Author: Степанов С.Н.
Tags: электротехника кибернетика связь телекоммуникации
ISBN: 978-5-88405-092-1
Year: 2010
Text
ИНТЕЛЛЕКТ ТЕЛЕКОМ
НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
И ИННОВАЦИОННЫЙ ЦЕНТР
БИБЛИ
С. Н.Степанов
ОСНОВЫ ТЕЛЕТРАФИКА
МУЛЬТИСЕРВИСНЫХ
СЕТЕЙ
C.H. Степанов
ОСНОВЫ ТЕЛЕТРАФИКА
МУЛЬТИСЕРВИСНЫХ
СЕТЕЙ
ЭК^ТРЕНДЗ
Москва, 2010
УДК 621.391.233
ББК 32.81
СЗО
Рецензенты: д-р техн, наук, профессор В.А. Докучаев
д-р техн, наук, профессор А.Д. Харкевич
Степанов С.Н.
СЗО Основы телетрафика мультисервисных сетей. — М.: Эко-Трендз,
2010. - 392 с.: ил.
ISBN 978-5-88405-092-1
Представлены основные понятия, относящиеся к организации процесса совмест-
ного обслуживания мультимедийных сообщений в действующих и перспективных
сетях связи. Обсуждаются вопросы планирования и механизмы повышения эффек-
тивности использования канального ресурса звеньев мультисервисных сетей связи.
Излагаются особенности моделирования и анализа схем распределения ресурса пе-
редачи информации, в которых учитывается зависимость потоков заявок от загруз-
ки сети, возможность повторения заблокированной заявки, наличие ограниченного
доступа, резервирования, приоритетов и т.д. Рассмотрены алгоритмы оценки по-
казателей качества обслуживания заявок для динамических и преимущественных
схем распределения канального ресурса.
Для инженеров и научных работников, занятых исследованием, разработкой и
эксплуатацией современных систем телекоммуникаций. Книга будет полезна студен-
там и аспирантам соответствующих специальностей.
ББК 32.81
ISBN 978-5-88405-092-1
© Степанов С.Н., 2009
Оглавление
К читателю ................................................ 7
Предисловие................................................ 9
Обозначения .............................................. 15
Глава 1. Мульти сервисные сети............................ 21
1.1. Общие положения................................... 21
1.1.1. Основные понятия и термины.................. 21
1.1.2. Особенности планирования сети............... 25
1.1.3. Управление процессом передачи сообщений...... 28
1.1.4. Экономические аспекты функционирования IP-сетей. 33
1.1.5. Как повысить загрузку ресурса сети ......... 38
1.1.6. Проблематика книги.......................... 43
1.2. Технологии........................................ 45
1.2.1. Организация процесса передачи сообщений..... 45
1.2.2. Синхронные системы.......................... 47
1.2.3. Ethernet.................................... 48
1.2.4. Асинхронный режим передачи ................. 49
1.2.5. Internet Protocol........................... 52
1.3. Качество обслуживания в сетях IP.................. 53
1.3.1. Характеристики передачи пакетов............. 53
1.3.2. Механизмы поддержки QoS..................... 55
1.4. Модели поддержки QoS в сетях IP................... 62
1.4.1. Модель интегрированных услуг ............... 62
1.4.2. Модель дифференцированных услуг............. 63
1.4.3. Многопротокольная коммутация по меткам...... 66
1.4.4. Traffic Engineering......................... 68
1.5. Планирование пропускной способности сети ......... 70
1.5.1. Технические и пользовательские аспекты QoS... 70
4
Оглавление
1.5.2. Этапы планирования сети...................... 76
1.5.3. Инструменты планирования сети................ 78
1.6. Формализация процесса обслуживания заявок.......... 85
1.6.1. Детальность анализа информационных потоков... 85
1.6.2 . Эффективная скорость передачи.............. 88
1.6.3. Формирование канального ресурса.............. 93
1.6.4. Единица канального ресурса................... 94
1.6.5. Модель потока заявок......................... 96
1.6.6 . Время и дисциплина занятия ресурса......... 98
1.6.7. Топология сети............................... 99
1.6.8 . Обсуждение сделанных предположений.........101
1.7. Замечания и пояснения..............................102
Литература к главе 1................................103
Глава 2. Основные модели оценки канального ресурса для сер-
висов реального времени.................................106
2.1. Базовая модель.....................................108
2.1.1. Схема занятия канального ресурса ............108
2.1.2. Математическое описание модели...............110
2.1.3. Свойство мультипликативности.................114
2.1.4. Рекурсивный алгоритм ........................118
2.1.5 . Оценка канального ресурса: традиционная схема .... 122
2.1.6. Оценка канального ресурса: оптимизированная схема 125
2.1.7. Оценка канального ресурса: общая схема.......132
2.1.8. Производные вероятностей блокировок .........137
2.1.9 . Зависимость показателей QoS от загрузки линии .... 145
2.2. Модель с обобщённой схемой формирования входного потока 154
2.2.1. Процесс поступления заявок...................154
2.2.2. Показатели занятия канального ресурса .......157
2.2.3. Система уравнений равновесия.................160
2.2.4. Рекурсивный алгоритм ........................161
2.2.5 . Оценка показателей качества обслуживания заявок .. 164
2.2.6. Оптимизированная схема оценки канального ресурса 168
2.2.7. Зависимость показателей QoS от загрузки линии .... 170
2.3. Замечания и пояснения..............................174
Литература к главе 2............................... 176
Глава 3. Дополнительные модели оценки канального ресурса
для сервисов реального времени..........................180
3.1. Модель с ограниченным доступом.....................182
Оглавление
5
3.1.1. Особенности моделирования условий доступа.....182
3.1.2. Показатели качества обслуживания заявок......186
3.1.3. Алгоритм свёртки.............................187
3.1.4. Уменьшение числа свёрток.....................191
3.1.5. Удаление маловероятных состояний.............193
3.1.6. Обобщение схемы формирования входного потока ... 203
3.1.7. Анализ использования ограниченного доступа....206
3.2. Модель с резервированием канального ресурса........209
3.2.1. Обобщённая схема резервирования .............209
3.2.2. Особенности моделирования....................210
3.2.3. Показатели качества обслуживания заявок......214
3.2.4. Решение системы уравнений равновесия.........215
3.2.5. Оценка показателей качества обслуживания заявок .. 222
3.2.6. Исследование погрешности расчётных методов....224
3.2.7. Оценка необходимого объёма канального ресурса .... 225
3.2.8. Анализ схем резервирования...................227
3.3. Модель с повторением заблокированных заявок........231
3.3.1. Повторные заявки и их моделирование..........231
3.3.2. Математическое описание модели...............233
3.3.3. Показатели качества обслуживания заявок......237
3.3.4. Система уравнений равновесия.................239
3.3.5. Законы сохранения и их использование.........240
3.3.6. Анализ эффекта повторных вызовов.............242
3.3.7. Решение в частном случае ....................246
3.3.8. Приближённый алгоритм........................260
3.3.9. Оценка величины канального ресурса...........263
3.4. Замечания и пояснения..............................266
Литература к главе 3................................268
Глава 4. Модели с динамическим распределением канального
ресурса..................................................271
4.1. Модель передачи данных с переменной скоростью......273
4.1.1. Распределение канального ресурса.............273
4.1.2. Математическое описание модели...............275
4.1.3. Показатели качества обслуживания заявок......279
4.1.4. Расчёт показателей передачи данных...........283
4.1.5. Анализ эффективности передачи данных ........287
4.1.6. Оценка объёма канального ресурса.............292
4.2. Модель передачи данных с ожиданием..................295
4.2.1. Распределение канального ресурса.............295
6
Оглавление
4.2.2 . Математическое описание модели............296
4.2.3. Показатели качества обслуживания заявок.....300
4.2.4 . Формирование системы уравнений равновесия..303
4.2.5 . Формулировка метода декомпозиции..........308
4.2.6 . Оценка показателей качества обслуживания заявок .. 312
4.2.7. Погрешность приближённого счёта.............318
4.2.8. Оценка объёма канального ресурса............322
4.2.9. Сравнение динамических схем.................324
4.3. Замечания и пояснения..............................326
Литература к главе 4................................327
Глава 5. Оценка канального ресурса мульти сервисных сетей 329
5.1. Математическое описание модели.....................331
5.1.1. Структурные параметры.......................331
5.1.2 . Показатели качества обслуживания заявок...334
5.1.3. Основные свойства модели....................335
5.1.4. Имитационное моделирование..................338
5.2. Метод просеянного трафика для моносервисных сетей...344
5.2.1. Мультипликативная граница...................344
5.2.2 . Основные положения метода...................345
5.2.3. Решение системы неявных уравнений...........348
5.2.4 . Анализ погрешности..........................352
5.3. Метод просеянного трафика для мультисервисных сетей .... 354
5.3.1. Эрланговская модель звена...................354
5.3.2. Базовая модель звена........................358
5.3.3. Исследование погрешности методов............362
5.3.4. Оценка объёма канального ресурса............365
5.4. Сеть с обобщённой схемой резервирования............370
5.4.1. Схема резервирования канального ресурса.....370
5.4.2. Показатели использования канального ресурса..373
5.4.3. Оценка показателей .........................374
5.5. Сеть с повторением заблокированной заявки..........378
5.5.1. Схема повторения заявки.....................378
5.5.2 . Характеристики занятия канального ресурса...380
5.5.3. Оценка характеристик .......................382
5.6. Замечания и пояснения..............................386
Литература к главе 5.................................387
Список сокращений...........................................389
К читателю
Все мы являемся свидетелями жесткой конкурентной борьбы, происхо-
дящей на рынке связи. Имеется ряд причин, из-за которых не стоит ожи-
дать каких-либо изменений в сложившейся ситуации в ближайшей и отда-
лённой перспективах. Во-первых, такое положение дел соответствует по-
литике регулятора, который в лице государственных учреждений выпол-
няет законотворческую деятельность, направленную на предоставление
равных условий ведения бизнеса всем участникам рынка. Во-вторых, су-
щественно сократились возможности экстенсивного развития, основанно-
го на простом наращивании абонентской базы и освоении новых регионов.
В-третьих, открытость и доступность технологий и сервисов практически
всем участникам рынка делают маловероятным появление «убойных при-
ложений», способных вывести какого-то отдельного оператора услуг связи
в лидеры. Этот перечень мог бы быть продолжен, но уже и из этого стано-
вится понятным, что для телекоммуникационной компании единственной
возможностью быть успешной на рынке является повышение эффективно-
сти ведения бизнеса. Процесс этот многоплановый. Он затрагивает разные
стороны работы оператора услуг связи и должен выполняться с широким
привлечением инноваций как в сфере создания новых коммерческих ре-
шений, так и в проведении мероприятий, направленных на оптимизацию
процессов развития бизнеса и управления деятельностью компании.
Одна из составляющих этого процесса — научно обоснованное пла-
нирование и оптимизация телекоммуникационных сетей, обеспечивающих
предоставление запрашиваемых сервисов с заданными показателями ка-
чества обслуживания. Реализация соответствующей функции является
сложной задачей, естественным образом отражающей сложность исследу-
емого объекта. Для её решения требуются усилия команды специалистов, в
состав которой входят эксперты в области технологий, протоколов, систем-
ного анализа, вычислительной математики и программирования. Одним
из результатов их деятельности является формализованное описание ис-
8
К читателю
следуемой сети или её фрагмента в виде математической модели, которая
далее используется для разработки методик оценки показателей пропуск-
ной способности сети. Будучи реализованными в виде программных про-
дуктов, соответствующие методики значительно уменьшают время на вы-
полнение процедур планирования сети, позволяя менеджменту компании
проводить многовариантный анализ сценариев её развития. В перечень ре-
шаемых задач необходимо также включить: оценку инвестиционных рис-
ков, анализ возможных чрезвычайных ситуаций и поиск путей выхода из
них, исследование механизмов повышения эффективности распределения
канального ресурса и т.д.
Учитывая важность теоретических исследований для решения задач
планирования и оптимизации действующих и перспективных сетей связи,
ОАО «Интеллект Телеком» поддерживает проведение соответствующих
работ. Результаты, которые удалось получить в указанном направлении,
и составили содержание данной книги. Выполненные исследования явля-
ются первым шагом на пути создания средств планирования и оптимиза-
ции сетей телекоммуникаций. Следующий шаг — разработка программно-
аналитических комплексов и их использование в конкретных проектах по
модернизации и развитию инфраструктуры сетей связи. Компания ОАО
«Интеллект Телеком» готова к сотрудничеству с заинтересованными ор-
ганизациями в выполнении соответствующих работ.
Автор данной монографии является одним из ведущих специалистов
по теории телетрафика. Ему принадлежат многие из основных результа-
тов, составивших содержание гл. 2—5. Книга содержит и оригинальные
результаты по расчёту мультисервисных моделей с динамическим распре-
делением ресурса, публикуемые впервые (раздел 4.1). Надеюсь, что пред-
лагаемая вниманию читателей книга окажется полезной широкому кругу
специалистов, занимающихся проблемами построения и эксплуатации се-
тей связи.
Генеральный директор
ОАО «Интеллект Телеком»
доктор технических наук,
профессор Ю.А.Громаков
Посвящаю памяти своих родителей
Степанова Николая Григорьевича
Степановой Дианы Михайловны
Предисловие
Цели этой книги. Одной из основных задач теории телетрафика яв-
ляется разработка научно обоснованных средств оценки пропускной спо-
собности звеньев и узлов перспективных сетей связи. Помимо определения
необходимого объёма сетевой инфраструктуры, результаты теории теле-
трафика играют существенную роль в обосновании действий администра-
ции, направленных на повышение эффективности работы сети и качества
обслуживания пользователей. К таким управляющим решениям относят-
ся: назначение приоритетов в обслуживании заявок, использование схем
резервирования телекоммуникационного ресурса, применение механизмов
динамического изменения скорости передачи информации и т.д. Другим
важным приложением моделей и методов теории телетрафика является
анализ экономических аспектов развития сетей связи, включающий оцен-
ку величины предполагаемых инвестиций, определение стоимости предо-
ставления сервисов, выбор тарифных планов и отработку механизмов по-
вышения доходности сети.
Решение перечисленных задач имеет большое значение для раз-
вития бизнеса телекоммуникационных компаний, поэтому разработке
аппаратно-программных средств планирования1 телекоммуникационных
сетей уделяется большое внимание. Соответствующий инструментарий2
имеет модульную структуру, включающую в себя модуль расчёта пропуск-
ХВ русскоязычной литературе теоретическое обоснование этапов строительства и
развития сети связи традиционно называется проектированием. Однако исторически
данный термин имеет более узкую направленность, чем та совокупность действий, ко-
торые в настоящее время выполняются при моделировании, расчёте и оптимизации
сетей связи. Для обозначения означенной деятельности в книге будет использоваться
термин «планирование», принятый в мировой практике.
2В англоязычной литературе используется термин «planning tools».
10
Предисловие
ной способности звеньев и узлов сети и модуль оценки стоимости соответ-
ствующего решения. Он может и должен использоваться стратегическим
блоком компании для сравнения различных вариантов развития сети и
выбора оптимального сценария. Выполнение указанных действий напол-
няет численной информацией бизнес-план компании, а также необходимо
для обоснования системного проекта мультисервисной сети3. Разработка
планировщиков сетевой инфраструктуры требует учёта многих факторов
и проводится с использованием математических методов и специализиро-
ванных языков программирования. Существенную роль в достоверности
полученных результатов играют модели функционирования сети и её сег-
ментов.
Задача, которую поставил перед собой автор, заключалась в описании
моделей и изложении алгоритмов, пригодных для разработки аппаратно-
программных средств планирования сетевой инфраструктуры мультисер-
висных сетей связи. Модели должны учитывать особенности формирова-
ния входных потоков заявок в перспективных сетях и давать возможность
анализировать действие управленческих функций оператора, направлен-
ных на повышение эффективности использования канального ресурса. От-
бор расчётных моделей требует соблюдения известного компромисса меж-
ду детальностью описания исследуемой сети связи и возможностью её по-
следующего применения для оценки показателей качества обслуживания
заявок. Насколько эту проблему удалось решить автору, предстоит оце-
нить читателям.
Структура книги. По вполне понятным причинам нельзя построить
единую модель, которая бы давала ответы на все вопросы, относящиеся
к планированию мультисервисных сетей. Эта задача решается с помощью
семейства моделей. Наиболее значимые из них представлены в главах 2-4
книги. В них исследуются основные схемы распределения канального ре-
сурса и способы формирования входных потоков заявок. Материал глав
изложен так, чтобы имелась возможность изучать каждую модель отдель-
но и в любом порядке. Приводимое далее описание структуры поможет
выбрать необходимые модели и последовательность их анализа.
Книга состоит из пяти глав.
В первой главе вводятся основные термины и понятия, которые необ-
ходимы для формализованного описания совместного использования ка-
нального ресурса цифровых линий при передаче мультисервисного тра-
фика. Обсуждаются особенности планирования перспективных сетей и
3В соответствии с дополнением Федерального закона «О связи» от 09.02.2007 г. на-
личие системного проекта для операторской компании является необходимым условием
регистрации её сети.
Предисловие
11
имеющиеся возможности для повышения эффективности использования
канального ресурса. Рассмотрена организация процесса передачи инфор-
мации на основе действующих и перспективных технологий. Особое вни-
мание уделяется протоколу IP. Реализация потенциала, заложенного в IP-
протокол, во многом зависит от решения проблемы качества обслужива-
ния. Излагаются основные положения документов Международного союза
электросвязи, задающие стандарты и механизмы поддержки качества пе-
редачи пакетов в IP-сетях. Предложена классификация сервисов с позиции
восприятия пользователем их качества и показатели, характеризующие
уровень обслуживания для каждого из рассмотренных классов. Значения
этих показателей положены в основу схем планирования пропускной спо-
собности мультисервисных сетей. Формулируется перечень этапов плани-
рования сети и последовательность задач, которые решаются в процессе
их реализации. В заключительном разделе главы введены параметры и
предположения, используемые при формализованном описании процесса
обслуживания мультимедийных сообщений в мультисервисных сетях и их
сегментах.
Во второй главе исследованы две основные модели оценки канального
ресурса для передачи трафика сервисов реального времени. Первая из них
носит название базовой и является мультисервисным аналогом классиче-
ской модели Эрланга. В анализируемой системе рассматривается процесс
совместного использования канального ресурса в звене мультисервисной
сети с произвольным числом пуассоновских потоков заявок. Они различа-
ются интенсивностью поступления заявок, количеством канального ресур-
са, выделяемого для обслуживания одной заявки, и временем его занятия.
Для этой схемы удалось получить все основные результаты, которые ра-
нее были доказаны для модели Эрланга, включая эффективный алгоритм
оценки необходимого объёма канального ресурса. Вторая модель является
обобщением базовой в плане формирования входного потока. Здесь интен-
сивность поступления заявок зависит от числа заявок данного потока, уже
находящихся на обслуживании. К этому классу относятся мультисервис-
ные системы с конечным числом источников трафика. Для данной моде-
ли построены эффективные алгоритмы вычисления основных показателей
качества совместного обслуживания заявок.
В третьей главе рассмотрены три дополнительные модели оценки ка-
нального ресурса для сервисов реального времени. Каждая из них следу-
ет из базовой модели и уточняет её соответствие реалиям функциониро-
вания мультисервисных сетей. Для всех построенных моделей получены
эффективные точные или приближенные алгоритмы оценки показателей
пропускной способности, которые можно использовать для решения за-
12
Предисловие
дач планирования сети. В первых двух моделях исследованы механизмы
обеспечения преимущества в занятии канального ресурса для отдельных
потоков заявок. Применение соответствующих схем направлено либо на
выравнивание качества обслуживания мультисервисного трафика (огра-
ниченный доступ), либо на улучшение показателей обслуживания одних
потоков заявок по сравнению с другими (резервирование канального ре-
сурса). В третьей из рассмотренных моделей учитывается возможность
повторения заявки, получившей отказ в обслуживании из-за недостаточ-
ности канального ресурса или недоступности вызываемого устройства.
В четвёртой главе исследованы две модели совместного обслуживания
трафика сервисов реального времени и трафика данных, допускающего
задержку. В каждой из исследованных моделей трафик реального вре-
мени имеет преимущество в занятии и использовании канального ресурса
перед трафиком сервисов передачи данных. Для первой из рассмотренных
моделей указанное преимущество выражается в уменьшении скорости пе-
редачи данных до некоторого заранее оговоренного минимального значе-
ния. При появлении свободного канального ресурса скорость пересылки
данных возрастает. Во второй модели преимущество трафика реального
времени заключается в вытеснении данных в буфер с возможностью по-
следующей передачи при появлении свободного ресурса. Основными по-
казателями качества обслуживания для сервисов с динамически изменяе-
мым канальным ресурсом являются доступность ресурса и среднее время
передачи сообщения, которое определяется загрузкой сети.
В заключительной пятой главе рассмотрены модели и алгоритмы оцен-
ки канального ресурса мультисервисных сетей. Задача планирования про-
пускной способности узлов и линий мультисервисной сети разбивается на
два этапа. На первом этапе оценивается пропускная способность отдель-
ных линий и узлов. Для этого применяются модели и алгоритмы, рассмот-
ренные в главах 2-4. Зависимость процесса обслуживания заявок на от-
дельных сегментах сети учитывается на втором этапе планирования, когда
результаты, полученные на изолированных звеньях и узлах, увязываются
с использованием разного рода упрощающих предположений о характе-
ре движения трафика по сети. Оптимальным с точки зрения сложности
применения и точности оценки показателей является метод просеивания
трафика. Рассмотрены особенности его реализации для различных схем
формирования входных потоков заявок, способов распределения каналь-
ного ресурса и точности оценки показателей приёма заявок к обслужива-
нию.
Обозначения. По мере возможности в книге используются одинако-
вые; символы для обозначения одинаковых по смыслу параметров и ха-
Предисловие
13
рактеристик исследуемых моделей. Прописные буквы применяются для
обозначения ненормированных значений вероятностей стационарных со-
стояний, соответственно строчные буквы обозначают нормированные зна-
чения. Нижний индекс параметров и характеристик обычно указывает на
зависимость от номера входного потока и типа сервиса. Перечень основ-
ных обозначений приведён на стр. 15.
Иллюстративный материал. Расчётные данные в виде таблиц и гра-
фиков показывают возможности вычислительных алгоритмов, а также ил-
люстрируют предсказуемые, а иногда и неожиданные эффекты, характер-
ные для совместного обслуживания мультисервисного трафика. Скорость
пересылки информации, обеспечиваемая анализируемой линией связи, за-
даётся числом канальных единиц (к.е.), обладающих фиксированной ско-
ростью передачи, выраженной в бит/с. Значения входных параметров мо-
делей выбраны условно, главным образом на основании ожидаемой степе-
ни загрузки канального ресурса. Единица измерения длительности обслу-
живания заявки и длительности интервала времени между их поступле-
ниями не фиксирована. Она зависит от типа сервиса и может изменяться
в широких пределах. Привязка значений параметров к реалиям мульти-
сервисных сетей происходит на уровне реализации конкретных проектов
и здесь не рассматривается.
Эрланги и эрланго-каналы. Интенсивность поступления заявок,
выраженная в эрлангах (Эрл), задаёт среднее число потенциальных со-
единений на получение инфокоммуникационного сервиса определённого
вида. Для моносервисных сетей число потенциальных соединений совпа-
дает с числом потенциально занятых канальных единиц. Для мультисер-
висных сетей это уже не так. Предоставление разного вида сервисов тре-
бует разного объёма канального ресурса. Для оценки ожидаемой загрузки
линии мультисервисным трафиком интенсивности поступающих заявок из
эрлангов необходимо пересчитать в среднее число потенциально занятых
канальных единиц. В данной ситуации численное значение интенсивности
предложенного трафика выражается в новых единицах, которую пред-
лагается назвать эрланго-канал и в качестве сокращенного обозначения
использовать аббревиатуру (ЭрлК). Результат деления данного показате-
ля на объём канального ресурса4 используется в большинстве представ-
ленных в книге графиков и таблиц для характеристики потенциальной
занятости единицы канального ресурса мультисервисной линии.
Источники. Книга в основном базируется на результатах научных ис-
следований, которые велись автором в разное время в лаборатории теории
4 Коэффициент загрузки канальной единицы линии.
14
Предисловие
телетрафика Института проблем передачи информации РАН, в Датском
техническом университете и в ОАО «Интеллект Телеком». В книге так-
же используются материалы соответствующих разделов курсов лекций,
подготовленных и прочитанных автором в Московском техническом уни-
верситете связи и информатики. Примерно 70% результатов были ранее
опубликованы, соответственно 30% — это новые результаты. Кроме того,
при работе над книгой автор опирался на материалы зарубежных исследо-
ваний. Краткий обзор использованных источников с указанием основных
публикаций приведен в конце каждой главы.
Для кого эта книга. Для освоения материала книги не требуется ни
углублённых знаний теории вероятностей и вычислительной математики,
ни чрезмерного погружения в глубины технологий и протоколов, сопро-
вождающих построение мультисервисных сетей. Автор полагает, что кни-
га может использоваться как справочное руководство для специалистов,
занимающихся эксплуатацией и проектированием мультисервисных сетей
связи, и как основа курса соответствующих лекций.
Как изучать книгу. При изучении материала книги можно придер-
живаться следующих рекомендаций:
• Для получения начальных знаний по исследуемой проблематике до-
статочно изучения материала главы 1, а также разделов 2.1.1-2.1.5,
2.1.9, 3.1.1-3.1.3, 3.1.7, 3.2.1-3.2.5, 5.1-5.3. Соответствующие резуль-
таты могут быть использованы при решении простейших задач про-
ектирования мультисервисных сетей, а также при выполнении ди-
пломных и магистерских работ.
• Основные сведения, относящиеся к телетрафику мультисервисных
сетей, приведены в главе 1 и разделах 2.1.1-2.1.6, 2.1.9, 2.2, 3.1.1-
3.1.3, 3.1.6, 3.1.7, 3.2, 3.3.1-3.3.6, 4.1, 5.1-5.3. Изложенные здесь ре-
зультаты позволяют решать задачи повышения эффективности ис-
пользования канального ресурса в зависимости от типа трафика и
показателей качества обслуживания пользователей.
• Для проведения исследований в области телетрафика мультисервис-
ных сетей рекомендуется рассмотреть материал всей книги и исполь-
зовать цитируемые источники.
Благодарности. Автор выражает благодарности руководству ОАО
«Интеллект Телеком» за поддержку, которая привела к появлению этой
книги, профессору А.П.Пшеничникову за ряд ценных замечаний, улуч-
шивших её содержание, а также профессору В. Иверсену за полезные об-
суждения проблематики телетрафика мультисервисных сетей связи.
Обозначения
а для моносервисной модели Эрланга интенсивность предложенного трафика, выраженная в эрлангах и определяемая как среднее число заявок, находящихся на обслуживании в отсутствии их потерь
А интенсивность предложенного трафика, выраженная в эрланго-каналах и определяемая как среднее число занятых канальных единиц линии в отсутствии потерь поступающих заявок
интенсивность предложенного трафика для к-го потока заявок, выраженная в эрлангах и определяемая как среднее число заявок к-го потока, находящихся на обслуживании в отсутствии потерь поступающих заявок
Ak интенсивность предложенного трафика для к-го потока заявок, выраженная в эрланго-каналах и определяемая как среднее число канальных единиц линии, занятых на обслуживание заявок к-го потока в отсутствии потерь поступающих заявок
b максимальная потребность в канальном ресурсе для обслуживания поступающих заявок всех потоков b — maxi<fc<nbfc, выраженная в канальных единицах
bk число канальных единиц, требуемое для обслуживания одной заявки к-го потока
bd число канальных единиц, требуемое для обслуживания одной заявки на передачу данных, допускающих задержку
16
Обозначения
доля заявок к-го потока, потерянных на J-ом звене сети
В, доля времени занятости канального ресурса j-ro звена сети
Cfc максимально возможное число заявок к-го потока, которые одновременно могут находиться на обслуживании
ск область существенных состояний для оценки показателей качества обслуживания заявок к-го потока
С£ область состояний, для которых значения стационарных вероятностей более либо равны е
d число заявок на передачу данных, допускающих задержку и находящихся в стационарном режиме на обслуживании или ожидании, если оно разрешается
$к отношение доли времени, в течение которого ресурс линии не достаточен для обслуживания поступившей заявки к-го потока к величине канального ресурса, необходимого для обслуживания одной заявки (потери по времени при обслуживании заявки к-го потока, приведённые к единице используемого канального ресурса)
Е(у, а) формула Эрланга {у — число канальных единиц, а — интенсивность поступления заявок, выраженная в эрлангах)
f общее число единиц канального ресурса мультисервисной линии, не занятых обслуживанием трафика сервисов реального времени
Ik параметр экспоненциально распределённого времени между между последовательными поступлениями заявок от одного из пользователей, формирующих /с-й поток заявок
нк вероятность повторения заявки после получения отказа в первичной или повторной попытках для абонентов, формирующих /с-й поток заявок
17
общее число единиц канального ресурса мультисервисной линии, занятых обслуживанием трафика сервисов реального времени
:•) (i) индикаторная функция, значение которой равно единице, если выполнено условие, сформулированное в скобках, и равно нулю в противоположном случае число заявок к-го потока, находящихся в стационарном режиме на обслуживании число заявок к-го потока, находящихся на обслуживании в момент времени t
1^2, к d I . ,in) вектор стационарного состояния модели мультисервисной линии при обслуживании п потоков заявок на передачу трафика сервисов реального времени число абонентов, формирующих к-ё поток заявок и находящихся в стационарном режиме в состоянии повторения заблокированной заявки номер потока заявок на выделение канального ресурса для обслуживания трафика сервисов реального времени (переменная величина, принимающая значение от 1 до п) единица канального ресурса (канальная единица, к.е.) — наибольший общий делитель скорости передачи линии и требований к скорости передачи для каждого из поступающих потоков заявок (имеет размерность бит/с) интенсивность поступления заявок к-го потока интенсивность поступления заявок на передачу данных, допускающих задержку в процессе пересылки по сети среднее число канальных единиц линии, занятых обслуживанием трафика сервисов реального времени ~ ; gl4s листе» а
18
Обозначения
тк среднее число канальных единиц линии, занятых обслуживанием заявок к-ro потока
14 параметр экспоненциального распределения длительности обслуживания заявки к-ro потока
14 параметр экспоненциального распределения длительности передачи данных, допускающих задержку, с использованием одной канальной единицы
п общее число потоков заявок на выделение канального ресурса при обслуживании трафика сервисов реального времени
пк число пользователей, создающих к-й поток заявок
N значение нормировочной константы
N3 множество номеров информационных потоков, проходящих через j-ю линию сети
4 параметр экспоненциального распределения времени до поступления повторной заявки для абонентов, формирующих к-й поток
Рк вероятность недоступности вызываемого абонента (устройства) для заявок к-ro потока
ЛО ненормированное значение вероятности занятости i канальных единиц линии обслуживанием поступающих потоков заявок
нормированная вероятность занятости i канальных единиц линии обслуживанием поступающих потоков заявок
Р(«1,г2,.. ., in) ненормированное значение вероятности стационарного состояния модели (гг, г2,..., in)
p(W2,---X)
нормированная вероятность стационарного
состояния модели (гх, г2, • • •, гп)
Обозначения
19
Ж- доля потерянных заявок для пуассоновской модели к-го входного потока (совпадает с долей времени, в течение которого ресурс линии не достаточен для обслуживания заявок к-го потока)
^t,k вероятность потерь по времени (доля времени, в течение которого ресурс линии не достаточен для обслуживания заявок к-го потока)
Лс,к вероятность потерь по вызовам (доля потерянных заявок к-го потока)
ле,к доля потерянного трафика к-го потока от величины предложенного трафика к-го потока
г переменное значение канального ресурса линии при решении задачи оценки необходимого объёма канального ресурса для заданных потоков заявок и фиксированных показателях QoS
R маршрутная матрица мультисервисной сети, определяющая её топологию и маршруты следования потоков трафика, ассоциированных с предоставлением запрашиваемых сервисов
Rk множество номеров линий сети, составляющих маршрут движения трафика, инициированного обслуживанием заявки к-го потока
r(t) марковский процесс, описывающий динамику изменения состояний модели с изменением времени t
p интенсивность предложенного трафика, выраженная в канальных единицах (эрланго-каналах), в пересчёте на одну канальную единиц}7 р = л (коэффициент загрузки канальной единицы)
S множество возможных состояний, которые принимает процесс г (t)
Si подмножество состояний S, в каждом из которых всеми заявками занято ровно i единиц канального ресурса линии
20
Обозначения
ст параметр экспоненциально распределенного времени, ограничивающего пребывание макропакета данных на ожидании в буфере
Td средняя длительность обслуживания одной заявки на передачу данных, допускающих задержку, (среднее время доставки сообщения)
ок порог резервирования канального ресурса для заявок fc-ro потока, выраженный в канальных единицах
ик подмножество состояний S, в каждом из которых заявка к-го потока получает отказ в обслуживании из-за недостаточности канального ресурса
V канальный ресурс мультисервисной линии (скорость линии, выраженная в числе канальных единиц)
ик максимально возможное число канальных единиц, которые совместно могут использовать заявки к-го потока (скорость доступа при обслуживании заявок к-го потока)
ыо вероятность отказа в обслуживании для заявок к-го потока, зависящая от общего числа занятых канальных единиц i
L максимально возможное число макропакетов данных, которые одновременно могут находиться в буфере на ожидании
хк суммарная интенсивность к-го потока первичных и повторных заявок
ук среднее число заявок к-го потока, находящихся одновременно на обслуживании
У среднее число заявок на передачу трафика реального времени, находящихся одновременно на обслуживании
zk коэффициент скученности для трафика к-го потока
Глава 1
МУЛЬТИСЕРВИСНЫЕ СЕТИ
В этой главе, носящей в основном обзорный и постановочный характер,
обсуждаются особенности планирования и механизмы повышения эффек-
тивности использования передаточных возможностей звеньев мультисер-
висных сетей. В разделах 1.1 и 1.2 вводятся основные понятия и техно-
логии, которые относятся к организации процесса совместной передачи
информации в действующих и перспективных сетях связи. Реализация
возможностей, заложенных в IP-протокол, во многом зависит от решения
проблемы качества обслуживания пользователей. Соответствующие меха-
низмы и модели обсуждаются в разделах 1.3 и 1.4. Особенности реализа-
ции современных подходов при решении задач планирования пропускной
способности мультисервисных сетей рассмотрены в разделе 1.5. Достовер-
ность полученных результатов во многом зависит от используемых рас-
чётных моделей. Основные допущения и предположения, которые взяты
за основу при их построении, обсуждаются в разделе 1.6.
Завершает главу обсуждение полученных результатов и список цити-
руемых источников.
1.1. Общие положения
1.1.1. Основные понятия и термины
Развитие сетей связи в перспективе будет происходить в рамках ре-
ализации основных положений концепции сетей следующего поколения
NGN (Next Generation Networks). Она формирует правила построения се-
тей связи, обеспечивающих предоставление неограниченного набора услуг
22
Глава 1. Мультисервисные сети
с заданными характеристиками качества. Сети строятся на основе пакет-
ных технологий. Профиль услуг и их качество не зависят от того, где
находится абонент, как и с какой скоростью он передвигается и какая при
этом используется транспортная технология для передачи информации.
Мультисервисная сеть — сеть связи, построенная в соответствии с кон-
цепцией NGN для обслуживания трафика различных коммуникационных
приложений (речь, видео, данные).
Концепция NGN родилась не на пустом месте. Её основные положе-
ния обобщают опыт реализации наиболее успешных телекоммуникацион-
ных проектов, главным образом, сети Интернет и сетей подвижной связи.
Впечатляющие темпы развития соответствующих сетей, их живучесть, от-
крытость, направленность на удовлетворение потребностей пользователя
и рад других положительных характеристик дают возможность исполь-
зовать полученный опыт в формировании фундаментальных принципов
построения NGN.
Необходимо отметить следующие важные положения.
• Изменение схемы формирования сетевой инфрастуктуры. Исполь-
зуемая ранее монолитная сетевая инфраструктура становится мно-
гослойной. Каждый слой отвечает за решение определённого круга
задач, будь то управление сетью, осуществление функций транспор-
та, формирование услуг, реализация доступа пользователей к транс-
портной сети и т.д. При этом каждый слой может создаваться и со-
вершенствоваться независимо от других в соответствии с принци-
пами открытых систем. Взаимодействие элементов, принадлежащих
одному слою, поддерживают стандартные протоколы, а взаимодей-
ствие элементов, принадлежащих к разным слоям, — открытые ин-
терфейсы.
• Трансформация понятия услуги. Названия отдельных технологий и
услуг обезличиваются — пользователю необходим один вид сервиса
под названием «соединение с сетью», подразумевающий возможность
получения мультимедийной информации в разнообразных сочетани-
ях, определяемых абонентом в соответствии со своими индивидуаль-
ными запросами по качеству и скорости. Оператор должен предло-
жить пользователю дружественный интерфейс и возможность оп-
тимизации затрат, а пользователю остаётся лишь запросить у сети
нужную услугу.
• Доминирующая роль протокола IP. Дешевизна решений на базе IP
при интеграции услуг и пользовательских групп, а также появляю-
1.1. Общие положения
23
щиеся возможности по сокращению времени выхода соответствую-
щих бизнес-решений на рынок ведут к увеличению роли протокола
IP в реализации концепции NGN. Известные недостатки IP-решений,
в частности, отсутствие полноценных механизмов контроля качества,
в настоящее время преодолеваются, и в среде специалистов уже об-
суждаются концепции All over IP и NGN IP.
Упрощенная схема многоуровневой сетевой инфраструктуры, отража-
ющая основные положения концепции NGN, показана на рис. 1.1.
Уровень услуг обеспечивает
управление услугами,
интерфейс с провайдерами
услуг и т.д.
Уровень управления отвечает
за действия, выполняемые во
время сеанса связи, например,
установление соединения и его
разъединение
Уровень транспорта
обеспечивает передачу
информации между узлами, к
которым присоединяются сети
доступа
Уровень доступа обеспечивает
подключение пользователей к
транспортной сети с
использованием разных
технологий и средств передачи
информации
Рис. 1.1. Схема сетевой инфраструктуры перспективных сетей связи
Введём фундаментальные понятия и термины, необходимые для опи-
сания функционирования инфраструктуры перспективных сетей связи.
Основными элементами сетевой топологии являются узел и линия. Узел
представляет собой совокупность устройств, расположенных в одном ме-
сте и объединённых одним управлением. Его основная роль в сети —
осуществление функций коммутации и маршрутизации. Линия представ-
ляет собой совокупность программно-аппаратных средств, используемых
для установления связи между двумя узлами, пользователем и узлом или
24
Глава 1. Мультисервисные сети
несколькими узлами, как это происходит, например, в сетях на базе тех-
нологии Ethernet. Понятию линия характерно наличие свойства рекурсии.
Линии «точка-точка» в одной сети могут соответствовать несколько узлов
и линий в другой сети. Тем самым вводится важное понятие виртуальной
линии.
Для передачи по сети информация упаковывается в ячейки или паке-
ты. Ячейки имеют фиксированный объём1 и используются для передачи
информации на низших уровнях сетевой иерархии. Пакеты имеют пере-
менный объём2 и используются на более высоких уровнях сетевой иерар-
хии. Для пересылки информации может быть установлено (или не установ-
лено) соединение. Соединение представляет собой логическое понятие для
обозначения связи между двумя узлами или оконечными устройствами
сети с целью организации обмена информацией. Для обозначения инфор-
мации, передаваемой посредством соединения, обычно используют термин
поток, под которым понимается непрерывный поток битов, байтов, яче-
ек или пакетов. В контексте книги это понятие будет трактоваться шире,
например, поток заявок, сообщений и т.д. Его важной характеристикой яв-
ляется интенсивность, которая определяется усреднённым за некий пе-
риод времени объёмом информации, прошедшим через заданную точку
сети или, соответственно, усреднённым числом анализируемых событий,
например, заявок. Соединение устанавливается после поступления заявки
от пользователя на выделение канального ресурса с целью передачи со-
ответствующего информационного сообщения. Данное понятие обозначает
форму представления информации с признаками начала и конца. Сооб-
щение характеризуется требованием к скорости передачи, длительностью
обслуживания, адресами источника и приёмника информации. Сообщение
разбивается на пакеты, ограниченные по длине и двигающиеся далее по
маршруту, определяемому узлами сети, как независимые информацион-
ные блоки на основе адреса, хранящегося в заголовке пакета. Коммутато-
ры имеют буферную память для временного хранения пакета в ситуации
занятости требуемого выходного порта. Теоретические и практические ас-
пекты реализации концепции NGN анализировались в большом числе пуб-
ликаций. Достаточно упомянуть работы [1,4,7-10,14-18,21,23,28, 26-30].
Внедрение основных положений концепции NGN требует от операто-
ра обеспечения заданных характеристик качества предоставляемых услуг.
Решение данной задачи достигается надлежащим планированием сети.
1 Ячейки, используемые в технологии ATM, имеют объём 53 байта.
2 IP-пакет имеет максимальный объём 65535 байт.
1.1. Общие положения
25
Необходимо отметить, что смена концепции построения сети требует так-
же и изменения методов её планирования. Дело здесь даже не в замене
расчётных методик, сформированных в среде коммутации каналов, на ме-
тодики, учитывающие особенности пакетных технологий. Трансформиру-
ется сам подход к решению задачи планирования сети. Обсудим возника-
ющие здесь проблемы.
1.1.2. Особенности планирования сети
Планирование пропускной способности перспективных мультисервис-
ных сетей является достаточно сложной задачей. Её решение необходимо
найти в условиях неопределённости относительно развития услуг и расту-
щей дешевизны сетевой инфраструктуры. Есть два подхода к решению по-
ставленной проблемы. При реализации первого сценария оператор строит
сеть со значительным избытком передаточного ресурса и минимальными
возможностями контроля за качеством передачи информации. Значения
требуемых показателей обслуживания достигаются за счёт избыточной
пропускной способности сети. Абонент не мотивирован в оптимальном ис-
пользовании ресурса, и все предоставляемые сервисы получают одинако-
вый уровень обслуживания.
При реализации второго сценария применяются более совершенные
средства контроля и управления за процессом передачи информации. Тре-
буемые характеристики качества работы сети достигаются в результате
дифференцированного обслуживания пользователей в соответствии с за-
явленными показателями. Канальный ресурс распределяется более эф-
фективным образом, и технический менеджмент компании имеет возмож-
ности находить и оперативно устранять «узкие места» сети с недостаточ-
ной пропускной способностью.
В настоящее время большинство операторов используют при планиро-
вании сети первый сценарий. Основными причинами такого выбора яв-
ляются низкие цены на канальные ресурсы, а также допущенные ранее
ошибки в оценке объёма услуг передачи данных. Прогнозируемые темпы
роста соответствующих услуг оказались не столь высоки, как предполага-
лось, и большинство действующих сетей оказались не заполнены трафи-
ком. Однако эксперты отмечают [28,30], что подобная практика планиро-
вания и эксплуатации систем связи должна измениться уже в ближайшем
будущем. В пользу этого говорят следующие тенденции развития телеком-
муникационного рынка.
26
Глава 1. Мультисервисные сети
Клиентская база сетей связи перестаёт отождествляться только с лю-
дьми. В ближайшей перспективе доминирующую роль в создании трафи-
ка будет играть обмен информацией вида «человек — машина» и «ма-
шина — машина». Примером, иллюстрирующим появление соответству-
ющих услуг, являются сенсорные сети, которые уже сейчас находят ши-
рокое использование в военном деле, безопасности, строительстве и т.д.
Таким образом, резко возрастёт число пользователей инфокоммуникаци-
онных услуг и соответственно объёмы передаваемого трафика. При этом
простое увеличение ресурса сети уже не решает проблем качества предо-
ставляемых сервисов. Тот факт, что большая часть информационных по-
токов будет порождена устройствами и программными комплексами, тре-
бует внедрения более совершенных средств управления за процессом пе-
редачи информации. Это необходимо для устранения неконтролируемого
перераспределения ресурса за счёт повторных запросов и других форм
влияния поведения пользователя на характеристики пропускной способ-
ности сети.
Существенно увеличивается роль телекоммуникаций в профессиональ-
ной деятельности, обучении и обеспечении общественных отношений. Про-
екты с названием, носящим приставку «теле»: телемедицина, телеобуче-
ние и подобные им: электронное правительство, электронная торговля,
средства индивидуальной и общественной безопасности и т.п., получат ре-
альное развитие и приведут к резкому росту мультимедийного трафика,
обеспечивающего реализацию соответствующих программ. Аналогичные
выводы можно сделать и из прогнозируемого развития социальных се-
тей, работы на дому и т.п. Таким образом, в структуре информационных
потоков увеличивается доля услуг, потребляющих значительные объёмы
канального ресурса. В первую очередь это передача видеоинформации.
Рост соответствующего трафика наблюдается уже сейчас,3 и темпы роста
будут далее повышаться. Всё это может привести к дефициту канального
ресурса и необходимости его оптимального планирования и распределения
с использованием более совершенных средств контроля за процессом пе-
редачи информации. Один из возможных способов решения возникающих
проблем — приоритизация выделения ресурса в соответствии с характером
трафика. Другая возможность — динамическое распределение канального
ресурса с учётом характера трафика и степени загрузки рассматриваемого
сегмента сети.
3По данным, опубликованным в СМИ, объём трафика, созданного в 2007 г. только
предоставлением видеохостинга YouTube, превысил объём трафика, пропущенного в
2000 г. всей сетью Интернет.
1.1. Общие положения
27
Возрастает значение и усложняются экономические отношения опера-
тора и пользователя. До недавних пор они строились на основе абонент-
ской платы и не зависели от качества и объёма передаваемой информации.
Эта ситуация стала меняться с расширением спектра услуг и развитием
технологий и протоколов передачи данных. Варьируя компоненты тарифа,
в частности, делая их зависимыми от качества обслуживания и характе-
ра передаваемых сообщений, оператор услуг связи получает эффективное
средство повышения доходности сети и оптимизации использования ка-
нального ресурса. Для реализации соответствующих механизмов менедж-
мент компании должен обладать возможностями дифференциации услуг
по качеству обслуживания. Они будут получены оператором только при
внедрении современных средств управления процессом передачи пользо-
вательской информации.
Отмеченные тенденции делают актуальными разработку средств опти-
мизации планирования сетевой инфраструктуры на базе внедрения более
совершенных средств контроля за процессом передачи информации, но
они также и не отрицают возможности планирования сети по избыточ-
ному сценарию, если речь идёт об определённых этапах её развития или
реконструкции выделенных сегментов. По мнению экспертов [30], реализа-
ция соответствующей процедуры будет происходить дифференцированно
в зависимости от рассматриваемого сегмента сети. Опорная сеть состоит
из сравнительно небольшого числа узлов и линий и используется боль-
шинством пользователей. Здесь целесообразно проводить планирование
ресурсов с избытком. Городской сегмент и особенно сеть доступа содержат
существенно большее число узлов и линий. Стоимость этой части сети по
разным оценкам в десятки раз превосходит стоимость опорной сети. При
этом единица инфраструктурного оборудования используется значитель-
но меньшим числом пользователей. Понятно, что в данном сегменте сети
наличие избыточного ресурса экономически нецелесообразно.
Таким образом, несмотря на впечатляющие успехи, достигнутые в раз-
витии сетевой инфраструктуры и технологий передачи информации, опас-
ность возникновения перегрузок и блокировок будет существовать и в
перспективных мультисервисных сетях. Для устранения отмеченных недо-
статков, а также обоснования экономических отношений оператора и або-
нента необходимо внедрять механизмы управления процессом передачи
пользовательской информации. Обсудим возможности, которыми облада-
ют перспективные сети, для повышения эффективности использования
канального ресурса.
28
Глава 1. Мультисервисные сети
1.1.3. Управление процессом передачи сообщений
Одной из важнейших функций сети, направленной на повышение за-
грузки канального ресурса и улучшение качества обслуживания абонента,
является управление процессом передачи сообщений. Оно реализуется в
разных формах и зависит от степени детализации, используемой при ана-
лизе информационных потоков. Перечень возможных решений показан в
таблице 1.1 [30] с указанием шкалы времени, на которой соответствующее
решение принимается.
Время между осуществлением управленческих решений по отношению
к поступающим пакетам или ячейкам зависит от скорости линии, исполь-
зуемой пакетной технологии и типа анализируемого события. Например, в
транспортной сети, построенной на технологии ATM, для линии со скоро-
стью 155 Мбит/с время между последовательными поступлениями АТМ-
ячеек составляет несколько микросекунд. Время между поступлением IP-
пакетов, представленных в виде последовательности ATM-ячеек, — это
уже десятки микросекунд. Контроль доставки IP-пакетов по этой же ли-
нии зависит от маршрута и также имеет порядок нескольких десятков
микросекунд, а время между последовательными поступлениями заявок
на установление соединения доли секунд и секунды.
Дадим более подробную характеристику управленческим решениям,
перечисленным в таблице 1.1. Самые быстрые решения необходимо при-
нимать по отношению к ячейкам и пакетам, поступающим на узел сети.
Если процесс их поступления не удовлетворяет принятому соглашению
по трафику, то к соответствующим ячейкам или пакетам выполняются
управленческие действия, сформулированные в таблице 1.1. Наиболее ре-
шительные из них заключаются в снятии ячеек или пакетов с обслужива-
ния. Ликвидация отдельных составляющих информационного блока мо-
жет привести к его последующему удалению и повторной передаче.
Дальнейшее движение пакета по сети определяется тем, было ли уста-
новлено соединение. При наличии соединения маршрутизация пакета осу-
ществляется посредством метки, ассоциированной с соединением и явля-
ющейся составной частью пакета. Путь коммутации меток, используемый
для передачи сообщения, устанавливается в момент приёма заявки и на-
зывается виртуальным соединением. Процесс установления соединения и
последующей передачи информации пользователя связан с применением
нескольких управляющих функций сети. Вначале реализуется функция
маршрутизации, направленная на построение пути от источника к ад-
ресату. Он должен удовлетворять требованиям по скорости передачи и
1.1. Общие положения
29
Таблица 1.1.
Управленческие решения, принимаемые сетью при организации процесса
передачи сообщений, в зависимости от шкалы времени [30]
Управляющее решение Шкала времени
Отброс или понижение качества обслуживания для ячеек или пакетов, не удовлетворяющих принятому заранее соглашению по трафику (policing) Задержка передачи для части ячеек или пакетов, направленная на улучшение характеристик качества передачи (shaping) Организация и планирование очередей для ячеек или пакетов (queueing and scheduling) Время между моментами поступления ячеек, пакетов
Контроль доставки ячеек или пакетов при динамическом изменении потребляемого ресурса и уменьшения блокировок (flow control) Время распространения сигнала в прямом и обратном направлениях
Контроль приёма заявок на выделение канального ресурса с целью пропуска пользовательского трафика, маршрутизация трафика (call admission control, routing) Время между последов ател ь- ными поступлениями заявок
Принятие управляющих решений на сети для улучшения характеристик обслуживания (network management) Минуты, часы, Дни
Принятие решений по изменению тарифов (pricing policy) Месяцы
30
Глава 1. Мультисервисные сети
ожидаемым показателям качества обслуживания. Для этого на каждом
маршрутизаторе по пути следования информационного потока применя-
ется функция контроля за приёмом заявки с целью выяснения достаточ-
ности ресурса. Далее происходит адаптация маршрутных таблиц и резер-
вирование ресурса. Здесь применяется функция установления соединения.
И, наконец, уже в процессе передачи пользовательской информации реа-
лизуется функция контроля за доставкой пакетов. Процесс передачи со-
общений по сети с установлением соединения показан на рис. 1.2. Когда
Рис. 1.2. Перемещение сообщения по сети при установлении
соединения. Знаком X отмечен возможный фрагмент
маршрута, отвергнутый в процессе маршрутизации
информационное сообщение передаётся по сети без установления соедине-
ния, то решение о маршрутизации пакета принимается узлом на основе
информации об источнике и получателе с использованием таблицы марш-
рутизации. В простейшем случае следующий узел определяется только на
основании адреса получателя.
1.1. Общие положения
31
Осуществление функций контроля доставки ячеек и пакетов необходи-
мо для борьбы с блокировками, возникающими из-за недостаточности ка-
нального ресурса на пути следования пользовательской информации. Со-
ответствующие действия применяются в уже установленных соединениях
с динамически изменяемыми контрактными параметрами передаваемого
информационного потока. Примером реализации подобного механизма мо-
жет служить протокол TCP управления передачей в сети Интернет. Сиг-
налы о перегрузке приводят к уменьшению информационного потока от
пользователя. Тем самым решаются две задачи: уменьшается вероятность
блокировки и канальный ресурс распределяется между пользователями
более справедливым образом. Указанные действия проводятся через до-
статочно короткие промежутки времени, соответствующие длительности
распространения сигнала в прямом и обратном направлениях. Имеются
и другие возможности, реализация которых ведёт к уменьшению вероят-
ности блокировки. Это — контроль за допуском новых заявок и гибкие
тарифные планы. Рассмотренные механизмы применяются уже через су-
щественно бблыпие интервалы времени.
Процедура контроля за допуском заявок к обслуживанию обычно при-
меняется к заявкам, требующим гарантированного качества обслужива-
ния. Данный механизм управления реализуется на шкале времени, соот-
ветствующей моментам поступления заявок. Поскольку интервалы вре-
мени между их последовательными поступлениями малы, то обыкновенно
решение о допуске заявки принимается на основе информации, имеющейся
на входном узле. Обычно это значения параметров, характеризующих ин-
формационный поток, ассоциированный с предполагаемым соединением.
Одним из наиболее важных параметров является эффективная скорость
Передачи. Её значение оценивает потребность в ресурсе для обслужива-
ния рассматриваемой заявки на основе параметров контракта и стати-
стических свойств информационного потока4. В простейшем случае заяв-
ка принимается к обслуживанию, если суммарное значение эффективных
скоростей передачи для нового и уже установленных соединений не пре-
восходит скорости линии. Дополнительно при допуске заявки к обслужи-
ванию можно учитывать и результаты мониторинга состояния сети. Это
Осложняет процедуру приёма новых заявок, но обеспечивает эффективное
использование сетевой инфраструктуры.
4Более подробно понятие эффективной скорости передачи информационного пото-
<а будет обсуждаться в разделе 1.6.2, где приведено формальное определение данной
характеристики и рассмотрены её основные свойства.
32
Глава 1. Мультисервисные сети
Когда заявка принимается к обслуживанию, то в соответствии с ал-
горитмом маршрутизации происходит передача пользовательской инфор-
мации. Процедура маршрутизации зависит от наличия соединения. Прг
установлении соединения канальный ресурс резервирвируется вдоль всегс
маршрута следования сообщения. Для этого используется сеть сигнализа-
ции. Заявка может получить отказ на входном узле, либо после приёмг
заявки входным узлом на одном из узлов маршрута передачи сообще-
ний. В первом случае основанием для принятия решения являются све-
дения о состоянии канального ресурса сети, имеющиеся на входном узле,
во втором — анализируются результаты обмена сигнальной информацией
с узлами, составляющими предполагаемый маршрут следования трафи-
ка. Отказ в обслуживании заявки отрицательно сказывается на доходах
оператора услуг связи, поэтому его стараются избегать. Для этого обычнс
используют обходные пути.
Если при передаче сообщения соединение не устанавливается, то ре-
шение о направлении движения пакета принимается на каждом узле е
соответствии с адресом назначения пакета. Для этого применяются таб-
лицы маршрутизации, которые указывают адрес следующего узла на пу-
ти движения пакета в пункт назначения. Содержание таблиц обновляется
достаточно часто. Обычно это происходит через интервалы времени, из-
меряемые минутами. В анализируемой ситуации контроль за допуском за-
явок по схеме, использованной при установлении соединения, уже не имее!
смысла. Качество обслуживания сообщений достигается за счёт внесения
большей функциональности в алгоритм передачи пакетов. Упомянем е
этой связи схемы IntServ и DiffServ, о которых пойдет речь позднее (см.
разделы 1.4.1 и 1.4.2).
Сфера применения управляющих решений на сети относится к запуску
новых сервисов, мониторингу состояния инфраструктуры и трафика, пе-
рераспределению ресурсов в случае аварий и перегрузок, а также к другим
действиям, направленным на улучшение качества работы сети. Соответ-
ствующие действия происходят заметно реже, чем управленческие реше-
ния, относящиеся к контролю за следованием пакетов и допуском новых
заявок, о которых шла речь выше. Для эффективной работы сети важно
добиться, чтобы процесс обслуживания заявок был дифференцированным
и направлен на повышение дохода, решение социальных задач, повышение
коэффициента загрузки канального ресурса и т.д. Все эти задачи можно
решать путём усложнения процедуры допуска новых заявок и использова-
ния изощрённых схем контроля за передачей информации. Но есть и дру-
гое решение. Оно состоит в создании соответствующих инициатив у поль-
1.1. Общие положения
33
зователя посредством введения дифференцированных тарифных планов.
Их применение должно сделать выгодным для пользователя осуществле-
ние тех действий, которые целесообразны для эффективной работы сети.
Эти управленческие решения относятся к самой медленной шкале времени
и происходят в моменты времени, отделяемые месяцами.
Мультисервисные сети предлагают пользователю неограниченный на-
бор услуг с требуемым качеством. Для реализации соответствующей функ-
ции требуется решить ряд задач. Часть из них решаются инженерными
средствами и касаются устойчивости и управления сетью в реальном мас-
штабе времени. Другие — экономической природы и связаны с выбором
тарифов, с координацией работы коммерческих организаций и т.д. Следу-
ет отметить, что с переходом на пакетные технологии деление задач на
инженерные и экономические начинает носить всё более условный харак-
тер. Применяя инженерные возможности, например, организуя передачу
данных, допускающих задержку, в моменты, когда ресурс линий связи сво-
боден от передачи трафика сервисов реального врмени, можно увеличить
доходы сети, т.е. решать экономические проблемы. С другой стороны, с
помощью тарифов можно регулировать направление и величину инфор-
мационных потоков, т.е. решать инженерные задачи экономическими ме-
тодами. Обсудим экономические аспекты решения задач, относящихся к
повышению эффективности планирования и эксплуатации мультисервис-
ных сетей.
1.1.4. Экономические аспекты функционирования
IP-сетей
По мнению экспертов [30,31], эволюция IP-сетей будет сопровождать-
ся развитием гибридных тарифных схем, включающих в себя следующие
четыре формы оплаты услуг связи:
• за единицу времени использования услуги, например, поминутная
тарификация голосовой мобильной связи;
• за единицу объёма переданной информации, например, помегабайт-
ная тарификация при пересылке файлов;
• за факт оказания услуги связи, например, фиксированная стоимость
посылки SMS;
34
Глава 1. Мультисервисные сети
• за доступ к услуге в течение фиксированного календарного проме-
жутка времени вне зависимости от фактического её использования,
например, помесячная абонентская плата за телефонную связь по
безлимитному тарифу.
Предполагается, что с расширением спектра услуг большее распростране-
ние получат тарифы, основанные на плате за факт оказания услуги. Это
происходит по следующим понятным причинам. Во-первых, такая схема
тарификации проста для осмысления и не вызывает дополнительных во-
просов у абонента, во-вторых, она больше соответствует рыночной стоимо-
сти услуги. Распространение гибридных тарифных схем зависит от разви-
тия программных средств сбора информации и от характера соглашений
между различными участниками процесса предоставления телекоммуни-
кационных сервисов.
Одной из важнейших задач, относящихся к управлению сетью, явля-
ется выполнение действий, направленных на устранение блокировок. Из-
быток трафика, который ввёл сеть в состояние перегрузки, можно:
• заблокировать, т.е. удалить соответствующие пакеты из передачи
(как правило, данное действие приводит к повторной передаче за-
блокированных пакетов, что только усугубляет ситуацию перегруз-
ки);
• доставить адресату с худшими показателями качества, например, за
большее время или с большей долей потерянных пакетов;
• доставить адресату за большую стоимость.
Последнее из упомянутых действий выглядит предпочтительней, посколь-
ку оно не уменьшает доход, а также не ухудшает значения показателей
обслуживания. Стоимость передачи избыточного трафика должна оцени-
ваться исходя из стоимости его обслуживания сетью.
Оценка стоимости соединения необходима для определения расходов,
которые несёт потребитель услуг связи за использование предоставлен-
ных ему ресурсов сети. Соответствующая процедура зависит от многих
параметров, характеризующих особенности передачи сообщений, условия
обслуживания и т.д. Суть вычислений состоит в оценке тарифного со-
глашения между абонентом и оператором на основе реальных значений
параметров, входящих в описание тарифа. Сами параметры находятся в
результате проведения измерений на сети и дальнейшей обработки по-
лученных численных результатов с помощью статистических процедур.
1.1. Общие положения
35
При их реализации используются модели теории телетрафика, поскольку
отдельные характеристики стоимостных схем можно оценить только кос-
венно на основе формальных предположений о свойствах поступающих
информационных потоков. В соответствии с [15,41] структуру и парамет-
ры стоимостных схем можно изобразить в виде диаграммы, показанной
на рис. 1.3.
Стоимостная
схема
Рис. 1.3. Структура и параметры стоимостных схем
Дадим краткое пояснение отдельным блокам приведённой диаграммы.
Схема оценки стоимости включает в себя два основных компонента: або-
нентскую плату и плату за соединение. Рассмотрим более детально вза-
имосвязь структурных элементов стоимостных схем. Абонентская плата
предполагает наличие первоначального фиксированного вступительного
взноса и переменного компонента — арендной платы, являющейся функ-
цией времени. При определении платы за соединение необходимо учиты-
36
Глава 1. Мультисервисные сети
вать, что за время аренды может быть несколько сессий связи. Каждая
сессия делится на фазы. Плата за фазу соединения состоит из двух частей:
стоимости доступа и пользовательской стоимости. В данном контексте
фаза определяется как непрерывный отрезок времени, в течение которо-
го остаются фиксированными характеристики качества обслуживания, не
происходит прерывание передачи и не меняются параметры, характеризу-
ющие трафик.
Алгоритм вычисления пользовательской стоимости фазы соединения
включает в себя модель оценки стоимости, несколько стоимостных па-
раметров, тарифный план и некоторое число вспомогательных парамет-
ров. Стоимостные параметры выражают в численной форме объёмы работ,
выполненные сетью по установлению и поддержанию соединения. Тариф-
ный план состоит из тарифных параметров, которые задают цену единицы
каждого из проделанных объёмов работ, и значений этих параметров. К
вспомогательным параметрам относятся параметры, которые используют-
ся в описании стоимостной схемы, но лишь косвенно участвуют в подсчёте
стоимости, например, объёмы трафика, переданные сверх оговоренной ве-
личины.
Классификация параметров, участвующих в оценке стоимости соеди-
нения, может быть выполнена и на основе разделения их на статические
и динамические. Статические параметры обычно основаны на статисти-
ческих свойствах источников трафика, известных или предполагаемых до
начала установления соединения. Динамическими называются параметры,
измеряемые непосредственно в процессе соединения или его окончания,
т.е. при передаче пакетов, составляющих сообщение.
Можно выделить ряд показателей стоимостных схем, которые на каче-
ственном уровне поясняют условия и возможности их применения. Пер-
вое, что необходимо отметить, — это степень чувствительности схемы к
возможным ошибкам в значениях параметров, которые участвуют в их
определении. Эти ошибки могут быть внесены в процессе измерения со-
ответствующих стоимостных параметров или в результате недостаточной
точности в отображении статистических свойств трафика. Погрешность,
вносимая в описание трафика, связана с числом параметров, характеризу-
ющих его изменчивость. Чем больше число параметров, тем точнее можно
приблизить модель к описанию реальных процессов, происходящих в се-
тях связи. Однако при этом возрастает шанс внесения погрешности на
стадии измерения значений параметров. В зависимости от типа прило-
жения можно ограничиться одной пиковой интенсивностью поступления
пакетов или привлечь в стоимостную схему также и параметры, задающие
максимальные размеры их сгущений.
1.1. Общие положения
37
Построение стоимостной схемы необходимо вести так, чтобы она была
понятна и доступна не только искушённому пользователю, но и рядовому
абоненту с минимальными знаниями о природе процессов, происходящих
при передаче сообщений по линиям связи. При заключении контракта на
установление соединения абонент должен заранее объявить ожидаемые
статистические свойства передаваемого трафика. Его образовательного
уровня может оказаться недостаточно для правильного решения соответ-
ствующей задачи. В результате пользователь неадекватно ситуации оце-
нивает стоимость предполагаемого соединения. В случае её завышения
это может привести к отказу от соединения и оператор понесёт убытки
от потери клиента. Если же абонент ошибочно ожидает низкую стоимость
соединения, а она в реальности окажется выше, то это может привести к
конфликту с оператором услуг связи.
Несомненным положительным качеством стоимостной схемы являет-
ся возможность долгосрочного прогноза величины оплаты за получаемые
услуги. Для пользователя лучше та схема расчётов, которая не прино-
сит сюрпризов в виде превышения ожидаемой цены за предоставленный
сервис. Заметим кстати, что наличие этого свойства интересует и админи-
страцию оператора услуг связи, поскольку позволяет ей вести долгосроч-
ное планирование работы сети в её экономической части.
Другой важной характеристикой схемы является осознание абонентом
её справедливости по отношению к пользователю. В этом смысле абоненты
предпочитают схемы, основанные на действительном использовании ре-
сурсов сети. Им понятно, что за большую эксплуатацию технических воз-
можностей обеспечения получаемого сервиса необходимо платить больше.
По этой причине завышение доли фиксированных выплат в тарифе вызы-
вает у абонента отрицательную реакцию, хотя это и выгодно менеджменту
компании, поскольку упрощает процедуру оценки стоимости. При данном
выборе тарифа расходы абонентов, интенсивно использующих ресурсы се-
ти, частично перекладываются на плечи абонентов, не столь активных в
контактах с сетью. Пользователь осознаёт это, и отрицательным момен-
том такого понимания ситуации является увеличение числа немотивиро-
ванных обращений к занятию канального ресурса сети. Их наличие ухуд-
шает качество её работы, а в ряде случаев вызывает проблемы перегрузки
отдельных направлений.
Администрации сети следует обеспечить абонента возможностями по
выбору экономичных режимов использования ресурсов сети. Известно,
что наличие таких возможностей часто является определяющим факто-
ром для абонента при выборе оператора. Стоимостная схема обязана быть
одинаково удобной в применении как для абонента, так и для менеджмента
38
Глава 1. Мультисервисные сети
компании. Администрация сети обязана не допускать возможности обма-
на, которой могут воспользоваться искушённые пользователи. Реализация
стоимостных схем требует проведения вычислений и занимает ресурсы се-
ти. При расчёте стоимости необходимо в реальном времени фиксировать
такие параметры соединения, как его начало, продолжительность, а также
среднюю и пиковую интенсивности поступления пакетов и др. Собранная
статистика и результаты промежуточных вычислений должны быть клас-
сифицированы и храниться для разрешения вероятных конфликтных си-
туаций. Трудоёмкость реализации всех этих процедур также необходимо
учитывать при построении стоимостных схем. Их осуществление не долж-
но приводить к нарушению стабильности работы сети, а такое возможно,
если объёмы служебной информации становятся непомерно большими. В
последнем случае на сети могут возникать состояния перегрузки, приво-
дящие к задержкам или потере информации.
Приведённый перечень характеристик стоимостных схем довольно об-
ширен. Он отражает мнения, сложившиеся у специалистов [15,28,30,41] в
оценке степени применимости той или иной ценовой политики. Понятно,
что определяющим критерием выбора конкретной схемы является удоб-
ство реализации и её предсказуемость. Это важно как для администрации,
так и для абонента. Заметим, что с развитием сети и появлением новых
сервисов какие-то положения в алгоритме реализации стоимостных схем
будут претерпевать изменения. Обсудим теперь инженерные возможности
решения задач, относящихся к повышению эффективности планирования
и эксплуатации мультисервисных сетей.
1.1.5. Как повысить загрузку ресурса сети
Понятно, что сети связи не рассчитаны на одномоментный запрос всех
потенциальных пользователей. Случайный характер поступления заявок,
а также возможности пакетных технологий и механизмов динамического
распределения канального ресурса позволяют в десятки, а то и большее
число раз уменьшить потребности в ресурсе по сравнению с его потенци-
ально необходимым значением. При этом сохраняются требуемые нормы
качества обслуживания абонентов. Приведём примеры реализации схем,
повышающих загрузку канального ресурса сети.
Допустим, некая фирма имеет центральный офис и достаточно уда-
лённый филиал, сотрудникам которых по роду своей деятельности часто
приходится обмениваться между собой информационными сообщениями.
Перечень сервисов, доступных каждому пользователю включает в себя:
1.1. Общие положения
39
голосовую связь, видеоконференц-связь и обмен файлами. Предположим,
что число пользователей перечисленных услуг составляет 1000 для цен-
трального офиса и такое же количество для филиала. Дадим характери-
стику и приведём значения параметров информационных потоков, порож-
дённых заказом перечисленных сервисов.
• Голосовая связь. Пиковая интенсивность передачи информационно-
го потока для одного соединения равна 64 кбит/с.
• Видеоконференц-связь. Параметры информационного потока силь-
но зависят от используемого кодека. Для определённости будем счи-
тать, что используется кодек Н.263, обеспечивающий среднее каче-
ство предоставления соответствующей услуги. Пиковая интенсив-
ность передачи информационного потока для одного видеосоедине-
ния с данным кодеком составляет 320 кбит/с.
• Обмен файлами. Для обеспечения комфортной организации работы
по обмену файлов, содержащих, как правило, элементы мультиме-
диа, примем среднюю скорость передачи информационного потока
для одного соединения равной 1 Мбит/с.
Для обслуживания потребностей сотрудников в обмене информаци-
ей, необходимо арендовать или проложить линию связи, соединяющую
оба офиса. Оценим стоимость соответствующего решения. Она зависит
от объёма необходимого ресурса, который в рассматриваемом случае для
простоты зададим скоростью цифровой линии. Данный ресурс исполь-
зуется для образования каналов передачи информации, поэтому будем
его также называть канальным ресурсом. Если отталкиваться от потреб-
ностей каждого пользователя, то необходима линия со скоростью С =
1000 х (64 + 320 + 1000) кбит/с ~ 1400 Мбит/с. Для офисов, находящих-
ся на значительном расстоянии друг от друга, стоимость предлагаемо-
го решения5 может оказаться черезмерно высокой. Интуитивно понятно,
что в обычных условиях вероятность одновременного доступа всех поль-
зователей к каждому из перечисленных сервисов крайне мала. Поэтому
теоретическая осуществимость этого события не должна приниматься во
внимание при проектировании системы связи.
Рассмотрим теперь решение, которое получит специалист в области
телетрафика мультисервисных сетей связи. Оно будет значительно менее
5 Назовём его потенциальным по аналогии с понятием потенциального (предложен-
ного) трафика, используемым для обозначения потока заявок, обслуженного в отсут-
ствии потерь.
40
Глава 1. Мультисервисные сети
ресурсоёмким, чем решение, приведённое выше. Достичь указанного эф-
фекта можно, если процесс выделения канального ресурса выполнить с
учётом особенностей совместного поступления и обслуживания заявок.
Исследуем соответствующие особенности по отдельности. Вначале необ-
ходимо сформулировать предположения о частоте и характере попыток
доступа к перечисленным услугам. Будем считать, что заявки на получе-
ние каждого из трёх сервисов распределены равномерно во времени. При
этом в час наибольшей нагрузки каждый абонент тратит на голосовую
связь в среднем 10 мин, на видеоконференц-связь — 10 мин и на обмен
файлами — 5 мин. Интенсивности потока заявок в эрлангах на предостав-
ление каждого из указанных сервисов составляют 83 Эрл (для голоса), 83
Эрл (для видеоконференц-связи) и 41,6 Эрл (для обмена файлами).
Примем, что максимальная доля отказов в доступе к каждому из трёх
сервисов не превосходит 3%. Тогда, используя результаты классической
теории телетрафика (формулу Эрланга), получаем, что для обеспечения
доступа к перечисленным сервисам с заданным качеством достаточно: для
голосовой связи — 93 канала по 64 кбит/с, для видеоконференц-связи —
93 канала по 320 кбит/с и для обмена файлами — 50 каналов по 1 Мбит/с.
Общие потребности в ресурсе 85,7 Мбит/с, что примерно в 16 раз меньше,
чем потенциальное решение. Отмеченный выигрыш достигнут за счёт ста-
тистического мультиплексирования на шкале времени, соответствующей
моментам поступления заявок. Приведённые оценки найдены в предполо-
жении, что указанные сервисы предоставляются по отдельным сетям.
Дополнительное уменьшение потребностей в канальном ресурсе может
быть получено при переходе на пакетную технологию передачи инфор-
мации6. По оценкам, приведённым в [31], для обеспечения качества пере-
дачи голосовой информации, сравнимого с качеством, достижимым при
использовании технологии коммутации каналов, достаточно, чтобы доля
потерянных пакетов не превосходила значения 0,01 %. Соответствующий
показатель может быть получен уже при скорости 30 кбит/с. Аналогич-
но для видеоконференц-связи достаточно, чтобы доля потерянных паке-
тов не превосходила значения 0,1 %. Данный показатель для кодека Н.263
при среднем качестве предоставления рассматриваемой услуги достигает-
ся при скорости в 105 кбит/с.
Приведённые оценки получены с использованием концепции эффек-
тивной скорости передачи информационного потока [15,28,30,31,35,39]. Со-
6В дальнейшем, если это не оговаривается особо, по термином «пакетная техноло-
гия» будем понимать IP-технологию, а под термином «пакет» — 1Р-пакет.
1.1. Общие положения
41
ответствующее понятие имеет важное значение при планировании про-
пускной способности звеньев мультисервисной сети связи. Оно позволяет
рассчитать максимально возможное число соединений определенного вида
при фиксированной доле потерь пакетов. Если перевести передачу трафи-
ка реального времени на пакетные технологии и оценить потребность в
канальном ресурсе с использованием понятия эффективной скорости пе-
редачи, то обслуженный трафик, выраженный в эрлангах (т.е. среднее
число одновременных соединений), может увеличиться в 1,5.. .2,5 раза без
изменения скорости передачи линии [31]. При этом восприятие абонен-
том качества сервиса остаётся на уровне, обеспечиваемым технологией
коммутации каналов. В рассматриваемом примере переход на пакетные
технологии позволяет снизить общие потребности в ресурсе при обслу-
живании трафика реального времени (в данном случае голосовой связи
и видеоконференц-связи) примерно с 35,7 Мбит/с до 16 Мбит/с. Таким
образом, потребности в канальном ресурсе при обслуживании трафика
реального времени снижаются более чем в два раза. Отмеченный выиг-
рыш достигнут за счёт статистического мультиплексирования на шкале
времени, соответствующей моментам поступления пакетов.
Эффективность использования имеющегося канального ресурса можно
повысить, если осуществить передачу всех перечисленных типов инфор-
мационных потоков по одной сети. Получаемое преимущество оценивается
с помощью моделей и методов теории телетрафика мультисервисных се-
тей и может составить 10.. .20% от используемого объёма ресурса. В рас-
сматриваемом примере потребности в ресурсе снижаются до 56 Мбит/с.
Отмеченный эффект получен за счёт статистического мультиплексирова-
ния на шкале времени, соответствующей моментам поступления заявок.
Иллюстрация отмеченного эффекта показана на рис. 1.4. Для решения,
основанного на потенциальных потребностях каждого пользователя, тре-
буется линия со скоростью 1400 Мбит/с. Для реализации решения, учиты-
вающего свойства возникающего трафика, требуется линия со скоростью
56 Мбит/с. При этом допускается, что максимальная доля потерь заявок
не превосходит 3 %, и для передачи трафика используется единая сеть,
основанная на пакетных технологиях. Потребность в канальном ресурсе
уменьшается примерно в 25 раз.
Дополнительные возможности для повышения эффективности занятия
канального ресурса появляются при передаче информационных потоков,
допускающих небольшую задержку в процессе транспортировки по сети.
В анализируемом примере такими свойствами обладает передача файлов.
В этой ситуации можно применить следующие две схемы, действие кото-
42
Глава 1. Мультисервисные сети
Центральный офис
Филиал
Рис. 1.4. Пример оценки эффективности использования передаточного
ресурса
рых направлено на увеличение коэффициента использования линий связи.
В первой из них используемый канальный ресурс динамически распреде-
ляется между поступившей заявкой и заявками, уже находящимися на
обслуживании. Во второй схеме трафик реального времени получает аб-
солютный приоритет в занятии канального ресурса, при необходимости
прекращая передачу данных с последующим их перемещением в буфер на
ожидание.
Для обеих схем доля потерянных заявок уменьшается, а коэффициент
использования канального ресурса увеличивается. Происходит это за счёт
увеличения времени передачи трафика, допускающего задержку. Достига-
емый при этом выигрыш оценивается с использованием моделей и методов
теории телетрафика мультисервисных сетей и составляет для каждой из
отмеченных схем величину порядка 10.. .20% от общего объёма ресурса.
Отмеченный эффект получен за счёт адаптации используемого канально-
го ресурса к свойствам передаваемого трафика. Он реализуется на шкале
времени, соответствующей моментам поступления заявок.
И наконец, последняя возможность, которую можно использовать для
повышения загрузки канального ресурса, состоит в применении экономи-
ческих рычагов. Варьируя компоненты тарифа, в частности, делая их за-
висимыми от качества обслуживания и характера передаваемых сообще-
1.1. Общие положения
43
ний, администрация телекоммуникационных компаний получает эффек-
тивное средство для оптимального распределения каналов мультисервис-
ных сетей связи. Оценка достигаемого эффекта выполняется на основе
экономических методов и моделей мультисервисных сетей связи. Его вели-
чина сильно зависит от конкретной ситуации и может меняться в широких
пределах.
В таблице 1.2 перечислены схемы, повышающие коэффициент загруз-
ки канального ресурса мультисервисных сетей, о которых шла речь в рас-
смотренном примере. Приведены оценки достижимого эффекта и сфор-
мулированы методы их нахождения. Понятно, что указанные в четвёр-
том столбце таблицы 1.2 численные значения имеют условный характер и
должны уточняться при рассмотрении конкретных ситуаций.
1.1.6. Проблематика книги
Приведённый пример показывает, что имеется ряд возможностей, поз-
воляющих значительно уменьшить объём канального ресурса, необходи-
мого для обслуживания заданных потоков заявок. Применяя их в сово-
купности, можно в десятки, а то и большее число раз уменьшить потреб-
ности в ресурсе по сравнению с его потенциальным значением при со-
хранении требуемых норм обслуживания пользователей. Для реализации
рассмотренных схем и последующей оценки их эффективности необходи-
мо наличие соответствующего инструментария, основанного на результа-
тах математического моделирования процессов поступления и обслужи-
вания заявок на выделение ресурса передачи информации. Особенности
построения соответствующих методов и станут предметом исследования,
проведённого в книге.
Следует отметить, что решение поставленной задачи встречает ряд
трудностей. Информационные потоки, порожденные новыми коммуника-
ционными приложениями, по своим свойствам значительно отличаются
от потоков речевых сообщений. Это означает, что методики оценки вели-
чины канального ресурса, развитые в классической теории телетрафика,
следует применять с рядом оговорок. Используемые модели зависят от
степени детализации процедуры анализа поступающих информационных
сообщений, а также от того, каким образом оценивается качество их обслу-
живания. Ответы на поставленные вопросы лежат в основе телетрафика
мультисервисных сетей связи. Они и будут рассмотрены в данной главе.
Начнём с характеристики технологий транспортировки информационных
потоков.
44
Глава 1. Мультисервисные сети
Таблица 1.2.
Схемы, повышающие коэффициент загрузки канального ресурса
мультисервисных сетей
Используемый эффект Шкала времени Метод оценки эффекта Оценка уменьшения потребности в ресурсе
Статистическое муль- типлексирование про- цесса передачи моно- сервисного трафика Моменты поступ- ления заявок Модели и мето- ды теории те- летрафика В 5.. .20 раз по сравне- нию с потенциальным решением
Статистическое муль- типлексирование про- цесса передачи паке- тизированной инфор- мации Моменты поступ- ления пакетов Концепция эф- фективной ско- рости передачи В 1,5.. .2,5 раза по сравнению с решени- ем, полученным на ба- зе коммутации кана- лов
Статистическое муль- типлексирование про- цесса передачи муль- тисервисного трафи- ка Моменты поступ- ления заявок Модели и мето- ды телетрафи- ка мультисер- висных сетей На 10.. .20 % по срав- нению с суммарным решением, получен- ным отдельно для каждой сети
Динамическое рас- пределение ресурса между поступившей заявкой и заявками, находящимися на обслуживании Моменты поступ- ления заявок Модели и мето- ды телетрафи- ка мультисер- висных сетей На 10...20% по срав- нению с решением, в котором данная схема не используется
Приоритетное обслу- живание трафика ре- ального времени и ис- пользование буфера Моменты поступ- ления заявок Модели и мето- ды телетрафи- ка мультисер- висных сетей На 10.. .20 % по срав- нению с решением, в котором данная схема не применяется
Гибкие тарифные схемы Моменты поступ- ления заявок Методы эконо- мики и теле- трафика муль- тисервисных сетей Меняется в широких пределах и зависит от конкретной ситуации
1.2. Технологии
45
1.2. Технологии
1.2.1. Организация процесса передачи сообщений
Основной задачей транспортных пакетных технологий является пере-
нос трафика из одной точки сети в другую. Технологии, используемые при
построении сетей связи на принципах NGN, должны:
• обеспечивать интеграцию трафика различных коммуникационных
приложений,
• пройти процедуру стандартизации,
• обладать возможностями по дифференциации процесса обслужива-
ния заявок в зависимости от показателей качества предлагаемой
услуги и других характеристик работы сети.
Передача пользовательской информации в мультисервисных сетях —
это многоуровневый процесс. На нижнем уровне находится физическая
среда, по которой организована пересылка двоичных сигналов. Если
используется оптический канал связи, то реализация соответствующей
функции осуществляется световыми импульсами, кодирующими инфор-
мационные биты передаваемого сообщения. На этом уровне существуют
технические решения, позволяющие значительно увеличить пропускную
способность канала. Имеется в виду технология DWDM (Dense Wavelength
Division Multiplexing) метод мультиплексирования с разделением по
длинам волн, при котором число спектральных каналов на одно волок-
но достигает 128. В лабораторных условиях превышен и этот показатель.
На следующем уровне реализованы синхронные технологии передачи, по-
добные SDH. Они формируют контейнеры фиксированного размера, ко-
торые наполняются сигналами, сгруппированными в ячейки или пакеты
асинхронными технологиями следующего уровня, например, ATM или IP.
Причем пакеты IP могут быть представлены в виде последовательности
ячеек ATM. Использование асинхронных пакетных технологий позволяет
реализовать идею статистического мультиплексирования, т.е. максималь-
но заполнить контейнеры пакетизированными сигналами, принадлежащи-
ми разным потокам. Схема выделения канального ресурса с использова-
нием различных технологий показана на рис. 1.5.
Понятно, что при организации процесса передачи сообщений в реаль-
ных сетях связи какие-то из верхних уровней могут отсутствовать. Каж-
дый из уровней предоставляет пользователю разные возможности по кон-
фигурированию ресурсов для транспортировки информации. Синхронные
46
Глава 1. Мультисервисные сети
\'/7////7//\
’///////МШШЛ
'/77/777////7//////7.,\
''7////Z'7/'77//////,\
ШЖШШ,_________________________________
77//////Х77//7///,^^Ш7//7///7/
777777777/7777777777777777777'7777/777,
Асинхронные технологии ATM, IP
наполняют контейнеры (фреймы)
информацией пользователя, реализуя
принцип статистического
мультиплексирования и обеспечивая
соединение «точка-точка»
Ч Синхронные технологии SDH (или
асинхронные Ethernet) формируют
контейнеры (фреймы) для передачи
агрегированного трафика между узлами
сети
Физические каналы передачи,
формируемые на оптических (в основном)
или беспроводных линиях связи
Рис. 1.5. Иерархия выделения канального ресурса в
мультисервисных сетях
технологии типа SDH предлагают гарантированный канальный ресурс
большого и среднего объёмов. Асинхронные технологии типа ATM обеспе-
чивают пользователя ресурсом передачи гарантированного среднего или
малого объёма. Его наличие означает возможность обеспечения заданных
показателей качества сервиса. Технологии TCP/IP и UDP/IP предлага-
ют в общее пользование динамически разделяемый ресурс без гарантий
качества обслуживания. Однако соответствующие соединения могут быть
выполнены между любыми двумя точками сети, и стоимость их установ-
ления практически равна нулю. Данное обстоятельство очень важно для
реализации современных коммуникационных приложений. Для решения
проблем обеспечения качества услуг используются механизмы Integrated
Services (IS), Differentiated Services (DS) и Multiprotocol Label Switching
(MPLS). О них пойдёт речь далее, соответственно, в разделах 1.4.1, 1.4.2,
1.4.3.
Несколько обособленно в перечне транспортных технологий стоит
Ethernet. Этот способ передачи информации может быть реализован непо-
средственно поверх оптических линий. Абонентам в общее пользование
предлагается канальный ресурс большого и среднего объёмов. Для обес-
печения гарантированного ресурса линия Ethernet предоставляется одно-
1.2. Технологии
47
му пользователю на соответствующий период времени. Дадим краткую
характеристику упомянутым технологиям.
1.2.2. Синхронные системы
Синхронные технологии обеспечивают пользователя возможностями
передавать сообщения в фиксированные промежутки времени (тайм-
слоты) с гарантированным качеством. Примерами соответствующих тех-
нологий являются SDH (Synchronous Digital Hierarchy) и ISDN (Integrated
Services Digital Network). Для полноты картины отметим, что SDH исполь-
зуется в Европе. Аналогом данной технологии в США является SONET
(Synchronous Optical Network). Поскольку ISDN уже не рассматривается
в качестве перспективных технологий, остановимся на отдельных момен-
тах применения SDH. В телекоммуникационных сетях, использующих в
качестве транспортного средства синхронную цифровую иерархию, пере-
даваемые информационные биты размещаются в стандартных контейне-
рах. Выполнение последующих процедур по переносу информации про-
изводится только с контейнерами (в том числе и пустыми) независимо
от их содержания. В настоящее время применяются контейнеры четырёх
уровней, которые при пересылке информации преобразуются в синхрон-
ные транспортные модули STM (Synchronous Transport Module) с номером,
зависящим от реализованной скорости передачи. Первый модуль (STM-1)
обеспечивает скорость 155 Мбит/с, а каждый последующий повышает ско-
рость в четыре раза и образуется побайтным синхронным мультиплекси-
рованием (т.е. STM-4 имеет скорость 622 Мбит/с, STM-16 имеет скорость
2,5 Гбит/с и т.д.).
При использовании систем SDH нет необходимости в сложных кон-
трактах по трафику. Качество передачи определяется коэффициентом по-
терянных бит и вариацией задержки, которые обычно очень малы. Поль-
зователь получает канал передачи информационных битов (bit pipe), име-
ющий фиксированную скорость. При этом для сети не имеет значения,
является ли канал полностью загруженным передачей информации или
нет. Важной характеристикой синхронных систем является надёжность в
ситуации обрыва оптических линий или выхода из строя отдельных уз-
лов. Она достигается избыточным числом оптических каналов в кольце-
вых топологиях, обычно используемых в сетях SDH. Резервируемый ре-
сурс составляет половину имеющейся пропускной способности кольца. На-
дёжность передачи информации по оптике может быть обеспечена и сред-
48
Глава 1. Мультисервисные сети
ствами протоколов передачи, когда синхронные системы связи заполня-
ются непосредственно IP-пакетами или Ethernet-кадрами, содержащими
IP-пакеты. В этой ситуации все имеющиеся оптические каналы использу-
ются для передачи информации, а обходные пути формируются на узлах
после соответствующей адаптации таблиц маршрутизации.
Положительными характеристиками синхронных систем являются:
высокая степень надёжности, достигаемая резервированием важнейших
элементов и узлов; централизованный мониторинг состояния сети с це-
лью обнаружения и исправления аварийных ситуаций; независимость со-
ответствующей транспортной системы от передаваемых информационных
потоков; детальная стандартизация, позволяющая строить сети связи на
основе оборудования разных фирм. Главным недостатком синхронных си-
стем передачи можно назвать неэффективное использование канального
ресурса.
1.2.3. Ethernet
Технология Ethernet и её последующие модификации — Fast Ethernet,
Gigabit Ethernet изначально были предназначены для передачи данных в
локальных сетях. Приведённый перечень говорит о том, что рассматри-
ваемая технология в процессе своего развития претерпела значительные
изменения, направленные прежде всего на увеличение скорости. Каждая
модификация характеризовалась увеличением скорости передачи пример-
но на порядок. В последних реализациях она уже достигла величин, из-
меряемых в Гбит/с.
В сети Ethernet выделяются центральный и периферийные узлы. По-
следние соединены с центральным узлом выделенными линиями связи.
Каждый периферийный узел имеет уникальный Ethernet-адрес. Передача
пользовательской информации из одного узла в другой осуществляется
следующим образом. Узел-источник строит Ethernet-кадр, куда размеща-
ет пользовательский пакет данных и отсылает в центральный узел. Если
данный узел обладает только функциональностью концентратора, то па-
кет рассылается во все подключённые устройства. Процессы посылки и
приёма пакета могут совпасть, что приводит к конфликтам, на разреше-
ние которых уходит время. Этого недостатка лишены центральные узлы
с функциональностью коммутатора. Он знает адреса всех периферийных
узлов, и рассылка пакетов идёт именно в тот узел, которому он предна-
значен. Большие Ethernet-сети могут состоять из нескольких сетей. В этой
1.2. Технологии
49
ситуации коммутатор пересылает пакет в коммутатор сети, которому при-
надлежит узел-адресат.
Имеющийся канальный ресурс либо полностью предоставляется от-
дельным пользователям, либо делится, если их несколько. Достоинством
технологии Ethernet является возможность увеличения скорости переда-
чи в тех участках сети, где обнаруживается перегрузка, вызванная, на-
пример, незапланированным изменением структуры сети, подключением
новых устройств и т.д. Необходимо отметить, что каждая последующая
реализация этой технологии совместима с предыдущей, что позволяет лег-
ко интегрировать их в существующие локальные сети. Традиционной об-
ластью использования технологии Ethernet является организация работы
магистральных участков сети и сети доступа. Решение на базе Ethernet
примерно в 10 раз дешевле аналогичного решения, полученного с при-
менением синхронных систем SDH. Оно отличается стабильностью и мо-
жет быть реализовано на оптоволоконных и медных линиях связи. Недо-
статком анализируемого семейства технологий остаётся низкая эффектив-
ность использования ресурсов линий при совместной передаче трафика,
порождённого современными коммуникационными приложениями. В вы-
деленных каналах коэффициент занятия обычно не превосходит 30 %, что
явно мало.
1.2.4. Асинхронный режим передачи
Технология ATM (Asynchronous Transfer Mode асинхронный режим
передачи) разработана в целях объединения возможностей двух техноло-
гий — коммутации каналов и коммутации пакетов. Сообщение, предназна-
ченное для передачи, разбивается на некоторое число коротких пакетов,
имеющих одинаковую длину, равную 53 байта, и носящих в технологии
ATM название ячеек. Из них на заголовок отводятся 5 байтов, а остав-
шиеся 48 байтов используются для переноса полезного (оплачиваемого)
трафика. Относительно небольшие размеры ячеек гарантируют малую за-
держку в процессе их перемещения по сети. Для переноса информации
пользователя в сети ATM создаётся виртуальная линия связи. Для это-
го система сигнализации резервирует канальный ресурс вдоль маршрута
следования трафика в количестве, достаточном для обеспечения контракт-
ных параметров. В принципе, объём выделенного ресурса может менять-
ся в процессе передачи, отражая наличие сгущений в поступлении ячеек.
Поскольку изменение интенсивности потока носит случайный характер,
50
Глава 1. Мультисервисные сети
то приём новых заявок и осуществление функций контроля за передачей
информации в уже установленных соединениях происходит с использова-
нием разного рода статистических моделей и схем. В частности, управ-
ление доступом осуществляется на основе оценки эффективной скорости
передачи информационного потока (см. раздел 1.6.2), а длина и частота
сгущений в поступлении ячеек регулируются механизмами типа «дырявое
ведро»7.
Наиболее сложной частью технологии ATM является система сигнали-
зации. По этой причине она в полном объёме не реализуется. Виртуальные
каналы и пути чаще прокладываются на постоянной основе сетевыми ад-
министраторами, нежели устанавливаются в результате работы сигналь-
ной системы или по запросу пользователя.
Важнейшей характеристикой технологии ATM является понятие клас-
са обслуживания или, как иногда говорят, уровня сервиса. В зависимости
от вида передаваемой информации и накладываемых пользователем усло-
вий на процесс и качество её транспортировки можно выбрать пять основ-
ных типов соединений для переноса информации по сети. Первая возмож-
ность — это соединение с постоянной скоростью передачи CBR (Constant
Bit Rate). При выборе данного типа сервиса пользователь обсуждает с ад-
министрацией сети и впоследствии контролирует только значение пиковой
интенсивности поступления ячеек. Качество передачи оценивается поте-
рями ячеек и задержкой. Этот вид сервиса используется для пересылки
аудио- и видеоинформации в режиме реального времени, когда требуется
обеспечить малую задержку. Здесь пользователь получает самый высокий
уровень обслуживания. Попятно, что в соединениях данного типа не уда-
ётся эффективно использовать канальный ресурс. Он резервируется под
максимальную скорость передачи, и если она с течением времени умень-
шается, то часть ресурса будет вынуждена простаивать.
Этого недостатка удаётся избежать для соединений с переменной ско-
ростью передачи VBR-RT (Variable Bit Rate, Real-Time) и VBR-NRT
(Variable Bit Rate, Non-Real-Time). В соединениях вида VBR сеть пред-
лагает пользователю канальный ресурс на основе анализа значения эф-
фективной скорости передачи информационного потока. Она заключена
между средней и пиковой интенсивностями поступления ячеек. Соедине-
7Алгоритм «дырявое ведро» (leaky bucket) регулирует интенсивность потока ячеек с
использованием специального счётчика. Пока значение счётчика не превышает порого-
вого значения (размер ведра), передача ячеек происходит без изменений. Когда порог
превышается, то соответствующие ячейки считаются потерянными. Действие алгорит-
ма направлено на борьбу с перегрузками. Имеется ряд его модификаций.
1.2. Технологии
51
ния типа VBR-RT используются для передачи информации с жёсткими
ограничениями на задержку и потери ячеек. Примером соответствующего
сервиса может быть интерактивное видео. Качество передачи оценивает-
ся теми же параметрами, что и для соединений типа CBR. В соединениях
класса VBR-NRT жесткие требования накладываются на потери ячеек, но
не на их задержку. Данный вид сервиса можно рассматривать как ослаб-
ленную версию VBR-RT. Здесь оператор получает возможность разделять
потоки в соответствии с заявленными приоритетами.
В соединениях класса ABR (Available Bit Rate) реализуется возмож-
ность более эффективного использования каналов передачи информации.
Имеющийся свободный ресурс распределяется пропорционально заявкам
всех потребителей. Предполагается, что пользователь, выбирая данный
вид соединения, допускает возможность динамичного изменения интен-
сивности передачи ячеек между её минимальным и максимальным зна-
чениями. Механизм установления ABR-соединений имеет несколько раз-
новидностей реализации, детали которых обсуждаются в [3,17]. Изменяя
интенсивность поступления ячеек под имеющиеся передаточные возмож-
ности сети, технический менеджмент компании уменьшает потери ячеек,
не гарантируя в тоже время величину их задержки. Наименьшие гарантии
при передаче ячеек выдаются в соединениях с неопределённой скоростью
передачи UBR (Unspecified Bit Rate). Их типичная область применения
относится к передаче трафика по протоколу TCP/IP. Здесь допускаются
довольно длительные задержки и не резервируется ресурс сети. В ситуа-
ции перегрузки это может вызвать значительные потери ячеек.
Давая общую характеристику технологии ATM отметим, что данный
способ передачи информации обладает набором положительных характе-
ристик, присущих как технологии коммутации каналов, так и технологии
коммутации пакетов. Поскольку ячейки имеют фиксированную длину и
не велики по размерам, то это позволяет упростить протокол их комму-
тации и, следовательно, минимизировать задержки в точках коммутации.
Данное свойство даёт возможность эмулировать выделенный канал связи
со всеми вытекающими отсюда положительными моментами по качеству
передачи информации. В то же время ATM, являясь по сути пакетной
технологией, отличается эффективным использованием передающей сре-
ды, основанным на свойстве статистического уплотнения.
Реализация ATM в её полной функциональности, позволяющей стро-
ить динамически коммутируемые виртуальные линии связи в соединениях
типа «точка-точка», не получила своего распространения из-за сложности
и дороговизны соответствующего решения по сравнению с использованием
Ethernet. Данная технология совместно с механизмами обеспечения каче-
52
Глава 1. Мультисервисные сети
ства сквозных соединений на базе IP-протокола, которые будут рассмотре-
ны далее, доминирует на рынке и фактически стала мировым стандартом
для соединений типа «точка-точка».
1.2.5. Internet Protocol
Internet Protocol (IP) является основной частью семейства протоко-
лов TCP/IP, разработанных и стандартизированных для передачи трафи-
ка пользователей услуг сети Интернет. Протокол IP осуществляет выбор
маршрута (выбор последовательности промежуточных узлов) по достав-
ке информации в виде пакетов от узла-отправителя к узлу-получателю.
Передача пакета в соответствии с протоколом IP происходит по дейта-
граммному принципу без установления соединения. Пакеты обрабатыва-
ются и передаются независимо друг от друга. При этом доставка пакета
не гарантируется из-за отсутствия механизмов контроля и дублирования.
IP-пакет состоит из заголовка и информационного поля и имеет макси-
мальную длину 65535 байтов.
Протоколы управления передачей TCP (Transmission Control Protocol)
и UDP (User Datagram Protocol), обозначаемые как TCP/IP и UDP/IP, ре-
ализуют транспортные функции при передаче сообщений сети Интернет.
Для этого используются соответствующие программные средства, уста-
новленные на компьютерах пользователей услуг Интернет. Посылка ин-
формации пользователя происходит только по решению протокола TCP,
который также производит оценку максимального числа байтов информа-
ции (размер окна), которые могут быть посланы без получения подтвер-
ждения. Потерянные IP-пакеты передаются повторно. Варьируя размеры
окна в зависимости от загрузки канальных ресурсов, протокол переда-
чи выполняет таким образом действия, направленные на оптимизацию
скорости посылки информации. В соединениях, управляемых протоколом
UDP, передача IP-пакетов происходит с максимально возможной скоро-
стью независимо от загрузки канальных ресурсов. Потерянные IP-пакеты
повторно не передаются. В сети Интернет данный протокол использует-
ся в тех ситуациях, когда необходимо переслать информацию небольшого
объёма без установления ТСР-соединения.
Основным достоинством IP-протокола является возможность его ре-
ализации поверх практически всех транспортных технологий, включая
ATM, Frame Relay, SDH, Ethernet и т.д. При этом обеспечивается соеди-
нение типа «точка-точка» для передачи информации пользователя между
любыми двумя пунктами на земном шаре. Глобальный характер техноло-
1.3. Качество обслуживания в сетях IP
53
гии и открытость стандарта передачи значительно упрощают её исполь-
зование при организации разных форм телекоммуникационного бизнеса.
Яркий пример соответствующего бизнес-решения предложен компанией
Skype.
За лёгкость, достигнутую в установлении глобальных соединений, при-
ходится расплачиваться трудностями в обеспечении характеристик ка-
чества передачи информации пользователя. Протоколы TCP, UDP не
поддерживают дифференцированного обслуживания коммуникационных
приложений. Доля ресурса, получаемого для одного соединения, зависит
от числа уже установленных соединений. При этом все соединения рас-
сматривается сетью как равноправные, в частности, получают сигналы
о перегрузке, направленные на снижение интенсивности поступления ин-
формации. «Уравниловка» в выделении канального ресурса не способству-
ет его оптимальному распределению. Пользователь, с одной стороны, не
имеет мотивации к освобождению избыточно используемого ресурса, а с
другой стороны, не получает возможности аренды некоторого его количе-
ства сверх выделенного объёма.
Решение возникающих проблем может быть найдено с помощью внед-
рения более совершенных механизмов контроля. Реализация соответству-
ющих процедур не является простой задачей из-за глобального характера
сети Интернет, отсутствия единого управления, а также бытующего в сре-
де специалистов мнения о том, что ресурса сети хватит с избытком на все
приложения. То, что последнее утверждение уже сейчас можно ставить
под сомнение, обсуждалось в разделе 1.1.2. Реализация потенциала, зало-
женного в IP-протокол, во многом зависит от решения проблемы качества
обслуживания в сетях на базе протокола IP. Рассмотрим состояние дел и
результаты, которые удалось получить в данном направлении.
1.3. Качество обслуживания в сетях IP
1.3.1. Характеристики передачи пакетов
Актуальность проблемы определения, оценки и последующего исполь-
зования характеристик качества обслуживания пользователей возрастает
с насыщением сетей связи новыми мультимедийными услугами. Для их ре-
ализации необходимо учитывать зависимость объёма выделяемого ресурса
от типа сервиса. Это значительно усложняет решение задачи планирова-
54
Глава 1. Мультисервисные сети
ния сетевой инфраструктуры. В дальнейшем будем использовать термин
QoS (Quality of Service) для обозначения совокупности характеристик, от-
ражающих степень удовлетворения пользователя услугой, предоставлен-
ной оператором. В зависимости от ситуации QoS может охватывать все
составляющие обслуживания абонента (заключение договора, оснащение
средствами связи, помощь в затруднительных обстоятельствах со стороны
системы, оплату услуг и т.д.) или только какую-то их часть. Критериями
качества обслуживания обычно служат: скорость, достоверность, готов-
ность, надёжность, безопасность, простота и т.д.
Важность и необходимость исследования соответствующих проблем
нашла своё отражение в деятельности Международного союза электросвя-
зи (МСЭ). Сектор стандартизации в области телекоммуникаций опубли-
ковал в 2002 г. рекомендацию МСЭ Y.15408, в которой приведён перечень
наиболее значимых показателей, задающих стандарты качества переда-
чи пакетов в IP-сетях. Дадим краткую характеристику рекомендованным
показателям. Они сгруппированы в два множества в соответствии с ана-
лизируемыми аспектами качества передачи.
К первой группе относятся характеристики доставки IP-пакетов: за-
держка доставки IP-пакета (IP packet Transfer Delay, IPTD), вариация за-
держки доставки IP-пакета (IP packet Delay Variation, IPDV), доля по-
терянных IP-пакетов (IP packet Loss Ratio, IPLR), доля IP-пакетов, пере-
данных с ошибкой (IP packet Error Ratio, IPER). Формальные определения
введённых показателей выглядят следующим образом. Задержка достав-
ки IP-пакета для сегмента сети определяется для успешно переданных и
переданных с ошибками пакетов из соотношения (t2 — ti), где Н — время
входа пакета в рассматриваемый сегмент, a t2 - время выхода пакета из
сегмента. Предполагается, что t2 > Н и (t2 — ti) < Тщах, где Tmax —
максимально допустимая задержка, превышение которой ведёт к потере
пакета. Задержка доставки пакета от узла-источника до узла-получателя
определяется как сумма задержек по всем сегментам сети, составляющим
маршрут следования рассматриваемого информационного потока. Сред-
нее значение задержки находится как среднее арифметическое задержек
анализируемой группы IP-пакетов. Вариация задержки доставки к-го IP-
пакета от узла-источника до узла-получателя тк определяется из соотно-
8ITU-T Recommendation Y.1540. Internet protocol data communication service — IP
packet transfer and availability performance parameters. December 2002.
1.3. Качество обслуживания в сетях IP
55
шения тк — хк — di;2, где хк и dlt2 — абсолютные значения задержек соот-
ветственно к-го и эталонного (первого) IP-пакетов. Величина IPDV имеет
большое значение при оценке размеров буфера для потоковых сервисов
и при подборе размеров окна для протокола TCP. Доля потерянных IP-
пакетов определяется как отношение суммарного числа потерянных паке-
тов к общему числу принятых в анализируемой группе IP-пакетов. Потери
пакетов происходят в результате превышения максимально допустимого
времени ожидания. Соответственно, доля IP-пакетов переданных с ошиб-
кой определяется как отношение суммарного числа пакетов, переданных
с ошибкой, к общему числу переданных пакетов в анализируемой группе
IP-пакетов.
Ко второй группе относятся характеристики работы сетевой инфра-
структуры: производительность сети9 и готовность к работе. Первая ха-
рактеристика определяется как отношение объёма успешно переданной
информации к периоду наблюдения и измеряется в битах в секунду. Вто-
рую характеристику традиционно определяют как долю времени готовно-
сти сети к работе, посчитанную за год. Если са — коэффициент готовности,
а Т — суммарное время, выраженное в минутах, когда сеть не готова к
работе, то значение са определяется из соотношения са = 1 — 365х^4х60 Со-
ответственно, Т = (1 — са) х 365 х 24 х 60. Для коэффициента готовности
«пять девяток», т.е. са — 0,99999 получаем значение времени простоя 5,3
минуты в год.
Рассмотренный перечень показателей не отражает все стороны про-
цесса обслуживания заявки пользователя и характеризует, в основном,
доставку IP-пакетов. В настоящее время готовятся технические специфи-
кации на показатели установления и окончания соединения.
1.3.2. Механизмы поддержки QoS
Международный союз электросвязи определил ряд базовых сетевых
механизмов, действие которых направлено на достижение заданных пока-
зателей QoS. Их перечень приведён в рекомендации МСЭ Y.129110. Рас-
смотренные механизмы поддержки качества сгруппированы в блоки в со-
ответствии с логическими фазами обслуживания заявки пользователя.
9Скорость успешно переданных пакетов.
10ITU-T Recommendation Y.1291. An architectural framework for support of Quality of
Service in packet networks. May 2004.
56
Глава 1. Мультисервисные сети
Выделены три уровня:
• управления маршрутом следования информационного потока, ини-
циированного предоставлением услуги;
• управления передачей IP-пакетов, составляющих трафик пользова-
теля;
• административного управления процессом обслуживания заявки
пользователя.
Взаимосвязь блоков и составляющие их сетевые механизмы обеспечения
QoS показаны на рис. 1.6. Дадим им краткую характеристику. Начнём
Рис. 1.6. Базовые сетевые механизмы обеспечения QoS в
соответствии с рекомендациями Международного союза
электросвязи
с уровня управления маршрутом следования информационного потока,
порождённого предоставлением услуги.
1.3. Качество обслуживания в сетях IP
57
Управление допуском заявок (Admission control). Соответствую-
щий механизм контролирует процесс приёма новых заявок к обслужива-
нию. Возможность допуска заявки в сеть зависит от заранее принятого
соглашения по сервису, а также от наличия свободного ресурса, который
может быть использован для её обслуживания с заданным уровнем и без
ухудшения показателей QoS уже принятых заявок. Решение о допуске за-
явки принимается либо на основе анализа параметров рассматриваемого
информационного потока, либо исходя из результатов измерения состоя-
ния сетевой инфраструктуры, занятой обслуживанием принятых заявок.
В первом случае рассчитываются верхние границы характеристик переда-
чи IP-пакетов (задержка, потери, вариация задержки и т.д.), и после их
изучения выполняется резервирование ресурса вдоль маршрута следова-
ния пакетов. Данный подход обеспечивает жесткие гарантии QoS и обычно
применяется для сервисов реального времени. Во втором случае не предо-
ставляется гарантированный ресурс и не накладываются ограничения на
значения характеристик передачи IP-пакетов. Реализация данного подхо-
да не предлагает полного решения проблемы QoS, как в первом случае,
но обеспечивает более высокий коэффициент использования сетевых ре-
сурсов. На уровне управления допуском заявок также решается задача
первоочередного обслуживания приоритетных заявок.
Маршрутизация, обеспечивающая показатели QoS (QoS
routing). Сложность выбора маршрута следования информации пользо-
вателя существенным образом зависит от числа характеристик, участ-
вующих в определении QoS, и от размеров сети. Необходимо отметить,
что построенный маршрут может и не совпадать с кратчайшим путём.
На практике, чтобы упростить решение поставленной задачи, качество
обслуживания оценивают величиной одного параметра, например, объё-
мом канального ресурса или значением задержки, а для нахождения пути
следования информации применяют заранее выбранные стратегии. При
выборе маршрута используются данные о состоянии занятости канально-
го ресурса. Соответствующая информация предоставляется протоколами
сигнализации типа RSVP. Выбранный маршрут может лишь потенциально
обеспечить требуемый уровень QoS. Для гарантии качества обслуживания
также должны быть реализованы механизмы резервирования канального
ресурса.
Резервирование ресурсов (Resource reservation). Данный сетевой
механизм выполняет действия по резервированию ресурсов сети, необхо-
димых для достижения заданных показателей QoS. Его работа тесно свя-
зана с рассмотренным ранее механизмом, обеспечивающим доступ новых
58
Глава 1. Мультисервисные сети
заявок. Конкретная реализация алгоритма резервирования зависит от то-
го, какие показатели описывают качество обслуживания. В частности, в
модели IntServ для этих целей используется значение пиковой интенсив-
ности поступления информации. Важной особенностью применения рас-
сматриваемого механизма является необходимость включения стоимости
резервирования ресурсов в счёт, выписываемый пользователю за предо-
ставление данного вида сервиса.
Рассмотрим теперь механизмы управления передачей IP-пакетов, со-
ставляющих трафик пользователя.
Управление очередью (буфером) ожидающих пакетов (Queue
(or buffer) management). Рассматриваемый механизм определяет, какие из
ожидающих пакетов будут оставлены в очереди, а какие нет. Данные дей-
ствия в первую очередь направлены на минимизацию её размеров. При
этом важно, с одной стороны, не допустить уменьшения коэффициента
использования линии связи, а с другой, — избежать ситуаций, когда ли-
ния будет полностью загружена обслуживанием пакетов одного из пото-
ков. Схемы управления очередью различаются формулировкой критерия
начала действий по отбрасыванию пакетов и правилом выбора соответ-
ствующих пакетов. Одним из часто применяемых признаков является до-
стижение очередью своего максимального значения. В этом случае можно
использовать следующие правила отбора пакетов для удаления: последние
из поступивших, стоящие первыми в очереди или выбранные случайным
образом из всех ожидающих. Необходимо отметить, что рассматривае-
мый критерий сохраняет очередь в её максимальных размерах. Это может
иметь нежелательные последствия в случае обслуживания пульсирующе-
го трафика. Для преодоления соответствующих трудностей используются
признаки выбора пакетов, зависящие от текущей длины очереди. Наибо-
лее известный из них — критерий случайного раннего обнаружения RED
(Random Early Detection). При его реализации поступивший пакет отбра-
сывается с вероятностью, зависящей от количества ожидающих пакетов.
Есть несколько вариантов применения данной схемы. Они отличаются вы-
бором параметров, определяющих значение вероятности.
Предотвращение блокировок (Congestion avoidance). Блокировка
на сети возникает в ситуации, когда ресурса сети не хватает для обслужи-
вания поступающих информационных потоков. Её внешними признаками
являются заполненные до предела очереди ожидающих пакетов на комму-
таторах и, как следствие, увеличение доли отброшенных пакетов. Всё это
приводит к повторным передачам, которые могут полностью заблокиро-
вать работу узлов коммутации и снизить обслуженный поток заявок прак-
тически до нуля. В этой ситуации простое увеличение размеров буфера не
1.3. Качество обслуживания в сетях IP
59
решает проблемы блокировки, поскольку увеличение времени ожидания
опять приводит к повторным передачам с теми же отрицательными по-
следствиями, о которых шла речь выше. Для устранения на сети «узких
мест» с низкой пропускной способностью обычно применяют механизмы,
направленные на уменьшение интенсивности информационного потока от
источника трафика. Индикаторами необходимости выполнения данных
действий могут быть увеличение задержки передачи или доли отброшен-
ных пакетов. Детали реализации соответствующих моделей управления
представлены в описании транспортных протоколов, например, принцип
окна в TCP. Когда сеть возвращается в нормальный режим работы, то
интенсивность поступления пакетов от источника может быть увеличена.
Организация и планирование очередей (Queueing and scheduling).
Действие данного механизма направлено на выбор пакетов из буфера для
передачи по исходящей линии. Используются следующие схемы.
• Первый пришел — первый на обслуживание (First In — First Out,
FIFO). Пакеты размещаются в общую очередь и обслуживаются в
порядке поступления.
• Справедливая очерёдность (Fair queueing). Пакеты разделяются на
отдельные очереди в соответствии с потоками и обслуживаются по
принципу круговой очерёдности. Пустые очереди пропускаются.
• Приоритетное обслуживание (Priority servicing). Пакеты делятся на
очереди по назначенным приоритетам. В каждой очереди пакеты об-
служиваются по принципу «первый пришел — первый на обслужи-
вание». Передача пакета начинается, когда очереди более высоких
приоритетов уже пусты.
• Взвешенная справедливая очерёдность (Weighted fair queueing). Па-
кеты разделяются на отдельные очереди в соответствии с требовани-
ем к скорости передачи. Каждой очереди выделяется доля ресурса,
пропорциональная запросу на ресурс.
• Обслуживание в соответствии с классом сервиса (Class-based
queueing). Пакеты разделяются на отдельные очереди в соответствии
с назначенным классом обслуживания. Каждой очереди выделяется
определённая доля передаточных возможностей линии.
Маркировка пакетов (Packet marking). Пакеты метятся на гранич-
ных узлах сети согласно заявленному классу обслуживания. Метка раз-
мещается в соответствующем поле заголовка IP-пакета.
60
Глава 1. Мультисервисные сети
Классификация трафика (Traffic classification). Разделение трафи-
ка на классы производится как на уровне потока, так и на уровне пакета.
Таким образом создаются агрегированные потоки пакетов, например, от-
носящиеся к одному классу обслуживания.
Контроль трафика (Traffic policing). Данный механизм определяет
соответствие трафика заключённым ранее соглашениям при его передаче
от одного транзитного узла к другому. Пакеты, которые не удовлетворяют
заявленным требованиям, могут быть отброшены.
Формирование трафика (Traffic shaping). Действие данного меха-
низма направлено на изменение интенсивности и профиля трафика в це-
лях уменьшения его пульсаций и достижения большей предсказуемости
характеристик. Для решения поставленной задачи применяются следую-
щие две модели формирования трафика: «дырявое ведро» (Leaky Bucket)
и «ведро с жетонами» (Token Bucket). В результате использования схемы
Leaky Bucket интенсивность потока, покидающего узел, становится посто-
янной независимо от того, какая была интенсивность входного потока. В
случае переполнения «ведра» лишние пакеты сбрасываются. Схема Token
Bucket позволяет выходному потоку иметь ту же интенсивность, что и
входной поток, если в «ведре» имеется достаточное количество жетонов.
Жетоны наполняют «ведро» с определённой интенсивностью. В обмен на
жетон заданный объём трафика, выраженный в байтах, может покинуть
узел. Если «ведро» не содержит жетонов, то пакеты не передаются, а хра-
нятся в буфере. При реализации данной схемы пакеты не отбрасываются
и не так жестко регулируется интенсивность выходного потока, как при
реализации схемы Leaky Bucket. При формировании трафика обе схемы
могут использоваться порознь, вместе или последовательно. Допускаются
также и некоторые их модификации.
Рассмотрим теперь механизмы административного управления процес-
сом обслуживания заявки пользователя.
Соглашение об уровне обслуживания (Service Level Agreement
SLA). Данный механизм являет собой договор, устанавливающий взаим-
ные обязательства пользователя и поставщика услуг. Он задаёт уровни
доступности и удобства в получении услуги, показатели качества предо-
ставления запрашиваемого сервиса и т.д. В SLA могут быть также от-
ражены ценовые аспекты обеспечения услуги. В технической части SLA
перечислены параметры и их значения, задающие уровень обслуживания
сетью трафика пользователя.
1.3. Качество обслуживания в сетях IP
61
Измерение и учёт трафика (Traffic metering and recording). Изме-
рения проводятся в целях контроля за соответствием значений парамет-
ров реалвного трафика тем значениям, которые были оговорены на этапе
приёма заявки к обслуживанию. Измерения характеристик выполняют-
ся в определённых точках сети, и собранная информация впоследствии
исполвзуется для принятия необходимых действий по её управлению.
Восстановление трафика (Traffic restoration). Соответствующий ме-
ханизм задаёт перечень действий, совершаемых сетью в ситуации выхо-
да из строя элементов сетевой инфраструктуры. Принимаемые решения
направлены на уменьшение отрицательных последствий этих отказов и
должны рассматриваться на разных уровнях в соответствии с принципа-
ми многоуровневых систем. Современные оптоволоконные сети обладают
возможностями, позволяющими восстанавливать функциональность сети
уже на нижнем физическом уровне. Для этого в режиме реального време-
ни выполняется замена используемой длины волны. В транспортных тех-
нологиях SDH надёжность обеспечивается избыточным объёмом каналь-
ного ресурса в кольцевых топологиях. Восстановление функциональности
на уровне реализации протокола IP осуществляется изменением маршру-
та следования потока пакетов. На выполнение указанных действий может
уйти от нескольких секунд до нескольких минут. При использовании тех-
нологии MPLS изменение маршрута происходит существенно быстрее. Се-
тевая инфраструктура состоит из узлов и соединяющих их линий связи.
Каждый из этих элементов может выйти из строя. Отказ в работе узла
может быть, например, вызван неисправностью карты маршрутизатора.
Последствия этого сбоя устраняются внесением избыточности в структу-
ру маршрутизатора. Полное нарушение функциональных характеристик
узла требует использования обходных путей. Аналогичным образом устра-
няются последствия выхода из строя канала связи.
Правила доступа к ресурсам сети (Policy). Соответствующий меха-
низм определяет набор правил для администрирования, управления и кон-
троля за доступом к ресурсам сети. В одном случае они отражают только
специфику поставщика услуг, в другом — основаны на соглашении между
пользователем и поставщиком услуг и включают в себя требования к на-
дёжности и доступности сервиса. Поставщики услуг используют правила
доступа к ресурсам сети при внедрении механизмов управления маршру-
том следования и передачей IP-пакетов, составляющих трафик пользова-
теля. Другие потенциальные приложения рассмотренной процедуры это
направление пакетов в сети без использования таблицы маршрутизации.
62
Глава 1. Мультисервисные сети
Используя перечисленные механизмы как конструктивные блоки, мож-
но построить конкретные модели поддержки качества обслуживания в
сетях IP. В настоящее время получено несколько моделей, разработан-
ных IETF11 и представленных в RFC12, которые направлены на создание
условий обеспечения разных форм гарантированного обслуживания в IP-
сетях. К ним относятся ранее упомянутые модели: интегрированных услуг
(Integrated Services — IntServ), дифференцированных услуг (Differentiated
Services — DiffServ) и многопротокольной коммутации по меткам (Multi-
Protocol Label Switching — MPLS). Дадим им краткую характеристику.
1.4. Модели поддержки QoS в сетях IP
1.4.1. Модель интегрированных услуг
Модель организации процесса передачи сообщений в архитектуре
IntServ в упрощенном виде реализует принципы построения соединений
«точка-точка» с гарантированным качеством обслуживания, используе-
мые в технологии ATM. Основная область применения IntServ —- поддерж-
ка приложений реального времени, чувствительных к задержкам. В соот-
ветствии с данной концепцией для передачи пользовательской информа-
ции должен быть организован маршрут следования трафика и обеспечено
взаимодействие элементов сетевой инфраструктуры для резервирования
необходимого объёма канального ресурса. Только после этого начинается
передача информации пользователя.
Для решения этой задачи разработан протокол сигнализации RSVP
(Resource reSerVation Protocol). Его основная функция — создание и под-
держка маршрута следования информации. Для этого RSVP осуществля-
ет взаимодействие с используемыми на сети протоколами маршрутизации,
механизмами управления трафиком и схемами допуска заявок к обслужи-
11 IETF (Internet Engineering Task Force) — Техническая комиссия Internet, образован-
ная в 1986 г. В её состав входит несколько рабочих групп по составлению документов
RFC, направленных на развитие и стандартизацию технологии Internet. Официального
понятия членства в IETF нет, как нет и ограничений на состав участников. Отдельные
рабочие группы создаются на короткий промежуток времени, определяемый сроками
решения конкретной задачи.
12RFC (Request for Comments) —- Предложение для обсуждения. Серия норматив-
ных документов, издаваемых с 1969 года под эгидой IETF в целях стандартизации и
развития протоколов Internet. Не все документы RFC являются официальными стан-
дартами Internet. Часть из них носит рекомендательный характер, представляет собой
справочный материал или содержит описание какой-либо проблемы.
1.4. Модели поддержки QoS в сетях IP
63
ванию. Если сравнить действие протокола RSVP с системами сигнали-
зации, используемыми в сетях ATM, то его реализация выглядит проще.
Здесь нет необходимости в организации виртуальных соединений, посколь-
ку йспользуются имеющиеся таблицы маршрутизации IP-пакетов. Под-
держка соединения осуществляется получателем информации, а не про-
межуточными узлами. Из числа введённых в разделе 1.3.2 механизмов
управления качеством обслуживания IP-пакетов в модели интегрирован-
ных услуг применяются: управление допуском заявок; резервирование ре-
сурсов; организация и планирование очередей; классификация трафика;
контроль доступа.
Несомненным положительным качеством модели IntServ является воз-
можность обеспечения гарантированных характеристик качества обслу-
живания. К недостаткам следует отнести плохую масштабируемость.
Трудности возникают как с ростом числа соединений, так и при увеличе-
нии размеров сети. В этой ситуации можно использовать решения на базе
IntServ, но его стоимость существенно увеличивается. Недостатки модели
интегрированных услуг были частично преодолены в модели дифферен-
цированных услуг.
1.4.2. Модель дифференцированных услуг
В основе концепции DiffServ лежит принцип обработки IP-пакетов в со-
ответствии с заданным классом обслуживания. Соответствующая инфор-
мация кодируется в поле типа обслуживания TOS (Type of Service) заго-
ловка IP-пакета. Каждый сетевой узел может поддержать несколько де-
сятков классов обслуживания. Он оговаривается в SLA (см. раздел 1.3.2)13
и формализует отношения провайдера услуг и их пользователя. В согла-
шении фиксируются параметры информационного потока, инициирован-
ного предоставлением услуги (профиль трафика), а также приводится пе-
речень показателей и их значений, которые используются провайдером
для обеспечения требуемого уровня обслуживания. Дополнительно в SLA
могут включаться и другие сервисные характеристики: возможности по
изменению маршрута, средства защиты информации, условия тарифика-
ции и т.д. Соответствующие соглашения могут быть статичными (в основ-
ном именно они используются в настоящий момент) или динамичными,
отражающими изменения в загрузке сети или тарификации услуг.
Структура модели DiffServ включает в себя область DiffServ и меха-
низмы обработки и продвижения пакета по узлам, входящим в область
13В некоторых источниках данное соглашение называется контрактом по трафику.
64
Глава 1. Мультисервисные сети
DiffServ, в соответствии с заданным качеством обслуживания РНВ (Per
Hop Behaviour). Не останавливаясь подробно на пояснении работы каждо-
го из компонентов, отметим следующие моменты. Область DiffServ состоит
из некоторого числа узлов, поддерживающих DiffServ. В ней выделяются
граничный сегмент и ядро. Граничные узлы также делятся на входящие и
исходящие. Входящий граничный узел обеспечивает мониторинг поступа-
ющих информационных потоков и оценивает адекватность их параметров
существующему SLA. Исходящий узел формирует поток в соответствии с
SLA. Важнейшими функциями входящего граничного узла являются диф-
ференциация и последующая агрегация информационных потоков в соот-
ветствии с заявленными требованиями к уровню обслуживания. Затем па-
раметры потока (обычно это усреднённая интенсивность и максимальный
размер пульсации) измеряются и согласовываются со значениями, заяв-
ленными в SLA. Пакеты, не удовлетворяющие заданным спецификаци-
ям, либо получают пониженный приоритет, либо удаляются из системы.
В случае необходимости также реализуются механизмы профилирования
трафика. Последовательность обработки информации в соответствии с мо-
делью DiffServ показана на рис. 1.7.
В области DiffServ пакеты агрегированного потока обрабатываются по
одним и тем же правилам и получают одинаковый уровень обслуживания.
Выбор модели локального поведения даёт возможность узлам ядра обла-
сти DiffServ реализовать назначенный класс обслуживания. Применение
различных схем локального поведения регулируется правилами выбора
из очереди и управлением буферным пространством. Имеются две основ-
ные модели локального поведения: срочная доставка Expedited Forwarding
(EF) РНВ и гарантированная доставка Assured Forwarding (AF) РНВ. Об-
служивание класса EF обеспечивает пользователя наилучшими показате-
лями передачи пакетов и используется для приложений, требующих до-
ставки информации с минимальными значениями задержки и потерь па-
кетов. Агрегированному потоку класса EF выделяется гарантированный
минимальный ресурс на всех звеньях сети, составляющих маршрут сле-
дования пакетов в области DiffServ. Если объём ресурса, используемого
для передачи, не будет превышен, то рассматриваемый информационный
поток получит гарантированное качество обслуживания. В противном слу-
чае ему придётся конкурировать за излишек ресурса с потоками других
классов. Реализация сервиса класса AF выполняется более сложным об-
разом. Информационные потоки делятся на четыре класса обслуживания,
каждый из которых, в свою очередь, делится ещё на три подкласса в соот-
ветствии с уровнями отбрасывания пакетов. Для каждого класса выделя-
1.4. Модели поддержки QoS в сетях IP
65
Рис. 1.7. Структура модели DiffServ
ется фиксированный объём канального ресурса и назначается приоритет в
его занятии в случае перегрузки. Из введённого в разделе 1.3.2 перечня ме-
ханизмов управления качеством обслуживания IP-пакетов в модели диф-
ференцированных услуг используются: управление буфером; маркировка
пакетов; соглашение об уровне обслуживания; измерение и учёт трафика;
контроль трафика; формирование трафика.
Основными достоинствами модели DiffServ являются масштабируе-
мость и простота внедрения. Рост числа соединений не приводит к росту
числа агрегированных потоков. Это очень важно при реализации пакетной
сетью массовых услуг, например, IP-телефонии. В этой ситуации инфор-
мационные потоки, относящиеся к рассматриваемой услуге, агрегируются
в области DiffServ и обслуживаются сетью как один поток. Модель DiffServ
решает задачу дифференциации качества обслуживания в IP-сетях самым
простым способом при минимальном использовании средств сетевого кон-
троля. К недостаткам модели DiffServ следует отнести её локальный ха-
рактер. Её действие не обеспечивает глобальных показателей качества об-
66
Глава 1. Мультисервисные сети
служивания пользователя. Эту задачу решает технология MPLS. Таким
образом, дополняя друг друга, обе технологии становятся важным инстру-
ментом обеспечения характеристик качества обслуживания в мультисер-
висных сетях.
1.4.3. Многопротокольная коммутация по меткам
В основе концепции MPLS лежит возможность создания и последую-
щего использования виртуальных маршрутов (тоннелей) к пункту (или к
пунктам) следования информационного потока. Тоннели создаются про-
граммным путём и применяются для переноса агрегированного трафи-
ка, имеющего общий пункт назначения или использующего при движе-
нии по сети общую часть её инфраструктуры. Применение данной тех-
нологии позволяет изолировать заранее выбранный информационный по-
ток и обеспечить ему требуемые характеристики качества обслуживания.
Для этого средствами MPLS выделяется необходимый канальный ресурс.
Понятно, что трудно построить семейство тоннелей для всех возможных
точек назначения, поэтому обычно технология MPLS используется в яд-
ре сети. Все граничные маршрутизаторы ядра соединены между собой
MPLS-тоннелями, обеспечивая качественную передачу информации сетей
доступа.
Приведём более подробную характеристику для основных компонентов
рассматриваемой технологии. Фундаментом MPLS является принцип ком-
мутации по меткам. Они присваиваются пакету на входе в сеть MPLS, и
только их значения, а не IP-адреса, используются далее при выборе марш-
рута движения пакета по сети MPLS. Присвоение меток пакету выпол-
няется в соответствии с понятием класса эквивалентной пересылки FEC
(Forwarding Equivalence Class). Согласно этому понятию пакетам, принад-
лежащим одному классу FEC, на входном узле сети MPLS присваивается
одна и та же метка. Далее все эти пакеты пересылаются по сети по од-
ному маршруту. Определение FEC носит достаточно общий характер и
даёт оператору большой выбор возможностей по объединению пакетов в
некую общность с целью последующей их пересылки в одинаковых усло-
виях. Класс FEC может объединять в себе: пакеты, попавшие в сеть MPLS
с одного входного узла и вышедшие с одного выходного узла; пакеты, име-
ющие одинаковый класс обслуживания; пакеты, составляющие заданный
поток и т.д. В общем случае объединение пакетов в один класс FEC вы-
полняется на основе информации, хранящейся в пакете, или на основе ин-
формации, являющейся внешней по отношению к пакету (например, номер
1.4. Модели поддержки QoS в сетях IP
67
порта входного узла, по которому пакет попал в узел). Допустима и ком-
бинация этих двух возможностей. Метка имеет смысл только между парой
узлов, соединенных линией, и только в направлении от узла-источника к
узлу-получателю информации.
Путь, который используется для пересылки пакетов, принадлежащих
одному классу FEC, носит название пути коммутации меток LSP (Label
Switched Path). Маршрут LSP состоит из нескольких узлов коммутации
меток LSR (Label Switching Router), соединённых обычными каналами пе-
редачи данных. Функционально он эквивалентен виртуальному пути, по-
скольку определяет маршрут движения пакетов через всю сеть. Гранич-
ные узлы LSR на маршруте LSP, поддерживающие процедуру коммута-
ции меток, носят название граничных маршрутизаторов меток LER (Label
Edge Router). Они играют особую роль в процессе передачи пакетов, по-
скольку именно они связаны с маршрутизаторами, не поддерживающими
технологию MPLS. Узлы LER производят классификацию, а также при-
водят в формат MPLS информационные потоки, входящие в сеть MPLS.
Они задают начальную метку при входе в сеть, а также удаляют заго-
ловок MPLS и направляют пакет согласно его IP-адресу назначения при
выходе из сети MPLS. Маршрутизаторы LSR в процессе приёма и дальней-
шей передачи пакета игнорируют в их заголовках информацию сетевого
уровня и задают дальнейший путь следования только на основании меток.
Последовательность обработки информации с использованием технологии
MPLS показана на рис. 1.8.
Управляющая компонента решений на основе MPLS включает в себя
семейство протоколов, отвечающих за реализацию сетевой функциональ-
ности. Они представлены в виде программных средств, связанных между
собой протоколами сигнализации. Для работы управляющей компонен-
ты необходимо получить и распределить информацию о топологии сети
и доступности её ресурсов. Для этого используются элементы решений
IntServ и DiffServ, в частности, протокол сигнализации RSVP. Если MPLS
реализуется поверх ATM, то применяется система сигнализации ATM. Из
рассмотренных в разделе 1.3.2 механизмов управления качеством обслу-
живания IP-пакетов в модели MPLS используются: управление буфером;
маркировка пакетов; маршрутизация, обеспечивающая показатели QoS;
организация и планирование очередей; резервирование ресурсов; класси-
фикация и формирование трафика.
Основным достоинством технологии MPLS является её способность
строить виртуальные пути и проводить передачу информационных пото-
ков с заданным качеством в неоднородных сетевых структурах, с разны-
68
Глава 1. Мультисервисные сети
Рис. 1.8. Схема передачи пакетов на базе технологии MPLS
ми технологиями канального уровня. Одной из характеристик, которая в
лучшую сторону отличает MPLS от подобных ей технологий коммутации
меток, в частности, от ATM, является возможность MPLS передавать вме-
сте с пакетом не одну метку, а целый стек меток. Это позволяет создавать
иерархию потоков в сети MPLS и организовывать тоннельные передачи.
Причем в сети MPLS можно создавать тоннели и осуществлять управле-
ние трафиком в каком-то сегменте сети, а не от точек входа в сеть и выхода
из неё, как того требуют традиционные средства образования тоннелей.
Важной областью применения MPLS является строительство виртуаль-
ных сетей. Узлы, не имеющие прямых связей, в виртуальной сети могут
рассматриваться как связанные тоннелями с заданными скоростями пе-
редачи. Если необходимо провести разделение потоков в соответствии с
уровнем обслуживания, то можно построить соответствующее число па-
раллельных виртуальных сетей.
1.4.4. Traffic Engineering
Возможности по управлению и дифференциации информационных по-
токов, которые предлагает технология MPLS, привели к созданию ново-
1.4. Модели поддержки QoS в сетях IP
69
го направления в теории телетрафика, которое по английски звучит как
traffic engineering (или сокращенно — ТЕ). Не задаваясь целью подобрать
точный перевод данного термина на русский язык, будем полагать, что
traffic engineering — это комплекс взаимоувязанных методов и механизмов,
позволяющий оператору оптимизировать показатели пропускной способ-
ности мультисервисной сети связи. Методы traffic engineering можно ис-
пользовать как с целью устранения условий для появления блокировки в
будущем, так и для вывода сети из пребывания в состоянии перегрузки
в настоящий момент. Последняя ситуация может возникнуть в результате
ранее принятых неверных управленческих решений. При нехватке каналь-
ного ресурса в отдельных сегментах сети часто наблюдается недоиспользо-
вание передаточных возможностей линий в направлениях, которые могли
бы быть альтернативными для обслуживания заблокированного трафи-
ка. Решение подобных проблем также является одной из основных задач
traffic engineering. Если кратко изложить цели traffic engineering, то это
умение направить информационные потоки туда, где для его обслужива-
ния имеется ресурс. В этом контексте задача network engineering форму-
лируется как умение установить ресурс в том месте сети, где возникает
необходимость в передаче информационных потоков.
Обсудим отдельные составляющие traffic engineering. Первый компо-
нент — это измерение характеристик информационных потоков. Для ре-
ализации соответствующей функции используются специализированные
программно-аппаратные комплексы. Они собирают и ведут предваритель-
ную обработку сведений о числе пакетов, передаваемых в заданном на-
правлении, о размерах пакетов, о величине информационного потока в
период наибольшей нагрузки, о распределении трафика по направлени-
ям, о параметрах наиболее популярных коммуникационных приложений,
о скорости поступления и обработки информации и т.д. Второй компонент
— это выполнение действий по формализованному описанию информаци-
онных потоков. Сюда входят процедуры обработки результатов измерений
и разделение их на категории, которые могут быть использованы для ста-
тистического анализа. Третий компонент — это моделирование процесса
поступления и обслуживания информационных потоков. Здесь на основе
данных статистических наблюдений выводятся аналитические и алгорит-
мические зависимости, позволяющие по значениям параметров потоков и
сведениям о топологии сети находить значения характеристик качества
обслуживания пользователей. Полученные результаты используются для
оценки последствий принимаемых решений или прогноза изменения ка-
чества обслуживания при возможном изменении интенсивностей входных
70
Глава 1. Мультисервисные сети
потоков. Заключительный четвертый компонент относится к принятию
решений о распределении трафика. Здесь используются преимущества,
обеспечиваемые технологией MPLS. Применение данной технологии поз-
воляет для каждого информационного потока строить свой виртуальный
путь и не обращать внимание на другие потоки.
Рекомендации по реализации функций traffic engineering сформулиро-
ваны в документах RFC-270214 и RFC-320915. Согласно этим рекоменда-
циям, для реализации положений traffic engineering в технологии MPLS
используются расширения стандартных протоколов маршрутизации и ре-
зервирования. Присутствие соответствующего расширения помечается че-
рез дефис символом ТЕ, например, OSPF-TE и RSVP-ТЕ. Применение
указанных расширений дополняет память маршрутизатора информаци-
ей о степени занятости канального ресурса. Реализация функций traffic
engineering позволяет оператору проводить мероприятия, направленные
на оптимизацию загрузки ресурса сети. Для их осуществления необходи-
мо построить модели распределения канального ресурса в мультисервис-
ных сетях. Решение данной проблемы будет рассмотрено в последующих
главах.
1.5. Планирование пропускной способности
сети
1.5.1. Технические и пользовательские аспекты QoS
Конечной целью теоретических исследований, направленных на созда-
ние методик планирования мультисервисных сетей связи, является опре-
деление функциональных зависимостей между объёмами возникающего
трафика, показателями качества обслуживания и структурными парамет-
рами сети, которые в конечном итоге могут быть использованы для опре-
деления стоимости решения. Главной трудностью здесь является оценка
показателей QoS. Содержание разделов 1.3 и 1.4 показывает, что понятие
QoS применительно к IP-сетям носит комплексный характер и затрагивает
разные аспекты доставки IP-пакетов. Из всего многообразия характери-
стик необходимо выделить несколько основных интегральных показате-
14Awduche D., Malcolm J., Agogbua J., O’Dell M., McManus J. Requirements for traffic
engineering over MPLS, RFC-2702, September, 1999.
15Awduche D., Berger L., Gan D., Li T., Swallow G., Srinivasan V. RSVP-ТЕ: extension
to RSVP for LSP Tunnels, RFC-3209, December, 2001.
1.5. Планирование пропускной способности сети
71
лей, которые глобально оценивают качество обслуживания и могут быть
использованы для оценки необходимого ресурса сети, оставив остальные
характеристики для уточнения деталей процесса обслуживания информа-
ционных сообщений. Выбор соответствующих показателей следует связать
с тем, как и с каких позиций они оценивают качество предоставляемых
сервисов. Рассмотрим два подхода.
В первом решении, предложенном в рекомендации МСЭ Y.154116, сер-
висы делятся на категории в зависимости от значений характеристик пе-
редачи IP-пакетов: задержки доставки, вариации задержки доставки, до-
ли потерянных пакетов и доли пакетов, переданных с ошибкой (см. раз-
дел 1.3.1). Значения указанных характеристик, определяющие шесть клас-
сов сервиса, приведены в таблице 1.3. В этой же рекомендации перечисле-
ны примеры услуг, относящиеся к каждому из введённых классов качества
доставки IP-пакетов.
Таблица 1.3.
Верхние границы значений характеристик доставки IP-пакетов,
определяющие классы инфокоммуникационных сервисов в соответствии
с рекомендацией МСЭ Y.1541
Характеристики доставки IP-пакетов Классы качества передачи информационных потоков
0 1 2 3 4 5
Задержка доставки IP-пакета, IPTD 100 мс 400 мс 100 мс 400 мс 1 с Не опр.
Вариация задержки доставки IP-пакета, IPDV 50 мс 50 мс Не опр. Не опр. Не опр. Не опр.
Доля потерянных IP-пакетов, IPLR 1х10-3 1х10-3 1х10-3 1х10-3 1х10“3 Не опр.
Доля IP-пакетов, переданных с ошибкой, IPER 1х10-4 1хИГ4 1х10-4 1х10-4 1х10-4 Не опр.
16ITU-T Recommendation Y.1541. Network performance objectives for IP-based services.
May, 2002.
72
Глава 1. Мультисервисные сети
Требования к условиям передачи естественным образом вытекают из
характера предоставляемых услуг. Соответствующий перечень классов
сервисов выглядит следующим образом.
Класс О — потоки реального времени, отличающиеся высокой степенью
интерактивности и чувствительные к вариации задержки (высоко-
качественная пакетная телефония и видеоконференц-связь).
Класс 1 — потоки реального времени, интерактивные и чувствительные
к вариации задержки (пакетная телефония, видеоконференц-связь).
Класс 2 - транзакции данных, отличающиеся высокой степенью интер-
активности (сигнализация).
Класс 3 — транзакции данных, интерактивные.
Класс 4 — потоки, чувствительные к потере информации в процессе её
передачи по сети (массивы данных, потоковое видео).
Класс 5 — традиционные приложения IP-сетей с характеристиками пе-
редачи по умолчанию.
Следует отметить, что приведённая классификация выполнена с по-
зиций фиксации значений технических параметров доставки IP-пакетов.
Столь тонкая дифференциация приложений полезна для понимания дета-
лей передачи информационных потоков в мультисервисных сетях. Однако
использование такого числа категорий часто бывает излишним и приводит
к сложным моделям при формализованном описании функционирования
сети.
Рассмотрим другой подход. Разделим сервисы на три категории, вы-
брав в качестве критерия восприятие пользователем качества услуги в
зависимости от наличия задержки в получении информационного сооб-
щения. К первой категории отнесём передачу данных в режиме реального
времени. Соответствующие информационные потоки передаются без за-
держки или с минимальной задержкой. Будем называть этот вид услуг
сервисами реального времени (real-time services). Сюда относится голосо-
вая связь и видеоконференц-связь. Ко второй категории причислим пе-
редачу данных в интерактивном режиме (interactive data). Назовём этот
вид услуг сервисом интерактивной передачи данных. Пересылка сообще-
ний данного вида может происходить с небольшой задержкой. Абонент
1.5. Планирование пропускной способности сети
73
оценивает качество получаемого сервиса, анализируя время доставки со-
общения, которое определяется скоростью передачи информации пользо-
вателя. К данному типу услуг можно причислить скачивание содержимого
веб-страниц. И наконец, к третьей категории сервисов отнесём услуги, при
реализации которых возможна более существенная задержка в пересыл-
ке информационных сообщений, но без потери качества обслуживания,
воспринимаемой пользователем. Альтернативное английское название —
delay tolerant services. Назовём этот вид услуг сервисом передачи дан-
ных, терпимых к задержке. К нему можно отнести передачу сообщений
электронной почты, пересылку файлов и т.д. Примеры конкретных ком-
муникационных приложений, относящиеся к перечисленным категориям,
приведены в таблице 1.4 с указанием чувствительности приложений к зна-
чениям потерь пакетов и вариации задержки (джиттеру).
Как было сказано, приведённая классификация коммуникационных
приложений выполнена с позиции восприятия абонентом качества получа-
емого сервиса. Рассмотрим формальные характеристики, которые могут
быть использованы для численной оценки качества обслуживания пользо-
вателя. Трафик сервисов реального времени пришел из сетей коммутации
каналов. Анализируемые информационные потоки требуют немедленной
передачи без задержек в точках коммутации. Если предположить, что за-
держка и её вариация контролируются соответствующими сетевыми меха-
низмами, то основными характеристиками качества обслуживания заявок
на получение сервисов реального времени будут доля потерянных пакетов
и доступность канального ресурса (доля отказов в установлении соедине-
ния).
Абонент, пользующийся услугами интерактивной передачи данных,
оценивает данный вид сервиса его доступностью и, в большей степени,
временем, которое тратится на скачивание документа (например, веб-
страницы, видеофайла и т.д.). В рассматриваемом случае основным по-
казателем качества обслуживания является скорость передачи информа-
ции пользователя. Она зависит от объёма свободного канального ресурса,
выделяемого сетью, и определяет время скачивания документа. Длитель-
ность соответствующего интервала времени зависит от размера документа
и обычно составляет несколько секунд.
И, наконец, передача данных, терпимых к задержке, рассматривается
абонентом без жестких ограничений на время доставки документа, если
оно не превосходит приемлемых для пользователя значений, например,
нескольких минут. Поэтому в качестве интегрального показателя качества
предоставления данной услуги также можно взять скорость передачи ин-
74
Глава 1. Мультисервисные сети
Таблица 1.4.
Разделение коммуникационных приложений на категории в соответствии
с восприятием пользователем качества получаемого сервиса
Класс трафика Тип приложения Чувствительность к показателям доставки IP-пакетов
Потери Задержка Джиттер
Передача Голосовая связь Средняя Высокая Высокая
данных в режиме реального Транзакции данных Высокая Высокая Низкая
времени Видео- конференцсвязь Средняя Высокая Высокая
Интер- активная Просмотр веб-страниц Высокая Средняя Низкая
передача данных Скачивание документов Высокая Средняя Низкая
Скачивание видеофайлов Высокая Средняя Средняя
Передача данных Пересылка файлов Высокая Низкая Низкая
терпимых к задержке Электронная почта Высокая Низкая Низкая
Некоторые виды телеметрии Высокая Низкая Низкая
1.5. Планирование пропускной способности сети
75
формации пользователя. По сравнению с предыдущим случаем меняется
лишь ограничение на время доставки документа.
Если рассмотреть оба подхода к делению услуг на категории, то можно
сделать следующие выводы. В основе способа, предложенного в рекомен-
дациях МСЭ, лежит классификация сервисов в соответствии со значени-
ями технических характеристик доставки IP-пакетов:
• задержки доставки,
• вариации задержки доставки,
• доли потерянных пакетов,
• доли пакетов, переданных с ошибкой.
Следующий из рассмотренных подходов решает эту же задачу с по-
зиций восприятия пользователем качества получаемой услуги. При этом
используются характеристики:
• доля потерянных пакетов, определяемая как доля IP-пакетов, от-
брошенных из-за блокировок в процессе их передачи по сети;
• доля отказов в установлении соединения, определяемая как доля за-
явок, составляющих рассматриваемый поток, для которых механизм
управления допуском отказал в резервировании канального ресурса
в количестве, необходимом для обслуживания поступившей заявки;
• скорость передачи информации пользователя, определяемая как от-
ношение объёма успешно переданной информации к периоду наблю-
дения и измеряемая в битах в секунду.
Именно этот подход и будет положен в основу схем планирования про-
пускной способности мультисервисных сетей связи, рассмотренных далее.
Основанием для такого выбора является интегральный характер показа-
телей, предлагаемых для оценки QoS, а также легкость их измерения и
моделирования. Соответствующие показатели: доля отказов в установле-
нии соединения и скорость передачи информации пользователя отражают
уровень блокировок на сети в той форме, которая понятна пользователю и
которую трудно, а порою и невозможно, отобразить через значения техни-
ческих параметров доставки IP-пакетов. Это, если можно так сказать, опе-
раторская точка зрения на формирование целевых показателей планиро-
вания сетевой инфраструктуры. В рассматриваемой постановке контроль
за значениями технических параметров является вторичным и направлен
на улучшение эксплуатационных характеристик работы сетевого оборудо-
вания. Эту функцию обычно реализуют поставщики оборудования.
76
Глава 1. Мультисервисные сети
1.5.2. Этапы планирования сети
Рассмотрим последовательность действий, которую необходимо выпол-
нить при планировании пропускной способности узлов и каналов муль-
тисервисной сети. Имея ввиду сложность исследуемого объекта, задача
планирования разбивается на две части. Вначале оценивается пропускная
способность отдельных линий и узлов. Для этого необходимо определить
правила, которые задают движение информационных потоков в сети. Для
каждого сервиса эти правила позволяют преобразовать матрицу распреде-
ления трафика между любыми двумя точками сети в потоки заявок на вы-
деление ресурса на каждом из имеющихся узлов или линий. Зависимость
процесса обслуживания заявок на отдельных сегментах сети учитывается
при реализации следующего шага её планирования, когда результаты, по-
лученные на отдельных звеньях и узлах, увязываются с использованием
разного рода упрощённых предположений относительно движения инфор-
мационных сообщений по сети.
Вернемся теперь к первой части планирования сети, когда определя-
ется пропускная способность отдельных звеньев и узлов. В соответствии с
[31] решение сформулированной проблемы можно разбить на четыре эта-
па, которые схематично показаны на рис. 1.9. Обсудим более подробно
задачи, решаемые на каждом шаге планирования.
Основной целью первого этапа является определение максимального
числа соединений, по которым одновременно с заданной вероятностью
потерь пакетов может вестись передача информации, инициированная
предоставлением сервисов реального времени. Для решения поставленной
задачи используется концепция эффективной скорости передачи. Значе-
ние данного показателя лежит между средней и пиковой скоростями пе-
редачи информации пользователя и меняется в довольно широких преде-
лах. Величина эффективной скорости передачи позволяет численно оце-
нить эффект статистического мультиплексирования, который свойственен
совместному обслуживанию информационных потоков с использованием
пакетных технологий. Результаты первого этапа имеют большое значение
при реализации процедур оценки стоимости и тарификации услуг свя-
зи. Именно они обеспечивают специалистов, занимающихся планировани-
ем пропускной способности сети, информацией, необходимой для оценки
объёма сетевой инфраструктуры с учётом статистических свойств инфор-
мационных потоков. В дальнейшем значение эффективной скорости пе-
редачи будет использовано для оценки потребности в канальном ресурсе
при передаче трафика моносервисных и мультисервисных коммуникаци-
1.5. Планирование пропускной способности сети
77
\ Перечень \ этапов Характеру ристика \ этапа \ Этап 1 Оценка эффективной скорости передачи Этап 2 Расчёт ресурса для сервисов реального времени Этап з Расчёт ресурса для сервисов интерактивной передачи данных Этап 4 Расчёт ресурса для сервисов передачи данных, допускающих задержку
Тип сервиса Моносервисные коммуникационные приложения реального времени Мультисервисные коммуникационные приложения реального времени Сервисы интерактивной и потоковой передачи данных Сервисы передачи данных, допускающие задержку
Целевой показатель QoS Доля потерянных пакетов Доля отказов в установлении соединения Скорость передачи информации пользователя (время скачивания документа) Скорость передачи информации пользователя (время скачивания документа)
Результат выполнения этапа Значение эффективной скорости передачи для каждого сервиса Потребность в ресурсе для мультисервисного трафика реального времени Абсолютная или дополнительная потребность в ресурсе Абсолютная или дополнительная потребность в ресурсе
Рис. 1.9. Этапы оценки пропускной способности звена
мультисервисной сети связи
онных приложений. Детали вычисления данной характеристики потока
будут рассмотрены в разделе 1.6.2.
На втором этапе решается задача определения объёма канального ре-
сурса необходимого для обслуживания с заданным качеством трафика,
инициированного предоставлением сервисов реального времени. Объём ре-
сурса оценивается с использованием моделей и методов теории телетрафи-
ка мультисервисных сетей связи. При разработке соответствующих моде-
лей необходимо принять во внимание особенности формирования потоков
заявок на выделение канального ресурса. К этим особенностям, в первую
очередь, относится зависимость интервала времени между последователь-
ными поступлениями заявок от степени загрузки сети. Учёт соответству-
ющих факторов может затруднить последующую оценку показателей ка-
чества обслуживания абонентов. Достаточность ресурса обычно опреде-
ляется исходя из величины доли заявок, которым отказано в выделении
требуемого объёма канального ресурса. Могут использоваться и другие
более сложные функционалы.
78
Глава 1. Мультисервисные сети
На третьем этапе оценивается величина канального ресурса доя об-
служивания трафика сервисов интерактивной передачи данных. Опреде-
ляется либо значение абсолютной потребности в ресурсе, когда соответ-
ствующий трафик обслуживается изолированно от других потоков, ли-
бо значение дополнительной потребности в ресурсе, когда этот трафик
передаётся совместно с трафиком сервисов реального времени. Значение
скорости передачи находится исходя из принятых ограничений на время
доставки соответствующих документов. Для решения поставленной зада-
чи используются модели и методы теории телетрафика мультисервисных
сетей связи, в которых учитываются особенности динамического распре-
деления канального ресурса линии. Аналогичным образом при реализации
четвёртого этапа определяется потребность в ресурсе для обслуживания
трафика сервисов передачи данных, допускающих задержку.
Возможность и необходимость реализации всех сформулированных
этапов планирования сети зависит от того, насколько сеть готова к выпол-
нению указанных действий. Здесь могут быть разные ситуации. С одной
стороны, оператор может рассматривать все сервисы с позиции предостав-
ления одинакового качества обслуживания, тогда будет достаточно ис-
пользования первых двух шагов. Можно объединить третий и четвёртый
этапы, учитывая близость качества восприятия соответствующих серви-
сов со стороны пользователя. Тогда число этапов планирования сети будет
равно трем. С другой стороны, если имеются технические предпосылки и
желание оператора, то передачу трафика можно вести в соответствии с
перечнем этапов, приведённым на рис. 1.9. В этой ситуации выполняются
все четыре этапа планирования.
1.5.3. Инструменты планирования сети
Планирование пропускной способности сети является сложной задачей.
Её решение требует учёта многих факторов и проводится с использовани-
ем математических моделей и разработанных на их основе алгоритмов
вычисления параметров функционирования мультисервисных сетей свя-
зи. Наличие научно обоснованных средств планирования сетевой инфра-
структуры даёт следующие возможности оператору:
• существенно сэкономить инвестиционные и эксплуатационные затра-
ты при решении задач расширения и модернизации сети;
• значительно уменьшить время на решение задач планирования сети;
1.5. Планирование пропускной способности сети
79
• снизить инвестиционные риски за счёт выбора окончательного реше-
ния из нескольких вариантов развития сети;
• заблаговременно строить оптимальные сценарии вывода сети из
чрезвычайных ситуаций.
Решение перечисленных задач имеет большое значение для развития биз-
неса телекоммуникационной компании. Поэтому разработке аппаратно-
программных средств планирования сети уделяется большое внимание
[15,28,30,31].
Соответствующий инструментарий (в англоязычной литературе ис-
пользуется термин planning tools) имеет модульную структуру. В неё вхо-
дят модуль расчёта пропускной способности звеньев и узлов сети и модуль
оценки стоимости сети. Структура модуля определяет укрупнённую блок-
схему решения исследуемой задачи. Блоки соединены в логическую це-
почку и каждый из них представляет собой процедуру, результаты выпол-
нения которой применяются на последующих этапах решения проблемы.
Состав блоков и их взаимосвязь определяются спецификой сети, набором
используемых входных параметров, а также степенью детальности анали-
за процесса планирования. Поэтому вид и структура расчётных средств
могут отличаться друг от друга. Тем не менее в них имеются общие элемен-
ты. Используя материалы [31], дадим им краткую характеристику. Нач-
нём с модуля расчёта пропускной способности. Общая структура модуля
показана на рис. 1.10.
Типы и объёмы возникающего трафика. На основании данных из-
мерений и маркетинговых исследований оценивается плотность распреде-
ления потенциальных информационных потоков (возникающий трафик)
от оконечного оборудования сети: телефонных аппаратов, компьютеров,
датчиков телеметрии и других подобных им устройств. Определяются
точки концентрации трафика. Анализируется характер информационных
потоков между ними и определяются его типы в соответствии с введён-
ной классификацией предоставляемых услуг. В рассматриваемом случае
это сервисы реального времени, интерактивной передачи данных и пе-
редачи данных, допускающих задержку. Величина трафика каждого ви-
да задаётся значениями пиковой и средней скоростей передачи инфор-
мации (кбит/с), которые впоследствии используются для оценки эффек-
тивной скорости передачи. Общий объём возникающего трафика по всем
типам услуг определяется потенциальным числом пользователей и прогно-
зируемой частотой запросов на предоставление соответствующего сервиса.
80
Глава 1. Мультисервисные сети
Рис. 1.10. Структура модуля расчёта пропускной способности сети
Обычно оценка требуемого количества сетевой инфраструктуры ведётся с
некоторым избытком, в котором учитывается дальнейшее прогнозируемое
увеличение интенсивности поступления заявок, зависящей от типа серви-
са. По этой причине найденные значения трафика умножаются на попра-
вочный коэффициент. Численное значение коэффициента определяется из
маркетинговых исследований. Оно зависит от рассматриваемого сегмента
сети и от вида сервиса. Найденные значения объёмов возникающего тра-
фика и его типы в дальнейшем используются для оценки необходимой
пропускной способности сети.
Профиль возникающего трафика. Наиболее распространенной
формой учета профиля возникающего трафика является анализ его су-
точной изменчивости. Следует сразу отметить, что суточный профиль
трафика, в свою очередь, зависит от ряда других факторов, к которым
относятся: день недели, время года, состав пользователей и т.д. Учёт соот-
ветствующих зависимостей может привести к использованию нескольких
вариантов суточного распределения трафика. Для определения объёма ка-
нального ресурса сети используется значение интенсивности, рассчитанное
по периоду наибольшей нагрузки. Интенсивность трафика, отнесённая ко
всему периоду наблюдений, используется для оценки стоимости передачи
единицы трафика.
1.5. Планирование пропускной способности сети
81
Целевые показатели QoS. В сетях на базе пакетных технологий ка-
чество передачи информации можно оценить как с позиции технических
параметров движения информационных пакетов по сети, так и с позиции
восприятия абонентом доступности и приемлемости получаемого сервиса.
Как показало обсуждение, проведённое в разделе 1.5.1, оценка пользова-
теля больше подходит для формирования целевых показателей мероприя-
тий, проводимых оператором с целью повышения эффективности работы
сети. Ограничения на значения соответствующих показателей, а это до-
ля пакетов, потерянных из-за перегрузки элементов сетевой инфраструк-
туры, доля отказов в выделении канального ресурса и эффективная ско-
рость передачи будут определять минимально необходимый объём сетевой
инфраструктуры, обеспечивающий заданный уровень обслуживания або-
нентов сети. На этом этапе можно также решать и обратную задачу. Если
пропускная способность сети и величины трафика известны, то можно
оценить показатели качества его обслуживания.
Потенциальный трафик. Реализация предыдущих шагов определя-
ет интенсивности потоков заявок на выделение сетевого ресурса между
двумя любыми точками концентрации трафика. Интенсивность возникаю-
щего трафика принято выражать в эрлангах17. Значение соответствующей
характеристики в эрлангах можно трактовать как среднее число потенци-
альных соединений на предоставление запрашиваемого сервиса опреде-
ленного вида. Для оценки ожидаемой загрузки линии мультисервисным
трафиком интенсивности поступающих заявок из эрлангов пересчитыва-
ются в эрланго-каналы. Значение интенсивности предложенного трафика
в эрланго-каналах определяет среднее число потенциально необходимых
канальных единиц. Данный показатель можно использовать для характе-
ристики как моносервисного, так и мультисервисного трафика (обсужде-
ние используемой терминологии см. стр. 13).
Алгоритмы маршрутизации. Алгоритмы маршрутизации опреде-
ляют пути движения информационных потоков между любыми двумя точ-
ками концентрации трафика. Для увеличения вероятности доставки ин-
формации по сети для каждого маршрута определяются один или несколь-
ко дублирующих маршрутов, между которыми распределяется поступаю-
щая информация. Дублирование маршрутов также необходимо в целях
уменьшения негативных последствий блокировок, когда загрузка одного
или нескольких звеньев сети близка к критической.
17 А.К. Эрланг (1878-1929 гг.) - датский математик, основоположник теории телетра-
фика, получивший одну из самых известных формул для расчёта необходимого объёма
канального ресурса.
82
Глава 1. Мультисервисные сети
Топология сети. На точки концентрации трафика должна быть на-
ложена топология сети, выраженная в терминах числа узлов и соедини-
тельных линий между ними. К наиболее распространённым топологиям
относятся: кольцевая, полносвязная, иерархическая, линейная и т.д. Каж-
дая из топологий имеет свои достоинства и недостатки, которыми необ-
ходимо руководствоваться при выборе конкретной схемы построения се-
ти. Эффективность использования каждой схемы во многом определяется
размерами сети. Для небольших сетей выбор должен быть сделан в пользу
полносвязных схем соединения узлов, для больших — в пользу иерархиче-
ских. Достоинствами полносвязной схемы являются: уменьшение времени
соединения, уменьшение числа звеньев сигнализации, упрощение админи-
стрирования сети. К достоинствам иерархической схемы следует отнести
простые алгоритмы взаимодействия с сетями других операторов и отсут-
ствие сложностей в реализации процедур расширения сети. Для такой то-
пологии проще корректировать ошибки в оценке трафика, поступающего
на конкретный узел. Информация о структуре сети, алгоритмах маршру-
тизации информационных потоков и значениях интенсивностей потенци-
ального трафика определяют интенсивности потоков заявок для каждого
узла и линии. Это даёт возможность рассчитывать пропускную способ-
ность звеньев сети.
Пропускная способность сети. Объём канального ресурса линий и
узлов сети оценивается на основе информации о потенциальном трафи-
ке, топологии сети и алгоритмах маршрутизации. При оценке пропуск-
ной способности элементов сети необходимо для каждого потока заявок
определить потребность в канальном ресурсе, длительность его занятия
на обслуживание заявки, а также частоту поступления заявок. Далее с
использованием моделей теории телетрафика определяется пропускная
способность каждого элемента сети. Соответствующие модели и проце-
дуры разработаны для различных ситуаций, которые могут встретиться
при проектировании и эксплуатации мультисервисных сетей связи. Опре-
деление величины ресурса (скорости линии), достаточной для обслужи-
вания заданного объёма трафика, происходит последовательным сравне-
нием рассчитанного показателя QoS с его нормированным значением. В
более сложных случаях в качестве критерия достаточности ресурса при-
меняются функциональные зависимости, в которых помимо показателей
QoS используются стоимостные параметры и другие характеристики ра-
боты сети. Минимально необходимая величина ресурса находится методом
перебора. После того, как требуемый объём канального ресурса линий и
узлов сети найден, рассчитываются фактические показатели качества об-
1.5. Планирование пропускной способности сети
83
служивания поступающих заявок, которые достигаются на мультисервис-
ной сети, рассматриваемой как единое целое. Для повышения точности
оценок эту часть расчётов рекомендуется проводить помимо приближён-
ных методик также и средствами имитационного моделирования.
Перейдем к анализу процедур, выполняемых при реализации блока
оценки стоимости сетевого решения, найденного на первом этапе. Струк-
тура модуля показана на рис. 1.11.
Рис. 1.11. Структура модуля расчёта стоимости сетевого решения
Выбор состава оборудования. Определяется состав оборудования,
обеспечивающего требуемую функциональность по условиям передачи ин-
формации. Происходит выбор производителя оборудования, который по
технологическим, ценовым и другим критериям подходит для реализации
планируемого решения по строительству или реконструкции сети. Понят-
но, что таких производителей может быть и несколько. Определяются це-
ны на выбранный тип оборудования. Используются действующие цены
или прогнозируемые на момент построения сети.
Расчёт объёма оборудования. Оценивается объём оборудования,
необходимого для построения сети в соответствии с заданными показа-
84
Глава 1. Мультисервисные сети
телями пропускной способности. Результаты вычислений представляют
собой перечень элементов сетевой инфраструктуры с указанием их коли-
чества и характеристик пропускной способности. Для проведения расчё-
тов применяются специальные методики, которые являются либо частью
средств планирования сети, либо заказываются извне.
Параметры оценки СарЕх (Capital Expenditure — капитальные за-
траты). Определяется перечень параметров, которые будут использовать-
ся для вычисления объёмов ежегодных инвестиций, в зависимости от сто-
имости и количества необходимого оборудования. Большую роль в оцен-
ке величины капитальных затрат играют методика и параметры оценки
амортизации оборудования, согласованные со всеми участниками реали-
зации проекта строительства или реконструкции сети.
Расчёт СарЕх. Значение СарЕх определяется с помощью стандарт-
ных методик оценки данного финансового показателя. Результаты вычис-
лений представляются в виде ежегодных затрат на обслуживание доба-
вочных объёмов трафика. Они должны также покрывать стоимость капи-
тала и амортизации. Процедура расчёта СарЕх может носить итерацион-
ный характер, направленный на оптимизацию капитальных затрат. При
повторных вычислениях могут измениться состав и значения параметров,
используемых при оценке СарЕх, например, стоимость оборудования.
Параметры оценки ОрЕх (Operational Expenses — эксплуатацион-
ные расходы). Величина эксплуатационных расходов оценивается более
грубо, чем капитальные затраты. Рутинные сетевые и несетевые расходы
(например, заработная плата, стоимость ремонта и т.д.) выражаются как
процент от капитальных затрат. Расходы другого вида просто добавляют-
ся к окончательному результату как единовременный взнос.
Расчёт ОрЕх. Производится расчёт величины ОрЕх с использовани-
ем значений параметров, необходимых для оценки данного показателя.
При этом учитываются величина объёма оборудования, номинальная сто-
имость активов и величина ежегодного СарЕх. Процедура расчёта значе-
ния ОрЕх также может носить итерационный характер, направленный на
оптимизацию соответствующих затрат.
Расчёт стоимости решения. На финальной стадии планирования
сетевой инфраструктуры найденные значения СарЕх и ОрЕх определяют
полную стоимость планируемого решения.
Приведённые на рис. 1.5 и рис. 1.6 структурные модели в общем виде
задают конфигурацию и показывают взаимосвязь отдельных элементов
аппаратно-программных комплексов планирования сетевой инфраструк-
туры мультисервисных сетей связи.
1.6. Формализация процесса обслуживания заявок
85
В основе используемых алгоритмов оценки показателей QoS лежат со-
ответствующие математические модели. Проведение процедуры формали-
зации и дальнейшее построение модели, описывающей специфику анали-
зируемой проблемы эксплуатации или проектирования телекоммуникаци-
онной системы, обеспечивает исследователя, а с ним и администрацию те-
лекоммуникационной компании, численной информацией (ожидаемое ка-
чество обслуживания, доходы и т.д.), необходимой для принятия бизнес-
решений по строительству и реконструкции сети. Достижение компромис-
са между подробностью анализа исследуемой ситуации и возможностью
дальнейшего практического использования полученных результатов яв-
ляется достаточно сложной задачей. Модель, с одной стороны, должна
отражать все основные параметры анализируемой системы связи, как то:
вид и характер входных потоков, структуру коммутационного узла, дисци-
плину обслуживания и т.д., а с другой стороны — оставаться приемлемой
для проведения численного анализа.
Рассмотрим отдельные моменты проведения процедуры формализации
процесса совместного обслуживания заявок на выделение канального ре-
сурса с целью предоставления запрашиваемых инфокоммуникационных
сервисов.
1.6. Формализация процесса обслуживания
заявок
1.6.1. Детальность анализа информационных потоков
Рассмотрим сеть, состоящую из некоторого числа узлов, соединённых
между собой линиями связи. Понятно, что конкретный вид модели, кото-
рая будет построена и использована для расчёта сети, т.е. топология сети,
перечень структурных параметров, участвующих в её описании, каналь-
ный ресурс линий связи и т.д., определяются тем, какие характеристики
качества обслуживания пользователей нам впоследствии понадобятся при
оценке функционирования сети. Тип характеристик задаёт также и сте-
пень детализации в описании процесса поступления информационных по-
токов, которая будет использована при построении модели. Детальность
в данном контексте — это используемая шкала времени. Она определяет
также и возможные действия по управлению сетью. В разделе 1.1.3 был
проведён анализ управленческих решений, принимаемых на сети в зави-
симости от детальности рассмотрения процесса пакетной передачи инфор-
86
Глава 1. Мультисервисные сети
мации. Рассмотрим теперь влияние шкалы времени на вид формализован-
ного описания процесса поступления информационных потоков.
Когда применяется пакетная форма передачи информации, то анализ
процесса её поступления можно вести на уровне пакета, на уровне поступ-
ления пачки пакетов (так называемый информационный выброс — burst)
или на уровне соединения. Длительности интервалов времени между со-
бытиями на каждом из уровней различаются на несколько порядков. На-
пример, в случае передачи речи с использованием технологии ATM дли-
тельность соединения обычно измеряется сотнями секунд, длительность
интервала сгущения в поступлении ячеек имеет порядок сотен миллисе-
кунд, а время передачи ячейки при скоростях несколько сотен мегабит в
секунду уже имеет порядок единиц микросекунд. Рассмотренная на при-
мере сети ATM иерархия временных уровней анализа информационных
потоков, схематично показана на рис. 1.12. Приведённые обозначения име-
ют следующий смысл: Тн — длительность соединения; 7} — длительность
интервала времени между отдельными соединениями; Ts — длительность
интервала времени отсутствия поступления ячеек; Тр — длительность ин-
тервала сгущения в поступлении ячеек; Тд — длительность интервала вре-
мени между последовательными поступлениями ячеек; Тс — длительность
интервала времени передачи ячейки.
В некоторых случаях процесс передачи информации проводится с учё-
том большего числа уровней. Например, для мультимедийных приложе-
ний выделяются уровень диалога, расположенный между уровнем соеди-
нения и сгущения, и уровень вызова, находящийся над уровнем соедине-
ния. Каждой шкале соответствуют свои модели описания процесса поступ-
ления информационных потоков и времени занятия канального ресурса.
Более детальный анализ структуры информационных потоков интере-
сен для производителей коммуникационного оборудования, т.к. позволяет
вести оценку размеров буфера, скоростей кодирования и декодирования
и т.д. На уровне пакетов поступающая информация представляет собой
дискретный поток, порождаемый каждым из источников с интенсивно-
стью на несколько порядков меньшей, чем скорость используемой для пе-
редачи цифровой линии. На этом уровне большинство источников инфор-
мации порождают локально периодический поток. За периодом генерации
пакетов, обычно происходящим с максимальной для рассматриваемого ис-
точника скоростью, следует период времени, когда пакеты не поступают.
Типичная задача, которая решается на уровне анализа поведения пакетов,
связана с оценкой размеров буфера при мультиплексировании нескольких
входных потоков. Соответствующая модель работы АТМ-мультиплексора
схематично показана на рис. 1.13.
1.6. Формализация процесса обслуживания заявок
87
Рис. 1.12. Иерархия детальности анализа информационных потоков
в сетях на базе технологии передачи ATM
В исследуемой ситуации наличие буфера необходимо для устранения
возможных конфликтов в передаче ячеек, обусловленных их одновремен-
ным поступлением. На рис. 1.13 показано, что в модели различаются п
входных потоков ячеек, поступающих по соответствующим виртуальным
каналам для передачи по исходящей цифровой линии, моделируемой в
виде одного обслуживающего устройства. Время передачи любой ячейки
постоянно, а длительности интервалов времени между последовательны-
ми поступлениями ячеек к-го потока, к = 1, 2,..., п, задаются функцией
распределения Gk, которая зависит от анализируемой ситуации. В каче-
стве Gk можно брать детерминированное распределение, экспоненциаль-
ное распределение или ряд других. Модель применяется для оценки разме-
ров буфера, достаточного для обеспечения заданного уровня потерь ячеек
при наличии ограничения на допустимое время задержки. В зависимости
от используемой схемы построения входного потока существует много ва-
риантов введённой модели. Общим для них является то, что здесь имеется
одно обслуживающее устройство, время передачи постоянно и есть конеч-
ный буфер.
88
Глава 1. Мультисервисные сети
Информационные
потоки, анализируемые
на уровне поступления
ячеек
Рис. 1.13. Схема модели телетрафика, используемая для оценки
размеров буфера при анализе процесса
мультиплексирования информационных потоков,
рассматриваемых на уровне поступления ячеек
Для администрации оператора связи, обычно решающей задачи экс-
плуатации и реконструкции сети, наибольший интерес представляет ана-
лиз информационных потоков на уровне соединения, поскольку от коли-
чества успешных соединений (обслуженный трафик) зависит доход сети,
а качество обслуживания определяется абонентом числом совершённых
неудачных попыток соединения и временем скачивания документов18. В
дальнейшем будем исследовать процесс выделения канального ресурса на
уровне соединения.
1.6.2. Эффективная скорость передачи
Понятие эффективной скорости передачи информационного потока
вводится для оценки потребности в канальном ресурсе при передаче им-
пульсного трафика с использованием пакетных технологий. Оно тесно свя-
зано со свойством статистического мультиплексирования, характерного
для данной технологии передачи, и позволяет рассчитать максимально
возможное число соединений определённого вида при фиксированной до-
ле потерь информационных ячеек19. Тем самым создаётся возможность
18При условии, что сеть контролирует параметры движения пакетов: задержку, ва-
риацию задержки и потери.
19Для удобства изложения материала будем предполагать в данном разделе, что ин-
формация поступает ячейками одинакового размера, а не пакетами переменной длины.
1.6. Формализация процесса обслуживания заявок
89
оценить минимально необходимую скорость линии в заданном направле-
нии.
Следует отметить, что значения пиковой h и средней £ скоростей пе-
редачи не в полной мере отражают статистические свойства информа-
ционного потока и дают два предельных решения задачи выделения ка-
нального ресурса. Использование пиковой скорости обеспечивает нулевую
вероятность переполнения буфера, т.е. нулевую вероятность потерь яче-
ек. Однако при этом коэффициент полезного занятия канального ресурса
будет достаточно малым, особенно если речь идёт о совместной передаче
потоков импульсного характера. Использование средней скорости, напро-
тив, ведёт практически к полному занятию ресурса. Однако одновременно
с этим растут и потери ячеек из-за переполнения буфера. Интуитивно по-
нятно, что потребность в канальном ресурсе должна рассчитываться с ис-
пользованием значения, лежащего между средней и пиковой скоростями
передачи информации. В теории телетрафика соответствующая характе-
ристика называется эффективной скоростью передачи информационного
потока. Имеется достаточно много научной литературы, посвященной ис-
следованию этого понятия. Отметим, в частности, работу [30], содержа-
щую подробный обзор исследований, выполненных по данной тематике.
Можно выделить два подхода к оценке значения эффективной скоро-
сти передачи. В первом используются достаточно сложные математиче-
ские построения, основанные на результатах теории вероятностей и отно-
сящиеся к концепции больших уклонений. Упомянем в этой связи публи-
кацию F. Kelly [35], где приведено формальное определение эффективной
скорости передачи и найдены конкретные выражения данной характери-
стики для ряда моделей информационных потоков. Обсудим соответству-
ющее определение. Обозначим через А'(0,£) случайный процесс со стаци-
онарными приращениями, который задаёт число информационных ячеек,
поступивших от источника в интервале времени [0,£]. Тогда эффективная
скорость передачи o?(s, t) определяется равенством
a(s, f) — ^log£?[esX(t^, 0 < s,t < oo, (1.1)
где E — математическое ожидание.
Параметры s и t не заданы, и их выбор для конкретного источника в
основном диктуется не его статистическими свойствами, а условиями, в
которых происходит передача информации, т.е. значениями скорости пе-
редачи линии, размерами буфера, показателями QoS и механизмами их
контроля, а также характеристиками и параметрами других совместно
90
Глава 1. Мультисервисные сети
передаваемых информационных потоков. Параметр s имеет размерность
(байт)-1 и его значение показывает, насколько хорошо поток предрасполо-
жен к статистическому мультиплексированию. Малые значения s говорят
о том, что поток хорошо мультиплексируется, большие — плохо. Параметр
t измеряется в секундах и его значение показывает наиболее вероятный
период времени, за который система переходит в состояние блокировки.
Обычно величина t определяет шкалу времени, на которой анализирует-
ся рассматриваемая система обслуживания. В явном виде эффективная
скорость передачи может быть рассчитана для источников, заданных ма-
тематически. В остальных случаях применяются оценки.
Отметим свойства a(s,t) [35,39], которые позволяют использовать дан-
ный параметр для характеристики потребности в ресурсе соответствую-
щего информационного потока:
• Для каждого фиксированного значения t значение a(s, t) возрастает
с увеличением s и лежит между средней ДО, t) и пиковой /г(0, £) ско-
ростями поступления ячеек, измеренными в интервале [ОД]. Причём
выполняются соотношения
lim a(s, i) = ДО, t), Hm a(s,t) = 7i(0, t).
• Значение эффективной скорости передачи суперпозиции независи-
мых информационных потоков совпадает с суммой значений эффек-
тивных скоростей передачи индивидуальных потоков.
• Величина эффективной скорости передачи может быть использована
для оценки вероятности больших уклонений интенсивности поступ-
ления информационного потока от своего среднего значения.
В качестве примера явного вычисления a(s,t) рассмотрим реализацию
процедуры, определённой выражением (1.1), для источника, работающе-
го по принципу «включено-выключено» [35]. Когда источник находится в
состоянии «включено», от него поступает поток ячеек с постоянной ин-
тенсивностью h. Когда источник находится в состоянии «выключено», то
интенсивность поступления ячеек равна нулю. Пусть Топ и Tojj — вре-
мена пребывания источника в состояниях, соответственно, «включено» и
«выключено». Они могут иметь как постоянную, так и случайную дли-
тельности. Обозначим через роп вероятность нахождения источника в со-
стоянии «включено». Тогда роп = Если величина t мала по сравнению
со значениями ZOT). и Toff, то вероятность пребывания источника в обоих
1.6. Формализация процесса обслуживания заявок
91
состояниях за период наблюдения t также будет мала. Рассматриваемая
ситуация наблюдается при небольших значениях объёма буфера. Тогда,
с вероятностью близкой к единице, величина X(0, i) на интервале време-
ни [0, t] принимает только два значения: ноль, когда источник находится
в состоянии «выключено», и ht, когда источник находится в состоянии
«включено». Вероятности отмеченных событий, соответственно, 1 — f.
Тогда в соответствии с (1.1) получаем следующее выражение для эффек-
тивной скорости передачи:
a(s,t) = ^log[(l - ^) + ^esht]. (1.2)
Выражение (1.2) подтверждает отмеченные ранее свойства a(s,t) при
стремлении s к своим предельным значениям. Если периоды Топ и Toff
имеют экспоненциальное распределение, то соответствующую модель ис-
точника можно использовать для описания процесса поступления голосо-
вого или видеотрафика. Аналогичным образом можно рассмотреть обоб-
щение построенной модели на случай пребывания источника более чем
в двух состояниях. Полученные таким образом выражения могут приме-
няться для аппроксимации более сложных информационных потоков. Чис-
ло моделей, для которых получены явные выражения для q(s, t), довольно
велико. Обзор соответствующих результатов приведён в работе [35].
Другой подход к вычислению значений эффективной скорости переда-
чи заключается в использовании разного рода упрощённых выражений.
Рассмотрим метод, предложенный в работе [37]. В данном случае оценка
эффективной скорости передачи уже не зависит от параметров s, i, опре-
деляющих условия совместного обслуживания, а вычисляется на основе
характеристик трафика: средней £ и пиковой h скоростей поступления ин-
формации, скорости линии С и ограничения на качество передачи в форме
доли потерянных ячеек Pioss. Пусть величины ж, у определяются из выра-
жений х = — log Pioss, у = 1 — -Р log Pioss- Тогда эффективная скорость
передачи а находится из следующего эмпирического соотношения [28,37]:
yt(l + 3ж(1 - £))
если Зж < min(3, |),
у£( 1 + Зж2(1 — £) ], если 3 < Зж2 < j,
(1-3)
в остальных случаях.
92
Глава 1. Мультисервисные сети
Имеются и другие более точные эмпирические подходы к оценке
эффективной скорости передачи. Результаты соответствующих расчётов
представлены в [31] для некоторых видов коммуникационных приложений.
Часть вычислений показана в таблице 1.5, где для каждого из рассмот-
ренных приложений приведены две оценки эффективной скорости: ах и
а2. Величина от взята из [31], а значение а2 подсчитано с использованием
соотношения (1.3). Отметим, что для анализируемых типов приложений
оба подхода дают близкие результаты.
Таблица 1.5.
Результаты вычисления пиковой, средней и эффективной скоростей
передачи для некоторых видов коммуникационных приложений на линии
8 Мбит/с
Т ип приложения h (кбит/с) £ (кбит/с) Floss «1 (кбит/с) а2 (кбит/с) ai/£
Передача речи 64 25 0,0001 30 30 1,2
Видеоконференц-
связь:
MPEG-4 (HQ) 2000 400 0,001 1600 2000 4,0
MPEG-4 (LQ) 1000 90 0,001 286 291 3,2
Н.263 (HQ) 1400 256 0,001 1000 1005 3,9
Н.263 (MQ) 320 64 0,001 105 107 1,6
Н.263 (LQ) 84 16 0,001 20 20 1,3
В таблице также приведены значения потерь пакетов и отношения эф-
фективной и средней скоростей передачи (на примере аг/^). Из представ-
ленных данных видно, что в зависимости от типа приложения соотноше-
ние между эффективной и средней скоростями передачи меняется в до-
вольно широких пределах, отражая способность соответствующих инфор-
мационных потоков к мультиплексированию. Это обстоятельство необхо-
димо учитывать при планировании мультисервисных сетей.
Рассмотрим практические аспекты оценки величины эффективной ско-
рости передачи. Точная оценка данного параметра требует детального зна-
ния статистических свойств потока и не всегда возможна. Как правило,
оператор владеет информацией о предполагаемом трафике на уровне SLA.
Как в этой ситуации осуществить оценку эффективной скорости переда-
чи? Здесь есть несколько возможностей [30].
1.6. Формализация процесса обслуживания заявок
93
• Допустим, оператору известны тип приложения и статистические
свойства трафика. Тогда оценка эффективной скорости передачи не
вызывает затруднений и выполняется по известным формальным
правилам, исходя из определения a(s, i) и статистических харак-
теристик источника. Данная ситуация встречается крайне редко и
относится, главным образом, к источникам трафика, заданным по
формальным правилам (см, например, (1.2)).
• Если известен только тип приложения, а статистические свойства
трафика в требуемом объёме не определены, то в качестве значе-
ния эффективной скорости передачи можно использовать соответ-
ствующую характеристику, относящуюся к данному типу трафика.
Например, для голосового трафика использовать значение эффек-
тивной скорости передачи 30 кбит/с из таблицы 1.5.
• Если статистические свойства трафика совсем не определены, то в
качестве оценки следует выбирать максимальное значение эффек-
тивной скорости передачи, которое возможно найти в рамках ис-
пользуемого SLA. Реализация этого подхода приводит к уменьше-
нию коэффициента использования канального ресурса. Однако это
единственная возможность в данных обстоятельствах гарантировать
качество обслуживания.
• Найденные оценки эффективной скорости передачи можно уточ-
нить, если воспользоваться результатами измерения состояния се-
тевой инфраструктуры в действующих системах связи.
Понятие эффективной скорости передачи позволяет рассчитать мини-
мально необходимую скорость передачи импульсного трафика, а также
служит основой формализованного представления канального ресурса в
моделях, используемых при планировании пропускной способности муль-
тисервисных сетей связи.
1.6.3. Формирование канального ресурса
Задача сети — осуществить передачу информации между отдельными
её точками. Если процесс передачи организуется между двумя точками,
то она называется одноадресной, если из одной в несколько, то — мно-
гоадресной. Последний вид сервиса обладает определённой спецификой
и здесь рассматриваться не будет. Детали реализации соответствующей
94
Глава 1. Мультисервисные сети
технологии в мультисервисных сетях изложены в [19]. Точки, между ко-
торыми происходит передача информации, могут находиться внутри сети
или на периферии (уровень доступа). Может также рассматриваться и
смешанный вариант.
Организация каналов передачи информации в мультисервисных сетях
представляет собой многоуровневый процесс. На нижнем уровне находит-
ся физическая среда, по которой организована пересылка двоичной ин-
формации. В основном она формируется на оптических или беспроводных
линиях связи. На следующем уровне используются синхронные (SDH) или
асинхронные (Ethernet) технологии, которые формируют контейнеры или
кадры для передачи агрегированного трафика между узлами сети. И на
последнем уровне асинхронные технологии IP или ATM наполняют кон-
тейнеры (кадры) информацией пользователя. Здесь реализуется принцип
статистического мультиплексирования и организуется соединение «точка-
точка».
Канальный ресурс — это одно из важнейших понятий теории телетра-
фика, необходимое для формализованного описания процесса обслужива-
ния заявок пользователей на получение запрашиваемого инфокоммуника-
ционного сервиса. В широком смысле его можно определить как целочис-
ленное выражение передаточных возможностей линии связи, отданных во
временное общее владение многим пользователям. Объём ресурса выра-
жается числом каналов, обладающих фиксированной скоростью переда-
чи. Их определение начинается с уровня абонента и во многом зависит
от перечня предоставляемых сервисов. Далее потребности в канальном
ресурсе агрегируются и переводятся в формат более низких уровней, на-
пример, виртуальных путей, построенных с использованием технологии
ATM, или контейнеров SDH и кадров Ethernet. Особенности организации
канального ресурса показаны на рис. 1.14.
Задача оценки необходимого объёма канального ресурса может ре-
шаться на каждом уровне иерархии. Формальные построения, необходи-
мые для решения этой задачи, связаны с введением понятия единицы ка-
нального ресурса.
1.6.4. Единица канального ресурса
При формализованном представлении топологии сети основным струк-
турным параметром, задающим пропускную способность цифровых ли-
ний, является скорость передачи, выраженная в единицах канального ре-
сурса. Исходя из известных теоретических результатов и практических
1.6. Формализация процесса обслуживания заявок
95
Рис. 1.14. Иерархия формирования канального ресурса в
мультисервисных сетях
рекомендаций для определения этого параметра можно использовать сле-
дующую схему [15,28,30,32,33,40]. Допустим, в анализируемой модели сети
имеется J цифровых линий. Занумеруем имеющиеся линии произвольным
образом. Допустим, что линия с номером j имеет фиксированную скорость
передачи Gj бит/с. Предположим также, что сеть обслуживает п потоков
заявок на передачу информации, инициированной предоставлением соот-
ветствующих сервисов. Потоки информации следуют от узла-источника к
узлу-получателю по какой-то фиксированной для данного потока цепочке
линий. Будем считать, что для обслуживания заявки к-го потока требу-
ется ресурс передачи в объёме битов в секунду в каждой из линий,
составляющих маршрут следования рассматриваемого информационного
потока. Будем предполагать, если это не оговаривается особо, что значение
Dk не меняется за время обслуживания заявки, не зависит от порядково-
го номера её поступления и оценивается на основе величины пиковой или
эффективной скоростей передачи информации.
Назовем единицей канального ресурса наибольший общий делитель
(НОД) целочисленных значений скоростей G±,...,Gj всех линий, имею-
щихся в сети, и требований к скоростям обслуживания Di,...,Dn для всех п
потоков заявок, обслуживаемых сетью. Обозначим введённый параметр20
через к. Таким образом,
к = НОД(О1,...,С7, (1.4)
20В англоязычной литературе используется термин «Basic Bandwidth Unit» — основ-
ная передаточная единица [15,28,30,32,33,40].
96
Глава 1. Мультисервисные сети
В результате, целочисленное представление скорости j-ой линии имеет вид
Vj = канальных единиц, а целочисленное требование к скорости обслу-
живания для заявок fc-ro потока представлено как bk — канальных
единиц. В практических разработках выбор канальной единицы зависит
от детальности описания процесса разделения ресурса. Если анализиру-
ется схема формирования абонентского трафика, то обычно в качестве
канальной единицы выступает скорость 64 кбит/с, которая, как известно,
обеспечивает качественную передачу речевого трафика, относящегося к
одному разговору (отметим, что использование вокодеров может умень-
шить это значение до 32 кбит/с, 16 кбит/с и даже 8 кбит/с). На тран-
зитном участке сети передаётся агрегированный трафик. Здесь в качестве
канальной единицы может быть выбрана скорость цифрового интерфейса
Ех, равная 2,048 Мбит/с, или скорость, задаваемая модулем SDH STM-1,
155 Мбит/с и т.д.
Таким образом, для оценки показателей качества обслуживания ин-
формационных потоков, рассматриваемых на уровне соединения, однород-
ных к качеству обслуживания и передаваемых с использованием пакетных
технологий, обеспечивающих построение виртуальных каналов, можно ис-
пользовать модели, ранее применяемые в теории телетрафика для оценки
характеристик сетей коммутации каналов с явными потерями заблокиро-
ванных вызовов. Аналогом канала в анализируемом случае будет каналь-
21
ная единица .
Ход дальнейших рассуждений, связанных с построением модели, за-
висит от выбора схемы формирования входного потока заявок, способа
моделирования времени занятия ресурса на обслуживание поступившей
заявки и от дисциплины её обслуживания.
1.6.5. Модель потока заявок
В рассматриваемой ситуации анализ процесса обслуживания информа-
ционных сообщений в сети происходит на уровне соединения. Для прове-
21 Переход на другую физическую среду передачи информации меняет принципы
организации канального ресурса. Например, в сетях мобильной связи 3-го поколения
UMTS для формализованного описания канального ресурса используются уровни сиг-
нала и шума, а также их отношение. Отметим, что получаемые при этом модели теле-
трафика относятся к классу мультисервисных моделей, исследованных в данной книге.
Соответственно, для оценки показателей обслуживания мобильных абонентов могут ис-
пользоваться изложенные в книге алгоритмы и методики (детали см., например, [34]).
Для их реализации необходимо только изменить интерпретацию структурных парамет-
ров модели и её характеристик.
1.6. Формализация процесса обслуживания заявок
97
дения соответствующего исследования необходимо построить модель по-
ступления заявок на выделение канального ресурса вдоль всего предпо-
лагаемого маршрута следования информационного потока. В зависимости
от исходных условий и анализируемого сегмента мультисервисной сети мо-
гут встретиться разные постановки задач. Поэтому естественно говорить
о семействе моделей входных потоков. Их выбор должен опираться на
схемы, приводящие к устойчивым результатам, справедливым при общих
предположениях о характере поступающих потоков заявок.
Из положений теории вероятностей известно [5], что при суммировании
большого числа независимых потоков заявок с интенсивностями, стремя-
щимися к нулю, результирующий поток по свойствам будет приближаться
к пуассоновскому потоку, если число потоков стремится к бесконечности,
а их суммарная интенсивность — к константе. Будем считать, что для рас-
сматриваемого сегмента мультисервисной сети выполняются предположе-
ния о возможности использования пуассоновской модели входного потока
заявок с интенсивностью поступления и потребностями в канальном ре-
сурсе, зависящими от номера потока. Данное предположение можно счи-
тать справедливым в транзитной части сети, где происходит смешивание
большого числа потоков заявок. Будем также считать, что пуассоновская
модель относится к потоку первичных заявок. Дополнительные заявки
от конкретного источника, обусловленные характером работы сети (по-
вторные вызовы в случае блокировки) или характером предоставляемого
сервиса (несколько сессий одного соединения), реконструируются, исходя
из модели поступления первичных заявок. В дальнейшем будут рассмот-
рены те обобщения входного потока, которые, с одной стороны, позволяют
учесть отмеченную специфику совместного обслуживания заявок в муль-
тисервисных сетях, а с другой стороны, сохранить относительную легкость
оценки показателей качества обслуживания, характерную для пуассонов-
ской модели.
К таким обобщениям относятся модели, в которых абонент после по-
лучения отказа в обслуживании повторяет попытку соединения. Причи-
ны отказа могут быть разные. Основные — нехватка канального ресурса
на одном из сегментов маршрута следования трафика или неответ (за-
нятость) вызываемого абонента. Причем, в последнем случае вызываемая
сторона может быть не только абонентом, но также и сервером, базой дан-
ных или другим подобным им устройством. В рассматриваемой модели
входного потока пуассоновским является только поток первичных заявок.
Суммарный поток, включающий повторные заявки, не является пуассо-
новским. Более того, для него интервалы времени между последователь-
98
Глава 1. Мультисервисные сети
ними поступлениями заявок представляют собой зависимые случайные
величины. Данный способ реконструкции входного потока естественным
образом отражает корреляцию между отдельными его частями. Аналогич-
ную проблему решает и использование самоподобных процессов [20,25,38].
Однако для моделей с учетом эффекта повторных вызовов развиты эф-
фективные алгоритмы оценки показателей пропускной способности [24],
чего не скажешь о моделях на базе самоподобных процессов.
Другим обобщением пуассоновской модели является система с конеч-
ным числом источников трафика. Она позволяет учесть неоднородный
характер поступления заявок и зависимость интенсивности потока от сте-
пени загрузки канального ресурса. Соответствующие модели можно при-
менять, когда необходимо выделить группы пользователей, создающих су-
щественный трафик, например, скачивание или пересылку видеоинфор-
мации. Более общий вариант этой модели носит названий ВРР (Bernoulli-
Poisson-Pascal) по типу распределения числа обслуживаемых заявок на
линии с бесконечным ресурсом [15,33]. В этой модели интервал времени
между последовательными поступлениями заявок имеет экспоненциаль-
ное распределение с параметром, зависящим от числа заявок рассматри-
ваемого потока, уже находящихся на обслуживании. В исследуемой ситу-
ации имеется возможность реконструкции реальных входных потоков по
двум моментам, а не по одному как в случае пуассоновского потока.
Ещё одним вариантом обобщения пуассоновской модели является схе-
ма с пачечным поступлением требований на выделение канального ресур-
са. Каждая из заявок, поступающих по пуассоновскому закону, с некото-
рой вероятностью содержит фиксированное число требований к канально-
му ресурсу сети. Любое требование независимо от других использует для
своего обслуживания единичный ресурс. Рассмотренная модель входного
потока также имеет эффективную схему оценки характеристик качества
обслуживания заявок.
Все эти модели входного потока будут исследованы ниже.
1.6.6. Время и дисциплина занятия ресурса
Длительность занятия канального ресурса на передачу информации,
относящейся к одному соединению, определяется статистическими свой-
ствами источника трафика и используемой дисциплиной распределения
свободного ресурса. В соответствии с этим в дальнейшем будут исследо-
ваться две модели занятия канального ресурса: статическая и динамиче-
ская. В статической модели продолжительность случайного времени заня-
1.6. Формализация процесса обслуживания заявок
99
тия ресурса определяется выбранной функцией распределения и не зави-
сит от процесса передачи информации в данном соединении и от степени
загрузки рассматриваемого сегмента сети. В динамической модели, на-
против, длительность времени занятия канального ресурса увеличивается
или уменьшается в зависимости от уровня загрузки сети и определяется
используемыми механизмами контроля QoS. Рассмотрим обе модели более
подробно.
Для статической модели большинство алгоритмов и расчётных схем
оценки доли потерянных заявок зависят не от типа функции распреде-
ления, а от средней длительности занятия канального ресурса при усло-
вии, что входные потоки являются пуассоновскими или относятся к классу
ВРР. Этот результат доказан методами теории вероятностей для моделей
мультисервисных сетей, рассматриваемых на уровне соединения с явными
потерями заблокированных заявок [36]. Он имеет большое значение для
практического использования полученных расчётных алгоритмов.
Действие механизмов контроля за показателями QoS направлено на
повышение загрузки канального ресурса или предоставление приоритета
в занятии ресурса определённым потокам заявок. Применение соответ-
ствующих механизмов может привести к увеличению продолжительно-
сти передачи информации для соединений с меньшим приоритетом. Есть
несколько моделей динамического распределения передаточного ресурса
линии. Например, с ростом загрузки рассматриваемого сегмента сети по-
следовательно уменьшать объём канального ресурса, используемого для
обслуживания соединений с меньшим приоритетом. Другая возможность
— вытеснение или задержка в буфере информационных сообщений с низ-
ким приоритетом. В обоих случаях при появлении свободного канального
ресурса либо скорость передачи данных увеличивается, либо соответству-
ющая передача начинается заново.
Рассмотренные модели и дисциплина занятия канального ресурса бу-
дут использованы в последующих главах при построении конкретных мо-
делей сегментов мультисервисных сетей связи. Для всех моделей будут
построены эффективные численные алгоритмы оценки показателей каче-
ства обслуживания заявок.
1.6.7. Топология сети
На точки концентрации абонентского трафика должна быть наложена
топология сети, выраженная в терминах числа узлов и соединительных
100
Глава 1. Мультисервисные сети
линий между ними. К наиболее распространенным топологиям относятся:
кольцевая, полносвязная, иерархическая, линейная и т.д. Каждая из то-
пологий имеет свои достоинства и недостатки, которыми необходимо ру-
ководствоваться при выборе конкретной схемы строительства сети. Эф-
фективность использования каждой схемы во многом определяется раз-
мерами сети. Для небольших сетей выбор должен быть сделан в пользу
полносвязных схем соединения узлов, для больших — в пользу иерархи-
ческих. Достоинства полносвязной схемы состоят в уменьшении времени
соединения и числа звеньев сигнализации, упрощении администрирования
сети. Положительными характеристиками иерархической схемы являются
простота организации взаимодействия с другими сетями и относительная
лёгкость реализации процедуры расширения сети. Примеры основных то-
пологий показаны на рис. 1.15. Формализованное описание структуры се-
ти, входных потоков заявок, параметров занятия и удержания канального
ресурса не вызывает особого затруднения. Соответствующее исследование
будет выполнено в главе 5.
Полносвязная
Кольцевая
Рис. 1.15. Примеры популярных сетевых топологий
Большинство моделей, которые будут в дальнейшем рассмотрены,
представляют собой простейшие сетевые конструкции, состоящие из одной
линии связи (звено сети), чей ресурс делится между фиксированным чис-
лом потоков заявок, порождённых предоставлением разнообразных ком-
муникационных сервисов. Соответствующие результаты будут приведены
в главах 2-4. Зависимость процесса обслуживания заявок на отдельных
звеньях сети учитывается на втором этапе планирования, когда результа-
ты, полученные на отдельных звеньях и узлах, увязываются с использо-
ванием разного рода упрощающих предположений о характере движения
1.6. Формализация процесса обслуживания заявок
101
информационных потоков по сети. Данные расчётные схемы будут иссле-
дованы в главе 5.
1.6.8. Обсуждение сделанных предположений
Опыт формализации процесса передачи информации в современных
сетях связи подсказывает, что модель должна:
• отражать качественные свойства совместного обслуживания заявок
на выделение канального ресурса, характерные для мультисервис-
ных сетей связи;
• иметь минимально возможное число входных параметров и показате-
лей обслуживания заявок с ясной физической интерпретацией и воз-
можностями их измерения техническими средствами, имеющимися
на сети.
Несмотря на жесткий характер перечисленных требований, примеры
таких моделей в теории телетрафика существуют. Речь идёт о модели об-
служивания заявок на выделение канального ресурса, которая привела к
известной формуле Эрланга. Соответствующий результат много десятиле-
тий с успехом используется для решения задач проектирования сетей свя-
зи. Можно утверждать, что переход на пакетные технологии не меняет вос-
приятия пользователем качества обслуживания. Требуется лишь учесть
мультисервисный характер трафика, зависимость моментов поступления
заявок и длительности занятия ресурса от вида сервиса и качества об-
служивания, а также возможность приоритезации трафика современными
механизмами поддержки качества обслуживания, принятыми в 1Р-сетях.
Многообразие ситуаций говорит о необходимости разработки семейства
моделей, учитывающих перечисленные особенности формирования пото-
ков заявок и детали реализации основных схем распределения канального
ресурса.
Исследованию соответствующего семейства моделей посвящены после-
дующие главы. Построенные модели предназначены для оценки канально-
го ресурса при планировании сетевой инфраструктуры мультисервисных
сетей. В соответствии с этапами планирования перечисленными в разде-
ле 1.5.2, рассмотрены две группы моделей. В главах 2,3 анализируются
основные и дополнительные модели, предназначенные для оценки каналь-
ного ресурса при обслуживании трафика сервисов реального времени. В
главе 4 исследуются модели оценки канального ресурса при совместном
102
Глава 1. Мультисервисные сети
обслуживании трафика сервисов реального времени и трафика передачи
данных, терпимых к задержке. Поставленная задача решается для различ-
ных моделей формирования входных потоков и схем занятия канального
ресурса. Каждая из рассмотренных моделей даёт возможность учесть тот
или иной важный для практики аспект обслуживания заявок на выделе-
ние канального ресурса. Во всех моделях речь идет об оценке канального
ресурса звена мультисервисной сети. Алгоритмы планирования сети, рас-
сматриваемой как единое целое, исследуются в главе 5.
1.7. Замечания и пояснения
Данная глава посвящена краткому изложению основных сведений,
необходимых для понимания сущности процессов совместного обслужива-
ния информационных потоков в мультисервисных сетях связи. Материал
излагается с позиции дальнейшего использования полученных результа-
тов для разработки средств планирования пропускной способности сети.
Для более детального анализа отдельных проблем необходимо обратиться
к соответствующей литературе. В мире ежегодно выходит огромное чис-
ло научных публикаций, посвящённых различным аспектам эксплуатации
и проектирования мультисервисных сетей. Поэтому приводить более или
менее исчерпывающий список просто не представляется возможным. Ука-
жем только часть доступной литературы |1,3,4,6-10,13-18,21-41].
Материал раздела 1.1 подготовлен на основе работ [28,30]. Краткий
обзор применяемых на современных телекоммуникационных сетях техно-
логий передачи информационных сообщений, приведённый в разделе 1.2,
выполнен с использованием работ [1,3,7,8,13,14,16-18,27,28,30,41]. Задача
планирования пропускной способности сети тесно связана с оценкой по-
казателей качества обслуживания сообщений в IP-сетях. Этой проблеме
посвящено несколько рекомендаций МСЭ, в частности, Y.1540, Y.1541,
Y.1291. На их основе подготовлен материал раздела 1.3, где приводят-
ся определения основных характеристик передачи пакетов в IP-сетях и
обсуждаются рекомендованные МСЭ механизмы поддержки качества. Ис-
пользуя данные механизмы как конструктивные блоки, можно построить
конкретные модели поддержки качества обслуживания в сетях IP. Их опи-
сание приведено в разделе 1.4 и выполнено на основе работ [1,7,8,10,13—
15,21,26,30].
Планирование пропускной способности сети требует учёта многих фак-
торов и проводится с использованием математических моделей и разрабо-
Литература к главе 1
103
тайных на их основе алгоритмов оценки показателей качества функци-
онирования мультисервисных сетей связи. Помимо оценки необходимого
объёма сетевой инфраструктуры полученные результаты можно также ис-
пользовать и для обоснования действий администрации по управлению
сетью. Решение сформулированной задачи имеет большое значение для
развития бизнеса телекоммуникационных компаний, поэтому разработке
аппаратно-программных средств планирования сети уделяется большое
внимание. Содержание раздела 1.5 основано на материалах публикаций
[15,30,31]. Первый шаг к построению модели состоит в выполнении проце-
дуры формализации процесса поступления и обслуживания заявок поль-
зователей на выделение канального ресурса сети. Математическая модель,
с одной стороны, должна отражать специфику исследуемого объекта, т.е.
мультисервисной сети связи, а, с другой стороны, — оставаться приемле-
мой для проведения дальнейших преобразований с целью построения удоб-
ных в реализации численных алгоритмов. Предположения, необходимые
для построения модели, сформулированы и обсуждаются в разделе 1.6,
который написан на основе [2,5,6,9,11,12,15,18-20,24,25,28,30-37,39,40].
Литература к главе 1
1. Бакланов И. Г. NGN: принципы построения и организации / под ред.
Ю.Н.Чернышова. — М.: Эко-Трендз, 2008.
2. Башарин Г.П. Лекции по математической теории телетрафика: Учеб,
пособие. Изд. 2-е исправ. и доп. — М.: Изд-во РУДН, 2007.
3. Буассо М., Деманж М., Мюнъе Ж. Введение в технологию ATM:
Пер. с англ. — М.: Радио и связь, 1997.
4. Вишневский В.М. Теоретические основы проектирования компью-
терных сетей. — М.: Техносфера, 2003.
5. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслу-
живания. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.
6. Галкин А.М., Симонина О.А., Яновский Г.Г. Анализ характеристик
сетей NGN с учетом свойств самоподобного трафика // Электро-
связь. 2007. №12.
7. Гольдштейн А.Б., Гольдштейн Б. С. Технология и протоколы MPLS.
— СПб: БХВ-Санкт-Петербург, 2005.
8. Гольдштейн Б.С., Пинчук А.В., Суховицкий А.Л. IP-Телефония. —
М.: Радио и связь, 2006.
104
Глава 1. Мультисервисные сети связи
9. Ершов В.А, Кузнецов Н.А. Мультисервисные телекоммуникацион-
ные сети. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2003.
10. Кархов А.А., Голышко А.В. GN глазами клиента // Мир связи
CONNECT. 2004. №9.
11. Корнышев Ю.Н., Пшеничников А.П., Харкевич А.Д. Теория теле-
трафика. Учебник для вузов. — М.: Радио и связь, 1996.
12. Крылов В.В., Самохвалов С. С. Теория телетрафика и её приложе-
ния. — СПб: БХВ-Санкт-Петербург, 2005.
13. Кучерявый Е.А. Управление трафиком и качество обслуживания в
сети Интернет. — Санкт-Петербург: Наука и техника, 2004.
14. Кучерявый А.Е., Цуприков А.Л. Сети связи следующего поколения.
- М.: ФГУП ЦНИИС, 2006.
15. Лагутин В. С., Степанов С. Н. Телетрафик мультисервисных сетей
связи. - М.: Радио и связь, 2000.
16. Лазарев В.Г. Интеллектуальные цифровые сети: Справочник. — М.:
Финансы и статистика, 1996.
17. Назаров А.Н., Симонов М.В. ATM технология высокоскоростных се-
тей. — М.: Эко-Трендз, 1998.
18. Назаров А.Н. Модели и методы расчёта структурно-сетевых пара-
метров ATM сетей. — М.: Горячая линия-Телеком, 2002.
19. Наумов В.А., Самуйлов К.Е., Яркина Н.В. Теория телетрафика
мультисервисных сетей. — М.: Изд-во РУДН, 2007.
20. Нейман В.И. Самоподобные процессы и их применение в теории те-
летрафика // Электросвязь. 1999. №1.
21. Росляков А.В. Сети следующего поколения NGN. — М.: Эко-Трендз,
2008.
22. Семёнов Ю.В. Проектирование сетей связи следующего поколения.
— Санкт-Петербург.: Наука и техника, 2005.
23. Соколов Н.А. Телекоммуникационные сети. Монография в 4-х гла-
вах. Глава 1. 2003 — 128 с. Глава 2. 2003 — 128 с. Глава 3. 2004 — 192
с. Глава 4. 2004 — 192 с. — М.: Альварес Паблишинг.
24. Степанов С.Н. Численные методы расчёта систем с повторными вы-
зовами. — М.: Наука, 1983.
25. Шелухин О.И., Тенякшев А.М., Осин А.В. Фрактальные процессы в
телекоммуникациях. — М.: Радиотехника, 2003.
26. Шнепс-Шнеппе М.А. Лекции по NGN. — М.: МАКС Пресс, 2005.
27. Яновский Г. Г. Качество обслуживания в сетях IP // Вестник связи.
2008. №1.
Литература к главе 1
105
28. Broadband network traffic. Performance evaluation and design of broad-
band multiservice networks. Final report of action COST 242 / James
Roberts ... (ed). Lecture notes in computer sciences. Springer, 1996.
29. Cameron D. Optical Networking: A Wiley Tech Brief. — New York:
Wiley, 2001.
30. Courcoubetis C., Weber R. Pricing Communication Networks:
Econonomics, Technology and Modelling. — Chichester: Wiley, 2003.
31. Davies G., Hardt M., Kelly F. Come the Revolution — Network
Dimensioning, Service Costing and Pricing in a Packet Switched
Environment // Telecommunications Policy. 2004. № 28.
32. Hui J. Y. Resource allocation for broadband networks / / IEEE Journal
on Selected Areas in Communications. 1988. V.6.
33. Iversen V.B. Teletraffic Engineering Handbook. — ITU-D, Nov 2002.
34. Iversen V.B., Benetis V., Ha N.T., Stepanov S.N. Evaluation of Multi-
service CDMA Networks with Soft Blocking // Proc. 16th ITC Specialist
Seminar on Performance Evaluation of Wireless and Mobile Systems.
University of Antwerp. Antwerp, Belgium, August 31-September 02.
2004.
35. Kelly F.P. Notes on effective bandwidths. In: F.Kelly, S.Zachary
and I.Ziedinis (Eds.), Stochastic Networks: Theory and Applications
Telecommunications Networks, Volume 4 of Royal Statistical Society
Lecture Notes Series, Oxford, pp.141-168. Oxford University Press.
36. Kelly F.P. Reversibility and stochastic networks. — New York: Willy,
1979.
37. Lindberger K. Dimensioning and design methods for integrated ATM
networks // Proc. 14th International Teletraffic Congress. Antibes Juan-
les-Pins, 1994.
38. Park K., Willinger W. Self-Similar Network Traffic: An Overview, Self-
Similar Network // Traffic and Performance Evaluation (ed), Wiley-
Interscience. 2000.
39. Pechiar J., Perera G., Simon M. Effective bandwidth estimation and
testing for Markov sources // Performance Evaluation. 2002. №4.
40. Ross K. W. Multiservice loss models for broadband telecommunication
networks. — London, Berlin, New-York: Springer-Verlag, 1995.
41. Scharf E.M. Meeting the challenge of charging for ATM // British
Telecommunications Engineering. 1999, V. 18. № 2.
Глава 2
ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ
ОЦЕНКИ КАНАЛЬНОГО РЕСУРСА
ДЛЯ СЕРВИСОВ РЕАЛЬНОГО
ВРЕМЕНИ
Обслуживание в пакетных сетях трафика сервисов реального времени
имеет прямую аналогию с передачей речевой информации в сети комму-
тации каналов. Переход на пакетные технологии не меняет восприятия
абонентом качества получаемого сервиса. Передача информации пользо-
вателя должна идти без задержки в точках коммутации. Если доля поте-
рянных пакетов фиксирована и не превышает заданной нормированной
величины, то качество обслуживания абонента определяется доступно-
стью канального ресурса, т.е. измеряется долей потерянных заявок. Ис-
пользование понятий эффективной скорости передачи информации (см.
раздел 1.6.2) и канальной единицы (см. раздел 1.6.4) позволяет перефор-
мулировать задачу оценки передаточного ресурса линии в терминах вы-
числения вероятности блокировки в многопотоковых моделях коммута-
ции каналов. Соответствующий класс моделей достаточно хорошо изучен
в теории массового обслуживания. Приведём только часть основных пуб-
ликаций [1-8,11,16,17,25,26,30], где можно найти обзор выполненных ис-
следований и дополнительные ссылки.
107
При построении моделей оценки канального ресурса для обслуживания
трафика сервисов реального времени предполагается, что объём выделя-
емого ресурса не меняется за время соединения и средняя длительность
обслуживания заявки фиксирована для каждого потока. Общим для всех
моделей, рассмотренных в данной главе, является наличие эффективного
алгоритма вычисления точных значений показателей качества совместно-
го обслуживания заявок. По этой причине они называются основными.
Всего будет рассмотрено две схемы занятия канального ресурса.
В разделе 2.1 исследуется базовая модель. Она является мультисервис-
ным аналогом классической модели Эрланга. В анализируемой системе
рассматривается процесс совместного использования канального ресурса
звена мультисервисной сети произвольным числом пуассоновских потоков
заявок, различающихся интенсивностью поступления, количеством ресур-
са, выделяемого для обслуживания одной заявки, и временем его занятия
на передачу информации пользователя. Для исследуемой модели обслу-
живания заявок удалось получить все основные результаты, которые ра-
нее были получены для модели Эрланга и способствовали её широкому
распространению среди инженеров, занимающихся проектированием се-
тей связи. А именно: эффективный рекурсивный алгоритм оценки основ-
ных показателей качества обслуживания заявок, доказательство незави-
симости рассчитываемых показателей от функции распределения времени
занятия ресурса, оптимальный алгоритм оценки минимально необходимо-
го объёма канального ресурса, а также алгоритм вычисления производ-
ных введённых показателей качества совместного обслуживания заявок
по значениям интенсивностей их поступления.
В разделе 2.2 приводится обобщение базовой модели по схеме форми-
рования входных потоков заявок. Предполагается, что интервалы време-
ни между последовательными поступлениями заявок по-прежнему имеют
экспоненциальное распределение, но с параметром, зависящим от числа
заявок рассматриваемого потока, находящихся на обслуживании. Част-
ными случаями рассматриваемой модели входного потока являются муль-
тисервисные системы связи с конечным числом источников трафика, а
также ряд других моделей, представляющих интерес для аппроксимации
реальных потоков заявок на выделение канального ресурса. Для введён-
ной модели формирования входных потоков удалось получить большин-
ство теоретических результатов и расчётных алгоритмов, найденных для
базовой модели.
Завершает главу обсуждение полученных результатов и список цити-
руемых источников.
108
Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
2.1. Базовая модель
2.1.1. Схема занятия канального ресурса
Для моделей мультисервисных систем связи схема занятия канального
ресурса зависит от типа поступившей заявки. Выделение групп однород-
ных событий, описывающих последовательность моментов поступления
заявок, не приводит их к одному потоку, как это происходит в классиче-
ских моделях теории телетрафика. Процесс обслуживания каждой груп-
пы заявок необходимо рассматривать отдельно. Таким образом, возника-
ет класс многопотоковых моделей. Привязка модели к реальным усло-
виям обслуживания поступающих заявок происходит на этапе формали-
зации, когда технические характеристики систем связи (скорость линий,
доступность и т.д.) интерпретируются в терминах понятий, используемых
при описании соответствующих моделей теории телетрафика. Этапы осу-
ществления процедуры формализации процесса обслуживания заявок в
мультисервисных сетях рассмотрены в разделе 1.6.
В модели имеется п потоков заявок на выделение канального ресур-
са, необходимого для обслуживания трафика сервисов реального време-
ни (речевые сообщения, видеоконфернц-связь и т.д.). Поступление за-
явок fc-ro потока подчиняется закону Пуассона с интенсивностью А&, где
к = 1,2, Сделанный выбор модели входного потока предполагает,
что влияние размеров группы пользователей на создаваемый ими поток
заявок пренебрежимо мало и её можно считать бесконечной (см. обсуж-
дение соответствующей проблемы в разделе 1.6.5). Пусть v — скорость
передачи информации мультисервисной линии, выраженная в единицах
канального ресурса, требуемого для обслуживания поступающих заявок,
bk — число единиц ресурса линии, необходимого для обслуживания одной
заявки fc-ro потока, а среднее время занятия канального ресурса на
её обслуживание, к = 1,2, Чтобы не рассматривать вырожденные
случаи, примем, что
О < Afc < оо, 0 < //*, < оо, к = 1,2,... ,п. (2.1)
В соответствии с обсуждением, приведённым в разделе 1.6, можно счи-
тать значения bk, к = 1,2,... ,п и v целыми положительными числами.
Если это не оговаривается особо, будем предполагать, что длительности
времени занятия канального ресурса на обслуживание заявок имеют экс-
поненциальное распределение и не зависят друг от друга и от входных
2.1. Базовая модель
109
потоков. Следует сразу отметить, что ряд полученных утверждений спра-
ведлив и при произвольном распределении длительности обслуживания
заявок. Схема функционирования и отличительные свойства базовой мо-
дели мультисервисной линии показаны на рис. 2.1.
Отличительные
свойства
Характеристика
поступления
заявок
Передаточный
ресурс линии в
канальных
единицах
Тип трафика
• Сервисы реального
времени
Тип модели
• Мультисервисный
аналог модели
Эрланга
Область использования
• Расчёт пропускной
способности звеньев
транспортной сети
Рис. 2.1. Структура и свойства базовой модели мультисервисной
линии, используемой при анализе занятия канального
ресурса на уровне соединений
Поступающие заявки обслуживаются на основе модели с явными поте-
рями, т.е. они получают отказ и не возобновляются ни в каком виде, если
для их допуска в сеть не хватает необходимого объёма канального ресурса.
Формально процедуру приёма заявки можно записать следующим обра-
зом. Пусть ik — число заявок к-го потока, находящихся на обслуживании,
a i — общее число единиц ресурса мультисервисной линии, занятых обслу-
живанием заявок всех потоков. Значение i определяется из выражения
i = bkik- Тогда заявка к-го потока принимается к обслуживанию, ес-
ли выполняется неравенство i + bk < v. Соответственно, если i + bk > v, то
поступившая заявка теряется без возобновления.
110
Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
2.1.2. Математическое описание модели
Основной областью использования исследуемой модели является опре-
деление необходимого объёма канального ресурса для передачи трафика
сервисов реального времени. В соответствии с обсуждением, приведённым
в разделе 1.5, достаточность ресурса будет оцениваться долей потерян-
ных заявок. В рамках сделанных предположений для вычисления этого
показателя достаточно знать долю времени пребывания мультисервисной
линии в состоянии с известным числом заявок каждого вида, находящих-
ся на обслуживании. Выбор показателей обслуживания заявок задаёт вид
пространства состояний исследуемой модели и структуру случайного про-
цесса, описывающего динамику их изменения.
Пусть ik(t) — число заявок к-го потока, находящихся в момент времени
t на обслуживании. Динамика изменения общего числа обслуживаемых
заявок описывается многомерным случайным процессом
г(£) =
определённым на конечном пространстве состояний S. Оно состоит из век-
торов (гг Д2,... Дп), удовлетворяющих неравенству
52 ^bk < v- (2-2)
k=i
На рис. 2.2 для исследуемой модели показаны пространство состояний и
соответствующая диаграмма переходов при п = 2. Для простоты принято,
что Ь] = 62 = 1-
Использованная схема построения модели и введённые ограничения на
изменения входных параметров (2.1) позволяют утверждать, что процесс
r(t) — марковский. Если дополнительно предположить, что все состояния,
входящие в S, — сообщающиеся, т.е. из каждого состояния в любое дру-
гое и обратно можно попасть в результате некоторого числа поступлений
заявок или освобождений канального ресурса, то можно сделать вывод о
наличии для r(t) стационарного режима [1-5,16,25,26].
Обозначим через рДхДг,..., in) стационарную вероятность состояния
(г1Д2,... Дп), где ik ~ число заявок к-го потока, находящихся на обслу-
живании в стационарном режиме, к = 1,2,... ,п. В дальнейшем строчная
буква р(-) используется для обозначения нормированных значений вероят-
ностей стационарных состояний исследуемых моделей, а прописная буква
F(-) —- для обозначения ненормированных значений стационарных вероят-
ностей. Значения стационарных (предельных) вероятностей марковского
2.1. Базовая модель
111
Рис. 2.2. Пример пространства состояний и диаграмма переходов
для базовой модели мультисервисной линии
процесса p(«i,г2; ,«п) имеют интерпретацию доли времени пребывания
линии в состоянии (zi,z2, • • , in)- Используя данную интерпретацию, да-
дим определение основным показателям QoS, необходимым для оценки
достаточности канального ресурса линии..
Качество обслуживания заявок к-го потока определяется долей 7i> по-
терянных заявок и средней величиной ггц занятого канального ресур-
са. Дадим им формальные определения с использованием вероятностей
p(«i,22, • • Ап)- Доля потерянных заявок к-го потока находится как доля
времени пребывания процесса r(Q в состояниях, когда приём поступившей
заявки невозможен из-за нехватки свободного канального ресурса. Спра-
ведливость данного утверждения вытекает из свойств пуассоновского по-
тока, которому подчиняются моменты поступления заявок к-го потока.
112 Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
Обозначим через Uk множество соответствующих состояний. Оно включа-
ет в себя состояния (zi, г2, • • •, in) € S, удовлетворяющие условию
zibi + г2Ь2 + ... + inbn > v~bk. (2.3)
Занумеруем bk так, чтобы выполнялись неравенства
bi < b2 < ... < Ьп.
Тогда нетрудно показать справедливость соотношений
U1 с U2 с ... С ип.
В качестве примера рассмотрим исследуемую модель для значений вход-
ных параметров v = 9, п — 2, bi = 1, Ь2 = 3. На рис 2.3 кружками обозна-
чены состояния, принадлежащие множеству S. Закрашенные кружки —
это состояния из множества Ui. Заштрихованные и закрашенные кружки,
рассмотренные совместно, — это состояния из множества U2.
’ ОООФ
-оооооое
0-юоооооооое
—I-1--1-1-1-1-1-1-1--1-►
012 3456789
Рис. 2.3. Вид и соотношения между множествами состояний S, Ui
и U2 для случая v = 9, п = 2, bi = 1, b2 = 3
Значения введённых показателей обслуживания заявок к-го потока
определяются из равенств
7rfc= 52 P(ii,i2,---,in),
ТПк= У
(2-4)
(2-5)
2.1. Базовая модель
113
Пусть ук — среднее число заявок к-го потока, находящихся на обслужи-
вании. Понятно, что значение у к находится из выражения ук —
Для расчёта характеристик ттк и тк по введённым определениям (2.4),
(2.5) необходимо составить и решить систему уравнений статистическо-
го равновесия, связывающую ненормированные значения вероятностей
F(ii, Z2,..., гп). Она выписывается в соответствии с формальными пра-
вилами, которые подробно изложены в разделе 4.2.4 на примере модели
мультисервисной линии, используемой для описания совместного обслу-
живания трафика сервисов реального времени и данных. Пусть для со-
стояния («1,22, • • Дп) € S величина i — + i2b2 + ... + inbn обозначает
общий занятый канальный ресурс. Выполнив необходимые преобразова-
ния, получаем следующую конечную систему линейных уравнений:
Р(Д,г2,
n
= Er(*i,
fc=l
п
in) 52 + bk<v)+ ikid,kI(ik > 0)) = (2.6)
fc=i
, i/г 1,..., in)XkI(ik > 0) +
n
+ 52 p{i^ • • •, ik + 1, • , in)(ik + 1)^(г + bk < v),
k=l
(ii, i2i • i ^n) € S'-
Здесь и далее /(•) — индикаторная функция, определяемая соотношением
если выполнено условие, сформулированное
в скобках,
(2-7)
0, если это условие не выполнено.
Полученные в результате решения системы уравнений равновесия ненор-
мированные значения вероятностей P(ii, i2, - - ,in) необходимо нормиро-
вать
p(ii,i2,---,«n) =
F(ii, i2,..., in}
22 P{iii i^i i in)
114 Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
2.1.3. Свойство мультипликативности
Построенная модель хорошо известна в теории телетрафика и её иссле-
дованию посвящено множество работ [8,10-13,15,18-30]. Она имеет ряд от-
личительных особенностей, значительно упрощающих вычисление введён-
ных показателей качества обслуживания заявок. Начнём со свойства муль-
типликативности значений стационарных вероятностей p(4, Вы-
полнение данного свойства позволяет представить p(ii,i2,.. ,in) в виде
следующего соотношения
( АЛ*1 /Да V2 (Ла. У”
Jy гр г2! гп\
В приведённом выражении символ N означает нормировочную константу.
Она определяется из равенства
Обсудим сформулированное утверждение. Свойство мультипликатив-
ности легко установить в ситуации, когда объём канального ресурса линии
не ограничен, т.е. v = оо. Действительно, в данном частном случае зна-
чение ik(t) числа заявок к-ro потока, находящихся в момент времени t на
обслуживании, описывается процессом рождения и гибели с интенсивно-
стями рождения Хк и гибели гкРк-> к = 1, 2,..., п. В силу неограниченности
ресурса линии все п процессов не зависят друг от друга. Для к-го потока
стационарная вероятность Pk(ik) нахождения ik заявок на обслуживании
определяется из равенства
Рк(гк) = е , 4 = 0,1,..., к = 1,2,
гк-
Для совместных вероятностей получаем следующее выражение:
4 0,1,..., к 1,2,..., п.
4-
(2.9)
Оно следует из независимости процессов обслуживания заявок отдельных
потоков.
2.1. Базовая модель
115
Таким образом, в данном частном случае мы установили свойство
мультипликативности для вероятностей совместного обслуживания за-
явок. Чтобы показать справедливость (2.8) в общем случае, заметим,
что для модели с неограниченным канальным ресурсом процессы ifc(i),
к — 1,2,... ,п независимы и обладают свойством обратимости. Согласно
[25], соответствующий результат легко проверить, установив для рассмат-
риваемых процессов справедливость соотношений детального равновесия
-РДДЖ = + 1)(4 + гк = 0,1,... Из приведённых равенств
также следует наличие свойства обратимости и у составного процесса
(Zl(t),Z2(i),...,«n(t)).
Обратимые марковские процессы обладают рядом замечательных ха-
рактеристик, важнейшей из которых является сохранение свойства обра-
тимости и значений (с точностью до нормировки) стационарных вероят-
ностей после выполнения некоторых видов урезания используемого про-
странства состояний. Процедура урезания связана с возможностью изме-
нения характера переходов анализируемого обратимого процесса. Приве-
дём формальную запись этого утверждения (см. детали в [25]). Для обра-
тимого марковского процесса r(t), определённого на счётном пространстве
состояний Q и имеющего стационарное распределение 7r(j), j G И, совер-
шим урезание используемого пространства состояний до размеров S С Q.
Далее переопределим процесс r(t), положив равными нулю интенсивности
перехода из состояний, принадлежащих множеству S, в состояния, при-
надлежащие множеству Q\S. Если построенный таким образом марков-
ский процесс r*(t) обладает свойством неприводимости на пространстве
S, то процесс r*(t) будет также и обратим, а его стационарные вероятно-
сти 7r*(j) определяются из соотношений
(210)
ses
Чтобы проверить наличие свойства неприводимости у марковского
процесса, использованного для описания анализируемой модели мульти-
сервисной линии, достаточно проверить, что из произвольного состояния,
принадлежащего пространству состояний S, можно попасть в любое дру-
гое состояние из множества S и обратно в результате поступления некото-
рого числа заявок и окончания их обслуживания. Понятно, что в рассмат-
риваемом случае все условия сформулированного утверждения выполня-
ются. Следовательно, для стационарных вероятностей модели мультисер-
висной линии с ограниченной скоростью передачи справедливы равенства
(2.8), что и доказывает требуемый результат.
116
Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
Свойство мультипликативности, а также используемая схема распреде-
ления канального ресурса дают возможность построить эффективные ре-
курсивные алгоритмы расчёта стационарных характеристик модели. Сле-
дует отметить, что свойство мультипликативности в форме (2.8) сохраня-
ется и при изменении характера функции распределения времени обслу-
живания заявки к-го потока. Для этого достаточно потребовать, чтобы
для всех заявок к-го потока вид функции распределения был одинаков, а
времена обслуживания заявок не зависели бы друг от друга и от поступа-
ющих потоков. Доказательство данного утверждения осуществляется ап-
проксимацией произвольного распределения длительности обслуживания
смесью эрланговских распределений или распределений фазового типа, а
для них справедливость соотношений (2.8) доказывается преобразованием
системы уравнений равновесия (детали см. в [13]).
Таким образом, расчётные алгоритмы, разработанные на основе (2.8),
можно использовать и в ситуации, когда для заявки к-го потока время
занятия канального ресурса на передачу информации имеет детерминиро-
ванное распределение (т.е. постоянно), эрланговское распределение, рас-
пределение фазового типа и т.д. Отметим, что устойчивость мультиплика-
тивного представления по отношению к функции распределения времени
обслуживания заявки сохраняется и при некотором ослаблении ограниче-
ний на модель входного потока и структуру анализируемой сети связи.
Соответствующие случаи будут рассмотрены позднее.
Для упрощения вида последующих выражений перейдём к записи ин-
тенсивностей поступающих заявок в эрлангах, т.е. в числе заявок, посту-
пающих за среднюю продолжительность обслуживания одной заявки, ко-
торая далее будет принята за единицу. Введём соответствующие обозна-
чения
ак = —, к = 1,2,... ,п. (2.11)
Цк
Для исследуемой модели значение ак задаёт интенсивность предложенно-
го (иногда говорят потенциального) трафика к-го потока заявок. Соот-
ветствующая характеристика определяется как среднее число заявок к-го
потока, находящихся на обслуживании в отсутствии потерь. Величина ак
определяет потенциальное число соединений для рассматриваемого пото-
ка заявок.
2.1. Базовая модель
117
В новых обозначениях свойство мультипликативности (2.8) приобрета-
ет вид
/ - • \ 1 а,1 аг22 агпп . . . z х
р(т5 *2) • •, ^п) = ~г • • • ~г, (ii, • 1 in) £ 8, (2.12)
iV Zj! 2-2* ^n*
N = у
il!i2! '"r
Полученные выражения можно использовать для оценки 71>, ггц. Из
(2.4), (2.5) получаем
л „г? „гп
___ Q1 Q2 £п_
N h'- ъ'- in'-’
(2.13)
Ък
41
«1! г2!
Zjbl
ип
in-
ik-
Соотношения (2.13) при п = 1 активно используются при проектирова-
нии сетей. Приведём соответствующие расчётные выражения. Пусть для
простоты bi = 1. Поскольку поток заявок один, то условимся здесь и далее
при записи параметров и характеристик моносервисной модели не исполь-
зовать нижний индекс для обозначения номера потока и примем а =
Получаем S = (0,1,..., f), U = (г>). Выражения (2.13) приобретают вид
± U г
_______ ________гл_________
Nv\ i + a+g + ... + ^’
(2-14)
rn =
1 v пг
Выражение для доли потерянных заявок тт представляет собой формулу
Эрланга [12]. Для записи тг используется специальное обозначение E(v, а).
Аналитические выражения (2.8) и (2.12) обычно не применяются для
вычислений, поскольку число неизвестных вероятностей p(ii,i2, • ,in)
быстро увеличивается, начиная со сравнительно небольших значений v
и п. Покажем это. Примем для простоты, что bk = 1, к = 1,2,..., п. То-
гда общее число состояний в пространстве S, определяемом неравенством
(2.2), можно найти из выражения
_ (г; + 1)(г + 2) • • • (г + n) еп /v\n
v п! х/2тт \nj
118
Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
Оценка в правой части приведённого соотношения получена с использо-
ванием формулы Стирлинга. Нетрудно показать, что при п = 10, v = 100
число состояний превосходит значение 2 • 1013, а при п — 10, v = 1000
значение 2 • 1023.
Тем не менее наличие явных выражений (2.8) и (2.12) значительно
упрощает процедуру расчёта введённых показателей качества обслужива-
ния поступающих заявок. Решение этой проблемы будет получено в сле-
дующем разделе.
2.1.4. Рекурсивный алгоритм
Эффективный алгоритм оценки ттк, гпк, к = 1,2,..., п основан на ис-
пользовании значений вероятностей пребывания r(t) во множестве состо-
яний Si С S, куда входят состояния (гх, г2, • •, in) £ S, удовлетворяющие
условию
«161 + «2^2 + ... + inbn — г.
Значение i меняется от 0 до v и показывает, сколько единиц ресурса муль-
тисервисной линии используется всеми поступающими потоками заявок.
Понятно, что пространство состояний S можно представить как объедине-
ние всех взаимно непересекающихся подмножеств Si, i = 0,1,... ,v. Таким
образом, получаем
s = U Si.
i=O
(2-15)
Определим p(i) из равенства
Р(г) = 12 г = 0,1,..., v.
Покажем, что введённые показатели качества обслуживания заявок к-го
потока могут быть найдены, если известны только значения р(г). Имеем
из (2.4), (2.13), (2.15)
_1_
N ,Ir zj z2!
ain
(2.16)
1 v лs * * * * * 11 ni2
/V _ o, I o'Q!
i=v—bk+l 2‘
пгп
un
i=v—bk+l
12 p(^-
2.1. Базовая модель
119
Интуитивно понятно, что для оценки тк вместо (2.5) можно использовать
равенство
тпк = акЬк(1 - 7Tfc). (2.17)
Строгое доказательство (2.17) будет получено в конце данного раздела.
Из равенств (2.16) и (2.17) следует, что для вычисления 7rfe, тк доста-
точно знать величину вероятностей р(г), г = 0,1,..., V. Построим алгоритм
оценки значений р(г), г = 0,1,..., v, воспользовавшись для этого результа-
тами [6,15,24,29,30]. В частности, покажем, что нормированные величины
искомых вероятностей р(г), i = 0,1,..., v связаны рекуррентными соотно-
шениями следующего вида
1 п
НО = -^акЬкР(г~ьк)1(г-Ьк>0), i = l,2,...,v, (2.18)
1 fc=i
где /(•) — индикаторная функция, определяемая равенством (2.7). Отме-
тим, что выражения (2.18) выполняются и для ненормированных значений
Р(г).
Для доказательства (2.18) преобразуем гр(г) к виду
«НО = 52 = (2.19)
(п \
5 ^кЛк j Н«1> «2> • • , in) =
fa=l '
п
5 ^к 5 < Н«1> «2; • • ! «n)«fc-
fc=l
Воспользовавшись мультипликативным представлением стационарных
вероятностей (2.12), получим выражение для
5 < p(«i »«2, - •, «п)д
через p(i—bk). Соответствующее выражение выглядит следующим образом
52 Н«ъ«2,--.,«п)4 = (2.20)
1 Д1 aik ain
_ 1 \ Q1 ак ап
N г? ” й’ ” г ’ fc
120
Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
Щ 5Г"Л
(^1)!
•^Ж>о) =
^п-
= ак 52 р^-
^к 1, • • > >0) —
= ак 52 p(ii,i2,.--,in)I(i-bk > 0) =
(21,12, ...,in')^Si_bk
= akp(i - Ьк)1(г -Ьк> 0).
Подставив (2.20) в (2.19), получаем рекуррентную формулу (2.18).
Найдём выражение (2.17) для оценки тк через значение доли поте-
рянных заявок к-ro потока. Для этого воспользуемся определением (2.5)
и соотношениями (2.15), (2.20). Имеем
тк — 5 у Р(^1> ^21 - •, ‘iny)ikbk —
(2.21)
V
— ^к 5 ? 5 Р(^1) ^2j • • • > ^п)^к =
i=0
v
= a-kbk ^р(г - &fc)/(z - Ък > 0) =
г=0
v-bk v
= акЬк 52 р(0 = акЪк{1 - 52 р(0) =
i=0 i=v—bfc+1
= akbk(l - 7rfc).
Используя соотношения (2.18), нетрудно выразить значения ненорми-
рованных вероятностей Р(г) через ненормированное значение вероятности
какого-либо одного состояния, например, через Р(0). Далее после норми-
ровки находятся вероятности р(г), г = 0,1,...,V, ас ними и величины
характеристик irk, тк, к = 1,2,..., п. Перечислим шаги соответствующего
рекурсивного алгоритма.
2.1. Базовая модель
121
1. Положим значение Р(0) = 1.
2. Выразим значения вероятностей Р(г), i = 1,2, ...,v через Р(0), ис-
пользуя соотношение
Р(г) = ~ 52 akbkP(i - bk)I(i - bk > 0) (2.22)
г fc=i
и последовательно увеличивая величину i, от 1 до v. Нетрудно
проверить, что при каждом фиксированном i значения выражений
P(i—bk)I(i—bk >0), к = 1,2,..., п, участвующих в записи правой ча-
сти суммы (2.22), либо уже представлены через Р(0) (для i — bk > 0),
либо равны 0 (для i — bk < 0).
3. Находим величину нормировочной константы
V
г=0
4. Определяем нормированные значения вероятностей р(г)
... Р(г)
р(.г) = —, г = 0,1,..., и
5. Находим величину введённых показателей качества совместного об-
служивания заявок для каждого из п анализируемых потоков
V
^к = 52 Р(0, тк=акЬк(1-ттк), к = 1,2,...,п.
i=v-bk+l
Оценим вычислительную сложность реализации построенного алго-
ритма количеством выполненных арифметических операций. Основные
усилия тратятся на вычисление Р(г) в соответствии с шагом 2. При этом
выполняется О(п) арифметических операций. Общее число операций, ко-
торые необходимо совершить для вычисления всех вероятностей, оцени-
вается величиной О(пг). Так как п — константа, то отсюда следует, что
время счёта увеличивается линейно с ростом объёма канального ресурса
линии.
Таким образом, для каждого из п потоков решена задача определения
доли потерянных заявок, а также среднего значения канального ресурса
122 Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
линии, занятого на их обслуживание. Поскольку появилось эффективное
средство оценки показателей качества обслуживания заявок, то тем са-
мым значительно упростилась проблема нахождения минимального объ-
ёма канального ресурса линии, обеспечивающего заданные (нормирован-
ные) значения характеристик приёма заявок на обслуживание. Обсудим
пути решения сформулированной задачи более подробно.
2.1.5. Оценка канального ресурса: традиционная схема
Основная область использования мультисервисных моделей — оценка
минимальной величины канального ресурса, достаточного для обслужива-
ния известных потоков заявок с заданным качеством. Если данная задача
решается на стадии проектирования сети, то параметры потоков опреде-
ляются из маркетинговых исследований. Если соответствующая проблема
возникает в процессе её эксплуатации, то параметры поступающих пото-
ков заявок известны из измерений. Достаточность ресурса оценивается
сравнением значения выбранного функционала, зависящего от характе-
ристик качества обслуживания заявок, с его нормированной величиной,
которая задаётся соответствующими регламентирующими документами.
Для трафика сервисов реального времени в качестве такого функциона-
ла можно взять максимальное значение доли потерянных заявок тг. Она
определяется из равенства
тг = max 7Ti.. (2.23)
1<к<п 4 '
Другая возможность — использовать значение доли тг^ потерянного пред-
ложенного трафика, выраженного в канальных единицах, от величины
предложенного трафика. Выражение для оценки 7Q имеет вид
Н1Ь17Г1 + <22^2^2 + + .
=---------------------------. (2.24)
(2101 + (22^2 + • • • + dnbn
В общей постановке сформулированная задача решается методом пере-
бора. Будем называть соответствующую схему вычислений традиционной.
Её реализация на примере исследуемой модели мультисервисной линии со-
стоит в выполнении следующих шагов:
1. Задаются необходимые исходные данные. К ним относятся:
• значения входных параметров модели п,аь,Ьь, к = 1,2,
фиксированные на время решения задачи;
2.1. Базовая модель
123
• функционал, зависящий от рассчитываемых характеристик ка-
чества обслуживания заявок и других параметров, например,
стоимостных;
• нормированное значение функционала, задаваемое соответству-
ющими регламентирующими документами, используемое для
оценки достаточности канального ресурса;
• начальное значение канального ресурса го (обычно в качестве
такового берётся целая часть величины предложенного трафи-
ка, выраженного в канальных единицах; в рассматриваемом
п
случае получаем такое выражение r0 =J 12 afcbfc[).
fc=i
2. Производится расчёт значения функционала с использованием ре-
курсии (2.22).
3. Значение функционала сравнивается с нормированной величиной.
Если канального ресурса недостаточно, то его объём увеличивается,
например, на единицу, и расчёты повторяются. В противном случае
задача оценки канального ресурса считается решённой.
В данной ситуации и во всех последующих решениях аналогичной за-
дачи предполагается, что значение функционала, отражающего качество
обслуживания заявок, убывает с увеличением числа канальных единиц
при фиксированных остальных значениях входных параметров. Выпол-
нение этого предположения интуитивно очевидно, и оно действительно
справедливо в большинстве ситуаций, встречающихся на практике. Тем
не менее можно построить модели или определить функционалы качества
обслуживания заявок, когда указанное свойство не выполняется.
Приведём пример реализации традиционной схемы оценки минималь-
но необходимого объёма канального ресурса. С этой целью рассмотрим
базовую модель для следующих значений входных параметров: п = 4,
Ь1 = 1, Ь2 = 5, Ьз — 10, &4 = 20, afc = а к — 1,2,3,4. Процедура оценки
требуемого объёма канального ресурса v заканчивалась при выполнении
условия к < 0,05. Вид тг определён соотношением (2.23). Понятно, что
максимальные потери будут испытывать заявки 4-го потока. Результаты
промежуточных вычислений я при изменении объёма канального ресурса
линии v, выраженного в канальных единицах (к.е.), показаны на рис. 2.4.
Решение поставленной задачи достигается при г>=280 к.е. В соответствии с
перечисленными шагами реализации традиционного метода для нахожде-
ния ответа потребовалось рассчитать величину 7Г4 для значений v, меня-
ющихся от 200 к.е. до 280 к.е.
124
Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
Объём канального ресурса линии, V (к.е.)
Рис. 2.4. Результаты промежуточных вычислений максимальных
потерь при решении задачи оценки минимально
необходимого объёма канального ресурса
Пусть No — число арифметических операций, которые необходимо со-
вершить при однократном расчёте функционала качества обслуживания
заявок, a Ns — число шагов перебора. Тогда общее число операций, вы-
полняемое при решении поставленной задачи, будет равно NqNs. Понят-
но, что применение сформулированного подхода не является оптималь-
ным решением. Также отметим, что реализация соотношений (2.22) мо-
жет приводить и к вычислительным сложностям. Они возникают из-за
использования в (2.22) относительных значений ненормированных веро-
ятностей Р(г), выраженных через Р(0). Величина р(0) быстро стремится
к нулю с ростом объёма канального ресурса и фиксированных остальных
параметрах модели. Для иллюстрации данного положения в таблице 2.1
приведены величины р(0) для разных значений объёма канального ресур-
са и n = 1, ц = а, 6=1. Величина v меняется от 100 к.е до 1000 к.е. Из
представленных данных видно, что значение р(0) действительно быстро
убывает с ростом v, внося сложности в реализацию расчётных схем.
2.1. Базовая модель
125
Таблица 2.1.
Величина р(0) для разных значений объёма канального ресурса
v (к.е.) а (Эрл) р(0) v (к.е.) а (Эрл) р(0)
100 100 7,06 х 10~44 600 600 5,19 х 10-261
200 200 2,67 х 10-87 700 700 1,93 х 1О-304
300 300 9,99 х 10~131 800 800 7,20 х IO’348
400 400 3,73 х 10-174 900 900 2,68 х 10-391
500 500 1,39 х 10~217 1000 1000 9,98 х IO"435
В следующем разделе будет показано, что исследуемая модель мульти-
сервисной линии обладает свойствами, позволяющими решить проблему
оценки необходимого объёма канального ресурса более эффективным об-
разом.
2.1.6. Оценка канального ресурса: оптимизированная
схема
Пусть v — искомое значение канального ресурса. Идея алгоритма ста-
новится понятной, если рассмотреть решение поставленной задачи для мо-
носервисной модели звена (модель Эрланга), являющейся частным случа-
ем исследуемой модели мультисервисной линии. Примем п = 1,Ъ = 1,
тогда соотношения (2.18) приводятся к виду
р(г) = %(г-1)/(г-1>0),
2/
г = 1,2,... ,v.
(2.25)
Из (2.25) следует формула Эрланга (2.14) для вычисления доли потерян-
ных заявок в системе из v каналов с пуассоновским потоком заявок ин-
тенсивности а. Для определения необходимого объёма канального ресурса
расчётное соотношение для Е(у, а) рекомендуется переписать в виде ре-
курсии
Е(г, а) =
g Е(г - 1, а)
1 + *Е(г-1,а)’
г = 1,2,...,ц
(2.26)
с очевидным начальным условием E(0,a) — 1. Приведённая рекурсия сле-
дует после несложных алгебраических преобразований из формального
126
Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
выражения (2.14) для Е(у,а). Действительно, имеем
E(v,a) =
av 1 а
(у—1)! v
Г1ц_ац_ 01,-1 1-L а’'"1 °‘
Поделив числитель и знаменатель на сумму в квадратных скобках и заме-
нив v на г, получаем искомую рекуррентную формулу (2.26) для вычис-
ления Е(у, а).
Отметим, что рекурсия в (2.26) теперь выполняется по величине объё-
ма канального ресурса г, и при её реализации используются только норми-
рованные значения вероятностей Е(т, а). Это снимает упомянутые ранее
вычислительные проблемы, связанные с применением (2.25). На каждом
шаге расчётного алгоритма находятся нормированные значения Е(г, а),
которые сравниваются с заданным показателем тг. Если Е(г, а) > тг, то
расчёты с использованием (2.26) продолжаются до первого выполнения
обратного неравенства. Полученное значение г и будет минимально необ-
ходимым объёмом канального ресурса, который обеспечивает обслужи-
вание поступающих заявок с долей потерь, ограниченной величиной тг.
Нетрудно показать, что вычислительная сложность решения поставлен-
ной задачи эквивалентна сложности однократной оценки Е(у, а) при числе
канальных единиц равных v.
Получим соотношение (2.26) другим способом, который может быть
использован и для мультисервисных моделей. Введём обозначение ps(i)
для стационарных вероятностей числа занятых канальных единиц г, где
нижний индекс s указывает на объём канального ресурса, при котором бы-
ли рассчитаны значения вероятностей. Пусть г = 0,1,...,г — 1 —
ненормированные значения стационарных вероятностей, найденные с ис-
пользованием (2.25) для величины канального ресурса, равной г — 1. Про-
ведём их нормировку. Выполняется соотношение Е(г — 1, а) = pr-i(r — 1).
Увеличим объём канального ресурса на единицу и найдем с помощью
(2.25) ненормированные значения Pr(i), i = 0,1,...,г, выбрав начальное
значение рекурсии из соотношения Рг(0) = рг-1(0). Отсюда следуют ра-
венства
Pr(i) =pr_i(z), г = 0,1,..., г — 1. (2.27)
Значение Рг(г) находится из равенства (2.25) при i — г. Используя (2.27),
получаем
Рг(г) = Рг(г - 1) = ^Рг-1(г - 1). (2.28)
2.1. Базовая модель 127
Проведя нормировку Рг(г), находим из (2.28) требуемое соотношение
(2.26)
E(r, а) = pr(r) = Fr(0) + + _ 1) + рг(г) = (2.29)
= ^рг 1(г- 1) =
Рг-1(0) + ... +Рг-1(г - 1) + “Pr-i(r - 1)
= 7Pr-i(r-1) = °Е(г-1,а)
l + 7Pr-i(r-l) 1 + *Е(г - 1,а)
Реализуем соответствующий подход для исследуемой модели мульти-
сервисной линии. По-прежнему в обозначениях ps(z) для стационарных
вероятностей общего числа занятых канальных единиц i нижний индекс
s указывает на объём канального ресурса, при котором были рассчитаны
значения вероятностей. Пусть
b = max bk- (2.30)
1<к<п v 7
Найдём, используя рекурсию (2.22), нормированные значения вероятно-
стей рг_Д0), рг_1(1),... ,pr-i(r — 1) для числа канальных единиц линии,
равного г—1. Проведём оценку достаточности выбранного объёма каналь-
ного ресурса. Для этого рассчитаем величину функционала, определён-
ного выражениями (2.23) или (2.24). Заметим, что в обоих случаях для
проведения вычислений достаточно знать только значения pr_i(r — 1),
рг-1(т — 2),... ,рг-^(г — Ь). При этом число используемых вероятностей
не зависит от числа канальных единиц линии и всегда равно Ь.
Если анализируемого объёма канального ресурса не достаточно, то его
значение увеличивается на единицу и расчёты проводятся заново. Процесс
вычисления происходит следующим образом. Зададим начальный шаг ре-
курсии (2.22) из соотношения Д(0) = рг_1(0) и последовательно выполним
(2.22), меняя значение г от 1 до г. В соответствии с выбором начального
условия полученные ненормированные значения Рг(г), * = 0,1,... ,г удо-
влетворяют равенствам
рг(0) = рг-1(0),
Д(1) = рг-1(1) ,
(2.31)
Рг(г-1) = р^Дг-Х),
Рг(т) = - 52 акЬкРт-Лг - bfc)Z(r - Ьк > 0).
Г к=\
128
Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
Для нормированного значения вероятности Рг(г) получаем
/ ч = ___________Prtr)__________ =
РАТ) РГЦХ) + Рг(1) + • • + Рг(г)
= РЛт)=
Рг-1(0) +рг-1(1) Ч------\-Pr-l(r - 1) + Рг(г)
Используя (2.31), перепишем (2.32) в виде
7 £ dfcbfcPr-i(r - bfc)/(r - bk > 0)
pr(r) =----------------------------------------. (2.33)
1 + 7 £ dfcbfcpr_i(r - bfc)/(r - bk > 0)
fc=i
Для оценки функционалов (2.23), (2.24) необходимо найти значения
вероятностей pr(P),pr(r — 1),... ,pr(r — b + 1). Величина рг(г) определя-
ется из (2.33), а оставшиеся вероятности находятся после нормировки из
соотношений
Pr(i) =------ц----------, (2.34)
1 + ^ £ akbkpr_!(r - bk)I(r - bk > 0)
к=1
i — г—1, г — 2,...,г—Ь+1.
Если вычисления показывают, что анализируемое значение канального
ресурса г недостаточно для обслуживания поступающих потоков заявок,
то величина г увеличивается на единицу и расчёты повторяются. Из (2.33),
(2.34) следует, что для реализации следующего шага данного алгоритма
достаточно знать не все, а только b нормированных значений стационар-
ных вероятностей рг(г) с максимальной величиной г.
Рассмотренный алгоритм позволяет вести рекурсию по объёму каналь-
ного ресурса. Причем на каждом шаге вычисляются только те нормиро-
ванные значения вероятностей, которые требуются для оценки функцио-
нала качества обслуживания заявок и осуществления следующего шага ре-
курсии. Таким образом, предлагаемый здесь подход обеспечивает полную
аналогию с рекурсивным алгоритмом (2.26), разработанным для модели
Эрланга.
2.1. Базовая модель
129
Приведём формальное изложение алгоритма. Пусть г — переменное
значение объёма канального ресурса мультисервисной линии, v — величи-
на минимально необходимого объёма ресурса для обслуживания заданных
потоков заявок в соответствии со значениями QoS, заданными соотноше-
ниями (2.23), (2.24). Последовательность определения v выглядит следу-
ющим образом:
1. Положим ро(О) = 1-
2. Для каждого фиксированного значения г = 1,2,... находим
min(b, г + 1) нормированных значений вероятностей рг(г), i =
г, г—1, ... , max(r — b + 1,0), используя соотношения (2.33), (2.34)
7 Е afcbfcpr_i(r-bfe)I(r - bk > 0)
Рг(Н =-----; (2.35)
1 + 7 Е afcbfcpr_i(r-bfc)/(r - bk > 0)
fc=i
рг_1(г
71 ’
1 + 7 Е ак Ькрг-1(г - bk)I(r — bk>ty
к=1
i = г—1, г—2, ... ,max(r — b+ 1,0).
3. Рассчитываем функционал, определяющий качество обслуживания
заявок, заданный соотношениями (2.23) или (2.24). Проверяем до-
статочность объёма канального ресурса в соответствии с сформули-
рованным критерием. По результатам проверки либо заканчиваем
процесс определения объёма канального ресурса, либо продолжаем.
На рис. 2.5 показаны номера используемых состояний и порядок вычис-
лений вероятностей при реализации построенной оптимизированной схемы
оценки необходимого объёма канального ресурса. Величина b = 3. Заме-
тим, что на каждом шаге алгоритма независимо от текущего значения
объёма канального ресурса г вычисляется не более b значений нормиро-
ванных стационарных вероятностей.
Если положить в (2.35) п — 1 и b = 1, то получаем рассмотренное ранее
рекуррентное представление формулы Эрланга (2.26)
/ ч 7Pr-i(r-l)
, 1Г г = 1,2,...; ро(0) = 1.
130
Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
Переменное значение объёма канального ресурса
Рис. 2.5. Порядок вычислений стационарных вероятностей для
оптимизированной схемы оценки объёма канального
ресурса
При реализации алгоритма в памяти компьютера необходимо хранить
вектор размера 0(b). Объём вычислений при изменении г от 1 до v оце-
нивается величиной О((2п + b)v). По сравнению с традиционной схемой
выполняемая расчётная работа уменьшилась примерно в v/(2 + %) раз.
Рассмотрим численный пример, иллюстрирующий эффективность ис-
пользования разработанных расчётных схем. Соответствующие данные
приведены в таблице 2.2. Анализируются две схемы: традиционная и оп-
тимизированная. В первом случае определяются вероятности всех состоя-
ний модели, которые возникают при изменении величины канального ре-
сурса от единицы до v. Расчёты проводятся с использованием рекурсии
(2.22). Во втором случае находятся только те значения вероятностей, ко-
2.1. Базовая модель
131
Таблица 2.2.
Оценка относительного числа операций при использовании традиционной
и оптимизированной схем решения задачи оценки канального ресурса
А (ЭрлК) Канальная ёмкость v (к.е.) Т ради- ционная схема Оптими- зированная схема Значение 7Г4
100 161 36,4 1 0,00950
200 277 62,2 1 0,00994
300 389 87,1 1 0,00988
500 607 135,5 1 0,00974
750 873 194,7 1 0,00986
1000 1136 253,1 1 0,00983
2000 2171 483,1 1 0,00991
3000 3194 710,4 1 0,00994
5000 5225 1161,8 1 0,00993
торые необходимы для ведения рекурсии и оценки показателей качества
обслуживания заявок. При выполнении вычислений используются соот-
ношения (2.35). Значения входных параметров модели: п = 4, = 1,
t>2 = 3, 5з = 5, Ь4 = 10. Величина интенсивности общего предложенного
трафика А, выраженная в канальных единицах, меняется от 100 ЭрлК
до 5000 ЭрлК и разделяется на отдельные потоки заявок с интенсивно-
стями, определяемыми из соотношений (ц = к = 1,2,3,4. Процеду-
ра определения необходимого объёма канального ресурса v заканчивалась
при выполнении условия maxi<fc<„ < 0,01. Понятно, что максималь-
ные потери будут испытывать заявки 4-го потока. В таблице приведены
значения относительного числа операций при использовании традицион-
ной и оптимизированной схем решения задачи оценки канального ресурса
при сформулированных выше начальных условиях. За единицу приняты
вычислительные усилия, потраченные на реализацию оптимизированной
схемы. Из анализа численных данных видно, что выигрыш в числе опе-
раций, который обеспечивается использованием оптимизированной схемы,
весьма ощутим особенно для больших значений канального ресурса, где он
достигает величины нескольких порядков по сравнению с традиционной
схемой.
132 Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
Заканчивая обсуждение построенной расчётной схемы, ещё раз отме-
тим её стабильность. При проведении вычислений не возникает проблем
с переполнением или исчезновением порядка, поскольку расчёты выпол-
няются только с нормированными значениями вероятностей глобальных
состояний модели, потенциально обладающих наибольшей вероятностной
массой. Другим положительным качеством рассмотренного подхода яв-
ляется его общий характер. Данная схема без труда обобщается на ряд
других моделей сетей и систем связи. Сформулируем условия, необходи-
мые для выполнения соответствующих преобразований.
2.1.7. Оценка канального ресурса: общая схема
Последовательность действий, которая применялась для базовой моде-
ли при решении задачи оценки необходимого объёма канального ресурса,
может быть использована для решения аналогичной задачи и в более об-
щей постановке. Соответствующее решение рассмотрено в [21,22]. Приве-
дём основные полученные результаты. Рассмотрим модель звена мульти-
сервисной сети связи. Для построения оптимальной схемы оценки объёма
канального ресурса v, аналогичной (2.35), необходимо:
1. Наличие специального вида рекуррентной зависимости для вычис-
ления р(г) — доли времени пребывания мультисервисной линии в
состоянии (г), где г — число занятых канальных единиц. Её форма
определяется соотношением
О,
i < 0,
i — 0,
г = 1,2,..., v,
Р(г) =
а,
1),...,Р(г-w)),
(2.36)
В (2.36) v — скорость линии, выраженная в канальных единицах, а
w — целое число, не зависящее от v и i.
2. Наличие возможности оценки функционала качества обслуживания
заявок В(-), используемого для определения достаточности каналь-
ного ресурса, только на основе стационарных вероятностей модели
p(v),p(v — 1),..., р(у — s + 1), где s — некоторое целое число, не за-
висящее от V.
В соответствии с результатами [21,22] выполнение условий 1 и 2 поз-
воляет привести соотношения (2.36) к виду, допускающему рекурсию по
2.1. Базовая модель
133
объёму канального ресурса, причем на каждом шаге вычисляются только
те нормированные значения вероятностей, которые необходимы для опре-
деления функционала качества обслуживания заявок В и осуществления
следующего шага рекурсии.
Пусть г — переменное значение канального ресурса мультисервисной
линии при решении задачи оценки величины v минимально необходимого
объёма ресурса для заданных потоков заявок и показателях QoS. Алго-
ритм определения значения v выглядит следующим образом:
1. Положим ро(0) = 1 и определим значение j из выражения j =
max(s, w).
2. Для каждого фиксированного значения канального ресурса г =
1,2,..., находим miiiQ, г +1) нормированных значений вероятностей
рг(г), г = г, г — 1,..., max(r — j + 1,0), используя соотношения (2.36)
Ж-1(г-1),ту_1(г-2),... ,РтМ(г-ш))
1 + /(Pr-i(^-l),Pr-i(^-2),... ,Pp_i(r-w)) ’
________________Pr-iG________________
1 + /(р^г-1),РгЛ(г-2),.. .,Pr-i(.r-w)) ’
i — r— 1, r—2, ... , max(r — j + 1,0).
3. Находим значение функционала качества обслуживания заявок В,
используемого для оценки минимально необходимого объёма каналь-
ного ресурса, проверяем его достаточность в соответствии с сформу-
лированным критерием. По результатам проверки либо заканчиваем
процесс определения v, либо продолжаем.
Заметим, что при реализации сформулированного алгоритма независи-
мо от текущего значения объёма канального ресурса г вычисляется не бо-
лее j = max(s, w) значений стационарных вероятностей. Диаграмма, пред-
ставленная на рис. 2.5, показывает порядок вычисления нормированных
значений стационарных вероятностей в соответствии с введённой схемой.
Значение j = 3. Для фиксированного числа занятых канальных единиц
г достаточно найти min(j, г + 1) нормированных значений стационарных
вероятностей с тем, чтобы рассчитать значение функционала качества об-
служивания заявок В и совершить, если необходимо, следующий шаг ре-
курсии в соответствии с введённой схемой.
134
Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
Вычислительные усилия, которые необходимо затратить на прохожде-
ние уровня г, оцениваются общим числом операций Nf и Bf, выполняе-
мых, соответственно, при вычислении функции /(•) (один раз), и пока-
зателя обслуживания заявок В (один раз) и на совершение j операций
нормализации. Таким образом, для достижения уровня г, начиная с еди-
ницы, необходимо затратить 0{(Nf + NB + j)r} операций.
В ряде случаев построенные вычислительные схемы можно улуч-
шить. Рассмотрим две модификации основного алгоритма. В обоих слу-
чаях рекурсии начинаются не с начального, а с промежуточного значе-
ния канального ресурса. Для реализации первой схемы необходимо, что-
бы были известны нормированные значения стационарных вероятностей
Рто(.го),Рг0(го — 1), , Pro(ro — Д для промежуточного значения объёма ка-
нального ресурса г = rG. Здесь j = max(s, w). Тогда рекурсии для опреде-
ления минимально необходимого объёма канального ресурса могут быть
переписаны в следующем виде:
1. Определим нормированные значения стационарных вероятностей
Pro (’’о), Pro (г0 - 1),... ,Рго(г0 - j + 1) используя (2.36).
2. Для каждого фиксированного значения г — r0 + 1, г0 + 2,..., нахо-
дим нормированные значения рг(г), г = г, г—1, ... , max (г — j + 1,0),
используя соотношения (2.36), (2.37)
„ М = Ш-1(г-1),Рг-1(г-2),... ,^(7—w)) .
1+ /(^1^-1)^^!(г-2),...,p^i(r-w)) ’
р м =______________________________________
1 + /(р^1(г-1),Рг-1(г-2),... ,p^(r-wY) ’
i = г — 1, г—2, ... , шах(г — j + 1,0).
3. Выполняются действия, описанные в основной версии алгоритма (см.
стр. 133).
На рис. 2.6 показаны номера используемых состояний и порядок вычис-
лений при реализации рассмотренной схемы оценки необходимого объёма
канального ресурса. Параметры схемы j — 3, г0 = 5. Для достижения
уровня г начиная с г0 необходимо затратить 0{(Nf + (NB + Д(1 — ^)) г}
операций.
2.1. Базовая модель
135
Переменное значение объёма канального ресурса
Рис. 2.6. Порядок вычисления стационарных вероятностей при
начале рекурсий с промежуточного значения канального
ресурса г0
Перейдём к анализу другой модификации основной схемы. Её реко-
мендуется использовать для больших значений объёма канального ресур-
са. В этой ситуации состояния (г) с наибольшими значениями вероят-
ности р(г) локализованы в непосредственной близости от состояния (у).
Соответствующее положение иллюстрируется данными, показанными на
рис. 2.7, где приведены относительные значения Р(?'), нормированные ве-
личиной maxo<i<v Р(г). Входные параметры модели: г?=1000, п = 5, = к,
ak = к = 1,...,5. Из представленных данных видно, что примерно
10...20 & значений стационарных вероятностей являются существенными
для оценки интегральных показателей качества обслуживания заявок 7rfc,
mfc, к — 1,..., 5, а остальные — пренебрежимо малы.
136
Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
Число занятых канальных единиц, г (к.е.)
Рис. 2.7. Распределение относительных значений Р(г),
нормированных по величине maxo<i<?, P(i)
Выберем уровень урезания £ и будем предполагать, что общее чис-
ло занятых канальных единиц линии i принимает значения £, £ + 1,..., v.
Соответствующие величины определяют область существенных состояний
(£), (£ + 1),..., (г) для оценки 7Ц;, к — 1,2,..., п при рассматриваемых
значениях входных параметров модели. Тогда рекурсия (2.36) для Р(г)
может быть переписана в виде
р-(>) =
О, i < £,
a, i = £,
f(P\i-l),...,P*(i-w)), i = £+!,.
.,v.
(2.39)
В (2.39) звёздочка означает, что Р*(г) даёт примерное значение Р(г).
Точность предложенной оценки и проблема определения границ области
существенных состояний требует отдельного исследования и здесь не рас-
сматривается. В анализируемом случае рекурсия для оценки минимально
необходимого объёма канального ресурса выглядит следующим образом:
1. Положим = 1.
2. Примем, что j = max(s,w). Для каждого фиксированного значения
г — £ + 1, £ + 2,... находим нормированные значения вероятностей
2.1. Базовая модель
137
р*(г), г = г, г—1,..., max(r — j + 1,0), используя соотношения (2.37)
и (2.39)
ч = /fe(r-l),#Li(r-2),... ,^(r-w))
l + /fc(r-l),P^1(r-2),...,p;_1(r-w))’ 1 ' Uj
__________________________________
1 + f(Pr-i(r~l), рДДг-2),... ^(r-w))’
i = r—1, r—2, ... ,max(r — j + 1,£).
3. Выполняются действия, описанные в основной версии алгоритма (см.
стр. 133).
На рис. 2.8 показаны номера используемых состояний и порядок вы-
числений при реализации модифицированной схемы оценки необходимого
объёма канального ресурса, основанной на урезании используемого про-
странства состояний. Параметры схемы j = 3, £ — 4. Для достижения
уровня г, начиная с £, необходимо затратить 0{(Nf + Nb + j) (г — £)}
операций. Соотношения между множествами глобальных состояний, ис-
пользуемых для разных вариантов решения задачи оценки минимально
необходимого объёма канального ресурса, показаны на рис. 2.9.
Рассмотренная в данном разделе схема преобразования рекурсий для
вероятностей общего числа занятых каналов в устойчивую форму будет
далее применяться для разных моделей мультисервисных линий при раз-
работке эффективных алгоритмов вычисления минимально необходимого
объёма канального ресурса. Отметим, что устойчивость алгоритмов до-
стигается за счёт использования в процессе счёта только нормированных
значений вероятностей, необходимых для оценки показателей допуска но-
вых заявок к обслуживанию.
2.1.8. Производные вероятностей блокировок
Для решения разного рода оптимизационных задач особенно в сфе-
ре экономики телекоммуникаций необходимо знать значения производных
основных показателей работы системы по интенсивностям поступающих
138
Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
Переменное значение объёма канального ресурса
Рис. 2.8. Порядок вычислений стационарных вероятностей при
начале рекурсий с уровня урезания используемого
пространства состояний £
заявок на выделение канального ресурса. Их можно найти, если извест-
ны явные выражения для этих показателей через параметры модели. На-
пример, для модели Эрланга производная вероятности потерь Е(у, а) по
интенсивности поступающих заявок а имеет вид
Е(у, а)' = E(v, а)
v — а(1 — Е(у, а))
а
В приведённой формуле величина производной выражена через значение
формулы Эрланга, что упрощает её определение.
Рассмотрим проблему вычисления производных доли потерянных за-
явок TTfc, к = 1,2,... ,тг для исследуемой модели мультисервисной линии.
2.1. Базовая модель
139
Рис. 2.9. Вид множеств глобальных состояний для разных схем
определения объёма канального ресурса
Если сравнить поставленную задачу с аналогичным решением, получен-
ным для модели Эрланга, то можно отметить появление следующих слож-
ностей. Во-первых, отсутствие явных выражений для тгь через значения
входных параметров модели, а во-вторых, наличие в модели произвольно-
го числа потоков заявок. Несмотря на это, решение поставленной задачи
может быть найдено достаточно просто. Как и в случае модели Эрланга,
значения производных доли потерянных заявок выражаются через значе-
ния стационарных вероятностей числа занятых канальных единиц иссле-
дуемой модели мультисервисной линии. Эти вероятности определяются с
помощью рекурсивной схемы (2.22), исследованной в разделе 2.1.4.
Для нахождения соответствующих выражений воспользуемся альтер-
нативным алгоритмом вычисления основных показателей приёма заявок
140
Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
к обслуживанию, основанным на использовании оператора свёртки. Да-
дим его формальное определение. Рассмотрим два вектора с компонен-
тами х = (т(0),т(1),...,т(а;Е)) и у = (?/(0), з/(1),.. .,у(аУУ). Примене-
ние оператора свёртки к векторам х, у даёт вектор z с компонентами
z = (z(0), z(l),..., z(dz)), определяемыми из выражений
ДО) = гс(О)з/(О), Д1) = ж(0)т/(1) + гг(1)з/(0),...,
где dz < dx -Ь dy.
Далее термин «свёртка» будет обозначать действие оператора свёрт-
ки, определённого предыдущими равенствами. Поскольку известно, что
решение системы уравнений (2.6) обладает свойством мультипликативно-
сти (2.8), то оно может быть найдено посредством алгоритма, основанного
на применение оператора свёртки. Последовательность действий, которые
необходимо для этого выполнить, выглядит следующим образом.
1. Обозначим через РДг), г = 0,1,..., ненормированные значения ста-
ционарных вероятностей занятия г единиц канального ресурса линии
в ситуации, когда на обслуживание предлагаются только заявки к-
го потока. Взяв Ffe(0) за единицу и представив все РДг) через /ДО),
получаем следующие выражения для Рк(г), г = 0,1,..., v
i=jbk, j =0, l,...,cfc,
i^jbk, j =0,1,..., ck.
(2-41)
В (2.41) величина Ck — максимальное число заявок к—го потока,
которые одновременно могут находиться на обслуживании. Ясно,
что значение Ск — это целая часть отношения Назовём вектор
(РДО), Pfc(l),..., Рк(у)) индивидуальным стационарным распределе-
нием fc-ro потока.
2. Обозначим через (Pn\k(0), Pn\fe(l),--., Рп\к(уУ) вектор, полученный
после свёртки п индивидуальных распределений за исключением
распределения к-т потока. Для компонент Pn\k(t) значение i — число
единиц ресурса линии занятых обслуживанием заявок всех потоков
за исключением к-т потока, г = 0,1,...,г>.
3. Выполнив свёртку вектора (РП\ДО), РП\Д1),..., Рп\Дг>)) с вектором
индивидуального распределения Pro потока (РДО), Рк(Х), • • •, РДг>)),
получаем ненормированное распределение P(i), i = 0,1,..., v числа
2.1. Базовая модель
141
единиц ресурса линии, занятых обслуживанием заявок всех пото-
ков. Этот результат следует непосредственно из мультипликативно-
го представления (2.8). После нормировки значения Р(г) можно ис-
пользовать для расчёта показателей качества обслуживания посту-
пающих потоков заявок в соответствии с введёнными определениями
(2.16),(2.17).
Алгоритм свёртки будет в дальнейшем использоваться при анализе
мультисервисных моделей с ограниченным доступом (см. раздел 3.1). Ре-
зультаты промежуточных преобразований, полученные в процессе свёртки
всех п индивидуальных распределений, дают возможность найти расчёт-
ные соотношения для производных ттк по ttj, к — 1,2,..., п, j = 1,2,..., п.
Обозначим через N — нормировочную константу. Тогда, в со-
ответствии с определением, производная 7ц. по aj может быть найдена из
следующих выражений:
дтгк _ J_
да3 ~ №*
(2.42)
Г<Э( Р(г) + P(v — 1) + ... + Р(у — bk + 1)
х
х N—
да.,-
.Р(г) + P(v - 1) + ... + P(v — bk + 1)
dN
daj
Из определения оператора свёртки получаем соотношение для Р(г),
i = 0,1,... ,г,
Р(г) = Pn\j(i)Pj(0) + Pn\j(^ — l)-fj(l) + • • • + Pn\j(0)Pj(i).
Компоненты Pn\j(z), г = 0,1,...,г, не зависят от a,j. Из (2.41) следует
выражение для производной Pj(i) по aj
~ Ьз\ * i = К Ьз + !> • • • ,v-
Отсюда получаем соотношение для производной ненормированного значе-
ния Р(г) по величине интенсивности j-ro потока
dP(i)
~а~ = Pn\j(i ~ fy)-fj(O)+ (2.43)
142
Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
+Р„у(« - bj - 1)Р,(1) + . + P„v(0)^(i - У = Р(> - Ъ).
Используя (2.42) и (2.43), получаем
= p(v - bj) + p(v - bj - 1) + ... + p(v - bj -bk + 1)-
(2.44)
- (p(t> -bj)+ p(v - bj; - 1) + ... + p(0)} x
x(p(t>) + p(r
1) + ... + p(v -bk + 1)) =
= p(v - bj) +p(v - bj - 1) + ... + p(v - bj - bk + 1) - (1 - TTj)TTk.
Найденное соотношение даёт возможность выразить значения произ-
водных доли потерянных заявок каждого потока по всем интенсивностям
поступающих заявок через значения вероятностей занятости канально-
го ресурса р(г), г = 0,1,..., г. Таким образом, показано, что для рас-
сматриваемой модели мультисервисной линии, как и для модели Эрлан-
га, сложность оценки производных вероятностей блокировок эквивалент-
на сложности оценки самих блокировок. Напомним, что для их вычисле-
ния получена эффективная вычислительная процедура (2.22). Рассмотрим
несколько примеров использования полученных результатов.
Предположим, что качество работы мультисервисной линии связи оце-
нивается функционалом /(яу, тг2,..., лп), где тгк, к = 1,2, ...,п — доля
отказов в обслуживании для заявок к-го потока, зависящая в свою оче-
редь от интенсивностей поступления заявок всех потоков щ, а2, • • •, ап. Та-
ким образом, можно записать ттк = л^(п1, а2,..., ап). Приведём конкретные
примеры функционала /(•).
1. Доля отказов в выделении канального ресурса для заявок к-го пото-
ка
У(^"1>7Г2, . . . , 7ГП) 7Гк.
(245)
2. Среднее число единиц канального ресурса линии, занятых обслужи-
ванием заявок к-го потока
У(Л1,7Г2, . . - , 7ГП) — щТД1 7Г/-).
(2-46)
2.1. Базовая модель
143
3. Средний доход, полученный от обслуживания мультисервисного тра-
фика
/(tti, тг2,..., тг„) = 52rfeafebfe(l-7Tfe). (2.47)
к=1
Здесь rk - коэффициент, отражающий в условных единицах доход
от занятия одной канальной единицы линии на обслуживание заявок
к-го потока.
Рассмотрим задачи, возникающие при эксплуатации и проектировании
мультисервисных систем связи, которые могут быть решены с использо-
ванием производных. Довольно часто возникает необходимость в оцен-
ке флуктуаций значения рассчитываемого функционала /(•) от неболь-
ших изменений входных параметров модели. Природа соответствующих
изменений может носить случайный или детерминированный характер.
Рассмотрим обе ситуации более подробно, начав с первой. Для простоты
определим /(•) из соотношения (2.45).
Как правило, при определении необходимого объёма канального ре-
сурса используются значения интенсивностей предложенного трафика
(ai,a2, • • •, °п) с известной априори ошибкой, зависящей от используемой
статистической процедуры оценивания и уровня доверия. Таким образом,
вместо значений (щ, О2, • •, а«) используются величины (щ ± Дai,a2 ±
Да2,..., а„±Да„). В этой ситуации возникает задача оценки ошибки опре-
деления канального ресурса, вызванной ошибками измерения входных па-
раметров модели. Будем считать, что вносимые изменения носят случай-
ный характер и сформулируем допущения об их характере.
Предположим, что значения а1}а2, ,ап известны с независимыми
ошибками: aj = a^+^j, j = 1,2,..., п. Будем также считать, что случайные
величины j — 1,2,..., п имеют нормальное распределение со средним
равным нулю и среднеквадратическим отклонением Tj. Данное допущение
является обычным в теории телетрафика и следует из предположения, что
систематические ошибки измерения интенсивностей щ, а2,..., ап исключе-
ны, и итоговая ошибка является результатом воздействия большого числа
малозначимых факторов.
Если тгДсц, а2, • • •, ап) является дифференцируемой функцией своих па-
раметров, то, используя формулу Тейлора, можно записать:
п
TTklfl!, а2,..., ап) = тгДг/Д а{2\ ..., а^0)) + Dk,£j+ (2.48)
Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
144
где Dkj — значения частных производных 7гДа1, а2, • • •, ап) в точке
a7rfc(40),40),---,^0))
до,-
(2.49)
а свойства функции о(т) определяются пределом
lim = о(1) = 0.
ж—>0 х
Известно, что линейная комбинация независимых нормально рас-
пределенных случайных величин также имеет нормальное распределе-
ние. Предположим, что величины Тк малы. Тогда при тк —> 0 ве-
личина 7Tfc(a!, а2, • • •, G-п), определяемая выражением (2.48), будет иметь
(0)
асимптотически нормальное распределение со средним значением тц. =
7Tfc(4°\ 4°\ > 4°)) и дисперсией Dk = S"=i Зная дисперсию ?к и
задавшись уровнем доверия ир, можно рассчитать доверительный интер-
вал для значений щ. Он находится из выражения ± Д&, где Л/. = ирТк,
а ир — двухсторонняя квантиль нормального распределения с уровнем
доверия р. Поскольку тгДщ, а2,..., ап) имеет асимптотически нормальное
распределение со средним значением = яД4°\а2°\ • • и Дис-
Персией Dk = S"=i ^k,jTj , т0 Для Dt получаем доверительный интервал
4°) ± upy/Dk с тем же уровнем доверия р.
Таким образом, если для показателей качества обслуживания заявок
к-го потока известны частные производные по интенсивностям поступа-
ющих потоков заявок, то при наличии случайных ошибок измерения ин-
тенсивностей и выполнении гипотезы об их нормальном распределении и
независимости можно построить доверительный интервал для рассматри-
ваемой характеристики, являющейся функцией уровня доверия и диспер-
сии ошибок измерения каждой из этих интенсивностей. Для реализации
соответствующей возможности необходимо найти значения частных про-
изводных D^j, к = 1, 2,... ,п, j = 1,2, Для исследуемой модели
значения Dkj определяются с использованием соотношений (2.44), (2.49).
Допустим, изменение значений входных параметров носит детермини-
рованный характер. В этой ситуации значения производных могут быть
2.1. Базовая модель
145
использованы для приближённой оценки величины функционала в обла-
сти малых флуктуаций значений параметров. В соответствии с извест-
ными результатами математического анализа значение дифференциру-
емой функции тгДсц, а2, • • , ап) в некоторой окрестности ал 4- Дй1,а2 +
Да2,..., ап + Аап определяется из выражения
7Ffc(ai + Afli, а2 + Да2,..., ап + Дап) = (2.50)
/ х дт^к Л дттк .
= Мй1, о2,, ап) 4- — Afti + Да2 + ... + —Дап.
V(l\ uQ>2
Таким образом, если известны величины блокировки ттДсц, а2,..., а„) для
значений интенсивностей предложенного трафика о2,..., оп, то линей-
ная функция (2.50) может быть использована для приближённого вычис-
ления блокировки в некоторой окрестности значений ах, а2,..., ап, опре-
деляемой выражением щ ± Agi,o2 ± Да2,... ,ап ± Аоп. Вид функций
тгДщ, п2,..., ап) позволяет ожидать высокую точность оценки даже для
сравнительно больших значений Дщ, к = 1, 2,..., п.
Рассмотрим численный пример, иллюстрирующий сформулированное
утверждение. На рис. 2.10 приведены результаты точного расчёта величи-
ны лДсц + Aoi, а2 + Д«2,..., а„. + Дап) и её приближённая оценка, найден-
ная с использованием (2.50). Входные параметры принимают значения:
v = 500, п = 5, bi = 1, fe2 = 2, = 4, Ь4 = 5, b5 = 10, щ к = 1,..., 5.
Результаты расчётов показаны для к = 3. Относительная погрешность
изменения интенсивностей (ошибка х) определяется из соотношений
Для данных, приведённых на рис. 2.10, величина х менялась в интервале
от —0,1 до 0,1. Приведённые результаты показывают высокую точность
приближённой оценки. Погрешность вычислений уменьшается с ростом
значения потерь.
2.1.9. Зависимость показателей QoS от загрузки
линии
Построенные расчётные схемы дают возможность исследовать зависи-
мость показателей качества совместного обслуживания заявок от измене-
ния интенсивности входного трафика. Анализ полученных данных открыл
146
Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
Относительная погрешность, х
Рис. 2.10. Точное и приближённое (2.50) значения тг3 при изменении
относительной ошибки оценки интенсивностей а^,
к = 1,..., 5 в интервале от —0,1 до 0,1
ряд интересных свойств, которые можно использовать при решении задач
проектирования и эксплуатации мультисервисных сетей связи. Соответ-
ствующие зависимости вытекают из особенностей обслуживания заявок
на выделение канального ресурса в мультисервисных сетях и, как увидим
далее, выполняются в более общих предположениях, чем те, что были ис-
пользованы при построении исследуемой базовой модели.
Начнём с иллюстрации некоторых очевидных соотношений между зна-
чениями 7Ffc. Суммарная интенсивность предложенного трафика А, выра-
женная в эрланго-каналах, определяется как среднее число одновремен-
но занятых канальных единиц в отсутствии потерь поступающих заявок.
Значение А находится из соотношения
А — СцЬ1 + 02^2 + . . . + апЬп-
(2.51)
2.1. Базовая модель
147
Условимся вести анализ зависимости показателей качества обслужи-
вания заявок от предложенного трафика в пересчёте его величины А на
одну канальную единицу линии. Обозначим соответствующий параметр
модели через р. Величина р измеряется в эрланго-каналах, определяет ко-
эффициент загрузки канальной единицы линии и находится из равенства
р = —.
Г V
На рис. 2.11 показана зависимость тг/. от увеличения р. Входные пара-
метры принимают значения: v = 100, п = 4, Ьг = 1, 62 = 5, Ь3 = 10, 64 = 20,
ак = — 1,2,3,4. При данном выборе входных параметров значе-
ние Ак интенсивности предложенного трафика к-го потока, выраженное в
эрланго-каналах, равняется akbk, и не зависит от к.
Рис. 2.11. Зависимость доли потерянных заявок от увеличения
загрузки одной канальной единицы
Приведённые численные данные показывают, что заявки потоков с
большим требованием к числу единиц ресурса линии, необходимого для
их обслуживания, испытывают и большие потери. Этот вывод легко по-
лучить, если проанализировать выражение для вычисления вероятности
потерь я/с, заданное соотношением (2.16). Если be > bj, тогда справедли-
во очевидное соотношение тц > Обратное неравенство выполняется
148
Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
для средней величины канального ресурса, занятого обслуживанием за-
явок каждого из потоков. Из соотношения (2.17) и приведённого выше
обсуждения следует, что при одинаковой интенсивности предложенного
трафика, выраженной в эрланго-каналах, потоки с меньшим требованием
к числу единиц ресурса, необходимого для их обслуживания, в среднем
занимают больший объём канального ресурса линии.
Следующее свойство также характеризует особенности поведения тц.
при изменении интенсивности входных потоков заявок. Исследуем соот-
ветствующую зависимость в другой метрике. Обозначим через 5 к отно-
шение доли времени, в течение которого ресурс линии не достаточен для
обслуживания поступившей заявки к-го потока, к величине канального
ресурса, необходимого для обслуживания одной заявки. Величина 8к на-
ходится из соотношения
8к = (2.52)
t>k
и определяет потери по времени при обслуживании заявки к-го пото-
ка, приведённые к единице используемого канального ресурса. Изменение
условий анализа поведения яд с ростом р даёт возможность сформулиро-
вать важное для практики свойство пропорциональности индивидуальных
блокировок 7Tfc значениям потребности в канальном ресурсе.
Для иллюстрации соответствующего положения приведём численный
пример. На рис. 2.12 показана зависимость 8к от роста р. Входные пара-
метры принимают значения: v — 100, п = 4, bi = 1, Ь2 — 5, Ь3 = 10, 64 = 20,
щ к — 1,2,3,4. Приведённые данные, а также результаты аналогич-
ных расчётов для других значений входных параметров, показывают, что
можно выделить три интервала изменения р с устойчивым соотношением
между значениями 6к, к = 1,2,... ,п.
В первой области значений (назовём её интервал А) между величинами
8(, 8j, £, j — 1,2,... ,п, выполняется соотношение
8( > 83, если bf > bj. (2.53)
Во второй области значений (назовём её интервалом В) между величинами
6(, bj, £, j = 1, 2,..., п, выполняется соотношение
8( « 83. (2.54)
2.1. Базовая модель
149
Рис. 2.12.
Зависимость 8 к от увеличения р. Выделены три
интервала изменения значений р с устойчивым
соотношением между 8к- Цифрами обозначены номера
потоков
Будем в дальнейшем называть зависимость (2.54) свойством пропорцио-
нальности. И наконец, в третьей области значений (назовём её интервалом
С) между величинами <5^, 8j, £, j = 1,2,... , п, выполняется соотношение
8е < 8j, если be > bj.
(2.55)
Если число канальных единиц находится в пределах нескольких сотен,
то для значений р из интервала В величина приведённых потерь 8к, к =
1,2,..., п обычно лежит в интервале 1.. .5 %, а само значение р близко к
единице.
Отмеченные соотношения между значениями 8к, к = 1,2,..., п, и свой-
ство пропорциональности ттд,, к = 1,2,..., п, становятся понятными, если
обратиться к рис. 2.13, где показано распределение стационарных веро-
ятностей Р(г) общего числа занятых единиц канального ресурса г, для
150
Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
г = 0,1,..., v в зависимости от принадлежности р к одному из трёх вве-
дённых ранее интервалов А, В и С. Значения вероятностей нормированы
по максимальному значению. Входные параметры модели принимают те
же значения, что были использованы при расчёте данных, представлен-
ных на рис. 2.12. Величина р принимает значения: 0,8 ЭрлК, 1 ЭрлК и
1,2 ЭрлК. Если обратиться к рис. 2.12, то нетрудно заметить, что выбран-
ные значения р принадлежат соответственно интервалам: Д В и С.
Рис. 2.13. Распределение нормированных по максимальному
значению вероятностей Р(г), г = 1, 2,..., v, для разных
значений коэффициента загрузки канальной единицы р
Поясним характер соотношений (2.53)-(2.55). В соответствии с полу-
ченным ранее выражением (2.16) для определения 7rfe, к = 1,2,...,п ис-
пользуется равенство
V
^к = 52 (2.56)
i=u-bfc+l
Рассмотрим соотношение (2.53). Для значений р из интервала А (см.
рис. 2.12, 2.13) и величин стационарных вероятностей р(г), участвующих
2.1. Базовая модель
151
в расчёте щ. на основе (2.56), выполняется неравенство
P(h)>p(«2), если «1 < г2. (2.57)
Тогда, используя (2.56),(2.57), нетрудно показать, что для b( > bj
p(v) +p(y-V) + ...+p(v-be + l)
=--------------------------------->
be
р(т) + p(v - 1) + ... + p(v - bj + 1)
> b- ~°j'
u3
Аналогичным образом можно пояснить характер соотношений
(2.54),(2.55). Приведём для иллюстрации величины 5k, к — 1,2,3,4
для значения р = 1, принадлежащего области В. Имеем: ф = 0,0243,
52 = 0,0246, 5з = 0,0248, ф = 0,0245. Таким образом, в рассматриваемой
области изменения р значения 5k, к = 1,2,3,4 действительно очень
близки.
Полученные соотношения (2.53)-(2.55) могут служить основой для раз-
ного рода простых инженерных оценок показателей доступа заявок к ис-
пользуемому канальному ресурсу в мультисервисных сетях. Перечислим
имеющиеся положительные моменты.
1. Если число канальных единиц лежит в пределах нескольких сотен,
то свойство пропорциональности (2.54) выполняется для значений
коэффициента загрузки канальной единицы, обеспечивающих вели-
чину приведённых потерь 5к, к = 1,2, ...,п на уровне 1...5%. Это
соответствует используемым на практике нормируемым показателям
качества обслуживания заявок на выделение канального ресурса в
мультисервисных сетях.
2. Если из измерений или по условиям проектирования известно значе-
ние одного из показателей обслуживания мультисервисного трафика,
то, используя соотношение (2.54), можно найти и оставшиеся.
3. Свойство пропорциональности и соотношения между показателя-
ми качества обслуживания мультисервисного трафика (2.53)-(2.55)
основаны на интуитивно понятном поведении стационарных веро-
ятностей глобальных состояний числа занятых канальных единиц.
Можно ожидать, что отмеченное поведение стационарных вероятно-
стей, а с ним и свойство пропорциональности, сохранятся и для дру-
гих моделей мультисервисных сетей. Соответствующие зависимости
будут исследованы в последующих разделах работы.
152 Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
Вид кривых, показанных на рис. 2.11, подтверждает интуитивно по-
нятный факт о монотонном росте доли потерянных заявок с увеличением
р. Однако для исследуемой схемы совместного обслуживания заявок это
свойство может и не выполняться при определённых соотношениях между
значениями входных параметров модели. Иллюстрацией соответствующе-
го положения служат численные данные, приведённые на рис. 2.14.
Интенсивность предложенного трафика на канальную единицу, р (ЭрлК)
Рис. 2.14. Пример осцилляции значения доли потерянных заявок
одного из потоков при увеличении коэффициента
загрузки канальной единицы
На рисунке изображена зависимость вероятности потерь тгк от увеличе-
ния р для модели со значением параметров: v = 100, п = 2, bi = 1, Ь2 = 50,
щ ~ = ^’2- Наблюдаемое локальное уменьшение вероятности по-
терь для заявок первого потока объясняется тем, что с ростом р заявки
первого потока, занимая канальный ресурс, прекращают доступ к нему
для заявок второго потока, поскольку тем для передачи соответствующе-
го трафика одномоментно требуется достаточно большой ресурс линии.
В результате, заявки первого потока получают дополнительные возмож-
ности для использования канального ресурса, которые могли быть и не
предусмотрены в принятом соглашении об обслуживании.
2.1. Базовая модель
153
В критических ситуациях, подобных тем, что представлена на рис. 2.14,
заявки с малым использованием канального ресурса могут полностью вы-
теснить из обслуживания ресурсоёмкие заявки. Иллюстрацией данного
утверждения служат данные, приведённые на рис. 2.15 для модели со зна-
чением параметров: v = 100, п = 2, bi = 1, Ь2 = 21, щ к = 1, 2.
Интенсивность предложенного трафика на канальную единицу, р (Эр Л К)
Рис. 2.15. Пример вытеснения с обслуживания ресурсоёмких заявок
с ростом коэффициента загрузки канальной единицы
Рассмотренные в данном разделе примеры неконтролируемого пере-
распределения канального ресурса требуют более детального исследова-
ния. Интуитивно понятно, что отрицательные последствия данного яв-
ления уменьшаются с увеличением скорости передачи линии. Это поло-
жение иллюстрируют численные примеры. Для устранения отмеченных
недостатков можно также использовать механизмы контроля за распре-
делением канального ресурса. К ним относятся ограничение доступа, ре-
зервирование и назначение приоритетов. Несколько моделей, реализую-
щих соответствующие подходы, будут рассмотрены в главах 3-4. Ещё од-
на возможность — изменить схему занятия канального ресурса, например,
в случае отказа в передаче поступившего сообщения целиком допустить
возможность его дробления на пакеты, каждый из которых требует для
154
Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
своей передачи только единичный ресурс. Можно также связать выде-
ление канального ресурса с загрузкой линии. Соответствующие модели
будут рассмотрены в главе 4.
Продолжим исследование моделей, которые предназначены для расчё-
та ресурса, необходимого для передачи трафика сервисов реального вре-
мени. В разделе 2.2 будет рассмотрено обобщение базовой модели по схеме
формирования входного потока.
2.2. Модель с обобщённой схемой формирова-
ния входного потока
2.2.1. Процесс поступления заявок
Модель мультисервисной линии, введённая в предыдущем разделе, мо-
жет изменяться при уточнении некоторых особенностей функционирова-
ния реальных систем связи. Большое значение имеют те конструкции, к
которым применимы подходы, развитые для базовой модели.
В данном разделе будет рассмотрена более общая процедура форми-
рования входного потока. Сохранив полностью схему функционирования
модели, исследованной в разделе 2.1, а также обозначения основных пара-
метров и характеристик, изменим процесс моделирования интервала вре-
мени между последовательными поступлениями заявок на выделение ка-
нального ресурса от каждого из входных потоков. В базовой модели пред-
полагалось, что заявки к-го потока поступают через интервал времени,
имеющий экспоненциальное распределение с параметром Хк. Значение Хк
не зависит от загрузки канального ресурса линии. В обобщённой модели
соответствующее время также имеет экспоненциальное распределение, но
теперь его параметр будет зависеть от значения ik — числа заявок к-го по-
тока уже находящихся на обслуживании. Вид зависимости определяется
выражением
Afc(ijt) = Фк +
где фк, £к — числа, удовлетворяющие ограничениям, необходимым для
существования стационарного режима у случайного процесса, описываю-
щего процесс занятия канального ресурса.
В теории телетрафика данная модель входного потока носит название
потока БРР (Bernoulli-Poisson-Pascal) по трём частным типам стационар-
2.2. Модель с обобщённой схемой формирования входного потока
155
ного распределения числа обслуживаемых заявок на линии с неограни-
ченным объёмом канального ресурса. Укажем ограничения на изменение
параметров фк,Ск, соответствующие каждому из этих случаев, и обсудим
их частные особенности.
1. Поток Бернулли (Bernoulli) (иногда этот поток называют так-
же биномиальным). Чтобы задать поток данного типа, необходи-
мо потребовать выполнения неравенства С,к < 0. При этом отноше-
ние пк = — должно быть положительным целым числом. Тогда
^fcGfc) = (^fc—2fc)(—Cfc)- Значение пк имеет интерпретацию числа поль-
зователей, создающих анализируемый поток заявок на выделение
канального ресурса, а ук — ~Ck ~ параметр экспоненциально рас-
пределённого времени между последовательными заявками от одно-
го пользователя. Для потока Бернулли максимальное число заявок
к-го потока, находящихся на обслуживании, ограничено величиной
пк- В рассматриваемой модели интенсивность поступления заявок
уменьшается с ростом числа заявок данного потока, находящихся
на обслуживании. Пользователь услуг сети может находиться либо
в состоянии посылки заявки, либо в состоянии передачи или при-
ёма информационного сообщения, осуществляемого после занятия
канального ресурса.
2. Пуассоновский поток (Poisson). Чтобы построить этот поток, необ-
ходимо потребовать выполнения равенства Д = 0. Тогда интенсив-
ность входного потока определяется величиной Xk(ik) — 'Фк- В рас-
сматриваемой ситуации предполагается, что поток заявок генериру-
ется бесконечным числом пользователей. Для исследуемой модели
интенсивность поступления заявок не зависит от числа заявок, на-
ходящихся на обслуживании.
3. Поток Паскаля (Pascal) (иногда этот поток называют отрицатель-
ным биномиальным). Чтобы задать этот поток потребуем, чтобы
пк — было положительным целым числом, а Д — просто положи-
тельным числом. Тогда Afc(?fc) = (пк -I- ik)Ck и величина ^к — Ск- Для
данной модели интенсивность поступления заявок увеличивается с
увеличением числа заявок рассматриваемого потока, находящихся
на обслуживании.
В теории телетрафика появление семейства потоков типа ВРР связа-
но с традиционной характеристикой поступающих заявок на основе двух
156 Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
параметров: интенсивности предложенного трафика, выраженной в эрлан-
гах, и коэффициента скученности. Обозначим эти параметры для к-го по-
тока соответственно через ак и zk. Их формальные определения выглядят
следующим образом. Будем считать, что заявки исследуемого потока об-
служиваются линией, имеющей неограниченный канальный ресурс. Пусть
Pi — стационарная вероятность нахождения на обслуживании i заявок. То-
гда параметры ак и zk определяются из выражений
оо 1 / 00 \
йк = 52 zk = — I 52 i2Pi - ак] . (2.58)
i=0 \г=0 /
Для введённой модели входного потока можно получить формулы, свя-
зывающие параметры ipk^Ck и &k,zk. Они имеют вид:
р,как pk(zk 1)
w =-------, Ск =------------•
%к %к
Здесь /ц. — параметр экспоненциально распределённого времени занятия
канального ресурса на обслуживание заявок к-го потока. При использо-
вании формул (2.59) необходимо следить за соответствием значений пара-
метров области их определения и выполнением ограничений, требуемых
для существования стационарного режима1.
Нетрудно показать, что для модели входного потока типа Бернулли
значение zk < 1, для пуассоновского потока zk = 1, а для потока Пас-
каля величина zk > 1. Таким образом, используя модели входного пото-
ка типа БРР, можно получить любые комбинации параметров среднего
значения и коэффициента скученности. Это делает потоки БРР важным
инструментом для реконструкции реальных потоков трафика от пользо-
вателей услуг мультисервисных сетей связи. При использовании моделей
ВРР аппроксимация моментов поступления заявок на выделение каналь-
ного ресурса происходит уже на основе двух параметров, а не одного, как
в ситуации пуассоновского потока. Процесс поступления заявок зависит от
числа пользователей, находящихся на обслуживании, т.е. частоту поступ-
ления заявок можно теперь связать с загрузкой линии связи. Построенную
модель рекомендуется использовать в тех ситуациях, когда необходимо вы-
делить небольшие группы абонентов, создающих существенный трафик.
ХВ ситуации бесконечного объёма канального ресурса.
2.2. Модель с обобщённой схемой формирования входного потока
157
2.2.2. Показатели занятия канального ресурса
Перейдем к детальному анализу процесса занятия канального ресурса
в исследуемой модели мультисервисной линии. Пусть v — скорость пере-
дачи информации, выраженная в единицах канального ресурса, необхо-
димого для обслуживания поступающих заявок, ап- число потоков за-
явок. Предполагается, что интервал времени между последовательными
поступлениями заявок к-го потока имеет экспоненциальное распределение
с параметром Xk(ik) = фк + ifcCfc, зависящим от числа заявок рассматри-
ваемого потока Д, уже находящихся на обслуживании. Для принятия за-
явки к-го потока требуется Ьк единиц ресурса линии. Соответствующий
ресурс занимается на время, имеющее экспоненциальное распределение с
параметром рк, к = 1,2,... , п. Поступившая заявка получает отказ и не
возобновляется, если в момент принятия решения о её допуске на линии
нет достаточного объёма свободного канального ресурса. Конфигурация
и отличительные свойства модели мультисервисной линии с обобщённой
схемой формирования входного потока показаны на рис. 2.16.
Обозначим, как и раньше, через г*Д) число заявок к-го потока, находя-
щихся в момент времени t на обслуживании. Функционирование модели
во времени описывается многомерным марковским процессом
r(t) = ,in(t)),
определённым на конечном пространстве состояний S. Оно состоит из век-
торов («1, «2, • •, in), удовлетворяющих условию bkik < v.
Таким образом, по структуре введённый процесс ничем не отличает-
ся от аналогичного процесса, построенного в разделе 2.1.2 для анализа
базовой модели мультисервисной линии. Тем не менее отличия существу-
ют: например, в определении показателей QoS. Три вида характеристик
потерь будут использоваться для анализа процесса обслуживания заявок
к-го потока:
1. Вероятность потерь по времени определяемая как доля вре-
мени, в течение которого ресурс линии не достаточен для обслужи-
вания поступившей заявки. Данная характеристика показывает до-
ступность канального ресурса линии с позиции оператора.
2. Вероятность потерь по вызовам 7Гс<к, определяемая как доля поте-
рянных заявок на выделение канального ресурса. Данная характери-
стика показывает доступность канального ресурса линии с позиции
пользователя.
158
Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
Отличительные
свойства
Характеристика
поступления
заявок
Передаточный
ресурс линии в
канальных
Тип трафика
• Сервисы реального
времени
Тип модели
• Интенсивность
каждого потока
зависит от числа
заявок этого потока,
находящихся на
обслуживании
• Мультисервисный
аналог модели
Энгсета
Область использования
• Расчёт пропускной
способности линий
доступа
Рис. 2.16. Структура и свойства модели мультисервисной линии с
обобщённой схемой формирования входного потока
3. Доля т^к потерянного трафика от величины предложенного тра-
фика. Данная характеристика показывает выгоду, упущенную опе-
ратором из-за недостаточности канального ресурса.
Формальные выражения для оценки введённых показателей определя-
ются в соответствии с придаваемым им смыслом, на основе интерпрета-
ции соответствующих характеристик случайного процесса, описывающего
функционирование модели.
Дадим определение вероятности потерь по времени. Обозначим, как и
прежде, через Uk множество состояний модели, когда заявки k-го потока
получают отказ из-за недостаточности канального ресурса линии. Пусть
р(Д, г2,... ,гп) — стационарная вероятность нахождения на обслуживании
ik заявок к-го потока, к — 1, 2,..., п. Она имеет интерпретацию доли вре-
мени пребывания линии в состоянии (гх, г2,... ,in). Это позволяет оценить
2.2. Модель с обобщённой схемой формирования входного потока
159
значение тц,к из выражения
7rU= 12 p(i1,i2,...,in).
(2.60)
Множество Uk включает в себя состояния (ii,г2, ,гп) Е S, удовлетворя-
ющие условию iibi + г2Ь2 + ... + inbn > v — bk.
Дадим теперь определение вероятности потерь по вызовам. Обозначим
для к-то потока через Ak(t) число заявок на выделение канального ресур-
са линии, поступивших в интервале времени [0, t], а через Bk(t) — ту часть
из них, которая получила отказ из-за недостаточности ресурса. Тогда ве-
роятность потерь по вызовам 7rc>fc находится как предел по времени доли
потерянных заявок /с-го потока
ттСк — ит - ;-
’ t-oo A.(i)
В [31] показано, что значение 7rCjfc может быть также найдено с по-
мощью значений стационарных вероятностей р(Д,г2,... , г„) и параметров
входного потока, если воспользоваться равенством
Е -^fc(^fc)p(^l> • • > in)
Яс,к — „ \ С \ ( - \ • (2-61)
Е Afe(?fc)p(?i,l2,...,Z„)
Заметим, что числитель (2.61) представляет собой среднюю интенсивность
заблокированных заявок /с-го потока, а знаменатель — среднюю интенсив-
ность поступивших заявок /с-го потока.
Для оценки доли потерянного трафика необходимо найти среднее зна-
чение канального ресурса линии, занятого обслуживанием заявок fc-го по-
тока. Обозначим соответствующую характеристику через тпк. Определе-
ние тк через значения р(гг, i2, ...,in) имеет вид
p(^ii^2, • • • (2.62)
(ii.ia,—,in)£S
Тогда в соответствии с определением тц,к получаем
еДд гпк
Я£,к = ----7-----•
(2.63)
Заметим, что в случае пуассоновского входного потока значения всех
трёх вероятностей потерь совпадают. Для исследуемой модели значения
яс,к и 7Ге,к связаны определёнными соотношениями. Они будут получены в
разделе 2.2.5. Там же будут рассмотрены вычислительные схемы оценки
введённых показателей.
160 Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
2.2.3. Система уравнений равновесия
Для того, чтобы упростить вид последующих выражений, перейдём к
записи интенсивностей поступления заявок в числе заявок, поступающих
за среднюю продолжительность их обслуживания, которая в дальнейшем
будет принята за единицу. Введём обозначения
Ок = —, (Зк = —, к = 1,2,... ,п.
кк кк
Пусть
Clk(ik) О'к ik/3k, к 1, 2, . . . , П.
Для расчёта показателей обслуживания заявок в соответствии с вве-
дёнными определениями необходимо составить и решить систему уравне-
ний статистического равновесия, связывающую ненормированные значе-
ния вероятностей P(ii,i2,...,in)- Она формируется по тем же правилам,
что использовались для базовой модели в разделе 2.1.2. Пусть, как и пре-
жде для состояния («1, г2,..., in) € S, величина i = i1b1+i2b2+- -+inbn обо-
значает общий занятый канальный ресурс. Выполнив необходимые преоб-
разования, получаем следующую конечную систему линейных уравнений
Р(?1,г2, ,in) YX(ak + ik/3k)I(i + bk <v)+ikI(ik >0)) =
к=1
п
= Е • • •, 4 - 1, • • •, гп)(ак + (4 - l)0k)I(ik > 0)+ (2.64)
к=1
+ EFG1,-
к=1
,ik 4“ 1, • • •,in){ik ~Ь P)I(i ~Ь bk < и),
(ii1 ^2, 1 in)
Здесь /(•) — индикаторная функция, введённая соотношением (2.7). По-
лученные в результате решения системы уравнений равновесия ненорми-
рованные значения вероятностей Р(г1;г2,... ,гп) нормируются, используя
равенство
р(г1,г2,... ,in) =
Р(Д, ^2, • • •, in)
Е Р(г1,г2,...,Д)'
(?'з
2.2. Модель с обобщённой схемой формирования входного потока 161
Построенная система уравнений в основном имеет теоретическую цен-
ность. Как правило, она не используется для расчёта стационарных ве-
роятностей модели, а с ними и значений введённых показателей обслу-
живания заявок. Их величины находятся с помощью алгоритма, который
обобщает соответствующую рекурсию, полученную в разделе 2.1.4 для ба-
зовой модели мультисервисной линии.
2.2.4. Рекурсивный алгоритм
Исследуемая обобщённая модель входного потока сохраняет мульти-
пликативную форму представления стационарных вероятностей. Это мож-
но показать, повторив рассуждения, приведённые в разделе 2.1.3. Свой-
ство мультипликативности даёт возможность записать для стационарных
вероятностей состояний («1, г2,..., in) £ S соотношение
p(iii i“2i • • •, in)
ii-i
। П (от +
1 w=0____________
N ij
II (^П 4“ ™0п)
w=0___________
in-
(2.65)
где TV — нормировочная константа, определяемая из выражения
21—1
п («1 + w/3i)
N — V' _________________________
1
п (an + w/3n)
w=0
Покажем, что введённые показатели качества совместного обслужи-
вания заявок можно рассчитать с помощью рекурсивных соотношений,
связывающих характеристики пребывания процесса r(t) во множестве со-
стояний Si, куда входят состояния (ii,i2,... ,гп) £ S, удовлетворяющие
условию
iibi + Т2Ь2 + ... + inbn — i-
Значение i меняется от 0 до v и показывает интервал изменения общего
числа занятых единиц канального ресурса.
Для построения рекурсии потребуются значения двух характеристик,
определённых на множестве состояний Sj. Пусть р(г) обозначает долю вре-
мени пребывания модели в состоянии с i занятыми канальными единица-
ми. Формальное определение р(г) имеет вид
p(i) = Z2 P(ii,i2,---,in)-
162
Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
Обозначим через тпк(Г) среднее число заявок к-го потока, находящихся на
обслуживании в состоянии, когда заняты i единиц ресурса линии. Вели-
чина тк(Г) определяется из равенства
тпк(г) = 52 (2.66)
Покажем, что для определения значений р(г), i = 0,1,...,г можно
использовать соотношения вида
1 п
p(i) = ~^Ьктк(г), i = l,2,...,v. (2.67)
В (2.67) величина тпк(г) находится из выражения
mfc(i) = (акр(г - bk) + /3kmk(i - bk))I(i -bk> 0), (2.68)
а функция /(•) определена равенством (2.7). Отметим, что соотношения
(2.67), (2.68) выполняются и для ненормированных значений Р(г).
Для доказательства (2.67), (2.68) преобразуем гр(г) к виду
Ф09 = 52^ 52 p(zi,i2,...,in)4 = 52^mfc(^- (2.69)
fc=l fc=l
Найдём выражение для тк(г) через р(г — Ък) и тк(г — Ьк), воспользо-
вавшись мультипликативным представлением стационарных вероятностей
р(гх, г2,..., гп) в форме (2.65)
P(^lj ^2, • • • ; ^n)^fc =
,• П («I + W01) П («П + wfin)
1к х w=0. w=0
N «J гп!
ifa—1 1
„• П («fc + w/3k) П («J + w/3j)
* w-Q_______________ j-r W=Q_____________
N ik! rA iJ
K 3
~b (ik l)/5fe
N
2.2. Модель с обобщённой схемой формирования входного потока
163
— (ЗДг “Ь (ik 1)/3&)р(^1, • • • , th—I; ^к+li • • , ^п)1(^к > 0).
Просуммируем левую и правую части данного соотношения по всем
(«1, гг,..., гп) £ Si- Получаем
Ц p(^i,22,...,2n)2fc = (2.70)
(ll,i2,-.,in)GSj
у (fi^k "Ь O'fc l)/^fc)p(^l, • • , 2/j 1, . . . , Zn)Z(2/£ > 0) =
(il,i2,..,in)GSj
= (otk + iMp(ii,i2,-> 0) =
= (akp(i - bk) + (3kmk(i - bfc))Z(i - bk > 0).
Из (2.69), (2.70) следует справедливость рекуррентных формул (2.67),
(2.68).
Используя соотношения (2.67), (2.68), нетрудно выразить значения
ненормированных вероятностей Р(г) через ненормированное значение ве-
роятности какого-либо одного состояния, например Р(0). Далее после нор-
мировки находятся значения вероятностей р(г), i = 0,1,... ,v. Обозначим
через Мк(г) ненормированные значения тДг). Перечислим шаги соответ-
ствующего рекурсивного алгоритма.
1. Положим значение Р(0) = 1. По определению имеем, что величина
Mfc(O) = 0, к — 1,2,..., п.
2. Выразим значения вероятностей Р(г), г = 1,..., v через Р(0), исполь-
зуя соотношения
Mfc(z) = (akP(i ~ &fc) + (3kMk(i - bfc))Z(i - bk > 0),
(2-71)
Р(*) = -£УШ
г k=i
и последовательно увеличивая величину г от 1 до v. Нетрудно про-
верить, что при каждом фиксированном г значения выражений
Р(г - bfc)Z(i - bk > 0), Mk(i - bk)I(i - bfc > 0), к = 1,2,...,п, участву-
ющих в записи правой части суммы (2.71), либо уже представлены
через Р(0) (для i — bk > 0), либо равны 0 (для i — bk < 0).
164 Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
3. Находим величину нормировочной константы
v
N = E Р^-
4=0
4. Определяем нормированные значения вероятностей р(г)
р(г) = г = 0,1,..., и.
Построенный алгоритм не является сложным с точки зрения реализа-
ции. При его использовании необходимо выполнить O(nv) операций, что
совпадает с оценкой числа операций для базовой модели. Из приведённых
выражений видно, что время счёта растёт линейно с увеличением числа
канальных единиц. Отметим, что возможность построения рекурсивного
алгоритма существенным образом опирается на наличие свойства мульти-
пликативности. Можно показать, что равенство (2.65) не зависит от вида
функции распределения времени занятия канального ресурса. Необходи-
мо только, чтобы для всех заявок к-го потока вид функции распределения
времени обслуживания был одинаков, а длительности обслуживания не
зависели бы друг от друга и от поступающих потоков. Сформулирован-
ное утверждение является обобщением аналогичного свойства, доказанно-
го для базовой модели мультисервисной линии (см. раздел 2.1).
2.2.5. Оценка показателей качества обслуживания
заявок
Покажем теперь, как в процессе вычисления вероятностей p(i) найти
значения введённых характеристик качества совместного обслуживания
заявок 7rtjfc, 7rCifc, Tr^fc, тк, к — 1,2, В соответствии с определением
(2.60) для оценки значения 7rt,k используется выражение
7Г*Л= 52 р(г1,«2,...,гп) = 52 НО- (2.72)
(ii,i2>—i=v—bk 4-1
Найдём формулу для расчёта значения тгс^- Для этого проанализируем
отдельно процедуры вычисления знаменателя и числителя соотношения
(2.61), определяющего 7rCifc. Вначале рассмотрим знаменатель.
2.2. Модель с обобщённой схемой формирования входного потока
165
52 =
--Лп)^8
V
= 52 52 «/=(й)р(?1, «2, =
г=0 4n)eSi
v
= 52 52 (Qfc + Pkik)p(ii, «2, • • • ,in) =
*=0
v
= 52(q^)+$=zM0)-
i=0
Действуя аналогичным образом, получаем для числителя
\ G,fc(^fc)p(^l) Д, . . . , Zn) —
V
= 'j ) ^k{ik)p{i\i Д, • • > in) =
i=v—bk+l (ii,»2,-..,in)eSj
v
= 52 (akp(i) + (3kmk(i)y
i=v—bk+l
Окончательный ответ имеет вид
Е (акр(г) + (3kmk(ij)
i=v—bk+l '
^с,к — “
^(akp(i) + 0kmk(i))
г=0' '
(2.73)
Отметим, что при расчёте тгсд с использованием соотношения (2.73) можно
заранее не нормировать значения числителя и знаменателя.
Рассмотрим теперь процедуру вычисления величины доли потерянно-
го трафика Tr^fc. Для этого в соответствии с (2.63) достаточно найти рас-
чётное выражение для значения тк. Нетрудно показать, что величину тк
можно найти в процессе реализации рекурсивного алгоритма определения
р(г). Действительно, просуммировав (2.70) по всем г от 0 до v, получаем с
учётом (2.66)
v v—Ьь
тпк = YJ,mk(i)bk = 52 (pkP(i) + (3kmk(i^bk.
i=0 i=0
(2-74)
166
Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
Отсюда и из соотношения (2.63) следует необходимая расчётная формула
j v—bk
7T£,fc = 1-----(акр(г) + /3kmk(i)\.
ak i=o v 7
(2-75)
Рассмотрим частные случаи исследуемой схемы входного потока: мо-
дель Энгсета и модель Паскаля. В анализируемой ситуации можно найти
соотношения, которые связывают между собой значения характеристик
ттс,к, тпк и т^к. Эти соотношения можно использовать в качестве альтер-
нативного способа вычисления соответствующих характеристик. Предпо-
ложим, что тип /с-го входного потока заявок задаётся моделью Энгсета.
Тогда величина интенсивности предложенного трафика ак определяется
из выражения
Пк^к
ак — 1
1 + 7*
Напомним, что пк - число абонентов, создающих А-ый поток заявок, а ,ук
— параметр экспоненциально распределённого времени между последова-
тельными поступлениями заявок от одного абонента.
Получим соотношение, связывающее значения ттегк и ?rCtk. Для исследу-
емой модели входного потока выполняется равенство
(2.76)
&к 4“ ДДс (р^к ^к^Ук-
Из определения тгак и равенства (2.74) следует соотношение
52 52 p(^i> ^2) • • •, ^n)(^/c Д)7*
_ j=v-bfc+i (i1,j2,...,i„)es'< .
т^с,к v — (2.77)
E E ••• ,in)(nk ~4)7fe
E E p(«i, «2, • • •, in)(nk ~ ik)^k
E E p(ii, «2, • • •, in)(nk - ik)p'k
= x тпк
(пкЬк Пг1к)'Ук
Воспользовавшись (2.75) и (2.76), можно привести правую часть (2.77) к
виду
Щ,к(1 + 7fc)
7Tz> А* — •
’ 1 + Wk
2.2. Модель с обобщённой схемой формирования входного потока
167
Отсюда следует неравенство
Яс,к >
а также выражение 77^ через TvCtk
Яс,к
Я£,к — ~----7--------Г.
1 + 7fc(l — ^сл)
Теперь предположим, что тип к-го входного потока задаётся моделью
Паскаля. Действуя аналогичным образом, получаем расчётные выраже-
ния ДЛЯ СЦ И TVc,k
Пк'Ук 1 тпк
ак — 1 , Яск — 1 ,
1 - 7fe (nkbk + mfe)7k
а также формулу, связывающую вероятности 7rc,k и 7г^к
_ Я£,к(1 — 7/с)
Яс,к 1
1 — Я£,к^к
Отсюда следует неравенство
Яс,к < Я^к,
а также выражение 77^ через ттс,к
Яс,к
Я£,к — -----Т2------Г-
1 7fc(l Яс,к)
Для рассмотренных моделей поступления заявок полученные соотно-
шения дают возможность найти по одному из известных показателей тгс,к,
тк и тг£,к оставшиеся два.
Таким образом, для каждого из п совместно обслуживаемых потоков
заявок решена задача определения вероятностей потерь по времени, вызо-
вам, а также доли потерянного трафика и среднего значения канального
ресурса линии, занятого на обслуживание поступающих заявок. Посколь-
ку имеется средство оценки показателей качества обслуживания заявок,
то тем самым получена возможность решения задачи определения необ-
ходимого объёма канального ресурса линии. В следующем разделе будет
разработана модификация рекурсивной схемы (2.71), оптимизированная
для её решения.
168
Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
2.2.6. Оптимизированная схема оценки канального
ресурса
Рассмотрим применение построенных вычислительных алгоритмов
для решения задачи оценки минимального объёма канального ресурса,
достаточного для обслуживания заданных потоков заявок с известным
качеством. Понятно, что сформулированная задача может быть решена
традиционным методом с использованием схемы перебора (см. детали в
разделе 2.1.5). Рассмотрим возможность построения оптимизированного
алгоритма, при реализации которого оценка объёма ресурса будет вестись
рекурсией по числу используемых канальных единиц. Для базовой модели
мультисервисной линии поставленная задача была решена в разделе 2.1.6.
В соответствии с результатами раздела 2.1.7 для построения оптимизи-
рованной схемы достаточно убедиться в выполнении условий 1,2, сфор-
мулированных на стр. 132. Проверим их справедливость для исследуемой
модели.
Значения р(г) определяются с использованием рекурсии (2.71). Дан-
ное соотношение задает конкретный вид функции /(•) в соотношении
(2.36). Величина w = b. Для оценки достаточности канального ресур-
са будем использовать максимальное значение доли потерянных заявок
Tvt = maxi</.<n 7rt>fc. Этот функционал качества обслуживания заявок на-
ходится с использованием вероятностей р(г),р(г — 1),... ,p(r — s + 1), где
величина г — текущее значение объёма канального ресурса, а значение s
также как и w определяется из выражения s = b и представляет собой
целое число, не зависящее от г, т.е. удовлетворяет проверяемому условию.
Возможность выбора в качестве критерия достаточности ресурса значений
вероятности потерь по вызовам и трафику обсудим позднее.
Таким образом, сформулированный в разделе 2.1.7 трехшаговый опти-
мизированный алгоритм оценки необходимого объёма канального ресурса
может быть использован для исследуемой модели мультисервисной линии.
Напомним, что в обозначениях стационарных вероятностей и характери-
стик нижний индекс г или г — 1 указывает на число единиц ресурса муль-
тисервисной линии. Конкретная реализация алгоритма включает в себя
следующие этапы.
1. Полагаем ро(О) = 1, а величину j в соответствии с введенным опреде-
лением берём равной Ь. По определению mfe(0) = О, к = 1,2,..., п.
2. Для каждого фиксированного значения г = 1,2,... находим
min(5, г + 1) нормированных значений вероятностей рг(г), для i =
2.2. Модель с обобщённой схемой формирования входного потока
169
г, г—1, ... , шах(г —Ь+1,0), используя соотношения (2.71) (в последу-
ющих выражениях значения характеристик pr_i(r—ЬД, W>r_i(r — bk)
для г — bk < 0 приняты равными нулю):
7 Ё («ft ЪкРг-1(г ~ bk) + /Зк Ьк тк.r_i(r - Ьк))
Pr(r) = ------------------------------------------
1 + 7 E («/с bkPr-i(r - Ьк) + (Зк Ьк тк,г-1(г ~ bk))
(2.78)
Pr(i) =
Pr-1(«)
n 5
1 + 7 E («/с bfepr_i(r - Ьк) + (3k Ьк тк,г-1(г - Ьк))
t=i
i — r — 1, r—2, ... , max(r — b+ 1,0).
Для реализации (2.78) необходимо для всех к = 1, 2,..., п провести
нормировку значений так,г(1)-
ткг& =----------s---------------------------------------,(2.79)
1 + £ Ё («fc bkPr-i(v - bk) + (3k bk mk,r-i{r - bk))
k=l
i = r, r — 1, ... , max(r — b + 1,0).
3. Рассчитываем функционал, определяющий качество обслуживания
заявок. Проверяем достаточность объёма канального ресурса в соот-
ветствии с сформулированным критерием. По результатам проверки
либо заканчиваем процесс определения необходимого объёма каналь-
ного ресурса, либо продолжаем.
При реализации алгоритма в памяти компьютера необходимо хранить век-
тор размера О(Ь). Вычислительная работа по реализации алгоритма оце-
нивается величиной О((п + b)v).
Если в качестве критерия достаточности канального ресурса исполь-
зуется значение доли потерянных заявок или потерянного трафика, то
число рассчитываемых характеристик в рассмотренной рекурсии необхо-
димо увеличить за счёт оценки тк,г среднего числа канальных единиц,
170
Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
занятых обслуживанием заявок к-го потока. Для реализации возможно-
сти рекурсивной оценки тпк.г присоединим к действиям, выполняемым на
втором шаге построенного алгоритма, следующую рекурсию:
/ \ ?Пк г—1
УПк^т — Н п •
1 + 7 Ё («ь bkРт-1(г - bk) + 0к bk mktr-i{r - bk))
к=1
Приведённое соотношение позволяет на каждом шаге алгоритма исполь-
зовать значения доли потерянных заявок или потерянного трафика в каче-
стве критериев оценки достаточности объёма канального ресурса. Следует
отметить, что построенная оптимизированная схема определения необхо-
димого объёма канального ресурса отличается устойчивостью и позволяет
в значительной степени экономить вычислительные усилия особенно при
обработке больших массивов входных данных. Показатели эффективно-
сти алгоритма соответствуют тем, что были получены для базовой модели
мультисервисной линии (см. таблицу 2.2, раздел 2.1.6) и здесь не приво-
дятся.
2.2.7. Зависимость показателей QoS от загрузки
линии
В данном разделе будет исследована зависимость введённых показа-
телей качества совместного обслуживания заявок от изменения основных
входных параметров построенной модели. Начнём с анализа зависимости
7rtifc, ^с,к, ^е,к от изменения коэффициента скученности трафика zk. Со-
ответствующие численные данные приведены на рис. 2.17 для модели со
значением параметров: v = 100, п = 5, bi = 1, b2 = 2, Ь3 = 3, Ь4 = 5, Ь$ = 10.
На рисунке показана зависимость 7Tt>3, ^с,з, 7Г£,з °т изменения значения z3 в
интервале от 0,3 до 5 при фиксированном значении интенсивности предло-
женного трафика ак = ^, к — 1,... ,5. Для других потоков коэффициен-
ты скученности принимали следующие значения zx — 5; z2 = 2; z4 — 0,75;
z5 = 0,5.
Из представленных данных видно, что изменение коэффициента ску-
ченности трафика наиболее сильно влияет на величину доли потерянного
трафика (практически линейный рост с увеличением z3) и почти не ска-
зывается на значениях потерь по времени и вызовам. Отсюда следует,
что значения и тгс^ определяются главным образом средней величи-
ной предложенного трафика, а не его разбросом относительно среднего
значения.
2.2. Модель с обобщённой схемой формирования входного потока
171
Значения потерь
Коэффициент скученности, Z3
Рис. 2.17. Зависимость разных характеристик потерь при
обслуживании заявок 3-го потока от изменения значения
коэффициента скученности 3-го потока
Выбор величины коэффициента скученности при одинаковой интенсив-
ности предложенного трафика определяет условия доступа к канальному
ресурсу. При zk < 1 интенсивность поступления заявок убывает с ростом
числа заявок к-го потока, находящихся на обслуживании. При zk = 1 ин-
тенсивность поступления заявок не зависит от числа заявок к-го потока,
находящихся на обслуживании. И при zk > 1 интенсивность поступления
заявок увеличивается с ростом числа заявок к-го потока, находящихся на
обслуживании.
Рассмотрим поведение стационарных вероятностей глобальных состоя-
ний р(г) с изменением коэффициента скученности поступающего трафика.
Соответствующие численные данные приведены на рис. 2.18 для модели со
значением параметров v = 100, п = 5, b\ = 1, Ь2 = 2, Ь3 = 3, Ь4 = 5, Ь5 = 10,
ак — к = 1,...,5. На рисунке показаны результаты расчётов р(г),
i = 0,1,..., v, для трёх значений коэффициента zk = 0,5; 1; 5, к = 1,..., 5,
и фиксированной величине интенсивности предложенного трафика.
172
Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
Рис. 2.18. Зависимость стационарных вероятностей глобальных
состояний р(г) от изменения коэффициента скученности
Приведённые данные показывают, что величина коэффициента скучен-
ности влияет на форму распределения значений стационарных вероятно-
стей глобальных состояний. По сравнению с пуассоновской моделью вход-
ного потока (z/; = 1) в модели Энгсета (z/г < 1) более выражен пиковый
характер максимальных значений вероятностей, а для модели Паскаля
(zfc > 1) наблюдается обратная картина — пиковые значения вероятностей
более сглажены. Представленные данные позволяют сделать следующие
выводы.
1. Для модели входного потока Энгсета по сравнению с пуассоновской
моделью использование сокращенного пространства состояний (де-
тали реализации данного подхода см. раздел 2.1.7) приводит к более
существенной экономии вычислительных средств, а свойство пропор-
циональности вероятности потерь по времени (см. раздел 2.1.9) менее
выражено.
2.2. Модель с обобщённой схемой формирования входного потока 173
2. Для модели входного потока Паскаля по сравнению с пуассоновской
моделью наоборот использование сокращенного пространства состо-
яний приводит к меньшей экономии вычислительных средств, а свой-
ство пропорциональности вероятности потерь по времени выражено
более существенно.
Проиллюстрируем сделанные выводы на численном примере. По ана-
логии с базовой моделью мультисервисной линии (см. равенство (2.52))
обозначим через 8к отношение доли времени, в течение которого ресурс
линии не достаточен для обслуживания поступившей заявки к-го потока,
к величине канального ресурса, необходимого для обслуживания одной за-
явки. Величина потерь по времени при обслуживании заявки к-го потока,
приведённая к единице используемого канального ресурса, определяется
из соотношения
Проанализируем наличие свойства пропорциональности индивидуальных
блокировок значениям потребности заявок в канальном ресурсе. На
рис. 2.19 показана зависимость 8к от р для модели входного потока Энг-
сета. Входные параметры принимают значения: v — 100, п = 5, bi = 1,
Ь2 =2, Ь3 = 3, = 5, b5 = 10, ак = zk = 0,5, к = 1,..., 5. На рис. 2.20
приведена зависимость 6к от р для модели входного потока Паскаля. Вход-
ные параметры принимают те же значения, что были использованы при
расчёте данных, представленных на рис. 2.19, за исключением zk = 5,
fc = l,...,5.
Выводы относительно поведения 8к при увеличении р, сделанные в раз-
деле 2.1.9 для базовой модели мультисервисной линии с пуассоновскими
входными потоками заявок, справедливы и для обобщённой модели с по-
токами типа ВРР. Здесь также можно выделить интервалы изменения ин-
тенсивности предложенного трафика на канальную единицу ресурса ли-
нии с устойчивым соотношением между 6к. Они показаны на рис. 2.19
и рис. 2.20. При этом в соответствии с поведением стационарных веро-
ятностей глобальных состояний р(г), отмеченным на рис. 2.18, свойство
пропорциональности в большей степени выражено у модели входного по-
тока Паскаля и в меньшей для модели входного потока Энгсета. Модель
Пуассона занимает промежуточное положение. Полученные результаты
174
Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
Интенсивность предложенного трафика на канальную единицу, р (ЭрлК)
Рис. 2.19. Зависимость от увеличения р. Выделены три
интервала изменения значений р с устойчивым
соотношением между 6к. Цифрами обозначены номера
потоков. Рассматривается случай модели входного
потока Энгсета
можно использовать для построения простых инженерных методик оцен-
ки показателей доступа заявок к используемому канальному ресурсу в
мультисервисных сетях.
2.3. Замечания и пояснения
Рассмотренные в данной главе модели являются мультисервисным
обобщением двух классических моделей теории телетрафика, широко ис-
пользуемых при проектировании сетей связи: модели Эрланга и модели
Энгсета. Для соответствующих обобщений удалось получить все резуль-
таты, которые ранее были установлены для их моносервисных аналогов
в [1-8,12,16,17]. В их числе: эффективный рекурсивный алгоритм оцен-
2.3. Замечания и пояснения
175
Рис. 2.20. Зависимость ёк от увеличения р. Выделены три
интервала изменения значений р с устойчивым
соотношением между 6к. Цифры и стрелки показывают
порядок изменения номеров входных потоков.
Рассматривается случай модели входного потока Паскаля
ки основных показателей обслуживания заявок, оптимальная процедура
определения минимально необходимого объёма канального ресурса и т.д.
В разделе 2.1 излагаются результаты, полученные для мультисервис-
ного обобщения модели Эрланга. Необходимо отметить, что соответствую-
щая модель достаточно давно известна в литературе по теории телетрафи-
ка [15]. Однако её основные свойства, используемые при разработке рас-
чётных алгоритмов, в частности, свойства мультипликативности и незави-
симости значений характеристик от вида функции распределения времени
обслуживания, получили исчерпывающее теоретическое обоснование срав-
нительно недавно. Здесь необходимо упомянуть работы Ф.Келли [25,26],
отдельные результаты которых были использованы при написании мате-
риала разделов 2.1.1-2.1.3. Изложение рекурсивного алгоритма, приведён-
176
Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
ное в разделе 2.1.4, следует работам Дж. Кауфмана [24], Дж.Робертса [29]
и К.Росса [30]. Необходимо отметить, что первая версия соответствующе-
го алгоритма была опубликована в работе Р.Фотета и К.Гранджиана [15].
Описание оптимизированной схемы оценки минимально достаточного объ-
ёма канального ресурса, приведённое в разделах 2.1.5-2.1.7, частично сле-
дует работам В. Иверсена и С.Н.Степанова [9,19-23] и С.Н.Степанова [8],
а частично представляет собой новые результаты, опубликованные впер-
вые. Необходимо отметить, что имеются и другие алгоритмы, направлен-
ные на решение этой задачи [10,27,28]. Однако они сложны в реализации
и не обобщаются с одной модели на другую. Алгоритм оценки производ-
ных доли потерянных заявок по значениям интенсивности предложенно-
го трафика, приведённый в разделе 2.1.8, следует работе В. Иверсена и
С.Н.Степанова [23]. Частные случаи алгоритма ранее рассматривались в
[18,32]. Свойство пропорциональности индивидуальных блокировок отме-
чалось многими авторами, см., например, [11,17]. Однако только в раз-
деле 2.1.9 оно впервые получило исчерпывающую интерпретацию через
свойства распределения вероятностей глобальных состояний.
В разделе 2.2 приводятся основные результаты, полученные для моде-
ли мультисервисной линии с обобщённой схемой формирования входного
потока. Материал разделов 2.2.1-2.1.4 является расширенным вариантом
соответствующих разделов монографии В.С.Лагутина и С.Н.Степанова
[6]. При их подготовке использовались работы К.Росса [30], В.Иверсена [17]
и Л.Делбрука [14]. Результаты, включенные в разделы 2.2.5 и 2.2.7, изло-
жены с использованием работы С.Н.Степанова [8]. Оптимизированная схе-
ма оценки минимально достаточного объёма канального ресурса, приве-
дённая в разделе 2.2.6, следует публикациям В. Иверсена и С.Н.Степанова
[21,22].
В целом данная глава представляет собой сжатое изложение соответ-
ствующих разделов материала курса лекций «Основы теории моделиро-
вания сетей и систем телетрафика», прочитанных С.Н.Степановым в Мос-
ковском техническом университете связи и информатики [8].
Литература к главе 2
1. Башарин Г.П., Бочаров П.П., Коган Я.А. Анализ очередей в вычис-
лительных сетях. Теория и методы расчёта. — М.: Наука, 1989.
2. Башарин Г.П. Лекции по математической теории телетрафика. — М.:
Изд-во РУДН, 2004.
Литература к главе 2
177
3. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория массового обслуживания. —
М.: Изд-во РУДН, 1995.
4. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслу-
живания. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.
5. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. — М.: Машинострое-
ние, 1979.
6. Лагутин В. С., Степанов С. Н. Телетрафик мультисервисных сетей
связи. — М.: Радио и связь, 2000.
7. Наумов В.А., Самуилов К.Е., Яркина Н.В. Теория телетрафика
мультисервисных сетей. — М.: Изд-во РУДН, 2007.
8. Степанов С.Н. Материалы курса лекций «Основы теории модели-
рования сетей и систем телекоммуникаций». — М.: Московский тех-
нический университет связи и информатики, 2008.
9. Степанов С.Н., Иверсен В.Б. Способы уменьшения объёма вычис-
лений при расчёте моделей систем связи с потерями, основанные на
игнорировании маловероятных состояний // Проблемы передачи ин-
формации. 2001. Том. 37. Вып.З.
10. Berezner S.A., Krzesinski А.Е. An Efficient Stable Recursion
to Compute Multiservice Blocking Probabilities // Performance
Evaluation. 2001. Vol. 43.
11. Broadband network traffic. Performance evaluation and design of broad-
band multiservice networks. Final report of action COST 242 / James
Roberts ... (ed). Lecture notes in computer sciences. Springer, 1996.
12. Brockmeyer E., Halstrom H.L., Jensen A. The Life and Works of
A.K.Erlang. The Copenhagen Telephone Co., Copenhagen, 1948.
13. Burman D.Y., Lehoczky J.P., Lim Y. Insensitivity of blocking
probabilities in a circuit-switching network // Advances in Applied
Probability. 1984. V.21.
14. Delbrouck L.E.N. On the Steady-State Distribution in a Service Facility
Carrying Mixtures of Traffic with Different Peakedness Factor and
Capacity Requirements // IEEE Transactions on Communications. 1983.
Vol. COM-31.
15. Fortet R., Grandjean Ch. Congestion in a Loss System when Some Calls
want Several Devices Simultaneously // Electrical Communications.
1964. Vol. 39. №4.
16. Gross D., Harris C.M. Fundamentals of queueing theory. — New York.:
John Wiley, 1985.
17. Iversen V.B. Teletraffic Engineering Handbook. — ITU-D, Nov 2002.
178
Глава 2. Сервисы реального времени: основные модели
18. Iversen V.B. Derivatives of Blocking Probabilities of Multi-Service Loss
Systems // Proc. 12th Nordic Teletraffic Seminar. Otnas. Esbo. Finland.
August 22-24, 1995.
19. Iversen V.B., Stepanov S.N. The Usage of Convolution Algorithm
with Truncation for Estimation of Individual Blocking Probabilities in
Circuit-Switched Telecommunication Networks. In: V.Ramaswami and
P.E.Wirth (editors) // Proc. 15th International Teletraffic Congress.
Elservier. Amsterdam, 1997.
20. Iversen V.B., Stepanov S.N. The Calculation of Stationary Performance
Measures of Loss Models with Access Control Based on the Concept
of Truncation // Proc. 14th Nordic Teletraffic Seminar. Technical
University of Denmark. Copenhagen. Denmark, August 18-20, 1998.
21. Iversen V.B., Stepanov S.N. The Unified Approach for Teletraffic Models
to Convert Recursions for Global State Probabilities into Stable Form //
Proc. 19th International Teletraffic Congress. Beijing. China, August 29
- September 2. 2005.
22. Iversen V.B., Stepanov S.N . The optimal dimensioning of multi-service
links // Proc. COST-285 Mid-term Symposium. Munchen, September
8-10, 2005. Chapter 7 (pp. 151 -178) in A. Nejat Ince & Ercan Topuz
(editors): Modeling and simulation tools for emerging telecommunication
networks. Springer, 2006.
23. Iversen V.B., Stepanov S.N. Derivatives of Blocking Probabilities
for Multi-Service Loss Systems and their Applications // Proc.
7th International Conference, Next Generation Teletraffic and
Wired/Wireless Advanced Networking (NEW2AN 2007). Russia.
St.Petersburg, September 2007.
24. Kaufman J.S. Blocking in a shared resource environment // IEEE
Transactions on Communications. 1981. V. 29. № 1.
25. Kelly F.P. Reversibility and stochastic networks. — New York: Willy,
1979.
26. Kelly F.P. Blocking probabilities in large circuit-switched networks //
Adv. Appl. 1986. V.18.
27. Nilsson A., Perry M. MultiRate Blocking Probabilities: numerically
stable computations. In: V.Ramaswami and P.E.Wirth (editors) // Proc.
15th International Teletraffic Congress. Elservier. Amsterdam, 1997.
28. Nilsson A., Perry M., Gersht A., Iversen V.B. On Multi-Rate Erlang-
B Computations // Proc. 16th International Teletraffic Congress.
Edinburgh. UK., Elsevier, 1999.
Литература к главе 2
179
29. Roberts J. W. A service system with heterogenous user requirements
application to multi-service telecommunications systems / Performance
of Data Communication Systems and their Applications. Pujolle G.(ed.).
North Holland, 1981.
30. Ross К. IV. Multiservice loss models for broadband telecommunication
networks. — London: Springer, 1995.
31. Stidham S., El Taha M. Sample-path analysis of processes with imbedded
point processes // Queueing Systems: Theory and Applications. 1989.
№5.
32. Virtamo J. Reciprocity of Blocking Probabilities in Multiservice Loss
Systems// IEEE Transactions on Communications. 1988. Vol. 36. № 10.
Глава 3
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ МОДЕЛИ
ОЦЕНКИ КАНАЛЬНОГО РЕСУРСА
ДЛЯ СЕРВИСОВ РЕАЛЬНОГО
ВРЕМЕНИ
Модели, рассмотренные в предыдущей главе, не исчерпывают весь ар-
сенал средств, которые имеются у специалистов для оценки характеристик
пропускной способности сетей связи при обслуживании трафика сервисов
реального времени. Необходимость учёта некоторых важных для практи-
ки аспектов формирования входных потоков заявок, а также особенностей
реализации схем занятия и распределения канального ресурса привели к
появлению ряда дополнительных моделей, которые будут исследованы в
данной главе. Каждая из них получена из базовой модели, рассмотрен-
ной в разделе 2.1, и уточняет её соответствие реалиям функционирова-
ния мультисервисных сетей. Для всех построенных моделей разработаны
эффективные точные или приближённые алгоритмы оценки показателей
пропускной способности, которые можно использовать для решения задач
планирования сети.
В разделе 3.1 исследуется механизм ограниченного доступа, основан-
ный на анализе информации о числе заявок рассматриваемого потока, уже
находящихся на обслуживании. Если это число достигает некоторого зара-
нее фиксированного уровня, то поступившая заявка получает отказ, даже
при наличии запрашиваемого объёма свободного канального ресурса. Для
181
данного способа совместного обслуживания заявок, который будем назы-
вать схемой с ограниченным доступом, удаётся показать справедливость
свойства мультипликативного представления стационарных вероятностей
и построить эффективный алгоритм оценки основных характеристик. Ме-
тод вычислений заключается в выполнении последовательности свёрток
векторов распределения вероятностей числа обслуживаемых заявок при
индивидуальном использовании каждым потоком доступного ресурса всей
линии. Приводится пошаговое описание алгоритма, излагаются процеду-
ры оптимизации расчётных методов, основанные на хранении результатов
промежуточных свёрток и удалении из процесса вычислений маловероят-
ных состояний.
В разделе 3.2 исследуется другая схема предоставления преимущества
в обслуживании. Решение о допуске заявки принимается исходя из инфор-
мации об общем числе занятых канальных единиц линии. Если это число
превышает заданный уровень, то поступившая заявка получает отказ, да-
же если имеется необходимый ресурс для её обслуживания. В теории те-
летрафика данная схема распределения передаточных возможностей ли-
нии называется резервированием. Её применение направлено на борьбу
с неконтролируемым перераспределением ресурса в мультисервисных се-
тях и обеспечение пользователя гарантированными показателями QoS. В
разделе 3.2 действие схемы резервирования излагается с общих позиций
на основе понятия функции внутренней блокировки. Соответствующая
функция для каждой поступившей заявки задаёт вероятность отказа в
обслуживании, зависящую от общего числа занятых канальных единиц.
Варьируя значение вероятности, можно исследовать различные схемы ре-
зервирования передаточных возможностей линии, в том числе и рассмот-
ренную ранее традиционную схему. Для данного механизма распределе-
ния канального ресурса уже не выполняется свойство мультипликативно-
сти, поэтому точный расчёт показателей качества обслуживания заявок
возможен только для небольшого числа потоков обычными методами ли-
нейной алгебры, основанными на составлении и последующем решении
систем уравнений равновесия. Излагаются особенности реализации одно-
го из таких методов, построенного на итерационной схеме Гаусса-Зейделя.
Для расчёта модели в общем случае предлагается приближённый метод,
основанный на рекурсивной оценке вероятностей общего числа занятых
канальных единиц. Исследуется точность алгоритма, рассмотрено реше-
ние задачи оценки необходимого объёма канального ресурса.
Важной особенностью формирования входных потоков заявок в муль-
тисервисных сетях доступа является наличие повторных обращений на
182
Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
выделение канального ресурса в ситуации отказа в предыдущей попыт-
ке (первичной или повторной). Потоки повторных требований иницииру-
ют лавинообразный рост потоков заявок в определённых направлениях,
что резко ухудшает качество работы сети. В рассматриваемых обстоя-
тельствах применение традиционных методик планирования сети, осно-
ванных на моделях с потерями или ожиданием, приводит к значительным
погрешностям. Для устранения этих недостатков в разделе 3.3 построена
и исследована модель звена мультисервисной сети связи, в которой учи-
тывается возможность повторения заявки после получения отказа из-за
нехватки канального ресурса, а также из-за неответа или занятости вызы-
ваемого абонента. Исследован важный частный случай модели, когда уда-
ётся построить эффективный алгоритм расчёта характеристик пропуск-
ной способности линии. Предложен приближённый алгоритм вычисления
показателей качества обслуживания заявок в общем случае. Рассмотре-
ны особенности решения задачи оценки необходимого объёма канального
ресурса в зависимости от поведения абонента, получившего отказ.
Завершает главу обсуждение полученных результатов и список цити-
руемых источников.
3.1. Модель с ограниченным доступом
3.1.1. Особенности моделирования условий доступа
Пусть v — скорость линии, выраженная в канальных единицах, а п —
число потоков заявок на выделение канального ресурса с целью получения
запрашиваемого сервиса. Заявки к-го потока поступают через случайные
интервалы времени, имеющие экспоненциальное распределение с парамет-
ром Xk- Для предоставления сервиса требуется единиц ресурса линии, и
время занятия ресурса на обслуживание заявки имеет экспоненциальное
распределение с параметром дц,, к = 1,2,..., п.
Информационные потоки, использующие канальный ресурс звена
мультисервисной сети, обычно поступают на звено по линиям, имеющим
меньшую скорость, чем предоставляет анализируемая линия связи. Та-
кая ситуация часто наблюдается на участках концентрации трафика. Эту
особенность передачи информационных потоков можно учесть выбором
величины доступности Vk, которая в данном контексте получает интер-
претацию ресурса линии, используемого к-м потоком для достижения вы-
сокоскоростной линии. Анализируемые особенности приёма заявки к об-
служиванию показаны на рис. 3.1.
3.1. Модель с ограниченным доступом
183
Рис. 3.1. Использование построенной модели для анализа
мультисервисных линий доступа
Учёт ограниченности доступа приводит к следующим изменениям схе-
мы функционирования базовой модели мультисервисного звена, введённой
в разделе 2.1.1. Если заявке к-го потока не хватает канального ресурса ли-
нии или на обслуживании уже находится сд, заявок к-го потока, то она по-
лучает отказ и не возобновляется, к = 1,2,..., п. Здесь Ск — максимально
возможное число заявок к-го потока, которые одновременно могут нахо-
диться на обслуживании. Последняя из упомянутых причин отказа может
привести к потере поступившей заявки, несмотря на наличие ресурса, до-
статочного для её обслуживания. Изменяя величину доступа, оператор
может предоставить определённым потокам преимущество в занятии ка-
нального ресурса. Рассматриваемая модель даёт возможность подобрать
значение величины доступа и численно оценить получаемый при этом эф-
фект. Схема функционирования и отличительные свойства модели муль-
тисервисного звена с ограниченным доступом показаны на рис. 3.2. Если
умножить значение ск на то получаем величину объёма канального ре-
сурса, максимально доступного заявкам к-го потока. Скорость доступа Vk
определяется из равенства Vk — Ckbk- Понятно, что выбор Vk ограничен
неравенством Vk = с$к < V.
184
Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
Характеристика
поступления
заявок
Передаточный
ресурс линии в
канальных
Отличительные
свойства
Если заявке к-го потока не
хватает канального ресурса
линии или на обслуживании уже
находятся Ск заявок к-го потока,
то она получает отказ и не
возобновляется
J Ьп 9
единицах
Тип трафика
• Сервисы реального
времени
Тип модели
• Ограниченный доступ к
канальному ресурсу,
зависящий от номера
потока
• Предоставление
преимущества в занятии
канального ресурса для
выделенных потоков
заявок
Область использования
• Расчёт пропускной
способности линий
доступа
Л), Ь1,
Рис. 3.2. Структура и свойства модели мультисервисной линии с
ограниченным доступом заявок к канальному ресурсу
Формально процедуру приёма заявки можно записать следующим об-
разом. Пусть ik — число заявок к-го потока, находящихся на обслужива-
нии, a i — общее число единиц ресурса мультисервисной линии, занятого
заявками всех типов. Значение i определяется из выражения, имеющего
вид г = Zfc=i bkik- Заявка к-ro потока принимается к обслуживанию, если
одновременно выполняются два условия: гк + 1 < Ск и г + bk < V.
Пусть Zfc(t) — число заявок к-ro потока, находящихся в момент времени
t на обслуживании. Функционирование модели во времени описывается
многомерным марковским процессом
r(t) = (zi(t),z2(t),...,zn(t)),
определённым на конечном пространстве состояний S. В него входят со-
стояния (zi, г2,..., z„), удовлетворяющие условиям
(^1? ^2? • • , ^тг) £ $ | 0 < ifa < Cfc, k 1, . . . , П, 4“ - - . + inbn < .
3.1. Модель с ограниченным доступом
185
Дадим формальное определение множеству состояний Uk, где заявка к-го
потока получает отказ в обслуживании. Во множество Uk входят состояния
(«1,г2,... ,гп) £ S с компонентами, удовлетворяющими соотношениям
* (Zl, • • • j G Uk | Д Ск ИЛИ 4“ . . . Н- bk
(3.1)
На рис. 3.3 показаны границы введённых множеств состояний для ба-
зовой модели мультисервисной линии и её обобщения на случай ограни-
ченного доступа. Для простоты принято, что п = 2 и Ьг = Ь2 = 1- Тогда
Vi = С] и ц2 = с2. Для базовой модели пространство состояний S представ-
лено фигурой АВС. Множества граничных состояний U\ и U% совпадают и
показаны отрезком ВС. Для модели с ограниченным доступом простран-
ство состояний S представлено фигурой ABCDE. Множества граничных
состояний и [72 задаются, соответственно, ломанными CDE и BCD.
Рис. 3.3. Пространство состояний S и множества Ui и С72:
а — базовая модель мультисервисной линии;
б — обобщение на случай ограниченного доступа
186
Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
3.1.2. Показатели качества обслуживания заявок
Для оценки потребности в канальном ресурсе линии и определения
степени её загрузки введём соответствующие показатели качества обслу-
живания заявок к-го потока, к = 1,2, ...,п. К ним относятся: доля за-
явок 7rfc, потерянных из-за недостаточности передаточных возможностей
линии или выполнения ограничения по доступу, и среднее число единиц
ресурса линии mfe, занятых на обслуживание поступающих заявок. Пусть
p(zi, г2, • • ,in) ~ стационарная вероятность пребывания на обслуживании
ik заявок к-го потока, к = 1,2,... ,п. Она может интерпретироваться как
доля времени нахождения линии в состоянии (zi,z2,... ,г„). Приведённая
интерпретация значения р(«1,г2,... ,in) позволяет оценить величины тгк и
тк, к = 1, 2,..., п, из следующих формальных выражений
= 12 Х«ь«2,--.Дп), (3.2)
(Й,*2,—,$п)е14
Ненормированные значения стационарных вероятностей связаны си-
стемой уравнений статистического равновесия. Она выписывается по тем
же стандартным правилам, что были использованы в разделе 2.1.2 для
базовой модели (см. (2.6)). Выполнив необходимые преобразования, полу-
чаем следующую конечную систему линейных уравнений
P(zi,z2,...,zn)x (3.3)
п
х 52fAfc/(z + bk < v, ik + 1 < ед,) + Zfc//fcZ(zfc > 0)) =
к=1
• • • Д& > 0) +
fc=l
n
-|- ,..., ik -h1,..., in) (ik + P)/j,kI(i + bk < v, ik -|- 1 < сД,
fc=i
(^ij ^2j • • -1 in) £ 'S'-
Здесь /() — индикаторная функция, определяемая соотношением (2.7).
Полученные в результате решения системы уравнений равновесия ненор-
мированные значения вероятностей Р(г1;г2,... ,гп) необходимо нормиро-
вать.
3.1. Модель с ограниченным доступом 187
Оценка введённых показателей качества совместного обслуживания за-
явок значительно упрощается из-за наличия свойства мультипликативно-
сти у вектора стационарных вероятностей p(zi,Z2,...,zn) [26]. Это позво-
ляет представить p(i\, i%, ,гп) в виде
1 „Й „12 „in
= (3.4)
где щ интенсивность предложенного трафика, выраженная в эр-
лангах, к = 1,2,... ,п, a, N — нормировочная константа
пй ’2 „in
N = V Q1 0,2
«1! t2- in-'
Свойство мультипликативности даёт возможность построить несколько
алгоритмов, с разной степенью эффективности решающих задачу оцен-
ки введённых показателей обслуживания заявок [16,17,19,26,27,34]. Наи-
более удобным для применения оказался алгоритм, рассмотренный в [19].
Метод вычислений базируется на выполнении последовательности свёр-
ток векторов вероятностей числа обслуживаемых заявок при отдельном
использовании ресурса линии каждым из входных потоков.
3.1.3. Алгоритм свёртки
Построим схему реализации алгоритма свёртки, которую удобно ис-
пользовать при проведении вычислений и выполнении процедуры игнори-
рования маловероятных состояний. Результатом свёртки вектора х с ком-
понентами (т(0),... ,т(аж)) и вектора у с компонентами (у(0),... ,у(аУУ)
будет вектор z с компонентами (z(0),..., z(az)), вычисляемыми по форму-
лам
u(s)
z(s) = 52 s — 0,1,... ,az.
j=£(s)
(3-5)
Будем считать, что тах(аж,а2/) < az < ах + ау. Наличие данного неравен-
ства означает, что нас могут интересовать не все, а только часть компо-
нентов вектора z.
В приведённом определении функции w(s),£(s) являются, соответ-
ственно, верхними и нижними границами изменения целочисленной пе-
ременной j, показывающей интервал изменения компонентов вектора у в
188
Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
зависимости от значения s суммы номеров компонентов векторов хну,
участвующих в определении z(s). Откуда получаем
s
‘У>
£(s) = <
Cly j О'У 5
О,
(3.6)
s — ах,
Результат выполнения свёртки двух векторов х и у по установленным вы-
ше правилам будем обозначать символом ®. Отсюда z = х ® у. Для зна-
чения s-й компоненты вектора z будем также использовать обозначение
z(s) = [ж ® ?/](s). Выбор значений ti(s),£(s) в зависимости от величины s
показан на рис. 3.4.
Рис. 3.4. Выбор параметров при реализации процедуры свёртки в
соответствии с (3.5) и (3.6)
Обозначим через РДг) ненормированные значения вероятности заня-
тости i канальных единиц линии в ситуации, когда для обслуживания
предлагаются только заявки к-го потока. Ясно, что величина i принимает
значения г = 0,1,..., с^у. Пусть РДО) — 1. Тогда
_ .. , . att
Ркх^к^к) । 5 ^к — 0, 1, , Ск.
^к*
3.1. Модель с ограниченным доступом
189
Введём векторы Рк с компонентами
Рк = (Ffc(0), Ffc(l),..., Ffc(cfcbfc)),
определяемыми из равенств
П(г) =
z ikbk, ik 0,1,..., Ск,
в противном случае.
(3-7)
Будем называть вектор Рк вектором индивидуального распределения
ненормированных значений вероятностей занятости канального ресурса
линии на обслуживание заявок к-го потока. Воспользовавшись (3.4) и
(3.7), нетрудно убедиться в справедливости следующего выражения для
стационарного распределения числа занятых канальных единиц линии
Р(г) = 52 pGi,«2,...,«n) =
ilbl 4-22^2+ "-H“^nbn=i
(3.8)
J_ „ a? a?
/V . . . j\ I I
iibi+^2b2+--+4nbn=i 2’
^ = ^[Fi®F2®--.®Fn](z).
Наличие соотношений (3.8), непосредственно вытекающих из свойства
мультипликативности, даёт возможность построить эффективный алго-
ритм расчёта стационарных вероятностей р(г), а также характеристик тгк
и тк- Этот алгоритм носит название алгоритма свёртки и состоит из вы-
полнения следующих трёх шагов [19].
1. В соответствии с соотношениями (3.7) находятся компоненты Ffc(z)
вектора Рк индивидуального распределения ненормированных зна-
чений вероятностей занятости канальных единиц линии на обслу-
живание заявок к-го потока, i = 0,1,..., СкЬк, к — 1,2,... ,п.
2. В произвольном порядке (в последующих выражениях в порядке ну-
мерации входных потоков) выполняется свёртка всех п ненормиро-
ванных индивидуальных распределений Рк- Обозначим через Р^
вектор, полученный в результате свёртки первых I векторов Рк,
к= 1,2, ...,£.
190
Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
3. При выполнении последней свёртки находятся ненормированные
значения стационарных вероятностей Р(г)
Р(г)= £ Р'Ж’-ЖО), г = 0,1,...,и.
j=€(i)
(3.9)
и ненормированные значения показателей качества обслуживания
заявок n-го потока тгп и тп. Для расчёта используются следующие
соотношения
V-bn
7Г„ = Рп(спЬп) - СпЬп) +
i=Cn bn
(3.10)
v и(г)
+ £ £ ^-’’(«-ЖД,
г=г>—Ьп+1 j=e(i)
v u(i)
™» = £ £ - ЛРМз-
г=1 j=£(i)
Истинные значения 7ГП, тп и значения вероятностей р(г) находятся
после нормировки. Величина нормировочной константы определяет-
ся из выражения
лг = £Р(г).
г=0
Конкретный вид функций ад(г), £(г) определяется в соответствии с вы-
ражениями (3.6) и зависит от объёма канального ресурса v и ограничений
по доступу для поступающих заявок Vk, к = 1,2,..., п. Если требуется най-
ти показатели качества обслуживания для каждого из п потоков заявок,
то необходимо выполнить указанную выше последовательность действий
п раз. Причем каждый раз последняя свёртка должна происходить с инди-
видуальным распределением того потока, чьи показатели обслуживания
определяются в данный момент.
Оценим вычислительную сложность рассмотренной расчётной проце-
дуры. Выразим её в числе выполняемых операций умножения Nm. Пусть
3.1. Модель с ограниченным доступом
191
Nc означает общее число сделанных свёрток, a Ncm — среднее число опе-
раций умножения, производимых за одну свёртку. Ясно, что Nm = NcNcm.
Значение Ncm зависит от величины доступности ресурса линии. При свёрт-
ке векторов х и у в соответствии с введёнными формулами требуется вы-
полнить число умножений, оцениваемое выражением (ах + 1)(аг/ + 1), если
Цг "Ь dy < Щ И
[(v + 1)(ц + 2) - (v - ax)(v + 1 - ах) - (v - av)(v + 1 - аД),
если ах + Оу > v. При нахождении характеристик всех потоков необходимо
совершить Nc = п(п — 1) свёрток. Таким образом, выполняемое число
операций оценивается величиной О(гг2г2).
Для небольших значений v и п данный объём вычислений не вызыва-
ет затруднений и построенная схема может быть использована для опре-
деления введённых показателей качества обслуживания заявок и оценки
величины канального ресурса мультисервисной линии с ограниченным до-
ступом. С увеличением v и п объём вычислений резко возрастает и реа-
лизация алгоритма перестаёт быть стабильной из-за попыток вычисления
вероятностей несущественных состояний.
Рассмотрим средства, которые можно использовать для устранения
возникающих проблем. Начнём с возможности уменьшения количества
свёрток при вычислении показателей качества обслуживания заявок всех
потоков. Покажем, что это число можно уменьшить с п(п—1) до 4п —6, ес-
ли вести выполнение свёрток в определённом порядке и хранить в памяти
компьютера результаты промежуточных вычислений. Приведём описание
соответствующей последовательности действий.
3.1.4. Уменьшение числа свёрток
Выразим значение числа потоков п в двоичной форме
П = 2€1 + 2*2 + ... + 2€s =
(3.11)
W=1
и поставим в соответствие каждому из s слагаемых 2€w, w = 1,2,..., s, в
(3.11) двоичное дерево, состоящее из (£w + l) уровней, где нулевой уровень
содержит 2€™ концевых вершин, а на уровне находится корневая верши-
на. Условимся в дальнейшем называть вершины, находящиеся на одном
уровне, например, о-м, и связанные с общей вершиной на (а+ 1)-м уровне,
«братьями». Общая вершина по отношению к ним будет «отцом», а они
192 Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
по отношению к нему — «сыновьями». Предположим, что все двоичные
деревья, построенные в соответствии с представлением (3.11), занумеро-
ваны в порядке убывания размеров двоичных групп, а уровни с одним и
тем же номером расположены на одной линии. На рис. 3.5 показан пример
рассматриваемого бинарного разложения для п = 13. Приведём описание
Уровни
з-
2-
1 -
О-
Дерево 1
Дерево 3
Рис. 3.5. Пример расположения двоичных деревьев для числа
потоков п = 13
алгоритма оценки показателей качества обслуживания заявок всех пото-
ков, реализация которого потребует выполнения всего (4п — 6) операций
свёртки. Последовательность выполнения шагов алгоритма выглядит сле-
дующим образом (тривиальный случай s = l,£s = 0 не рассматривается).
1. Занумеруем вершины каждого уровня в порядке, используемом на
рис. 3.5, и поставим в соответствие концевой вершине, имеющей но-
мер к, вектор индивидуального распределения к-го потока.
2. Последовательно, начиная с первого уровня, поставим в соответствие
каждой вершине вектор, являющийся результатом свёртки векторов,
поставленных в соответствие его сыновьям. Для выполнения этой
операции потребуется совершить NCjl = п — s — I(s = 1) свёрток.
Здесь /(•) — индикаторная функция, введённая равенством (2.7).
3.1. Модель с ограниченным доступом
193
3. Поставим в соответствие корневой вершине двоичного дерева с но-
мером w, w = 1,2,..., s, результат свёртки векторов, поставленных
в соответствие корневым вершинам двоичных деревьев с номера-
ми f = 1,2,..., s, f ф w. На этом шаге потребуется совершить
Nc,2 = 3(s — 2 + I(s — 1)) свёрток.
4. Для двоичного дерева с номером w, w — 1, 2,..., s, поставим в
соответствие каждой вершине уровня j последовательно для j =
£w — 1, — 2,..., 0 вектор, являющийся результатом свёртки вектора,
поставленного в соответствие данной вершине, и вектора, поставлен-
ного в соответствие его отцу, если j = £w — 1, или брату отца, если
j < £w — 1. Данный шаг выполняется при > 0. Здесь совершается
ЛДз = 2(n — s — I(s = 1)) свёрток.
5. На данном шаге определяются показатели качества обслуживания
заявок всех потоков. Для этого производится свёртка вектора, по-
ставленного в соответствие концевой вершине, с вектором, постав-
ленным на первом шаге алгоритма в соответствие брату рассматри-
ваемой вершины или ей самой, если анализируемая двоичная группа
состоит из одного элемента. Выполнение последнего шага требует ре-
ализации TVC,4 = п свёрток.
Нетрудно проверить, что общее число операций свёртки при реализа-
ции данного алгоритма равно Nc = Nc>i + Nc<2 + Nc,s + = 4n — 6, т.е.
меньше, чем четыре свёртки на один входной поток. Эффективность пред-
ложенного способа проведения свёрток возрастает с ростом числа потоков.
Так, при п = 10 выполняемая вычислительная работа уменьшается при-
мерно в три раза, при п = 40 — в десять раз, а при п = 100 — в двадцать
пять раз. Существенного уменьшения объёма вычислительной работы при
выполнении одной свёртки можно добиться в результате удаления из про-
цедуры счёта маловероятных состояний. Рассмотрим детали выполнения
соответствующей процедуры.
3.1.5. Удаление маловероятных состояний
Урезанное пространство состояний. Значения введённых показа-
телей обслуживания заявок (3.2) определяются суммированием стацио-
нарных вероятностей p(«i,...,in) по специально выбранным подмноже-
ствам состояний. Понятно, что для практически значимых значений v ве-
личина p(?i ,...,/„) сильно убывает с уменьшением общего числа заявок,
194
Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
находящихся на обслуживании. Данное свойство интуитивно очевидно и
отражает тот факт, что в условиях нормальной загрузки линии событие,
заключающееся в наличии большого объёма свободного канального ре-
сурса, имеет малую вероятность. Этот признак и задает распределение
вероятностной массы в зависимости от числа обслуживаемых заявок. Об-
ласть существенных состояний для симметричной двухпотоковой модели
показана на рис. 3.6. Для значений входных параметров выполняются со-
отношения: щ = а2, bi = b2 = 1, Vi = ci и v2 = с2.
Рис. 3.6. Соотношение между областями существенных и
несущественных состояний для двухпотоковой модели
мультисервисной линии с ограниченным доступом
Будем называть урезанным пространством состояний С произвольное
подмножество состояний S за исключением самого S. Для иллюстратив-
ных целей введём семейство урезанных пространств вида Се, куда вхо-
дят состояния (?i,..., ?„) G S, удовлетворяющие условию p(«i,..., гп) > Е,
где £ — малая положительная величина. Результаты численных расчётов
показывают, что границы Се сильно зависят от интенсивности поступле-
3.1. Модель с ограниченным доступом
195
ния заявок. Это утверждение проиллюстрировано на рис. 3.7 на приме-
ре симметричной двухпотоковой модели. Входные параметры v = 500,
bi = b2 -= 1, Ci — c2 = Vi = v2 = 400, e = 10-5. Величина a - ai = a2 уве-
личивается от a=200 Эрл (рис. 3.7 а) до a=300 Эрл (рис. 3.7 б). Вид С£,
показанный на рис. 3.7, соответствует случаям малых (рис. 3.7 а) и боль-
ших (рис. 3.7 б) значений потерь поступающих заявок. Если ai а2, то
а) б)
Рис. 3.7. Динамика изменения границ урезанного пространства
состояний
множество СЕ перемещается в границах S в зависимости от соотношения
между О] и а2. Легко предсказать зависимость границ Се от величины е.
С уменьшением е мы получаем множество урезанных пространств одного
из видов, показанных на рис. 3.6 или рис. 3.7, вложенных одно в другое.
Таким образом, множество состояний, являющихся существенными
для оценки введённых показателей обслуживания заявок, обладает сле-
дующим свойствами:
• Число состояний, входящих в его состав, во много раз меньше числа
всех теоретически возможных состояний1.
1 Точные цифры зависят от структурных параметров модели и будут далее приведе-
ны. Можно показать, что в большинстве ситуаций количество существенных состояний
в несколько десятков раз меньше теоретически возможного для числа канальных еди-
ниц в несколько тысяч и числа потоков в пределах десяти.
196 Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
• Границы рассматриваемой области состояний определяются сокра-
щенными интервалами изменения компонентов ik, к = 1,2,..., п, или
их сумм.
Обозначим через Ck пространство состояний, существенных для оцен-
ки показателей к-го потока заявок. Опираясь на интуитивно очевидные
свойства модели и приведённые численные данные, включим в Ck состоя-
ния (гг,... ,in) G S, удовлетворяющие неравенствам
bes<is<%, s = l,2,...,n, (3.12)
3&lk,g
Здесь bes, b'g, — некоторые целые числа, зависящие от точности вы-
числения характеристик обслуживания заявок. Величина д меняется от 1
до п — 1 и задаёт число свёрток различных групп индивидуальных рас-
пределений, используемых при оценке показателей качества обслужива-
ния заявок к-го потока. Множество п^д задаёт номера потоков, входящих
в д-ую группу. Пример соответствующего пространства для симметрич-
ной двухпотковой модели показан на рис. 3.8. Выполняются соотношения
bi = b2 = 1, г>1 = ci и v2 = с2.
Если при расчёте показателей качества обслуживания заявок исполь-
зовать только существенные состояния, то тем самым можно значительно
сократить объём вычислительной работы и избежать нестабильности при
реализации рекурсивных алгоритмов оценки стационарных вероятностей
глобальных состояний. Для обоснованного применения сформулированной
идеи необходимо решить следующую последовательность задач:
1. Найти границы урезанного пространства состояний, обеспечивающе-
го заданную относительную ошибку вычисления введённых показа-
телей качества обслуживания заявок.
2. Построить модифицированную схему алгоритма свёртки, основан-
ную на использовании только состояний, вошедших в урезанное про-
странство.
3. Получить оценку погрешности вычисления показателей качества
обслуживания заявок, внесённую использованием урезанного про-
странства состояний. Значение погрешности необходимо найти в тер-
минах характеристик, определённых только на урезанном простран-
стве состояний.
3.1. Модель с ограниченным доступом
197
Рис. 3.8. Вид урезанного пространства состояний, построенного в
соответствии с определением (3.12), для двухпотоковой
модели мультисервисной линии с ограниченным доступом
Рассмотрим решение соответствующих задач, начав со второй.
Реализация алгоритма свёртки на урезанном пространстве со-
стояний. Предположим, что известны границы урезанного пространства
состояний, задаваемые соотношениями (3.12). Приведём формулы, опре-
деляющие реализацию алгоритма свёртки на урезанном пространстве со-
стояний. Как и прежде, на первом шаге алгоритма необходимо рассчитать
индивидуальные ненормированные распределения вероятностей для каж-
дого потока заявок. Выразим ненормированные значения вероятностей не
через значение вероятности нулевого состояния, а через вероятность со-
стояния с максимальной величиной. Обозначим для к-го потока заявок со-
ответствующее состояние через ik. Легко показать, что гк = тт()щ[, cfc),
где символ J L означает целую часть числа.
198 Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
Положим = 1 и выразим оставшиеся вероятности индивиду-
ального распределения через Pk(ikbk)- Данная процедура выполняется по
двум или по одному (это зависит от соотношения между ак и Q.) направ-
лениям убывания значений Рк(г) с использованием формул
1,
П(г) =
t ^к
Z ikbki ik ~Ь • • • > fyfej
i = ikbk, ik = i*k-l,...,tfk,
(3.13)
О в противном случае.
Здесь bk,bk — соответственно, верхний и нижний уровни урезания инди-
видуального распределения к-го потока заявок. Подобные вычисления де-
лаются для всех п потоков. Каждое из п индивидуальных распределений
нормируется.
Свёртка двух урезанных векторов
ж = (т(^), x(t(x + 1),..., z(t“)), у = (y(tey), y(tey + 1),..., z/(t“))
даёт вектор z с координатами, вычисляемыми по формулам
u(s)
Ф) = 52 ж(5_s^tez,tez + i,...,t^,
(3.14)
где функции u(s),£(s) определяются следующим образом
s — t^.,
if < s < 4 +t“,
zz(s) = <
tu
£(s) = <
s-t%,
t‘z < S <
Последовательность выполнения свёрток не меняется. Чтобы найти
значения показателей обслуживания заявок всех потоков, необходимо
знать нижние Ьк, к = 1,2,..., п, и верхние Ьк, к = 1, 2,..., п, уровни уреза-
ния для всех индивидуальных распределений вероятностей и соответству-
ющие уровни для (4п — 6) векторов, полученных в результате выполнения
процедуры промежуточных свёрток. Задачу построения границ Ск, обес-
печивающих заданную точность вычисления показателей обслуживания
3.1. Модель с ограниченным доступом
199
заявок к-го потока рассмотрим далее, а сейчас обсудим имеющиеся воз-
можности нахождения погрешности, вносимой в рассчитываемую харак-
теристику в процессе игнорирования несущественных состояний.
Определение погрешности, вносимой в значение показателей
качества обслуживания заявок использованием урезанного про-
странства состояний. Покажем, что у поставленной задачи существует
простое решение, если для вычисляемых оценок показателей ттк,тк из-
вестен их тип (верхняя/нижняя). Обозначим введённые оценки теми же
символами, что были использованы для соответствующих характеристик
только с указанием типа оценки с помощью индексов £ — для нижних
оценок ни — для верхних оценок. Таким образом, имеем соотношения
7Tfc<7rfc<7Tfc, m(k<mk<ml, к = 1,2,...,п.
Непосредственно из системы уравнений равновесия (3.3) следует, что
щ.,7тд связаны соотношениями
акЬк = акЬктгк + тк, к = 1,2,... ,п.
(3.15)
Для исследуемой модели мультисервисной линии приведённые равенства
интерпретируются как законы сохранения интенсивностей поступающих
и обслуженных потоков заявок. Для вывода (3.15) достаточно умножить
(3.3) последовательно на ik и просуммировать полученную систему урав-
нений по всем (Д, г2,..., in') Е S.
Допустим, каким-то образом получены нижние оценки ттк, тпк. Опреде-
лим величину ак из соотношения
«I = atbt(l - Щ - т‘к, к = 1.2,..., п.
(3.16)
Понятно, что ак > 0, к = 1, 2,..., п. Перепишем закон сохранения (3.15) в
форме, использованной при определении ак, и вычтем соотношение (3.16).
Получаем равенства
акЬк(лк - 7гк) + (тк - тек) = ак, к = 1,2,... ,п. (3.17)
Из (3.17) следуют простые формулы для определения относительной по-
f с
грешности использования оценок тф и тк вместо точных значении соот-
ветствующих характеристик -пк и тк
— ----£ S 7—j ,
n akbkKk
(3.18)
200
Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
тк - тек ак
отк =------—< —7, к = 1,2,... ,п.
тк тк
Отметим, что правая часть (3.18) выражена через значения входных па-
раметров модели и известные значения нижних оценок. Чтобы восполь-
зоваться полученными формулами, необходимо построить нижние оценки
только на основе значений вероятностей состояний, входящих в урезанное
пространство.
Построение верхних и нижних оценок с использованием состо-
яний, принадлежащих Ск. Обозначим через як ненормированное зна-
чение доли потерянных заявок, полученное в результате реализации мо-
дифицированной версии алгоритма свёртки на пространстве S. Значение
лк можно представить в виде суммы двух слагаемых: Як(Ск) и тцф? \ Ск).
Первое слагаемое найдено с использованием вероятностей состояний, су-
щественных для оценки и принадлежащих пространству Ск, второе
слагаемое отражает вклад в оценку тгк несущественных состояний из мно-
жества S \ Ск. Таким образом, имеем
7Ffc = 7Ffc(Cfc) + Kk(S \ Ск). (3.19)
Обозначим через N величину нормировочной константы, полученную в
результате реализации алгоритма свёртки на пространстве S. Значение N
фиксировано нормировкой индивидуальных распределений. Аналогично
(3.19) получаем
N = N(Ck) + N(S \Ск)- (3.20)
Точные значения ~к(Ск) и N(Ck) в разложениях (3.19) и (3.20) могут быть
рассчитаны при реализации модифицированной версии алгоритма свёрт-
ки только на урезанном пространстве состояний Ск. Этот момент заслу-
живает особого внимания. Если в процессе соответствующих вычислений
удаётся также найти и верхние границы для 7rk(S\ Ск), N(S\ Ск) (обозна-
чим их как Tvk(S\Ck), Nu(S\Ck)), то требуемые верхняя и нижняя оценки
для лк могут быть рассчитаны из выражений
„ „ n(Ck) + <(g \ Ск) 7Tt(Ct)
к~ MCJ ’ “ ~ N(Ct) + N^S\Cty ’
Найдем верхние оценки для irk(S \ Ск) и N(S \ Ск). Оценим относи-
тельную величину вероятностной массы, которая игнорируется в процессе
3.1. Модель с ограниченным доступом
201
урезания одного из индивидуальных распределений или одного распре-
деления, полученного в результате свёртки группы индивидуальных рас-
пределений. Для решения этой задачи можно использовать подход, рас-
смотренный в [14,20,22,23], и оценить значения отбрасываемых вероятно-
стей аналитическими средствами на основе явных выражений для пуас-
соновских вероятностей (3.7), (3.13). Рассмотрим более простое решение
поставленной задачи. Оно легко обобщается на другие модели входных по-
токов заявок и удобно для реализации на вычислительной технике. Изме-
ним процедуру вычисления вероятностей индивидуальных распределений
(3.13). Положим верхнюю и нижнюю границы изменения компоненты ik
равными их начальным значениям = ск и Ьк = 0.
После определения в новых условиях значений Рк(г) проводится их
нормировка. Затем находятся верхние и нижние границы урезания ком-
понент ik. Для этого производится суммирование вероятностей состояний
Рк(г) до первого выполнения неравенств
Pk(vk) + Pk(vk - 1) + ... + Рк(х) > Е,
(3.22)
РД0) + РД1) + ... + РД7/)>£.
Верхняя и нижняя границы изменения ik находятся из соотношений Ьк =
и bfk = ^1. Указанные действия проводятся для всех к — 1, 2,..., п.
Здесь е — малая величина, которая будет определена позднее. Анало-
гичным образом оцениваются и отбрасываются несущественные состо-
яния для векторов, полученных в результате свёртки групп индивиду-
альных распределений. Нетрудно показать, что в результате каждого
урезания сумма ненормированных значений отбрасываемых вероятностей
P(il,i2,... ,in) не превосходит е.
Определение границ урезанного пространства состояний,
обеспечивающего заданный уровень потерь. Полученные выраже-
ния для оценки погрешности, вносимой использованием урезанного про-
странства состояний, могут применяться и для решения обратной задачи:
определения границ урезанного пространства состояний, обеспечивающе-
го заданный уровень потерь. Выбор границ зависит от типа характери-
стики. Рассмотрим решение сформулированной задачи на примере выбора
пространства Ск для оценки 7Гк. Ранее было введено обозначение тг£ для
ненормированного значения соответствующей характеристики. Очевидно,
что для относительной ошибки вычисления ттк выполняется неравенство
202
Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
6ттк < ~• На практике расчёты моделей мультисервисных линий ча-
сто ведутся в области больших значений числа v и сравнительно неболь-
ших (скажем, менее 0,1) значений потерь. Это даёт основание оценить ве-
личину тг£ с использованием формулы Эрланга E(v, 4), где А =
Отсюда 5тгк «
Границы урезанного пространства состояний Ск получаются в резуль-
тате выполнения (4п — 2) урезаний. Предположим, что каждое урезание
вызывает ошибку е в оценке нормировочной константы N. Тогда выбор
£ = обеспечивает относительную ошибку в расчёте 7гк, равную
^7Ffc, и даёт формулы для вычисления границ урезанного пространства со-
стояний в соответствии с реализацией соотношений (3.22). Понятно, что
рассмотренный подход обеспечивает лишь примерные значения границ ис-
комого пространства состояний. Чтобы быть уверенным в окончательном
ответе, рекомендуется выбирать границы Ск с неким запасом, значение
которого определяется конкретикой решаемой задачи. Положительным
моментом реализации предложенного метода является возможность по-
сле проведения вычислений оценить и погрешность, вносимую использо-
ванием сокращенного пространства состояний. Если требуемая точность
не достигнута, то расчёты повторяются заново.
Численная оценка эффективности оптимизированных проце-
дур счёта. Сравним эффективность использования предложенного ме-
тода с традиционным применением алгоритма свёртки, описанным в [19].
Для этого рассчитаем число операций, совершаемых при реализации каж-
дого подхода на оценку доли потерянных заявок. Отношение величины
объёма выполняемой при этом вычислительной работы на полном про-
странстве состояний к аналогичному показателю, полученному на уре-
занном пространстве состояний, приведено в таблице 3.1 для модели со
значением и, меняющимся от 500 к.е. до 5000 к.е., числом входных пото-
ков заявок п = 50 и предполагаемой относительной погрешностью оценки
доли потерянных заявок на уровне 10-4.
Для всех потоков интенсивность предложенного трафика была одина-
кова, и её значение определялось из соотношения ак = к = 1,2...., п.
Доступность канального ресурса также не зависела от номера потока и
менялась в пределах, указанных в таблице. Требования к канальному
ресурсу задаются равенствами bk — 1, к = 1,2,...,п. Результаты рас-
чётов показывают, что использование предлагаемого подхода позволяет
значительно (в несколько сотен раз в случаях больших v и п) умень-
шить время оценки характеристик модели. Возможность применения со-
3.1. Модель с ограниченным доступом
203
Таблица 3.1.
Показатель эффективности предложенной схемы игнорирования
маловероятных состояний в зависимости от изменения v и vk
V (к.е.) vk =Jl,5afc[ (к.е.) vk = ]2afc[ (к.е.) Wk J L (к.е.) vk — 0,5г> (к.е.) vk = v (к.е.)
500 5,52 6,13 7,34 32,44 40,18
1000 8,58 9,58 12,50 57,91 71,77
1500 11,45 12,92 17,73 82,35 102,07
2000 14,03 16,10 22,94 106,69 132,24
2500 16,58 19,13 27,99 130,18 161,36
3000 19,06 22,58 33,05 153,84 190,68
3500 21,38 25,80 37,76 175,82 217,94
4000 23,57 29,11 42,60 198,44 245,97
4500 25,92 32,37 47,38 220,74 273,62
5000 28,09 35,48 51,95 242,05 300,04
кращенного пространства состояний, заранее ориентированного на требу-
емую точность определения показателей обслуживания заявок, особенно
эффективно при графическом представлении результатов вычислений, ко-
гда достаточно обеспечить относительную ошибку расчётов в интервале
10~2 ... 10~3. Удаление из процедуры счёта маловероятных состояний так-
же делает стабильной реализацию вычислительного алгоритма, устраняя
потенциальные проблемы переполнения и исчезновения порядка.
3.1.6. Обобщение схемы формирования входного
потока
Ограниченный доступ является важной характеристикой распределе-
ния канального ресурса в мультисервисных сетях связи. В предыдущих
разделах был построен эффективный алгоритм оценки показателей каче-
ства обслуживания заявок для базовой модели звена при введении ограни-
ченного доступа. Покажем, что аналогичные результаты можно получить
и для модели мультисервисного звена с обобщённой схемой формирования
входного потока заявок. Она была исследована в разделе 2.2. Поскольку
изложение материала во многом повторяет ход рассуждений, использован-
204 Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
ный для базовой модели, то ограничимся описанием ключевых моментов.
Для обозначения входных параметров и показателей обслуживания за-
явок исследуемой модели сохраним символы, введённые в разделе 2.2.
Обозначим через vk величину объёма канального ресурса, максимально
доступного заявкам к-го потока, а через ск обозначим максимальное число
заявок к-го потока, которые одновременно могут находиться на обслужи-
вании. В исследуемой модели интервал времени между последовательны-
ми поступлениями заявок к-го потока имеет экспоненциальное распреде-
ление с параметром
Ос(Д) Ctk “Ь ДДс; к — 1,2,..., п,
а средняя длительность её обслуживания равна единице.
Показатели качества обслуживания заявок к-го потока задаются ве-
роятностями потерь: по времени — 7vt^, вызовам — тгс^, трафику — 7Г^к
и средним числом одновременно занятых канальных единиц — тк- Зна-
чения данных характеристик определяются по аналогии с выражениями,
приведёнными, соответственно, в (2.60), (2.61), (2.63), (2.62). Для значений
стационарных вероятностей p(«i, г2,..., гп) сохраняется свойство мульти-
пликативности, которое позволяет использовать для оценки показателей
качества обслуживания заявок алгоритм свёртки. Рассмотрим реализацию
данной процедуры. Пусть Рк — вектор индивидуального распределения
ненормированных значений вероятностей занятости канального ресурса
на обслуживание заявок к-го потока
Р* = (РД0),РД1),...,РДс^)).
Реализация алгоритма свёртки в исследуемом случае состоит из сле-
дующей последовательности шагов.
1. Для всех к = 1,2,..., п находятся компоненты Рк(г) вектора Рк. При
этом используются соотношения
д-1
П (afc+w/3fc)
w=0__________
Д!
? — ikbkf ik — о, 1,..., ск,
в противном случае .
(3.23)
о
2. В произвольном порядке (в последующих выражениях в порядке ну-
мерации входных потоков) выполняется свёртка всех п ненормиро-
ванных индивидуальных распределений Рк. Обозначим через Р^
3.1. Модель с ограниченным доступом
205
вектор, полученный в результате свёртки первых £ векторов Р^,
к = 1,2,... ,£.
3. При выполнении последней свёртки находятся ненормированные
значения стационарных вероятностей Р(г) числа единиц ресурса ли-
нии, занятых обслуживанием заявок всех типов,
м(г)
Р(г)= Е г = 0,1,... ,г>. (3.24)
Вычисляется нормировочная константа N = ЕГ=о ^*(0 и нормиро-
ванные значения вероятностей
4. Оцениваются показатели качества обслуживания заявок n-го потока.
Для удобства записи расчётных соотношений вводится функция
v, vn, bn) = I(i> v- bn) + I(i<v — bn)I(j > vn - bn).
Величина /(•) определяется из равенства (2.7). Тогда для оценки зна-
чений 7Г(1П, 7ГС>П, тп, используются формулы
-1 v и(«)
Чп = т;Е £ P^^i-^PnUWJ^^bn), (3.25)
i=0j=£(i)
£ £ р(п _ j)Pn(j)(anbn + j(3n)S(i,j,v,vn,bn)
^С,П - 5
E E P{n-l4i-j)PM^nbn + j(3n)
i=o j=e(i)
1 v u(i)
" <=i ,-ад
(pibn ITT'ti
^£,n — 7
В выражении для 7r^ n величина ап представляет собой интенсивность
предложенного трафика, определяемую из равенства (2.59).
206
Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
Значения функций u(i), £(i) находятся из соотношений (3.6). Если тре-
буется найти показатели качества обслуживания заявок всех п потоков,
то необходимо выполнить указанную последовательность действий п раз.
При этом последняя свёртка происходит с индивидуальным распределе-
нием того потока, чьи показатели обслуживания оцениваются в данный
момент.
Объём вычислительной работы, необходимой для оценки показателей
обслуживания заявок, можно значительно уменьшить, если воспользо-
ваться приёмами, введёнными и исследованными в разделах 3.1.4 и 3.1.5.
Изложение соответствующего материала происходит по аналогии с тем,
как это было сделано в случае базовой модели с ограниченным доступом,
и здесь не приводится.
3.1.7. Анализ использования ограниченного доступа
Рассмотрим численные примеры, иллюстрирующие зависимость значе-
ний показателей качества обслуживания заявок от величины доступности
канального ресурса vk, к — 1,2, ...,п. Расчёты выполнены с использо-
ванием алгоритмов, разработанных в данном разделе. В таблице 3.2 для
модели со значениями входных параметров v = 100 к.е., п = 4, b\ = 1, Ь% =
2, Ь3 = 5, 64 = 10 показана зависимость доли потерянных заявок ттк и об-
щего объёма занятого канального ресурса m — mk от изменения vk в
пределах от 20 к.е. до 50 к.е. Для всех входных потоков значения доступно-
сти приняты одинаковыми, как и величины интенсивности предложенного
трафика, выраженные в эрланго-каналах и определяемые из соотношений
Ак = акЬк = к= 1,2,3,4.
Из приведённых данных следует, что с увеличением доступности зна-
чение потерь уменьшается. Этот казалось бы очевидный результат может
не выполняться для мультисервисных сетей с ограниченным доступом
при определённых соотношениях между входными параметрами. Один
из примеров показан далее на рис. 3.9. Наиболее существенно зависи-
мость показателей качества обслуживания заявок от значения доступ-
ности проявляет себя в тех случаях, когда доступность примерно равна
величине предложенного трафика соответствующего потока, выраженной
в эрланго-каналах. Когда она становится приблизительно равной удвоен-
ному значению предложенного трафика, изменения в значениях потерь
с ростом доступности становятся уже несущественными. Наиболее силь-
но с увеличением доступности уменьшаются потери для потоков с малой
величиной ресурса, требуемого для обслуживания одной заявки.
3.1. Модель с ограниченным доступом
207
Таблица 3.2.
Доля потерянных заявок и общий объём занятого канального ресурса в
зависимости от изменения величины доступности щ = г2 = г>з = щ
Доступ- ность (к.е.) Показатели использования ресурса
7Г1 ТГ2 КЗ 7Г4 т
20 0,2799 0,3220 0,3983 0,4717 63,20
22 0,2212 0,2679 0,3983 0,4717 66,02
24 0,1680 0,2182 0,3983 0,4717 68,60
26 0,1215 0,1734 0,2849 0,4717 73,71
28 0,0831 0,1344 0,2853 0,4721 75,63
30 0,0635 0,1184 0,2274 0,3400 81,27
32 0,0458 0,0969 0,2326 0,3502 81,86
34 0,0351 0,0811 0,2364 0,3578 82,24
36 0,0322 0,0746 0,1943 0,3775 83,03
38 0,0298 0,0676 0,1962 0,3804 83,15
40 0,0338 0,0723 0,1870 0,3515 83,89
42 0,0335 0,0699 0,1876 0,3524 83,91
44 0,0335 0,0686 0,1879 0,3529 83,93
46 0,0341 0,0692 0,1789 0,3568 84,02
48 0,0342 0,0689 0,1789 0,3570 84,03
50 0,0350 0,0703 0,1780 0,3526 84,10
100 0,0351 0,0705 0,1772 0,3527 84,22
Выясним, какие возможности обеспечивает ограниченный доступ при
выравнивании доли потерянных заявок для потоков с разным использо-
ванием ресурса линии. Соответствующие данные приведены на рис. 3.9,
где показана зависимость величин яу и тг2 от изменения Vi при фиксиро-
ванном значении г2. Входные параметры модели принимают следующие
значения: v — 100 к.е., п — 2, b± = 1, Ь2 = 20, а± = 20, а2 = 4, г2=100 к.е.
Для схемы обслуживания заявок без ограничения по доступу наблюдается
вытеснение ресурсоёмких заявок 2-го потока. Разницу в значениях потерь
показывает правая часть рис. 3.9. Соответствующее явление обсуждалось
в разделе 2.1.9 при численном исследовании свойств базовой модели муль-
тисервисной линии. Ограничивая доступ заявкам 1-го потока, можно вы-
равнять уровни потерь. Аналогичным эффектом, но в более действенной
208
Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
Рис. 3.9. Использование ограниченного доступа для выравнивания
значения потерь заявок с разными требованиями к
канальному ресурсу
форме, обладают механизмы распределения канального ресурса, основан-
ные на его резервировании. Они будут рассмотрены в следующем разделе
главы.
Заканчивая исследование введённой модели, обсудим возможности её
использования при решении задачи оценки необходимого объёма каналь-
ного ресурса. Наличие ограниченного доступа не вносит существенных
отличий в решение поставленной задачи по сравнению с аналогичной про-
блемой, рассмотренной для базовой модели мультисервисной линии в раз-
делах 2.1.5—2.1.7. По этой причине данная часть исследования будет опу-
щена. Отметим, что необходимым условием для решения сформулирован-
ной задачи является наличие эффективного алгоритма оценки показате-
лей приёма заявок к обслуживанию. Соответствующий алгоритм должен
быть устойчивым и иметь возможности по реализации во всем практиче-
ски значимом диапазоне изменения входных параметров модели. Именно
такими характеристиками обладают построенные в данном разделе мето-
дики оценки основных показателей совместного обслуживания заявок для
модели мультисервисной линии с ограниченным доступом.
3.2. Модель с резервированием канального ресурса
209
3.2. Модель с резервированием канального
ресурса
3.2.1. Обобщённая схема резервирования
Процесс выделения канального ресурса в мультисервисных сетях нуж-
дается в механизмах контроля. В противном случае возникают угрозы
неконтролируемого перераспределения ресурса в пользу отдельных групп
потоков. Соответствующее явление было исследовано в разделе 2.1.9. За-
явки с меньшими требованиями к канальному ресурсу вытесняют из об-
служивания заявки с большими требованиями. Это приводит к наруше-
нию принятых соглашений по качеству предоставления услуг связи. Са-
мым простым и действенным средством борьбы с отрицательными послед-
ствиями данного явления может служить резервирование канального ре-
сурса.
Процедуру резервирования легко реализовать технически. Поставим в
соответствие каждому потоку целое число 0к, к = 1, 2,..., п, которое назо-
вём порогом резервирования канального ресурса для заявок к-го потока.
Обозначим через i общее число занятых канальных единиц в момент по-
ступления заявки. Если выполняется неравенство i > 0к, то поступившая
заявка к-го потока считается потерянной и не возобновляется. В против-
ном случае заявка принимается к обслуживанию. Устанавливая величи-
ну 0к, оператор получает возможность зарезервировать ресурс линии для
тех информационных потоков, которым он нужен в большем количестве.
Назовём данную схему традиционной. При её использовании оператор мо-
жет выравнять значения уровня потерь для всех потоков заявок. Однако
достигается это за счёт некоторого уменьшения коэффициента использо-
вания канального ресурса линии.
В данном разделе будет рассмотрено расширение традиционной схемы
резервирования, которое позволяет сгладить отмеченный недостаток. Дей-
ствие обобщённой схемы моделируется с использованием понятия функ-
ции внутренней блокировки. Соответствующая функция для каждой по-
ступившей заявки задаёт вероятность отказа в обслуживании, зависящую
от общего числа занятых канальных единиц. Варьируя значение вероят-
ности, можно исследовать различные схемы резервирования канального
ресурса линий связи, в том числе и традиционную схему, введённую вы-
ше.
210
Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
Данная модель позволяет решать и другие задачи, не относящиеся на-
прямую к резервированию. В частности, её можно применять для моде-
лирования процесса распределения канального ресурса в сетях мобильной
связи 3-го поколения UMTS (Universal Mobile Telecommunication System).
Передача информации в сетях данного типа происходит с использованием
технологии WCDMA (Wideband Code Division Multiple Access), которая
позволяет в одной и той же полосе частот одновременно передавать ин-
формацию многим пользователям. При этом передача информации опре-
делённого пользователя для других представляет собой шум. Каждый раз,
когда происходит приём новой заявки, отношение сигнал/шум для уже
установленных соединений уменьшается. В сетях подвижной связи, ис-
пользующих технологию WCDMA, нет жесткого ограничения на объём
используемого канального ресурса. Чтобы сохранить значения показате-
лей QoS для действующих соединений, поступившая заявка получает от-
каз в обслуживании, если новое соединение сделает уровень шума выше
некоторого приемлемого уровня. Численное значение уровня шума зави-
сит от числа уже установленных соединений. Таким образом, формально
возможность приёма новой заявки также может быть описана с исполь-
зованием вероятности внутренней блокировки, зависящей от количества
заявок, находящихся на обслуживании, т.е. от объёма занятого ресурса.
Другая область применения исследуемой концепции — расчёт сетей и их
фрагментов. Здесь вероятность внутренней блокировки описывает воз-
можность потери заявки на этапах установления соединения до или после
рассматриваемого сегмента сети.
Обсудим основные предпосылки, необходимые для построения матема-
тической модели звена мультисервисной сети с обобщённой схемой резер-
вирования канального ресурса.
3.2.2. Особенности моделирования
Пусть v — скорость линии, выраженная в канальных единицах, а п
— число потоков заявок. Заявки /с-го потока поступают через случайные
интервалы времени, имеющие экспоненциальное распределение с парамет-
ром Afc. Для предоставления запрашиваемого сервиса требуется bk единиц
ресурса линии, и время занятия ресурса на обслуживание заявки имеет
экспоненциальное распределение с параметром /д,, к = 1,2, ...,п. Рас-
смотрим изменения в структуре базовой модели мультисервисной линии,
которые относятся к реализации обобщённой схемы резервирования ка-
нального ресурса.
3.2. Модель с резервированием канального ресурса
211
Для заявок к-го потока, к = 1,2, ...,п введём вероятностную функ-
цию которая будет использоваться для фильтрации процесса до-
ступа заявок к канальному ресурсу в зависимости от номера потока к
и общего объёма занятого канального ресурса i. Конкретный вид ipk(i)
зависит от механизма допуска заявок и будет рассмотрен позднее. Про-
цедура фильтрации реализуется следующим образом. Заявка к-го пото-
ка принимается к обслуживанию с вероятностью 1 — (£>/.(?), а с противо-
положной вероятностью <рк (г) заявка получает отказ и не возобновляет-
ся. Понятно, что значения <Pk(i) не могут быть произвольными. Отказ в
обслуживании из-за нехватки канального ресурса происходит с вероят-
ностью единица. Следовательно, для заявок к-го потока = 1, если
i — v — bk + 1, v — bk + 2,..., v. Схема функционирования и отличительные
свойства модели мультисервисной линии с обобщённой схемой резервиро-
вания показаны на рис. 3.10.
Характеристика
поступления
заявок
Передаточный
ресурс линии в
канальных
единицах
Отличительные
свойства
Ai, b-t, 1/ui
§ §
Й &
м ®
Доступ заявки к-го потока к
передаточному ресурсу
линии разрешается с
вероятностью 1-где
i - число занятых
канальных единиц
, Ьп ,
2
Тип трафика
• Сервисы реального
времени
Тип модели
• Ограниченный доступ к
ресурсу передачи,
зависящий от загрузки
линии
• Предоставление
преимущества в занятии
канального ресурса для
выделенных потоков
заявок
V
Область использования
• Расчёт пропускной
способности линий
доступа
Рис. 3.10. Структура и свойства модели мультисервисной линии с
обобщённой схемой резервирования канального ресурса
для поступающих заявок
212
Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
Если принять = 0 для I — 0, l,...,0fc и ^(г) = 1 для i =
Ok + 1, @к + 2,..., v, то величина Ok < v — Ьк называется порогом резерви-
рования для заявок к-го потока. Варьируя значение 0к, можно выравнять
значения доли потерь для поступающих заявок. Данная модель занятия
канального ресурса составляет суть традиционной схемы резервирования
передаточных возможностей линии связи. Рассматриваемый механизм до-
пуска заявок удобен в использовании и обеспечивает оператора действен-
ным средством влияния на значения показателей QoS в мультисервисных
сетях. Для анализа эффекта, который оказывает применение резервиро-
вания, развиты расчётные методики [17]. Результаты соответствующего
численного исследования будут рассмотрены позднее.
Основной областью использования построенной модели является оцен-
ка необходимого объёма канального ресурса для обслуживания заданных
потоков заявок. Из условий сформулированной задачи следует вид про-
странства состояний исследуемой модели мультисервисного звена и струк-
тура случайного процесса, описывающего динамику изменения состояний.
Пусть ik(t) число заявок к-го потока, находящихся в момент времени t на
обслуживании. Динамика изменения с течением времени числа обслужи-
ваемых заявок каждого из имеющихся потоков описывается многомерным
марковским процессом
r(t) = (ii(t),z2(t),...
определённом на конечном пространстве теоретически возможных состо-
яний Q. Оно состоит из векторов (Д, г2,..., Д), удовлетворяющих условию
< V.
fc=i
Пространство реально используемых состояний S определяется выбо-
ром функции внутренней блокировки. Проиллюстрируем введённые мно-
жества на примере. Рассмотрим исследуемую модель звена для значений
параметров: v — 6, п = 2, Д = 1, Ь2 = 3. Теоретически возможное про-
странство состояний Q в рассматриваемом случае показано на рис. 3.11 а.
Реализуем для данной модели традиционную схему резервирования ка-
нального ресурса, ограничив доступ заявкам 1-го потока. С этой целью
определим функцию внутренней блокировки для заявок 1-го потока в ви-
де: </?i(0)= <£>i(l)= <£>i(2)= <£>i(3)=0, 9?i(4)= <£>i(5)= </?1(6)=1. Таким образом,
заявки 1-го потока получают отказ, если общий занятый ресурс линии ра-
вен четырём, пяти и шести канальным единицам. Отметим, что в обычных
3.2. Модель с резервированием канального ресурса
213
условиях заявки 1-го потока принимаются к обслуживанию, если общий
занятый ресурс линии равен четырём или пяти единицам. Заявки 2-го по-
тока не ограничиваются в доступе к ресурсу и получают отказ только в
случае, когда ресурса не хватает для обслуживания поступившей заяв-
ки. Это происходит, когда общий занятый ресурс линии равен четырём,
пяти и шести канальным единицам. Соответствующие отказы также мо-
гут быть описаны с использованием функции внутренней блокировки для
заявок 2-го потока. Она принимает следующие значения: <^2(0)= 9?2(1)=
<д2(2)= <д>2(3) 0, <д2(4)= <£2(5)= </22(6)=l. Реально используемое простран-
ство состояний S в рассматриваемом случае показано на рис. 3.11 б. Если
сравнить множества Q и S, то можно сделать вывод о том, что множество
S является подмножеством множества Q.
а) б)
Рис. 3.11. Примеры пространства состояний Q и S для модели
мультисервисной линии с резервированием:
а — теоретически возможное Q,
б — реально используемое S
214 Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
3.2.3. Показатели качества обслуживания заявок
По построению модели можно утверждать, что процесс r(t) — марков-
ский. Пусть p(zi, «2, ,in) ~ стационарная вероятность нахождения моде-
ли в состоянии ... ,2П). Качество обслуживания заявок к-го потока
будем характеризовать долей потерянных заявок 7rfc и средней величиной
канального ресурса линии тк, занятого их обслуживанием. Приведём фор-
мальные определения 7rfc, тк, к = 1,2,..., п через значения стационарных
вероятностей р(Д, г2, ..., г„)
TTfc = 52 Р(ДЛ, ••• ,in)^k(i), (3.26)
(il,i2,...,ln)€S
5 ) p(«l> ^2, • • • , in)ikbk-
Чтобы воспользоваться введёнными определениями (3.26), необходимо
найти значения вероятностей р(Д,22,... ,2П) для всех (ДДг,... ,г„) 6 S.
Для исследуемой модели значения вероятностей р(Д, г2,..., in) не облада-
ют свойством мультипликативного представления, характерным для базо-
вой модели и ряда её обобщений (см. разделы 2.2, 3.1). Свойство мульти-
пликативности значительно упрощает вычисление показателей качества
обслуживания заявок. Для рассматриваемой модели единственным спосо-
бом точной оценки ттк и к = 1,2,... ,п остаётся составление и после-
дующее решение системы уравнений равновесия каким-либо численным
методом. Данная система выписывается в соответствии с правилами, ис-
пользованными ранее для базовой модели (см. раздел 2.1):
п
«2, - •, in) 52 (М1 - V’fcG)) + ikl-ikl(ik > 0)) = (3.27)
к=1
5 ^(Д, • • • , Д ’ 1, . . . , 2п)Ад,(1 ^к))^(Д > 0) +
к=1
п
5 ' P(ii 1 , Д Н- 1, • • •, Д)(Д 1)дД(i -Ь bk < v),
k=l
(ii, i^i- • •, in) & fl-
Здесь /(•) — индикаторная функция, определённая равенством (2.7).
3.2. Модель с резервированием канального ресурса
215
Для вероятностей F(zi, г2, • • ,in) выполняется условие нормировки
52 p(zi,... д„) = 1.
Часть состояний по условиям выбора может и не попасть в реально
используемое пространство состояний S. Тогда соответствующие вероят-
ности состояний принимаются равными нулю. Далее будет показано, что
формальная запись системы уравнений статистического равновесия в виде
соотношения (3.27) весьма удобна для последующего её решения итераци-
онным методом.
Решив систему уравнений равновесия (3.27), можно найти значения
стационарных вероятностей, а с ними и величины введённых показате-
лей качества обслуживания заявок (3.26). Другая область использования
(3.27) — определение разного рода соотношений между значениями тц. и
тк, к = 1,2,..., п. Умножив уравнение (3.27), содержащее Р(г±, г2, ...,«„)
в левой части, последовательно на гк и просуммировав полученные выра-
жения по всем (ii,i2,... ,in) G Q, получаем следующие соотношения:
Afcbfc = AfcbfcTTfc + к= 1,2, (3.28)
Равенства (3.28) носят характер законов сохранения интенсивностей по-
токов заявок, поступающих и обслуженных на исследуемой линии свя-
зи. Они могут использоваться для решения многих задач, относящихся к
практической реализации построенной модели мультисервисной линии. В
частности, с их помощью можно найти альтернативные выражения для
оценки значений mk, если известны величины тгк. Из (3.28) получаем,
тк = — Ьк(1 - тг*,), к = 1,2, (3.29)
Цк
Вернемся к проблеме решения системы уравнений (3.27). Матрица
(3.27) не обладает какими-либо специальными свойствами, позволяющими
получить явное или аналитическое решение. В этой ситуации для оценки
введённых показателей приходится решать построенную систему уравне-
ний одним из методов линейной алгебры. Рассмотрим наиболее эффектив-
ные пути решения этой проблемы.
3.2.4. Решение системы уравнений равновесия
Начнём с характеристики матрицы системы уравнений (3.27). Необхо-
димо отметить следующие её свойства:
216
Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
• большую размерность, достигающую нескольких миллионов строк и
столбцов;
• большое количество нулевых элементов (обычно число ненулевых
элементов в строке фиксировано и не зависит от значений струк-
турных параметров модели, приводящих к росту числа состояний);
• наличие рекурсивных формул для оценки ненулевых коэффициентов
матрицы в соответствии с компонентами состояния.
Отмеченные свойства позволяют рекомендовать для решения систем урав-
нений равновесия итерационные методы, основанные на реализации прин-
ципа последовательных подстановок. К таким методам относится итера-
ционный алгоритм Гаусса-Зейделя.
Приведём общую формулировку итерационного метода решения си-
стем уравнений равновесия, который можно использовать в тех ситуациях,
когда не удаётся получить явного или аналитического ответов. Допустим,
необходимо решить систему уравнений статистического равновесия, име-
ющую в матричной форме вид
АР = 0, (3.30)
где:
• А — [щД, £,j — 1, - -, w — матрица системы уравнений равновесия
после переноса всех неизвестных значений стационарных вероятно-
стей в левую часть;
• w — число неизвестных в матрице системы уравнений равновесия,
совпадающее с числом состояний в используемом при анализе модели
пространстве S;
• Р = (Pi, Р2,.. •, Рщ) — вектор неизвестных вероятностей. Компонент
Рк — вероятность состояния с номером к. Значение к находится после
реализации лексикографической или какой-либо другой процедуры
нумерации состояний, принадлежащих используемому пространству
S.
Обозначим вектор s-ro приближения к искомому вектору неизвестных
вероятностей Р = (Ръ Р2,..., Pw) через P(s) = (Р^, P2S\ Р^). При
реализации итерационного метода Гаусса-Зейделя (s + 1)-ое приближение
3.2. Модель с резервированием канального ресурса
217
получается из s-ro с использованием следующих рекуррентнх соотноше-
ний
1 / £—1 w \
Pls+1} =----Е a£JP^s+1) + Е Ь £=l,2,...,w. (3.31)
V=i j=t+i )
Полученное соотношение реализуется следующим образом. В процессе вы-
числения значения являющегося f-ым компонентом вектора (s + 1)-
го приближения, необходимо использовать уже найденные компоненты
(s+ 1)-го приближения P-s+1\ j = 1, 2, ...,£ — 1 и имеющиеся компоненты
s-ro приближения j = £ + 1, £ + 2,..., w.
При использовании итерационного метода есть два важных момента.
Во-первых, необходимо задать правило выбора начального приближения.
В качестве такового можно взять любое известное приближение с поло-
жительными компонентами
р(о) = (р^р^,...^)).
Если есть проблемы с его выбором, то начальным шагом итерационного
алгоритма может служит вектор Р^ = (1,1,...,1).
Во-вторых, следует выяснить сходимость итерационной процедуры и
указать правило остановки итерационного цикла. Из результатов теоре-
тических исследований известно, что данный метод не всегда сходится,
если его применять для решения систем уравнений равновесия. Тем не
менее практические расчёты показывают, что в большинстве случаев схо-
димость имеет место. Её необходимо проверять косвенными методами. Для
этого используются качественные соображения о поведении показателей
обслуживания заявок. Следует также контролировать выполнение каких-
либо известных теоретических соотношений. К ним относятся, например,
законы сохранения (3.28).
Обычно для остановки итерационного цикла поступают следующим
образом. Сходимость метода оценивается исходя из достижения малости
нормированной разницы между двумя последовательными приближения-
ми к вектору неизвестных вероятностей, т.е. проверяется справедливость
соотношения
|p(S+l) _ pU)| + |p2(s+l) _ pGOj + _ _ _ + |р^+1) _ pfr)|
p(s+1} + p2(s+l) + ... + р^Д1) - е’
Как правило, значение е берётся из интервала 10-8... 1О-10. Как только
сформулированное неравенство выполнено, итерационный цикл считается
218 Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
оконченным. В качестве значений вероятностей pi,p2, • • ,Pw берутся нор-
мированные значения компонентов вектора, являющегося последним из
найденных приближений к искомому решению
7Д = —, , , Д,--------7—гтг, £ = 1, 2, . . . , W.
P}S+1) + P2(S+1) + . . . + Р^+1)
Далее находятся значения показателей качества обслуживания заявок.
Число итераций зависит от значений входных параметров и величи-
ны £, задающей относительную разницу между двумя последовательными
приближениями. Обычно оно меняется от нескольких десятков до несколь-
ких сотен. Время счёта определяется значениями структурных параметров
модели и быстротой используемой вычислительной среды. Обыкновенно
оно лежит в интервале от нескольких секунд до нескольких минут. Число
неизвестных в системе уравнений равновесия (число состояний в модели)
зависит от числа потоков заявок и объёма канального ресурса. Максималь-
но возможное число неизвестных, для которых возможен счёт, определя-
ется языком программирования. В большинстве случаев оно ограничено
несколькими миллионами. Этого значения достаточно для исследования
основных зависимостей показателей обслуживания заявок от входных па-
раметров. Важную роль итерационные методы решения систем уравнений
равновесия играют в оценке точности разного рода приближённых схем и
методик, которые применяются для решения задач планирования сетевой
инфраструктуры мультисервисных сетей. Соответствующая возможность
далее будет неоднократно использоваться.
Приведённый способ решения системы уравнений равновесия носит на-
звание итерационного метода Гаусса-Зейделя. Здесь кратко обсуждались
только основные моменты его реализации. Имеется большое число спе-
циальных исследований, посвящённых особенностям его применения. За-
интересованный читатель может обратиться к монографии2 3, где данный
способ характеризуется с общих позиций линейной алгебры, или к иссле-
Q
дованию , где рассматриваются условия его использования при решении
систем уравнений равновесия.
Рассмотрим систему уравнений равновесия (3.27), которую предсто-
ит решить с использованием метода Гаусса-Зейделя. Максимальное число
ненулевых элементов в строке матрицы системы уравнений равновесия
2Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984.
3 Kaufman L. Matrix methods for queueing problems // SIAM J. Sci. Stat. Comput.1983.
V.4.
3.2. Модель с резервированием канального ресурса 219
не превосходит 2п + 1. Каждый ненулевой элемент может находиться из
рекуррентных формул, которые определяются компонентами состояния
(ij, «2, • •, in)- При реализации итерационной процедуры в памяти ком-
пьютера достаточно хранить один вектор размерности, равной числу со-
стояний в исследуемом марковском процессе. Поскольку это число равно
нескольким миллионам, то отсюда получаем диапазон изменения струк-
турных параметров модели, для которого возможен расчёт характеристик
рассматриваемым способом. Число потоков от 3 до 5, объём канального
ресурса от 50 до 100. Результаты проведения соответствующего числен-
ного исследования будут далее рассмотрены. Таким образом, для точного
расчёта введённых показателей качества обслуживания заявок можно ис-
пользовать решение системы уравнений равновесия итерационным мето-
дом. Данный подход применяется к моделям, изменение состояния кото-
рых описывается марковским процессом. В более общих случаях оценка
показателей находится средствами имитационного моделирования.
Воспользуемся полученными результатами для проведения численного
исследования зависимости показателей качества обслуживания заявок от
выбора функции распределения и среднего значения времени занятия ка-
нального ресурса. Рассмотрим модель со значениями параметров: v = 50,
п = 3, b\ — 1, Ь2 = 3, Ь3 = 6, fik = 1, Afc = к = 1,2,3. Величина р
показывает интенсивность предложенного трафика в эрланго-каналах на
одну канальную единицу линии (коэффициент загрузки канальной еди-
ницы линии). Рассмотрим четыре типа функции распределения времени
занятия канального ресурса, которые занумеруем в порядке возрастания
дисперсии: первая модель — детерминированное распределение, вторая
модель — смесь детерминированного и экспоненциального распределений,
третья и четвертые модели — экспоненциальное и гиперэкспоненциальное
распределения. Подберём входные параметры так, чтобы для всех рас-
смотренных функций средняя длительность обслуживания заявки была
равна единице, а значения дисперсий: 0, 1, 10. Реализацию обобщённой
схемы резервирования канального ресурса зададим вероятностью внут-
ренней блокировки, которую определим из выражения
/г\10
<Рк,г = ( - , i = 0,1,.. .,v - Ьк,
XV/
<pk,i = 1, i = v-bk + l,v-bk + 2,...,v, к = 1,2,3.
Зависимость доли отказов в выделении ресурса передачи информации
от изменения коэффициента загрузки канальной единицы для разных мо-
220
Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
делей функции распределения длительности обслуживания заявки пока-
зана в таблице 3.3, где приведены значения 7гг и тг3, посчитанные для всех
четырёх рассмотренных функций распределения. Для третьей модели зна-
чения показателей обслуживания заявок найдены после решения системы
уравнений равновесия (3.27), в остальных случаях для оценки использо-
валось имитационное моделирование.
Таблица 3.3.
Показатели качества обслуживания заявок при различной загрузке
линии для разных функций распределения длительности занятия
канального ресурса
р (ЭрлК) Первая модель Вторая модель Третья модель Четвёртая модель
7Г1 тгз 7Г1 713 7Г1 7ГЗ 7Г1 7ГЗ
0,50 0,0189 0,0248 0,0188 0,0247 0,0187 0,0248 0,0188 0,0251
0,55 0,0287 0,0392 0,0293 0,0393 0,0289 0,0392 0,0290 0,0388
0,60 0,0416 0,0571 0,0414 0,0574 0,0415 0,0576 0,0417 0,0581
0,65 0,0563 0,0790 0,0563 0,0803 0,0565 0,0799 0,0564 0,0798
0,70 0,0728 0,105 0,0734 0,106 0,0733 0,105 0,0739 0,107
0,75 0,0908 0,133 0,0912 0,133 0,0915 0,134 0,0914 0,135
0,80 0,110 0,164 0,111 0,163 0,111 0,163 0,111 0,163
0,85 0,130 0,194 0,130 0,195 0,130 0,194 0,130 0,195
0,90 0,150 0,226 0,150 0,226 0,150 0,226 0,150 0,226
0,95 0,170 0,257 0,170 0,257 0,170 0,257 0,169 0,258
Из анализа приведённых данных можно сделать вывод о слабой зави-
симости доли отказов в выделении канального ресурса от типа функции
распределения времени его занятия. Относительное значение погрешно-
сти оценки составляет величину порядка одного процента в достаточно
широком диапазоне изменения интенсивности входного потока заявок. Это
очень важный результат, который позволяет использовать при построении
модели с обобщённой схемой резервирования канального ресурса предпо-
ложение об экспоненциальном характере распределения времени его заня-
тия на обслуживание заявок. При выполнении данного предположения по-
строенная модель описывается марковским процессом. Это свойство зна-
чительно упрощает оценку показателей качества обслуживания заявок,
3.2. Модель с резервированием канального ресурса
221
которую можно выполнить на основе составления и последующего реше-
ния систем уравнений статистического равновесия.
Рассмотрим теперь зависимость показателей качества обслуживания
заявок от изменения в одинаковой пропорции интенсивностей поступления
и обслуживания заявок. В таблице 3.4 для модели звена с параметрами:
v = 100, п = 3, bi = 1, Ь? = 5, Ь3 — 10 приведены значения тг15 тг2 и тг3, рас-
считанные при jttfc = 1, Xk = к = 1,2,3, в зависимости от изменения р
от 0,5 ЭрлК до 1,4 ЭрлК. Действие обобщённой схемы резервирования ка-
нального ресурса задаётся вероятностью внутренней блокировки, которая
определяется из (3.32). Пересчитаем значения характеристик, сохранив
величину основных входных параметров и выполнив пропорциональное
уменьшение используемых значений ц2, А2 (в 10 раз) и ц3, А3 (в 100 раз).
Найденные подобным образом характеристики обозначим тг^, тг2 и тф
Таблица 3.4.
Показатели качества обслуживания заявок при различной загрузке
линии и пропорциональном изменении интенсивностей поступления и
обслуживания заявок
р (ЭрлК) 7Г1 712 7Г3 ^2 ^3
0,5 0,0143 0,0146 0,0167 0,0130 0,0131 0,0145
0,6 0,0350 0,0361 0,0431 0,0319 0,0323 0,0375
0,7 0,0663 0,0690 0,0853 0,0612 0,0623 0,0754
0,8 0,1048 0,1100 0,1394 0,0981 0,1004 0,1264
0,9 0,1460 0,1546 0,1999 0,1387 0,1428 0,1859
1,0 0,1870 0,1996 0,2617 0,1795 0,1861 0,2491
1,1 0,2257 0,2427 0,3216 0,2184 0,2278 0,3123
1,2 0,2615 0,2831 0,3778 0,2542 0,2668 0,3730
1,3 0,2941 0,3204 0,4295 0,2866 0,3028 0,4299
1,4 0,3236 0,3547 0,4768 0,3158 0,3357 0,4823
Следует отметить, что пропорциональное изменение интенсивностей
поступления и обслуживания заявок в рассмотренных пределах не приво-
дит к существенным изменениям показателей их обслуживания. Ситуация
несколько ухудшается для больших (более 1000) значений коэффициента
пропорциональности, особенно в области малых потерь. Тем не менее для
типичных сценариев распределения трафика отмеченные свойства позво-
222 Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
ляют вести оценку показателей обслуживания заявок с помощью рекур-
сивных соотношений аналогичных соотношениям (2.18), полученным для
базовой модели мультисервисной линии. Напомним, что (2.18) выводятся
на основе свойства мультипликативности, а для модели звена с обобщён-
ной схемой резервирования данное свойство не выполняется.
Условия практической реализации модели во многом определяются
временем, которое тратится на оценку показателей качества совместного
обслуживания заявок. В этой связи область применения точных методов,
развитых в данном разделе, ограничена исследованием погрешности ин-
женерных методик, которые несут основную нагрузку при решении задач
планирования пропускной способности сети. Инженерные методики стро-
ятся на основе приближённых алгоритмов анализа модели. Разработка со-
ответствующих подходов во многом опирается на качественные свойства
схем совместного обслуживания заявок на выделение канального ресурса.
Несколько таких алгоритмов будут построены в данной и последующей
главах книги.
3.2.5. Оценка показателей качества обслуживания
заявок
В основу алгоритмов оценки характеристик модели будут положены
полученные ранее результаты численного исследования зависимости по-
казателей качества обслуживания заявок от изменения входных парамет-
ров модели. Вначале выясним возможность представления оцениваемых
показателей ттд,тк, к = 1,2,... ,п через значения вероятностей макросо-
стояний р(г), i = 0,1,..., V, где
Р(0 = 52 PGl,«2,---,«n)-
ilbi +i2b2+--+inbn=j
Получаем
7Ffc 5 ' P(^li ^2, • > — (3.33)
(ii,i2,.-4*n)eS
= 52 52 p(«i,22,---,*n)^fc(«) = 52p(«)<Pfc(«)-
»=0 *=0
Расчётная формула для оценки гпк через значение 7Т> следует из (3.29).
3.2. Модель с резервированием канального ресурса 223
Устойчивость показателей качества обслуживания заявок к пропорцио-
нальным изменениям интенсивностей их поступления и обслуживания (см.
таблицу 3.4) даёт основание выразить все интенсивности в форме afc =
а в качестве рекурсивной схемы оценки F(i), i = 0,1,... ,v использовать
соотношение
1 п
р(0 = - Е akbkP(i - Ь/с)(1 - рк(г ~ bk))I(i -bk> 0), (3.34)
г fc=i
где /(•) — индикаторная функция, определяемая равенством (2.7), а само
выражение (3.34) является аналогом (2.18).
Погрешность данного способа расчёта модели оценим в следующем
разделе, а здесь приведём описание алгоритма вычисления ненормиро-
ванных вероятностей Р(г) через ненормированное значение вероятности
F(0). Основные шаги рекурсивного алгоритма соответствуют описанию
аналогичного алгоритма для базовой модели звена мультисервисной сети,
рассмотренного в разделе 2.1.4.
1. Положим значение F(0) = 1.
2. Выразим значения вероятностей Р(г), г = 1,2,... ,v через Р(0), ис-
пользуя соотношение
Р(г) = - Е akbkP(i - bfe)(l - pk(i - bk))I(i -bk>0) (3.35)
г k=i
и последовательно увеличивая г от 1 до v. Нетрудно проверить, что
при каждом фиксированном i отдельные слагаемые, входящие в пра-
вую часть суммы (3.35), либо уже представлены через Р(0), либо
равны 0.
3. Находим значение нормировочной константы
i=0
4. Определяем нормированные значения вероятностей р(г)
p(i\
= г = 0,1,..., и.
224
Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
5. Находим оценки показателей качества совместного обслуживания за-
явок для каждого из п анализируемых потоков. Обозначим оценки
теми же символами, что были использованы для исследуемой модели
с обобщённой схемой резервирования, только со звёздочкой вверху.
Получаем
г=0
Проанализируем погрешность оценки с использованием точных мето-
дов, развитых для исследуемой модели в предыдущем разделе.
3.2.6. Исследование погрешности расчётных методов
Рассмотрим модель мультисервисной линии для значений входных па-
раметров v = 100, п = 3, bi = 1, b2 = 5, Ь3 = 10, • 1, Хк =
к = 1,2,3. Вероятность внутренней блокировки pkii, к = 1,2,3, выберем
из соотношения
/г\7
Vk,i = ( - ) , г = 0,1,... ,v - Ьк,
\vj
(3.36)
¥k,i = 1, i = v - Ьк + 1,-г - Ьк + 2,... ,v.
Зависимость функции внутренней блокировки (3.36) от объёма занятого
канального ресурса i показана на рис. 3.12 для к = 3, у = 5.
В таблице 3.5 приведены точные значения доли потерянных заявок,
найденные в результате решения системы уравнений равновесия (3.27)
итерационным методом, приближённые значения данных показателей, по-
лученные с использованием рекурсии (3.34), и относительная погрешность
оценки доли потерянных заявок для первого и третьего потоков, т.е. ха-
рактеристики 7Г1, 7Г1, ^(7Г1) = -1~7Г1' X 100, 7Г3, 7Г3, 5(?Г3) = X 100 В
зависимости от изменения р. В (3.36) значение у = 5.
Из анализа численных данных следует, что точность приближённого
расчёта очень высока во всём диапазоне изменения входных параметров
модели. Относительная погрешность оценки не превосходит 1 %, а в боль-
шинстве случаев значительно меньше этого значения.
3.2. Модель с резервированием канального ресурса
225
Рис. 3.12. Функция внутренней блокировки, определённая
соотношением (3.36)
3.2.7. Оценка необходимого объёма канального ресурса
Предположим, что на звене мультисервисной сети реализована тра-
диционная схема резервирования канального ресурса. Рассмотрим в этой
ситуации решение задачи оценки необходимого объёма канального ресур-
са. Выберем порог резервирования 0 одинаковым для всех потоков заявок.
Пусть b = maxi<fc<„ bk, а величина 0 определяется соотношением
6 = v - Ь. (3.37)
В этих условиях для всех к = 1,2,... ,п функция внутренней блоки-
ровки находится из соотношений ^(г) = 0, если i — 0,1,..., 0 и уд.(г) = 1,
если i = 0 + 1,0 + 2,... ,v. При этом значение доли потерянных заявок тгк
не зависит от к и определяется равенством
= Е (3.38)
г=0+1
Рекуррентная формула (3.34) для оценки ненормированных значений Р(г)
приобретает вид
Р(г) = “ Е акЪкР(г - bfe)7(0 < i - Ьк < 0). (3.39)
г к=1
226
Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
Таблица 3.5.
Погрешность приближённого вычисления доли отказов для модели звена
мультисервисной сети с обобщённой схемой резервирования
р (ЭрлК) 7Г1 ^1 5(7Г1) ТГз ^3 £(7г3)
0,3 0,008569 0,008580 0,13 0,008575 0,008587 0,14
0,4 0,024072 0,024107 0,14 0,024154 0,024200 0,19
0,5 0,050736 0,050793 0,11 0,051196 0,051297 0,20
0,6 0,087390 0,087440 0,06 0,088947 0,089101 0,17
0,7 0,130449 0,130462 0,01 0,134248 0,134408 0,12
0,8 0,175999 0,175972 0,02 0,183407 0,183485 0,04
0,9 0,221063 0,221027 0,02 0,233422 0,233303 0,05
1,0 0,263848 0,263855 0,00 0,282294 0,281855 0,16
1,1 0,303487 0,303597 0,04 0,328868 0,328000 0,26
1,2 0,339704 0,339978 0,08 0,372580 0,371191 0,37
1,3 0,372560 0,373048 0,13 0,413229 0,411256 0,48
1,4 0,402275 0,403016 0,18 0,450827 0,448231 0,58
1,5 0,429137 0,430161 0,24 0,485503 0,482268 0,67
1,6 0,453449 0,454775 0,29 0,517442 0,513571 0,75
1,7 0,475499 0,477138 0,34 0,546853 0,542362 0,82
Приведённые определения показателей качества обслуживания заявок
и форма рекурсий, используемых для их оценок, дают возможность по-
строить оптимизированную схему вычисления необходимого объёма ка-
нального ресурса, минимально достаточного для обслуживания поступа-
ющих потоков заявок с заданным качеством, определяемым (3.38). При ре-
ализации данного алгоритма оценка объёма ресурса будет вестись рекур-
сией по числу используемых канальных единиц. Соответствующий трех-
шаговый оптимизированный алгоритм является простым обобщением ана-
логичного алгоритма, полученного для базовой модели в разделе 2.1.6. Он
имеет следующий вид (напомним, что нижний индекс в записи рг(г) озна-
чает общее число используемых канальных единиц).
1. Положим ро(0) = 1, a j в соответствии с введённым определением
примем равным Ь.
3.2. Модель с резервированием канального ресурса
227
2. Для каждого фиксированного значения величины канального ресур-
са г — 1,2,..., находим min(fe, г 4-1) нормированных значений вероят-
ностей рг(г), i = г, г—1, ... , max(r — b+1,0), используя соотношения
(3.34)
7 Ё ак bfcpr_i(r-bfc)/(O < г - bk < О')
Рг(Г) = ____;
1 4- 7 Ё ак bkpr-i(,r-bk)I(O <r-bk<o)
k=i
(3.40)
рг(г) =
рг 1(г)
1 + J Е ак bkPr-i(r - bfc)/(0 < г - Ьк < в)
k=i
i — г—1, г—2, ... , max(r — b + 1,0).
3. Рассчитываем функционал, определяющий качество обслуживания
заявок (3.38). Проверяем достаточность объёма канального ресур-
са в соответствии с сформулированным критерием. По результатам
проверки либо заканчиваем процесс определения необходимого объ-
ёма канального ресурса v, либо продолжаем.
На каждом шаге алгоритма независимо от текущего значения объёма
канального ресурса г вычисляется не более b значений нормированных
стационарных вероятностей глобальных состояний (г). Схема, показываю-
щая порядок вычислений при реализации сформулированного алгоритма,
а также данные, иллюстрирующие эффективность подхода, аналогичны
тем, что были приведены для базовой модели (см. раздел 2.1), и здесь не
рассматриваются.
3.2.8. Анализ схем резервирования
Рассмотрим влияние различных схем резервирования канального ре-
сурса на значения показателей качества обслуживания заявок. Проведём
соответствующее исследование на примере модели мультисервисной ли-
нии со значениями входных параметров: г>=100, п = 2, bi — 1, b2 = 20,
Рк = 1, Ад, = к = 1,2. Величина р задаёт коэффициент загрузки ка-
нальной единицы линии. В таблице 3.6 показана зависимость Tiy, л2, mi,
m2, m = mi 4- m2 от изменения р. В следующих трёх столбцах приведены
228
Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
значения соответствующих показателей, найденные при реализации тра-
диционной схемы резервирования канального ресурса. Величина порога
резервирования 0 для первого и второго потоков вычислялась из соотно-
шения 6 = v — Ь=80.
Таблица 3.6.
Показатели обслуживания заявок при использовании резервирования
для разных значений загрузки линии
р (ЭрлК) Без резервирования С резервированием
7Г1 ТГ2 mi m2 т 7Г1 = 7Г2 mi = m2 т
0,5 0,0017 0,0844 24,96 22,89 47,85 0,0603 23,49 46,99
0,6 0,0026 0,1361 29,92 25,92 55,85 0,1026 26,92 53,85
0,7 0,0081 0,1998 34,72 28,01 62,72 0,1494 29,77 59,54
0,8 0,0149 0,2864 39,40 28,54 67,95 0,1994 32,02 64,05
0,9 0,0165 0,3796 44,26 27,92 72,18 0,2496 33,77 67,53
1,0 0,0179 0,4582 49,10 27,09 76,19 0,2975 35,12 70,25
1,1 0,0266 0,5246 53,54 26,15 79,68 0,3419 36,19 72,39
1,2 0,0382 0,5917 57,71 24,50 82,21 0,3825 37,05 74,10
1,3 0,0444 0,6623 62,11 21,95 84,06 0,4194 37,74 75,48
1,4 0,0465 0,7273 66,75 19,09 85,84 0,4528 38,31 76,61
1,5 0,0527 0,7786 71,05 16,61 87,65 0,4831 38,77 77,54
Исследование данных, представленных в таблице (см. также раз-
дел 2.1.9), позволяет сделать следующие выводы. В модели мультисер-
висного звена без резервирования:
• Заявки, требующие больший канальный ресурс для своего обслужи-
вания, несут и существенно большие потери. В рассматриваемом слу-
чае разница в значениях потерь достигает несколько десятков раз и
убывает с ростом потерь.
• Заявки, требующие меньший канальный ресурс для своего обслужи-
вания, вытесняют из обслуживания заявки, требующие больший ка-
нальный ресурс. Объём захваченного подобным образом канального
ресурса значительно увеличивается с ростом загрузки линии. Таким
образом, в анализируемой системе связи наблюдается неконтролиру-
емое перераспределение канального ресурса, что отрицательно ска-
зывается на обеспечении гарантированных показателей QoS.
3.2. Модель с резервированием канального ресурса
229
При использовании традиционной схемы резервирования показатели
качества обслуживания заявок изменились.
• Доля потерянных заявок и средний объём занятого канального ре-
сурса выравнивается для всех потоков. При этом потери для за-
явок, требующих меньший канальный ресурс, увеличиваются, соот-
ветственно, объём занимаемого канального ресурса уменьшается.
• Выравнивание значений показателей качества обслуживания приве-
ло к уменьшению общего объёма занятого канального ресурса при-
мерно на 10 %.
Для того, чтобы оператор не потерпел убытки от уменьшения коэффи-
циента занятости канального ресурса, необходимо увеличить тариф для
абонентов, в пользу которых осуществляется резервирование. Можно по-
ступить и другим образом — реализовать так называемое «мягкое резер-
вирование». В этой ситуации приём заявки к обслуживанию при наличии
достаточного объёма свободного канального ресурса происходит с неко-
торой вероятностью. Варьируя значение вероятности, можно уменьшить
или увеличить эффект резервирования. Концепция внутренней блокиров-
ки, используемая при построении модели мультисервисной линии с обоб-
щённой схемой резервирования, позволяет реализовать сформулирован-
ную идею.
Проведём численное исследование предложенной схемы распределения
канального ресурса. Осуществим выбор функции внутренней блокировки
из соотношений
4>k,i = 0, г = 0,1,..., г» — Ь, (3.41)
/г\7
Фкл = ( - ) , г = г>-Ь + 1,и-Ь + 2, ...,v-bk,
\vj
<Рк,г = 1, г = V - Ьк + 1,г> - Ьк + 2,... ,v.
В приведённых соотношениях к — 1,2,... ,п, а величина у меняется от 0
до оо и определяет конкретный вид функции внутренней блокировки.
Зависимость функции внутренней блокировки (3.41) для к = 2 от объ-
ёма занятого канального ресурса i и величины у показана на рис. 3.13.
Значения остальных входных параметров: v = 100, п — 3, fcy = 1, bi = 10,
Ь3 = 20. Выбор значений у позволяет реализовать различные схемы резер-
вирования канального ресурса. При у = 0 получаем традиционную схему
резервирования. При у —► оо распределение канального ресурса начинает
230
Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
Рис. 3.13. Функция внутренней блокировки (3.41) для различных
значений параметра 7
соответствовать базовой модели мультисервисного звена, рассмотренной в
разделе 2.1.
Отсутствие резервирования канального ресурса и его реализация в тра-
диционной форме имеют отрицательное влияние на использование каналь-
ного ресурса. В первом случае наблюдается неконтролируемое перерас-
пределение канального ресурса в пользу одного из потоков, а во втором
— уменьшается коэффициент загрузки одной канальной единицы (см. со-
держание таблицы 3.6). Результаты расчётов модели звена с обобщённой
схемой резервирования канального ресурса показывают, что, подбирая ве-
личину вероятностей внутренних блокировок (в рассматриваемом случае
значение 7), можно, с одной стороны, сгладить разницу в доступе к пере-
даточному ресурсу, а с другой, — сделать это за счёт приемлемого умень-
шения коэффициента использования единицы канального ресурса. Под-
бор величины 7 осуществляется поиском минимума специальным образом
построенного функционала. Данные рассуждения носят качественный ха-
рактер и нуждаются в более детальном экономическом обосновании.
3.3. Модель с повторением заблокированных заявок
231
3.3. Модель с повторением заблокированных
заявок
3.3.1. Повторные заявки и их моделирование
Пользователь услуг сетей связи (в современных инфокоммуникацион-
ных системах это может быть не только человек, но и устройство, под-
ключённое к сети) с некоторой вероятностью повторяет заблокированную
попытку соединения. Потоки повторных вызовов приводят к лавинообраз-
ному росту трафика в определённых направлениях, резко ухудшая каче-
ство работы сети. В абонентских терминалах обычно предусматривается
возможность повторения вызова нажатием одной кнопки. Это значитель-
но упрощает процедуру повторения заявки и усиливает отрицательные
эффекты, сопутствующие данному явлению. В рассматриваемых услови-
ях традиционные расчётные методики уже не пригодны для решения за-
дач планирования сетей. Очевидно, что при наличии существенной доли
повторных заявок в поступающем потоке, оценка канального ресурса на
основе модели с потерями, где каждая заявка ассоциирована с новым вы-
зовом, приведёт к сильному завышению требуемого объёма канального
ресурса. Примеры соответствующих вычислений будут приведены далее.
Для устранения отмеченных недостатков предлагается разделить по-
ступающие заявки на две категории: первичные и повторные. По аналогии
с базовой моделью (см. раздел 2.1) будем предполагать, что поступление
первичных заявок подчиняется закону Пуассона с интенсивностью, зави-
сящей от номера потока. Поток повторных заявок формируется из потока
первичных заявок в соответствии с реакцией абонента на недоступность
заказываемого сервиса.
Модель поведения абонентов, создающих /с-ый поток заявок, зададим
двумя параметрами. Первый из них — вероятность повторения заявки Нк.
Будем предполагать, что значение Нк зависит только от номера потока к
(тип сервиса) и не зависит от числа ранее полученных отказов. Это упро-
щает описание модели. Если эту зависимость необходимо учесть, то она
указывается в символе Hk<g индексом £, обозначающим номер неудачной
попытки. В этом случае числовая последовательность Нк^, £ = 1,2,..., на-
зывается функцией настойчивости абонентов, формирующих /с-ый поток
заявок, к = 1,2,... ,п. Значение Нк^ показывает вероятность повторения
заявки после получения £ отказов подряд, включая отказ в первичной по-
232
Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
пытке. Из данных статистических наблюдений (см., например, обзор в [8]),
следует что величины Нк( монотонно увеличиваются с ростом Аппрок-
симация ступенчатой функцией
Hk,g — '
Нк<1, €=1,
Hfc,2, £>2
(3.42)
позволяет в простейшей форме учесть зависимость Нк,е от номера неудач-
ной попытки. При этом для соответствующей модели сохраняется боль-
шинство результатов, полученных в ситуации, когда эта зависимость не
учитывается.
Также предположим, что Нк < 1, к = 1,2, ...,п. Сформулированное
условие обеспечивает существование стационарного режима для любых
значений интенсивности поступления первичных заявок4. Численное зна-
чение вероятности повторения определяется из статистических данных о
поведении абонента в случае отказа в обслуживании и зависит, в основном,
от характера сервиса и интерпретации абонентом причины отказа в об-
служивании. Например, вероятность повторения заявки при заказе спра-
вочной информации больше, нежели при установлении соединения для
передачи речевого сообщения. Вероятность повторения заявки из-за за-
нятости вызываемого абонента выше, чем вероятность повторения заявки
из-за неответа вызываемого абонента и т.д. Принято выделять интервалы
малой (0 < Нк < 0,5), средней (0,5 < Нк < 0,7) и большой (0,7 < Нк < 1)
настойчивости абонента в повторении заблокированной заявки.
Второй параметр — длительность интервала времени до поступления
повторной заявки. Она складывается из нескольких временных отрезков.
Часть из них определяется техническими условиями работы сети, напри-
мер, временем набора номера, временем установления соединения и т.д., а
оставшиеся зависят от индивидуальных характеристик абонента. Сюда от-
носится, например, время ожидания до посылки повторной заявки. Будем
предполагать, что рассматриваемый интервал времени имеет экспоненци-
альное распределение с фиксированным средним значением, зависящим от
номера потока. Выполнение сформулированного условия даёт основание
4Если абонент абсолютно настойчив в установлении соединения, т.е. повторяет вызов
с вероятностью, равной единице, то для существования стационарного режима необхо-
димо ограничить поток первичных заявок так же, как это делается в моделях с ожида-
нием и бесконечным буфером. Величина соответствующего ограничения определяется
максимальной производительностью анализируемого канального ресурса.
3.3. Модель с повторением заблокированных заявок
233
использовать марковские процессы для описания динамики изменения со-
стояний модели. Это значительно упрощает получение численных данных.
Отметим, что результаты имитационного моделирования показали слабую
зависимость показателей качества обслуживания заявок от вида функции
распределения интервала времени между последовательными повторны-
ми попытками.
В построенной модели пользователь после получения отказа в обслу-
живании повторяет заявку на выделение канального ресурса. Причины
отказа могут быть разные. Основные — нехватка канального ресурса на
одном из сегментов маршрута следования трафика или занятость вызы-
ваемого абонента. Причём в последнем случае вызываемая сторона может
быть не только абонентом, но также и сервером, базой данных или другим
подобным устройством, являющимся активным элементом мультисервис-
ной сети. Необходимо отметить, что в построенной модели входного потока
пуассоновским является только поток первичных заявок. Суммарный по-
ток, включающий в себя и повторные заявки, не является пуассоновским,
поскольку в объединённом потоке интервалы времени между последова-
тельными поступлениями заявок уже являются зависимыми случайными
величинами. Данный способ реконструкции входного потока естествен-
ным образом отражает зависимость между отдельными его частями5. На
рис. 3.14 показан процесс формирования входного потока в моделях с учё-
том возможности повторения заблокированных заявок. Незакрашенные
кружки обозначают моменты поступления первичных заявок, закрашен-
ные — повторных.
Перейдем к формальному описанию введённой модели.
3.3.2. Математическое описание модели
Пусть v — скорость линии, выраженная в канальных единицах, а п
— число потоков заявок. Будем предполагать, что заявки к-го потока по-
ступают через случайные интервалы времени, имеющие экспоненциальное
распределение с параметром А^. Для предоставления запрашиваемого сер-
виса требуется bk единиц ресурса линии, к = 1,2, ...,п. Абоненты, фор-
мирующие Ar-ый поток заявок, могут получить отказ по двум причинам:
5 В теории телетрафика используются и другие подходы для учёта этого явления.
Речь идёт о самоподобных процессах. Однако их практическое применение сдержива-
ется отсутствием удобных для практики расчётных алгоритмов.
234
Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
Моменты
поступления
повторных заявок
Моменты
поступления заявок
суммарного потока
Моменты
поступления
первичных заявок
Соединение Отказ и Отказ и
установлено повторение повторение
заявки заявки
повторение
заявки
установлен
Отказ и Отказ и
повторение повторение
заявки заявки
Отказ и
повторение
заявки
Соединение
установлено
Отказ и Отказ и
повторение повторение
заявки заявки
Отказ и
повторение
заявки
Соединение
установлено
Отказ и
завершение
попыток
соединения
Рис. 3.14. Схема реконструкции входного потока заявок,
учитывающая реакцию абонента на отказ в
обслуживании
• из-за отсутствия необходимого объёма свободного канального ресур-
са на анализируемой линии связи (соответствующее событие опреде-
ляется степенью загрузки линии);
• из-за недоступности вызываемого устройства/абонента (соответству-
ющее событие не зависит от загрузки линии и определяется вероят-
ностью Рк).
В каждой из этих ситуаций абонент с вероятностью Нк повторяет заявку
на выделение ресурса через случайное время, имеющее экспоненциальное
распределение с параметром 14, а с дополнительной вероятностью 1 — Нк
отказывается от попыток установить соединение.
Если в момент поступления заявки к-го потока на линии имеется не
менее Ьк свободных канальных единиц, то с вероятностью 1 — рк ровно
Ьк из них занимаются на время предоставления запрашиваемого сервиса.
3.3. Модель с повторением заблокированных заявок
235
Оно имеет экспоненциальное распределение с параметром, равным По-
вторная заявка на выделение канального ресурса обслуживается по тем же
правилам, что и первичная. Для /с-го потока суммарная интенсивность по-
вторных заявок определяется числом Д абонентов, повторяющих заявку.
Исследуемая схема занятия канального ресурса и образования источников
повторных вызовов показаны на рис. 3.15.
Рис. 3.15. Схема формирования источников повторных вызовов в
исследуемой модели мультисервисной линии
Построенная модель даёт возможность реконструировать процессы ла-
винообразного роста входных потоков заявок в условиях перегрузки и
наличия так называемых «узких мест» сети. Схема функционирования
и отличительные свойства модели мультисервисной линии с повторными
заявками приведены на рис. 3.16.
236 Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
Характеристика
поступления
заявок
Передаточный Отличительные
ресурс линии в свойства
канальных
единицах
+ ji Vi,b1t 1//Л-!
После отказа из-за нехватки
ресурса или недоступности
вызываемого устройства
9 №11
заявка к-го потока
повторяется с вероятностью
Нк через экспоненциально
распределенное время со
средним 1/ Ук
Тип траФика
• Сервисы реального
времени
Тип модели
• Реконструкция потоков
повторных вызовов
• Учёт зависимости между
моментами поступления
заявок
• Раздельный анализ
процессов поступления и
обслуживания первичных
и повторных заявок
Область использования
• Расчёт пропускной
способности
мультисервисных линий
связи в условиях
перегрузки
Рис. 3.16. Структура и свойства модели мультисервисной линии с
возможностью повторения заблокированной заявки
Пусть jk — число абонентов, формирующих А-ый поток и находящихся
в состоянии повторения заявки на выделение канального ресурса, & ik —
число заявок, находящихся на обслуживании. Состояние модели задаётся
вектором (Д,...,jn,ii, ,in), где значения Д, к = 1, 2,... ,п, меняются
в интервале [0,оо), а значения zi,...,z„ в совокупности удовлетворяют
неравенству + -.. + inbn < г. Пространство состояний S исследуемой
модели состоит из векторов (Д,..., jn,ii,... ,in) с компонентами, удовле-
творяющими перечисленным выше условиям.
Динамика изменения состояний построенной модели описывается слу-
чайным марковским процессом r(tj = (Д (i), •, Д(<) , 4(<))5 опре-
делённым на бесконечном пространстве состояний S. Обозначим через Uk
подмножество состояний 5, в которых заявка к-го потока получает от-
каз из-за нехватки канального ресурса линии. В Uk включены состояния
3.3. Модель с повторением заблокированных заявок
237
(Ji,..., jn, ii,..., in) G S, компоненты которых удовлетворяют условию
. -Ь inbn > v Ь*.
Рассмотрим использование характеристик построенного случайного
процесса для оценки показателей совместного обслуживания заявок при
наличии источников повторных вызовов.
3.3.3. Показатели качества обслуживания заявок
Обозначим через р(Д,..., jn, ii, •, in) вероятности стационарных со-
стояний процесса r(t). Для существования стационарного режима потре-
буем выполнения неравенств
max Hl < 1, max Рк < 1, min щ > 0.
l<fc<n 1</с<п 1<&<п
(3.43)
Вероятности р(Д,..., jn, г1?..., гп) интерпретируются как доля времени
пребывания модели в состоянии с фиксированным числом абонентов каж-
дого типа, повторяющих заявку на выделение канального ресурса, и фик-
сированным числом заявок каждого типа, находящихся на обслужива-
нии. Используя интерпретацию р(Д,..., jn, ii,..., г„), введём основные по-
казатели качества совместного обслуживания заявок к-го потока, к =
1,2,..., п. Среди них:
ттр,к — доля первичных заявок к-го потока, получивших отказ из-за
недостаточности канального ресурса линии,
^р,к = < p(Jl- • • 1 • • 5 in)i
тггк ” доля повторных заявок к-го потока, получивших отказ из-за
недостаточности канального ресурса линии,
22 p(jl> • • • 1 jnt i'll • > in)jk
(ji,—Jn.il,-,in)eS
Jk ~ среднее число абонентов, формирующих /с-ый поток заявок и на-
ходящихся в состоянии их повторения,
Jk— • • ! jntill • 5 in)jkl
238
Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
Мк — среднее число повторных заявок в /с-ом потоке на одну первич-
ную
М„ =
Ль,к ~ общая интенсивность первичных и повторных заявок к-го пото-
ка, заблокированных по разным причинам,
Л-Ь,к ^к{^р,к (1 ^р,к)Рк) "4“ Jk^k(^r,k “Ь (1 ^r,fc)Pfc)i
Afc - общая интенсивность первичных и повторных заявок к-го потока
А/с А/j 4-
тк — среднее число канальных единиц линии, занятых на обслужива-
ние заявок к-го потока,
' P(jl, • • • » jni ^1 j • • , ^nj^k^ki
Ук — среднее число заявок к-го потока, одновременно находящихся на
обслуживании,
Ук ' P(jl> • • • , jni hf-i ^n)^ki
^a,k ~ доля заявок к-го потока, потерянных по разным причинам,
Часть введённых показателей можно без труда оценить техническими
средствами, имеющимися на современных сетях. К ним относятся: общая
доля потерянных заявок, среднее число заявок, одновременно находящих-
ся на обслуживании, и т.д. Измерение других показателей встречает опре-
делённые трудности. Среди них: среднее число абонентов, повторяющих
заявку, среднее число повторных заявок на одну первичную и т.д. Значе-
ния этих показателей могут быть найдены косвенными методами. Необхо-
димые соотношения будут получены в разделе 3.3.5.
3.3. Модель с повторением заблокированных заявок
239
3.3.4. Система уравнений равновесия
Для расчёта введённых показателей качества совместного обслужи-
вания заявок необходимо составить и решить систему уравнений равно-
весия. Ввиду сложного характера переходов анализируемого случайного
процесса r(t) получить соответствующее решение можно только числен-
ными методами, для чего необходимо ограничить количество неизвестных
в системе уравнений равновесия. С этой целью изменим схему функциони-
рования исследуемой модели. Будем предполагать, что число абонентов,
формирующих /с-ый поток заявок и находящихся в состоянии повторения
вызова, не может превосходить значение £/.. Если по условиям функциони-
рования модели может образоваться новый источник повторных вызовов,
а их число уже равно £&, то вероятность реализации рассматриваемого
события примем равной нулю. В силу существования стационарного ре-
жима можно подобрать значения £&, к = 1, 2,..., п, так, чтобы рассчитать
значения показателей исходной системы с любой заданной наперёд точ-
ностью. Оставим для модифицированной модели, определённой на конеч-
ном пространстве состояний, те же обозначения для основных параметров
и показателей обслуживания заявок, что были использованы в основной
модели.
Переходы r(t) из состояния (Д,..., jn,ii,..., in) приводят либо к уве-
личению, либо к уменьшению на единицу отдельных компонентов вектора
(ji, • , jn, й, • • •, in)- Чтобы в записи системы уравнений равновесия упро-
стить вид состояний, из которых совершается переход, оставим в их обо-
значении только те компоненты, которые уменьшаются или увеличивают-
ся на единицу. Пусть символ i = iib^ + .. .+inbn обозначает общее число ка-
нальных единиц ресурса линии, занятых в состоянии (Ji,..., jn, i\,..., in).
Тогда для оценки вероятностей P(Ji,... ... ,in) получаем следую-
щую конечную систему линейных уравнений:
-Р(.71> • 1 jni iii • • • > in) x
(3.44)
x ^«!ЛА:(1-р/с(1-ЯА.))/(г + ^ <v,jk
k=l
+Afc(l - pk)I(i + bk < v,jk = f-k) + >*Нк1(г + bk > v,jk < 4)+
+jfc^fc(l - PkHk)I(i + bk < v) + jk^k^ - Hk)I(i + bk> v)+
n
PikP-k " '* P(ik l)Afc(l Pk)I(ik 0)T
240
Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
- l)XkHkI(jk > 0)(pfc + I(i + bk > 7?)(1 -pfc)) +
+-P(jfc +1,4 — 1)(4 + l)^fc(l ~ Pk)/(4 > 0,4 < 4)+
+P(4 +1)(4 +l>fc(l - Hk)I(jk < £k)(pk + I(j + bk> v)(l -pfc)}+
+P(4 +1)(4 + 1)/V(« + bk < г) к
(Ji, • • • i jni 4, • • •, 4) c S.
Здесь /(•) — индикаторная функция, определённая соотношением (2.7).
Для значений P(ji,... • • • ,4) выполнено условие нормировки
52 P(ji,---,4,4,---,4) = 1.
(ji,—,in)eS
В общем случае решение системы уравнений равновесия (3.44) может
быть получено итерационным методом Гаусса-Зейделя (особенности ре-
ализации этого алгоритма обсуждались в разделе 3.2.4). Использование
данного подхода позволяет решить систему уравнений (3.44) при числе
неизвестных порядка несколько миллионов. Следовательно, показатели
качества совместного обслуживания заявок могут быть найдены для моде-
лей, имеющих от двух до пяти входных потоков заявок при числе каналь-
ных единиц в несколько сотен. Возможность точного расчёта построенной
модели будет далее использована при оценке погрешности приближённых
методов, а также при исследовании влияния повторных вызовов на про-
пускную способность линии.
Система уравнений равновесия (3.44) позволяет установить разного ро-
да соотношения между введёнными показателями качества обслуживания
заявок, которые упрощают их измерение и проведение численного анали-
за. Соответствующие результаты будут получены в следующем разделе.
3.3.5. Законы сохранения и их использование
Рассмотрим систему уравнений (3.44) и положим значения £к, к =
1,2,..., п, равными бесконечности. Умножим каждое уравнение системы
(3.44), содержащее Р(4, • •, jm 4, - • •, 4) в левой части, последовательно
на ji,... ,jn, 4, • • • ,4 и сложим полученные соотношения в интервалах
3.3. Модель с повторением заблокированных заявок
241
изменения целочисленных компонент Д,..., jn, ., in, определённых ис-
пользуемым пространством состояний S. Получаем 2zz соотношений, кото-
рые после приведения подобных членов и использования введённых обо-
значений для показателей качества обслуживания заявок приобретают
следующий вид:
Jk^k ^к(^р,к 4“ (1 ^р,к)Рк^Нк~}~ (3.45)
+Jkk'k(^r,k + (1 - ^r,k)Pk)Hk,
Хк 4" Jk^k ^k(jtp,k 4“ (1 ^p,k)Pkj 4“
4-Л^(тггд 4- (1 - 7Tr>fc)pfc) + ykp,k, к = 1,2,..., n.
Полученные соотношения имеют характер законов сохранения интен-
сивностей потоков заявок, поступивших и обслуженных мультисервисной
линией. Первое соотношение показывает, что интенсивность потока за-
явок, повторно требующих выделения канального ресурса, равна интен-
сивности потока отказов, приводящих к появлению повторных заявок.
Второе соотношение показывает, что интенсивность потока первичных и
повторных требований на выделение канального ресурса равна сумме ин-
тенсивностей потока заблокированных первичных и повторных заявок и
интенсивности обслуженных заявок. Для упрощения последующих фор-
мул примем далее, что значения интенсивностей Хк, vk выражены в числе
поступлений соответствующих заявок к-го потока за время обслуживания
одной заявки, которое будем считать равным единице. Представим (3.45)
в обозначениях для интегральных интенсивностей поступления заявок
Afc — Хк = Л.ь,кНк, ЛЛ = ЛЬд + ук, к = 1,2,... ,п. (3.46)
Полученные соотношения можно использовать для косвенной оценки
тех показателей работы системы, которые не удаётся измерять с помощью
стандартной аппаратуры. Рассмотрим несколько примеров. Для проведе-
ния вычислений на основе введённой модели необходимо знать значение
интенсивности поступления первичных заявок Хк. Оценка данного пара-
метра средствами обычной измерительной техники вызывает затрудне-
ния из-за необходимости разделения поступивших заявок на первичные и
повторные. Получим косвенное решение поставленной задачи. Допустим,
для к-го потока известны значения общей доли потерянных заявок — тга,к,
среднего числа заявок, одновременно находящихся на обслуживании, —
242
Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
ук и вероятности повторения заявки — Нк- Отметим, что оценку величин
т^а,к и yk можно провести стандартными средствами без разделения посту-
пающих заявок на первичные и повторные. Тогда, используя полученные
законы сохранения в виде (3.46) и определение общих потерь, нетрудно
получить выражение для косвенной оценки значения Хк
\ 1
Хк — У к
(3.47)
, к= 1,2,...,/г.
1 ^а,к
Указанный способ можно применять для вычисления значений других
показателей обслуживания заявок в условиях учёта реакции абонента на
отказ в обслуживании в форме возможного повторения заблокированной
заявки. Приведём соответствующие соотношения
* Ук д Ук^а,к
Лк — 1, ЛЬук = -----------------
^а,к 1 ^а,к
(3.48)
Ук^а,к^к
(1 ^а,к)^к
_ _ к* п А*-П-1с
Mk = - a’k-t_ , к=1,2,...,п.
-L ^а,к*1к
В последующих разделах законы сохранения (3.46) будут использоваться
для построения приближённых алгоритмов расчёта введённой модели.
3.3.6. Анализ эффекта повторных вызовов
Проведём численное исследование эффекта, который оказывают по-
вторные заявки на значения показателей качества их обслуживания и ре-
ализацию методик оценки канального ресурса. Интуитивно понятно, что
нарастающие потоки повторных заявок, инициированные настойчивостью
абонента к установлению соединения, приводят к лавинообразному росту
трафика на определённых маршрутах сети. В этих обстоятельствах рост
интенсивности поступления заявок не вызывает существенного увеличе-
ния оплачиваемого трафика, поскольку большая часть заявок — повтор-
ные. Не принося дохода и являясь по сути паразитным трафиком, порож-
дённым плохой работой сети, повторные вызовы наряду с первичными
обрабатываются системой сигнализации, быстро вводя её в состояние пе-
регрузки со всеми вытекающими отсюда отрицательными последствиями.
Приведём численный пример, иллюстрирующий сформулированное
положение. На рис. 3.17 для модели мультисервисной линии с парамет-
рами: v = 50, я = 2, щ = 10, z/2 = 10, bi = 1, Ьг = 5, Ад, = к = 1,2,
Pi = 0,3, р2 = 0,2 показана зависимость значения М2 (среднего числа
3.3. Модель с повторением заблокированных заявок
243
повторных заявок на одну первичную для второго потока) от настойчи-
вости абонента в установлении соединения Н) — Н2 = Н и интенсивности
предложенного трафика в эрланго-каналах на одну канальную единицу
р = 1; 1,25; 1,5. Приведённые данные показывают, что в анализируемой
Рис. 3.17. Зависимость среднего числа повторных заявок на одну
первичную от увеличения настойчивости абонента в
установлении соединения и загрузки одной канальной
единицы
области изменения входных параметров даже для умеренных значений
загрузки одной канальной единицы повторные заявки составляют больше
половины от общего количества поступивших с дальнейшим увеличением
этой пропорции с ростом трафика и настойчивости абонента в установле-
нии соединения.
Понятно, что в данных условиях оценка канального ресурса на ба-
зе традиционных методик, основанных на моделях с потерями, где все
поступившие заявки рассматриваются как первичные, может привести к
значительной погрешности. Покажем это на примере исследуемой модели
мультисервисной линии. Оценим качество обслуживания заявок макси-
мальной величиной доли потерянных заявок тгтах = maxi<t<n тгад. Ясно,
что максимальными будут потери для потока с наибольшими требовани-
244
Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
ями к канальному ресурсу для обслуживания одной заявки. Пусть % —
заданная норма потерь, а к = 1,2,... ,п, — измеренные значения ин-
тенсивностей поступающих потоков заявок.
Традиционное решение поставленной задачи (изложение соответству-
ющей проблематики приведено в разделе 2.1.5) заключается в последова-
тельном увеличении объёма канального ресурса и оценке тгтах для каждо-
го значения v при фиксированных Л^, к = 1, 2,..., п. Минимальное зна-
чение канального ресурса линии, при котором выполняется неравенство
тгтах < 7Г, и будет искомым решением. При реализации традиционного ме-
тода значения интенсивностей А*,, к = 1,2,..., п, не зависят от объёма ка-
нального ресурса v, для которого происходит расчёт тгтах. Такая постанов-
ка задачи значительно завышает итоговый ответ. Этот факт имеет следу-
ющее объяснение. В реальности величина Л& состоит из двух компонентов:
один соответствует потоку первичных заявок (интенсивность этого пото-
ка действительно не зависит от имеющегося объёма канального ресурса и
определяется возникающим трафиком сети), другой — потоку повторных
заявок (значение данной интенсивности определяется достаточностью ис-
пользуемого канального ресурса и с его увеличением будет уменьшаться).
Учёт подобного расслоения поступающего потока заявок возможен только
в рамках моделей с возможностью повторения заблокированной заявки.
Рассмотрим численный пример, иллюстрирующий решение задачи оценки
необходимого объёма канального ресурса традиционным методом и алго-
ритмом, основанным на учёте повторных заявок.
На рис. 3.18 для модели мультисервисной линии с параметрами: п = 2,
bi = 1, b2 = 5, Hi = 0,9, Н<2 = 0,9, щ = 10, z/2 — Ю, Д1 = 1, д2 = 1»
Pi = 0, р2 = 0 показаны результаты решения задачи оценки необходи-
мого объёма канального ресурса. Нормированное значение максимальных
потерь 7гтах = 0,05. Предполагается, что из измерений известны значе-
ния общей интенсивности всех входных потоков заявок, выраженные в
эрланго-каналах. Предположим, что выполняются равенства Ai=17 ЭрлК,
Л2=11 ЭрлК. Приведённые кривые демонстрируют изменение значения
максимальных потерь (в рассматриваемых условиях они достигаются для
2-го потока) с ростом числа единиц канального ресурса линии. На рисунке
показаны результаты использования традиционного способа решения, не
учитывающего влияние повторных заявок (в этой ситуации минимально
необходимое значение канального ресурса г=116 к.е.), и соответствующее
решение, полученное на базе модели с учётом эффекта повторных вызовов
(минимально необходимое значение канального ресурса 'с=74 к.е.). Разни-
ца составляет 42 единицы. Ошибка весьма существенная. Понятно, что
3.3. Модель с повторением заблокированных заявок
245
погрешность в оценке необходимого объёма канального ресурса будет тем
больше, чем больше значение вероятности повторения.
Канальный ресурс, V (к.е.)
Рис. 3.18. Результаты оценки объёма канального ресурса
традиционным методом и с использованием модели с
учётом возможности повторения заблокированной заявки
Негативное влияние повторных вызовов на процесс выделения каналь-
ного ресурса может носить и скрытый характер. Рассмотрим соответству-
ющий пример. На рис. 3.19 для модели мультисервисной линии с пара-
метрами: v = 50, п = 2, щ = 10, Ь] = 5, 62 — 5, Л| = 12,5, Л2 = 12,5,
= 1, //2 = 1, pi = 0,2, р2 = 0,2 показана зависимость средней величины
канального ресурса, занятого обслуживанием заявок первого rrij и второго
т2 потоков, от увеличения настойчивости в установлении соединения для
абонентов, создающих первый поток трафика. Величина К2 = 0.
При Н\ — 0 заявки 1-го и 2-го потоков занимают одинаковый каналь-
ный ресурс. С ростом настойчивости к установлению соединения заявки
1-го потока начинают вытеснять из обслуживания заявки 2-го потока. Это
явление становится особенно заметным для больших значений вероятно-
сти повторения. Подобное неконтролируемое перераспределение каналь-
ного ресурса в пользу абонентов одного из потоков требует от оператора
принятия особых мер по допуску заявок на обслуживание. Разработка со-
246
Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
Рис. 3.19. Влияние повторных вызовов на процесс занятия
канального ресурса в мультисервисных сетях
ответствующих процедур допуска должна быть основана на методиках, в
которых учитывается возможность повторения заблокированной заявки.
Решение поставленной задачи будет получено далее.
3.3.7. Решение в частном случае
Начнём с анализа важного частного случая исследуемой модели муль-
тисервисной линии, когда в ней имеется только один поток заявок (моно-
сервисная модель). В этом случае можно построить эффективный рекур-
сивный алгоритм оценки показателей качества обслуживания заявок, ко-
торый применим для точного расчёта модели при любых значениях вход-
ных параметров. Поскольку зависимости от номера потока нет, то в обо-
значениях входных параметров и анализируемых характеристик опустим
индекс к. Схема модели показана на рис. 3.20.
Для оценки значений введённых показателей необходимо составить
и решить систему уравнений статистического равновесия. Она является
3.3. Модель с повторением заблокированных заявок
247
1-Нл
Н
Вызываемое
устройство (абонент)
доступно для
организации
соединения с
вызывающим
абонентом
р Нет
Да^
7-р
Рис. 3.20. Схема занятия канального ресурса в моносервисной
модели звена с учётом повторных заявок
частным случаем системы (3.44). Обозначим через с целую часть от деле-
ния v на Ь. Тогда с — максимальное число одновременно обслуживаемых
заявок. Пусть L = оо. Для пояснения последующих преобразований при-
ведём соответствующие уравнения отдельно для случаев i < с и i = с.
Получаем следующие соотношения:
случай г < с
P(j,г)< Л(1 -р(1 - Я)) + jz/(l -pH) + г
(3.49)
= P(j, i - 1)Л(1 - р) + P(j - 1, i)XPH+
+P(j + 1, i - l)(j + l)z/(l - p)+
+P(j + 1, i)(j + l)z/p(l - H) + P(j,i + 1)(г + 1),
j = 0,1,..., i = 0,1,..., c — 1;
248
Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
случай i = с
P(j, сЦХН + - Я) + с > = P(j, с - 1)Л(1 - р)+
+P(j — 1, с)ХН + P(j + 1, с - 1)(у + 1)р(1 - р)+
+Р0 + 1,С)0 + 1М1-Я),
7 = 0,1,...
Для вероятностей P(j, i) выполнено нормирующее условие
оо с
ЕЕШС = 1-
j=0 i=0
Несмотря на относительную простоту системы уравнений (3.49), струк-
тура её матрицы не обладает какими-либо специальными свойствами,
позволяющими эффективно находить значения вероятностей P(j, г), j =
0,1,..., i — 0,1,..., с. Выполним ряд преобразований, которые помогут
решить данную задачу. С этой целью разделим абонентов, повторяющих
заявку, на две непересекающиеся группы. Обозначим через ji и j2 число
абонентов в стационарном состоянии соответственно в первой и во второй
группах. Попятно, что j = ji + j2. Предположим, что в первую группу
попадают или остаются в ней:
1. Абоненты, получившие отказ в первичной попытке из-за недоступ-
ности вызываемого устройства и решившие повторить заявку. Ин-
тенсивность соответствующих событий — ХНр. Они происходят в со-
стояниях, удовлетворяющих условию г < с.
2. С вероятностью р абоненты, получившие отказ в первичной попыт-
ке из-за нехватки свободного канального ресурса линии и решившие
повторить заявку. Интенсивность данных событий — ХНр. Они про-
исходят в состояниях, удовлетворяющих условию i = с.
3. Абоненты из первой группы, получившие отказ в повторной попытке
из-за недоступности вызываемого устройства и решившие повторить
заявку. Интенсивность данных событий — j^uHp. Они происходя!’ в
состояниях, удовлетворяющих условию i < с.
3.3. Модель с повторением заблокированных заявок
249
4. С вероятностью р абоненты из первой группы, получившие отказ
в повторной попытке из-за нехватки свободного канального ресур-
са линии и решившие повторить попытку. Интенсивность данных
событий — jjvHp. Они происходят в состояниях, удовлетворяющих
условию i = с.
Будем также считать, что первую группу покидают:
1. Абоненты из первой группы, получившие отказ в результате повтор-
ной попытки из-за недоступности вызываемого устройства и решив-
шие отказаться от дальнейшего повторения заявок. Интенсивность
наступления данных событий — ji^p(l — Н\ Они происходят в со-
стояниях, удовлетворяющих условию i < с.
2. Абоненты из первой группы, попавшие на обслуживание в повторной
попытке. Интенсивность наступления данных событий — — р).
Они происходят в состояниях, удовлетворяющих условию i < с.
3. Абоненты из первой группы, получившие отказ в повторной попытке
из-за нехватки свободного канального ресурса линии и решившие от-
казаться от дальнейшего повторения заявок. Интенсивность наступ-
ления данных событий — jiz/(l — Н). Они происходят в состояниях,
удовлетворяющих условию i — с.
4. С вероятностью 1 — р абоненты из первой группы, получившие отказ
в повторной попытке из-за нехватки свободного канального ресурса
линии и перешедшие во вторую группу. Интенсивность наступления
данных событий — Jip(1 — р)Н. Они происходят в состояниях, удо-
влетворяющих условию i — с.
Во вторую группу попадают или остаются в ней:
1. С вероятностью 1 — р абоненты, получившие отказ в первичной по-
пытке из-за нехватки свободного канального ресурса линии и решив-
шие повторить заявку. Интенсивность данных событий — Л(1 — р)Н.
Они происходят в состояниях, удовлетворяющих условию г = с.
2. Абоненты из первой группы, получившие отказ в повторной попытке
из-за нехватки свободного канального ресурса линии и решившие
повторить заявку. Интенсивность данных событий — jiv(l — р)Н.
Они происходят в состояниях, удовлетворяющих условию i = с.
250
Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
3. Абоненты из второй группы, получившие отказ в повторной попытке
из-за недоступности вызываемого устройства и решившие повторить
заявку. Интенсивность данных событий — Они происходят в
состояниях, удовлетворяющих условию г < с.
4. Абоненты из второй группы, получившие отказ в повторной попыт-
ке из-за нехватки свободного канального ресурса линии и решившие
повторить заявку. Интенсивность данных событий — jz^H. Они про-
исходят в состояниях, удовлетворяющих условию i = с.
Вторую группу покидают:
1. Абоненты из второй группы, получившие отказ в повторной попытке
из-за недоступности вызываемого устройства и решившие отказаться
от повторной заявки. Интенсивность данных событий — j2^p(l — Н).
Они происходят в состояниях, удовлетворяющих условию i < с.
2. Абоненты из второй группы, попавшие на обслуживание в повторной
попытке. Интенсивность наступления данных событий — 72^(1 — р)-
Они происходят в состояниях, удовлетворяющих условию i < с.
3. Абоненты из второй группы, получившие отказ в повторной попытке
из-за нехватки свободного канального ресурса линии и решившие от-
казаться от повторной заявки. Интенсивность наступления данных
событий — 72^(1 — Н). Они происходят в состояниях, удовлетворяю-
щих условию i — с.
Цель выполненных преобразований — выделить в общей массе абонен-
тов, повторяющих заявку на предоставление канального ресурса, группу
абонентов, для которой изменение численности происходит функциональ-
но независимо от числа заявок, находящихся на обслуживании, и числа
абонентов из другой группы. В анализируемом случае подобными свой-
ствами обладает первая группа. Чтобы показать, что стоит за сформу-
лированным утверждением, выпишем систему уравнений равновесия для
построенной модели с разбиением абонентов, повторяющих заявку, на две
группы в соответствии с сформулированными выше правилами их фор-
мирования.
Функционирование модели во времени описывается марковским про-
цессом r(t) с компонентами
r(t) =
3.3. Модель с повторением заблокированных заявок
251
где ji(t) — число абонентов, повторяющих заявку в момент времени t и
находящихся в первой группе, >2(t) — число абонентов, повторяющих за-
явку в момент времени t и находящихся во второй группе, a i(t) — число
заявок, находящихся на обслуживании. Обозначим через P0i,>20) ста-
ционарные вероятности вспомогательной модели. Они связаны системой
уравнений равновесия следующего вида:
случай i < с
Я(>1,>2,г)- А(1 -р(1 - Я)) + (л + -pH) + г| = (3.50)
= Я01, j2,i - 1)Л(1 —р) + P0i - 1, j2,i)XpH+
+P(ji + 102,* - 1)01 + 1>(1 -р)+
+Р01 + 1, >2, г)01 + 1)*ф(1 - Я)+
+-Р01,h 4-1, г — 1)02 + 1)^(1 - р)+
+-Р01, j2 + 10)02 + 1>р(1 - Н)+
+Я01, >2,г + 1)0 + 1),
>1 = 0,1,..., >2 = 0,1,..., г = 0,1,...,с- 1;
случай г = с
P(ji,j2,c)< ЛЯ + jii/(l - pH) + >2i/(l - Я) + с • =
• «
= Я(>1,>2,С - 1) Д(1 - р) + Р(>1 - 1,>2, с)ХрН+
+-Р01О2 - 1,с)Л(1 - р)н+
+Р01 + 1,>2, с - 1)01 + 1)01 - р) +
+Р01 + 1,J2,C)(>1 + 1)01 - Я) +
+Р01 + 102 - 1, с)(>1 + 1)1/(1 - р)Н+
+Р0102 + 1, С - 1)(>2 + 1)Z/(1 - р)+
252 Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
+Р0102 + l,c)(j2 + 1)^(1 - Н),
Л = 0,1,..., .72 = 0,1,...
Для вероятностей P0’i,j2, г) выполнено нормирующее условие
ОО оо с
Е Е Ер0’1,.М) = 1.
Ji=0j2=0 г=0
Сформулированная ранее функциональная независимость изменения
числа абонентов в первой группе в рассматриваемом случае означает вы-
полнение следующих равенств
= Р(Д + l,j2,«)0i + 1>(1 -pH), С3-51)
.71 = 0,1,..., .72 = 0,1,..., г = 0,1,..., с.
Покажем справедливость приведённых соотношений. Из (3.51) следуют
равенства
Р01,Л,г) = ЛО.Л.г) ( Л. (3-52)
.71 = 0,1,..., .72 = 0,1,..., г = 0,1,..., с.
Подставим выражение для Р01,ДД) в (3.50). Приведём в полученной си-
стеме подобные члены и сократим все уравнения на ~у-
В результате выполненных преобразований получаем систему уравне-
ний относительно Р(0,ДД):
случай г < с
р(0, j2, г) ( + >2^(1 - pH) + г) = (3.53)
1 — pri J
= р(0, j2,i - l)yi—+ Р(0,_72 + 1,г - 1)02 + 1)^(1 -р)+
1 — ри
+F(0, J2 + М)0‘2 + 1)М1 - Я) + F(0, j2,i + 1)(г + 1),
j2 0,1,... ? i 0,1,...} с 1?
3.3. Модель с повторением заблокированных заявок
253
случай i = с
P(P,h,c}
Л(1-р)Я . /л ггч
—;--77“ + 72^(1 - Н) + С =
1 — pH
ЛЯ(1-р)
1-pH
= Р(0,*,с_ + P(0J2 - 1,с)
1 — ptl
+P(Q,fa + 1,с~ 1)02 + 1>(1 -р)+
+P(O,j2 + l,c)02 + l)i/(l-H),
.72 = 0,1,...
Введём семейство новых обозначений и перепишем в них систему урав-
нений (3.53). Пусть
А = Й = Я, Р = р(1-р),
1 — ptl
д = i/p(l - Я), Р02,г) = Р(0,Ь,г)Я.
Здесь К — согласующая константа, величина которой будет указана позд-
нее. Подставив введённые обозначения в (3.53), получаем систему уравне-
ний относительно Р02,г) следующего вида:
случай г < с
P(h,i)
' + Зъ^У + <т) + г
(3.54)
— -Р02Л — 1)А + Р02 + 1,г — l)(j2 + 1)р + Р02 + 10)02 + 1)5’+
+-Р02Я + 1)0 + 1),
.72 = 0,1,..., г = 0,1,..., с- 1;
случай i = с
Р(]2, сН ЛЯ + Ь(^(1 - я) + ст) + с ► =
254
Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
= Р02,с-1)Л + Р02-1,с)ЛЯ+
+Р02 + 1, С - 1)(Д + 1)Р + Р02 + 1, С)02 + 1)(£(1 - Я) + О'),
Я = 0, 1,. . .
Полученная в результате выполненных преобразований система урав-
нений является по сути системой уравнений статистического равновесия
для следующей моносервисной модели. На линию со скоростью с каналь-
ных единиц поступает пуассоновский поток первичных заявок с интен-
сивностью Л. Каждой заявке для обслуживания необходим единичный
канальный ресурс, который используется случайное время, имеющее экс-
поненциальное распределение с параметром, равным единице. Получив
отказ в обслуживании в первичной или повторной попытках, абонент с
вероятностью Н повторяет заявку через случайное время, имеющее экспо-
ненциальное распределение с параметром, равным z>. Время пребывания
абонента в состоянии повторения заявки ограничено случайной величи-
ной, имеющей экспоненциальное распределение с параметром а. Если по
прошествии этого времени абонент не попал на обслуживание, то он с веро-
ятностью, равной единице, отказывается от попыток соединения. Назовём
данную модель вспомогательной.
Функционирование введённой модели во времени описывается марков-
ским процессом r(t) с компонентами
r(t) = (w(i),z(t)),
где w(t) — число абонентов, повторяющих в момент времени t заявку, а
i(t) — число заявок, находящихся в момент времени t на обслуживании.
Пусть P(w,i) — значения вероятностей стационарных состояний r(t).
Если для вспомогательной модели записать систему уравнений статисти-
ческого равновесия, то можно убедиться в том, что она в точности совпада-
ет с системой (3.54) при замене Р(Д,г) на P(w, г). Действуя стандартным
образом, можно показать, что для марковского процесса г(£) при выпол-
нении условий (3.43) существует стационарный режим, и значения ста-
ционарных вероятностей могут быть найдены как единственное решение
системы уравнений равновесия (3.54). Из единственности решения систем
уравнений (3.49) и (3.54) следует справедливость соотношений (3.51), по-
ясняющих сформулированную ранее функциональную независимость из-
менения числа абонентов в первой группе от числа абонентов во второй
группе и числа заявок, находящихся на обслуживании.
3.3. Модель с повторением заблокированных заявок
255
Построенная вспомогательная модель обладает рядом свойств, значи-
тельно упрощающих процедуру оценки показателей качества обслужи-
вания заявок. В данной модели абонент получает отказ и повторяет за-
явку только по причине занятости канального ресурса, тогда как в ис-
ходной модели таких причин было две: занятость канального ресурса
и недоступность вызываемого устройства. Изменение схемы формирова-
ния источников повторных вызовов меняет структуру матрицы системы
уравнений статистического равновесия. Расположение ненулевых элемен-
тов матрицы даёт возможность решать систему уравнений равновесия
рекуррентными методами, аналогичными тем, что были использованы в
[3,5,8,10,11,12,31,33].
Для проведения вычислений необходимо ограничить максимально воз-
можное число абонентов, которым предоставлена возможность одновре-
менно повторять заявку на выделение канального ресурса. Обозначим со-
ответствующее ограничение через £. Будем предполагать, что абонент, по-
лучив отказ в первичной попытке, при наличии £ абонентов, повторяющих
заявку, с вероятностью, равной единице, отказывается от дальнейших по-
пыток установить соединение. Схема вычислений становится понятной, ес-
ли обратить внимание на расположение отличных от нуля элементов мат-
рицы системы уравнений равновесия вспомогательной модели. Для случая
£ = 2 и с = 3 структура матрицы (3.54) приведена в табл. 3.7.
Покажем, что при нумерации значений P(w,i), использованной в
табл. 3.7, решение системы (3.54), имеющей (£+1)(с+1) уравнений, можно
свести к решению (£ + 1) подсистемы по (с + 1) уравнению в каждой под-
системе. Назовем (ш,г)-ым уравнением системы (3.54) уравнение, содер-
жащее вероятность P(w, г) в левой части, и приведём пошаговое описание
алгоритма вычисления значений P(w, г), w = 0,1,..., £, г = 0,1,..., с.
1. Рассмотрим подсистему уравнений (£, 0), (£, 1),..., (£, с). Отмеченная
подсистема содержит (с+1) уравнений и (с+2) неизвестных: Р(£, 0),
Р(£, 1),..., Р(£, с — 1), Р(£, с), Р(£ — 1, с) (см. таблицу 3.7 для строк
и столбцов с номерами (2,0), (2,1), (2,2), (2,3)). Положив значение
Р(£, 0) = х, получаем систему из (с+1) уравнений и (с+ 1) неизвест-
ных, имеющую трехдиагональный вид, что позволяет представить
неизвестные величины Р(£, 1),..., Р(£, с — 1), Р(£, с), Р(£ — 1, с) через
значение х.
2. Рассмотрим подсистему уравнений (£—1,0), (£ — 1,1), ...,(£— 1, с).
Эта подсистема имеет (с + 1) уравнение и (с + 1) неизвестную
256
Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
Таблица 3.7.
Расположение отличных от нуля элементов матрицы системы уравнений
равновесия вспомогательной модели (3.54) для случая £ = 2, с = 3
(w,i) 0,0 0,1 0,2 0,3 1,0 1,1 1,2 1,3 2,0 2,1 2,2 2,3
0,0 * * *
0,1 * * * * *
0,2 * * * * *
0,3 * * * *
1,0 * * *
1,1 * * * * *
1,2 * * * * *
1,3 * * * * *
2,0 * *
2,1 * * *
2,2 * * *
2,3 * * *
F(£ — 1,0), F(£ —1,1),..., F(£ — 1, с — 1), F(£ — 2, с) (см. таблицу 3.7
для строк и столбцов (1,0), (1,1), (1,2), (1,3)). При этом значения
F(£, 0), F(£, 1),..., F(£, с— 1), F(£, с), F(£ — 1, с) уже выражены через
х на предыдущем шаге алгоритма. Используя трехдиагональный вид
исследуемой системы, можно представить неизвестные вероятности
F(£ — 1,0), F(£ —1,1),..., F(£ — 1, с — 1), F(£ — 2, с) через х.
3. Таким же образом рассматривается подсистема уравнений (£ — 2,0),
(£—2,1),..., (£—2, с), затем подсистема (£—3,0), (£—3,1),..., (£—3, с)
и т.д. пока все значения P(w, г) не будут выражены через х, т.е. через
значение F(£, 0).
4. Назовем s-ым шагом алгоритма решение подсистемы уравнений
(s, 0), (s, 1),..., (s, с). Для реализации s-ro шага построенного алго-
ритма s = £ — 1, £ — 2,..., 0 в памяти компьютера достаточно хра-
нить значения F(s + 1,0), F(s +1,1),..., F(s + 1, с - 1), F(s + 1, с),
F(s,c), выраженные через х, и найденные при реализации предыду-
щего (s + 1)-го шага.
5. На s-ом шаге, s = £,£ — 1,... ,0, происходит частичное вычисление
и накопление значений показателей обслуживания заявок и норми-
3.3. Модель с повторением заблокированных заявок 257
ровочной константы. Здесь используется термин «частичное», по-
скольку в расчётах участвуют только значения вероятностей F(s, 0),
P(s, 1),..., P(s, с), найденные на s-ом шаге и выраженные через х.
6. После реализации всех шагов алгоритма происходит нормировка
найденных показателей качества совместного обслуживания заявок.
Таким образом, показано, что значения стационарных вероятностей, а
вместе с ними и значения вероятностных характеристик вспомогательной
модели рассчитываются с использованием простых рекуррентных формул,
по сути совпадающих с рекуррентным решением для систем уравнений с
трехдиагональной матрицей. Данный алгоритм без проблем может быть
реализован для любых значений входных параметров.
Установим вид зависимости между характеристиками исходной моде-
ли, введёнными в разделе 3.3.3, и соответствующими характеристиками
вспомогательной модели. Покажем, что все показатели обслуживания за-
явок исследуемой модели могут быть выражены через значения
P(i) = ^P(j,i), Р№ = ^Р(ЭР'}]1 г = 0,1,..., с. (3.55)
5=0 5=0
Действительно, получаем
7гр=р(с), J — ^Pj(i), m = ^p(i)ib, (3.56)
2=0 2=0
У = ---, M = —,
i=o z Pj(i) Л
i=0
Ab = Л(7Гр + (1 - 7Гр)р) + Jl/(7Fr + (1 - 7Гг)р),
ЛАТ Ab
Л = Л + Jv, ла = —.
Ввёдем для вспомогательной модели характеристики, аналогичные
(3.55)
оо оо
Л0 = 52 Л(0 = 52-P(j2,0j2, г = 0,1,..., с, (3.57)
52=0 52=0
и установим соотношения между (3.55) и (3.57), которые можно исполь-
зовать для оценки (3.56).
258
Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
1 /pH
— е ^(1-рн) _
-ii!
Понятно, что выполняются равенства
ос ОС
Jl=0j2=0
Pj(tf = £ £ Лл,ЬД)(Д +J2), г = 0,1,...,с.
jl=0 J2=0
ХрН
Из (3.52) и определения P(J2, i) получаем, что К = е ^-рЮ и выполняется
соотношение
Из приведённого равенства следуют соотношения, устанавливающие зави-
симости между вероятностными характеристиками исходной и вспомога-
тельной моделей
P(i) = Р(г), (3.58)
РД>) = + -Л~7ЛР«. i = 0,1,.... с.
Щ1 — ptl)
Построенная модель может быть использована для анализа воздей-
ствия, который оказывает возможность повторения заявки на значения
характеристик пропускной способности каналов связи. Другая область
применения — планирование объёма канального ресурса в условиях пе-
регрузки отдельных направлений и наличия потоков повторных заявок.
Решение данной задачи будет рассмотрено в разделе 3.3.9. Приведём чис-
ленный пример, иллюстрирующий зависимость общей доли потерянных
заявок 7га от величины р интенсивности предложенного трафика, выра-
женной в эрланго-каналах, на одну канальную единицу и изменения ин-
тенсивности повторения I/. Соответствующие данные приведены в табли-
це 3.8 для модели с параметрами: v = 10, п = 1, b = 1, Н = 0,7, р = 1,
р — 0,15. Величина и принимает значения: 0,05,0,1,1,10,50,100. В каче-
стве единицы времени выбрана средняя продолжительность обслужива-
ния одной заявки.
3.3. Модель с повторением заблокированных заявок
259
Таблица 3.8.
Показатели качества обслуживания заявок для различных значений
загрузки линии и интенсивности повторения
p (ЭрлК) Доля потерянных заявок для разных значений и
i/=0,05 i/=0,l i/=l z/=10 t/=50 1/=100
0,5 0,16274 0,16288 0,16494 0,17265 0,17948 0,18156
0,6 0,18326 0,18366 0,18927 0,20751 0,22161 0,22568
0,7 0,21840 0,21920 0,22980 0,26053 0,28180 0,28771
0,8 0,26893 0,27008 0,28499 0,32520 0,35107 0,35808
0,9 0,33186 0,33312 0,34946 0,39312 0,42040 0,42772
1,0 0,40084 0,40192 0,41653 0,45792 0,48420 0,49128
1,1 0,46862 0,46939 0,48059 0,51630 0,54024 0,54679
1,2 0,53003 0,53052 0,53828 0,56723 0,58833 0,59424
1,3 0,58299 0,58330 0,58839 0,61098 0,62922 0,63449
1,4 0,62760 0,62779 0,63108 0,64834 0,66394 0,66861
1,5 0,66491 0,66503 0,66716 0,68022 0,69351 0,69764
1,6 0,69617 0,69625 0,69765 0,70753 0,71883 0,72249
1,7 0,72254 0,72259 0,72354 0,73104 0,74065 0,74389
1,8 0,74496 0,74500 0,74566 0,75139 0,75958 0,76246
1,9 0,76420 0,76423 0,76470 0,76911 0,77612 0,77869
2,0 0,78086 0,78087 0,78122 0,78465 0,79065 0,79296
Результаты расчётов показывают, что величина общих потерь заявок
слабо зависит от изменения интенсивности повторения в широком диапа-
зоне изменения интенсивности предложенного трафика. Интуитивно по-
нятно6, что при v —> 0 поток повторных заявок по свойствам начинает
приближаться к пуассоновскому с интенсивностью, определяемой загруз-
кой канального ресурса и настойчивостью абонента к установлению соеди-
6 Строгое доказательство этого утверждения требует привлечения достаточно слож-
ного математического аппарата. Одна из первых работ в этом направлении — обширное
исследование Cohen J. W. Basic problems of telephone traffic theory and the influence of
repeated calls//Philips Telecom. Rev. 1957. V.18. N2., см. также [18].
260 Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
нения. Этот факт совместно со свойством слабой зависимости показателей
качества обслуживания заявок от v позволяет использовать предельные
значения показателей в качестве их приближённых оценок при фиксиро-
ванной величине и. Данный подход будет реализован в следующем раз-
деле при построении приближённого алгоритма расчёта модели в общем
случае. Он отличается простотой и позволяет использовать для оценки
характеристик результаты, полученные ранее для базовой модели муль-
тисервисной линии.
3.3.8. Приближённый алгоритм
Для приближённого вычисления показателей качества совместного об-
служивания заявок применим подход, который активно используется в
теории телетрафика при расчёте моделей с учетом эффекта повторных
вызовов [8]. Суть метода состоит в замене потоков повторных вызовов на
пуассоновские с интенсивностью, значение которой определяется из реше-
ния систем неявных уравнений. Аргументы в пользу использования данно-
го подхода обсуждались в конце раздела 3.3.7. В остальном схема занятия
канального ресурса линии не изменяется. Для исследуемой модели переход
к пуассоновским потокам позволяет использовать для оценки показателей
обслуживания заявок результаты, полученные ранее для базовой модели
(см. раздел 2.1).
Назовём модель, построенную в результате выполнения сформулиро-
ванных предположений, упрощённой моделью звена с учётом возможности
повторения заблокированной заявки. Обозначим через хк значение интен-
сивности к-го потока заявок. Теперь к-й поток представляет собой супер-
позицию потоков первичных и повторных заявок. Пусть р(г) — значения
стационарных вероятностей упрощённой модели. Здесь i — суммарное чис-
ло канальных единиц линии занятых заявками всех потоков первичных и
повторных.
Пусть 7Г“к, 7Г“Л, 7T“fc, J%, М£, Л%к, Л£, тк, у% — оценки соответству-
ющих показателей исследуемой модели с повторными заявками (см. раз-
дел 3.3.3), но полученные с использованием упрощённой модели. Их фор-
мальные определения выглядят следующим образом:
V
лР,к = Е + (1 - (3.59)
i=v—bfc+1
та _ Хк ~ ^к Л/га _ Хк — Хк
Jk — —---> мк — ----7---,
к'к ^к
3.3. Модель с повторением заблокированных заявок 261
ЛЬЛ = хк(7р,к + (1 ~ ^р,к)Рк), Л-к = хк,
так = xkbk(l - <*), Ук = ял(1 - <fc), к = 1,2,...,п.
Для проведения вычислений с использованием (3.59) необходимо най-
ти значения хк, к = 1,2,..., п, и соотношения для расчёта вероятностей
р(г), i = 0,1,..., v. Для определения р(г), i = 0,1,..., v, можно исполь-
зовать рекурсию (2.18), выбрав следующие значения входных параметров
базовой модели мультисервисной линии: общее число канальных единиц
— V, число канальных единиц, используемое для обслуживания одной за-
явки к-го потока — Ьк, интенсивность к-го потока заявок — ад.(1 — рк),
к = 1,2,..., п. Построим процедуру оценки значений Хк, к = 1,2,..., п.
Сделаем это следующим образом. Потребуем для введённых оценок 7r“fc,
тгД, Jk, ук выполнения соотношений, по форме совпадающих с законами
сохранения (3.45). Откуда получаем соотношения
Jak»k = + (1 - 1^к)Рк)Нк+ (3.60)
+ Jfc^fc(7F“fc + (1 - 7F“fc)pfc)^,
^к + Jkk'k = + (1 - 7rp,fc)Pfc) +
+ (1 -<fc)Pfc) +УкРк, к = 1,2,...,п.
Подставив в (3.60) выражения (3.59), получаем из первого равенства
систему неявных уравнений для определения хк, к = 1,2,... ,п. Отметим,
что второе из приведённых равенств превращается в тождество, которое
выполняется для любых значений хк, к = 1,2,..., п. Построенная система
неявных уравнений имеет вид
= i---7—V------7—~-------wi-------пи-’ (3-61)
1 - (Р1 + ТГрД (ГГ1, . . . , Тп)(1 - Р1))Н!
X = --------------------------------------
1 (Рп 1 3-п)(1 Pn))kfn
Здесь 7Гр’к(х1,.. ,,хп) — доля потерянных заявок к-го потока в упрощённой
модели, зависящая от неизвестных значений интенсивностей Xi,..., хп.
262
Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
При наличии ограничений (3.43) система уравнений (3.61) всегда имеет
решение и оно единственно. Покажем это в случае п — 1. Для удобства
опустим индекс номера потока в обозначениях параметров и характери-
стик модели. Введём функцию D(x)
D(x) = х- ----------Д-—----—-, (3.62)
1-(р + тгр(я)(1-р))Я’ v ’
и будем увеличивать х, начиная от значения Л. Можно показать, что при
х = А выполняется неравенство D(X) < 0. С увеличением х правая часть
(3.62) будет возрастать и при х > станет больше нуля. Отсюда, в силу
непрерывности функции Я(ж) уравнение (3.61) имеет решение, лежащее в
интервале
А А
1-рН <Х< 1-Я’
Покажем, что оно единственно. Приведём (3.61) к виду
ж(1 — 7г)(1 — pH) + Ж7г(1 — Я) = А (3.63)
и предположим, что существуют два решения — хл и х?. Пусть для опре-
делённости Xi > Х2- Подстановка значений зд и х% в (3.63) приводит к
противоречию, т.к. левая часть (3.63) монотонно возрастает с ростом ж, а
правая представляет собой константу, не зависящую от х. Таким образом,
для моносервисной модели показано, что неявное уравнение (3.62) всегда
имеет единственное решение.
Система неявных уравнений (3.61) решается методом подстановок.
Приведём перечень шагов рекурсивного алгоритма.
1. Положим в качестве начального шага рекурсии
ДО) _ А (о) _ А
2. Для 5=1,2,... выразим значения х± \ ..., х^ через известные ком-
поненты s-го приближения и, если таковых нет, то через компоненты
(s — 1)-го приближения, используя выражения
1 - (pi+ttp,i(4S 1})(1-Р1))ЯХ’
1 - (Рп + 7Гр,тХХ1\ • • • , ^)(1 - Р„))ЯП
3.3. Модель с повторением заблокированных заявок 263
3. Для остановки итерационного процесса необходимо выполнение
неравенства
|ж]®+1) - 4s)| + |ж2я+1) - х^\ + ... + |<4s+1) - a4s)l
l4s+1)l + l4s+1)l + --- + i^s+1)i ~£'
где e — малая величина, например, е = 10-8.
Рассмотрим численный пример, иллюстрирующий погрешность вве-
дённой приближённой процедуры оценки показателей качества совмест-
ного обслуживания заявок с учётом их возможного повторения в ситуа-
ции блокировки. На рис. 3.21 для модели с параметрами: v = 50, п = 2,
Щ = !/2 = 10, by = 2, Ь2 = 5, Ну = 0,7, Н2 = 0,7, щ = 1, ц2 = 1, Pi = 0,25,
р2 = 0,25 показаны зависимости точного значения общей доли потерян-
ных заявок для 1-го (кривая 3) и 2-го (кривая 1) потоков от величины р
интенсивности предложенного трафика, выраженной в эрланго-каналах,
на одну канальную единицу. При фиксированном значении р величины
интенсивностей поступления первичных заявок определяются из соотно-
шений Л1 = Л2 = Для сравнения приводятся результаты при-
ближённого вычисления тех же характеристик для 1-го (кривая 4) и 2-го
(кривая 2) потоков.
Приведённые данные показывают, что предложенный расчётный метод
является асимптотически точным в области малой и большой загрузки
мультисервисной линии, а также для малых значений интенсивности по-
вторных заявок. В принципе этот результат можно было ожидать исходя
из качественных свойств процесса обслуживания заявок в рассматривае-
мых областях изменения входных параметров.
3.3.9. Оценка величины канального ресурса
Оценка значения канального ресурса в рамках традиционных мето-
дик, когда весь поступающий трафик рассматривается как первичный,
приводит к значительному завышению итогового результата. Численные
данные, иллюстрирующие это положение, приведены в разделе 3.3.6. Рас-
смотрим решение поставленной задачи с использованием модели, учиты-
вающей возможность повторения заблокированных заявок.
Процедура оценки объёма канального ресурса, минимально достаточ-
ного для обслуживания заданного потока заявок, разбивается на два эта-
па. Задача первого этапа — определение входных параметров модели, необ-
ходимых для проведения вычислений. Допустим, что для каждого потока
264
Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
Рис. 3.21. Точные (кривые 1,3) и приближённые (кривые 2,4)
значения общей доли потерянных заявок для разной
загрузки линии
известны значения общей интенсивности поступающих потоков заявок Л&,
величина настойчивости абонента к установлению соединения Нк и веро-
ятность недоступности вызываемого устройства рк, к = 1, 2,... ,п. Пред-
полагается, что данные показатели измерены на линии с объёмом ресурса
из v канальных единиц. Для проведения вычислений применим алгоритм,
основанный на использовании соответствующих характеристик упрощён-
ной модели звена с учётом возможности повторения заблокированной за-
явки (см. раздел 3.3.8). Заметим, что для оценки входных параметров
модели нет необходимости решать неявные уравнения (3.61), поскольку
величины Xk уже известны и определяются из соотношений Хк = А^. Да-
лее, применив рекурсию (2.18), находим из (3.59) значения 7r“fc, 7r“fc, 7r“fc,
A£fc, Л£, т%, у£. Из соотношений (3.61) получаем выражения для расчёта
А/с
Хк = хк(1 - (j)k + 7r“fc(l -ркУ)Нк), к = 1,2,...,п,
а из (3.59) — оценки величин J£, М£.
На втором этапе решается задача вычисления требуемого объёма ка-
нального ресурса. Используемый приближённый метод основан на пуассо-
3.3. Модель с повторением заблокированных заявок
265
новской замене потоков повторных вызовов. Это означает, что для подбо-
ра величины ресурса можно применять методики, развитые для базовой
модели мультисервисной линии (см. разделы 2.1.5, 2.1.6). Приведём чис-
ленные данные, иллюстрирующие точность решения поставленной задачи
с использованием указанных методик. На рис. 3.22 для модели мульти-
сервисной линии с параметрами: п = 2, bi = 1, Ь2 = 5, Ai = 35, Л2 = 7,
Hi = 0,9, Я2 = 0,9, щ = 2, = 2, = 1, ц2 = 1, Pi = 0, р2 = 0 показа-
на зависимость доли максимальных потерь заявок от увеличения объёма
канального ресурса линии, выраженной в канальных единицах.
Рис. 3.22. Анализ погрешности приближённых методов оценки
объёма канального ресурса мультисервисной линии при
наличии возможности повторения заблокированной
заявки
Нормированное значение максимальных потерь, величина которой ис-
пользовалась в качестве критерия достаточности ресурса, определялось из
соотношения тгтах = 0,05. Приводятся результаты точного и приближённо-
го решений поставленной задачи. Точные значения получены на основе ре-
шения системы уравнений (3.44) итерационным методом Гаусса-Зейделя,
приближённые — с использованием результатов раздела 3.3.8. Для иллю-
266
Глава 3. Сервисы реального времени: дополнительные модели
страции показаны величины объёма ресурса, найденные с помощью тради-
ционных методик, в которых не учитывается влияние повторения забло-
кированных заявок. Значения интенсивностей входных потоков заявок,
выраженное в эрлангах, для выбранных параметров поведения абонента
определялись из соотношений Ai=41,26 Эрл, Л2=16,14 Эрл. По результа-
там вычислений можно сделать следующие выводы.
• Приближённый метод обладает хорошей точностью решения постав-
ленной задачи. Разница в ответе между точным (99 канальных еди-
ниц) и приближённым (95 канальные единицы) методами составляет
всего 4 единицы.
• Время реализации приближённого подхода на несколько порядков
меньше, чем применение точных алгоритмов, основанных на реше-
нии системы уравнений равновесия.
• Использование традиционных методик, в которых не учитывается
влияние повторных вызовов и все вызовы считаются первичными,
сильно завышает ответ. В рассмотренном случае он составляет 149
канальных единиц.
3.4. Замечания и пояснения
Для повышения точности решения задач планирования мультисервис-
ных сетей необходимо учитывать реализацию механизмов допуска заявок
к канальному ресурсу и особенности формирования входных потоков за-
явок. Материал данной главы составили результаты исследования трёх
моделей, уточняющих схему обслуживания заявок, введённую для базо-
вой модели в главе 2.
В разделе 3.1 излагаются результаты, полученные для модели с огра-
ниченным доступом. Данная схема основана на учёте информации о числе
заявок рассматриваемого потока уже находящихся на обслуживании. Она
известна в теории телетрафика довольно давно [16,17,19,26,27,34]. Поло-
жительным качеством данной модели является наличие свойства муль-
типликативности для значений стационарных вероятностей марковско-
го процесса, описывающего её функционирование [26]. Это обстоятель-
ство породило целый ряд рекурсивных алгоритмов оценки характери-
стик качества совместного обслуживания заявок (обзор результатов см.
[34]). Самым простым в реализации оказался метод свёрток, предложен-
ный в работе В.Иверсена [19] и затем обобщённый в работах В.Иверсена
3.4. Замечания и пояснения
267
и С.Н.Степанова [14,20,22,23]. Изложение материала разделов 3.1.1-3.1.3,
3.1.6, в части формулировки алгоритма следует этим работам. Процедура
оптимизации схемы выполнения свёрток, рассмотренная в разделе 3.1.4,
приведена в работах В.Иверсена и С.И.Степанова [14,20,22,23]. Методика
игнорирования несущественных состояний, исследованная в разделе 3.1.5,
— новый результат.
Как показали численные исследования, проведённые в разделе 3.1, ис-
пользование стратегии ограниченного доступа даёт возможность вырав-
нивать значения доли потерянных заявок при совместном обслуживании
мультисервисного трафика, но в большей степени она удобна для внесения
в модель простейших сетевых аспектов, когда ограниченный доступ к ли-
нии передачи интерпретируется как ограниченные передаточные возмож-
ности в местах прохождения информационных потоков, предшествующих
рассматриваемой линии. В этом смысле более действенным средством в
предоставлении преимущества и выравнивании показателей качества об-
служивания заявок оказывается резервирование канального ресурса для
выделенной группы потоков. Соответствующий материал изложен в раз-
деле 3.2. Этой возможности контроля за качеством совместного обслужи-
вания заявок в мультисервисных сетях также посвящено очень много ра-
бот. Отметим исследования Дж.Робертса [29], Ф.Тран Жиа и Ф.Хюбнера
[35] и К.Линдерберга [28]. В разделе 3.2 схема резервирования излагает-
ся с общих позиций введением понятия функции внутренней блокиров-
ки. Отдельные результаты раздела были ранее опубликованы в работах
С.Н.Степанова в соавторстве В.Иверсеном и А.В.Костровым [15,24,25].
Большая часть содержания раздела 3.2 — это новый материал, опубли-
кованный впервые.
Модели с учётом эффекта повторных заявок активно исследовались
в рамках моносервисных конструкций [1-5,7-13,18,21,30-33]. Более подроб-
ные обзоры результатов выполненных исследований имеются в моногра-
фиях С.Н.Степанова [8] и Г.И.Фалина в соавторстве с Дж.Темплтоном
[18]. Переход к мультисервисным аналогам соответствующих моделей не
вносит принципиальных сложностей в проведение их исследования. Это
было показано в разделе 3.3 для модели мультисервисной линии с учётом
возможности повторения заявки, заблокированной по разным причинам.
Все приведённые в разделе 3.3 методы точного и приближённого расчёта
показателей обслуживания заявок для исследуемой модели мультисервис-
ной линии являются обобщением соответствующих результатов, получен-
ных ранее в работах С.Н.Степанова [2,7-13,21,30-33] для её моносервисных
аналогов. Содержание разделов 3.3.7, 3.3.8 следует работе О.А.Кокиной и
С.Н.Степанова [4].
268
Глава 3. Сервисы реального времени: основные модели
Литература к главе 3
1. Зелинский А.М., Корнышев Ю.Н. Эквивалентные модели системы с
повторными вызовами // Тр. уч. ин-тов связи. 1976. Вып. 80.
2. Иверсен В.Б., Степанов С.Н. Оценка характеристик передачи мно-
гопотоковых моделей с фиксированным числом повторений // Авто-
матика и телемеханика. 2001. №5.
3. Ионин Г.Л., Седол Я.Я. Таблицы вероятностных характеристик пол-
нодоступного пучка при повторных вызовах. — М.: Наука, 1970.
4. Кокина О.А., Степанов С.Н. Построение модели и алгоритмов оцен-
ки характеристик пропускной способности звена мультисервисной се-
ти связи с учётом повторных вызовов // Автоматика и телемеханика.
2006. №6.
5. Корнышев Ю.Н. Расчёт полнодоступной коммутационной системы с
повторными вызовами // Электросвязь. 1969. №11.
6. Лагутин В. С., Степанов С.Н. Телетрафик мультисервисных сетей
связи. — М.: Радио и связь, 2000.
7. Степанов С.Н. Интегральные соотношения равновесия для непол-
нодоступной системы с повторными попытками и их применение //
Проблемы передачи информации. 1980. Т.16. Вып.4.
8. Степанов С.Н. Численные методы расчёта систем с повторными вы-
зовами. — М.: Наука, 1983.
9. Степанов С.Н. Расчёт пучка линий с повторными вызовами и ожи-
данием // Электросвязь. 1983. №6.
10. Степанов С.Н. Об улучшении численных методов расчёта характе-
ристик систем с повторными вызовами // Электросвязь. 1986. №11.
11. Степанов С.Н. Способы повышения эффективности численных ме-
тодов расчёта моделей с повторными вызовами // Проблемы пере-
дачи информации. 1986. Т.22. Вып.4.
12. Степанов С.Н. Оптимизация численного расчёта характеристик
многопотоковых моделей с повторными вызовами // Проблемы пе-
редачи информации. 1989. Т.25. Вып.2.
13. Степанов С.Н. Асимптотический анализ моделей с повторными вы-
зовами в случае большой нагрузки // Проблемы передачи информа-
ции. 1993. Т.29. №3.
14. Степанов С.Н, Иверсен В.Б. Способы уменьшения объёма вычис-
лений при расчёте моделей систем связи с потерями, основанные на
игнорировании маловероятных состояний // Проблемы передачи ин-
формации. 2001. Том. 37. Вып.З.
Литература к главе 3
269
15. Степанов С.Н., Костров А.В. Моделирование мультисервисной се-
ти с обобщённой схемой резервирования канального ресурса // Т-
Comm. 2008. №4.
16. Шварц М. Сети связи: протоколы, моделирование и анализ. В 2-х ч.
Ч. 1,11: Пер. с англ. М.: Наука, 1992.
17. Broadband Network Traffic. Performance evaluation and design of
broadband multiservice networks. Final report of action COST 242 /
James Roberts ... (ed). Lecture notes in computer sciences. Springer,
1996.
18. Falin G.I., Templeton J.G.C. Retrial Queues. — Chapman & Hall. 1997.
19. Iversen V.B. The exact evaluation of multi-service loss system with
access control // Teleteknik. 1987. № 2.
20. Iversen V.B., Stepanov S.N. The Optimized Convolution Algorithm
for Estimation of Individual Blocking Probabilities in Circuit-Switched
Telecommunication Networks. Technical Report. Denmark. The Institute
of Telecommunication, Technical University of Denmark 1995.
21. Iversen V.B., Stepanov S.N. Traffic Models with Retrials for Circuit-
Switched Telecommunication Systems. Technical Report. Denmark. The
Institute of Telecommunication, Technical University of Denmark 1995.
22. Iversen V.B., Stepanov S.N. The Usage of Convolution Algorithm
with Truncation for Estimation of Individual Blocking Probabilities
in Circuit-Switched Telecommunication Networks. In: V.Ramaswami
and P.E.Wirth (editors), Proc. 15th International Teletraffic Congress
Elservier. Amsterdam, 1997.
23. Iversen V.B., Stepanov S.N. The Calculation of Stationary Performance
Measures of Loss Models with Access Control Based on the Concept
of Truncation // Proc. 14th Nordic Teletraffic Seminar. Technical
University of Denmark. Copenhagen. Denmark, August 18-20, 1998.
24. Iversen V.B., Benetis V., Ha N.T., Stepanov S. Evaluation of Multi-
service CDMA Networks with Soft Blocking // Proc. 16th ITC Specialist
Seminar on Performance Evaluation of Wireless and Mobile Systems.
University of Antwerp. Antwerp. Belgium, August 31-September 02,
2004.
25. Iversen V.B., Stepanov S.N., Kostrov A. V. Dimensioning of Multiservice
Links Taking Account of Soft Blocking // Proc. 6th International
Conference, Next Generation Teletraffic and Wired/Wireless Advanced
Networking (NEW2AN 2006). St.Petersburg. Russia, May/June 2006.
26. Kelly F.P. Reversibility and stochastic networks. — New York: Willy,
1979.
270
Глава 3. Сервисы реального времени: основные модели
27. Kraimeche В., Schwartz М. Analysis of traffic access control stvategies in
integrated service networks // IEEE Trans, on Comm. 1986. V.Comm-
33. №10.
28. Linderberger K. Dimensioning and design methods for integrated ATM
networks // Proc. 14th International Teletraffic Congress. Antibes Juan-
les-Pins. France, 1994.
29. Roberts J. W. Teletraffic models for the telecom 1 integrated service
network // Proc. 10th International Teletraffic Congress. Kyoto. Japan,
1983.
30. Stepanov S.N. Probabilistic characteristics of incompletely accessible
service system with repeated calls for arbitrary values of subscriber
persistent function // Problems of Control and Information Theory. 1984.
V.13. №2.
31. Stepanov S.N. Numerical analysis of queueing models with repeated
calls. Research Report on Information Sciences. Series B: Operation
Research. Department of Information Science. Tokyo. Japan. Institute
of Technology, November, 1993, B-274.
32. Stepanov S.N. Generalized model with retrials in case of extreme load //
Queueing Systems. 1997. v.27.
33. Stepanov S.N. Markov Models with Retrials: The Calculation of
Stationary Performance Measures Based on the Concept of Truncation
/ Mathematical and Computer Modelling. V. 30. 1999.
34. Ross K. W. Multiservice loss models for broadband telecommunication
networks. — London: Springer, 1995.
35. Tran-Gia P., Hubner F. An analysis of trunk reservation and grade of
service balancing mechanisms in multiservice broadband networks //
Proc. IFIP Workshop TC9, Modeling and Performance Evaluation of
ATM Technology. La Martinique, 1993.
Глава 4
МОДЕЛИ
С ДИНАМИЧЕСКИМ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ
КАНАЛЬНОГО РЕСУРСА
Решение задачи планирования пропускной способности звеньев муль-
тисервисной сети связи можно укрупнённо разбить на два этапа1 2. На пер-
вом этапе оценивается объём канального ресурса, необходимого для обслу-
живания потоков заявок на передачу трафика сервисов реального време-
ни. Объём ресурса определяется с использованием моделей, исследованию
которых посвящены две предыдущие главы книги. Обслуживание в пакет-
ных сетях трафика сервисов реального времени имеет прямую аналогию
с обслуживанием речевых сообщений в сетях коммутации каналов. Для
каждого потока объём выделяемого канального ресурса и средняя дли-
тельность обслуживания заявки фиксированы и не зависят от загрузки
сети. Статистическое мультиплексирование реализуется на шкале време-
ни, соответствующей поступлению отдельных пакетов (см. табл. 1.1), и
его результативность оценивается с использованием понятия эффектив-
о 2
нои скорости передачи .
1 Состав этапов и последовательность их реализации обсуждались в разделе 1.5.2.
2 Определение и особенности использования данной характеристики передачи ин-
формации анализировались в разделе 1.6.2.
272 Глава 4. Динамическое распределение канального ресурса
На втором этапе определяется объём трафика данных, который может
быть передан совместно с трафиком сервисов реального времени с неко-
торой допустимой задержкой, или оценивается дополнительный объём ка-
нального ресурса, необходимый для его обслуживания. Трафик с указан-
ными характеристиками появляется при просмотре веб-страниц, скачи-
вании и пересылке файлов, использовании электронной почты и т.д. Для
его транспортировки по сети может быть выделен весь ресурс, оставшийся
свободным от пропуска трафика сервисов реального времени. Основными
показателями качества обслуживания трафика данных являются доступ-
ность ресурса и среднее время пересылки информации, которое опреде-
ляется загрузкой сети. Динамический способ распределения канального
ресурса позволяет значительно повысить его загрузку. В этой главе будут
рассмотрены теоретические и практические вопросы реализации сформу-
лированной идеи.
Всего будут исследованы две модели совместного обслуживания тра-
фика сервисов реального времени и данных. В каждой из них трафик
реального времени имеет преимущество в занятии и использовании ка-
нального ресурса перед трафиком сервисов передачи данных, допускаю-
щих задержку. В модели мультисервисной линии, рассмотренной в разде-
ле 4.1, указанное преимущество выражается в уменьшении скорости пе-
редачи данных до некоторого заранее оговоренного минимального значе-
ния. При появлении свободного канального ресурса скорость пересылки
данных возрастает. Для построенной модели исследована схема использо-
вания канального ресурса, приведено её математическое описание и даны
формальные определения основным показателям качества совместного об-
служивания заявок. Получены формулы для расчёта показателей переда-
чи данных, когда сервисы реального времени не предоставляются. В об-
щем случае значения показателей качества обслуживания заявок находят-
ся после решения системы уравнений равновесия итерационным методом
Гаусса-Зейделя. Проведено численное исследование зависимости введён-
ных показателей от изменения входных параметров модели. Рассмотрено
решение задачи оценки объёма трафика данных, который может быть об-
служен совместно с трафиком сервисов реального времени при выполне-
нии заданных ограничений на задержку, а при необходимости и дополни-
тельного объёма канального ресурса, требуемого для его обслуживания.
В разделе 4.2 построена и исследована модель мультисервисной ли-
нии, где преимущество трафика сервисов реального времени выражает-
ся в форме абсолютного приоритета в занятии канального ресурса. Дан-
ные, вытесненные с передачи в буфер или попавшие туда из-за блоки-
4.1. Модель передачи данных с переменной скоростью
273
ровки, имеют возможность последующей передачи при появлении свобод-
ного канального ресурса. Точные значения характеристик модели нахо-
дятся после решения системы уравнений равновесия итерационным ме-
тодом Гаусса-Зейде ля. В разделе 4.2.4 рассмотрен способ записи системы
уравнений равновесия, упрощающий использование соответствующей про-
цедуры. Для приближённой оценки показателей качества обслуживания
заявок предлагается использовать технику декомпозиции, которая даёт
возможность свести расчёт характеристик исследуемой модели к оценке
соответствующих характеристик отдельных модулей. Они устроены зна-
чительно проще, чем исходная система, и допускают решение в виде яв-
ной формулы или простой рекуррентной последовательности. Исследуется
точность метода, рассмотрено решение задачи оценки объёма передавае-
мого трафика данных и необходимой величины канального ресурса.
Завершает главу обсуждение полученных результатов и список цити-
руемых источников.
4.1. Модель передачи данных с переменной
скоростью
4.1.1. Распределение канального ресурса
Пусть v — скорость передачи информации в звене мультисервисной
сети связи, выраженная в единицах канального ресурса. Этот ресурс ис-
пользуется п потоками заявок на получение сервисов реального времени
и одним потоком заявок на получение сервиса передачи данных со ско-
ростью, изменяемой в соответствии с загрузкой линии. Обслуживание по-
ступающих заявок приводит к необходимости передачи соответствующих
информационных потоков, которые для краткости будем называть трафи-
ком реального времени и трафиком данных.
Формализованное описание процесса обслуживания заявок на передачу
трафика реального времени осуществляется на основе моделей и методов,
исследованных в главах 2 и 3. Поясним предлагаемую схему динамическо-
го распределения канального ресурса при передаче трафика данных. Она
применима к информационным потокам, которые появляются при работе?
с информационными ресурсами, пересылке файлов и результатов телемет-
рии, просмотре веб-страниц, использовании электронной почты и т.д. Со-
ответствующие информационные потоки допускают задержку в процессе
передачи, поэтому их пересылка по сети может происходить с перемен-
274
Глава 4. Динамическое распределение канального ресурса
ной скоростью в зависимости от наличия свободного ресурса, оставшегося
от пропуска трафика реального времени. Выделение канального ресурса
для передачи данных происходит на динамической основе и определяется
степенью загрузки анализируемой линии связи. Приведём описание соот-
ветствующей процедуры.
Пусть г — общее число единиц ресурса, занятых обслуживанием заявок
на передачу трафика реального времени, ad — число принятых заявок на
передачу данных. Объём ресурса, который может быть задействован для
пересылки данных, определяется из выражения f = v — i. Будем предпо-
лагать, что процесс передачи данных организован следующим образом.
• Ресурс для обслуживания одной заявки выделяется в виде одно-
го макроканала, который интегрирует передаточные возможности
нескольких канальных единиц. Обозначим через bd скорость пере-
сылки информации, обеспечиваемой макроканалом. Величина bd вы-
ражена в используемых единицах канального ресурса. Значение bd
принадлежит множеству W, состоящему из элементов u>1;
д <v. Минимальное значение скорости соответствует одной каналь-
О 3
нои единице , максимальное — не превосходит v.
• Если известны величины f и d, то значения скоростей для d выде-
ляемых макроканалов находятся однозначным образом. Для этого
используются специальные таблицы или расчётные формулы.
• Назначение скоростей макроканалов определяется используемой
стратегией распределения канального ресурса. Чтобы не рассмат-
ривать экзотические случаи, будем предполагать, что она соответ-
ствует ожиданиям оператора от использования подобных схем, т.е.
при фиксированном d скорость передачи данных не убывает с уве-
личением /. Основанием выбора конкретной схемы может служить
желание максимально задействовать имеющийся канальный ресурс.
Другой вариант — предоставление по возможности равного объёма
передаточного ресурса каждой из обслуживаемых заявок.
• Если в процессе поступления заявок всех типов или окончания их
обслуживания изменяются значения / и d, то в соответствии с вы-
бранной схемой случайным образом происходит перераспределение
скоростей макроканалов, используемых для передачи данных.
3В принципе, минимальное значение скорости может быть и больше единицы.
4.1. Модель передачи данных с переменной скоростью
275
Рассмотрим в качестве примера схему образования макроканалов,
основанную на двоичном увеличении скорости передачи4. В соответствии
с высказанным предположением возможные значения скоростей макрока-
налов г = 1,2,... ,р, определяются из выражения = 2г, где i после-
довательно принимает значения от 0 до J log2 v [, а символ J [ обозначает
целую часть соответствующего выражения.
Процесс назначения макроканалов осуществляется следующим обра-
зом. Допустим, даны значения d и /, где d < f. Если d = f, то для об-
служивания d заявок выделяются d каналов с единичной скоростью. Если
d < f, то для обслуживания d заявок выделяются d — а макроканалов со
скоростью 2^ и а макроканалов со скоростью 2/3+1, где /3 =J log2 а а —
максимальное значение z = 0,1,..., d, удовлетворяющее условию
2e(d-z) + 2l3+1z < f. (4.1)
В рассматриваемой ситуации число канальных единиц линии, занятых пе-
редачей трафика данных, определяется из соотношения
х = 2<\d - а) + 2/Э+1а < /. (4.2)
Для иллюстрации в таблице 4.1 показана реализация рассмотренной
схемы назначения скоростей макроканалов для v = 5. Стоящая на пере-
сечении строки d и столбца f запись 2^ х (d — а) + 2/3+1 х а означает,
что для обслуживания d заявок на передачу данных используются (d — а)
макроканалов со скоростью 213 и а макроканалов со скоростью 2/?+1.
Понятно, что доставка данных с динамически изменяемой скоростью
передачи совместно с трафиком сервисов реального времени даёт возмож-
ность оператору повысить загрузку канального ресурса линии. Для оценки
эффективности введённой схемы распределения канального ресурса необ-
ходимо построить математическую модель. Соответствующее исследова-
ние будет проведено в следующем разделе.
4.1.2. Математическое описание модели
В модели имеется п потоков заявок на выделение канального ресурса
для обслуживания трафика реального времени и один поток заявок на
передачу трафика данных. Заявки к-ro потока на получение сервиса ре-
ального времени поступают по пуассоновскому закону с интенсивностью
4 Подобного рода схемы применяются при организации каналов передачи данных в
сетях подвижной связи, построенных на базе технологии CDMA.
276
Глава 4. Динамическое распределение канального ресурса
Таблица 4.1.
Распределение скоростей и количества макроканалов в зависимости от
числа канальных единиц f, которые могут быть использованы для
обслуживания d заявок на передачу данных
Число канальных единиц для передачи данных f
d 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 2° х 1 21 х 1 2° х 2 21 х 1 2° х 1 + 21 х 1 2° х 3 22 х 1 21 х 2 2° х 2 + 21 х 1 2° х4 2^x4 21 х 2 2° х 1 + 21 х 2 2° х 3 + 21 х 1 2° х 5
Afc. Для обслуживания одной заявки требуется bk единиц канального ре-
сурса, длительность его занятия имеет экспоненциальное распределение
со средним где к = 1,2,... ,п. Поступление заявок на передачу данных
также подчиняется пуассоновскому закону с интенсивностью А^. Для об-
служивания одной заявки выделяется один макроканал со скоростью bd,
принадлежащей множеству W, с элементами ш-у, , шд. Схема распре-
деления канального ресурса по макроканалам и их назначение для пере-
дачи данных удовлетворяют условиям, сформулированным в предыдущем
разделе.
Обозначим через (/, d} двумерный вектор с целочисленными компонен-
тами, показывающими состояние процесса обслуживния заявок на пере-
дачу данных. Здесь f — число канальных единиц линии, которые могут
быть использованы для передачи данных, ad — число заявок на соот-
ветствующее обслуживание, f, d = 0, l,...,v. Понятно, что выполняется
неравенство f > d. При известных значениях f и d выбор d макроканалов
для обслуживания d заявок осуществляется однозначным образом. Если
в процессе поступления заявок всех типов или окончания их обслужива-
ния изменяются значения f и d, то в соответствии с выбранной схемой
происходит перераспределение скоростей используемых макроканалов.
Время обслуживания заявки на передачу данных имеет экспоненци-
альное распределение со средним А если передача информации велась
только с использованием макроканала с единичной скоростью. Если про-
исходит изменение скорости макроканала, то изменяется и остаточное вре-
мя обслуживания рассматриваемой заявки. Оно по-прежнему будет иметь
4.1. Модель передачи данных с переменной скоростью 277
экспоненциальное распределение, но со средним значением, которое изме-
няется обратно пропорционально изменению скорости передачи. Таким
образом, при увеличении или уменьшении скорости передачи в той же
пропорции уменьшается или увеличивается среднее значение остаточно-
го времени обслуживания заявки. Изменение скорости передачи данных
осуществляется динамически в соответствии с загрузкой звена сети. При
малой загрузке данные передаются с максимально возможной скоростью,
которая поддерживается используемыми макроканалами, при большой за-
грузке — со скоростью, обеспечиваемой одной канальной единицей. Отме-
тим, что при этом используемый канальный ресурс, а следовательно, и
скорость передачи трафика сервисов реального времени не изменяются.
Допустим, линия находится в состоянии Обозначим через
параметр экспоненциально распределённого времени до окончания обслу-
живания одной заявки на передачу данных. Значение данного параметра
зависит от компонент f,d и используемой схемы образования макрокана-
лов. Для схемы, основанной на двоичном увеличении скорости передачи,
значение д(/, d) определяется из соотношения
M(/,d)=^(d-a) + 2/3+1a^d,
где значения /3 и а находятся из выражения (4.2).
Заявка к-го потока на передачу трафика реального времени, поступив-
шая в состояние принимается к обслуживанию, если выполняется
неравенство / > d + bk. В противном случае заявка получает отказ и
не возобновляется. Если в это же состояние поступает заявка на передачу
данных, то она принимается к обслуживанию, если справедливо соотноше-
ние / > d+1. В противном случае рассматриваемая заявка получает отказ
и также не возобновляется. В силу сформулированных предположений о
характере распределения ресурса по макроканалам (см. стр. 274) можно
ожидать, что в случае приёма любой заявки к обслуживанию происходит
изменение скоростей используемых макроканалов в сторону их уменьше-
ния. Минимальное значение скорости соответствует одной канальной еди-
нице. Если же происходит окончание обслуживания какой-либо заявки,
то значения скоростей используемых макроканалов увеличиваются. Схе-
ма функционирования введённой модели звена мультисервисной сети по-
казана на рис. 4.1.
Для оценки доли потерянных заявок, объёма занятого ресурса и време-
ни доставки информационных сообщений достаточно знать долю времени
пребывания звена в состояниях с фиксированным числом заявок всех
278
Глава 4. Динамическое распределение канального ресурса
Характеристика
поступления
заявок
Передаточный
ресурс линии в
канальных
единицах
Отличительные
свойства
Заявки на канальный ресурс для Заявки на канальный ресурс для
передачи трафика данных, передачи трафика сервисов
допускающих задержку реального времени
Тип трафика
• Совместная передача
трафика сервисов
реального времени и
данных, допускающих
задержку
Тип модели
• Трафик сервисов реального
времени имеет относительный
приоритет в использовании
ресурса, уменьшая при
необходимости скорость
передачи данных
• Выделяемый для передачи
данных ресурс (макроканал) и
среднее время его занятия
динамически меняются в
зависимости от загрузки
линии
Область использования
• Расчёт пропускной
способности
мультисервисных линий
связи
Рис. 4.1. Схема функционирования модели звена мультисервисной
сети с динамически изменяемой скоростью передачи
трафика данных
4.1. Модель передачи данных с переменной скоростью 279
типов, находящихся на обслуживании. Это утверждение определяет вид
состояния и компоненты случайного процесса, который будет использо-
ваться для оценки введённых показателей. Пусть ifc(t) — число заявок к-го
потока на передачу трафика сервисов реального времени, находящихся в
момент времени t на обслуживании, к = 1, 2,..., п, a d(t) — число заявок
на передачу данных, обслуживаемых в момент времени t. Динамика из-
менения общего числа обслуживаемых заявок описывается многомерным
случайным процессом
r(t) = (ii(t),...,z„(t),d(t)),
определённым на конечном пространстве состояний S. В него входят век-
тора (zi,..., in, d), с компонентами й,..., in, d принимающими значения
Й =0,1,.
V
b~i
й = 0,1,...,
v — ЙЙ
(4.3)
w ijb} ...
d 0,1,..., v iibi ... inbn.
Обозначим через p(ilf... ,in,d) значения стационарных вероятностей
состояний (й,... ,inid) G S. Они интерпретируются как доли времени
пребывания мультисервисной линии в состоянии (й,..., in, d) и могут ис-
пользоваться для оценки основных показателей качества совместного об-
служивания поступающих заявок.
4.1.3. Показатели качества обслуживания заявок
Процесс обслуживания заявок на передачу трафика реального времени
характеризуется долей потерянных заявок и средним значением исполь-
зуемого канального ресурса. Качество передачи данных задаётся вероят-
ностью и средним временем доставки соответствующего информационно-
го сообщения. В рамках построенной марковской модели эти показатели,
а также ряд других могут быть найдены суммированием стационарных
вероятностей р(й,... ,?n,d) по специальным образом выбранным подмно-
жествам состояний S. Пусть в состоянии (й,..., in, d) символ i обозначает
величину ресурса мультисервисной линии, занятого передачей трафика
280 Глава 4. Динамическое распределение канального ресурса
реального времени, i = idh + ... + inbn. Приведём формальные определе-
ния исследуемых показателей.
Введённые характеристики обслуживания заявок на передачу трафика
реального времени находятся из соотношений, аналогичных использован-
ным для базовой модели мультисервисного звена (см. раздел 2.1.2). Доля
7rfc заявок /с-го потока на передачу трафика реального времени, потерян-
ных из-за отсутствия свободного канального ресурса линии, определяется
как доля времени пребывания процесса r(t) в состояниях, удовлетворяю-
щих условию i + d + bk > v,
^k = 52 p(ii,...,«n,d).
|(il,...,i„,d)GS |
Средний объём mk канального ресурса линии, занятый обслуживанием
заявок fc-ro потока на передачу трафика реального времени, определяется
как соответствующее среднее значение
тк= 52 p(«i,--.,«n,d)4bfc.
(zi
Приведём формальные выражения для оценки характеристик обслу-
живания заявок на передачу трафика данных. Долю 7rd заявок, потерян-
ных из-за отсутствия свободного ресурса линии, определим как долю вре-
мени пребывания процесса r(t) в состояниях, удовлетворяющих условию
i + d + 1 > v,
\ р(л> у in-> d)-
| i+d+l>u}
Доля TTdd заявок на передачу данных, принятых к обслуживанию, нахо-
дится как величина, дополнительная к 7ГГ/. Получаем тг^ = 1 — 7^.
Следующая группа показателей необходима для оценки среднего вре-
мени доставки информационного сообщения (среднее время обслуживания
заявки на передачу данных)5, которую определим из формулы Литтла6.
5 Значение этого показателя даёт возможность оценить эффективную скорость пе-
редачи данных.
6 Формула Литтла устанавливает связь между значением L — числом заявок, находя-
щихся в системе, величиной А — интенсивностью допуска заявок в систему, и значением
W — средним временем пребывания заявки в системе, в форме L = XW. Она выполня-
ется для очень широкого класса моделей телетрафика, в частности для всех моделей,
обладающих свойством эргодичности, т.е. возможностью оценки характеристик соот-
ветствующего случайного процесса по одной его реализации.
4.1. Модель передачи данных с переменной скоростью
281
Отдельные компоненты, участвующие в записи формулы, находятся из
следующих выражений. Среднее число заявок на передачу данных md,
находящихся на обслуживании, определяется как соответствующее сред-
нее значение
md = 52
Среднее время Td доставки информационного сообщения в соответствии с
формулой Литтла определяется как отношение
= тпс1
d Ui-ъУ
Другой важной характеристикой эффективности использования ка-
нального ресурса на передачу данных является среднее число канальных
единиц занятых на обслуживание одной заявки. Обозначим эту характе-
ристику как bd. Пусть величина
,d)(ES
определяет интенсивность потока обслуженных заявок на передачу дан-
ных. Здесь p(f,d) — параметр экспоненциально распределённого време-
ни до окончания обслуживания одной из d заявок на передачу данных и
/ = v — г. Поскольку скорость макроканала определяется числом исполь-
зуемых канальных единиц, то значение bd находится из соотношения
М- m*d
'^'dP'd
Чтобы воспользоваться введёнными определениями, необходимо по-
строить и решить систему уравнений статистического равновесия, свя-
зывающую значения стационарных вероятностей p(ii,... ,in,d). Выполнив
необходимые преобразования, получаем следующую конечную систему ли-
нейных уравнений:
P(i1,...,in,d)['^(XkI(i + d + bk < г) + ikpkI(гк >0))+ (4.4)
fc=i
+XdI(i + d+ 1 < f) + /i(J,d)I(d > 0)} =
n
2 -^(^1? • * * 5 1? • • • ? {ik > 0)+
fc=l
282
Глава 4. Динамическое распределение канального ресурса
+Р(г1?..., гп, d - l)AdI(d > 0)+
+ F(«i,..., Zfe + 1,..., г„, d)(ik + 4- d + bk < v)+
к=1
+F(«i,..., in, d + 1)д(/, d + 1)1(г + d + 1 < v),
(«1,... ,in,d) 6 S.
В (4.4) /(•) — индикаторная функция, определяемая соотношением
(2.7). Полученные в результате решения системы уравнений равновесия
ненормированные значения вероятностей Р(гг,... ,in,d) необходимо нор-
мировать
F(zi,...,zn,d)
12 F(«i,... ,гп,d)
Используя выражения (4.4), можно получить соотношения, связыва-
ющие значения введённых характеристик. Они носят характер законов
сохранения интенсивностей потоков заявок, поступающих и обслуженных
на мультисервисном звене, и имеют следующий вид:
АД/. = ХкЬкттк + ткцк, (4.5)
Xd = Xd^d + m*d-
Для вывода (4.5) достаточно умножить (4.4) последовательно на ik, к —
1,2,..., п и d, а затем просуммировать полученную систему уравнений по
всем (г'1,..., гп, d) G S. Найденные соотношения могут быть использованы
для косвенной оценки или вычисления введённых показателей качества
совместного обслуживания заявок. В частности, из (4.5) следует, что сред-
нее время обслуживания заявки на передачу данных может быть найдено
из соотношения
В общем случае для системы уравнений равновесия (4.4) не удаётся
указать оптимальное с точки зрения реализации решение, как это было
сделано для базовой модели мультисервисного звена в разделе 2.1. Основ-
ная причина — отсутствие мультипликативной формы представления зна-
чений стационарных вероятностей p(«i,..., гп, d). Данное свойство играло
4.1. Модель передачи данных с переменной скоростью 283
определяющую роль при построении эффективных расчётных схем для
базовой модели и ряда её обобщений. Аналитическое решение может быть
получено в частном случае, когда в модели обслуживаются только заявки
на передачу данных с динамически изменяемой скоростью. В других си-
туациях для оценки введённых показателей рекомендуется использовать
итерационные методы решения систем уравнений равновесия (4.4) (детали
см. раздел 3.2.4). Рассмотрим реализацию соответствующих подходов.
4.1.4. Расчёт показателей передачи данных
Передача данных в отсутствие трафика реального времени.
Предположим, что мультисервисная линия обслуживает только заявки на
передачу данных с динамически изменяемой скоростью в соответствии со
схемой, введённой в разделе 4.1.2. Пусть p(d) — вероятность пребывания
на обслуживании d заявок, а д(с?) — параметр экспоненциально распре-
делённого времени до окончания обслуживания одной заявки, зависящий
от общей величины канального ресурса линии v, от значения d и от ис-
пользуемой схемы образования макроканалов. В рассматриваемом част-
ном случае система уравнений равновесия (4.4) запишется в виде
F(0)Ad = F(l)/z(l), (4.6)
F(l)(Ad + д(1)) = F(0)Ad + F(2)/z(2),
F(d)(Ad + ц(с/)) = P(d - l)Ad + P(d + 1)ц(й + 1),
Р(г)д(г) = F(f - l)Ad,
с условием нормировки Dd=o P(d) = 1-
После несложных преобразований из (4.6) следует рекуррентное соот-
ношение для определения F(d)
P(rf)Xd = P(d+ 1)ц(б/+1), d = 0,1,..., v-1, (4.7)
откуда получаем
P(d) = F(0) , d = 0,l,...,v.
д(1)---д(й)
284
Глава 4. Динамическое распределение канального ресурса
Окончательное выражение для вычисления нормированных значений p(d)
имеет вид
p(d) =
р(1)- /x(d)
\w
1 _L V ___________
w=l
d = 0,1,... ,v.
Показатели качества передачи данных приводятся к виду
У = р(^), md = 52 P(d)d,
d=l
гр ’’^d j* d=l
1d~- T-71-------~ '
Ad(l - 7Td) mdfid
(4.8)
(4-9)
Отметим, что для оценки значений p(d), d — 0, l,...,v более удобно
использовать рекурсию (4.7), чем явные выражения (4.8).
Передача данных совместно с моносервисным трафиком ре-
ального времени. Предположим, что звено мультисервисной сети связи
обслуживает два потока заявок. Один поток — на передачу трафика ре-
ального времени (покольку поток соответствующих заявок один, то будем
использовать термин моносервисный трафик), другой — на передачу дан-
ных с динамически изменяемой скоростью. Рассматриваемая модель яв-
ляется частным случаем модели, введённой в разделе 4.1.2, и получается
из неё, если положить п = 1. Пусть p(ii,d) — вероятность того, что на
обслуживании находятся заявок на передачу трафика реального време-
ни и d заявок на передачу данных. Для обслуживания одной заявки на
передачу трафика реального времени используется Ьг единиц канального
ресурса линии. Обслуживание заявок на передачу данных происходит в
соответствии с используемой схемой назначения макроканалов.
Для оценки показателей совместного обслуживания заявок необходи-
мо рассчитать величины p(«i,d). Значения вероятностей p(«i,d) можно
найти, если решить систему уравнений равновесия, воспользовавшись, на-
пример, итерационным методом Гаусса-Зейделя. Реализация соответству-
ющей процедуры подробно изложена в разделе 3.2.4. Пусть последова-
тельность F^(ii, d), = 0,1,..., j |_, d = 0,1,..., v — Zibi является s-ым
приближением, s = 1,2,..., к последовательности неизвестных значений
Р(Д, d), «1 = 0,1,..., j d = 0,1,..., v — iibi, полученным с использо-
ванием итерационной схемы Гаусса-Зейделя и i = «ibi. При реализации
4.1. Модель передачи данных с переменной скоростью 285
данного алгоритма (s + 1)-ое приближение получается из s-ro с использо-
ванием следующих рекуррентных соотношений:
F(s+1)(z15d) = (4.10)
_____________________________1___________________________
А1/(г + d + bi < г?) + + d + 1 < г?) + ii/ii + p,(f, d)
- l,d)A1I(z1 > 0) + F(s’s+1)(z1;d- l)AdI(d > 0)+
+F^s,s+1\ii + 1, d)(ii + l)pi/(i + d + bi < 'i>)4-
+F(s’s+l)(?i, d + 1)д(/, d + 1)1(г + d + 1 < v)},
ii = 0,1,.
d = 0,1,... ,v — iibi.
Верхний индекс (s,s + 1) в (4.10) означает использование s-ro, а если
оно уже найдено, то (s + 1)-го приближения к соответствующим компо-
нентам решения. Начальное приближение F^(«i,d) для всех ir,d из об-
ласти определения p(ii,d) примем равным единице. Итерационный цикл
заканчивается, если нормированная относительная разность между двумя
последовательными приближениями становится меньше заданного малого
значения. Далее после нормировки находятся оценки истинных значений
вероятностей p(ii, d), = 0,1,..., J d = 0,1,..., v — Zibi, а с ними и
показатели совместного обслуживания заявок, введённые в разделе 4.1.3.
Общее число неизвестных в системе уравнений равновесия (4.4) в ис-
следуемом частном случае определяется произведением (г>+1 — ^)(ci+l),
где Ci = ]^[- Оно принимает максимальное значение при bi = 1, равное
(т + l)(v + 2)/2. При данных значениях структурных параметров можно
решать системы уравнений равновесия для объёма канального ресурса,
исчисляемого несколькими тысячами канальных единиц. Результаты соот-
ветствующих численных исследований будут обсуждаться в разделе 4.1.5.
Передача данных совместно с мультисервисным трафиком ре-
ального времени. В общем случае для оценки показателей качества сов-
местного обслуживания мультисервисного трафика реального времени и
данных также рекомендуется использовать метод, основанный на решении
системы уравнений равновесия алгоритмом Гаусса-Зейделя. Используемая
в (4.4) форма записи системы уравнений равновесия очень удобна для
286
Глава 4. Динамическое распределение канального ресурса
реализации соответствующей итерационной процедуры. Действуя по ана-
логии с моносервисной моделью и используя обозначения введённые для
параметров и характеристик мультисервисной модели, получаем выраже-
ние, связывающее последовательные приближения к точным значениям
искомых вероятностей
(4.11)
1
= —-------------------------------------------------------------х
£ (AfcI(z + d + bk < v) 4- + XdI(i + d + 1 < v) + д(/, d)
fc=l
> ik I,---, d)XkI(ik > 0)4-
+F(s’s+i)(ii,..., ik + 1, • • •, in, d)(ik + l)^fe/(« + d + bk < v) j 4-
+P<s’s+1)(i1, ...,in,d- l)AdI(d > 0)4-
+р(«.^1)(г1, ...,in,d+ 1)д(/, d + l)/(i + d + 1 < v) •.
ii = 0,1,.
in 0,1,...,
v iibi ... in—ibn—i
d = 0,l,...,v-hbi - ... - inbn.
Данная рекурсия может быть реализована для числа потоков трафика
реального времени от 2 до 5 и числа канальных единиц, меняющихся от
нескольких десятков до нескольких сотен. Особенности выполнения ите-
рационной процедуры и выбор критерия её останова обсуждались в разде-
ле 3.2.4. Наличие удобных вычислительных схем даёт возможность прове-
сти численное исследование эффективности использования динамического
распределения канального ресурса для повышения загрузки линии связи.
Результаты соответствующего анализа будут получены в следующем раз-
деле.
4.1. Модель передачи данных с переменной скоростью
287
4.1.5. Анализ эффективности передачи данных
Рассмотрим несколько численных примеров, иллюстрирующих эффек-
тивность применения предложенной в разделе 4.1.1 схемы распределения
канального ресурса мультисервисной линии связи. Значения показателей
качества обслуживания заявок рассчитываются с использованием алго-
ритмов, построенных в разделе 4.1.4. Интуитивно понятно, что, увеличи-
вая или уменьшая скорость передачи данных в зависимости от наличия
свободного ресурса, оператор получает следующие преимущества.
• Уменьшается время обслуживания одной заявки на передачу дан-
ных. С точки зрения пользователя это означает, например, умень-
шение времени скачивания документа. Понятно, что в зависимости
от загрузки звена сети увеличение скорости может быть весьма зна-
чительным.
• За счёт ускоренного освобождения ресурса линии от обслуживания
трафика передачи данных возрастает объём ресурса, который мо-
жет быть использован для обслуживания трафика сервисов реаль-
ного времени. Это означает уменьшение доли потерянных заявок на
предоставление соответствующей услуги и увеличение объёма пере-
дачи трафика сервисов реального времени.
• Увеличивается коэффициент использования одной канальной едини-
цы линии.
Приведём результаты расчёта показателей качества обслуживания заявок,
иллюстрирующие сформулированные положения.
Для проведения вычислений рассмотрим модель звена со следующи-
ми значениями входных параметров: v = 100, п = 2, Ai = ^, А2 = ^,
Ad = bi = 3, Ь2 = 5, pi = 1, р2 = 1, дй = 1. Здесь р — интенсивность
предложенного трафика, выраженная в эрланго-каналах, на одну каналь-
ную единицу. В качестве модели образования макроканалов здесь и во
всех последующих примерах использовалась схема, основанная на двоич-
ном увеличении скорости передачи (см. раздел 4.1.1). Величина р меняется
от значения 0,5 (область малых потерь) до 1,5 (область больших потерь).
Для каждого типа заявок интенсивность предложенного трафика, выра-
женная в эрланго-каналах, составляет одну треть от общей интенсивности
предложенного трафика в этих же единицах.
В таблице 4.2 приведены значения доли отказов в выделении канально-
го ресурса для двух вариантов его распределения. Первый соответствует
288
Глава 4. Динамическое распределение канального ресурса
базовой модели, когда все заявки обслуживаются по схеме сервисов реаль-
ного времени. Соответствующие значения приведены в столбце «Базов.».
При реализации второго варианта данные передаются с динамически из-
меняемой скоростью. Значения показателей качества обслуживания при-
ведены в столбце «Динам.».
Таблица 4.2.
Доля отказов в приёме заявок на обслуживание для разных вариантов
распределения канального ресурса и величины загрузки канальной
единицы линии
р (ЭрлК) 7Г1 7Г2
Базов. Динам. Базов. Динам. Базов. Динам.
0,5 0,00019 0,00001 0,00040 0,00001 0,00005 0,00000
0,6 0,00227 0,00013 0,00451 0,00024 0,00064 0,00005
0,7 0,01223 0,00116 0,02301 0,00211 0,00361 0,00043
0,8 0,03757 0,00627 0,06749 0,01088 0,01159 0,00239
0,9 0,07920 0,02241 0,13667 0,03759 0,02540 0,00868
1,0 0,13130 0,05728 0,21868 0,09328 0,04361 0,02228
1,1 0,18719 0,11140 0,30207 0,17677 0,06418 0,04334
1,2 0,24244 0,17560 0,38025 0,27212 0,08560 0,06842
1,3 0,29478 0,23943 0,45060 0,36295 0,10696 0,09385
1,4 0,34334 0,29789 0,51265 0,44226 0,12778 0,11794
1,5 0,38793 0,35012 0,56689 0,50972 0,14785 0,14041
Сравнение результатов расчётов показывает, что использование ди-
намического распределения канального ресурса позволяет значительно
уменьшить значения потерь поступающих заявок всех типов. В большей
степени это свойство проявляется в области малых потерь, где значения
потерь уменьшаются до 10 раз. С ростом интенсивности предложенного
трафика эта пропорция уменьшается, однако применение динамических
схем сохраняет свою эффективность в других метриках, в частности, на-
блюдается увеличение коэффициента использования канальной единицы
линии. Для исследуемой модели значение данного показателя определя-
ется из выражения
md + £ тк
к=1
V
4.1. Модель передачи данных с переменной скоростью 289
Зависимость соответствующей характеристики от коэффициента загрузки
канальной единицы показана на рис. 4.2. Входные параметры модели при-
нимали те же значения, что были использованы при расчёте таблицы 4.2.
Рис. 4.2. Коэффициент использования канальной единицы
мультисервисной линии для разных вариантов
распределения канального ресурса
Коэффициент использования канальной единицы линии рассчитан для
базового варианта модели, когда все заявки обслуживаются по схеме сер-
висов реального времени и при использовании анализируемой схемы ди-
намического распределения канального ресурса. В области малых потерь
применение динамической схемы не приносит ощутимого эффекта, по-
скольку потери заявок малы. Однако с ростом потерь ожидаемый резуль-
тат проявляет себя в большей степени. Использование канальной единицы
увеличивается примерно на 10 % по сравнению с базовой моделью.
На рис. 4.3 и рис. 4.4 показана зависимость от р других показателей
эффективности использования динамических схем. Речь идёт о среднем
времени передачи информационного сообщения Td (рис. 4.3) и среднем
числе канальных единиц, используемых для обслуживания одной заявки
290 Глава 4. Динамическое распределение канального ресурса
на передачу данных b*d (рис. 4.4). Входные параметры модели принимают
значения: v — 100, п = 2, bi — 3, Ь2 = 5, Д1 = 1, //,2 = 1, AM = 1- Рассмотре-
ны три варианта распределения интенсивности предложенного трафика,
выраженной в эрланго-каналах, по типу заявок: 1-й доля трафика дан-
ных составляет 50% от общего объёма предложенного трафика: Ai =
~ 4ft’ = (соответствующее распределение трафика использова-
лось при расчёте характеристик, представленных на рис. 4.4); 2-ой до-
ля трафика данных составляет 33| % от общего объёма предложенного
трафика: Ai = А2 = Ха = ; 3-й — доля трафика данных состав-
ляет 10% от общего объёма предложенного трафика: Ai = А2 =
Xd — fg. Единица измерения Та — средняя длительность обслуживания
одной заявки на передачу данных с использованием одной канальной еди-
ницы.
Рис. 4.3. Среднее время обслуживания заявки на передачу данных
для разных значений доли данных в общем объёме
передаваемого трафика
Результаты вычислений, приведённые на рис. 4.3, показывают диапа-
зон изменения среднего времени передачи информационного сообщения
4.1. Модель передачи данных с переменной скоростью
291
Интенсивность предложенного трафика на канальную единицу, р (ЭрлК)
Рис. 4.4. Среднее число канальных единиц, используемых для
обслуживания одной заявки на передачу данных, в
зависимости от величины интенсивности предложенного
трафика на канальную единицу линии
в зависимости от коэффициента загрузки канальной единицы линии. По-
нятно, что в большей степени ожидаемый эффект от использования пере-
менной скорости передачи данных проявляет себя в области малых потерь.
На рис. 4.3 эта область соответствует интервалу изменения р от 0,5 до 0,9,
где максимальные значения потерь заявок не превосходят 3.. .4 %. Здесь
время передачи информационного сообщения уменьшилось более, чем в
пять раз по сравнению с вариантом, когда заявки на передачу данных об-
служиваются по схеме сервисов реального времени со средним значением
времени передачи, равным единице. При дальнейшем увеличении загруз-
ки линии время обслуживания заявки на передачу данных увеличивается,
но остаётся существенно меньше единицы.
Уменьшение времени передачи данных объясняется появившейся воз-
можностью использования большего объёма ресурса для обслуживания
соответствующих заявок. Понятно, что объём выделяемого ресурса зави-
сит от степени загрузки линии. Соответствующая зависимость показана
292
Глава 4. Динамическое распределение канального ресурса
на рис. 4.4. Когда загрузка сети мала, трафик данных передаётся с макси-
мальной скоростью, обеспечиваемой используемым семейством макрока-
налов. Отметим, что эта скорость не обязательно совпадает с максимально
возможной в рассматриваемых обстоятельствах скоростью передачи ин-
формации.
4.1.6. Оценка объёма канального ресурса
Последовательность действий, которую необходимо выполнить при
планировании канального ресурса звена мультисервисной сети с перемен-
ной скоростью передачи данных, состоит в реализации следующих шагов7.
1. Вначале определяется скорость линии, требуемая для пропуска тра-
фика реального времени с заданными характеристиками обслужи-
вания. Для этого используются основные и дополнительные модели,
введённые и исследованные в главах 2 и 3.
2. Далее определяется объём трафика данных, который может быть
передан совместно с трафиком реального времени без увеличения
найденной скорости линии. Возможность передачи дополнительного
объёма трафика данных основана на использовании динамического
распределения свободного канального ресурса.
3. Если найденной скорости линии недостаточно для обслуживания за-
данного потока данных, то оценивается значение дополнительного
ресурса.
Для реализации 2-го и 3-го шагов алгоритма используются модели и ме-
тоды, разработанные в разделах 4.1.1-4.1.4.
Численный пример, иллюстрирующий решение поставленной задачи,
показан на рис. 4.5, где приведено дополнительное значение канального
ресурса, необходимое для обслуживания заявок на передачу переменного
объёма трафика данных совместно с фиксированным объёмом трафика
реального времени. Рассмотрены две модели распределения канального
ресурса. В первой — все поступающие заявки обеспечиваются ресурсом по
схеме сервисов реального времени. Для проведения вычислений применя-
ются алгоритмы, разработанные для базовой модели мультисервисной ли-
нии (см. раздел 2.1). Во второй модели для обслуживания трафика данных
7Напомним, что в соответствии с этапами планирования сети, которые были изло-
жены в разделе 1.5.2, речь идет о реализации 3-го и 4-го этапов, когда оценивается
ресурс, необходимый для обслуживания трафика, допускающего задержку в процессе
передачи.
4.1. Модель передачи данных с переменной скоростью
293
используется динамическая модель распределения свободного канального
ресурса в соответствии со схемой, введённой в разделах 4.1.1-4.1.2. Первая
модель будет использоваться для оценки эффективности схем с перемен-
ной скоростью передачи. В качестве критерия достаточности канального
ресурса используется значение максимальных потерь заявок тг, которое не
должно превосходить 0,03.
Рис. 4.5. Дополнительное значение канального ресурса,
необходимое для обслуживания трафика данных
совместно с трафиком реального времени для разных
схем использования ресурса
Решение поставленной задачи рассмотрено на примере модели мульти-
сервисного звена со следующими фиксированными значениями парамет-
ров трафика реального времени: п = 2, Ai = у, А2 = 5, = 3, Ь2 = 5,
Pi = 1, дг = 1- Начальный объём ресурса ц=50 к.е. Результаты расчётов
показали, что для обслуживания трафика реального времени с заданным
качеством необходимо увеличить имеющийся ресурс линии с 50 до 78 ка-
нальных единиц. Тогда доли потерянных заявок на передачу трафика ре-
ального времени будут принимать значения 7Г1 = 0,01473 и тг2 = 0,02761.
294 Глава 4. Динамическое распределение канального ресурса
Достаточность ресурса оценивалась с использованием алгоритмов, изло-
женных в разделах 2.1.5-2.1.7.
Далее рассматривалась возможность обслуживания трафика данных
совместно с трафиком сервисов реального времени. При проведении соот-
ветствующего исследования интенсивность потока данных последователь-
но увеличивалась от 0 до 30 Эрл через единицу. Среднее время обслужи-
вания одной заявки на передачу данных с использованием одной каналь-
ной единицы определяется из равенства — 1. Из результатов вычис-
лений видно, что до значения Aj=3 Эрл имеющегося объёма канального
ресурса достаточно для обслуживания всех потоков трафика с заданны-
ми показателями качества. При дальнейшем увеличении Ха следует также
увеличить и скорость передачи линии. Значение величины дополнитель-
ного объёма ресурса показано на рис. 4.5. Его достаточность оценивалась
из условия 7г = тах(7Г1,7г2,7тД < 0,03 с помощью моделей и методов, по-
лученных в разделах 4.1.2-4.1.4. Отметим, что при увеличении Ха от 1
до 30 длительность времени обслуживания заявки8 на передачу данных
Та менялась в пределах от 0,064 до 0,185, что можно считать приемле-
мым при передаче данных терпимых к задержке. Результаты вычислений
показывают, что динамическое изменение скорости передачи данных по-
вышает коэффициент использования канальной единицы при сохранении
показателей качества обслуживания поступающих заявок. Таким образом,
применяя динамические механизмы распределения канального ресурса,
оператор получает возможность повысить эффективность использования
инфраструктуры мультисервисных линий связи.
При обслуживании заявок на передачу данных одним из важнейших
показателей QoS является время пересылки информационного сообщения.
Рассмотрим решение задачи оценки дополнительного объёма канального
ресурса на основе двух критериев: ограничения на максимальное значе-
ние доли потерянных заявок тг < 0,03 и ограничения на среднее время
обслуживания заявки на передачу данных Та < 0,1. Результаты соответ-
ствующих вычислений показаны на рис. 4.6 на примере модели со значе-
ниями входных параметров, использованными при расчёте характеристик,
представленных на рис. 4.5. Там же для сравнения приведены результа-
ты решения аналогичной задачи на основе выбора в качестве критерия
достаточности ресурса только значения максимальных потерь заявок.
В следующем разделе будет исследована ещё одна эффективная схема
динамического распределения канального ресурса линии, которую можно
использовать при обслуживании потоков данных, допускающих задержку
8 За единицу времени принята длительность времени обслуживания одной заявки на
передачу данных с использованием одной канальной единицы.
4.2. Модель передачи данных с ожиданием
295
Рис. 4.6. Дополнительное значение канального ресурса,
необходимого для обслуживания трафика данных
совместно с трафиком реального времени при
использовании нескольких критериев качества
обслуживания
в процессе передачи. Заполнение ресурса линии, свободного от передачи
трафика реального времени, регулируется с помощью буфера для задер-
жанного трафика данных.
4.2. Модель передачи данных с ожиданием
4.2.1. Распределение канального ресурса
Предположим, что в сети имеются технические возможности дробить
информационные сообщения, составляющие поток данных, на последова-
тельность макропакетов. Будем считать, что для обслуживания одного
макропакета используется одна канальная единица и все макропакеты мо-
гут передаваться независимо всеми свободными канальными единицами
296
Глава 4. Динамическое распределение канального ресурса
линии. Понятно, что такого рода параллельная обработка данных даёт
возможность ускорить процесс их транспортировки по сети и, соответ-
ственно, повысить эффективность использования передаточных возмож-
ностей мультисервисной линии. Будем также предполагать, что трафик
реального времени имеет абсолютный приоритет в занятии канального
ресурса перед макропакетами. Его действие проявляется в вытеснении
макропакета с передачи в буфер, если указанный переход необходим по
условиям совместного обслуживания заявок. Построим математическую
модель предложенной схемы распределения канального ресурса.
4.2.2. Математическое описание модели
Пусть v — скорость передачи информации мультисервисной линии, вы-
раженная в единицах канального ресурса. На линию поступает п потоков
заявок для передачи трафика сервисов реального времени и поток заявок
на передачу трафика данных, допускающего возможность задержки в пе-
ресылке информации. Предположим, что поступление заявок всех типов
подчиняется закону Пуассона, а время их обслуживания имеет экспонен-
циальное распределение. Введём обозначения для параметров к-го потока
заявок на передачу трафика реального времени. Пусть Хк — интенсивность
поступления заявок, — среднее время их обслуживания, Ьк — число
единиц ресурса, используемых для обслуживания заявки, к = 1,2,
Будем предполагать, что трафик данных представляет собой последова-
тельность макропакетов, поступающих на линию с интенсивностью Arf.
Обозначим через ± среднее время передачи одного макропакета. Примем
также, что для обслуживания одного макропакета используется единич-
ный ресурс линии, т.е. bd — 1. Если макропакет поступает в то состояние
системы, когда все v единиц ресурса линии заняты передачей трафика
реального времени и данных, то он попадает в буфер на ожидание. Чис-
ло мест для ожидания предполагается ограниченным и равным L. Схема
функционирования построенной модели приведена на рис. 4.7
В анализируемой системе трафик реального времени имеет абсолют-
ный приоритет в использовании ресурса линии перед трафиком данных.
Действие приоритета означает следующее. Если при поступлении заявки
к-го потока число свободных единиц ресурса линии if меньше, чем Ьк, но
при этом имеется не менее чем bk — if единиц ресурса, занятых переда-
чей макропакетов, то для bk — if единиц ресурса линии эта передача пре-
рывается. Далее Ьк единиц ресурса занимаются на время обслуживания
поступившей заявки к-го потока, a bk — if макропакетов, вытесненных
4.2. Модель передачи данных с ожиданием
297
Характеристика
поступления
заявок
Передаточный
ресурс линии в
канальных
единицах
Отличительные
свойства
Заявки на канальный ресурс для Заявки на канальный ресурс для
передачи трафика данных, допускающего передачи трафика сервисов реального
Я1, bi,
f bn ,
Тип трафика
• Совместная передача
трафика сервисов
реального времени и
данных, допускающих
задержку
Тип модели
• Трафик сервисов реального
времени имеет абсолютный
приоритет в использовании
ресурса, прекращая при
необходимости передачу
данных
• Заблокированные и
вытесненные с передачи
макропакеты становятся в
буфер на ожидание
Область использования
* Расчёт пропускной
способности
мультисервисных линий
связи
Рис. 4.7. Схема функционирования модели звена мультисервисной
сети с возможностью ожидания начала обслуживания
для заявок на передачу данных в форме макропакетов
298
Глава 4. Динамическое распределение канального ресурса
из передачи, переходят на свободные места для ожидания.Если при этом
для части макропакетов свободных мест не хватает, то они теряются без
возобновления. Обозначим через Tw максимально допустимое время пре-
бывания одного макропакета на ожидании. Если по прошествии этого вре-
мени макропакет не попал на передачу, то он покидает систему и считается
потерянным. Если макропакет был вытеснен из передачи и вновь занял
место для ожидания, то отсчёт времени, ограничивающего его пребывание
на ожидании, начинается заново. Будем предполагать, что длительность
ограничения на пребывание пакета в буфере имеет экспоненциальное рас-
пределение с параметром п.
При наличии в системе мест ожидания поступивших и вытесненных с
передачи макропакетов необходимо задать процедуру занятия свободно-
го места для ожидания и алгоритм выбора ожидающего макропакета для
постановки его на передачу. Будем считать, что данная процедура опи-
сывается алгоритмом «первый пришёл — первый на обслуживание». Де-
лая это предположение, необходимо отметить, что задание любой другой
дисциплины выбора из очереди при условии её независимости от длины
макропакета не меняет среднее значение задержки. Это так, поскольку
из формулы Литтла (см. сноску на стр. 280) значение задержки опреде-
ляется средним числом макропакетов, находящихся на ожидании, а эта
величина при выполнении сформулированных выше условий не зависит
от алгоритма постановки и выбора из очереди.
Рассмотрим, какие виды потерь заявок на передачу трафика реально-
го времени и макропакетов возможны в модели. Заявка fc-ro потока на
передачу трафика реального времени может потеряться, если поступит в
то состояние модели, когда не менее v — bk + 1 единиц ресурса линии за-
няты передачей трафика реального времени. В этой ситуации происходит
потеря заявки без её постановки на ожидание или возобновления в форме
повторного вызова. Макропакет может быть потерян по трём причинам:
• если в момент поступления макропакета выясняется, что все v еди-
ниц ресурса линии и L мест для ожидания уже заняты;
• из-за превышения максимально допустимого времени Tw пребывания
на ожидании;
• из-за вытеснения из обслуживания поступившей заявкой на передачу
трафика реального времени, если при этом выясняется, что все L
мест для ожидания уже заняты.
4.2. Модель передачи данных с ожиданием
299
Введём компоненты марковского процесса, используемого для описа-
ния исследуемой схемы совместного обслуживания трафика реального
времени и макропакетов. Пусть ik(t) — число заявок к-го потока на пе-
редачу трафика реального времени, находящихся в момент времени t на
обслуживании, к = 1, 2,..., п. Тогда значение i(t) = ii(t)bi + ... + in(t)bn
показывает, сколько единиц ресурса линии заняты в момент времени t пе-
редачей трафика реального времени. Пусть d(t) — число макропакетов,
находящихся в момент времени t на передаче и ожидании. Так как мак-
ропакет занимает единичный ресурс линии, то в случае i(t) + d(t) < v
величина d(i), а в случае i(t) + d(i) > v величина v — i(t) показывают,
сколько в момент времени t единиц ресурса заняты передачей макропа-
кетов. Число макропакетов, находящихся на ожидании, определяется по
тем же правилам. В случае i(t) + d(t) < v их число равно 0, а в случае
z(t) + d(t) > v имеется i(t) + d(t) — v макропакетов, находящихся в момент
времени t на ожидании.
Динамика изменения общего числа обслуживаемых заявок описывает-
ся многомерным случайным процессом
r(t) = («1 (/),..., in(t),d(t)),
определённым на конечном пространстве состояний S. Оно состоит из век-
торов (Ч,..., in, d) с компонентами г1?..., гп, d, принимающими значения
4 = 0,1,.
(4.12)
in — 0,1,.
г iibi • in—ibn—i
bn
d = 0,1,..., v + L — i\bi — ... — inbn,
где скобки J [ обозначают целую часть от соответствующего выражения.
Согласно сделанным предположениям случайный процесс, описываю-
щий функционирование модели, является марковским и может исследо-
ваться в стационарном режиме. Если предположить, что величина очере-
ди ожидающих макропакетов не ограничена, то можно указать соотноше-
ния между входными параметрами модели, когда стационарный режим не
существует.
300 Глава 4. Динамическое распределение канального ресурса
Пусть . ,zn,d) — стационарные вероятности состояний
(«1,... Они интерпретируются как доля времени пребывания
системы в состоянии с ik заявками к-го потока на передачу трафика
реального времени, находящимися на обслуживании, и d макропакетами,
находящимися на передаче или ожидании. Приведённая интерпретация
значений p(ii,... ,in,d) позволяет определить, а затем и рассчитать
основные показатели качества совместного обслуживания поступающих
заявок.
4.2.3. Показатели качества обслуживания заявок
В соответствии с обсуждением, проведённым в разделе 1.5, будем ха-
рактеризовать процесс совместного обслуживания заявок вероятностью
допуска к канальному ресурсу и средним объёмом занятого канального
ресурса при обслуживании трафика реального времени, а также време-
нем доставки и вероятностью доставки для макропакетов данных. Вве-
дённые показатели могут быть найдены суммированием вероятностей
р(«1,..., in, d) по специальным образом выбранным подмножествам состо-
яний S. Пусть в состоянии (ф,..., Д, d) величина i означает ресурс линии,
занятый передачей трафика реального времени, i = i]b\ + ... + inbn. При-
ведём формальные определения показателей качества совместного обслу-
живания заявок, необходимые для проведения вычислений. Начнём с по-
казателей обслуживания заявок на передачу трафика реального времени.
Соответствующие определения аналогичны тем, что были использованны
для базовой модели мультисервисного звена (см. раздел 2.1.2).
Доля тгк заявок к-го потока на передачу трафика реального времени
к — 1,2, ...,п, потерянных из-за отсутствия свободного канального ре-
сурса линии, определяется как доля времени пребывания процесса г(£)
в состояниях, когда более чем v — Ьк единиц ресурса заняты передачей
трафика реального времени, т.е. речь идёт о состояниях (Д,..., in, d), удо-
влетворяющих условию i + Ьк > v,
ък = 52 p(«i,...,zn,d).
Средняя величина тк канального ресурса линии, занятая передачей
трафика реального времени к-го потока, определяется как соответствую-
щее среднее значение
тк = 52 p(ii,-..,in,d)ikbk.
4.2. Модель передачи данных с ожиданием
301
Для оценки основных показателей обслуживания макропакетов необхо-
димо ввести ряд дополнительных характеристик. В модели различаются
три причины потери макропакетов. Их реализация задаёт общую долю
потерянных макропакетов. Отдельные составляющие этой суммы опреде-
ляются из следующих соображений. Долю тг^ь макропакетов, потерянных
из-за отсутствия свободного ресурса линии и занятости всех мест ожида-
ния, определим из соотношения
|(ii,...,in,d)&S | г+й=г>+ь|
Долю 7Гф макропакетов, вытесненных из обслуживания поступившей
приоритетной заявкой на передачу трафика реального времени и поте-
рянных из-за занятости всех L имеющихся мест ожидания, определим как
отношение интенсивностей соответствующих событий. Заявка к-го потока
трафика реального времени будет принята к обслуживанию, если ком-
поненты состояния («!,..., in, (Г) Е S удовлетворяют условию i + bk < v,
к = 1,2,... ,п. Чтобы при этом произошла потеря некоторого числа вы-
тесненных из передачи макропакетов (из-за недостатка свободных мест
ожидания), необходимо потребовать для компонент рассматриваемого со-
стояния in, d) выполнения неравенства i + d + bk > v + L. В ана-
лизируемом случае число макропакетов, вытесненных и потерянных из-за
занятости мест ожидания, определяется из выражения i + d + bk — v — L.
В результате, для оценки значения 7Гф получаем такое соотношение
1 "
7TdP = Y^ 52 p(ii,...,zn,d)x
k=l ( ]
{ (ji,...,in,d)GS | v+L—d<i+bk<v r
x Xk(i + d + bk — v — L).
Долю y^dw макропакетов, потерянных из-за неудачного завершения вре-
мени ожидания, определим как отношение интенсивности ухода макропа-
кетов из мест ожидания к интенсивности поступления макропакетов на
передачу
^dw » Р(р11 •
Г ,1
•j I i+d>v >
in,d)(i + d — v).
302 Глава 4. Динамическое распределение канального ресурса
Общую долю 7гг/ потерянных макропакетов определим как сумму от-
дельных долей по всем трём отмеченным выше причинам
ftd — ftrfb “Ь ft dp “Ь ftdw
Отсюда доля TTdd макропакетов, успешно доставленных по назначению,
находится как величина, дополнительная к 71д
ftdd 1 ftdb ft dp ftdw
Следующая группа показателей необходима для оценки среднего вре-
мени доставки макропакета (эффективная скорость передачи данных), ко-
торую определим из формулы Литтла (см. сноску на стр. 280). Отдельные
компоненты, участвующие в записи формулы, находятся из следующих
соображений.
Среднее число mds канальных единиц линии, занятых передачей мак-
ропакетов, определяется как соответствующее среднее значение
W, = 52 p(ii,...,«n,d)d +
+ 52 p(ii,...,in,d)(v-i).
| г+с!>г>}-
Среднее число mdw мест ожидания, занятых макропакетами, опреде-
ляется как соответствующее среднее значение
mdw = 52 p(zi,---,«n,^)(« + d-^)-
Среднее время Td доставки макропакета (среднее время нахождения
макропакета в ожидании и на передаче) в соответствии с формулой Литт-
ла определяется как отношение
гр __ ^'(Ls “Ь TTldw
d Xd(l-7Tdby
Чтобы использовать введённые характеристики для оценки качества
совместного обслуживания заявок на передачу трафика реального вре-
мени и данных, необходимо найти значения стационарных вероятностей
p(zi, • • ,in,d). В следующем разделе будут рассмотрены детали решения
сформулированной задачи.
4.2. Модель передачи данных с ожиданием
303
4.2.4. Формирование системы уравнений равновесия
Для вычисления точных значений р(Д,..., in, (Г) необходимо составить
и решить систему уравнений статистического равновесия. Оптимальным
способом решения данной задачи с точки зрения универсальности под-
хода, а также лёгкости его реализации, является использование итераци-
онного метода Гаусса-Зейделя. Соответствующий алгоритм был подробно
изложен при исследовании модели мультисервисной линии с обобщённой
схемой резервирования (см. раздел 3.2.4). Практически все модели, рас-
смотренные в книге, рассчитаны с использованием данного алгоритма.
Эффективность его реализации существенным образом опирается на воз-
можность записи системы уравнений равновесия в виде одного соотноше-
ния с алгоритмически вычисляемыми коэффициентами при неизвестных
значениях вероятностей. Имея ввиду важность формализованного пред-
ставления системы уравнений равновесия, проведём изложение этапов ре-
шения этой задачи с большей степенью детальности.
В соответствии с известными теоретическими положениями при фор-
мировании системы уравнений равновесия необходимо определить и про-
суммировать интенсивности наступления всех событий, которые выводят
процесс т(£) из произвольного состояния (ii, d) G S (левая часть си-
стемы уравнений равновесия), и приравнять к суммарной интенсивности
перехода r(t) в состояние («1,... ,zn,d) (правая часть системы уравнений
равновесия). Наличие тех или иных интенсивностей переходов при запи-
си системы уравнений равновесия зависит от соотношения между числом
заявок на передачу трафика реального времени и макропакетов, находя-
щихся в системе на обслуживании или ожидании.
Перечислим значения слагаемых, определяющих величину коэффици-
ента при Р(«!,...,zn,d) в левой части системы уравнений равновесия, а
также укажем к каким изменениям в модели приведёт реализация соот-
ветствующих событий и сформируем условия их наступления. Состояние
(«1,..., in, d) изменяется в результате наступления следующих событий.
1. При увеличении числа заявок к-го потока на передачу трафика ре-
ального времени, находящихся на обслуживании, к = 1,2,... ,п. Дан-
ные события наступают с интенсивностью А& при условии, что сум-
марный ресурс линии, занятый на обслуживание трафика реального
времени, менее либо равен v — bk.
2. При увеличении числа макропакетов, находящихся на передаче или
ожидании. Эти события наступают с интенсивностью А^ при условии,
304 Глава 4. Динамическое распределение канального ресурса
что суммарное число занятых единиц ресурса линии и мест ожида-
ния менее чем v + L.
3. При уменьшении числа заявок к-го потока на передачу трафика
реального времени, находящихся на обслуживании, к = 1, 2,..., п.
Данные события наступают с интенсивностью iki-ik при условии, что
число обслуживаемых заявок к-го потока на передачу трафика ре-
ального времени более нуля.
4. При уменьшении числа макропакетов, находящихся на обслужива-
нии. Эти события наступают с интенсивностью dfiej при условии, что
суммарное число единиц ресурса линии, занятых на обслуживание
трафика реального времени и макропакетов, менее либо равно v.
5. При уменьшении числа макропакетов, находящихся на обслужива-
нии. Эти события наступают с интенсивностью (у—г)ца при условии,
что суммарное число единиц ресурса линии, занятых на обслужива-
ние трафика реального времени, и число передаваемых и находя-
щихся на ожидании макропакетов более чем v.
6. При уменьшении числа макропакетов, находящихся в ожидании. Эти
события наступают с интенсивностью (d + i — г?)сг при условии, что
суммарное число единиц ресурса линии, занятых на обслуживание
трафика реального времени и число передаваемых и находящихся на
ожидании макропакетов более, чем v.
В правой части формируемой системы уравнений равновесия долж-
ны находиться слагаемые, показывающие, из каких состояний, с какой
интенсивностью и при каких условиях возможен переход процесса r(t) в
состояние (Д,... ,in,d). Приведём перечень этих слагаемых. Переход r(t)
в состояние (Д,... ,in, d) возможен в следующих ситуациях.
1. Из состояния (Д,..., г,- — 1,..., гп, d) с интенсивностью Хк в резуль-
тате поступления на обслуживание заявки к-го потока на передачу
трафика реального времени. Условием наступления события являет-
ся выполнение неравенства ik > 0, к = 1, 2,..., п.
2. Из состояния («1,..., Zfc — 1,..., ги, d+f) с интенсивностью Хк в резуль-
тате поступления на обслуживание заявки к-го потока на передачу
трафика реального времени и вытеснения из обслуживания j мак-
ропакетов с дальнейшей их потерей из-за занятости всех мест ожи-
дания. Здесь к = 1,2,... ,п, a j — 1,2,... ,bk- Условием наступления
4.2. Модель передачи данных с ожиданием
305
данного события является выполнение соотношений между компо-
нентами состояния в виде соотношений ik>Oni + d — v + L.
3. Из состояния (ii,..., in, d — 1) с интенсивностью Ла в результате по-
ступления на обслуживание макропакета. Для наступления события
необходимо, чтобы d > 0.
4. Из состояния (г1?..., г&+1,..., гп, d), А; = 1,2,..., п с интенсивностью
(ik + l)nk в результате завершения обслуживания заявки к-го потока
на передачу трафика реального времени. Для наступления события
необходимо, чтобы компоненты состояния удовлетворяли неравен-
ству i + bk < v, к — 1, 2,..., п.
5. Из состояния («1,..., in, d + 1) с интенсивностью (d + 1)да в резуль-
тате завершения обслуживания макропакета. Условием наступления
события является выполнение соотношения для компонентов состо-
яния в виде неравенства i + d + 1 < v.
6. Из состояния (г1;..., in, d+l) с интенсивностью (г> —г)да в результате
завершения обслуживания макропакета. Для наступления события
необходимо, чтобы компоненты состояния удовлетворяли неравен-
ству v<i + d+ X<v + L.
7. Из состояния (г1;..., in, d + 1) с интенсивностью (г + d + 1 — г>)<7 в
результате превышения максимально допустимого времени пребы-
вания макропакета на ожидании. Условием реализации события яв-
ляется выполнение неравенств v<i + d+ l<v + L.
Приравняв найденные интенсивности выхода из произвольного со-
стояния (ii,... ,in,d) к суммарной интенсивности перехода в состояние
(ii,... ,in, d), получаем уравнение из системы уравнений статистического
равновесия для состояния (гъ ..., гп, d) G S. В приведённой далее системе
условия наступления тех или иных событий, указанных в рассмотренных
выше перечнях, будут определяться с помощью значений индикаторной
функции /(•), заданной выражением (2.7). После выполненных преобра-
зований запись системы уравнений равновесия приобретает следующий
вид:
P(«1,...,zn,d)x (4.13)
х ( 52 ^kl(i + bk <v) + Xdl(i + d <v + L)+
\fc=i
306
Глава 4. Динамическое распределение канального ресурса
п
4- (ik > 0) 4- dfidI(i Н- d < u)4-
fc=i
4-((г> — + (d + i — v)a)l(i 4- d > v)
n
' P(ii, • • • >ik !)•••> ^n, d) Xkl (ik -> 0)4”
k=l
n !>k
4- ,ik 1,..., zn, d 4- j) x
k=lj=l
x XkI(i + d — v + L, ik > 0)4-
+F(zi, ...,in,d- l)XdI(d > 0)4-
n
4- P(ii, • • •, ik 4- 1, -
fc=i
, ?n, d) (ik 4- 1)/цД(i 4- bk < ^)4~
d~P(ii, • • •, in, d 4- l)(d 4-1)Ц{//(2 4- d 4- 1 < f)+
4-F(«i,..., г„, d + 1) (v - i)nd+
+(г + d + 1 - t>)cr \ l(v<i + d+ l<v + L\
(?i,..., in, d) € S-
Для значений P(ii,... ,in,d) выполнено нормирующее условие
< F(?i, • • -, in, d) — 1-
(il,... tin yd) (E S
Построенную формальную запись системы уравнений равновесия лег-
ко использовать в алгоритмической реализации итерационного метода
Гаусса-Зейделя решения системы (4.13). Для этого необходимо выполнить
следующие основные действия (см. раздел 3.2.4).
• Объявить массив P(ii,..., ги, d) для хранения компонент решения.
4.2. Модель передачи данных с ожиданием 307
• Задаться начальным приближением к ненормированным значениям
стационарных вероятностей.
• Организовать циклическое вычисление последовательности прибли-
жений к ненормированным значениям P(«i,..., in, d) с использова-
нием соотношений (4.13) для ir,... ,in,d, удовлетворяющих (4.12).
Условие выхода из цикла — достижение сходимости итерационной
процедуры по одному или нескольким критериям.
Для иллюстрации возможностей построенной расчётной процедуры
приведём численные данные, показывающие зависимость отдельных со-
ставляющих доли потерянных макропакетов ^ь, ^dp, ^dwi а также их сум-
мы 7Tj от X(j. Соответствующие зависимости показаны на рис. 4.8, где кри-
вая 1 — это значение 7r(^, кривая 2 — 7Гф, кривая 3 — 7rjw. Входные па-
Рис. 4.8. Зависимость отдельных составляющих доли потерянных
макропакетов от интенсивности их поступления
раметры принимают значения: v = 30, п = 3, L = 30, bk = 2/с, Xk =
fik — к = 1,2,3, ц^ = 1,сг = 0,1. Интенсивность предложенного трафика
сервисов реального времени, выраженная в эрланго-каналах, на одну ка-
нальную единицу р=0,4 ЭрлК. Величина Xd показана на рисунке. Понятно,
308
Глава 4. Динамическое распределение канального ресурса
что с ростом Ха доля потерянных макропакетов увеличивается. Это под-
тверждают приведённые численные данные. Они также показывают, что
отдельные составляющие этой характеристики могут и уменьшаться. Это
касается величин ттаР и 7Taw, для которых значения интенсивностей поте-
рянных макропакетов ограничены величинами фиксированных структур-
ных параметров модели v и L.
Используя равенства (4.13), можно получить соотношения, связываю-
щие значения введённых характеристик. Они представляют собой законы
сохранения интенсивностей потоков заявок, поступающих и обслуженных
на мультисервисном звене, и имеют следующий вид:
ХкЬкт^к -|- ткцк, к — 1,2,..., 77, (4.14)
Ха Хат^а -Ь ir^dl^d-
Для вывода (4.14) достаточно умножить (4.13) последовательно на ik,
к = 1,2,. ..,п и d, а затем просуммировать полученные выражения по
всем (Д,... ,zn,d) е S. Эти соотношения также, как и равенства (4.5),
полученные для модели звена с переменной скоростью передачи данных,
имеют характер законов сохранения и могут использоваться для оценки
введённых показателей совместного обслуживания заявок, а также для
косвенной проверки сходимости итерационного метода решения системы
уравнений (4.13).
Понятно, что порядок решаемой системы определяется размерами мас-
сива ненормированных значений вероятностей P(ii,..., in, d), размещае-
мого в памяти компьютера. При наличии большого числа потоков, а так-
же при анализе случаев, когда скорость линии выражается большим чис-
лом канальных единиц, реализация процедуры точного расчёта становит-
ся проблематичной. В этой ситуации необходимо искать приближённый
метод решения поставленной задачи. Обоснование метода, т.е. анализ по-
грешности, которую вносит в рассчитываемую характеристику его исполь-
зование, можно проводить с помощью средств точной оценки, разработан-
ных в настоящем разделе.
4.2.5. Формулировка метода декомпозиции
Для приближённой оценки показателей качества совместного обслу-
живания заявок на передачу трафика реального времени и данных будем
использовать технику декомпозиции. При реализации метода характери-
стики исследуемой модели рассчитываются с помощью соответствующих
4.2. Модель передачи данных с ожиданием
309
характеристик отдельных модулей, устроенных значительно проще, чем
исходная система, и допускающих решение в виде явной формулы или
простой рекуррентной зависимости. Поскольку потоки заявок на пере-
дачу трафика реального времени имеют абсолютный приоритет, то для
каждого из них доля потерянных заявок и средний ресурс, занятый на их
обслуживание, могут быть найдены независимо от процесса передачи мак-
ропакетов. Сделать это можно с помощью базовой модели мультисервис-
ного звена, введённой и подробно исследованной в разделе 2.1. Для оценки
показателей качества обслуживания макропакетов построим специально-
го вида вспомогательную модель с пачечным поступлением макропакетов
и возможностью ожидания. Перейдём к более детальной формулировке
предлагаемой расчётной процедуры.
Вначале предположим, что совпадают средние времена обслуживания
заявок на передачу трафика реального времени и трафика данных. Тогда
характеристики совместного использования ресурса линии можно оценить
раздельно, выполнив следующую последовательность действий.
1. Определяется скорость линии, обеспечивающая заданное (нормиро-
ванное) качество обслуживания заявок на передачу трафика реаль-
ного времени. Это можно делать независимо от процесса поступ-
ления и обслуживания макропакетов, поскольку трафик реального
времени имеет по отношению к ним абсолютный приоритет в исполь-
зовании канального ресурса линии.
2. Далее строится вспомогательная модель, в которой входные потоки
заявок на передачу трафика реального времени и поток макропаке-
тов объединяются в один поток с пачечным поступлением макропа-
кетов, обслуживаемых по схеме с ожиданием. Поступлению заявки,
требующей в исходной модели bk единиц ресурса на передачу тра-
фика реального времени во вспомогательной модели, будет соответ-
ствовать поступление пачки, состоящей из bk макропакетов. Пред-
полагается, что каждый макропакет, входящий в пачку, требует для
своей передачи единичный ресурс линии. В отличие от исходной мо-
дели здесь при отсутствии возможности передачи всех макропаке-
тов, составляющих пачку, она целиком не теряется. Те макропакеты,
для которых имеется передаточный ресурс или свободные места для
ожидания, занимают канал передачи информации или становятся
на ожидание, а избыток теряется. С использованием только вспо-
могательной модели находятся оценки доли успешно доставленных
макропакетов и среднего времени их задержки в системе.
310
Глава 4. Динамическое распределение канального ресурса
Обсудим ожидаемую точность вычисления введённых показателей сов-
местного обслуживания заявок. Поскольку заявки на передачу трафика
реального времени имеют абсолютный приоритет в использовании каналь-
ного ресурса, то их характеристики обслуживания будут найдены точно.
Рассмотрим теперь погрешность оценки характеристик передачи макро-
пакетов. Предполагается, что на этом этапе решена задача подбора ско-
рости линии, обеспечивающей нормированный уровень потерь заявок на
передачу трафика реального времени9. В этих условиях можно говорить о
близости процессов обслуживания и формирования очереди ожидающих
макропакетов в исходной и вспомогательной моделях. Дадим качественное
пояснение этому утверждению.
Действительно, когда в исходной модели происходит вытеснение из пе-
редачи части макропакетов поступившей приоритетной заявкой на пере-
дачу трафика реального времени, во вспомогательной модели этому со-
бытию будет соответствовать поступление пачки, требующей для своего
обслуживания такой же ресурс, что был использован для передачи тра-
фика реального времени. Поэтому число вытесненных из передачи мак-
ропакетов в исходной модели будет совпадать с числом макропакетов, со-
ставляющих пачку и потерянных из-за нехватки ресурса линии во вспомо-
гательной модели. То обстоятельство, что в исходной модели происходит
прерывание передачи у части макропакетов, а во вспомогательной модели
этого нет, не сказывается на реализации случайных величин используемых
для описания длительности занятия канального ресурса на обслуживание
поступившей заявки, поскольку соответствующие величины имеют экспо-
ненциальное распределение с одинаковым средним.
Иллюстрацией сформулированного положения служит рис. 4.9, где по-
ступившая заявка на передачу трафика реального времени вытесняет три
макропакета, находящихся на передаче. Для обслуживания поступившей
заявки необходимо наличие пяти свободных единиц ресурса линии. Уда-
лённые макропакеты поступают на ожидание, если есть свободные места,
или теряются. На рис. 4.10 показан результат наступления этого же со-
бытия во вспомогательной модели. Поступлению заявки на передачу тра-
фика реального времени соответствует поступление пачки из пяти мак-
ропакетов. Три из них теряются и поступают на ожидание, если имеются
свободные места, или покидают систему при их отсутствии.
93начение нормированных потерь, как правило, лежит в интервале от одного до
нескольких процентов.
4.2. Модель передачи данных с ожиданием
311
Макропакеты,
вытесненные из
передачи. Они
поступают на
ожидание или
теряются
Рис. 4.9. Исходная модель. Процесс вытеснения трёх
макропакетов, находящихся на передаче, поступившей
заявкой на передачу трафика реального времени. Для
обслуживания заявки требуется пять единиц ресурса
линии
Процедура формирования очереди ожидающих макропакетов во вспо-
могательной модели отличается от аналогичной процедуры, реализован-
ной в исходной модели, тем, что на ожидание направляется пачка макро-
пакетов (или фрагменты пачки), прототипом которой в исходной модели
является потерянная заявка на передачу трафика реального времени. Од-
нако в силу выполнения п. 1 сформулированной ранее процедуры декомпо-
зиции это событие имеет малую вероятность (в соответствии с принятым
значением нормированных потерь) и поэтому не должно сильно сказы-
ваться на точности оценки. Соответствующее положение будет численно
исследовано в разделе 4.2.7, посвящённом анализу точности предложен-
ной процедуры приближённого счёта. Случай, когда средние времена об-
служивания заявок на передачу трафика реального времени и трафика
данных не совпадают, сводится к случаю одинаковых значений длитель-
312
Глава 4. Динамическое распределение канального ресурса
Рис. 4.10. Вспомогательная модель. Потеря трёх из пяти
макропакетов, составляющих пачку, из-за
недостаточности свободного ресурса линии
ностей обслуживания путём эквивалентного преобразования параметров
входных потоков заявок на передачу трафика реального времени.
4.2.6. Оценка показателей качества обслуживания
заявок
Рассмотрим применение сформулированного алгоритма для исследу-
емой модели мультисервисного звена. Наиболее просто решается задача,
представляющая собой первый шаг реализации процедуры декомпозиции,
введённой в разделе 4.2.5. Заявки на передачу трафика реального време-
ни имеют абсолютный приоритет в занятии канального ресурса. Это даёт
возможность рассчитать точные значения mk, к = 1,2,... ,п, с помо-
щью алгоритмов, полученных для базовой модели мультисервисной линии
(см. раздел 2.1). Значение объёма канального ресурса линии, минималь-
но достаточного для обслуживания заявок на передачу трафика реального
времени, определяется с помощью процедуры, изложенной в разделе 2.1.6.
4.2. Модель передачи данных с ожиданием 313
Перейдём к реализации п. 2 предложенной схемы расчёта модели. На-
помним, что рассматривается случай, когда времена обслуживания за-
явок на передачу трафика реального времени и данных имеют одинаковые
средние значения, т.е. выполняются равенства дц, = /id = д, к = 1,2,..., п.
Для оценки характеристик передачи макропакетов построим вспомога-
тельную модель. С этой целью объединим поступаюгцие потоки заявок
на передачу трафика реального времени и данных в один пуассоновский
поток с интенсивностью А, вычисляемой из соотношения
А = Ai + ... + А„ + А^.
Поступающая заявка объединённого потока представляет собой пачку,
состоящую из некоторого числа макропакетов. Предположим, что с ве-
роятностью fs поступившая пачка содержит s макропакетов. Каждый из
этих s макропакетов использует для своей передачи единичный ресурс ли-
нии. Для удобства записи последующих формул будем предполагать, что
индекс s для fs меняется от 1 до v + L (т.е. поступившая пачка не может
быть пустой, и её объём не превосходит суммы имеющегося канального
ресурса линии и объёма буфера).
Рассмотрим возможность использования вспомогательной модели для
оценки показателей обслуживания макропакетов в исследуемой модели
мультисервисного звена. Поступлению заявки в исходной модели, требую-
щей единиц ресурса на передачу трафика реального времени, во вспо-
могательной модели, будет соответствовать поступление пачки из s = bk
макропакетов. Найдём выражение для fs через значения входных пара-
метров исходной модели. Для исследуемой модели обозначим через Gs
множество, состоящее из номеров потоков, обладающих свойством bk — s
для всех к G Gs. Определим fs из соотношений
11 \ 1 Е Afc, Gs/0,
Л-T ^+EaJ, fs= Sfe, ’ s > 2. (4.15)
Л \ fceGi / [0, Gs = 0,
Сделанный выбор значений вероятностей размеров пачки позволяет ре-
конструировать во вспомогательной модели входной поток, поступающий
в исходной модели. Отметим, что во вспомогательной модели все переда-
ваемые информационные сообщения представлены в виде макропакетов.
Для оценки объёма канального ресурса линии, занятого на передачу мак-
ропакетов, и числа мест ожидания, занятых макропакетами, воспользу-
емся известным точным значением средней величины ресурса, занятого
314 Глава 4. Динамическое распределение канального ресурса
обслуживанием трафика реального времени. Продолжим описание схемы
функционирования вспомогательной модели.
Если при поступлении пачки, состоящей из s макропакетов, имеется
достаточный объём ресурса, то s канальных единиц занимаются на вре-
мя передачи поступивших макропакетов. Время занятия каждой единицы
ресурса имеет экспоненциальное распределение с параметром //. Если ре-
сурса для передачи всей поступившей пачки не хватает, то занимается
имеющийся свободный ресурс, а оставшиеся макропакеты, составляющие
пачку, уходят на свободные места ожидания, а если и их не хватает, то из-
быток макропакетов теряется без возобновления. Время пребывания мак-
ропакета на ожидании ограничено случайной величиной, имеющей экспо-
ненциальное распределение с параметром а.
Заметим, что здесь в отличие от исходной модели освобождение всех
единиц ресурса, занятого передачей макропакетов, составляющих пачку,
не происходит одновременно, а у каждого макропакета в отдельности в
соответствии с реализацией случайной величины, имеющей экспоненци-
альное распределение с одним и тем же средним. Отмеченное изменение
алгоритма занятия ресурса линии даёт возможность при описании вспо-
могательной модели не фиксировать номер потока заявки, принятой на
обслуживание, а отмечать только общее число занятых единиц ресурса
линии и мест ожидания. Это обстоятельство позволяет вести анализ ис-
следуемой модели в рамках марковского процесса, имеющего достаточно
простую структуру. На рис. 4.11 показана схема функционирования по-
строенной вспомогательной модели.
Функционирование исследуемой модели описывается марковским про-
цессом £(£), где £(£) — суммарное число макропакетов, находящихся в мо-
мент времени t в ожидании и на передаче. Введённый процесс определён
на пространстве состояний, в которое включены целые числа 0,1,... ,v+L.
Пусть р(£) — вероятности стационарных состояний модели. Система урав-
нений статистического равновесия, связывающая ненормированные зна-
чения Р(£), имеет вид
(Л + ф)Р(£) = x(p(Q)fe + • • • + Р(£ - l)/i)+ (4.16)
+Р(£+1)(£+1)щ
€ = 0,1,..., г; — 1;
4.2. Модель передачи данных с ожиданием
315
Поток с пачечным
поступлением
макропакетов
интенсивности
X = Xi +...+ Хп+ Х^
С вероятностью fs
пачка содержит S
макропакетов.
Каждый использует
для передачи
единичный ресурс
линии
Макропакеты, не
попавшие на
передачу, поступают
в буфер
Буфер
Скорость передачи
информации звена
мультисервисной
сети связи,
выраженная в
единицах ресурса,
требуемого для
обслуживания
поступающих заявок
Потеря макропакета из-за
превышения времени
ожидания или нехватки мест
Рис. 4.11. Схема функционирования вспомогательной модели,
используемой для оценки показателей обслуживания
макропакетов
(А + vfi + (£ - v)<r)P(£) = A P(0)f€ + • • • + Р(£ - 1)Л +
+Р(£ + 1)(тц 4- (£ 4-1 - v)cr),
£ = v, v + 1,..., v + L — 1;
(гд + La)P(y + L) — X^P(fi)fv+L + Р(1)(/г)+£_1 + fv+b) 4---------Р
4-P(v 4- L — l)(fi 4- /2 4- ... 4- fv+L^,
£ = v + L.
316 Глава 4. Динамическое распределение канального ресурса
Для значений Р(^) выполнено условие нормировки
v+L
Е рю = 1-
€=0
Просуммируем (4.16) по £ от 0 до j — 1. После приведения подобных
членов получаем следующую рекуррентную формулу
Р(Д = (4.17)
\ / v+L v+L v+L \
= ЛО)ЕL + щ) Е /» + ---+Щ-1)Е/«
\ w=j w=j—l W=1 /
В соотношении (4.17) j = 1,2,... ,v + L, а величина A(j) находится из
равенства
»b) = {^+0_s)ff, (4'18)
Алгоритм вычисления значений Р(.'/) состоит из выполнения следую-
щих шагов:
1. Положим Р(0) = 1.
2. Для значений j, меняющихся последовательно от 1 до v + L, находим
ненормированные значения вероятностей P(j), используя соотноше-
ние
\ J-l v+L
Щ) = л77уЕЩ) Е /«.
V// 1=0 w=j—t
вытекающее из (4.17).
3. Определяем значение нормировочной константы
v+L
Л = Е
J=o
4. Вычисляем нормированные значения вероятностей р(Д, используя
соотношение
p(J) = j = 0,l,...,v +L.
4.2. Модель передачи данных с ожиданием
317
Таким образом, для оценки стационарных вероятностей р(Д, показы-
вающих значения доли времени пребывания вспомогательной модели в
состоянии с j макропакетами, находящимися на передаче или ожидании,
необходимо реализовать рекуррентную последовательность (4.17). С вы-
числительной точки зрения выполнение данной процедуры не вызывает
никаких затруднений. Воспользуемся построенной вспомогательной моде-
лью для оценки показателей передачи макропакетов в исследуемой моде-
ли мультисервисного звена. При обозначении оценок будем использовать
символы, введённые в разделе 4.2.3 для точных значений соответствую-
щих характеристик.
Среднее число макропакетов, находящихся на передаче и ожидании,
W = n^ds + mdu оценивается из соотношения
v+L п
md=Yl ~ 52 тк-
3=1 к-1
Величину Ylk=imk необходимо вычесть из Djif p(j)L поскольку во вспо-
могательной модели весь переданный трафик представлен макропакета-
ми.
Доля макропакетов, потерянных из-за занятости ресурса линии и мест
ожидания, и доля макропакетов, потерянных из-за вытеснения из пере-
дачи поступившей заявкой на передачу трафика реального времени при
недостатке мест ожидания, суммарно оцениваются долей макропакетов,
потерянных во вспомогательной модели из-за занятости ресурса линии
и мест ожидания. Для произвольного состояния (J), в котором находится
вспомогательная модель, среднее число потерянных макропакетов рассчи-
тывается из соотношения
fv+L X j + fv+L-1 х (j ~ 1) + - - • + fv+L—j+1 X 1,
где каждое из слагаемых определяется вероятностью поступления пачки,
содержащей такое число макропакетов, что будучи прибавленным к числу
j уже имеющихся на передаче и в ожидании макропакетов, оно составит
величину, строго большую v + L. Тогда для оценки доли потерянных по
разным причинам макропакетов и других показателей обслуживания за-
явок на передачу данных получаем выражения:
д v+L j—l
= т- 52 рО) 52 fv+L-^j -£)- р(у + l),
Ad j=1 e=Q
318 Глава 4. Динамическое распределение канального ресурса
a v+L
TTdb=p(v + L), 7tdw = — p(j)(j-v),
Ad j=v+l
ГТ1 md
T^d = 1 T^db dp ^dwi Td \ 7Z ?•
Ad(l - TTrfb)
Введённые показатели качества обслуживания заявок на передачу тра-
фика реального времени (доля потерянных заявок и средняя величина
используемого ресурса) зависят только от отношения интенсивностей их
поступления и обслуживания. Отсюда следует, что уменьшение или уве-
личение соответствующих параметров, выполненное в одинаковой пропор-
ции, не меняет значений указанных характеристик. Этот факт позволя-
ет свести расчёт модели с разной интенсивностью обслуживания заявок
на передачу трафика реального времени и макропакетов к модели с оди-
наковой интенсивностью, равной p.d. Для этого достаточно изменить ин-
тенсивность поступления заявок fc-ro потока с Хк на Xf. в соответствии с
формулой А£ = Ад,^-, к = 1,2, ...,п. После выполнения указанного пре-
образования для вычисления показателей качества совместного обслужи-
вания макропакетов и трафика реального времени можно использовать
алгоритм, предложенный в данном разделе. Для анализа погрешности,
вносимой в оцениваемые характеристики проведённым изменением вход-
ных параметров, применим методы точного расчёта модели, развитые в
разделе 4.2.4.
4.2.7. Погрешность приближённого счёта
Приведём численные данные, иллюстрирующие погрешность разрабо-
танных в разделах 4.2.5 и 4.2.6 приближённых методов. В таблице 4.3
показаны результаты точной и приближённой оценки вероятности и вре-
мени доставки макропакетов в зависимости от изменения интенсивности
их поступления. Входные параметры принимают значения: v = 30, п = 3,
L = 30, Afc = = 1, Ък = 2к, к = 1,2,3, pd = 1, <т = 0,1. Интенсив-
ность предложенного трафика сервисов реального времени, выраженная
в канальных единицах, в пересчете на одну канальную единицу линии со-
ставила р=0,4 ЭрлК. За единицу времени принята средняя длительность
обслуживания заявки. Величина Xd выражена в эрлангах и приведена в
таблице. Входные параметры были подобраны так, чтобы в соответствии с
реализацией п. 1 описания приближённого алгоритма, сформулированно-
го в разделе 4.2.5, обеспечить малые значения потерь заявок на передачу
4.2. Модель передачи данных с ожиданием
319
трафика реального времени. Для всех значений А,/ соответствующие вели-
чины потерь задаются равенствами тп = 0,0071; тг2 = 0,0183; тг3 = 0,0353.
Точные значения характеристик найдены после решения системы уравне-
ний равновесия (4.13) методом последовательных приближений (см. раз-
дел 3.2.4). Приближённые значения получены в результате реализации
схемы раздельного счёта, изложенной в разделе 4.2.6.
Таблица 4.3.
Результаты точной и приближённой оценки тгм и Td для модели
совместной передачи трафика реального времени и данных
Ad (Эрл) Td
Точно Приближённо Точно Приближённо
5 0,9968 0,9977 1,0290 1,0692
10 0,9884 0,9915 1,1013 1,0956
15 0,9555 0,9635 1,2793 1,2624
20 0,8607 0,8651 1,5358 1,5891
25 0,7246 0,7180 1,7057 1,7635
30 0,6077 0,5999 1,7383 1,7601
35 0,5212 0,5143 1,7168 1,7179
40 0,4561 0,4500 1,6863 1,6775
45 0,4054 0,4000 1,6584 1,6451
50 0,3649 0,3600 1,6351 1,6196
55 0,3317 0,3273 1,6159 1,5996
60 0,3040 0,3000 1,6001 1,5837
При передаче данных, осуществляемой в фоновом режиме по принципу
«лучшей попытки», качество обслуживания определяется вероятностью
доставки, обычно стремящейся к единице. На значение времени доставки
таких жестких ограничений не накладывается, и оно может меняться в
некоторых технически и экономически оправданных пределах. Исследуем
в этих условиях погрешность предложенной приближённой процедуры. На
рис. 4.12 для исследуемой модели звена показаны результаты точного и
приближённого вычисления времени доставки макропакета в зависимости
от изменения Xd для значений входных параметров: v = 30, п = 3, L = 200,
Ад, = цк — 1, Ьк = 2к, к = 1,2,3, /id = 1, а = 0,000001. Интенсив-
ность предложенного трафика сервисов реального времени, выраженная
320
Глава 4. Динамическое распределение канального ресурса
в канальных единицах, в пересчете на одну канальную единицу линии со-
ставила /9-0,4 ЭрлК. За единицу времени принята средняя длительность
обслуживания заявки. Величина Ха выражена в эрлангах и показана на
рисунке.
Интенсивность поступления макропакетов, (Эрл)
Рис. 4.12. Результаты точного и приближённого вычисления
времени доставки макропакета в зависимости от Ха
При данном выборе входных параметров макропакет с вероятностью,
близкой к единице, будет доставлен потребителю. Когда величина Ха при-
ближается к правой границе интервала изменения, обеспечивающего су-
ществование стационарного режима10, время доставки начинает резко воз-
растать. Отметим, что погрешность приближённого расчёта и в условиях
перегрузки сети остаётся высокой.
Рассмотрим особенности реализации метода декомпозиции в случае
разных значений среднего времени обслуживания для заявок на передачу
трафика реального времени и трафика данных. В таблице 4.4 исследуется
10В рассматриваемом случае это примерно 18,2429.
4.2. Модель передачи данных с ожиданием
321
погрешность, которую вносит в этой ситуации использование эквивалент-
ного преобразования параметров поступления и обслуживания заявок на
передачу трафика реального времени в соответствии со схемой, изложен-
ной в разделе 4.2.6.
Таблица 4.4.
Результаты исследования устойчивости значений показателей передачи
макропакетов к проведению эквивалентного преобразования параметров
поступления и обслуживания заявок на передачу трафика реального
времени
Характе- ристика м
2 4 6 8 10 12
0,01 0,905 0,862 0,815 0,765 0,714 0,664
0,1 0,921 0,880 0,832 0,780 0,728 0,675
T'dd 1 0,938 0,905 0,864 0,817 0,765 0,708
10 0,943 0,913 0,877 0,834 0,783 0,726
100 0,943 0,914 0,879 0,836 0,786 0,729
0,01 1,095 1,1381 1,185 1,235 1,285 1,333
0,1 1,079 1,120 1,168 1,220 1,272 1,323
Td 1 1,062 1,095 1,136 1,183 1,235 1,291
10 1,057 1,087 1,123 1,166 1,217 1,272
100 1,057 1,086 1,121 1,164 1,214 1,269
Переменными параметрами здесь являются /ц, которые для всех по-
токов подчиняются равенству цк = д, к = 1, 2,3, и значения А,/. Они при-
ведены в таблице. Величины других параметров фиксированы и опреде-
ляются из соотношений: v = 30, п — 3, L = 30, Хк — Цк = 1, Ьк — 2к,
к = 1,2,3, д</ = 1, = 0,5, д=0,8 ЭрлК. За единицу времени принята
средняя длительность обслуживания макропакета. Жирным шрифтом в
таблице выделены приближённые значения характеристик. Приведённые
в таблице численные данные показывают устойчивость значений показате-
лей передачи макропакетов к проведению эквивалентного преобразования
параметров поступления и обслуживания заявок на передачу трафика ре-
ального времени.
Анализ численных данных, представленных в таблицах 4.3, 4.4 и на
рис. 4.12 показывает, что точность оценки характеристик передачи макро-
322 Глава 4. Динамическое распределение канального ресурса
пакетов колеблется в пределах нескольких процентов. Это очень хороший
показатель предложенного метода, учитывая то обстоятельство, что реа-
лизация алгоритма раздельного счёта составляет доли секунды по срав-
нению со многими часами и десятками минут, требуемыми соответственно
при имитационном моделировании или решении системы уравнений рав-
новесия численными методами.
4.2.8. Оценка объёма канального ресурса
Воспользуемся построенной моделью для оценки объёма канального
ресурса, который необходим для обслуживания потоков данных, допуска-
ющих задержку в процессе передачи. Предполагается, что к этому момен-
ту уже решена задача оценки скорости линии для обслуживания приори-
тетного трафика реального времени с заданными показателями качества.
Данное решение может быть получено с использованием алгоритмов, по-
строенных для базовой модели мультисервисного звена (см. раздел 2.1.6).
Для проведения вычислений рассмотрим модель звена со значениями па-
раметров трафика реального времени: v = 50, п = 2, Ai = у, А2 = 5,
61 = 3, 62 = 5, Д1 = 1, д2 = lj которые были использованы при решении
аналогичной задачи для модели с переменной скоростью передачи данных
(см. раздел 4.1.6). Это позволит сравнить эффективность исследованных в
данной главе схем распределения канального ресурса. Напомним, что для
обслуживания трафика реального времени с заданным качеством необхо-
димо увеличить имеющийся ресурс линии до 78 канальных единиц.
Далее рассматривается возможность передачи трафика данных сов-
местно с трафиком сервисов реального времени. При проведении соответ-
ствующего исследования интенсивность потока данных последовательно
увеличивается от 0 до 30 Эрл через единицу. При этом среднее время об-
служивания одной заявки на передачу данных выбрано равным единице
Да = 1- Достаточность канального ресурса оценивается из выполнения
двух условий: ограничения на максимальное значение доли потерянных
заявок тг < 0,03 и ограничения на среднее время обслуживания заявки
на передачу данных Та < 1,25. Значение дополнительного объёма каналь-
ного ресурса в зависимости от величины интенсивности трафика данных
приведено на рис. 4.13.
Решение задачи получено после решения системы уравнений равнове-
сия (4.13) алгоритмом Гаусса-Зейделя. На этом же рисунке показаны ре-
4.2. Модель передачи данных с ожиданием
323
Рис. 4.13. Дополнительный объём канального ресурса,
необходимого для обслуживания трафика данных
совместно с трафиком реального времени для разных
схем использования ресурса
зультаты расчёта дополнительного объёма ресурса в ситуации, когда все
поступающие заявки обслуживаются по схеме трафика сервисов реального
времени. Из представленных данных видно, что использование задержки
с постановкой в буфер позволяет значительно экономить ресурс за счёт
более эффективного использования передаточных возможностей мульти-
сервисных линий связи. Отметим, что необходимость в дополнительном
объёме канального ресурса появляется, когда интенсивность трафика дан-
ных начинает составлять примерно треть и более от интенсивности трафи-
ка сервисов реального времени, выраженной в эрланго-каналах. До этих
значений имеющегося объёма канального ресурса хватает для передачи
данных с заданными показателями качества.
Рассмотрим решение поставленной задачи с помощью приближённых
методов, исследованых в разделе 4.2.5. Найденные значения дополнитель-
324 Глава 4. Динамическое распределение канального ресурса
ного объёма ресурса приведены на рис. 4.14 совместно с результатами точ-
ного решения сформулированной задачи. Результаты вычислений пока-
Рис. 4.14. Исследование погрешности приближённой оценки объёма
дополнительного ресурса для передачи трафика данных
зывают, что погрешность приближённого решения находится в пределах
нескольких канальных единиц, что является приемлемой точностью для
практического использования построенных расчётных процедур.
4.2.9. Сравнение динамических схем
Схемы распределения канального ресурса, рассмотренные в данной
главе, направлены на повышение эффективности использования каналь-
ного ресурса мультисервисных линий связи. Этот результат достигается за
счёт ускорения или задержки передачи трафика, допускающего указанные
условия обслуживания. Как уже отмечалось, потоки сообщений с указан-
ными характеристиками обслуживания появляются при работе с базами
данных, пересылке файлов и данных телеметрии, просмотре веб-страниц,
4.2. Модель передачи данных с ожиданием
325
использовании электронной почты и т.д. Действие динамических схем рас-
пределения канального ресурса на процесс использования передаточных
возможностей линий связи сродни эффекту статистического мультиплек-
сирования при передаче информации с помощью пакетных технологий.
И здесь, и там повышается коэффициент использования канального ре-
сурса. Только в динамических схемах это происходит сознательно и под
контролем оператора, а при статистическом мультиплексировании — на
основании статистических свойств поступающих информационных сооб-
щений.
Каждая из предложенных схем распределения канального ресурса по-
своему решает задачу ускорения передачи данных. Дадим им краткую
характеристику. В модели с динамически изменяемой скоростью переда-
чи трафик сервисов реального времени имеет относительный приоритет в
занятии и использовании канального ресурса перед трафиком сервисов пе-
редачи данных. Указанное преимущество выражается в уменьшении ско-
рости передачи данных до некоторого заранее оговоренного минимального
значения. При появлении свободного канального ресурса скорость пере-
сылки данных возрастает в соответствии с заданным набором скоростей
макроканалов. При этом не обеспечивается полное использование всех сво-
бодных канальных единиц линии. В модели с ожиданием трафик сервисов
реального времени имеет абсолютный приоритет в занятии и использова-
нии канального ресурса перед трафиком сервисов передачи данных, вы-
тесняя последний в буфер для повторной передачи. Здесь для передачи
данных используется весь свободный канальный ресурс. Отсюда следует,
что при использовании ожидания достигается большая загрузка каналь-
ной единицы линии. Правда, получается это за счёт установки буфера,
что может увеличить стоимость соответствующего решения.
Этот вывод подтверждается результатами численных расчётов, приве-
дённых на рис. 4.15, где показана зависимость коэффициента использо-
вания одной канальной единицы линии от интенсивности предложенного
трафика на одну канальную единицу для трёх моделей распределения ка-
нального ресурса: все заявки обслуживаются по схеме сервисов реального
времени, заявки на передачу данных обслуживаются со скоростью, за-
висящей от загрузки линии (см. раздел 4.1), заявки на передачу данных
обслуживаются с учётом возможности постановки в буфер на ожидание
(см. раздел 4.2). Входные параметры принимали значения: v = 100, п ~ 2,
= ^2 = , bi = 3, b2 = 5, = 1, ц2 = 1, = 1-
326 Глава 4. Динамическое распределение канального ресурса
Здесь р — интенсивность предложенного трафика в эрланго-каиалах на
одну канальную единицу.
Интенсивность предложенного трафика на одну канальную единицу, р (ЭрлК)
Рис. 4.15. Зависимость коэффициента использования канальной
единицы линии для разных вариантов распределения
передаточного ресурса
4.3. Замечания и пояснения
Дифференцированное обслуживание заявок на выделение канального
ресурса является основой мероприятий по повышению эффективности ис-
пользования передаточных возможностей мультисервисных линий связи.
Это объясняет интерес к соответствующим моделям со стороны специа-
листов в области телетрафика. Однако до не давних пор получить какие-
либо результаты в этом направлении не удавалось из-за сложностей теоре-
тического плана. Они связаны с необходимостью учёта схем приоритеза-
ции заявок, динамического распределения канального ресурса и т.д. Тем
Литература к главе 4
327
не менее существует определённое продвижение в исследовании данной
проблематики. Эти результаты и составили содержание данной главы.
Материал, вошедший в раздел 4.1, новый и ранее не публиковался.
Рассмотренный механизм повышения эффективности использования ли-
ний связи соответствует практике распределения канального ресурса при
совместной передаче трафика сервисов реального времени и данных и, как
показало выполненное исследование, допускает оценку характеристик ка-
чества обслуживания заявок. Дальнейшее направление работ в этом на-
правлении — создание инженерных методик оценки показателей пропуск-
ной способности.
Материал, составивший содержание раздела 4.2, является дальней-
шим развитием соответствующих разделов монографии В.С.Лагутина и
С.Н.Степанова [4], а также других работ этих авторов [8 12]. Следует так-
же отметить и более ранние публикации по расчёту многопотоковых схем
с приоритетами для отдельных групп заявок [1—3,5—7,13]. К сожалению
в выполненных исследованиях не нашли должного отражения такие осо-
бенности современных сетей связи как наличие нескольких потоков заявок
с разными требованиями к ресурсу передачи, использование механизмов
дифференциации обслуживания поступающих заявок в зависимости от ти-
па и свойств передаваемых сообщений и т.д. Изучению этих и ряда других
проблем и были посвящены результаты, представленные в разделе 4.2.
Литература к главе 4
1. Захаров Г.П., Варакосин Н.П. Расчёт количества каналов связи при
обслуживании с ожиданием. Номограммы и таблицы. — М.: Связь,
1967.
2. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания: Пер. с англ. — М.:
Машиностроение, 1979.
3. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями: Пер. с англ. —
М.: Мир, 1979.
4. Лагутин В.С., Степанов С.Н. Телетрафик мультисервисных сетей
связи. — М.: Радио и связь, 2000.
5. Шварц М. Сети связи: протоколы, моделирование и анализ. В 2-х ч.
Ч. 1,11: Пер. с англ. — М.: Наука, 1992.
6. Broadband Network Traffic. Performance evaluation and design of
broadband multiservice networks. Final report of action COST 242 /
328
Глава 4. Динамическое распределение канального ресурса
James Roberts ... (ed). Lecture notes in computer sciences. Springer,
1996.
7. Halfin S., Segal M. A priority queueing model for a mixture of two types
of customers // SIAM J. Appl. Math. 1972. V. 23. №3.
8. Lagutin V.S., Stepanov S.N. Dimension of traffic system mixing
preemptive wideband and waitable narrowband calls // Proc. 3rd Inter-
national Conference Distributed Computer Communication Networks.
Theory and Applications. Tel-Aviv, 1999.
9. Stepanov S.N., Lagutin V.S., Iversen V.B. Performance Analysis of
Traffic System with Access Control Mixing Preemptive Wideband and
Queueable Narrowband Calls // Proc. ITC Specialists Seminar on Access
Networks and Systems. Spain. Girona. April 25-27, 2001.
10. Stepanov S.N., Iversen V.B., Lagutin V.S., Kostrov V.O. Modelling
Issues of Differentiated Services in MPLS Networks // Proc.
Sanct-Petersburg Regional International Teletraffic Seminar
Telecommunication Network and Teletraffic Theory. Russia. St.
Petersburg. LONIIS. 29 January-1 February, 2002.
11. Stepanov S.N., Iversen V.B., Kostrov V.O. Modelling and Performance
Measures Estimation for Networks with Differentiated Services //
Proc. 16-th Nordic Teletraffic Seminar. Finland. Espoo. Department
of Electrical and Communications Engineering. Helsinki University of
Technology, 21-23 August, 2002.
12. Stepanov S.N., Iversen V.B., Kostrov V.O. Modelling issues of
integrating services in Next Generation Networks // Proc. ITU-ITC
Regional Seminar on Network Evolution to Next Generation Networks
and Fixed Mobile Convergence for CEE, CIS and Baltic States. Russia,
Moscow, 27-30 April 2004.
13. Yamaguchi T., Akiyama M. An integrated hybrid traffic switching
system mixing preemptive wideband and waitable narrowband calls //
Electronics and Communications in Japan. 1970. V. 53-A. №5.
Глава 5
ОЦЕНКА
КАНАЛЬНОГО РЕСУРСА
МУЛЬТИСЕРВИСНЫХ СЕТЕЙ
Задача планирования пропускной способности узлов и каналов муль-
тисервисной сети разбивается на две фазы. На первом этапе оценивается
прозводительность отдельных линий и узлов. Для решения поставленной
задачи необходимо определить правила, которые задают движение инфор-
мационных потоков в сети. Эти правила дают возможность преобразовать
матрицу распределения трафика между любыми двумя точками сети в по-
токи заявок, предлагаемые для обслуживания на каждом из имеющихся
узлов или линий. Далее оцениваются показатели качества совместного об-
служивания заявок на отдельных звеньях мультисервисной сети. Для это-
го используются модели и алгоритмы, рассмотренные в главах 2-4. Каж-
дая из семи исследованных моделей отражает наиболее важные характе-
ристики процесса поступления и обслуживания заявок, которые необхо-
димо учитывать для повышения точности решения задач планирования
сетей связи. Среди них: особенности формирования входных потоков за-
явок (см. разделы 2.1, 2.2 и 3.3), условия реализации схем доступа к ка-
нальному ресурсу (см. разделы 3.1 и 3.2) и действие механизмов контроля,
направленных на повышение эффективности использования ресурса пере-
дачи информации (см. разделы 4.1 и 4.2).
Зависимость процесса обслуживания заявок на отдельных сегментах
сети учитывается на втором этапе планирования, когда результаты, по-
лученные на изолированных звеньях и узлах, увязываются с использова-
нием разного рода упрощающих предположений о движении трафика по
330
Глава 5. Оценка канального ресурса мультисервисных сетей
сети. Оптимальным способом расчёта сети с точки зрения сложности ре-
ализации и точности оценки показателей обслуживания заявок является
метод просеянного трафика. Особенности его применения для различных
схем формирования входных потоков заявок, механизмов распределения
канального ресурса и точности оценки показателей приёма заявок к об-
служиванию рассмотрены в данной главе.
В разделе 5.1 приводится математическое описание модели мульти-
сервисной сети, анализируемой на уровне соединения. В рассмотренной
постановке шкала времени между наступлением событий соответствует
процессу поступления и обслуживания заявок на передачу информации
пользователя. Это даёт возможность переформулировать задачу оценки
канального ресурса в терминах вычисления вероятности блокировки для
многопотоковых моделей с отказами. Введены основные структурные па-
раметры сети и даны определения показателям обслуживания заявок. Для
исследуемого класса моделей выполняется свойство мультипликативного
представления стационарных вероятностей. Однако наличия этого свой-
ства недостаточно для построения эффективных алгоритмов оценки ха-
рактеристик обслуживания заявок. Главным образом, из-за резкого роста
числа состояний. Единственным реальным способом расчёта модели оста-
ются методы, основанные на реализации приближённых алгоритмов. Для
оценки погрешности их применения предлагается использовать процедуры
имитационного моделирования. Рассмотрены особенности их реализации
для моделей мультисервисных сетей.
В разделе 5.2 для приближённого расчёта модели предлагается исполь-
зовать метод просеянного трафика. Своё название данный подход получил
по способу учёта зависимости между вероятностями потерь заявок на от-
дельных звеньях сети. Предполагается, что соответствующие вероятности
не зависят друг от друга, и вероятность получить отказ в выделении ресур-
са на всём пути следования трафика получается перемножением вероятно-
стей потерь на отдельных звеньях, составляющих маршрут его движения.
Приводится формулировка метода. Излагаются особенности его реализа-
ции для моносервисной сети. В разделах 5.3-5.5 рассмотрено обобщение
введённой процедуры для базовой модели мультисервисной сети, а также
для моделей сети с резервированием канального ресурса и учётом влияния
поведения абонента на процесс формирования входного потока заявок.
Завершает главу обсуждение полученных результатов и список цити-
руемых источников.
5.1. Математическое описание модели 331
5.1. Математическое описание модели
5.1.1. Структурные параметры
Рассмотрим сеть, состоящую из некоторого числа узлов, связанных
между собой линиями. Занумеруем их произвольным образом. Пусть J
— общее число линий, a Vj — скорость передачи j-ой линии, выражен-
ная в единицах ресурса, требуемого для обслуживания заявок на переда-
чу трафика, инициированного запрашиваемым инфокоммуникационным
сервисом, j = 1,2, ...,J. Будем предполагать, что в сети передаётся п
информационных потоков, которые следуют от одного узла сети к друго-
му. Занумеруем поступающие потоки цифрами от 1 до п. Поток заявок
на выделение канального ресурса, имеющий номер к, характеризуется ин-
тенсивностью поступления заявок А^, средним временем передачи инфор-
мации числом единиц ресурса, требуемого для обслуживания одной
заявки bk, и маршрутом следования информации ЯД состоящим из номе-
ров линий, используемых при передаче трафика, ассоциированного с /с-ым
потоком заявок. Для краткости будем называть маршрут, используемый
fc-ым потоком заявок, fc-ым маршрутом. Обозначим, как и прежде, через
Gfc = интенсивность предложенного трафика, выраженную в эрлан-
гах. На рис. 5.1 показан пример сети кольцевой структуры из пяти узлов.
На сети рассмотрено 10 маршрутов следования информационных потоков:
(1,2), (1,2,3), (2,3), (2,3,4), (3,4), (3,4,5), (4,5), (4,5,1), (5,1), (5,1,2).
Поступившая заявка к-го потока принимается к обслуживанию, когда
во всех линиях используемого маршрута имеются свободными не менее
bk единиц канального ресурса. Если хотя бы в одной из линий нет со-
ответствующего объёма ресурса, то поступившая заявка получает отказ
и не возобновляется. Пусть Nj — множество номеров информационных
потоков, проходящих через J-ую линию. Для формализованного описания
топологии сети и маршрутов следования информационных потоков введём
маршрутную матрицу R, в записи которой для удобства укажем номера
потоков и линий
я = 1Ы1 =
1 2 . п
1 г1,1 И,2 • О,п
2 Г2,1 0,2 • Г2,п
J 0,1 0,2 • Г^п
332
Глава 5. Оценка канального ресурса мультисервисных сетей
1
Рис. 5.1. Пример сети кольцевой структуры, имеющей 5 узлов, 5
линий и 10 маршрутов следования информационных
потоков
В приведённом формальном выражении для маршрутной матрицы ве-
личина rj fc, j = 1,2,..., J, к = 1,2,... ,п, определяется из выражения
г3,к = ’
Ьк,
0,
j-ая линия используется при обслуживании заяв-
ки к-го потока,
J-ая линия не используется при обслуживании за-
явки к-го потока.
Таким образом, анализируя численное значение можно сделать вы-
вод об использовании J-ой линии при построении к-го маршрута. И, если
ответ положительный, то узнать, сколько при этом занимается канальных
единиц на передачу соответствующего информационного потока. Номера
ненулевых элементов J-ой строки матрицы R составляют множество AJ
номеров потоков трафика, проходящих через j-ую линию. Аналогично,
номера ненулевых элементов к-го столбца матрицы R составляют множе-
ство Rk номеров линий, используемых при формировании к-го маршрута.
Структура матрицы R и правила образования множеств Nj, j = 1,2,..., J,
и Rk, к = 1,2,..., и, показаны на рис. 5.2.
334
Глава 5. Оценка канального ресурса мультисервисных сетей
установления соединения или передачи пользовательской информации.
Тем не менее, стоит отметить, что часть полученных далее результатов
будет применима и в этих случаях.
5.1.2. Показатели качества обслуживания заявок
Будем считать, что для каждого анализируемого потока поступление
заявок подчиняется закону Пуассона, а время обслуживания одной заявки
имеет экспоненциальное распределение. Отметим, что выполнение послед-
него предположения является избыточным. Полученные далее точные и
приближённые методы оценки показателей приёма заявок к обслужива-
нию справедливы и для моделей с произвольной функцией распределе-
ния времени передачи информации!!, если соответствующие времена не
зависят друг от друга и от поступающих потоков заявок. Данная модель
является естественным обобщением базовой модели мультисервисного зве-
на, исследованной в разделе 2.1. Покажем, что большинство результатов,
полученных при изучении этой модели, переносимы и на модель сети.
Обозначим через гк число заявок к-ro потока, находящихся на обслу-
живании, и введём n-мерное пространство состояний S, включающее в
себя вектора (i15 г2,..., in), удовлетворяющие естественным ограничениям
^bkik<Vj, j = 1,2,.. . ,J.
keNj
Здесь требуется, чтобы суммарный ресурс каждой линии сети, занятый
всеми потоками заявок, имеющими к ней доступ, не превосходил бы ско-
рости этой линии, выраженной в канальных единицах.
Для определения доли потерянных заявок к-ro потока введём множе-
ство состояний Uk, являющееся подмножеством S. В каждом из состояний
(ii, i2, • • , in) € Uk найдётся хотя бы одна линия, входящая в состав к-
го маршрута, в которой недостаточно свободного канального ресурса для
обслуживания поступающей заявки к-го потока.
Пусть ik(t) — число заявок к-го потока, находящихся в момент вре-
мени t на обслуживании. Динамика изменения с течением времени числа
обслуживаемых заявок описывается многомерным марковским процессом
r(t) = (ii(l), i2(i),..., in(£)), определённым на конечном пространстве со-
стояний S. Пусть p(?i, ... ,in) — значения стационарных вероятностей
состояния («1, г2, .., in) £ S.
Качество обслуживания заявок к-го потока будем характеризовать до-
лей 7Tfc потерянных заявок и средним числом канальных единиц сети тк,
5.1. Математическое описание модели
335
занятых на их обслуживание. Дадим им формальные определения. По-
скольку поступление заявок к-го потока подчиняется закону Пуассона, то
доля заявок, получивших отказ, находится как доля времени пребывания
процесса r(t) в состояниях, когда хотя бы в одной из линий, составляющих
fc-ый маршрут, не хватает свободных канальных единиц для обслужива-
ния поступившей заявки. Тогда значение тд определяется из следующего
соотношения
= 52 P(«M2,---,«n)- (5-1)
(Й.гг,—,«п)еЩ
Среднее число единиц ресурса сети, занятых обслуживанием заявок
к-го потока, находится из выражения
тпк = 52 ,in)ikbk- (5.2)
Можно показать, что для оценки тк достаточно знать величину потерь
тг^, поскольку справедливо выражение
W = аМД ~ Лк)- (5.3)
Пусть ук — среднее число заявок к-го потока, находящихся на обслужи-
вании. Понятно, что значение ук определяется из следующего выражения
Как уже было сказано, построенная модель мультисервисной сети яв-
ляется обобщением базовой модели мультисервисного звена, исследован-
ной в разделе 2.1. Для неё, как и для модели звена, выполняется ряд
важных утверждений, которые упрощают её анализ и использование в
практической деятельности. Обсудим соответствующие свойства.
5.1.3. Основные свойства модели
Одной из важнейших характеристик построенной модели сети явля-
ется наличие свойства мультипликативного представления вероятностей
стационарных состояний p(ii,22, - - ,гп)- Оно означает справедливость со-
отношения
. 1 сф а12 а1”
р(?1,12, • •, гп) — ‘’ -Д> (5-4)
N ц! г2! гп\
336
Глава 5. Оценка канального ресурса мультисервисных сетей
где
уу _ у- а1 а2 ап
/• «1! i2- М
для всех («1, г2,..., гп) G S.
Сформулированное утверждение доказывается по аналогии с тем, как
это было сделано для базовой модели в разделе 2.1.3. Кратко обсудим
последовательность преобразований, которые для этого необходимо вы-
полнить. Пусть канальный ресурс всех линий сети не ограничен, т.е. вы-
полняются соотношения Vj = ос, j = 1,2,..., J. Тогда число зявок к-го
потока, находящихся на обслуживании, имеет пуассоновское распределе-
ние с параметром
p(ik = t) = г = 0,1,...
г!
В силу независимости процессов обслуживания заявок всех потоков для
вероятностей совместных состояний p(i\, i2, •. • ,in) получаем мультипли-
кативное представление
p(«i,«2,• -•,гп) = е *==1 -—••ту-- (5.5)
«1! г2! U
Нетрудно проверить, что марковский процесс r(t), описывающий функ-
ционирование исследуемой модели сети, получается из соответствующе-
го обратимого марковского процесса r*(t), описывающего модель сети с
неограниченным ресурсом, если положить равными нулю интенсивности
перехода из состояний, принадлежащих S, в состояния, не принадлежа-
щие множеству S. По построению процесс r*(t) обратим. Это позволяет
утверждать, что процесс r(t) также обратим и его вероятности стацио-
нарных состояний находятся из стационарных вероятностей модели сети с
неограниченным ресурсом после перенормировки по конечному простран-
ству состояний S [15]. В результате, из (5.5) получаем (5.4).
Рассмотрим следующее важное свойство исследуемой модели мульти-
сервисной сети. Можно показать, что представление стационарных веро-
ятностей p(ii,i2, • • • ,in) в мультипликативной форме (5.4) сохраняется и
в случае, когда времена обслуживания заявок имеют произвольное рас-
пределение с конечным средним —. Доказательство данного утверждения
5.1. Математическое описание модели
337
состоит в выполнении следующей последовательности действий. Извест-
но, что случайная величина, имеющая произвольное распределение с ко-
нечным средним значением, может быть представлена как предел после-
довательности случайных величин, являющихся свёрткой конечного чис-
ла экспоненциально распределённых случайных величин, с тем же сред-
ним. Для них свойство мультипликативного представления вектора ста-
ционарных вероятностей (5.4) может быть получено непосредственно из
системы уравнений равновесия. Поскольку соотношение (5.4) выполняет-
ся для каждой случайной величины из предельной последовательности,
то по непрерывности оно будет выполняться и для предела. Устойчивость
выражений (5.4) по отношению к типу функции распределения времени
обслуживания заявки имеет большое значение для практического приме-
нения полученных результатов, поскольку значительно расширяет круг
моделей, которые можно использовать для оценки пропускной способно-
сти звеньев и узлов мультисервисных сетей.
Наличие свойства мультипликативности в форме (5.4) позволяет пе-
реписать определения показателей качества обслуживания заявок в виде
расчётных формул
£ _ а%_а%
N (».« Д)ет,. il!
nin
к = 1,2,..., п.
in-
Их можно использовать для вычисления введённых характеристик в слу-
чае простых сетей, когда число входных потоков невелико. Для некото-
рых более сложных сетевых конструкций свойство мультипликативности
служит основой для разработки эффективных рекурсивных алгоритмов
вычисления доли потерянных заявок и средней величины занятого ка-
нального ресурса. Примером такого алгоритма являет процедура свёртки,
рассмотренная в разделе 3.1.3, при исследовании модели мультисервисно-
го звена сети с ограниченным доступом. Свёрточные алгоритмы с успехом
используются при расчёте некоторых видов сетей доступа [18,19]. Однако
для реальных значений структурных параметров выражения (5.4) уже не
применяются из-за резкого увеличения числа состояний. Более того, для
сетей с произвольной топологией вычисление нормировочной константы
в выражении (5.4) относится к NP-полным задачам, что означает отсут-
ствие эффективных комбинаторных алгоритмов. Но даже в этих ситуаци-
ях свойство мультипликативности может быть использовано при оценке
показателей качества совместного обслуживания заявок, например, при
реализации процедур имитационного моделирования.
338
Глава 5. Оценка канального ресурса мультисервисных сетей
Понятно, что область применения точных алгоритмов ограничена по-
иском решения для сравнительно небольших сетей или специальных топо-
логий. Поэтому в общем случае значения показателей качества совмест-
ного обслуживания заявок могут быть найдены либо имитационным мо-
делированием, либо с использованием достаточно обоснованного прибли-
жённого метода. Соответствующие расчётные схемы будут исследованы в
последующих разделах.
5.1.4. Имитационное моделирование
Сложность реализации аналитических и алгоритмических методов рас-
чёта мультисервисных сетей существенным образом зависит от числа по-
токов, узлов и линий. Чем эти показатели больше, тем сложнее соответ-
ствующий случайный процесс и трудней вести численный анализ модели.
Этого нельзя сказать об имитационном моделировании. Реализация соот-
ветствующих процедур в слабой степени зависит от числа компонент в
моделируемом случайном процессе и от характера функций распределе-
ния длительностей интервалов времени между осуществлением событий.
Положительной характеристикой данного подхода является его ориента-
ция на возможности вычислительной техники. Поскольку быстродействие
компьютеров постоянно возрастает, то это увеличивает привлекательность
данного способа расчёта мультисервисных сетей связи.
Понятно, что имитационное моделирование имеет и свои недостатки.
К ним, в первую очередь, следует отнести большое время счёта, особенно
если речь идёт о решении разного рода оптимизационных задач, кото-
рое находится методом перебора вариантов. Время моделирования также
увеличивается при анализе редких событий, например, при оценке доли
потерянных заявок в области малых потерь. Учитывая эти ограничения,
имитационное моделирование обычно применяется для проверки досто-
верности приближённых алгоритмов и инженерных методик планирова-
ния сетей связи. При использовании соответствующих процедур особое
внимание следует уделять задачам определения необходимого количества
экспериментов и исследованию достоверности полученных результатов.
Эти проблемы обычно решаются методами математической статистики,
и здесь рассматриваться не будут.
Проанализируем последовательность действий, которую необходимо
выполнить при имитационном моделировании мультисервисной сети свя-
5.1. Математическое описание модели
339
зи. Для оценки доли потерянных заявок достаточно в момент её поступ-
ления знать число заявок всех видов, находящихся на обслуживании. Это
положение определяет вид состояния модели, которое задаётся вектором
(«1, «2, • • • гДе ik — число обслуживаемых заявок к-го потока. Два ти-
па событий меняют состояние модели. Это поступление новых заявок и
окончание времени занятия канального ресурса на их обслуживание. При
построении модели было принято, что длительности интервалов времени
между наступлением данных событий имеют экспоненциальное распреде-
ление с параметрами, соответственно, Хь и к = 1,2,... ,п.
Для вычисления соответствующих интервалов воспользуемся методом
Монте-Карло. Его реализация состоит из двух шагов. Вначале с помощью
датчиков, имеющихся в большинстве языков программирования, опреде-
ляется последовательность значений псевдослучайных величин Uj, равно-
мерно распределённых в интервале (0,1]. Данная последовательность на-
зывается псевдослучайной, поскольку она лишь ведёт себя, как случайная
последовательность. На самом деле она полностью задана математически-
ми выражениями и может быть при желании продублирована. Это иногда
бывает удобным при оценке достоверности алгоритма. Следующий шаг
состоит в определении последовательности реализаций экспоненциально
распределённой псевдослучайной величины Т с параметром а. Для этого
используется метод обратной функции, приводящий к известному соотно-
шению Tj = — Имеются и другие способы моделирования случайных
величин с заданными функциями распределения, включая табличные, ко-
гда их значения берутся непосредственно из измерений на действующих
сетях связи.
Одним из важных аспектов применения имитационной модели явля-
ется оценка адекватности полученных результатов ожидаемым по усло-
виям построения модели. Рассматриваемая проблема состоит из двух ча-
стей. Вначале необходимо проверить корректность составления програм-
мы. Для этого можно использовать частные случаи исследуемой модели,
для которых существуют альтернативные алгоритмы расчёта показателей
качества обслуживания заявок. В анализируемом случае для проверки
логики программы можно взять мультисервисное звено, рассмотренное в
разделе 2.1. Оно является частным случаем введённой модели сети и полу-
чается из неё при J = 1. Вторая часть проверки адекватности построенной
модели заключается в оценке её близости к анализируемой системе свя-
зи. Здесь в качестве реализаций используемых случайных величин мож-
340 Глава 5. Оценка канального ресурса мультисервисных сетей
но взять их истинные значения, полученные из результатов наблюдений.
Если таковых нет, то остаётся, по возможности, более точно сохранять
структуру и логику работы рассмотриваемой системы связи.
Следующий важный вопрос, который всегда приходится решать при
проведении имитационного моделирования — это построение доверитель-
ного интервала, т.е. построение верхней и нижней границ оцениваемой ха-
рактеристики, где с известной вероятностью находится её значение. Обыч-
но поступают следующим образом. Количество моделируемых событий,
например, поступивших заявок делят на отдельные т руппы, которые назы-
вают циклами. Для каждого цикла подсчитывают среднее значение харак-
теристики. Обозначим искомую характеристику через W, число циклов —
через w, а среднее значение характеристики, полученное в г-ом цикле —
через Wi- Для оценки значения W используют сумму
1 W
w = -'£wi.
Оценка дисперсии W имеет вид
1 W
SW=—(------
w(w - 1)
Если значение w не очень велико (25-30), то для вычисления границ до-
верительного интервала используется распределение Стьюдента. Для это-
го необходимо проверить принадлежность значений Wi выборке, имеющей
нормальное распределение. Тогда на основании результатов математиче-
ской статистики можно утверждать, что с вероятностью 1 — д истинное
значение IV принадлежит интервалу
W ± (5.6)
В соответствии с таблицами распределения Стьюдента для уровня доверия
1 — д — 95% и выборке объёма 25-30 значение квантили в (5.6)
примерно равно 2. Это значение будет использовано в данной главе при
имитационном моделировании исследуемой мультисервисной сети и ряда
её обобщений.
Как уже говорилось, в модели имеются два типа событий, которые мо-
гут изменить состояние модели. Это поступление новых заявок и освобо-
ждение канального ресурса, занятого их обслуживанием. Для оценки доли
потерянных заявок достаточно следить за изменением состояния модели в
5.1. Математическое описание модели
341
моменты осуществления каждого из перечисленных событий. Рассмотрим
схему занятия, освобождения и контроля за состоянием канального ресур-
са сети, которая позволит собирать статистику, необходимую для вычис-
ления данного показателя. Для её формального описания введём понятие
условного времени события. У всех возможных в данном состоянии собы-
тий оно отсчитывается от момента наступления последнего события и для
каждого рассматриваемого события определяет длительность интервала
времени до его наступления. Примеры изменения условного времени для
анализируемых типов событий показан на рис. 5.3. Окружность указы-
вает на наступление события, квадрат — на пересчёт условного времени
наступления события, инициированный наступлением события, отлично-
го, от рассматриваемого.
Отсчёт условно-
ного времени до
поступления
новой заявки
Отсчёт условно-
го времени до
завершения
обслуживания
заявок
Начало
отсчёта
условного
времени
Начало
отсчёта
условного
времени
Начало
отсчёта
условного
времени
Начало
отсчёта
условного
времени
Начало
отсчёта
условного
времени
Рис. 5.3. Примеры изменения условного времени в зависимости от
реализации событий
Для фиксации текущего состояния числа заявок, находящихся на об-
служивании и определении времени освобождения канального ресурса,
введём матрицу А = [сцД, к = 1,2,..., п, i — 1,2,..., v. Здесь п — число
потоков заявок, а v —- максимальный объём канального ресурса звена се-
ти. При фиксированном значении к число ненулевых компонентов в fc-ой
342
Глава 5. Оценка канального ресурса мультисервисных сетей
строке матрицы А показывает общее число заявок к-го потока, находя-
щихся на обслуживании. Если Тая компонента к-ой строки не равна нулю,
то значение ак^ показывает условное время до окончания обслуживания
соответствующей заявки к-го потока, к — 1, 2,..., п.
Пусть соответственно, — условные времена до поступления заяв-
ки от одного из п входных потоков (поскольку все входные потоки пуассо-
новские, то принадлежность заявки к одному из имеющихся потоков лег-
ко определяется) и окончания времени обслуживания заявки к-го потока,
к = 1,2,... ,п. Пусть $ — длительность интервала времени до наступления
очередного события. Она находится как минимум из следующих величин:
$ = min($o,$i,...,$n),
где
-дк = min (ак; >0), к = 1,2,..., п.
l<i<v
В зависимости от реализации минимума значение определяет тип
события и условное время его наступления. Поскольку изменения в состо-
яниях модели в соответствии с каждым из различаемых событий происхо-
дят одинаково, то достаточно показать их на примере поступления заявки
1-го потока. Пусть U — значение датчика псевдослучайных чисел, исполь-
зуемого для генерации последовательности величин, имеющих равномер-
ное распределение в интервале (0,1]. По предположению, минимальным
оказалось время до поступления заявки 1-го потока. Тогда последую-
щие шаги алгоритма имитационного моделирования выглядят так:
1. Для всех реализуемых в данный момент событий изменяется услов-
ное время до их осуществления. Для этого значение i9a вычитается
из всех ненулевых компонент матрицы А.
2. Моделируется тип следующей заявки и время до её поступления.
Поступившая заявка будет относиться:
(а) к 1-му потоку при выполнении неравенства
(Ь) к к-му потоку, к = 2, 3,..., п, при выполнении неравенства
Л1 + ... + Afc-i Л1 + ... + At
Al + ... + An Al +... + А„
5.1. Математическое описание модели
343
Время до поступления следующей заявки независимо от номера по-
тока определяется по формуле
А1 + ... + Ап
3. В зависимости от того, в какое состояние сети поступила заявка пер-
вого потока, происходят следующие изменения:
(а) Если во всех линиях 1-го маршрута имеется свободный каналь-
ный ресурс в объёме, достаточном для обслуживания поступив-
шей заявки, то заявка принимается и bi канальных единиц выде-
ляется для передачи пользовательской информации. При этом
в одну из свободных компонент первой строки матрицы А, на-
пример в г-ую, записывается время окончания обслуживания
поступившей заявки, вычисляемое по формуле
In U
— •
Принадлежность конкретной линии сети анализируемому
маршруту определяется с помощью маршрутной матрицы R.
Значение счётчика числа поступивших заявок первого потока
увеличивается на единицу.
(Ь) Если хотя бы в одной из линий 1-го маршрута отсутствует необ-
ходимое число свободных канальных единиц, то поступившая
заявка первого потока считается потерянной и не возобновля-
ется ни в какой форме. При этом значение счётчиков числа по-
ступивших и потерянных заявок первого потока увеличивается
на единицу.
Приведённое краткое описание процедуры имитационного моделиро-
вания ещё раз показывает преимущества данного способа расчёта муль-
тисервисной сети. Это относится к лёгкости изменения топологии сети и
функции распределения интервалов времени между поступлением заявок
и длительности их обслуживания. В первом случае достаточно заменить
маршрутную матрицу R, во втором — математическую процедуру вычис-
ления соответствующего интервала времени. При этом логика программы
не изменяется. В дальнейшем имитационное моделирование будет исполь-
зоваться для оценки точности приближённых методов планирования про-
пускной способности звеньев и узлов мультисервисной сети связи.
344 Глава 5. Оценка канального ресурса мультисервисных сетей
5.2. Метод просеянного трафика для моносер-
висных сетей
5.2.1. Мультипликативная граница
Рассмотрим задачу планирования канальной ёмкости для частного
случая исследуемой модели сети, когда к передаче предлагается толь-
ко моносервисный трафик, т.е. трафик, порождённый предоставлением
одного вида телекоммуникационного сервиса. Таким образом, Ьк = Ь,
к = 1,2, Для простоты примем, что 6=1. Однако все получен-
ные далее результаты справедливы и для случая 6 > 1. Обозначим через
а] суммарную интенсивность потока заявок, выраженную в эрлангах, при
обслуживании которых используется j-oe звено сети. Поскольку соответ-
ствующие потоки заявок по отдельности не зависят друг от друга и их
поступление подчиняется закону Пуассона, то суммарный поток заявок
также будет пуассоновским с интенсивностью а], определяемой из соотно-
шения
Gj = ) G£.
eeNj
Если не учитывать потери на этапах установления соединения до и по-
сле у-го звена, то величина а] определяет интенсивность потока заявок,
поступающих на j-oe звено. Это утверждение даёт основание использо-
вать формулу Эрланга (2.14) для оценки доли времени занятости всех
Vj канальных единиц j-ro звена сети. Интуитивно понятно, что значение
E(vj,Oj), полученное без учёта потерь на этапах установления соединения
до и после j-ro звена, является оценкой сверху для доли заявок, потерян-
ных всеми потоками на j-om звене сети. Строгое доказательство данного
утверждения приведено в [21].
Полученная оценка потерь заявок на отдельных звеньях сети может
быть также использована и для приближённого вычисления доли поте-
рянных заявок уже на всём маршруте следования соответствующего ин-
формационного потока. В [21] показана справедливость следующей оценки
величины к = 1,2,..., п, которая носит название мультипликативной
границы,
7Tfc < 1 - П {! - Е(щ,а]У). (5.7)
jeRk
5.2. Метод просеянного трафика для моносервисных сетей
345
В случае, когда потери малы и число соединительных линий в одном
маршруте невелико, оценка (5.7) ненамного отличается от истинного зна-
чения доли потерянных заявок. Для проведения теоретических исследова-
ний особенно важно, что она является верхней оценкой. Однако с ростом
числа звеньев сети и величины ожидаемых потерь точность оценки пада-
ет. Это происходит из-за неучёта потерь на этапах установления соедине-
ния, предшествующих каждой из рассматриваемых линии к-го маршрута
и следующих за ней. Данный факт иллюстрируется следующим простым
примером. Пусть в сети имеется только один маршрут следования пользо-
вательского трафика и он проходит через все линии сети. Отсюда а] = а
для всех j = 1,2,..., J. Предположим также, что Vj = v, j — 1,2,..., J.
Тогда правая часть неравенства (5.7) имеет вид 1 — (1 — Е(у, a))J, и для лю-
бого значения интенсивности входного потока заявок может быть сделана
как угодно близкой к единице с увеличением числа звеньев J в рассмат-
риваемой модели сети.
Приведённый пример показывает, что точность (5.7) должна возрас-
тать с увеличением разнообразия маршрутов следования трафика. От-
метим, что для мультисервисных сетей неравенство (5.7) уже не выпол-
няется, поскольку для потоков заявок с произвольными значениями по-
требностей в канальном ресурсе Ъ^-, к = 1,2, отсутствует свойство
монотонного увеличения доли потерянных заявок с увеличением интен-
сивности поступления трафика. Соответствующий результат обсуждался
в разделе 2.1.9. Понятно, что уточнение оценки (5.7) должно идти по пу-
ти учёта потерь на этапах установления соединения предшествующих и
следующих за анализируемой линией.
5.2.2. Основные положения метода
Воспользуемся результатами, полученными в предыдущем разделе,
для построения приближённых процедур планирования канального ресур-
са моносервисных сетей связи. Рассматриваемый подход носит название
метод просеянного трафика или метод фиксированной точки Эрланга.
Смысл используемой терминологии станет понятен несколько позднее, а
сейчас ещё раз обратимся к верхней оценке Е вероятности
занятости j-ой линии сети и рассмотрим возможности её использования
для приближённого расчёта модели. При решении поставленной задачи
будем руководствоваться следующими положениями:
346
Глава 5. Оценка канального ресурса мультисервисных сетей
• Для уточнения Е \ Vj, Y.teNj cisj необходимо каким-то образом учесть
наличие отказов в выделении канального ресурса при допуске заявок
£-го потока к обслуживанию на этапах установления соединения до
и после j-ой линии.
• Процедуру уточнения Е (vj,^eeN. ag) следует вести так, чтобы по-
следующая оценка доли потерянных заявок выполнялась только с
использованием моделей отдельных звеньев сети. Это обеспечит воз-
можность расчёта модели сети для реальных значений её структур-
ных параметров.
Покажем, что алгоритм с указанными свойствами можно построить,
если считать выполненным предположение о независимости отказов в
выделении канального ресурса на отдельных звеньях сети1. Рассмотрим
£-ый маршрут сети, в состав которого входит j-oe звено, t G Nj. Пусть
B(tj и Bj, соответственно, значения доли потерянных заявок £-го пото-
ка на j-ом звене сети и доли времени занятости канального ресурса j-io
звена. Эти же символы будем использовать для обозначения оценок этих
характеристик, получаемых в результате выполнения сформулированной
гипотезы о независимости потерь.
В приближённой модели моменты поступления заявок £-го потока, ко-
торым для установления соединения осталось получить канальный ресурс
j'-ro звена, формируются в результате реализации процедуры просеива-
ния2 моментов поступления заявок исходного потока на каждом звене £-
го маршрута кроме j’-ro. По предположению £-ый поток заявок является
пуассоновским, поэтому результирующий просеянный поток также будет
пуассоновским. Поскольку рассматривается случай моносервисной сети,
то значения Bgj не зависят от £ и совпадают со значением Bj, рассчиты-
ваемым по формуле Эрланга. Обозначим через щ(;У) интенсивность этого
потока. Величина легко определяется из формулы, связывающей ин-
тенсивности потоков заявок поступающих и обслуженных на j-ом звене
сети, рассмотренном отдельно.
ХВ действительности данная гипотеза для исследуемой модели мультисервисной се-
ти не выполняется и используется здесь только для построения приближённой схемы
расчёта.
2Рассмотрим пуассоновский поток событий с интенсивностью А. Пусть р — число,
удовлетворяющее неравенству 0 < р < 1. Процедура просеивания оставляет в про-
сеянном потоке каждое наступившее событие с вероятностью р. Нетрудно показать,
что результирующий поток будет также пуассновским с интенсивностью наступления
событий Ар.
5.2. Метод просеянного трафика для моносервисных сетей 347
Обозначим через пу среднее значение канального ресурса, занятого об-
служиванием заявок £-го потока. Используя формулу Литтла (см. сноску
на стр. 280) и сформулированное предположение о независимости отказов
на отдельных звеньях сети, получаем выражение для расчёта пу
= ае П (1 - • (5-8)
ueRt
По условиям реализации метода просеянного трафика данный объём ка-
нального ресурса занимается на Дом звене, рассмотренном отдельно, пуас-
соновским потоком заявок интенсивности оДу)
= 1 Г в = ае П U ~ в«) • (5.9)
J ueRe\{j}
Поскольку сумма независимых пуассоновских потоков также будет
пуассоновским потоком с интенсивностью, равной сумме интенсивностей
отдельных потоков, то величина находится суммированием значений
оДД по множеству потоков, использующих j-oe звено,
^0) = Е °( П (!-£«)• (5.10)
eeNj ueRe\{j}
Таким образом, в исследуемом случае реализация метода просеянного тра-
фика сводится к расчёту доли времени занятости канального ресурса от-
дельного звена сети с известным значением интенсивности пуссоновско-
го входного потока заявок. Схема формирования входного потока заявок
на Дом звене моносервисной сети в соответствии с реализацией метода
просеянного трафика показана на рис. 5.4. Для оценки Bj используется
формула Эрланга с найденными значениями входных параметров
Bj = (5.11)
Подставим в (5.11) выражение (5.10) для <т(Д. Получаем систему неяв-
ных уравнений, связывающих значения Bj,
B3 = E[vj,^a£ П (1-В«))> J = (5.12)
\ e&Nj иелДЮ /
Если система неявных уравнений имеет решение Bj, j = 1,2,..., J, то со-
ответствующие значения блокировок заявок на отдельных звеньях сети
можно использовать для оценки доли потерянных заявок для отдельных
348
Глава 5. Оценка канального ресурса мультисервисных сетей
1-В.
Значение Bj доли времени
занятости канального ресурса j-ro
звена сети рессчитывается с
использованием модели Эрланга
При обслуживании
заявок Z-ro потока
используется j -ое
звено сети
Исходный Z-ый поток заявок
просеивается с вероятностью 1 - Ви
на u-ом звене Z-ro маршрута,
следующим за J-ым звеном
На J-oe звено поступает суммарный
пуассоновский поток заявок
интенсивности o(J)
Исходный Z-ый поток заявок
просеивается с вероятностью 1 - В
на u-ом звене Z-ro маршрута,
предшествующем J-му звену
Ви
1-В.
Рис. 5.4. Схема формирования входного потока заявок на j-ом
звене моносервисной сети в соответствии с реализацией
метода просеянного трафика
потоков. В силу сформулированного предположения о независимости по-
терь заявок на отдельных звеньях сети для оценки 7ц., к — 1,2,..., п,
получаем выражение
7Tfc « 1 - П (1 - Bj), к = 1,2,.. .,п.
jeRk
(5.13)
Использование предложенной процедуры оценки доли потерянных заявок
в соответствии с выражениями (5.13) существенно зависит от возможно-
сти и сложности решения системы неявных уравнений (5.12). Рассмотрим
решение данной задачи более подробно.
5.2.3. Решение системы неявных уравнений
Система неявных уравнений (5.12) совместно с выражением (5.13) со-
ставляют существо приближённого алгоритма оценки доли потерянных
5.2. Метод просеянного трафика для моносервисных сетей 349
заявок, носящего, как уже было сказано, название метода просеянного
трафика или метода фиксированной точки Эрланга. Первое из использо-
ванных названий связано со способом построения приближённой процеду-
ры, а второе — следует из характера решения системы неявных уравнений
(5.12). Чтобы сделать обоснованным применение данного алгоритма, необ-
ходимо ответить на ряд важных вопросов. Всегда ли имеется решение у
системы (5.12)? Если да, то является ли оно единственным? И наконец,
как выглядит эффективная процедура нахождения решения? Как пра-
вило, при разработке приближённых алгоритмов расчёта характеристик
систем связи, основанных на решении систем неявных уравнений, редко
удаётся положительно ответить на подобные вопросы. В данном случае
это не так.
Начнём с существования решения и его единственности. Для дока-
зательства данного утверждения достаточно показать наличие сжимаю-
щих свойств у оператора, определённого соотношениями (5.12). Однако в
рассмотренном случае это свойство отсутствует. Другой метод состоит в
установлении соответствия между поиском решения (5.12) и определени-
ем минимума у выпуклой оптимизационной задачи. Поскольку известно,
что данный минимум единственен, то это доказывает (см. детали в [16])
единственность решения (существование следует из непрерывности отоб-
ражения, задаваемого соотношениями (5.12)).
Для нахождения решения можно использовать несколько подходов.
Наиболее простым в реализации является метод последовательных под-
становок. Рассмотрим процедуру применения алгоритма, реализующего
этот метод, более подробно. Начнём с детальной записи системы неявных
уравнений (5.12)
В1 = еД, 52 а, П (1--BJ), (5.14)
В2 = Е [ v2, И (1 - Ви) ] ,
\ £gN2 и€ЯД{2} /
&zNj u€Rg\{J}
При реализации метода последовательных подстановок необхо-
димо, задавшись некоторым начальным приближением к решению
350 Глава 5. Оценка канального ресурса мультисервисных сетей
В^, В^Bj^, построить последовательность его приближённых зна-
чении В{ , £>2 ,..., Вjиспользуя систему соотношений
П (1-вГ”)
\ £бМ иея€\{1}
(5.15)
= Е
ъ, 5>< П (1-Blr1’)
„ eeN2 u&Re\{2}
Bf = E
vj,^ae П
£eNj ueRe\{J}
получаемых из (5.14). В качестве начального приближения обычно берётся
Bj0) = О, В^ = 0,..., = 0.
Если отображение, определяемое правой частью (5.15), является сжи-
мающим, то в соответствии с известными результатами функционального
анализа последовательность В^, В^,..., В^ сходится при s —> оо к ис-
комому решению с геометрической скоростью, т.е. расстояние между s-ым
приближением и решением для всех s можно оценить величиной gs, где
0 < д < 1. Однако, в общем случае правая часть (5.15) не является сжи-
мающим оператором, что не гарантирует сходимости метода подстановок
в форме (5.15). Соответствующий пример приведён в [21]. Для улучшения
сходимости представим (5.15) в виде следующей рекуррентной последова-
тельности
В<'> = Е
(5.16)
= Е
«2, П (1»'” ’’’
иел«\{2}
В$‘’ = Е
Em П (1 - в?’)
eeNj u&Re\{j}
5.2. Метод просеянного трафика для моносервисных сетей 351
Запись в (5.16) означает, что на s-ом шаге рекурсии (5.16) при
вычислении правой части соотношений (5.16) используются уже найден-
ные на s-ом шаге значения В^. Если же таковых нет, то используются
значения найденные на предыдущем (s — 1)-ом шаге.
Итерационный процесс реализации (5.16) останавливается, когда по-
следовательные приближения к решению становятся достаточно близки
друг к другу. Формально это означает выполнение неравенства
2, \В^ - В^\
j=i Bj
(5-17)
где <5 — некая малая величина. Её выбор обычно осуществляется опытным
путем. На практике используют значения 6 из интервала 10-8 — 1О-10.
Если при каком-то значении s указанное неравенство достигнуто, то
искомое решение выбирается из соотношения
В^В^, B2 = B^,...,Bj = B(p.
Далее с использованием выражений (5.13) находятся значения доли поте-
рянных заявок на передачу трафика запрашиваемых сервисов
Я1“1- П (1 - Bj),
jeRi
(5.18)
%2«1 - п (1 -
« 1 - J] (1 - Bj\
jeRn
Для достижение приемлемой с точки зрения практики точности доста-
точно выполнения нескольких десятков итераций. Сложность реализации
алгоритма оценивается сложностью многократного использования форму-
лы Эрланга. Таким образом, итерационный алгоритм (5.16) может быть
реализован на простейших вычислительных средствах.
352
Глава 5. Оценка канального ресурса мультисервисных сетей
5.2.4. Анализ погрешности
Поскольку метод просеянного трафика получен в результате уточне-
ния метода мультипликативной границы, то можно ожидать, что оценки
(5.12) и (5.13) не превосходят значений мультипликативных границ. Это
действительно так. В [21] доказана справедливость следующих неравенств:
•В? < B(nj, cij), j — 1,2,..., <7;
(5.19)
1- П (i-^) < !- П k = 1,2,...,71. (5.20)
jeRk jeRk
Там же показано, что обе оценки асимптотически одинаковы при стремле-
нии к нулю значения а] интенсивности трафика, проходящего через j-oe
звено сети,
^ = 1.
Jim ________
<ъ—0 E(vj,aj)
Проведём численное исследование точности полученных оценок на
примере сети, показанной на рис. 5.5. В сети имеется 6 узлов. Число
линий 7 = 5. Перечень анализируемых двухзвенных маршрутов опре-
деляется количеством возможных пар линий сети п = = 10. Пере-
числим имеющиеся маршруты согласно нумерации узлов, использованной
на рис. 5.5: (162),(163),(164),(165),(263),(264),(265),(364),(365),(465). Зану-
меруем маршруты в соответствии с приведённым перечнем. Маршрутная
матрица R для исследуемой модели мультисервисной сети имеет 5 строк
(по числу линий) и 10 столбцов (по числу анализируемых потоков заявок
(маршрутов)) и записывается в следующем виде:
123456789 10
1 1
2 1
3 0
4 0
5 0
1110
0 0 0 1
10 0 1
0 10 0
0 0 10
0 0 0 0
110 0
0 0 11
10 10
0 10 1
о
о
о
1
1
Для простоты рассмотрен симметричный случай распределения каналь-
ного ресурса и поступающего трафика: Vj = 60, j = 1,2,...,5, а» = а,
5.2. Метод просеянного трафика для моносервисных сетей
353
Рис. 5.5. Топология сети, использованной для оценки погрешности
методов просеянного трафика и мультипликативной
границы
i = 1,2,..., 10. На рис. 5.6 показана зависимость доли потерянных заявок
от величины р интенсивности предложенного трафика на одну канальную
единицу, которая изменялась от 0,8 ЭрлК до 1,2 ЭрлК. При фиксиро-
ванном р значения интенсивностей входных потоков заявок, выраженные
в эрлангах, найдены из соотношений щ = 15р, i = 1,2,..., 10. В силу
симметрии значения доли потерянных заявок одинаковы для всех пото-
ков. Кривая 1 показывает результаты вычисления данного показателя с
использованием алгоритма имитационного моделирования. Основные ша-
ги алгоритма обсуждались в разделе 5.1.4. Относительная погрешность
оценки составила 1-3 %. Кривая 2 показывает приближённые значения до-
ли потерянных заявок, полученные с использованием метода просеянного
трафика. На кривой 3 приведены результаты оценки анализируемой ха-
рактеристики с помощью мультипликативной границы. Представленные
данные говорят о неплохой точности метода просеянного трафика. Муль-
типликативная граница имеет хорошую точность только в области малых
потерь.
354
Глава 5. Оценка канального ресурса мультисервисных сетей
Интенсивность предложенного трафика на канальную единицу, р (ЭрлК)
Рис. 5.6. Оценки доли потерянных заявок с использованием
методов просеянного трафика и мультипликативной
границы
5.3. Метод просеянного трафика для мульти-
сервисных сетей
5.3.1. Эрланговская модель звена
После того, как основные положения метода просеянного трафика ста-
ли ясны, можно построить его модификацию на случай, когда объём ка-
нального ресурса Ьк, используемый для обслуживания одной заявки, уже
зависит от номера потока к. В основе излагаемого далее подхода, как и
для модели моносервисной сети, будет лежать предположение о незави-
симости отказов в выделении канального ресурса на отдельных звеньях
маршрута следования трафика. Если эту гипотезу считать выполненной,
то для оценки доли заявок, потерянных на к-ом маршруте сети, можно
5.3. Метод просеянного трафика для мультисервисных сетей
355
использовать соотношение
7rfc«l- П (1-^м), к = 1,2,...,п. (5.21)
jsRk
Теперь для построения расчётного алгоритма достаточно рассмотреть от-
дельное j-oe звено сети и выбрать для него схему вычисления значений
в которой учитывается их зависимость от Ьк. Напомним, что —
доля заявок к-го потока, потерянных на j-ом звене сети, соответственно,
1 — Bkj — вероятность просеивания заявок к-го потока на j-ом звене.
Для решения сформулированной задачи можно использовать несколь-
ко подходов. Они различаются особенностями анализируемой мультисер-
висной сети и предполагаемой точностью оценки характеристик. Рассмот-
рим схему расчётов, в которой для оценки доли потерянных заявок на от-
дельном звене сети применяется модель Эрланга. Пусть £ — номер марш-
рута, в состав которого входит j-oe звено, £ G Л). Тогда для оценки Bl<t
предлагается использовать следующее соотношение
Bld = 1 - (1 - В,)ь‘. (5.22)
В (5.22) Bj — доля времени занятости всех Vj канальных единиц j-ro звена
сети. Она находится по формуле Эрланга
Bj = Е (Vj, У Af(j) j , (5.23)
\ /
где A(j) — интенсивность предложенного трафика, выраженная в каналь-
ных единицах, после реализации процедуры просеивания заявок £-го по-
тока на этапах установления соединения предшествующих и следующих
за j-ым звеном сети.
Применение (5.22) имеет следующее эвристическое объяснение3. Пред-
полагается, что потери отдельных единиц эффективной скорости пере-
дачи4 информационного потока происходят независимо друг от друга на
рассматриваемом и других звеньях сети. Из выполнения данной гипоте-
зы следует, что приём заявки на обслуживание с потребностью в be ка-
нальных единиц эквивалентен одновременному приёму на обслуживание
возможность использования соотношения (5.22) для расчёта мультисервисных се-
тей может быть также установлена и формальными методами. Соответствующие утвер-
ждения сформулированы и доказаны в [16].
4Понятие эффективной скорости передачи введено и обсуждается в разделе 1.6.2.
356
Глава 5. Оценка канального ресурса мультисервисных сетей
Ь( независимо поступивших заявок, каждой из которых требуется одна
канальная единица. Отсюда получаем соотношение (5.22). Модель фор-
мирования входного потока заявок на Дом звене сети в соответствии с
исследуемым вариантом реализации метода просеянного трафика показа-
на на рис. 5.7.
Рис. 5.7. Модель формирования входного потока заявок на Дом
звене мультисервисной сети при использовании формулы
Эрланга для оценки вероятности просеивания
Для использования (5.22) осталось найти значения Ae(j). Обозначим
через те среднее значение канального ресурса, занятого обслуживанием
заявок Ого потока. Используя предположение о независимости отказов
на отдельных звеньях сети и формулу Литтла (см. сноску на стр. 280),
получаем следующее соотношение для определения те
те = аеЬе П (i - Ви)Ье, £ G АД
uEfte
По условиям реализации метода просеянного трафика данный объём ка-
нального ресурса занимается на Дом звене, рассмотренном отдельно, пуас-
5.3. Метод просеянного трафика для мультисервисных сетей
357
ооновским потоком заявок5 с интенсивностью АО'), определяемой из вы-
ражения
Л(Л = Т~в = П (1 - в«)ь' • (5-24)
1 bj 1 bj uERe
Суммарный поток заявок, поступающий на Дое звено, определяет-
ся суммированием интенсивностей отдельных потоков, которым доступ-
но данное звено. Пусть A(j) — значение соответствующей интенсивности.
Тогда
ЖЛ = тАг L «А П (1 - ВД6' (5.25)
1 £eNj ueRe
Понятно, что значения Bj связаны системой соотношений
= П > = 1,2,(5.26)
\ 1 £eNj uERf /
Можно показать, что система неявных уравнений (5.26) всегда имеет ре-
шение, и оно единственно.
Для решения (5.26) применяется метод подстановок, приводящий к сле-
дующей системе рекуррентных соотношений
< = я к £ агь, П (1 - | , (5.27)
\ 1 — ueRe )
в? = Е G2’ £ “А П (1 “
\ 1 — т>2 teN2 u&Re
B(f> = Е
VJ’ , Ы.-1) Е °A П (1 - Bi--1*)6'I,
1 ~ J £ENj uERe /
получаемых из (5.26). В качестве начального приближения обычно берётся
в{0) = О, B?J) = 0,..., В(70) = 0.
5Отметим, что речь идёт о фиктивных заявках, создающих трафик данного объёма.
Они не имеют отношения к заявкам, которые обслуживает сеть.
358
Глава 5. Оценка канального ресурса мультисервисных сетей
Если при каком-то значении s сходимость рекурсий достигнута, то в
качестве требуемого решения получаем
Вг = B[s\ В2 = В%\ ...,Bj = B^\
Для оценки доли потерянных заявок для всех маршрутов следования тра-
фика получаем систему соотношений, которая следует из (5.21), (5.22)
« 1 - П (1 - В,)\
jeRi
(5.28)
ТГ2 » 1 - П (1 - В,)\
jeR2
«i - П (1 - В^-.
jeRn
Вычислительная сложность рассмотренной схемы оценки доли поте-
рянных заявок в мультисервисной сети совпадает со сложностью оцен-
ки аналогичных показателей для моносервисной сети, поскольку в обо-
их случаях при проведении расчётов используется формула Эрланга и не
изменяется число неявных уравнений. Можно показать [16], что данный
способ вычисления оценки доли потерянных заявок является асимптоти-
чески точным при одновременном стремлении к бесконечности интенсив-
ности предложенного трафика и объёма занимаемого канального ресурса.
Точность расчёта повышается с увеличением разнообразия используемых
маршрутов. Численный анализ погрешности данного алгоритма рассмот-
рен в разделе 5.3.3. В следующем разделе будет исследован ещё один алго-
ритм приближённого расчёта модели, основанный на реализации метода
просеянного трафика.
5.3.2. Базовая модель звена
Реализация основных положений метода просеянного трафика облада-
ет определённой гибкостью, позволяющей осуществлять действия, направ-
ленные на повышение точности оценок и расширение круга исследуемых
моделей. Понятно, что соответствующих результатов можно добиться, из-
менив модель вычисления вероятности просеивания заявок на отдельных
звеньях мультисервисной сети. Покажем, что точность реализации метода
5.3. Метод просеянного трафика для мультисервисных сетей 359
просеянного трафика увеличивается, если при сохранении других пред-
положений использовать для оценки вероятности просеивания заявок на
отдельном звене сети не модель Эрланга, а другие более точные модели.
К таковым относится базовая модель мультисервисного звена, рассмот-
ренная в разделе 2.1. Именно она и будет положена в основу обобщённого
метода просеянного трафика, который будет построен и исследован в дан-
ном разделе.
В соответствии с предположением о независимости потерь заявок на
отдельных звеньях сети для оценки доли заявок, потерянных на fc-ом
маршруте, используется соотношение
7rfc«l- П(!-Вм), к = 1,2,...,п. (5.29)
jeRk
В обобщённой реализации метода просеянного трафика для определения
Bktj предлагается использовать рекурсивный алгоритм, построенный в
разделе 2.1.4, для вычисления основных показателей обслуживания за-
явок базовой модели звена мультисервисной сети связи. Приведём основ-
ные расчётные формулы.
Исходные параметры модели звена: число канальных единиц — Vj, ин-
тенсивности поступления заявок, выраженные в эрлангах, — a/(j) и число
канальных единиц, необходимых для обслуживания одной заявки, —
где £ G Nj — номер потока заявок, использующих j-oe звено сети. Количе-
ство входных потоков заявок определяется числом элементов в множестве
Nj. В соответствии с (2.16) для вычисления значений Bkj используются
формулы
Bk,i = £ p(i), (5.30)
i=Vj-bk+l
где вероятности р(г) определяются из рекурсивных соотношений (2.22).
Понятно, что характеристики j являются функциями параметров Vj и
^(Д, Nj. Обозначим эту зависимость в виде Fkj (yj, <7e(j),£ € Nj). Мо-
дель формирования входного потока заявок на Дом звене сети в соответ-
ствии с исследуемым вариантом реализации метода просеянного трафика
показана на рис. 5.8.
Для использования (5.30) необходимо найти значение сДД. Из предпо-
ложения о независимости отказов на отдельных звеньях сети и формулы
360 Глава 5. Оценка канального ресурса мультисервисных сетей
Рис. 5.8. Модель формирования входного потока заявок на j-ом
звене мультисервисной сети при использовании базовой
модели звена для оценки вероятности просеивания
Литтла (см. сноску на стр. 280) получаем соотношение для оценки сред-
него числа заявок £-го потока, находящихся на обслуживании
Уе = ае JJ (1 - Be,j)
jeRe
По условиям реализации метода просеянного трафика данный объём ка-
нального ресурса занимается на j-ом звене, рассмотренном отдельно, пуас-
соновским потоком заявок интенсивности
^0') = ~ - Ъ =ае П С1 ~
e>j ueRe\{j}
(5.31)
Подставив найденное выражение для c^f?) в Е TV,), по-
5.3. Метод просеянного трафика для мультисервисных сетей 361
лучаем систему неявных уравнений для определения Bkj
Bk,j = Fkj lvj,ae (1 - B€>u) ,£ e Nj j . (5.32)
\ ueRAO'} /
В (5.32) j = 1,2,..., J, а к E Nj. Можно показать, что у системы уравнений
(5.32) всегда существует решение. Однако оно может быть и не единствен-
ным. Возможность двух и более решений объясняется наличем свойства
нестабильности процесса обслуживания заявок в мультисервисных сетях.
Существуют примеры, показывающие, что в работе сети могут образовать-
ся несколько режимов, в которые сеть будет периодически переключаться
в процессе своего функционирования. Данное поведение связано с тем, что
при определённом выборе значений входных параметров и топологии сети
поступающие заявки одного вида могут блокировать доступ к канальному
ресурсу заявкам другого типа. Соответствующее свойство обсуждалось в
разделе 2.1.9.
Для определения Вк<1 можно использовать метод последовательных
подстановок в виде
B$ = FkAV1,ae J] ktNlt (5.33)
\ иеЯД{1} /
B$ = FkJv2,ae П , kEN2,
\ w6.Re\{2} /
B$ = Fk,j lvj,ae J] , к E Nj.
\ /
В качестве начальных приближений при s = 0 можно выбрать
В^.=0, kENj.
Итерационный процесс заканчивается, когда нормированная разница
между последовательными значениями рассчитываемых приближений
ВЙ, j = 1,2,..., J, к Е Nj, становится меньше некоторой заранее вы-
бранной малой величины. Если при каком-то значении s сходимость ите-
рационного процесса достигнута, то в качестве требуемого решения полу-
чаем
Bk,j = B%>, j = l,2,...,J; kENj.
362
Глава 5. Оценка канального ресурса мультисервисных сетей
После подстановки найденных значений Bkj, j = 1,2,..., J, к Е Nj, в
соотношения (5.29) получаем искомые оценки для доли потерянных заявок
7rfc, к = 1,2, ...,п.
Теоретически сходимость итерационной процедуры (5.33) не доказана,
но для большинства практически интересных случаев сходимость имеет
место. Число неявных уравнений в системе (5.32) больше, чем в аналогич-
ной системе (5.26). Это увеличивает время счёта показателей обслужива-
ния заявок, но также и увеличивает точность оценки. Соответствующий
вывод подтверждается данными численных расчётов, которые будут при-
ведены в следующем разделе.
5.3.3. Исследование погрешности методов
Проведём исследование точности построенных в данном разделе при-
ближённых алгоритмов расчёта доли потерянных заявок в мультисервис-
ных сетях связи, основанных на реализации метода просеянного трафика.
В качестве примера рассмотрена модель сети, представленная на рис. 5.9.
Рис. 5.9. Структура сети, использованной для оценки погрешности
методов просеянного трафика
5.3. Метод просеянного трафика для мультисервисных сетей
363
В модели имеются 6 узлов, 6 линий и 30 потоков заявок, которые разли-
чаются маршрутами следования трафика и объёмом канального ресурса,
необходимого для обслуживания одной заявки. Обозначим маршруты дви-
жения трафика номерами узлов, которые используются при установлении
соответствующего соединения. Нумерация узлов приведена на рис. 5.9. В
сети выделено 15 маршрутов передачи трафика. По каждому маршруту
следуют два потока трафика, различающиеся объёмом ресурса, необходи-
мого для обслуживания одной заявки.
Перечислим имеющиеся маршруты и присвоим номера соответствую-
щим потокам заявок. В сети рассматриваются маршруты: (1,2) с потоками
1,2; (1,2,4) с потоками 3,4; (1,2,3) с потоками 5,6; (1,2,4,5) с потоками 7,8;
(1,2,3,6) с потоками 9,10; (2,3) с потоками 11,12; (2,4) с потоками 13,14;
(2,3,6) с потоками 15,16; (2,4,5) с потоками 17,18; (5,4) с потоками 19,20;
(5,4,3) с потоками 21,22; (5,4,3,6) с потоками 23,24; (4,3) с потоками 25,26;
(4,3,6) с потоками 27,28; (6,3) с потоками 29,30. Потоки, следующие по од-
ному маршруту, отличаются значением объёма канального ресурса, необ-
ходимого для обслуживания одной заявки. Значения b^i-i = 1 и 6^ = Ю,
г = 1,2,..., 15.
Маршрутная матрица исследуемой модели сети имеет 6 строк и 30
столбцов. Учитывая размеры матрицы, она представлена в виде объеди-
нения трёх блоков
R
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 bi 62 63 64 65 6б 67 бе 69 610
2 0 0 0 0 65 6б 0 0 69 610
= 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 +
4 0 0 Ьз 64 0 0 67 Ьз 0 0
5 0 0 0 0 0 0 67 Ьв 0 0
6 0 0 0 0 0 0 0 0 69 610
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 С 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 6ц 612 0 0 615 616 0 0 0 0
3 С 0 0 0 0 0 0 0 0 0
4 С 0 613 6i4 0 0 617 618 0 0
5 С 0 0 0 0 0 617 618 619 620
6 С 0 0 0 615 616 0 0 0 0
364
Глава 5. Оценка канального ресурса мультисервисных сетей
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 &21 ^22 Ьгз t>24 &25 &26 &27 ^28 0 0
4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5 &21 ^22 &23 &24 0 0 0 0 0 0
6 0 0 &23 t>24 0 0 &27 ^28 ^29 Ьзо
Погрешность приближённых методов исследуется для случаев малых,
средних и больших потерь. Величины ак, к = 1,2,...,30 находятся из
соотношений: a2i-i = 25 и a2i = 0,5, i — 1,2,..., 15 (малые потери);
a2i-i = 25 и a2j = 1,5, i — 1,2,..., 15 (средние потери); a2i_i = 35 и
а2г — 1,5, г = 1,2,..., 15 (большие потери). Среднее время обслуживания
одной заявки взято равным единице. Объёмы ресурса линий в каналь-
ных единицах приняты равными: щ = 200, v2 — 160, п3 = 160, ц4 = 160,
v& — 200, т?б = 200. Результаты расчёта доли потерянных заявок для пя-
ти маршрутов и 10 потоков заявок показаны в таблице 5.1. В таблице
приведены результаты расчёта значений доли потерянных заявок, полу-
ченные методом имитационного моделирования с относительной погреш-
ностью 5 % при 95 % доверительном интервале, а также значения данной
характеристики, полученные методом просеянного трафика с использова-
нием эрланговской модели (см. раздел 5.3.1) и базовой модели (см. раз-
дел 5.3.2). Символы 1 к.е. и 10 к.е. показывают число канальных единиц
(к.е.), используемых при обслуживании одной заявки соответствующего
потока.
Анализ расчётных данных позволяет сделать вывод о высокой точно-
сти приближённого алгоритма оценки сети, основанного на использовании
базовой модели звена и рекурсий (2.22). Точность оценки возрастает с уве-
личением потерь. Использование для расчётов эрланговской модели звена
обладает меньшей точностью, особенно в области малых и средних по-
терь. Сделанный вывод позволяет использовать предложенную методоло-
гию для приближённого расчёта обобщённых вариантов мультисервисных
сетей, в которых учитывается возможность резервирования канального
ресурса, возможность повторения заблокированной заявки и т.д. Детали
реализации соответствующих подходов будут рассмотрены в завершаю-
щих разделах главы.
5.3. Метод просеянного трафика для мультисервисных сетей
365
Таблица 5.1.
Результаты точного и приближённого расчётов доли потерянных заявок
для модели сети, представленной на рис. 5.9
Потери Мар- шрут Имитационное моделирование Эрланговская модель звена Базовая модель звена
1 к.е. 10 к.е. 1 к.е. 10 к.е. 1 к.е. 10 к.е.
1,2 0,0009 0,015 0,0000 0,0002 0,0010 0,0161
1,2,4 0,0026 0,043 0,0001 0,0009 0,0029 0,0466
Малые 1,2,4,5 0,0036 0,054 0,0001 0,0011 0,0039 0,0612
2,4 0,0018 0,030 0,0001 0,0008 0,0019 0,0310
2,4,5 0,0027 0,042 0,0001 0,0009 0,0029 0,0459
1,2 0,018 0,19 0,0152 0,1421 0,0177 0,1907
1,2,4 0,036 0,35 0,0307 0,2676 0,0365 0,3602
Средние 1,2,4,5 0,049 0,44 0,0411 0,3428 0,0501 0,4608
2,4 0,019 0,21 0,0157 0,1463 0,0191 0,2094
2,4,5 0,032 0,33 0,0263 0,2339 0,0329 0,3338
1,2 0,052 0,46 0,0554 0,4342 0,0520 0,4560
1,2,4 0,099 0,70 0,1043 0,6676 0,0999 0,7047
Большие 1,2,4,5 0,134 0,80 0,1405 0,7799 0,1357 0,8161
2,4 0,050 0,46 0,0518 0,4125 0,0506 0,4572
2,4,5 0,087 0,66 0,0901 0,6110 0,0883 0,6620
5.3.4. Оценка объёма канального ресурса
Воспользуемся разработанными в данной главе методами и алгорит-
мами для оценки требуемой скорости передачи соединительных линий
сети (значений Vj, j = 1, 2,...,J) по известной величине возникающего
трафика (т.е. по значениям интенсивностей поступления заявок щ, г =
1,2, ...,п), объёму канального ресурса, необходимого для обслуживания
заявки на предоставление требуемого сервиса (значениям bi, г — 1,2,..., п)
и топологии сети, задаваемой маршрутной матрицей R. Величины исход-
ных параметров сети, такие как, интенсивности возникающего трафика
и его характеристики, известны из данных измерений, если речь идёт о
расширении действующей сети, или находятся по результатам маркетинго-
вых исследований, если рассматриваются возможности внедрения новых
366 Глава 5. Оценка канального ресурса мультисервисных сетей
сервисов на работающей сети или планируется новая сеть. Топология сети
обычно не задаётся однозначным образом и требует исследования несколь-
ких вариантов с целью выбора оптимального из них.
Решение поставленной задачи будет осуществляться методом перебора.
Для его реализации необходимо указать схему выбора начальных значе-
ний Vj, j = 1,2,..., J, сформулировать правило перехода к следующему
шагу и определить критерий остановки итерационного цикла. Рассмотрим
основные шаги предлагаемого алгоритма и дадим краткие комментарии
по их реализации.
• Задаются исходные параметры задачи. К ним относятся известные
характеристики сети. В рассматриваемом случае это значения щ и
bi, г = 1, 2,..., п, а также компоненты маршрутной матрицы R.
• Формулируется критерий завершения итерационного цикла решения
поставленной задачи. Самый простой из них, который и будет ис-
пользоваться далее, — это выполнение ограничения на максимальное
значение доли потерянных заявок в форме
шах 7Гь < 7Г,
1<к<п - ’
(5.34)
где 7Г — нормированное значение потерь. Понятно, что найденное ре-
шение помимо обеспечения ограничений в форме (5.34) должно быть
и минимальным по стоимости. Сразу отметим, что в силу сложного
характера исследуемого объекта полученный далее результат не бу-
дет оптимальным решением в указанном здесь смысле, а лишь близ-
ким к нему. Степень близости определяется объёмом проделанной
вычислительной работы, параметрами сети, используемым критери-
ем остановки процесса поиска решения и здесь обсуждаться не будет.
Следует сказать, что экономический эффект от уточнения решения
часто не оправдывает тех усилий, которые тратятся на их реализа-
цию.
• Задаются начальные значения искомых параметров сети. В данном
случае это скорости звеньев сети Vj, j = 1,2,..., J. Они могут быть
известны заранее или, как обычно происходит на практике, нахо-
дятся как целая часть интенсивности предложенного трафика, вы-
раженного в канальных единицах, проходящего через рассматривае-
мое звено сети. В исследуемом случае сформулированное утвержде-
5.3. Метод просеянного трафика для мультисервисных сетей
367
ние приводит к следующим формулам для определения начальных
„ (о)
значений v:- скоростей звеньев сети:
«Гнем > = (5.35)
• Выбирается алгоритм оценки характеристик, используемых при
формировании критерия завершения итерационного цикла (5.34).
Для выполнения указанных действий выберем метод просеянного
трафика, основанный на использовании базовой модели звена (см.
раздел 5.3.2). При реализации выбранного алгоритма соотношения
(5.29) будут применяться для оценки доли потерянных заявок дд.
Если условие (5.34) не выполняется, то определяется номер потока к
с максимальной величиной потерь заявок. Далее анализируются зна-
чения потерь заявок к-го потока на отдельных звеньях j G Rp;
маршрута следования трафика, относящегося к обслуживанию рас-
сматриваемого потока заявок. На звене с максимальным значением
потерь объём канального ресурса увеличивается на величину добав-
ки, которая зависит от исходных параметров сети.
• Предполагается что увеличение канального ресурса отдельных зве-
ньев сети ведёт к уменьшению потерь заявок на выделение канально-
го ресурса6. Тогда через некоторое число шагов введённой процеду-
ры будут найдены величины скоростей звеньев сети, обеспечивающие
требуемые ограничения на значения потерь заявок. Это и будет ис-
комым решением поставленной задачи с оговорками, приведёнными
ранее в данном разделе. Поскольку используемые методы относятся
к классу приближённых алгоритмов, то погрешность оценки значе-
ний канального ресурса следует оценить имитационным моделиро-
ванием.
Рассмотрим реализацию сформулированного алгоритма на примере се-
ти, показанной на рис. 5.10. В сети имеются 5 узлов и 4 звена. Компоненты
6Для мультисервисных сетей сформулированное предположение выполняется в
большинстве случаев, представляющих практический интерес. Вместе с тем существу-
ют примеры, когда это не так. Заявки с разными требованиями к используемому ка-
нальному ресурсу в зависимости от условий передачи могут либо получить ограничение
по доступу к канальному ресурсу, либо некий приоритет в его занятии. Обсуждение
данной проблемы приведено в разделе 2.1.9.
368 Глава 5. Оценка канального ресурса мультисервисных сетей
v4
V1
V3
V2
Рис. 5.10. Топология сети, использованной для оценки канального
ресурса методом просеянного трафика
маршрутной матрицы R имеют следующий вид:
R =
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 о о,?,? О о cZ о О cZ О F о о о О О
Как показывает маршрутная матрица R, в сети выделено 6 маршру-
тов следования трафика. Фиксированные параметры поступающих пото-
ков заявок принимают следующие значения: ак = bk = к, = 1,
к = 1,2,..., 6. Результаты оценки объёма канального ресурса звеньев сети
в соответствии с введённым алгоритмом приведены на рис. 5.11, где пока-
заны значения доли потерянных заявок к = 1, 2,..., 6 в зависимости
от номера шага итерационного цикла. Для сокращения числа итераций
объём добавочного канального ресурса был выбран равным 5, и это зна-
чение прибавлялось к величине канального ресурса всех звеньев маршрута
с максимальной величиной потерь. Значение я принято равным 0,03.
В соответствии с (5.35) начальные значения объёма канального ресурса
звеньев сети находились из равенств:
Vi = 90, V2 = 90, V3 = 90, V4 = 90.
5.3. Метод просеянного трафика для мультисервисных сетей
369
Рис. 5.11. Значения доли потерянных заявок при решении задачи
оценки объёма канального ресурса мультисервисной сети
связи, представленной на рис. 5.10
При таком выборе величин Vj, j = 1,2,3,4, доли потерянных заявок, по-
лученные с использованием (5.29), принимают значения:
7Г1 = 0,0719, 7г2 = 0,1316, 7Г3 - 0,1870,
7г4 = 0,2107, 7г5 = 0,2469, 7Г6 = 0,2626.
Решение, полученное на 17-ом шаге введённого итерационного процесса,
имеет вид:
Vi = 115, V2 = 125, = 130, ц4 = 150.
370
Глава 5. Оценка канального ресурса мультисервисных сетей
При данном выборе объёма канального ресурса линий значения доли поте-
рянных заявок, полученные с использованием (5.29), принимают значения:
7Г1 = 0,0084, 7Г2 = 0,0159, 7Г3 = 0,0193,
7г4 = 0,0245, 7Г5 = 0,0211, тг6 = 0,0198.
Результаты имитационного моделирования этих же показателей дают:
7Г1 = 0,0080, 7Г2 = 0,015, 7Г3 = 0,019,
7г4 = 0,023, 7г5 = 0,020, 7Г6 = 0,018,
что подтверждает приемлемость полученного решения.
Реализация сформулированного подхода не вызывает затруднений, и
его можно использовать при решении задач планирования инфраструкту-
ры мультисервисных сетей связи.
5.4. Сеть с обобщённой схемой резервирования
5.4.1. Схема резервирования канального ресурса
Резервирование канального ресурса даёт возможность оператору осу-
ществлять функции контроля за его распределением. Действие соответ-
ствующего механизма исследовалось в разделе 3.2 на примере модели
мультисервисного звена. В данном разделе рассмотрено обобщение полу-
ченных результатов на случай мультисерисной сети.
Пусть, как и прежде, п — число потоков заявок на выделение каналь-
ного ресурса, J — число линий сети, a Vj —- скорость передачи j-ой линии,
j = 1,2,..., J, выраженная в единицах ресурса, требуемого для обслужи-
вания поступающих заявок. Обычным образом вводятся параметры к-го
потока заявок: Хь — интенсивность поступления, — среднее время об-
служивания и — объём канального ресурса, необходимый для обслужи-
вания одной заявки. Будем считать, что поступление заявок для каждого
анализируемого потока подчиняется закону Пуассона, а время обслужива-
ния одной заявки имеет экспоненциальное распределение. Топология сети
задаётся маршрутной матрицей R, которая определяет множества Nj —
номеров потоков заявок, использующих Дую линию, j = 1,2,..., J, и Rk
5.4. Сеть с обобщённой схемой резервирования
371
— номеров линий, составляющих маршрут движения трафика, относяще-
гося к обслуживанию /с-ой заявки, к = 1,2,... ,п. Определение структуры
маршрутной матрицы приведено в разделе 5.1.1.
Обозначим через ik число заявок к-го потока, находящихся на обслу-
живании, и введём л-мерное пространство состояний Q, куда включены
векторы (ii, z2,.. •, in) с компонентами, удовлетворяющими ограничениям
52 bkik < Vj, j =
keNj
Данное множество задаёт все теоретически возможные состояния исследу-
емой модели сети. Реально используемое пространство состояний S явля-
ется подмножеством Q и определяется выбором функции внутренней бло-
кировки ipk(ii,iz, • • •, in), которая для каждого состояния (Д, г2,..., in) £
Q определяет вероятность доступа заявок к-го потока к используемому
канальному ресурсу. Заявка к-го потока принимается к обслуживанию
с вероятностью 1 — <pk(ii, iz, • • • ,in), а с дополнительной вероятностью
... ,in) получает отказ и не возобновляется ни в какой форме.
Понятно, что зависимость функции <Pk(ii,i2, • • •, in) от компонентов состо-
яния (ii,i2> • • • ,in) не может быть произвольной. В частности, если в со-
стоянии (ii, г2, • •, in) У одной из линий, входящих в маршрут следования
трафика, относящегося к обслуживанию заявки к-го потока, нет Ьк сво-
бодных единиц передаточного ресурса, то поступившая заявка получает
отказ с вероятностью, равной единице.
Конкретный выбор функции внутренней блокировки позволяет ис-
пользовать разные модели резервирования канального ресурса. Они необ-
ходимы оператору для осуществления функций контроля за его распре-
делением. Покажем в качестве примера реализацию традиционной схемы.
Пусть вк — предполагаемый уровень резервирования канального ресурса
для заявок к-го потока. Тогда реализация традиционной схемы обеспечи-
вается следующим выбором значений tpk(ii, i%, • • , in)
°,
если VJ E Rk,
i^, • •, in) "
52 bkik — @k,
keNj
(5.36)
1, в остальных случаях.
Когда в сети имеется только одно звено (см. раздел 3.2), то функция внут-
ренней блокировки приобретает вид
' О,
. 1,
Vk(il, *2,
, in) фк(г)
если i = iibi + ... + inbn < &к,
(5.37)
в остальных случаях.
372 Глава 5. Оценка канального ресурса мультисервисных сетей
Схема резервирования канального ресурса для заявок к-го потока по-
казана на рис. 5.12.
Рис. 5.12. Схема резервирования канального ресурса для заявок
к-го потока
Варьируя величину 0к, оператор получает возможность зарезервиро-
вать ресурс сети для обслуживания тех заявок, которым он необходим по
условиям принятого соглашения об обслуживании. Понятно, что соответ-
ствующая цель достигается за счёт уменьшения коэффициента использо-
вания канального ресурса. Отрицательный эффект применения данного
механизма можно уменьшить, если ввести понятие «мягкого резервирова-
ния», когда отказ в приёме заявки из-за превышения порога резервирова-
ния осуществляется не с вероятностью, равной единице, как в классиче-
ском случае (его можно назвать «жесткое резервирование»), а с меныпей
вероятностью. При этом значение вероятности может зависеть от объёма
занятого ресурса. То есть в ситуации, когда объём занятого ресурса пре-
вышен незначительно, часть неприоритетных заявок сохраняет возмож-
ность попадания на обслуживание. Таким образом, при реализации схем
«мягкого резервирования» также происходит резервирование ресурса для
приоритетных потоков, но при этом сохраняется возможность приёма на
обслуживание неприоритетных заявок.
5.4. Сеть с обобщённой схемой резервирования
373
5.4.2. Показатели использования канального ресурса
Динамика изменения состояний построенной модели сети с обобщён-
ной схемой резервирования канального ресурса описывается марковским
процессом
r(t) = (Д(0Д2(<),... Дп(<)),
где ik(t) — число заявок к-го потока, находящихся на обслуживании в
момент времени t. Обозначим через р(ДД2, • • - Дп) значение вероятностей
стационарных состояний модели. Значения p(ii, i?,..., гп) находятся в ре-
зультате решения системы уравнений равновесия, которая имеет вид
Р(Д, , Дг) 12 (Mi - <МД Дг, • • •, ДД) + ik^kl(ik > 0)) = (5.38)
--- } -Р(Д, • • Д/с ^тг)-^/с(1 9^/с(Д, • • • Д/с 1, • • 5 ^п))-^(Дс > 0) +
+ ) P(ii,... Д/j + 1,... Ди)(i/c “Ь 1)/дД((Д1 • • Д/с “Ь 1> • • • Дп) £ >
к=1
(Д • Дп) £ Q.
Полученные в результате решения системы уравнений равновесия ненор-
мированные значения Р(Д, Д, • • • Дп) необходимо нормировать.
Для решения задач планирования сети используются показатели при-
ёма новых заявок к обслуживанию. Важнейшим из них является доля тгк
потерянных заявок к-го потока. Её значение определяется из выражения
12 ХДДг, Дп)^А:(Д,Д, Дп)- (5-39)
Для вычисления средней величины канального ресурса тк, одновременно
занятого обслуживанием заявок к-го потока, получаем выражение
тк= 12 Р(ДДг, • • • ДпДА-
(5.40)
Расчёт значений введённых показателей обслуживания заявок может
быть выполнен с использованием численных методов решения системы
уравнений равновесия (5.38). Реализация соответствующих алгоритмов
374 Глава 5. Оценка канального ресурса мультисервисных сетей
ограничена значениями структурных параметров модели, и их можно при-
менять в основном для однозвенных сетей. Для оценки характеристик си-
стем, состоящих из нескольких звеньев, можно использовать имитацион-
ное моделирование и приближённые методы. Схема имитационного мо-
делирования построенной модели сети следует процедуре, изложенной в
разделе 5.1.4. Алгоритм приближённого расчёта значений щ основан на
реализации метода просеянного трафика, рассмотренного в разделе 5.3.
5.4.3. Оценка показателей
В соответствии с основными положениями метода просеянного трафи-
ка для оценки доли потерянных заявок к-го потока используется соотно-
шение
7Tfc « 1 - П (1 - ^),
jeRk
к = 1,2,... ,п.
(5-41)
В (5.41) величина Bkj — оценка доли заявок к-го потока, потерянных
на J-ом звене сети. Значение Bkj находится с помощью модели мульти-
сервисного звена с обобщённой схемой резервирования, исследованной в
разделе 3.2.
Приведём основные расчётные формулы, относящиеся к вычислению
показателей обслуживания заявок на Дом звене. Исходные параметры мо-
дели: число канальных единиц — Vj, интенсивности поступления заявок,
выраженные в эрлангах, — оДД, число канальных единиц, необходимых
для обслуживания одной заявки, — bt. Здесь £ 6 Nj — номер потока за-
явок, использующих j-oe звено. Количество входных потоков заявок опре-
деляется числом элементов в множестве Nj. В соответствии с (3.33) для
вычисления значений Bkj используются формулы
vj
Bk,j = ^р(г)^к(г\ keNj,
i=0
(5-42)
где вероятности р(г) определяются из рекурсивных соотношений (3.34), а
функция внутренней блокировки ^(г) находится из (5.37).
Характеристики Bktj являются функциями параметров Vj и щ(Д, £ £
Nj. Обозначим эту зависимость в виде Fkj (yj, cre(j),£ € Nj). Модель фор-
мирования входного потока заявок на Дом звене сети аналогична схеме,
показанной на рис. 5.8. Для применения (5.42) необходимо найти значения
(тДД. Из предположения о независимости отказов на отдельных звеньях
5.4. Сеть с обобщённой схемой резервирования
375
сети и формулы Литтла (см. сноску на стр. 280), получаем по аналогии с
(5.31) следующее соотношение для определения ^(J):
°*') = = “' П (5-43)
1 ueRe\{j}
где, как обычно, щ = ^-, к = 1,2,..., п.
Подставив найденное выражение для в F^j Е Nj), по-
лучаем систему неявных уравнений для определения B^j
Bk,j = Fkj lvj,a£ (1 — B£u), £ 6 Nj | , (5.44)
\ иеЯДШ /
j = l,2, ...,J, kENj.
Для вычисления B^j можно использовать метод последовательных под-
становок в виде
ВЙ = Г<«Щ’а' П <5-«)
\ меДДШ /
7 = 1,2, ...,J, к Е Nj,
с начальным приближением
в£’ = о, > = 1,2...j,keNj.
Итерационный процесс завершается, когда нормированная разница между
последовательными приближениями к решению становится меньше неко-
торой заранее выбранной малой величины. Теоретически сходимость ите-
рационной процедуры (5.45) не доказана, но для всех практически инте-
ресных случаев сходимость имеет место. Более подробно реализация ре-
куррентных соотношений вида (5.45) рассмотрена в разделе 5.3.2.
Проведём анализ точности построенного алгоритма оценки показате-
лей обслуживания заявок для сети с обобщённой схемой резервирования
канального ресурса на примере сети кольцевой структуры, показанной на
рис. 5.13. Сеть состоит из пяти узлов и пяти линий.
В модели анализируется процесс обслуживания 14 потоков заявок, ко-
торые различаются маршрутами следования трафика и объёмом каналь-
ного ресурса, необходимого для обслуживания одной заявки. В сети выде-
лено 7 маршрутов, по каждому из которых следуют два потока трафика.
376
Глава 5. Оценка канального ресурса мультисервисных сетей
Рис. 5.13. Сеть кольцевой структуры, использованная для анализа
погрешности методов расчёта схем резервирования
канального ресурса
При обслуживании заявки одного потока используется одна канальная
единица, другого - 20 канальных единиц. В сети рассматриваются марш-
руты: (1,2) с потоками 1,2; (1,2,3) с потоками 3,4; (2,3,4) с потоками 5,6;
(3,4) с потоками 7,8; (4,5) с потоками 9,10; (4,5,1) с потоками 11,12; (5,1) с
потоками 13,14. Значения Ь2г-1 = 1 и Ь2« — 20, i = 1,2,..., 7. Маршрутная
матрица исследуемой модели сети имеет 5 строк и 14 столбцов
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
1 bi &2 Ьз h 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
R = 2 0 0 Ьз ь$ Ьб 0 0 0 0 0 0 0 0
3 0 0 0 0 ^5 Ьб ^7 Ъя 0 0 0 0 0 0
4 0 0 0 0 0 0 0 0 Ьд Ь10 Ьц Ь12 0 0
5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ьц Ь12 Ь1з Ь14
Результаты точного и приближённого вычисления доли потерянных
заявок для исследуемой модели сети приведены в таблице 5.2 для всех
используемых маршрутов и потоков заявок. Нижний индекс в обозначе-
нии характеристик и параметров указывает на число канальных единиц,
которые использовались при обслуживании одной заявки. Цифра 1 соот-
ветствует использованию одной канальной единицы, цифра 2 — двадцати.
5.4. Сеть с обобщённой схемой резервирования
377
Чтобы нижний индекс не ассоциировался с номером потока, в обозначе-
ниях используется звёздочка. Объём ресурса линий, выраженный в ка-
нальных единицах, определялся из равенств Vi = 180, п2 = 200, ?'з = 180,
г>4 = 180, = 180. Уровень резервирования для всех потоков заявок вы-
бирается из равенства &k = Vk — 20, к = 1, 2,..., 14. Среднее время обслу-
живания одной заявки взято равным единице. Значения интенсивностей
поступления заявок выражены в эрлангах и приведены в таблице. Для
приближенной оценки показателей обслуживания заявок использовался
метод просеянного трафика, введённый в данном разделе. Погрешность
вычислений оценивалась с помощью имитационного моделирования зна-
чений этих же показателей.
Таблица 5.2.
Результаты точного и приближённого расчётов доли потерянных заявок
для модели сети с резервированием канального ресурса, представленной
на рис. 5.13
Мар- шрут Интенсив- ности заявок (Эрл) Имитацион- ная модель без резерви- рования Имитацион- ная модель с резерви- рованием Прибли- жённый расчёт
«2 _* ^1 ^2 * * 7Г1 =7Г2 хтг.* _* 7Г1 — 7Г2
1,2 50 2,5 0,014 0,32 0,19 0,184
1,2,3 40 2 0,021 0,42 0,27 0,273
2,3,4 60 3 0,020 0,40 0,25 0,262
3,4 30 1,5 0,013 0,30 0,18 0,172
4,5 20 1 0,012 0,28 0,17 0,161
4,5,1 70 3,5 0,021 0,41 0,26 0,262
5,1 80 4 0,010 0,21 0,12 0,120
Из приведённых данных следует, что реализация схемы резервирова-
ния позволяет выравнять значения потерь, которые до этого различались
примерно в 20 раз. Данный результат достигнут за счёт существенного
увеличения уровня потерь для заявок с малым использованием канально-
го ресурса. Следовательно, после выравнивания потерь необходимо опре-
делить объём канального ресурса звеньев сети, достаточный для обслу-
живания поступающих заявок уже с заданным качеством. Для решения
этой части задачи можно использовать построенную в данном разделе мо-
378 Глава 5. Оценка канального ресурса мультисервисных сетей
дификацию метода просеянного трафика. Результаты, приведённые в таб-
лице 5.2, показывают, что разработанный подход обеспечивает приемле-
мую точность оценки показателей обслуживания заявок в ситуации, когда
на сети применяются схемы резервирования канального ресурса. Задача
оценки необходимого объёма ресурса решается по схеме, изложенной в
разделе 5.3.4.
5.5. Сеть с повторением заблокированной за-
явки
5.5.1. Схема повторения заявки
Использование моделей с повторными вызовами направлено на уточ-
нение процесса формирования входных потоков заявок, а с ним и методик
оценки канального ресурса мультисервисных сетей связи. Основными при-
чинами отказов в обслуживании являются нехватка канального ресурса на
одном из сегментов маршрута следования трафика и неответ (занятость)
вызываемого абонента. Причем в последнем случае вызываемая сторона
может быть не только абонентом, но также и сервером, базой данных или
другим подобным устройством. Подобная схема реконструкции входного
потока заявок исследовалась в разделе 3.3 на примере модели мультисер-
висного звена. Рассмотрим обобщение полученных результатов на случай
мультисерисной сети.
Основные входные параметры сети: п — число потоков заявок на выде-
ление канального ресурса, J — число линий сети, Vj — скорость передачи
j-ой линии, j — 1,2,..., J, выраженная в единицах ресурса, требуемого
для обслуживания поступающих заявок. Модель поступления и обслужи-
вания заявок к-го потока характеризуют следующие параметры: Хк ин-
тенсивность поступления, — среднее время обслуживания, Ьк — объём
канального ресурса, необходимый для обслуживания одной заявки, рк
вероятность недоступности вызываемого устройства7, Нк — вероятность
повторения заявки из-за нехватки канального ресурса или недоступности
вызываемого устройства, -X- — среднее время между последовательными
повторными заявками одного абонента, к = 1,2,..., п. Будем считать, что
для каждого анализируемого потока поступление заявок подчиняется за-
кону Пуассона, а времена их обслуживания и время до поступления по-
7Это может быть, например, занятость или неответ вызываемого абонента.
5.5. Сеть с повторением заблокированной заявки
379
вторной попытки имеют экспоненциальное распределение с соответству-
ющими параметрами. Топология сети задаётся маршрутной матрицей R,
которая определяет множество Nj номеров потоков заявок, использующих
j-ую линию, j = 1,2,..., J, и множество Rk номеров линий, составляющих
маршрут движения трафика, относящегося к обслуживанию к-ой заявки,
к = 1,2, ...,тг. Определение структуры маршрутной матрицы приведе-
но в разделе 5.1.1. Для каждого потока моменты поступления заявок на
выделение канального ресурса представляют собой суперпозицию пуассо-
новского потока первичных заявок и потока повторных обращений, ини-
циированных реакцией пользователей на неудачную попытку установить
соединение. Таким образом, в структуре входного потока выделено пуассо-
новское ядро, создаваемое неограниченным числом пользователей с малой
интенсивностью поступления заявок, и поток повторных заявок от случай-
ного числа пользователей с большой интенсивностью поступления заявок.
Число пользователей, повторяющих заявку, определяется качеством рабо-
ты сети. Схема образования к-го потока заявок в исследуемой модели сети
показана на рис. 5.14.
Поток повторных заявок
от конечного числа Jk
пользователей,
получивших отказ в
обслуживании
Пользователь может получить
отказ и повторить заявку из-за
недостаточности канального
ресурса на любом звене
используемого маршрута
Пуассоновский поток
первичных заявок от
неограниченного числа
пользователей
Пользователь с вероятностью
Рк может получить отказ и
повторить заявку из-за
недоступности (занятости)
вызываемого устройства
Рис. 5.14. Схема формирования к-го потока заявок в модели
мультисервисной сети с учётом повторных требований
380 Глава 5. Оценка канального ресурса мультисервисных сетей
Рассмотрим процесс функционирования введённой модели в стаци-
онарном режиме и обозначим для к-го потока: jk — число абонентов,
повторяющих заявку на выделение канального ресурса; ik — число за-
явок, находящихся на обслуживании. Состояние модели задаётся векто-
ром (Ji,..., . ,in) с целочисленными компонентами, где значения
jk, к = 1,2,..., п, изменяются в интервале [0, оо), а значения гх,..., in в
совокупности удовлетворяют неравенству
< Vj, j = 1,2, . . . , J.
keNj
В пространство состояний S исследуемой модели включены век-
торы 0’1,..., jn, ii,... ,in) с компонентами, удовлетворяющими пере-
численным выше условиям. Динамика изменения состояний постро-
енной модели описывается случайным марковским процессом r(t) =
010),... ,jn0), lift),..., zn0)), определённым на бесконечном простран-
стве состояний S. Введём множество состояний Uk С S, которое будет
использоваться для определения доли времени недоступности к-го марш-
рута для обслуживания поступающих заявок. В каждом из состояний
0i, Z2, • • •, in) Е Uk найдётся хотя бы одна линия, входящая в состав к-
го маршрута, в которой недостаточно свободного канального ресурса для
обслуживания поступающей заявки к-го потока.
5.5.2. Характеристики занятия канального ресурса
Обозначим через p0i,..., jn,ii, • • • ,in) вероятности стационарных со-
стояний процесса r(t)8. Введём также сокращенное обозначение для состо-
яний, входящих в множество S в виде w = 0Ъ..., jn, zx,..., in). Используя
значения стационарных вероятностей, дадим определения основным пока-
зателям качества обслуживания поступающих потоков заявок. В их числе:
Яр,к ~ доля первичных заявок к-го потока, потерянных из-за нехватки
необходимого объёма канального ресурса на одном из звеньев маршрута
следования трафика, инициированного обслуживанием заявки к-го пото-
ка,
^р,к ) p(ji, • • • , jn,il, , in),
weuk
8 Существование стационарного режима накладывает ограничения на изменение зна-
чений входных параметров модели. Их определение требует отдельного исследования
и здесь не рассматривается. Отметим только, что для большинства практически инте-
ресных ситуаций такие ограничения выполняются.
5.5. Сеть с повторением заблокированной заявки 381
Л^. — общая интенсивность потока первичных и повторных заявок к-го
потока, заблокированных по разным причинам
Ль,к = Хк[рк+(Д - Рк) 52 +
+"k(pk + (1 -Рк) 52
weuk
Ад, — общая интенсивность потока первичных и повторных заявок к-го
потока
Лк — 5 ' P(jli • • • 1 jni 211 • • • i 2n)(A^ + L'kjk'),
w&S
^a,k ~~ доля заявок к-го потока, потерянных по разным причинам
Ль,к
*а'к ~ Лк '
Ук — среднее число заявок к-го потока, находящихся на обслуживании
У к — 5 ' P(jl > • • • > Jni 21, • • • , in)^k-
weS
Наряду с основными показателями качества обслуживания заявок
можно ввести ряд дополнительных характеристик, например, среднее чис-
ло повторных заявок на одну первичную — Мк, среднее число пользовате-
лей, повторяющих заявку, - Jk и т.д. Делается это по аналогии с моделью
мультисервисного звена, рассмотренной в разделе 3.3.
Для расчёта введённых характеристик необходимо каким-то образом
решить систему уравнений статистического равновесия, связывающую
значения p(ji,..., jn, ii,..., in). Несмотря на растущие возможности вы-
числительной техники сделать это можно только для модели мультисер-
висного звена. Соответствующее исследование выполнено в разделе 3.3.
Систему уравнений равновесия можно использовать для нахождения раз-
ного рода соотношений между показателями обслуживания заявок. Они
получаются и выглядят в точности также, как для модели мультисер-
висного звена. Приведём необходимые выражения. Для упрощения по-
следующих формул примем далее, что значения интенсивностей А&,
к = 1,2,... ,п выражены в числе поступлений заявок к-го потока за вре-
мя обслуживания одной заявки, которое принимается равным единице.
382
Глава 5. Оценка канального ресурса мультисервисных сетей
Законы сохранения интенсивностей поступающих и обслуженных сетью
потоков заявок имеют вид:
Л-к Хк — ^Ъ,кНк> А-к — ^Ь,к “Ь Ук> к — 1,2,..., П.
(5.46)
Полученные соотношения можно использовать как для косвенной оцен-
ки показателей работы системы, так и для построения приближённых ал-
горитмов вычисления соответствующих показателей. Рассмотрим решение
обеих задач более подробно. Формулы для косвенной оценки интенсивно-
сти поступления первичных заявок Хк, а также ряда других показателей,
по известным значениям общей доли потерянных заявок — 7гО1^, среднего
числа заявок, находящихся на обслуживании, — ук, и вероятности повто-
рения заявки — Нк, имеют вид:
Хк = Ук
1 ^а,кНк
1 ^а,к
Лк = ^-
1 - 7ГоЛ
Ук^а,к
1 ^а,к
(5-47)
т Ук'Ка'кНк л г 7^а,кН-к
Jk — -7Z--------Г—, = -----------—
(1 'Ka,k)Vk 1 '^a,k-kik
к = 1, 2,... ,п.
В следующем разделе законы сохранения (5.46) будут использова-
ны для построения приближённого алгоритма расчёта введённой модели
мультисервисной сети. Данный алгоритм будет получен путём модифика-
ции метода просеянного трафика.
5.5.3. Оценка характеристик
Излагаемый ниже подход является комбинацией методов пуассонов-
ской замены (см. раздел 3.3.8) и просеянного трафика (см. раздел 5.3).
Будем считать выполненными основные предположения, лежащие в осно-
ве соответствующих подходов.
1. Моменты поступления первичных и повторных заявок образу-
ют пуассоновский поток с неизвестной интенсивностью хк, к —
1,2,. ,.,п.
2. Отказы в выделении канального ресурса на отдельных звеньях
маршрута не зависят друг от друга.
5.5. Сеть с повторением заблокированной заявки
383
Из последнего предположения следует формула для оценки доли заявок,
потерянных из-за недостаточности канального ресурса на отдельных зве-
ньях к-го маршрута сети,
TTfc ~ 1 Ц (1
jeRk
к = 1, 2,..., п.
(5.48)
В (5.48) Bfcj — оценка доли заявок к-го потока, потерянных на j-ом звене
сети. Величины В/щ, j = 1,2,..., п, к G Aj, зависят от неизвестных значе-
ний ®i,..., хп. Построим процедуру их определения. Она следует из сфор-
мулированных предположений о процессе поступления и обслуживания
заявок в исследуемой модели мультисервисной сети.
Обозначим через жр ,..., х^ последовательность значений s-ro при-
ближения к неизвестным значениям интенсивностей поступающих пото-
ков заявок. Будем предполагать, что при $ —> оо эта последовательность
сходится к искомому решению Xi,... ,хп, которое далее используется для
оценки показателей обслуживания заявок в исследуемой модели сети.
Для вычисления значений ,..., х^ предлагается выполнить следую-
щие действия.
1. В качестве начального шага рекурсии полагаются
До) — \ Д°) — х
2. При фиксированном s = 1,2,... и известных значениях ..., х$
методом просеянного трафика определяются величины Bkj, где j =
1,2, ...,п, ак € Nj. Для оценки Bkj используется базовая модель
звена. Обозначим через Ffcj(-) зависимость Bk,j от структурных па-
раметров j-ro звена. В соответствии с результатами раздела 5.3.2 для
определения Bklj необходимо решить систему неявных уравнений
Bk,j Bk,j
Vj, жД1 - рД П U - BG«) 6 N:i
. иеядО'} /
(5.49)
В (5.49) j = 1,2,..., J, а к 6 Nj. Алгоритм решения (5.49) методом
подстановок исследован в разделе 5.3.2.
3. Найденные значения Bk,j, j = 1,2, ...,п, к G Nj подставляются в
(5.48) и находятся величины к — 1,2,..., п. Они являются функ-
циями значений х^\ ..., х^\ Эта зависимость представляется в виде
7rfc(4s), • • •, ^s)), к = 1,2,..., п.
384
Глава 5. Оценка канального ресурса мультисервисных сетей
4. Находятся значения (s + 1)-го приближения к искомому решению.
Значения компонентов к = 1, 2,..., п, определяются из следу-
ющих соотношений (детали реализации используемого подхода см. в
разделе 3.3.8):
(s+i) _____________________Ад,____________________
к 1- (рк + 7Tk(x[S,S+1\ T^S,S+1)) (1 - Рк^Нк '
к = 1,2,..., п.
В приведённом равенстве верхний индекс (s, s + 1) означает, что при
выполнении вычислений используется (з+1)-ый компонент решения,
если же он неизвестен, то подставляется значение s-ro компонента.
5. Далее совершается переход к шагу 2, и повторяются указанные дей-
ствия до достижения сходимости, которая оценивается стандартны-
ми средствами.
После определения Ж1,...,тп находятся значения тгк, к = 1,2,
Для этого используются соотношения (5.48). Пусть тг“А., 7r“fe, Jk, Мк, А^Д,
А£, y“k — оценки показателей исследуемой модели мультисервисной сети
с повторными заявками, полученные с использованием рассмотренного в
данном разделе приближённого алгоритма. Они обозначены теми же сим-
волами, что и соответствующие значения показателей сети, введённые в
разделе 5.5.2, только с индексом а вверху. Формулы для их вычисления
через известные значения характеристик и параметров модели имеют сле-
дующий вид:
+ (1 - 7г“ (5.50)
та _ Хк ^к ,,а ______ хк ^к а _______ а ч
^к 1 ^к \ > Ук ^а,к)>
Vk Лк
К,к = + (1 - 7г“Л)рД, Л.к = хк, к = 1,2,..., и.
Проведём исследование точности построенного приближённого алго-
ритма оценки характеристик модели мультисервисной сети с учётом воз-
можности повторения заблокированной заявки. Соответствующее иссле-
дование выполним на примере сети кольцевой структуры, показанной на
рис. 5.13. Маршрутная матрица сети приведена в разделе 5.4.3. В модели
5.5. Сеть с повторением заблокированной заявки
385
анализируется процесс обслуживания 14 потоков заявок, которые разли-
чаются маршрутами следования трафика и объёмом канального ресур-
са, необходимого для обслуживания одной заявки. Значения 62«-1 = 1
и &2г = 20, i = 1,2,...,7. Результаты приближённого вычисления доли
заявок, потерянных по разным причинам, приведены в таблице 5.3 для
всех используемых маршрутов и потоков заявок. Для оценки погрешности
Таблица 5.3.
Результаты точного и приближённого расчётов доли потерянных заявок
для модели сети с возможностью повторения заявки, получившей отказ.
Схема сети представлена на рис. 5.13.
Мар- шрут Интенсивности заявок (Эрл) Имитационное моделирование Приближённый расчёт
«2 7Г1 я2* —*
1,2 50 2,5 0,17 0,52 0,168 0,486
1,2,3 40 2 0,18 0,63 0,178 0,626
2,3,4 60 3 0,18 0,61 0,177 0,613
3,4 30 1,5 0,17 0,51 0,166 0,468
4,5 20 1 0,17 0,50 0,166 0,460
4,5,1 70 3,5 0,18 0,61 0,177 0,605
5,1 80 4 0,16 0,40 0,161 0,379
расчётов приводятся значения этих же показателей, полученные имитаци-
онным моделированием. Нижний индекс в обозначении характеристик и
параметров указывает на число канальных единиц, которые необходимы
для обслуживания одной заявки. Цифра 1 соответствует использованию
одной канальной единицы, цифра 2 — двадцати. Чтобы нижний индекс не
ассоциировался с номером потока в обозначениях, используется звёздоч-
ка. Параметры поведения пользователя, получившего отказ в обслужива-
нии, задаются равенствами = 0,7 и = 2, к = 1,2,... ,14. Вероят-
ность недоступности вызываемого устройства определяется равенствами
Pk = 0,15, к = 1,2,..., 14. Объём ресурса линий, выраженный в каналь-
ных единицах, определялся из равенств гц = 180, v2 = 200, vs = 180,
г>4 = 180, v§ — 180. Среднее время обслуживания одной заявки взято рав-
ным единице. Значения интенсивностей поступления заявок перечислены
в таблице. 5.3
386
Глава 5. Оценка канального ресурса мультисервисных сетей
Результаты расчётов, приведённые в таблице, показывают, что разра-
ботанный подход обеспечивает приемлемую точность оценки показателей
работы сети в ситуации, когда для пользователя предусмотрена возмож-
ность повторения заблокированной заявки. Задача определения необходи-
мого объёма ресурса решается по схеме, изложенной в разделе 5.3.4.
5.6. Замечания и пояснения
Оценка характеристик пропускной способности мультисервисных се-
тей связи является сложной задачей. Возникающие проблемы обусловле-
ны астрономическим числом состояний и необходимостью учёта взаимно-
го влияния процессов обслуживания заявок в различных сегментах сети.
Тем не менее, имеется устойчивый интерес к этому объекту исследований
со стороны специалистов в области теории телетрафика. Укажем толь-
ко малую часть публикаций, где затрагивается данная тематика и можно
найти дальнейшие ссылки [1-5,7,8,12,13,15,16,18-21]. Отмеченное внимание
опирается на ряд теоретических результатов, которые удалось получить
при анализе математических моделей сетей связи общего вида. Речь идёт
о свойстве мультипликативного представления вектора стационарных ве-
роятностей, которое выполняется для моделей с пуассоновскими входны-
ми потоками и явными потерями заблокированных заявок. Соответствую-
щий результат для ряда частных случаев был известен довольно давно, но
только в работах Ф.Келли [15,16] получил исчерпывающее теоретическое
обоснование. Содержание раздела 5.1 следует этим работам, а также яв-
ляется изложением соответствующих разделов монографий В.С.Лагутина
и С.Н.Степанова [7] и К.Росса [19].
Понятно, что в практических разработках оценка показателей обслу-
живания заявок мультисервисной сети ведётся приближёнными методами.
На данный момент, оптимальным с точки зрения легкости реализации и
точности оценки является метод просеянного трафика. В разделах 5.2 и
5.3 данный подход излагается, соответственно, для моносервисной и муль-
тисервисной сетей. При подготовке материала использовались результаты
публикаций [7,8,12,14-21]. Несомненным достоинством метода просеянного
трафика является переносимость подхода на модели, в которых учитыва-
ются некоторые дополнительные особенности распределения канального
ресурса и формирования потоков заявок. Это положение использовано
при подготовке разделов 5.4 и 5.5, где автором были исследованы муль-
тисервисные сети с возможностями резервирования ресурса и повторения
Литература к главе 5
387
заблокированной заявки. Данный материал является дальнейшим разви-
тием результатов С.Н.Степанова и соавторов [6,9,11].
Литература к главе 5
1. Башарин Г.П., Бочаров П.П., Коган Я.А. Анализ очередей в вычис-
лительных сетях. Теория и методы расчёта. — М.: Наука, 1989.
2. Башарин, Г. П. Лекции по математической теории телетрафика. —
М.: Изд-во РУДН, 2004.
3. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория массового обслуживания. —
М.: Изд-во РУДН, 1995.
4. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслу-
живания. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.
5. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями: Пер. с англ. —
М.: Мир, 1979.
6. Кокина О.А., Степанов С.Н. Построение модели и алгоритмов оцен-
ки характеристик пропускной способности звена мультисервисной се-
ти связи с учётом повторных вызовов // Автоматика и телемеханика.
2006. №6.
7. Лагутин, В. С., Степанов, С.Н. Телетрафик мультисервисных сетей
связи. — М.: Радио и связь, 2000.
8. Наумов В.А., Самуйлов К.Е., Яркина Н.В. Теория телетрафика
мультисервисных сетей. — М.: Изд-во РУДН, 2007.
9. Степанов С.Н. Численные методы расчёта систем с повторными вы-
зовами. — М.: Наука, 1983.
10. Степанов С.Н. Материалы курса лекций «Основы теории модели-
рования сетей и систем телекоммуникаций». — М.: Московский тех-
нический университет связи и информатики. 2008.
11. Степанов С.Н., Костров А.В. Моделирование мультисервисной се-
ти с обобщённой схемой резервирования канального ресурса // Т-
Comm. 2008. №4.
12. Broadband network traffic. Performance evaluation and design of broad-
band multiservice networks. Final report of action COST 242 / James
Roberts ... (ed). Lecture notes in computer sciences. Springer, 1996.
13. Gross D., Harris C.M. Fundamentals of queueing theory. — New York:
John Wiley, 1985.
14. Hui J.Y. Resource allocation for broadband networks // IEEE Journal
on Selected Areas in Communications. 1988. V.6.
388
Список сокращений
15. Kelly F.P. Reversibility and stochastic networks. — New York: Willy,
1979.
16. Kelly F.P. Blocking probabilities in large circuit-switched networks //
Adv. AppL Prob. 1986. V.18.
17. Linderberger K. Dimensioning and design methods for integrated ATM
networks // Proc. 14th International Teletraffic Congress. Antibes Juan-
les-Pins. France, 1994.
18. Ross K., Chung S. Reduced load approximations for multi-rate loss net-
works service // IEEE Transactions on Communications. 1993. V. 41.
№8.
19. Ross K. W. Multi-service loss models for broadband telecommunication
Networks. -- London: Springer, 1995.
20. Stidham S., El Taha M. Sample-path analysis of processes with imbedded
point processes // Queueing Systems: Theory and Applications. 1989.
№5.
21. Whitt W. Blocking when service is required from several facilities simul-
taneously // ATT Technical Journal. 1985. V. 64.
Список сокращений
ABR Available Bit Rate — доступная скорость передачи
AF РНВ Assured Forwarding Per Hop Behaviour — гарантированная доставка
ATM Asynchronous Transfer Mode — асинхронный режим передачи
СарЕх Capital Expenditure — капитальные затраты
CBR Constant Bit Rate — постоянная скорость передачи
DiffServ Differentiated Services — дифференцированные услуги
DWDM Dense Wavelength Division Multiplexing — мультиплексирование с разделением по длинам волн
EF РНВ Expedited Forwarding Per Hop Behaviour — срочная доставка
IETF Internet Engineering Task Force — Рабочая группа инженерной поддержки сети Интернет
IntServ Integrated Services — интегрированные услуги
IP Internet Protocol — протокол сети Интернет
IPDV IP packet Delay Variation — вариация задержки доставки IP-пакета
IPER IP packet Error Ratio — доля IP-пакетов, переданных с ошибкой
IPLR IP packet Loss Ratio — доля потерянных IP-пакетов
390
Список сокращений
IPTD IP packet Transfer Delay — задержка доставки IP-пакета
ISDN Integrated Services Digital Network — цифровая сеть с интеграцией служб
ITU-T International Telecommunication Union — Telecommunication Standardization Sector — Международный союз электросвязи — сектор стандартизации в области телекоммуникаций
LSP Label Switched Path — путь коммутации меток
LSR Label Switching Router — маршрутизатор с коммутацией по меткам
MPLS Multi-Protocol Label Switching — многопротокольная коммутация по меткам
NGN Next Generation Networks — сети следующего поколения
OpEx Operational Expenses — эксплуатационные расходы
QoS Quality of Service — качество услуг (связи)
RED Random Early Detection — случайное раннее обнаружение
RFC Request for Comments — предложение для обсуждения
RSVP Resource reSerVation Protocol — протокол резервирования сетевых ресурсов
SLA Service Level Agreement — соглашение о качестве обслуживания
SDH Synchronous Digital Hierarchy — синхронная цифровая иерархия
STM Synchronous Transport Module — синхронный транспортный модуль
ТЕ Traffic Engineering — инженерия трафика
TCP/IP Transmission Control Protocol/Internet Protocol — протокол управления передачей/протокол Интернет
Список сокращений
391
UBR Unspecified Bit Rate — нерегламентированная скорость передачи
UDP/IP User Datagram Protocol/Internet Protocol — протокол пользовательских дейтаграмм /протокол Интернет
VBR-RT Variable Bit Rate, Real-Time — переменная скорость передачи в реальном времени
VBR-NRT Variable Bit Rate, Non-Real-Time — переменная скорость передачи не в реальном времени
к.е. канальная единица
мсэ Международный союз электросвязи
Эрл эрланг
ЭрлК эрланго-канал
Научное издание
Сергей Николаевич Степанов
ОСНОВЫ ТЕЛЕТРАФИКА МУЛЬТИСЕРВИСНЫХ СЕТЕЙ
ЛР № 065332
Подписано в печать с оригинал-макета 30.09.2009
Формат 70 х 100/16. Тираж 1200 экз.
Бумага офсетная № 1. Гарнитура тайме.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 31.9. Зак. № 1843
Информационно-технический центр «Эко-Трендз».
Отпечатано в ППП «Наука»,
121099, Москва, Шубинский пер.,6