляя
его сторону а 12, получим:
193
Леонард Эйлер
«12= v(4)2+(/?-/?T‘) =#V2—v'3 «Я-0,518. !
Отсюда л«3,11... . Дальше можно взять 24-угольник и полу-
чить еще более точное значение л. Знание достаточно точных
приближений числа л имеет большое практическое значение,
так как число л постоянно встречается в конкретных задачах
Поэтому такие приближения старались найти уже в глубокой
древности. Так, в папирусе древнеегипетского жреца
Ахмеса (ок. 1700 г. до н. э.) содержится довольно хорошее
приближение для л, а именно л«(у) «3,1605. Великин
древнегреческий ученый Архимед (ок. 287—212 гг. до н. э. I
в своем сочинении «Об измерении круга» дал такие прибли
10 ’
жения: 3 — <л<3у, л«3,14, выразив через диаметр
окружности периметр правильного 96-угольника.
Индийский математик и астроном Ариабхата
(ок. 475 г.) нашел еще более точное приближение: л «3,1416.
А работавший в XV в. в Самарканде в знаменитой обсерва-
тории Улугбека математик аль-Каш и, рассмотрев пра-
вильный многоугольник с 800 335 168 сторонами, дал прибли-
женное значение для л с 16 верными знаками.
Обозначение буквой л отношения длины окружности к ее
диаметру ввел в общее употребление в XVIII в. великий мате-
матик Леонард Эйлер (1707—1783). С этой буквы на-
чинается греческое слово, означающее «окружность». При-
меняя методы высшей математики, Эйлер нашел для л при-
ближение с 153 верными знаками. Современные ЭВМ могут
находить для л приближения с десятками тысяч верных
знаков, но, конечно, для практики такие приближения не
нужны.
16.4. длина дуги окружности. Каждой дуге окружности
соответствует центральный угол. Ясно, что длина дуги окруж-
ности пропорциональна мере соответствующего ей централь-
ного угла (постарайтесь пояснить это подробнее). Поэтому
углу в 1° соответствует часть длины дуги окружности,
2л/? jiR
т. е. ее длина равна -^- = 7™--
ЗоЦ 1 оО
Следовательно, длина / дуги, соответствующей централь-
ному углу в а0, равна: / = л/?-^-.
194
I На чем основано приближенное вычисление длины кри-
вой?
’ Можете ли вы уточнить определение вписанной ломаной?
I Как вы понимаете последний абзац пункта 16.1?
I Докажите теорему о длине окружности.
.» По какой формуле вычисляется длина дуги окружности?
Из каких соображений она получена?
6 Что вы знаете о числе л?
Задачи к § 16
16.1. а) Каков характер зависимости между длиной
окружности и ее радиусом?
б) Пусть радиус окружности /? увеличился на величину г.
Как изменилась длина окружности?
в) Пусть длина окружности L увеличилась на величину
/ Как изменился радиус окружности? Обратите внимание на
го, что его изменение не зависит от L.
16.2. Чему равно отношение длин окружностей, вписан-
ной и описанной для данного правильного п-угольника?^
16.3. Чему равна длина окружности, описанной около:
i) прямоугольного треугольника с гипотенузой с\ б) равно-
бедренного треугольника с основанием а и углом при вер-
шине ср; в) прямоугольника со стороной а и углом ср между
диагоналями; г) равнобокой трапеции с диагональю d и
углом при основании ср?
16.4. Чему равна длина окружности, вписанной в: а) пря-
моугольный треугольник с катетом а и противолежащим
углом ср; б) равнобедренный треугольник с высотой h, про-
пиленной к основанию, и углом при вершине ср; в) ромб с
шагоналями а и Ь\ г) прямоугольную трапецию, у которой
основание равно боковой стороне и равно а?
16.5. Окружности с общим центром называются концен-
|рическими, а разность их радиусов называется шириной
<и раниченного ими кольца, а) Как вычислить ширину коль-
ца, если известны длины окружностей, его ограничивающих?
б) Имеется множество концентрических окружностей, каж-
D
А
16.2
1ые две соседние из которых имеют разность радиусов, рав-
ную d. Выберите любые две из них. Чему равна разность их
и ин? в) Представьте себе, что Землю обтянули веревкой по
жватору, а потом длину веревки увеличили на 1 м и образо-
195
Б
вали из нее окружность, концентрическую с экватором. Про
лезет ли в образовавшийся зазор кисть руки?
16.6. а) Колесо катится по прямой. Какая зависимость
существует между его радиусом, числом оборотов, которое
оно сделает, и длиной пройденного пути?
б) Цирковой велосипедист едет на велосипеде, колеса
которого имеют разные радиусы. Он объехал границу арены
один раз. Как узнать, во сколько раз больше обернулось за
это время меньшее колесо? Изменится ли полученный вами
результат, если радиус арены будет в два раза больше?
в) Два зубчатых колеса сцепили между собой. Их ра-
диусы Ri и R%. Первое из них сделало п оборотов. Сколько
оборотов сделало второе?
г) Пусть теперь есть третье колесо, которое имеет радиус
R:i и сцеплено со вторым (см. задачу в) ). Сколько оборотов
сделало третье колесо, если первое сделало п оборотов? Что
интересного в полученном результате? А сколько оно сделает
оборотов, если, кроме того, что сцеплено со вторым, будет еще

сцеплено с первым?
16.7. По окружности радиусом R катится окружность
радиусом г. Сколько оборотов она сделает, пока вернется в
прежнее положение?
16.8. Прямой круговой конус с радиусом основания R
и высотой Н положили боком на плоскость и покатили.
Q
Сколько оборотов сделает его основание, пока не вернется в
прежнее положение?
16.9. а) Докажите, что длина дуги окружности пропор-
циональна соответствующему ей центральному углу при
постоянном радиусе и пропорциональна радиусу окружности
при постоянном центральном угле.
б) Докажите, что длины двух дуг одной окружности от-
носятся как величины этих дуг.
А
16.10. Как узнать, под каким углом видна из центра
окружности радиусом R дуга длиной L? Приведите примеры.
16.11. а)
окружности
радиусом
R проведена
хорда
длиной R. Чему равны длины стягиваемых ею дуг?
б) Какой длины должна быть хорда окружности ради
усом R, чтобы длина одной из дуг, стягиваемых
в два раза больше другой дуги?
16.12. Из точки проводятся две касательные
ею,
была
к
данной
окружности, а)
Объясните, почему при удалении
точки от
196
окружности длина ближайшей к этой точке дуги окружности
увеличивается. б) Пусть известна длина касательной и угол
между касательными. Как найти длину дуги между точками
касания?
16.13. Круглая площадка разбита дорожками на сек-
юры. Вы находитесь на пересечении границы площадки и
порожки. А ваш товарищ в другой такой же точке. Как вам
побыстрее добраться до него?
Ходить можно только по дорожкам и вокруг площадки.
Решение. Рисунок ситуации, описанной в задаче, при-
мерно такой (рис. 179, а). Вы находитесь в точке А, ваш
юварищ — в точке В. Эту реальную ситуацию надо пере-
вести на геометрический язык, или, как говорят, создать
н еметрическую модель этой реальной задачи. Мы выберем
мкую модель (рис. 179, б). Здесь точка О — центр площад-
ки, А и В — точки на окружности, где стоят двое. Тогда путь
IH А в В может идти по ломаной АОВ или по дуге АВ. (При
ггом мы считаем, что дуга АВ не больше полуокружности.
Разумеется, мы полагаем, что и тот и другой путь будет
пройден с одной и той же скоростью и.) Время затрачен-
ное на путь по ломаной, равно Время /2, затрачен-
ное на путь по дуге, равно > где <р= ААОВ, R —
радиус окружности, L — длина окружности. Иначе можно
шписать:
/ _2л/?<р
2 ~ 360 v ‘
О
5)
Для сравнения t\ и t? имеем такое равенство:
/1: А> = 360: (лф).
От того; что больше: 360° или лф, и зависит ответ задачи.
Если ф = 60°, то 360>60-л, а значит, время t\ больше
времени /2.
Если ф=120°, то 360<120-л и время t\ меньше вре-
мени /2-
Имея калькулятор, вы сможете найти приближенно зна-
чение ф, при котором /| = /2.
Мы решали задачу в предположении, что речь идет о
щух соседних дорожках. Важно ли это?
197
Можно было выбрать другую геометрическую модель,
например как на рисунке 179, в. В этой модели первый ва-
риант пути выглядит так: отрезок AAi, дуга Д|5| и отрезок
В В. Эта модель более точная. Сравните сами варианты пути
при тех же значениях ср, т. е. 60° и 120°, задав положение
точек ,4] и В\ на радиусах О А и ОВ. (Кстати, а что будеч
происходить при выборе Ai и Bt все ближе к О?)
Важно понимать, что не бывает абсолютно точной мате-
матической модели реальной ситуации. При создании такой
модели мы всегда чем-то пренебрегаем, что-то не учиты-
ваем, а потому и ответ не может быть абсолютно точным.
Этого не надо пугаться. Главное здесь, достаточна ли эта
точность для решения поставленной задачи.
16.14. Даны две окружности радиусами R и г (R>r).
Центр меньшей окружности лежит на большей. Длина дуги
меньшей окружности внутри большего круга равна L. Какова
длина дуги большей окружности внутри меньшего круга?
16.15. Часы показывали 15.00. Как вычислить путь, кото-
рый пройдет конец минутной стрелки, пока она догонит ча-
совую?
16.16. Нарисуйте отрезок АВ. Вы хотите покороче по-
пасть из А в В, двигаясь только по полуокружностям, диа-
метры которых лежат на АВ. При этом соседние диаметры
не накладываются друг на друга. Какой вы выберете путь?
16.17. Как найти длину красной линии по рисунку 180?
16.18. Точка равномерно движется по окружности. Будет
ли равномерным движение ее проекции на диаметр окруж-
Рис. 180 ности? Проверьте и обратное.
198
к
Рис. 181
16.19. Попытайтесь объяснить, почему хорда короче дуги
окружности, соединяющей ее концы. Может ли она быть в
два раза короче, чем меньшая из этих дуг?
16.20. Автомобиль едет по дуге окружности. Объясните,
почему его внешние колеса едут с большей скоростью, чем
внутренние. Установите, как зависит отношение их скоростей
01 крутизны поворота.
16.21. Прямоугольное поле стадиона окружено беговой
дорожкой. Она состоит из двух прямолинейных участков и
двух полуколец. Длина беговой дорожки должна быть
100 м. а) Рассчитайте размеры прямоугольного поля и ши-
рину дорожки, б) Бегуны бегут 400 м. Как вы их расста-
вите на старте? (Бегунов четверо, и каждый из них бежит
по своей дорожке.)
16.22. Могут ли равняться длины L\ и L2 на рисунке 181?
§ 17. ПЛОЩАДЬ КРУГА
17.1. площадь фигуры. До сих пор мы вычисляли пло-
щади только многоугольных фигур. В общем случае для
199
Рис. 182
Рис. 183
произвольной фигуры F ее площадь S(F) можно вычисли и.
с помощью площадей многоугольных фигур. Укажем один
из способов.
Если многоугольная фигура Q содержит фигуру F, то ее
площадь S(Q) ^S(F) (рис. 182). Значит, S(Q) будет при
ближенным значением для S(F) с избытком. Для фигур,
которые встречаются на практике, и для фигур, которые
мы будем изучать, путем подходящего выбора многоуголь
ной фигуры Q удается этот избыток, т. е. разность
S(Q) — S(F), сделать сколь угодно малым. Тем самым S(F)
можно вычислить с любой нужной точностью.
17.2. площадь круга. Пусть данная фигура F — круг.
Тогда, измеряя его площадь S(F), в качестве содержащих
его многоугольных фигур проще всего взять описанные около
него правильные многоугольники (рис. 183).
Теорема 22 (о площади круга). Площадь S круга
радиусом. R выражается формулой S=nR~.
Доказательство. Пусть F — круг радиусом R, a Q — 1
описанный около него правильный n-угольник, Рп — пери-
метр, a Sr. — площадь многоугольника Q. Тогда согласно
формуле (1) п. 14.4 Sn=±-PnR, откуда ф- = -А-/?.
Z г п Z
Когда число п неограниченно возрастает (например,
удваивается), величина Рп сколь угодно мало отличается от
длины L окружности данного круга, а площадь Sn сколь
угодно мало отличается от S. Тогда число у- сколь угод-
£
но мало отличается от величины . С другой стороны, мы
< п
5п 1 S 1
уже получили, что -£- = — R. Значит, числа — и — R от-
личаются сколь угодно мало. Это возможно лишь в том
случае, когда эти числа равны, т. е. у- = у#.
Отсюда и получаем, что S = L--^- R = 2zx.R-±- R=jiR2.
17.3. квадратура круга. Квадратурой круга названа зада-
ча о построении циркулем и линейкой квадрата, равнове-
ликого данному кругу, т. е. имеющего ту же площадь. Решить
эту задачу пытались еще в Древней Греции. Невозмож-
ность ее решения была доказана лишь в конце XIX в. Вы-
ражение «квадратура круга» означает неразрешимую за-
дачу.
ю
17.4. ПЛОЩАДЬ СЕКТОРА. 1 L'loin.iдь сектора с центральным
умом 1 ° составляет часть площади круга. Поэтому
-тР2
1-П.1 равна Следовательно, площадь сектора с цент-
360
рп 1Ы1ЫМ углом а ° вычисляется по формуле
5=я«2зйГ-
17.5. изопериметрическая задача. Вы, наверное, обра-
iii'iii внимание на то, что многие тела, как естественные в
природе, так и сделанные руками человека, имеют круглую
и.in шарообразную форму. Например, имеют форму шара
мнчи, планеты и икринки рыб, круглыми растут стволы де-
р< ньев и круглыми делают колеса, различные трубы, круглы-
ми строят арены цирков и т. д. Такое широкое распростра-
ните круглых форм обусловлено их многими и разнообраз-
ными свойствами. Об этих свойствах написаны целые книги.
Одним из таких свойств является изопериметрическое
свойство. Для пространственных тел оно заключается в том,
что среди всех тел с данным объемом наименьшую площадь
поверхности имеет шар. Поэтому природа «тратит» на икрин-
ку рыбы как можно меньше материала. Это свойство можно
формулировать и так: среди всех тел с данной площадью
поверхности наибольший объем имеет шар.
Для плоских фигур изопериметрическая задача состоит в
him, чтобы среди всех фигур, ограниченных замкнутой кри-
вой заданной длины, найти фигуру наибольшей площади.
Решением этой задачи является круг (и только круг). Из
iToro следует, что длина L границы фигуры и ее пло-
щадь S связаны изопериметрическим неравенством:
S’< ' О.
В общем случае решение изопериметрической задачи
сложно. Но аналогичные задачи для многоугольников зна-
чительно проще. В самом Простом случае — для треуголь-
ников— она формулируется так: среди всех треугольников
г данным периметром наибольшую площадь имеет пра-
вильный.
И среди всех п-угольников с данным периметром наиболь-
шую площадь имеет правильный.
Изопериметрическая задача относится к так называемым
201
задачам на экстремумы — задача.м об отыскании наиболь-
ших и наименьших значений. Такие задачи мы еще будем
рассматривать в главе V в связи с преобразованиями фигур.
Как мы увидим, обычно решение экстремальной задачи
обладает той или иной симметрией (см. § 27, 29). Так и ре-
шение изопериметрической задачи на плоскости — круг —
самая симметричная
фигура
из
всех
ограниченных
фигур.

©1. Как вычисляют площадь фигуры?
2. Докажите теорему о площади круга.
3. Как получена формула площади сектора?
4. Как вычислить площадь сегмента?
5. Что вы знаете о квадратуре круга?
6. Что вы знаете об изопериметрической задаче? Где ис-
пользуется в быту изопериметрическое свойство круга?
Задачи к § 17
гт~| ц
17.1.
Запишите формулу площади круга
а)
Пропорцио-
нальность каких величин указана в формуле? б)
Дока
жите,

А
что площади двух кругов относятся как квадраты их ра
диусов. в) Установите характер зависимости между пло
щадыо круга и длиной окружности.
17.2. Вычислите площадь круга, описанного около:
равностороннего треугольника со стороной 1; б) прямоуголь
ного треугольника с катетом а и
прилежащим
острым

углом а; в) равнобедренного треугольника с основанием с
и высотой /г; г) равнобокой трапеции с основаниями 5 и 2 и бо
ковой стороной
д) трапеции с основанием 1,
которое
составляет с боковой стороной угол а, а с диагонал
угол р.
17.3. Вычислите площадь круга, вписанного в фигуры
указанные в задаче 17.2.
17.4.
Внутри круга
проходит окружность,
которая
делит
его площадь пополам. Каков радиус этой окружности г1
17.5. а)
Квадрат и
крут имеют одинаковую длину
гра-

ницы. Какая из этих фигур имеет большую площадь?
б) Квадрат и круг равновелики. У какой из этих фигур
длиннее граница?
17.6. Дана окружность радиусом 1. В нее вписывается
правильный многоугольник и около нее описывается пра-
202
вильный многоугольник, причем с одинаковым числом
сторон, а) Сколько надо взять сторон, чтобы разность их
площадей была меньше 0,1; 0,01? В каких границах лежит
при этом площадь круга? б) Сколько надо взять сторон у
описанного многоугольника, чтобы его площадь отличалась
от площади круга меньше чем на 0,001? А сколько потре-
буется для этого сторон у вписанного многоугольника?
17.7. а) На отрезке А В выбирают любую точку А. В каких
границах лежит суммарная площадь двух кругов с диаметра-
ми АХ и ХВ?
б) На отрезке АВ выбирают любую точку .¥ и строят по
одну сторону от АВ три полуокружности диаметрами АВ,
АХ и ХВ. В каких границах лежит площадь фигуры, ограни-
ченная этими полуокружностями?
17.8. Почему для передачи газа на большие расстояния
выгоднее использовать трубы большого диаметра?
17.9. а) Дан круг радиусом 1. Его требуется накрыть
равными кругами, меньшими данного. Каким должен быть
их радиус, если кругов два? А если три? Обобщите за-
дачу.
б) Даны три круга радиусом 1. Чему равен радиус наи-
большего круга, который можно покрыть этими кругами?
Обобщите задачу.
17.10. а) Кольцо образовано двумя концентрическими
окружностями радиусами R и 0,9/?. Какая часть площади
большего круга лежит в кольце? (Сначала оцените ее так,
как вам подсказывает ваша интуиция, а потом сделайте
подсчет. Намного ли вы ошиблись?)
б) Пусть S — площадь кольца, d — его ширина, L — дли-
на окружности, равноудаленной от его краев. Какая связь
между этими величинами? Что она напоминает?
в) Кольцо образовано окружностями радиусами /? и
/? + Л/?. Чему равно отношение площади кольца к А/??
Пусть Л/? становится все меньше. Как изменяется это от-
ношение? Какая у вас возникает идея?
г) Сможете ли вы измерить площадь кольца, сделав на
нем всего одно измерение (как, к примеру, на круге или на
квадрате)?
д) Круг данного радиуса надо разбить концентрическими
окружностями на 10 фигур равной площади. Как вы это
сделаете?
Решение. Круг очень интересная фигура, о нем даже
книги написаны. И в этой задаче, будем надеяться, вы уви-
дите что-то интересное для себя.
а) Площадь круга Si радиусом R вычисляется по фор-
муле Si=n/?2. Площадь круга S2 радиусом 0,9/? вычисля-
ется по формуле 52 = л-0,81/?2. Площадь кольца S между
этими кругами равна S = S| — S2 = 0,19л/?2.
Тогда -f-= 0,19^ 20%. Вы так и предполагали?
Круг с тем же центром и площадью, равной вычисленной
площади кольца, должен иметь радиус... (прикиньте, какую
часть от исходного радиуса /? он должен составить).
Итак, стоит запомнить: наиболее существенная часть
площади круга расположена около его границы.
б) Обозначим через /? и /?( радиусы окружностей
кольца:
S = л (/?*-/??) = л (/? — /?,) (/? + /?!) =л4/(/? + /?,);
А = 2л^±^.= л(/?-{-/?,) (?).
Отсюда /?ф-/?| = —. Тогда S = л • d~ = Ld.
л л
Какую формулу напоминает полученный результат?
И есть ли что-то похожее на формулу площади треуголь-
ника, в которой дана его средняя линия?
в) Найдем площадь кольца:
5 = л(/?-|-А/?)2-л/?2=л(2/?А/?-Ь (А/?)2).
Отсюда -^- = л (2/?4~ А/?).
Да
При убывании А/? правая часть убывает, а значит, убы-
вает и левая часть. Теперь раскроем скобки и получим:
-^- = 2л/? + л«А/?.
Да
с 5
Отсюда видно, что —^->2л/?. Разность между и 2л/?
AR J AR
равна л -А/? и может быть сделана сколь угодно малой за счет
множителя А/?.
Итак, -^-«2л/?.
AR
Можно заметить, что в правой части этого приближен-
ии
кого равенства стоит как раз длина данной окружности, при-
чем равенство обеих частей может быть сколь угодно точ-
ным (?).
Как говорят в математике в таких случаях, длина окруж-
5
пости есть предел величины при
Теперь насчет идеи. Если бы мы сначала знали формулу
площади круга, а не длины окружности, то...?
17.11. Круглому пирогу с 8 свечами Карлсон предпочи-
гает 8 круглых пирогов с одной свечой. В каком случае он
не прогадает?
17.12. Из бесконечной полосы жести шириной 5 выреза-
ются круги радиусами 1. Предложите наиболее экономный
способ.
17.13. Какие величины участвуют в формуле площади
сектора? Каков характер зависимости любых двух из них при
постоянстве остальных?
А
17.14. а) Какую часть от площади круга составляет пло-
щадь сектора, если центральный угол этого сектора равен:
I) 30°; 2) 90°; 3) 180°; 4) 300°?
б) Какую часть от площади круга составляет площадь
сектора, у которого: 1) длина дуги равна радиусу круга;
2) длина дуги равна диаметру круга; 3) длина дуги численно
равна площади сектора?
17.15. Как вычислить площадь сектора, если известны:
а) радиус круга и длина его дуги; б) длина его дуги и
центральный угол; в) длина его границы и центральный
угол?
17.16. Как сделать сектор, у которого: а) площадь равна
л; б) площадь равна 1; в) площадь равна л и длина дуги
равна л; г) площадь численно равна длине его дуги; д) пло-
щадь численно равна длине его границы?
17.17. а) В круге радиусом R проведена хорда. Она
видна из центра под углом ср. Чему равна площадь обра-
зовавшихся сегментов?
б) Хордой можно отсечь от круга у его площади. Но как
эго сделать?
17.18. Сектор можно разбить на треугольник и сегмент.
(Всегда ли?) Сравните между собой площади этих частей
сектора в зависимости от центрального угла сектора.
205
Б
17.19. Стрелка сегмента — это часть диаметра круга, пер
пендикулярного его хорде, лежащая в сегменте. Как вы
числить площадь сегмента, если известны: а) длина его
хорды и длина его дуги; б) длина его хорды и длина его
стрелки; в) длина его дуги и длина его стрелки; г) периметр и
угол, под которым его хорда видна из центра; д) длина его
хорды и угол, составленный ею с касательной к окружное!и,
проведенной в одном из концов хорды?
17.20. Сможете ли вы решить задачи, аналогичные <а
даче 17.16 для сегмента?
17.21. В данном круге рассматриваются сегменты, мень
шие полукруга. Верно ли, что большей площади такого
сегмента соответствует: а) большая хорда сегмента; б) боль
шая стрелка сегмента; в) большая дуга сегмента? Верно ли
обратное?
17.22. а) На сторонах прямоугольного треугольника по-
строили полукруги. Докажите, что площадь большего из них
равна сумме площадей меньших.
б) Даны два круга. Как построить третий круг, площадь
которого равна сумме площадей данных кругов?
17.23. Пусть известны радиусы двух кругов и расстояние
между их центрами, а) Как найти площадь и длину границы
их пересечения? их объединения? б) Удалите из получен-
ного объединения кругов их пересечение. Выразите через
известные радиусы разность площадей оставшихся частей.
Можно ли обобщить полученный результат?
17.24. Можно ли рассечь круг двумя параллельными хор-
дами на три равновеликие части? Как это сделать в круге
радиусом 1?
17.25. Дан круг. Можно ли разделить его на равновели-
кие части: а) двумя линиями равной длины; б) тремя ли-
ниями равной длины; в) четырьмя линиями равной длины?
17.26. Из точки А к данной окружности проводят каса-
тельные АВ и АС (В и С — точки касания). Прямая ОА,
где точка О — центр окружности, пересекает окружность в
точках К и L (точка — ближайшая к Л). Может ли пло-
щадь фигуры АВКС равняться площади: а) сектора ОВКС\
б) сектора OBLC\ в) сегмента ВКС-, г) сегмента BLC-,
д) треугольника ОВС\ е) треугольника LBC', ж) фигуры
LBKC?
Решите аналогичные задачи для периметров этих фигур.

206
17.27. Кусок проволоки сгибаю i гак, что он все время ос-
ин1 гея частью окружности. Сможете ли вы установить, в ка-
ки \ границах находится площадь сегмента, частью границы
которого является эта проволока?
17.28. В круге радиусом R проведены две параллельные
корды длинами а и Ь. Чему равна площадь части круга,
«включенной между этими хордами?
17.29. Чему равна площадь части круга, закрашенной на
рисунке 184?
1ЛДЛЧИ К ГЛАВЕ III
II 1.1. Дана окружность с центром О и радиусом R. Через
'ииную точку А проведены к этой окружности две секущие.
<1 угол между секущими, AO = d. Первая секущая пере-
мокает окружность в точках В\ и В-2, вторая секущая пере-
егкает окружность в точках С\ и С2 (при этом точки Bi и С|
ближе к А, чем точки В2 и С2). Эти секущие составляют
равные углы с прямой АО. а) Докажите, что: 1) B\B2 = CiC2;
2) BiCi Ц82С2; 3) прямые BiC2 и В2С\ пересекаются на пря-
мой АО. б) Чему равны: 1) площадь четырехугольника с
вершинами в точках Bi, В2, С\, Съ 2) длины дуг, на которые
ра «билась окружность этими точками; 3) площади частей
круга, на которые он разбит секущими?
II 1.2. В угол с вершиной А, равный ф, вписана окруж-
ность радиусом R. Пусть В и С — точки касания окружности
и сторон угла. Найдите: а) расстояние от А до круга; б) пло-
щадь треугольника АВС\ в) длины полученных дуг окруж-
ности; г) площадь фигуры, ограниченной дугой окружности и
сторонами угла; д) радиус окружности, касающейся сторон
viла и данной окружности.
Как изменяются эти величины при изменении гр?
Используя эту конфигурацию, предложите способ для вы-
числения угла, если его вершина: доступна; недоступна.
В каких границах лежит длина касательной, проведен-
ной к данной окружности и лежащей внутри угла (рас-
смотрите касание как меньшей, так и большей дуги)?
Пусть в данный угол вписывается еще одна окружность,
касающаяся и первой окружности. В каких границах нахо-
дится отношение площадей обоих кругов при изменении
угла <р?
Рис. 184
207
III.3. а) Две окружности концентричны. Докажите, чго
на любой хорде большей окружности, пересекающей мень
шую окружность, есть два равных отрезка. Могут ли на ней
образоваться три равных отрезка?
б) Пусть радиусы двух концентрических окружностей А'
и 2R. Какова длина наибольшей хорды, умещающейся и
кольце, границей которого являются данные окружности г*
Из концов этой хорды проведите касательные к меньшей
окружности. Что можно увидеть? Как это объяснить? Ка-
кова наименьшая ширина кольца, в котором может уместить-
ся граница правильного п-угольника со стороной 1?
в) Третья окружность расположена в кольце (п. б) так,
что она касается краев кольца. Чему равен ее радиус? Под
каким углом она видна из общего центра данных окруж-
ностей? Сколько таких окружностей уместится в кольце?
г) В часть кольца, ограниченную двумя радиусами R и
2R. вписан прямоугольник, одна из сторон которого касается
меньшей дуги в ее середине. Чему равна его площадь?
д) Какие из задач а)—г) вы можете обобщить?
111.4. Два равных круга с центрами О\ и имеют общую
хорду АВ. Пусть радиус кругов равен R и O\O2 = d.
а) Чему равны площади всех фигур на вашем рисунке?
б) Пусть через точку А проведены касательные к данным
окружностям. Чему равен угол между ними? в) Пусть через
точку А проводятся всевозможные прямые. В каких грани-
цах находится сумма длин хорд, высекаемых на них данны-
ми окружностями?
Какие из этих задач вы можете решить в общем случае?
II 1.5. Две окружности касаются изнутри. Их центры О|
и О2, их радиусы /?| и R2(R-2> R\) а) Докажите, что точка
касания лежит на OiO2-
б) Чему равны периметр и площади фигур, полученных
на рисунке после проведения: 1) касательной к меньшей
окружности, перпендикулярной О\О>\ 2) касательной к мень-
шей окружности, параллельной OiO2; 3) двух касательных к
меньшей окружности из точки О2?
III.6. Две окружности касаются в точке В. В одной из
них проведены две равные хорды ВА и ВС. Они или их про-
должения пересекают вторую окружность в точках Л| и
соответственно, а) Докажите, что BAi=BCt. Докажите об-
ратное. б) Установите вид четырехугольника AAjCiC.
208
n) Найдите отношение АС: 17 i. глн радиусы окружностей
пшестны. г) Пусть первая из них niimui и < центра второй
под углом <р. Под каким углом вюрая из них видна из
центра первой? д) Пусть больший радиус равен 3, а мень-
ший радиус равен 1. Прямая, проходящая через В, пере-
секает меньшую окружность в точке А, а большую окруж-
ное ть в точке С. АС = 2д/5. Вычислите АВ.
111.7. Две окружности с центрами О\ и О2 не имеют общих
ючек. а) Пусть AtA2 и BiB2— общие внешние касательные
к данным окружностям (т. е. отрезки Д1Л2 и В\В2 не пере-
секаются). Докажите, что они равны, а их продолжения
пересекаются на линии центров О\О2. б) Пусть С\С2 и D\D2 —
общие внутренние касательные к данным окружностям
(I. е. отрезки С\С2 и D\D2 пересекаются). Докажите про
них то же, что и в пункте а), в) Может ли внешняя касатель-
ная равняться внутренней? г) Каким по виду является четы-
рехугольник А\А2В2В\? C}D\C2D2?
III.8. Два круга не имеют общих точек. Пусть известны
их радиусы и расстояние между их центрами. Как найти:
а) длину внешней касательной; б) длину внутренней каса-
гельной; в) угол между внешними касательными; г) угол
между внутренними касательными?
II 1.9. Две окружности радиусами /?| и R2 (R2=^R}) ка-
саются извне в точке С. К ним проведены две общие
внешние касательные; Л Иг и В\В2. Чему равны: а ) величина
угла А[СА2‘, б) площадь треугольника AiСА2: в) угол между
касательными; г) расстояние от точки пересечения каса-
тельных до ближайшей к ней данной окружности; д) пло-
щадь четырехугольника А\В\В2А2\ е) длина отрезка каса-
тельной, проведенной к обеим окружностям через точку С,
между данными касательными?
Как будут изменяться эти величины при неограниченном
уменьшении /?,?
II 1.10. Три окружности радиусом R попарно касаются.
Пусть А, В, С — их точки касания, а) Установите вид тре-
угольника АВС. б) Чему равны периметр и площадь фи-
гуры F, заключенной между ними? в) Как построить
окружность, касающуюся трех данных окружностей?
III.II. Постройте окружность, касающуюся: а) двух дан-
ных окружностей; б) двух данных окружностей и их общей
касательной.
209
III.12. Дан равнобедренный треугольник. Пусть R—j
радиус описанной около него окружности, а г — радиус
вписанной в него окружности, а) В каких границах нахо-
дится R:r? б) Как найти элементы равнобедренного тре-
угольника, зная R и г? в) Сможете ли вы построить равно-
бедренный треугольник, зная положение центров его описан-
ной и вписанной окружностей? г) Пусть в равнобедренном
треугольнике эти центры совпадают. Что из этого следует?
III.13. Рассмотрим пять точек треугольника: точку пере-
сечения медиан, биссектрис, высот, центр описанной окруж-
ности и центр вписанной окружности. В равностороннем
треугольнике все они совпадают. Пусть теперь известно, что
две из них совпадают. Является ли в этом случае треуголь-
ник равносторонним?
III.14. а) Всегда ли наибольший круг, умещающийся в
данном многоугольнике, является его вписанным кругом?
б) Всегда ли наименьший круг, содержащий данный мно-
гоугольник, является его описанным кругом?
в) Пусть известны все элементы четырехугольника. Как
вы будете искать радиус наибольшего круга, умещающегося
в нем, и радиус наименьшего круга, содержащего его?
III.15. Каковы размеры равнобокой трапеции, если:
а) в ней расположены две касающиеся окружности ра-
диусом R и каждая из них касается трех сторон трапеции;
б) в ней расположены две касающиеся окружности радиуса-
ми R и г и каждая из них касается трех сторон трапеции;
в) в ней расположены три окружности радиусом R, причем
каждые две из них касаются между собой, одна из них ка-
сается основания и двух боков, а каждая из двух других
касается основания и бока; г) в ней расположены три окруж-
ности, из которых одна имеет радиус R и вписана в тра-
пецию, а каждая из двух других имеет радиус г и касается
первой окружности, основания и бока?
111.16. Трамвай делает кольцо — поворот на 360°. Пусть
его путь при этом состоит из трех дуг окружностей. Как по-
строить такой путь? Как найти наименьшую длину такого
пути?
II 1.17. Для египетских пирамид замечено следующее: от-
ношение стороны основания к высоте пирамиды с хорошей
точностью равно л. Сами египтяне, однако, значение л с та-
кой точностью не знали. Как вы это объясните?
9
КЛАСС
ГЛАВА IV
ВЕКТОРЫ
И КООРДИНАТЫ
Все теоремы, доказанные в предыдущих главах (кроме
теоремы синусов), были известны еще в Древней Греции.
И получали мы эти результаты традиционными методами
элементарной геометрии, созданными тоже в Древней Гре-
ции, но не утратившими и сейчас своего значения. С этой
главы мы начнем рассказывать о других методах геометрии,
созданных значительно позднее, в XVII—XX вв.,— коорди-
натном, векторном и методе геометрических преобразований.
Эти разделы геометрии нашли богатые применения в технике
и естественных науках, прежде всего в физике. И сейчас мы
начнем с векторов, чтобы обеспечить курс физики необхо-
димым ему математическим аппаратом.
§ 18. ВЕКТОРЫ
18.1. понятие вектора. Известные вам величины могут
быть двух видов. Есть величины, которые вполне определя-
ются своими численными значениями (при данных еди-
ницах измерения): например, длина, площадь, масса. Такие
величины называются скалярными величинами или, короче,
скалярами.
Но есть и такие величины, которые задаются не только
своими численными значениями, но и направлениями: на-
пример, скорость, силы.
Так, часто недостаточно знать, что скорость автомобиля
равна 50 км/ч, надо еще знать, в каком направлении едет
этот автомобиль.
Величины, которые характеризуются не только числен-
ным значением, но и направлением, называются векторными
величинами или, короче^ векторами.
Численное значение вектора называется его модулем.
Для обозначения векторов употребляются стрелки: а, и.
Эти обозначения читаются так: «вектор а», «вектор и». Для
212
модулей векторов^потребляется тот же знак, что и для моду-
лей чисел: |а|, |у|.
18.2. направленные отрезки. Простейший пример век-
горной величины представляет перемещение. Перемещение
характеризуется расстоянием и направлением. Если тело пе-
реместилось из точки А в точку В, то это перемещение есте-
ственно изобразить отрезком, направленным из точки А в точ-
ку В (рис. 185).
Так появляется направленный отрезок. У направленного
отрезка указан порядок концов: первый конец считается
началом», второй — «концом». Рисуют направленные отрез-
ки всегда со стрелкой на конце. Обозначают направлен-
ный отрезок с началом А и концом В так:
0ССО
А В
Рис. 185
АВ.
Итак, вектор — перемещение из точки А в точку В — мы
нюбразили направленным отрезком АВ. Направленными от-
резками изображают и другие векторы: например, в физике
силу, скорость (рис. 186).
Векторами называют и сами направленные отрезки. Это
не совсем точно: предмет и его изображение не одно и то же.
Но в обыденной речи, показывая, например, слона на фото-
графии, говорят: «Это слон» — и никто не говорит: «Это —
изображение слона». Так и в геометрии с векторами: рисуя
направленный отрезок, говорят, что это вектор, хотя это
голько изображение вектора.
Если направленный отрезок АВ изображает^вектор а,
го пишем /4в = а и про направленный отрезок АВ говорим:
Вектор АВ равен вектору а». Модуль вектора а — это длина
направленного отрезка АВ, или, что то же самое, длина
отрезка АВ. Поэтому в геометрии модуль вектора называется
1акже длиной вектора.
О направленных отрезках мы будем говорить, как и об
обычных отрезках, что они лежат на прямой, или взаимно
перпендикулярны, или перпендикулярны некоторой прямой,
или параллельны друг другу, или параллельны некоторой
прямой и т. п.
Мы говорим, что «вектор лежит на прямой», если изобра-
жающий его направленный отрезок лежит на этой прямой.
Два вектора называют коллинеарными, если изобра-
Рис. 18В
213
Рис. 187
жающие их направленные отрезки параллельны или лежат
на одной прямой (рис. 187). Коллинеарность векторов а и
b обозначают так: а||6.
Говорят, что векторы взаимно перпендикулярны, если
изображающие их направленные отрезки взаимно перпен-
дикулярны. Перпендикулярность векторов а и b обозначают
так: аЛ_ Ь.
Наконец, мы говорим, что вектор v перпендикулярен
(параллелен) прямой а, если изображающий его направлен-
ный отрезок перпендикулярен (параллелен) прямой а, и пи-
шем via (у||а).
18.з. сонаправленные отрезки и векторы. Когда гово-
рят, что корабли или самолеты идут в одном направлении,
то имеют в виду, что они следуют друг за другом или идут
параллельными курсами. Так и о векторах говорят, что они
одинаково направлены или, короче, сонаправлены, если- они
коллинеарны и направлены в одну сторону (рис. 188, а).
При этом мы считаем, что коллинеарные векторы АВ и CD
сонаправлены, если лучи АВ и CD лежат по одну сторону от
некоторой непараллельной им прямой, т. е. в одной полу-
плоскости, ограниченной этой прямой (рис. 188, б).
Ясно, что эту прямую можно выбрать перпендикулярной
лучам АВ и CD (рис. 189). И справедлив первы йпризнак
сонаправленности векторов: векторы АВ и CD со-
направлены, если найдется такая прямая а, что, во-первых,
они перпендикулярны этой прямой и, во-вторых, лучи AjB и
CD лежат по одну сторону от этой прямой.
Действительно, поскольку и CDlLa, то векто-
ры АВ и CD коллинеарны (так как прямые АВ и CD перпен-
дикулярны одной прямой). А второе условие и означает
сонаправленность векторов АВ и CD.
Сонаправленность векторов а и b обозначают так:
а\\Ь. Если векторы а и b коллинеарны, но не сонаправлены,
то говорят, что они направлены противоположно и пишут
(рис. 190).
214
Следующая теорема тоже является признаком сонаправ-
ленности.
Теорема 23 (второй признак сонаправленности векто-
ров). Два вектора, сонаправленные с третьим вектором,
сонаправлены.
Доказательство. Пусть векторы АВ и CD сонаправ-
лены с вектором MN (рис. 191). Докажем, что AB]\CD.
Гак как АВ\}М$, то найдется такая перпендикулярная им
прямая а, от которой лучи АВ h MN лежат по одну сторону.
Точно так же для векторов CD и MN найдется перпенди-
кулярная им прямая Ь, от которой лучи CD и MN лежат
по одну сторону. Если прямые а и b не совпадают, то они
параллельны (как перпендикулярные одной и той же пря-
мой MN). Тогда из двух полуплоскостей, которые огра-
ничены прямыми а и b и содержат луч MN, одна содержит
другую. Будем считать, что это полуплоскость, ограничен-
ная прямой а. Эта полуплоскость содержит лучи АВ, CD,
MN. Тем самым выполнено второе условие первого признака
сонаправленности. Кроме того, выполнено и первое условие,
гак как векторы АВ и CD перпендикулярны прямой а. По-
тому ,45|fCD.
О сонаправленных векторах говорят, что у них одно и
го же направление.
Рис. 189
Рис. 190
Рис. 191
215
Рис. 193
atb
la I = 1*1 = I?I
18.4. равенство векторов. Векторы называются равными,
если их длины равны и они сонаправлены (рис. 192, а).
Обратите внимание, что векторы, имеющие равные длины,
но разные направления, не равны (рис. 192, б).
Для равенства векторных величин выполняются следую-
щие основные свойства равенства величин:
1. Каждый вектор равен самому себе. _
2. Если вектор а равен вектору Ь, то b равен а.
3. Два вектора, равные третьему вектору, равны.
Первые два свойства вытекают, очевидно, из определения
равенства векторов. Докажем третье свойство (его считают
первым признаком равенства векторов).
Пусть а=р и\ с — Ь. Тогда |а| = |6| и affb, а также
|с| = |6| и Fff£. Из равенства модулей следует, что
|а| = |с|. А из теоремы 23 о сонаправленности векторов вы-
текает, что off с. Поэтому а = с.
Представлять себе равные векторы АВ и CD, не лежа-
щие на одной прямой, удобно как одинаково направленные
противоположные стороны параллелограмма ABDC
(рис. 193). (Объясните, почему АВ DC—параллелограмм.)
Обратное утверждение является вторым признаком
равенства векторов: если четырехугольник ABDC —
параллелограмм, то АВ = С D.
Действительно, AB = CD и А#||С£). Кроме того, лучи
АВ и CD лежат по одну сторону от прямой АС. Поэтому
АВ и CD сонаправлены. Значит, AB = CD.
Обе пары противоположных сторон параллелограмма
рассматриваются еще в одном, уже третьем, признаке
равенства векторов: Этот признак справедлив и для
векторов, лежащих на одной прямой. Сформулируем его в
виде следующей теоремы:_
Теорема 24. Если AB = CD, то A^ = BD (рис. 194).
_Д о казательство. Пусть даны равные векторы АВ и
CD. Если они не лежат на одной прямой, то согласно дока-
занному ABDC — параллелограмм. И по второму признаку
равенства векторов AC = BD.
Пусть теперь А В и CD лежат на одной прямой
(рис. 194, б). Введем на этой прямой координату х, и пусть
числа хА, xfl, хс, xD — координаты точек А, В, С, D. Тогда
216
условие AB = CD для этих координат означает, что выполне-
но равенство
хв — хА = хр — хс
(равенство модулей чисел хв — ха и хр — хс означает, что
AB = CD, а совпадение их знаков — что AB\\CD). Но
из (1) следует
хс — ха =хр — хв, (2)
а это и означает, что AC = BD.
18.5. откладывание вектора, равного данному. Век-
тор, равный данному, можно изобразить направленным от-
резком с началом в любой точке плоскости. Отложить от
данной точки вектор, равный данному,— значит построить
направленный отрезок с началом в этой точке, изображаю-
щий данный вектор. На рисунке 195 от точки А отложен
вектор АВ, равный вектору а.
Теорема 25 (об откладывании вектора). От любой
точки можно отложить вектор, равный данному, и притом
только один.
Доказательство. Пусть даны вектор а=АВ и точ-
ка С, от которой надо отложить вектор, равный а. Возможны
два случая:
1. Точка С не лежит на прямой АВ (общий случай).
2. Точка С лежит на прямой АВ (частный случай).
В первом случае построим параллелограмм ABDC
(рис. 196, а). Получим вектор CD = AB.
Во втором случае на прямой АВ от точки С в нужном на-
правлении откладываем направленный отрезок CiD = AB
(рис. 196, б).
В обоих случаях строится единственная точка D
Рис. 195
217
18.6. нулевой вектор. Будем, как и прежде, говорить,
что вектор АВ изображает перемещение из точки А в точку В.
Каким вектором изобразить частный случай перемещения —
покой, т. е. «перемещение» из точки Л в ту же точку Д?
Чтобы изобразить такое «стояние на месте», надо ввести
нулевой вектор. По определению модуль нулевого вектора
равен нулю, а направления он не имеет. Нулевой вектор
короче называют также нуль-вектором и обозначают: 0.
Изображается нулевой вектор любой точкой, которая
рассматривается как начало и конец этого вектора. Считает-
ся, что нуль-вектор параллелен и перпендикулярен любой
прямой (любому вектору).
Если вектор АВ окажется нуль-вектором, то его нача-
ло А и конец В — это одна и та же точка.
Доказанные теоремы 24 и 25 верны и для нуль-вектора.
После того как появился нуль-вектор, уже нельзя сказать,
что каждый вектор изображается направленным отрезком
(каждый, кроме нулевого). Подчеркнем, что сонаправлен-
ность определена только для ненулевых векторов и теоре-
ма 23 о сонаправленных векторах верна лишь для ненулевых
векторов.
В дальнейшем при доказательствах теорем случай нуль-
вектора обычно будет оговариваться особо.
©I. В чем отличие векторной величины от скалярной?
2. Приведите примеры скалярных и векторных величин.
3. Какие вы знаете признаки сонаправленных векторов?
4. Какие вы знаете признаки равенства векторов?
5. Что вы знаете о нуль-векторе?
6. Можно ли утверждать, что два вектора, коллинеарные
третьему вектору, коллинеарны?
Задачи к § 18
А
18.1. Пусть ABCD — параллелограмм и точка О — точка
пересечения его диагоналей. Рассмотрим векторы, начала и
концы которых лежат в вершинах параллелограмма, а также
в точке О. а) Какие векторы лежат на прямой BD? б) Ка-
кие векторы параллельны, прямой AD? в) Какие векторы
коллинеарны АВ? г) Какой вектор равен СВ\ СО?
18.2. Пусть ABCD — прямоугольник. Рассматриваются
векторы, заданные его сторонами. Укажите на этом ри-
сунке: а) коллинеарные векторы; б) перпендикулярные
векторы; в) равные векторы.
18.3. Нарисуйте прямую р и вектор а, непараллельный
прямой р. а) От двух разных точек А\ и Д2 прямой р от-
ложите два вектора А\В\ и Д2В2, равные а. Объясните,
почему прямые A iBt и Д2В2 образуют с р равные углы.
Почему ВГВ2 = ЛТ/Г2? б) Отложите от двух точек Л| и А2 век-
218
юры Л|С| и Л2Сг, сонаправленные с вектором а. Почему
прямые Л|С) и А2С2 образуют с р равные углы? в) Верно ли
»то утверждение, если fa, A^2f^a?
18.4. Что следует из условий: а) ДЛ = 0; б) АВ = ВА;
и) а\\р и а±р, где р — некоторая прямая; г) а||д и a_Lb?
18.5. Отметьте две точки А и В. Найдите такую точку
V. что: а) М = Ж б) АХ = ВХ; в) ХА=ХВ.
18.6. Составьте и решите задачу, аналогичную зада-
че 18.1, для параллелепипеда.
18.7. Составьте и решите задачу, аналогичную зада-
че 18.2, для прямоугольного параллелепипеда.

Б
§ 19. СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ
19.1. ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЛОЖЕНИЯ
векторов. Если тело переместить из точки А в точку В, а по-
том из точки В в точку С, то его суммарное перемещение
из А в С представляется вектором АС (рис. 197, а). Так
складывают векторы АВ и ВС'.
АВ^ВС^АС. __(1)
В рассмотренном случае конец первого вектора АВ явля-
ется началом второго вектора ВС. В общем же случае векто-
ры а и b складываются так. Откладывают от какой-либо точ-
ки А вектор АВ, равный вектору а (рис. 197, б). Потом от
точки В откладывают вектор ВС, равный вектору Ь. Тогда
вектор АС является суммой векторов а и Ь‘.
а + Ь = АВ + В~£ = АС- (2)
Это правило получения суммы двух векторов а и b на-
певается правилом треугольника (потому что если векторы
АВ и ВС не лежат на одной прямой, то точки А, В, С — вер-
шины треугольника АВС).
Итак, можно сформулировать определение: суммой
двух векторов называется вектор, построенный по правилу
треугольника.
Рис. 197
214
Рис. 198
Рис. 199
а) б)
Сумму данных векторов а и b мы строили, откладывая
ее от данной точки. А что будет, если взять другую точку?
Оказывается, что сумма получится равной прежней. А имен-
но если отложить от точки А\ тот же вектор а, т. е. А |В] = а,
а затем от точки В\ отложить вектор Ь, т. е. В^С\ = Ь, то
сумма ЛТ5. +BiCi = АД?1 будет равна вектору АС, получен-
ному в равенстве (2), т. е. AiCi =АС (рис. 197, в).
Докажем это. Так как AiBi = AB, то по теореме 24 имеем
А%| = ВВ|. Аналогично из равенства BiCt = BC следует ра-
венство И| = С<?1. Поэтому АА] = СС[. Но из этого равен-
ства (по той же теореме 24) следует, что А\С\=АС.
19.2. правило параллелограмма. Правило треугольника
естественно применяется при последовательных перемеще-
ниях тела: сначала перемещение АВ, затем ВС, а в сумме
получаем А7?. А если тело одновременно испытывает два
перемещения? Например, человек, идущий по палубе плы-
вущего корабля (рис. 198, а), или лодка, пересекающая
реку (рис. 198, б): перемещение лодки слагается из пере-
мещений поперек реки и по течению реки.
Каждое из этих слагаемых перемещений (за один и тот ]
же промежуток времени) изобразим вектором, отложенным
от точки А, т. е. АД = а и AD = B (рис. 199). Рассматриваем
лишь случай, когда векторы а и b неколлинеарны. Тогда
суммарное перемещение изобразится диагональю АС парал- !
лелограмма ABCD, построенного на векторах АВ = а и
АО = 6. _
Убедимся, что вектор АС будет суммой векторов а и б,
построенной по правилу треугольника. Действительно, так
как ABCD — параллелограмм, то = А О. Поэтому ВС = Ь.
По правилу треугольника АС = АВ-\-ВС, т. е. АС = аА~Ь.
Мы доказали правило параллелограмма: если векторы
неколлинеарны, то их сумма представляется диагональю
построенного на них параллелограмма.
220
19.3. свойства сложения векторов. Интересно, что у
операции сложения векторов те же свойства, что и у опера-
ции сложения чисел.
I. Для любых векторов а и b
Ъ=Ъ-\-а (3)
(переместительный закон, или коммутатив-
ность сложения).
Доказательство. Возможны два случая:
I ) Векторы а и £ неколлинеарны. Тогда отложим их от
• очки А: АВ = а, AD = b — и построим на них паралле-
/юграмм ABCD (рис. 199). Поскольку АВ ВС=АС,
\f^A~DC =1АС, А13 = DC = а и ВС = А£) = 6, то имеет мес-
ю равенство (3^-
2) Векторы а и Ь коллинеарны. Тогда векторы АВ = а и
В(' = Ь лежат на одной прямой (рис. 200). На той же прямой
«'жат векторы АВ\ = Ь и В\С\ =а. Надо доказать, что точки
С и С] совпадают.
Если то это следует из сложения отрезков
(рис. 200, а), а если то из вычитания отрезков
(рис. 200, б). Подробное доказательство проведите само-
стоятельно.
2. Для любых векторов а, Ь, с
(а-\-Ь)-\-с=аА-(ЬА-с) (4)
(сочетательный закон, или ассоциативность
сложения).
Доказательство. Отложим от точки А вектор
АВ = а, затем вектор = а потом вектор CD = c
(рис. 201). Тогда
(а-\-Ь)А-с= (АВ + В?)+ Cb=AC + CD = AD.
С другой стороны,
Рис. 200
а+(5+с)=дв+ (BC+CD)=AB+BD=AD.
Итак, (aA~bj -|-с = а-|- (£ + ?)•
Пользуясь этим законом для трех векторов, можно как
угодно группировать слагаемые при любом их числе, т. е.
Рис. 201
221
Рис. 202
заключать их в скобки любым образом. Поэтому сумму век-
торов пишут, никак не объединяя слагаемые скобками:
а+ 5 4-с, а 4-5 4-с 4-d и т. д.
Из сочетательного и переместительного законов следует,
что, складывая любое число векторов, можно как угодно
переставлять и группировать слагаемые. Это значительно
облегчает сложение, когда слагаемых больше двух (как и при
сложении чисел).
Чтобы сложить несколько векторов, например векторы а,
Ь, с, d, удобно построить векторную ломаную (рис. 202, а\.
Эта ломаная состоит из направленных отрезков АВ = а,
BC = b, CD —с, T)E = d. Вектор АЁ, идущий из начала ло-
маной ABCDE в ее конец, и является суммой:
АЕ =а-\-Ь -\-c-\~d.
Вообще при любом расположении точек Д i, Д2, •••. Д^ вер-
но равенство Д]Я2+Д2Дз + ...-|-Дл-1Х = Д7^г1- Назовем его
правилом цепочки.
Если ломаная получилась замкнутой, то сумма векторов
равна нуль-вектору (рис. 202, б).
Отметим еще одно очевидное свойство нуль-вектора:
3. Для любого вектора а выполняется равенство
а 4-0 = а.
19.4. вычитание векторов. Вычитание векторов, как и вы-
читание чисел,— это действие, обратное сложению. Поэтому
разностью двух векторов а и 5 называется такой вектор с,
который в сумме с вектором b дает вектор а, т. е. сА~Ь = а.
Обозначается разность векторов а и Ь так же, как разность
чисел:
с —а— Ь.
Разность двух данных векторов а и b можно построить
так. Отложим от какой-либо точки О данные векторы а_и Ь.
Получим ОА = а и ОВ = Ь (рис. 203). Тогда вектор ВА и
222
будет разностью a — b, поскольку ОА = ОВ -\-llA. Поэтому
можно написать:
с = ВА = ОА-ОВ = а-Ь. (5)
(Запомните, что стрелку разности векторов а и Ь, от-
ложенных от одной точки, рисуют у вектора а!)
19.5. противоположный вектор. Два ненулевых вектора
называются противоположными, если их длины равны и они
направлены противоположно (рис. 204). Каждый из таких
двух векторов называется противоположным другому.
Нуль-вектор считается противоположным самому себе~
Вектор, противоположный вектору а, обозначается — а
(и читается: «Минус а»).
Если сложить противоположные векторы (по правилу
।реугольника), то в сумме получится нуль-вектор, т. е.
а+( — а)=0_ (6)
Действительно, пусть вектор а = АВ изображает переме-
щение из точки А в точку В (рис. 204, б). Отложив от
гочки В вектор —а, мы должны переместиться по лучу В А
из точки В на расстояние, равное АВ, т. е. вернуться в
гочку А. Итак, если а = АВ, то — а = В7Г и а-|-( — а) —
= А^-)-ВХ = ХХ = 0.
Верно и обратное утверждение: если сумма двух векто-
ров равна нуль-вектору, то они противоположны. Действи-
тельно, в этом случае длины векторов равны и они направле-
ны противоположно.
Вычитание векторов можно свести к сложению. А именно,
чтобы из вектора а вычесть вектор Ь, можно к вектору а при-
бавить вектор —Ь, т. е.
а-Ь = аА-(-Ь). (7)
Действительно, пусть, как и в равенстве (5), с=ДЯ =
ОА — ОВ = а — b (рис. 203). По правилу треугольника
/М =7Ю-|-ОХ. Кроме того, /30 = — ОВ = — Ь. Поэтому
а— Ь = ВА^ВОА-ОА=ОАА-ВО^ОА + ( — ОВ) = а-\~
f-( — Ь), что и утверждает равенство (7).
Мы можем теперь переносить вектор из одной части
равенства в другую, изменяя его знак, т. ед заменяя его на
противоположный вектор: из равенства с-{-Ь = а следует, что
с = а+ ( — Ь).
19.6. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА СОСТАВЛЯЮЩИЕ. Самолет
взлетел, его перемещение слагается из двух составляющих:
но горизонтали и по вертикали (рис. 205). Допустим, смес-
гившись по горизонтали на 100 км, он набрал высоту 10 км.
Горизонтальная составляющая его перемещения равна
100 км, вертикальная—10 км. Это составляющие вектора
перемещения самолета. Сам вектор перемещения является
их суммой.
Рис. 203
-а
а)
а
А <]__ —I /I
-fl*
«I
Рис. 204
Рис. 205
223
Рис. 206
Определение. Составляющими данного вектора шм
зываются векторы, дающие в сумме этот вектор.
Говорят, что вектор разложен на составляющие.
Теорема 26 (о разложении вектора на составляющие)
Пусть заданы две пересекающиеся прямые. Каждый вектор
можно разложить на составляющие, лежащие на этих
прямых.
Доказательство. Пусть даны две прямые а и b, пере»
секающиеся в точке~ О, и вектор v. Отложим вектор v of
точки О. Получим v = OV (рис. 206, а). В общем случае
вектор OV не лежит ни на одной из данных прямых. Тогда
проведем через точку V параллельные им прямые. Вмеси
с прямыми а и b они ограничат параллелограмм OAV/I
и диагональю OV. По правилу параллелограмма
= ОА^}- ОВ. Векторы О/f и О В и есть составляющие век*
тора v, лежащие на прямых а и Ь. (В дальнейшем говорим
короче: составляющие по прямым а и Ь.)
Если вектор ОР лежит на одной из прямых а или Ь,
то его составляющая по этой прямой — это он сам. А по
другой прямой его составляющая равна нуль-вектору. в
Особенно важный случай представляет разложение на
составляющие по взаимно перпендикулярным прямым. Тогда
параллелограмм с диагональю OV — это прямоугольник, ;i
его стороны — это проекции отрезка OV на прямые а и b
(рис. 206, б).
©1. В каком случае складывают векторы по правилу треуголь-
ника? А в каком по правилу параллелограмма?
2. Какие вы знаете свойства сложения векторов?
3. Какой вектор называется разностью двух векторов?
4. Какие два вектора называются противоположными?
5. Какими способами можно получить разность двух век-
торов?
6. Как разложить вектор по двум пересекающимся прямым?
Задачи к § 19
19.1
0 19.1. Докажите, что Ра4-^1 М + 1^1- При каком поло-
жении векторов достигается равенство? Обобщите получен-
ные результаты.
19.2. Нарисуйте треугольник АВС. Нарисуйте векторы:
а) cX-j-AB; б) ВА + СВ\ в) ВА + СА.
Чему равна длина такой суммы в равностороннем тре-
угольнике со стороной 1?
19.3. а) Нарисуйте параллелограмм ABCD. Нарисуйте
векторы: 1) BD-\-AC', 2) AB-\-DC\ 3) AD-\-CB.
б) Суммой каких векторов, заданных вершинами парал-
лелограмма ABCD, являются векторы: 1) СЯ; 2) DA?
224
и) Дан ромб со стороной 1 и углом А, равным 30°. Чему
Минин длина суммы векторов: 1) BD-p/lC; 2) ЛЛ
II -\Г> \ СВ?
НИ. Докажите, что при любом положении точек А, В,
I', 1> верно равенство ABA-^^=AD-|-DC.
• оставьте другие аналогичные равенства.
19.5. Самолет пролетел 200 км на юго-запад, а затем
НЮ км на запад. Сделайте соответствующий рисунок, ис-
11о/П<»уя векторы. На каком расстоянии он оказался от на-
ЧН/1ЫЮЙ точки? Составьте похожие задачи.
19.6. Вернитесь к задаче 19.2. Выполните сложение
VhH О1ННЫХ векторов по правилу параллелограмма.
19.7. Вернитесь к задаче 19.3, а. Выполните сложение
yiHii.iiiiibix векторов по правилу параллелограмма.
19.8. Вертолет летел на север со скоростью v(. Вдруг под-
ин о. и западный ветер и начал дуть со скоростью v?. Сделайте
рисунок, а) При каком соотношении между скоростями v\
И V> вертолет будет лететь на северо-запад? б) Как вычислить
yi" I, на который он отклонился? в) С какой скоростью поле-
пи вертолет теперь, выдерживая по компасу прежний курс?
19.9. С одного берега реки на другой поплыл человек,
выдерживая направление прямо на противоположный берег.
II тестны скорость пловца, скорость течения реки и ширина
реки Как узнать, на сколько его отнесет течением от перво-
1111'|.1льно намеченной точки, когда он окажется на том бе-
регу? Как узнать, какое расстояние он проплыл?
19.10. На берегах одной реки напротив друг друга стоят
дне деревни. Из первой во вторую отправился катер. Из-
Вгсгны скорость катера в стоячей воде, скорость течения
реки и ширина реки. Требуется узнать: а) под каким углом
к берегу движется катер; б) какова его скорость в этой
реке; в) какой путь проделает катер. Как это сделать?
19.11. Нарисуйте четырехугольник ABCD. Нарисуйте
векторы: а) б) ВЛ-|-Л7)-|-/Хл в) DA +
| CDA-AB-, г) ЛС4-ТО + СТ; д) BC + BD + CD; е) АВ +
| + ж) AB+Cfi+BD + DC.
19.12. Из одной точки выходят три единичных вектора,
кик показано на рисунке 207. Нарисуйте сумму этих векторов
19.2
19.3
Рис. 207
А
225
Б
19.13. Две равные по величине силы взаимно перпен-
дикулярны. Третья сила по величине в два раза больше
каждой из двух и образует с ними равные тупые углы. Нари-
суйте равнодействующую силу. Сравните ее с величиной
третьей силы.
19.14. Перед вами на рисунке 208 фигуры, составленные
из отрезков. Можно ли на этих отрезках расставить векторы
так, чтобы в сумме получился б? (На каждом из отрезков
задается только один вектор.)
19.15. На сторонах треугольника АВС построены парал-
лелограммы AKLB, BMNC, CPQA (порядок обхода вершин
этих параллелограммов один и тот же). Можно ли составить
треугольник из отрезков: a) LM, NP, QK', б) LP, MQ, NK?
Решение. Из трех отрезков можно составить треуголь-
ник тогда и только тогда, когда сумма любых двух из них
больше третьего. Можно ограничиться тем условием, что
наибольший из них меньше суммы двух других (?).
В этой задаче параллелограммы произвольны, могут даже
не лежать в одной плоскости (все три), а потому неясно, как
сравнивать длины этих отрезков.
Переформулируем эту задачу на векторном языке. Преж-
де всего заметим, что для любого треугольника АВС спра-
ведливо равенство + = Верно и обратное:
если три вектора а, b и с в сумме дают 0, то из них можно
составить треугольник. (При этом необходимо, чтобы все
они были ненулевыми и вообще чтобы среди этих векторов не
было параллельных.) В самом деле, отложим от любой точ-
ки А вектор АВ = а, затем от точки В отложим вектор
~ВС = Ь. Тогда если мы отложим от точки С вектор с, то и по-
лучим вектор СЛ (?).
Чтобы ответить на вопрос задачи а), докажем сначала,
что
z.m + /vp+qX=o.
Имеем
Рис. 208
LM = BM-BL, N~P=CP-CN, QK = AK-AQ (?)-
226
Рис. 209
Поэтому
TM + NP + QK =
= ВЛ1 —(рис. 209).
Но C/V = ВМ, 1\K = BL, AQ = CP (?), и поэтому исход-
или сумма векторов равна 0.
Что еще осталось выяснить для ответа на вопрос задачи?
Как и в чисто геометрических задачах, возможны другие
решения.
Рассмотрим, например, сумму векторов
11одумайте сами, что можно получить из этого рассмотрения.
(Заметьте, что решение совершенно не зависит от распо-
ложения параллелограммов.)
А как можно обобщить эту задачу?
И наконец, обратите внимание на характерную для век-
торных методов особенность: решение задачи не зависит от
того, лежат эти параллелограммы на одной и той же плос-
кости или нет. И решение задачи, и ответ на поставленный
вопрос не изменяются. Правда, при этом понадобятся не-
которые свойства векторов в пространстве — какие?
19.16. Существует ли пятиугольник: а) стороны которого
равны и параллельны диагоналям произвольно заданного
пятиугольника; б) диагонали которого равны и параллельны
сторонам произвольно заданного пятиугольника? Как обоб-
щить полученные результаты?
19.17. Корабль держит курс (по компасу) на восток со
скоростью U|. Дует северный ветер со скоростью и2, а
течение сносит корабль на юго-запад со скоростью и3, причем
Ui=^2=10u3- Каков истинный курс корабля?
19.18. Дайте векторное истолкование ситуации, описан-
ной в басне И. А. Крылова про лебедя, рака и щуку.
19.19. Докажите, что АВ = ХВ — ХА при любом выборе
точки X.
П
19.4
227
19.20. Докажите, что: а) |а — 6| < |а| 4- |£|; б) |а —
^|а| — |5|. Когда достигаются равенства?
19.21. Нарисуйте треугольник АВС. На рисуйте векторы:
а) АС-АВ; б) АВ —АС; в) ВХ-СВ; г) ВА-АС;
д) ВА-СЛ.
Чему равна длина такой разности в равностороннем тре
угольнике со стороной 1?
19.22. Нарисуйте параллелограмм ABCD. Нарисуйте век
торы: a) AB — AD; б) СВ — ВА; в) СВ —DX; г) СВ — AD
19.23. Нарисуйте три любых вектора. Назовите их а, 5,
') а =
с. Нарисуйте вектор х, такой, что: а) с = а-|-6-|-х; б)
точ
19.24. Отметьте любые три точки А, В, С. Постройте
ку X, такую, что: а) ХА = ХВ-|-ХС; б) ХА = ХВ — ХС.
19.25. Пусть ABCD — параллелограмм. Докажите,
19.5
19.6
19.25. Пусть ABCD — параллелограмм. Докажите, что
для любой точки О верно равенство ОА + ОС = О В A-OD.
Верно ли обратное? Будут ли верны эти*утверждения, если
точка О не лежит в плоскости параллелограмма?
19.26. Пусть ABCD — тетраэдр. Докажите, что АСЦ-
4-ВВ = АВ-|-ВС- Можно ли обобщить эту задачу?
19.27. Векторы заданы вершинами параллелограмма
ABCD. Укажите пары противоположных векторов.
19.28. Вернитесь к задаче 19.21. Выполните вычитание,

используя противоположные векторы.
19.29. Вернитесь к задаче 19.22. Выполните вычитание,
используя противоположные векторы.
19.30. Нарисуйте иллюстрации к таким векторным ра-
венствам:
а) — (a-J-d) = —а —Ь; б) — ja — b) = — а-\~Ь;
в) (а — Ь) -)-с = (а + с) — Ь = (с — Ь) -|-а.
19.31. Пусть сумма нескольких векторов равна 0. Дока-
жите, что сумма всех составляющих этих векторов по любой
прямой равна 0. Проверьте обратное.
19.32. Нарисуйте систему координат, а) Нарисуйте век-
тор ОА и его составляющие по осям хну. б) Какое поло-
жение на плоскости должен занимать вектор 0%, чтобы его
горизонтальная составляющая была длиннее вертикальной?
в) А при каком положении вектора ОА его составляющие
по осям будут равной длины?
19.33. Нарисуйте параллелограмм ABCD. Пусть точ-
ка К— середина стороны ВС, точка М— середина сторо-
ны CD. а) Нарисуйте составляющие по прямым АВ и AD
векторов: 1) АЖ; 2) ~АМ; 3) DR; 4) ВМ; 5) КМ. б) На-
рисуйте составляющие по прямым АК и AM векторов:
1) АВ; 2) DB; 3) ВМ.
19.34. Нарисуйте два вектора а и b с общим началом,
а) Пусть b является составляющей вектора а. Нарисуйте
£28
вторую его составляющую с. б) Пусть теперь а является
составляющей вектора Ь. Нарисуйте вторую его составляю-
щую 3. Какое взаимное положение занимают векторы с и
3?
19.35. а) Может ли длина одной из двух составляющих
вектора быть больше длины самого вектора?
б) Может ли длина обеих составляющих вектора быть
больше длины его самого?
в) Пусть длина одной из двух составляющих вектора
равна длине самого вектора. В каких границах лежит длина
другой его составляющей?
19.36. Можно ли вектор длиной 10 разложить на две
составляющие длиной 1 ? А на две составляющие длиной 100?
Можно ли вектор заданной длины разложить на две состав-
ляющие также заданной длины?
§ 20. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО
20.1. определение умножения вектора на число. Опре-
делив сложение любых векторов, мы можем теперь рассмот-
реть суммы вида а-\-а, а-|-а-|-а и т^д. Такие суммы, как и в
алгебре, естественно обозначить 2а, За и т. д. (рис. 210).
Уже этот простейший пример показывает, что удобно
ввести операцию умножения вектора на число, и подсказы-
вает, как дать соответствующее определение.
Определение. Произведением вектора а=/=() и числа
ху=0 называется такой вектор ха, для которого выполня-
ются два условия:
1) его длина равна произведению длины вектора а и
модуля числа х, т. е.
|ха| = |х| |а|; (1)
2) он сонаправлен с вектором а, если х>0, и направлен
противоположно вектору а, если х<0 (рис. 211).
Если же а=0, или х = 0, то вектор ха по определению
нулевой (что согласуется с (1) ).
Из данного определения непосредственно вытекают такие
следствия:
1. 1 • а = а для любого вектора а.
2. (— I) а = —а для любого вектора а.
3. Если ха = 0, то х = 0 или а — 0.
4. Если xa = xb и х#=0, то а = Ь.
5. Если ха = уа и а^=б, то х=у.
Докажем, например, последнее утверждение.Из равен-
ства ха—уа по формуле (1) получаем, что |х| |a| = |t/| |а|.
Так как |а| =/=0, то |х| = |//|. Кроме того,_числа х и у имеют
один знак (в противном случае векторы ха и уа были бы на-
правлены противоположно). Поэтому х = у.
ау
2Ъ
Рис. 210
£
ха
ха
х<о
Рис. 211
229
Рис. 212
20.2. ХАРАКТЕРНОЕ СВОЙСТВО КОЛЛИНЕАРНЫХ ВЕКТОРОВ
Из определения умножения вектора на число вытекае!
простой, но важный признак коллинеарности век-
торов.
Теорема 27 (о коллинеарных векторах). Вектор Ь кол-
линеарен ненулевому вектору а тогда и только тогда,
когда b — ха. _ 1
Доказательство. 1) Если Ь = ха, то векторы а и b
коллинеарны (по определению действия умножения вектора
на число). J
2) Докажем теперь обратное утверждение: если Ь\\а.
то найдется такое число х, что Ь = ха. Если Ь = 0, то х=0
Если же Ь#=0, то возможны два случая:
a) тогда х>0 и равен отношению длин векторов
b и а.
б) Ь\\а, тогда х<0 и его модуль равен отношений
длин векторов b и а.
Оба эти утверждения вытекают непосредственно из опре
деления операции умножения вектора на число. Убедитесь е
этом сами.
Следствие (о векторах на прямой). Два вектора, от-
ложенные от одной и той же точки, лежат на одной прямой
тогда и только тогда, когда один из них получается из другого
умножением на число.
Другими словами, точка X лежит на прямой АВ тогда и
только тогда, когда ЛТ=хЛВ (рис. 212).
1. Как умножить ненулевой вектор на число, не равное 0?
2. Какие вы знаете свойства умножения вектора на число?
3. Докажите самостоятельно свойства умножения векторов
1—4 (с. 229).
4. Какие вы знаете теперь характерные свойства коллинеар
ных векторов?
Задачи к § 20
20.1. Пусть a = xb и х=/=0. Докажите, что Ь=±-а.
20.2. Линейной комбинацией векторов а и b называется
выражение аа-|-р5. Числа аир называются коэффициента
ми линейной комбинации, а) Нарисуйте два любых неколли
неарных вектора а и Ь. Выберите сами два любых числа и
считая их коэффициентами линейной комбинации, постройте
саму линейную комбинацию, б) Объясните, почему векторы
а, Ь, а-\-Ь, 0 являются линейными комбинациями векторов а
и Ь. в) Как расположена линейная комбинация векторов а и
b относительно каждого из них, если векторы а и b коллине
арны?
230
20.3. Пусть а, Ь, с — три вектора плоскости, среди ко-
юрых нет коллинеарных. Докажите, что найдется такая пара
а и р, что с = аа-ррб. Докажите, что такая пара един-
ственная.
20.4. Сравните длины векторов а и ха в зависимости от
числа х.
20.5. Выразите вектор b из равенств: а) а = 26; б) а —
= — 36; в) а = -|-6; г) а= — 5,56.
О
20.6. Векторы а и 6 коллинеарны. Будут ли коллинеарны
векторы: а) 2а и 36; б) —5а и 0,56; в) аа и £6; г) За —26
и а; д) 2а —уб и ytz-|-26; е) aia + Pi6 и a2a + Pa6?
20.7. Какой вывод можно сделать о расположении векто-
ров а и 6, если: aj |а + 6| = |а|4-|6|;б) |a-f-6| = |a| — |6|;
в) |2а —36| =2|а| Н-3|6|. Обобщите эти наблюдения.
20.8. На отрезке PQ взята точка X такая, что PX:XQ =
= 2:1. Выразите: а) РХ через PQ-, б) QX через X?; в) PQ
через QX.
Решите эту задачу в общем виде.
20.9. Дан параллелограмм ABCD. Пусть Q — точка пере-
сечения его диагоналей. Положим АС = а, BD = b. Выра-
ште как линейную комбинацию векторов а и 6 векторы:
ЛЁ, ВС, CD, DA.
20.10. Пусть А и В — две данные точки. Найдите точку X,
такую, что: а) ХХ = ЗХЛ; б) ~ВХ= —2ЛХ; в) Х?+Хв =
= АВ.
20.11. Даны три точки: А, В,_С. Найдите точку X, такую,
что: а) ХА + ХВА-ХС = б; б) ХА+ВХ-Х€ = б.
Решение, а) Отметьте в тетради три любые точки и,
проведя некоторое число экспериментов, попытайтесь пре-
дугадать результат.
Решить же эту задачу проще всего с использованием так
называемой радиус-векторной техники. Эта техника состоит в
том, что векторы, рассматриваемые в задаче, представляются
как разности векторов, выходящих из одной и той же точки,
г. е. радиус-векторов.
Выберем на плоскости любую точку О. Тогда
ХЯ=ОХ-ОХ, ХВ = ОВ-Ш, ХС = ОС — ОХ.
А
Б
Из условия следует, что ОА— ОХ4-ОВ —0%-|- ОС —
— OX = Q. Отсюда получаем, что 3-0/=0%-|-0В-|-0С (?).
Поэтому ОХ = =± (OZ-hOB + OC).
Осталось сложить векторы ОА, ЦЁ, затем эту сумму
умножить на и полученный вектор отложить от точки О.
Проделайте все это на бумаге, причем как можно аккуратнее.
231
Такое решение показывает нам, что искомая точка су-
ществует. Но единственна ли она? Точку О вы выбирали
произвольно. Так, может быть, при другом ее выборе вы полу*
чите другую точку X? Иначе говоря, нам надо показать, что
положение искомой точки X не зависит от выбора точки О.
Для начала проверьте это на практике — возьмите другую
точку О и посмотрите, получилась ли та же точка X.
Пусть теперь точка Xi такова, что ХцЛ+ Х|ВН-Х1С = 0.
_ Рассмотрим вектор XXj. Если XX, = О, то Х=Х\, а если
то Х=#Х,.
Для вектора XX । запишем три похожих равенства:
ХХ, = СХ|-СХ.
Сложив их все, получим ЗХХ|=ДХ1--ЛХ4-В^|—ВХ-)-
+ СХ| —СХ = 0 (?), откуда и следует, что XX, = О, т. е.
Х|=Х.
Искомую точку X мы с самого начала могли бы получить
проще, если бы точку О выбрали в какой-либо из данных
точек: А, В, С. Если бы мы выбрали ее в точке Л, то получили
бы равенство
дх = | (ЛЛ+ЛС).
Из него следует, что отрезок АХ — это треть диагонали
параллелограмма, построенного на отрезках АВ и АС. Но
„ 2 2
треть этой диагонали есть от ее половины, т. е. от ме-
О О
дианы треугольника АВС, проведенной к стороне ВС. (Сде-
лайте рисунок!)
Какое следствие вы отсюда можете получить?
Как можно обобщить эту задачу?
Кстати, а можно ли точку О выбрать не в той плоскости,
где лежат точки А, В, С? И что отсюда следует? И какие при
этом нужны оговорки относительно расположения точек
А, В, С?
§ 21. ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ
21.1. угол между ненулевыми векторами. Угол между
ненулевыми векторами а и Ь определяется следующим об-
разом. Их надо отложить от одной точки О (рис. 213):
ОА=а и ОВ = Ь, а затем найти величину угла между; лу:
чами ОА и ОВ. Eeji называют углом между векторами а и b
и обозначают Z_ab.
Итак, углом между двумя ненулевыми векторами назы-
вается величина образуемого ими угла, когда они отложены
от одной точки. Если векторы сонаправлены, то угол между
232
ними считается равным 0°. Если векторы направлены проти-
воположно, то угол между ними равен 180°.
Угол между векторами не зависит от выбора той точки,
от которой они откладываются. Доказать это надо лишь для
иеколлинеарных векторов, так как для сонаправленных и
противоположно направленных векторов это вытекает из
данного определения.
Пусть а и Ь — два неколлинеарных вектора. Отложим их
от точки О (рис. 214), тогда ОА = а, ОВ = Ь, и от точки
тогда Orf, =а, О,В,=Ь. Пусть прямые ОА и О,В, пересе-
каются в некоторой точке Оч- Обозначим буквой а тот угол
с вершиной в точке О2, который будет соответственным с
углом АО В (при параллельных ОВ, О?В\ и секущей ООч).
По свойствам параллельных прямых а= Z.AOB. Но тот же
угол а будет соответственным и для угла A iO,B, (при парал-
лельных прямых А101, АОч и секущей О,Оч). Поэтому (по
тому же свойству) а= /_А ,О,В,. Следовательно, /LA,O,B,=
=/_ АОВ.
21.2. определение проекции вектора на ось. При рас-
смотрении векторной величины нас может интересовать не
столько она сама, сколько ее составляющая в некотором
направлении. Так, при взлете и посадке самолета особенно
важна вертикальная составляющая его перемещения, а в
остальное время полета важнее горизонтальная (рис. 205).
Как сказано в § 19, такие составляющие находят проекти-
рованием вектора на взаимно перпендикулярные прямые
(рис. 206, б). Только о таких составляющих мы теперь и
говорим.
Если на прямой, на которую проектируется вектор, ввести
координату, то составляющую вектора по этой прямой удобно
задать числом. Это число называется проекцией вектора
на ось. Дадим его определение.
Пусть задана координатная ось х (рис. 215), т. е. пря-
мая /, на которой выбраны точка О — начало координат,
направление и точка Е, координата которой равна 1. Тогда
каждой точке М прямой / соответствует некоторая коорди-
233
Рис. 215
ната х. Единичный вектор е = ОЕ назовем единичным век-
тором оси х. (Вообще единичным называется вектор, длина
которого равна 1.)
Возьмем любой вектор v и отложим его от некоторой
точки A: AB = v. Спроектируем точки А и В на ось х. По-
лучим точки А1, Bi и составляющую А\В\ вектора АВ по
оси х. Ее длина со знаком «плюс» или «минус» и называется
проекцией вектора v на ось х.
Определение. Проекцией vx вектора и = АВ на ось х
называется длина его составляющей А|В| по этой оси,
взятая со знаком «плюс» или «минус». При этом берется знак
«плюс», если направление вектора А]В| совпадает с на-
правлением оси х, и знак «минус», если эти направления
противоположны. Если А1В1=0, т. е. А1==В1, то vx = 0.
Итак,
v
H-IAiBJ, если AjBiffe;
— IAiBJ, если AiBi f
О, если А(В1 = 0, т. е. А| = В1.
Обратите внимание, что проекция точки — точка, проекция
отрезка — отрезок (или точка), а проекция вектора —
число.
Вектор A|Bj получается из коллинеарного ему единич-
ного вектора е умножением на ±|A|Bi|. При этом если
AiBi ffe, то АТВ| = |ЛЛ| | е. Если же ATBifje, то АТВ| =
= -|А^|е.
Следовательно, имеет место равенство
ЛТВ1=ц^. (1)
21.з. вычисление проекции вектора нА ось. Мы укажем
два способа вычисления проекции вектора.
1) Вычисление проекции с помощью к о о р-
динат. По определению проекция вектора v = AB на
ось х равна длине его составляющей А|В| по этой оси, взятой
со знаком «плюс» или «минус». Но длина ненулевого век-
тора А\В\ —это длина отрезка А।Вi, т. е. расстояние между
точками А|, В\.
Как вам известно из курса математики VI класса, это рас-
стояние можно найти, зная координаты хА, хв точек А ।, В\,
34
по формуле
4,5, = |xs-x4 I. (2)
Если /liBiffe, то xb^>xa (рис. 216, а) и хв — ха >0-
В этом случае |х6 — хд I =хв — хА и их=|ЛТВ1| =
— хв —Ха ___.
Если же 4|Bif je, то хв <хл (рис. 216, б) и хв — ха <0.
В этом случае \хв —хА \ = — (хв —хА) и vx= — I ЛТв 11 =
= хй—хл.
Если же Д|В|=0, то их = 0, Л| = Д, хв =ха и снова
= —ха (рис. 216, в).
Итак, для всех случаев доказано важное равенство
их = Хв—ХА. (3)
2) Вычисление проекции с помощью угла
между вектором и осью. Углом между вектором и
координатной осью называется угол между вектором и еди-
ничным вектором этой оси.
Второй способ вычисления проекции вектора дает сле-
дующая лемма:
Лемма (о проекции вектора). Проекция ненулевого
вектора на ось равна длине этого вектора, умноженной на
косинус угла между вектором и осью.
Дано: вектор v = AB=/=6, е — единичный вектор коор-
динатной оси х, <p=/Lve.
Доказать:
их = | у | cos ф. (4)
Доказательство. Возможны следующие случаи:
1) Угол ф = 0° (рис. 217, а). Тогда АВ\\е, AiB\=AB = v
и их= |у|. Так как cos 0° = 1, то (4) в этом случае выполня-
ется.
2) Угол ф острый (рис. 217, б). Пусть точка А не лежит
на оси х. Через точку А проведем прямую р, параллельную
оси х. Пусть точка С — проекция точки В на прямую р.
Получим прямоугольный треугольник АВС с углом ф при вер-
шине Л и прямоугольник АА[В[С. Тогда vx = |/4]Bi I =АС =
= АВ cos ф= |у| cos ф, т. е. (4) выполняется в рассматри-
Рис. 216
235
в
Рис. 217
ваемом случае. Если же точка А лежит на оси х, то (4) выте-
кает из прямоугольного треугольника АВВ} (рис. 217, в).
3) Угол ф = 90°. В этом случае AB_Le, A>=Bi и их = 0.
И так как cos90° = 0, то (4) и выполняется (рис. 217, г).
4) Угол <р тупой. Снова через точку А проводим прямую
р, параллельную оси х, и проектируем на нее точку В в точ-
ку С (рис. 217, д). Снова получим прямоугольный треуголь-
ник ЛВС. Его угол при вершине Л равен 180° — ср. Поэтому
ЛС = Л£Ню5 (180° —ср) = —ЛВ cos ф. В рассматриваемом
случае Л]В|[|е, и потому.
их = —|ЛГ^11= —АС = АВ cos ф= |v| cos ф,
т. е. снова выполняется (4). Если точка Л лежит на прямой х,
то доказательство лишь упрощается.
5) Угол ф= 180°. Тогда ЛВН<? (рис. 217, е), А\В{=АВ =
= v и vx= — I v|. Так как cos 180°= — 1, то (4) снова имеет
место.
21.4. СВОЙСТВА ПРОЕКЦИЙ ВЕКТОРОВ НА ОСЬ. СВОЙ-
СТВО 1. Равные векторы имеют равные проекции на задан-
ную ось.
236
в
Доказательство. По лемме о проекции вектора про-
екция вектора на ось зависит лишь от длины вектора и угла,
который он образует с данной осью. Равные же векторы
имеют, во-первых, равные длины и, во-вторых, образуют с
осью один и тот же угол (рис. 218). Следовательно, их
проекции на ось равны.
Тем самым мы установили, что проекция вектора на ось
не зависит от точки откладывания вектора.
Свойство 2. При сложении векторов их проекции на
ось складываются.
Доказательство. Сложим любые два вектора а—
- ЛВ и Ь = ВС. Получим вектор с = а-\-Ь = АВ-\-ВС = АС
(рис. 219). Пусть точки А\, В\, С\—проекции точек А, В, С
и.। ось х, а х^ х_в, хс — их координаты и ах, Ьх, сх — проекции
векторов а, Ь, с на ось х.
Так как ах=хв—хл, Ьх=хс—хв, то ах-\-Ьх =
— ха -^Хс —Хв =хс —ха .
С другой стороны, сх=хс—хА. Поэтому сх = ах + Ьх.
Свойство 3. При умножении вектора на число его
проекция умножается на это число.
Доказательство. Пусть_ х — ось с начальной точд
кой О и единичным вектором е. Возьмем любой вектор а
и отложим его от точки О: ОА=а ^рис. 220). Пусть (р —
угол между а и е.Умножим вектор а на число а. Получим
вектор Ь = ОВ = аа. Мы хотим доказать, что Ьх = аах. Воз-
можны следующие случаи:
I) а>0 (рис. 220, а). Тогда Z_be = q. Кроме того,
|6| = |а| |а|, т. е. ОВ = аОА. Поэтому bx — |cos <р =
= О В cos <р = аОА cos <р = аах. Рис. 220
237
2) а<0 (рис. 220, б). В этом случае /L Ье= 180° — <р.
Кроме того, |6| = |ct| |а|, т. е. ОВ = |а| ОА. А так как а<0,
то |а|= —а и потому ОВ = — аОА. Следовательно,
bx = |6| cos (180° — ср) = — OB cos ц> = аОА cos ф = сшд.
3) а = 0. Тогда 6 = аа = 0, и потому Ьх = 0 и Ьх — аах.
1. Как найти угол между: а) векторами; б) вектором и
V осью?
2. Что такое проекция вектора на ось? В чем разница между
проекцией вектора на ось и проекцией отрезка на ось?
3. Какими способами можно вычислить проекцию вектора на
ось?
4. Какие вы знаете свойства проекций вектора на ось?
Задачи к § 21
21.1
21.1 . Дан треугольник АВС. Чему равен угол между та-
кими векторами: АВ и АС, АВ и ВС, АВ и СА, ВА и СА,
если данный треугольник: а) равносторонний; б) имеет
ZA = a, a ZB = P?
21.2 . Чему равен угол между векторами b и с, если из-
вестно, что Z_ &a = tpi, Z.ca = <p2?
21.3 . Пусть в] и е2— два единичных вектора и Z_eie2 = <p-
Найдите угол, который образует с данными векторами век-
тор eij-e2; £?i—<?2- Найдите угол между векторами е i -|-е2
и е\ — е2.
21.4 . Пусть в] и е2— два единичных вектора. При каком
угле_ меукду ними^ а| |ei+e2|=2; б) |et + е21 > 1;
в) |е(—е2| = 1; г) |е,—е2|<1? ~
21.5 . Пусть известны длины векторов а и b и угол между
ними. Как вычислить угльц которые образуют с данными век-
торами векторы а-^b и а — Ь? Как вычислить угол между
векторами а-\~Ь и а — Ь?
21.6 . Найдите условия, при которых: а) вектор а-\~Ь
идет по биссектрисе угла, заданного векторами а и 6; б) век-
торы а-\~Ь и а — Ь взаимно перпендикулярны.
21.7 . Векторы а и b образуют с единичным вектором с
углы ф| и ф2. При этом а + Ь + с = 0. Сможете ли вы найти
длины векторова и b и угол между ними?
21.8 . Пусть 6] и е2-^два единичных перпендикулярных
вектора, a = 2e, — е2, b = ei-j-2e2. Вычислите |a|, |£|, |а + &|,
|а — Ь\, угол между а-[~Ь и а — Ь.
21.9 . Пусть векторы а и Ь таковы, что |а| = |6|, аА_Ь.
Вычислите угол между: а) а-\-2Ь и 2a-|-6; б) — аА~-^-Ь и
За — Ь.
21.10 . Пусть векторы а и b таковы, что |6| = |а-]-6| =
= |а4-261. Найдите /Lab.
238
21.11 . Пусть известны проекции на ось двух векторов. Как
вычислить проекцию на эту ось линейной комбинации дан-
ных векторов? Приведите примеры.
21.12 . При каком угле между вектором и осью проекция
вектора на эту ось: а) положительна; б) отрицательна;
в) равна нулю?
21.13 . а) Проекции двух векторов на данную ось равны.
Следует ли из этого, что равны сами векторы? равны их
/1ЛИНЫ?
б) Верно ли, что больший по длине вектор имеет большую
проекцию на данную ось?
в) Верно ли, что, чем больше угол между вектором и
осью, тем меньше его проекция на эту ось?
21.14 . Запишите формулу для вычисления проекции век-
гора на ось. Зафиксируйте одну из величин в этой формуле.
В какой зависимости между собой находятся при этом другие
величины?
21.15 . Пусть даны точка Л(1, 0), В (2, 0), С( — 1, — I),
/)( —5, —4). Вычислите проекции на оси координат векто-
ров: а) б) ВС; в) CZ5; г) Z5X
21.16 . Нарисуйте в системе координат вектор, проекция
которого на ось х равна: а) 2; б) 0; в) —3. Чему равна
проекция построенного вами вектора на ось z/?
21.17 . Чему равны проекции единичного вектора на оси
координат, если он составляет с осью х угол: а) 30°; б) 45°;
в) 60°; г) 120°; д) 135°; е) 150°?
21.18 . Пусть вектор составляет с осью х угол: а) 30°;
б) 135°. Его проекция на ось х равна I. Вычислите его длину
и проекцию на ось у.
21.19 . Какой угол образует вектор единичной длины с
осью, если его проекция на ось равна: а) —0,5, б) 0;
В) Г) I?
21.20 . В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ
равна 1, a Z.В = 30°._Вычислите проекции: а) АВ на ось СЛ;
б) АВ на ось СВ; в) ВС на ось СВ; г) АС на ось ВА; д) ВС
на ось В А; е) ВС на ось СА.
21.21 . Даны векторы АВ, ВС, АС. Чему равна проекция
каждого из них на ось, проходящую через другой, если:
а) треугольник АВС равносторонний со стороной 1; б) тре-
угольник АВС равнобедренный с основанием 2 и углом 120°
при вершине А; в) треугольник АВС равнобедренный с боко-
вой стороной 1 и углом ср при основании ВС; г) в треуголь-
нике АВС АВ = 4, ВС = 5, СА=6?
21.22 . Пусть проекция вектора а на ось х равна 2, про^
екция вектора b на ось х равна —3, проекция вектора с
на ось х равна 4. Чему равна проекция на ось х вектора:
а) — 2а; б) Ь-\-с; в) с —а; г) За — 0,5b; д) — a-}-2b — 2с?
П 21.2—21.4
239
21.23 . Пусть вектор а длиной 1 образует с осью х угол
30°, а вектор b длиной 2 образует с осью х угол 135°. Чему
равна проекция на ось х вектора: а) 2а; б) —ЗЬ; в) аА-Ь;
г) Ь — а; д) 0,5а—3#; е) -2а + + Ь?
21.24 . Нарисуйте систему^ координат. Чему равны проек-
ции на оси векторов^а) £4-/; б) /—Д в) —/+/; г) —i— J;
д) 2i — 3]; е) — 0.5Г4-4/, где Г и j — единичные векторы
осей хи//? Какой угол составляют эти векторы с осью х?
§ 22. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
22.1. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ОСЯМ КООРДИНАТ. ВЫПОЛ-
НЯТЬ геометрически операции с векторами не всегда удобно.
Например, надо сложить десять векторов, да еще умножен
ных на некоторые числа. Но если на плоскости ввести
систему координат, то каждый вектор можно задать парой
чисел — его проекциями на оси координат. И тогда окажется,
что действия с векторами можно свести к аналогичным дей-
ствиям с парами чисел, что куда проще. Следующая теорема
вводит координаты вектора.
Теорема 28 (о координатах вектора). Пусть на плос-
кости задана прямоугольная система координат. Единичные
векторы осей х и у обозначим i и j. Пусть v — некоторый век-
тор, a vx и vу — его проекции на оси координат. Тогда
V = Vxt-\-VyJ. (1)
Пара чисел vx, vy называется координатами вектора v
в данной системе координат.
Доказательство. Отложим вектор v от начала коор-
динат— точки О. Получим вектор OA=v (рис. 221). Пусть
точки 4| и Д2 — проекции точки А на координатные оси хну.
Тогда

ол=ОТ,н-оа2
(2)
Как доказано в п. 21.2 (равенство (1)), СМ| = vxi. Анало
гично 0^2 = иу]. Подставляя эти равенства в (2), получа
ем (1).
Верно утверждение о единственности коорди
натного представления в е к т о р а: если для вект^
pa v выполняется равенство
v = aiA~bj, (3)
Рис. 221
то пара чисел
и у, т. е.
(а, Ь)
является проекциями вектора
a = vx, b = vy.
Докажем его. Из равенств (1)
ai-\- bj = vxi -f- vyj. Отсюда
и (3)
v на оси х
следует,
(4)
что
240
ai — Vxi = Vyj — bj. (5)
Слева в (5) стоит вектор, коллинеарный вектору Т, а спра-
iui — вектор, коллинеарный вектору /. Так какГ-Lj, то векто-
ры cu — Vxi и Vyj — bj взаимно перпендикулярны. Но взаимно
перпендикулярные векторы равны^ лишь в одном_ случае,
когда они нулевые. Поэтому ai — vxl=0 и vyJ— bj=6. Следо-
нательно, ai=vxi и bj — Vyj. По свойству 5 операции умно-
жения вектора на число (п. 20.1) из этих равенств следуют
равенства (4).
Таким образом, на координатной плоскости любой век-
гор v можно задать его координатами vx, vy и писать короче:
ц = (vx, Vy) вместо равенства (1).
22.2. длина вектора. Зная координаты вектора и исполн-
яя теорему Пифагора, можно найти длину вектора. Вер-
немся к рисунку 221. Если точка А не лежит на координатных
осях, то треугольник OAAt прямоугольный. Поэтому
ОЛ2 = ОЛ? + Л,Л2. (6)
Так как А\А = ОА2, то из (6) получаем, что
ОА2 = ОА1а~ОА22. (7)
Но ОЛ = |и|, ОЛ| = |ух|, OA2=\vy\. Поэтому (7) можно
описать так:
IV12 = IV Д2 + I v J2,
т. е.
Й2 = у2 + ^- (8)
Формула (8) справедлива и в тех случаях, когда точка Л
лежит на какой-то оси координат (объясните это подроб-
нее) .
Итак, квадрат длины вектора равен сумме квадратов его
координат.
Из (8) получаем формулу длины вектора:
Й =д/^ + • (9)
Дайте ей словесную формулировку.
22.3. свойства координат векторов. Прежде чем свести
действия с векторами к действиям с их координатами, мы
должны доказать свойства координат вектора. Так как они
являются проекциями вектора на координатные оси, то
свойства координат повторяют свойства проекций.
Свойство 1. Координаты равных векторов соответ-
ственно равны. Обратно: векторы, имеющие соответственно
равные координаты, равны.
Первое утверждение вытекает из первого свойства проек-
ций (п. 21.4). Второе вытекает из равенства (1).
241
Свойство 2. При сложении векторов их соответствую-
щие координаты складываются. А именно если а = (ах, ау),
b=(bx, by) и с = а-\-Ь, то с— (ах-{~Ьх, ау-\-Ьу), т. е.
сх = ах + Ьх, су = ау-\-Ьу. (10)
Это свойство вытекает из второго свойства проекций
(п. 21.4).
Свойство 3. При умножении вектора на число его
координаты умножаются на это число. А именно если а =
= (ах, ау), b=(bx, Ьу) и Ь = аа, то Ь=(аах, аау), т. е.
Ьх — txax, by — ссау. (11и
Свойство 3 вытекает из свойства 3 проекций вектора
(п. 21.4). I
Это свойство позволяет по-другому сформулировать
признак коллинеарности векторов (теорема 27 п. 20.2): нену-
левой вектор а—(ах, ау) и вектор b=(bx, Ьу) коллинеарны
тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны,
т. е. выполняются равенства (И).
Действительно, если выполняются равенства (11), то 5 =
= аа и b ||а (по теореме 27). Обратно: если Ь\\а, то Ь = аа
(по теореме 27) и по свойству 3 выполняются равен-
ства (11).
22.4. свойства операций с векторами. Свойства коор-
динат позволяют, как мы говорили, свести действия с век-
торами к арифметическим действиям. Именно на этом осно-
ваны простые и единообразные доказательства важных
свойств операций с^векторами. Сформулируем их.
1. а (^а) = (ар)_а.
2. (ар = аа-j-ра.
3. а (а-f- b) =aa-\-ab.
Эти три свойства справедливы для любых векторов а, b
и любых чисел а, р. Докажем, например, второе из них.
Пусть а=(ах, ау). Тогда (а-|-Р) а = ((а-|-Р) ах,
(а + Р)%) по свойству 3 п. 22.3. Далее, по свойствам 2 и 3
п. 22.3
аа + ра= (аахД- fiax, ааУ + $ау).
Но для чисел а, р, ах, ау верны равенства
(а4-р) ах = аах4~рах и (а-ТР) ау — аауу^ау.
Поэтому соответственные координаты векторов (аДР)а
и аа-|-ра равны. По свойству 1 п. 22.3 эти векторы
равны.
Свойства 1 и 3 докажите самостоятельно.
22.5. связь координат векторов и координат точек. До-
казывая теорему 28 о разложении вектора по координатным
осям, мы откладывали его от начала координат. Это вовсе
не обязательно. Например, отложим вектор и от точки
242
/1 h i, y\) и пусть его концом будет точка В(х2, У2) (рис. 222).
I проектируем точки А, В в точки А।, В\ на ось х и в точки Л2,
/I на ось у. Тогда A7B\ = Vxi, A^B2 = Vyj и v = AB = vxi-lr
1
Вычисляя проекции вектора через координаты его начала
и конца (см. п. 21.2), получаем:
Ух = %2 — Х[, Vy=y2—yi. (12)
II' гному
U = = (х2 — Х])И- (i/2 —4/1)7- О3)
Итак, чтобы найти координаты вектора, нужно от коор-
динат конца вектора отнять координаты начала вектора.
В частности, если вектор отложен от начала координат,
ю координаты вектора равны координатам его конца.
22.6. ФОРМУЛА РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ ТОЧКАМИ. Умея найти
п ишу вектора по его координатам, мы можем теперь выра-
||| и. и расстояние между точками через их координаты.
А именно пусть даны точки 4(xi, у\) и £?(х2, у2). Тогда
рш еюяние между точками А и В — это длина вектора АВ,
। г АВ= |ЛВ| (рис. 223). Так как координатами векто-
1>н All являются разности х2 — Х\ и у2 — у{, то
АВ = VU2 —X|)2+ (t/2 —4/l)2 (14)
Это и есть формула расстояния между точками.
Итак, расстояние между точками равно корню квадрат-
на чу из суммы квадратов разностей их координат.
I Для чего вводятся координаты вектора?
Как найти координаты вектора?
I Запишите формулу: а) длины вектора; б) координат век-
гора, зная координаты его начала и конца; в) расстояния
между точками.
I Какие свойства имеют координаты вектора? Докажите их.
'• Какие свойства действий с векторами доказываются с
помощью координат векторов? Докажите их.
243
Задачи к § 22
22.1
А
0 22.1. Пусть а — единичный вектор, cpt и <р2— углы, кото-
рые он образует с осями координат. Докажите, что а =
=cos <pi?-|-cos <р2/ и cos2 (pi-f-cos2 <р2= 1.
22.2. Какие координаты имеет единичный вектор а, обра-
зующий с осью х угол: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135_°, 150°,
180°? Как изменятся эти результаты, если вектор а будет
иметь длину d?
22.3. Найдите числа а и 0 из равенств:
а) Р£=2£ — 3/; б) aj-|-2/=~— 3Z— 0/; _ _
в) аГ-р₽/ = 2Г; г) а?4-Р/= —3/; д) аГ-|-р7=0.
22.4. Найдите координаты векторов А В, ВС, СА, исходя
из рисунка 224.
22.5. Систему координат повернули вокруг начала коор-
динат на угол 45° против часовой стрелки. Новое положение
вектора 7 обозначим 7Ь а новое положение вектора / обозна-
чим 7). а) Каковы координаты векторов 7 и 7i в старой систе-
ме координат? б) Каковы координаты векторов i и / в новой
системе координат? в) Попытайтесь решить задачу в общем
22.3
Б
случае, когда угол поворота системы координат равен ср.
0 22.6. а) Дан вектор а= (х, у). Каковы координаты век-
тора — а? Чему равна его длина?
б) Даны векторы а= (Х], уА и Ь=(х2, у2). Каковы
координаты вектора а — Ь? Каковы координаты вектора
Рис. 224
АВ=ВС=СА=2
М4
ш | p/>? Как найти длину вектора aa-j-06? Приведите при-
мер.
22.7. Даны векторы а= (1, — 2\ и Ь= (— 3^ — 1). Како-
вы координаты векторов: а) 2а; б) — 36; в) а-\- 6;
|) 6 —а; д) —з-а-|--|-&? Чему равны длины этих же век-
Z о
1оров?
22.8. Можно ли найти такое число а=#0, что аа-|-6 = 0?
Можно ли найти такие числа а=/=0 и 0=#О, что аа-|-рб = 0?
22.9. Какие координаты имеют векторы: a) Г-ЬЛ
б) —« + /; в) i — j; г) — х —/; д) -2x4-3/; е) — I — — р
Чему равны длины этих векторов?
22.10. Коллинеарны ли векторы а и Ь, если:
Xi) а=( —2, 1), Ь=(4, -2); б) а=(1, -3); 5=(1, 3);
и) а=(3, -2), 6=(-3, 2); г) а=(1, 0), 6=(3, 0);
д) а=(0, -1), 6=(1, 0); е) а= (0, 0), 6=(-2, -1)?
22.11. Векторы а и b коллинеарны. Каковы их недостаю-
щие координаты^ а) а=(1, — 2), Ь = (3, ...); б) а= (..., 2),
Ь= (4, — 1); в) а = ( — 2, ...), Ь= —2); г) а = ( — 1, ...),
5=(2, ...)?
22.12. Дан вектор а=(1, — 1). Запишите координаты
вектора: а) противоположного а; б) коллинеарного а; в) кол-
линеарного а и имеющего единичную длину.
22.13. Даны векторы а=(1, 2), Ь = (—2, —1), с =
= ( —4, 4). Каждый из них запишите как линейную ком-
бинацию других.
22.14. Докажите, что х (a — b) =ха — xb.
22.15. Упростите такие выражения:
а) 5 ( — За); б) —2 ( —4х); в) — Зр-|-2р; г) 46 —26;
д) 2а —26; е) уа-|—а; ж) 3( — 4а) —4 (— За); з) а-|-
4-Ц^-; и) -1 (а + 6) —(а —6).
Z Z о
22.4
22.16. Выразите один из векторов равенства через другие:
а) 2а-|-36 = 0; б) Зх—±-х/ = 0; в) -2р4-3? — у г=0.
22.17. Решите векторное уравнение:
а) 2х—а-|-6 = О' б) За—x — b = Q.
22.18. Пусть х=2а— Ь, у = —у а-|-36.
а) Запишите как линейную комбинацию векторов а и b
векторы: —2х;-|- у\ 3>х — 2у\ — х — у. б) Докажите, что любая
линейная комбинация векторов х и у является в свою очередь
линейной комбинацией векторов а и Ь. в) Верно ли обрат-
ное?
245
A
22.19. Будут ли коллинеарны векторы а и Ь, если коллине
—» I —• —> ——♦ —♦ -•
арны векторы: а) — 2а и — Ь; б) аа и в) а — b и 2Ь
г) a-j-б и а — Ь; д) — За Д-4-и ~2а; е) ±-a — 3b t
» 1 — — — i
-За~\-—Ь; ж) aia + Pi6 и а2аД-02/>?
22.20. Пусть векторы 2а — b и — а-\-ЗЬ не являются
коллинеарными. Будут ли коллинеарны векторы а и 5-
Обобщите задачу.
22.21. Даны три точки А, В, С. Постройте точку X, такую
что ХХ + 2ХЛ-ЗХС = 0.
22.22. В параллелограмме ABCD диагонали пересека
ются в точке О. Выразите как линейную комбинацию век
торов АВ и AD векторы АО, ВО, СО. Выразите как линей
ную комбинацию векторов ПЛ и ОВ векторы АВ, AD.
22.23. В треугольнике АВС точка К— середина ДС, точ
ка L — середина АВ, точка М —середина ВС. Пусть АВ = а
А^ = Ь. Выразите как линейную комбинацию векторов а г
b такие векторы: а) ВХ; б) CL; в) К.М; г) ГХД-МХ;
д) AM-\-CLA~ ВК. Решите какую-либо обратную задачу.
22.24. а) Дан правильный пятиугольник Д1Д2Д3Д4Д5
Выразите как линейную комбинацию векторов Д?Л2 и
ДТДб векторы Д~Лз и Д|Л4. Решите обратную задачу.
б) Решите аналогичную задачу для какого-либо другого
правильного многоугольника.
22.25. а) Каждая из двух прямых задана координатами
двух своих точек. Как выяснить, будут ли они параллельны?
Будут ли они совпадать? Приведите примеры.
б) Известны координаты трех точек. Как узнать, лежат
ли они на одной прямой? Приведите примеры.
22.26. Пусть известны координаты точек А и В, и пусть
ДХ =у ~АВ. Как найти координаты точки X? Обобщите
задачу.
22.27. Каковы координаты вектора АВ, если: а) Д (0, I)
В(\, 0); б) А (—2, 1),В(—4, 2); в) А(р, q), В(-р, -q)l
22.28. Заданы точки Д( —I, 3) В{2, —4), С(—3, — 1)
£)(5, 2). Есть ли среди векторов, начала и концы которых
находятся в данных точках, равные?
Вычислите координаты таких векторов: а) ДИД-ДИ:
б) АВ-СВ; в) 2ДС-ЗВВ; г) -±сПД-|- ВА.
Вычислите длины этих же векторов.
22.29. Пусть точка О — начало координат, а точка Д(
такова, что ПЛ1 = (1, —2). Какие координаты имеет точка
Д2, такая, что ДТЛ2=(—2, 3)? Обобщите задачу.
22.30. От точки А откладывают вектор а и получают
точку В — конец вектора а. Пусть известны координаты
246
гонки А и вектора а. Как найти координаты точки В? Как
решить обратную задачу? Приведите примеры.
22.31. Даны точки А( — 1, 3) и В(5, —3). Найдите ко-
ординаты точки: а) С(, такой, что она является серединой
отрезка АВ; б) С2, такой, что точка В является серединой
отрезка ЛС2; в) С3, такой, что она делит отрезок АВ в от-
ношении 2:1; г) С4, такой, что точка А делит отрезок ВС4
н отношении 3:2.
22.32. Пусть известны координаты вершин треугольника,
в) Как найти координаты векторов, заданных его медианами,
биссектрисами, высотами? Приведите примеры, б) Как най-
III координаты точки пересечения медиан, точки пересечения
биссектрис? Приведите примеры.
22.33. Пусть известны координаты трех вершин паралле-
лограмма. Как найти координаты его четвертой вершины?
( можете ли вы решить аналогичную задачу для равнобокой
।рапеции?
22.34. а) Из начала координат выходит вектор а\ единич-
ной длины, который образует с вектором Z угол ср<90°.
Каковы координаты at?
б) Из конца вектора at выходит вектор а2 единичной
длины, который образует с вектором at угол <р. Каковы
координаты вектора а2?
Обобщите задачу.
22.35. Даны точки Д(-1, 1), В (2, 3), С(1, -2).
.И Вычислите стороны треугольника АВС. б) Установите
его вид (по углам).
22.36. Пусть известны координаты четырех точек. Как
проверить, являются ли они вершинами: а) параллело-
грамма; б) ромба; в) прямоугольника; г) квадрата; д) рав-
нобокой трапеции; е) выпуклого четырехугольника?
22.37. Вершины пятиугольника ABCDE таковы: Д(1, 1),
/Н -1, 2), С(3, 2), D(3, -1), Е(-1, -2).
Вычислите: а) самую длинную сторону; б) самую короткую
сторону; в) самую длинную диагональ; г) самую короткую
диагональ; д) его углы; е) его площадь.
22.38. Как вычислить площадь четырехугольника, зная
координаты его вершин? Приведите пример. Обобщите за-
дачу.
22.39. Используя координаты, докажите: а) неравенство
। реугольника; б) теорему о средней линии треугольника.
22.40. Пусть известны расстояния от точки К до трех
вершин прямоугольника. Сможете ли вы найти расстояние
от К до его четвертой вершины, если точка К лежит:
а) внутри прямоугольника; б) вне его; в) вне плоскости
прямоугольника?
Решение. Пусть ABCD — данный прямоугольник. Раз
<адача решается с помощью системы координат, то эту систе-
му координат надо как-то ввести, «привязав» ее к данной
Б
А
Б
22.6
247
фигуре. Всегда систему координат удобнее вводить так,
чтобы данная фигура была расположена в ней наиболее1
симметричным образом. В данной задаче мы выберем начало
координат в точке О пересечения диагоналей прямоуголь
ника, а оси координат направим параллельно его сто-
ронам (рис. 225, а).
Пусть точка С имеет координаты (а, Ь), тогда очевидно,
что D(a, — b),A( — a, — Ь),В( — а,Ь). Координаты точки К
обозначим (х, у). Тогда, обозначив для краткости KA = d\,
KB = d-2, KC = d3, KD = d^, получим систему равенств:
(x-f-a)24~ (у b)2 = d2,
(х + а)2+ (у — b)2 = dl,
(x-a)2+(y-br = dl,
(х — а)2+ (yA-b)2 = dl
(Для удобства, чтобы избежать корней, мы записали фор-
мулы квадратов данных расстояний.)
Пусть, например, известны d{, di, d$ и требуется найти d\.
Неизвестны в этой системе четыре величины х, у, а, Ь, и урав-
нений в системе тоже четыре, так что задачу решить вроде бы
можно (?). Осталось проделать выкладки. Делать их на-
прямую довольно долго, но, раскрыв скобки во всех уравне-
ниях системы и заметив, что d2 + dl = dl -f- d2, прийти к ре-
зультату можно быстрее(?).
Для решения задачи совершенно неважно, где находится
точка К — внутри или вне прямоугольника или на его гра-
нице. А вот если точка К находится вне плоскости прямо-
угольника, то положение дел меняется.
Пусть точка К\ — проекция точки К на плоскость пря-
моугольника (рис. 225, б), т. е. КК\ — перпендикуляр к плос-
кости АВС. Для точки К\ верно равенство /GA2-}-К|С2=з
= K1B24-K1D2.
248
< )бозначим K.K\ = h. Тогда КА2 = А|Л24-Л2, КС2 = /GC2-|-
| hJ, КВ2 = К\В'2 + /г2, K.D2 = K\D2-\-h2, откуда и получаем
Л Г |. /(C2 = Aj32 + tfZ)2.
Задачу можно обобщить. (Как?) И любопытно, что ре-
ц.ш.гат не зависит от сторон прямоугольника!
22.41. Докажите, что сумма квадратов диагоналей па-
ри илелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
22.42. Пусть известны координаты двух вершин квадра-
1Я ( можете ли вы найти координаты двух других его вер-
шин? Как вы обобщите эту задачу?
22.43. Пусть известны координаты вершин треугольника.
I» .ич найти координаты точки пересечения его высот (или их
продолжений), если пользоваться только формулой для вы-
.......... расстояний?
| ’3. СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
•I I. определение скалярного произведения. В даль-
нейшем мы используем еще одну операцию с векторами.
Hi курса физики вам известно, что механическая работа А,
। ииг|)|цаемая постоянной силой X при перемещении s тела
|р||. 226, а), равна произведению: А = |Х| |s| cos ср, где
«Iit— Fs. Аналогичное произведение be cos А входит и в фор-
Mv.ny ОТП. Но в этом случае стороны b и с треугольни-
iin \ВС надо рассматривать как векторы Ь = М1 и с = ЛВ
(рис 226, б). Можно привести и другие, как физические, так
и ।''ометрические, примеры, где появляется подобное произ-
нг н ние. Например, все задачи, где рассматриваются проек-
ции вектора на оси.
Действительно, сама проекция вектора и на ось с еди-
ничным вектором е вычисляется именно как такое произве-
дшие: пр- ц=|ц| |е| cos ср. Оно называется скалярным про-
пни дением векторов.
Итак, скалярным произведением двух ненулевых векторов
Ий 1ывается произведение их модулей и косинуса угла между
ними.
( калярное произведение векторов а и b обычно обозна-
ЧДЮ1 ц-b. Таким образом, по определению
а • b = | а | | b | cos ср, где ср — ab. (1)
249
Рис. 227
Если хотя бы один из векторов нулевой, то полагают
а-Ь = 0.
Отметим два важных частных случая:
1) Если а = Ь, то ф = 0% |а| = |£| и из Ц) следует, что
а-а=|а|2. Произведение а-а обозначается а2 и называется
скалярным квадратом вектора а. Итак, tr’=Ja|2.
2) Для любых ненулевых векторов а, b их скалярное
произведение а-Ь — 0 тогда и только тогда, когда a-L i).
Действительно, если а=/=0 и ЬД=0, то из (1) следует, что
а-Ь = 0 тогда и только тогда, когда coscp = 0, т. е. при
a_Lb.
23.2. ВЫРАЖЕНИЕ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЧЕРЕЗ
координаты. Докажем, что скалярное произведение векто-
ров равно сумме произведений одноименных координат эти\
векторов. Это значит, что для векторов a=(xi, у\) и 5 =
= (*2, У1) их скалярное произведение вычисляется по фор-
муле
а-Ь = Х\у\-\-х2у‘1. (2)
Рассмотрим сначала случай, когда а и b неколлинеарны.
Отложим а и b от начала О. Получим векторы ОА=а
и ОВ = Ь (рис. 227). Точка А имеет координаты х\, у\, а
точка В— координаты х^д/г- В треугольнике ОАВ /LO = '\
= /Lab. Положим /Lab и вычислим по ОТП сторону АВ
треугольника ОАВ. Получим:
А В2 = О А2 + О В2 - 2ОА О В • cos ф. (3)
Но ОА • OB cos ф = |а| |5| cos ф, т. е. ОА • OBcos ф = а* Ь.
Используем последнее равенство и получим из (3), что
а-Ь=^ (ОА2 + ОВ2-АВ2). (4)
По формуле расстояния между двумя точками
OA2 = x2A-y2i, ОВ2=х2А-у1,
АВ2 = (х2 —Х1)2+ (У2 — У |)2. (5)
Подставляя эти выражения в (4) и упрощая, получа-
ем (1). ___
Если же векторы а и b коллинеарны, то один из них
получается из другого умножением на число. Пусть, напри*
мер, b = ka. Тогда x2 = /sxi, y2 = ky\. Дальнейшие рассужде-
ния проведите самостоятельно.
23.3. свойства скалярного умножения. Следующие
свойства выполняются для любых векторов а, Ь, с и любого
числа х:~
L a-b = b-a.
2. (ха) • Ь = х(а-Ь).
3. (a~Lb) с = а-сА~b-с.
250
Все эти свойства следуют из формулы (2). Проверим, на-
пример, свойство 3. Положим а= (хь у\), ft=(x2, t/2) и
г . (%3, <£з)- Тогда a-\-b= (х, -|-х2, £/1+^2)- Поэтому
(<: Т b) -с= (xi -|-х2) Хз+ (у\ + У2) Уз = Х[Хз Н-х2Хз + £/]£/з +
- 4“#2£/3.
Но И а-С-\-Ь-С = Х1Хз±Х2Хз±11\Уз±у2Уз-
Следовательно, (а-\-Ь) -с = а-с-\-Ь-с.
Замечание. Если понимать векторы а и b как силы,
шйствующие на тело, а вектор с как перемещение этого
гела, то свойство 3 можно понимап> так: работа, совер-
шаемая результирующей силой а-\-Ь при перемещении с,
равна сумме работ, совершаемых силами а и b при том же
перемещении с.
Доказанные свойства вместе со свойствами сложения век-
горов позволяют скалярно умножать суммы и разности век-
|<>ров по правилам обычной алгебры. Например:
(a-\-b)2=(a-}-b)‘(a-\-b)=a2-\-a’b-}-b-a-\-b2 =
= а2 + 2а • b + Ь2.
I Какие задачи приводят к понятию скалярного произве-
дения?
2 Как вычислить скалярное произведение двух векторов?
3 При каком условии скалярное произведение равно
нулю?
I Какие свойства имеет скалярное умножение? В чем оно
похоже на умножение чисел? А в чем разница между
ними?
Как можно вычислить угол между векторами? Какова
формула для вычисления этого угла, если векторы заданы
своими координатами?
Ллдачи к § 23
23.1 . Каков знак скалярного произведения векторов, если
VI ол между ними: а) острый; б) тупой? Проверьте об-
ритые утверждения.
23.2 . Вычислите скалярное произведение векторов а и Ь,
•тли |а| =2, |£|=3 и Z_ab равен: а) 60°; б) 135°; в) 90°;
И 0°; д) 180°.
23.3 . Докажите, что скалярное произведение единичных
менторов равно косинусу угла между нимш
23.4 . Докажите, что — |а| | b | Са • b С |а| • | b |. Когда до-
• I шлются равенства?
23.5 . Дан квадрат ABCD со стороной 1. Вычислите:
•0 A/J-DC; б) AD-CB-, в) BC-_DC\
• I \С-АВ± д) A^-DC; е) AC-CD\_
ж) AC-BD\ з) АА-АМ; и) (АВ + АД). {CD —СВ)
11«>'1ка К — середина CD, точка М— середина ВС).
А
251
23.2
Б

А
23.6 . Дан равносторонний треугольник АВС со сторо-
ной 2. Вычислите:
а) ДД-ДС; б) ДВ-Ж^_в) ВХ-ДС; г) (АВ±_ВС)_Х
X (АС—АВ); д) ДХ-ВС; е) ДХ-ВМ; ж) (ДВ + ВС +
А~СЯ)-КМ (точка Д' —середина ВС, точка М — середи
на ДС).
23.7 . Нарисуйте вектор а. Как построить: а) такой век-
тор Ь, что a-b = 1; б) такой вектор с, что а-с = а (а — задан
ное число)?
23.8 . Пусть РАВС — правильный тетраэдр с ребром I
Точка К — середина РА, точка L — середина ВС, точка М
середина РВ, а точка W— середина АС. Вычислите:
а) РД-РС; б) PA-АВ; в) Р^-ХГ; г) XT -MN.
23.9 . _Пусть АВСРА[В\С\Р[ — куб с ребром 1. Вычислите:
а) ДВ-CiD.; б) ДВ-СХ,; в) АВ^-СРг, г) А^Р-Р.С.
23.10 . Чему равно скалярное произведение векторов:
а) (а, 0) и (Ь, 0); б) (а, 0) и (0, Ь); в) (а, Ь) и (а, Ь); г) (а, Ь)
и ( — а, — Ь) ?
23.11 . Докажите, что векторы (%, у) и (— у, х) перпен
дикулярны. Какие еще векторы перпендикулярны вектору
(х, г/)? Какой из них имеет единичную длину?
23.12 . Даны векторы а= (1,2) и 6 = ( —2, 3). Вычислите:
а) 2а-6; б) а- (—36); в) f — Т а) '(у » г) Ь- (аА-Ь);
д) (а-)-5)2; е) (а —£)2; ж) (а-|-6)-(а — Ь).
23.3
Б
А
23.13 . ПустьуУ —£, 2), В(-2^-3), С(1. 4) .О(4, -2).
Вычислите: а) АВ-СР, б) ДС-ВР; в) (АВА~СР)-(АС—\
-ВР); г) (21P-3BC)j(CT-CP)^
23.14 . Пусть a = 2Z-|-7, Ь = —i — З]. Вычислите проекцию
вектора а на ось, проходящую через вектор Ь. Решите за- ।
дачу и в общем случае.
23.15 . Даны векторы а= ( — 1,3) и Ь= (2, —1). Найдите
вектор с, такой, что: а) |с| = 1, Z_ca = 30° (какой угол он
образует с вектором 5?); б) = могут ли эти произ-
ведения равняться 1?); в) с-а = 3, с-Ь = 2.
23.16 . На векторах а и b построен параллелограмм.
Пусть вектор Ь~ такой, что b-b±=O, |6^| = |^|, а-5у>0.
Докажите, что площадь параллелограмма равна а-£х
(и а^-b). Докажите, что площадь параллелограмма, по-
строенного на векторах a=(ai, аг) и b=(bi, Ьг), равна
|а,&2 —02^11. _ _ _
23.17 . Докажите такие равенства: а) а-(Ь — с) =
= а-Ь— а-с; _ _ _ _ j
б) (аД-6)^ (a — b) = a2—J)2; в) (a — b)2 = a2 — 2а-ЬА~Ь2;
г) (ха) -Jyb)== (x-y)z(a-b]\_ _
д) (а + 0 • + =а-г+^а-б/-{:Х'сН_^
е) (a-]-6-|-c)2 = a2 + 52-|-c2-l-2a-b A-Zb-с + 2а-с.
252
23.18 . Преобразуйте выражения: а) (а-|-25) (За — Ь);
б) ( —у а + б) • ( —у а —д) ; в) а-(а4-6) — В-(а-^-b);
г) (а — 6) • (а — с) + (Ь — а) • (6 — с);
д) (а — Ь)2> (а + b) +]а+&)2-(а — Ь).
23.19 . Векторы а, Ь, с единичные, Z_ab = 30°, A be = 60°,
Zac = 30°. Вычислите: а) Ja4;c) д(6 —с)£ б), (2а — b) X
Х(а4-26);в) {а-\-Ь — с) • (а — Ь — с); г) (а-|-£-|-а)2.
23.20 . Пусть Ь3_а, а вектор х — любой. Докажите, что
¥«а = (х-\-Ь) - а. Проверьте обратное.
23.21 . Пусть а-Ь = а-с. Следует ли отсюда, что Ь = с?
23.22 . Когда верны равенства^ а)^ ( —а)«о = а-&;
б) а^Ь = а- (2J); в)а> (а4-£) =а- (а — Ь);
г) (а4-£)2 = а24-2а-£; д) (а-|-£)2=а24-£2;
|') а-(а-Ь) = а2-Ь; ж) (а-6)2 = а2-52?
23.23 . Проверьте такие векторные равенства:
а) (аД-£)2-|- (а — Ь)2=2а2 + 2Ь2; б) (а-\-Ь)2— (а — Ь) 2 =
= 4а- Ь;
•») = у ( (а-\-Ь)2 — а2 — Ь2) = у (а24-£2 — (а — Ь)2) =
=у ((аЧ-д)2— (а —Я)2);
г) (а + ?Ч-с)2= (а-(-5)2Ч- (6 4-с)2 4- (с Да)2 — а2 — Ь2 — с2;
д) (у (а + 6 + с)) =4 (а2 + £2 + с2) ~4 ((^~^)2 +
+ (6j-с}2-^(с —а)2);^ _ _ _ _
е) (а4-6 — с — d)2 = (а — с)2 4- (а — d)2A~ (b — с)2 4-
4- (b — d)2 — (a — b)2—Jc — d)2.
23.24. Векторы а, Ь, с попарно неколлинеарны. Чему
равен вектор х, если х-а = х-Ь=Х‘С?
23.25. Среди векторов а, Ь, с нет коллинеарных. До-
кажите, что (b-с) а— (а-с) Ь3_с.
23.26. Запишите вектор АО как линейную комбинацию
векторов АВ и АС, если: а) АВ и АС — касательные из
точки А к окружности с центром О (В и С — точки касания);
б) АО — высота, опущенная из вершины прямого угла А
на гипотенузу ВС прямоугольного треугольника АВС; в) точ-
ка О — центр окружное» и, описанной около треуголь-
ника АВС.
23.27. Пусть А, В, С, D—любые точки плоскости.
Докажите, что ~АВ-С15 4-ТО-ВС—~АС-FCD = 0.
Ьудет ли равенство верно для точек пространства?
Решение. Любопытно, что эту задачу можно решить,
ничего не рисуя,— это и есть векторная алгебра!
А решать эту задачу удобнее всего в радиус-векторной
технике. Выберем некоторую точку О за начало всех векто-
ров, которые нам понадобятся в этой задаче. Пусть в каждую
Б
253
из данных точек идут из О векторы: в точку А вектор ОА,
в точку В вектор ОВ и т. д. Так как во все данные точки
векторы идут из точки О, то можно даже условиться писать
для краткости так: А вместо ОА, В вместо ОВ и т. д. Век-
тор АВ, равный разности векторов ОВ и О А, запишем так:
АВ = В-А.
Аналогично CD = D — C, AD = D ~А,ЪС = С—В,^АС =
= С — А, ~BD=D-B.
В принятых нами обозначениях требуется доказать такое
равенство:
(В—А) ф-ОА-Ф-А) (С-В)-(С-А) (Л-Л)=0.
Для этого надо раскрыть скобки и привести подобные
члены, как в алгебре (?).
Разумеется, все это верно и для четырех точек, не лежа-
щих в одной плоскости, например вершин тетраэдра (?).
§ 24. ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД
24.1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Операции с векторами, изучен-
ные нами в этой главе, составляют основу векторной ал-
гебры (или векторного исчисления) —раздела математики,
изучающего действия с векторами. Аппарат векторной ал-
гебры удобен при решении задач геометрии и физики, тех-
ники и экономики. Мы проиллюстрируем его силу на неко-
торых геометрических задачах. И во всех этих случаях ре-
шение проходит три этапа (подобно тому как это происходит
при решении текстовых алгебраических задач).
Первый этап: условие задачи надо записать в вектор-
ном виде, введя подходящим образом векторы (аналогично
тому, как вы составляете алгебраические уравнения, вводя
неизвестные величины).
Второй этап: средствами векторной алгебры исходное
условие задачи, записанное в векторной форме, преобразует-
ся к такому виду, который дает решение задачи в векторном
виде (аналогия — решение алгебраического уравнения).
И наконец, третий этап: полученным векторным соот-
ношениям дается толкование в исходных терминах (анало-
гия— формулировка ответа задачи, после того как решено
алгебраическое уравнение).
24.2. ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ С ВЕКТОРАМИ.
Линейными называют операции сложения векторов и умно-
жения вектора на число. Иллюстрацию векторного метода
мы начнем с известной вам теоремы о средней линии тре-
угольника.
Пусть точки А и L — середины сторон АВ и АС тре-
угольника АВС (рис. 228, а). В векторной форме условие,
что точка К — середина отрезка АВ, можно записать так:
гг>4
I А' =у АВ. Аналогично AL=— Аб. Мы записали условие
ггоремы в векторной форме, т. е. справились с первым эта-
пом ее доказательства.
Приступим ко второму.
По правилам векторной алгебры
АЛ=А£-АХ=у АС-^ АВ=~ (АС-АВ) =у ВС.
Второй этап завершен: полученное равенство KL =
у ВС и дает векторное решение задачи.
Перейдем к третьему этапу: дадим истолкование этому
равенству. Во-первых, оно утверждает, что KL\\BC, а во-
нгорых, что KL—^-BC. Мы справились и с третьим этапом
решения.
А теперь векторным методом получим еще один ре-
зул ьтат.
Рассмотрим четырехугольник ABCD. Пусть точки А
и L— середины сторон АВ и CD (рис. 228, 6). Отрезок
А/ средняя линия_____четырехугольника ABCD. Тогда
А'Л=— КВ и LC=-LD (это еще один способ записать
п векторной форме, что точки К и L — середины отрезков
АВ и CD).
Из этих равенств получаем, что КА-}-АЛ = 0 и ТСС-\-
| ГЭ = 0.
Далее, KL = KA +ADDL и KL = KBA~BCA~CL.
Сложив эти равенства, получим, что 2KL = AD-]-BC, т. е.
КГ=±(ТВ+вГ). (I)
Из последнего равенства для трапеции вытекают такие
свойства: средняя линия трапеции параллельна ее осно-
ваниям и равна их полусумме.
Действительно, пусть ABCD — трапеция с основа-
пиями AD и ВС (рис. 228, в). Это значит, что АР\\ВС
(первый этап). Из равенства (1) следует, что KL —
Л/5 + ВС (ВТОрОй этап). Наконец, третий этап: во-первых,
A'/’f а потому KL\\AD. И, во-вторых, так как AD\\ВС,
го \ADA-BC\=AD + BC. Поэтому KL=±- (AD А-ВС).
Из равенства (1) можно получить и такое следствие:
(AD + BC). (2)
Рис. 228
Установите самостоятельно, в каком случае в форму-
ле (2) имеет место равенство.
255
24.3. ПРИМЕНЕНИЕ СКАЛЯРНОГО УМНОЖЕНИЯ. Во-первЫХ,
скалярное умножение применяют для нахождения длин:
длина вектора а выражается через скалярный квадрат
такой формулой:
д r |a|=V^ (3)
О _ L
” Вводя подходящим образом векторы, с помощью их
скалярного умножения находят различные соотношения
между длинами. Например, докажем такую теорему:
сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна
сумме квадратов всех его сторон.
Рис-229 Д о к а з а т е л ь с т в о. _Пусть ABCD — параллело-
грамм. Положим АВ = а и AD = b. Тогда BC = b, DC = a,
АС = а-\-Ь и BD = b — a. Возводя в скалярный квадрат
последние два равенства, получим:
Л7?2 = с?4-2а-Ь-|-/г и BD2 = Ь'2 — 2а • b + а2.
Сложим полученные равенства и придем к нужному
результату:
А?2 + ВБ2 = 2(а2 + Ь2) =AB2 + BC2A-CD2 + AD2.
Во-вторых, с помощью скалярного умножения находят
углы между ненулевыми векторами, точнее, их косинусы,
по формуле
cos /_ ab = f А- . (4)
В частности, как уже говорилось, равенство нулю ска-
лярного произведения ненулевых векторов означает их пер-
пендикулярность.
Например, пусть прямая I проходит через точку А и
перпендикулярна прямой ВС (рис. 229). Точка М лежит
на прямой I тогда и только тогда, когда MA-^C = Q.
Это утверждение мы используем сейчас для доказа-
тельства следующей теоремы:
Теорема 29. Все высоты треугольника (или их
продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 230, а, б).
Доказательство. Пусть дан треугольник АВС и
1А , 1В , 1с — прямые, содержащие его высоты и проведенные
Рис. 230 соответственно через вершины А, В, С (рис. 230, в). Точка
256
И лежит на прямой 1А тогда и только тогда, когда выпол-
няется равенство МД-.3(2 = 0. Поскольку ВС = МС —
МЁ, то это равенство равносильно равенству МА X
< (МС — МВ) =0. А оно, в свою очередь, равносильно
равенству
МА-МС = МА-МВ. (5)
Итак, точка М лежит на прямой 1Л тогда и только тогда,
когда выполняется (5). Аналогично точка М лежит на
прямой 1В тогда и только тогда, когда выполняется равенство
МВ-МС = МВ-МА. (6)
Если же точка М является точкой пересечения прямых
б и /й , то равенства (5) и (6) выполняются одновременно.
Ио из (5) и (6) следует
МА-МС = МВ-МС. (7)
А (7) означает, что точка М лежит и на прямой 1С . Стало
быть, все три прямые 1А , 1В, 1С пересекаются в одной
точке.
24.4. радиус-вектор. Следя за удаленным движущимся
гелом, например за самолетом или спутником, направляют
на него луч прожектора или луч радара. От места наблю-
дения О до тела М как бы протягивается направленный
отрезок — вектор ОМ. Он «следит» за перемещением тела:
гело движется и соответственно изменяется вектор ОМ
(рис. 231, а). Считая движущееся тело концом вектора,
мы пренебрегаем его размерами и принимаем тело за
гочку — за материальную точку, как говорят в физике.
>то допустимо, если тело достаточно мало в сравнении с
расстоянием до него.
С данного места наблюдения можно следить за разными
телами. Любому положению каждого из них будет соот-
ветствовать направленный к нему вектор ОМ. С точки
«рения геометрии в отвлечении от реальных тел это пред-
ставляется следующим образом.
Выберем какую-нибудь точку, обозначим ее О. Каждой
точке М теперь соответствует вектор ОМ (рис. 231, б).
Он называется радиус-вектором точки М, идущим из точ-
ки О.
Обратно: если задан какой-либо вектор а, то, отложив
его от точки О, получим точку А — конец вектора ОА — а.
Вектор а, отложенный от точки О, является радиус-вектором
точки А.
Таким образом, при выбранной точке О каждой точке
М отвечает ее радиус-вектор ОМ. Верно и обратное: при
выбранной точке О каждому вектору соответствует точка,
радиус-вектор которой равен данному вектору. Радиус-
вектор обычно обозначают г.
6)
Рис. 231
257
Рис. 232 Представим себе, что точка движется так, что каждому
моменту времени t (из какого-нибудь промежутка) соот-
ветствует ее определенное положение Af(Z), и, значит,
радиус-вектор OM(t) зависит от t. Запишем это следующим
образом: r(t) =OM(t).
Так задают движение точки в механике, физике,
астрономии. Например, движение планеты вокруг Солнца
описывают с помощью радиус-вектора, проведенного от
Солнца к планете — из центра Солнца в центр планеты
(второй закон Кеплера, рис. 232, а). В геометрии изучают
произвольные кривые линии, представляя линию как
след — траекторию движения точки.
Пусть, например, точка М движется из точки А, где
она была в момент времени to —О, с постоянной скоростью
v (рис. 232, б). Тогда ее положение M(t) в момент времени I
можно задать радиус-вектором
ОМ(/)
Полагая OM(t)=r(t) и 0%=а, получим уравнение
равномерного прямолинейного движения:
г(/)=а-|-/и. (8)
С помощью радиус-векторов можно задавать и другие
движения.
24.5. ВЕКТОРНОЕ ЗАДАНИЕ ПРЯМОЙ И ОТРЕЗКА. С ТОЧКИ
зрения геометрии уравнение (8) представляет собой век-
торное уравнение прямой /, проходящей через точку А
в направлении вектора v. При этом, чтобы точка /И(t)
«пробежала» всю прямую, переменная t должна принять все
действительные значения. Напомним, что AM(t) =tv.
В уравнении (8) радиус-вектор r(t) точки M(t) прямой /
выражен через вспомогательное переменное число t, кото-
рое называется параметром. Само же уравнение (8) на-
58
Н.1ПДЮТ еще параметрическим уравнением прямой в век-
горной форме.
Фраза, что «(8) является параметрическим уравне-
нием прямой», означает, что справедливы два утвержде-
ния I) для любого значения i точка M(t), радиус-вектор
Которой r(t) = aA~tv, лежит на прямой Г, 2) для любой
|<1чки М* прямой / найдется такое значение параметра /*,
что радиус-вектор ОМ* = a-\-t*v.
Объясните, почему справедливы эти утверждения, ис-
пользуя следствие о векторах на прямой (п. 20.2).
Если же в уравнении (8) параметр t изменяется от
некоторого значения t\ до значения /2, то точка M(t) про-
Пггает отрезок с концами в точках М(/|) и М(/2) (рис. 233).
\ как должен изменяться параметр, чтобы точка М(0 про-
бежала полупрямую с началом М(/1)?
Чтобы написать уравнение (8) прямой, отрезка или лу-
ча, надо задать точку А, вектор v (он называется на-
правляющим вектором) и область изменения параметра t.
Но чаще приходится писать уравнение прямой, отрез-
ка или луча, зная две их точки. Назовем их А и В. Яс-
но. что тогда в качестве направляющего вектора можно
шить вектор v = AB. Поскольку АВ = ОЁ — ОА, то урав-
нение (8) в этом случае преобразуется к такому виду:
Ш (0=(1—/) OA + tOB. (9)
Если />0, то t=^-. Поэтому, когда / возрастает от 0
-•.о I, точка М пробегает отрезок АВ от А до В. Уравнение (9)
будем называть уравнением отрезка АВ, считая при этом,
что параметр t изменяется от 0 до 1.
В частности, если точка С — середина отрезка АВ, то
/ , так как ЛС = у АВ.
Из уравнения (9) получаем, что
Рис. 233
0Г=у (ОЛ + ОВ). (10)
Итак, радиус-вектор середины отрезка равен полусумме
радиус-векторов его концов.
Замечание. В этом пункте мы применили аппарат
векторной алгебры и понятие радиус-вектора для вывода
параметрических уравнений прямой и отрезка. Уже в этих
простейших примерах можно заметить важное достоинство
применения радиус-вектора: все выводы, которые мы здесь
получили, верны как для плоскости, так и для пространства
(и даже, как вы узнаете позднее, для пространств любой
размерности!). Определения же действий с векторами и
свойства этих действий в пространстве такие же, как и на
плоскости.
259
Отметим еще одно достоинство векторных уравнений.
Равенство векторов, как было доказано в п. 22.3, равно-
сильно равенству их соответствующих координат. Поэтому
если от векторных уравнений перейти к скалярным, т. е.
к равенству координат, то на плоскости каждое векторное
уравнение заменится двумя скалярными, а в пространстве
уже тремя.
24.6. ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ МЕДИАН ТРЕУГОЛЬНИКА. В ка-
честве красивого и важного примера приложения векторов
докажем следующую теорему:
Теорема 30. Медианы любого треугольника пере-
секаются в одной точке, расстояние от которой до каждой
вершины треугольника равно у длины соответствующей
медианы.
Доказательство. Пусть дан треугольник АВС
(рис. 234) и его медианы АР и BQ пересекаются в точке М.
Введем векторы АВ = с и АС=Ь. Выразим через них
вектор AM. Согласно равенству (10) АТ=~ Так
как точка М лежит на отрезке АР, то АМ = а АР, где
ае[0, 1]. Поэтому
(Н)
Но точка М лежит и на медиане BQ, т. е. = BQ,
где 0е[О, 1]. Так как BQ = AQ — АВ и AM = AB-j- ВМ,
то
да=г+₽(4-ё)=4 5+(!-₽)?• <|2>
Из (11) и (12) получаем, что
-|5+-|Н=.|. 5+(!-₽)?• ИЗ)
260
Равенство (13) возможно лишь в том случае, когда
коэффициенты справа и слева в этом равенстве при не-
коллинеарных векторах b и с равны. В противном случае
оказалось бы, что равны неколлинеарные векторы. Поэтому
'* =у и у=1—р. Отсюда а = р=у. Следовательно,
,1Л1=у АР.
Итак, медиана BQ пересекает медиану АР в точке М,
удаленной от вершины А на расстояние у АР. Заменим
и предыдущих рассуждениях медиану BQ медианой CN.
Тогда снова получим, что эти медианы пересекаются в той
точке на отрезке АР, которая удалена от точки А на рас-
2
г гояние АР, т. е. в точке М. Итак, все три медианы тре-
угольника АВС пересекаются в точке М. При этом АМ =
-±АР, BM=^-BQ, CM=^-CN.
О О м
Следствие. Радиус-вектор ОМ, идущий в точку
пересечения М медиан треугольника АВС из произвольной
гочки О, выражается равенством
ОМ=у (ОХ + ОТ+ОС). (14)
Доказательст в о. Подставив в равенство (11)
следующие выражения: АМ=ОМ— ОА, Ь = АС=ОС —
- ОА, с = АВ — ЦВ — ОА и а=-|-, получим (14).
•J
Замечание. Точки пересечения высот и медиан
।реугольника, а также центры вписанной и описанной
окружностей треугольника (вспомните, где лежат эти
гочки) часто называют замечательными точками тре-
уюльника. Точку пересечения высот называют ортоцент-
ром, а точку пересечения медиан — центром тяжести
(центром масс) треугольника.
24.7. ЦЕНТР МАСС. Формулы (10) и (14) обладают за-
мечательной особенностью: если по этим формулам на-
ходить точки С и М — концы радиус-векторов ОС и ОМ, то
положение этих точек не зависит от выбора точки О.
Действительно, точка С — это середина отрезка АВ, а
М — это точка пересечения медиан треугольника АВС.
Эта особенность формул (10) и (14) не случайна: обе
они являются частными случаями общей формулы для
центра масс системы материальных точек. А середина
отрезка и точка пересечения медиан треугольника явля-
ются центрами масс отрезка и треугольника.
Рассмотрим общий случай. Пусть задана система S
материальных точек с массами mt, ..., rtik, находящихся
261
соответственно в точках А1г ..., Л*. Тогда центром масс
этой системы называется такая точка Р, радиус-вектор
которой выражается равенством
да=+ 15 J
mi ~h -Ьы* I
Положение этой точки не зависит от выбора точки О.
Действительно, возьмем другую точку О\ и определим
по формуле (15) положение центра масс Р\ системы S. По-
лучим:
—ft /7iiO|Ti -j-... -j-m/rOiAh m। (O|O4-0.4 J ... -f-mt(OiO4-OAA
U\r\ =------:---:-----= ----------------;-----------=
mt 4-...4-ГИЛ mi4-...4-m*
-+'п*а4* =6^+OP =O[P.
mt 4-...4-mA
Из равенства O1P1 =O\P следует, что P\ = P, т. e.
положение центра масс не зависит от выбора точки О.
Если m। = m2 = ... = mk, то центр масс Р называется
центроидом точек Л |, Л2, ..., Ak-
Если точку О выбрать в центре масс, т. е. положить
О = Р, то, поскольку РР = 0, из равенства (15) получим
равенство
пг\РА\ + ---\-mkP&k=$. (16)
Оно позволяет дать другое определение центра масс,
как такой точки Р, для которой выполняется равенство (16).
Для системы из двух материальных точек (A lt mJ и
(Л2, т2) равенство (16) даст известное вам «правило
рычагов» Архимеда: m\A\P — m2A2P.
Будем теперь рассматривать переменные массы mi,
m*, суммарно равные единице (mi -|-m*= 1), которые
помещены в фиксированные точки А\, ..., Ak- Выясним,
где может находиться центр масс такой системы. Если
k = e2, то, положив m2 = t, получаем, что mi = l— t и при-
ходим к формуле (9): ОР= (1 —/) CMfi -|-/ОХ2. Это означает,
что, когда т2 возрастает от 0 до 1, центр масс Р пробегает
весь отрезок AtA2 от Л] до Л2.
Для & = 3 рассмотрим систему из трех материальных
точек (Л, mJ, (В, т2) и (С, т3) в вершинах треугольни-
ка АВС с условием, что т\ + m24-m3= 1- Если m[ = m2 =
1
==/и3=-у , то центроид этой системы лежит в точке пере-
сечения медиан треугольника АВС (формула (14)). В об-
щем же случае центр масс Р этой системы можйо найти так.
Сначала найдем центр масс Q пары материальных то-
чек (Л, mJ и (В, т2) (рис. 235). Ее радиус-вектор OQ =
т\ОА+ т2ОВ „ „
=—т ±т------‘ Если тепеРь наити центр масс двухточечной
262
системы (Q, mi + m2) и (С, т3), то и получим точку Р.
Действительно,
{т\ -|-m2) OQ т^ОС = т.\ОА -\-^чОВ-\-т3ОС = ОР.
Итак, каждой тройке неотрицательных чисел (ть т2,
m.j), сумма которых равна единице, соответствует точка
треугольника АВС—центр масс системы материальных
ючек (Л, /И|), (В, т2) и (С, т3). Убедитесь, что верно и
обратное утверждение: для каждой точки треугольни-
ка АВС найдется такая тройка неотрицательных чисел.
Поэтому тройка неотрицательных чисел (mi, m2, m3),
сумма которых равна единице, называется барицентриче-
скими координатами точки Р треугольника АВС, радиус-
вектор которой выражается равенством
ОР = т|ОХ-|-т2ОВ-|-тзОС. (17)
Продолжите эти рассуждения для k>3.
I В чем состоит векторный метод решения задач?
2. Как задать в векторной форме: а) прямую; б) отрезок?
3. Какие замечательные точки в треугольнике вы знаете?
4. Как найти центр масс системы точек?
Задача к § 24
24.1 . Запишите в векторном виде: а) точки А и В совпа-
дают; б) прямые АВ и CD параллельны; в) точка X лежит
на прямой АВ; г) точка X лежит на отрезке АВ; д) три
точки М, N и Р лежат на одной прямой; е) три точки А, В, С
являются вершинами треугольника; ж) точка С — середина
отрезка АВ; з) точка К лежит на отрезке АВ и делит его в
отношении р: q.
24.2 . Используя скалярное произведение, запишите в
векторном виде: а) точки Л и В совпадают; б) прямые АВ и
CD перпендикулярны; в) zL ЛВС>90°, Z ЛВС<90°;
г) точка X лежит на прямой АВ.
24.3 . Каков геометрический смысл векторных соотно-
шений: a) AC = BD; б) PQ = k-ST, в) ЛХ = Х-ЛВ;
г) Ш=-^МК- д) АВ = В€; е) ЛВ=-ЛС;
ж) ЛВ + СР + КГ=0; з) |AB + CD\ = |ЛВ| + |CD\?
24.4 . Каков геометрический смысл векторных соотно-
шений: а) ЛВ2 = 0; б) AB-PQ = 0; в) АЁ-СР= \АВ\ \CD\-
г) AB-CD=-\AB\\CD\-, д) ОА-ОВ = ОС-OD,
\OA\ = \OB\ = \OC\ = \OD\?
24.2
24.5 . На отрезке АВ построены параллелограммы ABCD
и ABKL. Докажите, что четырехугольник CDLK является
параллелограммом. Будет ли это верно для параллело-
граммов в пространстве?
24.6 . В параллелограмме ABCD проведены две парал-
лельные хорды АК и CL (К^ВС, L^DA). Докажите,
что хорды DK и BL также параллельны.
24.7 . Дан треугольник АВС. Пусть точка К лежит на
АВ, а точка L лежит на АС. Пусть AK:AB = AL:AC. До-
кажите, что KL\\BC. Вычислите KL:BC.
Проверьте обратные утверждения. Изменятся ли полу-
ченные результаты, если точки К и L взяты на продолже-
ниях сторон за точки В и С? за точку Л?
24.8 . Дана трапеция ABCD. Пусть ВК: BA = CL: LD.
Докажите, что KL\\AD. Проверьте обратное.
А
24.9 . Проведены две хорды полосы, концы которых
лежат на ее краях. Докажите, что прямая, проходящая
через их середины, параллельна краям полосы. Обобщите
задачу. Проверьте обратное.
24.10 . Дан треугольник АВС. а) Пусть известны АВХ
ХЛС и ТСА-ВС. Можно ли найти СЛ-СВ? б) Пусть AAt,
ВВ\ и СС\ — медианы. Пусть также известны АС-ВВ\ и
СВ-ЛЛ|. Можно ли найти ВА>СС\?
24.11 . Как, используя скалярное произведение, найти
в данном треугольнике длину медианы? биссектрисы?
Решение. Пусть в треугольнике ЛВС, стороны ко-
торого известны, проведена медиана ЛЛ|. Основным для
нахождения длин отрезков векторным методом является
равенство |а|2=а2, откуда следует \а\=гу/~а2.
В нашей задаче для нахождения ЛЛ| запишем: AAt =
= 1ААА=^АА?.
Задача будет решена, если нам удастся выразить через
стороны треугольника ЛХ2.
64
Гак как точка At является серединой отрезка ВС, то
1.4, =± (АВ+ЛС).
Скалярный квадрат АА) получается возведением обеих
частей этого равенства в квадрат: ЛХ2 = ^у (AS.
Раскрыв скобки и упростив записи, получим:
(ЛВ+Ж))"=4 (М+ДС)2=
=2- (AS2+A£2 + 2AS-4C) =
=2. (Л52 + ,4С2 + 2ЛЯ-ДС.со5Д) =
=2- (с2 + 62 + /?24~с2 — а2) =2- (2Zr-f-2c2 — а2).
Тогда А А1 =2-^/2Ь2Н-2с2 — а2.
Такой подход к вычислению длин отрезков является
гипичным для векторного метода.
И — обратите внимание — мы опять обошлись без ри-
сунка!
24.12 . Как, используя скалярное произведение, найти
в данном треугольнике угол между: а) двумя медианами;
б) медианой и биссектрисой?
24.13 . Докажите, что диагонали ромба перпендикулярны.
24.14 . Докажите, что диагонали четырехугольника пер-
пендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов
его противоположных сторон равны.
24.15 . В четырехугольнике известны длины двух проти-
воположных сторон и угол между ними. Как найти длину
средней линии, соединяющей середины других двух его
сторон? Когда она является наибольшей? наименьшей?
24.16 . Попытайтесь установить связь между длинами
диагоналей трапеции и длинами ее сторон.
24.17 . На сторонах треугольника АВС отложены еди-
ничные векторы: АА\ на АВ, ВВ} на ВС, CCi на СЛ. Возве-
дите в квадрат сумму АА| -|-SSi А СС\.
Ее квадрат неотрицателен. Используя это, получите
соотношение между косинусами углов треугольника.
24.18 . Внутри треугольника взята точка. Каждая сто-
рона треугольника видна из нее под некоторым углом.
Ясно, что хотя бы один из них не больше чем 120°. Как
выглядит аналогичная оценка углов, если точка берется
внутри тетраэдра?
Б

D
24.4
A
Б
24.19 . На двух противоположных сторонах квадрата
как на гипотенузах построены два равных прямоугольных
треугольника — во внешнюю сторону и так, что прямая,
соединяющая вершины их прямых углов, не параллельна
стороне квадрата. Докажите, что эта прямая делит пополам
эти прямые углы.
24.20 . Пусть точка С делит отрезок АВ в отношении p:q,
считая от точки А. Докажите, что ОС = —%—0^4—— ОЙ.
р+р р+р
24.21 . Из точки О выходят два неколлинеарных вектора
ОА и ОД. Рассмотрим вектор ОХ = аОХф- а) Какую
фигуру образуют все точки X, такие, что: 1) а^О, 3^0;
2) а<0, 3>О;3) а=1,ре/?;4) а>0, 0=-1;5) 0<а<1,
3 = 2?
б) Какие ограничения нужно наложить на числа аир,
чтобы переменная точка X заполнила: 1) треугольник ЛОВ;
2) параллелограмм; 3) полосу?
24.22 . Какую фигуру образуют концы всевозможных
радиус-векторов вида ОХ-|-ОУ, где: а) точка X фиксиро-
вана, а точка Y лежит на отрезке АВ; б) точка X — точка
на одном из данных отрезков, а точка Y лежит на другом;
в) точка X лежит в одном из данных треугольников, а
точка Y — в другом?
24.23 . Точки А, В, С, D не лежат на одной прямой.
Точка О — любая. Докажите, что они являются вершинами
параллелограмма тогда и только тогда, когда ОА A~Od =
= OBA-OD.
24.24 . Пусть PQ — средняя линия четырехугольни-
ка ABCD. Докажите, что PQ-^-^- (AD-\~BC) (Р^АВ,
Q^CD). В каком четырехугольнике выполняется равенство?
24.25 . Пусть АВ и CD — два отрезка, точка К делит
отрезок АВ в отношении ptq, считая от точки А, а точка L
делит отрезок СР в том же отношении, считая от точки С.
Выразите через векторы ЛС и BD. Будет ли верно
это соотношение, если данные отрезки не лежат в одной
плоскости? Проверьте обратное утверждение. Рассмотрите
частный случай, когда один из отрезков вырождается в точку.
24.26 . На плоскости дано п точек: At, А2, ..., Ап. Рас-
сматриваются векторы А]А,. Если из какой-то точки выходит
некоторое число векторов, то столько же векторов в ней и
заканчивается. Чему равна сумма всех этих векторов?
24.27 . Внутри стороны АВ треугольника АВС взята
точка К. Докажите, что КС- АВ<. КА • ВС А- КВ-АС.
24.28 . На стороне АВ треугольника АВС взята точка Сь
на стороне ВС — точка Ль на стороне СА—точка Bi.
а) Пусть ACi :АВ = ВА j: ВС = СВ\: СА = а. Докажите, что
из отрезков АА\, ВВ\ и СС\ можно составить треугольник.
Проверьте обратное, б) Пусть AAh ВВ\ и СС\ — биссектри-
266
iij соответствующих углов треугольника АВС и из них
можно составить треугольник. В каком треугольнике это
ИО 1МОЖНО?
24.29 . Докажите, что середины сторон любого четы-
|нл угольника являются вершинами параллелограмма. Обоб-
щите это утверждение.
24.30 . Построить треугольник, зная середины его сторон,
|п < южно. (Как?) А сможете ли вы решить такую же задачу
h oi пятиугольника? А для четырехугольника? Обобщите
Полученные результаты.
24.31 . Пусть А, В, С,_D — четыре любые точки. Из-
i.e. то, что AB-CD + AD-BC-AC-BD = O (см. № 23.27).
I Ь пользуйте это соотношение для доказательства сущест-
вования точки пересечения высот треугольника или их
продолжений.
24.32 . Четырехугольник ABCD вписан в окружность,
к) Докажите, что его диагонали перпендикулярны тогда
к только тогда, когда АВ2-|-С£)2=4/?2, где R — радиус
окружности, б) Докажите, что середины двух противопо-
цожных сторон такого четырехугольника, точка пересече-
ния его диагоналей и центр данной окружности являются
игр шинами параллелограмма.
24.33 . Дан треугольник. Докажите, что его медиана
.плит пополам любую хорду треугольника, параллельную
стороне треугольника, к которой проведена медиана. Обоб-
щите это утверждение. Проверьте обратное.
24.34 . Докажите, что диагонали параллелограмма пере-
ггкаются и в точке пересечения делятся пополам.
24.35 . В треугольнике АВС проведена медиана ВВ{.
Внутри ее взята точка К и через нее проведены хорды АА{
и СС[. Докажите, что Ai<?i||АС. Проверьте обратное.
24.36 . В треугольнике АВС проведены хорды ВК и AL.
При этом АК—^-АС, BL = ±- ВС. В каком отношении
делятся отрезки AL и ВК точкой Р их пересечения? Лежит
ли точка Р на медиане к стороне АВ? Обобщите.
24.37 . Пусть точка К лежит на стороне ВА треугольни-
ки АВС, причем ВК=у ВА, а точка L лежит на стороне ВС,
причем ВВ=у ВС. Пусть прямая KL пересекает прямую АС
в точке М. а) В каком отношении делится точкой С отре-
ши AM? Обобщите полученный результат, б) В каком
отношении делит прямая KL медиану ВВ|? Обобщите
шдачу.
24.38 . Вершина параллелограмма соединена отрезками
с серединами противоположных сторон. В каком отношении
ни отрезки делят диагональ, не проходящую через данную
вершину? Как можно обобщить эту задачу?
А
24.5
Б
267
24.6
24.39 . Докажите, что точка пересечения средних линий
четырехугольника лежит на прямой, соединяющей середины
его диагоналей. Как выглядит обобщение этого результата
в пространстве?
24.40 . Какой вид имеет четырехугольник, в котором
точка пересечения средних линий совпадает с точкой пе-
ресечения диагоналей?
24.41 . В четырехугольнике ABCD точка М лежит на АВ,
точка N лежит на CD, причем AM: АВ = DN: DC. а) Дока-
жите, что середины отрезков ВС, AD, MN лежат на одной
прямой, б) Докажите, что хорда MN делит полученную
среднюю линию в том же отношении, что и стороны.
Как можно обобщить полученные результаты?
24.42 . Из точки О выходят лучи а, Ь, с. На луче а взяты
точки А\ и А2, на луче b — точки В{ и В2, на луче с —
точки С| и С2. Пусть прямые Л)В| и А2В2 пересекаются
в точке К, прямые В\С\ и В2С2 пересекаются в точке L,
прямые СИ) и С2А2 пересекаются в точке М. Докажите,
что точки К, L, М лежат на одной прямой. Верен ли этот
результат в пространстве?
24.43 . Пусть Г|—точка пересечения медиан треуголь-
ника А[В\С\, а точка Т2 — точка пересечения медиан
треугольника А2В2С2. Выразите ЛТ2 через А7^2, В\В2,
CiC2.
24.44 . Пусть точка Г — точка пересечения медиан
треугольника АВС, а точка О произвольная. Докажите, что
(ОЛ + ОВ + ОС).
•5
24.45 . Дан шестиугольник А ИгДзДИбЛб. Пусть точ-
ка Ti —точка пересечения медиан треугольника AjAaAs, а
точка Т2 — точка пересечения медиан треугольника Л2Л4Лъ.
При каком условии точки 7’( и Т2 совпадают?
24.46 . На стороне АВ треугольника АВС взята точка С|,
на стороне ВС — точка Л), на стороне СА —точка В\. При
этом АС\'.АВ = ВА\: ВС = СВ\'.СА. Докажите, что точка
пересечения медиан треугольника Л\B\C\ совпадает с точ-
кой пересечения медиан треугольника АВС. Проверьте
обратное.
24.47 . Пусть ABCD — произвольный четырехугольник.
Точка Г|—точка пересечения медиан треугольника АВС,
точка Т2 — точка пересечения медиан треугольника BCD,
точка Та — точка пересечения медиан треугольника CDA,
точка Г4 — точка пересечения медиан треугольника DAB.
Докажите, что точка пересечения средних линий четырех-
угольника ABCD и точка пересечения средних линий четы-
рехугольника T\T2TaTi совпадают.
24.48 . Пусть теперь ABCD — тетраэдр. Сохранив ус-
2£J ловия предыдущей задачи, докажите, что отрезки АТ2,
268
/I/ i, C7\, DT\ имеют общую точку и делятся этой точкой
в отношении 3:1, считая от вершины.
24.49 . Пусть известны расстояния от точки пересечения
медиан треугольника до его вершин и расстояния от не-
которой точки плоскости до его вершин. Достаточно ли
♦того, чтобы найти расстояние от взятой точки до точки
пересечения медиан треугольника? Как выглядит формула
1ля вычисления такого расстояния? Используя эту формулу,
ннЙдите внутри треугольника такую точку, что сумма
квадратов расстояний от нее до вершин треугольника
имеет наименьшее значение.
24.50 . Укажите положение центра масс материальных
ючек: а) (Ль 1) и (Л2, 3); б)( ^i.y) и( ; в) (Л|, 10)
и (Л2; 10); г) ( Л,. 4) и(Л2'т) •
24.51 . Все материальные точки лежат на некоторой
прямой. Докажите, что их центр масс лежит на той же
прямой.
24.52 . Укажите положение центра масс материальных
ючек: а) (Ль 1), (Л2, 2), (Л3, 3);б) (Л), 5), (Л2, 5), (Л3, 5);
«к 0 .(л,. 1).(Mb "(^ ;)(*' 0-
(Л., 1). rt И„ 0>.
(Л2, 1), (Л3, 1).
24.53 . Пусть точка Т — центр масс трех материальных
ючек Ai, Л2 и Л3. Пусть точка Т\ —центр масс материаль-
ных точек Л2 и Л3, точка Т2 — центр масс материальных
ючек Л1 и Аз, точка Тз— центр масс материальных точек
Л| и Л2. а) Пусть в точке Ti помещена масса точек Л2 и Л3.
.Докажите, что теперь центр масс точек Т\ и Л] совпадает
<• исходным центром масс, б) Докажите, что прямая А2Т
пересекает отрезок Л)Л3 в центре масс точек Л] и Л3.
в) Докажите, что прямые А\Т\ и Л37’3 пересекаются в
точке Т. (В задачах б) и в) точки Л2, Л3 не лежат на
одной прямой.) Обобщите задачу.
24.54 . Три материальные точки лежат в вершинах
। реугольника. Докажите, что их центр масс лежит внутри
। реугольника.
24.55 . а) Используя понятие центра масс, докажите,
что: 1) медианы треугольника имеют общую точку; 2) точка
пересечения средних линий четырехугольника и середина
отрезка, соединяющего середины его диагоналей, совпадают.
б) Среди задач этого параграфа есть такие, которые
решаются с использованием понятия центра масс. Найдите
сами хотя бы одну такую.
24.56 . Пусть даны материальные точки (Л), пг\),
(Л2, т2), ..., (Л*, m.k) Моментом инерции системы этих
ы
2б‘1
точек относительно некоторой точки X назовем величину
k
Л = X tni-XAi, т. е. Ix = miXA1т2ХА2 ••• А-пцХА$.
(=1
Чему равен момент инерции: а) вершин равностороннего
треугольника относительно какой-либо вершины; середины
какой-либо стороны; центра; б) вершин квадрата относи-
тельно какой-либо вершины; середины стороны; центра?
(Предполагается, что в вершинах этих фигур находятся
единичные массы.)
24.57 . Пусть точка Г центр масс системы мате-
риальных точек (Alt mi), (А2, т2), (А3, т3), точка X —
произвольная точка плоскости, 1Х — момент инерции систе-
мы относительно точки X, а 1Т — момент инерции системы
относительно точки Т. Тогда
—/г (^i “Ь^г-Ь^з) XT1.
Обобщите это равенство на произвольное число точек.
Какие следствия из этой формулы вы сможете получить?
24.58 . В условиях предыдущей задачи выразите момент
инерции /, через расстояния между данными точками.
Обобщите результат. Какие следствия из этой формулы
вы сможете получить?
24.59 . Пусть Т\ — центроид системы точек А,, ..., А*,
Т2— центроид системы точек В\, ..., В/,
Т3— центроид системы точек At, .... Ak, Bt, .... В/.
Докажите, что 7'3е7’|7’2. В каком отношении Т3 делит
отрезок ТТГ2? Какие следствия вы можете получить из
этого?
24.60 . Пусть точка Т—центроид системы точек А|, ...,
Ап, X — любая точка. Докажите, что У ХА,.
п fit
24.61 . Пусть точка Tt — центроид системы точек А,, ....
Ап, точка Т2 — центроид системы точек Вь .... ВП- Докажите,
что: а) 77Т2=±2 №, б) А,В,.
п (=1 п <=|
24.62 . Пусть точка Т — центроид системы точек
’ I п
А|...Ап, а точка X любая. Докажите, что ХТ2=— У ХА2—
п i=\
-4 S AiA1.
24.63 . Докажите, что центр правильного многоугольника
является его центроидом.
24.64 . Пусть точка О — центр правильного много-
угольника А|А2 ... А,„ точка X любая, XO = d, OA, = R.
Найдите величину Ё ХА'1.
270
24.65 . Даны два правильных многоугольника А|Д2...АЛ
и В|В2...В*. Расстояние между их центрами d, радиусы
описанных около них окружностей Rt и R2- Все вершины
одного многоугольника соединены отрезками со всеми
вершинами другого, и наоборот. Чему равна сумма квад-
ратов длин всех таких отрезков?
24.66 . Точка О — центроид многоугольника Д|Д2...Д„,
вписанного в окружность радиусом 1. Докажите, что для
Л
любой точки X верно неравенство 2 ХА,^п.
1=1
§ 25. МЕТОД КООРДИНАТ
25.1. понятие об уравнении фигуры. Характерное свой-
ство фигуры (множества точек) определяет, какие точки
принадлежат фигуре и какие не принадлежат. Если на
плоскости ввести систему координат, то каждая точка
фигуры определится своими координатами. А тогда харак-
терное свойство фигуры можно выразить в виде аналити-
ческого соотношения (уравнения или неравенства), кото-
рому должны удовлетворять координаты точек фигуры.
Возьмем, например, прямую I. Введем систему коор-
динат так, чтобы I стала осью х (рис. 236, а). Тогда условие,
что точка принадлежит прямой /, выразится так: ордината
этой точки равна нулю. Подробнее: 1) если точка Д, (xi, i/i) <=
е/, то £/| = 0 и 2) если у точки А2(х2, у2) ее координата
1/2 = 0, ТО А'2^1.
Короче, точка М(х, у)^1 тогда и только тогда, когда
у = 0. Уравнение у = 0 и есть уравнение прямой / в выбранной
системе координат.
В общем же случае говорят, что фигура F задается
данным уравнением в прямоугольных координатах, если
точка принадлежит фигуре F тогда и только тогда, когда
координаты этой точки удовлетворяют данному уравнению.
Это означает, что выполняются два условия: 1) если точка
принадлежит фигуре F, то ее координаты удовлетворяют
данному уравнению; 2) если числа х, у удовлетворяют дан-

Н(*о,У)
О
А/Ы t
Аг(Ыг) х
М(хв,0)
X
£
0
5)
Рис. 236
ному уравнению, то точка с такими координатами принад-
лежит фигуре F. Второе условие можно выразить иначе:
координаты любой точки, не принадлежащей фигуре F, не
удовлетворяют данному уравнению.
Например, прямая, перпендикулярная оси х и прохо-
дящая через точку Л4(хо, 0) на оси х, задается уравнением
х=хо (рис. 236, б). (В частности, ось у имеет уравнение
х=0.) Действительно, каждая точка, лежащая на этой
прямой, имеет одну и ту же координату
точка, не лежащая на этой прямой, имеет
Х = Х0.
другое
А любая
значение
координаты х, нежели хо-
25.2. УРАВНЕНИЕ окружности. Это уравнение мы выве-
дем.
(н.
используя формулу расстояния
22.6). Пусть на плоскости введены
между
точками
прямоугольные
координаты. Рассмотрим окружность радиусом г с центром
в точке С (а, Ь). Если точка М(х, у) принадлежит окруж-
ности, то ее расстояние от центра равно г, т. е. МС = г
(рис. 237). Это же равенство удобнее записать так: МС2 = г2.
Выразив расстояние МС через координаты точек М и С,
получим:
(х — а)2+ (у — Ь)2 = г2.
(1)
Если же точка Л1(х, у) не принадлежит этой окружности,
то МС=£г и ее координаты не удовлетворяют уравнению (1).
Следовательно, (I) —это уравнение окружности.
Если центр окружности лежит в начале координат, то
а = Ь = 0. Тогда (1) имеет совсем простой вид: x2-j-y2 = r2.
25.3. ЗАДАНИЕ ФИГУР НЕРАВЕНСТВАМИ. Фигуры на плос-
кости задаются не только уравнениями, но и неравенства-
ми. Например, на оси х неравенство х^а задает луч, а не-
равенства Ь х с — отрезок (рис. 238, а).
Говорят, что фигура задается данным неравенством
в прямоугольных координатах, если точка принадлежит
фигуре тогда и только тогда, когда координаты этой точки
удовлетворяют данному неравенству.
Рис. 237
Рис. 238
2
Например, неравенством t/Z>0 задается верхняя
плоскость, ограниченная осью х (рис. 238, б), а неравен-
ством х2-|-у2^г2 задается круг с центром в точке 0(0, 0)
и радиусом г (рис. 238, в).
25.4. уравнение прямой. Уравнение прямой записывают
по-разному. Например, вам уже известно векторное урав-
нение прямой (п. 24.4). При выводе этого уравнения мы
задавали прямую I какой-нибудь ее точкой А и направля-
ющим ненулевым вектором и. Снова воспользуемся таким
заданием, но теперь мы еще предполагаем, что на плоскости
введены прямоугольные координаты (рис. 239, а). Пусть
точка А имеет координаты (х0, у0), а вектор v=(p, q).
Будем считать, что прямая I не перпендикулярна коор-
динатным осям. В этом случае р=#=0 и </=#0-
Напомним, что точка М(х, у)^.1 тогда и только тогда,
когда векторы АЛ) и v коллинеарны (п. 20.2). А это, в свою
очередь, имеет место тогда и только тогда, когда координаты
векторов AM и и пропорциональны. Поскольку АМ =
= (х—Хо, у —Уо), то эта пропорциональность выражается
так:
х —Хо у — уо
~Р ~ Q
(2)
Итак, мы установили, что точка М(х, у)^1 тогда и
только тогда, когда ее координаты удовлетворяют урав-
нению (2). Поэтому уравнение (2) является уравнением
прямой /, проходящей через точку А (х0, уо) с направляющим
вектором у=(р, q). Часто это уравнение называют кано-
ническим уравнением прямой («канон» по-гречески означает
«правило»).
Уравнение (2) преобразуем к такому виду:
q(x—х0) — р(у — уо) =0. (3)
Можно заметить, что левая часть уравнения (3) яв-
ляется скалярным произведением вектора АМ=(х— хо,
Уо) и вектора (q, —р). Само же уравнение (3) выра-
жает перпендикулярность этих векторов.
Любой ненулевой вектор п=(а, Ь), перпендикулярный
273
прямой, называется нормалью прямой I (рис. 239, б).
(В частности, вектор (у, —р) тоже
прямой /.)
Положив теперь в уравнении (3)
циенты q = a и —р = Ь, приходим к
прямой /:
является нормалью
прямой I коэффи-
такому уравнению
а(х — х0) +Ь(у — у0) =0.
(4)
Если уравнение (2) выражало коллинеарность векторов
ДЛ1=(х —х0, у — уо) и и=(р, q), то полученное из нега
Жвнение (4) выражает перпендикулярность векторов
’ и п= (а, Ь).
Замечание. Уравнение (4) можно вывести и так:
точка Л4(х, у)е/ тогда и только тогда, когда AMJLn, т. е.
тогда и только тогда, когда координаты точки М(х, у) удов-
летворяют уравнению (4).
Если в (4) раскрыть скобки и положить с= —ахо — Ьуо,
то мы получим еще один вид уравнения прямой:
ах-|-Уу + с = 0. (5)
Такое уравнение называется общим уравнением прямой.
Наконец, если выразить у из (5) и положить k= — у и
известной вам линейной функции
. с
d=~T’
то придем к
y = kx-}-d.
(6)
k=-± =±
t> р
называется угловым коэффициен
Число
том прямой I. Оно равно тангенсу угла <р между положи
тельной полуосью х и лучом прямой /, лежащим в полу-
плоскости у^О (рис. 239, в).
Действительно, величина /г=у равна отношению проек-
ций направляющего вектора v на оси у и х. Считаем, что
у>0 (в противном случае можно заменить вектор v = (р, q)
на вектор — v= (—р, —у)).'Отложим вектор v от точки О:
OV = v (рис. 239, в). Разложим OV по осям координат:
OV=OVi-|-0^2=рг-|-у/. Теперь равенство tg Ф=у стано-
вится очевидным из рассмотрения прямоугольного тре-
угольника OVV). Итак, k = tg<р.
Все уравнения (2) — (6), а также уравнения х = хо
и у=уо, которыми задаются прямые, перпендикулярные
осям координат, линейные. Только записаны эти линейные
уравнения по-разному. Общим видом линейного уравнения
является уравнение (5). При этом считается, что хотя бы
одно из чисел а, b отлично от нуля.
4
Мы доказали, что каждая прямая в прямоугольной
системе координат задается линейным уравнением. Верно
и обратное утверждение.
Теорема 31 (о линейном уравнении). Каждое ли-
нейное уравнение в прямоугольных координатах задает
на плоскости прямую.
Замечание. Из этой теоремы, в частности, следует,
что графиком линейной функции является прямая. Это
утверждение известно вам из алгебры, но там оно не дока-
зывалось.
Доказательство. Пусть на плоскости введены
прямоугольные координаты х, у и задано линейное урав-
нение (5). Покажем, что (5) задает на плоскости пря-
мую.
Если Ь=0, то а#=0 и уравнение (5) можно записать
так: х= — — . Как мы знаем, такое уравнение задает пря-
мую, перпендикулярную оси х.
Если же Ь#=0, то уравнение (5) можно записать в
виде (6), где k = —и d= —у . Построим прямую с на-
правляющим вектором и=( — Ь, а) и проходящую через
точку (0, d). Как доказано, эта прямая задается уравне-
нием (6), а значит, и уравнением (5).
Замечание. Каждое линейное уравнение задает
вполне определенную прямую на плоскости. Но каждая
данная прямая задается разными уравнениями, как мы уже
убедились. Кроме того, заметим, что и векторное уравнение
прямой является линейным относительно параметра.
25.5. метод координат. Применяя метод координат,
можно решать задачи двух видов.
1) Задавая фигуры уравнениями и выражая в коорди-
натах геометрические соотношения, мы применяем алгебру
к геометрии. Так мы поступали, когда выразили через
координаты основную геометрическую величину — рас-
стояние между точками (п. 22.6), а затем когда вывели
уравнения окружности и прямой.
2) Пользуясь координатами, можно истолковывать урав-
нения и неравенства геометрически и таким образом при-
менять геометрию к алгебре и анализу. Графическое
изображение функций — первый пример такого применения
метода координат. Другой пример— только что доказан-
ная теорема 31 о линейном уравнении.
Через метод координат геометрия и алгебра, соеди-
няясь и взаимодействуя, дают богатые плоды, которые
они не могли бы дать, оставаясь разделенными.
Если известны уравнения фигур, можно изучать их
взаимное расположение, решая системы соответствующих
уравнений. Так, например, дайте классификацию взаимного
275
Пьер Ферма
Рис. 240
расположения двух окружностей, рассмотрев систему из
их уравнений (рис. 240). (Конечно, эту классификацию
можно дать и без метода координат.)
Применение метода координат в соединении с алгеброй
составляет раздел геометрии, называемый аналитической
геометрией. Аналитическая геометрия была создана в первой
половине XVII в. в работах знаменитых французских ученых
Рене Декарта (1596—1650) и Пьера Ферма
(1601 — 1665).
Обе возможности метода координат мы покажем на
задаче, решенной еще знаменитым древнегреческим геомет-
ром Аполлонием Пергским (ок. 260 — ок. 170 гг.
до н. э.). Методом координат она решается гораздо проще,
чем чисто геометрическим методом (как, разумеется, и
решал Аполлоний).
25.6. ОКРУЖНОСТЬ АПОЛЛОНИЯ. Задача. Что представ-
ляет собой множество точек плоскости, отношение расстоя-
ний от которых до двух данных точек есть величина постоян-
ная?
Решение. Итак, пусть даны две точки А и В и неко-
торое положительное число k, равное отношению расстоя-
ний. Если fe=l, то множество точек М, для которых
=1, т. е. МА=МВ, является, как мы знаем, прямой —
серединным перпендикуляром отрезка АВ.
Рассмотрим теперь случай, когда fey=l. Пусть, например,
k = 2. Решение задачи состоит из двух этапов.
1. Вывод уравнения фигуры (множества точек). Введем
систему прямоугольных координат. Удобно ее начало
выбрать в одной из данных точек, например в точке В. В ка-
честве положительной полуоси оси х возьмем луч ВА
(рис. 241). Для удобства дальнейших вычислений будем
считать, что точка А имеет координаты (3, 0). Возьмем
точку М (х, у), удовлетворяющую условию задачи, и выразим
расстояния от нее до точек А и В по формулам (п. 22.6)
МА2= (х — З)2-)-*/2, МВ'2 = х2А~У2- Так как по условию
276
s4- = 2, to MA2 = 4MB2. В координатах последнее равен-
Vi в
ство выражается так:
(х — 3)2+//2 = 4(х2 + «/2). (7)
Отсюда, раскрыв скобки и приведя подобные, получаем:
x24-t/24-2x=3. (8)
Выделяем полный квадрат по переменной х:
(х4-1)2+у2 = 4. (9)
МА
Итак, точка М(х, у) удовлетворяет условию — = 2 тогда
и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют урав-
нению (9). Следовательно, искомая фигура задается урав-
нением (9). Первый этап решения задачи завершен.
2. Геометрическое истолкование выведенного урав-
нения. Нам известно (п. 25.2), что уравнение (9) задает
окружность с центром в точке (—1,0) и радиусом 2. Итак,
если k = 2, то решением задачи является эта окружность.
Попытайтесь повторить проведенные рассуждения и
выкладки для произвольного числа считая, что точка
А имеет координаты (а, 0). В результате вы должны прийти
к такому уравнению:
/ а \ 2 । 2 u2k2
\x~T^ir) +у ~(i-fe2)2
Оно задает окружность (где ее центр? Каков радиус?).
Эта окружность и является решением задачи в общем
случае.
Получить этот результат, не пользуясь координатами,
не так просто.
>|< 25.7. ПАРАБОЛА, ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА. Изменим формули-
ровку задачи п. 25.6, заменив одну из двух данных точек
прямой. Получим такую задачу: что представляет собой
множество точек плоскости, отношение расстояний от ко-
торых до данной точки и данной прямой есть величина
постоянная?
У| ______
О В \ А / х
Рис. 241
Начнем ее решать по тому же плану, что и задачу об
окружности Аполлония.
Пусть нам заданы прямая / и точка А, не лежащая на
этой прямой, а также некоторое положительное число k.
Введем систему прямоугольных координат. Начало коорди-
нат — точку О — выберем в середине перпендикуляра АВ,
опущенного на прямую I (рис. 242). Положительной
полуосью у считаем луч ОА.
Первая часть решения задачи заключается в выводе
уравнения фигуры, состоящей из тех точек М, для которых
Л1Л
——=k, или, что то же самое, MA = k\Ml\. Напомним,
|Л1/|
что символом |М/| обозначается расстояние от точки М
до прямой /, т. е. длина перпендикуляра MN, опущенного
из точки М на прямую I.
Положим АВ=р. Тогда точка А имеет координаты
(о. у) , а прямая I задается уравнением у=— у . Возьмем
точку М(х, у), удовлетворяющую условию задачи. Так как
точка N имеет координаты ( х, —у) , то |M/|=MjV =
-л/(»Н)г=1 I
Далее, МА =~\/ х2-|-( у—у) . Поэтому уравнение иско-
мой фигуры запишется так:
Vx2+(y-f)2=*| у+т I • <10>
Оно равносильно такому уравнению:
>78
Упростив его, получим уравнение
х2 + у2(1-*2)-(1+Л2)РУ=(^-1)т- <12>
Если k = 1, то (12) еще упрощается и мы приходим
к такому уравнению:
1 2
У=7г х
v 2р
(13)
Как мы знаем из курса алгебры, уравнение (13) задает
параболу — график квадратичной функции. Итак, мы дока-
зали, что множество точек, равноудаленных от данной
точки и данной прямой, является параболой.
Этот простейший случай рассматриваемой задачи при-
вел к фигуре, известной из курса алгебры. Два других
случая й<| и k>\ дадут нам новые, не известные еще
фигуры.
Итак, мы переходим ко второму этапу решения задачи —
построению фигуры по ее уравнению (12). Для простоты
положим р = 2. Тогда (12) приводится к виду
х2+(1-й2)у2-2(1+й2)у=Л2-1. (14)
Выделив полный квадрат при переменной у, получим:

4*2
I-*2 '
(15)
Сделаем замену переменных по формулам х'=х и
у'=у—(Эта замена соответствует переносу начала
координат в точку ( 0;
динат не меняются.) После такой замены
примет вид
; направления же осей коор-
уравнение
(15)
,2 , /. £_2\ /2 4Й2
X +(1— 1г)у ~= ,_fei •
(16)
4fr2 л 4b~ t л
Если fc<l, то, положив =а2 и -——=Ь2,
1—Jr (1— /г)
из (16) получим:
Фигура, заданная уравнением (17), называется эллипсом
(рис. 243). Эллипс похож на сжатую окружность.
_ , , 4fe2 2 4£2 ,2
Если же fe>l, то, положив -—— = — а* и -—,
I — к ( * к )
из (16) получим:
(18)
27*1
Рис. 244
Фигура, заданная уравнением (18), называется гипер-
болой (рис. 244). Гипербола состоит из двух ветвей. Эти
ветви уходят в бесконечность вдоль двух пересекающихся
прямых — асимптот гиперболы, сколь угодно близко при-
ближаясь к этим прямым. Если асимптоты гиперболы
взаимно перпендикулярны, то их можно выбрать осями
координат. И тогда уравнение гиперболы запишется в уже
известном вам виде: и=— .
и X
Имеется еще ряд важных свойств, объединяющих в
один класс эллипсы, гиперболы и параболы. Например,
ими исчерпываются «невырожденные», т. е. не сводящиеся
к точке, прямой или паре прямых, кривые, которые зада-
ются на плоскости в декартовых координатах уравнением
вида
ax2 + 6xi/ + ci/2 + dx-)-e</-|-f = 0. (19)
В старших классах будет доказано, что эллипс, гипер-
болу и параболу можно получить как сечение конуса плос-
костью (рис. 245). Поэтому их называют коническими
сечениями.
Конические сечения изучали еще древнегреческие гео-
метры, и теория конических сечений была одной из вершин
античной геометрии. Наиболее полное исследование кони-
ческих сечений в древности было проведено Аполлонием.
Конические сечения играют важную роль в природе.
Так, по эллиптическим, параболическим и гиперболи-
ческим орбитам движутся тела в поле тяготения (планеты
и кометы вокруг Солнца). Замечательные свойства кони-
ческих сечений часто используются в науке и технике,
например при изготовлении некоторых оптических приборов
или прожекторов (поверхность зеркала в прожекторе
можно рассматривать как результат вращения дуги пара-
болы вокруг оси параболы). Мы можем наблюдать кони-
ческие сечения как границы тени от круглых абажуров
(рис. 246).
Замечание. Обратите внимание, что удачный выбор
системы координат может сильно упростить не только ре-
Рис. 245
Рис. 246
шение задачи, но и уравнение фигуры. Сравните, например,
уравнение (19) и уравнение (17).
I Что означает фраза: «Фигура F задается данным урав-
нением (неравенством)»?
2. Что означает фраза: «Графиком данного уравнения
является фигура Г»?
3. Какие вы знаете уравнения фигур?
4. В чем состоит метод координат? В чем его достоин-
ства и недостатки?
5. Приведите примеры использования метода координат.
6. Что вы знаете о конических сечениях?
Задачи к § 25
25.1 . Нарисуйте фигуру, которая задается условием:
а) х=1; б) у=-3; б) х(х-1)=0; г) (у+2) (у+1)=0;
д) (х—2) (у-|-3)=0; е) |х| = 1; ж) |у|=2;
з) (х+ 1)2+ (у — 2)2 = 0; и) (х — у) (х + у)=0; к) |ху| = 1.
25.2 . Нарисуйте фигуру, которая задается таким усло-
{V Q
У
A)U<2?’’ е){ -21у<3; Ж) ху>0; 3)
и) х(у—1)^0; к) (х + 2) (у— 1)>0; л) |х|<1;
м) \у— 11 > 1; н) Г, о) х2>4; п) — >0;
У
р) у— lyl =*+ И-
25.3 . Нарисуйте фигуру, которая задается условием:
а) 1 у>х, б)|(/>—х, в) х+1,
I у^2х; I уСх; у<х— 1,
х<2;
25.1, 25.3
281
A
r) [ — 0,5% + 2, д) y^tSx —2, e) x2—x<Zy — xy;
I y^tx — 2, у^ЗхЦ-2,
5x —2; z/<3, x^ — 1;
ж) |x—yl4-|x+y| = 2; з) Ix+i/| = |y| — x;
и) |2х-|-уЦ- |2x —1/|<4; к) |x —t/|>l;
л) |х-1| + |у-2|<1; m) |t/|^|x|.
25.4. Окружность задана уравнением х2 + у2 = 21. Ис-
следуйте положение точки А относительно данного круга,
если: а) Л(1, а); б) А (а, —2); в) Л( — а, —а).
25.5. Напишите уравнение окружности: а) с центром
в точке О и радиусом 2; б) с центром в точке (—2, 1)
и радиусом 3; в) с центром в точке ( — 3, 0) и проходящей
через точку О; г) с центром в точке (0, — 2) и проходящей
через точку (—4, 1); д) с центром в точке ( — 5, 4) и ка-
сающейся оси х; е) с центром (—2, 2) и касающейся осей
координат; ж) с центром (2, 0) и касающейся прямой у—х.
25.6. Найдите центр и радиус окружности, если имеется
уравнение:
а) х2+у2 = 5; б) х2-|- (г/4-5)2 = 4; в) (х-|-5)2+ (у— 1)2 = 2;
г) х2 — х+у2 = 0; д) х2 — х—у—у2; е) х24-у2=а2.
25.7. Является ли уравнением окружности уравнение:
а) х2А~у2 = а; б) х2—у2=0; в) 2х24-2у2 = 3; г) х — у2=1;
д) x3-|-t/3=l; е) х2 + у2 = 0?
25.8. Окружность задана уравнением (х-|-3)2-|-
+ (i/ — 4)2= 10. Пересекает ли эта окружность: а) ось х;
б) ось у; в) прямую у— —х; г) прямую у=х-|-2; д) окруж-
ность х2 + у2 = I?
25.9. Напишите уравнение окружности: а) проходящей
через начало координат, радиус которой равен 1; б) про-
ходящей через точки (1, 0) и (—5, 0), радиус которой 10;
в) проходящей через точки (—2, —1), (3, 0), (0, 1);
г) проходящей через точки (1, —1), (2, —2) и касающейся
оси у, д) проходящей через точку (2, 1) и касающейся
осей координат; е) касающейся прямых у=~ х и у — 2х.
25.10. Нарисуйте фигуру, заданную ,таким условием:
a) x2 + t/2<l; б) 1^х^4-//2^4; в) ( (х—1)24-у2< 1,
| х2+(у-1)2<1;
г) 1 x2 + t/2<9, д) lyl +2|х| <х2+ I; е) 1 1 —х2,
I х4-у^2; I у + Iх| <4.
Б
25.11. Пусть известны координаты центра окружности и
ее радиус. По ней движется точка К- Каковы ее коорди-
наты, если радиус, проведенный в точку К, составляет
с осью х угол ф?
25.12. Используя метод координат, выясните, сколько
общих точек могут иметь: а) прямая й окружность; б) две
окружности.
282
25.13. Дан квадрат ABCD со стороной 2. Чему равен
радиус окружности, проходящей через: а) А, В и середину
стороны ВС\ б) А, С и середину стороны CD\ в) С, середину
стороны АВ и точку пересечения диагоналей; г) A, D и точ-
ку К на стороне СВ, такую, что С/(=у СВ?
25.14. В круге радиусом R две хорды АВ и CD пересе-
каются в точке Р под прямым углом. Чему равны величины:
a) pa^pb2 + PC2 + PD2; б) ВС, если AD = a; в) АВ2 +
-\-CD2, если расстояние от Р до центра круга равно а?
25.15. На диаметре данной окружности взята точка А.
Расстояние от нее до центра равно d. Параллельно этому
диаметру проводятся всевозможные хорды этой окруж-
ности PQ. В каких границах лежит величина ЛР2-|-Лф2?
25.16. Две окружности касаются извне, а) Существует
ли равносторонний треугольник, одна вершина которого —
их общая точка, а две другие лежат на данных окруж-
ностях? б) Чему равна его сторона в случае, когда радиусы
обеих окружностей равны /?? в) В каких границах лежит
площадь равнобедренного треугольника с вершиной в общей
точке обеих окружностей радиусом R и с основанием,
параллельным линии центров данных окружностей?
25.17. а) В квадрат вписана окружность. Докажите,
что сумма квадратов расстояний от точки окружности до
вершин квадрата не зависит от выбора точки. Обобщите
эту задачу.
б) Решите задачу, аналогичную задаче а) для описанной
окружности. Обобщите ее.
25.18. Пусть треугольник АВС равносторонний со сто-
роной 1, а точка X любая. Вычислите минимум величины
ХА2А-ХВ2А~ХС2. Обобщите задачу.
25.19. Докажите, что уравнением прямой, проходящей
через точку (х0, </о) с угловым коэффициентом k является
уравнение у — y0 = k(x — х0).
25.20. а) Две прямые, не перпендикулярные оси х,
параллельны. Докажите, что их угловые коэффициенты
равны. Проверьте обратное.
б) Как, используя результаты, полученные в задаче а),
узнать, лежат ли три точки, заданные своими координа-
тами, на одной прямой?
в) Какая связь между угловыми коэффициентами
взаимно перпендикулярных прямых?
25.21. Чему равен угловой коэффициент прямой: а) за-
данной уравнением: 1) — 2х — Зу= 1; 2) x=y-f- 1; 3) у= — 2;
4) х=1; б) проходящей через точки: 1) (0, 1) и (—2, 3);
2) (xi, у,) и (х2, t/2)?
25.22. Напишите уравнение прямой, проходящей через
точку ( — 2, —1) и а) имеющей угловой коэффициент:
ЦП^4
А
283
1) — ; 2) —2; 3) 0; б) не имеющей углового коэффициента.
<5
25.23. Напишите уравнение прямой, проходящей через
точку ( — 2, —3) и образующей с осью х угол: а) 30°;
б) 45°; в) 60°; г) 90°; д) 120°; е) 135°; ж) 150°; з) ср. Какая
из них проходит ближе к началу координат?
25.24. Напишите уравнение прямой, проходящей через
точки: а) (-2, 3) и (3, 2); б) (3, 0) и (3, 2); в) (-3, -1)
и (7, — 1); г) (xi, yt) и (х2, уч).
25.25. Напишите уравнения прямых, проходящих через
вершины многоугольников (рис. 247), если: а) АВ = ВС =
= СА\ б), в) ABCD — квадрат; г) ABCD — ромб с уг-
лом 60°; д) ABCD — трапеция, AB=BC=CD\ е) 48 =
= ВС=СА.
Б
25.26. Дана точка (3, —1). Напишите уравнение пря-
мой, проходящей через эту точку и: а) параллельной
оси х; б) параллельной оси у; в) образующей с осью х
угол 45°; г) образующей с осью х угол 150°; д) параллель-
ной прямой, уравнение которой у=х-|-1; е) перпендику-
лярной прямой, уравнение которой у=х.
25.27. Какие фигуры, кроме прямой, может задавать
уравнение ах-j-by4-с = 0 в зависимости от значений а, Ь, с?
25.28. Прямая задана своим уравнением. Как узнать:
а) в каких точках она пересекает оси координат; б) на
каком расстоянии от начала координат она проходит?
Рис. 247
25.29. Прямая задана уравнением ах-\-Ьу-\-с = О. На-
пишите уравнение прямой, параллельной данной и проходя-
щей через точку (х0, уо), не лежащую на данной прямой.
25.30. Даны точки А (—2, —3) и В(4, 1). Найдите
точку, равноудаленную от данных точек и лежащую:
а) на прямой у=— х; б) на окружности х2-|-«/2 = 4.
25.31. Три вершины треугольника заданы своими коор-
динатами. Как составить уравнение окружности: а) описан-
ной около треугольника; б) вписанной в треугольник?
Приведите примеры.
25.32. а) Прямая задана уравнением ахА~ЬуА~с = 0.
Дана точка А (хо, уо)- Требуется узнать, в какой полуплос-
кости, ограниченной этой прямой, лежит данная точка.
Как это сделать? Приведите пример.
б) Две прямые, заданные своими уравнениями, пере-
секаются. Дана точка А (х0, Уо) • Требуется узнать, в каком
из углов, образованных этими прямыми, находится точка А.
Как это сделать? Приведите пример.
25.33. Четырехугольник задан своими вершинами. Как
узнать, является ли он выпуклым? Приведите пример.
Обобщите задачу.
25.34. Две прямые заданы своими уравнениями. Как
найти угол между ними? Приведите пример.
25.35. Известно, что множество точек, равноудаленных
от двух данных точек, есть прямая. Используйте это для
вывода уравнения прямой.
25.36. Точка А движется в системе координат по пря-
мой у — х. Из нее проведен отрезок АВ длиной 1 по одну
сторону от прямой. Напишите уравнение линии, по которой
движется точка В, если: а) АВ\\у; б) ЛВ||х; в) прямая АВ
перпендикулярна данной прямой.
25.37. Напишите уравнение линии, по которой движется
в системе координат точка К, такая, что КА = КВ, если:
а) Л(0, 0), В(4, 0); б) Л(0, 3), В(0, -5); в) Л (1, 1),
В( - 1, -1); г) Л(2, 3), В(— 4, 5).
25.38. Напишите уравнение линии, по которой движется
в системе координат точка К, такая, что КЛ = 2КВ, если:
а) Л (0, 0), В( —4, 0); б) Л (3, 0), В(1, 0); в) Л(-1, 2),
В(2, -1).
25.39. По какой линии движется в системе координат
точка К, если она равноудалена от: а) оси х и Л(0, 2);
б) оси х и В(0, —2); в) оси у и С(2, 0); г) оси у и D( —2, 0)?
25.40. Дан прямой угол АОВ. По какой линии дви-
жется внутри его точка К, если: а) |Ка| = Ю|; б) | Ка| =
= 2|Кд|; в) КО=2]КЬ\;г) КО = 2|Ка|;д) |Ка| + Ю| = 1?
25.41. Точка А движется по окружности х24-«/2=1-
Из каждой точки окружности проводится отрезок АВ дли-
ной 1. По какой линии движется точка В, если: а) АВ прово-
дится параллельно оси у и вверх; б) АВ проводится па-
А
Б
285
25.7
раллельно оси х и вправо; в) АВ проводится перпендику-
лярно ОД?
25.42. Отрезок АВ длиной 1 движется так, что его концы
лежат на двух сторонах прямого угла О. По какой линии
движется: а) точка С прямоугольника ОАСВ; б) середина
этого отрезка?
25.43. Квадрат со стороной I движется внутри прямого
угла так, что две его соседние вершины находятся на
сторонах угла. По каким линиям движутся две другие его
вершины? А как выглядит результат для других фигур,
например прямоугольника, равностороннего треугольника?
25.44. Дан прямой угол с вершиной О. а) Рассматри-
ваются прямоугольники заданного периметра, две стороны
которого лежат на сторонах данного угла. На какой линии
будут располагаться вершины этих прямоугольников, лежа-
щие внутри угла? б) Ответьте на этот же вопрос для пря-
моугольников постоянной площади.
25.45. Даны две точки Д и В. Пусть АВ —2. По какой
линии движется точка К, такая, что: а) КА2— КВ2=\;
б) КА2 А- КВ2 = \ ? Обобщите эти задачи.
25.46. Стороны прямого угла пересекает прямая. На
отрезке этой прямой внутри угла берется точка и из нее
проводятся перпендикуляры на стороны угла. В каких гра-
ницах лежит площадь прямоугольника, ограниченного сто-
ронами угла и проведенными перпендикулярами? Как обоб-
щить эту задачу?
25.47. Даны две точки А (1, 0) и В( —1, 0). Напишите
уравнение линии, по которой движется точка К, такая,
что КА Д- КВ = 4. Решите задачу в общем случае.
25.48. Даны две точки А (1, 0) и В( — 1, 0). Напишите
уравнение линии, по которой движется точка К, такая, что
КА — КВ=\. Решите задачу в общем случае.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ IV
IV. 1. Самолет летит из Д в В и обратно. Когда он совер-
шит перелет быстрее: а) без ветра; б) при ветре, дующем
все время от Д к В; в) при ветре, дующем все время перпен-
дикулярно ДВ; г) при ветре, дующем все время под неко-
торым углом к ДВ, отличным от прямого?
IV.2. Можете ли вы объяснить, как яхта идет против
ветра?
IV.3. а) Если на туго натянутую нить надавить паль-
цем, то она лопнет. Почему?
б) Буксир изо всех сил тянет баржу, а канат, их соеди-
няющий, все равно провисает. Почему?
IV.4. а) Сумма единичных векторов ё2, ё3 равна б.
Чему равно выражение е^А-егёзА-ёзё^
286
б) Пусть е)( е2, £з— единичные векторы плоскости.
Верно ли, что среди них существуют такие два, что длина
их суммы не меньше I. А существуют ли среди них такие
два, длина суммы которых не меньше чем у ?
IV.5. Выражение ab + cd истолкуйте как скалярное
произведение двух векторов. Пусть при этом а2Ь2 = с2
-j-d2=l. Как теперь выглядит это истолкование? а) Дока-
жите, что \ab-\-cd\ с2 • д/ b2A-d2. б) Докажите,
I (а-Н) (I— ab) I_1
'ИО I (1 -На2) (1+*2) 1^2-
IV.6. Известны координаты трех вершин треугольника:
А(—2, 1), В(1, 3), С(2, —2). а) Напишите уравнение
I) прямой АС; 2) медианы, проведенной из вершины А;
3) биссектрисы, проведенной из вершины С; 4) высоты, про-
веденной из вершины В; б) Вычислите длины отрезков в
задачах а).
1V.7. а) Пусть известны координаты середин сторон
треугольника. Как найти координаты его центроида?
б) Пусть известны координаты двух вершин треуголь-
ника и координаты его центроида. Как найти координаты
его третьей вершины?
в) Составьте сами задачи, аналогичные задачам а) и
б), работая с вершинами треугольника, серединами его
сторон и центроидом.
IV.8. Напишите уравнение окружности: а) проходящей
через начало координат, точку (1, 0) и касающейся окруж-
ности, уравнение которой x2-j-y2 = 9; б) проходящей через
точку (2, 1) и касающуюся осей координат; в) описанной
около треугольника с вершинами в точках (0, 4), (1, 2),
(3, — 2); г) вписанной в треугольник, ограниченный ося-
ми координат и прямой Зх-Му—12 = 0; д) с центром в
точке (6, 7) и касающейся прямой 5х — 12у —24 = 0.
IV.9. Найдите множество точек внутри прямого угла,
таких, что: а) сумма расстояний от них до сторон угла
равна сумме величин, обратных этим расстояниям; б) произ-
ведение расстояний от них до сторон угла равно разности
этих расстояний; в) разность расстояний от них до сторон
угла равна разности величин, обратных к этим расстоя-
ниям.
IV. 10. Пусть А и В — две данные точки. Какой фигурой
является множество точек Л4, таких, что:
а) МА2 — МВ2 = с; б) MA2-k2MB2=c (k=£\);
в) МА2-|-k2МВ2 = с; г) а-МА2 + Ь-МВ2=с?
IV.11. Пусть ABCD — квадрат. Найдите множество
точек М, таких, что: а) МА A~MC=MB-\-MD; б) Z. АМВ =
= Z_ AMD; в) Z_ АМВ= Z CMD.
21
IV. 12. На диагонали BD квадрата ABCD находится
точка М. Как найти точку N на его стороне ВС, такую,
что Z. /4MV=90o? (Решить аналитически.).
IV.13. В треугольнике ЛВС Z. С = 90°, СА — СВ. Точка А।
лежит на ВС, точка В, лежит на СА, точка С| лежит на
АВ, причем эти точки делят стороны в одном отношении:
ВА\:А\С=СВ\:В\А=АС\‘.С\В. Докажите, что СС\±Л|В|,
СС| = А । В ।.
IV.14. Из всех треугольников с данным основанием и
данной высотой к этому основанию найдите тот, около кото-
рого можно описать окружность наименьшего радиуса.
IV. 15. На стороне треугольника выбирается точка и
через нее проводятся две хорды треугольника, параллель-
ные его сторонам. Их концы соединяются отрезком. При
каком выборе исходной точки полученный отрезок будет
иметь наименьшую длину?
IV. 16. Рассмотрим систему! а\х-}-Ь\у = С\,
I а2х + Ь2у = с2.
Дайте ей два различных векторных истолкования. С по-
мощью векторов проведите исследование такой системы,
т. е. выясните, когда она имеет решения и сколько решений.
IV.17. а) Пусть п — единичный вектор, перпендикуляр-
ный прямой I, К — данная точка и Л — точка на данной
прямой. Докажите, что \К.1\ = \п-АК\.
б) Пусть прямая задана уравнением ах-|-by-}-с = 0.
Докажите, что если вектор (а, Ь} единичный, то расстоя-
ние от начала координат до прямой равно |с|. От чего
зависит знак с?
IV. 18. Какая фигура задается векторным уравнением:
а) I?—о)2=1; б) (г — 7а2=(г — г2)2;
г-г\=0; г) г-с=1?
(г — радиус-вектор переменной точки фигуры, rt, г2—
радиус-векторы данных точек фигуры; с — фиксированный
вектор.)
ГЛАВА V
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 26. ДВИЖЕНИЯ И РАВЕНСТВО ФИГУР
26.1. преобразования фигур. Одна из первых задач гео-
метрии состоит в том, чтобы дать точно обоснованные пра-
вила для построения фигур с заданными свойствами. Мы
решали эту задачу в основном для треугольников. Для
более сложных фигур мы пока еще не имеем определения
их равенства (хотя, конечно, каждый может отличить
равные фигуры от неравных). Реальные построения обычно
предполагают построение равных фигур, в частности фигур,
обладающих свойствами симметрии. Например, фасады
большинства домов симметричны и окна на этих фасадах
расположены в правильном порядке. Как начертить план
такого фасдда или как, начертив на плане одно из окон,
получить на плане же изображения остальных окон? Ре-
шение таких задач связано с преобразованием фигур.
Пусть задана некоторая фигура F и каждой точке
фигуры F сопоставлена (ставится в соответствие) един-
ственная точка плоскости. Множество точек, сопоставленных
точкам фигуры F, является некоторой фигурой F', вообще
говоря, отличной от F (рис. 248). Говорят, что фигура F'
получена преобразованием фигуры F. Можно сказать так-
же, что фигура F' является образом фигуры F для дан-
ного преобразования. Фигуру F называют прообразом
фигуры F'.
Если X’ — точка фигуры F', соответствующая точке X
фигуры F, то говорят, что X' — образ точки X, а о точке X
говорят, что она является прообразом точки X'.
Приведем простой пример. Введем на плоскости пря-
моугольные координаты и каждой точке М(х, у) поставим
в соответствие точку М' с координатами х' — х и y’ = ky,
где постоянная k>0 (рис. 249, а). Получим преобразование
289
плоскости, которое называется сжатием к оси х с коэффи-
циентом k. Если £>|, то его называют растяжением. При
таком преобразовании образом окружности F, заданной
уравнением x2-f-y2=r2, будет эллипс F', заданный уравне-
нием (х,)2 + (у) — г* (Рис- 249, б). Именно в этом
смысле в п. 25.7 мы и говорили, что эллипс получается
сжатием из окружности.
Часто два или более преобразований выполняют после-
довательно. Если фигура М преобразуется в фигуру /V, а
затем фигура N преобразуется в фигуру Р, то в результате
получается преобразование фигуры М в фигуру Р — ком-
позиция двух преобразований (рис. 250). В этом случае если
точке X фигуры М сопоставлена точка X' фигуры А/, а
точке X' —точка X" фигуры Р, то в итоге точке X сопостав-
ляется точка X".
Рис. 248
290
Преобразования обозначаются как функции: запись
X' = f(X) означает, что преобразование f сопоставляет точ-
ке X точку X'. Так же пишут N = —фигура N полу-
чена из фигуры М преобразованием
Если происходит сначала преобразование /, а затем
преобразование g, то для точек пишут X"=g°f(X), т. е.
X"=g(X'), где X'=f(X). Соответственно для фигур
пишут P=gof(M), а композицию преобразований f и g
обозначают символом gof.
Дадим еще несколько определений.
Неподвижной точкой преобразования [ называется та-
кая точка А, что f(A)=A. Преобразование, все точки ко-
торого неподвижны, называется тождественным преобра-
зованием. Тождественное преобразование фигуры М обозна-
чается символом Ем.
Вместо слов «преобразование фигуры» можно сказать
«отображение фигуры».
Если при данном преобразовании разным точкам фигуры
соответствуют разные образы, то преобразование называют
взаимно однозначным.
Введем еще одну операцию для взаимно однозначных
преобразований. Пусть фигура N получена из фигуры М
взаимно однозначным преобразованием f. В этом случае
можно задать преобразование, обратное преобразованию f.
Оно определяется так: если при данном преобразовании [
точке X сопоставляется точка X' (рис. 251, а), то при
обратном преобразовании точке X' сопоставляется точка X.
(Если бы преобразование / каким-то двум точкам X и Y
сопоставляло одну и ту же точку X', то преобразования,
обратного преобразованию f, задать было бы нельзя: не-
известно, какую из точек X или Y сопоставить точке Х'\
рис. 251, б.)
Преобразование, обратное данному преобразованию f,
обозначается Так что если X' = f(X), то X=f~' (X').
Поэтому f~'of(X) =Х, т. е. f~'of=E. Аналогично fof~' = E.
Кроме того, очевидно, что обратное обратному преоб-
разованию есть данное преобразование, т. е. (f_|)_|==/.
Поэтому преобразования f и f~' называют взаимно об-
Рис. 251
29
ратными. Каждое из них обратно другому, и все равно,
какое из них считать исходным, а какое — обратным.
Преобразование, для которого существует обратное,
называют обратимым. Оно, как мы видим, характеризу-
ется тем, что при нем разным точкам сопоставляются
разные точки. Поэтому обратимость существует лишь для
взаимно однозначных преобразований.
26.2. движения фигур. Самыми важными являются
такие преобразования фигур, при которых сохраняются все
их геометрические свойства: расстояния между точками, уг-
лы, площади, параллельность отрезков и т. д. Оказывается,
для этого достаточно потребовать сохранения лишь расстоя-
ний между точками данной фигуры. Тогда у полученной
фигуры сохраняются и все остальные геометрические
свойства, поскольку они зависят только от расстояний.
Определение. Преобразование фигуры, которое
сохраняет расстояние между точками, называется дви-
жением этой фигуры.
Подробнее: фигура W получена движением фигуры М,
если любым точкам X, Y фигуры М сопоставляются такие
точки X', Y' фигуры N, что X'Y' = XY (рис. 252, а).
Замечание. Со словом «движение» обычно связы-
вается представление о движениях реальных твердых тел,
когда тело меняет свое положение без деформаций, т. е.
без изменений расстояний в нем. В геометрии движение —
Рис. 252
292
это отвлеченный образ реальных движений. Геометри-
ческую фигуру нельзя передвинуть в буквальном смысле
слова, как нельзя передвинуть участок земли. Рисунок на
бумаге тоже нельзя передвинуть, это можно проделать
с самой бумагой, но не с рисунком на ней (рис. 252, б).
26.3. свойства движений. Докажем самые важные
свойства движений.
Свойство 1. Три точки, лежащие на одной прямой,
при движении переходят в три точки, лежащие на одной
прямой, и три точки, не лежащие на одной прямой,— в три
точки, не лежащие на одной прямой.
Доказательство. Пусть движение переводит
соответственно точки Л, В, С в точки А', В', С'. Тогда
выполняются равенства
А'В' = АВ, А'С'=АС, В'С' = ВС. (1)
Если точки А, В, С лежат на одной прямой, то одна
из них, например точка В, лежит между двумя другими.
В этом случае АВ + ВС=АС, и из равенства (1) следует,
что А’В' А~В'С'= А 'С'. А это равенство означает, что точ-
ка В' лежит между точками А' и С'. Первое утверждение
доказано.
Второе утверждение докажите самостоятельно (спосо-
бом от противного).
Свойство 2. Отрезок движением переводится в от-
резок.
Доказательство. Пусть концам отрезка АВ
движение [ сопоставляет точки А' и В'. Возьмем любую
точку X отрезка АВ. Тогда, как и в доказательстве свойст-
ва 1, можно установить, что ее образ — точка X' = f(X)
лежит между точками А' и В’, т. е. на отрезке А'В'. Далее,
каждая точка У' отрезка А'В' является образом некоторой
точки У отрезка АВ. А именно той точки У, которая удалена
от точки А на расстояние Д'У' (объясните почему). Сле-
довательно, отрезок АВ движением [ переводится в отре-
зок А'В'.
Свойство 3. При движении луч переходит в луч,
прямая — в прямую.
Эти утверждения докажите самостоятельно.
Свойство 4. Треугольник движением переводится в
треугольник.
Доказательство. Треугольник АВС заполняется
отрезками, соединяющими вершину А с точками X проти-
воположной стороны ВС (рис. 253, а). Движение сопоста-
вит отрезку ВС некоторый отрезок В'С' и точке А точку А',
не лежащую на прямой В'С'. Каждому отрезку АХ это
движение сопоставит отрезок А'Х', где точка X' лежит на
В’С. Все эти отрезки А'Х' заполнят треугольник А'В'С.
29:
Рис. 253 в него и переходит треугольник АВС. Разверните это рас-
суждение подробнее.
Свойство 5. Движение сохраняет величины углов.
Подробнее: если точкам А, В, С, не лежащим на одной
прямой, движение сопоставляет точки А', В', С', то
Z. А'В'С'=А АВС.
Доказательство. В силу равенств (1) А А 'В'С' =
=/\ АВС. Поэтому Z. А’ В'С = 2. АВС (рис. 253, б).
Итак, движение сохраняет углы, а значит, и перпенди-
кулярность. Поэтому высота треугольника движением
переводится в высоту треугольника—образа. Длина вы-
соты, как и длина основания треугольника, как полага-
ется при движении, сохраняется. Значит, движение сохра-
няет площадь треугольника. И не только треугольника.
Многоугольные фигуры составляются из треугольников,
а потому справедливо такое свойство:
Свойство 6. При движении сохраняются площади
многоугольных фигур.
Из определений движения и обратимого преобразо-
вания непосредственно вытекает еще одно свойство дви-
жений:
Свойство 7. Движение обратимо. Преобразование,
обратное движению, является движением.
Убедитесь в этом.
26.4. равенство фигур. Свойства движений показывают,
что две фигуры, полученные одна из другой движением,
совершенно одинаковы. Но в геометрии вместо «одинако-
вы» говорят «равны» и дается определение:
Две фигуры равны, если между их точками есть соот-
ветствие, сохраняющее расстояния.
Другими словами, фигура F' равна фигуре F, если
фигуру F' можно получить некоторым движением фигуры F.
На практике сравнивают предметы, тоже сравнивая в
них соответствующие расстояния. Только говорят обычно
не о расстояниях, а о соответствующих размерах пред-
метов. При этом в отличие от теории никто не сравнивает
294
предметы так, чтобы каждой точке одного предмета сопос-
тавлять точку другого предмета. На деле сравнивают только
те расстояния между точками, которые играют опреде-
ляющую роль для этих предметов. И у геометрических фи-
гур сравнивают только те размеры фигуры, которые ее
однозначно задают. Например, в четырехугольниках срав-
нивают только длины сторон и диагонали, а у кругов
только радиусы.
Для треугольников определяющими размерами служат
расстояния между вершинами—длины сторон. Поэтому
равными можно назвать треугольники, длины сторон которых
соответственно равны. Аналогично можно было бы опреде-
лить и равенство многоугольников. Для них определя-
ющими размерами будут длины сторон и диагоналей.
Поэтому можно было бы дать такое определение: много-
угольники равны, если равны их соответствующие сто-
роны и диагонали.
Когда же мы обращаемся к произвольным фигурам,
то неизвестно, расстояния между какими точками можно
считать определяющими эти фигуры. Поэтому в общем
определении равенства фигур говорится о любых точках.
I. Приведите примеры преобразований реальных фигур.
2. В чем заключается преобразование фигуры?
3. Знаете ли вы, что такое: а) образ фигуры; б) прообраз
фигуры; в) обратимое преобразование; г) обратное
преобразование; д) композиция преобразований; е) тож-
дественное преобразование?
4. В чем заключается движение фигуры?
5. Какие свойства фигур сохраняются при движениях?
6. Какие фигуры называются равными?
Задачи к § 26
26.1 . Пусть даны прямая а и некоторая фигура F.
Из каждой точки X<=F проводится перпендикуляр ХХ{)
на прямую а (Хоеа)- На продолжении этого перпенди-
куляра за прямую а откладывается точка такая, что
ХоА'|=2ХЛо. Точкам X ставятся в соответствие точки Х\,
а точкам прямой а — они сами, а) Сохраняются ли при
таком преобразовании фигуры F расстояния между соот-
ветствующими точками? б) Сохраняются ли при этом
преобразовании величины углов? перпендикулярность пря-
мых? параллельность прямых? в) Пусть фигура F — от-
резок. Какой фигурой является ее образ? г) Пусть фигу-
ра F — треугольник. Сохраняется ли в результате такого
преобразования его ориентация? д) Пусть фигура F — вся
плоскость. Как найти прообраз некоторой точки плоскости?
е) Есть ли в этом преобразовании неподвижные точки?
26.1
295
26.2
a)
Рис. 254
26.2 . Пусть в результате некоторого преобразования
плоскости точка А(х, у) переходит в точку Ai(xj, уА. От-
ветьте на те же вопросы, что и в задаче 26.1, если:
a) х,=ух, yi=y; б) Х|=2—х, yi=y,
в) xi=x+l, у\=у— 1; г) xi=2x, yi = 2y;
Д) Х|=1/, у\=х.
26.3 . Дана окружность единичного радиуса. Каждой
точке X плоскости (за исключением О — центра окруж-
ности) поставим в соответствие такую точку Xi, которая
лежит на луче ОХ и при этом ОХ\-ОХ=\. Для такого
преобразования плоскости ответьте на те же вопросы, что
и в задаче 26.1.
26.4 . Пусть f — движение, А и В — фигуры на плос-
кости. Докажите, что: a) f(A()B)=f(A)(]f(B);6) f(A\jB) =
=/(/!) U/(^)• Верны ли эти равенства не только для дви-
жения?
Решение, а) Изобразим условно фигуры А и В так,
как на рисунке 254, а. Их общая часть — пересечение А
и В, обозначаемое С = ДПВ,— заштрихована.
Пусть в результате движения f образом фигуры А яв-
ляется фигура Л|, т. е. Л1=/(/4). а образом фигуры В —
фигура Bi, т. е. Bt=f(B). Условно изобразим фигуры Ai
и Bi на рисунке 254, б. Их общая часть С| — пересечение
Ai и В, —заштрихована.
Требуется доказать, что /(С)=С|. В этом равенстве
слева и справа стоят множества. Чтобы доказать равен-
ство двух множеств, обычно доказывают два утверждения:
1) любой элемент из первого множества принадлежит вто-
рому множеству; 2) любой элемент из второго множества
принадлежит первому множеству.
Докажем первое утверждение. Возьмем любую точку X
из множества C=Af]B. Но тогда точка X принадлежит
и множеству А, и множеству В. Так как точка X принад-
лежит множеству А, то ее образ Xt принадлежит множеству
Ai (?). Точно так же точка Xi принадлежит множеству Bi.
Получилось, что точка Xi принадлежит как множеству Аь
так и множеству В|. Значит, она принадлежит их пере-
сечению С|.
Докажем второе утверждение. Пусть точка У, принад-
лежит множеству С|=Л1ПД,- Тогда она принадлежит как
множеству Ai, так и множеству В|. Любая точка из мно-
жества Ai является образом некоторой точки, принадле-
жащей множеству А, поэтому прообраз точки Л—точ-
ка К — находится в А. Точно так же он находится и в мно-
жестве В. Значит, точка Y находится в множестве С—
—AQB.
А где в доказательстве использовалось, что f — дви-
жение? А если это не понадобилось, то не будет ли это ут-
296
верждение верно не только для движений, но и для других
преобразований?
26.5 . При каких условиях проектирование отрезка на
прямую является движением?
26.6 . Из точки А прямой а проведен отрезок ЛВ±а.
Из всех точек отрезка АВ проводятся в одну сторону от
него параллельные отрезки до прямой а. Будет ли это преоб-
разование отрезка АВ движением?
26.7 . Дан угол со сторонами а и Ь, а луч с — его бис-
сектриса. Каждой точке X луча а ставится в соответствие
точка Х\ луча b следующим образом: а) ХХ\А.Ь\ б) из
точки X проводится перпендикуляр к лучу а до пересече-
ния в точке Y с лучом с, а затем из Y проводится перпен-
дикуляр УХ, на Ь; в) из X опускается перпендикуляр XY
на с, а затем из Y опускается перпендикуляр YXt на Ь.
Являются ли такие преобразования луча а движениями?
26.8 . Является ли движением такое преобразование
плоскости, которое каждой точке (х, у) ставит в соответ-
ствие точку: а) (х, 0); б) (0, у); в) (2х, 2у); г) ( 2х, у у) ;
д) (х, — у); е) (— х, у); ж) (х4-1,у);з) (х, 1—у)?
26.9 . При некотором движении [ точка А перешла в
точку В, а точка В — в точку А. Докажите, что в результате
последовательного двукратного выполнения этих движений
(т. е. композиции f°f) хотя бы одна из точек плоскости пе-
рейдет в себя.
26.10 . В результате некоторого преобразования фигура
перешла в себя. Является ли такое преобразование дви-
жением?
26.11 . Объясните, почему в результате движения:
а) окружность переходит в окружность; б) круг - в круг;
в) прямая переходит в прямую; г) луч переходит в луч;
д) полуплоскость — в полуплоскость; е) угол переходит в
угол; ж) сохраняется параллельность прямых; з) парал-
лелограмм переходит в параллелограмм; и) квадрат пере-
ходит в квадрат; к) правильный многоугольник — в пра-
вильный многоугольник; л) выпуклый многоугольник —
в выпуклый многоугольник.
26.12 . Пусть треугольник Л|В|С, получен из треуголь-
ника АВС каким-то движением. В какую точку треуголь-
ника Л|В|С| переходит при этом движении: а) точка пере-
сечения медиан треугольника ЛВС; б) точка пересечения
биссектрис треугольника ЛВС; в) точка пересечения высот
треугольника ЛВС; г) центр круга, описанного около
треугольника ЛВС?
26.13 . Объясните, почему при любом движении круга:
а) его центр переходит в центр; б) точка на окружности
переходит в точку на окружности; в) диаметр переходит
в диаметр; г) дуга переходит в дугу; д) полукруг переходит
А
Б
26.3
297
Рис. 255
26.4
в полукруг; е) сегмент переходит в сегмент; ж) сектор пере-
ходит в сектор.
26.14 . Является ли движением любое преобразование
фигуры F в равную ей фигуру Е|?
26.15 . Докажите, что равны: а) две прямые; б) два
луча; в) два круга равных радиусов; г) два квадрата с рав-
ными сторонами; д) два прямоугольника с соответственно
равными сторонами; е) две полуплоскости.
26.16 . Найдите признаки равенства: а) ромбов; б) па-
раллелограммов; в) равнобоких трапеций; г) трапеций;
д) произвольных четырехугольников; е) секторов; ж) сег-
ментов.
26.17 . Разделите на равные части и желательно боль-
шим числом способов: а) квадрат на две части; б) круг
на две части; в) крест из двух равных прямоугольников
на две части; г) правильный шестиугольник на три части;
д) правильный шестиугольник на шесть частей, не явля-
ющихся треугольниками.
26.18 . Разделите на две равные части фигуру, показан-
ную на рисунке 255.
§ 27. ВИДЫ ДВИЖЕНИЙ
Если на плоскости фигура F' равна фигуре F, то су-
ществует некоторое движение, которое переводит F в F'
(согласно определению равенства фигур). Оказывается, что
на плоскости существует всего лишь четыре вида движений:
I) параллельный перенос (или, короче, перенос; рис. 256, а);
2) отражение в прямой (осевая симметрия; рис. 256, б);
3) поворот вокруг точки (рис. 256, в); 4) «скользящее
298
Рис. 256
отражение», состоящее из последовательно выполненных
отражения в прямой и переноса вдоль этой прямой (т. е.
являющееся композицией этих движений; рис. 256, г). Од-
ним из этих движений и переводится F в F'.
27.1. перенос. Реальным примером фигур, полученных
друг из друга параллельным переносом, являются одина-
ковые окна на фасаде дома (см. с. 290). Начертив на
плане одно из окон, можно затем получить любое другое
окно, сместив все точки первого в одном и том же направ-
лении на одно и то же расстояние. Это свойство и опре-
деляет перенос.
Определение. Параллельным переносом фигуры
называется такое ее преобразование, при котором все точки
фигуры перемещаются в одном и том же направлении на
одно и то же расстояние.
Подробнее: параллельный перенос произвольным точкам
X и Y фигуры сопоставляет такие точки X' и Y', что направ-
ленные отрезки XX' и YY' равны по длине и одинаково
направлены, т. е. XX' = YV' (рис. 257, а).
Равные направленные отрезки представляют один и тот
же вектор. Поэтому можно сказать так. Параллельный
перенос — это преобразование, при котором все точки фи-
гуры перемещаются на один и тот вектор — вектор пере-
носа. Параллельный перенос задается вектором переноса:
зная этот вектор, мы знаем, в какую точку перейдет любая
точка переносимой фигуры.
Параллельный перенос на вектор а обозначается Т-.
Параллельный перенос является движением, которое
сохраняет направления. Действительно, пусть при парал-
лельном переносе точки X и Y перешли в точки X’ и Y'.
Тогда, как следует из определения переноса, выполняется
равенство XX'= Y?' (рис. 257, б).
Согласно признаку равенства векторов (теорема 24
п. 18.4) из равенства XX'=YV' следует равенство ХТ=
= X'Y'. Поэтому, во-первых, X'Y' = XY, т. е. параллельный
перенос является движением, а во-вторых, из равенства
299
= следует, что Х'У'ЦХУ. Это означает, что па-
раллельный перенос сохраняет направления.
Доказанное свойство параллельного переноса является
характерным его свойством. А именно справедливо ут-
верждение: движение, сохраняющее направления, является
параллельным переносом. Переведите его на язык векторов
и докажите самостоятельно.
27.2. МЕТОД параллельного переноса. Преобразования
упрощают решения многих геометрических задач. Основ-
ная идея метода геометрических преобразований в том,
что фигура, рассматриваемая в условии задачи, преобра-
зуется в такую, для которой решение становится проще.
Решив задачу для преобразованной фигуры, затем обрат-
ным преобразованием возвращаются к исходной фигуре.
Вместе с тем применение каждого преобразования
имеет свои особенности. Метод параллельного переноса
позволяет сблизить удаленные друг от друга части фигуры
и тем упростить задачу.
Вот пример такой задачи: где следует построить
мост через реку, разделяющую пункты А и В, чтобы путь
l=AP-\- PQ + QB был кратчайшим (рис. 258, а)? Берега
реки считаются параллельными прямыми а и ft, а мост,
естественно, строится перпендикулярно берегам реки.
Решение. Заметим, что длина отрезка PQ не зависит
от положения точки Р на прямой а, а вектор v = PQ опреде-
ляется лишь прямыми а и ft (рис. 258, б). Поэтому надо
найти такое положение точки Р, чтобы сумма AP-\-QB была
наименьшей. Пока отрезки АР и QB удалены друг от
друга. Поэтому переведем отрезок АР в положение A'Q
параллельным переносом на вектор v. Получим ломаную
A'QB. И теперь становится ясно, что длина ломаной A'QB,
а значит и длина /, будет наименьшей в том случае, когда
точки A', Q, В лежат на одной прямой (рис. 258, в). Итак,
Q — точка пересечения отрезка А'В с прямой ft, а Р —
Рис. 258
проекция Q на прямую а
.300
a
. x=x'
.___E______«
X x'
a)
27.3. ОТРАЖЕНИЕ В ПРЯМОЙ (ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ). Вы,
конечно, знакомы с фигурами, имеющими ось симметрии.
Сейчас мы дадим определения осевой симметрии и связан-
ных с ней понятий.
Точки X и X' называются симметричными относительно
прямой а, и каждая из них — симметричной другой точке,
если а является серединным перпендикуляром отрезка XX'
(рис. 259, а). Каждая точка прямой а считается симмет-
ричной самой себе (относительно а). Если дана прямая а,
то каждой точке X соответствует единственная точка X',
симметричная X относительно а.
Определение. Отражением фигуры в прямой а
(или осевой симметрией с осью а) называется такое преоб-
разование этой фигуры, при котором каждой точке данной
фигуры сопоставляется точка, симметричная ей относитель-
но прямой а (рис. 259, б).
Отражение плоскости в прямой а обозначается Sa.
Фигура F', полученная отражением фигуры F в прямой
а, называется симметричной фигуре F относительно пря-
мой а.
Поскольку симметричность точек относительно прямой
взаимна, то и фигура F симметрична фигуре F' относительно
прямой а, т. е. F и F' симметричны относительно прямой а.
В частности, фигура F может быть симметрична сама себе
относительно некоторой прямой а (рис. 259, в). Тогда
говорят, что фигура симметрична относительно прямой а
и что прямая а является ее осью симметрии.
Отражение в прямой является движением.
Чтобы доказать это, применим метод координат. При-
мем прямую а за ось х прямоугольных координат. Тогда
отражение в ней сопоставит точке (х, у) точку (х, —у)
(рис. 259, г).
Возьмем любые две точки А (Х|, у{) и В(х2, у2) и рас-
смотрим симметричные им относительно оси х точки
.4'(хь —yi) и В'(х2, — у2). Вычислив расстояния А'В'
и АВ, получим:
3(
Л 'В' = У (*2—Х|)2+( —j/2 + t/l)2 =
= л/ (*2 —Х|)2-Н</2 —/л)2 = А В.
Итак, отражение сохраняет расстояния, т. е. является
движением.
Отражение в прямой можно наглядно представить как
поворот вокруг этой прямой в пространстве. Именно
представим себе часть плоскости с данной фигурой F в виде
пластинки, надетой на прямую а как на ось. Повернем
пластинку вокруг оси а на 180° так, что она окажется в
прежней плоскости (рис. 260). Точки, лежавшие по одну
сторону от прямой а, перейдут на другую сторону на том
же расстоянии от а. Значит, произойдет отражение в пря-
мой а. Чтобы получить рисунок фигуры, отраженной в пря-
мой, можно перевернуть лист бумаги. Если бумага прозрач-
на, то рисунок будет виден как отраженный.
27.4. метод СИММЕТРИИ. Рассмотрим еще одну задачу
о кратчайшем расстоянии. Сформулируем ее так:
Задача. Две деревни А и В находятся по одну
сторону от прямого шоссе а. В какой точке С на шоссе а
надо устроить остановку автобуса, чтобы сумма расстояний
АС А-СВ была кратчайшей?
Решение. Построим точку В', симметричную точке В
относительно прямой а (рис. 261, а). Для любой точки X
прямой а ВХ = В‘Х. Поэтому АХА-ХВ = АХ+ХВ'. Ясно, что
сумма АХА-ХВ' становится кратчайшей, когда X попадает
в точку пересечения отрезка АВ' с прямой а. Эта точка С
и дает решение задачи.
Решенная геометрическая задача позволяет объяснить
такие физические явления, как отражение света, отскок
мяча и т. п. Пусть световой луч АС отражается от прямой а
302
Рис.
*)
и луч СВ (рис. 261, б). В физике рассматривают углы, ко-
юрые отрезки АС и ВС образуют с перпендикуляром b
к прямой а. По закону отражения света угол падения
равен углу отражения. А это значит, что свет распростра-
няется из точки А в точку В так, что путь А С + СВ, а зна-
чит, и время его прохождения будут наименьшими. Это так
называемый принцип Ферма. Из него вытекают все за-
коны отражения и преломления света. По тому же закону
происходят отскоки при упругих ударах (например, мячей,
биллиардных шаров и т. п.).
27.5. поворот. Каждый представляет себе, как повернуть
плоский предмет вокруг какой-нибудь точки (например,
стрелку часов), и нам нужно только описать это нагляд-
ное представление в понятиях геометрии (рис. 262, а).
Пусть дана точка О. На окружности с центром О можно
указать два направления обхода — по часовой стрелке и
против нее (рис. 262, б). Этим задаются также два на-
правления отсчета углов от идущих из точки О лучей —
по часовой стрелке и против нее.
Поворот фигуры F вокруг центра О на данный угол
Ф (0°^ф^180°) в данном направлении определяется
так: каждой точке X фигуры F сопоставляется такая точ-
ка X', что, во-первых, ОХ' = ОХ, во-вторых, Z. Х'ОХ = ф и,
в-третьих, луч ОХ' откладывается от луча ОХ в заданном
направлении (рис. 262, в).
Можно сказать, что все отрезки ОХ поворачиваются
на один и тот же угол в одну и ту же сторону. Если точка О
принадлежит фигуре F, то ей сопоставляется она сама.
Точка О называется центром поворота, а
поворота.
угол <р — углом
261
Рис.
262

зо:
О а)
Рис. 263
у' X о х' Y у' X' О X У '
д) 5) I
Теорема 32 (о повороте). Поворот является дви-
жением.
Доказательство. Пусть при повороте вокруг
точки О точкам X и У сопоставляются точки X' и У'. Пока-
жем, что Х'У' = ХУ.
Рассмотрим общий случай, когда точки О, X, У не
лежат на одной прямой. Тогда Z_X'OY' = /LXOY
(рис. 263, а). Действительно, пусть угол ХОУ от ОХ к ОУ
отсчитывается в направлении поворота. (Если это не так,
то рассматриваем угол YOX.) Тогда угол между ОХ и
ОУ равен сумме угла ХОУ и угла поворота (от ОУ к ОУ):
ХОУ = Л. XOY-\-XL YOY'.
(1)
С другой стороны,
Z ХОУ = X. XOX' + Z Х'ОУ. (2)
Так как Z_XOX' = Z_ YOY' (как углы поворота), то
из этого равенства и равенств (1) и (2) следует, что
Z Х'ОУ'=Х_ ХОУ. Кроме того, ОХ' = ОХ и ОУ'^ОУ.
Поэтому л Х'ОУ = л ХОУ. Следовательно, Х'У’ = ХУ.
Если точки X, О, У лежат на одной прямой, то отрезки
ХУ и Х'У будут либо суммой, либо разностью равных
отрезков ОХ, ОУ и ОХ', ОУ (рис. 263, б, в). Поэтому
и в этом случае Х'У' = ХУ. Итак, поворот является движе-
нием.
27.6. метод поворота. Этим методом мы тоже решим
задачу о наименьшем значении. Мы даем ей лишь геомет-
рическую формулировку. Придумайте реальные ситуации, в
которых могла бы встретиться такая задача:
Задача. В данном остроугольном треугольнике АВС
найти такую точку, что 'сумма ее расстояний до вершин
треугольника наименьшая.
Рис. 264
Решение. Возьмем в треугольнике АВС любую
гочку X и рассмотрим сумму 1=ХАА-ХВ + ХС (рис. 264, а).
Чтобы найти наименьшее значение этой суммы, надо
построить ломаную из отрезков ХА, ХВ, ХС. Для этого
повернем л АВХ вокруг точки А в сторону от л АВС
на 60°. Получим АВ'Х'= Д АВХ. Рассмотрим лома-
ную В'Х'ХС. В ней В'Х' = ВХ и Х'Х=ХА (так как д АХХ’
равносторонний). Следовательно, В'Х'Х'Х-\-ХС = /. И
становится ясно, что I достигает наименьшего значения
тогда, когда точки X' и X лежат на отрезке В'С (заметим,
что положение точки В' определено — она вершина рав-
ностороннего треугольника АВВ'-, рис. 264, б). В этом слу-
чае углы АХ'В' и АХС — внешние углы равностороннего
треугольника АХХ'. Поэтому Z. АХС= Z. АХ'В'= 120°.
Так как Z. AXB=Z. АХ'В', то Z АХВ = 120°. А тогда и
Д ВХС =120°.
Итак, I достигает наименьшего значения для такой
точки X, из которой все стороны треугольника видны под
равными углами. Эту точку X легко построить на от-
резке В'С, применив, например, параллельный перенос
(рис. 264, в).
Замечание. Это решение пригодно лишь для тре-
угольников, в которых все углы меньше 120°. Подумайте,
где находится искомая точка, если это условие не выпол-
няется. Добавим, что ее иногда называют точкой Торри-
челли.
27.7. центральная симметрия. Особый случай представ-
ляет поворот на 180°. Если О—центр такого поворота,
то, чтобы построить точку X', соответствующую точке X,
достаточно продолжить отрезок ХО за точку О на отрезок
ОХ' = ОХ (рис. 265, а). Точки X и X' в этом случае назы-
ваются симметричными относительно точки О, а само пре-
образование — центральной симметрией с центром в точке О.
Центральная симметрия с центром в точке О обозна-
чается So .
Так как симметричность точек X и X' относительно
некоторой точки О взаимна, то и симметричность фигур
относительно точек взаимна. А именно если фигура F пе-
решла при симметрии с центром О в фигуру F', то и F' при
этой симметрии перешла в F (рис. 265, б). В частности,
фигура F может быть симметрична сама себе относи-
тельно точки О. Тогда говорят, что фигура F симметрична
относительно точки О и что точка О является центром
симметрии фигуры F. Например, центр круга — это его
центр симметрии (рис. 265, в), точка пересечения диаго-
налей параллелограмма — его центр симметрии (рис. 265, г).
Замечание. Конечно, центральную симметрию можно
определить и не используя понятие поворота. Объясните,
как это сделать.
Рис. 2ВГ>
305
Основное свойство центральной сим-
метрии содержится в следующем утверждении: цент-1
ральная симметрия является движением, изменяющим на-\
правления на противоположные. На языке векторов это
значит, что когда точкам X и У при центральной симмет-
рии соответствуют точки X' и У', то
ГТ'=-ЛТ. (3)
Доказательство. Пусть при центральной сим-
метрии с центром в точке О точки X и У перешли в точки X'
и У (рис. 266). Поскольку точка О — середина отрезка XX',
то
ОХ'=-ОХ. (4)
Аналогично
ОУ'=-ОУ. (5)
Находим вектор X'Y', учитывая равенства (4) и (5):
Х7Т' = 0У'-0Х'=-0Т + 0Х=-(07-0Х) = -ХТ.
Равенство (3) доказано.
Доказанное свойство является характерным свойством
центральной симметрии. А именно справедливо обратное
утверждение, которое является признаком цент-
ральной симметрии: движение, изменяющее на-
правления на противоположные, является центральной
симметрией.
Доказательство. Пусть f — движение, изменя-
ющее направления на противоположные. Пусть f переводит
точку X в точку X' и точка О — середина отрезка XX'. По-
кажем, что [ — симметрия с центром в точке О. Возьмем
любую точку У, и пусть Y'=f(Y). По условию имеет место
равенство (3). Кроме того, так как О — середина отрез-
ка XX', то имеет место и равенство (4). Учитывая (3) и (4),
получаем, что
ОТ' = 0Х' + Х7?' = — ОХ — ХУ = — (OX -\-XY) = — ОТ.
Равенство OY' =—ОК означает, что точка О — сере-
дина и отрезка УУ'.
Так как У— любая точка, то f— симметрия с цент-
ром в точке О.
Замечание. Сравните этот признак центральной
симметрии с признаком параллельного переноса (п. 27.1).
Методом центральной симметрии легко решается такая
задача: построить отрезок, концы которого лежат на дан-
ных фигурах F\ и F?, а середина находится в данной
точке О (рис. 267). Чтобы построить такой отрезок, можно
построить фигуру F2, симметричную фигуре F2 относитель-
но точки О. Пусть А — точка пересечения фигур Ft и F'2.
306
b
Тогда симметричная ей (относительно О) точка В при-
надлежит фигуре F?.
Поскольку точка О — середина отрезка АВ, то отрезок
АВ является решением задачи.
Частным случаем решенной задачи является такая
задача: через точку А внутри угла провести отрезок, концы
которого лежат на сторонах этого угла, а серединой явля-
ется данная точка А (рис. 268). Докажите, что среди всех
прямых, проходящих через точку А, прямая, которая со-
держит отрезок ВС, отсекает треугольник наименьшей
площади.
1. Какие вы знаете движения плоскости?
2. Что такое параллельный перенос и каковы его свойства?
3. Что такое отражение в прямой и каковы его свойства?
4. Что такое поворот и каковы его свойства?
5. Что такое центральная симметрия и каковы ее свойства?
6. Что значат такие фразы: «Фигура имеет ось симметрии»,
«Фигура имеет центр симметрии»?
Задачи к § 27
27.1. а) Докажите, что в результате переноса прямая
переходит в прямую, ей параллельную, или в себя.
б) Даны две параллельные прямые. Каким переносом
одна из них может быть получена из другой?
в) Даны два равных и параллельных отрезка. Каким
переносом один из них может быть получен из другого?
г) Докажите, что в результате переноса вектор пере-
ходит в равный вектор.
27.2. Докажите, что перенос на вектор а=(х0, Уо) за-
писывается по формуле Х|=х-|-хо, У1=уА~Уо, где (х, у) —
исходная точка, а (х>, у\) — ее образ.
27.3. Докажите, что: а) преобразование, обратное пере-
носу, является переносом; б) последовательное выполнение
двух переносов является переносом.
27.4. а) Существуют ли точки, неподвижные для данного
переноса?
ИГЕ^
А
30/
Б
27.2
б) Существуют ли прямые, неподвижные для данного
переноса?
27.5. Нарисуйте отрезок АВ. Нарисуйте его образ в ре-
зультате переноса на вектор: а) АВ; б) ВА; в) АС при усло-
вии, что точка С не лежит на прямой АВ. Какую фигуру
«заметает» при этом переносе отрезок АВ? Чему равна
площадь этой фигуры, если АВ = АС=\, Z САВ = ц>?
27.6. Равносторонний треугольник со стороной 2 под-
вергается переносу. Рассмотрим две фигуры: объединение F\
и пересечение Г-г исходного и полученного треугольников.
Вычислите периметр и площадь F, и /ч, если перенос
задан: а) вектором — А С; б) вектором ВО, где О центр
треугольника.
27.7. В результате переноса система координат с началом
в точке О перешла в систему координат с началом в точке
Oi, которая в старой системе координат имела координаты
(2, 1). а) Какие координаты в новой системе координат
будут у точки, которая раньше имела координаты ( — 5, 4)?
б) Какие координаты имела точка, которая теперь имеет
координаты ( — 4, —3)? в) Какие уравнения будут у тех
фигур, которые раньше задавались такими уравнениями:
I) х=2; 2) у = —2; 3) у=х; 4) у= —2х-|-3; 5) х2+у2 = 1?
г) Какие уравнения были у тех фигур, которые теперь за-
даются уравнениями, указанными в в)? д) Изменяются ли
координаты вектора в результате переноса системы коор-
динат?
Решите задачи а) — г) в общем виде.
27.8. Нарисуйте образ куба ABCDAв результате
1^1 переноса на вектор: а) Л4|; б) DA; в) DB|.
__ 27.9. Нарисуйте образ правильного тетраэдра РАВС
в результате переноса на вектор: а) АВ; б) СР; в) ДХ, где
точка К — середина ВС; г) PQ, где точка Q — центр тре-
угольника АВС.
27.10. Пусть функция f имеет два периода: и /2. Объяс-
ните, почему /| + ^2 является периодом этой функции.
27.11. Нарисуйте систему координат, точки Л (2, 2) и
В(4, —4) и полосу между осью х и прямой у=\. а) По-
стройте точки К и L на краях полосы, такие, чтобы лома-
ная AKLB была кратчайшей, б) Как найти координаты
точек К и L? в) Решите задачи а) и б) для полосы между
осью х и прямой у=— 1.
27.12. Используя перенос, докажите свойства средней
линии: а) треугольника; б) трапеции.
27.13. Стороны двух углов соответственно параллельны.
Как расположены биссектрисы этих углов?
27.14. В выпуклом четырехугольнике средняя линия двух
сторон равна полусумме двух других сторон. Какого вида
этот четырехугольник? Какого вида будет четырехугольник,
А
,08
если и другая средняя линия обладает тем же свойством?
27.15. Две равные окружности имеют точку касания К-
Докажите, что: а) любая прямая, пересекающая их в
точке К, пересекает их по равным хордам; б) если /_ АКВ =
= 90° (где точки А и В лежат на разных окружностях), то
отрезок АВ равен диаметру данных окружностей.
27.16. Постройте трапецию по: а) четырем сторонам;
б) основаниям и диагоналям.
27.17. Нарисуйте любой треугольник. Нарисуйте его
образ при переносе на какой-либо вектор. В результате
переноса каждая его сторона «заметает» некоторую пло-
щадь. Докажите, что большая из этих площадей равна
сумме меньших. Используйте этот результат для доказа-
тельства теоремы Пифагора.
27.18. Постройте прямую, которая пересекает по равным
хордам: а) два равных круга; б) два произвольных круга
и при этом проходит через данную точку.
27.19. а) Основания двух равнобедренных треугольни-
ков находятся на одной прямой, а сами они лежат по одну
сторону от этой прямой. Существует ли прямая, которая пе-
ресекает их по равным хордам?
б) Оси симметрии двух равнобедренных треугольников
находятся на одной прямой. Существуют ли в них два па-
раллельных и равных отрезка?
27.20. Постройте четырехугольник по: а) четырем сторо-
нам и двум средним линиям; б) четырем углам и двум про-
тивоположным сторонам.
27.21. Внутри угла движется точка так, что: а) сумма
расстояний от нее до сторон угла постоянна; б) разность
расстояний от нее до сторон угла постоянна. По какой
линии движется точка?
27.22. Докажите, что в любой выпуклый многоугольник
площади 1 можно поместить треугольник, площадь которого
не меньше чем — . Сможете ли вы увеличить эту оценку?
27.23. Докажите, что: а) если прямая параллельна оси
симметрии, то симметричная ей прямая также параллельна
этой оси; б) если прямая пересекает ось симметрии, то
симметричная ей прямая пересекает эту ось, причем в той
же точке, что и исходная прямая; в) если прямая пер-
пендикулярна оси симметрии, то она в результате этой
симметрии совмещается сама с собой.
27.24. Как записать в координатах: а) симметрию от-
носительно оси х; б) симметрию относительно оси у; в) сим-
метрию относительно прямой х = а\ г) симметрию относи-
тельно прямой у — Ь', д) симметрию относительно прямой
у = х?
27.25. а) Докажите, что преобразование, обратное
осевой симметрии, является осевой симметрией.
Б
27.3
309
A
Б
б) Докажите, что композиция двух осевых симметрий
с параллельными осями является параллельным переносом.
в) Разложите данный перенос на композицию двух
осевых симметрий.
27.26. а) Есть ли в данной осевой симметрии непод-
вижные точки? неподвижные прямые?
б) Может ли композицией двух осевых симметрий
быть осевая симметрия?
27.27. Два отрезка симметричны относительно неко-
торой прямой. Верно ли, что их концы лежат на одной ок-
ружности?
27.28. а) Нарисуйте два отрезка, симметричных отно-
сительно двух прямых.
б) Нарисуйте два многоугольника, симметричных отно-
сительно двух прямых.
27.29. Нарисуйте отрезок. Постройте отрезок, симметрич-
ный ему относительно прямой: а) содержащей его; б) про-
ходящей через его конец; в) проходящей через точку
внутри его; г) параллельной ему; д) проходящей мимо
него и не параллельной ему.
27.30. Нарисуйте равносторонний треугольник. Отразите
его .ют: а) средней линии; б) прямой, перпендикулярной
стороне и проходящей через середину другой стороны.
Нарисуйте объединение исходного и полученного тре-
угольников.
Вычислите его периметр и площадь, если сторона
треугольника равна 2.
27.31. В круге с центром О радиусом 6 проведена
хорда АВ на расстоянии 3 от центра. Отразите круг от
прямой АВ. Нарисуйте объединение и пересечение исход-
ного и полученного кругов. Вычислите их периметр и пло-
щадь.
27.32. Отразите прямоугольник от прямой, проходящей
через его диагональ. Нарисуйте объединение исходного и
полученного прямоугольников. Чему равны его периметр и
площадь, если стороны прямоугольника равны а и Ь?
27.33. Вектор Ь получен из вектора а отражением
в прямой. Как расположен по отношению к этой прямой
вектор: а) a-f-5; б) а — Ь?
27.34. Два симметричных относительно прямой тре-
угольника, вообще говоря, нельзя совместить непрерывным
движением в плоскости. Но в некоторых случаях можно.
В каких? В общем же случае можно данные треугольники
совместить по частям, полученным в результате их разре-
зания. Как это сделать?
27.35. а) Из точки Л (0, 2) на ось х направлен луч
света. 1) Пусть он отражается от нее в точке (2, 0).
Пройдет ли отраженный луч через точку (3, 1)? через
точку (5, 3)? 2) В какую точку оси х его надо направить.
310
чтобы отраженный луч прошел через точку (2, 2)? через
точку ( — 3. 3)?
б) Решите задачу а), если дана точка А(1, 2).
27.36. Два зеркала образуют угол. Из точки внутри
его надо направить луч так, чтобы, отразившись от двух
сторон угла, он вернулся в ту же точку. Как это сделать?
27.37. Некий биллиардный стол имеет острый угол.
Шар, ударившись о его борт АВ, а потом, отразившись
от него и о борт АС, покатился в некотором направлении.
Какой угол оно будет составлять с первоначальным на-
правлением движения шара до того, как он ударился о
борт АВ?
27.38. Может ли человек в карманном зеркальце увидеть
себя во весь рост?
27.39. а) При каком условии вы можете увидеть в озере
отражение облака?
б) При каком условии вы в горизонтальном зеркале
можете увидеть вертикальный предмет целиком?
27.40. График некоторой функции имеет две оси сим-
метрии, перпендикулярные оси х. Докажите, что она явля-
ется периодической. Верно ли обратное?
27.41. а) В системе координат даны две точки А (2, I) и
6(3, 3). Постройте точку К на оси х, такую, что лома-
ная А/(В кратчайшая. Как вычислить координаты точки К
и длину этой ломаной?
б) Решите задачу а) для точки L на оси ц.
27.42. а) Прямая а параллельна прямой АВ. На пря-
мой а найдите такую точку X, что ломаная АХВ является
кратчайшей.
б) Как вы решите задачу а), если прямые а и АВ не
будут параллельными, причем отрезок АВ будет лежать по
одну сторону от а?
27.43. Федя нарисовал равносторонний треугольник. На
каждой его стороне он построил квадраты вне этого тре-
угольника, а затем построил их центры. Вася стер этот
рисунок, оставив только эти центры. Можно ли восстано-
вить исходный рисунок? А если исходный треугольник
будет произвольным?
27.44. Постройте треугольник с наименьшим перимет-
ром: а) одна вершина которого находится в данной точке
внутри угла, а две другие — на сторонах угла; б) вершины
которого лежат на сторонах данного треугольника.
27.45. Даны два единичных вектора а и В,_ перпенди-
кулярные между собой. Возьмем любой вектор х. Сможете
ли вы выразить через векторы В и х вектор, симметричный
вектору х относительно прямой, проходящей через вектор а?
27.46. Докажите, что один из углов между прямой и ее
образом, полученным в результате поворота, равен углу по-
27.4
27.5
ворота.
31
A
Б
27.47. а) Докажите, что преобразование, обратное пово-
роту, является поворотом.
б) Докажите, что композиция двух поворотов с общим
центром является поворотом. Чему равен угол этого
поворота?
27.48. а) Две прямые пересекаются. Докажите, что ком-
позиция двух отражений в этих прямых является поворотом.
б) Заданный поворот разложите на композицию двух
отражений.
27.49. Как записать в координатах поворот вокруг
начала координат на угол: а) 90°; б) <р?
27.50. Есть ли у поворота неподвижные точки? непод-
вижные прямые?
27.51. Нарисуйте отрезок АВ. Нарисуйте его образ в
результате поворота: а) вокруг А на 120° по часовой стрел-
ке; б) вокруг В на 60° против часовой стрелки; в) вокруг
середины отрезка на 45° по часовой стрелке; г) вокруг
точки О, лежащей на серединном перпендикуляре к от-
резку, на 90° против часовой стрелки.
27.52. Рассмотрим поворот вокруг начала координат
на 90°. Найдите образ: а) точки 4(1, 1); б) прямой х= —2;
в) прямой у = 2х; г) прямой у=— х4-1; д) окружности
(х-1)2+(у+1)2=1.
27.53. Пусть систему координат повернули на угол <р
вокруг точки О. Какими будут теперь: а) координаты
точки 4(1, 1); б) уравнение прямой у=3; в) уравнение
прямой у= — х\ г) уравнение прямой 2х —Зу=1; д) урав-
нение окружности
(x-3)2+(f/4-2)2=4?
27.54. Нарисуйте квадрат ABCD. Нарисуйте его образ
в результате поворота по часовой стрелке: а) вокруг
точки 4 на 135°; б) вокруг точки В на 90°; в) вокруг
точки С на 45°; г) вокруг точки D на 30°; д) вокруг центра
квадрата на 45°.
Пусть площадь данного квадрата равна S. В каждом
из случаев в), г), д) найдите площадь объединения исход-
ного и полученного квадратов.
27.55. Нарисуйте равносторонний треугольник АВС.
Нарисуйте его образ в результате поворота против часо-
вой стрелки: а) вокруг точки С на 30°; б) вокруг сере-
дины АС на 90°; в) вокруг центра треугольника на 30°;
г) вокруг центра треугольника на 90°.
Пусть площадь данного треугольника равна S. В каж-
дом случае найдите площадь объединения исходного и
полученного треугольников.
27.56. Равнобедренный прямоугольный треугольник с
катетом 1 повернули на угол 45° относительно вершины
112
прямого угла. Чему равна площадь общей части исходного
и полученного треугольников?
Решите задачу в общем случае, рассматривая поворот
на угол ср.
27.57. Ромб с острым углом ср и стороной 1 повернули
вокруг центра на 90°. Чему равна площадь пересечения
исходного и полученного ромбов?
27.58. Докажите, что в одной окружности равные хор-
ды: а) равноудалены от центра; б) видны из центра под
равными углами; в) соединяют концы равных дуг; г) от-
секают от круга равные сегменты.
Проверьте обратные утверждения.
27.59. Центр окружности совпадает с центром правиль-
ного треугольника, а сама она пересекает его стороны.
Докажите, что полученные при этом хорды будут равны.
Проверьте обратное. Обобщите данное утверждение.
27.60. а) На сторонах равностороннего треугольника
АВС взяты точки: С| на АВ, Bi на AC, At на ВС. При этом
ДС, =ВА1 = СВ). Вершинами какого по виду треугольника
являются эти точки? Пусть теперь проведены отрезки AAi,
BBi, СС\ и точки К, L, М—точки пересечения этих от-
резков. Вершинами какого по виду треугольника явля-
ются эти точки?
б) Составьте задачу, аналогичную задаче а), для квад-
А
27.6
рата.
в) Обобщите задачи а) и б) для правильного много-
угольника.
27.61. На отрезке АВ выбрана точка С- По одну сто-
рону от прямой АВ построены равносторонние треуголь-
ники АСК и BCL. Докажите, что точка С и середины от-
резков КВ и LA являются вершинами равностороннего
треугольника.
27.62. Вокруг равностороннего треугольника описана
окружность. По ней движется точка. В любой момент
времени известно расстояние от нее до двух вершин тре-
угольника. Сможете ли вы найти расстояние до третьей
вершины?
27.63. На сторонах остроугольного треугольника АВС
вне его построены равносторонние треугольники АВС\, ВСА\,
САВ}. а) Докажите, что ЛЛ1 = ВВ|=СС| и прямые AAlt
ВВ, и СС| пересекаются в одной точке. Пусть точка О —
точка их пересечения. Сможете ли вы найти OAi, если
известны ОВ и ОС? б) Сможете ли вы восстановить ис-
ходный треугольник, зная положение точек Л,, Bi, Ci?
27.64. Внутри острого угла О величиной ср взяты точки Л
и В. Пусть Л| и Л2— проекции точки Л на стороны угла,
а В\ и В>— проекции точки В на стороны угла. (Точки Л|
и Bi на одной стороне, а точки Л2 и В2 на другой.) Как найти
угол между прямыми Л1Л2 и В(В2?
Б
313
Q
27.7
Eg!
А
27.65. а) Докажите, что в результате центральной
симметрии прямая переходит в параллельную ей прямую или
в себя.
б) Две прямые параллельны. Какой центральной сим-
метрией одна из них получается из другой?
в) Нарисуйте два равных и параллельных отрезка.
Можно ли один из них получить из другого центральной
симметрией?
27.66. Докажите, что: а) преобразование, обратное
центральной симметрии, является центральной симмет-
рией; б) композиция двух центральных симметрий с одним
и тем же центром является тождественным преобразованием.
27.67. Как записать в координатах центральную сим-
метрию относительно: а) точки О; б) точки А(хи, 0) ; в) точ-
ки В(0, у0); г) точки С(х0, //о)?
27.68. Есть ли у центральной симметрии неподвижные
точки? неподвижные прямые?
27.69. Отрезки АВ и CD центрально симметричны.
Верно ли, что отрезки АС и BD центрально симметричны?
27.70. Постройте треугольник, центрально симметричный
данному равностороннему треугольнику относительно:
а) середины высоты; б) центра.
Пусть сторона данного треугольника равна 1. Вычислите
периметр и площадь пересечения и объединения исходного
Б
и полученного треугольников.
27.71. В круге с центром О радиусом 4 взята точка А,
удаленная от центра на 2. Нарисуйте образ этого круга
в результате центральной симметрии относительно А.
Нарисуйте объединение и пересечение исходного и полу-
ченного кругов. Вычислите их периметры и площади.
27.72. Ломаная идет по поверхности куба и задана
своими проекциями (рис. 32). Нарисуйте три проекции
ломаной, центрально симметричной данной относительно
точки пересечения диагоналей куба.
27.73. Нарисуйте правильный тетраэдр. Нарисуйте его
образ, полученный в результате центральной симметрии
относительно: а) вершины; б) середины ребра; в) центра
основания; г) середины отрезка, соединяющего вершину с
центром противоположной грани.
Составьте аналогичные задачи про куб.
27.74. Фигура центрально симметрична фигуре F>.
Будет ли центрально симметричным их пересечение?
объединение?
Задачи на применение центральной симметрии
к
27.75. Даны две равные окружности. Через середину
отрезка, соединяющего их центры, проведена прямая.
Докажите, что если она касается одной окружности, то
314
касается и другой; если она пересекает одну окружность,
го пересекает и другую, причем полученные хорды равны.
Проверьте обратное.
27.76. Используя центральную симметрию, докажите
теоремы: а) о средней линии треугольника; б) о средней
линии трапеции; в) о площади трапеции.
27.77. а) Постройте треугольник по двум сторонам и
медиане к третьей стороне.
б) Докажите, что медиана треугольника меньше полу-
суммы сторон, имеющих с ней общую вершину.
27.78. В треугольнике медиана и биссектриса совпадают.
Используя центральную симметрию, докажите, что такой
треугольник равнобедренный.
27.79. На прямой расположены точки Аь Д2, А3, Л4,
идущие по порядку возрастания номеров, причем Л|Л2 =
- Л3Л4. Докажите, что для любой точки X плоскости вы-
полняется неравенство ХА\А-ХА<^ХА2-\-ХАз.
27.80. Через точку внутри угла проведите такую
хорду угла, которая делится этой точкой пополам.
27.81. Через точку внутри угла проведите хорду угла,
отсекающую от угла треугольник наименьшей площади.
Б
§ 28. КЛАССИФИКАЦИЯ ДВИЖЕНИЙ
В этом параграфе мы докажем утверждение, сформули-
рованное в начале предыдущего параграфа: каждое дви-
жение плоскости является либо переносом, либо поворотом,
либо осевой симметрией, либо композицией осевой сим-
метрии и переноса в направлении оси симметрии. Эта
теорема была доказана в XIX в. французским математиком
Мишелем Шалем (1793—1880). Для ее доказатель-
ства мы установим ряд общих свойств движений и введем
некоторые понятия.
28.1. теоремы о задании движений. В этом пункте мы
дадим ответ на такой вопрос: образы скольких точек фи-
гуры Л1 при ее движении достаточно задать, чтобы опре-
делились образы и остальных ее точек? Оказывается, что
достаточно знать образы трех точек, не лежащих на од-
ной прямой. Сначала решим вопрос о единственности
движения фигуры с таким условием.
Теорема 33 (о единственности движения). Пусть
у двух движений fug фигуры М образы некоторых трех
точек А, В, С, не лежащих на одной прямой, совпадают,
т. е. f(A) =g(A) = А, , f(B)=g(B)=B, и f(C) =g(C)=C, .
Тогда движения fug совпадают, т. е. f(X) =g(X) для
любой точки X фигуры М.
Доказательство. Возьмем любую точку X фигу-
ры М. Пусть Х|=/(Х) и X2 = g(X). Покажем, что точки Х\
и Х2 совпадают. Допустим, что X, и Х2 — различные точки.
Так как j и g1 — движения, то Х\А{ = ХА и X2Ai=XA. По-1
этому A\X\=AtX2, т. е. точка At равноудалена от точек
Л| и Х2. Следовательно, точка At лежит на серединном
перпендикуляре отрезка Х\Х2 — прямой / (рис. 269). Но
точно так же можно доказать, что и точка Вь и точка С|
лежат на прямой I — серединном перпендикуляре от-
резка Л|Х2-
Итак, мы получили, что точки Ai, Bi, Ct лежат на одной
прямой /. Это невозможно, так как движение [ (а также и g)
переводит три точки Д, В, С, не лежащие на одной прямой,
в точки Дь В,, Ci, также не лежащие на одной прямой.!
Это противоречие получилось из-за предположения, что
Xi и Х2 — различные точки. Итак, Х\ и Х2 совпадают, т. е.|
движения [ и g совпадают.
Следующая теорема дает полный ответ на поставлен-]
ный вопрос.
Теорема 34 (о задании движения). Пусть на плос-
кости заданы два равных треугольника АВС и А, В, С,,
причем
А, В, =АВ, А, С, =АС, В, С, =ВС. (1)
Тогда существует такое движение плоскости, которое пере-
водит точку А в А,, точку В в В,, точку С в С,.
Д о к а з а т ель с т в о. Введем векторы и=АЁ, у = Д?,
и\=А\В\, У1=Д7(?1. В силу равенства треугольников АВС
и А।В|С| имеем равенства скалярных произведений:
Д7В? = ДЛ2, Д“7?1=ДС2, ДЛ|-ЛС,=ДВ-ДС, (2)
т. е.
U|=u2, u2=t>2, Ui • Ui = u-V. (3)
Пусть P — любая точка. Разложим вектор АР по прямым
ДВ и АС. Получим АР=АХ + АТ (рис. 270, а). Так как
вектор АХ коллинеарен ненулевому вектору и, то АУ=аи
(по теореме 27 п. 20.2). Аналогично ДТ=ру. Поэтому
AP=au + fiv. (4)
316
Тем самым каждой точке Р с помощью векторов и и и
мы поставили в соответствие пару чисел (а, 0). Эту пару
чисел называют координатами точки Р в косоугольной
системе координат А, и, v c началом в точке А и коорди-
натными векторами и и v. В этой системе точке А соот-
ветствует пара (0, 0), точке В— пара (1, 0), точке С —
пара (0, 1).
Искомое преобразование плоскости теперь зададим
гак. Рассмотрим на плоскости вторую косоугольную систему
координат Л|, И|, щ. Сопоставим каждой точке Р, имеющей
и первой системе координаты (а, 0), точку Рь имеющую во
второй системе ту же пару координат (а, 0) (рис. 270, б).
Это значит, что от точки А\ мы откладываем вектор
А |Р| = awi -|- 0и 1 (5)
и его конец — точку Р\ — сопоставляем точке Р.
Итак, задано преобразование f всей плоскости. Для
этого преобразования Л|=/(4), Bt=f(B), Ci=f(C). До-
кажем, что f — движение.
Возьмем любые две точки Р и Q и соответствующие
им точки Р,=/(Р) и Qi =/(<?)- Пусть AP=auA~fiv,
AQ=yu4-8u. Тогда A]Pi = a«i4-0oi, A,Qi =ущ +6щ и
/5q= (y_a)u4-(6 —0)u, P|Q, = (у —а)й| -f- (6 — 0)щ. (6)
Возведя эти равенства в скалярный квадрат, получим:
Я22= (у —a)2u24-(6 —0)2J24-2(y —а) (б —0)и-и (7)
и
/М?2 = (? — а)2«?4- (б — 0)2Vi4-2(Y — «) (б —0)М|-Щ. (8)
Ввиду равенств (3) соответствующие слагаемые в пра-
вых частях равенств (7) и (8) равны, т. е. PQ2 = ₽75t- Но
PQ'2 — PQ2 и P7Q2 = PiQ2- Поэтому P\Qi = PQ, т. е. f — дви-
жение.
28.2. ЗАМЕЧАНИЕ о распространении движения. Тео-
ремы 33 и 34 позволяют движение f любой плоской фигу-
ры Л4 распространить на всю плоскость. Подробнее: найдет-
ся такое движение g плоскости, которое совпадает с f на
всех точках фигуры М, т. е. g(X) =[(Х) для любой точки X
фигуры М. Рис- 27»
317
в
А С
а)
АВС
* 1 >-1--•
5)
А В
С
б)
Рис. 271
Действительно, возьмем любые три точки А, В, С фи-
гуры М, не лежащие на одной прямой. (Если их нет, т. е. М
лежит на одной прямой, то возьмем две различные точки А
и В фигуры М и любую точку С, не лежащую на прямой АВ.)
Пусть А|=/'(А), Bt=f(B) и Ci=f(C). (Если М лежит
на прямой, то точку С| выберем так, чтобы треугольник
Л|В|С| был равен треугольнику АВС.) Применив теорему 34,
рассмотрим движение плоскости g, которое переводит тре-
угольник АВС в треугольник AiBtC|. По теореме 33 движе-
ния / и g совпадают на фигуре М.
28.3. теорема ШАЛЯ- Сначала отметим простое, но важ-
ное свойство движений: композиция двух движений явля-
ется движением.
Действительно, пусть движением f фигура М переводит-
ся в фигуру М|, а затем фигура Л4, переводится в фигуру
М2 движением g. В результате преобразование gof переведет
фигуру М в фигуру М2. И при движении f, и при движении g
расстояния не изменялись. Значит, они и в итоге для пре-
образования gof не изменились, т. е. gof — движение.
Теорема 35 (о классификации движений). Каждое
движение на плоскости является либо переносом, либо по-
воротом, либо скользящим отражением, т. е. композицией
осевой симметрии и переноса в направлении оси симметрии.
Замечание. В формулировку теоремы мы не включа-
ем осевую симметрию, так как осевая симметрия является
частным случаем скользящего отражения, когда вектор пе-
реноса нулевой. Аналогично частными случаями поворота
являются тождественное движение и центральная симмет-
рия— повороты на угол в 0° и на угол 180°.
Доказательство. Теорему можно доказывать для
случая, когда перемещаемая фигура — вся плоскость. Если
же это не так, то согласно замечанию в п. 28, 2 рассматри-
ваемое движение распространяем на всю плоскость.
Пусть f— заданное движение плоскости. Возьмем такую
точку А, что точка B—f(A) не совпадает с А. (Если
)'(А)=А для всех точек, то f — тождественное движение,
т. е. поворот на 0°.) Итак, пусть В^=А. Затем возьмем
точку C=f(B). Так как f. переводит точки А и В в точки
В и С, то АВ = ВС.
Для точек А, В. С возможны три случая их расположе-
ния:
1) А, В, С — вершины равнобедренного треугольника с
основанием АС — общий случай (рис. 271, а).
2) Точка В—середина отрезка АС (рис. 271, б).
3) Точка С совпадает с точкой А (рис. 271, в).
Возьмем еще какую-нибудь точку D, не лежащую на
прямой АВ, и пусть точка Dt=f(D). Тогда треугольник ABD
равен треугольнику BCD\. Когда точки А, В, С не лежат
на одной прямой, точку D берем вне угла АВС достаточно
318
близко к середине отрезка АВ так, чтобы треугольники
ABD и BCDt не имели других общих точек, кроме верши-
ны В, для обоих случаев расположения треугольника BCD\,
указанных на рисунке 272, а и б.
а) Рассмотрим случай, соответствующий рисунку 272, а —
треугольник BD^C вне угла АВС. Пусть точки К и L —
середины отрезков АВ и ВС. Проведем серединные перпен-
дикуляры р и q отрезков АВ и ВС. Они пересекутся в точ-
ке О (рис. 273, а).
Поворот [\ вокруг точки О на угол <p=Z./<OZ. перево-
дит треугольник ABD в треугольник BCD\. По теореме
единственности движения (теорема 33) получаем, что f=fi,
г. е. в рассматриваемом случае f является поворотом.
б) Рассмотрим случай, соответствующий рисунку 272, б —
треугольник BCDt внутри угла АВС. В этом случае треуголь-
ник ABD можно сначала перевести в треугольник A'B'D'
переносом на вектор K.L (рис. 273, б), а затем отражением
в прямой KL треугольник A’B’D’ перевести в треуголь-
ник BCD\. Следовательно, треугольник ABD переводится в
треугольник BCD\ скользящим отражением — композицией
переноса на вектор KL и отражения в прямой KL. Снова,
ссылаясь на теорему единственности, получаем, что f в этом
случае является скользящим отражением.
Пусть точка В — середина отрезка АС. Тогда снова есть
две возможности для расположения треугольника BCD\ —
они указаны на рисунке 274, а и б. В первом из них, когда
треугольники ABD и BCDi лежат по одну сторону от прямой
АВ, треугольник ДВР переводится в треугольник BCDt
переносом на вектор АВ. В этом случае движение f — пере-
319
Рис. 275
нос на вектор АВ. Если же треугольники ABD и BCDt ле-1
жат по разные стороны от прямой АВ, то треугольник ABD
переводится в треугольник BCD\ переносом на вектор АВ
в композиции с отражением в прямой АВ. В этом случае
f— скользящее отражение.
Наконец, если С = А, то снова возможны два случая
расположения треугольников ABD и BCD\'. по одну сторону
от прямой АВ (рис. 275, а) и по разные стороны от прямой
АВ (рис. 275, б). В первом из этих случаев треугольник ABD
переводится в треугольник BCD\ симметрией относительно
серединного перпендикуляра отрезка АВ — прямой I. В этом
случае / — симметрия относительно прямой I.
Во втором случае треугольники ABD и BCD\ симметрич-
ны относительно середины отрезка АВ — точки О. В этом
случае f — симметрия относительно точки О, т. е. поворот
на 180° вокруг точки О.
Мы рассмотрели все возможные случаи и полностью
доказали теорему Шаля.
28.4. НЕПОДВИЖНЫЕ точки движений. Важной характе-
ристикой движений плоскости является множество его не-
подвижных точек. Оно устроено просто, и могут предста-
виться лишь следующие четыре случая:
1) У движения нет неподвижных точек. Такими движе-
ниями являются перенос на ненулевой вектор и скользящее
отражение с ненулевым вектором переноса.
2) Движение имеет единственную неподвижную точку.
Такое движение плоскости является поворотом вокруг этой
точки.
3) Множество неподвижных точек движения плоскости
является прямой. Такое движение является симметрией от-
носительно этой прямой.
4) Множеством неподвижных точек движения плоскости
является вся плоскость. В этом случае движение — тожде-
ственное преобразование.
Случаи 2 и 3 дают характерные свойства поворота и
осевой симметрии. Поэтому поворот можно определить как
движение, имеющее единственную неподвижную точку. А осе-
вую симметрию можно определить как движение, множест-
во неподвижных точек которого является прямой.
28.5. ДВА РОДА движений, ориентация. Вам, наверное,
не раз приходилось совмещать два одинаковых плоских пред-
мета (например, два угольника или два чертежных шабло-
на; рис. 276, а). И вы, конечно, заметили, что иногда их мож-
но совместить, просто перемещая по плоскости, а иногда
для совмещения один из предметов еще необходимо пере-
вернуть (рис. 276, б). Эти два случая соответствуют тому,
что все движения на плоскости разбиваются на два класса.
Те движения, которые могут быть реализованы непре-
рывными перемещениями, называются движениями первого
320
рода. К ним относятся перенос и поворот. Действительно,
перенос фигуры F на вектор у. является результатом пере-
носов фигуры F на векторы tv, где параметр I возрастает
от 0 до 1 (рис. 277, а).
Аналогично поворот фигуры F вокруг точки О на угол гр
является результатом поворотов вокруг О на угол ftp, где
снова параметр / возрастает от 0 до 1 (рис. 277, б).
Получить же скользящую симметрию как результат пе-
ремещений на плоскости нельзя. Например, если равные
разносторонние треугольники симметричны относительно
прямой I, то непрерывным перемещением перевести один Рис. 277
321
a)
б)
Рис. 278
треугольник во второй МОЖНО, ЛИШЬ ВЫЙДЯ ИЗ ПЛОСКОСТИ
(например, с помощью поворота в пространстве вокруг
прямой /; рис. 277, в). Перемещая же их лишь в плоское
сти, совместить их нельзя. Скользящую симметрию (и в част^
ности, осевую симметрию) называют движением второго
рода.
Два рода движений плоскости тесно связаны с двумя
видами систем прямоугольных координат на плоскости. На-
глядно это связано с тем, что некоторые координатные
системы преобразуются друг в друга движениями первой)
рода, а некоторые — движениями второго рода.
На плоскости имеются два направления поворота — про-
тив часовой стрелки и по часовой стрелке (рис. 278). Те си-
стемы координат, где кратчайший поворот полуоси х^О
в полуось у^О идет против часовой стрелки, называют
обычно правыми системами (рис. 278, а). Если же этот
поворот идет по часовой стрелке, то систему называют
левой (рис. 278, б).
Так вот, любые две правые (или левые) системы можно
преобразовать друг в друга движениями первого рода (т. е.
непрерывно перемещая одну в другую). Разноименные же
системы преобразуются друг в друга движениями второго
рода (и непрерывным перемещением одной нельзя полу-
чить другую).
Когда на плоскости задана прямоугольная система коор-
динат, говорят, что плоскость ориентирована или что на
плоскости введена ориентация. Ориентации плоскости счи-
таются одинаковыми, если они задаются одноименными си-
стемами координат. Разноименные системы координат за-
дают различные ориентации плоскости. Таким образом, на
плоскости можно задать две ориентации. Их, как и коорди-
натные системы, называют правой и левой (или положи-
тельной и отрицательной).
1. Какие виды движений вы знаете?
2. Какие общие свойства движений вы узнали в этом пара-
графе?
3. Возьмите два любых движения. Укажите разницу в их
свойствах. А есть ли в их свойствах что-либо общее?
4. Каким может быть движение, если о нем известно, что:
а) оно имеет неподвижную точку; б) оно не имеет не-
подвижных точек; в) оно сохраняет ориентацию плос-
кости; г) оно не сохраняет ориентации плоскости?
5. Предложите какую-нибудь классификацию движений.
6. Какие бывают системы координат на плоскости с точки
зрения их ориентации?
Задачи к § 28
А
28.1. Докажите такие свойства скользящего отражения:
а) у него нет неподвижных точек; б) у него есть неподвиж-
322
пая прямая; в) композиция отражения и переноса не за-
мшит от того, в какой последовательности они выполняют-
ся, т. е. они перестановочны; г) преобразование, обратное
ему, также является скользящим отражением; д) ось сколь-
iHinero отражения делит пополам все отрезки, соединяющие
соответственные точки, не лежащие на оси; е) прямая,
параллельная оси или перпендикулярная ей, переходит в
прямую, ей параллельную.
(Предполагается, что вектор переноса ненулевой.)
28.2. Нарисуйте отрезок АВ. Нарисуйте его образ в ре-
зультате скользящего отражения, если: а) его ось парал-
лельна АВ\ б) его ось перпендикулярна АВ, но не пересе-
кает АВ-, в) его ось пересекает АВ.
28.3. Нарисуйте образ равностороннего треугольника в
результате скользящего отражения: а) с осью, параллель-
ной стороне, и вектором переноса, равным половине этой
стороны; 6) с осью, перпендикулярной стороне,— рассмот-
рите разные случаи.
28.4. Изменяется ли ориентация плоскости в результа-
те: а) переноса; б) осевой симметрии; в) поворота; г) цент-
ральной симметрии?
28.5. Каким движением является композиция: а) пово-
рота и отражения; б) переноса и отражения; в) переноса
н поворота; г) двух поворотов с разными центрами? Пере-
становочны ли эти композиции?
Решение, а) Пусть нам дан поворот с центром О и не-
которым углом (его величина не существенна), который
мы обозначим Ro, и отражение в прямой a (Sa). Рассмот-
рим такую композицию: Ro°Sa (которую можно записать
еще проще в виде 0°а). Сначала установим род этого
движения. Отражение в прямой является движением второго
рода, а поворот является движением первого рода. Значит,
их композиция является движением второго рода (?). Дви-
жение второго рода — это скользящее отражение. Так что
ответ на вопрос задачи в самом общем случае получен.
Разберемся в деталях.
Скользящее отражение вообще имеет две составляющие:
параллельный перенос и отражение в прямой. Но вектор
переноса может быть и нулевым, тогда получается отраже-
ние в прямой. Возможен ли такой случай в нашей задаче?
Далее, интересно было бы установить, в какой именно пря-
мой происходит отражение,— построить ее, зная исходную
прямую а и центр О,— а также установить, каков вектор
переноса, если он не равен нулевому вектору.
Для начала займемся поисками неподвижной точки дви-
жения О°а. Если она есть, то в скользящем отражении
отсутствует составляющая переноса и мы получаем чистое
отражение в прямой, а если ее нет, то имеем скользящее
отражение в общем случае (?).
Б
323
Рис. 279
Для точки О возможны два случая расположения отно-
сительно прямой а.
1) а. В этом случае получается именно отражение
в прямой. В самом деле, точка О остается неподвижной
и в результате Sa, и в результате /?0, а потому в результа-
те их композиции. Если скользящее отражение имеет непод-
вижную точку, то, как было сказано, оно является отраже-
нием в прямой.
2) О^а. Методом полного перебора можно установить,
что неподвижная точка композиции не может находиться
как на прямой, так и вне ее (?). А тогда ее вообще нет
и мы имеем в этом случае скользящее отражение в общем
виде. Но где лежит ее ось и каков вектор составляющего
его переноса? Для ответа на этот вопрос возьмите конкрет-
ный угол поворота, скажем 90°, и постройте образы не-
скольких точек в данном движении О°а.
Для ответа на вопрос о перестановочности (коммута-
тивности) полезно провести эксперименты с конкретными
точками. Возьмем самый простой случай: Оеа, а угол по-
ворота пусть будет прямой. На прямой а выберем любую
точку А, отличную от О. Теперь постройте точки At = О°а (А)
и А? = а°О (А). Эти точки не совпадают, значит, вообще
говоря, эта композиция не перестановочна.
Но может быть, она перестановочна в каких-то частных
случаях, например при угле поворота 180° (?).
28.6. Докажите, что каждое движение является компози-
цией не более чем трех отражений.
28.7. Пусть а, Ь, с — три прямые на плоскости. В зави-
симости от их взаимного расположения установите, каким
движением является композиция симметрий ScoSt,°Sa осе-
вых симметрий относительно этих прямых.
28.8. Пусть А, В, С — три точки на плоскости. В зави-
симости от их взаимного положения установите, каким дви-
жением является композиция поворотов RcORboRa — поворо-
тов относительно этих точек. Может ли она быть тождест-
венным преобразованием?
§ 29. СИММЕТРИЯ ФИГУР
29.1. симметрия ограниченных фигур. На рисунке 279
изображены симметричные фигуры. Каждая из них сим-
метрична относительно некоторой прямой, которая являет-
ся осью симметрии. А на рисунке 280 изображены тоже
симметричные фигуры, но другого типа. Они симметричны
относительно некоторой точки, которая является их центром
симметрии.
Говорят, что фигура обладает симметрией, если сущест-
вует движение (не тождественное), переводящее ее в себя.
324
Рис. 281
Рис. 280
Например, фигура обладает поворотной симметрией, если
она переводится в себя некоторым поворотом (рис. 281).
Одна из самых симметричных фигур конечных разме-
ров— это круг. Каждая прямая, проходящая через его
центр, является его осью симметрии, а центр круга явля-
ется центром поворотной симметрии, причем поворот может
быть совершен на любой угол.
Рассмотрим симметрию простейших фигур.
1) Отрезок имеет две оси симметрии и центр симметрии
(укажите их).
2) Треугольник общего вида не имеет никакой симмет-
рии. У равнобедренного (но не равностороннего) треуголь-
ника одна ось симметрии — серединный перпендикуляр, про-
веденный к его основанию.
3) У равностороннего треугольника три оси симметрии,
и он имеет поворотную симметрию с углом поворота 120°'
(рис. 282, а).
4) У каждого правильного м-угольника есть п осей сим-
метрии, все они проходят через его центр. Он имеет также
360°
поворотную симметрию с углом поворота—.
При четном п одни оси симметрии проходят через про-
тивоположные вершины, другие — через середины противо-
положных сторон (и тех, и других осей по у; рис. 282, б).
При нечетном п каждая ось проходит через вершину
и середину противоположной стороны (рис. 282, в).
Центр правильного многоугольника с четным числом
сторон является его центром симметрии. У правильного
многоугольника с нечетным числом сторон центра симмет-
рии нет.
29.2. СИММЕТРИЯ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФИГУР. В П. 29.1 МЫ
рассматривали симметрию ограниченных фигур. При этом
переносы не рассматривались. Оказывается, если фигура
переходит в себя в результате какого-либо переноса (на не-
нулевой вектор), то она неограничена.
В самом деле, допустим, фигура F совместилась сама
с собой при переносе на вектор а. Тогда любая ее точка А
перешла в такую точку Ль что АА\ = а (рис. 283). Но если
32.'
А А1
Рис. 283
фигура F перешла в себя, то и точка Л, ей принадлежит.
Поэтому перенос на вектор а переводит точку At в точку
Л2, такую, что A7^2 = d- А тогда
ЛЛ2=ЛЛ|+Л1Лг = 2а.
Так как фигура совместилась сама с собой, то она долж-
на содержать и точку Л2 и т. д.
Получается, что фигура содержит бесконечный ряд то-
чек, сдвинутых одна за другой на вектор а. Значит, фигура
неограничена.
О фигуре, которая совмещается сама с собой при неко-
тором переносе, говорят, что она обладает переносной сим-
метрией. Например, прямая имеет такую симметрию, так
как допускает перенос вдоль себя.
Интересны неограниченные фигуры, состоящие из пра-
вильно повторяющихся равных конечных фигур, такие, как
квадратная сетка, сетка из прямоугольников, или треуголь-
ников, или шестиугольников и других фигур (рис. 284).
В том случае, когда такие конечные фигуры заполняют
полосу между параллельными прямыми, заполненная ими
полоса называется бордюром. Простейший пример бордюра
дают обои (точнее, кусок обоев, который мыслится как бес-
конечно продолженный в обе стороны). Решетки парков и
набережных, узоры карнизов и тканей — вот примеры бор-
дюров (рис. 285).
Рис. 284
326
Рис. 285
Опираясь на теорему Шаля, можно дать классифика-
цию бордюров (по типу их симметрии). Всего существует
семь типов бордюров. Два из них показаны на рисунке 286.
В том случае, когда правильно повторяющиеся равные
конечные фигуры заполняют всю плоскость, говорят, что
на плоскости задан орнамент (рис. 287). Орнаментами по- Рис. 28в
327
Рис. 287
крывали стены и в древности (на рис. 287 изображен
древнеегипетский орнамент) и покрывают теперь, оклеивая
стены обоями. Красивы орнаменты, созданные современным
известным голландским художником Эшером (рис. 288).
Как и бордюры, орнаменты можно классифицировать.
Всего существует 17 типов симметрии орнаментов (рис.
289). Любопытно, что все они были известны еще в древ-
ности, а классификация их была дана лишь в XIX в.
29.3. о симметрии. Слово «симметрия» происходит от
греческого и означает «соразмерность». В таком общем
смысле симметрия играет огромную роль в искусстве, осо-
бенно ясную в орнаментах и архитектуре. Но ее можно
заметить и в музыке, и в поэзии.
Симметрия широко встречается в природе, в особенно-
сти у кристаллов, у растений и животных, например сим-
метрия цветка, листа или морской звезды. Поразительные
по красоте примеры симметрии дают снежинки.
Симметрия может встретиться и в других разделах ма-
тематики, например при построении графиков функций. Гра-
фик четной функции симметричен относительно оси у (рис.
290), а график нечетной функции симметричен относи-
тельно начала координат (рис. 291). График периоди-
ческой функции имеет переносную симметрию вдоль оси х
(рис. 292).
328
29.4. группа симметрии фигуры. Посмотрим на рисунок
снежинки (рис. 293, а). На нем мы видим ее равные повто-
ряющиеся части, т. е. видим симметрию снежинки. Давай-
те попробуем понять, как «устроена» эта симметрия, что
создает красоту снежинки. Для этого надо перечислить все
ее элементы симметрии — центры и оси, а также описать
все ее преобразования симметрии — движения самосовме-
щения. Попробуем решить эту задачу, например, для пра-
вильного шестиугольника Q, соединяющего концы лучей
снежинки (рис. 293, б). Элементы симметрии шестиуголь-
ника Q — это его центр О и шесть его осей симметрии.
Теперь перечислим преобразования симметрии. Все они, Рис. 288
Рис. 289
естественно, связаны с элементами симметрии. Это, во-пер-
вых, все повороты вокруг центра О на углы, кратные 60°, как
против, так и по часовой стрелке. Во-вторых, это все осевые
симметрии относительно шести осей, указанных на рисунке
293. б.
Далее, из уже имеющихся преобразований симметрии
можно получать новые (либо убедиться, что новых больше
нет), опираясь на следующие два предложения, имеющие
общий характер (т. е. для любых фигур и для любых пре-
образований симметрии):
1) Если движение f — преобразование симметрии фигу-
ры Q, то обратное ему движение f~l также является пре-
образованием симметрии Q.
Действительно, так как f— преобразование симметрии
фигуры Q, то f(Q)=Q. Применим к обеим частям этого
равенства преобразование f~*. Получим, что =
= / '(Q). Так как f~'°f— тождественное преобразование,
то f~' (f(Q)) = Q- Следовательно, f~' (Q) = Q. Итак, f_| —
преобразование симметрии фигуры Q.
Например, если поворот на угол <р вокруг точки О про-
тив часовой стрелки является преобразованием симметрии
фигуры Q, то обратное ему движение — поворот на угол ф
вокруг точки О по часовой стрелке также является преоб-
разованием симметрии фигуры Q.
3.
a) Рис.293 б)
2) Если движения f и g— преобразования симметрии
фигуры Q, то их композиция g°f также является преобра-
зованием симметрии фигуры Q или тождественным движе-
нием.
Действительно, так как f(Q)=Q и g(Q)=Q, то
g(f(Q))=g(Q)=Q.
Например, композиция двух осевых симметрий относи-
тельно осей, проходящих через центр О шестиугольника Q,
является поворотом вокруг О, самосовмещающим шести-
угольник Q (на какой угол?).
Таким образом, кроме уже перечисленных, других пре-
образований симметрии у правильного шестиугольника Q
(а также и у снежинки) нет.
Пусть теперь Q — произвольная фигура, a S(Q)—со-
вокупность всех ее преобразований симметрии, пополненная
тождественным преобразованием. Мы установили, что S(Q)
обладает двумя свойствами: во-первых, для любого преоб-
разования/eS (Q) обратное ему преобразование/ 'eS(Q)
и, во-вторых, для любых двух преобразований /, g^S(Q)
их композиция gof^S(Q). •
В тех случаях, когда некоторая совокупность обратимых
преобразований фигуры Q обладает указанными двумя свой-
ствами, говорят, что эта совокупность является группой
преобразований фигуры Q.
В частности, когда преобразованиями фигуры Q явля-
ются все ее преобразования симметрии (вместе с тождест-
венным преобразованием), говорят о группе симметрии S(Q)
фигуры Q.
Чем богаче группа симметрии фигуры, тем симметрич-
нее, правильнее эта фигура. Самая симметричная фигура —
это вся плоскость. Любое движение плоскости совмещает
32
ее с собой. Поэтому группой симметрии плоскости является
। руппа всех движений плоскости.
Из многоугольников самыми симметричными являются
правильные многоугольники. Группа симметрии правильного
« угольника конечна. Она состоит из п поворотов вокруг
360°
центра О этого многоугольника на углы q>k = k— (где й =
— 0,1, .... п) и п осевых симметрий относительно его осей
симметрии.
Из ограниченных фигур самые симметричные фигуры —
окружность, круг или фигуры, являющиеся объединением
окружностей с общим центром О (рис. 294). Их группа
симметрии состоит из всех поворотов вокруг точки О и всех
осевых симметрий, оси которых проходят через О.
Опишите группы симметрий равнобедренного треуголь-
ника, параллелограмма, прямоугольника, ромба, полосы
между параллельными прямыми.
29.5. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФИГУР. В ЭТОМ пункте ПОД
преобразованием / фигуры Q мы будем иметь в виду такое
ее обратимое преобразование, которое преобразует Q в Q,
т. е. f(Q)=Q.
Необходимость рассматривать различные группы пре-
образований того или иного множества (а не только группы
симметрии геометрических фигур) возникает очень часто.
В математике они впервые появились в работах француз-
ского математика Э в а р и с т а Галуа (1811 —1832) в его
исследованиях о разрешимости алгебраических уравнений
в радикалах. А вот более знакомый вам пример — кубик
Рубика. Условия достижения результата в работе с куби-
ком Рубика тоже сводятся к изучению группы его преобра-
зований.
Это разнообразие ситуаций, где возникает необходи-
мость рассматривать группы преобразований, не случайно.
Одна из могущественных особенностей математики в том,
что она устанавливает сходство и единство там, где его,
казалось бы, не видно. Может быть, вы уже обратили вни-
мание на сходство в операциях с преобразованиями и в
операциях с числами.
В каждой группе преобразований G фигуры Q опреде-
лены две операции. Во-первых, для каждой пары преобразо-
ваний f\ и /2 фигуры Q определена их композиция — пре-
образование f2°f\ фигуры Q. Она аналогична операции сло-
жения чисел. (Аналогична, но не тождественна: свойство
ассоциативности для нее выполняется, а коммутативности
нет.) Во-вторых, для каждого преобразования f из группы G
определено обратное ему преобразование f~' фигуры Q.
Эта операция — аналог операции вычитания, сопоставляю-
щей каждому числу х число — х.
Группа преобразований называется коммутативной, если
Рис. 294
333
для двух любых преобразований ft и f2 из этой группы вы-1
полняется равенство f2oft=fl0f2.
У одной и той же фигуры Q могут быть различные гругн
пы ее преобразований. Пусть G и Н — две группы преоб-
разований фигуры Q. Если каждое преобразование из груп4
пы Н является преобразованием из группы G (т. е. Н —I
часть G), то говорят, что Н является подгруппой группы G,
и пишут HcG.
Приведем несколько примеров групп преобразований са-
мой широкой фигуры — всей плоскости. Проверку того, что
перечисленные ниже совокупности преобразований плоско-
сти являются группами преобразований, вы можете сделать
самостоятельно. Для этого каждый раз надо убедиться!
что выполняются оба условия из определения группы npe-J
образований.
1. Группа всех движений плоскости. Она является под-1
группой группы всех преобразований плоскости.
2. Группа всех движений плоскости первого рода. Это]
подгруппа группы всех движений плоскости.
Замечание. Движения плоскости второго рода не
образуют группы, поскольку композиция двух движений
второго рода является движением первого рода.
3. Группа всех параллельных переносов плоскости. Это
подгруппа группы движений первого рода. Эта группа об-1
ладает коммутативностью. Действительно, композиция двух
переносов f и g на векторы а и Б является параллель-
ным переносом на вектор а-\-Ь. А поскольку а+b — b-f-а,,
то g°f=f°g-
4. Группа всех поворотов вокруг фиксированной точки 0.1
Проверьте, что это тоже коммутативная группа. Она явля-1
ется подгруппой группы движений первого рода.
1. Что означает выражение «симметричная фигура»?
2. Приведите примеры симметричных фигур: а) ограничен-;
ных; б) неограниченных.
3. Приведите примеры группы симметрий некоторой фигуры.
4. Можно ли придать некоторый смысл таким выражениям:
а) «правильная фигура»; б) «неправильная фигура»;
в) «фигура F) симметричнее фигуры Е2»?
Задачи к § 29
Задачи на отыскание группы симметрии фигуры
29.1. Укажите группу симметрии фигуры F, если фигура
F: а) отрезок; б) прямая; в) два параллельных и равных
отрезка; г) две пересекающиеся прямые; д) две парал-
лельные прямые; е) угол; ж) полоса; з) равнобедренный
треугольник; и) ромб; к) прямоугольник; л) равнобокая
трапеция.
334
Решение, ж) Пусть дана полоса М с краями р и q.
Можно доказать, что она самосовмещается в результате
таких движений: 1) тождественного преобразования (Ем);
2) параллельного переноса на любой вектор а, параллель-
ный р (Тг)3) осевой симметрии относительно любой пря-
мой /, перпендикулярной прямой р (S,); 4) осевой симмет-
рии относительно прямой Ь, параллельной краям полосы
и равноудаленной от краев — средней линии полосы — Sb;
5) центральной симметрии относительно любой точки О на
средней линии полосы, т. е. на b(Z0).
Обозначим это множество движений G. Для того чтобы
убедиться в том, что G является группой симметрии полосы,
необходимо проверить, что мы нашли все движения, ко-
торые самосовмещают полосу. (Предположим, что «забыта»,
скажем, центральная симметрия. Тогда оставшееся мно-
жество из движений 1—4 не будет группой симметрии по-
лосы. Почему?)
Чтобы убедиться в том, что мы «ничего не забыли»,
составим таблицу.
* r- а Sf -о V) Nj О
5 UJ
Та

В каждой ее клетке находится композиция движений,
записанных в соответствующих строке и столбце. Условим-
ся при этом считать, что первое движение в композиции
находится в строке, а второе — в столбце. Так как каждое
движение самосовмещает полосу, то и композиция будет
ее самосовмещать, а, значит, нам остается выяснить, имеет-
ся ли эта композиция среди указанных пяти движений.
Если ее нет в множестве G, то, значит, мы «забыли» не-
которое самосовмещение или не «увидели» его. Но в таком
случае G не есть группа симметрии полосы.
Начнем заполнять таблицу. Пусть нас интересует ее клет-
ка, соответствующая S/2°S(1. Известно, что композиция та-
ких симметрий является переносом на вектор, перпендику-
лярный прямой /ь длина которого равна удвоенному рас-
стоянию между осями симметрий /, и /2. Но такой перенос
имеется в множестве G. Будем так действовать, пока не
заполним всю таблицу. Таким образом, требуется выпол-
нить не очень интересную, но необходимую работу. Кстати,
335
а что показала бы нам аналогичная таблица без централь-
ной симметрии, если бы мы ее действительно не увидели?
И наконец, где гарантия, что мы действительно увидели
все самосовмещений полосы? Почему, например, мы уве-
рены, что среди множества самосовмещений полосы нет
какого-либо скользящего отражения?
Заполнение такой таблицы не дает само по себе полно-
го ответа. В самом деле, если бы мы не «увидели» в мно-
жестве самосовмещений полосы центральной симметрии и
отражения в средней линии, то оставшаяся таблица нам бы
этого не подсказала (?).
29.2. Укажите группу симметрии фигуры F, если фигура
F: а) окружность с выколотой точкой; б) окружность с дву-
мя выколотыми точками; в) окружность с тремя выколоты-
ми точками; г) два равносторонних треугольника с общей
вершиной; д) два равносторонних треугольника с общей
стороной; е) два равносторонних треугольника с общим
центром.
29.3. Укажите группу симметрии фигуры F, если фигура
F — равносторонний треугольник, от которого отрезан мень-
ший равносторонний треугольник: а) с одного угла; б) с
двух углов; в) с трех углов (отрезанные треугольники
равны).
Составьте аналогичную задачу для квадрата.
29.4. Укажите группу симметрии объединения двух:
а) окружностей; б) квадратов.
29.5. Укажите группу симметрии правильного много-
угольника, в котором закрасили одним и тем же цветом:
а) две соседние стороны; б) две произвольные стороны;
в) три произвольные стороны.
29.6. Укажите группу симметрии шестиугольника, впи-
санного в окружность, у которого все углы равны.
Задачи на отыскание фигуры,
имеющей заданные элементы симметрии
29.7. Нарисуйте фигуру, имеющую бесконечное множе-
ство осей симметрии, ограниченную, но не круг и не ок-
ружность.
29.8. Может ли центрально-симметричный многоугольник
иметь нечетное число сторон?
29.9. Нарисуйте фигуру, самосовмещающуюся при по-
вороте на 120°, но не имеющую центра симметрии и оси
симметрии.
29.10. Некоторая фигура переходит в себя в результате
поворота на 20°. Переходит ли она в себя в результате
поворота на: а) 10°; б) 40°; в) 90°?
29.11. Некоторая фигура переходит в себя в результате
поворотов на 9° и на 10°. Переходит ли она в себя в ре-
зультате поворота на 11 °?
336
29.12. Выберите какой-либо элемент симметрии и нари-
суйте фигуру, которая имеет только этот элемент симмет-
рии (исключая тождественное самосовмещение). Затем ре-
шите аналогичную задачу, взяв два элемента симметрии.
Использование симметрии фигуры при выводе ее свойств
29.13. Дан угол, а) Докажите, что прямая, отсекающая
на сторонах угла равные отрезки, перпендикулярна его
биссектрисе. Докажите обратное, б) На его сторонах взяты
две точки, равноудаленные от вершины. Из них проведены
перпендикуляры на другие стороны угла. Докажите, что
они равны и пересекаются на биссектрисе угла, в) На его
сторонах взяты две точки, равноудаленные от вершины.
Через них проведены перпендикуляры к тем сторонам, на
которых они лежат, до пересечения с другой стороной угла.
Докажите, что эти перпендикуляры равны и пересекаются
на биссектрисе угла.
29.14. На биссектрисе угла взяли точку и провели ок-
ружность с центром в этой точке. Докажите, что: а) если
она касается сторон угла, то хорда, соединяющая точки ка-
сания, перпендикулярна биссектрисе угла и делится ею по-
полам; б) если она пересекает стороны угла, то хорды,
высекаемые сторонами угла в этом круге, равны.
29.15. Дан равнобедренный треугольник АВС. АВ = ВС.
Из вершины В проведена высота. На сторонах ВА и ВС
взяты точки К и L, равноудаленные от В. а) Докажите,
что она делит пополам любую хорду треугольника, ей пер-
пендикулярную. б) На этой высоте взята любая точка вну-
три и через нее проведены хорды AAt и СС\. Докажите, что
ВА\ = ВС\, а сами эти хорды равны, в) Докажите, что от-
резки СК и AL равны и пересекаются на высоте треуголь-
ника. г) Докажите, что перпендикуляры, проведенные в точ-
ках К и L к сторонам треугольника, на которых они лежат,
до пересечения с (ДС), равны и пересекаются на высоте
треугольника или на ее продолжении.
29.16. Дан равносторонний треугольник АВС. На сторо-
нах АВ, ВС, СА взяты соответственно точки Ci, At, В\ так,
что АС\ = ВА\ = СВ\. а) Вершинами какого по виду тре-
угольника являются точки Ai, Bi, Ci? б) Пусть теперь про-
ведены отрезки АА], ВВ\, СС\ и точки К, L, М — точки пе-
ресечения этих отрезков. Вершинами какого треугольника
являются точки К, L, М?
Составьте аналогичную задачу для квадрата.
29.17. Докажите, что всякая хорда параллелограмма,
проходящая через его центр симметрии: а) делится цент-
ром пополам; б) делит его на равновеликие части.
29.18. Докажите, что в равнобокой трапеции: а) углы
при основании равны; б) диагонали равны; в) точка пере-
сечения диагоналей равноудалена от боковых сторон.
А
337
Б
29.19. Дан четырехугольник ABCD, в котором АВ = ВС,
AD = DC. На сторонах В А и ВС отложены отрезки BK = BL,
на сторонах DA и DC отложены отрезки DN = DM. Дока-
жите, что MK.=LN.
29.20. а) Докажите, что середины сторон правильного
многоугольника являются вершинами правильного много-
угольника. Обобщите эту задачу.
б) Центр правильного многоугольника отразите от каж-
дой его стороны. Докажите, что полученные точки являются
вершинами правильного многоугольника.
Предложите другие способы получения правильного
многоугольника, используя движения.
29.21. В правильном пятиугольнике проведены все диаго-
нали. Среди полученных точек пересечения найдите верши-
ны правильного пятиугольника. Обобщите этот результат.
29.22. В окружность вписаны два равносторонних тре-
угольника. Их границы пересекаются в шести точках. Вы-
берите из них такие три, которые являются вершинами
равностороннего треугольника.
29.23. Докажите, что две взаимно перпендикулярные хор-
ды квадрата, проходящие через его центр, равны. Верно
ли обратное? Как обобщить полученный результат?
29.24. Докажите, что любая хорда полосы, соединяющая
ее края, делится пополам ее средней линией.
29.25. Равносторонний треугольник определим как тре-
I угольник с тремя осями симметрии, равнобедренный тре-
угольник— как треугольник с одной осью симметрии, равно-
бокую трапецию — как трапецию с одной осью симметрии.
Выведите отсюда свойства этих фигур.
29.26. Определим параллелограмм как четырехугольник
с центром симметрии; ромб — как четырехугольник, у ко-
торого диагонали являются осями симметрии; прямоуголь-
ник — как четырехугольник, у которого средние линии явля-
ются осями симметрии. Выведите отсюда свойства этих
фигур. Придумайте аналогичное определение квадрату, а за-
, тем выведите его свойства.
29.27. У выпуклого четырехугольника есть центр симмет-
рии. Можно ли в него вписать окружность? Можно ли око-
ло него описать окружность?
Ответьте на те же вопросы, если у него есть ось сим-
метрии.
29.28. Выпуклый четырехугольник переходит в себя в ре-
зультате некоторого поворота, но не центральной симмет-
рии. Является ли он квадратом? Можно ли обобщить эту
задачу?
29.29. Некоторый многоугольник имеет центр симметрии.
Пусть в него можно вписать окружность. Совпадают ли
центр этой окружности и центр симметрии? Ответьте на
тот же вопрос, если около него можно описать окружность.
138
Как выглядит аналогичная задача для многоугольника,
имеющего ось симметрии?
29.30. Центрально-симметричную фигуру разделили пря-
мей на две части. Одна из них оказалась центрально-сим-
метричной. Будет ли центрально-симметричной другая?
29.31. а) Каждая из двух фигур центрально-симметрич-
на Будет ли центрально-симметричным их пересечение?
и к объединение?
б) Пусть пересечение и объединение двух фигур цент-
рально-симметричны. Значит ли, что каждая из них цент-
рально-симметрична?
29.32. Фигура имеет центр симметрии. Докажите, что ее
образ, полученный в результате любого движения, будет
обладать тем же свойством. Обобщите задачу.
29.33. Выделим такие свойства выпуклого четырехуголь-
ника: 1) В него можно вписать окружность. 2) Около него
можно описать окружность. 3) Он имеет центр симметрии.
'I) Он имеет ось симметрии.
Пусть он имеет два из этих свойств. Имеет ли он осталь-
ные свойства?
29.34. Докажите, что центрально-симметричный много-
угольник можно разрезать на параллелограммы. Верно ли
обратное?
Использование симметрии при построениях
29.35. Восстановите: а) угол по биссектрисе и точке на
стороне; б) полосу по средней линии и точке на границе;
и) равнобедренный треугольник по оси симметрии и двум
точкам на его боковых сторонах; г) равносторонний тре-
угольник по его центру и трем точкам на его сторонах;
д) квадрат по четырем точкам на его сторонах; е) треуголь-
ник по серединам сторон; ж) пятиугольник по серединам
сторон.
29.36. Разделите пополам угол с недоступной вершиной.
29.37. Вершина угла недоступна. Проведите прямую че-
рез данную точку внутри угла, проходящую через его вер-
шину.
29.38. Восстановите треугольник, если от него остались:
а) две вершины и прямая, на которой лежит биссектриса
третьего угла; б) вершина и три прямые, на которых лежали
биссектрисы его углов; в) середины двух сторон и прямая,
па которой лежит одна из биссектрис.
29.39. Требуется заполнить плоскость многоугольниками.
Как это сделать, если для этого можно использовать: а) пра-
вильные многоугольники только одного вида; б) правильные
многоугольники разных видов; в) произвольный четырех-
угольник одного вида; г) произвольный многоугольник од-
ного вида?
339
Рис. 295
*§
30. РАВНОВЕЛИКОСТЬ И РАВНОСОСТАВЛЕННОСТИ
В этом параграфе мы докажем, что две равновелит
многоугольные фигуры на плоскости можно разбить на ct
ответственно равные многоугольники (так, как, например
разбиты треугольник и прямоугольник на рисунке 295)
Эта теорема была доказана в XIX в. венгерским матема
тиком Ф. Бойяи (в 1832 г.) и немецким офицером и лю
бителем математики П. Гервином (в 1833 г.) и потом}
носит название теоремы Бойяи — Гервина. Ее доказатель
ство не просто, и мы разобьем его на несколько этапов
30.1. ЕЩЕ РАЗ о понятии площади. В п. 2.1 в определе-
нии площади многоугольных фигур условие 2 состояло в
том, что площади равных треугольников равны. Ясно, что
верно и более общее утверждение:
Площади равных многоугольных фигур равны.
Доказательство. Пусть Р и Р' — равные многоуголь-
ные фигуры. Тогда существует такое движение Д что
P' = f(P). По определению многоугольной фигуры фигура
Р составлена из некоторых треугольников Tt, ..., Г*. Тогда
фигура Р' будет составлена из равных им треугольников
7’(=/(7’1).. T'k=f(Tk).
Так как
S(7’()=S(7’1), .... S(T'k)=S(Tk) (11
Рис. 296
И
5(Р')=3(Л)+... + 5(П), S(P)=S(7’,)+... + S(7\), (2)
то
S(P')=S(P)
Теперь в определении площади многоугольной фигуры
условие 2 можно формулировать так: площади равных мно-\
гоугольных фигур равны.
Этого не было сделано в п. 2.1 из-за того, что тогда у нас
еще не было определено равенство произвольных фигур.
30.2. ОТНОШЕНИЯ РАВЕНСТВА, РАВНОВЕЛИКОСТИ И РАВНО-
СОСТАВЛЕННОСТИ. В этом параграфе сравниваются три от-
ношения между многоугольными фигурами, указанные в на-
звании п. 30.2. Удобно ввести следующие обозначения. Если
фигуры Р и Q равны, то пишем P^Q.
Если фигуры Р и Q равновелики, то пишем Q.
р. *в.
Если многоугольная фигура Р разбита на многоуголь-
ные фигуры Р|, .... Рк (или, что то же самое, Р составлена
из фигур Р.... Рк, см. п. 1.5), то будем писать Р=Р\ -)-
-\-Pk (рис. 296).
Говорят, что две многоугольные фигуры Р и Q равно-
составлены, если их можно разбить на соответственно рав-
ные многоугольные фигуры.
340
Это значит, что найдется такое разбиение фигуры Р на
многоугольные фигуры Рк и такое разбиение фигуры
Q на многоугольные фигуры Q........ Qk, что Pi^Qi,
Pk=Qk (рис. 297). Если фигуры Р и Q равносоставлены,
то пишут Q.
Ясно, что равные фигуры равновелики, но из равнове-
ликости фигур не следует их равенство (приведите приме-
ры). Далее, легко показать, что равносоставленные фигуры
равновелики.
Действительно, если Р= Pt +...Д-Рк, Q = Qi + --.-^-Qk и
.......... Pk^Qk, то S(Pi)=S(Q,)........... S(Pk)=S(Qk)
и потому S(P) =S(₽i) 4-...-f-S(Pfc) =S(Qi) 4-... + S(Q*.) =
= S(Q).B
Теорема Бойяи — Гервина утверждает, что верно и об-
ратное предложение: равновеликие многоугольные фигуры
равносоставлены.
Таким образом, для многоугольных фигур отношения
равновеликости и равносоставленности равносильны. Инте-
ресно, что для многогранных фигур в пространстве это уже
не так: куб не равносоставлен с равновеликим ему тетраэд-
ром, все ребра которого равны.
Все рассматриваемые здесь отношения обладают тремя
одинаковыми свойствами: рефлексивностью, симметрично-
стью, транзитивностью.
1. Рефлексивность: для любой многоугольной фи-
гуры Р: а) Р^Р, б) Р~ Р; в) Р.
2. Симметричность: а) если P^Q, то Q^P\
б) если Р ~ Q, то Q ~ Р; в) если Р ~ Q, то Q ~ Р.
' p.-в. Д>.-в. р.-С. Д).-С.
3. Транзитивность: а) если P^Q и Q = R, то P^R;
б) если Р ~ О и Q ~ R, то Р ~ R; в) если Р ~ Q и Q ~ R,
' p.-в. ^р.-в. p.-в. р.-с. р.-с.
то Р ~ R.
р.-с.
Все эти свойства очевидны, кроме последнего - транзи-
тивности равносоставленности. Докажем его, выделив в от-
дельную лемму (первую из серии лемм, ведущих к теореме
Бойяи Гервина). Благодаря тому что отношение равно-
составленности симметрично, лемму о его транзитивности
можно сформулировать так:
Лемма 1. Две многоугольные фигуры Р и Q, равно-
составленные с третьей фигурой R, равносоставлены.
Доказательство. Так как Р ~ R, то найдутся такие
Рис. 297
разбиения фигур Р и R на многоугольные фигуры
Р|, .... Рк и /?,, ..., Rk, что ..., Pk^Rk-
R, то найдутся такие разбие-
Аналогично так как
ния фигур Q и R на многоугольные фигуры Qb ..., Qn
и R\.... Rn, что QiS^R'i, .... Qn^R'n (рис. 298).
Каждое разбиение многоугольной фигуры осуществляет-
ся некоторой сетью отрезков. На фигуре R «нарисованы»
две сети: от разбиения R... Rk и от разбиения /?(, .... R'n.
Объединение этих двух сетей даст новую сеть из отрезков,
которая разобьет фигуру R на более мелкие многоуголь-
ные фигуры. Эти многоугольные фигуры /?,7 получаются
в пересечении фигуры /?, с фигурой /?/. Каждая из фигур
/?i, Rk разбита на эти фигуры (среди них могут быть и
вырожденные в точки, отрезки и т. п.):
Рис. 298

R‘2— Rl\ + Ri2~\~ + Rin
(3)
Rk — Rk\ -|- Rki4-... -|-Rkn-
Так как P\^R\, то фигуру P, можно разбить так же,
как и R\-. Р| = Рц -}-Р|П. Аналогичные разбиения полу-
чаем и для остальных фигур Р2, .... Pk- Ръ = Pi\ + Р22 +... +
A-Pin.... Pk = Pk\-\- Pk2-\- .. + Pkn- При этом для любых
индексов i и / фигуры Р,, и /?,7 равны: Р,;^Р,7.
Но и фигуры Qi, ..., Q„, равные фигурам /?[, ..., R'n,
также можно разбить на фигуры Q,7, равные фигурам Р,7:
Qi = Qi 1 + Q21 4"-" + Q*i,
Qi = Ql2”H Q22-!- + Qk2, (4)
Q« = Qin4- Q2n4*.-- + Qkn-
Так как Qij^Rtj и Pij^Rij, то Qtj^Pij. Следовательно,
P~Q
p.-c.
30.3. ОТНОШЕНИЕ эквивалентности. Отношения, обла-
дающие свойствами рефлексивности, симметричности и
транзитивности, называют отношениями эквивалентности
или эквивалентностью. Равенство фигур, равновеликость,
равносоставленность являются отношениями эквивалентно-
сти. Убедитесь, что равенство векторов, коллинеарность не-
нулевых векторов, сонаправленность векторов также явля-
ются отношениями эквивалентности.
Если предметы сопоставляются по какому-либо свойству,
то между ними обнаруживается отношение с теми же свой-
ствами— эквивалентностью. Например, сравнение по цвету
одноцветных предметов. Каждый предмет имеет свой цвет—
одноцветен сам с собой. Если предмет А одноцветен с В,
то В одноцветен с А (имеет тот же цвет). Если предмет А
одноцветен с В, а В — с С, то А одноцветен с С. Вообще
отношение эквивалентности указывает на наличие некоторо-
го общего свойства.
.342
30.4. РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММОВ И ПРЯ- Рис. 2»»
моугольников. Продолжим доказательство теоремы Бой-
яи — Гервина.
Лемма 2. Равновеликие параллелограммы Р и Q, имею-
щие равную сторону, равносоставлены.
Доказательство. Расположим параллелограммы Р
и Q так, как показано на рисунке 299: их равные стороны
ЛД совпадают, а сами параллелограммы лежат по одну
сторону от прямой АВ. Так как параллелограммы Р и Q
равновелики, то их высоты, опущенные на сторону АВ,
равны. Поэтому их стороны CD и KL, противоположные
стороне АВ, лежат на одной прямой, параллельной пря-
мой АВ.
Возможны два случая:
1) Боковые стороны параллелограммов Р и Q не пере-
секаются (рис. 299, а). Пусть точка К лежит на стороне
CD. Тогда параллелограмм Р составлен из трапеции АВСК
и треугольника ADK, а параллелограмм Q составлен из
той же трапеции АВСК и треугольника BCL. Так как
A A DK = A BCL, то Р Q.
2) Боковые стороны параллелограммов Р и Q пересе-
каются. Например, стороны АК и ВС пересекаются в точке О
(рис. 299, б). В параллелограммах Р и Q разместим одина-
ковое число треугольников Т, равных треугольнику АОВ,
так, как показано на рисунке 299, б. Если эти треугольники
не заполнят полностью параллелограммы Р и Q, то в Р и Q,
кроме треугольников Т, останутся еще два параллелограмма
A'B'CD и A"B"LK, соответствующие случаю а). Как по-
казано, A'B'CD?~ A"B"LK. Поэтому и Q.
Лемма 3. Два равновеликих прямоугольника равно-
составлены.
Доказательство. Пусть прямоугольник Р со сторо-
нами а, b и прямоугольник Q со сторонами с, d равнове-
лики. Тогда ab = cd. Можно считать, что и c^.d,
343
Q
Рис. 300
а также а<с. Так как ab = cd, то тогда b>d. Построим
параллелограмм R со сторонами b и с и высотой а, опущен-
ной на сторону b (рис. 300). Это возможно, так как с>а.
Поскольку S(P) = S(R) и параллелограммы Р и R имеют
по стороне, равной Ь, то Рр~
R (по лемме 2).
Далее, S(Q) = S(P) =S(R) и параллелограммы Q и R
имеют по стороне, равной с. Поэтому R (по лемме 2)
А тогда 'Рр~ Q (по лемме 1).
Лемма
Каждый
треугольник
равносоставлен с
пря-
моугольником, одной из сторон которого можно выбрать
любой заданный отрезок.
Доказательство. В треугольнике АВС проведем вы-
соту AD на большую сторону и среднюю линию KL\\BC.
Построим прямоугольник Р, одной стороной которого явля-
ется ВС, а другая сторона лежит на прямой KL (рис. 295).
Очевидно, что Р~ ДАВС. По лемме 3 прямоугольник Р
равносоставлен с любым равновеликим ему прямоугольни-
ком Q. Из этого, а также из леммы 1 вытекает, что
AABCp~Q. Н
30.5. теорема боияи — гервина. Равновеликие много-
угольные фигуры равносоставлены.
Доказательство. Пусть многоугольные фигуры Р
и Q равновелики. Они составлены из некоторых треуголь-
ников (рис. 301). Пусть фигура Р составлена из треуголь-
ников Ti, .... Th- Фиксируем некоторый отрезок АВ и постро-
им на нем прямоугольник АВВ\А\ = Р\, равновеликий трс-
Рис. 301
344
угольнику Т\ (т. е. ДД, = По лемме 4 ^ip~ Л- После
кого строим прямоугольник Р2 = А\В\В2А2, равновеликий
греугольнику Т2. По лемме 4 Р^~ Т2. Продолжая эти no-
il роения, построим прямоугольник Р' = AAkBi,B = P\ Д-Р2Д-
Д-... Д- Pk-
Так как S(Г,) = S(P,), S(Tt) =S(Pi), то S(P) =
S(P'). Поскольку Р=Т\ Д-...Д-Тк, Р' = Р| Д-...Д-Р*, то
/’ ~ Р' (так как Ti ~ Р,, .... 7\ ~Р*)-
р.-с. р.-с. р.-С.
Проведем теперь аналогичное построение для фигуры Q,
строя на АВ прямоугольник, равновеликий фигуре Q. Так
как S(Q) =S(P) =S(P'), то в итоге построим тот же самый
прямоугольник Р'. Как и для фигуры Q, получим, что
(J ~ Р'. Но тогда по лемме 1 Р ~ Q.
р.-с. р.-с.
§ 31. ПОДОБИЕ
31.1. определение подобия. На практике постоянно
встречаются преобразования, при которых все расстояния
изменяются в одном и том же отношении, т. е. умножаются
на одно и то же число. Такое преобразование называется
подобным (или подобием), а это число называется коэффи-
циентом подобия. Например, при увеличении фотографии
псе размеры (расстояния на фотографии) увеличиваются
и одном и том же отношении, т. е. происходит подобное
преобразование изображения с фотопленки на фотобумагу.
Подобное преобразование совершается и тогда, когда де-
лают уменьшенную копию чертежа, рисунка и т. п. Так,
например, вы поступаете, когда срисовываете с доски чер-
теж в свою тетрадь.
Итак, подобием фигуры с коэффициентом /г>0 называ-
ется такое ее преобразование, при котором любым двум
точкам X и Y фигуры сопоставляются такие точки X' и Y',
что X'Y' = kXY (рис. 302, а).
Рис. 302
345
в
а) к>0
Рис. 303
с
называется подобной
фигуре F с
Фигура F'
коэффициен
том k, если существует подобие с коэффициентом k, пере
водящее F в F'.
Подобные фигуры
говоря, различные размеры (рис.
имеют одинаковую форму,
302, б)
. В частном
но, вообще
случае
k может быть равно 1, и потому движение является подо
бием. Простейшим, но важным примером подобия, отлич-
ным от движения, является гомотетия («гомотетичный»
переводе с греческого означает «равнорасположенный»).
31.2. гомотетия. Гомотетия с центром О и коэффициен
том k (отличным от нуля) —это преобразование, при кото-
ром каждой точке X сопоставляется такая точка X', что
OX' = kOX (рис. 303, а). Не исключается, что k<.0 (рис.
303, б).
При k = — 1 получается центральная симметрия с цент-
ром в точке О (рис. 303, в). При 6=1 получается тож-
дественное преобразование. В этом частном случае гомо-
тетия является движением.
Основное свойство гомотетии. При гомотетии
с коэффициентом k каждый вектор умножается на k. Под-
робнее: если точки А, В при гомотетии с коэффициентом k
перешли в точки А', В', то
A'B'=kAB. (i)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть точка О — центр гомотетии.
Тогда ОА' = kOA, ОВ' = kOB. Поэтому А ’В' = ОВ' —
-OA' = kOB-kOA=k(OB-OA)=kAB.
Из равенства А'Ё' =kAB следует, что А'В' =\k\AB.
Последнее равенство означает, что гомотетия с коэффициен-
том k является подобием с коэффициентом | k |.
Мы уже говорили, что гомотетия важна. Дело в том,
что любое подобие с коэффициентом k можно осуществить,
выполнив сначала гомотетию с коэффициентом k (и любым
центром), а затем движение. Другими словами, подобие
с коэффициентом k есть композиция гомотетии с коэффи-
циентом k и движения.
346
Доказательство. Пусть фигура F' получена из фи-
гуры F подобием с коэффициентом k (рис. 304). Гомоте-
тией с коэффициентом k (и любым центром) переведем
фигуру F в фигуру F|. Тогда любым точкам X, У фигуры F
ставятся в соответствие такие точки Х}, У|, что X\Y\=kXY.
Но и для точек X', Y' фигуры F', соответствующих точкам
.¥, Y, также X'Y' = kXY. Поэтому X'Y' = XtYi. Это равенст-
во верно для любых точек Х\, У| фигуры F\. Следовательно,
фигуры F\ и F’ равны, т. е. А, можно некоторым движением
перевести в фигуру F'.
Свойства движений нам известны. Сейчас мы установим
свойства гомотетии. Так как подобие сводится к последо-
вательному выполнению гомотетии и движения (т. е. к ком-
позиции гомотетии и движения), то сразу после этого мы
выясним и свойства подобия.
31.3. свойства гомотетии. Сразу договоримся, что везде
в этом пункте мы считаем некоторую точку О центром гомо-
тетии с коэффициентом k. Далее, образы точек в резуль-
тате гомотетии будем обозначать теми же буквами, что и
сами точки, но со штрихами.
Свойство 1. Гомотетия отрезок переводит в отрезок.
Доказательство. Пусть гомотетия переводит концы
отрезка АВ в точки А', В’ (рис. 305, а). Точка Х^АВ
тогда и только тогда, когда A?=/AS, где При
этом если число t возрастает от 0 до 1, то X пробегает от-
резок А В от А кВ. __. ___ ____
По основному свойству гомотетии A'X' = kAX и А'В' =
— kAB. Из этих равенств АХ=^АП1' и ДВ=у.4'б'. Под-
ставим эти значения АХ и АВ в равенство По-
лучим АГ~Х'= t—A^B', откуда А^' = lA/B'. А это равенст-
во означает, что, когда число t возрастает от 0 до 1,
точка X' пробегает отрезок А'В'.
Свойство 2. Гомотетия сохраняет величину угла.
Подробнее: для любых точек А, В, С и соответствующих
точек А', В', С' выполняется равенство гГВ'А'С = АВАС
(рис. 305, б).
Рис. 304
а) 6)
Рис. 305
34
Доказательство. Обозначим F= с=АС, Ь' =
= А’В' и с' = А'С. Тогда <LBAC=Z_bc и /_В'А'(У =
= Z_b'c'. По основному свойству гомотетии b' = kb ис' =
= kc. Отсюда получаем, что |ft'| = l£||6| и | с' | = I k 11 с|.
Кроме того,
b'c’ -- (kfi) (kc) = k2 (be).
Но тогда
cos XLb'c' =
b'c'
|F'II?I
k2(bc)
Sc
Iffllcl
= cos Z-bc.
Из равенства косинусов и следует равенство углов
Свойство 3. Гомотетия треугольник, переводит в тре-
угольник. Стороны этих треугольников пропорциональны, а
соответственные углы равны.
Подробнее: пусть дан ДАВС и гомотетия переводит
точки А, В, С в точки А', В', С'. Тогда дАВС переходит
в дА'в'С' и при этом
А'В' _В'С' _А'С' (2)
АВ ~ ВС АС
И
АА' = АА, AB' = /LB, £С'=£С. (3)
Доказательство. То, что треугольник АВС перехо-
дит в треугольник А'В'С', вытекает из свойства 1. Дейст-
вительно, треугольник АВС заполняют отрезки АХ, где
Х^ВС. Эти отрезки переходят в отрезки А’Х', причем
Х’^В'С. Отрезки А'Х' и заполнят треугольник А'В'С'.
Пропорциональность сторон вытекает из равенства (1), а
равенство углов следует из свойства 2.
Свойство 4. Совокупность всех гомотетий плоскости
с общим центром является группой преобразований плос-
кости. При этом композиция двух гомотетий с общим цент-
ром и коэффициентами k\, k-i будет гомотетией с тем же
центром и коэффициентом k\ki, а преобразование, обратное
гомотетии с коэффициентом k, имеет коэффициент у .
Доказательство этого свойства приведите самостоя-
тельно.
31.4. свойства подобия. Первые три свойства вытекают
из соответствующих свойств гомотетии и движения.
Свойство 1. Подобие отрезок переводит в отрезок.
Свойство 2. Подобие сохраняет величину угла.
Свойство 3. Подобие переводит треугольник в тре-
угольник. Соответственные стороны этих треугольников про-
порциональны, а соответственные углы равны (рис. 306).
(Соответственные стороны — это сторона и ее образ.
Аналогично и для углов.)
Эти свойства докажите самостоятельно.
348
Рис. 306
Свойство 4. В результате подобия с коэффициентом k
площадь фигуры умножается на k2.
Доказательство. Площадь треугольника равна по-
ловине произведения двух его сторон и синуса угла между
ними. В результате подобия с коэффициентом k каждая
сторона умножается на k, а углы сохраняются. Поэтому
площадь треугольника умножается на k~.
Многоугольные фигуры слагаются из треугольников. Так
как площадь каждого умножается на k2, то и вся сумма
умножится на k2, поэтому площадь многоугольной фигуры
умножится на k2.
Свойство 5. Композиция подобий с коэффициентами
Id, k2 есть подобие с коэффициентом fejfco.
Доказательств о. Пусть фигура Р подобием f с коэф-
фициентом k] переводится в фигуру Р\, а затем фигура
Pi подобием g с коэффициентом k2 переводится в фигуру Р2
(рис. 307). Пусть точкам X. Y фигуры Р соответствуют
точки Х|, У, фигуры Р\. Тогда
Х.У^/г^У, (4)
Пусть, далее, точкам Х{, У| фигуры Р\ соответствуют
точки Х2, Y2 фигуры Р2. Тогда
X2Y2 = k2XiYi.
(5)
Рис. 307
Тем самым точкам X, Y фигуры Р соответствуют точки
Х2, У2 фигуры Р2, и из равенств (4) и (5) следует, что
X2Y2 = ki/i2XY. Это и означает, что преобразование g°f—
подобие с коэффициентом k\k2
Свойство 6. Подобие обратимо, и преобразование,
обратное подобию с коэффициентом k, есть подобие с коэф-
фициентом ~.
Это свойство докажите самостоятельно.
Из свойств 5 и 6 вытекает, что множество всех подобий
плоскости является группой преобразований плоскости.
31.5. ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ треугольников. Как мы уста-
новили, у подобных треугольников соответственные стороны
пропорциональны, а соответственные углы равны. Чтобы
установить подобие двух треугольников, достаточно нали-
чия части этих свойств.
Теорема 36 (первый признак подобия). Если стороны
одного треугольника пропорциональны сторонам другого
треугольника, то эти треугольники подобны.
Доказательство. Пусть стороны треугольников АВС
и А'В'С пропорциональны, т. е. выполняются равенства (2).
Укажем подобие, которое переведет дАВС в д/ГВ'С'.
Сначала переведем дАВС гомотетией f с любым центром и
А" В'
коэффициентом k=-^- в дД|В,С| (рис. 306). Так как
AiB] =kAB, B\C\ = kBC и Л|С| = /гЛС, а из условия сле-
дует, что A'B' = kAB, B'C' = kBC и A'C' = kAC, то А'В' =
= Л|В|, В’С = В\С\ и А’С =А\С\. Поэтому д/ГВ'С' =
= дЛВС. По теореме 34 п. 28.1 о задании движения
найдется такое движение g, которое переводит ДЛ|В|С|
в д А'В'С'. Выполнив сначала гомотетию f, а затем дви-
жение g, мы осуществим подобие g°f, которое переводит
треугольник АВС в треугольник А’В'С.
Теорема 37 (второй признак подобия). Если два угла
одного треугольника равны двум углам другого треуголь-
ника, то такие треугольники подобны.
Доказательство. Пусть в треугольниках АВС и
А'В'С АА'=АА и /_В'=/_В. Тогда и Z.C'=Z.C. По
теореме синусов из треугольника АВС получим, что
^=sinA (6)
h sinS
Аналогично из треугольника А'В'С'
а’ _sinA' (7)
b' sinB' ’
Так как Z.A' — ZLA, то sinA' = sinA, а так как Z_B' =
= /LB, то sinB' = sinB. Поэтому отношения в правых час-
350
тях равенств (6) и (7) равны, а потому у =£7. Следова-
тельно, — =~. Аналогично получаем, что—=—.
а Ь ас
Итак, стороны треугольников АВС и А'В'С' пропорцио-
нальны. По теореме 36 эти треугольники подобны.
Теорема 38 (третий признак подобия). Если две сто-
роны одного треугольника пропорциональны двум сторонам
другого треугольника и углы, заключенные между этими
сторонами, равны, то треугольники подобны.
Доказательство. Пусть у треугольников АВС и
at=ka, b\=kb, гСС\ = ^С. (8)
По ОТП (теорема 11 п. 10.1)
c^ = a2-f-b2— 2aifticos Ci, с2=a2A-b2—2abcos С.
А так как at=ka, b\ = kb и cosCi=cosC, то c2=k2a2 +
A-k2b2 — 2k2abcos С = k (a2 A- b2 — 2abcos C) =k2c2.
Поскольку c2 = k2c2, to C\ = kc и, стало быть, все стороны
треугольников АВС и А,В|Ci пропорциональны. По первому
признаку подобия эти треугольники подобны.
31.6. метод подобия. При решении задач на построение
методом подобия всегда приходится решать следующую
задачу:
Задача (построение четвертого пропорционального от-
резка). Даны три отрезка а, Ь, с. Построить такой отрезок
а с
X, что — =— .
b х
Решение. Возьмем любой угол О. На одной его сто-
роне отложим отрезки ОА = а и ОС=с, а на другой — от-
резок ОВ = Ь (рис. 308, а). Через точку С проведем прямую
р\\АВ. Она пересечет луч ОВ в точке D. Докажем, что
OD — искомый отрезок х. Треугольники ОАВ и OCD подоб-
. , , г, ОА ОВ
ны (по второму признаку подобия). Поэтому
т. е. OD = x.
В частном случае эта задача позволяет разделить отре-
зок на п равных частей. Обозначим данный отрезок Ь.
Рис. 308
5)
Рис. 310
Возьмем любой отрезок с, и пусть а=пс (рис. 308, б).
Посколькуто х =—с=—с=—Ь.
ох а пс п
Решая задачу методом подобия, в частности гомотети-
ей, сначала строим фигуру, удовлетворяющую всем требова-
ниям задачи, кроме одного. А затем с помощью подобия
строим искомую фигуру. Вот такая задача:
Задача. Построить квадрат гак, чтобы три его верши-
ны лежали на катетах, а четвертая — на гипотенузе прямо-
угольного треугольника.
Построение. В прямоугольном треугольнике АВС по-
строим какой-нибудь квадрат CKLM так, что точка К лежит
на СА, а точка Л4 — на СВ (рис. 309, а). Неважно, где
при этом окажется точка L: внутри треугольника АВС или
вне его (если она окажется на стороне АВ, то задача уже
решена). Проведем луч CL. Пусть он пересекает АВ в точке
Af. Из точки N проводим перпендикуляры на катеты:
/УА|±СА, NM\A_CB. Четырехугольник CK\NM\— квадрат,
который нам нужен (рис. 309, б).
Докажем это. Так как в нем три угла прямые, то
—прямоугольник. Осталось доказать равенство
его соседних сторон. Треугольники CKL и CKiN подобны,
так как имеют по два равных угла. Из их подобия следует,
что^=^. Так как LK=KC, то (V/G = /<|C.
СЛ Л С
Эту задачу легко решить и не пользуясь методом подо-
бия (как?). Но если ее обобщить и поставить, например,
задачу о построении прямоугольника, так же расположен-
ного, как и квадрат, но с отношением сторон 2:1, то сраба-
тывает как раз указанный метод построения.
Используя подобие, докажем еще раз теорему 30 о точ-
ке пересечения медиан треугольника (см. п. 24).
Пусть медианы AM и BN треугольника АВС пересекают-
ся в точке О (рис. 310, а). Проведем среднюю линию MN.
Напомним, что M/V||AB и MN =^-АВ. Поэтому треугольник
ОАВ подобен треугольнику OMN с коэффициентом подо-
бия 2. Следовательно,
ОА _ОВ_
ОМ ON~Z'
Покажем, что и медиана СР проходит через точку О
(рис. 310, б). Повторим проведенные рассуждения для ме-
диан AM и СР. Снова получим, что они пересекаются в та-
кой точке на медиане AM, которая делит AM в отношении
2:1. Этой точкой является точка О. Поэтому СР проходит
через О.
31.7. подобие при изображении плоских фигур. По-
добие фигур лежит в основе их изображения: правиль-
352
ное, не искаженное изображение подобно изображаемому
(рис. 311, а). Всякий план, будь то план города или квар-
тиры, представляет собой подобное изображение. Изобра-
жаемый объект рассматривается как плоская фигура, и в
плане рисуется подобная ей фигура. Например, город пред-
ставляется как фигура, состоящая из кварталов застройки
и улиц; кварталы застройки представляют собой много-
угольную фигуру. На плане изображается подобная ей .фи-
гура (рис. 311, б). Масштаб, в котором выполнен план,
не что иное, как коэффициент подобия. Когда пишут, напри-
мер, масштаб 1:100 000, иначе говоря, масштаб — 1 километр
в сантиметре, это и значит, что коэффициент подобия равен
0,00001. При этом численные значения длин на плане те же,
что в действительности. Только на плане эти значения
берутся в масштабе в сантиметрах, а в действительности
в километрах. Пользуясь планами и картами, так и опре-
деляют по ним расстояния.
Замечание. Вполне точное изображение земной по-
верхности на картах невозможно: отношения длин неизбеж-
но искажаются, так как Земля не плоская. Но для сравне-
ния небольших участков это несущественно.
Рис. зн
°)
1 : 10 000
35,
1. В чем заключается подобное преобразование фигуры?
Приведите примеры таких преобразований.
2. Какие фигуры называются подобными?
3. В чем заключается гомотетичное преобразование фигуры?
4. Какие вам известны свойства: а) гомотетии; б) подобия?
5. Как построить треугольник, подобный данному? А много-
угольник?
6. Какие признаки подобия треугольников вы знаете?
7. Откуда следует подобие: а) равносторонних треуголь-
ников; б) квадратов; в) правильных n-угольников; г) ок-
ружностей?
8. Как используется подобие для решения задач?
9. Что такое масштаб с точки зрения подобия?
10. Вам нужно узнать, подобны ли две данные фигуры.
Как вы будете действовать?
Задачи к § 31
зГПЦ
А
Б
31.1. а) Пусть фигура F-2 подобна фигуре F\ с коэффи-
циентом подобия k. С каким коэффициентом фигура F}
подобна фигуре Л2?
б) Пусть фигура А2 подобна фигуре F\ с коэффициен-
том k\, фигура F3 подобна фигуре F2 с коэффициентом k2.
С каким коэффициентом фигура F3 подобна фигуре F,?
31.2. Докажите, что в подобии: а) образ пересечения
фигур является пересечением образов этих фигур; б) образ
объединения фигур является объединением образов этих фи-
гур.
31.3. Даны отрезок АВ и отрезок АВ\=2-АВ. Пусть
каждой точке Х^АВ соответствует точка Х\^АВ\, такая,
что AXi = 2-AX. Докажите, что такое преобразование АВ
является подобием. Укажите подобное преобразование АВ\
в АВ.
31.4. Нарисуйте два неравных отрезка АВ и А |В,. Пусть
A\B\ = k-AB. Укажите подобное преобразование: а) АВ
в б) А,В| в АВ.
31.5. Докажите, что подобны две окружности: а) кон-
центрические; б) произвольные. Укажите другие примеры
подобных фигур.
31.6. Пусть О А и Об —два равных отрезка, а О, А, и
OiSi—два других равных отрезка, причем Z.A|O|B| =
= Х.АОВ. Подобны ли два таких «уголка»?
31.7. Подобны ли картина и ее фотография?
31.8. а) Докажите, что в подобных многоугольниках
соответственные углы равны.
б) Два подобных многоугольника вписаны в одну и ту же
окружность. Будут ли они равны?
в) Два подобных многоугольника описаны около одной
и той же окружности. Будут ли они равны?
354
31.9. Подобны ли два четырехугольника, если: а) сторо-
ны одного пропорциональны сторонам другого; б) углы
одного равны углам другого?
31.10. Пусть два многоугольника подобны с коэффициен-
том k. Докажите, что: а) отношение их периметров равно
/г; б) отношение их площадей равно Л2; в) отношение их
радиусов описанных окружностей равно /г; г) отношение
их радиусов вписанных окружностей равно k.
31.11. Является ли подобием преобразование плоскости
по формулам, приведенным в задаче 26.2?
31.12. Что значит выражение «Десятикратная линза»?
«Десятикратный бинокль»? Пусть мы смотрим на угол, рав-
ный 1°. Каким по величине он будет видеться в такую
линзу? в такой бинокль?
31.13. Подобны ли: а) две сферы; б) два куба; в) два
правильных тетраэдра; г) два цилиндра; д) два конуса;
е) два прямоугольных параллелепипеда?
31.14. а) Имеются две подобные пирамиды с коэффи-
циентом подобия k. Чему равно отношение площадей их
поверхностей?
Ответьте на тот же вопрос для других подобных много-
гранников. Какое у вас возникает предположение?
б) Ребро одного куба в два раза больше ребра дру-
гого куба. Оба куба обшивают материей. Во сколько раз
больше материи уйдет на больший куб?
31.15. Какая фигура получится в результате гомотетии:
а) квадрата; б) окружности (и круга); в) полуплоскости;
г) угла?
31.16. Каким преобразованием является: а) преобразо-
вание, обратное гомотетии; б) композиция двух гомотетий
с одним центром? Имеет ли гомотетия неподвижные точки?
31.17. Нарисуйте треугольник АВС. Нарисуйте треуголь-
ник, ему гомотетичный: а) с центром А и ft=2; б) с цент-
ром В и Л=4-‘, в) с центром С и /?=—2; г) с центром
в середине ВС и k =2; д) с центром в середине А С и k = —
31.18. Нарисуйте квадрат ABCD. Нарисуйте гомотетич-
ный ему квадрат: а) с центром гомотетии на стороне и
2 я
k=—б) с центром гомотетии на средней линии и
3
k =—у; в) с центром гомотетии на диагонали и k=2.
31.19. Нарисуйте окружность. Постройте ей гомотетич-
ную с центром гомотетии: а) на окружности; б) внутри
круга. Каждое задание выполните с коэффициентами го-
мотетии: 2, у, —2.
hj
А
Б
HJ

31.20. а) Нарисуйте любой многоугольник. Постройте
гомотетичный ему, взяв центр гомотетии: I) в вершине;
2) в произвольной точке.
б) Почему образом правильного многоугольника в ре-
зультате гомотетии будет правильный многоугольник?
31.21. Три точки А, В, С лежат на одной прямой.
Пусть А — центр гомотетии, при которой В переходит в С.
Как вычислить коэффициент гомотетии?
31.22. Нарисуйте отрезок А В. Пусть точка В является
образом точки А в результате гомотетии. Где находится
центр этой гомотетии, если k = 2, у, —4?
31.23. Докажите, что гомотетичны: а) две параллель-
ные прямые; б) основания трапеции; в) два неравных тре-
угольника с соответственно параллельными сторонами;
г) две окружности.
31.24. Стороны двух неравных квадратов соответственно
параллельны. Гомотетичны ли эти квадраты?
31.25. Докажите, что композиция любого числа гомоте-
тий является гомотетией или параллельным переносом.
31.26. а) Пусть композицией двух гомотетий является
гомотетия. Докажите, что центры всех трех гомотетий лежат
на одной прямой.
б) При каком условии композиция двух гомотетий явля-
ется тождественным преобразованием?
31.27. Поупражняйтесь в рисовании гомотетичных фигур
в пространстве. Нарисуйте куб, выберите сами центр гомо-
тетии и ее коэффициент. Постройте куб, гомотетичный дан-
ному.
Решите аналогичные задачи для правильного тетраэдра и
правильной четырехугольной пирамиды.
31.28. Объясните, почему в результате подобия: а) пер-
пендикулярные прямые переходят в перпендикулярные пря-
мые; б) параллельные прямые переходят в параллельные
прямые; в) пересекающиеся прямые переходят в пересекаю-
щиеся прямые; г) касательная к окружности переходит
в касательную к окружности.
31.29. Докажите, что в’результате подобия сохраняется
форма фигуры, т. е.: а) окружность переходит в окруж-
ность (круг — в круг); б) многоугольник переходит в много-
угольник; в) правильный многоугольник переходит в пра-
вильный многоугольник; г) параллелограмм переходит в
параллелограмм; д) прямоугольник переходит в прямоуголь-
ник; е) ромб переходит в ромб; ж) трапеция переходит
в трапецию.
31.30. Докажите, что подобны: а) два квадрата; б) два
правильных «-угольника; в) две окружности; г) два круга;
д) две полосы; е) два прямоугольника, стороны которых
пропорциональны; ж) два шара.
356
31.31. Найдите признаки подобия: а) прямоугольников;
б) ромбов; в) параллелограммов; г) равнобоких трапеций;
д) трапеций; е) секторов; ж) сегментов; з) колец.
31.32. Объясните, почему в результате подобия середина
отрезка переходит в середину отрезка. Обобщите эту задачу.
31.33. В результате подобия треугольник перешел в дру-
гой треугольник. Объясните, почему при этом сохраняется
по сторонам и углам вид треугольника. Что при этом будет
образом: а) медианы; б) биссектрисы; в) высоты; г) центра
вписанной окружности; д) центра описанной окружности;
е) центра масс?
31.34. Стороны прямоугольника равны 6 и 2. Перпенди-
кулярно большей стороне проведена прямая так, что она
отсекает прямоугольник со сторонами 1 и 2. а) Есть ли
на рисунке подобные прямоугольники? б) Пусть эта прямая
движется, оставаясь параллельной самой себе. Могут ли на
рисунке появиться подобные прямоугольники?
Рассмотрите три случая: 1) подобие частичных прямо-
угольников; 2) подобие большего частичного исходному
прямоугольнику; 3) подобие меньшего частичного исход-
ному прямоугольнику.
31.35. Разделите прямоугольник на два прямоугольника
так, чтобы получились: а) два подобных прямоугольника;
б) две пары подобных прямоугольников; в) три пары по-
добных прямоугольников.
31.36. Внутри диагонали прямоугольника взята точка,
а) Из нее опустите перпендикуляры на две соседние сто-
роны прямоугольника. Получился ли при этом прямоуголь-
ник, подобный данному? б) Опустите из нее перпендикуля-
ры на все стороны прямоугольника. Сколько получилось
прямоугольников, подобных данному?
31.37. Из точки внутри прямоугольника провели пер-
пендикуляры на две соседние стороны. Будет ли получен-
ный прямоугольник подобен данному?
31.38. Можно ли разбить квадрат на два подобных пря-
моугольника?
31.39. а) Средняя линия прямоугольника отсекла от него
прямоугольник, подобный данному. Какой зависимостью свя-
заны его стороны?
б) Одна из средних линий прямоугольника отсекла от не-
го прямоугольник, подобный данному. Будет ли другая
средняя линия обладать таким же свойством?
31.40. Первая система стандартизации в книгоиздатель-
стве исходила из двух соображений. Первое — формат бу-
маги и его части должны быть подобны при делении их по-
полам. Второе — площадь основного листа должна быть
равна I м2. Исходя из этих соображений были получены
размеры основного формата в форме прямоугольника. Ка-
ковы эти размеры?
А
Б

31.41. Рамка картины имеет одну и ту же ширину. По-
добны ли картина и картина в рамке?
31.42. Из прямоугольника ABCD вырезали квадрат
ABK.L. При каком условии прямоугольник KLDC подобен
исходному прямоугольнику? Пусть это условие выполнено.
Повторим эту операцию с прямоугольником K.LDC- Будет
ли вновь полученный прямоугольник подобен данному?
31.43. Можно ли в данном прямоугольнике выбрать пс
одной точке на каждой его стороне так, чтобы они были
вершинами прямоугольника, подобного данному?
31.44. а) Через точку внутри диагонали параллелограм-
ма проведены его хорды, параллельные сторонам. Полу-
чатся ли при этом подобные параллелограммы?
б) Из вершин параллелограмма проведены перпендику-
ляры на его диагонали. Докажите, что полученные четыре
проекции его вершин являются вершинами параллелограм
ма, подобного данному.
в) Из вершин тупых углов параллелограмма провели
перпендикулярные к его сторонам прямые. Могут ли полу-
ченные при этом точки пересечения этих прямых быть вер-
шинами параллелограмма, подобного данному?
г) Обобщите задачу б).
31.45. В данной трапеции проведите прямую, параллель-
ную основаниям. Может ли при этом оказаться так, что:
а) меньшая трапеция подобна исходной; б) большая тра-
пеция подобна исходной; в) меньшая трапеция подобна
большей; г) подобны все три трапеции?
Если все эти случаи возможны, то, зная стороны тра-
пеции, как вы вычислите длину проведенной хорды?
31.46. Можно ли проверить подобие двух четырехуголь-
ников, измеряя только углы?
31.47. Можно ли круг разделить на два подобных сег-
мента?
27.5
31.48. На сторонах прямоугольного треугольника постро
ены подобные многоугольники. Верна ли для них теорема,
аналогичная теореме Пифагора?
31.49. а) Постройте ромб, вписанный в данный прямо
угольник. Будут ли любые-два таких ромба подобны?
б) Можно ли построить ромб, вписанный в данный
выпуклый четырехугольник?
31.50. а) В треугольнике проведена средняя линия. До-
кажите, что она отсекает от него подобный треугольник.
Чему равен коэффициент этого подобия?
б) Проверьте утверждение, обратное а).
в) Обобщите утверждение а).
31.51. Из точки О выходят лучи а, Ь, с. На луче а на-
ходятся точки А и Д|, на луче b —точки В и Вь на луче С —
точки С и С|. При этом А|| АВ. B(Ci||BC, С1Л1ЦСД. Дока-
жите, что треугольники А\В\С\ и АВС подобны. Докажите
158
то же, если точки А\, В^, Ct взяты на продолжениях
лучей.
Обобщите задачу на пространство.
31.52. Найдите признаки подобия: а) прямоугольных тре-
угольников; б) равнобедренных треугольников.
31.53. Укажите на рисунке 312 пары подобных треуголь-
ников.
31.54. а) Чему равен неизвестный отрезок на рисунке 313?
б) Какую часть составляет площадь х от площади S
данной фигуры на рисунке 314?
31.55. В трапеции ABCD проведены диагонали и через
точку их пересечения проведена хорда, параллельная осно-
ваниям. а) Укажите все пары подобных треугольников на
этом рисунке, б) Как найти длину этой хорды в трапеции,
в которой известны все стороны? в) Докажите, что в равно-
бокой трапеции эта хорда делит пополам угол между диаго-
налями. г) Будет ли такое свойство хорды характерным
для равнобокой трапеции? д) Чему равен отрезок средней
линии боков трапеции, заключенный между ее диагоналями,
если основания трапеции равны d\ и d2?
31.56. Хорда угла движется параллельно самой себе.
Какую фигуру образуют ее середины? Обобщите задачу.
31.57. Дан равнобедренный треугольник. Как найти рас-
стояние между точками на боковых сторонах, если эти
точки являются концами отрезка: а) соединяющего концы
высот, проведенных из вершин основания; б) соединяющего
концы биссектрис углов при основании; в) соединяющего
концы отрезков, проведенных из вершин основания через
середину оси симметрии; г) соединяющего точки касания
вписанной окружности с боковыми сторонами; д) касатель-
ного к вписанной окружности и параллельного основанию?
31.58. В треугольнике будем проводить хорды из вер-
шины. Каждый из двух треугольников, полученных при
этом, будем называть частичным треугольником, а) Как
провести хорду, чтобы один из частичных треугольников
был подобен данному? б) Можно ли провести хорду так,
чтобы оба частичных треугольника были подобны данному?
в) Можно ли провести хорду так, чтобы частичные тре-
угольники были подобны между собой? г) В каком тре-
угольнике частичные треугольники подобны между собой и
данному треугольнику? д) Пусть два треугольника разбиты
на частичные треугольники. Пусть исходные треугольники
подобны и по одному частичному треугольнику подобны.
Подобны ли другие частичные треугольники?
31.59. Имеется два подобных треугольника. Периметр
одного из них на 1 больше периметра другого. Докажите,
что: а) периметр большего треугольника меньше 4; б) пло-
1
щадь меньшего треугольника меньше у.

А
Б
35'1

3(|
31.60. Имеются два куска проволоки разной длины.
Сгибая их, можно получить два подобных треугольника.
Как это сделать?
31.61. Как выбрать точки внутри сторон данного тре-
угольника, чтобы треугольник с вершинами в этих точках
был подобё« данному?
31.62. На одном и том же отрезке построены по разные
стороны полуокружность и равносторонний треугольник.
Через вершину треугольника, не лежащую на взятом от-
резке, проводится прямая, отсекающая треть данного от-
резка. Докажите, что она отсекает и треть полуокружности.
31.63. Через точку на стороне треугольника проведены
хорды, параллельные другим его сторонам, а) Укажите на
рисунке подобные треугольники, б) Сравните их суммарную
площадь с площадью оставшейся части, в) Можете ли вы
узнать, при каком положении выбранной точки площадь
оставшейся части достигнет наименьшего значения? г) Пусть
данный треугольник равнобедренный, а точка выбирается на
его основании. Как изменяется периметр получающегося
четырехугольника при движении этой точки по основанию?
31.64. Через точку внутри треугольника провели три хор-
ды, параллельные его сторонам. Известны площади образо-
вавшихся при этом треугольников, ограниченных стороной
данного треугольника и двумя проведенными хордами. Мо-
жете ли вы найти площадь исходного треугольника?
Рис. 315
62
31.65. Два треугольника имеют равные основания, ле-
жащие на одной прямой, и равные площади. Эти треуголь-
ники пересекает прямая, параллельная их основаниям. До-
кажите, что отрезки этой прямой внутри данных треуголь-
ников равны. Проверьте обратное.
31.66. В каждом из данных треугольников можно вы-
брать точку К так, чтобы S| = S2 (рис. 315). Объясните,
почему это можно сделать. Где для этого выбрать точку Ю
31.67. Как найти площадь треугольника, зная его
высоты ?
31.68. Как построить треугольник, подобный данному и
вписанный в данную окружность?
31.69. Прямые AD и ВС параллельны. Из А в D и из
В в С вышли два пешехода. AD и ВС они проходят за
одно и то же время. Однажды один из них вышел по пря-
мой из А в С, а другой — по прямой из С в А. Где они
встретятся?
Придумайте сами похожие задачи.
Задачи о пропорциональном делении отрезков
31.70. а) На одной стороне угла отложили равные от-
резки и через их концы провели параллельные прямые, пе-
ресекающие стороны угла. Докажите, что на другой стороне
угла получатся равные отрезки.
б) Обобщите это утверждение. (Утверждение а) назы-
вают теоремой Фалеса по имени знаменитого древнегрече-
ского мыслителя Фалеса Милетского — ок. 625—
ок. 547 гг. до н. э.)
31.71. Пусть две параллельные прямые пересекаются
прямыми, проходящими через одну точку, не лежащую на
данных параллельных прямых. Докажите, что на парал-
лельных прямых получились пропорциональные отрезки.
31.72. Разделите циркулем и линейкой отрезок в данном
отношении, заданном: а) отрезками; б) целыми числами.
31.73. Как построить отрезок х, который выражается
такими формулами: а) х2 = а-Ь; б) х2 = а; в) х=т----р?
а b
31.74. Нарисуйте отрезок. Пусть его длина равна 1.
Нарисуйте еще один отрезок. Пусть его длина равна d.
Постройте отрезок длиной: a) d2; б) в) -\/d.
31.75. а) В каком отношении делится медианой хорда
треугольника, параллельная стороне, к которой эта медиана
проведена? Как выглядит более общее утверждение?
б) Из вершины треугольника проводятся всевозможные
его хорды. Какую фигуру образуют точки, делящие эти
хорды в одном и том же отношении?

А
Б
31.76. а) Из вершины С треугольника АВС проведены
биссектрисы его внутреннего и внешнего углов. Первая
из них пересекает прямую АВ в точке К, а вторая — в точ-
ке L. Докажите, что АК: KB = AL:LB.
Как, зная длины сторон треугольника, вычислить АД?
6) Из вершины С треугольника АВС проведены любые
лучи р и q, причем один из них пересекает отрезок АВ
в точке Р, а другой — прямую АВ в точке Q так, что
AP:PB = AQ:QB. Затем проведена прямая, которая пере-
секает отрезки СА, СР, СВ, CQ соответственно в точках
Ai, P|, Bi, Q|. Докажите, что будет выполняться равен-
ство Д|Р|: PiB\ =АiQi: QiBi.
31.77. Нарисуйте отрезок АВ. Постройте окружность,
проходящую через А и В. Проведите ее диаметр, перпенди-
кулярный АВ. Пусть он пересекает окружность в точках С
и D. Возьмите на отрезке АВ точку Р. Проведите прямую
DP. Пусть она пересекает окружность в точке Q. Проведите
прямую CQ. Пусть она пересекает прямую АВ в точке R.
Докажите, что АР: PB = AR: RB.
Исходя из этого построения, предложите способ построе-
ния четвертого пропорционального отрезка.
31.78. Нарисуйте отрезок. Разделите его в отношении
«золотого сечения».
31.79. Нарисуйте отрезок АВ. Пусть точка С делит его
в отношении «золотого сечения». На отрезке АС отложите
отрезок CD = CB. Докажите, что точка D делит АС в от-
ношении «золотого сечения».
31.80. Пусть точка К— середина стороны АВ квадрата
ABCD. Проведите окружность с центром К радиусом КС-
Точку ее пересечения с лучом АВ обозначим L. Докажите,
что точка В делит отрезок AL в отношении «золотого сече-
ния».
31.81. Угол при вершине равнобедренного треугольника
равен 36°. Докажите, что биссектриса угла при основании
делит боковую сторону в отношении «золотого сечения».
31.82. Прямоугольник назовем «золотым», если отноше-
ние его сторон равно отношению «золотого сечения». От
«золотого» прямоугольника отрезали квадрат со стороной,
равной меньшей стороне прямоугольника. Докажите, что
остался «золотой» прямоугольник.
31.83. Пусть ABCD и AiCDiB— два «золотых» прямо-
угольника (см. задачу 31.82), расположенные по разные
стороны от прямой ВС, Ai^BC. Соедините В и Di отрезком
и нарисуйте четырехугольник BKLD\, где точка К лежит
на стороне AD. Докажите, что: a) BKLDi—прямоуголь-
ник; б) BKLD\—не простой, а «золотой» прямоугольник;
в) площадь BKLD\ равна сумме площадей данных прямо-
угольников.
364
Задачи на применение гомотетии
31.84. Постройте прямоугольный треугольник по отно-
шению катетов и: а) гипотенузе; б) периметру.
31.85. Постройте треугольник по двум углам и: а) высо-
те, опущенной из вершины третьего угла; б) медиане, про-
веденной из вершины третьего угла; в) биссектрисе треть-
его угла; г) периметру; д) радиусу описанной окружно-
сти; е) радиусу вписанной окружности.
31.86. Даны угол и точка внутри его. Постройте: а) рав-
носторонний треугольник, вершины которого лежат на сто-
ронах угла, а одна из сторон проходит через данную точку;
б) квадрат, одна из вершин которого находится в данной
точке, а остальные лежат на сторонах угла; в) окруж-
ность, касающуюся сторон угла и проходящую через дан-
ную точку.
31.87. Используя гомотетию, докажите, что: а) средняя
линия треугольника параллельна его стороне и равна поло-
вине этой стороны; б) три медианы треугольника пересе-
каются в одной точке; в) точка пересечения диагоналей
трапеции лежит на средней линии ее оснований; г) точка
пересечения продолжений боковых сторон трапеции лежит
на продолжении средней линии оснований; д) точка пере-
сечения диагоналей трапеции лежит на прямой, соединяю-
щей точки касания вписанной в эту трапецию окружно-
сти, лежащие на ее боковых сторонах.
31.88. В данный сектор впишите: а) равносторонний
треугольник; б) квадрат; в) окружность.
31.89. Впишите прямоугольник с заданным отношением
сторон в: а) сегмент; б) сектор.
31.90. Постройте квадрат, вписанный в: а) равносторон-
ний треугольник; 6) равнобедренный треугольник, у кото-
рого основание равно высоте, проведенной к нему.
Какую часть составляет площадь такого квадрата от
площади треугольника?
31.91. Внутри данного круга взяты две точки. Докажите,
что через них можно провести такую окружность, которая
лежит внутри данного круга.
А
Б
Задачи на применение подобия
31.92. Расстояние между двумя пунктами на плане масш-
табом 1:10 000 равно 12 см. Каково оно на самом деле?
Каким оно будет на плане масштабом 1:5 000? 1:25 000?
31.93. На земле квадратный участок имеет площадь 1 га.
Каковы размеры этого участка на карте масштабом:
а) 1:25 000; б) 1:50 000?
31.94. Парк умещается в круге радиусом 2 км. Вы хотите
сделать его план на прямоугольном листе бумаги, а) Какими
должны быть его размеры, если вам нужно выдержать масш-
А
Б
таб 1:10 000? б) В каком самом крупном масштабе вам
удастся его сделать на прямоугольном листе размером
30X20 см?
31.95. План участка сделан в масштабе 1:10 000 на целом
листе бумаги. План того же участка хотят сделать в масш-
табе 1:5 000. Сколько для этого понадобится таких же
листов бумаги?
31.96. а) Что означает фраза: «Первая карта крупнее,
чем вторая»?
б) Что означает фраза: «Первая карта крупнее второй
в два раза»?
Приведите пример двух таких карт.
31.97. Как с помощью подобия можно: а) вычислить
расстояние до недоступной точки; б) вычислить расстояние
между двумя недоступными точками; в) вычислить высоту
объекта; г) провести на земле прямую на невидимый объект?
31.98. На каком удалении от вас находится человек,
идущий перпендикулярно линии наблюдения?
В одной из книг дается такой ответ: «Закройте левый
глаз, вытяните руку вперед и отогните большой палец. Уло-
вив момент, когда палец прикроет фигуру идущего вдали
человека, закройте правый глаз, а левый откройте и сосчи-
тайте, сколько шагов сделает человек до того момента, когда
палец вновь прикроет фигуру. Увеличив полученное число
в 10 раз, вы узнаете расстояние до него в шагах».
На чем основан такой прием?
31.99. Перед вами разворот книги (рис. 316). Подобны
ли страница книги MNCD и место A\BtC\D\, занятое ее
текстом, если AD:AB=^j2:1?
Рис. 316
366
31.100. Используя теорему об отношении площадей по-
добных треугольников, докажите теорему Пифагора.
Решение. Задача простая, но поучительная. Здесь
важен не ее результат — он известен, не метод решения —
он очевиден, но важно осмысление этой задачи.
Сначала дадим все-таки доказательство. Пусть в тре-
угольнике АВС угол С прямой, CD .С АВ (рис. 317),
AACD<x> д ЛВС (?), значит, St = k2-S, где — коэффи-
циент подобия этих треугольников, aS — площадь треуголь-
ника ЛВС. Аналогично S2 = k2-S, где k2— коэффициент по-
добия треугольников BCD и ЛВС. Поэтому
S = S! + S2 = tfS + fciS=(tf4-^)S.
.2
Отсюда k2 -|- k2 — 1 • Но Л|=у, k2=Y А потому (у) 4~
+ 1, откуда а2А~Ь2 = с2, что и составляет содер-
жание теоремы Пифагора.
Можно ли считать, что мы получили еще одно доказа-
тельство теоремы Пифагора? Пока нет. Дело в том, что для
этого ее доказательства мы использовали теорию подобия.
Когда мы занимались подобием, то опирались на тригоно-
метрические функции, их свойства и их применения. А когда
мы занимались тригонометрическими функциями, то исполь-
зовали, в частности, теорему Пифагора. Поэтому возмож-
на логическая ошибка, так называемый «порочный круг»,
т. е. для доказательства некоторого утверждения в неявном
виде используется то, что требуется доказать.
В данном случае все можно проследить детально и вы-
яснить, как обстоят дела на самом деле — есть «порочный
круг» или его нет (?). Вместе с тем надо понимать, что
изучение планиметрии могло бы идти и не в таком порядке,
как у нас, и даже в известном смысле наоборот: сначала
подобие, а затем теорема Пифагора. Именно так и делает-
ся в некоторых учебниках по геометрии.
Но что любопытно—теорему Пифагора можно вывести
и без подобия, и без тригонометрических функций, а из од-
:И»7
ного только естественного предположения: площадь прямо-
угольного треугольника с заданным острым углом пропор-
циональна квадрату гипотенузы (?).
* § 32. ИНВЕРСИЯ
32.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ инверсии. Все конкретные преобра-
зования, которые мы до сих пор рассматривали, сохраняли
прямолинейность: отрезок они переводили в отрезок. Пре-
образование, которое мы изучим в этом параграфе, таким
свойством не обладает. Оно называется инверсией и опре-
деляется так.
Пусть задана некоторая окружность S с центром О и
радиусом г (рис. 318). Каждой точке X, отличной от точ-
ки О, поставим в соответствие точку X' на луче ОХ, такую,
что
OX'-OX = r2. (1)
Это преобразование и называется инверсией относитель-
но окружности 3 и обозначается /s. Точка О называется
центром инверсии, радиус г — радиусом инверсии, а окруж-
ность 3 - окружностью инверсии. В точке О инверсия /s
не определена, т. е. для О нет соответствующей точки.
Из симметричности точек X и X' в определении инвер-
сии вытекает такое ее свойство:
Свойство 1. Если точке X соответствует точка X' при
инверсии Is, то точке X' соответствует точка X, т. е. если
X' = ls(X), то X = /S(X').
Это же свойство можно сформулировать так: преобразо-
вание, обратное инверсии, совпадает с самой инверсией,
т. е. /s“l = /s.
Таким образом, Iso/s=:E.
Свойство 2. При инверсии каждая точка окружности
инверсии неподвижна, т. е. если ХеЗ, то ls(X)=X.
В остальных случаях из пары соответствующих друг дру-
гу при инверсии точек X и X' одна из точек лежит внутри
окружности инверсии, а другая точка — вне окружности.
Рис. 318
Рис. 319
68
Эти свойства говорят о сходстве инверсии и осевой
симметрии. Поэтому иногда инверсию называют симметрией
относительно окружности. Если преобразование f — инвер-
сия или симметрия, то выполняется равенство
М=Е. (2)
Преобразование, удовлетворяющее соотношению (2), на-
пивается инволюцией. Симметрия и инверсия — инволюции.
Как построить соответствующие друг другу при инверсии
точки X и X', ясно из рисунка 319. Прямые р и q — каса-
тельные к 5. ОХ-ОХ' — г2.
32.2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ИНВЕРСИИ. Для изучения
дальнейших свойств инверсии удобно применить аналитиче-
ский метод. Введем систему прямоугольных координат, по-
местив их начало в центр О окружности инверсии /$ (рис.
320). Пусть точка А имеет координаты х, у, а соответствую-
щая ей точка At—координаты хь у,. Тогда ОЯ=(х, у),
07i = (xi, yi) и
0%}=ЮЛ. (3)
Поэтому Х| —Хх, у\ = Ху. Найдем множитель к. Так как
то Л>0. Из равенства (3) следует, что ОА\ =
= WA. Умножив обе части последнего равенства на ОА,
получим:
ОА,-ОА=ЮА3. (4)
Так как OAt-OA = r2 и ОА"=х2А~У2, то из (4) получаем,
г2
что Х = ——. Следовательно, инверсия ls задается ра-
х
венствами
Y — Г2 Х II.—Г2 У
^1 2i 2 ’ ' 2 I 2 "
Х^+у2 х+У
(5)
Нам нужны будут и равенства, выражающие х и у через
Х| и у\. Так как /^' = /s, то
Рис. 320
369
32.3. ОБРАЗЫ ПРЯМЫХ И ОКРУЖНОСТЕЙ ПРИ ИНВЕРСИИ.
Теорема 39 (об инверсии). Инверсия преобразует:
1) прямую, проходящую через центр инверсии, в эту же
прямую; 2) прямую, не проходящую через центр инверсии,
в окружность, проходящую через центр инверсии; 3) окруж-
ность, проходящую через центр инверсии, в прямую, не про-
ходящую через центр инверсии; 4) окружность, не прохо-
дящую через центр инверсии, в окружность, не проходящую
через центр инверсии. (Во всех случаях центр инверсии
исключается.)
Доказательство. Общее уравнение для прямых и
окружностей на плоскости таково:
Д(хг+У2)+^+Су + Д = 0 (7)
(если 42 + В2 + С2>0).
Действительно, при 4=0 уравнение (7) становится ли-
нейным уравнением и задает прямую (см. п. 25.4). Уравне-
ние же окружности (х — а)2-|- (у — b)2=R2 (п. 25.2) также
является уравнением вида (7).
Выясним теперь, во что преобразует инверсия ls фигуру
F, заданную уравнением (7). Для этого в (7) подставим
выражения (6). Получим:
Ar(4 + i/i) Н-Сг2//, । г)_п
(*?+у?)2 + "Г
т. е.
O(x'f + y?)+Br2x1 + Cr2t/1+/lr4 = 0. (8)
Уравнение (8) задает образ ls(F) фигуры F при ин-
версии ls. Рассмотрим последовательно все четыре случая.
1) F—прямая, проходящая через точку О (рис. 321, а).
Тогда 4=0, 0 = 0 и уравнение (8) имеет вид Bxi-f-Ci/i=0,
т. е. задает ту же прямую F.
2) F — прямая, не проходящая через точку О (рис. 321,
б). Тогда 4=0, но 1)^=0 и уравнение (8) приводится к ви-
ДУ
х? + «/| — 2axi — 2Ьу\ =0,
где 2а=^^- и 2Ь=—^~. Выделив полные квадраты,
его можно записать так:
(xi — а)2 + (t/i— b)‘2 = a2-f-b2. (9)
Уравнение (9) задает окружность, проходящую через
точку О.
3) F — окружность, проходящая через точку О. Тогда
4=#0, но 0 = 0 и уравнение (8) приводится к виду
Вх, + Су\ +4г2 = 0. (10)
370
Так как Л=/=0, то это уравнение (10) задает прямую,
не проходящую через точку О (рис. 321, в). Объясните, по-
чему в этом случае хотя бы одно из чисел В или С отлично
от нуля.
4) F — окружность, не проходящая через точку О (рис.
321, г). В этом случае и 4^0, и D^O, а уравнение (8) —
это уравнение того же вида, что и уравнение (7): оно тоже
задает окружность, не проходящую через точку О. Мы рас-
смотрели все случаи.
Для каждого из случаев, рассмотренных в теореме, ука-
жите построение образа соответствующей фигуры при инвер-
сии. Заметьте, что эти построения упрощаются в тех слу-
чаях, когда прямая или окружность пересекает окружность
инверсии (рис. 321, в, г). Обратите внимание, что при инвер-
сии центр окружности не переходит в центр ее образа.
371
32.4. СОХРАНЕНИЕ ВЕЛИЧИН УГЛОВ ПРИ ИНВЕРСИИ. Ясно,
что инверсия не сохраняет расстояний между точками. Но
оказывается, что инверсия сохраняет углы между кривыми.
В рассмотренных нами случаях это углы между прямыми
и окружностями. Угол между пересекающимися окружно-
стями — это угол между касательными к ним прямыми в точ-
ке их пересечения (рис. 322, а). Аналогично определяется и
угол между окружностью и пересекающей ее прямой
(рис. 322, б). Сначала заметим следующее.
Если окружность и прямая (или две окружности) ка-
саются, то их образы при инверсии также касаются (рис.
323). Действительно, поскольку исходные фигуры имеют
единственную общую точку, то их образы также имеют
единственную общую точку, т. е. касаются. (Почему?)
Теперь докажем, что при инверсии углы сохраняются
для случая пересекающихся прямых р и q, не проходящих
через центр инверсии — точку О (рис. 324). (Остальные
случаи сводятся к этому, так как, например, угол между
окружностями — это угол между их касательными прямыми
в точке пересечения окружностей.)
Доказательство. Пусть А—точка пересечения р
и q. Окружности U = ls(p) и V=ls(q) пересекаются в
точке О и еще в одной точке B — ls(A). Поскольку углы
между окружностями U и V в точках О и В равны, то
Рис. 323

372
будем рассматривать угол <р между ними в точке О. Каса-
тельные прямые р\ и q\ в точке О к окружностям U и V
параллельны соответственно прямым р и q (докажите это!).
Поэтому <Lp\q\ = /Lpq = y-
32.5. метод инверсии. Сначала мы применим инверсию
для доказательства теоремы Птолемея о произведении диа-
гоналей вписанного четырехугольника. Клавдий Птоле-
мей (ок. 100—ок. 178)—знаменитый древнегреческий аст-
роном и математик, живший в Александрии.
При доказательстве теоремы Птолемея используется сле-
дующая лемма:
Лемма (об инверсии). Пусть А' и В' — образы точек
А и В при инверсии с центром О и радиусом г. Тогда тре-
угольники ОАВ и ОВ'А' подобны и
А'В'=АВОА ов . (11)
Доказательство. По определению инверсии выпол-
няются равенства
ОА'-ОА=г2, ОВ'-ОВ = г2.
Следовательно, ОА' ОА = ОВ' ОВ, и потому
(12)
(13)
О A' _ OB'
OB ~ ОА'
Значит, треугольники ОАВ и OB'А' имеют общий угол
при вершине О и их стороны, идущие из этой вершины,
пропорциональны (рис. 325). По третьему признаку подобия
треугольники ОАВ и ОВ'А' подобны. (При этом вершине А
соответствует вершина В', а вершине В—вершина А'.)
Но тогда и
А’В1 _ ОА'
АВ ОВ '
37.
р
Из этого равенства
А'В' = АВ-^. (14)
Подставляя в (14) выражение ОА'=^ из (12), получа-
ем (11).
Теорема Птолемея. Произведение диагоналей впи-
санного в окружность четырехугольника равно сумме про-
изведений его противоположных сторон.
Доказательство. Пусть четырехугольник ABCD
вписан в окружность S (рис. 326). По теореме об инверсии
эту окружность инверсия / с центром в точке D (и любым
радиусом) переведет в прямую р, не проходящую че-
рез точку D. Точки Л,=/(Л), В, = /(В), С|=/(С) лежат
на прямой р, причем точка В, лежит на отрезке А,С|. Поэтому
Л.С^Л^ + В.Сь (15)
По лемме об инверсии
Л|С|=ЛС-ол рс , Л|В| =ЛВдл , BiCi = BCDB Dc . (16)
Подставив эти выражения в (15) и упростив, получаем
нужное равенство:
AC-DB = AB-DC + BC-DA. (17)
Инверсию часто применяют для решения задач на пост-
роение касающихся фигур (прямых и окружностей), пре-
образуя окружности в прямые. Касание фигур сохраняется
при инверсии, и часто после инверсии решение задачи упро-
щается. Затем, снова выполнив инверсию, получают решение
исходной задачи. Вот пример такой задачи.
)74
Задача. Построить окружность, проходящую через две
данные точки и касающуюся данной окружности.
План решения. Пусть заданы точки А, В и окруж-
ность U (рис. 327). Считается, что мы уже умеем решать
такую задачу: построить окружность, проходящую через две
данные точки и касающуюся данной прямой (идея решения
этой задачи указана на рисунке 328). Произведем инвер-
сию / с центром в любой точке O^U и любым радиусом
(например, ОА). Инверсия / переведет окружность U в пря-
мую p=l(U), точку А в точку A। = 1(A) и точку В в точку
Bt=l(B).
Построим окружность Vi, проходящую через точки At,
Bi и касающуюся прямой р. Тогда окружность V=l(Vt)
пройдет через точки А = /(Л।), В = /(В,) и коснется окруж-
ности U=I(р).
(Все это нетрудно описать, но очень трудно нарисовать.
Поэтому рисунка здесь нет.)
32.6. инверсор. На свойствах инверсии основан механизм,
преобразующий вращательное движение в прямолинейное.
Он называется инверсором и устроен так. Семь твердых
стержней OP, OQ, PM, PM', QM, QM' и SM соединены
шарнирно так, как указано на рисунке 329. Точки О и S
неподвижны, причем OS = SM. Кроме того, PMQM'— ромб.
Когда точка М вращается по окружности с центром S и ради-
усом SM, точка М' перемещается по прямой. Докажем это.
Установим, что произведение ОМ-ОМ' постоянно. Про-
ведем окружность F с центром S и радиусом РМ. Тогда
произведение ОМ-ОМ' равно квадрату касательной, ирове-
375
32.1
32.2
32.5
денной из точки О к F, т. е. ОМ -ОМ' = ОР2— РМ2. Вели-
чина г2 = ОР2 — РМ2 постоянна. Итак, точки М и М' со-
ответствуют друг другу при инверсии с центром О и ра-
диусом г. Поэтому, когда точка М двигается по дуге окруж-
ности (проходящей через точку О), точка М' двигается по
прямолинейному отрезку (по свойству 3 из теоремы об
инверсии).
©1. Какие свойства инверсии Вы знаете?
2. Какими формулами задается преобразование инверсии?
3. В чем сходство между инверсией и отражением?
4. В некотором смысле можно считать, что отражение —
предельный случай инверсии. Поясните это.
5. Какие фигуры в результате инверсии остаются неподвиж-
ными?
6. В чем состоит метод инверсии?
Задачи к § 32
32.1 . Какая из двух соответствующих точек при данной
инверсии ближе к окружности инверсии?
32.2 . Пусть точка движется по лучу, выходящему из
центра инверсии, удаляясь от него. Как движется соответ-
ствующая ей точка?
32.3 . Верно ли, что две данные точки и две точки, им
соответствующие при данной инверсии, лежат на одной ок-
ружности?
32.4 . В какие фигуры переходят при инверсии такие части
круга, ограниченного окружностью инверсии: а) хорда, не
являющаяся диаметром; б) диаметр; в) дуга; г) сектор;
д) сегмент?
32.5 . Пусть точка движется по часовой стрелке по окруж-
ности, не проходящей через центр инверсии. В каком на-
правлении при этой инверсии движется соответствующая
ей точка по соответствующей окружности?
32.6 . Можете ли вы найти инверсию, которая данную
окружность переводит в; а) другую данную окружность;
б) данную прямую?
32.7 . Сохраняет ли инверсия касание; а) окружностей;
б) прямой и окружности?
32.8 . Нарисуйте образ круга в результате инверсии, рас-
сматривая различные его положения относительно круга,
ограниченного окружностью инверсии.
32.9 . Докажите теорему, обратную теореме Птолемея.
32.10 . Положите на стол четыре любые монеты так, что-
бы каждая касалась двух. Докажите, что четыре точки
касания лежат на одной окружности.
32.11 . Постройте окружность: а) проходящую через дан-
ную точку и касающуюся двух данных окружностей; б) ка-
сающуюся трех данных окружностей.
376
32.12 . Пусть R — радиус окружности, описанной около
треугольника, г — радиус окружности, вписанной в треуголь-
ник, d— расстояние между центрами этих окружностей. До-
кажите, что d2 = R2 — 2Rr.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ V
V .I. Какую часть составляют неизвестные площади от
площади данного равностороннего треугольника на рисун-
ке 330?
V .2. Какую часть составляют неизвестные площади от
площади данного квадрата на рисунке 331?
V .3. Какую часть составляют неизвестные площади от
площади данного круга на рисунке 332?
Рис. 330
377
Рис. 334
V .4. Какую долю составляют площади каждой из частей
исходной фигуры от площади всей исходной фигуры на ри-
сунке 333?
V .5. Рассчитайте размеры указанных на рисунке 334 фи-
гур так, чтобы площадь заштрихованной фигуры составляла
половину площади исходного круга.
V .6. Какую часть составляет площадь закрашенного
многоугольника от площади исходного квадрата на рисун-
ке 335? Обобщите задачу.
V .7. Какую часть составляет площадь заштрихованного
многоугольника от площади исходного равностороннего тре-
угольника на рисунке 336?
*7Н
Рис. 335
Рис. 336
Рис. 337
V .8. В данном круге расположены треугольник и квад-
рат, как показано на рисунке 337. Какую часть от площади
данного круга составляют площади всех его частей на этом
рисунке?
V .9. Расположите три одинаковые монеты так, чтобы
каждая касалась двух других, а) Какую часть составляет
от площади одной из монет площадь фигуры, ограничен-
ной ими? Обобщите эту задачу, б) Рассмотрим наимень-
ший круг, содержащий данные монеты. Какую часть от его
площади составляет площадь всех монет? Обобщите эту
задачу, в) Какую часть составляет площадь наибольшего
круга, который умещается в фигуре, описанной в пункте а),
по отношению к площади монеты? Обобщите эту задачу.
V .10. Равны ли две фигуры, если равны их площади и
периметры, когда эти фигуры: а) прямоугольники; б) равно-
бедренные треугольники; в) секторы?
V . 11. Докажите, что группа симметрии фигуры сохраня-
ется в результате любого движения или подобия.
V .12. Пусть в результате преобразования f точка А пе-
решла в точку А ।, а точка В — в точку S,. Пусть при любом
выборе точек А и В выполняется равенство Л|В|=/гЛВ.
Каким является преобразование /?
V .13. Постройте равносторонний треугольник с верши-
нами: а) на сторонах данного равностороннего треуголь-
ника; б) на сторонах данного квадрата; в) в данной точке
и на двух данных прямых; г) на трех данных параллельных
прямых; д) на трех данных концентрических окружностях.
V .14. Окружность Fi является образом окружности F
в результате инверсии. Докажите, что эти окружности гомо-
тетичны относительно центра инверсии. Верно ли обратное?
V .15. Каким преобразованием является композиция двух
инверсий?
V .16. Два прямолинейных шоссе пересекаются за пре-
делами карты. Вам нужно узнать: а) расстояние от данной
точки до их пересечения; б) азимут на точку их пересече-
ния. Как это сделать?
V .17. Нарисуйте на бумаге четырехугольник, затем ото-
рвите две его части с противоположными вершинами. А те-
перь проведите часть диагонали, соединяющей эти вершины.
V .18. У вас имеются две прямоугольные карты одной
местности. Меньшую карту наложили на большую. Дока-
жите, что при этом изображения хотя бы одной точки на
местности совпадают.
* ГЛАВА VI
ОСНОВАНИЯ
ПЛАНИМЕТРИИ
§ 33. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
И ОСНОВАНИЯ ПЛАНИМЕТРИИ ЕВКЛИДА
зз.1. аксиоматический метод. В начале курса геомет-
рии говорилось, что в геометрии только самые начальные
сведения берутся из практики и наблюдения, они наглядны
и очевидны. Все ее дальнейшие утверждения обосновывают-
ся путем логических рассуждений. Это понял еще Фалес.
Так мы и поступали, когда доказывали теоремы, решали
задачи. Однако в наших доказательствах мы не только поль-
зовались чисто логическими рассуждениями, но и нередко
опирались на очевидность. Например, мы назвали много-
угольником часть плоскости, ограниченную простой замкну-
той ломаной (п. 1.2). Но что значит «ограниченную»? Точно-
го определения этого понятия дано не было — мы полага-
лись на очевидность. Но как дать определение?
Обычное определение состоит в том, что одно понятие
разъясняется с помощью других, которые считаются извест-
ными. Допустим, эти известные понятия тоже можно опре-
делить через другие. Но так продолжать без конца невоз-
можно. Мы придем к понятиям, которые через другие опре-
делить уже нельзя; их мбжно только пояснить, показать
на примерах. Сами же эти понятия будут служить для
определения других понятий. Они в этом смысле будут исход-
ными, основными
Итак, нужно выявить основные понятия изучаемой нами
геометрии, а остальные определить через них.
Однако этого еще недостаточно. Доказывая какое-ни-
будь утверждение, теорему, мы опираемся на некоторые
предпосылки, на то, что считается уже известным. Но и эти
предпосылки нужно обосновывать и т. д. Так продолжать
до бесконечности невозможно, и мы придем к предпосылкам,
которые должны быть приняты за исходные. Эти исходные
380
положения — аксиомы принимаются без доказательства и
составляют основу для доказательства теорем. При этом
список аксиом должен быть таков, чтобы, опираясь на них,
можно было получить необходимые выводы.
Так, мы предполагали, что данным отрезком е, приня-
тым за масштаб, можно измерить любой другой отрезок
(с заранее указанной точностью), откладывая на нем отрез-
ки, равные е, или их доли: -у, -^-> у...Однако можно
допустить, что существует столь большой отрезок, что, сколь-
ко раз ни откладывать на нем отрезки, равные е, все будет
оставаться остаток, больший е. Ясно, что такого быть не мо-
жет. Но для логических выводов надо либо доказать, либо
принять за аксиому, что такое невозможно. Еще в древно-
сти греки поняли это и высказали такую аксиому (она на-
зывается аксиомой Архимеда): для любых двух отрезков
а и b найдется такое натуральное число п, что па>Ь.
Мы часто пользовались тем, что прямая, проходящая
через точку внутри круга, пересекает его окружность в двух
точках. Это очевидно (рис. 338). Однако почему нельзя
было бы предположить, что как раз там, где окружность
должна пересечь прямую, на прямой нет никакой точки —
там как бы «дыра» и окружность переходит с одной стороны
от прямой на другую, не пересекая прямой? Это невозмож-
но, говорим мы, потому что прямая сплошная, непрерывная,
в ней нет «дыр». Но это наше представление нужно явно
и точно выразить, значит, нужна особая аксиома. Такая
аксиома есть, и она называется аксиомой непрерывности.
Итак, задача состоит в том, чтобы выделить основные
понятия, сформулировать как аксиомы все положения, кото-
рые принимаются без доказательств, и тем дать основу для
строго логического построения планиметрии — для опреде-
ления других ее понятий и доказательства теорем. В этом
смысле и говорят, что список основных понятий и форму-
лировки аксиом составляют основания планиметрии.
После того как выделены основные понятия и сформу-
лированы аксиомы теории (в нашем случае планиметрии),
все ее дальнейшие утверждения выводятся чисто логиче-
ским путем. Такой способ построения научной теории на-
зывают аксиоматическим методом. Впервые он появился в
геометрии в Древней Греции, а в настоящее время приме-
няется во всех теоретических науках, прежде всего в ма-
тематике.
Замечание. Принимать за основные можно разные
понятия, так же как принимать за аксиомы можно разные
утверждения планиметрии. Получаются разные ее основания.
Но все они дают одни и те же результаты. Примеры та-
ких различных построений планиметрии вы получите, если
сравните, например, разные школьные учебники геометрии.
Рис. ззн
381
33.2. основные понятия и определения. Основные по-
нятия, которые выделяют при строгом построении геометрии,
делятся на два вида: одни обозначают объекты, которыми
занимается геометрия, другие обозначают отношения между
ними. Так, точка и отрезок — это объекты, а то, что точка
принадлежит отрезку,— отношение между ними.
За основные объекты мы принимаем следующие: 1) точ-
ки; 2) отрезки; 3) фигуры. При этом точки и отрезки счи-
таются частными видами фигур.
За основные отношения между этими объектами прини-
маются: 1) точка принадлежит фигуре, в частности отрез-
ку; 2) точка является концом отрезка; 3) два отрезка равны.
Отношение равенства отрезков служит основным поня-
тием, оно не определяется. Наглядно оно поясняется нало-
жением одного отрезка на другой, но это не определение.
Если бы мы сказали, что отрезки называются равными, если
один можно наложить на другой, то надо было бы опреде-
лить, что значит наложить, либо принять наложение за
основное понятие.
Дадим теперь несколько определений, выражая их через
основные понятия. Вернитесь также к ранее данным опреде-
лениям других понятий и проанализируйте их (например,
понятие пересечения фигур и т. п.).
1. Фигура называется объединением некоторых данных
фигур, если ей принадлежат все точки этих фигур, и никакие
другие (рис. 339).
2. Прямой АВ называется фигура, являющаяся объеди-
нением всевозможных отрезков, содержащих точки А и В
(рис. 340, а).
3. Лучом АВ называется фигура, являющаяся объедине-
нием всевозможных отрезков с концом Л, содержащих точ-
ку В (рис. 340, б).
4. Полуплоскостью, ограниченной прямой а, называется
фигура, обладающая следующими свойствами: 1) она со-
держит прямую а, но не совпадает с ней; 2) если точки Л, В
принадлежат полуплоскости, но не прямой а, то отрезок АВ
не имеет общих точек с а (рис. 341, а); 3) если же точка Л
принадлежит полуплоскости, а В нет, то отрезок АВ имеет с
прямой а общую точку (рис. 341, б).
Рис. 339
Рис. 340
382
Рис. 341
(Фигура F содержит фигуру G, если каждая точка
фигуры G является точкой фигуры F; обозначение F^>G
или GcF.)
Определения имеют смысл не сами по себе, а лишь в
связи с утверждениями, устанавливающими, что объект, ко-
торому дано определение, существует. И это должно либо
утверждаться в аксиомах, либо быть доказано из аксиом.
Поэтому прежде всего аксиомы должны говорить о сущест-
вовании самих основных объектов и отношений между ними.
зз.з. аксиоматика евклидовой планиметрии. Аксио-
матикой называют перечень основных понятий и аксиом.
Обычно говорят не перечень, а система аксиом, так как
аксиомы связаны друг с другом и образуют в этом смысле
известную систему.
Аксиомы планиметрии делятся на несколько групп. Сфор-
мулируем их. Римской цифрой обозначается номер группы
аксиом, а арабской — номер аксиомы в этой группе (если
их больше одной).
1. Аксиомы связи отрезков и точек.
1.1. Существуют по крайней мере две точки.
1.2. Для каждых двух точек существует, и притом единст-
венный, отрезок, концами которого являются данные точки.
1.3. У каждого отрезка есть два и только два конца, а
также существуют другие принадлежащие ему точки.
О точках отрезка, отличных от его концов, говорят,
что они лежат внутри этого отрезка или что они лежат
между его концами.
1.4. Точка С, лежащая внутри отрезка АВ, разбивает
его на два отрезка АС и СВ, т. е. АВ есть объединение
отрезков АС и СВ. которые имеют лишь одну общую точку С.
В этом случае говорят, что отрезок АВ составлен из
отрезков АС и СВ.
1.5. Каждый отрезок можно продолжить за каждый из
его концов, т. е. для каждого отрезка АВ существует содер-
жащий его отрезок АС с концом С, отличным от В.
1.6. Объединение двух отрезков, имеющих две общие
точки, является отрезком; его концами служат два из концов
этих отрезков.
II. Аксиомы равенства отрезков.
II.I . Два отрезка, равные одному и тому же отрезку,
равны.

зн:
A Al А2 An-t АП=>
"б '
И-------- AAj=AfA2= ...= An.,An = PQ
U nPQ>AB
Рис. 342
An 6 Bn
'----1-----1' * । « । . < ( [
А1 A2 A3 АП*1 Bn*t &3 &2
C^AnBn
Рис. 343
11.2 . На каждом луче l от его начала О можно отложить
отрезок, равный данному отрезку АВ, и притом только один,
т. е. существует единственная точка С<=1, такая, что ОС=АВ.
11.3 . Если точка С лежит внутри отрезка АВ, а точка
С| лежит внутри отрезка А । В । и выполняются равенства
АС = А\С[ и CB = CiBt, то АВ=А1В1.
II.4 . Для каждых двух отрезков АВ и PQ существует
отрезок АС, содержащий АВ и составленный из конечного
числа отрезков, равных PQ (аксиома Архимеда, рис. 342).
III. Аксиома непрерывности.
Если дана бесконечная последовательность отрезков
Aifii, А2В2, А3В3, ... и отрезок А\В\ содержит отрезок А2В2,
отрезок А2В2 содержит отрезок А3В3 и вообще отрезок АпВп
содержит отрезок An+\Bn+i, то существует точка, принад-
лежащая всем этим отрезкам (рис. 343).
Аксиомы первых трех групп можно назвать линейными,
так как в них не присутствует представление о плоскости:
они могли бы относиться к точкам и отрезкам, лежащим
на одной прямой. Все эти аксиомы, за исключением аксиомы
непрерывности, выведены непосредственно из практики, а в
практике выраженные в них свойства подразумеваются сами
собой.
Линейные аксиомы позволяют обосновать измерение дли-
ны отрезков и доказать следующую важную теорему:
Теорема о длине отрезка. При произвольно вы-
бранном отрезке е каждому отрезку а однозначно сопостав-
ляется положительное число (которое называется длиной
отрезка в масштабе е) так, что выполняются три условия:
I) длины равных отрезков равны; 2) при сложении отрезков
длины их складываются; 3) 1(e) =1.
Эта непростая теорема доказывается в институтах, а в
школьных курсах геометрии существование длины отрезка
обычно аксиоматизируется.
Аксиом о фигурах, не лежащих на одной прямой, всего
четыре. Мы разобьем их на две группы.
Н4
IV. Аксиомы плоскости.
IV . I (аксиома разбиения плоскости). Каждая прямая
разбивает плоскость на две полуплоскости, т. е. в объеди-
нении эти полуплоскости дают всю плоскость, а их пересе-
чением является данная прямая (рис. 344).
В двух следующих аксиомах речь идет об углах, мень-
ших развернутого. Такой угол определим как пару лучей,
имеющих общее начало и не лежащих на одной прямой.
Определение равенства углов соответствует общему опреде-
лению равенства фигур, данному в п. 26.4. Точки X и X' лучей
h и h' с началами в точках А и А' считаем соответствен-
ными, если А'Х' = АХ. Углы А и А' со сторонами h, k и
h', k' назовем равными, если любые отрезки, соединяющие
соответственные точки сторон этих углов, равны, т. е. из ра-
венств А'Х' = АХ, Xe=/i, X'e=h', и A'Y' = AY, Y<=k, Y't=k',
следует равенство X'Y' = XY.
IV. 2 (аксиома откладывания угла). От каждого данного
луча в данную сторону можно отложить угол, равный данно-
му углу, и притом только один (рис. 345). («В данную сто-
рону» значит в заданную полуплоскость, на границе кото-
рой лежит данный луч.)
IV.3 (аксиома равенства углов). Если на сторонах углов
А и А’ найдутся такие соответственные точки В, С и В', С',
что В'С = ВС, то углы А и А' равны (т. е. если АВ = А'В',
АС=А'С, ВС = В'С', то для любых Р, Q, Р', Q', таких, что
АР=А'Р' и AQ = A'Q', выполняется равенство PQ = P'Q';
рис. 346).
V. Аксиома параллельности Евклида.
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит
единственная прямая, не пересекающая данную прямую
(рис. 347).
а
Рис. 346
Рис. 347
Рис. 348
33.4. ОБ УРОВНЕ СТРОГОСТИ ШКОЛЬНОГО КУРСА ГЕОМЕТРИИ.
После того как система аксиом планиметрии предъявлена,
следовало бы убедиться, что она действительно дает основу
для логического построения планиметрии. Для этого прежде
всего надо доказать, опираясь на аксиомы, те теоремы, ко-
торое перечислены во введении. Ведь именно исходя из та-
ких теорем мы развивали планиметрию в этом учебнике.
Самыми важными из этих теорем являются признаки равен-
ства треугольников. Аксиомы IV.2 и IV.3 мы выбрали так,
что доказательства признаков равенства треугольников ста-
нут совсем простыми. При этом равенство треугольников
можно определить по-разному: например, назвать равными
можно такие треугольники, у которых соответственно равны
как стороны, так и углы. Тогда в первом признаке равенст-
ва треугольников АВС и А'В'С' из равенств А'В' = АВ,
А'С' = АС и ДА'=ДА все три равенства В’С = ВС,
zLB' = /LB и ДС'=ДС следуют прямо из аксиомы 1V.3,
а также из определения равенства углов. Также из аксио-
мы IV.3 следует равенство углов в третьем признаке равен-
ства треугольников. Немногим сложнее доказательство вто-
рого признака равенства треугольников. Проведем его.
Дано: дАВС и дА'В'С', А'В' = АВ, Z.A'==zLA,
Доказать: дА'В'С = ДАВС, т. е. В'С' = ВС, А'С' =
=АС, Z-C — Z.C.
Доказательство. Отложим на луче А'С' отрезок
А'С" = АС (аксиома II.2). Проведем отрезок В'С" (аксио-
ма 1.2). Тогда дА'В'С"= ДАВС (по первому признаку ра-
венства). Следовательно,ДА’В'С" = Z.АВС. А так как
ДА'В'С'= ДАВС, то 2-А'В'С" = АА’В'С. По аксио-
ме IV.2 лучи В’С" и В'С совпадают. Поэтому точки С и
С" совпадают. Следовательно, А'С=АС. А тогда
дА'В'С' = дАВС (по первому признаку).
Повторяя доказательства теорем, следующих за призна-
ками равенства треугольников, старайтесь делать необхо-
димые ссылки на аксиомы или на уже доказанные теоремы.
Но не везде в школьном курсе удается выдержать такой
уровень логической строгости, особенно в тех случаях, где
требуется применение аксиомы непрерывности. Правда, та-
ких мест в курсе геометрии немного.
Без подробного обоснования остался вопрос о сущест-
вовании и единственности площади многоугольных фигур и
теорема о площади прямоугольника (доказательства этих
теорем еще сложнее доказательства уже упоминавшейся в
п. 33.3 теоремы о длине отрезка). А вот еще наглядно оче-
видная теорема: простая замкнутая ломаная L разбивает
плоскость на две части — ограниченный многоугольник F
и неограниченную фигуру G, дополняющую F до всей плос-
кости (рис. 348, а). Но ее доказательство столь трудно, что
Ш»
его не приводят даже в весьма подробных курсах геоме-
трии. Этот пример показывает, сколь сложен бывает переход
от геометрической наглядности к чисто логической строгости.
(Отметим, что для выпуклой ломаной L доказательство
этой теоремы существенно упрощается: выпуклый много-
угольник F получается пересечением конечного числа полу-
плоскостей (рис. 348, б).)
§ 34. ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ГЕОМЕТРИИ
Геометрия развивалась многие тысячелетия. Здесь мы
расскажем об основных периодах ее истории.
34.1. эпоха практической геометрии. Первоначальные
геометрические понятия зародились у людей в глубочайшей
древности и постепенно расширялись и уточнялись с разви-
тием практической деятельности, когда люди оценивали рас-
стояния, делали прямые копья и стрелы, сравнивали их по
длине и т. д. Но сама геометрия зародилась тогда, когда
с развитием земледелия были выработаны и осознаны пер-
вые правила измерения земельных участков для посева,
правила нахождения объема сосудов, строительства зданий
и др. Эти простые правила сравнения фигур, нахождения
геометрических величин, простейших геометрических по-
строений и составили начала геометрии как пока еще чисто
прикладной науки, как собрание правил решения практи-
ческих задач.
Такие зачатки геометрии складывались в древних земле-
дельческих обществах (в Египте, Вавилоне, дельте Инда,
Китае). И раньше всего, по-видимому, в Древнем Египте.
Самое древнее дошедшее до нас в отрывках собрание пра-
вил решения геометрических задач из Египта относится к
XVII в. до н. э., и оно, конечно, не было первым. Так что
возраст геометрии надо оценивать не менее чем в 4—5 ты-
сяч лет. Но тогда она не была еще математической наукой.
Египтяне знали многие факты геометрии, например теорему
Пифагора, приближенное выражение объема шара через его
радиус и др., именно как опытные факты, а не логически
доказанные теоремы. Математика, как мы ее теперь понима-
ем, сложилась много позже.
34.2. ФОРМИРОВАНИЕ теоретической геометрии. Прак-
тические правила, подсказанные опытом, постепенно приво-
дились в систему, и одни правила стали выводиться из дру-
гих. Возникло доказательство, правила стали превращаться
в теоремы, в предложения, которые доказываются рассуж-
дением без ссылок на опыт; появились также задачи, имею-
щие лишь теоретический интерес; оформились представления
об идеальных геометрических фигурах — о точках без всяких
измерений, о прямой без ширины и толщины и т. п. Гео-
метрия постепенно, таким образом, становилась теоретиче-
387
ской наукой, как мы ее теперь понимаем. Одновременно
стала складываться теоретическая арифметика — начала
теории чисел, так что в целом возникла чистая математика,
Как происходил этот процесс, точно неизвестно, но, во вся-
ком случае, известно, что геометрия оформилась как наука
в Древней Греции в VII—V вв. до н. э. В этом сыграли
существенную роль греческие мыслители, известные вам по
названиям теорем,— Фалес (ок. 625—ок. 547 гг. до н. э.)
и Пифагор (VII в. до н. э.).
В конце V в. до н. э. греческий геометр Г иппократ
Хиосский (т. е. из Хиосса) создал сводное сочинение по
геометрии — «Начала», до нас, однако, не дошедшее. Он, как
и другие греческие геометры того времени, занимался тон-
кими теоретическими вопросами геометрии.
Таким образом, в то время геометрия, несомненно, уже
сложилась как наука с ее системой выводов и с чисто тео-
ретическими задачами.
Этот процесс формирования геометрии от правил изме-
рения земельных участков до логической системы теорем
кратко охарактеризован в следующих замечательных словах
греческого ученого Евдема Родосского (IV в. до н. э.):
«Геометрия была открыта египтянами и возникла при
измерении Земли. Это измерение было им необходимо вслед-
ствие разливов реки Нила, постоянно смывающего границы.
Нет ничего удивительного в том, что эта наука, как и другие,
возникла из потребностей человека. Всякое возникающее
знание из несовершенного состояния переходит в совершен-
ное. Зарождаясь путем чувственного восприятия, оно по-
степенно становится предметом рассмотрения и, наконец,
делается достоянием разума».
34.3. расцвет геометрии в Греции. Одним из важней-
ших событий того времени — в V в. до н. э.— было откры-
тие несоизмеримых отрезков. Диагональ квадрата несоизме-
рима с его стороной: у них нет общей меры, т. е. такого
отрезка, как бы мал он ни был, который укладывался бы
и в диагонали, и в стороне по целому числу раз. Говоря
нашим современным языком, если сторона квадрата равна а,
то диагональ по теореме Пифагора равна -у/2а. А так как
д/2— число иррациональное, то нет таких целых чисел т
и п, чтобы a = mb и -^2а=пЬ.
Раньше думали, что отношение любых величин можно
выразить рациональным числом, т. е. как отношение целых
чисел, и вот выяснилось, что это неверно. Выяснилось тем
самым, что рациональных чисел недостаточно для выраже-
ния отношения любых величин. Но обобщения понятия
числа иррациональных чисел греки, однако, не смогли сде-
лать. Поэтому то, что мы теперь выражаем средствами
алгебры, они выражали геометрически: сначала была гео-
метрия — алгебра появилась потом. Например, квадратное
388
уравнение х2-|~ах = 6 выражалось примерно так: найти такой
отрезок х, что квадрат, на нем построенный, вместе с прямо-
угольником, построенным на этом отрезке и данном отрезке,
дают площадь, равную данной.
Вместо действительных чисел вообще рассматривались
отношения величин. Теорию этих отношений построил в IV в.
до н. э. Евдокс, один из величайших древнегреческих
ученых. И в настоящее время его теория является образцом
строго логического построения. Евдокс создал также первую
модель движения небесных тел (с Землей в центре), можно
сказать, первую математическую теорию естествознания;
и она послужила прообразом более поздней системы Пто-
лемея.
Основные достижения геометрии были систематизирова-
ны и изложены в логической последовательности Евкли-
дом в его обширном труде, известном под названием «На-
чала». Евклид жил в Александрии в III в. до н. э„ уже в
другую эпоху греческой истории, последовавшую за похо-
дами Александра Македонского,— эпоху эллинизма. Рас-
сказывают, что, когда правивший в Александрии царь ска-
зал Евклиду, чтобы тот специально для него изложил гео-
метрию, Евклид ответил: «В геометрии нет царского пути».
Истина, наука для всех одна.
«Начала» Евклида содержат только основы геометрии
того времени, но, например, известные тогда результаты о
конических сечениях в них не излагаются. Кроме того,
«Начала» содержат элементы теории чисел и геометрически
изложенной алгебры, так что в целом они представляют
изложение основ математики того времени. Открываются
«Начала» определениями основных понятий и формулиров-
ками основных положений геометрии — «постулатов» и «ак-
сиом», затем идут в широкой последовательности «предло-
жения»— теоремы и решения задач на построение; каждый
новый раздел «Начал» начинается с нужных определений.
Причины разделения основных положений на «постулаты»
и «аксиомы» в настоящее время не совсем понятны, и им
не придают значения: теперь основные положения всякой
теории называются вообще аксиомами.
Эта структура «Начал» послужила образцом научного
изложения на две тысячи лет, и ему, например, следовал
Ньютон в своих «Математических началах натуральной фи-
лософии». Учебники же школьной геометрии до самого по-
следнего времени повсеместно представляли, по существу,
популярные изложения «Начал» Евклида.
Со времени Евклида все учили геометрию по его «Нача-
лам», а предшествовавшие им сочинения (например, упомя-
нутые выше «Начала» Гиппократа Хиосского) были забыты.
После Евклида греческие ученые развивали способы на-
хождения площадей и объемов (Архимед — ок. 287—
ЗН
Омар Хайям
Рене Декарт
212 гг. до н. э.), глубоко изучали конические сечения
(Аполлоний — ок. 260—ок. 170 гг. до н. э.), положили
начало тригонометрии (Гиппарх — ок. 180—ок. 125 гг.
до н. э.), тригонометрии на сфере (Менелай — I—II вв.)
и др.
34.4. классические задачи древности. Большое значе-
ние для дальнейшего развития математики имели не только
результаты, полученные геометрами Древней Греции, но и
поставленные ими проблемы. Конечно, самой знаменитой из
них является проблема V постулата о независимости аксио-
мы параллельности Евклида от остальных аксиом евклидо-
вой геометрии. Об этой проблеме мы еще подробно будем
рассказывать. Здесь же речь идет о трех знаменитых за-
дачах на построение.
Первая из этих задач — задача об удвоении ку-
ба, т. е. о построении циркулем и линейкой отрезка, кото-
рый был бы ребром куба, имеющего объем, вдвое больший
объема данного куба.
Вторая задача — задача о трисекции угла, т. е.
о разбиении циркулем и линейкой данного угла на три рав-
ных угла.
Третья задача — задача о квадратуре круга.
Лишь в XIX в., переведя эти задачи на язык уравне-
ний, математики доказали неразрешимость этих задач. В ма-
тематике это были первые результаты о неразрешимости
задач, когда средства решения указаны. Первые две из этих
задач приводят к уравнениям третьей степени, а решения
задач, строящихся циркулем и линейкой, должны выражать-
ся через квадратные радикалы. Задача же о квадратуре
круга вообще не сводится к алгебраическому уравнению.
О возможности построить правильный многоугольник с
заданным числом сторон мы уже говорили в п. 15.4.
34.5. от греков к декарту. Дальнейшее развитие гео-
метрии, однако, затормозилось и почти остановилось, так
как требовало новых идей и методов. Необходимо было
развитие понятия числа, развитие алгебры. Оно и началось
в Греции в работах Диофанта (ок. III в.) и далее в
Индии, откуда мир получил, не считая других, три великих
достижения: позиционную десятичную систему счисления,
понятие об отрицательных числах, понятие об иррациональ-
ных числах с зачатками алгебры. Дальше развитие алгебры
шло особенно быстро в Средней Азии. Собственно, ее осно-
вателем можно считать М у х а м м ед а аль-Хорезми (из
Хорезма, 787— ок. 850 гг.). От названия его сочинения прои-
зошло само слово «алгебра» (переделанное арабское слово
«аль-джебр» — название алгебраической операции перенесе-
ния членов уравнения из одной части в другую), а от его
прозвища (фамилия) аль-Хорезми образовалось слово «ал-
горитм» или «алгорифм».
3‘Ю
Позже персидский и таджикский поэт и ученый Омар
Хайям (ок. 1048—ок. 1123 гг.) дал общее определение
числа как отношения любых величин вообще. Это же опре-
деление было дано Ньютоном во «Всеобщей арифметике»
спустя 600 лет после Хайяма.
Западная Европа стала превосходить в развитии мате-
матики Среднюю Азию й арабские страны только в XVI в.,
когда были найдены решения уравнений 3-й и 4-й степеней.
В геометрии же принципиально новые шаги были сделаны
в XVII в., прежде всего в связи с развитием алгебры, а по-
том с созданием математического анализа.
Знаменитый французский философ и математик Рене
Декарт (1596—1650) в известном смысле завершил раз-
витие элементарной алгебры, введя в нее обозначения, при-
нятые и поныне (аль-Хорезми, например, выражал словами
то, что теперь пишут формулами). В 1637 г. Декарт опубли-
ковал основное свое сочинение «Геометрия», в котором
ввел координаты на плоскости, и, связав таким путем гео-
метрию с алгеброй, включил в предмет геометрии любые
кривые, представимые алгебраическими уравнениями.
34.6. анализ и геометрия. Развитие науки в Европе, на-
чавшееся с середины XVI в. системой Коперника, пошло
в XVII в. дотоле невиданными темпами. Совершенно пре-
образуется одна из старейших наук — астрономия, создает-
ся механика как наука о движении (у греков была лишь
статика), в физике закладывается учение об электричестве
и магнетизме и физическая оптика, возникает физиология,
начинает складываться как наука химия и т. д.
Получает совершенно новое развитие также и матема-
тика: неограниченно расширяется ее предмет и методы. Воз-
никла новая область математики, получившая название
«математический анализ», «анализ бесконечно малых» или
коротко «анализ». Создание его основ в XVII в. явилось
общим делом многих математиков и было завершено решаю-
щим вкладом Исаака Ньютона (1643—1727) и Гот-
фрида Лейбница (1646—1716).
Анализ не только занял в математике центральное поло-
жение, но и проник в ее более старые области — в гео-
метрию, в теорию чисел, в алгебру, так что математика
стала в подавляющей части анализом и его применениями.
Главное же состояло в том, что с момента своего возник-
новения и тем более в последующем развитии он дал мо-
гущественные средства формулировки законов и решения
задач точного естествознания и техники.
Если с небольшим преувеличением можно сказать, что у
греков математика была геометрией, то также можно ска-
зать, что после Ньютона математика стала анализом.
В геометрии главным стало обеспеченное методом коор-
динат приложение алгебры и анализа. Приложение алгебры
Исаак Ньютон
Готфрид Лейбниц
31
Николай Иванович
Лобачевский
Янош Бойяи
в геометрии дало аналитическую геометрию. Она была си-
стематически изложена, включая метод координат в про-
странстве, к середине XVIII в. Леонардом Эйлером
(1707—1783). Векторы были введены позже — к середине
XIX в.—ирландским математиком Уильямом Гамиль-
тоном (1805—1865).
Начала анализа вы будете изучать в следующих клас-
сах, а потому ни о нем, ни о его приложениях в геометрии
мы говорить больше не будем.
Однако, несмотря на чрезвычайное влияние анализа, в
геометрии, так же как и в алгебре, оставались области и
проблемы, ему неподвластные. Именно одна из этих проблем
привела в XIX в. к созданию новой, неевклидовой геометрии.
Главную роль в создании новой геометрии сыграл Нико-
лай Иванович Лобачевский (1792—1856).
34.7. ГЕОМЕТРИЯ Лобачевского. Среди аксиом Евклида
была аксиома о параллельных. От других аксиом она отли-
чалась своей сложностью: в принятой теперь формулировке
она говорит о всей бесконечной прямой, не пересекающей
данную, а в формулировке самого Евклида была гораздо
сложнее остальных. Поэтому возникли попытки вывести ее
из остальных предпосылок геометрии. Этим занимались на
протяжении 2000 лет многие математики, но все напрасно.
Некоторым казалось, что они достигли цели, но потом выяс-
нилось, что они лишь заменяли аксиому Евклида другой
равносильной аксиомой.
Пытались доказать аксиому параллельных методом от
противного: прийти к противоречию, предполагая противо-
положное ей утверждение. Но противоречие не получалось.
Наконец, в начале XIX в. одновременно у нескольких ма-
тематиков возникла мысль, что противоречия и не может
получиться, что мыслима геометрия, в которой выполняется
аксиома: на плоскости через точку, не лежащую на данной
прямой, проходят по крайней мере две прямые, не пересе-
кающие данную.
Первым выступил с этой идеей Н. И. Лобачевский.
В 1826 г. он сделал об этом доклад в Казанском универси-
тете (где он учился и работал всю жизнь). В 1829—1830 гг.
вышла его первая обширная работа, посвященная новой
геометрии. В 1832 г. была опубликована работа венгерско-
го математика Яноша Бойяи (1802—1860) с теми же,
в общем, результатами. Гаусс, придя одновременно к тем же
выводам, не решился их опубликовать, опасаясь, как он сам
объяснил, быть непонятым и подвергнуться нападкам. Опа-
сения были справедливыми. Лобачевский и Бойяи остались
непонятыми почти всеми математиками того времени. Лоба-
чевский подвергался насмешкам, а некоторые считали его
чуть ли не сумасшедшим. Однако он имел силу убеждения
и мужество развивать новую геометрию и публиковать все
192
более развернутые ее изложения. В последние годы жизни,
уже ослепший, он продиктовал еще одну книгу о новой
геометрии. Когда же после его смерти она была наконец
понята, ее во всем мире стали называть геометрией Лоба-
чевского, а самого Лобачевского даже сравнивали с Копер-
ником, и справедливо, потому что Лобачевский произвел
в геометрии величайший переворот. До него веками без тени
сомнения было принято всеми, что есть и мыслима только
одна геометрия—та, основы которой изложены у Евклида.
А Лобачевский опрокинул это всеобщее убеждение: наряду
с евклидовой геометрией он построил другую — неевклидову.
34.8. другие геометрии. Итак, до середины прошлого ве-
ка была одна геометрия—евклидова геометрия, та, основы
которой изложены в «Началах» Евклида. Элементы этой
геометрии мы изучаем в нашем курсе. Но произошел кар-
динальный переворот: рядом с евклидовой геометрией воз-
никла еще другая — геометрия Лобачевского. Затем возник-
ли и другие геометрии (отделилась от евклидовой геометрии
проективная геометрия, сложилась многомерная евклидова
геометрия, а дальше возникла общая теория пространств
с произвольным законом измерения длин — риманова гео-
метрия и др.). Из науки о фигурах в одном трехмерном
евклидовом пространстве геометрия за какие-нибудь 40—
50 лет превратилась в совокупность разнообразных теорий,
лишь в чем-то сходных со своей прародительницей — гео-
метрией Евклида.
Об этих и других разделах современной геометрии мы
еще расскажем в конце курса геометрии в старших классах.
34.9. «основания геометрии» д. гильберта. Исследова-
ния в XIX в. по неевклидовой геометрии поставили вопрос
и о строгом логическом обосновании самой евклидовой гео-
метрии. К середине XIX в. основания евклидовой геометрии
оставались, собственно, на том же уровне, на каком они бы-
ли в «Началах» Евклида. Для Лобачевского, скажем, не
вставал вопрос о том, чтобы указать аксиомы порядка,
определяющие расположение точек на прямой: порядок этот
считался геометрически очевидным.
Общая тенденция к повышению математической строго-
сти во второй половине XIX в. выразилась в геометрии
в стремлении пополнить аксиомы евклидовой геометрии, что-
бы по возможности полностью указать все, что на самом де-
ле используется в доказательствах. (Одновременно с рабо-
тами по основаниям геометрии в это же время ведутся
работы по основам анализа, построению аксиоматической
теории натуральных и действительных чисел и другие ис-
следования по основаниям математики.)
В конце XIX в. почти одновременно появились несколь-
ко работ разных математиков, в которых были предложены
различные аксиоматики евклидовой геометрии. Наибольшую
Уильям Гамилыон
Дании Гильбгр'
3!
известность из них получила книга немецкого математика
Давида Гильберта (1862—1943) «Основания геомет-
рии», вышедшая в 1899 г.
Основная заслуга Гильберта, благодаря которой его труд
стал классическим, заключается в том, что ему удалось
построить аксиоматику геометрии, расчлененную настолько
естественным образом, что логическая структура геометрии
становится совершенно прозрачной: первые три группы акси-
ом управляют каждая своим основным отношением — при-
надлежности, порядка, конгруэнтности (равенства). Это рас-
членение аксиоматики позволяет, во-первых, формулировать
аксиомы наиболее простым и кратким образом и, во-вторых,
исследовать, как далеко можно развить геометрию, если
класть в основу не всю аксиоматику, а те или иные группы
аксиом.
Важно также, что работа Гильберта представила аксио-
матику геометрии в форме, подчеркнуто отстраненной от на-
глядных представлений. Так, точки и прямые — это просто
некоторые мыслимые «вещи». Их связь выражается аксио-
мой: «Каждые две точки определяют прямую». Словом, у
Гильберта под «точками», «прямыми» и под отношениями
«принадлежит», «между», «конгруэнтно» понимаются какие-
то «вещи» и отношения между ними, о которых известно
только то, что они удовлетворяют аксиомам.
Вслед за «Основаниями геометрии» Гильберта появились
работы с другими вариантами аксиоматики евклидовой гео-
метрии: аксиоматика, основанная на понятии движения (на-
ложения), предложенная в 1904 г. Фридрихом Шуром
(1856—1932), аксиоматика, предложенная тогда же Ве-
ниамином Федоровичем Каганом (1869—1953),
основанная на понятии о численном расстоянии, векторная
аксиоматика Германа Вейля (1885—1955) и другие
аксиоматики.
Вопрос о выработке аксиоматики — возможно, более про-
стой и легче ведущий к основным результатам элементар-
ной геометрии — остается актуальным не только как клас-
сический вопрос математики, но и в цвязи с задачами
преподавания. И в различных школьных учебниках геомет-
рии вы найдете ее построения, опирающиеся на разные
аксиоматики.
§ 35. ПЛАНИМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
35.1. НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ АКСИОМАТИКИ И НЕЗАВИСИ-
МОСТЬ аксиом. Когда какая-либо математическая теория
определяется системой аксиом, то необходимо встает вопрос:
возможна ли такая теория, нет ли в принятых аксиомах
противоречия?
194
В отношении элементарной геометрии вопрос не вставал,
потому что начиная с древнейших времен в геометрии шла
речь об изучении свойств окружающего нас пространства.
Это пространство и было предметом геометрии. Но когда
Лобачевский заменил аксиому параллельных на противо-
положную, вопрос возник со всей остротой: возможна ли,
в самом деле, неевклидова геометрия, а нет ли в ней про-
тиворечия?
Смысл геометрии Лобачевского оставался неясным, по-
тому что не было объекта, хотя бы абстрактного, к которо-
му она относилась бы (такой объект был найден позже).
Основы геометрии Лобачевского тем самым носили отвле-
ченный характер, сам он ее назвал «воображаемой».
Для того чтобы отвлеченная аксиоматика получила бо-
лее определенный смысл, нужно найти объект — модель, где
бы она выполнялась, где бы она относилась не к «объектам
произвольной природы», а к определенным объектам и от-
ношениям — «определенной природы».
Модель, или, как еще говорят, интерпретация аксиома-
тики, представляет собой, коротко говоря, совокупность не-
которых конкретных объектов с отношениями, для которых
выполняются аксиомы.
Для отвлеченной аксиоматики неизвестно, могут ли вы-
воды из нее привести к противоречию, т. е. к двум таким
выводам, в одном из которых что-то утверждается, а в дру-
гом оно же отрицается. Такая аксиоматика, заключающая
в себе противоречие, заведомо не может реализоваться и
не имеет никакого смысла. Если же такие противоречия
не могут получиться, аксиоматика называется непротиворе-
чивой.
Итак, первое, обязательное условие для любой системы
аксиом — это ее непротиворечивость. Вопрос о непротиво-
речивости аксиоматики решается предъявлением ее модели.
Так мы построим модель планиметрии Лобачевского на ев-
клидовой плоскости. Если бы в геометрии Лобачевского ока-
зались противоречия, то это противоречие в построенной
модели привело бы к противоречию в евклидовой геомет-
рии. Тем самым будет доказано, что геометрия Лобачев-
ского непротиворечива, если непротиворечива геометрия Ев-
клида. Непротиворечивость же евклидовой геометрии уста-
навливается построением ее арифметической модели в рам-
ках теории действительных чисел.
Второй вопрос касается независимости аксиом. Аксиома
в данной системе называется независимой, если ее нельзя
вывести из других аксиом системы. Если такой вывод возмо-
жен, то аксиома лишняя, ее можно удалить. Поэтому есте-
ственно желание освободиться от таких лишних аксиом и тем
обеспечить независимость оставшихся аксиом. Мы уже мно-
го говорили о длившихся более 2000 лет попытках вывести
3'
Анри Пуанкаре
аксиому о параллельных из других предпосылок евклидовой
геометрии. Наконец, в XIX в. была установлена независи-
мость этой аксиомы. Вслед за этим было установлено общее
понятие независимости аксиом и общий принцип ее дока-
зательства.
Доказательство независимости данной аксиомы Л в си-
стеме аксиом S достигается указанием модели, в которой
выполняются все аксиомы системы S, кроме аксиомы А,
а аксиома А заменяется ее отрицанием, т. е. не выполняется.
Таким образом, построив на евклидовой плоскости мо-
дель планиметрии Лобачевского, мы одновременно решим две
задачи: докажем непротиворечивость геометрии Лобачевско-
го и докажем независимость аксиомы параллельности Ев-
клида от остальных аксиом евклидовой геометрии.
Непротиворечивость аксиоматики обязательна. Незави-
симость аксиом необязательна, но желательна, чтобы среди
них не было лишних.
35.2. МОДЕЛЬ ПУАНКАРЕ ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО. ВЫ-
БОР основных понятий. Аксиоматика планиметрии Лоба-
чевского отличается от аксиоматики планиметрии Евклида
лишь одной аксиомой: аксиома параллельности Евклида за-
меняется ее отрицанием — аксиомой параллельности Лоба-
чевского: Ул. Найдутся такая прямая а и такая не лежа-
щая на ней точка А, что через А проходят по крайней
мере две прямые, не пересекающие а.
Как уже говорилось в п. 35.1, непротиворечивость системы
аксиом доказывается предъявлением модели, в которой реа-
лизуются данные аксиомы. Модель планиметрии Лобачев-
ского на евклидовой плоскости, которую мы предъявим, бы-
ла построена французским математиком Анри Пуанкаре
(1854—1912) в 1882 г.
Построение модели Пуанкаре начнем с того, что прида-
дим конкретный смысл основным объектам и основным
отношениям планиметрии Лобачевского.
Фиксируем на евклидовой плоскости Е горизонтальную
прямую х (рис. 349, а). Назовем ее абсолютом. Точками
плоскости Лобачевског.о будем считать точки плоскости Е,
лежащие выше абсолюта х. Итак, в модели Пуанкаре плос-
кость Лобачевского — это открытая полуплоскость Л (полу-
плоскость без граничной прямой), лежащая выше абсолюта.
Отрезками плоскости Л считаются дуги окружностей с
центрами на абсолюте х или отрезки прямых, перпендику-
лярных абсолюту (рис. 349, б). Отрезки плоскости Л мы бу-
дем называть неевклидовыми отрезками. Ясно, что концы
неевклидовых отрезков — это концы соответствующих им дуг
и отрезков евклидовой плоскости Е. Фигура на плоскости
Лобачевского — это фигура открытой полуплоскости Л. При-
надлежность точки фигуре понимается так же, как на ев-
клидовой плоскости Е.
396
Рис. 349
Чтобы ввести понятие равенства неевклидовых отрез-
ков в модели Пуанкаре, определим сначала неевклидовы
движения в этой модели.
Неевклидовым движением назовем преобразование Л,
которое является композицией конечного числа инверсий с
центрами на абсолюте и осевых симметрий плоскости £,
оси которых перпендикулярны абсолюту. Инверсии с центром
на абсолюте и осевые симметрии плоскости £, оси которых
перпендикулярны абсолюту, назовем неевклидовыми осевыми
симметриями.
Два неевклидовых отрезка называются равными, если
один из них неевклидовым движением можно перевести в
другой.
Мы дали реализацию всех основных понятий аксиома-
тики планиметрии Лобачевского через понятия евклидовой
геометрии. Перейдем к проверке аксиом и реализации дру-
гих понятий, например понятий прямой, угла и т. д. Мы
не сможем провести все доказательства в полном объеме,
но будут выполнены все необходимые геометрические по-
строения.
35.3. ПРОВЕРКА АКСИОМ СВЯЗИ, НЕПРЕРЫВНОСТИ И ПАРАЛ-
ЛЕЛЬНОСТИ. Мы не будем повторять формулировки аксиом,
данные в п. 34.3, а будем указывать лишь номер аксиомы.
Сразу же отметим, что из группы 1 очевидна справедли-
вость аксиом 1.1, 1.3, 1.4, 1.5. Проверим справедливость
1.2 и 1.6.
Аксиома 1.2. В ней два утверждения: существование
отрезка с данными концами А, В и его единственность.
Возможны два случая расположения в Л двух точек А и В.
а) Прямая (евклидова) АВ не перпендикулярна абсо-
люту (рис. 350, а). Тогда серединный перпендикуляр р
отрезка АВ пересекает абсолют в некоторой точке О. Так как
О А =ОВ, то дуга окружности S с центром О и радиусом О А,
лежащая выше абсолюта, является неевклидовым отрез-
ком АВ с концами в точках А и В. Этот неевклидов отрезок
единственный, так как на абсолюте есть лишь одна точка,
равноудаленная от точек А и В,— это точка О.
б) Прямая (евклидова) АВ перпендикулярна абсолюту
Рис. 351 (рис. 350, б). Тогда ее отрезок АВ и будет неевклидовым
отрезком с концами А и В. Снова такой отрезок единствен-
ный, так как в этом случае на абсолюте нет точек, равно-
удаленных от А и В (поскольку р||х).
Аксиома 1.6. Если два неевклидовых отрезка имеют
две общие точки, то либо они лежат на одной евклидовой
окружности (рис. 351, а), либо они лежат на одной евкли-
довой прямой, перпендикулярной абсолюту (рис. 351, б).
Действительно, допустив противное, мы получили бы,
что две окружности (или прямая и окружность) на евклидо-
вой плоскости пересекаются в четырех точках (двух выше
абсолюта и двух, симметричных им, ниже абсолюта; рис.
351, в), что невозможно. А две дуги одной окружности,
имеющие общие точки, снова будут дугой этой окружности,
т. е. неевклидовым отрезком. Аналогичное верно и для от-
резков, лежащих на одной прямой, перпендикулярной абсо-
люту.
Проверив аксиомы группы I, мы можем теперь утверж-
дать, что неевклидова прямая АВ (объединение всех неев-
клидовых отрезков, содержащих точки А и В) — это полу-
окружность с концами на абсолюте (рис. 352, а) или луч
с началом на абсолюте и перпендикулярный абсолюту
(рис. 352, б).
398
Какие возможны реализации в модели Пуанкаре для
неевклидовых лучей и неевклидовых углов, указано на ри-
сунке 353. Дайте самостоятельно словесные формулировки
соответствующих утверждений.
Аксиома непрерывности III для неевклидовых от-
резков сводится к случаю евклидовых отрезков проектиро-
ванием на абсолют (рис. 354).
Утверждение же а кс и о м ы параллельности Ло-
бачевского выполняется не только для некоторой пря-
мой а и некоторой точки А, не лежащей на а, но и для
любой неевклидовой прямой а и любой не лежащей на ней
точки А (рис. 355). Дайте этому подробные объяснения
сами.
35.4. свойства неевклидовых движений. Эти свойства
играют важную роль при проверке аксиом групп II и IV.
Свойство 1. Множество Н всех неевклидовых движе-
ний является группой преобразований плоскости Лобачев-
ского Л.
Это свойство вытекает непосредственно из определения
неевклидова движения. Рис. 352
Рис. 355
Рис. 354
Свойство 2. При неевклидовых движениях образами
неевклидовых отрезков, прямых, лучей и углов являются
соответственно неевклидовы отрезки, прямые, лучи и углы.
Это свойство вытекает из свойств инверсии (п. 32.4)
и свойств евклидовых осевых симметрий.
Отметим, что неевклидовы углы, преобразующиеся друг
в друга неевклидовым движением, равны, в смысле опреде-
ления равенства углов в п. 33.3. Отметим также, что их
величины (в евклидовом смысле) равны, так как и инвер-
сии, и евклидовы осевые симметрии сохраняют углы.
Свойство 3. Если неевклидово движение переводит
неевклидов луч в себя, то либо это тождественное преоб-
разование, либо это неевклидова осевая симметрия относи-
тельно неевклидовой прямой, содержащей данный луч. В обо-
их случаях все точки этой прямой для данного преобразо-
вания неподвижны.
Это свойство мы не доказываем.
35.5. ПОСТРОЕНИЕ СЕРЕДИННОГО ПЕРПЕНДИКУЛЯРА И БИС-
СЕКТРИСЫ УГЛА в МОДЕЛИ ПУАНКАРЕ. Неевклидовы осевые
симметрии, которые используются при проверке аксиом, вы-
полняются относительно серединного перпендикуляра неев-
клидова отрезка и биссектрисы неевклидова угла. Поэтому
покажем, как они строятся.
Задача 1. Пусть дан неевклидов отрезок АВ. Построить
его серединный перпендикуляр.
Решение. Возможны два случая: а) Евклидова прямая
АВ параллельна абсолюту х (рис. 356, а). Тогда евклидов
серединный перпендикуляр евклидова отрезка АВ является
серединным перпендикуляром и неевклидова отрезка АВ.
б) Евклидова прямая АВ пересекает абсолют в точке О
(рис. 356, б). Найдем отрезок R, такой, что ОА - OB=R'2.
Построим евклидову окружность S с центром О и радиусом
R. Как неевклидова прямая, она и будет серединным пер-
пендикуляром неевклидова отрезка АВ.
Действительно, пусть С — точка пересечения S и неевкли-
дова отрезка АВ, а / — инверсия относительно S. Так как
f(A) =В, f(B) =А и f(C) = С, то С —середина неевклидова
отрезка А В. Кроме того, смежные неевклидовы углы в точ-
Рис. 356
400
ке С равны, так как переводятся друг в друга инверсией [. Рис. 357
Поэтому они прямые.
Задача 2. Построить биссектрису неевклидова угла.
Решение. Пусть дан неевклидов угол ab с вершиной О.
Проведем евклидовы касательные лучи р и q в точке О
к сторонам угла ab (рис. 357, а) и биссектрису г евклидова
угла pq. Если луч г перпендикулярен абсолюту, то он и яв-
ляется биссектрисой угла ab. Если же луч г не перпендику-
лярен абсолюту, то проведем из точки О неевклидов луч с,
касающийся луча г (рис. 357, б). Он и будет биссектрисой
угла ab. (Где лежит центр окружности, соответствующей
лучу с?)
35.6. О ПРОВЕРКЕ АКСИОМ РАВЕНСТВА ОТРЕЗКОВ И АКСИОМ
плоскости. Если аксиомы групп I, III и допускают в
рамках школьного курса детальную проверку, то проверить
некоторые аксиомы групп II и IV в этом курсе столь же
точно нельзя. Поэтому для некоторых из аксиом мы укажем
лишь план соответствующего доказательства.
Прежде всего отметим, что в модели Пуанкаре выполня-
ется аксиома IV.I, не связанная с понятием равенства от-
резков. Неевклидовы полуплоскости изображены на рисун-
ке 358, а. Неевклидов отрезок, соединяющий две внутрен-
ние точки неевклидовой полуплоскости, не пересекает ее
границы. Действительно, предположив противное, мы снова
пришли бы к тому, что евклидовы окружности пересеклись
бы в четырех точках (рис. 358, б), что невозможно.
Рис. 35Н
движений.
Проверим справедливость аксиомы 11.2. Пусть даны неев-
клидов отрезок АВ и неевклидов луч а с началом О (рис.
359). Неевклидовой осевой симметрией / относительно сере-
динного перпендикуляра неевклидова отрезка АО переведем
точку А в точку О, а точку В в точку C = f(B). Пусть b —
неевклидов луч, идущий из точки О через точку С, а с —
биссектриса угла ab. Тогда неевклидова симметрия g отно-
сительно луча с переводит точку С в точку D=f (С) ^а.
Неевклидово движение y=gof переводит неевклидов отрезок
АВ в неевклидов отрезок OD, лежащий на луче а и равный
неевклидову отрезку АВ, т. е. OD==AB. (Будем символом =
обозначать равенство фигур на плоскости Лобачевского Л.)
Итак, установлена возможность «отложить» на луче а отре-
зок OD = AB. Докажем единственность такого отрезка OD,
т. е. единственность точки D.
Допустим, что на луче а нашлась еще такая точка D\,
что OD]=AB. Тогда найдется такое неевклидово движение
h, что h (О) =А и й(Д|) =8. Преобразование фоЛ переводит
луч а в тот же луч. При этом фо/i (£>|) = ф(В) =D. По свой-
ству 3 из п. 35.4 все точки луча а неподвижны при преоб-
разовании фо/г, в том числе и точка £>,. Поэтому фо/г (£)|) = D(,
т. е. D\ = D.
Проверка аксиом 11.3 и IV.2 проводится аналогичными
рассуждениями. Проведите их самостоятельно. Справедли-
вость аксиомы II.4 (Архимеда) в модели Пуанкаре здесь
мы проверить не сможем.
Чтобы проверить аксиому IV.3 (она аналогична третье-
му признаку равенства треугольников), следует предвари-
тельно доказать (в модели Пуанкаре) два утверждения:
1) биссектриса угла при вершине равнобедренного треуголь-
ника является его медианой и высотой; 2) через каждую
точку прямой можно провести лишь одну прямую, перпен-
дикулярную данной. Первое из них доказывается примене-
нием симметрии относительно биссектрисы, а второе следу-
ет из свойства 3 п. 35.4 и аксиомы IV.2.
402
Пусть теперь заданы два неевклидовых угла ab и а'Ь'
с вершинами О и О', и на сторонах этих углов нашлись
такие точки ,4еа, В<=Ь, А'^а' и В'еб', что О'А'=ОА,
Л
О'В' = ОВ, А’В’ = АВ. Тогда согласно аксиомам 11.2 и
л л
IV.2 найдется такое неевклидово движение f, что [(О) =0',
f(A)=A' и точка B"=f(B) лежит по ту же сторону от
неевклидовой прямой О'А', что и В'. Покажем, что В" = В'.
Допустим, что В'=/=В". Тогда в равнобедренных треуголь-
никах О’В'В" и А'В’В" медианы О'С и А'С перпендику-
лярны прямой В'В”, что невозможно. Итак, В" — В', т. е.
Z. a'b' = Z. ab.
Тем самым мы в основном завершили построение модели
Пуанкаре планиметрии Лобачевского и, таким образом, до-
казали непротиворечивость геометрии Лобачевского. Этим
же мы доказали независимость аксиомы параллельности от
остальных аксиом групп I—IV.
35.7. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ
Лобачевского. Используя модель Пуанкаре, дадим обзор
важнейших свойств плоскости Лобачевского. Начнем с клас-
сификации расположения прямых на Л'.
На плоскости Лобачевского Л' через каждую точку А,
не лежащую на прямой а, проходит бесконечное множество
прямых, не пересекающих прямую а (рис. 360, а). Все эти
прямые заполнят два вертикальных угла, ограниченных пря-
мыми р и q. Граничные прямые р и q, не пересекающие
прямую а, называются на плоскости Лобачевского парал-
лельными прямой а и проходящими через точку А. Каждому
направлению на прямой а соответствует своя параллельная
прямая, проходящая через А.
Характерное свойство параллельных прямых на плоско-
сти Лобачевского: параллельные прямые на плоскости Ло-
бачевского неограниченно сближаются в направлении па-
раллельности и неограниченно расходятся в противополож-
ном направлении (рис. 360, б).
Те прямые на плоскости Лобачевского, которые и не пе-
ресекаются, и не параллельны, называются расходящимися.
Рис. 30(1
403
В Q
5) при АР-*~со
Рис. 361
Рис. 362 Характерное свойство расходящихся прямых — наличие у
них единственного общего перпендикуляра (рис. 361, а).
Расходящиеся прямые неограниченно расходятся в обоих
направлениях (рис. 361, б).
В модели Пуанкаре параллельные прямые изображают-
ся полуокружностями и лучами, касающимися на абсолю-
те (рис. 362, а). Изображения же расходящихся прямых не
имеют общих точек ни в Л, ни на абсолюте (рис. 362, б).
35.8. УГЛЫ И ПЛОЩАДИ НА ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО.
На плоскости Лобачевского углы и длины связаны не такими
зависимостями, как на плоскости Евклида. Одно из харак-
терных свойств плоскости Л выражает функция Лобачев-
ского П(х). Она определяется так.
Из некоторой точки О прямой а проведем луч
(рис. 363). Возьмем любую точку Хер и обозначим х дли-
ну отрезка ОХ. Поставим в соответствие х величину П(х)
острого угла между отрезком ОХ и прямой, параллельной
прямой а и проходящей через точку X.
Когда х возрастает от нуля до бесконечности, функция
404
Существование таких зависимостей между длинами от-
резков и углами означает, что на плоскости Лобачевского
нет подобных фигур. Например, на плоскости Лобачевского
справедлив такой признак равенства треугольников: если
углы одного треугольника соответственно равны углам дру-
гого треугольника, то такие треугольники равны.
Сумма углов треугольника на плоскости Лобачевского
меньше 180°. Разность между 180° и суммой углов треуголь-
ника называется избытком треугольника. Оказывается, что
на плоскости Лобачевского площадь треугольника пропор-
циональна его избытку. Следовательно, на плоскости Лоба-
чевского площади треугольников ограничены некоторой по-
стоянной.
Величины углов на плоскости Лобачевского в модели
Пуанкаре равны величинам соответствующих углов на евкли-
довой плоскости. Поэтому все перечисленные в этом пункте
свойства углов плоскости Л вы можете увидеть на модели
Пуанкаре.
35.9. ОКРУЖНОСТЬ, ЭКВИДИСТАНТА, ОРИЦИКЛ. На ПЛОСКО-
СТИ Евклида два типа пучков прямых: пучки параллель-
ных прямых (рис. 364, а) и пучки прямых, проходящих
через одну точку (рис. 364, б). На плоскости Лобачевского
три типа пучков прямых: 1) проходящих через одну точку;
2) параллельных в одном направлении (рис. 365, а) и 3) пер-
пендикулярных одной прямой (рис. 365, б). На евклидовой
плоскости типы 2 и 3 совпадают и дают пучок параллель-
ных прямых.
В пучке пересекающихся прямых, проходящих через точ-
ку О, фиксируем некоторую прямую а и точку отлич-
ную от точки О (рис. 366, а). Будем поворотом вокруг О
совмещать прямую а с остальными прямыми пучка. Тогда
точка А опишет окружность с центром О и радиусом ОА.
Так будет как на плоскости Евклида, так и на плоскости
Лобачевского.
Возьмем теперь пучок прямых, перпендикулярных пря-
мой р, и снова в этом пучке выделим прямую а и точку А
на ней (рис. 366, б). Если теперь, двигая прямую а, совме-
щать ее с другими прямыми пучка, то точка А при этом
опишет линию, которая называется эквидистантой. Все точ-
ки эквидистанты удалены от прямой р на одно и то же рас-
стояние. Прямая р называется базой эквидистанты, а рас-
стояние от эквидистанты до ее базы — высотой эквидистан-
ты. На плоскости Евклида эквидистанта будет прямой, на
плоскости же Лобачевского это не так (и лишь эквидистан-
та нулевой высоты будет прямой).
И окружности, и эквидистанты обладают общим харак-
терным свойством: они ортогональны (т. е. перпендикуляр-
ны) всем прямым пучка (рис. 367, а, б). Если, опираясь
на это свойство, построить линию, ортогональную всем пря-
а)
Рис. 364
S)
Рис 36П
40
a) s) 6)
Рис. 368 мым пучка параллельных прямых на плоскости Лобачев-
ского, то придем еще к одной замечательной кривой на
этой плоскости—орициклу (рис. 367, б).
В модели Пуанкаре окружности изображаются окружно-
стями, лежащими выше абсолюта (рис. 368, а), орициклы —
окружностями, касающимися абсолюта (рис. 368, б), а экви-
дистанты— окружностями, пересекающими абсолют (рис.
368, в).
406
ДОПОЛНЕНИЕ
ГЕОМЕТРИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА
1. Вы, наверное, обратили внимание, что треугольники
изучаются на продолжении всего курса планиметрии. Их изу-
чение началось с признаков равенства треугольников, цент-
ральное место в нем занимают метрические свойства тре-
угольников, затем идет серия теорем о «замечательных точ-
ках» в треугольниках, и, наконец, в конце курса изучаются
подобные треугольники. Таким образом, треугольники явля-
ются как бы тем стержнем, вокруг которого формируется
курс элементарной геометрии.
Это не случайно. Несмотря на то что треугольник едва
ли не простейшая после отрезка фигура, он имеет много
важных и интереснейших свойств. К этим свойствам сво-
дятся свойства других, более сложных фигур. Среди теорем
о треугольниках есть и такие, которые люди знают с древ-
нейших времен, например теорема Пифагора, а есть и откры-
тые совсем недавно. Даже сейчас еще появляются новые
теоремы о треугольниках.
Треугольникам уделяли внимание многие выдающиеся
ученые. Вы встретитесь с их именами: теорема Пифагора,
формула Герона, точка Торричелли, окружность Эйлера,
прямая Гаусса, теоремы Лейбница и Карно и т. д.
Но в геометрии треугольника много и таких теорем, ав-
торы которых остались в истории науки только «благодаря
треугольникам». Мы докажем здесь две такие теоремы. Вы-
бираем же их потому, что обе они имеют интересные и
многочисленные приложения.
2. теорема чевы. В школьном курсе геометрии обычно
говорят о четырех «замечательных точках» треугольника:
центрах его вписанной и описанной окружностей, точке пе-
ресечения медиан и точке пересечения высот (или их про-
должений). В 1678 г. итальянский математик Чева (1648—
1737) нашел необходимые и достаточные условия пересече-
407
AB, CAB, CAB, С
a) 5) fy
Рис. 369 ния в одной точке трех отрезков, исходящих из вершин
треугольника (рис. 369, а). Они формулируются так:
Теорема Чевы. Пусть на сторонах треугольника АВС
выбраны точки А,^ВС, В ^АС и С^АВ. Тогда отрезки
AAi, BBi и СС\ пересекаются в одной точке тогда и только
тогда, когда выполняется равенство:
АВ, СА, вс,
В,С ’ А В ' CiA ~
Доказательство, а) В теореме Чевы два взаимно
обратных утверждения. Сначала докажем, что если три от-
резка AAi, BBi, CCi пересекаются в точке О, то выполняет-
ся равенство (1). Проведем через вершину В прямую а||ЛС
(рис. 369, б). Пусть прямые АА\ и CCt пересекают прямую а
в точках Р и Q соответственно. Тогда из подобия треуголь-
ников AAiC и РА\В имеем:
СЛ_ДС
РВ ’ ' ’
Аналогично из подобия треугольников ACiC и BCtQ
Наконец, из подобия треугольников ОАС и OPQ (точнее,
из их гомотетичности)
ABi _РВ
~ВС ~~BQ'
Перемножив соответственно левые и правые части ра-
венств (2), (3), (4), получим (1). Первое утверждение
доказано.
б) Докажем обратное ему утверждение. Пусть выпол-
нено равенство (1). Покажем, что отрезки АА\, ВВ\, CCt
проходят через одну точку. Пусть точка О — точка пересече-
ния отрезков AAi и fiS,. Проведем из точки С через точку О
луч I. Пусть он пересечет сторону АВ в точке С (рис. 369, в).
Тогда, как доказано,
АВ, CAi вс
ВС "ВВ "СА
(5)
408
a) 5)
Из (1) и (5) получаем, что
вс _ВС,
СА ~ СА •
(6)
Следовательно, точки С' и С| делят отрезок В А в одном
и том же отношении. Поэтому точки С и С, совпадают.
Итак, все три отрезка АА,, ВВ,, СС, проходят через точ-
ку О.
Следствием теоремы Чевы, очевидно, является теорема о
точке пересечения медиан треугольника, так как в этом слу-
АВ, СА, ВС, . . чуп \
чаеад=та=М =‘ <Р“С 370. а).
Не многим сложнее получить из теоремы Чевы теорему
о точке пересечения биссектрис треугольника. Достаточно
вспомнить, что для биссектрис АА,, ВВ, и СС, выполняются
равенства
_ДВ СА^ —СА вс, ВС
В,С ~ ВС ’ А,В ~ АВ ’ С,Л ~ СА ’
и перемножить их (рис. 370, б).
А вот новая теорема: прямые, соединяющие вершины
треугольника с точками касания вписанного круга, пересе-
каются в одной точке (она называется точкой Жерго-
н а).
Действительно, в этом случае АВ,=АС,, ВА,—ВС, и
СА,=СВ, (рис. 370, в), откуда и следует (1).
Наконец, обратимся к теореме о пересечении высот тре-
угольника. Внутри треугольника пересекаются высоты лишь
остроугольного треугольника АВС (рис. 371). Для него
AC, — bcos А, ВС, =acos В, В A, =ccos В, СА । =bcos С, СВ, =
= acosC, AB, = ccos А, откуда и следует (1). Но высоты
тупоугольного треугольника не пересекаются, а пересекаются
их продолжения, причем вне треугольника. Непосредственно
теорему Чевы в той формулировке, что была дана, к этому
случаю не применить. Но оказывается, что теорема Чевы
допускает такое обобщение, в котором уже речь пойдет о
прямых, проходящих через вершины треугольника. Точка же
АО'»
A
С
В
Рис. 372
пересечения этих прямых может лежать вне треугольника
Но чтобы получить такое обобщение теоремы Чевы, надо
ввести отношение направленных отрезков, лежащих на од-
ной прямой.
3. ОТНОШЕНИЕ НАПРАВЛЕННЫХ ОТРЕЗКОВ. На прямой АН
возьмем произвольную точку С, отличную от точек Д и /I
(рис. 372). Тогда направленные отрезки АС и СВ колли-
неарны. Так как СВ=#0, то ДС = А.СВ. Если С лежит на от-
резке АВ, то ДСЦСВ и А.=—. Если же С лежит вне отрез-
ка АВ, то и К=-^.
Имея это в виду, говорят, что точка С делит отрезок
АВ в отношении К. При этом считают, что случай Х<()
соответствует положению точки С на прямой АВ вне от-
резка АВ.
Итак, будем отношение^ отрезков АС и СВ, лежащих
на одной прямой, понимать как отношение их длин, если
АС и СВ сонаправлены, и как такое же отношение, но со
знаком «минус», если ДС и СВ направлены противопо-
ложно.
Теперь, если в равенстве (1) отношения отрезков пони-
мать именно в таком смысле (со знаком), то теореме Чевы
можно дать обобщение.
Обобщенная теорема Чевы. Пусть прямые а, Ь,
с проходят через вершины А, В, С треугольника АВС
и пересекают прямые ВС, СА, АВ в точках А}, В\, С\
соответственно (рис. 373). Тогда прямые а, Ь, с пересекают-
ся в одной точке или параллельны тогда и только тогда,
когда имеет место равенство (1).
Рис. 373
Рис. 374
(О параллельных прямых иногда говорят, что они прохо-
дят через одну бесконечно удаленную точку.)
Для частного случая параллельных прямых (рис. 373, а)
соотношение (1) следует из равенств
ABi AiB ВС\ ВС СА\ СЛ|
Тс = ~ВС ’ Ср4 = СА? Тв = Тв • (7)
Для общего случая (1) доказывается с помощью того же
дополнительного построения, что и в п. 2. Проверьте это
самостоятельно.
И доказательство теоремы о точке пересечения высот для
тупоугольного треугольника получится так же, как в п. 2,
если в выражениях проекций сторон треугольника на другие
стороны или их продолжения брать со знаками соответст-
вующих косинусов. Например, A}B = ccos В (рис. 373, в)
и т. д.
4. теорема менелая. Менелай Александрийский
(I II вв. н. э.) —греческий математик и астроном, один из
создателей сферической тригонометрии. В этой теореме от-
ношения отрезков тоже понимаются со знаком.
Теорема Менелая. Пусть дан треугольник АВС
и точки С\, В\, А, принадлежат соответственно прямым
ЛВ, АС, ВС. Точки Ai, В, Ci лежат на одной прямой
тогда и только тогда, когда выполняется равенство
АС । BAt СВ]
св ’ Тс 'Та = ~ L (8)
Доказательство. В этой теореме тоже два взаимно
обратных утверждения. Докажем сначала, что если прямая /
пересекает прямые ВС, АС, АВ соответственно в точках А\,
В\, Ci (рис. 374, а), то выполняется равенство (8).
411
Проведем любую прямую р, пересекающую прямую /,
и через точки А, В, С проведем соответственно прямые
a\\l, Ь\\1, с||I. Прямые a, b, с, I пересекут прямую р в точ-
ках К, L, М, N. По теореме о прямых, пересеченных парал-
лельными прямыми,
ЛС1 _KN 5Л, _LN_ СВ, _М,У
С~В ' ЛС “ NM ’ В,Л ~ NK‘ (9)
KN MN
Перемножая равенства (9) и учитывая, что-^=-^=»
=— = — 1, получаем (8). Первое утверждение доказано.
Обратное ему утверждение докажите самостоятельно тем
же методом, что и при доказательстве теоремы Чевы.
Замечание. Любая прямая, не проходящая через вер-
шины треугольника, не параллельная его сторонам, либо не
пересекает ни одну из его сторон, либо пересекает две стороны
и не пересекает третью. Поэтому в равенстве (8) либо все
три отношения имеют знак «минус», либо два из них имеют
знак «плюс», а третье — «минус». Во всех случаях произве-
дение в левой части (8) отрицательно (рис. 374, б).
Вот пример применения теоремы Менелая.
Задача. Доказать, что основания перпендикуляров,
опущенных из произвольной точки окружности на стороны
вписанного треугольника (или их продолжения), лежат на
одной прямой. (Эта прямая называется прямой Симп-
сона.)
Решение. Пусть треугольник АВС вписан в окруж-
ность F и точка M^F. Спроектируем точку М на прямые
ВС, АС и АВ в точки А,, В, и С| соответственно (рис. 375).
Соединим также точку М с точками А, В, С отрезками
12
MA, MB, MC. В прямоугольных треугольниках AMC, и A,CM
острые углы MACi и AiCM равны (как опирающиеся на
дугу МВ). Поэтому
Л|С ^МС
АС' ~ МА '
(Ю)
Аналогично треугольники МВС\ и МВ\С подобны, а потому
ВС' _ МВ
св' — мс' (••)
Наконец, из подобия треугольников А\МВ и АМ'В имеем:
Аб, МА
ВА' ~ мв (12)
Из соотношений (10) — (12) (с учетом знака) получаем
(8). Итак, точки В\, С\ лежат на одной прямой.
5. неравенства и экстремальные задачи. Элементы
треугольника связаны не только равенствами. Например,
нам известны неравенство треугольника и теорема о том,
что в треугольнике против большей стороны лежит боль-
ший угол. Подобные соотношения составляют значительную
часть геометрии треугольника. Здесь много интересных ре-
D
зультатов. Например, — ^2, где R и г — радиусы описанной
и вписанной окружностей. Обратите внимание на то, что
это — нестрогое неравенство. Поэтому естественно поставить
вопрос: в каком треугольнике это отношение достигает наи-
меньшего значения, т. е. когда достигается равенство (и до-
стигается ли вообще)? Тем самым мы выходим на большой
класс экстремальных задач.
Задачам об экстремумах и неравенствах в треугольниках
посвящена большая литература. Например, укажем такую
книгу: Ш к л я р с к и й Д. О., Ч е н цо в Н. Н., Я гл о м И. М.
Геометрические неравенства и задачи на максимум и мини-
мум.—М.: Наука, 1970.
1РЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
щсиома 381
аксиоматика 383
1Ксиоматический метод 381
окопай сторона (бок) трапеции 45
оковое ребро пирамиды 16
ектор (векторная величина) 212
единичный 234
, параллельный прямой 214
, перпендикулярный прямой 214
Лекторы коллинеарные (параллельные) 213
противоположно направленные 214
сонаправленные 214
1ер|пина многоугольника 19
(нутренняя точка многоугольника 20
фигуры 149
(ысота параллелограмма 53
трапеции 45
1ычитание векторов 222
неметрическое место точек 77
еометрия Евклида 393
Лобачевского 393
'ипербола 280
омотетия 346
радуемая мера дуги 151
'раннца фигуры 149
раннчная точка 149
руппа преобразований фигуры 332
симметрии фигуры 332
Циижение 292
второго рода 322
первого рода 320
Циагональ многоугольника 20
Ни.чметр окружности (круга) 146
фигуры 150
/(липа вектора 213
кривой линии 190
окружности 191
Инверсия 368
Инволюция 369
Касание прямой и окружности 147
Квадратный корень 67
Классические задачи древности 390
Координатная ось 233
Координаты вектора 240
Композиция преобразований 290
Коническое сечение 280
Косеканс угла 136
Косинус угла 112
Котангенс угла 135
Коэффициент подобия 345
Лемма 33
Линейная комбинация векторов 230
Ломаная 18
—, вписанная в кривую 191
замкнутая 19
— простая 19
Луч 382
Масштаб 353
Метод векторный 254
— инверсии 373
— координат 275
— параллельного переноса 300
— поворота 304
— подобия 351
— симметрии 302
Многоугольник 19
— вписанный 171
— выпуклый 20, 164
— описанный 173
— правильный 182
Множество точек 77
Модуль (длина) вектора 212
Наклонная к прямой 73
Направленный отрезок 213
Неравенство треугольника 74
Независимость аксиом 395
Неподвижная точка движения 320
Непротиворечивость аксиоматики 394
Нулевой вектор (нуль-вектор) 218
Обобщенная теорема Пифагора (ОТП) 123
Окружность, вписанная в многоугольник 173
—, описанная около многоугольника 171
Ориентация 322
Орицикл 406
Основные понятия 380
Ось симметрии 301
Откладывание вектора 217
— отрезка 384
— угла 385
414
Отношение отрезков 87
Отражение в прямой 301
Парабола 277
Параллелограмм 51
Параллельный перенос (перенос) 299
Перпендикуляр 73
— к плоскости 76
Площадь круга 200
— многоугольной фигуры 32
— параллелограмма 53
— трапеции 45
— треугольника 43
— фигуры 199
Поворот 303
Подобие 345
Подобные фигуры 346
Полуплоскость 382
Правило параллелограмма 220
— треугольника 219
— цепочки 222
Преобразование фигур 289
обратимое 292
— тождественное 291
Преобразования, взаимно обратные 291
Проекция вектора на ось 234
— наклонной к прямой 73
— точки на прямую 73
Произведение вектора на число 229
Противоположный вектор 223
Прямая 382
опорная 149
Прямоугольник 54
Равенство векторов 216
- отрезков 383
треугольников 8
— углов 385
— фигур 294
Равновеликие фигуры 32
Равносоставленные фигуры 340
Радиус-вектор 257
Разность векторов 222
Расстояние между точками 243
- от точки до фигуры 75
Решение треугольников 86
Ромб 55
Секанс угла 136
Симметрия (симметричность) 324
— осевая (относительно прямой) 301
Симметрия поворотная 325
— центральная (относительно точки) 305
Синус угла 89
Скаляр (скалярная величина) 212
Скалярное умножение 249
Скользящее отражение 318
Сложение векторов 219
Составляющие вектора 224
Средняя линия треугольника 23
---четырехугольника 22
Сторона многоугольника 19
Сумма векторов 219
Тангенс угла 134
Тетраэдр 15
правильный 16
Трапеция 45
— равнобедренная (равнобокая) 45
Тригонометрия 86
Угол 385
—, вписанный в окружность 151
— между векторами 232
— многоугольника 19
— центральный 147
Уравнение окружности 272
— гиперболы 279
— параболы 279
— прямой 273
— фигуры 271
— эллипса 279
Фигура — 382
— выпуклая 163
— многоугольная 22
Характерное свойство фигуры 55
Хорда окружности (круга) 146
— фигуры 14
Центр поворота 303
— правильного многоугольники 183
— симметрии 305
Четырехугольник 22
Численное значение площади 33
Ширина фигуры 150
Эквивалетность 342
Элементы многоугольника 20
Эллипс 279
415
ИГОНОМЕТРИЯ
A sinB sinC
a^b2+cz-2bccosA
ТЕОРЕМА ПИФАГОРА -ОС
ЗАМЕЧАТЕЛЬН!
ТОЧКИ
ТРЕУГОЛЬНИК/
Vy
V2-V?+V?
V
Школьные учебники (((Р
SHEBA.SPB.&U/SHKOLA