ERGEBNISSE DER MATHEMATIK
UND IHRER GRENZGEBIETE 88
A Series of Modern Surveys
in Mathematics
Editorial Board: P. R. Halmos, P. J. Hilton (Chairman),
R. Remmert, B. Szokefalvi-Nagy
Advisors: L. V. Ahlfors, R. Baer, F. L. Bauer, A. Dold,
J. L. Doob, S. Eilenberg, K. W. Gruenberg, M. Kneser,
G. H. Miiller, M. M. Postnikov, B. Segre, E. Sperner
Andre Weil
ELLIPTIC FUNCTIONS ACCORDING TO
EISENSTEIN AND KRONECKER
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York 1976

А. Вейль
Эллиптические
функции
по Эйзенштейну
и Кронекеру
Перевод с английского
Ю. И. МАНИНА
Издательство «Мир»
Москва 1978

УДК 517.7
Эллиптические функции —одна из красивейших глав клас-
классического анализа. После некоторого периода забвения они
снова вызывают широкий интерес и находят применение в раз-
различных областях математики — теории чисел, алгебраической
геометрии, дифференциальных уравнениях.
Книга А. Вейля, видного французского математика, хоро-
хорошо известного русскому читателю, принадлежит к редкому
жанру. Это одновременно живое историко-математическое ис-
исследование, начальный курс теории эллиптических функций с
многими полными доказательствами и введение в самые совре-
современные исследования. Она воплощает преемственность идей
в актуальной области классического анализа.
Написанная увлекательно и с большим педагогическим
мастерством, книга будет интересна математикам различных
специальностей и разного уровня подготовки — от студентов
младших курсов до сложившихся исследователей.
Редакция литературы по математическим наукам
© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1976
All Rights Reserved
Authorized translation from English language
edition published by Springer-Verlag Berlin-
Heidelberg—New York
© Перевод на русский язык, «Мир», 1978
20203-002
041@1)-78
2-78

От редакторов серии
Ergebnisse der Mathematik
Мои сотрудники по редакционной коллегии серии Ergeb-
Ergebnisse der Mathematik и я рады представить книгу Андре Вейля
«Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру». Не-
Некоторых читателей, возможно, удивит публикация в этой се-
серии сочинения, на первый взгляд посвященного истории ма-
математики и потому столь нетипичного для серии. Ознакомив-
Ознакомившись с рукописью, редакторы, однако, пришли к твердому
убеждению в том, что она, внося весьма существенный вклад
в историю нашей науки, в то же время представляет очень
большую ценность для современных исследований. Поэтому
мы без колебаний решили просить профессора Вейля согла-
согласиться на публикацию его рукописи в нашей серии и рады
были получить его согласие.
Патер Хилтон,
председатель редакционной коллегии

Предисловие
«Когда строят короли, работу получают возчики» — ска-
сказал немецкий поэт1). Кронекер процитировал его в своем
письме Кантору в сентябре 1891 г., добавив, что каждый
математик одновременно и король и возчик. Несомненно, он
думал о себе.
Но возчикам нужны дороги. В истории нашей науки не-
нередко случалось так, что король открывал новый путь в зем-
землю обетованную, а его наследники, предпочитая свои тро-
тропинки, оставляли этот путь зарастать чертополохом.
Цель этой небольшой книжки — помочь расчистить одну
из королевских дорог. Она возникла на основе лекций, чи-
читанных в Институте высших исследований осенью 1974 г.
Я признателен Мел вину Натансону, предоставившему в мое
распоряжение свои записи этих лекций. Куда приведет наша
дорога, увидит будущее, но уже немало примет, что впереди
плодородные земли.
Поскольку многое изложенное в этой книге заслуживает
включения в элементарные курсы, нелишне указать, что она
почти замкнута в себе. Даже основы теории тригонометриче-
тригонометрических функций изложены в начале гл. II ab initio методом
Эйзенштейна. Было бы логично и удобно ввести так же гам-
!) Здесь процитирована вторая строка ксении «Кант и его последова-
последователи», а ее полный текст звучит так:
«Wie doch ein einziger Reicher so viele Bettler in Nahrung
Setzt! Wenn die Konige baun, haben die Karrner zu tun».
(Goethes Werke, B. 1, S. 208, Aufbau-Verlag, Berlin und Weimar, 1974.)
«Ксении» написаны совместно Гёте и Шиллером; упомянутая ксения при-
приписывается Шиллеру. — Прим. перев.

8 Предисловие
ма-функцию в гл. III, но для краткости это введение было
опущено, и предполагается, что читатель знаком с элемен-
элементарными свойствами F(s). В части II требуется также зна-
знакомство с теоремой Дирихле о рядах Фурье и ее частным
случаем — методом суммирования Пуассона. Для наших при-
приложений (главным образом, функциональное уравнение для
тэта-функции) нужно знать несколько классических интегра-
интегралов. Распределения Шварца появляются лишь в § 10 гл. VII
и § 16—18 гл. VIII. Эти разделы слабо связаны с остальной
частью книги и могут быть опущены без ущерба для пони-
понимания, хотя и не без потерь. В гл. VIII нельзя обойтись без
функции Бесселя /Cv, введенной с помощью определенного
интеграла. Разумеется, я Еыбрал для нее стандартное обо-
обозначение, но не пользовался никакими свойствами этой функ-
функции или, скорее, интеграла, кроме самых очевидных. В по-
последней главе речь идет о теории чисел, и потому, конечно,
предполагается некоторое знакомство с ней.
Андре Вейль
Принстон, 21 марта 1975 года

часть первая
Эйзенштейн

глава I
Введение
В 1891 г. Кронекер дал согласие выступить с лекцией на
первом собрании только что основанного Немецкого матема-
математического общества. Лекция не состоялась из-за смерти его
жены, но в письме Кантору, президенту Общества, Кронекер
выразил надежду, что он сможет предоставить ее письмен-
письменный текст, содержание которого было описано в следующих
выражениях:
«Der Vortrag... sollte kurzweg den Titel haben «Ober Eisen-
stein» ... Dabei muBten dann auBer den rein arithmetischen und
analytisch-arithmetischen noch ganz besonders seine rein ana-
lytischen Untersuchungen iiber elliptische Funktionen hervor-
gehoben werden, welche dem BewuStsein der Jetztzeit ganz
abhanden gekommen sind...» (Kronecker, Werke, B. V,
S. 499) *)•
Вскоре Кронекер умер, так и не написав свою лекцию.
Однако он уже довольно подробно обсудил работы Эйзен-
Эйзенштейна в своей последней большой статье об эллиптических
функциях, опубликованной Берлинской Академией в 1891 г.,
указав, что Эйзенштейн предвосхитил некоторые из самых
известных новшеств Вейерштрасса и пошел значительно
дальше. Вот что пишет Кронекер:
*) «Лекция должна была называться «Об Эйзенштейне». Она была бы
посвящена не столько его теоретико-числовым работам или работам, со-
соединяющим теорию чисел с теорией функций, сколько и главным образом
его чисто аналитическим исследованиям по эллиптическим функциям, так
прочно забытым сейчас».

12 Часть I. Эйзенштейн
«Существенно новые точки зрения ... в особенности на
теорию преобразований тэта-функций ... Эйзенштейн ввел в
своей фундаментальной, но редко цитируемой статье «Bei-
trage zur Theorie der elliptischen Funktionen», опубликован-
опубликованной в журнале Крелля в 1847 г. и содержащей совершенно
оригинальные идеи...»
Если Кронекер выражается с таким энтузиазмом, доволь-
довольно очевидно, что он сам только что открыл для себя эту
статью. Далее он указывает на ее связи со своими текущими
исследованиями, связи, которых он до того явно не замечал
(Kronecker, Werke, В. V, S. 149). Обе цитаты относятся к
статье Эйзенштейна «Genaue Untersuchung der unendlichen
Doppelprodukte, aus welchen die elliptischen Funktionen als
Quotienten zusammengesetzt sind, und der mit ihnen zusam-
menhangenden Doppelreihen». Это — часть VI его труда «Bei-
trage zur Theorie der elliptischen Funktionen»; она была опуб-
опубликована в Crelles Journal, 35 A847), 153—274, а затем пе-
перепечатана в эйзенштейновском томе Mathematische Abhand-
lungen в 1847 г. с предисловием Гаусса.
Кронекер имел все основания назвать эту статью «редко
цитируемой». Сомнительно, чтобы во всей математической
литературе XIX века нашлась хотя бы одна ссылка на нее,
кроме ссылки самого Кронекера и подстрочного примечания
в диссертации Гурвица (Hurwitz, Werke, В. I, S. 31).
В XX веке, возможно, ее цитировали еще два-три раза.
Идеи Эйзенштейна действительно были «прочно забыты».
Не только вкус к истории побуждает нас попытаться ожи-
оживить их здесь. Не говоря уже о том, что они являются пре-
превосходным введением ко многим работам Гекке, мы надеем-
надеемся показать, что их можно с успехом применить к решению
некоторых современных проблем, особенно в сочетании с
поздними работами Кронекера, естественно их продолжаю-
продолжающими. Возможно, эти идеи окажутся полезными и за преде-
пределами теории эллиптических функций и модулярной группы,
в частности в арифметике рядов Эйзенштейна для групп
Гильберта1), но здесь я не буду касаться этой темы.
Любой читатель Эйзенштейна должен сознавать, как ост-
остро он ощущал нехватку времени в течение всей своей непро-
непродолжительной жизни в науке. Еще в юности он жалуется на
нервные приступы, заставляющие его часто прерывать ра-
работу. Позже он заболел туберкулезом, от которого и умер
1) Это предсказание оправдалось (быстрее, чем я ожидал) после того,
как были написаны эти строки: см. G. Shimura, On some arithmetic pro-
properties of modular forms of one and several variables, Ann. Math., to
appear.

I. Введение 13
в 1852 г. в возрасте 29 лет. Его статьи, блистательно задуман-
задуманные, писались урывками; детали прорабатывались от случая
к случаю; иногда связный ход мысли прерывается, чтобы во-
возобновиться на более поздней стадии. Время от времени
Крелль позволял ему послать в печать часть статьи до ее
завершения. Читателю часто приходит на ум трагическая
фраза Галуа: «Je n'ai pas le temps»1).
Поэтому было бы нелепо идти след в след за Эйзенштей-
Эйзенштейном. Рассказывая его работы, я свободно перекраивал его
материал (как сделал бы он сам по более зрелом размыш-
размышлении) и пользовался его собственными указаниями, как
улучшить изложение, когда это не означало насилия над его
образом мысли.
Здесь уместно одно общее замечание по вопросам сходи-
сходимости. Во времена Эйзенштейна понятие абсолютной сходи-
сходимости (в отличие от «условной») было еще сравнительно но-
новым. По словам Эйзенштейна, сам он узнал об абсолютной
сходимости из статьи Дирихле о простых числах в арифме-
арифметической прогрессии и аккуратно пользовался ею всюду, где
это необходимо. Например, начало его статьи, обсуждаемой
здесь, посвящено доказательству сходимости ряда
при а > v/2, a также более общих рядов такого типа. В на-
наши дни все это общеизвестно и не нуждается в повторении.
С другой стороны, равномерная сходимость не была известна
Эйзенштейну. Он неявно и без доказательства принимает, что
вводимые им ряды аналитических функций можно дифферен-
дифференцировать почленно; возможно, по этой причине Вейерштрасс
игнорировал его работу. На самом деле этот пробел легко
восполнить. Если бы потребовать этого от Эйзенштейна, он
мог бы рассуждать так. Рассмотрим в качестве типичного
примера ряд ]£ (х-\- \х)~п, появляющийся в его теории три-
тригонометрических функций (гл. II). Отбросив конечное число
членов, мы должны рассмотреть абсолютно сходящиеся ряды
Ш = I (х + \х)~п + Е (х - »Гп (п> 2),
ц.=М \х=М
+ ОО
*) «У меня не осталось времени». — Прим. перев.

14 Часть I. Эйзенштейн
где М > 1 —целое число. Пусть f(x) — любой из этих рядов,
ФцМ —его М-"й член. Разложим Фц(#-|-#) по биномиальной
формуле в степенной ряд по у:
+ ОО
Тривиальная оценка показывает, что двойной ряд
абсолютно сходится при |*|^Af—1J#|<1. Следовательно,
мы можем написать
m=0
Но коэффициент при ут, с точностью до очевидного постоян-
постоянного множителя, совпадает с рядом, который получается из
f(x) m-кратным почленным дифференцированием. Это оправ-
оправдывает допущения Эйзенштейна. В дальнейшем все подобные
проблемы мы обходим молчанием.

глава II
Тригонометрические
функции
§ 1. Как показал Эйзенштейн, его метод построения эл-
эллиптических функций прекрасно работает в более простом
случае тригонометрических функций. Сверх того, этот случай
не только служит поучительным введением в теорию Эйзен-
Эйзенштейна, но и доставляет простейшие доказательства ряда
фактов, открытых Эйлером и нужных для дальнейшего.
Метод основан на рассмотрении рядов вида
+ ОО
еп(х) = Т (х + и)~я>
\1 = —<х>
где п ^ 1 — целое число. Случай fi> 1 не требует объясне-
объяснений. Чтобы работать с п = 1, введем символ Те («суммиро-
(«суммирование по Эйзенштейну» однократных рядов), который опре-
определяется формулой
+м
Те = Нт Т •
М- М->+оо \1 = -М
После этого определим ряд ег как
V 1
Поскольку ряд еп абсолютно сходится при п ^ 2, очевидно,
что для этих п функция Еп периодична с периодом 1. То же
верно для еь потому что члены этого ряда стремятся к нулю
при ju->dz°°. Дифференцируя почленно (см. последние за-
замечания в гл. I), находим den/dx = — пеп+\ при всех п^\.

16 Часть I. Эйзенштейн
Разлагая (x-\-[i)~n при я>1, \х ф О, |х|<1 в степенной
ряд по х, получаем для функции гп(х) — х~п ряд, сходящийся
при \х\ < 1. Для п = 1 он имеет вид
гДе Ym = О ПРИ нечетных m и
Дифференцируя п—l раз, получаем
+ ОО
/ 2т — 1 \
где «биномиальные коэффициенты» I - I равны нулю
при 2т < п. Очевидно, функция вп(х) четна или нечетна по
х в зависимости от четности или нечетности п. Для каждого
п ^ 1 коэффициент Yn совпадает со значением гп {х) — х~п
при х = 0.
§ 2. Следующей вопрос: как получить нелинейные соотно-
соотношения между функциями еп? Для Эйзенштейна отправной
точкой служат тождества с рациональными функциями. Возь-
Возьмем две независимые переменные /?, q и положим г = р-\- q.
Деля на pqr, получаем
^-=^+-^ а)
pq pr ' qr v '
Более общо, для целых чисел т, п^\ имеем
т-\ п-\
m(m + l) ...(/» +^-1)
ft0 fe0
B)
Это тождество можно вывести из A), дифференцируя т — \
раз по р и /г — 1 раз по q. Можно также рассматривать B)
как разложение р~т{г — р)~п на простые дроби, считая это
выражение рациональной функцией от /?, а г константой. При
т = п = 2 получаем

II. Тригонометрические функции, § 4 17
Положим в C) р=# + |я, 9 = f/ + v — ц, а также z =
= х-{-у\ тогда r = 2 + v. Применим к C) «суммирование по
Эйзенштейну» по р,, считая v постоянным. Получим
Е. (р-27 - P-V-2 - q~2r-2) = 2г-3 [в, (*) + в, (у + v)].
IX
Здесь можно заменить б! (у + v) на ei (у), а £е на 2, ибо
ряд абсолютно сходится. Теперь суммирование по v приво-
приводит к тождеству
е2 (л:) е2 (у) — е2 (л:) е2 {г) — е2 (у) е2 (г) = 2е3 (г) [в1 (*) + ех (у)], D)
потому что все нужные ряды абсолютно сходятся. Это — фор-
формула сложения для функций е.
§ 3. При данном нецелом значении х обе части D) как
функции от у имеют двойной полюс при у = 0. Разложив их
в степенные ряды по у> немедленно получаем, что коэффи-
коэффициенты при у~2 и у~1 в обеих частях одинаковы. Сравнение
постоянных членов дает:
Зв4(*) = в2(*J + 2в,(*)вз(*). E)
Аналогично, при данном х рассмотрим обе части D) как
функции от г и разложим их в ряд вблизи z = 0. Сравнивая
постоянные члены, находим
г2(хJ = г,(х)-\-2у2г2(х). F)
Поэтому 6^3=6^ — 37282. Дифференцируя, получаем е2е3 —
— 2у2е3 = е184. Сравнение с F) показывает, что e3 = eie2. Под-
Подставив ei82 вместо е3 в формулу для ei83 и разделив на е2>
находим ej*=e2 — 3y2. Так как е2= —dejdx, отсюда следует,
что б! есть решение дифференциального уравнения dX/dx =
= — X2—Зу2, бесконечное при # = 0. Как хорошо известно,
отсюда следует, что г\ (х) = п ctg тех.
§ 4. Интереснее, однако, сделать вид, что мы ничего не
знаем о тригонометрических функциях, и определить котан-
котангенс с помощью этого дифференциального уравнения. Точнее,
положим а = (Зу2)~Ч а > 0. Из вышесказанного следует, что
и->аг\{аи) есть решение дифференциального уравнения
dv/du = —и2—1 с периодом сг1. Очевидно, любые два его
решения могут отличаться лишь сдвигом по и9 так что имеет-
имеется единственное решение с полюсом при и = 0. Если опре-
определить котангенс как это решение и определить л как его
период, мы можем написать е\(х) = л ctg лх и Y2 = я2/3.

18 Часть I. Эйзенштейн
После этого элементарную теорию тригонометрических
функций можно развивать несколькими способами. Следует
либо пользоваться уже выведенными формулами, либо полу-
получать дальнейшие тождества с тригонометрическими функ-
функциями из тождеств с рациональными функциями, пользуясь
методом, описанным в § 2. Рассмотрим, например, формулу
сложения для котангенса:
2е, (х + у) [вх (х) + е{ (у)] = [вх (х) + г{ (у)]2 - е2 (*) - е2 (у). G)
Эйзенштейн доказывает ее так. Заметим прежде всего, что
для любого целого числа v
где ряд абсолютно сходится. Положим
z = x + yy р = х-\-\х, q = y — ц, р' =х-\-\х — v, q' = y-\-v — [
и применим A) к р, q' и р', q. Получим
— + — -—
pq' ^ p'q — p + q
Эту формулу можно рассматривать как разложение на про-
простые дроби левой части как функции от х при постоянных г,
|я, v. Обозначим правую часть буквой А. Аналогично, приме-
применив A) к /?, —р' и затем к q, —q\ получим при v ф О
— +—=-(—--+--—!
рр' ' qqf v V р' Р q q' /
Обозначим правую часть через Bv и положим Во = P~2~\~q~2*
Тогда
Просуммируем это тождество но \х при постоянном v, затем
просуммируем результат по v по Эйзенштейну. В первом сум-
суммировании ряды абсолютно сходятся. Сверх того, в левой
части даже двойной ряд по (jx, v) абсолютно сходится. По-
Поэтому слева можно суммировать по fx и \х — v независимо,
что в силу (8) приведет к результату
Суммирование выражений А даст левую часть G), суммиро-
суммирование Во Даст последние два члена G), а суммирование Bv
при v ф 0 даст нуль. Это доказывает G).
Другой вариант состоит в рассмотрении формулы
е{ {z - х) [е2 (х) - 82 {z)] - г{ {х) е2 {г) - ех (г) е2 (*) = 0, (9)

II. Тригонометрические функции, § 5 19
которая тривиально эквивалентна G) в силу тождества
е2=е2 + я2 из § 3. Положим y = z — х и обозначим через
f{x,y) левую часть (9). Тогда D) показывает, что df/dy = O,
так что вместо f{x,y) можно писать просто f(x). Но левая
часть (9) симметрична по х, z, так что f(x) = f(z) при всех
х9 z\ значит, / есть константа. При замене х, z на —х, —z ле-
левая часть (9) меняет знак, так что / нечетна. Поэтому / = О,
что снова доказывает G).
§ 5. Отметим еще, что § 3 статьи Эйзенштейна содержит
краткие указания на гораздо более общие тригонометриче-
тригонометрические тождества, которые можно вывести его методом из со-
соответствующих тождеств для рациональных функций и ко-
которые в свою очередь можно использовать для отыскания со-
соотношений между эллиптическими функциями. Попутно от-
отмечена формула
ctg_
sin и — 2 ClS 2 2
которую можно переписать в виде
я 1
Этот ряд можно положить в основу определения синуса. Из
G) вытекает формула
2eiBх) б1 (х) = 2ei(хJ - е2 (х) = гг (хJ - я2.
Подставив в нее последовательно у и 2 х , находим, что
8i(t) и ei( 2 ) являются корнями уравнения
Y2 — 2s{(x)Y — n2=09
и из A0) получаем
я/sin тех = е2 (хI/2у е2 (х) = (я/sin ял:J.
Дифференцируя эти формулы и пользуясь тождествами § 3,
находим
е, {х) = -^ log sin их. A1)
Если бы Эйзенштейн жил дольше и продолжил свои ис-
исследования, формула A0) и подобные ей могли бы привести
его к рассмотрению более общих рядов вида 2 %(v) (* +v)""/\
где х — некоторый характер аддитивной группы целых чисел

20 Часть I. Эйзенштейн
(не обязательно конечного порядка), и соответствующих ря-
рядов в теории эллиптических функций. Как мы увидим даль-
дальше, этим, по существу, занялся Кронекер (см. гл. VII и VIII).
§ 6. Введем теперь бесконечные произведения. Начнем с
предварительных замечаний. В произведении P = YLpn не*
которые сомножители могут обращаться в нуль. С другой сто-
стороны, мы будем переносить на произведения все определения
и факты о рядах, логарифмируя почленно; поэтому во всех
необходимых случаях следует отбрасывать конечное числа
нулевых множителей (конечность обусловлена тем, что про-
произведение может сходиться, только если рп стремится к 1 при
fx->±oo). Под log рп всегда подразумевается главная ветвь
логарифма в некоторой окрестности единицы. Вне нее можно
брать любую ветвь (например, для определенности, вида
l°g I Р\х I + пМ с ~~ 1 ^ ' < 1) и считать log 0 = оо. Таким об-
образом,
если произведение сходится; значение логарифма слева может
лежать на любой ветви. Произведение называется абсолютно
сходящимся, если ряд ]£ log p^ абсолютно сходится (после
исключения конечного числа членов с р^ = 0). Символ JJe
отвечает ]£е: согласно нашим определениям,
+М +М +оо
ЛеР1Х= Нт П Р» = П /V II (Р»Р-Л
Последнее выражение может иметь смысл, только если
P^P-^-^l при ц,-> + оо (в то же время р^ не обязаны стре-
стремиться к I).
Таким образом, мы можем придать смысл произведению
где штрих, как обычно, означает пропуск члена с \i = 0. По
определению,
В силу замечаний в конце гл. I, этот ряд можно дифферен-
дифференцировать почленно. Здесь, однако, Эйзенштейн ощущает не-
необходимость в обосновании и действует, как мы могли бы
действовать сегодня, дифференцируя почленно и затем инте-

II. Тригонометрические функции, § 7 21
грируя полученную формулу. Он не замечает, что этого недо-
недостаточно, не владея понятием равномерной сходимости. Как
бы то ни было, он приходит к тождеству
Из A1) следует, что xP(x)/sinnx есть константа; формула
A0) показывает, что она равна 1/я при х = 0. Это дает клас-
классическое произведение Эйлера для синуса в виде
sin пх
= пх Д^ (l + —) . A2)
Из него без труда вытекает следующая формула, пригодная
для нецелых значений х/и:
x — t
sin n
sin л —
и
м-
Она понадобится нам позже.
§ 7. До сих пор нам было безразлично, работать ли с ве-
вещественными или с комплексными числами. Все рассуждения
проходили в обоих случаях, кроме доказательства формулы
A2): оно показывает лишь, что отношение левой и правой
частей как функция вещественной переменной х равно еди-
единице на [—1, 1] и постоянно в каждом интервале [jx, \i + 1].
Поэтому для завершения доказательства остается лишь заме-
заметить, что правая часть периодична с периодом 2 (это оче-
очевидно) .
В комплексном случае желательно вывести из предыду-
предыдущих рассмотрений связь между тригонометрическими функ-
функциями и экспонентой. Эйзенштейн достигает этого, переписав
формулу сложения G) в равносильном виде
Введя функцию
немедленно получаем для нее формулу сложения в виде
и начало разложения в нуле в виде 1 -\-2nix. Поэтому е(х) =
= e2stix, откуда следуют обычные формулы, сначала для

22 Часть I. Эйзенштейн
котангенса, а затем для синуса и косинуса. Для будущих
нужд отметим формулу
-М = »<да- A4)
Введя, как обычно, числа Бернулли Вт с помощью ряда
v ч "т B/n)! '
получаем ряд для Zi(x) в виде
т=1
Пользуясь формулами из § 1, находим отсюда
A6)

глава III
Основные
эллиптические
функции
§ 1. Начиная с этого места, мы работаем с комплекс-
комплексными переменными. Обозначим через W некоторую решетку
в комплексной плоскости. Пусть и, v — ее образующие, так
что W состоит из точек вида w = \xu-{-vv, где \х, v — целые
числа. Отношение v/u не вещественно, и его можно пред-
представить в виде v/u = 6т, где 6=± 1, а т лежит в верхней
полуплоскости. Иногда удобно писать 6(иу v) вместо б. По-
Положим ^^е(т), где функция е определена в гл. II, § 7.
Символом л[ц = q1/z всегда обозначается та ветвь, для кото-
которой д1/* = е(т/2); очевидно, |^|<1. Поскольку uv— uv =
= Ьип(% — т), мы можем записать это число в виде
uv — uv = — 2ш'6Л, А > 0.
§ 2. Рассмотрим теперь ряд
Еп(х)= I
При п ^ 3 он абсолютно с одится, и никаких дополнитель-
дополнительных объяснений не требуется. Кроме того, в силу замечаний
в конце гл. I, имеем dEn/dx = — пЕп+\.
При п = 1 и п = 2 Эйзенштейн определяет эти ряды с
помощью процесса, который мы снова назовем суммирова-
суммированием по Эйзенштейну. Он зависит от выбора образующих и, v
решетки W и определяется формулой
N ( Af \
Hm £ f lim £ ),
N->oo v=-N \Af-»oo \x=-M/

4 Часть I. Эйзенштейн
где мы положили w = \х,и + w. Очевидно, сумму по \х можно
вычислить с помощью формул гл. II: для всех л ^ 1 имеем
и, следовательно,
в
В § 6 мы приведем более явную формулу, из которой бу-
будет ясно, что ряд B) абсолютно сходится и (в силу замеча-
замечаний в конце гл. I) его можно дифференцировать почленно.
Пока приняв это на веру, определим Еп для всех п ^ 1 фор-
формулой
ЕП(Х) = Ze (X + W)~n = £ е{х + |Ш + VV)-\ C)
Эйзенштейн обозначает эту функцию (как и гп(х) в теории
тригонометрических функций) символом (п, х). Поскольку
она зависит не только от х и решетки W, но и выбора обра-
образующих и, v этой решетки, мы при необходимости будем обо-
обозначать ее также En(x\u,v). Если п ^ 3, можно писать
Еп(х; W). Из определений ясно, что функция Еп(х) четна
или нечетна по х в зависимости от четности или нечетности
п. В частности, Е\(—х) =—Ег(х).
Поскольку C) можно дифференцировать почленно, имеем
dEn/dx = —пЕп+\ для всех п ^ 1.
§ 3. В определении суммирования £е можно было поме-
поменять местами \х и v; это все равно, что поменять местами
образующие и, v решетки W. Вообще, любая замена обра-
образующих W приведет к другому способу суммирования. Мож-
Можно также сделать сдвиг на элемент решетки, заменив, ска-
скажем, (jn, v) на (jj/ + |xo, v' + vo) и затем применив Y*e к \i't v'
вместо jLi, v. Вместо этого можно заменить а: на л:+йУо в
£n(A;), где ^o = !io^ + vof. Наконец, можно выбрать подре-
шетку Wa W с образующими и', vr и множество R предста-
представителей для W/W в W и применить к любой функции f(w)
на решетке W, например к f (w) = (x + w)~ny метод суммиро-
суммирования

III. Основные эллиптические функции, § 4 25
Все эти способы дадут один и тот же ответ для абсолютно
сходящихся рядов. Существенный этап теории Эйзенштейна
состоит в выяснении того, чем они отличаются в применении
к Еи Е2.
Будем временно обозначать через Yje' любой из этих
способов суммирования, а через Е'п функцию, полученную
его применением к ряду ]C(x + aj)~rt. Имеем Е'п=Еп &т
я^З, потому что тогда ряд абсолютно сходится. Далее,
любой такой способ суммирования совместим с почленным
дифференцированием. Поэтому dE\ldx = — Е'2> dE'2jdx =
= — 2Ег. Значит, существуют такие константы А, В (не за-
зависящие от х, но зависящие от и, v), что
Е[-Ех = Ах+В9 Е'2-Е2=-А. D)
Эйзенштейн, однако, предпочел доказать этот результат
иначе (трудно сказать, произошло ли это из-за недоверия
к почленному дифференцированию). Достаточно объяснить,
как он вычисляет разность Е^ — Е^ случай Е'2 — Е2 совер-
совершенно аналогичен. Заметим, что, вычисляя Е[ — ЕХ9 можно
заменить конечное число членов ряда *]£, (х ~\~ w)~l нулями.
Сделаем это для всех членов с |^|^Л/ и обозначим резуль-
результат символом 2" вместо 2« Будем считать, что |x|<Af.
Символ J] , как обычно, обозначает пропуск члена с ц =
= v = 0. Имеем, таким образом,
Нетрудно убедиться, что ряд 2 \xnw~n~l\9 распространен-
распространенный на все п^2 и на все we |o>|>Af, абсолютно схо-
сходится (ибо М > | х |). Поэтому на все такие члены в фор-
формуле можно не обращать внимания. Восстановив теперь
в сумме конечное число членов с 0 < | w \ <! М, получим
Е'-Е -Y --Y --xiY -L-V'-U
1 Cl~ JUS W Ljew X\Lje'w2 Lje W2 ) '
Разумеется, по определению J]*» имеем £е^~1 = 0, но это
может нарушаться для £]«'•
§ 4. Рассмотрим теперь случай, когда X*' есть процесс
суммирования, полученный применением 2«со сдвигом в W.
Как мы уже отмечали, он сводится к вычислению En(x-\-wQ)

26 Часть I. Эйзенштейн
для Wq^W. Поскольку все функции еп периодичны с перио-
периодом 1, формула B) показывает, что все функции Еп перио-
периодичны с периодом и. С другой стороны, из формулы A)
видно, что для любого целого числа т > О
— El(x) =
-N-\+m
-D=)- z
-N
Правую часть этой формулы мы вычислим с помощью тож-
тождества A4) гл. II, § 7, заметив, что в обозначениях § 1
Так как |gl<l, это выражение стремится к нулю при
v6-> + oo и к оо при v6-> — оо. Поэтому из формулы A4)
гл. II следует, что ei(* ц ° ) стремится к ±ш при v6->
—>—оо или + оо соответственно. Следовательно,
£1(д: + ту)-£1М = — .
Разумеется, отсюда вытекает, что та же формула верна при
т <<: 0. Окончательно находим
Дифференцируя это тождество, получаем, что функция £2
(и Еп для всех п ^> 3) периодична с решеткой периодов W.
§ 5. Рассмотрим теперь другие процессы суммирования,
описанные в § 3. Достаточно будет разобраться с последним
из них —остальные являются его частными случаями. Пусть
и\ v' — образующие подрешетки W решетки W. В матрич-
матричных обозначениях положим
/п h\
F)
где а, 6, с, d — целые числа и N = ad — be ф 0. В обозна-
обозначениях § 1 положим б/=б(«/, ?/); тогда 6/=6sgniV. Индекс
решетки W в W равен | Л^ |, так что любая система пред-
представителей R фактора W/W в W состоит из \N\ элементов.
Удобно раз навсегда условиться, что 0 входит в R. В част-
частности, если W'=Wt то R = {0},

III. Основные эллиптические функции, § 5 27
Применив к Е\ метод суммирования, описанный в § 3,
мы получим функцию £[, которая задается формулой
Е[= £ Ex{x + nu\v').
Согласно D), разность Е\ — Ех имеет вид Ах-\-В, и мы
должны вычислить Л и В. С этой целью подставим вместо х
сначала х-\-и, а затем —х. Так как Е\ имеет период и и
нечетна, получаем
Аи=Т,Ех(х+и + п и\ v') - Z Ех{х + г; и\ и'),
г г
2В = - £ Ех{х - г; и', v') + £ Е,{х + г; u', v').
г г
Для любого элемента ref можно написать —г = г'-\-
+ а£ r + t/ = r// + ^/, где гг, г^е/? и <, ш;еГ. Эле-
Элементы г' пробегают все R в некотором порядке; то же верно
для г". Положим теперь
w'r = \xrti' + vrv\ w'r' = ixy + v'rv'.
Пользуясь предыдущими формулами и формулой E), полу-
получаем
Аи = —У vr, 2В
С другой стороны,
о = Е(г"+< - г - и) =
В последнюю формулу подставим значение и, взятое из F).
Так как 6/=6sgniV, получим
Окончательно находим
^(хН- г; и\ v') = Ег (х\ и, v) + ——, ^г-, G)
где число v определяется формулой
Естественно, этот результат применим также к случаю
\N\ =1, W = W, R = {0}.

28 Часть I. Эйзенштейн
§ 6. В § 2 мы отложили доказательство сходимости
ряда B); теперь мы проведем его. Положим £ = л;Д/, г = е(£)-
Рассмотрим сначала случай п = 1 и воспользуемся для ei
формулой A4) гл. II, § 7. Поскольку v/u=ztr и ^ = е(т),
общий член ряда B) можно записать в виде
Для больших v это выражение по абсолютной величине не
превосходит C\q\v, где С зависит от г, но не от v. Поэтому
ряд B) абсолютно сходится. При п^2 мы можем перепи-
переписать B) в виде
Покажем, что здесь суммировать по Эйзенштейну уже не
обязательно, потому что ряд абсолютно сходится. В самом
деле,
(я - 1)! dp-i 8i^- (Л _ 1}! \г dz) {\-z
Подстановка £ + v<T вместо Z в этот ряд равносильна под-
подстановке qvz вместо z при v>0 и (^'z) вместо z при
v < 0. Пусть сначала v > 0. Если v достаточно велико, то
\qvz\ < 1, и мы можем рассмотреть разложение по степе-
степеням qvz. Получим
n~lqvdzd.
d=\
Снова для больших v эта величина не превосходит C\q\v по
модулю, где С зависит от z, но не от v. Аналогичная фор-
формула имеет место для v < 0. Действительно, заменив v на
— v, получим при настолько больших v, что \qvz~l\<U
d=\
Это завершает доказательство сходимости.

III. Основные эллиптические функции, § 7 29
§ 7. Объединяя полученные выше формулы, получаем
для всех п ^ 1 следующие выражения для Еп {х):
N
v=-N
f^& Z Zf-^te + i-irz-*]. (8)
v=JV+l d=\
Легко убедиться, что двойной ряд здесь абсолютно сходится,
если N настолько велико, что \qN+lz\ < 1 и \qN+lz~l\ < 1.
В частности, при |<7l< |г| < l^l можно взять iV^O.
Отсюда вытекают важные формулы для коэффициентов
разложения Ех в степенной ряд в окрестности #=0. По-
Поскольку Ei — нечетная функция, имеем
Предположим, что |л;|<|ау| для всех w^W, кроме оу = О.
Тогда
Здесь частичная сумма
абсолютно сходится. Вычитая ее из Е\ (х), находим, что ряд
Хе^~2 имеет смысл и
emxm-K (9)
т=\
Здесь коэффициенты ет равны нулю для нечетных т, а для
четных т задаются формулами
Дифференцируя, получаем для Еп степенной ряд
(Ю)
m=l

30 Часть I. Эйзенштейн
Коэффициент е2т для всех m^l совпадает со значением
Е2т(х) ~х~2т при * = 0. Положим в (8) n = 2m. Если х мал,
то г близок к 1, поэтому в (8) можно взять N = 0. При
£ = 0 значение е2т(£)— £т равно Y2m (см. формулу A6)
гл. II, § 7). Следовательно, подставляя х = 0, £ = 0, г= 1
в (8), получим
BшуиJт ({-\)твт ог /лп„лЛ мп
= l ^ + 2^G2l(N)qNl (И)
где G2m-\(N) есть обычное обозначение для суммы Bт-— 1)-х
степеней делителей W:
Эйзенштейн пишет Bт, *) и 2* вместо наших £2т и 2' соот-
соответственно. Мы будем при необходимости обозначать е2т
через е2т(и, v). Если т^2, то функция е2т(ц% v) зависит
лишь от решетки W и потому может быть обозначена
W)
§ 8. Продифференцируем формулу G) из § 5 п — 1 раз
по х. При п = 2 получим
а при п^З
A3)
(тривиальное тождество, ибо в этом случае ряд абсолютно
сходится). При n = 2m вычтем из обеих частей х~п и поло-
положим х = 0. Получим
е2 К t>0 + J] £2 (г; а', ^) = ^2 (и, v) - ^, A4)
оО + I Е2т (г; u\ v') = е2т(и, v) (т>2). A5)
Здесь мы положили /?' = /? —{0} (напомним, что 0 принад-
принадлежит множеству представителей R фактора W/W в силу на-

III. Основные эллиптические функции, § 8 31
ших соглашений). Для W = W формула A4) приобретает
вид
e2(*f,v') = e2(u,v)—^. A6)
Заметим в заключение, что
Е2 (х) -e2 = x~2+Z 'г [(х + w)~2- w~2~]
и что ряд справа абсолютно сходится, так что Y^e можно
заменить на^Г7. Это ^-функция Вейерштрасса, впервые вве-
введенная им в лекциях 1862 года. Функция £ Вейерштрасса —
не что иное, как Е[(х) — е2х.

глава IV
Основные
соотношения
и бесконечные
произведения
§ 1. Основные соотношения между функциями Еп(х) Эй-
Эйзенштейн получает тем же методом, который он применил
к тригонометрическим функциям (ср. гл. II). Однако тожде-
тождество C) гл. II, § 2 нельзя непосредственно применить к функ-
функциям £w, введенным формулой C) в гл. III, §2; возникнут
трудности со сходимостью. Ничто не мешает исходить из тож-
тождества B) гл. II, §2 с т = п = 3; с этого и начал Эйзен-
Эйзенштейн. Как сам он указывал позже, можно также действо-
действовать последовательно: сначала вывести подходящее тожде-
тождество для тригонометрических функций, как в гл. II, а затем
уже применить его к эллиптическим функциям. Этот способ
несколько проще, и мы воспользуемся им.
Как в гл. III, § 6, перепишем определение Еп в виде
%), A)
полагая £ = х/ы, % = 6v/uf как раньше. Для удобства ссылок
перепишем также формулу D) гл. II, § 2, заменив в ней х
у, z на Б, Б', t" = t + t':
е2 @ е2 (Б') - е2 (Б) е2 (£") - е2 (Б0 е2 (Г) = 2е3 (£") fa (Б) + е, (Б')].
B)
Теперь подставим в эту формулу £ + vt вместо £, £' + (p —
— v)t вместо tf и, следовательно, £" + рт вместо Iй. После
этого просуммируем обе части по v по Эйзенштейну, фиксиро-
фиксировав р, и, наконец, просуммируем по р. В гл. III, § 6 мы убе-
убедились, что ряд A) абсолютно сходится при п ^ 2. Поэтому

IV. Основные соотношения и бесконечные произведения, § 2 33
во всех членах левой части B) суммировать по v и по р мож-
можно независимо; можно также суммировать по р и р — v или
по v и р — v. Следовательно, переобозначив £и, £'а, Х^и через
х, х', х", мы можем записать результат двойного суммирова-
суммирования левой части B) в виде
и4 [Е2 (х) Е2 (*0 - Е2 (х) Е2 (*") - Е2 ООЕ2 (*")]•
С другой стороны, применяя £е к правой части, получаем
v
2ив3 (Г + рт) [Ех (х) + Ех (*' + бри)].
С помощью формулы E) гл. III, § 5 это выражение можно
записать в виде
2«е3 (Г + рт)
Суммируя по р первые два члена, находим
2и*Е3(х")[Е1(х)+Е1(х%
Чтобы просуммировать третий член, перепишем его в виде
В силу формул и оценок гл. III, § 6, ряд по р абсолютно
сходится и равен
- 2 2 Р8з (Г + РТ) = ^£ 82 (Г + РТ).
Р Р
Теперь будем считать х, х', и, v независимыми переменными
и соответственно будем понимать частные производные. Окон-
Окончательно, полагая х" = х + *', находим
Е2 (х) Е2 (*') - Е2 (х) Е2 (*") - Е2 (х') Е2 {х") =
г (х) + Ех (*)\ + ^р ^^ . C)
Этот результат аналогичен соответствующим формулам для
тригонометрических функций и рациональных функций, от-
отличаясь от них лишь последним членом.
§ 2. Будем теперь действовать, как в гл. II, § 3. Фикси-
Фиксируем jc, не лежащий в решетке W. Обе части C) как функции
от хг имеют двойной полюс в точке хг = 0. Разлагая их в ряд
Лорана, убеждаемся, что члены с хг~2 и х'~х обеих частей
совпадают. Сравнивая постоянные члены, находим
El D)

34 Часть I. Эйзенштейн
Аналогично, фиксировав х, рассмотрим обе части C) как
функции от х" и разложим их в ряд Лорана вблизи х" = 0.
Сравнение постоянных членов приводит к тождеству
де2 /кч
1°
Положим e'2 = de2/dv и разложим обе части E) вблизи
х = 0. Получим
-ц-еа = 5е4 — е*. F)
Поэтому формулу E) можно переписать в виде
Е4=(Е2-е2J-5е4. G)
Поскольку d2E2jdx2 = 6£4, мы получили известное уравнение
f" = 6#>2 — ll2g2 Для «функции Вейерштрасса» р = £2 — е2,
в котором g2 = 60^4- Интегрируя его (или, как предпочитает
Эйзенштейн, дифференцируя и исключая высшие производ-
производные), получаем отсюда уравнение Вейерштрасса первого по-
порядка для р в его каноническом виде. Эйзенштейн записы-
записывает его (за пятнадцать лет до первых лекций Вейерштрасса
на эту тему) в форме
El = (Е2 - e2f - 15в4(£2 -е2)+Щс- е2е4). (8)
Здесь через с обозначена, по его словам, «странная кон-
константа»
я/б де4
С~ 2^~dv~*
Постоянный член в правой части (8) можно вычислить так-
также, разложив обе части вблизи х = 0. Тогда для него полу-
получится значение —35е6. Если, в обозначениях Вейерштрасса,
написать р'2 = 4 ffz — g2 f — §з, это будет означать, что
H0
Другое важное тождество проще всего получить, проин-
проинтегрировав обе части D) как функции от х. С точностью до
постоянного слагаемого, приходим к соотношению
2я/б дЕ\ г, г, с (с\\
Так как обе части (9) являются нечетными функциями от х,
эта константа должна быть нулевой, так что формула (9)
верна в том виде, в каком написана.
Как в гл. II, § 4, мы выводим из C) формулу сложения
для Е\:
(Е2(х) - E2{xf)) • {Ег(х + хГ) - Ег(х) - Ех{*')) +
+ = 0. (Ю)

IV. Основные соотношения и бесконечные произведения, § 3 35
Для доказательства обозначим левую часть через F(x, х').
Подставим в C) вместо х, х\ х" соответственно — х\ х'\ х
и затем воспользуемся формулой D) для исключения dE2/dv.
Получим
Е2 {/) Е2 {х") - Е2 (*') Е2 (х") - Е2 {х") Е2 (х)
+ 2£3 W (£, (*') - £, (х'О) - 3£4 (х) + 2£, (х) Е3 (х) + Е2 {xf = 0.
Нетрудно убедиться, что левая часть совпадает с dF/dx, так
что F(x, x) не зависит от х. Так как F меняет знак при пе-
перемене местами х и х', она должна быть тождественно ну-
нулевой.
§ 3. В полной аналогии со своей теорией тригонометриче-
тригонометрических функций, Эйзенштейн вводит затем бесконечные произ-
произведения
Чтобы обосновать сходимость, скажем, <р, он замечает, что
после отбрасывания х и конечного числа сомножителей с
\w\ ^ \х\ логарифм ф можно записать в виде
Этот двойной ряд, состоящий только из членов с \w\ >> \х\,
при п ^ 3 абсолютно сходится. В случаях п = \ и п = 2, как
было показано ранее, сумма по Эйзенштейну J)e сходится.
Заметим попутно, что эти рассуждения показывают абсолют-
абсолютную сходимость «канонического произведения Вейерштрасса»
которое в теории Вейерштрасса определяет а-функцию. Поль-
Пользуясь тем, что, согласно предыдущим результатам, ^'ew~l=Q
и Zie^~2 = ^2, получаем ф = сг • ехр (—е2х2/2).
Будем писать f(t,x\ и, v) и ф(д:; и, v) вместо f(t9x) и у{х)
при необходимости.
Связь между этими функциями и Е\ очевидна: она опре-
определяется формулами
±, f{t9X) = ^=-^, (И)
= -[xf(t9x)]x=Q.

36 Часть I. Эйзенштейн
Согласно определению Пе, мы можем написать
fit х\ = ТТ ТТ A - ^ (\ о\
V \1
Из формулы A3) гл. II, § 6 следует, что внутреннее про-
произведение равно
pv= —
. x + vv
sin я ■
и
Положим, как прежде, т = 6и/и, £ = х/и9 <7 = е(т), z=e(£).
Пусть, далее, i* = (x—t)juy z*=e{C) и для всех v>l
Тривиальное вычисление показывает, что
Р0 = BГ*-г*-ьШг*-г-Ъ)9 PVP_V = A*VB*V/AVBV (v>l).
Это наводит на мысль ввести абсолютно сходящееся произве-
произведение
Хд(г) = (zlk - z-Ц ft (I - qvz) (I - q^z~% A3)
где, как условлено выше, мы положим z'k = е (£/2). Тогда
f(t,x) = X4(z*)/X4(z).
При x = Q, z = l бесконечное произведение A3) принимает
значение Р {qJ, где
P(^) = U(i-?v). (И)
V=l
Первый множитель в A3) имеет разложение
е(х/2и) — е(— х/2и) = 2nix/u + ... .
Теперь из A1) немедленно следует формула
§ 4. Данное в § 3 доказательство сходимости бесконечных
произведений в определении f{t,x) показывает, что функция
log nt, *)+/£.<*+w)~i+4 Е, ^+ш>~2
не меняется при замене £е одним из методов суммирова-
суммирования, описанных в гл. III, § 3. Поэтому из формул гл. III,
§ 4—5 вытекают соответствующие формулы для /(/, лг).

IV. Основные соотношения и бесконечные произведения, § 5 37
Рассмотрим, в частности, формулу G) гл. III, § 5 и ре-
результат ее дифференцирования. Он выглядит так:
A6)
Умножим это тождество на х и положим х = 0. В силу A1)
получаем
]l (^±p^) A7)
где, как прежде, мы положили /?' = /? — {()}.
Рассмотрим частный случай: ad— Ьс = \ у т. е. (а, Ь, с, d)
принадлежит модулярной группе. Тогда W = W и R' = 0.
Чтобы упростить обозначения, положим 6=1, так что т =
= v/u. Пусть
Заменив в A7) £ на я и подставив вместо ф формулу A5),
находим
Xq>W) = Xq{z). (ex + ay1 -Jg^- e(-^). A8)
§ 5. Чтобы получить соответствующий результат для
f{t,x)y можно также воспользоваться формулой E) гл. III.
Однако с помощью бесконечного произведения для Xq можно
вывести более точное тождество. Действительно, замена х
на х-\-и всего лишь меняет знак zlk и, следовательно, Xq(z).
С другой стороны, замена х па x-\-v приводит к замене z
на q6z. Теперь нетрудно вычислить Xq(qvz) для любого v, за-
заметив, что абсолютно сходящиеся произведения для Xq(z) и
Xq(qvz) различаются только конечным числом множителей.
Легкое вычисление показывает, что
Хщ (qvz) = q~^ (- z)~v Xq (z). A9)
Принимая во внимание тождество A5), получаем
_fiv-l_ev8^r). B0)
Вместе с формулой A1) это дает нам другое доказатель-
доказательство формулы E) гл. III или по крайней мере другой ва-
вариант доказательства.

38 Часть I. Эйзенштейн
§ 6. По словам Эйзенштейна, он «по недостатку места» не
включил в свою работу изложение связей между «тэта-ря-
«тэта-рядами» и бесконечными произведениями. Как считал Дирихле,
открытие этих связей было, возможно, самым значительным
достижением Якоби. Мы восполним здесь это упущение.
Любое абсолютно сходящееся произведение H(l+#ft)
можно разложить в абсолютно сходящийся ряд, просто пе-
перемножив его члены. Это элементарное рассуждение восхо-
восходит, кажется, к Эйлеру; применив его к Xq(z), получим раз-
разложение
ВД=2'/. Е Е Cn,vq^= E Fn(
абсолютно сходящееся при \q\ < 1, z ф О, где Cn, v — целые
рациональные числа, a Fn(q) — степенные ряды по q, абсо-
абсолютно сходящиеся при \q\ < 1. Применив к этому ряду тож-
тождество A9), получим
Р (п\ ( 1 \v /7 (п\ n(V2+V + 2tlV)/2
1 n+v \Ч) — \ i/ l п \Ч) Ч
Положим Fo = F. Тогда
+ ОО
XQ(z) = F(q)T(q,z), T(q,z) = zlf* E (—l)nq{n2+n)/2zn. B1)
П= — оо
Остается вычислить F(q). Формула A3) показывает, что
F@)=l.
В своих Fundamenta Якоби доказал, что F(q) = P(q)~l.
Следуя Кронекеру, это можно установить, выведя формулу
и затем выразив в ее обеих частях Т через Xq с помощью B1).
Результат показывает, что функция F(q)P(q) не меняется при
замене q на qA. Так как она представляется степенным рядом
по q, начинающимся с 1 и сходящимся при \q\ < 1, она тож-
тождественно равна 1.
§ 7. Возможно, поучительнее вывести тот же результат,
пользуясь уравнениями в частных производных параболиче-
параболического типа для Ei и Т. Формула (9) § 2 имеет как раз такой
вид, потому что дЕ\/дх=—£2> дЕ2/дх = —2Ег. Соответ-
Соответствующие уравнения для тэта-рядов, вроде T(q,z), хорошо
известны. Еще до Якоби тэта-ряды ввел в математическую
литературу Фурье в своих работах по уравнению теплопро-
теплопроводности.

IV. Основные соотношения и бесконечные произведения, § 7 39
Как выше, мы рассматриваем х, и, v в качестве независи-
независимых переменных, точнее, для ближайших целей, мы считаем
и постоянным параметром, а х, v независимыми перемен-
переменными. Частные производные понимаются соответственно. Из
формулы A1) получаем
р р2 1 <Э2ф р р р 1 д
2 * ~ф~ дх2 ' 3 l 2 ~2~дх
Тождество (9) из § 2 можно переписать в виде
д { 1 д2ф 4я/б дф \ ~
дх \ ф дх2 «ф dv ) '
Поэтому выражение в скобках должно совпадать со своим
значением при х = 0. Так как первое слагаемое равно
Е2 — Е2, а разложения Е\ и Е2 начинаются с х~1 — е2х-\- ... ,
х~2 + е2 + ... соответственно, его значение в нуле равно
— Зе2. Второй член в нуле обращается в нуль, ибо x~lq(x)
в нуле равен 1. Поэтому
1 / д2ф _ 4я/6 дф \ о
Выразим теперь ф через T(q,z) с помощью формул A5)
и B1) и заметим, что T(q,z) удовлетворяет уравнению
д2Т 4щ'6 ОТ ■ я2 т _п
Тогда получим
-^r^log^P )=3e2--jjr. B2)
Из определения Р(^) сразу же получаем
v=l ч
Сравнивая правую часть этой формулы с тождеством A1)
гл. III, § 7 (при т = 1), находим, что этот же ряд фигури-
фигурирует в формуле для е2. Поскольку мы уже установили, что
Y2 = :rc2/3, т.е. В\ = 1/6, отсюда вытекает, что
я2 - 8я2 d * п/ ч я2 4я/б д , D/ ч
lz\og{qll*P(q)). B3)
Подставив в B2) вместо е2 второе из этих значений, мы убе-
убеждаемся, что FP~2 может лишь постоянным множителем от-
отличаться от Р-3. Но так как F и Р обращаются в 1 при <7=0,

40 Часть I. Эйзенштейн
этот множитель равен 1. Мы снова доказали, таким образом,
чт0 F = Р~\
§ 8. По традиции функция qxli'P(q)i фигурирующая в B3),
обозначается г)(т), где q = е(т), как всегда. Поэтому
= Р (е (т)) е( 2~) . B4)
Формула преобразования A4) гл. III, § 8 позволяет теперь
получить формулу преобразования для rj. Как в § 4, выбе-
выберем элемент модулярной группы (а, Ь, с, d), примем б = 1 и
сохраним прежние обозначения. Имеем dx'/dx = (и/и'J. Учи-
Учитывая это, мы можем переписать формулу A4) гл. III в виде
dx иё т](т) 2 сх + а '
Ее правая часть является логарифмической производной от
(сх-\-а)ч\ Поэтому ^(тОЛНт) может отличаться от (сх-\-
+ аI/г только постоянным множителем. Обозначим этот мно-
множитель через еа, где А = (а, Ь, с, d). Таким образом,
)Лсх + а)ч\ B5)
Для определенности (сх + а)х>2 будет обозначать ту ветвь
квадратного корня, у которой вещественная часть положи-
тельна. Позже мы получим несколько более точный резуль-
результат. Множители ел полностью вычислил Дедекинд; вероятно,
поэтому г] часто называют «функцией Дедекинда». Для
А =@, —1, 1, 0) множитель 8а можно определить, подста-
подставив в B5) i вместо т. Так как г) нигде не обращается в нуль,
это дает 8а = i~1/z, так что
Объединяя B5) и A8), мы приходим к формуле преоб-
преобразования для тэта-функции. Как заметил уже Якоби, удобно
ввести видоизмененную функцию i~lqxl*T(q,z)y считая ее ар-
аргументами £ и т. Следуя Кронекеру1), положим
J) По типографским причинам мы пользуемся знаком 0 вместо кроне-
керовского О. Обозначения Якоби незначительно отличаются. Буквой 0
пользуется Жордан в гл. VII второго тома своего «Курса анализа». По-
видимому, немногие знают, что эта глава доставляет, пожалуй, лучшее
из существующих классических изложений теории эллиптических и моду-
модулярных функций.

IV. Основные соотношения и бесконечные произведения, § 9 41
Эта функция удовлетворяет более простому уравнению, чем Т:
Формула преобразования для нее также выглядит проще; она
немедленно следует из A8), B1) и B5):
в (£', тО = *\ в(С, т) е (Щ-) • (сх + а)ч\ B7)
Здесь, как и выше, А = (а, 6, с, d) берется из модулярной
группы, и мы положили
сх + а ъ сх + а
В частном случае т' = —1/т мы нашли, что &A = i~lh. В тер-
терминах 0-функции это приводит к формуле, которая обычно
устанавливается применением «формулы суммирования Пуас-
Пуассона». Стоит отметить, что данное здесь доказательство, сле-
следующее Эйзенштейну, по-видимому, существенно отличается
от стандартного и доставляет более общий результат.
§ 9. Теперь уже нетрудно получить большую часть клас-
классических формул теории (а, возможно, и все такие формулы).
Не претендуя на полноту, рассмотрим некоторые примеры.
Самые простые тождества получатся, если исходить из
основного результата § 5—6: формулы
T{q9z)=P{q)Xq{z).
Ее следует продифференцировать по г и подставить в резуль-
результат z = 1 или рассмотреть значения обеих частей при z =
= — 1, ±q~1/2 или qxi\ Как мы уже отмечали, dXq(z)/dz при-
принимает при х = 0, z =1 значение P(qJ. Поэтому
+ ОО
| £ (-1)" B/1 + 1) ^+»>* = Р (qf. B7)
Обозначим общее значение левой и правой части через То.
При z = —1 получаем
+ ОО
2
П=— оо
ОО
= Р {q) П (* + <?vJ = р(?2J р№~1 • B8)

42 Часть I. Эйзенштейн
Аналогично, для z = ±q~l/2 и г = ^!/з находим
+ оо оо
П=— оо О
+ °° оо
П=— оо О
Я=— оо
Последняя формула (с хъ вместо q) была открыта Эйлером
в 1740 г. и доказана им в 1750 г.
§ 10. Тождества другого типа можно получить, подставив
х-\-хг вместо х' в формулу сложения A0) § 2 и выразив Е\
в этой формуле через ф с помощью A1) § 3. Результат
можно записать в виде
Поэтому функции под знаком логарифмической производной
в обеих частях могут различаться только множителем вида
fix'). Чтобы вычислить этот множитель, рассмотрим разло-
разложения вблизи х = 0 и сравним члены с х~2. Они равны соот-
соответственно ср(л:/)~1л:~2 и л;~2, так что /(*') = ф(х'). Поэтому
<рBх+х')д>(х') _ F ,v
Более симметричное тождество получилось бы, если бы
заменить здесь хг на хг — х. Можно также выразить ф через
Xq или 0. Оставив эти возможности в стороне, рассмотрим
лишь случай, когда 2х лежит в решетке периодов W. При
х е W обе части C2) имеют полюс в точке х. Поэтому сле-
следует положить х = w/2, где w = \хи + vv ^W, w ф 2W. Поль-
Пользуясь формулой B0) § 5 и заменив х' на x — w/2, находим,
что E2(w/2) — E2{x) отличается от функции
/ч_2 / W \2 ( 6VX
множителем, не зависящим от х. Сравнивая разложения
обеих частей вблизи х = 0, получаем, что этот множитель ра-
равен — ф(ку/2J. Поэтому
yX 2J (^f), C3)

IV. Основные соотношения и бесконечные произведения, § 11 43
где ветвь корня слева определяется тем, что ее разложение
вблизи х = 0 начинается с х~1.
Подставив в формулу C3) w'\2 вместо ху где w' e Wy
W, мы обнаруживаем, что величины
выражаются через величины ф(ш/2), или, что то же самое,
ввиду формулы B0) § 5, через величины ф(у)» Ч> ("§")•
фГ~ J, В свою очередь формула A5) § 3 позволяет вы-
выразить последние через T(q,z) для z=—I, z = ql/\ z= — ql/2
соответственно. Легкие вычисления приводят к следующему
результату. Положим
b\ = a3— а2, Ь2 = ах — а3, Ь3 = ах — а2.
Применим формулы B8), B9), C0) из § 9 и заметим, что их
произведение приводит к тождеству
Тогда из C3) следует, что
b\ = —^-q Ти Ь2=-^Т2, ЪЪ = -^ТЪ. C4)
§ 11. Напомним теперь, что формулу (8) § 2 можно запи-
записать в виде
Е\ = (Е2 ~ e2f - 15е4 (Е2 - е2) - 35е6. C5)
Правая часть является многочленом от Е2. Его корни Эйзен-
Эйзенштейн вычислил, заметив, что Е3— нечетная периодическая
функция, так что
если o;gH7, w^2W. Следовательно, а\, а2, а3 суть корни
правой части C5). Поскольку &г- Ф 0, отсюда следует, что
El = (E2-ai)(E2-a2)(E2-a3).
Дискриминант кубического многочлена справа поэтому равен
3J = 4 A5е4K - 27

44 Часть I. Эйзенштейн
Для удобства и по традиции эту величину умножают на 24 и
получают классический «дискриминант» Д. Из доказанных
формул следует, что
д = g| _ 27g2 = 243352 (^ §)
f)\ C6)
Здесь е4, е6 и тем самым Д зависят только от решетки перио-
периодов W. Следовательно, в формуле преобразования B5) функ-
функции г] множители ел являются корнями из единицы степени
24. Вместо Д мы будем при необходимости писать A(W) или

глава V
Первая вариация
§ 1. Основные темы Эйзенштейна, удачно обработанные,
допускают множество интересных вариаций. Как мы уже ука-
указывали (гл. I, ср. также гл. II, § 5), многие из лучших работ
Кронекера состоят из таких вариаций, хотя, разумеется, Кро-
некер не хмог не добавить к разработке эйзенштейновских мо-
мотивов и своих собственных тем. Последние будут обсуждены
в гл. VII и VIII. В этой и следующей главах мы по-прежнему
не будем слишком отходить от идей Эйзенштейна. Чтобы по-
показать их широту, мы включим доказательство одного важ-
важного результата Р. М. Дамерелла1), в свою очередь послу-
послужившего отправным пунктом для недавней работы М. М. Ви-
шика и Ю. И. Манина2).
Одно из достоинств подхода Эйзенштейна состоит в том,
что он непосредственно (без обращения к теории функций
комплексных переменных) доставляет много тождеств с эл-
эллиптическими функциями в той явной форме, которая удоб-
удобнее всего для теоретико-числовых приложений. Начнем с не-
нескольких дополнений к формулам, уже полученным в гл. III
и IV.
Подставив в формулу G) гл. IV, § 2 разложения в сте-
степенные ряды функций £2, Е* из формул A0) гл. III, § 7,
мы получаем следующую рекуррентную формулу для
4) R. M. Damerell, Ada Arithmetics 17 A970), 287.
2) Матем. сб., 95 A974), 357—383.

46 Часть I. Эйзенштейн
коэффициентов е2т:
\{т-Ъ){Ат2-\)е2т =
т-2
= £ Bг - 1) Bт - 2г - 1) e2re2m-2r (m > 4). A)
г=2
Из нее видно, что все е2т при т ^ 2 лежат в кольце Q [в4, £б].
Аналогично, подставив степенные ряды для Е\, Е2, Ег в
формулу (9) гл. IV, § 2, получаем
т
~7Г ~&Г = ™>B™> + 3)е2т+2 — т]Г в2г^2т-2г+2 (т> 1). B)
г = 1
Индукция по Я показывает, что
для всех т ^ 1 и А^О.
§ 2. Из теории аналитических функций следует, что любая
мероморфная функция с решеткой периодов W, не имеющая
полюсов вне W, должна быть линейной комбинацией функ-
функций ЕПу п ^ 2, и единицы: это легко вытекает из теоремы
Лиувилля. Значит, любой многочлен от Е2, ..., Еп предста-
представим в таком виде. Последний результат можно непосред-
непосредственно получить методами Эйзенштейна. Рассмотрим сна-
сначала функцию ЕтЕП) т ^ 3, п ^ 3. Это произведение можно
вычислить, подставив р = х + w, г = w', q = —x — w-\-w'
в тождество B) гл. II, § 2 и затем применив суммирования
Yue по ш и 2' по w''. Так как т, п ^ 3, все ряды абсо-
абсолютно сходятся, если исключить члены справа, отвечающие
значениям /i=m—1 и /г = m — 2, а также й = п —1 и
k = п — 2; чтобы просуммировать их, нужно применить фор-
МУЛУ E) гл. III, § 4. В результате получим
т-\
(-l)n(EmEn-Em+n)= £ (
h=0 \ п
дех
т+п-2
где С — некоторая константа. Если г нечетно, то ег =0; сле-
следовательно, во второй сумме ненулевыми могут быть лишь
члены с (— l)k =(—l)m. Как и следовало ожидать, вклады

V. Первая вариация, § 2 47
от Е\ взаимно сокращаются. Разложим это тождество в окре-
окрестности х = О, приравняем свободные члены и вычтем их из
исходной формулы. Результат примет более удобный вид:
\^т ет) \&п еп) К-^т+п — ет+п) ==
т~~2
)
ет+п. C)
Эта же формула оказывается верной при т = 2, п ^ 2. Для
проверки можно воспользоваться методом гл. IV, § 1, т. е.
сначала вывести аналогичную формулу для функций en, а
затем уже перейти к Еп. Еще проще подставить х, —х—t и
—t вместо х, х\ х" в формулу C) гл. IV, § 1, разложить обе
части по t в окрестности / = 0 и сравнить эти разложения.
При т = п = 2 снова получится формула G) гл. IV, § 2. Ра-
Разумеется, теория аналитических функций приводит к тем же
результатам.
Заметим, что е2 входит в C) только в комбинации Е2 —е2.
Положив в C) т = 2, мы можем рассматривать C) как ин-
индуктивную формулу, выражающую Еп+2 через Е2 —е2 и
функции Ет с 3 ^ т ^ п, при помощи которой в конечном
счете Еп+2 выражается через Е2 —е2 и Я3, с коэффициентами
из Zj>4, #6, е8у ...]. С другой стороны, эта формула показы-
показывает, что функции 1, Е2 — е2) Е3, £4, ... составляют базис в
кольце, порожденном Е2 — е2 и Еъ над Z[e4, г6, в8, ...].
Заметим еще, что функции Е2 — е2 и Еп для /1^3и вели-
величины е2т при т ^ 2 зависят только от выбора решетки W,
но не от ее образующих и, v. Удобно положить
e(W)={e4, e6, е8> ...}; E(W) = {1, E2-e2i Е3, ЕА, ...}.
Тогда тождество A) показывает, что поле частных кольца
Z[e(W)] совпадает с Q(e4, еб), а тожДество C) показывает,
что E(W) составляет базис кольца Z[e(W), E(W)] над
Z[e(W)]. Иногда по типографским соображениям мы будем
писать eWy Ew вместо e(W), E(W), а также просто в и £, если
рассматривается фиксированная решетка W. Обратим вни-
внимание читателя на то, что в этих обозначениях е2 не лежит
в Q(e), а Е2 не лежит в Q(ey E).

48 Часть I. Эйзенштейн
§ 3. Формулы гл. III, § 8 в качестве частных случаев со-
содержат формулы для умножения и деления аргумента эллип-
эллиптических функций. Возьмем в качестве (а, 6, с, d) матрицу
(N, О, О, N), где N > 1 — любое целое число. Тогда W = NW,
и в качестве R можно взягь множество, состоящее из элемен-
элементов вида г = \ш-\-w с 0 ^ ji, v < N. Из формул A2) и
A3) гл. III, § 8 находим, что при всех п ^ 2
£ Еп {х + г; Nu, Nv) = Еп (х\ и, v).
re/?
Поскольку функция Еп однородна степени — п по х, и,
это дает
D)
(Мы опустили и, v для краткости.) Это—формула деления
для функций Еп. Формула умножения получится, если под-
подставить сюда Nx вместо х.
Важно заметить, что при п = 2 число слагаемых в левой
части D) равно N2. Поэтому формула останется верной, если
заменить Е2 на Е2 — е2.
Возьмем теперь любой элемент F кольца Z[e,E]. Как мы
показали в § 2, его можно разложить по базису E = E(W)
с коэффициентами из Z[e]. Поскольку каждый элемент этого
базиса удовлетворяет формуле типа D), это показывает, что
сумма 2_. F ( Х~м Г ) всегДа лежит в кольце Z[e,E]. Для
каждой данной F ее можно вычислить явно с помощью D).
Применив этот результат к степеням Fm с l^m< N2, мы
заключаем, что функция F (-jjtj и все ее сдвиги f( Xj^w J
с w<=W алгебраичны над полем Q(e, E) и целы над коль-
кольцом Q[e, E]. Изучение теми же средствами группы Галуа рас-
расширения Q(e, Е), порожденного элементами вида F (-тг)
завело бы нас слишком далеко. Как заметил уже Якоби в
связи с работами Абеля, это потребовало бы введения ре-
резольвент Лагранжа для абелевых расширений поля C(e, E),
порожденных функциями F\.-7r)- Мы уже упоминали о них
в конце § 5 гл. II. Более общие функции будут изучены в
гл. VIII/

V. Первая вариация, § 5 49
§ 4. Вычтем из обеих частей тождества D) член (N/x)n и
положим х = 0. Получим
£ En(r/N) = (Nn-l)en. E)
Мы знаем, что еп = 0 при нечетных л; как выше, здесь
R'=R — {0}. При п = 2 эту формулу можно переписать в
виде
Z {E2{r/N)-eJ = 0. F)
re/?'
Возьмем снова любой элемент F кольца Z [в, Е]. Действуя,
как в § 3, мы обнаруживаем прежде всего, что сумма
^F(r/N) по всем r^R' лежит в Z[e], а также что значе-
значение F(w/N) для любого w <^W \ NW алгебраично над полем
Q(e) и цело над кольцом Q[e].
§ 5. Теперь, как в гл. III, § 5 и 8, рассмотрим общее «пре-
«преобразование»
( *
(а' *0 = (а 0)(* *) G)
с определителем N = ad — be. Положим и" = Nu, v" = Nv
и обозначим через Wy W\ W" решетки, порожденные (иу v),
{u',v') и (и"у v") соответственно. Тогда W имеет индекс \N\
в IF, a W" имеет индекс |А^| в W. Обозначим через S неко-
некоторую систему представителей для W\W' в W, содержащую
нуль, и положим Sf = S—{0}.
Будем обозначать через е2т, е'2т, <т числа е2т(и, v),
V) и е2т(и", v") соответственно. Так как е2т одно-
однородна степени —2т по и, и, имеем е%т= N~2me2m. Фор-
Формула A5) гл. III, § 8, примененная к решеткам W, W",
дает (с учетом однородности Е2т)
N2me2m=e2m+ Z E2m(s/N) (m>2).
s s S'
В силу результатов § 4, это показывает, что функция е'2т
цела над Q[e]. Аналогично, е"т и тем самым е2т целы над
Q[e']. Более общо, пусть Wy, W2 — две «соизмеримые» ре-
решетки. Это означает, что их пересечение имеет в каждой
из них конечный индекс, или, что то же самое, QW\ =QWr2.
Применив доказанное только что утверждение сначала к W{
и W3, а затем к W2 и WSf получаем, что кольцо Q[e{Wi), e(W2)]
цело как над Q[e(\Fi)], так и над QMW2)]. Объединяя это
замечание с результатами § 4, убеждаемся, что для любого

50 Часть I. Эйзенштейн
элемента F из базиса E(W2) или всего кольца Z[e(W2)> E(W2)]
значения F во всех точках из QW2y не лежащих в W2, целы
над кольцом Q[e(Wi)].
Выберем снова W и W\ как выше, и возьмем любой
элемент F базиса E{W). Если F = En{x\u\ о'), n>3, то,
согласно формуле A3) гл. III, § 8, имеем
Е F(x-\-r) = En(x\ и, v).
Если F=E2(x\u\ v') — е2(и\ и'), аналогичный результат
получается путем вычитания из тождества A2) гл. III, § 8
тождества A4) той же главы:
£ F{x+r) — £ F(r) = E2(x; и, v) — e2(u, v).
Обозначим через f2 вторую сумму слева. Она цела над
Q [#(№)]. Выберем теперь произвольный элемент F кольца
Z[e(W), E(W')] и разложим его по базису E(W). Наши фор-
формулы показывают, что сумма J^F(x-\-r) по всем r^R яв-
является линейной комбинацией /2 и элементов базиса E(W)
с коэффициентами из Z[e(W')]. Поскольку это рассуждение
применимо ко всем степеням Fm элемента F, a f2 и e(W)
целы над Q[e(\F)], мы нашли, что F(x) и все сдвиги F(x-\-w)
с w^W целы над кольцом Q[e(W), E(W)].
§ 6. Эйзенштейн замечает, чго особенно интересный слу-
случай возникает, когда W = go\F, где со е Сх. Тогда W порож-
порождена образующими и' = сом, v' = сои, и со является характе-
характеристическим корнем линейного преобразования G). Оче-
Очевидно, что если со вещественно, то ®W может быть
подрешеткой W лишь в случае, когда со — целое рациональное
число. В противном случае со должно быть целым числом не-
некоторого мнимого квадратичного поля, и мы говорим, что
W допускает комплексное умножение на со. Это явление было
открыто Абелем. Положив, как раньше, N = ad— be, находим,
что N= coco > 0. Если coW7= W, N = 1, то со должен быть
либо корнем четвертой степени из единицы (так называемый
«лемнискатический» случай), либо корнем шестой степени из
единицы. В той мере, в какой дело касалось прямых ариф-
арифметических приложений его теории, Эйзенштейн в основном
интересовался этими двумя случаями и применил свои ре-
результаты к выводу законов взаимности для четвертых и ше-
шестых степеней. Эту сторону его работы мы не будем обсуж-
обсуждать здесь.

V. Первая вариация, § 7 51
Положим, как выше, т = 8v/u. Если W допускает комп-
комплексное умножение на со, обозначим через а\ v' соответствен-
соответственно ош и соу. Пара (и', v') связана с (и, v) линейной подста-
подстановкой G). Имеем тогда т= &v'\u' и со = а + сбт, так что т
лежит в поле & = Q(co). Далее, W = uWu где решетка W[
порождена числами 1 и т и, значит, содержится в k. Наобо-
Наоборот, пусть W— такая решетка, что v/u^k. В таком случае
Аи2 -\-Buv + Cv2 = О для подходящих целых рациональных
чисел Л, В, С, и W допускает комплексное умножение на
о = Cv/u.
§ 7. Теперь мы покажем, что если решетка W допускает
комплексное умножение, то число е\е~2 алгебраично над Q;
сюда формально относится и «лемнискатический случай», для
которого е6 = 0, со = i.
Заметим прежде всего, что любая решетка W однозначно
характеризуется своими «инвариантами» e^(W), ee(W). Дей-
Действительно, как мы убедились в гл. IV, § 2, функция jp =
= Е2—е2 удовлетворяет дифференциальному уравнению
Поскольку любое решение этого уравнения можно предста-
представить в виде у = f(x + с) и поскольку f — единственное его
решение с полюсом в точке х = О, W можно охарактеризо-
охарактеризовать как решетку периодов любого решения либо как ре-
решетку полюсов решения f. Отсюда следует, что если W —
другая решетка, a t — любой элемент Сх, то W совпадает
с iW в том и только том случае, когда
е4 (W) = Г% (W)9 e, (W) = Г\ (Г).
Следовательно, W имеет вид tW для некоторого /^Сх
тогда и только тогда, когда «абсолютный инвариант» е\е~2
принимает для W и для W одинаковые значения.
В частности, пусть W и W связаны, как в § 5. Обозна-
Обозначим через со некоторое собственное значение подстановки G)
и предположим, что оно не вещественно. Имеем Wr/=
в том и только том случае, когда ^=со~%4, е£=оэ~6е6.
Если и, v произвольны, то, вообще говоря, W Ф ,
так что либо е[ Ф со~4е4, либо е'ь ф со~%6. Пусть, скажем,
выполнено первое неравенство. Положим fA = e'A — co~4e4; эта
величина отлична от нуля. Из результатов § 5 следует, что
/4 алгебраичен над Q(e4> eo)> так что существует нетривиаль-
нетривиальное соотношение F(fA, e4y е6) = 0 с рациональными коэффи-
коэффициентами. Его можно записать в виде /fG(/4, ev еб) = 0, где

52 Часть I. Эйзенштейн
G — некоторый многочлен с рациональными коэффициентами,
не делящийся на /4- Так как !^Ф0у имеем G(f4, eA, е6) = 0 для
любой решетки W. Поэтому если для какой-то решетки
/4 = 0, то для нее выполняется нетривиальное соотношение
вида G@, е4, ^б) = 0- Учитывая, что еАу е6 однородны по ау v
степеней соответственно —4 и —6, получаем, что величина
е\е~2 либо равна оо, либо алгебраична над Q.
§ 8. Как мы уже убедились, решетка W, допускающая
комплексное умножение на со, должна иметь вид uWu где
W\ — некоторая подрешетка в fe=Q(co). Очевидно, при фикси-
фиксированном k все такие решетки соизмеримы, и к ним можно
применить результаты § 5 в сочетании с результатами § 7.
К этому мы и перейдем.
Пусть k— мнимое квадратичное поле с дискриминан-
дискриминантом — т. Обозначим через Q кольцо всех целых чисел
поля k% Это — решетка, и все подрешетки в k соизмеримы
с ней. Выберем в Q базис вида A, т0). Можно считать, что
Im (т0) > 0; кроме того, Re (т0) = 0 или = 1/2 mod 1 в зави-
зависимости от четности или нечетности т. Следовательно, число
до = е(то) вещественное; оно >0 или < 0 в зависимости
от четности или нечетности т.
Согласно формуле C6) гл. IV, §11, имеем
Д(О) = ДA, хо)
Т]о = 91/24 Д A - (ft), А = 263353, В = 24335272.
Дискриминант Д (Q) веществен и имеет тот же знак, что и qQ.
Удобно ввести величину
Й(?0) (9)
Она зависит только от k> т. е. от т, и мы будем обозначать
ее Эт, когда нужно отметить эту зависимость явно.
Имеем Д (Q) = ± Э12. В § 7 было установлено, что число
е\е~2 алгебраично над Q. Вместе с (8) это показывает, что
числа е$~А и еб§3-6 алгебраичны над Q, или, что то же самое,
числа еА{$п) и е6(Ш) алгебраичны над Q.
Пусть W\ — некоторая подрешетка в k. Так как она со-
соизмерима с Q, решетка (Ш\ соизмерима с SQ. Результаты
§ 5 показывают, что для всех т^2 числа e2m((dWi) алге-
алгебраичны над Q. Более общо, пусть IF—любая решетка,

V. Первая вариация, § 8 53
допускающая комплексное умножение на coeQ, с образую-
образующими и, v. Как мы убедились, решетка Wi = u~lW содержится
в k\ в частности, v/u&k. С другой стороны,
Таким образом, для любой решетки с комплексным умно-
жением на ©ей все числа
(u/®Jme2m(W) (m>2)
алгебраичны над Q. В частности, если e4(W) и e6(W) алге-
браичны над Q, то этим же свойством обладают числа Э^
для всех w e W.

глава VI
Вторая вариация
§ 1. Как мы убедились в гл. IV, метод Эйзенштейна позво-
позволяет непосредственно изучать производные dEn/dv, den/dv no
образующей v; это одно из его достоинств. С помощью ре-
результатов гл. III, § 5 можно затем поменять местами и и v,
получив таким образом производные по и.
На этом этапе удобно позаимствовать кое-что из техники
Кронекера и ввести в теорию вещественно аналитические
функции, кроме комплексно аналитических. В этой главе мы
будем пользоваться ими довольно формально, в основном
рассматривая многочлены от комплексно сопряженных вели-
величин х, п, v к х, и, v, коэффициенты которых комплексно ана-
литичны по х, и, v. В результате получатся формулы, с ко-
которыми удобнее работать. Причины этого вскоре станут ясны.
Как принято в вещественно аналитической теории, мы фор-
формально рассматриваем х, и, v, xyu,v в качестве независимых
переменных и соответственно понимаем частные производ-
производные; применяя д/дх, д/ди, d/dv к функциям, которые полино-
полиномиальны или рациональны по х, п, и, мы рассматриваем эти
последние величины как константы.
Введем дифференциальный оператор
дх ' ди
A)
Рассмотрим любую однородную функцию / степени—п от х,
и, v (например, Еп). Имеем

VI. Вторая вариация, § 2 55
Следовательно, df/du и £Df можно выразить через /, df/dx,
df/dv. Поскольку uv— ипфО> можно также выразить df/du,
df/dv через /, df/dx и 2Df. Преимущество оператора iZ>, разу-
разумеется, в том, что он инвариантен относительно группы
GLC, R), т. е. относительно любой линейной замены х, и, v.
В этой главе мы будем систематически использовать 2) вме-
вместо d/dv.
§ 2. Сохраним прежние обозначения; в частности, как
в гл. III, § 1, будем писать
uv — vU = 6uU(% — т) =— 2тдА, А > 0. C)
Очевидно, 2)А = 0.
Поскольку числа и, v образуют базис С над R, мы можем
разложить х по этому базису: х = аи-\- $v, где а, р веще-
вещественны. Иногда мы будем обозначать коэффициенты этого
разложения а(х), $(х). Имеем х = au-\-$v, так что
Рассмотрим, кроме Еи функцию
£Г(*)=£,(*)+-^р(*). D)
Она не комплексно аналитична по х, но этот «недостаток»
компенсируется периодичностью относительно W, которая оче-
очевидна из формулы E) гл. III, § 4.
Далее, формула G) гл. III, § 5 показывает, что при любой
замене базиса решетки № к функции Е\{х\ и, v) добавляется
лишь линейный член. Следовательно, Е\ можно однозначно
охарактеризовать как периодическую функцию с решеткой
периодов W, отличающуюся от любой из функций Ех (х; и\ v')
на вещественно линейную добавку. Поэтому Е\ зависит
только от W, но не от выбора образующих и, v этой решетки,
и мы можем обозначать ее Е\{х\ W). Более общо, если
W — любая подрешетка W, a R — любая система предста-
представителей W/W в W, формула G) гл. III, § 5 после тривиаль-
тривиальных преобразований показывает, что
W). E)
Аналогично, кроме Е2, е2 рассмотрим функции
дХ ^2 Аи' е2~е2 Аи

56 Часть I. Эйзенштейн
Очевидно, они тоже зависят только от W, и Е2 удовлетворяет
формуле, аналогичной E). Поскольку Е*2 отличается от Е2
лишь константой, дальнейшее дифференцирование по х при-
приведет к прежним функциям Еп. Для формальной симметрии
наших тождеств положим Еп = Еп при всех
§ 3. Поскольку функция Е* нечетна и периодична, она
(как и функция Е3, ср. гл. IV, § 11) обращается в нуль
во всех точках l/2W, не лежащих в W. Далее, отличаясь
от Е{ лишь линейным слагаемым, она удовлетворяет той же
формуле сложения, что и Еи т. е. формуле A0) гл. IV, § 2.
В последней формуле мы можем также заменить Е2 на Е2 — еъ
с тем чтобы применить результаты гл. V, § 4. Введем теперь
функцию f на QW, положив f(o>) = 0 для всех w^W n
f(x) = E*(x) для всех x^QWf не лежащих в W. Тогда фор-
формула сложения, объединенная с результатами гл. V, § 4,
показывает, что число f(x + x') — f {x) — f(x') алгебраично
над Q(e4, £б) Для всех х, x'^QW. Поскольку f обращается
в нуль на l/2W, отсюда следует, что значения / и тем самым
также значения Е* алгебраичны над Q(£4, e6) во всех точ-
точках QW, не принадлежащих W.
Предположим теперь, что W допускает комплексное умно-
умножение на некоторое число оэ. Положим W'=®W и рассмо-
рассмотрим формулу для 2?2, которая получается из (б) дифферен-
дифференцированием. Поскольку функция El однородна степени —2
по х, и, v и степени нуль по п, v, мы можем записать ре-
результат в виде
Вычтем из обеих частей х~2 и положим л; = 0. Принимая
во внимание, что число слагаемых в левой части равно
дг =0ш, получаем
(Е*2 (г/со) - ф = ш (со - со) е;, G)
где R' имеет обычный смысл. Заметим теперь, что Е*— е\ =
= Е2 — е2. Кроме того, след со + 0 является целым рацио-
рациональным числом, так что &W содержится в W и, значит,
Nr/a = cor принадлежит W. Применив результаты гл. V, § 4
к Е2 — е2 и г/0, получаем, что левая часть G) алгебраична
над полем Q(#4, £б)« В частности, она алгебраична над Q,

VI. Вторая вариация, § 4 57
если еА и е6 алгебраичны над Q. Учитывая, что е*2 и £*
однородны степени —2 по и, v и степени нуль по п9 и, мы
можем воспользоваться последними результатами гл. V и
заключить, что число (и/Щ2 е*2 (W) алгебраично над Q.
§ 4. Теперь мы перейдем к изучению функций, которые
получаются из Е\ повторным применением операторов д/дх
и 2D. Очевидно, они коммутируют. Для краткости положим
дх = д/дх. Пусть а, Ь — два целых числа, Ь > а ^ 0. Положим
(8)
Если 6^а + 3, ряд Еа>ь абсолютно сходится, а Е*а,ъ совпа-
совпадает с Еа>ь. В остальных случаях Еа,ь — Еа,ъ легко вычи»
сляется с помощью формул D) и F) из § 2. Для всех /г^1
функция EQtn совпадает с ЕП1 а £о,м с Еп*
Поскольку Е*\ однородна степени —1 по х9 и, v (и сте-
степени нуль по х, п, v)f к ней можно применить формулу B)
из § L С другой стороны, dEi/dv вычисляется с помощью
формулы (9) гл. IV, § 2. Объединяя эти тождества с опре-
определениями Е\ и £2, получаем после несложных выкладок
EU = -2> (Е\) = A(El- Е\е\). (9)
Продифференцируем эту формулу п — 1 раз по х:
(Ю)
Л=0
Индукцией по а из этого тождества находим, что Е*пг ъ для
всех a, b с b > а^О представляется в виде
где POt b — многочлен от а + b переменных степени а + 1
с целыми рациональными коэффициентами. Далее, А и Еа,ь
однородны степеней 1 и — b соответственно по х, и, v и сте-
степеней 1 и а соответственно по #, й, п. Функция же Е*п одно-
однородна степени —п по х, и, v и степени нуль по ху п, v.
Поэтому РйъЬ — «изобарический» многочлен «веса» а + й.

58 Часть I. Эйзенштейн
§ 5. Аналогично, для Ь>а^0 определим еа,Ьу е*а,ъ
значения Ea>b — xax~b, Е*а>ъ—хах-ь в точке л; = 0. Тогда
а>ь
— \) (Ь — 2) ... (Ь — а)
Аналогичная формула имеется для е*а,ь- Разумеется, эти ве-
величины обращаются в нуль, если разность Ь — а нечетна.
Исходя из формулы B) гл. V, § 1 и действуя, как прежде,
в § 4, получаем
s = *_*)(»• \_лBт + 3
l,2m+l 2m \ 2m/ \ 2
^ г=\
откуда индукция по а позволяет вывести формулу
е. - №£. и (е* е, е Л
а'ь (Ь — 1) ... (Ь — а)^а>&\ 2> 4' т%"»^а,ъу
Здесь Qa,ь— «изобарический» многочлен степени а+1 и
веса а-\-Ь с целыми рациональными коэффициентами. Разу-
Разумеется, он обращается в нуль, если а-\-Ь нечетно.
§ 6. Предположим теперь, что решетка W допускает комп-
комплексное умножение на число со. Определим k и Э, как в гл. V,
§ 8. Формула C) § 2 показывает, что niA/uu лежит в k.
Объединяя результаты § 5 с последними выводами гл. V,
получаем, что числа А~а(и/Ща+Ье*а,ь (или паъГа~ьиьп~ае*а,ь)
алгебраичны над Q.
Аналогично, объединяя результаты § 3—4 гл. V, находим,
что значения функции
в точках xeQIF, не принадлежащих W, алгебраичны над Q.
В частности, если решетка W лежит в мнимом квадратич-
квадратичном поле k, то и и п лежат в этом поле. Следовательно, в
этом случае величины
для всех xeQ!F = fe, не лежащих в W, алгебранчны над Q
при условии, что 6>а^0.
Мы можем сравнить этот вывод с теоремой Дамерелла,
цитированной в гл. V, § 1. Теорема Дамерелла относится
к значениям L-функций Гекке

VI. Вторая вариация, § 6 59
где х — характер Гекке идеалов поля k. Последнее означает,
что в поле k существует такой идеал f («кондуктор» %),
что %(а) обращается в нуль тогда и только тогда, когда а
не взаимно прост с f, и что %((а))= аес^, если а—целое
число поля k и a=lmodf. Здесь еу f — два целых рацио-
рациональных числа. Не теряя общности, можно считать, что е = 0,
/ > 0. Если бы оба числа е, f обращались в нуль, % был бы
«обыкновенным» характером (конечного порядка), а не на-
настоящим характером Гекке. Ряд L(s) абсолютно сходится
в полуплоскости Re(s)> 1 +у.
Введем целое число s = b в полуплоскости абсолютной
сходимости и положим a = f— Ъ. Предположим, что а^О,
т. е. b^f. Поскольку 6> 1+у, имеем 6^а + 3. Нетрудно
усмотреть, что L(b) является линейной комбинацией с алге-
алгебраическими коэффициентами конечного числа величин
ea,bW), Ea>b(x) W)9 где W пробегает конечное семейство
подрешеток поля к и x^k. Поэтому значение na^~a~bL(b)
алгебраично над Q,.
Теорема Дамерелла в полной формулировке утверждает,
что последний факт верен для всех б^у+^т. е. ft^a+1.
Пользуясь функциональным уравнением для L, ее можно
распространить тогда на все значения 1^6<!f. Чтобы
завершить доказательство теоремы Дамерелла, нам остается
установить, что в случаях b — a = l или 2 величина L(b)
выражается через е*а,ь, Е*а,ь(х), аналогично случаю абсолют-
абсолютной сходимости. Так как определение L(b) для 6<!1 +у
требует аналитического продолжения ряда L(s), конструкция
которого была одним из высших достижений Кронекера
в описываемой нами области, этот вопрос удобнее рассмо-
рассмотреть в одной из следующих глав.

часть вторая
Кронекер

глава VII
Прелюдия
к Кронекеру
§ 1. Кронекер родился в 1823 г., как и Эйзенштейн; оба
учились в Берлине в одни и те же годы. В 1847 г. Кронекеру
пришлось покинуть Берлин ради деловых интересов семьи;
к тому времени, когда он вернулся в столицу и поселился в
ней постоянно, Эйзенштейн уже умер.
Первые признаки пробуждающегося интереса Кронекера
к эллиптическим функциям относятся к 1853 г. (Werke, т. IV,
стр. И). Здесь Кронекер ограничивается замечанием, что его
теорема об абелевых расширениях поля Q обобщается на
гауссово поле Q(i) с помощью лемнискатических эллиптиче-
эллиптических функций. Нет сомнения, что Кронекер тогда изучал кро-
кроме Абеля работу Эйзенштейна о точках деления лемнискаты.
Однако эта работа (и даже большая статья Эйзенштейна
1850 г.) основывалась на формулах и обозначениях Абеля и
не была прямо связана с идеями работы Genaue Untersu-
chung 1847 г., которые мы описали в гл. I — IV.
В 1856 г. Кронекер распространяет свои исследования уже
на общий случай эллиптических функций с комплексным ум-
умножением (Werke, т. IV, стр. 179, и т. V, стр. 419). Он рабо-
работает полностью в обозначениях Якоби, которым остался ве-
верен навсегда.
В 1863 г. (Werke, т. IV, стр. 222) Кронекер, под влиянием
работ Дирихле, вводит новые функции
e2ni(r[i+sv)
(av.+2biiv+ cv2I+p

64 Часть II. Кронекер
и их пределы при р = 0. В обозначениях предыдущих глав
эти функции можно записать в виде
ГхН(»й)"и, A)
где х — характер аддитивной группы W. Именно в этой статье
Кронекер впервые формулирует частный случай своей «пре-
«предельной формулы» и выводит из него решение уравнения
Пелля (т. е. вычисляет некоторую единицу вещественного
квадратичного поля) с помощью эллиптических функций.
§ 2. Спустя двадцать лет, после нескольких обрывочных
публикаций на эти темы, Кронекер решил, наконец, изло-
изложить свои результаты систематически в серии статей, кото-
которые должна была опубликовать Берлинская Академия. Эти
статьи, под общим заголовком «Zur Theorie der elliptischen
Funktionen», выходили в 1883, 1885, 1886, 1889 и 1890 годах.
В 1891 г., последнем перед смертью Кронекера, заголовок был
изменен (без видимых причин) на «Die Legendre'sche Rela-
Relation». В этих статьях Кронекер в основном занимается раз-
различными рядами. В наших обозначениях все они могут быть
записаны в виде
I %(w)(x + w)a\x-\-w\-2s> B)
где а^О — целое число. Кронекер изучает их поведение
при # = 0 и вблизи точки 5 = 1+тг (гДе они перестают
сходиться).
Ум Кронекера был, однако, слишком живым и беспокой-
беспокойным, чтобы позволить ему сосредоточиться на систематиче-
систематическом изложении одной темы. В юношеские годы Куммер и
Дирихле уже предостерегали его от связанных с этим опас-
опасностей. Его студенты привыкли к постоянным отступлениям,
когда Кронекер начинал рассказывать о том, что пришло ему
на ум вчера вечером. В академической серии он часто пере-
перескакивает с одной темы на другую или возвращается к бо-
более ранним результатам и доказательствам, чтобы улучшить
их. Его статья 1886 г. (Werke, т. IV, стр. 389—470), по види-
видимости входящая в основную серию, не имеет к ней никакого
отношения и посвящена чисто алгебраическим и теоретико-
числовым исследованиям формул умножения и деления эл-
эллиптических функций. Именно в ней он доказывает свои зна-
знаменитые сравнения, сыгравшие фундаментальную роль в
арифметической теории комплексного умножения,

VIГ. Прелюдия к Кронекеру, § 3 65
Эйзенштейн явно гордился совершенно элементарным ха-
характером своих теоретико-функциональных методов. Напро-
Напротив, Кронекер пользовался целым арсеналом мощных техни-
технических средств: «суммированием Пуассона» (в действитель-
действительности открытым Коши), теорией вычетов Коши, теорией
рядов Фурье по Дирихле и, что важнее всего, формулой Ди-
Дирихле (по существу, совпадающей с нашим преобразованием
Меллина)
о
которую (следуя Дирихле) он предпочитал записывать в виде
т)р d
Современный аналитик мог бы добавить к этому немногое:
понятие аналитического продолжения (которое Кронекер
знал, но предпочитал им не пользоваться) и более свободное
использование рядов Фурье, ставшее возможным благодаря
теории распределений.
Очевидно, ряды Кронекера представляют собой естествен-
естественное обобщение рядов Эйзенштейна. Вводя непрерывный па-
параметр р (или, в обозначениях Римана и современных, s), он
следовал Дирихле. Можно отыскать прецеденты и для появ-
появления характера %. Работая со своими рядами вне их обла-
области сходимости, Кронекер также часто пользуется «суммиро-
«суммированием по Эйзенштейну». Однако до 1891 г. он ни разу не
упоминает статьи Эйзенштейна 1847 г. Только в конце, рабо-
работая над своей последней статьей для Берлинской Академии,
он осознал, насколько близок был к идеям его товарища юно-
юношеских лет. Нам остается лишь гадать, какие чувства сопро-
сопровождали это открытие. Успей он написать свою лекцию об
Эйзенштейне, обещанную Кантору (ср. выше, гл. I), мы, ве-
вероятно, знали бы больше.
§ 3. Как до него Эйзенштейн (ср. гл. II), Кронекер обна-
обнаружил, что для изучения двойного ряда типа B) следует сна-
сначала разобраться в соответствующих простых рядах. Более
того, оба случая требуют аналогичной техники. В конечном
счете Кронекер посвятил таким простым рядам значитель-
значительные части двух статей (Werke, т. V, стр. 267—294 и 327—
342). Его результаты здесь были во многом предвосхищены
Липшицем, что он сам отмечает (ibid., стр. 330). Имеются

66 Часть II. Кронекер
очевидные связи между такими рядами, L-функциями Ди-
Дирихле и дзета-функцией Римана (или, скорее, Эйлера). По-
Поэтому не удивительно, что целый ряд авторов занимался этой
темой в XIX веке: Липшиц еще в 1857 г., Гурвиц в 1882, Лерх
несколько позже, под влиянием работ Кронекера. В конце
этой главы собрана краткая библиография.
Положение историка осложняется еще тем обстоятель-
обстоятельством, что суммирование этих рядов по Пуассону (для комп-
комплексных значений аргумента) приводит к функциям Бесселя,
теория которых уже во времена Кронекера была значительно
развита. Тем не менее даже в наши дни некоторые из авто-
авторов, работавших в этой области, либо не замечали, либо не
отмечали появление бесселевых функций и довольствовались
прямой проверкой нескольких нужных им элементарных
свойств.
Мы не будем пытаться здесь распутать все ходы мысли.
В этой главе мы займемся простыми рядами в качестве под-
подготовки к описанию работ Кронекера о двойных рядах B).
§ 4. Символом % в этой главе будет обозначаться некото-
некоторый характер группы Z. Обычно мы будем записывать его
в виде
=е(— \ху),
где jgR. Часто будет удобно считать, что 0^.у< 1. Рас-
Рассмотрим ряд
Sa (х, У, s) = Г (х + \х)а \х + \х \~2S e(- ру), D)
где а^О — целое число, у вещественное, х и s комплексные,
a X* означает суммирование по всем целым \хф—х (т. е.
по всем целым, если х не целое). Этот ряд абсолютно схо-
сходится тогда и только тогда, когда Re (s) > а ^ • Кронекер
(а до него Липшиц) заметил, что при %ф1 и Re(s)>~ ряд
все еще сходится, хотя и не абсолютно. Действительно,
записав общий член D) в виде f(\i)%(\i) и положив
п
On = Z X (И),
щ=0
получаем с помощью формулы Абеля «суммирования по
частям»:
Zf([*)x(n) = /(AO %-/(!)+ l' [f (»)-/(«+ 1)]<V E)
|Л=1 tl = l

VII. Прелюдия к Кронекеру, § 4 67
Поскольку %=тМ, величина |<тя| ограничена при всех п > 0.
С другой стороны, для больших п величины n2s~af(n)
и n2s~af(n+ I) можно разложить в степенные ряды по п~\
оба начинающиеся с 1. Поэтому величина
\n»-*+4f(n)-f(n+\)]\
ограничена, и при N->-f-oo последняя сумма справа в E)
превращается в абсолютно сходящийся ряд, если Re(s) > а/2.
Поскольку то же рассуждение применимо к членам D), от-
отвечающим fx <С 0, это доказывает сходимость.
Особенно интересен ряд
+ ОО
х -\- \i е(х) — 1 \ ^ У ^ )• \ )
— оо
Это тождество имеет место для всех х <= C\Z. Кронекер за-
замечает, что оно непосредственно выводится из теоремы Ди-
Дирихле о разложении периодической функции в ряд Фурье,
если применить эту теорему к функции с периодом единица,
равной е(ху) при 0 < у < 1 и 1/2 [1 + еМ] при у = 0.
Вычтем х~1 из обеих частей F) и положим х = 0. Полу-
Получим
оо
X' \i~le(— \iy) = mBy— 1) @ < у < 1). G)
— оо
Эту формулу также можно было установить с помощью тео-
теоремы Дирихле. Более общо, разложив обе части F) в сте-
степенные ряды в окрестности х = 0, мы получим в качестве
коэффициентов многочлены Бернулли от у (с точностью до
нормировки). Частный случай этого результата был получен
в гл. II, § 7, где мы обнаружили, что коэффициенты разло-
разложения &\(х) вблизи х = 0 являются числами Бернулли. На-
Например, сравнивая коэффициенты при х в обеих частях тож-
тождества F), находим
+ ОО
/ 1 Ч
@<у<1). (8)
Здесь ряд абсолютно сходится, так что формула остается вер-
верной при у = 0 и у = 1 по непрерывности.
Кроме описанных случаев абсолютной и обыкновенной
сходимости имеются значения параметров, когда ряд можно

68 Часть II. Кронекер
суммировать по Эйзенштейну (гл. II, § 1). Например, если х
вещественно, х = 1 и а = 2s = 1, имеем
при условии, что х не целое число. Как обычно, [х] означает
целое пу такое, что п < х < п + 1.
§ 5. Хотя Кронекер экспериментировал с различными
способами суммирования рядов B) и D) (включая метод
Эйзенштейна), ему, видимо, больше всего нравился подход,
подсказанный работами Дирихле, который связан с введе-
введением комплексного параметра 5. Обозначим через S(s) любой
из наших рядов. Он абсолютно сходится при Re(s)>-~+ 1
в случае B) и Re E) > ^ в случае D). Пусть s0 ле-
лежит на границе соответствующей полуплоскости. Тогда ряд
S(so + p) абсолютно сходится для положительных веществен-
вещественных р. Если его сумма имеет предел при р->0, он будет на-
называться значением S(s0) относительно суммирования «по
Кронекеру». Кронекер рассматривал также варианты этого
определения, в которых абсолютная сходимость заменена
обычной или сходимостью «по Эйзенштейну».
Разумеется, суммирование по Кронекеру можно рассмат-
рассматривать как частный случай аналитического продолжения. Дей-
Действительно, мы убедимся, что ряды B) и D) мероморфно
продолжаются на всю 5-плоскость. Это было показано (после
решающего шага, сделанного Риманом в его статье 1859 г.
о дзета-функции) современниками Кронекера — Липшицем,
Гурвицем и Лерхом. На самом деле доказательство неявно
содержалось в некоторых выкладках Кронекера (Werke, т.
IV, стр. 486—487), однако он ни разу не упоминает аналити-
аналитического продолжения. Возможно, все охлаждающиеся отно-
отношения с Вейерштрассом отбили у него вкус к этому понятию.
Разумеется, мы будем им пользоваться. Приписывание 5E)
значений, которые принимает аналитическое продолжение
этого ряда с полуплоскости его абсолютной сходимости, мож-
можно было бы по праву назвать «суммированием по Гекке»,
потому что Гекке широко пользовался этим методом.
§ 6. Поскольку мы ограничимся здесь лишь теми резуль-
результатами о рядах D), которые понадобятся в гл. VIII, будет
удобно разобрать отдельно случаи вещественного и не веще-
вещественного х. Если х вещественно, ряд D) можно переписать
в виде

VII. Прелюдия к Кронекеру, § 7 69
Поэтому достаточно разобрать случаи а = О и а = 1. В свою
очередь эти ряды сводятся к «рядам Лерха»
£х ()( + *)"' (9)
при х > 0. Ясно, что L-ряды Дирихле представляются в виде
конечных линейных комбинаций рядов Лерха с характерами
% конечного порядка и рациональными #г<: 1. Следует еще
иметь в виду, что «односторонний» ряд (9) примерно так же
связан с гамма-функцией, как ряд Эйзенштейна гп{х) с про-
произведением Эйлера для синуса (ср. гл. II, § 6). Поэтому тео-
теорию гамма-функции можно было бы развить на основе этой
аналогии. Для краткости, однако, мы будем считать ее изве-
известной.
§ 7. В описанных выше обозначениях мы положим
$а(х,У,*) = %*(х-\-11)а\х+1х\-2зе(-11у), A0)
и
где х, у вещественны и а = 0 или 1. Формально применяя
C), находим
T(s)Sa(x,y9s) =
=5
Заменим в обеих частях этого равенства у на 0, (х-\-\х)а на
|x + ji|a и 5 на Re (s). Оба ряда тогда превратятся в ряды с
положительными членами. Левая часть будет сходящейся при
Re E) > а ~Г . В этом случае почленное интегрирование пра-
правой части A1) законно, и обе части формулы совпадают. Вы-
Выберем теперь любое число Т > 0 и разобьем интеграл справа
на сумму двух интегралов: /0 по 0 < t <с; Т и /оо по t > Т.
Последний интеграл можно оценить сверху, заметив, что если
М — целое число ^|^|, то
exp[—t(x-\-\if]-\x-\-\i\a^exp{—tn2).(n-\-2M)
при \1 > М, п = [х — М, а также при \х < —М, п = — [х — М.
Пользуясь этим, нетрудно убедиться, что интеграл /оо абсо-
абсолютно сходится для всех значений 5, равномерно в любой ог-
ограниченной области 5-плоскости. Следовательно, он представ-
представляет целую функцию от 5.

70 Часть II. Кронекер
Для вычисления /0 воспользуемся хорошо известной фор-
формулой преобразования тэта-ряда:
exp [-t{x + (хJ - 2ящу) (х + (х)а =
= Гае(^)(т) 'E^pI—T(y + vJ+2™vx](y + v)a. A2)
V
Ее нетрудно получить суммированием по Пуассону или, что
то же самое, разложением в ряд Фурье правой части A2),
периодичной по у с периодом 1. Можно также применить
суммирование по Пуассону при а = О, а затем, дифференци-
дифференцируя по х, получить формулу A2) при а= 1.
Применим это тождество к подынтегральному выражению
в /0 и сделаем замену переменной t = п2/и. Получится интег-
интеграл, подобный /оо, и, возможно, два дополнительных члена,
отвечающих \х = —х в левой части A2), если х — целое
число, и v= —у в правой части A2), если у — целое число.
Поскольку мы предположили, что Re E) > а ~Г , эти члены
(которые могут появиться лишь при а = 0) можно проинтег-
проинтегрировать непосредственно. Окончательный результат выгля-
выглядит так. Выделяя явно параметры, определяющие /оо, будем
записывать этот интеграл в виде /<х>G\ х, у, а, 5) и положим
Гоо=1оо(^г, у, -х, а, а-5 + 1). A3)
Вместе с /«> это тоже целая функция от s. Положим 8 = 1,
если х — целое число и а = 0; в противном случае 8=0;
аналогично, пусть е'= 1, если у — целое число и а=0, и
е'=0 в противном случае. Тогда
Г (s) Sa (х} у, s) = /^ + ranS~a~ll2e (ху) L -
S" ^J. A4)
Эта формула показывает, что левая часть мероморфно про-
продолжается на всю 5-плоскость, а полюсы ее могут быть в
точках 5 = 0 и 5 = 7г. Определив функцию 5а(х, у, s) с по-
помощью формулы A4) для всех 5 и положив Т = я, мы можем
непосредственно проверить справедливость функционального
уравнения
T(s)Sa(x9y9s) =
= rans~a~l/2e(xy)r(a-s-\-y2)Sa(yy-xya-s-\-y2). A5)

VII. Прелюдия к Кронекеру, § 8 71
При рациональных значениях х и у оно, по существу, экви-
эквивалентно функциональным уравнениям для L-рядов Дирихле.
§ 8. В § 4 мы установили, что правая часть A0) сходится
в обычном смысле, если у не целое число и Re(s)>a/2. To
же рассуждение показывает, что сумма голоморфна по 5 и
потому совпадает с Sa(x, yf s). Разумеется, если бы мы не
могли установить голоморфность суммы (в обычном смысле
слова или по Эйзенштейну), последнее утверждение могло бы
оказаться ложным. Рассмотрим несколько особенно интерес-
интересных частных случаев.
Начнем с функции Si(x, 0, 1/2) при нецелых х. Формально
она определяется рядом X sgn (x-\- \х)у суммирование по
Эйзенштейну которого приводит к значению 2[л:]+1 (ср.§ 4).
С другой стороны, уравнение A5) показывает, что
Si{x, 0, i/2) = -Ls1@, -х, 1).
Правая часть здесь, как мы только что заметили, опреде-
определяется рядом в точке его обычной сходимости и потому мо-
может быть вычислена по формуле G). Поэтому
Si(jc, 0, 72) = 2<-*>-1=1-2<х>, A6)
где мы, как принято, положили {х) = х — [х] («дробная
часть» х).
Поскольку T(s) имеет полюс в точке s = 0, формула A4)
показывает, что Sa(x, у, 0) = 0, за исключением случаев,
когда а = 0и х — целое число. Вычислим dS0(x, 0, s)/ds при
5 = 0. Представив T(s) в виде s^I^s+l), получаем с по-
помощью A5) следующее разложение вблизи точки s=0:
Sq(x, °> s) = s——Tn+2S) S So(o> — *, у — s) =
= sS0@, — x9 V2) + ....
Как выше, значение S0@, — х, lf2) при нецелых х опреде-
определяется сходящимся рядом
с (о у 1/ \
°0 \и> Л> /2/ —
Можно непосредственно установить, что это — ряд Фурье
для функции log | 2 sin ял: |~2. Следующий способ, возможно,
поучительнее. Положим /(x) = S0@, — x, 1/2)\ из написанной
формулы ясно, что /(V2) = — 2 log 2. В области абсолютной

72 Часть II. Кронекер
сходимости ряд для So(x, 0, s) можно дифференцировать
почленно. Это дает формулу
которая, по свойству аналитического продолжения, должна
быть верна для всех s. Дифференцируя ее по s и полагая
5 = 0, находим df/dx = — 251 (х, 0, 1). Функция 5i (л:, 0, 1)
формально определяется рядом J] (# + \i)~l. Суммируя его
по Эйзенштейну, получаем я ctg тех. Для проверки того, что
это и есть Si(x/0, 1), заметим, что обе функции нечетны по х.
Более общо, функция Sa(x, 0, s) четна по х при а=0 и
нечетна при а = 1. С другой стороны, дифференцируя ряд
для S\(x, 0, s) почленно в области абсолютной сходимости и
затем пользуясь аналитическим продолжением, мы, в точно-
точности как для S0(x, 0, s), находим, что dS\ (x, 0, l)/dx =
= —So (x, 0,1), причем последняя функция задается абсо-
абсолютно сходящимся рядом —2] (* +М-)- Таким образом,
S\(x, 0, 1) и я ctg яд: могут отличаться только на аддитивную
константу, и так как обе они нечетны, они совпадают. Поэтому
и f(x) может отличаться от log12 sin nx\~~2 только на адди-
аддитивную константу, а так как значения этих функций совпа-
совпадают при х = 7г и они периодичны с периодом единица, они
совпадают для нецелых значений х.
§ 9. Теперь мы перейдем к вычислению dSi(x, 0, s)/ds при
5 = 1/2. Положим
оо
H(x,s)=I1 (x + nys A7)
при х>0, Re(s)> 1. Имеем
H(x+l,s)=H(x,s)-x-s, A8)
i££il = _**<*, s+1). A9)
С другой стороны, при Re (s) > 1 и 0 < х ^ 1
Z±±) B0)
Вместе с A8) и A4) этот результат показывает, что H(x,s)
при всех х > 0 продолжается до мероморфной функции во
всей 5-плоскости с единственным полюсом при s=I и выче-
вычетом единица. Функцию H(x,s) иногда называют «функцией

VII. Прелюдия к Кронекеру, § 9 73
Гурвица». В традиционных обозначениях
так что из A5) следует хорошо известное функциональное
уравнение для дзета-функции.
При 5 = 0 формула A4) дает #A, 0) = £@) = — 7г. При
5 = 0и0<х<1 формула B0) в соединении с A4) и A6)
показывает, что
Н(х,0) = Ч2-<х).
Пользуясь формулой A8), которая верна для всех s по свой-
свойству аналитического продолжения, получаем
Н(х, 0) = i/2 — л: (*>0). B1)
Для всех N^0, х > 0 и Re (s) > 1 имеем
Поскольку правая часть абсолютно сходится при Re (s) > —N,
аналитическое продолжение показывает, что тождество ос-
остается верным в этой полуплоскости. Его можно рассматри-
рассматривать как формулу для аналитического продолжения H(x,s)f
коль скоро аналитическое продолжение £(s) уже получено.
Положим в этой формуле W = 1, затем почленно продиффе-
продифференцируем ее один раз по 5 и дважды по х. Полагая F(x) =
= (dH/ds)8=o, получим при 5=0
п=0
С другой стороны, продифференцируем A8) по 5 и положим
s = 0. Это дает
F(x+1)-F{x) = logx.
Хорошо известно, что эти два свойства, вместе с положитель-
положительностью d2F/dx2, характеризуют функцию log Г (я) с точностью
до аддитивной константы1). Поэтому F(x) = log CT(x) для
подходящей константы С.
4) См., например, Е. Artin, Einfuhrung in die Theorie der Gammafunk-
tion, Hamb. Math. Einzelschr., № 11, 1931.

74 Часть II. Кронекер
Заменим теперь в формуле B0) х на 1 —х при 0 < х < 1
и сложим результат с B0). Поскольку функция So четна по
х, Si нечетна и обе периодичны, получаем
(x, 0, f) = H(x, s) + H(l-x9 s). B2)
Разумеется, эту формулу можно было бы проверить и непо-
непосредственно. Дифференцируя ее по s и полагая 5 = 0, ввиду
результатов § 8 получаем
log\2s\nnx\~l = log[C2T{x)T{l —x)] @<*< 1).
Поэтому достаточно знать, что ТA/2) = ^~л, чтобы заклю-
заключить, что C2 = 1/2jc. Окончательно
(дЩх>8)) =1оШЩ. B3)
V ds Js=0 ь V2jt
Эту формулу открыл Лерх в 1894 г. (см. [7с] в библиогра-
библиографии в конце этой главы). Наконец, подобно тому как мы вы-
вывели формулу B2), можно установить, что
и затем вычислить значение dS\ (х, 0, s)/ds при s = 7г.
Формула B3) при х = 1 дает значение £'@). Более общо,
с ее помощью можно вычислить значения //@), где L(s)—
любая функция Дирихле. Мы воспользуемся этим в гл. IX.
Функциональное уравнение A5) в сочетании с упомянутой
выше формулой для dSi(x,0,s)/ds в точке s = l/2 непосред-
непосредственно приводит к знаменитой формуле Куммера для
logr(jc) в интервале 0 < д: < 1, полученной им в 1847 г. На-
Наоборот, из этой формулы и результатов § 7 можно вывести
тождество B3), но это требует несколько большего труда.
§ 10. Теория распределений позволяет переосмыслить не-
некоторые из установленных результатов. Остановимся на этом
вкратце.
Хорошо известно, что на R, на С и вообще на любом ло-
локальном поле существует единственное (с точностью до по-
постоянного множителя) распределение, которое под действием
мультипликативной группы поля умножается на данный ква-
квазихарактер со этой группы. Это распределение, подходящим
образом нормированное, иногда называют «распределением
Тэйта»; мы будем говорить, что оно отвечает со.
Здесь мы будем заниматься полем R. Все квазихарактеры
Rx имеют вид
х ь-*> со {х) =(sgn х)а |*|*,

VII. Прелюдия к Кронекеру, § 10 75
где а = 0 или I и геС, Пусть сначала со(д:)=л:~Л, где
/г^О — целое число. Тогда квазихарактеру со отвечает рас-
распределение (dn/dxn)x=0 с носителем в точке # = 0. В осталь-
остальных случаях значение распределения на функции Ф из
«пространства Шварца» определяется формулой
+ ОО
DQ(O)=Pi J 4>(x)<s>{x)\x\-ldx. B4)
— оо
Напомним, что Ф бесконечно дифференцируема и «быстро
убывает». Символ Pf («конечная часть») означает сам ин-
интеграл, если он абсолютно сходится, а в общем случае
предел выражения
/ -8 +оо\
( \ + \)Ф(х)(о(х)\хГ1Aх-га+гР(в2) (е>0) B5)
при е->0, где Р — многочлен, выбранный так, чтобы этот
предел существовал. Такой многочлен всегда существует,
потому что Ф бесконечно дифференцируема вблизи я = 0.
Правая часть B4) также определена, если (а) Ф всюду
локально интегрируема; (Ь) Ф m-кратно непрерывно диф-
дифференцируема вблизи х = 0, где т > — Re (z)\ (с) при х -> ± оо
справедлива оценка Ф = О(|д:|А'), где А< —Re(z).
Предположим, что Re(z)<0, и выберем функцию <р на
T = R/Z, ограниченную, интегрируемую и бесконечно диф-
дифференцируемую вблизи нуля. Обозначим через Ф следую-
следующую функцию на R:
) е(— ху)
и положим А(ф) = й@(Ф). Очевидно, А является распреде-
распределением на Г. Для любой непрерывной функции ф, носитель
которой не содержит нуля, имеем
1
А(Ф)= J (p(*mod I) e(-xy)Sa(x, у, a+\~Z) dx,
0
где подынтегральное выражение периодично по х с периодом
единица. На общепринятом языке это означает, что А сов-
совпадает с функцией
е(-*0) Sa(x, yy a+l2~Z) B6)
вне нуля. С другой стороны, коэффициенты Фурье распре-
распределения А определяются формулами

76 Часть II. Кронекер
Нетрудно убедиться, что 0^A) = 0, так что dv = 0, если
+ = 0. В противном случае
так как D^ отвечает квазихарактеру со. Поэтому, положив
Д ДЛе(—х)], находим, что ряд Фурье для Д равен
— *, а\ ) • Величину А^ проще всего вычислить,
исходя из определения B5) и сдвинув контур интегрирования
на мнимую ось в х-плоскости. Детали мы оставляем
в качестве упражнения читателю. В результате находим:
Аа = Bn)"* T(z) [е (- 2/4) + (- 1)а e(z/4)].
Пользуясь хорошо известными тождествами для Г и полагая
G(s) = tt~s/2r(s/2), мы можем переписать последнюю фор-
формулу в виде
~\
= CaG(a + г) G(a + 1 - z)
Это наводит на мысль связать с квазихарактером со не рас-
распределения Deo, Д, a G(a + z)~1D(D и О(а+^)~1Д. Действи-
Действительно, в более систематической теории удобно поступить
именно так. Учитывая B6), получаем, что только что выве-
выведенное выражение для А& формально равносильно тождеству
A5) § 7, но осмыслено иначе.
Определенное выше распределение Д для Re(^)< 0 и ква-
квазихарактера со, не имеющего вида ы{х) = х~п, мы будем те-
теперь обозначать Д^. Пользуясь вычисленным выше рядом
Фурье для А», нетрудно обнаружить, что если ф —любая бес-
бесконечно дифференцируемая функция на Г,то С(а + г)~1Дй)(ф)
как функция от z аналитически продолжается на всю ^-пло-
^-плоскость. Этим можно воспользоваться, чтобы определить
G(a-\-z)~lka как распределение для всех квазихарактеров со.
Ряд Фурье этого распределения равен
raG(a+l-z)-lSa(y, -х, St+ny B7)
К числу самых полезных свойств распределений на Т от-
относится то обстоятельство, что их ряды Фурье всегда можно
дифференцировать почленно. Здесь мы проиллюстрируем это
на одном хорошо известном примере. Для со(л;) = л;, у = 0
ряд B7) имеет вид
У

VII. Прелюдия к Кронекеру, § 11 77
Дифференцируя его, получаем ряд Фурье распределения
2jt(бо — 1), где б0 —«распределение Дирака» (масса 1 в точ-
точке 0). Следовательно, B8) представляет функцию с разры-
разрывом в нуле и постоянной производной —2jc вне нуля. По-
Поскольку она нечетна по х, она должна совпадать с яA—
— 2{х)). Этот результат следует сравнить с формулой G) § 4.
§11. Рассмотрим теперь ряд D) для комплексных значе-
значений х. Запишем его в виде
Sa (?, У, s) = I (I + и)" I £ + I* \~2S e (- \ху), B9)
м-
где а ^ 0 — целое число, £ = | + щ, g, ц и у — вещественные
числа и цфО. Из-за последнего условия здесь нельзя огра-
ограничиться только случаями а = 0, а = 1, как в § 7. С другой
стороны, оно же избавляет нас от необходимости рассматри-
рассматривать сумму ХГ* Предположим сначала, что Re(s)> а"Г ♦
В этом случае ряд B9) абсолютно сходится и функция
периодична по g с периодом единица, так что ее можно раз-
разложить в ряд Фурье. Поскольку функция B9) введена здесь
лишь для исследования двойного ряда Кронекера в гл. VIII,
нас будет интересовать только этот ряд Фурье. При более
систематическом изложении следовало бы рассмотреть также,
например, связь между значениями Sa(Z>, yf s) при комплекс-
комплексных £ и Saix^y.s) при вещественных х, т. е. поведение
5а(£, #, s), когда г] стремится к нулю. Мы оставим эти во-
вопросы в стороне; читатель может обратиться к статьям Лип-
Липшица (см. библиографию к этой главе).
Исключив случай, когда z лежит на отрицательной по-
половине вещественной оси, а / — комплексное число, мы будем
всегда понимать под zf для комплексных t величину etlos*,
где в качестве log z взято «главное значение» (т. е. Im(logz)
принадлежит интервалу ]— я, я[). В частности, \z\2s = zszs.
Как в гл. VI, дифференциальные операторы д/dz, d/dz обыч-
обычным образом действуют на вещественно аналитических (или
вещественно дифференцируемых) функциях от геС.
Пусть F — некоторая функция от £ = % + щ, определен-
определенная в полосе a<r\<b и такая, что Z7 (g) е (— gr/) периодична
с периодом единица по |. Разложив последнюю в ряд Фурье,
получаем для F представление
1
v (Л) е [(У + v) I] = Л J F(x + /л) *[(У + v)(g - х)\ dx.

78 Часть П. Кронекер
Для краткости мы будем называть его «рядом Фурье» функ-
функции F. Обозначим через /\(£) его v-й член. Оператор F *-> Fv
коммутирует со сдвигами ^-плоскости, а значит, и с d/dg,
д/дц (или, что то же самое, с d/d£, d/d£). Он коммутирует
также с оператором Fn-xpF, где qp — любая функция от ц.
Поэтому если D — любой линейный дифференциальный опе-
оператор по £, коэффициенты которого зависят только от г), то
из условия D(F) = 0 вытекает, что Z)(FV) = O для всех v.
Применив это соображение к функции F = Sa(£, у, s) и one-
ратору
д2 ч д . д
)+s
получаем, что коэффициенты fv соответствующего ряда
Фурье должны удовлетворять дифференциальному уравнению
^^ = 0. C0)
Кроме того f по-прежнему при Re(s) > ^ J, очевидно,
что fv стремятся к нулю при \ц\->оо. Например, если у-\-
-|-v = 0, то fv должны иметь вид С|г)|1+а-25, где С — кон-
константа, при rj =7^= 0. Впрочем, это очевидно из соображений
однородности. В случае у-\- v Ф 0, пользуясь элементарными
свойствами бесселевых функций, можно также показать,
что C0) определяет fv однозначно с точностью до постоян-
постоянного множителя. Эту функцию можно явно выписать через
функции К 1 и ее производные. Мы сделаем это и явно
вычислим константу С с помощью формул Фурье для коэф-
коэффициентов fv.
§ 12. Удобно рассмотреть сначала случай а = 0. При
а>0 и Re(s)>a + 72 можно будет затем применить фор-
формулу
S"&, У, s) = {s-l){s{-Z.(s-a)^So^ У>8~а)
и получить с ее помощью ряд Фурье для Sfl(£, у, s). Нако-
Наконец, пользуясь аналитическим продолжением в s-плоскости,
мы установим справедливость соответствующей формулы
для -^-£—<Re(s)<a + Y и продолжим Sa(£, yt s) анали-
аналитически даже в полуплоскость Re E) <[ ^—~— .
Итак, применим формулы Фурье к вычислению коэф-
коэффициентов fv для функции So(£, у, s). Разумеется, это то

VII. Прелюдия к Кронекеру, § 12 79
же самое, что суммирование ряда B9) при а = 0 по Пуас-
Пуассону. Получим
So (£, J,s)=Z?(i|,j + v)e [(у + v) 6], C2)
V
где функция ф определена формулой
+ ОО
Ur2se(-t/|L. C3)
Это, по существу, классический интеграл, исследование
которого имеет длинную историю 1). Умножив его на T(s) и
применив преобразование Дирихле (см. § 2), получим
, г/) = J \ ехр[-
= у^ J ехр(- W -^f) ts-42 dt. C4)
О
При у = 0 находим:
. C5)
Если у Ф 0, рассматриваемый интеграл немногим отличается
от стандартного определения так называемой функции К
(ср. цитированную книгу Ватсона, § 6.22, стр. 183, и библио-
библиографию в ней). Его рассматривал еще Пуассон. Для любого
комплексного числа z и Re (У) > 0 положим
+ ОО
Кг{2У) = Чг \ ехр[-У(* + -|-)]Г-1Л. C6)
О
При каждом значении Y этот интеграл является четной целой
функцией от z. Из C4) следует, что
C7)
, z = s — ±, Y = \nyi\\).
Теперь можно написать ряд Фурье для функции So(£, y9 s) и,
заменив в нем 5 на s — a, воспользоваться формулой C1),
1) Ср. G. N Watson, Theory of Bessel Functions, § 6.16 (pp. 172—173);
там же имеется библиография.

80 Часть II. Кронекер
чтобы вычислить ряд Фурье для Sa{t>,y, s) при Re(s)>
>а-\-1/2- Выкладки вполне шаблонные, и мы ограничимся
формулировкой результата. Для е = ±1 и У>0 положим
Ф8 (У. а, г) = е™ -§* \_е~2гУу-гКг B7)]. C8)
Ряд Фурье для Sa имеет вид
Se(£, у, s)=2Fi)-aT(s)-1 Z Cve[(y + v)l], C9)
V
где 6 = sgnr), а коэффициенты Cv выглядят так. При y-\-v = 0
имеем
Г - ГB5 —а — 1) ,о_ {a+l-2s /АПч
cv = ft T{s_a) 12ц | . D0)
В остальных случаях
vL|f a, s-a-j), D1)
где е = sgn[(z/ + v)rj].
Функция Кг при У-> + оо допускает хорошо известное
асимптотическое разложение (ср. книгу Ватсона, § 7.23,
стр. 202). Однако здесь нам достаточно знать, что для всех
z функция KzBY) и все ее производные допускают оценку
O(e~lY) с некоторым К > 0 (на самом деле с любым К2),
а это нетрудно получить непосредственно. Поэтому та же
оценка годится для Ф8, так что ряд в правой части C9) схо-
сходится для всех значений параметров (со скоростью геомет-
геометрической прогрессии). Согласно принципу аналитического
продолжения, тождество C9) остается в силе всюду, где оп-
определена его левая часть, т.е. при Re(s) > -^-у—. Более того,
формулу C9) можно использовать в качестве определения
Sa(£>,y,s) для всех значений а, £, у, s, кроме тех случаев,
когда у — целое число и постоянный член C9), определяе-
определяемый формулой D0), обращается в бесконечность.
§ 13. Рассмотрим теперь некоторую положительно опре-
определенную бинарную квадратичную форму F(X, Y) с веще-
вещественными коэффициентами и запишем ее в виде
F(X, Y) = АХ2 + BXY +CY2 = A(X-\- £У) (X + £Г)
Вместо ряда Sa(Z>,y,s) мы могли бы изучать построенный
с помощью этой формы ряд

VII. Прелюдия к Кронекеру, § 13 81
Разумеется, с точностью до влияния множителя A~s резуль-
результаты были бы теми же самыми.
Кронекер, изучая свои двойные ряды, судя по разным
признакам, как будто придавал особое значение тому обстоя-
обстоятельству, что многие факты, относящиеся к положительно оп-
определенным формам F(X, У), переносятся на случай комп-
лекснозначных форм с положительно определенной веще-
вещественной частью. Объясним вкратце, как это делается. Запи-
Запишем квадратичную форму в виде
F (X, Y) = АХ2 + BXY + CY2 = А (X + £У) (X + £'У)
и предположим, что Re[f(X, У)]>>0 для всех вещественных
X, У, так что £, £' заведомо не вещественны. Для всех веще-
вещественных t значение F(t, 1) остается в полуплоскости
Re(^)>0. Если бы Im(£) и Im(£') были одновременно поло-
положительны, то аргументы чисел ^ + £, t-\-tf при изменении t
от —оо до + оо убывали бы от я до 0, а аргумент A~lF(t> 1)
убывал бы от 2я до 0 вопреки предположению 1). По анало-
аналогичным причинам Im(£) и Im(£') не могут быть одновременно
отрицательны.
Наоборот, если Im(£) и \т{&') имеют разные знаки, то
аргумент числа (t -^^{t-\-1)~\ совпадающий с аргументом
A~~lF(t9 1), меняется от 0 до 0, когда t меняется от —оо
до +оо. Поскольку число (Z + SO^ + S) лежит на неко-
некоторой окружности в комплексной плоскости, она должна
целиком лежать в некоторой полуплоскости. Это означает,
что А можно выбрать так, чтобы выполнялось неравенство
Ref/7^, 1)]>0 для всех вещественных/. Положив т) = —(£—£г),
6 = sgnRe(r]), нетрудно убедиться, что для этого подходит
число А = 1/бт]. Положим еще |= 1/2(£+£/). При данных
I, ц мнимые части £ и £' имеют разные знаки тогда и только
тогда, когда | Im (£) | < | Re (т)) |. При данном ^допустимые
значения £ заполняют полосу в комплексной ^-плоскости.
Будем писать т]/ = 6т], так что Re(r]')>0 и Л=т]'~1.
В этих обозначениях мы покажем, как перенести резуль-
результаты § 12 на ряды вида
J) Здесь и в оставшихся главах книги мы заимствуем ряд рассужде-
рассуждений из лекций К. Зигеля: С. L. Siegel, Lectures on advanced analytic num-
number-theory, Tata Institute of Fund. Research, Bombay, 1961.

82 Часть II. Кронекер
где у — вещественное число. В случае £' = £ этот ряд совпа-
совпадает с B9). При фиксированном х\ функция S^e (—|г/) голо-
голоморфна по £ и периодична с периодом 1 в той полосе, кото-
которая была описана выше. В точности, как в § 11 — 12,
вычисление ряда Фурье этой функции сводится к суммиро-
суммированию S'a по Пуассону. Кроме того, S'a можно выразить
через S'o с помощью формулы, ничем не отличающейся от C1).
Для S'Q формулы Фурье дают
V
где функция ф определяется как интеграл
вдоль вещественной t-оси. Применяя к нему преобразование
Дирихле, получаем при у Ф О
а при у = 0
После этого те же выкладки, что и в § 12, приводят к тож-
тождеству C9); нужно лишь заменить \х\\ на т]/ и положить
e = 6sgn(# + v). Оценки, обеспечивающие сходимость, ос-
остаются теми же ввиду очевидного неравенства
ЛИТЕРАТУРА
1. Malmsten С. J., De integralibus quibusdam definitis, seriebusque in-
finitis, Crelles /., 38 A849), 1—39.
2. Lipschitz R., Untersuchung einer aus vier Elementen gebildeten
Reihe, Crelles /., 54 A857), 313-328.
3. Hurwitz A., Einige Eigenschaften der Dirichlet'schen Funktionen
V ( D \ 1
F (s) = > I — I —=-, die bei der Bestimmung der Klassenzahlen binarer
quadratischer Formen auftreten, Zeitschr. fur Math. Phys., 27 A882), 86—101
(Math. Werke, Bd. I, 72—88).

VII. Прелюдия к Кронекеру 83
Е°°
14- k\s
Math., 11 A887—88), 19—24.
5. Lipschitz R., Untersuchung der Eigenschaften einer Gattung von un-
endlichen Reihen, Crelles /., 105 A889), 127—156.
6. Lerch M., Sur certains developpements en series trigonometriques,
Ann. Toulouse (I), 3 A889), 1—11.
7. Lerch M., (a) Grundzuge der Theorie der Malmstenschen Reichen,
Rozpravy ceske akad., I, № 27 A892); (b) Studien auf dem Gebiete
der Malmsten'schen Reihen, ibid. II, № 4, 23 A893); (c) Weitere Stu-
Studien ..., ibid. Ill, № 28 A894) (эти статьи написаны по-чешски; см. так-
также их авторские рефераты в Jarhbuch uber die Fortschr. d. Math., 1892,
S. 446—452; 1893—94, S. 790—793, 484—486).
8. Lerch M., Ober den Kronecker'schen Beweis der sogenannten Krone-
cker'schen Grenzformel, Arch. Math. Phys. (Ill), 6 A904), 85—94.

глава VIII
Двойной ряд
Кронекера
§ 1.Как в первой части, мы выберем некоторую решетку IF
в комплексной плоскости и две ее образующие и, v. Таким
образом, W состоит из точек вида w = \iu-\-vv, где jix, v —
целые числа. Символом % обозначим некоторый характер ад-
аддитивной группы W. Иногда мы будем писать %(ёы, v) вместо
b + )
b )
Все двойные ряды, которыми занимался Кронекер к концу
жизни, имели вид
Z%(w)(x-\-w)a\x + w\-2s. A)
Он же ввел большую часть технических средств в теории та-
таких рядов. Однако в указанной общности эти ряды рассмат-
рассматривал лишь Лерх, находившийся под влиянием работ Кро-
Кронекера. Сам Кронекер до 1889 г. ограничивался рассмотре-
рассмотрением случая а = О, х = 0 (т. е. ряда A) гл. VII, § 1) и ин-
интересовался главным образом значением в точке s = 1.
В 1890 и 1891 годах (особенно в последний год, отчасти под
влиянием переоткрытия работ Эйзенштейна) он стал прида-
придавать особое значение случаю а = s = 1, т.е. ряду
У %{w) B)
По-видимому, к этому времени Кронекер начал рассматри-
рассматривать ряд A) как ключ ко всей теории эллиптических функций
(Werke, т. V, стр. 103—104). Начнем с изложения его основ*
ных результатов о таких рядах.

VIII. Двойной ряд Кронекера, § 2 85
Кронекер экспериментировал с разными методами сумми-
суммирования, включая метод
/ N N \
шп ( I £ )
и даже вариант «суммирования по Кронекеру», исходя из
странного ряда £ %(w) (x-\- w)~l (Werke, т. V, стр. 104—127).
В конце концов он счел суммирование по Эйзенштейну са-
самым подходящим. Этот метод мы и изложим ниже.
§ 2. Как в главах III и IV, положим
£) = х/и, x = 6v/ut z = e(£), q = e(x).
Пусть, далее,
%(и) = е (— бРо), %{v) = e (ба0), х0 = аои + роа,
В этих обозначениях сумму ряда B) в надлежащей интер-
интерпретации Кронекер записывает в виде Ser(x0, х, и, v). Будем
считать, что x^W\ кроме того, временно предположим,
что %(и)Ф \. Тогда можно выбрать р0 таким образом, что
О < бр0 < 1. Так как |20| = | qt^\ имеем 1 > | zQ \ > \q |.
В силу формулы F) гл. VII, § 4, получаем
2о
OV 2, 1 "
Ряд слева сходится в обычном смысле слова. Поскольку
l>|zo|>|<7l, сУмма правых частей этого равенства по v
абсолютно сходится. Таким образом,
_ 2ni /брох\
где функция F определяется при 1 > | w | > | q \ рядом
В случае \>\z\>\q\ это равенство можно переписать
в более симметричной форме
2
т=\ п=\

86 Часть II. Кронекер
§ 3. Теперь, довольно близко следуя Кронекеру (Werke,
т. IV, стр. 309 — 318), мы покажем, что функцию F можно
следующим образом выразить через бесконечные произведе-
произведения Xq(z), P(q), введенные в гл. IV, § 3:
P(qfXq(zw)
М= xq(z)Xq{w) ' <5>
Фиксировав #, обозначим правую часть этой формулы
через Ф(г, w). Очевидно, что Ф («г, w) как функция от ш
мероморфна при хюф® и имеет полюсы в нулях Xqt т. е.
в точках w = qv. Следовательно, при 1 >|до|>|д| се можно
разложить в ряд Лорана
Формула A9) гл. IV, § 5 показывает, что
ф(г, w) = w<b(qz,w) = z<b(z,qw). F)
Согласно первому из этих равенств, получаем, что для всех v
Второе равенство показывает, что при |дГ!>|до|> 1 имеем
Ф (z, w) = £ zf v (z) qvwv.
v
Пусть у, yf — окружности | до | = \q\^2, \w\ = \q\~1/2 в до-пло-
до-плоскости, ориентированные против часовой стрелки. Интегралы
от Bп1хю)~хФ{х, w)dw вдоль у и у' равны fo(z) и zfo(z) со-
соответственно. По теореме Коши разность этих двух интегра-
интегралов равна вычету до~!Ф в точке до = 1. Этот вычет равен еди-
единице, потому что P(qJ совпадает с производной Xq(w) в
точке до = 1. Поэтому (z — l)fo(z) = 1, что завершает дока-
зательство тождества E).
§ 4. Теперь мы определим функцию F(q, z, до) формулой
E) для всех значений z, до. Заменим х0 на х0 + до0, где
до0 е W. Тогда z0 заменится на qvz$y где v — некоторое целое
число. Формула F) показывает, что правая часть C) не из-
изменится. В частности, формула C) останется верной при
условии, что%(а) Ф 1.Если х Ф U но %(и) = 1, то левая часть
C) не будет сходиться даже по Эйзенштейну. Все же, если
заменить суммирование £е подходящим его вариантом, то
формула C), в которой F(q, z, до) определяется по-прежнему
посредством E), останется верной. Это нетрудно проделать,
пользуясь результатами гл. II.

VIII. Двойной ряд Кронекера, § 5 87
Учитывая формулу A5) гл. IV, § 3, мы можем переписать
формулы C) и E) в виде
в x + w \ и J
Ф(*)Ф(*О)
при условии, что х(и)Ф 1. Из формулы A7) гл. IV, § 4 не-
непосредственно видно, что правая часть не зависит от выбора
образующих ut v решетки W.
§ 5. Это последнее утверждение можно получить и другим
способом. Положим
Цхя), s) = %(w) (x + w)\x -\-w\~2s
и рассмотрим ряд £я(и>, s). При 5 = 1 он формально сов-
совпадает с рядом в левой части G). Предположим, что х ф W
и что %{и)Ф 1. Пользуясь результатами гл. VII, §4 и §11,
мы можем заключить, что
£ Цри + vv, s) = % (vv) п | и \-2sSx ft + 6vt, 6Po, 5). (8)
Левая часть здесь сходится в обычном смысле при Re(s)> V2:
это доказано в гл. VII, § 4. Правая часть определяется с по-
помощью формулы B9) гл. VII, § 11 при Re(s)> 1 и с по-
помощью формул C9) и D1) гл. VII, § 12 для произвольных 5.
Формула D0) гл. VII, § 12 здесь не нужна, потому что
x^W и, следовательно, величина £ + 5vt не может лежать
в Z. При Re(s)>> 1 тождество (8) справедливо; поэтому оно
остается верным при Re(s)>> V2 в силу принципа аналитиче-
аналитического продолжения.
Просуммируем теперь тождество (8) по v. Подставив вме-
вместо 5i справа выражение этой функции в виде ряда C9)
гл. VII, § 12, мы получим двойной ряд, абсолютно сходящий-
сходящийся для всех s. (Для проверки этого хватает грубых оценок
функции Бесселя Кг и, следовательно, Фе, данных в конце
гл. VII, § 12.) Отсюда находим
при условии, что x^W и %{и)Ф 1. Предел справа берется
по s> I, 5->l. Поскольку двойной ряд справа абсолютно
сходится при 5 >> 3/2 и потому его сумма не зависит от вы-
выбора образующих a, v решетки W, то же верно при аналити-
аналитическом продолжении вдоль вещественной оси в s-шюскости.
Значит, и левая часть обладает этим свойством.

88 Часть II. Кронекер
§ 6. Перейдем теперь к ряду Кронекера
G{s9 %)=Z'2
гДе Z! > как обычно, обозначает сумму по всем
кроме нуля. Как прежде, положим w = \хи + vv, \ w \2^
{) {). Тогда
)=Z'x(\i,v)F(ix,v)-s, (9)
где F—положительно определенная квадратичная форма.
Наоборот, любую такую форму можно представить в виде
||iw + w|2. Решетка W допускает комплексное умножение
(в смысле гл. V, § 6) тогда и только тогда, когда F можно
представить в виде F = cFi, где F\ — форма с целыми коэф-
коэффициентами.
Ряды типа (9) с % = 1 и для формы F с целыми коэффи-
коэффициентами впервые появились в работе Дирихле о числе клас-
классов бинарных квадратичных форм. Он установил, что пред-
представленная этим рядом функция имеет в точке s = 1 простой
полюс с вычетом 2nD~l/\ где —D — дискриминант формы F.
Его доказательство проходит и для форм с нецелыми коэф-
коэффициентами.
Основные результаты Кронекера состоят в вычислении
(a) значений G(l,%) при %Ф1; (Ь) постоянного члена в
разложении G(s, 1) вблизи s = 1. Последний результат изве-
известен как «предельная формула» («Kroneckersche Grenzfor-
mel»). Иногда ее называют «первой предельной формулой»,
а предыдущую — «второй». Сам Кронекер вывел результат
(b) из (а), сначала для форм с целыми коэффициентами
(Werke, т. IV, стр. 376—379), а затем в общем случае (Wer-
ke, т. IV, стр. 482—495I). Кронекер несколько раз отмечал,
что его формулы можно обобщить также на случай бинар-
бинарной квадратичной формы с положительно определенной ве-
вещественной частью (ср. выше, гл. VII, § 13). Это нетрудно
сделать, пользуясь результатами гл. VII, § 13, но мы не будем
касаться этого случая здесь.
§ 7. Позднейшие авторы (М. Лерх, X. Вебер и другие) об-
обнаружили, что работать непосредственно с G(s, 1) еще проще.
Их доказательства мало отличаются друг от друга. Здесь
]) Общее доказательство «первой предельной формулы» получил
X. Вебер еще в 1881 г. под влиянием статьи Кронекера 1863 г.; см. Werke,
т. IV, стр. 221—225, а также Dedekind, Werke, т. II, стр. 225. Доказатель-
Доказательство Вебера опубликовано в Math. Ann., 33 A889), 392—395.

VIII. Двойной ряд Кронекера, § 8 89
мы следуем статье Чоула — Сельберга, Crelles /., 227 A967),
86—110. В обозначениях гл. VII, § 4 и § 11 имеем
x\-2s=\u\-2sZs0(vx90is)9 A0)
JI, V V
где ряд справа абсолютно сходится при Re(s)> 1.
Член 50@,0, s) здесь совпадает с 2£Bs). Формула A5)
гл. VII, § 7 дает для него хорошо известное функциональное
уравнение. Формула A4) того же параграфа показывает,
что у этой функции имеется единственный полюс в точке
s = 1/2 с вычетом единица. После этого из формулы A5) вы-
вытекает, что 2£@) = — 1, а из формулы B3) гл. VII, § 9 сле-
следует, что 2£'@) = — logB:rt). Наконец, снова применяя фор-
формулу A5) и стандартные сведения о Г (s), находим, что по-
постоянный член в разложении £Bs) вблизи s = l/2 совпадает
с константой Эйлера у = —Г'A).
Рассмотрим теперь члены ряда в правой части A0), отве-
отвечающие значениям v Ф 0. Положим т = \-\- /со. В силу опре-
определения т имеем со > 0. Для вычисления So используем фор-
формулы C2), C5), C7) гл. VII, § 12. Получаем
SQ(v%,0,s) =
+ 2ksT(s)-{ I'| p/cov Г iC,B™|vp|) e(vpg), A1)
p
где z = s — '/2- Подставляя это выражение в A0), находим
\u\»G(s, 1) = 2£Bs) + <1ф. r(s —i-) r(SrV-2s£Bs - 1) +
+ 2У^ГEГ'(я/<о)гС1(г), A2)
где через Gi(z) обозначен двойной ряд
Gdz) = £' I'| p/v Г /C*BjtcD|vp|) e(vpg). A3)
v p
С помощью оценок для Kz, выведенных в конце гл. VII, § 12,
нетрудно проверить, что этот двойной ряд абсолютно сходит-
сходится при любом z и представляет целую функцию от г. Меняя
местами v и р в формуле A3), убеждаемся, что эта функция
четная.
§ 8. Принимая во внимание функциональное уравнение
для функции £ и известные тождества для F(s), мы можем
переписать формулу A2) в более удобном виде:
A4)

90 Часть II. Кронекер
Умножив ее на T(s) (я/со), получим четную функцию по г.
Это и есть «функциональное уравнение» для G(s, 1); в § 13
мы докажем более общий результат. Из этой формулы видно
также, что G(s, 1) не имеет в s-плоскости полюсов вне точки
s = 1, а ее вычет в этой точке равен тс/(<оип), или, что то же
самое, 2я/)-1/2, где —D — дискриминант квадратичной формы
F([i, v). Это установил Дирихле. Формула A4) показывает
также, что G@, 1)= —1.
Для вычисления следующего члена в разложении G(sf 1)
как в точке s = 0, так и 5 = 1, нам нужно определить зна-
значение Gx{ll2). Хорошо известно, что Д^Д2Г) = у (я/Г)'/г <Г2У.
Это нетрудно проверить непосредственно, сделав замену пе-
переменной t4* — f~1/2 = 8 в интеграле C6) гл. VII, § 12. Отсюда
следует, что
+
v=l р=1
Мы положили здесь q = е (т), как обычно; q = е (— т) — ком-
комплексно сопряженная величина; P(q) — бесконечное произ-
произведение, определенное формулой A4) гл. IV, § 3.
Пользуясь доказанными выше свойствами £(s) и извест-
известными свойствами F(s), мы можем теперь вычислить первые
два члена разложений G(s, 1) в точках s= 1 и s = 0. В фор-
формулах естественно появляется «дискриминант» A = A0^),
определенный выражением C6) гл. IV, § 11. Введем, как
в гл. VI, § 2, обозначения
uv — vu = — 6ип(х — т) = — 2/6сошг= — 2ш6Л, A5)
где константа Л=сош/я зависит только от решетки W, но
не от выбора образующих иу v этой решетки.
Разложение 6{s, 1) вблизи s = l начинается с членов
AG (s, 1) = ^ + 2Y - log (Л2) - ^- log (ДА) + ..., A6)
где у — постоянная Эйлера, а опущенные слагаемые обра-
обращаются в нуль в точке s = 1. Это и есть предельная формула
Кронекера.
Вблизи точки 5 = 0 имеем
G(s, 1) = — 1 —-J-log (АЛ) + .... A7)
Функциональное уравнение для G(s, 1) позволяет легко вы-
вывести любую из этих формул из другой. Как часто случается

VIII. Двойной ряд Кронекера, § 9 91
с рядами Дирихле арифметического типа, формула для s = О
проще.
§ 9. Теперь мы рассмотрим поведение функций G(s, %)
с хФ 1, в частности, в точке 5 = 1. Вычисляя G(l,%) через
известные функции, мы стоим перед выбором одного из двух
методов суммирования — по Эйзенштейну или по Кронекеру.
Мы покажем, что оба метода дают один и тот же результат.
Когда сам Кронекер занимался этим рядом (Werke, т. IV,
стр. 347—351), он пользовался (несомненно, не зная этого)
важной идеей метода Эйзенштейна.
В обозначениях § 2 мы можем формально написать:
[i, v
= £'l«r2s|^ + SvTr2se(-S|^ + 6a0v) = 2X(S)( A8)
М-, v v
где
A, (s) = \u\~2sS0 (vt, 6p0, s) e (<zov) A9)
и функция So, как всегда, определяется формулой D) гл. VII,
§ 4. При Re(s)> 1 все ряды здесь абсолютно сходятся.
Положим s = 1. Из формулы (8) гл. VII, § 4 следует, что
l). B0)
Чтобы вычислить Av(l) при v Ф 0, Кронекер исходит из тож-
тождества, по существу совпадающего с тождеством A) гл. II,
§ 2, которое было отправным пунктом и для Эйзенштейна:
= (\ш + vv)~l (\хп + vv)~l =
1( Т"' Й—Y B1)
В действительности в этом месте (Werke, т. IV, стр. 350—351)
Кронекер работает с квадратичной формой F с положительно
определенной вещественной частью (ср. гл. VII, § 13). Этот
случай, более общий, чем рассматриваемый здесь, можно ра-
разобрать в точности тем же методом.
Предположим сначала, что О<бРо<1. Вычислим
Av(l) с помощью формулы F) гл. VII, § 4 и тождества B1).
Получим
1 v) = A-%v(%, Co)-/ev<T, ?o)L B2)

92 Часть II. Кронекер
где £0 определена, как в § 2, а функция /v определена для
всех v ф О формулой
f (т m_v-i еК)) = У"'^о и
v ' 1-е (vt) I — qv '
Следует заметить, что ряд B2) абсолютно сходится. По-
Поскольку е(£о) = г<Г\ е(т) = <7~1, имеем
Бесконечное произведение Xq(z)f определенное в гл. IV, § 3,
можно записать в виде
Хя(г) = - г-Ч* П A - q»z)(\ - qn^z~l).
n=G
При 1 > | z | > | q | получим
+ OO +OO
\ncr ( yxhY (y\\— V V v~^(nnV/?v -A- Mn + V v^-v\ —
n=G v=l
Все ряды здесь абсолютно сходятся. Если \z\ = 1, z Ф 1,
формула Абеля суммирования по частям (см. гл. VII, § 4) по-
показывает, что правая часть продолжает сходиться в обычном
смысле слова. Поэтому формула остается верной по непре-
непрерывности. Заменим в ней q, z сначала на q, zQ, а затем на q,
Zq. Предполагая теперь, что 0 ^ бро < 1, имеем 1 ^ |г0 >
>>|д|. Кроме того, в прежних обозначениях, log \q =
= —2ясо и log \zo | =—2ябРосо. Объединяя все полученные
тождества, находим окончательно
~2
= Л0)
V
= ^(Ро +1) - Л"* log [*<(*>) ^Bо)]« B3)
Мы установили эту формулу при 0 ^ бРо < 1. Но левая часть
ее не зависит от выбора р0 при данном %. Что касается пра-
правой части, то, пользуясь формулой A9) гл. IV, § 5, нетрудно
установить, что она не меняется при замене Ро на Ро + 1 и
соответственно z0 на q6z0. Поэтому формула B3) верна без
ограничений, если только % Ф 1.
§ 10. Теперь рассмотрим суммирование по Кронекеру.
В формуле A9) при v ф 0 заменим S0(vt, бр0, s) его значе-
нием по формуле C2) гл. VII, § 12. Соответствующий ряд

VIII. Двойной ряд Кронекера, § II 93
состоит из членов вида C7) (тот же параграф), содержащих
функцию Кг с 2 = 5—72, и, если р0 —целое число (т. е.
^(г/)=1), из еще одного члена, определяемого формулой
C5) того же параграфа. Все члены, содержащие Кг, обра-
образуют двойной ряд, сумму которого мы обозначим C(s). С дру-
другой стороны, при %(и)= 1 соберем вместе все члены вида
C5). Их сумма имеет вид
( ) B4)
При %(и)Ф 1 положим B(s) = 0.
Таким образом, при Re(s)> 1 имеем
Z'\w\~2s = A0(s) + B(s) + C(s). B5)
Грубая оценка Кг, указанная в конце гл. VII, § 12, пока-
показывает, что двойной ряд C(s) абсолютно сходится при всех
5 и представляет целую функцию от s. Формула A4) гл. VII,
§ 7 показывает, что функции A0(s) и B(s) мероморфны во
всей 5-плоскости. Точнее говоря, функция A0(s) цела, если
только %{и)Ф 1; при %(и) = 1 она имеет единственный про-
простой полюс в точке s = У2 с вычетом \и\~1. Если %{и) = 1,
функция B(s) имеет полюс с вычетом— \и\~1 в точке 5 = 72,
а если к тому же ао — целое число, т. е. %(v)= 1, у нее
имеется дополнительный полюс в точке s = i с вычетом Л.
При х = 1 мы снова получаем результат, доказанный в § 8.
В остальных случаях это рассуждение показывает, что функ-
функция B5) цела по s.
§ 11. При Re(s)> 1 левая часть B5) зависит только от
решетки W и характера %, но не от выбора образующих и, и
решетки W. Следовательно, то же верно относительно правой
части при Re(s)> 1. Аналитическое продолжение позволяет
распространить это утверждение на все значения s. Рассмот-
Рассмотрим теперь ряд Zj^vE). Если ^{и)Ф 1, он абсолютно схо-
сходится при всех 5, ибо этим свойством обладает ряд C(s). При
%(w)= 1 его значение в точке s= 1 совпадает с правой
частью B3). Иными словами, «суммирование по Кронекеру»
приводит к тому же значению G(s,%), что и «суммирование
по Эйзенштейну».
Это показывает заодно, что левая и правая части тожде-
тождества B3) не зависят от выбора образующих и, v решетки W,
если только %{и)Ф\. По непрерывности, то же верно при

94 Часть II. Кронекер
%(и) = 1, если х Ф 1. Для правой части это можно проверить
и непосредственно, пользуясь формулами A5), A7) и B5)
гл. IV. Третье доказательство, основанное на представлении
функции Xq(z0) Xq(zo) двойным тэта-рядом, который зависит
только от квадратичной формы F, можно найти у Кронекера
(Werke, т. IV, стр. 354—355). Ср. также лекции Зигеля в
Бомбее, на которые мы ссылались в гл. VII, § 13, стр. 81.
§ 12. Известны два метода аналитического продолжения
всех рядов типа A), оба восходящие к Кронекеру. Первым
из них мы пользовались в применении к ряду G(s, %). Доста-
Достаточно будет описать его вкратце в общем случае.
В обозначениях § 2 и с константой Л, определенной фор-
формулой A5) § 9, имеем
% (w) = ехр[Л~* (xqW — xow)]. B6)
Обозначим функцию, представленную рядом A) при Re(s)>
у + 1, символом
*«(*, хо, s) = £'хИ (х + w)a\x + w\-2s. B7)
Сумма 2* берется по всем w e W, кроме — х, если x^W.
Результат зависит только от х, xOt s и решетки W. При необ-
необходимости мы будем обозначать его также Ка(х, Xo.s; W).
Как всегда, а —целое неотрицательное число.
В обозначениях гл. VII, § 7 и 11, имеем
Ка (х, Хо, s) = Zua\u\-2sSa& + vt, 6Po5) e(aov). B8)
v
Положив, как выше, х = аи-{- $v с вещественными а, р, по-
получим £=а + брт. Число £ + vt будет вещественным, если
v=—бр. В случае когда р целое, мы будем обозначать сим-
символом A(s) тот член правой части B8), который отвечает
v = — 60:
A (s) = па | и\~2sSa(a, 6Po, s) е (- 6К) =
= Ua\u\-2sSb(a, бр0, s- ±=±) e(-6pa0),
где 6 = 0 или 1, & = amod2. Если число р не целое, поло-
положим A(s) = 0.
Ко всем остальным слагаемым в правой части формулы
B8) применима формула C9) гл. VII, § 12. С ее помощью
каждое слагаемое представляется в виде ряда, члены кото-
которого задаются формулой D1) того же параграфа, за исклю-
исключением, возможно, одного слагаемого, которое определяется

VIII. Двойной ряд Кронекера, § 13 95
формулой D0) и присутствует в том и только том случае,
когда Ро — целое число. В этом последнем случае соберем
вместе все слагаемые вида D0) и обозначим сумму этого
ряда через B(s). Имеем
где Ъ определено выше. Если же Ро не целое, положим
B(s) = 0.
Сумму всех остальных членов, определяемых формулой
D1) гл. VII, § 12, обозначим через C(s). Функция C(s) опре-
определяется двойным рядом, все члены которого содержат функ-
функцию Бесселя /С*. Наши прежние оценки показывают, что этот
ряд абсолютно сходится при всех 5 и является целой функ-
функцией от 5. Функции A(s) и B(s), когда они не обращаются
в нуль, вычисляются с помощью формулы A4) гл. VII, § 7.
Они мероморфны во всей s-шюскости и имеют не более чем
простые полюсы при 6 = 0 в точках 5 = а Т" и 5 =■§■ + 1.
Вычисление вычетов в этих полюсах с помощью формулы
A4) гл. VII, § 7 показывает, что на самом деле только точ-
точка s = 1 может быть полюсом и только в случае а = 0,
Х= 1-
§ 13. К тем же результатам можно прийти и, видимо, еще
более естественно, если воспользоваться другим методом ана-
аналитического продолжения простого ряда Sa(#, У, s). Для ве-
вещественных значений х это метод гл. VII, § 7.
Применив преобразование Дирихле к формуле B7), полу-
получим
+ ОО
T(s) Ka(x, хо, s) = J в;(t, х, *о) Г1 dt, B9)
о
где мы положили
®Ж х, х0) = Z*exp [-1 \x+ w\2] %(w) (x+w)a =
= Ц* exp [-11 x + w |2 + Л {xow — xow)] (x + w)a.
Суммирование X!* производится по всем точкам решетки
w e W, кроме —х, как и выше. Аналогичную сумму, рас-
распространенную на все точки решетки, обозначим через ва.

96 Часть II. Кронекер
Таким образом, ва = ва — %(— х), если а = 0 и x^W;
ва = ®а в остальных случаях.
Продолжим х До характера аддитивной группы С, поло-
положив для любого х е С
Х(х) = exp [А~\хох — xQx)].
Функция Qa(t, #, Хо)х(х) периодична по л: с решеткой перио-
периодов W. Представив снова х в виде аи + ри, получим, что она
периодична по а, р с периодом единица. Можно разложить
эту функцию в ряд Фурье по а, р, вычислив его коэффи-
коэффициенты по формулам Фурье. Это то же самое, что применять
к ва формулу суммирования Пуассона. Еще удобнее преоб-
преобразовать таким образом во и затем вычислить ва как а-крат-
ную производную во по х (в гл. VII, § 7 мы поступили таким
же образом с простым тэта-рядом). Получим
ва(*, х, xQ) = (At)-a-1ea(A-2t-\ хо,х)х(-х). C0)
Теперь разобьем интеграл B9) в сумму интегралов по 0<
< / < Г и по ^ > Г. Второй из них, который мы обозначим
Ioo(T9x,Xo,a,s)9 абсолютно сходится для всех 5 и определяет
целую функцию от s. В первом интеграле выразим вд через
ва, применим формулу C0) и, наконец, произведем замену
переменной t = A~2u~l. Получим
T{s) Ka{xy xQy s) = 1^ (Г, х, *0, а, 5
C1)
где e^l, если а = 0, x^W; e^O в противном случае;
8х = 1, если а = 0, х0 е W\ г' = 0 в противном случае.
В результате получится мероморфное аналитическое про-
продолжение левой части B9) на всю s-шюскость. Полюсы мо-
могут лежать только в точках 5 = 0 (если а = 0, х е W) и
s = 1 (если а = 0, х0 е W). При с=0,хеУ вычет в точке
5=0 равен — %(—х), т. е. —1 при х = 0. Если а = 0,
^о = О (т.е. % = 1), вычет в точке s = 1 равен Л.
Положив Т = А~1 в формуле C1), получим функциональ-
функциональное уравнение
= Aa+l-2sr(a+l-s)Ka(Xo,x,a-\-l-s)x(-x). C2)

VIII. Двойной ряд Кронекера, § 14 97
Заметим еще, что при Re(s)>y+1 функция /Са(*, 0, 5)
четна или нечетна по х в зависимости от четности или нечет-
нечетности а и периодична по х с решеткой периодов W. Аналити-
Аналитическое продолжение показывает, что это остается верным
при всех s.
§ 14. Теперь мы в состоянии решить вопрос, рассмотрение
которого было отложено на будущее в конце гл. VI. Функции
Еа,ь9 Е*а,ь были определены формулой (8) гл. VI, § 4. Оче-
Очевидно, для всех х ф. W имеем
Еа. Ъ (X) = Е*а, ь (X) = Ка+b (х, О, 6),
если только ряд, определяющий Eatb, сходится абсолютно,
т. е. 6^а + 3. Покажем, что тождество
Еа. Ь (X) = Ка+Ь (X, О, Ь) C3)
остается справедливым и при Ь — а = 1 или 2. Действи-
Действительно, при Re(s)>y+1 имеем
д
~^Ка (X, ХОу s) = — sKa+l (x, XOi S + 1). C4)
Аналогично, если а > О,
~^Ка{х, xOi s) = {a — s) Ka-i{x, х0, s). C5)
Кроме того,
ФКа{х, 0,5)=- sKa+2(Xy 0, S + 1), C6)
где дифференциальный оператор 9) определен формулой A)
гл. VI, § 1. Аналитическое продолжение показывает, что эти
формулы справедливы для всех s.
В частности, из формулы C5) видно, что Ка(х, Хо, а) яв-
является голоморфной функцией or x при а>0 и xt£W. Ис-
Исключением является случай, когда Ка-\ (х, лг0, s) имеет полюс
в точке s = а. В § 13 мы убедились, что это возможно лишь
при а = 1 и х0 е W. Там же было показано, что вычет
/Со (#, 0, 5) в точке s= 1 равен Л. Поэтому
После этих замечаний рассмотрим сначала функцию
/С2(#, 0, 2). Установленные выше формулы показывают, что ее
производные по х и х совпадают с производными £0>2» т. е.

98 Часть II. Кронекер
Е2. Поэтому /С2(х, 0, 2) может отличаться от Е$ только кон-
константой. Теперь рассмотрим разность Ki(x, 0, 1) — Ei(x). Ее
производные по х и х постоянны, и она нечетна по х, следо-
следовательно, она является вещественно линейной функцией от
х. Поскольку /Ci (л:, 0, 1) периодична по х с решеткой перио-
периодов W, это позволяет заключить, как в гл. VI, § 2, что эта
функция совпадает с Е*. Пользуясь теперь формулами C4),
C6) и (8) гл. VI, § 4, находим, что тождество C3) верно для
всех Ь > а ^ 0.
§ 15. Из формулы B7) очевидно, сначала для Re(s)>
>Y + 1, а затем по аналитическому продолжению для
всех 5, что
Ка@, *о, S) = [Ка(х, XOi s) - X* \Х Г^-О-
Сравнивая этот результат с определением е*а ь в гл. VI, § 5
и пользуясь выводами § 14, получаем
если только Ъ > а ^ 0. Тем самым мы доказали все утверж-
утверждения, высказанные в конце гл. VI. В частности, полагая
N = а+6, мы установили, что числа
алгебраичны над Q, если QU7 есть мнимое квадратичное поле
k, х е= k и Ь < N, N < 26.
В заключение (не выходя за поставленные нами рамки)
рассмотрим случай, когда характер %, входящий в определе-
определение функции Ка(х, xOi 5), имеет конечный порядок. Для этого
необходимо и достаточно, чтобы xogQ1F, т. е. чтобы ядро
ограничения % на W было подрешеткой W a W. Обозначим
через R некоторую систему представителей факторгруппы
W/W в W. Тогда при Re(s)>y + 1 и, в силу аналитиче-
аналитического продолжения, при всех s имеем
Ка(х, *о> s;W)=Z %(r) Ка(х + г, 0, s; W).
r<E=R
Вместе с доказанным выше результатом это позволяет за-
заключить, что числа
алгебраичны над Q, если Wczk, x^.k, xo^k, 0< JV/2 <

VIII. Двойной ряд Кронекера, § 16 99
Наконец, в силу функционального уравнения C2), послед-
последнее утверждение остается верным при 0 < Ъ <^ N. Мы остав-
оставляем читателю переформулировку этого утверждения в тер-
терминах значений L-функций Гекке мнимых квадратичных по-
полей.
§ 16. В гл. VII, § 10 мы показали, как перевести некото-
некоторые из результатов этой главы на язык теории распределе-
распределений. Проделаем эту же работу с двойным рядом Кронекера.
Обозначим через \dxdx\ нормированную меру Хаара
на С. Пусть W — некоторая решетка в С. Фактор по ней
T=C/W представляет собой комплексный тор. Положив,
как обычно, х = аи + $v, получаем | dx dx \ = 2пА da dp, где
da dp — мера Хаара на Г, нормированная условием \ da dp = 1.
т
Для любой интегрируемой функции / на Т отображение
фн^Д(ф) = Jcp/dadp C7)
является распределением на Г, которое мы будем обозначать
символом Д =/dadp или, для краткости, просто /. Мы будем
говорить даже, что Д «есть» функция /.
Члены рядов Фурье на Т = C/W нумеруются характерами
тора Г, или, что то же самое, теми характерами С, которые
тривиальны на W. Их можно записать в виде
-> %v(x) = eFva—6jxP)= expf/l^^— wx)\ C8)
где, как обычно, w e W, w = \xu-{-vv. С любым распреде-
распределением Д на Т связан ряд Фурье
Наоборот, любой формальный ряд Фурье на Г, коэффициен-
коэффициенты которого растут не быстрее О((\х2-\- v2)N) для какого-ни-
какого-нибудь N, отвечает некоторому распределению.
Как в гл. VII, § 10, будем говорить, что распределение на
комплексной плоскости С отвечает квазихарактеру со муль-
мультипликативной группы Сх, если оно умножается на со под
действием этой группы.
Для каждого со существует единственное отвечающее ему
распределение (с точностью до постоянного множителя). Если
со(х) = х-шх~п, где т, п — целые неотрицательные числа, ква-
квазихарактеру со отвечает распределение (дт+п/дхтдхп)х=о
с носителем в нуле.

100 Часть II. Кронекер
Любой квазихарактер Сх либо имеет вид
где s^ С, а ^ 0— неотрицательное целое число, либо комп-
комплексно сопряжен к такому квазихарактеру. За исключением
случаев со (х) = х-тх~п с целыми т9 п ^ 0, распределение,
отвечающее со, определяется формулой
Правую часть следует понимать как предел выражения
O(x)(o(x)\x\~2\dxdx\ —ea+1~sP{e)
хх ^ г
при е->0, где многочлен Р выбран так, чтобы этот предел
существовал. Это определение корректно, если (а) функция
Ф всюду локально интегрируема; (Ь) она m-кратно непре-
непрерывно дифференцируема в окрестности х = О, где т >
>2Re(s)—а — 2; (с) она допускает при |*|->оо оценку
вида О(|л;|*), где %<2Re(s) — a — 2.
Начиная с этого места, будем считать, что Re(s)>y + 1.
В силу сказанного, значение О^(Ф) определено, если в ка-
качестве Ф взять любой характер аддитивной группы С. Обо-
Обозначим через г|э характер г|э(#) = е (* + *), через %—харак-
%—характер tyb(x)= ty(bx); в частности, г|;H = 1. Положим 8^ = DQ(ty)
и f (b) = DQ (\J)/;). Поскольку DQ принадлежит со, имеем / (by) =
= /F)со(^/)~1 для всех b и всех у Ф 0. Так как со Ф 1,
отсюда следует, что / @) = 0, т. е. .0^A) = 0. Кроме того,
f (Ь) = В^ • со (б) при b Ф 0.
Константу BQ можно вычислить несколькими способами.
Поскольку это вычисление относится скорее к теории «рас-
«распределения Тэйта» DQ и его преобразования Фурье, огра-
ограничимся результатом:
d _ /Д/9 \2s-a-l Т(а + \ — s)
Въ—1\М) ГE)
§ 17. В прежних обозначениях вернемся к решетке W и
тору T=C/W. Выбрав точку х0 е С, определим характер %
группы С формулой
% (х) = ехр [А~\хох — *о*)].
Мы могли бы записать его также в виде г|)&, где b = BniA)~l *0.

VIII. Двойной ряд Кронекера, § 17 101
Пусть ф —некоторая ограниченная интегрируемая функ-
функция на торе Г, бесконечно дифференцируемая вблизи нуля.
Свяжем с ней функцию
на С и обозначим через А или А (со, *0) распределение на Г,
для которого А (ф) = Da (Ф). Оно определено корректно,
потому что мы предположили, что Re(s)>-7r + l. В очевид-
очевидных обозначениях его можно представить в виде
А(Ф) = Pf J <р(д)Ка{х,х0,s) %(x)\dx dx\,
где подынтегральное выражение, периодичное по х с решет-
решеткой периодов W, следует рассматривать как функцию на Т.
Если носитель ф не содержит нуля, символ Pf можно опу-
опустить. Это означает, что А вне нуля «есть» функция
2nAKa(x,x0,s)%(x). C9)
Теперь нетрудно написать ряд Фурье распределения А.
Согласно нашим определениям, коэффициент этого ряда при
характере i|)uv, определенном формулой C8), равен О
где Ф имеет вид
ф(х) = ехр [Л~!(х0 -\-w)x — A~\xQ + w) x\
Иными словами, Ф есть характер грг> группы С с
Поэтому соответствующий коэффициент равен нулю при 6 = 0
и f(b) = Bn-(d(b)~l в остальных случаях. Таким образом, ряд
Фурье распределения А имеет вид
D0)
Последний множитель справа следует понимать формально,
ибо соответствующий ряд может расходиться.
«Приравнивая» это выражение и C9), мы приходим к
тождеству, формально совпадающему с функциональным
уравнением C2), но, разумеется, имеющему другой смысл.

102 Часть II. Кронекер
§ 18. Ряд Фурье D0) определяет некоторое распределе-
распределение и при Re E) ^ -g +1, если только s не является полюсом
функции Г(а+1— s), т. е. если со нельзя представить в виде
х~тх~п с целыми неотрицательными т, п. Это распределение
в очевидном смысле слова можно рассматривать как анали-
аналитическое продолжение А (о, х0) на всю s-шюскость. Вне нуля
оно, по свойству аналитического продолжения, по-прежнему
«равно» функции C9). В действительности при Re(s)<a/2
ряд D0) абсолютно сходится, так что его сумма равна C9)
в обычном смысле.
Мы не будем развивать этот подход дальше и заключим
изложение лишь одним интересным примером. Рассмотрим
распределение До на Г, которое задается рядом Фурье
С точностью до замены х0 на х он совпадает с рядом G(l,%)
§ 9—10, для которого мы доказали тождество Кронекера B3),
§ 9. Выведем теперь его другим методом.
Обозначим через S? «лапласиан», или «оператор Бельт-
рами», д2/дхдх на Г. Поскольку ряды Фурье распределений
можно дифференцировать почленно, имеем
£ p[\)J) D1)
w е= W )
Ряд, являющийся формальной суммой всех характеров тора
Г, представляет «распределение Дирака» jio, т. е. единичную
массу в точке нуль. Поэтому правая часть D1) равна
Л~2A — |и0). Любые два решения уравнения D1) отличаются
на гармоническую функцию на Г, т. е. на константу. Следова-
Следовательно, уравнение D1) вместе с условием ДоA) = О опреде-
определяет До однозначно. В частности, До вещественно.
Положив, как выше (ср. гл. VI, § 2), р = p(jc), где
х = аи + Р^, находим с помощью простой выкладки
С другой стороны, как хорошо известно,
в смысле теории распределений: это почти непосредственно
вытекает из определений. Следовательно,

VIII. Двойной ряд Кронекера, § 18 103
Наконец, хорошо известно, что вещественнозначное распреде-
распределение гармонично тогда и только тогда, когда оно всюду ло-
локально представимо в виде log|/(jc)j2, где / — голоморфная
не обращающаяся в нуль функция.
Рассмотрим теперь функцию
F (х) = 2я21 и Г2 р (хJ - Л log \Xq[e(x/u)]\2.
Как мы уже отмечали в § 9, она периодична по х с решеткой
периодов W, так что ее можно считать функцией на торе Т.
Из сделанных выше замечаний ясно, что распределение
До — F(x) гармонично на Г и потому является константой.
Поскольку функция log |jc|2 локально интегрируема вблизи
нуля, F интегрируема на торе. Учитывая, что А0A) = 0, на-
находим
A0 = F— ^Fdadfi.
т
Вычисление интеграла здесь является стандартным упражне-
упражнением. Оно приводит, как и следовало ожидать, к формуле
Кронекера
показывающей заодно, что До «равно» интегрируемой функ-
функции на Т. Это просто функция Грина на торе Т с римановой
метрикой ds2=\dx\2.

глава IX
Финал: Allegro con brio
(УРАВНЕНИЕ ПЕЛЛЯ И ФОРМУЛА ЧОУЛА —СЕЛЬБЕРГА)
§ 1. Заложив фундамент теории эллиптических функций,
Эйзенштейн сумел возвести по своему проекту значительную
часть всего здания и оставить указания, каким он хотел его
видеть. Кронекер долго вынашивал гордый план гораздо бо-
более грандиозного строения и уже к концу жизни начал за-
закладывать его основания, но сверх того успел немного. Бес-
Бесполезно гадать о его дальнейших замыслах; возможно, он
и сам их не знал.
С другой стороны, теоретико-числовые мотивировки его
последних титанических усилий угадываются без труда и
заслуживают краткого отступления. Куммер, а затем Дирихле
учили его и остались его друзьями на всю жизнь. Арифмети-
Арифметические работы Куммера концентрировались вокруг теории
круговых полей, их классов идеалов и чисел классов. Ди-
Дирихле в другом контексте первый обнаружил, что эти числа
классов выражаются через значения L-функций Дирихле в
точке ,9= 1, т. е. в конечном счете через значения простых
рядов, изученных в гл. VII, при подходящих значениях их
аргументов. Передоказав эти результаты на языке своей тео-
теории идеалов, Куммер перешел к исследованию р-адических
свойств соответствующих значений, начав с доказательства
знаменитых сравнений для чисел Бернулли. Эти его открытия
относятся к самым глубоким; по важности они, возможно,
превосходят более эффектные приложения к проблеме Ферма
и даже к законам взаимности.
Сравнительно рано (в 1853 г.) Кронекер нашел инвариант-
инвариантное объяснение роли излюбленных Куммером круговых по-
полей: они не только являются абелевыми расширениями поля

IX Финал: Allegro con brio, § 1 105
рациональных чисел (что открыл Гаусс), но их объединение
исчерпывает все абелевы расширения.
В той же статье (Werke, т. IV, стр. 10—11), где Кронекер
сформулировал это важнейшее открытие, он привел соответ-
соответствующий результат для гауссова поля Q(i) в терминах де-
деления лемнискатических функций. Это породило идею, что
комплексное умножение должно играть ту же роль для соот-
соответствующего мнимого квадратичного поля, что деление кру-
круга для Q и лемнискаты для Q(i). Кронекер пишет об этом
в письме к Дирихле в мае 1857 г. (Werke, т. V, стр. 420; ср.
также Werke, т. IV, стр. 179—183). Эта идея, как он писал
позже Дедекикду, была любимой мечтой его юности («meiri
liebster Jugendtraum», Werke, т. V, стр. 455).
Впоследствии эти слова часто истолковывались просто как
программа распространения на мнимые квадратичные поля
его теоремы 1853 г. о поле Q. Иными словами, речь как
будто шла о гипотезе, что деление эллиптических функций
с комплексным умножением порождает все абелевы расшире-
расширения соответствующего поля. Однако эта интерпретация пред-
представляется чересчур узкой.
Верно, что его статья 1886 г. (Werke, т. IV, стр. 389—
470), где он устанавливает свои знаменитые сравнения, была,
видимо, подготовкой к доказательству этой гипотезы. Сам он
ее не доказал, но дал все необходимые технические средства,
оставив завершение этой работы своим последователям.
Тем не менее сама гипотеза вполне могла быть лишь
частью его юношеской мечты, возможно самым ее началом.
Кронекер хотел распространить на мнимые квадратичные
поля и их абелевы расширения всю совокупность результа-
результатов Куммера о числах классов круговых полей и их р-адиче-
ских свойствах.
Видимо, именно эту грандиозную программу Кронекер соби-
собирался выполнить в своей серии работ, представленных Берлин-
Берлинской Академии. Излишне говорить, что он ее не завершил.
Он успел с известной полнотой построить лишь аналити-
аналитическую часть. Целое созвездие позднейших авторов: Вебер,
Фютер, Хассе, Гекке, Мейер, Зигель, Рамачандра — занима-
занимались оставшимися вопросами, но, возможно, не исчерпали
даже чисто арифметических аспектов ситуации 1). /?-адические
*) Читатель сможет найти библиографию и полезные исторические све-
сведения, а также важнейшие, пожалуй, из современных результатов в рабо-
работах: С. Meyer, Berechnung der Klassenzahl ... (Ak. — Verlag, Berlin 1957);
C. L. Siegel, Lectures on advanced analytic number-theory (Tata Institute
Fund. Res., Bombay 1961), ch. II; K. Ramachandra, Some applications of
Kronecker's limit-formulas, Ann. of Math, 80 A964), 104—148.

106 Часть II. Кронекер
штудии вообще едва начались; замечательная работа Эйзен-
Эйзенштейна 1850 г. о лемнискате, в которой столь многие резуль-
результаты Куммера о полях деления круга были перенесены на
этот случай, была почти забыта, а исследования Гурвица и
Герглотца оставались изолированными до самых последних
дней. Поскольку все это не относится к предмету нашей кни-
книги, мы лишь подчеркнем важность этой темы для будущего.
§ 2. Оставшаяся часть книги посвящена двум примерам,
почерпнутым из работ Кронекера, которые показывают, ка-
какие приложения теории он имел в виду. Первый из них вос-
воспроизводит содержание его работы 1863 г. об «уравнении
Пелля» (Werke, т. IV, стр. 221—225; ср. также Werke, т. IV,
стр. 379—389). Второй пример Кронекер разобрал не до кон-
конца (Werke, т. IV, стр. 376—379); недостававшее соображение
добавил Лерх в 1894 г. (это наша формула B3) гл. VII, §9).
Обе темы вместе впервые объединили Чоула и Сельберг в
1949 г. (Рте. Nat. Ac. USA, 35, 371—374; ср. также Crelles J.,
227 A967), 86—ПО). В нашем изложении некоторые основные
факты теории полей классов будут считаться известными. Из-
Излишне говорить, что Дирихле и Кронекер умели доказывать
их непосредственно.
В 1841 г. Дирихле распространил на гауссово поле Q(i)
значительную часть своих результатов об L-рядах над Q и
заметил, что эти ряды суммируются в терминах лемнискати-
ческих функций (Dirichlet, Werke, т. I, стр. 503—618). Его
теория квадратичных форм над Q(i), по существу, была тео-
теорией квадратичных расширений поля Q@> и он отметил ряд
замечательных свойств биквадратичных полей вида Q (/, <\рт)>
их дзета-функций и L-функций (ibid, стр. 508 и 612—618).
Таково было положение дел перед работой Кронекера 1863 г.
С современной точки зрения идея Кронекера выглядит до-
довольно простой. Пусть К—расширение поля Q с группой
Галуа типа B, 2). Тогда К имеет три квадратичных подполя
k0, k\, k2 и совпадает с композитом любых двух из них. Пред-
Предположим, что К не вещественно. Тогда ровно одно из полей
kai скажем &2, вещественно. Обозначим через е > 1 фунда-
фундаментальную единицу поля &2.
Пусть £, £а, Ък—дзета-функции полей Q, ka, К соответствен-
соответственно. Положим La = £а/£; это L-функция Дирихле над Q, отве-
отвечающая квадратичному полю ka. Тогда £к = t>L§L\L<i. Поло-
Положив s = l, получаем отсюда соотношение между числами
классов полей К, k0, k\9 fa- Это соотношение было одним из
основных результатов Дирихле, который ограничился слу-
случаем ko = Q (*'),

IX. Финал: Allegro con brio, § 3 107
Положим теперь Л = £к/£о = L\L2. В этом тождестве, ко-
которое Дирихле тоже рассматривал при k0 = Q(t), Л является
L-рядом над ko, связанным с квадратичным расширением К
поля ko. Поэтому он представляется в виде линейной комби-
комбинации двойных рядов того типа, которые были изучены в
гл. VIII нашей книги. Функции же L\, L2 являются аналогич-
аналогичными линейными комбинациями простых рядов, рассмотрен-
рассмотренных в гл. VII. Поэтому соотношение Л = LiL2 доставляет не-
некоторое нелинейное тождество арифметического происхожде-
происхождения между такими рядами. Положим в этом тождестве
s=l. Его правая часть тогда выражается по формулам Ди-
Дирихле через числа классов полей k\, k2 и единицу г поля k2,
С другой стороны, ЛA) вычисляется через эллиптические
функции с помощью предельной формулы Кронекера. Эти
эллиптические функции допускают комплексное умножение
на k0. Таким образом, некоторая единица поля k2, т. е. реще-
ние «уравнения Пелля», оказывается выраженной через эл-
эллиптические функции.
Это открытие Кронекер сделал в 1863 г. В то время оно
было довольно сенсационным.
§ 3. Сам Кронекер считал поле k0 фиксированным и рас-
рассматривал К как простейший случай абелева расширения
поля k0, абелева даже над Q. Чтобы получить более простые
формулы, он ограничился случаем, когда К над k0 не раз-
разветвлено. По тем же соображениям этим случаем ограничим-
ограничимся и мы 1).
Для а = 0, 1,2 обозначим через Da дискриминант поля ka,
через ha его число классов и через wa число корней из
единицы в ka. Поскольку поле k2 вещественно, w<2 = 2. По-
Положим ma = \Da\) тогда Do = — mOt Dl = — mu D2 = m2.
Характер Дирихле, отвечающий полю kay совпадает с сим-
символом Лежандра %а{а) = (DJri). Поэтому
+ OO
mn-\
п = \ п = \
где функция Н(х, s) определена в гл. VII, § 9. Значение La
в точке s=l можно вычислить либо с помощью резуль-
результатов гл. VII, либо (что, по существу, то же самое)
с помощью классических формул Дирихле. Разумеется,
*) Кронекер отметил, что и без этого условия верны аналогичные ре-
результаты: в этом смысл его слов «und selbst dann, wenn dieselben einen
gemeinsamen Factor haben», Werke, B. IV, S. 223.

108 Часть II. Кронекер
Хронекер пользовался формулами Дирихле, которые дают
MD £ L2(l) ^loge B)
С другой стороны, как хорошо известно, поле К не раз-
разветвлено над k0 тогда и только тогда, когда Dq = D\D2 и D\,
D2 взаимно просты. В этом случае характер % поля К над k0
является так называемым «характером рода», т. е. харак-
характером второго порядка группы классов идеалов поля fe0.
Поэтому в ряде
Ms) = Z%(m)N(mys C)
все идеалы из одного класса имеют один и тот же коэф-
коэффициент %(т).
Пусть й — любой дробный идеал поля k0. Объединим
в сумме C) все идеалы, эквивалентные а. Они имеют
вид а а, где аеа, а Ф 0. Идеал a'a совпадает с act
тогда и только тогда, когда a'/a является корнем из еди-
единицы. Таким образом, ряд C) приводится к виду
trtW'JWE'N8. D)
a €= a
где Wo = 2, ибо иначе Do=—3 или —4 и Do нельзя пред-
представить в виде D\D2 с взаимно простыми Du D<2.
Рассмотрим идеал а как решетку в С и применим к ней
предельную формулу Кронекера, т. е. формулу A6) гл. VIII,
§ 8. При W= a константа А в этой формуле, которую сле-
следует вычислять с помощью формулы A5) того же параграфа,
равна
- N(a)
А = ~2
Имеем а = Лг(а)а~1. Положим А = Д(а), где A (W) опре-
определено в гл. IV, § 11. Так как эта функция однородна
степени —12 по и, v, т. е. по W, получаем
Обозначим с учетом этого
F(a) = A (a) A(a"!) = N(aI21 A(a)|2.
Очевидно, эта функция зависит лишь от класса идеала а.
Применив теперь формулу Кронекера к ряду D), получим
E)
где Со—сумма членов, зависящих только от &0, но не от а.

IX Финал: Allegro con brio, § 4 109
Выберем теперь систему представителей at- классов идеа-
идеалов поля fe0. Поскольку порядок х равен 2, имеем % = Х~1-
Так как этот характер не тривиален, 2%(аг) = 0. Объединяя
формулы D) и E), получаем
Л A) = - -j- -£=■ У х (a,) log F(at).
12 V т0 *—*
Учитывая, что Л = L{L2, и пользуясь формулами B), нахо-
находим окончательный результат Кронекера:
F)
Вместо того чтобы вычислять обе части тождества Л =
= L\L2 в точке s = 1, мы могли бы сделать то же для s = 0.
Левая часть вычисляется по формуле A7) гл. VIII, § 8, а
правая — по формуле B1) гл. VII, § 9. Правая часть F)
тогда записалась бы «в элементарном виде» через «круговую
единицу» еЧ Разумеется, оба варианта эквивалентны.
§ 4. Кронекер заметил, что в точности то же рассуждение
можно применить к тождеству £0 = ££о. Здесь
«.I-2S
и предельная формула Кронекера дает первые два члена раз-
разложения £0 вблизи s=l. Вычислять вблизи s = 0 еще легче,
хотя результаты, по существу, те же. Формула A7) гл. VIII,
§ 8 показывает прежде всего, что £0@) =—ho/wo. Разумеет-
Разумеется, это находится в согласии с тем, что £@)= —1/2 и Lo(O) =
= 2ho/wo. Далее, имеем
Вместо этого тождества Кронекер получает равносильное ему
для первых двух членов разложения £о в точке s = 1. Однако
он ограничивается записью их через известные величины и
ряд
+ ОО
/1=1
Чтобы получить полный результат, следует воспользоваться
теоремой Лерха (т. е. формулой B3) гл. VII, § 9) или же,

110 Часть II. Кронекер
как делают в цитированной работе Чоула и Сельберг, каким-
нибудь равносильным результатом, например рядом Кум-
мера для log Г (s). Теорема Лерха вместе с формулой A)
дает:
ГПо — 1
L'o @) ==L0 @) log m0 + I Xo («) log T(n/m0).
tl=\
Приравнивая производные £0 и £L0 в нуле, получаем формулу
Чоула — Сельберга. Мы будем писать k, т, h, w, % вместо
ko, т0, ho, Wo, xo- Переходя от логарифмов к самим числам,
мы можем записать эту формулу в виде
h m-\
i=\ n=\
Например, при h = 1 мы можем взять в качестве ъх
кольцо Q всех целых чисел поля k. Тогда в обозначениях
гл. V, § 8 левая часть формулы G) равна S24. Следовательно,
константа S выражается через значения T(s) в рациональных
точках. В общем случае мы знаем (в силу определения Д
в гл. IV, § 11 и последних результатов гл. VI, § 6), что
числа £Г12Д(а) для всех а алгебраичны над Q. Следова-
Следовательно, Э отличается от числа
/1=1
множителем, алгебраичным над Q. Поэтому то же имеет ме-
место для любого поля эллиптических функций с комплексным
умножением на k, если только это поле определено уравне-
уравнением с алгебраическими коэффициентами,

Список обозначений
ехр(х) = е*; е (х) = exp Bnix).
Глава II: гп{х), £е (однократное суммирование по Эйзен-
штейну); £е> Ут- § 1; IL, Не' § 6; Вт: § 7.
Глава III: W, и, v, б, х, q, А: § 1; £„(*), 2е (двукратное
11, V
суммирование по Эйзенштейну); 1_,е: § 2; W, и', v'',
(а, Ь, с, d), R: § 5; £, z: § 6; em: § 7; /?': § 8.
Глава IV: f(t, x), q>(x), Х„{г), P(q): § 3; T(q, г): § 6; n (т),
6(?, т): § 8; A, A (u, v), A(W): § 11.
Глава V: e{W), E(W), e, E: § 2; со (комплексный множитель):
§ 6; а, Эт: § 8.
Глава VI: 2>: § 1; А, а, р, р(*), £;, 4 § 2; ЕаЬ, Е*аЬ; § 4;
Глава VII: %(ц), Se(je, у, s), E*: § 4; Se(x, г/, s) (при а = 0
или 1, xeR): § 7; Я(лг, s): § 9; Se(£, г/, s) (при а
£С ?^R): § 11; Kz: § 12.
Глава VIII: %(w), х(^, v): § 1; £, т, г, ?, а0, р0, ^о, So, z0,
F(, z, w): § 2; G(s, %): § 6; т = | + Л»: § 7; Л: § 8;
,Jt0, s): § 12; в;, ва: § 13.

Оглавление
От редакторов серии Ergebnisse der Mathematik 5
Предисловие 7
Часть первая. Эйзенштейн 9
Глава I. Введение 11
Глава П. Тригонометрические функции . . 15
Глава III. Основные эллиптические функции 23
Глава IV. Основные соотношения и беско-
бесконечные произведения 32
Глава V. Первая вариация 45
Глава VI. Вторая вариация 54
Часть вторая. Кронекер 61
Глава VII. Прелюдия к Кронекеру .... 63
Глава VIII. Двойной ряд Кронекера .... 84
Глава IX. Финал: Allegro con brio
(уравнение Пелля и формула Чоу-
ла — Сельберга) 104
Список обозначений 111
ИБ № 987
А. Вейль
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО ЭЙЗЕНШТЕЙНУ И КРОНЕКЕРУ
Редактор Н. Плужникова
Художник В. Медников Художественный редактор В. Шаповалов
Технический редактор А. Резоухова Корректор О. Туркова
Сдано в набор 09.11.77. Подписано к печати 02.03.78. Формат 60X90Vie. Бумага типо-
типографская №3. Латинская гарнитура. Высокая печать. 3,50 бум. л. 7,00 уел печ л
Уч.-изд. л. 5,38. Зак. 846. Цена 40 коп.
ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР" Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета
Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.