СТЕФАН БАНАХ

STEFAN BANACH
RACHUNEK
R02NICZK0WY
i CALKOWY
19 5 2
PANS TWO WE
WYDAWNICTWO NAUKOWE

СТЕФАН БАНАХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
И ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
ПЕРЕВОД С ПОЛЬСКОГО И РЕДАКЦИЯ
С. И. ЗУХОВИЦКОГО
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1 9 6 &

517.2
Б 23
УДК 517.0
АННОТАЦИЯ
Стефан Банах —один из крупнейших математиков
XX столетия. Настоящая книга была им задумана
как пособие для первоначального ознакомления с
предметом. Между тем автору удалось в книге небольшого
объема мастерски осветить почти весь основной
материал дифференциального и интегрального исчисления,
не отпугивая при этом читателя скрупулезной
строгостью изложения.
Книга отличается простотой и лаконичностью
изложения. Она содержит много удачно подобранных
примеров, а также задач для самостоятельного
решения. Рассчитана на студентов втузов (особенно
заочных), пединститутов, а также на инженерно-технических
работников, которые пожелают освежить в памяти
основные факты дифференциального и интегрального
исчисления.
При подготовке второго издания учтен опыт
преподавания по этой книге в некоторых высших
технических учебных заведениях; в связи с этим в книгу
внесено небольшое число добавлений, а также исправь
лены некоторые места текста. Это приблизило книгу
к уровню современных учебников по математическому
анализу и сделало возможным использование ее во
втузах.
Стефан Банах
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
М., 1966 г., 436 стр. с илл.
Редактор И. С. Аршон
Техн. редактор С. Я- Шкляр Корректор Μ. Φ. Алексеева
Сдано в набор 29/VI 1966 г. Подписано к печати 17/ΙΧ 1966 г. Бумага 60х90У1в.
Физ печ. л. 27,25. Условн. печ. л. 27,25. Уч.-изд. л. 23,27. Тираж 50000 экз.
Цена книги 91 коп. Заказ № 558.
Издательство «Наука».
Главная редакция физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова
Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР.
Москва, Ж-54, Валовая, 28.
46-66

ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода , , * · . . 14
Предисловие автора * . . . . 14
Введение « . . . . 15
ТОМ ПЕРВЫЙ
ГЛАВА I
ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
ПОНЯТИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
1. Определение последовательности 17
2. Монотонные последовательности 19
3. Ограниченные последовательности 19
4. Действия над последовательностями 20
Задачи .20
ИНТУИТИВНОЕ ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
5. Предел монотонной последовательности 21
6. Общее определение предела последовательности 21
7. Частный признак сходимости 22
8. Действия над сходящимися последовательностями 23
9. Последовательности, расходящиеся к ± оо 23
10. Теоремы о последовательностях, расходящихся к ± &> 24
Задачи 24
СТРОГОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
11. Отрезки последовательности 25
12. Последовательности, отличающиеся лишь порядком членов .... 25
13. Понятие приближения 26
14. Определение предела . . . * 27
Задачи 30
ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
15. Сходимость последовательностей с равными членами 30
16. Независимость предела от порядка членов 30
17. Сходимость подпоследовательностей 31
18. Предел последовательности с неотрицательными членами 32
19. Предел суммы и разности последовательностей 32
20. Предел произведения последовательностей 34
21. Предел произведения последовательности на число 35
22. Предел частного двух последовательностей 35
22а. Предельный переход в неравенстве 37
Задачи 37

6
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
23. Сходимость монотонных ограниченных последовательностей ... 37
24. Условие Коши 38
25. Ограниченность сходящихся последовательностей 39
26. Теорема о пределе промежуточной переменной 39
Задачи » 40
ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРЕДЕЛОВ. ЧИСЛО*
27. Вычисление некоторых пределов 42
28. Число е = 2,71828 43
ГЛАВА II
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1. Примеры функций. Понятие функции 48
2. Обозначения 49
3. Точное определение понятия функции 49
4. Различные способы задания функций 49
5. Способы представления функций. Таблицы 50
6. Графики 51
Задачи 52
7. Ограниченные функции. Монотонные функции 52
ГЛАВ A III
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ
1. Определение предела функции 53
2. Условие существования предела 54
2а. Теоремы о пределах функций 58
3. Действия над пределами .Г * . . . 59
ОДНОСТОРОННИЕ И НЕСОБСТВЕННЫЕ ПРЕДЕЛЫ.
ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРЕДЕЛОВ
4. Односторонний предел 60
5. Несобственные пределы 62
6. Вычисление некоторых пределов 64
Задачи * , . 68
ГЛАВА IV
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
1. Определение 69
2. Необходимое и достаточное условие непрерывности функции ... 70
3. Геометрическая интерпретация 70
4. Теорема о сохранении знака для непрерывной функции 71
5. Действия над непрерывными функциями 71
РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ
6. Определение . 71
7. Геометрическая интерпретация 71

ОГЛАВЛЕНИЕ 7
8. Непрерывность равномерно непрерывной функции 72
Задачи 74
9. Основные теоремы о функциях, непрерывных в замкнутом интервале 74
СЛОЖНЫЕ ФУНКЦИИ
10. Определение 75
11. Непрерывность сложной функции 76
ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ
12. Определение , 77
13. Геометрическая интерпретация 77
14. Непрерывность обратной функции 77
НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
15. Степенная функция у = хп 78
16. Показательная функция # = а* 80
17. Логарифмическая функция y=logax 80
18. Тригонометрические функции 81
19. Обратные тригонометрические функции 82
ГЛАВА V
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
1. Определение производной 86
2. Односторонние производные 88
3. Существование производной и непрерывность 88
4. Производная как функция 88
5. Интерпретация производной в геометрии и физике 89
6. Непрерывные функции, не имеющие производной в данной точке
(примеры) 90
ТЕОРЕМЫ О ПРОИЗВОДНОЙ
7. Производная постоянной функции 91
8. Производная степенной функции . т 91
9. Производная произведения постоянной на функцию 92
10. Производная суммы, произведения, частного 93
Задачи 95
И. Производная сложной функции 96
12. Производная обратной функции 96
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
13. Дифференцируемые функции. Определение дифференциала .... 98
13а. Производная сложной функции 99
14. Инвариантность формы первого дифференциала 100
15. Дифференциал суммы, произведения и частного 101
16. Геометрическая интерпретация дифференциала 102
ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
17. Производная степенной функции 103
Задачи 105
18. Производная логарифмической функции 105
Задачи 107

8
ОГЛАВЛЕНИЕ
19. Производная показательной функции 107
Задачи 108
20. Производные тригонометрических функций 108
Задачи , ПО
21. Производные обратных тригонометрических функций ПО
Задачи НЗ
22. Логарифмическая производная ИЗ
Задачи 114
ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
23. Производные высших порядков 114
Задачи Пб
24. Формула Лейбница 116
* Задачи US
25. Параметрическое представление функции 118
Задачи 120
26. Дифференциалы высших порядков 121
Задачи 124
ГЛАВА VI
ТЕОРЕМА РОЛЛЯ. ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ.
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
1. Теорема о среднем значении .127
2. Теорема Ролля 128
3. Доказательство теоремы Ролля 129
4. Доказательство теоремы о среднем значении 129
5. Следствия из теоремы о среднем значении 130
6. Формула Тейлора 131
7. Доказательство формулы Тейлора 132
Задачи 135
8. Выпуклость 136
ГЛАВА VII
МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ; ТОЧКИ ПЕРЕГИБА.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
ЭКСТРЕМУМ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА
1. Определение экстремума 138
2. Необходимое условие существования экстремума .139
3. Достаточные условия существования экстремума 141
4. Более общее достаточное условие 143
5. Точки перегиба - 145
6. Экстремумы функций, заданных параметрически 147
Задачи 149
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ (РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ)
7. Неопределенности вида -^, — 149
8. Неопределенности вида 0·οο, оо — оо, 1°°, оо°, 0° 153
Задачи 154

ОГЛАВЛЕНИЕ 9
ГЛАВА VIII
РЯДЫ
РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ
1. Определение ряда. Сходящиеся ряды 155
2. Предел сходящейся последовательности как сумма ряда 156
3. Необходимое условие сходимости 157
4. Ограниченные ряды 158
5. Абсолютно сходящиеся ряды 160
6. Независимость суммы ряда от порядка членов 161
7. Условно сходящиеся ряды 162
8. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда. Теорема
Лейбница 163
ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
9. Сравнение рядов . 164
9а. Признак сравнения в предельной форме 166
10. Признак Коши 167
П. Признак Даламбера 169
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ФУНКЦИЙ
12. Определение сходимости функциональной последовательности ... 171
13. Равномерная сходимость * 172
14. Действия над равномерно сходящимися функциональными
последовательностями. Необходимое и достаточное условие равномерной
сходимости 173
15. Достаточное условие непрерывности предельной функции 175
16. Равномерная сходимость рядов 176
17. Абсолютная и равномерная сходимость функциональных рядов . . . 177
18. Дифференцирование последовательностей и рядов 178
19. Степенные ряды 180
20. Радиус сходимости степенного ряда 181
21. Непрерывность суммы степенного ряда 181
22. Вычисление радиуса сходимости 182
23. Дифференцирование степенных рядов 182
24. Ряд Тейлора 184
Задачи 188
ГЛАВА IX
ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Плоские множества. Области 190
2. Граничные точки. Замкнутые области 190
3. Области, задаваемые неравенствами 191
Задачи 191
4. Функции двух переменных 192
5. Геометрическая интерпретация функции двух переменных 192
6. Линии уровня 193
Задачи 194
ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
7. Определение предела 194
8. Теоремы о пределах 195
9. Непрерывность. Равномерная непрерывность 196

10 ОГЛАВЛЕНИЕ
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
10. Определение частных производных · . 197
11. Частные производные второго порядка 198
12. Теорема об изменении порядка дифференцирования 199
Задачи 200
13. Частные производные высших порядков 200
14. Сложная функция 201
15. Частные производные сложных функций 201
Задачи 203
НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
16. Определение неявной функции 203
17. Теорема существования неявной функции 204
18 Производная неявной функции 205
19. Максимумы и минимумы неявных функций 207
Задачи 208
ГЛАВА X
ФОРМУЛА И РЯД ТЕЙЛОРА. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
ФОРМУЛА И РЯД ТЕЙЛОРА ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Формула Тейлора 210
2. Ряды Тейлора и Маклорена , . . . , 212
МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
3. Определение экстремума 213
4. Необходимые условия существования экстремума . 214
5. Достаточное условие существования экстремума 214
Задачи 218
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
6. Дифференцируемые функции двух переменных. Определение
дифференциала 218
7. Дифференциал сложной функции 220
8. Применение к функциям одной переменной 220
9. Случай, когда одна из переменных является функцией другой . . . 221
10. Частные дифференциалы 221
11. Касательная плоскость к поверхности. Геометрический смысл
полного дифференциала 222
Задачи 223
12. Дифференциалы высших порядков 224
Задачи 225
ГЛАВА XI
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Области 226
2. Функции многих переменных 227
3 Предел. Непрерывность 227
4. Частные производные 227
5. Формула и ряд Тейлора 228

ОГЛАВЛЕНИЕ
И
ТОМ ВТОРОЙ
ГЛАВА XII
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
1. Первообразная функция 230
2. Основные формулы 231
3. Некоторые свойства неопределенного интеграла 232
4. Интегрирование подстановкой 233
5. Интегрирование по частям 236
6. Интегралы от элементарных функций 237
7. Формулы приведения 240
Задачи 242
ГЛАВА XIII
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
1. Разложение многочлена на множители 245
2. Разложение рациональной функции на элементарные (простейшие)
дроби 246
3. Интегралы от рациональных функций 251
Задачи 252
ГЛАВА XIV
ИНТЕГРИРОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
1. Интегрирование простейших иррациональностей 254
2. Биномиальные интегралы 255
3. Интегрирование рациональных функций R(x, у) 256
4. Некоторые частные случаи интегралов от рациональной функции
Ж*. У) (y=Vax* + bx + c) 259
5. Замечания о преобразовании интеграла \R(x, y)dx 266
Задачи 270
ГЛАВА XV
ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ НЕАЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
1. Общие замечания 272
2. Интегралы от показательных и логарифмических функций 273
3. Интегрирование тригонометрических функций 276
4. Интегралы от обратных тригонометрических функций 281
5. Примеры функции, не интегрируемых элементарно 283
Задачи 284
ГЛАВА XVI
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1. Определение определенного интеграла 286
2. Некоторые свойства определенных интегралов 291
3. Интегрируемость непрерывной функции 293
4. Достаточные условия интегрируемости 296
5. Разбиение интервала интегрирования 297

12
ОГЛАВЛЕНИЕ
6. Пределы интегрирования 298
7. Некоторые неравенства для определенных интегралов 299
8. Функция верхнего (нижнего) предела интеграла 303
9. Определенный интеграл и первообразная функция 305
10. Интегральная теорема о среднем для непрерывных функций .... 309
Задачи 311
ГЛАВА XVII
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РЯДОВ
1. Замена переменных в определенных интегралах 314
Задачи 317
2. Интегрирование по частям 317
3. Интегрирование последовательностей и рядов 319
4. Интегрирование степенных рядов 322
5. Интегрирование и дифференцирование по параметру 325
Задачи .330
ГЛАВА XVIII
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1. Интеграл неограниченной функции 332
2. Интегралы в бесконечном интервале 333
3. Признаки существования несобственного интеграла 335
4. Применение к рядам 339
5. Равномерно сходящиеся несобственные интегралы 342
Задачи 350
ГЛАВА XIX
ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
1. Вычисление площади 352
Задачи 353
2. Вычисление длины дуги 354
Задачи ..... 358
3. Объем тела вращения 359
Задачи 360
4. Площадь поверхности вращения 361
Задачи 364
ГЛАВА XX
ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ. УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
1. Определение двойного интеграла по прямоугольнику 365
2. Достаточные условия интегрируемости 368
3. Двойной интеграл как повторный 369
За. Некоторые свойства двойных интегралов по прямоугольнику . . . 372
4. Двойной интеграл по области . . \ \ 374
5. Свойства двойного интеграла по области 377
5а. Неравенства для двойных интегралов. Теорема о среднем 377
6. Двойной интеграл по области как повторный 379
Задачи . 385

ОГЛАВЛЕНИЕ
13
ГЛАВА XXI
КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
1. Простая дуга 387
2. Криволинейный интеграл по простой дуге 388
з! Криволинейный интеграл по произвольной кривой 392
4. Работа как криволинейный интеграл 394
5. Замкнутая кривая 396
6. Криволинейный интеграл по замкнутой кривой 398
7. Криволинейные интегралы по замкнутым плоским кривым .... 399
8. Теорема (формула) Грина 400
9. Применения теоремы Грина 402
ГЛАВА XXII
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
В ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛАХ
1. Отображения 409
2. Непрерывные отображения. Взаимнооднозначные отображения . . 410
3. Функциональный определитель (якобиан) 411
Задачи 416
4. Замена переменных в двойных интегралах 416
Задачи 422
ГЛАВА XXII!
МНОГОКРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ
1. Тройной интеграл ^ 424
2. Многократный интеграл 425
3. Условия интегрируемости 426
4. Многократный интеграл как повторный 426
5. Многократный интеграл по области 427
6. Многократный интеграл по области как повторный 428
Задачи 430
Предметный указатель 431

ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Первое издание перевода книги Стефана Банаха вышло в 1958 году.
В этом переводе были исправлены лишь явные опечатки,
вкравшиеся в польский оригинал. За истекшие 6 лет книга
использовалась в ряде высших технических учебных заведений в качестве
учебного пособия по математическому анализу. При этом выявилась
необходимость внесения в книгу некоторых исправлений и
дополнений, что и было сделано при подготовке настоящего второго издания.
В книгу включено несколько новых пунктов, содержание
некоторых пунктов подверглось существенной переработке. И те и другие
отмечены звездочкой. Более мелкие вставки заключены в квадратные
скобки. В формулировках ряда теорем сняты излишние ограничения.
Всю переработку осуществил И. С. Аршон.
С. Зуховицкий
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Предлагаемая книга предназначена для первоначального изучения
дифференциального и интегрального исчисления. Ознакомление с нею
даст возможность читателю приступить к изучению более обширных
руководств.
Мы старались сообщить важнейшие теоремы и, по возможности
их доказательства. Однако доказательства некоторых теорем в книге
опущены, так как, на наш взгляд, они слишком трудны для усвоения
при первоначальном изучении.
Читателю необходимо перерешать возможно большее число задач.
В нашей книге из-за недостатка места мы смогли поместить лишь
немного задач для самостоятельного решения.
Считаем приятным долгом выразить благодарность X. Авербаху за
помощь, которую он оказал нам при работе над этой книгой.
Львов, 30 января 1929 г, Стефан Банах

ВВЕДЕНИЕ
Приведем некоторые определения и теоремы, которыми будем
пользоваться в дальнейшем.
1. Интервалом называется множество чисел х, удовлетворяющих
одной из пар неравенств я < л; < #, а^х < £, а <С,х^.Ь,
а^.х^.Ь.
Интервал каждого из указанных видов обозначается
(соответственно) следующим символом: (а, Ь); [а, Ь)\ (я, Ь]\ [я, Ь].
Замкнутым интервалом называется интервал [а, Ь), определенный
неравенствами а^.х^.Ь. Ввиду известной интерпретации
действительных чисел на числовой оси будем замкнутый интервал называть
также отрезком, а числа — точками.
2. Напомним читателю формулу,известную под названием бинома
Ньютона:
(α + *)« = β«+ ( J ) ап~Ч+ ( I ) в»-»*· + ... + (я^) аЬп-* + Ь\
„ИЛ (п\ л(л—1)(л—2)...(л—Л+1) п ( п\
где I , 1 = ~ — γ—* —'. Символ ( . 1 определен
последней формулой и для нецелых, а также для отрицательных
значений п. Например,
(-ЧЛ ^ (—1/2)^—1/2—!)>(—1/2—2).. .(—1/2—^ + 1)
V k )~ k
4fe 135.. .(2Л—1)
(_Ю).(—11),(_12)>( —13)-(—14)_ 9ПП9
v ' 2-4-6...2/г
1-3-5 5
так что [ 0«]=__ = __, и т. π
(-.■")-
3. Из формулы Ньютона следует неравенство (1 +х)п^ 1 +пх
для аг^О. Положив \-\-х = А, получим для Л^1:
Ап^\+п(А— 1).
Оба неравенства справедливы при любом натуральном п.

16
ВВЕДЕНИЕ
4. Для цф\ при любом натуральном η будет справедливо ра-
венство a + aq-\-aq2+ .. . + aqn х= α- __ . Это—известная фор-
мула для суммы геометрической прогрессии.
5. Из элементарной геометрии читателю известны определение угла
и градусная мера для его измерения.
В высшей математике преимущественно используется так
называемая радианная мера угла. Пусть К—круг с центром в начале
координат ΟΧΥ и с радиусом, равным единице.
В плоскости ΟΧΥ выберем определенное направление вращения
(указанное на рис. 1 стрелкой), которое будем называть
положительным] противоположное направление
вращения назовем отрицательным.
Пусть χ—произвольное число.
Отложим на окружности круга К (начиная от
А) дугу длины \х\ в положительном или
отрицательном направлении, в
зависимости от того, будет ли χ > 0 или χ < 0.
(Для х — 0 дуга сводится к одной точке
Л.) Концом дуги будет вполне
определенная точка В окружности круга К. Число χ
назовем радианной мерой угла АОВ.
Ясно, что каждый угол имеет
бесчисленное множество*) радианных мер,
отличающихся между собой на числа, кратные длине окружности, т. е.
на 2лп (п целое). Для перехода от градусной меры к радианной
служит формула ΛΓ = πβ/180 + 2/ζπ, где χ означает радианную
меру, а — число градусов, а п — произвольное целое число.
Например, радианной мерой прямого угла ΧΟΥ будет четверть
окружности, т. е. π/2, а также любое число вида л/2 + 2яя (п
целое); радианной мерой половины полного угла АОА будет половина
окружности, т. е. я, а также любое из чисел π + 2/ζπ (# целое),
следовательно, каждое нечетное число π, и т. д.
6. Напомним известные неравенства: |# + #|^|#| + |^1> \а — ^1 Ξ^
^|#| — \Ь\, справедливые для любых чисел β, b.
7. Говорят, что числа я, b отличаются меньше чем на ε, если
имеет место неравенство \а — £|<ε, или—ε<β— £<+ε.
Рис. 1.
*) Напомним, что автор рассматривает угол как в элементарной
геометрии, не считая его образованным вращением подвижного радиуса.
(Прим. ред.)

ТОМ ПЕРВЫЙ
ГЛАВА I
ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
ПОНЯТИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
1. Определение последовательности. Если имеется закон, по
которому каждому натуральному числу соответствует определенное
число, то говорят, что задана последовательность чисел.
Пример. Пусть закон, по которому каждому натуральному числу
соответствует число, будет таким: числу 1 соответствует 1, числу 2
соответствует -^-, числу 3 соответствует -^- и т. д., вообще, числу η
соответствует —. Выписав эти числа, убедимся, что
последовательность имеет вид
1 J. λ JL
]> 2 ' 3 ' 4 ' 5 ' ' ' '
Число, соответствующее единице, будем называть первым членом
последовательности, число, соответствующее двойке, — вторым членом
последовательности и т. д., число, соответствующее числу /г, будем
называть п~м членом последовательности.
Члены последовательности будем обозначать следующим образом:
возьмем произвольную букву, например я, и первый член обозначим
символом αν второй член — символом а2 и т. д., общий (#-й) член —
символом ап. Читается так: а первое или а с индексом один, а второе
или а с индексом два и т. д., а «/г-е» или а с индексом п. Заметим,
что если ап есть #-й член последовательности, то ап + 1 будет
последующим членом, ап+2 — вторым после ап и т. д., член an+k будет k-u
после ап. Точно так же ап_х— член, предшествующий ап, ап_2 — член,
предшествующий an_v и т. д. Последовательность с общим членом ап
обычно обозначается кратко через {#„}, например, последовательность
,111 | 1 \
1, у, у, т, ...-через j-J.

18
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Зададимся теперь вопросом, каким образом можно получить
некоторую последовательность? Иными словами, каким способом
последовательность может быть задана? В различных случаях можно поступать
по-разному. Приведем некоторые способы задания последовательностей.
1. Зададим последовательность формулой, положив, например,
Отсюда сразу видим, что
01==5, α2 = 5·2,= 10, я3 = 5'3==15» ···» α20 = 5·20= 100, ...
Аналогично зададим последовательность формулой, положив
яп = 5л2—п+\.
Тогда 0! = 5, я2=19, я3 = 43, ..., я100 = 49901, ...
2. Зададим последовательность, говоря, например, что ап есть /z-я
цифра числа У 2. Тогда найдем, что
Вычисляя У2 с помощью известного алгорифма, найдем первую, вторую,
третью и т. д. цифры. Таким образом, наша последовательность
определена.
Аналогично определим последовательность, говоря, что ап является
л-м десятичным знаком числа π.
3. Иным способом задания последовательности является так
называемый рекуррентный способ. Он заключается в том, что дается
первый член и способ вычисления я-го члена при помощи предыдущих.
Поясним это на примерах.
а) Пусть первый член равен нулю, а каждый следующий равен
утроенному предшествующему плюс два, т. е.
*ι = 0, ап = Зая_г + 2.
Тогда а2 = 2, az~St я4-=26, ...
б) Пусть первый член равен единице, а каждый следующий равен
сумме всех предшествующих ему, т. е.
^ = 1, ап = а1 + а2 + а3+...+ап_1.
В этом случае а2=1, а3 = 2, я4 = 4, аъ = 8, ...
в) Пусть первый член имеет значение я, а каждый из следующих
равен предшествующему плюс одно и то же число d> т. е.
ax^=ay αη = αη_λ-\-ά (арифметическая прогрессия).
Здесь
a2 = a + d, a3 = a-\-2dy ...

3. ОГРАНИЧЕННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
19
2. Монотонные последовательности. Последовательность
называется возрастающей, если каждый ее член больше предшествующего,
т. е. 0„>tfw_i; убывающей, если 0„<0„_ι; неубывающей, если
αη^αη-ν невозрастающей, если cin^an_v Каждая такая
последовательность называется монотонной. Убывающие и возрастающие
последовательности называются строго монотонными.
Примеры.
1. Последовательность {п} натуральных чисел — возрастающая.
2. Последовательность < — > чисел, обратных натуральным,
убывающая.
3. Последовательность {#„}, где ап означает количество
натуральных чисел, делящихся на три и не превышающих п, неубывающая:
01 = 0, я2 = 0, а3=\, а4=1, аь=\, а6=2, ...
4. Последовательность )— /—Л *) невозрастающая:
1 1 1 1 1
αΐ=1> ^2==1» Яз—1» Л4="2"» ^^J» ···
3. Ограниченные последовательности. Последовательность
называется ограниченной, если все ее члены лежат в определенном
конечном интервале (— М, + М) (М > 0), другими словами, когда | ап \ < Μ
(п=\, 2, 3, ...).
Примеры.
1. Последовательность {йп}, где ап есть /z-й десятичный знак
числа Υ 2, ограничена, ибо |#„|< Ю.
2. Последовательность < , . > ограничена, ибо |ял|<1.
Заметим, что ограниченная последовательность не обязательно
монотонна, и наоборот. Например, последовательность
т. е. а1 = 0, я2==Ь α3 = 0, Л4 = Ь ···» ограниченная, но не
монотонная, а последовательность {п} натуральных чисел монотонная,
но не ограниченная.
*) Ε (χ) означает наибольшее целое число, непревышающее х. Например,
£(5) = 5, £(π) = 3, £(lg2) = 0 и т. д.
Число Ε (χ) удовлетворяет неравенству
х—1 <E(x)<sxi
вытекающему непосредственно из определения.

20
ГЛ I ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТСЛЪНОСТСЙ
4. Действия над последовательностями. Умножение
последовательности на число, сложение, вычитание, умножение и деление
последовательностей определим следующим образом.
Последовательность умножаем на число, помножив каждый ее
член на это число Например, произведение последовательности
(αν а2, α3> ··> ап* ···) на число м есть последовательность
(mav та2, та3, .. ., тап, .. .).
Две последовательности складываем, вычитаем или умножаем,
складывая, вычитая или умножая их соответствующие члены.
Например, имея две последовательности:
(av а2> .. ., апУ .. .)
получим:
их сумму (aj+6,, я2 + £2, .
разность (#j—bv а2— b2, .
произведение (axbv a2b2, ..
(bv b21 ..
·.. αι. + *«. ·
.., an-bn, ..
·, я А» ...)·
., ι
..).
.).
Частное можно определить лишь при том условии, что все члены
последовательности, на которую мы делим, отличны от нуля, так как
делить на нуль нельзя.
Одну последовательность делим на другую, у которой все члены
отличны от нуля, разделив члены первой на соответствующие члены
второй. Это означает, что для двух последовательностей
(av д2, ..., ап% ...) и (bv b2, ..., bn, ...),
где все Ьп отличны от нуля, частным является последовательность
Ui * ъ2 · ···'*„' ·■■;·
Указанные действия над последовательностями символически
записывают так:
т{ап} = {тап},
К}~ {*!.} = {«»-*«}·
КИ*,Л = {аАЬ
$-&■»·-··
Задачи
1. Доказать, что последовательность < "? V возрастающая.
2. Доказать, что последовательность (««}, где ап есть п-я цифра
произвольно выбранного иррационального числа, не может быть монотонной.
\ап\, где ап

6. ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 21
\*Ψ\
3. Доказать, что при произвольно выбранном χ последовательность
ограничена.
4. Для каких χ последовательность {1 + *+*2 + . . . + хп] будет
ограниченной?
ИНТУИТИВНОЕ ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
5. Предел монотонной последовательности. К понятию предела
последовательности можно прийти интуитивно следующим образом.
Пусть {ап} — монотонная последовательность, например возрастающая.
Возможны два случая:
1) либо члены последовательности возрастают неограниченно; это
означает, что какое бы большое число мы ни взяли, все члены
последовательности {#„}, начиная с некоторого, будут больше этого числа;
2) либо члены последовательности {ап} не возрастают
неограниченно; тогда существует одно-единственное число g, к которому члены
последовательности {ап} неограниченно приближаются; это означает,
что, взяв произвольно малое число ε > 0, мы сможем найти такой
член последовательности, что все следующие за ним будут отличаться
от g меньше чем на ε.
Это число g называют пределом последовательности и
записывают так:
lim an = g.
п-+ со
О последовательности {ап} говорят, что она сходится к g.
Аналогичные замечания можно высказать для убывающих
последовательностей.
Мы сформулировали, стало быть, следующее утверждение:
Теорема. Каждая ограниченная монотонная последовательность
имеет предел (является сходящейся).
Примеры.
1. Последовательность {п} возрастающая, но неограниченная.
Такова же последовательность {п2}.
2. Последовательность <\ > возрастающая и ограниченная с
пределом 1. ί Μ
3. Последовательность <—-^ограниченная и убывающая с преде-
1 ί 3/14-11 ί 3 8l
4. Последовательностью _Л или ^~с"+с/к __\\\ ограниченная
и убывающая с пределом -=-.
6. Общее определение предела последовательности*
Рассмотрим теперь любую последовательность {#„}, не обязательно
монотонную, Может случиться, что существует число g, к которому члены
лом 0.

22 ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
последовательности неограниченно приближаются. Это означает, что,
взяв произвольно малое число ε > 0, найдем такой член
последовательности, что все последующие отличаются от g меньше чем на ε.
Можно доказать, что если такое число существует, то оно
единственно.
Число g называют пределом последовательности и обозначают,
как раньше, hm an=g.
Последовательность {#„}, не имеющую предела, называют
расходящейся.
Прим еры.
1. Последовательность < - ~> сходится, и ее предел равен нулю.
2. Последовательность {(—1)"} расходится.
7. Частный признак сходимости* Часто бывает трудно определить,
имеет ли некоторая последовательность предел или нет. Во многих
случаях оказывается полезной следующая теорема:
Если последовательность {сп} заключена между последователь-
костями [ап] и {Ьп}, сходящимися к одному и тому же пределу, то
последовательность {сп} сходится к общему пределу
последовательностей {ап} и {Ьп}.
Замечание. Мы говорим, что последовательность {сп}
заключена между последовательностями {ап} и [Ьп], если для каждого η
выполняются следующие неравенства:
ап<Сп<Ьп-
Примеры.
1. Последовательность < ^ > имеет пределом л:. Действительно,
имеем:
следовательно,
пх — 1 < Ε (пх) ^ пх,
1 ^Е(пх)^.
η η ^ '
а так как каждая из последовательностей <х——V, {дг} сходится к
пределу х, то и для последовательности < * х'\ , заключенной между
ними, имеет место то же самое.
2. Последовательность < — > , где ап есть л-я цифра числа π, имеет
предел 0, так как она заключена между последовательностями {0},
i — >, имеющими предел 0.

9. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, РАСХОДЯЩИЕСЯ К ± 00 2&
8. Действия над сходящимися последовательностями. Если {ап\
и {Ьп} — сходящиеся последовательности, то может быть доказана
следующая
Теорема. Последовательности {an±bn}, {can}> {arfin\ схо"
дятся и:
1) Wm(an±bn) = lim ап ± lim bn\
2) если с — произвольное число, то
lim can = с lim an\
3). lim (anbn) = lim #w- lim bn.
n->& я-*оо я-*со
Кроме того, если #n=j£0, lim ЬпфО> то последовательность <~>
сходящаяся и
lim αΛ
limgg^*"*00
rt-*aA И11* &я '
Я-*00
9. Последовательности, расходящиеся к ± οο· Введем
следующий удобный способ выражения. Будем говорить, что
последовательность {ап} расходится к -f-°°*)> если для каждого произвольно
большого числа А существует такой член последовательности, начиная
с которого каждый последующий больше Л. Записываем это так:
lim an= +оо.
Я-* 00
Примерами такой последовательности являются {/ζ}, {2П}, {п2 — п}
и т. д.
Аналогично будем говорить, что последовательность {ап}
расходится к —-оо, если для каждого произвольно малого
(алгебраически) числа А существует такой член последовательности, начиная
с которого каждый последующий меньше А. Записываем это так:
lim #Λ = — оо.
Я-*00
Примеры такой последовательности получим, помножив
приведенные выше последовательности на —1. Другими примерами будут
{п—/г3}, { — 10я} и т. п.
Следует всегда помнить, что последовательности, расходящиеся
к -f-οο или —оо, не имеют предела, и что символы -(-оо и —-оо
отнюдь не являются числами, а вводятся лишь для упрощения записи.
*) Иногда говорят также «стремится к +оо».

24 ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙч
Замечание. Если пишут lim an~g без дальнейших указаний·
η
л->оо
то молча полагают, что последовательность [ап] сходящаяся, что,
следовательно, g—действительное число, а не один из символов
+ оо, — оо.
10. Теоремы о последовательностях, расходящихся к ± оо.
Можно доказать следующие теоремы:
а) Если последовательность {ап} ограничена, a lim bn — +00, то
η -*■ оо
lim (an+bn)= +00,
«-> 00
lim (an — bn) =—oo,
Π -* ОО
lim ^-=0 при условии, что ЬпфО для всех п.
б) Если lim #rt=-f-oo, lim bn—-{-oo, то
/l-*00 Л->0О
lim (<!„+£„)= +00,
rt->- OO
lim (flA)= +°°·
я-> 00
в) £сли lim αη=-|-οοτ lim £Λ =—оо, то
ГС -► 00 П -> 00
lim (α„ — *„) = + оо,
/1-* ОО
lim (anbn)= — оо.
rt-> оо
г) £сли lim an = gt gΦO, lim 6w=-f-oo, τα
Я -V 00 П -*■ QO
lim (e*) = i + °o лри*>0,
«^»v " " \— 00 лйи g-<0.
д) Если lim a„ = g\ £=5^0, lim ^„ = 0, bn > 0, ro
/i-*· 00 η -> 00
lim 2л== ί +oo при g>0,
„-*»*« \— ОО при g<0.
Задачи
1. Доказать, что последовательность ^ > при произвольно
выбранном * имеет предел 0.
2. Будет ли последовательность {(— 1)" п} расходиться к +оо или —оо?

12. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, ОТЛИЧАЮЩИЕСЯ ЛИШЬ ПОРЯДКОМ ЧЛЕНОВ 25
3. Доказать, что последовательность {л3—5/ι2 + 3}, τ. е.
расходится к + оо .
4. Доказать то же самое для последовательности {3W — я}, использовав
неравенство 3"^=1+2л (см. Введение, п. 3).
СТРОГОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
11. Отрезки последовательности. Если имеем какую-нибудь
данную последовательность alf а2, ... , ап, . .. , то /2-м ее отрезком
будем называть множество членов, оставшихся после отбрасывания
первых η — 1 членов. Например, шестым отрезком будет множество
αβ> αι> аъ> · · · » сотым отрезком а100, а101, a1Q2, ... В частности,
в состав первого отрезка последовательности входят все ее члены.
Отрезки последовательности будем обозначать символами Av Л2,
Л3, ...; число при А указывает номер отрезка. Таким образом,
например, Ав означает шестой отрезок.
Выскажем некоторые очевидные замечания об отрезках, которые
понадобятся нам в дальнейшем.
1. Если имеется два произвольных отрезка, например АьоиА190,
то всегда последующий отрезок содержится в предшествующем;
в нашем случае А100 содержится в А&0.
2. Если возьмем произвольный отрезок, например A100t то лишь
конечное число членов последовательности не принадлежит этому
отрезку. В нашем случае отрезку Л100 не принадлежат только 99
первых членов, т. е. члены αν α2, .. . , α99.
3. Обратно, если возьмем произвольное конечное число членов,
то существует отрезок, который их не содержит (например, каждый
отрезок с индексом, большим всех индексов этих членов).
4. Аналогично, если взять два произвольных отрезка, например
Аьо и Al0Q} то лишь конечное число членов предшествующего отрезка
не содержится в последующем. В нашем примере 50 первых членов
отрезка Лб0, а именно #60, аВ1, яВ2, ... , α99, не содержатся в
отрезке Л100. Все остальные члены отрезка АЬо в отрезке А100 содержатся.
12. Последовательности, отличающиеся лишь порядком
членов. О двух последовательностях говорят, что они отличаются лишь
порядком членов, если каждый член встречается одинаковое
(конечное или бесконечное) число раз в обеих последовательностях.
Примеры. Приведенные ниже последовательности отличаются
лишь порядком членов:
1. (0, 1, 0, 1, 0, 1, ...) и (0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, ...);
2. (1, 2, 3, 4, б, 6, ...) и (2, I, 4, 3, 6, 5, ...).

26
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Для таких последовательностей имеет место следующая
Теорема. Если две последовательности отличаются лишь
порядком членов, то каждый отрезок одной содержит некоторый
отрезок другой.
Доказательство. Пусть первой последовательностью будет
av аъ> #з> · · · » вт°рой Ьг, Ь2, Ь3, ... и обе последовательности
отличаются лишь порядком членов. Рассмотрим какой-нибудь отрезок
первой последовательности, например Ап. Отрезок Ап не содержит
лишь членов αν α2, α3, ... , αη_ν Эти члены встречаются в
последовательности bl9 b2, b3i ... , ЬпУ ... (быть может, в другом
порядке); поскольку их конечное число, то у последовательности
bv b2, ... существует такой отрезок, назовем его Вг, который их
не содержит. Тогда ясно, что отрезок Вт содержится в Ап.
Действительно, каждый член отрезка Вг является последующим для
членов а19 а2, а3, ... , ап_1у а отрезок Ап содержит все члены
последовательности, кроме этих.
Пример. Пусть {ап} — последовательность натуральных чисел
1, 2, 3, 4, ... , т. е. ап = п, а {Ьп} — последовательность 2, 1, 4, 3,
6, 5, . .. , т. е. Ь2п_г = 2п, Ь2п = 2п—1. Отрезок Ав содержит,
например, В10.
13. Понятие приближения. Говорят, что некоторое число а
приближает число b с погрешностью, меньшей ε, если
\а—Ь\<е.
Говорят также, что а является приближенным значением числа b
с погрешностью, меньшей ε.
Пусть а приближает b с погрешностью, меньшей ε. Тогда ясно,
что а приближает b также с погрешностью, меньшей η, каково бы
ни было η > ε. Если же η < ε, то может случиться, что а не
приближает b с погрешностью, меньшей η.
Понятие приближенного значения весьма важно, так как на
практике мы оперируем почти исключительно приближенными числами.
Это происходит либо потому, что точные значения нам неизвестны
(измерение всегда производится неточно, с большей или меньшей
погрешностью, в зависимости от точности измеряющего инструмента),
либо потому, что действия, которые следует выполнить над данными
числами, были бы слишком сложны и кропотливы, если бы мы взяли их
точные значения; в .расчетах пользуются, следовательно, тем или иным
приближением, в зависимости от того, какая точность нас устраивает.
Примеры.
1. Число 3,1416 приближает число π с погрешностью,
меньшей 20000* ^Т° означает> чт0
|л-3,1416|<^0.

14. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА 27
2. Число 1,41 приближает J^2 с погрешностью, меньшей ^д .
Если а приближает Ь с погрешностью, меньшей ε, то, как
сказано, \а — £|<ε. Тогда можно также писать
а—ε < Ь < α + ε
(см. Введение, п. 7).
Будем говорить, что отрезок последовательности приближает
некоторое число g с погрешностью, меньшей ε, если каждый член
этого отрезка приближает g с погрешностью, меньшей ε.
Например, о последовательности 1, -«-, -о",...,—, ··· можно
Δ ό ft
сказать, что отрезок Л1001 приближает нуль с погрешностью,
меньшей -L .
Если некоторый отрезок последовательности приближает g с
погрешностью, меньшей ε, то каждый отрезок, содержащийся в нем,
т. е. каждый последующий, также приближает g с погрешностью,
меньшей ε.
Например, в приведенной выше последовательности отрезок
Л200о также приближает нуль с погрешностью, меньшей ттдч·
14. Определение предела* Говорят, что число g является преде-
лом последовательности av av a3, ... , ani ... , если у этой
последовательности существуют отрезки, приближающие g со сколь угодно
малой погрешностью, другими словами, если для каждого числа ε > О
существует отрезок, приближающий g с погрешностью, меньшей ε*).
Записывают это так:
lim an = g.
η -> во
Вместо того чтобы сказать, что последовательность имеет
предел gf часто говорят, что последовательность сходится к g или что
последовательность стремится к g. Аналогично вместо
«последовательность имеет предел»" часто говорят: «последовательность сходится».
Примеры.
1. lim — = 0.
/I-+00 П
2. Последовательность (0,6, 0,66, 0,666, ...) имеет предел, рав-
2
ный числу 0,666... = -~-.
3. Последовательность с общим членом ап =гтл имеет пределом
число 1. Чтобы это доказать, возьмем произвольный отрезок AN.
*) Как легко видеть, приведенное выше определение предела равносильно
данному.

28
ГЛ. 1. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Если ап принадлежит отрезку AN, т. е. если n^N, то
=-L.<-L
я + 1
п + 1
т. е. отрезок AN приближает число 1 с погрешностью, меньшей — .
Если мы хотим, следовательно, чтобы погрешность была меньше
некоторого определенного числа ε>0 (например, 8 = щл)> то
достаточно выбрать N так, чтобы -д=- < ε, τ. е. чтобы jV>—. Таким
образом, каждый отрезок с номером, большим —, приближает 1 с
погрешностью, меньшей ε. Так как ε произвольно, то существуют,
следовательно, отрезки, приближающие 1 с произвольно малой
погрешностью, поэтому
lim —— =1.
Это типичный способ доказательства того, что некоторая
последовательность {ап} имеет предел g. Проанализируем это
доказательство.
Прежде всего рассматриваются произвольный отрезок AN и
произвольный член ап этого отрезка, т. е. член, номер которого больше
или равен ЛЛ Мы исследуем разность \g—ап\ и-етараемся, зная Af,
определить некоторое число так, чтобы все \g—ап\ были меньше
этого числа, как только η^Ν, τ. е. как только ап принадлежит AN.
В предыдущем примере таким числом било -^-. Это число будет
определяться некоторым выражением, зависящим только от N,
а не от п. Затем нам остается доказать, что существуют отрезки,
для которых соответствующее число произвольно мало.
Таким образом, если последовательность имеет предел g, то для
произвольного ε > 0 у последовательности существует отрезок ΑΝ,
все члены которого приближают g с погрешностью, меньшей ε.
Следовательно, единственные члены, не приближающие g с
погрешностью, меньшей ε, это те, которые не принадлежат отрезку ΑΝ,
а их лишь конечное число. Итак, мы можем высказать следующее
утверждение:
Если lim an~g и дано некоторое ε > 0, то лишь конечное
П-* 00
число членов последовательности отличается от g на г или больше
чем на г.
Обратно: если для данной последовательности {ап} доказано
существование такого числа g> что для произвольно
выбранного ε > 0 лишь конечное чиало членов этой последовательности

14. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА
29
отличается от g не меньше чем на ε, то
lim an = g.
В самом деле, выбрав произвольное число ε > 0, мы можем
утверждать, что у последовательности существует отрезок Ля, не
содержащий ни одного из конечного числа указанных членов; следовательно,
все члены этого отрезка приближают g с погрешностью, меньшей ε.
Приведенное выше рассуждение часто используется для
доказательства того, что некоторое число есть предел последовательности.
Пример 4. Доказать, что lim c То^т -
n-*oobn-rz о
Возьмем произвольное число ε > 0 и исследуем, сколько членов
з
отличается от ~г не меньше чем на ε. С этой целью изучим разность
ΊΓ—ап · Имеем:
5 п
13 ,„Зя+1| I 1 I
I 5 5п + 2 ( J 25ai + 10J.
1
25/1+ 10i 25л+10*
Таким образом, только те члены отличаются от -=- не меньше чем
на ε, для которых ^. ■ 10^в (здесь η—номер рассматриваемого
члена). Отсюда следует, что 25/ζ+ΙΟ^Ξ —, 25л<[ 10,следова-
β с
тельно,
1-ю
Однако существует только конечное число натуральных чисел, не
превосходящих данного. Поэтому натуральных чисел, не превосхо-
1-ю
дящих, в частности, числа -^Ц=—, либо не существует вовсе
(например, для ε = 5, ε = ^ j, либо существует лишь конечное число.
I 3 I
Таким образом, неравенство l·^- — ап\^г будет выполняться только
для конечного числа членов. Отсюда следует, что
lim ап = -г-.
Замечание. При доказательстве того, что данная
последовательность {ап} имеет предел g, т. е. что для каждого ε>0
существует отрезок Ап, приближающий g с погрешностью, меньшей 8,

30 ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
всегда можно принять, что ε меньше некоторого произвольного
положительного числа α (например, ттчх), так как отрезок Ап,
приближая g с погрешностью, меньшей ε < α, тем более приближает g с
погрешностью, меньшей произвольного ε^α. Этим замечанием мы
скоро воспользуемся.
Задачи
1. Доказать, что последовательность с общим членом
йп J?
1
имеет пределом -у .
2. Доказать, что последовательность с общим членом
1
(1 +Х + Х2+... +ХП)
сходится при χ > I к пределу ·——■г
Q π ' /Зя2-2я + 6\ 3
3. Доказать, что последовательность < —7 24.19 ί имеет пРеДел -у
Ш
1
4. Доказать, что последовательность |—jAj имеет преДел у^г.
ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
15* Сходимость последовательностей с равными членами* Если
все члены последовательности {ап} равны одному и тому же числу g,
то последовательность сходится к этому числу.
Например,последовательность <ап =-7г\ > т· е· τ» Τ ' Τ' ' *' '
1
имеет предел -^.
Доказательство вытекает из следующего замечания. Какое бы
произвольное число ε > 0 мы ни взяли, все члены последовательности
будут приближать g с погрешностью, меньшей ε, так как они
приближают g с погрешностью, равной нулю:
\g-*n\ = \g—g\ = 0-
16. Независимость предела от порядка членов. Предел
сходящейся последовательности не зависит от порядка членов; это
означает, что предел сходящейся последовательности не изменится, если
в ней изменить порядок членов.
Например, последовательность <—■ > имеет предел 0. Если
изменить порядок членов так, чтобы член четного порядка перешел на

17. СХОДИМОСТЬ ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 31
одно место назад, а член нечетного порядка—на одно место вперед
то получим следующую последовательность:
111111
2 * 1 · 4' 3' 6' 5 ' "*
Эта новая последовательность также имеет предел 0.
Доказательство. Пусть последовательность {ап} имеет
предел g. Пусть, далее, {Ьп} — последовательность, полученная из
последовательности {ап} изменением порядка членов. Поскольку lim an = gy
/I-*00
то для произвольно выбранного числа ε > 0 существует отрезок ANy
который приближает g с погрешностью, меньшей ε. Но в силу теоремы,
приведенной на стр. 26, отрезок ΑΝ содержит в себе некоторый
отрезок последовательности {Ьп}, скажем, отрезок Вк. Ясно, что
отрезок Вк, как содержащийся в отрезке ΑΝ, также приближает g
с погрешностью, меньшей ε. Следовательно, взяв произвольное число
ε > 0, мы можем найти у последовательности [Ьп] отрезок Вю
который приближает g с погрешностью, меньшей ε, так что \\mbn=^g.
Замечание. Из предыдущей теоремы следует, что если
последовательность {ап} расходится, то каждая последовательность,
отличающаяся от нее только порядком членов, также будет расходящейся.
17· Сходимость подпоследовательностей* Каждая подпоследова*
тельность сходящейся последовательности имеет тот же предел, что
и первоначальная последовательность.
Замечание. Подпоследовательность получается из данной
последовательности путем извлечения бесконечного числа ее членов
в том порядке, в каком они находились первоначально.
Пример 1. Рассмотрим последовательность < ап = — \ . Выберем
из нее все члены с нечетными индексами. Получим новую
последовательность [Ьп}\
1111
1 ' 3» 5' 7 » "**'
так что #„ = л г. Поскольку limaw = 0, то lim£w = 0.
Доказательство. Пусть {ап} — первоначальная
последовательность, сходящаяся к пределу g, a {bn} — ее
подпоследовательность. Для произвольного ε > 0 выберем такой отрезок ANt который
приближает g с погрешностью, меньшей ε. Ясно, что отрезок ΑΝ
содержит в себе некоторый отрезок Вк последовательности {6П},
так как {Ьп} — подпоследовательность последовательности {ап\.
В связи с этим, Вк также приближает g с погрешностью,
меньшей ε. Итак, взяв произвольное число ε > 0, найдем отрезок В&

32
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
приближающий g с погрешностью, меньшей ε; это означает, что
lim bn = g.
П-
Пример 2. Последовательность ^V*T2i (стр. 29) сходшся к
3
пределу -=-. Поэтому последовательности
/3(/г2 + /г) + Ц (3(2п+1) + Ц \2>>2п2 + \\
\5(^ + /t) + 2/> ^5(2/г + 1) + 2р \ь.2«2 + 2Г
являющиеся ее подпоследовательностями, имеют тот же самый предел.
Замечание. Заметим, однако, что если последовательность
содержит сходящуюся подпоследовательность, то отсюда еще не
следует, что первоначальная последовательность будет сходиться.
Например, последовательность 1, —, 1, -т-, 1, -тт, ... расходит-
1 1 *1
ся, подпоследовательность же γ, —, —, ... сходится к нулю.
18. Предел последовательности с неотрицательными членами.
Если все члены сходящейся последовательности неотрицательны, то
ее предел также неотрицателен.
Доказательство следует из замечания, что если μ — число
отрицательное, а а—число неотрицательное, то |α — μ|2Ημ|. Таким
образом, неотрицательное число отличается от отрицательного числа
не меньше чем на абсолютную величину отрицательного числа.
Следовательно, если {ап} — произвольная последовательность с
неотрицательными членами и μ — некоторое отрицательное число, то никакой
отрезок этой последовательности не будет приближать μ с
погрешностью, меньшей |μ|. Значит, погрешность не может быть произвольно
малой, и поэтому μ не является пределом нашей
последовательности. Последовательность, таким образом, имеет пределом
неотрицательное число.
19. Предел суммы и разности последовательностей. Сумма
двух сходящихся последовательностей есть последовательность,
сходящаяся к сумме пределов этих последовательностей.
Пример 1. Пусть {ап} есть последовательность <\ ~~у\ ,
{bn} — последовательность \ , . >, \сп} —последовательность
/Злг — 1 . 1 \ __ /8/г2 — 5п— \\
\5/г+1+ «/Ι 5п2 + п /·
Поскольку
lim ая=\, lim *я = т,

19. ПРЕДЕЛ СУММЫ И РАЗНОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 33
ТО
1,38
hm с« = 1+т=вт·
Доказательство. Пусть последовательность {ап\ имеет
предел я, последовательность {Ьп} имеет предел Ь. Члены
последовательности {сп}, являющейся их суммой, имеют вид сп = ап-\-Ьп.
Требуется доказать, что
hm cn = a + b.
Так как
lim an = a, lim Ьп = Ь,
/l-* 00 П -> 00
то, взяв произвольное число ε > 0, найдем отрезки ΑΝ и Вк,
приближающие, соответственно, а и b с погрешностью, меньшей ε.
Пусть R—целое число, большее чем N и А\ Очевидно, что
отрезки AR и BR, содержащиеся, соответственно, в отрезках AN и Вю
тоже приближают а, соответственно Ь, с погрешностью, меньшей ε.
Так как каждый член сПУ принадлежащий CRy имеет вид an-\-bnt
где ап и Ьп принадлежат ARy соответственно BRi ίο
lfl-<*J<8. |*-*,,|<8,
следовательно,
|α + £— ся\ = \а + Ь—ая-Ьа\ =
= \{а-ап) + (Ь-Ьп)\^\а-ап\ + \Ь-Ьп\<2г.
Таким образом, отрезок CR приближает а + Ь с погрешностью;
меньшей 2ε. Если бы мы пожелали, чтобы отрезок CR приближал а + Ь
с погрешностью, меньшей некоторого произвольного числа η > 0, то
достаточно было бы вначале взять такое ε > 0, чтобы было 2ε < η,
значит, достаточно было бы взять ε < ~-. Следовательно, взяв
произвольное число η > 0, найдем такой отрезок CR) который
приближает а-\-Ь с погрешностью^ меньшей η, а это означает, что
lim сп — а + Ь.
П -*00
Пример 2. Последовательность
сходится к нулю.
Замечание. Указанную выше теорему можно записать так;
Если последовательности {ап} и {Ьп} сходятся, то
Ш(ап + Ья)= \\ιηαη+ Итдя.
2 С. Банах

34
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Подобное утверждение относится и к разности двух
последовательностей. Стало быть,
Ит(ая —*я) = lim ая—Нт*я.
*
Доказательство аналогично, так как
|в_*_ся| = |а —* —αΛ + *η| =
20. Предел произведения последовательностей. Произведение
двух сходящихся последовательностей есть сходящаяся
последовательность, и ее предел равен произведению пределов этих
последовательностей.
Пример 1. Пусть {ап} есть последовательность <1 >,
{Ьп}—'последовательность } -~. > , {сп} — последовательность
{ап-Ьп}; тогда
— h —(ί — 1λ 3η — 1 η — 1 3/г —1_3/ι2 — 4/ι+1
с« —αιΑ —^* п)*Ьп-\~ η #5я-1~"~ 5/г2 —/г '
3 3 3
Так как limaw=l, lim£n = -r-, то lim сл = 1 ·-=- = -=-.
П-+СО Л-*СО " /1-Х» " **
Доказательство. Пусть последовательность {ап} имеет
предел а, последовательность {Ьп}— предел Ь. Члены
последовательности {cn}t являющейся их произведением, имеют вид сп — апЬп.
Требуется доказать, что litncrt = a6.
Так как litnan=a и Mm bn = b, то, взяв произвольное положи-
П -► 00 П-* 00
тельное число ε < 1 (см. замечание, стр. 29—30), найдем отрезки ANn
Β%> приближающие, соответственно, а и Ь с погрешностью, меньшей ε.
Пусть R — целое число, большее одновременно как Ν, так и /С.
Отрезки Л# и BRi содержащиеся, соответственно, в ANn BKt также
приближают, соответственно, а и b с погрешностью, меньшей ε.
Исследуем, с какой погрешностью приближает ab отрезок CR. Каждый
член сп отрезка Справен anbnt где ап и ^принадлежат, соответственно,
AR и BR. Так как
\а-ап\<*> \b-bn\<*>
то, положив ап — а — аю bn — b = $n, получим:
\anbn-^ab\ = \(a+an)(b + ^n)^ab\ = \anb + ^na + ajn\^
+ |β»-«|·|*»-*Ι<β(|α| + |Α| + β)<β(|α1 + |*|+1).

22. ПРЕДЕЛ ЧАСТНОГО ДВУХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 35
Таким образом,
\anbn-ab\<e(\a\ + \b\+\).
Если необходимо, чтобы отрезок CR приближал аЬ с погрешностью»
меньшей некоторого произвольного числа η > 0, то было бы
достаточно с самого начала выбрать ε > 0 такое, чтобы
е(|а| + |*|+1)<л,
или
η
<
M+l&l+r
Следовательно, взяв произвольное число η > 0, можно найти такой
отрезок CRt что все его члены приближают ab с погрешностью,
меньшей η, а это означает, что
lim сп = ab.
Замечание. Указанную выше теорему можно записать так:
Если {ап} и {Ьп}— сходящиеся последовательности, то
lim (anbn) = lim an- lim bn.
Пример 2. Последовательность
сходится и имеет предел 6.
21. Предел произведения последовательности на число. Если
последовательность {ап} сходится к пределу a, a m — произвольное
число, то последовательность {шап} сходится к пределу та, т. е.
lim (тап) = т* lim an.
я-*со я->оо
Доказательство получим из предыдущей теоремы, положив Ьп = т
(л = 1, 2, 3, ...)·
Пример. Если последовательность {ап} сходится к пределу g,
то последовательность {— ап} имеет предел—g.
22. Предел частного двух последовательностей. Частное двух
сходящихся последовательностей имеет предел, равный частному их
пределов, при условии, что все члены и предел последовательности*
делителя отличны от нуля.
Пусть, например,
2*

36 ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Тогда
Так как
то
°п~' Ьп~~ Зп2 + п '
3
а= lim α„ = 1, £ = hm^ = T,
,. ,35
Доказательство. Поступая так же, как при доказательстве
теоремы о пределе произведения, получим отрезки AR и BRt
приближающие соответственно а и b с погрешностью, меньшей ε. По
условию теоремы ЬфО, поэтому можно взять e<-j|6| (см. замечание,
стр. 29—30). Исследуем теперь, с какой погрешностью приближает
-г· отрезок CR. Полагая, как и при доказательстве теоремы о
пределе произведения, ап — а = ап, bn — # = β„, имеем
\ап а I \Ьап — а$п\^ \Ь\-\ап | + | а |-| β„ |
|6. Μ Ί*(* + βι.)Ι^ ΙΗ·|* + β„Ι
Так как ε< γ\ί?1 то
1М-Р.1>|*|-1М>1*1-«>1*1-у1Н
так что ,
ι»+ρ.ι>τΐ*ΐ·
В силу предыдущих неравенств можно написать:
ап а \^ |6|+ja| p
й Г ^ —1 е*
ьп ь\ _i_|6|i
Если бы мы захотели, чтобы отрезок CR приближал у с
погрешностью, меньшей некоторого произвольного числа η > 0, то было бы
достаточно с самого начала взять 8 > 0 такое, чтобы
1) е<у1Н-
2) Щ±^-г<Я
Иными словами, достаточно взять положительное е, меньшее обоих
ι h*^
чисел 2-1*1и щ+щ-

23. СХОДИМОСТЬ МОНОТОННЫХ ОГРАНИЧЕННЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 37
Таким образом, взяв произвольное число η > 0, можем найти
такой отрезок CRl что все его члены приближают у с погрешностью,
меньшей η, так что
\шсп = т.
Замечание. Предыдущую теорему можно записать следующим
образом:
lim an
lim r^= ,. ,
П-* CD
(при указанных в ней предположениях).
22а*. Предельный переход в неравенстве. Если \\тйп = а,
\\mbn~b и ап^Ьп при всех /ζ, το a^b.
Доказательство. Согласно теореме о пределе разности
последовательность {ап — Ьп} сходится к числу а — Ь, причем все
члены этой последовательности, очевидно, неотрицательны. Отсюда
следует, что и ее предел а—-Ь также неотрицателен (стр. 32),
т. е., что а^Ь.
Задачи
1. Доказать, что последовательность I—: I имеет предел нуль.
2. Доказать, что последовательность V^ / ί имеет предел тт.
3. Доказать, что последовательность < jn2^$ ' ( * « 7Г + 14^4-3 ) С
5
имеет предел -γ.
4. Доказать, что если последовательности \ап\ и {bn\ имеют одинаковые
пределы, то последовательность {ап — Ьп) имеет предел нуль.
ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
23. Сходимость монотонных ограниченных
последовательностей· Поставим вопрос, каким образом определить, сходится ли
данная последовательность. Предварительно выскажем следующее
утверждение
Теорема. Каждая ограниченная монотонная
последовательность сходится.

38 ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Доказательство этой теоремы мы опускаем ввиду его сложности.
Заметим, однако, что интуитивно она совершенно очевидна. Например,
последовательность площадей вписанных в круг правильных 2"-уголь-
ников возрастает и ограничена (так как все они лежат, например, в
квадрате, описанном около круга); как это было интуитивно ясно
уже Архимеду, эта последовательность имеет пределом площадь круга.
Однако не каждая сходящаяся последовательность является
монотонной. Например, последовательность < 1 + > , как легко
видеть, имеет предел 1, хотя она и не монотонна.
24. Условие Коши. Будем говорить, что последовательность {ап}
удовлетворяет условию Коши, если существует закон, ставящий в
соответствие каждому положительному ε отрезок этой
последовательности, любые два члена которого отличаются между собой меньше
чем на ε.
Теорема. Каждая сходящаяся последовательность удовлетворяет
условию Коши (иначе, условие Коши необходимо для сходимости).
Пример. Последовательность ч-q-rf > которая, как известно
(стр. 27), сходится к пределу 1, удовлетворяет условию Коши.
Действительно, имеем:
m I \п—пг\ ^ п + пг 1
|я+1 /я+1| (n + l)(m + \)"""- nm
Таким образом, если m > Af, η > Ν, то
Ι«»-Λ·Ι<£.
2
так что для N> —, m > Ν, n>N получим:
Доказательство. Пусть limaw = a. Если η —произвольное
положительное число, то существует отрезок Ар, который приближает
а с погрешностью, меньшей η. Пусть ат и ар — члены отрезка ΑΝ.
Тогда
Iе* —«Кл. 1«я —«|<η·
Так как
\ат-ар\ = \ат-а + а-ар\<\ат-а\ + \а-~ар\>
то
Ι*.-*/Ι<2η.
Если теперь ε — произвольное положительное число, то, взяв
η = -g-, замечаем, что любые два члена ат и ар отрезка А# отли-

26. ТЕОРЕМА О ПРЕДЕЛЕ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 39
чаются между собой меньше чем на 2η = ε. Следовательно, наша
последовательность удовлетворяет условию Коши.
Можно также доказать обратную теорему.
Теорема. Каждая последовательность, удовлетворяющая
условию Крша, сходится (т. е. условие Коши достаточно для сходимости).
Объединив эти две теоремы, мы получаем следующее утверждение:
Теорема. Для того чтобы последовательность сходилась,
необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.
25. Ограниченность сходящихся последовательностей. Если
последовательность {ап} сходится к пределу gt то все ее члены,
начиная с некоторого, удовлетворяют неравенству \ап—g\<*\ или,
что то же самое, неравенствам —1 < ап~ g<C 1 или§·— 1<ял<#+ 1.
Из этих неравенств и из того, что оставшихся членов лишь конечное
число, вытекает ограниченность последовательности {#„}.
Таким образом, нами доказана
Теорема. Каждая сходящаяся последовательность ограничена.
Как видно из примера последовательности {(— 1)"}, ограниченной
и расходящейся, теорема, обратная данной, неверна.
26. Теорема о пределе промежуточной переменной. Если
заданы три последовательности \ап}, {Ьп}} {сп}, удовлетворяющие
условиям:
1) lim an= \imbn = g;
Л-> СО П-+<Х
то последовательность {сп} сходится и
lim cn = g.
η-* со
Доказательство. Выберем произвольное положительное
число ε. Существуют такие отрезки ΑΝκ ΒΝ, которые приближают g
с погрешностью, меньшей ε. Покажем, что и отрезок CN,
приближает g с погрешностью, меньшей ε. Если возьмем сл,
принадлежащий отрезку CNt то по условию имеем:
ап < Сп < Ьп>
откуда
g-bn^g-cn^g—an\
но члены ап и Ьп принадлежат, соответственно, отрезкам AN и Bj^
значит:
g-an<*.

40 ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Отсюда получаем неравенства
— e<g—cn<et
т. е.
\g-cn\<*·
Следовательно, каждый член отрезка CN приближает g с
погрешностью, меньшей ε. Поскольку ε было выбрано произвольно, то
lim cn = g.
Пример. Пусть
с = 1 4- — + + 1
Тогда имеем:
но так как
то тем более
< с„ < η -
и · —, ... ■ - -=5>. С/„ ^> ιι · —г- --■ ζ t
VV + ft re Yn*+\
/ι + Ι ^* * ^ /ι
Положив #„ =—Γτ» *„ = 1» имеем, как известно,
hm aw= 1, ltm£rt = 1.
Отсюда
lim crt=l.
Задачи
1. Доказать, что если нослеавязстелыгость {я„} имеет предел g, то
последовательность \а%\ имеет предел g3.
2. Доказать, что если последовательность {ап\ имеет предел g, то
последовательность {5а£+ 18а„—1} имеет предел 5g8-H8g—1· Обобщить этот
результат.
3. Доказать, что последовательность {ап)% определенная следующим
образом:
я1 = 0, я2 = 1, αη~α"-1+2α»-2 (я>2),
т. е. последовательность
U' Ь 2 ' 4 ' 8 * 16' 32
обладает свойством
9 2 ί Пя
""-T^T'V^" («=2,з,...)
и, следовательно, сходится к пределу -х- (доказательство по индукции).

26. ТЕОРЕМА О ПРЕДЕЛЕ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 41
4. Доказать, что последовательность
/«^+«,.1*-»+...+«»-»« + «») h+a4+---+"*-^+a*^l
сходится к пределу τ11 при условиях:
Ь0 Φ 0, V^ + M*"^... +bk φ О
для всех п.
5. Доказать, что если последовательность \-^\ (Ьп > 0) монотонна, то
монотонной будет также последовательность
ffli + fli+... +Д«\
β. Доказать, что последовательность <—*-^-ί —£-4 ! —->
X
предел γ ·
7. Пусть
ai^Vxl an+i—Vx+an (*>0),
имеет
так что
ί/ , ./— ^/ . ι/ . ,/-->
и т. д.
«« = /* + Vx, az^y x+Vx+ Vx
Доказать, что последовательность {ап\ возрастающая и что ап<х+\ (по
индукции), так что последовательность \ап\ сходится.
8. Опираясь на результат задачи 7 и на формулу
*£ + !=* + «»·
доказать, что предел g последовательности {ап\ удовлетворяет уравнению
g*±=x + gt
откуда
9. Доказать, что каждая последовательность, содержащая бесконечно
много нулей и единиц, расходится.
10. Доказать, что последовательность, все члены которой являются
целыми числами, сходится тогда и только тогда, когда все члены, начиная
с некоторого, имеют одинаковое значение.
11. Доказать, что предел g последовательности {ап\, члены которой
удовлетворяют неравенствам А ^ ап^В, удовлетворяет этим же неравенствам.

42 ГЛ. К ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРЕДЕЛОВ. ЧИСЛО е
27. Вычисление некоторых пределов. Докажем теперь две
теоремы, которыми мы будем пользоваться з дальнейшем.
Теорема. Если через {αη} обозначить произвольную
последовательность натуральных чисел, стремящуюся к +°°> то:
1)
2)
( + оо для А > 1,
lim Л«п =\ \ для А= \,
"-*00 ( 0 для 0<Л< 1;
ИтаугЛ=1 · дляЛ>0.
/1~*>00 Г
Доказательство. 1) Действительно, если Л>1, то на
основании известного неравенства (см. Введение, п. 3) будем иметь:
Обозначим через Μ произвольное положительное число. Так как
последовательность [ап] стремится к +оо, то у нее найдется
член а#, начиная с которого все члены ап будут удовлетворять
Λ1 1
неравенству ап > -j^—j, откуда 1 -f ап (А — 1) > М. Для /г > N
имеем, следовательно, Аа* > М, а так как Ж произвольно, то
lim Ла» = + оо.
/1-*ао
Если Л=1, то при каждом /г имеем Ла« = 1, следовательно, и
lim-d^^l; также, если Л = 0, то Ла» = 0 (л=1, 2, ...), стало
/1-Х»
быть, и lim Л0»* =0.
/1->СО
Наконец, если 0 < А < 1, то -^ > 1, следовательно,
то на основании теоремы
lim ί-гг) ==+оо. Так как Аа* = . . λη ,
о последовательности, расходящейся к оо (стр. 24), получим:
lim Ла»=0.
2) Допустим сначала, что Л>1. Тогда ΥΛ4> 1. Положив
поэтому °4fA= \+еп (еп ^ 0), будем иметь Л = (1 +еи)а* ^ 1 +αηεη
Л 1
(см. Введение, п. 3), и потому 0 ^ ел ^ ~- . Так как
От»
Л —1
lim αΛ=+οο, то lim ——=0 (см. стр. 24). Таким образом, по-
/1-*-ОР П-*СО °И
следовательность {εη\ заключена между последовательностями {0},

28*. число « = 2,71828... 43
{-—->, сходящимися к нулю. Отсюда на основании известной тео-
а« f „
ремы (стр. 39) следует, что lim ея = 0; поэтому lim α·ϊ/Α==\.
1 ^ /"Τ
Если 0 < Л < 1, то ·ξ-> 1, следовательно, lim 1/ -7= 1. Так как
%/"Л =—р= , то и в этом случае имеем lim αΐ/"ί = ——= = Ь
У У ι "mY ^YLA
Наша теорема полностью доказана.
Теорема. При любом χ справедливо равенство
хп
lim -,=0.
Доказательство. Пусть χ— произвольное число. Выберем
натуральное число k} удовлетворяющее неравенству | χ I < k, Обозна-
л U1
чив через θ число -г-*-, получим:
fc+l^"» /5 + 2'
и поэтому при η > &
|*M_UM. i£l i£l UI ^ 1*М ft*-fe_ 1*М ля
I л! I"- k\ ' k+l* k + 2* ' " η ^ k\ Ό " fl*fe! ° '
Так как 0 <θ < 1, το θη стремится к нулю, когда η неограниченно
возрастает (см. пре
мится к нулю, т. е.
X
возрастает (см. предыдущую теорему), следовательно, и -: стре-
28*· Число е=£ 2,71828... В высшей математике имеет большое
значение одно особое число, которое обозначается символом е. Это
число можно определить как предел последовательности {#„}, /г-й
член которой выражается формулой
так что
-*.(|+т)"·
Чтобы это определение было оправдано, надо доказать, что
приведенная выше последовательность сходится. Для этого
достаточно доказать, что эта последовательность монотонна и
ограничена.

44 ГЛ. 1. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Доказательство. Пользуясь биномом Ньютона, получим:
(лл. *V-1 -Ln ι ι *(«-!) 1 η(η-1)(/ι-2) 1
я(я—l)(n —2)...2-l J_
• · · + 1.2-3...л ' η11 *
Рассматривая, например, четвертый член этого разложения, мы
можем его представить в виде
'(■Ч)(-1)
1-2.3
Поступая так со всеми членами, начиная с третьего, получим
формулу >
"*"*" 1-2-3...л ' v '
Аналогично получаем также следующую формулу:
(, + _>_) = 1 + 1 +
,(,»)(,_ 2 ) 12 ,Л_ ' )(,_*}...-±1
. у п+\) \ n + \J . . \ » + 1/\ я+1/ /» + 1
^ 1-2-3 -г* .. .-г 1-2-3...(л+1)
, ί2>
Заметим теперь, что числитель каждой дроби, встречающейся
в этих разложениях, меньше единицы, как произведение чисел,
меньших единицы. О знаменателях заметим следующее:
1.2 = 2!,
1-2.3> 1.2.2 = 2»,
1.2.3-4> Ь2.2.2 = 2»,
1.2.3-4. ..л> 1-2.2-2.. .2 = 2й*1.
Поэтому
ί \ \п 111 1
Воспользовавшись формулой для суммы геометрической прогрессии

28*. число е = 2,71828... 45
(см. Введение, п. 4), получим:
2 2
так что
Ί+±Υ<3.
Таким образом, мы доказали, что последовательность ограничена.
Докажем теперь ее монотонность. Прежде всего заметим, что
разложение ί 1-|—) состоит из п + \ членов, а разложение
1 \я+1
1 -)—-—г] —из /ζ + 2 членов, т. е. имеет на один член больше.
Легко видеть, что
1 L<- ι L. ι ?- <г ι_ 2 ι Л. <г ι 3
1 /г ^ * я + 1· ' /г ^ [ п + \* ! /ι ^ ' λ + 1»·«
и вообще,
1—— < 1 k
η ^ /ι-f-l "
Поэтому
(>-{)(·-ΐ)<(·-^)(·-^)·
(■-i)(>-i)(«-f)<(«-.-^)('-.-ir)('-A)
и т. д. Мы видим, таким образом, что члены разложения (I), на*
чиная с третьего, оказались меньшими соответствующих членов
разложения (2) и что, кроме того, во втором разложении есть
один добавочный положительный член. Следовательно,
('^)"<К-Ы
Таким образом, последовательность ί 1-|—) монотонна и
ограничена и, следовательно, имеет предел.
Теперь докажем следующую теорему.
Теорема. Если в последовательности {гп} все члены отличны
от 0 и —1 *), причем lim | rn \ = оо, то
ϊιί'+θ"-·
lim
*) При rn = 0, —1 выражение ( Η—) п не определено.
\ гп/

46 ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Доказательство. Сначала установим требуемое
соотношение для случая, когда lim rn= оо. В последовательности {гп} лишь
/I-*" С©
конечное число членов меньше единицы и при отыскании предела
их можно отбросить. Поэтому считаем гп^\.
Пусть, далее, ап = Е(гп) — наибольшее натуральное число, не
превосходящее rw, так что ап^гп < а„+ 1. Заметив, что
увеличение положительных основания и показателя ведет к увеличению
степени, получим очевидные неравенства
(■+5ΤΐΓ<(·+Γ.Γ<(·+έΓ· <3>
С целью применить теорему о пределе промежуточной переменной
(стр. 39), вычислим пределы крайних выражений, опираясь на
только что доказанный результат
lim
(·+±)"-
Поскольку ап — натуральные числа, причем Jim о^ = оо, то по тео-
п -* оо
реме о сходимости подпоследовательностей (стр. 31) имеем
Но тогда
-„'™«)°\'ί.(,+έΗ·
Аналогично
Таким образом, последовательность ϊ(ΐ+~) f заключена между
двумя другими, пределы которых существуют и равны оба числу е.
Значит,
lim (1+1)'" = * (lim rw = oo). (4)
Рассмотрим теперь случай lim rrt =—00. Как и выше, можно
считать /·„<!—2. Обозначив гя=—#„, легко найдем, что
('Ч)'"=('-г.)-=(^)'"=(ч-^Г·

28*. число е = 2,71828... 47
Но lim ?„=oo, поэтому в силу (4)
иш7,+1у·-110,(1+^)--
Мы показали, следовательно, что и при rw—►—оо
lim (\+— Y* = e.
Пусть, наконец, {гп} — произвольная последовательность с
условием lim | τη | = оо (гп Φ О, — 1). Разобьем последовательность
/1->00
ч ( Μ—jfHa две подпоследовательности в зависимости от знака гЛ.
Согласно доказанному, в каждой из этих подпоследовательностей
лишь конечное число членов отличается от числа е больше, чем
на ε. Значит, и во всей последовательности <(1Ч—) п\ таких
членов конечное число. В силу необходимого и достаточного
условия существования предела последовательности (стр. 28) это и
означает, что пр» \гп\ —► оо
lim {l+r)'u—·
Замечание. Обозначим — = рп. Тогда полученное соотношение
можно представить в таком виде:
Если lim рЛ = 0, ря#0,—1, то lim (1+f>JQ« = e.

ГЛАВА II
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1. Примеры функций. Понятие функции. К понятию функции
можно прийти, изучая соотношения, возникающие между разными
величинами. Может случиться, что две величины при определенных
условиях связаны между собой так, что каждому значению первой
величины соответствует точно определенное значение второй. Если
такой факт имеет место, то говорят, что вторая величина является
функцией первой.
Примеры.
1. Цена сахара в определенном месте и в определенный период
времени определяется указанием его количества, т. е. его веса.
Поэтому цена сахара есть функция его веса.
2. Цена железнодорожного билета III класса является функцией
длины пути, на который он выдан, так как такие билеты, выданные
на равные расстояния, имеют равные цены.
3. Изучая движение какого-нибудь тела, заметим, что путь,
пройденный с момента начала наблюдения движения, есть функция
времени, прошедшего с этого момента: путь, пройденный поездом с
момента начала движения, есть функция времени, истекшего с этого
момента.
4. Опыт показывает, что одна и та же масса газа при
постоянной температуре имеет при равных объемах одинаковую упругость;
следовательно, упругость данной массы газа при постоянной
температуре есть функция его объема.
5. Так как в каждый момент дня температура воздуха в
данной местности является определенной, то можно сказать, что эта
температура есть функция времени.
6. Опыт показывает, что данный металлический стержень имеет
при каждой данной температуре определенную длину; следовательно,
длина рассматриваемого стержня есть функция его температуры.
7. Два круга с равными радиусами имеют равные площади,
следовательно, площадь круга есть функция его радиуса.

4. РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИЙ
49
2. Обозначения. Если величина Υ является функцией величины
X, то величину X называют независимой переменной, а величину Υ
зависимой переменной. Функциональную зависимость обозначают
символом
Y=F(X).
Пишут также B = F(A), если В означает то частное значение
величины F, которое в указанной выше функциональной зависимости
соответствует некоторому частному значению Л величины X. (Вместо
буквы F часто употребляют буквы /, φ, ψ и т. д.)
3» Точное определение понятия функции* Понятие функции
можно определить иначе, абстрагируясь от понятия величины,
а именно: если дан закон, в силу которого каждому числу
определенного множества чисел Ζ поставлено в соответствие одно и только
одно действительное число, то говорят, что на множестве Ζ
определена функция*). Аналогично предыдущему, это соответствие
обозначают символом
где χ обозначает любое число множества Ζ, у же обозначает число,
соответствующее числу х. Если х0 — определенное число
множества Ζ, то символ / (л:0) будет обозначать число у0.
Обычно множеством Ζ является некоторый интервал (а, Ь).
4. Различные способы задания функций. Остановимся теперь
на тех способах, которыми функция может быть задана. По
предыдущему определению надо, чтобы каждому значению χ из данного
множества Ζ соответствовало точно определенное число у. Так будет,
в частности, тогда, когда это соответствие устанавливается
формулой, например,
у^х2 + 2х + 3 для 0<*<1.
Существуют, однако, функции, также удовлетворяющие
предыдущему определению, которые мы задаем без формулы. Если,
например, каждому рациональному числу интервала [0, 1] мы поставим
в соответствие число 0, а каждому иррациональному—число 1, то
этим вполне определим в указанном интервале некоторую
функцию R(x), хотя формула и не приводится.
Множество Ζ называют областью изменения переменной χ или
областью определения функции.
В дальнейшем мы часто будем задавать функцию формулой, не
указывая при этом ее области определения. В таких случаях за
область определения принимается множество всех чисел х, для
*) Точнее говоря, функция одной переменной, в отличие от функций
многих переменных, о которых речь будет идти ниже.

50
ГЛ. II. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
которых формула имеет смысл. Например, для /(лг)= — множеству Ζ
принадлежит каждое хфО.
5. Способы представления функций. Таблицы. На практике
требуется такое представление функции, которое позволяло бы легко
находить значение у, соответствующее данному лг. Для этой цели
служат: 1) таблицы; 2) графики.
Таблицу значений функции получим, написав рядом со значениями
переменной χ соответствующие значения переменной у. Очевидно,
таблица всегда содержит конечное число значений χ и
соответствующих значений у, причем обычно значения переменной χ образуют
арифметическую прогрессию.
Например, таблицей функции
у = х2 + 2х + 3
будет:
X
У
0
3
0,1
3,21
0,2
3,44
0,3
Зг69
0,4
3,96
0,5
4,25
0,6
4,56
0,7
4,89
0,8
5,24
0,9
5,61
1
6
Другим примером может служить таблица, указывающая
барометрическое давление в определенный день через одинаковые,
например часовые, промежутки.
Таблица описывает нам функцию обычно только в некотором
подмножестве множества Ζ, содержащем конечное число значений.
Например, функция у = х2-\-2х-{-3 определена во всем интервале
(0, 1), а в таблице приведены лишь 11 ее значений.
Барометрическое давление имеет в каждый момент определенное значение, а
таблица дает лишь ежечасные значения и т. д.
Встречающиеся на практике функции обладают тем свойством,
что малым изменениям переменной χ соответствуют приближенно
пропорциональные им изменения переменной у. Поэтому, если
промежутки между значениями χ в таблице достаточно малы, то из
таблицы виден общий ход изменения функции также для
промежуточных значений, и можно даже с большой точностью вычислить
значения функции для промежуточных значений χ (интерполяция).
Таблицы функций получаются либо путем вычисления значений
переменной по формуле (математические таблицы), либо путем
получения значений переменной у при помощи измерений физических,
химических и т. п. (эмпирические таблицы).
К первой категории относятся логарифмические,
тригонометрические и тому подобные таблицы, ко второй — таблицы упругости
насыщенного водяного пара при разных температурах, таблицы, дающие
температуру кипения воды в зависимости от давления, и т. п.

6. ГРАФИКИ
51
Наконец, следует отметить, что таблицы, как математические, так
и эмпирические, дают значения функций только с определенным
приближением в зависимости от того, какой цели служит таблица,
а при эмпирических таблицах еще и от того, какая точность могла
быть достигнута в измерениях.
6. Графики. Вторым способом представления функции является
график. Пусть OXY— произвольная система координат. Графиком
функции у =f(x) называют множество всех точек с координатами
(х, f(x)). Таким образом, например, графиком линейной функции
д; = 2лг + 3 будет прямая, графиком функции у — х2— парабола и т. п.
График вычерчивают либо при помощи специальных приборов
(линейка, циркуль, эллипсограф и т. п.), либо, чаще всего,
следующим способом.
Имея таблицу значений функции, строят соответствующие точки
в системе OXY. Таким путем получают лишь конечное число точек
графика. Если поведение функции не
очень сложно (см. предыдущие
примеры) и полученные точки расположены
достаточно густо, то уже из этого
неполного графика мы увидим ход
изменения функции и, соединив от руки
построенные точки, получим кривую,
которая будет графиком функции.
График также не является
абсолютно точным образом функции. Причины
этого в основном те же, что были
указаны выше при описании таблиц. К ним
следует добавить еще неточность
чертежных инструментов, вследствие чего
каждая нарисованная кривая имеет
некоторую толщину.
Замечание. Часто при
вычерчивании графика, исходя из
практических соображений, выбирают разные
единицы масштаба на осях ОХ и ОК.
Пример. Пусть /(л;) = л;3 — λγ+ 1. Чтобы построить график
для —1,6^л:^ 1,6 (рис. 2), вычислим таблицу, например, с
промежутком 0,2. Получим следующую таблицу с точностью до одной
десятой (большая точность этих значений для нашего графика
бесполезна):
/ ~f
J
2
Г
•1
'-ух*
•
—1—t I I t t-.t-l—.
-х+1
/
χ
Рис. 2.
χ
У
-1,6
-1,5
— 1,4
-0,3
-1,2
0,5
-ι,ο
1,0
-0,8
1,3
-0,6
1,4
-0,4
1,3
-0,2
1,2
0
1
0,2|Ό,4
0,8
0,7
0,6
0,6
0,8
0,7
1,0
1,0,
1,2
1,5
1,4
2,3
1,6
3,5

52
ГЛ. И. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Задачи
Построить таблицы и графики следующих функций:
1. j/ = 2* + 3.
2. υ=γ\—χ\ 0<*<l.
3. У—γ длядс^О, г/ = 1 для х = 0.
4. у = х2 — 1, 1<х<2; y = ^_i> о<*<1.
5. у = х6, -1<к1.
7· Ограниченные функции. Монотонные функции. Функцию
У=/(х)> определенную на множестве Ζ, называют ограниченной,
если существует такое число Αί>0, что
|/(аг)|<Л1
для всех χ из множества Ζ.
Функцию у=/(*), определенную в интервале (а, £), называют:
возрастающей, если неравенство л^ < л;2 влечет /(лгх) </(х2)»
убывающей^ » » л^ < л;2 » /(Arx) >/(аг2),
неубывающей, » » лгх < х2 » /(#i) ^/(^2K
невозраст ающей, » » лг1<л:2 » /(-^ι) ^/(-^а)»
для любой пары чисел xv х% из интервала (а, Ь).
Каждую такую функцию называют монотонной. Функции
возрастающие и убывающие называют строго монотонными.
Функции, встречающиеся на практике, либо монотонны во всем
интервале, в котором они определены, либо этот интервал можно
разделить на конечное число частей, в каждой из которых функция
монотонна.
Однако существуют функции, не являющиеся монотонными ни
в каком интервале.
Примеры.
1. Функция у — х — возрастающая в любом интервале.
2. Функция д; = cos χ — убывающая в интервале (θ>~ο~)·
3. Функция у = Е(х) — не убывающая в любом интервале.
4. Функция у = Е(—)—не возрастающая в интервале (0, 1).
5. Функция у= х2 — убывающая в интервале ( —1, 0),
возрастающая в интервале (0, 1).
6. Функция R(x)t определенная на стр. 49, не является
монотонной ни в каком интервале.

ГЛАВА III
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ
1. Определение предела функции· Пусть функция у~/(х)
определена в окрестности*) некоторой точки дг0, за исключением, быть
может, самой точки х0; мы не делаем, таким образом, никаких
предположений о том, определена ли функция в точке х0 или нет.
Говорят, что g является пределом функции при л;, стремящемся
к лг0, если для каждой последовательности {хп} чисел из этой
окрестности, сходящейся к xQl с членами, отличными· от х0,
соответствующая последовательность {/(хп)} значений функции
сходится к g\ это означает, что если только \\тхп = хь (хпфх^), то
П-* 00
\imf(xn)=g.
п -*оо
Дли обозначения того, что g является пределом функции при ху
стремящемся к х0, пишут:
lim/(*)-£.
Примеры.
1. Пусть у = χ cos— в интервале (—1, +1), за исключением
точки 0, в которой функция не определена. Имеем здесь lim /(χ) -= 0.
X-+Q
Действительно, если {хп} (хпфО)—последовательность, сходящаяся
к нулю, то
0<|/(*„)| = Kl|cosi-|<|*„|.l.
Поскольку ]im^=:0, то Нт/(л;п) = 0 согласно теореме о пределе
промежуточной переменной (стр. 39).
*) Окрестностью точки х0 называют каждый интервал, содержащий
точку х0 внутри себя.

54
ГЛ. Ш. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
2. Пусть у = cos— на том же множестве, что ив предыдущем
примере. В этом случае предела в точке нуль не существует.
В самом деле, полагая л:п = —, получим последовательность, схо-
" ЛЯ
дящуюся к нулю, соответствующая же последовательность {/(хп)}
совпадает с расходящейся последовательностью —1, +\у — 1,
+ 1, ...
2. Условие существования предела. Для приложений важно
следующее утверждение:
Теорема. Для того чтобы число g было пределом функции
у=/(х) при х, стремящемся к х0, необходимо и достаточно, чтобы
каждому числу ε > О соответствовала такая окрестность точки x0f
что значения функции для всех чисел окрестности (за исключением,
быть может, самой точки х0) приближают g с погрешностью, меньшей е.
Иначе говоря, для того чтобы
l\mf(x)=gy
необходимо и достаточно, чтобы значениям χ Φ χϋ, достаточно мало
отличающимся от х0, соответствовали
значения функции /(#)> сколь угодно
мало отличающиеся от g>
Эту теорему можно
проиллюстрировать следующим образом. Выберем
произвольное число ε > 0 и на оси ΟΥ
(рис. 3) отметим отрезок с концами
g—б, £+ε· Проведем из концов этого
отрезка прямые, параллельные оси ОХ.
Получим, таким образом,
горизонтальную полоску шириной в 2ε. Исследуем
теперь, существует ли отрезок длины
26, расположенный на оси ОХ и
содержащий внутри себя точку xQf чтобы
часть кривой, которая лежит над этим
отрезком [за исключением, быть может, точки (xQ, f(x0))],
находилась бы целиком в ранее определенной полоске.
Таким образом, наша теорема утверждает:
1) если g является пределом, то для каждого ε>0 такой
отрезок можно найти;
2) если для каждого ε > 0 можно найти такой отрезок, то g
является пределом.
В случае, представленном на рис. 4, число g не является
пределом, потому что, взяв указанную на рисунке полоску, мы не найдем
х-<? х0 ярд
Рис. 3.

2. УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА
55
соответствующего отрезка 2δ* Тем не менее, имеются полоски, для
которых соответствующий отрезок 26 существует.
Прежде чем перейти к доказательству этой теоремы, пока·
жем ее применение на нескольких
примерах.
1. lim (5x2 — 7л: + 6) = 4.
Доказательство. Числу ε > О
поставим в соответствие интервал
(1— η, 1+η), где η равно
наименьшему из двух чисел 1, -g-ε. Если л:—
произвольная точка этого интервала,
то
x=\+h,
где |Λ|^η. Следовательно,
9
0-е
Рис. 4.
| (5лг2—7л: + 6) — 41 = | [5 (1 -Ь Л)2—7 (1 + А) + 6] —4 j =
= |ЗА + 5А2| = |А|.|3 + 5А|;
поскольку
|*|<η<ι,
ТО
J (5л:2 — 7ЛГ + 6) — 4|<|А|-8.
Так как, кроме того,
|Α|<η<|β,
то
|(5л:2 — 7л: + 6) — 4|<8.
Мы видим, что значения функции внутри интервала (1—η, 1 + η)
отличаются от*4 меньше чем на ε, следовательно, 4 является
пределом функции 5л:2 — 7χ + 6 при х9 стремящемся к 1.
х^2 х2+х-6 5
Доказательство. Числу ε>0 поставим в соответствие
интервал (2 — η, 2 +η), где η—наименьшее из двух чисел 1, 5ε. Если
теперь хф2 содержится в интервале (2—η, 2 + η), то л: = 2 + А,
где 0 < | А | ^ η. В связи с этим
/<9 + М—1-.(2+*)'-3(2 + А)+2 1 ^
У х ' 5 (2 + Л)2 + 2+А—б 5
1+А 1
4/1
"5Л+Л2 5 *~5 + h 5 """25 + 5Л
;

56 ГЛ. III. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
так как
|А|<1,
то
25 + 5А > 25—5 |А | ^ 25 — 5 · 1 ■=-- 20,
следовательно,
поскольку же | А | ^ 5е, то
|/(2 + *)-||<^-в.
1 .
Таким образом, у является пределом данной функции при лг,
стремящемся к 2.
3 Mm χ2 = 4.
Доказательство. Возьмем интервал (2—-η, 2 +η), где η —
произвольное положительное число. Если χ— точка из интервала
(2—η, 2 + η), то \х — 2|^η. В точке χ наша функция имеет
значение х2. Но
д;2 — 4 = (л: — 2) (л:+ 2),
откуда
|*>_4|Н*-2|.|х + 2|,
следовательно,
μ2-4|<η(μ| + |2|)<η(2 + η + 2),
значит,
|дг«—4|<η(4 + η).
Последнее неравенство справедливо для всех η > 0. Для
положительных же значений η, не превышающих 1, получим неравенство
\х2 — 4|<5η.
Это неравенство показывает, что каждому положительному числу 8
можно поставить в соответствие такой интервал (2 — η, 2 + η), что
если χ—произвольная точка этого интервала, то имеет место
неравенство
μ2-4|<β.
Для этой цели достаточно выбрать за η наименьшее из чисел -^-е, 1.
Перейдем теперь к доказательству теоремы. Покажем
сначала, что данное условие необходимо. Приведем доказательство
от противного. Допустим, следовательно, что g является пределом,
но функция не удовлетворяет данному условию, так что не для
каждого 8 > 0 найдется соответствующая окрестность. Выберем то

2. условие существования предела 67
ε > 0, для которого не существует такой окрестности. Тогда, каков
бы ни был отрезок 26, содержащий внутри точку дг0, в нем всегда
найдется такая точка |=^л:0, значение функции в которой будет
отличаться от g не меньше чем на ε, τ. е.
\f(l)-g\>*.
Выберем теперь произвольную последовательность отрезков
26lf 2б2, .. ., содержащих внутри себя точку х0, таких, однако,
чтобы их длины стремились к нулю. Обозначим через ξ„
произвольную точку отрезка 2δη, отличную от х0 и удовлетворяющую
неравенству
1/(5я)-*1>е· (1)
В силу сказанного выше, такая точка существует в каждом
отрезке 2б„. Так как | ξΛ—-л;01 не превышает длины отрезка 2δΛ, то
lim |ξ„-Λ;β| = 0
и, следовательно,
В силу же неравенства
lim ln = xQ.
1/(Ь,)-*|>в,
последовательность {/(ξΛ)} не стремится к пределу #; это ярвтиво-
речит предположению, что функция имеет предел g в точке лг0.
Этим доказана необходимость условия.
Докажем теперь его достаточность. Пусть функция /(л;)
удовлетворяет условию, указанному в теореме. Пусть, далее, {хп}—
произвольная последовательность, сходящаяся к дг0, причем хпфх0.
Докажем, что \imf(xn) = g. Для этого выберем произвольное число
ε > 0. По предположению, существует такая окрестность точки лг0,
что для каждой точки ξ Φ χ0 этой окрестности выполняется неравенство
|/(ξ)-*|<β. (2)
Так как lim хп = лг0, то, начиная с некоторого члена ПОСЛеДОВаТеЛЬ-
ности (обозначим его через xN)> все последующие лежат в
выбранной окрестности. Таким образом, для каждого члена хп% следующего
за xNl выполняется неравенство (2), т. е.
|/(*„)-*|<в.
Поскольку ε выбрано произвольно, то
lim/(*„) = &

58
ГЛ. Ш. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
следовательно,
lim f{x) = g.
2а*. Теоремы о пределах функций. Используя либо определение
предела функции, либо необходимое и достаточное условие его
существования, легко доказать теоремы о пределах функций,
аналогичные теоремам о пределах последовательностей. При этом выбор
способа рассуждения определяется лишь соображениями удобства.
Укажем некоторые из этих теорем.
Теорема 1 (ограниченность функции, имеющей
конечный предел). Если функция f(x) имеет конечный предел g
при х, стремящемся к х0, то она ограничена в некоторой
окрестности точки х0.
Доказательство. Воспользуемся необходимым и достаточным
условием существования предела функции. Числу ε=1
соответствует такая окрестность точки xQt что для всех хфх0 из этой
окрестности
ИЛИ
g-Kf(x)<g+\9
что и требовалось доказать.
Теорема 2 (о сохранении знака)*). Если lim/(χ) =
= g > 0, то существует такое число а > О, что в некоторой
окрестности точки х0 будет /(#)>а>0 (Х:¥=хо)-
Доказательство. Для всех χ Φ χ0 и достаточно близких
к х0 имеем согласно необходимому и достаточному условию
существования предела
|/(*)-£|<е = |.
Поэтому
следовательно,
/(*)>-§- = а>0.
Замечание. Если £"<(), то рассуждая аналогично, получим
для некоторой окрестности точки х0 неравенство
f(x)<<*<0 (*¥=*<>)·
*) Соответствующая теорема для последовательностей не была приведена
выше, предоставляем читателю сформулировать и доказать ее самостоятельно.
(Прим. ред.)

3. ДЕЙСТВИЯ НАД ПРЕДЕЛАМИ 59
Следующие два утверждения проще доказать на основании
определения предела функции.
Теорема 3 (предельный переход в неравенстве).
Если Иш/1(д:)=^г1, lim/*2 (а:) = g*2, и для всех χ из некоторой ок-
Х-+Х0 Х~*Хц
рестности точки х0, за возможным исключением самой этой точки,
имеет место неравенство
А (*)</·(*),
ТО U &<&.
Теорема 4 (предел промежуточной переменной).
Если l\n\f1(x) = \in\f2(x)=gi и в некоторой окрестности точки xQ
Х^Х0 Х-+Ха
для всех х Φ х0 имеет место неравенство
то функция φ (λ;) также имеет при х, стремящемся к х0, предел,
равный g.
Докажем, например, теорему 4. Возьмем произвольную
последовательность {хп} (хпфх0) чисел из указанной в формулировке
теоремы окрестности, сходящуюся к х0. Так как
Hm/iW=i Ит/2 (*)=£,
Х-+Х0 X~*Xq
то в силу определения предела функции получим
НтД (*J = lim Д (*„)==#.
Но при всех η им£ем fx(xn) ^<f(xn) ^Д(*я)· Поэтому на
основании соответствующей теоремы для последовательностей (стр. 39)
находим, что
Так как последовательность {хп} произвольная, удовлетворяющая
лишь указанным выше условиям, то
lim φ (#)=£.
χ-+χ0
3. Действия над пределами. Сформулированные ниже теоремы,
как и теорема 4 предыдущего пункта, легко доказываются на
основании определения предела функции.
Пусть
lim Д (х) = gx и lim Д (х) = g2\
JC-νΛΓο Х-+ХО
тогда
1) \mlfl(x)+f2(x)]=g1+g2;
Х-+Хо

60 ГЛ. Hi. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
2) mi/1(x)-f%(x)] = glgt;
Х-+Хо
3) если т — действительное число, то
lim [mf1 (χ)] = mgx\
JC->*0
4) при дополнительном предположении, что g2 Φ 0, получим:
[Заметим, что при доказательстве последнего утверждения
следует воспользоваться теоремой о сохранении знака. Именно, из
предположения g2¥=0 следует, что /2{х)ф0 в некоторой окрестности
f (χ)
точки х0, так что функция τ^γ4 определена в указанной окрестности
(за возможным исключением самой точки х0).]
Пример. Пусть /х (х) = χ cos — , /2 (χ) = 1 + * в интервале
(— 1, +1), из которого исключена точка х = 0. Как мы уже знаем,
Γιπι/1(λ;) = 0. Если {хп} (хп =£0) — последовательность, сходящаяся
ДС->0
к нулю, то последовательность
{/.(*»)}={»+*„}
сходится к пределу 14-0=1. Следовательно,
lim (л:cos —|- 1 +х )= 1,
Х-+0 \ Х I
imj [(,cos !)(! + ,)]= 0,
1
*cos —
lim ——- = 0,
что также легко проверить непосредственно.
ОДНОСТОРОННИЕ И НЕСОБСТВЕННЫЕ ПРЕДЕЛЫ. ВЫЧИСЛЕНИЕ
НЕКОТОРЫХ ПРЕДЕЛОВ
4. Односторонний предел. Пусть функция f(x) определена в
левой полуокрестности точки лг0*), за исключением, быть может,
самой этой точки. Говорят, что g является левосторонним пределом
функции при χ—»х0У если для каждой сходящейся к χυ последо-
*) Левой полуокрестностью точки х0 называют каждый интервал вида
(х0-— о, х0], δ > 0. Аналогично определяется правая полуокрестность.

4. ОДНОСТОРОННИЙ ПРЕДЕЛ
61
вательности {хп} с членами, меньшими чем лг0,
соответствующая последовательность {/(·£„)} значений функции стремится к g,
τ е. что если
Ιιπι λγλ = λγ0 (χη<χο)>
то
Это записывают так*
lim f(xn)=g.
lim f(x)=g.
χ-+χ0 - о
Аналогично определяют правосторонний предел и пишут
Х^*Хо+0
Пример 1. Пусть /М — пл Ддя лг^О. В точке χ = 0
функция не определена. Очевидно, что /(лг)= + 1 для лг>0 и /(#) —
= —1 для лг<;0 (рис. 5). Если {дгп} —последовательность с
положительными членами, стремящаяся к нулю, то/(л:Л)= +1 при
каждом η и, следовательно,
Нт/(*я)=+1.
Отсюда
hm/(*)= +1.
Аналогично
lim/(x)=—1.
Уя1§
^
*/
"~"0
1
-/
*
Функция имеет, таким образом, Рис. 5.
правосторонний предел +1,
левосторонний— 1, в то время как предела 1ип/(л;) не существует.
ДС-*0
Из определения предела легко следует, что если функция имеет
предел, то у нее существуют как левосторонний, так^ и
правосторонний пределы и оба они равны пределу функции. Однако из
существования, например, правостороннего предела нельзя сделать
никаких выводов о пределе функции или о левостороннем пределе.
Пример 2. Пусть /(лг) = л; cos — для л:<0 и /(a:) = cos—
для х>0. Из ранее приведенных примеров следует существование
левостороннего предела 11т/(лг) = 0 и вместе с тем несуществова-
ние правостороннего.

62
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Даже из одновременного существования левостороннего и
правостороннего пределов нельзя делать никаких заключений о
существовании предела (см. пример 1). Однако легко показать, что если
левосторонний и правосторонний пределы существуют и равны между
собой, то предел функции также существует и равен их общему
значению.
Внося соответствующие изменения в теоремы о пределах,
получим теоремы о левосторонних и правосторонних пределах.
Например,
[Для того, чтобы число g было левосторонним пределом функции
y=f(x) при х, стремящемся к х0, необходимо и достаточно, чтобы
каждому числу ε > О соответствовала такая левая полуокрестность
точки х0, что значение функции в каждой точке этой
полуокрестности, отличной от х0, приближает g с погрешностью, меньшей ε.
Если существует конечный предел
lim f(x)=g,
х-+х0 - о
то функция f(x) ограничена в некоторой левой полуокрестности точки
х0 и т. /г.].
Если
lim /х (х) = gv lim /, {χ) = g2i
TQ
lim [/xW+AWl^fi + fo
X-**X0 - 0
и т. п.
Подобные утверждения имеют место и для правосторонних
пределов.
б· Несобственные пределы. Говорят, что функция стремится к
+ оо при л;—*л;0, если для каждой последовательности \хп}У
сходящейся к х01 члены которой отличны от x0i соответствующая
последовательность {/(*„)} значений функции стремится к +°°·
Иначе говоря, если
lim *„ = *<, (хпфх0),
Я-»· об
то
lim/(*„)= +оо.
В таком случае мы будем пользоваться символом
hmf(x)= + оо.

5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ПРЕДЕЛЫ
63
Подобным образом определяется предел —оо, который
записывают в виде
lim f(x) = — оо.
х-*х0
Следующие теоремы можно доказать, опираясь на
соответствующие теоремы о последовательностях, расходящихся к оо (стр. 24).
1. Если lim Д (х) = a, lim /2 (х) = + оо, то
ЛГ-*ДС0 X-+Xq
*llmlf1(x) + f1(x))=+oo.
х-+х0
2. Если lim/1(Ar)=a, lim /2 (х)= + оо, то
Х-*Х0 X-^Xq
f (γ\
Х-*Хй12 \Xf
3. Если lim fx (x) = a> 0, lim /2 (x) = 0, /2 (#) > 0 β окрест-
x-+x0 x-+x0
HOCTU ТОЧ/OU Х0, ТО
4. £сли т > 0, lim /(#) = + °°> го
X-+Xq
Пт [//*/(*)] = -foo.
5. Для того чтобы функция у=/(х) стремилась к +°° пР**
х, стремящемся к х0, необходимо и достаточно, чтобы каждому
числу Μ > 0 можно было поставить в соответствие такую окрест-
ность точки х0, в каждой точке которой (отличной от х0) значение
функции больше М.
Совершенно аналогично определяется понятие левостороннего и
правостороннего бесконечных пределов.
Пусть функция у=/(х) определена для всех значений х,
больших некоторого числа а. Говорят, что функция стремится к
пределу g при ху стремящемся к +оо> если для каждой
последовательности {хп}у стремящейся к +оо, соответствующая
последовательность {/{хп)} значений функции сходится к gy т. е. если из
lim хп = 4- оо
следует
lim/(*„)=£·.
Записывают это так:
Ит/(лг) = ^

64
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Легко привести определения следующих символов:
m/ix) = g, lim/(*)=+со,
lim f(x) = + oo, lmi f(x) = — oo,
lim/(*)=—oo, lim/(*) = £■,
X-+ + <*> |ji|->OD
и т. д.
Аналогично предыдущему можно высказать такую теорему:
Для того чтобы число g было пределом функции y — f(x) при,,
х, стремящемся к +оо, необходимо и достаточно, чтобы каждому
числу ε > О можно было бы поставить в соответствие такое число
Μ > О, что для всех чисел, больших М> соответствующие значения
функции приближают g с погрешностью, меньшей е.
Замечание. Если
lim/(x)= Hm/(*) = #
JC-*+CO Х-+-Ф
то пишут кратко:
\imf(x) = g.
ДС-Х»
6. Вычисление некоторых пределов.
а) Игаал=1 (а > 0);
в) lim sin h = 0, lim cos h = 1, lim^- = l,
Л-*о Л-*о Л->о п
Доказательство.
а) Примем сначала, что а^\. Пусть последовательность {Ля}
удовлетворяет условиям
Ит/гЛ = 0, Ля^0. (1)
Положим
«"-£(йл)'>·
следовательно, аи — целое неотрицательное число, удовлетворяющее
неравенствам
α»<ώ<α»+1· (2)
*) См стр. 19,

6. ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРЕДЕЛОВ 65
Из условия (1) и неравенств (2) следует, что
Нтал= +оо. (3)
Поэтому, начиная с некоторого я, числа ап положительны. В
дальнейшем изложении примем, что все αή > 0; это можно сделать, так
как при этом мы пренебрегаем лишь конечным числом членов.
Если hn > 0, то согласно (2) и предположению а ^ 1 будет
а так как очевидно, что
—г < 1 < анп,
то имеет место неравенство
— < ahn < αίΓ^ (4)
1 *
„««
Это неравенство справедливо также для hn < 0, так как тогда
( — йл)>0, следовательно, в силу (4)
1
1
(&
1
1
1
значит,
что после перехода к обратным величинам дает опять неравенство (4).
Как уже известно (см. стр. 42),
iim aan= \л
Поэтому
..η,-V 4-1.
αα" lim αα»
следовательно, из неравенства (4) на основании теоремы о пределе
промежуточной переменной (стр. 39) получим:
lim ahn ~= 1,
«-♦■во

66
откуда
ГЛ. Ш. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Таким образом, мы доказали, что если α^Ι, то
limaA«l.
Λ-*0
Если теперь 0< a < 1, то — > 1, поэтому
и» (±У=
1.
Но
следовательно,
aft =
Ш"
ft->0
lim Ш*
= 1.
Тем самым утверждение а) доказано.
б) Раньше мы доказали (стр. 45), что если последовательность
{гп} удовлетворяет условиям
гпфО, — 1, Нш|гл|=+оо,
Л-* СО
то последовательность <( 1 -|—) Л> сходится к определенному
пределу, который мы обозначили через е.
[Следовательно, по определению предела
функции (стр. 53),
Urn (ΐ+±Υ*=*.
Рис. 6.
Если положить р = —, то предыдущее
равенство перепишется в виде:
lim(l + p)o =*.]
Q-*0
в) Начертим окружность радиуса ОВ=\ (рис. 6) и выберем
произвольный диаметр ЕВ. Пусть прямая BD касается окружности
в точке В и BC=h — произвольная дуга окружности. Обозначив
через А проекцию точки С на ОВ, а через D — точку пересечения

6. ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРЕДЕЛОВ 67
прямой ОС с упомянутой выше касательной, получим в силу
определений тригонометрических функций:
i4C=|sinA|,
CM = |cos А|,
BD = \tgh\.
Если —"2"<^<-о'» т0> как легко получить из рис. 6,
|sinA|<|A|, \ (5)
cosA^l — IsinAL I (6)
Первое неравенство получим из замечания, что дуга ВС больше
хорды ВС, которая в свою очередь больше АС. Второе
неравенство получим из треугольника ОСА, опираясь на теорему о том, что
сторона треугольника больше разности двух других его сторон.
Переписав неравенство (5) в виде
— |A|<sinA<|A|,
по теореме о пределе промежуточной переменной (стр. 59) находим
litn sin A = О,
после чего из неравенства (6)
l^cos'A^l— |sinA|, |А|<у,
на основании той же теоремы имеем
iim cos А = 1.
Из рис. 6 находим следующее неравенство:
площадь ДОЛС^площади сектора ОВС^площади Δ OBD9
т. е.
4-cosA|sinA|<l|A|<i|tgA|,
2 ■ ' ^ 2
откуда, принимая во внимание, что
sin /ι I sin h |
Λ - |A| '
если —*9"<^<γ) получим:
cos A ^ —τ ^ —r ,
sin h cos h '

68
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
следовательно,
а так как
то
1 sin Λ ^_ ,
г ^ —г— ^ cos Λ,
cos/ί h *
lim cos/г—1 и lim г==1·
Λ-ο h-+ocosh
Задачи
Доказать, что:
1. lim 111=1.
2. lima*,n*=l, a > 0.
•·Λ(^)'-!ΐ[('+^Π
4. limsinfe*=fe.
х-»· о *
5. lira ±Ζί22£=lim _Ιζζ££5ΐ£_=ο.
6. lim *!!!£=+ i, ιΐιη5ϋ1£«-ι.
7. lim sin χ не существует.
*=1.
lim ( 1-1V
8.
9. lim — =— (разделить числитель и знаменатель на χ—1).
х-+1 χ4 — 1 4
10. lim^ + Bx-l^Q
х^ъХг— lOOOjc
1 1
11. lim 2*-χ = + οο, lim 2д:-"1==0.

ГЛАВА fV
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
1. Определение. Пусть функция y=f(x) определена в
окрестности точки х0. Говорят, что функция y=zf(x) непрерывна в точке
х = х0, если \\mf(x)=f(x0).
*-* Х0
Другими словами: функция /(*), определенная в окрестности
точки х0, непрерывна в этой точке, если
hmf(x0 + h)=f(x0).
Подобно тому как определялись левосторонний и правосторонний
пределы, можно определить левостороннюю и правостороннюю
непрерывности, а именно: функция f(x), определенная в левой
полуокрестности точки дг0, непрерывна слева в точке дг0, если
lim f(x)=f(x0)y или Urn /(*„ + *) =/(лг0).
Аналогично определяется непрерывность справа.
Замечание. При рассмотрении понятия предела было
безразлично, определена ли функция в точке х = х0 или нет. Для
непрерывности же функции в точке х0 необходимо, чтобы она была
определена в этой точке.
Как легко заметить, если функция f(x) непрерывна в точке х0,
то она непрерывна в этой точке и слева и справа. Верно также и
обратное.
Примеры.
1. Функция у = х2 непрерывна для всех значений переменной лг,
так как lim x2 = xl.
X -+ Х0
2. Функция y = 3x* — 2лг + 3 также непрерывна всюду.
3. Функция у = Е(х) непрерывна всюду, за исключением
целочисленных значений переменной х. В них функция непрерывна лишь
справа.

70
ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
= { о"
— для хфОу
4. Функция у = \ * не является непрерывной в
для х = 0
точке д: = 0, потому что, если взять последовательность {хп\, где
хп==г(о 4-ΐΓ » то послеД°вательность соответствующих значений
функции —1, 1, —1, 1, .*.. расходится.
Говорят, что функция f(x), определенная в замкнутом интервале
[а, Ь], непрерывна в этом интервале, если она непрерывна в каждой
внутренней точке этого интервала и если она непрерывна справа
в точке а и слева в точке Ь.
Каждый раз, когда мы будем говорить о непрерывной функции,
не приводя более подробного определения, будет подразумеваться
функция, непрерывная в некотором замкнутом интервале.
2. Необходимое и достаточное условие непрерывности функции.
На основании соответствующих теорем теории пределов может быть
высказано следующее утверждение:
Теорема. Для того чтобы функция f(x), определенная в
окрестности точки дг0, была непрерывной в этой точке, необходимо и
достаточно, чтобы значениям х, достаточно мало отличающимся от лг0,
соответствовали значения функции, сколь угодно мало отличающиеся
от f(xQ), т. е., другими словами, чтобы для каждого числа ε>0
можно было найти такую окрестность точки х0, что значения
функции в любой точке этой окрестности будут отличаться от значения
функции при х = х0 меньше чем на е.
Подобная теорема имеет место для
πχλ+2\ £_ ^ ^ непрерывности слева и справа.
rfa)J ~~
f(Xo)*e J т: ~1— 3. Геометрическая интерпретация·
Понятие непрерывности можно
иллюстрировать подобно понятию предела.
Для того чтобы исследовать,
непрерывна ли функция в точке x0i
выбираем произвольное число ε > 0 и
проводим две прямые параллельно оси ОХ,
одну на высоте /(·*;0) + ε, а другую на высоте f(x0) — ε. Получим
полоску шириной в 2ε (рис. 7).
Исследуем теперь, найдется ли такой отрезок оси ОХ, содержа-"
щий внутри себя точку х0 и имеющий длину 2δ, чтобы
соответствующая этому отрезку часть кривой лежала целиком в
вышеупомянутой полоске.
Таким образом, если функция непрерывна, то такой отрезок
всегда можно отыскать. Наоборот, если такой отрезок можно
отыскать при любом выборе числа ε > 0, то функция непрерывна в точке лга·
0
Рис. 7.

7. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
71
4. Теорема о сохранении знака для непрерывной функции. Из
определения непрерывности и теоремы о сохранении знака для
функции, имеющей в данной точке отличный от нуля предел, вытекает
следующая
Теорема. Если функция f(x) непрерывна в точке х0 и если
f(x0) > 0, то существует такое число а > О, что в некоторой
окрестности точки х0 будет f(x) > а > 0.
Аналогичное утверждение справедливо для f(x) < 0, а также
для односторонне непрерывных функций.
5. Действия над непрерывными функциями. Из определения
непрерывности и соответствующих теорем теории пределов легко
получаем следующее утверждение.
Теорема. Сумма, разность и произведение двух функций,
непрерывных в некоторой точке, также будут функциями,
непрерывными в этой точке; частное непрерывно тогда, когда функция, на
которую делят, отлична от нуля в этой точке.
Примеры.
1. Так как функция Д7 = х непрерывна всюду, то функции лг2 = лг-лг,
χ3~χ.χ.χ9 ф.., хп (/г —натуральное число) являются непрерывными
функциями.
2. Функция ахп (п — натуральное число, α — действительное число)
всюду непрерывна, так как может быть рассмотрена как
произведение функции хп и постоянной функции, принимающей значение а
и, очевидно, непрерывной.
3. Многочлен а0 + ахх + а2х2 + ... + апхп является функцией,
непрерывной всюду.
4. Рациональная функция, т. е. функция, равная частному двух
многочленов, непрерывна во всех точках, в которых она определена.
РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ
6. Определение. Говорят, что функция /(#), определенная в
интервале [a, ft], равномерно непрерывна в этом интервале, если для
произвольного числа ε > 0 можно так разбить интервал [a, ft] на
конечное число отрезков, что значения функции в двух
произвольных точках одного и того же отрезка различаются между собой
меньше чем на ε.
7. Геометрическая интерпретация. Определение равномерной
непрерывности можно истолковать геометрически следующим образом.
Для того чтобы убедиться, является ли функция равномерно
непрерывной, выберем произвольное число ε > 0 и исследуем, удастся
ли нам разделить интервал [a, ft] на конечное число отрезков б1э
δ2, 63, ... так, чтобы каждая часть кривой, соответствующая ка-

72
ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
кому-либо из отрезков, могла быть включена в прямоугольник вы·
сотой ε и с основанием, равным длине соответствующего отрезка
(рис. 8). Если эту операцию удастся проделать для каждого ε > О,
то функция равномерно непрерывна.
8. Непрерывность равномерно
непрерывной функции. Обозначим
через η длину наименьшего из от-
■Jl^d^^W
!!
a dt 6г δ3
резков δν δ2, 6
если расстояние -между
з>
Ясно, что
какими-ни-
Ь X
Рис. 8.
будь двумя точками хг и х2 мень·
ше чем η, то или обе они
принадлежат одному из отрезков δχ, δ2, ...
или же принадлежат двум
соседним отрезкам.В первом случае
значения функции в этих точках
отличаются одно от другого
меньше, чем на ε; во втором случае значения функции в этих точках
отличаются меньше чем на ε от значения функции в общем конце
соседних отрезков, содержащих точки хг и дг2, и· следовательно,
|/(*ι)-/(*ι)|<2β.
Таким образом, в обоих случаях можем утверждать, что в
каждых двух точках, отстоящих друг от друга меньше чем на η,
значения функции различаются между собой меньше чем на 2ε.
[Наоборот, пусть в любых двух точках интервала [а, ft],
расстояние между которыми меньше η, значения функции разнятся
меньше чем на 2ε. Разобьем [а, ft] на отрезки длины меньше η.
Тогда значения функции в двух произвольных точках одного и того
же отрезка различаются между собой меньше чем на 2ε.
Поскольку 2ε произвольное положительное число (так как β
произвольное положительное число), то в результате этого
рассуждения мы приходим к другой форме определения равномерной
непрерывности:
Функция f(x) равномерно непрерывна на интервале [a, ft], если
для любого ε > 0 можно указать такое η > 0, что для любой пары
точек из этого интервала, расстояние между которыми меньше η,
значения функции в этих точках разнятся между собой меньше чем
на ε
Отсюда очевидным образом вытекает, что функция,
равномерно непрерывная на интервале [a, ft], непрерывна на этом ин*
тервале.
Это заключение справедливо для интервалов всех видов. Однако
стоит заметить, что обратное утверждение (непрерывная на интер-
вале функция также и равномерно непрерывна) верно лишь в
случае замкнутого интервала [a, ft] (см. пример 3).]

8. НЕПРЕРЫВНОСТЬ РАВНОМЕРНО НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ 73
Примеры.
1. Функция у = х2 равномерно непрерывна в интервале [О, 1J.
Чтобы это доказать, выберем произвольное ε > 0 и рассмотрим две
произвольные точки лгилг + А интервала [0, 1]. В этих точках
функция имеет значения, соответственно, х2 и (лг + Л)2. Имеем:
\(x + h)2 — x2\ = \2xh + h2\ = \h\.\2x + h\ = \h\-\x + x + h\.
Так как 0^дг<1 и 0<лг + /г<1, то
|(х + Л)»-*»|<2|Л|;
взяв |/г|<-2", получим:
\(x + h)2-x2\<B.
Таким образом, если разбить интервал [0, 1] на конечное число
отрезков длины, меньшей γ, то значения функции в любых двух
точках каждого из отрезков будут различаться между собой меньше
чем на ε.
Поскольку ε — произвольное положительное число, то функция
равномерно непрерывна в интервале [0, 1].
2*4-1
2. Функция у = о ! ι равномерно непрерывна в интервале [О, 2J.
Поступая как в предыдущем примере, получим:
|2(* + A)-f 1 2х+1|
|з(х+л)+1 3*+ι|~ΐ[3(*+Λ)+ΐ](3*+ΐ)|
Так как 0<лг + Л<2, 0<л;<2, то
|3(* + А)+1|>1, |3*+1|>1,
откуда
|/(* + А)-/(*)|<|А|.
Следовательно, если | А | < в, то
|/(* + А)-/(*)|<е.
Итак, если разобьем интервал [0, 2] на отрезки длины, меньшей ε,
то значения функции в любых двух точках каждого отрезка будут
различаться между собой меньше чем на ε. (Если, например, ε = 0,1,
то достаточно разделить отрезок [0, 2] на 21 равную часть.)
3. Функция j> = cos— не является равномерно непрерывной в
интервале (0, 1).
Действительно, в противном случае можно было бы так разбить
интервал (0, 1) на конечное число интервалов, чтобы значения
функции в любых точках каждого интервала различались между собой
меньше чем на ε =1. Можно было бы, далее, выбрать такое число л,

74
ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
чтобы точки — "и , η лежали внутри первого из этих
интервалов. Однако легко видеть, что соответствующие значения функции
в этих точках отличаются на 2, т. е. больше чем на ε = 1. Таким
образом, предположив, что функция равномерно непрерывна, мы
пришли к противоречию.
Задачи
Доказать, что следующие функции равномерно непрерывны!
1. у~х в интервале (1, 2).
2. ί/ == 2лг3 — 3jc в интервале (1, 3).
3. (/=? в интервале (0, 5).
ι -χ-χ
9. Основные теоремы о функциях, непрерывных в замкнутом
интервале* Приведем теперь (без доказательства) несколько
основных теорем о функциях, непрерывных в замкнутом интервале.
Теорема. Функция, непрерывная в замкнутом интервале [а, Ь],
равномерно непрерывна в этом интервале.
Теорема. Функция, непрерывная в замкнутом интервале [а> b]f
ограничена в^этом интервале.
Теорема. Если непрерывная на замкнутом интервале [а, Ь]
функция положительна на одном конце этого интервала и
отрицательна на другом, то внутри интервала (а, Ь) существует по
крайней мере одна точка, в которой функция обращается в нуль.
Примеры.
1. Каждый многочлен нечетной степени
/(χ) = α0χ™+1 + α1χ™+... + α2ηχ + α2η+1 (α0φΟ)
имеет по крайней мере один действительный корень. Для
доказательства перепишем наш многочлен в виде
и допустим, например, что а0 > 0. Выражение в скобках имеет
при л:, стремящемся к +°° или —°°> предел, равный а0.
Следовательно, по теореме о сохранении знака (стр. 71) существует
число Αί>0 такое, что для |л;|>М выражение в скобках
положительно. Отсюда следует, что
/(АТ+1)>0, a /(-Af_i)<o.
Так как функция f(x) непрерывна, то существует в интервале
(— Μ—1, Λί+l) по крайней мере одна точка, в которой f(x) = 0.
2. Уравнение л; = cos л; имеет по крайней мере один корень
в интервале (0, -к") . Действительно, непрерывная функция /(#) =

10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
75
-- χ — cos χ *) имеет в точке л; = 0 значение —1<0, а в точке
Я Я . л
* = -9~ значение -γ > 0.
Теорема. Если функция f(x) непрерывна в замкнутом
интервале [а, Ь]у то в этом интервале существует по крайней мере одна
точка, в' которой функция принимает наибольшее значение, и по
крайней мере одна точка, в которой функция принимает наименьшее
значение.
Иначе говоря, в интервале [а, Ь] существуют две точки хъ хг%
такие, что
для каждого χ из [а, Ь].
Теорема. Функция, непрерывная в замкнутом интервале [а, Ь],
принимает в этом интервале все значения, заключенные между
наименьшим и наибольшим ее значениями,
Пр им ер ы.
3. Функция у = sin χ*) принимает в интервале 0, -5- каждое
значение, заключенное между 0 и 1, что геометрически очевидно
(см. ниже, рис. 13).
4. Функция /(χ), непрерывная в интервале (а, Ь) и
принимающая в разных точках интервала разные значения, строго монотонна
в этом интервале.
Действительно, в противном случае в интервале (а, Ь)
существовали бы числа α, β, γ (α<β<γ), такие, что число /(β) не
лежало бы между /(а) и /(γ). Пусть, например,/(γ) >/(α) >/(β).
Согласно нашей теореме в интервале (β, γ) существует точка Θ,
в которой функция f(x) принимает значение /(а). При этом θ==£α,
так как α не принадлежит интервалу (β, γ). Имеем, следовательно,
/(θ)=/(α) при θ Φ α, что противоречит предположению.
Следовательно, функция f(x) монотонна.
СЛОЖНЫЕ ФУНКЦИИ
10. Определение. Часто случается, что данные три переменные
ху у, и связаны между собой так, что у является функцией от и,
а α— функцией от лг, т. е.
jr—/(«) (α<β<β),
и = у(х) (af< #<;#).
·) Непрерывность функций y = sinxf у = cos x будет доказана ниже (см.

76
ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Если значения, принимаемые функцией φ (лг), содержатся в
интервале [α, β], то переменную у можно считать зависящей от
переменной л:, так как каждому значению х из интервала [а, Ь)
соответствует определенное значение переменной и, содержащееся
в интервале [α, β]; этому же последнему соответствует
определенное значение переменной у; таким образом, каждому значению
переменной χ из интервала [а, Ь] соответствует определенное
значение переменной у. В этом случае говорят, что переменная у
является сложной функцией переменной χ при посредстве переменной ы.
Обозначают эту функцию символом /(<р(л:)), а функциональную
зависимость записывают в виде
Пример.
j, = a3, и = х2 — 3ху у = {х2 — 3х)3.
11. Непрерывность сложной функции. О сложных функциях
может быть высказана следующая
Теорема. Если функция у =/(и) непрерывна при α^#^β,
а функция и = φ (χ) непрерывна при а ^ χ ^ b и удовлетворяет
неравенству α^φ(Λ:)^β, то сложная функция у—/(ψ (χ))
непрерывна для всех значений χ из интервала а^.х^.Ь.
Доказательство. Для доказательства теоремы заметим, что
если последовательность {хп} стремится к определенному значению
х, то соответствующая последовательность {уп} = {/(φ (#„))}
стремится к /(φ (#)). В самом деле, в силу непрерывности функции φ (χ)
последовательность {φ (χη)} = {ип} стремится к и = ц>(ху9 в силу же
непрерывности функции f(u) последовательность [уп} = \f(un)}
стремится к y=f(u)=f(y(x)).
[Часто удобнее пользоваться несколько более общей формой
этого предложения:
Теорема 2 (предельный переход под знак ом
непрерывной функции). Если lim φ (χ) = и0 и функция у = f{u)
χ-+χ0
непрерывна при и = и0, то сложная функция у =/ (φ (χ)) имеет при χ,
стремящемся к лг0, предел^ равный /(я0)·
Иначе говоря, если /(и) непрерывна в соответствующей точке, то
lim /(φ (*))==/( lim q>(*)).
Χ -> Χ0 Χ -»· #ο
Доказательство аналогично предыдущему. Следует лишь
установить, что в условиях теоремы сложная функция /(φ (χ)) определена
в некоторой окрестности точки л;0, за исключением, может быть,

14. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ
77
самой этой точки. С этой целью заметим, что при всех хфх0 и
достаточно близких к х0 значения φ (χ) отличаются от своего
предела и0 столь мало, что не выходят за пределы той окрестности
точки и0, где определена функция /(и).]
ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ
12. Определение. Пусть дана функция y = f(x), непрерывная и
строго монотонная в интервале [а, Ь]. Положим /(а) = а, /(#) = β.
В силу непрерывности функции переменная у принимает все
значения, заключенные между α и β. Поскольку, сверх того, функция
строго монотонна, то каждое значение переменной у из интервала
[α, β] соответствует одному и только одному значению переменной χ
из интервала [а, Ь). Поэтому
переменную л: можно считать функцией от
переменной у, определенной в
интервале [α, β]. Обозначив эту функцию
символом <р(д>)> можно написать:
* = <Р0>).
Функция χ = φ (у) называется
функцией, обратной к функции у=/(х)-
13. Геометрическая
интерпретация. График функции у = φ (χ)
получим следующим образом. Повернем Рис. 9.
плоскость ΟΧΥ вокруг биссектрисы
угла ^/( + аг, -\-у) на 180° (рис. 9); тогда новое положение
графика функции y=f(x) будет графиком функции j; = cp (л:).
14. Непрерывность обратной функции.
Теорема. Функция, обратная к строго монотонной и
непрерывной функции, также строго монотонна и непрерывна.
Доказательство. Допустим, для определенности, что
функция f(x) возрастающая. Теперь, если бы обратная функция χ = φ (у)
не была строго возрастающей, существовали бы две пары
соответствующих значений (χν уг) и (дг2, у2), удовлетворяющих
неравенствам
что противоречит предположению, что функция /(х) строго
возрастает. Аналогично поступаем в том случае, когда функция f(x)
строго убывает.
Для доказательства непрерывности функции x = q>(y) в
произвольной точке у=у0(а <у0 < β) поступим следующим образом.

78
ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Пусть β — произвольное положительное число. Положим x0=iy(yQ)
и выберем два произвольных числа хх и х2 так, чтобы:
1) а<х1<х0<х2<Ь;
2) 0<л;2 — *!<ε.
Положив теперь уг = /(хг)у у2=/(х2)у мы замечаем, что для
каждого у, заключенного между ух и у2У соответствующее значение χ
заключено между хг и х% и, следовательно, отличается от х0 меньше
чем на ε. Функция х^ц>(у) непрерывна, таким образом, приу=у0·
Подобным образом доказывается непрерывность для д; = а и <у = р.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
15· Степенная функция у=яхп.
1. я —натуральное число. В этом случае приведенная выше
формула определяет функцию для всех значений х. Эта функция
непрерывна для всех значений переменной ху потому что, как следует
из теоремы о пределе произведения,
\\тхп = хЧ
при любом х0.
На рис. 10 изображены графики
функций у = х2 и y=xs.
^. 2. л = 0 с условием, чтод;=1 при
Λ λ;==0. Формула у = хп определяет
тогда функцию, которая при всех
значениях χ принимает значение 1.
Следовательно, эта функция
непрерывна.
3. я —целое отрицательное число.
Положив я = — г (г > 0), заметим, что
наша функция имеет видд;=-т, и,
как частное двух всюду определенных и непрерывных функций
φ1(Λ:)=1, φ2(χ)=χΓ, она определена и непрерывна всюду, за
исключением л; = 0.
4. η — число, обратное целому. Положив л = — (г—целое число),
имеем у={/х (принимаем во внимание лишь неотрицательный
корень из неотрицательного числа). Функция определена для всех
χ > 0; если г — нечетное число, то предыдущая формула определяет
функцию и для всех χ < 0. Для л; = 0 функция определена лишь
в том случае, когда г—положительное число; функция принимает
тогда значение нуль.
V

15. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ у = ХП
79
Непрерывность доказывается следующим образом: когда
г—четное положительное число, то обратная функция х=уг строго
возрастает и непрерывна для всех у^ О, откуда в силу теоремы об
обратной функции следует непрерывность функции у = {/х для χ ^ 0.
Подобным образом поступаем и тогда, когда г — нечетное
положительное число. В этом случае функция х=уг строго возрастает
и непрерывна для всех значений у, следовательно, функция у=$/х
также непрерывна для всех значений х. В случае целого
отрицательного г легко докажем непрерывность для всех лс, для которых
{/х существует, если заметим, что л/χ = г ,- .
у*
5. л — рациональное число. Положив я = — (р и q целые), мы
видим, что функция определена для всех χ > 0, а при q нечетном
также и при всех χ < 0. Когда η > 0, то функция определена
также для л; = 0, а именно, принимает значение нуль.
Функцию у = хР/<* можно считать функцией, составленной из
функций
у = ир, и = х*.
Так как обе функции непрерывны для тех значений, для которых они
определены, то в силу теоремы о сложных функциях функция у = хР/«
также непрерывна для тех значений, для которых она определена.
6. я — иррациональное число. В этом случае функция определена
для всех χ > 0. Для χ — 0 формула у = хп имеет смысл лишь при
η > 0; тогда имеем д; = 0.
Функция непрерывна для всех х> для которых она определена
формулой у = хп.
Действительно, взяв положительное, отличное от единицы
произвольное число а, получим для дг>0: у = ап1о^х, так что у = аа$
где u = n\ogax.
Но, как будет показано ниже (см. лп. 16 и 17), функция а11
непрерывна для каждого и, а функция \ogax также непрерывна для
каждого χ > 0, следовательно, на основании теоремы о
непрерывности сложной функции (стр. 76) функция у = хп непрерывна для
каждого χ > 0.
Если η > 0, то можно доказать, что функция у = хп непрерывна
справа в точке лг = 0, т. е. что lim лгп = 0. Для этого выберем произ-
ДГ-+- + 0
вольное рациональное число г, удовлетворяющее неравенству 0 < г < п.
При 0 <; χ <; 1 имеем 0 ^ хп <1 хг. Как известно, функция хт
непрерывна справа для д; = 0, значит, lim д;г = 0. В силу последнего не-
равенства то же имеет место и для функции у=хп.

80
ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Объединив все сказанное выше, мы можем утверждать, что
функция у = хп непрерывна при всех значениях л:, для которых
она определена.
(Замечание. Степень многочлена (а0+ #!#-}- ··· +#*■**)*
можно считать сложной функцией, составленной из непрерывной
всюду функции м==а0 + а1л;+ ... +α%χ* (стр. 71) и степенной
функции у = ипу которая, как доказано, непрерывна во всех точках
области определения. Поэтому и каждая степень многочлена
непрерывна во всех точках, где она определена.
Пример. y = VxB + Sx—9. Функция непрерывна при х^1
(в точке аг = 1 она непрерывна справа).]
16. Показательная функция у = а*. Непрерывность функции
у = а*> а > О, легко показать следующим образом. Пусть х0 —
произвольное значение переменной х. По известной теореме имеем:
lim ax*+h = lim (ax*. ah) = αχο lim ah.
Но, как было доказано (стр. 64): lima*»!, так что
Пш ax*+tl = α*ο.
h -*■ ο
Итак, предел функции существует для каждого значения χ и равен
значению функции в точке х. Следовательно, показательная функция
непрерывна для каждого значения л;.
На рис. 11 изображен график функции у = 2*.
Рис 11.
Рис. 12.
17. Логарифмическая функция y = \oga χ. Функция y=*logaxt
0>О, аф\, определена только для χ > 0. Так как обратная
функция х=ау строго монотонна и непрерывна, то (см. стр. 77)
функция y = logax непрерывБа для всех положительных значенийх.
График функции y = \og2x изображен на рис. 12.

18. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
81
18. Тригонометрические функции.
у = $\пх, y = cosx.
Пусть лг0 —любое, но фиксированное значение переменной х.
Тогда, ввиду того, что
(стр. 64), получим:
lim sin h = О, lim cos A = 1
ft~*o ft->o
lim sin (x0 -f h) = lim (sin x0 cos h + cos x0 sin h) = sin x0t
h-*o ft-* о
lim cos (л;0 + h) = lim (cos x0 cos Л — sin x0 sin h) = cos x0.
h-+o ft-*o
у*$шх
y-cosx
Рис 13.
Рис. 14.
Следовательно, функции у = sin χ (рис. 13), у = cos x (рис. 14)
непрерывны для всех значений х.
Рис. 15
Рис. 16.
ysstgx (рис. 15).
Так как tgAr = ——, то эта функция определена и непрерывна для
всех значений лг, для которых cosat^O. Исключительными являются

82
значения
ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
я , Зя» 5я
·* ^t "о" > lit 9 · -*- ~9~» · ·
-. (2/1—1) π
вообще, л: = ± -— , где я —натуральное число.
j> = ctgje (рис. 16).
Так как ctS * = £j^T > т0 эта функция определена и непрерывна
для всех значений д;, для которых sin лг^О. Исключительными
являются значения
* = 0, ±я, ±2π, ...,
вообще, лг = ±шг, где л = 0, 1, 2, ...
jf = sec*; (рис. 17).
ГУ
U7
y*secx
ι / τ-
\pji
y*co$ecx
Й—!Ж^
л
Рис. 17.
Рис. 18.
Так как sec χ = -—-, то эта функция определена и непрерывна
для всех значений лг, для которых cosat^O.
jjsscosec* (рис. 18).
Так как cosecx = ^j> то эта функция определена и
непрерывна для всех значений лг, для которых sinAr^O.
19. Обратные тригонометрические функции.
j> = arcsin.*; (рис. 19).
Эта функция определена в интервале [—1, +1] следующим
образом: arcsinAT есть угол у, содержащийся в интервале — ~^у^5-
и удовлетворяющий уравнению л; = sin jf. Легко видеть, что существует
только один угол, удовлетворяющий двум указанным выше условиям.
Определенная таким образом функция y = &Tcsinx обратна функции

19. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 83
4<*<*
Так как в этом интервале функция
х~ sin у для—g-^.^^ у
x = siny строго возрастает и непрерывна, то j> = arcsin* является
строго возрастающей и непрерывной функцией.
j> = arccosje (рис. 20).
0
й
I
y*arcsinx
i
ι Χ
I
1
1
»
-1
π
' ~т~ — -
η !
2 ι
X 1
Χι
1 X
0 1
у*огссо$х
Рис. 19.
Рис. 20.
Эта функция подобно предыдущей определена для —-Ι^λγ^Ι
следующим образом: arccos x есть угол у, удовлетворяющий
неравенству О^у^п и уравнению χ = cos у. Существует только один угол,
удовлетворяющий этим двум условиям. Таким образом, функция
1
___^/
тс
2
/^ j
0
ГС
2
y=arctg χ
О X
y=arcctgx
Рис. 21.
Рис. 22.
у = arccos χ обратна функции χ = cos у в предположении, что
0^у^.п. Так как в этом интервале функция χ = cos у непрерывна
н строго убывает, то функция д; = arccos x является непрерывной и
строго убывающей.
jjssarctgjc (рис. 21).
Определим эту функцию для всех значений χ следующим образом:
arctg.*; есть угол у, удовлетворяющий неравенству — 5-<J> < -к и

84
ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
уравнению tgj/ = Ar. Таким образом, функция j> = arctgAr обратна
функции x = tgy в предположении, что —~2< у <γ· в этом ин*
тервале χ — tgy строго возрастает и непрерывна, поэтому функция
^ = arctgAr также строго возрастает и непрерывна.
j> = arcctg* (рис. 22).
Определим эту функцию для всех значений χ следующим
образом: arcctgje есть угол у, удовлетворяющий неравенству 0<^<π
и уравнению ctg_y = Ar. Следовательно, функция y = arcctgAr обратна
п>
1
1
\
|
./
[Y
1^~~~~х
0 1
у=алжх
>
ч
>ί
2
^^
0 1 /
τ
y=arwo$ecx
Рис. 23. Рис. 24.
функции x = ctgy для 0 <у <Ζπ. Так как в этом интервале x = ctgy —
строго убывающая и непрерывная функция, то y = arcctgAr также
строго убывает и непрерывна.
jj = arcsec л: (рис. 23).
Определим эту функцию для значений дг, удовлетворяющих
условию |лг|^ 1, следующим образом: arcsecAr есть угол у,
удовлетворяющий неравенству O^iy^n и уравнению χ = sec у. Следовательно,
для лг^г 1 функция у = arcsec χ обратна функции χ = secy впредпо-
л
ложении, что 0 ^.у < у . Так как в этом интервале функция χ = secy
строго возрастает и непрерывна (за исключением у = 4г), то
функция у — arcsec χ строго возрастает и непрерывна для х^*\.
Для λγ^Ξ—1 функция у = arcsec χ обратна функции χ = secy
в предположении, что -сг<у ^ π. Так как в этом интервале функция
x — secy строго возрастает и непрерывна (за исключением у = -5-) ,
то функция у = arcsec χ строго возрастает и непрерывна для χ ^ — 1.
у = arccosecx (рис. 24).
Определим эту функцию для всех значений дг, удовлетворяющих
условию \х\^ 1, следующим образом: arccosec дг есть угол у, удовле-

19. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 85
творяющий неравенству— ~- <J>< у и уравнению cosecj; = Ar.
Поэтому функция.у = arccosec χ для χ ^ 1 обратна функции лг = cosecj/,
если положить (Χ^^Ξγ. Так как в этом интервале функция
Ar = cosec.y строго возрастает и непрерывна (за исключением у — О),
то функция у = arccosec χ строго возрастает и непрерывна для дг^ I.
Для х^—1 функция у = arccosec x обратна функции Ar = cosecj/
(—i^y <с0). Так как в этом интервале функция Ar = cosecy
строго убывает и непрерывна (за исключением ^ = 0), то функция
у = arccosec χ строго убывает и непрерывна для дг^—1.

ГЛАВА V
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
1. Определение производной. Пусть функция у=/(х)
определена в окрестности точки х0. Возьмем точку хг этой окрестности,
отличную от х0. Разность хг— дг0, которую обозначают символом Δ#,
будем называть приращением независимой переменной. Подобным
образом, соответствующая разность уг—JO—Zi^i)—/{Xq)
обозначается символом Ау и называется приращением зависимой переменной,
или приращением функции. Получаются следующие соотношения:
у0 + Ау=/(х0 + &х).
Так как
Т° Δ)/ = /(*0 + Δλγ)-/(λγ0).
Частное
Ay _f(xo+Ax) — f(x0)
Δχ Αχ
будем называть разностным отношением.
Выражение ''*<>+ *)—Тлхо) (принимая, что х0 имеет определенное
постоянное значение) можно считать функцией приращения Δ*. Мы
можем также исследовать, существует ли предел этого выражения
при Δλγ, стремящемся к нулю.
Если предел этого выражения при Δλγ, стремящемся к нулю,
существует, то его мы будем называть производной функцииy=f (х)
по χ в точке х0. Производную будем обозначать символом f'(x0)
или уХу или кратко у*'. Часто для обозначения производной
употребляется также символ -j-. Этот символ напоминает, что производная
ах Ьу
является пределом частного -~.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ 87
Итак
Определенную указанным выше способом производную называют
более точно первой производной функции y=zf(x), для отличия от
производных высших порядков (речь о которых будет идти позже).
Пр имер ы.
1. у = аг.. Обозначив через Дат произвольное приращение
переменной лг, а через Ау соответствующее приращение переменной у,
получим:
у + Ау = х + Ах.
Отсюда
Ау = Δλγ,
следовательно,
^=1
Δ* ->- о ^х
Таким образом, производная функции у = х равна единице при
каждом лг.
2. y=zx2. Вычислим производную для л: = 2. Имеем:
/(αγ + Δλγ)-(λγ + Δλγ)2,
поэтому
Ау = (х + Ах)2—х2 = 2х Ах + (Ах)2;
отсюда
Переходя к пределу, получим:
lim ^ = 2лг + lim Δλγ = 2λγ.
Δ* -*► о а* Δ*-*ο
Следовательно, для лг = 2 найдем j^ = 4.
2*-h1
3. ^ = 3 ' «. Вычислим производную для лг=1. Имеем:
+ д 2(*+А*)+1
поэтому
а _2(* + Δχ) + 1 2*+1 Ах .
*У-3(х+Ах)-{-\~~ 3Ϊ+Ϊ"" [3(*+Δχ) +1](3*+1)·
отсюда
Ау 1
Δ*"~ [3(*+Δ*)+1](3*+1) »

88 ГЛ. V. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
так что
lim ^= '
таким образом, для χ = 1 получаем:
Ух 16 ·
4. у~2 + 3х — х2. Вычислим производную для дг = 0. Имеем:
поэтому
отсюда
таким образом,
/(0) = 2,
/(0 + Δλγ) = /(Δλτ) = 2 + 3Δλγ —(Адг)а,
Δ>»=/(0 + Δλ:)-/(0) = 3Δα;—(Δλ:)2;
lim ίϋ-S.
2. Односторонние производные. Аналогично понятию
одностороннего предела можно определить также понятие односторонней
производной. Левосторонняя и правосторонняя производные определяются,
соответственно, как односторонние пределы
цт И*о+/*)-П*о) и Ит f(x.+b)-t(xo) ш
ft-*-o h /i-^+o h
В частности, на концах интервала [а, Ь], в котором функция
определена, можно говорить только об односторонних производных,
т. е. о производной справа в точке а и слева в точке Ь. Об
односторонних производных можно высказать такие же замечания, какие
были высказаны относительно односторонних пределов. В частности,
из существования производной следует существование обеих
односторонних производных, а из существования и равенства
односторонних производных следует существование производной.
3. Существование производной и непрерывность. Для того
чтобы отношение -^ имело предел, необходимо, чтобы lim Δ^ = 0,
г. е. чтобы функция была непрерывной в точке х0. Однако, как
будет показано дальше, непрерывность недостаточна для
существования производной.
4. Производная как функция. Если функция имеет производную
в каждой точке интервала [а, Ь] (в концах интервала производные
предполагаются односторонними), то эту производную можно рас-

5. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПРОИЗВОДНОЙ В ГЕОМЕТРИИ И ФИЗИКЕ 89
сматривать как новую
называть производной
Каждый раз, говоря,
указывая при этом
водная существует в
ция f(x) определена
производная).
функцию переменной х. Эту функцию будем
функцией первообразной функции у=/(х).
что функция f(x) имеет производные и не
интервала, мы будем считать, что произ-
каждой точке интервала, в котором функ-
(на концах интервала только односторонняя
5. Интерпретация производной в геометрии и физике.
Рассмотрим график функции у=/(х) (рис. 25). Легко заметить, что
отношение -~ равно тангенсу угла а, образованного
положительным направлением секущей, проходящей через точки А и В
(соответствующие точкам χ и
х+Ах), с положительным
направлением оси ОХ*). Если
теперь приращение Ах будет
стремиться к нулю, т. е. точка В
будет стремиться к Л, то угол
а будет стремиться к углу σ,
образованному положительным
направлением касательной с
положительным направлением
оси OX, a tga будет стремиться
к tga.
Поэтому
Иш £f = tga**).
Рис. 25.
Таким образом, можно утверждать следующее: производная в
данной τοικβ χ равна тангенсу угла, образованного положительным
направлением касательной в соответствующей точке (х, f(x)) на-
шей кривой с положительным направлением оси ОХ.
Замечание. Зная производную, можно легко построить
касательную к кривой, представляющей график данной функции. Например,
легко видеть, что если у' = 0, то σ = 0 и, следовательно,
касательная параллельна оси ОХ. Следует отметить, что одной из задач,
приведших к понятию производной, была задача отыскания
касательных к кривым.
Наряду с геометрической интерпретацией мы можем найти много
примеров для иллюстрации понятия производной в физике.
*) При этом положительным направлением секущей будем считать
направление от А к В, т. е. то направление, в котором χ возрастает.
**) Положительным направлением касательной считаем то направление,
в котором χ возрастает.

90 ГЛ. V. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
А
g-
s as
Рис. 26.

-ΑΠ ри мер ы.
1. Пусть материальная точка А движется по прямой. Выбрав
определенное направление на этой прямой и произвольную точку О,
мы сможем точно указать положение точки А при помощи одного
числа st абсолютная величина
которого равна длине отрезка ОЛ.
Число 5 берется со знаком -f-> если
направление вектора ОА совпадает
с направлением, выбранным на
прямой, и со знаком — в противном случае (рис. 26).
Ясно, что каждому моменту времени t соответствует определенное
положение точки Л, а вследствие этого определенное число 5.
Поэтому можно сказать, что 5 есть функция времени tf, т. е.
Зафиксируем какой-нибудь момент времени / и обозначим через Δί
произвольное приращение ty а через As соответствующее приращение
переменной $. Если движение является равномерным, т. е. если
точка А в равные промежутки времени проходит равные пути,
As
то скорость тела определим как отношение -^, которое в этом
случае постоянно. Если движение неравномерное, то скорость определим
\у как lim -г-т, таким образом, ско-
Δ/-* о
рость есть первая производная пути
по времени.
2. Подобным образом определим
ускорение как первую производную
скорости по времени,
6. Непрерывные функции, не
имеющие производной в данной
точке (примеры). Как уже было от-
Рис. 27. мечено ранее, непрерывная функция
может и не иметь конечной
производной. Примером может служить функция j/ = |a;| (рис. 27). Для
лг = 0 производная не существует. Правосторонняя и
левосторонняя производные равны, соответственно, +1 и —1·
Примером непрерывной функции, не имеющей ни
правосторонней, ни левосторонней производной, является функция
У =
χ sin — для χ Φ 0,
X
0 для л: = 0.

8. ПРОИЗВОДНАЯ СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ 91
Для х = 0 найдем:
Δ* Δ*
Но выражение sin^- не имеет ни правостороннего, ни
левостороннего предела. Действительно, положив Δχη =—, получим:
lim sin -г— = lim sin ηπ = О,
а положив Δχη = , получим:
(4«+l)-j
1 π
lim sin-г—= lim sin (4я+1)-^· = 1.
ft -»- GO **Xn ft -> 00 ^
Положив же Δχη = , соответственно, Ахя= , будем
иметь:
соответственно,
(4л + 1)у
lim sin -r— = О,
П-*-аз **Хп
,. 1 ,
lim sin-г— = — 1.
ft-* CO Δ*Λ
ТЕОРЕМЫ О ПРОИЗВОДНОЙ
7. Производная постоянной функции. Производная постоянной
функции равна нулю. Эта теорема очевидна, потому что при
каждом Δλγ имеем Δ^ = 0 и, следовательно, т^ = 0, значит,
lim ^ = 0.
8. Производная степенной функции. Производная функции
у = хп
(п—целое положительное) выражается формулой
Ух = пхп-К
Эта формула верна при η > 1 для всех ху а при л= 1 для хфО.
Для я=1, л; = 0 эта формула теряет смысл (так как выражение 0°
не имеет смысла); в этом случае, как мы видели (стр. 87),
производная равна единице.

92 ГЛ. V. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
Доказательство. Если через Δλγ обозначим приращение
переменной х, а через Ау соответствующее приращение перемен*
ной у, то
у + Ау = (х+Ах)п,
следовательно,
Ау = (х + Ах)п — хп.
Применяя бином Ньютона, получим:
Ьу = {Пх)хп-хЬх+(П2)хп-2{Ах?+>.. +(Алг)я,
следовательно, в предположении, что η > 1 (см. выше), будем иметь:
*Ε^ηχη-χ+ ^ хп-ъ д*+ ... + (Ах)п-К
Так как
lim Δλ: = 0, lim (Δλγ)2 = 0, ..., lim (Ax)n"1^0i
Δ*-*» 0 Δ*-* о Ал-»-ο
το
у'х=}[т Γχ=ηχη~κ
Адг -* о "Л
9. Производная произведения постоянной на функцию·
Теорема. Если
У =<*/(*),
причем а—постоянное число, a f(x) имеет производную в точке х,
то функция у также имеет в точке χ производную
y' = af'{x).
Пр имер.
у = 5х2.
Можем положить α = 5, f(x) = x2. Так как f'(x) = 2xt то
ух=10х.
Доказательство. Имеем:
у+Ау = а/(х + Ах);
отсюда
Ay_aHx+bx)-f(x)
Δ* Ах '
следовательно,

10. ПРОИЗВОДНАЯ СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ, ЧАСТНОГО 93
10. Производная суммы, произведения, частного.
Теорема. Если функции f(x), (f(x) имеют производные в
некоторой точке ху то их сумма и их произведение тоже имеют
производные в этой точке, а именно:
1) Производная суммы y=f(x) + q>(x) равна у' =/' (л;)-}-φ' (*)·
2) Производная произведения у =f(x) φ (х) равна
/=/(*)φΊ*)+/Ί*)φ(*)·
3) При дополнительном предположении, что φ (л;) ф 0,
существует также производная частного у= ^ ' , равная
, _ <y(x)f'(x)-f(x)y'(x)
У ~~ <р2(*)
Доказательство. 1) Если через Ах и Ау обозначим,
соответственно, приращения переменных χ и у, то из соотношения
J ==/(*) +φ (*)
получим:
y + Ay = f(x + Ax) + cf>(x+Ax)·,
вычитая из этого равенства предыдущее, получим:
&y=f(x + Ax)— f(x) + <p(x + Ax)— φ(χ).
Отсюда
Ay==f,(x + Ax) — Hx) . φ(* + Δ*)--φ(*)
Αχ Δχ "*"" Δχ
Следовательно,
lim Ai,= Um Д*+Д*)-У(«) hm φ(*+Α*)-φ(,)
Λ*-*οΔΛ: Δ*-*ο Δ* Δ*->-0 Δ*
Λ =/'(*) + <?'(*)·
Пример 1. Пусть
Здесь можем считать
/(а:) = л:2, ф(лг)=л:3.
Так как
//(лг) = 2лг, <р'(*) = 3л;2,
то
y'x = 2x + Sx2.
Доказательство. 2) Имеем:
y + Ay = f(x + Ax) ψ(χ + Αχ);

94 ГЛ. V. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
отсюда
Δ^ =/(# + Δλγ) φ (х + Ах) — f(x) φ (χ).
Вычитая и прибавляя к правой части предыдущего равенства
произведение /(χ)φ(χ + Αχ), получим:
Ay = [f(x + Ax)—f(x)]q>(x+Ax)+f(x) [φ(* + Δχ)-φ(*)],
следовательно, в силу теорем о пределах суммы и произведения
найдем:
Ит Δ£= lim /(*+**)-/(*). liffl ψ(χ + Αχ) +
Δ*-*0Δ* Δ*-* 0 Δ* Δ*-* ο
+/(*)lim Ф^+у-Ф(^.,
Δ*-* 0 Δ*
[Так как функция φ (χ) имеет производную в точке а:, то она
непрерывна в этой точке (стр. 88), т. е. lim φ (χ + Αχ) = φ {x).
Δ*->0
Значит,]
/=Πχ)φ[Χ)+/{Χ)φ'{χ).
Пример 2. Пусть
у = (х2 + χ5) 5л:2.
Если положим
f(x) = x2 + x*> φ (*) = 5л:2,
то
/'(лг) = 2л; + 3л:2, <р'(л:)=10л:,
следовательно,
-У/ = (2л: + Зл:2)5лг2 + (л:2 + л:3)10л: = 20л:3 + 25л:4.
Доказательство. 3) [Поскольку функция φ(χ) непрерывна
в точке л:, то из условия ψ(χ)φΟ по теореме о сохранении знака
(стр. 71) находим, что
<Ρ(λ: + Δλ:)=^0
для всех достаточно малых Δλ:.] Поэтому можем писать:
Λι,_/(*+Δ*) f,(x)
аУ-у(х + Ах) φ(*)'
значит,
Δ t (x + Δλ:) φ (χ) - φ (χ + Δχ) f (χ)
У φ(χ+Αχ)φ(χ)
Вычитая и прибавляя в числителе дроби произведение <р(л:)/(л:),
получим:
Δν _ Φ (*) If (x + bx)-f (х)]- [φ (* + Δλ:) -φ (χ)] / (χ)
*^ <р(лг+Дл:)<р(л:) '

10. ПРОИЗВОДНАЯ СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ, ЧАСТНОГО 95
отсюда
фМ lim f<x+*?-fM_flx) lim φ(*+Δ*)-φ(*)
Ду Δ*-» ο Δ* Δ*-» о Ад:
δΪ™. δ* ~ Φ W lim Ψ (*+Δ*)
следовательно,
Примеры.
Q 1
1/_Ф(*)П*)-/(*)Ф'(*)
^ - φ2(*)
φ W '
В этом случае /(л;) = 1, /'(л;) = 0, следовательно,
,_ φ'(л)
У "" <Р2(*Г
4. j;=a;"5 для лг^О, или ^ = -5, отсюда
л*
5*4=_5л;-*
*
10
5. jf :Г-
'1+л*
Положив f(x) = Аг2 + 5, φ (л;) = 1 + *3> мы в каждой точке хф—\
получим:
, _ (1 + *8) 2x~Sx* (*2 + 5) _ 2х— 15лг2 — **
^ "~ (1+л*)2 (1-М8)2 '
Задачи
Вычислить производные следующих функций!
1. if«7, */' = 0.
2. ί/=χβ, ^'==6лг5.
3. 1/ = 2л*, */' = 6л;2.
4. у = *«+1, ί/' = 4*8.
5. £/==Зл;2 + 2а:—6, *,'=6л;+2.
в. j,«i!^=l(*+6*·), ^ = 1(5^ + 15χ2).
7. ^ = (5+6*) (4-За:), у1 =9(1 -4л).
8. 0 = 2x3 (8*+И), £/' = 64х3+66*2.
' У~~4х9 ' У 4х* '
m *2~2*+3 , ~-16 + 4*+4*2
у —х» + 2х+5 ' у ~ (*2 + 2х + 5)2 *
11 3 + 2* 12
*~3=2· * ~(3-2х)2 '

96 ГЛ. V. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
5 ,15
13. ^ = 9*6+^--^ , /β54*·_1Η + |£ .
П. Производная сложной функции, £слм функция у=/(<?{*))
составлена из функций y=f(u)t u—q>(x), непрерывных и имеющих
непрерывные производные, то производная сложной функции сущв-
ствует и равна
или
Λ=/'(<Ρ(*))φ'(*).
Пример.
Положив
Пу<
получим:
поэтому
и окончательно
:ть
У-
у--
и-
= (5 + 2лг—Здг*)«.
= 5 + 2лг — Зл:2,
у' = 5и*и'
= 5 (5 + 2х—3χψ (2 —6*).
Докажем сначала сформулированную выше теорему при условии,
что при Ад: Φ О
Δη = φ (х + Ах) — φ (χ) Φ 0.
Положив Δ^=/(« + Δα)—/(и), получим:
Δ#_Δ# Δα
Δ*""" Δ« " Δ* '
Так как lim Δη = 0, то
Δ*-* о
lim — = lim д— lim -τ— .
Поэтому
Доказательство для общего случая дается на стр. 99.
12. Производная обратной функции» Если строго
монотонная функция y=f{x) имеет для некоторого значения χ проиэ*
водную отличную от нуля, то обратная функция * = φ(^) имеет *^

12. ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ 97
соответствующей точке у производную
Доказательство. Обозначив через Ау приращение
переменной у, а через Ад: соответствующее приращение переменной лг,
имеем:
Δχ 1 а / л
Гу = -Ку' АУ^0'
так как по теореме об обратной функции (стр. 77) из Ау Φ О
вытекает, что Длг^О.
Следовательно,
Ψ КЛ Δ^οΔ* lim *У
Δ#-*ο Δ*
Поскольку у=/(х) непрерывна (так как имеет производную), то
обратная функция х = Ц>(у) также непрерывна, т.е. hm Δλγ = 0.
Δ|/-»·0
Значит,
и, следовательно,
Примеры.
\.y=f(x) = V^
Возведя в квадрат, получим:
у2 = х.
Следовательно, обратной является функция
х = у(у)=у2.
Так как
то
л=-
<р'(у) = 2у,
1 == 1 1
ф' (У) 2У 2 Y7
Имеем здесь:
4 С. Баиая
2_х+1
^ ~*х+2'

98 ГЛ. V. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
отсюда
/ ν . 1—2i/a
Применяя к φ (у) теорему о производной частного, получим:
и, значит,
-и-ч- (</2-l)(-4i/)-(l-2y*)2t/ __ 2у
Ψ \У)- (y2-l)2 ~(</2-1)2
lf-_ * ^(ί/2-1)2,_1 1 ΊΑ + 2
^"■"φ'ΟΟ 2t/ 2 '(* + 2)" Г АГ+1 *
Мы могли бы также вычислить эту производную, опираясь на
предыдущий пример и на теорему о производной сложной функции.
Положив
х+\
U=x+2>
получим:
v-VTx,'--*- ' l/x+2 <«+.2)·1-(χ+1).1
У~Уи'У -i7T~2" У 1+1' (х + 2)*
следовательно, опять
у ^Т*(1+2р У Tpi
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
ΥΨ*
13*. Дифференцируемые функции. Определение
дифференциала· Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке х,
если ее приращение Ау в этой точке можно представить в виде
Ay = f (х) Длг + а(Длг) Ах,
где lim а(Длг) = 0.
Если положить а(0) = 0, то предыдущее равенство остается
справедливым и при Δλ: = 0. Поэтому можно сказать, что
переменная а(Длг) непрерывна при Δλ: = 0 и обращается при этом
значении Δλ: в нуль.
Как видно из определения, необходимым условием
дифференцируемое™ является существование производной. Оказывается (для
функций одной переменной), что это условие также и достаточно.
В самом деле, пусть существует у' =/' (х). Положим
α(ΔΛτ) = { Пах J х И ^
ί ^
,=J Δ;
I О
Δλγ = 0.

13. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ 99
При таком определении α имеем для всех Δλ:
Ay=f'(x)Ax + a(Ax)Ax.
Остается, следовательно, установить непрерывность α(Δχ) при
Δλ; = 0, т.е. равенство lim а(Ллг) = а(0) = 0. Но, очевидно,
Δχ-*0
lim α(Δ*) = lim ί^-f {x)\=f (x)-f (x) = 0,
что и требовалось.
Таким образом, для функций одной переменной дифференцируемость
и существование производной — понятия равносильные.
Аналогично можно определить одностороннюю
дифференцируемость и показать, что это свойство равносильно существованию
соответствующей односторонней производной.
Далее, если функция у = /(х) дифференцируема, т.е. если
Ау = /' (х) Алг + а-Дд:, lim а = 0,
Δ*->0
то главную линейную часть
/' (х) Ах
ее приращения будем обозначать символами dxy, dxf(x) и называть
дифференциалом переменной у по переменной χ в точке х. Написав
для симметрии dxx вместо Δλ:, получим следующую формулу:
dxy=f'(x)dxx, (1)
откуда
а£-/'1*>. (2)
Заметим еще, что дифференциалы dxy и dxx являются функциями
переменной л:, причем функция dxx принимает постоянное значение Δλ:.
13а*. Производная сложной функции. Используя равносильность
существования производной и дифференцируемости, мы докажем
теорему о производной сложной функции, приведенную на стр. 96
без доказательства.
Итак, пусть функция и = <р(лг) дифференцируема в точке л: = л:0,
a y=zf(u) дифференцируема в соответствующей точке и = и0 =
= <р(лг0). Дадим аргументу х0 приращение Δλ:; тогда функция
и = (р(л:) получит некоторое приращение Аи, вследствие чего у
функции y=f(u) возникнет приращение Ау. Имеем
/=Iim#?.

tOO ГЛ. V. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
Поскольку y=f(u) дифференцируема в точке α = α0, то ее
приращение можно представить в виде
Δ^ =/' (α0) \и + а (Δα) Δα; lim α (Δα) = 0; α (0) = 0.
Отсюда
lim JjU lim {/'(α0) + α(Δα)}.ϋηι ^ =
= i/'(«e)+«ni α(Δα)Ιφ'(*0). (3)
\ Δλγ-*ο /
Поскольку Δα зависит от Δλ;, то величину α (Δα) можно
рассматривать как сложную функцию переменной Ах. Заметим, что из
дифференцируемости функции а = ф(лг) следует ее непрерывность,
т.е. соотношение lim Δα = 0. Тогда по теореме о предельно»
Δν-»·ο
переходе под знаком непрерывной при Δα = 0 функции α (Δα)
находим
lim α (Δα) == a/'lim Δα)=α(0) = 0. (4)
Δλτ~>ο \ Δλ:-*ο /
Из (3) и (4) следует, что
Λ =/'(*·> φ'(*β>·
14· Инвариантность формы первого дифференциала. В случае,
когда переменная у = /(х) была функцией независимой
переменной х> мы имели, по определению,
dy=f'(x)bx%
или, в других обозначениях,
dxy=f'(x)dxx. (1)
Рассмотрим теперь случай, когда χ является в свою очередь
функцией другой переменной,
χ — χ (f).
Теорема. Если функции χ = φ (t) и y—f(x) дифференцируемы
в соответствующих точках t = tx и х = х1=2ц> (/χ), то дифференциал
сложной функции ^=/(φ (/)) = ψ (t) может быть представлен в виде
dty=f'(x1)dix.
Доказатель ство. Согласно определению дифференциала
имеем
<Μ = φ'(<ι)<Μ, (5)

15. ДИФФЕРЕНЦИАЛ СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО 101
Но на основании теоремы о производной сложной функции мы
видим, что
Ψ'(*ι)=/'(*ι)φ'(Ί)·
Подставив это выражение в формулу (6), получим:
^=/'(*ι)φ'(Ί)<Μ.
откуда в силу формулы (5)
*ty=f'{Xi)*iX- (7)
Сравнив формулу (1) с формулой (7), мы заметим, что их можно
записать символически в виде
dy=f'(x)dx. (8)
Формулу (1) или (7) мы получаем из формулы (8), написав вместо d,
соответственно, dx или dt.
Символы dy и dx не являются совершенными. Однако во многих
случаях, когда возможность ошибиться будет исключена, мы будем
ими пользоваться вместо символов dxy, dxx или, соответственно,
dty, dtx.
Значение формулы (8) становится ясным, если обратить внимание
на то, что при отыскании производной приходится пользоваться
двумя формулами для определения производной у по х. А именно,
когда переменная у зависит непосредственно от х, то
когда же зависимость переменной у от χ дается при помощи
некоторой (промежуточной) функции и, то
л=/'(«)«;·
При отыскании же дифференциалов получаем в обоих случаях
одинаковые формулы:
<txy=f'(tt)dxtt
или
dy~f'(x)dx,
dy=f (и) du.
15. Дифференциал суммы, произведения и дастного. Из теорем
о производных суммы, произведения и частного можно получить
аналогичные формулы для дифференциалов суммы, произведения
и частного. Пусть и и ν—функции от х:
«=/(аг), ν = φ(χ),

102 ГЛ. V. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
имеющие непрерывные производные. Если положить
Ух χ ' X9
y'xdx = uxdx + vxdx,
dy==du + dv,
d(u + v) = dtt-\-dv.
dcu = c du,
то
откуда
следовательно,
т. е.
Аналогично
ν du — и dv
где с—постоянное число;
d(uv) = udv + vdut
<&■
Замечание. На практике часто бывает выгоднее оперировать
дифференциалами, а потом делением на дифференциал независимой
переменной переходить к производным.
16. Геометрическая интерпретация дифференциала.
Дифференциал можно геометрически представить следующим образом.
Рис. 28.
Из рис. 28 видно, что
dy = /' (л:) dx = tg α · dx = CD.
Таким образом, если Ау — приращение ординаты кривой, то dy—
приращение ординаты касательной.

17. ПРОИЗВОДНАЯ СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ 103
Дифференциал dyt вообще говоря, отличается от Ау, но их
разность BD очень мала по сравнению с dx для очень малых dx,
так как
lim ^ΪΖ^Μ^ lim а(Дл:) = 0.
На практике, когда речь идет только о приближенных
значениях, можно для малых приращений dx считать
Ay = dy=f (x)dx.
ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
17. Производная степенной функции. Производная функции
у = хп
при произвольном η выражается формулой
у'х = пхп~х (х =^0).
Выше (стр. 91) мы доказали эту формулу для случая, когда
л —целое неотрицательное число. Перейдем теперь к остальным
случаям, а именно, когда:
η—целое отрицательное число,
η—рациональное число,
η—произвольное действительное число.
η—целое отрицательное число.
Положив л=—г (г>0), представим функцию в виде
J>=p [хфО).
По теореме о производной частного имеем:
. x'O — rxr-
11 —— ———_——
Ух - Х2Г
таким образом,
1 , гхГ-*-
τ й V == —— г—- у ν
, ι. с. ух — χ2/. — гл
у'х = пхп-х.
-/-1
η—число, обратное целому. Полагаем я = — и имеем:
у = хг.
Обратной является функция
следовательно,

104 ГЛ. V. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
Отсюда по теореме о производной обратной функции имеем:
-V^. = —г = -7=1 (для у=£0, а значит, и для хфО).
ху гу
Так как
то
или
1
,-μ-ο'
1 J-1
так что опять
γχ = ηχη-χ (для лг =£0).
Для # = 0 производная не существует.
η — рациональное число. Положим л = —. Тогда можно
рассматривать функцию
у = х«
как сложную, составленную из функций
у = ир и и = х«.
По теореме о производной сложной функции для х=£0 имеем:
Ух=Уиих>
yx=p(xi)p-iLxi-\
** q q
т. е. снова
ух = пхп-К
п — иррациональное число. В этом случае нашу функцию
можно считать сложной, составленной из функций
y = euf u = nlogex ( — п\пх).

18. ПРОИЗВОДНАЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 105
Тогда на основании п. 19 (см. ниже, стр. 107) имеем для хфО
У>У»е"^ ■
Отсюда, так как
еп=у = хп1
имеем:
ν'=*".- = лаг"-1.
** χ
Если η > 1, то можно показать, что производная >>'г = 0 при лг = 0.
Если # < 1, то при л; = 0 производная не существует.
Примеры.
_з
1. у=1/х* = хъу следовательно,
/ 3 4-1 3 ~4 3 1
5" -5~ ~Ьу^
3. y = ]fx + a = (x + a)2, так что
Мы пользовались при этом теоремой о производной сложной функции
(и — х + а).
Задачи
ι.„«^3*-*>. *'~3»/(3,-2^ ·
2+^ , 2
= ^Г7Г' *~V7(2-K*)2
18. Производная логарифмической функции. Производная
функции
y = logax (я>0, аф\)
выражается формулой
(где In а = loge я).

106 ГЛ. V. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
Доказательство. Имеем:
y+Ay = loga(x + Ax);
отсюда
следовательно,
Δ,-Ι^ϊ^-Κ*. (l+£),
поэтому
или
Й-т^.[(«+¥)й]· <·>
X
Положив Tz==r9 получим: lim |г|=+°°, следовательно,
Адс-*о
Иш (l+^V*- lim (l + fV-*.
В силу (1) имеем:
λ-Λ if-д [>«.(.+¥)=]·
Так как логарифм является непрерывной функцией, то
=т^Ь. ('+")"]-4'°^=;
1
В частности, если y = loge χ = In λγ, то j^ = —.
Таким образом, если за основание логарифмов взято число е, то
производная принимает наиболее простой вид —. Логарифмы с
основанием е называются натуральными логарифмами. Каждый раз, когда
пишут 1паг без указания основания, имеют в виду натуральный
логарифм числа х.
Примеры.
1- y=bg10x, / = llog10*=:i- 0,4342945...
2.jr=:ln/(*) (/(*)><>).
Положив
имеем:
,«!„«, у'х-±.и'-Щ

19. ПРОИЗВОДНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 107
3. у = In V\0x—x2 = γ In (Юл;—х2). Имеем здесь/(л;) = Юл;—л;2,
следовательно, по предыдущему примеру,
^ ~~ 2 ' 10х—л2 ™ 10х—х2 '
Задачи
1. ι/ = 1π8χ, */'=— .
5/1 χ
2· *-1»|$£->п<5+4*>-1«<8+7*). »/'= (5+4^(3+7.) ·
3.</ = 1п(1п,), »'-ΓΠϊ5·
19. Производная показательной функции. Производная функции
у = ах
выражается формулой
у' = а*\па.
В частности, если
У = ех,
то
у' = ех.
Доказательство. Функцией, обратной ку = ах, является
функция x = \ogay. Таким образом,
а в силу теоремы о производной обратной функции и замечания,
что х'уф0> получим:
В частности, если а = е, то 1η α = 1, следовательно, когда у = ех,
то ух = е*.
Таким образом, функция у = ех имеет то интересное свойство,
что она равна своей производной.
Пример й.
2. y = exi'
Положив м=лг2, получим:
у = еи, у' = еаи' = 2хех\

108 гл. v. производная и дифференциал функции
Положив н = V\+ 2* + 3λγ2 = (1+ 2х + 3*2)2, имеем опять:
у = е\ у' = е*и';
и' мы вычислим, применив повторно теорему о производной сложной
функции. Положив ν=\+2χ + 3χ2, получим:
_L - -L
u = v2, и' — -χ-ν 2 ν\
следовательно,
отсюда
2
и'=± 2 + 6*
2 γ~\+2χ + 3χ2'
У Ϋ~\ + 2χ + 3χ2
Задачи
1. у = (7** + 3)5, ί/' = 10(72^ + 3)472Α?1η7.
2. i,= ln(lle* + 2), у' = ll"*+ 2"'
3. y=x4xt yr=ex(x3 + 3x2).
20. Производные тригонометрических функций·
y = s\nx9 у'= cos χ.
Имеем
j; -f- Д^у = sin (X -f- ДАТ),
α . Αχ ( . Δχ\
a · / ι а ч · 2 Sin-77-COS *+ -7Г )
Δy__sm(x+A*) —sinx__ 2 \ 2 /
Δχ"~~ Δχ ~" Δχ
(*+*)
следовательно,
. Δχ
A S1» "FT
Δί/ 2
τ^ = —τ— · cos
Δχ Δχ
2
Δχ
Положив -у = А, получим в силу непрерывности функций sin χ и cosx:
Hm й = 0,
. Δχ
Sin~9~ · A
lim -rf-= hm ~=1 (см. стр. 64),
lim
cos (χ -f -^) = hm cos(x + k) = cosxy

20. ПРОИЗВОДНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 109
следовательно,
у'= lim -r^=cosx.
^ssscosjc, у* = — sin*.
Заметим, что cosx — sinf-^·— х\\ следовательно, функцию
y=zo%x можем считать сложной функцией, составленной из функций
д; = Sin^: И 2 = -9 ЛГ.
В связи с этим по теореме о производной сложной функции получим:
НО
yz=z cossr=cosiy — χ J =sinx,
a
*;—i,
следовательно,
y'x = — sin x.
y = tgx, У = ^.
sin χ
Так как j> = tgJt; = , то по теореме о производной частного
получим:
, cos*'Cosχ—sin *·( — sin χ) cos2Jc-|-sin2x
^*~~~ cos2* ~~~ cos2*
следовательно,
Ух ~~ cos2 χ '
a cos;:
Аналогично предыдущему, у = -— , так что
sin χ
, sinA>( — sin*)— cos x cos χ — (sin2 χ + cos2 χ) I
-Уд?"""" sin2* ~~ sin2* sina к *
у = sec xt y' = sec χ Xg x.
Имеем: у = % поэтому
* cos* ' J
, cos y-0—1'( —sinx) sin*
У* ~~ cosa χ ~~ cos2* *

ПО ГЛ. V. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
откуда
1 sin χ , ^
у = . = sec χ tg χ.
ух COS X COS* &
у = cosec χ, y' = — cosec χ ctg χ.
Имеем:
= 1
У sin χ *
следовательно,
sin χ·0— bcosx cos x
Λ =
отсюда
χ sin2 x sin2*
1 cos χ ,
v= :— · -:—= —cosec χ ctg χ.
s* sin χ sin χ fe
Примеры.
1. ^==sin4A:. Положив и = 4лг, получим у = sin и, так что
У = cos и · и' = 4 cos 4дг.
2. -y = tgAr2. Положим £/ = дг2; получим тогда j> =
v' = —__ . и' следовательно, v' =—«-ъ · 2дг.
^ cos2 α ' -^ cos2x2
3. j> = cos10 л:. Положив и= cos at, найдем j; = w10, так что
у' = 10wV = — 10 cos9x sin x.
Задачи
1. # = 2cosx+5sinx, #' = — 2sinx+5cosx.
2. i/ = cos2x+l, #' = — 2sin2x.
3. i/=sin2x, i/'= 2 sin χ cos χ=sin 2x.
1+e*
4. i/= ctg (x+e*), #'=■
sina(x-|-e*) '
21. Производные обратных тригонометрических функций,
j; = arcsin*, y'x = y=== (|*|<1).
Обратной функцией будет χ = sin у, следовательно,
ху = cos у.
Отсюда по теореме о производной обратной функции получим:
Ух х'у ~~С0ЪУ '
где j> =^ ± γ, что соответствует значениям хф-±\.

21. ПРОИЗВОДНЫЕ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 111
Так как
cosy = \^l— sin2 у
(знак у корня положительный, потому что —γ <У <γ)> то
cosjz — jA — χ2;
отсюда
' —_1_
Замечание. Можно показать, что для χ = ± 1 производная
не существует.
jy = arccosx, Ух = — у==^ (|*I<1)·
Доказательство аналогично предыдущему.
Обратной функцией будет x = tgy, следовательно,
у cos2 у
(так как —Т^-У^Т' т0 х'у всегда существует и отлично от
нуля). Отсюда
у'х= — = cos2 у,
но
следовательно,
1
cos2 у
\+ig2y=\+X\
У χ— 1+Χ2
y = MCCtgXf y'^ — γ^^.
Доказательство аналогично предыдущему.
j> = arcsec*, y'x = ^y== (|*|>1).
Обратной функцией будет Ar = secj;, следовательно,
x'y = secytgy
(за исключением у = 0, у = п, что соответствует значениям лг= +1,
* = — 1); отсюда
1
Ух ~" sec у tg у *

112 ГЛ. V. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
Для χ > 1 будет 0 < у < -^ , поэтому
secy = x = \x\t
tgy = ysec2y—\=Vx2—\.
Берем положительный знак у корня, потому что в этом случае tgy
положителен. Следовательно, для χ > 1 будет
Ух \х\ У"х^Т'
Для χ < — 1 имеем -^ < у < π, значит, tgy < 0, поэтому
tgy = — /sec2j;—1 = — }Λ;2 — 1,
следовательно,
' = 1
так как лг< — 1, то | л; | = — χ и опять
1
У* =
\х\ γ~χ2— ι #
1
;y = arccosec*, ^ = — ^, т/"^_1 (М>1>.
Доказательство проводится аналогично предыдущему.
Примеры.
1. у = arcsin Ух3.
Положив
имеем:
следовательно,
2. у = arctg ^-ί
Положим
jf = arcsin и,
''-Trb"··
1— χ
1+* '

22. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ПРОИЗВОДНАЯ 113
тогда
y = arctgu9
и' ,
У ~1+и2 '
но
.., (1+л).(_1)-(1-д)-1 2_
" - (ГНО5 "~~ U+*)2'
следовательно,
2 (1 + *)2 1
У ==— (l+x)2*U+*)2+(l — *)2 ==—1+*2 *
3. j> = arcctg ]/7
Пусть
Получим:
ц=к
ΛΓ.
3! = arcctg и,
1 11
1 + "2 1+* 2/7"
Задачи
1.(/=ж= arcctg -7=:, ί/'
]/* ' 2(*+l)j/** *
у 2
2. y = arcsin (2x К 1 — *2), У' =
/1 -*2"
3» (/ = * arcsin x+ /l —*2, #' = arcsin χ.
22· Логарифмическая производная. Рассмотрим функцию
* = {/(*)}*<*,
где функции /(дг) и φ (аг) имеют производные в точке лг, причем
/(#) > 0. Взяв натуральные логарифмы от обеих частей, получим:
1π^ = φ(*)1η/(χ).
Будем считать 1пу сложной функцией переменной χ и найдем
ее производную:
γ = ν'(*)\η/(χ) + φ(χ)^. (1)
Выражение — называется логарифмической производной
функции у. Равенство (1) с учетом того, что у = {/(х) }ф и), дает нам
/ = {/(*)}»«> [ф'(лг)1п/(лг) + Ф(лг)Ш] .

114 ГЛ. V. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
Таким образом, при помощи логарифмической производной мы
определили производную функции у = {/(дг) }<*> <ХК
Примеры.
1. Найти производную функции у — хх {х > 0). Имеем:
lily = АГ1ПАГ,
следовательно,
£ =Ыплг+ αγ.1==Ιπλγ+1,
у ι χ
отсюда
/ = лг*(1плг+1).
2. Определить производную функции у = (sin x)cos x (0 < χ < π).
Логарифмируя, получаем:
\пу~ cos л: In sin at,
~ = — sin χ In sin at 4- cos χ -г-
#f · Olf"
sin * '
следовательно,
у' = (sin *)cos * f — sin χ In sin χ + ^~~1 .
Задачи
1. y=xlnx, y' = 2xXnx-4nx.
2. y = (lnx)*9 y' = (\n x)*~l[l + \n x-\n\nx].
ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
23. Производные высших порядков* Если функция y—f (x) имеет
первую производную,, то производная этой производной, если она
существует, называется второй производной функции f(x).
Аналогично, производную второй производной называют третьей
производной и т. д. Символически производные высших порядков
будем записывать следующим образом:
или
или
Ух, Ух*, Ух», /х**, У$\ .
/. /> /". уш· У5). · ■
..,/&
..,/">,
f'(X), f"(X), /'"(*), /«>(*), /«>(*), .... /<»>(*),
или также
dy &у_ <Ру фу d?y d^g
dx ' dx2' dx* ' dx* ' d** » · · · t ^я ·

23. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 115
Примеры.
1. Найти производные функции у—а*. Имеем:
у' = ах\п а,
у" = ах(1па)\
у'" = ах(1па)*,
y") = a*(lne)".
,(") — о*
е*.
Если у = ех, то / - = с? .
2. Найти производные функции y = xk. Имеем:
y' = kxk~\
/ = к{к—\)хк-*,
y'" = k(k—\)(k—2)xk-*t
y™ = k{k—\){k—2)...[k—(n—\)]x
Если k—натуральное число, то
y«*> = ft(A—1)(A—2)...[ft—(A —2)J.l=A!f
y*+i) = 0.
3. Найти производные функции у = 1плг. Имеем:
,„ Ь2 ._ 2 Ь2
«(«_ 1'2»3__, 1чз *'2-3
/■> = (_l)»-i<JL·^.
4. Найти производные функции у = sin χ. Имеем:
у' — cos χ = sin ( χ + ~ J ,
У = —sin л; = sin (at -f π) = sin (χ + 2. ~ J,
/" = — cos at = sin (др + З.-j),
yW = sin ^л: + /z -—J .
,*-«

116 ГЛ. V. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
Аналогично, если у = cos χ, то
/»> = cos (*+„*).
Задачи
2. i/ = sin5A:, i/(/i)==57lsin Ux + n~\ .
1_ cos a: m g 2
3* \_V/0 Λ „
2 COS2 —
4.,-ln,<„. ^yW
24. Формула Лейбница. Пусть y = uv, где и и ^—функции
переменной дг. Тогда
У = tf4F + tj'tt,
у = и" ν + и V + и'ν' + uv" == ^τ; + 2ы V + га",
= u'"v + M"v' + 3u'v° + uv'",
y*> = «<*4> + 4e"V + 6я'У + 4aV" -fra(4).
Мы видим, таким образом, что коэффициенты в написанных выше
формулах получаются такими-оке, как и при разложении бинома
(а-\-Ь)п по формуле Ньютона. При помощи полной индукции можно
доказать справедливость формулы, аналогичной формуле Ньютона, а
именно:
у») = UWV+ (Л „<«-iy + ΛΛ tfn-2)v»
+ ...+(&
№
Эта формула называется формулой Лейбница.
Примеры.
1. Определить л-ю производную функции у = хе*
Положив
и = ех, v = x,
получим по формуле Лейбница:
уя> = хех + пе*.

24. ФОРМУЛА ЛЕЙБНИЦА 11?
2. Формула Лейбница часто позволяет легко определить значение
я-й производной для некоторого частного значения х. Поясним это
на примерах.
Определить значение /г-й производной функции f(x) = arctgx для
л; = 0.
Имеем:
отсюда
Взяв теперь #-ю производную по формуле Лейбница, получим:
/«"+и (л)(1+*») + (*)/«"> (Jf)-2д? +(J)/"""W-2 = 0.
Положив лг = 0, получим:
/(п+1'(0)+/г(л-1)/(и-г>(0) = 0,
следовательно,
/*»+1)(0) = —«(л—1)/(П-«(0) (я>0).
Мы получили удобную формулу приведения для значений л-й
производной при дт = 0.
Так как/'(0) = 1, /"(*) = — -щ^-φ-.значит, /*(0) = 0, то,
положив л = 2, 3, 4, 5, ..., получим из формулы приведения
/'"(0) = —2-1=—2,
/,4)(0) = 0,
/«»(0) = —4·3·(-2) = 24,
3. Определить значение л-й производной функции
для л; = 0.
Имеем:
f(x)(x2-3x+\) = 2x+\.
Взяв #-ю производную (п > 2), получим:
/<"> (х) (*» -Злг + 1) + φ /<»-!> (λγ) (2дг - 3) + (f\ /«""*> (лг). 2 = 0.
Положив х = 0, найдем:
/<">(0) —Зл/<п-1'(0) + л(л-1)/*"-г>(0) = 0,

118 ГЛ. V. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
отсюда
/(л> (0) = Зл/(П-1> (0)—η (η - 1) /(rt-2) (0) (л > 2).
Определив первую и вторую производные непосредственно, получим:
/'(0) = 5, /"(0) = 28;
затем положив я = 3, 4, 5, ..., определим из формулы приведения
производные высших порядков.
Задачи
1. у=,ех(3х2—4), у{п) = ех[3х* + 6пх + 3п(п — 1) —4].
2. «, = *!„,, ^^-Ψ(ηΓ2)1
3. у = χ2 sin xt
^tw) = A:2sin ^х + /г^^ +2n^sin Гд:Н-(/г —1) -2,1 +/г (/г—1) sin i* + (/i-2)yl.
4. /(A:) = (arcsinx)2, (I— x2)f (*)—х£'(х) = 2,
f{2n+» (0) = 0, i(2W) (0) = 2.2M2.62.. .(2л—2)2.
5. U*) = esin*, rW = fWcosx,
Ρ+ΐ)(0)=ρ>{0)^(5)ρ-2>(0)+(^)ί<Λ"·4)(0)-...,
отсюда
f(0)=i, Πθ)=ι, Γ(θ)-ι, i"'(0)=o, f<*>=--3,.,.
25. Параметрическое представление функции. Пусть даны две
функции
оаной переменной t, определенные и непрерывные в одном и том
же интервале. Если функция x = f(t) строго монотонна, то
существует обратная к ней функция * = ψ(.*), также непрерывная и строго
монотонная. Поэтому у можно рассматривать как переменную,
зависящую от переменной χ через посредство переменной t. Положив
y = <f(q(x)) = F(x)y
мы видим, что функция y = F(x) непрерывна. Мы будем говорить об
этой функции, что она задана параметрически при помощи
переменной t.
Пример 1. Пусть
x = rcost, y = r$int (0</<π).
Так как функция χ = г cost строго убывает для 0<*<π, то,
определив t из первого уравнения и подставив во второе, получим
искомую функцию переменной х.

25. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ 119
Еще проще придем к цели, если заметим, что
X* +д,2 = Г2 (CQS2 f + sin2 j) = f2>
отсюда
д, = }//·2 — Χ2.
Выбираем положительный знак у корня, так как функция y = rsint
неотрицательна для 0 ^ / ^ π.
Взяв π ^ / ^ 2π, получим:
у = — Vr2—х2.
Мы видим, таким образом, что когда / меняется от 0 до 2я, то
формулы
χ = г cos tt у— г sin t
определяют две функции переменной х, графики которых образуют
целую окружность.
Параметрическое представление имеет особо важное значение при
изучении движения точки. Если точка движется на плоскости, то ее
координаты х, у являются функциями времени t. Задав эти функции
*=/('), у-φ С).
мы полностью определим движение точки. В каждом промежутке
времени, в котором функция f(t) строго монотонна, можно, поступая как
раньше, определить функцию y = F(x), графиком которой будет
кривая, описанная за этот промежуток времени движущейся точкой. В
предыдущем примере функции описывали равномерное движение точки
по окружности.
Допустим теперь, что функции
*=/('), J = 9(<)
обладают производными, непрерывными в окрестности некоторого
значения /, и что, кроме того, для этого значения / имеем /' (ί)φθ.
[По теореме о сохранении знака (стр. 71) последнее неравенство
будет справедливо и в некоторой окрестности точки t. Из этого
вытекает, как мы увидим далее, строгая монотонность функции χ =/(/)
(стр. 130), и, следовательно, существование обратной функции t = ψ (χ)
в указанной окрестности.]
Так как функция я|)(лг) имеет производную, выражающуюся по
формуле
то по теореме о производной сложной функции функция y = F(x) =
= φ(ιψ(*)) имеет произзодную
£ = φ'(*(*)) ■♦'(*).

120 ГЛ. V. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
следовательно,
'* по ·
Мы доказали, следовательно, что производная функции,
представленной параметрически, выражается формулой
у* по '
если только f (ί)φθ.
Пример 2. Рассматривая функцию, определенную в примере 1,
получим:
г cost , . ., , Λ ч
Λ= -rsint Og' it Φ 0, я).
Легко определить производные высших порядков, допустив
существование соответствующих производных у функций f(t) и φ(0·
Вторую производную получим следующим образом. Заметим, что
функция у задана параметрически функциями:
Отсюда
следовательно,
._. q»t(Q
Ух- по '
«· - ПОф'О-ПОфЧО
Аналогично, положив ^ = <р2(/), получим:
... φ'. (Ο
Λ - f (ί) ·
следовательно,
Λ" = {[/' ΟΙ* φ'" С)-/' (О/'" «) φ' (0 -
-3/' (*)/' (/) φ" (t) + 3 [/' «)1· φ' (*)}·i^Ljg.
Продолжая поступать таким же образом, можем определить
производную любого порядка.
Задачи
1. y = att .
2. t/=sin2i, * 1 . 0.

26. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 121
3, tf-sini —<cosif ' t
x=cos/ + *sinf, ^ 8ί*
26. Дифференциалы высших порядков. Как указывалось уже
раньше, дифференциал
является функцией переменной х. Поэтому можно говорить о
дифференциале дифференциала. Положим
d*(<4y)=d'y,
dx(d"x-*y) = d»xy.
Выражение dnxy будем называть л-м дифференциалом или
дифференциалом η-го порядка.
В силу теоремы о дифференциале произведения получим:
Чу = d* I/' (*> ά**\ = dJ' (*> d*x +/' (*> dlx-
Так как
а
dj* = 0
(потому что dxx — постоянная), то
dty=r(x)(dxxf.
Аналогично получим:
dnxy=rn4x)(dxx)n.
Отсюда
J ( }~(&Ρ' J K'(dxx)3 J (X) (<***)" ·

122 ГЛ. V. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
Написав d вместо dx и dxn вместо (dxx)n, получим:
S-/'"w·
g=/mw·
Следует, однако, помнить, что в этих формулах дифференциалы
рассматриваются по переменной дг.
Допустим теперь, что у и χ являются функциями переменной t.
Тогда получим:
dty=f'(x)dtx,
d*y=r(x){dtxY+f'{x)d*x.
dzty^f,f,{x)(dixf + 2f"(x)dtxd)x+f"(^)dtxdU+f'(x)dU
(так как теперь dtx не является постоянной функцией, то d\x нельзя
отбрасывать), следовательно,
dzty = f" (*) (dtx)* + 3f"(x) dtx d)x +/' (λγ) d\x.
Пользуясь неполными символами получим:
dy=f (x)dxt
d2y=f»(X)dx2+f'(X)d2Xf
d*y =/'" (x) dx9 + 3/" (x) dxd2x +f (x) d*x9
Заметим, что написанные выше формулы действительны и тогда,
когда вместо d писали бы dx, так как тогда dlx = 0} dlx = 0 и т. д.
Как и раньше, мы будем продолжать пользоваться неполными
символами во всех случаях, когда возможность ошибки исключена.
Если функция y = F(x) задана параметрически функциями
*=/{*), J = <P('b
то, взяв дифференциалы по переменной tt получим:
dy = F' (x) dx =yx dx,
откуда
v--*y- 4'V)dt _ φ'(0
Ух~~dx~~ i'(t)dt "" f'(t) *

26. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 123
Взяв снова дифференциал по переменной t, найдем:
следовательно,
откуда
Положив
η __ dxd2y—dyd2x
УхdX"" dx2 '
„ dxd2y—dyd2x
Ух — dx*
dx=f'[t)dt,
d*x=f*(t)dt\
dy = <f'{t)dt,
d2y = y"(t)dt*,
получим формулу, выведенную на стр. 120. Аналогично
. * .dxd2y—dyd2x
dyx=d dx* >
„, _ dx2 d*y—dx dH dy—Sdx d2x d2y+3 (rf2*)2 dy
Ух "" dx*
Отсюда легко получим формулу, указанную на стр. 120.
Пусть функция у = /(х) имеет обратную функцию # = <р(-у)*
Определим производные функции φ (у) при помощи производных
функции /(лг).
Заметим, что, взяв дифференциалы по переменной у, найдем:
d2y==d3y =_,=(),
dx = x"ydy = φ' (у) dyt
d*x = x"ydy* = 4"{y)dy*,
dnx = xW dyn = <р(и> (у) dyn.
Отсюда
dy=f(x)dx=f'(x)x'dy,
d2y β ο =/" (*) (x'yf dy* +/' (χ) x"y dy\
аъу = о =/'" (λγ) (x'yy df + 3/* [χ) x'yxnydy* +/' (x) x"dy\
Следовательно,
*'-_L
... П*)К)'_ f(x)

124 ГЛ. V. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
Мы можем получить то же самое другим путем. В самом деле
как известно, %
ф'оов*;=р7
Взяв производную по у и считая /' (дг) сложной функцией
переменной у через переменную лг, получим:
„___ Г(х)х'у__ f{x)
ху~ H'wi»"" in*)]»·
If' (χ)]3 Г" (χ) x'y-r W-з [Г (*)]» ί? (χ) χ\
xy ~~ [|'Μ1β
следовательно,
" ~~ [£'(*)15
Задачи
1. ί/=11, t/' = 0.
2. ι/ = 4α: + 7, t/'=4.
3. ί/ = 9*4, t/' = 36*3.
4. t/ = a + 2&*4-c*2, t/' = 2& + 2c*.
7. #=(a+ta) (α—tot), t/' = — 2δ2*.
8,i/~ *з_ ι > У" (Λ*—1)*
j^ + a^ + ax + l / ο ι t
9. t/= τ je_71 τ > 0' = 2* + α—1
10. t/ = (2 + 3*)(8+7x), ί/'=38+42*.
11. ί/-(α+χ2)3, ^ у'=6х(а + х*)К
12. |г»(бх>—J-x»Vf ^ = 4λ:(12—α:») ^6х*~ 1 a*V
to 2 . 3 ,4,9
14. у= yTf5x>
13- ^-^ + (Ь=^Г3' i/'~~ "i·"1"(I-*)*"
15. ί/= 1/(2χ*-χψ, у' =
5
"2 ^Г+5*'
3*(4 — За-)
4 £/2*2-χ* *

26. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
19. у= In (2 + 5л:). j,'= 5
2+5ж '
» =7·
20. i/=ln Jtnf
21. £f=ln f—5 λ , Λ 1
23. » = —lnjc. .,, _1 —Inx
24. ув,Кг+г+1„ (jc+ ущ^. , & + * + !
«t. if = ln 2a+**___ . (ft»-to)*
Va+bx+cx* У 2(2a+bx)(a + bx+cx*)·
26. y—exx", у' = е*хп-1(х+п).
27. {/=а2*3~3**, (/' = 6jc (x— 1) a»*3"»*1 In a.
JL -£.
28. y=aea , y'=ea.
ex-l , 2e*
m(pmx β~Λ^
so. ι,-m <*-*+*-«), y'- mjL+,-«« ·
31. i/=sinl2*, t/' = 12 cos 12*.
32. t/ = sin(p* + <7), y' = ρ cos (px+q).
33. i/ = *cos*, t/' = cos*—a: sin дг.
34. i/ = *3sin* + 3*2cos*—6* sin*—6 cos*, t/' = л:3 cos x.
35. t/=tg*~—ctg*—2xt y' = tg2* + ctg2*.
36. t/ = *—sin*cos*, #'=2sin2*.
S7.„-3tg* + tg·*. ^=Ж·
?in* , acos* + 6
U~~a+bcosx' У {a + bcosx)*'
39. i/=lnsin*, i/'=ctg*.
40. i/=lncos*, i/'=—tg*.
41. |f=lntg*t У'=Ш2х-
a
42. */ = arcsin ax. y' = -
V 1-й2*2
43. |/ = arccos (a—*), y' =:
V"l — (a—*)2'
44. i/ = arctga*t #'
1 + a2*2'
45. t/ = *3arcsin — , y' = *2 ( 3arcsin .
^.^arctg^, ,___*_,.

ГЛ. V. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
2
47. t/ = arcsin2xV 1— χ*. и' ==- я ,
48. ι,-arctgi—1^ , 0 -2(1+jc·)'
49. i/ = arccos |/~1—*, у' =-
2 v:
*—-*а
50. ι/ = -1/Ί— α;2 — Λ—-1 χΛ arctg l/"l— χ2, t/'=A:arctg ΐΛ — χ2.
51. y = /» + 8i—lt '_ 2/ + S
52. t/ = arctg(2i + l), *_ — ei
х = е~*\ y*~2t(2t* + 2t + l) '
53. y=>asint + bcost. (α cos f—6 sin*) cos3 y
^ = 4tg22-, 4sin_2~
54. i/ = arcsiri(/2 —1), , _ _ /Ί —4*a
* = arccos2i, ^ Г 2—i2 '

ГЛАВА VI
ТЕОРЕМА РОЛЛЯ. ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ.
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
1. Теорема о среднем значении. Допустим, что функция у = f (χ)
определена и непрерывна в замкнутом интервале [а, Ь\ и имеет
производную в каждой внутренней точке этого интервала.
Проведем хорду АВ, соединяющую точки кривой,
соответствующие концам интервала [я, b]. Пусть а —угол, образованный хордой
с осью ОХ (рис. 29). Интуитивно ясно, что на кривой существует
по крайней мере одна точка С, отличная от А и В, касательная
в которой параллельна хорде АВ.
Обозначим через ξ абсциссу ♦
точки С, через σ угол, который
касательная в точке С образует с
осью ΟΛΓ, а через А—длину
интервала [а, Ь]. В силу
замеченного выше, имеем:
tga=tga, (1)
а из треугольника ADB получим:
tga = gg-=^-'(a)· (2)
Так как #<£<#+/г — Ьу то ξ = # + ()*> где θ — некоторое число,
удовлетворяющее неравенству 0<θ<1. Заметив, что
tg<r=/'(S)=/'(« + 9A),
получим в силу (1) и (2)
/(*+*)-/(«)=/>(g + 6A)t 0<θ<1.
Это утверждение известно под названием теоремы о среднем
значении и может быть сформулировано следующим образом.

ГЛ. VI. ТЕОРЕМА РОЛЛЯ. ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ
Теорема. Если функция y=f(x) непрерывна в замкнутом
интервале [а, Ь] и имеет производную в каждой внутренней точке
этого интервала, то существует число Θ, удовлетворяющее
неравенству 0 < θ < 1, такое, что
\
0
Υ
Af \ \ В
\ \ \ !/
\ а К b
Kb)-f(a)
b — a
= /'[β + θ(*-α)].
Рис. 30.
2. Теорема Ролля. Если, в
частности, предположить, что
функция имеет одинаковые
значения на концах интервала, то
хорда АВ параллельна оси ОХ, и,
следовательно, касательная в
точке С также параллельна оси
ОХ (рис. 30); тогда производная
в точке ξ равна нулю. Поэтому
может быть высказана следующая
Теорема. Если функция, непрерывная в замкнутом интервале
[#, Ь] и имеющая производную в каждой внутренней точке этого
интервала, принимает на его концах одинаковые значения, то п&
крайней мере в одной
внутренней точке интервала [а, д]
производная обращается в нуль.
Замечание. В теореме
Ролля не предполагается ни
существования производных у функции
на концах интервала [а, Ь], ни
непрерывности производной всюду
внутри [а, Ь]. Предположение же
о существовании производной
внутри [а,Ь] существенно. Если
хотя бы водной точке внутри
интервала [я, Ь] нет производной,
то производная может нигде не
обратиться в нуль. Примером может служить функция,
изображенная графиком на рис. 31 и не имеющая производной лишь в
одной точке.
Теорема Ролля утверждает, что безусловно хотя бы в одной
внутренней точке производная равна нулю; поэтому если бы
производная была равна нулю на концах интервала, то, несмотря на
это, можно быть уверенным, что еще в какой-то внутренней точке
она также равна нулю.
Теорема Ролля является одной из важнейших теорем в
дифференциальном исчислении.
Рис. 31.

4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ 129
3. Доказательство теоремы Ролля· Если наша функция
принимает во всем интервале [а, Ь] постоянное значение, то в каждой
внутренней точке интервала ее производная равна нулю. Следовательно,
в этом случае теорема верна.
Допустим теперь, что наша функция не является постоянной.
В силу того, что функция, непрерывная в замкнутом интервале,
принимает в нем наибольшее и наименьшее значения (см. стр. 75), можно
утверждать, что хотя бы одно из этих значений принимается во
внутренней точке интервала [а, Ь]. Пусть, например, функция
принимает наибольшее значение в точке ξ (α < ξ < b). Тогда для каждого
значения h справедливо неравенство
/(6+*)</№).
Как мы покажем сейчас, точка ξ является нужной нам точкой, т. е.
/'(6) = о.
Заметим, что если:
1, А>0> то "Е+*>-*<а<0;
2) h<0, то <«+*>-Ш>0.
Поэтому если h стремится к нулю, принимая положительные
значения, то по теореме о предельном переходе в неравенстве получим
/'(g). lim «б+Ц-Шок
Если же h стремится к нулю, принимая отрицательные значения, то
/Ч6)-Дш<(6+*1"/(6)>о.
Следовательно,
о </'(!)< о,
откуда
/'(!) = о,
чем доказательство теоремы Ролля завершено. Аналогично проводится
доказательство в том случае, когда в точке ξ (α < ξ < b) принимается
наименьшее значение.
4. Доказательство теоремы о среднем значении. Положим
ϋϋρ«· (1)
или
/(α + Α)-/(α)-Αω = 0.
5 С. Банах

130 ГЛ. VI. ТЕОРЕМА РОЛЛЯ. ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ
Определим функцию φ (t) на отрезке 0 ^ t ^ h, положив
<p{t)=f{o + t)-f(a)-t(u;
мы видим, что:
1) φ(0) = φ(Α) = 0;
2) φ'(*)=/'(<* + ')-ω. (2)
В силу этого по теореме Ролля существует такая точка ξ (0 < ξ < h)%
что φ'(ξ) = 0. Следовательно, по формуле (2) получим:
φ'(ξ)=/'(* + ξ)-ω = ο,
откуда
Положив ξ = ΘΑ(0<θ<1), получим в силу (1)
/(a + ft)-/(a)=/,(fl+e/,)
Мы доказали, таким образом, теорему о среднем значении.
5. Следствия из теоремы о среднем значении. Если функция,
непрерывная в замкнутом интервале [а, Ь], имеет всюду внутри него
производную, равную нулю, то такая функция постоянна в этом
интервале.
Доказательство. Пусть х0 и дг0 + А — две произвольные
точки интервала [а, Ь]. По теореме о среднем значении имеем:
Пх.+ь)-Г{х.)=Г{Хо + Щт
h
Но, по условию, /'(λγ0 + ΘΑ) = 0, следовательно,
/(*o+ft)-f(*o) η
h ~~υ'
или
/(*ο + Α)=/(*ο)·
Таким образом, функция имеет в [а, Ь] постоянное значение.
Теорема. Если функция, непрерывная в замкнутом интервале
[а, Ь], имеет всюду внутри него положительную (соответственно,
отрицательную) производную, то такая функция строго возрастает
(соответственно, убывает) в этом интервале.
Доказательство. Если дг0 и лг0 + h (h > 0) — две
произвольные точки интервала [а, £], то по теореме о среднем значении имеем:
/(*o+ftW(*,)=/,K + eA)i
/ (*0 + h) -f(x0) = hf (x0 + ΘΑ);

6. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 131
так как h > О, /' (*о + 0/г) > 0, то
/(*0 + А)-/(*о)>0,
следовательно,
Я*о + А)>/(*о)·
Таким образом, функция строго возрастает.
Аналогично поступаем в случае, когда всюду внутри интервала
[с, b] производная отрицательна.
6. Формула Тейлора. Предположим, что функция у=/(х)у
имеет в замкнутом интервале [а, Ь] производные до порядка п— 1
включительно, непрерывные в этом замкнутом интервале; о
производной /г-го порядка допустим, что она существует в каждой
внутренней точке интервала [а, Ь]. Если точки χ и x-\-h принадлежат
интервалу [я, Ь], то имеет место формула
/(*+*)=/(*)+тг/'(*)+£/*(*)+
+|-/",w+...+(^r/(n-l,w+i?„(^A),
которая называется формулой Тейлора, Rn (at, Λ) носит название
остаточного члена формулы Тейлора.
Мы будем пользоваться двумя различными выражениями для
остаточного члена. Одно из них,
Яв(*,А)--п/(Я,(* + вА),
причем θ удовлетворяет условию 0 < θ < 1, было дано Лагранжем.
Второе выражение,
где опять 0< Θ' < 1, предложено К о ш и.
Если, в частности, интервал [я, Ь] содержит число 0, то написав
в формуле Тейлора 0 вместо χ κ χ вместо А, получим так называемую
формулу Маклорена:
/(*)=/(0) + ^/'(0) + |ϊ/^(0)+ ... +{£^_/|»-«(0) + Ля(^);
Rn(x) имеет вид:
остаточный член в форме Лагранжа
Rn(*)=T\fmlQ*) (0<θ < 1);
остаточный член в форме Коши
^Η-^Ιι-θΤ-ν^Ιθ'^) (0<θ'<ΐ).
5*

132 ГЛ. VI. ТЕОРЕМА РОЛЛЯ. ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ
Замечание. Оба остаточных члена (в форме Лагранжа и Коши)
очевидно, равны между собой и отличаются только видом. При
исследовании формулы Тейлора данной функции пользуются той или
другой формой остаточного члена, в зависимости от того, какая из них
удобнее в рассматриваемом случае.
7. Доказательство формулы Тейлора. Пусть α и β (α Φ β) — две
произвольные точки интервала [а, Ь], а р —произвольное натуральное
число ^ 1. Положим
U «J-зр ί2=ΰ! -». (1)
Определим функцию φ (t) следующим образом:
•■•-(ι^ηΓ/<η'1,(ί)-ω(β-^·
Заметим, что, положив / = β, получим <ρ(β) = 0, а положив t=at
получим в силу (1) φ(α) = 0.
Найдем φ' (t):
ψ' to=-/' (ο -ϊ=ί r w +/' w -(^тгГ" w+
(β —Ο""1 fim if\ ι
• (я-l)! / <Г' +
+ (Р(7-2)"' /(""" (f) + ωΡ (β ~t)P'1'
■£πί/'«)-...-ίξ=^/(",(θ+
или, после упрощений,
φ'(*) = ωρ(β-ίΚ-1-^=^7(η,(0· (2)
Как было указано выше,
φ(α) = φ(β) = 0,
поэтому в силу теоремы Ролля существует точка ξ, заключенная
между α и β, в которой производная функции φ (t) обращается в нуль.
Таким образом, на основании (2)
Отсюда
φ' (ξ) = ωρ (β - φ-* _ibli^i/<"> (ξ) = 0.
a-l-j^w/m(l) (α<5<β>·

7. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА 133
Подставив в (1) значение ω, получим после преобразования:
•••+7^1уг/(п_1)<а)+/?»· (3)
где
(β^αΚ(β-.ξ)*-/>
К«~~ ρ (л—1) ! f lSb
ξ — число, содержащееся между α и β, так что
ξ = α + θ(β—α) (0<θ<1).
Полагая теперь β==Λ: + Α, а = лг, найдем:
β-α = Α, ξ = Λτ + ΘΑ, β —ξ==Λ(1 —θ).
Подставляя эти выражения в формулу (3), получим:
f(X + h)=f(x)+±f>(x)+...+J^]f*-i^x) + Rn,
где
Д«- ρ(Λ-1)Ι / (* + ΘΑ),
или
Р(я-1)!
(1— Θ)"-^/(,,)(αγ + ΘΑ).
Так как ρ — произвольное натуральное число ^1, то, положив
сначала /? = /г, а потом /? = 1, получим остаточный член, соответственно,
в форме Лагранжа и в форме Коши. Так как в написанной выше
формуле число θ зависит от р, то для р = п ир=1 получим, вообще
говоря, разные значения Θ; поэтому второе из них, участвующее
в остаточном члене в форме Коши, обозначим через Θ'.
Примеры. 1. f(x) = ex. Имеем:
/>)=/* Μ =...=/(я) (*)-«*;
отсюда
/(0)=/'(0)=/"(0)=...=/(п)(0)=1.
Применив формулу Маклорена, получим:
X ι _ι_ _* | х | |__ _£ | ^_ Λ6 Χ
(/г — I)!"1" п\
«- = 1+1Γ + -2Γ+...+7Γ-^+^-*
Для я>0 мы из этой формулы заменой χ на х\па получим:
g -1+-ТГ' + ^^Г-+'"+ (п —1)1 +—ΊΓ- а ·

134 ГЛ. VI. ТЕОРЕМА Р<}ЛЛЯ. ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ
2. f(x) = sinx. Имеем:
/(0) = 0,
/<">(*) = sin (* +л-J) (см. стр. 115),
fm(0) = sinn%.
Таким образом, если n = 2k, то
/<л> (0) =/(2*> (0) = sin kn = 0;
если же # = 2ft — 1, то
/w (0) «/«*-!> (0) = sin (2ft—1)f = (-l)*+1.
Следовательно, для n = 2k получаем:
а для η — 2k — 1
3. f (x) —cos χ. Имеем:
/(0) = 1,
/<"> (лг) = cos (х+й|) (см. стр. 116),
/<л> (0) = cos η γ .
Далее, для η — 2k получаем:
/<»>(0)=/<2*>(0) = (-l)ft;
если же η — 2k—1, то
/№(0)=/<2*-»(0) = 0.
Следовательно, для n = 2k будем иметь:
-2 xi yt . rik — 2
cosx=l-ir + 4r-|r+---+(-i)*-1
2! ' 4! 6! ^ rv ' (2/г — 2)! '
,2k
а для /z = 2ft — 1
X* . X* . , ^*-, X2*"2
со5д;=1-^ + ^Г-...+(-1)л-1-
21 τ- 4! ·· · т-\ *' (2ft —2)!
^τέ^τ005^4-^-1^]

7. ДОКАЗАТеЛЬСТВО ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА. « ое
4. f(x) = \n (1 +лг). Здесь имеем:
/(0) = 0,
/<П,И=-Ы1^|^1)1 (см. стр. 115),
следовательно,
/<Λ>(0) = ( —ιγ+1(λ —ΐ)ΐ,
/<*»(0) _ (-1)"*1
/г! /г
Таким образом, получим:
In (1+*) = ■*_*!- + :*_ ... + (-\)"J^L + Rn{x),
A"W I '' я(1+вж)" * '' (1+θ'*)η *'
5. /(jc) = (1-fjf)/' (p произвольное). Принимая во внимание, что
/<"> (χ) =р(р- 1).. .(р-п+ 1) (1 + *)>-» = (Ρ) η\ (\ + х)р-\
получим:
откуда
/?λ(λγ) = ( J ) (1 + θ*)'-**^ ( jM/г (1 - θ')""^ + Vx)p-*x*.
В написанных выше формулах числа θ, Θ' удовлетворяют
неравенствам:
0<θ< 1, 0<θ' < 1.
Задачи
1. Доказать, что для многочлена 1(х) степени η имеем:
2. Как мы знаем (стр. 74, пример 2), уравнение * = cos* имеет в
интервале (0» -о") по крайней мере один корень. Исходя из того, что функция
f(x) = x—cos χ имеет положительную производную в интервале ( 0, -^ ) 9
доказать, что в этом интервале не существует больше одного корня.

136 ГЛ. VI. ТЕОРЕМА РОЛЛЯ. ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ
3. Доказать, что
ГГ+7= 1 + у*- -gL- -»2 + ^б *3- · · · +*«(*).
*.(*) = (-!)"-' ''tV.^r^ ί7Ι= (0<θ<1).
(1 + θ'«) 2
4. Опираясь на предыдущую задачу, доказать, что для 0 <:*«^0,01
справедливо приближенное равенство
1 1
с погрешностью меньшей, чем -тг ·~τκξ· » следовательно, с точностью до
четвертого десятичного знака. Например, V^l ,0046 = 1,0023.
5. Если требуется решить уравнение /(*) = 0, то, обозначив через х0
приближенное значение корня (полученное, например, при помощи проб),
а через x0-\-h искомый корень, получим:
0 = i(Xo + h) = f(x0)+hf'(x0) + Yti4"(Xo+M)> 0<θ<1.
Если h достаточно малое, то, опустив член, содержащий Л2, найдем
откуда
fix.) '
Таким образом, новое приближенное значение искомого корня имеет вид
/(*»)
X ^ Xq-
П*о>
С полученным приближенным значением можно поступить, как с
предыдущим, и вычислить новое приближенное значение и т. д. Изложенный метод
был указан Ньютоном.
Решить этим способом уравнения:
*8+2х2+Зх + 4 = 0; 2sin *=*; in* = x.
8. Выпуклость. Говорят, что кривая, являющаяся графиком
функции y = f(x), обращена при х = х0 выпуклостью вверх, если
существует такая окрестность точки х0, что для каждой точки x0 + h
этой окрестности имеет место неравенство
/(*о + *)<Я*о) + */'(*о)·
Геометрически это неравенство означает, что часть кривой, соответ-

8. ВЫПУКЛОСТЬ
137
ствующая этой окрестности, лежит под касательной, проведенной в
точке х = х0 (рис. 32).
Аналогично определяем
направление выпуклости вниз.
При помощи формулы Тейлора
можно легко доказать следующее
утверждение:
Теорема. Если непрерывная
функция
y=f(x)
имеет внутри интервала [я, Ь] всюду
отрицательную (соответственно,
положительную) вторую производную,
то в каждой точке этого интервала
график этой функции обращен выпуклостью вверх (соответственно,
вниз).
Доказательство. Если х0 и х0 + Н(кфО) лежат внутри
интервала [я, Ь], то в силу формулы Тейлора имеем:
/(*е+ *) = /(*.) +Α/'(*ο) + 5Τ·/'(*ο + ΘΑ) (0 < θ < 1),
а так как А2 > 0, то
/(*о + А) -/(*о) - hf (*о) > 0 при Г (х) > О,
/(*о + *)-/(*о)-*/'(*о)<0 ПРИ /"(*)<0.
Примеры.
1. y = xs — ax2 + bx + c (а> 0), у = 6* — 2а.
Таким образом, для χ > 4г кривая обращена выпуклостью вниз,
потому что здесь вторая производная положительна.
2. y = sinx, у" == — sin*.
Если у > 0, то у" < 0, следовательно, над осью ОХ синусоида
обращена выпуклостью вверх.
3. у = х* — 6λγ3+12λγ2,
У=12аг2 —36λ:+24=12(λ;—1)(λγ —2).
Кривая, следовательно, обращена выпуклостью вниз для χ < 1,
вверх для 1 < χ < 2, вниз для χ > 2.

ГЛАВА VII
МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ; ТОЧКИ ПЕРЕГИБА.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
ЭКСТРЕМУМ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА
1. Определение экстремума. Говорят, что в некоторой точке
функция имеет максимум (рис. 33), если значения функции в
некоторой окрестности данной точки не превышают значения функции в
этой точке.
Аналогично определяется минимум (рис. 34).
Если в некоторой точке функция имеет максимум или минимум,
то юворят, что в этой точке имеет место экстремум.
Хо Xo+h
Рис. 33.
Из приведенных определений вытекает, что если в точке х = х0
функция у—/(х) имеет экстремум, то для каждого /г, меньшего по
абсолютной величине некоторого ε > 0, будет:
/(λγ0 + Α)—/(λγ0) ^0, если имеет место максимум; (1)
/(лг0 + /г)—/(#0)>0, » » » минимум. (2)
Таким образом, в обоих случаях разность f(x0 + h)—f(x0) fle
меняет знака для достаточно малых значений /г.

2. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМУМА 139
Замечание. Если в некоторой точке х0 для каждого h=^0,
удовлетворяющего условию \h\ < ε, имеем:
/(*0 + А)-/(*оХО,
то мы будем говорить, что в этой точке имеет место собственный
максимум.
Аналогично определяется собственный минимум.
Следует помнить, что максимум не является обязательно
наибольшим значением, принимаемым функцией. Вне рассматриваемой
окрестности функция может принимать большие значения (рис. 35).
Ясно также, что функция может иметь несколько максимумов
или минимумов.
Например/ функция j/=sin—
принимает бесконечно много раз
максимальное значение, равное
единице, для
2
(4/1 + 1) π
ΙτχΖ
жг г
Рис. 35.
2. Необходимое условие
существования экстремума. Если
функция y=f(x) имеет экстремум при
х = х0, то производная в этой
точке, если она существует, равна ну-
лю. Другими словами, касательная в точке экстремума (если она
существует) параллельна оси ОХ.
Пусть при x — Xq функция имеет максимум. Предполагая
существование /'(л:0), получим:
/'(*о) = η™ /(*.+*)-;<*.> = lim /(*.+*)-;(*.) .
ft->+0 h ft->-o n
Но в силу (1) для достаточно малых положительных h имеем:
f(xo + h)-f(xo)
h
<0,
следовательно,
lim /(«. + *)-/(*.) <0[
Λ-+ + 0 h
ИЛИ
/'W<o. (3)
Аналогично для до статочно малых отрицательных h получаем:
lim /<*о + *>-К*о> >0f

140 гл. νιι. максимумы и минимумы; точки перегиба
следовательно,
/'{*о)>0. (4)
Из неравенств (3) и (4) следует
/'(*о) = 0.
Замечание. Не следует думать, что если в некоторой точке
производная обращается в нуль, то в этой точке всегда имеет место
экстремум. Например, функция у = х3, производная которой у' = Зх*
обращается в нуль при лг = 0, не имеет экстремума в точке лг==0,
так как
у < 0 при χ < 0,
у = о » χ = 0,
у > 0 » χ > 0.
Из доказанной теоремы следует, что если функция y=f(x)
имеет точки экстремума, то они находятся только среди таких
точек, где производная либо равна^нулю, либо не существует.
Поэтому для разыскания точек экстремума достаточно определить все
значения ху при которых f'(x) = 0 или не существует, и
исследовать, в которых из них есть экстремум. Исследование остальных
значений χ отпадает.
Пример 1. Для каких значений χ функция
может иметь экстремум?
Находим первую производную:
у' = х*—2х2—Злг.
Как легко видеть, у' существует всюду, а уравнение
/-о,
т. е.
Д:3_2Л:2--зл; = 0,
имеет только три корня:
Х± = О, Х2 = о, Xq = 1.
Следовательно, данная функция может иметь экстремум только при
лг==0, 3, —1.
Пример 2. Тот же вопрос относительно функции
_2_ 1
у = ухз + зх2 =хз (лг + 3)8 ·

3, ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМУМА 141
Находим первую производную
/ = |*~т(χ + 3)т+ Хъ*тЛ* + з)~,
или
у' = Х~ з (лг + 3) 3 (лг + 2).
Очевидно, у' существует всюду, кроме х = 0,— 3 и обращается в
нуль только при х— —2. Значит, данная функция может иметь
экстремум только в точках
Χγ = Uj Χ 2 === "~~" "I Х$ == ~~~ "· I
3. Достаточные условия существования экстремума.
Следующие теоремы позволят нам во многих случаях решать, имеет ли
место в некоторой точке максимум или минимум.
[Теорема 1. Пусть функция ^=/(л;):1) непрерывна при
х = х0; 2) имеет производную f'(x) в некоторой окрестности тонки χ0
за исключением, может быть, самой этой точки; 3) производная
сохраняет знак отдельно в левой и правой полуокрестностях точки χ0.
Тогда, если при переходе через эту точку (слева направо)
а) /' (л;) меняет знак с плюса на минус, то при χ = лг0 имеем
максимум;
б) /'(■*) меняет знак с минуса на плюс, то при х = х0 имеем
минимум;
в) если знак производной не меняется, то в точке х0 нет
экстремума.
Доказательство. Установим, например, справедливость
утверждения а). Если h достаточно мало, то согласно достаточному
признаку монотонности (стр. 130) функция f(x) возрастает (в
строгом смысле) на интервале [лг0—А, лг0] и убывает на интервале
[л:0, x0 + h]. Отсюда непосредственно видно, что при х = х0 имеем
собственный максимум.]
Теорема 2. Если функция y=f(x) имеет в окрестности тон*
ки х — х0 вторую производную, непрерывную в самой этой точке,
и если /'(л:0) = 0, то при х = х0имеет место собственный максимум,
если /" (л;0) < 0, и собственный минимум, если /" (л:0) > 0.
Если же /"(аг0) = 0, то невозможно сделать никаких
заключений без дальнейшего исследования.
Доказательство. По формуле Тейлора имеем:
/(χ0 + Λ)=/(λγ0) + ^/'(λγ0)+2Γ/"(^ο + ΘΑ) (0<θ<1).
Так как, но условию,
/'(*о) = 0,

142 гл. νιι. максимумы и минимумы; точки перегиба
то
f (*о + *) —f (Xo) = 2! /" (*о + ΘΑ).
Если допустим теперь, что /"{х0)<0, то вследствие непрерывности
второй производной обязательно существует некоторая окрестность
точки х = х01 в которой f"(x)<0.
Очевидно, что если xQ-\-h принадлежит этой окрестности, то
/*(*0 + ΘΑ)<0.
Таким образом, поскольку /г2 > 0, мы получим:
/(χ0 + Η)-/(χ0) = £γ(χ0 + ΘΗ)<0;
следовательно, для х±=х0 имеет место собственный максимум.
Допустив, что f"(x0) > 0, докажем аналогично, что при х = х0
имеет место собственный минимум.
Пример. Определить максимумы и минимумы функции
Первая производная обращается в нуль при л; = 0, 3, —1.
Находим вторую производную:
у = 3лг2—4* — 3.
Таким образом,
/"(0) = —3 < 0, следовательно, для л: = 0 имеем максимуму = 2;
f" (3) = 12 > 0, следовательно, для χ = 3 имеем минимум
у 9-J-;
/"(— 1) = 4 > 0, следовательно, для χ = — 1 имеем минимум
у-*г*
[Пример 2. Тот же вопрос для функции у = £/лг3+Зл;2.
Имеем
ι_ 2_
у' = х з (* + 2)(* + 3) 3#
Исследованию подлежат лишь точки л: = 0, —2, —3 (см. стр. 141).
Воспользуемся теоремой 1. В окрестности точки л; = 0 два
последних сомножителя в формуле для у' сохраняют постоянный
положительный знак, а первый меняет его с минуса на плюс при переходе
через эту точку. Значит, при х = 0 имеем минимум j/ = 0.
В окрестности л:=—2 первый сомножитель отрицателен,
третий положителен, а второй меняет знак с минуса на плюс. Следо-
ι_ 2_
вательно, все произведение у' = х 3 (х + 2) (х + 3) 3 при пере-

4. БОЛЕЕ ОБЩЕЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ
143
ходе через точку х ——2 меняет знак с плюса на минус, так что
для х =—2 имеем максимум j; = ^/4^1,6.
В окрестности х=—3 производная сохраняет постоянный знак.
Экстремума нет.
График функции у = 1/хд + 3х2 изображен на рис. 35а.]
4. Более общее достаточное условие. В сомнительном случае,
когда /'(л:0) = 0 и /" (лг0) = 0, можно пользоваться следующим
более общим утверждением:
Теорема. Если функция
у = /(х) имеет в окрестности
точки χ = х0 непрерывные
производные до п-го порядка (п>\)
включительно и если
y=tfpf+3x2
Рис. 35 а.
в то время как
то при η нечетном функция не имеет экстремума в точке х = х09
при η четном функция имеет собственный максимум, когда/{п) (х0) <0,
и собственный минимум, когда f{n) (x0) > 0.
Доказательство. При выполнении условий теоремы формула
Тейлора примет вид
f(x0 + h)-f(xQ)=£fW{x0 + eh) (0<θ<1).
Для четного η доказательство проводится так же, как в
предыдущей теореме.
Допустим теперь, что η—нечетное число, и пусть
/(п)(*о)>0.
По теореме о сохранении знака существует такая окрестность
точки х = х0, в которой
/(П)(*)>0.
Для достаточно малых положительных значений h получим поэтому
/(η)(*0 + ΘΑ)>0, Λ*>0,
следовательно,
/Uo + A)—/(*o)>0,
откуда
/(*о + *)>/(*о)·

144 гл. νιι. максимумы и минимумы; точки перегиба
Для отрицательных значений /г, достаточно малых по абсолютной
величине, будем иметь:
/<">(*„+ ΘΛ)>0, Α"<0,
так что
Я*о + А)-Я*р)<0,
и поэтому
/(*о + А)</(*о)·
Итак, в произвольной окрестности точки х0 существуют
значения большие и меньшие, чем f(x0). Это означает, что в точке
х = х0 экстремума нет.
Аналогично поступаем, когда /(Л)(л;)<0.
Примеры.
1.
у = хЗ—6х*+\2х—3,
/ = 3лг2 — 12ЛГ+12,
у" = 6х—12,
/" = 6.
Чтобы определить экстремумы, решим уравнение ,у' = 0, т. е.
З*2 — 12*+12 = 0.
Получим один корень лг = 2. Так как при χ = 2 вторая
производная обращается в нуль, а третья производная положительна, то,
для χ = 2 экстремума нет.
2.
(л+ 3)3
У (а: + 2)2 '
у (* + 2)з '
,,^6(* + 3)
У (х + 2)* '
/// бГЗ* + 10)
^ (* + 2)* *
Корнями уравнения / = 0 будут хх = 0, лг2= — 3. Для первого
из этих значений вторая производная положительна, для второго
равна нулю. Для хг = 0 имеем, следовательно, минимум. Подставляя хг
в третью производную, получим у = 6=^0. В точке х2=—3
экстремума нет.
3.
у = х*(х—1)3+1,
/=х*(х—1)*{7х—4)ш

5. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА 145
Производная обращается в нуль в точках
4
у" = л:* (л; — 1) (42л:2 — 48* + 12),
/' (*ι) = 0, /* (*,) = 0, /' (*,) > О,
следовательно, при χ=γ имеем минимум. Далее,
у'" = х[(3х—2)<р(х)+х(х—1)<р'{х)]9
где ф(лг)==42лг2 — 48л: + 12, следовательно,
/f"(*i) = 0f/'"(^) = 9(l)=e.
Значит, для л; = лг2 = 1 нет экстремума.
Положив
@χ-2)φ{χ)+χ(χ—1)φ'{χ)=τρ{χ)9
получим:
У4) = ψ (*)+**'(*).
следовательно,
/(4) (*ι) - Ψ (0) = — 2q> (0) = —24 < 0,
значит, для # = .^ = 0 имеет место максимум.
4.
л:2—2л:—21 , б*2+28*+ 98
У" 6*+14 ' ^ "~ (6*+14)2 *
В этом примере первая производная не обращается в нуль ли
при каком значении х, оставаясь все время положительной.
Следовательно, функция не имеет экстремума ни в одной точке и все
время возрастает.
5. Точки перегиба. Говорят, что точка л: = л:0 является для
функции у=/(х) точкой перегиба, если для достаточно малых h
выражение
/(*в + А)-/(*,)-А/'(*о) (1)
меняет свой знак одновременно с изменением знака h или, другими
словами, если существует такое число ε > 0, что выражение (1)
либо для ε > h > 0 постоянно положительно, а для —ε < h < 0
постоянно отрицательно, либо для ε > h > 0 постоянно отрицательно,
а для —ε < h < 0 постоянно положительно.
Геометрически это означает, что часть кривой, соответствующая
положительному А, лежит с противоположной стороны касательной
(построенной в точке, соответствующей значению х = х0), нежели
часть кривой, соответствующая отрицательному h (рис. 36 и 37)#

146
гл. νιι. максимумы и минимумы; точки перегиба
Применяя теорему о среднем значении, получим:
f(x0 + h)-f(x0)-hf'(x0) = hf'(x0 + Qh)-hf'(x0) =
- h [/' (*о + ΘΑ) -/' (*о)] (0 < θ < 1).
Предположим, что первая производная имеет в точке х0
собственный экстремум: выражение /' (x0-\-Qh) — f (x0) для достаточно
Рис. 36.
Рис. 37.
малых значений h (отличных от нуля) будет иметь постоянный знак.
Поэтому выражение
f(x0 + h)-f(x0)-hf(x0) = h[f'(x0 + Qh)-f'(x0)]
будет менять знак одновременно с изменением знака h. В силу
определения точка xQ является точкой перегиба. Нами доказано,
таким образом, следующее утверждение:-
Теорема. Если первая производная функции y=f(x) имеет
при л; = л;0 собственный экстремум, то точка х = х0 является для
функции у = /(х) точкой перегиба.
Таким образом, определив точки, в которых первая производная
имеет экстремум, получим (на практике, вообще говоря, все)*)
точки перегиба функции у = /(х).
Обратная теорема, однако, не верна. Может, например, случиться,
что точка х0 является точкой перегиба, а для точек хфх0
производная не существует, так что об экстремуме производной в точке х0
не может быть и речи.
Опираясь на соответствующие теоремы об экстремумах функций,
мы можем установить достаточные условия для точек перегиба:
1) Если функция y=f(x) имеет в окрестности точки х0
непрерывные производные до п-го порядка (η ^ 2) включительно и если
Г (*.) =/'" (*о) = · · · =/<П"1' (*о) = 0, /««»(*,) φ О,
*) Автор не рассматривает точки перегиба с вертикальной касательной,
как, например, точка х=— 3 на рис. 35а. (Прим. ред.)

б. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ 147
то при четном η точка х = х0 не является точкой перегиба, при
нечетном же η точка лг = л:0 является точкой перегиба.
2) В частности, χ = χ0 является точкой перегиба, если
/·(*„) = о, «TW^fl.
Примеры.
1.
у = х* — 6лг2 + 2лг— 1,
У = 3лг2—12л: + 2,
/' -6л:- 12,
/"=6.
Вторая производная обращается в нуль при х — 2. Так как
третья производная отлична от нуля, то при χ = 2 имеем точку
перегиба.
2.
/=5лг2(лг2-4лг + 4),
/' = 20л:(л:2 — Зл: + 2),
/" = 20(3лг2 — 6л:+ 2).
Вторая производная имеет корни л:х = 0, л:2= 1,л:3 = 2.
Поскольку для этих значений третья производная отлична от нуля, то эти
точки являются точками перегиба.
6. Экстремумы функций, заданных параметрически. Пусть даны
две функции
непрерывные в некотором интервале α ^ t ^ β и имеющие в нем
непрерывные первые и вторые производные. Допустим, кроме того,
что функция x=f(t) строго монотонна в этом интервале. Тогда
написанные выше уравнения определяют у как функцию
переменной χ (см. стр. 118). Производные этой функции задаются формулами:
yx~f/(t) '
• _ Π0φ*(0-Π<)φ'(*)
*~~ [Г (OP
(при условии, что в рассматриваемой точке /'(/)=^=0).
Для определения экстремумов этой функции поступаем так же,
как и раньше. Именно, сначала находим точки, в которых ух = 0,
т. е. в которых
φ' (0 = 0, /'(ί)φ0.

148 гл. νιι. максимумы и минимумы; точки перегиба
Если t0 — такая точка, то, принимая во внимание что φ'^ο)—^,
для второй производной ух получим формулу
* φ* «о)
УК [Г (ίο)]2.
Таким образом, минимум имеет место, когда φ"(^0) > 0> максимум,
когда φ" (tQ) < 0. Если φ" (/0) = 0, то нужно исследовать производные
высших порядков. Точки, в которых f'(t) = 0, требуют специального
исследования.
Примеры.
1.
х —г cost, j/=-ξ-г sin 2/, Ο^Ξ^^Ξπ, г > 0.
dx . ,
Tt = -rsmt,
d2x
— =_rcos*,
Для tФ0, π имеем:
dy __ 1 cos 2* d2i/_
d*~~" 2 sinf ' d*2"~
g = lrcos2/,
3—r,in 2/.
2 sin / sin 2t + cos f cos 2f
— 2r (sin 03
Числитель первой производной имеет корень / = —,при котором
знаменатель не обращается в нуль. Вторая производная при tf = -j-
принимает значение
1 <о.
Таким образом, при *=-7- имеет место собственный максимум.
2. лг = *4+1, y = ts — 2t— 1.
d^-ijr . ^2~"0Γ·
Следовательно, для /=^=0 получаем:
dy^W — 2 d2f/_ 4^-6^—(З^2 —2) 12^2
dx 4*з > dx2~~ 64f9
Числитель первой производной имеет корни ^1=l/_j
/у
i2 = —1/ γ, при которых знаменатель не обращается в нуль.

7. НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ВИДА ТГ > ~~ 149
U оо
Подставляя их в выражение для второй производной, получим при
/ = tx положительное значение, а при t = t2 — отрицательное значение.
Таким образом, при /="[/-— имеет место минимум, а при t =
=—1/ γ—максимум.
Задачи
Найти точки экстремума следующих функций:
1. у~х {а—х)2 (а > 0); max при х=-^ , min при х — а.
2. £/ = л:4—8a:3+22jc2 — 24jc+ 12; max при х = 2, min при *=1,3.
2* . 1
3. y = — ; min при * = -г—й ·
y χ ν In 2
4. y = xx\ min при x = —.
5. y = exsinx; в точках *=( л+—- Ι π (max для четных п, min для
нечетных л). V 4 /
6. Вписать в шар с данным радиусом г конус наибольшего объема.
( Расстояние основания от центра шара равно — . J
7. Доказать, что среди всех треугольников с данными основанием и
периметром наибольшую площадь имеет равнобедренный.
8. Найти точку, сумма квадратов расстояний которой от вершин
треугольника имеет наименьшее значение.
(Центр тяжести треугольника.)
9. Доказать, что кратчайшая хорда параболы у2 = 2рх, пересекающая ее
вод прямым углом, имеет длину Зр "|/^37
10. Вписать в шар а) цилиндр, б) конус с наибольшей поверхностью.
(Высота цилиндра равна г-г/ 2(1 γ= ) , высота конуса равна
.L(23-Vi7).
Найти точки экстремума функций, заданных параметрически:
П. y = t* + %t—\t min при *=—4,
χ = /5 + 2ί,
12. i/ = arctg(2*+l),
х = е"**2. Экстремумов нет.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
(РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ)
7*. Неопределенности вида -^-, —. Займемся теперь
исследованием предела отношения -^Ц- в том случае, когда числитель и
знаменатель стремятся к нулю или к бесконечности. Эти случаи будем
* 0 оо
обозначать, соответственно, символами -?- или — .
1 ' 0 оо

150 гл. vu максимумы и минимумы; точки перегиба
Теорема. Пусть функции f(x), g(x) имеют первые
производные в окрестности точки х = а (за возможным исключением самой
точки а) и удовлетворяют соотношению
hmf(x) = l\mg(x) = 0.
яг-иг х-+а
Ρ (χ)
Тогда если существует предел lim VtH , то существует также пре~
дел urn —^ и имеет место равенство
х~+а # W
Нш №= цш Of)
Замечание. Мы молчаливо допускаем здесь, что функции g(x)
и g' (x) не обращаются в нуль нигде в окрестности точки а, за
исключением, быть может, самой точки а*).
Доказательство. [Пусть χ > а и достаточно близко к а.
Положив
Их) Г1
—τ-: = ω,
определим на интервале [а, лг] следующую функцию переменной t:
f(t) — ®g(t), a<i^x,
•<чf:
Покажем, что эта функция удовлетворяет на интервале [а, х]
всем условиям теоремы Ролля. Очевидно, она дифференцируема и,
следовательно, непрерывна при a<t^x. Легко проверяется и
непрерывность в точке а:
lim φ (t) = lim/(/) — ω · lim g(t) = 0 = φ (α).
t -+a t -*a t ->a
Наконец, в силу выбора числа ω
φ(α) = 0 = φ(ΛΓ).]
Поэтому в силу теоремы Ролля существует такая точка ξ,
заключенная между а и χ (отличная от а), что φ' (ξ) = 0. Так как
φ'(*)=/'(') —ω*'(*), то φ'(ξ)=/'(ξ)_ ω^ (ξ), следовательно,
m^a-L® (2V
Заметим, что если х стремится к α, то и ξ стремится к а. Таким
образом, предполагая существование предела lim~^, мы из соот-
х-+а £ W
*) Достаточно сделать это предположение относительно g' (x). (Прим. ред.)

« О оо ...
7. НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ВИДА -f-, — 151
U оо
ношения (2) устанавливаем существование предела lim —r~ и спра-
ведливость равенства
Urn Щ=\1тГЩ.
Аналогичным рассуждением устанавливается существование
соответствующего левостороннего предела и его равенство пределу
отношения производных. Теорема доказана.
Пр им еры.
1 г х*—Ьх+6 1# 2х—5
1. Um -о ^—Го = *im α ό ^ — 1 ·
,->2* -3* + 2 *-*22*-3
~ .. sin/гх ,. &cos /где ,
2. lim = lim —j— = k.
X-+ 0 X *-* 0 *
3. lim = lim —г- = я.
*-* о * лс -»■ о
. r *5-1 ,. 5л:4 5
*-+о У X х-++о 1+V х
Г (х)
Замечание. Если окажется, что lim -Ц-тЧ = + оо, то, как легко
видеть из доказательства, и lim -ί-^=±οο.
χ -* а & W
Примеры.
5. um ^-= Ит |г2=+оо.
х 1
6. lim :— = lim —5 == -U оо .
^.te*—" —4—cos* +
COS2*
Теорема. Пусть функции f(x), g(x) имеют первые
производные всюду в окрестности точки х = а (за исключением, быть может,
самой точки а) и удовлетворяют соотношению
lim /(#) = Um g(x) = ЧЬ оо;
*-*α χ-+α
f (х\
тогда, если существует предел lim '-^-\ (или если он равен ± оо),
х-+а& \х'
то существует также предел lim Ц^\ (или он равен ± оо) и имеет
х -> а ё \х)
место равенство
lim iil>= ни, №,

152 гл. νιι. максимумы и минимумы; точки перегиба
Доказательство этой теоремы, как более трудное, мы опускаем.
Примеры.
7. lim 1ίΙίβ lim -^T-= lim ( — x) = 0.
x x*
3
Я lim te3* u*~ cos23* .. 3 cos2 Sx
8· llm„ tT5i= lmn "37= 1,ffl„ ОТзГ
2 * "* 2 COS2 5X
3/ urn cos 5* \ a 3/ 1im 5sin5^\2 5
Замечание. Если окажется, что lim /' (χ) = lim g' (x) = 0 (соот-
x -> a x-+a
V (x)
ветственно ± оо), то исследование предела отношения '-Ц-т-т на осно-
8 кх)
вании тех же самых теорем можно свести к исследованию предела
/" (х)
отношения „ : . Как легко видеть, это может быть обобщено дальше.
Примеры.
π ti«, я*2—2ах + а .. 2ах—2а ,. 2а а
x_+xbx* — 2bx + b x_+12bx—2b х^г%Ь b
in п«, *—cos* ,. sin* t. cos* 1
10. lim —-ρ—= hm -^г= hm -Т-==Т.
11 iit« I—cosjc sin* f. cos*
*'· lltn τ—л^—^ llm ι = Ьт -—= oo.
x^Qx—s\ux χ^0 1— cos* ^0sinx
Наши теоремы справедливы и тогда, когда л: стремится к оо, а
lim f(x) = lim g* (л;) = 0 (или ± оо). В этом случае предполагается,
д?->ао дг-^оо
что для всех х, больших некоторого числа Д функции f(x) ng(x)
имеют производные.
Примеры.
_1_
In дс .. χ
12. lim ~= lim -£- = 0.
13.
+ оо * χ->+αο 1
lim F2== lim k= lim V==+0° ·
, π 1
T-arctg* -__
14. lim -j _-.= Hm _Ltl^ lim ** _K
2 x+i χ2^χ

8. НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ВИДА О-ОО, ОО ОО, 1 °°, ОО0, 0° 153
8. Неопределенности вида 0·οο, оо — оо, 1°°, оо°, 0°.
Если Нт/(л:) = 0, а Ит g(x) = -f-co, to исследование предела
χ -*■ а х-+а
произведения lim f(x)g(x) сводится к исследованию пределов
χ -*·α
/ (χ) й (х)
lira Lj1 или lim ^у-^» являющихся, соответственно, неопределеннос-
х-*а *■ х-+а *■
*(*> Η*)
0 оо
тями вида тг или —-.
0 оо
Примеры.
1. lim xlnx = \im ^= lim -Ar» lim ( — *) = 0.
X -+■ 0 X -> 0 JL X -*· 0 L Χ-*Ό
X X2
2. lim *<?-*=: lim 4= Hm -4 = 0.
Jf-V+00 *_>. + 00* Χ-»***
Если Нт/(лг) = llmg(x) = + co» то исследование предела раз-
χ -*- а х-> а
J 1_
ности lim [f(x) — g(x)] сводится к исследованию предела Нт^1£2—ίΑίί 9
о
являющегося неопределенностью вида ^.
Примеры.
2*—*2-_i ι
3. lim (У У- lim ^4.
*^Д1п* *-1,' ,.^ (*—l)lnx 2
, ,. / 2 1 \ ,. 2л: — д:2—1
5. lim f-Д--1)= lim:
λ: — sin χ n
Неопределенности вида Ι00, οο°, 0° сводятся к неопределенности
вида 0-со с помощью тождества
[/ (*)]Ф <*>-= £ф <*) 1п/(*)#
При этом предполагается, что f(x) > 0.
Примеры.
6. lim хх = lim e**nx; lim λ:1πλ:= lim ^ = 0,
X-++0 *->·+0 ΛΓ-V+O £_^+q J_
следовательно,
lim #* = e°=l.

ГЛАВА VIII
РЯДЫ
РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ
1. Определение ряда. Сходящиеся ряды. Пусть дана
последовательность чисел {ап}. Положим:
52===αΐ+α2»
ί3==αΐ+α2+β3'
*„ = 0ι + 02+·.· + <*«·
Если последовательность {sn} имеет предел 5, to символически
записывают это так:
S = a± + a2+t лл+ая+..т ·
или
Выражение, стоящее в правой части этих двух равенств, называют
рядом, a {sn} — последовательностью его частичных сумм.
Число S называется суммой ряда
«1 + 02 + 03+ ···
Говорят также, что ряд
01 + 02+03+···
сходится к S. Числа
av a2, я8, ...
называются членами ряда.
Ряд, который не является сходящимся, называется расходящимся.

154 гл. νιι. максимумы и минимумы; точки перегиба
± ±\пх
7. lim χх = lim ех ;
Х-+ + СО #-> + 00
ι· 1 ι ι- 1п л: л
lim — 1плг== lim — = 0,
-> +оо * Д?-* +оо *
таким образом,
lim л;* =е°= 1.
#-* +0O
8. lim (1 +»jc)~= lim eT n{1+mx);
X-+ О *-* О
lim — ln(\ + mx)= lim ——-—; = m,
*-* о x x-+ о *
поэтому
lim (1-|-/ил;)* = Л
*-* о
Задачи
1. Пга «ίζ^.ΐπ'
х-+а Vra+2x—Yr3a~
3. lim^i ».
* -* О *3 6
5. lim (_£_»} 1
л_Дл:—1 In*; 2
/I-
6.
7.
8.
9.
10.
lim 4— =1.
lim (1— *)tg-^-*=—
lim xwln* = 0 (ft>0).
*-*+o
1
lim x1-x^=e"K
X-+ 1
11Ш i±V"=l.
11. lim /(« + »-/W"^(a)M<.w.
H-+0 1
i"2
12. 1ίηι/(α+/.)4-/(α-^-^(α)=Γ
ft-* о "2

156 гл. νιιι. ряды
Примеры.
1. an = aqn'11 \q\ < 1 (г еометр и чес кий ρ яд). Как известно
(см. Введение, п. 4),
1 — дп _ а адп
s„ = a
-q \ — q l — q'
Так как |^|< 1, то (стр. 42) lim qn = 0, поэтому
/l-> 00
lltn sn=T=Ta>
значит,
_£_ = a + aq + aq*+ . . . +aqn +
или
'Ч+(У*+Ш*+--+(1)"+
-<7
Л = 1
Например,
или
1=Σ(τ
Л = 1
1 1 1
2. α„ = :
w n(n + l) η η+\'
следовательно,
значит,
.=('Ч)+(Ы)+(Ы)+-+(Ь^).
..= !■ '
л + 1'
откуда
S = lim s„= 1;
л-*оо
таким образом,
^4 Π (П
/2=1
2. Предел сходящейся последовательности как сумма ряда.
Пусть lim bn = g. Тогда, положив
η -*► оо
αχ = £х,
βΒ = *«-Α-ι. л = 2, 3, ...,

3. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ 157
получим:
8я=*аг + а2+ .. . + a„ = *i+(*a —*i) + (*a —*i) + · · · + (*,» —*,.-ι),
следовательно,
так что
или
*» = *».
lim sw = g
?=2 «.=*!+2 (*.+ι-*«).
/1 = 1 /1 = 1
Например, если
_2/г + 1
"~3/г —Г
ТО
lira £л = -г;
следовательно,
Τβ*ι + Σ (*»+ι-*-) = Τ + Σ 9я» + Зя-2'
«=1 /г = 1
*/1
/1=1
3. Необходимое условие сходимости. Если ряд 2 ап сходится,
то
lim απ = 0.
/1->00
Это становится очевидным, если заметить, что
Действительно,
lim α„= lim (sn — sn_l)= lim sw — lim snmml = S — S = 0.
П-+О0 /l-*00 П-+СО /I-*00
Применение этого условия часто позволяет убедиться в
расходимости некоторого ряда. Например, известный уже нам геометрический
со
ряд 2 Щп"1 расходится при афО и jgl^l, потому что
\an\ = \a\.\qn-i\^\a\.
Не следует, однако, думать, что можно сделать обратное заклю*
00
чение: когда lim ап = 0, то ряд 2 ап сходится. Опровергающим

158 гл. νιιι. ряды
примером может служить ряд
В самом деле,
lim In Г1 + -Ц = 1п1 = 0.
Однако, с другой стороны,
Ιη(' +^-) = ln2±i = ln(n+l) —1пл,
следовательно,
5я = (1п2 —1п1) + (1пЗ —1п2)+...+[1п(л+1) —1пл]
или
sn = \n(n + \).
Таким образом, последовательность sn стремится к + оо, значит,
ряд V In ( 1 -]—] расходится.
Другим примером расходящегося ряда с членами, стремящимися
00
1
к нулю, ^является так называемый гармонический ряд \\ —. Дей-
/1 = 1
ствительно, если бы этот ряд был сходящимся, то, обозначая его
сумму через S, мы бы имели
lim (s2n-$n)= lim s2n- lim sn = S — S^0. Ho s2w~^ = JL +
Л -► 00 П-+СО /I -> 00 ί* "Γ I
~Ь*""Хо+·· #"^F*' Правая часть уменьшится, если каждый ее член
заменить на ψ . Поэтому s2n — sn> ηψ — -ζ·. Но отсюда следует,
что равенство lim ($2п — $п) = 0 невозможно.
4. Ограниченные ряды. Говорят, что ряд 2 ап ограничен, если
/2 = 1
ограничена последовательность {sn} его частичных сумм.
00
Если ряд 2 ап сходится, т. е. последовательность {sn} сходится,
/1 = 1
то эта последовательность ограничена (см. теорему на стр. 39). Это
00
и означает ограниченность ряда 2 ал> так чт0
/1=1
всякий сходящийся ряд ограничен.

4. ОГРАНИЧЕННЫЕ РЯДЫ 159
Доы не можем, однако, утверждать обратное. Опровергающим
примером является ряд
1 + (-1)»
/1 = 1
Здесь имеем:
S±= — 1· ^2 = °' ^г=—\, $4 = 0, ..., Sn =
Мы видим, следовательно, что
Тем не менее, последовательность {sn} не имеет предела, т. е. ряд
со
2 (""Ι)'1 расходится.
/2 = 1
Об ограниченном ряде, члены которого неотрицательны, можно
высказать следующую теорему:
Ограниченный ряд с неотрицательными членами сходится.
Доказательство получается немедленно. Достаточно заметить, что
при указанных выше условиях последовательность {$п} является
неубывающей и ограниченной, в силу чего она обязательно сходится
(см. стр. 37).
00 1
Пример. Ряд S\ -^ {s > 1) сходится. Действительно, по теореме
/1=1
о среднем значении имеем:
(x + h)~s+1-x-s+1 = (—s+\)h(x-\-Qh)~si
положив χ = #, А == — 1, получим для η > 1
1 1 , п 1
(я—I)*"1 ns~l-(S 1>(п-0У
Так как
0 < θ < 1,
то
(я—Q)s^ ns'
Учитывая еще, что s — \ > 0, получаем
χι/ ι
V"1)
Таким образом,
+ Г=Л (jF^—з1^) + · · · +s"^T V(n—1)*-1_JF^J '

160 ГЛ. VIII. РЯДЫ
откуда
^<1+^ϊ(1-7^)<1+^ττ·
06 ι
Отсюда видно, что ряд с положительными членами \\ — ($>!)
является ограниченным, а поэтому и сходящимся.
5. Абсолютно сходящиеся ряды. Говорят, что ряд абсолютно
(безусловно) сходится, если сходится другой ряд, образованный из
абсолютных величин членов первоначального.
*Д / ι \я
Пример. Ряд у —у] абсолютно сходящийся, потому что
ряд
ΣΙ (-4Π-Σ (4)" ■
Л=1 /1=1
сходится.
Теорема. Абсолютно сходящийся ряд сходится также в обыч·
ном смысле. Его сумма получается сложением суммы положительных
и суммы отрицательных его членов,
со
Замечание. Суммой положительных членов ряда 2 ап мы на"
зываем сумму (если она существует) ряда, полученного из ряда
со
2 ап путем замены отрицательных членов нулями. Аналогично опре-
rt-l
деляется сумма отрицательных членов.
со
Наша теорема утверждает, что если ряд 2 ап абсолютно схо-
/1=1
дится, то, обозначив через Τ сумму его положительных членов,
а через Ψ сумму отрицательных членов, получим:
S=T+W.
Доказательство. Обозначим через tn (соответственно, wa$
п-ю частичную сумму ряда положительных (соответственно, отридо*.
тельных) членов. Ясно, что последовательности {tn} и {wn} монотонны
и ограниченны, так как
со
ΚκΣκι,
п = \
ι«υ<Σκι.

6. НЕЗАВИСИМОСТЬ СУММЫ РЯДА ОТ ПОРЯДКА ЧЛЕНОВ 161
Поэтому последовательности {tn} и {wn} сходятся. Положим
Т= lim tny W=* lim wn\
Π -> CO П ->■ 00
Τ является, следовательно, суммой положительных членов, a W —
суммой отрицательных. Заметим теперь, что
*» = *» + «>„,
lim sn = lim tn + lim wn.
Λ-* 00 Λ-* 00 /X-*00
Таким образом,
00
следовательно, ряд 2 #» сходится и его сумма равна сумме
полола
жительных членов с прибавлением к ней суммы отрицательных членов.
6. Независимость суммы ряда от порядка членов.
Теорема. Сумма абсолютно сходящегося ряда не зависит от
порядка его членов.
Замечание. Аналогично сказанному ранее (стр. 25) для
последовательностей, говорят, что два ряда отличаются лишь порядком
членов, если каждый член встречается одинаковое (конечное или
бесконечное) число раз в обоих рядах.
Доказательство. Обозначим через $'п сумму первых η членов
00 СО
ряда 2 К> полученного из ряда 2 ап изменением порядка его
/1=1 /1 = 1
членов.
со
Допустим сначала, что ряд 2 ап состоит только из неотрица-
/1 = 1
тельных членов. Выберем произвольное целое число т. Поскольку
со
все члены суммы sm принадлежат ряду 2 ап> можно найти такое
/1 = 1
число N, что сумма $N содержит все члены s'm (а может быть, еще
и другие). Итак,
Но
значит,
*«<£. (1)
Таким образом, последовательность {sm} неубывающая и
ограниченная; следовательно, она сходится. Положив
S' = lim s'n,
/Х-*· CD
6 С. Банах

162 гл. νιιι. ряды
получим в силу (1)
S'<S. (2)
Поступая аналогично, мы можем доказать, что
S'>S. (3)
00
Действительно, мы можем считать 2 ап РЯД°М» полученным из
ряда 2 Ьп изменением порядка его членов.
/1 = 1
Из неравенств (2) и (3) получаем:
00
Аналогично следует поступать, если члены ряда 2 ап будут
/1 = 1
неположительны.
Перейдем теперь к общему случаю (т. е. откажемся от предполо-
00
жения, что члены ряда 2 ап имеют одинаковые знаки). Заметим, что
/1=1
СО СО
ряды, которые получаются из рядов 2 ап и 2 *« заменой в них
/1 = 1 /1 = 1
отрицательных (соответственно, положительных) членов нулями, будут
отличаться лишь порядком членов и, следовательно, в силу только
что доказанного будут иметь одинаковую сумму. Таким образом,
в обоих рядах суммы положительных членов и суммы отрицательных
членов соответственно равны, поэтому (в силу предыдущей теоремы)
оба ряда имеют одинаковые суммы.
7. Условно сходящиеся ряды. Сходящийся ряд, не являющийся
абсолютно сходящимся, называется сходящимся условно.
Пример. Ряд
1^1+1-1+1-1+ +1-1 +
1 ! + 2 2^3 3 + ' · · + я
преходится, потому что
51=1, 52==0, s3 = -~-, 54 = 0, ..., s2n === 0» s2n+iz^"
λ+Γ
следовательно,
lim sn = 0.
П~+ 00
Однако этот ряд не является абсолютно сходящимся, так как ряд

8. ТЕОРЕМА ЛЕЙБНИЦА 163
расходится. Действительно, имеем:
** = 2{l+4+-J.+ ...+^}.
Так как выражение в скобках является л-й суммой гармонического
ряда (см. стр. 158), то
lim s2„ = oo.
Замечание. Можно доказать, что каждый из условно
сходящихся рядов путем изменения порядка членов в нем можно превратить
в ряд, сходящийся к произвольному, наперед выбранному числу.
Следовательно, если сумма некоторого сходящегося ряда не зависит
от порядка его членов, то этот ряд абсолютно сходится.
8. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда.
Теорема Лейбница. Аналогично теории последовательностей (стр. 39)
можно указать необходимое и достаточное условие того, чтобы ряд
со
2 ап был сходящимся.
Заметим, что если ρ > О, то
Sn+P — Sn = an+l + ап + 2 + ■ · · + ап + р-
Поэтому справедливо ςлeдyющee утверждение:
со
Теорема Кош и. Для сходимости ряда 2 ап необходимо и
Я;=1
достаточно, чтобы для каждого ε > О можно было найти такое ΛΛ
что при любых целых ρ > О и /ζ > Ν будет выполняться неравенство
Применим критерий Коши для доказательства теоремы о
сходимости знакочередующегося ряда.
Теорема Лейбница. Пусть невозрастающая
последовательность положительных чисел {ап} имеет пределом нуль. Тогда ряд
«ι — я2 + «з— «4+ . · · +(— I)71"1 ап + \ ..
сходится.
Доказательство. Имеем
Sn+p—sn = ± (an + i- ап+2+ - -± <*п+р) (Р>0).
Допустим, что η четное; тогда получим
Sn + p Sn ^ β« + 1»
так как
а выражения в скобках, очевидно, неположительны.
6*

164 гл. νιιι. ряды
Заметим еще, что
0<sn+p—sn.
В самом деле,
Sn+P—*» = (<Vn — а«+2) + К+з — α« + 4)+...»
а выражения в скобках неотрицательны.
Аналогично можно показать, что если η нечетно, то
— <*n+i<sn+P~sn<0·
Таким образом, для каждого η и ρ > 0 имеем:
\sn+p—*η\<αη+ι·
Так как iim ап = 0, то для каждого числа ε > 0 можно подоб-
рать такое Af, что для каждого п> N выполняется неравенство
αη+ι < в;
следовательно, для каждого η > N и ρ > 0 имеет место неравенство
Итак, наш ряд удовлетворяет условию Коши и, следовательно,
сходится.
Примерами таких рядов могут служить следующие:
2 + 3 4 + ···' У^уТ "*
[Замечание. При доказательстве теоремы было получено
неравенство
\sn + p — sn\<an + V
Фиксируя η и переходя к пределу при р—* оо, ввиду
установленной в теореме сходимости ряда найдем
\Ssn\ <ая+1.
Таким образом, при замене суммы S знакочередующегося ряда с не-
возрастающими по абсолютной величине членами его частичной сум-
мой 5„, возникающая при этом погрешность не превосходит
абсолютной величины первого из отброшенных членов.]
ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
9. Сравнение рядов. Не всегда легко исследовать, сходится или
расходится данный ряд. Во многих случаях пользуются следующим
утверждением:

9. СРАВНЕНИЕ РЯДОВ 165
Теорема. Если, начиная с некоторого члена, все следующие
СО
члены ряда 2 ап не превышают по модулю соответствующих чле-
СО СО
нов ряда 2 Ьп (*я ^ 0)» то из сходимости ряда 2 Ьп следует схо-
Л=1 Л=1
00
димость ряда 2 ап (^аже абсолютная), а из расходимости ряда
Я=1
со со
2 ап следует расходимость ряда 2 Ьп.
rt=l /1=1
Доказательство. Пусть aN—тот член, начиная с которого
каждый следующий член ап (п > N) удовлетворяет неравенству
Легко видеть, что, положив
*Β = |βιΙ + |β.|+...+|β«|,
*« = *! + *,+ . ..+*„,
получим:
s„<sN+s'n. (1)
со
Если допустим теперь, что ряд 2 &п сходится, то, положив
/1=1
/1=1
будем иметь:
отсюда в силу (1)
sn^sN+S'.
00
Следовательно, ряд 2 I ап I ограничен и, значит, сходится. Та-
/1=1
00
ким образом, ряд 2 ап абсолютно сходящийся.
/1=1
со
Из допущения, что ряд 2 ап расходится, вытекает расходи-
/1=1
со
мость ряда 2 Ьп> Действительно, в противном случае, в силу только
П=1
со
что доказанного, сходимость ряда 2 &п повлекла бы за собой
/Х=1
00
сходимость ряда 2 ап*

166 ГЛ. VIII. РЯДЫ
Примеры.
1. Ряд 1 +оТз ~т"4^5~'~ * *' СХ°ДИТСЯ> потому что его члены меньше
00 1
членов сходящегося ряда 2~2(СТР· 159).
/1=1 П
X Х^ Х^
2. Ряд "Т + "о" + ~з + · · · абсолютно сходится для любого лг, для
которого —1 <Сх < 1, потому что абсолютные величины членов этого
с©
ряда не превышают членов геометрического ряда 2 \х\п-
/1=1
00
3. Ряд 2^ -J (s ^ 1) расходится, потому что его члены не меньше
/1=1
00
членов гармонического ряда ^ —.
п-х
9а*. Признак сравнения в предельной форме. Полученный выше
результат иногда удобнее использовать в следующем виде:
Теорема. Если, начиная с некоторого номера, все члены рядов
00 00
Σ ап и 2 Ьп положительны и существует конечный предел
Й=1 /1=1
lim £? = #,
то из сходимости второго ряда вытекает сходимость первого.
Если К φ 0 (но, возможно, /<*=оо), то из расходимости второго
ряда следует расходимость первого.
Докажем, например, первое утверждение. Очевидно, начиная с
некоторого номера,
*Л>0, af<K+\>
00
откуда ап < (ЛГ+ 1) Ьп. Ряд 2 &η> по условию, сходится, значит,
/1=1
сходится ряд с общим членом (К-\-\)Ьп. Но тогда из последнего
00
неравенства вытекает согласно признаку сравнения, что ряд 2ал
/1=1
также является сходящимся.
Пример. Ряд с общим членом
п /г»—17л

10. признак коши 167
расходится. Действительно, lim -г=Ь и наше утверждение, по
η
доказанному, следует из расходимости гармонического ряда
Σ^
10. Признак Коши. Если члены ряда 2а» неотрицатель·
/1 = 1
ны, то справедлива следующая теорема:
Признак Коши. 1) Если существует такое неотрицательное
число #<1, что, начиная с некоторого члена aNi все следующие
удовлетворяют неравенству
VTn^q (n>N),
00
то ряд 2j ап сходится.
2) Если существует такое q^l, что, начиная с некоторого
члена aN, все следующие удовлетворяют неравенству
V^n>4 (n>N),
00
т0 ряд Σ αη расходится.
/1=1
Доказательство. В первом случае имеем:
а„<Чп (n>N). '
Так как ряд 2 9я является геометрическим и сходящимся (О^Я < 1)?
то, по теореме о сравнении рядов, ряд 2 ап сходится.
Во втором случае имеем:
ап>Яп (n>N).
00
Так как ряд ^qn расходится (q^\), то и ряд 2 ап Расхо-
дится.
Для приложений часто полезно следующее утверждение, которое
легко следует из предыдущих:
Теорема. Если члены ряда У\ап неотрицательны и lim у ап
существует, то
ряд сходится, если lim у ап < 1;
/I-* С©
ряд расходится, если lim ν^ζ> Ι;
если lim y/an=l, то о сходимости ряда ничего сказать нельзя.
/1-> αο

168 гл. νιιι. ряды
Доказательство. Положим
lim ^α^ = /;
выбрав произвольное число ε > 0, мы сможем найти такой номер ЛГ,
что для η > Ν будет
|{^-/|<е,
т. е.
Если допустить, что /< 1, то, положив ε =-2~, ^ = /-{-е, получим:
#<1> V~*'n<4* Для л>ЛГ.
η
/1=1
Таким образом, по предыдущей теореме ряд 2 ап сходится.
Если /> 1, то, положив
I
2
получим:
?>Ь ν~*~η>4 для η>Ν.
в«*-яЛ ? = '—е>
Следовательно, ряд ^ яя расходится.
/1=1
Примеры.
00
1. Ряд 2^ ( 1 j сходится, так как
И— 1 * '
lim
/(-*)--.!?. ('-^-т<··
2. Ряд 2 21«»дгп сходится при —1 < χ < 1 (даже абсолютно),
»=1
так как
η in η
lim y^1™ | χ \n = | at | lim 2 * =|at|.2° = 1.
П-*· 00 /I -* 00
00
1
3. Признак Коши не решает вопроса о сходимости ряда ^ -?,
/1 = 1
так как имеем:
Нт 1/^5= Ит (-^=] =1.
Однако мы знаем, что при s^l ряд расходится (стр. 156), а при
$>1 — сходится (стр. 159).

11. ПРИЗНАК ДАЛАМБЕРА 169
11. Признак Даламбера. Допустим, что все члены ряда 2 ап
п = \
положительны (в частности, отличны от нуля). Можно высказать
следующую теорему:
Признак Даламбера. 1) Если существует такое
неотрицательное число #<1, что, начиная с некоторого члена aN, все
последующие удовлетворяют неравенству
2fi<? (n>N),
00
то ряд 2 ап сходится.
/1=1
2) Если существует такое число #Ξ^1, что% начиная с
некоторого члена αΝ, все следующие члены удовлетворяют неравенству
°-^>Ч (η>Ν),
ап
00
то ряд 2 ап расходится.
/1=1
Доказательство. Заметим, что в первом случае
αη+ι^αη9 (η>Ν)9
следовательно, положив
л = ЛЧ-1, Ν+2, ЛН-3, ...,#+/> (P>0),
получим:
aN+2 <aiv+i^>
Так как ряд 2 aN+iQp"1 сходится (q < 1), то сходится также
Р = 1
со
РЯД 2 *„·
И = 1
Аналогично поступаем во втором случае.
Из этого признака вытекает следующее утверждение:
Теорема. Пусть члены ряда 2 ап положительны и существует
/1 = 1
предел lim ^^. Тогда
если lim ^^ < 1, то ряд сходится;
если lim -£ί* > 1 » » расходится.

170 гл. viH. ряды
В случае же, когда lim -2ii=l, 0 сходимости ряда утверж-
дать ничего нельзя.
Доказательство аналогично доказательству, приведенному на
стр. 167.
Примеры.
00
1. Ряд У. —г сходится для любого х.
*^ Π !
Действительно, имеем:
г Π*Γ+ι Ι*Γ1 ,. 1*1
«-^oo L(*+i)i rtl J й—л+1
00
ΣΧη
— СХОДИТСЯ ДЛЯ — 1 ^ X < 1.
η
/1=1
Действительно, имеем:
lim -1—L-γ- : J—J_ — ilm _^ \x — И
Следовательно, при — 1 < χ < 1 ряд сходится (даже абсолютно)/
При х = —1 сходимость вытекает из теоремы Лейбница.
3. Ряд 2^ —тг сходится, в то время как ряд 2* —тг
расходится. Λ=1 η-
Действительно, в первом случае имеем:
lim a-fl= lim 2 asl<l,
во втором же случае
lim ^±1= lim 7—iT_==l>i.
«=i
Я -+ 00 "Λ /ί -* 00
Задачи
Доказать сходимость рядов:
00 00 00 СО 00
Σ Л. V ι V J_ V ι γ4 «J
/i = l /i=i /i=i — /i=i v /j = i
и расходимость рядов:

12. определение сходимости функциональной последовательности 171
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ФУНКЦИЙ
12. Определение сходимости функциональной
последовательности. Пусть дана последовательность функций {/„(#)}> определенных
в интервале [#, Ь). Говорят, что функция/(дг), определенная в
интервале [#, Ь]9 является в этом интервале пределом функциональной
последовательности {fn (x)}t если для каждой точки х0 интервала [at b\
lim fn(x0)=f{x0).
п-+ со
Если f(x) является пределом последовательности {/п(х)} в
интервале [#, Ь]9 то пишут:
Hm fn(x)=f(x).
η-*- со
оо
Аналогично определяется понятие суммы S(x) ряда 2/я(лг).
Но
Примеры.
1· /nW=S"iTE; lim /„(*)-0, так как
1ДИК-Й··
2- /«(*) = (»+т)": lim /»И = в*·
\ '* / я -* да
Действительно, имеем:
lim*ln(l+-J **) = lim V г/
η λ
Π=1
= m.
Следовательно,
lim (!+=-)· = *-. т.е. lim(l+^n = A
г-*» \ г / /t->-» \ n 1
3· /»(*)=n sin τ; lim /«(*)=*·
*) 1«>.
*·) 0-co.

172
ГЛ. VIII. РЯДЫ
Действительно, имеем:
следовательно,
. т
sin —
lim^ sin— *) =lim—^- = m,
lim/z sin — = λγ.
„_^ τι
4. fn(x) = n(x"-\).
Воспользовавшись тем, что
ι α*—Ι ι
hm = 1η α,
г-*о
получим:
1
χη ι
lim /я (χ) = lim —г— = In χ.
η
13. Равномерная сходимость. Говорят, что две функции, f(x)
и φ (л:), отличаются друг от друга в замкнутом интервале [а, Ь]
меньше чем на ε (ε > 0), если для каждого χ из интервала [а, Ь]
имеет место неравенство
|/(*)-φ(*)|<β.
Говорят, что функциональная последовательность {fn(x)}
сходится в интервале [а, Ь] равномерно к функции f(x), если для
каждого ε > 0 найдется в нашей последовательности такая функция
/ν(χ), что всякая последующая отличается от f(x) меньше, чем
на ε, τ. е.
|/„(*)—/(*)|<ε для я<*<£, η>Ν.
Пример. Последовательность <- -> сходится равномерно к
нулю. Действительно, имеем:
|Л sin пх I J_ β
Ι η \^~η9
следовательно, для η > — будет
sin пх Ι .
—Η<«·
*) οο·0.

14. УСЛОВИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ
173
/«*>-{?
Замечание. Очевидно, что функциональная
последовательность, равномерно сходящаяся к некоторой функции /(х)У сходится
к ней также в ранее принятом смысле. Нельзя, однако, утверждать
обратное.
В самом деле, рассмотрим функциональную последовательность:
/.(*) = *" (0<*<1).
Она сходится в замкнутом интервале [0, 1] к функции f(x),
определенной следующим образом:
при О^л; < 1,
при х — 1.
Заметим, однако, что для произвольного положительного числа
б<1 и произвольной функции /п(х)—хп нашей
последовательности справедливо равенство
Таким образом, при χ—γ/г имеем:
!/„(*)-/(*) 1-е.
Но тогда ни одна из функций нашей последовательности не может
отличаться от f(x) меньше чем на ε, τ. е. последовательность не
сходится к f(x) равномерно.
14. Действия над равномерно сходящимися функциональными
последовательностями. Необходимое и достаточное условие
равномерной сходимости. Сравнив определение сходимости числовых
последовательностей с определением равномерной сходимости
последовательностей функций, мы видим, что последнее является
естественным обобщением первого.
Многие теоремы из теории числовых последовательностей легко
переносятся на равномерно сходящиеся последовательности функций.
1. Если функциональные последовательности {/„(*)} и {φ„(Λ:)}
сходятся равномерно в [а, Ь], соответственно, к f(x) и φ(χ), то:
^последовательность {/п (χ)-\-φη (х)} равномерно сходится к
2) последовательность {fn (x)-<pw (x)} сходится равномерно к
f(x)-y(x).
2. Если существует такое число α > 0, что для каждого χ из
интервала [а, Ь]
1<Р„(*)1>а>
то последовательность I'* у > сходится равномерно к -^рг.

174 гл. vm. ряды
Необходимое и достаточное условие
равномерной сходимости. Для того чтобы функциональная
последовательность {/п(х)} равномерно сходилась в замкнутом интервале [а, Ь]
к некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы для любого
ε > 0 в последовательности можно было указать такую функцию
/ν (#), что любые две из последующих функций отличаются между
собой в интервале [а, Ь] меньше чем на ε, τ. е.
!/,(*)—/*(*)|< β <?ля a<*<£, p,q>N.
Доказательство. Это условие необходимо. В самом деле,
предположим, что последовательность {/„ (л:)} равномерно сходится
к f(x) в [а, Ь\. Выбрав произвольное число ε'> 0, можно (в силу
определения равномерной сходимости) указать в последовательности
такую функцию /м(х), что
|/(*)—/я (*)!<«' Для «<*<*, η>Ν. (1)
г
Взяв теперь две произвольные функции fp(x) и Д(4
расположенные в последовательности за функцией /м (х), получим:
\fP(x)-fq{x)\ = \/P(x)-/(x)+f(x)-fg(x)\<
<\fP(x)-f(x)\ + \f(x)-fg(x)l
Отсюда в силу (1) получим:
!/,(*)-/«(*) К 2е'» для <*<*<*>, p,q>N. (2)
Положив теперь ε/ = -^-, убедимся в необходимости нашего условия.
Оно также достаточно. Допустим, что наша последовательность
удовлетворяет этому условию. Тогда, как легко видеть, она
сходится для каждого а^.х^.Ь; это вытекает непосредственно из
теоремы Коши о последовательностях. Положим
Пусть ε — произвольное положительное число. В силу
предположения, у последовательности существует такая функция fN (x)t что
I/, (*)-/»(*) К3 для a<x<b> P>N> *>N\ (3)
но
lim|/p(x)-fn(x)\=\f(x)-/n(x)\ (a^x^b),
следовательно, на основании (3),
I/(*)—/«(*) Кε Ддя <*<*<£, η>Ν.
Мы видим, таким образом, что последовательность {fn (χ)}
равномерно сходится.

15. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 175
15. Достаточное условие непрерывности предельной функции.
Теорема. Предел равномерно сходящейся последовательности
непрерывных функций есть функция непрерывная.
Доказательство. Допустим, что последовательность {/п {х)}
непрерывных в замкнутом интервале [а, Ь] функций сходится
равномерно в этом интервале к функции f(x). Выберем произвольное
число ε' > 0. Как следует из условия, в нашей последовательности
существует функция fn\x), отличающаяся от /(#) меньше чем на ε',
т. е.
!/(*)-/„(*) К β' (α <*<*). (1)
Пусть х0 — любая точка внутри интервала [а, Ь]. Так как, по
условию, fn(x) непрерывна, то существует такая окрестность точки
дг0, что для каждой точки х' этой окрестности выполняется неравенство
I/» (*')-/„ (*.)!<«'· (2)
Но
!/(*')-/(*») |-1/(^)-Д (■»')+/«(*')-/-(*о)+Д(-«а)-/(*в)|.
откуда
Я*') -/ (*.) I < W) -/„(*')1+Ш*') -fn (*.)|+\/η (*„) -Я*0)|.
На основании (1) и (2) имеемг
1Я*')-Я*о)1<в'+в'+в' = Зв'.
Положив г' = — , мы видим, что для любой точки х0 найдется
такая окрестность, для каждой точки х' которой имеет место
неравенство
Ι/(*')-/(*β)Ι<«.
Таким образом, функция f(x) непрерывна при х = х0. Аналогично
доказывается ее непрерывность при х = а и χ — b. Итак, функция
f(x) непрерывна в замкнутом интервале [а, Ь].
Замечание. Легко показать, что если последовательность
непрерывных функций сходится неравномерно, то ее предельная
функция не обязательно непрерывна. Действительно, положив fn(x)=s
= лг", мы увидим, что
Um*"-{° ПРИ °<f<1·
rt^oo 11 ПрИ Х=\
(см. пример на стр. 173).
Таким образом, предельная функция не является непрерывной
при х= 1.

176 ГЛ. VIH. РЯДЫ
16, Равномерная сходимость рядов. Понятие равномерной
сходимости последовательностей функций можно легко перенести на
00
функциональные ряды. Говорят, что функциональный ряд 2/» (х)
/1=1
сходится равномерно в замкнутом интервале [а, Ь], если
соответствующая функциональная последовательность {sn (χ)} его частичных
сумм сходится равномерно в этом интервале.
Для исследования того, сходится ли равномерно данный
функциональный ряд, что часто является очень важным, во многих
случаях достаточно следующее утверждение.
Условие равномерной сходимости ряда. Пусть дани
СО 00
функциональный ряд 2 /« (х) и сходящийся числовой ряд 2 ап с
η-ι η=ί
неотрицательными членами. Если, начиная с некоторой функции
/ν(χ), всегда выполняются неравенства
\/η(χ)\^αη для n>Ny a<#<£,
00
то ряд 2 /п(х) сходится равномерно в интервале [а, Ь].
П = 1
Доказательство. Заметим, что если ρ > q > Ν, то, положив
*«(*)=Σ/» (*),
m
/1 = 1
получим:
\sp(x)-sq(x)\ = \fq + 1{x)+fq+2(x)+...+fp(x)\,
следовательно,
\Sf(X)-84(X)\<t\fqJ)rl{x)\ + \fq + t{x)\+...+\fp(X)\.
Поэтому в силу условия
I sp (x)-sq (χ) Ι < aq+1 + aq+2 + ...+ap,
значит,
ISpW — SqWKVp — Gq Для α < л: < £, p>q>N. (1)
00
Так как, по условию, ряд 2аи> а значит, и последователь-
ность {оп}, сходятся, то на основании теоремы Коши можно ука-

17. АБСОЛЮТНАЯ И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 177
зать такой номер N', что при ρ > ΛΓ и q>N' справедливо
неравенство
|σ,-σ,|<β. (2)
Выбрав теперь произвольное число ЛГ, большее каждого из чисел N
и ЛГ, получим в силу (1) и (2)
\sp(x) — sq(x)\<.e для а<лг<£, p>q>N".
Таким образом, последовательность {sn(x)}9 а значит, и ряд
со
2/и (х)у сходятся равномерно.
Пример. Ряд ^7Г сходится равномерно в замкнутом интер-
/1 = 1
вале [ — /г,/ζ] при условии, что |й|<1. Действительно, имеем:
<^<\н
I».
геометрический же ряд 2|й|* ПРИ 1*1 <1 сходится.
Я=1
17. Абсолютная и равномерная сходимость функциональных
00
рядов. Говорят, что функциональный ряд 2/„ (х) сходится абсо-
лютно и равномерно в замкнутом интервале [#, £], если ряд
00
^\/п(х)\ равномерно сходится в этом интервале. Легко видеть,
что если ряд сходится абсолютно и равномерно, то он сходится
также равномерно. Однако обратное утверждение неверно.
[Например, ряд
у(-1)я
/1 = 1
сходится по теореме Лейбница на всей оси и притом равномерно,
так как по замечанию к той же теореме (стр. 164)
для всех х. Однако ни при каком χ этот ряд не сходится
абсолютно, что легко вытекает из предельного признака сравнения и
расходимости гармонического ряда.]

178 гл. νιπ. ряды
18. Дифференцирование последовательностей и рядов. Пусть
функции /п (х) имеют непрерывные производные на интервале [а, А].
Если последовательность {fn (χ)} сходится, а последовательность
{/п(х)} сходится равномерно на этом интервале, то, положив
можем утверждать, что функция f(x) имеет производную и что
/I-+-00
Доказательство. Положим
lim/ii(*) = <p(*)·
Пусть х0 — произвольная точка, лежащая внутри интервала [а, Ь].
По теореме о среднем значении имеем:
==Ι/«(^ο + ΘΑ) —φ(ΛΓ0 + ΘΛ) + φ(ΛΓ0 + ΘΑ) —φ(Λτ0)|<
^ |//ί (αγ0 -hΘΑ) — φ (λ:0 + ΘΑ) | +1 φ (λγ0 + ΘΑ) — φ (λ:0) |. (1)
Пусть ε — произвольное положительное число. Так как
последовательность {/«(#)} сходится к φ (л:) равномерно, то существует
такой номер Ν, что для каждого η > N и каждого χ справедливо
неравенство
|/«(*)-φ(*)|<-5·.
Отсюда следует, что для η > N и каждого А имеем:
|/^*0 + ΘΑ)-φ(*0 + ΘΛ)|<|. (2)
Так как функция у(х) непрерывна как предел равномерно
сходящейся последовательности непрерывных функций, то существует
такое число η > 0, что для каждого х\ удовлетворяющего
неравенству \х' — Ατ0|<η, имеет место
|я>(*')—φ(*ο)Ι<τ·
Следовательно, если |Α|<η, то, принимая во внимание, что 0<
< θ < 1, получим:
|φ(Α:0 + ΘΑ)-φ(ΛΓ0)|<|. (3)

18. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РЯДОВ 179
Из соотношений (1) — (3) следует неравенство
\fn(xo + h) — fn{Xo)
-φ(*ο)|<* W
для каждого я > N и | h \ < η.
Если принять, что η стремится к бесконечности, то из
неравенства (4) получим неравенство
1(4 +h) — f{x0) ( ν
<ε. (5)
Таким образом, мы доказали, что для любого числа ε > 0 можно
найти такое η > 0, что для каждого 0 < | А | < η будет
выполняться неравенство (5). Следовательно,
h-*o n
т. е.
/'(*о) = <Р(*о)·
Аналогично проводится доказательство для х0 = а или х0 = Ь.
Замечание 1. Если последовательность производных не
сходится равномерно, то утверждение теоремы может оказаться неверным.
[Действительно, последовательность функций fn (χ) = — хп на [0, 1]
сходится (даже равномерно) к /(л;) = 0; последовательность
производных fn(x)=sxn"1 также сходится на этом интервале, но в точке
Пт/п(х) = 1ф/'(х) = 0/
Л-*0О
Следует еще отметить, что из сходимости (даже равномерной)
последовательности дифференцируемых функций не следует, вообще
говоря, сходимость последовательности производных.] Например,
isin пх\
последовательность < > стремится равномерно к нулю;
последовательность же производных {cos nx) не стремится к нулю, так как,
например, при л; = 0 ее предел равен 1.
Замечание 2. Аналогичную теорему можно высказать для
рядов. Пусть функции ип (х) имеют непрерывные производные в [а, Ь].
00 00
Если ряд 2 ип (х) сходится, а ряд 2 и'п (х) сходится равномерно
П-1 Л=1
в этом интервале, то, положив

180 гл. νπι. ряды
будем иметь:
£'(*)= Σ и'п(х).
[Переписав результат в виде
{Σ «.(*)} = Σ β»и.
V/i = i J /i=i
можем сказать, что в условиях теоремы возможно почленное
дифференцирование ряда].
19. Степенные ряды. Степенным рядом называется ряд вида
00
2 αηχΛ· 0Η является функциональным рядом с членами
8 = 0
/»(*) =
«например ы.
1. \+х + х* + ...+лги+...
γ γα γ3 γ ft
2· 1+^+^ + ^+...+^+...
00
з. Σ-·
я = 1
οο
Теорема. Если степенной ряд 2 αηχΛ сходится при χ =
/1 = 0
= χ0 φ о, то в каждом замкнутом интервале, лежащем внутри
интервала (—1#0|, |#о 1)> он сходится абсолютно и равномерно.
Доказательство. Рассмотрим замкнутый интервал [—ft, ft]
(ft>0), расположенный внутри интервала (—1*0|» 1*о1)· Пусть
х—произвольная точка интервала [—ft, ft], следовательно, |л;|^/г.
00
Заметим, что, по условию, ряд 2 апхо сходится, следовательно,
/1 = 0
lim anXo — 09
/|->00
поэтому последовательность {апХо}* как сходящаяся, ограничена.
Итак, существует такое число М> 0, что для каждого η справедливо
\а„хЧ\<М.
Так как апхп = апх" (j-j , то
\апх»\^\апхЩ±\а<м\±\. (1)

21. НЕПРЕРЫВНОСТЬ СУММЫ СТЕПЕННОГО РЯДА 181
00
ΣΙ h \n
Μ — схо-
дится, и, следовательно, ряд Sl^»*7*! сходится равномерно при
/1 = 0
|д;|^й, ибо его члены в силу (1) по модулю меньше соответств>ю-
00
щих членов сходящегося ряда / ЛМ —
/1 = 0
достаточно для равномерной сходимости.
, что по теореме на стр. 176
20. Радиус сходимости степенного ряда. Из доказанной выше
00
теоремы следует; что если при некотором χ = L ряд 2 αηχη Расхо-
/1 = 0
00
дится, то для каждого х, для которого | χ | > | L |, ряд 2 αηχη также
/2 = 0
расходится. Отсюда, используя теорию иррациональных чисел,
заключаем, что если ряд не является сходящимся для всех х, то
множество тех значений х, для которых ряд сходится, образует интервал
с центром в точке л: = 0.
Обозначив через R правый конец этого интервала, мы увидим,
со
что если \x\<cR, то ряд 2 αηχΗ сходится, а если |лг|>/?, то ряд
/1 = 0
00
2 αηχ" расходится.
/1 = 0
Итак, можно высказать следующее утверждение:
со
Теорема. Если ряд 2 αηχη сходится не при всех значениях х,
/1 = 0
со
то существует такое число R ^ О, что ряд 2 αηχη сходится при
/1 = 0
\x\<R и расходится при \x\>R.
При x—^R ряд может либо сходиться, либо расходиться.
со
Число R называется радиусом сходимости ряда 2 αηχη* Если
/х = о
00
ряд 2 αηχΚ сходится при любом л:, то говорят, что его радиус
/1 = 0
сходимости равен +сх>.
21. Непрерывность суммы степенного ряда. Так как степенной
ряд сходится равномерно в каждом замкнутом интервале, целиком
расположенном внутри интервала (—/?, /?), то:

182
ГЛ. VIII. РЯДЫ
Сумма степенного ряда является непрерывной функцией для
каждого значения х, по модулю меньшего радиуса сходимости.
Замечание. Если степенной ряд сходится всюду, то его сумма
является функцией, непрерывной всюду.
22. Вычисление радиуса сходимости. Для отыскания радиуса
сходимости обычно бывает достаточно воспользоваться одной из
следующих теорем.
Теорема 1. Если существует
lim V\^\=g
«-►ОО
00
и g^0t то радиусом сходимости ряда 2 апх" будет число
/1 = 0
Если g*=0, то R — + оо.
Теорема 2. Если существует
lim
/
П-+СО
α«+ι
■g
ug^O, то радиусом сходимости ряда 2 ααχΗ будет число
/1 = 0
Если £· = 0, то /? = + оо.
Доказательство теоремы 1 следует сразу из признака
Коши (стр. 167). Действительно, имеем:
пш ί^κ^Ί="ηι VM-\x\=g-\x\;
П-+ 00 Π -* СО
следовательно, ряд 2 |ая*я| СХ°ДИТСЯ ПРИ £·|*|<1 (τ· е· Для
/1 = 0 \
| л: | < — ) и расходится при g- \ χ | > 1 ( т. е. для | χ | > — J. Мы видим,
таким образом, что — является радиусом сходимости. Если g=0t то
g-.|A:|=0<l и, следовательно, ряд всегда сходится.
Аналогично, опираясь на признак Даламбера (стр. 169) можно
доказать теорему 2.
23. Дифференцирование степенных рядов. Дифференцируя
почленно степенной ряд
Σ ν". (υ

23. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 183
получим новый степенной ряд:
2 папхп-\ ' (2)
/1 = 1
Можно доказать справедливость следующего утверждения.
Теорема. Ряды (1) и (2) имеют один и тот же радиус
сходимости. Сумма ряда (2) равна производной суммы ряда (1) при всех
значениях х, меньших по модулю радиуса сходимости этих рядов.
Доказательство. Допустим, что R—радиус сходимости
ряда (1). Пусть
о<|*|</?.
Выберем произвольное число а, удовлетворяющее неравенству
|*|<a<#.
Так как
lim {//г=1,
/1->СО
то существует число N такое, что для каждого я > N
следовательно,
\ап\\Упх\»<\ап\а\
00
Поскольку члены ряда 2 I #« I |к я* Г не превышают членов
/1=1
оо оо
сходящегося ряда 2 I ап Iа" *)» т0 Ряд 2 папхп сходится абсолютно.
71=1 И=1
GO
Разделив этот ряд на х, мы увидим, что ряд 2 папхп~х также схо-
/1=1
дится абсолютно для каждого |лг|</?.
Допустим теперь, что \х | > /?. Так как ряд 2 I ап I Iх Г расхо-
/ι=ι
00
дится, а его члены меньше членов ряда 2 п\ аЛ \х I"» то послед-
со
ний ряд также расходится. Отсюда следует, что ряд 2 п\ап\ Ι·*"-1!
rt = l
расходится для \х\ > R. Таким образом, радиусом сходимости ряда (2)
также является R.
*) Ряд 2 I ап I аП сходится, так как 0 < α < i?.

184 гл. νιπ. ряды
Если 0 < г < /?, то ряд (2) сходится равномерно в интервале
[—г, г], следовательно, по теореме о дифференцировании рядов
(стр. 179) его сумма представляет собой производную суммы ряда (1).
Так как г может быть произвольным положительным числом, лишь бы
г </?, то сумма ряда (1) имеет всюду внутри интервала (—/?, R)
производную, которая является суммой ряда (2).
Замечание. Доказанная теорема справедлива также по
отношению к рядам, полученным из ряда (2) дальнейшим
дифференцированием.
Пример. Как известно,
1+х + х»+...+*»+...^ylj, |лг|<1;
следовательно,
1 + 2лг + 3^+...+/гл:Л-1+...=^5г, И < Ь
2 + 3.2лг + 4.3л;2+...+/г(/г— 1)лг"~2+ ___!_, |*|<1.
24. Ряд Тейлора· Пусть f(x) — непрерывная функция,
определенная в замкнутом интервале [а, Ь] и имеющая производные всех
порядков, также непрерывные в этом интервале. Обозначив через
#0» хоЛ-Ь Две произвольные точки интервала (я, Ь)> а через η —
произвольное натуральное число, получим по формуле Тейлора
(стр. 131).
f(x0 + k)=f(x0) + ±f' (х0)+. .. +J£^f{n-1)(Xo) + Rn (*o. А)>
причем
Rn (*о. *)=^/(п> (х0+щ = о£щ (ι -ey-v<n) (дгв+е-Ά),
О < θ < 1, 0<θ'<1.
Может случиться, что при неограниченном возрастании η
выражение Rn (x0, И) стремится к нулю, т. е. что
lim R„(x0, й) = 0.
В этом случае бесконечный ряд
/(*<>)+£/'(*„)+£ Г (*.)+ · · · +%/т(хо) + . ■ ■
сходится к пределу f(x0 + k). Имеем, таким образом,
/(*.+*)=/(*.)+£/'(*.)+£/· {χ,)+. · · +5/(в> (*.)+···
Ряд в правой части называется рядом Тейлора. Мы доказали,
стало быть, следующее утверждение:

24. РЯД ТЭЙЛОРА
185
Теорема. Если функция f(x) и ее производные всех порядков
непрерывны в замкнутом интервале [а, Ь] и х0> л:0 + А — две
произвольные точки этого интервала, то
h ДО hn
/(*„ + *) =/(*о) + тг/' (^о)+5гГ (*·)+ · · · +ЯГfm (*о)+ · · ■ =
00
=/(*„)+Σ ЙГ/<П>(*о).
/1 = 1
при условии, что остаточный член формулы Тейлора Rn (x0i h)
стремится к нулю, когда η неограниченно возрастает.
Замечание. Если интервал [а, Ь] содержит точку х = 0, то,
подставив в ряд Тейлора 0 вместо х0 и χ вместо А, получим:
/М=/(0)+£/' (0) + */'«»+... +^/(W)(0)+ ... =
со
=/«>) +Σ £/<П)(о),
/1 = 1
при условии, что lim Rn(0, л;) = 0.
Это—так называемый ряд Маклорена.
Сформулированная выше теорема имеет фундаментальное
значение. Она дает разложение функции f(x) в степенной ряд, если
остаточный член Rn(x0, h) стремится к нулю.
Замечание. В частности, остаточный член стремится к нулю,
когда производные функции f(x) ограничены в своей совокупности
в интервале [а, Ь], т. е. когда при каждом натуральном η и каждом χ
из этого интервала \fin)(x) | < М. Действительно, тогда имеем:
i/?«(*o.*)i=|5/w(*o+e*)
| л!
а так как
<м№-
п\
lim i*Jl-0
(см. стр. 43), то
lim Rn (x, h) = 0.
/I-*- 00
Примеры.
1·<*=1 + ϊΤ+2Τ+···+5+···
для любого χ.
для любого х.
для любого jc.

186 гл. viu. ряды
4. In (l +*) =±-x-L + *-£+ ...+(- 1)"+ι χ~+ ...
для — 1 <*<-|-1.
для |л:| < 1 и произвольного р.
Доказательство. 1. Функция ех непрерывна в замкнутом
интервале [—Л, А] (А — произвольное положительное число), как
и ее производные всех порядков, которые с нею совпадают. Таким
образом, производные всех порядков ограничены в своей
совокупности, а именно:
|/(">(*)|<И,
при каждом натуральном η и каждом χ из интервала [—А\ А\ш
Следовательно, в силу предыдущего замечания ряд Тейлора
сходится при — Л^лг^Л, т. е. при каждом х, так как А —
произвольное число.
2, 3. То же относится к функциям sinx, cos*, так как их
производные всех порядков непрерывны и не превышают по модулю
единицу.
4. Функция In (1 + х) и ее производные всех порядков непрерывны
в каждом замкнутом интервале, не содержащем точки х = —1.
Остаточный член формулы Маклорена для этой функции имеет вид
(стр. 135):
*«W— I 4 /t(l+θ*)»~"1 1) (1 + θ'χ)Λ χ '
причем
0<θ<1, 0<θ'<1.
Положив Ο^λγ^Ι, получим:
I R»(Λ:)' ^ n(\ + Qx)n ^ α" '
следовательно,
lim Rn (χ) = 0.
Если же — ε^ΛΓ^0(0<ε<1), то, положив —χ = и, получим
l*«W| — (i + fl'jc)» ,ΛΓ l— (1 —θ'α)" "VT3^7"; 1-θ'ίΓ
Так как 0<θ'ι* < Θ'< 1, то 0< 1 — θ'< 1 — θ'ιι, следовательно,
Из этих неравенств получаем:
пп ..п сп
1 wV/,l — θ и 1 — α ^ 1 — ε
Так как 0 <ε < 1, то lim ε" = 0, а следовательно, и iim Rn(x) = Q.

24. РЯД ТЭЙЛОРА
187
Так как ε — произвольное положительное число, меньшее единицы,
то мы доказали тем самым справедливость формулы Маклорена для
функции 1п (1 -f- л:) в интервале —1 <дг^1.
Для х =—1 мы получаем ряд
— 1_ γ— "з — ···>
который, как известно (см. стр. 158), расходится.
5. Функция (\-\-х)р непрерывна вместе со своими производными
всех порядков в каждом замкнутом интервале, не содержащем точки
х = — 1.
Остаточный член формулы Маклорена для этой функции (стр. 135)
имеет вид
*.(*> = (ί)θ + β*>'""*^
О < θ < 1, 0<θ/<1.
Если 0^ΛΤ<ε<1, то, пользуясь первой формой остаточного
члена, получим:
κη\χ)- 1.2...Λ {l+Qx)*-*"
следовательно, при л>р
|я.<*>|<|¥|·
Так как
то
lim
(/>- i)*l
2 I
(p—k)x_
k ~~
(p—n+l)x
η
'■ — X,
lim
&-* CO
(p—k)x\ .
Существует, следовательно, такое AT, что для k > К будет
(Р—fe)*l
<ε.
Положив η > ρ и η > К, получим
ικ.ωκΙ?
а так как
то
рх
1
|<р-1>*| 10»
Iime"-A'-1 = 0)
rt-> с©
lim Rn(x) = 0.
П-+СО
-K)x
К
гя-/Г-1

188
ГЛ. VIII. РЯДЫ
Если — ε <лг<0(0<е < 1), то, положив х =— и и
воспользовавшись второй формой остаточного члена, получим:
так что
я„(*)
_р(р-1)...(р-п+\)( 1-0'
и отсюда
\Rn(*)\ =
= \ри\
\(P-I)u
1
1-2...(л —1)
(Р-2) и
{{ΞπΥ'ιν-*'*>'·*(-*τ.
-2)и| |(р-п+1)и|/, а',ля-1/Ί-β1 λ"-1
Так как (1 — θ и)р г заключено между 1 и (1— г)?"1 а
( ι__θ' \»-ι *
(у—-тг J , как мы знаем, не больше единицы (см. стр, 186), то
достаточно убедиться, что
(Р-2) и1
2
(ρ — я + 1)ц
η— 1
= 0.
Доказывается это так же, как в предыдущем случае.
Так как ε — произвольное положительное число, меньшее единицы,
то мы, следовательно, доказали справедливость формулы Маклорена
для нашей функции в интервале —1 < л: < 1.
Замечание. Применяя последнее разложение, получим ряды:
1 : = 1 _ лг + л:2 — *3+...,
1+*
1
= \+х + х2+х3 +
г— χ 1 *а ЬЗ*8
V 1 +х= 1 +Т-Т Т + 24~ · · ·
" ι -* — ι 2 2 4 2 4 6
сходящиеся при — 1 < χ < 1.
Задачи
1. Доказать справедливость следующих разложений?
S'n *~2·2! 2·4!Η -··+1 ' 2·(2«)!+·
β*—β"
(2β+1)!
+ ·
(l+e*)2 = 4 + (2+2)^-+.--+(2+2n)iL+.

24. ряд тэйлора 189
(1+χ2)-ι = ι_ *ί + *«—...+( —1)и **» + ..., |х|<1;
5
г+...+(-1)
1 х* . 1-3 Xе
arctgjt-ж—=|-+χ+··· +(-1)" 55+Ϊ +'··*>· 1*1<»;
,1 я , 1·3 *5 , 1·3·5 χ> . „. , , ,
Jl
2. Функция tgx имеет сходящееся для |х|<-^- разложение:
Б!22(22-1) , В324(24 — 1) а , , Вгп_&п{рп — \) 9П- ,
^х=г"^| * + ~4! *3 + ··· + (2я)| ίχ2η Χ+···
Определить постоянные Blf Ba, ВБ» называемые числами Бернулли.
3. Доказать справедливость следующих разложений:
. , , , ч . , cos χ . sin χ , д. ,
sin (x+/i)=sin χ Η—jj- /ι 2p Λ2 + ...;
/ ι «.л sin χ . cos χ . 9 .
COS (x + /t) = C0S X т-j- /l „Ρ " + · · '*
ι„(,+Α)=ΐη,+Α_|(Α)8+|(4)3+..., ,*,<„,.
*) Проверяется дифференцированием обеих частей равенства.

ГЛАВА IX
ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Плоские множества· Области. Множество точек называется
плоским множеством, если точки этого множества лежат в одной
плоскости.
Плоское множество называется ограниченным, если существует
круг, внутри которого оно содержится. Отрезок, треугольник и т. п.
являются ограниченными множествами. Прямая не является
ограниченным множеством.
Окрестностью точки Ρ называется внутренность любого круга
с центром в Р. Если некоторая точка данного множества обладает
тем свойством, что существует некоторая ее окрестность, целиком
принадлежащая множеству, то такая точка называется внутренней
точкой данного множества. Множество, состоящее лишь из
внутренних точек, называется открытой областью или, короче, областью.
Наипростейшими областями являются: внутренность треугольника,
многоугольника, круга, эллипса и т. п.
Область называется связной, если любые две ее точки можно
соединить ломаной*), целиком лежащей в данной области. Связными
являются все упомянутые выше области; область же, образованная
внутренностями двух кругов, не имеющих общих точек, есть
несвязная. Несвязной областью является также множество, которое
получим, исключив из круга окружность и один диаметр.
2. Граничные точки* Замкнутые области. Точка, не
принадлежащая области, называется граничной, если каждая ее окрестность
содержит точки, принадлежащие области. Множество всех граничных
точек области называется границей этой области. Границами
внутренностей многоугольника, круга и т. д. являются, соответственно,
многоугольник, окружность и т. д.
*) Если на плоскости имеем конечное число точек Аг, А2, А3. ..., Ап,
тогмножество отрезков АгА2, Л2Л3, ..., АПшт1Ап называется ломаной линией,
соединяющей точки Лх и Ап.

3. ОБЛАСТИ, ЗАДАВАЕМЫЕ НЕРАВЕНСТВАМИ
191
Множество, образованное областью и ее границей, называется
замкнутой областью.
3. Области, задаваемые неравенствами» Часто встречаются
области, определенные следующим образом.
Пусть имеются две функции, определенные и непрерывные в
замкнутом интервале [а, Ь\:
Допустим, кроме того, что
Φ (*)</(*) Для а<х<Ь.
Это означает (рис. 38), что график функции f(x) находится над
графиком функции φ (л;) (за
исключением, быть может, концов интервала,
в которых возможно /(#) = ф(*))·
Множество точек (х, у),
удовлетворяющих неравенствам:
а < χ < Ьу
·φ{*)<? </{*)>
образует связную область, границей
которой служат графики функций/(л:),
φ (χ) и прямолинейные отрезки, сое- Рис. 38.
диняющие соответствующие концы этих
кривых. Очевидно, что в некоторых случаях эти отрезки сводятся к
точкам.
Задачи
Указать области, заданные неравенствами:
1. — 1<х<1, — УТ^х* <у < VT^x*.
2. О <х< 1, х3< у < х* + \.
3. 1 < χ < 3, 3— Ϋ±χ—χ*—3 < у < 3+ V4x—*2—3.
4. —1 <*< 1, О<0<1 —1*|.
5. 0<х<1, 0<ι/<1, |дс—0|>_
Замечание. Часто мы будем встречаться с замкнутой областью,
определенной неравенствами:
Это, очевидно, прямоугольник с вершинами (а, а'), (а, д')9 (Ь, а'),

192
ГЛ. IX. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
4. Функции двух переменных. Пусть Ε—произвольное множество
точек, лежащих в координатной плоскости ΟΧΥ. Говорят, что на
множестве Ε определена функция, если каждой точке (х, у)
множества ^поставлено в соответствие действительное число ζ.
Функциональную зависимость обозначаем, как раньше:
* = /(*t У)> ζ = φ(χ, у) и т. п.
Числа лг, у называются независимыми переменными, число ζ —
зависимой переменной; о функции /(л:, у) будем говорить, что она является
функцией двух независимых переменных х, у, определенной на
множестве Е. Множеством Ε обычно является открытая или замкнутая
область.
Примеры функций двух переменных:
1. z = x2+y2 для всех х, у.
2. z = V\— χ2 — у2 для х2+у2^\.
3. ^(„il^^ 0<*<1, 1<,у<2.
Если функция /(лг, у) определена только формулой, то мы будем
считать, что множество Ε состоит из тех и только тех точек (лг, у),
для которых формула определяет значение функции.
5. Геометрическая интерпретация функции двух переменных.
Выберем в пространстве систему координат ΟΧΥΖ. Графиком функции
z = f(x, у), определенной на множестве Е, назовем множество всех
Рис. 39. Рис. 40.
точек (л:, у, ζ) (поверхность), где хну являются координатами
точек множества Е, a z=f(x, у).
Примеры.
1. 2=1 — л: — у (рис. 39).
Геометрическим образом является плоскость, проходящая через
точки (0, 0, 1), (1,0,0), (0, 1, 0).
2. 2 = У \—х2—у2 лля х2+у2^\ (полусфера; рис. 40).
3. z = x2+y2 (параболоид вращения; рис» 41)>

6. ЛИНИИ УРОВНЯ
193
Если функция f(x, у) определена в прямоугольнике а<Сх<Ь,
а' <у < Ь\ то, положив χ = х0 (а < х0 < Ь), можно выражение
z=f(xO,у) считать функцией одной переменной уу определенной
в интервале (#', Ь').
Выберем в качестве осей координат O'Y'Z' на плоскости χ = х0
прямые пересечения ее с плоскостями ΟΧΥ и ΟΧΖ. На осях ΟΎ' и
Ο'Ζ' выберем такие же направления, как на осях ΟΥ и ΟΖ (рис. 42).
Построим в плоскости O'Y'Z' график функции z' =f(x0,y'); очевидно,
этот график является линией пересечения поверхности z~f(x> у)
плоскостью х = х0.
z-ffr0it/)
Рис. 41.
Рис. 42.
Если функция /(л:, у) изменяется регулярно, то, образуя эти
сечения достаточно густо, мы сможем достаточно ясно представить
себе геометрический образ функции z=f(x, у).
Мы сможем также изучить сечения поверхности плоскостями,
параллельными плоскости ΟΧΖ. Принятое нами предположение, что
функция определена в прямоугольнике, очевидно, не является
обязательным; таким же образом можно изучать функции, определенные
на произвольных плоских множествах.
Примеры. Исследовать сечения следующих поверхностей
плоскостями, параллельными координатным плоскостям ΟΧΖ и ΟΥΖ:
1. z — xy (сечениями являются прямые).
2. z = x2—у2 (сечениями являются параболы).
3. z = xy2 (сечения плоскостями, параллельными плоскости OXZ%
суть прямые, сечения же плоскостями, параллельными плоскости OYZ,
суть параболы).
в. Линии уровня. Линией уровня поверхности z=f(x, у)
называется проекция на плоскость OXY сечения этой поверхности
плоскостью, параллельной плоскости OXY. Иными словами, линией
уровня называется множество всех точек (х, у), в которых функция
7 С. Банах

194
ГЛ. IX. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
принимает одинаковые значения. Начертив ряд линий уровня и
отметив, какие значения принимает на них функция, получим более
или менее точное представление об изменении функции (рис» 43).
Задачи
Определить линии уровня поверхностей;
1. z=V~l — *2—у2.
1
z=2
z=3
z=3
0
Г
/ ^Z'4 /\
~~~^^S\
z-2 z-3
X
Рис. 43.
Рис. 44.
Линиями уровня будут окружности, за исключением значения z=l, для
которого линия уровня вырождается в точку (рис. 44).
2. ζ = 3χ2 + 2ί/2 (эллипсы).
3. ζ — xy (гиперболы).
ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
7. Определение предела. Говорят, что последовательность точек
с координатами {(хп1 уп)} стремится к точке (л:0, у0), если
lim хп = х0 и limj;n=j;0.
Я-* оо п-*- оо
При этом расстояние dn между точками (лгд, уп)
последовательности и предельной точкой (л:0, у0), когда η неограниченно
возрастает, стремится к нулю
lim dn = 0,
так как
dn = V(xn-x0)* + (yn-y0)*.
Обратно, если Нтс?я = 0, то последовательность точек {хп, уп}
а -*оо
стремится к точке (лг0, ^0).
Пусть функция z=f(x, у) определена в некоторой окрестности К
точки (лг0, у0), за исключением, быть может, самой точки (х0,у0).
Говорят, что g является пределом функции f{xfy) при л:, у, стре-

8. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
195
мящихся, соответственно, к х0, у0, если для каждой
последовательности точек {(хп, yn)}t отличных от (х0, у0), принадлежащих
окрестности К и стремящихся к (л:0, у0), имеем:
Предел обозначают:
Wmf(xty)=g. ,
У~+Уо
Замечание. Читатель легко поймет значения символов:
\\т/(х,у) = + оо, Umf{x,y)=g, Нш/(лг, у) = + со и т. п.
х-+Хо х-+<ю
У~+Уо у -*■ оо
Примеры.
1. lim(x» —у«) = —3.
i/-*2
2. на, *=% =
ν— ι
4. Нт „ , ,=
0-* О»
8. Теоремы о пределах. Для функции двух переменных можно
доказать много теорем, аналогичных теоремам, полученным для
функции одной переменной. Доказываются они теми же методами.
Теорема. Для того чтобы число g было пределом функции
z=f(x, у), когда (х,у) стремится к (лг0, ^0), необходимо и
достаточно, чтобы значения функции в точках, достаточно близких к
точке (·*Ό> Уо)> сколь угодно мало отличались от g; другими словами,
чтобы каждому числу ε > О можно было поставить в соответствие
такую окрестность точки (xQtyQ), что значение функции в любой
точке этой окрестности (отличной, однако, от (х0 у0)) отличалось
от g меньше чем на в.
Для функции двух переменных справедливы теоремы о пределе
суммы, произведения и частного, аналогичные соответствующим
теоремам для функции одной переменной. Верна также теорема о
сохранении знака.
Теорема. Если
\\mf(x,y) = g
Х-+Х0
У-+Уо
и если g> О, то существуют число а>Ои окрестность точки (х09 у0),
в каждой точке которой (кроме, быть может, самой точки (аг0, у0))
имеет место неравенство
/(х>У)>*·
7*

196
ГЛ. IX. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
9» Непрерывность. Равномерная непрерывность. Говорят, что
функция г = /(х,у) непрерывна в точке (лг0, у0), если она
определена в этой точке и в некоторой ее окрестности и
lim/(*,jr)=/(*0>j0).
х-+х0
Примеры. Функции z = x+y, z = x2—y* всюду непрерывны.
Замечание. Если функция z = f(xf у) определена на
множестве Е, то говорят, что она непрерывна в точке (лг0, у0) множества Ε
по отношению к этому множеству, если для каждой
последовательности точек {(хп, уп)}, принадлежащих £, которая сходится к (х0,у0)9
имеем
Ит/(*„>Л)=/(*о>Л)·
Л-* 00
Если функция непрерывна в каждой точке множества Ε по
отношению к этому множеству, то говорят кратко, что она непрерывна в Е.
Таким образом, если, например, функция непрерывна в замкнутой
области Ω, то во внутренних точках она непрерывна в обычном
смысле, в точках же граничных она непрерывна по отношению
к множеству Ω.
Можно высказать определения и теоремы, аналогичные тем,
которые были высказаны для непрерывных функций одной переменной,
например теоремы, относящиеся к непрерывности суммы,
произведения и частного двух непрерывных функций.
а) Пусть функция f(x, у) определена в области Ω и точка (д;0, yQ)
принадлежит Ω. Тогда необходимое и достаточное условие
непрерывности функции в точке (лг0, у0) по отношению к Ω заключается
в том, чтобы значения функции в точках, достаточно близких к точке
(дг0, ^о) {принадлежащих Ω), сколь угодно мало отличались от
значения функции в точке (лг0, у0); другими словами, чтобы для
каждого числа ε > О можно было подобрать такую окрестность точки (лг0, у0),
чтобы значение функции в каждой точке этой* окрестности
(принадлежащей Ω) отличалось от /(лг0, у0) меньше чем на ε.
б) Функция, определенная на произвольном множестве Ζ, является
равномерно непрерывной на нем, если значения функции в достаточно
близких точках этого множества сколь угодно мало отличаются друг
от друга, т. е. если для каждого числа ε > 0 найдется такое число
η > 0, что значения функции в двух произвольных точках
множества Ζ, расстояние между которыми меньше чем η, различаются
между собой меньше чем на ε.
в) Если функцця определена и непрерывна в ограниченной и
замкнутой области Ω, то:
1) она ограничена и равномерно непрерывна в этой области]

10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
197
2) она принимает, по крайней мере в одной точке области Ω,
наибольшее значение и, по крайней мере в одной точке, наименьшее
значение.
3) Если допустить, что множество внутренних точек области Ω
является связным множеством., то функция принимает каждое
значение, заключенное между ее наибольшим и наименьшим значениями.
г) Если функция, непрерывная в замкнутой области Ω,
положительна в некоторой точке этой области, то существует такая
окрестность этой точки и такая постоянная а > 0, что в каждой точке
этой окрестности (принадлежащей Ω) имеет место неравенство
/(лг, у)>а.
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
10. Определение частных производных. Пусть функция z=f(x,y)
непрерывна в окрестности некоторой точки (х, у). Обозначим через Δ#
приращение переменной х.
Положим
&^ = /{х + Ах,у)—/(х,у).
Δ ζ
Предел (если он существует) отношения -г^- при Δλ:,
стремящемся к нулю, называется первой частной производной по лг. Эта
частная производная обозначается символами:
дг ./, ч
gj ИЛИ fx(X,y).
Таким образом,
Аналогично определяется частная производная по у:
f'y(x,y) = %.= lim f(*-y+*V)-fbv)m
Примеры.
1. z = 5x2 + Sxyz+y3;
о — xf) fe__ у3· дг хг
• *~х+У' дх~ (х+у)*' ду-(х+у)*·
ζ·ζ=γ-χ-ντ
дг 1 дг \
дх 2}Пс(Г^-Г^)2' дУ 2V-y-(Y-x-V-y-)*

198 гл. ιχ. функции двух переменных
4. ,_!.£»,
дг 2у_ дг^ 2х
дх~~ х2—у2' ду х2—у2'
5. z=ysinx+cos(x— у),
д-1 = у cos х — sin (χ — у), ? = sin λ: + sin (χ — j>).
χ дг у дг х
7. г^л^е**^,
11. Частные производные второго порядка. Если допустить, что
функции f'x и /у существуют в окрестности точки (х, у), то может
случиться, что каждая из них также имеет частные производные
по χ и по у. Эти частные производные обозначаются символами:
а£_ /* _д2* ай — /' — _2!L
"37 "■"'*■""&?' ~Ш-1ух-дудх>
ду ~~7χυ ~~дхду* ду ~~'у* ду2'
Примеры.
1. г==лг4 + 4*У + 7*,У+1.
Имеем:
*.= 4*» + 8*у» + 7у, | = 12*У + 7лг,
следовательно,
2. ζ = sin л; cosjj,
^- = cos at cosjr, т- = — smxsmy,
дч . d2* дч . а22
В обоих примерах мы получили
дЧ дЧ
дх ду ду дх
Как будет сейчас доказано, этим свойством обладает каждая
функция f(x9 у), удовлетворяющая некоторым общим условиям.

12. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ПОРЯДКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 199
12. Теорема об изменении порядка дифференцирования. Если
в окрестности точки (х, у) производные fxyi f" существуют и
непрерывны, то они равны между собой в этой точке.
Доказательство. Рассмотрим выражение
u=f(x + Ax, y + Ay)-f(x, y + Ay)-f(x + bXi y)+f(x, у),
где Δλγ, Δ^ имеют некоторые постоянные значения. Выражение
/(*. y + by)-f(x, у) '
можно считать функцией переменных χ и у. Пусть
<р(*. ?)=/{*, y + Ay)-f(x, у).
Тогда
ц>(х+Ах, y)=f(x+Ax, у + Ау)—/(х + Ах, у).
Таким образом,
и = <р(х+Ах, у) — (р(х, у).
Считая у постоянным, получим по теореме о среднем значении
и = Ах-<р'х(х + в Ах, у),
причем
ф;(*> л-/;(*, у+&у)-гх (χ, у).
Подставив вместо χ выражение λγ + ΘΔλ;, получим:
u = Ax[f'x(x + QAx, у + Ау)—/'х(х + в&х9 у)]ш
Применив теперь к выражению в скобках опять теорему о
среднем значении, получим:
u = AxAyfxy(x + QAxf y + Q'Ay). (1)
Если бы мы с самого начала положили
ψ(*. y)=f(x+Ax, y)-f(Xt у)у
то, поступая совершенно аналогично, получили бы
β = ψ(χ, y + Ay)-^(Xt y)y
а затем
и » Δλγ Ayfyx (x + Θ,Δλγ, у + e;Ajr). (2)
Сравнивая между собой равенства (1) и (2), получаем после деления
на общий множитель Δλγ Δ^ равенство
f"xy (х + θ Δλγ, у + θ'Ay) = /;, (χ + θιΔ*. у + V&),

200
ГЛ. IX. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
где θ, θ', Θ19 θ'χ — положительные числа, меньшие единицы. Если
устремить теперь Δλγ и Ау к нулю, то в силу непрерывности
производных f"xyt f получим:
/;,(*, у)=Гух(*> У)-
Задачи
Проверить вычислением справедливость равенства
дЧ __ дЧ
дх ду~~ ду дх
для функций:
1. г = ах*-{-2Ьху-{-су*.
2. 2 = —г^ .
х + У
3. г=е*у+ух*.
4. Для функций, приведенных в задачах п. 10.
13. Частные производные высших порядков. Так же как про·
изводные второго порядка, определяются и производные высших
порядков. Частная производная п-го порядка является, следовательно,
результатом я-кратного последовательного дифференцирования по
переменным χ я у. Частную производную #-го порядка, которую
получим, взяв ρ раз частную производную по х, а от полученной
таким образом функции q раз производную по у, будем обозначать
символом
g^^/i'^C*. У) (Р + Я = п).
Пример. Пусть
z = x* — 4x*y4+y*.
дЧ
Вычислим аа». Имеем:
дхду2
дх
дЧ
= —16ху,
дхду
dxW* = -l6x-
Окончательный результат не будет зависеть от порядка, в котором
берутся частные производные, если все частные производные до
п-го порядка включительно непрерывны. Действительно, по последней
доказанной теореме мы можем менять порядок двух
последовательных дифференцирований. Так как, меняя несколько раз порядок двух
последовательных дифференцирований, мы можем от каждого порядка
вычисления производных перейти к любому другому, то окончательный

15. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ 201
результат будет точно определен, если только задано число дифференци-
дпг
рований по χ и по у. Поэтому символ ^ р -„ (/> + # = л) вполне
достаточен для обозначения всех частных производных л-го порядка
при условии, что они непрерывны в окрестности точки (х, у).
Пример. Пусть
ζ = arctg , yx = .
Имеем:
дЧ __ 1 d*z __ \Ъху
дхду~~ ±* дх2ду2 ~~" т_ »
(1+х* + У2)2 (1 + х2 + У2)2
d*z _ 1 — 5 (х2 + у2) 4 51лг2у2 — 6 (*4 + ^4)
14.* Сложная функция. Пусть дана функция переменных и, ν
*=/(«, ν),
определенная в некоторой окрестности U точки (и0, ν0) и
непрерывная в самой этой точке. Пусть, далее, переменные и и ν являются в
свою очередь функциями переменных χ и у:
и = у(х, у); v = ip(x, у),
причем α0 = φ(ΑΓ0, у0), v0 = ^(xQ} y0). Если функции <р(лг, у) и
ψ (а;, д;) непрерывны в точке (л:0, у0), то их значения в достаточно
малой окрестности X этой точки не выходят за пределы окрестности U
точки (и0, ν0). Значит, при этих условиях переменную ζ можно
рассматривать как сложную функцию переменных х, у,
составленную при посредстве переменных и, ν и определенную на множестве X
ζ=/(φ(χ, у), я|)(лг, y))=F(x, у).
Предположим еще, что функции φ, ψ и/ имеют непрерывные
частные производные первого порядка *) в точке (лг0, у0),
соответственно (и0, ν0), и найдем частные производные сложной функции.
15. Частные производные сложных функций. Чтобы определить
частную производную по х, обозначим через Δλ; приращение
переменной ху а через Аи} Αν, Δζ соответствующие приращения
переменных и, ν, ζ. Итак, пусть
Аи = <р(х+Ах, у)—у(х, у),
Αϋ = ψ(χ + Αχ, у)—$(х, у),
Az = f(u + Au, v + Av) — f(u, v).
*) Ниже (стр. 219) будет показано, что из непрерывности первых
частных производных следует непрерывность самой функции.

202 гл. ιχ. функции двух переменных
Выражение для Δζ преобразуем следующим образом:
Az=[f(u + Aut v + Av)—f(u, v + Av)] + [/(ut v+Av)—f(u, v)]
Применяя теперь к каждой скобке теорему о среднем значении и
считая при этом постоянным в первой скобке v+Δό, а во второй л,
получим:
Az=f'u(u + QAu, ν+Δυ)Διι+ΓΌ(ιι, υ + β'Δυ)Αν9
откуда
££=/> + ΘΔΜ, ο + Δ»)£|+/>, ν+ΘΆν)£.
Если Δλ: стремится к нулю, то в пределе получим:
дх
или
0Ζ л Г Г ι л! , /
дг дг^ди , fcdv /*»
дх ди дх ' ди дх
Аналогично,
дг_ дг ди , dz dv ,л\
dy~~dudy + dvdy* K '
Например, пусть
тогда
дг v-i ди , ял dv
дх-Ш 1Гх + и 1пиГх =
= (4лг + 2у) {Зх*+у2)*х+*У-\ех+(Зх2+у*)*х+*у 4 In (Зх«+/).
Если предположить, что и η ν являются функциями лишь
переменной лг, так что '
« = φ(4 0=Ψ(*).
то
*-/(«. ^)=/[ф(4 *(*)]=*»·
Таким образом, ζ является сложной функцией переменной дг,
составленной с помощью переменных и и V. В силу (1) и принимая
dz dz
во внимание, что в этом случае ^-=-т-, получим:
dx^dudx^dudx* {ό}
Например, пусть
2 = [φ (*)]*<*>== и*;
тогда
= ψ(Α:)[φ(Λ;)]Ψ^-1φ'Η + [φΜ]Φ(Χ)1ηφ(Α:).ψ'(^

16. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 203
Если z=f(x, y)t причем y = ty(x), то получим:
Применив формулу (1) при условии, что и = х, v=y, будем иметь:
Тх=Гх+ГуУх (4>
Например, пусть
z = x*+3xy* + 4y, у = 2х2 + \,
тогда
рх = 2х + 3у*+(6ху + 4)4х.
Задачи
ι. z=i„i±J^3=i„fi±i;
дг 2 дг 2х
х2—У
ах"" }/*]^г^2 · ду~~ у Yw^t *
-з,
дг 4*(*^-3)
дх~~ (а:2 + 2х—З)2
У ах—by Г υ *
ьу
дг aby дг abx
дх~~~ аЧг — Ь*у* * 'ду"" а2х2—Ь2у* *
4. Доказать, что не существует функции z = /(x, у), частные
производные которой выражались бы формулами
дг дг л
•3-= У» ττ-=2χ.
дх * ду
Воспользоваться тем, что у такой функции частные производные вто-
дЧ дЧ л л
рого порядка *—j-, ^-^- были бы непрерывны и, следовательно, равна
между собой.
НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
16. Определение неявной функции. Пусть функция z = F(x, у)
определена и непрерывна в некоторой области. Может случиться,
что существует непрерывная функция у = /(х), такая, что
соответствующие пары (л:, у) удовлетворяют уравнению
F(x,y)^0. (1)

204
ГЛ. IX. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
В этом случае говорят, что функция f(x) неявно задана
уравнением (1).
Примеры. Неявным заданием функции:
1— χ
1· У^ТлГ является ху + х + у—1=0.
* ~г*
2. y~Yr2—х2 является х2-\-у2— г2 = 0.
3. y = x + Vl—2x2 является Зл;2 — 2ху+у2—\ = 0.
Не следует думать, что если дано уравнение (1), то тем самым
уже определена неявная функция. В действительности может не
существовать ни одной непрерывной функции, удовлетворяющей
уравнению (1), или может существовать несколько таких функций.
Примеры.
1. Не существует функции, удовлетворяющей уравнению
■*2+У*+1=0.
2. Функции у = ]/" 1—х2, у = — Y\—x2 удовлетворяют одному
и тому же уравнению, а именно: х2-\-у2 — 1 = 0.
17. Теорема существования неявной функции. Если функция
z = F(x> у), непрерывная вместе со своими первыми частными про-
изводными в окрестности точки (а, Ь), удовлетворяет условиям:
1) F{a, *) = <>,
2) fy(a, Ь)ф0,
то существует одна и только одна функция у—/(х), определенная
и непрерывная в окрестности точки х = а, такая, что
l)f(a)=b,
2) F[x9f(x)] = 0.
Доказательство этой теоремы ввиду его сложности мы опускаем.
Пример. Пусть
F(x, y)=xy + x+y—\.
Имеем:
Κ=χ+ι.
Выбрав а = 2, Ь=—г-, получим:
^(2·—s-)-0· F'»{2> -τ)"8*0·
По нашей теореме существует, следовательно, одна и только
одна функция у~/(х), непрерывная в окрестности точки л: = 2.
принимающая в этой точке значение —-^ и удовлетворяющая
уравнению
F(x, у) = 0.

18. ПРОИЗВОДНАЯ НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
205
То же самое можно сказать о каждой другой точке (а, Ь),
удовлетворяющей условиям ab + a+b— 1 = 0, а + \ф0. В нашем
примере мы можем найти искомую функцию, решив уравнение F(x,y) — 0
относительно у.
18. Производная неявной функции. Допустим, что функция
у=/(х), непрерывная в окрестности точки х = а, задана в неявном
виде F(x, y) = 0. Допустим, кроме того, что функция z = F(x, у)
непрерывна вместе со своими частными производными первого
порядка в окрестности точки [лг = а, y=zf(a)~b]u что Fy(a, Ь)ф0.
Обозначим через Δλγ произвольное приращение переменной х.
Положим
Ay=f(a + Ax)-f(a);
имеем, следовательно,
F(a + Ax, b + Ay) — F(at b) = 0.
Поступая так же, как на стр. 202, получим:
F(a + Ax, b + Ay) — F(a, b) =
= Fx(a + QAxt b+Ay)Ax + Fy(ai Ь + в1Ау)Ау = 0. (1)
Так как Fy(x, ^ — непрерывная функция и так как Fy(a, Ь)фЪ,
то для достаточно малого приращения Δ^ имеем также
Fy(a, Ь + В1Ау)фО,
Поэтому для достаточно малых Ах и Aj; из (1) можно вывести
&у F'x(a + QLx, b + Ay)
Δ* Fy(at Ь + ЬгЬу)
(2)
Когда Ах стремится к нулю, то в силу непрерывности функции
y = f(x) приращение Ау также стремится к нулю.
Таким образом, правая часть равенства (2) имеет своим пределом
К (а. Ь)
Поэтому
Fy(atb)
f (α)= hm -r| = , ,
Αχ-»0Δχ Fy(a,b)
Итак, нами доказано следующее утверждение:
Теорема. Если непрерывная функцияу=/(х) задана в неявном
виде уравнением F (х, у) = 0 и если Fx и Fy непрерывны, то
функция y=f(x) имеет производную для каждого значения х, для

206
ГЛ. IX. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
которого Fy\x% /(х)]ф09 и эта производная выражается формулой
д±
Fx(x,y)_ дх
у~ ?,ыГ «Г (3)
ду
Займемся теперь определением второй производной неявной
функции.
Производную у мы можем рассматривать как сложную функцию,
К (х, У)
составленную из непрерывной функции γ и непрерывной
Fy (x> У)
функции у=/(х).
Если к предыдущим условиям добавим еще условие, что функция
F(x, у) имеет непрерывные вторые частные производные, то из
теоремы о производной сложной функции и из (3) будет следовать
существование у".
Применяя формулу (4) (стр. 203), получим:
У ах 6Х[ р>у\+ду[ Р'у\У'
Таким образом,
f f*—F' F" Ff F" —F'F\
1 у1 x% l X1 xy l yl xy l χ* υ*
у =■
> r η]
"ΓΖϊ
(КГ С,)
Отсюда
у W
или
(dF\2d2F dFdF d*F fdF\2d2F
_ [ду) дх2 дх ду дх ду^ [дх J ду2
\ду)
у» = -
Аналогично получаются формулы для производных высших
порядков, но они довольно сложны.
Замечание. Следует помнить, что в полученных формулах для
производной символом^ обозначена функция переменной лг,
определенная уравнением F(x, y) = 0; правые части этих формул являются,
следовательно, функциями одной переменной, т. е. переменной л:, а не
двух переменных х, ул как это кажется на первый взгляд.
Примеры.
1. F(xt ^)=аг2 + -У2—1 = 0.

19. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 207
Имеем:
^-2*· ^-2V — = 2- d2F-l> d*F -О
Поэтому
/ х » 1
Дифференцируя вторую производную и рассматривая ее как
сложную функцию, получим:
,„_Щ_ Ъх
2. F(a:, jf)=jf—jc^ + ^ = 0.
Имеем:
^-—^+1, f;=i-^^,
следовательно,
y=£=L
·* \—хгУ%
3. sui(a;+j/) — j> = 0.
,= cos(*+y) , sin (лс + у)
^ cos(x + i/) —Г ^ [cos(x+y) —1]· '
19. Максимумы и минимумы неявных функций. Пусть функция
z = F(x, у) непрерывна вместе со своими частными производными до
второго порядка включительно в рбласти Ω. Рассмотрим задачу
отыскания экстремумов функции, заданной в неявном виде уравнением
F{*> У)=*0. (1)
Приведем простейшие необходимые условия. Для этого найдем
точки (х, у), удовлетворяющие условиям:
F(*> У) = 0,
Fxix,y) = 0,
Kix> У)Ф0.
Если существует точка (х0, у0), которая удовлетворяет этим
условиям, то в силу предыдущих теорем (стр. 204 и дальше) существует
функция j;=/(at), непрерывная вместе со своими производными
первого и второго порядка, удовлетворяющая уравнению (1) в
окрестности x = xQ и принимающая при х = х0 значение у=у0>
Заметим, далее, что
Ρ у (*о. Уо)

208 гл. ιχ. функции двух переменных
Так как Fx(x0i у0) = 0, то, применив формулу для второй
производной неявной функи.ии (стр. 206), получим:
Γ(Λο)=_4ι<ί^.
Ру (*о> Уо)
Следовательно, если Fx%(x0i у0)φ0, то функция y=f(x) имеет
в точке х = х0 экстремум. Это будет собственный максимум или
минимум в зависимости от того, имеют ли /ν (х0, ^0) и Fy (х0, у0)
•одинаковые или противоположные знаки. Если /v (x0f ^0) = 0, то
надо исследовать производные высших порядков.
Пример. Пусть
F(xt y)=yz — 3ху + х* = 0.
Имеем:
fx = — Зу + З*2, F'y = Зу2 —Зх.
Решив систему уравнений F(x, y) = Q и Fx(x, у) = 0, получим два
решения:
*ι = 0. Л = 0 и xt = V% у% = У*.
Имеем:
К (*ι, Л) = 0, Fy (xt9 y2) = 3 ^/2.
Отсюда видно, что первое решение отпадает. Далее,
^(*2> у2) = 6х2 = бУ2.
Так как /ν (лг2, ^2) и /^(л:2, ^г) имеют одинаковые знаки, то
имеет место собственный максимум.
Задачи
В задачах 1—4 проверить результат, определив у из уравнения F (x, t/) = 0.
1. F(xt y) = Ax2 + 2Bxy+Cyz + 2Dx+2Ey+F=0;
\А
В
D
В
С
Ε
D\
Е\
F\
dy== Ax + By+£ d?y_
dx Bx + Cy+E * dxa~ (Bx + Cy+E)* '
2. F(x, t/) = x3—Зсху+у3;=*0\
dy^._cy—x% d2y_ ЧсЧу
dx ex—у** dx*~~ (ex—у*)*'

19. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 209
ν л dy y2(\nx— 1)
з. F (χ, у)=**-*>-о; аГ^Шу-О ·
5. Доказать, что неявная функция, заданная уравнением
?(*> у) = у*-*а*ху + х* = 0,
имеет экстремум при
х=±а*/3, у=±а */27.
Исследовать, будет ли это минимумом или максимумом.
6. Исследовать на экстремум неявные функции задач 1, 2.
7. Доказать, что из всех треугольников с данной высотой w и данной
площадью Ρ наименьший периметр имеет равнобедренный треугольник с ос·
2Р
нованием — и высотой w.
w

ГЛАВА X
ФОРМУЛА И РЯД ТЕЙЛОРА. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
ФОРМУЛА И РЯД ТЕЙЛОРА ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Формула Тейлора. Пусть функция /(лг, у) непрерывна вместе
со всеми своими частными производными до л-го порядка включительно
в окрестности некоторой точки (л;, у). Пусть точка (x + h, y + k)
принадлежит этой окрестности. Считая**, у, Л, k постоянными, мы можем
выражение /(x + ht, y + kt) рассматривать как функцию
переменной t. Положим, следовательно,
φ (*)=/(* + «. У + kt). (Ι)
Найдем производные функции φ (/), пользуясь теоремой о
производной сложной функции (стр. 202). Для этого положим:
и = χ + А/,
v=y + kt,
так что
<Р (*)=/("> *).
Дифференцируя по t, получаем:
φ'(*)=/>, *)§+/>, «)|.
откуда
φ' (t)=/>, ν) h+/>, ν) k.
Возвращаясь к предыдущим обозначениям, получим:
Φ'(<)«=*/;(* + **, 9 + М) + кГИ{х + Ы, y + kt).
Аналогично найдем:
φ" С) = *·/;. {х+ы, y+kt)+
+ 2hkfxy (χ + Μ, у + А*) + Λ»/;. (* + А/, у + Α/)·

1. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 211
Эту производную можно записать символически в виде
φ- до = [/г/; (х + htty + kt) + kf'y(x + ht, у + kt)f\
Вычисляя следующую производную, получим:
<Р'" it) - /*3/;ϊ (χ + Μ, У + Ы) + M*kf£u [x + ht, y + kt) +
+ ЗА*1/;^ (* + Μ, у + kt) + k*Q (χ + M9y + kt)f
символически:
φ'" V) = \hf'x (* + M,y + kt) + kf'y (χ + Μ, y + «)]».
По индукции найдем:
<P(W) (0 = [A/; {x + htty + kt) + kfy (x + ht,y + kt)]nK
Заметим теперь, что, применяя к функции φ (t) формулу Маклорена?
и положив /=1, получим:
φ(1) = φ(0) + Ιγφ'(0) + ^-φ"(0)+...+(^Τ)Γφ,"-1,(0) + /?η.
Остаточный член можно писать, например, в форме Лагранжа:
*„=1φ<">(θ) (0 < θ < 1).
Но
φ (!)=/(*+*, y+k),
φ (0)=/(λγ, у),
<t'(°) = bf'x{x, у) + кЩх, у),
q>'(0)=A»/^(jf, y)+2hkrxy(x, у) + к*/;лх, y)~
=ihf'x(x,y)+bf'y(x,y)Y\
и вообще,
φ("> (0) = \hf'x (x, y) + kf'v (x, y)Jn\
Следовательно,
f{x + h, y + k)=/(x, y) + ±[hrx(x,y) + kf't(x, y)] +
'••+T~^Wx(X,y) + kf'u(X, y)Y"» + /?„;

212 ГЛ. X. ФОРМУЛА И РЯД ТЕЙЛОРА. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ
для остаточного члена Rn имеем формулу
(0<θ<1).
Мы получили, таким образом, формулу Тейлора для функции
двух переменных.
Если принять, в частности, что лг = 0, у = 0, то, подставив в
формуле Тейлора лг = 0, у —О и написав в дальнейшем ху у вместо А, к,
получим формулу Маклорена для функции двух переменных в виде
/(*, *)=/(0. 0) + ^[х/'х(0, 0)+yf'y(0, 0)] +
••·+(^Ί)ΐΚ^0· °)+^(°. °>Г~и+я».
где
*»-aw6*· еу)+^/;<в*. эу)]<»>.
Замечание. Из формулы Тейлора, при я = 1, получим
теорему о среднем значении для функции двух
переменных:
/(* + *, У + Ь)-/{х9 jr) =
«*/;(* + ΘΑ, jr + eft) + ft/;(^ + eAf-y + eft) (0<θ < 1),
в предположении, что первые частные производные /^ (дг, у) и /' (л;, j;)
функции ζ=/(λγ, jf) непрерывны в окрестности точки (х, у).
2. Ряды Тейлора и Маклорена. Допустим, что функция f(xy у)
непрерывна вместе со своими частными производными всех порядков
в окрестности некоторой точки (дс, у). Обозначив через (# + А, у-\-к)
произвольную точку этой окрестности, а через η произвольное
натуральное число, имеем по предыдущему (см. п. 1):
f(X + h, y + k)=f{X, y)+^[hf'x(X, y) + kf'y(X,y)] +
• · ·+taw W (*. у)+кП (*. у)7Гл+Rn-
Если
lim #„==0,

8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭКСТРЕМУМА 210
то получим разложение нашей функции в сходящийся ряд
f(x + h, y + k)=f(x, y) + l[hf'x(x, y) + kf'g(x,y)]+...
называемый рядом Тейлора.
Если, в частности, положить х = 0, у = 0 и вместо h и k писать
х, у9 то получим ряд Маклорена:
/(*, у)=/(0, 0) + 1[д;/;(0, 0)+^/;(0, 0)]+...
...+~[*/;(О, 0)+^/;(0, 0)f>+...
Примеры.
2. sin л; sin j/==
-1 2atj/ -~ (4x*y + 4*y3) + i- (6хъу + 20x*y* + 6xy*) + ...
3. arctg^arctgi. + ^
■ J Г -2*У ., ■ 2(x*-y*) 2xy Л ,
+ 2! Ьа + У2)2Л +(^+^)2 ^(^2 + !/2)2 J ^ "#
МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
3*. Определение экстремума. Это понятие для функции двух
переменных вводится точно так же, как и для функции одной
переменной (стр. 138).
Говорят, что в некоторой точке (х\ у') функция z=f(x, у)
имеет максимум, если значения функции в некоторой окрестности
данной точки не превышают значения функции в самой этой точке.
Заменив здесь слова «не превышают» словом «меньше», получим
определение собственного максимума.
Соответствующим образом определяется минимум. Точки минимума
и максимума носят общее название точек экстремума.
Из приведенных определений, как и в случае функций одной
переменной, вытекает, что для точек экстремума (х\ у') и только для
них приращение функции
Az = f(x' + h, / + £)-/(*', У)
при всех достаточно малых h и к сохраняет постоянный знак. Если
имеет место собственный экстремум, то ΔζφΟ для всех достаточно
малых h и k, за исключением случая А = Л = 0.

214 ГЛ. X. ФОРМУЛА И РЯД ТЕЙЛОРА. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ
4*. Необходимые условия существования экстремума. Если
в точке экстремума (х\ у') функция z=f(x, у) имеет первые част-
ные производные, то они в этой точке равны нулю.
Доказательство. Из определения экстремума следует, что
при фиксированном у=у' функция f(x, y')t рассматриваемая как
функция одной переменной дг, имеет экстремум при х = х'. На
основании необходимого условия экстремума для функций одной
переменной (стр. 139) получаем
/;(*',/)=о.
Совершенно аналогично найдем, что
/;(*', я=о.
5. Достаточное условие существования экстремума. Если
функция /(#, у), непрерывная вместе со своими частными производными
первого и второго порядков в окрестности точки (х\ у'),
удовлетворяет условиям
/;<*', /)=о, гу(х\ /)=о,
то, положив
мы можем утверждать, что:
а) при Δ > 0 в точке (х\ у') функция имеет экстремум, причем
собственный максимум, если fx% (χ', у') < О,
собственный минимум, если f"x%(x\ у') > 0;
б) при Δ < 0 в точке (х\ у') нет экстремума;
в) при Δ = 0 экстремум может быть, может и не быть.
Замечание. В случае а) производные fx%(х\ у') и/*2(лг'г/)
отличны от нуля и имеют одинаковые знаки, так как в противном
случае было бы Δ^Ο.
Доказательство.
а) Допустим, что Δ > 0. Применив формулу Тейлора с учетом
условий
/;(*',/)=/;(*'. /)=о,
получим:
f(x' + h, y' + k)-f(x', y') = ±[h*r+2hks + k4], (1)
где
r = f%(x' + M, y' + Qk),
*=/;,(*'+θλ, y'+m.

5. ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМУМА 215
Допустим теперь, что /^2(лг', У) > 0. Из непрерывности вторых
частных производных следует
hm r =/*,(*', /)>0,
а также
lim(rt — $2) = Δ>0.
k -*о
Поэтому для достаточно малых h и к
г>0, г* —$2>0.
Поскольку г>0, то формулу (1) можно переписать в виде
/(*' + Л, / + £)_/(*', y')=±.±[(hr + ks)*+(rt~S*)k*]tV)
откуда в силу соотношения rt — $2 > 0 для всех достаточно малых
ht k имеем
/(*' + />, / + *)-/(·*'> /)>0.
Равенство имеет место лишь тогда, когда h = k=0.
Следовательно, в точке (лг', у') имеет место собственный минимум.
При доказательстве мы предположили, что f^(x\ У)>0;
допустив /*, (х'} у') <0 и поступая аналогично, можно доказать, что
в точке (х\ у') будет иметь место собственный максимум.
б) Допустим, что Δ<0, и положим
so=/:,{*', У),
и=ГуЛх',У).
Заметим, что многочлен
ro + 2sox + t0x*
не сохраняет постоянного знака, так как дискриминант
Существуют поэтому два значения βχ и β2, такие, что
Γβ + 2βοβ1 + <βρ«>0,
Γ. + 2*ββ, + <0β»<0.
Очевидно, что в силу непрерывности частных производных вто·
рого порядка
h ->o

216 ГЛ. X. ФОРМУЛА И РЯД ТЕЙЛОРА. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ
Следовательно, существует такая окрестность (δ) точки (х'9 у\
что если (x' + h, y' + k) принадлежит (δ), то
г+2*$1 + ф1>0. (3)
Выбрав теперь произвольно малую окрестность (δ') точки
(*'> у')> можем всегда выбрать столь малое число р, что точка
(лг' + Р» У + ρβι) будет принадлежать как δ', так и δ. Положив
/г = р, fc = ppif
будем иметь в силу (1) и (3):
f(x' + h, у' + Ь)-/{х\ /)=*±р*[г + 2фг + ф1]>0.
Таким образом, в каждой окрестности точки (лг'э у') существует
такая точка (x' + h} y' + k), что
/(*' + *. / + *)-/(*', /)>0.
Поступая аналогично со значением β2, докажем, что в каждой
окрестности точки (лг', у') существует также и другая точка
(лг'-г-/г, у' + k), для которой
/(лг' + А, / + *)-/(*', /)<0.
Итак, в точке (лг', у') нет экстремума.
в) Δ = 0. В этом случае заметим, что для функций
* = Х*+У\
ζ = лг3 -\-у*
в точке (0, 0) имеем /^=/' = 0 и Δ = 0. Первая из этих функций
имеет в точке (0, 0) минимум, вторая же экстремума в этой точке
не имеет.
Примеры.
1. z = x2 + xy+y2 — mx — пу.
Имеем здесь:
рх = 2х+у-т, ру = х + 2у-п,
^Ξ — 9 ^1 — 9 ^L — ι
дх*~г' ду*~ > дхду~1'
Δ = 2·2—1а = 3.
Чтобы найти точки, в которых возможен экстремум, решим
систему уравнений
дх "* ду υ·

5. ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМУМА 217
т. е.
2х+у — т = О,
χ + 2у — п = 0.
Единственным решением этой системы будет
х' = у (2т — п), у' =у (2л — т).
Поскольку
Δ = 3 > 0,
то в точке (х\ у') есть экстремум. Так как
то в точке
*' = 1(2да-л), / = 1(2я-/ю)
наша функция имеет минимум.
2. z=±Ax2y + Bxy* — Сху (Л, β, С=^0);
* = 2Аху + Ву*-Су, £ = Ах* + 2Вху-Сх,
м = 2Ау> щ-у*=2Ах+2ВУ-с> 1ф = 2Вх'
Δ = ААВху — (2Ах+ 2Ву — С)2.
Решим уравнения
дх "· ду υ·
т. е.
(2Ак + Ву — C)jr=0,
(Ах + 2Ву — С)х=0.
Отсюда получаем четыре решения:
х = 0, у = 0; x = j, У=0;
Соответствующими значениями Δ будут:
—σ, —σ, —с2, у с2.
Первые три решения не дают экстремума, так как Δ<0.
Для
-£ —_£.

218 ГЛ. X. ФОРМУЛА И РЯД ТЕЙЛОРА. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ
d2z НАС
имеем экстремум. Подставляя эти значения в ^, получим -^- ·
Имеем, следовательно, максимум или минимум в зависимости от
того, будет ли
-g- < О или -g- > 0.
Задачи
(тах:х = 21, ι/ = 20).
2. z = *V46—*—У)
(max: х = 3, у=2).
3. z = a2*2+26*#+cy—ex—gt/ в предположении, что а2с2 > Ь2
( · — g2g—frg a2g—be \
[m™-x-2(a*c*-b*)9 y-2(aV—V)J '
4. z = a:3+^+3xi/
(шах; * = —1, ί/—— 1).
5. ζ = β-Λ2-^2(χ2+2ί/2)
min: χ = 0, ί/=0, max: χ = 0, ί/=±1).
6. z=x3+xy2+3axy (a > 0)
^min:x = y]/ 3, */=y; max: * = -y|^3, V^^J '
7. Найти треугольник с данным периметром 2s и с наибольшей
площадью Р.
(Воспользоваться формулой Р— γ~$ (s—*) (s—ι/) (*+# —s); x и
(/означают две стороны треугольника.)
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
6*· Дифференцируемые функции двух переменных.
Определение дифференциала* Функция z=f(x, у) называется
дифференцируемой в точке (лг, у), если ее приращение Δζ в этой точке можно
представить в виде
Δ*=/; (х, у) Ах+/'у(х, у) Ау +
+ а(Алг, Ay) Ax+ $ (Ах, Ay) Ay, (1)
еде
lima = lim β==0. (2)
Δ*-*ο Δ*-*0
Δί/-*0 Δ_-*0
Очевидно, дифференцируемая функция необходимо непрерывна,
так как из соотношений (1) и (2) вытекает, что lim Az=0.
Δ*-* ο
Δ#->0

6. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 219
Другим необходимым условием дифференцируемости, как видно
из определения, является существование частных производных.
Однако, в отличие от случая функций одной переменной, это
последнее условие не является достаточным.
В самом деле, функция
fir ιΛ — / °> ПРИ АГ==0 или jr = 0,
л*· У)-\ 1, хфО, уфО
имеет частные производные в начале координат, но не является
даже непрерывной в этой точке.
Следующая теорема дает простые достаточные условия
дифференцируемости.
Теорема. Если функция z=f(x> у), имеет в окрестности
точки (л:, у) первые частные производные, непрерывные в самой этой
точке, то она дифференцируема в указанной точке.
Доказательство. Выражение для полного приращения
Az=f(x+Ax, y + Ay)~-f(x, у)
можно представить в виде
Az = [f(x+Ax, y + Ay)-f(x, y+Ay)] + [f(x, y + Ay)-f(x,y)].
Применим к каждой скобке теорему о среднем для функции одной
переменной, считая в первой из них постоянным у-\-Ау, а во
второй х. Получим
Δ2=/;(λγ + ΘΔλ;, y + Ay)Ax+f'y(xiy + Q1Ay)Ayt 0<θ,θ1<1.
Полагая
Гх(х+вАх,у + Ау)=Гх(х,у) + а; f'y(x, у + ^Ау)^^ (ху у) + $,
мы придем к представлению (1), а из непрерывности частных
производных в точке (лг, у) выведем соотношение (2). Теорема
доказана.
В качестве следствия полученного результата отметим, что из
непрерывности частных производных первого порядка следует
непрерывность самой функции.
Далее, пусть функция z=f(xt у) дифференцируема. Тогда
главную линейную часть ее приращения, т. е. величину
/;(*, у)Ах+/'у(х, у)Ау
будем называть полным дифференциалом функции z = f(xt у)
относительно переменных х, у. Полный дифференциал будем
обозначать символом dxyz. Написав вместо Δλγ, Ay символы dxyx, dxyy,
получим:
d*yz =f'x(x> У)d*yx+f'y(*· У)а*уУ- (l)

220 ГЛ. X. ФОРМУЛА И РЯД ТЕЙЛОРА. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ
7. Дифференциал сложной функции. Допустим теперь, что
переменные лг, у являются непрерывными функциями других
переменных и, ν:
лг = ф(и, ν), у=$(и, v).
Предположим еще, что функции φ и ψ имеют непрерывные
частные производные первого порядка. Мы можем, таким образом,
переменную ζ считать сложной функцией переменных и, ν, а именно,
2=/[<Р(и> f), ψ (и, v)] = F(uy ν).
Поэтому
duv* = Р'и («. v) d»vu + К («. «) davv. (2)
По теореме о производных сложных функций имеем:
F'Ju,v)=fx(x,y)pu+fy(x,y)d£>
F'v(u,v)=f'x(x>y)pv+f'y(x,y)%.
Подставив эти выражения в формулу (2), получим:
dttVz=[fx(x,y)fu+f'y(x,y)d£\duvu +
+ [гх{х,у)д£+/;(х>у)д£]<*и„«,
следовательно,
'■»*-/>. У) [%davu + %davv] +fy(x,y)[pudavu + d£davv].
Так как выражения в скобках являются дифференциалами duvx,
duvz =f'x (*> У) duvx+ffy (x, У) davy. (3)
8. Применение к функциям одной переменной* Допустим, что
переменные лг, у являются непрерывными функциями одной
переменной /, имеющими непрерывные первые производные. Итак, пусть
Переменную ζ можно, следовательно, считать сложной функцией
переменной t:
z=f[<?(t), q(t)] = F(t)·
Отсюда
dtZ^F'Wdtt.
По теореме о производной сложной функции имеем:
f'(t)=f'x(x,y)x't+fi,(x> yly'r

поэтому
Так как
то
10. ЧАСТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ 221
dtz=f'x(x, y)x'tdtt+f'y(x, y)y'(dtt.
x'tdtt = dtx, y'tdtt^dty,
dtz = fx(x, y)dtx+fy(x, y)dty. (4)
9. Случай, когда одна из переменных является функцией
другой. Допустим, наконец, что переменная у является функцией
переменной х, обладающей непрерывной первой производной. Итак,
пусть
у = у(х).
Переменную ζ можно считать сложной функцией переменной х:
z=f[x, 9W] = F(4
следовательно,
dxz = Ffx(x)dxx.
По теореме о производных сложной функции имеем:
w=/;(*. у)+г, (х,у)у:.
поэтому
<***=/;(*. y)dxx+f'y{x, y)y'xdxx.
Так как
dxy=y'xdxx,
то
dxz=fx (χ, y)dxx+f'y(x, y)dxy. (5)
Сравнивая формулы (1), (3), (4), (5), мы видим, что их можно
все представить символически в едином виде:
dz=fx(x, y)dx+fy(xt y)dy
или
Символы dx, dy, dz являются несовершенными, но из (6) мы
получаем формулы (1), (3), (4), (5), подставив всюду вместо d
символы dxr duut db dx.
10. Частные дифференциалы. Если переменной у придадим
некоторое постоянное значение, то выражение
/*(*. y)dx
будет дифференциалом функции f(x, у), рассматриваемой как
функция переменной х. Выражение fx (x, у) dx называют частным

222 ГЛ. X. ФОРМУЛА И РЯД ТЕЙЛОРА. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ
дифференциалом по переменной х. Аналогично, выражение/' (x>y)dy
называют частным дифференциалом по переменной у. Следовательно,
можно утверждать: полный дифференциал является суммой частных
дифференциалов.
11*. Касательная плоскость к поверхности. Геометрический
смысл полного дифференциала. Подобно тому как дифференциал
функции одной переменной является приращением ординаты
касательной, полный дифференциал функции двух переменных есть при-
ращение аппликаты касательной плоскости.
Для обоснования этой аналогии проведем следующие
рассуждения. Пусть функция /(#, у) имеет в точке (л:, у) первые
частные производные. На поверхности z=f(xt у) рассмотрим три
близкие точки
М0(х, у, ζ); Μχ{χ + Δχ, у, *+Δ**); М2(х, у + Ау, z + AyZ)
и проведем через них плоскость. Ее уравнение, как известно из
аналитической геометрии, имеет вид
\Х— χ Y—y Z—z\
О Ay Ayz =0
Αχ 0 ΑχΖ J
или
(X—x)AyA3lz + (Y—y)AxAyz — (Z—z)AxAy = 0.
Считая Δλγ^Ο, АуфОу имеем
Переходя к пределу при Мх —*Ж0, Λί2—>Ж0, т. е. при Δλ; —-*ft
Ay—*0, найдем
z-z=rx(x, jo (*-*)+/;(*■ у){у-у)·
Если функция z=f(xt у) дифференцируема, то, в соответствии
с нашим интуитивным представлением, плоскость, заданную
последним уравнением, называют касательной плоскостью к поверхности
z=f(x, у) в точке М0(х, у, z(x, у)). В указанном
предположении легко доказать, что если на данной поверхности провести через
точку М0 всевозможные (гладкие) кривые и в этой точке
построить к ним касательные, то все эти касательные расположатся в
найденной плоскости.
Обозначив теперь X—х=Ах, Υ—у~Ау, видим, что
приращение ΔΖ аппликаты касательной плоскости дается формулой
ΔΖ=/;(*, y)Ax+f'y(x, у) Ay,

11. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ К ПОВЕРХНОСТИ 223
т. е. действительно совпадает с полным дифференциалом dz
функции Z=f(X, у).
Заметим еще, что хотя полный дифференциал и приращение,
вообще говоря, не равны между собой, разность между ними весьма
мала при достаточно малых Ах и Δ^;. Действительно,
Δζ — dz = aAx + $ Ay, lim α = lim β = 0,
Δ*, Ау-+0 Δ*, Ay~+Q
и ввиду ' ' = < 1, г =· ^Ξ1 имеем
>^ΔΑ:2+Δί/2 1^ΔΑ:2+Δί/2
1π?ι ■ - = 0.
Δ^->ο
Поэтому при вычислении приближенных значений функции для
достаточно малых Ах, Ау, можно принять Azzxdz. При наличии
непрерывных частных производных второго порядка оценка
погрешности получается из формулы Тейлора.
Задачи
1. Предположив, что переменные и и υ являются непрерывными
функциями переменных х, у, имеющими непрерывные первые производные,
доказать, что:
1) d(u+v) = du+dv;
2) d(tw)~udv+Odu\
Докажем, например, формулу 2):
поэтому
следовательно,
d(ua) = ud +vdu.
2. Вычислить дифференциалы следующих функций:
z=27*8—54х*у+3бху*—8у3, & = 3 (3 х—2у)* (3 dx—2dy);
._ 1 rf-.... 4(*<**+У<*У).
1 Λβ ~Vy<te+ Ух«».
2*
t/2sinii
i/ ' W2cin?^
l—xy л*— dx Hn
Ζ = ягс.с.пя—— y rr=r » flZ = -~—. 4. ЦУ

224 ГЛ. X. ФОРМУЛА И РЯД ТЕЙЛОРА. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ
12. Дифференциалы высших порядков. Если допустим, что dx
и dy являются постоянными величинами, то dz будет функцией
переменных х, у. Можно, следовательно, говорить о дифференциале
дифференциала.
Вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка
будем называть дифференциал от дифференциала; аналогично
определяем дифференциалы высших порядков. Символически они
обозначаются следующим образом:
d dz = d2z,
dd%z = dzz,
ddn-xz = dnz.
Примеры. Определить дифференциалы (по χ, у) высших
порядков функции ζ = /(λγ, у), непрерывной вместе со своими
частными производными до я-го порядка включительно,
В этом случае считаем dx, dy постоянными числами,
следовательно,
d2x = d*x = ... = dnx=0,
d2y = d*y=;... = dny = 0
и, таким образом,
dz=rxdx+ffydyt
d2*=[f:*dx+flydy]dx + [rxydx+f;t dy]dy,
так что
di^rxtdx' + 2rxydxdy-{-rytdyK
Аналогично,
л=rjtdx»+з/;;; dx*dy+з/;;; dxdy*+/;;' dy\
d"z =/(«> dx"+ ( 4 ] /inltydxn- 4y + ... +fin>dyn.
Символически пишем:
Замечание. Если бы мы предположили, что х, у являются
функциями переменных и, ν, то не могли бы принять, что <**„*=<)
или О = 0· В этом случае мы получили бы формулы значительно
более сложные. Например,
следовательно,
йгг = Гх.ах* + 2ГхуаХау+Г^ау*+Гха*х + Га*у.

12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
225
Задачи
1. z = sin χ cost/,
dz = cos x cos у dx—sin χ sin у dy>
d2z~ —sin xcosy dx2—2cos л: sin ydxdy—^sin χ cos у dy2,
d?z = —cos χ cos ι/ d*3 + 3sin χ sin i/ d*2 dy —
^3cos χ cos у dx dy2 -J-sin * sin у dy*·
2. z = f/lnx,
dz = ~ dx-{-\nxdyt
d*z~-JLdx* + ^dxdyt
d4 = ^dx*---^dx*dy.
3. Вычислить дифференциалы второго и третьего порядков функций,
приведенных в задаче 2, стр. 223.

ГЛАВА XI
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Области. Точкой трехмерного пространства будем называть
тройку чисел (л:, у, ζ). Точкой четырехмерного пространства будем
называть четверку чисел (х, yt zy t). Аналогично определяем точку
многомерного пространства.
Замечание 1. Тройку чисел (х, уу ζ) можем считать
координатами некоторой точки пространства, в котором выбраны три взаимно
перпендикулярные оси ОХ, ОУ, ΟΖ. Эта геометрическая
интерпретация для четверок чисел (л:, у, z, t) уже невозможна.
Окрестностью точки Р(х0, yQt z0) трехмерного пространства
будем называть внутренность шара с центром в точке Р. Таким
образом, окрестностью точки Ρ является множество точек (х, у, ζ),
удовлетворяющих неравенству
(X-X0)* + (y-y0)* + (Z-Z0)*<r\
где г — произвольное заранее выбранное число. Аналогично
окрестностью точки P(x0l yQi z0i t0) называют множество точек {х} у, г, t)t
удовлетворяющих неравенству
(x-x0)* + (y-yo)* + {z-zor + (t-t0)*<r*. (1 )
Замечание 2. Множество точек (л:, у, zt t), удовлетворяющих
неравенству
(X^Xo)* + (y-y0)* + (Z-Z0)* + (t-toy^r\
будем называть шаром в четырехмерном пространстве с центром
(*ο> Уо> ZQ> *o)· Множество точек, удовлетворяющих неравенству (1),
будем называть внутренностью этого шара.
Области и граничные точки в многомерных пространствах
определяются так же, как и в двумерном. Следует только понятие
окрестности двумерного пространства заменить понятием окрестности
многомерного пространства.
Примеры.
1. Трехмерными областями являются внутренности куба, прямого
параллелепипеда, шара и т. п. Границами этих областей будут со-

4. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 227
ответственно поверхность куба, прямого параллелепипеда, шара
(сфера).
2. Множество точек (х, yt z, t), удовлетворяющих неравенствам:
0<ΛΓ<α', b^y^b', c^z^c', d^t^d',
является четырехмерной замкнутой областью и называется интервалом
(четырехмерным).
3. Множество точек (л;, у, ζ), удовлетворяющих неравенствам:
— 1 < л; <1, - УТ=Т* < у < У\ - х\
—У\-х*-у* <ζ</ι-*2-/,
является областью (внутренность шара x2+y2-{-z2 = 1).
2. Функции многих переменных. Пусть Е — произвольное
множество трехмерного пространства. Говорят, что на множестве Ε
определена функция, если каждой точке (х, у, ζ) множества Ε
поставлено в соответствие действительное число t. Функциональную
зависимость будем обозначать, как и раньше,
*=/(*, J>. *)-
Числа х, у, ζ называются независимыми переменными, число t —
зависимой переменной. Аналогично определяется функция многих
переменных.
Примеры функций многих переменных.
1. t = x2+y2 + z2 для всех ху yt z\
2. и = х2 +y2 + z2 + t2 для всех х, у, г, t\
3. w = —~~— для /^1 и всех х, у, ζ.
3. Предел. Непрерывность. Говорят, что последовательность
точек {(хПУ уп, ζη)} стремится к точке (дт0> у0, ζϋ)9 если
Нтлти = лг0> \im yn=y0i \\mzn = z0.
/1->0О П-+СС П-+СР
Аналогично определяются пределы в пространствах четырех- и
многомерном. Имея понятие предела последовательности, мы
определим понятия предела и непрерывности функции многих переменных,
подобно тому как это делалось для функции двух переменных.
Теоремы, высказанные в пп. 8, 9 главы IX (с соответствующими
изменениями), имеют место также для функций многих переменных.
4. Частные производные. Если функция t=f(x, y% z)
определена в окрестности точки (х, у, ζ), то предел
lim f(x+h* y> *>""^*» у> *>
8*

228
ГЛ XI. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
если он существует, называется первой частной производной по χ и
обозначается символами:
dt у, v
-gX" или Λ(*, у, ζ).
Аналогично определяются частные производные по другим
переменным, а также производные функции большего числа переменных.
Примеры.
1. * = 3л;2 — 2xy + z*t
— = 6*-2v — ==— 2л; — = 2*
2. и = 2лг —3y + 2tf+2*2,
дх * ду ' dz 9 dt '
Выражение
д**
дхРдфдг*
(p + q + r = n) (1)
означает функцию, которую получим, продифференцировав функцию
* сначала ρ раз по л:, потом # раз по у% наконец, г раз по г.
Так как (см. стр. 200) два последовательных дифференцирования
можно переставить, то частная производная будет определена, если
дано число дифференцирований по каждой переменной (при условии,
что все частные производные непрерывны).
Примеры.
1. u=y2x3 + t2y3xz*,
&» =6№ζ
дх ду dz ' '
2.
xyt
1-f-/2
а№ = 6*2+6^
дн ι—г*
dxdydt (1 + *2)2
5. Формула и ряд Тейлора. Если функция t=f(x, у, ζ) имеет
в окрестности точки (л:, у, ζ) непрерывные производные до /г-ro
порядка, то, поступая так же, как для функции двух переменных
(стр. 210), получим формулу Тейлора (соответственно, формулу Мак-

5. ФОРМУЛА И РЯД ТЕЙЛОРА 229
лорена). В том случае, когда остаточный член стремится к нулю,
получим разложение нашей функции в ряд Тейлора (соответственно,
ряд Маклорена).
Примеры.
- χ+ν+ζ^-л ι х + У + 2 . {х + У + г)2 | . (* + */ + *)* ,
1. е — а -г и -г 2! -г · · · "г л! Τ · · ·
о ι- 1 + ^+У _*+*/-* (*+</)2-*2 t (*+*/)3-*3 ,
2. In 1 + г j J + 3 +···
■ ■ -+(■!)" (X + y)V1"',,"1+^
(-1)»-И r (x + y)i. 2* -ι 0<θ<1

ТОМ ВТОРОЙ
ГЛАВА XII
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
1. Первообразная функция. Говорят, что функция F(x) является
первообразной функцией функции f(x) в некотором интервале
(конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала
ά-ψ-=/(*)■ (1)
Примеры.
1. Функция у = sin x является первообразной функции у = cos x
в интервале (— оо, +°°)» т^к как
dsln χ
—τ = COS Χ.
dx
2. Функция y = \f\—x2 является первообразной функции
у— в интервале (— 1<дг< + 1), так как
dx Y\ — x*
Первообразную функцию называют также неопределенным
интегралом и обозначают символом:
В силу (1), если С означает произвольную постоянную, то
Таким образом, F (х) + С также является неопределенным интегралом
функции f(x). Поэтому можно писать:
lf(x)dx = F(x) + C.

2. основные формулы 231
Обратно, если примем, что функции Fx(x) и F2 (х) являются
неопределенными интегралами функции f(x) в интервале (а, #), то
''*w-M*»i-/w-/w-o.
Отсюда на основании следствия из теоремы о среднем значения
(стр. 130) заключаем, что
Fx (χ) — F2 (χ) = const.
Таким образом, зная одну первообразную функцию, мы получим
все другие, прибавив к ней произвольную постоянную. Возникает
вопрос, какие функции обладают неопределенными интегралами. Как
будет показано дальше, неопределенным интегралом обладает каждая
непрерывная функция.
Замечание. Если сказано, что F{х) — неопределенный интеграл
функции f(x), и не указано, в каком интервале, то под этим
интервалом в дальнейшем будет подразумеваться любой интервал, в котором
функция f(x) определена.
2. Основные формулы. Вместо того чтобы писать \ \dx9 будем
писать \dx. Таким образом,
1. \dx = x + С (С означает произвольную постоянную), так как
ах —1ш
2. ^d*=-L-*»+i + Cf пф-\%
так как производная функции -π*"+1 ПРИ п-\-\ф0 равна х\
|^ = 1плг + С, х>0.
££-1п(-*) + С, х<0.
Обе эти формулы проверяются дифференцированием. Их можно
заменить одной формулой:
3. §х-1(1х = §% = 1п\х\ + С.
Точно так же дифференцированием проверяются следующие
формулы:
4. ^axdx = ^+Q α>0, αφ\.
5. ^e*dx = ex + C.
6. С sinxdx = —cos χ-f C.

232 ГЛ. XII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
7. С cos л: йлг ==: sin л;-f. С.
С dx
8. \ -> =arcsinA: + C= — arccos лг-f С.
J l^l-*2
9. J j^^arctgat+ C==~arcctg a:+ C'.
3. Некоторые свойства неопределенного интеграла. Пусть в
интервале (я, Ь)
[f{x)dx = F(x), ^y(x)dx = <J)(x).
Так как
то
$ [/(at) ± φ (лг)] dx = f (лг) ± ф (*),
т. е.
$ [/(*) ± φ Μ] d*= $/(*) d* ± J φ (*) dx.
Таким образом, интеграл от суммы равен сумме интегралов от
всех слагаемых (если интегралы слагаемых существуют).
Если с означает произвольное число, то
d[cF(x)] dF(x)
dx c dx "VW.
следовательно,
^cf(x)dx = cF{x),
т. е.
\cf(x)dx = c^f(x)dx.
Таким образом, постоянный множитель можно вынести за знак
интеграла.
Примеры.
1. J (З*2 — 2x + 7)dx=^3x2dx — ^2xdx+[ ldx =
= 3 ^ χ2 dx~2 ^ χ dx + 7 ^ dx =
= 3.±х*~2.±х* + 7.х + С=х*~х* + 7х + с.
= f x~3 dx— Гаг-* dx+{x~6dx=
= ^2^2-^Г^1 +zb^ + C^-^+f-1 +C.

4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОДСТАНОВКОЙ 283
=5 J x^dx — Ъ ^xTdx— 2\ x~~dx=-
1
" +i 1 ——+i
ι —+i з ■- . »
i+1 4+1 -4+1
4. ^xVxdx^^x.x^dx^^x^^x^^JTi^Vx + C-
6. J —- — dx =
X*
1
= ^xVx — 5\n\x[ + Sex + ^ + C.
4. Интегрирование подстановкой. Существует несколько методов
отыскания первообразной функции. Одним из этих методов является
так называемый метод интегрирования подстановкой или заменой
переменного.
Предположим, что в интервале [at b]
\f(x)dx = F(x). (1)
Допустим, что функция χ=ζψ(ί) непрерывна вместе со своей первой
производной в интервале [α, β], и пусть a^.q>(t)^b для всех
точек t интервала [α, β]. Как мы знаем, при этих предположениях
сложная функция /7[φ(0] определена в указанном интервале, и
at
Так как F (*)=/(#), то
*n2M = FW{i)W{t).
р(х), то
£4^-/[φ(0]φ'('),
откуда
lf[9(*)]9'V)dt = F[V{t)]. (2>

234 ГЛ. XII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Иногда, хотя мы не можем вычислить интеграл (1)
непосредственно, представляется, однако, возможность вычислить интеграл (2),
т. е. определить функцию ^[φΜ]. Зная эту последнюю, легко
получить первообразную функцию ^(дг) для тех значений дг, которые
функция Λτ=φ(/) принимает в интервале α^^^β.
Заметим еще, что в силу (1) и (2)
lf(x)dx=lf[<p(t)]y'(t)dt для x = (f(t). (3)
Эту формулу мы получим формально, подставив
Λτ==φ(/), £κ = φ' (t)dt.
Примеры.
1. ^(a+bx)ndx, пф—\, ЬфО.
Положим a + bx=t; следовательно, # = -^5. Отсюда dx = ~r,
о о
значит,
Подстановка та же, что в предыдущем примере.
з. [*L=r% *>o.
J Va-x* _
Положим x = Y<xt, dx — Yadt\ следовательно,
С dx Г Vadt Г at . . , „
I r = \ wr = \ r = arcsin t + C9
так что
== arcsin—== + С
Замечание. Поменяв местами буквы χ и / в формуле (3),
получим:
$/[ф(*)]фЧ*М* ==$/(<)<« ДЛ* < = Ф(*).
Формально мы получим эту формулу, положив:
φ (х) = *,
а
<р'(лг)я?л; = *#.
С интегралом полученного вида мы встречаемся очень часто,
однако это не всегда легко заметить.

4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОДСТАНОВКОЙ 235
Примеры.
Положим
Итак,
/ = J*-ln|/| + C,
следовательно,
/=1п|аг2 + аг+1| + С.
5. /= ^(a + bx*)nxdx, (ЬфО, пф — \).
Положим
Тогда
Поэтому
откуда
6./ ■ dx
a + bx^^t, 2bxdx = dt.
xdx — ^rdt.
, 1 (a+6s»)"-n , „
Положим Yx*Jra-\-x = t, откуда
dx = dt,
таким образом,
так что
I = ^ = \n\t\ + C=\n\Yx* + ~a-irx\ + C.
7. /= С sin" дг cos * dx.
Положим t — sin x, dt = cos л: dx,
значит, /-Ji-Λ,

236 ГЛ. XII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
следовательно,
, f»+i sin*** * , _ , t
/ = {^Г1 + С=~^+Г"+С при пф~1>
I In 111 + C= In I sin χ |-f- С при л= —К
Положим
x2+\ = t, 2xdx = dt.
Следовательно,
2 0/я"" 2 (/2 — 1) ίΛ-! ^^ ^ ~ 2(я—ΙΗ^+Ι)*-1^
Аналогично получим:
5. Интегрирование по частям. Допустим, что ut ν— функции
переменной х, непрерывные и имеющие производные в интервале
(а, Ь). Имеем тогда
(uv)' = uv' + vu'\
так что
uv' = (uv)' — vu'.
Беря неопределенные интегралы от обеих частей и учитывая, что
[ (uv)' dx = uv,
получим:
f uv' dx = uv — \vu' dx, (1)
если оба интеграла существуют.
Пользуясь дифференциалами, предыдущую формулу можно
написать в следующем виде:
\ udv = uv — f vdu. (2)
Формула (2) дает возможность вычисление интеграла \udv свести"
к вычислению интеграла \ vdu, который, быть может, берется легче**
Этот метод называется интегрированием по частям.
Примеры.
1. /= Г хе* dx.
Положим
и — х, du — dx,
dv = ех dx, ν = ^ ex dx = e*.

6. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 237
Следовательно,
/= хех - J e*dx = Хе* — ех + С.
2. [inxdx.
Положим
н = 1пл:, du = —t
9 χ *
Следовательно,
Afo = dx% ν = \ dχ — χ.
I = x\nx — \dx = xlnx — x+C.
3. /=: СχηIn λ:йлг, ηφ— 1.
Положим
и = 1пл;, с/и =
*
χ'
я-и
dv — xndxt v = : , ,
Следовательно,
/=*"·-,"'* ^\xndx =
хп+1\пх If „ _xn + l\nx xn+l
n+l n+l)X dX- n+l (n+\)*'
6. Интегралы от элементарных функций.
1. jx"rf* = |£i+C, 1196-1.
Jf-lnW + C.
2. J α* 4* = ^+С, f e*djcs^ + C.
3. J In л; d* == χ (In χ— 1) + C (см. п. 5, пример 2).
4. J sin xdxz=z — cosx + C.
J cos л; rfjt = sin * -f- C.
5. JtgA:rfjc== — in|cosA;|-4-C*
Положим
COSAT=/, — S\nxdX=dt,
Тогда
6. Jctg*dA; = ln|sinJc|4-C.
Пользуемся подстановкой sinx = t.

238 ГЛ. XII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
7. fcosecArdArelnltg^-l + C.
sin χ = 2 sin у cos ~
Имеем
Поэтому
I cosecχdx = I χ
J J 2 sin
Положим
1 dx
cos4
2 sin -j cos γ J tg-j
in X * 1 *X A*
0082 Τ
Тогда
С cosec atdAr = Jy = In | /| + C=ln|tg-g-| + C.
8. JsecA;dA; = ln|ctg —(-2- — д:)| + С.
Положим
χ = -γ — ί, dx——dt;
в таком случае,
f sec л: dx = — \ sec (-~— / j dt = — \ cosec / ctf,
так что
С sec χdx= —In | tg-~| + C = In | ctg~|-f-C=
-4*τ(τ-*)|+c·
9. V arcsin jc cf# = jc arcsin д: + )Λ—*2 + С
Интегрируем по частям, положив
dx
и = arcsin a;, d« = -
dt; = с/а;, v = x.
Тогда
Г arcsin a: dx = at arcsin at — ( * ·
J jVl-x*
Для определения последнего интеграла положим
1— x2 = t, —2xdx = dt, xdx~—-%dt,

6. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 239
поэтому
ί
10· J arccos д: rfjc = χ arccos χ—Kl — x2 + С.
Поступаем, как в предыдущем примере, или используем формулу
я
arcsin л: -f- arccos x = —,
И. V arctgx*lx = xarctg a; — -jIn(1 + χ2) + С.
tt = arctg AT, fi?tt=·:
Положим
dx
отсюда
jaictg*d* = *aretg* —Jj^.
Для определения последнего интеграла положим
1+*2 = *, 2xdx = dt, xdx = ~dtt
поэтому
12. С arcctg xdxssx arcctg χ + γ In (1 + *2) + C.
Поступаем, как в предыдущем примере, или пользуемся формулой
arctg χ + arcctg лг = -~.
13. J arcsec л; d* = χ arcsec χ — In (Vx2 — 1 +1 д: |) + С·
Положим
. dx
и = arcsec x, du = -
\x\ Vx2-i
dv — dx, v = x.
Тогда
l arcsec а: й?л: = л: arcsec a:— \ *. x
Так как

240 ГЛ. XII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
(см. п. 4, пример 6), то
( -\n\Vx*~^ + x\ = \n(Vx2--\--x)
J
xdx ' при х< — 1,
{x{Vx2 l \ln(VlF=l+x) при*>1;
в обоих случаях, следовательно, можно писать:
h
xdx
. = \n(Vx*-l+\x\).
то
1*1 Vx*—l
14. ^ arccosecχ dx = χ arccosecx-f-ln (Vx2 — 1 +1 χ|) + С.
Поступаем, как в предыдущем примере, или пользуемся формулой
arcsec χ + arccosec χ *» -γ.
7. Формулы приведения.
Ι. Найти интеграл
Jn = ^ sin"xdx (л — целое).
Примем пока, что η Φ—1 и пфО. Так как
sin" χ = sin""2 x sin2 x = sin""2 χ — sin""2 л: cos2 лг,
/ητ=/η_2— С sin"""2 at cos2л: ^л:. (1)
Положим
и = cos x, du — — sin x dx,
С sin"""* χ
dv = sin"*2 χ cos χ dx, ν = \ sin""2 χ cos л: й?лг = ——ρ *).
Тогда
\ sin71 2 χ cos2 .*;</.*: = —τ h I —-y й?лг =
cosjcsin""1 χ , 1 _
/z—1 ' я—Iя
Подставив этот результат в соотношение (1), получим
, _ . cos* sin""1* 1 ,
Jn-Jn-2 л_! ΪΓ=Γ"'
откуда
cosjcsin""1* д—1 .
η ' ΊΓ 7«-2·
(1*)
Заметим, что последняя формула справедлива для всех η Φ 0, и
таким образом,
С · η _> cos л: sin""1 χ , л —1 f . „_9 f . / _. /οχ
\sinttA:fifAr = \-—^-\$mn2xdx (ηφΟ). (2)
*) См. п. 4, пример 7,

7. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ 241
Этой формулой полезно пользоваться, когда η > 0.
Пример 1. Имеем:
С . й _, cos χ sin5 * , 5 С . д ^
I sin6 л: й?аг = g h -7г \ sin4 λ: dx,
С . л _, cos χ sin3 χ . 3 Ρ . 9 ,
\ sin4ATfifA: = j 1--|- \ $m2xdx,
С . о _, cos χ sin * . 1
\ sm2xdx = 2 ^"~2Xl
il 5
sin6 χ dx = — -g- cos λ: sin 5л: — —л cos л: sin3 л: —
5-3 ... 5-3
cos χ sin л: + ^-τ-άΛ:+ &
6T4^WO'VO""' ^6-4.2
Чтобы получить формулу приведения для /г < 0, перепишем
формулу (1*) следующим образом:
, η . , cosxsin""-1.*:
Положив
получим:
следовательно,
л — 2 = —fc,
г — cos * s*n ~k+1 х k—2.
С ***_ _ cos* . k — 2 С dx /q\
JsTnTi"" (fc — 1)sin*"1 jc"*"F=T J sin*-*** K)
Для /? = 1 имеем:
ii£i==ln|tST| + C (π· 6- пример 7)·
Пример 2.
J sin3* — — Ып*~х + 2 J sfifi"""~ — 2 sin*a:"1" 2 | g 2 | "*"**·
П. Поступая аналогично, получим:
f* „ , sin *cosrt_1 x , л—1 С η-* j *. ±. л /л\
\ cos" xdx = 1 \ cos* 2 χ dx, η Φ 0. (4)
Γ dx _ sin χ fe—2 f» dx (&=£ П (5)
J cos^x^-Ocos*-1* *~1 J cos*"2*
111. Найти интеграл
» J(*2 + D*

242 ГЛ. XII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
(л — целое положительное). Имеем:
/1 = arctgA: + C.
Примем теперь, что л > 1. Заменив в числителе множитель 1
разностью (х2-\-\) — х2, получим:
т __ С dx С x*dx
Во втором интеграле положим
и = ху du = dx,
αν~-(χ* + 1)η' V J(x2+l)rt (2/1-2) (*2+i)«-i /»
поэтому
dx
С x2dx _ χ , Г
J (*a+l)*~ (2rt-2)(**+l)*-1 + J <
(2/t—2)(x2+l)"-i'
следовательно
/=/ ' * * '
* ft * PI
Ы J/i-i^(2/i — 2)(x2+l)*-i 2л— г'»-1'
т. е.
г __ χ . 2/1—3,
y/i — (2/1—2) (а:2+1)и-1 + 2л—27"-1'
Мы получили, таким образом, формулу приведения:
С dx χ . 2/г—3 С dx ( . ,fi
J (*2+1)й (2/1 —2)(a:2+1)w-i^"2/i —2J (*2 + l)"-i Iя > lh W
Пример 3.
Ρ djc x . 3 С dx
J (χ2+ΐ)3-4^2+1)2-Γ- 4 J (*2+1)a·
Ρ d* _ χ . 1 Ρ dx
J (χ2+1)2*~~2(χ2+1)~Ι~ 2 J jc» + P
J^ -arctgA;,
поэтому
С dx __ χ . 3 a: . 3 . , r
J (χ2 + ΐ)« —4 (χ2+1)2+ 2.4χ2+ι+2.4 arCtgA:+U
Задачи
Найти следующие интегралы:
1. \ aw*dx =-^ +С.
т\па '
1аЯ
Г* t pax+b
\ eax+bd
2. I e**+*d*
*) Пункт 4, пример 8.

7. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ 243
. Ρ *"~l jv in|g+to"l,c
5· J i+6^djC- nb+C·
6. I -, :=-r-arcsin — x+C.
== — -Γ" αϊ votii
. ^2^2 0 a
С dx 1 . b . n
7.je-5T3v=56arctgT^+c·
8· § J?_~+5dx=ln\x*-x+S\+C.
0. j^dr-lnl/WI + C.
1. ^sln(or+b)rfx C0S(^ + fe) + C.
2.J,sin(^+l)^=-C0S(^ + 1) + C.
3· J ДПГ^=~(«-1)(1пх)»-1+с (η^1}·
л f [tg*+3tgax+5tg3x] . 1., ... ,5.. ,.
4· J cos*J l<to«-2-tg»x + tg»*+?tg«*+C.
Γ sinejc 5 1
5. \ [sin5*—5sin3*+sin x]cosxdx=* —^ -j-sin4*-|—sin2*+C.
« f . . . j 1 [sin (a + b)x sm(a—b)xl , „
8. j sinexsmixdx—T [ —LJLi A-^J-J +C.
0 Ρ л , . 1 [sin (a + b) χ . sin (α—b) xl , -
9. j coeoxcoeteite-y [ ^ + a-b \ +C-
20-]шгтЬ~х^х-^х+с.
• §xY~ufidx=-j(\+x)~-l(l+x)~+C.
i α» cos»x+ft»sin* χ =4 afCtg (τtg *) +C·
24«75i^m4lnla+btg2*'+C·
21
22

244 ГЛ. XII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
24. \ еах cosxdx— ^—, , ' '--{-С.
л* С ах - л еах{аъ\ъх—cos*) , _
25. \ ea*siaxd* = i——-— +С.
«* С a + ^sin x + ccosx ,
26. \ —! d* =
J sin 2*
H>itg*i+ τ,Η*β(τ+τ)|+τ,η|*Βτ|+°-
27^(^2^=|(arctgjt)3+c
3. , ,Λ 6
28. i ax_^ Λ^_^^ = ^(^+1)3-^^+1)β +
6 ,.. ,,-, 3 t , iv4 2
*/х+\—Ух+1 2 5
+ (*+1) - 1 (* + 1) β + -у (* + 1) * - у (* + 1) » +C.
Указания.
1) m* = *; 2) αχ + & = *; 3), 4) a+bx = t; 5) a + bxn = t; 6), 7)—=*;
8) *t—*+5 = <; 9) jc3—3x2 + x—l = i; 10) f(x) = t; И) a*+6 = f;
12) *2-f l = f; 13) ln*=l; 14) tg* = f; 15) sin jc = i; 16) помножить
числитель и знаменатель на }fx-\-a—Y~x\ 17), 18), 19) произведение заменить
суммой, например,
sin α* cos &* = -£- [sin (a + 6)*+sin (α — b) x\\
20) tg*r = /; 21) γΊ+χ = ί; 22), 23) igx = t\ 24), 25) применить к обоим
интегралам интегрирование по частям, а затем решить полученную систему
уравнений; 26) заменить sin 2х через 2 sin л: cos*; 27) arctgx = f;
28) *-Μ = 'β·

ГЛАВА XIII
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
1. Разложение многочлена на множители. В алгебре*)
доказывается, что каждый многочлен Q(x) может быть представлен
в виде произведения
Q(x) = A(x-a)(x-V)...(x-y), (1)
где А — коэффициент, стоящий при высшей степени, а α, β, ..., γ—
корни уравнения Q(a:) = 0. Множители л: —α, χ—β, . .*, x — γ
называются элементарными множителями. Если некоторые
элементарные множители многочлена Q (х) равны между собой, то, собрав их
вместе, получим представление:
а(х) = А(х-а)г(х-$у...(х-\)1, (2)
где г, 5, ..., t — натуральные числа, причем r-\- s-\- ... +t = n
(η означает степень многочлена Q(x)).
Пример ы.
1. Многочлен Злг2 + 3лг — 6 имеет корни α=1, β=—2, поэтому
3λγ2 + 3λγ — 6=3(λγ—1)(λγ + 2)·
2. Многочлен лг4-—1 имеет корни а=1, β=—1, γ = /,
δ = —/
(/ = }/"—l), поэтому
л:4— \=(х— 1)(х+1)(дг — /)(* + /).
3. Многочлен χ3 — 2χ2 + χ = χ(χ— I)2.
Если элементарный множитель χ — а входит в разложении (2)
в степени г, то α называется r-кратным корнем.
Корни α, β, ..., γ могут быть комплексными. Для нас будет
важной следующая теорема из алгебры: если многочлен Q (х) с
действительными коэффициентами имеет r-кратный комплексный корень
а-\-Ы, то он имеет также сопряженный с ним r-кратный корень а — Ы.
*) Доказательства теорем п.π 1 и 2 читатель найдет в обычных курсах
высшей алгебры.

246 ГЛ. ХШ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Таким образом, если Q(x)— многочлен с действительными
коэффициентами, то каждый раз, когда в разложение (2) входит
множитель [х — (a-\-bi)]r, оно содержит также и множитель
[х — (# — bi)]r. Перемножив эти два множителя, получим:
[х — {а + Ы)]г[х — (а — Ы)]г = [(х-а) — bi]r[(x — a) + bi]r =
= [(х-а)2 + Ь2]г=(х2+рх + д)гу
где р = — 2α, q = a2 + b2.
Многочлен x2-\-px-\-q имеет корни а-\-Ы и а— Ы и его нельзя
представить в виде произведения многочленов первой степени с
действительными коэффициентами. Поступая аналогично с остальными
комплексными корнями, придем, наконец, к представлению многочлена
Q(x) в виде
Q(x) = (x-a)r(x~-$)s...(ax* + bx+c)t(dx2 + ex+f)n. (3)
В этом разложении все числа α, β, ..., α, b, cf d, e, /, ...
действительны, причем многочлены ax2-\-bx-\-c> dx2 + ex+f, ... не
могут быть представлены в виде произведения многочленов первой
степени с действительнцми коэффициентами.
Примеры.
1. χ*+\ = (χ*'—χ+1)(Χ+1).
2. AT3— \=(Χ2 + Χ+\)(Χ-~ 1).
3. x*+\=(x2 + xV~2+l)(x2 — xV2 + \).
4. *4-1=(λ;2+1)(λ;— 1)(*+1).
5. Разложить на множители следующие многочлены:
а) л;2 —5л: + 6; б) л:3 + 3л:2 — 6х; в) *в—1; г) л;8— 1;
д) л;3 (л;2 — Злг + 2)2(л;3 + 1)2.
2. Разложение рациональной функции на элементарные
(простейшие) дроби. Рациональной функцией называется функция,
определенная в виде частного двух многочленов, в тех точках, в которых
знаменатель не обращается в нуль. Итак, рациональную функцию мо-
Р (х)
жно представить в виде дроби тй-4, где Р(х) и Q(x) — многочлены.
Если степень числителя равна или больше степени знаменателя,
то, "выполнив деление, получим:
Q(x) W(X>^Q(x)>
где W(х) — некоторый многочлен, a R(χ)— многочлен степени
низшей, чем Q(x).
Примеры.
ι. "+«+'-*■ '
*2+1 ~~^х*+1'
*+#-*+х+й Зх+2
х*+2х— I ~x ι~Τχ·+2χ—1'

2. РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ 247
Ρ (χ)
Пусть дана рациональная функция п) : , где Р(х) и Q(^) —
многочлены с действительными коэффициентами. Допустим, далее,
что многочлен Q(x) представлен в виде (3) (см. стр. 246).
Ρ (χ)
Теорема. Если степень числителя рациональной функции ^ , '-
меньше степени ее знаменателя, то эту функцию можно представить
в виде
Р(х) А . В . . С ,
Q (х) (х—а)г ~ (х — а)1"1 ~ ' ' ' ^ х—а
D , Ε , F
(х-ру ι (χ-β)'-ι τ" · ■ ■ τ я-β
Gx+Я /* + /С _ , . Ls + M .
д/х + Р Q* + fl , . Sjc + Γ
"^ (dx*-\-ex + t)n ~*~ (d^ + e* + /)rt-1 "^ ' * ' "*"" <k2 + e* + /
(1)
В этом разложении Л, β, С... —постоянные числа. Разложение
(1) называется разложением рациональной функции на элементарные
дроби.
Равенство (1) имеет место для всех действительных х, за
исключением значений х = а, β, γ,..., т. е. действительных корней
уравнения Q(x) = 0.
Каждый' множитель многочлена Q(x) входит знаменателем в
разложение (1) во всех целых степенях, начиная со степени, которую
он имеет в разложении (3) п. 1, и кончая первой степенью.
Числителями дробей, входящих в разложение (1), служат либо
постоянные числа, либо многочлены первой степени, в зависимости
от того, является ли знаменатель некоторой степенью многочлена
первой или второй степени.
Чтобы определить числа Л, В, С, ..., помножим обе части
соотношения (1) на Q(x). Освободившись таким образом от
знаменателей, расположим многочлен, полученный в правой части, по степеням
х. Поскольку равенство между многочленом Р(х) и многочленом,
который будет в правой части, имеет место для всех значений x*)f
то коэффициенты, стоящие при равных степенях переменной х,
равны между собой. Получим таким образом ряд уравнений первой
степени, из которых определим неизвестные А, В, С, ...
Замечание. Прежде чем разлагать данную рациональную
функцию на элементарные дроби, необходимо проверить:
1° ниже ли степень числителя степени знаменателя;
2° являются ли числитель и знаменатель взаимно простыми.
*) Равенство справедливо для всех хч отличных от α, β, γ, ... , по
условию. Для * = а, β, γ, ... оно справедливо в силу непрерывности.

248 ГЛ. ХШ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Примеры. Разложить следующие рациональные функции на
элементарные дроби:
η 2л:— 1
ύ· Χ2_5χ + 6 '
Так как дг2-—5дг + 6 = (дг —3) (лг —2), то полагаем
2л:—1 __ А . В
χ2_5Α: + 6 "" X —3 + X —2 '
откуда умножением обеих частей на хг— 5л;-f-6 получим:
2л;--1=Л(л; — 2) + В(х — 3),
поэтому
2л; — \=х(А + В) — 2А — ЪВу
следовательно,
А + В=29
2Л + ЗЯ=1,
откуда /4 = 5, /? =— 3.
Таким образом,
- 2х—1 5 3_
ха—5х + 6 а:—3 х—2 *
ЗхЧ-За:+12
(х—1)(х-{-2)х *
Применим здесь другой метод, который быстрее приводит к цели,
когда знаменатель имеет только действительные простые
(однократные) корни.
Положим
Зха + Зх + 12 _ А В С
(х—1)(х + 2)х — х—1 + х + 2 + χ '
откуда
Зл:2 -f- Зл; + 12 = А (х + 2) χ + Β(л; — 1) лг + С (л; — 1) (л: + 2).
Положив поочередно л; = 0, 1, —2, получим:
12=-2С, 18 = ЗЛ, 18 = 6S;
таким образом,
Л=6, 5 = 3, С= — 6,
следовательно,
Зх2 + Зх+12 6 ?L._JL
(χ— 1)(х-{-2)х χ—1 +х + 2 χ '
- Ρ (χ)
(χ-α)(χ-β)(χ-Υ) '
где Ρ (л;) —многочлен степени, меньшей чем 3; α, β, γ —различны
между собой.

2. РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ 249
Положим
Р{х) ^ А . В С
(х—а) (л:—β) (а: — γ) х—α "*" * —β "*" л:—γ '
откуда
Р(х)^А(х-$)(х-у)+В(х-^а)(х-у)+С(х-а)(х-$).
Полагая поочередно х = а, β, γ, получим:
л= р(а> · Д-... *>(β) г_ Я (у)
(а—Р) («-Υ)' (β-α) (β-γ) ' С " (γ-ο) (γ-β) #
й 3*2 + χ + 2 Л , β , С
ο. —
(*+1)(χ—1)» *+1 Γ(χ—1)2"τ- α: — 1 '
следовательно,
3^ + х + 2 = Л(^-1)» + Д(х+1) + С(ж+1)(х-1), (2)
откуда
Зх* + х + 2 = х*(А + С) + х(-2А + В) + А + В-С,
таким образом,
Л + С=3, ~2Л + 5=1, Л + #~С=2;
окончательно получим:
Д=1, 5=3, С=2.
Коэффициенты Л, 5, С можно отыскать и другим способом.
Положив в (2) поочередно х=— 1, +1, получим:
4 = 4А, 6=25,
следовательно,
А = 1, 5 = 3.
Для определения коэффициента С продифференцируем обе части (2):
бдг+1 = 2Л(лг— \) + В + С-2х.
Положив теперь х=1, получим:
7=5 + 2С;
следовательно,
С=2.
Этим методом удобно пользоваться в том случае, когда
знаменатель рациональной функции имеет действительные кратные корни.
7 *4+1 Л Д С D £
'· χ*(χ—1)(х+1)» jc2"1" х1" jc— 1 "*" (*+1)2 "*"" х+1 '
следовательно,
д;*+1 = Л(л;— \)(х+\)2 + Вх(х — \)(χ+\)2 +
+ Cx2{x+\)* + Dx*(x-\)+Ex*(x-\)(x+l),

250 ГЛ. ХШ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Положив поочередно л; = 0, 1, —1, получим:
1 = — А, 2 = 4С, 2 = — 2D,
откуда
Л=-1, С=±, D- —1.
Мы, таким образом, имеем:
х*+ 1 = —(дг—1) (*+ 1)2 + Вх(х- 1) (х+I)2 +
+ ±χ*{χ+ψ—χ·(χ-\) + Εχ4χ— l)(x+\).
Дифференцируя обе части, получим:
4ха = — (*+ I)2—2 (х— 1) (дг+ 1) + Я[(* — 1) (лг+ 1)2 +
+ л:(дг+1)а + 2дг(д?-1)(д?+1)] + лг(д:+1)2 + л;2(д;+1)-
— 2лг(дг— 1)— лг2 + £[2х(лг-1)(;с+1) + л:2(.к+1) + .к2(* — 1)]#
Положив теперь поочередно лг = 0, —1, найдем:
0 = 1—5, — 4=— 5 — 2Е,
следовательно,
хг + 2х— 1 _ Л Д* + С
*' (л:—1) (л:2+1) х—1 ~*~ х2 +1 '
откуда
х2 + 2х—\ = А(х2+\) + (Вх + С)(х—\).
Положив л;=1, получим 2 = 2Д значит, Л = 1. Перемножив
и сравнив коэффициенты, найдем:
\=А + В, 2=-В+С, -1=Л-С,
следовательно,
5 = 0; С=2.
О Зл:а+ 1 Л uJ*i±C^tDx±E
(^+l)(^a+l)2""^+li"(^a+l)a"f"^ + l #
Освободившись от знаменателей и сравнив коэффициенты,
получим:
Л+/Э = 0, £■+£> = 0, 2Л + Я+£+# = 3,
5+ C+£+Z>=: 0, Л+С+£=1,
следовательно,
Л==1, B»lt С=~1, £>=-!, £=1.
10. Разложить на элементарные дроби рациональные функций,
стоящие под знаком интеграла, в задачах, приведенных в конце
этой главы.

3. ИНТЕГРАЛЫ ОТ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 251
3. Интегралы от рациональных функций. Разложив
рациональную функцию на элементарные дроби, мы сведем интеграл от
рациональной функции к интегралам типа:
б) ^X~^r=- (r_1)(f_a)r-i +C (гф\);
w'si.
(ax2+bx + c)r
(причем многочлен ax2 + bx-{-c не имеет действительных корней,
так что Ь2 — 4ас < 0).
Для определения интеграла типа в) заметим, что
следовательно,
аХ* + Ьх+с = а(Х + ^ + 4-"^. (1)
Введем новую переменную ζ по формуле
α[χ+Έ) =~й-^ (2>
откуда находим:
Принимая во внимание (1) и (2), имеем:
Таким образом, пользуясь подстановкой (3), получим:
С Ах+В . CMz + N
7*χ-$\
(ax* + bx+c)r" J (z2+l)J
\r
dz;
Μ, Ν означают некоторые постоянные числа.
Далее,
' СМг + N МС zdz n dz
(г2+1)г
Ко второму интегралу применяем формулу приведения (стр. 242,
формула (6)); положив же в первом интеграле z*+\=t (стр. 236,
пример 8), получим:
J(22 + 1)r = —2(Г_1)(22+1)г-1 + С (гф\);

252 ГЛ. ХШ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Пр имер.
h
5*+3 ;iX,
(2*2 — 4*+10)2'
2^2~4д:+10 = 2(х2~2х + 5)==2[(л:~»1)2 + 4] = 2(л:~1)2 + 8в
Положим 2 (х —1)2 = 8г2, откуда x=\-\-2z, так что
2лг2 — 4л;+10 = 8(г2+1), dx = 2dz,
следовательно,
Г 5*+3 ^г-Г 10г+8 2^-5Г zd2 i!f d2
J (2**-4*+lG)aflJC~'J 82(г2 + 1)2 16 J (г2+1)2"Г 4 J(z2-fl)2**
Ho
zdz 11
(z2 + l)2"~ 2ζ4Γ
(Z2+ 1)2 —2(22+l)+ 2 arct2*
(см. стр. 242, формулу (6)). Таким образом,
Ъх + г
ί
(2*2-4х + 10)2
■</#:
i^+T^+hIc^+c-^wTT)+T^z+c-
χ J
Заменив теперь ζ— —н—, найдем:
ί
-й?л:_я +^arttg +с.
(2х2—4х + 10)2 4 (2л;2— 4а: + 10)
Задачи
Взять следующие интегралы:
Ч(х+У№г1+1)<ь-Т*,-Т*+41и'*+1'+|1°^+1|+с.
2· J ■(«_ΐ)·(χ+ΐ)·™χ-2"?=ϊ+ 4 Ш |ϊ+ϊ| + ("
. f *rfs 3 , . (х+Зу , .
4> j(x + 2)(x+3)^=-i+3+n U+2J +С·
_ f* dx 2 , 2х-И ,r
«· J(^4W+4J=larCtg-21-larCt^+C·

3. ИНТЕГРАЛЫ ОТ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
*+ι .1 1
-f-^arctg^+C (α>0).
8. j Ί?^
С dx =-Li
9. ] ?^J? 4α» 1η
?TT==Tln|Ai+l|-_in(^_^+l)+_=arctg-pT+C.
4^
γ=τ1η|
1|—g.ln(jc«+jc+l)-
Y~b
— arctg
2x— 1
2*+l
О
f *L—- 1 . 1+* V"2+je» , 1 . *V_2,r
f Ac 1
4. ίίίίΐρ^-ϊ^ί^+ΐηΙ^ΤΤ+ο.
= arctg ^^H-C.
ί^8 1
x8dx .
l(ks+9~24ln
J (5- 7*·)»
χ*—9
:dx-
x9 — 1
+c
5(5 — 7*»)*"
„ Γ_12χ15 d:c_>«(*8--3*«-H) + 30 . n, g
8" J^T)5 2(*«+l) + '»(*·+»> +c·
JtTx-анх-р)]"'α*β: положив Щ=г:получиш
(*-α)(*-β)==(α-β)«
(Ι-*)·
г
следовательно,
Ρ dx 1 f
J [(*-α)(χ-β)]»-(α-β)»-0
(1-г)а '
(1— г)3'»-8
-α)(*-β)]«
Определить этим же методом интегралы:
а> J (χ2__3*+2)3 ; б) J (я2-!)6' B) J (*«-α2)» ·
<fc.
dx
253
Указания.
1), 2) Выделяем целую часть, а оставшуюся рациональную функцию
разлагаем на элементарные дроби; 3), 4), 5), ..., 13) разложить на
элементарные дроби; 14) ** = <; 15), 16), 17) *=> = !, 18) x* = t.

ГЛАВА XIV
ИНТЕГРИРОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
1. Интегрирование простейших иррациональностей. Если пере*
менная χ входит под знаком интеграла в разных дробных степенях,
то, обозначив через ρ наименьший общий знаменатель всех
показателей степени дг, мы подстановкой χ = ζρ освободимся от дробных
степеней. г d С d
Пример и /=J(i+H^H (14J-),i; положив
x = z6i dx = 6zb dzt получим:
r С №dz лГгЧг c a 4 , n
следовательно,
I = 6yit-6arcigl/~x + C.
Пример 2. /= 1 V * dx\ положив λγ = ζ4, dx^^dz^
получим:
= 4 (f —T+T —£-+*)-«Ч*+Ч+С
следовательно,
1 = ±А/^-х+±У^-2УИ + 4 ^-4ln(^ + l) + C.
Замечание 1. Аналогично поступаем, когда под знаком инте*
грала стоит двучлен αχ+b в разных дробных степенях. Подста*
новка ax + b = zp (ρ—как в предыдущем случае) позволяет освобо*
диться от дробных степеней.
тельно,
Пример 3. / = Г—%=^\ x+\=z2, dx = 2zdz, следова*
ьно. JxVx+l
/βί^^ϊβ2ί5ϊ=ϊβ1η|ίίτ| + ^

2. БИНОМИАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 255
так что
/ = 1п
VWi-i
/дс+1 + 1
+ С.
Замечание 2. Если под знаком интеграла стоит выражение
-> , ,,* в разных дробных степенях, то можно освободиться от
дробных степеней при помощи подстановки ■ ™'Χ.,1=ζρ (ρ — как в
предыдущих случаях).
Пример 4. / = j± ]/1±£</лг;
χ ~~*; л~~z*—\iU (ζ2—ΐ)2'
следовательно,
'-№-"-&&— «ira*—«-'■|ίϊΐ|+«
значит,
,__а/Ш_ь|,(/Нг_,)"|+й
2. Биномиальные интегралы. Интегралы типа
^(a^ + bfax,
где т, л, ρ — рациональные числа, называются биномиальными ин*
тег ралами.
Если ρ — целое число, то интеграл сразу берется методом,
указанным в п. 1.
Пусть теперь ρ не является целым числом. Возьмем подстановку
Если ζ > О, то
\ лгот(ялгл + £)^лг = ^- V* « (яг+ £)'</* =
Мы видим, таким образом, что если —^- целое число, то
биномиальный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной
функции подстановкой
α#+ί = ί* (α —знаменатель числа р).

256 ГЛ. XIV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Если же т +р—Целое число, то придем к рациональной
функции подстановкой
az-\-b ,а . ч
—ι— = г (а—как выше).
Таким образом, биномиальный интеграл можно свести к интег·
ралу от рациональной функции, если одно из чисел
Pt η > η ^Р
целое.
Пример.
Г --
/=^ л;3 (1—лг2) * аХш
Имеем здесь m = 3, я = 2, р=—γ. Поскольку =2, то
заданный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции.
Положим
лг2 = ζ, xdx — γ dzy
следовательно,
/ = -1 Γζ(1— ζ)" 2 dz.
Теперь положим
\—z = t* (/>0),
dz = — 2tdt,
тогда
следовательно,
3. Интегрирование рациональных функций /?(jc,_y)*).
Интегрирование рациональной функции R (х, у) (у = Υ ах2 + Ьх + с) сводится к
интегрированию рациональной функции от t одной из трех следующих
подстановок:
*) Рациональной функцией R (х, у) двух переменных называется функция,
определенная как частное двух многочленов относительно переменных (х, у)
в тех точках, в которых знаменатель отличен от нуля. Мы будем всегда
предполагать, что коэффициенты многочленов действительны и что
многочлены взаимно просты между собой.

3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ R (AT, у) 257
1>а>0.
Положим
откуда
следовательно,
Подставив
получим:
V<zx2 + bx + c —xV~a = t, (l)
αχ2 + bx + с = αχ2 + 2χ t У"а + t2t
bx + c = 2xtVa +t2.
ΛΓ =
b — 2t γα '
(b-2 Vat)2
Vax2 + bx + c = xVZ+t= -t*Va+bt-cV-a
^ b-2t}TZ
Таким образом, подстановкой (1) мы выразим
χ, Yax2-\-bx + c, dx
рационально через переменную /; следовательно, интеграл V R (xty) dx
перейдет в интеграл от рациональной функции переменной /.
Пример 1.
/=Г dx
J γχ*+6χ+6 #
Поскольку
я=1>0,
то положим
Υχ2 + βχ + 5 — χ = ύ,
откуда
следовательно,
'-Jra?—lnl8-'l+c·
значит,
/= — In I 3 + x—Vx* + W+51 + C.
2) tf>0.
Положим
Vax* + bx + c = ** + Kc", (2)
9 С. Банах

<258 ГЛ. XIV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
откуда *
ax2 + bx + c = x2t2 + 2xtV7 + c, ax + b=*xt* + 2tY~c.
Следовательно, подставив
2tV7-b
получим:
Таким образом, и в этом случае после подстановки (2) интеграл
[R(xfy)dx преобразуется в интеграл от рациональной функции
переменной t.
Пример 2.
/= i —— —; имеем: с = 4>0.
J /-χ·-3χ+4
Положим ^
1/" — а:2 — 3λγ + 4 = λγ* + 2,
откуда
«*— l_f_/2 » «Λ —Ζ ^2^.1)2 "*»
следовательно,
/=— J ^l^i = — 2 arctg ί -f- C,
так что
/=— 2 arctg — - г- С.
3) б2 — 4ш?>0.
Обозначив через α, β корни уравнения ax2 + bx-\-c = 0, получим
ах2 + Ьх + с = а(х — а)(х — β).
Положим
y^+te + c^V^t* — а)(лг-р) = *(лг-а), (3)
откуда
α (λ: — α) (at — β) = /2(Λ: — α)2, α (λγ — β) = *2 (*—α);
подставив
αβ — α?2
*"" α-ί2 '

так как
то полагаем
4. некоторые частные случаи 259
получим:
Следовательно, подстановкой (3) интеграл \ /? (х, у) dx
преобразуется в интеграл от рациональной функции переменной t.
Пример 3.
г С Л*
Имеем:
Ь2 — 4ас = 42 — 4· 1-3 = 4 >0;
—х* + 4х — 3 = — {х— \){х — 3),
/-(*-1)(*-8)-(*-1)/.
Отсюда
следовательно,
/ = -J|^== —2arctg* + C==-2arctg j/*EI + C.
Замечание. Если α<0 и с < 0, то две первые подстановки
не годятся. В этом случае можно всегда пользоваться третьей
подстановкой. Действительно, если было бы а < О, с<0 и £2 — 4ас < О,
то многочлен #лг24-&я+с был бы всегда отрицательным, так что
Ϋах2-\-Ьх + с ни при каком χ не был бы действительным числом,
4. Некоторые частные случаи интегралов от рациональной
функции R(x,y)(y = Vax2-\-bx-\-c).
1) Интеграл вида
dx α<0, b2 — 4ac>0,
-ί
У^ + Ьх+б-'
можно вычислить также следующим образом.
Имеем:
\2 , Ь2—4ас

так что
260 ГЛ. XIV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
т. е.
__ Ь , Уь*—4ас
Х-2\Г\~г 2\а\ Z%
тогда
άχ" 2|α| dZ> в*г + ^ + С = -4|7|-(1-^)·
Следовательно,
Пример 1.
J j/5x-6jca-i '
Положим
откуда
5 1 1
■^ — χζ + Ι^*» ^ = γ2^
б*-6*>-1-^(1-*),
следовательно,
f dx ΐ \2dz I : , ^
Ι - =-= ι —ζ = -7=arcsini2r+ C,
J /5*-6*>-l J 1 _ V\—? ^
2 У β
так что
J 1^5λ:-6λ:2-1 Кб '
= — -~=arcsin(-- 12лт + 5)+С.
2) /ef *L
„ , , Vax* + bx+c '
Положим
Тогда
1
λ: — a = —,
ζ
* = a+i.

4, НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ 261
Если лг>а, то *>0. Следовательно, для х>а получим;
" г2 г
(L = aa2 + *a + c, M=2aa + b, N=a).
Так как
то
«*—£.
г— Г * — (*><*).
чно, получим
J Vba+M*+iV
Поступая аналогично, получим
Пример 2.
J(*-l)^+l
Положим
откуда
,-,-i.
так как для аг> 1 *>0, то Ух2+1=±-У2г2 + 2г+\,
JI
откуда
J Vw
г2+2г+1
Применив к последнему интегралу подстановку (стр. 257):
V20 + 2z + \ = zV2 +1,
получим:
/«^1п(4г + 2-2уГ2'/2^ + 2<г+1) + С.
Положив, наконец, 2 = - получим для #>1:
-τλ,ΐπ
+ 1 1^2
2* + 2—2 УТ Уха + 1
а:—1
+ с.
Можно легко проверить, что полученная формула годится также
для лг<1.
Ахах
3) ,-\
(α*2 + γ) ]Лгл:2+с *

262
ГЛ. XIV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Этот интеграл мы вычислим подстановкой
Имеем:
Следовательно,
*2 =
*2-с
xdx = — tdt.
a
J a;
A at
t*+(a\r-ac)'
Последний интеграл легко берется (см. гл. XIII).
Пример 3.
/ — Г *Д*
J (2*2+1)
Положим
откуда
следовательно,
— Г dt
J 2<2~
7 2 VT4
In
<+
/1
+с,
2 1^14
, Vx*+4-j/'.
4)
Подставим
откуда
следовательно,
И, таким обрааим,
Пример 4.
ч
Adx
(cu2+Y) V^+c '
lAur2 + c = **,
7_
4 4-С.
л;2:
d*
*2 —a»
(ί2-α)2'
(ft
K^2+c ** *2' **-<*
A at
'—j
γί2+(α£—γα)'

4. НЕКОТОРЫЕ ЧаСТНЫЕ СЛУЧАИ 263
Положив
получим, как раньше:
у2_ 4 dx _ «ft
следовательно,
7—Jp^t—yi-aIctsyf+c'
Так как
ί_£ϋ±±
το
'--7=7«^Т7Т+С·
Замечание. Интеграл типа
ί-
-dx
(<**2+γ) Vax2+c
вычисляем, разбив его на сумму двух интегралов типов 3) и 4).
5) /== Г (Αχ+Β)άχ (β2_4αγ<0*), αφ 0).
Этот интеграл мы постараемся свести к интегралу типа
Г (Лх+Д)<1х (1)
J (<**2+Y) Va**+c *
а) Если α:0 = β:£, то подстановкой
преобразуем наш интеграл к типу (1).
Если α, β не пропорциональны числам я, Ь, т. е. если а* —
— ββ^Ο, то подставим
рг+<7 /2)
и подберем числа ρ ъ q так, чтобы наш интеграл преобразовать
к типу (1).
Пользуясь подстановкой (2), получим:
J (αΐ22 + βι2+Υι) /" α^+Μ+^ι
*) Если β2—4αγ > 0, то α*2+β*+γ имеет действительные корни и
интеграл берется легче.

264 ГЛ. XIV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
(знак зависит от того, будет ли z> — 1 или г< — 1), где
L = {Ap + B)(p-q), M=(Aq + B)ip-q),
αχ = αρ2 + βρ + γ, ax = ap* + bp+c%
βι«2οζρ? + β(Ρ + ί) + 2γ, bt = 2apq + b(p+q) + 2cf
Υι=α?2 + β? + γ, cx=:aq2 + bq + c.
Мы хотим определить числа />, ^ так, чтобы βχ = 0 и ^ = 0.
Для этого придется решить систему уравнений
2αρ? + β(Ρ + ?) + 2γ = 0, \
2apq + b(p + q) + 2c=Q. J (3)
Можно доказать, что система (3) имеет действительное решение
если *
а£— а$ф0 и β2 — 4αγ<0.
Прим еры.
5а /-Г (2x+\)dx
J (х2+2х+6 )УГ2х2 + 4а:— 1 #
Так как коэффициенты многочленов х* + 2х, 2х* + 4х
пропорциональны, то подставляем
*=-272 + * = *-1.
При такой подстановке получим:
г* + Ь)У 2г*-Ъ
/__Г (22-1) <fe
J («»
56. /=Г <^-?^
J (Зх·—10jc+9)1^5jc»—12jc+8
Применим подстановку
2+1 *
Числа ρ и q определим из системы (3)г
6р?-10(р + ?) + 18 = 0,
\0pq- 12(р + ?)+16 = 0,
откуда pq = 2, р + <7 = 3, следовательно, р=1> # = 2.
Подставляя, следовательно,
_2+2 , , 1
χ-ϊ+ϊ = 1+ϊϊ1'
получим для г> — 1, т. е. л: > 1:
7 Г (3i+\)dz _qr zdz , Г Φ
J (2г2 + 1) /"2· + 4 J (222+i) ]Λζ*+4 J(22«+l) ]/*?+4 '

4. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ 265
Последние интегралы вычислены нами в примерах к типам 3) и 4)
(стр. 262—263).
Итак,
з , т^й- Ϋ\ , У7Щ.Г
/ = -4= π 7=—-T^arctg X -f С;
так как
„.g;,^/^,
то
^5x*-12*+8 - (*-l) |/J
2 У 14 ^5**-12* + 8+(*-1) j/ I
, 1 t J^5**—12x+8 , ο tA\
4- -7= arctg - t~— + С (4)
ΫΊ S (*—2)^7
Формула (4) верна для д;> 1.
Приняв теперь, что в подстановке
Х ζ+1
г< — 1, и, следовательно, лг<1, получим:
Так как
то
/= -γ= 1Π · /=- +
2VU ^5*«-12x+8+(*-l) у {
+ 'arctg ^5'2-'*+» + С.
>^7 * (*—2)1^7
Мы видим, таким образом, что формула (4) верна для всех
значений переменной х. (Для х~1 она верна ввиду непрерывности
производной и подынтегральной функции.)

266 ГЛ. XIV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
5. Замечания о преобразовании интеграла J R(xf y)dx. Хотя
подстановки, приведенные в п. 3, всегда сводят интеграл
\R(xi y)dx к интегралу от рациональной функции, однако часто
во избежание кропотливых выкладок удобно предварительно
преобразовать функцию /?(лг, у).
Заметим, что если я — натуральное число, а у = V ax2 + bx + c9
то
у** = (ax2 + bx + c)w, y2n+l =y2n.y = (ax2 + bx + c)ny.
Отсюда мы видим, что каждый многочлен Н(х, у) переменных х, у
может быть представлен в виде
H(xfy)=W1(x)+yW2(x)i
где Wx(x) и W2 (x) — многочлены переменной лг. Поэтому
рациональную функцию R(x, у), как частное двух многочленов, можно
представить в виде
Kl ' y}~w3(x)+yw*(x)'
где Wly W2, W3, №4 —некоторые многочлены.
Помножив числитель и знаменатель на W3(x)—yWA(x) и
заметив, что
[W, {x)-yWi (χ)] [WM (x) +yWt(x)] = W\ (x)-y*Wl (x) =Px(x)
где Рг{х) — многочлен), получим:
/?ίν- υ\ Р*(*)+УР*М-Р*(х) ι ΡΑ*) „...*«(*) , PsX*)y*
к (X' У) - Ρι (χ) ~ Ρι (χ) -г- Ρι (χ) -У - Ρί (χ)
Положив еще
получим:
*Г Ρι(*)</ *
Ρ*(*)-Τ(.Λ £s(£)JLa-ci*-\
R(x,y) = T(x)+£f±. (1)
Отсюда мы видим, что рациональную функцию R(x^y)
(у = Vах2 + Ьх-\-с) всегда можно свести к виду (1), где Т(х) и
S (х) —рациональные функции.
Примеры.
' χ— Ϋχ*—1 (х — γχ^Γ\) (χ + ΥΊ^Λ)
= 2х2 — \-\-ЪхУх2—\,
следовательно,

5 267
R (x, у) dx
о P(*)+Q(x)y =p2+Q2y2+2pQy = p2+Q2y2 ι 2pQy2
P(x)-Q(x)y P*-Q2y2 Pt—QW^iPt—QWy9
Вернемся к интегралу ^ R(x, y)dx. В силу (1) имеем
С/?(лг, y)dx=[ T(x)dx+\ ^-dx.
Первый интеграл правой части является интегралом от
рациональной функции; такие интегралы мы исследовали в главе XIII.
С S (х)
Для вычисления интеграла \ —— dx представим рациональную
функцию 5 (х) в виде
s м-*<*)+£§.
где W(x), Ρ (x)t Q (x) -—многочлены, причем степень многочлена Ρ (л;)
меньше степени многочлена Q(x). Разложив, наконец, функцию
р(х) * PS(x) , и
тгу-т на элементарные дроби, сведем вычисление \ —"- dx к
Q\X) о У
вычислению интегралов вида
fuif>Ar С dx С (Ax+B)dx (2)
J У ' U*-*Yy ' J (<***+β*+γ)Γ*/ # К '
Приведем теперь простые методы для вычисления интегралов (2).
а) Интегралы типа
W (х) dx
ί-
Vax*+bx+c
(W(x) — многочлен).
Если W (χ) — многочлен степени л^*1, то можно показать, что
интеграл такого типа всегда может быть представлен в виде
ι
W (х) dx __
Vax*+bx+c
ax2-{-bx+c
где А, В, ..., С, D — некоторые постоянные*).
Для определения этих постоянных дифференцируем обе части
равенства, а затем умножаем на 1/rax2 + bx-^c. Сравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях переменной χ в обеих частях
полученного равенства, мы придем к системе уравнений, из которой
определяются постоянные Д В, .„, С9 D.
*) Существование такого разложения мы примем без доказательства.

268 ГЛ. XIV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
С W (χ) ах
Таким образом, вычисление интеграла \ г к ' сведется к
J V ax2+bx+c
вычислению интеграла I r --—г. Этот последний мы найдем
J Vax*+bx+c
при помощи одной из подстановок, приведенных в п. 3 (стр. 256 — 259).
Пример 3. [Υζχζ-βχ- \dx= Г *χ2~6χ~~1=άχ.
Положим
лродифференцировав обе части равенства, найдем:
5*2—6x^-1
УЬх*-6х-\~~
^2 ^5**-6л;-1 т >/5^-6,-1 *
помножив обе части на радикал и упорядочив, получим:
5*а — 6л:— 1 = 10Ак2 + (5£— 9Л)лг+(С—Л — ЗЯ);
следовательно,
ЮЛ ==5, 5Я-9Л= — 6, С—Л-35= —1,
откуда
Л— 2 , £> — 10, С— g .
Таким образом,
J Vbx* — 6* — 1 d* =
\2 Ю; 5 J ^5^2_6χ_!
Что же касается последнего интеграла, то, положив
VSx2 — 6^—1 = ^1/5 + /,
получим:
ί
d* l
}^5a:2-6x-1 }^5
б) Интеграл типа
= _«!_ in) юлг — 6 — 2V5V Ьх2-6х— 1| +С
Г (*) <1лг
ί
(*—α/ J^a^+ta+c
(W(лг) —многочлен степени меньшей, чем г).
Если г=1, то многочлен W(х) сведется к постоянной, и мы,
следовательно, получим интеграл, рассмотренный на стр. 260.

5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛА \ R (Х, у) dx
269
Если г>1, то мо)кно показать (доказательство опускаем), что
интеграл этого типа может быть представлен в виде
ί
W (χ) dx
(x—a)r V~ax*+bx+c
(х-аГ-> У aX +bX + C +D) (x-a)}/ax*+bx+c '
где A /?, ..., C, D—некоторые постоянные, определяемые как в
случае а) на стр. 267.
Последний интеграл вычисляем, как на стр. 260. *
Пример 4.
J (χ-ΐμ J (x-D* Ϋ*+ι
_Αχ + Β,^-ςγ-7 . СГ dx
Продифференцировав обе части равенства, получим:
х*+1
(*—I)3 1^ + 1
Ax + A+2B1JrzSTTT . Ах+В
/v—ПЗ У Х "Τ" 1 Τ" /*. 1\2'
помножив обе части полученного равенства на (л:—1)8К#2+1
и приведя подобные, найдем:
аг2+1 = -аг2(2Л + Л—С) — х(А + В + 2С) — (А + 2В—С).
Следовательно,
2А+ Я— С=—1,
Л + Я + 2С=0,
А + 2В— С= — 1,
откуда
Таким образом,
J^T^I^* 7(Ι=ΐ?Κ* +1+4 J(*-l)»T]?+T
Последний интеграл уже вычислен на стр. 261.
в) Интеграл типа
W (х) dx
ί
(αχ* + βχ + У)г V~ax*+bx+c

270 ГЛ. XIV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
(W (х)—многочлен степени меньшей, чем 2г, многочлен же ах2 + §х + у
имеет комплексные корни, т. е. β2 — 4αγ < 0).
Если г=1, то W(x) сводится к многочлену первой степени;
данный интеграл совпадает тогда с интегралом, рассмотренным на стр. 263.
В случае, когда г> 1, можно показать, что интеграл
рассматриваемого типа может быть представлен в виде
ι
W (χ) ах
(α*2+β*+γ)Γ У ax*+bx+c
Г {wfi+tx+yr* -Vax* + bx + c +
Ρ Dx+E
J (ax*+&x+y) Yax*+bx+c
где А9 В, ... , С, Д Е— соответствующие постоянные, определяемые
как в случае а) на стр. 267.
Интеграл
Dx+f dx
h
(ах* + $х+у) Уах*+Ьх+с
вычисляется, как на стр. 263.
Задачи
С V'x
»· \^7^7=х<1х-1п7Т7^-лГ+с·
2. I JU-^i,-
= 12 [g-*4 -τ*Χί+3·χ12—3 ж* +*"_arctg U'Vj
J /9+*a +3 ^9+** +3
4
+c.
- ... ===—7= arcsin —5 h C.

5. преобразование интеграла \ R {х> у) dx 271
Г dx 1
9· jy-2-5,-^=WarCSin(6,C+5)+C·
Г dx ^
J У^2л:—jc2
И. f-7=
J /Ϊ
10. \- r^—i 2arctg 1^-^ + C.
*2dx
+ X+X2
13# f-£±L-dx=— lyT=^a + ~arcsin2x+C.
J )Λ—4x* 4 2
r jdx β
15· J (х_2)з ΐ/*3χ2-8χ+5~ _
6*~13 ^3F=87T5^ in 1 ^=3+ Y^-toH \+c*
J(*+l)Kl-*2 ' »+*
»·ί;
<** In Щ=+С.
dx
18· J(*+l)8j/"x»+2*+2
β 977ΧηΓ-+~1ηΙ ж-t-l '
2(*+1)* -|"2"4" *+'
J γ 2αχ—κ2 * ζ

ГЛАВА XV
ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ НЕАЛГЕБРАИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ
1. Общие замечания. Весьма частым случаем интегралов от
неалгебраических функций является интеграл типа
S /[φ ix)W Mdx,
разобранный в главе XII (стр. 234).
Примеры.
l./ = 5 Sin (a*)a* dx ^a > ^'
Положив
а* = /, ax]nadx~dt,
лолучим:
I=J-[sintdt=-^ + C,
In α J In α * '
следовательно,
2. /=J(ln*)3^.
Положив
In α '
1па; = /, -j = dt,
получим:
следовательно,
/=i(ln*)* + C.
3. /=f e9ia x cos χ dx.
Положив
sin at = /, cos χ dx~ diy
получим:

2. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 273
следовательно,
4. /= С sin2 χ cos3 χ dxy
I = V sin2 χ cos2 χ cos χ dx = С sin2 л; (1 — sin2 л;) cos χ dx.
Положим
sin x = t.
Тогда
/ = J/"(l-i»)«eJ—f + Cf
откуда
,_sin3* sin5* . r
J-~~3 5 ^С-
- f Ρ sin2 χ ,
J cos4* '
f sin^ _d*_ Г 2 jrf*_
J cos2xcos2χ J s cos2**
Приняв
tgA; = /, —5- = ί#
ь ' cos2* '
имеем:
таким образом,
/4чс
6. /= [(sLtcsmx)* У±_.
Положив здесь
получим:
, dx ,,
arcsin .*; = *, r =rf/,
V ι—*2
поэтому
/ = 1 (arcsin at)4 + C.
2. Интегралы от показательных и логарифмических функций.
I. Интегралы типа
\f(a*)dx
сводятся подстановкой а* = / к интегралам
In α J *

274 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕАЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Пример 1.
Положим ax = t; тогда
In α J r t
Полагая теперь
l-* = *2,
получим:
2 c*dz ι Γ2, + ΐΒ|ΐ-.Π +c.
Отсюда, возвращаясь к переменной χ:
найдем:
II. Интегралы типа
где W(x) — многочлен, берутся методом интегрирования по частям.
Положив
tt=W{x)> du=W'(x)dx,
α·
χ
dv = axdx, v = -t—.
' in α'
получим:
J W (*) α* dx-ZgP-^ W (J) «-„.
Так как степень многочлена ^(лг) ниже степени W(x), то,
продолжая таким же образом, дойдем, наконец, до интеграла
- J In α
Пример 2.
/=$(** —2λγ+3) α*d*.
Интегрируя по частям, получим:
К последнему интегралу применяем опять метод интегрирования по
частям:
j(2,_2)^_i^__Lj2^.

2. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 275
Таким образом, окончательно получаем:
L in α (lna)2^(lna)3ja ^°#
III. Интеграл типа
J W (In at) dx,
где IF—многочлен, сводится к интегралу типа II подстановкой
1пл; = *.
В самом деле, имеем:
х = е\ dx = e%dt>
следовательно,
J W(\nx)dx=^ W(t)eldt.
Пример 3.
/= J (1п2лг —21ηΑτ + 3)έ/ΛΓ.
Подставив ,
In x = t,
получим:
I = ^(t*-2t + 3)efdt.
Интегрируя по частям, как в примере 2, найдем:
/=(** —4* + 7)е' + С,
так что
/=(1п2лг — 41плг + 7)л; + С.
IV. Интеграл типа
J χ? (In x)m dx
(т — целое.положительное, η — целое) берется подстановкой
1плг = /,
если я= —1, или методом интегрирования по частям, если /г=^=—1.
А именно, положим
u = (lnx)mt du = m{\nx)m-1™,
χη+ι
dv = xndx, ^ = ^π»'
тогда
J *" (In x)mdx = **** jlrj X)m-^rx I *" (In *)—* dx.
Продолжая аналогично, дойдем, наконец, до интеграла [ хп dx.

276 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕАЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Интегралы типа
J W(x)(lnx)mdx
(/и>0 — целое, W(x) — многочлен) сводятся к интегралам типа IV.
Пример 4.
/ = $(2лг — 3)(lnx)2dx.
Интегрируем по частям. Полагая
и = {\пх)\ dtt=2lnx^f
dv = (2x — 3)dx, v = x2 — 3x,
получим:
/= (χ* — Злг) (In χ)2 — 2 J (χ — 3) In x dx.
Интегрируя еще раз по частям, найдем:
С (χ-3)\ηχάχ=(±χ* — 3χ)\ηχ— J (jx— 3)rf*·
Итак,
/=(лг3-3л;) (Inл:)2 — (л;2--6л:) Inx+^x* — 6x + C.
3. Интегрирование тригонометрических функций.
I. Если R(ut ν) —рациональная функция переменных я, ν, то
интеграл V /? (sinл:, cosx)dx сводится к интегралу от рациональной
функции подстановкой
В самом деле, имеем:
Так как
то
2sin|cos| 2
Sin X = = ТТ-7* >
sin* у + cos2-^ ^
cos2l-sin2T ι-*2
sm2~ + cosay
дг = 2 arctg /,
i-И2'
Поскольку sin лг, cos χ и </лг выражаются рационально через
переменную ty то интеграл [ R (sin л:, cos x) dx при помощи указанной
подстановки переходит в интеграл от рациональной функции.

Пример 1.
Подставив
3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
/=г dx
J 3sm*—4 cos* "
277
. χ ,
получим:
т. е.
2dt
+ С
Таким образом,
/«£1п
tg|+2
+с.
II. В некоторых случаях интеграл С /? (sin л:, cosx)dx можно
вычислить быстрее, если воспользоваться указанными ниже другими под*
становками.
а) Если R(u> v) — нечетная функция переменной и, т. е. если
R(ut v) = — R(—u, v),
то применима подстановка
тогда
cos χ = /;
sin* =* 1/1— *2, <*лг = -
d/
^l-/2
(0<Λ:<π).
б) Если Я (и, ν) — нечетная функция переменной ν, то можно
воспользоваться подстановкой
sin χ = t,
COS.
*-П=* rf- = 7=i Нг<*<+т)·
в) Если R {u, v) — четная функция переменных и и υ, т. е. если
Λ (и, «)-Я(-*, —«),

278 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕАЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
то применяется подстановка
**«< (-т<*<+т)»
t \ л dt
sin χ = r , cos χ = r , tf лг = -гт-ίτ
Примеры.
2. /=f-4^r^.
J cos2x+l
Подынтегральная функция нечетна относительно sin.*:, потому что
sin8 χ __ (— sin λ:)8 #
cos2x+l~~ cos2x+l 9
применим поэтому подстановку
cos χ = f, — sin λ; λ?λγ = dtf.
Таким образом,
Окончательно получим:
/= cos л; — 2 arctg (cos л:) + С.
о r f* cos8* .
J 4sin2x— l
Подынтегральная функция нечетна относительно cosat, так что
можно воспользоваться подстановкой
sin x = t, cos xdx = dt.
Таким образом,
/ = j««=Trfi==J [~Т+8"2Г=Т—T2F+TJ dt>
откуда
4 *Т16д"|2* + 1|
наконец,
r 1 . .3 , I2sinx— 1 I -
4 /==Г *Ε
J sin2*—4 sin χ cos * + 5 cos2 χ
Так как подынтегральная функция четна относительно sin л: и cos x,
то положим
tg* = H.
Имеем, таким образом,

3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 279
следовательно,
/=arctg(tgAr — 2) + C.
III. Рассмотрим теперь интегралы типа
С sin5 χ cos* x dx.
Если s и ft —целые числа, то, как следует из II на стр. 277,
при s нечетном применяем подстановку cosa; = /,
при к нечетном » » sinx = tf
при s и к четных » » tg.*: = f.
Если же s и к—дробные числа, то, подставив sin.* = f, получим:
\sinsxcoskxdx = \ ts(\—t2) * dt.
Последний интеграл —биномиальный; он берется лишь в случае,
когда одно из чисел —W-, —<>-> —я- целое (стр. 256).
5. /= \ Ytg χ dx = \ sin 2 χ cos " а χ dx.
именяя по.
sin x =; tf
s-\-k
Так как —π- = 0, то, применяя подстановку
получим интеграл
/ = j **(1-*2) *dt,
который берется в конечном виде. В самом деле, положив
t=V7,
получаем:
'-ίΜ*?)-**·
Подставив, наконец,
1 — 2
z' = w
получим:
/^ —of dw
Разложим подынтегральную функцию на элементарные дроби*)
и проинтегрируем:
[JE L_i„ ι +*№+_* _j_ arctg »V±+C
*) да*+1 = (в)2+а»угТ+1)(шг—юК2+1),

280 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕАЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Так как
то
/жш 1 { 1+ V2^Tx±cXgx_ 1 arctgj^gf^C,
2 У2 \-Y<l ctg jc+ctg χ V 2 1 —ctg x
IV. Интегралы типа
Г W (лг) sin mx dx,
где W (л:) — многочлен, берутся методом интегрирования по частям,
Действительно, положив
tt=W(x), du = W'(x)dx,
dv = sin mxdx, v~ — — cos mx,
получим:
С W(x) sin mxdx = — ^ W(x) cos mx+-~ [ W (x) cos mxdx.
Продолжая аналогичным образом, мы будем понижать степень
многочлена и придем, наконец, к интегралу \ cos mx dx или \ sin mxdx.
Пример 6.
/ = J (лг2 — 2лг + 3) sin 2* dx.
Интегрируем по частям:
/ = — ~ (л:2 — 2х + 3) cos 2х + у С (2л: — 2) cos 2x dx,
С (2х — 2) cos 2л: dx = γ (2л: — 2) sin 2x — у f 2 sin 2л: йлг.
Итак,
/= — ~ (л:3 —2лг + 3) cos 2лг + -±- (лг — 1) sin 2лг +~ cos 2лг+ С.
Замечание. Функцию sin*x(k > 0) можно всегда представить
в виде суммы синусов и косинусов аргументов, кратных лг. Как известно,
sin2 лг β у— γ cos 2лг,
откуда
sin8 χ = γ sin лг—-j cos 2л: sin лг.
Но
cos 2л: sin χ=у sin (2л:+л:)—у sin (2лг—л:),

4. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 281
следовательно,
3 1
sin3 χ = -г sin χ —т sin Злг.
4 4
Вообще, имея уже такое представление для sin*Ar, мы получим из
него аналогичную формулу для sin*+1jic, умножая обе части равенства
на 51*плг и используя затем соотношения:
sin χ cos vx =-о- sin (v+ 1) χ — у sin (г>~ 1) лг,
sin д; sin г^Аг = — cos (ν— 1) χ — у cos (<?+ 1)лг.
Отсюда следует, что интегралы типа
^\T(A;)sin*A;ufA;
(ft > 0 —целое) сводятся к интегралам типа IV.
Пример 7.
/ = $(лг3 — l)sin2*rf*.
Поскольку
sin* л: = у—у cos 2аг>
то
/ := 1 С (*3__ 1) </ЛГ — ~ Г (ЛГ3 — 1) COS 2x dX.
Применив ко второму интегралу метод интегрирования по частям,
получим:
С (л:3 — 1) cos 2x dx = у {х* — 1) sin 2х — |- Г л;2 sin 2лг с?лг,
\ лг2 sin 2лг с?лг = — у л:2 cos 2лг + \ χ cos 2лг йлг,
С 1 1
\ JCCos2jcdA: = -2- A:sin2Ar-f — cos 2л:-f- С,
следовательно,
/ = -1лг4 — 1л:—1(2л:3 —Злг —2) sin 2аг—^ (2л:2 — 1) cos 2л: + С.
4. Интегралы от обратных тригонометрических функций.
I. Интеграл
С f(aKsmx) dx
подстановкой
arcsln x = t
переходит в интеграл
^ f (t) cos tdt.

282 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕАЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Если теперь f(t) — многочлен, то последний интеграл берется методом
интегрирования по частям (стр. 280).
Пр имер 1.
/ = [ (arcsin χ)2 dx.
Применим подстановку
arcsin x = t.
Тогда
I=^t2costdt.
Интегрируя по частям, получим:
I=t2sint — 2 ^tsintdt,
С t sin t dt = — t cos t + \ cos t dt = -r t cos t -f sin t + E\
Таким образом,
I=(t2 — 2)sint + 2tcost + C.
Так как
sin t = x, cos / = Y\ —χ2,
то
/ = [(arcsin x)2 — 2] χ + 2 }Λ — л:2 arcsin a; + С.
II. Интеграл
С Ψ (a;) arcsin a; dA:
(где W(a;)— многочлен) берется методом интегрирования по частям.
Действительно, положив
dx
и = arcsin jc, du = r ,
<to = №(*) й?лг, ^= ^ ТГ(at) dx = ^(αγ),
получим:
Γ W (χ) arcsin a; dx = Β^ (a;) arcsin χ — Γ TiifL d*.
Пример 2.
/ = f 2at arcsin at dx.
Интегрируем по частям:
/=χ2 arcsin χ -f *М* .
J VT=^
Вычисляя последний интеграл методом, приведенным на стр. 267,
получим:
\уУ=^ = ~ γ/Γ^+γ arcsin аг+С,

5. ФУНКЦИИ, НЕ ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНО 283
следовательно,
/= #2 arcsin χ+-ξΧ У 1 —лг2— γ arcsin х + С.
III. Интеграл
С Ψ {χ) arctg x dχ
(где W(χ)"—многочлен) берется методом интегрирования по частям.
Действительно, положив
и = arctg*, du^Y^,
dv= W{x)dx, v=^ W(x)dx = Wt {x)t
получим:
§W(x)arctgxdx = W1(x)arctgx-§}^^.
Пример 3.
/ = С лг arctg χ dx.
Интегрируем по частям. Получим:
/ = у*2 arctg # — у J γψ^ dx,
следовательно,
Г 1 11
\ χ arctg x dx = у at2 arctg χ — γΧ-{-γ arctg at -f C.
5. Примеры функций, не интегрируемых элементарно* Ранее
мы познакомились с рядом методов, позволяющих в некоторых
случаях выразить неопределенный интеграф данной функции через
элементарные функции. Не следует, однако, думать, что так удается
выразить неопределенный интеграл любой непрерывной функции.
Можно, например, доказать, что интегралы
Ре* f^sin χ , С cos χ ,
)τάχ> ] — dx> )-rdx
нельзя выразить через элементарные функции.
Доказано также*), что биномиальные интегралы не могут быть
выражены элементарно, за исключением тех трех случаев, которые мы
рассмотрели выше (стр. 256). Интеграл
С dx
, J УЩх)'
*) П. Л. Чебышевым. (Прим. ред.)

284 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕАЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
где W (х) — многочлен третьей или высшей степени, также выра*
жается элементарно лишь в некоторых исключительных случаях.
Примеры.
С ах
1. Интеграл \ -j— нельзя выразить через элементарные функции.
Действительно, введя новую переменную подстановкой χ = eyt получим:
J In x J у '
Так как интеграл в правой части не выражается через
элементарные функции, то это же имеет место и для данного интеграла.
2. Интеграл \ sm2* dx интегрированием по частям преобразуется
следующим образом:
С sin x , sin* . Pcosx -
В правой части имеем интеграл, который нельзя выразить через
элементарные функции. Следовательно, и данный интеграл не может
быть так выражен.
Задачи
+ 1+|Λ+*2*
a*e4b*e-* -ЯГ afCtg —+ С ^ Ь Ф 0)·
4. f x*e* dx = ex (х4—4х3+12*2- 24х+24)+С.
б. С ex(x* + x+l)dx = ex(x2—*+2) + С.
6. f [(In χ)2—2 In x] dx*=*x [(In χ)2—4 In X+4J + C
7. f (In x)b dx = x[(\n x)5—5 (In x)4+20 (In x)3—60 (In x)2+
+ 120 In *—120]+ С
8. ^x*(\nx)*dx = ^- [(lnx)2--|ln^+|-J+C.
»· l^^-Warc{g(7rtgT)+c·
'. f sin3je l^cosTdA: = 2 ( γ cos2 * —y) cos χ /cos χ + С.
10

5. ФУНКЦИИ , НЕ ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНО 285
12. $7со**+2 sin», =71Т "^К ^ igX)+C-
С о о j 1 / sin 6* , sin 4x , sin 2* , λ , „
13. \cosjccos2x:cos3a:^ = -j- ί —g 1 г 1 ~ Ь * ) +С·
i5+3sinx + 7cosx: .
ΪΕ2Ϊ "* =
=4in|tg,|+|,n|tg(f+|)|+|.n|tg||+c.
С 15 5
\ sin6*dx = —— cos5x + —-cos3*— -_Cosa: + C.
\ cos2 *sin*A:if*=-r£· -=-cos5x — — cos3x — 2 cos a; + C.
С dx 1 cosjc 2 L
\ xs cos * flf* = (3x2 — 6) cos x + (x3—6*) sin *+C.
J cos^jcdx===Jctg:x+ ln|cos*| + C.
21. \Y^^avctgxdx=(x~-^arctgx)aTctgx--\n УГ+W+C.
22. I * arcsin*dx = x—|/"1—λ:2 arcsin* + C.
JJ I—*2
Указания.
13) Заменить сначала произведение косинусов суммой; 19) интегрировать
по частям; 21) представить числитель дроби в виде ха +1 — 1 и разбить на
два интеграла, потом интегрировать по частям; 22) интегрировать по частям.
15.
16.
17.
18.
19.
20.

ГЛАВА XVI
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1. Определение определенного интеграла. Пусть функция у =/(*)
определена в интервале [а, Ь\ (а < Ь). Разобьем интервал [а, Ь] на
произвольное число отрезков (не обязательно равных), длины кото·
рых обозначим, соответственно, через Δχν Δ·*τ2, ... Δ*,,*)·
Обозначим через glf ξ2, ... , in' точки, выбранные произвольно,
по одной в каждом отрезке.
Образуем сумму:
A=f(l1) A*!+/(6i) Δ*2+ · · · +/(У Δλγλ.
Легко выяснить геометрический смысл суммы А, особенно когда
функция f(x) неотрицательна в интервале [а, Ь]. Действительно, в
этом случае произведение
[у /(Ιι)ΔΧχ равно площади
прямоугольника с
основанием &хг и высотой /(^i).
Сумма Л, следовательно,
представляет собой сумму
площадей пря моу го л ьников
с основаниями Д·*^, А#2, ...
..., &хп и высотами /(^i),
/(6.). ..·, /(U (Рис. 45).
Множество отрезков Д#ц
Δ#2, ..., Δλγ„ будем
называть разбиением б. Длину
наибольшего отрезка,
входящего в состав разбиения
δ, обозначим символом |б|.
Последовательность разбиений {Ьп} будем называть нормальной»
если
lim|SJ = 0,
ί, 4 & 4 *
Рис. 45.
*) В дальнейшем часто через Δχ1% Δχ2, ..., ΔχΛ автор обозначает не
только длины, но и сами отрезки. (Прим, ред.)

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 287
иными словами, если длина наибольшего отрезка, входящего в состав
разбиения бй, стремится к нулю, когда η стремится к бесконечности.
Например, разделив интервал [а, Ь] на два, на три, четыре, пять
и т. д. равных отрезков, получим нормальную последовательность
разбиений.
Выбрав произвольную нормальную последовательность разбиений
{δη} и образовав для каждого разбиения δη соответствующую сумму
Аю получим последовательность сумм {Ап\. Для данной
последовательности разбиений {Ьп} можно получить разные последовательности
сумм {Ап} в зависимости от того, какие точки ξ выбраны.
Определение. Если функция f(x) обладает тем свойством,
что для каждой нормальной последовательности разбиений {δη}
соответствующая последовательность сумм {Ап} сходится (независимо от
выбора точек ξ), то говорят, что функция f(x) интегрируема в
интервале [а, Ь].
[Установим два важных свойства интегрируемых функций.
1. Если функция интегрируема на [а, Ь], то она ограничена на
этом интервале.
Допустим, что функция f(x) не ограничена на {а, Ь]. Покажем
сначала, что в этом случае для любого разбиения б соответствующую
сумму А можно за счет выбора промежуточных точек ξχ> ξ2, ..., ξη
сделать сколь угодно большой.
Действительно, раз f{x) не ограничена на [а, Ь], то она обла·
дает этим свойством хотя бы на одном отрезке разбиения, скажем,
на Дл^. Выберем тогда на остальных отрезках Ддг2, Длг3, ..., Длгл
промежуточные точки ξ2> ξ3, ..., ξΛ произвольно и обозначим
Α' =/(ξ2) Δ*,+/(*,) Δ*3 + ... +/&,) Δ*„.
После этого найдем такое ξχ на Дл^,чтобы
l/(b)l>J^.
где Μ — любое наперед заданное число (это можно сделать ввиду
неограниченности f(x) на отрезке Δλγχ). Имеем
Ι/(6ι)|δ*ι>ΜΊ+λ
\A\-\nii)LXi + A'\>\f<Hi)\bXi-\A'\>M.
Теперь берем произвольную нормальную последовательность
разбиений {δη} и последовательность чисел {Мп} с условием UmMn= оо.
«-►СО
Строим описанным приемом последовательность сумм {Ап} таких, что
Ап^Мп. Эта последовательность сумм, очевидно, расходится, что
противоречит интегрируемости /(#). Наше утверждение,
следовательно, доказано.

288
ГЛ. XVI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Замечание. Обратная теорема неверна. Действительно, функция
(О, если χ иррациональное,
11, если х рациональное,
является ограниченной. Однако для любого разбиения δ сумму А
за счет выбора промежуточных точек можно сделать нулем или
единицей. Поэтому предел последовательности {Ап} не существует.)
2. Если функция f(x) интегрируема, то для любой нормальной
последовательности разбиений {δη} соответствующие суммы {Ап}
стремятся всегда к одному и тому же пределу.
Действительно, допустим, что функция f(x) интегрируема в (а, Ь).
Выберем две нормальные последовательности разбиений {Ьп} и {δ^) и
обозначим через {Ап}у {А'п} соответствующие последовательности
сумм. Тогда последовательность разбиений δνδ', δ2, δ'2, ...,δη,
δ^, ... является также нормальной последовательностью. Таким
образом, по условию, последовательность сумм Αν Αν А2, А'^ ...
сходится. Так как подпоследовательности сходящейся
последовательности сходятся к тому же самому пределу, то
lim An= lim A'
П -*■ 00 П -> 00
Мы видим, таким образом, что последовательности сумм {Ап} и
{А'п} сходятся к одному и тому же пределу.
Общий предел последовательностей {Ап}, соответствующих
нормальным последовательностям разбиений, называют определенным ««-
тегралом функции f(x) в интервале [а, Ь].
Определенный интеграл обозначают символом
ь
\f(x)dx.
l·
Замечание 1. Пусть функцияy=f (x) непрерывна в замкнутом
интервале [а, Ь]. Позднее будет доказано, что такая функция
интегрируема. Допустим, что /(л:)>0 при я<л;<£. Обозначим через D
область, заключенную между кривой, осью ОХ и ординатами лг = а,
х = Ь (рис. 46).
Образуем произвольное разбиение δ отрезка [а, Ь]. Пусть Mv mv
Ж2, m2, . .. означают, соответственно, наибольшие и наименьшие
значения, которые функция f(x) принимает в соответствующих отрезках
разбиения δ. Обозначим, соответственно, через ξχ, ξ2, .. .,ξ'^ ξ' ...
точки, в которых функция принимает указанные выше максимумы и
минимумы. Таким образом,

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 289
Пусть
A=f(l±) Δ^+Λξ,) Δ*2+... =M1bx1 + Mtlixi+...,
А'=/(1[) Ахг+/(Ц) Ах2 + ... =m1A^1 + m2A^2+ ...
Прямоугольники с основаниями Αχν Δλγ2, ... и высотами,
соответственно, Λίν Ж2, . .. охватывают область Д тогда как
прямоугольники с теми же основаниями, но с высотами mv т2, ... содержатся
в этой области.
Так как для каждой нормальной последовательности разбиений
{δ„} имеем:
lim An = lim A =
l·
= \^f(x)dx,
а
то естественно определить
площадь области D как
значение интеграла
ь
^f(x)dxt
b Χ
что будет соответствовать нашим интуитивным представлениям.
ь
Замечание 2. В определенном интеграле \f(x)dx (в проти-
а
воположность неопределенному интегралу!) вместо χ можно писать
любую другую букву. Итак,
ь ь ь
§f(x)dx = §f(t)dt = §f(z)dz и т. д.
1а. Примеры» 1. Функция у = с интегрируема в каждом
интервале и
ъ
ι
cdx = c(b — a).
Действительно, образовав какое-нибудь разбиение 6 и выбрав
произвольно точки ξχ, ξ2, ..., ξΛ по одной в каждом отрезке,
входящем в состав разбиения δ, получим:
10 с. Банах

290 ГЛ. XVI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
следовательно,
А = с Ах1 + с Ах2 -\-. ..=c(b — a).
Таким образом, по определению:
ь
I cdx = c(b — a).
t>
а
Графиком функции у = с является прямая, параллельная оси ОХ.
Если с>0, то наш интеграл представляет собой площадь
прямоугольника, ограниченного данной прямой, осью ОХ и прямыми
х = а, х = Ь.
2. Функция у = х интегрируема в каждом интервале и
ь
\ xdx = —к— .
а
Образуем произвольное разбиение δ интервала (а, Ь). Выбрав
произвольно точки ζν ξ2, ..., по одной в каждом из отрезков Δλ^,
Δλ;2, ... разбиения δ и положив f(x) = x, получим:
/(ii)-Si. /(δ·)-St. ·.·,
следовательно,
Α = 11Αχ1 + ξ2Δχ2+ ... + ξηΑχη.
Пусть точки χν дг2, ..., хп означают середины отрезков Αχν
Δλγ2> ..., Ахп. Тогда
А = хгАхг Ч- х2Ах2 + ... + *ЯА*Я + (ξχ — ΛΓϊ) Δλ:! +
+ (Ει — *2) Δ*2 + ... +(tn — χη) Δ*Λ.
Обозначим точки деления (т. е. концы отрезков, входящих в
состав разбиения δ) буквами
а< аг< а2< а3<.. .< <*п = Ь.
Мы получаем:
ΔΑΓ2 = α2 — σν χ2==α-ϊή^±
Следовательно,
х1Ах1 + х2Ах2+... +хпАхп =
Ο "ΐ ο ι · · · "Τ" о 9
Таким образом,

2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 29ί
где
<ΐ6ι-*ιΐιβι+ιε.--«ιΐιβι+··.
Так как
|ζΐ'~·^1 I ^"2* Δ-^Ι» Ι Ь2 Χ2 Ι ^ ~<[ Δ-^2» ···»
το
|Λ|<^Δχ1|β| + ^Δχί|β| + ...β4·(*-β)ΙβΙ·
Поэтому если выберем произвольную нормальную
последовательность разбиений {δΛ}, то
причем
А =*=^ + R
\Rn\<Ub-a)\bn\.
2
Так как lim |би| = 0, то 1πη#Λ = 0, следовательно,
Л->00
Ь2—а2
так что
lim Лл = . _,
ρ б2—а«
α
Графиком функции у = χ является прямая. Если 0 < а < bt то
определенный интеграл представляет площадь области, ограниченной
данной прямой, осью ОХ и прямыми х=а> х = Ь; очевидно, что это
площадь трапеции,
2. Некоторые свойства определенных интегралов. Из
определения определенного интеграла легко вытекает следующая
Теорема 1. Сумма двух функций, f(x) и φ(χ),
интегрируемых в интервале [а, Ь], также интегрируема в этом интервале и
ь ь ь
I [/(*) + φ (*)] dx = J/(at) dx + J φ {χ) dx.
a a a
Доказательство. Для произвольного разбиения δ имеем:
Л-/(61)Д*1+/«1)А*к+...,
Λ' = φ(ξ1)Δ*1 + φ(ξ2)Δ*2+...,
A+A'-*\f&i) + (p(ix)] Δ^ι + |/(ξ1)+ φ (ξ,)] Δ*,+ ...
10·

292 ГЛ. XVI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Таким образом, если {би} —произвольная нормальная
последовательность разбиений, то
hm (An + A'n)= lim Ая + lim А'п,
Л=гоо Я = 0О Л = 0О
следовательно, функция f(x) + q>(x) интегрируема в (а, Ь) и
ь ъ ь
\ [/(*) +φ (*)]<*■*== I/(*)<**+ \y(x)dx.
а а а
Аналогично доказывается
Теорема 2. Произведение постоянной с на функцию f(x),
интегрируемую в [я, Ь], интегрируемо в этом интервале и
ь ъ
[cf(x)dx = c ^f(x)dx.
а а
Пример. Опираясь на примеры п. 1, определить значение
следующего интеграла:
1
/= \(bx + c)dx.
о
Имеем:
1111
I^\bxdx+[cdx==b\xdx + c\dx~Yb + c.
0 0 0 0
Теорема 3. Если функция f(x) тождественно равна нулю
всюду в интервале [а> Ь], за исключением конечного числа точек, то
§f(x)dx = 0.
Доказательство. Пусть k — число точек, в которых
функция отлична от нуля, а М — максимум функции |/(лг)| в интервале
[а, Ь]. Для любого разбиения δ, очевидно, имеем:
|Л|<2/Ш|б|.
Таким образом, если {δη} — произвольная нормальная
последовательность разбиений, а {Ап} — последовательность соответствующих
сумм, то
14,|<2Ш|вЛ|, л«1, 2, ...

3. ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ 293
Так как lim |δΛ| = 0, то lim An = Q, следовательно,
Ъ
[f(x)dx = 0.
а
Теорема 4. Если функции f(x) и <р(лг) отличаются друг от
друга только в конечном числе точек интервала (а, Ь), то,
предположив, что одна из этих функций интегрируема, можно утверждать,
что другая также интегрируема, и сверх того,
ь ь
\ f(x)dx = \ cp{x)dx.
а а
Действительно, допустим, что φ (χ) интегрируема в [я, Ь]. В силу
теоремы 3 имеем:
ъ
J[/(*)-<p(*)]d* = 0. (1)
α
Так как
/(*) = [Λ*)-φ(*)]+φ(*).
то функция f(x) как сумма двух интегрируемых функций
интегрируема, и вследствие (1) получаем требуемое соотношение,
[Замечание. Пусть функция f(x) определена на интервале
[я, Ь\ всюду, за исключением конечного множества точек хх%
х21 ···> xk- Доказанная теорема позволяет следующим образом
ввести понятие интеграла от такой функции.
Доопределим f(x) в точках xv лг2, ..., xk произвольно и
обозначим через φ (л;) новую функцию, определенную уже во всем
интервале. Если ср(лг) интегрируема в [а, Ь], то и f(x) назовем
интегрируемой в этом интервале. Положим также, по определению,
ь ь
\f(x)dx—\ (f(x)dx.
а а
Мы видим, что интегрируемость f(x) и величина интеграла не
зависят от способа доопределения этой функции.]
3. Интегрируемость непрерывной функции. Пусть функция
y~f(x) непрерывна в интервале а^.х^Ь. Образуем
произвольное разбиение δ отрезка [а, Ь]. Обозначим через Αίν Μν ...
наибольшие, а через mv m2, ... наименьшие значения,
принимаемые функцией f(x), соответственно, в отрезках Δχν Ах2, ...

294 ГЛ. XVI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
разбиения δ. Положим:
$ = Λί1Δχ1 + Λί2Δ*2+..., )
s = m1Ax1 + m2Ax2 +..., \ (1)
А=/Ц1)Ах1+/(1ш)&х%+... j
Число 5 будем называть верхней суммой, а число $ нижней сум-
мой, соответствующими разбиению δ.
Имеем, очевидно,
Лемма 1. Если функция f(x) непрерывна β интервале (а, Ь),
α {δ„} означает произвольную нормальную последовательность
разбиений интервала (#, #), го
lim (Sn-su)=0
(Sn и $п означают верхнюю и нижнюю суммы, соответствующие
разбиению би).
Доказательство. Пусть δ — произвольное разбиение.
Сохранив предыдущие обозначения, имеем в силу (1):
S — $={M1 — m1)Ax1 + (M1 — m2)Ax2+... (2)
Так как функция f(x) равномерно непрерывна на интервале
[а, Ь]> то для любого ε > 0 найдется такое η > 0, что если
US' — ГК*Ь то |/(ξ')-/(£")!< «. Допустим, что ]δ|<η; тогда
М1 — т1<.г, М2 — т2<г, ...
Следовательно,
5 — 5 < ε Ахг + в Δχ2 + ... =8(Δλγ1 + Δλγ2-γ- ...),
τ е.
0<S — s<e(b — α), если |δ|<η. (3)
Поскольку lim |δη| = 0, то существует такое Ν, что для каж-
дого л > N будет | δ„ f < η. Отсюда в силу (3) для я > N имеем:
0<5я-*в<в(А-в).
Так как ε может быть произвольным положительным числом, то
lim (Sn-sn) = 0.
Лемма 2. Пусть δ и Ь' — два разбиения [а, Ь]. Если функция
f{x) непрерывна на [a, b], S означает верхнюю сумму, соответст*
вующую разбиению δ, a s' — нижнюю сумму, соответствующую раз*
биению δ', то

3. ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ 295
(т. е. каждая верхняя сумма равна или больше любой нижней
суммы).
Доказательство. Пусть
S = M1Ax1-\-M2Ax2+ ..., $' ~т1Ах'1 + т2Ах'2 + ...
Допустим сначала, что f(x)^0 для а^.х^Ь (см. рис. 46).
Пусть в этом случае D означает область, ограниченную кривой
у = /(лг), осью ОХ и прямыми х=а и х = Ь. Легко заметить, что
прямоугольники с основаниями Δλγχ, Δλγ2, ... и высотами Μν
М2> ... полностью покрывают область D и что внутри области D
содержатся целиком прямоугольники с основаниями Δλ:^, Δαγ'2, ...
и высотами m'lt m'2, ... Отсюда следует, что прямоугольники
с основаниями Αχν Ах2, ... покрывают прямоугольники с
основаниями Δλ:^, Δλγ'2, ... Так как «S — сумма площадей первых
прямоугольников, a s' — сумма площадей вторых, то
Если теперь функция f(x) не является неотрицательной на
[а, Ь], то, положив
(т — наименьшее значение функции /(#)), получим:
7С*)^0 для а^х^.Ь..
Итак, S^s' (где 5 —верхняя сумма функции /(#),
соответствующая разбиению δ, a s' — нижняя сумма, соответствующая
разбиению б'). Но
5 = Λί1ΔΛ:1 + Λί2ΔΑΓ2+ ... ={М1 — т) Ахх+(М2~т) Ах2 + ...
(Μν М2, ...—наибольшие значения функции/(лг) в интервалах
Axv Ax2, ...).
Таким образом,
J=S — т(Ь— а).
Аналогично получим:
s' = s' — т(Ь — а).
Так как «S ^ $', то
5—т (Ь — а) ^ $' — т (Ь — а),
т. е.
Теорема. Функция у—f(x), непрерывная в интервале [а, Ь],
интегрируема в этом интервале.

296 ГЛ. XVI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Доказательство. Пусть {б„} означает произвольную
нормальную последовательность разбиений, {Sn}> {$„} — верхние,
соответственно, нижние суммы, соответствующие разбиениям б„, а {Лп}—
суммы, определенные в п. 1.
Если ρ и # —произвольные натуральные числа, то по лемме 2
Поэтому
Отсюда
Так
V
следует
как
-S,2*s,-S9,
-<*,
по лемме 1
-*,)<$,
lira (Sn-
Sq>sp.
sq-sp>
-S<<Sp-
s„)=0,
SP~
-v
■sp.
(4)
то, выбрав произвольное число ε > 0, найдем такое Ν, что для
Если, следовательно, ρ > Ν и q>N> то в силу (4)
т. е.
\Sp-Sq\<E.
Отсюда мы видим, что последовательность {$п} удовлетворяет
условию Коши и, следовательно, сходится.
Так как
то в силу леммы 1
lim sn = HmSn. (5)
Учитывая, что
sn ^ А* ^ ^«»
мы на основании (5) заключаем, что существует предел
lim An.
Таким образом, функция f(x) интегрируема в интервале [а, Ь].
4. Достаточные условия интегрируемости. Приведем здесь (без
доказательства) некоторые условия интегрируемости разрывных
функций.
Теорема 1. Ограниченная функция, имеющая конечное число
точек разрыва в интервале [а, Ь], интегрируема в этом интервале.

5. РАЗБИЕНИЕ ИНТЕРВАЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ
297
Отсюда сразу следует, что ограниченная функция, имеющая
конечное число точек разрыва в [а, Ь], интегрируема в каждом
частичном интервале [α, β] (а <а < βίξ^).
Справедливо также следующее утверждение.
Теорема 2. Если функция интегрируема в интервале [а, Ь],
то она интегрируема также в каждом частичном интервале [α, β]
(α<α<β<£).
Примеры.
1. Функция
/(*) = nrj (0<*<i)
непрерывна внутри интервала [0, 1]. Если доопределить ее в концах
интервала условиями
/(0) = 0, /(1) — 1,
то, как легко проверить,
lim /(*)-/(<», ton /(*) = /(!).
Таким образом, эта функция непрерывна также на концах
интервала, следовательно, она интегрируема в интервале [0, 1].
2. Функция
/(*) = sinl, 0<дг<1, /(0)=5,
интегрируема в интервале [0, 1], потому что она ограничена и имеет
в этом интервале лишь одну точку разрыва дг = 0.
3. Функция
{'1 при 0<#< 1,
О » 1<л:<2,
3 » 2<лг<3
интегрируема в интервале [0, 3]. Действительно, она ограничена и
имеет только две точки разрыва х=\ и χ = 2.
5. Разбиение интервала интегрирования.
Теорема. Если а<Ь<с и если функция f(x) интегрируема
в интервале (а, с), го
Ь с с
\f{x)dx+lf(x)dx=\f{x)dx.
aba
Доказательство. Образуем нормальную последовательность
разбиений {δ„} отрезка [а, с] так, чтобы точка Ь была точкой
деления при любом разбиении δ„. Обозначим через {Лп}
последовательность сумм, соответствующих разбиениям {6Я}. Сумму Ап можно

298 ГЛ. XVI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
представить следующим образом:
4.=[πει) δ*;+/(& δ*;+.. .]+[/(& &xl+fnl) δ*;+.. .ι
где ΔλγΊ, Δλγ'2, ···> соответственно Ахи Δλγ2, ... , означают отрезки
разбиения δ„, содержащиеся в [α, b], соответственно в [b, с].
Обозначив через Ап сумму, содержащуюся в первых скобках, а
через Ап сумму, содержащуюся во вторых скобках, получим:
АЯ = А'+А*. (1)
Допустим, что функция f(x) интегрируема в [а, с]; тогда по
теореме 2 п. 4 она будет также интегрируема в [а, Ь] и [А, с],
кроме того,
с b с
lim Ап = ί/(#)λΓλγ, lim Χ = \f (χ)dx, lim An=\f(x) dx.
n-*oo α n-*oo а η->αο ^
Отсюда в силу (1) следует утверждение нашей теоремы.
Пример. Пусть дана функция/(аг), определенная в интервале
[О, 1] следующим образом:
(х при 0<лг<4",
Эта функция ограничена и непрерывна во всем интервале [0, 1],
за исключением точки χ=-к-, следовательно, она интегрируема·
Имеем:
y{x)dx = §f(x)dx+§f(x)dx = $xdx+[ldx = ^+Y=j
о о JL ° Λ
(см. примеры к п. 1).
6. Пределы интегрирования. Введем следующее определение.
Пусть функция f(x) интегрируема в (a, b), a<b. Тогда полагаем
и О
$/(*)</* = —$/(*)<**,
Ъ а
а
lf(x)dx = Q.

7. НЕКОТОРЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННЫ* ИНТЕГРАЛОВ 299
Теорема. Если а, Ь, с — произвольные числа, то
ь с с
[f{x)dx+\f(x)dx=\f(x)dx (1)
а Ь а
при условии, что все эти интегралы существуют.
Доказательство. Если a<b<.ct то соотношение (1)
следует из теоремы п. 5.
Допустим, что а <с <Ь. Тогда
с ь ъ
[f(x)dx+[f{x)dx=[f(x)dx,
а с а
следовательно,
Ь Ь с
[f(x)dx-[f(x)dx=[f(x)dx,
аса
откуда
Ь с с
lf(x)dx+\f(x)dx^[f(x)dx.
aba
Если допустим, что а = с, то теорема очевидна. Действительно,
в этом случае имеем:
Ь а а
\f{x)dx+[f[x)dx = 0 = \f(x)dx.
а Ь а
Аналогично рассуждаем, если Ь — с или а = Ь.
Замечание 1. Формулу (\) можно записать также в
следующем виде:
Ь с а
\f(x)dx+[f{x)dx+[f(x)dx = 0.
а Ъ с
Замечание 2. Числа а, Ьу фигурирующие в интеграле
ь
[f(x)dx,
а
называются пределами интегрирования, независимо от того, будет ли
а^Ь или а > Ь. Число а называется нижним пределом, Ь — верхним
пределом.
7*. Некоторые неравенства для определенных интегралов.
Теорема 1. Если f (χ) интегрируема на интервале [а, Ь] (а < Ь)
и неотрицательна на нем, то ее интеграл по этому интервалу также
неотрицателен.

300 ГЛ. XVI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Доказательство следует из замечания, что для каждого разбие»
ния δ имеем А ^ 0.
Теорема 2 (интегрирование неравенств). Если на
интервале [а, Ь] функции f(x) и φ (л:) интегрируемы и
/(лгХф(лг), а^х^Ь,
то также
ь ъ
\f(x)dx^y(x)dx.
а а
Действительно, при а ^ χ ^ Ь функция φ (лг) — f(x) интегрируема
и неотрицательна, так что
ь
$[ф(*)— fi*)]dx>0.
а
Следовательно,
ь ь
\ φ (х) dx— \f(x) dx > 0,
а а
что равносильно утверждению теоремы.
Теорема 3. Если f(x) интегрируема на [а, Ь]у то \f(x) \ также
интегрируема на этом интервале *), и
ь ь
\\f{x)dx\<^\\f{x)\dx {a<b).
а а
Для доказательства достаточно проинтегрировать неравенства
Ч/ИК/(*Х1/(*)1·
Получим
ь ь ъ
-]\f{*)\dx^]f(x)dx^\\f(x)\dx,
а а а
что и требовалось доказать.
Теорема 4. Если функция f(x) интегрируема на интервале
[а, Ь] и удовлетворяет на этом интервале неравенствам
л* </(*)< Ж,
то
ь
m(b — а) <5/(л;)dx<Μ(b — a), a<b.
*) Это утверждение мы оставляем без доказательства.

7. НЕКОТОРЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 301
Действительно, имеем
ь ь ь
\mdx<^\f{x)dx^\Mdx.
а а а
Но согласно примеру 1 из пункта 1
ь ь
] mdx = m(b—α); J Mdx^M (£ — a).
a a
Доказанному соотношению можно придать более удобный вид,
освободившись от ограничения а < Ь.
Теорема 5 (о среднем). Пусть f(x) интегрируема на [а, Ь\
и удовлетворяет на этом интервале неравенствам m^.f(x)^M. Тогда
ь
m^~^f(x)dx^M.
а
Ь
Число μ = -|—- I f(x)dx называют средним значением функции
а
f(x) на интервале [а, Ь]. Отсюда и название теоремы.
Заметим, что среднее μ не меняется при перестановке пределов
интегрирования, так как при этом происходит одновременное
изменение знака у интеграла и множителя \/(Ь— а). Поэтому достаточно
рассмотреть случай а < Ь. Но при этом условии доказываемое
утверждение получается из неравенств предыдущей теоремы делением
всех членов на положительное число b — я.
Замечание. Пусть функция f(x) непрерывна на замкнутом
интервале [я, Ь\. Тогда под Μ и m в теореме о среднем можно
понимать наибольшее и наименьшее значения этой функции в
указанном замкнутом интервале. Так как ηι^μ^Μ, то найдется хотя
бы одна точка с внутри интервала такая, что /(£) = μ*).
Утверждение теоремы в этом случае можно записать следующим образом:
ь
\f(x)dx=f(c)(b-a)t
а
где с —некоторая внутренняя точка замкнутого интервала [at b]. И
это соотношение не зависит от расположения точек а и Ь.
Ниже будет доказана справедливость последней формулы при
несколько более общих предположениях относительно функции/(дг)
(стр. 309).
*) Относительно используемых здесь свойств функции, непрерывной на
замкнутом интервале, см. стр. 75.

302 ГЛ. XVI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Примеры.
1. Рассмотрим функцию
f[x) = x{l-x).
Вычисляя ее наименьшее и наибольшее значения в интервале [0, 1],
легко убедимся в том, что
0</(*)<~ (0<а;<1).
Отсюда имеем:
ι
0< Слг(1 — x)dx^-£.
о
Непосредственное вычисление этого интеграла известным нам
способом дает значение -g-, удовлетворяющее последним
неравенствам.
2. Функция
/(*) = ** (лг>0)
непрерывна в интервале [0, 1], если условимся, что/(0) = 1 (см.
стр. 153, пример 6).
Как легко проверить (см. стр. 149, задачу 4), эта функция
достигает в данном интервале минимума при лг = —·, принимая значе-
ι_
ние е *, которое является одновременно ее наименьшим значением.
С другой стороны, очевидно, /(лг)^1 (0^дг^1). Поэтому можем
ι_
принять т = е ·, М=\.
Таким образом, получаем неравенство
—1. * _-L
е в<$лг*</*<1 (е~* ^=0,692...).
о
В этом случае точное значение интеграла нельзя определить
элементарно.
3. Если /(х) и φ (л:) —непрерывные функции в [а,*], то при
любом λ
ъ
1 (λ) = J [/ (*) + λφ (*)]2 dx > 0,
а
откуда
ь ъ ь
Ι(λ) = λ*1<ρ*(χ)άχ + 2λ$/(χ)φ(χ)άχ+1ρ(χ)άχ^0> (2)
« а а

8. ФУНКЦИЯ ВЕРХНЕГО (НИЖНЕГО) ПРЕДЕЛА ИНТЕГРАЛА 303
Так как трехчлен
αλ2 + 2βλ + γ
неотрицателен для всех λ тогда и только тогда, когда
β2 — αγ<0, т. е. β2<αγ,
то в силу (2)
ь ъ ь
[J f(x) φ (λγ) tf*]2< J/2 (λγ) dx Ι φ2 (χ) dx (3)
a a a
ИЛИ
|ί/(Λτ)φ(Λτ)^ΛΓ |<]/ lf4x)dx.y l^{x)dx. (4)
a a a
Для φ (χ) = 1 получим:
ь Г~ь
\\f{x)dx\^VJ^y [p{x)dx.
a a
Неравенство (3), соответственно (4) (которое, как можно
показать, справедливо для каждой пары интегрируемых функций), носит
название неравенства Шварца*)·
8. Функция верхнего (нижнего) предела интеграла. Если
функция /(лг) интегрируема в [a, b]9 a а—произвольная точка интервала
[а, Ь\% то можно определить новую функцию F(x) формулой
χ
F(x)=[f(t)dt (а<л:<6).
α
Функция F(x) определена для всех л; интервала [а, Ь]. Функция
^(л;) является, таким образом, функцией верхнего предела интеграла
функции /(лг).
Аналогично можно рассматривать функцию нижнего предела
интеграла функции /(лг), т. е. функцию
α
ф (*)-$/(/)<«.
χ
Ясно, что
ф(лг) = — F(x).
Следует иметь в виду, что функция верхнего, соответственно
нижнего, предела зависит еще от выбора точки а.
*) Точнее, неравенства Буняковского—Шварца. (Прим. ред.)

304 ГЛ: XVI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Теорема. Функция
X
F{x) = lf(t)dt
а
непрерывна в замкнутом интервале [а, Ь].
Доказательство. Пусть х0 и х0 + Х— произвольные точки
интервала [а, Ь]. Имеем:
F(x0 + k)-F(x0)= lf(t)dt-lf(t)dt = lf(t)dt+ lf(t)dt;
α α дг0 α
поэтому, по теореме п. 7,
F(x6 + b)-F(x9)= $/(*)<«· 0)
Χο
Так как f(x) интегрируема на [я, b]f то она ограничена на этом
интервале, т. е.
|/(*)|<£, я<лг<£.
По теореме 3 п. 7 (стр. 300) об оценке интеграла получаем из (1)
\F(x0 + X)-F(x0)\^L\x0 + K-x0\=L.\X\.
Отсюда видно, что
l\m\F(x0 + X)-F(x0)\ = 0.
λ-> о
X
Но это означает, что функция J / (t) dt является непрерывной функцией.
α
Замечание. Очевидно, функция
α
χ
является также непрерывной функцией, ибо
<t>(x) = — F(x).
Примеры.
1. Интеграл
'W-J?
является непрерывной функцией для χ > 0. Как будет показано
(см. ниже теорему 3 п. 9),
F(x) = \nx.

9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ 305
2. Аналогично,
χ
at
■<*ч
1 + *а
о
является непрерывной функцией для всех л\ Здесь будет
F (х) = arctg χ
(см. ниже теорему 3 п. 9).
3. Интеграл
χ
F (х) = Г r dt =, (0 < Λ < 1)
ο
является также непрерывной функцией для 0^л;<1. Однако эту
функцию нельзя выразить через элементарные. Это — так называемый
эллиптический интеграл.
4. То же самое относится к функции
F(x) = ^dt,
непрерывной для всех х. (При / = 0 за значение подынтегральной
функции можно взять любое число —величина интеграла от этого
не меняется.)
9* Определенный интеграл и первообразная функция.
Теорема 1. Если функция / (х) интегрируема в [a, b], a ^.a^b
X
и a^x^ib, то производная функции \f(t)dt существует и равна
а
подынтегральной функции в каждой точке, в которой эта функция
непрерывна.
Доказательство. Пусть f(x) непрерывна в точке х0
интервала [а, Ь]. Тогда, выбрав произвольное число ε > 0, мы можем
найти такое η > 0, что для каждой точки χ интервала [а, Ь],
удовлетворяющей неравенству
Ι*—*©|<η. 0)
будет выполняться также неравенство
I/W-/WK*.
т. е.
/(лг0)-е </(*)</(*„) +ε.

306 ГЛ. XVI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Положив
χ
F{x)=lf{t)dt,
α
найдем:
m=^--±-jmdi. (2)
χ*
[Очевидно, для всех t на интервале интегрирования [лг0, х]
имеем
I*—*оК1*—^οΙ<η
и, следовательно,
/(*е)-в</(<Х/(*о) + в.
Отсюда с помощью теоремы о среднем (теорема 5 на стр. 301)
получаем, независимо от знака χ— xQ,
χ
f{Xo)-*<jz^$f(*)dt<f(*Q) + *> 1*-*оК*Ь
Χο
Т. е. в силу равенства (2)]
/(^)-e<F(*>-*<«»> </(*,) + «, |*-*β|<η.
Так как ε было выбрано произвольно, то
х-+х0 Л *о
т. е. Ρ (лг0) существует и
/*(*·) =/(*о)·
Из этой теоремы сразу следует
Теорема 2. Непрерывная в интервале [а, Ь] функция f(x)
обладает в этом интервале первообразной. Первообразной является
функция
χ
F(x) = \f(i)dt + C.
а
Замечание. Теорему 1 можно также доказать для функции
α
φ (*)-$/(<)<«.

9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Hf ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ 307
^Действительно, имеем:
α χ
χ α
Следует, однако, заметить, что
Ф'(*) =—/(*).
Теорема 3. Если F{x) является первообразной функцией
функции /(#), непрерывной в интервале [а, Ь], то
X
lf(t)dt = F(x) — F(a), я<а<£, я<лг<*. (3)
а
χ
Доказательство. Так как F(x) и )f(t)dt являются
πέρα
вообразными функциями функции /(лг), то они отличаются между
собой только на постоянную. Следовательно,
X
lf(t)dt = F(x) + C.
Положив ΛΓ = α, получим 0~F(a) + C. Отсюда вытекает, что
С = — F(a), так что
X
lf(t)dt = F{x)-F(a).
а
Замечание. Положив в формуле (3) х = Ь, α = α, получим:
ъ
lf(t)dt = F(b)-F(a). (4)
а
Формула (4) позволяет нам вычислить определенный интеграл,
когда известна первообразная функция, т. е. известен
неопределенный интеграл.
Для краткости формулу (4) часто пишут в другом виде:
Ъ
lf{t)dt = F(t)\ba.
а
Например,

308 ГЛ. XVI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Примеры.
1. Вычислить интеграл \sinxdx.
о
Так как
[sinxdx — — cos x,
то
Л
2
\ sin χ dx = — cos -^- -J- cos 0 = 1*
о
ι
2. Вычислить интеграл } хп dxt пф — 1.
о
Поскольку
Г xn+l
το
1
J л+l
о
ίχ2
з з <*■*» л > 0.
о
Так как
а
4. Вычислить интеграл \ ——dx.
о
Имеем:
sin4 * tg4 x
cos6 χ cos2 χ '
dx
Следовательно, положив tgx = t, ——~dt> получим:
iSi*-i"*-i-Jt£.

10* ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ 309
и отсюда
η
Г sin* л: tg 4 tg*0 1
J cos·* — Τ" 5 "" 5"
о
5. Вычислить интеграл
Л
2
/л = J sin72 at djc (n —"натуральное),
о
Для неопределенного интеграла \ sin" χ их мы получили (стр. 240)
формулу приведения:
\sin"ArdA: = 1 ι sin* 2xdx.
Отсюда
о о
Если /г ^2, то первое слагаемое правой части равно нулю,
следовательно,
При помощи этой формулы и принимая во внимание, что
легко получим по индукции:
л
2
/9и = I Sin2* AT d# = -o- --τ".. .
J2n — J aui *> ил — 2 4 " " 2/г 2 '
12 4 2/г
^+i = Jsin2W+1^^
1 3 5 'e,2n+l
10. Интегральная теорема о среднем для непрерывных
функций. Если функция f(x) ограничена в замкнутом интервале [а, Ь\
и непрерывна внутри него, то существует такая внутренняя тонка ξ
этого интервала, что ь
Я6) = 5~ $/(*)<**·

310 ГЛ. XVI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[В пункте 7 этот результат был установлен лишь для функций,
непрерывных в замкнутом интервале [а, Ь], так что его нельзя было
применить, скажем, к функции /(д:) = sin— на [0, 1]].
Доказательство. Положим для а^х^.Ь
X
F(x) = lf(t)dt. (1)
а
Функция F(x) является непрерывной функцией в [а, Ь] и, согласно
п. 9, имеет всюду внутри этого интервала производную
F'{x)=f(x), a<x<b. (2)
Далее, по теореме о среднем значении, известной из
дифференциального исчисления, существует точка ξ, удовлетворяющая
соотношению
F(b)-F(a) = {b-a)F'[Q, а<Ъ<Ь. (3)
Так как по (1)
ъ а
F(b) = \f(t)dt, F(a) = lf(t)dt = Ot
а а
то в силу (2) и (3)
ь
\f{t)dt = (b-a)f&).
а
Отсюда уже получается утверждение нашей теоремы.
Примеры.
1. Среднее значение функции
f{x) = x{l-x)
в интервале [0, 1] равняется
1
о
Так как эта функция непрерывна, то для некоторого лг = | (0 < ξ < 1)
имеем:
ξ(ΐ-δ) «-J".
что легко проверяется непосредственно.

10. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ 31 1
2. Среднее значение функции
f(x) = χ sin χ
в интервале [0, π] равняется
π
— \ xsinxdx — l.
π J
о
В силу непрерывности этой функции имеем, следовательно, для
некоторого ξ из интервала (0, π) равенство ξ sing = 1. (Легко
доказать непосредственно, что существует по крайней мере два таких
значения ξ.)
Задачи
1. Вычислить следующие определенные интегралы:
а
Τ
■>ь
άχ π
*+b*x* 4ab*
о
1
Λν Г x*dx 9 ^.- 64
о
2
. f rf* l 5
в) J*2+5x+4—з"1пТ;
ι
\ f <Ьс _ 2я
о
2Я
д) \ cosmxcosnxax=\ ^ ПРИ m ^ n> /т, Λ целые, положительные);
0 г
1
е) \ arcsin χ άχ = -5— l;
о
о
2
з:
ο
Л
2
χ Γ <** Я
' J a2Cos2^+b2sin2^-2ab (a>0' 6>0);

10. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМа О СРЕДНЕМ 313
и провеРить непосредственно, что полученная функция
X
α
неПрерывна в интервале [0, 3] и что ее производная в каждой внутренней
точке этого интервала существует и равняется i (x)
6. При помощи формулы (4), приведенной на стр. 241, доказать, что
я
3
Гсо*ч— 2·4···2"
1+1хЛс =
J λι*λ""3.5...(2λ+1)·
я
о
для всех натуральных п.
С *„ л Ь3...(2л—1) π

312 Гл# χνΐ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1
к) Г }/>+ ldx = -L; + ± Ια (1+^2).
о
2. Доказать, что среднее значение радиуса-вектора эллипса
г=р—
1— ε cos φ
равняется половине его малой оси (Как известно,
' = ¥'
где а, Ъ означают половины большой и малой осей.) Следует вычислить
среднее значение функции
Ρ
1—8 cos φ
в интервале [0, 2π].
3. Вычислить среднее значение функции
f, ч cos2*
τ (χ) = .
' v sin2 χ+4 cos2 x
в интервале 0, -ψ . Проверить непосредственно, что это среднее значение
ί=—J является значением функции f(x) для некоторого χ = ξ из этого
интервала.
4. Приняв в неравенстве
ь
т (b — a) <[f(x)dx<M (*—а)
за m и Μ наименьшее и наибольшее значения функции
f{x)=*x(l-x)*
в интервале [0, 1], доказать, что
0<j x{l— A:)2dx<27;
затем проверить это непосредственно, вычислив интеграл.
5. Вычислить в пределах от 0 до 3 интеграл функции f(x),
определенной следующим образом:
1-х при 0<х<1,
t(x)=*{ О » 1<х<2,
(2-х)2 » 2<х^3,

ГЛАВА XVII
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РЯДОВ
1. Замена переменных в определенных интегралах. Пусть
требуется в определенном интеграле
ь
\f(x)dx
а
применить подстановку χ = φ(ί). Тогда имеет место следующая
формула замены переменных в определенном
интеграле:
ь β
$/(*)**=$/[φ (<)] φ'(*)<«.
α α
где
φ(α) = α, φ(β) = £.
Эту формулу мы докажем при условиях:
1. Функции φ (t) и φ' (t) непрерывны в [α, β].
2. Функция f(x) определена и непрерывна для всех значений,
которые функция x — q>(t) принимает в интервале [α, β].
3. φ(α) = α, φ(β) = *.
Доказательство. Обозначим, соответственно, через Мит
наибольшее и наименьшее значения функции Λ; = φ(/) в
интервале [α, β]. Пусть
F (х) = ^f(x)dx, т < χ Κ Μ
По теореме о подстановке в неопределенных интегралах (стр. 233)
для всех t из интервала [α, β] справедливо равенство
Отсюда
β
lf[<?(t))<p'(t)dt = F[<¥m--F[<p(a)] = F(b)--F(a). (1)
α

1. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛАХ 315
Так как
ь
lf(x)dx = F(b)-F(a), (2)
а
то из сравнения последних двух равенств получим доказываемую
формулу.
В ряде случаев, несмотря на невозможность отыскания
неопределенного интеграла от данной функции, удается вычислить
определенный интеграл в некоторых пределах с помощью подходящей
замены переменных.
Примеры.
1. Вычислить интеграл:
Подставим
т. е.
Имеем:
Так как
I=lxVl+x*dx.
о
t— 1 при х = 0,
* = j/*2 » х=\.
a *dt
dx =
то
1
2. Вычислить интеграл
Р1п(1+*)
J 1+*а
VT 2 1^2"—1
dx{
J ίΊΓΧα
о
Положим
** -— tor / /ίν-
COS2*
X = tgt, dx = £L..
Новыми пределами интегрирования, как легко видеть, будут Оиу

2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ 317
получим:
π
It 0 2
г xsin* Aaj. С (π—0sin (π—t) ^ Г (n-t)sint
Jl+cos2x ~ J 1+cos* (π-Ο J i+cos4at'
2 2
Написав снова χ вместо t, найдем:
я
ί
χ sin дс .
dx —
1 + cos2 χ
J l+cos2x ' J l+cos2* J l+cos2* J 1 + cos2*
0 0 0 0
Вычислив этот интеграл известным способом, получим
окончательно:
я
ί
XSltlX . Яа
dx — -r .
1 + cos2 * 4
о
Задачи
Вычислить следующие определенные интегралы:
О
Подстановка χ = sin3 φ.
2-i"/ib-(i-!)<" (">"·
Подстановка χ —a cos φ.
α
Подстановка * = atg<p.
га
4. J J^a*-*2 dx= ^γ .
о
Подстановка * = 2asin2<p,
2. Интегрирование по частям. Пусть функции f(x) и ф(лг)
непрерывны вместе со своими производными в интервале (а, Ь). Пусть,
далее,

316 ГЛ. XVII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Таким образом,
о о о
J cos t J cost "*
о о
л π _я_
-fln^^+flncos^ — *)d/—J In α»/Λ.
о
Положив во втором интеграле
~-* = я, dt = — du,
получим:
я π
4 0 4
\ In cosГ-^—/ J dt= \ ( — lncostt)i/ii= I In cos я rfir.
4
Таким образом, последние Два интеграла пропадают. Поэтому мы
получаем:
я
О О
3) Вычислить интеграл
J 1+cos2j- *-
я
1 + cos2jc
о
Имеем:
я
π 2 я
Г *sin* ^4, f *sin* ^ t f *sin* Л4„
J r + C^a*-Jl+COS>X "^J l+COS*Jt
ο ο π
2
Положив во втором интеграле

318 ГЛ. XVII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Тогда
Так как
ь
то
откуда
Γ(χ)=/Μφ'Μ+/'Μφ(4
ъ
\F(x)dx = F(x)V
а
§lf(x)<p'(x)+f'(x)V(x))dx=:f(x)<p(x)\bat
а
ъ ь
§f{x)<f'(x)dx=f(x)<p(x)\ba-§f'{x)<f>(x)dx.
Примеры.
1. Вычислить интеграл
V X COS X
dx.
Положив в формуле (1)
/ (χ) = χ, φ (χ) = sin χ,
получим:
\ xcosxdx^xslnxl — I sinxdx —— 2.
2. Вычислить интеграл
Положив
получим:
Слг2(1 — x)*dx.
о
о о
Первый член правой части равен нулю. Интегрируя еще раз
частям, получим:
4{ *(!-**.—^ϋτ^ + ^Βτ* ft.

3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РЯДОВ 319
Первый член опять отпадает, а для второго имеем:
10 6 |о 60
о
Следовательно,
ι
о
3. Интегрирование последовательностей и рядов. Докажем
следующую теорему:
Теорема 1. Если последовательность функций {ип(х)}>
непрерывных в интервале [а, Ь], сходится равномерно в этом интервале
к функции и(х), то последовательность функций < \ un(t)dt\ рае-
аг
χ
номерно сходится в интервале [а, Ь] к функции \u(t)dt.
а
Доказательство. Из равномерной сходимости
последовательности {#„(·*;)} следует, что функция и (х) непрерывна (стр. 172
и 175) и, кроме того, что для каждого числа ε>0 можно подобрать
такое число Ν, что при любом η > Ν будет иметь место неравенство
\ип(х)-~и(х)\ <8 ДЛЯ а^х^Ь>
Следовательно, для η > Ν в силу теоремы 4 об оценке интеграла
из п. 7 (стр. 300)
χ
| j[в.(<)-«(<)]<« |<β(*-α)<β(*-α),
а
значит,
X X
\\ un(t)dt — \u(t)dt <ε(£ — а) для а<лг<£.
а а
Так как ε — произвольное положительное число, то последнее не-
X
равенство показывает, что последовательность функций/ Г и„ (t)dt\
X
равномерно сходится к функции \u(i)dt.

320 ГЛ. XVII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Замечание. Из теоремы 1 для х = Ь следует соотношение
ь ь ь
lim ^un(t)dt= \u(t)dt = f l\mttn{t)dt9
a a a
т. е.,в случае равномерно сходящейся последовательности знак пре·
дела и знак интеграла можно поменять местами.
Аналогичную теорему можно доказать для равномерно сходящихся
рядов.
Теорема 2. Если функции последовательности {/„(#)} непре·
00
рывны для a^.x^.bt ряд /Л f„ (χ) равномерно сходится в [д, Ь]ц
/1=1
имеет своей суммой функцию f(x), то ряд
Σ $/.(*)<**
/15=1 а
также равномерно сходится для а^х^Ь и
00 X X
Y*[fn(i)dt=\f(t)dt («<*<*)·
Я=1й
S частности,
Σ l/„ii)dt = lfit)di,
иначе говоря, равномерно сходящийся на конечном интервале ряд
можно интегрировать почленно.
Доказательство легко получается из определения равномерной
сходимости ряда и теоремы 1.
Примеры.
1. Последовательность {ип (л;)}, где
сходится равномерно к функции и(х) = 0 в интервале 0, -д- , так
как
| ип (х) К ψ при 0 < х < у .
По теореме 1 имеем:
χ χ
lim \un(t)dt = Jir(/)rf/ = 0

3, ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РАДОВ 321
для 0^*^γ. В самом деле, интеграл
χ
ίχη+ι ι
UAt)dt= ί-τ-ι <~
п ^ ' л + 1 ^ /г+1
равномерно стремится к нулю при я—►оо.
2. Положим j
| п2х при О^лг^-—
- » -<*<1.
\ χ η ^ ^
Как легко видеть, функции иЛ (л;) непрерывны в интервале [О, II*
Имеем: нд(0) = 0, поэтому
lim un (0) = 0.
Для лг>0 и л^ — имеем: ид(#) = т> поэтому
1 „ ,._v J_
χ
Птип(х) = ±в
Таким образом, последовательность {ип (х)} сходится к функции
«W-7 (*>0),
для которой и (0) = 0. Эта сходимость не является равномерной,
ι
ибо функция и (х) разрывна для # = 0. Вычисляя интеграл ^ un(x)dx9
получим: о
JL JL
J Un (X) dX = J «„ (ЛГ) dX + J И„ И dX = J Я2ЛГ d* + J ^. I + In tt.
JL ° JL
Мы видим, таким образом, что в этом случае последовательность
интегралов расходится, несмотря на то, что последовательность
функций сходится. Следовательно, требование равномерной
сходимости в теореме 1 является существенным.
00
3. Ряд ^Г cos β*, сходится равномерно в каждом интервале, ибо
а ряд V~2, как известно, сходится (стр. 159). Обозначив его
И С. Банах

322 ГЛ. XVII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
сумму через /(лг), получим в силу теоремы 2
О Л=1О 1—1
В частности, для Λ: = γ и для лг = я получим:
ϋ
2
Г 111
J f С) dt =Тз — 33 + Р"~~
о
л
ί/(/)Λ-0.
о
4. Интегрирование степенных рядов. Пусть степенной ряд
а0+а1х + а2х^+ ...+ апхп + ... (1)
имеет радиус сходимости /?. Тогда этот ряд сходится для — /?<#</?
и равномерно сходится в каждом интервале [а, Ь], где — /?<Д <#</?.
Пусть /(лг) — сумма ряда (1). По теореме 2 имеем:
* * χ χ х
$/(#) dx = Ι α0 dx+ J axx dx+^ a2x*dx + ... + $ αηχηdx+ ,..
οοοο ο
Итак,
χ
§f(x)dx = a0x+%x*+.,.+£*rixn+1+... (2)
(—R<x<R).
Ряд (2) сходится равномерно в каждом интервале [а, Ь], где
— R<a<b<R.
Замечание 1. Если
F{x)=[f[x)4x,
то х J
^f(x)dx = F{x)— F(0).
о
Отсюда, положив F (())=■ С, получим в силу (2):
F(x)=§f(x)dx = C+a0x+^x*+...+7^Txn+i+...
Последний ряд представляет собой, таким образом,
неопределенный интеграл функции f(x) для —/?<#</?.

4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 323
Пример. Интегрируя в пределах от 0 до χ известные нам
степенные ряды (стр. 189):
-^-»1_/· + ί4-....+(_!)« <·«+...,
/Т=72 1^ 2 1 ^2-4* Τ··--*- 2.4...2/г Г + ···»
сходящиеся при |/|<1, получим ряды:
. χ х3 . хь . . 1Ч„*2П+1 ,
arctg лг = т—з- + т- ...+(_ 1) __+...,
1 + 2 3 +2·4 5 "*"
сходящиеся также при j л; | < 1
яс*п* = Т + -2Т + 23Т+-"+ 2-V:..2n 2»+l
Положив в последнем ряду χ = γ, найдем:
UL-.L4.-L, l ,1-3 1 ,
ft О I О
6 "" 2 ^ 2 3-23 ^2-4 5-25 ^ · · ·
Этим рядом удобно пользоваться для вычисления π.
Замечание 2. Если данная функция f(x) допускает
разложение в степенной ряд, то можно получить интеграл этой функции,
интегрируя почленно этот ряд. Указанный способ получения интеграла
особенно удобен тогда, когда его нельзя вычислить другими методами.
Примеры.
ь
f* sin χ
1. Интеграл \ dx не может быть вычислен методами, рас-
а
sin χ
смотренными выше, так как первообразная функция не
принадлежит к известным нам элементарным функциям. Однако его легко
вычислить, если воспользоваться разложением в ряд. Действительно, имеем;
X х3 , Xs . / 1ч« Х2" + 1 .
sin л: = ^—^г + ^— ...+(— 1)и
1! ЗМ5! '"^ */ (2я+1)М •••,
следовательно, при хфО
sinjc __χ2 χ* _£ϋ__ ,
χ ~~l 31^5! '"-TV *J (2Λ+1)!"1"···
Ряд справа сходится (к единице) также при лг = 0.
^ sin χ Λ
Функция не определена при х = 0, но имеет предел
,. sin χ -
Х-+0 Х
(см. стр. 64). Поэтому если припишем ей в точке лг = 0 значение 1,
то получим функцию, представленную последним степенным рядом
и непрерывную для всех значений х.
11*

324 ^171. XVII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛ Oft
Интегрируя почленно, получим ряд
ь
—
tos=5!^-a)--_r + -_r_...+(— 1) (2я+1)(2г|+1)| +...»
ί
сходящийся очень быстро, при помощи которого легко вычислить
интеграл с любой заданной точностью.
2. В теории математического маятника доказывается, что про·
должительность одного колебания дается формулой
Υ g J ιΛ-/^
1/Ί—/га sin2 φ*
в которой / — длина маятника, g—ускорение силы тяжести, а
& = sin~ где α — угол, образованный вертикальным и крайним
положениями маятника (0<α<π).
Интеграл в правой части нельзя выразить через элементарные
функции, однако его можно вычислить путем разложения в ряд·
Заменив в разложении функции , приведенном в примере на
стр. 322, переменную t через k sin φ, получим:
т^-^-1+4.(*йпф)»+й(*-»ф)4+йЗ<*й,ф>,+···'
Ряд в правой части равномерно сходится в интервале 0, ^ .
Действительно, его общий член ип (φ) при всех φ удовлетворяет
неравенству
к μ Η '"^У <*sin «ρ)2" Ι <ktn·
00
а числовой ряд 2 k2n абсолютно сходится ввиду условия 0 < k < 1
л = о
(см. стр. 156). Поэтому мы можем (см. стр. 320) интегрировать"
обе части в пределах 0, о-:
2 2 2
о Ύ о о

5."интегрирование и Дифференцирование по параметру 325
Как известно (см. стр. 309),
л
а"
Г -.* 2« j 1·3·5...(2λ—Ι) π
о
Подставив это выражение в полученный ряд, приходим к. формуле
Найдя сумму соответствующего числа первых членов этого ряда,
мы сможем вычислить время Τ с любой точностью.
5. Интегрирование и дифференцирование по параметру. Пусть
функция К (лг, t) определена и непрерывна в прямоугольнике
Поскольку интеграл
ъ
\к(х, t)dx
а
существует для каждого значения переменной t в интервале \а\ Ь\
мы можем определить в интервале [а\ Ь'] функцию / (/), положив
ь
/(') = $*(*, *)dx. (1)
а
Докажем ряд теорем, устанавливающих свойства функции f(t) в
зависимости от свойств К(х, t).
Теорема 1. Функция f(/), определенная формулой (1), не*
прерывна.
Действительно,, если f — произвольная точка интервала [a', b']f
a {in}-— произвольная последовательность точек этого интервала,
сходящаяся к t\ то в силу равномерной непрерывности
последовательность функций (переменной х) {К(х, tn)\ сходится равномерно
в [а, Ь] к функции К (х, f). Тогда по теореме об интегрировании
последовательностей имеем:
ь ь
lim \ К{х, tn) dx=[ К (χ, t') dx,
откуда в силу (1)
я->оо
т. е. функция /(/) является непрерывной.
Теорема 2. Если функция К(х, t) непрерывна и имеет
частную производную по t, непрерывную в прямоугольнике a^xt^b,

326 ГЛ. XVII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
a'^.t^.b', то производная функции
ь
f(t)=lK(x,t)dx
а
существует, непрерывна и выражается формулой
ь
/'.(*)=$#;(*, t)dx (β'</<*').
а
Доказательство. Пусть f и f + λ — две произвольные точки
интервала [а\ Ь']. Имеем:
а
Но по теореме о среднем значении
K(x,t'+V-K(x,t')==K't(Xi г + щ (0<д<1)|
следовательно,
Μ'' + λ)-/(*')
λ
а
и
= [ύ(χ, i' + Щах.
Если теперь λ будет стремиться к нулю, то в силу равномерной
непрерывности Kt (x> f + Φλ) будет равномерно стремиться к Kt (x, *')·
Следовательно,
mnt'+b)-nnJKl{x>t,)dXt
a
и наша теорема доказана (непрерывность /' (/) следует из теоремы 1).
Теорема 3. Если функция К{х, t) непрерывна в
прямоугольнике
то интеграл функции
ь
/(*) = $#(*, s)dx
а
выражается формулой
t ь t
lf{s)ds=U$K(x, s)ds\dx (а'<а<6'),
α α να
г. е.
t .ь % ь t
$ j $ К {χ, s) dx\ ds = J / J /C(at, 5) ds\ dx.

5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПО ПАРАМЕТРУ 327
Доказательство. Положим
ь t
рт**\\\кк*> *)ds\dx. (1)
Тогда, учитывая, что
t
|{j*(*> s)ds} = K(x, t),
α
по теореме 1 найдем:
ь
F'(t)=lK(x, f)dx=f(t).
a
Следовательно,
t
F{t) = \f{t)dt + C.
α
Чтобы определить постоянную С, положим t = α; получим F (α) = С.
Но из равенства (1) следует
Ъ а
F (а) = J | J К (лг, s) ds\ dx = 0,
так что С=0 и
Л') = $/(')Л.
α
т. е.
* ь t
J/(5) ds= J i J #(*, s) ds\ dx.
С*. Л ^ГУ '
Замечание. Положив, в частности, α=α', t = b\ получим:
Ъ' Ъ Ь Ь'
J { J К(х, s) dx] ds = J { J ЛГ(лг, s) ds} dx.
a' a a a'
Следовательно, при выполнении предыдущих условий порядок
интегрирования не влияет на результат.
До сих пор мы принимали, что пределы интегрирования являются
постоянными числами. Займемся сейчас интегралами, у которых
пределами являются функции переменной /.
Пусть функции φ (t), ψ(/) непрерывны и имеют непрерывные
производные в интервале [а' Ь'\ и пусть, кроме того,
α<φ(0<£, α<ψ(0<* Для α'<*<£\

328 ГЛ. XVH. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛОВ
Предположим, что функция К(х> t) Определена й непрерывна
в прямоугольнике a^.x^b, a'^t^b' и имеет в этом прямо·
угольнике непрерывную частную производную по t.
Тогда имеет место следующее утверждение.
Теорема 4. Производная функции
/(<)-» J K(x,t)dx
существует и выражается формулой
/'(')= $ K\{xJ)dx+K[^{t),i]$(t)-K[4(t),t]y'it).
φ (Ο
Доказательство. Положим
Ό
$ΛΓ(λγ, t)dx = F{t, u, ν).
и
Имеем, очевидно,
/(О = J7 Ρ, φ (*).*(')].
По теореме о дифференцировании сложной функции получим:
/' (0 = ^' (*, и, v) + F; (ί, и, ν) и' + Г9 (t, и, ν) ν'.
Так как
Ό
F't(t,u,v) = lK't(x,t)dx,
U
F'u (tt и, ν) = — К (и, t), Fv (ί, α, ν) = *(*, f).
το
/' (*)=■$*; (*, *) dt + Κ (ν, i) ν' - K(u, t) и'.
Подставив сюда и = (р(/), v = ty(t), получим нашу теорему.
Примеры.
1. Имеем:
2
1
Дифференцируя по /г, получим:

5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ Д ДИФФЕРЕНЦЙРОВАНЙБ^ПО ПАРАМЕТРУ $29
2...К|к легко проверить, имеет место формула
Л
if
J i^as'in^x^ojr-rrz ^α' < ,)#
l + asin** 2Ϋ"ί+α
Дифференцируя по α, получим:
я
2
С sin8* , ^ я
J (1+asin**)* X~~ i #
0 4(l+a)8
3. Йме£м:
fl+aL^Tfe2 (|a' "^ 1K
о
Дифференцируя по а, найдем:
Г cos χ dx
J (1+a cos a:)2
πα
)2 _£_'
0 (1—a2)2
интегрируя же по α от 0 до t, получим в левой части
Г и Г dx — f w Г da — Г ln(* + *cos*)
J aa) i+aeos*~J UX) l + acos*~"J S55^ dx>
0 0 0 0 О
а в пр
I -J! da = n arcsin I.
о
Окончательно для |ί|<1 имеем:
π
Г In (1 +ί cos*) . . ,
\ —ь—! ' dx = n arcstn t.
J cos*
0
4. Положив
1
найдем:
/(*) = Jy прид;>0,
1
xy χ xy

330 ГЛ. XVH. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Дифференцируя последяий интеграл по х9 получим:
dxj t хуУ χ
Следовательно, этот интеграл не зависит от х. Положив χ =* Ь У^в*
димся, что значением интеграла будет /(у)· Отсюда
f(xy)=f(x)+f(y)-
Мы получили, таким образом, основное свойство функции f(x) = In %·
Задачи
1. Вычислить интеграл
ί
1_
2
ах
Vl-x*
о
с точностью до пятого десятичного знака путем разложения в ряд.
2. Проверить, что, интегрируя почленно ряд
и помножив затем обе части на п + 1, получим аналогичный ряд для
3. Интегрируя в пределах от 0 до χ ряд Маклорена для функции
-г , вывести формулу
у 1 + JC2
верную для |*| < 1.
[4. Доказать, что последовательность
Ь(Х) = ХП(\-ХП)
сходится к i(*)s=0 в интервале [0, 1] неравномерно, а последовательность
интегралов
1
^ и wd*
1
сходится к интегралу \ l(x)dx.
о
Указание. Для доказательства того, что сходимость
последовательности функций не является равномерной, рассмотреть максимальные
значения этих функций на интервале [0, 1].
4а. Доказать, что последовательность функций

5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПО ПАРАМЕТРУ 331
сходится к i(x)sO на интервале [0, 1], а последовательность интегралов
д.
5 и w
dx
не сходится к интегралу \ l(x)dx. Вывести отсюда, что сходимость после*
о
довательности функций не является равномерной.]
5. Доказать, что для | χ | < 1
ί
dt jg 1 jg· 1-3*11 1·3·5*1β
}/"fZl6""l+2 6 +2·4 11 + 2·4·6 16 + ,ί
6. Доказать, что для | χ \ < 1
ο
7. Методом дифференцирования и интегрирования по параметру вывеете
новые интегралы из следующих:
1
а) (V*d*==?—Ь
J a
о
га
б) \ У2ах— x2dx =-о- (см. стр. 317, задачу 4);
о
л
2
в) \ -т г—.· ;0 ■■ о =;г-г(см- сто, 311, задачу 1 и));
7 J a2cos2*+b2sin2x 2abK r "
о
π
г) \e~a*cosbxdx= — -^^{e-aKcosbn-- 1).
о
8. Дифференцированием интегралов по параметру доказать следующие
формулы:
а) arctgx+arctgi/=arctg^i^;
б) arcsin *+arcsin i/ = arcsin (*У 1— y2 + yY 1— *2).
9. Для каких значений η можно дифференцировать интеграл
И*=;гЬ?

ГЛАВА XVIIlf
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
В этой главе мы определим понятие интеграла в тех случаях,
когда подынтегральная функция не ограничена, или когда
интервал интегрирования бесконечен.
1· Интеграл неограниченной функции. Допустим, что функция
jf(jc) определена в интервале [#, Ь], за исключением, быть может,
точки а, в окрестности которой функция не ограничена.
Если функция f(x) интегрируема в каждом интервале [я -}-ε, Ь],
где ε>0, a-fe<£, и если существует предел
lim ^ f(x)dx,
то этот предел мы называем несобственным интегралом
ь
$/w
dx.
Пример 1. Функция
1
непрерывна в каждой точке интервала [0, 1], за исключением точки
х = 0. Имеем:
ί
1
dx
*=2-2Vb (ε>0),
У *
ε
следовательно,
1
lim Г * «2.
ε-» + ο J V Χ
ε

2. ИНТЕГРАЛЫ В БЕСКОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
333
Таким образом, несобственный интеграл функции у = -^ в ий-
тервале [0, 1] равен 2:
1
'ft
ι
dx
ί
Если в интервале [а, £] имеется конечное число точек, в
окрестностях которых функция f(x) становится неограниченной, то интервал
[а, Ь\ разбивается на конечное число интервалов так, чтобы лишь в
окрестности одного из концов каждого из них функция становилась
неограниченной. Если в каждом из этих интервалов функция имеет
несобственный интеграл, определенный нами выше, то сумму всех
этих интервалов мы назовем несобственным интегралом в интервале
[я, *].
Пример 2. Функция - (0 < л: < 1) в окрестностях то-
К* (1-х)
чек лг = 0 и л;=1 становится неограниченной. Чтобы исследовать,
существует ли несобственный интеграл в [О, 1J, исследуем пределы:
2 1-8
11m Г - dx , lim Г - dx ■. . (1)
e-»+oJ Vx(l— х) ε-*+ο J Г *(1— X)
Так как
dx
l·
: = arcsin(2Ar—1),
Vx(l-x)
то пределы (1) равны, соответственно,
lim [arcsinO —arcsin(2e —1)] = -^-,
lim [arcsin(l — 2e) — arcsin 0] =-^-.
Следовательно,
1
dx
ί
Vx(i-x)
•n.
2. Интегралы в бесконечном интервале. Пусть функция /(#)
определена для всех χ > α. Допустим, что в каждом конечном
интервале а^.х^.Ь функция f(x) интегрируема.
Если существует
ь
lim \f(x)dx, (1)
b-++ η?

334 ГЛ. XVIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
то этот предел будем называть несобственным интегралом функции
f(x) в пределах от а до + оо и обозначать символом
\ f(x)dx. (2)
В этом случае мы будем также говорить, что интеграл (2)
сходится. Если же предел (1) не существует, то говорят, что интеграл
(2) расходится.
Пример 1. Функция
1
у=т*
непрерывна для лс> 1. Поскольку
ь
fadx-l-±.
ТО
следовательно,
9
lim \-zdx^\,
+ 1
J3-·
Аналогично определяются несобственные интегралы
а а
J f(x)dx = Hm lf(x)dx,
+ oo α
J f(x)dx= J f{x)dx+lf{x)dx.
-CD -00 a
Пример 2. Пусть
l+x*'
Имеем:
со α
о о
ί ι+7-.Й.ίτ+7-.ϊ.<-^β)*τ.

3. ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ НЕСОБСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА 335
Следовательно,
+ 00 О +Q0
— oo —со о
3. Признаки существования несобственного интеграла.
I. Теорема. Пусть неотрицательная функция φ(χ) неогранм*
чена в окрестности точки а и обладает в интервале [а, Ь] (а < Ь),
несобственным интегралом. Если неограниченная в окрестности
точки а функция f(x) интегрируема в каждом интервале [а\ Ь\
(а < а' < Ь) и, кроме того,
|/(*)|<<р(х) (а<х^Ь)9
то несобственный интеграл
ь
\f(x)dx
а
существует.
Доказательство. Пусть {ε„}—произвольная
последовательность убывающих положительных чисел, сходящаяся к нулю. Пусть
кроме того,
а + вп<Ь (а<Ь).
Образуем ряд:
Ь α+Βχ д+в2
J ψ(χ)άχ+ J (p(x)dx+ J φ(Ατ)β?Λ:+...
α+βι a+ez α+β4
α+εη-ι
...+ S y(x)dx+... (1)
α+εη
Для суммы S^ первых η членов этого ряда справедливо равенство
ь
$п= S <p(x)dx.
α+β„
Таким образом, ряд (1) сходится, и его сумма равна
несобственному интегралу функции φ (χ) в [α, b].
Так как, по условию,
1/(*)|<<Р(*) {а<х<Ь),
то
β β β
\lfi*)dx\^l\f{x)\dx^\v(x)dx (a < a < β < *).

336 ГЛ. XVH1. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Отсюда следует, что ряд
Ь α+Βχ а+Ь*
J f(x)dx + I f{x)dx+ J f{x)dx+...
e+8t a+fy β+8*
...+ $ f{x)dx+... (2)
абсолютно сходится, так как его члены по абсолютной величине не
превышают соответствующих членов ряда (1).
Обозначив через *п сумму η первых членов ряда (2), получим:
ъ
sn= J f(x)dx,
α+δη
следовательно, существует
ь
Urn $ f(x)dx.
Так как этот предел существует для каждой последовательности
{£лЬ удовлетворяющей ранее приведенным условиям, то существует
ь
lim \ f(x)dx>
так что функция f(x) обладает несобственным интегралом в [а, Ь].
[Замечание. Пусть функция f(x) неограничена в окрестности
точки л; = 0. Если несобственный интеграл
а
\\f(x)\dx
О
сходится, го об интеграле
а
[f(x)dx
О
говорят, что он сходится абсолютно.
Из доказанной теоремы ввиду очевидного неравенства f(x)^
^\f(x)\ следует, в частности, что абсолютно сходящийся
несобственный интеграл сходится и в обычном смысле. Обратное
утверждение, как и в теории рядов, неверно.]
1
Пример 1. Интеграл I -yz=zdx существует, ибо
о
1
Г dx
а существование интеграла I -^= было нами доказано выше (стр. 332).
cos χ \^ 1
7Т| Ft'

3. ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ НЕСОБСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА 337
II. Если 5<1, то несобственный интеграл
14 1.>Ч
существует.
Действительно, имеем:
о
lim f~= Urn J—^-'-z1-*) -£Ι
£сл« функция f(x) непрерывна в [0, α], за исключением точки
лг = 0, u если произведение f(x)xs ограничено в [О, а], причем
$< 1, to несобственный интеграл
а
lf{x)dx (3)
О
СЯОдыТСЯ.
Действительно, если |/(лг) λγ*| ^ Л, то
I/WKJ (0<лг<я).
Так как для функции — (s < 1) несобственный интеграл в [0, а]
Xs
существует, то по предыдущей теореме существует и несобственный
интеграл (3).
В частности, интеграл (3) сходится, если существует предел
lim f(x)xs (s<\).
Например,
X-+ + Q T^sln Χ
следовательно,
1
dx
lim -^=гЛг2== lim ]/-Д-==1,
ί
V~sin x
о
существует.
III. Для интегралов в бесконечных интервалах можно высказать
аналогичную теорему:
Теорема. Пусть функция φ (χ) неотрицательна и существует,
несобственный интеграл
4-со
j φ (χ) dx.

338 ГЛ. XVIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Тогда если функция f(x) интегрируема в каждом интервале
[ау b] (#<£) и для а^х выполняется неравенство
|/(*)|<Ф(*).
то существует несобственный интеграл
$ /(*)
dx.
Доказательство проводится как и в предыдущем случае.
Аналогичный признак имеет место для интервала (— оо, +00)·
«о
π λ ιι С COS Χ . ~ . COS Χ
Пример 2. Интеграл \ ——;■ dx существует, ибо , , ν2
J 1 -ή- Xй Ι 1 -J- Λ
о I
^ Ι ι 2» a Функция ι ,2 обладает несобственным интегралом
dx π
j l+*2~~ 2 '
о
IV. Если
I **/(*) К^для jc>a>0 Ηί>1,
оо
то \f(x)dx существует. При этом предполагается, что функция
а
f(x) интегрируема в каждом интервале [а, Ь] (а < Ь).
Действительно, тогда
1/(*)1<р-
и, кроме того,
оо Ь
f*fe lim Γί£β lim fe-w_e-*+ii_l β ! #
J Xs 6-*+αο J ** *-* + οο l J -"S + l (S-1)0»-1
я α
[Замечание. Как и в теории рядов, признаки сравнения для
несобственных интегралов можно сформулировать в предельной
форме. Например,
Пусть функции f(x) и φ(χ) определены и неотрицательны при
х^а, и при любом Ь>а интегрируемы на интервале [а, Ь]. Если
существует конечный предел
00 CO
то из сходимости интеграла j φ (χ) dx следует сходимость ]f(x)dx.

4. ПРИМЕНЕНИЕ К РЯДАМ 339
Если ΚηέζΟ (но, возможно, /С= оо), то из расходимости первого
интеграла следует расходимость второго.
Предельная форма признака сравнения удобна тем, что зачастую
позволяет очевидным образом перейти к рассмотрению значительно
более простой подынтегральной функции.
Пример. Доказать сходимость интеграла
00
(l + \nx)dx
}/> — За: (In3 a:—3)'
Отбрасывая младшие члены числителя и знаменателя, видим, что
данный интеграл сходится или расходится одновременно с интегралом
ί
dx
х\п*х '
10
Последний интеграл, очевидно, сходится. Действительно, .
10 10
Следовательно, сходится и данный интеграл.]
4. Применение к рядам.
Теорема. Если непрерывная, неотрицательная и убывающая
00
функция f(x) определена для всех х^ 1, то ряд 2/(Л) сходится
/1 = 1
или расходится в зависимости от сходимости или расходимости несоб-
00
ственного интеграла ^f(x)dx.
ι
Доказательство. Заметим, что в интервале [п, я-f-l]
наибольшим значением функции f(x) будет/(л), а наименьшим / (п -f- 1)#
Следовательно, по теореме, приведенной на стр. 300,
Я+1
η
Поэтому
/1 + 1
/(2)+/(3)+...+/(я+1)< $/(*)«/*<
</0)+/(2) +..·+/(»). (1)

540 гл. xvm. несобственные интегралы
о»
Если существует интеграл ^f(x)dxt то последовательность ча-
1
о»
стичных сумм ряда 2/(Л) ограничена и атот ряд с
неотрицательна
ными членами сходится.
00
Допустим теперь, что ряд 2 f(n) сходится. Тогда в силу вто-
/1 = 1
рого из неравенств (1) последовательность \ \ f(x)dx\ ограничена.
U )
Эта последовательность не убывает, так как
/1+1 Π /1+1 η
[f{x)dx=[f{x)dx+ I f(x)dx^[f(x)dx,
' 1 1 П χ
потому что / (χ) ^ 0
Таким образом, последовательность ] V/ (лг)с?аг| сходится к
некоторому числу g. Поэтому для каждого β > 0 существует такое Nt
что для любого целого я > N справедливо неравенство
я
g-t<lf(X)dX<g+R.
1
Пусть теперь л: —произвольное число, большее, чем ЛГ4*1· Тогда
существует целое n>N, такое, что п<х^п + \л Мы можем
написать:
χ η χ η+ι я+1
$/(')*=»$/(*)<«+$/(*)<«=- lf(t)dt- l/(t)dt,
ι ι η ι χ
откуда следует
η χ /ι + ι
ι ι ι
Так как η > Ν, то, тем более,
χ
*-в<$Я*)<«<*Ч-в.
1
Последние неравенства справедливы для любого χ>Ν+\. Этим

4. ПРИМЕНЕНИЕ к РИДАМ* 341
00
деказаио, что из сходимости ряда 2/(л) вытекает существование
оо
интеграла }f(x)dx, т. е. доказана вторая часть нашей теоремы.
1
Примеры.
1. Пусть f(x) = x~*. Имеем:
J ( In a: » α=1.
χ
Поэтому
1У ν ' ■ \пх » α = 1.
Отсюда сразу видно, что интеграл \f(x)dx существует лишь
1
для а> 1. Следовательно, по последней теореме, ряд 2 -* сходит-
п~1 п
ся при а> 1 и расходится при α^Ι (см. стр. 159 и 166).
2. Пусть
J v ' л: Ιπλ:
Как легко видеть, имеем:
С / (дг) с?лг = In In лг,
следовательно,
X
§f(t)dt = \n\nx—In In 2.
2
GO
Таким образом, интеграл \f(t)dt не существует, а отсюда, по
2
00 1
нашей теореме, следует, что ряд j^ n jnrt расходится.
Я = 2
Замечание. Теорема остается справедливой, если функция f(x)
определена и обладает перечисленными выше свойствами длях^А*
со
00 л
В лей следует лишь заменить У\/(п) и \ f(x) dx, соответственно,
П-1 1
со
00 л
на 2/(#) и^ j f(x) dx. Мы уже пользовались этим в примере 2.

342
ГЛ. XVIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
5*. Равномерно сходящиеся несобственные интегралы. Пусть
К(х, t) — непрерывная функция, определенная длялг^я, α^^^β
00
и обладающая тем свойством, что несобственный интеграл \ К(х, t)dx
а
существует для каждого t из интервала [α, β].
00
Определение. Несобственный интеграл ]К(х, t)dx назы-
а
вается равномерно сходящимся по t в интервале [α, β], если для
каждого ε > 0 существует Л ^ #, такое, что
00
Цк{х, t)dx\<e
с
для каждого с > Л и каждого / из интервала [α, β].
Это определение напоминает определение равномерной сходимости
00
функционального ряда 2ип(*)> причем интегрирование по χ играет
роль суммирования по п. Поэтому равномерно сходящиеся
несобственные интегралы обладают свойствами, аналогичными свойствам
равномерно сходящихся функциональных рядов.
Например, можно следующим образом сформулировать
необходимое и достаточное условие равномерной сходимости несобственного
интеграла: для любого ε > О найдется такое Ν, что при ρ > N uq> N
я Ι
\К(х, t)dx\<&
\р I
для каждого фиксированного t из интервала [α, β]. Напомним, что
в теории рядов соответствующее неравенство имеет вид
\Sq{t)-Sp{t)\ = \up+1{t) + up^(t)+...+Uil{t)\<e.
Мы видели, что условие равномерной сходимости
функционального ряда позволяет перенести на его сумму утверждения о том,
что конечная сумма непрерывных функций непрерывна, интеграл от
нее равен сумме интегралов, а производная — сумме производных.
Точно так же равномерная сходимость несобственного интеграла
позволяет перенести на него свойства зависящих от параметра
обыкновенных интегралов, установленные в предыдущей главе (теоремы
1—3 на стр. 325—327).
Доказательство этого утверждения проведем, основываясь на уже
известных результатах теории рядов, подобно тому как теоремы
о пределах функций выводятся из соответствующих теорем о
пределах последовательностей.

5. РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИЕСЯ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 343
Теор ема 1.
а) Если функция K(x,t) непрерывна при х^?а, α<*^:β и
несобственный интеграл
$*(*, <)
dx
сходится равномерно по t в интервале [α, β], то этот интеграл
является непрерывной функцией t в указанном интервале.
б) При тех же условиях несобственный интеграл
оо t
\dx\K(χ, s)ds
также сходится равномерно по t в интервале [α, β] и
оо / /со
J dx J К (χ, s) ds= J Ж? J К(х, s) dx.
да а а
в) £сли при лг>я, а < * < β функция К(х, t) непрерывна вместе
ОО
со своей частной производной Kt (x, i)9 причем интеграл ^ К {х, t) dx
а
00
сходится, а интеграл V Kt {x, t) dx сходится равномерно в интервале
а
[α, β], το
00 00
а а
Доказательство. Пусть {гя}—произвольная числовая
последовательность, расходящаяся к оо, причем гп > а. Очевидно,
со гг г2
$К{х9 t)dx=*lK{x, t)dx+[K(x, t)dx+... (1)
a a ri
Заметим, что равномерная сходимость интеграла в левой части
равносильна равномерной сходимости ряда в правой части. Пусть,
например, равномерно сходится интеграл. Согласно указанному выше
условию равномерной сходимости несобственного интеграла это
означает, что для любого ε > 0 можно указать такое Ν, что при
Ρ Ж Я>М
IQ I
$#(*, t)dx <ε, α<*<β.

344 ГЛ« XVIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ-
Но Ниигя = оог поэтому для всех достаточно больших η будем иметь
п-+ да г
тп > N. Следовательно,
J К{х, i)dx+ J К(х, t)dx+...+ $ K(x,t)dx
J ΛΓ(λγ, f)d*<| <*
/"η
для всех достаточно больших η при любом ρ > 0 и каждом ί из
[α, β]. Это и означает равномерную сходимость ряда в правой части
равенства (1). Обратное утверждение доказывается аналогично.
Как доказано в теории обыкновенных интегралов, зависящих от
параметра, члены этого ряда
««(')= J K(x,t)dx (r0 = a)
являются непрерывными функциями параметра t на интервале [α, β],
(теорема 1 на стр. 325). Вследствие равномерной сходимости его
сумма
\K{x,t)dt
также непрерывна по t на [α, β] и утверждение а) доказано.
Далее, равномерно сходящийся на конечном интервале ряд
непрерывных функций можно интегрировать почленно. Значит,
t со t rt t гг
)ds^ К(xt s)dx= J ds \Κ(χ, s)dx+]d$ )K(x, s)dx+ ...,
α α α α α rt
причем полученный ряд также является равномерно сходящимся на
этом интервале (теорема 2 на стр. 320). В каждом его члене по
свойству обыкновенного интеграла, зависящего от параметра,
порядок интегрирования можно поменять. Следовательно,
/со rt t тл t
}ds )K(x, s)dx= \dx] K(x, s)ds-t- }dx j K(x, s)ds+ ...
a a a a rx a
или, согласно определению суммы ряда как предела
последовательности частичных сумм,
t со rn t
)ds}K (x, s) dx = lim ^ dx J K(x, s) ds.

5. РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИЕСЯ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 345
Так кай этот предел существует для любой последовательности
{Г«Ь удовлетворяющей указанным выше условиям, то по
определению предела функции существует и предел
Г t 00 *
lim J dx J K(x, s) ds = J dx ^К{х9 s) ds,
γ"*<*λ α α α
так что предыдущее равенство принимает вид
t <» *> t
J ds J АГ(аг, s) tf*= J йа; J #(*, *) ds.
α α α α
При этом, как было отмечено в первой части рассуждения,
равномерная сходимость ряда в равенстве (2) означает равномерную
сходимость полученного несобственного интеграла. Утверждение
б) доказано.
со
Пусть, наконец, интеграл }К(х, t)dx сходится, а интеграл
а
}Kt(x, t)dx сходится равномерно на [α, β]. Последнее условие
а
равносильно равномерной сходимости ряда
J Kt (х, t)dx+\ Kt (л:, t) dx+ ... = J Kt (x, t) dx, (3)
a rt a
члены которого по свойству обыкновенного интеграла, зависящего
от параметра, являются производными соответствующих членов
сходящегося ряда (1):
Гх Гг СО
J K(x, t) dx+ J К (*, t) dx+ ... = S ΛΓ(λγ, t) dx,
a rt a
непрерывными на [α, β]. Таким образом, выполнены все условия
теоремы о почленном дифференцировании ряда (1), вследствие чего
производная от его суммы равна сумме ряда (3). Иначе говоря,
имеем
00 00
A j* К (χ, t) dx=j K't (x, t) dx,
a a
что и требовалось доказать.
Для установления равномерной сходимости несобственного
интеграла часто достаточно воспользоваться следующей теоремой:
Теорема 2. Если функция φ (χ, s) непрерывна и
неотрицательна в области Λτ^α,α^^^β, и если для нее существует и

346 ГЛ. XV1H. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
равномерно сходится несобственный интеграл
00
j φ (χ, s) dx,
a
то для каждой функции K(x, s), удовлетворяющей .неравенству
\К(х, ί)|<φ(^,ί)
и непрерывной в той же области, несобственный интеграл
со
^К(х, s)dx
а
существует и сходится равномерно. *
Доказательство. Существование интеграла \К(хг s)dx
а
для каждого $ из интервала [α, β] следует из теоремы на стр. 337,
потому что для каждого $ имеем:
\К(х, s)|<ip(Jf, s) {x^a)
и, кроме того, для каждого $ существует интеграл
00
} φ (χ, $) dx.
a
В силу равномерной сходимости интеграла
00
^ φ (χ, s) dx
a
для каждого ε>0 найдется такое А^ а, что
00
^ φ (л;, s) dx < ε
с
при каждом с > А и каждом s из [α, β]. Так как при каждом d> с
будет
d d d
I J K(x, s) dx | < J | tf (λγ, s) | d* < J φ (χ, s) dx,
с с с
то также
00 00
J 5 К(х, s) ds I < ^ φ (л:, s) dx < ε.
с с
00
Следовательно, интеграл $ЛГ(лг, s)dx сходится равномерно в [α, β].

б. РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИЕСЯ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 347
Замечание. Если, в частности, функция φ (χ, s) не зависит
от 5 и интеграл
^ φ (χ) dx
существует, то, очевидно, этот интеграл можно рассматривать как
равномерно сходящийся. В приложениях чаще всего встречается
именно этот случай.
Примеры.
1. Интеграл
09
^ е~х sinsxdx
о
сходится равномерно по параметру 5 в каждом интервале.
Действительно, имеем:
\е'х smsx\^e~x,
а интеграл
^e~xdxt
о
как легко видеть, существует. В самом деле,
С е~х dx =—е~х,
следовательно,
а
§e-*dx=\--e-\
о
Переходя к пределу, получим:
о»
\e~xdx=\.
о
Так как интеграл ^ е~х dx вовсе не зависит от параметра s, то
о
он равномерно сходится по этому параметру в любом интервале.
По теореме 2 это же относится к данному несобственному интегралу.
Следовательно, он представляет собой непрерывную функцию
параметра s.
Чтобы определить эту функцию, заметим, что
j e~*sinsxdx e-x(sinsx+scossx)t

348 ГЛ. XVill. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
следовательно,
а
С _лг · . j s e~*(sin sa+s cos sa)
\e 'unsxdx-^ ^-y^ i.
0
Когда α неограниченно возрастает, то, как легко видеть, второй
член правой части стремится к нулю.
Таким образом, получаем:
\ е~х sin sxdx = -
s
о
Интегрируя обе части по 5 в пределах от 0 до у и принимая во
внимание равномерную сходимость нашего интеграла, получим:
I/O0 СО И
\ds\^ е~х sin sx dx = \ dx J е~х sin sx ds =
0 0 * 0 θ
О
Дифференцируя же наш интеграл по s, получим:
\ хе"х cos sxdx.
о
00
Так как ]хе~х cossx \ ^хе~х, а интеграл ^xe~*dx, как легко
о
видеть, существует, то полученный дифференцированием интеграл
сходится равномерно и, следовательно,
00 00
— \ е~х sin sxdx = \ у (е~* sin ял;) */.*;=-·
о о
_? -* л «* f_L_Λ— l~~s2
— j лге cos satd*-^ ^Т+-^у — (Ι + s2)2β
о
2. Интеграл
00
1
*2+s2
сходится равномерно по 5 в каждом интервале [α, β] при 1 ^а < β.
Действительно, в таком интервале имеем неравенство
1 < '
*я + в2<5***+Г

5. РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИЕСЯ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 349
а интеграл
существует и не зависит от параметра s. Отсюда аналогично
предыдущему примеру следуют равномерная сходимость интеграла и его
непрерывность в [α, β].
Этот интеграл легко определить, если примем во внимание, что
С dx Ι ι*
так что
00
С dx t. 1 . χ π
О
Интегрируя в пределах от 1 до у, получим:
У » » У °° /ι 1
L f ** [Л * Carctgi-arctg7
10 0 1 О
следовательно,
farctg,-|—arctg-
i — -'*-τΙη*
0
Дифференцируя данный интеграл, получаем:
о
Этот интеграл также сходится равномерно в [α, β], потому что
—2s |<- _2β
а интеграл
с»
Г dx
3(**+l)2'
как легко показать, существует.
Следовательно,
С -2^ dx^ *

350
т. е.
ГЛ. XVIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Г dx π^
J (*2+s2)2~"4s*·
о
Аналогично следует поступать при решении предлагаемых ниже
задач на дифференцирование и интегрирование несобственных
интегралов.
Задачи
1. Вычислить следующие несобственные интегралы:
00
а) ^e~axdx = ~ (α>0);
о
со
б) С e-ax cos Ьх ах=-£-я (а > 0);
а2 + Ьа
а
ч Г dx π
О
Л
2
Г) \ -г ,
J 1 — cos*
> не существуют; доказать это;
sin χ dx
д) J.
О '
00
ч farctg* π2
о
α
ж) I rrr-^ αβ (α > 0)
о
(применить подстановку χ = α sin φ).
2. Доказать существование следующих интегралов:
а) J^+i·
О
4J(-b£)'*
О
(принимаем, что для х = 0 подынтегральная функция равна 1);
со
в) j^rrsrf* (e>0).

5. РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИЕСЯ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 351
3. Доказать, что следующие интегралы не существуют!
со
a)Ja*cos»*+** (а>0):
О
ао
Л sin χ I
dx (для х = 0 подынтегральная функция, по определению,
о
равна единице);
со
в) ι sin — dx.
1
со
4. Доказать, что ряд ^ \п1+*— сходится при любом α > 0.
/1 = 2
СО
б. Доказать сходимость ряда j^ Inn I.
6. Дифференцируя и интегрируя интегралы 1а) и б), вывести новые
интегралы.
7. Дифференцируя интеграл
о
по а и введя в полученный интеграл новую переменную #=—, доказать,
что /'(а) = — 2/, т. е.
£1М о
/ (а) ~~ Zi
Интегрируя обе части» имеем!
in / (α)= — 2α + С, / (а)=С'е-*\
Подставив а=0, получим:
C' = /(0)=Je-*ad* и /(aJ-e-^Je-
"*2 Лс.
о о
8. Доказать равномерную сходимость интегралов:
да
а) {e~axtdx для a^l;
о
09
б) \ е~а*xcosxdx= a2~ для α2&1.

ГЛАВА XIX
ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
1. Вычисление площади. Выше мы определили площадь области,
ограниченной непрерывной кривой у=/(х), прямыми х = а, х~Ь
и осью ОХ, как интеграл функции /(х) в интервале (а, Ь) при
условии, что f(x) ^0.
Дадим теперь определение площади области, ограниченной
прямыми х = а, х~Ь и двумя непрерывными кривыми^ =/(х), y~g\x)
при условии f(x)^g(x)> А именно, определим ее как интеграл
\[g(*)-f(x)]dx.
Это определение можно обосновать интуитивно следующим
образом.
Если обе функции f(x), g(x) неотрицательны, то (рис. 47)
указанная площадь является разностью площади области, ограниченной
кривой y~g(x), прямыми х~а, х = Ь и осью ОХ, и площади
области, ограниченной кривой y~f(x),
прямыми х=а> х = Ь и осью ОХ.
Следовательно, наша площадь равна
ь ь
^g{x)dx—^f(x)dx.
а а
Если же функции f(x), g(x) имеют
произвольный знак, то в силу их
ограниченности существует такая постоянная
с, что функции
Рис. 47.
Λ И =/(*) + с, gx (χ) = g(x) + c
уже неотрицательны. Площадь области, заключенной между кривыми
y^f^x), y = gx(x) прямыми х=а> х-~Ь, очевидно, совпадает

1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ 353
с предыдущей площадью и равна
ь ъ
l[gi(x)-fi(x)]dx=^[g(x)-f(x)]dx.
а а
Примеры.
1. Вычислить площадь Ρ четверти эллипса. Четверть эллипса
α2 "Г b2 - 1
ограничена прямыми л; = 0, л;=а, осью ОХ и кривой
У = ^Уа2-х* (0<л:<а).
Следовательно,
а
P=^Va*-x*dx,
О
откуда Р=—. Таким образом, площадь эллипса равна nab.
2. Вычислить площадь Ρ области, ограниченной прямыми х^сц
x — b(Q^a<b) и параболой у1 = 2рх.
Имеем здесь:
/W=-K2^, gKx)=+VW*>
следовательно,
* / 3 3 \
/>= f 2 V2pxdx = -^V2p \b~* — й~j.
α
Положив я = 0, д = лг, К2/)ДГ = у, получим известную формулу для
площади сегмента параболы:
Задачи
Вычислить следующие площади!
х2 и2
Площадь области, ограниченной гиперболой — — ^-=1 и прямой
2. Площадь области, ограниченной осью ΟΛ, прямой х = 1 и кривой
* = с (О а)
а) у = х)Г\-х\ Ρ = τ;
1
б) ν=γΤ=*. Р = ±
12 с. Банах

354 ГЛ. XIX. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
3. Площадь области, ограниченной кривыми #=sin8x, y*=*coszx
ίθ<χ<-ίΛ и осью ΟΥ.
4. Доказать, что если непрерывные на интервале [а, Ь] функции #**j5(*),
ί/ = φ(χ) обладают тем свойством, что соответствующие кривые имеют лишь
конечное число общих точек, то площадь области, ограниченной этими
кривыми и прямыми я = а, * = &, выражается интегралом
ь
Ρ«$Ιί(*)-φΜ|<«*.
а
5. Опираясь на известную формулу для площади кругового сектора,
доказать (аналогично тому, как на стр. 287), что площадь сектора,
ограниченного прямыми <р = (рь φ = φ2 и кривой г = £(<р), причем ί (φ) означает
непрерывную и неотрицательную функцию в интервале q>i<qXq>a и
£(φι)»Γι, f (Фг) == га (в полярных координатах), выражается интегралом
Φι
6. Пользуясь формулой задачи 5, вычислить площадь:
а) лемнискаты
б) декартова листа
cos φ sin φ /Λ _ _ π \
Г=асо83ф+8ш»Ф (0<Φ<Τ].
7. Вычислить площадь области, ограниченной осями координат и кривой
yaV+fl«)Wt») (β>°· &>0)·
2. Вычисление длины дуги. Допустим, что функции
*=/(*). J = <P(*). * = #) (1)
определены, непрерывны и имеют непрерывные производные в
интервале α^ί^β. Множество всех точек пространства с координатами
(х,у> z)y соответствующими одному и тому же значению переменной t,
образует некоторую кривую. Будем предполагать, что разным
значениям параметра i отвечают также разные точки пространства, за
исключением, возможно, значений t = a и / = β.
Переменную t называют параметром, а функции (1) —
параметрическим представлением этой кривой.

2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ДУГИ 355
Образуем произвольное разбиение 8 отрезка [α, β].
Пусть точки а < tx < t2 < ... < β будут точками этого
разбиения δ. Обозначим через Л, Av A2i . ..,£ (рис. 48) точки кривой,
соответствующие значениям параметра а,
*ι, *2> · ··> β·
Положим
Δ^ι=/(ίι)-/(α),
Δ*, =/(*,)-/(^Ь
Рис. 48.
Аналогично определим Δγν Ау2, .. .,
Δζν Δζ2> ... Так как длина хорды ААХ выражается формулой
ААг = V Δχ\ +Δγ\ +Δζ\,
то длина ломаной ААХА2 . . . равняется
L - УЩ+~£у1 + Δ*» + /Д^2 + Д^ + Дг22+ ... (2)
По теореме о среднем значении
Δλ:1 = /'(Ι1)Δ/1 (α<ξ1</1).
Таким образом, если положить
/'" (ξι) =/'·(/!) +Pi,
ТО
(Δ*1)»=/''(<1)Δ<; + ρχΔί;.
Поступая аналогично для Ayv Δζν получим:
V Ах{ +Ау\ +&*[=- ^__
= V[f* (Ί) + φ'2 (Ί) + ψ'2 (Μ] Δ'ϊ + (Pi + *ι+ tl) Δ'J'
Положив
ν/'2(^ + φ'2(ί) + ψ'2(/) = /7(0
и используя неравенства
получим:
/?(/1)Δ/1-/|ρ1+σι + τ1|.Δ/1<νΔ*; + Δ^ + Δ5;<
< f (tj δ/χ+КТёГ+^Г+^ГТ'·Δ/ι* (3)
12·
η

356 ГЛ. XIX. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Поступая аналогично для Δαγ2, Ау2, Δζ2, ... и положив
P==f(;i)A/1 + /7(*2)A*2+. .^
/? = νΓ|Ρι + σ1 + τ1|Δί1 + Κ|ρ< + σί + τί|Δίί+..., (4)
получим в силу (2) и (3) неравенства:
P-~R^L^P+R. (5)
Обозначим через ρ наибольшее из чисел ρν р2, ... Аналогично
определим σ и τ. Из формулы (4) легко получается
|/?1</ρ + σ + τ(β-α). (6)
Выберем произвольную нормальную последовательность
разбиений {δη}. Для разбиений δ„, как и выше, определим числа Рп, Rnf Ln%
Р«» σπ> τϋ· Аналогично формулам (5) и (6), имеем:
/>n-tf„<L„ </>„ + £„, |/υ<|/"ρη+σ„ + τ„(β-α). (7)
Из равномерной непрерывности функций /'2 (t), φ'2 (t)t ч|>'2 (t)
(с учетом (3)) следует
lim рп = 0, llm σ„=0, Jim trt = 0.
Π -* οο /ι -*■ αο /ι -* αο
Тогда по (7)
lim /?Λ = 0.
Но, как легко видеть,
β
lim Pn=[F{t)dt;
П-* 00 α
поэтому в силу (7) последовательность {Ln} сходится и
β β
lim Ln = [f (t) dt = \ Vf2 V) + q>'2 (*) + ψ'2 (*) dt.
Длиной данной кривой называют предел последовательности {£„};
обозначив длину кривой через sf получим окончательно:
β
α
Замечание 1. Если функции / (t)t φ (t), ψ (/) имеют в интервале
[α, β] непрерывные производные всюду, кроме конечного числа точек

2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ДУГИ 357
этого интервала, и интеграл
β
а
(в обычном или несобственном смысле) существует, то его значение
также называют длиной данной кривой. Можно показать, что для
каждой нормальной последовательности разбиений {б„}
последовательность чисел {£„}, определенных как выше, сходится к этому
интегралу.
Замечание 2. Часто кривая бывает задана формулами
у = а(х), 2:=β(ΛΓ),
причем функции а(лг), β (at) имеют непрерывные производные в
интервале [xv х2]. Это представление кривой может быть рассмотрено
как своего рода параметрическое, что станет видно сразу, если
написать:
x = t, y = a{t), ζ= β (t) (#!<:* 5^лг2).
В этом случае
Χ%
s=\V\+a'*(x)+$'*(x)dx.
χ%
В частности, для плоских кривых (β (λ;) = 0) получим часто
употребляемую формулу:
Хг
s=lVT+Y2dx.
Χχ
Примеры.
1. Вычислить длину дуги параболы у2 = 2рх от вершины до
точки (*, у).
Параметрическое представление можно получить, положив
Отсюда
о
2. Вычислить длину дуги циклоиды х = a (t—sinf),j>= a (1 —cost)
в пределах от /х до t^

35# ГЛ. XIX. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Имеем:
и /·
s= $ Va* (1 — cos t)z+ α2 sin2*fitf = a \ Ϋ2 (1 — cos t) dt =
= 2eJsinydi = 4a(coe^ — cos^-) (0<ί1<<1<2π).
В частности, положив ^ = 0, *2 = 2π, получим длину целой арки:8а.
3. Вычислить длину дуги винтовой линии
x = rcostf y^rsint, z=at
в пределах от it до t2.
Имеем:
5=5 Kr2sin2tf + r2cos2* + a2<» = ^ Уг2 + а2dty
следовательно,
Задачи
Вычислить длины дуг следующих кривых;
1. Циссоиды
x = 2rsin2f, y=2rs'm2tigt
в пределах от 0 до t
^=2г[^Ц^^-УТ1п(УТсо8<+ТГ1+Зсо5Ч)-^
-2+У5"1п (2+FT)]) .
2. Кривой
в пределах от 0 до VTT.
(s = 2l/"3).
3. Цепной линии
в пределах от *г до х2

3. ОБЪЕМ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
359
4. Кривой
в пределах от 0 до χ
ys*Ta' Ζ = <Γα
(s=x+z).
5. Кривой, образованной пересечением параболического цилиндра
(y+z)* = 4ax
с эллиптическим конусом
jx2 + y2-z* = 0t
в пределах от начала координат до точки (х, у, г)
(8 = 2 VT).
Указание. Выбрать χ в качестве параметра.
3. Объем тела вращения. Пусть функция y~f(x) непрерывна и
неотрицательна в интервале [а, Ь] (а < Ь). Обозначим через D
область, ограниченную кривой у=/(х), осью ОХ и прямыми х = а9
х — Ь. Допустим теперь, что кривая^ ==/(х) сделала полный оборот
около оси ОХ и что область D описала при этом некоторое тело Г.
Займемся определением
объема этого тела. Μ
Для этого образуем про- '"" ^*
извольное разбиение δ
отрезка [а, Ь] и обозначим,
соответственно, через Mvmv
М2, т2, ... наибольшие и
наименьшие значения
функции f(x) на отдельных
отрезках разбиения δ.
Заметим, что прямоугольники с
основаниями Δχν Δχν ...
и с высотами,
соответственно, Μν М2У ..., полностью
покрывают область D.
Следовательно, тело,
образованное при полном обороте
этих прямоугольников, содержит в себе тело Г. Объем этого тела,
содержащего Г, выразится формулой
W=π {ΔχλΜ\ + Δχ2Μ\ +...).
Аналогично прямоугольники с основаниями Δχν Δχ2) ... и
высотами тъ т2, ... полностью содержатся в Д следовательно,
опиеанное ими тело содержится в теле Τ (рис. 49). Обозначив объем
тела, содержащегося в Г, через w, получим:
w = π (Aatj/wI + Δχ^τηΙ + ...)·
Рис. 49.

360 ГЛ. XIX. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Если {би} означает произвольную нормальную последовательность
разбие#ш# ^интервала [#, Ь]> то, как легко заметить:
ь
lim №„ = lim wn = π $ /2 (λ:) dx.
Поэтому в соответствии с интуитивными представлениями мы
определим объем тела вращения Τ формулой
ь
Примеры. а
1. Вычислить объем шара радиуса г.
Шар получается при вращении полукруга
y = Vr%— х2 ( — г<*<>)
вокруг оси ОХ. Следовательно,
V = π J (г2 — *2) dx = ~ πΛ
-г
что совпадает с известной формулой.
2. Вычислить объем тела, образованного вращением циклоиды
х = α (tf — sin tf), у = α (1 — cos t)y {O^t ^ 2π)
около оси OX.
Когда t меняется от 0 до 2π, то χ возрастает от 0 до 2πα, ибо
dx
~ = я(1—cos/) > 0 для 0<*<2я.
Поэтому у является функцией переменной χ в интервале [0, 2πα]»
так что
2 па
V = n \y*dx.
о
Введя переменную t, получим:
2JT
V = π J [α (1 - cos t) ]2 α (1 — cos t) dt = 5π2α3.
0
Задачи
Вычислить объемы следующих тел вращения:
1. Шарового слоя, образованного вращением дуги окружности

4. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
вокруг оси ОХ в пределах от xt до *а (— /■<*! < дса<г).
361
^-я^^-гО—ily^i])
2. Усеченного конуса (формула известна из элементарной геометрии).
3. Тела, полученного вращением дуги астроиды
вокруг оси ОХ
4. Тела, полученного вращением кривой
у* (χ—4а) = ах (*—За) (0 < * <; За)
вокруг оси ОХ
(V=^(15-161n2)).
5. Тела, полученного вращением кривой
вокруг оси OF (— Ъ <, у ^ 6)
(
К — 315 αβ J *
+&
Указание. Объем выражается здесь формулой π u2dy.
~ь
4. Площадь поверхности вращения. Пусть функция ^=/(#)
неотрицательна и непрерывна вместе со своей первой производной в
интервале [a, b] (a < b).
Допустим, что кривая С, являющаяся
графиком функции/ (х) ,описала
при полном обороте вокруг оси
ОХ поверхность W. Займемся
определением площади
поверхности W. Возьмем
произвольное разбиение δ отрезка [а,£] и
обозначим через а < хх < л:2<
< я3 < . .. точки этого
разбиения. Пусть Аъ Л2,. . , —
точки кривой С,
соответствующие точкам χν λγ2, ...
При вращении вокруг оси Рис. 50.
ОХ ломаная АЛгА2. . .В
опишет поверхность, которая образована боковыми поверхностями усе·
ченных конусов (рис. 50). Площадь этой поверхности выразится

362 ГЛ. XIX. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
формулой
P = 2nVAx\ + Ayl№+2!M + 2nVAxl + Aylf^)+2f{x*)+...,
где
4У1=/(*1)-/И, ΔΛ=/(*ι)-/(*ι), ...
По теореме о среднем значении имеем:
VaxJ+Щ = j/i + (Й-;)2 Δ*ι-/ι +/'г (δι) Δ*ι·
где ξχ —число, заключенное между а и лг1Ф
Полагая
найдем:
|βιΙ<τ[|/(Ιι)-/(β)Ι + Ι/(δι)-/(*ι)|].
Таким образом,
где
5 = 2я1/1+Л(У/(?1)А^1+2я>/'1+Л(У/(УАа:2+...,
/? - 2π /ΐ+/,2(ξι) εχΔ^ + 2π /l+/'1 (δ.) ε2Δ*2 + ...
Обозначив через η наибольшее из чисел \гг\, |ε2|, ..., а череа
Μ наибольшее значение |/'(.*;)| в (а, Ь), получим:
\R\^2nV\+M*(b-a)i\.
Если мы выберем теперь произвольную нормальную
последовательность разбиений {бЛ} и определим числа Рп, Rni Sn, ηΛ так же,
как были выше определены числа Я, /?, «S, η, то получим:
Pn = Sn + Rn.
Легко заметить, что
ь
lim Sn = 2π J / (*) ΐΛ +/'2 (*) dx.
Из равномерной непрерывности функции f(x) в интервале [а, Ь]
следует, что
lim η„ = 0,
поэтому
lim #Λ = 0.

4. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ 363
Таким образом,
ь
Игл Рп = 2π J / (χ) γ\ +/'2 (χ) αχ.
«-►со Ζ
Итак, в соответствии с интуицией, мы определим площадь
поверхности вращения формулой
ь
A = 2n\f{x)V\+f'*(x)dx. (1)
а
Замечание. Допустим, что непрерывная и неотрицательная в
интервале [я, Ь] функция f(x) имеет в этом интервале, за исключением
конечного числа его точек, непрерывную производную и что
существует интеграл (в обычном или несобственном смысле)
ь
\f{x)V\+f'4*)dx.
а
Можно доказать, что при этих условиях lim Pn также существует
и равняется указанному выше интегралу, помноженному на 2π. И в
этом случае площадь поверхности вращения определяется формулой (1).
Примеры.
1. Вычислить площадь поверхности шара радиуса г. Здесь имеем:
/(*) = !/г2 — хг ( —г<л;<г),
/'(*) = г х
так что
+г +г
Л = 2я f Vr*-x* ^\ + 7~dx==2n^ rdx==4nr*.
—г -г
2. Вычислить площадь поверхности, полученной вращением циклоиды
x=a(t — sint), y = a(\—cost) (0<*<2π),
вокруг оси ОХ (ал. стр. 360).
Вводя переменную t, получим:

364 ГЛ. XIX. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Задачи
Вычислить площади следующих поверхностей вращения:
1. Параболоида вращения, полученного при вращении параболы у2~2рх
вокруг оси ОХ в пределах от 0 до х:
ι-^[<ρ+*)·-ι»4.
3
2* Эллипсоида вращения, полученного при вращении эллипса
х2 и2
а) вокруг оси ОХ
А =2π 162 + "" arcsin ^2 6*
-6» я
б) вокруг оси ΟΥ
а о « * , я&2 ι a+Vat-bA
А = 2п α2Η—-. ,. In ,
1 YcP—b2 Ь
Ρ
В случае б) площадь поверхности дается формулой
1=2π Γ х2 у ]
Α=2π \ х2У l + feVdy.
fdx
\dy
-ь
3. Шаровой чаши, полученной при вращении круга
х2 + У2~ 2r* = 0
вокруг оси ОХ в пределах от 0 до Λ:
А ==2ягЛ.
4. Тора, полученного при вращении круга радиуса г вокруг прямой,
лежащей в той же плоскости, расстояние которой от центра круга равно а > г.
Вычислить 1акже объем этого тора:
Л=4л2аг, ν = 2π2αΓ2,

ГЛАВА XX
ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ. УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
1. Определение двойного интеграла по прямоугольнику. Пусть
функция
*=/(*. у)
определена и ограничена в прямоугольнике Д определенном
неравенствами a^x^lb, a' ^y^b'
(рис. 51). Разобьем прямоугольник D
на произвольное число
прямоугольников (не обязательно равных) с
площадями Δσχ, Δσ2, . .., Δσ„ *).
Обозначим через (lv ηχ), (ξ2, η2), . . .
···> (%η> Ήη) координаты точек,
произвольно выбранных по одной в
каждом таком прямоугольнике.
Образуем сумму:
As=f(lv %) Δ<*ι+/(ξ2> Лг) Δσ2 +
+ ...+/№». η*)Δσ„.
σ'
0
ι
£
Ι Ι Ι
ι_ ..
г
...ο
i> Χ
Рис. 51.
Легко заметить, Что если в прямоугольнике D функция f(xty) > 0>
то сумма А представляет собой сумму объемов прямых
параллелепипедов с основаниями Αϋν Δσ2, ... и высотами f(kv ηχ), /(ξ2> Лг)» —
Множество прямоугольников Δσν Δσ2, ... будем называть раз*
биением 6. Через |δ| обозначим длину наибольшей диагонали
прямоугольников Δσν Δσ2, ... разбиения δ.
Последовательность разбиений {δη} будем называть нормальной^
если
lim |6J = 0.
Определение. Если при любой нормальной последователь*
ности разбиений {δη} соответствующая последовательность сумм {Ап\
*) В дальнейшем сами прямоугольники как области автор также
обозначает через Δσι, Δσ2,
ΔσΛ. (Прим. ред.)

366 ГЛ. XX. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ. УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
сходится (независимо от выбора точек (ξ, η)), то говорят, что функция
f(x,y) интегрируема в прямоугольнике D.
[Как и для функций одной переменной (стр. 287), легко
установить, что необходимым условием интегрируемости функции f (х, у)
в прямоугольнике D является ее ограниченность в этом
прямоугольнике.] Аналогично, если функция f(x, у) интегрируема, то при любой
нормальной последовательности разбиений соответствующая
последовательность сумм {Ап} стремится к одному и тому же пределу.
Этот общий предел называется двойным интегралом функции f(x,y)
по прямоугольной области D.
Двойной интеграл обозначают символом:
l\f(x*y)da или l)f(*>y)dxdy·
D D
Замечание 1. Если функция z=f(x,y) непрерывна и
неотрицательна в прямоугольнике Д то объем области, ограниченной
поверхностью z = f(x, у), координатной плоскостью ΟΧΥ и плоскостями,
проходящими через стороны прямоугольника D параллельно оси ΟΖ,
мы определим как значение интеграла
Ц/(х*У)<1о.
D
(В дальнейшем будет доказано, что каждая функция, непрерывная
в прямоугольнике, интегрируема в нем.)
Это интуитивное определение объема области может быть
обосновано. Обозначим через Μν Λί2, . ..; mv m2, ..., соответственно,
наибольшие и наименьшие значения функции f(x,y) в
прямоугольниках разбиения 6, а через (ξχ, ηχ), (ξ2, η2), .. ., соответственно,
(£ι» Ήι)» (£г> Лг)» ··· точки, в которых функция принимает эти
значения.
Положим
5==/(ξι, fh) А^+Яб,, η2) Δσ2 +... = Λί1Δσ1 + Λί2Δσ2+ ...,
*=ЯБи ηι)Δσι+/(¥«· η2)Δ<*2 + ·· . = /»1Δσ1 + /»2Δσ2 + ...
Прямые параллелепипеды, соответствующие сумме S, покрывают
в совокупности рассматриваемую область, а прямые параллелепипеды,
соответствующие сумме st полностью содержатся в этой области
(рис. 52). Так как для произвольной нормальной последовательности
разбиений {б„} имеем:
Нт S„ = Нт зп=Ц/(х, y)do,

1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ ПО ПРЯМОУГОЛЬНИКУ
367
то определение объема данной области как значения указанного
выше интеграла вполне соответствует нашим интуитивным
представлениям.
Замечание 2. В двойном интеграле \\f(x, y)dxdy вместо
D
χ, у можно писать любые другие
буквы, так что, например,
llf{x,y)dxdy=llf(u,O)dudv =
D О
= Hf(w,t)dwdt.
D
Примеры.
1. Функция z = с интегрируема в
любом прямоугольнике и
Hcda = c\D\
Рис. 52.
(|D| означает площадь прямоугольника D).
Действительно, взяв произвольное разбиение δ и выбрав точки
(£ι> Ήι)» (?2» Чг)» · · · произвольно по одной в каждом прямоугольнике,
входящем в состав разбиения δ, мы видим, что
следовательно,
/(61.41) = *, /(δι, η*) = *. - ■■
Л = сДа1 + сДа2 + .. . = c|D|.
Но тогда, по определению,
$$«<to = c|D|.
(1)
Геометрически функция г== с представляет собой плоскость,
параллельную координатной плоскости OXY. Если с > О, то интеграл
в (1) представляет собой объем прямого параллелепипеда с
основанием D и высотой с.
2. Вычислить двойной интеграл \\ydxdy по квадрату D с
вершинами (0, 0), (1,0), (1, 1), (0, 1).
Функция f(x^y)z=zy непрерывна и на основании уже упомянутого
утверждения интегрируема. Чтобы вычислить этот интеграл, разобьем
наш квадрат прямыми, параллельными осям координат, на #а равных
квадратов. В каждом из них за точку (ξχ, ηχ) выберем правую
верхнюю вершину. Так как площадь каждого квадрата равна —%,

368 ГЛ. XX. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ. УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
то для суммы V/(^., η^) Δσχ· мы получим значение -gj1!/· Поскольку
1 2 η
числа η,, имеют значения —, —, ..., — , причем каждое из этих
значений встречается в η квадратах, образующих горизонтальную
полоску, то рассматриваемая сумма имеет значение
п*\п^ п^ '"^ njn 2га2 2 ^2га *
Переходя к пределу при η—*·οο, получим:
D
Этот результат легко получить и элементарным путем. Достаточно
заметить, что рассматриваемый интеграл представляет объем прямой
призмы, основанием которой служит прямоугольный равнобедренный
треугольник со сторонами, равными 1, а высота равна 1.
2. Достаточные условия интегрируемости.
Теорема 1. Функция z = f(x> у), непрерывная в
прямоугольнике D, интегрируема в этом прямоугольнике.
Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству
соответствующей теоремы для функции одной переменной (глава XVI,
стр. 295). Для этого определим понятия верхней суммы »£ и нижней
суммы s, соответствующих разбиению 6, подобно тому, как это было
сделано для обыкновенного определенного интеграла. Итак,
5 = Λί1Δσ1 + Λί2Δσ2 + ..., $ = /»1Δσ1 + /»2Δσ2+ · · ·>
где Мъ Λί2, ... — наибольшие, a mv m2i .. . — наименьшие значения
функции / (ху у), соответственно, в прямоугольниках Δσυ Δσ2, ...
Можно доказать, что для каждой нормальной последовательности
разбиений {6} справедливо соотношение
lim (S„-s„) = 0 (l)
я-* со
и, кроме того, что для любых двух разбиений δ и δ' всегда имеем:
S^s\ (2)
Доказательства этих свойств читатель легко получит, делая
соответствующие очевидные изменения в доказательствах лемм 1 и 2
(глава XVI, стр. 294). Опираясь на свойства (1) и (2), мы докажем
нашу теорему аналогично доказательству теоремы на стр. 296, причем
приведенное там доказательство переносится сюда почти без изменений.
Более общей является следующая теорема:
Теорема 2. Функция, определенная и ограниченная в
прямоугольнике D, будет в этом прямоугольнике интегрируема, если есе

3. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ КАК ПОВТОРНЫЙ
369
ее точки разрыва лежат на конечном числе кривых, являющихся
графиками непрерывных функций (вида у = у>(х) или x = ty (у)).
Доказательство этой теоремы мы опускаем.
Пример. Пусть функция f{x,y) определена в прямоугольнике D
с вершинами (0,0), (3,0), (3, 1), (0, 1) следующим образом:
ί —1 при 0<лг< 1 и п
роизвольном у,
» у.
Как легко видеть, эта функция ограничена и непрерывна в каждой
точке, за исключением точек отрезка прямой х—\, лежащего в
данном прямоугольнике» В силу теоремы 2 функция f(x, у) интегрируема
в этом прямоугольнике.
3. Двойной интеграл как повторный. Познакомимся теперь с
теоремой, которая позволит нам вычислять двойной интеграл при
помощи обыкновенных интегралов.
Теорема. Если функция f(x, у) непрерывна в прямоугольнике
D(a<*<£, a'^y^b'), то
ь ,у . *>' , ь .
D -a Va' i α' Vfl J
Доказательство. Произведем произвольные разбиения δ' и δ"
интервала [a, b] при помощи отрезков Δ*!, Δλγ2, ..., и,
соответственно, интервала [а', Ь']
отрезками Δ^!, &у2, .. .
Пусть а = хх < х% < . . .,
соответственно, а' =у1 < у2 < .. ., —
концы отрезков разбиений δ' и δ".
В точках деления δ' и δ" проведем
прямые, параллельные оси ОК,
соответственно, оси ОХ (рис. 53). Мы
получим, таким образом, разбиение
δ прямоугольника D на ряд
прямоугольников. Пусть Δσ/Λ означает тот
прямоугольник из разбиения δ,
проекции которого на координатные оси
будут, соответственно, Δ*,·, Ayk.
Обозначим, наконец, через miky Mik, соответственно, наименьшее и
наибольшее значения функции f(x,y) в прямоугольнике ΔσιΛ.
Положим
Yi
А'
Ун
У»
а'-у,
0
,
4#
Δόοτ
ι tiit
\Axf \Лхг\ ι \ΛΧι
о*
Χ, Λ
*2
α
Ί
ί
_..._«—
) У
Рис. 53.
F(*)=lf(x,y)dy.
α'
(ί)

370 ГЛ. XX. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ. УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
Выберем произвольные точки ξυ ξ2, ... , соответственно, на отрезках
Δχν Δχ2> ... и пусть
A = F&1)Ax1 + F{l2)Ax2+... (2)
В силу (1)
Ь' Уг У*
F(lt)= If Hi, y)dy = $/№lf y)dy + ]n\i, y)dy+... (3)
fl/ Ух Уг
Так как
для ,у1<^<Л, то
Уг
*ntyi < $ / (δι. У) *У < ΑΊιАУ1·
Ух
Аналогично,
»иАУ1 < $ /(δι. ^) <У < Л*1я47·
И Т. Д.
Поэтому на основании (3) найдем:
тпАУ1 + mlaAj;2 + ...</=■ (ξ2) < Λ^Δ^ + AfMA^t + ...
Поступая аналогично, получим, далее,
Щ±^У1 + Щ^Уг+ . · · <F(U)<M%ibyi + M%%&yt + · · ·
и т. д.
Так как Aaik = Δλγ,Δ^, то на основании (2) найдем:
wnAan-f %2Δα12 + · · · +^2ιΔσ21 + ^22Δσ22+ ... <
< А < ΛίηΔση + ΜηΑσ12 + ... + Λί21Δσ21 + Λί22Δσ22 + ...
Обозначив через s и S соответственно левую и правую части
последней цепочки неравенств, получим:
$<Л<5. (4)
Если возьмем теперь две нормальные последовательности
разбиений {δ'η} и {бя} отрезков [а, Ь\ и [а', Ь'\ то соответствующая
последовательность разбиений {Ьп} прямоугольника D будет также
нормальной последовательностью.
В соответствии с неравенствами (4) имеем:
sn^An^Sn. (5)
Так как
Urn sn = limSn = $J/(x, y)dot
11-*» П-+СО β

3. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ КАК ПОВТОРНЫЙ 371
то в силу (5) для каждой нормальной последовательности разбиений
{δ„} существует lim An\ тогда согласно (2) функция F (х) интегрируема
в интервале [а, Ь] и
ь
\F(x)dx= lim Ап = ^/(х, у) do.
α я-»»» q
Отсюда в силу (1)
ь ν
$$/(*, y)do=l{lf(x, y)dy}dx.
D a a'
Аналогично^ можно получить
V Ь
$$/(*, y)do=\{\f{x, y)dx)dy.
D a' a
Замечание. Можно доказать более общую теорему. Допустим,
что функция f(x, у) интегрируема в прямоугольнике D и что для
каждого χ функция f(xy у), рассматриваемая как функция
переменной у, интегрируема. При этих предположениях можно утверждать,
что:
у
1) функция F(x) = J f(x, y)dy интегрируема в [а, Ь\\
а'
Ъ У
2) $$/(*. J)<*a=$ {$/(*, y)dy}dx.
D a a'
Примеры.
1. Вычислить \^x2ydxdy по прямоугольнику Д ограниченному
D
прямыми л; = 2, л; = 5, J>=1, у = 3.
Имеем здесь:
s б
) ) хгу dx dy = J dy $ x2y dx =
1 1
Можно также интегрировать в обратном порядке:
о а
]\x*ydxdy=\dx\x*ydy =
A^z-il*"-*"-'·?
= 156.

372 гл. χχ. двойной интеграл, условия интегрируемости
2. Доказать, что
Ь d
)]f(x)4>(y)dxdy = [lf(x)dx]-[^<p(y)dy]t
О а с
где /(χ), ψ (у)
— непрерывные функции, соответственно, в интервалах
[я, Ь] и [с, d]y а двойной интеграл берется по прямоугольнику Д
ограниченному прямыми х=а, дг = й, у = с> y^d.
Здесь имеем:
ь d
\\f(*) Ψ (У) dxdy - [dx J f(x) φ (у) dy.
О ас
Так как χ считается при интегрировании по у постоянным, то
d d
lf(*)<V(y)dy = f(x) lq>{y)dyt
так что
о а
\[f{x)4{y)dxdy=[f(x)dx\y{y)dy.
D ас
d
Поскольку \<$(y)dy является постоянным числом, то его можно
с
Ъ
вынести за знак интеграла \ , после чего получим требуемый ре-
а
зультат.
Эту формулу можно использовать в примере 1.
За. Некоторые свойства двойных интегралов по прямоугольнику.
Теорема 1. Сумма двух функций f(x, у) и <р{лг, у),
интегрируемых в прямоугольнике Д также интегрируема в этом
прямоугольнике и
S$[/(*. У) + <Р{*> y)]<to=Hflx> У)<*о+11ч(х>У)*а.
D D D
Теорема 2. Произведение постоянной с на функцию f(x, y)t
интегрируемую в прямоугольнике Д также интегрируемо и
Hcf(xty)da = cl\f(x,y)do.
D D
Эти теоремы непосредственно следуют из определения двойного
интеграла: они доказываются так же, как соответствующие теоремы
для обыкновенного интеграла (стр. 291—292).

За. некоторые свойства двойных интегралов по прямоугольнику 373
Теорема 3. Если функция f(x, у) определена и ограничена
в прямоугольнике D(a^x^.bt a' t^y^b') и обращается в нуль
во всех точках этого прямоугольника, за исключением точек,
расположенных на конечном числе непрерывных кривых вида у = φ (χ)
или x = fy(y), то
$$/(*> y)dxdy = 0.
D
Доказательство. Так как единственно возможными точками
разрыва функции f(x, у) могут быть, как легко видеть, лишь точки
указанных выше кривых, то эта функция интегрируема в прямо·
угольнике D (теорема 2, стр. 368). Обозначим через ^(лг, у) функцию,
равную функции f(x, у) во всем прямоугольнике Д за исключением
точек, лежащих на кривых вида х — ^(у), в которых припишем ей
значение нуль, и положим
Л(*» У)=/{х> У)— /i(*. У)-
Функции f1 (χ, у± и /2 (х, у) интегрируемы по той же причине,
что и функция f(x, у). Так как
/(*. J>)=/i(*. jO+/s(*> У),
то
Ц/{*> y)<txdy=llf1(x9y)dxdy+Hfi(x, y)dxdy.
ODD
Очевидно, достаточно убедиться, что оба интеграла в правой
части равны нулю.
Для первого интеграла в силу доказанной теоремы имеем:
ь ν
S$/i(*. y)dxdy=\dx[f1(x, y)dy.
D a a'
Если в функцию /χ (at, у) подставить х = х0, то она превратится
в функцию переменной у> равную нулю для всех значений у, за
исключением конечного их числа, соответствующих точкам пересечения
прямой лг = лг0 с предыдущими исключительными кривыми.
Следовательно (см. стр. 292),
у
J/i(*o» y)dy = 0
α'
при каждом лг0, откуда сразу следует, что первый интеграл в правой
части равен нулю.
Для функции /2 (аг, у) доказательство аналогично.
Теорема 4. Если функции f(x, у) ug(x,y) ограничены в пря*
маугольнике D и отличаются друг от друга лишь в точках, лежащих
на конечном числе непрерывных кривых вида у = φ (χ) и χ = ψ (у),

374 ГЛ. XX. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ. УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
то из интегрируемости одной из этих функций следует
интегрируемость другой и, сверх того, равенство интегралов:
$$/(*. y)dxdy=\]g{x,y)dxdy.
D D
Доказательство дословно такое же, как в случае обыкновенных
интегралов (теорема 4 на стр. 293).
4*. Двойной интеграл по области. Пусть ω —ограниченная
замкнутая область (см. стр. 190). Пусть функция z = f{x, у)
определена и ограничена в области ω и пусть D (a^x^b, а' ^.у^Ь')—
произвольный прямоугольник, содержащий внутри себя область ω
(рис. 54). Определим в прямоугольнике D новую функцию F(x, у)
следующим образом:
ί/(*! у) для точек (аг, у), принадлежащих ω;
F {χ ν)ζ== \
\ О для остальных точек прямоугольника D.
Мы будем говорить, что функция / (лг, у) интегрируема в области ω,
если функция F (х, у) интегрируема в прямоугольнике D. Двойным
интегралом функции /(#, у) по
области ω будем называть значение
интеграла JJ/7^ у) da.
о
Двойной интеграл по области ω
будем обозначать, как и выше, символом
\\fix* y)do% либо £$/(*, y)dxdy.
ω ω
Таким образом, по определению,
$$/(*> y)da=^F(x,y)do.
Рис. 54. ω D
Υϊ
Ь'
а'
1
с
ςτ
с_г-
ι
1
£
Ϊ
1 ^
) X
Замечание. Если прямоугольник D заменим другим
прямоугольником £)', также содержащим область ω, то получим то же
самое значение интеграла. Это легко доказать в том случае, когда
прямоугольник D содержится целиком в £>'. Если это не так, то
достаточно выбрать третий прямоугольник D*\ содержащий D и D'.
Интегралы по D и D' будут равны интегралу по D", вследствие чего
они будут также равны и между собой.
Определение. Ограниченная область ω называется регулярной,
если ее граница состоит из конечного числа непрерывных кривых
вида у = <р(х) и x=ty(y).
Теорема 1. Функция f(xy y)> ограниченная в замкнутой
регулярной области ω и непрерывная внутри нее, интегрируема в этой
области.

4. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ ПО ОБЛАСТИ 375
Доказательство. Выберем любой прямоугольник Д
содержащий область ω, и определим, как выше, функцию F(xt у). Легко
заметить, что все точки разрыва этой функции лежат на границе
области ω. Следовательно, по теореме 2 (стр. 368) функция F(xy у)
интегрируема в прямоугольнике Д т. е. функция f\xt у)
интегрируема в области ω. [Заметим, что по теореме 4 предыдущего пункта
величина интеграла не зависит от значений, принимаемых f(x, у)
на границе области ω, если только сохраняется условие
ограниченности.]
Примеры.
1. Замкнутый многоугольник является регулярной областью.
Действительно, его граница состоит из конечного числа отрезков,
представляющих собой графики непрерывных функций тпа у = ах-\-Ь
или х== с.
2. Замкнутая область, ограниченная эллипсом, также регулярна*
Если, например, эллипс задан уравнением Ь2х2 + а2у2 = а2Ь2, то
граница нашей области состоит из двух кривых:
,-+£V«·
и у-
-4гУс
-Х"
у\
где —а^л:^ #.
3. Если замкнутая область ω составлена из конечного числа
регулярных областей ων ω2, ... , ωΛ, из которых ни одна пара не имеет
общей внутренней точки, то, как
легко заметить, сама область ω
также регулярна. Действительно,
граница области ω состоит из
конечного числа непрерывных кривых ви-
да у~(р(х) и дг = -ψ(jtf), каждая
из которых принадлежит границе
одной из областей tov ... ,<oft.
Область ω называют суммой областей
®ι· · · · »ω*·
Теорема 2. Пусть область ω
является суммой регулярных
областей ωχ и ω2 (без общих внутренних
точек; рис. 55). Если функция
f(x, у) ограничена в замкнутых областях ωχ и ω2 и непрерывна
внутри них} то она интегрируема в каждой из областей ω* ωχ, ω2 и
$$/(*, y)dxdy= $$/(*, y)dxdy+ $$/(*, y)dxdy.
Рис. 55.
Щ
ω2
Доказательство. Возьмем какой-нибудь прямоугольник Д
охватывающийобласть ω. Обозначим через F(xy y)t рг (х, у), F2 (x>y)
соответствующие функции, определенные на прямоугольнике D и

376 ГЛ. XX. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ. УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
построенные, как на стр. 374 для функции f(x, у), по областям ω,
ων ша. Каждая из этих функций интегрируема в D (согласно
теореме 2, стр. 368). Имеем, следовательно,
$S/(*. y)do=^F(x, y)da; $$/(*, у)аа=Цр1{х, y)do;
ω D (ut D
$$Я*. y)da = Hpt{x,y)da. W
<дг D
Заметим, что функции F±(x9 y) + F2(xf у) и F(x, у)
различаются, быть может, лишь в точках, лежащих на общей части границ
областей ωχ и ω2. Поэтому согласно теоремам 4 и 1 предыдущего
пункта
$$/4*. y)dxdy=H[F1{x, y) + F2(xy y)]dxdy =
D D
= №Fi(x> y)dxdy + llFi(*> y)dxdy.
D D
Учитывая равенства (1), видим, что теорема доказана.
Замечание 1. Теорема 1 дает возможность вычислять площадь
любой регулярной области ω. Обозначив эту площадь символом | ω |,
положим, по определению,
ω
Интеграл в правой части существует, ибо функция f(x, y) — \,
очевидно, непрерывна и ограничена в любой области ω. Если область ω
является прямоугольником, то для его площади получим то же самое
значение, что и при обычном определении (см. стр. 367, пример 1).
Замечание 2. Если функция /(л:, у) непрерывна и
неотрицательна в регулярной области ω, то точки (ху у, ζ)> для которых (х, у)
принадлежит области ω, a z удовлетворяет неравенствам 0^.z^.f(x,y)t
образуют тело, объем которого мы определим формулой
^= $$/(*. у)**·
ω
Как и выше (стр. 367), легко убедиться, что предыдущее
определение согласуется с интуитивным понятием объема.
Примеры.
4. Применим теорему 2 к вычислению интеграла функции f(x,y),
определенной в примере на стр. 369. Прямая х= 1 делит
прямоугольник D на два прямоугольника, не имеющих общих внутренних точек.
Обозначив левый прямоугольник через Dv а правый через £>2»

5. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ. -ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ 377
получим:
$$/(*. y)do~$lf(xt y)da+Hf(x, y)da =
= S$(—l)da+$j2da = -Ы+ 2.2 = 3.
5. Обозначим через ω произвольный замкнутый многоугольник и
разобьем его любым способом на конечное число многоугольников:
ων ω2, ... , ω„.
Положим f(xy у) = ck внутри ωΛ (k = 1, 2, ... , /ζ), где q, c2, ...
... , cn — какие-нибудь постоянные. На границах многоугольников мы
определим функцию произвольно, лишь бы она была ограниченной.
По теореме 2 имеем
Цf(x, y)da^^clda+l\ctda+... + ^c„da^
eCil®il+«i|o>«l + "-+c„K|.
5. Свойства двойного интеграла по области. Для функций,
интегрируемых в произвольной регулярной области ω, справедливы
теоремы, аналогичные теоремам п. За (стр. 372), например:
Теорема 1. Сумма двух функций /(л:, у) и φ (л:, у),
интегрируемых в регулярной области ω, также интегрируема в этой области а
№[/(*> J) + <P(*. y)]<to=Hf{x, J'J'fo+SJvt*' У)<*°-
ω .ω ω
Теорема 2. Произведение постоянной с на функцию /(лг, у),
интегрируемую в регулярной области ω, также интегрируемо в этой
области и
Ц с/{*, y)do = c^f(x, у) da,
ω ω
И Т. Д.
Доказательства этих теорем легко получить, используя
определение двойного интеграла по регулярной области и упомянутые теоремы
из п. За.
5*а. Неравенства для двойных интегралов. Теорема о среднем.
Излагаемые здесь теоремы, а также способ их доказательства вполне
аналогичны соответствующим результатам для обыкновенных интег- ν
ралов (гл. XVI, п. 7 на стр. 299—303).
Теорема 1. Если функция f(x,y) интегрируема в регулярной
области со и неотрицательна в ней, то ее интеграл по этой области
также неотрицателенщ

378 ГЛ. XX. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ. УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
Вытекает из определения двойного интеграла
Теорема 2 (интегрирование неравенств). Если
функции f(x, у) и у(х, у) интегрируемы в регулярной области ω и в этой
области удовлетворяют неравенству
/(*>J0<9(*. J0.
то также
\\f(*>y)dxdy<t\\<t(x,y)dxdy.
ω w
Теорема 3. Если функция f(x,y) интегрируема в регулярной
области ω, то функция |/(лг, у)\ также интегрируема в этой
области*) и
llf(x,y)dxdy\^H\f{x,y)\dxdy.
ω Ι ω
Теоре#мы 2 и 3 доказываются так же, как соответствующие
теоремы для обыкновенных интегралов.
Теорема 4. Если функция f(x,y) интегрируема в регулярной
области w и удовлетворяет в ней неравенствам m^f(xy у)^.М, то
m\w\<llf(*>y)dxdy^tM\<u\>
ω
Следует только заметить, что формула
l$dxdy = \u>\
ω
является теперь определением площади регулярной области (стр. 374).
И здесь последнему неравенству можно придать форму теоремы
о среднем:
J\/(*iy)dxdy = p\(u\, m <μ<Ж,
ω
где
v=\i\№f(x'y)dxdy
ω
— среднее значение функции f(x,y) в регулярной области ω.
Наконец, если f(x,y) непрерывна в замкнутой регулярной
области ω, то
l\f{*>y)dxdy=f(x^)-\<i>\%
ω
где (#,;;) —некоторая внутренняя точка этой области.
*) Это утверждение оставляем без доказательства.

6. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ ПО ОБЛАСТИ КАК ПОВТОРНЫЙ 379
6. Двойной интеграл по области как повторный. Допустим,
что регулярная область ω определена неравенствами
а <; χ <; Ь, <рх (л;) ^у ^ <р2 (х),
где (f1(x) и ф2(лг) — непрерывные в [а, Ь] функции и j
Φι (χ) < ф2 (*) ДЛЯ a<x<b
(рис. 56). Такую область мы будем называть нормальной
(относительно оси ОХ).
Пусть D—любой прямоугольник, определенный неравенствами
а^х^Ь, а'^.у^.Ь' и охватывающий область ω. Если
функция f(x, у) непрерывна в области ω,
то, как известно,
\l/(x,y)da = llF(x,y)da, (1)
ω D
где
f(x, у) в точках
области ω;
F(x, y)={ 0 в остальных
точках
прямоугольника D.
При постоянном χ функция
F(x>y)> рассматриваемая как
функция лишь переменной у, имеет не
более двух точек разрыва; ими могут
быть лишь точки Р, Q, в которых прямая, проведенная из точки χ
оси ОХ параллельно оси ОК, пересекает границу области ω. Таким
образом, для каждого χ существует интеграл
\F(x,y)dy.
Отсюда, по замечанию на стр. 371, следует, что
ь t ν
^F(x,y)da=U lF{x,y)dy\dx. (2)
D α ν α' t
Выбрав произвольное χ и положив уг = ψ± (дг), у2 = <р2 (лг), получим*
V ух Уг V
lF(x,y)dy=lF(x,y)dy + lF{x,y)dy + ^F(x,y)dy.
If

380 ГЛ. XX. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ. УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
Поскольку F(xty) = 0 при а'^у<уг и при у2<у^Ь\ то
Ь' Уг
5 F(*,y)dy=$F(x,y)dy.
а' Ι/ι
Заметим еще, что при уг^у^у2 имеем: F(x, y)=f(x,y).
Следовательно,
*>' у% φ2 (χ)
)F(x,y)dy=)f(x,y)dy= J f{x,y)dy.
а' У\ Ф* (х)
Отсюда в силу (1) и (2) получим окончательно:
Ь , ц>2(х) \
Цf(*.y)do=U J f(x,y)dy\dx. (3)
Замечание. Аналогичное рассуждение можно провести jmh
области, нормальной относительно оси OY и определенной
неравенствами:
♦iO0<*<*Mj0. c<y<:d.
В этом случае имеем:
d Ψ* (у) d (% (у)
! (4)
С Ψι (У) С V фл (#)
<* Ψ* (У) d i % (у) ч
\[f(x,y)do = ]dy $ f(x,y)dx=U J /(^А*>4У·
Если область ω можно разбить на конечное число нормальных
областей ωχ, ω2, ..., то
JJ f(x, y) do = ^f(x,y)do + $lf(x,y)do+...
ω (Οι ω2
Для вычисления интегралов по областям ων ω2, .., пользуются только
что приведенными формулами (3) и (4).
Примеры.
1. Вычислить двойной интеграл функции
f(x,y)=x2 + xy + 2y\
взятый по треугольнику Д ограниченному осями координат и прямой
у= —дг+1.
Как легко видеть, этот треугольник является нормальной
областью, определенной неравенствами:
0<л;<1, 0<д;<1— х.
Следовательно,
<Ρι(*) = 0, φ2(χ)=1—χ.

6. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ ПО ОБЛАСТИ КАК ПОВТОРНЫЙ
Получаем:
1 1-Х
[l{x* + xy + 2y2)d<5 = \dx J (x* + xy + 2y*)dy =
381
^р(1_,)+,ы+2<^]^4·
Наш треугольник можно также определить неравенствами:
О^.у^.1, О^л:^ 1 — у- Читатель легко проверит, что интеграл
1 1-У
\dy J (x2 + xy + 2y*)dx
о о
имеет то же самое значение.
2. Вычислить интеграл
$$ (2x + Sy+\)dxdy
по области, ограниченной треугольником
с вершинами (—1, —1), (2, —4), (1, 3),
и найти среднее значение подынтегральной
функции в этом треугольнике.
Составим сначала известным способом
уравнения прямых, на которых расположены
стороны треугольника (уравнения указаны
на рис. 57).
Затем при помощи прямой х=\
разобьем треугольник на две нормальные области
ωχ и ω2. (Можно было бы также
воспользоваться прямой у——1.)
Как мы уже знаем,
(2г4Г
Рис. 57.
[\(2x + Zy+\)dxdy =
ω
^H(2x + Sy+\)dxdy+H(2x + 3y+\)dxdy.
<Oi
ω3
Так как области ωχ и ω2 нормальны, то каждый интеграл в
правой части может быть заменен повторным, и мы получим:
+ 1 2Х + 1
^(2x + 3y+\)dxdy= \dx J (2x+3y+\)dy =

382 ГЛ. XX. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ. УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
Аналогично
2 -7ΛΓ+10
^(2x + 3y+\)dxdy=$dx J {2x + 3y+\)dy =
2 2
Окончательно
^(2x + 3y + \)dxdy = 3.
Чтобы найти среднее значение функции 2х + 3^ + 1 в указанном
треугольнике, следует полученное значение интеграла разделить на
площадь треугольника, равную, как
легко проверить, 9. Для среднего
1
значения получим число -^.
3. Вычислить площадь области ω,
ограниченной параболой у2 = 2х и
хордой, соединяющей точки (2, —2)
X и (8, 4) (рис. 58).
Прямая χ = 2 разбивает область
ω на две нормальные области:
область (ον определенную
неравенствами:
Рис. 58.
0<лг<2, — Уг2аг<-у< + К2аг,
и область ω2, определенную неравенствами:
2<аг<8, х — 4<>><|/2*.
Таким образом,
^dxdy = ^dxdy+^dxdy=*
ωι
УЧк
ω2
= Jtf* \dy+\dx \dy=^V2xdx+\iybc-x+l)dx=\b.
о -VH a *-4 о а
Площадь области ω можно вычислить и другим способом. А
именно, эту область можно рассматривать как нормальную, определенную
неравенствами:

6. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ ПО ОБЛАСТИ КАК ПОВТОРНЫЙ 383
Следовательно,
4 У+4 + 4
^dxdy = \dy jfifA;= f ^4.4—^^=18.
2
4. Вычислить площадь нормальной области ω, определенной не*
равенствами:
гдеД^) и /2 (х) — непрерывные функции в интервале [а, Ь], для
которых выполняется неравенство Д (х) < /2 (#) при а < л: < *
(см. стр. 352).
Имеем здесь:
ь h (χ)
M = $$rfors=$rf* $ <0>·
ω a ft (χ)
J ^=Λ(^)-Λ(ΛΓ).
/ι (Χ)
Следовательно,
|ω|»$ΙΛ(*)-Λ(*)]^·
α
5. Вычислить объем шара
x*+y2 + z* = r2.
Плоскость OXY пересекает этот шар по кругу
внутренность которого вместе с границей обозначим через ω. Как
легко видеть, полушарие, находящееся над плоскостью ΟΧΥ, является
множеством всех точек (х, у, ζ), таких, что точка (х, у) принадлежит
области ω, a z удовлетворяет неравенствам:
0<*<У> —*2— у*.
В силу нашего определения объема (стр. 376) мы для искомого
объема всего шара получим:
+ г + Vr*-x*
y=2$$j/> — л;2 — y2do = 2 J dx $ Vr2-x2—y2dy.
ω -г -УТЛ?*
При интегрировании по у следует χ считать постоянным. Можно
ввести новую переменную φ подстановкой
у = Yr2 — Ar2sin<p, dy = Vr2—χ2 cos φ dtp.

384 ГЛ. XX. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ. УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
Тогда
£L
+ КТП-г* ^ + »
Г |/"гя — jc* — jr* rfy = J (г2-~л;2)со52фй?ф==|-(г2-л:2).
2
Следовательно,
-Г
6. Вычислить объем общей части двух круговых цилиндров одного
и того же радиуса г, оси которых пересекаются под прямым углом.
Выберем за оси этих цилиндров ось OZ и ось ОК. Тогда их
уравнения запишутся так:
д;2+/ = Г2 И X2 + Z2 = Г2.
Общая часть этих цилиндров определяется, очевидно, неравенствами:
Х2 + У2^Г2, *2 + 22<Г2.
Так как изобразить или нарисовать эту область не легко, то
можно рассуждать следующим образом.
Эта область симметрична по отношению к плоскости OXY.
Поэтому достаточно вычислить объем ее верхней половины, определенной
неравенствами
x2 + y*^r\ *2-T-za<r2, z^O.
Обозначим через (лг0, у0) какую-нибудь систему чисел,
удовлетворяющих первому из этих неравенств. Для того чтобы точка (лг0, y0t ζ)
принадлежала к изучаемой верхней половине нашей области,
необходимо и достаточно, чтобы 0^ζ^Vr2 -— χ*. Следовательно, эта
верхняя половина совпадает со множеством всех точек (х, yt ζ), таких,
что (л:, у) принадлежит кругу x2+y2~r2t a z удовлетворяет
предыдущим неравенствам. Обозначив через ω внутренность круга
х2 -)-у2 = г2 вместе с его границей, получим для объема всей общей
части наших цилиндров интеграл
V=2\\Vr2—x2dxdy =
+ г + Vr*-x% + г
= l\dx \ Vr2-x2dy = 2 J 2(r2 — x2)dx =
=*h-f]::=f"·

6. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ ПО ОБЛАСТИ КАК ПОВТОРНЫЙ 385
Задачи
1. Вычислить следующие двойные интегралы:
а) \ \ cos2 у da по квадрату 0^*^-^-, 0^t/< —.
я2
Ответ. —
16
б) \ \ Ϋ^Α -\-x-\-ydo по нормальной области, определенной
неравенствами 0^ί/^5, 0«^x^5~t/.
Ответ. —.
15
в) \ \ У а2—х2— у2 do по нормальной области, определенной
неравенствами :
0<s^x^af Vax—x2<iy<t Va2 — x2.
2
Ответ -β-α8
У
г) V \ Vrcos2i/ + ^2sin2i/rfano прямоугольнику O^at^I, O^y^-^ .
Ответ -^-.
д) 11 ν г* 2 ^° по треугольнику, ограниченному осью ОХ,
прямой х = а и прямой у — —х\ г > О, а > 0.
~ яаг2
От вет —-о—
о
2. Вывести при помощи двойных интегралов известные формулы для
площадей: а) треугольника; б) трапеции; в) кругового сектора; г) эллипсз.
3. При помощи перехода от двойного интеграла к повторному доказать,
что*
а к а а
a) ldx^f(x> y)dy=^dy ^(*, у) dx
0 0 О U
для каждой функции f(x, у), непрерывной в треугольнике, ограниченном
прямыми у = 0, х = а, у = х (а > 0);
а Уаг-х2 а Уа2 - цг
6)Jd* J t(x,y)dy=$dy J f(x,y)dx
0 0 0 0
для каждой функции f (x, у), непрерывной в первой четверти круга
** + у* = в.
4. Доказать, что объем шарового сегмента выражается формулой
у = тй(г-~^у
где г — радиус шара, a w — высота сегмента.
13 G. Банах

386 ГЛ. XX. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ. УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
б. Вычислить объем тела, ограниченного эллиптическим параболоидом
х* и2
Ζ =-5 + То" и ПЛОСКОСТЬЮ 2 = fc(fc>0)
а2 о2
Ответ, γ nabkK
6. Координаты центра тяжести плоской области ω, заполненной
равномерно массой, являются средними значениями функций χ и у, т. е.
ω ω
Определить координаты центра тяжести:
а) полукруга х2 + у2*^г2, у^0\
б) треугольника примера 2 (стр 381)
Ответ а, (о. £) ; б) (|. _|) ·

ГЛАВА XXI
КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
1. Простая дуга. Допустим, что функции
**=/(*). >«<Р(<). * = ψ(*) (α<<<*) (Ι)
непрерывны в интервале [а, ft]. Множествю всех точек пространства,
координаты которых (х, уу ζ) соответствуют одному и тому же
значению переменной*, называют простой дугой (или, короче, дугой), если
разным значениям параметра t соответствуют разные
точки, другими словами, если равенства
/(Г)=/(Г), <р(П-Ф(П. ψ(η = Ψ(η
влекут за собой f = t".
Точки Л, В, соответствующие крайним значениям а, ft параметра t,
называются концами дуги. О такой дуге говорят, что она соединяет
точки А и В (рис. 59). Простую дугу обозначим также символом АВ.
Параметрическое представление простой дуги при помощи функций,
удовлетворяющих приведенным выше условиям,называется нормальным.
Примеры. Простой дугой является: а) отрезок; б) ломаная
линия ААгА2.. ,Ап при условии, что соседние отрезки имеют
только одну общую точку, а отрезки, не являющиеся
соседними, общих точек не имеют; в) дуга
окружности (соответствующая центральному
углу а, где 0 < а < 2π); г) график функции у =/(дг),
непрерывной в интервале [a, ft]. В случае г)
дуга представляется параметрически следующим
образом:
x = tt y=f{t)t *=0 (<z<*<ft).
Имея какое-нибудь одно нормальное параметрическое представление
простой дуги, мы можем из него получить бесконечное множество
других. Для этого достаточно выбрать произвольную непрерывную
функцию / = a(s), строго монотонную в некотором интервале [a', ft']
и принимающую на концах этого интервала значения a, ft. Новым
ы
13*

388
ГЛ. XXI. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
нормальным параметрическим представлением будет
x = f[a (s)] =/2 (s), у = φ [α (s)] = φχ (s),
ζ = ψ [α (*)] = ψχ (s) (α' < s < £')·
Если дуге АВ придадим определенное направление, т. е. выберем,
например, за начало точку Д а за конец точку В, то возникают две
возможности: точке А соответствует либо значение параметра t = a,
либо значение t~b. В первом случае мы будем говорить, что
параметрическое представление согласовано с выбранным
направлением, во втором же случае, что оно не согласовано. Если
представление не согласовано с выбранным направлением, то, положив
t=i — s, получим согласованное представление:
x^f(—s)=f1(s)1 у = <р(— s) = q>1(s)f
ζ = ψ (— s) = ψχ (s) (— b ίζ s ^ — a).
Примеры.
1. Нормальное представление отрезка, соединяющего точки
А (хг, yv zx) и B(x2i y2i z2), мы получим, положив, например,
χ = х1 + (х2 — хг) *, у = ух + (у2 —ух) t,
z = z1 + {z2—z1)t
для Ο^Ξ^^Ι. Это представление согласовано с направлением
от А до В.
2. Нормальное представление верхней половины ёллипса
Ь*х2 + а2у2 = а2Ь2
мы получим, положив
x=acosty y = bslnti z = 0
для 0^/^π. Другое нормальное представление мы получим,
положив, например, t = s2 и, следовательно,
x=acoss2, y = bs\ns2, z = 0, для ΟΟΟ^π.
2. Криволинейный интеграл на простой дуге. Допустим, что
простая дуга АВ задана нормальным представлением
* = /(*)> у = (р(*), z = ty(t) (я<*<£) (I)
и, кроме того, что функции (I) имеют непрерывные производные в
интервале [а, Ь]. Выберем на дуге АВ направление от А к В и
предположим, что параметрическое представление (I) согласовано с
выбранным направлением. Пусть функция Р(х, у, ζ) определена и
непрерывна во всех точках дуги АВ. Произведем какое-нибудь
разбиение δ интервала [а, Ь] и обозначим через t0 = а < tx < t2 < ...

2. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО ПРОСТОЙ ДУГЕ 389
концы отрезков Δίχ, Δ*2, ... , входящих в состав этого разбиения.
Выберем в каждом из этих отрезков по одной произвольной точке
«ι, Ф„ ♦..
Пусть
*·β/(*β>. *ι=/(Ί), *. = /(*■), ··.:
6ι«/(0ι), δ.β/(02), ···;
ti—4>(*ι). ε«=+(*ι). ···
Образуем сумму
0 = Ρ(119 ηχ> ζιϊ^-^ + ΡΙξ,, η2, ζ2)(ΑΓ2-~^)+... (1)
Положив /*(*) = P[/(/), <ρ(ί), ψ(/)], запишем сумму (1) так:
0-'7(·ι)Ι/(ίι)-/('·)] + /7(»ι) [/(',)-/(ίι)1 + .-
По теореме о среднем значении существуют точки θ^, θ^,
для которых имеют место равенства:
/ι*ι)-/ΐΌ)-/'«>ΊΗΊ-'·) <*,<*Ί<*ι). '
/(Ί)-/ΙΊ)-/' (<М (/,-ίχ) (Ί < *, < <,),
Положим
Тогда в силу (2) получим:
где
(2)
(3)
О' = F («i)/' (0^ +/*«>,)/'(*·) Δ*« +
(4)
(5)
Κ-«ι/'(θ'ι) Δί1 + β1/' (θ, J Δί,+ ...
Если через η обозначить наибольшее из чисел )егJ, Je2|, ...,
а через Μ—наибольшее значение функции |/' (*)| в интервале [в, Ь],
то
\R\^Mr\At1 + Mr\At2+...=Mr\(b — a). (6)
Выберем произвольную нормальную последовательность разбиений
{δ„}, и пусть {(?„} будет последовательностью соответствующих
сумм, образованных аналогично сумме О. Согласно (4) при
аналогичном определении сумм <Уп и /?„ имеем:
Gn = Gn + R„, (7)
причем согласно (6)
КК^Ч (*-«). (8)
13 С. Банах*

390 ГЛ. XXI. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
а
llmGi-J/W'(<)<«.
Вследствие же равномерной непрерывности функции F(t) имеем
lim η„ = 0, следовательно, в силу (8) lim #и = 0. Поэтому
Ь Ь
lim Qn-\P(f)f V)dt-[P[fit)% φ(f), *(<>]/'<*><«. 0)
Предел последовательности {0„} называется криволинейным
интегралом функции Ρ (л:, у, ζ), взятым по дуге АВ в направлении от
А к В; обозначается он символом:
J Я {х, у, z) dx. (10)
Таким образом, мы получили формулу
ь
\ P(x,y,z)dx=\P[f(t)9 q>(f), γ (*)]/'(0 <«. (И)
Замечание 1. Очевидно, что значение криволинейного
интеграла (10) не зависит от параметрического представления (I), лишь бы
это представление было согласовано с выбранным направлением на
дуге. Другими словами, если дуга АВ будет задана другим
нормальным представлением, также согласованным с выбранным
направлением, то, поступая аналогично предыдущему, получим то же самое
значение интеграла (10).
Замечание 2. Если на дуге выбрать направление от В к Л,
то, как мы знаем, представление
*«/(—*), J> = <P(—*)> * = \|)(— s) (— £<s< — a)
является нормальным представлением дуги АВ, согласованным с
направлением от β к А Таким образом,
J P(x,y, z)dx=l P[f(-s), ψ(—$), ψ(—s)] [—/'(— s)]ds.
gA -ь
Подставив s = — t, получим:
ь
S Ρ {χ, у, ζ) dx = - J Ρ [/ (t), φ {t), ψ (t)] f it) dt.
Βλ a

2. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО ПРОСТОЙ ДУГЕ 391
Следовательно,
J Р(х, у, z)dx=*~ J Ρ(χ, у, Z)dx. (12)
$λ АВ
Замечание 3. Если на дуге АВ выберем произвольную точку С,
соответствующую значению параметра t~c (α<£<^)> τ0
о
\P{x,y**)dx-\P\f(t)% φ(/), 4V)]fMdi>
Ab a
ь
\P{x>y>*)dx~\P\f(t), φ(/), y(t)\r(*)dt.
бв с
Следовательно, в силу (11)
J Р(х, у, z)dx = J Ρ (χ, у, аг)£/лг+ $ Р{х, у, z) dx.
АВ Zti CB
Замечание 4. Аналогично определяются криволинейные
интегралы, обозначаемые символами
S Р{*> У> г)аУ> $ P(x> У> z)dz.
Для этих интегралов имеют место соотношения:
ь
\P(x*y>z)dy=\P\f{t), φ(ί), ψ(<)]φ'(*)<«,
ίδ α
J />(*,y, z)dz=\p[f(t), φ(ί), Ц (<)J *'(<) <«·
β α
Примеры.
1. Вычислить интеграл J (x2+y2)dy по дуге винтовой линии
Ah
x = rcosty y = rsinf, 2= α* (0^/^2π)
от Л (г, 0, 0) до В (г, 0 2ля).
Этот интеграл мы заменим обыкновенным определенным интегралом,
учитывая, что
dy
Таким образом,
\ (*» + v2) dv= \ г3 cos tdt = 0.
13** /д ί

392 ГЛ. XXX. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
Аналогично получим:
2Л
5 (x2 + y2)dx = l — rssintdt = 0,
АВ
о
2Л
\ {x2 + y2)dz = J r2adt = 2nr2a.
АВ О
2. Вычислить интеграл \ xdy по дуге
x=acostt y = asint fo<*<y)
в направлении, обратном направлениюпараметрического представления.
Имеем здесь:
π
ίί
I xdy — — \ acost*acostdt = — ^~-.
о
3. Криволинейный интеграл по произвольной кривой. Допустим,
что кривая С составлена из конечного числа простых дуг AAV АхАг,
(рис. 60). Выберем на этих дугах такие направления, чтобы
точка, являющаяся концом двух соседних дуг,
была у одной дуги началом, а у другой
концом. Допустим, например, что мы выбрали
направления: ААг, АхАг, ... Направления этих
дуг определяют нам некоторое направление на
кривой. Если функция Р(х, у, ζ) определена и
непрерывна во всех точках кривой С, то под
криволинейным интегралом функции P(xt yt г)
по кривой С (в выбранном направлении) мы
будем понимать сумму интегралов по каждой
дуге в отдельности *).
Таким образом, по определению,
Рис. 60.
^Р(х> у> z) dx= I P(x, у, z)dx+ J Р(лг, у, z)dx+ ...
с А% Α^λ2
Пусть кривая задана в параметрическом представлении
*=/(*). У = ф(<). *=♦(<) (a^t<^t>).
*) Очевидно, при условии, что интегралы по каждой из этих дуг
существуют

3. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО ПРОИЗВОЛЬНОЙ КРИВОЙ 393
Допустим, что на интервалах (я, ах), (av a2), ... (α <αί < α2 <
<...<£) эти функции непрерывны, имеют непрерывные производные
(на концах односторонние) и, кроме того, что эти функции,
рассматриваемые в интервалах (а, аг), (аъ а2), (я2, а3), ... , дают
нормальные представления дуг ААЪ АХА2, Л2Л3, ... » согласованные с
выбранным направлением. Легко заметить, что при таких предположениях
имеем:
ь
\P{x,y,z)dx=\p\f{t), φ(<), W))f'(t)dt.
С а
Если в точках αν α2> ... производная /' (t) не существует, то
этот интеграл следует понимать в несобственном смысле.
Аналогичные замечания относятся к интегралам
$ Ρ (χ, у, ζ) dy, l Ρ (χ, у, г) dz.
с с
Примеры.
1. Вычислить интеграл
J (x+2y—z)dx
АВ
по ломаной линии, соединяющей точки Л (0, 0, 0), С(1,0, 0), В(\, 1, I).
На основании предыдущего, нужно вычислить интеграл по отрезку
от А до С, затем по отрезку от С до β и сложить полученные
результаты.
Поскольку вдоль отрезка АС имеем у — ζ = 0, то первый интеграл
является обыкновенным определенным интегралом:
1
V (х + 2у —z) dx= V χ άχ — γ.
ас о
Второй интеграл равен нулю, так как χ постоянна на отрезке СВ.
2. Вычислить интеграл
J (x* + y)dx
АВ
от точки Л(0, 0) до точки В(0, 1): а) вдоль отрезка, соединяющего
эти точки; б) вдоль кривой, составленной из отрезка АС, соединяющего
точку А с точкой С(1, 0), и (меньшей) дуги единичной окружности,
соединяющей точки С и ft в) вдоль ломаной линии АСВ.
В случае а) интеграл равен нулю, так как χ является постоянной
на отрезке АВ.

394 гл. χχι. криволинейный интеграл
В случае б) имеем:
S (x2+y)dx= l(x*+y)dx+ J (x*+y)dx.
АВ AC CB
Первый интеграл является обыкновенным определенным интегралом,
так как у —0 на АС,
Второй интеграл мы вычислим, положив
#=cos*, y = smt (θ^*^γ)>
причем следует учесть, что
dx
iT — smt.
Таким образом,
1
j {X*+y)dX = §X*dX = ±,
AC
η
2
f (x2+y)dx = — f (cos2* + sin/)sin/^ = — (j + y)·
CB
Отсюда
J (x*+y)dx= i.
AB
В случае в), по предыдущему,
ί
(a:2 +y)dx=±-
Чтобы вычислить интеграл по отрезку СВ, применим параметрическое
представление:
*=!— /, y = t (0<*<ξ1).
Получим:
§(x*+y)dX=-§[(\-t)* + t]dt=-^.
CB О
Таким образом, в этом случае
j (*·+,) ^-4-4--т·
АВ
4. Работа как криволинейный интеграл. Как известно, если
материальная точка передвигается прямолинейно из точки А(х1У yv zx)
в точку В(х2, у2, z2) и подвергается действию постоянной силы Я,

4. РАБОТА КАК КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 395
параллельной оси ОХ, то работа, выполненная этой силой,
выражается формулой
L^P{x%-x1).
Допустим теперь, что функции (I) (стр. 388) описывают
движение материальной точки по кривой (С). Предположим, далее, что
при движении точка подвергается действию силы, остающейся
постоянно параллельной оси ОХ, но меняющей, однако, свою
величину. Пусть Р(х, у, ζ) означает величину этой силы в точке (л:, у, ζ),
лежащей на кривой С. Образуем произвольное разбиение δ
отрезка [а, Ь] точками а < tx < t2 < ..., которым на
кривой.соответствуют точки Л0, Аъ А2, ... с координатами соответственно (х0, y0i z0),
(χν У ν ζι)> · · · Выражения
Р(Хо> Уо> *ο)(*χ — *ο)> ρ(χν У ν *ι)(*2—*ι)» ···
дают работы, выполненные, соответственно, на отрезках Λ0Αν
АХА2, ..., постоянной силой Р(х09у09г0)9 соответственно P(x19yvz^t
... Таким образом, сумму
G=P(x0, yQi z0)(x1 — xQ) + P(xv yv z1)(x2—xl) + ...
можно считать приближенным значением работы, выполненной
действующей силой.
Так как для каждой нормальной последовательности разбиений {δη}
соответствующая последовательность сумм { Оп} стремится к
криволинейному интегралу
J Ρ (*, у, z)dx,
с
то мы поступим согласно интуиции, если предыдущий интеграл будем
считать величиной работы, выполненной переменной силой Р(х, у, ζ)
вдоль кривой С.
Замечание. Если переменная сила меняет величину и
направление, то, обозначив через Р(х, у, z), Q(xt у, ζ), R(x, у, ζ)
ее проекции на координатные оси, мы определим работу,
произведенную силой вдоль кривой С, формулой
L=^P(x, у, z)dx+ 1<2(х, у, z)dy + $#(*, у} z)dz.
с с с
Обычно это записывают короче, а именно:
L=Ip(x, y% z)dx + Q(xt у, z)dy + R(x, у, z)dz.
с

396 ГЛ. XXI. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
Пример. Вычислить работу, произведенную силой, постоянной
как по величине, так и по направлению, например, силой тяжести,
при передвижении точки вдоль данной кривой.
Принимая, что направление силы совпадает с положительным
направлением оси OZ (что всегда может быгь достигнуто
соответствующим выбором системы координат), имеем:
Р(х, у, z) = Q(x, у, z) = О, #(лг, у, z) = c%
где с — положительная постоянная.
Если кривая задана в параметрической форме:
*=/{*)> J = <P(0, * = *(') («<'<β)>
а движение происходит в направлении, согласованном с этим
параметрическим представлением, то получим:
Э
L = J с dz = J £ψ' (i) dt =* с [ψ (β) — ψ (α)].
С α
Обозначив начало и конец кривой через (xv ук, ζχ) и (лг2, j/2, £2),
найдем:
L = c(*2 —*t).
Мы видим, что в этом случае работа не зависит от пути, а
зависит лишь от разности уровней, измеряемых по оси OZ.
5. Замкнутая кривая. Кривая, составленная из двух простых
дуг, имеющих лишь общие концы, называется замкнутой простой
кривой.
Такими кривыми являются окружность, эллипс, треугольник,
многоугольник и т. д.
Простая замкнутая кривая может быть также задана
параметрическим представлением:
*=/(*), j> = q>(<). * = ψ(0, (*<*<*), (I)
в котором функции f(t)t φ(*), ψ(/) непрерывны и удовлетворяют
следующим условиям:
!)/(«)=/(*), φ(β) = Φ<*), ♦(<*) = *(*);
2) если для двух разных значений параметра t\ tn имеет место
/(0=/(П, <Р(П=ф(П, ψ(0 = *(0. то либо f = я, Г = *,
либо *' = £, Г = а.
Другими словами, в представлении (I) каждой точке кривой, за
исключением одной из них, соответствует только одно значение
параметра t; исключительной точке соответствуют два значения пара-

5. ЗАМКНУТАЯ КРИВАЯ
397
метра, а именно: t — a и t = b. Представление при помощи функций,
обладающих указанными свойствами, будем называть нормальным.
Перечислим несколько важных свойств плоских простых замкнутых
кривых.
а) Каждая такая кривая С делит плоскость на две области, из
которых одна (ограниченная), ω, называется внутренней областью
кривой С, а вторая (неограниченная), ω', называется внешней
областью кривой С. Кривая С является границей каждой из
областей ω, ω'.
б) Любые две точки области ω (соответственно любые две точки
области ω') могут быть соединены ломаной линией, не имеющей
общих точек с кривой С.
в) Каждая простая дуга, один конец которой лежит в области <о,
а другой в области ω', пересекает кривую С.
Читатель легко проверит интуитивно эти свойства для
окружности, треугольника, многоугольника. Для общего случая их
доказательства сложны, и поэтому мы их опускаем.
На кривой С можно выбрать два направления. Если кривая С
плоская, то одно из этих направлений называется левым, а второе
правым. Предположив, что, за исключением нескольких точек,
кривая С имеет касательную, можно левое направление
охарактеризовать следующим образом.
В произвольной точке Μ нашей кривой проведем отрезок МВ%
перпендикулярный к касательной в этой точке и лежащий (за
исключением точки М) целиком внутри области, ограниченной кривой С
(рис. 61). Если вектор MB образует с направлением касательной
(согласованным с направлением кривой) угол +-^·, то направление,
выбранное на кривой, является левым. Наглядно это определение
заключается в том, что при движении по
кривой в левом направлении внутренняя область
этой кривой остается слева от наблюдателя.
Если кривая С задана нормальным пред- С α j/\
ставлением, то это представление может быть ' '
согласовано или не согласовано с
направлением, выбранным на кривой. Представление
согласовано, если при возрастании параметра t х^ ,
от а до Ь соответствующая точка на кривой ^
пробегает ее в выбранном направлении. Если Рис- 6*·
представление не согласовано с выбранным
направлением, то, положив tf=—s, получим уже согласованное
представление (см. стр. 388).
Примеры.
1. Положив
χ = a cos/, y=bsint (0 ^t ζζ2π)%
<r%

398 ГЛ. XXI. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
получим нцрмальное параметрическое представление эллипса:
согласованное с левым направлением.
2. Нормальное параметрическое представление квадрата с верши·
нами (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1) может быть задано, например, так:
* = *, у = 0 при 0<*<1;
*=1, y = t—\ » 1<*<2;
л; = 3 — t, ^=1 » 2<ί<3;
*=0, j; = 4 —* « 3<*<4;
Легко проверить, что определенные таким образом функции
*«/(*). J>«<Pl')
непрерывны в интервале [0, 4] и удовлетворяют условиям 1) и 2).
Когда t возрастает от нуля до четырех, то точка (f(t), φ (t)) пробегает
квадрат в левом направлении, проходя через каждую точку только
один раз (за исключением точки (0, 0)).
Заменив в этих примерах t через—s, получим нормальные
представления, согласованные с правым направлением.
6. Криволинейный интеграл по замкнутой кривой. Допустим,
что простая замкнутая кривая С задана в нормальном
параметрическом представлении:
* = /(*). У-Ф(<). * = *(*). a^t^d.
Предположим, что в интервалах
(а, аг)9 (av я2),... [а < ах < а2 < ... < Ь]
данные функции имеют непрерывные производные (односторонние на
концах). Если функция Р(х,yt z) определена и непрерывна в точках
кривой С, то согласно п. 3
ь
\P(x,y.z)dx = ±lP\f(t)t <p(/), V(t)]f'(t)dtt
С а
причем знак зависит от того, взят ли интеграл в направлении,
согласованном с параметрическим представлением кривой С, или в
противоположном направлении.
Если на кривой возьмем любые две точки А и В (рис. 62), то,
положив, что дуги АтВ и ВпА имеют направления, согласованные с

7. ИНТЕГРАЛЫ ПО ЗАМКНУТЫМ ПЛОСКИМ КРИВЫМ
направлением, выбранным на кривой, можно записать:
^ Р(х,у, z)dx^ ) Р(х,у> z)dx + ] P{x,y,z)dx.
399
АтВ
ВпА
7. Криволинейные интегралы по замкнутым плоским кривым.
Пусть две простые плоские замкнутые кривые Clf C2 имеют
общей частью лишь простую дугу АВ
(рис. 63). Допустим, кроме того, что
внутренние области ωχ и ω2, ограниченные
кривыми Сх и С2, не имеют общих точек.
Рис. 63.
Предположим, что кривая Сг составлена из дуг Lx и АВ, а кривая
С2-—из дуг L2 и АВ. Дуги Lx и L2 образуют простую замкнутую
кривую С, ограничивающую область ω, которая содержит в себе
области ωχ и ω2. Если на кривых Сг и С2 выбрать левое
направление, то направления дуг Lx и L2 на кривой С будут согласованы с
ее левым направлением. Так как дуга АВ имеет на кривых Cv C2
противоположные направления, то
5я(лг, j;) ί/л: = J P{xty)dx + J P(x,y)dx,
c' ** ft
\р(х> y)dx = ^P(x,y) dx+ J P(x, y)dx.
Следовательно,
$/>(*, у) dx+ J Ρ {χ,y) dx= \ P{x, y) dx+ $ P(*. y) dx,
так что
c8
J Ρ (χ, у) dx = J Я (λγ, j) d* + J Ρ (χ, у) dx.
С d Сг
Допустим, что граница 6 области ω состоит из нескольких
простых замкнутых кривых Cv C2, С3, ... (рис. 64). Левым направлением
кривой Сх относительно области ω будем называть то
направление, обегая в котором кривую Cv мы оставляем область ω слева.

400
ГЛ. XXI. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
Таким образом, левое направление относительно области зависит от
того, лежит ли область внутри или вне данной замкнутой кривой.
Например, для области, заключенной между двумя концентрическими
окружностями, левое относительно области направление на
внутренней окружности противоположно левому направлению на внешней
окружности. Аналогично определяется левое относительно ω направ-
Рис. 64 Рис. 65.
интегралом, взятым по границе С в левом направлении, называется
сумма интегралов, взятых по кривым Cv С2, ... (в левом
относительно ω направлении):
J Р(х, y)dx^\p (χ, у) dx+ J P(xty) dx+ ,..
с с, сг
Отметим следующую теорему:
Если замкнутая область ω является суммой двух замкнутых
областей <ύν ω2, не имеющих между собой общих внутренних точек, то,
предположив, что соответствующие границы С, Clf С2 состоят из
конечного числа простых замкнутых кривых (рис. 65), можем писать:
^P(x,y)dx=^ P(x,y)dx+[ P(xty)dx.
с сх сг
Интегралы берутся в одинаковом направлении относительно области.
Последнее соотношение становится интуитивно ясным, если заметим,
что когда какая-нибудь дуга содержится в С, то либо она
содержится только в Cv либо только в С2 с тем же самым направлением,
что и в С; если же, напротив, какая-нибудь дуга, не входя в С,
входит в С1} то она обязательно входит также в С2, но с
направлением, противоположным направлению в Cv
8. Теорема (формула) Грина. Пусть нормальная область ω
определена неравенствами:
а<х<Ь, /г(х)<У </*{*),

8. ТЕОРЕМА (ФОРМУЛА) ГРИНА 401
где/х(х) и f2{x) —непрерывные в [ау Ь] функции. Пусть задана
функция Р(х,у)} определенная и непрерывная как внутри, так и
на границе области со. Предположим, кроме того, что производная
дР „ ^
j- ограничена в замкнутой области ω и непрерывна внутри нее.
Тогда имеет место соотношение
$P{x>y)dx--§ljjda, (1)
с ω
где С—граница области ω, а интеграл берется в левом направлении.
Доказательство. Легко видеть (см» замечание 2 на стр. 390),
что
ь ь
$/>(*, у) dx = $ Ρ [χ, Λ (λγ)] dx - J Ρ [χ, Д (χ)] dx% (2)
ьи%
Λ(*>
Так как
ω a ft(x
ί Wdy~p Iх' /a (ΛΓ)1 ~я f*· fl (ΛΓ)1 для α < * < *·
ί:
то
ί ί ¥ d0 ™ ί{Ρ [χ'ft {χ)] ~~ Ρ [χ* /ι (*)1} άχ· (3)
ω α
Сравнивая (2) и (З), получим:
^P(X,y)dX=-^do.
Если предположить, что область ω можно разбить на конечное
число нормальных относительно оси ОХ областей ωχ, ω2> ..., то
формула (1) справедлива и в этом случае.
Действительно, обозначив через Clf C2, ... границы областей
(ον ω2, ..., мы по известной нам теореме (стр. 400) получим:
$Р(лг, y)dx = ^P(x9 y)dx + \P(x% y)dx+...
с с, сг
Применяя только что доказанную теорему, найдем:

402 ГЛ. XXI. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
Следовательно,
>ix.y)dx--$$%*,.
I
При соответствующих предположениях относительно области ω
и функции Q (лг, у, z), поступая аналогично предыдущему, найдем:
$Q(x,y)dy = tf§do.
С ω
Объединяя обе формулы, получим:
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=>^(§-^do.
ί
Эта формула содержит обе предыдущие как частные случаи (при
Q = 0, соответственно Я=0) и называется формулой Грина.
Пример. Применяя формулу Грина к интегралу
J (2х — Зу) dx + {χ—у) dy,
где С означает единичную окружность, пробегаемую в левом
направлении, получим:
Ρ (χ, у) = 2х — Зу, Q (*, у) = χ—у,
Следовательно,
^(2x — 3y)dx-{-(x--y)dy = $$4</σ = 4π.
С ω
Легко проверить этот результат, вычислив данный интеграл
непосредственно.
9. Применения теоремы Грина. Теорема Грина является одной
из основных теорем теории двойных интегралов. Ее применения
особенно важны в математической физике.
Основное значение теоремы Грина заключается в том, что она
позволяет криволинейный интеграл выразить через двойной, и
наоборот.
Приведем здесь несколько непосредственных следствий.
1. Обозначив через С границу области ω, а через А ее площадь и
положив
р(х>у)=у> ^=1·

найдем:
Положив же
получим:
Следовательно,
9. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ГРИНА 403
ч у dx = — J 5 do = — Α.
с' ω
Q(x,y)=x, §=U
lxdy=^da = A.
С ω
A==Yj (xdy—ydx).
Интегралы взяты в левом направлении.
2. Обозначим через ω внутреннюю область простой замкнутой
кривой С. Пусть функции Р(ху у) и Q(x, у) ограничены и непрерывны
внутри ω и имеют там ограниченные и непрерывные частные произ-
дР dQ π
водные j- и г~. Докажем следующую теорему:
Теорема 1. Для того чтобы для каждой замкнутой кривой С\
лежащей внутри ω, имело место соотношение
$P(x,y)dx + Q(xfy)dy = 0,
с
необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке (х, у) области ω
выполнялось равенство
djP^dQ
ду~~дхЛ
О кривой С будем предполагать, что к ней применима теорема
Грина.
Доказательство. Предположив, что
ду ~~дх '
получим по формуле Грина
ί ρ(χ· *>**+«<*· JW-ДО (§-f) л»-о,
С ω'
что показывает достаточность условия.
Допустим теперь, что для каждой простой замкнутой кривой С
имеет место соотношение
J P(x,y)dx + Q(x,y)dy = Q.

404 ГЛ. XXI. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
По формуле Грина отсюда вытекает
ДО
dQ
дх
(1)
Пусть утверждаемое в теореме равенство не выполняется, так
что в некоторой точке (дг0, у0) области ω имеем, например,
dQ (*о> Уо) дР (х0, ί/0)
дх ду
' = а>0.
В силу непрерывности функции -1—-ς— найдется достаточно
малый круг К с центром в точке ,(лг0, j/0), в каждой точке которого
выполняется неравенство
dQ дР 1
дх ~ду >¥α·
Тогда по теореме об интегрировании неравенств (стр. 378)
W(S-£)*>i-i«i>·
/с
(через |/f| обозначена площадь круга /Q. Но это противоречит
соотношению (1), верному для каждой области ω', значит, и для круга К.
Аналогично поступаем при a < 0.
Замечание. Допустим, что для каждой простой замкнутой
кривой С, лежащей внутри ω, имеем:
§P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0.
При таком условии можно утверждать, что если любые две точки А
и В области ω соединить дугой АВ,
лежащей β области ω, то интеграл
J P(x,y)dx + Q(x,y)dy
АВ
не зависит от дуги АВ, а зависит
только от начальной точки А и конечной В.
Другими словами, этот интеграл имеет
одно и то же значение на всех дугах,
Рис 66 соединяющих точку А с точкой Б.
Действительно, соединим точки А и В
двумя дугами АшВ и АпВ (рис. 66), не имеющими общих точек,
кроме А и В.

9. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ГРИНА 405
Рассматривая замкнутую кривую АтВпА, имеем:
[ P(x,y)dx + Q(xyy)dy = 0,
АтВпА
следовательно,
J P(x>y)dx + Q(x9y)dy + I P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 09
АтВ ВпА
так чго
5 P{x,y)dx + Q(x,y)dy= J P(x9y)dx + Q(xiy)dy. (2)
Amβ ΑηΒ
Допустим теперь, что дуги АтВ и АпВ имеют, кроме точек Л и β,
еще конечное число общих изолированных точек и общих дуг.
Докажем, что формула (2) остается справедливой и в этом случае.
Действительно, обозначив через Р9
Q, ...,/?, 5 по порядку общие
изолированные точки и концы общих дуг
(рис. 67), мы легко заметим, что в
силу уже доказанного криволинейные
интегралы, взятые по кускам APt PQ,
.. . дуги АтВ, соответственно равны
интегралам, взятым по
соответствующим кускам дуги АпВ. Следовательно,
$ .$ + $+....$.
АтВ АР PQ АпВ рис. 67.
Формула (2) справедлива также, когда дуги АтВ и АпВ имеют
бесконечно много общих точек. Однако в этом случае доказательство
трудное, и мы его опускаем.
Читатель легко заметит, что, и наоборот, из предположения, что
интеграл
J P(x1y)dx + Q(x, у)4у
АВ
не зависит от дуги АВ, а зависит лишь от начальной и конечной
точек, следует, что для каждой замкнутой кривой С имеем:
$/>(*, y)dx + Q(x, y)dy=zQ.
с
Допустим, как раньше, что ω является внутренней областью
простой замкнутой кривой С. Пусть функции Р(ху у) и Q(x> у)
непрерывны вши имеют в каждой точке ω ' непрерывные частные

406 ГЛ. XXI. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
производные тр и J*-. При этих условиях докажем следующую
теорему:
Теорема 2. Для того чтобы существовала определенная в ω
функция V(x, у), для которой функции Р(х,у) и Q(x,y) были бы
частными производными, соответственно, по χ и по у, необходимо
и достаточно, чтобы в каждой точке области со выполнялось равенство
ду дх -
Доказательство. Необходимость была нами доказана на
стр. 199. Действительно, если
то
дР д*У dQ
ду дх ду дх "
Для доказательства достаточности допустим, что в области ω
выполняется условие
ее-». - (3)
ду дх
В силу замечания на стр. 404 значение интеграла
P(x,y)dx + Q{x,y)dy
S
не зависит от дуги АВ% а зависит только от начальной точки А и
конечной В.
Функцию V(x,y) мы получим следующим образом. Выберем в ω
некоторую точку A(x0iy0). Значение функций V(x,y) в произвольной
точке В(х, у) области ω мы определим, положив
V(x,y)=*$P(x,y)dx + Q(хшу)dy; V(лг0, у0) = о,
где АВ—произвольная дуга, соединяющая точки А и В. Для
отыскания частных производных функции V(x,y) заметим, что если
точка С области ω имеет координаты (лг-{-/г, у)у то
V(x + h,y)= J P{x,y)dx + Q{x,y)dy,
ABO
где дуга ABC состоит из дуги АВ и прямолинейного отрезка ВС
параллельного оси ОХ. Следовательно, *
V(x + hty)= J Pdx + Qdy+ J Pdx + Qdy*)
Ah вс
*) Для краткости пишем Ρ и Q вместо Ρ (xt у) я Q (*, «).

Так как
то
9. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ГРИНА
V^+h,y)-V(x,y)==j_^Pdx+Qdy.
x+h
\Pdx + Qdy*= [Pdx,
ВС x
v^+h^^v^y^^fp(xfy)dx.
407
χ
Отсюда по теореме о среднем значении (стр. 309)
v(*+»,y)-v(*.y)=P(x+Uiy) {о<о<1).
η (
Принимая во внимание непрерывность функции Р(х, у), получим:
Аналогично доказывается, что
Замечание 1. Можно показать, что в условиях предыдущей
теоремы функция V(xt у) определена с точностью до произвольной
постоянной. Достаточно, очевидно, доказать, что если функция V(x, у)
удовлетворяет внутри области ω, ограниченной кривой С, условиям:
то
V(x,y) = const.
Действительно, соединив любые две точки Α, В области ω простой
дугой, целиком расположенной в ω, получим:
<*У[/(0.Ф(01 W ги\л-дУ <*Ч*\ η
где аг=/(0, у = φ(0—-нормальное представление дуги АВ.
Таким образом,
ν [/(*), φ (<)] = const.
Отсюда следует, что значение функции V(xt у) в точке Л равно ее
значению в точке В.
Замечание 2. Последние результаты аналогичны теореме
о существовании первообразной функции для непрерывной функции

408 ГЛ XXI. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
одной переменной. Действительно, мы показали, что при определен-
ных условиях существует функция, имеющая заданные производные,
и что две такие функции отличаются между собой лишь на постоянную.
Примеры.
1. Функции
Р(х,у) = х2+у, Q(x,y) = o
не удовлетворяют условию нашей теоремы, так как
£-1, a J2-0.
ду дх
Как мы уже убедились (см. стр. 394, пример 2), криволинейный
интеграл \ Р(дг, у) dx + Q(x, у) dy может принимать разные значения
для разных кривых, соединяющих те же самые* две точки.
2. Для
Р(*,у) = х+у. Q(x,y) = x—y*
имеем:
ду "дх ~~ 1'
Следовательно, существует функция V{x% y)y для которой
Из первого уравнения следует
V(x.y)=Y*+xy + v(y)>
где φ (у) — некоторая функция переменной у. Определим ее при
помощи второго уравнения:
^ = ΛΓ + φ {у)=х-у\
откуда
Ф'Ы = -/. <P(J)«—J-J' + C.
где С—произвольная постоянная.
Окончательно,

ГЛАВА XXII
НЕПРЕРЫВНЫЕ СООБРАЖЕНИЯ.
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛАХ
1. Отображения. Если каждой точке А некоторого множества Е*)
поставлена в соответствие какая-то точка В другого множества Elt
причем каждая точка множества Ех соответствует по крайней мере
одной точке множества Еу то говорят, что этим определено одно-
значков отображение множества Ε на множество Ех.
Множество Ех называют образом множества Е. Может случиться,
что это множество частично или полностью содержится во
множестве Еу или совпадает с ним.
Прим еры.
1. Пусть множеством Ε будет круг радиуса г с центром в
точке О. Каждой точке А множества Ε поставим в соответствие
середину В отрезка ОЛ. Образом множества Ε будет концентрический
Ϊ
с первым круг радиуса -н- г.
2. Пусть Ε — произвольный треугольник. Каждой точке
множества Ε поставим в соответствие ее проекцию на ось ОХ. Образом
множества Ε будет отрезок, расположенный на оси ОХ.
Если точке А с координатами х, у соответствует точка В с
координатами x',y't то отображение определяется заданием двух функций
*'=/(*■ У), / = φ(*. У), (1)
определенных на множестве Е, которые дают возможность по
координатам точки А найти координаты точки В.
Примеры.
3. Если в примере 1 центр О имеет координаты /?, q, то
отображение определится функциями
X g-, у — —2~.
*) Мы будем предполагать, что множества Ε и Ег являются плоскими,
хотя это ограничение не обязательно.

410 ГЛ. XXII. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛАХ
4. Отображение в примере 2 определяется функциями
*' = *, / = 0.
5. Каждой точке А(х, у) множества Ε поставим в соответствие
точку B(x',y')t координаты которой определяются функциями:
х' = χ cos α —у sin α, у' — χ sin α +y cos α.
Образом является множество, которое получим, повернув
множество Ε на угол α вокруг начала координат.
2. Непрерывные отображения. Взаимнооднозначные
отображения. Если функции (1), определяющие отображение, являются
непрерывными, то отображение также называется непрерывным.
Отображения, приведенные в примерах 1—5, являются
непрерывными.
Если двум разным точкам множества Ε соответствуют всегда две
разные точки множества Εν то такое отображение называется взаимно
однозначным (одно-однозначным).
В примерах 1 и 5 отображения являются взаимно однозначными.
В примере 2 имеем отображение не взаимно однозначное.
Пусть множество Ε взаимно однозначно отображается на
множестве Εν Если А — произвольная точка множества Е, а
В—соответствующая точка множества Elt то отображение, которое каждой
точке В множества Ег ставит в соответствие ту точку А множества Еу
образом которой является точка В, называется обратным
отображением.
Чтобы найти функции, определяющие обратное отображение, надо
решить уравнения (1) относительно дт, у.
Если отображение множества Ε на множество Ег является взаимно
однозначным и непрерывным и если обратное отображение также
непрерывно, то говорят, что отображение множества Ε на
множество Ег является взаимно непрерывным.
Для краткости говорят часто, что множество Ег является
непрерывным (взаимно однозначным) образом множества Е.
Примеры.
1. Обратное отображение для примера 1 (см. также пример 3)
определяется функциями:
лг=2лг'—р, y = 2y'—q.
2. Обратное отображение для примера 5 определяется
функциями:
х = χ1 cos а +у' sin α, у — у' cos α —- χ' sin α.
3. Отображения, приведенные в примерах 1 и 5, являются взаимно
непрерывными.

3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ (ЯКОБИАН) 411
Приведем теперь несколько теорем о непрерывных и взаимна
однозначных отображениях (доказательства опускаем).
Теорема 1. Непрерывное взаимно однозначное отображение
простой дуги (замкнутой кривой) является также простой дугой
(замкнутой кривой). Такое отображение взаимно непрерывно.
Теорема 2. Непрерывным и взаимно однозначным образом
области также является область.
Теорема 3. Непрерывным и взаимно однозначным образом
простой замкнутой кривой С и области ω, лежащей внутри этой
кривой, являются простая замкнутая кривая С и область ω\ лежа-
щая внутри нее. При этом отображении оброком кривой С будет
кривая С, а образом области ω —область со'. Такое отображение
взаимно непрерывно.
3. Функциональный определитель (якобиан). Если функции
·*'=/(·*, у), / = <р(*, у),
определенные в окрестности (х, у), имеют в этой точке частные
производные первого порядка, то выражение
/>,,4i* ,>-/;<*. л,;<*. л-|££ * ££*|
называется функциональным определителем или якобианом этих
функций. Якобиан обозначается символом:
D(x,y) ИЛИ D (*,</)'
Пример 1. Если
χ = г cos φ, у = г sin φ,
D(x, у) __дхду дхду^^
D (г, φ) дг ду ду дг
Докажем теперь следующую теорему:
Теорема. Если функции
*'=/(*, У), / = <р(*, у),
непрерывные в области ω, имеют непрерывные частные производные,
D (хг и'\
то для каждой точки (х, у), в которой якобиан ην ' γ отличен
от нуля, можно подобрать такую ее окрестность, что отображение,
определяемое этими функциями, будет в выбранной окрестности
взаимно однозначным*).
то
*) Можно также доказать, что наше отображение будет в этой
окрестности взаимно непрерывным.

412 ГЛ. ХХИ. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛАХ
Доказательство. Пусть в точке А(х0, yQ) якобиан отличен
от нуля, т. е.
/х (*о> Уо) Ф^(*о> Уо) —fy (*о. У о) Ф* (*о» Уо) Φ °· 0>
Допустим, "вопреки утверждению теоремы, что в каждой окрестности
точки А найдутся две разные точки А' (дг, у), В' (x + h, y + k),
для которых выполняются соотношения
f{* + h, у + Ь)=/(х, у), φ(* + *. у + Ь)*=у{х, у). (2)
Возьмем последовательность кругов с центрами в точке А(хфу0)
и с радиусами {/·„}, Стремящимися к нулю. По предположению, в
каждом из этих кругов найдутся две разные точки: А'п{хп, уп] и
Βη{χη + Κ* Уп + ^п}* для которых имеем:
/(*» + *„. Я,+ *„>=»/(*,.. Λ).
Φ (** + *,.. Λ + *»)βφ(^ Я.)·
По теореме о среднем значении имеем:
(см. стр. 212), где
ε*β*«+*Α. η»βΛ+*Α. ξ;*=^»+*Α· п^л+^А·
о<*я<1, ο<*;<ι.
Поскольку hn и &„ не являются одновременно нулями, то из
последней однородной системы уравнений следует, что
/; (£„. п.) ф; «;. о -/; ts* п.) φ; (ε;. *с>=°- <3>
Так как
lim rw = 0,
/Х-ХЗО
ТО
lim αγ„ = λγ0, lim yn=y<»
lim А„ = 0, lim &„ = 0.
Λ-*· CD ft->>CO
Переходя к пределу и учитывая (3) и предположенную
непрерывность частных производных, получим:
/*(*о> Уо)%(хо> Уо)~/'у(хо> 3Ό)Φ*(*<» Λ)85*)·
Но это противоречит соотношению (1). Следовательно,
существует такая окрестность точки (x0i yQ), в которой отображение
взаимно однозначно.

3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ (ЯКОБИАН) 413
Пример 2. Пусть дана система уравнений
*'=/(*. У), /βφ(*. У),
причем функции f(x, у)% <р(лг, у) непрерывны и имеют непрерывны©
частные производные в окрестности точки (л:0, yQ), в которой
якобиан отличен от нуля, и пусть
/(*οι -Уо) = я> Φ (*о> -Уо) = *·
В силу последней теоремы существует круг К с центром в
точке (дг0, j>0), в котором отображение, определенное предыдущими
уравнениями, является взаимно однозначным и непрерывным. По
теореме 3 (стр. 411) образом круга /Сбудут некоторая замкнутая кривая С
и область ω, лежащая внутри этой кривой, к которой, в частности,
принадлежит точка (а, Ь). Отображение является, кроме того, взаимно
непрерывным. Таким образом, если (av bx) является произвольной
точкой внутри кривой С, то внутри круга К существует только
одна точка, удовлетворяющая уравнениям
/(*, y) = av φ(*, y) = t>v
Эта точка меняется непрерывно вместе с (av bx).
Замечание 1. Если якобиан отличен от нуля в каждой точке
области ω, то отображение в некоторой окрестности каждой точки
этой области является взаимно однозначным. Может, однако,
случиться, что отображение всей области не является взаимно
однозначным.
Возьмем, например, отображение, определяемое функциями:
х' = ехсо$у, y' = exsiny ( — 00 < χ, у < + оо).
Якобиан этих функций равен е2Х и, следовательно, всегда отличен
от нуяя. Несмотря на это, для х = 0, у = 0 и дг = 0, ^ = 2π мы
получим л;'=1, jj'=0, так что отображение не является взаимно
однозначным. С другой стороны, если в какой-нибудь точке якобиан
обращается в нуль, то, несмотря на это, отображение в
окрестности этой точки может оказаться взаимно однозначным. Например,
отображение, определяемое функциями
х' = х\ у'=у* (-<»<*, >>< + оо), (1)
является взаимно однозначным; обратное отображение определяется
функциями
x = Vx\ y = Vf.
Якобиан же отображения (1) равен 9х2у2 и, следовательно, равен
нулю при х — 0 или ^ = 0.
Замечание 2. Допустим, что функции
*'=/(*. У), / = φ(*, у)

414 ГЛ. XXII. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛАХ
непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка
в связной области (см. стр. 190). Если предположить, что
отображение, определенное этими функциями, является взаимно
однозначным, то можно доказать, что якобиан всюду ^0 или всюду ^0.
Доказательство опускаем.
Примеры.
3. Якобиан линейного отображения
х' = агх + Ьгу + съ / = а2х + Ъ.гу + с2
равен axb2 — λ2*ι· Если он отличен от нуля, то, как известно из
теории линейных уравнений, эту систему можно разрешить
относительно лг, у, причем получаются уравнения аналогичного вида. Мы
имеем здесь, таким образом, непрерывное и взаимно однозначное
отображение всей плоскости OXY на всю плоскость О'Х'Y'. Если же
якобиан (который в этом примере не содержит переменных ху у)
равен нулю, то, как известно из аналитической геометрии, образом
плоскости OXY будет прямая или точка. В этом случае
отображение является непрерывным, но не взаимно однозначным.
4. Введение полярных координат
x = rcos(pt у —г sin q>t
можно рассматривать как отображение плоскости переменных г, φ
на плоскость ΟΧΥ. Якобиан этого отображения равен, как мы уже
знаем, г (стр. 411). При г = 0 и произвольном φ получим х = 0,
у = 0, т. е. все точки прямой г = 0 переходят в начало координат
плоскости ΟΧΥ. В окрестности точки (г, φ), у которой гфО,
отображение является взаимно однозначным, а обратное отображение
дается формулами:
г = Υ х% +у2, φ = arcsin y = arccos
V^+ψ Vx2+y2'
причем выбор знака у корня, а также значения угла φ однозначно
определены по непрерывности отображения.
Так как точкам (г, φ) и (г, φ + 2/ζπ), где я — произвольное целое
число, отвечает одна и та же точка плоскости ΟΧΥ, то каждая точка
этой плоскости является образом бесконечного множества точек
плоскости (г, φ).
В приложениях обычно принимается г ^ 0, а угол φ часто
подчиняют условию 0^φ<2π. Легко убедиться, что взаимно
однозначным и непрерывным образом внутренней области прямоугольника,
определенного неравенствами
0<г<а, 0<φ<2π,
является область, полученная из внутренности круга х2-\-у2^.а*
путем выбрасывания из нее отрезка оси OX: Q^x^a, д> = 0.

3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ (ЯКОБИАН) 415
5. Отображение
х' = х+у, у' = ху
является непрерывным, но не взаимно однозначным для всей
плоскости OXY. Действительно, точкам (х, у) и (у, х), расположенным
симметрично относительно прямой у =* х и вообще разным,
соответствует одна и та же точка (х\ у ). Функциональный определитель
равен здесь \=х—у и.' следовательно, ра&ен нулю на прямой
\у х\ '
у — х. Чтобы при этом отображении найти образ плоскости ΟΧΥ,
заметим, что для данной точки (х\ у') числа х> у являются
корнями квадратного уравнения
z2 —x'z+y' = 0.
Как известно, это уравнение имеет тогда и только тогда
действительные корни, когда х'2—4у'^0. Следовательно, образом
плоскости OXY является множество точек (х\ у')> расположенных под
х,%
параболой у =-т- или на самой параболе.
По теореме стр. 411 наше отображение является взаимно
однозначным в некоторой окрестности каждой точки (л;0, у0)> не
лежащей на прямой у — х. Действительно, решив относительно х% у
уравнения, определяющие отображение, найдем:
х'+Ух'л—4у' _хф —Ух1'
Х 2
или
X g f У~~ 2 *
Для некоторой окрестности точки (х0, у0) имеет место либо
первая, либо вторая из этих возможностей, в зависимости от того,
будет ли х0>у0 или же х0 <j>0.
Если, напротив, х0=у0, то отображение не будет взаимно
однозначным ни в одной окрестности точки (л:0, у0), так как в каждой
окрестности можно найти пару точек, симметричных относительно
прямой у = х, образами которых является одна и та же точка
плоскости O'jrr.
Если же наше отображение является взаимно однозначным в
некоторой связной области ω, то эта область не может содержать ни
одной точки прямой у = х и, следовательно, расположена целиком
либо выше, либо ниже этой прямой. Отсюда следует, что якобиан
имеет в области постоянный знак (см. замечание 2, стр. 413—414).

416 ГЛ. XXII. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛАХ
Задачи
1. Доказать, что при отображении
образом плоскости ΟΧΥ является вся плоскость Ο'ΧΎ'. Это отображение
не взаимно однозначно ни в какой окрестности точки (0, 0)
2. Доказать, что при отображении
образом плоскости ΟΧΥ будет множество точек плоскости (ΥΧΎ\
расположенных выше параболы #' = л:'2 и на ней самой. Отображение не взаимно
однозначно в окрестностях точек оси ОХ.
4. Замена переменных в двойных интегралах. Пусть ω и ω'—
регулярные области, границами которых служат соответственно
простые замкнутые кривые С и С. Допустим, что функции
*'=/{*> у), y' = v(x*y) И
определены и непрерывны вместе со своими первыми частными
производными в некоторой замкнутой области Д содержащей в своей
внутренней части область ω. Пусть Р(х'у у') будет непрерывной
функцией в ω'. Если мы хотим в интеграле '
JS/>(*', y')dx'dy'
ω'
ввести новые переменные х% у, связанные с переменными х\ у'
уравнениями (а), то для этого применяется формула
Р(х'г /) ах' dy'=*^P\f (χ, у), φ (χ, у)} g|L2jdxdy> (I)
ω
где ε = ± 1.
Формула (I) справедлива при следующих условиях:
1. Функция Р(х\ у') определена и непрерывна в некоторой
замкнутой области D\ содержащей не только область ω', но и весь
образ области ω при отображении (а).
2. Функции / и φ отображают взаимно однозначно кривую С
на кривую С.
3. Если точка пробегает кривую С в левом направлении, то
соответствующая точка кривой С пробегает ее по условию 2 в левом
или правом направлении. В первом случае будет ε=1, во втором
ε= — 1. Таким образом, ε не зависит от функции Р(х', у'), а
зависит лишь от отображения, определенного функциями / и φ.
Замечание Из условия 1 следует существование интеграла
в правой части равенства (I). О взаимной однозначности отображе-

4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛАХ 417
ния внутренней области, ограниченной кривой С, ничего не
предполагается.
Доказательство мы приведем лишь при выполнении некоторых
дополнительных условий, а именно, предположим, что:
а) Кривая С имеет нормальное представление, удовлетворяющее
условиям, приведенным на стр. 396.
б) Область со (соответственно, ω') можно разбить на конечное
число областей, нормальных относительно каждой из осей ΟΧ, ΟΥ
(соответственно, О'Х , Q'Y').
в) Функции f(x% у) и φ (л:, у) имеют частные производные
второго порядка, непрерывные в ω.
г) Существует функция F(x\y')> непрерывная в D' и
удовлетворяющая соотношению
/*,<*', у')-я(**,/) О)
в области ω'*).
По теореме Грина имеем·
\f(*', y^dx' = -W — dx' dy' = -§§ Р(х\ у') **'*/■
(2)
Криволинейный интеграл берется в левом направлении по кривой С
Пусть функции
будут нормальным представлением кривой С, согласованным с левым
направлением. Тогда в силу условия 2 функции
*'«/[α«). β (*)]-«(<). /~φ[α(/), β(<)Η*(*> (3)
будут нормальным представлением кривой С
Так как функции /, φ имеют непрерывные частные производные,
а, по предположению, кривая С удовлетворяет условию а), то можно
считать, что интервал [t0, tt] может быть разбит на конечное число
интервалов, в которых функции a(t)t $(t) имеют непрерывные
производные (на концах интервалов производные односторонние), и
следовательно, функции u(t) и v(t) имеют также в этих интервалах
непрерывные производные (на концах односторонние). В силу (3) имеем:
$F(*', /)<**'=» в J/*[«(*), v(t)]u'{t)dtf (4)
с t0
где ε = ±1 в зависимости от того, будет ли при обходе кривой С
*) Требование г) вытекает из других условий теоремы. (Прим ред.}

418 ГЛ. ХХИ. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛАХ
в левом направлении соответствующий обход кривой С совершаться
также в левом направлении или в противоположном (см. стр. 397).
Из соотношения (3) получим (за исключением конечного числа
точек):
«'(*)-/*[«('). V (*)]*'{*)+/,[*{*), β(')]β'(0·
Отсюда и из (4) следует
$ F(x\ /) dx' = z\F[u (t), v (t)]fx [a (<), β (t)] a' (t) dt +
+ ε J F [u (0, ν Ц)] f'y [a (f), β [t]] β' it) dt.
Легко заметить, что интегралы в правой части этого равенства
равны соответственно интегралам
1р\/(х>у), φ (*.*)]/;(*. у) Д*.
с
$/*(/(*. JO. <P(x>y)]f'y(x>y)dy,
с
причем оба интеграла берутся в левом направлении. Опустив для
краткости переменные лг, у> можно, следовательно, записать:,
$/7(*',/)<**'«ь$'7(/. <f)rxdx + elFif,4)fydy. (5)
с с с
Правую часть равенства (5) преобразуем по формуле Грина.
Получим:
С' ω
Но
"fy,;i -[/£(/, φ)/; + ^(/,φ)φ,]Λ + ^(/· 1»Л»
Поэтому
С' ω

4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛАХ 419
Отсюда в силу (1) и (2) получаем:
й Р(Х'> УГ) d*' d? =8 И Pt/(^ Λ· Φ <*> У)] Qk&dxdy.
ω' ω \ · У)
Замечание 1. Если граница области ω' состоит из
нескольких замкнутых кривых С19 С2, ..., С„, то предыдущая теорема
остается справедливой лишь в случае, когда граница области ω
состоит из такого же числа замкнутых кривых Сг, С2, ..., Сл,
которые с помощью функций /, φ отображаются, соответственно, взаимно
однозначно на кривые Сх, С'2, ... Следует еще предположить, что
если точка описывает кривые Сх, С2, ... в левом направлении, то
соответствующая точка описывает кривые Си С2, ..., Сп или все
время в левом направлении, или все время в правом.
Доказательство проводится аналогично предыдущему, если
воспользоваться общей теоремой Грина (стр. 402).
Замечание 2. Допустим, что якобиан -D( \ не меняет
своего знака в области ω. По формуле (I)
ДО Р(*',/)<**'<*/« ДО Р(/, φ) [ε-gi^L]^^. (6)
ω' ω
Здесь ε = ±1 и зависит только от / и φ, но не зависит от Р.
Положив Р(х',у')=\9 получим:
ГА* ел
Поскольку левая часть этого равенства положительна, то
функция ε ηγ* φ( должна быть неотрицательна, ибо, по предположению,
и {χ, у)
якобиан не меняет своего знака, а так как ε = ±1, то
D (f, φ) IP (|t φ) 1
8 D(x,y) -\D(x,y)V
Следовательно, в этом случае по формуле (6) найдем:
ДО Р(х', /) dx' dV' = ДО Ж/, φ) | £$£$- | dx dy, (II)
ω' ω
Замечание 3. Можно доказать, что формула (II) остается
справедливой и тогда, когда выполняются следующие условия:
1) области ω и ω' регулярны;

420 ГЛ. XXII. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛАХ
2) функции f(x, у) и q>(x, у) отображают взаимно однозначно
внутреннюю часть области ω на всю внутреннюю часть области ω'.
В этом случае не обязательно предполагать, что на границе
отображение взаимно однозначно.
Примеры.
1. Вычислить интеграл [[(x2+y2)dxdy по круговому сектору
ω, ограниченному осью ОХ> прямой у = Artga(0 < α < 2π) и
окружностью х2-\-у2 = 1.
Положим
χ = г cos φ, у = г sin φ.
Эти уравнения отображают взаимно однозначно внутренность
прямоугольника D(0^r^l, Ο^φ^α) плоскости (г, φ) на
внутренность сектора ω, причем якобиан
D(r, <р)-г
имеет постоянный знак.
Следовательно,
С f (χ2 +у2) dx dy = (Τ (г2 cos2 φ + г2 sin2 φ) rdrdq> =
D
a
-M
r3dr = i
4
о о
Для вычисления интеграла по всему единичному кругу мы не
смогли бы воспользоваться предыдущим отображением, так как оно
не взаимно однозначно ни в какой окрестности точки г = 0. Однако
поскольку полученный результат верен для любого α < 2π, то,
переходя к пределу при α—*2π, получим для интеграла по всему
π
кругу значение γ.
Так как это рассуждение годится для любой непрерывной
функции, то при интегрировании по всему единичному кругу можно
перейти к полярным координатам, хотя условия нашей теоремы здесь
не выполняются.
Это, впрочем, следует также из замечания 3 и свойства нашего
отображения (см. пример 4, стр. 414).
2) Вычислить объем эллипсоида
α2~Γ Ь2-ГС2 — 1·
Так как эллипсоид симметричен относительно плоскости ΟΧΥ, то

4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛАХ 421
причем областью интегрирования ω служит эллипс
х2 г/2
а2 ^ Ь2 *'
Положим лт=яи, y = bv. Легко проверить, что эти формулы
определяют взаимно однозначное отображение единичного круга К
плоскости OUV на эллипс ω. Поскольку
D (ut v) ^
то получим:
Введя полярные координаты и = г cos φ, i> = rsin<p (см. предыдущий
пример), найдем:
2Я 1
\fyT^W^ti*dudv = [dtp irVT^r*dr = jn.
К оо
Окончательно V^^nabc.
3. Обозначим через /(#, у), <р(х,у) две функции, непрерывные
и обладающие непрерывными частными производными в окрестности
точки (л:0, у0). Предположим, кроме того, что их якобиан
D (/. φ)
D (*, у)
отличен от нуля в этой точке.
Отображение, определяемое уравнениями
х'=/{х*У), У' = у(х*У)з
является взаимно однозначным в некоторой окрестности точки
(xQ)y0). Таким образом, если построить круг Кг достаточно малого
радиуса г с центром в точке (х0) у0), то образом этого круга будет
некоторая замкнутая кривая Кг вместе с областью, лежащей
внутри этой кривой. Площадь, ограниченная этой кривой, равна интегралу
D (f, φ)
K^y-tim**-
Обозначив через тп Мг наименьшее, соответственно,
наибольшее значения якобиана в круге Кг, получим по теореме 4 на стр. 378
тг\КгЩ\Ц^Лх*у^Мг\Кг\>
14 С Банах

422 ГЛ. XXII. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНЫХ ИНЕГРАЛАХ
т. е.
"■<тМ$Ш"»*»-
Если радиус г стремится к нулю, то числа тг, Мг в силу
непрерывности якобиана стремятся к значению якобиана в точке
(*о» У о)- Поэтому
Kf У=Уо
Помножив обе части на ε, получим:
,. \К'г\ £>(/, φ)
r_^0 \Kr\ D {χ, у)
У=Уо
Мы видим, таким образом, что абсолютная величина якобиана
равна пределу отношения \КГ\ к \КГ\ и якобиан будет
положительным или отрицательным, в зависимости от того, сохраняет ли
отображение направление обхода или меняет его. Мы имеем здесь
некоторую аналогию с известными свойствами производной функции
одной переменной.
Задачи
1. При помощи использованных в предыдущих примерах замен
переменных вычислить:
а) Объем части эллипсоида
χ2 Φ ?2
a**b2^c2
расположенной в первом октанте между плоскостями * = 0, у = 0, г = 0 и
а^ b
Х 1 У 1
плоскостью Н"^=1·
У=^паЬс(ЬУ2-4).
б) Объем тела, вырезанного из шара
*2 + #2 + 22 = Г2 ,
круговым цилиндром
Х2 + У2 = а2 (а>г).
4 -
У=-~Я[гЗ_(Г2_а2)2 J.

4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛАХ 423
в) Координаты центра тяжести (см. стр. 386, задачу 6) четверти эллипса
а2 + *2 '
расположенной в первом квадранте:
*~3π' η 3π*
2. Доказать с помощью замены переменных, что отображение
взаимно однозначное для у > О, обладает тем свойством, что образом
произвольной замкнутой области плоскости OXY (расположенной над осью ОХ)
является замкнутая область с той же самой площадью.
14·

ГЛАВА XXIII
МНОГОКРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ
1. Тройной интеграл. Пусть D —множество точек (х, у, ζ) в
пространстве ΟΧΥΖ, удовлетворяющих неравенствам:
а^х^а', b^y^b', c^z^c.
Очевидно, D является прямоугольным параллелепипедом с объемом
τ = (а' — o)j£ — b) (с' — с)
и диагональю
/ = |/(я' ~ а)2 + (Ь' -Ь)2 + (с' - с)2.
Разобьем D на конечное число прямоугольных параллелепипедов
с объемами Δτχ, Δτ2, ♦ ..*). Множество этих прямоугольных
параллелепипедов будем называть разбиением б. Через |б| будем
обозначать длину наибольшей диагонали параллелепипедов Δτ1} Δτ2, ...
Последовательность разбиений будем называть нормальной, если
lim | 6п | = 0.
Допустим, что в прямоугольном параллелепипеде D определена
ограниченная функция /(#, у, ζ). Образуем произвольное разбиение
δ и выберем произвольным Образом в каждом параллелепипеде,
входящем в состав разбиения б, по одной точке. Обозначим координаты
выбранных точек через (ξχι ηχ, ζχ), (ξ2, η2, ζ2), ... и образуем сумму:
Λ=/(6ι. ηχ, ζχ) Ат,+/(521 η,, ζ2) Δτ2+ ...
Если для каждой нормальной последовательности разбиений {б,,}
соответствующая последовательность сумм {Ап} имеет предел, то
говорят, что функция f(x, у, ζ) интегрируема в D. Можно
доказать (как для обыкновенного интеграла), что в этом случае
функция f(x, у, ζ) ограничена в Д а последовательности {Ап} стремят-
*) В дальнейшем сами параллелепипеды как области также
обозначаются через Δτι? Δτ2, ... (Прим ред.)

2. МНОГОКРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ 425
ся к Общему пределу, который называется тройным интегралом
функции f(x,y, ζ) в прямоугольном параллелепипеде D.
Обозначается он символом
l^f(x,y,z)dx или Ш^*'^' z)dxdydz·
D D
2. Многократный интеграл. Пусть D есть множество точек
(х, у> z, t) четырехмерного пространства, удовлетворяющих
неравенствам:
а<лг<а', £<j/<£\ c<z<£', d^t^d'.
Множество D называют интервалом четырехмерного пространства
(стр. 227).
В качестве меры этого интервала (которую называют также
объемом) принимают число
х = (а' — а) (Ь' —Ь) (с' — с) (сГ — d).
Диагональю интервала D называют число
/ = \f(a' - αΫ + (b' -b)2 + (с' - cf + (d'-d)K
Разбив интервал D на конечное число интервалов с мерами Δχν
Δτ2, ..., получим разбиение δ. Наибольшую диагональ интервалов,
входящих в разбиение б, обозначим через |δ|. Последовательность
разбиений {δη} называется нормальной, если
lim|6J = 0.
/l-»> GO
Пусть функция f(x, у, ζ, t) определена в интервале D.
Выберем в каждом интервале Δτ1} Δτ2, ... произвольным образом по
одной точке с координатами (£1Э т^, л, /j, (ξ2, η2, ζ2, t2), ... и
образуем сумму
Λ=/(5ι. ηι, ζχ, ^i)Axi + /ffif. η2ί ζ2> '2)Δτ2+...
Если для каждой нормальной последовательности разбиений {δη}
соответствующая последовательность сумм {Ап} имеет предел, то
говорят, что функция f(x, у, г, t) интегрируема в интервале D.
Общий предел последовательностей {Ап} называется четырехкратным
интегралом функции f(x, у, z, t) в интервале D. Он обозначается
символом
555J/(^, у, г, t)dx или $$$$Я*· У, *» t)dxdydzdt.
D О
Аналогично определяется многократный интеграл в пространстве
любого числа измерений.

426
ГЛ. ХХШ. МНОГОКРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ
3. Условия интегрируемости. Теоремы 1, 2 (п. 2, стр. 368)
остаются справедливыми также для тройных и многократных
интегралов. В теореме 1 за область D следует принять прямоугольный
параллелепипед, соответственно интервал. Доказательства этих
теорем аналогичны. В теорему 2 надлежит внести следующие
изменения. В-случае тройного интеграла предполагаем, что точки разрыва
подынтегральной функции расположены на конечном числе
поверхностей, являющихся геометрическими образами непрерывных
функций вида
z=f(x, у) либо х = <р(у, г), либо y~ty(x, ζ).
В случае четырехкратного интеграла предполагаем, что точки
разрыва лежат на конечном числе многообразий, являющихся
геометрическими образами непрерывных функций вида t—f(x, у, ζ)
либо A; = (p(j/, z, t) и т. д. Аналогичные изменения следует внести
при большем числе измерений.
4. Многократный интеграл как повторный.
Теорема. Если функция f(x, у, ζ) непрерывна в
прямоугольном параллелепипеде D(a^x^a\ b^.y^b\ c^z^.c'), то
а' Ь' с'
$$$/(*, .у, z)dx=l [S {$/(*, у, 9)dz)dy]dx.
D a b с
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы
п. 3-(стр. 369).
Аналогичная теорема имеет место для многократных интегралов.
Замечание. Можно доказать более общую теорему. Допустим,
что функция f{x, у, ζ) интегрируема в D и что для каждой пары
значений х, у функция f(x, у, ζ), рассматриваемая как функция
одной лишь переменной ζ> интегрируема. При таких условиях можно
утверждать, что:
с'
1) F(x, y) = \f(x, у, z)dz является интегрируемой функцией в
с
прямоугольнике D'(a^x^a', b^y^b')*
с'
2) Wfix. У, z)dx=H[lf{x, у, z)dz}da.
D D' с
Пример. Вычислить-интеграл \\] (x2+y2 + z2)dx по прямо-
D
угольному параллелепипеду Д определенному неравенствами О^лг^я,

5. МНОГОКРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО ОБЛАСТИ 427
Получим:
а Ъ с
Ш №+У' + *>) <*= $ [HS (*2+У* + г*) dz) dy\dx =
D ooo
a b a
= [ [С (сх* + су2 + j)dy] dx = [ \&сх*+^с + Ь^]ах =
= ψ + ψ + ^ = ^.(α2 + ^ + ^
5. Многократный интеграл по области. Пусть
ω—ограниченная замкнутая область трехмерного пространства (см. стр. 226).
Допустим, что функция f(x> у у ζ) определена и ограничена в
области ω. Пусть D — произвольный прямой параллелепипед
(а<лг<а', £<j/<£' c<2<c'),
содержащий внутри себя область ω. Определим в D новую функцию
F(x> У у z)> положив
ν __//(#! J>» ζ) в точках (х, у t z), принадлежащих ω;
» У1 ~~ \ о в остальных точках параллелепипеда D.
Будем говорить, что функция f(x, у, ζ) интегрируема в ω, если
F(x, у у ζ) интегрируема в D. Тройным интегралом функции
/ (*f У у ζ) по области ω назовем значение интеграла \ J ^ F (х, у, z) dr.
D
Тройной интеграл по области ω будем обозначать как раньше, т. е.
символом
$£$/(■*> У> z)dx или Из·^*' У' z)dxdydz.
ω ω
Таким образом, по определению,
HI fix, У, z)dx=HlF(x,y,z)dx.
ω D
Как легко проверить, для тройного интеграла имеет место
замечание, аналогичное замечанию на стр. 374.
Замкнутую область ω назовем регулярной, если ее граница
состоит из конечного числа непрерывных поверхностей, которые можно
представить в одном из следующих видов z=f(x, y)t у = <р(х, ζ).
Читатель легко проверит, что теоремы 1 и 2 (стр. 374—375) верны
также для тройных интегралов (при соответствующих изменениях).
Объем замкнутой регулярной области ω определяется формулой

428
ГЛ, ХХН1. МНОГОКРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ
Такие же определение и теоремы имеют место для любых
многократных интегралов.
Читатель легко сформулирует все теоремы пп. 5 и 5а (стр. 377—
378) для многократных интегралов. Доказательства аналогичны.
За среднее значение функции f(x, у, ζ) в области ω мы примем
величину
±^/(Х, у, z)dr.
ω
6. Многократный интеграл по области как повторный. Пусть
(ύ1 — регулярная область в плоскости ΟΧΥ> а ω —регулярная область
в трехмерном пространстве, определенная следующим образом:
область ω состоит из всех точек (х, у, ζ), для которых точка (х, у)
принадлежит ων a z удовлетворяет неравенствам
<Ρι(*, ^)<^<ф2(^ Я>
где (рг(х9 у) и φ2 (ху у) — непрерывные функции, определенные в ω1β
Такую область будем называть нормальной относительно плоскости
ΟΧΥ. Область ω ограничена поверхностями ζ = <рг (х, у), 2 = φ2 (х,у)
и боковой поверхностью цилиндра с основанием ω1} образующие
которого параллельны оси ΟΖ. Пусть D—произвольный прямой
параллелепипед, определенный неравенствами a^lx^a', b^.y^b\
c^z^c' и охватывающий ω. Если функция f(x, yy z) непрерывна
в ω, то, как мы знаем,
ω D
где F(x, у, z)—f(x,y,z)b<unF(Xiyyz) — 0 в остальных точках
параллелепипеда D.
Функция F(x, у, ζ), рассматриваемая как функция одной лишь
переменной ζ, имеет не больше двух точек разрыва; это могут быть
только точки, в которых прямая, выходящая из точки (ху у)
параллельно оси ΟΖ, пересекает границу области ω. Следовательно, для
каждой точки (х, у) существует интеграл
с'
^F(x, у, z)dz=W(x, у).
С
Отсюда в силу замечания на стр. 426 следует, что
с'
Ш/(*. У, z)dx=^F(x, у, г)ат=Ц{$Р{х,у, z)dz)da,{\)
ω D D' с
где D' означает прямоугольник, определенный неравенствами
а^.х^а\ b<^y^b'. Но, как легко заметить, при фиксированных

6. МНОГОКРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО ОБЛАСТИ КАК ПОВТОРНЫЙ 429
лг, у имеем:
с <р2 <*. у) <Р« <*· у)
W(x, y)=$F(x, у, z)dz = J F(x, у, z)dz = ) /(*,У>*№
с φ, (л:, у) Φι <*· у) ^)
когда (л:, у) принадлежит ων и
W(x,y)=^F(x, yt z)dz = 0
в остальных точках прямоугольника D'.
Следовательно,
JJ W(x,y)do=^ W(*, »</σ.
D' ω,
Таким образом, в силу (1) и (2)
<р2 и, ν)
ω ω, φ, (χ. у)
Аналогичную формулу получим для области, нормальной
относительно плоскости ΟΥΖ или ΟΧΖ.
Примеры.
1. Вычислить интеграл J j J (2л: +- 3^-— ζ) dxdydz no трехгранной
ω
призме, ограниченной плоскостями ζ = 0, 2= а, л; = 0, д> = 0,
*+jr = ft(e> 0, £> 0).
Имеем здесь φχ(χ, у) = 0, φ2 (лг, j/)=a. Областью ωχ в
плоскости ΟΧΥ будет треугольник, ограниченный прямыми л;=0, J> = 0,
x+y-=b.
Таким образом,
а
\\[{2x + by-z)dxdydz=\ J {\{2x + by—z)dz)da.
ω щ о
Так как
J (2лг + Зу-г) ^ = (2лг + Зу) α — |,
О
то окончательно для нашего интеграла получим:
Я [(2* + Зу)«-£] *> =|^ f [<2*+3y)e-£| ,„
ω! οο ^J
b 4

430 гл. ххш. многократный интеграл
2. Вычислить объем области, нормальной относительно плоскости
OXY.
Сохранив предыдущие обозначения, получим:
<р2 (х> У)
V=l\\dxdydz=l\{ J dz)da,
ω (ύι φί (χ, у)
τ. е.
V=$St<M*. У) — Φι(*> >)]**
ω!
(см. стр. 383, пример 4).
Задачи
1. Вычислить тройной интеграл
Ш(1~*)2 УТ11?**^**
D
по прямоугольному параллелепипеду D, ограниченному плоскостями х= ± 1,
#=± 1, г=± 1.
Ответ. — .
2. Координаты центра тяжести однородного тела ω являются средними
значениями функций ху у, ζ, т. е.
ω ω ω
Определить центр тяжести:
а) одной восьмой части эллипсоида
х2 и2 ?2
α2-Γ-62-Γ" ci-b
расположенной в первом октанте;
б) кругового конуса радиуса г и высоты w.
Ответ, а) ξ=-τ-α, η = -^-6, C = -q-c; б) на высоте конуса на рас-
1
стоянии -г-су от основания.
4
3. Вычислить тройной интеграл \ \ \ x2sinydT по области ω, нормаль-
ω
ной по отношению к плоскости OYZt заключенной между этой плоскостью и
поверхностью
л: = 1 + cos ι/ (0^ί/<|π, 0^ζ^2π).
ОВл
тв ет. ~ .

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Бернулли числа 189
Бином Ньютона 15
Биномиальный интеграл 255, 256
Буняковского—Шварца неравенство
303
Внутренность шара 226
Выпуклость кривой 136
Гармонический ряд 158
Геометрический ряд 156
Граница области 190
График функции 51
двух переменных 192
логарифмической 80
обратной 77
показательной 80
— — степенной 78
Графики функций обратных
тригонометрических 82—84
тригонометрических 81—82
Грина теорема 400, 402, 403
— формула 402
Даламбера признак сходимости ряда
169
Двойной интеграл, замена
переменных 416
как повторный 367, 369, 379
, неравенства 377—378
по области 374, 377, 379
по прямоугольнику 365, 366,
369, 372, 373
Диагональ многомерного интервала
424, 425
Дифференциал второго порядка
функции двух переменных 224
—, геометрическая интерпретация 102
— независимой переменной 99
— п-го порядка (л-й дифференциал)
121, 122
функции двух переменных
224
Дифференциал полный см. Полный
дифференциал
— произведения 102
— сложной функции двух
переменных 220, 221
— суммы 102
— функции 99
— —, инвариантность формы 100
— частного 102
— частный см. Частный
дифференциал
Дифференциалы функции, заданной
параметрически 122, 123
Дифференцирование по параметру
όζο, ο2ιΊ
— последовательностей 178
— рядов 179
— степенного ряда 183
Дифференцируемость функции 99
двух переменных 218
Длина дуги 354, 356, 357
Дуга простая 387
— —, нормальное параметрическое
представление 387
Интеграл биномиальный 255, 256
— в бесконечном интервале 333, 334,
337, 338
— двойной см. Двойной интеграл
— криволинейный см.
Криволинейный интеграл
— многократный см. Многократный
интеграл
— неограниченной функции 332, 333,
337
— неопределенный см.
Неопределенный интеграл
— несобственный см. Несобственный
интеграл
— определенный см. Определенный
интеграл
— тройной см. Тройной интеграл

432
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Интеграл четырехкратный см.
Четырехкратный интеграл
Интегрирование логарифмических
функций 275, 276
— неравенств 300, 378
— обратных тригонометрических
функций 281, 282, 283
— по параметру 326
— по частям 236
— в определенном интеграле
318
— подстановкой (заменой
переменного) 233—236
— показательных функций 273, 274
— последовательностей 319
— простейших иррациональностей
254
— рациональных функций 251
— рядов 320
— степенных рядов 322
— тригонометрических функций 276,
277, 279, 280, 281
Интегрируемость в прямоугольнике,
достаточные условия 368
, необходимое условие 366
Интервал 15
— замкнутый 15
— четырехмерного пространства 227,
425
Интерполяция 50
Касательная плоскость к
поверхности 222
Корень многочлена г-кратный 245
Коши признак сходимости ряда 167
— теорема 163
— условие 38
Кривая, параметрическое
представление 354, 357
— простая замкнутая 396, 397
плоская замкнутая 397
Криволинейный интеграл по границе
в левом направлении 400
по замкнутой кривой 398,
399
по произвольной кривой 392
по простой дуге 390
, физическая интерпретация 395
Лейбница теорема 163
— формула 116
Линия уровня 193
Логарифм натуральный 106
Логарифмическая производная 113
Ломаная линия 190
Маклорена ряд 185
для функции двух переменных
213
— формула 131
для функции двух переменных
212
Максимум функции 138, 139
двух переменных 213
собственный 139
Минимум функции 138, 139
— — собственный 139
Многократный интеграл 425
как повторный 426
по области 427, 428
— —, условия интегрируемости 426
Многочлен, разложение на
множители 245
Множество плоское 190
— — ограниченное 190
Монотонность функции, достаточный
признак 130
Направление вращения
положительное, отрицательное 16
— кривой левое относительно
области 399
Неопределенность 150, 151, 153
Неопределенный интеграл 230, 289
, основные формулы 231—232
— — от элементарных функций
237-240
— —, свойства 232
Непрерывность функции в замкнутом
интервале 70
— — в точке 69
— —, геометрическая
интерпретация 70
— — двух переменных 196
— — левосторонняя,
правосторонняя 69
— — многих переменных 227
— —, необходимое и достаточное
условие 70
равномерная 71, 72
— — —, геометрическая
интерпретация 71
— двух переменных 196
— элементарных функций 78—85
Неравенство Буняковского—Шварца
303
Несобственный интеграл 332, 333, 334
— —, признаки равномерной
сходимости 343, 345
— —, — сравнения в предельной
форме 338
, — существования 335, 337, 338

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
433
Несобственный интеграл
расходящийся 334
сходящийся 334
абсолютно 336
— равномерно 342
Ньютона бином 15
Область 227
—, задаваемая неравенствами 191
— замкнутая 191
регулярная 427
— кривой внешняя, внутренняя 397
— несвязная 191
— нормальная 379
— — относительно плоскости 428
— определения функции 49
— (открытая) 190
— регулярная 374
— связная 190
Образ множества 409
Объем 424, 425
— замкнутой регулярной области 427
— области 366
— тела вращения 359—-360
Окрестность точки 53, 190, 226
Определенный интеграл 288
— —, геометрическая
интерпретация 289
, свойства 291, 292, 293
— —, связь с первообразной 305,
306, 307
, формула замены переменной
314
Остаточный член в форме Коши 131
Лагранжа 131
формулы Лагранжа 131
Тейлора 131
Отображение взаимно непрерывное
410
однозначное 410
— непрерывное 410
— обратное 410
— однозначное множества на
множество 409
Отрезок 15
— последовательности 25
Параметр 354
Параметрическое представление дуги
согласованное, несогласованное 388
нормальное 397
Первообразная функция 230
Переменная зависимая, независимая
192, 227
Площадь области, вычисление 352
— поверхности вращения 361—363
Полный дифференциал функции двух
переменных 219, 222, 223
Полуокрестность левая, правая 60
Последовательности, отличающиеся
лишь порядком членов 25
Последовательность возрастающая 19
—, действия над
последовательностями 20
— монотонная 19
— невозрастающая 19
—, необходимый и достаточный
признак сходимости 38, 39
— неубывающая 19
—, обозначение 17
— ограниченная 19
—, признак сходимости 22
— разбиений нормальная 286, 365,
424, 425
— расходящаяся 22, 23, 24
—, способы задания 18
— строго монотонная 19
— сходящаяся 21, 22, 27
, действия над сходящимися
последовательностями 23
— убывающая 19
— частичных сумм ряда 155
— чисел 17
Предел бесконечный 62—64
— несобственный 62—64
— последовательности 21, 22, 27
— сходящейся последовательности
157
— функции 53, 227
двух переменных 194, 195
, действия над пределами 59—60
— — левосторонний 60
— —, необходимое и достаточное
условие существования 54
правосторонний 61
— функциональной
последовательности (предельная функция) 171
Пределы интегрирования верхний,
нижний 299
Предельная функция, достаточное
условие непрерывности 175
Приближение 26
Приближенное значение 26
Приведения формулы 240, 241, 242
Приращение функции 86
— независимой переменной 86
Производная 86
— вторая, третья 114
— высшего порядка 114
—, интерпретация в геометрии 89
—, в физике 90
— левосторонняя, правосторонняя 88

434
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Производная логарифмическая 113,
114
— логарифмической функции 105, 106
— обратной функции 96, 97
— показательной функции 107
— постоянной функции 91
— произведения постоянной на
функцию 92, 93
— сложной функции 96, 99
— степенной функции 91, 103
— суммы 93
— функция 89
— частная см. Частная производная
— частного 93
Производные логарифмической
функции 115
— неявной функции 205, 206
— обратной функции 123—124
— обратных тригонометрических
функций 110—113
— показательной функции 115
— степенной функции 115
— тригонометрических функций
108-110
— функции, заданной
параметрически 120, 123
Радианная мера угла 16
Радиус сходимости степенного ряда
181, 182
Разбиение δ 286, 365, 424
Разностное отношение 86
Ролля теорема 128, 129
Ряд 155
— гармонический 158
— геометрический 156
— Маклорена 185
для функции двух переменных
213
—, необходимое и достаточное
условие сходимости 163
—, — условие сходимости 157
— ограниченный 158
—, признаки сходимости 165—170
— расходящийся 155
— степенной 180
— —, интегрирование 322
, непрерывность суммы 182
— сходящийся 155
—, — абсолютно 160
—, — условно 162
— Тейлора 184
для функции двух
переменных 213
— функциональный, равномерно
сходящийся 176
Сумма верхняя, нижняя,
соответствующая разбиению δ 294
— областей 375
— ряда 155
— —, независимость от порядка
членов 161
Сходимость несобственного интегргала
334, 335, 337, 338
, применение к рядам 339
— ряда 155
— — абсолютная (безусловная) 160
— —, необходимое и достаточное
условие 163
, — условие 157
., признак Даламбера 169
, —Коши 167
— —, признаки сравнения рядов
165, 166
условная 162
— функциональной
последовательности равномерная 172
— функционального ряда
абсолютная и равномерная 177
равномерная 173, 174, 176
Таблица функции 50
Тейлора ряд 184
для функции двух
переменных 213
— формула 131, 132
— — для функции двух переменных
211-212
Теорема Грина 400, 402, 403
— Коши 163
— Лейбница 163
— о действиях над сходящимися
последовательностями 23
— о дифференцировании
последовательности 178
ряда 179—180
степенного ряда 183
— о достаточном условии
существования точки перегиба 146
— о независимости предела
сходящейся последовательности от
порядка членов 30
суммы абсолютно
сходящегося ряда от порядка его членов
161
— о необходимом условии
существования экстремума функции 139
— о непрерывности обратной
функции 77
сложной функции 76
— функции верхнего, нижнего
предела интеграла 304

ПРЕДМЕТНЫЙ
Теорема о последовательности,
отличающейся лишь порядком членов 26
— о пределе последовательности с
неотрицательными членами 32
— произведения
последовательностей 34, 35
— — — — функций 60
— — — промежуточной переменной
39, 59
— суммы и разности
последовательностей 32, 33, 34
_ функций 59
_ __ — частного
последовательностей 35, 37
— функций 60
— о предельном переходе в
неравенстве 37, 59
— —* под знаком нелрерывной
функции 76
— о радиусе сходимости степенного
ряда 181
— о разбиении интервала
интегрирования 297, 299
— о разложении функции в
степенной ряд 185
— о сохранении знака функции 58
— о среднем 127—130
— для двойного интеграла 378
для функции двух
переменных 212
— интегральная 301, 309, 310
—, следствия 130
—- о сходимости абсолютно
сходящегося ряда 160
— монотонной ограниченной
последовательности 37
ограниченного ряда с
неотрицательными членами 159
— последовательностей 30, 31
—- об абсолютной и равномерной
сходимости степенного ряда 180
— об изменении порядка
дифференцирования 199
— об инвариантности формы первого
дифференциала 100
— об интегрировании неравенств 300,
378
последовательностей 319, 320
рядов 320
— об интегрируемости непрерывной
функции 295
— — — ограниченной функции 295
— об ограниченной монотонной
последовательности 21
— об ограниченности сходящегося
ряда 158
указатель 435
Теорема об ограниченности сходящей·
ся последовательности 39
функции, имеющей конечный
предел 58
— об оценке интеграла 300
— об условии существования
предела функции 54
— Ролл я 128, 129
— существования неявной функции
204
производной неявной функции
205-206
Теоремы о бесконечных пределах
63-64
— о достаточных условиях
существования экстремума функции 141, 143
— о непрерывных функциях 74, 75
— о последовательностях,
расходящихся к ± со 24
— о пределах последовательностей
30-37
— о производной 91 — 114
— о радиусе сходимости степенного
ряда 182
— об отображениях 411
Точка 15, 226
— внутренняя 190
— граничная 190
— перегиба 145
, достаточные условия
существования 146—147
Тройной интеграл в прямоугольном
параллелепипеде 425
как повторный 426, 428
по области 427
— —, условия интегрируемости 426
Условие Коши 38
Формула см. соответствующее
название
Функции, не интегрируемые
элементарно, примеры 283
— непрерывные, действия над ними
71
— обратные тригонометрические
82-85
— тригонометрические 81—82
Функциональные последовательности
равномерно сходящиеся, действия
над ними 173
Функциональный определитель 411
Функция 49, 50, 51
— верхнего, нижнего предела
интеграла 303
— возрастающая 52