Финитные функции в физике и технике - Яковлев В.П., Хургин Я.И.

Author: Яковлев В.П. Хургин Я.И.
Tags: анализ физика оптика монография издательство наука аккустика главная редакция физико математической литературы финитные функции
Year: 1971
Similar
Сборник задач по теории функции действительного переменного
Обобщенные функции в математической физике
Сборник задач по общему курсу физике. Электричество и магнетизм
Функции в природе и технике
Text
                    Я. И. ХУРГИН, В. П. ЯКОВЛЕВ
ФИНИТНЫЕ ФУНКЦИИ
В ФИЗИКЕ И ТЕХНИКЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1971

517.2
X-98
УДК 517.535.4/530
Финитные функции в физике и технике. Я- И. X у р г и н,
В. П. Яковлев. Изд-во «Наука», Главная редакция
физико-математической литературы, 1971, стр. 408.
В монографии излагается подход к исследованию широкого
класса линейных приборов и сигналов с ограниченным по
протяженности (финитным) спектром, опирающийся на широкое
использование хорошо разработанной теории целых функций и полиномов.
Материал книги объединен по методу исследования.
Излагается математический аппарат, выходящий за рамки
обычного втузовского курса высшей математики и, частично,
университетских курсов: основы теории гильбертовых пространств, теории
интеграла Фурье, теории целых функций, включая теорему Винера—
Пэли и ее обобщения, системы функций с двойной ортогональностью,
соотношение неопределенности, чебышевская аппроксимация.
Рассмотрены теория квантования сигналов по времени —
теорема Котельникова и ее различные обобщения — и теория
квантования сигналов по уровню как для детерминированных сигналов, так
и для сигналов — случайных процессов.
Подробно изучены проблемы синтеза линейных приборов и
сигналов с финитным спектром и проблема восстановления входного
воздействия по отклику линейного прибора. Рассмотрена задача
финитного управления линейными системами.
Методы исследования, приведенные в книге, находят
применение в общей теории связи, оптике и квазиоптике, акустике, синтезе
антенн, общей теории сигналов, кибернетике, теории автоматического
регулирования и т. д.
Табл. 3, рис. 71, библ. ПО назв.
Яков Исаевич Хургин, Виталий Павлович Яковлев
Финитные функции в физике и технике
М., 1971 г., 408 стр. с илл.
Редактор В. Д. Козлов
Техн. редактор К. Ф. Брудно Корректоры О. А. Сигал, Т. А. Панькова
Сдано в набор 2/1II 1971 г. Подписано к печати 20/V11 1971 г. Бумага 84х1087з2.
Физ. печ. л. 12,75. Условн. печ. л. 21,42. Уч.-изд. л. 20,36. Тираж 6850 экз.
Т-12338. Цена книги 1 р. 52 к. Заказ № 1020.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР. Измайловский проспект, 29.
2-2-3
49-71

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
Введение . 9
Глава■ I. Финитные функции или функции с финитным
спектром в физике и технике 22
§ 1.1. Преобразование сигнала линейной системой .... 22
§ 1.2. Воздействие переменного напряжения на линейный
фильтр 24
§ 1.3. Построение изображения оптическим прибором . . 26
§ 1.4. Голографические методы синтеза аппаратной
функции 33
§ 1.5. Диаграмма направленности антенн 38
§ 1.6. Изучение спектрального состава света 51
§ 1.7. Радиоизлучение космических объектов . . . . 55
§ 1.8. Интерференционные методы в оптике и
радиоастрономии 56
Глава II. Математические вопросы . . 63
§ 2.1. Целые функции 63
§ 2.2. Целые функции конечной степени 73
§ 2.3. Некоторые сведения из теории интеграла Фурье . . 83
§ 2.4. Гильбертово пространство и интегральные
операторы 95
§ 2.5. Спектральные разложения функций конечной
степени 104
§ 2.6. Обобщение теоремы Винера — Пэли 112
§ 2.7. Системы функций с двойной ортогональностью.
Собственные функции преобразования Фурье . . .118
§ 2.8. Соотношение неопределенности . . . . . . . .125
§ 2.9. Интерполяция целых функций 134
§ 2.10, Чебышевская или равномерная аппроксимация , . 144

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава III. Применения к теории связи 149
§ 3.1. Теорема Котельникова 149
§ 3.2. Неравномерные отсчеты 158
§ 3.3. Задание отсчетных значений функции и ее
производных : 166
§ 3.4. Конечное число отсчетов 172
Глава IV. Вопросы аппроксимации 184
§ 4.1. Обсуждение теоремы Винера — Пэли 184
§ 4.2. Аппроксимация с помощью конечного числа членов
ряда Котельникова 191
§ 4.3. Аппроксимация функций с нефинитным спектром
при помощи функций с финитным спектром .... 198
Глава V. Теория квантования по уровню 206
§ 5.1. Квантование случайных величин 206
§ 5.2. Аппроксимация 216
Глава VI. Случайные процессы с финитным спектром ... .224
§ 6.1. Аналитические случайные процессы 224
§ 6.2. Интерполяция случайного процесса по его
выборкам 229
Глава VII. Синтез линейных приборов и сигналов с финитным
спектром 241
§ 7.1. Синтез на конечном интервале и на всей оси . . .241
§ 7.2. Синтез функций на конечном интервале ...... 244
§ 7.3. Синтез при среднеквадрэтической метрике . . . .251
§ 7.4. Чебышевская аппроксимация 259
§ 7.5. Функции с максимальной концентрацией энергии . 266
§ 7.6. Функции с малым уровнем боковых лепестков . . . 276
Глава VIII. Восстановление входного воздействия по отклику
прибора 288
§ 8.1. Основное интегральное уравнение теории линейных
приборов 288
§ 8.2. Решение основного интегрального уравнения и его
единственность. Редукция к идеальному прибору . 296
§ 8.3. Корректность решения . 303
§ 8.4. Точность восстановления: среднеквадратический
критерий .,,..,,,.....,,.,,,,,. 307

ОГЛАВЛЕНИЕ
5
§ 8.5. Точность восстановления: критерий — максимум
модуля уклонения спектра 313
§ 8.6. Разрешающая сила линейного прибора в классе
финитных сигналов 322
§ 8.7. О подобном преобразовании входного воздействия
Линейным прибором ....... 343
Глава IX. Финитное управление линейными системами . . . 348
§ 9.1. Постановка задачи 348
§ 9.2. Критерии управляемости 351
§ 9.3. Построение оптимального скалярного управления . 355
§ 9.4. Пример построения финитного управления
распределенной линейной системой [3], [5] 366
Приложение 1.0 системах функций с двойной
ортогональностью 372
Приложение II. Соотношение неопределенности 376
Приложение III. Оценка погрешности аппроксимации . . 381
Приложение IV. Полиномы, наименее уклоняющиеся от
нуля с весом Ч^Ссо) , 388
Приложение V. Доказательство эквивалентности критериев
управляемости 392
Приложение VI. Собственные функции преобразования
Фурье и вытянутые сфероидальные
функции .399
Литература . 403

ПРЕДИСЛОВИЕ
Одним из фундаментальных результатов теории
передачи информации (или общей теории связи) является
теорема о выражении функции с ограниченным по
протяженности (финитным) спектром через ее значения
в периодической последовательности моментов отсчета.
Иначе говоря, это теорема о возможности для передачи
сигнала с финитным спектром в принципе использовать
не все его значения, а лишь отдельные, периодически
выбираемые значения, и при этом на приемном конце
восстановить однозначно сигнал на всей оси времени.
Значение этого факта для вопросов передачи
сообщений по электрическим каналам связи было впервые
показано В. А. Котельниковым в 1933 г. в статье, давно
ставшей библиографической редкостью, и через
пятнадцать лет было вновь обнаружено К. Шенноном.
Приводимые в этих работах доказательства теоремы
построены на искусственном приеме и не дают
возможности выяснить причины, порождающие столь
замечательный факт. Однако вскоре удалось понять: все дело
в том, что функции с финитным спектром — это целые
аналитические функции, и следовательно, формула Ко-
тельникова представляет собой одну из возможных
интерполяционных формул, широко используемых в
теории целых функций. Такой подход дал возможность не
только найти естественное доказательство теоремы, но w
значительно ее обобщить.
Одно соображение покойного проф. Г. С. Горелика,
превосходно умевшего с единой точки зрения
рассматривать различные физические факты, натолкнуло нас
на мысль использовать методы теории целых функций

ПРЕДИСЛОВИЕ
7
в некоторых задачах оптики. Дальнейшая работа в этом
направлении показала, что методы теории целых
функций дают возможность исследовать многие вопросы
теории линейных систем, в частности, позволяют решить
или осмыслить ряд проблем в оптике и теории антенн.
Изложению этого круга вопросов была посвящена наша
монография*), встретившая доброжелательный прием.
За истекшие 10 лет поток литературы по
обсуждаемому кругу вопросов значительно увеличился, и привести
его полностью мы не имеем возможности. Появились
новые методы, позволившие существенно продвинуться
в вопросах, относящихся к синтезу линейных систем и
сигналов, и новые области применения методов теории
финитных функций. Это и побудило нас взяться за
новую книгу, в которую мы включили часть материала из
предыдущей.
Гл. I, носящая вводный характер, подверглась
малым изменениям. Здесь добавлен лишь параграф о
голографии. В гл. II излагается используемый математик
ческий аппарат. Особого внимания заслуживает § 2.7,
посвященный системам функций с двойной
ортогональностью. Именно использование этого аппарата
позволило совершенно по-новому изложить и соотношение
неопределенности (§2.8), и теорию синтеза сигналов
с финитным спектром и линейных приборов (гл. VII),
и теорию восстановления входного воздействия по
отклику прибора (гл. VIII), и, в частности, теорию
разрешающей способности. Здесь всюду получены новые
важные результаты.
В задачах синтеза и восстановления, кроме средне-
квадратической метрики, удобной при работе с
преобразованиями Фурье, рассмотрена важная для
различных, задач практики чебышевская (или равномерная)
аппроксимация (гл. VII и VIII).
В упомянутой выше нашей книге большой раздел
был посвящен теории синтеза антенн. Недавно
вышла монография Б, М. Минковича и В. П. Яковлева**),
*) Я. И. X у р г и н и В. П. Яковлев, Методы теории целых
функций в радиофизике, теории связи и оптике, Физматгиз, 19G2.
**) Б. М. М и н к о в и ч, В. П. Яковлев, Теория синтеза
антенн, Советское радио, 1969,

8
ПРЕДИСЛОВИЕ
которая является развитием этого раздела. Поэтому мы
не рассматриваем вопросы синтеза антенн и обращаемся
к более общим проблемам синтеза сигналов и линейных
систем.
Гл. III и IV, относящиеся к теореме Котельникова
и ее обобщениям и вопросам аппроксимации функций
с нефинитным спектром, хотя подверглись и
незначительной переработке, но содержат ряд существенных
уточнений.
Ранее мы совсем исключили из рассмотрения
вопросы, относящиеся к вероятностной трактовке изучаемых
вопросов. Теперь мы уделили этому подходу
определенное внимание (гл. IV и V). Если рассмотрение
аналитических случайных процессов, по существу, не вносит
ничего нового по сравнению с детерминированным
изучением, то задачи интерполяции случайного процесса по
его выборкам, также содержащим случайные параметры,
или задачи квантования по уровню нетривиальны.
А. Г. Бутковский, специалист по теории
оптимального управления, ознакомившись с нашей предыдущей
книгой, воспользовался результатами теории целых
функций конечной степени для решения задач
финитного управления. Совместные обсуждения проблематики
и работа в этом направлении привели к решению ряда
задач, которым посвящена гл. IX.
Последние годы с нами сотрудничал И. Ф. Красич-
ков-Терновский, который работал как над вопро&ами
теории систем функций с двойной ортогональностью,
так и над проблемами финитного управления.
Благодаря его усилиям нам удалось лучше и быстрее
разобраться в ряде вопросов, и ему принадлежит ряд
существенных результатов, которые мы здесь приводим.
С рукописью ознакомились рецензенты С. М. Рытов
и М. А. Евграфов, и благодаря их замечаниям мы
смогли избежать ряда погрешностей. Отдельные главы
просмотрели и сделали полезные замечания Я. 3. Цыпкин
и В. И. Крюков. Всем им мы выражаем свою
признательность.
Авторы
Июнь 1969 г.

ВВЕДЕНИЕ
Объединение фактов в раздел науки осуществляется
двумя путями: либо, объединяются явления, близкие по
тематике, по качественным свойствам (механика;
электричество; физиология; лингвистика), либо свойства
качественно различных явлений изучаются при помощи
единого метода (теория колебаний, теория передачи
информации, кибернетика).
Объединение материала по общим закономерностям
и соответствующим методам исследования (в частности,
в теории колебаний), изучение с единой точки зрения
при помощи одного и того же математического
аппарата различных явлений в механике, оптике, радио и
т. д. привело, как известно, к огромным успехам.
Законность и целесообразность объединения
различных физических явлений по общим закономерностям и
плодотворность изучения этих явлений при помощи
единого математического аппарата, адекватного
рассматриваемому кругу задач, в настоящее время ни у кого не
вызывают сомнений*).
Вопросы, которым посвящена настоящая книга,
также объединены по методу исследования.
Мы будем изучать свойства определенного класса
линейных систем и сигналов, преобразуемых этими
системами. При математической идеализации физических
объектов мы не будем стремиться к возможно большей
*) В этом направлении была проведена огромная работа
академиком Л. И. Мандельштамом и его школой замечательных
физиков (А. А. Андронов, Г. С. Горелик, А. А. Витт, М. А. Леонтович,
С. М. Рытов, С. Э. Хайкин и др.). Мастерское и достаточно
популярное изложение этих вопросов читатель найдет в книгах Г. С. Го-
Релика [2] и А. А. Андронова, А. А. Витта. и С. Э. Хайкина [1].

10
ВВЕДЕНИЕ
общности рассмотрения. Наоборот, изучаемый класс
линейных систем является довольно узким, и еще менее
обширным представляется на первый взгляд класс
функций, при помощи которых мы будем описывать сигналы.
Мы идем на эти ограничения, пренебрегая
кажущейся общностью, так как ясно, что чем уже класс
рассматриваемых математических объектов, тем больше
общих свойств они имеют, тем более подробное их
исследование возможно.
В 1903 г. Сергей Натанович Бернштейн — один из
крупнейших математиков нашего века — доказал
фундаментальную теорему об аналитичности решений
аналитических дифференциальных уравнений [3]. Эта
теорема давала решение одной из знаменитых проблем
Давида Гильберта [4]. Сергей Натанович рассказывал
как-то, что до того, как взяться за решение этой
проблемы, он беседовал с Гильбертом. В этой беседе
Гильберт сказал, что, по-видимому, все законы природы
описываются аналитическими функциями, и поэтому он
поставил такую математическую проблему. Аналогичной
точки зрения придерживался и А. Пуанкаре. Впрочем,
физики доквантового периода сознательно или
подсознательно придерживались аналитичности: они
разлагали все функции во всевозможные ряды и пользовались
несколькими первыми членами разложений.
Впоследствии квантовая механика, с одной стороны,
и теория колебаний (релаксационные колебания,
релейные режимы) — с другой, привели к отказу от
аналитичности и появлению совсем другого математического
аппарата. Наконец, в последние десятилетия развитие
кибернетики направлено в значительной степени в сторону
дискретных представлений, и методы построения
математических моделей, опирающиеся на аналитические
функции, отступили на второй план.
Можно считать общепризнанным, что процесс
познания природы человеком— это моделирование. Мы не
будем останавливаться на общих проблемах
моделирования. Но прежде чем обсуждать законность или
целесообразность аналитических представлений в физике и
технике, обратимся к вопросу об использовании
математических моделей в естественных и приладных науках.

ВВЕДЕНИЕ
11
Математической моделью явления (процесса или
объекта) будем называть описание этого явления
(процесса, объекта) на формальном языке. Таким описанием
могут быть, в частности, какие-либо аналитические
соотношения между символами (функциональная
зависимость; конечные, дифференциальные, интегральные
уравнения и т.д.) или логические соотношения.
Предположим, что в наших руках имеется
математическая модель изучаемого процесса, например система
дифференциальных уравнений. При этом нам не
известно ее происхождение, т. е. не известно, каким путем и
опираясь на какие исходные положения составлена эта
модель.
Вопрос о законности или целесообразности
использования аналитических функций при построении
математических моделей явлений или процессов в физике и
технике—это вопрос о качестве таких моделей.
Нам представляется, что в настоящее время для
весьма широкого круга задач физики, теории связи,
теории управления динамическими системами модель,
опирающаяся на аналитические функции,— это хорошая
модель.
В пользу этого утверждения говорят
последовательно проведенные решения методами теории целых
аналитических функций ряда важных задач физики иг техники,
которые мы здесь приведем.
. . Но не только эти задачи решаются аналитическими
методами. В модной теории элементарных частиц, где
ранее аналитичность, как исходный априорный принцип,
многими отрицалась, сейчас она вновь вышла на
поверхность. В книге Дж. Чью «Аналитическая теория S-мат-
рицы», изданной в 1968 г. [5], страстно проводится
программа использования аналитичности как одного из
основных постулатов при построении теории
элементарных частиц. Приведем две цитаты из гл. I со
впечатляющим заглавием: «Аналитичность как фундаментальный
принцип физики».
«На собрании Американского физического общества
в Вашингтоне в 1964 г. Вигнер рассказал следующую
интересную историю. Вскоре после открытия квантовой
механики он спросил фон Неймана, не удивляет ли того,

12
ВВЕДЕНИЕ
что новый формализм не требует аналитичности. Фон
Нейман ответил, что аналитические функции составляют
крайне ограниченный специальный класс функций и нет
никаких оснований считать лишь такие функции
допустимыми в физике. Вигнер закончил свою историю
замечанием, что, как показало дальнейшее
тридцатипятилетнее развитие, все же, несмотря на мнение фон
Неймана, физика в глубоком смысле основывается именно
на аналитических функциях».
«...В последние десять лет у многих
физиков-теоретиков все более растет убеждение в том, что описание
явлений природы на субатомном уровне может быть
облегчено, если принять аналитичность за основное
положение, а не трактовать ее как следствие теории. До сих
пор для описания указанных явлений не установлена
возможность формулировки фундаментальных
дифференциальных или интегральных уравнений с
осмысленным физическим содержанием, но в то же время
получены серьезные экспериментальные доказательства
в пользу аналитичности амплитуд ядерных реакций».
Сила и перспективность аналитических методов в
линейных задачах, которые мы здесь рассматриваем, была
нам ясна и при подготовке первого издания этой книги,
так что первое издание книги не было просто
подведением итс^ов. Но за истекшие 10 лет сила развитых и
развиваемых методов еще более прояснилась: на этом
пути были решены не только многие новые задачи в
круге вопросов, которыми мы занимались ранее, но
и затронуты новые для нас области. Поэтому сегодня
мы с еще большей уверенностью настаиваем на
целесообразности построения моделей физических и
технических задач на базе использования аналитических
функций и даже более узкого их класса — функций
экспоненциального типа конечной степени.
Речь идет о классе функций, преобразования Фурье
которых сосредоточены в конечном интервале. В
дальнейшем функции, тождественно равные нулю вне
конечного интервала (а, 6), мы будем называть финитными
в интервале (а, 6). В силу взаимности преобразований
Фурье в одних случаях целесообразно при построении
модели считать спектр финитным, в других — полагать

ВВЕДЕНИЕ
13
финитной исходную функцию, и тогда ее спектр будет
целой функцией конечной степени.
Следует отметить, что эти два класса функций,
рассматриваемые как исходные, резко различаются по
своим свойствам, и результаты, полученные для одного
класса, совершенно неприменимы для другого. Поэтому
особую осторожность необходимо проявить при выборе
одной из этих двух идеализации. Например, важна
задача оценки качества конкретного измерительного
прибора с точки зрения восстановления входа прибора по
его выходу. Здесь нельзя отбрасывать одну из двух
возможных моделей восстановления (финитный сигнал
или финитен спектр сигнала) только на том основании,
что можно привести примеры сигналов, не входящих
в рассматриваемый данной теорией класс. В таких
ситуациях можно ставить под сомнение законность той или
иной идеализации, а не соответствующие различным
идеализациям теории.
Во всяком случае при выборе одного из этих двух
классов функций имеется возможность достаточно
полно описывать свойства интересующих нас физических
объектов, и, следовательно, вводимые ограничения при
математической идеализации не приведут к потере
физического существа задач.
Укажем теперь некоторые конкретные проблемы.
В конце 20-х — начале 30-х годов в радио и связи
в дополнение к амплитудной модуляции появились
новые способы передачи сигналов: частотная модуляция,
амплитудно-импульсная, время-импульсная и др.
При амплитудно-импульсной модуляции, например,
передаются не все значения речевого сигнала, а лишь
его мгновенные значения через равные промежутки
времени. При этом, вообще говоря, теряются детали
передаваемого сигнала Естественно, возник вопрос: можно
ли быть уверенным в том, что на приемном конце
переданный сигнал будет хотя бы приближенно
восстановлен?
Ясно, что при передаче совершенно произвольного,
скажем, непрерывного сигнала f(t) по значениям
отсчетов f(th) в периодические моменты времени th = kA
(где k = 0, ±1, ±2, ..., а Д—- определенный интервал

14
ВВЕДЕНИЕ
времени) невозможно не только однозначно, но даже
приближенно восстановить функцию f(t): в
промежутках между моментами отсчета такая функция может
вести себя как угодно, принимая любые значения.
Однако сигналы, передаваемые по каналам электро-
или радиосвязи, проходят как в приемной, так и в
передающей аппаратуре через некоторые линейные системы,
в которых осуществляется фильтрация высокочастотных
компонент спектра сигналов. Следует заметить, что
невозможно осуществить неискаженный прием всего
спектра частот сигнала: весьма высокочастотные
компоненты оказываются неизмеримо ниже уровня различных
паразитных колебаний (флуктуационных шумов, помех
от соседних станций, атмосферных разрядов, наводок
в аппаратуре и т. д.).
Поэтому целесообразно считать, что реальная
аппаратура пропускает лишь некоторую конечную полосу
частот, а в этих условиях спектральные компоненты
передаваемых сигналов, лежащие вне этой полосы, не
попадают в приемную аппаратуру, и, следовательно,
можно считать, что передаваемые сигналы имеют спектр,
сосредоточенный в конечном интервале.
Таким образом, вместо всего разнообразия
мыслимых функций-сигналов можно рассматривать лишь
сигналы с финитным спектром. В этом случае оказывается,
что если отсчеты сигнала f(kb) брать не слишком редко
(связав определенным образом интервал между момен:
тами отсчетов с шириной полосы частот сигнала), то,
в принципе, возможно не только приближенное, но даже
абсолютно точное восстановление сигнала на
приемном конце, когда передаются лишь отсчеты f(kJS) (k =
= 0, ±1, ±2, ...). Этот фундаментальный для теории
передачи сигналов факт был обнаружен В. А. Котель-
никовым [6] в 1933 г.
Сейчас мы хотим лишь подчеркнуть, что ограничение
класса рассматриваемых функций как множества функ--
ций с финитным спектром дало возможность выяснить
весьма глубокие закономерности.
Проблема использования цифровых вычислительных
машин также тесно связана с преобразованием
непрерывных сигналов в дискретные и обратно. Вопрос

ВВЕДЕНИЕ
15
о целесообразности использования цифровых
вычислительных машин подчас определяется возможностью
такого преобразования. И если дискретизация по времени,
по существу, не отличается от только что обсужденной
проблемы, то аналого-дискретное преобразование
мгновенных значений функций представляет собой уже
новую проблему. Здесь неизбежной является ошибка
огрубления или квантования по уровню. Ее
максимальная величина, очевидно, равна половине шага
квантования. Таким образом, здесь неизбежна, вообще говоря,
потеря информации. Однако оказывается возможным
указать класс сигналов —случайных процессов, для
которых квантование по уровню не приводит к потере
информации, подобно тому, как после дискретизации по
времени возможно при определенных условиях
однозначно восстановить исходный сигнал.
Обратимся теперь к одной проблеме в оптике —
проблеме разрешения.
Когда при помощи некоторого оптического прибора
изучается определенный оптический объект,
описываемый функцией f(x), то наблюдаемый на выходе прибора
отклик F(y) будет, вообще говоря, в результате
искажающего действия реальных приборов совершенно
«непохожим» на изучаемый объект. Например, при
изучении звезд с помощью телескопа функция f(x)
представляет собой распределение интенсивности света по
угловой координате, a F(y) — наблюдаемое распределение
интенсивности в плоскости изображения, искаженное как
в результате дифракций света на входной диафрагме,
так и вследствие ряда других причин. Возникает вопрос:
в каких случаях по отклику F(y) можно выяснить,
соответствует ли одной или нескольким звездам функция
f(x)? Говоря более общо: возможно ли восстановить
распределение f(x) или, другими словами, возможно ли
разрешить отдельные детали (тонкую структуру
объекта), наблюдая изображение F(y), искаженное и обычно
весьма мало похожее на f(x)}
Ответ на этот вопрос тесно связан с изучением
спектрального разложения функции f(x). Сейчас мы
подчеркнем лишь, что если через f(x) обозначить
распределение яркости по угловой координате, то/ (х) —функция,

16
ВВЕДЕНИЕ
равная нулю вне конечного промежутка, т. е. финитная
функция. Если ее преобразование Фурье обозначить
через f(co), то функция f(x) будет (обратным)
преобразованием Фурье функции f (со). В силу взаимности прямого
и обратного преобразований Фурье при исследовании за
исходную можно выбрать функцию f(w). Тогда ее
преобразование Фурье f (х) будет, как мы заметили, равным
нулю вне конечного интервала, и следовательно, f (со)
является функцией с финитным спектром.
Рассматривая далее различные физические объекты
в импульсной технике, радиофизике, оптике, теории
антенн, мы столкнемся с целесообразностью изучения
либо финитных функций, либо функций с финитным
спектром (что вследствие взаимности преобразования
Фурье математически одно и то же).
Именно рассмотрение финитных функций или
функций с финитным спектром и является центральным
стержнем этой книги. Оказывается, что подобные функции
тесно связаны с целыми аналитическими функциями, и
поэтому общим методом исследования служит мощный
аппарат теории целых функций.
Теперь заметим, что в перечисленных областях
науки большую роль играют линейные системы (или
линейные приборы), отклик которых F(y) на входное
воздействие f(x) связан с последним интегральным
соотношением вида
оо
F(y)= jf(x)h(y-x)dx, (0.1)
— оо
где аппаратная функция h(x) является единственной
характеристикой самого прибора. Это уравнение
связывает одномерный объект и его оптическое изображение
в телескопе или микроскопе, истинный контур
спектральной линии с наблюдаемым в спектрографе, колебания на
входе и выходе линейного фильтра и т. д.
Во многих случаях задача состоит в определении
входного воздействия f(x) или каких-либо его свойств
(или параметров) по результатам измерения отклика
F(y) прибора на это неизвестное заранее воздействие.
При этом свойства самого прибора обычно известны,

ВВЕДЕНИЕ
17
т. е. задана функция h(x). С математической точки
зрения эта задача сводится к решению интегрального
уравнения (0.1) или определению некоторых свойств
его решения. Здесь, естественно, возникают три
вопроса:
1) Возможно ли однозначное восстановление
входного воздействия f(x) по известному отклику
прибора F(y)? Говоря математически, это вопрос о
существовании и единственности решения
уравнения (0.1).
2) Так как принципиально нельзя абсолютно точно
измерить отклик F(y), то возможно ли по измеренному
приближенно (с точностью до е) отклику Fe(y)
приближенно определить (с точностью до г)) входное
воздействие /,,(*)? При этом существенно, чтобы с
повышением точности измерения отклика увеличивалась бы
точность определения искомого входного воздействия,
т. е. чтобы М*) ""*/(*) при е—>0. Это, говоря
математически, есть вопрос о корректности решения
уравнения (0.1).
3) Обычно производятся измерения не при всех, а
лишь при некоторых значениях аргумента. Возможно ли
точное или приближенное определение входного
воздействия f(x) по некоторым элементам отклика F(y)y
например, по значениям F(yn) в некоторой
последовательности точек у и Уъ, ... или по значениям функции F(yn)
и ее производной Р(*/п) в тех же точках, и т.д.? Это,
говоря математически, задача интерполяции.
Действительно, если, зная элементы F(y) в точках уи Уъ ...,
возможно восстановить функцию F(y) при всех
вещественных значениях у и если решение уравнения (0.1)
существует и единственно, то по найденному F(y)
можно определить f(x\.
Ясно, что эти три вопроса являются основными во
всех тех областях физики и техники, где явления
описываются посредством уравнения (0.1). Сразу же
заметим, что если не наложить специальных ограничений
на класс рассматриваемых входных воздействий {f(x)}
и на класс приборов, описываемых аппаратной функцией
{h(x)}, то ответ на все три-вопроса оказывается
отрицательным.

18
ВВЕДЕНИЕ
Так, например, не только корректность решения
уравнения (0.1), но и вопросы о разрешимости и
единственности решения в оптических задачах
неоднократно подвергались сомнению (см., например,
подробный обзор С. Г. Раутиана [7], где также приведена
большая библиография).
По этому поводу известный специалист по оптике
Г. Г. Слюсарев [8] пишет: «Третья преграда заключается
в трудности расшифровки, т. е. в определении по
заданной картине распределения освещенности формы
объекта, вызывающего эту картину. Больше того, не может
быть полной уверенности в однозначности решения;
другими словами, одному и тому же
распределению могут соответствовать несколько конфигураций
объектов».
Эта кажущаяся неоднозначность есть результат
того, что при идеализации физического явления и
формулировке математической задачи исследования
уравнения (0.1) (или его модификации) класс
рассматриваемых функций оказался слишком широким. При
ограничении класса рассматриваемых входных воздействий
физически осмысленным требованием финитности
воздействия и при некоторых, также физически
оправданных предположениях относительно свойств аппаратной
функции ответы на все три поставленные вопроса
оказываются положительными. Мы укажем далее те
условия, когда обсуждаемые задачи однозначно разрешимы,
когда решение корректно и когда разрешима
интерполяционная задача для различных случаев, а также
дадим решение уравнения (0.1) в случае точдр известного
отклика и решение интерполяционных задач, когда
точно известны элементы функции в точках отсчета.
Для случая, когда отклик F(y) не известен точно
или отсчеты функции могут быть определены лишь с
некоторой погрешностью, задача восстановления входного
воздействия или интерполируемого сигнала
принципиально не может быть решена точно, и ее приходится
решать приближенно.
Здесь возможны два подхода. Первый состоит в
оценке погрешности сверху, которая не учитывает спе-

ВВЕДЕНИЕ
19
цифику погрешностей, вносимых измерениями или
различного рода шумами, действующими вместе с
сигналами.
Второй подход основывается на использовании
статистических свойств погрешностей измерения и шумов
и соответственно приводит к оценке погрешности
определения искомой функции в терминах теории
вероятностей.
Использование методов теории вероятностей при
изучении вопросов передачи информации, как это
показал К. Шеннон [9], весьма плодотворно. Более того,
А. Н. Колмогоров [10], энергично пропагандирующий
применение методов теории вероятностей в проблемах
передачи информации, считает даже, что при не
теоретико-вероятностном подходе проблемы передачи
информации вообще не могут быть поняты до конца.
Мы приведем результаты, относящиеся к обоим
подходам. Если первый подход очевиден, то второй требует
некоторых пояснений. Если рассматривать сигналы (или
входы прибора) как случайные процессы, как это
широко принято сейчас в теории передачи информации, и
продолжать последовательно проводить нашу
программу изучения воздействий таких сигналов на линейные
приборы, то естественно, во-первых, рассматривать
входы как случайные стационарные процессы и, во-вторых,
полагать их сигналами с финитным спектром. Однако
такое объединение свойств хотя и возможно
принципиально, но приводит к некоторым парадоксальным на
первый взгляд выводам. Мы этот вопрос подробно
обсуждаем в § 6.1.
Менее противоречивой является проблема
интерполяции случайных функций в условиях, когда следует
учесть случайные ошибки как при задании моментов
отсчета, так и при снятии отсчетных значений функций*
Не разбирая этот вопрос во всех деталях, мы
приводим в § 6.2 исходные соображения и простейшие
результаты. г
До сих пор речь шла, в основном, о задаче анализа
линейных систем. Однако задача синтеза, т. е.
построения систем с заранее заданными свойствами,
представляется во всяком случае не менее важной.

20
ВВЕДЕНИЕ
В зависимости от ситуации синтезировать
приходится либо сигнал, либо аппаратную функцию системы. Эти
задачи математически эквивалентны, и мы
рассматриваем их решения для различных случаев. Такие задачи
в известной мере были решены и ранее другими
методами. Но здесь мы, наряду с традиционными, рассмотрим
подробно методы синтеза, опирающиеся на системы
функций с двойной ортогональностью. Речь идет о
системе функций, которые ортогональны как на всей
вещественной оси, так и на некотором конечном
интервале этой оси.
Одна такая система функций была обнаружена,
изучена и использована при решении ряда прикладных
задач в цикле работ Слепяна, Ландау, Поллака и др.,
опубликованных в 1961 — 1968 гг. [11, 12, 13].
Рассмотрение систем функций с двойной
ортогональностью с общих позиций функционального анализа
показало, что рассмотренная система не единственная,
и был предложен общий метод построения таких
систем [14].
Последовательное использование дважды
ортогональных систем функций позволило решать задачи
синтеза линейных систем и сигналов единым и прозрачным
методом при самых различных ограничениях на классы
функций и в разных метриках.
При синтезе линейных систем, кроме известного
принципа физической реализуемости, важно учитывать
имеющиеся технические возможности реализации сигналов.
Речь идет о количественном ограничении «сложности»
спектра синтезируемой функции. Использование систем
функций с двойной ортогональностью позволило ввести
это понятие и решить задачи синтеза в этих условиях
при среднеквадратической метрике. Аналогичные
результаты получены и при чебышевской метрике.
Похоже, что применение и развитие аппарата
дважды, ортогональных систем функций весьма
перспективно, и мы, привлекая внимание читателей к этому
аппарату, надеемся на новые и, быть может, неожиданные
успехи при решении самых различных задач.
Методы финитных функций в последние годы были
успешно использованы в проблеме синтеза оптималь-

ВВЕДЕНИЕ
21
ного финитного управления линейными динамическими
системами.
Это направление только начинает развиваться, и мы
рассмотрим здесь лишь две задачи. Хотя решенные
задачи имеют и самостоятельный интерес, но нам
представляется более важной демонстрация метода, и мы
надеемся, что в ближайшие годы на этом пути также будут
решены новые и важные задачи.

ГЛАВА I
ФИНИТНЫЕ ФУНКЦИИ
ИЛИ ФУНКЦИИ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ
В ФИЗИКЕ И ТЕХНИКЕ
§ 1.1. Преобразование сигнала линейной системой
В физике и технике широко используется понятие
линейной системы.
Нас будут интересовать линейные системы
определенного типа. В том случае, когда такая система
описывается линейными дифференциальными уравнениями,
интересующие нас системы — это системы с
постоянными коэффициентами.
Пусть к такой системе приложено воздействие /(я).
Будем обозначать через F(y) процесс на выходе
системы. Для упрощения терминологии мы часто будем
называть процессы f(x) и F(y) на входе и выходе просто
входом и выходом. Иногда также будем называть F(y)
откликом системы на воздействие f(x).
Хорошо известно, что связь между выходом и входом
в этом случае может быть записана в виде (см.,
например [1]) _
оо
F(y)= jf(x)h(y-x)dx. (l.l.l)
— оо
Здесь h(x) — это отклик системы на воздействие, опи-*
сываемое б-функцией Дирака.
В теории регулирования и теории электрических
цепей 1г(х) называют импульсной переходной функцией,
в оптике —аппаратной функцией; мы будем, как
правило, пользоваться этим последним термином.

§1.1] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИГНАЛА ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМОЙ 23
Связь между входом и выходом линейной системы
выражается в виде (1.1.1) не только тогда, когда
система описывается линейными дифференциальными
уравнениями с постоянными коэффициентами. Если
линейная система сохраняет сдвиги, т.е. если входу f(x — х0)
соответствует выход F(y— х0) для любого-Хо (—оо <
< *о < + °°), то нетрудно показать, что ив этом случае
зависимость между входом и выходом выражается
формулой (1.1.1).
Соотношение (1.1.1) мы возьмем как исходное и будем
рассматривать линейные системы, в которых связь
между входом и выходом выражается в виде (1.1.1).
Не будем сейчас останавливаться на описании класса
функций —допустимых входов для рассматриваемых
систем — и на характеристике аппаратной функции h (x).
Ниже, при исследовании решений уравнения (1.1.1),
соответствующие условия^ будут сформулированы.
В теории линейных систем типа (1.1.1) основным
методом исследования служит аппарат ппеобразований
Фурье. Преобразование Фурье функции f(x) будет
записываться следующим образом:
?'(©)--7=- \f(x)e-**dx. . (1.1.2)
V 2Я •'
— оо
Функцию f(w) будем называть спектром функции f(x).
Обратное преобразование Фурье дает представление
исходной функции через ее спектр:
f(x) = y= J ft©) *'•*</©. (1.1.3)
— оо
Условия, при которых преобразования (1.1.2) и
(1.1.3) имеют смысл, также будут сформулированы
позже.
Если функция f(x) тождественно равна нулю вне
некоторого интервала (хих2), мы будем говорить, что
f(x) финитна в интервале {хи х2) или, короче, финитна
в (х*,х2).
В том случае, когда спектр f (оз) функции f(x) равен
тождественно нулю вне некоторого интервала (соь со2),

24 ФУНКЦИИ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ В ФИЗИКЕ [ГЛ. I
мы будем говорить, что f(x) является функцией с
финитным спектром в (coi, сог).
Из формул (1.1.2) и (1.1.3) следует, что понятия
функции и ее фурье-преобразования взаимны. Поэтому,
если, например, функция }(х) финитна, то можно
сказать, что функция f (со) имеет финитный спектр [равный
(f(®))=f(x)l
В последующих параграфах этой главы мы дадим
ряд наглядных примеров и задач, приводящих к
изучению интегрального уравнения (1.1.1), на которых
выясним основные свойства функций f(x), F(y) и h(x) и их
преобразований Фурье.
§ 1.2. Воздействие переменного напряжения
на линейный фильтр
Рассмотрим прохождение сигнала, описываемого
функцией времени f(t), через простейший пассивный
линейный четырехполюсник (фильтр) — колебательный
контур (рис. 1.1), образованный последовательным
соединением индуктивности L, емкости С и активного
сопротивления /?. Дифференциальное уравнение для
выходного напряжения F (t) на сопротивлении /?, как
известно, имеет вид
Решением этого уравнения в установившемся режиме
является функция
оо
F(t)= \f(x)h(t-t)dx, _ (1.2.2)
— оо
где Л(<)—отклик фильтра на воздействие в виде б-им-
пульса (б-функции Дирака)—называется импульсной
переходной функцией.
Таким образом, связь (1.2.2) между входом и
выходом в простейшем фильтре выражается интегральным
соотношением вида (1.1.1). Можно показать, что для
любого пассивного четырехполюсника с
сосредоточенными постоянными эта связь также имеет вид (1.2.2),

§ 1.2] ВОЗДЕЙСТВИЕ ПЕРЕМЕННОГО НАПРЯЖЕНИЯ 25
Целесообразно рассматривать отдельно сигналы
f(t)y действующие в течение весьма больших интервалов
времени (значительно превосходящих время
установления *) четырехполюсника), и импульсные сигналы,
длительность действия которых мала или сравнима со
временем установления. В первом случае естественно
рассматривать функцию /(/) как заданную на всей оси
(—оо<£<+оо) или на
полуоси (0<< < + со). С по- Z ■ ..£
добной ситуацией мы ветре- °—^йОО(ЙЛ 1| г—°
чаемся r пялиосвязи. напои- Л
чаемся в радиосвязи, напри-
№
мер, при передаче сигналов^ /?
посредством обычной
амплитудной модуляции. J
Во втором случае будем - -
считать функцию f(t) фи-' Рис. L 1в Колебательный кон-
нитной в интервале (/0, *i). тур/
т. е. /('/) можно
рассматривать как импульс конечной протяженности. В этом
случае уравнение (1.2.2) принимает вид
F(t)= ^ f(r)h(t-r)dr. (1.2.3)
С импульсами конечной протяженности (т. е. с
импульсами, длительность которых сравнима со временем
установление фильтра или меньше него) приходится
сталкиваться в импульсных системах связи, в том числе
в радиосвязи, в радиолокации, при регистрации
заряженных частиц с помощью счетчиков и т. д.
Преобразование Фурье %(со) импульсной переходной
функции h(t):
оо
/*(co) = ^L= [h{t)e-mdt (1.2.4)
у 2я J
— оо
в теории цепей и в теории регулирования называется
частотной характеристикой фильтра.
*) Время установления — это некоторая условная величина,
характеризующая «длительность» импульсной переходной функции.

26 ФУНКЦИИ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ В ФИЗИКЕ [ГЛ. I
Для всех реально осуществимых фильтров функция
%(со) стремится к нулю при | со | ->оо. Иногда с
достаточной точностью можно считать, что функция %(о)) е= 0 вне
некоторого интервала (coi, сог), т.е. h(t) является
функцией с финитным спектром.
Предположение о финитности спектра %(со)
противоречит известному принципу физической
осуществимости фильтра, заключающемуся в том, что отклик
фильтра на воздействие, начинающееся в некоторый момент
времени, не может начаться раньше этого момента.
Частотная характеристика %(со) физически осуществимого
фильтра должна удовлетворять условию (см. [2],
теорема XII, [3], гл. III, § 5)
— оо
Как видно из этого соотношения, требование
физической осуществимости налагает определенные
ограничения на скорость убывания |%(со)| при | со | —^ оо.
В частности, если %(о) финитна в некотором интервале
(вне этого интервала тождественно равна нулю), то
интеграл (1.2.5) расходится, и соответствующий фильтр
становится неосуществимым.
Поэтому предположение о том, что частотная
характеристика фильтра %((о) обращается в нуль вне
конечного интервала частот, т. е. фильтр пропускает лишь
ограниченную полосу частот, является идеализацией,
пригодной далеко не всегда. Однако имеется широкий
круг задач радиотехники и электросвязи, где такая
идеализация целесообразна и плодотворна. 0_некоторых
подобных задачах будет речь в гл. III и IV.
§ 1.3. Построение изображения
оптическим прибором
Разберем описанное Л. И. Мандельштамом [4]
формирование изображения одномерной структуры
простейшей оптической системой, содержащей одну диафрагму
(рис. 1.2). Для более сложной системы, содержащей

* 1.3] ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ОПТИЧЕСКИМ ПРИБОРОМ 27
несколько диафрагм (телескоп, подзорная труба), или
при формировании изображения двумерного объекта
рассуждения будут вполне аналогичны.
В фокальной плоскости системы цилиндрических
линз Li находится объект. Точка О является осевой
точкой изображающей системы. Диафрагма D находится
Рис. I. 2. Формирование изображения. Llt L2 — система линз, D —
диафрагма;
во второй фокальной плоскости L^ Изображение
получается в фокальной плоскости системы линз Ц.
Апертура изображающего пучка, определяемая диафрагмой,
предполагается малой.
Рассмотрим сначала освещенный
(несамосветящийся) объект, т. е. предположим, что лучи, исходящие из
различных точек объекта, когерентны.
Будем описывать распределение освещенности,
вызванное светящейся точкой, находящейся на расстоянии
х от начала координат и излучающей волну единичной
амплитуды, функцией Л (г/ — лг0) ♦ Здесь *о — точка, где
получается изображение точки х согласно
геометрической оптике. Распределение h(y — Xo) получается в
результате дифракций света от этого точечного источника
на диафрагме D, т. е. является аппаратной функцией
оптической системы. Пусть одномерный объект
расположен на оси х и простирается от а до Ь, причем

28 ФУНКЦИИ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ В ФИЗИКЕ [ГЛ. I
распределение освещенности вдоль объекта описывается
функцией f(x). Разобьем интервал (а,Ь) на отрезки
достаточно малой длины dx, так что совокупность
источников, расположенных на интервале dxy можно
рассматривать как один точечный источник. Амплитуду лучей,
исходящих из элемента объекта dx, можно считать равной
f(x)dx, где х — расстояние элемента dx от начала
координат. Соответствующее этому элементу распределение
амплитуд в зависимости от координаты у в плоскости
изображения будет
f(x)dxh{y-xQ). (1.3.1)
В силу когерентности излучения, даваемого всеми
элементами объекта, амплитуда света в точке у
изображения равна сумме амплитуд от совокупности всех
источников, на которые мы разбили объект. Выберем
масштаб по оси у так, что Хо = х. Тогда обусловленная всем
объектом освещенность F(у)-— изображение объекта —
имеет вид
ь
F{y)=\h{y-x)f{x)dx. (1.3.2)
а
В случае самосветящегося объекта, различные точки
которого излучают некогерентные колебания, в каждой
точке у изображения будут суммироваться
интенсивности лучей, исходящих из всех точек объекта и
прошедших диафрагму. Поэтому вид уравнения (1.3.2) в этом
случае не изменится, если под f(x) и F(y) понимать
распределение интенсивностей объекта и ertr
изображения, а .под h(x) подразумевать квадрат аппаратной
функции, соответствующей когерентному излучению
всех точек объекта.
В большинстве случаев разумно считать объег^г
ограниченным по протяженности — финитным и,
следовательно, пределы интегрирования в (1.3.2) предполагать
конечными.
Для того чтобы исследовать свойства аппаратной
функции h(x), необходимо решить задачу о дифракция

§ 1.3] ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ОПТИЧЕСКИМ ПРИБОРОМ 29
света от точечного источника на диафрагме D. При этом
можно воспользоваться принципом Кирхгофа.
Вообразим некоторую выпуклую замкнутую
поверхность а, охватывающую источник волн S (рис. 1.3).
Основная идея принципа Кирхгофа заключается в
следующем-. Колебание,
создаваемое реальным
источником S в произвольной
точке Р, может быть
представлено как суперпозиция
колебаний, которые создавали
бы в этой точке некоторые
(воображаемые) источники,
непрерывно распределенные
по поверхности а\ при этом
величины, характеризующие
эти воображаемые
источники (амплитуда, фаза, вид
диаграммы направленности),
расположенные на
некотором элементе da
поверхности а, зависят определенным
образом от величин
(амплитуды, фазы, направления
распространения),
характеризующих реальное колебание, создаваемое
источником S в точках этого же элемента da.
Количественная формулировка принципа Кирхгофа
выражается следующим интегральным соотношением
(см. А. Зоммерфельд [5]):
Рис. 1.3. Иллюстрация
принципа Кирхгоффа. Источник
волн S, вспомогательная
поверхность а, точка
наблюдения Р.
V,
JL Г eikr
" a J r
cos (я, r)Vda.
(1.3.3)
Здесь Vp—-колебание в точке Р, создаваемое точечным
источником S, п — нормаль к поверхности а, % — длина
волны, г — расстояние от элемента do до точки Р, V —
функция, описывающая волну на поверхности а,
испускаемую точечным источником S.
Попытаемся теперь с помощью принципа Кирхгофа
решить задачу о прохождении излучения рт точечного

30 ФУНКЦИИ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ В ФИЗИКЕ
источника через диафрагму и найти интересующее нас
выражение для аппаратной функции.
Представим себе, что на пути сферической волны,
испускаемой исходным источником, стоит непрозрачный
для этой волны тонкий экран, имеющий одно или
несколько отверстий (рис. 1.4). Требуется найти
колебание VP в точке Р за экраном.
Рис. I. 4. Дифракция через отверстие в плоском экране, в\ и
Ог — части вспомогательной поверхности а на непрозрачной
части экрана и в отверстии соответственно.
Возьмем в качестве вспомогательной поверхности a
поверхность, прилегающую вплотную к экрану с той
стороны, где находится точка Я, и затягивающую
отверстия. Связь между волной на поверхности а и
колебанием в точке Р дается формулой (КЗ.З).
На первый взгляд формула (1.3.3) кажется
совершенно бесполезной: для того чтобы вычислить
интеграл, нам нужно прежде всего узнать значения V на
поверхности а, а заранее мы их не знаемгтак же как
и значение V в точке Р. Однако на практике часто,
имеется возможность приближенно определить
значение V на некоторой поверхности а, исходя из реальных
физических условий. ■ • •
Сделаем следующее предположение: будем, следуя
Кирхгофу, считать, что на тех частях поверхности а,
которые прилегают к непрозрачным частям экрана,
функция V равна нулю, а на тех частях, которые
затягивают отверстия, функция V такая же, как если бы

§ 1.3] ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ОПТИЧЕСКИМ ПРИБОРОМ 3i
экрана не была Тем самым подынтегральная функция
полностью определена. Это предположение является
приближенным хотя бы потому, что оно противоречит
уравнениям Максвелла (см. Введение, [2]). На самом
деле на расстояниях порядка X от экрана имеет место
значительное искажение падающей волны. Однако на
практике размеры отверстий велики по сравнению
с длиной волны, и эти искажения вносят весьма малый
вклад при вычислении Vp по формуле (1.3.3). Заметим
теперь, что для интересующей нас оптической системы
типа телескопа (см. рис. 1.2) мы имеем случай
дифракции Фраунгофера (дифракция в параллельных
лучах). Поэтому формулу (1.3.3) можно упростить,
предполагая, что расстояния г' и г от точечного источника S
и точки наблюдения Р до экрана велики (много больше
размера первой зоны Френеля). В этом случае
формула (1.3,3) с учетом гипотезы Кирхгофа принимает
вид (см. А. Зоммерфельд [5])
+ оо
V(yu У2) = с JJ G(£, rde-*y*-*™*dtdi\, (1.3.4)
— оо
где с = -гтг cos (n, R) eik (К+Д'> — комплексная
постоянная, уиУг — координаты в плоскости изображения,
причем начало координат находится в точке, где
получается изображение источника S согласно
геометрической оптике, R\ R — расстояния соответственно от
точечного источника .и точки наблюдения Р до точки О;
£, г] — координаты на поверхности а2, а функция
( 1 — на поверхности а2>
затягивающей отверстия, (1.3.5)
О —вне поверхности а2-
0(6, Ф
По определению функция V(yiyy2) — изображение
точечного источника — есть аппаратная функция.
Согласно (1.3.4) и (1.3.5) аппаратная функция__имеет в
качестве фурье-преобразования функцию ]/2я с (?(§, г]),
равную тождественно нулю вне конечной области,
определяемой диафрагмой.

32 ФУНКЦИИ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ В ФИЗИКЕ [ГЛ. I
Таким образом, в предположении справедливости
гипотезы Кирхгофа аппаратная функция может
рассматриваться как функция со спектром, сосредоточенным
в конечной области.
Для определения интересующей нас аппаратной
функции, входящей в уравнение (1.3.2), в случае диафрагмы
-2 4MW2-HHW2 0 S20M6Q8 1 1,21,4 1,61,8 2
Рис. 1.5. Спектр аппаратной функции для
диафрагмы в виде узкой щели при когерентном (а)
и некогерентном (б) освещении.
в виде узкой щели, нужно положить в (1.3.4) у2 = 0.
Нетрудно подсчитать, что для такой диафрагмы
и , ч sin ух 2яа /л 0 „ч
*W=S , » v=-xr> О-3-6)
где а — половина ширины диафрагмы, / — фокусное
. а
Ъ
~Т-18Ч№Ч2ЧШНИ2 0 02 № 0.60,8 fljZ Ifi 1,61.8 2 "
Рис. I. 6. Спектры аппаратной функции для
круглой диафрагмы при когерентном (а) и
некогерентном (б) освещении.
расстояние первой системы линз (см. рис. 1.2). Для
самосветящегося объекта аппаратная функция равна
квадрату h (х), т. е.
м^чад]2^1^. (1.з.7)

$1.41 ' ГОЛОГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СИНТЕЗА 33
Аналогичным способом удается вычислить
аппаратную функцию и для других диафрагм. Например, для
круглой диафрагмы и освещаемого объекта
h(X) = ^l, (1.3.8)
где у' = -JJ-, г — радиус диафрагмы, /i — функция
Бесселя.
Для той же диафрагмы и самосветящихся объектов
М*)ЧВД]2 = ^Д. (1.3.9)
Нетрудно проверить, что фурье-преобразования
функций (1.3.6) — (1.3.9) будут тождественно обращаться
в нуль вне конечного интервала. На рис. I. 5 и I. 6
представлены фурье-преобразования функций (1.3.6) —
(13.9).
Таким образом, в задаче построения изображения
оптическим прибором оказывается оправданной модель,
в которой вход и выход связаны уравнением (1.3.2),
вход —финитная функция, а аппаратная функция —это
функция с финитным спектром.
§ 1.4. Голографические методы синтеза
аппаратной функции
Все существующие способы регистрации световых
электромагнитных волн непосредственно фиксируют
лишь их интенсивность. Поэтому синтез аппаратной
функции, т.е. задача технической реализации линейной
системы с комплексным распределением поля в
диафрагме (см. рис. 1.2) до недавнего времени встречала
значительные конструктивные трудности. Эти трудности
сейчас преодолены. Разработка голографических методов
регистрации волновых полей привела к реальной
возможности воссоздания практически любой заданной
аппаратной функции.
Голография применяется не только в оптическом
диапазоне, где разработаны источники когерентного
излучения (лазеры), но также в радио и в акустике, и ее
2 Я. И. Хургин, В. П. Яковлев

34 ФУНКЦИИ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ В ФИЗИКЕ [ГЛ. I
появление имеет важное значение во всех задачах
обработки сигналов.
Во многих ситуациях предпочтительнее любой другой
обработки оптическая обработка: выгодно любой
процесс перевести на оптический язык, провести
оптическими средствами необходимые операции (с
привлечением голографических принципов или без них), а затем
преобразовать оптическую информацию в исходную или
другую нужную форму.
Рис. I. 7. Схема осуществления голограммы.
Рассмотрим кратко физические основы голографии,
а затем проиллюстрируем, как с ее помощью реализуется
оптическая система с заданной аппаратной функцией.
Основой голографии является источник когерентных
колебаний — лазер. Схема создания голограммы
изображена на рис. I. 7. Плоская волна, созданная лазером
и линзой, падает на два зеркала Mt и М2 так, что волны,
поступающие от них на фотопластинку, образуют углы
01 и 02 с ее поверхностью, а угол между ними~есть 0i — 02.
Почернение пластинки создает синусоидальную
интерференционную решетку с прямолинейными полосами.
Пусть колебания на фотопластинке от первой и
второй волны есть соответственно A{ei4>ivi A2ei4>\ Суммарная
интенсивность на фотопластинке
] = | Ахе*ъ + д2е^ |2 = А\ + At + AiA2 [е~' (ф1"ф2) + е*{^).
(1.4.1)

§ 1.4]
ГОЛОГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СИНТЕЗА
35
Поместим проявленную фотопластинку в диафрагму
оптической системы, изображенной на рис. I. 2, и
рассмотрим картину на экране, полученную в результате
освещения ее плоской волной.
Так как
2я
Ф1 = ^L|sine1
-&eIf
2я . . п 2я .п
ф2 = —isin92« —192)
(1.4.2)
+ е
где £— координата вдоль диафрагмы, то за диафрагмой
появится волна
(1.4.3)
Изображение на экране является преобразованием
Фурье:
л
/ (g) «= Л1 + А5 + Л1 Ла
| -^-^1(9^02). ; i
■'■ 2xt t
F(*/)=f/(l)e' % *"<£«
D f
т^+Д*
(e,-e,)l1
4=
-D
= 2Z)
• 2jtZ) • 2^0 г /лом
(Л? + Al) 0J + Л, Л2 -^ +
2я£
+ A{A2
2nD
[у-(в,-ва)1
sin-^fo +(6,-6,)]'
2jxD
[y + (e,-e2)j
(1.4.4)
Восстановленное изображение можно рассматривать
как результат прохождения через оптическую систему
когерентных волн от трех точечных объектов. Каждой
«точке» соответствует плоская наклонная волна,
прошедшая через пластинку. Будем считать одну из волн,
создающих интерференционную решетку, например Е2 (см.
рис. 1.7), заданной, или «опорной» волной, а вторую —
«неизвестной» волной, Тогда можно сказать что волны

36 ФУНКЦИИ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ В ФИЗИКЕ [ГЛ. I
l?i- и Е{+, возникающие на выходе диафрагмы, можно
приписать восстановленной неизвестной волне. Таким
образом, фотопластинка дала нам возможность,
регистрируя только интенсивность /, восстановить полностью
неизвестную волну — восстановить ее амплитуду и фазу.
Рассмотрим теперь случай, когда вместо зеркала М2
используется какой-либо рассеивающий объект.
Отраженная волна будет промодулирована по амплитуде и
фазе, т. е. At и cpi будут зависеть от £. Положим далее
для простоты 02 = ф2 — 0. Регистрируемая интенсивность
есть
-M^V""** (1.4.5)
Осветив пластинку плоской волной, мы снова
получим три волны: волну под нулевым углом, не
содержащую никакой информации о фазе cpi(£), и Две боковые
волны, несущие информацию о фазе ф1 и амплитуде Ах
и выходящие из пластинки под углами ±8i
соответственно. Боковые волны разделены в' пространстве и
формируют действительное и мнимое изображения объекта.
Попытаемся выяснить, как закодирована
информация о фазе и амплитуде в голограмме. Перепишем (1.4.5)
в виде
/ (I) - At + А] (I) + 2 Л 2 Л, (I) cos [-у- 66, + <р, ft)]. (1.4.6)
Если фазовая модуляция отсутствует, то cpi = 0,
J (Z) = At+ AUt) +2 A2A^t) cos (f-~W{) - (1.4.7)
и мы имеем обычные интерференционные полосы, про-
модулированные по интенсивности функцией Aid). Если
же Ai(i) не зависит от £, фаза cpi(i) Ф 0, то
интенсивность полос одинакова, но их «густота» изменяется по
закону cpi(g):
/(6)-Л1 + 41 + 2Л1Л2соз[-^-Ев1 + ф1(Е)]. (1.4.8)
Таким образом, информация об амплитуде содержится

§ 1.4] ГОЛОГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СИНТЕЗА 37
в интенсивности полос, а информация о фазе — в их
взаимном положении.
Мы не будем здесь останавливаться на весьма
многочисленных приложениях голографии, а также на
условиях, при которых она осуществляется. Такие сведения
можно получить в книге по голографии [6]. Рассмотрим
только схему синтеза заданной аппаратной функции.
Фильтруемый,
сигнал Ь(г)
Фотопластинка-голограмма.
с .1. 8. Синтез заданной аппаратной функции.
Будем считать заданным в виде изображения на
фотопластинке график требуемой аппаратной функции
h(г). Схема получения голограммы ее преобразования
Фурье %(£) показана на рис. 1.8. Линза Li формирует
плоский фронт от точечного источника когерентных
колебаний. Волна разделяется на две части. Одна из них
проходит через фотопластинку с изображением графика
h(z) и линзу L%, создавая на фотопластинке
изображение Тг(1). Нижняя линза L3 создает изображение
точечного источника в точке х = Ь. Новьш источник служит для
образования опорной наклонной плоской волны A0eib% на
той же фотопластинке. Сигнал на фотопластинке равен
Щ) + А#"*, (1.4.9)
а регистрируемая на ней интенсивность есть
/ (Б) = I И (I) I2 + Aft (1) eib%H (|) е~т + А (1-4ЛО)
Для простоты предположим, что членом |%(£)|2 можно
пренебречь по сравнению с остальными,

38 ФУНКЦИИ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ В ФИЗИКЕ [ГЛ. I
Функция J(l) не совпадает с %(£). Но выделение
свертки входного сигнала f(x) с h(z) происходит
автоматически в самой оптической системе на рис. I. 2, если
поместить фотопластинку в диафрагму. Действительно,
сигнал на выходе диафрагмы есть
!(1У(1)~Ы)А1+АоН1)К®е1ЬЪ + А0Шй(1)е-т. (1.4.11)
После преобразования Фурье, осуществляемого линзой,
мы получим изображение
Ф (У) - Ф1 (У) + Ф2 (У) + Фз (У), (1.4.12)
где
ViM-AljJiDe-^dt-Atfiy), (1.4.13)
Ф2 (У) = А0 j f (I) К (£) е**е-*У d% - Afx {y -b), (1.4.14)
F\(z) = j f{x)h(x + z)dx, (1.4.15)
ФзЫ = Л/я(|)/(|)^^^4 = ^2^ + 6), (1.4.16)
/M*)= jfMM*-*)^. (1.4.17)
Все три компоненты изображения разделены при
достаточно большом Ь: фоновое пятно Q)i(y)
сосредоточено при у = 0 в центре экрана; нужная нам свертка
Fi{y) — при у = —ft, — внизу, а вверху, при # = &,
расположена «функция взаимной корреляции» F2(y). Такое
пространственное разделение компонент получается
благодаря введению в процессе голографического
построения аппаратной функции сдвига опорного пучка на
величину z == Ь относительно сигнала /г(х).
Разумеется, воссоздание двумерной аппаратной
функции h(xu x2) проводится без каких-либо отличий.
§ 1.5. Диаграмма направленности антенн
В настоящем параграфе мы рассмотрим процедуру
расчета поля, излучаемого антенной ультракоротких
волн, на достаточно большом расстоянии от антенны и
покажем,, что диаграмма направленности антенны яа-

§ 1.5] ДИАГРАММА НАПРАВЛЕННОСТИ АНТЕНН 39
ляется функцией с финитным спектром. Поле,
создаваемое любой излучающей системой, может быть разбито на
две области: область поля индукции и область поля
излучения. Поле индукции существенно лишь в
непосредственной близости от
излучающей системы (оно
убывает быстрее -и-, где/? —
расстояние). На больших
расстояниях главную роль
играет поле излучения
(убывающее как -дг). С
этим полем связан
текущий в направлении от
антенны поток энергии. Поле
излучения, вообще говоря,
неодинаково в различных
направлениях от
источника. При оценке эффектов- рис. i. 9. К формулировке прин-
ности антенны как излу- ципа Кирхгофа,
чающей системы
рассматривают только поле на больших расстояниях, где можно
пренебречь полем индукции.
Принципиально задача определения поля вокруг
антенны (при заданном способе подвода электромагнитной
энергии и известной конструкции антенной системы)
сводится к решению уравнений Максвелла при
определенных граничных условиях. Однако практически
конфигурации антенн настолько сложны, что строгое решение
задачи определения поля приводит к значительным ма*
тематическим трудностям. Поэтому при расчете поля
в дальней зоне (т. е. поля на больших расстояниях от
антенны) пользуются приближенным методом,
основанным опять-таки на принципе Кирхгофа;
Рассуждения при этом вполне аналогичны тем,
которые проводятся при решении оптических
дифракционных задач (см. § 1.3, а также, например, [7]). Пусть
имеется объем Q, в котором сосредоточены источники
поля (рис. 1.9). Окружим объем Q, содержащий
источники излучения, замкнутой поверхностью о. Согласно
принципу Кирхгофа поле в точке Р, находящейся вне

40 ФУНКЦИИ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ В ФИЗИКЕ [ГЛ. I
поверхности а, можно представить как суперпозицию
волн, излучаемых вторичными источниками,
расположенными на поверхности а.
Покажем теперь, как с помощью принципа Кирхгофа
можно приближенно найти поле в дальней зоне
типичных антенн ультракоротких волн.
Рис. 1.10. Волновод с открытым концом.
Рассмотрим сначала антенну, представляющую собой
волновод с открытым концом (рис. I. 10). Окружим
волновод поверхностью а, вплотную прилегающей к стенкам
волновода и затягивающей отверстие.
Определив точно поле на поверхности а, мы при
помощи принципа Кирхгофа можем найти поле в любой
точке Р. Задача определения поля на такой поверхности
отнюдь не легче решения уравнений Максвелла,
необходимого для определения поля в точке^, наблюдения Р.
Однако в рассматриваемом случае можно приближенно
принять, что поле на всей поверхности, кроме
поверхности <т2, затягивающей открытый конец волновода, равно
нулю.
На поверхности (Т2, которую называют излучающей
поверхностью или раскрывом антенны, распределение
поля можно взять приближенно таким же, как в
поперечном сечении бесконечно длинного волновода того же
сечения.

§ 1.5] ДИАГРАММА НАПРАВЛЕННОСТИ АНТЕНН 41
Это предположение оправдано, если величина рас-
крыва а (см. рис. I. 10) много больше длины волны,
излучаемой антенной. Практически уже при К/а < 1/3
ошибка в вычислении поля в дальней зоне при таком
предположении не превышает 10% [7].
Рис. I. 11. Зеркальная антенна. Пунктиром
обозначена часть поверхности а, затягивающей
зеркало.
В качестве второго примера рассмотрим зеркальную
антенну, представляющую собой металлическую
поверхность, возбужденную падающим на нее излучением
первичного источника (возбудителя) (рис. 1.11). Здесь
возможны два варианта выбора поверхности а. В первом
случае выбирают поверхность а прилегающей с внешней
и внутренней стороны к поверхности зеркала. Однако
такой выбор ведет к значительным математическим
трудностям при интегрировании по поверхности а,
необходимом для получения поля в дальней зоне. Поэтому часто
понимают под а поверхность, состоящую из части
плоскости, затягивающей зеркало, и поверхности, вплотную

42 ФУНКЦИИ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ В ФИЗИКЕ [ГЛ. I
прилегающей к внешней (по отношению к первичному
источнику) поверхности зеркала [8].
При вычислении поля в дальней зоне (если выпол-,
няется соотношение %/D <C 1, где D —диаметр зеркала)
можно приближенно считать равным нулю поле на по-,
верхности, прилегающей к внешней части зеркала. Для
Рис. I. 12. Различные типы антенн
ультракоротких волн, а — линзовая, б —
рупорная, в — диэлектрическая.
вычисления поля на оставшейся части поверхности а —»
в раскрыве антенны — иногда применяют метод
геометрической оптики, согласно которому' каждому лучу от
первичного источника соответствует определенный луч,
отраженный от поверхности зеркала.
Аналогичные рассуждения можно провести при
анализе излучения большинства антенн ультракоротких
волн. Так, для случая линзовой антенны (рис. 1.12, а)
предполагают, что поле в раскрыве антенны получается
в результате преломления по законам геометрической
оптики лучей, создаваемых первичным облучателем.
Для рупорных антенн (рис. 1.12, б) принимается, что
поле в раскрыве равно полю в том же сечении рупора
бесконечно больших размеров. Для диэлектрической
антенны (рис. 1.12, в) расчет проводится в
предположении, что структура поля в диэлектрическом волноводе,
входящем в антенну, такая же, как ив подобном волно-

§1.5] ДИАГРАММА НАПРАВЛЕННОСТИ АНТЕНН 43
воде бесконочно большой длины. Здесь, в отличие от
предыдущих примеров, излучающая поверхность не
является плоской.
Таким образом, задача вычисления поля,
создаваемого антенной, сводится к расчету поля, создаваемого
некоторой поверхностью, на которой заданы токи или
напряженности. Весьма общим является случай, когда
излучающая поверхность представляет собой часть
плоскости. В этом случае (рис. 1.13) величина поля
Рис. I. 13. К расчету поля в дальней зоне.
в некоторой точке Р, достаточно удаленной от раскрыва
(на расстояние много больше D2A, где D — величина
раскрыва, что соответствует дифракции Фраунгофера),
с учетом поляризации электромагнитных волн дается
выражением
Em(P) = ^^^osQ уЕ^ф^Ш,ц)а1а^ (L6.l)
где Ет(Р) (т = 1, 2, 3) —-одна из компонент напря*
женности электрического или магнитного поля в
прямоугольной системе координат с центром в точке О на
плоскости раскрыва (см. рис. 1.13), £т(£, ц) —
соответствующая компонента в раскрыве, R, 0, ф —
сферическая система координат с центром в точке О, ku k2 —

44 ФУНКЦИИ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ В ФИЗИКЕ [ГЛ*. I
составляющие волнового вектора k(\k\ =2яД):
ki = k sin 8 cos ф,
и и • а • С1-5-2)
#2 = # sin 0 sin ф.
Обычно антенны сантиметровых волн конструируют
так, что излучаемая мощность концентрируется в узком
конусе вокруг направления распространения (оси х3 на
рис. 1.13). Изменением cos0 в этом конусе можно
пренебречь, положив cos 8 = 1, после чего окончательно
получим
Одной из основных характеристик антенны является
диаграмма направленности по полю, которая
определяется с помощью поля в дальней зоне согласно
равенству
AEm(P)e"*R = f%v), (1.5.4)
где величина А выбирается так, чтобы максимальная
величина /(0, ф) равнялась единице. Согласно (1.5.3)
выражение для диаграммы направленности можно
записать в виде [9]
/ (Ф, в) = | F (6, г]) *' <*.б+М> d\ A|f (1.5.5)
где F(%,ц) —распределение поля на отверстии,
нормированное так, чтобы максимальное значение /(ф, 0)
равнялось единице, 02 — излучающее отверстие (раскрыв),
совмещенное с плоскостью (|,г)). Введем функцию
h(kuk2) = f(y,Q) (1.5.6)
и функцию и(1,г\) на плоскости х3 =^Q, совпадающей
с плоскостью отверстия,
F&,r\) на <т2,
л 1.5.7)
О вне (72.
Тогда согласно (1.5.5) h(kuk<i) можно записать в виде
h{kuk2)=jju{i,4)ei^+krtdtdv). (1.5.8)
И&Л)«{

§ 1.5] ДИАГРАММА НАПРАВЛЕННОСТИ АНТЕНН 45
Таким образом, диаграмма направленности антенны
сантиметровых волн по полю как функция ku k% с
учетом высокой направленности является двумерным
фурье-преобразованием поля в раскрыве.
Если учесть, что поле вне раскрыва принято равным
нулю, то h(kuk2) есть, согласно (1.5.7), функция с
финитным спектром.
Рис. I. 14. Прямоугольный раскрыв.
В качестве примера рассмотрим отверстие
прямоугольной формы. Размеры отверстия обозначим через
а и & и ориентируем отверстие в плоскости (£, к\) так,
как показано на рис. 1.14. Диаграмма направленности
в этом случае имеет вид
0/2 Ь/2
h(kuk2)= j J F&, 4)el^^k^dldr\. (1.5.9)
-a/2 -b/2
Довольно общим типом распределения поля по
отверстию является распределение, которое может быть
выражено произведением двух функций [9]
F(t,4) = Fl($)F2(4). (1.5.10)

46 ФУНКЦИИ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ В ФИЗИКЕ [ГЛ.* I
Очевидно, что в этом случае диаграмма
направленности также распадается на произведение одномерных
диаграмм:
h{kuk2) = h{{k{)h2{k2)y (1.5.11)
а/2
M*i)= ] FADe'^dl, (1.5.12)
-а/2
6/2
h{k2)= j* FMeik™dv\. (1.5.13)
-b/2
В частности, при равномерном возбуждении
отверстия, когда F{1, л) = -^-> диаграмма направленности
имеет вид
. ak\ . bk2
sin-у- sin-^-
h(Kk2) = -^--^-. (1.5.14)
2 2
Наибольший интерес представляют диаграммы
направленности в главных плоскостях (плоскости ' (*i, *з)
и (^2,Хз)). Для плоскости (jci, *з) угол ф = 0, так что
4 = 0, и следовательно, диаграмма направленности
с учетом (1.5.12) имеет вид
а/2
Ai(*i)= { ffe)^№rf£," 0.5.15)
-а/2
где &i = £sin0. В плоскости (л:2, х3) —^алогично ф =
= я/2, и следовательно,
6/2
-&/2
Где иг = fe sin 0.
Если рассматривать остронаправленные антенны,
которые излучают только в направлениях, близких к 0 = 0,
то можно положить sin 9 « 9. Тогда согласно (1.5.15)

§ 1.5] ДИАГРАММА НАПРАВЛЕННОСТИ АНТЕНН 47
ki « £9, и диаграмма направленности в плоскости (хи х3)
имеет вид
а/2 ka/2
Л, (kB) = J F, (|) *<** 4 = 1 J F, (4) е«* rf|. (1.5.17)
-а/2 -Ы2
Совершенно аналогично, если рассматривать диаграмму
направленности в плоскости (х2,х3) и считать, что
излучение сосредоточено вблизи 0 = 0, получаем формулу
для диаграммы направленности в плоскости (#2, х3):
Ъ№
Н2{Щ = \ I F2(!)^Vr). (1.5.18)
-ът ■
Из рассмотренных примеров видно, что связь между
распределением поля F(|) и диаграммой
направленности к (у) устанавливается следующим интегральным
соотношением:
а
М</) = -7= JF(i)^4, (1.5.19)
-О
где у = k sin 9.
Таким образом, в рассмотренном случае (1.5.10)
диаграмму направленности в любой из главных
плоскостей можно считать одномерным фурье-преобразова-
нием поля по отверстию в соответствующей плоскости.
В предположении, что поле вне раскрыва равно нулю,
фурье-преобразование диаграммы направленности в
главной плоскости равно тождественно нулю вне
интервала, соответствующего раскрыву антенны, т. е.
диаграмма направленности есть функция с финитным
спектром.
Обычно в качестве основной характеристики антенны
выбирают диаграмму направленности по мощности
G(9, ф), равную квадрату модуля диаграммы
направленности по полю. Диаграмму направленности по
мощности также можно считать функцией,
фурье-преобразование которой сосредоточено в конечной области. По
формуле (1.5.14) можно в случае равномерного
распределения поля з раскрыве определить ширину

48 ФУНКЦИИ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ В ФИЗИКЕ [ГЛ. I
главного максимума диаграммы направленности по
половинной мощности в одной из главных плоскостей. Так,
например, в плоскости (хих3) угловая ширина А9
диаграммы (1.5.14) оказывается равной [9]
Д9 = 0,88~. (1.5.20)
Из формулы (1.5.20) видно, что при Ж а величина
Д9 мала,, и почти все излучение оказывается
сосредоточенным в узком конусе вокруг оси х3. Это подтверждает
первоначальное предположение о возможности
концентрации излучения в узком конусе вокруг оси х3.
Для определения остальных характеристик
рассмотрим баланс мощности в антенне. Полная мощность
равна, очевидно, мощности поля в раскрыве
Яполн=||/Ч£,г))|24^]. (1.5.21)
о
Используя равенство Парсеваля (см. (2.3.32)) и
(1.5.7), (1.5.8), выражение для Люди можно переписать
в виде
Pnom=\\\h{kbk2)Ukxdk2. (1.5.22)
— 00
Излучаемая в дальнюю зону мощность Ртп
соответствует, очевидно, \ki\Kk, \k2\^k:
к к
Ризл= J \\h{kbk2)fdkjjlk^ (1.5.23>
-к -к
Сравнивая (1.5.22) и (1.5.23), мы видим, что
подводимая к раскрыву энергия излучается не полностью.
Разность Рреакт = Люлн — Яизл носит название
реактивной мощности.
Ее можно интерпретировать как мощность,
приходящуюся на долю мнимых углов 6 и ср, для которых
совместно выполняются неравенства |sin 0cos(p| > 1,
| sin 9 sincp | > 1.

§ 1.5] ДИАГРАММА НАПРАВЛЕННОСТИ АНТЕНН 49
Обычно реактивная мощность антенны весьма мала
по сравнению с мощностью, приходящейся на долю
действительных углов*).
Реактивная мощность сосредоточена в ближней
зоне, поэтому она практически теряется, и ее величина
является показателем качества антенны, определяющим
ее к. п. д.
Рис. I. 15. Главный максимум и боковые лепестки диаграммы
направленности-
Соотношение между излучаемой и реактивной
мощностью можно характеризовать коэффициентом Qr для
которого мы примем название реактивность антенны:
Q =
реак
.-л.
(1.5.24)
Применяемые на практике антенны у. к. в. имеют
диаграммы направленности, аналогичные
изображенной на рис. I. 15.
На этом рисунке видны интервалы, на которые
разбивается ось у нулями у'п диаграммы направленности
h(y). Часть диаграммы направленности между нулями,
где функция |/г(#)| достигает максимального значения,
*) При синтезе антенн рассматриваются также и антенны со
значительной реактивной мощностью (см. далее гл. VII).

50 ФУНКЦИИ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ В ФИЗИКЕ [ГЛ. I
носит название главного луча или главного максимума
диаграммы направленности. Другие части диаграммы
соответствуют боковым лепесткам.
На рис. 1.15 область у!,^*/^*/' соответствует
главному лучу диаграммы, интервал у[^У^У2
соответствует первому боковому лепестку, область у'2^
<//<//з"~ второму, и т. д.
Уровнем боковых лепестков ц называется отношение
наибольшего значения \h(y)\ в области боковых
лепестков (т. е. при у^у[; y^y'_i) к наибольшему
значению |Л(//)| при любом у (—-оо -*Су*С + оо), т. е. к
величине главного максимума.
Так, для диаграммы на рис. I. 15 максимальное
значение \h(y')\ равно единице. Следующее по величине
экстремальное значение \h(y)\ достигается в области
первого бокового лепестка и равняется \h(y") |. Поэтому
|= W)l =|
Т|«-
WH
(1.5.25)
В случае равномерного возбуждения раскрыва, т. е.
для диаграммы вида (1.5.14), величина ц равна
sin
ay
ay
2
Зя
sin
ay
ag
2
= ^~0,21.. (1.5.26)
И'
Коэффициент направленного действия
(к. н. д.) G определяется по формуле
\h(ku k2)\
\h(kuk2)\
k k
антенны
(1.5.27)
■J j\h(klt k^dkydki
-k -k
A
где h(kuk2) —диаграмма направленности по полю.'Как
видно из (1.5.27), величина G характеризует концентра*-
цию излучаемой энергии в пространстве.
Мы рассматривали диаграмму направленности
антенны в случае, когда последняя предназначена для
излучения (передачи) электромагнитной энергии. Однако
согласно известной теореме взаимности (см., например,

§ 1.6] ИЗУЧЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНОГО СОСТАВА СВЕТА 51
[7]) диаграмма направленности при приеме радиоволн
совпадает с диаграммой направленности при их
передаче. Поэтому все выводы этого параграфа
справедливы для любого типа антенны — как для передающей,
так и для приемной.
§ 1.6. Изучение спектрального состава света
Спектральное разложение света может быть
осуществлено прибором, основные элементы которого
изображены на рис. 1.16 [10]. Входная щель S освещается
СП
/
Рис. I. 16. Упрощенная схема спектрального прибора,
светом, спектральный состав которого желательно
знать. Объектив С{ коллиматора К\ создает
параллельный пучок лучей. Сложный по спектральному составу
параллельный пучок лучей разделяется разрешающей
системой а (призмой, дифракционной решеткой и т. д.)
на ряд монохроматических параллельных пучков
разной длины волны, углы отклонения которых зависят от
длины волны. Объектив С2 камеры /С2 сводит каждый
из монохроматических пучков в соответствующем ему
фокусе. Таким образом, в фокальной плоскости
объектива камеры получается спектр, который
воспринимается индикатором /.
В качестве примера разрешающей системы
рассмотрим призму (рис. 1.17). Параллельный пучок лучей,

52 ФУНКЦИИ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ В ФИЗИКЕ [ГЛ. I
проходя через призму, дважды меняет свое
направление при пересечении ее граней. Так как коэффициент
преломления материала, из которого сделаны
спектральные призмы всегда больше единицы, то лучи
отклоняются в сторону основания. На рис. 1.17 через х
обозначен угол отклонения луча при его прохождении
через призму. Пусть
зависимость интенсивности
падающего света от
длины волны описывается
функцией fo(^). Чем
больше коэффициент
преломления материала, из
которого сделана
призма, тем больше
отклоняется луч к основанию.
Рис. 1.17. Ход лучей через призму. Хак как коэффициент
преломления зависит от
длины волны, то и угол отклонения в призме х также
является функцией длины волны
x = (f(X) или X = ty(x). (1.6.1)
Таким образом, призма или другой любой
спектральный прибор производит пространственную
развертку спектра, превращая зависимость fo(X)
интенсивности света от длины волны в зависимость f(x) от
пространственной координаты х: f(x) = /o[ip(#)].
До сих пор при рассмотрении формирования
изображения спектра мы пользовались геометрической
оптикой. Для полного описания процедуры спектрального
разложения необходимо учесть дифракцию света,
которая возникает у границ оптической системы, а именно
дифракцию у входной щели: в коллиматор попадает
лишь та часть дифракционной картины от щели,
которая соответствует центральному максимуму
дифракционной картины. Поэтому дифракция на входной щели
спектрального прибора приводит лишь к расширению
(по сравнению с геометрической оптикой) светового
лучка в коллиматоре. Основную роль играет дифракция
на краях разрешающей системы [10].

§ 1.6] ИЗУЧЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНОГО СОСТАВА СВЕТА 53
Световая волна между коллиматором и
разрешающей системой плоская. После разрешающей системы
каждая из монохроматических составляющих также
имеет плоский фронт. Поэтому здесь мы встречаемся
с дифракцией Фраунгофера на плоском отверстии, расчет
которой мы провели в § 1.3. Используя результаты,
полученные в § 1.3, мы можем сразу написать связь
между распределением интенсивности света по длинам
волн /о (А,) и наблюдаемой интенсивностью F(y) в
фокальной плоскости объектива С2:
оо
Р(У)= jh(y-x)f(x)dx. (1.6.2)
— 00
Здесь h(x) — аппаратная функция прибора (камеры
/С2), свойства которой были нами подробно описаны
в § 1.3.
Изучаемое распределение интенсивности по длинам
волн обычно представляет собой один или несколько
всплесков весьма малой ширины, называемых
спектральными линиями. Исследование формы этих линий
дает возможность получить определенные сведения
о строении исследуемого вещества.
Если учесть, что спектральная линия весьма узкая,
можно предположить, что функция f(x) финитна. Такое
предположение является приближенным, однако в
большинстве практических случаев оно приемлемо [11].
Таким образом, функцию /(х), описывающую форму
спектральной линии, можно приближенно считать
финитной, а функцию %(со), являющуюся фурье-преобра-
зованием аппаратной функции спектрографа, можно
согласно § 1.3 также приближенно считать финитной.
В некоторых случаях имеет место более сложная
связь между изучаемым распределением f(x) и выходом
F(y). Мы приведем для примера описание процедуры
анализа линий рассеяния света, не останавливаясь на
выводе соответствующих соотношений.
Предположим, что вещество освещается светом,
спектр которого состоит из узкой спектральной линии
fi(x). Нас интересует «истинная форма» линии
рассеянного света, т. е. та, которая наблюдалась бы на выходе
спектрального прибора, если бы, во-первых, излучаемый

54 ФУНКЦИИ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ В ФИЗИКЕ [ГЛ. I
свет был строго монохроматическим, т. е. fi (х) = 6 (х),
и, во-вторых, спектральный прибор был бы
«идеальным», т. е. его аппаратная функция h(y)=6(y). Если
излучаемый свет немонохроматический, то на входе
спектрального прибора имеется спектральная линия
f2(2), являющаяся сверткой контура возбуждающей
линии fi(x) и истинного контура спектральной линии
рассеяния f(x) [12]:
оо
/2(2)= jf{x)h(z-x)dx. (1.6.3)
— оо
Кроме того, наблюдаемое на выходе спектрального
прибора распределение F(y) связано с fa{z) интегральным
уравнением
оо
Р(У)= \h{z)h{y-z)dz. (1.6.4)
— оо
Подставляя (1.6.3) в (1.6.4) и меняя порядок
интегрирования, мы снова приходим к интегральному
уравнению типа (1.6.2), связывающему вход f(x) с выходом
F{y).
оо
F(y) = jf(x)hl(y-x)dx, (1.6.5)
— оо
с аппаратной функцией
оо
h\(y-x)= I* h(y-z) /, (z - х) dz. (1.6.6)
Свойства аппаратной функции определяются не
только спектральным прибором, но и формой
возбуждающей линии. Заметим, что аппаратная функция h\(x)
по форме совпадает с выходом прибора F(y)y если на
его вход воздействует возбуждающая линия fi(x). Это
дает возможность исследовать интегральное уравнение
(1.6.5), не выясняя формы контура возбуждающей
линии, если измерить выход прибора при воздействии на
него одного возбуждающего излучения.

§1.7] РАДИОИЗЛУЧЕНИЕ КОСМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ 55
§ 1.7. Радиоизлучение космических объектов
Радиоизлучение космического объекта принято
характеризовать распределением интенсивности излучения
f(xiyx2) по объекту, где хи х2— координаты вдоль
поверхности объекта.
Упрощенная схема радиотелескопа изображена на
рис. 1.18. На антенну А поступает радиоизлучение
космического объекта,
которое после приемника *
измеряется с помощью
некоторого
индикатора. При изменении
взаимного расположе- ^.
ния антенны и объ- (4_J
екта (например, при /
повороте антенны)
показания индикатора
будут меняться.
Изучая эти изменения,
можно получить
определенные сведения о _ т f0 ~
пмттл 4,,,ТТ„ТТТУТУ f /„ „ \ Рис. I. 18. Простейший радиотелескоп,
виде функции f(xux2) Д-антенна, /-приемник, /(*,)-
И, в частности, О ее изучаемое распределение,
протяженности, т. е. о
размерах объекта, излучающего радиоволны.
Пусть антенна имеет диаграмму направленности по
мощности, описываемую функцией h{xux2). Если
направление, соответствующее главному максимуму,
совпадает с направлением на некоторую точку звезды
с координатами уи Уъ, то на выходе приемника будет
зафиксирована величина F(yuy2), равная [13]
оо
Р{УиУ2) = \\ h{yx-xu y2-x2)f(xu x2)dx{dx2. (1.7.1)
— оо
Функция f(xux2) всегда сосредоточена в
ограниченной области, так как любой объект имеет конечные
размеры, поэтому пределы интеграла в (1.7.1) конечны.
Как видно из этого выражения, аппаратной функцией
радиотелескопа является диаграмма направленности

56 ФУНКЦИИ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ В ФИЗИКЕ [ГЛ. I
антенны h(x\,X2). Ее свойства, а также свойства ее
фурье-преобразования мы подробно разобрали в § 1.5.
Заметим, что фурье-преобразование функции h(xux2)
сосредоточено в конечной области.
Предположим, что распределение интенсивности по
объекту /(Хь#2) представимо в виде
f(xi9x2) = fl(xl)f2(x2)9 (1.7.2)
а антенна, с помощью которой производится изучение
такого распределения, имеет диаграмму
направленности, также являющуюся произведением одномерных
диаграмм (1.5.11).
Тогда выходная величина F(Huyi) также
распадается на произведение
/Ч^йНЛЫ^Ы, (1.7.3)
где
со
Р\{У\)= J h{y{-xl)fl{xl)dxh
— со
(1-7.4)
F2 Ы = J" h (у2 - х2) h (*s) dx2,
— со
й мы можем пользоваться при анализе выходной
величины соотношением [14]
со
Р(У)= J h{y-x)f{x)dx. (1.7.5)
— со
Таким образом, в этом случае ситуация вполне
аналогична рассмотренной в предыдущих параграфах:
аппаратная функция h(x) имеет фурье-преобразование,
сосредоточенное на конечном интервале, а одномерное
распределение интенсивности f(x) имеет конечную
протяженность.
§ 1.8. Интерференционные методы в оптике
и радиоастрономии
Рассмотрим применение интерферометра для
измерения формы спектральной линии.
Упрощенная схема интерферометра изображена на
рис. I. 19. Источник S посылает свет, спектральная ли-

§ 1.8J ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ОПТИКЕ 57
ния которого достаточно узка. Элемент А разбивает
первичный пучок на два идентичных пучка, элемент В
сдвигает фазу одного из них на величину &Д (А —
разность хода, & = 2яД), элемент С сводит оба пучка,
так что на экране наблюдается интерференционная
картина — чередующиеся темные и светлые полосы.
о х —
" ■'■ ' >»'
А
В
С
Экран
Рис. I. 19. Упрощенная схема интерферометра,
предназначенного для изучения спектрального состава света.
Предположим сначала, что источник посылает
монохроматический свет. Тогда колебание в точке Si экрана
можно записать в виде
Sx (/) = a cos со/ + a cos (со/ — k/S) =
= 2а cos-у-cos (со/ —=-j. (1.8.1)
Интенсивность этого колебания равна
а\ = а2{\ +cos&A).
(1.8.2)
Если источник S не является монохроматическим,
интенсивность в точке Si выражается соотношением
оо
а\{Ь) = J f{k)(\+coskb)dk, (1.8.3)
где f(k) —распределение интенсивности по частоте, т. е.
форма спектральной линии. Изменяя А и измеряя
интенсивность, мы получаем зависимость а^(Д),
описываемую формулой (1.8.3). Преобразуем выражение
(1.8.3), полагая
/(-*) = /(*). U.8.4)

58 ФУНКЦИИ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ В ФИЗИКЕ [ГЛ. 1
Раскрывая скобки в (1.8.3) и делая очевидные
преобразования, получим
/(A)-
2я?
— оо J —оо
(1.8.5)
Таким образом, функция /(Д) есть фурье-преобразо-
вание формы спектральной линии. Если линия
достаточно узкая, то функцию f(k) можно считать равной
нулю вне некоторого конечного интервала.
Л
Щ
\S-
+0
Знран
Рис. I. 20. Схематизированный интерферометр,
предназначенный для изучения протяженных объектов.
Другим не менее важным применением оптической
интерферометрии является измерение распределения
интенсивности вдоль протяженного объекта. Упрощенная
схема интерферометра, применяемого для этих целей
в оптике, изображена на рис. 1.20. Протяженный
источник S посылает монохроматический свет. На экране F
с помощью зеркал (/ — //) создается
интерференционная картина. Пусть f(z) —распределение интенсивности
вдоль объекта S, расположенного на прямой Oz.
Если точечный источник с интенсивностью /о
расположен в точке z = 0, то на экране F будет наблюдаться
интерференционное распределение интенсивности,
описываемое функцией /0д1 +cos -y^J, где L —расстояние

§ 1.8] ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ОПТИКЕ 59
между соседними максимумами интерференционных
полос, |—координата вдоль экрана F.
Рассмотрим источник, расположенный на отрезке
(zuz2) оси Ог. Разобьем его на малые интервалы dz
(много меньшие Длины волны). Такие участки можно
считать точечными источниками. Участок dz,
расположенный на расстоянии z от начала координат, будет
давать на экране интерференционную картину,
сдвинутую на расстояние г по отношению к.
интерференционной картине, создаваемой точечным источником при
г = О, причем интенсивность, обусловленная участком
dz> будет равна
dl = f(z)dz[l+cos 2jt(*~g)]. (1.8.6).
Суммируя интенсивности от всех участков, получим
следующую общую интенсивность (см. Введение, [2]):
22
I(l)=jf(z)[l+cos2n(z~l)]dz. (1-8.7)
Zi
Обозначим со = 2л/Ь и введем функцию fo(co),
называемую видимостью интерференционной картины:
f0 (со) = Апях-ЛпШ _Г (L8g)
Лпах + Лп!п У2Я
где /тах и /т|П — величины соседних максимума и
минимума / (£).
Разлагая в (1.8.7) cos—\ > получим I{Q в виде
/ (6) - а0 + a cos ©| + р sin со£, (1.8.9)
где
22 22
а0 = Г / {z) dz, а = а (со) = Г / (z) cos coz dz,
2, 2,
22
Р= Р (со) = Г f (2) sin со?

60 функции с финитным спектром в физике [гл. I
Поэтому имеем
/min = aa-l/a2 + p2,
откуда для видимости ]0(в>) получаем формулу
У 2я <х0
Введем функцию /(со):
f((o)==£M±iiif£l. (1.8.12)
Ее модуль равен /о(со), поэтому назовем f (со)
комплексной видимостью интерференционной картины. Для f (со)
получим выражение
f(co)=yU|/(2)^rf2. (1.8.13)
Комплексная видимость интерференционной картины
как функция от со = 2n/L есть фурье-преобразование
распределения интенсивности вдоль объекта. Если
объект имеет конечные размеры, функция f(z)
сосредоточена на конечном интервале, и пределы интеграла
в (1.8.13) конечны. Поэтому функция f(w) обладает
(обратным) фурье-преобразованием f(z)f
сосредоточенным на конечном интервале.
Рассмотрим в заключение применение
радиоинтерферометра для изучения распределения радиоизлучения
космического объекта. Его устройство схематически
изображено на рис. 1.21.
Радиоизлучение объекта, которое характеризуется
распределением интенсивности f(x,y)y поступает на
вход двух идентичных антенн.
Пусть единичные векторы rt и г2 совпадают с
направлениями на главные максимумы соответственно
первой и второй антенн. Предполагается, что г\ и г2
параллельны.

§ 1.8] ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ОПТИКЕ 61
Введем прямоугольную систему координат (х, у, z)
с началом вблизи интерферометра, причем ось г
параллельна гь
Диаграмму направленности антенны по мощности
будем обозначать через h{xyy). Пусть в точке с
координатами (хуу) на большом расстоянии от
интерферометра находится точечный источник, излучающий
радиоволну с единичной интенсивностью. Сигналы,
поступающие на вход антенны, отличаются только разностью
фаз, поэтому на выходе интерферометра появляется
сигнал, интенсивность которого равна
h = h{xy y)[\ -\- соъ{2п(®{х + щу)}]> (1.8.14)
где o)i и о)2— величины проекций расстояния между
антеннами на плоскости (х, z) и
(У*г).
При изменении взаимного
расположения интерферометра и
объекта величина /о будет
меняться аналогично тому, как в
оптическом случае меняется
интенсивность интерференционной
картины в зависимости от
координаты.
Учтем протяженность
объекта, излучающего радиоволны.
Если поворот интерферометра
происходит в плоскости (х, z), то при Рис. I. 21. Схема простей-
этом интенсивность излучения из- шего радиоинтерферо-
меняется как f(x — xuy), где метРа-
х\ — изменение координаты х при
повороте. Поэтому интенсивность излучения на выходе
интерферометра равна
/ = J /0 (*, У) f (х - хи у) dx dy =
= J h (x, у) f {x - xu y) [ 1 + cos {2n (©!* + to2y)}] dx dy.
(1.8.15)
С помощью этого выражения легко получить формулу
для комплексной видимости интерференционной картины

62 функции с финитным спектром в физике [гл. 1
как функцию от coi и сог'.
/((оьсо2) = -Ь) _f (1.8.16)
/ (*» У) dx dy
где интегралы берутся по всей плоскости [15].
Ясно, что для объектов с ограниченной
протяженностью (для которых f(x,y) = 0 вне конечной области
плоскости) функция f(coi, сог) при фиксации одной из
переменных (соь сог) будет по другой переменной
функцией с финитным спектром (ее обратное фурьепреобра-
зование будет обращаться тождественно в нуль вне
некоторого интервала).

ГЛАВА II
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
В дальнейшем мы будем использовать ряд фактов
теории аналитических функций, в частности, теории
целых аналитических функций, теории интеграла Фурье
и функционального анализа. Эти вопросы выходят за
рамки обычных курсов анализа и теории функций
комплексного переменного, поэтому мы изложим
достаточно подробно необходимые факты и их доказательства.
§ 2.1с Целые функции
При изучении свойств непрерывных функций,
заданных на конечном интервале или в ограниченной
области, особую роль, как известно, играют многочлены;
они являются в некотором смысле простейшими
функциями, и их свойства достаточно хорошо изучены.
Теорема Вейерштрасса о том, что любая
непрерывная функция, заданная на отрезке вещественной оси,
может быть с любой степенью точности
аппроксимирована многочленом (степень которого, конечно, зависит
от точности аппроксимации), показывает, что
многочлены являются естественным конструктивным
элементом для изучения непрерывных функций на конечном
интервале и последовательность аппроксимирующих
многочленов потенциально содержит все свойства
изучаемой функции.
В вопросах физики, связанных с колебаниями,
особую роль играют тригонометрические многочлены. С
помощью очевидной замены переменной
* = cos/ (0<<<я, -1 <*<+!)

64
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. It
многочлен
Рп(х) = С0 + С1х+ ... +Спхп (2.1.1)
переходит в четный тригонометрический многочлен
п
Pn{cost) = Sn{t) = a0+^akcoskt. (2.1.2)
В результате теорема. Вейерштрасса об
аппроксимации многочленами превращается в теорему, также
принадлежащую Вейерштрассу, б Том, что всякая
непрерывная функция на интервале (0, я) может быть
с любой степенью точности аппроксимирована четными
тригонометрическими многочленами.
Однако в этой формулировке содержится нечто
большее: функция cos/, заданная на (0,я), является
четной и периодической; поэтому теорема сразу же
распространяется на периодические функции, заданные на
всей оси (линейное преобразование переменной /дает
возможность формулировать теорему для непрерывных
периодических функций с любым периодом).
Таким образом, при изучении свойств периодических
функций, заданных на всей оси, основным
конструктивным элементом служат простейшие периодические функг
ции — тригонометрические многочлены.
Не менее важным является изучение свойств
функций, определенных на всей вещественной оси. Конечно,
физик или инженер может сказать, что ему никогда не
понадобятся функции, заданные на интервале
бесконечной протяженности. Однако задание функции на всей
оси — это весьма удобная и часто, приводящая к успеху
модель. Периодические функции, важность которых
очевидна, являются примером функций, естественной
областью определения которых служит вся числовая ось.
Если рассматривать не только периодические функции,
то при изучении свойств функций, заданных на всей
оси, многочлены перестают играть роль тех атомов,^из
которых может быть сложено все множество таких
функций.
Оказывается, что многочлены естественно заменяются
так называемыми целыми функциями, к описанию
свойств которых мы. сейчас обратимся. .

§2.Ц
ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ
.65
Целой функцией называется аналитическая функция
комплексного переменного, представимая всюду
сходящимся степенным рядом
f(z) = C0 + Clz + C2z* + ... (2.1.3)
и, следовательно, не имеющая особенностей ни в какой
ограниченной области плоскости z.
Прежде всего напомним, что число корней
многочлена равно его степени. С другой стороны, скорость
возрастания многочлена
Рп(г) = С0 + С1г+ ... +Спгя (2.1.4)
при |г|->оо определяется степенью п. Таким образом,
устанавливается связь между количеством корней у
многочлена и скоростью его роста. Связь структуры
множества корней функции со скоростью ее роста при
|г|->оо обобщается на произвольные целые функции;
скорость роста целой функции оказывается одной из
важнейших ее характеристик.
Для измерения скорости роста целых функций
вводится шкала роста (см., например, [1], [2], [3]). Мы
сейчас дадим соответствующие общие определения, но
вскоре несколько сузим класс изучаемых функций и
будем рассматривать функции лишь определенного
порядка роста.
Напомним, что в соответствии с принципом
максимума модуль целой функции f(z), рассматриваемой
в круге радиуса г, достигает своего максимума на
границе круга. Введем важную функцию
М {г) = Mf (г) = max [ / (г) |. (2.1.5)
!z|=r
Функция М(г) монотонно возрастает при
возрастании г в силу принципа максимума модуля. Полагая
в (2.1.3) z = гег(Р, получим
оо
/И=2с„г"Л (2.1.6)
о
Умножая обе части этого равенства на e-im(v,
интегрируя почленно полученный ряд по интервалу 0-<ф^
^ 2я (что законно, так как ряд (2.1,6) сходится
3 Я, И.. Хургин, В, П, Яковлев

66
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1ГЛ. И
равномерно) и пользуясь ортогональностью функций einv,
получаем
j f (re*) е"^ dq> = Стгт2л. (2.1.7)
о
Отсюда следует известное неравенство Коши:
2зх
\Cm\<1^pnj lf'(re")|dq><-^, (2.1.8)
О
которым мы позже воспользуемся.
Лемма. У всякой целой функции f(z), не являю*
щейся многочленом, функция М(г) возрастает быстрее
любой степени г.
Действительно, предположим, что при некотором це*
лом положительном п
Hm4JP-<+°°. (2.1.9)
Г->оо Г
и покажем, что в этом случае функция f(z) есть
многочлен. Функция f(z) разлагается в степенной ряд
f{z) = a0 + a{z+ .... +anztl + an+lzn+1+ ... (2.1.10)
Рассмотрим многочлен, составленный из первых п + 1
членов этого ряда
P„(z)-a0 + a1z + ... +anzn. (2.1.11)
Разность
f(z)-Pn(z) = an+lzn" + ...
• ... = zn+l(an+l + an+2z + ...) (2.1.12)'
есть целая функция; целой будет также функция
f.(z)= Нг)~Л"{г) *=an+l + an+2z+ ... (2.1.1-3)
Однако при \z\ = г .
if M|^ 1/(г)| + |Р«(2)|._. \fjz)\ + \Pn(z)\ /9 , ш
1М*Л^% |2n+ii — — рГ+1 » \£Л.Щ

§2.1]
ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ
67
и следовательно,
тах|/,(г)К тах' ^г>' + Т'Р"(г)' -Ш+ т%^ ^
(2.1.15)
В силу предположения (2.1.9) существует
последовательность чисел rk(rk—►<*>), для которых первое слагаемое
правой части (2.1.15) стремится к нулю; второе
слагаемое также стремится к нулю, так как Pn(z)— многочлен
/1-й степени. Следовательно, для этих rk
max lMz)[->0 при rk->oo. (2.1.16)
\z\-rk
Отсюда по принципу максимума замечаем, что целая
функция fi (г) аэ 0, т. е.
Пг)шшРп(г). (2.1.17)
Эта лемма показывает, что при изучении роста
целых функций их следует сравнивать по порядку роста
с функциями, растущими быстрее любой степени. В
качестве таких функций принято использовать функции
вида ет , где k > 0.
Целую функцию f(z) называют функцией конечного
порядка, если существует такое число k > 0, что при
достаточно больших г выполняется неравенство
Mf(r)<er\ (2.1.18)
Точную нижнюю границу таких чисел k называют
порядком целой функции f(г).
Из определения порядка целой функции следует, что
если р — порядок целой функции, а е — произвольное
положительное число, то
e'p-*<Mf{r)<e^\ (2.1.19)
причем правое неравенство выполняется
для всех достаточно больших значений г,
а левое — для некоторой
последовательности значений rs (rs-*oo при s->oo).
Нижеследующие функции служат примерами целых
функций конечного порядка k (здесь Pn(z) означает
3*

68
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. II
многочлен степени п\ k — целое положительное число):
I) е*\ 2) Рп{г)<*\ 3)е'**; 4) cosz*; 5) ер*(2);
k
к
6) Рп(г)£ аг1-; 7) ет2' + е-Г1+г'-функция
порядка 1; 8) cos У2- функция порядка у.
Можно дать более точную характеристику роста
целой функции, которая оказывается в приложениях
весьма существенной.
Типом а целой функции f(z) порядка р называется
точная нижняя граница положительных чисел А, для
которых при достаточно больших г имеет место
неравенство
Mf(r)<e^. (2.1.20)
Легко проверить, что условия (2.1.19) и (2.1.20)
эквивалентны условиям
In In Mr (г)
P-Hm ln/ , (2Л.21)
Г->оо ш '
In Mf (г)
a= lirn £--, (2.1.22)
так что равенства (2.1.21) и (2.1.22) могут быть приняты
за определение порядка и типа целой функции.
Целая функция f(z) называется функцией
минимального типа, если a = 0, максимального типа, если
се = +оо, и нормального типа, если 0 < а < оо. Функция
1пЛ1/(г) описывает некоторым образом поведение f(z)
в бесконечности, но не во всех задачах эта
характеристика достаточна. Часто возникает необходимость
характеризовать поведение аналитических функций в
каких-либо неограниченных областях плоскости z.
Обобщение принципа максимума для аналитических
функций на неограниченные области часто называют
принципом Фрагмена — Линделёфа. Мы изложим этот
принцип для изучения поведения аналитических функций
специального, вида внутри угла.

§2.1]
ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ
69
Наряду с порядком и типом целой функции полезно
ввести понятия порядка и типа внутри угла. Обозначив
Mf(r, q>„<feH max \f{re**)\> (2.1.23)
назовем порядком р и типом а функции f(z) внутри
угла ф1^ф^ф2 величины
— In In Aff (г, фь ф2)
р в 1,т f (2.1.24)
77- In Mf (Г, ф„ ф2) о_
a=lim г . (2.1.25)
Г->оо Г
Принцип Фрагмена и Линделёфа.
Теорема 1. Пусть функция f(z) аналитична внутри
и на сторонах некоторого угла, раствор которого равен
Я 1
—, где р>-о-. Пусть далее на сторонах угла f(z) огра-
р ^
ничена (\f(z) \ ^М), и пусть при некотором у>0 и
г-*оо равномерно по ф внутри этого угла In \f(re^) | «
= о(гр-у) *). Тогда всюду внутри этого угла
|/(z)|<Af. (2.1.26)
Доказательство. Без ограничения общности
можно считать, что рассматриваемый угол расположен
симметрично относительно вещественной положительной
полуоси, т.е. что I argz | = | фКу- (в противном
случае этого можно добиться поворотом плоскости).
Рассмотрим вспомогательную функцию
М*)-/(*)*-«*"*. (2.1.27)
При достаточно больших г, используя условия теоремы,
имеем
IU №*) 1 = 1/ №») I e~erP~Y cos (p - у) q> <
^ ехр [о (rp-"Y) — erp~Y cos (p — y) ф] =
= exp{-rP-v[ecos(p-Y)9-^?-]}. (2.1.28)
) внутри этого угла
>0 при г -*оо.
*) То есть равномерно по ф внутри этого угла

70
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1ГЛ. 11
Внутри рассматриваемого угла |ф[^-о~, очевидно,
cos (р — у)ф > 6 > 0. Так как е > 0, то при всех
достаточно больших г второй член в квадратной скобке
последнего выражения будет меньше первого, так что
показатель степени в экспоненте будет отрицательный.
Следовательно, при достаточно большом г правая часть
(2.1,28) может быть сделана меньше М, так что на дуге
окружности |г| = г, лежащей внутри рассматриваемого
угла, при достаточно большом т
1Мг)1<ЛГ. (2.1.29)
я»
На сторонах угла ф=±у- неравенство (2.1.29)
заведомо выполняется, так как при этих значениях
|е-«^|-Г*"Т~™*<1. (2Л;зо)
Следовательно, по принципу максимума |/е(г)|<М
всюду внутри рассматриваемого сектора радиуса г, а
так как г произвольно велико, то, следовательно, и
внутри всего угла.
Но е произвольно, а М не зависит от г. Поэтому,
переходя к пределу при е-»0, получаем \f(z) | ^ М внутри
угла, что и требовалось доказать.
Для дальнейшего полезно уточнить эту теорему.
Теорема 2. Пусть функция f(z) аналитична внутри
и на сторонах угла, раствор которого равен ■^■(р^тЬ
Пусть далее на сторонах этого угла \ f (z) | ■< М, и пусть
равномерно по ф внутри угла In \f(rei(?) \ = о(гр). Тогда
\f(z)\ <M всюду внутри этого угла.
Доказательство. Считая опять, что рассматри-.
ваемый угол есть |arg -г| = |ф|^ «rj", рассмотрим
вспомогательную функцию.
U(z) = hz)e-^. (2.1.31)
Так как при (р=±—-, очевидно, |е_егР|=1, то на
сторонах угла
и[ге±1Щ<М. (2.1.32)

§ 2.Ц ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ 71
«
На действительной положительной полуоси (т.е. йри
Ф = 0) имеем
I /е (г) ИI / (г) I е~** < во И-< (2.1.33)
Следовательно, при достаточно больших г и
фиксированном е > 0 второй члей в показателе экспоненты
превзойдет первый, так что на рассматриваемом луче
I/.WKAI,, (2.1.34)
где Мг — некоторая постоянная. Применим теперь
предыдущую теорему к функции fB(z) отдельно в углах
0^ф<4^ и —-^-^ф<!0. Полный раствор каждого
zp zp
из этих углов есть у, на сторонах углов fB(z)
ограничена постоянными М и Мв и равномерно по ф внутри
этих углов при г->оо в соответствии с условием
теоремы и формулой (2.1.31) возрастает не быстрее е°^ и
тем более не быстрее е°(г29~~у\ как этого требуют уело-1
вия теоремы 1 (для угла с раствором уЧ. Поэтому в
соответствии с теоремой 1 функция fB(z) ограничена в
каждом из углов наибольшей из постоянных М и Ме, а
следовательно, ограничена этой постоянной и во всем
угле |ф|^з|-. Но на сторонах этого угла |/е(г)| <>Af,
а вдоль лучей ге^ внутри угла /е(2) убывает, так что
по принципу максимума внутри угла |<p|^y-
IM«)ia, (2.1.35)
откуда, переходя к пределу при е-*0, получаем окон*
чательно
l/(*)l<Af. (2.1.36)
Приведем теперь теорему, которая дает оценку роста
вдоль лучей функции f(z) порядка р в зависимости от
ее типа а. ...--.,

72
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. 11
Теорема 3. Пусть функция f(z) порядка р и типа а
аналитична внутри угла | argz | = | ф | ^ — и
удовлетворяет на его сторонах неравенству
и\ге±1Щ\<,М. (2.1.37)
Тогда внутри всего угла имеет место неравенство
| / {re1*) | < Me«rP cos рф (| Ф I < у-). (2.1.38)
При этом, как и ранее, угол | ф | ^ -т- может быть за-
zp
менен любым другим углом раствора —.
Доказательство. Построим вспомогательную
функцию
фе(2) = е-(сч-2е)2рдг)# (2.1.39)
В силу условий теоремы эта функция ограничена на
сторонах угла |ф|< —.' Так как функция f(z) по
условию порядка р и типа а, так что для достаточно
больших значений г внутри угла выполняется неравенство
|/(ге*)|<е<а+в>'р, (2.1.40)
то на луче ф = 0 (биссектрисе угла) имеем
I Фе (г) I < е-<а+2е) гР+<а+е) гР = е~*г9 < 1. (2.1,41)
Таким образом, в каждом из углов 0<ф<— и
•ГС
— -^-^ Ф ^ 0 функция Фе(^) ограничена на сторонах угла,
и при некотором y > 0 внутри угла In | ф8 (г) | = о (гр) =
= о (22p"~v). Так как раствор у каждого из углов есть j-t
то, применяя теорему 2, получаем, что фе(^) ограничена
внутри каждого из этих углов, а рассуждением,
аналогичным использованному при доказательстве теоремы, 2,
получаем внутри угла 1ф1^*2о оценкУ
lq>e(2)l<Af, (2.1.42)
или
| / (z) К Ме«*+2е>гР cos w. (2.1.43)

§ 2.2] ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОЙ СТЕПЕНИ 73
В силу произвольности 8 имеем окончательно
I / (re1*) | < MeF*cos w. (2.1.44)
Следствие 1. Если /(г)—функция первого
порядка и типа а в верхней полуплоскости, ограниченная на
вещественной оси \f (х) | <СМ (—оо < х < +оо), то во
всей верхней полуплоскости Im z ^ 0 имеет место оценка
\f{z)\<Mealmz. (2.1.45)
Действительно, угол, образованный в этом случае
положительной и отрицательной полуосями, есть 0 ^ф-^ я.
При порядке р= 1 функция f(z) в этой ситуации
удовлетворяет условиям теоремы 3.
Полагая в (2.1.44) порядок р= 1 и замечая, что при
переходе от правой полуплоскости | argz Jss| ф |^ у к
верхней полуплоскости 0 ^ ф ^ я; следует в неравенстве
(2.1.44) заменить coscp на sincp, получаем в этом случае
I / {re1*) | < Mear sin ф = Меа Im z. (2.1.46)'
Следствие 2. Если f{z) — целая функция первого
порядка и типа а, ограниченная на вещественной оси
|f(*)|<M (—оо <х< +оо), то во всей плоскости z
имеет место оценка
\f(re^)\^Mear^n^. (2.1.47)
Это неравенство получается сразу, если воспользоваться
неравенством (2.1.46) в верхней и нижней
полуплоскостях соответственно.
§ 2.2. Целые функции конечной степени
Целая функция f(z) не выше первого порядка и
нормального типа называется целой функцией конечной
степени*). При этом тип функции
— InMf(r) '
a=lim — (2.2.1)
Г-»оо Г
обычно называется степенью функции.
*) Иногда такие функции называют функциями
экспоненциального типа, а число а называют показателем функции [(г) (см.,
например, [4], гл. IV).

74
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. II
Из определения следует, что степень а равна нулю,
либо если f(z) порядка, меньшего единицы, либо если
f(z) первого порядка, но минимального типа.
Укажем теперь на важную связь между ростом
целой функции и скоростью убывания коэффициентов ее
степенного разложения. Пусть.
f(z) = C0 + C{z + C2z2 + ... (2.2.2)
Так как эта функция целая, то радиус сходимости ряда
бесконечен. Поскольку радиус сходимости R степенного
ряда связан с коэффициентами соотношением
R=lim n l , (2.2.3)
то имеем для целой функции
Ш VTCJ-0. (2.2.4)
Теорема. Функция f(z) является целой функцией
конечно степени а тогда и только тогда, когда
lim ]//i!|CJ = a. (2.2.5)
n->co
Для доказательства теоремы достаточно доказать
эквивалентность следующих двух неравенств:
— In Aff (г)
lim ~^-<Л, (2.2.6)
Г->оо Г
■ ■ Шп -J- У\СГ\ = ШУЩС^\< А. (2.2.7)
Действительно, если неравенства эквивалентны и
а —наименьшее из чисел Л, удовлетворяющее одному
из этих неравенств, т. е. .обращающее его в равенство,
то оно обращает в равенство и другое неравенство.
В том случае, когда (2.2.6) и (2.2.7) обращаются в
равенства, причем справа стоит одно и то же число а, из
сопостар^ения (2.2.1) и (2.2.5) следует утверждение

§ 2.2] ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОЙ СТЕПЕНИ 75
теоремы. Докажем теперь эквивалентность неравенств
(2.2.6) и (2.2.7), т. е. докажем, что каждое из этих
неравенств влечет за собой другое.
Для доказательства того, что (2.2.6) влечет за собой
(2.2.7), воспользуемся неравенством Коши (2.1.8) для
коэффициентов степенного ряда
|С„|<^Р- (" = 0, 1,2,...). (2.2.8)
Пусть е — произвольное положительное число. Из (2.2.6)
получаем для достаточно больших п (п> N(e))
М(г)
Положим
Тогда вместо
|С„|<-
= Mf(r)<e<'4+e>')
п
(2.2.9) получим
п (А + е)п
\Сп
",'
п
JA+e) r
СЛ<Л + е,
(2.2.9)
(2.2.10)
(2.2.11)
что в силу произвольности 8 эквивалентно левой части
(2.2.7). Формула Стирлинга
п! = (^)'1[|/2^ + 0(1)] (2.2.12)
дает возможность Перейти ко второй части (2.2.7).
Докажем теперь, что (2.2.7) влечет за собой (2.2.6).
Из (2.2.2) имеем
M(r)^\C0\ + \Cl\r + \C2\r2+... ' (2.2.13)
Вторая часть неравенства (2.2.7) эквивалентна
неравенству
\cn\<MirL^ (2-2Л4)

76 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. II
верному для всех достаточно больших п(п> N (г)).
Из (2.2.13) и (2.2.14) получаем
N(&)-\ оо
М(г)< 21 \Сп\гп+ 2|СЛ1Л (2.2.15)
О ЛГ(е)
N (е) N (г) О
Кроме того, для всех достаточно больших г (г >
ЛГ(е)-1
2 \Сп\гп<е<А+*г9 (2.2.16)
о
ибо многочлен растет медленнее экспоненты.
Сопоставляя (2.2.15) и (2.2.16), имеем при г>Я(г)
М(г)<2ё(А+е\г<е(А+^г, (2.2.17)
и значит,
^Шг1<А + 2гу (2.2.18)
что в cHjiy произвольности 8 эквивалентно (2.2.6).
Следствие. Если /(г)—-целая функция конечной
етепени а, то ее производная /'(г) —также функция
конечной степени а.
Действительно, если /(г)—-целая функция конечной
степени а, то коэффициенты С'п разложения ее
производной в степенной ряд связаны с коэффициентами Сп
разложения функции f(z) очевидным соотношением
Сп = (п+1)Сп+и (2.2.19)
откуда получаем в соответствии с (2.2.5)
Ит УЩСГ\ = Пт V(n+l)\\Cn+{\ =
«->'<» /г->оо
n+l
«= lim L V(n + 1)! I C„+11J = a. (2.2.20)
П-*оо

§ 2.2] ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОЙ СТЕПЕНИ Jf
Приведем примеры целых функций конечной степени.
Так как
оо
то имеем
iim/rti~=a, (2.2.22)
и следовательно, eaz— функция степени а. Далее
сош=Имг2л <2-2-23)
о
и, следовательно,
}™V{2n)lW)T=a' (2-2-24)
так что cosa-г (а следовательно, и cos(az + f))) есть
функция конечной степени а.
Пусть f(z)— функция конечной степени а. Тогда
функция fi (г) = zmf(z), где m — целое положительное
число, также будет конечной степени а. В самом деле,
коэффициент при zn+m в степенном разложении функции
fi(z) будет равен Сп — коэффициенту при zn в
разложении f(z). Тогда имеем
^"+?K^ = ^^(VkU)^, (2.2.25)
откуда очевидно, что левая часть равенства и выражение
п п
— У\Сп\ имеют своим верхним пределом при n-^оо и.
фиксированном т одно и то же число.
Аналогично можно показать, что если Р (z)—
произвольный многочлен, то Р (г) eaz— функция конечной
степени а.
Построим, наконец, пример функции первого порядка
и минимального типа. Для этого положим
с«-ЫпгГ- <2-2-26>

78
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. 11
В этом случае имеем
lim - т/~(_1—Y* = lim -г— = 0. (2.2.27)
п+оо е У \n\nn ) Яи>00 е\пп v '
Следовательно, функция
00
1
будет нулевой степени*).
Преобразование Бореля. Запишем разложение в
степенной ряд целой функции конечной степени а несколько
в другом виде, выделив в коэффициентах п\\
оо оо
Поставим в соответствие f(z) функцию
оо
£(г) = ]£-£п-> (2.2.30)
п=о z
которая называется ассоциированной по Борелю
функции f(z). Элементарное преобразование ш = —
переводит g(z) в функцию
00
Ф (ю) = *(-£-) = 2 а»ю"+1- (2-2.31)
*) Аналогично асимптотическому равенству (2.2.1) можно
доказать, что порядок целой функции выражается асимптотическим
равенством
г.— п In п
р= lim —
In
\Оп\
п
I I \п
Подставляя сюда выражение Сга=1—: , получим
тт— п In п t
Р= lim —: ; j—: = 1,
rt-»oo П 1П П + tl In In П
и следовательно, рассматриваемая функция есть функция первого
порядка и минимального типа.

§ 2.2] ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОЙ СТЕПЕНИ 79
Так как функция f(z)— конечной степени а, то
lim лГп\I-^I = lim Vl aJ = а. (2.2.32)
Сопоставляя это с выражением (2.2.3) для радиуса
сходимости R, заключаем, что радиус сходимости ряда
(2.2.31) равен 1/а, а следовательно, ряд (2.2.30)
представляет собой функцию, голоморфную в области
|г|>а.
Рассмотрим теперь выражение
J / (О е-* tf£ - g (z, в) (Е - p<r w, 0 < р < оо), (2.2.33)
где интеграл берется по лучу, выходящему из начала
координат и образующему угол (—8) с вещественной
осью. Обозначим через
Ай открытую полупло- „ fl)
w r J J Плоскость з
скость, которая не
содержит окружности
\z\ = а и граница
которой — это
касательная к окружности
| ja: | = а в точке aeiQ
(рис. II. 1).
Функция g(z, 0)
называется
преобразованием Бореля функции
f(z) для
полуплоскости А0.
Интеграл (2.2.33)
сходится равно-
мерно и
абсолютно во всякой замкнутой области,
находящейся внутри полуплоскости А0, и
следовательно, g{z,Q) представляет собой
функцию, регулярную внутри А0.
Покажем это. Пусть D — замкнутая область,
лежащая внутри А9. Это_означает, что расстояние от всякой
точки z из области D до границы полуплоскости А9
превосходит некоторую величину б > 0. Так как граница
полуплоскости Д0 — это касательная к окружности |г|=?
Рис. И. 1. К преобразованию Бореля,

80
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. II
= а в точке z = aeiBy то преобразование zf = ze~iQ
поворачивает полуплоскость А0 так, что ее граница
становится перпендикулярной к оси абсцисс, пересекая ее
в точке х = а (рис. II. 2). Отсюда ясно, что для любых
точек £ = ре^е и z = x + iy
Плоскость в' \ ^-^ из области D имеет место
равенство
Re(z£) = Re(zpe-<*e)==
= p(*cos0 + #sin0)>
>(а + б)р. (2.2.34)
С другой стороны, так
как f(z)—функция
конечной степени а, то для
значений Недостаточно
большим модулем
1/(£)1<^а+Т^', (2-2.35)
а следовательно, существует такая постоянная С, что для
всех £
,(а+т)'£'
Рис. II. 2. Преобразование
плоскости 2.
!/(£)!< ОЛ
(2.2.36)
Поэтому, если точка z находится в области D, а точка Z,
лежит, на луче £ = pe~iQ (0^p<oo), имеем,
сопоставляя (2.2.34) и (2.2.36):
„(в+тк
| / (£) в-« | < Се"-"г 21 V*e^е~ш"> < Се
Следовательно, для любого z из области D
(2.2.37)
00
\f{t)e~*dl\<l
~Qd9-
2С
у-< + оо, (2.2.38)
и, таким образом, во всякой замкнутой области,
лежащей внутри Д0, интеграл сходится равномерно и
абсолютно.
Покажем теперь, что в полуплоскости Ае (т. е. при
любом z из полуплоскости Де)
g{z,Q) = g(z), (2.2.39)

§ 2.2] ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОЙ СТЕПЕНИ 81
где g(z)—ранее введенная функция, ассоциированная
по Борелю функции f(z).
Так как функции g(z) и g(z, 0) аналитические в Д0,
то для доказательства достаточно показать их
совпадение на части области, например при
Re(ze-'e)>3a. (2.2.40)
Покажем, что при этих значениях z можно прямо
подставить в (2.2.33) разложение f(z) в степенной ряд
(2.2.29) и интегрировать почленно. Действительно, для
любого значения г в полуплоскости, определяемой
неравенством (2.2.40), имеем
|е-да-'в|<£гЗарв (2.2.41)
Далее, из неравенства Коши (2.2.8), которое в случае
разложения (2.2.29) имеет вид
1М<^1, (2.2.42)
следует, что при г > р для остатка ряда (2.2.29)
справедливо неравенство
|/Мр)1-
iip'hfW- (2-2-43)
/1+1 I 1~Т
Вспомним, что /(г)—функция конечной степени а, так
что
М{г)<е^г (е>0). (2.2.44)
Если теперь положить в (2.2.43) г = 2р, то, пользуясь
(2.2.44), получим оценку
1^(р)1<(у)%2р(а+Е). (2.2.45)
Из неравенств (2.2.41) и (2.2.45) легко заключаем, что
ряд
/ft)/r**S*-*-^ (2-2-46)
о

82
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. II
сходится равномерно на луче £ = pe~iQ (p>0). Так как
интеграл по этому лучу
/
е-*СС* #--*£-, (2.2.47)
то почленное интегрирование правой части (2.2.46) даег
искомую формулу: в каждой точке z из полуплоскости А9
g {z, 6) «в J / (£) *-* rf£ = J] 4^ » g (Z). (2.2.48)
О
Область сходимости интеграла (2.2.48) может быть
шире, чем полуплоскость Д0, т. е. может содержать эту
полуплоскость в качестве своей части. Соотношение
(2.2.48) указывает на возможность использовать
преобразование Бореля для аналитического продолжения
функции g(z), которая первоначально определена в
области |г|> а.
Индикатор. Назовем индикатором целой функции
f(z) конечной степени функцию
Ш=ШЩ^1. (2.2.49)
Индикатор характеризует зависимость роста функции
f(z) от направления. Нетрудно показать, что если f(я)-—
целая функция конечной степени а, то
sup /г(ф) = а. (2.2.50)
0<ф<2я
Например, индикатором функции f(z) = eaz является
функция
/г(Ф)= lim -^ ^acoscp, (2.2.51)
Г->оо
а индикатором функции f(z) = sinaz является функция
_ 1п1|в'^'ф-в-^'ф|
Л(ф)= lim —- ^a|sin9|. (2.2.52)

§2.3] СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ 83
§ 2.8. Некоторые сведения из теории интеграла Фурье
Функция ф(дс) называется интегрируемой на интер-
ь
вале (a, ft) (—оо <а < ft <+00), если j | у{х) \dx<
а
< + оо, и называется интегрируемой в квадрате, если
ь
| | (f(x) \2dx< + 00. Часто множество (или класс, или
а
пространство) всех интегрируемых функций на (a, ft)
обозначают Li(ay ft), а множество всех интегрируемых
в квадрате функций обозначают L2(a, ft).
Теорема 1 (Римана — Лебега). Пусть F(g))—*
функция, интегрируемая на всей оси —оо<о)<+оо.
Тогда функция
00
/(0 = -р=- JF(»)e*<*da>, (2.3.1)
— 00
называемая преобразованием Фурье*) функции F(co),
*) Мы всюду будем пользоваться комплексной формой
преобразования Фурье. Комплексная и вещественная формы этого
преобразования связаны следующими соотношениями. Если положить
F(co) = Л (с*)) + /^(ю), где Fi(co) и /^(ю) — вещественные функции,
и перейти к положительным частотам, то
00
— 00
00
--7=- {[Fi (a)+ Fi {-(*)]cosM-[F2((>>)-F2{-Q)]sin<i)t}d<i> +
00
+ /—Д=- {[/7i(co)-/:,1(-0)]sin0/ + [F2(0) + F2(-0)]cos0O^.
/2я J
В случае, когда /(0 вещественна, второй интеграл исчезает, а
функция F((a) удовлетворяет соотношению F(—©)=/7(со), где черта
сверху означает комплексно сопряженную величину. Когда
независимая переменная / означает время, то отрицательные частоты не
имеют физического смысла, если же / — это пространственная
координата, то положительные и отрицательные частоты равноправны.

84
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. И
ограничена, непрерывна при всех значениях t (—оо <
</< +оо) и стремится к нулю, когда |/|->оо.
Доказательство. Ограниченность функции f(t)
следует из очевидной оценки
i^i<?t!|fWI
da
(2.3.2)
и интегрируемости функции F(co), которая принята в
условиях теоремы.
Рассмотрим последовательность интегрируемых на
всей оси функций Fn((d) (п = 1, 2, ...), которые
сходятся к функции F((o) в смысле сходимости в
пространстве интегрируемых функций:
оо .
J|F(cd)-F^JI^<d--»0 при п-гоо. (2.3.3)
Если обозначить через fn(t) преобразование Фурье
функции Fn(co), то имеем, используя (2.3.2) и (2.3.3),
Щ)-Ш\=-^
оо
jV(«)-F„(<o)]e<»^0
<
<Л1
<-г^=- \\F{®)-Fn{<u)\d<>>->0 при п->оо.
(2.3.4)
Таким образом, из (2.3.3) следует, что
последовательность функций fn(t) (преобразований Фурье функций
Fn(co)) сходится к /(/) равномерно по t при —оо <t<
< +оо.
Теперь заметим, что если %(со) — характеристическая
функция интервала (a, ft), т.е.
( 1 при а<©<&,
О при ©<а и ©>ft,
то
оо О
ф(/). = 1 %(со)ешda = J ешda = е це . (2.3.6)

§ 2.3J СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛА ФУРЬЁ 85
Функция ф(0» очевидно, непрерывна на всей оси ./ и
стремится к нулю при |/|->оо. '
Пусть Ч^оо) — интегрируемая ступенчатая функция,
которая представима в виде линейной комбинации
конечного числа характеристических функций интервалов,
на которых она постоянна. Поскольку, как мы показали,
для каждого слагаемого этой линейной комбинации
преобразование Фурье непрерывно и стремится к нулю при
|^-*оо, то это же справедливо и для преобразования
Фурье г|)(/) рассматриваемой ступенчатой функции
ЧЧсо).
Пусть теперь F(со)— произвольная функция,
интегрируемая на всей оси со. Можно показать, что для
всякой интегрируемой функции F(o>) и любого
натурального числа п существует интегрируемая ступенчатая
функция 4^(0)) такая, что
оо
J|F(cD)-1Pll(<o)|rfcD<j. (2.3.7)
Иначе говоря, всякая интегрируемая функция есть
предел в смысле сходимости (2.3.3) последовательности
ступенчатых функций Ч^со). Преобразования Фурье
tyn(t) функций гРп(со) непрерывны, стремятся к нулю
при |/|-*оо и равномерно сходятся на всей оси к
преобразованию Фурье f(t) функции F(o>); следовательно,
f (/) также будет непрерывной функцией, стремящейся
к нулю при |/|-*оо. Это полностью доказывает
теорему.
Следует заметить, что скорость убывания
преобразования Фурье (2.3.1) при |/|->оо зависит от
дифференциальных свойств функции F(o)). Приведем следующую
простую теорему.
Теорема 2. Пусть функция F(®) и ее производные
/^(со), ..., F^'^G)) интегрируемы, непрерывны на всей
оси и стремятся к нулю при |со|->оо, и пусть FW((o)
интегрируема на всей оси со. Тогда
tnf{t)->0 при |*|->оо. (2.3.8)

86
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. II
самом деле, если
00
J F{(u)eiaida, (2.3.9)
оо
то повторное /i-кратное интегрирование по частям с
учетом условий теоремы дает
00
f(t) = (jf-^ ]>п)(со)Лсо. (2.3.10)
— оо
Умножая обе части этого равенства на tn и пользуясь
теоремой 1 для функции fW(co), получаем предельное
равенство (2.3.8).
Как показывают пример характеристической функции
интервала и формула (2.3.6), если функция F(<o)
разрывна, то tf(t) может уже не стремиться к нулю при
|/|->оо, так что, сохраняя условия теоремы, нельзя в
(2.3.8) заменить п на п + 1.
Укажем теперь некоторые следствия этих теорем для
функций с финитным спектром. Пусть функция /(/)
имеет финитный спектр, т. е. представима в виде
а
f(0 = -7=- jF(«))^rf(D, (2.3.11)
-а
где а конечно, и пусть, кроме того, F(co) интегрируема
в квадрате на отрезке (—а, а).
Заметим, что если функция F(co) интегрируема в
квадрате на конечном интервале, то она подавно
интегрируема (в первой степени) на том же интервале.
Отсюда и из теоремы 2 получаем ряд следствий.
Следствие 1. Если f(t)— функция с финитным
спектром, сосредоточенным в интервале (—а, а), и ее
преобразование Фурье f(o)) дифференцируемо п раз,
причем F(±a) =F'{±a) =^ ... * Я»-») (±а) =0, и
f(ri)((o) интегрируема на этом интервале, то функция
/"/(/) также имеет финитный спектр, сосредоточенный
в интервале (—а, а), и tnf(t)~>0 при |/|-*оо.
Хорошо известно, что если аналитическая функция
равна нулю на каком-либо интервале, то она тожде-
Доказательство. В
'W-7ST

§ 2.3] СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ 87
ственно равна нулю во всей области аналитичности.
Также известно, что аналитическая функция в каждой
точке имеет производные всех порядков (как говорят,
бесконечно дифференцируема). Однако не всякая
бесконечно дифференцируемая функция — аналитическая,
Действительно, для аналитичности функции f(x) в
некоторой точке х0 необходимо, чтобы ее ряд Тейлора
сходился. Однако производные f(n)(*o) могут
существовать при любом натуральном я, а ряд Тейлора может
и не сходиться или сходиться, но не к этой функции.
Без труда можно, сконструировать функции, которые
бесконечно дифференцируемы на всей оси и равны
тождественно нулю вне конечного интервала. В качестве
примера укажем на функцию
F(co)= * а~* a+w ПРИ -<*<(D<+a, (2 ЗЛ2)
I 0 при со ^ а и со ^ — а.
Следствие 2. Пусть.f(t)— функция с финитным
спектром, так что функция F(co)— ее преобразование
Фурье—равна нулю вне отрезка [—a, a]. Если F(co) —
функция, бесконечно дифференцируемая на всей оси
(вследствие чего F<n)(±a) = 0, п = 0, 1, 2, ...), то, каков
бы ни был многочлен P(t), функция P(t)f(t) также
будет функцией с финитным спектром, представимой в
виде (2.3.11).
В самом деле, так как F(co)— функция, бесконечно
дифференцируемая на всей оси и равная нулю вне
отрезка [—а, а], то для любого целого положительного п
в соответствии с (2.3.10)
а
<7 (/) = -Lr f inFM (<d) еш da в
У 2я J
-а
а
-witt^r^]'"*»' (2-злз)
-а
где выражение в квадратных скобках означает гс-крат-
ное применение оператора i-j— к функции F(co),

88 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. II
Поэтому, если Р(/)— многочлен, то
а
p{fim-m J И'£)*>>] «'**». (2-ЗЛ4)
' —а
где уже обозначения очевидны. Функция
Mcd) = p(;^)f(co) (2.3.15)
в соответствии с условиями /W(±a) = 0 (п = 0,1, 2, ...)
и равенством F((o) = 0 при |о)|^а также равна нулю
вне интервала (—a, a), а внутри непрерывна
(бесконечно дифференцируема). Следовательно,
a
P(t)f (t) = -pL- j* FP (a) e'* da», (2.3.16)
—a
и таким образом левая часть равенства также предста-
вима в виде (2.3.11), причем Fp(co) непрерывна на
(—а, а).
Преобразование Фурье функций класса L2 (—оо, с»).
Пусть {fn (х)} — последовательность функций,
интегрируемых в квадрате на всей оси. Последовательность
{fn(x)} называется сходящейся в среднем к функции
f(x), также принадлежащей L2(—оо, оо), если
оо
lim \\f{x)-fn{x)\2dx = 0. (2.3.17)
— 00
Функция, интегрируемая в квадрате на всей оси,
может и не быть интегрируемой в первой степени, как
показывает пример функции ф(х) = { . . . Поэтому, если
f(x)—функция, интегрируемая в квадрате на всей оси,
то понимаемый в смысле Li(—оо, оо) интеграл
оо
[f{x)e-ie,xdx (2.3.18)
«p-OQ

§2 3] СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛА ФУРЬЁ $9
при фиксированном значении о> может не иметь смысла.
Поэтому функция
оо
/~Н = -р=- jf(x)e-t**dx (2.3.19)
^ —00
определена, вообще говоря, не для всех значений со,
следовательно, и преобразование Фурье в классе функций
Lz(—оо, оо) должно быть определено некоторым
специальным образом.
Рассмотрим последовательность функций
N
/(со, AO = yL- jf(x)e-*°*dx. (2.3„20)
Воспользуемся известным неравенством Коши — Бу-
няковского: для любых принимающих комплексные
значения функций f(x) и g(x), интегрируемых в квадрате
на интервале (a, ft) (—оо ^а < ft ■< +00), имеет место
неравенство *)
\f{x)g{x)dx <|/ l\f{x)?dx\\g(x)?dx. (2.3.21)
а \ b a
Покажем, что при каждом фиксированном N функция
f (со, N) является непрерывной функцией от со при
«—ОО < (0 < +00.
v В самом деле,
|7(© + Я,, ^)-/(со, N)
I N
_ 1
j f(x)e-'«>x(e-ax-l)dx
<
Г" N ■ N
<Y=y \\f{x)?dx \\e-**-\?dx. (2.3.22)
*) Доказательство этого неравенства в более общем случае
приведено в § 2.4.

90
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. II
При Х->0 правая часть неравенства, очевидно,
стремится к нулю, а следовательно, и левая, что и
доказывает наше утверждение.
В теории интеграла Фурье доказывается следующая
фундаментальная теорема.
Теорема 3 (Планшереля). Если f(x) принадлежит
L2(—оо, оо), то последовательность функций f (a, N),
определяемых формулой (2.3.20), сходится в
среднеквадратичном к некоторой функции f (ю), интегрируемой в
квадрате на всей оси —оо < о> < +<х>:
оо
lim f | J (со, N) - f (со) |2 rfco = 0. (2.3.23)
W->oo J
— ЭО
Функция jf(co) называется преобразованием Фурье
функции f(x) в пространстве Lz{—оо, оо). Это записывается
обычным образом:
— 00
00
(2.3.24)
йо интегралы понимаются сходящимися в
среднеквадратичном*). Имеют место следующие формулы
обращения:
оо
/©) = -—-— f(X) —±dx,
у2я d® J — ix
— оо
00
где равенства, имеют место почти для всех значений со
и х соответственно.
*) В дальнейшем мы в основном будем придерживаться
удобного обозначения f(x) и Дсо) для пары преобразований Фурье.

§2.3] СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ 91
Если можно поменять местами дифференцирование
и интегрирование, то эти формулы переходят в обычные
преобразования Фурье.
Мы опускаем здесь доказательство этой теоремы
(см., например, [5], [6]).
В качестве примера укажем на функцию
/W—^, (2.3.26)
для которой не существует интеграла от \f(x)\ и,
следовательно, не существует преобразования Фурье в
смысле Li(—оо, оо): интеграл
]^2я
J X
расходится при ю = ±а. Однако функция (2.3.26)
интегрируема в квадрате на всей оси, и следовательно,
существует преобразование Фурье в определенном нами
сейчас смысле, так что функция
— 00
имеет смысл для почти всех значений со, ибо
подынтегральная функция теперь уже абсолютно интегрируема.
Как нетрудно подсчитать (при а > О, со > 0),
г , ч Г sin ад; (е шх — \) Г .sin ах sin соя ,
(2.3.28)
о
Г.ясо при со < а,
1 яа при со>а.
Поэтому окончательно
1 d ~ \ Л/ -тг при cD<a,
/ N -^=~ /.(«>)= К 2 (2-3.29)
У2л dm I 0 при ©>(„.

92
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. II
Изложенный подход и формулы для преобразований
Фурье приводят нас к важному заключению о
взаимности понятий «функция» и ее «преобразование Фурье»:
безразлично, какую из пары функций, связанных
преобразованием Фурье, считать исходной и какую —ее
спектральной функцией. Мы специально ввели букву /, в
отличие от переменной со, имея в виду разделить
временную и частотную переменные для применений в теории
связи и некоторых других разделах техники. Но,
например, в оптике будут рассматриваться преобразования
Фурье для пространственных переменных, и буквы —
независимые переменные —не будут иметь указанную
физическую интерпретацию, так что буквам t и со не
следует придавать какой-либо более важный смысл, чем
просто удобство при некоторых применениях.
Преобразование Фурье свертки. Рассмотрим
интеграл, называемый сверткой функций f(x) и h(x):
оо
j f(x)h(y-x)dx. (2.3.30)
— с»
Мы можем написать следующие формальные равенства:
оо оо оо
\ f(x)h(y-x)dx = jh(y-x)-~=- jf((n)eimxd<adx =
V2n
оо
oo oo
= J ~f{<u)ei(l>v--f=- j h(z)e-i,i,!!dzda
j* f ((d)e1*»-L=r j h(y-x)«-'•(»-*>dxdm■■
oo
//(<о)ВД
e'^da. (2.3.31)
*, _Последнее выражение показывает, что произведение
У2п](ф (со) является преобразованием Фурье свертки
(2.3.30).

§ 2.3] СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ 93
Укажем некоторые условия, при которых
справедливы равенства (2.3.31), написанные нами формальна
Доказательства этих предложений см., например, в
книге Е. Титчмарша [5].
Г. Если f(x) и h {x) — функции, интегрируемые на
всей оси —оо <х< +оо, то их свертка (2.3.30) также
интегрируема на всей оси,_и ее преобразованием Фурье
является произведение |/2я/(со)Л(со).
2°. Если f(x) и h(x) интегрируемы в квадрате на
всей оси —оо<л:<+оо, то равенство (2.3.31)
выполняется для всех у(—оо < у < + оо).
3°. Если f(x) интегрируема в квадрате на всей оси,
a h(x) интегрируема (в первой степени), то их свертка
(2.3.30) интегрируема в квадрате на <оси, и ее
преобразованием Фурье является функция уг2я/(оо) А(оо).
Заметим, что если й(о>) есть преобразование Фурье
функций h(x), то, как нетрудно проверить, 7г(о)
является преобразованием Фурье функции А(-—х)
(прямая черта сверху означает комплексно сопряженную
величину).
Положив в (2.3.31) 1/ = 0и А(—х) =f(x), получаем
00 ОО
j\f{x)fdx = j\](v>)\2d<i>. (2.3.32)
— ОО —ОО
Это соотношение известно под названием равенства
Парсеваля.
Преобразование Фурье функций многих переменных.
Пусть х = (хи х2,... ,хп) — точка n-мерного евклидова
пространства Rn> и пусть f(x) — f (хи х2у... Ухп) —
интегрируемая функция во всем пространстве Rn.
Преобразованием Фурье функции f(x) называется функция
/(со) = /(соь со2, ..., ©„) =
-(w)*M«"',*",+-"A,x
п
Xf{xt, ..., xn)dxi ... dxn, (2.3.33)
где интегрирование ведется по всему пространству. . -

94
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. II
Как всегда, когда имеют дело с кратными
интегралами, возникает задача вычисления этого интеграла,
часто значительно более сложная, чем вычисление
однократного интеграла. В том простейшем случае, когда
f(xl9 хъ ..., xn) = fl{xl)f2{x2) ... fn(xn)9 (2.3.34)
где в правой части написаны функции, интегрируемые
каждая по своему переменному, правая часть (2.3.33)
сводится к произведению однократных интегралов
00 ОО
~№=у~ jfl(xi)e-i^dxl ...-^ jfn(Xn)e-ixn*ndxn =
— ОО —00
«Г, М,.. £(<»»).. (2.3.35)
В общем случае следует использовать какой-либо
способ сведения кратного интеграла к повторному.
Например, выражение (2.3.33) можно записать в виде
М / * ОО , 00
/(со)-—^ J ... N jf(xu хъ ..., хп)Х
(2Я)2 "°° 1-оо 1-00
X в'***** dxx }e~ix^ dx2} ... }e^x^ndxn. (2.3.36)
Каждая из фигурных скобок определяет
преобразование Фурье по одной координате при фиксированных
остальных. Если обратить каждую из операций, не
заботясь о законности этих преобразований, то получим
П/ 00
^ X еш*х* tfco, }еш>х> йщ ... }ешп*п Лщ. (2.3.37)
Однако для того, чтобы написанные преобразования
имели смысл, нужно наложить определенные
ограничения на поведение функции /(хи... ,хп). В качестве
примера таких условий укажем, что если эта функция

§ 2.4] ГИЛЬБЕРТОВО ttPOCtPAHCtBO Й ОПЕРАТОРЫ 95
дифференцируема по каждому из переменных и
частные производные -^— (k=l, 2, ..., п) являются не-
oxk
прерывными и интегрируемыми функциями в /?п, то
обращение интегралов законно. Более подробное
изложение этих вопросов читатель найдет в книге Г, Ё.
Шилова [6] (гл. VII, §8).
§ 2.4. Гильбертово пространство
и интегральные операторы
Понятиями линейного пространства и гильбертова
пространства сейчас широко пользуются, и мы
приведем здесь лишь основные определения и факты с тем,
чтобы при чтении разделов, где эти факты будут
использованы, у читателя не было необходимости
обращаться, к литературе.
Линейным пространством называется совокупность
Е элементов f9g, ..., для которых установлены
операции сложения и умножения на числа (вещественные или
комплексные) так, что выполняются следующие ниже
аксиомы 1—8.
Первая группа аксиом (I—4) описывает свойства
сложения.
1. f + g = g + f (коммутативность сложения).
2. (/ + g) + h = / + (g + h) (ассоциативность
сложения).
•3. Существует элемент 0 такой, что / + 0 = / для
любого /е£.
4. Для каждого / е Е уравнение / + g = 0
разрешимо. . .
.Легко проверить, что элементы 0 и gy существование
которых требуется в аксиомах 3 и 4, определяются един-'
ственным образом. Аксиомы 1—4 в совокупности
утверждают, что линейное пространство Е есть
коммутативная группа по отношению к операции сложения.
Следующая группа аксиом (5—8) связывает
операции сложения и умножения на число. При этом через
& обозначена та совокупность чисел (вещественных или
комплексных), на которой допускается операция
умножения.

96
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. TI
5. M^/) = (W (Ь,цеЕ«\/-€5£).
6. Ь/ = /.
7. k(f + g) = Xf + Xg.
8. (X + ix)f = lf + \if.
Совокупность L элементов линейного пространства
Е называется подпространством в £, если операции
сложения элементов из L и умножения их на числа
приводят всегда к элементам из L. Наименьшее
подпространство состоит из одного элемента 0, наибольшее
совпадает со всем Е.
Линейное пространство Я с умножением на
вещественные числа называется вещественным
гильбертовым пространством,, если: 1) указано правило, которое
позволяет сопоставить каждой паре точек (векторов)
f, g пространства Я вещественное число, называемое
скалярным произведением векторов / и g и
обозначаемое (f,g)] 2) это правило удовлетворяет следующим
требованиям:
а) (fyg) = (g>f) (коммутативность);
б) (/, g + h) = (/, g) + (/, h) (ассоциативность);
B) (hf,g) = h(f,g) для любого вещественного
числа Я;
г) (/,/)> 0 при/ =£0 и (f,/) = 0 при / = 0.
Примером конечномерного гильбертова
пространства служит обычное (координатное) n-мерное
евклидово пространство. Более важным для нас примером
служит пространство Ь%{а,Ь) (где —oo*Ca<b4i+oo)
интегрируемых в квадрате функций f(x). Lz(a,b),
очевидно, линейное пространство; введем скалярное
произведение по формуле
ь
<f,g)-$f(x)g{x)dx. (2.4.1)
а
Выполнение всех аксиом линейного пространства и
скалярного произведения следует из свойств интеграла, и
мы не будем останавливаться на их проверке.
Наличие скалярного произведения дает возможность
ввести понятие нормы * или длины вектора. Именно

§ 2.4] Гильбертово rtpoctpAMcf fco и операторы g?
вследствие аксиомы г), можно извлечь корень из
скалярного произведения (/, /) и положить норму f
WfW^ + VJTf): (2-4-2)
Для рассматриваемого примера
11/11= у \f2(x)dx. (2.4.3)
а
Далее, рассматривая дискриминант неотрицательного
квадратного трехчлена (X — число)
Ш -g,kf-g) = V if, f) ~ 2Я (/, g) + (gt g), (2.4.4)
получаем неравенство
(/, gf <(f,f)(g,g) (2.4.5)
или
К/, ff) КII/II-11*11, (2.4.6)
что есть естественное обобщение неравенства Коши—*
Буняковского (2.3.21).
Другим примером гильбертова пространства
является пространство Нр функций, интегрируемых в
квадрате на интервале (а, Ь) (—оо ^ а < b ^ +оо) с
некоторым весом. Пусть р (х) — неотрицательная функция.
Введем скалярное произведение по формуле
ь
(f,g) = jf(x)g(x)p(x)dx, (2.4.7)
а
так что квадрат нормы в Нр есть
ь
Wff=jP(x)p(x)dx. (2.4.8)
а
В дальнейшем нам придется рассматривать
функции вещественного переменного, принимающие не
только вещественные, но и комплексные значения.
Поэтому рассмотрим понятие комплексного гильбертова
пространства, т. е. линейного пространства, в котором
допускается умножение на комплексные числа.
4 Я. И. Хургин, В. П. Яковлев

98
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЁОПРОСЫ
twt. и
Аксиомы скалярного произведения при этом
претерпевают некоторые изменения. Именно аксиома а)
скалярного произведения в вещественном пространстве
заменяется на аксиому:
а') (/> g) = (#> /) (черта означает переход к
комплексно сопряженной величине).
В этом случае остальные аксиомы б)—г)
сохраняются, причем следствием этих аксиом является
правило вынесения числового множителя со второго места
скалярного произведения
(f, te)-X(ff g).
Примером комплексного гильбертова пространства
служит пространство комплекснозначных функций f(x)
вещественного переменного, заданных на интервале
(я, Ь) (—оо ^ а < Ь ^ + оо) со скалярным
произведением
ь
(f,g)=jf(x)JixjdXi (2.4.9)
а
Как обычно, векторы fug называются
ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:
(f,£) = 0. (2.4.10)
В частности, в вещественном пространстве Нр(ауЬ)
векторы f(x) и g(x) ортогональны, если
ь
ji(x)g(x)p(x)dx-0. (2.4.11)
а
Когда /?(*)= 1, то получаем условие ортогональности-
для L2(a% ft).
Вектор / называется ортогональным подмножеству
Gcz//, где // — гильбертово пространство,если (f,g)=0
для любого вектора g a G. Подпространства #i и Н2
гильбертова пространства Н будут ортогональными,-
если (f, g) = 0 для любых / е Н{ и g e Я2.
Если Hi — подпространство Я, то совокупность всех
элементов g, ортогональных Ни образует подпростран-

§ 2.4] ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО И ОПЕРАТОРЫ 99
ство #2, ортогональное ЯА. При этом для всякого
вектора ЛбЯ существует единственное представление
h = f + g; (2.4.12)
где |бЯь g е #2. Вектор / называется проекцией
вектора h на Hi и среди всех векторов из Я4 находится на
наименьшем расстоянии от ft.
Система векторов еи е% ... гильбертова
пространства Н называется ортогональной, если
(ehek) = 0 при хфк, (2.4.13)
и ортонормальной, если.
ifiu **)-W (2.4.14)
где вм равно 1 при /»4и равно 0 при / =£ Л.
Говорят, что система {е*} образует базис в
пространстве Я, если каждый элемент АеЯ представим
единственным образом в виде
А-2!СЛ| (2.4.15)
1
где Са^-числа (соответственно вещественные или
комплексные). Если, кроме того, базис удовлетворяет
соотношениям (2.4.14), то это —ортонормальный базис.
При этом
IIh|р-S ||CkIP, Ck-{h,ek). (2.4.16)
i
Числа Сн обычно называются коэффициентами Фурье
вектора h по системе {е*}, а последнее равенство — это
равенство Парсеваля.
Гильбертово пространство Н называется полным,
если всякая фундаментальная последовательность {fn}
сходится, т. е. из того факта, что ||/л —/mll-*0 при
nf т-*оо, следует существование элемента fe#
такого, что ||/п —/И-*0 при_п-*оо.
Теперь обратимся к линейным операторам.
Пусть Е и Ei —два линейных пространства.
Линейным оператором, действующим из Я в Еи называется
отображение
g-Af' (/€=£, g&Ex)9 (2.4.17)
i*

100 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. II
удовлетворяющее условию
А (Л,/, + Ш = Я,ЛЛ + М/2 (2.4.18)
для любых чисел Ль %2 (вещественных или
соответственно комплексных).
Совокупность DA тех /е£, для которых Л/
определены, называется областью определения оператора А.
Если Е и fii—- нормированные пространства, то
оператор называется ограниченным, если из ||/|| < оо
следует, что ||А/|| < оо, и непрерывным, если для любого
е > 0 существует такое б > 0, что из неравенства
l/i-/*ll<6 (f„'/,eDA) (2.4.19)
следует
м/,-лык е.
Примеры. 1. Пусть Я —пространство Lb(ayb). Тогда
оператор умножения любой функции f(t)&Lz(a-fb) на
некоторую фиксированную ограниченную функцию
y(t)eLz(a,b):
Л/-/(0ф(0. (2.4.20)
является линейным и непрерывным.
2. Пусть // — гильбертово пространство, Hi —его
подпространство и //2—- подпространство,
ортогональное Ни так что имеет место (2.4.12). Определим
оператор Р проектирования Н на Ну.
Ph = P{f + g) = f (АеЯ, /еЯ„ ge//2). (2.4.21)
Этот оператор линеен и непрерывен.
3. Пусть k(x, s) — интегрируемая в квадрате
функция в области a^x^b, a^s^b (—оо ^ а <
<6< +оо):
ъ ь
J J k2 (xt s) dx ds = K2< oo. (2.4.22)
a a
Определим в пространстве L2(a,b) оператор А
формулой
ь
g{x)-Af{x)-jk(x, s)f(s)ds. (2.4.23)

§ 2.4] ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО И ОПЕРАТОРЫ 401
Этот оператор — интегральный оператор Фредгольма^*
также линеен и непрерывен.
4. Пусть Н — гильбертово пространство и {^} —
базис в И. Пусть Ль Л2, ..., ЛЛ, ... — фиксированная
последовательность вещественных чисел, причем
. . IVKA. (2.4,24)
Для любого вектора
00
A- 2jCkek<=H (2.4.25)
i
положим по определению
оо
Лй«2а*Са**- (2.4.26)
Так как 2а1с1<А22с2л> то формулой (2.4.26)
оператор А определен во всем пространстве //.-.-Он,
очевидно, линеен.
Вектор f^E называется собственным вектором от*
ратора Л, если
Л/ = А/. (2.4.27)
Число Я называется собственным значением
оператора Л, соответствующим собственному вектору /.
Оператор нормального вида по определению имеет
в качестве собственных векторов векторы базиса еи
въ ..., £п, ... соответственно с собственными
значениями %и fa, ... , Яп, ...
Если для любых векторов /, g^H оператор Л-удсь
влетворяет условию
iAf,g)-tf,Ag), (2.4.28)
то оператор называется самосопряженным или
симметричным.
Наконец, важным для дальнейшего является класс
вполне непрерывных операторов. Оператор называется
вполне непрерывным, если из каждой
последовательности векторов gn = Afnt где числа II/JI равномерно
ограничены, можно выбрать сходящуюся последовательность.

102
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1ГЛ. II
.. Легко проверить, что вполне непрерывный оператор
будет ограниченным и непрерывным.
Основная теорема о вполне непрерывных
операторах, принадлежащая Д. Гильберту, гласит: в полном
гильбертовом пространстве со счетным базисом еи
02, • • •» епУ ... всякий симметричный вполне
непрерывный оператор А обладает полной ортогональной
системой собственных векторов.
Отметим важные свойства симметричных вполне
непрерывных операторов:
а) они обладают максимальным собственным
вектором, т. е. единичным вектором еу \\е\\ — 1, на котором
величина ||Ле|| достигает своего наибольшего значения;
б) собственные векторы таких операторов,
отвечающие различным собственным значениям, взаимно
ортогональны;
в) если собственное значение КфО, то существует
лишь конечное число взаимно ортогональных векторов
с данным собственным значением;
г) если число собственных векторов бесконечно, то
собственные значения образуют последовательность,
стремящуюся к нулю. При этом всякий элемент вида
Af может быть разложен по ортонормированной
системе собственных векторов {еп} с ненулевыми
собственными значениями
00 ОО
Af = Ц (Af, еп) еа = 2 К (f. en)en; (2.4.29)
I 1
д) каждый вектор АеЯ может быть представлен
в виде ортогональной суммы
ОО
h - W + h" - 2 ckek + h\ Ah" - 0. (2.4.30)
l
Основным для дальнейшего примером непрерывного
оператора служит интегральный оператор Фредгольма
(2.4.23). Если кроме этого ядро оператора симметрично,
т. е. (почти всюду) в области определения ядра
k{x, s) = k(s, х)9 _ (2.4.31)

§ 2.4] ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО И ОПЕРАТОРЫ ЮЗ
то и интегральный оператор симметричен
bib |
(Л/, Л)= J4 Jfe(x, s)/(s)dsU(x)rfx =
а I а )
\ J k (x, s) h (х) dx \ ds = (/, Ah). (2.4.32)
la J
6 { b
Поэтому, в силу теоремы Гильберта, в пространстве
Lz(a,b) имеется полная ортонормированная система
собственных функций оператора Фредгольма
ь
J k (x9 s) еп (s) ds = Xnen (x) (n = 1, 2, ...). .(2.4.33)
a
Так как отсюда следует, что величины %пеп(х)
являются коэффициентами Фурье функции k(xys) по
системе {еп} при фиксированном х} то в соответствий с
равенством Парсеваля
ь
Интегрируя по х от а до 6, получим
оо b Ь
YiK"=\ \k*(*» s)dxds = K2<°o, (2.4.34)
1 a a
так как квадраты собственных значений образуют
сходящийся ряд. Следовательно, тем более %п-+0 при
я —* оо.
Интегральная квадратичная форма
ь ь
(Лф, ф) =■ f f k (х, s) ф {х) ф (s) dx ds (2.4.35)
а а
называется положительно определенной, если для
любой ненулевой функции ф(я)€= L2(a,ft) имеет место
неравенство
(Лф, ф)>0. (2.4,36)

104
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. II
В этом случае все собственные значения оператора
Фредгольма положительны.
Сделаем некоторые добавления для случая, когда
рассматриваемое гильбертово пространство Н
комплексное.
Линейные операторы в комплексном пространстве
могут иметь собственные векторы с комплексными
собственными значениями. Но если оператор А
самосопряженный (симметричный):
(Af,g) = {ffAg)9 (2.4.37)
то все его собственные значения вещественны.
Интегральный оператор Фредгольма будет
симметричным вполне непрерывным в комплексном
гильбертовом пространстве £г(а, 6), если его ядро
удовлетворяет условиям
ь ь
\\\к (*> s)\2dxds<oo, k (x, s) = k (s, х). (2.4.38)
а а
В этом случае сохраняются все ранее сделанные
утверждения о существовании собственных векторов, их
ортогональности и т. д.
Изложение теории линейных и гильбертовых
пространств читатель найдет в книгах [6, 7, 8, 16].
§ 2.5. Спектральные разложения функций
конечной степени
Обычно рассматривается преобразование Фурье
функций, заданных на вещественной оси. Однако весьма
плодотворным приемом оказывается аналитическое
продолжение этих функций на комплексную плоскость.
В этом случае можно воспользоваться мощным
аппаратом теории функций комплексного переменного.
Как это ясно из предыдущей главы, для нас особый
интерес представляют свойства таких функций, спектр
которых имеет ограниченную протяженность и которые
мы назвали функциями с финитным спектром.
Оказывается, что существует тесная связь между функциями
с финитным спектром и целыми функциями конечной

§ 2.5] СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ Ю5
степени. Установлению этой связи и ее использованию
для выявления многих важных свойств функций с
финитным спектром посвящены этот и следующий
параграфы.
Сначала мы будем рассматривать функции,
интегрируемые в квадрате
ь
\\f{x)\2dx<°o .(-oo<a<6<+oo). (2.5.1)
Пространство этих функций было обозначено через
U(ayb).
Пусть f(co) принадлежит L2{—а,а) и а конечно.
Рассмотрим функцию
а
/М-.у= /Ые'"**» (2.5.2)
и покажем, что, во-первых, f(x) принадлежит L2(-^o°,
оо) и, во-вторых, f(x) допускает аналитическое
продолжение (на всю комплексную плоскость) до целой
функции конечной степени, не превосходящей а.
Первое утверждение есть просто следствие извест^
ного в теории интеграла Фурье равенства Парсеваля
(см. (2.3.32))
оо а
j\f(x)?dx= J|7(o)l2^G> = fe<oo. (2.5.3)
—оо —а
Заменим теперь в формуле (2.5.2) х на z = х + iy:
f(*)-Tf=; J ft») «'"<*•. (2.5.4)
Написанный интеграл представляет собой
аналитическую функцию, поскольку У(г) существует при любом г.
В силу неравенства Коши — Буняковского имеем

106
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. II
(си с2 — соответственно подобранные постоянные)
IU
—L- Г }(<о)еШх'е-<»Ус1®
V 2я J
<
1<с,еа>*|. (2.5.5)
Таким образом, функция /(г), имеющая вид (2.5.4),
есть функция конечной степени, не превосходящей а.
Обозначим через Wa совокупность всех целых
функций f(z) конечной степени Каи интегрируемых в
квадрате на всей вещественной оси.
Мы доказали, что всякая функция /(г),
допускающая на вещественной оси представление (2.5.2) (т. е.
имеющая на вещественной оси финитный и
интегрируемый в квадрате спектр), принадлежит Wa-.
Оказывается, что имеет место и обратное
утверждение— теорема Винера — Пэли (гл. I, [2]).
Для того чтобы функция f(x)y интегрируемая в
квадрате на всей оси, была представима в виде
а
К*)—р= Je'«f(o»)rf«», (2.5.6)
-а
где f (со) принадлежит пространству L2(—а,а), т. е. для
того, чтобы f (x) была функцией с финитным и
интегрируемым в квадрате спектром, необходимо и достаточно,
чтобы f(x) могла быть доопределена в плоскости
комплексной переменной z = х + iy как целая функция
конечной Щебени К а.
Замечание. Нам придется столкнуться как с
'ситуацией, когда будут изучаться функции времени с
финитным спектром, так и с ситуацией, когда временные
функции будут финитны. В этом последнем случае
в силу взаимности преобразований Фурье спектральные
функции будут представлять собой левые части р (2.5.6)

§2.5] СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ К)?
и соответственно они будут целыми функциями
конечной степени,
Доказательство*). Мы уже доказали
достаточность, т. е. показали что если f(x допускает
представление (2.5.6), то с помощью формулы (2.5.4) }{х)
доопределяется на всей плоскости как' целая функция
конечной степени <*а. Докажем теперь необходимость,
т. е. покажем, что всякая функция f(z) из класса W^
допускает представление (2.5.4), которое на
вещественной оси совпадает с (2 5.6).
Так как по условию f(x) принадлежит классу
L2(—оо,оо), то в соответствии с теоремой 3 § 2.3
существует интегрируемая в квадрате функция f (ю),
которая является преобразованием Фурье функции f{x):
оо
f(®) = y= Jf(x)e-'«*rf*. (2.5.7)
— 00
причем это равенство следует понимать в смысле
сходимости в среднем квадратичном. Поэтому наша задача
состоит в том, чтобы показать, что принадлежность f(z)
классу Wa (особенно то, что f(z) есть функция
конечной степени <^а) влечет за собой равенство нурю
функции f (со) для (почти всех) значений о) вне интервала
(—а, а):
f (со) = 0 при со>а и со< —а. (2.5.8)
В самом деле, если это будет доказано, то
обращение по Фурье (2.5.7) даст
а
f(*Hy= J 7(ш) *'«*<*«, (2.5.9)
а замена х на z = x + iy превращает, как это выше
было показано, правую часть в целую функцию класса
Wa, совпадающую с f(x) на вещественной оси и,
следовательно, в силу теоремы единственности для
аналитических функций, тождественную с f(z).
*) Идея доказательства принадлежит A. Plancherel, G. Р61уа [9].
Другие варианты доказательства теоремы см. [2], [4], [6].

108
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. II
Для доказательства (2.5.8) предположим сначала
дополнительно, что f(x) абсолютно интегрируема при
—-оо<д:<+оо. В этом случае преобразование Фурье
(2.5.7) следует понимать в обычном смысле, так что
функция f(o>) будет непрерывна при всех о)(-—оо<оа<
< +оо), как это следует из теоремы 1 § 2.3. Имеем
с»
V^fto»)- j f(x)e-l<»xdx =
— 00
оо О
= j f(x)e-f™dx+ j f{x)e"iaxdx. (2.5.10)
Обозначая
Ф+(/со) = j f(x)e-**dx9
о
0
ф_(ш) = j 1(х)е-Шх dx,
(2.5.11)
замечаем, что в соответствии с (2.5.8) задача сводится
к доказательству равенства
V%t J■(©) = Ф+ (to) + Ф- (to) -. О при | со | > а. (2.5.12)
Введя в первую формулу (2.5.11) вместо to
комплексную переменную
г = к + /а>, (2.5.13)
видим, что функция
ф+ (2)= j/(д|в-«Лс
(2.5.14)
есть преобразование Бореля функции f(x) при 9*0,
т. е. х = peiQ = р (см. (2.2.33)). Ф+(г) аналитична в
правой полуплоскости и непрерывна вплоть до мнимой оси.
Так как f(z) принадлежит классу Wat то в
соответствии со сказанным в § 2.2 функция Ф+(г) совпадает
при |г|>а с функцией g(z)t ассоциированной по Бо-

§ 2.5] СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ Ю9
релю функции f(z) (см. (2.2.30)). При выбранном пути
интегрирования Ф+(г) совпадает с g(z) в
полуплоскости Re z = х > а.
Однако функция Ф+(г), задаваемая формулой
(2.5.14), осуществляет аналитическое продолжение g(z)
вплоть до значений х > 0, так как при любом е>0 и
х > е интеграл (2.5.14) при z = х + ко, т. е. интеграл
оо
ф+ (и + ш) = j f{x) *-<*+/») * rfx, (2.5.15)
о
сходится равномерно.
Аналогично при £ = р£~*я = —р имеем
0 оо
Ф_(г)= J / (*) е-« d* - J / (- р) е» dp - - J / (£) е~* #,
-оо О
(2.5.16)
так что функция — Ф-(г) является преобразованием Бо-
реля функции /(£) при 0 = я. Здесь мы видим, что при
выбранном пути интегрирования функция — Ф-(г)
совпадает с функцией g(z), ассоциированной по Борелю
функции /(г) при Re г = х < —-а. Однако при любом
8>0 интеграл (2.5.16) сходится равномерно при
х < —е < 0 и, следовательно, дает аналитическое
продолжение g(z) вплоть до мнимой оси. Таким образом,
Ф+(г) дает аналитическое продолжение g(z) во всей
правой полуплоскости, а —Ф-(£) Дает аналитическое
продолжение g(z) во всей левой полуплоскости:
д(г) = Ф+(г) при х>0,
g(z)=-0-(z) при х<0. (Л5Л7)
Кроме того, функция g(z), будучи регулярной при всех
Ы>а, регулярна также и на части мнимой оси при
(*(о|>а, т. е. g(z) регулярна на всей плоскости,.
разрезанной вдоль интервала мнимой оси —ia-^m^ia.
Поэтому при со > а и со < —а существуют пределы
g-(/co)= lim g,(x + /co)= lim Ф+ (х + ш) = Ф+ (/со),
g{m)= lim g (и+ '<»)== lim — Ф_ (х +/со) = — Ф_ (ш).
(2.5.18)

110
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ 11
Вычитая из верхнего равенства нижнее, получаем
искомое соотношение (2.5.12). Этим было бы закончено
доказательство теоремы, но при доказательстве мы
использовали предположение об интегрируемости f(x)
как в первой степени, так и в квадрате, в то время как
в условиях теоремы предполагается лишь, что f(x)
интегрируема в квадрате. Поэтому надо провести
соответствующие дополнительные рассуждения, чтобы снять
предположение об интегрируемости в первой степени.
Для этого рассмотрим множество функций, зависящих
от параметра г:
ш=/(*)—?, (2-5Л9)
где f(x) —целая функция конечной степени ^а и
интегрируемая в квадрате на вещественной оси
Заметим, что
этому из оценок
Заметим, что sln — целая функция степени г. По-
|/(z) |<c,e«lzi, pSii kcj*!*1 (2.5.20)
I kZ i
следует, что
\fe(z)\<ce&+^*\, (2.5.21)
так что fB(z) является также целой функцией конечной
степени ■< а + г.
Кроме того, функция fB(x) интегрируема на
вещественной оси. Действительно,
— оо —оо
/00 ОС
\\f{x)fdx\
<V \\f(x)?dx | ^-dx =
— 00
e гт Ji/wi2**.
(2.5.22)

§2.5] СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ \\\
так что правая часть ограничена при любом
фиксированном е > 0. Следовательно, по доказанному выше
преобразование Фурье /е(со) функции fe{x) обращается
тождественно в. нуль при | со | > а + е.
Пусть f(co)—преобразование Фурье (в
среднеквадратичном, смысле) функции f(x). Согласно равенству
Парсеваля для разности f(x) — fB(x) имеем
со со
Jl7((0)-fe(»)l2^= j\f(x)-fe(x)?dx =
оо
= /■!/(*) I
1 _ sm ex
ex
dx. (2.5.23)
Как нетрудно проверить, правая часть стремится к нулю
при е->0. Поэтому fe(co) при е-*0 сходятся в
среднеквадратичном к f (со):
оо
J 1 7 (g>) — 7е («>) I2 rf<» —^ 0 при 8->0, (2.5.24)
— оо
так что (почти всюду)
/ (со) = 0 при |со|>а. (2.5.25)
Это полностью доказывает теорему.
Нетрудно проверить, что множество {f (x)} всех
функций, интегрируемых в квадрате на всей вещественной
оси, которые можно продолжить на всю комплексную
плоскость z = х + iy как целые функции конечной
степени <а, или, говоря теперь другими словами,
множество всех функций с интегрируемым в квадрате и
финитным на (—а, а) спектром, образует подпространство
комплексного гильбертова пространства 1г(—оо,оо)
с обычным скалярным произведением
со
(f,g)= jf(x)g(x)dx. (2.5.26)
Это подпространство мы зыше обозначили №„,

112 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. II
Замечание. Ранее (см. следствие в §2.2) было
показано, что если f(z)— целая функция конечной
степени а, то /'(г)-— это также функция конечной
степени а. Для рассматриваемого класса функций имеет
место следующее утверждение: если функция /(г)
принадлежит пространству Wa, то ее производная /'(г)
также принадлежит этому пространству.
Для доказательства формально продифференцируем
обе части (2.5.6) по х. Заметим, что когда f(co) = 0
(почти всюду) при | со | > ос- и f(co) принадлежит
L2(—а, а) (при конечном значении а), то функция
ш/(со) также равна нулю вне интервала (—а, а) и
принадлежит L2(—а,а). Отсюда следует, что
а
■/'(*) = —L^ Г/©7 (<о)е'** rf©, (2.5.27)
у 2я J
-а
и следовательно, по теореме Винера — Пэли f'(z)
принадлежит пространству Wa. Из этого рассуждения,
очевидно, следует вывод: если функция f(z)
принадлежит пространству Wa, то все ее производные f<n>(z)
(п = 1,2, ...) также являются функциями из
пространства Wa.
§ 2.6. Обобщение теоремы Винера — Пэли
Одно из основных условий теоремы Винера — Пэли —
ограниченность интеграла квадрата функции —
представляется несколько искусственным. Из-за этого
условия приходится исключить из рассмотрения
гармонические функции sin coo* и cos «о* и различные суммы
гармонических функций
ФДО-2 ***'"**. (2.6.1)
ь
где все частоты со^ заключены в интервале (—а, а),
а суммирование может быть распространено как на
конечное число частот, так и на бесконечное (в последнем
случае нужно наложить определенные требования н'з

§2.6) ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА - ПЭЛИ 413
сходимость ряда, составленного из коэффициентов 2^5
k
ниже мы укажем соответствующие условия). Подобные
функции, столь часто встречающиеся в различных
вопросах теории колебаний, не удовлетворяют требованию
ограниченности интеграла от квадрата на всей оси;
например,
оо
J cos2 щх dx = oo. (2.6.2)
— оо
С другой стороны, очевидно, что функция еш при
| со | < а или функции вида
Ф(г)-2^в*ж ('1%|<а) (2.6.3)
—п
являются целыми функциями конечной степени, не
превосходящей а, и следует ожидать, что и для функций
такого рода имеет место теорема, подобная теореме
Винера — Пэли.
Прежде всего заметим, что функции f(z),
принадлежащие пространству Wa, ограничены на вещественной
оси. В самом деле, по неравенству Коши — Буняковского
имеем
l/WI =
У2п
J fa»
еШх dco <
-а
/а а Га
—а —а . —а
(2.6.4)
Однако из ограниченности на вещественной оси
целой функции конечной степени не следует ее
интегрируемость в квадрате, как показывает пример функции
}{х) = COS (Do*.
Рассмотрим, следуя С. Н. Бернштейну [10], класс Ва
всех целых функций конечной степени, це превосходя-

114
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. II
щей а, и ограниченных на вещественной оси*). Классу Ва
принадлежат, например, функции
Пг)« Iicke^z (- а <<*>,< а) (2.6.5)
k
при условии
2| **!<+«>, (2.6.6)
k
или интегралы
а
/(*) = -—- ■/?(«>) *'•**» (2.6.7)
' —а
при условии
а
Jl7(o»)|d<D< + oo. (2.6.8)
-а
Заметим, что из этого условия не следует
ограниченность интеграла от |f(co)|2, и поэтому класс Ва шире
класса Wa.
Пусть f(z) принадлежит классу Ва. Так как f(z) —»
целая функция, то при всех значениях z
Тогда
?(г) = 2с^ = /(0) + 22^. (2.6.9)
о 1
g{z)=n±zm (2>6Л0)
также является целой функцией конечной степени, не
превосходящей а (последнее следует, например, из
рассмотрения поведения коэффициентов Ck ее степенного
разложения в соответствии с формулой (2.2.5)). Кроме
того, из условия
l/WKfi: (-оо<*< + оо) (2.6.11)
*) Речь идет о функциях, каждая из которых ограничена своей
константой, но не предполагается, что существует константа, огра-
ничиэающая все функции класса В^.

§ 2.6] ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА - ПЭЛИ J 15
следует, что
I rt ( v\ I <*
\х\
eWK-ITT. (2.6.12)
так что, пользуясь непрерывностью g(x) и оценкой
(2.6.12) для достаточно больших значений х, получим
оо
\\g{x)?dx<°o. (2.6.13)
— оо
Следовательно, g (z) — функция класса Wa. Поэтому
в силу теоремы Винера — Пэли она представима в виде
6(*)-y= JV"2 (»)<*<»>. (2.6.14)
" -а
где g(co)—интегрируемая в квадрате функция.
Подставляя (2.6.14) в (2.6.10), получаем окончательно
представление функций класса Ва:
а
/ (z) = / (0) + -*= . J e**§ (ш) dm, (2.6.15)
Y —а
где g (со) — функция с интегрируемым квадратом в
(—а,а). В частности, на вещественной оси
а
f(x)-f(0)+^- J*'"£(<d)Ad. (2.6.16)
Рассмотрим теперь более общий класс целых
функций конечной степени, не превосходящей а, которые на
вещественной оси могут и не быть ограниченными, но
возрастают при |*|-*оо не быстрее некоторой степени
|*|w. Обозначим этот класс Sam. При т = 0 класс
SaQ совпадает с классом Ва.

116
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. II
Укажем теперь общее спектральное представление
для функций класса Sam. Так как функция f(z) из этого
класса — целая, то при всех z имеем
со
f^) = ^ckzk^cQ + clz + ... + cmzm +
о
оо
+ 2-+' 2 <***-»-"' (си = п^") • (2.6.17)
Так как f{z) на вещественной оси растет не быстрее,
чем \х\т, то функция
g(z) & p^+i i= 2j C*2*-»-'
fe-m+I
(2.6.18)
— также целая функция степени ^<а, причем g(x) на
вещественной оси имеет интегрируемый квадрат
(числитель в (2.6.18) растет не быстрее \х\ту а
знаменатель—как |x|m+1). Поэтому по теореме Винера —Пэли
имеем
а
g(z) = Y= Je'«|(<D)da>, (2.6.19)
-а
где g(co) — функция с интегрируемым квадратом, и
следовательно,
z
а
,т+\
У2п
jeiv*g(<u)d<!>. (2.6.20)
Для того чтобы эту формулу превратить в формулу
Фурье, воспользуемся следующим известным соотноше-

§2.6] ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ БИНЁРА - ПЭЛИ \\7
нием:
zk = ik J еш*№ (со) d(o, (2.6.21)
где е > 0 — любое число, а б (со) —это 6-функция Дирака
и 6W(cd) означает ее й-ую производную. Тогда (2.6.17)
принимает вид
а ( т \
* -a I k=0 J
(2.6.22)
Таким образом, мы получаем следующую теорему
Винера — Пэли—-Шварца*): для того чтобы
функция f(x), растущая при |*|-*со не быстрее
некоторой степени \х\т, была представила в виде (2.6.22),
т. е. была функцией с финитным спектром, необходимо
и достаточно, чтобы \(х) могла быть доопределена
в плоскости комплексной переменной г = х + iy как
целая функция конечной степени ^а.
Теорема Винера — Пэли может быть также
обобщена на функции от многих переменных. Для
формулировки теоремы нам понадобится определить, что такое
целая функция конечной степени от многих
комплексных переменных.
Функция f(zu2г,...f2n) комплексных переменных г^
2г, ...» 2П называется целой, если она разлагается в ряд
Тейлора по каждому из переменных г* при
фиксированных значениях остальных переменных и радиусы
сходимости всех этих рядов равны бесконечности.
Целая функция f(z\9гг,...,гп) называется функцией
конечной степени а = (аь аг,... ,ап), если, каковы бы
ни были положительные числа еь ег, ..♦, еп, для
достаточно больших значенией |г|
|/(г„ гъ ..., ^л) i^^(ai+ei)I-1 |-*-<ct2+-2)I-21+ -• <-л-*-л)i-л!.
(2.6.23)
*) Мы здесь не останавливаемся на точном определении
обобщенных функций 6(ш) и ее производных. Подробное изложение
теории обобщенных функций и, в частности, доказательство этой и
последующей теорем Винера — Пэли — Шварца см. [11], [12].

118
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. II
Для целых функций конечной степени от п комплексных
переменных имеет место следующая теорема
Винера — Пэли — Шварца.
Если целая функция f(Zuz%>..tzn) конечной степени,
не превосходящей а = (аь аг,... ,ап), при вещественных
значениях гА, г2, ..., гп возрастает соответственно не
быстрее, чем \ хх Г1, | х2 Г2, '...,\хп \тп при \ xk | -> оо (k —
= 1, ..., /г), то преобразование Фурье этой функции
[понимаемое в обобщенном смысле) сосредоточено
в области |o)i|^ai, [сог^аг, ..., |<оп|^ап. Если же
функция f(Ztyz2i ..., zn) интегрируема в квадрате при
всех вещественных значениях переменных хи х2, ..., хп,
то преобразование Фурье f (a>i, <о2, . ..,<оп) функции
f(Xi,X2,... ,*п) интегрируемо в квадрате и обращается
в нуль вне области |(0i|^ai, |о)г|^а2, ..., |<Оп|^ап.
§ 2.7. Системы функций с двойной ортогональностью.
Собственные функции преобразования Фурье
Как мы уже установили, функции с финитным
спектром определены на всей оси и не обращаются
тождественно в нуль ни на каком отрезке оси х. Однако для
приложений представляет интерес изучить свойства
таких функций на конечном интервале |*|<;7\
Рассматривая фурье-преобразование как оператор
Ф, применяемый к спектральной функции, можно
записать
а
/(лО = Ф$(«>)= J s (©)«'«* Л», . (2.7.1)
—а
где для удобства дальнейших выкладок мы заменили
обычное обозначение для спектра УШ на s (со). При
изучении свойств этого линейного оператора,„ как обыч-,
но, важное значение имеют собственные функции —
решения операторного уравнения
ixs{x) = <£>s(a>)t (2.7.2)
где \i — число.

§2.7] СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ С ДВОЙНОЙ ОРТОГОНАЛЬНОСТЬЮ 119
Введем вместо х и со новые переменные £ — — и
z = -у. Когда со изменяется в интервале (—а,а), то. £
изменяется в интервале (—1, +1), и аналогично, когда
х пробегает (—Т,Т)9 то z пробегает интервал (—1, +1).
Уравнение (2.7.2) в новых переменных принимает
вид
И>(г)= J ф (&)*'**<& (2.7.3)
-I
где
ф(z) = s{Tz) и с^аТ. (2.7.4)
Мы получаем для собственных функций i|?
интегральное уравнение с симметрическим комплекснознач-
ным ядром eic&.-Из (2.7.3) и (2.7.4) видно, что
собственные функции и собственные значения зависят от одного
числового параметра с = аТ. Будем интересоваться
только вещественными решениями i|)(z). Для них можно
написать, переходя в (2.7.3) к комплексно сопряженным
величинам,
1
Щ-j je-^(ri)d% (2.7.5)
где р, — число, комплексно сопряженное с \i.
Подставляя г|)(£) вида (2.7.5) в (2.7.3), получим
1 1
\i\i^{z) = J eiclz d% J е-^г|)(т1) dr\=
1
J
Обозначая
•iw = i^l2. (2-7.7)

120 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ [ГЛ II
получим интегральное уравнение с симметрическим
ядром, зависящим от разности:
1
**(*)- jm^jjdn. (2.7.8)
-1
Фурье-преобразование функции неотрицательно
(см. (2.3.29)). По теореме Бохнера — Хинчина [6] ядро
является положительно определенным.
Интегральные уравнения с положительно
определенным ядром имеют счетное число вещественных
собственных функций ^k(x), и собственные значения fa
положительны (см. § 2.4). Перенумеруем решения так, чтобы
Яо > Х\ > %2... Функции г|)& и tyj ортогональны на
интервале (—1, +1):
i
j%(x)tyf(x)dx = 0; кФ1 (2.7.9)
-1
Нормируем tyu(x) так, чтобы
J Ц>*(*)Р <**-**• (2.7.Ю)
-1
Замечательным свойством решений уравнения (2.7.8)
является то, что они ортогональны не только на
интервале —1 4^*^ 1, но и на всей оси:
сю
J ^k (*) "Ф/ (*) dx = 0 при кФ\. (2.7.11)
— 00
Это свойство будем называть свойством двойной
ортогональности и будем говорить, что система функций {г^};
удовлетворяющая (2.7.9) —(2.7.11), дважды
ортогональна. Для доказательства выразим tyk(x) из (2.7.8):
Ы*) = ^Ь^)^^Л,. (2-7.12)

§2.7] СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ С ДВОЙНОЙ'ОРТОГОНАЛЬНОСТЬЮ 121
Тогда
оо
— оо
— оо —1 — I
— 1 —1 —оо
(2.7.13)
Но
00
Г sinc(*-Ti) sinc(x-l) , sinc(T)-^j) ,97U>
J я (л- Л) я(*-£) а*~ я(Ч-1) ' V-'A*>
— оо
и поэтому, используя (2.7.8) и условия (2.7.9)—-(2.7.11),
получим
оо 11
-оо —1 —I
1
="£■ /**(1)*/(1)^-^-^--в»„ (2.7.15)
-1
где, как обычно, 8hj = 0 при k Ф j и 8kk — 1.
Таким образом, функции г|)ь(х) ортогональны как на
(—1, +1), так и на всей оси, причем норма \|)а(а:) на
всей оси есть
оо
ШР= \\^{x)fdx = \. (2.7.16)
— оо
Собственные функции г|)& интегрального уравнения
(2.7.8) называются вытянутыми волновыми
сфероидальными функциями (см. Приложение VI). Они достаточно
подробно табулированы. Двойная ортогональность
вытянутых волновых сфероидальных функций была изучена
и использована в работах, на которые ниже мы еще бу*
дем ссылаться (Введение, [11]—[13]).

122 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. 11
Другие системы функций с двойной ортогональностью
(Введение [14]). Перечислим свойства полученной
системы функций с двойной ортогональностью. Рассмотрим
гильбертово пространство функций {s((o)} = L2(—1,1) с
обычным скалярным произведением и интегральный
оператор Фурье (2.7.1) при а = 1, отображающий это
пространство на гильбертово пространство Wx = {f{x)} целых
функций конечной степени, не превосходящей 1,
интегрируемых в квадрате на всей вещественной оси. Система
вещественных собственных функций (фь(*)} этого
интегрального оператора 1) полна в пространстве Wu 2)
ортогональна на интервале —1 ^ * ^ 1, 3) ортонормальна
на всей оси —оо < х < + оо в L2(—оо, оо).
Естественно возникает вопрос: существуют ли другие
системы функций, обладающие аналогичными
свойствами, и если они существуют, то каков алгоритм их
построения? Оказывается, что существует общий метод
для построения систем функций с двойной
ортогональностью (Введение, [14]). Метод опирается на некоторые
факты теории непрерывных самосопряженных
(симметричных) операторов в гильбертовом пространстве,
основные положения которой приведены в § 2.4. Мы
изложим сейчас ряд нужных нам результатов,
доказательство которых см. в Приложении I.
Пусть Rn — n-мерное вещественное пространство,
L2(/?n)— гильбертово пространство всех функций,
интегрируемых в квадрате на /?n, W& — подпространство
пространства L2(Rn) функций, представимых в виде
f{х) - Ш21 • • • J е'цх-a)s м d&> (2-7Л7)
где Q—ограниченное измеримое множество положи-^
тельной меры в Qn — n-мерном пространстве, х = (хи ...
..., хп) и <а — (coi, ..., con) — я-мерные векторы и
(х, со) = ATicoi + ... + хп(йп — их скалярное произведение.
По теореме Планшереля (собственно, речь идет об
очевидном обобщении теоремы 3 § 2.3 на я-мерное про-

§ 2.7] СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ С ДВОЙНОЙ ОРТОГОНАЛЬНОСТЬЮ 123
странство) гильбертовы пространства L2(Q) и Wq
изоморфны *).
Рассмотрим в пространстве L2(/?n) оператор D
умножения на неотрицательную измеримую функцию р(х):
D:f(x)-+f(x)p{x).
Будем при этом полагать, что . ,.
а) р(х) > 0 на множестве положительной меры;
б) J ... j p4x)dx<oo.
При этом оказывается, что оператор D, действующий на
Wq — самосопряженный и вполне непрерывный. Пусть
далее, Р — оператор проектирования пространства L^Rn)
на подпространство Wq. Тогда на Wq оператор PD
осуществляет взаимно однозначное отображение Wq-*Wq.
Теорема 1. Существует система функций {\|>ь},
обладающая свойствами:
1) система {г|^} полна в Wq;
2) система {tyk} ортогональна в L2(Rn)\
. 3) J ... J p(x) ty (x) tyk (x) dx~0 при кфь.
Rn
Система {^>ь) совпадает с системой собственных
функций оператора PD, т. е. Хк^к=РЩк. Других систем
функций, обладающих свойствами 1), 2), 3), не существует.
Системами функций с двойной ортогональностью мы
будем неоднократно пользоваться. Впрочем, следует
заметить, что несколько применений этих систем, которые
будут нами продемонстрированы, далеко не
исчерпывают их возможности. Поэтому в Приложении I мы
формулируем и приводим доказательство (в терминах
функционального анализа) более общей теоремы,
принадлежащей И. Ф. Красичкову-Терновскому, где указывается
метод построения весьма широкого (и единственно
возможного) класса таких дважды ортогональных систем
*) То есть вектору aji + Pf2, где fuft ^ L2(Rn), а и 0 —
вещественные числа, соответствует вектор asi + pS2, где S\> S2& L2(Qn)
и скалярные произведения (в соответствующих пространствах)
равны: (/b/s)-(5h5a)- „'.... - _ ■ . . *

124 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. II
функций. Мы уверены, что аппарат дважды
ортогональных систем функций имеет большое будущее.
Для оператора PD можно указать удобное для
приложений интегральное представление. Именно можно
показать (см. Приложение I), что
PD(f(x))-j ... JKQ(x-y)p(y)f(y)dy, (2.7.18)
где
/Са (х - у) = (-^f | ... J* е-*"*'»' * rfo>. (2.7.19)
Если М — какое-либо множество в пространстве Rn и
( 1' для * е AL
r w I 0 для * € М '
(такая функция в теории множеств называется
характеристической функцией множества М)у то интегральное
представление оператора PD принимает еще более
простой вид:
PD(f(x)) = j ... JKQ(*-y)f(y)dy- (2.7,21)
м
Заметим, что когда р(х) — характеристическая функция
множества М, то оператор D-— это оператор усечения,
который каждой функции f{x)^Lt(Rn) ставит в
соответствие функцию
Г /(*) при хеМ,
Df{x)==\0 прихШМ.
В частности, если Ri — одномерное пространство, т.е.
вся вещественная ось и р(х) — характеристическая
функция интервала —ТКх^Т, а множество Q представляет
собой также интервал на оси частот —а^'со^а, то ядро
а
Ы*-у)=4г J«-,u-rt"*»-15f?=^- (2-7-22)
—а
Оператор .Р—.это оператор проектирования
пространства L2(—оо, оо) на пространство Wa целых функций

§ 2.8] СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ [25
конечной степени, не превосходящей а и интегрируемых
в квадрате на всей оси, т. е. на пространство функций,
представимых в виде
а
f(x)= J s (<«>)«<«« А». (2.7.23)
—а
Таким образом, оператор Р —это оператор усечения
спектра.
Оператор D — это оператор усечения функции f(x),
т.е. умножения функции f(x) на характеристическую
функцию р(х) интервала (—Г, Т). Таким образом,
оператор PD имеет в данном случае вид
т
PD(f(x))= \%ila(lXSyf fiy)dy (2.7.24)
-Г
или, вновь пользуясь заменой переменных х = гТ, у = иТ,
с = аТ9 получим
PD($(z))= J Sf"(il"L)M>^(")^> (2-7-25)
-1
что совпадает с оператором, рассмотренным в.
предыдущем пункте.
§ 2.8. Соотношение неопределенности
Рассмотрим некоторую функцию f(t) и ее
преобразование Фурье /(со) и посмотрим, что будет происходить
с функцией /(со), когда мы будем «сжимать» функцию
f(t). Для этого введем вещественный параметр \х и бу*
дем рассматривать семейство функций*)
MO-VF/M-'" (2.8.1)
Когда \i> 1, то функция /ц(/) будет «сжата»
относительно f(t), а когда ц<1,'то fn(t) будет «растянута»
*) Нормировка l^jT взята для того, чтобы при изменении \х
оо
«полная энергия», т. е. | /ц (/) |2 dt% оставалась неизменной.

126
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ 11
(рис. II. 3). Как следует из формулы
оо оо
ie>t At _
Л-
-тк 1™в~*х*-7?Чт)- (2-8-
2)
преобразование Фурье /V((o) при изменении \х будет
себя вести противоположным образом, так что при
«сжатии» функции происходит «растяжение» ее
преобразования Фурье и обратно.
Рис. II. 3. Графики функций fM (t) = V\i f (\it).
Для сравнения «ширины» различных функций нужно
ввести какую-либо меру. Достаточно удобной мерой
«ширины» функции является величина среднеквадрати-
ческого уклонения а/ квадрата модуля функции. Для ее
определения введем сначала величину среднего значения
квадрата модуля функции
I
jt\f(t)\4t.
Тогда величина а/ определяется выражением
(2.8.3)
оо
о) = у= \(t-mt?\№fdt. (2.8.4)

§ 2.8] СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ 127
Аналогично определяются *) величины т? и о^ для
функций f (со):
оо
mr=-pL, j ш\1(<й)]Ч<ь, (2.8.5)
— оо
оо
о)=уУ J(0-mr)2|f(«,)|2^(D. (2.8.6)
— оо
Величины Of и о? характеризуют «ширину» функций
f(t) и f (со). Действительно, при переходе от функции
/(/) к функции /д(0> задаваемой формулой (2.8.1), ве-
af2"
личина а? заменяется на <т? , == -4-. Естественно воз-
никает вопрос о соотношении между шириной функции
и шириной ее спектра: возможно ли образовать функцию
f(t) такую, что при фиксированной ее ширине Of ширина
ее спектра oj была бы как угодно мала? Ответ на этот
вопрос оказывается отрицательным.
Будем нормировать функцию /(/) соотношением
оо оо
\\f{t)?dt= J|/(«))|2d«)=l) (2.8.7)
— ОО —00
которое, очевидно, не ограничивает общности
рассуждений. Имеет место следующее важное соотношение:
W>Y» (2.8.8)
называемое «соотношением неопределенности». Это
название заимствовано из квантовой механики, где при
изучении движения материальной частицы искомыми
величинами являются не координата частицы и ее
скорость, как в классической механике, а распределения
вероятностей этих величин. При этом плотность
распределения вероятностей импульса f (со) оказывается фурье-
преобразованием плотности распределения вероятностей
f(x) координаты. Соотношение (2.8.8) показывает, что
*) Мы будем предполагать, что интегралы (2.8.3)—(2.8.4)
конечны.

128
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. It
чем точнее известно положение частицы (т. е. чем
меньше а/), тем менее точно известно значение ее импульса
(т.е. тем больше Of), и обратно, так что не может быть
функций f(x) и f (со), дающих одновременно очень
точные значения и положения частицы, и ее импульса.
Нетрудно вычислить функцию, реализующую знак
равенства в соотношении неопределенности (2.8.8). Эта
функция имеет вид
/(*н—4—е 2°2' (2-8-9)
а ее спектральная функция
г— ®202
f(ffl)_fH_e- * , (2.8.10)
]/"2rt
так что прямое вычисление дает
c2 = <rV or*f=-£Г . (2.8.11)
и, следовательно,
<утг=у. (2-8Л2)
Однако название «соотношение неопределенности»
не очень удачно, так как соотношение (2.8.8) имеет
универсальный характер, т. е. справедливо и в различных
областях классической теоретической физики, где оно не
связано с вероятностной трактовкой. Так, например, в
импульсной технике оно показывает, что чем меньше
длительность импульса, тем шире его спектр (см. § 1.2);
в теории антенн справедливость (2.8.8) означает, что
с уменьшением величины раскрьгва угловая ширина
диаграммы направленности увеличивается (см. § 1.5); в
случае радиоинтерферометрических измерений это
соотношение показывает, что чем меньше протяженность входа
интерферометра, тем больше протяженность его выхода
(см. § 1.8), и т.п. Из этих примеров видно, что никакой
неопределенности здесь нет, так как речь идет не о
вероятности возможных значений физической величины, а
о самой этой величине. В таких случаях соотношение

§2.8] СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 129
(2.8.8) следовало бы скорее называть «соотношением
размытостей», или «ширин», а не неопределенностей.
При доказательстве (2.8.8) предположим для
простоты, что trif = 0. Образуем выражение
оо •
/(*)= j\xtf(t) + f'(t)\4t, (2.8.13)
— оо
где х— вещественная переменная. Пользуясь
обозначением f(t) для функции, комплексно сопряженной с /(/),
имеем
оо оо
I(x) = x2 jf\f (012dt + x j t[f(t)FJtj+ f'(t)W)]dt +
— 00 —OO
oo
+ \\f'{t)fdt. (2.8.14)
— oo
Приведем некоторые вспомогательные соотношения.
Имеем
W{t)lW = \f{t)? + tf{t)W) + tr{t)№. (2.8.15)
Докажем, что функция t\f интегрируема. Первое
слагаемое интегрируемо в силу (2.8.7). Далее по
неравенству Коши — Буняковского
оо I оо
(wk Jm-m-if|л<
-00 J —ОО
/ОО 00
\t2\f2\dt. j\f'?dt. (2.8.16)
— оо —оо
Первый интеграл в правой части неравенства конечен
вследствие (2.8.4).
Кроме того, из соотношения
оо
f'{t)~-~r j т}{а>)ешЛы (2.8.17)
♦ .— оо
5 Я. И. Хургин, В. П. Яковлев

130
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. II
и равенства Парсеваля (2.3.32) имеем
оо оо
j\f'(t)\2dt= |со2|/(й))|Ч<». (2.8.18)
— оо —оо
Следовательно, правая часть этого равенства конечна
вследствие (2.8.6).
Таким образом, второй множитель в правой части
(2.8.16) конечен, так что функция tff абсолютно
интегрируема. Аналогичные заключения можно сделать о
третьем слагаемом в (2.8.15)_.
Итак, функция tf(t)f(t)—t\f(t)\2 интегрируема и
имеет абсолютно интегрируемую производную, откуда
следует, что она стремится к нулю при t~* ±oo.
Вернемся к выражению (2.8.16).
Интегрируя по частям второй интеграл, получаем
оо оо
\t[f{t)fnj) + f'{t)W)]dt= \ЩЪ'М-
— 00 — ОО
00
-*1/(И "- fl/(OM--l, (2.8.19)
I —ОО V
так как в силу сказанного выше t \f(t) p |*~ —0.
Подставляя (2.8.19) и (2.8.18) в (2.8.14) и используя
обозначения (2.8.4) и (2.8.6), получаем
I(x) = x2a2f-x + ol. (2.8.20)
Так как /(x)^0 по определению, то квадратный
трехчлен (2.8.20) не имеет мнимых корней, и поэтому
1-4<гёог1<0,
f f ^
что эквивалентно доказательству неравенства (2.8.8).
Доказанное нами соотношение неопределенности ид-
пользует понятие среднеквадратической ширины
функций. Аналогичные неравенства имеют место и при иных
определениях ширины, например, ширины на уровне 0,5
по мощности. Все подобные соотношения имеют
качественный характер, так как мы характеризуем ширину

§2.8]
СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
131
функции тем интервалом, где сосредоточена большая
часть энергии функции. Никакая количественная мера
«несущественной» энергии здесь не принимается во
внимание.
Учитывая важность соотношения неопределенности
во всех областях физики и техники, попытаемся
получить его аналог, учитывающий соотношение между
«существенной» и «несущественной» энергией.
По-прежнему, считая полную энергию функции f(t) конечной и
равной единице, зафиксируем ее энергию р2 в заданной
полосе частот -—Q><(d><Q и энергию а2 в заданном
интервале времени —T^Ct^CT и найдем связь между
безразмерной величиной QT и параметрами а и р,
выражаемую неравенством
c = Qr>(t>(a, P),
(2.8.21)
где Ф(а, Р) подлежит определению.
Это неравенство и является в рассматриваемом
случае соотношением неопределенности, причем под Q здесь
понимается ширина спектра, а под Т ширина функции.
Используем оператор усечения спектра Я,
переводящий f(t)^L2 в Pf^Wa, и оператор усечения функции
D на интервале (—Г, Т). Ограничения, которые мы
учитываем при выводе (2.8.21), имеют вид
up/и=
|Д/И =
J 1/(01
dt
г a
а
г Т
j*l7(a>)N«>
•Q
Г
1/2
-]1/2
1/2
]
= 1,
= Р,
а.
(2.8.22)
Операторы PhD есть, очевидно, операторы
проектирования соответственно пространств интегрируемых в
квадрате функций на всей оси со или t на подпространства
L2(-Q,Q) и L2(-T, 7).
Докажем следующую теорему, эквивалентную
принципу неопределенности (2.8.21) (см. Введение, [12]).
б*

132
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. II
Теорема. При выполнении одного из следующих
условий:
1) если а = 0, то 0<р <1;
2) если 0<а<]/%*, то 0<р<1;
3) если ]/%)^а<П> то arccosa + arccosP !> arccos VX,
где Хо — нулевое собственное значение интегрального
уравнения
1
Щ» = PDPty = j" %('_~? Ч> (*) d*> (2-8.23)
-1
существуют функции, удовлетворяющие соотношениям
(2.8.22). Если ни одно из условий 1—3 не выполнено, то
не существует функции,
{
F
сО
\
с
К
i
\с
«Л
\
7<и\
ф
\
\
\
\
\1
удовлетворяющей всем
соотношениям (2.8.22).
В пункте 3 знак
равенства достигается для
функции
/ (О=т/"т^г+■><'>+
(2.8.24)
+
О 0,2 ОА 0,6 0,8 I
а'
Рис. II. 4. Допустимая область
значений энергетических
параметров а2 и р2.
где г|)о(0 —нулевая
собственная функция
уравнения (2.8.23).
Доказательство теоремы см. в
Приложении II.
Эта теорема позволяет найти области допустимых
значений аир при различных значениях основного
параметра с = QT, от которого зависит собственное
значение fa.
При фиксированном значении с допустимая область
в плоскости (а2, р2) ограничивается прямыми

§ 2.8] СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ {33
(рис. II. 4) *)
»2 =
О для 0<р2< 1,
Р2 = 0 для 0<сс2< 1,
а2 = 1 для 0<р2<Я0(с),
р2=1 цля 0<а2<Я0(с)
(2.8.25)
и кривой
arccos а + arccos р = arccos ]/% {с). (2.8.26)
Теперь мы имеем возможность для каждой пары
а2, р2 найти значение функции Ф(а, р) в соотношении
(2.8.21). Покажем ход
0,3
на при-
вычислении
мере.
Пусть а2 = 0,977;
р2 = 0,96. Найдем
соответствующее
минимально возможное
значение с0 = ЙГ=Ф(0,977;
0,96). Из уравнения
(2.8.26) находим Яо(со) =
=0,88. Далее по
таблице зависимости Хо{с)
(см. стр. 269) находим
с = 4, или Со = 2.
Таким образом, соотношение неопределенности
(2.8.21) для этого примера имеет вид
ОМ
ОМ
о,г\
о
-4
! /К 1
/КМ
/к
И \М
и N
>Г х 1 1 1 1 1
1^1—|—Г 1 1 1 1 1 1 1 г+н Л
•3 -2 -/ 0 1-
Рис. II. 5. Функция, имеющая макси»
мально возможную величину QT.
Q7>0 (0,977; 0,96) = 2.
(2.8.27)
Функция, для которой в (2.8.27) достигается знак
равенства, имеет вид
/(f) = 0,578ф0 (/) + 0,465£>гМ').
(2.8.28)
График этой функции, которая оказывается разрывной,
приведен на рис. II. 5.
*) Мы надеемся, читателя не смутит, что независимыми
переменными на осях координат будут квадратичные величины, имеющие
смысл энергий.

134
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. II
§ 2.9. Интерполяция целых функций
Во многих вопросах анализа и его приложений
возникает задача интерполирования функции, т. е. задача
определения искомой функции f(x) для всех значений х
в некотором интервале а^*<6, если известны
значения f{xi)9 f(x2), .♦•> f(xn), ... в ряде точек хи х2, ...
..., хп, ... Так поставленная задача, конечно, всегда
имеет бесконечное количество решений. Однако если
ограничить класс функций /(*), то эта задача может уже
иметь единственное решение или не иметь вовсе решений.
Например, если задать п + 1 точек хи #2, . •., хп+\ на
отрезке (a, ft), то можно найти единственный многочлен
Лх)-аоХп + а{хп-1+ ... +ап
степени не выше я, который принимал бы заданные
значения f(X{), !(хг), ..., f(xn) в рассматриваемых точках.
Довольно ясно, что при ограничении
дифференциальных свойств класса функций {/(*)}, из которого
выбирается интерполирующая функция, задача становится
более определенной, ограничиваются ее «степени свободы».
Постановка задачи интерполирования может быть
значительно расширена, если предполагать заданными
не значения функции /(**), а некоторые ее элементы или
функционалы.
Например, можно рассмотреть задачу интерполяции,
когда в точках хи х2> ..., хп интервала (а, Ь) заданы
не только значения функции f(*i), ..., f(xn), но и
значения производных f'(xi), ...,f'(xn).
Мы будем здесь рассматривать лишь задачу
интерполяции с помощью целых функций конечной степени,
а областью задания интерполируемой функции будем
считать всю вещественную ось или всю комплексную
плоскость.
Рассмотрим сначала задачу интерполирования, когда
заданы последовательность точек {zn} на комплексной
плоскости и значения {f(zn)} в этих точках. Мы будем
предполагать при этом, что последовательность {zn} не
имеет предельных точек, кроме бесконечно удаленной
точки:
|z„+il>|z*l, \Zn\-+°° при я-*оо. (2.9.1)

§2.9]
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
135
Какова бы ни была последовательность {гп},
удовлетворяющая условиям (2.9.1), существует целая функция
ф(г), имеющая нулями точки {zn} и только эти точки.
Такая функция называется канонической функцией
множества {zn}. Примером канонической функции может
служить бесконечное произведение
• ф(г) = П(1-^)*5=1<> (2-9.2)
где числа kn подобраны так, чтобы это произведение
сходилось при любом z (см., например, [13]).
Рассмотрим простейшую задачу интерполяции —
задачу построения целой функции, которая в точках {гп},
определяемых условиями (2.9.1), принимает заданные
значения
Шп) = К (п«1, 2, ...). (2.9.3)
Положим
где каноническая функция <p(2) —целая, имеющая в
точках {zn} простые нули и не обращающаяся в нуль при
других значениях 2, так что
Ф(г«) = 0, у'(гя)ФО (л-1,2,...). (2.9.5)
Функцию
Ф(г)
в (z)=^ ^^
°nW ф'(*п)'(*-*«) }
стоящую в (2.9.4) при множителе Ьп, будем называть
композиционной функцией.
Полагая в (2.9.4) z = zm и пользуясь (2.9.5), замеь
чаем, что при zn =f= Zm композиционная функция обра*
щается в нуль:
9Л*т)= ,, T/(2?m)—г = °> (2.9.6)

136
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. II
в то время как вследствие обоих условий (2.9.5)
6т(гт)= 1- Таким образом,
♦ (*)-2бА(*), ♦ (*»)-6» (т=1, 2, ...). (2.9.7)
Каждое слагаемое правой части (2.9.4) есть целая
функция. Следовательно, если ряд (2.9.4) будет
равномерно сходиться в каждой конечной области, по
теореме Вейерштрасса (113], гл. V) он представляет собой
целую функцию ty(z).
Таким образом, в случае равномерной сходимости
ряда (2.9.4) получаемая функция -ф(г) будет решением
поставленной интерполяционной задачи.
Формула (2.9.4) называется интерполяционной фор-
мулой Лагранжа.
Функция \|)(2), полученная с помощью формулы
Лагранжа, является, вообще говоря, не единственным
решением обсуждаемой интерполяционной задачи.
Действительно, если %(г) — другая целая функция, также
решающая эту интерполяционную задачу
* (гя) « X (гп) = Ьп (л = 1, 2, ...), (2.9.8)
то функция
Y(*) = ^p- (2.9.9)
также будет целой, ибо нули знаменателя (ф(гп) = 0)
являются также нулями числителя. Следовательно,
любая функция, решающая обсуждаемую
интерполяционную задачу, имеет вид
%iz) = $(z) + y(z)<f(z\ (2.9.10)
где y(z)—произвольная целая функция.
Таким образом, задача определения целой функции
по ее значениям на множестве точек, не имеющем
предельной точки в конечной части плоскости, если имеет
хоть одно решение, то имеет, вообще говоря, бесконечно
много решений.
Естественно, возникает необходимость найти
условия, при которых задача интерполяции (2.9.3) имеет
решение и притом единственное.

§2.9]
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
137
Обратимся сначала к простейшей ситуации, которая
может быть изучена до конца достаточно
элементарными средствами.
Рассмотрим случай, когда точки zn расположены на
вещественной оси, а интервалы между
последовательными точками одинаковы:
хп = пИ (/i = 0f ±1, ±2,...). (2.9.11)
При этом канонической функцией будет целая функция
<p(2) = sin-£-2 = sinaz, а = -~. (2.9.12)
Действительно, эта функция имеет простые нули во
всех точках хп = яА, других нулей не имеет и,
следовательно, удовлетворяет условиям (2.9.5).
В рассматриваемом нами случае, когда ср(г)
определяется формулой (2.9.12), интерполяционная формула
(2.9.4) приобретает вид
. л
sin —г
А
2 sir
ь*и—пг
— cos -т-
f ~ Дпj (z - nA)
оо
У,
sin-т-г
Ьп- . (2.9.13)
— cos nn (z — nA)
С помощью простых тождественных преобразований
( учитывая, что -д- == а) эта формула приводится к виду
оо . ( П \
у-^ш sin а г п\
Ф(г) = > Ьп / „V , + (яА) = Ья. (2.9.14)
^ттЛ а\г п\
-оо \ а )
Покажем теперь, что при определенных ограничениях
на поведение чисел Ьп написанный ряд сходится
равномерно в круге радиуса R при любом R и, следовательно,
ф(г) будет целой аналитической функцией. Именно

138
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. II
предположим, что при некотором е > 0 для всех
значений \п\, начиная с некоторого я(е),
ft. К С°
1*1
1+8 »
(2.9.15)
где Со —постоянная. В этих предположениях в круге
|2|</? имеем для всех |я|>я(е)
sin а [г п)
>п ( л
а \г п
^ C(R)
^ ~ ,1±в У
\п\
1+е
(2.9.16)
где C(R) — постоянная, зависящая только от /?, так что
при |г|-</? для остатка ряда (2.9.14) справедлива
оценка
I п\ > т
ХЛ sin а г п\ жг-i
(2.9.17)
Отсюда следует, что остаток ряда равномерно стремится
к нулю при возрастании т, а это в свою очередь
обеспечивает равномерную сходимость ряда (2.9.14). Этот ряд
состоит из целых аналитических функций, поэтому
в силу упомянутой выше теоремы Вейерштрасса он
представляет собой целую аналитическую функцию г|)(г).
Теперь мы перейдем к вопросу о представимости
целых функций конечной степени с помощью формулы Ла-
гранжа и о единственности этого представления.
Теорема 1. Пусть f(z)— целая функция класса В$
конечной степени р<а (т. е. f(z) ограничена на
вещественной оси). Тогда имеет место разложение
оо . / ku\
(2.9.18)
k= — оо
причем ряд в правой части сходится равномерно в
каждой ограниченной облустц.

§2.9] ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 139
Доказательство. Для доказательства
рассмотрим интеграл
2ni J sinaS (£-г)' l^.iyj
где Cn — окружность радиуса r„ = fn + -j) А с центром
в начале координат. Окружим точки г = яД = /г —, в
которых задаются значения функции /(г), маленькими
кружками бп, а точку г окружим кружком у.
Поскольку в точках zn = — функция sin аг имеет
простые нули, а функция f(t) регулярна по
предположению во всей конечной части плоскости, имеем на
основании теоремы о вычетах
•Л- f-^T7F^-T= Е Выч. + Выч., (2.9.20)
2m J sina£ (£-z) AU v
где сумма вычетов по Ьи распространена на точки zk=*
« —, лежащие внутри окружности Сп.
• ct
Если точка z не совпадает с точками 2ft = —,то вы»
чет в этой точке равен . *, вычеты в точках * гь = —
r sin аг Л а
равны соответственно
'(4)
а ( г cos kn
Таким образом,
1 г /(о rfg 'V [V
2ni J sina£(£-z) / s IЫ
Hz)
6kecn
(4-)
cos&rc
sinaz
(2.9.21)
Покажем теперь, что левая часть последнего
равенства стремится к нулю при неограниченном
возрастании п.

140
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. II
Прежде всего заметим, что если £ = ге**9 то*) при
0<<р < я
| sin а£ | = | sin arei(* | =
as -— I g/агсозФ—агв!пф ^-/аг coscp+arsincp |]>
> _L I gar sin Ф _ £-ar sin Ф I ^> _ gar sin Ф I J __ £-2ar I sin Ф f I
(2.9.22)
Аналогичное равенство имеет место при я^ф<2я, так
что при всех значениях ф имеем
|sinare^|>4-^ar,sin(pll 1 ~ £?-2a"sin * Ч. (2.9.23)
Вспомнив теперь, что контур интегрирования С„ — это
окружность радиуса гп = (п + 1/2) я/а, и, переходя к
полярным координатам £ = rei4>, получаем оценку
/
/(»«
sinaC(g-2)
2Я
f
f (г£?/ф)гв£ф£/ф
[у ar (cos Ф+ i sin Ф) __ £-*ar (cos ф+ * sin <p)l ^Ф _ г]
2я
<
<Г 2\f{re*)\*t
J ew ] sin Ф11 j _ g-2ar | sin <p |
r
(2.9.24)
При фиксированном значении z и г->оо множитель
1с«ф — г/г | _^ 1. То же относится и ко второму множителю
в знаменателе последнего выражения. Поэтому можно
считать**), что при достаточно больших значениях г
е г
>\, | l-e-2(HSIn(Pl|> 1 (2.9.25)
*) Так как для любых комплексных чисел Z\ и 22 выполняется,не-
равенство I 2i — 221 > II *i |— |z2 II.
**) Заметим, что sin a£ = s'm(n -f 1/2)я£1ф в окрестности точек
Ф = 0 и ф = я близок к ± 1,

§ 2.91
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
141
Согласно условиям теоремы функция /(£)— это
целая функция конечной степени р < а, ограниченная на
вещественной оси. В соответствии с неравенством
(2.1.47) имеем
|/(r^)|<M^lsin(PJ, (2.9.26)
Положим е = а— р, и пусть г достаточно велико. Тогда
для правой части неравенства (2.9.24), учитывая (2.9.25),
получаем оценку
2я
2\f{rei*)\d<t
I
е'Ф_ —
<
г
2Я 2Я
еаг|зтф1| j _e-2arlsln<p|
2я
<8Л4 Г ^Н8тф|-аг|5тф|^ф^8Л[ Г е~гг > 8ln*| rf(p. (2.9.27)
о о
Последний интеграл стремится, очевидно, к нулю при
неограниченном возрастании г. Из сопоставления
(2.9.24) и (2.9.27) следует, что при п -> оо левая часть
равенства (2.9.21) стремится к нулю и притом
равномерно в круге |г|</? при любом фиксированном R. Это
означает, что ряд, стоящий в правой части (2.9.21),
также сходится равномерно в любой конечной части
плоскости, и следовательно, имеет место соотношение
( kn\
d\Z (
&=-оо \ a /
оо - ( «Я \
Il£L = У /IV • (2-9-28)
iin az / , / kn \ , v '
ЛшшшА a\z cosЫ
Умножая обе части равенства на sin аг, перенося
cos kn = ±1 из знаменателя в числитель и замечая, что
имеет место тождество
sin az cos kn = sin a iz ^-1, (2.9.29)
получаем окончательно искомое разложение (2.9.18).
Выше уже было указано, что задача интерполяции
имеет бесконечное множество решений, которые
задаются формулой (2.9.10). В нашем случае в качестве
функции ф(г) взята функция sin az.

142
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. II
Теорема 2. Задача интерполяции (2.9.11) в классе
В $ целых функций конечной степени р < а,
ограниченных на вещественной оси, имеет единственное решение.
Доказательство. Если воспользоваться
соотношением (2.9.18), то в соответствии с (2.9.10) любое из
решений интерполяционной задачи, когда в точках zk =
= —^задаются значения /( —) функции f(z), принадле-
<х ' \ а
жащей классу В^, имеет вид
% (г) = / (г) + у (г) sin ссг, (2.9.30)
где y(z) — произвольная целая функция.
Согласно условию теоремы функция %(г) также при-
надлежит классу В$ при р < а. Пусть г Ф—, k = 0,
±1, ±2, ... Разделив (2.9.30) на sin аг, получим
4^- = 4^- + y(4 (2.9.31)
Положим теперь z = rei(f>, где ф=£0 и ср*=£я. Тогда
согласно (2.9.26) для достаточно больших значений г
имеем
\f(re^)\^Me^^ln*\ Ix^^KM^'51^'. (2.9.32)
Пользуясь (2.9.23), (2.9.25) отсюда получаем при 8 = a—р
fire**)
%(re1*)
sin are1*
<4Afe-er,sin(pl,
<4Af1e-er|sIn<pl.
(2.9.33)
Из этих неравенств следует, что при |;г| = г->оо, ф=£0
и уФл левая часть равенства (2.9.31) и первое
слагаемое правой части стремятся к нулю; следовательно,
целая функция y(z) стремится к нулю по всем лучам,
кроме, быть может, вещественной оси. Отсюда следует, что
y(z) = 0, что и доказывает теорему.
В теоремах 1 и 2 мы предполагали, что степень р
целой функции f(z) строго меньше а. Для функций с
интегрируемым квадратом на вещественной оси можно
расширить условия теоремы, допустив равенство р = а.

§ 2.9] ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ (43
Теорема 3. Пусть f(z)—целая функция конечной
степени р<ас интегрируемым квадратом на
вещественной оси, т. е. принадлежащая классу Wa. Тогда имеет
место разложение (2.9.18), причем ряд сходится
равномерно в каждой ограниченной области.
Теорема 4. Задача интерполяции (2.9.11) в классе
Wa имеет единственное решение.
Доказательство обеих теорем получается посредством
некоторого уточнения проведенных доказательств.
Доказательство. В соответствии с
представлением для функций класса Wa
f(z) = -f=r 7((0)^d<»,
(2.9.34)
где f (со) — интегрируемая в квадрате функция, имеем
при условии z = re1®
|2
J/M
£>шг (cos<p+£ sin<p) ^ф
<
J*| f(co)|2rf<» |e-2mrsin(Pd(o =
f'
<
= J |7(«>)рл»
-a
Jim | sin Ф
2r | sin ф |
-a
2rasin<p _
пЛ 12 И
2r
ГЛ <^
—a
_е-2газ1Пф
sin ф
2ra | sin Ф |
<
r2
—a
2r | sin ф |
(2.9.35)
где С}— постоянная, зависящая от функции /(г),
откуда следует оценка
pra\s\nq>\Q
1/(^Ф)1<
2/лг|
sincp I
(2.9.36)
Подставляя это неравенство в (2.9.24), получаем при
достаточно больших г в соответствии с (2.9.25)
2я
I
/(£)<«
sin a? (£ — г)
<
4Cf
Ч
ЛГ «>
dq>
Vnr J V\ sin Ф |
(2.9.37)
Как легко видеть, интеграл в правой части этого
неравенства ограничен, так что вся правая часть стремится

144
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. II
к нулю при г->оо, что и доказывает в этом случае
равномерную сходимость ряда (2.9.18) в каждой
ограниченной области.
Для доказательства единственности нужно
использовать при оценке слагаемых в (2.9.31) неравенство
(2.9.36). Тогда получим
/ (^ф)
кр
sin are
tire1*)
<
Cf
sin are
iV
<
sin ф I
U у
(2.9.38)
V:
nr I sin ф I
откуда с помощью тех же рассуждений, что и выше,
вытекает y(z) = 0.
Следует отметить, что для класса Ва указанное
уточнение не имеет места, как показывает пример функции
f(z) = sina2.
§ 2.10. Чебышевская или равномерная аппроксимация
Среди различных способов аппроксимации заданной
функции F(x) функциями f(x) более узкого класса,
например, целыми функциями класса Wa, важное
значение имеет равномерное или чебышевское приближение.
Задача состоит в том, чтобы найти /(*)<= Way для
которой максимум модуля уклонения f(x)—F(x) на
заданном точечном множестве А (например, на интервале
[а, Ь]) будет наименьшим.
В теории чебышевского приближения искомая
функция представляется в виде обобщенного полинома
/л (*) = 21 ад* (*),
о
(2.10.1)
где щ(х) (£ = 1, 2, ..., N)—некоторые заданные
функции, аи — числа.
Рассмотрим для конкретности случай, когда
приближение ищется на отрезке [а, Ь]. Следуя терминологии
С. Н. Бернштейна, скажем, что п + I функций <р0, срь .-..
.-.., фп, линейно независимых и непрерывных на данном
отрезке [а, 6], образуют систему Т порядка я на [a,b].

§ 2.10] ЧЕБЫШЕВСКАЯ ИЛИ РАВНОМЕРНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ 145
если обобщенный полином не может иметь более п
нулей на [а, Ь]. Нетрудно убедиться, что обобщенный
полином с такими свойствами полностью определяется
своими значениями в любых п + 1 точках отрезка [а,Ь].
Разумеется, система функций щ(х) = хк образует
систему Т на любом интервале. Если непрерывная
функция g(x) остается строго положительной или строго
отрицательной на заданном отрезке [а, 6], то взвешенная
система щ(х) = xkg(x) также образует систему Т.
Учитывая это свойство взвешенной системы, покажем, что
система
sin a (* — &—)
Ф»С*Н , V я/ (* = 0, ±1, ±2 ±N) (2.10.2)
•Г"* «)
образует систему Т порядка 2N на интервале
| — (N' + .1) — +«, -—^-^- — г L где 8 > 0. Для этого
запишем обобщенный полином }n(x) в виде
N / , ТС\ N
г z ч %^ \ a sin ал X/
(-0*
X — k —
-N а
(2.10.3)
Приводя дроби в правой части к общему знаменателю,
получим следующее представление fN(x):
M*)e^2jv(*)TjvM.
где
sin a*
WN(ax)
1
— весовая функция, зависящая только от
P2N{x) = a2Nx™ + a2N_lx2N-{+ ...
-—полином степени 2Л/, коэффициенты которого ап
однозначно определяются через параметры аи в (2.10.3).
Графики весовой функции 4rN(z) в
полулогарифмическом масштабе при Л^ = 1,4, 8, 12, 16 и 20 показаны на
N,
+ ад
(2.10.4)
(2.10.5)
(2.10.6)

146
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. II
рис. II. 6. Из этих графиков, а также непосредственно из
(2.10.5) видно, что функция Ч'Хса) положительна на
интервале (-(W + 1)-£, (N + 1)£]и обращается в нуль
0
w,«i
г \
11
II
1 и
Щи
. ТЧ». ■-_
5 10 15 г
5 10 15
О'
N46 -4
■щ
Рис. II. 6. Огибающая весовой функции. Пунктиром показано
«заполнение» (а=я).
при х — ± ■о"(Л^+ 1). Система (2.10.2), так же как и
линейно выражающаяся через нее система
Ф*(*) = *%,(««) (6 = 0, 1, ..., 2Л0, (2.10.7)
образует систему Т порядка 2N на интервале! — ^(N+1)
+ 8, ^(N+l)-z
+
, на котором весовая функция
g (х) = 4fN (ах) положительна. Поскольку функция ви^а
(2.10.3) является целой функцией класса Wa,
взвешенный полином (2.10.4) удобно использовать при
равномерной аппроксимации целыми функциями, если
множество, на котором ищется приближение, заключено
внутри интервала |*|<— -•

§ 2.10] ЧЕБЫШЕВСКАЯ ИЛИ РАВНОМЕРНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ 147
Множество точек Л, для которого решается задача
о наилучшем приближении, может быть произвольным.
Оно может содержать один интервал, совокупность
отдельных интервалов, конечную или бесконечную
последовательность точек. Существенным является
требование ограниченности этого множества. Функция F(x),
для которой ищется приближение, может задаваться
любым способом: аналитически, графически, таблично
и т. д. '
Чебышевская задача определения полинома ^дг(*),
минимизирующего уклонение L от заданной
непрерывной функции F(x) на множестве Л, может быть
сформулирована следующим образом: среди множества
обобщенных полиномов вида (2.10.1) /лг = />(*, а0, аи ... у ап)
определить такой полином, для которого величина
уклонения
L = sup | F - fN | = sup | F {x) - fN (x, aQ, au ..., aN) | -
= L(a0, au ..., aN) (2.10.8)
получает наименьшее возможное значение. Для
непрерывной функции F(x) абсолютный минимум величины L
достигается по крайней мере для одного набора
а0у аи..., aN. Для непрерывной F(x) решение
единственно [15].
Основные свойства обобщенного полинома
наилучшего приближения видны из следующей теоремы.
Теорема 1. Для того чтобы полином fN(x) вида
(2.10.1) с функциями щ{х), образующими систему Т
порядка N, давал наилучшее (или чебышевское)
приближение для функции F(x) на множестве А, необходимо
и достаточно, чтобы для некоторой системы N + 2 точек.
аго < ^1 < аг2 ... < xN+i множества А выполнялись
равенства:
F (*о) - In (*о) = Р, F (х{) - fN (х{) = - р,
F {х2) - fN (х2) = р, F (х3) - fN (*з) = - Р>
(2.10.9)

148
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
[ГЛа И
или
F (*о) - In (*о) = - Р> F {x{) - fN (x{) = р, |
F (х2) - fN {х2) = - Р, ^(л:з)-/я(^з) = Р, j (2.10.10)
где р — минимальная величина L в формуле (2.10.8).
Доказательство теоремы приводится в [15].
Рассмотрим свойства полинома наилучшего
приближения, следующие из этой теоремы. Запишем равенства
(2.10.9) и (2.10.10) в виде
f(^-M**) = (-i)fep.
Р (2.10.11)
*£■ Согласно (2.10.11) график
уклонения г) (х) = F(х) —
—!n(x) можно представить
| у примерно так, как показано
Рис. II. 7. Чебышевский аль- на рис. II. 7. Функция |т](х)|
тернанс имеет максимальное
значение р, которое достигается
не менее чем N + 2 раза на множестве А. Между двумя
максимумами г\(х), равными +р, обязательно имеется
минимум, равный (—р); то же относится и к
минимумам. Подобное чередование экстремумов функции г\(х)
часто называют чебышевским альтернансом.
Таким образом, если уклонение r\(x) = F(x) — fN(x)
образует чебышевский альтернанс на множестве Л, то
это есть необходимое и достаточное условие того, что
fлг (л:) реализует наилучшее приближение функции tF(x)
на множестве Л. Более того, на основе теоремы 1
удается построить ряд весьма эффективных методов
последовательных приближений, позволяющих быстро
находить оптимальное решение. Более подробные
сведения о чебышевском приближении можно найти в [14], [15].

ГЛАВА III
ПРИМЕНЕНИЯ К ТЕОРИИ СВЯЗИ
§ 3.1. Теорема Котельникова
При передаче информации по каналам связи
носителями информации могут быть сигналы как
дискретного, так и непрерывного характера. С передачей
непрерывных сигналов приходится сталкиваться в телефонии,
автоматическом управлении, телеметрии и многих
других областях техники.
Для точного воспроизведения совершенно
произвольной функции времени на каждом конечном интервале
необходимо знание значений функции во всех точках
этого интервала.
Но если класс функций, подлежащих передаче по
каналу связи, обладает какими-либо специфическими
свойствами, то для воспроизведения на приемном конце
любой из функций этого класса может оказаться
достаточным знания значений функции лишь в отдельных
точках.
Так, например, если заранее известно, что
передаваемые функции — аналитические на рассматриваемом
отрезке времени — Г</<7, то для их восстановления,
согласно теореме единственности для аналитических
функций, достаточно знания значений функции в любой
бесконечной последовательности точек, лежащих на
этом отрезке (например, в точках *„■= — ; п = 1, 2, 3, ...).
Если же класс функций состоит из тригонометрических
многочленов порядка не выше чем т:
т
/(0 = 2 (a* cos ka0t + bksin k(u0t), (3.1.1)
k-0

150 ПРИМЕНЕНИЯ К ТЕОРИИ СВЯЗИ [ГЛ. III
где ak, Ьи- произвольные вещественные числа и а>0= -т-г,
то для восстановления любой из этих функций
достаточно знания значений функции /(/) в любых 2т + 1
точках tu /2i ...» кт+и расположенных на интервале
длины 27\ Действительно, если известны значения f(tk)
в этих точках, то, подставляя эти значения в (3.1.1)
и решая систему уравнений относительно неизвестных
ао, clu ..., аш, bu 62, ..., Ьт, мы определим эти
коэффициенты, а следовательно, и значения f(t) для всех
Вообще, чем уже будет класс рассматриваемых
функций, тем меньше данных (на единицу времени)
нужно знать для точного воспроизведения функции.
Аналогичные выводы можно сделать и при спекраль-
ном подходе к проблеме передачи сигналов.
Действительно, для точного воспроизведения при передаче
произвольной (интегрируемой) функции времени требуется,
вообще говоря, бесконечно широкая полоса частот, ибо
спектр такой функции имеет бесконечную протяженность.
Однако, как правило, нет необходимости передавать
весь спектр сигнала. Например, полоса частот,
необходимая для высококачественного воспроизведения
звуковых сигналов, определяется в конечном счете
свойствами получателя сообщений, т. е. особенностями слуха.
Так, в телефонии для высококачественного
воспроизведения человеческой речи требуется полоса 4—5 кгц\ для
передачи музыки нужна несколько более широкая
полоса, но человеческое ухо не воспринимает звуковых
колебаний выше 15 кгц. Поэтому передача более
высоких звуковых частот нецелесообразна.
Аналогично обстоит дело при любых непрерывных
сообщениях: свойства передающей и приемной
аппаратуры и оконечных устройств всегда ограничивают
определенным образом передаваемую полосу частот.
Предположим, следуя В. А. Котельникову [1], что
передаваемое сообщение представляется в виде
непрерывной функции времени f(t) с финитным спектром,
сосредоточенным в полосе частот (—р,р). j
Предположим дополнительно, что функция f(t)
ограничена при —оо < t < +oo.

§ 3.1] ТЕОРЕМА КОТЕЛЬНИКОВА 151
Тогда согласно теореме Винера —Пэли —Шварца
(см. § 2.6) функция f(t) может быть доопределена в
плоскости комплексного переменного z = t + iu как целая
функция конечной степени, не превосходящей р.
Следовательно, при а>р для функции f(t) имеет
место представление (см. (2.9.18))
2°° , . sin a [t — k — I
fe=-oo \ а/
причем ряд в правой части сходится равномерно в
каждом конечном интервале.
Замечание. Формула (3.1.2) принимает особенно
простой вид при а = я, т. е. для случая, когда спектр
f(co) финитен в интервале (—я,я). В то же время с
помощью линейного преобразования времени (или
частоты) можно любой интервал (—а, а) перевести в
интервал' (—я,я). Поэтому иногда мы будем этим
пользоваться и записывать формулу (3.1.2) в виде
k= — оо — оо
В формуле (3.1.2) величина а имеет размерность
рад/сек. Если перейти к частотам, измеряемым в
герцах; положив
%a = 2nF,
так что интервал между отсчетами, т. е. точками, где
берутся значения функции f(t), будет равен
Д=2Г> (ЗЛ-4>
то формула (3.1.2) примет вид
оо . ТС_ . . оо
£=> — оо Д fc= — оо
(3.1,5)

152
ПРИМЕНЕНИЯ К ТЕОРИИ СВЯЗИ
(ГЛ. III
Обычно в этом виде формула приводится в литературе
по теории передачи информации [1], [2], Введение [9].
Формула (3.1.5) показывает, что для восстановления
на приемном конце канала связи сообщения,
описываемого функцией f(t) с финитным спектром, нет
необходимости передавать все значения функции f(t),
определенной на всей оси —оо < t < +oo, а достаточно
передавать лишь значения этой функции /(ЛА),
называемые отсчетами, через равные интервалы k^iyp- = —.
Формула (3.1.5) и это утверждение составляют
содержание двух основных теорем В. А. Котельникова,
приведенных в его работе [1].
В отечественной литературе по теории передачи
информации эти утверждения объединяют, называя
теоремой Котельникова; в иностранной литературе они
фигурируют под названием «теорема отсчетов».
В разложении (3.1.5) можно, конечно,
воспользоваться отсчетами /(fo + ^Ai), взятыми в периодической
последовательности точек при любом фиксированном U,
которое указывает лишь изменение начала отсчета
времени, и при любом Д1<Д = -2гг-. Последнее
утверждение следует из того, что если спектр функции /(/)
сосредоточен в интервале (—2я/7,2л;/7), то он подавно
сосредоточен в большем интервале (—2nFi, 2nFi)f где
Fx = гд- • Если функция f(t) принадлежит пространству
Wa, причем интервал (—а, а)—это наименьший
интервал, вне которого спектр f (со) тождественно равен нулю,
то величина А = — = "о^г указывает наибольший
возможный интервал между отсчетами, при котором
представление (3.1.5) еще имеет место. В случае, когда / (/) неинте-
грируема в квадрате на всей оси, интервалы между
отсчетами должны быть меньше величины— , Эти заме-ж
чания непосредственно следуют из теоремы 1 и теорет
мы 3 § 2.9.
По поводу теоремы Котельникова следует сделать
ряд замечаний. Разложение (3.1.5) для целых функций
конечной степени как разложение по формуле Лаг-

§ 3.1] ТЕОРЕМА КОТЕЛЬНИКОВА 153
ранжа было известно математикам до работы Котельни-
кова (см., например, [3], [4]). Однако В. А. Котельников
впервые обратил внимание на фундаментальное
значение этого разложения для теории передачи сообщений,
связав формулу (3.1.5) с проблемой передачи
непрерывных сообщений, обладающих ограниченной полосой
частот.
При доказательстве формулы (3.1.5) В. А.
Котельников не опирался на теорию интерполяции целых
функций, а воспользовался некоторым искусственным
приемом, который быстро приводит к цели. Однако этот
путь не позволяет выяснить причины, порождающие
замечательное свойство функций с финитным спектром —
свойство однозначной восстановимости значений функций
на всей временной оси по ее значениям в дискретной
(периодической) последовательности точек. Поэтому на
таком пути нет возможности получить более общие
результаты, о которых речь пойдет ниже.
Ясное понимание того, что формула (3.1.5) и
вытекающие из нее выводы являются следствием аналитич- #
ности и принадлежности функции с финитным спектром
к классу целых функций конечной степени, дает не
только перспективу для получения более общих и
полных результатов, но и указывает адекватный
математический аппарат.
Все же прием, примененный В. А. Котельниковым
и обычно излагаемый в технической литературе,
представляет интерес сам по себе и столь прост, что мы
приведем соответствующие рассуждения.
Пусть f(t)—функция с финитным спектром
а
f{t) = y=- J 7 («О «'•*</«. (3.1.6)
-а
Функция /'(со) равна нулю вне интервала (—а,а);
внутри этого интервала она .может быть разложена
в ряд Фурье
7(со)= 2 Dke «, (3.1.7)
ft"* —оо.

154 Применения к теории связи [гл. hi
причем коэффициенты ряда Фурье определяются
соотношением
nka>
Dk = ± J e ' а 7(co)d(o. (3.1.8)
Из сравнения (3.1.6) и (3.1.8) получаем
D„
У2л
2а
f (-?%-). (3.1.9)
Подставляя (3.1.9) в (3.1.7), для f(co) получаем
выражение
&вх — (JO
-^E'ffK'^- »-i-io»
ft- — оо
Подставляя, наконец, (3.1.10) в (3.1.6) и меняя порядок
суммирования и интегрирования, получим окончательно
-а -оо
— оо —а —оо \ а /
(3.1.11)
Эта формула совпадает с (3.1.2), чем и завершается
доказательство. Мы сознательно не останавливались ца
условиях, которые необходимо наложить на функции
j{t) и /'(со), чтобы проведенные преобразования были
законны, поскольку в § 2.9 при выводе интерполяцион-*
ной формулы такие условия были сформулированы.
В работе В. А: КотеЛьникова [1] предполагается, что
функция /(со) удовлетворяет условиям Дирихле; это не
дает возможности использовать формулу (3.1.2) для
функций, не стремящихся к нулю при |/|-*оо и, в част-

§3.1]
ТЕОРЕМА КОТЕЛЬНИКОВА
155
ности, для периодических функций, спектр которых
сосредоточен внутри интервала (—а, а). Незначительные
обобщения, скажем, предположение интегрируемости
или интегрируемости в квадрате функции f(co), здесь
также не приведут к цели. Для включения в
рассматриваемый круг вопросов функций /(/), не стремящихся
к нулю при |/|->оо, нужно ввести в рассмотрение
спектры, являющиеся обобщенными функциями, как это
сделано нами в § 2.9.
Вернемся вновь к выводам, следующим из теоремы
Котельникова. Было установлено, что для передачи
функции с финитным спектром достаточно передавать
ее значения в точках, следующих через равные
интервалы, не превосходящие величины Д = у^ . Как же
технически реализовать эту идею?
Каждое слагаемое ряда (3.1.5) можно
рассматривать как отклик идеального фильтра нижних частот
с верхней граничной частотой, равной а, когда на вход
фильтра действует 6-импульс (т. е. импульс, форма
которого описывается 6-функцией Дирака), возникающий
в момент tk = kk. Множитель /(&Д) при этом может
быть интерпретирован как величина, пропорциональная
площади этого б-импульса.
Поэтому способ передачи, использующий формулу
(3.1.5), можно представить следующим образом. Через
равные интервалы времени в моменты tu = &Д берутся
отсчеты — мгновенные значения передаваемой функции
/(&Д). Далее по каналу связи передаются периодически
следующие весьма короткие импульсы одинаковой
длительности, амплитуды которых пропорциональны
величинам f(kts). На приемном конце эти импульсы
подаются на вход идеального фильтра нижних частот
с верхней граничной частотой а = 2л;/7, так что на
выходе фильтра (как отклик на каждый из этих
импульсов) получается функция, пропорциональная компози-
ционнои функции , ьдч разложения (3.1.5).
Мы обозначили здесь время буквой т, поскольку на
выходе фильтра отклик появляется не мгновенно, а
запаздывает, причем время запаздывания Д^зап = т — t

156
ПРИМЕНЕНИЯ К ТЕОРИИ СВЯЗИ
[ГЛ. III
определяется свойствами фильтра. В частности, для
идеального фильтра с прямоугольной частотной
характеристикой время запаздывания бесконечно велико, так
что начало отсчета времени т отличается от начала
отсчета времени / на бесконечно большую величину.
Заметим, что при обозначении времени на входе и выходе
фильтра разными буквами, т. е. при учете
запаздывания, исчезает обычно возникающий вопрос о том, может
ли на выходе фильтра отклик появиться раньше, чем
импульс, его вызывающий, появится на входе.
Так как рассматриваемый идеальный фильтр — это
линейная система, то на выходе фильтра отклики на
последовательные импульсы будут складываться, так что
в результате на выходе получится функция
/(x)=if(M)sin2g;(!,-;f • (3.1.12)
При этом предполагается, что начало передачи было
при t = — оо, а принимаемая функция становится
полностью известной лишь при t = +00, ибо для ее
восстановления нужно передать все отсчеты /(&Д) при
—оо<&<+оо. Однако в реальных условиях
невозможно передать неограниченное количество отсчетов и
притом абсолютно точно, так что аппаратурная
реализация метода передачи непрерывных сигналов,
подсказываемого теоремой Котельникова, с абсолютно точным
воспроизведением передаваемых функций практически
неосуществима.
Поэтому следует рассмотреть причины,
порождающие ошибки воспроизведения при реализации этого
метода, и оценить соответствующие погрешности.
В реальном случае, во-первых, фильтр не будет
идеальным.
Во-вторых, вследствие ошибок при съеме величин
отсчетов f(kA) и наличии помех в канале связи
поступающие в приемное устройство значения f(kk) будут
отличаться от истинных.
В-третьих, при технической реализации моменты
tk = kh? в которые следует брать отсчеты, также будут
определяться с некоторой погрешностью.

§ 3.1]
ТЕОРЕМА КОТЕЛЬНИКОВА
157
Все эти погрешности обычны, их уменьшение
зависит от наших технических возможностей. Теоретическое
изучение этих ошибок требует иного, а именно,
статистического подхода к рассматриваемому кругу проблем.
На этих вопросах мы остановимся в гл. VI. Здесь же
будем полагать все три типа указанных .погрешностей
настолько малыми, что их можно не учитывать при
изучении передачи непрерывных сигналов с финитным спектром.
Другая группа причин, порождающих погрешности
воспроизведения, связана с принципиальной
невозможностью вести передачу в течение бесконечно большого
интервала времени; в реальном случае передача
начинается не при t = —оо и происходит в течение
конечного интервала времени. Круг вопросов, связанных
с этими погрешностями, будет рассмотрен ниже.
Конечно, существует еще ряд факторов, приводящих
к ошибкам при воспроизведении сигналов, например,
отличие формы реальных импульсов от б-функций,
неточности при реализации фильтра и т. д., но мы здесь на
них останавливаться не будем.
В заключение сделаем еще одно замечание. Если
функция f(t) определена только в конечном интервале
(—7\ 7"), то, хотя ее спектр имеет при этом бесконечную
протяженность, для передачи такой функции нет
необходимости передавать весь спектр /'(со), а достаточно
передать лишь определенные значения этого спектра.
Действительно, в этом случае, положив f(t)
тождественно равной нулю вне интервала (—Г, Г), мы можем
записать
т
/М = у=- \f(t)e-™<lt. (3.1.13)
Пользуясь взаимностью прямого и обратного
преобразования Фурье, мы можем функцию f (со)
рассматривать как функцию с финитным спектром. Следовательно
(пользуясь разложением (3.1.2) и меняя местами / и о)),
можем записать
^П ~ / »\ S111 Т \<д~~т')
—т)

158 ПРИМЕНЕНИЯ К ТЕОРИИ СВЯЗИ [ГЛ. III
Эта формула показывает, что для сигнала конечной
длительности значение спектральной функции на любой
частоте однозначно определяется ее значениями в
дискретном множестве точек
©А-Т- (fe==0> ±l> ±2> •••)-
§ 3.2. Неравномерные отсчеты
В теореме Котельникова отсчеты значений функции
берутся в последовательности точек, следующих друг
за другом через одинаковые интервалы длительности
Д<~27 сек.
Однако не всегда удобно пользоваться такими
равномерными отсчетами. Например, в телеметрии при
многоканальной передаче и временном разделении кана^
лов на каждый канал периодически выделяется
небольшой интервал времени, в течение которого желательно
передать возможно более полную информацию. Если
при этом по-прежнему пользоваться методами
импульсной модуляции для передачи непрерывных сообщений,
то естественно возникает необходимость обобщить
теорему Котельникова на случай отсчетов, не следующих
равномерно друг за другом.
Как было указано в § 2.9, интерполяционная
формула Лагранжа (2.9.4) дает при определенных условиях
решение интерполяционной задачи. Однако для приме-
нения этой формулы нужно предварительно построить
каноническую функцию — целую функцию ф(г),
имеющую своими простыми нулями точки отсчетов и не
обращающуюся в нуль в других точках.
Хотя принципиально эта задача рыпается
посредством составления бесконечного произведения (2.9.2),
но при реализации метода передачи, основанного на
соответствующей интерполяционной формуле, нужно «на
приемном конце иметь устройство, воссоздающее
композиционную функцию в определенном временном
масштабе и в нужные моменты времени. Представление
функции в виде бесконечного произведения весьма
громоздко, да и нет необходимости, имея в виду практи-

§3.2)
НЕРАВНОМЕРНЫЕ ОТСЧЕТЫ
159
ческое использование полученных формул,
рассматривать произвольные расположения моментов отсчета.
Поэтому сначала мы рассмотрим ситуацию, в
которой моменты отсчета распределены некоторым
регулярным образом.
Пусть моменты отсчетов разделены на группы по N
точек, которые повторяются периодически. Внутри
группы расположение точек произвольно. Нам удобно это
Л Л Д Л Л
' С
, ц
-*А
U~t,-
Г/
tf3J
О (
р
^г,4
н—*,
Рис. III. 1. Неравномерные отсчеты.
расположение связать с периодической
последовательностью точек отсчета, фигурирующей в теореме Котель-
никова. Эту связь иллюстрирует рис. III. 1 для случая,
когда N = 3.
Средние на единицу времени количества отсчетоз,
которые берутся на верхней и нижней осях, здесь
совпадают.
Запишем последовательность моментов отсчета в
следующем виде:
tns = NnH + xs (s-0, 1, ..., Л/-1, /i«0, ±1, ±2, ...)•
т0 = 0, ts<M\, Д = -2]г, (3.2.1)
так что при каждом фиксированном значении s (s = 0,
1, ..., N—1) последовательность моментов ...,/_2s, ^-is,
Us, t\s, fas, ... образует периодическую
последовательность с периодом TN = ДОД. Для примера,
изображенного на рис. III. 1, имеем соответственно
гя0 = ЗяД, tnl = 3n\ + ru tn2 = 3nk + x2. (3.2.2)

160
ПРИМЕНЕНИЯ К ТЕОРИИ СВЯЗИ
[ГЛ. 111
Здесь последовательность {/no}, {tni} и {1пг} обладают
периодом Т3 = ЗД.
Теперь построим каноническую функцию
последовательности моментов отсчета, задаваемых формулой
(3.2.1). Для каждой периодической последовательности
{tns} при фиксированном s и я = 0, ±1, ±2, ...
канонической функцией является синусоида (см. (2.9.12))
<ps(z) = sin ^-(z-ts). (3.2.3)
Действительно, при фиксированном s и любом целом п
Ф5 (tns) = sin -jfa (Nnk + ts - xs) = 0,
(3.2.4)
и, кроме того, у функции фв(г) никаких других нулей
нет.
Поэтому функция
Ф(г) = П^(2)==П5|пЖ(2-Т5) (3'2-5)
s=0* s=0
будет канонической функцией множества {tns},
задаваемого формулой (3.2.1). При этом
Ф'(и=-ж(-1)" П slnж(*»-*р)•*<>•' (3-2-6>
Интерполяционная формула Лагранжа (2.9.4) для
отсчетов функции /(/), взятых в моменты (3.2.1),
принимает вид
N-1
♦<*>- 2 Z с±-^ •
""" *"0 (*-'»)<-О" Ж П sin^-(T,-Tp)
(3.2.7)

§3.2]
НЕРАВНОМЕРНЫЕ ОТСЧЕТЫ
161
Перенося (—1)" из знаменателя в числитель и
пользуясь тождеством
(-1)" sin fa (z-Tp)=sin fa(z-NnA-Tp) = sin fa (z-tnp),
(3.2.8)
формулу (3.2.7) можно переписать в виде
JV-I
- ^ f(tns)J[sin-fa(z-tnP)
№)~2j ZJ P"V, • (3-2.9)
„=-co,=0_^.(2_/rts) Д sin_^.(tj_Tp)
Р^О* p #s
Теперь следует указать, при каких условиях
рассматриваемая интерполяционная задача имеет
единственное решение, а формула (3.2.9) представляет
функцию /(/). Как легко проверить, композиционная функция
ЛГ-Ч
Мг) = £z<> __ (3.2.10)
jfcit-tns) Д Sin~(Xs^p)
р-0, p=&S
При z = /ns равна единице, а при г = /mr и т Ф п или
гфв обращается в нуль, так что t|>(tns) = f(tns). Для
функции с финитным спектром, сосредоточенным в
интервале (—2nF, 2nF), в соответствии с теоремой Котель-
никова берутся отсчеты через интервалы Д^-^тт, так
что за время NA берется N отсчетов. Последователь*
ность моментов отсчета, задаваемая формулой (3.2.1)
и используемая в (3.2.9), устроена таким образом, что
хотя моменты tna не следуют через равные интервалы,
но за время МД также берется N отсчетов. Грубо говоря,
количество информации о функции, получаемое в
единицу времени, в обоих случаях одинаково. Эта
информация о функции содержится в наборе N
чисел-отсчетов, которые берутся в течение любого интервала
времени длительности МД. Следует ожидать поэтому, что
6 Я. И. Хургин, В, П. Яковлев

162
применения к Теорий связи
[гл. in
для функций, f (t) с финитным спектром,
сосредоточенным в интервале (—2nFf2nF), формула (3.2.9) будет
представлять функцию f(t) и давать единственное
решение интерполяционной задачи.
Действительно, имеют место следующие теоремы,
аналогичные теоремам 1—4 § 2.9.
Теорема 1. Для функций f (г), принадлежащих
классу Вр (т. е. для целых функций степени не выше р и
я
ограниченных на вещественной оси), при $<a = 2nF =-г-
имеет место разложение
JV-1
» ^ / Uns) Д sin -jfclz- tnp)
m- 2j Zj ^ * (3-2,11)
Рв0, рФ s
где моменты отсчетов tns задаются формулой (3.2.1).
При этом ряд в правой части сходится равномерно
в каждой ограниченной области.
Теорема 2. Задача интерполяции (3.2.1) в классе
£р при р < а = 2jtF имеет единственное решение.
Теорема 3. Если функция f(z) принадлежит
классу Wa, то имеет место разложение (3.2.11), причем
ряд сходится равномерно в каждой ограниченной
области.
Теорема 4. Задача интерполяции (3.2.1) в классе
функций Wa имеет единственное решение.
Доказательства*) этих теорем могут быть
проведены совершенно аналогично доказательству теорем
1—4 § 2.9, поэтому мы их приводить не будем.
Можно указать обобщение теорем типа теорем 1—4
для различных расположений моментов отсчета.
Приведем без доказательства одну теорему, более общую, чем
вышеуказанные (гл. II, [2]).
*) Теорема о разложении в ряд (3.2.11) без четкого описания
класса функций, для которого это представление имеет место,
содержится в статье [5]. Доказательство теоремы, приведенное в этой
работе, несколько искусственно и громоздко.

§3.21
НЕРАВНОМЕРНЫЕ ОТСЧЕТЫ
163
Теорема 5. Пусть моменты отсчета {tn}
удовлетворяют следующим условиям:
1) tn+i — tn > у > 0 при всех п = 0, ± 1, ±2, ...;
2) средняя величина интервала между моментами
отсчетов равна А:
Нт-Цг=2.«Д.
П + оо 2«
Обозначим через ср(г) каноническую функцию этого
множества моментов отсчета. Тогда для любой
функции f(z), принадлежащей классу В$ при Р<а=-^-,
имеет место разложение "
П — оо
причем ряд в правой части сходится равномерно в
каждой ограниченной области.
Формула (3.2.11), так же как и формула Котельни-
кова (3.1.5), подсказывает определенный способ
передачи сигналов с финитным спектром. Для его пояснения
воспользуемся обозначением (3.2.10) для
композиционной функции, с пбмощью которого ряд (3.2.11) можно
записать в виде
fW- 2 2дие„Л0. (3.2.13)
П = —оо $=0
Каждую функцию 9ПД^К можно рассматривать как
импульсную переходную функцию некоторого фильтра,
т. е. как отклик фильтра на воздействие типа 6-функ-
ции, поданное в момент tns. Для получения частотной
характеристики этого фильтра в соответствии с (1.2.4)
следует взять преобразование Фурье от функции 0ns (0-
Заметим, что вид функций 9ns(0 меняется с
изменением индекса s (s == 0, 1, ..., N—1), но остается
неизменным (с точностью до временного сдвига) при
фиксации индекса s и изменении пу т. е. при переходе от
некоторого отсчета в группе к соответствующему отсчету
в другой группе.
Теперь способ передачи, основанный на формуле
(3.2.13), представляется в следующем виде. На вход
6*

164
ПРИМЕНЕНИЯ К ТЕОРИИ СВЯЗИ
[ГЛ. III
приемника поступают весьма короткие импульсы,
площадь которых пропорциональна f(tn*). На выходе
приемника имеется N фильтров, имеющих соответственно
импульсные переходные функции Qns(t) (s = О, 1, ...
..., N— 1), и некоторое коммутационное устройство,
подключающее последовательно выход приемника на вход
этих фильтров так, что на фильтр с номером s
поступает импульс, соответствующий отсчету, взятому в
момент tns- Выходы всех фильтров объединяются, и их
суммарное напряжение дает искомую функцию f(t)
в соответствии с формулой (3.2.13).
Естественно было бы остановиться на вопросе о
точности, с которой необходимо снимать и передавать
отсчеты. Прежде всего подчеркнем еще раз (мы об этом
говорили в § 3.1), что при исследовании вопросов
точности передачи при неточном съеме отсчетов или любых
других случайных ошибках, необходимо перейти к
статистическому аспекту всей проблемы передачи
информации. Мы на этом остановимся в гл. VI.
Обратим лишь внимание на одно наводящее
соображение, указывающее на необходимость более
осторожного подхода к системам с неравномерными отсчетами
по сравнению с теоремой Котельникова.
В ряде Котельникова (3.1.5) композиционная
функция одна и та же для всех отсчетов, а именно
sin-^-(f — пД)
Ее максимум, равный единице, достигается в точках
отсчета tn = лА.
Как замечает автор [5], в том наиболее
распространенном случае, когда передаваемые сигналы не
изменяются слишком быстро (мало изменяются за время,
малое*по сравнению с -^г U требуемая точность съема
отсчетов оценивается по максимальному значению
композиционной функции.
Когда отсчеты не следуют равномерно,
максимальное значение композиционной функции, во-первых, не

§ 3.2] НЕРАВНОМЕРНЫЕ ОТСЧЕТЫ 165
расположено, вообще говоря, в точке отсчета, и,
во-вторых, это максимальное значение может стать весьма
большим из-за уплотнения моментов отсчета.
Действительно, в знаменателе выражения (3.2.10) стоят под
знаком синуса разности моментов отсчета. При их
сближении знаменатель уменьшается, так что наибольшее
значение композиционной функции возрастает, причем
Рис. III. 2. График композиционной функции при N — 2.
достигается этот максимум обычно в пробеле между
моментами отсчета.
На рис. III. 2 для примера приведены графики ком*
позиционной функции для случая, когда точки
сгруппированы по две (N = 2), и композиционная функция
имеет вид
а /л __ — sin я/ sin я (t — т)
°о° W - я/sin от *
(3.2.15)
где' т — интервал между точками отсчета, а интервал
между группами равен единице IД = у). Из
графика видно, что максимум композиционной функции

166
ПРИМЕНЕНИЯ К ТЕОРИИ СВЯЗИ
[ГЛ. III
достигается в пробеле между группами отсчетов и резко
возрастает при уменьшении т. При этом
91,(f)=gln"(<"T-g""t<. (3.2.16)
так что
М/)=-е01(* + т). (3.2.17)
§ 3.3. Задание отсчетных значений функции
и ее производных
В предыдущем параграфе было показано, что для
функции с финитным спектром при отсчетах, следующих
периодическими группами, имеет место теорема,
аналогичная теореме Котельникова. При этом информация
о функции содержится в наборе N чисел-отсчетов,
взятых за время NA. Возникает вопрос: нельзя ли для
аналогичного разложения функции с финитным спектром
воспользоваться какими-либо другими элементами
экстраполируемой функции — N числами (за время NA)?
Ответ на этот .вопрос оказывается положительным.
Мы не будем рассматривать общую задачу, а разберем
случай, когда в точках отсчета, следующих
периодически с периодом Л/А, задаются N чисел: значение
функции и ее N—1 последовательных производных. Эта
задача имеет практический интерес, ибо иногда значения
функции и ее производных измеряются непосредственно,
и их использование может облегчить задачу
восстановления на всей оси. •
Предположим, *!Yo функция f(г) — целая функция
класса В$ при р<а = -д- = 2л;/7.
Сначала выведем соответствующие формулы для
N = 2, т. е. для случая, когда в точках отсчета
'*я = 2лД (я = 0, ±1, ±2,...) (3.3.1)
• с. ■ *
задаются значения f(tn) in'f'(tn)-
Воспользуемся формулой (3.2.11) для случая, когда
отсчеты значений функции берутся группами по два
{N = 2) и запишем моменты отсчета в виде
*я0-2яД, tnl = 2nh + % (tt = 0, ±1, ±2, ...)-. (3.3,2)

§3.3] ОТСЧЕТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ И ПРОИЗВОДНЫХ 16?
Идея вывода искомой формулы весьма проста.
Заметим, что если нам известно значение функции 7(0
в некоторой точке tno = 2яД, то ее значение в близкой
точке (при малом т) равно
/ (tnl) = / (2яД + т) = f (2M) + /' (2пА) х + о (т), (3.3.3)
где о(х) означает члены более высокого порядка
малости, чем т.
Таким образом, при сближении точек tno и /п1 можно
пользоваться не значениями функций в этих точках,
а значениями функции и производной в одной из них.
Проведем теперь необходимые вычисления в
соответствии с формулой (3.2.11) при N = 2. Принимая во
внимание (3.3.2) и (3.3.3), получим
П Zj JL.inJLr I- «-too *-'iuJ
n=-cc 2Д Sln 2Д T
oo
-2
sin -r-r- (2 — 2nA) sin -r-r- (г - 2/гА - т)
2A 2А
^:sln2A-T
х
/(2кА) + Г (2пД) т + о (т) f (2пА)
z — 2яА — т z — 2яД
Далее, имеем при достаточно малых значениях т
2 __ L. _
г — 2яА — т
l_z — zni\) i 1
1
]. (3.3.4)
-^2nA[!+7^ + ^W]. (3.3.5)
Подставляя (3.3.5) в (3.3.4), производя очевидные
упрощения и переходя к пределу при т—►О, получаем
окончательно*)
12
f(z)
=2
Ж(г-2"Л)
[/.(2иД) + (г-2гсД)/'(2пД)].
(3.3.6)
*) Эта формула получена в работе [6], но довольно сложным
способом.

168 применения к теорий сёязй [гл. itt
Церейдем теперь к общему случаю. Сгруппируем
моменты отсчетов по N точек в группе
tns = Nnk + sx (s = 0, 1, ..., N- 1, tt = 0, ±1, ±2, ...)..
(3.3.7)
Если воспользоваться разложением в ряд Тейлора
f(tns) = f(Nn^ + s^)~
- /(AfaA) + Г (Nnk) sx+ ... +pN~l)(Nn&) j^^+oi^-1)
(3.3.8)
и формулами
l
l
г — Nnk — st z - Nnk
[■
+
(ST)2
z-Nntb ' {z-Nnts)2
+ ...
•■•+1^^+°Н' (3-з-9)
siniH.i?L[^1L(J£L)»+i(i£L)4...] (З.З.Ш)
Произвести несложные вычисления и, наконец, перейти
к пределу при т-*0, то получим
/(*)
ОО
-2
sin —(z-JWzA)
п
ж<г-ад
fk) (Nnb)
k\
(2-NnA)kX
XPk(z-NnA)> (3.3.11)
где полиномы />&(*) определяются следующим
соотношением:
AT-l^ft
/=0
( — / ]
1 N
1 . я
лг
(3.3.12)
/»о
Поскольку ряд (3.2.11) сходится равномерно в
любой конечной части плоскости, то ряд (3.3.11) также
сходится равномерно.
Полученное представление, аналогичное формуле
Котельникова, дает возможность выразить значения

§3.3] ОТСЧЕТИЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ И ПРОИЗВОДНЫХ 169
)•
функции с финитным спектром (с граничной частотой
F) через значения функции и ее JV-1 первых
производных в точках отсчета, следующих через интервалы
JVA, где А —величина интервалов между моментами от
счетов, определяемая в теореме Котельникова (А ^ -ке
Таким образом, количество информации о функции,
получаемое в единицу времени, т. е. среднее количество
данных на единицу времени, характеризующих
однозначно функцию f(z), и в этом случае" сохраняется
равным среднему количеству данных, определяемых
теоремой Котельникова, но информация содержится уже не
только в значениях функции в точках отсчета, но также
и в значениях ее производных.
Представление (3.3.6) (или (3.3.11) при
произвольном N), аналогичное теореме Котельникова,
подсказывает некоторый способ передачи функции с финитным
спектром, использующий значения функции и ее первой
производной (илц N—1 производных) в точках отсчета.
Для этого перепишем формулу (3.3.6) в виде
/(0-МО + М*), (з.злз)
где
МО
оо
=2
/(2яА)
8Ш-2д-(<-2«Д)
2Д
(/-2лД)
ОО
2
f2W= ?lf'{2n&){t-2n$
sin -т|д- (t - 2«Д)
-Е-«-*■*>
Каждый из этих рядов может рассматриваться как
некоторый интерполяционный ряд с композиционной
функцией
я
еяк(0 = «-2пд)*
т2
sin j^ (t - 2яА)
-2Д»"2лА)
(3.3.14)
Способ передачи, основанный на формуле (3.3.13),
представляется следующим образом. Нужно передать

170 ПРИМЕНЕНИЯ К ТЕОРИИ СВЯЗИ [ГЛ. III
функцию f(t), спектр которой сосредоточен внутри
интервала 1—г-, -г-). Через равные интервалы времени
длительности 2А выбираются отсчетные значения
функции f(2/zA) и ее первой производной f'(2nt±).
Эти величины кодируются в виде коротких
импульсов (амплитуды импульсов пропорциональны
соответствующим величинам), которые на приемном конце
(с помошью кодирования или коммутации) подаются на
соответствующие полосовые фильтры с импульсными
переходными функциями, задаваемыми формулой (3.3.14).
Выходы фильтров суммируются, и в результате на
выходе всей системы получается сигнал, вид которого
совпадает с правой частью формулы (З.ЗЛЗ).
Фильтры с импульсными переходными функциями
(3.3.14) являются полосовыми фильтрами с верхней
граничной частотой ' F —-д* (но с различными
амплитудно-фазовыми характеристиками). Это — идеальные
фильтры в том смысле, что они не пропускают частот
выше F. Как нетрудно проверить, такие фильтры также
приводят к бесконечному запаздыванию сигнала, и
следовательно, к этому методу передачи относятся в
равной мере замечания, сделанные в § 3.1, по поводу
реализации метода, подсказываемого теоремой Котельни-
кова.
Формулу (3.3.6) можно преобразовать к другому
виду. Для этого построим вспомогательную целую
функцию конечной степени
2. sin — (z - 2nts)
f(2A)-^ . (3.3.15)
Из этого преставления следует, что
1|>(2лДН/(2лД) (3.3.16)
и что спектр функции г|)(2) сосредоточен внутри
интервала (—jjr, -77Г-)» в то время как спектр исходной
функции /(г) сосредоточен внутри интервала(—-д-, -~].

§ 3.3] ОТСЧЕТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ И ПРОИЗВОДНЫХ 171
Поскольку представление (3.3.6) имеет место для
любой целой функции конечной степени (ограниченной
на вещественной оси), спектр которой лежит внутри
интервала (—Г» х)' а спектР ФУНКЦИИ Ф(г)
удовлетворяет этому условию, то мы можем написать*
оо
/ (2) = 2 [f (2«А) + (г - 2«А) Г (2«Л)]
sin-тгг- (z — 2n&)
JL(,-2«A)
Ф(г)
оо
=2
Ы> (2пА) + (z - 2nA) ty' (2яА)]
sin —(2-2/гД)
12
L 2Д
(г-2пД)
(3.3.17)
Вычитая почленно из верхнего равенства нижнее,
пользуясь (3.3.-16)-и тем, что
sift^(z-2nA) = (-irsin-^-z,
2Л
2Л
(3.3.18)
получим
sm-ktz NH sin —(г-2пД)
==l—1Г~ Z, [/'(2nA)-^(2/2A)](-ir-^ -.
"2Л пГ± Ж^2^
(3.3.19)
Если теперь подставить вместо г|з(г) ее разложение
(3.3.15), то получим окончательно

172
Применения К Теории связи
[ГЛ. Ill
Эта формула также может быть полезна. Она
получена в работе Б. С. Цыбакова и В. П. Яковлева [7], где
используется для построения блок-схемы некоторого
другого способа передачи функции с финитным
спектром*).
§ 3.4. Конечное число отсчетов
Выше было отмечено, что в реальных условиях
невозможно передать неограниченное количество
отсчетов, требуемое для восстановления функции но методу,
подсказываемому формулой Котельникова или
формулами (3.2.11) и (3.3.13).
Если же передать лишь конечное число отсчетов, то
применение интерполяционных формул без
дополнительных ограничений приводит к неединственности. Для
того чтобы решение интерполяционной задачи было
единственным и в этом случае, нужно сузить класс
функций, в котором решается интерполяционная
задача. Необходимые для этого дополнительные условия
можно ввести различными способами, причем разным
ограничениям будут, вообще говоря, соответствовать и
различные решения.
Укажем три метода введения таких ограничений.
Один путь состоит в специальном задании значений
отсчетов вне того интервала, где функция определена.
Другой путь заключается во введении дополнительного
ограничения экстремального типа: из всех функций
с финитнцм спектром в интервале (—-а,а),
обладающих заданными величинами отсчетов в конечном числе
заданных точек, выбирается та, которая минимизирует
некоторый функционал. Третий подход предполагает
ограничение энергии функции вне заданного временного
интервала и подбор минимального числа степеней
свободы (свободных параметров), при котором достигается
требуемая точность аппроксимации.
*) Заметим, что в упомянутой блок-схеме имеется погрешность:
не введена необходимая для согласования складываемых сигналов
задержка в одном из каналов, эквивалентная задержке идеального
фильтра нижних частот.

§3.4] КОНЕЧНОЕ ЧИСЛО ОТСЧЕТОВ 173
Рассмотрим конкретные примеры применения этих
различных подходов.
При первом подходе простейшее решение очевидно.
Именно положим равными нулю все отсчеты, кроме
измеряемых. Запишем интерполяционную формулу в виде
ДО- 2 /(УМ/), ' (3.4.1)
где 9а (/)—композиционные функции, вид которых
в случае формулы Котельникова определяется из (3.1.5),
а в случае неравномерных сгруппированных отсчетов
задается формулой (3.2.10).
Мы предполагаем заранее, что /(/) —функция с
финитным спектром (из класса Ва), а моменты {4}
в (3.4.1) выбраны так, что эта формула дает
единственное решение интерполяционной задачи.
Предположим теперь, что функция f(t) известна
лишь на интервале (0,Г), и ее отсчеты берутся в
моменты 0 < /о < <2 < ... < tN < Г, так #го
/('*)-&* (*-0, ..'., N). (3.4.2)
Такая интерполяционная задача имеет бесконечное
множество решений, поскольку значения отсчетов f(fo)
еще не заданы для моментов отсчета, лежащих вне
интервала (О, Г).
Если же положить
'f(th)-0 при k<0 и k>N, (3.4.3)
т. е. считать, что все отсчеты вне интервала (О, Т)
равны нулю, то интерполяционная задача (3.4.2) и
(3.4.3) имеет единственное решение.
Подобное решение задачи можно интерпретировать
и иначе. Именно целесообразно рассматривать
равенства (3.4.3) как соотношения, определяющие класс
функций— подмножество класса Ва> — в котором
интерполяционная задача (3.4.2) имеет "единственное решение.
Например, в случае равномерно следующих отсчетов
из формулы Котельникова (3.1.5) получаем следующее

174
ПРИМЕНЕНИЯ К ТЕОРИИ СВЯЗИ
[ГЛ. Ill
общее представление для класса функций, отсчеты
которых равны нулю вне интервала (О, Г):
f (t) - > f (Щ -jA . (3.4.4)
Число отсчетов, которые берутся внутри интервала
(О, Г), здесь равно
tf+l=-J-+l«=2fT+l. (3.4.5)
Мы для простоты считаем, что в интервале (О, Г)
укладывается целое число интервалов длительности А.
Относительно таких функций в теории связи (см.,
например, Введение, [9]) принято говорить, что они
имеют финитный спектр с верхней граничной частотой,
равной F, и ограничены по протяженности временным
интервалом длительности Г. Это не нужно понимать
буквально.
Следует подчеркнуть, qfo если все отсчеты вне
интервала (О, Г) равны нулю, то из этого вовсе не
вытекает, что функция f(t) тождественно равна нулю вне
интервала (О, Г), как иногда понимают это
утверждение. Функция f(t)9 будучи функцией с финитным
спектром, является целой и не может тождественно
равняться нулю ни на каком интервале. В противном слу-
чае^она была бы тождественно равна нулю на всей оси
в силу теоремы единственности для аналитических
функций.
Поэтому выражение «функция с финитным спектром
и ограниченная по протяженности» — это неудачное,
хотя и часто встречающееся в технической литературе
название для функции с финитным спектром, у которой
равны нулю лишь отсчеты вне рассматриваемого*
интервала.
Обратимся теперь ко второму из1 указанных
способов ограничения класса функций. В качестве примера
рассмотрим сигналы с минимальной энергией [5],
которые описываются следующим образом.

§3.4]
КОНЕЧНОЕ ЧИСЛО ОТСЧЕТОВ
175
Среди всех функций класса Wa, отсчеты которых на
интервале (О, Г) задаются соотношением (3.4.2),
выделим функцию, для которой полная энергия минимальна:
оо
Р= jf2(t)dt = тт. (3.4.6)
— оо
Нетрудно указать представление для этого класса
функций с минимальной энергией, который мы
обозначим Wa,min- Класс №a,min — это подмножество класса
Wa\ следовательно, по теореме Котельникова для
любой из функций f(t) из класса Wa> min имеем
f(ftA)-^ . (3.4.7)
Члены ряда (3.4.7) попарно ортогональны на всей
оси —оо < / < +оо в силу соотношений
ein-J-(*-*A) sin-^(/-M) ( о при Ифп,
-М = \ а „„„ «._.. (3-4-8)
J
JL(f-AA) ^(t-пЛ) ^АпРИ k = n-
Поэтому, возводя обе части равенства (3.4.7) в
квадрат, раскрывая скобки и интегрируя почленно, в силу
(3.4.8) получаем
оо оо
j f2(t)dt = A^f2(kA). (3.4.9)
— оо —оо
Предположим сначала, что отсчеты на интервале
(О, Т) берутся в моменты tk = k& (£=1,2,...., N)f при-
т
чем N = -r- = 2FT, так что
f(AA)-ftA (Л— 1 N). (3.4.10)
Поскольку в правой части равенства (3.4.9) стоит
ряд из неотрицательных величин, причем величины
(3.4.10) фиксированы, выражение (3.4.9) достигает
минимума, когда все остальные отсчеты обращаются
в нуль. Следовательно, в том случае, когда отсчеты на

176
ПРИМЕНЕНИЯ К ТЕОРИИ СВЯЗИ
[ГЛ. III
интервале (О, Т) производятся в моменты h = 6Д,
функции с финитным спектром и минимальной энергией
задаются формулой
N п
/(/)= > f(ftA)—^ . (3.4.11)
Таким образом, для восстановления функции
рассматриваемого класса достаточно знать лишь величины
(3.4.10), и в классе №a,min эта интерполяционная
задача имеет единственное решение.
В частности, если задать лишь величину одного
отсчета, например /(0), то функцией, обладающей
минимальной энергией и финитным спектром в интервале
(~Т> т)' бУдет
Sin-т-/
um-iv»
т'
Пусть теперь моменты отсчетов на интервале (0, Т)
расположены произвольно:
0<*,<*2< ... </*<7\ (3.4.12)
Изучаемый класс функций №a,min является
подмножеством класса Wa, так что для любой функции f(t) из
класса U^a,min имеет место разложение в ряд Котель-
никова (3.4.7), который с целью упрощения дальнейших
вычислений мы запишем в виде
M=J3/(*A)eA(*)t (3.4U3)
— 00
где
sin-r-(f — &Д)
в*(0=—it • (3.4.14)

§3.4]
КОНЕЧНОЕ ЧИСЛО ОТСЧЕТОВ
177
В точках (3.4.12), где берутся отсчеты функции f(tn)*
имеем
Ш- 2 f№)Bh(tn) (n-1, 2, ..., N). (3.4.15)
fe= —оо
В соответствии с (3.4.9) экстремальная задача
определения функции f(t) из класса UPa,min,
удовлетворяющей N уравнениям (3.4.15), сводится, таким образом,
к задаче определения величин
xk-f{kA) (£ = 0, ±1, ±2, ...), (3.4.16)
минимизирующих сумму
р=24 (3-4.17)
— оо
и удовлетворяющих N дополнительным условиям (п =
-1.2.....Л0
f(tn)= 2 xhQh(tn). (3.4.18)
£=* —оо
Это —задача на условный минимум функции
бесконечного числа переменных. Для ее решения можно
применить обычный метод множителей Лагранжа,
используемый для нахождения условного экстремума функции
конечного ^исла переменных. Составляя функцию
оо N Г оо 1
ф= 2*1-2 24, 2 xfik(Q-f{Ql (3.4.19)
-оо m»l L^=—оо N J
где Ткт — неопределенные множители, сводим решение
задачи к решению бесконечной системы уравнений
N <
^ = 2xs-2y£iXmQs(tm) = 0 (s-0, ±1, ±2,...), (3.4.20)
2 **M'J-/(U = 0 (m=l N). (3.4.21)
£=—OO
Из уравнений (3.4.20) получаем
W2UUU- (3.4.22)
ты

178
ПРИМЕНЕНИЯ К ТЕОРИИ СВЯЗИ
[ГЛ. III
Подставляя эти значения xs в уравнения (3.4.21) и
меняя обозначения индексов, получаем систему уравнений
для определения величин im:
2U» 2 e,(UMQ = /(0 (s=l, 2, ...,N). (3.2.23)
m»l fc=~oo
Если написать формулу Котельникова для функции
. л ,
Sln~/T
f(t) = -, то получим тождество
Т '
00 °° Л Л
-д-(/-АД) 8taT(/,-AA)
^^(ОвЛО-^^
*--_i *-_. т('-*д) т^-*А>
sin -г- (/ - ts)
(3.4.24)
т<'-«
В частности, при t = tm имеем
оо
. 2
sin -г- (tm - ts)
в, (U 8ft (*,) = -^ . (3.4.25)
Подставляя (3.4.25) в (3.4.23), получаем систему
уравнений
N я
^П sin"r (tm-ts)
/jKn -=/('.) (*=1. •••• *0. (3-4-26)
m=i -j{tm-ts)
решая которую, определяем величину %т:
K=^amsf(ts) (m=l, ..., N)9 (3.4.27)
где йш — это элементы матрицы, обратной матрице
системы (3.4.26).

§3.41
КОНЕЧНОЕ ЧИСЛО ОТСЧЕТОВ
179
Если найденные величины Кт подставить в (3.4.22),
то определяются величины отсчетов xs = f(sh).
Согласно (3.4.13), (3.4.20), (3.4.24) и (3.4.27) имеем
N оо
s m = l s= —oo
2^п sin — (t - /m)
/(^2ja--ir—— •(3-4,
s = l m=»l Д
28)
Если ввести теперь обозначения композиционных
функций:
ЧП sin-£-(/-/m)
(Ф.(<)- >,а«. я . (3-4.29)
то окончательно интерполяционная формула для
рассматриваемого класса функций принимает вид
/(0-2f(',)<M0- (3.4.30)
5 = 1
Таким образом, класс функций №а,тш является
множеством* функций вида (3.4.30), определяемым N
непрерывными параметрами —величинами отсчетов /(/t),
f(fa)> ..., /(М- Нетрудно представить себе, по аналогии
с изложенным в предыдущих параграфах, метод
передачи функций этого класса, основанный на
использовании формулы (3.4.30).
Следует подчеркнуть, что в этом случае
используются отсчеты лишь на конечном интервале и,
следовательно (если пренебречь задержкой в идеальных
фильтрах или учесть задержки в соответствующих
реальных фильтрах), представляется возможность
восстановления функций на приемном конце в течение
конечного интервала времени. В то же.время запас функций
в рассматриваемом ЛЛпараметрическом множестве
может быть достаточным для любых практических
задач, даже если учесть неизбежно присутствующие

180
ПРИМЕНЕНИЯ К ТЕОРИИ СВЯЗИ
[ГЛ. III
неточности при измерении отсчетов и другие
аппаратурные погрешности.
Рассмотрим теперь третий подход к выбору
класса функций, при котором удается ограничиться
конечным числом степеней свободы. Для упрощения
выкладок будем считать, что полная энергия функции
f(t)^Wa равна единице, а доля энергии вне интервала
(—g", -у] задана и равна г\. Используя оператор
усечения D, который превращает всякую функцию f(t)^ Wa
в финитную на (—о", у) функцию, запишем
ограничения, определяющие рассматриваемый подкласс WatT
функций из Wa:
Л
оо 2
П/IP— Jl/WP<««i, IIя/f- Jlf(0P*-i-4-
(3.4.31)
Задача, которую предстоит решить, состоит в
следующем. Пусть фо(/)» •••» фИО—некотоРые линейно
независимые функции из Wa. Аппроксимируя заданную
N
f(t)^Wa линейной комбинацией 2 я*Ф* (')■ мы получим
о
некоторую погрешность а2(ао, . ••, ^n). Пусть набор
коэффициентов а{}, ..., a°N соответствует минимальной
погрешности:
L
2
2
a2 = mina2(a0 ... a^-min f \f {t)-^akqk(t)
ak ak т I *
dt.
2
(3.4.32)
Для различных функций из Wai т величина (Tq
различна; среди них существует «наихудшая» функция, для
которой величина о\ максимальна и равна
■<&,-««* < (3-4-33)

§3.4)
КОНЕЧНОЕ ЧИСЛО ОТСЧЕТОВ
181
Нам необходимо, перебрав всевозможные {cpj и
оставляя их число N + 1 неизменным, найти ту систему, для
которой величина о\т минимальна, и, кроме того,
вычислить этот минимум
^„ = ™naL- (3-4.84).
{Ч)
Предположим сначала, что нам необходимо найти
всего одну функцию фо(£)- С помощью функции а0фо(/)
мы должны обеспечить наилучшую аппроксимацию всех
функций из Wa, T, т. е. функций, у которых основная
т
энергия сосредоточена при |/|<у. Довольно очевидно,
что в качестве фо(/) нужно взять ту функцию из Wa,
у которой при заданной полной энергии ||фо112 величина
т
энергии на интервале 11 К-я"» равная ||£>ф0||2,
максимальна. Если у нас в распоряжении две функции ф0 и <рь
то первую нужно оставить прежней, а в качестве ф1
выбрать функцию из подпространства пространства Waf
ортогонального фо, обеспечивающую максимум ||£ф1||2
при заданной величине ИфЛ2, и т. д.
Можно показать [8], что искомые функции фо, фь ...
....., (pN совпадают с собственными функциями
операторного уравнения Xityi = PDPtyi, где Р — оператор усечения
спектра, о котором речь была в § 2.7. Мы приведем здесь
лишь наводящие соображения. Поскольку г|?г образуют
полную систему в пространстве Wa, то искомую
функцию можно записать в виде
оо
<P0)-S<wMO. (3.4.35)
О
Очевидно,
оо
D<p(0=2aftZ%(0- (3-4.36)
о
Поскольку грй(0 обладают свойством двойной
ортогональности (см. § 2.7), то
11Рф112 - о /3437ъ
ПФР - - • (cu-37)
2КР

182
ПРИМЕНЕНИЯ К ТЕОРИИ СВЯЗИ
[ГЛ. III
<т ;
Числа Kk убывают с ростом kt поэтому максимум
отношения (3.4.37) достигается, когда при k ^ 1 все ан = О,
и значит,
Фо(') = ФоС), T~f = Vh- (3-4.38)
Следующая по порядку функция из подпространства,
ортогонального г|)0(0, получается из (3.4.37) при Яо = О
и совпадает с i|)i(/), и т.д. Минимальное значение aim ПРИ
этом равно
1 при 0<1-е2<Ля,
Я0-0~4) , о (3.4.39)
V-Я } при ^<1-8|<V
о w
В полученное нами соотношение (3.4.39) кроме г\
входят собственные значения Аю и Xjv. Их величина
зависит от с = а7\
Заметим, что полученный результат имеет общий
характер (см, § 2.7) с единственным дополнительным
требованием: D2f = Df. Подробный анализ поведения Ао, Jtjv
проведен для одномерного случая и касается
собственных значений оператора (2.7.24). Мы не будем проводить
здесь подробные выкладки, а сформулируем две
наиболее интересные теоремы.
Теорема 1. Для любой f(t) eWa,T имеет место
оценка:
II [2FT] [|2 .-
a2min - / (0 - S *А (0| < К, (3.4.40)
где ап — коэффициент Фурье f(t) no системе {г|ь}, k —
постоянная, [а] — это целая часть числа а.
Указанная теорема является четкой формулировкой
широко распространенного в технической литературе по
теории передачи информации утверждения о том, что
функция с финитным спектром на временном интервале
т
\t\^~Y определяется своими 2FT + 1 значениями,
которое без приведенного уточнения просто неверно.
Проведенная в [8] оценка дает k ^ 12. Весьма
заманчиво, хотя бы за счет увеличения N, снизить оценку k

§ 3.4] КОНЕЧНОЕ ЧИСЛО ОТСЧЕТОВ 183
<(1+т])4, • (3.4.41)
до единицы. Такую возможность иллюстрирует теорема,
которую авторы в [8] приписывают К. Шеннону.
Теорема 2. Для любого г\ существуют постоянные
сд = сз(л) и сь == СЛГ\) такие, что для любой f(t)^ Wa, r
II м 1
ak II 0 |,
где
M = [2FT] + c3\og[2FT] + cA и 2FT>\.
Приведем в заключение результаты, позволяющие
сравнить оптимальную систему {-ф^} со «стандартной»
„ Г sin я (2Ft - k) "J
системой} n{2Ft_k) Г
Будем считать для удобства записи число FT целым.
Тогда имеет место оценка для f(/)e Wa, T:
' Li■ * \ 2F j я (2Ft - k)
II |ft|<JV
Можно показать, что при любом числе слагаемых
величина С\ отлична от нуля, так как из условия с\ = О
следует Сг = оо. Если же положить здесь N = FT, то
Ci = я, с2=1. Таким образом, «стандартная» система
дает более грубую аппроксимацию функций из класса
Итак, разложение функций с финитным спектром,
энергия которых в основном сосредоточена на конечном
интервале, по системе {фь}, дает заметные преимущества.
Однако такие разложения имеют ряд серьезных
недостатков: во-первых, ряды не являются
интерполяционными и, во-вторых, сложными оказываются как
«элементарные кирпичи» — базисные функции г|^, так и
методика расчета коэффициентов а&.
<с1еГ+с2е?. (3.4.42)

ГЛАВА IV
ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
§ 4.1. Обсуждение теоремы Винера—Пэли
Гармоническое колебание cos(<D<^ + q)) определенной
частоты coo не может, очевидно, изменяться сколь угодно
быстро: его производная по абсолютной величине не
превосходит (Do.
Функции с финитным спектром представляют собой
суперпозицию гармонических колебаний в конечном или
бесконечном числе, частоты которых заключены в
конечном интервале. Поэтому интуитивно кажется очевидным,
что функции с финитным спектром также не могут
изменяться слишком быстро.
Подобное мнение широко распространено, хотя в
столь общем виде оно неверно: на конечном интервале
функция с финитным спектром может изменяться как
угодно быстро. Поясним это подробнее.
Пусть g(t) — заданная (произвольная) непрерывная
функция, определенная на конечном отрезке —Т ^ t ^
^ Т. Покажем, что существует целая функция f (t)
конечной степени ^а (а— заданное число), как угодно
мало отличающаяся от g(t) на этом интервале.
Напомним, что в соответствии с теоремой Вейер-
штрасса (см., например, Н. И. Ахиезер [гл. 11,4], § 20),
каково бы ни было г > 0, можно указать такое
натуральное число п и такой многочлен Рп (t) степени я, что
\g(t)-Pn(t)\<e при -Г</<7\ (4.1.1)
Но многочлен Pn{z) есть целая функция нулевой
степени и поэтому по теореме Винера — Пэли — Шварца Pn(t)
имеет финитным спектр (более точно, спектр, сосредото-

§4.1] ОБСУЖДЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА - ПЭЛИ 185
ченный в точке <о = 0). Таким образом, среди целых
функций нулевой степени имеются такие, которые на
конечном интервале изменяются как угодно быстро и
могут аппроксимировать с любой степенью точности
заданную на этом интервале непрерывную функцию.
Однако многочлен Pn(t) растет при-|/]-~►«>, как
|/|п. Покажем, что вместо Pn(t) можно выбрать
функцию f(t) из пространства Wa, также аппроксимирующую
Рис. IV. 1. Целая функция /0 (0» убывающая быстрее
любой степени /.
с любой заданной степенью точности функцию git), т.е.
такую, что при заданном е > О
1вГ(0-/(01<в при -Г</<7\ (4.1.2)
Пусть
ДДО- J!gp/ ^-. (4.1.3)
Эта функция принадлежит W$. При P<y и, в
частности, при достаточно малых р
M0>iJnT«0,18 при Ш<РГ (4.1.4)
(см. рис. IV. 1). Кроме того, функция fo(t) убывает при
вещественных /-^±оо быстрее любой степени*) t.
*) При /->-+оо sh У яр/ возрастает быстрее любой степени tt
а при /-*-—оо сомножители в знаменателе (4.1.3) переходят друг
в друга.

186
ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
[ГЛ. IV
Будем искать теперь функцию fe(0>
аппроксимирующую g{t), в виде
fe(t) = fo(t)Pn(t), (4.1.5)
где Pn(t)—многочлен. Функция fe(t) будет также
принадлежать Wq, ибо при умножении целой функции на
многочлен ее порядок и тип не меняются. Так как р
может быть выбрано достаточно малым, то выберем р так,
что р < а. Тогда тем более
MOeWV (4.1.6)
Нам требуется найти такой многочлен Pn(t), чтобы
выполнялось неравенство
\fAt)-g(t)\^\fo(t)Pn(t)-g(t)\<e при -Г<*<Г.
(4.1.7)
Так как имеет место неравенство (4.1.4), то
неравенство (4.1.7) можно разделить на fo(t)> и следовательно,
надо определить такой многочлен Pn{t), чтобы
при— T^t^T.
Функция -4\к на рассматриваемом интервале
также будет непрерывна, и следовательно, в соответствии
с теоремой Вейерштрасса существует многочлен Рп(О»
удовлетворяющий неравенству (4.1.8) при —T^t^T.
Таким образом, мы доказали следующую
теорему 1*): какова бы ни была непрерывная на отрезке
[—Г, Т] функция g(t) и каково бы ни было е> О, суще-
*) Примерно такая же теорема приведена в работе [1], посвя;
щенной теории антенн (1946 г.). Подобная теорема была высказана
Д. В. Агеевым в докладе на научной сессии Научно-технического
о-ва радиотехники и электросвязи им. А. С. Попова, посвященной
Дню радио, весной 1957 г. (см. «Аннотации докладов» этой сессии).
Доказательство, приведенное в указанной работе, так же как и
доказательство Д. В. Агеева, высказанное им в устном докладе,
опираются на тонкие аналитические факты.

§4.1] ОБСУЖДЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА - ПЭЛИ [87
ствует функция /8(0> принадлежащая классу Wa и
отличающаяся от g(t) на указанном интервале меньше чем
на е, т.е. удовлетворяющая неравенству (4.1.7).
Эта теорема на первый взгляд вызывает недоумение
и недоверие. В самом деле, поскольку величина
рассматриваемого интервала (—Т, Т) произвольно велика, то,
выбрав в соответствии с теоремой этот интервал
достаточно большим, мы, казалось бы, можем передавать
с любой степенью точности высокочастотные сигналы
посредством низкочастотных сигналов, т. е. сигналов,
спектр которых заключен в определенной полосе частот,
меньшей, чем полоса частот исходного сигнала.
Подобное утверждение явно противоречит нашей интуиции,
нашему опыту.
Постараемся разобраться в этих противоречиях.
Прежде всего заметим, что спектральный подход к
задаче предполагает, что изучаемые функции определены
на всей временной оси —оо < / < + оо; в противном
случае разложение в интеграл Фурье не имеет
определенного смысла. Поэтому будем считать изучаемые нами
сигналы (передаваемый — функцию g(t) и
аппроксимирующий—функцию fe(t) из пространства Wa) задан-
нымина всей временной оси. Пусть ширина спектра
fe(t) меньше ширины спектра g(t). Тогда оказывается,
оо
что с уменьшением 8 полная энергия J \fz(t)fdt an-
— оо
проксимирующего сигнала, вообще говоря, возрастает
и превосходит энергию, потребную для передачи сигнала
g(t) в его естественном спектре.
В самом деле, из интегрального представления для
функций fe(t) класса Wa:
/е(0 = у=- $и*)еш<*®, (4.1.9)
следует, что
а
'tf(0-y= /?>)'«*'"'*», (4.1.10)

188
ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
[ГЛ. IV
откуда по неравенству Коши — Буняковского следует,
что при всех значениях t (—00 < t< +00)
/~" а а
|/W|<7fel/ Jl7e(«>)PrfC0 jtfd*:
' f -а -а
t (00) |2 doo.
(4.1.11)
В соответствии с равенством Парсеваля (2.3.32) ве*
личина интеграла, стоящего под корнем,— это полная
энергия
аппроксимирующего сигнала.
Предположим теперь,
что аппроксимируемый
сигнал g(t) содержит
резко выраженные
высокочастотные компоненты, так
что колебание функции
g(t) на некотором
интервале (U, to + А) равно А.
Тогда колебание
аппроксимирующей функции
fB(t) в том же интервале
во всяком случае больше,
чем Л—2е (рис. IV. 2).
Следовательно, найдется
такая точка t\ (t0Kt\ *CU + А), в которой
|^е(0|>-^. (4Л.12)
При увеличении А или уменьшении А эта величина
возрастает, что в силу неравенства (4.1.11) вызывает
необходимость использовать сигналы fz(t) со значительнее
полной энергией. Чем резче будет изменяться функция
g(t)> тем большие значения производных потребуются
в аппроксимирующей функции fe(/) и, следовательно,
тем большие значения полной энергии функции МО-
Если бы речь шла об аппроксимации ступенчатых
функций (разрывных функций, скажем, типа прямоугольного
Рис. IV. 2. Связь максимального
значения производной с
величиной колебания функции на
интервале.

§4.1] ОБСУЖДЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА - ПЭЛИ |89
импульса) при помощи функций fe(t) из класса Wai то
в этом случае, как легко видеть, при е-*0 полная
энергия аппроксимирующей функции fe(t) неограниченно
возрастала бы.
Таким образом, мы приходим к следующему выводу:
можно осуществить передачу любого высокочастотного
сигнала посредством сигнала низкочастотного, однако
при этом должна возрасти полная энергия передавав-
мого низкочастотного сигнала и притом при неизменной
точности аппроксимации тем больше возрасти, чем
меньше полоса (—а, а) частот низкочастотного сигнала.
Этот вывод уже не представляется парадоксальным;
в теории информации хорошо известно, что возможен
пересчет полосы в мощность и обратно при сохранении
«объема» сигнала [2].
Однако практический интерес могут представить
лишь аппроксимирующие функции с равномерно
ограниченной энергией. Рассмотрим некоторый подкласс
функций из класса Wa, именно множество всех функций
класса Wat полная энергия которых равномерно ограничена
определенной постоянной
оо
J* \f(t)Ut<P2. (4.1.13)
— оо
Обозначив этот подкласс Wa>
Из неравенства (4.1.11) следует, что для производных
ff(t) функций из Wa имеет место следующая
равномерная оценка (—оо < t < + оо):
iHOK^y^. (4.1.14)
Эта оценка показывает, что при помощи функций
класса Wa нельзя с любой степенью точности
аппроксимировать произвольную непрерывную на некотором
отрезке функцию и, следовательно, при помощи функций
этого класса невозможно осуществить передачу любого
высокочастотного сигнала.
Здесь может быть высказано обычно возникающее
сомнение: рассматривалось разложение в интеграл
Фурье, требующее задания функции на всей оси времени,

19Q
ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
[ГЛ. IV
в то время как в действительности оба сигнала —
передаваемый и аппроксимирующий — физически
реализуются в конечном интервале времени. Но известно, что:
для воспроизведения сигнала с точностью, достаточной
для практических целей, нужно время М порядка -т-г,
где Дсо — ширина спектра сигнала, т. е. та область
спектра, в которой сосредоточена основная часть энергии
рассматриваемого сигнала (см. также § 2.8), а At
превосходит интервал времени, в котором физически
реализуется передаваемый сигнал, или, более точно, интервал
времени, в котором физически реализуется основная
часть энергии этого сигнала.
Эти величины могут быть определены различным
образом; для нас сейчас безразлично, какие из этих
определений выбрать. Если ширина спектра Дсо#
передаваемого сигнала g(t) больше ширины спектра Дш/
аппроксимирующего сигнала f(t), то, следовательно,
соотношение времен, потребных для восстановления этих
сигналов, будет обратным:
Mg<Mf. (4.1.15)
Таким образом, время, потребное для передачи
аппроксимирующего сигнала, превосходит время,
необходимое для передачи исходного сигнала, и притом в тем
большей степени, чем значительнее разница между
ширинами спектров этих сигналов.
Заметим теперь, что для функций класса Ва также
имеет место оценка поведения производной функции
через значения самой функции. Эта оценка дается
следующим фундаментальным неравенством,
принадлежащим С. Н. Бернштейну (гл. II, [10], см. также гл. II,
[4]): если f(z) — функция класса Ва> то при всех
х (—со < х < + оо; z = х + iy)
IfMKa- sup |/(х)|, (4.1.16)
В этом соотношении знак равенства достигается только
для функций вида
f(z)*=aeiaz + be-ia*y (4Л.17)
где а и Ь —- постоянные.

§4.2] АППРОКСИМАЦИЯ С ПОМОЩЬЮ РЯДА КОТЕЛЬНИКОВА 191
Из неравенства С. Н. Бернштейна следует вывод,
вполне аналогичный сделанному выше для функций
класса W%. Именно, рассмотрим подкласс функций из
£а, ограниченных в совокупности на вещественной оси
l/WKAf; (4.1.18)
будем обозначать это множество функций Ва. Тогда
согласно неравенству (4.1.16) для всех функций f(z)
из Ва имеем оценку
|/'(*)|<аМ, (4.1.19)
Класс Ва, как мы уже знаем, более широкий, чем
класс Wa; однако и в классе Ва нельзя найти функцию,
которая с любой точностью приближала бы
произвольную непрерывную на отрезке (—Т,Т) функцию g(t).
Это утверждение непосредственно следует из
неравенства (4.1.19) и предыдущих рассуждений о
необходимости для аппроксимации использовать функции,
производные которых могут принимать произвольно большие
значения.
§ 4.2. Аппроксимация с помощью конечного числа
членов ряда Котельникова
Пусть сигнал f(t), подлежащий передаче, есть
функция с финитным спектром (из класса Ва). Как было
показано в § 3.1, для абсолютно точного
воспроизведения п& приемном конце передаваемого сигнала при
помощи метода, подсказываемого теоремой Котельникова,
нужно передать отсчеты /(£Д) для всех k — О, ± 1, ±2,...
Предположим теперь, что нет необходимости
абсолютно точно восстанавливать сигналы, но нужно
приближенно воспроизвести его на каком-то интервале.
Естественно возникает вопрос: возможно ли
воспроизвести с заданной точностью е > 0 передаваемый сигнал
f(t) на заданном отрезке времени to^t^U + T при
помощи конечного числа членов ряда Котельникова
(3.1.5)?
Мы без труда получим положительный ответ на этот
вопрос, если вспомним, что ряд (3.1.5) сходится
равномерно (теорема 1 § 2.9).

192
ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
[ГЛ. IV
Вследствие этого для каждого данного интервала
(*о, to+ T) и данного е > 0 можно указать такие числа
пит (зависящие от U, Гие), что при to^t^iU+T
будет выполняться неравенство
п+т
п-гт
Однако длительность тД интервала времени, на
котором в данном случае берутся отсчеты, может
значительно превосходить величину интервала Г.
Поэтому возникает вопрос о том, с какой точностью
воспроизводится функция f(t), задаваемая рядом (3.1.5),
если воспользоваться лишь некоторым фиксированным
числом членов этого ряда.
Рассмотрим частную сумму*) ряда (3.1.5)
Прежде всего заметим, что функция /jv(0 имеет
финитный спектр в интервале (—2я/\ 2jxF), в котором
сосредоточен спектр исходной функции f (t).
Кроме того, функция fN(t) замечательна тем, что на
интервале —NA ^ / ^ NA ее отсчеты fw(£A) совпадают
с отсчетами функции /(/) в тех же точках, а вне
интервала (—NA, NA) отсчеты функции fN{t) равны нулю:
M*A)-0 при k=±{N+\l ±(N + 2\ ... (4.2,3)
Подобные функции мы рассматривали в § 3.4 и на»
звали их функциями с финитным спектром и с
ограниченной протяженностью (см. (3.4.4) и относящиеся
к этой формуле замечания).
Задача вычисления отклонения max | / (t) — fN {t) | на
t
отрезке —NA Kt 4i Nk или на всей оси является весьма
сложной. Ниже мы укажем оценки этой величины *при
некоторых дополнительных предположениях о
поведении функции f(t) при |*|-»оо. Но среднеквадратическое
*) Всегда можно так перенумеровать отсчеты f(kA), чтобы
начало отсчета времени, располагалось в середине интервала.

§4.2] АППРОКСИМАЦИЯ С ПОМОЩЬЮ РЯДА КОТЕЛЬНИКОВА 193
отклонение функции f^(0 от f(t) вычисляется без
особого труда.
тт л. sin 2jtF (* - 6Д) tu
Для этого напомним, что функции 2jtF (/ - Ш ' —
= О, ±1, ±2, ...) образуют ортогональную систему
функций на всей оси t (см., например, § 3.4).
Отсюда в соответствии с (3.4.8) следует, что
со оо
j \f(t)?dt = b J!' |f(ftA)p. (4.2.4)
— со fc = — со
Поскольку
оо
N -(N+1)
Sf/AA4 sin 2nF (/— feA) __ VI г., дч sin 2jtF (/— M) .
Д/2А) 2nF{t-kA) ~ <£ '^Aj 2nF(t-kb) "•"
-Я
+ S»")"*y/.-tff'.-(4A5)
ЛГ+1
то, пользуясь (4.2.4), получаем
со
°° -(ЛГ+1) оо
-д. s-inmjp+aJJjkw. (4-2-6)
ЛГ+1
Таким образом, отбрасывание «хвостов» ряда Котель-
никова приводит к среднеквадратической ошибке,
определяемой выражением (4.2.6). Эта ошибка равна
энергии «хвостов». Если функция f(t) интегрируема в
квадрате на всей оси, то ряд (4.2.4) сходится, и поэтому
при N -> оо уклонение б*, стремится к нулю. Если же
функция f(t) неинтегрируема в квадрате (например,
если f(t) —периодическая функция со спектром, сосредо-
7 Я. И. Хургин, В. П. Яковлев

194
ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
[ГЛ. IV
точенным в интервале (—2nF9 2nF)), то ряд (4.2.4)
расходится, уклонение 62N не убывает при N -* оо, и
следовательно, в этом случае б^ является плохой мерой
отклонения частных сумм от суммы всего ряда.
Для оценки погрешности, возникающей при замене
ряда Котельникова частной суммой вида (4.2.2),
целесообразно ввести определенные предположения
относительно скорости убывания функции f(t) при |£|->оо.
Предположим, что при некотором целом
положительном т
l/WK-j^F при 1М>-у. (4.2.7)
Если интервал между отсчетами равен А =-9ёг> т0
в течение интервала времени Т берется, очевидно,
N = -^ = 2FT (4.2.8)
отсчетов (или 2FT + 1, если учитывать возможное
попадание отсчетов на концы интервала; мы не будем
учитывать эту поправку, не существенную, когда 2FT
велико). Заменим ряд Котельникова для функции f(t)
частной суммой
N/2
k=-NI2
так что в соответствии с (4.2.6) среднеквадратическая
ошибка определяется выражением
оо
«&«- Jim-wop*-
-оо
2 оо
= Д^] I/(W + a£ |/(М)р. (4.2.10)
£+'

§4.2] АППРОКСИМАЦИЯ С ПОМОЩЬЮ РЯДА КОТЕЛЬНИКОВА 195
Пользуясь (4.2.7), получаем оценку для среднеква-
дратической ошибки
"iV/2 ^ ^ 2u (&Д)2ОТ ^ J "P"" ^
2 + 2
2С l ° (4.2.11)
(2т
/JVA\2m~2 (2m-\)T2m-2
Заметим, что в соответствии с теоремой 2 § 2.3
условие (4.2.7) выполняется, если спектральная функция
f(co) вместе со всеми производными до порядка т — 2
интегрируема, непрерывна на всей оси со и стремится
к нулю при |со| —> оо, а /^-^(ю) интегрируема на
всей оси.
Таким образом, чем более гладким является спектр
функции f(t)y тем меньшую ошибку вносит
отбрасывание «далеких хвостов» ряда Котельникова.
В том случае, когда fN^(t) мало отличается от f(t)
(т. е. среднеквадратическая погрешность блг/2 достаточно
мала), можно сказать, что для передачи функции f(t)
со спектром, сосредоточенным в интервале (—2nF, 2nF),
достаточно передать Af = 2FT отсчетов, расположенных
в интервале длительности Т. Иными словами, при малой
погрешности б^/г можно вместо функции f(t) передавать
функцию fjv(0 с финитным спектром и с ограниченной
протяженностью, аппроксимирующую f(t).
Приведем теперь оценку разности между функциями
f(t) и />(0 при каждом значении t на интервале
(—Г, Г) [3]. Будем отправляться от формулы (4.2.5),
полагая Т = ДОД, так что в интервале (—7\ Т) будет 2N
отсчетов. Если воспользоваться неравенством Коши*),
*) Неравенством Коши называется соотношение
k \ k k
верное для любых вещественных ah, bn(k « 1, 2,...) [4].
7*

196
ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
[ГЛ. IV
то получаем
i/(o-Moi2<(f;m)+ S /2(м))х
-{N+D
^+1
/ оо --(N+1)
I yi sin2 2kF (t - Щ _. VI sin2 2jiF (f - ifeA)
^N + l
[2nF (t - Щ]2
(4.2.12)
Первая скобка в правой части этого неравенства в
соответствии с (4.2.10) равна 6^. Оценим теперь вторую
скобку.
Для этого заметим, что при целом k
sin2 2nF (t - feA) = sin2 2nFt- sin2 -~-1. (4.2.13)
Вынесем из сумм во второй скобке (4.2.12) этот
множитель. Воспользуемся очевидными оценками: при
—ЛТД = r-T^t^T = N&
fl + l iVA
C?JC
1
-(ЛМ-1)
(л:-/)2 A(JVA-0 >
-JVA
1
(Лд-02
<
Д J (x-t)*
1
л (лгд + о
(4.2.14)
Тогда получим
sin2 TstF (t - kb)
-l/V + l)
tf+1
[2jtF (* - M)]2
♦■ s
sin2 2Я/7 (/ - feA)
[2Я/7 (* - £Д)]2
<
27^sin
>±i
(4.2.15)
Таким образом, извлекая квадратный корень из
обеих частей (4.2.12), окончательно получаем при — Г <
sin — /
и., sin — I r—TpFZ—
\f{t)-fN{t)\< ' я Y^^Vi(4 (4-2.16)
Эта оценка может быть упрощена (и при этом,
конечно, огрублена) двумя путями. Прежде всего заметим,

§ 4.2] АППРОКСИМАЦИЯ С ПОМОЩЬЮ РЯДА КОТЕЛЬНИКОВА 197
что величина 6^ всегда не превосходит полную энергию:
оо
ЬЪ<Р= J \Ht)Ut. (4.2.17)
— 00
Поэтому вместо (4.2.16) можно написать при —Т^.
\f(t)-fN(t)\<-
VP
SHI — t\
У^Т^^УР *nV). (4.2.18)
График функции ejv(^) представлен на рис. IV. 3.
В точках tk = М функция 8jv (/) обращается в нуль, а ее
-Т=ЧА -ЗА -2А -А О А 2А ЗА 4А=Т t
Рис. IV. 3. График функции 8^ (/).
максимумы растут по мере приближения к краям
интервала (—-MX, NA).
Полученная оценка е^(0 не зависит от вида функции
f(t) и определяется только ее полной энергией, шириной
Спектра и длительностью интервала (—Г, Т), на котором
производится аппроксимация.
Второй путь упрощения оценки (4.2.16) состоит
в том, чтобы, оставив без изменения величину б#,
оценить максимум функции е#(0- Как нетрудно подсчитать,
при Т = JVA и любом целом N ^ 1 имеет место
неравенство
0,45 < max ея(0<0,52. (4.2.19)
-T<t<T
Поэтому во всяком случае
1/(0-МО К0>526„. (4.2.20)
Если, в частности, предположить, что выполнено
условие (4.2.7) и воспользоваться вытекающей из него

198 ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ [ГЛ. IV
оценкой (4.2.11), то получим неравенство
1/(0- Ы*)К г °>52'2^-1 - (4.2.21)
Без труда можно получить аналогичную оценку и на
всей оси t. В соответствии с теоремой Винера — Пэли
представим функцию /(0—"W)> которая принадлежит
Wa (см. (4.2.5)), в виде
а
f(t)-fN(t)= lA(a)emd®. (4.2.22)
-а
Далее, пользуясь неравенством Коши — Буняковского и
равенством Парсеваля, имеем
(а ]2 а
1/(0-/лг(0Р< /|Л((о)|^(о[ <2а ||Л(ш)|Чш =
( -а J -а
00
= 4 \\Н*)-Ш?М. (4.2.23)
— оо
Отсюда (см. (4.2.10)) имеем при —оо</< +оо
If (О-МО К «*. (4-^.,
Отличие последней оценки от (4.2.20) объясняется тем,
что вне интервала \t\^. T могут быть и большие
уклонения.
§ 4.3. Аппроксимация функций с нефинитным спектром
при помощи функций с финитным спектром
В предыдущих параграфах мы в основном изучали
функции с финитным спектром. Однако сигналы —
носители информации имеют конечную длительность и,
следовательно, их спектр не может быть финитным.
Необходимо поэтому выяснить, насколько сильно
различаются идеализации сигналов как функций с
финитным и нефинитным, т. е. неограниченным по
протяженности спектром.

§ 4.3] ФУНКЦИИ С НЕФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ 199
Прежде всего рассмотрим задачу приближения
произвольных функций с конечной полной энергией (т.е.
интегрируемых в квадрате на всей оси) при помощи
функций с финитным спектром и конечной полной
энергией, т. е. функций класса Wa. При такой постановке
задачи естественной будет среднеквадратическая
метрика.
Пусть g(t) — произвольная данная функция,
интегрируемая в квадрате на всей оси — оо<£<+оо, и
пусть /(f) — функция из класса Wa. Рассмотрим
выражение
00
p2te,/)= J \g(t)-f(t)Ut, (4.3.1)
— оо
которое имеет смысл полной энергии разности этих
функций и равно квадрату среднеквадратической
погрешности при аппроксимации функции g(t)
функцией f(t).
Поставим перед собой задачу: среди всех функций
/(/) пространства Wa найти ту, которая обращает
в минимум p2(g, /), т. е. осуществляет наилучшее
приближение функции g(t) в среднеквадратичном
смысле.
Для решения задачи заметим, что разность g(t)—>
«—/(О также интегрируема в квадрате на всей оси.
Поэтому, используя равенство Парсеваля, имеем
— оо
?4g, /)- J |g(«)-f(a>)prf<«>. (4.3.2)
— оо
Функция f(t) принадлежит Wa, так что по теореме
Винера—Пэли /(со) равна нулю при |со|>а, и равенство
(4.3.2) можно переписать в виде
—а оо
?Чв, /) = Jlg(<o)prf(»+/u(«))N«> +
— оо а
а
+ J" U («>)-? (со) М©. (4.3.3)
-а

200 ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ [ГЛ. IV
Функция g (о) задана, и следовательно, в этом
выражении в нашей власти лишь изменять в интервале
(—а, + а) функцию f(co) (оставаясь в классе
квадратично интегрируемых функций). Поэтому очевидно, что
минимум выражения (4.3.3) достигается тогда, когда
последний интеграл равен нулю, т. е. когда (почти
всюду)
?(©) = £(©) при 1©|<а, (4.3.4)
так что
— U со '
р2(g) = min p2 (g, f)~ J* | g(«>) I2 rfco + 11 g((o) |2 d©. (4.3.5)
— oo a
Из этого последнего соотношения видно также, что
если функция g(t) имеет спектр более широкий, чем
спектр множества аппроксимирующих функций Wa, и,
в частности, бесконечно протяженный спектр, то при
помощи функций этого класса g(t) не может быть
аппроксимирована в среднеквадратичном смысле с любой
степенью точности. Формула (4.3.5) как раз и указывает
наименьшую погрешность, достижимую при такой
аппроксимации.
Пользуясь представлениями геометрии гильбертова
пространства (§ 2.4), можно полученные результаты
интерпретировать следующим образом. Вектор f(t)&
е Wa, который минимизирует расстояние от вектора
g(t)^ L2(—oo, oo) до подпространства Wa, — это
проекция вектора g(t) н^ Wa. В соответствии с равенством
Парсеваля вектор уклонения имеет норму, выражаемую
формулой (4.3.5).
Представим себе теперь, что мы хотим применить
метод, основанный4 на теореме ;Котельникова,, для
передачи сигнала с нефинитным спектром. Если выбрать шаг
между моментами отсчета равным Д = — и составить
ряд Котельникова для функции g(t), спектр которой не

§4.3] - ФУНКЦИИ С НЕФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ 201
финитен, то получим новую функцию
я
+ оо sjn (/_*Д)
ёа (0 - 1 g (*А) -Г • (4-3'6)
Для того чтобы ряд (4.3.6) сходился равномерно в
каждой ограниченной области, а функция ga(t)
принадлежала пространству Wa, нужно наложить определенные
условия на поведение чисел g"(6A), т. е. ограничить класс
рассматриваемых функций g(t). Будем для простоты
предполагать функцию g (со) непрерывной на всей оси
и убывающей при |со|—> оо быстрее, чем +i при
некотором у > 0. Эти условия обеспечивают
интегрируемость в первой степени и в квадрате спектральной
функции g(со) на всей оси и, следовательно (в силу
теоремы 1 § 2.3 и равенства Парсеваля\ обеспечивают
непрерывность функции ga(i) и-ее квадратичную
интегрируемость.
Функция ga(t) имеет финитный спектр в интервале
(—а, а). Выразим этот спектр через фурье-преобразо-
вание g(t). Обращая па Фурье ряд (4.3.6), получим при
| со 1 ^ а
00
Я»-1^1 S §№)е~шы. (4.3.7)
Но значения g(k&), очевиднЪ, выражаются через спектр
оо
g(kb) = y= jg(t)e№c%. (4.3.8)
— оо
Таким образом, при |а>|^а
7 \ I
& N = J ё (1) 2^ S e'k д *"ф) ^- (4-3-9)
-Ьо [ -со J

202
ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
[ГЛ. IV
Учитывая, что Да = я, для суммы, стоящей в
фигурных скобках, получим следующее соотношение:
00 ikn °°
JL2e~(6-,= 2 *(6-2te-<D). (4.3.10)
&« —оо
После подстановки (4.3.10) в (4.3.9) и
интегрирования по £ получается искомое выражение ga(co) через
К®)"-
ga =
g{®)+ 2 g(a> + 2£a) при | со К a,
k+° (4.3.11)
0 при |a>|>a.
Соотношение (4.3.11) показывает, что спектр ga((o)
даже при |<о| ^ а, вообще говоря, не совпадает со спек-
ром исходной функции g(co). Поэтому среднеквадрати-
ческое значение
р^
оо —а
(*)- j\g(t)-ea(t)?dt = ± J|g((D)pd(D +
+
i/lf(«)P^ + -5J j|Sff(e + 2Ae)
-a \k + Q
dco (4.3.12)
превышает величину p£ (g)y прлученную выше (см. (4.3.5)):
P2o(g)>Pl(g). (4.3.13)
Однако отсчеты функций g(t) и ga(t) совпадают:
g(kA) = ga(kA), k = 0, ±1, ±2, ... (4.3,14)
Как показано в Приложении III, имеет место следующая
оценка p^(g) сверху:
P^g)<(3 + Q)p2a,
(4.3.15)

§ 4.3] - ФУНКЦИИ С НЕФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ 203
где
-^|/Ji«(.)p*-s/J
™ ( а р=1 (2/
/~ оо А-(2р+1)а
Q-4 f JllHF^-l F J !|(«))l2rf«)+
Pa I a p = \ (2p + l) a
I g (со) I2 da)
. (4.3.16)
Если предположить, что функция g(t) вещественна, так
что |g(co) | « |g(—со) |, то тогда [5]
/•
J |e(co)|2d(0
Q==2^ (/ JH£~^ . (4.3.17)
j\gW\2d(o
Заметим, что в вычислительном отношении выражения
(4.3.15) —(4.3.17) и (4.3.12) практически эквивалентны,
хотя (4.3.12) задает точное значение pg, а (4.3.15) —
(4.3.17)— приближенное. Оценка (4.3.15) справедлива
для более узкого класса функций §"(0, так как ряд (4.3.17)
сходится при стремлении £(ш) к нулю для достаточно
больших | со f быстрее—§/Г»а Ряд в (4.3.12) сходится, если
£И~-^пт. где v>o.
.Расчеты, проведенные в Приложении III, показывают,
что для многих практически интересных случаев можно
считать Q <С 1, и поэтому
р*<р2<3р*. (4.3.18)
Эта оценка показывает, что среднеквадратическое
уклонение при аппроксимации функции с нефинитным
спектром посредством ряда Котельникова мало
отличается от энергии высокочастотной части спектра,
равной наименьшей возможной погрешности при
аппроксимации функции с нефинитным спектром посредством

204
ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
1ГЛ. IV
функций с финитным спектром. Аналогичный вывод
следует и из расчетов точной величины pg (см.
Приложение III).
Оценим теперь разность g(t)—ga(t) по абсолютной
величине [6]. Введем следующие обозначения:
gi(t) = y= jG(©)#(a>)^d©f
а
g2{t) = y= j g(<u)e'«*d«>,
G(®) =
0 при |о|<а,
1 при | со | > а,
так что
(4.3.19)
(4.3.20)
(4.3.21)
(4.3.22)
g(t) = gi(t) + §2(t).
Для разности е (/) = g {t) — ga (t) получим
\*(t)\-\g(t)-ga(t)\ =
oo
gi(o+g2(o-S[gi(feA)+g2(feA)]sl;°/l^A)
— oo
Так как ряд Котельникова для gi(t) совпадает с gz(t), то
sin a (/ —М)
(4.3.23)
I e (0 I =
g.W-Sg.^A)^^
(4.3.24)
Запишем ряд Котельникова для g{ {t) следующим
образом:
V1 /uw sina(/ — &Д)
lgi(*A) *
i(t-kh)
-A JowewS-'^isP*- <«•«>

§ 4.3] . ФУНКЦИИ С НЕФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ 205
Заметим, что функция
— оо
это функция, равная еш на интервале |со|^а и
периодически продолженная на всю ось —оо<ш<+оо
(/ фиксировано).
Подставляя (4.3.25) — (4.3.26) в (4.3.24), получаем
|в(01-
оо
=■ /0(©)#(©)[е«-Ф*(ф)]</ф
У2л
Так как, очевидно, | ф, (©) | *» 1, то
оШ .
•Ф,(а>)|<2
(4.3.27)
(4.3.28)
и, следовательно,
00
— 00
= |/|( J+Jjl#((D)|d<D. (4.3.29)

ГЛАВА V
ТЕОРИЯ КВАНТОВАНИЯ ПО УРОВНЮ
§ 5.1. Квантование случайных величин
Во всех областях науки и техники, где выгодно
применять электронные цифровые вычислительные машины,
чрезвычайно важной является проблема
преобразования непрерывных сигналов в дискретные и обратно.
Возможность ее решения во многих случаях определяет
саму целесообразность привлечения ЭЦВМ к данной
задаче.
Аналого-дискретное преобразование приводит к двум
задачам. Первая задача состоит в том, чтобы с
минимальными погрешностями преобразовать заданную
функцию f(t) непрерывного аргумента t в функцию f(tk)
дискретного аргумента fo, принимающего значения
Uy t\, ... Наиболее часто ^ = &До, где
До—целесообразно выбранный шаг. Обратная задача —
восстановление f(t) по значениям f{tk) — есть не что иное, как
задача интерполяции; мы ею занимались достаточно
подробно, и здесь нет необходимости что-либо добавлять.
Вторая задача аналого-дискретного преобразования
касается огрубления или квантования по уровню
отдельных выборочных значений /(/л): числа округляются до
ближайшего из чисел дискретного заранее заданного
набора а0, а\, а2, ..., aNt Опять же наиболее часто
выбирают ak = АД, где k = О, ±1, ±2, ...; А —шаг
квантования. Только после такого двухэтапного
преобразования цифровая вычислительная машина может
приступить к обработке информации.
Наибольшая величина ошибки, возникающей на
втором этапе, очевидно, равна Д/2 — половине шага кван-

§ 5.1] - КВАНТОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 207
тования. Ошибка эта неизбежна, и, по существу,
величина ошибки — это цена, которую приходится платить
за выгоды, получаемые при пользовании ЭЦВМ. Однако
для одного из самых важных классов сигналов, именно
для случайных процессов, мы можем получить менее
грубые результаты, причем в некоторых случаях
оказывается, что квантование по уровню вообще не
приводит к потере информации и является обратимой
нелинейной операцией.
Так как квантованию по уровню предшествует
выборка значений f(tk), нам достаточно рассмотреть
случайную величину ih = /(4). Ограничимся непрерывными
случайными величинами; плотность вероятности
обозначим р(х). Как известно, преобразование Фурье
плотности вероятности
+ 0О
р((о)= J e-i(S>xp{x)dx (5.I.1)
- —оо
называется характеристической функцией случайной
величины.
Операция квантования по уровню является
нелинейной и неизбежно приводит к потере информации, если
не налагать дополнительных ограничений на р(х). После
квантования, вместо всех значений хг оказываются
доступными только значения [*/Д], где А — шаг
квантования, [t] — целая часть t. Следовательно, доступными для
измерения оказываются лишь значения вероятностей
"й- j p(x)rfx-p{ftA-!<K*A + 4}. (5.1.2)
Если не ввести дополнительные ограничения на р(х), то
по числам pk ни при каких А > 0 мы точно не сможем
восстановить р(х) при любых х. Однако если потребовать,
чтобы р(х) была функцией с финитным спектром, т. е.
чтобы характеристическая функция /?(ш) была
финитной, то в соответствии с теоремой Котельникова имеется
возможность однозначного восстановления функции р(х)
по значениям р(хп). Хотя в действительности р(хп)

208
ТЕОРИЯ КВАНТОВАНИЯ ПО УРОВНЮ
[ГЛ. V
здесь не известны,.а известны числа рь, и следовательно,
непосредственно теорема Котельникова неприменима,
ниже будет показано, что те же принципы приводят
к полному решению задачи [1, 2, 3].
На практике часто сталкиваются с функциями типа
sinew: „ ; л i_l/
ах
спектр которых постоянен в полосе
©
а.
4 ш
Рис. V. 1. Спектр целой функции
с единственным экстремумом при
* = 0.
Большинство функций с финитным спектром, с которыми
имеют дело в
приложениях, в общих чертах
sin ax
похожи на ,
именно, они имеют четко
выраженный
центральный экстремум и ряд
боковых экстремумов с
чередующимися
знаками. Число нулей на
вещественной оси
бесконечно велико. Может
создаться впечатление,
что подобное поведение
свойственно всем функциям с финитным спектром, и
поэтому они по внешнему виду сильно отличаются от
плотностей вероятностей широко распространенных
случайных величин, которые имеют один максимум и
монотонно убывают вне него f например, гауссова плотность
. В действительности в пространстве функций с
финитным спектром Wa содержатся функции, не имеющие
на вещественной оси ни нулей, ни побочных
экстремумов.
Примером можег служить функция
х
£ / \ Г sin4 *
fix)— J —
dt.
Нетрудно видеть, что f'(x)^C0 при х > 0 и f'(x)?>0
при х < 0, поэтому. f(x) имеет, единственный максимум

■§ 5Л] - КВАНТОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 209
при х = 0 и вообще не имеет побочных экстремумов.
Спектр этой функции изображен на рис. V. 1.
Очевидно, значения |, которые попадают в интервал
Г^А —j , feA + y, будут отнесены к 6-му уровню
квантования, так. что вероятность того, что квантованная
величина £д равна &А, есть
2 +оо
рк = Р{и=Щ= J p(x)dx = j P(x.+ kti)x{j)dx9
(5.1.3)
где
1, если |#|<у,
| 0, если 1,5/1
Удобно записать «плотность» вероятности
квантованной случайной величины в виде
Ра (х) = 2 6 (* - 6А) рь (5.1.4)
— 00 ......
где б(х)— это 6-функция Дирака. Найдем
характеристическую фуцкцию квантованной случайной величины
+ оо +оо
рд(со)= J е-Шхр^х)Их= ^ pke~iak&. (5.1.5)
•' — 00 &=з —ОО
Выразим теперь pk через характеристическую функцию
р(со). Используя теорему о свертке, получим из (5.1.3)
■*-S Г«-»-ЛО.)*^*. (5.1.6)
—. оо
Подставляя (5.1.6) в (5.1.5) и меняя порядок
суммирования и интегрирования, получим
+ °° / +00 \
— oo ^ —оо /

210
ТЕОРИЯ КВАНТОВАНИЯ ПО УРОВНЮ
(ГЛ. V
Сумма, стоящая в скобках (5.1.7), есть ряд Фурье
периодической дельта-функции, заданной в
последовательности точек 2&я/Д:
fee —ОО k**~ ОО
Поэтому, подставляя (5.1.8) в (5.1.7), получим
(5.1.9)
Сумма для рд(со) представляет собой суперпозицию
подобных слагаемых, каждое из которых сдвинуто на
величину, кратную 2я/Д. Следовательно, если j5(co)
финитна на интервале |о)|^я/Д, то отдельные слагаемые
в (5.1.9) не будут перекрываться, и, в частности,
sin-n
2 , ^ я
/5д(®)-]5(©)-5Щ при |ю|<-д. (5.1.10)
Отсюда при |о)|<я/Д можно найти однозначно р(со),
Рд (©)
1ри
зная /5д(ю):
^■fltU! (!<э,<*)- (5ЛЛ1)
1 ооД/2 J
Поскольку рд(со) выражается через последовательность
{рь}> то, если характеристическая функция р(ш)
сосредоточена в интервале, меньшем 2я/Д, квантованная ве-
величина £д сохраняет всю информацию о £.
Выведем теперь интерполяционную формулу,
аналогичную теореме Котельникова. Как видно из (5.1.11),
при я/а^Д возможно однозначное восстановление
характеристической функции неквантованной величины £
по характеристической функции рд(со) квантованной
величины £д. Из сопоставления (5.1.9) и (5.1.11) следует,
что если рд(со) известна, то для получения
представления (5.1.11) при |со|<я/Д нужно над рд(со) произвести
такие операции:

§5.1] - КВАНТОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 211
1) Умножить ее на прямоугольную функцию
JC (<">) =
1, |(0|<-
0, |ю|>-
(5.1.12)
т. е. отбросить в ряде (5.1.9) все слагаемые, кроме k—0.
2) Умножить полученную функцию на (coA/2)/sin((oA/2).
Это означает, что для восстановления р(х) мы
должны пропустить последовательность б-функций (5.1.4)
через полосовой фильтр с частотной характеристикой
Ф(ю) =
(«>A/2)/sin(«>A/2), м<£,
о
1»1>т.
(5.1.13)
или, что то же самое, свернуть рд(х) вида (5.1.4)
с функцией
я/Д я/2
ф(и=1 Г юА/2 eie>xda = — f
W W 2я J sin (соД/2) в Ш Дя J
-Я/А —Jl/2
Я i ~rxh
sin Л
dX.
На рис. V. 2 приведен график отношения ф|*|
трудно убедиться, что имеет место неравенство
д
(5.1.14)
Не*
Ф(0)
2\х\*
На рис. V.2 показана также кривая у =
образом, сворачивая (5.1.4) с Ф(х), получим
/>W = j pA{x-y)0(y)dy =
2х '
(5.1.15)
Таким
— 00
+ оо +оо
+ оо
= 1] Pk \ Ь{х-кк-у)Ф(у)йу= J] ркФ{х-Щ.
(5.1.16)
fc=s — ОО —ОО
&= —ОО

212
ТЕОРИЯ КВАНТОВАНИЯ ПО УРОВНЮ
[ГЛ. V
Сформулируем полученные результаты.
Теорема 1. Пусть p{z) —целая функция,
принадлежащая В и при р < а = я/А, и пусть
*д+4
Pk
= f p(x) dx.
(5.1.17)
*А-4
Тогда имеет место разложение
P(z)= 2 Р*Ф(г-*А),
(5.1.18)
гдеФ(х) задается формулой (5.1.14).
Итак, мы получили другой, по сравнению с
рассмотренными в гл. III, вариант обобщения теоремы
О 1 2 3 4 5 6 7 & 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Рис. V. 2. Выборочная функция.
2х.
А
Котельникова. В самом деле, величины ph — это также
линейные функционалы, определяемые поведением
функции р(х) в окрестности точек хк = &Д, и полученная
теорема указывает условия на р(х) в терминах ее спектра,

§5:1]' КВАНТОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 213
при которых по значениям функционалов ри возможна
единственным образом восстановить р(х). Мы не привели
эту теорему в гл. III, так как не знаем физической
ситуации, когда для временной функции целесообразно
было бы измерение величин р&, т. е. интегральных
значений функции на интервалах | / — йД |< -=■ (& = О,
±1, ...). Хотя выше р(х) было интерпретировано как
Рис. V. 3.. Неодинаковые шаги квантования.
плотность вероятности, но при доказательстве теоремы
свойства р(х) как плотности вероятности не
использовались, так что теорема верна и для произвольных
функций. ' :
Совершенно аналогично получаются соотношения
для смещены^ шагов квантования аь = &Д + y, где
Y — любое число.
Из более общих формул рассмотрим случай, когда
уровни квантования состоят из двух
последовательностей (см. [1]):
а'к - 2&Д; а»к = 2£Д + т, (5.1.19)
где % < Д. Это соответствует использованию двух шагов
квантования Д и 2Д — т, следующих друг за другом —
аналог неравномерных отсчетов (см. §-3.2).-В данном
случае вместо одной последовательности (5.1.4) мы
имеем две такие последовательности:
PaiW-'S Ь{х-2Щр'к, (5.1.20)
/е= —оо
■foo
Рд2(*)- 2 6(*-2ЛД-т)р£. (5.1.21)

214
ТЕОРИЯ КВАНТОВАНИЯ ПО УРОВНЮ
[ГЛ. V
Мы будем считать, что
Pie J P(x)dxt pl= | /?W^ (5.1.22)
26A+-J 2fcA + A+-£
^ 2
2^A+y~A 2fcA+-|
то есть случайной величине g приписывается
значение 2/гД, если 2&А + -g — А<£<2&А + -|- с
вероятностью p'ky и значение 2£А + т, если 26А + т/2<|<26А +
+А + т/2 с вероятностью p"k (рис. V. 3). Нетрудно
получить по аналогии с (5.1.5) —(5.1.6) следующие
выражения для р[ и p"k\
— оо.
+ оо
Рь—t \ рЫф^^^а^ (5.1.23)
где
ф (а>) e sIn^A/2) ^г>т/2^ ^ д/2< (5> j >24)
В результате для спектров рм(<й) и рд2(оз) можно
написать следующие соотношения (см. (5.1.5) —(5.1.9)):
— оо
+ оо
= 7 2 Р (* - "х) <Р (й ~ "I1) егд«°-*я/Л\ (5.1.25)
4-оо +оо
— 00 —ОО
(5.1.26)*
Поскольку частоты выборок в каждой из
последовательностей рм(х) и /?Д2 (х) вдвое меньше, чем в фор-
муле (5.1.4), финитные функции р I со д-1 в каждой
из сумм /5д1((о) и /5д2(со) Оудут перекрываться, в част-

§5Л]
КВАНТОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
215
ности, на интервале [—я/Д^со^я/Д] будут отличны
от нуля функции при k = О, k = ± 1.
Рассмотрим только эти слагаемые, считая, что рм(ау)
и рд2(о) умножены на функцию %(со) виДа (5.1.12).
Умножая x((°)Pai((0) на некоторую функцию i|)i(cd),
а %{(й)рА2{®) — на функцию г^2(со) и складывая
результат, получим при |со|^я/Д:
Ь (<*>) РА1 (СО) + ф2 (©) рА2 (©) = -£ ф (СО) р (СО) ф (©) в1 A(D +
+ у *i («>) Р (со ± я/А) е'А (»***> ф (0 ± я/А) +
+ "2 *2 («>) Р (©) Ф (©)+7 ^2 (©) Р (со ± я/А) ф (© ± я/А), (5.1.27)
где верхний знак ( + ) соответствует со<0. Потребуем,
чтобы указанная сумма . совпадала с j5(co). Выберем
функции г|н(со) и фг(ю) так, чтобы Цярм + i|)2j5a2 = p
при любых р(со). Тогда должны выполняться
соотношения
гМ<д» + ф2 = -^, ih^-to-O, (5.1.28)
откуда
Таким образом, для р(со) получается соотношение
Р (ш> - з1пУа2/2) ^^ 0 д' (°°) 5"'0А/2 + Р Д2 W ^^ (5-l -31 >
Преобразуя по Фурье р(со) с учетом (5.1.20) —
(5.1.21), получим формулу
Р (х) = 2 р^Ф (х + А/2 - т/2 - 26А) +
— оо
+ 00
+ 2/£ф(*-Д/2~у—2АД), (5.1.32)
— ОО
где Ф(*) задается (5.1.14).
Аналогичным путем могут быть получены
соотношения и при нескольких неравных шагах квантования.

216 ТЕОРИЯ КВАНТОВАНИЯ ПО УРОВНЮ ' ГГЛ. V
§ 5.2. Аппроксимация
Для того чтобы обосновать возможность и
целесообразность практического использования полученных
рядов, необходимо решить ряд дополнительных задач.
Специфику этих задач мы проиллюстрируем на примере
простейшего ряда (5.1.18).
Во-первых, на практике нельзя реализовать
квантование с бесконечным числом уровней, и в ряде
(5.1.18) приходится ограничиваться конечным числом
слагаемых. -
Во-вторых, характеристические функции наиболее
хорошо изученных и используемых случайных величин
не сосредоточены на конечном интервале, и необходимо
выяснить, как нужно провести усечение спектра р(х),
чтобы ошибки, возникающие из-за отбрасывания
«хвостов» характеристической функции, не оказывали суще*
ственного влияния.
Рассмотрим сначала первую проблему.
Предположим, что в ряде (5.1.18) удержано 2N 4-1 слагаемых,
т. е.
• М*Н 2 Р*Ф(*-**)■ (5.2.1)
Запишем Ф(х) в виде
"я/А '" я/А
v ' 2я J sin((oA/2) 2я J 2
-я/А -я/А
. . . ■ . , я/А
+5 \ Ь^>-Ik'"*- <"-2>
-Я/А
Функция, стоящая в квадратных скобках,
дифференцируема на интервале [—я/Д.-^ю^я/Д]. и обращается
в нуль при со = ±я/Д; следовательно, ее преобразование
Фурье убывает лри 4*1-*оо быстрее, чем -,—г (см. те-*
орему 2 § 2.3). Первое слагаемое в- (5.2.2) убывает как
■j—г, поэтому при достаточно больших \х\ можно nor
дожить _0(x) = ^sin:^, ' и." при |А:| —> оо для pN{x)

§5.2]
АППРОКСИМАЦИЯ
217
получается асимптотическое представление
£*'-вт±{х-Щ
Pn
(*>=!>* / ,;l- ^2-3)
-лг -д-(х-&Д)
ИспоЛьзуя результаты, полученные в § 2.10, мы можем
записать (5.2.3) в виде взвешенного, полинома:
Pn{x)-Vn(x)P2n{*), (5.2.4)
где коэффициенты полинома P2n(x) однозначно
связаны С ft И '
WN(x) = smf N :Г. (6.2.6),
'.- *П('-да)
— весовая функция. Поскольку Ч^х) имеет при
\х\—>оо бесконечное число перемен знака, a P2n(x) при
конечном /V —конечное число перемен знака, функция-
Pn(x) при некоторых значениях х отрицательна. Это
означает, что для любой плотности вероятности р(х)
ряд (5.1.18) обязательно содержит бесконечное число
слагаемых, и выбор конечного числа равноостоящих
уровней квантования неизбежно приводит к появлению
погрешностей. Укажем некоторые оценки,
характеризующие эти погрешности. Сопоставляя (5.1.18) и (5.2.1),
имеем
s(x) = p{x)-pN{x) = 2 ркФ{х-Щ. (5.2.6)
: \k\>N
Поскольку Ф(х) максимальна при х = 0 и равна —-,
где ci « 1, то
Iв(*)!<-§- 2 pk<
\k\>N
Д
J p(x)dx + J p(x)dx[. (5.2.7)"
l (ЛГ + 1/2)Д

218 ТЕОРИЯ КВАНТОВАНИЯ ПО УРОВНЮ [ГЛ. V
Найдем теперь среднеквадратическое значение*) е(*):
+ оо +оо
J. \г(х)\Чх = J] 2 PhPi J Ф(*-*А)Ф(*-/Д)Л:-
\k\>N\f\>N -оо
я/А
оо2Д2/4 1
- 2 р> S ^ J
|*l >ЛГ |/1>ЛГ . -я/А
Поскольку | е'ф |= 1, то
+ оо Я/А
Jle(*)l»&<J '•*'
sin2(o&A/2) (2я)2
e~ik ь<*е11 А<0 d®.
(5.2.8)
-я/А
д2 - 1 / V1 \2
~4~ \1*1>л /
д
р(лг) djc+ J p(x)dx
ДЛГ+-
где
с2«
я/2
2 Г _J^
(2л)2 J sin2
Т<*Я~"5'
, (5.2.9)
(5.2.10)
-Я/2
Нетрудно получить также оценку, аналогичную (4.2.16).
Как следует из (4.2.14) —(4.2.16), для этого достаточно
оценить сумму
оо
sN= 2 Ф2(*-6Д). (5.2.11)
\k\>N
Воспользуемся оценкой (5.1.15):
Подставляя (5.2.12) в (5.2.11) и проводя выкладки,
аналогичные (4.2.14) —(4.2.15), получим
U(*)l<]/jl^ S Й- (5.2.13)
|£|>ЛГ
*) Последнее равенство можно получить, если в (2.3.31)
положить # « 0 и заменить /(*) на Ф(дс —£Д) и Л(—х) на Ф(я— /Д).

§5.2]
АППРОКСИМАЦИЯ
219
Последнее соотношение справедливо при |*|^Г и от*
личается от (4.2.16) тем, что вместо eN(t) использована
ее «огибающая».
Наконец, нетрудно установить оценку типа (4.2.24),
заменяющую (5.2.13) при —oo<#<+oo.
Действительно, если взять в (5,2.11) пределы суммирования от .—оо
до +оо, то
..<«.-2«»<*-*4>- J" Jii^ys^-x
-оо -Я/Д —Я/Д
+ оо
— оо
Сумма в правой части (5.2.14) есть периодическая
дельта-функция. Из-за конечности пределов интегрирования
существенным из этой суммы оказывается только
слагаемое (2я/А)б (£i-~ Ь). Поэтому после интегрирования
получим
я/2
-Я/2
Таким образом, пользуясь неравенством Коши, из
(5.2.6) при — оо<#< +оо получаем оценку
Ie(*)|< S л|Ф"(*-*Д)К
|*|>ЛГ
<
г |Л|>ЛГ |fe|>W
r г |Л|>#
где с3 = я ]/2с2 « 0,2 « с2 (см. (5.2.10)). Полученные
оценки (5.2.7), (5.2.9), (5.2.13), (5.2.16) дают
возможность оценить в большинстве практически интересных
случаев погрешность, возникающую из-за отбрасывания
«хвостов» ряда (5.1.18). Все они определяются
поведением р(х) при достаточно больших х.

220
ТЕОРИЯ КВАНТОВАНИЯ ПО УРОВНЮ
[ГЛ. V
-* Вторая,задачд заключается в выборе плотности р{х\
с финитным спектром (для нее можно написать фор^
мулы типа (5.1.18)), которая хорошо аппроксимирует
заданную плотность ро(х) с нефинитным спектром.
Возможны два метода выбора р(х). Во-первых, мы
можем взять
р(*)-М*)Н — (5.2.17)
| о, tf(*)<0f
где
fcA + A/2
Х = ■ j Рй(*Й*, (5.2.18)
fcA-A/2
т. е. подвергнуть квантованию саму случайную
величину £ с нефинитным спектром и по ее «отсчетам»
построить новую функцию р\{х)у но уже с финитным
спектром. Во-вторых, можно добавить к I некоторую
независимую от g случайную величину г)
(интерполирующий сигнал) с финитной характеристической
функцией рх\{(й)' Характеристическая функция суммы двух
независимых случайных величин равна произведению
характеристических функций слагаемых:
р2(«))«р0(сй)^((о). (5.2.19)
Поэтому плотность вероятности р2{х) величины £=£+ii
имеет финитный спектр, и для нее можно написать фор-;
мулу (5.1.18). Заметим, что добавление
интерполирующего сигнала аналогично пропусканию функции
времени p0(t) через фильтр с частотной характеристикой
рл(о>). Сравним указанные методы аппроксимации
реальных плотностей вероятности ро(х), для чего найдем
среднеквадратическое уклонение р(х) от Ро(х). Для
оценки минимально возможного значения величины
;; * а2 -: J* [р2 (х) - р0 (х)]2 dx (5.2.20}
— 00
» (p(x)<=Wa; pQ{x)<=L2(-oo, +oo))
откажемся от требования положительности РгМ (или
положительной определенности р%(со)). В таком случае

§5.2]
АППРОКСИМАЦИЯ
221
минимальное значение о2 будет достигнуто, если поло?
жить (см. (4.3.3) —(4.3.4))
( 1, |ш|<я/Л,
и при этом (см. (4.3.5))
— Я/А оо
<ы= J \Po(<*)U<» + /|j50(©)frf<D,. (5.2.22)
-оо Я/А
т. е* ошибка равна «энергии хвостов» ро(со). Функция
р^(со) вида (5.2.21) не может быть характеристической
функцией случайной величины, поскольку ее
преобразование Фурье
: РпМ-^У- (5.2.23)
принимает и отрицательные значения. Поэтому для
реальных интерполирующих сигналов величина о2 не
может быть меньше a2min.
Оценим теперь среднеквадратическое уклонение плот*
ности Р\{х), полученной в результате непосредственного
квантования /?о(*). Для этого достаточно рассмотреть
уклонение соответствующих характеристических
функций
+ оо
<т2= J \Ро(х)-р[(х)\Чх =
— оо
=i J* |М»)-Ж*)Т<*®- <5-2-24)
— 00
Функция р\{х) целая, р{(<о) равна нулю при |ш|^я/А,
так что
а2 = ог2 + а2, (5.2.25)

222
ТЕОРИЯ КВАНТОВАНИЯ ПО УРОВНЮ
[ГЛ. V
где
я/Д
о*-
a* = lZ j |p0(co)-p[(«>)|2d«>, (5.2.26)
-Я/Д
[—Я/Д оо -1
{ |p0(co)|2rffi)+ JlftNPdfi» • (5-2.27)
-оо Я/Д -J
Оценим величину aj. Функция р'(со) в соответствии с
(5.1.9) и (5.1.11) равна
[ + 00
-оо
+ 0О
/5д(о> —2я&/Д)'
sin (©Л/2) v '
где
- / \ ~ / \ sin (©Л/2) /е 0 олч
Рд(оНРо(о) 0Д/2 * (5.2.29)
Слагаемое при & = 0 совпадает с ро(со), поэтому
я/Д
-я/Д U^O J
Поскольку на интервале |о|<Ся/Д величина ( * */ д;2\)
не превосходит я2/4, то
я/д
1 " |* rfco. (5.2.31)
-я/Д | А: =?&0
(У1<,Т^Г J S Ро(®-2я£/Д)
Выражение, аналогичное правой части (5.2.31), мы
оценим в Приложении III. Сопоставляя (4.3.12) с (5.2.31),
мы можем сразу написать оценку для искомой
величины о\:
" 'К^Кт+т^ (5-2-32)

§ 5.2] АППРОКСИМАЦИЯ 223
где
min m-1 (2m+l)
_ | рд (СО) |2 rfG) =
'min m=,j ' (2m+\) я/А
r, Sill' IWLy^l
Из-за дополнительного множителя /„Л/ом величи-
*1 (2т+1)я/Д
sin2 (й)А/2)
(©Л/2)
на Q вида (5.2.33) оказывается гораздо меньшей по
величине, чем (4.3.17). Более того, оказывается возможным
наложить менее жесткие требования на ро(со):
достаточно потребовать ее убывания при |(о|-*оо как |co|~Y,
где у> 1.
Эти условия выполнены, если ро(х) имеет
ограниченную- производную на всей оси х.
Нетрудно убедиться, что для случаев, указанных
в (П. III. 32) и (П. III.35), величина Q мала по
сравнению с 1 + я2/4 и ею можно пренебречь. Тогда для
значения среднеквадратического уклонения Р\(х) от ро{х)
получается соотношение
°L„<°2<3a2min. (5.2.34)
Сопоставление (5.2.34) и (5.2.22) показывает, что даже
в том случае, когда уклонение р\(х) от р0(х) достаточно
близко к o2min, непосредственное квантование
практически равноценно использованию интерполирующего
сигнала. Однако использование интерполирующего сигнала
требует генерации дополнительной случайной величины
со специальным законом распределения, который может
оказаться достаточно сложным. Поэтому с точки
зрения практической реализации непосредственное
квантование предпочтительнее.

Г Л А В А V!
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ
§ 6.1. Аналитические случайные процессы
; Среди различных подходов к проблеме передачи и
обработки информации важнейшим является
вероятностный подход. При таком подходе сообщения считаются
случайными процессами, причем случайный характер
сигнала обусловлен либо только мешающими
факторами—помехами различного происхождения, либо
случайными считаются как полезные сообщения, так и помехи.
Вероятностное описание является моделью,
обусловленной необходимостью установления закономерностей в тех
случаях, когда априори известны весьма скудные
феноменологические данные, но имеется возможность
сопоставить много наблюдений над явлением, причем
условия, в которых происходит опыт, остаются практически
неизменными
Вероятностный подход получил широкое
распространение в физике и технике; его предпосылки подробно
обсуждаются в соответствующей литературе, и мы здесь
на них останавливаться не будем. С другой стороны,
весьма распространена и идеализация сигналов как
функций с финитным спектром. Поэтому представляется
целесообразным совместить обе эти идеализации и
выяснить границы их одновременного использования. Сразу
же заметим, что подобный симбиоз приводит к ряду
парадоксов, вызванных тем, что область в
функциональном пространстве, где обе идеализации совместимы,
значительно уже, чем области, где закономерны каждая из
них. Эти парадоксы весьма поучительны, и ниже мы их
подробно рассмотрим.

§ 6.1] АНАЛИТИЧЕСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 225
Так как мы все время обращаемся к спектральг
ным свойствам изучаемых функций, то естественно
рассматривать класс стационарных случайных процессов.
Спектральные свойства случайных процессов тесно
связаны с дифференциальными свойствами их
реализаций.
Подробное изучение различных классов
стационарных случайных процессов было проведено учениками
А. Н. Колмогорова, и, в частности, ими изучены
случайные процессы с финитным спектром. Большую
работу в этом направлении проделал А. М. Яглом в
докторской диссертации, где он изучал проблемы
экстраполяции, фильтрации и интерполяции стационарных
случайных процессов [1]. Впоследствии Ю. К. Беляев
подробно изучил дифференциальные свойства реализа*
ций вероятностных процессов и, в частности, процессов
с финитным спектром [2]. Наконец, в монографий
Ю. А. Розанова [3] эти вопросы изложены в весьма
общем виде.
Приведем необходимые определения и без доказав
тельств наиболее важные факты.
Определение 1. Случайный процесс 'называется
аналитическим в области D, если почти все его
выборочные функции (реализации) допускают аналитическое
продолжение в область D.
Теорема 1. Если l(t)— случайный процесс, кова-
риация В (t, s) = Ml (t) g (s) которого — аналитическая
функция двух переменных в окрестности \t —10| < е,
]s — /o|<s точки (to, t0), то случайный процесс анали-
тичен в окрестности |f — /0| < е точки t0.
Теорема 2. Если l(t)—случайный процесс, у
которого ковариация B(t,s)—целая функция двух
переменных, то почти все выборочные функции x(t) могут
быть продолжены на комплексную плоскость z = t + iu
как целые функции.
Важным и наиболее нас занимающим сейчас
классом аналитических случайных процессов являются
случайные процессы с финитным спектром.
Определение 2. Случайный процесс l(t),
стационарный в широком смысле, называется процессом
3 Я. И^ Хургин, В, П, Яковлев

226 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ [ГЛ. VI
с финитным спектром на (—р, р), если его ковариация
В{%) = Ml(t + x)l(t) представима в виде
а
В(т) = у^ je^dF(<*)9 (6.1.1)
где F(о) — монотонная функция ограниченной
вариации*).
Такое представление для В (т) дает возможность
применить теорему Винера — Пэли — Шварца. В результате
получаем следующую теорему.
Теорема 3. Для того чтобы ковариация В (т)
стационарного в широком смысле случайного процесса
была функцией конечной степени не выше р, необходимо
и достаточно, чтобы она была представима в виде
Р
В(т) = уУ- JV«W(<d), (6.1.2)
где F(a>)— монотонная функция ограниченной вариации.
Самой существенной для дальнейшего является
Теорема 4. Если ковариация стационарного
случайного процесса В(т) — целая функция конечной
степени не выше р, то почти все выборочные функции —
Целые функции степени не выше р.
, Из этой теоремы естественным образом следует
интерполяционная теорема — аналог теоремы Котельни-
кова.
Теорема 5. Если l(t) (—<x><t<
+oo)—стационарный случайный процесс с финитным спектром на
*) Ограниченность вариации F (о) означает ограниченность
Б(0) =M|g(/)|2, которая для эргодических процессов равна
средней мощности процесса:
T
В(0).- Iim ±..\\x{t)\*dt.
■■■..■■■■■" о

§6.1] АНАЛИТИЧЕСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 227
(—р, р), то для почта всех выборочных функций
(реализаций) x(t) справедливо представление
где а —любое число, большее р, и А = л/а.
Приведенных фактов достаточно для того, чтобы
сделать вывод о законности непосредственного переноса
детерминистической теории функций с финитным
спектром на случайные процессы с финитным спектром.
Однако попытка применить ряд очевидных следствий
подобной теории к некоторым задачам выделения
сигнала на фоне шума приводит к парадоксальным
выводам. -....':.
Прежде чем рассмотреть ряд конкретных примеров,
обратим внимание на парадоксальность самого понятия
«аналитический случайный процесс».
Идеализация передаваемых сигналов как стационар*
ных случайных процессов была введена в теорию ин*
формации потому, что наблюдение такого сигнала в
течение некоторого интервала времени или в дискретные
моменты времени не дает возможности однозначно
предсказать поведение процесса в будущем.или
восстановить его значения в те моменты времени, когда
выборки не производятся.
Передача информации имеет смысл лишь в том слу*
чае, когда со временем могут поступить какие-либо но*
вые сведения. .
В то же время, если почти все реализации
случайного процесса — аналитические функции, то, следова:
тельно, лочти каждая реализация может быть
однозначно восстановлена на всей временной оси по как
угодно малому ее отрезку. Если же случайный процесс
имеет финитный спектр, то, как следует из теоремы 5,
почти каждая реализация может быть однозначно
интерполируема на всей оси времени по значениям в
некоторой периодической последовательности точек.
Парадокс очевиден: какой смысл передавать,
скажем, сигнал с финитным спектром1 если его поведение
8*

228 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ [ГЛ. VI
в прошлом и будущем полностью определяется его
сколь угодно малым отрезком?
Столь же парадоксальной оказывается идеализация
сигналов как случайных функций с финитным спектром
при конкретных постановках задач.
Рассмотрим, например, следующую классическую
задачу статистической радиолокации. Пусть принятая
реализация y(t), измеренная на интервале 0Kt^Ty
содержит либо один шум n(t), либо смесь n(t) + r(t)
шума n(t) и полезного сигнала r(t) заранее заданной
формы.
Нам необходимо решить, содержится ли полезный
сигнал r(t) в принятой реализации y(t) или не
содержится. Предположим для простоты, что полезный
сигнал имеет вид r(t) = A cosoW, а шум n(t) имеет финит-
ный спектр и нулевое среднее. Если величина интервала
наблюдения Т достаточно велика, то отношение сиг-'
нал/шум равно отношению энергии полезного сигнала
Ul на интервале 04КГ к энергии шума U2m на этом
же интервале. Оно может быть сколь угодно велико,
9 2
поскольку Uc пропорционально Р, a Um
пропорционально Т, так что отношение сигнал/шум
пропорционально Г. Следовательно, обнаружение может быть
сколь угодно надежным при увеличении Т. В то же
время здравый смысл, опирающийся на
экспериментальную практику, подсказывает, что при малых Т
ситуация иная, и надежное обнаружение невозможно.
Однако если и сигнал, и шум — аналитические
функции, то в силу теоремы единственности принципиально
можно восстановить реализацию y(t) на сколь угодно
большом интервале времени, зная ее на весьма малом
интервале (О, Т) [4].
Разрешение этого парадокса бессмысленно искать
в рамках принятой модели и, следовательно, нужно
внимательно обсудить те предпосылки, которые легли в ее
основу.
Во-первых, полезный сигнал r(t) не может быть
целой функцией: он длится конечное время, и
следовательно, сигнал, а не его спектр нужно считать
финитным. То же самое можно сказать и о шуме
n(t).

§ 6.2] ИНТЕРПОЛЯЦИЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА ПО ВЫБОРКАМ 229
Во-вторых, принятая реализация r(t) + n(t) не
может быть известна точно, поскольку любой
измерительный прибор вносит ошибку.
Если учесть оба обстоятельства, то никакого
парадокса не получается.
Как и всякое другое описание, модель случайного
процесса с финитным спектром имеет строго
ограниченную область применения. В одних ситуациях
(например, когда Т велико) мы можем пренебречь
неаналитичностью r(t) и п(t) и ошибками измерения и
пользоваться функциями с финитным спектром. В других
ситуациях мы обязаны отказаться от принятой модели и
решать задачу с учетом тех «малых» поправок,
которыми мы пренебрегли ранее.
Подробное изложение задачи об экстраполяции
(аналитическом продолжении) целой функции, заданной
при |/| < Т с некоторой погрешностью, на множество
\t\^T будет дано в гл. VIII.
§ 6.2. Интерполяция случайного процесса
по его выборкам
Проблема интерполяции, т. е. восстановления
сигнала по его дискретным значениям, популярна как в
теории сигналов с финитным спектром, так и в теории
стационарных случайных процессов. При рассмотрении
случайных сигналов с финитным спектром оба эти подхода
дают один и тот же результат (теорема 5 предыдущего
параграфа). Однако решение общей задачи интерполя,-
ции случайных процессов, кроме интерполяционных
соотношений типа (6.1.3), дает возможность получить
ответы на ряд практически важных вопросов, возникающих
при реализации систем связи, основанных на теореме
Котельникова, в частности, учесть ошибки,
возникающие при задании моментов отсчета, и неточности изме:
рений выборочных значений.
Задача линейной интерполяции случайного процесса;
которой мы ограничимся, формулируется следующим
образом. Заданы значения x(t\), x(t2), ...., x(tn)
реализации x(t) случайного процесса l(t) в точках tu U, ...
*.*, tn. Необходимо восстановить x(t) в любой точке

230 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ [ГЛ. VI.
между t\ и tn, скажем, в точке to. В дальнейшем будем
считать, что среднее значение процесса равно нулю:
Ml(t) = 0. Будем искать оценку x(t0) в виде
x{t0) = ^x{tn)h{t^tnY (6.2.1)
п
Нужно найти такую функцию h(z), чтобы x(t0) по
возможности мало отличалось от x(tQ). В качестве меры
уклонения возьмем дисперсию а2 ошибки e(to)~
= x{t0)~- x(t0):
а2 = Me2 (t0) = M [$ (/0) - Ш)\ (6.2.2)
где x(t0)— реализация |(^о). Имея в виду приблизиться
к реальной ситуации, будем считать, что, во-первых,
моменты отсчета ^случайны, во-вторых, при
восстановлении они известны неточно, со случайной ошибкой вп, и,
в-третьих, значения x(tn) измеряются с относительными
ошибками аПу где ап также случайны. Таким образом;
оценку x(to) можно записать в виде
^t(to)-Ii(l+an)x(tn + en)h(t^tn). (6.2.3)
п
Рассмотрим функцию
• y(t) = z(t)s(t), (6.2.4)
где
z(t) = x[t + e(t)), e(tn) = en, (6.2.5)
s(0 = 2(l+a„)6(/-4), (6.2.6)
П
и перепишем (6.2.3) следующим образом:
*(/„)= J h{tQ-x)y(x)dx. (6.2.7)
— оо
Проведя усреднение, найдем дисперсию уклонения:
0? = M[i(/o)]2-2J h(t0-x)Rxy(t0,x)dx +
— оо
+ оо
+ j\ h(tQ-x)h{tQ- t) RH (r, /) dx dtx (6.2.8)

§ 6.2] ИНТЕРПОЛЯЦИЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА ПО ВЫБОРКАМ 231
где
RXy(t,*) = Mx(t)y(T), (6.2.9)
Ry(t9x) = My{t)y(x) (6.2.10)
— соответствующие корреляционные функции.
При расчете Rxy и Ry примем следующие
ограничения, которые в большинстве практически интересных
случаев выполняются:
1) Процесс x(t) непрерывен, стационарен в
широком смысле, т. е. его корреляционная функция
Rx(t\, h) = Mx(t\)x(t2) = Rx(t\ — h) зависит только от
/z —1\ и при t\ = t2 непрерывна.
2) Случайные величины {tn}, {ап}> {гп} не зависят от
процесса x{t),
3) Числа ап и ат при пфт независимы, имеют
нулевое среднее и одинаковую дисперсию о%
4) Числа гп и гт при пфт независимы, одинакова
распределены; их характеристическую функцию
обозначим с(ш).
5) Последовательность tn образует стационарный
точечный поток, так что совместная функция
распределения числа появившихся точек в заданном наборе
фиксированных временных интервалов не зависит от
положения этого набора интервалов на оси t.
Примерами стационарных точечных потоков могут
служить стационарный пуассоновский поток и
последовательность tn = nT + a (/i = 0, '±1, ±2, ....), где а
равномерно распределена на интервале [0, Т].
При выполнении условий 1—5 процессы y(t) и x(t)
оказываются стационарными и стационарно связанными
в широком смысле, что дает возможность применить
к расчету h(t) хорошо разработанный аппарат винеров-
ской фильтрации. Обычно различают два подхода к
расчету h(t):
■а) фильтр с характеристикой h(t)^L2(—оо, + оо).
Если не налагать дополнительных ограничений, то
такой фильтр, вообще говоря, будет физически
неосуществим (см. § 1.2);
6).ft(/) = 0 при /-<0, т. е. фильтр использует вс§
выборки, уже поступившие к данному моменту времени,

232 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ [ГЛ. VI
и является физически осуществимым фильтром с
бесконечной памятью.
Расчет физически неосуществимого фильтра весьма
прост. Элементарная вариационная задача
минимизации а2 вида (6.2.8) дает для h(t) интегральное
уравнение
RxyW- J h{t)Ry(t-x)dt, (6.2.11)
->оо
откуда без труда получаем с помощью фурье-преобра-
зования
Ry (со)
где Rxy((o), Яу(ы)— фурье-преобразование
корреляционных функций /?ху(т) и /?у(т), т. е. взаимная
спектральная плотность стационарных процессов x(t) и у (t)
и спектральная плотность процесса y(t).
Нетрудно убедиться, что при этом
а2 = /?*(0)- { h(t)Rxu(t)dt =
■—оо
+ оо
= j [Rx(«>)-K(«>)RXy(<»)]d<>>. (6.2.13)
— оо
Характеристика h(t) физически осуществимого
фильтра также находится по известным Йху(ы) и Яу(со).
Соответствующий расчет весьма сложен, однако,
например, в случае, когда Rxy((o) и Ry(a) являются
рациональными функциями со, его удается провести до конца.
Вычислим функции RXy((o) и /?г/(со), пользуясь
условиями (1—5). Из-за статистической независимости z(t)
и s(t) можно написать:
/Мт) = ЯЛ*)/Мт), (6.2.14)
Rxyb) = R*x(*)Ms{t), (6.2.15)
где R8(t) = Ms(t)s(t + x), Rz{t) = Mz(t)z(t + x) —
корреляционные функции s и z, a RZx{t) = Mx(t)z(t + т) —
их взаимная корреляционная функция.

§ 6.2] ИНТЕРПОЛЯЦИЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА ПО ВЫБОРКАМ 233
Найдем сначала необходимые статистические
характеристики импульсного случайного процесса:
*(0=2(1+ял)в('-'п)- (6.2.16)
— оо
Если Мап = 0, то среднее значение s(t) совпадает со
средним значением последовательности б-импульсов
МО-Пас-'*). (6.2.17)
п
Для того чтобы найти Ms\{t), аппроксимируем 8(t) пря-
моугольником весьма малой ширины Д и амплитуды -г-.
Эту функцию будем обозначать 6*(/)- Для того чтобы
в точке t значение S\(t) отличалось от нуля, величина
tn должна лежать в пределах t — А/2 < tn < t + A/2.
Если W dt — вероятность появления импульса на
интервале (tj + dt), то Si(t) принимает значение -г- с
вероятностью №А и значение, равное нулю, с вероятностью
1 — WA. Поэтому.
мs{t) = мsl(t) = -£W^ + o(l-w^)=^w. (6.2.18)
Из условия 3 следует, что -корреляционная функция
Rs(x) есть
Rs(r) = (l+o$Ms2(t,T) + Ms3(t,T\ (6.2.19)
где
s2 (t, т)=2б'(/- /„) 6*(t + x- tn), (6.2.20)
s3 (t, т) = S S 6* (* - tm) b*(t + x- tn). (6.2.21)
тфп
Функция s2(tf т) при данном t равна -^-f если
одновременно —A/2 <tn — t< A/2, —A/2 <tn — t — x<M2 или
если t + x— A/2 < tn < t + x + A/2. Вероятность этого
события есть HP (A— т). При т>А функция s2(/,t) равна
нулю. Таким образом, среднее значение s2(^,t) есть
W (-?-(1-т/Д), т<А,
Ms2{t, т)=-|г(А~т)= д (6.2.22)
Д [0, т>Д.

£34 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ ГГЛ. VI
Функция (6.2.22) при А->0 стремится к W6(t).
Поэтому
Ms2(t,x)=W6(%). (6.2.23)
Функция s3 (t, т) равна 1/А2, если t — А/2 < tn < t + А/2,
t + т — А/2 < £т < * + т + А/2. Вероятность этого
события равна Pn,m{\t — tn\< A/2, |^m — f — т| < А/2} и не
зависит от t. Поэтому
Ms3(t,T) =
- -HmiP„im{M-<J<A/2t |*т-/-т|<Д/2}-Ф(т).--
(6.2.24)
Таким образом, согласно (6.2.19), (6.2.23) и (6.2.24)
корреляционная функция последовательности (6.2.16)
есть
Rs(t)=W{1+oI)6(t) + Q)(t), (6.2.25)
И спектральная плотность равна
^(со) = ^(1+^) + Ф(ш). (6.2.26)
Расчет Ф(т) проведем для двух примеров. Если tn
образуют пуассоновский поток, вероятность Рп, т
появления двуз импульсов в двух непересекающихся
интервалах длины А, очевидно, равна №2Д2, т. е. Ф(т)=№2,
Ф(со)= W26 (coj, и поэтому
Rs (со) = W (1 + о?) + ТГ2б (со). (6.2.27)
Предположим теперь, что tn = 8п(пТ + уп) + а, где бп
принимает два значения 0 и 1 с вероятностью 1 — q и q\
Уп, Ут статистически независимы и имеют одинаковую,
характеристическую функцию у(®) = Ме~шУп, а а
равномерно распределена на интервале [О, Г). Подобная
последовательность может характеризовать работу
устройства, производящего выборки,A—q — это вер9ят-
"ность пропуска выборки, а уп обусловлена «дрожанием»
моментов tn вблизи необходимых значений пТ. В
отсутствие ошибок (<7=1,y=1) мы получаем выборки,
используемые в теореме Котельникова. Найдем функцию
Ф(т) для второго случая. Она, очевидно, периодическая
с периодом f. Поэтому достаточно рассмотреть значе-

§ 6.2]' ИНТЕРПОЛЯЦИЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА ПО ВЫБОРКАМ 235
ния 0 < т < Г. Вероятность того, что в интервале
(г, г + dz) (О < z < Т) появится импульс, равна
W(z)dz, где W(г) — плотность распределения уп. По
предположению импульс прямоугольный, и его
длительность равна А, а амплитуда -г-. Функция s$(t, т) при
О < т < Т отлична от нуля и равна 1/А2, если
выполняются неравенства / — А/2 •< Т + уп — т ^ t + А/2.
Обозначая Т — x=v, получим t — v — к/2Куп *Ct — и + Д/2.
Вероятность выполнения этого неравенства равна
W(t — v)k. Искомая вероятность Рп>т получается после
интегрирования Afl^(z— v)W(z) по г и умножения
результата на W& — среднее число импульсов на
интервале длины А. Таким образом,
= W J" W (г) W (z - v) dz = W (t). (6.2.28)
Для того чтобы получить окончательный результат,
мы должны учесть возможность пропуска, т. е.
отлитие q от единицы. При расчете Ms2(/,-т)" мы рзссматрп-:
вали только один импульс, а при расчете Ms$(i;%) — два.
Поэтому Ms2(t, т) нужно умножить на q, a Ms3(t,T) —
на q2. Учитывая, что функция ЧГ(т) периодическая,
получим
Rs(r) - Wq(1 +а2о)б(т) + q2W 2 Ч'(т- пТ) =
" пфО
= Wq[(l+ol)b(x)-q4(T)] +
+ q2W%y¥(x-nT). (6.2.29)
— оо
Заметим, что среднее число импульсов в данном случае
отлично от W и равно
WQ = qIT. (6.2.30)
Так как W (т) есть свертка одинаковых плотностей W(z)
с характеристической функцией у{ш), то спектральная

236 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ [ГЛ. VI
плотность i?s(co) имеет вид
R.(®) = Wq{l+ol-q\y(in)f) +
+00
+ Wq2\y(m)\2^eine>T. (6.2.31)
— с»
Входящая в (6.2.31) сумма есть периодическая дельта-
функция:
2е'««--^2в(»-^»). (6.2.32)
— оо —оо
Поэтому (6.2.31) можно переписать следующим
образом:
■R9{®)~Wq(l+o*o-q\y{to)f) +
+00
+ r98lY(to)P-|iS6(®~T"n)- (6-2,33)
— оо
1 2л
Учитывая, что W = у, и вводя обозначение со0 = у-,
получим г
^(co) = -f(l+a^^|Y(/co)|2) +
/+00 \
+ ^ 2б(со--жо0) IyMP. (6.2.34)
Найдем теперь корреляционные функции /?г и /?zx. В
соответствии с теоремой Хинчина о спектральном
разложении корреляционная функция исходного процесса
x(t) есть
Rx{%)=>Mx(t)x{t + x) = -~ J" Д*(©)е/втЖо, (6.2.35)
где Дх:(оо) — спектральная плотность x(t). Поскольку
e(t) (см. (6.2.5)) и #(/) статистически независимы,

§ 6.2] ИНТЕРПОЛЯЦИЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА ПО ВЫБОРКАМ 237
а процесс e(t) можно считать процессом с независимыми
значениями (см. свойство 4), то
Rz(t) = M2(t)z{t + %) = MRx[*-e(t + T)-e(t)] =
+00
= 2^ j* %х(<й)ешМеш1е«+х)-е^с1(й. (6.2.36)
— 00
Таким образом,
+ оо
Rz(0) = Rx(0) = -^ j RA<»)d<>>, (6.2.37)
— 00
а при т Ф О
+ оо
r(x) = Rz(T) = ~ j ^(co)|c(/(o)i2^d0, (6.2.38)
— 00
где
c{m) = Me-i(*e{t) = Me-im»
— характеристическая функция e(t), совпадающая по
определению с характеристической функцией
последовательности {бп}. Совершенно аналогично:
оо
Rzx (т) = MR [т + е (Щ = -^ J Rx («>) с (/») еш dco. (6.2.39)
— оо
Таким образом, применяя теорему о свертке, получим
окончательно
Rx» (©) = Rx (со) с (/со) W, (6.2.40)
+ оо
Ry(e>) = W{l+ol)а2+± J &,(*)! c{iX)|2 Rs(b-<*)dh
— оо
где
а2 = /М0)-г(0). (6.2.41)
Применим полученные соотношения к двум случаям
стационарных точечных потоков, а именно — к
«дрожащим» периодическим выборкам с пропуском и к

238 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ [ГЛ. Vt
пуассоновским выборкам. Рассчитаем характеристики
реализуемых и нереализуемых фильтров и найдем
минимальные дисперсии ошибок. Для первого случая из
(6.2.34) и (6.2.40) получим
^N = [-f~] 2 /?х (со ~/гсо0) | Y (шсоо) с (ш--mcoo) f+
+ оо
+ ±(l+o*)R(0)-^f | Rx(u)\c(iu)y(m-iu)fdu,
(6.2.42)
где
Щ = у~, (6.2.43)
а из.(6.2.40) находим
Rxe(®) = jrRx(*)c(to). (6.2.44)
Если случайный процесс имеет финитный спектр, т. е.
ЯЛ*)-0, М>-^, (6.2.45)
то, как следует из (6.2.42), (6.2.43), (6.2.44) и (6.2.45),
Т_
я
Ry (со) = Rx (со) | с (ш) I2 + ^ (1 + а20) Rx(0) -
2
X
""Г
J ^(«)к(ш)у(/со-ш)|2^и. (6.2.46)
Если положить ?=1, сг^ = 0, y (ко) = с (ш) = 1, то тогда
Г, |со|<со0/2,
tn = riT, Rxy = yRx и
я(со)-('..; ;^ v (6.2.47)
а а2 = 0, что эквивалентно доказательству теоремы 5.
- Характеристики реализуемого и нереализуемого
фильтра в случае, когда спектр процесса x(t) безграни-.

§5.2] ИНТЕРПОЛЯЦИЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА ПО ВЫБОРКАМ 239
чен, приведем для так называемого марковского в
широком смысле процесса х (t):
■Rx(T) = e-a*x*. (6.2.48)
Кроме того, положим с(ко) = у(ш)= \\ 00 = 0; ?=Ь
Как показывают несложные расчеты, для
нереализуемого фильтра
*w-lZi=sr -27^ ■•
f
e-ct\t\_ea\t\e^aT
0<\t\<T9
A(0-{. \-e~?aT ' ' (6.2.49)
I 0, \t\>T, t<o,
2_ f j-,e-?er_2ar-2er
(7*=1-
а7-(1-в--2вГ)
Обычная процедура факторизации позволяет найти
следующие соотношения для физически реализуемого
фильтра:
k (со) = --: *
гв-, о<;<г, (6-2-50)
л(/) Ю, t>T,t<o.
Рассмотрим теперь случай пуассоновского точечного
процесса tn. Используя (6.2.12), (6.2.13), (6.2.27) и
(6,2.40), получим следующие характеристики
оптимального фильтра: . .
й(о>)_1 Rx(^)cm ____
Р Ях(<й)\сЦ<й)\*+±±?-ЯЛЪ)
(6.2.51)
о (Г+о»)Я(0) Г Я((о) ,
а "—ы— J тща<д-

240 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ [ГЛ. VI
Полагая для конкретности Rx(x) = е~аху с = 1, а2 = 0,
имеем
Щ) = ±е-Ь"\ (6.2.52)
о а
где
b = \Va2 + 2aW\. (6.2.53)
При тех же условиях для физически реализуемого
фильтра получим
п (со) = ——г , , . >
( 2а e~bt t> 0
h(x) = { a + b ' ' (6.2.54)
I 0, *<0,
а2=1- 2аГ
(а + 6)а *
Заметим, что оптимальным является обычный RC-
фильтр. т
Таким образом, полученные соотношения дают
возможность найти погрешность, возникающую при
передаче случайных сигналов по системе связи, построенной
на основе теоремы Котельникова, из-за неточности
выборочного преобразования и при использовании вместо
идеального фильтра с характеристикой S1°
физически реализуемого фильтра. Выигрыш, полученный при
использовании оптимальных фильтров по сравнению с
реальными, рассчитан в [5—7].

ГЛАВА VII
СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ ПРИБОРОВ И СИГНАЛОВ
С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ
§ 7.1. Синтез на конечном интервале и на всей оси
Проблемы, с которыми приходится сталкиваться при
расчете линейных приборов и сигналов, можно условно
разбить на два класса: проблемы анализа и проблемы
синтеза. В первом случае мы должны, зная условия,
в которых работает рассматриваемая система,
определить основные характеристики прибора или сигнала.
Примеры решения такого рода задач в различных
областях физики и техники приведены в гл. I.
Обратная задача — задача синтеза — заключается в
расчете системы с наперед заданными свойствами.
Решение такой задачи опирается на знание основных
свойств синтезируемой функции — формы сигнала или
аппаратной функции линейного прибора. При этом мы
можем воспользоваться результатами, полученными при
решении задачи анализа. Мы будем опираться на
следующие свойства синтезируемых функций, полученные
при анализе линейных приборов и сигналов в гл. I.
1. Искомая функция интегрируема в квадрате на
вещественной оси.
2. Исследуемые функции имеют фурье-преобразова-
ния, которые можно (с достаточной степенью точности)
считать финитными.
Функция, обладающая этими свойствами,
принадлежит пространству Wa и, в соответствии с теоремой
Винера — Пэли, может быть продолжена на
комплексную плоскость как целая функция конечной степени.
Таким образом, задача синтеза сводится к выбору

242 СИНТЕЗ СИГНАЛОВ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ [ГЛ. VII.
в пространстве Wa целой функции с заданными
характеристиками.
Характеристики, которыми должна обладать целая
функция, определяются условиями использования
данного прибора или сигнала. Поэтому первоначально
точные постановки задач синтеза функций с финитным
спектром были разработаны в конкретных областях,
главным образом в теории антенн. Однако в последнее
время методы, используемые в теории синтеза антенн,
начинают распространяться во многие другие области
физики и техники и, в частности, уже используются в
оптике, общей теории связи, при синтезе
радиолокационных сигналов, в теории согласующих переходов, теории
рассеяния и т. д. [1] — [11]. Таким образом, появились
предпосылки построения по примеру теории синтеза
антенн общей теории синтеза линейных приборов и
сигналов с финитным спектром, рассматривающей задачи
синтеза независимо от области использования приборов
и сигналов.
Общую задачу синтеза линейного прибора или
системы, генерирующей сигнал, можно разбить на два этапа.
1. Нахождение оптимальной функции, т. е. функций
с финитным спектром (или целой 'функции из Wa),
наилучшим образом удовлетворяющей поставленным
требованиям.
2. Инженерное, конструктивное воссоздание реальной
системы, обеспечивающей техническую реализацию
оптимальной функции.
Второй этап в общей теории синтеза мы
рассматривать не будем, поскольку он скорее относится к
технической стороне дела. Однако при подборе функций
с финитным спектром на первом этапе мы не должны
абстрагироваться от реальных возможностей техники, и
поэтому в самой постановке задачи появляются
определенные условия и ограничения, характеризующие
«сложность» соответствующих технических систем.
Возможность создания общей теории, не оперирующей
конкретными понятиями какой-либо отрасли науки или техники,
во многом обусловлена тем, что удается найти
характеристики, общие для многих классоз сигналов и
приборов,

§7.1] СИНТЕЗ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ И НА ВСЕЙ ОСИ 243
Требования, которые предъявляются к оптимальным
функциям, весьма разнообразны и, как правило, могут
быть детально конкретизированы только в отдельных
узких областях физики и техники. Однако можно указать
общую постановку задачи, решение которой дает
возможность выяснить общие закономерности. Суть этой
задачи состоит в следующем. На некотором множестве А
точек вещественной оси задана непрерывная функция
F (х). Необходимо подобрать функцию с финитным
спектром /(х), наиболее близкую в некоторой метрике к F(x)
(например, в смысле минимума среднеквадратического
уклонения или минимума максимального модуля
уклонения и т. д.).
Выбор метода решения этой задачи зависит от
многих причин, иногда субъективных, ив частности, от
принятой меры близости F (х) и f(x). Но в любых ситуациях
необходимо различать два практически важных случая,
касающихся области определения F(x): эта область
может быть либо ограниченным множеством А на числовой
оси х, либо состоять из всей оси х. Обычно
рассматривается только второй случай. Решение здесь обычно
получается сравнительно просто, во всяком случае в
метрике пространства L2 (см. гл. IV, § 4.3). Для других
критериев удовлетворительные результаты получаются
при определенной модификации такого решения. Напри-,
мер, уменьшение больших локальных уклонений, которые
обычны при среднеквадратической метрике, достигается
сглаживанием с помощью фильтрующих ядер [1].
С практической точки зрения больший интерес
представляет первая постановка задачи, когда заданная
зависимость F(x) реализуется только на ограниченном
множестве Л, например, на конечном интервале [а, Ь].
Особенно это очевидно в теории антенн, где диаграмма
направленности f(x) — целая функция из Wa—,зависит
от обобщенной крординаты х = х sin Э. Поскольку 8
меняется в пределах 0<8^у, координата х не выходит
за интервал [—х,+х] —область видимости, где ■ и =*
-= 2лД— волновое число. Ясно, что задача синтеза
диаграммы направленности должна рассматриваться только
при |л;|^и.

244 СИНТЕЗ СИГНАЛОВ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ [ГЛ. VII
Разумеется, поведение спектра f (со) определяется
поведением f(x) на всей оси х, а не только на
ограниченном множестве. Поэтому в любом случае при синтезе
приходится учитывать свойства f(x) на всей оси х,
поскольку практическая реализация f(x) в конечном итоге
зависит от характера ее спектра. Таким образом, при
синтезе может оказаться необходимым, рассматривая
аппроксимацию заданной зависимости F(x) на
ограниченном множестве, задать определенные ограничения на
значения f(x) вне этого множества. Как мы покажем
в следующем параграфе, они являются теми условиями,
которые обеспечивают возможность технической
реализации оптимального решения. Мы будем в дальнейшем
рассматривать в качестве примера множества А один
интервал [—а, +а]. Однако все результаты, полученные
для этого случая (за исключением § 7.6), без труда
переносятся на любое практически интересное
ограниченное числовое множество, например, на несколько не-
прекрывающихся интервалов. Математический аппарат,
необходимый для обобщения полученных результатов на
произвольное множество, приведен в гл. II.
§ 7.2. Синтез функций на конечном интервале
Для того чтобы изучить основные особенности
синтеза функции f(x) с финитным спектром, рассмотрим
задачу аппроксимации заданной непрерывной функции
F (х) на интервале —а^Сх^Са. Может показаться, что
условие принадлежности f(x) к пространству Wa
налагает жесткие условия г на реализуемость любой наперед
заданной функции. Однако это не так. Как следует из
теоремы, доказанной в § 4.1, для любой непрерывной
функции найдется функция f(x) из Wa, которая на
фиксированном конечном интервале [—а, +а] как угодно
близка к F(x):
\F{x)-f(x)\<e,' |*|<a, (7.2.1)
где 6>0 — любое заданное число. Это означает, что,
подбирая спектр /(со) на любом фиксированном сколь
угодно малом интервале частот, можно
аппроксимировать как угодно точно любую аппаратную функцию или
сигнал в заданном интервале.

§ 7.2] СИНТЕЗ ФУНКЦИЙ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ 245
Например, можно построить функцию с финитным
спектром, близкую к узкому прямоугольному пику.
Такие функции часто бывают полезны. Например, в
антенной технике прямоугольная функция соответствует
идеальной секторной диаграмме. Для построения такой
функции аппроксимируем прямоугольник непрерывной
функцией— трапецией Fn(x) с достаточно крутыми
фронтами (рис. VII. 1). В соответствии с теоремой § 4.1
молено подобрать функцию fn(x) с финитным спектром,
-д -J/4/7 Ч/4л0 1/Ьп J/4/?
а х
Рис. VII. I. Аппроксимируемая функция
Fn (x).
как угодно мало отличающуюся от Fn(x) на интервале
|х|-<а. Заметим, что при п-*оо энергия frt(x),
приходящаяся на интервал |л;|^а, концентрируется вблизи
х = 0. Диаграмма направленности антенны fn(*),
близкая к Fn(x), носит название сверхнаправленной,
поскольку излучаемая энергия, приходящаяся на интервал
видимости |x|^a (см. § 1.5), концентрируется практически
в одном направлении х = 0. Таким образом, мы
доказали широко известный факт из теории синтеза антенн:
подбирая распределения поля f(Q в раскрыве |£|^Са,
можно получить при любой величине раскрыва 2а
сверхнаправленную антенну, т. е. антенну со сколь угодно
большим к. н. д. [12].
Приведенные рассуждения математически являются
совершенно строгими. Однако из замечаний, сделанных
в § 4.1, ясно, что при подобном подходе к решению
поставленной задачи синтеза любой заданной функции на
конечном интервале необходимо принимать во внимание
концентрацию энергии на всей оси #, а не только на

246 СИНТЕЗ СИГНАЛОВ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ [ГЛ. VII
интервале (—а, + я), т. е. учитывать соотношение между
полезной энергией (интервал |х|<а) и полной
затраченной энергией, приходящейся на всю ось — оо<х<
< +оо и совпадающей в соответствии с равенством
а
Парсеваля с энергией спектра /(£), равной у- |/(£)|2d£.
—а
Проиллюстрируем это соотношение на примере
функции, сколь угодно близкой к Fn(x) (рис. VII. 1).
Выясним характер поведения аппроксимирующей
целой функции fn{x) при увеличении п. Пусть
If/iM-AiWKe при |*|<а. (7.2.2)
Будем предполагать, что точность аппроксимации е
не зависит от п и величина е мала. Так как функция
fn(x) принадлежит пространству Wai то для нее
справедливо неравенство (см. (4.1.14)): при любом п
/__
f \Ш?*х% (7.2.3)
. J
— оо
где А (а) — постоянная, зависящая только от величины
а. Поскольку максимальная величина функции Fn(x)
остается при изменении п постоянной и равной единице,
а функция fn(x) (при каждом фиксированном
значении п) должна отличаться от Fn(x) не более чем на е
(см. (7.2.2)), то в интервале —а^Сх^Са справедливо
неравенство
-l-e^-B-Fn{xXfn{x)^Fn{x) + B^l+e9 (7.2.4)
откуда, возводя в квадрат и интегрируя, получим
а
j\fn(x)\2dx^(l+e)2-2a. (7.2.5)
В то же время производная f'n(x) при увеличении п
в некоторых точках внутри интервала —а-^Сх^Са
должна неограниченно возрастать, так как при,
возрастании п функция Fn(x) приближается к неограниченно
узкому пику (см. рис. VII. 1). Но оценка . (7.2.3) должна

§7.2] СИНТЕЗ ФУНКЦИЙ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ 247
выполняться при любом значении м, следовательно,
будет неограниченно возрастать и правая часть этого
неравенства. Сопоставление оценок (7.2.3) и (7.2.5)
указывает на то, что при сужении пика будет возрастать доля
энергии функции fn(x), приходящаяся на область
|х|>а, т. е. полная энергия при /г->оо неограниченно
возрастает, в то время как полезная энергия в области
|а-| ^ а остается равномерно ограниченной.
Однако неограниченно возрастает не только энергия
fn(x) при |*| > а, но и максимальное значение функции
в этой области. Это ясно видно из неравенства Берн-
штейна (см. (4.1.16))
|f;W|<a max \fn{x)\, (7.2.6)
-оо<л;< + сх)
так что при бесконечном возрастании f'n(x)
неограниченно увеличивается максимальное значение |/п(*)|. Ясно,
что при |/^(*)|>сс максимальное значение fn(x).
достигается при |х|>а, поскольку на интервале |х|^а
max\fn(x) |< 1 + е.
Для того чтобы более детально изучить
видоизменение спектра f(Q при уменьшении ширины Fn(x),
рассмотрим конкретный вид fn(x), полагая
Ш = Р2м(х)Чм(х), (7.2.7)
где
ЧМ*Н лг^ 22 . (7.2.8)
^ТК1"^")
1 -
— целая функция конечной степени а, не обращающаяся
в нуль при |jc|<— —, а P2n{x)— полином конечной
степени. С помощью функции вида (7.2.7) можно с
любой степенью точности аппроксимировать Fn(x) при
любом п. При этом N должно быть достаточно большим;
при N > аа весовая функция ^(а*) практически
постоянна, и мы имеем возможность аппроксимировать
Fn (x) полиномом сколь угодно высокой степени 2N.
Заметим, что fn{x) можно.представить рядом Котель-
никова, в котором все выборки при \'п\> N равны нулю

248 СИНТЕЗ СИГНАЛОВ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ [ГЛ. VII
из-за того, что весовая функция обращается в нуль при
*=1Г> \n\>N:
+00 . ( Ы
sin а х
2, , . sin а я
-оо \ а )
N . ( /Я\
Фурье-преобразование fn(*) есть
fn(l)J{%^ln^eiW^ !^|<а> (7.2.10)
I 0, 11| > a.
Как следует из неравенства (7.2.6) и приведенных
рассуждений, числа fn (/я/a) при /я/а > а могут
принимать значения, гораздо большие, чем при /я/a < а.
Из выражения (7.2.10) видно, что при этом в спектре
Тп(1) будут преобладать высокие гармоники, т. е. спектр
fn(l) становится резко осциллирующим. Практическая
реализация сигнала или аппаратной функции с
финитным спектром в конечном счете определяется
возможностью воссоздания fn(l)- Такой характер поведения
спектра означает, что при увеличении точности
аппроксимации функции с крутыми фронтами, заданной на
конечном интервале, усложняется ее практическая
реализация.
Для того чтобы быть уверенным в возможности
практического исполнения генератора сигнала или
линейного прибора при определенных технических
возможностях, т. е. воспроизведения функции с финитным
спектром, мы должны уже при самой постановке задачи
синтеза установить определенные ограничения на характер
поведения fn{x) при \х\ > а.
При наличии таких ограничений мы не превзойдем
определенную «сложность» спектра и, следовательно,
сможем его воспроизвести доступными техническими
средствами.

§ 7.2] СИНТЕЗ ФУНКЦИЙ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ 249
Достаточно ограничить либо значение энергии /п(*),
приходящейся на область \х\> ау либо ее максимальное
значение в этой области. Заметим, что возрастание
полной энергии и максимального значения fn{x),
возникающее при аппроксимации Fn(x), связано не с
уменьшением ширины Fn(x), а с увеличением ее производной.
Проще всего получить небольшие значения fn(x) при
|x|>a, если рассмотреть задачу аппроксимации
функции F0{x), совпадающей с F(x) при jx|<ia и равной
нулю при |#|>а. При этом мы переходим от задачи
синтеза на конечном интервале к задаче синтеза на всей
оси. Решение Зтой последней задачи было рассмотрено
в § 4.3. Из результатов, приведенных в § 4.3, следует,
что наилучшим приближением в средйеквадратическом
смысле является функция f(x), обладающая
следующими свойствами.
Пусть Fo{t) — фурье-преобразование F0(x). Спектр
оптимальной целой функции из Wa совпадает при
|£|-<а с Fq(%), а сама функция f(x) вычисляется по
формуле
а
Пх) = Ш jPo(l)e*xdt (7.2.11)
Y -а
Среднеквадратическое отклонение f(x) от F0(x) при
этом, очевидно, равняется энергии «хвостов» спектра
Fo(|):
+ 00 +00
J \f(x)-F0(x)?dx = ±j \№-F0(t)\4l=*
— oo —oo
[—a 00 1
/|^о(1)124 + /|^о(1)124 • (7.2.12)
-oo a J
2я
Следовательно, при такой постановке задачи
удовлетворительная аппроксимация F(x) возможна лишь в том
случае, если основная энергия спектра функции F0(x)
приходится на долю тех |, которые попадают в заранее
заданную полосу частот j11-^ос, а энергия F0(l) вне

250 СИНТЕЗ СИГНАЛОВ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ [ГЛ. VII
полосы |||^а мала. Записав (7.2.12) в виде суммы
трех интегралов:
■foo —а оо
J \f{x)-F0(x)?dx= J* \f{x)fdx+\\f{x)?dx +
— оо —оо . а
а
. + $\f(x)-F{x)?dx, (7.2.13)
убеждаемся, что малыми оказываются как уклонение
f(x) от F(x) на интервале |х|^а, так и энергия f(x)
вне интервала [—а, +а]. Среднеквадратическое
отклонение уменьшается при расширении спектра. Поэтому чем
точнее мы стремимся аппроксимировать F(x) с помощью
f(x), тем большую ширину спектра 2а мы должны
выбирать.
Оценим величину .а, необходимую для
удовлетворительной аппроксимации заданной функции F(x). Будем
считать, что
j\F{x)fdx=l. (7.2.14)
—а
Пусть кх ~ 2а, Ag — соответственно среднеквадратиче-
ская ширина F(x) и /*<>(£) ((2.8.4), (2.8.6)). По
соотношению неопределенности (2.8.8)
Д|Д*>1/2. (7.2.15)
Когда функция /(я) достаточно хорошо аппроксимирует
Т7^), т. е. спектр Foil) «укладывается» в полосу 2а,
величина 2а во всяком случае превосходит величину Д£;
Д£<2а. ^ (7.2.16)
Из (7.2.15), (7.2.16) следует, что при этом
2«<-ш- <7-2-17)
Соотношение (7.2.17) показывает, что ширина спектра
f(x) обратно пропорциональна ширине
аппроксимируемой функции. Таким образом, чем «уже» заданная функ-

§7.3] . СИНТЕЗ ПРИ СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЙ МЕТРИКЕ 25 £
ция, тем более широким должен быть спектр целой
функции f(x). -
Приведенное решение задачи синтеза, основанное на
продолжении заданной функции нулем вне заданного
интервала [—а,+а], хорошо иллюстрирует
качественную сторону, но явно неудовлетворительно при
необходимости точных количественных расчетов. Это
объясняется тем, что в самой постановке задачи требуется лишь
малость целой функции вне рассматриваемого
интервала, и заранее не постулируется ее допустимая
величина.
Более четкая постановка задачи предполагает
количественную оценку роста f(x). При этом задается
определенный параметр, характеризующий поведение f(x)
при \х\ > а, оптимальная функция ищется при наличии
дополнительного условия, требующето, чтобы этот
параметр не превышал некоторого заранее заданного
значения. Мы рассмотрим два типа подобных параметров,
выбор которых в основном определяется принятой мерой
близости заданной функции F(x) и целой функции/(X),
§ 7.3. Синтез при среднеквадратической метрике
Для решения задач аппроксимации заданной функции
F(x) на ограниченном множестве Л значений л: широко
используется представление искомой функции f(x) в виде
разложения по системе линейно независимых функций
ЬМ*)}» образующих базис в заданном пространстве
функций {fix)}-
Ы*) = 2ми*). (7.3.1)
о
Оптимальные значения ап получаются в результате.ми.?
нимизации функционала
(Т2= j\F(x)-fN(x)?q(x)dx, (7,3.2)
А
— взвешенного среднеквадратического уклонения.
Неотрицательный вес а{х) обеспечивает нужную точность
приближения на различных участках множества Л.

252 СИНТЕЗ СИГНАЛОВ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ [ГЛ. VII
Вычисления упрощаются, если базисные функции орто^
тональны с весом q(x) на множестве А:
| 4>* (х) ф/ (х) q (х) dx = kk6k!. (7.3.3)
А
В интересующей нас задаче аппроксимации с помощью
целых функций из Wa базисные функции tyk(x) могут
быть выбраны так, что система (г|^(*)} образует пол*
ную в Li систему на множестве Л. Поэтому при х^А
оо
F(jO-2M>,,(*), (7.3.4)
О
где
Ьп == { F (х) $п (х) q (x) dx (7.3.5)
л
— обобщенные коэффициенты Фурье F(x). Учитывая
(7.3.1) —(7.3.5), мы можем записать функционал (7.3.2)
в виде
N оо
о2 = 2 К\ап - ЬJ2 + 2 Хп\ Ьп р. (7.3.6)
О N
Таким образом, наилучшая аппроксимация будет при
ап = Ьп (7.3.7)
для п ^С N, а минимальное значение о2 есть
оо
olin = IiK\bN\2. (7.3.8)
n
При N-+oo величина a2min стремится к нулю, а функция
fN(x) почти всюду совпадает c'F(x) на множестве Л.
Общая картина при подобной аппроксимации ясна
из § 7.2. При уменьшении a2min полная энергия f(x),
приходящаяся на всю ось х, будет намного превосходить по
величине часть энергии f(x), сосредоточенной на
множестве Л, что приведет к невозможности практической
реализации зависимости f(x). Для того чтобы получить

§ 7.3] СИНТЕЗ ПРИ СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЙ МЕТРИКЕ 253
практически приемлемое решение, мы должны заранее
ограничить величину полной энергии
Ри= ] |/(*)М*<Ро. (7.3.9)
— оо
Подставляя выражение (7.3.1) для f(x), получим
N N
Лт=2 7janafnynni, (7.3.10)
о о
где*)
Упт « j ^п (X) Фт (*) dx. (7.3.11)
— оо
Задача выбора коэффициентов ап при наличии
ограничения (7.3.9) сводится к минимизации функционала
N оо N N.
0 N00
(7.3.12)
где [i — множитель Лагранжа, Обычным способом
получаем следующую систему уравнений для ап:
а" + Х7 S апУпт = ьп, (7.3.13)
из которой можно найти зависимость ап от \х.
Неизвестный параметр \х находится из условия Рп = Яо, где Ро —
заданное число:
N
2 Ml*) я« (l*) Y,™ e Л, = const. . (7.3.14)
о
Таким образом, функция f(x) будет найдена после
решения N + 2 уравнений с N + 2 неизвестными, причем
одно из этих уравнений нелинейно. В вычислительном
отношении задача весьма сложна. Расчеты значительно
упрощаются, если в качестве tyn(x) выбрать базисные
*) Напомним, что система (i|?n(*)} ортогональна с весом д(х)
на множестве Л (см. (7.3.3)), так что, вообще говоря, \птф^пт-

254 СИНТЕЗ СИГНАЛОВ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ [ГЛ, VU
функции из Wa, обладающие свойствами двойной орто?
тональности, о которых шла речь в § 2.7. >
Итак, рассмотрим гильбертово пространство функций,
интегрируемых в квадрате с весом q(x) и
скалярным произведением (ср, г|>) = J (p(x)ty (x)q(x)dx. Пусть
bfn(*)}— система функций с двойной ортогональностью,
так что функции tyn(x) ортогональны на множестве А
с весом q(x), т. е. для них выполнено условие (7.3.3),
и, кроме того, они ортонормальны на оси х:
J %{x)$m{x)dx = 6nrn. (7.3.15)
* — оо - • ■ •
Для системы с двойной ортогональностью вместо (7.3.13)
мы получим '
ап + ^~ап = ЬП} (7.3.16)
Т. е.: •'-■': ■• '•:"... .
а» = -^-. (7-3.17)
где %п — числа, которые, так же как и функции ^п{х)}
однозначно определяются величиной а (заданной
степенью целой функции), структурой множества А и
видом весовой функции q(x).
Подстановка (7.3.17) в (7.3.14) с учетом (7.3.15)
"дает функциональное уравнение для \х:
N
Для выяснения некоторых характерных особенностей
указанного метода аппроксимации рассмотрим частный
случай множества Л, состоящего из одного интервала
[—а, +а], и положим q(x) s= 1. В данном случае
базис с двойкой ортогональностью образуют вытянутые
сфероидальные функции я|эл (-—J, удовлетворяющие

§ 7.3] СИНТЕЗ ПРИ СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЙ МЕТРИКЕ 255
интегральному уравнению (см. также Приложение VI):
КШп(г,с)= j^0^-^(x,c)dx, (7.3.19)
где
с = аа. •
(7.3.20)
На рис. VII. 2, VII. 3 показаны графики "ф„ (г, с) при
различных значениях с, а в таблице приведены значения
%
ОА
0,2
-о,г\
*"**ХЧ
г **
>
^
^ ^
<^«
<• ^\^
^->
^
~— —
^"•v
^v
^,*>
\
ч"~
-^
О
ifi Zfi bfi 4,0 5,0 6,0 7t0
Рис. VII. 2. Вытянутые сфероидальные функции
при с= 1.
кп (см. также рис. VII. 10). Из таблицы видно, что при
2
п<—с+1 числа %п близки к единице и быстро убы-
2
вают с ростом п, если п > — с. Как следует из § 2.7 (см.
(2.7,10), (2.7.16)),
ЛЯ — +00
1
JI+»(*)!
dx
(7.3.21)
J I *«(*)!
d*
поэтому с ростом п возрастает доля энергии фп(*) вне
интервала [—а, +а].
Ясно, что при малой заданной энергии f(x) вне
интервала |*|<Са основную роль при аппроксимации будут

256
СИНТЕЗ СИГНАЛОВ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ
[ГЛ. Vtl
играть функции г|ь(х) при п< — с. С увеличением Рп
в сумме (7.3.1) появятся слагаемые при п> — с+1.
Для иллюстрации рассмотрим заданную функцию
F(x) вида
[ 4-у 0,25 <*.< 0,965,
F{X)= 4*> - ^ (73#22)
| 0, - 1<*<0,25; 0,965 <х<1,
определенную на интервале |х|.< .1. Такая функция
описывает идеальную косекансную диаграмму
направленности антенн, часто используемую в радиолокации и ра*
дионавигации.
%
1,0
ол,
\?°
<Рс
[\ и,ио
A Y
/ \/\
ш
/ / Л
/ /
/
/
/
1 \ ХП П4
'\-oftt
\ \ \
>5Лд
"^и
'
к
Г \
\
\
V.
/-/?
/*-Ч
/l
/
/
л
\\,"
Ч /
\/
V/
*^о
гмч
55£>
*Г"\
>
^J
Л2
•42
0,60 1,0 2,0 ЗМ i.0 5,0 6,0 Ю г
Рис. VII. 3. Вытянутые сфероидальные функции при с = 4.
При аппроксимации используем девять слагаемых
ряда (7,3.1) и выберем с а = 6. Энергетические
соотношения будем характеризовать отношением y полной
энергии Рп к энергии, приходящейся на интервал
[-—а, +а]:
Y = -
-оо
а
Pdx
(7.3.23)

§ 7.3] СИНТЕЗ ПРИ СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЙ МЕТРИКЕ 257
lU
а
ч
VO
РЗ
Н
о.
о
X
о
е
^
||
^-^
<j
с
с<
со
II
оо
II
(О
II
U
! rf<
II
• N
i "
°»
■ 7
«j
ю«
о*
II
о
. С
*J
о.
к»
О.
•-J
Q.
*J
О.
•-J
а
•^
с
2
00
00
t^
*—'
о
о
о
о
ол
о
О
8?
о>
~
0>
00
ю
О
О
_
CD
ю
о
00
00*
^
00
ю
СМ
t^
in
^_
О)
CD
OS
О
СО
о
CD
ю
о
ю
00
00
О
OS
О)
со
о
CD
О)
о
■.-
1—1
<М
О
^
"^
CD
Ю
ю
со
см
^_
О
t^
СМ
CD*
00
^-ч
00
ю
оо"
-
CD
т^
*-м
OS
00
о
о
г^
°1
О*
ы
о
^
о>
~
ю
о
О)
ю
СМ
00
CD
00
ю
со"
00
ю
ы
00
смл
ю
ю
г^
<J>
со
О!
СО
<М
О
OS
S°
t^
О
ю
ю
о
CD
оГ
о
t^
CD
^
CD
_
_*
<N
О
СО
см
см
ю
CD
О
о
см
сГ
00
^
см
nT
со
со
TF
ю
^
.—«
СО
о
о
О
t^
^
t^
ю
со
t^
о
<М
со
о
ы
см
00
00
ю
СМ
00
00
°°.
00
о
ь*
ь-
со
__
"~'
^
г^
см
nT
^г
со
00
СО
о
см
о
00
см
о
см
со
см
t^
00
со
t^
см*
^'
С7>
см
00
со
t^
О
ю
со
о>
_
""■"'
^
55
Tf
О
Tf
*-"■'
00
h-
со
CD
ч*
ю
со
о
^
о
ю
о*
см
-ТГ
00
t^
о
CD*
со
о
ю
ю
°1
ю
__
ю
8
о
Г-М
CD
CD
СО
СО
~^
CD
К
СО
t^
*"~4
со
TF
О
см"
CD
CD
О
CD
UO
СО
О
СО
СО
CD
СМ
*+
со"
ю
9
00
rf
аГ
ы
CD
00
t^
<м
см
<м
Oi
9
О.
t^
со
«—*
^
Tf
Ю
СМ
_
см
со :
со
t^
ю
со"
t^
S8
h-
00
°*
Tt
ю
см
00
"^
СО
ы
СО
СО
^
СО
СО
8
СО
со
^
*~*
s
t^
Is*
см
а>
»—*
' ь»
о
вч
см
"^
<м
§
CD
°°.

25S СИНТЕЗ СИГНАЛОВ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ [ГЛ. VII
!• П П
-jffTj
гх/чИ
LJ U L_J
I -/
! -г
-3L
П
Hi
L_J LJ LJ
30 ex
Рис. VII. 4. Среднеквадратическая
аппроксимация косекансной функции без учета
ограничений.
г» у
4-
-™ v / V ; \ / W4
V -2
к
/\
!—/ \ / V / I m
\ \ I V «в
IV ХЧ /\ / Ч
-ЗА
У
-7 V—7
ЗА ОТ
Ч-^Х^*^ ^^-^Ч,*
к-
^ч*^**^
-з//
30 от
1к
■ _■■— _ — _ — _ — А '—Ь^
-30 I
■ ^т ттт1 *ш <■„„< ^Г|* ир *
J0OT
Рис. VII. 5. Среднеквадратическая аппроксимация
косекансной функции при заданном у.

§ 7.4] ЧЕБЫШЕВСКАЯ АППРОКСШЛАЦИЯ 259
На рис. VII. 4 показана функция f*(х)\ рассчитанная без
учета ограничения (7.3.9). Хотя приближение достаточно
грубое, величина у весьма велика: у=9300. На рис. VII. 5
показаны функции /в(*), найденные при условии, что у
не превышает величин y=1U 2i U; 1,01. Наличие
ограничения (7.3.9) не сказывается существенным
образом на точности аппроксимации и влияет в основном на
Рис. VII. 6. Амплитуда и фаза спектра оптимальных функций,
изображенных на рис. VII. 5.
поведение /#(х) вне рассматриваемого интервала
[—1,+1]. На рис. VII. 6 приведены графики амплитуды
и фазы спектра функций /#(*), изображенных на
рис. VII. 5 (фаза показана пунктиром).
§ 7.4. Чебышевская аппроксимация
При рассмотрении задач равномерного приближения
мы будем искать оптимальную целую функцию Jn(x)
в виде обобщенного полинома
N
fN (х) = 2 акщ (х), (7.4.1)
о
где фк(х) образуют систему Т (см. § 2.10). Задача
равномерной (или чебышевской) аппроксимации состоит в
том, чтобы для заданной непрерывной функции F(x)

260 СИНТЕЗ СИГНАЛОВ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ [ГЛ. VII
найти целую функцию /W(x), обеспечивающую минимум
уклонения
L = msLX\F{x)-fN(x)\. (7.4.2)
Для возможности эффективного решения
поставленной задачи синтеза оптимальной целой функции
экспоненциального типа,, мы должны выбрать адекватную
систему функций ф&(х). Наиболее целесообразным
оказывается представление, использующее базисные
функции, фигурирующие в теореме Котельникова:
где
я*-Ы*). (7.4.4)
Здесь мы для удобства выбрали а = Jt. Удобство
представления искомой функции в виде (7.4.3) становится
очевидным, если вспомнить, что согласно (2.10.3) —
(2.10.5) функция />(*) может быть записана в виде
взвешенного полинома
fN(x) = P2N(x)^N(x), (7.4.5)
где
xYN(z) = /"Я2 (7.4.6)
ягП(1-1-)
1
— весовая функция, полностью определяемая
выбранным числом слагаемых 2N + 1, a P2n(x) — полином
степени 27V, коэффициенты которого однозначно
определяются числами ап.
Если на заданном множестве А весовая функция
положительна (т. е. множество А сосредоточено внутри
интервала [—(N + 1)а/л, (N+l)a/n]), то система
{xky¥N(x)} является Г-системой, и мы можем найти
оптимальную функцию, используя хорошо разработанный
математический аппарат взвешенно-полиномиальной че-
бышевской аппроксимации (см. § 2.10).

§ 7.4] ЧЕБЫШЕВСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ 251
Мы можем выбрать число N так, чтобы множество А,
на котором проводится аппроксимация заданной
функции F(x), находилось внутри интервала [—(N + 1)а/п9
(N + 1)а/4
Целесообразный выбор N обеспечивает выполнение
еще одного условия: задавая значения N, мы имеем
возможность регулировать величину функции fN(х) вне
множества А и тем самым выбрать те решения fN(x)>
которые можно реализовать на известном техническом
уровне (см. § 7.2).
Проиллюстрируем это свойство для системы
) S1"? *_~k\ \ > ограничившись для наглядности случаем,
когда множество А содержит единственный интервал
[—а, -{-а]. Предположим, что In(x) достаточно близка
к F(x). Поскольку согласно (7.4.4) ап совпадают со
значениями !n{x) при х = /г, а />(*) близка к F(x) на
интервале |*|<1а, значения ап при |я|<а оказываются
тесно связанными с F(x):
an~F(n) (| п |<а). (7.4.7)
Выбор N < а в (7.4.3) означает, что при N < п <а
числа ап считаются равными нулю. Поэтому ошибка
воспроизведения F(x), отличной от нуля в интервалах
Л/<|х|<а, будет значительной. Таким образом, во
всех практически интересных случаях мы должны
выбирать величину N большей целого числа /V0, равного це*
лой части [а], т. е. использовать все выборки />(*),
приходящиеся на интервал |х|^а. При таком выборе N
весовая функция W^ix) не обращается в нуль на
рассматриваемом интервале |х|<а, и
взвешенно-полиномиальная система {хкх¥м(х)} (& = 0, 1, ..., 2N)
является Г-системой. В соответствии с теоремой Чебышева (см.
§2.10) в случае N > а для всякой непрерывной функции
F(x) существует единственная оптимальная целая
функция In(x) вида (7.4.3), наименее уклоняющаяся от F(x)
на интервале \x\-4La.
Покажем, что при ,V > N0 возможны большие
значения |/>(*)! при \х\ > а. Как следует из (7.4.3),
функция /iv(*) является линейной комбинацией базисных
функций | ^я^д;* k) Ь Абсолютный максимум ,й-й

262 СИНТЕЗ СИГНАЛОВ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ [ГЛ. VII
базисной функции находится в точке х = k, а амплитуда
побочных экстремумов убывает при \х — £|-*оо как
\х—к\~*. Поэтому значения />(*) при х = k0 в основном
определяются величиной а^0, а влияние остальных чисел
а& сказывается только через «боковые лепестки»
базисных функций, т. е. в гораздо меньшей степени. Разобьем
fx(x) при N> No на два слагаемых:
(7,4,8)
M*WtfM + M*)>
где
u(*)-S
sin п(х — k)
Xb n(x-k)
-М>
&М-2
sin я (* — fe)
-JV
** "*(*-*)■
+s-
sinn (* —&)
(7.4.9)
(7.4.10)
Числа а* в (7.4.9) должны быть выбраны в соответствии
с (7.4.7). В сумме (7.4.10) на ак не налагается подобных
требований, и они выбираются так, чтобы уменьшить
ошибку е(х) = F(х).— f°N(x) на интервале |х|<а. Эту
ошибку можно уменьшить только за счет боковых
лепестков базисных функций, входящих в (7.4.10),
поскольку точки их главных экстремумов не попадают в
интервал |х|><а.
Предположим, что мы стремимся уменьшить
значение г{х) в точке х » #0 (причем |*о| < о) за счет подбора
лишь одного слагаемого при п ~ /i0, где п0 > N0. При
Этом мы должны выбрать аПз так, чтобы
sin n(xQ — no) I
Я/ie
Я (Xq - П0)
I 8 (ЛГ0)
(7.4.11)
или
\аП9\
|в(дг0)|
sin я (*о — По)
я (*о - п0)
>|e(jCo)IU.o-nol. (7.4.12)
Величина ап<> при Хо^^о будет гораздо большей |е(х0)|,
а поскольку согласно (7.4.4) an = /jv(tt), это приведет
к росту |/л(#)-| вне интервала |*L:4a.

§ 7.4] ЧЕБЫШЕВСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ 263
Таким образом, выбор числа слагаемых в (7.4.3)
дает возможность регулировать величину /jv(*) при
|*| ^ а; если N <а, функция />(*) при \х\ > а мала,
а при N>a возможны большие значения \Jn{x)\ при
\х\ > а.
Мы можем далее утверждать, что минимально
возможная ошибка аппроксимации р = min L, достижимая
при запрете роста |/jv(*)| вне рассматриваемого
интервала, доставляется функцией (7.4.5), в которой N = N0,
где N0 —целая часть [a], a P2n(x)—полином, наименее
уклоняющийся с весом ?№ (4 от F(x) на интервале
\x\Ka.
Теория взвешенно-полиномиального равномерного
приближения может быть использована для решения
задач синтеза и в том случае, когда необходима
различная точность аппроксимации в разных частях интервала
|х|<а. Действительно, заменим в самой постановке
задачи весовую функцию Ч?дг(я) на 4хjv (x)q(x), где
q {x) — непрерывная строго положительная функция.
Если P2n(x) — полином, наименее уклоняющийся с весом
q{x)y¥N(x) от функции F(x)q(x), то разность
r\(x) = q(x)[P2N(x)4N(x)-F(x)] (7.4.13)
образует чебышевский альтернанс, т. е. имеет вид
последовательных «всплесков» одинаковой амплитуды р с
чередующимися знаками (см. рис. II. 7). Функция
41М = Tw"=Pw {x) v» {х) " F {x) {7А-14)
также представляет собой последовательность
знакочередующихся всплесков, однако их «огибающая» не
постоянна и описывается функцией —■т-т-. Таким образом,
ч К*)
функция P2n(x)xVn{x) аппроксимирует F(x) с
точностью, меняющейся по закону —р- . Если полином
P2n{x) отличается от оптимального, то ошибка (7.4.14)
обязательно выйдет из полоски ± —рг. Для
иллюстрации рассмотрим синтез функции F(x) типа косеканс,
о которой шла речь в предыдущем параграфе.

264 СИНТЕЗ СИГНАЛОВ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ [ГЛ. VI!
F(x)
Эта функция (рис. VII. 7) разрывна. Наличие
разрывов заданной функции не имеет существенного значения
при среднеквадратической аппроксимации. Совершенно
по-иному обстоит дело при чебышевском синтезе.
Очевидно, величина минимального уклонения р не меньше
половины максимального скачка заданной функции, в
max F (х) ~ ,-
данном случае не меньше 2 =0,5, поскольку
разрыв помещается в точке, где F(x) максимальна. При
такой большой величине
уклонения задача синтеза
теряет смысл. Однако в
любых реальных условиях нет
необходимости в столь
резких перепадах F(x), и
всегда разрывную функцию
можно заменить сглаженной
непрерывной функцией. Мы
сгладим разрывы
наклонными прямыми,
показанными на рис. VII. 7. Очевидно, при увеличении крутизны
прямых ошибка аппроксимации увеличивается.
-/
О
1 X
Рис. VII. 7. Идеальная косе-
кансная функция.
На рис. VII. 8 показаны функции
им
(i4-%7*-*)p<<x)> (7-4Л5)
наименее уклоняющиеся от сглаженной F(x) на
интервале |х|<2. На рис. VII. 9 приводится график функции
(7.4.15), минимизирующей относительную ошибку
Ч» {Х> ~ F0 (х) *
q{x) = 1/Fq(x) равна
Дополнительная весовая функция
<7(*)Н
1
F(x)
F(-\)
при -1<*<2,
при — 2<х< — 1.
(7.4.16)
Выбор q(x)= l/F(x) здесь невозможен, поскольку F(x)
на рассматриваемом интервале |я|-^2 обращается в
куль, и она заменена на F0(x). Величина N выбрана
так, чтобы />(*) Для значений х вне рассматриваемого
интервала оставалась малой.

§ 7.4] ЧЕБЫШЕВСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ 265
Рис. VII. 8. Аппроксимация косекансной функции на интервале
|лг|<2 при сглаживании разрывов прямыми линиями различной
крутизны. Видно изменение /4 (*) ПРИ постепенном уменьшении
крутизны (штрихпунктир, пунктир, сплошная).
!\
1 1^-
-2
1 \ /^с ~
^ i V \
-/
и
. _
/^*\J?~^
1
ч/Ti
г
0,3
? -/ t г
-2 -/
6) Ч
Рис. VII. 9. Минимизация относительного уклонения, а
—оптимальная функция, б — абсолютная погрешность, в —
относительная погрешность.

266 СИНТЕЗ СИГНАЛОВ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ [ГЛ, VII
§ 7.5. Функции с максимальной концентрацией энергии
В приложениях аппаратные функции и сигналы
часто удобно характеризовать энергетическими
параметрами. Такими параметрами прежде всего являются
отношение энергии Ра функции f(x), приходящейся на
заданный интервал [—а, +а\ к полной энергии Рп, или
отношение значения квадрата модуля f(x) в некоторой
«рабочей точке» х0 к Ра- .
О-Д&Ш- я1У(*>1» . (7.5.1)
J if (*)!*<**
-а
В антенной технике величина G — это коэффициент
направленного действия (к. н.д.). Часто необходимо
синтезировать целые функции, обеспечивающие максимально
возможные значения этих параметров.
При рассмотрении синтеза функций первого типа [1]
можно, очевидно, считать величину полной энергии
равной единице:
Рп= [ \f(x)fdx = l. (7.5.2)
— оо
Задача состоит в том, чтобы найти /(х), которая при
этом условии дает максимум энергии:
а
Ра= \\f(x)?dx, (7.5.3)
—а
приходящейся на интервал [—а, +а].
Будем искать f(x) в виде суммы
' N
о
где ^)k(x) —функции с двойной ортогональностью:
о- «,
/+*(т)*/(т)^ваЛ*в«' (7-5-5)
+ оо

§ 7.5] ФУНКЦИЙ С МАКСИМАЛЬНОЙ КОНЦЕНТРАЦИЕЙ ЭНЕРГИИ 267
a tyj(z) удовлетворяют интегральному уравнению (см.
(2.7.8))
М>/(г)- j*/(*) T{!-~zy dx- (7-5-7>
-1
Подставляя (7.5.4) в (7.5.2) и (7.5.3) и используя (7.5.5)
и (7,5.6), получим
1=Яп = я2|я„|2, (7.5.8)
о
Ра=а%\ап\2Хп. (7.5.9)
О
Поскольку числа Хп{с) убывают с ростом пу величина
Ра будет максимальна, если выбрать
а} = \ Va (7,5.10)
I 0, /=£0,
т. е.
fW^toj^), (7.5.11)
тахРв = Яо. (7.5.12)
График оптимальной функции я|)о(г) = фо(г<£)» гДе с —
= аа, показан на рис. VII. 10, а зависимость А0(с) = Но"
приведена на рис. VII. 11. На том же рисунке пунктиром
дается зависимость Ра(с)/Рп для функции sinaxjax. Как
видно из рис. VII. 11, при малых с оптимальная форма
спектра близка к f (£) = con^t.
Найдем теперь следующую функцию с максимальной
концентрацией энергии, т. е. решим ту же задачу, но не
во всем пространстве Wa, а в подпространстве
пространства Wa, ортогональном функции tyo(x/a). Все функции
этого подпространства разлагаются в ряд (7.5.4), в
котором отсутствует слагаемое с k = 0. Поэтому согласно
(7.5.8) — (7.5.9) оптимальная функция совпадает с
-7=^1 {х/а)у а концентрация энергии характеризуется
У а

268 синтез сигналов с финитным спектром (гл. vii
следующим за Х0 собственным значением к\. Очевидно,
функции фо(*/я), ifi(x/fl), о|)2(*/а), ..., t|>jv(*/a)
образуют набор W + 1 линейно независимых функций с
максимальной концентрацией энергии при ]х|-<а в
соответствующих подпространствах. Графики Хп(с) при п = О,
1, ..., 20 Приведены на рис. VIII.8, стр. 331.
Совершенно аналогично решается задача о
максимальной концентрации энергии и в более общем случае,
когда интервал [—а, +а] заменяется ограниченным
точечным множеством, а так-
fflff'ff же и в многомерном случае
№>е,А (см. §2.7).
Попытаемся при
решении задачи оптимизации
величины (7.5.1) также найти
f(x) в виде (7.5.4) [1].
Считая для простоты ап веще-
~£f\ ственными, имеем
'/Ы1? | S fln*« (Wa) |2-
40 -2,0 0 2,0
Рис. VII. 10. Функция с мак- G =
симальной концентрацией
энергии при с = 4.
(7.5.13)
Оптимальные параметры ап определяются из условий:
« / , v SMftWfl) ft , | 2 М>/г (*о/а) |2
a 2 arAn
a | 2 4h
откуда
a v»*(Vfl)
Y =
2 а«я«
12 ал (^o/«)
2 *
(7.5.14)
(7.5.15)
Величина G не изменится, если умножить все числа* ап
на постоянный множитель, поэтому можно положить
Y — 1, после чего
/w=2>*(irW-
а } X.
(7.5.16)

§ 7.5] ФУНКЦИИ С МАКСИМАЛЬНОЙ КОНЦЕНТРАЦИЕЙ ЭНЕРГИИ 269
Gn
l~ a -J
Щ
(7.5.17)
Заметим, что выражение (7.5.16) дает наилучшую сред-
неквадратическую аппроксимацию суммами из N
функций на интервале |х|-<^а дельта-функции, поскольку
*> (Уа)
Vh
Рис. VII. 11.Относительная доля энергииопти-
мальной функции в заданном интервале.
совпадает с коэффициентом Фурье 6(х — х0)
по полной ортонормированнои системе
Vh
V
г*№-!*-*%}-*<■
Vh
(7.5.18)
При N-*oo оптимальная функция на интервале |*|-<а
стремится к дельта-функции, и при достаточно больших
N ее реализация затрудняется из-за неизбежного роста
энергии f(x) при |л:|>а (см. § 7.2). Для того чтобы
*) Разложение в ряд Фурье б-функции понимается в смысле,
принятом в теории обобщенных функций [13].

270 СИНТЕЗ СИГНАЛОВ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ [ГЛ. VII
избежать нежелательного роста полной энергии, можно
дополнительно зафиксировать величину
Y = ^ . (7.5.19)
-a
Решение получается по методу, изложенному в § 7.3.
Кроме того, «сложность функции» f(x) можно
регулировать выбором числа N аналогично тому, как это
* n a f sin я (* — &)■ 1 ~
делалось в § 7.4 для системы К { -ь) г Однако
наиболее простой подход заключается в выборе при
синтезе вместо системы сфероидальных функций более
простых функций. Решение особенно наглядно, если искать
fn{x) в виде суммы
1»Ы-Ъ*>*ш^- (7-5-2°)
-N
Эта сумма (см. § 2.10) представляется взвешенным
полиномом 'P^N^Vjsfix).
Таким образом, искомую сумму можно заменить
линейной комбинацией функций xky¥N(x). Но в таком
случае мы можем выразить />(*) через полиномы pi(x),
ортогональные с весом Ч;^ (х) на заданном интервале
[—а, +а]:
2N
Ы*Н 2 Р/(*№(*)*/. (7.5.21)
где
jPiMpJx)V%(x)dx^6im. (7.5.22)
Мы получили представление (7.5.22), вполне
аналогичное (7.5.4), и можем сразу написать по аналогии
с (7.5.16) — (7.5.17) оптимальное решение:
2N
fs (*) = ^n (хо) 4N W 2 Pi (*„) pt (х) = P2N (x) 4N (x)
(7.5.23)

§7.51 ФУНКЦИИ С МАКСИМАЛЬНОЙ КОНЦЕНТРАЦИЕЙ ЭНЕРГИИ 271
2N
0™ = ПК)2[Р,К)]2. (7.5.24)
Рассмотрим более подробно случай х0 = 0. При
N *Э> а весовую функцию на интервале |х|^а можно
считать постоянной (см. § 2.10), и ортогональные
полиномы совпадают с полиномами Лежандра:
"'W-vt/1?^^)' (7-5-25)
Fi(x)=-k^{x2~l)l- (7-5-26)
Для упрощения выражений (7.5.23) — (7.5.24)
используем формулы Кристоффеля — Дарбу [14]:
fc=0
п
2 Pk (х) Рь (У) - ^- ^^^У\-_РуАх)Рп+Лу) , (7.5.27)
П
fe=0
где
— коэффициент при старшем члене полинома (7.5.26).
Из (7.5.24) и (7.5.28) нетрудно получить
При Af 2£> 1, применив формулу Стирлинга, имеем
2N
пае*
(7.5.31)
Для оценки значений Л/, при которых можно пренебречь
изменением весовой функции и находить Gmax по
формуле (7.5.31), рассмотрим таблицу, в которой приводятся
значения Gmax при с = а = 1, N = 0, 1, 2, 3, вычисленные
с учетом изменения весовой функции. Таблица
показывает, что в данном случае уже при N ^3 можно

272 СИНТЕЗ СИГНАЛОВ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ [ГЛ. VII
пользоваться приближенным соотношением (7.5.31).
Графики функций fN(x) и их спектров при N = О, 1, 2
показаны на рис. VII. 12. Начиная с N = 2, когда
Рис. VII. 12. Оптимальные функции при
заданном N.
N > а = с = 1, мы получаем, как и следовало ожидать
(см. § 7.4), большие значения f(x) вне
рассматриваемого интервала |х|<а. Для расчета функций />(*) при
N ^ а используем соотношение (7.5.27) и асимптотику
полиномов Лежандра [14]: при N ^> а
й^^/1тС08Мр-& (7-5-32)

§ 7.5] ФУНКЦИИ С МАКСИМАЛЬНОЙ КОНЦЕНТРАЦИЕЙ ЭНЕРГИИ 273
Полагая р = тг — — и считая — <С 1, заменим sin — на —,
a cos— на единицу. Тогда
Ы*)
sin2A^ —
а
2N-
а
(7.5.33)
Так как Nx/a может быть много больше единицы,
(7.5.33) описывает поведение оптимальной функции не
Таблица
с
1 N
Gmax
Go
1
0
I
1
1
1,17
2
2
1,083
3
3
1,061
только вблизи центрального максимума, но и в области
боковых лепестков, которые оказываются достаточно
интенсивными.
Расчет оптимальных функций достаточно сложен.
В связи с этим большое значение имеют оценки для
Gmax- Мы найдем такую оценку, учитывая, что в реаль-
' Р
ных условиях величина Y = ъ21 близка к единице. За-
пишем величину G в виде
g(/) = y11M11 = yG,. (7.5.34)
' П
При заданном y вместо G(f) можно искать экстремум
функционала G' (/) = —— . Найдем безусловный
экстремум С, отбросив ограничение Y- Выражая G' через
спектр f (£), получим
12
G' =
1
2я
J/(E).
,'1*о,
(7.5.35)

274 СИНТЕЗ СИГНАЛОВ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ [ГЛ. VII
Будем искать f (§) в виде
7(&)-7о(6)е-'6*.
При этом величина
\h(l)dl
&=-£-
2я о
j\fo(t)\2dl
(7.5.36)
(7.5.37)
не зависит от х0. Рассмотрим наряду с функцией foil)
распределение |/о(£) |- В силу того, что
{ Ш4 < {|ЫШ4> (7.5.38)
максимум G' следует искать среди спектров fo(£), не
меняющих знака при |£|^а. Оценив величину (7.5.38)
по неравенству Коши — Буняковского, получим
неравенство
а а
jd$ J|M6)I2<*6
G'(f)<-
2я j\fo(l)\2dl
(7.5.39)
Нетрудно убедиться, что знак равенства в (7.5.39)
достигается, когда спектр f(Q постоянен при |g|^a.
Поэтому
max G' (f) = max j = G' (f), (7.5.40)
где /*(£) = const при |||<а. Условный экстремум (при
условии, что Y(f)==: const) величины G' не превосходит
величины G'(f). Выражая G'{f), G'(f*) через G(f),
G(f*) = G*, y(/% y(/*) == Y*> получим окончательно
Gm'ax ^ G* -
(7.5.41)

§ 7.5] ФУНКЦИИ С МАКСИМАЛЬНОЙ КОНЦЕНТРАЦИЕЙ ЭНЕРГИИ 275
При у = y* неравенство (7.5.41) переходит в равенство.
В большинстве практически интересных случаев можно
считать y = Y* — ^V» гДе Ay/y* ^ 1- Поэтому
Gmax<G*(l+-^-). (7.5.42)
Таким образом, если основная энергия f(x) приходится
на заданный интервал |х|<1а, величина Gm3iX
практически совпадает с величиной G*, полученной при f(£) =
= f * = const.
Иногда считают, что в классе функций f(x) с
вещественным или синфазным спектром f (£) наибольшее
значение G достигается для f (£) = const ([9], гл. I). Однако
в такой безоговорочной форме это утверждение ошибочно.
Нетрудно видеть, что подбирая синфазную при |£|-*Са
функцию /(£), можно получить при конечной ширине
спектра 2а сколь угодно большое значение G.
Рассмотрим для этого функцию, сколь угодно близкую к
трапецеидальной функции Fn(x) (рис. VII. 1). Из
доказательства теоремы § 4.1 следует, что функцию fn{x) можно
при данной Fn(x) взять вещественной. В силу
симметрии Fn(x) . можно считать, что fn(х)'= fn(—х). Таким
образом, функции fn(x) соответствует сколь угодно
большое значение G и синфазный спектр f (£), поскольку
fn(x) вещественна и симметрична.
Более того, функция с постоянным спектром при
|£|^Са не является оптимальной с точки зрения
максимума G даже среди спектров f (£), не меняющих знака
при |£|^а*). Но на практике большую роль играют
функции с достаточно малой энергией вне заданного
интервала |*|<a. Именно среди таких функций
распределение f(|) = const является оптимальным, среди
таких функций максимальное значение G(f) достигается
для функций f(£)= const.
*) В качестве примера укажем спектр
1 Ш 1 0 при |6| >lf
где р — достаточно малое положительное число. Нетрудно
проверить, что для а = 2я/г, где п — достаточно большое натуральное
число, величина G({) — С?(0) (1 + 2р/я2а), где G(0) —значение <?(/)
при р = 0, когда f(l) =1/2.

276 СИНТЕЗ СИГНАЛОВ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ {ГЛ. VII
§ 7.6. Функции с малым уровнем боковых лепестков
Для пояснения постановки задачи рассмотрим
типичный пример аппаратной функции (рис. VII. 13). Она
имеет ясно выраженный центральный максимум,
окрестность которого (до ближайших нулей) является
«рабочей областью», и ряд побочных экстремумов —
«боковых лепестков». Максимальное значение модуля функции
Рис. VII. 13. Функция с малым уровнем боковых
лепестков.
в области «боковых лепестков», отнесенное к значению
главного лепестка, равно уровню боковых лепестков.
Основная характеристика «центрального луча» — его
ширина 2Ь на уровне г. Мы будем пользоваться значением
b при значении г, равном уровню боковых лепестков;
однако нетрудно убедиться, что все результаты
остаются справедливыми при отсчете ширины на любом
уровне.
Функции с малым уровнем боковых лепестков
находят широкое применение не только в антенной технике
(откуда мы и заимствовали термин «лепесток»), но и в
других областях физики и техники, например в
радиолокации, сейсморазведке и технике автоматического
регулирования. Задача синтеза состоит в том, чтобы вы-*
брать функцию с финитным спектром, имеющую
минимально возможное уклонение ц от нуля вне
заданного интервала [—fr, + Ь]. Эта задача, очевидно,
аналогична расчету целой функции, имеющей минимальное b
при заданном т).

§7.6] ФУНКЦИИ С МАЛЫМ УРОВНЕМ БОКОВЫХ ЛЕПЕСТКОВ 277
Рассмотрим сначала случай, когда область боковых
лепестков состоит из двух симметричных интервалов
Ь ^\х\*Са. Решение задачи, которая имеет явную связь
с теорией чебышевского приближения (см. § 2.10), будем
искать в виде конечной суммы (7.4.3), используя ее
выражение (7.4.5) через взвешенный полином
Гы(х) = Р2ы(х)Чы{*). (7.6.1)
Величина а выбирается так, чтобы Ч^(х) не
обращалась в нуль при |х|<а, т. е. (см. § 7.4) N > а. Покажем,
Рис. VII. 14. Функция, имеющая минимальный уровень
боковых лепестков при заданной ширине центрального
луча (сплошная кривая).
что оптимальный полином пропорционален полиному
7WM» У которого коэффициент при старшем члене
равен единице и который наименее уклоняется от нуля
при &^|л'|^Са. В соответствии с теоремой Чебышева
функция T2N{x)x¥N(x) образует чебышевский альтернанс
на двух интервалах 6<|х|^Са и не обращается в нуль
при (л:|^6, образуя на этом интервале центральный
лепесток с максимумом в точке х = 0, равным T2N(0).
Примерный график f°N (х) = T2N (x) WN (x) показан на
рис. VII. 14. Пусть р — максимальное значение уклонения
/^(д;)от нуля при 6<|л:|^а. Рассмотрим функции />(*) =
= P2N{x)xirN(x)f проходящие через точки (±ЬУ р) и не
превышающие р. Функция />(#) совпадает с f°N(x) только
тогда, когда T2n(x) и P2n(x)— полиномы степени 2N —
совпадают по крайней мере в 2N + 1 точках.
Подсчитывая общее число точек пересечения f°N(x) и
произвольной функции7лг(#), нетрудно доказать, что на открытом

278 СИНТЕЗ СИГНАЛОВ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ [ГЛ. VII
интервале (—Ь,+Ь) \f(у) \ <\fo(y) |, если fN(x) Ф f°N(x).
Это означает, что f°N {x) имеет минимальный уровень ц
при заданном Ь.
Расчет полинома T2n{x) можно провести, используя
методы чебышевского приближения. Однако на
практике оказываются более удобными приближенные
соотношения, которые мы рассмотрим ниже. Здесь же
ограничимся предельными выражениями, справедливыми при
.jV ^> а, когда можно считать весовую функцию
постоянной. Непосредственно с помощью теоремы Чебышева
(см. § 2.10) можно убедиться, что полином T2N{x),
наименее уклоняющийся от нуля с весом ^¥n{x) = 1,
имеет вид [1]
Tw (х) = cos 2N arccos ]/ ~тзр • (7.6.2)
При |х|<а оптимальная функция f°N(x) совпадает с
T2n(x). В области центрального луча
ft (х) ~ ch 2N arsh Y^¥ • <7'6-3)
Максимальное значение f°N{x) равно
T2N (0) = ch 2N arsh -7===. (7.6.4)
При 6<jx|<a
f°N (*) = T2N W = C0S 2N arCC0S Yltt ' (?-6'5)
т. e. |/^(*)|=1> и поэтому уровень боковых лепестков
г] = —J— = [ch2^arsh , Ь \\ (7.6.6)
Если считать Ь < а, — < 1, то
ц~2е-мь?а. (7.6.7)
При |х|>а необходимо учитывать изменение веса"
VN(x):
^W = ch2yVarch|/"|^ j^ . (7.6.8)
nxl[[(\-x2/k2)
I

§ 7.6] ФУНКЦИИ С МАЛЫМ УРОВНЕМ БОКОВЫХ ЛЕПЕСТКОВ 279
Наглядное представление о поведении I/#(*)! в области
\х\> а дает рис. VII. 15, на котором приведены графики
«огибающих» функции f°N(x) при 6=0,1, а — 1, N =*
= 1ч-20 (для N = 10 показано также и «заполнение»).
Видно, при iV>a |/5,(*)| резко возрастает, что говорит
Рис. VII. 15. «Огибающие» оптимальных функций,
принимающих большие значения вне заданного интервала.
о невозможности практической реализации (см. § 7.4).
Малые значения />(*) на всем множестве |*|> b можно
получить, выбрав Лг « а. На рис. VII. 16 приводятся
графики f°N (л:), построенные на основании математических
методов теории чебышевского приближения [1] при

280 СИНТЕЗ СИГНАЛОВ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ [ГЛ. VII
N = я = 1, 2, 4. Из рисунков видно, что при \х\ > а
функция f°N(x) достаточно мала. Однако уровень боковых
лепестков при |я|>а выше расчетного уровня rj, хотя
различие невелико. Постепенное увеличение f°N{x) c
РМ
-0,5
-1
-0,5
-1
•
'1
-2
\
\\
Гк
ft
\
\ ■
\,
■\
N
~~ г
\
а-1 N4 6-0,5
(Yvw
\\\
? 4 В
а-2 N-2 И
Ш\
4 6
а-4 Л/=4 6-2
X
~
X
' ^
Рис. VII. 16. Функции с малыми
значениями вне заданного интервала.
уменьшением а иллюстрируется рис. VII. 17, на котором
показаны оптимальные функции при N = 4, а = 1, 2, 3.
Расчет взвешенного полинома, наименее
уклоняющегося от нуля на двух интервалах, сопряжен с
громоздкими вычислениями. Поэтому разработаны различные
приближенные представления, позволившие почти во
всех практически интересных случаях упростить вычис-

:§ 7.6] ФУНКЦИИ С МАЛЫМ УРОВНЕМ БОКОВЫХ ЛЕПЕСТКОВ 281
ления. «Квазиоптимальные» решения обычно строятся
в результате аппроксимации идеальной функции с
финитным спектром, наименее уклоняющейся от нуля вне
области центрального луча |л:|<6. Найдем эту
функцию. Исходной является четная функция с финитным
спектром, наименее укло- д
няющаяся от нуля на всей Ц\^Щ
оси —оо < х < +оо —
аналог полинома Чебы-
шева, наименее
уклоняющегося от нуля на
конечном интервале |*|<il.
Такая функция, очевидно,
совпадает с косинусоидой
соБяг. Заменой z на
\fz2 — Ь2 мы получим из
косинусоиды искомую
функцию*)
/0 (х) = cosk Yx2 — Ь2,
(7.6.9)
наименее уклоняющуюся
от нуля на двух
полубесконечных отрезках
вещественной оси |х|> 6.
Главному лепестку
соответствует интервал
х2^Ь2. Максимальное
значение f0(x)
достигается при х = Ои равно chnb. Значения х2 > Ь2
соответствуют области боковых лепестков, амплитуды
которых одинаковы и равны единице. Следовательно,
уровень боковых лепестков ц равен
Рис. VII. 17. Постепенный рост
оптимальных функций для \х\> а
при уменьшении а.
4 я
chnb
(7.6.10)
Ширина fo(x) на уровне г есть
2Д* = 2/&2-^^; (7.6.11)
*■) Функция (7.6.9) вещественна, поскольку cos ф = ch p.

282
СИНТЕЗ СИГНАЛОВ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ
[ГЛ. VII
при г = г] величина 2Дх совпадает с 2Ь. Спектр функции
(7.6.9) равен
/о(6НЫБ) +
6(я-£)+6(я + |)
(Ш<я), (7.6.12)
где
7 (t)= h J(bVn2-l2)
^ 2 /я2-!2
(7.6.13)
Реализовать foil) невозможно, ибо для этого
потребуется бесконечная энергия: функция /0(*) не стремится
= -60db
г 4 6 в Ю12 ха {радиан} 7 9 11131517хх (радиан) 810 12141618 20 ла (радиан)
".. Рис. VII. 1-8. Квазиоптимальные функции f{ (x) для разных ц.
к нулю при ^->оо и принадлежит к классу Вл. Однако
можно выбрать функции из Wni достаточно близкие
к fo(x). Мы остановимся на двух способах такого
выбора.
Если вычесть из fo{x) функцию cosjta:, то получим
функцию
я
/,(*)-Ы*) - cos я*--^ jh(t)e**dt (7.6.14)
-я
со спектром f\(l). Ее можно рассматривать как
некоторое приближение к оптимальной функции f\(x). Такой
выбор «квазиоптимальных» функций предложен в
работе И. Ф. Соколова и Д. Е. Вакмана [15]. Примеры
квазиоптимальных функций вида( 7.6.14) при разных
значениях ц показаны на рис. VII. 18. Как видно из этого

§7.6] ФУНКЦИИ С МАЛЫМ УРОВНЕМ БОКОВЫХ ЛЕПЕСТКОВ 2Ш
рисунка, переход от оптимальных функций к
квазиоптимальным сопровождается некоторым расширением
главного луча, ростом одного из первых боковых лепестков
и уменьшением остальных. Если заданный уровень ц
достаточно большой, то исключение дельта-функций
сказывается в основном на расширении главного луча. При
малых г] это исключение почти не влияет на ширину
главного луча, но в большей степени сказывается на
уровне боковых лепестков. В этом случае
максимальным боковым лепестком может оказаться не первый
лепесток.
Другой метод построения «квазиоптимальных»
диаграмм рассмотрен в работе [16]. Он предполагает
аппроксимацию идеальной функции /0(*) взвешенным
полиномом (7.6.1). Полином в (7.6.1) выбирается так, чтобы
нули /n(*) вида (7.6.1) были близки к первым нулям
fo{x). Квазиоптимальная функция fa{x) имеет вид
JV-1
f2(x, Nt b) — chnb smKX
W+ы-т]
nx
tf-I
Ш-Я
(7.6.15)
Параметр у связан с N a- b соотношением
Y= r N • (7.6.16)
У»2 + ("-т)
Нули функции f2(x, iV, b) соответствуют точкам
I ±YyW(„-±)2 при l<n<N, (7>бЛ7)
I ± п при N^.n< oo.
Заметим теперь, что нули оптимальной диаграммы
(7.6.9) определяются соотношением
гл0«±]Д2 + (я-|)2 (1<л<оо). (7#18)

284
СИНТЕЗ СИГНАЛОВ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ
[ГЛ. VII
Из сравнения (7.6.17) с (7.6.18) видно, что с ростом N
все большее число нулей функции f2(x,N,b)
приближается к нулям оптимальной диаграммы, так как у—*1
при N —>оо. В пределе все нули f2(x,N,b) совпадают
с нулями fo(x).
\f2(x)U I Z 3 t 5 6 7 8 х
V/oA
ty~15db9
у=- 25аЬ.
N=5
N=tO
*п
п ш
ш
до)
0,5
П (л)
ш-
1 23456783 Ю
f2(0)
0,5
Л Ш
Рис. VII. 19. Квазиоптимальные функции /2 М и соответствующие
спектры f2 (®) для разных г\ и N.
Обе функции f0{x) и f2(x9N,b) согласно (7.6.9) и
(7.6.15) являются целыми функциями одной и той же
степени я, и с ростом N функция f2(x,N,b) вследствие
сближения нулей все более приближаются к оптимальной
диаграмме fo(x).
Таким образом, f2(x,N,b) представляет собой двух-
параметрическое семейство целых функций, причем с
ростом N функции этого семейства все менее отличаются от
оптимальной диаграммы fo{x). На рис. VII. 19 показаны

§ 7.6] ФУНКЦИИ С МАЛЫМ УРОВНЕМ БОКОВЫХ ЛЕПЕСТКОВ 285
графики этих функций при разных ц и N вместе с
графиками соответствующих распределений поля f (со).
Величина N, конечная во всех практических случаях,
играет важную роль. Целые числа ±N отделяют область
«однородных» лепестков (|x|^JV) от области
^убывающих» лепестков. В области «однородности» лепестки
слегка убывают при возрастании \х\. Поэтому
полученный уровень ниже (т. е. лучше), чем расчетный
уровень г] (заметим, что ц = . , ). В этом заключается
основное отличие квазиоптимальных диаграмм вида
(7.6.15) от рассмотренных ранее диаграмм (7.6.14), где
уровень боковых лепестков может быть выше расчетного.
От оптимальных рассматриваемые диаграммы
отличаются главным образом шириной А8 центрального
луча, который больше оптимального почти точно в у
раз:
A9«YA0i. (7.6.19)
Итак, семейство квазиоптимальных диаграмм имеет
два независимых параметра:
1. Расчетный уровень боковых лепестков г] (т| = . , ).
2. Целое число А/Т — границу области «однородных»
лепестков.
Если эти параметры выбраны, то оптимальная
функция, ее спектр и другие характеристики прибора или
сигнала определяются однозначно. При выборе числа N
необходимо следить за тем, чтобы сохранялось взаимно
однозначное соответствие между нулями оптимальной
диаграммы h\(z) и нулями квазиоптимальной диаграммы
fz{xyNyb) на интервале (—N} + N).
Практически это означает, например, что для х\ = -jg-
величина N должна быть по крайней мере больше 3,
а для ц =■ 0,01 величина N>6. Других ограничений для
выбора числа N нет, но значительное увеличение N
нецелесообразно, так как величина Д8 при этом меняется
мало.
Основные данные квазиоптимальных диаграмм вида
(7.6.15) сведены в таблицу, заимствованную из
работы [16].

286 СИНТЕЗ СИГНАЛОВ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ [ГЛ. VII
са
к
об
?-
еа
а,
мет
л
а
СЧ
в
чина
к
ч
0»
' ш
II
^
i-»
II
^
<о
II
^
И
*
0
*
СО
^
1
<;
.Si
-1 h.
180ле
^ Л X
в
р,
53«
й*§
&«£
*~
§Р
о.
N.
СО
со
со
о
сч
ел
со
N.
о
,
ел
о
8
»»н
СО
00
и
ч*
о
000
СЧ
со
со
со
со
°я
о
о
о
о
о
о
ю
со
28,
о
о
о
о
о
•^
ч*
со
ю
со
о
rf
ю
N.
о
00
со
00
00
о
N.
СЧ
N.
о
ю
со
со
со
сч
867
W—
ю
со
СП
сч
N.
СО
о
44*
т—1
о
ел
44*
со
ю
00
сч
00
N.
N.
"~-
о
ю
со
со
о
00
со
сч
N.
о
сч
. ел
44*
00
о
со
о
сч
о
4**
ю
N.
сч
00
690
со
ел
со
44*
сч^
4f
о
ю
со
со
о
со
со
40,
о
*—н
00
сч
сч
со
со"
сч
СО
о
ел
4**
ел
СО
о
со
■^
о
8
00
сч
ю
ел
о
^
со
со
сч
471
ел
00
СО
00
о
ю
ел
00
ю
о
со
ел
S
ю
—-
■^
со
сч
со
io
СО
00
ю
о
TF
ю
ю
8
о
ел
44*
N.
о
о
N.
00
о
со
N.
сч
о
со
213
ел
ч4*
ю
сч
N.
N.
N.
о
ел
о
N.
ю
о
сч
0
о
о
со
со
44*
ю
о
со
00
о
со
о
44*
со
00
СО
о
00
сч
N.
N.
о
00
ел
со
00
о
,__,
924
о
N.
N.
ел
сч
•^
44*
о
56,
ю
сч
00
сч
R
NT
сч
ю
о
ю
о
00
со
ю
ю
о
ел
N.
о
со
о
ел
со
со
о
44*
со
ел
со
о
ел
сч
сч
44*
N.
~**
ю
1С
о
со
о
со
• 00
сч
сч
со
со
N.
00.
9
о
со
сч
ел
44*
о
,
со
сч
1С
о
со
00
со
8
со
N.
ел
1С
сч
сч
00
N.
со
8
ч4<
со
сч
£
00
со
о
44*
о
, ,
44*
сч
44*
о
S
сч
44*
о
00
сч
44*
44*
00
сч
со
N.
8
о
44*
8
8
100,

§ 7.6] ФУНКЦИИ С МАЛЫМ УРОВНЕМ БОКОВЫХ ЛЕПЕСТКОВ 287
Для того чтобы найти спектр f2(co) функции /2(х, N, b),
мы можем воспользоваться соотношением (7.2.10).
Учитывая, что Ы—*» #»■*) = /2(х, N, Ь), запишем f2(a>) в виде
Л/"— I
/2(со) = /2(0, N, Ь) + 2 Ц /2(я, N, 6)cosazcd. (7.6.20)
i
Так как число N невелико, формула (7.6.20)
совместно с (7.6.15) позволяет легко вычислять спектр с
любой точностью. Соответствующие графики / (со) для
нескольких значений ц и N представлены на рис. VII. 19.
Таким образом, диаграммы вида f2(x, N, Ь) весьма
близки к оптимальным, и, кроме того, соответствующие
им распределения поля содержат небольшое число
гармоник, что может облегчить конструирование антенн.
Одним из недостатков квазиоптимальных диаграмм
является необходимость подбирать амплитуды гармоник
с большой точностью. При незначительном отклонении
величин f2(n,N)b) от оптимальных значений может
произойти значительное искажение квазиоптимальных
диаграмм и ухудшение основных характеристик антенн.

ГЛАВА VIII
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВХОДНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ
ПО ОТКЛИКУ ПРИБОРА
§ 8.1. Основное интегральное уравнение теории
линейных приборов
В гл. I на примерах различных применений линейных
приборов мы показали, что связь между входом
прибора f(x) и его выходом F (у) имеет вид
Fiy)~ j f(x)h{y-x)dx. (8.1.1)
— оо
Задача восстановления входа прибора ./(*) по
известному выходу, заключающаяся в решении интегрального
уравнения (8.1.1), возникает в различных областях
физики и техники.
В оптике эту задачу надо решать при попытке
исключить влияние дифракции в телескопе, микроскопе или
спектрографе; в радиоастрономии —с целью устранения
сглаживающего действия антенны; в радиотехнике —
при необходимости восстановления формы входного
импульса по импульсу на выходе фильтра, в антенной
технике— при восстановлении диаграммы направленности
но данным измерений, и т. д.
Изучая интегральное уравнение (8.1.1), необходимо
выяснить прежде всего условия, при которых отклику
прибора F(y) может быть сопоставлен один и только
один процесс на входе f{x)f т. е. условия единственности
решения уравнения.

§8.1) УРАВНЕНИЕ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ПРИБОРОВ #89
Кроме того, необходимо рассмотреть возможность
выбора таких решений уравнения (8.1.1), которые
обладают свойством «грубости».
Последнее свойство, часто именуемое корректностью
решения, заключается в следующем: пусть задана
некоторая процедура, дающая возможность по известной
функции F(y) определить неизвестную функцию /(*).
На самом деле F(y) нам никогда не известна точно,
а известна лишь некоторая функция Fb(!j),
отличающаяся от F(y) не более чем на е в некотором смысле
(например, в смысле среднеквадратического уклонения
или в смысле максимального уклонения).
Применим нашу процедуру для определения
функции f(x), но используем при этом вместо функции Р(у)
функцию FB(y). Мы получим приближенное решение —
некоторую функцию !ц(х), вообще говоря, отличающуюся
от f(x\. Если оказывается, что при е —>0 уклонение ц
функции }(х) от f-^(x) стремится к нулю, то выбранная
процедура решения называется корректной. Очевидно,
если решение уравнения (8.1.1) не единственно, или
выбранная процедура решения некорректна, то такое
решение не имеет практического значения.
В настоящей главе мы остановимся на выяснении
условий на функции f(x), F(x) и h(x), при выполнении
которых решение основного интегрального уравнения
будет единственным. Кроме того, мы покажем, в каких
случаях это решение корректно.
При анализе уравнения (8.1.1) сразу напрашивается
метод решения, основанный на преобразовании Фурье.
Пусть f(co), F(a) и %(со)— фурье-преобразования
соответственно f(x), F(x) и h(x). Напомним, что
фурье-преобразования взаимно определяют друг друга: по
заданной f (со) можно- восстановить f(x) и обратно. Применяя
преобразование Фурье к обеим частям (8.1.1) и лоль-
"зуясь свойствами свертки (2.3.31), получаем
F (со) = А (со)/(со), (8.1.2)
откуда
Ю Я. И. Хургин, В. П. Яковлев

Ш ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ПО ОТКЛИКУ [ГЛ. VIII
Неизвестная функция f(x) может быть определена
посредством обратного преобразования Фурье
/(*)e._Lr f Z<*Lei*xdiu. (8.1.4)
' V ' V2n J h (со) V '
Это простое решение, конечно, нас бы устроило, если
бы проведенные преобразования были законны. Но
переход от (8.1.2) к (8.1.3) возможен без дополнительных
рассуждений лишь в том случае, когда %(о) не
обращается в нуль на всей оси со. Если .же Тг(со) обращается
в нуль при некоторых вещественных значениях со, то
переход от (8.1.2) к (8.1.3) и затем к (8.1.4) требует более
пристального внимания. Предположим, что на
некотором интервале Л = (МД2), расположенном на
вещественной оси,
Л (со) = 0 (Я^шОз), (8.1.5)
в то время как там же
7(со)^0. (8.1.6)
Тогда согласно (8.1.2) при прибавлении к f(co) любой
функции fi(co), равной нулю вне интервала Л, вид
функции F((u) не изменится. Следовательно, решение
уравнения (8.1.1) в этом случае может быть записано в виде
я,, . .
' v ' УЪ1 J h (ю)
— оо
оо
+ -*\Ш. е** d® + U (*), (8.1.7)
У 2я J h (со)
м
где f 1 (л:) — произвольная функция,
фурье-преобразование которой равно нулю вне множества Л.
Поэтому, когда фурье-преобразование %(со)
аппаратной функции h\x) финитно, решение уравнения (8.1.1)
не единственно, если на вход не налагать
дополнительных условий. В этой связи рассмотрим случай
аппаратной функции, фурье-преобразование которой имеет

§ 8.1] УРАВНЕНИЕ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ПРИБОРОВ 291
вид (см. §§ 1.3 и 1.5)
о
при |со|<а,
при |со|>а.
(8.1.8)
f(*)i
F(u)\
Появление неоднозначных решений иллюстрирует
рис. VIII. 1. На рисунке видно, что части спектра /(со),
лежащие вне интервала
(—а < со < а), благодаря
тому, что %(со) = 0 вне этого
интервала, не участвуют
в создании отклика F(y).
Поэтому входы, спектры
которых отличаются вне
интервала (—а, +а), а внутри
этого интервала совпадают,
дают один и тот же отклик
F(y). В оптике этот факт
хорошо известен [1]. Так,
периодическая плоская
решетка с периодом, большим
2л/а, дает такое же
изображение, как и равномерно
освещаемая плоскость,
поскольку фурье-преобразова-
ние f(x) для решетки при
а > 0 вне полосы прибора
|со|^а содержит все
компоненты спектра, кроме
постоянной составляющей.
Таким образом, в общем^
случае произвольных
сигналов решение интегрального
уравнения (8.1.1)
оказывается не единственным, и
восстановить вход прибора
f(x) по его выходу F(y) не удается. Это означает, что
конструирование «универсального» прибора, пригодного
для измерений в любых ситуациях, не имеет смысла, и
необходима специализация измерительных средств.
Такая специализация возможна при наличии определенной
априорной информации; позволяющей ограничить класс
rJK,
+01
ю
Рис. VIII. 1. Иллюстрация
появления неоднозначности
решения основного
интегрального уравнения.
10*

292 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ПО ОТКЛИКУ [ГЛ. VIII
СО
входных сигналов. Мы рассмотрим два вида
ограничений, для которых удается получить однозначное решение
основного интегрального
7Ы)\ уравнения (8.1.1) и
построить процедуру
восстановления,
позволяющую найти f(x) по
заданным значениям F(y).
Заметим, что на
практике мы зачастую
встречаемся с функциями
f(x), о которых
естественно предположить,
что их фурье-преобразо-
вание f (со) убывает при
| со | —> оо. Те же
ограничения можйо наложить
и на аппаратную
функцию h(x).
Рассмотрим три
случая, которые могут
представиться при решении
интегрального уравнения
(8.1.1) при подобных
ограничениях на f(x) и
Цх) (рис. VIII.2,а,б, б).
В случае рис. VIII. 2, а
спектр входа f(co)
значительно уже спектра
аппаратной функции.
Следовательно, мы
заведомо можем пренебречь
теми значениями f(co),
которые соответствуют
малым значениям %(со), и считать, что спектр функции
f(co) финитен в (o)i, (о2), причем интервал (юь со2) *
целиком лежит внутри «полосы пропускания» аппаратной
функции (Qi, Q2).
При пренебрежении значениями f (со) вне интервала
(Qi,Q2) решение уравнения (8.1.1) будет единственным
в силу того, что функция /(со) равна нулю для тех зна-
Рис. VIII. 2. Соотношение между
ширинами спектра аппаратной
функции и наблюдаемого
распределения.

§ 8.1] УРАВНЕНИЕ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ПРИБОРОВ 293
чений со, которые лежат вне полосы пропускания.
Решение уравнения (8.1.1) в этом случае имеет вид
f{x)--±=r \*Me*»*dx. (8.1.9)
V 2я J h (со)
Если выбрать аппаратную функцию такой, чтобы при
Qi^o)^Q2 она была практически постоянной и равной
единице, то согласно (8.1.9) в этих предположениях
спектр /*(со) будет практически совпадать с f (со), и
поэтому
F(y)~f{y). (8.1.10)
Рассмотренное соотношение между ширинами
спектров входа и аппаратной функции часто реализуется на
практике (например, в радиотехнике и спектроскопии), и
определение входа в этом случае не представляет
значительных трудностей. Однако такое соотношение иногда
нецелесообразно, так как при этом для
непосредственного измерения входа используется только небольшая
часть спектра аппаратной функции.
Стремление сузить спектр аппаратной функции
приводит к случаю, соответствующему рис. VIII. 2, б. Здесь
ширина спектров f (со) и %(со) соизмерима.
Следует заметить, что функция Л (со) практически
может быть известна лишь для конечного интервала
(Qi, &г) значений со. Действительно, в рассматриваемом
классе аппаратных функций величина %(со) убывает,
а относительная ошибка ее измерения возрастает при
увеличении |со|, в силу чего малые значения %(со)
невозможно измерить экспериментально. Теоретический
расчет значений %(со) для больших | со | также
встречает все возрастающие трудности,
Учитывая это, мы можем заключить, что если
спектр f (со) сосредоточен на интервале, превосходящем
интервал, на котором нам известна %(со), то решение
уравнения (8.1.1) может оказаться не единственным.
Действительно, может случиться, что Л (со) равна нулю
вне интервала, на котором она нам известна, а это* как
мы показали выше, влечет за собой неединственность

294 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ПО ОТКЛИКУ [ГЛ. VIII
решения. Если %(&) и не равна тождественно нулю вне
(Qi, Q2), но достаточно мала, то, как видно из (8.1.2),
из-за малости %(со) значительные изменения /(со) вне
интервала (Qi, Q2) вызывают в этом случае
незначительные изменения ^(со), что практически равноценно
некорректности. Если же спектр f(co) умещается на
интервале частот (Qb Q2) и, кроме того, на этом
интервале %(со) не обращается в нуль, то решение
единственно.
Таким образом, мы нашли весьма важный класс
входов, для которых возможно решить уравнение (8.1.1).
Это — класс функций, спектр которых умещается на
интервале частот (Qi>Q2) таком, что при Qi^cg<1Q2
значения %(со) известны и не обращаются в нуль.
В случае, когда h(x)— функция с финитным
спектром, частоты Qi и Q2 совпадают с ее граничными
частотами.
Решение уравнения (8.1.1) в рассматриваемом
случае (рис. VIII. 2, б) имеет вид, сходный с (8.1.9):
'<*>-7кШе'"',ш- (8Х11)
Полученный результат легко обобщается на случай,
когда известны значения %(со) не на одном интервале
(Qi, Q2), а на нескольких.
Поскольку идеализация реальных функций как
функций с финитным спектром часто используется в физике
и технике, этот результат имеет важное значение. Он
дает возможность описать некоторые черты работы
линейных приборов в тех случаях, когда изучаемые
процессы могут быть описаны при помощи функций с
финитным спектром. Именно такая ситуация обычно и
рассматривается при расчете линейных приборов. Задача
анализа и синтеза измерительных приборов,
предназначенных для работы с сигналами, спектр которых
финитен, рассмотрена весьма подробно, в том числе и в
вероятностной постановке. Особый интерес в последнее
:время проявляется к оптическим приборам, поскольку
голографические методы позволили регистрировать од-

§ 8.1] УРАВНЕНИЕ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ПРИБОРОВ 295
новременно амплитуду и фазу сигналов и синтезировать
разнообразные двумерные и одномерные аппаратные
функции. ,
Рассмотрим, наконец, третий случай (см.
рис. VIII.2,в). Здесь, в отличие от предыдущих, спектр
аппаратной функции намного уже спектра исследуемого
входа. Если не налагать никаких дополнительных
ограничений на класс входных сигналов, в этом случае
нельзя получить однозначного решения основного
интегрального уравнения.
Подобная ситуация имеет место, например, в
оптических системах типа телескопа (см. § 1.3),
предназначенных для наблюдения весьма удаленных объектов —
звезд и туманностей, угловые размеры которых
исчезающие малы. В этом случае распределение освещенности
на входе представляет собой очень узкий всплеск
конечной площади, настолько узкий, что его можно считать
с точки зрения земного наблюдателя с большой
степенью точности 6-функцией, т. е. объект является
светящейся точкой. Спектр такого входа весьма широкий.
Ширина же спектра аппаратной функции определяется
согласно § 1.3 размерами диафрагмы. Таким образом,
для того чтобы сделать ширину спектра аппаратной
функции соизмеримой с шириной спектра входа, мы
должны применять телескопические системы с настолько
большими диафрагмами (объективами или зеркалами),
какие в настоящее время практически
неосуществимы.
Аналогичная ситуация часто возникает не только
в оптике. Именно поэтому случай, когда ширина спектра
входа значительно превосходит ширину спектра аппа^
ратной функции, несмотря на кажущуюся
невозможность какого-либо удовлетворительного решения, должен
быть подробно рассмотрен.
Как видно из формулы (8.1.3) и из рис. VIII. 2, в,
единственные сведения о виде функции f(x)r которыми
мы располагаем, —это весьма малый «кусок» спектра
f (со), .который может быть все же определен из
соотношения (8.1.3), так как функция %(со) известна и не
обращается в нуль на конечном интервале значений о
при Qi ^CwfCQ*

296 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ПО ОТКЛИКУ [ГЛ. VI11
Следовательно, нам необходимо ответить на вопрос:
для какого класса входов по известным значениям
спектра входа f (со) на конечном интервале значений со
можно точно или приближенно найти функцию f(x),
или, другими словами, • когда возможно по известным
значениям функции f(co) на конечном интервале
(Qi,Q2) значений со восстановить значения спектра f'(со)
для всех со?
Мы постараемся дать ответ на этот весьма
актуальный вопрос в следующих параграфах,
§ 8.2. Решение основного интегрального уравнения
и его единственность. Редукция к идеальному прибору
В гл. I мы неоднократно подчеркивали, что на
функцию f(x), описывающую входное воздействие,
естественно наложить следующие ограничения:
1. Функция f(x) финитна на (—а, а):
f{x) = 0 при \х\>а. (8.2.1)
2. Полная энергия f(x) конечна:
оо а
J P (х) dx = j* /2 (x) dx <+<*>. (8.2.2)
— оо —а
Мы будем в дальнейшем полагать, что вход f(x)
удовлетворяет соотношениям (8.2.1) и (8.2.2), так что
/(со) является функцией класса Wa, и покажем, что
при этих условиях существует решение основного
интегрального уравнения
оо а
F(y)= jf(x)h(y-x)dxe* \f{x)h{y-x)dx. (8.2.3)
-^оо -а
В соответствии с теоремой Винера — Пэли
преобразование Фурье f (со) функции f(x) может быть
продолжено на всю комплексную плоскость £ = со + Ы как
целая функция f (£) конечной степени <л. Следовательно,

§8.2] РЕШЕНИЕ ОСНОВНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 297
функция f (Z) представима для всех значений £ рядом
Тейлора
оо
fabS/^o)-^1, (8.2.4)
О
и для определения f(£) при любых £ нам достаточно
знать точные значения всех производных f (£) в какой-
либо точке £о,
В предыдущем параграфе мы показали возможность
определения значений /(со) на конечном интервале
(Qi, Q2) при любом соотношении между ширинами
спектров функций f(x) и h(x), в том числе и в наиболее
интересном для нас случае, когда спектр входа f (со)
значительно шире спектра аппаратной функции й(а>).
Функция f(co) на конечном интервале (Qb Q2), на
котором к((д)4=0, определяется из соотношения (8.1.3).
Зная f (со) на этом интервале, можно вычислить все
производные функции f(co) в какой-либо точке соо,
Qi < соо < Й2, и, составляя ряд Тейлора определить
f (со) для всех со при помощи этого ряда.
Неизвестный вход определяется посредством
обратного преобразования Фурье функции /'(со). Таким
образом, мы получаем решение основного интегрального
уравнения*).
Покажем теперь, что найденное решение единственно
в рассматриваемом классе функций. Предположим, что
f\(x) и /2(^) —Два решения уравнения (8.2.3),
принадлежащих этому классу и соответствующих одному и
тому же выходу
а а
Fin)" jfi{x)h(y-x)dx- jf2(x)h(y-x)dx. (8.2.5)
-а -а
Положим
<P(*Wi (*)-/*(*). (8-2.6)
*) Заметим, что для получения решения этим путем достаточно,
чтобы функция f (£) была аналитической в некоторой полосе, заклад*
чающей вещественную ось.

298 восстановление воздействия по отклику [гл. viii
так что ф(х) также принадлежит к классу функций,
задаваемому условиями (8.2.1) и (8.2.2). Покажем, что
ф (х) = О, т. е. что fx (x) = f2 (x).
Из (8.2.6), очевидно, следует, что
а
j <p{x)h(y-x)dx = 0. (8.2.7)
Переходя в этом равенстве к преобразованиям Фурье,
имеем
ф(®)Я(®)=яО. (8.2.8)
За исключением тривиального случая, когда %(со) = 0,
всегда существует некоторый интервал fii < о < Й2, в
котором %(&)Ф0. Тогда из (8.2.8) следует, что
ф(со) = 0 при Q1<co<Q2. (8.2.9)
Но ф(л:)—функция, равная нулю при |*|>я, так что
ф(со) — целая функция.
Из (8.2.9) и теоремы единственности для
аналитических функций получаем, что ф((о)==0 на всей оси со,
откуда следует, что ф(х) = 0 для (почти) всех х
(—оо < х < +<х>).
Таким образом, мы нашли решение уравнения
(8.2.3) в классе финитных функций и доказали его
единственность.
Каждый экспериментатор, производящий измерения,
мечтает о приборе, который не вносил бы искажения
при измерениях. Будем называть такой прибор
идеальным.
Существует ли такая обработка сигнала на выходе
линейного прибора, которая дает возможность точно
восстановить неизвестный вход? Иными словами, можно
ли устранить сглаживающее действие тех регулярных
искажений, которые вносит пробор, т. е. осуществить
редукцию к идеальному прибору?
В изложенной нами ситуации, когда вход финитен,
редукция к идеальному прибору возможна. Покажем
процедуру такой редукции [2], [18].
Представим себе процесс обработки сигнала после
рассматриваемого прибора как . преобразование его

§8.2] РЕШЕНИЕ ОСНОВНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 299
в другом линейном приборе, который последовательно
соединен с исходным. Выход такого прибора есть
friz)- J* F(y)hr(z-y)dy, (8.2.10)
— оо
где hr{y)—аппаратная функция прибора,
осуществляющего редукцию. Подставляя (8.2.3) в (8.2.10), найдем
связь между fr(z) и f(x):
+00 а
fr(z)= J* hr{y-z) j f(x)h(y-x)dxdz =
— 00 —a
a
- jf(x)hQ(z-x)dx, (8 2.11)
-a
где
+ oo
M0= j hr(y-t)h(y)dy (8.2.12)
—00
— аппаратная функция идеального прибора.
Рассмотрим ее свойства. Используя теорему о свертке, найдем
из (8.2.12) фурье-преобразование h0{t):
Л0(со) = йг(со)Л(со). (8.113)
Так же как %(со), функция %о(со) обращается в нуль
вне интервала Qi^co<Q2- Рассмотрим для простоты
симметричный интервал —Qi = Q2 = Q, и пусть %(со)>0
при |(o|<Q. Тогда за счет выбора %г(со) функция %0(<о)
может быть выбрана достаточно произвольно при
|со|-<й, так что h0(t) может быть любой целой
функцией конечной степени <^Q. Заметим, что поведение
%г((о) вне интервала |co|^Q не имеет значения,
поскольку %((о) = 0 при |co|<^Q.
Попытаемся так подобрать ho(t), чтобы fr(z) на
конечном интервале (—а, +а) была близкой к f(z).
В (8.2.11) переменная х изменяется на интервале
(—а, +а), так что для редукции существенно поведение
h0(t) при |*|=* \z — x|<2a. Редукция к идеальному
прибору означает, что аппаратная функция h0(t) есть

300 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ПО ОТКЛИКУ [ГЛ. VIII
б-функция. Выбирая ho(t) при |£|^2а близкой к
дельта-функции, имеем
а а
friz)-** J f(x)h0(z-x)dx~ j* f.{x)6(z-x)dx = f(z).
-a -a
(8.2.14)
Так как с помощью целых функций конечной степени
можно приблизить с любой степенью точности на
конечном интервале |/|<12а любую непрерывную функцию
(см. теорему § 4.1), то существует последовательность
функций с финитным спектром hn(t), стремящихся при
/г—>оо к 8(t):
limhn(t) = 6{t) (|/|<2a). (8.2.15)
/г-»оо
Возможны разнообразные способы построения
последовательности hn(t) [3]. В частности, если {г|?п(0} —
полная ортонормированная система в пространстве Way то
можно взять, например, hn(t) в виде
N
M*-*)=S *«(*)*»(*), (8.2.16)
о
поскольку, как можно проверить,
п
lim 2 фж {г) Ът (х) = 6 (г - х). (8.2.17)
/г-»оо 0
Как следует из (8.2.13), аппроксимация б-функции
в конечном счете осуществляется за счет выбора функции
%г(о)) — преобразования Фурье аппаратной функции hr(у)
в интервале |co|<Q. Поведение %г(со) в области
| со | > Q не существенно.
В частности, функция %г(со) во всей комплексной
плоскости I = со + rft может быть целой функцией конечной
степени р (в соответствии с теоремой § 4.1), где р—*про-
извольная положительная постоянная, отличная от нуля.
В такой случае аппаратная функция hr(y)—обратное
фурье-преобразование %г(со) по теореме Винера —Пэли
будет финитна в интервале |#|^р, т. е. будет физически
реализуемой (см. § 1.2).

§8.2} РЕШЕНИЕ ОСНОВНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 301
Эти рассуждения могут привести внимательного
читателя к парадоксальным выводам о тотальной
возможности редукции любого линейного прибора к идеальному.
Однако не следует ни питать иллюзий о том, что
окружающий нас мир великолепно устроен, ни искать ошибки
в наших рассуждениях. Рассмотрим эти вопросы
подробнее и внесем необходимую ясность.
Разумеется, аппаратная функция редуцированного
прибора h0(t) не может тождественно обращаться в нуль
при \t\ > 2а, поскольку она является целой функцией
конечной степени Q. Рассмотрим ее поведение при
|/|> 2а (см., например, § 4.1).
Будем считать, что h0(t) на интервале |£|<^2а
достаточно хорошо аппроксимирует в каждой точке
непрерывную функцию (треугольник)
FA*) =
*(т-т)'. т<7.
V , (8.2.18)
О, -5-<Ш<2а.
С ростом d функция Fd(t), а следовательно и целая
функция h0(t), внутри интервала |/|<^2а приближается
к б-функции. Для изучения свойств h0(t) при |^|>2а
рассмотрим два варианта неравенства Бернштейна: для
любой h0(t)e=Wa (см. (4.1.14) и (4.1.16))
max | ho (t) | < Q max | h0 (t) |, . (8.2.19)
max |Ло(ОГ<-¥- f IMOI2^- (8.2.20)
*|<oo * J
Пользуясь рассуждениями, аналогичными проведенным
в § 7.2, можно получить неравенство
max \ho(t)\>max\F'd{t)\ = d2. (8.2.21)
1И<2а

302 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ПО ОТКЛИКУ [ГЛ. VIII
В то же время на рассматриваемом интервале |£|<^2а
max \h0 (t) | « Fd (0) = d, (8.2.22)
Ul<2a
a a
J | Ao(/) PЛ ~ J | Fd(Of a/ = 4d. (8.2.23)
Если предположить, что максимум |Ло(01 достигается
при |^f^2a или что основная часть полной энергии
+ оо
I \h>b(t)f dt сосредоточена при |^|«<2а, то из
j
— оо
(8.2.19) — (8.2.20) получим соответственно:
d2<Qd, т. е. tf<Q, (8.2.24)
rf3<-^--|d, т. е. d<^~Q, (8.2.25)
так что оба неравенства дают практически одинаковую
оценку
rf<Q. (8.2.26)
Таким образом, при приближении Fd(t) к 6-функции
(d-»oo) максимальное значение |/*о(01 не может
Достигаться при |/|^2а и, следовательно, достигается
в области \t\ > 2а. Основная часть полной энергии
аппаратной функции также будет сосредоточена вне
интервала |£|^2а. Заметим, что согласно (8.2.19) — (8.2.22)
max IM0I а
1*1 > 2а \ а_ /о су 97\
max \h0(t)\^ Q > [р.*.М)-
|*|<2а
+ 00 ' '
J |Л0(0>Л
->Ц^)\ (8,2.28)
йа
J I Ло (0 Iя Л
-2а
так что при d—>оо возрастают не только максимальное

§ 8.3] КОРРЕКТНОСТЬ РЕШЕНИЯ 303
значение и энергия h0(t) при |£|>2а, но и их
относительные величины.
При достаточно больших значениях |/*о(0| при
|/|>2а процедура редукции весьма чувствительна к тем
мешающим сигналам, которые сосредоточены вне
рассматриваемого интервала |/|^2а. В реальных условиях
такие мешающие сигналы всегда присутствуют, и
поэтому величина d должна быть ограничена. Методы
синтеза аппаратной функции, пригодные для реальных
ситуаций, когда необходимо учитывать мешающие
сигналы вне рассматриваемого интервала |/|^2а и
привлекать дополнительные ограничения на hQ(t), были
подробно рассмотрены в гл. VII.
§ 8.3. Корректность решения
Остановимся на влиянии погрешностей измерения
выходного сигнала F(y) на процесс восстановления. Будем
считать, что функция F(y) измерена при всех
значениях у и затем получено ее фурье-преобразование Р((й).
Значения /(со) на интервале |co|<Q находятся по
формуле (8.1.3), и мы можем упростить ситуацию, считая
заданными лишь значения /'(со) при |co|<Q. Обычно
ошибки измерения F(y) могут быть пересчитаны в
ошибки измерения е(со) функции f(co) без принципиальных
трудностей. Итак, задача состоит в том, чтобы по
известным значениям при |co|^Q функции
М<о)=7М + е(со) (8.3.1)
вычислить оценки для значения f (со) при любых со.
Разумеется, функция f (со) может быть найдена при |со| >й
с некоторой погрешностью.
Покажем, что без дополнительных ограничений на
f (со) поставленная задача некорректна: сколь угодно
малым значениям е(со) при |co|<Q может
соответствовать отличная от нуля среднеквадратическая ошибка
восстановления. Действительно, существуют целые
функции конечной степени а, сколь угодно мало
отличающиеся от нуля при |co|<<Q, но имеющие заданную
величину полной энергии. Например, для собственных

304 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ПО ОТКЛИКУ [ГЛ. VIII
функций преобразования Фурье фп(#/а) имеет место
соотношение (см. (2.7.10), (2.7.16)):
|2
Л-(*)
Ты*)
did
— = Я„, (8.3.2)
2
d®
причем согласно § 2.7 Xn—>0 при я-* со. Заметим, что
среднеквадратическая ошибка восстановления f(x)
совпадает с о2 согласно равенству Парсеваля. Таким
образом, решение уравнения (8.1.1) оказывается, вообще
говоря, некорректным. Однако если ввести определенные
дополнительные ограничения на класс рассматриваемых
входов, то можно указать процедуру решения основного
интегрального уравнения (8.1.1), которая даст
корректные решения: малым изменениям выхода будут
соответствовать малые изменения входа.
Говоря на другом, принятом сейчас, языке, речь идет
о необходимости регуляризации решения некорректной
задачи [4]. Рассмотрим несколько утверждений,
поясняющих выбор этих ограничений. Пусть нам заранее
известно, что вход f(x) финитен и ограничен, так что f(x) удр-
влетворяет условиям
| /{х) | < М (- а <х < а), (8.3.3)
f(*) = 0 при \х\>а, (8.3.4)
и следовательно,
+°°
I \f(x) I2 dx < М2 • 2а < со. (8.3.5)
— оо
Пусть, кроме того, аппаратная функция
используемого прибора h(x) интегрируема на всей оси. Из
(8.3.3) можно заключить, что f(x) также интегрируема
(в первой степени). Следовательно, F(y) будет
интегрируема на всей оси (см. свойства свертки § 2.3).
Предположим далее, что нам известна функция
Fe(y)> удовлетворяющая неравенству
\F{y) ~ F,ty) |<e (- оо <у< + со). (8.3.6)

§ 8.3] КОРРЕКТНОСТЬ РЕШЕНИЯ 305
Теорема. Если функция f(x) фиксирована, то,
пользуясь только свойствами финитности и
ограниченности искомого входа и функцией Fz{y),
удовлетворяющей условию (8.3.6), при абсолютной интегрируемости
аппаратной функции h(x) можно сконструировать
функцию /л(х), приближенно равную точному входу f(x):
1/(*)-М*)1<Л- (-оо<*<+оо), (8.3.7)
причем метод конструирования обеспечивает
выполнение предельного соотношения
г]->0 при 8->0. (8.3.8)
Следует заметить, что величина ц зависит не только
от точности индикации 8 и свойств аппаратной функции
прибора h(x), но и от вида неизвестного заранее
фиксированного входа f(x), т. е. является функционалом
вида
г] = г](е, h(x), f(x)). (8.3.9)
Это означает, что в реальном случае, когда нам заранее
неизвестен вид функции f(x), мы не можем сказать
определенно, с какой же точностью можно найти вход
по неточно известному выходу. Более того, если
фиксировать б и аппаратную функцию h(x), то для некоторой
последовательности функций fn{x), удовлетворяющих
условиям теоремы, величина r](e, h(x)yfn(x)) будет
неограниченно возрастать с ростом п.
Если же ограничить класс входных воздействий
дополнительно некоторыми условиями равномерности, то
можно определить величину rf, не зависящую от
индивидуальных свойств каждого из допустимых входов и
удовлетворяющую соотношениям:
Т) ->0 ПрИ 8->0. V '
В этом случае естественно говорить о равномерной
корректности решения основного уравнения в
рассматриваемом классе входных воздействий,

306 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ПО ОТКЛИКУ [ГЛ. VIII
Как показано, например, в работе Б. С. Цыбакова
и В. П. Яковлева [5], такая равномерная оценка
выполняется для класса {f (x)} входов, удовлетворяющих
условиям: на интервале (—а, +а)
\Г(х)\<Ь, /(-а) = /(а) = 0, (8.3.11)
где L — постоянная. При этом дополнительно
предполагается, что h'(x) интегрируема на всей оси. Процедура
определения входа, предложенная Б. С. Цыбаковым и
В. П. Яковлевым в цитируемой работе, не является
эффективной, ее можно рассматривать как доказательство
возможности построения приближенного решения
основного интегрального уравнения (8.1.1). Оценки ошибок
г) = г](е, Л, /), полученные в этой работе при описании
процедуры построения приближенного решения,
оказываются сильно завышенными, поэтому мы не приводим
соответствующих доказательств.
Важно отметить, что равномерная корректность
непосредственно обусловлена дифференциальными
свойствами входных сигналов: ошибка г] тем больше, чем
резче может изменяться функция /(*), т. е. чем «тоньше
структура» входного воздействия. Исходя из этого факта,
мы в дальнейшем будем рассматривать задачу
восстановления для класса входов, у которых изменяется
«сложность». Удобными как с практической, так и с
вычислительной точки зрения являются классы входов
с конечным числом степеней свободы. Естественным
путем здесь будет рассмотрение все более усложняющихся
классов входов. Такие классы мы построим, пользуясь
широко применяемым подходом представления функций
в виде рядов по какой-либо ортогональной системе и
рассмотрением их частных сумм.
Это означает, что в качестве пространства, на
котором задается интегральный оператор, выбирается
конечномерное пространство и затем рассматривается цепочка
расширяющихся пространств увеличивающейся
размерности. Практически, конечно, достаточно рассматривать
конечномерные пространства, размерность которых
будет определяться желаемой сложностью допустимых
входов и будет тем больше, чем выше интересующая
нас сложность,

§ 8.4] СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКИй КРИТЕРИЙ 307
Пусть {г|^(х)} — некоторая фиксированная система
функций, полная на интервале (—а, +а), и пусть
ф^ = {/л(*)} — класс функций, представимых в виде
^W«=S«A(4 (8.3.12)
о
Функции фь(х) пронумерованы так, что с ростом k
они становятся все более «сложными». Поэтому
максимально возможное значение производной f'N{x)
возрастает с ростом N так что при увеличении N возникают
все более сложные входы. Для рассматриваемого класса
входов мы будем искать максимальную ошибку
восстановления г] (в, N, h), достижимую для «наихудшей»
функции fN{x). Однако эта ошибка стремится к нулю вместе
с е для всякого фиксированного N.
§8.4. Точность восстановления:
среднеквадратический критерий
Рассмотрим сначала простейшую, но тем не менее
практически наиболее интересную ситуацию, когда
спектр входа / (со) измеряется на конечном интервале
(—Q, +Q) значений со. Будем считать, что спектр
входа /(со) измеряется с погрешностью, характеризуемой
своей среднеквадратической величиной, т. е. вместо f (со)
в результате измерений получается функция /8(со),
причем известно, что погрешность ограничена величиной в&:
J*|7>)-f(co)|2da)<<72. (8.4.1)
-Q
В предыдущих главах было наглядно
проиллюстрировано удобство анализа функций с финитным спектром,
основанного на разложении этих функций и их спектров
в ряды по собственным функциям преобразования Фурье.
Не удивительно, что подобный подход весьма эффективен
и при расчете разрешающей способности.
В соответствии с общей постановкой задачи,
описанной в конце предыдущего параграфа, возьмем

308 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ПО ОТКЛИКУ [ГЛ. Vllt
в качестве класса возможных входов On функции
вида [2, 6]
N
Ы*) = 2«х*+*(7» *) (-а<*<а), (8.4.2)
о
где я|)^(г, с)—функции, удовлетворяющие интегральному
уравнению
Я А (г, с) = J Щ^- ^ (х, с) d*. (8.4.3)
%k = ^ft(c) — собственные числа, причем 1 < Ко < Kt ...
с = Qa, функции ^(/,с) ортогональны на интервале
[—1, +1], так что Фк — это N-мерное пространство,
натянутое на г|)Ь ..., г|^. Функция fN((d)~фурье-преобра-
зование />(*)—согласно (2.7.5) есть
N
ГлИ-Цм»*^. с), (8.4.4)
о
где
р* = Я*1/2я^ -а*. (8.4.5)
Коль скоро в качестве класса допустимых входов
выбрано пространство Ф^, то и функции Ы*),
получаемые в результате измерений с учетом погрешностей,
также естественно относить к этому классу.
Действительно, если fe(x) и не принадлежит Ф^, то «лишние
компоненты» Ы*), которые не содержатся в
представлении типа (8.4.2), следует отбросить, отфильтровать,
как заведомо несущественные. На геометрическом языке
вся описанная ситуация выглядит следующим образом.
В гильбертовом пространстве функций,
интегрируемых в квадрате на интервале —Q^co^Q,
рассматривается конечномерное подпространство <bN функций,
допускающих представление (8.4.4). Если функция fe(co)
не лежит в подпространстве Фдг, то следует вместо fe(co)
рассматривать ее проекцию на подпространство Ф^:
лишь такие функции могут представлять для нас
интерес. Теперь задача определения спектра входа /^(оо),
т. е. в конечном счете вычисление оптимальных коэффи-

§ 8.4] СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ 309
циентов Pft решается путем наилучшей среднеквадрати-
ческой аппроксимации заданной функции fe(co)
конечной суммой (8.4.4). Оптимальные числа (Зь являются
коэффициентами Фурье fe(co) по системе \ tyk (-^-, с\ >:
Q 1
Р* = J /е(со)**(£•*)£to = Q J U(гО)**(*■ с) dz. (8.4.6)
-Q -1
Иными словами: числа % есть величины компонент
проекции измеренной функции fe(co) на базисные
векторы i|?ft подпространства Фдг.
После расчета (3& искомые значения спектра при
|co|>Q находятся по (8.4.4); при этом мы пользуемся
аналитическим продолжением функций '*Ы-^~» ч на
всю вещественную ось со. Рассмотрим теперь вопрос
о точности, с которой мы находим значения f (со) при
|co,|>Q с помощью описанной процедуры. Вычислим
максимально возможное для данного класса Ф^
значение среднеквадратического уклонения продолженного
спектра /л(со) от истинной функции f (со) при заданном
значении допустимой погрешности ст| измерения f (со)
на интервале [—Й, +Q].
Таким образом, нам необходимо среди всех функций
'^(со)еФ^ найти такую функцию /# (со), для которой
а
°l= J|fv(*)Prf» (8-4.7)
h
величина
задана, а величина
о2= | \Ь(ъ)Ы*> (8.4.8)
— 00
максимальна.
Пользуясь двойной ортогональностью системы
ftM*)} и равенством Парсеваля, получим из (8.4.4)
a£«Q2fiA*, (8.4.9)
N
a2 = Q2pi. (8.4.10)
о

310 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ПО ОТКЛИКУ (ГЛ. VIII
Поскольку числа Хь, убывают с ростом &, величина <т
максимальна при фиксированной ст|, если
Pjv = Тг^» Ро = Pi = • • • = Рлг-i = 0,
так что
а
а2 = ^-. (8.4.12)
Заметим, что среднеквадратическое уклонение
истинного входа от приближенного, в соответствии с
равенством Парсеваля, совпадает с а2:
J" I / (*) - fч W ?dx= ] | f (со) - f„ (со) |2 dia - a2, (8.4.13)
так что величина a2 задает одновременно и величину
максимальной ошибки восстановления входа. Числа
%N(c), также как и функции г|^(г, с), зависят от
единственного параметра с = Qa. При малых с числа ^
быстро убывают при увеличении N.
Таким образом, нам удалось сравнительно легко и
в явном виде вычислить ошибку восстановления. Это
произошло благодаря тому, что мы опирались на далеко
не тривиальный и глубокий факт: двойную
ортогональность базисных функций в (8.4.2). В гл. II было
показано, что дважды ортогональные системы можно
построить при довольно общих предположениях. Это дает
возможность расширить условия, при которых удается
решить задачу оценки ошибки аналитического
продолжения.
Прежде всего вместо одного интервала [—->й, +Q], на
котором нам известен спектр f (©) финитной функции
f(x), рассмотрим некоторое множество Л, состоящее из
конечного числа таких интервалов и конечного числа
изолированных точек. Будем, далее, считать, что для
оценки погрешности измерения спектра на множестве А

§8.4]
СРЕДНЕКВАДРАТИЧБСКИЙ КРИТЕРИЙ
311
используется взвешенное среднеквадратическое
уклонение
&A-f\U*)-l(*)f8(*)d*9 (8.4.14)
А
где g*(со)—неотрицательная функция/Целесообразность
введения весовой функции, в частности, оправдывается
тем, что в общем случае измеряется не fe(co), a Fz(y) —
выход прибора, и спектр аппаратной функции 7г(со),
вообще говоря, не постоянен на множестве А.
Среднеквадратическое уклонение Fe(y) от F(y) в соответствии
с равенством Парсеваля можно выразить через
соответствующие функции со:
+ 00 + 00
— 00 — ОО
А
- J" 17. (®) - f(») PIA (©) Р Л»; (8.4.15)
Таким образом, если задано уклонение Fz{y) от F(*/),
а %(со) не постоянна, величину погрешности следует
характеризовать критерием (8.4.14), полагая
в (cd)- |Я(а)р. (8.4.16)
В качестве меры погрешности аналитического
продолжения мы рассмотрим величину
. +оо
**-■■/ lF4(»)-f{e»)frf», (8.4.I7)
— 00
которая совпадает со среднеквадратической ошибкой
восстановления входа f(x).
Рассмотрим систему {Фа (со, й, g)} целых функций
конечной степени а, обладающую следующим свойством

312 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ПО ОТКЛИКУ [ГЛ. VII!
двойной ортогональности:
J ^ (со) % (0)^(00)^ = ^/, (8.4.18)
А
+ 0О
J ^ (со) фу (со) rfco = 6fe/. (8.4.19)
— oo
Согласно § 2.7 такая система существует для
рассматриваемых множества А и весовой функции g(a>). Пусть
tyk(x) —преобразование Фурье яЫсо).
Очевидно, ^ft(x) —фцнитнце функции на интервале
[—а, +а]. В качестве входных сигналов рассмотрим
пространство функций Ф^,зс:
N
Ы*)
0, \х\>а.
По предположению система {г|)й(х)} является полной на
интервале [—а, +а]. Кроме того, собственные числа
расположены в порядке убывания: Kq^-Xi^K^ ... Задача
расчета разрешающей способности при описанных
предположениях ничем не отличается от подробно
рассмотренного выше частного случая, когда g = 1 и множество
Л —это отрезок [—Q,+Q]. Величина ошибки
аналитического продолжения определяется по-прежнему
формулой (8.4.12), если под а2А и а2 понимать значения
(8.4.14) и (8.4.17). К сожалению, численные расчеты
конкретных случаев в настоящее время затруднены,
поскольку отсутствуют таблицы собственных чисел %N.
Заметим, что при указанном подходе класс входных
сигналов <&n,x определяется не только величиной
интервала [—а, +а\ на котором вход отличен от нуля, но
также структурой множества Л и весовой функцией
g"(co). Таким образом, «внешний вид» входов отличается*
для различных приборов, но в любом случае остается
одинаковой общая картина: при увеличении числа
степеней свободы N «сложность» входа возрастает, и при
N = оо в качестве «пробных» входов выбирается класс
рсех допустимых входов, т. е. пространство L?(—я, +я).

§ 8.61 КРИТЕРИЙ - МАКСИМУМ МОДУЛЯ УКЛОНЕНИЯ 313
§ 8.5. Точность восстановления:
критерий — максимум модуля уклонения спектра
В ряде задач среднеквадратическая мера оценки
величины ошибок не отвечает существу дела. Особенно это
относится к спектральному анализу в ситуациях, при
которых необходимо выделять узкие спектральные
линии, имеющие заметную интенсивность при
незначительной полной энергии сигнала. Ошибку, возникающую при
восстановлении спектра, в таких ситуациях естественно
характеризовать модулем уклонения истинного спектра
от восстановленного:
г)(со)НМсо)-Г(со)|. (8.5.1)
Известной является непрерывная функция fe(co),
отличающаяся от /(со) на множестве А не более чем на
е(со):
lfeM-/NI<e(a>) при сое Л. (8.5.2)
В качестве возможных финитных входов на
интервале |л:|^я рассмотрим всевозможные функции вида
N
-N (Ь.Ъ.д)
О, \х\>п,
Ы*) =
где N — заданный параметр, определяющий «сложность»
функции f(x). Фурье-преобразование /V(x) имеет вид
Г/\ vi sinrt(to-fc) start© yi ал(_!)А
причем
{Ш. *-о, ±i ±*
* О, |*|>А + 1.
Как показано в § 2.Ш, функции fN{w) представляются
в виде произведения полинома конечной степени 2Nf
коэффициенты которого однозначно , определяются

314 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ПО ОТКЛИКУ [ГЛ. VIII
числами ah на весовую функцию 4V(a>), зависящую
только от N:
M<o) = /W («№(«>)> (8.5.6)
*А») т?= • (8.5.7)
-П(-£)
1
Для функций f(x) вида (8.5.3) задача аналитиче1
ского продолжения спектра f(co) сводится к расчету
полинома P2n(®) по заданным его значениям на
множестве А. Заметим, что практический интерес
представляет случай, когда множество А расположено строго
внутри интервала Г— (N + 1), (N + 1)], на котором в
соответствии с (8.5.5) сосредоточены все выборки /(со),
определяющие вход. Когда известна лишь -функция
/е(со), естественно искать оценку /jv(cg) для всех со
(—оо<со<+оо), решая задачу о наилучшем
приближении fe(co) функциями fjv(co) лишь на множестве А.
В соответствии с выбранной мерой близости
оптимальной является функция fjv(co) вида (8.5.6), в
которой P2n(<*>) — полином, наименее уклоняющийся с
весом Ч^со) от fe(co) на множестве Л. Так как весовая
функция ^(со) на концах интервала [— (N+1),
(А/+1)] и вне него обращается в нуль, то решение
задачи о наилучшем приближении, вообще говоря, не
единственно. Однако поскольку множество А
сосредоточено строго внутри этого интервала, где весовая
функция положительна, то решение задачи о наилучшем
приближении будет в соответствии с теоремой Чебышева
единственным (см. § 2.10).
После вычисления P2n(®) числа afe находятся по
формуле (8.5.5).
Задача расчета максимально возможной ошибки
восстановления в некоторой точке со = coi, расположенной
вне множества Л, очевидно, сводится к построению
функции J°n((u) вида (8.5.6), модуль которой на
множестве А удовлетворяет неравенству
l^(«>. «>i)I = I^2Aa(«>» co1)>FJV(co)|<e(co) (8.5.8)

§8.5] КРИТЕРИЙ - МАКСИМУМ МОДУЛЯ УКЛОНЕНИЯ 315
и в то же время принимает максимальное возможное
значение в заданной точке со = соь
Решим эту задачу, считая функцию /V (со)
вещественной. Для комплексной /(со) задача аналогична, если
заданы порознь ошибки измерения ее вещественной и
мнимой частей. Заметим, что для ряда множеств Л,
представляющих наибольший практический интерес,
коэффициенты полинома Я2^(со), определяющего
«наихудший» вещественный сигнал f°N (со), с помощью
которого находится ошибка восстановления rj (со), не зависят
от coi. В этих случаях функция /^ (со, coj ^ /^ (со) одна
и та же для всех coi, расположенных вне А. Приведем
ряд соответствующих теорем.
Рассмотрим сначала простейший, но практически
наиболее интересный случай, когда множество А состоит
из одного интервала [Qi, Q2L а неточность измерения
е(со) одинакова для любых со:
б (со) = е0, Q{ < со < Q2. (8.5.9)
Пусть Ргя(со) — полином степени 2N. Пусть, далее,
7W(co) —полином с коэффициентом при старшем члене,
равным единице, наименее уклоняющийся с весом Т^(со)
от нуля на интервале Qi ^ со ^ Q2.
Теорема 1. Среди всех функций вида P2iv((o)4rjv(co),
удовлетворяющих неравенству
Г^(со)^(со)1<80, Q,<co<Q2, (8.5.10)
максимальной по модулю в точке со = coi, лежащей вне
интервала [Qb Q2], будет функция
/J,H==^T2iV(co)^(co), (8.5.11)
где L — величина максимального уклонения | Г2^(со) X
X "Vn (со) | от нуля на интервале Q\ •< со < Q2.
Доказательство. В соответствии с теоремой
Чебышева о равномерном приближении функция
■у" ^2N С00) ^n С00) образует чебышевский альтернанс на
интервале [Qi, QJ, т. е. принимает 2N + 1 раз значения
±8о с чередующимися знаками. Все нули и экстремумы
полинома Г22у(со) находятся внутри интервала [Qi, Q2],

316 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ПО ОТКЛИКУ [ГЛ. VIII
и произведение ^(со^^со) обращается в нуль вне
интервала [Qi,Q2] только в точках со = kn
(k=±(N+\), ±(N + 2),...), где имеются простые
нули, обусловленные нулями весовой функции. Кроме
экстремумов при Qi ^ ш ^ Й2 и экстремумов вблизи
точек ю=±|(# + /)я + ^И функция T2n(со)^¥n(со) может
иметь еще два экстремума на интервале |co|<C(N+l)jt,
но вне интервала [fii, Q2].
Рис. VIII. 3. График функции Т4 (©) ¥2 (©)» наименее
уклоняющейся от нуля при | ю К1;
Т4 (©) = !- 8,33©2 + 9,33©4.
На рис. VIII. 3 показан график 7,4(со)Чг2(со).
Докажем, что функции ^(о^Ч^со) удовлетворяют
условиям теоремы. Предположим в противоречие с этим
утверждением, что существует функция gjv(co), отличная
от r2jv(co)4riv(o)), такая, что |^n(o)) j <е0 при Qi<o<
<fi2, но в некоторой точке со = шг
\gNM\>\T2NM^NMl (8.5.12)
Для определенности пусть giv(coi)>0. Можно доказать,
что графики функций

§8.5] КРИТЕРИЙ - МАКСИМУМ МОДУЛЯ УКЛОНЕНИЯ 317
и 7,2iv(co)lFjv(o)) имеют не менее 2Л/ точек пересечения
на интервале Й1^со^Й2. Кроме того, если выполнено
(8.5.12), полиномы Pfiv(co) и Т2м(®) пересекаются по
крайней мере еще в одной точке вне интервала
Й1<со<<Й2, т. е. имеют всего 2N + 1 общих точек. Мы
не будем приводить длинное рассуждение для
доказательства этих фактов, которые при рассмотрении
рис. VIII.3 наглядно очевидны. Ясно, что совпадение
двух полиномов степени 2N в 2N + 1 точках влечет за
собой их совпадение в любой точке. Полученное
противоречие доказывает теорему. Для случая gjv(coi)<0
рассуждения аналогичны, если заменить Г2^(со) на
(—ТмЫ)).
Рассмотрим теперь множество А, состоящее из двух
симметричных интервалов [—d, —b\ [6, d\ где d<(N+l).
Очевидно, полином степени 2N, наименее уклоняющийся
с весом Ч^(со) от нуля на двух симметричных
интервалах, будет содержать только четные степени со, так как
4rjv(©),= ^n{—<о). Найдем,этот полином, используя
замену со2 = v, в результате чего множество А перейдет в
интервал b2 ^ v ^ d2, а степень полинома снизится вдвое:
72n(co) = Qiv(v). Пусть Qiv_(v)—полином, наименее
уклоняющийся с весом ^(У v) от нУля ПРИ b2^Cv^Cd2.
Тогда в соответствии с теоремой 1 функция
QnM^jvCV'v) ПРИ условии (8.5.10) принимает
максимально возможное значение в любой положительной
точке вне интервала b2 ^Cv^Cd2. Очевидно, то же
свойство имеет и функция ^(©JQjvf©2) = Г2^((о)Чгя((о),
когда со находится вне интервалов 6<l|co|^d. Таким
образом, имеет место
Теорема 2. Среди всех функций вида Pzn(со)^¥n(со),
удовлетворяющих неравенству
1^Н^(со)|<80, 6<|co|<d, (8.5.14)
максимальной по модулю в точке со = coi, лежащей вне
интервалов d ^С | со | < Ь, будет функция
^ (©) = ■?■ ^(ш)^ (в), (.8.5.15)

318 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ПО ОТКЛИКУ [ГЛ. VIII
где L — величина максимума |7,2jv(co)4riv(co) | на этих
отрезках.
Теоремы 1 и 2 без труда обобщаются на случай,
когда точность измерения не постоянна, а изменяется по
заданному закону еое(со), где 0<е(со) ^ 1. Например,
Рис. VIII. 4. Построение полинома в случае, когда
ошибка измерения не постоянна.
если задана относительная ошибка ео измерения спектра
f(co), то е(со)= 1/|/е(со)|, причем в данном случае мы
считаем |fe(co)|>0. В качестве T2n((u) здесь нужно
взять полином, который с весом Чг^(со)/е((о) наименее
уклоняется от нуля на множестве А.
Действительно, в соответствии с теоремой Чебышева
(§ 2.10) график функции *n\®>—лг W представляет
е (со)
собой последовательность выбросов одинаковой
амплитуды с чередующимися знаками. Функция T2n{(o)1¥n((o)
имеет аналогичный вид, но амплитуды экстремумов с
чередующимися знаками уже не постоянны, а меняются
по закону е(со). Таким образом, мы получаем функцию,

§8-51 КРИТЕРИЙ - МАКСИМУМ МОДУЛЯ УКЛОНЕНИЯ 310
экстремумы которой «вписываются» не в постоянную по
ширине е-полоску (см. рис. VIII. 4, а), а в нужную нам
е-полоску переменной ширины е(со) (см. рис. VIII. 4, б).
В остальных деталях доказательство соответствующих
теорем остается прежним.
ш
а)
12Ц \
1
+L
-L
ш-., и>
ф
Рис. VIII. 5. Множество, состоящее из нескольких
отрезков.
На практике встречаются ситуации, когда множество
А состоит из нескольких интервалов, расположенных
внутри отрезка [—(/V + 1), + (N + 1)] (см., например,
интерферометрические системы, § 1.8).
Для такого множества А построение полинома,
наименее уклоняющегося от нуля, также в некоторых
случаях помогает определить ошибку восстановления.
Рассмотрим эти случаи. На рис. VIII. 5 показаны два
соседних интервала [со,., ©J],- [<о/+1, со^+1] рассматриваемого
множества и два возможных варианта характера поведе-
ния функции T2jN (со) / v на промежуточном интервале

320 ЁОССТАНОВЛЕНЙЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ПО ОТКЛИКУ [ГЛ. Vlll
[®Jt ^i+i]- На рисунках показан также интервал
fQ/, Q/+i] между двумя точками Q[, Q*+i> в которых
находятся ближайшие к интервалу [^ ®i+\] точки, где
^2N (©) —тт = £• Используя рассуждения, аналогич-
иые тем, которые мы провели при доказательстве
теоремы 1, можно доказать следующую теорему.
Теорема 3. Если на интервале [Q/, Q/+i] ^И©)
не обращается в нуль, то среди всех функций
^W (со) 4^(0)), удовлетворяющих неравенству
!^(со)^(со)|<808((о) (сое Л), (8.5.16)
максимальной по модулю в точке со = со , Qj^co <Q/+i
будет функция
&(<d)--£V(0)^(<d). (8.5.17)
Поскольку все нули полинома T2n(®) в соответствии
с теоремой Чебышева располагаются внутри интервала
[со0, со^], где со0, 0^ — крайние точки множества Л, то при
со < соо или со>со^ полином r2Jv(co) не меняет знака, и
имеет место
Теорема 4. Среди всех функций вида P2jv(co)4fjV(co),
удовлетворяющих неравенству (8.5.16), максимальной по
модулю в точке со = со*, где со* < соо или со* >со^, будет
функция (8.5.17).
Особый интерес представляет случай, когда
множество Л располагается вблизи со — 0, или |соо| <S \N + 11,
|соп|<С(М + 1). При этом весовая функция может
считаться постоянной на множестве Л. Если е(со)=1, то
7W(со)— полином, наименее уклоняющийся от нуля,
с весом Tivfco) = 1. Такие полиномы построены для
множества Л, состоящего из одного или двух интервалов
(§ 7.6). Простые выражения для Г2^(со) получаются при
симметричном расположении "этих двух интервалов:
T2N (<&) - cos 2N arccos |/ %Zll > (8.5.18)

J 8.5) -kPMfEPHU-п МАКСИМУМ МОДУЛЯ УКЛОНЕНИЯ 321
так что
/]»
_ i
e0ch2JVarsh j/-g-|l ¥„ (со), |со|<&,
e0 ch 2/V arch j/~|J- 4N (со), ! © | >d.
(8.5.19)
Пользуясь (8.5.19), можно получить оценку, для ошибки
восстановления, когда ^(со) на множестве А не равна
тождественно
постоянной. Заметим, что
ширина 8-ПОЛОСКИ ДЛЯ
функции r2iv(co)4rN(a)),
где TzN((u) задается
(8.5.18), изменяется по
закону ^((о).
Поэтому если е (со)
пропорциональна 4я N (со),
ошибка восстановления
характеризуется
функцией (8.5.19).
, Рассмотрим задачу,
В * КОТОРОЙ 8 (О)) = 8о =
— const заменена новой функцией (рис. VIII. 6)
V„id) *'V(«>)- ш {d) w {b) ,-(8.5.20)
«Хм
L-._L_i.-___
I
— \iz^"
*,
(0
Рис. VIII. 6. К расчету оценки
погрешности с учетом изменения
весовой функции.
г/ (со)
где Vivfrf)— минимальное, а 4^(6)—максимальное
значение Ч?л(ю) на отрезках Ъ ^ |со| ^ d. Очевидно, при
со _= Л 8^8*(со)^80. Поэтому искомая погрешность
восстановления для ео не превышает погрешности при
гласно (8.5.19):
° Уд, (<*)
, которая определяется со*
r](co)<
X N(d)' ^n (©) cos 2JV arccos ]/ -J-
fc2
. (8.5.21)
И Я. И. Хургин, В. П. Яковлев

322 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВОЗДЕ#с1ВЙЯ ttO ОБЛИКУ (fЛ. Vlll
§ 8.6. Разрешающая сила линейного прибора
в классе финитных сигналов
Одним из важных качеств линейного прибора
является его способность различать детали структуры входного
воздействия и тем самым давать приближенную картину
входного процесса. Для характеристики прибора с этой
точки зрения вводится понятие о его разрешающей силе,
впервые рассмотренное Рэлеем (см. Д. Стрэтт (Рэлей)
[7]). Для определения этого понятия рассматривается
случай, когда вход f(x) представляет собой сумму двух
б-функций, расположенных на некотором расстоянии Ь.
В оптике, например, это соответствует объекту в виде
двух точечных источников, разнесенных на расстояние
Ь. Так как при воздействии на линейный прибор входа,
описываемого б-функцией, его отклик совпадает по
форме с аппаратной функцией, то в рассматриваемом
случае выход представляет собой сумму
оо
F(y)= J* f(x)h(y-x)dx =
— оо
с»
= j h(y-x)[b(x-~)+b(x+^)]dx^
— оо
~h(tf-fy + h(y+±). (8.6.1)
В зависимости от величины b здесь могут
представиться три случая, показанные на рис. VIII. 7. В первом
случае [случай а на рис. VIII. 7], который соответствует
величине Ъ, гораздо большей ширины Oh аппаратной
функции, мы можем по структуре выхода совершенно
определенно сказать, что на входе имеется два
воздействия, разнесенных на расстояние Ь, т. е. прибор
разрешает структуру входного воздействия. По мере
сближения этих двух входных воздействий их отклики будут
все более перекрываться. Несмотря на это, при
достаточно большой величине b мы можем все же заключить
по наличию двух максимумов у функции F(y) и
минимума при у = О, что на выходе имеется два воздействия
(случай б). Наконец, при некотором расстоянии Ъ == 60

18.61
РАЗРЕШАЮЩАЯ СИЛА ЛИНЕЙНОГО ПРИБОРА
323
наступает момент, когда минимум при у = О исчезает
(случай в). При дальнейшем сближении входных
воздействий суммарный отклик становится все более
Рис. VIII. 7. Иллюстрация понятия разрешающей
способности по Рэлею.
похожим на отклик, соответствующий воздействию вида
6(х), и в точке f=0 у F(y) появляется максимум.
Величина интервала Ь = Ь0 между двумя б-воздей-
ствиями, которая соответствует исчезновению «провала»
11*

324 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ПО ОТКЛИКУ [ГЛ. VIII
у функции F(y), называется пределом разрешающей
способности по Рэлею. Нетрудно заметить, что эта
величина пропорциональна ширине он аппаратной
функции h(x), которая в силу соотношения неопределенности
(см. § 2.8) обратно пропорциональна ширине 2а спектра
аппаратной функции. Таким образом, предел Ь0
разрешающей способности по Рэлею в конечном счете
определяется самим прибором, а именно обратно
пропорционален ширине спектра его аппаратной функции
Ьо~±. (8.6.2)
Критерий Рэлея фактически утверждает, что
разрешимыми считаются сигналы с достаточно узким
спектром. Он определяет класс тех сигналов, которые для
заданного прибора могут считаться функциями с
финитным спектром (см. § 8.1).
Мы не будем останавливаться на подробном
описании этого определения, а также его модификаций в
различных областях физики и техники, так как оно широко
известно и прочно вошло в теорию и практику линейных
приборов.
Отметим важные для нас черты этого определения
разрешающей способности.
1. Разрешающая способность по Рэлею определена
для конкретного класса входов, а именно для функций
f(x), равных сумме двух дельта-воздействий. При этом
основное внимание обращается на возможность ответа
на вопрос: каково число воздействий — два или одно?
Рассмотрение такого узкого класса входных воздействий
исключает, вообще говоря, возможность ответа на
весьма важный вопрос о работе рассматриваемого
линейного прибора при более широком классе входных
воздействий.
2. Определение разрешающей способности не
опирается на наиболее важные свойства самого объекта
исследования. В частности, не учтена финитность
входного воздействия. Это свойство, как мы покажем в
дальнейшем, оказывается весьма существенным.
3. Характерной чертой рэлеевского определения
является то обстоятельство, что при рассмотрении выхода

§ 8.6] РАЗРЕШАЮЩАЯ СИЛА ЛИНЕЙНОГО ПРИБОРА 325
прибора в случае наличия двух весьма узких входных
воздействий и сравнении его с распределением от одного
такого воздействия, т. е. с аппаратной функцией, все
внимание обращено лишь на окрестность одной точки
получающегося распределения и на констатацию наличия
в этой точке максимума или минимума. Такой подход
вполне естествен: если у аппаратной функции в
некоторой точке максимум, а у наблюдаемого выхода —
минимум, то ясно, что соответствующий вход f(x) не является
единственной дельта-функцией при х = 0.
Однако если и у наблюдаемого распределения, и у
аппаратной функции в этой точке максимум, то при
описанном подходе мы не можем сказать о структуре
входа ничего определенного. Другими словами, такой
подход, по существу, предполагает, что в основу
критерия разрешения должно быть положено некоторое
качественное различие наблюдаемого распределения и
аппаратной функции — различие, заметное с первого
взгляда при измерении выхода.
Между тем результат измерения выхода F(y) при
каждом значении у может быть использован для
установления структуры входа. Таким образом,
рассмотренный критерий разрешения ориентирован, по существу, на
качественные наблюдения, а величины разрешающих
сил, полученные на основании такого определения, не
соответствуют современному уровню измерительной
техники. Так, например, известное мнение о том, что
предел разрешающей способности определяется свойствами
прибора и, в частности, шириной спектра его
аппаратной функции, при внимательном исследовании процедуры
восстановления входа по не точно известному выходу
оказывается неверным для широкого класса входов —
финитных сигналов.
Несоответствие рэлеевского понятия разрешающей
силы экспериментам с количественными измерениями
привело в последние годы к широкому обсуждению
понятия разрешения. Это обсуждение непосредственно
связано с применением в радиофизических и оптических
измерениях модуляционного метода, разработанного и
примененного в работах Г. С. Горелика [8], И. Л. Берш-
тейна [9] и их сотрудников (смг С. Г, Раутиан [10])

326 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ПО ОТКЛИКУ [ГЛ. VIII
и позволившего во многих случаях существенно
повысить чувствительность при обнаружении и измерении
малых изменений в структуре выходного воздействия.
При этом предел чувствительности определяется
принципиальными обстоятельствами — неустранимыми флук-
туациями в аппаратуре.
Таким образом, современные методы измерительной
техники дают возможность измерять выход прибора с
большой точностью, причем по мере усовершенствования
и развития этих методов точность будет возрастать.
Так, например, в оптике в последнее время появились
новые возможности в этом направлении, связанные с
голографическими методами фиксации волновых
процессов.
При подобных обстоятельствах необходимо
пересмотреть понятие разрешающей способности с новой точки
зрения, учитывающей возможность измерения выхода
с некоторой определенной и высокой точностью.
В предыдущих параграфах мы указали, что при
довольно общих ограничениях, налагаемых на аппаратную
функцию, и при конечных по протяженности входных
воздействиях с ограниченной по величине энергией,
существует корректная процедура восстановления входного
воздействия по неточно известному выходу F(y).
Наличие такой процедуры указывает на возможность
определения некоторой функции М*), отличающейся от
реального входа f(x) на величину, не превосходящую г],
которая зависит от вида f(x) и точности е измерения
выхода. При безграничном возрастании точности
измерения выходной функции F{y) точность определения
входа неограниченно возрастает, так что при е—► ()
величина г) при фиксированной f(x) также стремится
к нулю.
Эти результаты дают возможность определить
понятие разрешающей способности линейного прибора,
свободное от недостатков, свойственных критерию РэЛея.
При этом мы обратим внимание на следующее.
Разрешающей силой (или разрешающей
способностью) прибора естественно назвать величину
функционала, определенного на заданном классе входов и
зависящую от аппаратной функции прибора.

§ 8.6J РАЗРЕШАЮЩАЯ СИЛА ЛИНЕЙНОГО ПРИБОРА 327
Выбор того или иного функционала диктуется
условиями работы прибора, кругом задач, которые решаются
с использованием этого прибора и, конечно, удобством
интерпретации его показаний.
Конечной целью исследования мы будем считать
нахождение всей функций f(x) — входа прибора. Разумеется,
выводы, полученные при столь общей постановке задачи,
остаются справедливыми и при измерений только
отдельных параметров объектов (например, его протяжен*
ности, числа максимумов, числа элементарных входов,
если вход представим в виде совокупности элементарных
воздействий, и т. д.). Однако даже точные оценки,
полученные на основании рассмотрения задачи восстановлю
ния всего входа, могут оказаться малоэффективными для
оценки погрешности измерения отдельных параметров.
Более того, может случиться, что для некоторых
параметров задача измерения будет корректной при более
общих классах входов f(x). Нам удобно рассматривать
не сами входы f(x), а их спектры f (со), и мы будем
задавать функционал— разрешающую силу прибора
—непосредственно в пространстве спектров f (со) входов f(x).
Спектральные представления хорошо освоены во всех
областях физики и техники, и по виду спектра нетрудно
составить достаточно полную картину поведения самого
входа. Кроме того, в ряде случаев основной интерес
представляет не сам вход /(*), а его спектр f(co). Мы
выбрали лишь два функционала, наиболее часто
встречающихся в практике измерений. Именно,
количественная величина ошибки, принятая в качестве меры
разрешающей силы линейного прибора, будет
характеризоваться либо среднеквадратическим значением ошибки
восстановления спектра, либо наибольшим уклонением
восстановленного спектра от реального на всей оси со,
Заметим, что среднеквадратическое уклонение спектров
двух функций равно среднеквадратическому уклонению
самих функций. Поэтому первый критерий качества
восстановления спектра дает возможность непосредственно
найти среднеквадратическую ошибку восстановления
самого входа.
Мы рассматриваем ситуацию, в которой спектр входа
измеряется на ограниченном множестве значений ю

ЗЙ8 BOCCf АНОВЛЕНЙЕ ВОЗДЕ^ВИЯ ПО ОТКЛИКУ [ГЛ. Vlll
например, на интервале [—Q, + Q], с ошибкой,
характеризуемой либо среднеквадратическим значением, либо
максимальным уклонением на этом множестве. Разрешающая
сила линейного прибора характеризуется максимально
возможной для заданного класса входов ошибкой
восстановления спектра для всех со. Используемый
математический аппарат позволяет решить задачу для любого
множества Л, представляющего практический интерес.
Конкретные результаты мы рассмотрим для множества
Л, состоящего либо из одного интервала [—Q, +Q], либо
из двух симметричных интервалов [—d, —6], [6, d).
Погрешность измерения спектра fe(co) на множестве
Л может быть различной для разных точек
множества Л. В качестве иллюстрации будет рассмотрен
простейший случай, когда погрешность одинакова для
всех со.
Опишем классы возможных входных сигналов,
которые будут рассматриваться. Будем рассматривать
финитные входы, заданные в одном и том же интервале
|х|<а, т. е. будем считать, что f(x)=zO вне этого
интервала.
Функции f(x) представляются в виде линейной
комбинации заданных базисных функций, т. е. имеют
конечное число N степеней свободы.
С ростом числа степеней свободы входы становятся
все более сложными, причем «сложность» объекта
возрастает при изменении' N на единицу. При бесконечном
значении N класс возможных входов совпадает с
классом ограниченных по норме L2 функций, сосредоточенных
на конечном интервале.
Если известны границы среднеквадратической
ошибки на конечном интервале |co|<Q, то удобно
рассматривать следующий класс входных сигналов:
!м (*) =
N
о
[ 0, \х\>а.
(8.6.3)
где С = йй, а г|^(2, с) —вытянутые сфероидальные
функции (см. § 2.7), являющиеся собственными функциями

§ 8.6] РАЗРЕШАЮЩАЯ СИЛА ЛИНЕЙНОГО ПРИБОРА 329
интегрального уравнения:
i
М>*(«)- /ф*(1)е"**4&, (8.6.4)
-I
или итерированного уравнения
. М>*(*) = Iф*(|) '„(gl^ 4, (8.6.5)
-1
Графики функций г|^(г) при с=1, 4 приведены на
рис. VII. 2, VII. 3. Эти графики ясно показывают, что
с ростом k функции \|)fe(z) становятся все более
сложными, изрезанными, в частности, растет число нулей tyk
при |г|^я, равное /V, и поэтому возрастают значения
производных я|>^ (г). Таким образом, система {г|^(г)}
обладает нужными нам свойствами: чем больше число
степеней свободы N, тем «сложнее» могут быть объекты,
тем больше возможные значения производных f'(x).
В соответствии с (8.6.4) спектр функции fN(x) также
является линейной комбинацией первых N + 1
функций tbft (z):
N
Ma) = «S«*M>ft(lf)- (8-6-6)
О
Задача расчета разрешающей силы линейного прибора
при задании среднеквадратической ошибки измерения
спектра на интервале [—Q, +Q]:
°£ в Л К N - f (со) |2 dco = J | А/ (со) p £fo, (8.6.7)
очевидно, заключается в выборе коэффициентов а&
погрешности
Af(ffl)-2 «*+*(!-)' (8.6.8)
о

330 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ПО ОТКЛИКУ [ГЛ. VIII
для которой величина
а2= J |A/(co)|2dco (8.6.9)
— оо
максимальна, при условии, что
J|Af(co)Nco<a|. (8.6.10)
Как следует из § 8.4, максимум а2 достигается для
Af(co) = a^(-g-) (8.6.11)
и при этом
о2 = -^. (8.6.12)
Таким образом, разрешающая сила линейного
прибора полностью характеризуется собственным числом
XNf зависящим от величины с = Qa. Графики
зависимости hN(c) показаны на рис. VIII. 8. Из этих графиков
видно, что резкое уменьшение точности восстановления
наступает в случае, когда параметр N/c = N/Qa
становится большим единицы. Этот же факт иллюстрирует и
асимптотическое поведение KN при с—► ():
где е ~ 2,71—основание натуральных логарифмов. На
рис. VIII. 8 пунктиром показана зависимость (8.6.13).
«Наиболее сложным» объектом в данном случае
является функция tyN(x/atc); она сильно изрезана, так как
содержит максимально возможное в классе (8.6.3) число
нулей, равное N.
Когда заданы допустимые отклонения спектра1 то
представляет интерес класс входных воздействий,
состоящий из всевозможных сумм Фурье вида (а = я):
N
Ы*) =
Л,**'* |Х|<Я> (8.6.14)
I 0, |*|>*.

§ 8.6] РАЗРЕШАЮЩАЯ СИЛА ЛИНЕЙНОГО ПРИБОРА 331
Ясно, что «сложность» входа f(x) возрастает с ростом N.
Фурье-преобразование fw(co) представляется в виде
wy
N L
1ff^l—
1U \
\N-
г
-з\
W г^
ю~*\
Ш I
inA
Ш \ |
«41
i\l ri
\ 1
п
/
/ /
/ 1
щ
1 \ч
11
/
h
1
i к!
1!
ш
иг
\l
\ 1
/
/
/
/i
I
7/
№
I 1 /
Htt
1
/
I J
11
j
/ /
/ /
f /
1
Г7 3
/ /
4
I
/ /
' /
/
/
/
/ /
1 /
/
i
гт
Ij
/ i
1 il
t '/
''/
il
ii
j
i
/ n1ll
M™
j j
1
II
A
I
и
r
1
/ /
/ /
/
h
ГЛ]
/ /
/ 4
1II
f 4
i
II
i
i
Г7—7
f /
/
/
//
i j[ i
/
/
/
/ ,'
/
/
°/
h
1
/
/
/
i
11
/
,
/ /
/ /
f /
7
/i
/ *
/1
1
L
1 71
/
/
/j
1
/
/
/,
1
ч
11
1
1
1
1
1
7
/-
/
//i
'//
j
7 ,
/
/
/
/ j
j
He
/
/
/
/
il
In
in
/
'/
1
18
0
8
12
16 20 С
Рис. VIII. 8. Зависимость собственных чисел Я
'N
от величины с.
взвешенного полинома (см. § 8.5):
7^(со) = Р2Л,(а>)^((о). (8.6.15)
Будем считать заданными приближенные значения
fe(co) функции fjv(co) на двух симметричных интервалах

332 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ПО ОТКЛИКУ [ГЛ. VIII
&^|co|^d. При 6 = 0 получается один интервал |со|^/.
Расчет разрешающей способности сводится к
определению функции
дГ(©Н>^ (©№(©), (8.6.16)
которая, удовлетворяя при 6^|co|^d условию
|АГ(©)|<е0|
принимает максимально возможные значения в любой
точке со вне этих интервалов. Как показано в § 8.5,
искомый полином <Р2лг(ю) совпадает с полиномом Г2лг((о),
наименее уклоняющимся от нуля при 6-<|(о|-<й.
Ошибка восстановления спектра имеет вид
ео
l2N }
sin ясо
Ш-4)
!©|>rf,
|<*>|<й,
(8.6.17)
где L — максимальное уклонение | T%n (со) 4^(0)) | от нуля
при 6<|(o|<d.
Для характеристики разрешающей способности
введем фунвдионал — интегральную ошибку:
а2= \ h(a»)pdffl = 2|Ti(/)P. " (8.6.18)
-N
Заметим, что максимально возможное значение
величине с2 среди всех функций вида (8.6.14),
удовлетворяющих условию (8.6.16), доставляет функция г| (о>)
вида (8.6.17), поскольку она принимает максимально
возможное значение в каждой точке вне интервала
&^|а>|^Л Значения |r)(co)| при 6-<|a)|-<d
естественно взять равными ео, а при J со | < ft, |со| > d они
находятся по (8.6.17).
Полином, наименее уклоняющийся от нуля на Двух
отрезках с весом 4^(0)), сравнительно легко удается
найти для небольших значений N (см. Приложение IV). Мы
подробно исследуем случаи N = 1, N = 2. Очевидно,
интегральная ошибка а2 зависит от длины интервалов
rA = r(d— 6), на.которых проводятся измерения, и от

§8.6] РАЗРЕШАЮЩАЯ СИЛА ЛИНЕЙНОГО ПРИБОРА 333
взаимного расположения этих интервалов, которое
можно характеризовать расстоянием Р0 центра интервала от
о) = 0; Р0 = —2—-На рис. VIII.9 показана зависимость
ошибки а2 от Р0 и Д при
различных значениях А. При лю- Ц62\
бом значении Д существует
оптимальное расположение
интервалов, причем
соответствующее значение Ро = Лжт
практически не зависит от Д
(см. рис. VIII. 9) и равно 0,67.
Таким образом, целесообразно
так конструировать прибор,
чтобы область, в которой
измеряется спектр, разбивалась
на несколько интервалов.
Это — приборы типа
интерферометра. Выигрыш, который
реализуется при
использовании оптимального
расположения интервалов, отчетливо
виден из рис. VIII. 10, на
котором приводятся зависимости
от Д при Р0 = Р0пт и Ро = Д/2.
когда два интервала
сливаются в один (Ь = 0). Заметим,
что выигрыш растет с
уменьшением Д. Из приведенных
графиков легко оценить
эффективность метода восстановления, основанного на
аналитическом продолжении спектра. Сравним с этой целью
три случая:
а) измерения проводятся на интервале |ю|<# с
точностью ео и аналитического продолжения не
требуется;
б) измерения проводятся с точностью 0,1ео на
интервале |co|<d< N;
в) измерения проводятся на двух интервалах
b^|co|-<d с точностью 0,1 е0, причем принято
оптимальное расположение: Ро = Ропт-
Рис. VIII. 9. Зависимость
ошибки восстановления от
величины интервала
измерения Л при N = 1.

334 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ПО ОТКЛИКУ [ГЛ. VIII
Найдем величину интервала, на котором должен
быть измерен спектр, считая, что максимальная ошибка
восстановления на интервале | со | < Л/^ не должна быть
большей во. Пользуясь рис. VIII. 10, можно убедиться в
том, что в случае б) общая длина интервала А = 0,285Л/,
Ц62
¥2
0,5
Рис. VIII. 10. Зависимость Рис. VIII. П.. Ошибка
ошибки восстановления от Л восстановления при #—2.
при оптимальном (Р0 — Р0пт)
и неоптимальном (Pq = Л/2)
расположении интервалов
при М = 1.
т. е. уменьшилась по сравнению со случаем а) в 3,5 раза.
Для случая в), когда Ро = Лшт, сумма длин двух
интервалов составляет Q,Q7Ny т. е. уменьшилась более чем в
10 раз.
Наконец, сравним ошибку восстановления при N = 1
и Л/ = 2, считая, что измерения проводятся на одном
интервале |co|^Cd. График величины а2 при N = 2 в
зависимости от Д показан на рис. VIII. 11. Из сравнения

§ 8.61 РАЗРЕШАЮЩАЯ СИЛА ЛИНЕЙНОГО ПРИБОРА 335
рис. VIII.10 и VIII. 11 видно, что с ростом N точность
восстановления уменьшается. Если при N = 2
уменьшить заданную ошибку е0 в 10 раз, то за счет этого
удается уменьшить интервал измерения в 2 раза, в то
время как при N = 1 можно его уменьшить в 3,5 раза.
Особый интерес имеет предельный случай d <С N.
Соответствующее выражение для г| (со) было получено
в § 8.5, и мы можем с учетом (8.5.17) найти величину а2.
Поскольку значения т^(со) при \l\<d малы по
сравнению с ее значениями при |/| > d, можно при |/| <d
заменить в (8.6.18) | ti(со) |2 = eg на e24^(/)ch22Warch/A*.
Тогда
N
ос>- « е2 ^ Ч^ (/) ch2 2N arch l/d =
о
N
w^wnwch22March^ (8-6-I9)
о
Очевидно, при N *S>
-*%
jiN ch2 2N arch 4-
2'
AN
-<4<Afch22A/arch^. (8.6.20)
bo
Полагая, далее, ch22/V arch —r « (—J , где с = da, a = n,
получим
т. е., в сущности, тот же характер зависимости для отно-
(Т2
шения ~т> что и при задании среднеквадратической по-
8о
грешности измерения (см, (8.6.13)).
Итак, мы ввели характеристику разрешающей силы
линейного прибора, равную ошибке, с которой возможно
определение спектра любого входа прибора f(x) из
определенного класса входов, допустимых для данного
прибора. Отметим наиболее важные свойства этой ошибки:
1. Ошибка восстановления пропорциональна ошибке
измерения и отсутствует при точно известном выходе
прибора,

336 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ПО ОТКЛИКУ [ГЛ. VIII
2. Она зависит от применяемого прибора, т. е.
определяется аппаратной функцией h(л:), и от класса
объектов. Вид /г(х), точнее вид Л (со), не играет особой роли,
но существенной оказывается конфигурация области, где
%(cd)=fO, и соотношение между шириной Л (со) и f(co).
Класс входных объектов характеризуется
единственным параметром N — числом степеней свободы.
Величина N определяет максимально "возможное число нулей
пробного объекта, и следовательно и максимально
возможное значение производной /' (х).
Ошибка восстановления резко возрастает, если пара-
метр —-Q- превышает единицу. Заметим, что
ширина спектра f(x), a Q — ширина спектра h(x), т. е.
N
отношение ширины спектра входа к ширине
спектра аппаратной функции. Если —<1, N > 1, то по
порядку величины ошибка восстановления равна (—) ,
т. е. уменьшение Q вдвое приводит к увеличению
ошибки в 2N раз.
Таким образом, при любом фиксированном числе
степеней свободы финитные входы могут быть найдены -при
любой протяженности спектра аппаратной функции, если
измерения достаточно точны. Другими словами, при
безошибочных измерениях нет предела разрешающей силы
линейного прибора, он разрешает все финитные объекты.
Последнее обстоятельство играет весьма важную роль.
Действительно, оказывается, что предел разрешения
ставится не свойствами самого прибора и, в частности,
не шириной спектра аппаратной функции, а точностью
снятия выходного процесса.
Следовательно, при достаточно точных измерениях
рэлеевский предел разрешения может быть превзойден.
В свою очередь, точность регистрации выхода в
идеальных условиях эксперимента определяется
естественными флуктуационными процессами в аппаратуре.
Поэтому непреодолимым является лишь флуктуационный
предел разрешения.
Заключение о принципиальной возможности
исключения всех аппаратных, технических искажений при изме-

$ 8.6] РАЗРЕШАЮЩАЯ СИЛА ЛИНЕЙНОГО ПРИБОРА 337
рении физических величин является общепризнанным
как в технике физического эксперимента, так и в
радиотехнических измерениях. Впервые на важность этого
факта в теории измерений указал Г. С. Горелик [8].
Это заключение справедливо, несмотря на то, что
в реальных условиях, как правило, не удается
приблизиться к флуктуационному пределу из-за
недостаточной эффективности современных измерительных
средств.
Типичным примером радиофизического эксперимента,
в котором возникает аналогичная ситуация, является
измерение ширины спектральной линии
автогенератора.
Спектр колебаний реального автогенератора
представляет собой узкую спектральную линию, ширина
которой отлична от нуля из-за различных паразитных
явлений, влияющих на процесс синхронизма. Стремление
получить совершенный эталон времени, вызванное
запросами техники, обусловило широкий разворот работ
по усовершенствованию автогенераторов с целью
уменьшения ширины линии. Стало ясно, что в принципе все
технические трудности, связанные с устранением
паразитных воздействий (наводки, нестабильность
температуры, вибрации и т. д.), могут быть преодолены. Возник
вопрос: можно ли после этого получить идеальные
синусоидальные колебания, спектр которых представляет
собой бесконечно узкую линию (дельта-функцию). Фун-
даментальные эксперименты и теоретические работы,
проведенные в этом направлении школой Л. И.
Мандельштама, позволили дать исчерпывающий ответ на этот
вопрос. Кроме того, эти исследования стали основой для
постановки и решения многих задач измерительной
техники, в том числе и в теории разрешения. С. М. Рыто-
вым [11], Г. С. Гореликом [8], И. Л. Берштейном [9] было
показано, что после устранения всех причин нарушения
синхронизма, связанных с несовершенством технических
средств и условий эксперимента, колебания автогенера*
тора не станут монохроматическими, и спектральная
линия будет иметь отличную от нуля ширину. Эта ширина
обусловлена естественными флуктуациями, которые
можно, в принципе, уменьшить до определенного уровня, hq

338 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ПО ОТКЛИКУ [ГЛ. VIII
нельзя окончательно устранить, в отличие от
технических флуктуации, поскольку первые вызваны
непреодолимыми физическими явлениями (дискретность заряда,
квантовая природа излучения и т. д.). Естественная
ширина линии была измерена И. Л. Берштейном [9] с
помощью интерференционного метода, аналогичного
оптическим методам (см. § 1.8). Естественная ширина линии
намного меньше той технической ширины, которая
наблюдается на практике и обусловлена чисто
техническими причинами. Работы по расчету и измерению ширины
линии автогенератора во многом способствовали
созданию чрезвычайно точных эталонов времени (М. Е. Жа-
ботинский [12]).
Общие принципы и экспериментальные методы,
разработанные при исследовании автоколебаний, были
перенесены Г. С. Гореликом и его сотрудниками на
оптические измерения и вообще на теорию разрешающей
силы [8, 13]. Г. С. Горелик выдвинул гипотезу о том, что
при обнаружении и измерении в наблюдаемом выходе
линейного прибора того или иного признака или
параметра истинного входа — его протяженности,
расщепления на несколько отдельных конечных по протяженности
входов и т. д., предельная точность определяется
флуктуационными погрешностями при снятии входа,
а не аппаратной функцией. Экспериментальные и
теоретические исследования подтвердили это
положение [13].
Рассмотренная нами задача, являющаяся обобщением
этого подхода применительно к восстановлению всех
деталей входа, также была поставлена Г. С. Гореликом.
Предложенная процедура построения входа по неточно
измеренному выходу ясно показывает, что существует
«технический» и «естественный» предел разрешения. Рэ-
леевский предел разрешения может рассматриваться как
«технический» предел, обусловленный несовершенством
визуального метода индикации, и на современном уровне
экспериментальной техники он не определяет
возможности разрешения. Современные тенденции физического
и технического эксперимента все в большей степени
подводят нас к флуктуационному пределу, и исследование
этого предела является весьма актуальным.

§ 8.6] РАЗРЕШАЮЩАЯ СИЛА ЛИНЕЙНОГО ПРИБОРА ЗЗЭ
Для оценки возможностей, которые представляются
при разрешении структуры входа, необходимо перейти
от классического детерминистического метода оценки
погрешности измерения, когда задаются допустимые
значения ошибки (среднеквадратическое или по максимуму)
к статистическому подходу. Погрешность измерения
является случайной величиной, причем задаются не
допустимые границы ее изменения, а распределение
вероятностей. Статистический подход дает возможность
полностью учесть специфику ошибки, ее «тонкую структуру»
и тем самым более реально оценить возможность ее
исключения.
Задача расчета разрешающей способности, если ее
формулировать, как это принято нами, на спектральном
языке, в простейшем случае заключается в оценке
неизвестной заранее функции f(x) —входа — по результатам
измерения на ограниченном множестве значений со
реализации f (со) + я(со), где f (со)— спектр f(x), а я(со) —
ошибка измерения — случайная функция с заданными
статистическими характеристиками. Обработка
измеренной реализации дает функцию /(*) — оценку f(x),
которая является случайной. Разрешающая способность
определяется статистическими свойствами погрешности
измерения \](x)==f(x)— f(x). Качество работы прибора
целесообразно определять не по единичному измерению,
а по совокупности идентичных экспериментов, так что
разрешающая сила является определенной усредненной
характеристикой (статистикой) \)(х), или средним
значением заданного функционала от т^ (л:).
Эффективность статистического подхода решающим
образом зависит от информации, которую мы узнали при
предварительном изучении физической картины явлений
(априорные сведения). Мы считаем, что статистические
исследования разрешающей способности должны быть
предприняты после выяснения основных качественных
закономерностей и должны давать точные количествен1
ные соотношения, характеризующие эти закономерности.
С целью выяснения основных качественных сторон
разрешающей способности мы ограничились здесь
детерминистическим подходом, что позволило упростить
решение задачи. Стало ясно, какие именно ограничения

3^0 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ПО ОТКЛИКУ [ГЛ. VIII
необходимо ввести заранее с тем, чтобы постановка
задачи была реальной. Во-первых, разумно предполагать
финитность входов. Во-вторых, разрешающая сила мало
зависит от конкретного вида аппаратной функции и
определяется главным образом соотношением ширины
спектра входа и ширины аппаратной функции. В-третьих,
в качестве класса входных сигналов целесообразно брать
конечные суммы вида (8.3.12), причем результат мало
зависит от структуры базисных функций. Заметим, что
представление входов в виде (8.3.12) даст возможность
более четко сформулировать статистическую задачу: она
состоит в оценке неизвестных параметров аи на основе
измерений спектра входа [16, 17]. Подобная постановка
задачи часто рассматривается в статистической теории
связи. В последнее время она была с успехом перенесена
на оптические измерения, причем в качестве \|^
использовались собственные функции с двойной
ортогональностью [6, 18—20]. Как и следовало ожидать, результат
вполне эквивалентен тому, который получается при
детерминистическом подходе.
Иногда при статистическом подходе игнорируются
важные свойства входных процессов, в частности,
финитность входа, что приводит к неверным выводам о
пределе разрешающей силы. Примером может служить
рассмотрение задачи разрешения с использованием теоремы
Котельникова.
При рассмотрении понятия разрешающей
способности в оптике с точки зрения теории информации принято
считать, что преобразование Фурье аппаратной функции
финитно. Поэтому выход прибора F(y)> описывается
целой функцией конечной степени и может быть
представлен рядом Котельникова, причем интервал между
выборками определяется наивысшей «частотой» спектра
аппаратной функции h(x).
Поскольку выход всегда измеряется с некоторой
неточностью, а функция F(y) убывает при |#|-»оо, мы
практически можем измерить конечное число выборок
на выходе и составить ряд Котельникова для F(y) с
конечным числом членов. Эта мысль используется в
работе [14] в качестве доказательства того факта, что
использование прибора с аппаратной функцией, имею-

§ 8.6] РАЗРЕШАЮЩАЯ СИЛА ЛИНЕЙНОГО ПРИБОРА 341
щей финитное фурье-преобразование, приводит к
значительной потере информации о входе, так как вход
имеет бесконечное число «степеней свободы», а
выход—конечное, равное числу членов ряда Котельни-
кова, использованных при разложении F{y).
Однако этот вывод, вообще говоря, неверен, так как
выход F(y), измеренный с достаточной точностью на
любом конечном интервале значений у, так же как и вход,
характеризуется сколь угодно большим числом
«степеней свободы».
В действительности число «степеней свободы»
функции не связано однозначно с методом их подсчета.
Ошибочное заключение о равенстве числа «степенен
свободы» количеству использованных членов ряда Ко-
тельникова есть следствие дефектности способа подсчета
числа «степеней свободы».
Поэтому выводы о пределе разрешающей
способности, сделанные на основе представления выхода F(y)
конечным числом членов ряда Котельникова с
равномерными отсчетами, оказываются неверными.
Действительно, при финитности входа f(x) и финитности спектра
аппаратной функции мы можем полностью определить
вход f(x) по выходу F(y), известному на любом сколь
угодно малом конечном интервале (у\у у^)
значений У-
В частности, наши выводы о пределе разрешающей
способности в силу аналитических свойств функций f (со)
и F(y) остаются в силе, если нам известны значения
F(y) на интервале, Ау = \у\ — у2\ таком, что его
величина меньше интервала между выборками в теореме
Котельникова. Очевидно, что подход к решению задачи
о разрешающей силе с точки зрения ряда Котельникова
для равномерных отсчетов лишен в этом случае всякого
смысла.
Вывод о наличии предела разрешения, аналогичного
рэлеевскому, обычно обусловлен тем, что
рассматривается ненужное расширение класса входных сигналов,
и в него включаются входы бесконечной протяженности.
При этом встречаются парадоксальные обоснования
целесообразности такого расширения класса входных
сигналов. В работе [1] утверждается, что подсчет

342 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ПО ОТКЛИКУ [ГЛ. VIII
разрешающей силы оптических систем типа микроскопа,
основанный на предположении о финитности входа,
лишен смысла, поскольку поле зрения микроскопа
практически безгранично, и можно представить сигналы, которые
имеют сколь угодно большую протяженность.
Действительно, при решении некоторых задач
протяженность сигналов можно считать сколь угодно боль-
шой, даже бесконечной, и мы широко пользовались этим
(см., например, гл. III, IV). Но переход от конечной
протяженности к бесконечной — это идеализация, к которой
необходимо всегда подходить с большой осторожностью.
В частности, делать такое предположение при подсчете
разрешающей силы микроскопа нельзя, поскольку поле
зрения, микроскопа всегда ограничено, и безграничным
его можно считать только с точностью до А/А где % —
длина волны, D — размер диафрагмы. Как правило,
в оптических системах X/D настолько мало, что
конечность поля зрения не проявляется. Однако при
исследовании сигнала на выходе антенны, у которой величина
X/D уже имеет заметную величину, ограниченность поля
зрения или области видимости играет существенную
роль.
Вход и выход антенны связаны соотношением (8.1.1),
где h(x) — диаграмма направленности, f(x)-—
распределение амплитуд отраженных сигналов по координате х.
Координата х является обобщенной угловой
координатой: х = (£>A)sin0, где 0 — обычная угловая координата,
изменяющаяся на интервале 0 ^ 0 ^ я. Естественно, что
f(x) определена только при |x|^D/X и пределы
интеграла в (8.1.1) конечны. Это означает, что все
возможные входы можно считать финитными, и при отсутствии*
погрешности их можно однозначно восстановить по
записи процесса на выходе сканирующей антенны [15].
Последний вывод остается в силе и для оптических систем,
в частности, для микроскопа, поле зрения которого
всегда конечно. Следует заметить, что при оптических
измерениях величина h/D настолько мала, что указанные
утверждения при современном уровне измерительной
техники вряд ли имеют практическое значение. Тем не
менее, при рассмотрении принципиальной сторрны их
следует иметь в виду.

§8.71
ПОДОБНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
343
§ 8.7. О подобном преобразовании
входного воздействия линейным прибором
Проблема подобия, т. е. нахождение условий, при
которых выход линейного прибора будет повторять в
некотором масштабе структуру самого входного
воздействия, имеет важное значение в ряде областей физики
и техники, особенно в квазиоптике. Впервые задача о
подобии была рассмотрена Л. И. Мандельштамом [21, 22].
Условие подобия между входом f(x) и выходом F(y)
(при соответственно подобранном масштабе по оси у
(см. § 1.3)) можно записать в виде
tf{y) = F{y\ (8.7.1)
где А.—некоторая постоянная.
Используя основное интегральное уравнение (8.1.1),
запишем условие подобия следующим образом:
оо
Af(</)= J f(x)h(y-x)dx. (8.7.2)
— оо
Задачу о подобии можно рассматривать как на
конечном, так и на бесконечном интервале. Задача о
подобии на конечном интервале изложена в работе Л. И.
Мандельштама (гл. 1, [4]). В этом случае речь идет о
нахождении условий, при выполнении которых выход прибора
повторяет структуру входа на некотором заданном
конечном интервале (—а, +а). При таком подходе мы
требуем выполнения соотношения (8.7.2) лишь при \у\ ^а
и не интересуемся соотношением между входом и
выходом вне рассматриваемого интервала.
Другая постановка задачи может быть названа
задачей о подобии на всей оси. Она предполагает, что выход
прибора F(y) для всех у подобен входу, т. е. на всей оси
выполняется соотношение (8.7.2).
Рассмотрим сначала задачу о подобии на конечном
интервале в предположении, что аппаратная функция
h(x) фиксирована и четна: h(х) = h(—х), и попытаемся
найти входы, дающие подобные себе выходы.
Будем искать решение задачи в классе входов,
финитных на (—а, +а). Тогда для определения функции /(*),

344 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ПО ОТКЛИКУ [ГЛ. VIII
заданной на интервале (—а, + а), мы получаем
соотношение
а
№= \f{x)h{y-x)dx (\y\<a). (8.7.3)
-а
Это — интегральное уравнение типа Фредгольма
первого рода с симметрическим ядром. Из общей теории
интегральных уравнений известно (см. гл. II), что оно
имеет бесчисленное множество решений, которые
являются собственными функциями этого интегрального
уравнения, а соответствующие числа А, — собственными
значениями.
Рассмотрим теперь энергетические соотношения при
подобном преобразовании. Очевидно, вся энергия
функции f(y) не сосредоточена на интервале [—а, +а],
поскольку f(y) есть целая функция, которая не может
равняться тождественно нулю при \у\^а. Поэтому
подобное преобразование неизбежно сопровождается потерей
энергии. Коэффициент полезного действия по энергии,
очевидно, равен Х2п, т. е. убывает с ростом п. Попытаемся
максимизировать к. п. д. подобного преобразования,
подбирая аппаратную функцию h(z). Как было показано
в гл. VII, целая функция f(y), имеющая максимальную
энергию на интервале [—а, +а] при заданной полной
энергии, совпадает с нулевой сфероидальной вытянутой
функцией г|?о(#, с), удовлетворяющей интегральному
уравнению
М> {у 1а, с) = J sl^ffj;f + (x) dx. (8.7.4)
Сопоставление (8.7.4) с (8.7.3) показывает, что нулевая
сфероидальная функция, во-первых, имеет максимально
возможную энергию в нужном интервале |г/|^а и,
во-вторых, изображается подобно себе на интервале \у | ^ а
с к. п. д. Ajj, если аппаратная функция есть
Q
/?(z) = ^-=i- je'i'dl (8.7.5)
'8

§ 8.fl
йодоЬноё Преобразование
345
Таким образом, максимальный к. п. д. при подобном
преобразовании реализуется, если аппаратная функция
имеет фурье-преобразование, совпадающее с постоянной
на интервале, где %(со)фО. Нетрудно убедиться, что
набор первых N + 1 вытянутых сфероидальных функций
г|?о, г|?ь ..., \|?jv является набором функций, имеющих
максимально возможные к. п. д.
Другими словами, первая сфероидальная функция
имеет максимальный к. п. д. при подобном
преобразовании среди всех функций, кроме г|?0, вторая — среди всех
функций, кроме \J?o, t|?i и т. д. (гл. VII, [2]).
Полученные результаты легко обобщаются на
многомерный случаи. Пусть входной сигнал f(xu лг2, ...) равен
тождественно нулю вне некоторой области А. Нам
необходимо найти аппаратную функцию h(zu z2, ••) такую,
что выход
Р(Уь Уъ ...)-
= J h{zx — хь z2 — х2 .. .)/(*ь хъ .. .)dx{ dx2 ..., (8.7.6)
А
во-первых, подобен f(xu x2i ...), т. е.
Р(Ух, Уъ ...) = Я/(У1, у29 ...), (8.7.7)
и, во-вторых, величина X по возможности максимальна.
Решением задачи является собственная функция
интегрального уравнения
Ы {у и Уъ •••) =
858 $ к0(х{-уих2-у2, ...)f(xl9x2, ...)dx{dx2 ..., (8.7.8)
А
а оптимальная аппаратная функция имеет вид
M*i, *2. ..'О-J e'6A+'to+":-«irf|2.-., (8.7.9)
где Q — область, на которой фурье-преобразованне
%o(cdi, 0)2, ...) отлично от нуля. Доказательство этого
утверждения базируется на двойной ортогональности
собственных функций интегрального уравнения (8.7.8)
с ядром типа (8.7.9). Заметим, что в случае А = Q (или

346 60СС1АН0ЙЛЕМЙЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ По ОТКЛИКУ [ГЛ. Vltt
в одномерном случае при Q = а) фактически имеет
место двойное подобное преобразование, поскольку фурье-
преобразование пропорционально г|?0(о>ь «2, • ■• •)» так чт0
\ро(ati, *2, ...) сначала подобным образом отображается
в пространство спектров, а затем —в пространство вы*
ходов.
Решим теперь задачу о подобии на всей оси [23].
В этом случае вход f(x) и выход f(y) определены на
всей оси, и поэтому в уравнении (8.7.2) можно перейти
к преобразованиям Фурье
Aft©) = f (©)£(©). (8.7. Ю)
Из этого соотношения следует, что для каждой точки <©
должно выполняться одно из следующих условий:
либо
Я (©) = *,, (8.7.11)
либо
f(©)**0. (8.7.12)
Если Тг(со) =Я для любого со, то /'(со) может быть
совершенно произвольной функцией, т. е. в этом случае
все входы будут давать подобные себе выходы.
Соответствующая этому случаю аппаратная функция имеет вид
h(x) = M(x). (8.7.13)
В оптике, например, соответствующий прибор строит
изображение по правилам гауссовой диоптрики, ибо
в этом случае изображением точки (которой
соответствуем распределение вида 6(х)) является точка.
Вообще же из условий (8.7.11) и (8.7.12) можно
сделать такой вывод: при выполнении условия (8.7.11) на
отдельных участках оси со подобные себе отклики будут
давать только те входы, которые имеют преобразования
Фурье, обращающиеся в нуль всюду вне этих участков.
Например, для аппаратной функции
Л(Д) «»!££./ (8.7.14)

§ 8.7] ПОДОБНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 347
преобразование Фурье которой имеет вид
) у у при |©|<1,
О при |оо|>1,
«(©) =
(8.7.15)
подобные себе выходы будут давать входы, представи-
мые в виде
/М = у=- J" ?(©)*'•*<*©, (8.7.16)
где
7(оо) = 0 при |оо|>1.
Если предположить, что преобразование Фурье
аппаратной функции финитно, то согласно формуле (8.7.10)
выход прибора в этом случае есть функция с финитным
спектром, которая согласно теореме Винера — Пэли не
может обращаться в нуль на каком-либо конечном
интервале значений у. Это означает, что подобно себе
изображающиеся входы в этом случае не могут иметь
конечную протяженность. Таким образом, из приведенного
решения поставленных задач о подобии на конечном и
бесконечном интервалах можно сделать следующий
вывод: в случае, когда вход f(x) финитен, задача о
подобии на конечном интервале всегда имеет решение, в то
время как подобие на всей оси невозможно.

ГЛАВА IX
ФИНИТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
ЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ
§ 9.1. Постановка задачи
Речь будет идти об управлении некоторой
динамической системой или объектом, причем цель управления
состоит в переводе системы из некоторого начального
состояния в другое заданное состояние в течение
заданного интервала времени.
Например, поезд, движущийся по расписанию,
должен за заданное время пройти определенный путь,
скажем из традиционного пункта А в пункт В. При этом
у машиниста, конечно, есть много вариантов управления
движением поезда, теоретически — бесконечно много.
Здесь под управлением понимается полный комплекс
воздействий на локомотив, который имеется у
машиниста. Таким образом, машинист может на одних участках
пути двигаться быстрее, на других — медленнее. Могут
произойти различные непредвиденные события,
задерживающие движение, и в результате придется нагонять.
Нет нужды при изучении движения между пунктами А
и В интересоваться тем, как будет осуществляться
движение после достижения пункта В. Поэтому,
ограничиваясь изучением движения и управления этим
движением лишь в течение времени, заданного расписание^,
удобно считать, что после достижения пункта В поезд
далее не движется, и управление им также
отсутствует.
По достижении конца заданного временного
интервала обобщенные координаты системы не обязательно

§0.1]
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
349
должны быть нулевыми: при выведении ракеты на
орбиту нужно за заданное время достичь определенных
координат и составляющих вектора скорости, после чего
управление отключается.
В общем случае управление, да и всю систему мы
будем рассматривать лишь на некотором фиксированном
отрезке времени [О, Г], а вне него управление будем
считать тождественно равным нулю. Такое управление
будем называть финитным на [0, Г], или, если это не будет
вносить путаницу, просто финитным.
Конечно, не всегда существует управление,
обеспечивающее достижение нужных координат и скоростей за
заданное время.
В самом деле, в классе управлений, находящихся во
власти машиниста поезда, к сожалению, нет такого,
которое при скорости в 60 км/час, т. е. 17 м/сек, могло бы
полностью остановить состав, скажем, за 0,5 сек,
необходимых зазевавшемуся пешеходу, чтобы перебежать
рельсы!
Поэтому в общем случае управление U выбирается
из какого-либо заданного класса допустимых управлений
{и} = £/, и, очевидно, далеко не для всякой системы
такое управление может быть найдено.
Естественно, что важно выяснить условия,
гарантирующие существование финитного управления, при
котором обеспечивается решение поставленной задачи. Как
мы уже заметили, если существует хоть одно финитное
управление, реализующее переход системы из начального
состояния в заданное конечное состояние за заданное
время, то, вообще говоря, может быть много различных
таких управлений и соответственно траекторий движения
системы. В этой ситуации возникает возможность
ставить и решать задачу оптимизации управления: из всех
допустимых финитных управлений, реализующих
переход системы из начального состояния в заданное
конечное состояние за заданное время, выбрать то, которое
минимизирует некоторый функционал. Этот функционал
характеризует качество управления (например,
затрачиваемую на перемещение энергию^.
Именно этим кругом задач мы и будем сейчас
заниматься. Методы, которыми мы пользуемся в этой книге,

350 ФИНИТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ [ГЛ. IX
дают возможность изучить проблемы финитного
управления в линейных системах, которыми мы и
ограничимся.
В этом параграфе приведем точную постановку одной
из возможных задач для систем с сосредоточенными
параметрами [1], [2], [3].
Пусть состояния системы описываются системой
дифференциальных уравнений, которая в матричной форме
имеет вид
x(t) = Ax{t) + Bu(t) + v{t) (0</<Г), (9.1.1)
где *(0> ф(0» а(0—соответственно вектор-функции
решения (состояния), возмущающего воздействия и
управления, записанные в виде матриц-столбцов:
(9.1.2)
Матрица А = (a*.?)— квадратная, порядка п X пу
матрица В = (bij) размера п X т с коэффициентами, не
зависящими от времени. Запись Ax(t) или Bu{t) означает
обычную операцию перемножения матриц по правилу
«строка на столбец».
Мы будем полагать, что все компоненты tii(t), q>k(t)
(/==1, ..., m, й=1, ..., п) принадлежат L2(0, Г).
Таким образом, в частности, рассматриваемый нами
сейчас класс допустимых управлений состоит из наборов т
функций tii{t), ..., Um(t)-9 каждая из которых
принадлежит пространству L2(0, T). Пусть начальное состояние
системы *(0) = х°. Можно показать, что при этих
условиях существует решение системы (9.1.1) — вектор-функ-

SM
КРИТЕРИИ УПРАВЛЯЕМОСТИ
331
ция x(t) с абсолютно непрерывными*) компонентами,
удовлетворяющая (почти всюду) на интервале' (О, Т)
системе (9.1.1).
В силу линейности системы конечное состояние
можно положить равным нулю ж(7) = 0; это достигается
обычным приемом — заменой x(t) на x(t)— х(Т).
Итак, первая задача состоит в подборе управления
u(t) е £г(0, Т)у при котором система за время О ^ / ^ Т
совершает траекторию из начального состояния х(0) = х°
в конечное состояние х(Т) = 0.
§ 9.2. Критерии управляемости
После того как система приведена в нулевое
состояние в момент / — Г, управление прекращается, и поэтому
на полупрямой Т < t < + оо как управление u(t)y так и
возмущающее воздействие <р(/) будем полагать
тождественно равными нулю. Так как в изучаемой ситуации
«жизнь» системы начинается при t = 0» то доопределим
функции u(t) и ф(/) при —оо < / < 0, положив их также
тождественно равными нулю. Это позволяет вектор
состояний системы x(t) также считать равным нулю как
при Т < t < + оо, так и при —оо < / < 0. Таким
образом, u(t), ф(/) и х(/)— финитные**) функции на [0,7].
Система (9.1.1) называется управляемой, если при
любом допустимом возмущении (здесь ф(()е12(0,Г))
и любом начальном условии *(0) = *0 найдется в
классе допустимых такое управление u(t) (здесь и(/)е
eL2(0J)), при котором система совершает за время
Q ^.t ^Т траекторию из х° в х(Т) = 0, т. е. решение
системы (9.1.1) удовлетворяет граничным условиям *(0) =
= *°, х(Т) = 0.
В соответствии с нашими предположениями,
равенством Парсеваля и теоремой Винера — Пэли
*) То есть представимыми в виде xk (t) = У^(т) dx, где интеграл
о
понимается в смысле Лебега, a yh (т) — суммируемые функции.
**) Вектор-функцию мы-будем называть финитной на (0,Г), если
все ее компоненты финитны на (0, Г).

352 ФИНИТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ [ГЛ. IX
преобразования Фурье
т
ua(<a)-y=je-™ut(t)dt,
фДюН-^г) e-^,(t)dt,
(9.2.1)
je/(<B)=-^.J e-^Xi(t)dt,
' О
s= 1, ..., m, /= 1, ..., n J
будут целыми функциями комплексного переменного
z = со + гу конечной степени, не превосходящей 7 и
интегрируемыми на вещественной оси со. Гильбертово
пространство таких функций будем обозначать Wt-
Мы не будем слишком подробно пояснять все далее
идущие выкладки; заинтересованный читатель может
провести их самостоятельно.
Введем некоторые обозначения. Характеристический
многочлен системы (9.1.1) обозначим
/±(X) = Det(XE-A),
(9.2.2)
где, как всегда, Е — единичная матрица также порядка
п X я. Далее, через С(Х) обозначим матрицу,
присоединенную к матрице Л, т. е. удовлетворяющую соотноше*
ниям
{ХЕ -А)С{Х)~С {X) {ХЕ - А) - Д (X) Е. (9.2.3)
Отсюда, очевидно, следует
(^-4) =мХГс^
(9.2.4)
Применим к обеим частям системы уравнений (9.1.1)
преобразование Фурье, что возможно, так как входящие
в уравнение функций финитны и квадратично
интегрируемы.

§ 9.2] КРИТЕРИИ УПРАВЛЯЕМОСТИ 353:
После элементарных преобразований (см. также
§ 2.3) с учетом начальных условий х(0) = х° получим
(тЕ - А) х (со) = Ви (со) + <р (©) + -?L=- х\ (9.2.5)
V 2л
откуда (см. (9.2.4))
i(co) = (тЕ - АУ{ \ви (со) + Ф (©) + -^=- ж°1 =
- -1— С (to) Гвн (со) + ф (со) + -^ хЛ. (9.2.6)
А (на) [ у 2л J
Пусть A,i, Я2, ..., Я/j —корни характеристического
многочлена Д(Я) соответственно кратностей /гь /г2, ..., пи
(tii + п2+■... + rtk = п). Векторное равенство (9.2.6)
эквивалентно системе п равенств для компонент Жй(со)..
Так как. левые части этих равенств —функции Xk((o)—
целые функции, то и правые части не должны иметь
полюсов в точках to = hk. Следовательно, должна
выполняться система равенств
(c(4^W + <p((o) + ^L-Jt°lfp) -0 (9.2.7)
(р= 1, ..., ft, rp = 0, 1, ..., пр- 1).
Эти уравнения можно разрешить относительно спектра
управления. Производя соответствующие выкладки,
получим алгебраическую систему линейных уравнений
относительно значений #s(co) и их производных в точках
to = Кр:
^И.-* -«д* (9-2-8)
р
{р= 1, ..., ft, г = 0, 1, ..., л,- 1, 5= 1, ..., га),
где tipsr— вполне определенные числа, однозначно
определяющиеся значениями вектор-функций С(ш)В и ф(со)
и их соответствующих производных в точках со = — i%p.
Итак, если система (9.1.1) управляема, то при
любых допустимых ф(/) и х° алгебраическая система
уравнений (9.2.7) совместна. Покажем, что справедливо и
12 Я. И. Хургин, В. П. Яковлев

354 ФИНИТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ [ГЛ. IX
обратное утверждение: если система (9.2.8) (или
эквивалентная ей система (9.2.7)) совместна, то при любых
допустимых <р(/) и х° система (9.1.1) управляема.
Пусть система алгебраических уравнений (9.2.7)
совместна, и числа Upsr — решения этой системы. Тогда мы
решаем интерполяционную задачу: в классе и (со) е WT
найти вектор-функцию а (со), удовлетворяющую
соотношениям
й{?{а>)\ш=1р = %3г (5=1,..., т), (9.2.9)
где Ms (со) — компоненты и (со).
Такая задача, очевидно, разрешима (§ 2.9). При этом
обратное преобразование Фурье функции и (со) будет
управлением. Действительно, так как имеют место
равенства (9.2.7), то правые части (9.2.6) представляют
собой целые функции класса WT, а следовательно, они
удовлетворяют уравнению (9.2.5), которое
эквивалентно*) исходной системе (9.1.1) с граничными условиями
*(0) =*°, х(Т) = 0.
Сформулируем теперь полученный критерий
управляемости.
Для того чтобы система (9.1.1) была управляема,
необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая система
уравнений (9.2.7) относительно неизвестных iiPsr =
= йТ (<*>) |г(0==^р была совместна при любых начальных
условиях х(0) = х° и любых допустимых возмущениях:
q>(0&L2(0, T).
Будем называть этот критерий управляемости
предварительным. Дело в том, что полученный критерий не
удобен для практического использования: проверка
совместности системы линейных уравнений — задача
громоздкая. Поэтому мы сейчас приведем другой,
эквивалентный этому, критерий, дающий возможность легко
проверить, управляема ли система.
*) В действительности здесь есть тонкость
теоретико-функционального характера: можно лишь доказать, что обратное
преобразование Фурье функции #(со) эквивалентно некоторой абсолютно-
непрерывной вектор-функции x(t) с граничными условиями х(0) =
= х°у *(Г) = 0. Мы здесь не будем на этом останавливаться.

§ 9.3] ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО СКАЛЯРНОГО УПРАВЛЕНИЯ 355
Составим матрицу размерами п X (п + т) из
столбцов матриц ХЕ — А и В, приписав их последовательно:
/к — ап а12 ... аы bn b\2
#21 ^ """" #22 • • • #2« ^21 ^22
#«1 ап2 ••• А —ап/1 ^«1 ^«2
Правая часть (9.2.10) — это обозначение.
Критерий управляемости. Для того чтобы
система (9.1.1) бмла управляема, необходимо и
достаточно, чтобы ранг составной матрицы {kvE — Л, В} был
равен п для любого корня Кр {р = 1, ..., k)
характеристического уравнения А {%) = 0.
Доказательство эквивалентности сформулированных
критериев, предложенное И. Ф. Красичковым-Тернов-
ским, основано на чисто алгебраической технике и
поэтому вынесено в Приложение V.
§ 9.3, Построение оптимального скалярного управления
Понятие оптимальности управления далеко не
однозначно, и всегда, когда речь идет об оптимизации
управления, необходимо указать сначала критерий
оптимальности.
Мы так и поступим. Но предварительно приведем
некоторые дополнительные рассуждения и необходимые
выкладки.
Построение оптимального .управления для системы
(9.1.1) мы приведем в несколько более простом случае,
когда управление u(t) представляет собой скалярную
функцию. Тогда матрица В оказывается одностолбцовой
Ьх
В-
Ьп
(9.3Л)
12*

«356 ФИНИТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ [ГЛ. IX
Она описывает коэффициенты, с которыми управление
входит в каждое из уравнений, и может трактоваться
как вектор с компонентами (6Ь ..., 6П).
Для случая скалярного управления критерий
управляемости может быть сформулирован в другом
эквивалентном виде (см. Приложение V). . .
Система (9.1.1) управляема тогда и только тогда,
когда будут отличны от нуля все векторы С(ЯР)В:
С(ЬР)ВФ0 (р=1, ..., k). (9.3.2)
Для удобства записи формул будем рассматривать
систему заданной на временном интервале —я ^ f ^ я.
Это не ограничивает общности, так как линейной
заменой времени
произвольный отрезок [О, Т] переводится в отрезок
[—я, я].
Теперь компоненты q>j(t) и Xj(t) (/ = 1, ..., п) и
скалярная функция u(t) будут принадлежать L2(—я, я),
а их преобразования Фурье Ф?(со), £j(co) и гг (со) будут
принадлежать Wn.
Граничные условия также изменятся:
*(-яН*°, *(я) = 0, (9.3.3)
а формулы (9.2.6) и (9.2.7) приобретут соответственно
вид
* (®) - Т7^ С (*°) \Bl М + * (ш>+ ^ *°*Н' <9Л4)
А (/со) L У 2л J
[С (to) Вн (©) + С (to) Гер (©) + -^л°е*™]]{Гр) = О
I L К 2л JJ/©-*p
(9.3.5)
(р= 1, ..., *, гр = 0, 1, ..., пр- 1).
Интерполяционная задача (9.2.8) примет более
простой вид, так как управление состоит всего из одной,
компоненты:
й[2\ш=кр = ирГ (р = 1, ... k, г = 0, 1, ..., tip- 1).
(9.3.6)

. § 9.31 ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО .СКАЛЯРНОГО УПРАВЛЕНИЕ 357-
Будем в дальнейшем предполагать/что система
управляема, так что условия (9.3.2) выполнены. . *
Ясно, что решение интерполяционной задачи (9.3.6)
в пространстве Wn не единственно, и множество всех ее
решений состоит из функций вида
и (оо) = й0 (оо) + Д (ш) v (со), (9.3.7)
где но (со)—какое-либо решение интерполяционной
задачи (9.3.6), принадлежащее Wn, и произведение
А (но) и (о>) ^ W^ так что функция v(co) —целая функция
такая, что
-' " Л(со)е= И?л. (9.3.8)
Обозначим множество всех функций v,
удовлетворяющих (9.3.8), через V = {v}. Когда v пробегает множество
1/, функции и (со) вида (9.3.7) пробегают множество
всех решений интерполяционной задачи (9.3.6).
Т1рдставим (9.3.7) в выражение (9.3.4) для фурье-
преобразования решения
X (СО) - £M(fi [fi0(iD). +A №V (CO)] + ф ((*)+* *V™W
Д {№) [ у2л)
. = С (m)Bv (со) + £М Гяй0 (ш) + ф (ш) + -^ *V™| -
™а(©)о(ш) + Р(©), (9.3.9)
где а(со);и р(о>) —это обозначения соответствующих век-
тор-функций, причем компоненты ai(co), ..., an((o) —
это многочлены степени не выше п.— 1, а компоненты
pi(co), ..., рп(со) принадлежат Wn. '• '
. >Итак, решение краевой задачи не единственно. Оно
определено с точностью до произвольной функции ugK
В этих условиях возможно и естественно поставить
задачу выбора оптимального, управления.
Мы выберем в качестве критерия качества
управления квадратичный функционал. Это естественно в
условиях, когда мы выбрали в качестве класса допустимых
управлений и решений пространство L2(—я, я).
12 Я. И. Хургин, В. П. Яковлев

358* ФИНИТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ [ГЛ. IX
Итак, пусть критерием качества управления будет
функционал
-л l/*=l
Этот функционал пропорционален сумме полной энергии
системы и управления за время Г.
Позже мы укажем функционал более общего вида.
Чем меньше величина функционала (9.3.10), тем
лучше управление. Поэтому поставим перед собой задачу
найти в классе допустимых оптимальное управление
«опт.(0» Т-е- управление, которое минимизирует
функционал (9.3.10).
Переходя к преобразованиям Фурье и пользуясь
равенством Парсеваля для каждой из компонент, запишем
(9.3.10) в эквивалентной форме:
I (и)-** J j J] I х, W\ +1 й (<d) |2 <f®. (9.3.11)
Теперь в соответствии с (9.3.7) и (9.3.9) выразим
значения этого функционала через функцию v(со),
которая находится в нашем распоряжении, и мы можем ее
выбирать по своему усмотрению среди функций
множества У Имеем из (9.3.9)
Uy(tt>)|2 = |a/(a>)t;((D) + p/(tt>)|2^
-I<*/ (<о) I21 v (g>) |2 + 2 Re a, (to) p7(©) »(®) + 1 P/ Й i2- (9.3.12)
Аналогично из (9.3.7) следует
|Й(©)РЧМ'®)Н<К©)Р + ^
(9.3.13)
Складывая две последние формулы, получаем
2 | *, (to) I2 +1 й (со) |2 = р2 (со) | о (со) f+2 Re q (со) о (<о)+г2 (ю),
1=1 (9.3.14)
Л. (9.3.10)

§9.3] ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО СКАЛЯРНОГО УПРАВЛЕНИЯ 35)
где приняты обозначения
Р2И=2|ау(0)р + |Д(ш)К
/-1
п '
?(©) = 2 ау (©) р/ (оо) + Л (ко) й0 (<*>), (9.3.15)
г2 (а>) == I] | р7 (а>) Р +1 й0
Функция /?2(со) представляет собой на вещественной оси
строго положительный многочлен степени 2/г, ибо
|Д(/со)|2 обращается в нуль лишь в точках ш = Яр,
а в точках ipy как это следует из условий
управляемости, вектор а(со) = С(/со)В— ненулевой. Функция г2(со)
интегрируема на вещественной оси, так как jJj(co) e И7Я»
а функция ^(со) такова, что {l\J\n g УЯ'
Преобразуем выражение (9.3.14):
p2|t;|2 + 2Re^ + r2 = p2|t;|2 + 2Re^up + r2 =
/-+I
■+н-
<72 2
— = Р
р ! н
•+?
+ г2
, (9.3.16)
Отсюда, подставляя в (9.3.11), получаем
оо оо
(9.3.17)
Так как второй интеграл не зависит от v(со), то задача
свелась к минимизации в классе {у} = V функционала
оо
/(о)- J р2(с») |о (й) - /(а) |2Ж», (9.3.18)
— оо
где /(оо)=—^^т и р2(со)— известные функции.
Задача минимизации функционала (9.3.18) эквива-,
лентна задаче отыскания функции v в классе V, дающей
наилучшее приближение 7 в гильбертовом пространстве
L2P измеримых функций, интегрируемых в квадрате на
12*

360. ФИНИТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ ГГЛ. IX
вещественной оси с весом р2(со). В этом пространстве
скалярное произведение задается формулой
оо
(f, §) = JV («>)/(«>) g И da. (9.3.19)
— оо
Класс V, очевидно, принадлежит L2P\ можно также
показать, что V — замкнутое подпространство в
гильбертовом пространстве Lp. Следовательно, наилучшее
приближение существует, единственно и представляет со-
бой проекцию /на подпространство V. Вычислим эту
проекцию.
Если еи £2, ... — какая-либо полная ортонормирован-
ная система в подпространстве У, то искомая проекция v
представляется рядом Фурье
оо
0=2% (9.3.20)
где Ck — (/, еЦ)— коэффициенты Фурье функции /(со) по
системе {ей} в подпространстве V.
Напомним, что ]/--это подпространство целых
функций степени не выше я и таких, что, будучи
умноженными на многочлен степени /г, они интегрируемы в
квадрате на вещественной оси (см. (9.3.8)). Можно по-разному
выбирать ортонормированную систему векторов в
подпространстве V. Мы сейчас обратимся к системе, тесно
связанной с финитностью изучаемых функций.
В соответствии с теоремой Котельникова имеем для
каждой / (z) €=Н7Л (см. (3.1.3)):
. , _ . ....... ор
/(2)-^Ц(-1)*/(*)-~5. (9.3.21)
— оо . ^
00 .
причем 21/(&)12<°°-
— оо
Если Q (-г) — любой полином степени пу то на
вещественной оси произведение y(co)Q(co)e Wn, и следова-

§ 9.3] ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО СКАЛЯРНОГО УПРАВЛЕНИЯ 361
тельно, по теореме Котельникова эту функцию можно
представить в виде
оо
v(z)Q(z) = %ak^, (9.3.22)
—оо \ ■
где
ak-(-l)kv(k)Q(k). (9.3.23)
Следовательно, деля (9.3,22) н.а. Q(z), можно записать
оо
— оо
Если не наложить дополнительных требований^ на
полином Q(z), то формула (9.3.24) представляет собой
разложение в ряд, вообще говоря, по мероморфным, а
не по целым функциям, а класс функций, допускающих
такое представление, б^дет более широким, чем V. Для
того чтобы не выходить из подпространства V, следует
потребовать, чтобы функции п (гиГ~ k) были Целыми,
т. е. потребовать, чтобы полином Q (г) имел простые
нули в п каких-либо целых точках. Положим, например,
Q (а) «П (*■-*). (9.3.25)
Пусть S обозначает множество всех целых чисел, за
исключением чисел 0, 1, ...» я — 1. Рассмотрим систему
функций
gft(*)=Q(Si)("-fe) (A:sS>- (9Л26)
Из (9.3.24) следует, что система {gk} полна в
подпространстве V. Для дальнейшего нам удобно ортонормиро-
вать систему функций fe>i}.
Если воспользоваться обычным методом ортогонали-
зации системы векторов (см., например, [4]), то нужно
вычислить скалярные произведения
оо
(ft.*)- /^(«>)у.(ф^"и,т0; (k.^S), .
(9.3.27)

362 ФИНИТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ [ГЛ. IX
Как мы уже заметили, /?2(со) представляет собой на
вещественной оси многочлен; он может быть продолжен
на всю комплексную плоскость z = со + iy. Вычисляя
теперь интегралы, (9.3.27) с помощью теории вычетов,
получаем (k,l^S)
я-1
(gfe,&) = "2S [„,,(„_!.
Р2(т)
т=о
■m)\]s(m-k)(m-l)
При кф1;
п-\
(gk, gk) = n2 J
Р2(т)
т-0
[ml (n-\-m)\f(m-k)2
+ я2
P4k)
k2(k-\)2+ ... +(k-n+\y
, (9.3.28)
при k = l.
Пусть fu f2, ... — система {gk} (teS),
перенумерованная каким-либо образом от 1 до оо. В результате
процесса ортонормирования получим систему
вц V^n-x
(fu f.) (fu f2)
(U, П) (f2, /2)
(fu /„-.) /1
(/2, fn-i) k
(fn, fi) (fn, f2) ... (fn, fn-l) fn
, (9.3.29)
где
A„
(/., /1) (fu h)
(h, /.) (/2, fo
(fufn)
(/2, /„)
(fn,fl) (Lf2) ... (fn,fn)
-—определитель Грамма.
В силу формул (9.3.28) элементы этих-определителей
вычисляются по значениям р2(со) э точках 0, 1, ,,,

§ 9.3] ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО СКАЛЯРНОГО УПРАВЛЕНИЯ 363
..., п— 1. Коэффициенты Фурье функций /(со) по
системе ей ^2, ... определяются по формулам
<* = (*.**) =
/Л/А,-.
(fu fi) ... (fi> L-i) (/, /i)
(/», /l) • • • (fu, k-l) (/, fu)
(9,3,30)
Поэтому для их вычисления требуется предварительно
вычислить скалярные произведения
оо
it \ Г 9/ \ /(со) sin л© ,
(1,80-. J J»2(*>.<?(,»)(»-*)<*»- . ,.....,.,,
—00
00 " ""
--.[*<•> QW(?-ty d* <* e S> • (9-3.31)
При вычислении этих интегралов можно
воспользоваться тем обстоятельством, что q(&) есть сумма
функций вида R(со)/(со), где #(со)-— многочлен степени не
выше /г, a f(co)e И?я. Тогда задача сводится к
вычислению интегралов вида
00
Л= I^H/MQM^-fe)^ (9.3.32)
— оо
Подставив в эту формулу выражение
оо
К®) =4 S (-1)mf('«)f^-. (9.3.33)
m=»-^oo
получим

ФИНИТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ ГГЛ. IX
Теперь задача сводится к вычислению интегралов вида
оо
Г R (со) sin2 я© , /л о ос\
X) v -;—=—гт гт^сд. (9.3.35)
J Q (со) (со - т) („со - fe) v '
Вновь пользуясь теорией вычетов и проводя
соответствующие вычисления, имеем *
A-irf—П*""1 V K(m)f (m) ,
m«0
+д И!Ш№ , (9.3.36)
Учитывая, что д(со) есть сумма функций вида /?(ю)/((о),
получим
оо
(/. 5*)-- |^(°>)(г(анГ-й)Дт"
— ОО
и-1
~~пу l) ZJL ml(rt-l-m)! "^я"■*(*- 1)-...(*-«- I)*
т=»0
{9.3.37)
Итак, коэффициенты Фурье с* функции /(о) можно
вычислить при помощи несложных алгебраических
операций над значениями p2(r)y q(r) в целых точках г =
= О, 1, ..., n—l,k. Наилучшее приближение для /(со)
имеет представление
/(a)-2**** К (9.3Г38)
причем ||/|р— 2kJ2<+°°« Так как этот ряд сходится
оо
в Lp, то ряд Д(/<о), 2 скекЩ. сходится в L2(~oo, об),
1 V/,

•§ 9.3] ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО СКАЛЯРНОГО УПРАВЛЕНИЯ 365
причем для «хвоста» ряда имеет место оценка
-оо, оо)
1Д (/со) 2 ckeh{a)f
II k>m It*
-||Л(ш)|2| J]cfteft(fi>)
—оо I k>m
оо
tf©<
I fc>m
rf© = Af
2j **** I
k>m
- Al S I с* Р, (9.3.39)
k>m
ГДе M = SUp ' , (^y . ФУНКЦИЯ Йопт (©) S W ПУ
минимизирующая функционал (9,3.11) при условиях (9.3.5), имеет
вид
оо
йт(<й)-П0((й) + Ь{1<й)%скек((й). (9.3.40)
Обратное преобразование Фурье этой функции дает
искомое оптимальное управление Мопт(0-
Отметим, что обратное преобразование Фурье
функции
т
йт (ю)«- й0 (©) + А С©) 2 ^ (со) (9.3.41)
дает управление um(t), служащее m-й аппроксимацией
для Uom(t)- Погрешность такой аппроксимации равна
II «опт ^ #т 11я ~ II Йопт — "т Ik =
-lA(to) 2 ****(©) Г <Af 2 k*pf (9.3.42)
II &>т \\W k>m
где II Ил и II Ирг — нормы соответственно в пространстве
Lz(—я, л) и Wn. Отметим еще, что
У(иш) = /(иопт)+ Ц|сАр.
(9.3.43)

Збб ФИНИТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ [ГЛ. IX
Мы нашли оптимальное финитное управление для
системы (9.1.1), выбрав за критерий качества управления
величину функционала
Я / П
-Л 1/-1
x,(t)? + \u(t)?\dt. (9.3.44)
Выберем теперь критерий качества управления в.виде
функционала более общего вида:
Пп п
dxf (О
dt
2 + y\u(t)Adty
(9.3.45)
где otj, Pj, y~фиксированные неотрицательные числа.
Оказывается, что для определения оптимального
управления и0птУ)^ L2(—я, я), минимизирующего
функционал (9.3.45), нужно провести буквально те же
рассуждения, что были проведены выше, и получатся
окончательно аналогичные формулы (9.3.40), с той лишь
разницей, что в выражения (9.3.15) для функций р2(со),
q (со) и г2(со) войдут соответствующие суммы с
константами a,-, Pj, у. Мы не будем приводить эти легко
получаемые, но громоздкие формулы.
§ 9.4. Пример построения финитного управления
распределенной линейной системой [3], [5]
Рассмотрим теперь пример построения финитного
управления для систем с распределенными параметрами.
Пусть распределенный управляемый объект описы-^
вается одномерным волновым уравнением. Как известно,*
уравнениями такого рода описываются многие техничен
ские системы. Будем интерпретировать это уравнение
как уравнение колебаний струны. Распределение
отклонений описывается функцией Q(x, t), где
х-—пространственная, a t— временная координата. Эта функция под-

§ 9.4] ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ ФИНИТНОГО УПРАВЛЕНИЯ 367
чиняется внутри пространственного отрезка*) [0, я] и
при />0 волновому уравнению
?£- = S- №<*<*. *>0). (9.4.1)
Для определенности зададим граничные условия
Q (0, /) = и (/), Q (я, 0 = 0 (f > 0) (9.4.2*
и начальные условия
Q{x, 0) = Q0(*),
^Q (*, 0) = Q! (jc) (0<х<я).
(9.4.3)
Здесь w(0 (/> 0) —управление, Qo(*) и Qi(x)—
заданные (известные) функции, характеризующие начальное
распределение отклонений и скоростей.
Ставится следующая задача финитного управления:
найти управление u(t) такое, чтобы в течение отрезка
времени [0, Т] успокоить струну. Иными словами, нужно
на отрезке [0, Г] выбрать управление w(/),
принадлежащее некоторому классу управлений (У, такое, чтобы в мо-
момент времени Т выполнялись условия
Q (Х9 Т) = 0, dQ(£T) = 0 (0 < х < л). (9.4.4)
Условия (9.4.4) означают, что в момент / = Т и далее
при t>T струна будет находиться в покое (состоянии
равновесия): Q(x, t) = 0 при t^T. Также будем пола--
гать при t > Г, что u(t) = 0.
Как и ранее, будем полагать, что класс допустимых
управлений {u(t)} = U — это L2(Q, T). Поэтому функция
Q(x,t) при каждом фиксированном х^[0, я] также
принадлежит L2(0, Г).
*) Размеры пространственного отрезка выбраны [0, я], как и
ранее, для удобства записи формул.

368 ФИНИТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ [ГЛ. IX
Пользуясь обычными формулами, применим
преобразование Фурье с учетом начальных условий к системе
(9.4.1) —(9.4.3):
-и?$( M),J?M,Ma»g(^) (9.4.5)
^V ' /2я /2я ад:2 V '
(O^AT^Jt, — оо ^ со ^ + оо),
Q (0, оо) = й (а>), Q (я, ■©) = 0 (- оо < оо < оо). (9.4.6)
В результате, рассматривая со как параметр,
получаем обыкновенное дифференциальное уравнение (9.4.5)
второго порядка по переменной х относительно функции
(£(**«>)» Для которого надо решить краевую задачу
(9.4.6), т.е. найти частное решение уравнения (9.4.5),
удовлетворяющее условиям (9.4.6). Используя обычный
прием решения этой задачи, легко найти, что искомая
функция Q(x, со) равна
й(х>со)д g(tt)8tatt(""^) + 6(^tt)s!nflUf--ft(jct0)
^х ' 7 sincojt v '
(9.4.7)
(0<ЛГ<Я, — оо<®<+оо),
где
X
Ь(х9ф)-±1*1п*(х-у)[ш^ +
-/ Jsln.(*-,)^^
(9.4.8)
Поскольку по условию задачи функция Q(x,t)
должна быть по переменной t финитной функцией в [0, Т]
при 0<г<я, и Q(xyt)^L2{0in) при всех яе[0, я},
то по теореме Винера — Пэли функция Q(xy г), как
функция комплексного аргумента г = о) + ig, должна быть
при всех л;е[0, я] целой функцией степени не выше Т
и быть интегрируемой в квадрате на действительной
оси о: Q(x9 ш)еХ2(-оо, оо).

§ 9.4] ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ ФИНИТНОГО УПРАВЛЕНИЯ 369*.
По теореме Винера — Пэли оказывается
справедливым и обратное утверждение, которое является основой
решения задачи финитного управления. Именно, если
для всех д:е[0, я] функция Q(x,z) является целой
функцией комплексного аргумента z = со + i\ фиксированной
степени, не превосходящей 71, и ?если (7(х,в>)€
eL2(—оо, оо) для всех х^[0, я], то обратное преобра^
зование Фурье этой функции Q(xy t) должно быть
финитной функцией по / на отрезке [-—Г, Г] и Q(x, /)<=
&L2(—Г, Т) при всех х^[0, я].
Следовательно, нужно подобрать такую функцию
и (г), чтобы она была целой функцией степени о ^ Г,
tt(co)e L2(—оо, оо) и чтобы правая часть формулы
(9.4.7) также представляла собой целую функцию
степени а для всех х е [0, я] и принадлежащую L2(—оо, оо)
на действительной оси со для всех х^ [0, я]. Но легко
видеть, что Ь(х, со) есть целая функция степени я, и
остается потребовать, чтобы дробь в (9.4.7) также была
целой функцией. Для этого нужно потребовать, чтобы
ее числитель обращался в нуль в тех точках г&, в
которых обращается в нуль знаменатель, т. е. когда
sinzftrt = 0. (9.4.9)
Корни этого уравнения, очевидно, вещественны и равны
<ok = zk = k (6 = 0, ±1, ±2,...). (9.4.10)
При г = z0 = 0 дробь в (9.4.7), очевидно, есть целая
функция при любом х е [0, я]. Поэтому должно выпол»
няться условие
и(k)sinк(я — х) + Ь(я,к)sinkx = 0 (£=±1, ±2,...).
(9.4.11)
Последнее уравнение можно преобразовать к виду
\u{k)-b{ny k)]smkx = Q (&=±1, ±2,...). (9.4.12)
Отсюда после несложных преобразований с учетом
(9.4.8) получаем
Й(*) = Р* "(*-±1, ±2, ...), (9.4.L3)

370 ФИНИТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ [ГЛ. IX
где
я я
рл= —/ J y|=- sinkxdx - j J ^^-sin**d*. (9.4.14)
- Заметим, что интегралы в этой формуле с точностью
до постоянных множителей есть соответственно
коэффициенты Фурье в разложении функций Qo(x) и Q\(x)
в ряд Фурье по синусам на отрезке [0, я].
Условия (9.4.13) представляют собой
интерполяционную задачу для целой функций и (г). Таким
образом, задача определения финитного управления свелась
к определению целой функции u(z) степени а не выше
Г, которая решает интерполяционную задачу, и и(со)е
^L2(—оо, оо).
Отсюда следует, что наименьшая возможная степень
а искомой целой функций u{z) равна степени функции
sin лг, т. е. а = я. Следовательно, минимальный отрезок
времени t> вне которого управление u(t) —обратное
преобразование Фурье функции и (со) — тождественно равно
нулю, есть Отрезок —я ^ / ^ я. Так как искомое
финитное управление u(t) должно равняться нулю при t < 0,
то полученное обратное преобразование Фурье нужно
сдвинуть по времени вправо на величину т = я, и,
следовательно, минимальное время успокоения системы
равно Т = 2я, т.е. равно времени пробега волны двойной
длины распределенной системы. Функцию и (со),
решающую интерполяционную проблему (9.4.13), можно найти
по формуле Лагранжа (см. § 2.9)
•,-" я(-1)* co-fe)
fc= —ОО
где V(со)— произвольная целая функция степени не
выше я, и такая, что £7(ю)^ L2(—оо, оо) и U(k) = 0
(*«±1, +2, ...).
Мы вновь замечаем, что решение интерполяционной
задачи не единственно и формула (9.4.15), так же как
и (9.3.7) в одномерном случае, описывает все множество
управлений, решающих задачу финитного управления.
Любое искомое финитное управление может быть из нее

§ 94] ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ ФИНИТНОГО УПРАВЛЕНИЯ 371
получено путем надлежащего выбора функции U(со).
Этот произвол в выборе О (со) может быть использован
для решения различных задач оптимального управления
при условии успокоения колеблющейся струны к
моменту t = Г. Например, если критерием качества
управления служит функционал
I(u)= J* u2{t)dty (9.4.16)
о
который мы интерпретировали как энергию управления,
то финитное управление «о (0» преобразование Фурье
которого задается формулой (9.4.15) при {7(со) = 0,
минимизирует этот функционал. Это управление имеет вид
t л
«о(0=JQo(0+ J QMdy-Yn \ (n-tmt)dt (0<*<2я),
о о
(9.4.17)
где
'»-{-Г;
0</<я,
t), я < t < 2я,
от , Qi(0, 0<*<я,
WlU ' -Q,(2ji-0. я</<2я.

ПРИЛОЖЕНИЕ I
О СИСТЕМАХ ФУНКЦИИ С ДВОЙНОЙ
ОРТОГОНАЛЬНОСТЬЮ (см. введение, [14])
Пусть L2—-произвольное гильбертово пространство,
IF —подпространство L2, Р — оператор проектирования;
на W, D — некоторый линейный самосопряженный
оператор, отображающий L2 в L2. Задача состоит в
построении системы векторов {/*} в W, обладающей следующими'
свойствами:
1) система {/г} полна в Wy
2) система {/г} ортонормальна в L2,
3) (Dfhfk)^ 0 при 1Фк.
Теорема. Пусть сужение оператора PD ,на
подпространстве W осуществляет взаимно однозначное и
вполне непрерывное отображение W в L2. Тогда полная орто-
нормальная система собственных векторов оператора
PD (т.е. PDfk^Xkfk) обладает свойствами 1), 2), 3).
Других систем с такими оюе свойствами не существует.
Доказательство. Рассмотрим, оператор PD.
Этот оператор отображает W на W. Укажем некоторые
свойства оператора PD.
а) PD — самосопряженный. Действительно, D
—самосопряженный и Р как оператор проектирования
также самосопряженный. Таким образом, при f, g^W
(PDf, g) = (Df, Pg) = (Df, g) = (f, Dg) = (Pf, Dg) = (l, PDg).
(I..D
б) По условию теоремы PD — вполне непрерывный
оператор.
в) Если f e 117 и PDf = О, то / = 0. Это также
следует из требования взаимной однозначности
отображения, которое содержится в условиях теоремы.

О СИСТЕМАХ ФУНКЦИЙ С ДВОЙНОЙ ОРТОГОНАЛЬНОСТЬЮ 373
В соответствии с теорией вполне непрерывных
самосопряженных операторов (см. § 2.4) оператор PD имеет
счетную ортонормальную систему собственных векторов
{fk}. полную в W. При этом собственные значения м
вещественны и Ал—►(), при £->оо.
Далее имеем
{Dfh, h) = (Я/*, Pft) = (PDfb /,) = К ifk% U) = Xkbki, (I. 2)
где, как всегда, 6м = 1 и 6м = 0 при /г =£ t. Таким обра-
*зом, показано существование системы векторов {fk},
обладающей свойствами 1), 2), 3). Покажем теперь, что
других систем с такими же свойствами не существует.
Пусть {fk} — какая-либо система векторов,
обладающая свойствами 1), 2), 3). Покажем, что тогда fk —
собственный вектор оператора PD. Имеем для
произвольного вектора / (см. (2.4.29))
i
и, следовательно,
PDf=2(Df, и)и.
i
Отсюда в силу условия 3) при f = fk имеем
w>f*« 2 №,Ш<-Ф/*,/*)/*, (i.3)
i
т. е. fk — собственный вектор оператора PD с
собственным значением А* = (£/*,/*). Этим теорема полностью
доказана.
Замечание. Если в W существует система {fu} со
свойствами 1), 2), 3) и при этом А* = (Dfk,fk)—*0 при
/?->оо, то оператор PD — вполне непрерывный. Это
следует из представимости вполне непрерывного оператора
PD в виде
PDf = S (PDf, fk) fk = 2 (/, fk) hft, . (1.4)
k k
Применим эту общую теорему к пространству целых
функций конечной степени.
Пусть Rn —- n-мерное вещественное пространство,
L2 = L%(Rn) — пространство комплекснозначных функций,

374
ПРИЛОЖЕНИЕ I
интегрируемых в квадрате на Rny и Wq—
подпространство целых функций конечной степени, представимых
в виде (Q — ограниченная область в Rn)
П*) = (^П ... Je'*->7(«)rf«, (1.5)
Q
где х= (Х[. ..., хп)% (o=(coi, ..., con)—векторы и (*, ш) —
их скалярное произведение. По теореме Планшереля Wq
изометрично L2(Q). Пусть D — оператор умножения
элемента f(x) на неотрицательную измеримую функцию
р(х), строго положительную на некотором множестве
положительной меры, причем ] ••• I р2 (х) dx < + оо.
Если рассматривать D только на Wq to можно показать,
что D — вполне непрерывный оператор. Далее можно
установить взаимную однозначность отображения Wq ->
-+L2(Rn), осуществляемого оператором PD, где Р —
оператор" проектирования на подпространство Wq.
Таким образом, все условия сформулированной выше
теоремы выполнены, и следовательно, существует система,
функций {fh}, обладающая свойствами:
1) система {fk} полна в Wq,
2) система {fk} ортонормальна в L<i(Rn),
3) J ... f p(x)fi(x)fk(x)dx = Q
при i Ф k. Эта система {fk} является системой
собственных функций оператора PD. Других систем с теми же
свойствами не существует.
В данном случае можно указать интегральное
выражение для оператора PD. Пользуясь интегральным
представлением скалярного произведения, имеем
PDf\x)^(Df,fk)fk(x) =
k
оо оо
= £/*(*) {.-. { P(y)f(y)hiy)dy. (1.6)
к —оо. —оо

О СИСТЕМАХ ФУНКЦИЙ С ДВОЙНОЙ ОРТОГОНАЛЬНОСТЬЮ 375
Так как Wq изометрично L2(Q), то для базисных
функций имеем представление
f*{х)=Ш2 J • • • JеНх-a)s* м d&> и- 7>
где {5ft (о))} — полная ортонормированная система в
L2(Q). Таким образом, при фиксированном х значение
п
fk(x) есть k-n коэффициент Фурье функции [y~j ei{x' &)
по системе Sft(o>). Равенство Парсеваля дает
2lM*)P = (i)7 ... j\e^-"^d^ = (-^)nmesQ, (1.8)
k Q
= Ш"/--- /е'(,-л'#)^. (1.9)
Из этой формулы следует, что ряд, стоящий в левой
части (1.9), в каждой* точке сходится к функции
/Со (х - у) = ЩП J ... J £>'(*-*]. •> do. (I. 10)
Ряд (1.6) можно просуммировать под знаком
интеграла, после чего получаем
с» оо
PDf(x)= J* ... JK9.(x-y)p(y)f(y)dy. (1.11)
-оо —оо
В частности, если М — измеримое множество в Rn и
р(х) — характеристическая функция этого множества,
т. е.
[ 1 при *е= М>
р(дс)= п _ .„ (I. 12)
^ v ' 10 при jtsiH, v '

376
ПРИЛОЖЕНИЕ II
то оператор (I. 12) принимает вид
PDf (x) - J ... J Ka (x-y)f (у) dy. (1/13)
м
Соответствующие собственные функции ортогональны
как на всем пространстве #п, так и на М.
ПРИЛОЖЕНИЕ II
СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
При доказательстве теоремы § 2.8 рассмотрим
поочередно все указанные случаи.
1. Если а = О, то функция Df имеет равную нулю
энергию при |^|^7\ т. е. равна нулю на этом
интервале. При р= 1 вся энергия f(t) содержится в полосе
частот |cd|^CQ, т. е. f(t)— целая функция. Поскольку
целая функция, не равная тождественно нулю, не может
обращаться в нуль при |/|< Г, т. е. при условии а = О,
случай р = 1 исключается.
Покажем теперь, что при а = О возможны сколь
угодно близкие к единице значения р. Для этого
рассмотрим функцию
Г~$==^-, (и. i)
где i|)n, hn — я-я собственная функция и /г-е собственное
значение интегрального уравнения (2.7.8), т. е.
оператора PDP. Из определения оператора D следует, что
/*(*) = 0 при \t\<T, т. е. ||Офп-Офп||(1-.Яп)-,/2==
= а = 0. Поскольку Р^п = ^п, то P(tyn-D$n) = Ptyn-PDtyn =
-фя - Р DP*n = фя (1 - U и II РГ IP = (-\'^- = 1 - К>
Таким образом, II Pf* || = V\ — Хп , и поскольку Кп --►О
(см. § 2.7) при ft—*оо, то Р = |/1 — Ял может как
угодно близко приблизиться к единице при достаточно
больших п.
Построим теперь пример функции, для которой при
а = 0 величина р принимает любое значение между 0 и
1. Искомая функция есть е*Р'/*(0« Очевидно, для нее
\\е^Г (0II - IIГII - 1, II De**r (0II = II ЯГ II = а = 0.

СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
377
Нетрудно убедиться прямым вычислением, что
{-P+^ | Чг
\ IJNPrf© . (II. 2)
Функция 0(р) непрерьшна, причем limp(p) =0 прйр-»оо.
С другой стороны, при р = 0 р (0) = |/1 — кп , как это
только что было показано, причем ]f\ — Хп MO>Ket быть
как угодно близок к 1. Поэтому вследствие непрерывности
Р(р) эта функция принимает все значения между 0 и 1.
2. 0 < а < У Л0. Так как Хп -* 0 при п —► оо, мы можем
найти я, при котором ?Wi < а. Пусть \|>n —
соответствующая собственная функция (2.7.12). Выберем
I* _ /а2 - ^ г|?0 + V Я0 - а2 г|?„ (ИЗ)
У Яо — кп
Так как г|?0 и i|)ft ортогональны и нормированы, то
■liriP.-T^KV^^^y + CVX11^)2]-!. (И. 4)
Поскольку P\|)0 = \|>0 и Pi|)ft = \|)ft, то f* = Pf* и,
следовательно, || PfJHIf 11= 1. Заметим теперь, что
VI^K Df* = y^"^Z% + V X^tf £>i|)rt,
а согласно § 2.7 (см. (2.7.10)) ||Zh|>0|P-A0, \\D$n\\2 = K,
Dty0 и D\|?ft ортогональны. Поэтому
. (Ло - К) II ОГ IP = Я0 (а2 - К) + М А* - а2) = а2 (А* - Я„)
и, значит, ||/)/*|| = а. Таким образом, в данном случае
величина р=1 достижима. Значения р между 0 и 1
имеет функция ei9tf*(t). Доказательство аналогично
предыдущему случаю.
3. Yx0 ^а^ 1, Можно показать (см. § 2.4), что
любую функцию f^L2 можно представить в виде
f = m + \xPf + g, (II. Б)
13 Я. И. Хургин, В, П, Яковлев

(П. 6)
3?8 Приложение it
где функция g ортогональна как подпространству {/)/},
так и подпространству {Pf}. Умножая скалярно /
последовательно на /, Df, Pf, g, получим
\\f\?-^,Df) + lx{f,Pf) + {f,g),
{f,Df) = X\\Df\\2 + li{Df, Pf),
(f,P/)-A,(P/fD/) + |i||P/P,
(f,g) = (g,g)-
Поскольку D2f = f, P2f = Pf и операторы Р и D
самосопряженные, то (/, Df) = {f, D2f) = (D/, Df) = || Df ||2 = a2,
(/» ^/)= II.Pf IP~P2- Введем параметр 0 соотношением
cose-BM (I..7)
и выразим {Df, Pf) через 0. Исключая Я и м- из (II. 6)
и используя полученные соотношения, имеем при сф^О
^-2aPcos6 + a'+(l -"У)-
Н«Г(1-"Я#£). (П-8)
Для того чтобы получить нужное нам неравенство,
найдем минимально возможное значение величины
inf arccos 0 (Р/, Dg). (И. 9)
{Pf}, {Dg}
Зафиксируем сначала Pf и найдем
Q{ = supQ{Pf,Dg). (II.10):
(ад
Так как D —оператор самосопряженный и Dg = D2g, то
Re{Pf,Dg)^\ {Pf, Dg)\ = \{Pf, D2g)\ = \{DPf, Dg) |. (II. 11)
Но по неравенству Коши — Буняковского
так что
\{Pf,Dg)\^\\Pf\\\\Dg\\,
Re (Pf, Dg) ^ || DPf || Re (Pf, DP})
milll^ll ^ ll-P/ll ~ HllDfl *
(П. 12)
(II. 13)

СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 379
Таким образом,
QiiPf.Dg^QMDPf),
(II. 14)
причем знак равенства достигается, когда Dg — kDPf.
Искомое значение (И. 9) можно теперь найти, под*
бирая Pf так, чтобы величина
cos 0! =
\\DPf II
Pf II
(11.15)
была максимальной.
Для этого разложим Pf в ряд по системе функций
с двойной ортогональностью:
Pf да 2 а А,
(II. 16)
где г|?п — собственные функции интегрального
уравнения:
г
K%(t) = PDP%= J "я^)0 Ч>«(*)<**■ («-17)
-Г
Очевидно далее, что
о
Функции \|>ft таковы, что
поэтому
(И. 18)
(II. 19)
1|РЛР=2|а„Р, ll^/lP=S^„|fl„P. (И.20)
о о
Таким образом,
cos 0. =
%К\ап\>
21 ап\
о
(II. 21)
13*

38Q
ПРИЛОЖЕНИЕ II
и поскольку Хп<Х0 при пфО, то максимальное
значение cos 01 достигается при а, = а2 = ... = 0 и равно у%,
и при этом P/ = i|)0, DPf = Dg = D\|?j. Искомое значение
(II. 9), очевидно, есть
arccos/V (II. 22)
Так как ар cos 9 = Re(D/, Pf) ^ | (D/, Pf) | < ар, то для
первого слагаемого в скобках (II. 8) имеем оценку
0<l-l(y2<l-cos28, (11.23)
причем знак равенства справа достигается при
вещественных значениях (D/,Pf). Отбрасывая в (II.8) второе
выражение в скобках, используя (11.23), получим
(р - a cos 9)2 < (1 - a2) sin2 0, (II. 24)
причем знак равенства достигается при g = 0 и
вещественности скалярного произведения (PfyDf). Таким
образом,
р< cos [9-arccos a]. (II.25)
Используя (11.22) и (11.25), мы можем написать
Р ^ cos [arccos ]/% — arccos a] (II. 26)
или
arccos a + arccos p > arccos V^. (II. 27)
Из сказанного с очевидностью следует, что знак
равенства в (11.27) достигается при
f = Y+o + **>*b (П.28)
где
~ f 1 - а2 1
Все промежуточные значения р достигаются, в
частности, с использованием функции e^f*. В случае, когда
а = 1, мы, очевидно, должны исключить р = 0 (см.
случай а = 0).

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ АППРОКСИМАЦИИ 381
ПРИЛОЖЕНИЕ III
ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ АППРОКСИМАЦИИ
Заметим, что в соответствии с равенством Парсеваля
-f оо -f оо
Pl= j \g(t)-ga(t)fdt = ± | | £(<»)-#„(«>),2d<0. (III.l)
— oo —oo
Поскольку мы предполагаем ряд (4.3.6) равномерно
сходящимся, функция ga(t) имеет спектр, сосредоточенный
при | со |< а. Поэтому
Ро2 = Р? + Р^ (П1.2)
где
2 2 1
Pi — PS — aS"
(IIL3)
j \g(<*)U<*+j\g(<>>)\*d<>>
-оо а J
а
Pl—kj^W-UaWd®. (III. 4)
-а
Преобразуя по Фурье (4.3.6), получим
йа(<*) = %§ЩУ^^е-^«Ф(а>)у (III.5)
Ф(со) = 0, если |©|>а, Ф(ю)=1, если |ю|^а.
Выразим g(k/S) через спектр g(a>):
g(kA) = -^ J $(6)e'W*ed|, (III. 6)
— 00
и подставим (III. 6) в (III. 5)
+ oo +-■
— oo —oo
-ФМ \ g(l) -^ 2e'«*ts-w« U. (Ш. 7)
— UO > —OO J

382
ПРИЛОЖЕНИЕ III
Сумма, стоящая в квадратных скобках в (III. 7), есть
периодическая дельта-функция:
-f oo -f оо
_L ^ е«<«->«/«_ ^ 6(!-ш-2Ь). (III.8)
Поэтому
-f оо -f оо
&(«>) = /■ £(!) S *(6-»-2*а)^-Ф(«>)=■
— ОО fc=s —ОО
+ оо
= Ф(оо) 2 #(со + 2йа). (III. 9)
k=> — оо •
Так как слагаемое при /г = 0 совпадает с g(co) на ин-
тервале |со|-<я/а, то согласно (III. 4)
' г\ +°° I2 г
P2 = i J S'f^ + Zfta) ^-^JlraNl2^-
-a I fe=-oo I —a
(III. 10)
Штрих означает, что в сумме отсутствует слагаемое
с k = 0. Разложим каждую из функций g(co + 2fta)
в ряд Фурье на интервале |со|^а:
.. ■ +оо
g((D + 2£a) = 2 Ck,nein<*w\ (III. 11)
П=»-оо
где
a
C*-»=i Jg(«> + 2b)e-^2"'arf(o. (III. 12)
-a
Подставляя (III. 11) в (III.9), получим ряд Фурье
для ga(«>):
Г>Н 2' g(<* + 2£a) = X 2 C*,„e^« =
£=» —oo /j=_oo /г«= — оо
= 2 апе1п«*#*9 (III. 13)
где
(III. 14)

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ АППРОКСИМАЦИИ 383
Применяя равенство Парсеваля для периодических
функций, получим
+ 0О
+ оо
Р^ = 2а S |a„|2 = 2a 2
/г=—оо
Так как
. (III. 15)
<2
2c*.,i +
2j Cfc.n
fe—1
}■■
(I'll. 16)
TO
+ oo ( I oo
«=* —oo * I k—\
pk£2 2*.. + Sc-
I*—1
(III. 17)
Очевидно, правую часть (III. 17) можно представить
в виде
+ оо / +оо
/гяш — ОО l k** — 00
оо оо
tnPk+p,n + С/г, rfik+p,n) +
/г=1 р=1
— ОО —00 \
+ S S (С*. Л+Р, „ + С*. „С,+р, „) . (III. 18)
Оценим каждую из сумм, содержащих комплексно
сопряженные величины. Применяя неравенство Коши —
Буняковского, получим для первой суммы:
-f оо оо
2j 2j ckt „Pk+p, n
Г
l/ 2 Sic^p S 2|СЛ+Р|Лр. (in. 19)

Ш Приложение Ш
Но по равенству Парсеваля
S l<WJ2==i J \g(<» + Ua + 2pa)\4<i> =
п=—оо —а
2a(ft+p)+a
= i J ll(«>)F^. (Ш.20)
2a(fe+p)-a
Поэтому
+ oo оо оо a(2fe+2p+i)
oo
= i J Igi^fdio. (III. 21)
2pa+a
Используя (III. 21), получим неравенство для суммы
(III. 19):
оо оо
2л 2и ^k> n^k+p* n
rt = —оо k*»\
2пр{
<^М/ j I^NPrf©-, (HI.22)
f (2p+l)a
где
■ ■ oo
a
Совершенно аналогично:
+ oo oo I
/t« — OO &=1

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ АППРОКСИМАЦИИ
385
+ оо —оо
+ оо —с»
/г= —оо k= — 1
I «=■ — oo fe = —I
/~-(2p+l)a
V i1
<
2jtpg
2a
IIMMcq, (III. 25)
где
— u
(P«)2==i JllHPdcu. (III.26)
Таким образом,
оо Г со
fSKJ
Р-1 Г
оо /"*-2pa-a
р~1 2pa+a
|g(a>)|2d(D . (HI. 27)
Замечая, что (pj)2 + (р~)2 = р2, представим оценку для р|
в виде
p2<(2 + Q)p2a, (III. 28)
где
Q = 7
Pi
I J!7dS=1 L f 2pa+a
g N I2 d<*>
+
+ PaS
P=l
/~-(2p+l)a
г (со) i2 da)
. (HI. 29)
Так как согласно (III. 2) p^ = p2 + p2, то получим
окончательно:
;- p?<(3 + Q)p|. (III. 30)

386
ПРИЛОЖЕНИЕ III
Для случая 1£(<й)| = |£(-а>)|, когда
получим
е«+ = Ра=7Г
Q = 2
оо / оо
SK Ji
р°1 2ра+а
| g (g>) I2 dco
/г
£ (CO) |2 flf©
(III. 31)
Заметим, что в вычислительном отношении соотношения
(111.28) —(111.29) и (III. 2), (III. 10) совершенно
эквивалентны, хотя последние из них являются точными.
Проведем вычисление величины pj; для ряда
практически интересных случаев. Заметим, что среди функций
g(t)^L2 имеются функции, для которых величина Q
бесконечна, хотя значение р§ конечно. Действительно,
если g (со) убывает как 1+ , где у > 0, то ряд (III. 9)
со
для §а{ы) сходится. Величина Q при этом бесконечна,
если только g (со) ~ co"3/2_v. Поэтому оценка (III. 28)
имеет меньшую область применения.
• Численные расчеты проведем для двух частных
случаев, опуская детали.
1.
9 a
K1 м
(1<*>1>а),
-2М
P| + Pi
Pi
= 1 + cth M +
М
2ch2M *
Q =
,2М
е-"' — 1
При достаточно больших М можно считать
(III. 32)
(III. 33)
(III. 34)
Q-o,
pj+pi
р?
= 2.
Таким образом, оценка (III. 28) дает в 1,5 раза
большее значение для р| + р?.

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ АППРОКСИМАЦИИ
387
В данном случае
р =
2а
р22
'г»
Y-1 »
t-2-
(t + 2k)l+V *•* (t + 2k)l+y
dt. (III. 36)
Первую сумму можно оценить следующим образом,
используя неравенство, аналогичное (4.2.14):
1
1
|1+Y
— |* + 2*Г* |f + 2| 2
i
?i*+
I
<
2*I1+Y
1 1
<
|/ + 2|1+Y 2Y U + 2|Y '
Совершенно аналогично
<
I
l 1
у -l ^
A U + 2A>|1+Y |2-/|I+Y 2Y |2-/|Y
— oo
В результате
*<Ч[ш
l l
2)Y+1 ' 2Y \t + 2\y
1 , 1
+
(/-2)I+Y 2Y
(t~2)A
Если y ^ 1» то
При y > 1
P|«
2a
4y2 '
p|<-
2a
2y-l
(III. 37)
(III. 38)
dt. (III. 39)
(III. 40)
(III. 41)
Правую часть (III. 39) можно точно вычислить при
Y целых и полуцелых. Результаты приведены в таблице.

388 ПРИЛОЖЕНИЕ IV
V
Р2 + Р1
Р?
I Q + з
'/г
4,3
оо
1
2,25
5,8
3/2
2,1
4
оо
1,5
3
Асимптотика
Y->0
'Н
оо
Для Q по аналогии с [гл. IV, 5] нетрудно получить
оценку:
1
Q<
2Y-3/'(Y-l/2)
Таким образом, оценка (III. 30) в данном случае дает
завышенные значения для верхней границы
Р1+Р2
р?
ПРИЛОЖЕНИЕ IV
ПОЛИНОМЫ, НАИМЕНЕЕ УКЛОНЯЮЩИЕСЯ
ОТ НУЛЯ С ВЕСОМ ЧГм(<л)
Четная функция ^(ю) имеет вид
Ч'агМ-
sin ясо
Ш-Й
(IV. 1)
ясо
ы\
Поскольку задача симметрична, искомый полином
степени 2N будет содержать только четные степени со.
Замена со2 = t позволяет снизить степень полинома вдвЬе.
Задача сводится к расчету полинома Qjv(/), наименее
уклоняющегося с весом ^лДУО от нуля нр одном
отрезке. Рассмотрим сначала случай, когда N = 1, а
множество А состоит из одного отрезка [—Q, +Й]. Будем
искать полином Qjv(/)> У которого уклонение от нуля

ПОЛИНОМЫ, НАИМЕНЕЕ УКЛОНЯЮЩИЕСЯ ОТ НУЛЯ 389
равно единице. Нам нужно найти коэффициенты А0 и А\
такие, что _
RN(t) = (AQ+Alt)Vl(Vt) (IV.2)
наименее уклоняется от нуля при О^/^Q2, где Q < 2.
Из условия существования чебышевского альтернанса
получаем для А0 и А\ систему
4N(VT)-
sin
яУТ
(IV. 3)
я// (1- /) '
Первая .точка уклонения t\ = О, а 0 < t2 < ^max < 4.
Решая систему, находим
*-•• 4i"-i_[, + %k)]<0- (IV-4)
При малых Q, когда yPN(Yt2)** 1. #лг(0-'да Qjv (О» т. е.
Qjv(0 —полином Чебышева, у которого точка t2
совпадает с Q2. Ясно, что у функции /?лг(/) больше одного
экстремума быть не может. Если этот экстремум
расположен при t > Q, то подстановка t2 = & дает
возможность найти А\ по (IV. 3). Решение (IV. 3) имеет смысл,
если
it[QN№NiYt)\-&<Q av. Б)
или
^l(Q) + WN(Q)] + ^N(Q)<0. (IV. 6)
Решение этого неравенства дает
Q< 1,264. (IV. 7)
В случае, когда (IV. 7) не выполняется, в (IV. 3)
нельзя считать t2 = Q, а неизвестную величину /2 нужно
находить из условия обращения в нуль производной
~J[Qn (О ^n(V О в точке / =/г. Заметим, что этот
случай не представляет интереса с точки зрения задачи
восстановления, поскольку ошибка восстановления вне
интервала |(o|<^Q меньше ошибки при |со|^й.

390
ПРИЛОЖЕНИЕ IV
Рассмотрим теперь случай, когда А состоит из двух
интервалов 6-<|co|<d. Уравнения (IV. 3) остаются
прежними, но теперь t\ Ф 0, так что
Л0 = -
Л, = -
t2-tx у
(IV. 8)
При малых d можно по-прежнему считать U = Ъ2, t2 =
= d2. Этот выбор остается в силе, если функция
2 d
Рис. П. IV. 1. область возможных
значений bud.
QN(t)WN(Yt)ue имеет экстремума при b2^Ct-*Cd2, т. е,
dRf
dt
dRb
dt
t-ъ2
t=d2
1 , 1
yi№ *i(*> w ,uii!i<0 /TV Q>
d2-b2
1
*,(<*) ' ТЛ«
d2-b2
Vi(d)-
2b4x (b)
2 <№,(</)
<0. (IV. 10)
Нетрудно убедиться, что условие (IV. 9) выполняется
при любых 6 и d, а условие (IV. 10), очевидно, выпол-

ПОЛИНОМЫ, НАИМЕНЕЕ УКЛОНЯЮЩИЕСЯ ОТ НУЛЯ 391
нено, если (IV. 6) имеет место, так что Л0 и А]
находятся по (IV. 8) для любых b<d. Для d > 1,264
величина &min, для которой еще остается в силе
условие (IV. 9), (IV. 10), находится в результате решения
равенства (IV. 10). На рис. П. IV. 1 представлена область
значений bud, внутри которой выполнено (IV. 10). По
М
/
5 &
Рис. П. IV. 2. Зависимость точки экстремума t\
от величины интервала d.
известному полиному Qn(/) находится среднеквадратичен
екая ошибка а2, равная
eg(/?*,(<>) +2*2,(1)), если d<l, b Ф 0,
или
если
6>1,
d>l9
(IV. 11)
Рассмотрим теперь случай N = 2. Здесь
QN{t) = A0 + A{t + A2f\
Ь>1.
т2(уТ)- 4sinJtyT
(IV. 12)
яУТ(1-0(4-/) '
Будем считать 6 = 0. Тогда Л0=1, -Ai и А2 находятся
из условий:
1 + Axtx + AJ\- - 1/^2(1^), (IV. 13)
1 + Axd2 + A2d4 = l/¥2(d). (IV. 14)
Чтобы полином был чебышевским, производная ##(/) =
= -^ Qyv (0 ^2 (0 должна в точке f, обращаться в нуль,
в точке t = Q быть меньше нуля, а в точке t = d2 —
0ольше или равна нулю. Условие /?уу(0)<;0 выполнен^

392
ПРИЛОЖЕНИЕ V
при любых d. Из условия /?/v(^i) = 0 находим связь
между t] и d:
*i =
1 1+ • \lwAVtA+\lx¥2{d)
1 +
1 _ +JL/ ! \
, __ ^ л cig я K/i — — , ,
^xL^n^-U^. *
(IV. 15)
При этом d должно быть выбрано так, чтобы
выполнялось условие RfN{d)^0. Зависимость U от d
представлена на рис. П. IV. 2 Величина dmax « 2,32.
Значения d>dmax, так же как при N = 1, не представляют
интереса. Величина среднеквадратической ошибки
eg[l +2^(0 + 2^ (4)]f 0<d<l,
eg[3+2^ (4)], l<d<2, (iv. 16)
Seg, d > 2
легко подсчитывается после определения Л4 и Л2.
ПРИЛОЖЕНИЕ V
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
КРИТЕРИЕВ УПРАВЛЯЕМОСТИ
Пусть С = (Cij) —невырожденная матрица такая, что
матрица САС"1 имеет жорданову форму. После
введения замены
x(t) = C-ly{t) (V. 1)
система приобретает вид
C-,y(t) = AC-,y{t) + Bu(t) + 9(t). (V.2)

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ КРИТЕРИЕВ УПРАВЛЯЕМОСТИ 393
Умножая слева на С, получим систему
y(t) = Ay{t) + Bu(t) + 4(t), (V.3)
где А = САС~\ В = СВ = {Ъц)у y¥(t) = C(f>(t). Начальное
условие примет вид у(0) = у° = Сх°. Системы (9.1.1) и
(V. 3) одновременно управляемы или неуправляемы.
Поэтому задача сводится к исследованию системы (V. 3).
Матрица А состоит из жордановых «ящиков». Ящики
разбиваются на группы соответственно корням Хи • • •, А*.
Каждой группе ящиков отвечает подсистема системы
(V. 3). Характеристические многочлены для этих
подсистем имеют вид (Х — Хр)пр (р=1, ..., k).
Следовательно, разным многочленам отвечают разные корни.
Поэтому, если мы выпишем предварительное условие
управляемости для системы (V. 3) в виде
алгебраической системы уравнений (9.2.7), то эта система
распадается на k независимых алгебраических подсистем,
каждая из которых отвечает (с точностью до
множителя) своей дифференциальной подсистеме. Общая
алгебраическая система совместна тогда и только тогда,
когда совместны алгебраические подсистемы.
В силу предварительного условия управляемости
заключаем, что система (V. 3) будет управляема тогда и
только тогда, когда будет управляема каждая из k
подсистем. Таким образом, задача сводится к
исследованию подсистем, отвечающих отдельным группам ящиков.
Рассмотрим, например, подсистему, отвечающую первой
группе (соответствующей Х\). Можем предполагать, что
эта группа расположена в левом верхнем углу матрицы
Л и состоит из v ящиков порядков ти т2, ..., mv
соответственно. Подсистема имеет вид
z = Lz + Ru + f, (V.4)
где
/Уi(t) \
z(t) = l '
\ynl(t)J

394
ПРИЛОЖЕНИЕ V
1 =
А,! 1 0
• •
0 Я, 1
я,
I
1
1
1
Я! 1 0
0 Я, 1
1>w
чмо
ЬПх\ .. • 6/i,Jv''
,.f(t)-\ ■
^«,w
Матрица Q(co), присоединенная к матрице i<aE — L,
состоит из v ящиков, имеющих вид
(/ш-ЯьГ'Нц) (/а>-Л,У"26(ц) ... Ь(ц)
(/во —Л,)**-|6(|*) ... (й»-Я,)Ь(ц)
•(и»-Я,Г" '6(11)1
(V.5)
где
6 (р) = (ш - Я|) ' ц, ц = mi, m2 тТ

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ КРИТЕРИЕВ УПРАВЛЯЕМОСТИ 395
Алгебраическая система уравнений в
предварительном условии управляемости для (V. 4) имеет вид
[Q(со) {Я«(со) + /(со) + -р^}](/> =0 (V.6)
(/=*! я,-1).
Так как матрица Q(co) состоит из v ящиков, то эта
система разбивается на v подсистем. Выпишем
подсистему, соответствующую первому ящику:
( {b (m,) [(ш - А,,)"*'-1 Г, (со) + (т - Я,)"1'"2 Т2 (со) + ...
.... +Гт1(со)]}1/(Ц = 0,
{&(т1)[(/со-Я1Г-,Г2(со)+ ...
... +(/ю-Л,)Г»>)]С-*1"0,
{b{mx)[{m-hr-X TmM\)Z-х, = °>
где
Tj{<u) = ^bjk4(®) + fi(<*) + '77= (/=1, ..., «1- 1)
fe=l
/2Jt
Эта система эквивалентна следующей:
[Гт, (со) + (/со - Ai) Гт,_1 (со) + ...
[Гт, (со) + («о - Я,) Гт,_, (co)]«m - 0,
...+(/ш-я^-1г1Н]Г'' = о

393
ПРИЛОЖЕНИЕ V
После подстановки выражений для Г; (со) получим
систему уравнений относительно
иФ = й</> (со)
Ш =»A-i
следующего вида:
N
2j bmxiUi = do,
1
N
{ umliui ^em]-\\u> •••» " / amrV
гдеао, ..., flm,-i — константы, например, а0= — %«,( — /Л^ —
j=±=-, efe(//, ..., ы<л""1)) —линейная форма от мь ...
..., uN, ..., н^""1*, .. ., u{fi~~l\ Аналогично, рассматривая
подсистему, отвечающую второму ящику, придем к
системе вида
N
I
%Клтъ1и{1 +Pi(") = bl9
Г)
&о,== — тт +от, (— /Я)) ,/-^-'
V 2я
и так далее.

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ КРИТЕРИЕВ УПРАВЛЯЕМОСТИ 397
Наконец, рассматривая последний ящик группы,
придем к системе
N
2и Ът1+ ... +/П(у, itl?= Coy
1
N
S5mi+i.i+mv)^ + ?iW = ^
О
Со = — ^т,+ ... +mvV"~ *AlJ — ■
/2л
Из вида этих систем следует, что они совместны в
совокупности (при произвольных а0, b0i ..., cv) тогда и
только тогда, когда ранг матрицы
бть 1, Ьти 2> • • • > ^т,, ЛГ
Ьт\+т2, 1 frmi+тг, 2> • • •> Ьт\+т*, Л
. . . . , (у-7)
равен v. Это и есть условие управляемости системы
(V. 4). Выразим это условие в терминах исходных
матриц Л и В. Тот факт, что ранг матрицы (V. 7) равен v,
эквивалентен следующему: линейная комбинация строк
матрицы (V. 7) с коэффициентами, не равными
одновременно нулю, не может дать нулевой вектор.
Учитывая выражения
N
&т.+ ... +т„ = 2л Ст + ... +т bjt
1 Р /«1 » Ь> '
для элементов матрицы (V. 7), можем этому условию
придать форму: линейная комбинация строк матрицы
С = (ctj) с номерами ти гп\ + т^ ..., ^i + ... + mv и
с коэффициентами, не равными одновременно нулю, не
может дать вектор, ортогональный столбцам матрицы

398
ПРИЛОЖЕНИЕ V
С другой стороны, строки матрицы CCkiE — А)С~* =*
— XiE — А с теми же номерами — нулевые. Поэтому
указанные строки матрицы ортогональны столбцам матрицы
(UE — Л)С-1. Так как С-1 — невырожденная матрица, то
заключаем, что эти строки ортогональны к столбцам
матрицы %£ — Л. Замечаем, далее, два факта: 1) строки
матрицы С линейно независимы, ибо С —
невырожденная матрица; 2) ранг матрицы %\Е — А равен п — v, ибо
жорданова форма матрицы А содержит v ящиков,
отвечающих %\. Отсюда заключаем, что пространство,
натянутое на строки матрицы С с номерами ти ..., Wi +
+ ... + mv, является ортогональным дополнением
пространства, натянутого на столбцы матрицы UE — A.
Ранее было установлено, что линейная комбинация этих
строк не может дать нулевой вектор, ортогональный
столбцам матрицы В. Теперь это можно
сформулировать так: в ортогональном дополнении к пространству,
натянутому на столбцы матрицы ^Е — А, не
содержится ненулевых векторов, ортогональных столбцам
матрицы В. Это может быть только тогда, когда
пространство, натянутое на столбцы матриц Х[Е — А и В,
дает все /г-мерное евклидово пространство, т. е. когда
ранг составной матрицы {к^Е — А, В) равен п.
Итак, первая дифференциальная подсистема
управляема тогда и только тогда, когда ранг матрицы {XiE —
— Л, В} равен п. Аналогичными рассуждениями
доказывается, что вторая подсистема управляема тогда и
только тогда, когда ранг составной матрицы {кгЕ— Л,
В] равен л, и т. д. Как было установлено выше, система
(V. 3) управляема тогда и только тогда, когда
управляема каждая из k подсистем. Поэтому критерий
управляемости этой исходной системы (9.1.1) можно
сформулировать так: система (ЭЛЛ) управляема тогда и только
тогда, когда ранг составной матрицы {XiE — Л, В} при
любом i = 1, ..., k равен п.
Рассмотрим случай скалярного управления, когда все
столбцы матрицы В, кроме одного, нулевые, т. е.
матрица В одностолбцовая. В этом случае, для того чтобы
ранг составной матрицы {KiE — АУВ) был равен я,
необходимо и достаточно, чтобы ранг матриц ПиЕ — Л был
равен п—1 при всех I = 1, ..., k и вектор-столбец 8

СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ 399
был бы линейно независим от столбцов матриц KiE — Л,
т. е. чтобы вектор В не принадлежал бы пространству
Lf, натянутому на столбцы матриц faE — A (i = l,...,ft)\
Так как ранг матрицы %гЕ — А равен п— 1, то,
во-первых, размерность пространства Li равна /г— 1 и,
во-вторых, присоединенная матрица С(?ц) ненулевая. Строки
матрицы С(Яг) ортогональны столбцам матрицы Х<£ —
— Л, значит, они ортогональны п— 1-мерному
пространству L{. Поэтому вектор В ортогонален строкам С (Яг)
тогда и только тогда, когда он принадлежит L|.
Поэтому условие B^Li эквивалентно условию: C(Xi)B —
ненулевой вектор. Итак, в случае скалярного
управления критерий управляемости формулируется так: для
того чтобы система (9.1.1) была управляема,
необходимо и достаточно,чтобы все векторы С (hi) В были не*
нулевыми.
ПРИЛОЖЕНИЕ VI
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ФУРЬЕ И ВЫТЯНУТЫЕ СФЕРОИДАЛЬНЫЕ
ФУНКЦИИ
Покажем, что собственные функции двух уравнений
i
М|)(л;)= J* eic*yq>(y)dy (VI. 1)
~i
и
пропорциональны. Для этого достаточно показать, что
соответствующие операторы коммутируют.
В самом деле, пусть А и L—коммутирующие
операторы с одинаковой областью определения, переводящие
ее внутрь себя, и пусть
Л-ф = Я-ф. (VI. 3)
Тогда
1*А^ = Щ (VI. 4)

400
ПРИЛОЖЕНИЕ VI
и, в силу коммутируемости операторов,
Л/л|) = Ш|х 1VI.5)
Обозначим вектор /д|? через %. Из (VI. 5) следует, что
Аг = Ч, (VI. 6)
и поэтому по (VI. 3) х пропорционально г|?;
Ь|> = Х = Н. (VI. 7)
Следовательно, г|) также является собственным вектором
оператора L, что обеспечивает пропорциональность
собственных векторов операторов А и L.
Покажем теперь, что оператор (VI. 1) имеет
вещественные собственные функции, которые при этом либо
четны, либо нечетны. Пусть г|?(д:)—собственная
функция (VI. 1). Рассмотрим две функции:
1(х) = ур(х) + ^(-х\ ц(х) = Ц(х)-^(-х)- (VI.8)
Очевидно, что 1(х) четна, г\(х) нечетна и обе эти
функции удовлетворяют (VI. I). Кроме того, имеем
1
Я|(*)= J eic*yi{y)dy =
i i
= j* coscxy l(y)dy + i | sincxyI(y)dy. (VI. 9)
-t -i
Вследствие четности Цу) последний интеграл равен нулю,
так что
Ш*) = 2 J coscxyl(y)dy. (VI. 10)
о
Это — интегральное уравнение с вещественным
симметрическим квадратично интегрируемым положительно
определенным ядром, следовательно, оно имеет полную
систему собственных функций lk(x) (k = 1, 2, ...) с по-*
ложительными собственными числами. Аналогично,
вследствие нечетности ц(х)
i
Лт](а:) = 2 f smcxyv\(y)dy, (VI. 11)
9

СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ 401
и по тем же причинам существует полная система
собственных функций щ(х) (k = 1, 2, ...) с
положительными собственными числами.
Таким образом, уравнение (VI. 1) имеет полную
систему собстзенных функций, состоящую из всех четных
функций {!&(#)} и всех нечетных функций {щ(х)}.
Объединим уравнения (VI. 10) и (VI. 11):
1
Аф(*)= \k{cxy)y{y)dy. (VI. 12)
о
При этом k(cxy) = cos сху, если ф(,\;) четна, и k{cxy —
= sin сху, если ф(х) нечетна. Отсюда следует, что
ф'(0) = 0, k' (0) = 0, если ф четна,
Ф (0) = 0, k (0) = 0, если ф нечетна, * " '
так что
й(0)ф,(0)-^(0)ф(0) = 0 (VI. 14)
в обоих случаях.
Докажем теперь коммутируемость двух операторов:
i
ЛФ= $ k(cxy)<p(y)dy, (VI. 15)
ы> - -£ [а - *2) $■] -сЧ2^ (VL16)
Имеем, интегрируя последовательно по частям, пользуясь
свойствами (VI. 14) и тем, что k"(u) = —k(u):
i
AU> = J* k{cxy){-^[{\ -y*) -g-j - c'y^{y))dy =
0
1
= J4 (</) {~ Чеху k' (cxy) - [At*(1 - f) + cY\ k(cxy)}dy,
0
(VI. 17)
где k' означает дифференцирование по аргументу.

402 Приложение vi
С другой стороны, проводя соответствующие
дифференцирования, имеем
LA$ = Lx\j$(y)b(cxy)dy\ =
1
о
1
^ J ^ to) \~ш Кх - *2) ^ *' (c*#)] - с2*2 k (сху) }dy=*
о
- J\|> (у) {- 2сху k' (сху) - [сЧ* (1 - f) + c*y2] k (cxy)} dy.
(VI. 18)
Сопоставляя (VI. 17) и (VI. 18), получаем
что в силу доказанного выше обеспечивает
пропорциональность собственных векторов операторов А и L.
Таким образом, собственные функции преобразования
Фурье удовлетворяют дифференциальному уравнению
сфероидальных функций.

ЛИТЕРАТУРА
К введению
1. А. А. Андронов, А. А. Витт и С. Э. Хайкин, Теория
колебаний, Физматгиз, 1959.
2. Г. С. Горелик, Колебания и волны, Физматгиз, 1959, гл. X.
3. С. Н. Берн штейн, Собрание сочинений, т. III, Изд-во АН
СССР, 1960.
4. Проблемы Гильберта, Наука, 1969.
5. Д ж. Ч ь ю, Аналитическая теория 5-матрицы, Мир, 1968.
6. В. А. Котельников, О пропускной способности «эфира» и
проволоки в электросвязи, Всесоюзный энергетический комитет.
Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической
реконструкции дела связи и развития слаботочной
промышленности, 1933. Изд. управления связи РККА.
7. С. Г. Раутиан, Реальные спектральные приборы, УФН XVI,
вып. 3 (1955).
8. Г. Г. С л ю с а р е в, О возможном и невозможном в оптике,
Физматгиз, 1960.
9. К. Шеннон, Работы по теории информации и кибернетике,
раздел: Математическая теория связи, ИЛ, 1963.
10. А. Н. Колмогоров, Теория передачи информации, Изд-во АН
СССР, 1956.
11. Н. J. Landau, D. D. Slepian, Prolate Spheroidal Wave
Functions, Fourier Analysis and Uncertainty. I, Bell Syst. Tech. J. 40
№ 75, 17 (1961).
12. H. 0. Pollack, D. D. Slepian, Prolate Spheroidal Wave
Functions, Fourier Analysis and Uncertainty. II, Bell Syst. Tech. J. 40,
№ 75, 34 (1961); III, Bell Syst. Tech. J. 41, № 4, 1295 (1962).
13. D. D. Slepian, Prolate Spheroidal Wave Functions Fourier
Analysis and Uncertainty. IV, Bell Syst. Tech. J. 43, № 80, 3333 (1963).
14. И. Ф. Красичков, Системы функций со свойством двойной
ортогональности, Математические заметки 4, № 5 (1968).
К главе I
1. М. И. Конторович, Операционное исчисление и процессы в
электрических цепях, Наука, 1964.
2. Н. Винер, Р. П э л и, Преобразование Фурье в комплексной
области, Наука, 1964.

404
ЛИТЕРАТУРА
3. А. А. Ф е л ь д б а у м, А. Д. Д у д ы к и н, А. П. М а н о в ц е в,
Н. Н. Миром ото в, Теоретические основы связи и
управления, Физматгиз, 1963.
4. Л. И. Мандельштам, О применении интегральных
уравнений к теории оптического изображения, Полное собрание трудов,
Изд-во АН СССР, 1948, т. I, стр. 230.
5. А. Зоммерфельд, Оптика, ИЛ, 1953, гл. VI, X.
6. Дж. С т р о у к, Введение в когерентную оптику и голографию,
Мир, 1967.
7. Л. А. В а й н ш т е й н, Электромагнитные волны, Советское
радио, 1957, гл. XIV, XV.
8. Г. 3. Айзенберг, Антенны ультракоротких волн, Связьиздаг,
1957, гл. XVIII.
9. Антенны сантиметровых волн, Советское радио, 1950, гл. VI.
10. В. М. Ч у л а н о в с к и й, Введение в молекулярный спектральный
анализ, Гостехиздат, 1951, гл. I.
11. М. А. Б л ох и н, Об исследовании распределения плотности
электронных состояний в твердом теле и ширины внутренних
уровней атомов, Изв. АН СССР, сер физ. XX, № 1, 142—151
(1956).
12. М. М. Сущи некий, О нахождении истинного контура линии
комбинационного рассеяния света по наблюдаемому, ЖЭТФ 25,
вып. 1 (7), 87 (1958).
13. R. N. В га се we 11, Restoration in the Presence of Errors, PIRE
46, № 1. 106 (1958).
14. S. Matt, J. D. Kraus, The Effect of the Source Distribution on
Antenna Patterns, PIRE 43, № 7, 821 (1955).
15. R. N. Brace we 11, Radio Interferometery of Discrete Sources,
PIRE.46, № 1, 47 (1958).
К главе II
1. М. А. Евграфов, Асимптотические оценки и целые функции,
Физматгиз, 1962.
2. Б. Я. Левин, Распределение корней целых функций, Гостехиз*
дат, 1956.
3. Е. Титчмарш, Теория функций, Гостехиздат, 1951.
4. Н. И. А х и е з е р, Лекции по теории аппроксимации, Наука,
1965.
5. Е. Титчмарш, Введение в теорию интегралов Фурье,
Гостехиздат, 1948.
6. Г. Е. Шилов, Математический анализ, специальный курс,
Физматгиз, 1961.
7. Л. А. Люстерник, В. И. Соболев, Элементы
функционального анализа, Наука, 1965.
8. А. Н. Колмогоров и С. В. Фомин, Элементы теории
функций и функционального анализа, Наука, 1968.
9. A. Plancherel, G. Р о 1 у a, Fonctions entieres et integrates
Fourier multiples, Comm. Math. Helv. 9, 224—248 (1937).
10. С. Н. Бернштейн, Экстремальные свойства полиномов, ОНТИ,
1937,

ЛИТЕРАТУРА
405
11. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, Обобщенные функции и
действия над ними, Физматгиз, 1958.
12. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, Пространства основных
и обобщенных функций, Физматгиз, 1958.
13. И. И. Привалов, Введение в теорию функций комплексного
переменного, Наука, 1967.
14. Б. М. Мин ко вич, В. П. Яковлев, Теория синтеза антенн,
Советское радио, 1969
15. Е. Я. Ремез, Основы численных методов чебышевского
приближения, Наукова думка, 1969.
16. Ф. Рисе и Б. Секефальви-Надь, Лекции по
функциональному анализу, ИЛ, 1954.
К главе III
1. В. А. Котельников, О пропускной способности «эфира» и
проволоки в электросвязи, Всесоюзный энергетический комитет.
Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической
реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности.
Изд. Управления связи РКК, 1933.
2. С. Голдман, Теория информации, ИЛ, 1957.
3. Е. Т. Wh it t acker, On the Functions, which are Represented by
Expansions of the Interpolation Theory, Proc. Roy. Soc. Edinburgh
35, 181 (1915).
4. А. О. Гельфонд, Проблема представления и единственности
целой аналитической функции первого порядка, УМН, вып. III,
144—147 (1937).
5. Y. L. Yen, On Nonuniform Sampling of Bandwidth Limited Signal,
TIRE CT-3, 4, 251 (1956).
6. G. L. G a g e r m a n, L. G. F о g e 1, Some General Aspects of the
Sampling Theorem, TIRE IT-2, № 4 (1956).
7. Б. С. Цыбаков, В. П. Яковлев, Структура функций с
ограниченным спектром и связанные с этим вопросы теории связи,
Труды МФТИ, вып. 2, Оборонгиз, 1958, стр. 13.
8. Н. J. Landau, H. О. Pollack, Prolate Spheroidal Wave
Functions, Fourier Analysis and Uncertainty III BSTJ 41, № 4, 1 93
(1962).
К главе IV
1. С. Y. Bouwkamp, H. G. de Bruijn, The Problem of Optimum
Antenna Current Distribution, Philips Res. Repts, № 2 (1946).
2. А. А. Харкевич, Очерки общей теории связи, Гостехиздат, 1955.
3. Б. С. Цыбаков, В. П. Яковлев, О точности восстановления
функции с помощью конечного числа членов ряда Котельникова,
Радиотехника и электроника IV, вып. 3 (1959).
4. Г. Г. Хард и, Д. Е. Литтлвуд, Г. П о л и а, Неравенства, ИЛ,
1948.
5. И. Т. Т у р б о в и ч, Некоторые обобщения теоремы Котельникова,
Радиотехника 11, № 4, 5 (1956),

406
ЛИТЕРАТУРА
6. J. L. Brown, On the Error in Reconstructing a Non-bandlimited
Function by Means of the Band-pass Sampling Theorem, J. Math.
An. Appl. 18, № 1, 75 (1967).
К главе V
1. Г. К°РН» Моделирование случайных процессов на аналоговых и
аналого-цифровых машинах, Мир, 1968.
2. В. A. Widrow, Study of Rough Amplitude Quantization by Means
of Nyquist Sampling Theorems, IRE Trans. PGCT, № 3, 17 (1956).
3. А. А. К о с я к и н, Статистическая теория квантования по уровню,
Автоматика и телемеханика 22, № 6, 722 (1961).
К главе VI
1. А. М. Я г л о м, Теория корреляции непрерывных процессов и
полей с приложением к задаче о статистическом экстраполировании
временных рядов и к теории турбулентности, Докторская
диссертация, 1955.
2. Ю. К. Беляев, Аналитические случайные процессы, Теор. ве-
роятн. и ее примен. IV, вып. 4, 437—441 (1959).
3. Ю. А. Розанов, Стационарные случайные процессы, Физматгиз,
1963.
4. Л. А. В а й н ш т е й н, В. Д. 3 у б а к о в, Выделение сигналов на
фоне случайных помех, Советское радио, I960.
5. О. A. Z. Leneman, J. В. Lewis, Random Sampling of Random
Processes: Mean Square Comparison on Various Interpolators,-
IEEE Trans. AC-11, 2—3, 396 (1966).
6. 0. A. Z. Leneman, Correlation Function and Power Spectrum of
Randomly Spaced Pulse Train, IEEE Trans. AES-3, №5, 774 (1967).
7. F. J. В e u 11 e r, 0. A. Z. Leneman, The Spectral Analysis of
Impulse Processes, Inf. and Control 12, № 3, 236 (1968).
К главе VII
1. Б. М. Минкович, В. П. Яковлев, Теория синтеза антенн,
Советское радио, 1969.
2. В. И. Таланов, Работы Л. И. Мандельштама по теории
оптического изображения и современная квазиоптика, УФН 87,
вып. 1, 23 (1965). . . . . .
3. Ф. М. Гольцман, Основы теории интерференционного приема
регулярных волн, Наука, 1964.
4. Д. И. М и р о в и ц к и й, О связи между задачей синтеза
излучателя и обратной задачей теории рассеяния, Труды ВЗЭИ,
Радиотехника, вып. 26, 61 (1964).
5. Д. И. М и р о в и ц к и й, О нахождении источника по заданному
полю, Изв. вузов, сер. физ., № 6, 16 (1965).
6. Л. Б. Тартаковский, Синтез линейного излучателя и его
аналогии в задаче широкополосного согласования, Радиотехника и
электроника 3, № 12, 1464 (1958).

ЛИТЕРАТУРА
40?
7. А. Л. Л а н н э, А. А. С и к а р е в, Некоторые результаты
исследования задачи Л. И. Мандельштама, Электросвязь I, № 12
(1965).
8. Д. Е. В а к м а н, Сложные сигналы и принцип неопределенности
в радиолокации, Советское радио, 1965.
9. Ma M. Т. Analogies Between Theories of Antenna Arrays and
Passive Network, IEEE Intern. Conv. Rec, pt. 5, 150 (1965).
10. E. F. В о 1 i n d e r, The Relationship of Physical Applications of
Fourier Transforms in Various Fields of Wave Theory and Circuitry,
IRE Trans. MTT-5, № 153 (1957).
11. A. H. Рязанов, О повышении разрешающей способности
телескопических систем в отношении двух точечных источников света
резко различной интенсивности, Оптика и спектроскопия 23, № 1,
120 (1962).
12. А. 3. Ф р а д и н, К вопросу о точечном излучателе, ЖТФ IX, 13
(1939)
13. Г. Е. Шилов, Математический анализ, Второй специальный
курс, Наука, 1965.
14. И. С. Г р а д ш т е й н, И. М. Рыжик, Таблицы интегралов,
сумм, рядов и произведений, Физматгиз, 1963.
15. И. Ф. Со колов, Д. Е. В а к м а н, Оптимальные линейные
синфазные антенны с непрерывным распределением тока,
Радиотехника и электроника III, № 1, 46 (1958).
16. Т. Т. Taylor, Design of the Line-Source Antennas for Narrow
Beamwidth and Low Side — Lobes, TIRE, AP-3, №> 1 (1955):
К главе VIII
1. Д. Ю. Гальперн, О нарушении однозначной связи между
изображением и предметом, Оптика и спектроскопия 23, № 1,
стр. 124 (1962).
2. С. W. В а г n e s, Object Restoration in a Diffraction-Limited Sys*
terns, J. Opt. Soc. Am. 56, № 5, 575 (1966).
3. H. И. К а у ш а н с к и й, Об аналоге интеграла Дюамеля для
сигналов с ограниченным спектром, Изв. вузов, Радиотехника 4t
№ 2, 192 (1961). См. также Радиотехника 23, № 8, 8 (1968).
4. А. Н. Тихонов, Решение некорректно поставленных задач и
метод регуляризации, ДАН СССР 151, № 3, 501—504 (1963).
5. Б. С. Ц ы б а к о в, В. П. Яковлев, О восстановлении входного
воздействия по отклику прибора, Изв. вузов, Радиофизика 1,
№ 5-6, 98—104 (1958).
6. С. К. R u s h f о г t h, R. W. Harris, Restoration, Resolution and
Noise, J. Opt. Soc. Am. 58, № 4, 539 (1968).
7. Дж. Стрэтт (Рэлей), Волновая теория света, Гостехиздат,
1940.
8. Г. С. Горелик, Некоторые микрофазометрические методы в
радиофизике и оптике, Измерительная техника, № 3, 10—19 (1955).
9. И. Л. Б е р ш т е й н, Г. С. Горелик, К теории звездного
интерферометра Майкельсона, ДАН СССР 86, № 1, 47 (1952).
10. С. Г. Ра ути а н, Реальные спектральные приборы, УФН XVI,
вып. 3 (1955).

408
ЛИТЕРАТУРА
11. С. М. Р ы т о в, Введение в статистическую радиофизику, Наука,
1968.
12. М. Е. Ж а б о т и н с к и й, Progress in Radio Science, 1963—19G6,
URSI, pt. I, p. 22, 1966.
13. С М. Козел, Модуляционный оптический интерферометр для
измерения углового размера источника, Труды МФТИ, вып. 2,
Оборонгиз, 1958, стр. 3.
14. Тога Id о d i Francia, Resolving Power and Information,
J. Opt. Soc. Am. 45, № 7 (1955).
15. A. Ksienski, Spatial Frequency Characteristics of Finite
Aperture Antennas, Electromagnetic Theory and Antennas, Pergamon
Press, pt. 2, p. 1249 (1963).
16. В. Н. Судаков, Л. А. Халфин, Статистический подход к
корректности задач математической физики, ДАН СССР 157, № 5,
1058 (1964).
17. В. Ф. Турчин, Решение уравнений Фредгольма I рода в
статистическом ансамбле гладких функций, Журнал выч. мат. и
мат. физики № 6, 7, 1270 (1967).
18. Н. A. Brow n, Effect of Truncation on Image Enhancement by
Prolate Spheroidal Functions, J. Opt. Soc. Am. 59, № 2,228 (1968).
19. N. J. В е г s h a d, Resolution, Optical-channel Capasity and
Information Theory, J. Opt. Soc. Am. 59, № 2, 157 (1969).
20. C. L. R i n o, Bandlimited Image Restoration by Linear Mean
Square Estimation, J. Opt. Soc. Am. 59, № 5, 547 (1969).
21. Л. И. Мандельштам, Идеальное оптическое изображение с
точки зрения волновой одтики, Полное собрание трудов, Изд-во
АН СССР, 1947, т. II.
22. Л. И. Мандельштам, Оптическое изображение, Полное
собрание трудов, Изд-во АН СССР, 1955, т. IV, стр. 461—463.
23. Б. С. Цыбаков, В. П. Яковлев, О подобии объекта и его
оптического изображения, Труды МФТИ, вып. 4, Оборонгиз,
1959, стр. 25-27.
К главе IX
1. А. Г. Б у т к о в с к и й, Л. Н. Полтавский, Финитное
управление линейными системами с сосредоточенными параметрами,
Автоматика и телемеханика, № 9 (1967).
2. И. Ф.Красичков-Терновский, Я. И. Хурги н1л
Оптимальное финитное управление с квадратичным критерием
качества, Автоматика и телемеханика, № 9 (1968).
3 А. Г. Бутковский, И. Ф. К р ас ич к о в - Т е р н о в ск и и,
Л. Н. Полтавский, Я. И. Хургин, Задачи финитного
управления, Доклад на IV Всесоюзном совещании по автоматическому
управлению (технической кибернетике). Тезисы докладов, кн. . 1,
стр. 7, Москва, 1968.
4. Ф. Р. Г а н т м а х е р, Теория матриц, Гостехиздат, 1953.
5. А. Г. Бутковский, Финитное управление распределенными
линейными системами, ДАН СССР 188, № 3, 538 (1969).