/
Author: Тарунин Е.Л.
Tags: движение жидкостей гидродинамика математика численные методы механика жидкостей и газа учебное пособие
ISBN: 5-7430-0150-2
Year: 1990
Text
ББК В192.14
Тар 19
удк 532.516.5
Представлено к изданию
Пермским rосу!да рственным университетом
I
Рецензенты:
кафедра теоретической физики Пермскоrо лед. ин
та;
д
p физ.
мат. наук, профессор В. И. Полежаев
....
Тар 19
Таруиии Е. л.
Вычислительный эксперимент в задачах свободной
конвекции.
Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1990.
228 с.
80 ил.
в учебном пособии изложены методы, которые успешно применялись на про
тяжении ряда лет не только для решения задач свободной конвекции, но и для
решения задач rидродинамики изотермической жидкости. Название пособия OTpa
жает тот факт, что подавляющее число примеров решенных задач относится
к проблемам свободной конвекции. Большое внимание уделено вопросам оптими-
зации двухполевоrо метода.
Для студентов ста
ших курсов физическоrо и механико
математическоrо фа
культетов в дополнеНl;Iе к численн
м методам, а также аспирантов, специали-
зирующихся по физической rидродинамике и вычислительной математике..
'1602120000
74
Т МI79(ОЗ)
90 19.90
ББК В,192.14
ISBN 5
7430-0150-2
@ Тарунин Е. Л., 1990
Оrлавление
Пред,исл,овие i
,f л а в а 1. ,К,онечно-раз'ност.ные методы решения Уlравнений в част-
ных IIlРОИ3В'()IДНЫХ
1. Аппроксимация
2. Устойчивость
3. Сходимость .
4. Методы построения разностных уравнений
5. Аналитические решения разностных уравнений
6. Метод скалярной проrонки
7. Системы линейных уравнений
8. Свойства разностных схем
9. Испытания схем на тестах. . " . .
10. Уравнения с переменными, коэффициентами. Нелинейность
11. Влияние rраничных условий .
12. Метод дробных шаrов
Э 113. Итерационные методы
.Л и т е р а 'т у р а
f л а в а 2. Методы решения з/адач l'идродинамlИКИ ВЯЭiКой ЖИ\llwкости
1. Численный эксперимент и ero этапы . . . . . . . . .
12. Методы решения уравнений Навье-Стокса (пред арительные замеча
ния) ; . . . . .
3. Пример rидродинамической задачи
4. Особенности двухполевоrо метода . . .
5. Обобщение формулы для вихря на твердой rранице . . . .
6. Сходимость двухполевоrо метода при решении стационарной задачи
в одномерном случае . . . . . . .
7. Модификации аппроксимаций вихря на rранице
8. Сходимость двухполевоrо метода при решении биrармоническоrо
уравнения в плоской области . . . . .
9. IКонечный шаr по времени (внутренние итерации)
, 10. Тестовые испытания конечно разностных схем
11. Метод последовательности сеток . . . . . .
12. Определение крит ческих чисел Рэлея методом сеток
13. Метод фиктивных областей . . . . . .
. 14. Решение задачи Стефана со свободной конвекцией
Литература
r л а в а 3. IПРИlмеры з ач своб(Щной онвекции IВ замкнутых объемах
1. Примеры точных решений . . . . . . . . . . . .
' '2. Конвективное течение в полости прямоуrольноrо сечения при подо
rpeBe сбоку ; ;. ' . . . . . . . . . . . .
3. Усложненные варианты задач тепловой конвекции в замкнутых по-
лостях при HarpeBe сбоку . . . . . . . . . . . .
' 4. Надкритические режимы конвекции в замкнутой области при подо
rpeBe снизу . : ':
. 5. Устойчивость конвективных течений
6. 3аКЛJPчительные примеры
Литература
, .
3
.
4
4
10
15
23
32
36
40
45
50
54
57
60
62
71
73
73
81
88
100
108
112
118
126
133
138
145
147
151
157
161
165
167
172
184
190
202
212
219
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлаrаемое учебное пособие посвящено одному из обширных разделов
rидродинамики вязкой жидкости описанию возможностей численных методов
применительно к различным задачам конвекции. ,
В первой rлаве изложен теоретический материал, относящийся к описанию
методов решения уравнений в частных производных.
rлава адресована физикам, которым по nporpaMMe численные методы излаrа
ются в малом объеме. Вместе с тем она полезна и математикам, так как изло
жение привязано к проблемам rидродинамики и ведется на языке физических
понятий описываемых явлений.
Во второй rлаве излаrаются методы решения уравнений вязкой несжимаемой
жидкости; основное внимание при этом уделено двухполевому методу. Значи
тельная доля материала этой rлавы (устойчивость по rраничным условиям, cxo
дим ость процедуры внутренних итераций, обобщение аппроксимаций вихря на
твердой rранице) построена на статьях автора и ero учеников; часть этоrо Ma
териала излаrалась ранее в учебном пособии автора по спецкурсу «Двухполе
вой метод решения задач rидродинамики вязкой жидкости» (1985). Ja приме
рах показано, что меТ9Д сеток при критическом отношении к результатам счета
позволяет получать « оказуемые результаты». Описаны приемы и методы, по
зволяющие сокращать затраты машинноrо времени или решать новые задачи.
В третьей rлаве продемонстрирована эффективность методов на конкретных
задачах свободцой конвекции. Выбор задач определялся слеДУIОIЦИМИ крите
риями. Во первых, задача должна быть н вой по постановке. Bo
вторых, в ней должен содержаться материал, полезный для специалиста по чис
ленным методам (новый метод или способ обработки результатов, нестандартные
аппроксимации и т. п.).
Описанию приемов математическоrо моделирования в rидродинамике вязкой
жидкости посвящено уже несколько моноrрафий и книr (18, 21, 22, 23], что
отражает факт HenpepbIBHoro развития методов, с одной стороны, и расширения
фронта решаемых проблем, с друrой.
Кроме известных сведений, в предлаrаемом учебном пособии описаны ори
rинальные результаты мноrочисленных статей, разбросанных по различным жур
налам и сборникам.
Для удобства работы с учебным пособием автор старался избеrать излиш
них ссылок между rлавами и параrрафами. Каждой rлаве соответствует свой
список литературы и своя нумерация рисунков. Формулы в параrрафах имеют
один номер.
* * *
За постоянную помощь и внимание к работе над учебным пособием блаrо
дарю Е. М. Жуховицкоrо и r. З. rершуни. Выражаю признательность COTPYД
никам вычислительных центров и в первую очередь Ю. В. Девинrталю за пре
доставление вычислительной техники. Выражаю блаrодарность коллеrам:
А. Н. Верещаrе, и. и. Вертrейму; Т. П. Любимовой, А. А. Напомнящему,
В. А. Онянову, Б. и. Мызниковой, Л . Е. Сорокину, В. и. Чернатынскому,
А. Н. Шарифулину, М. И. Шлиомису, \ А. А. Якимову I и друrим за плодотвор"
ное сотрудничество. Весьма признателен r. и. Бурдэ и С. В. Русакову, которые
прочли рукопись и способствовали устранению ряда неточностей.
Метод есть абсолютная, единственная,
высшая, бесконечная сила, которой никакой
объект не может оказывать сопротивление.
r.--B... Ф. rеz,ель
ЭВМ, освобождая нас от м,НО2их обя
занностей, не освобождает во всяком слу
чае от двух: от необходимости владеть
математическим аппаратом и творчески
мыслить.
В. и. Федосеев
rлава 1
КОНЕЧНО РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
в rлаве излаrаются основные понятия конечно-разностных
методов. В качестве основ'ных объектов для численных методов
использованы уравнение теплопроводности (диффузии), уравнение
переноса и, наконец, уравнение переноса с диссипативными сла-
rаемыми. Изложение материала ведется на физическом уровне
строrости. В rлаве мало строrих доказательств математических
теорем, но MHoro примеров, которые вырабатывают критическое
отношение к возможностям мноrих популярных схем.
Тем, кто считает, что знаком с основными понятиями метода
сеток, прежде чем перейти ко второй rлаве, рекомендуем все же
проверить свои знания на примерах и заданиях. Остальным мы
рекомендуем последовательное внимательное изучение материала.
При затруднениях советуем вспомнить слова Л. Ф. Ричардсона:
«В математической стране, образно rоворя, есть пропасти и
ущелья, но это не должно удерживать нас от проrулок».
t 1. АППРОКСИМАЦИЯ
Основные понятия конечно-разностноrо метода (метода сеток)
рассмотрим предварительно на задаче, ОПИСцlваемой одномерным
уравнением параболическоrо типа ,
д и д 2 и
ре · М == х дх 2 . (1)
Полаrаем, что это уравнение решается на конечных интервалах
по переменным O t T, O x l с заданным начальным условием
u(О, х) ==<р(х).
(2)
в ц лях упрощения считаем пока, что rраничные условия. явля
l'
ются однородными
и (t, О) == О, и (t, 1) == О.
(3)
4
Поставленная з дача описывает, например, процесс изменения Ha
чальноrо распределения температуры или концентрации. Для
определенности будем считать, что искомая функция u (t, х) явля-
ется температурой. В этом случае (1) уравнение теплопровод-
ности, ,ре удельная теплоемкость, а % коэффициент теплопро-
водности. Если параметры среды ре и % зависят от температуры,
уравнение меняет вид и оказывается нелинейным. Полаrаем пока,
что параметры среды являются постоянными. При таком предпо
ложении уравнение (1) принимает более простой вид
ди д 2 и
дt == Х dx 2 ' ( 4 )
в котором х==%'1ре коэффициент температуропроводности.
Задача (2) (4) имеет точное решение. Это обстоятельство
облеrчает анализ поrрешности решения, получаемоrо методом се-
ток. Точное решение находится методом разделения переменных,
излаrаемым в учебниках по методам математической физики. ОНО
имеет вид
00
u(t,x) == Aт' ехр (i(J.тx (J. xt),
(5)
т== oo
rде (Xm==пl1t/l, а коэффициенты ряда А т находятся из условия раз-
ложения функции начальноrо состояния в ряд Фурье
00
и (О, х) == (х) == А т . e iamx .
(6)
т== oo
Будем предполаrать, что в силу rладкости функции q> (х) ряд
Фурье сходится, причем абсолютно.
Обратим jJнимание на то, что амплитуда каждой rармоники в
точном решении (5) убывает с течением времени так, что б6ль-
шему номеру rармоники соответствует б6льшая скорость зату-
хания.
В соответствии с основной идеей метода сеток заменим диффе-
ренциальное уравнение 1(4) алrебраическим конечно-разностным
уравнением. Введем для этоrо дискретные зНачения aprYMeHToB и
соответствующие им функции
Х } ==jh, j == 0,1, ... ,N, h == l/N
t n == n't, n == 0,1, ..., T/'t, v<j) == V (t n , x j ). (7)
Здесь h шаr по координате х, 't шаr по времени, N число'
интервалов на отрезке (О, [). Множество линий, соединяющих уз-
лы t п' X j на плоскости t, х и параллельных осям координат, обра-
зует сетку. Сетка (7) является равномерной. В общем случае она
может быть и неравномерной. Величины h и 't будем предполаrать
малыми, но конечными (конечно-разностный метод). Обратим вни
мание на то, что вместо функции u (t, х), фиrурирующей в диффе-
ренциальном уравнении, введена сеточная (дискретная). функ-
ция VJ( п. Исходная функция u (t, х) определена для всех значений
5
-.)
t и х из ,.ооласти Q (O:::;;t:::;;T, O:::;;x:::;;l), а сеточная функция опре-
делена лишь в узлах сетки. Сравнение этих функций при любых
значениях .t и х из области Q возможно лишь при замене сеточной
функции н'а непрерывную, полученную методами интерполяции.
Первая производная по времени в узле n, j может быть ап-
проксимирована, например, тремя конечно-разностными отноше-
ниями
v( + 1) v(f! 1) v( + 1) v(!l)
J J J J
2't == V t ' 't == V t ,
v(f!) v( 1)
J J
't
===V
78
(8)
Сокращенная запись разностных отношений соответствует обозна-
чениям школы А. А. CaMapcKoro. По терминолоrии метода сеток
7Jt односторонняя разность Iвперед, Vi односторонняя разность
назад, Vt двухсторонняя (центральная, симметричная) разность.
Кроме Toro, в обозначениях А. А.. CaMapcKoro '[1]'
л v
V (n) .:== V V ( +I) === V V ( I) === V
J t J , J
Используя обозначения (8) (9), леrко убедиться в справедли-
вости следующих соотношений:
л 1
V t == V , v o == 2 (Vt + V ).
t t t
В работах школы Н. Н. Яненко 1[2] применяются обозначения,
использующие определение оператора сдвиrа Т k. Индекс к == О ис-
пользуется при сдвиrе по времени, к== 1 при сдвиrе по l-й про-
странственной координате и т. д. При к==О, например, использу-
ются обозначения
Tof(t, х) ==f(t+T, х), ,t1o===To E, Ef==f.
Эти обозначения в учебном пособии не используются.
Для rладкой функции пределом всех разностных отношений '(8)
при 1:--+0 будет значение производной ( :; ) . При конечном шаrе.
по времени эти разностные отношения обладают различной по-
rрешностью аппроксимации. Выясним поrрешность аппроксима;ци.и
первой производной по времени для формул '(8). Предполаrая
существование всех необходимых производных, разло,ЖИМ в ряд
Тейлора функцию u(t, х) в узлах сеткИ (n + 1, j) относительно
опорной точки (n, j): .,
( :f:l) == (n) + ( ди ) (n) + 't2 ( д 2 а ) <n> + 't 3 ( дзu ) <n) +
и J U J 't д t j 2! дt 2 j 3! д t 3 J · · ·
Подставляя (11) вместо функции v/ n i:.l) в формулах (8), получим
и == ( :: ) n) + ( :: ) n) + о ( 4) =: ( :: ) п) + о ( 2),
U t == ( :п : n ) + ; ( :; ) n) + о ( 2) == ( :: ):n) + о ( ),
(9)
(10)
(11)
..
, I
ит == ( ; ):п) ;, ( :; ):п) + 0(,"2) == ( ) :п) + 0(,"). (12)
Из этих выражений видно, что первая формула дает второй
порядок аппроксимации О (т 2 ), а остальные первый О (-t). Обра-
тим внимание на то, что поrрешность аппроксимаlЦИИ вычислена
для функции u (t, 'х), являющейся решением дифференциальной
задачи. Именно поэтому эту поrрешность аппроксимации Назы-
вают ,иноrда поrрешностью аппроксимации на точном решении.
Рассмотрим далее аппроксимацию производных по простран-
ственной переменной. Для замены первой производной использу-
ются формулы, аналоrичные выражениям (8): .
v(п) 1 v<.п) v<.п) v}п) 1 1
1+ h 1 == V X ' 1 h == VX-' T(vx+vx-) == v x . (13)
Аппроксимация второй производной выполняется обычно по фор-
муле
v(п) 2v<.п) + v<.п)
V == v == 1+1 1 1 1
х х х х h 2
(14)
Используя разложения функци u(t, х) в точках сетки '(j + 1)
В ряд Тейлора, выясняем, что поrрешность аппроксимации (14).
равна
д 2 и h 2 д 4 и
r == а хх дх'J == 12 дх 4 + о (h 4 ) == о (h 2 ).
Объединение трех аппроксимаций (8) с .аппроксимацией
дает три конечно-разностных уравнения (схемы):
v( + 1) v( l) v<.п) 2v(п) + v<.п)
V" === VV .... 1 1 1+ 1 1 1 1
t л хх ' 2't Х h'J ,
(15)
( 14)
(16)
V t == XV xx t
V<.п+l) v<.п)
1 1
't
==х
v(п) .......... 2v(п) + v(п)
1+1 1 }--1
. h'J
,
(17)
л
V t == XV 1xx ,
(1( +1) ...... v(п) v<.п+l) 2v(п+l) + о(п+l)
1 / 1 == Х 1+1 J 1--1
't h 2
(18)
.' ,
Уравнения приведены в сокращенных обозначениях (ими будем
пользоваться в дальнейшем) и в подробной записи. Уравнения
должны использоваться лишь для внутренних узлов сетки j == l. 2, ..,
N 1. В rраничных узлах j == О, N используются аппроксимации
rраничных условий. В нашем случае из однородных условий (З)
следует, что
V(п) == О V (п) == О
о , N ·
На нулевом временном - слое n==о используются в
с начальные условием (2) значения
v () == rp (x ). j == О, N.
(19)
соответствии
(20)
7
, \
Соrласяti анализу поrрешности аппроксимаЦИJИ Форму '(8) И
(14), можем написать полную поrрешность -аппроксимации R ypaB
нения (4)
ди 2и
Lu === Х ---- о
at дх 2
конечно-разностными операторами Lh
R == Lhu Lu == Lhu. (21)
Для первой схемы Rl==O('t 2 +h 2 ), а для остальных R2==Rз==
О ('t+h 2 ). Аппроксимационные свойства перВОЙ схемы лучше, чем
у второй и третьей. ОднаКО первая схема абсолютно не приrодна
для выполнения расчетов из-за ее неустойчивости (см. ниже).
Этот при мер показывает, что выбор схемы должен опираться не
тол;ько на e аппроксимационные свойства.
Покажем, что поrрешность аппроксимации может существенно
зависеть от связи параметров сетки 't(h). Из анализа поrрешности
аппроксимации второй схемы' (17) следует, что
't ( д 2 и ) h2 ( д 4 И ) 2
R 2 == "2 дi2 х 12 о ('t + h().
(22)
Постараемся взаимно уничтожиrь первые два подчеркнутые члена..
Возьмем частную производную по t от уравнения (4)
д 2 и д 2 ( да ) д2 ( д2а ) 2 д 4 и
дt2 == х ax'J at == Х дх 2 Х дх 2 == Х дх" ·
Используя это соотношение, леrко показать, что при 't==h2J6x
,.....,
R 2 ==O('t 2 +h'). (23)
К сожалению, этим приемом не удается повысить порядок аппрок
сима,ции в случае уравнения (1) с переменными коэффициентами..
3 а Д а н и е. Показать, что в двумерном случае
дu ( д 2 и д2и )
дt == X U == Х дх 2 + ду2 1]
, .
\
ИСПОJlьзование wara 't==h2J6x в схеме
U t == Х (U xx + U yy + 'tUx yy)
дает 2 й ПQРЯДОК аппроксимации по 't в СЛУRае квадратной сетки.
,
Рассмотрим ,порядок вычисления по приведенным трем cxeMaM
предполаrая, что нам известны значения на п-м (старом) времен-
ном слое. Схемы 1 2 позволяют с помощью простоrо пере счета
определить значения функций на новом (n +'1) временном слое.
Эти схемы называются явными. Схема 3 является неявной дл
нахождения значений функций на (п+ 1) слое требуется решать
алrебраическую систему уравнений порядка N 1. Первая схема
называется трехслойной, так как в ней используются функции на
8
трех временных слоях, а вторая и третья двухслойными. Tpex
слойная схема требует особоrо счета на первом временном слое
(ЗНqчения функции при n==.1 MorYT быть получены по двухслой
НОЙ ,схеме или методом экстраполяции). Разностным уравнениям
(16) (18) соответствуют шаблоны
j l j
j+l
п+l
п+l
п
п.
j l
j j+l' j l
j
j+ 1 '
п 1
Шаблоны nоказывают связь узлов в конечно-разностном ypaBHe
нии. Схема (16) называется схемой Ричардсона «<схема с пере
шаrиванием») и, в соответствии с ее шаблоном, схемой «крест».
Схему, (17) называют классической явной, а (18) классической
неявной схемой.
Семейство схем получается при введении BecoBoro параметра
0 8 1 в аппроксимацию
л
v t ==X(6v x -х+(1 6)vxX).
(24)
При 8==0 эта схема превращается в классическую явную, а при
8== 1 в классическую неявную. При 8==0,5 (схема Кранка-Ни
колсона) порядок аппроксимации, схемы по l' поднимается до
BToporo.
Нами рассмотрена поrрешность 'аппроксимации конечно-раз--
ностной схемы. Наряду с этой поrрешностью поrрешность аппро'к
симации задаЧIJ в целом зависит ещ от аппроксимации rраничны.х
и начальных условий. \ Об аппроксимации rраничных условий МЫ
поrоворим позднее, а сейчас покажем, как неправильный выбор
начальных условиЙ Mo eT снизить порядок аппроксимации задачи
в целом.
При м е р. Пусть для"задачи Коши
и'===и+х, и(О) ===1
'"
выбрана схема
Yi+1 YI l +
Y == 2h. YI x 1 ,
. .
имеющая второй порядок аппроксимации О (h 2 ). Для
выполнения расчетов по этой трехточечной схеме необ-
ходимо задать начальные условия на двух шаrах. На
нулевом шаrе (i === О) проблеl\4 выбора не возникает
УО == 1.
9
Если положить и на следующем слое такое же значение
+it-
. Yl==Yo==l,
то порядок аппроксимации задачи снизится. Значение Yl,
которое не снизит порядок аппроксимации, можно рас-
считать, например, из формулы разложения функции
в ряд Тейлора:
h 2
u (h) == u (О) + hи, (О) + 2 и" (О) + ...
Из этой формулы видно, что равные значения Yl == Уо
соответствуют поrрешности О (h). С поrрешностью до
О (h 2 )
Yl == Yo+hu' (О) == Yo+h.
При этом поrрешность аппроксимации начальных усло..
вий соrласована с поrрешностью выбранной схемы.
t 2. устоячивость
Рассмотрим результаты вычислений ([3] задачи (2) (4) 1 по
классической явной схеме с двумя шаrами по времени
h 2 10
'С 1 == 't o == ' 't 2 == 9' 't o
при, 1 == n,. N == 20 и начальном 'распределении температуры
(х) == { Х при О -< х < 1С/2 .
7t Х при 1t/2 х < 7с
На рис. 1 изображены зависимости температуры от х для трех
моментов времени (сплошные линии), полученные из точноrо ре-
шения. Точки соответствуют результатам решения по явной схе"
ме с шаrом 't=='tl. Как видно, имеется ОТJlичное совпадение.
При счете с 't=='t'2 ситуация резко меняется: значения, получен-
ные по разностной схеме, сильно отличаются от точноrо решения
(рис. 2). Отличие Vj(п) от точноrо решения задачи увеличивается
с течением времени. Это расхождение обусловлено неустойчиво-
стью явной схемы при 't>'fo.
Неустойчивость является внутренним свойством разностной
схемы. Из физических соображений и из ,точноrо решен/ия задачи
следует, что про,цесс теплопередачи дает сrлаживание начальноrо
распределения температуры. А неустойчивость дает не войствен-
ную задаче пилообразную зависимость температуры от координа-
ты. Следует отметить, что при h---+O . этlи эффекты проявляются
сильнее, если не уменьшать соответственно 'Т. Парадоксальность
этоrо факта очевидна: неустойчивость не дает возможности полу-
чать приемлемых результатов при т, h---+O, хотя при этом стремится
к нулю поrрешность аппроксимации.
10
11.
и, nсй
5
i i5
1,0
Рис. I
gc
о
1С/2
1с
Рис. 2
,
J.
.'
f\ ....
11.
,
11
i
ж
n-15
t
I
I О
i
Л/2
х
Эффекты неустойчивости явной схемы можно продемонстри-
ровать не только с помощью машинноrо эксперимента. На rрубых
сетках (N 5) неустойчивость леrко обнаруживается в ручном
счете уже на первых шаrах по времени. При N == 3, например, все
выкладки MorYT быть выполнены аналитически. В этом случае
с учетом симметрии уравнений и начальноrо условия имее
V (n+l) == V(n+ 1) == q V(n) == q 2 V (n l) == == q n+ lVO q == 1 .......... 'tX
1 2 1 1 · · · 1 ' h2 ·
2h 2
Отсюда видно, что при '{> I q 1> 1 начальное значение воз-
Х
u u
растает по закону rеометрическои проrрессии со сменои знака
функции на каждом шаrе по, времени (q<O).-
Исследование устойчивости разностных уравнений выполняется
различными методами. Среди этих методов наибольшей популяр-
ностью пользуется метод Фурье-Неймана (метод rармон.ик, метод
разделения переменных). Результаты этоrо метода наrлядны и
допускают простую интерпретацию. Метод предполаrает, чтр.. ре-
шение разностноrо уравнения может быть представлено в' виде
конечноrо ряда
la. х .
v)n)== cтe т J n(т).
т
(1)
Здесь т номер rармоники т == 1, N 1; далее показывается, ЧТО
пределы т определяются из решения соответствующей спектраль-
ной задачи. Искать коэффициенты ряда С т не требуется.. Нужно
.11
найти завис1rМость коэффициента перехода (множителя роста)
s (т) для т-й rарм()ники (от параметров сетки и проанализировать
возможность нарастания каждой rармоники. Если для всех' воз-
можных т I s (т) I 1, конечно-разностные уравнения считаются
устойчивыми. Для определения зависимости s от т и параметро
сетки необходимо в разностном уравнении сделать подстановюуl
la, Х.
V)n) > е m J . п . (2)
Продемонстрируем эффективность метода на примере схемы
с весом (24) 1. После подстановки (2) в (24) 1 и сокращения
на величину (2) получим
е 1 Х ( 1 a,m h la,mh )
't Ji2 е 2 + е · (ее + 1 8).
"
Используя формулу Эйлера (e 1Z ==cos z+i sin z), имеем отсюда:
е 1 4 sin 2 ( a'2 h ) (ее + 1 8),
1 (1 б) · D
==
1 + 6 . D
ИЗ точноrо решения (5) 1 видно, что с ростом t все .rармоники
затухают. Следовательно, для получения соrласия v j(n) с точным
решением, хотя бы при t oo, требуется, чтобы в сумме (1) не
было. нарастающих rармоник
тах I (ni) I 1.
. т
2 4'tX 2 ( amh )
Dm===- sin 2 ·
(3)
(4)
1
Э=1
D 2
'"
'о
3----
е = 0,5
1
';
Рис. 3
Зависимости 6 от D дЛЯ трех значений BecoBoro параметра
8==0 (явная схема), :8==0,5 (схема Кранка-Николсона). е== I
(классическая неявная схема) представлены на рис. 3. Как видно,
при коэффициенте неЯВНОСТIИ 8 0,5 161 1 при любых значеНиях
1 В правой части формулы (1) п 'показатель степени.
12
т' Это означает, что в соответствующих разностных схемах нет
возрастающих rармоник схемы при e 0,5 абсолютно устойчивы.
При 8==0 и D >2 модуль множителя перехода tтановится
больше единицы и схема становится неустойчивой. rраницей, от-
v u u u
деляющеи устоичивую схему от неустоичивои, является значение
D ==2. Используя определение D , получаем условие устойчивости:
: х 8102 C"2 h ) -< 2. (5)
Это соотношение должно быть выполнено для всех rармоник. По...
этому из неравенства (5) получается оrраничение на шаr по Bpe
мени
h 2
"с -< 2х == "Со ·
(6)
Следовательно, явная схема является условно устойчивой. Устой
чивость схемы обеспечивается малостью шаrа по ,времени. Анало-
l'ичным способом метод Фурье-Неймана устанавливает абсолют..
ную неустойчивость схемы «крест» (16) 1.
Метод Фурье-Неймана требует, чтобы выполнялось соотноше-
ние '(4). Если оно нарушено, то имеются rармоники, которые не-
оrраниченно возрастают при n--+-ОО. При специальном выборе на-
чальной функции может оказаться, что некоторые коэффициенты
ряда (1) ст==о. Однако в этом случае следует учесть возмож-
ность появления этих rщрмоник при расчетах за счет приближен-
ности вычислений. Отметим, что в общем случае нельзя тракто...
вать неустойчивость как рост поrрешности вычислений. Если для
выбранной начальной функции (2) 1 есть сm*О, для которых не
выполнено соотношение (4), то вычисление с абсолютной точно-
стью также приводит к эффекту неустойчивости.
При м е р. Рассмотрим применеuие спектральноrо метода для
схем, позволяющих численно интеrрировать уравнение
конвективноrо переноса (уравнение rиперболическоrо
типа)
+ u дcp == О
дt дх ·
(7)
Подробное'изложение методов численноrо интеrриров ",
ния систем. rиперболическоrо типа имеется в книrах
\[ 4, 5]. Полаrая для определенности, что в уравнении
(7) и>о (величина U И1rрает роль скорости), исследуем
на устойчивость две схемы:
t + и · x == О, (8)
t + и · x == о. (9)
Правую одностороннюю разность x (при и>о схемы (8)
называют аппроксимацией по потоку, а <рх схемы (9)
.... ............
13
.'
,
аппроксимацией против потока. В случае знакоперемен-
1НОЙ скорости. а проксимация против потока может
быть записана , виде
<Pt+ U+2IUI .<px+ U, UI "'Рх==о.
Включение в разностные отношения скорости дает схе-
му Лелевье
U+IUI U IUI
t+ 2и (U )x+ 2U (u )x==o.
Подстановка (2) в уравнения (8), (9) дает множи
тели перехода (a == TUjh)
lamh iamh
1==1+a ae , 2==] a+ae . (10)
Выяснить выполнимость условия устойчивости '(4) для
множителей перехода вида (10) проще Bcero, рассмат-
ривая значение в комплексной плоскости Re 6, lm
(рис. 4). rраница 61 изображается (см. рис. 4а) окруж-
Im;1
f,. .
4.
"
2
Рис. 4
u u
ност..ью радиуса а с центром в точке деиствительнои оси
(1 +а). rраницы множителей перехода изображены в
предположении, что aprYMeHT a,mh меняется непрерыв
ным образом от О до 2л (в действительности aprYMeHT
меняется дискретно). rраница области устойчивости
161 1 обозначена на рисунках штриховой Линией. От-
сюда следует, что для 61 условие устойчивости (4) ни
котда не выполняется схема с аппроксимацией по
потоку не приrодна для расчетов. Значения 62 в KOM
плексной плоскости приведены на рис. 4б, в, r для трех
значений а==О,75; 1; 1,25. Как видно, условие устойчи
вости выполняется при
'tU . h
а == h 1, 't И == 't K .
(11 )
'
Такое оrраничение на шаr по времени впервые было.
получено в 1928 r. в работе Куранта, Фридрихса, Леви.
В работе этих авторов использовапся друrой метод ис-
14
следования устойчивости, в котором выясняется появле-
ние независимости решения от начальных условий при
нарушении неравенства (11). Шаr '{К называют шаrом
.
Куранта, а условие (11) условием Куранта (Куран..
та-Фридрихса-Леви) ..
Во мноrих случаях устойчивость явных схем может быть леrко
выяснена алrебраическим методом. Этот метод применим в том
случае, есл,и конечно-раЗНОСТное уравнение приводится к виду
k 2
V<.п+l) == с · v (!1) ( 12 )
J S J+S
s==k 1
с суммой коэффициентов
k
c s -< 1.
s==k 1
(13)
Схема вида (12) с условием (13) устойчива, если все коэффици-
енты неотрицательны
с S > О,. s == k 1 , k 2 . (14 )
Действительно, в этом случае получается оценка
I v( +l) 1 -< ( с S ) · тах I v(n) 1-< тах 1 v<.п) \ -<
J s==k 1 j J j J
-< mJx I v(j l)] -< ... -< mJx I vJO) 1, (15)
которая показывает устойчивость схемы. К виду (12) приводятся,
например, схема (17) Э 1 для уравнения теплопроводности и схема
(9) для уравнения переноса; выполнимость требования (14) при
этом дает уже известные нам оrраничения на шаr по времени (6)
и (11) соответственно.
i 3. СХОДИМОСТЬ
Основной теоретической опорой метода сеток является доказа-
тельство сходимости численноrо решения конечно разностной за
дачи к точному решению соответствующей дифференциальной за-
. дачи. Теорема о сходимости утверждает, что при наличии аппрок-
симации и устойчивости
Вт 11 v и 11 о. (1)
'[, h--+O
Способ доказательства утверждения (1) зависит от вида нормы,
с помощью которой оценивается близость сеточноrо решения к
аналитическому.
При выборе нормы
11 v u Ilc == тах I v u I
t, х
(2)
15
lребуетсК особый способ стремления и h к нулю, при котором
выбранные точки t, х всеrда принадлежат узлам сетки. В случае
явной схемы это можно сделать, если
h==ho/j, === o/j2,
rде j натуральное число. Доказательство сходимости в «непре-
рывной норме» (2) для задачи (2) (4)э 1, решаемой .по класси
ческой явной схеме, ПРИ1ведено в работе [3]. Там же для широкоrо
Kpyra линейных задач с однородными rраничными условиями
приведена теорема Лакса об эквивалентност.и. Краткая формули-
u u
ровка этон теоремы такова: для корректно поставленнои задачи
с соrласованной аппроксимацией устойчивость является необ.{{о-
димым и достаточным условием сходимости.
Обычно доказательство сходимости (1) выполняетс в сеточной
норме L 2
, f N l
Ilvll== V(v,v)== V j lv]h.
(3)
Приведем такое доказательство из книr.и А. А. CaMapcKoro [i].
Одновременно уточним и расширим определение устойчивости
xeMЫ на примере решения уравнения теплопроводности
:; ==x : +f(t,x), и(О,х)==иО(х),
u(t,O)===o, u(t,l)==O (4)
со свободным членом f (t, х). Схема
Vt==ХVхх+Ф, Ф==f(tп,х j ) (5)
устойчива, если для норм ее решения верно оrраничение
Ilvll<M1' II u OII+M 2 . mахllФl/. (6)
t
Здесь «константы» М 1 И М 2 не должны зависеть от параметров
сетки (от параметров задачи зависимость допустима). Если Ф===о,
неравенство (6) означает устойчивость по начальным данным.
Если ф+о и иО===О, (6) означает устойчивость по правой части.
В общем случае при ф+о и иO O неравенство (6) означает устой-
чивость по начальным данным и правой части.
Вместо задачи (5) рассмотрим две задачи
V t ' == X V ХХ' V (О, х) == и О (х);
(7)
f"OJ '" f"OJ
Vt==ХVхх+Ф, V(O,X) ==0,
решение которых дает решение полной задачи
"
(8)
I
.J.
f"OJ
V == V + v. (9)
Для обеих задач используются нулевые rраничные условия. По
16
,
первой эздаче определяется устойчивость "по начал ным данным,
а по второй устойчивость'по правой части" 1" " tl " ,)!., ,
Для задачи (7) используем метод разделения переменных (вре-
менно откажемся от верхней черты у функции)
.! I l' I
v T(t) X(x). (10)
I
Подстановка (10) в схему (7) после Деления на хтх дает" I
Л . ..
т t == Т Т == Х ХХ === .:...... л
х Т 'txT Х ·
(11 )
Отсюда следует
л
т == q Т, q 1 'tЛх t ' ,
Х + лХ == О
хх ·
(12)
(13)
\
Уравнение (13) совместно с нулевыми rраничным,и УСЛОВИjJМИ дает
задачу Штурма-Лиувилля. Решение этой задачи таково:
'\ 4 · 2 тcтh Х (т)' V :---- ( ) . . V 1
Л т h 2 Sln 2' sin 7tmx , т 1, j ·
(14)
Решение вида [)т ... т тХт называют rармоникой с номером т.
Уравнение (12) позволяет написать следующее соотношение
для амплитуд m-й rармоники: .
Л Т ' Т (n+l) ' q Т <n) q 2 T (n 1) q n+l Т (О)
т т' т. т т.' т ........ .. .,...,.... т. · . т ·
Отсюда видно, что д я устойчивости на каждой rармонике тре-
буется /
I qm I < 1, 'tЛтХ < 2. (16)
Наиболее опасной rармоник:е соответствует номер т N...........
4 .' те (N 1) h . 11
ax Л т == ЛN l == h 2 · sln 2 2 < h 2 . (1 )
т \
Используя условие (16) для ЛN l <4Jh 2 , получим знакомое уже
оrраничение на шаr по времени (6) Э 2.
v v .
Теперь покажем, что из устоичивости схемы на 'каждои rapMO-
нике следует ее устойчивость в сеточной НОрМе L 2 (3). Решение
задачи (7)
(15)
л N l Л N l Л
V == v m == т тх(т) .
т==l m==1
Отсюда
11 л 11 2 N l Л 2 N l 2 2 2 ( N l 2 ) 2
'v == 1Tт== ]:,lqmTm<m xqm 1 Т т ==m x,qmll'V"2.
Первое преобразование в этом соотношении получено с использо-
ванием равенства Парсеваля (квадрат нормы равен сумме KBaд
ратов коэффициентов разложения функ м
I x18e.KI Лержав..
Н!). ОВА БIБЛIОТЕКА 7
M Iм . r ft&f
2 3ак. 660
tB404'
.'
функцияЩ. Если условие устойчивости на каждой rармонике (16)
выполнено, то справедливо неравенство
11 V(п+l) 11-< 11 v(п) 11 ... -< 11 v(O) 11. (18)
Таким образом, оценка вида (6) при Ф==о со значением М 1 == 1
получена, и устойчивость по начальным данным доказана.
Рассмотрим теперь вторую задачу (8) для определения устой
чивости по правой .части, по прежнему nолаrая, что условие (16)
выполнено. Разложим правую часть Ф по Х(т)
N l N l
Ф == Фmх<m) , I/Ф/l2 == Ф . (19)
т==1 т....l
Используя это разложение и разложение для v, имеем из ypaBHe
ния (8):
N l
V t ......... XV хх Ф == l (Т тtX<m) + ХАт т тх<т) Фтх(m) ) ==
т==
N l
== (Тmt+ХАтТт Фm)Хm==О.
т 1
Отсщда с учетом ортоrональност.и собственных функций сл .;уеТt
что
т mt + ХЛm т m == Ф т' т =:z 1, N 1.
л
Вспоминая определение Т mt == (Т т Т m)f,;, получим
Л
Тт == (1 1:Х А т) Тт + 1: Ф т == iImTm + 1: Ф m.
Далее
л N l Л N l 'N l
V == ттх<т) == QmTmX(m) + 't Фmх<m).
т...l т==1 тс=1
Для оценки нормы, воспользовавшись неравенством треуrоль ика
11 w + z 11 11 w /1 + 11 z 11
и равенством Парсеваля, получим:
II II< N l qтTтx(т) +ос lФтх(т)
т==1 т==1
...
.... f N l .... f N l
V т l q T + 't V т lФ <llvll + 'tIIФII.
ИЗ последнеrо соотношения следует, что
11 V (п + 1) 11'< 11 'v ( п) 11 + 1: 11 ф ( п ) 11-< 11 V (п 1) 11 + 1: 11 ф (п 1) 11 + 1: 11 ф (п) /1
п
-< ... -< 11 v(O) 11 + 1: 11 ф(k) 11 <
k с::= 1
-< 'Сп тах 11 ф(k) 11 -< шах t · тах 11 ф(k) 11.
k
"
(20)
18
Это неравенство доказывает устойчивость по чравой части. СУМ-
мируя результаты оценок для решения обеих задач, ПОЛУЧИМ ус-
тойчивость по начальным данным и правой части вида (6) с
М} == 1 и M2 max Jt.
А теперь докажем сходимостlY. Введя поrрешность рещения
z==v и,
из уравнений (4) (5) получ м задачу для определения поrреш
ности
Zt==ХZц+Ф, zo==O, zlr . О, (21)
в которой 'ф поrрешность аппроксимации.
Из анализа поrрешности аппроксимации явной схемы следует,.
чт0 2
'Ф==О(т+h 2 ) O(h2).
Используя оценку (20) для аналоrичной задачи с правой частью
и нулевым начальным условием, получим оценку поrрешности
11 z(n) 11 < шах t · шах 11 ф 11 == о (h 2 ) == О ('t). (22)
t
Отсюда следует стремление к нулю поrрешности решения при
h, O.
Сходимость в среднем доказана. Кроме Toro, найдена и ско-
рость сходимости в среднем. Действительно, из (22) следует, что
при достаточно малых h<h* поrрешность решения убывает h2.
Скорость сходимости В каждой точке зависит от rладкости ис-
пользуемых функций. При f(t, х) O поrрешность зависит ЛИШЬ
от rладкости начальной функции <р (х). Из анализа :[3] следует,
что если <р (х) и ее производные до p 1 по'рядка вклю.чительно
являются непрерывными функциями, а р я производная имеет or
раниченную вариацию, поrрешность
е == О ( ,,;::) . (23)
Для пилообразной функции <р(х) p l и 8"""'1'3/5, для аналитиче-
ской фУНКIЦИИ Р == 00 и 8""'" 1'. Оценка поrрешности (23) получена
для классической схемы при любом 't 'to. При специальном вы-
боре l' (см. (22) Э 1 и далее) поrрешность аппроксимации выше:
этому случаю соответствует большая скорость сходимости при
р=== 1 8"""'1'5/7, а при p oo 8,.....,"С 2 . ,
Сделаем замечание о сравнении поrрешностей различных схем.
Пусть имеются две схемы с разным порядком скоростей сходи
мости
81 O('t) Cl т, 82 O("C2) C2T2.. (24)
Запись (24) отмечает характер стремления к нулю поrрешности
(линейный по l' в "I\первой схеме и квадратичный во второй) при
2 Напомним, что в явнОЙ схеме для обеспечения устойчивости требуется про
порциональность 't h 2 .
2*
19
..J . . ,. .
дoc aTO HO. ,мал х значениях . 3 висимости 81 (т), 82 (Т) MorYT, на-
пример, иметь вид, изрбражен.ный на рис. 5.
Как видно, при T>rrc схема с меньшим порядком аппроксима-
ции дает более точные решения. Смысл замечания сводится к то-
му, что в практических расчетах требуется учитывать не только
показатель степени при сеточном параметре (т или h), но также
и значения соответствующих коэффициентов 'C l , которые определя
... u
ются значениями производных от искомои функции.
\. C t ,c'2
€IC
)
/
"
t
t K
!с
,,//
'С IC
.
t ..1<.
о ,
о
Рис. 5
Рис. 6
ЗаВИСИМQGТИ 81 (Т) на рис. 5 изображены в предпо ожении, что
"значения шаrа «достаточно м'алы»: Что значит «достаtочн6 Малы»?
Допусти ,' речь' идет о схеме! 'для котор й е о ('f"I ) ", Ша ''t' доста-
точно мал, если при '{<Т** в ВЫР ,жени д,ля по решности можно
пренебречь членами с более высоки.ми степенями Т: .
С k 't k » Ck+i l, i",> 1.
При подходе к т** снизу наблюдается отклонение от зависимости
e==ck't k в силу возрастания роли следующих членов (рис. 6). Су-
ществует и нижняя rраница т* для. асимптотической зависимости.
Эта rраница зависит от поrрешности вычислений, которая, в част-
ности, зависит от разрядноЙ сетки цспользуемой ЭВМ. В реальной
области асимптотики T*< <T** 1[6, с '.57] для уточнения решения
можно использовать правило PYHre.; .
При м е р.
Для уяснения причины существования нижней rраницы
шаrа дискретизации (см. рис. 6) достаточно рассмотреть
два источника поrрешности разной природы. Поясним
сказанное на примере вычисления первой производной
с помощью одностороннеrо разностноrо отношения
f ' f fi+l.........fl
........r х h ..
Первый источник поrрешности поrрешность апnрокси
мации, как уже было выяснено, пропорционален шаrу
дискретизации и второй производной
20
, . , f
, '1
h
. : '61'::;:;: 'I'f" 1..
, . ',L I
J "
',' '.
r, '
.!' В. качестве BToporo источника поrреШНОСТfll р'ассмотрим
поrрешность, которая появляется ,за счет' 'вычисления
функций в узлах сетки с поrрешностью б i :
(fl+l +Ol+l) (fi+ °l) (f l + 1 ..........f l ) 1 === 10l+1 oi I
62 == h h h.
Полаrая, что для значений поrрешности б l существует
верхняя rраница I бil б, получим для' оценки поrреш..
ности соотношение
20
62 < h ·
Суммарная абсо ютная поrрешность
/" h 1 / " I + 20
6 == 61 + 62 2 h ·
Как видно, рол ь BTo poro слаrаемоrо возрастает при
h O и при h<2Уб/lf"1 может c aTЬ сновной.
. ,
Рассмотренные выше вопросы аппроксимации, устойчивости и
сходимости' являются основными в теории разностных схем. В ли-
тературе [1 5, 9 18, 21 24] эти вопросы рассматриваются при
различных усложнениях неравномерная сетка, уравнения с раз-
рывными коэффициентами, схемы повышенноrо порядка точности,
r U U
системы уравнении, нелинеиные уравнения, сложные rраничные
условия и Т. д.
При м е р.
Основная теорема 'ТРС утверждает, что для корректно
, U
поставленных задач из аппроксимации и устоичивости
следует сходимость. Практич'ески важный вывод из этой
теоремы сводится к возможности уменьшить поrреш..
ность ре,шения z при соответствующем уменьшении по-
rрешности аппроксима:ции R. Для Toro, чтобы продемон..
стрировать связ z с R и лучше понять разницу между
. ними, можнО воспользоваться, например, задачами с
точными решениями (в написанных ниже примерах
m. целое положительное число):
. 1" ..
а) u/ (т+l)xm, и(О)==О, a xт+l.;
б) и'::с а,' u (О) ...:..... 1, и ==' е Х ;'
т
в) и" == Р т (х) == akx k , U,(О) . и (1) == О,
k==O
т k+2 т
Х a k
U == a k (k + 1) (k + 2) х (k + 1) (k + 2) ·
k-=O k ==0
21
I
\
--1- >с...
ВЫЧИСЛИМ поrрешность аппроксимации и поrреШ
ность решения первой задачи Коши при т==2 для двух
аппроксимаций с первым порядком аппроксимации
(метод Эйлера)
YI+l Y l f( 2 ·
Ух == h == Хд == 3 X I, Х! == th
и со вторым
Ух== YI+lh YI ==f.(XI+ ) ==3(XI+ у.
Для поrрешности аппроксимации на точном решении
имеем
R u (x l + 1 ) и (хд
1 h
3х7 == 3hx l + h 2 == О (h);
R 2 == и(XI+l и(XL> 3(XI+ у== ==O(h2).
Поrрешность соответствующих решений такова:
l l
Zl (X t ) == U (X 1 ) YI == X 3h x;,
k==l
l l
Z2 (X i ) == X 3h (X k + h/2)2,.
k=-l
Будем считать, что задача Коши решается до значе
ния aprYMeHTa х== 1. Так как поrрешность решения MO
нотонно увеличивается с ростом Xt , рассмотрим предель-
u
ные значения поrрешностеи, соответствующих концу
интервала интеrрирования (N == l/h) :
N l
Z1 == тах Z1 (Хд == 1 3h xi '
l k...l
N l ( h ) 2
Z2 == тах Z2 (хд == 1 3h Xk + 2 .
i k O
Прямое вычисление сумм, входящих в поrрешность,
при различных интервалах разбиения отрезка оси х от
О до 1 позволяет построить табл. 1:
Таблица 1
N 5 10 15 20
-'
Zl % 28 14,5 9,8 7,4
. .
Z2% 1 0.25 0,11 1 0,063
22
Из представленных результатов вытекают связи
Zl 0,5 Я 1 1,5h. Z2 Я 2 h 2 J4.
Линейная связь поrрешности решения с' поrрешностью
аппроксимации для первой схемы справедлива лишь
при достаточно малых h. Отчетливо видно, что поrреш..
ность второй схемы значительно меньше.
3 а Д а н и я. 1. Для выписанной выше краевой задачи при т == 2,
ай == О, аl == 1, а2 == 1 и числе N == 4 найти поrрешность решения и
пorрешность аппроксимации. Примечание: для сокращения вычис-
v
лении следует использовать симметрию решения относительно
х== 1/2.
2. Для второй задачи Коши построить решения на первых че..
v
тырех шаrах для трех аппроксимации:
л л
Ух == у, Ух == у, Ух == 0,5 (у + у);
сравнить полученные решения между собой и с точным ре-
шением.
t 4. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЯ
Выше рассмотрены конечно-разностные схемы, полученные
прямой заменой производных соответствующими разностными OT
Rошениями. При этом был осуществлен переход от дифференци
альноrо уравнения к алrебраическим уравнениям или, как rоворят,
к «дискретному aHaciory». Существует MHoro друrих способов для
TaKoro перехода. Опишем вкратце некоторые из них, сделав пред
варительно замечания по поводу ,использованноrо перехода.
Описанный в 1 метод получения дискретноrо аналоrа исполь-
зует для анализа поrрешности аппроксимации разложения функ-
ций ряд Тейлора. Дискретные аналоrи MorYT быть полуttены и
прямо из усеченных рядов Тейлора. При этом сразу же будет вид-
на поrрешность аппроксимации. Оба эти подхода во MHoroM равно-
ценны, так как предполаrают, что зависимость искомой функции
от координат близка к полиномиальной, и высшими производными,
.содержащими в качестве сомножителей высокие степени сеточных
параметров (т, h), можно пренебречь. Метод прост, наrляден ,и не
требует понимания физическоrо смысла членов уравнения.
Широко используемым вариантом этоrо метода является метод
неопределенных коэффициентов. В этом варианте назначают вид
дискретноrо аналоrа (это приводит к выбору конечно-разностноrо
шаблона), но считают, чТо коэффициенты при значениях фунюций
в узлах сетки неизвестны. Использование разложений функций в
ряд Тейлора относительно выбранной опорной точки позволяет
получить алr браические уравнения для нахождения неизвестных
коэффициентов.
23
При м е р. ---м { Н. .
Методом неопределенных коэффициентов построим ди
скретный налоr с поrрешностЬю аппроксимации О (h2)
для обыкновенноrо дифференциальноrо уравнения
L( )==u"+2u'+4u+10==0. .
Отыскиваем дискретный аналоr в виде трехточечноrо co
отношения
h (и!) == ао, + a 1 Uj+l + .а2 и }'+ азиJ l'== О .
с еизвестньiми пока коэ.ффици'ентаМJI а./.. Подставляя
в это, соо;rношен е разл; жения в p д U(X j + h) относи-
тельно опорной j-й точки, получим (опустим индекс j
для простоты написани ) выражение.
Lh (и) == а о + (а 1 +,'a 2 t + а з ) и.+ h (а 1 аз) и' +
h 2 ( + ) " h 3 ( 3 ) '"
,+ 2 а 1 аз u. + 6 а,l а и +
+ ;; '(а 1 + аз) u fll / + о (h 5 ).:
Сравнение коэффициентов в этом выражении и в исход
но м дифференциальном уравнении дает алrебраическую
систему ': .;.. ,
ао== 10, al +а2+ а ==4,
h 2 . '
h (а. аз) == 2, 2(a1 + аз) == 1.
Решецие этой системы дает значени
1 1 2 / I 1
а о == 10, а. == h 2 + Т' а 2 ,' 4 h2 " аз == h 2 ........ h ·
1. ,
Посл нахождения ко ффициентdв' необходимо прове
рить получается ли требуемая поrрешность' аппрокси
мации. Прямая подстановка коэффИЦИ'ентов в Lh (и)
убеждает на'с в том, что требуемая аппроксимация до-
стиrнута: '/' ' I
h3 h 2 h4. h 2
т'(а1' аз) и'" == т и'" , 2! (а 1 + :а з ) и"" == 12 и"".
, ,
Друrой метод получения дискретных аналоrов зак юча тся в
использовании идей вариационноrо исчисления. Соrласно вариа-
ционному принципу рещение некоторых дифференциальных,урав-
нений эквивалентно минимизации соответствующих величин, на..
зывае:м:ых фунюцяона.цами. ИСК9мые конечно-р;ззностные ,уравне-
ния получаются из условия минимума функционала отно ительно
значений функций в узлах сетки. Этот метод, ШИРОКО. ,Jlсцоjьзу-
ется в задача.х теории упруrости. «Кроме математической слож-
ности и трудности понимания, основным недостатком метода ЯВ
ляется . ero оrраниченнаf:I ПРlI енимость, связанная с тем? 9ТО
вариационный ПРИНЦип справедлив не для всех представляющих
интерес дифференциальных уравнений» 1[21, с. 27]. . .
Вееьма эффективным eTOДOM построения дискретноrо ана-
лоrа является метод взвешенных невязок. Этот метод широко ис...
полъэовался в математической физике заДОJIrо 'до распространения'
конечно разностноrо метод.а.. Поясним ,идею метода, представив-
предварительно дифференциальное уравнение в виде {все слаrа
емые в левой части) .
L(v) ==0.
Отыскиваем приближенное решение v в виде суммы известных
базисных функций 'Фi С неизвестными коэффициентами (парамет
рами)
т
V == al l .
[::=1
Подста5ИВ этот усеченный (в теории при анализе сходимости ряд
MorYT рассматривать и бесконечным) ряд в дифференциальное
уравнение, получим невязку
R==L(v).
Задача метода заключается.в минимиза\ции невязки (при нуле
вой невязке задача решается точно). Эта задача может решаться
различными способами. Можем потребовать, например, равенства
нулю интеrралов от невязок, умноженн ых н а весовые функции Wj:
S wjRdx == О. .i == 1, М.
'Выбрав достаточное число весовых функций, можем получить
u
число уравнении, достаточное для нахождения искомых парамет-
ров. Возможность выбирать различные базисные и весовые функ-
ции поро дает мноrочисленные версии метода (метод MOMeHTOB
rалеркина-Петрова, Бубнова-rалеркина и т. д.) [20]. _
Можно установить связь метода взвешенных невйзок с методом
дискретизации, если рассмотреть приближенное решение не в виде
суммы функций, рас'пространенных на всю область aprYMeHTa, а
в виде функций, аппроксимирующих решение в какой-нибудь под
области (метод подобласти). Параметрами новых функций при
этом должны стать значения искомой функции в узлах подьбла,
стей. В качестве простейших весовых функций выбирают' функции,
равные 1 в соответствующей подобласти и нулю в остальной части
области интеrрирования. Этот вариант метода называется методом
подобласти 3 или методом KOHTpOJlbHOrO объема (МКО) J[l, 21].
В нем полаrается, что интеrрал от невязки по каждому контроль-
ному объему должен быть равен нулю. Метод контрольноrо объ-
ема , (OH ж е интеrро-интерполяцио ный метод) широко использу
3 Сочетание метода подобластей с вариационным принципом ПРИБОДИТ К ме-
тоду конечных элементов.
25
1
ется для построения дискретноrо аналоrа дифференциальных урав-
нений. Идеfi етода проста и поддается прямой физической интер-
претации. Расчетную область разбивают на некоторое число не-
пересекающихся объемов, содержащих по одной узловой точке.
Дифференциальное уравнение интеrрируется по каждому конт-
рольному объеМу 4. При в,ычислени,и оnределенных .интеrралов
используют предполаrаемые зависимости искомых функций между
узлами сетки. В результате интеrрирования получаеТСЯ дискрет-
ный аналоr, содержащий в качестве неизвестных значения иско-
мой функции в узлах сетки.
Полученный таким образом дискретный аналоr в рамках пред-
полаrаемых зависимостей внутри контрольноrо объема обеспечи-
, вает выполнимость уравнений
для каждоrо контрольноrо
объема. Мноrие дифференци
альные уравнения физики опи-
сывают законы сохранения
для различных величин (мас-
са, импульс, энерrия),. По-
этому широко распространена
энерrетическая интерпретация
метода уравнения, полученные МКО, выражают выполнимость
закона сохранения для контрольньLX объемов так же, как диффе
рен,циальные уравнения выражают выполнимость закона сохране-
ния для бесконечно малых контрольных объемов. Это свойство
МКО обеспечивает физически правдоподобные результаты даже
на rрубых сетках.
Рассмотрим применение МКО дЛЯ стационарноrо одномерноrо
уравнения теплопроводности с внутренними источниками тепла
d (k ; ) + s == О. (1)
Здесь k коэффициент теплопроводности; S количество тепло-
ты, выделяемое в единицу времени в единице объема. Выберем
расположение узлов, изображенное на рис. 7.
Вместо индексноrо обозначения узловых точек примем часто
используемое для наrлядности буквенное обозначение, в котором
точки, соседние с точкой Р, обозначены начальными латинскими
буквами для сторон света Е (east восток) , W (west запад) .
Эта символика особенно наrлядна в случае двумерной области;
при этом для BepxHero и нижнеrо узлов используются COOTBeT
ственно буквы N (north север) и S (south юr). Штрихо на
рисунке показана область контрольноrо объема, отмеченная
малыми буквами w и е (западная и восточная rраницы соответ-
ственно). В силу одномерности задачи предполаrаем, что темпе
Бх
w
ОХ е
w
р
Е
х
w
6Х
Рис. 7
.. Возможен и друrой подход к построению дискретноrо аналоrа. После:. по .
строения контрольных объемов составляются уравнения, описывающие исследу
емый физический процесс. Такой подход требует хорошеrо знания физики и .
учебном пособии не рассматривается.
26
ратура и источники !епла не зависят от друrих координат g и z.
Полаrаем, что величина контрольноrо объема равна t1xX 1 Х 1
(ДЛЯ удобства размеры в направлении друrих осей выбраны рав-
ными 1). Интеrрирование ур авнения (1) по контрольному объему
дает уравнение
е
(k :: )е (k : )w + 1 Sdx == о.
(2)
Значение интеrрала, входящеrо в это выражение, можно предста"
вить по определению в виде произведения среднеrо значения S на
величину интервала
е ..........
r Sdx == S · x.
"
w
Дальнейший этап МКО требует предположения о распределении
температуры между узлами. Допустим, что температура между
узлами меняется по линейному закону. В этом случае производ-
ные вычисляются через разностные отношения и уравнение (2)
может быть записано в виде
TE Tp Tp Tw
ke. (') kw · ("') + S x о. (3)
ох е ОХ w
Полученное соотношение и является искомым дискретным анало-
rOM для контрольноrо объема, изображенноrо На рис. 7. Основные
этапы МКО интеrрирование и интерполяция указаны в др у-
u
rOM популярном названии метода интеrро-интерполяционныи
метод.
Алrебраическое выражение (3) часто записывают в ином
«стандартном» 1[21] виде:
ар Т р aE ТЕ + awTw+q, (4)
rде
аЕ == ke/(ox)e , aw kw/(ox)w,
ар == а Е + а w q == s · x.
Запись дискретноrо аналоrа в стандартном виде позволяет
сформулировать ряд требований, которым должны удовлетворять
коэффи!циенты уравнения. В виде (4) очен просто исследуются
вфпросы устойчивости схемы (см. конец 2). Кроме Toro, стан-
дартная запись служит подrотовкой уравнений к использованию
итерационных методов решения (4), которые для аналоrичных
уравнений при меняются довольно часто. В левой части этоrо урав-
нения фиrурирует температура в центральной точке, а в правой
температуры в соседних точках. В двух- и трехмерных случаях
число соседних точек естественно увеличивается и уравнение (4)
может быть записано в более общем виде:
арТ р == ajTj + q,
J
(
(5)
27
rде сумм вание ПРОИЗВОДИТСЯ по всем соседним точкам, исполь
зуемым при r Jiнтеrрировании по кон!ролыiмуy бъему.
Свобода J3ыбора интерполяциЬнных формул, использованных
на заключительном этапе .МКО, поро дает множество. вариантов
дискретных аналоrов. Сформулируем ряд правил, которые при-
ведут к уменьшению числа допустимых вариантов, исключив И3
них те, которые MorYT дать неправдоподобные результаты. Эти
правила формулируются на основе знаний физики и математиче-
ских свойств алrебраических уравнений вида (5). Правила при
roдны для мноrих уравнений, но формулируются для определен..
ности на языке теплопроводноrо процесса.
Правила построения дискретноrо аналоrа
1. Дискретный аналоr должен обеспечить равенство входноrо
и выходноrо потоков через каждую rpaHb контрольноrо объема.
2. При ар >0 все коэффициенты ,aj в право части уравнения
(5) ДОЛЖflЫ быть неотрицательными.
3. Для дифференциальных уравнений, определяющих решение
с точностью до аддитивной постоянной, коэффициенты дискрет-
Horo аналоrа должны удовлетворять внутри области соотношению
ар === a j . (6)
J ·
4. При представлении источниковоrо члена в виде
q==C 1 +c 2 T p
температуре С2 должен быть отрицатель-
(7)
знак коэффи:циента при
ным или ра'вным нупю.
Обсудим сформулированные правила. Несоответствие потоков
на rраницах контрольных объемов может возникнуть, напримеРt
при использовании для коэффициента теплопроводности k(T) зна-
чения температуры в центральной точке Р. Тоrда на rранице w
для контрольноrо Qбъема содержащеrо точку Р (см. рис. 7), поток
равен
Тр.......... Tw
kp. (ох)
'w
с друrой 'Стороны, при рассмотрении соседнеrо сле'Ва конт..
рольноrо объема, содержащеrо точку W, потОК через rраницу w
равен
Тр Tw
k w · (8х).,
L '. f. "
Как видно при kp '# kw один и тот же поток оказался различным.
Следовательно, выбранная аППРОК.симация коэффициента ТPJ1Л()'7
проводности неприемлема, о.на ПрИБОДИТ к "нарушению nepBoro
правила.
28
При м е р.
, Покажем, как можно вычислить значение коэффици-
ента теплопроводности H rранице двух объем в с раз-
личными физическими свойствами. Полаrаем, что rpa-
нице 'объемов соответствует x==s. Слева от 6 k(x)==k 1 ,
а справа k (х) == k 2 . Для нахождения ke воспользуемся
точным решением следующей' задачи без внутренних
источников тепла:
, .
(kT')' == О, Т(О) == Т1' T(l) == Т 2 == о;
;k (х) == { k о,<х < . (8)
: k 2 е <, < 1
На каждом из участков. с постоянным значением k в
u
этом случае реализуется линеиная зависимость темпе-
ратуры от координа.ты, и ИЗ закон'в сохранения (равен-
ства потоков) -следует, что. '
Те 71 Т 2 Те '
Ql ::::: k 1 . "" == k 2 . (1" Е) . .
Из этоrо равенства находится значение темпе туры Те
на rранице слоев.
Верн.емся теперь к задаче, решаемой МКО и имеющей rраницу
'раздела двух соседних элемент в х s. Точку х==О счит ем за
внутреннюю точку ле.воrо объема, а точку ',х== 1 за внутреннюю
точку правоrо объема 5. Тоrда аппроксимация. тепловоrо потока. на
рассматриваемой rранице будет иметь следующий вид:
Q k Т 2 Т 1
2 е 1 ·
Из условия Ql == Q2 находим, что
k kl . k 2
е==
(1 е) k 1 + Ek 2
(9)
3 а Д а н и е. "оказать, TO средневзвешенная аппроксимация
ke == . k 1 + (1 ) k 2
дает плохие результаты (по сравнению с точным результатом),
особенно при существенно различных k 1 и k 2 . Сравнить эту аппрок-
симацию с вариантом, в котором k вычисляется по формуле (9).
Продолжим комментарий к правилам. Условие положитель-
ности коэффициентов (правило 2) получает простую физическую
интерпретацию. У еличение температуры в каждой соседней точ-
ке должно давать увеличение (по крайней мере, не уменьшение)
5 Можно выбрать внутренниР. точки посредине соответствующих участков..........
результат будет такой же.
29
...
значения мпературы в tцентральной точке. Это может быть лишь
при равных < знаках коэффициентов ар и а j. Неудачные аппрокси-
мации (особенно часто это случается при наличии конвективноr
слаrаемоrо) MorYT дать различные знаки коэффициентов. С этим
фактом Ы еще встретимся при аппроксимации уравнения конвек-
u . .
тивнои теплопроводности центральными разностями, коrда отри
ц,аrельные коэффициенты появляются при сеточном числе Пекле
больше 2.
Равенство (6) означает, что значение температуры в средней
точке является среднеВЗБешенным значений температуры в сосед-
них точках. Счет по уравнению (5) в этом случае rарантирует
устойчивость и выполнимость для ре,шения при q == о принципа MaK
симума (экстремум температуры достиrается только на rранице
области). Обсуждаемое равенство может не выполняться в случае
источпиковоrо члена, зависящеrо от температуры.
Правило 4, требующее отрицательноro знака коэффициента С'};
в источниковом члене (7), кажется с перВоrо взrляда противо-
естественным. Действительно, очень часто интенсивность источни--
ков тепла возрастает 'с ростом температуры. Это означает, что
источник тепла в лйнеаризованном варианте хочется представит
в виде (7) с положительным коэффициентом С2 (но не отрицатель-
ным!). IKaK же удовлетворить правилу 4, не нарушив разумной ап
проксимации источника тепла?
В тех случаях, коrда решается нестационарная задача, в методе'
присутствуют значени температуры на старом и новом временных
слоях. Правило 4 следует относить к значению температуры на
новом временном слое. Это обстоятельство и позволяет выбрать.
вместо (7) аппроксимацию
,....,
q == С 1 + c l)T ) + c 2) r<fl+l) == С 1 + c 2) T +l), (10)
rде
С2 == c 1) + c 2) и c 2) О.
Рекомендуемая аппроксимация источниковоrо члена обеспечит
устойчивость счета за счет преобладания диаrональных коэффи
циеНТQБ. При решении стационарной задачи итера'ционным мето.
дом роль временных слоев иrрают итерационные приближения;
отрицательность коэффициента C ) при этом обеспечивает сходи--
моС'ть метода простой итерации (см. 13 данной r лавы) .
На этом мы заканчиваем обсуждение правил построения ди-
скретных аналоrов и в заключение коснемся вопросов, связанных
с rраничными контрольными объемами, нестационарными зада
чами и плоским случаем.
Аппроксимация rраничноrо условия выполняется на контроль-
ном rраничном объеме. Для равномерной сетки при выборе KOHT
рольноrо объема посредине между узлами объем rраНИЧн rо эле-
мента оказывается вдвое меньшим (рис. 8). На рисунке заштрихо-
ван обычный контрольный объем около узла с номером 2 и rpa
30
ничный контрольный объем. Интеrрирование rраничноrо условия
выполняется в том случае, если на rранице задана не температура,
u
а соотношение для производнои.
'UjН "'уннн v .. х
. . .
1111 I I
.
О i 2 3 "
Рис. 8
3 а д а н и е. Построить аппроксимацию rраничноrо условия при
х==О
Т'== (Т (О) То)а.
Величины Т о и а считать заданными.
При решении нестационарных задач в контрольный объем
включают и шаr по времени интеrрирование ведется по прост-
ранственным переменным и по времени. Различные аппроксимации
зависиМосТИ температуры от вреМени дают знакомые нам явные
или нея,вные схемы.
3 а Д а н и е. Используя МКО, получить неявную схему с весом не..
явности 8 == 0,5 ДJlЯ нестационарноrо уравнения теплопроводности
ре : == д (k :: ) ·
Остановимся вкратце на способах расположения контрольных
объемов в плоском случае. Обычно используют два способа раз
мещения узлов и контрольных объемов. В первом способе выби-
раются узлы, а rрани располаrаются между узлами (чаще Bcero
посредине). Недостатком TaKoro способа является в случае He
равномерной сетки расположение узловой точки Р не в. центре
объема. Во втором способе вначале строят контрольные объемы,
а затем помещают узлы в центрах этих объемов. Недостатком
этоrо способа является то, что rрани MorYT оказаться не посредине
между узлами.
3 а Д а н и е. Изобразить контрольны объемы на существенно не..
равномерной сетке для обоих способов.
Сравнение двух этих способов можно проводить только на не-
равномерной сетке, так как на равномерной сетке они идентичны.
В первом способе обычно точнее аппроксимируются потоки на
rраницах, но хуже аппроксимируются слаrаемые, зависящие от
температуры (например, коэффициент теплопроводности или ис
точниковый член). Во втором способе, наоборот, леrче аппрокси
мировать слаrаемые, зависящие от температуры контрольноrо
ЗI'
объема; 1iо сложнее аппроксимировать потоки на rранях. Второй
способ является более предпочтительным, коrда решается задача
с четкими rраницами свойств материала......... именно эти rраницы
и принимаются в качестве rраней контрольных объемов.
.. т' , I
t 5. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЯ
Аналитические выражения для реmения разностных уравнений
удается получить в редких случаях. Довольно просто находятся
такие. решения лишь в 'случае уравнений с постоянными коэффи
циентами: . . ·
Рассмотрим два класса разностных уравнений с постоянными
коэффициентами:
аи , + bU1+l ==. f" а, Ь =1= о; (1)
aU1 1 + bU i + CUI+l == /1, а, С =1= о. (2)
Здесь f 1.......... заданные чис а (правая часть), U 1 .......... иском е значения.
Предполаrается, что для постоянных коэффициентов выполнены
условия, указанные при записи соответствующих, уравнений._
Без дополнительных условий (оrраничений) уравнения имеют
бесчисленное множество решений. Так, например, однородное
уравнение, с.оотвеТ 'fIВуW.щее. (1), имеет реJIIения B дa
r .
( а ) t
и , == а. Ь
с любым значением коэффициента (Х. Для выделения единствен-
Horo решения уравнения (1) достаточно задать значение искомой
функции в одной точке. Доказательство этоrо утверждения весьма
просто. Действительно, пусть задано значение и т . Тоrда из (1)
-следуют две рекуррентные формулы для вычисления функций:
i>т (справа от точки с заданным значецием функции) ,
fl аа l . 1
UI+l == Ь ' t == т, т + ,..-
и при i<т '(слева от точки т)
f. bU 1 + 1
U 1 == 1 tJ ' i == т 1, т 2, .._
Для выделения единственноrо решения уравнения (2) доста-
iОЧНО задать значение в каких нибудь двух (например, последова
тельных) точках. ·
Число дополнительных условий, выделяющих единственное pe
тение, определяет порядок разностноrо уравнения. Заметим, что
уравнения (1) и (2) имеют разные порядки, хотя MorYT 8.ыIьь по-
лучены из дифференциальноrо уравнения первоrо порядка
у' (х) + А у (х) == ср'(х)
'3'2
при аппроксимации ero соответствующими схемами
а х + Аа'==. f, а; + Аu == f.
-
Перейдем к построению общеrо решения уравнения (1). Пусть
и; какое нибудь (частное) решение неоднородноrо ур-авнения,
а Y i решение однородноrо уравнения с начальным условием
У О == 1. Тоrда общее реш'ение может быть представлено в виде
Ul==U;+CXYl==U;+CX( : у (3)
с любым значением коэффициента а.
Нахождение частноrо решения будем осуществлять с помощью
фундаментальных решений, построенных. для специально подо
бранной функции
(о) { О i =1= о
fi Ol 1 i == о.
Фундаментальное решение с правой частью (4) будем
буквой G l . Это решение УДОВЛJ творяет уравнению.
aO i + ЬО Ё + 1 == O O) ,
которое в подробной записи выrл дит так:
aO i + bO l + 1 == о, i < о, i > о;
аО о ЬО 1 == 1, i == О.
Положив О! ==0 для i O, можем найти 01 из уравнения при,li==О,
а затем построить рекуррентное соотношение из уравнения при
i>O. Таким образом получаем
. 0;==0. i<:O; ai+l==( : )al== +( : )1, i>l.
(4)
обозначать
(5)
Это частное решение (5). В соответствии с формулой (3) для об
щеrо решения имеем, добавив общее решение однородноrо- ypaB
нения,
0.==
с.
cx( : У
(cx ) ( : у
i < о
(6)
i> 1.
Нас будут интересовать оrраниченные фундаментальные реше
ния. Найдем их.
ПрI1 I а/Ь I == 1 фундаментальные решения оrраничены при лю
бых значениях i и а., При I а/Ь 1< 1 и а*О неоrраниченный рост
решения получается' при i oo. 'Поэтому оrраниченное решение
получается лишь при а == О. в случае I а/Ь I > 1 неоrраниченно pac
тет величина ( a/b)l при i + 00; решение будет оrраниченным
при CG == l/а (смотри коэффициент в G l при i> 1).
3 3ак. 660
33
.'
Таким, образом, оrраниченное фундаментальное решение систе.
мы (5) rt1t:Лучается из (6) при а==О в случае la/bl<l и а==l/а
в случае I а/Ь I > 1.
3 а Д а н и е. Построить rрафики для зависимости фундаменталь-
Horo решения от i в двух случаях (а/Ь) == 3/4 И (а/Ь) == ........4/3.
Частное решение уравнения (1) с произвольной правой частью
может быть получено в виде ряда
с.'о
и; === Oi kf k ,
k== 00
(7)
если ряд сходится.
Справедливость представления (7) доказывается прямой подста-
новкой этоrо выражения в уравнение (1)
00 со
aU l + bUi-r == а Ol kfk + ь Oi+l kfk ==
k== oo k=== 00
00 00
== (a01 k + b01+l k) fk == o( k) fk == fi'
k== oo k::::z::. oo.
Ряд (7) сходится при laJbl l и оrраничении сверху правой
части 1/1 I <,Р. Доказательство этоrо утверждения следует из Toro
факта, что каждый член ряда может быть оценен сверху членом
сходящейся rеометрической проrрессии. Так, например, при
laJbl>l имеем решение (a==lja)
00 00
и ! == k oo O/ kfk == I + ( : Y k fk. i=> О.
ДЛЯ членов этоrо ряда получается оценка сверху
...!.. ( !:.. ) l k fk . !:. 1 1 k k > i.
а ь lal ь '
Кроме доказательства сходимости, из формулы для суммы reo-
метрической проrрессии может быть получена оценка
F
I u11 II а I I ь I · (8)
Перейдем к построению решений уравнений BToporo порядка
(2). Общее решение будем находить в виде суммы
U 1 === u* + rJ. Y i + Zi , (9)
rде и; решение неоднородноrо уравнения, а Y 1 и Z 1 частные
решения однородноrо уравнения с дополнительными условиями
вида
Уа== 1, Уl ==0,
za==O, zl==l.
... ..
( 10)
34
Найдем общее решение однородноrо уравнения. Вспомним, что
в случае уравнения l-ro порядка проходило решение, 8ИДа. reOMeT
рической проrрессии I
U 1 == ql .
(11 )
Подстановка (11) в соответствующее для (2) однородное уравне-
ние дает так называемое характеристическое уравнение
f!+bq+ cq 2==0.
Вид решения зависит от корней характеристическоrо уравне-
ния. При различных вещественных корнях (ql =l=q2) решения однq.
родноrо уравнения имеют вид (11) ,
и(1) == q l и(2) == q i. ( 13 )
1 l' i 2'
в случае равных корней (ql == q2 == q)
ир) == ql" и 2) == iq ,
(14)
ь
2 уаё · (15)
В силу однородности ур'авнения решением является и линейная
комбинация указанных решений. Эти линейные комбинации мы
будем использовать для нахождения чаСТlfЫХ решений Y i и Z i
С дополнительными условиями (1 О) .
Дальнейшее изложение проведем только для случая различных
корней. Друrие' случаи можно рассмотреть самостоятельно или
посмотреть в книrе 1[10]. ,
Частные решения Y 1 и Zl В рассматриваемом случае различ..
ных корней таковы:
1 l
q2 . ql ql . q2
Y l == q2 ql
а в случае комплексно-сопряженных корней
ир> == ( П )IСОS i1fi. uj2) == (V )l sin i1fi. cos ==
i l
Z q2 ql
l q2 ql ·
(16)
Непосредственнрй проверкой леrко убедиться в выполнимости ус-
ловий (10).
Для нахождения решения неоднородноrо уравнения вновь обра-
тимся к фундаментальному решению неоднородной системы с пра-
вой частью, равной f l == б JO):
aO l + ЬО О + сО 1 == 1, i == о;
aOl l+bal+COi+l==O, i=l=O. (17)
Вид оrраниченных фундаментальных решений будет зависеть
от значенtlй мqдулей корней (больше или меньше 1). Для сокра..
щения изло ения' рассмотрим только один вариант из четырех
возможных:
I q 11 < 1, 1 q21 > 1.
(18)
3*
35
..\
в этом варианте оrраниченные фундаментальные
rYT быть представлены в виде
{ q;, i -< О
(aq2"l + ь + Cql) О l == qf. i>- О ·
Отсюда видно, что оrраниченное фундаментальное решение
убывает при i + 00 по закону ЧЛенов rеометрической проrрессии
IOil<Opli l ,O<p<l. (20)
в качестве множителя р может быть взято любое число, удовлет-
воряющее неравенству'
р > тах (1 Q1/' 1:21 ) ·
в общем случае различных корней (напомним, что мы рас-
сматривали случай I qll < 1, I q21 > 1) вместо этоrо неравенства
справедливо друrое
р>тах [ШiП(IQll, 1:11 )' miП(IQ21. 1 : 21 )]. (21)
Частное решение уравнения (2) с произвольной правой частью,
как и в случае уравнения первоrо порядка, отыскивается в виде
ряда
решения MO
(19)
no
и; == Oi kfk'
k CXI
если этот ряд сходится. Сходимость ряда при оrраничениях правой
части уравнения сверху I fi I <Р следует из Toro факта, что каж-
дый член ряда может быть оценен сверху членом сходящейся
rеометрической проrрессии (см. неравенство 20):
i 00
lu l IOi kfkl+ IOl kfkl<
k== CXI k==l+l
[ i CXI ] 20 F
-< G · F k ooPI k + k +/k l. -< 1 р ·
(22)
3 а Д а н и е. Построить фундаментальное решение в случае равных
корней и получить оценку вида (22).
6. МЕТОД СКАЛЯРНая проrонки
Перейдем к изложению метода решения неЯВ!fЫХ уравнений
вида (18), (24) 1. Интерес к неявным' схемам обуслов..лен ИХ
абсолютной устойчивостью и возможностью повысить поря ок ап..
проксимации (достаточно вспомнить схему (24) 1 с Весом
f) == 0,5). Для решения таких уравнений с успехом применяют Me
36
тод скалярной проrонки (метод факторизации). Метод проrонки
позволяет решать разностные уравнения тр ехточечно rо вида
A1<P1 1 + B1'f1 + C i 'Pi+l == /i' i === 1, N 1. (1)
Здесь A i t B1 t C l , fi заданные величины, а CP1 искомые функ
ции. При записи уравнений (1) в матричном виде Dcp == f матри-
ца D имеет трехдиаrональный вид.
Для выделения единственноrо решения рззностноrо уравнения
(1) BToporo порядка (порядок разностноrо уравнения определяется
числом условий, необходимых для выделения единственноrо реше-:
ния) необходимо задать rраничные условия. Будем считать, что
rраничные условия задаются в виде
<Р о == СХ О ер 1 + o , <Р N == а N <Р л\r 1 + N (2 )
с заданными числами rx и .
В методе предполаrается, что имеется связь первоrо порядка
в виде
<Pl == Pi i+l + Q1' (3)
в которой Р l, Q l неизвестные пока проrоночные коэффициенты.
Подставив значение CP1 1 из (3) в уравнение {1) и приведя ero к
виду (3), из сравнения пол)'.чим рекуррентные формулы:
P .....Ci Q fi A1Q1 1
1 i ·
в, + AiP1 1 B1 + AiPt l
(4)
Формулы эти позволяют вычислить значения проrоночных коэф-
фициентов, если известны «начальные» значения РО и Qo. Для на-
хождения начальных значений коэффициентов следует сравнить
формулу (3) при i==O с первым rраничным условием из формул
(2). Из сравнения следует
Ро==ао,. Qo==Po. (5)
Используя эти значения, по формулам (4) последо вательно выIис--
ляются проrоночные коэффициенты для i== 1, N 1 и, таким обра-
зом, выполняется прямая проrонка.
Используя второе условие из (2) для правой rраницы и связь
(3) при i==N 1, определяем значение CPN. После этоrо по фор-
мулам (3) сов ршается обратная проrонка, в результате которой
вычисляются значения искомой функции во всех узлах сетки. .
В случае неявных схем для эволюционных задач п.роrонки вы...
полняются на каждом шаrе по времени. Объем вычислений не за-
висит от коэффициента '8, если 8=#=0 или 1. Поэтому целесообразно
выбрать 8==0,5, при котором схема абсолютно устойчива и имеет
u
повышенныи порядок аппроксимации.
Коснемся вопроса экономичности неявной схемы. Счет явноrо
уравнения теплопроводности требует от 2 до 5 арифметических
операций в расчете на один узел сетки (минимум операций соот-
37
..
BeTcTByer- счету с постоянным шаrом по времени, равным то). Счет
по неявной схеме требует 9 13 операций (минимум соответствует
классической неявной схеме). Если x==const и (хо и o в rраничном
условии (2) не зависят от времени, коэффициенты Р MorYT быть
вычислены один раз при этом число арифметических операций
уменьшается на 3. Суммируя данные о затратах счета по явной
и неявной схемам, выясняем, что неявная схема становится эконо
мичнее явной, если шаr по времени в ней в 2 6 раз крупнее, чем
в явной.
Докажем устойчивость проrоночных соотношений для схемы
с весом (24) Э 1. В этом случае коэффициенты системы (1) Ta
ковы:
Аl == С l == сВ, Вl == (1 + 2сВ), с == ; ,
/l == ,v п) --+ (1 е) с (V l 2vlп) '+ V l)'
Приведем систему (1) к виду
rOJ 1 + 2се rOJ f i
rpl,l drpi + rpl+l == fi' d == се > 2, /i == се . (6)
Обратим внимание на "То, что в записи (6) видно диаrональное
преобладание (модуль коэффициента. при диаrональном члене
больше суммы модулей коэффициенто.в' при недиаrональных чле-
нах). Этот факт свидетельствует о хорошей разрешимости COOT
ветствующей алrебраической системы.
Формула для проrоночноrо коэффициента P l в случае (6) име
ет простой вид
1
P l == ( 7 )
d Pi l
Если rраничные условия однородны, то Ро==О, а по формуле (7)
P 1 == l/d. Для этих значений выполняются неравенства
.
PO<P 1 < 1.
Положим по индукции, что справедлива более длинная цепочка
неравенств
РО < Р! < Р 2 < ... < Pт l < Р т < 1. I
. , ,
Докажем, ч о, отсюда следует расширение этой цепочки неравенств
P m <P m + 1 <1.
ДеЙСТВИ,тельно, из формулы (7) следует
. . . 1 1
Р т == d P < d P ==Pт+l,
m l т
1 1 сВ
Рm+l == d Pm < d l == l+cB <l.
....
Таким обра ом ДОКqзано, что значения P l монотонно возрастают;
оставаясЬ меньше 1. Оrраниченность коэффициентов P l (на них
38
умножаются фу.НКЦИИ при обратной проrонке) И определяет устой-
чивость проrонки.
Представление о хара,ктере изменения проrоночных коэффи-
циентов (7) при различных значениях d дает табл. 2.
Таблица 2
i
d 1 2 3 4 5 6
I
2 0,5000 0,656(6) 0,7500 0,8000 0,8333 0,8571
3 0,33(3 ) 0,3750 О,38О9 0,6381 0,3819 .
4 0,2500 0,23(6) 0:2678 0,2679 ., "
Значение d 2 соответствует '{ 00 (стационарная задача); зна-
чениям d 4 и 3 соответствуют шаrи по времени в классической
неявной схеме 't h2J2x LO и 't 2t'o. Как видно, при d>2 (неста-
ционарная задача) коэффициенты проrонки быстро достиrают сво-
ero предельноrо значения: '
Р . Р d -Vd2 4
-== 11т i ·
i...oo 2
Устойчивость проrонки была доказана для случая rраничных
условий l ro рода (заданные значения функции на rранице).
Аналоrичным образом доказывается устойчивость и в с,лучае rpa..
ничных условий 2 ro рода:
да
дх == /0
при их аппроксимации на двухточечном шаблоне
а 1 а() .;
h , JO'
При этом начальное значение проrоночноrо К9эффициента Po 1,
а последующие значения коэффициентов образуют монотонно убы.
вающую последовательность
, d 4
1 > l!t > Р2 > ... > р == 2 ·
В частном случае d 2 (стационарная задача), Pt 1.
Изложение различных вариантов метода проrоНКИ (встречные
проrонки, метод циклической проrонки, метод проrоНКИ для пяти-
'Точечных уравнений, матричная проrонка) можно найти в книrе
А. А. CaMapcKoro и Е. С. Николаева I[ 14].
в случае системы (1) с постоянными коэффициентами реше
иия разностных уравнений моrут,быть получены в 'виде 'простых
формул. Такие формулы удобны для выполнения численноrо ана-
ClТ"Iиза и различноrо рода оценок. Кроме Toro, счет по таким фор-
139
.
l\1улам M оказаться экономичней метод,а скалярной проrонки,
если требуется вычисление функций в небольшом числе узлов.
" р и м е р.
В случае Al == C l == 1, В == 2 последовательные вычисле
иия позволяют получить соотношение (i 2)
i l
l == i 1 (i 1) o + (i - k) fk.
k==l
Записав это соотношение для последнеrо узла i==N, оп
ределим значение CPl' При <PO==CPN==O, например, имеем
N l
tpl == (N k)fk.
k==l
Окончательная формула в этом случае такова:
l 1 N l
tpt == (i k) fk iS o , So == (N k) fk ·
k==l k===)
3 а Д а н и е. "оказать, что при аппроксимации rраничноrо условия
3..ro рода (теплообмен с внешней средой по закону Ньютона)
да. .
дх == Вl (u СО) ,
н-а двухточечном шаблоне начальное значение проrоночноrо KO
коэффициента РО> 1. В написанном rраничном условии Bi и со
заданные величины (Bi>O).
t 7. СИСТЕМЫ пИНЕJ7tНЫХ УРАВНЕНИА
Перейдем.к рассмотрению вопросов устойчивости при решении
методом сеток систем линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами вида
-+
ди -+
-дi === Аи.
,
(1)
-+ -+ -+
Здесь u (t, х) р-мерный вектор, х d мерный, А матрица опе
раторов. rраничные условия будем предполаrать периодическими
по всем пространственным координатам. Введем волновой d-Mep-
ный вектор
-+ ( 2п 2п 2п )
k L 1 т 1 , L;т2 , ..., Ld md ,
в котором L J пе-риод по координате X j , т j целые числа'" (HO
мера rармоник). Двухслойная схема для системы (1) в общем
виде может быть записана так:
40
'-.+
В 1 и(n+l) + В 2 и(п) == о. (2) ·
Здесь В 1 и В 2 матрицы порядка р с коэффи,циентами, зависящими
от параметров сетки. В. соответствии с методом Фурье заменяем
--+ ...... ...
функции в схеме (2) rармониками v (t, k) ехр (ikx) и после co pa
...
щения на ехр (ikx) получим
...... ... ...--+
H 1 v(n+l) (k) + H 2 v(п) (k) == о. ( )
В этой системе Н 1 и Н 2 матрицы, коэффициенты которых зави
-+
сят от k и сет чных параметр.ов. Полаrае'м, что существуют связи
dXj gj('t), j l,d. В этом случае матрицы будут зависеть только
...
от 't И k. Предположив, что разностные уравнения (3) разрешимы
(это равносильно предположению о существовании обратной MaT
рицы Н"1 1 ), можно ,написать систему
+. ....
V(п+l) (k) == O('t, k) · v(п) (k),
в которой G (Нll)Н2 матрица перехода
При р 1 матрица состоит из одноrо элемента,
вали множителем (коэффициентом) перехода.
(4)
(преобразования).
который мы назы
При м е р.
Пусть требуется решить уравнение rиперболическоrо
типа
д 2 и 2 д 2 и
дt 2 == с · дх 2 ·
ди
Введя новую переменную w дt ' сведем уравнение 2-ro
порядка к системе двух уравнений l ro порядка:
дw 2д2и ди
dt С , дt w.
Выбирая для этой системы явную схему
W t == с 2 их;, U t == rШ,
.
-+ ...
после замены (u(w, и), v(vl" v2) )
wy ) --+ V 1 (n) . е l J. ujn) --+ v2(n) . е l j. It rl1x
и простых преобразований получим
4 с 2 ,;
vl(n+I) == vl(n) М2. v2(n), М2 == x2 sin 2 ( /2),
v2(n+l) == 't · vl (n) + v2(n).
41
..
тсюда и из определения (4) матрицы перехода нахо-
дим, ЧТО
о == ( 1 М2 ) .
't 1-
Вернемся к вопросу исследования устойчивости разностной cxe
мы по матрице перехода. Для устойчивости схемы необходимо, что-
бы при условиях
о < 't < 't*, О < п · 't < Т, k Е Z
степени матрицы перехода
(5)
O('t, k)п
были равномерно оrраничены. Область Z значений волновоrо 'век-
.
тора k образована независимым перебором rармоник по всем
пространственным координатам. Для проверки сформулированноrо
необходимоrо условия нужно воспользоваться максимальным зна-
чением по k нормы матрицы перехода. При фиксированном k
11 011 == шах I о; I == шах I V I ,
I == 1 1;\ =1= о I v \
rде
I I V
2 2 . 2
V == Vl+V2+...+Vp.
Из алrебры известно нерав.енство
IIOII>R, R== m.ахIЛjl, j== 1, Р, (6)
J
в котором радиус спектра матрицы перехода, а Лj ее собст-
венные значения. Неравенство (6) леrко доказывается. Действи-
....
тельно, пусть v j собственньrе функции матрицы а, тоrда
--+
I Qv I I Qv j I
IIOII==max >тах --+
1;\=1=0 tv\ ,;.\=#=olvjl
}
Из неравенства (6) следует, что
== т?х Iлjl == я.
}
R ('t, k)n < 11 оп 11 < 11 о Ilп .
(7)
Вспоминая условие оrраниченности степеней матрицы пере-
хода, получаем необходимое условие устойчивости Неймана
(1943)
--+
R('t,k)п<c 1 ,
(8)
42
которое должно быть выполнено при условиях '(5). В общем спу-
flJae Cl> 1. Из неравенства (8) следует в частности при n== T/'t, что
R < с}/Т < 1 + C 2 't. (9)
Пояснением к неравенству (9) служит рис. 9, на котором изобра-
жены соответствующие показательная и линейная функции.
При м е р.
Ранее при исследовании устойчивости полаrалось, что
внеравенстве (9) Сl == 1 и С2 === О. Покажем, что в задаче,
допускающей возрастание функции во времени, нельзя
построить схему, для котороц С2== О. Выбрав явную cxe
му для уравнения теплопроводности с источниками
тепла
ди д 2 и +
дt == Х дх 2 Ьu, Ь > О,
I
получаем для множителя перехода выражение
е == 1 М2 + b't.
Условие (4) Э 2 в этом случае невыполнимо, а условие
(9) с С2=== Ь выполнено при обычном оrраничении на
шаr по времени 't 'to.
Условие Неймана (9) является лишь необходимым. Достаточ
вые условия MorYT быть получены сравнительно просто лишь для
частных случаев. Перечислим некоторые из
них. Условие Неймана является не только
необходимым, но и достаточным [j]., если:
1) матрица G 'нормальная; 2) только одно
собствецное значение выходит за пределы
единичноrо Kpyra, а остальные I л j I < 1;
3) матрица G имеет полную систему собст-
венных eKTopOB. Кроме Toro, если вычис- о
""
лить матри,цу G === а* G (а* комплексно
сопряженная и транспонированная MaT
rOO.J
рица) и найти ее радиус спектра R, то условие Неймана для R
также является и достаточным.
Дадим пояснения к достаточным условиям устойчивости. J MaT _
рица называется нормальной, если она перестановочна с а*:
G а* === а* а. В случае одной функции р 1 матрица всеrда нор-
мальная. Полнота системы собственны'х векторов определяется
по неравенству >O, в котором определитель [рамма. Для
построения определителя rpaMMa требуется найти л'j' собственные
векторы Vj и составить из компонент V j .
В настоящее время имеются более общие формулировки до-
статочных условий устойчивости разностных уравнений. Однако
t/Т
С 4
t
'С.
Р, и с. 9
'"
43
..\
пр т ч аЯ' П О , ерка выпол мости условий в общих ФQР УЛИ
P M ".:з_а Щ- льна. Так;, например, критерий Баченана (1963)
9Р1>единяет мноrие частные случаи, но ero применение требует
предварительноrо весьма' сложноrо в общем случае приведения
ма1'I);If1Цpl переХQ а к треуrольной Форме специальноrо вида.
\При де-м I примеры ца ррим:ене l:Iе 40ст,аточнДI){ условий для
cxeM аппроксимирующих волновое уравнение
д 2 и 2 д 2 и
д't 2 == с дх 2 ·
f! ",,' 1
I ,
I I , :
рIрqNIЯЯ переход к системе урав ений l-ro порядка с помощью
alvl lt I
" rI l'
ди :;::::;;:. .ди
и == дt ' 'а с дх '
u
получим симмеТРИЗ0ванныи вариа т
ди ди д;' д ( д и ) д и
дt с ;дх " дt '\ I,C 'ot дх ::;= с дх ·
При м ер 1.
т; ..,'Д я c eM .. B...J<0TO i? пределена для целочисленных
индексов J, а u для ПОЛУQелых
, ' )
U t == 2 ( ин ", aj ".)(п) + ( и н", a} ".)(п+l»);
,
J ,
i I Р i: :::;:(Ь+ t) t (п'):
и j <'. -; t1} :,. =-'= /t' « (и{ , ' Uj I)(п + ( и) и} д(n+l» .
, ') матрица пер ода И Т с мметричный вид
О { Ь id ) а 1 a'f4 2c . k h
1 .. 'ld ь' J +- а 2 /4 ' ,Ь ==, 'а, ' d, а == т Ш""2 ·
Матрица 01 унитар;н'а '(010; сеЕ), НQр альиа 'и, следо--
ватеЛЬНФ'J по первому признаКУ)':,.достаточноrо условия
устойчива, е . и радиус сп к.тра 1J удовдетворяет усло
13ию Нейман'а. Из. арактеристическоrо уравнения
I 01 ЛЕ r ==0 имеем
, t
1 Лt,2 < Ь + Vb2 ( b l, IЛl,212 == 1, R 1 == 1.
I Схема ':аБСОЛIФ'tJtО усroйч:и'аа.
ЧI;' J
При м е р 2.
/для .схемы
:
с ( === == ) (п)
u t == h UJ+l/ fJ Uj -al, ,
==( n rf- 1} ==( п) "'-i.
и J l/ aj l/ с ( . ....... ) (n + J)
. 1, 't =;; h и j 1l J......I ·
атрица перехода
.'
'02 ::::, ( .1 ia )
la (l.. а 2 )
не ,является нормальной. Uроверим выполнимость
3-ro признака. " i f
Л.'I, 2 == А + iB, А ' l a2/f '! В == а Vl a /4.
, . ,
Полаrая v 1) == V 2) == 1 (собственные векторы определ,
'ны с точностью до МFIожитеJlR), найдем :sropЬ'Ie компо
ненты собственных- векторов из УРЙВНeRrИЙ
1 ,:
..... .....
,021Vj == JVj (; '==I , 2),. I
, t' ';
V(l, 2) == ( + В + i (1 А ) ) .
2 а \.. .
,1' I
Составляем определитель rpaM t::
--+ .... " 1 1 v(l) 2В . ,
6. == det (V(l) V(2» == 2 ) ==........ == 2 V 1 ........ а 2 /4
, 1 V 2 а , ·
Детерминант не о'бращается в нуль (схема устойчива
при выполнении обычноrо условия KypqHTa 't<h/c. Cxe
U . . I
ма условно устоичив.а. · ,
.п
t 8. СВОЙСТВА РАЗНОСТНЫХ СХЕ-М'
, j ,( '
> \
Условие устойчивости схемы. офrычно оказывается СВЯЗ.<ltJН М
с условием монотонности схемы. Схема назыв ется; МОНОТ0ННОЙ,
если она сохраняет монотонную зависимость функции от ПрОСТ
раствен'ной координаты. Сохранение монотонности характерно
для точноrо решения уравнения те лопроводности при опреде-
ленных условиях. Так, например,; при KpaeBЫ ' УС;ЛОIi1И Х l-,ro рода
и монотонных начальных данных профиль те'мпературы останется
монотонным. Доказательство монотонности явных схем леrко вы-
полняется, если они приводятся к В'иду ( 2) 2 ,С положиrел ны--
ми коэффициентами. .
д о к а з а т е л ь с т в,о. Напищем следствие ;из
2, увеличив инд кс на 1:
k'l I
V(!l+ 1) с V<.n)
1+1 s, 1+S+1 ·
sr::::::ak 1
ypaBHeHfi '(1 2)
\
./
, \
. , 1 (
rf ;!
\",II( \
выIитаяя из Hero уравнение (12) 2, образуем разность:
k'J
V(n+l) V <.n+l) == с ( V(n) V<.п) )
j+l } s 1+S+ 1 1+S.
s==k'1 '
Допустим, что на n- слое характер монотонности т-акой, что
v(п) V j (п). Тоrда в 'правой част.И последнеrо равенства все раз
j+1
'4б
ноctи, стоящие под знаком суммы, будут неотрицательными. Сле
ДOBaTe o, при выполнении условия неотрицательности коэффи
циентов будет неотрицательна и pa HOCTЬ соседних значений
функций на новом (n+ 1) слое. Отсюда следует, что характер
монотонности функ,ции сохраняется. Таким образом, явная схема
монотонна лишь при выполнении условия устойчивости. Класси
ческая неявная схема (см. доказательство, например, в учебнике
[7, с. 377 378]) сохраняет монотонность при любом шаrе по вре-
мени.
Из точноrо решения уравнения теплопроводности (5) 1 вид-
но, что с течением времени все rармоники затухают монотонным
образом. Условие устойчивости схемы (1 6(т) I 1) допускало
отрицательные значения множителя перехода. Это означает, что
некоторые rармоники MorYT менять знак на каждом шаrе по Bpe
мени. Требование MOHoToHHoro затухания всех rармоник в раз
ностной схеме (0<6< 1) дает более жесткое оrраничение на шаr
по времени в явных схемах. Для схемы с весом (24) 1 это 'Tpe
бование приводит к следующему оrраничению на шаr:
h 2
't < 4X(I' 6) .
Отсюда видно, что лишь полностью неявная схема (8=== 1) обес
печивает при любом 't монотонное rашение всех rармоник.
оделирование процессов переноса требует исследования Ta
ких свойств разностной схемы, как диффузия и дисперсия [3 5
16]. Диффузия характеризует затухание волн (rармоник), а дис
персия зависимость скорости распространения волны от длины
волны. Из дифференциальноrо уравнения переноса
r ! (: ,
дер + u дер == О
дt дх
следует, что' параметры фурье-rармоник
I t J'
. . fP === ехр (iffit ikx)
должны быть связаны диспеРСИОННрIМ соотношением'
ffi === и k.
Это означает, что в диф'ференциальном уравнении величина U)
принимает чисто вещественное значение, так что нет затухания ни
одной rармоники. (нет диффузии). Кроме Toro, вычисляя коорди
нату, например, нулевой фазы из соотношения ffit kхФ===О, выяс
няем, что
Х Ф (L)
Vф == t == k == и.
Отсюда следует, что фазовая скорость не зависит от волновоr()
числа k (нет дисперсии). .
Обратимся теперь, например, к разностной схеме Лакса:
46
<р(n+ 1) == (<р(n) + <р(n) ) L (<р(п) <р(п» ==
j 2, i+l J l 2 1+1 j 1 ' 'С к ·
Схема получена из аппроксимации конвективноrо слаrаемоrо
центральными разностями и заменой в обычной аппроксимации
ПРОИЗВОДНОЙ ПО ,времени члена vyn> на среднее значение + (ЧJ) 1 +
+ <'Рз п) 1). Подставив в схему фурье-rармоники, получим дисперси-
онное соотношение разностной схемы
eiw't == cos kh + i sin kh.
Для анализа этоrо соотношения положим, что
ro==Q+i1'.
Здесь Q действительная часть ы, а у"":"'" мнимая; значения эти
подлежат определению. Приравнивая отдельно действительные
и мнимые части дисперсионноrо соотношения, получим:
e 't1 · cos Q't === cos kh, e 't1 sin Q't == sin kh.
Отсюда ·
tg 'tQ == tg kh, e 2'tT == cos 2 kh + 2 sin 2 kh.
Из этих формул видно, что лишь при == 1 (t:=='tK==h/U) ,1'==0 в
полном соответств и с дисперсионным соотношением дифференци-
альной задачи. В общем же случае 1'=#=0, так что схема обладает
эффектами диффузии. Кроме Toro, фазовая скорость оказыаетс}J
функцией волновоrо числа, так что есть и дисперсия. эффектыI
диффузии наиболее СИЛQНЫ дл д ины волны л===4h (kh== 'Л/2).
Для таких волн .
't"[ == ln , e 1 === .
Это означает, что на каждом шаrе по времени амплитуда таких
волн уменьшается в l раз ( < 1). Эффект дисперсии, дающий
фflЗО УЮ ошибку, максимален на самой короткой длине волны
л \ 2h (kh==n). В этом случае отношение фазовой скорости в схеме
в l раз больше фазовой скорости, соответствующей дифферен-
циальному уравнению. При больших длинах волн (л.>4h) фазо-
вая скорость в разностной схеме наоборот занижена. Аномальные
эффекты диффузии и дисперсии на коротких волнах являются
типичными для мноrих схем.
Некоторые свойства схем MoryT быть выяснены методом диф-
ференциальноrо приближения [8]. Этот метод полаrаеr, что, раз-
ностные схемы удовлетворяются функциями непрерывных apry..
ментов, как и аппроксимируемые ими дифференциальные уравне-
ния. Опишем кратко метод дифференциальноrо приближения
(МДП) , полаrая, что дифференциальное уравнение имеет вид
д
\, дt + L == О.
Здесь L оператор дифференцирования по пространственной пе-
ременной. Подставляя в исследуемую конечно-разностную схему
47
\
разложения функций в ряд Тейлора относительно опорной точки,
получим форму дифференц-иальноrо представления разност
ной схемы:
-
:: + 2 a k ( :::) L<p + 2bk ( : ) == О.
Дифференцируя исходное дифференциальное уравнение по t, полу-
чаем связь производных по t с производными по координате:
дk k == ( 1 )kLk , k > 2.
дt
Подставляя последнее соотнощение в r форму диффереRциаль-
Horo приближения, получим П форму дифференциальноrо при-
ближения ,(П форма ДП) :
дер дkер
дt + L == C k ·
k 2 дх
.
Свойства используемой разностной схемы исследуются на основе
полученной П формы ДП. Дифференциальное приближение не-
сет в себе информацию как об исходном дифференциаль'ном урав-
нении, .таК и о разностной схеме.
I
n р И.М ер.
, Чаще Bcero метод дифференциальноrо приближения
используется для анализа уравнений rиперболическоrо
типа. Получим П форму ДП дЛЯ схемы с аппрокси-
мацией против потока уравнения переноса (И == const>O)
(й(п+l) (й(п) (й(п) (й(п)
т} Tj т} TJ I
't +U. h ==0.
Подставляя разложения (индексы n, j опорной точки
опускаем)
. (п+l) + ( дер ) + 't2 ( д 2ер ) + + 'tk ( дkер )
'р 't д t 2! дt 2 . · · kI д tk +...,
<PJ l == <р h ( :: )+ ; ( :: ) ... + ( l)k ( :: ) + ..,
в разностную схему, получим r форму дифференци-
альноrо приближения схемы:
+ ( дk ) +u дер u ( 1 ) k hk ( дkер ) ==о
дt 't k! дt k дх h kl дхk .
k 2 k 2
Используя следствие исходноrо уравнения
дkер == ( U)k . дk ,
дt k дх k '
....
48
получим П форму дп
аЬ
д д (hk l 'tk lUk l)
д: +и д; ===и ( l)k kl
k===2
дk
. .,.............
'дх k ·
Оставляя в сумме первый член, получим первое диффе
ренциальное приближение (ПДП):
д + u дер == и . h 't и . д 2 ер
дt дх 2 дх 2 ·
Считается, что чем выше порядок ДП, тем точнее ero
решение описывает решение разностной схемы. Для
мноrих случаев достаточно рассмотрение ПДП. В' Ha
IДeM случае из ПДП видно, в частности, что, при
't<'tK ==h/U схема обладает эффектом счетной вязкости.
Этот. эффект пропадает при 't=='tK. При 't>'tK коэффи
циент при счетной вязкости отрицателен. Из анализа
устойчивости схемы известно, что при таких ш-аrах по
времени схема неустойчива. эт f факт очевиден и с
точки зрения ПДП при отрицательном коэффициенте
вязкоtти все rармоники нарастают. В общем случае,
однако, не всеrда ПДП можно использовать для опре
деления устойчивости.
Метод ПДП дает полезную информацию о диссипа-
тивных свойствах схем, аппроксимирующих уравнение
конвективноrо переноса с учетом вязкости:
дер д2
U d х === v дх 2 ·
.
Для схемы с направленными разностями, например,
ПДП дает уравнение
и == v ( 1 + Rh j 2 ) д2ер Rh == hU
dx дх 2 . '
из KOToporo хорошо виден эффект увеличения вязко€ти.
Отношение коэффициента при вязком члене в ПДП к
коэффициенту вязкости в дифференциальном уравнении
назовем аппроксимационным коэффициентом вязкости
К. Зависимость аппроксимационноrо коэффициента вяз
кости от сеточноrо qисла Рейнольдса
Rh == h . И
для схемы с направленными разностями дается фор
u
мулои
Kt==1+Rh/2.
3 а д: а н и е. ОпредеJIИТЬ зависимость аппроксимационноrо коэф
фициента вязкости от сеточноrо ЧИ€JIа РеЙНОJIьдса для схемы
А. А. CaMapCK&rO
4 3ак. 660
49
.'
... u · ({I7 == 1 + h/2 · ({I ХХ ;
схемы, меняющей аппроксимацию при Rh>2:
U · СРХ- == v (1 ........ Rh/2) СР хх при Rh < 2,
:-. i
u · СР:; == о при Rh > 2
и семейства схем (р == 1, 2,...)
zP
U · ({I; == v (1 + р.) <р ХХ' Р. == 1 + + p l' z == I Rh/21.
+ z ... z
t .9. ИСПЫТАНИЕ С'ХЕМ НА ТЕСТАХ
Мноrие свойства схем леrко MorYT быть выяснены на простых
тестах. Для явных схем такие тесты позволяют все вычисления
выполнить в аналитическом виде. К числу простых тестов OTHO
сятся :recTbI с разрывными начальными условиями, изображенны-
ми. на рис. 10.
"ПИЛА tt
.. ПОЛОЧКА ,.
" холм"
р 111 с. 1 О
" Bb\Cl' n "
.
Проверка схем на этих тестах показала, что наиболее жесткие
требования к схемам дает тест «выступ». Этот тест является
«сеточным. аналоrом функции, точечноrо источника» [22, с. 76].
Покажем применение этоrо теста для схем, аппроксимирующих
уравнение. конвективной теплопроводности .(диффузии)
I дiТ дТ д2Т
дt + и дх == Х дх 2 · (1)
"Опира сь. лишь на физические представления, выясним, какие
ожида'ются значения темпер ;rуры На l-м шаrе по времени вблизи
. . U
узла J==m, если в начальныи момент времени
Tr:п == 1, T == О при j =1= т. (2)
Считаем чт'о узел' j т расположен вдаЛИ' Ьт rраниц. Ясно, что
с течением времени «выступ» (2) превратится в «холмик», высота
KOToporo будет монотонно убываТJ>. Кроме Toro, за счет конвектив-
oro переноса (полаrаем для определенности, что U>О) этот
хол'мик' будет сtIоситься вправо и деформироваться.' В узл (т 1)
возможно 'увеличение Tm l только за счет теп'ЛОПРОВОДНОСТИ. Зна-
чение Т т+.l можно увеличить за счет теплопроводности и конвек-
!5'О
тивноrо переноса, но в любом варианте Т т +1 1. В узле т темпе-
ратура должна ум ньшатьс , но остатрся положительной и болъ-
шей т т 1. Исходя лишь из этих очевидных фактов, c eдyeT ожи-
дать 'выполнения неравенств:
1 l' 1 1 I 1
Т т+l > т т l , т т > т т l, О Т j 1. (3)
Проанализируем возможности двух явных схем для ура6нения
(1) 'с центральными и односторонними (направленными про:rив
потока) разностями. В подробной записи после ввеДения обозна
чений
h 2
't == rJ. D · 2х == а D · 't О ,
Ph == h И
Х
(4)
уравнения примут вид
.' T(j+l) == (1 aD ) т)n) + а: ((1 Ph/2) T) \ + (1 +- Ph/2) T} l) ,
(5)
T(j+l) === (1 aiJ ад · Ph/2) т}n)+ а: (TJ l + (1 + Ph) TJ I) .
. (6)
Поясним обозначения (4). Параметр CXD' показывает во сколько
раз шаr по времени больше шаrа '(о. Шаr. '(о является. максималь
ным шаrом, при котором явная схема для уравнения теплопровод-
ности (и == О) сохраняет устойчивость. Величина 21,0 == h 2 /X опреде-
ляет характерное теплопроводное время для области размером
h. Величина Ph, называемая сеточным числом Пекле, определяет
вклад конвективных добавок. Обозначения введены так, чтобы,
начиная с малых значений Ph, выяснить влияние конвективноrо
переноса.
Возможен иной подход, при котором выясняют влияние тепло-
проводноrо члена на процесс переноса. Для последнеrо варианта
удобно использовать параметр K=='(/'tK ('tK==h/U ar Куранта,
равный времени распространения возмущения на расстояние, рав-
ное шаrу сетки). Между параме рами двух этих подходов имеется
связь '
'tU h 2 . И Ph
ак h == rJ.D 2х · h == rJ.D · 2 .
(7)
Если уравнение (1) описывает процесс конвективной диффузии
или процесс распространения вихря, меняется С00тветствующим
бра.З0.М и терминолоrия. Так, )например, если вместо те пературы
по.л)ьзует я. вихрь I СЕ:ОРОСТИ, то' J./h/v сеточное число Рей-
нолll?ДС, (:" коэффиц.,:е,НТ кинем тичесkо" J3 зкости)., а 21,0 == h2/V
вязкое время и т. д.
При начальных условиях (2), из формулы (5) получаем зна...
чения на l M шаrе по времени для схемы с центральными раз..
ностями
4*
51
,
1 1 a D
т т === 1 rJ.D, Т т:tI == 2(1 + . Phj2).
(8)
в узле j == m происходит уменьшение начальноrо значения
T == 1; отрицательные (невозможные с физической точки зрения)
значения получаются при G-D> 1. В левом узле j == m 1 процесс
теплопроводности дает положительную добавку, а процесс кон-
векции отрицательную; знак полной добавки положителен лишь
при Ph<2. в правом узле оба процесса дают положительный
вклад, выход за верхний предел возможен при больших значе-
ниях rXD.И Ph. Непротиворечивые результаты (T T l) полу-
чаются при выполнении условий
2
rJ.D < 3 ' Ph < 2 ·
(9)
Перейдем к анализу схемы с направленными разностями '(6).
В этом случае при начальных условиях (2)
1 1 rJ. D 1 rJ. D
Tт==1 rJ.D(1+Ph/2), Tm 1==2' Т т + 1 . 2 (1+Ph).
(10)
Заметно, что в соседних узлах j == m + 1 температура всеrда поло-
жительна. Отрицательные значения в узле j==m не появляются
при выполнен}{и условия
1 h 2
rJ. D < 1+Ph/2 ,'t< 2v+hU . (11)
Такое же оrраничение на шаr по времени дает алrебраический
способ доказательства устойчивости.
При максимально возможном значении aD из (11) имеем:
T О, T l == 1
2 + Ph '
1 +Ph
Т т + 1 == 2+Ph
/',
t ,01
'"
\
,
.
I
.
Ph=2
Рис. t 1
9
I
I
I
"
....--
Ph=i
'"
Ph=4
Эти величины для трех значений сеточноrо числа (Пекле изобра
жены на рис. 11. Очевидное отрицательное свойство схемы
/ T l > T исчезает при более жестком оrраничении на шаr по
времени
2. h 2
rJ.D < 3 + Ph ' 't < 3х + Jt.U ·
---04
52
Таким образом, тест «выступ» позволяет леrко выяснить особен
ности схемы на коротковолновой части спектра и получить усло
вия, обеспечиваЮIЦие устойчивость и правдоподобность результа
тов счета ПрlJ разрывных ачальных условиях.
При м е р.
Рассмотрим для уравнения переноса одношаrовую cxe
му Лакса-Вендроффа
't . U 2
t + иф о == . m
т х 2 т ХХ ·
Идея этой аппроксимации очевидна за счет добавле-
ния сеточной вязкости (правая часть равенства) сде..
лать абсолютно неустойчивую схему с центральной
разностью (левая часть равенства) условно устойчивой.
В индексных обозначениях схема имеет вид (' 1:U/h)
(J+l) == (,1 2) )п) + + · (( 1) J l + ( + 1) J п\ ) .
Используя начальные значения теста «выступ», имеем:
=== 1 2, :tl ==O,5 ( + 1).
Очевидно, что возрастание искомой функции отсутствует
при известном оrраничении Р< 1. Кроме Toro, при < 1
возможно появление отрицательны значений <P 1' Та...
ким образом, следует использовать в этой схеме 1.
С друrой стороны, при 1 схема становится эквива-
лентной схеме с направленными разностями.
3 а Д а н и е. Выяснить свойства трехслойной схемы Дюфорта..
Франкеля (схема «ромб» по виду шаблона):
У! == J (V) п l (V(j+l) + V(j l» + V) l) .
Эта схема является явной и абсолютно устойчивой. Однако пр и-
конеч'НЫх (пусть даже и малых 1: и h) отношениях 1:/h она аппрок"
симирует уравнение
д 2 и дu д 2 и ( 't ) 2
t1 дt2 + дt == Х. д х2 ' f.1 === Х h ·
Схемы подобноrо типа, дающие аппроксимацию различных урав..
нений в зависимости от закона стремления 1:, h O, называются
[9] «неrибкими». Замечание: при анализе использовать значения
(2) на двух СJlОЯХ n:s::o и n " 1.
Хорошим тестом для конечно-разностных схем в случае CTa
ционарноrо уравнения кон,вективной диффузии является задача
дТ д 2 Т
U д х -;;; Х. д )('2 ' Т (О) == О, т ( 1) === 1, ( 12 )
.
имеЮIЦая точное решение
53
..
.4 (x) == (1 e RX )/(l e R ), R == и/х.
Аппроксимация стационарноrо уравнения конвеКтRВНОЙ диффузии
на трехточечном шаблоне приводит к уравнению с постоянными
коэффициентами вида
a'l!l+[ (а + Ь) V , + bVI l == О, i == 1, N 1.
Так как это конечно разностное уравнение также имеет точное
решение.
vi==(l zi)/(l zN), z == b/a,
для каждоrо узла может быть вычислена поrрешность
e l == vi Т (Xl).
3 а Д а н и е. Проанализировать поrрешность решения задачи (12),
полученноrо по схеме А. А. CaMapcKoro .
U v х == 1 + 5Pb · v хх
И схеме А. М. Ильина (1969)
. Uv; == (1 + О,5РЬ) · cth (О,5РЬ) · v ХХ .
Обратить особое внимание на величину поrрешности вблизи "ра-
Boro узла i N. Сравнить значение производной по х на правой
rранице с соответствующей разностью' x.
t 10. УРАВНЕНИSI С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.
НЕЛИНЕЯНОСТЬ
Рассмотренные выше задачи относились в основном К уравне-
ниям с постоянными коэффициентами. Если коэффициен'[ы пере-
менны, или rраничные условия, не MorYT ,быть представлен пе
риодическими, то, cTporo rоворя, наши выводы об устойчивости
неприменимы. В случае переменных коэффициентов предполаrа-
ется, что выполнение наших условий как локальных, обеспечит
устойчивость схемы в целом. Это предположение оправдывается
очень часто. ПраК'f-ика показывает, что если неустойчивость имеет
место, то она проявляется прежде Bcero в области, rде не выпол
няется условие Неймана. Подобный прием исследования устойчи-
вости уравнений с переменными коэффициентами называется
принципом замороженных, ,коэффициентов ,[ 1 О, с. 240].. Принцип
этот применим .не всеrда; в работе ,[ 12, с. :383] построены: при-
меры, в которых ero использование приводит к ошибочным заклю-
чениям. В случае' уравнения теплопроводности (4) 1 с 'X ioC(t, х)
вместо условия (6) 2 принцип замороженных коэффициентов
требует выполнения неравенства
54
... h 2
'Сп< 2таххп . (1)
j j
Аппроксимация уравнений с переменными (а особенно с раз-
рывными) коэффициентами требует повышенноrо внимания к кон-
сервативным свойствам схемы. Схема консервативна, если'" она
удовлетворяет законам сохранения, характерным для уравнений
8 ифференциальной форме. Способы построения консервативных
схем подробно изложены в книrе А. А. CaMapcKoro \[ 1]. Там же
показано, что схема (17) Э 1 оказывается несходящейся в случае
разрывных коэффициентов. Выпишем в качестве примера одну
консервативную схему для уравнения теплопроводнос'f.И с пере-
менным коэффициентом температуропроводности на равиомерной
.сетке
1
v t == 2h (Xj+I + Xj) V x (Х) + Xj l) VX-).
Для большинства нелинейных задач нет доказательства схо-
димости и даже устойчивости разностных схем. Рассмотрим в ка-
честве примера нелинейное уравнение теплопроводности {3]
да д 2 (а 5 ) ( 4 да )
дt дх'J дх 5и дх ·
Если взять для аппроксимации этоrо уравнения аналоr схемы
ос весом
(2)
U t :=: е (U5) 7I) + (1 е) · (U5) i '
(3)
1'0 для определения и/ n + 1 ,) ,получится система ,нелинейных алrебра-
ических уравнений. Возникает два вопроса: 1) как решать нели-
нейную систему (3)? 2) как исследовать устойчивость разностной
схемы?
Приближенное решение (3) может быть получено. меrодом ли-
неаризации. Покажем один вариант линеаризации. .ПреДПО.[Iаrая
шаr по времени достаточно малым, можем написать
д (и 5 )n да .
(uб)(n+I> (и 5 )(n) + 't dt == (uб)<n) + 't (5и 4 )n · дT
(и5)(n) + (5и 4 )(n) . (u(п+l) и(n».
Используя последнее выражение, разностные уравнения CBOД M
к линейной системе, которая м<;>жет быть решена методом скаляр-
ной проrонки.
В уравнении (2) функция 5и 4 иrрает роль переменноrо коэф-
'фициента температуропроводности. Вспоминая принцип заморо-
женных коэффициентов, можем ожидать, 'что схема (3) будет ус-
l'ойчива при выполнении неравенства
h 2
't < ( ) . (4)
2 (1 20) · тах (5u 4 )t n
. i
55
,.'
Пробные расчеты [3] подтверж
дают этот эвристический подход к
исследованию устойчивости. На
рис. 12 показано, как проявляется
неустойчивость при локально'м не--
выполнении условия (4). На ри
сунке показаны значения функции
Uj(п) для трех значений номера шаrа
по времени n== 100, 200, 300. Счет
х выполнялся с постоянным шаrом ,
который удовлетворял условию (4)
при и<4,7. При и>4,7 условие (4)
оказалось нарушенным и в COOTBeT
ствующей области появились признаки неустойчивости.
Одним из простейших нелинейных уравнений в rидродинамике
является уравнение Бюрrерса
ди ди д'2и
дt + и dx == 'J dx ·
-и
#
6
>1'''
3
.....
.
"'\
. ,
о
5
10
. Рис. 12
Уравнение отличается от обычноrо уравнения переноса с вязким
членом только тем, что вместо известной функции перед. первой
производной по координате стоит неизвестная функция (это сла-
[аемое и образует нелинейность). в случае rраничных условий,
задаваемых на бесконечности
и( oo)'==U, и(+oo)== U,
уравнение Бюрrерса имеет стационарное решение
и === и · th ( ) .
Это решение можно использовать для испытания различных схем.
3 а д а н и е. В последние rоды повысился интерес к диффузион"
ным уравнениям с нелинейностью. Одним из первых, хорошо про
u u .
анализированных уравнении такото типа с нелинеиностью явля
ется уравнение Фишера (1937)
дu д 2 u
дt==ku(1 u)+D дХ2 ' k>O, O<u<l.
Доказано, ч't'О ура)внение имеет реш ение типа беrущей волны с
во.цновой скоростью С> Cmin == 2 V r kD.
Получить оrраничение на сеточные параметры явной схемы, нс--
u
подьзуя ДJ1Я ЗТОtl цели нача.цьные условия
?? === -=- m -< I -< М; и === О, i -< Ш; и === 1, 1:;>. М.
в случае уравнений с переменными коэффициентами осрбоrо'
внимания заслуживают ВОПрОС!?I аппроксимации. Наибольшую,
опасность таят в себе случаи, с разрывными коэффициентами
56
неверная аппроксцмаци.я. может привести к схемам, которые не
дают сходимости р зультатов расчета к точному решеtIию при
стремлении шаrов к нулю. Обойти такие схемы удается при по
сТроениИ дискретных аналоrов с помощью интеrро интерполяци
oHHoro метода. В этом параrрафе оrраничимся рекомендацией, Ka
сающейся аппроксимации слаrаемых вида
(kT')' == k'T' +lkT".
Такой вид имеет слаrаемое, описывающее процесс теплопровод
ности в случае переменноrо коэффициента теплопроводности или
при записи уравнения в цилиндрических или сферических KOOp
динатах. С математической точки зрения левые и правые части
написанноrо соотношения эквивалентны ,{предполаrается, что про-
изводная от k определена). При переходе к дискретным аналоrам
с помощью прямых замен производных разностными отношениями
рекомендуется использовать левое выражение. Иными СЛОБами
аппроксимация вида
k i +1/ 2 Т Х k i 1/2Tx
h
часто предпочтительнее аппроксимации
k;T; + kTxx.
t 11. ВЛИЯНИЕ rРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯ
При рассмотрении устойчивости методом замороженных коэф
фициентов полаrаем, что возмущение, сообщенное в произвольной
Itнутренней точке (t n , Х J)' развивается примерно так Же, как в
С'лучае задачи Коши без ,rраничных условий. В обоснование этоrо
принципа принимается во внимание тот факт, что расстояние от
внутренней точки, измеренное числом шаrов сетки, Iнеоrраниченно
возрастает при измельчении 'сетки. Но если точка лежит на rpa
нице х==о, то это эвристическое утверждение теряет CMЫC , так
как в этом случае число шаrов до соответствующей rраницы OCTa
ется равным нулю и при измельчении сеТКИ. ПQЭТОМУ в работе
[10] развитие возмущений вблизи левой rраницы х==о для явной
схемы (17) 1 анализируется на основе решения задачи
v( +l) v(п)
J 't J == Х (t, О) v хх t j 1, 2, ... , 00.
L V(п+l) == О
1 О '
(1 )
Здесь Ll разнос ная аппроксимация rраничноrо условия. Эта
задача получилась из исходной задачи для уравнения т плопро-
ВОДНОСТ}f при замораживании коэффициента Х (t, х) на левом
конце отрезка х==О и одновременном удалении правой rраницы
в 00. Задачу (1) рассматривают только для тех ФУНКЦИЙ 1 дЛЯ KO
торых lim vj(п) ==0. Аналоrичная задача ставится для правой rpa
j.... 00
Ницы И рассматривается на функциях, для которых .lim vj(п) ==0.
J.... OO
57
..
TaK образом, процедура исследования устойчивости, учиты-
вающая 'ВЛИЯ1Кие rраниц, состоит в составлеНИIJ треХ задач. Для
каJКДОЙ из этих трех задач надо найти все собственные значения
i\ оператора перехода от n- ro к (n + 1) - му слою. Для устойчивости
задачи совокупность 'А этих задач ДОЛJКна леJКать в единичном
Kpyre I л I <: 1. Излаrаемый способ учета rранич'Ных условий при
исследовании устойчивости называется принципом Бабенко-rель-
фанда 1[10].
Вычислим спектр задачи (1). Подставляя решение v/ п ) == лпg i
в разностную схему, получим характеристическое уравнение
(r == 'tyjh 2 ) :
А:- 1 g === (g2 2g + 1), g2 (2 + л 1 ) g + 1 === о. (2)
Отметим, что ранее при применении метода Фурье-Неймана мы
уже получали анаЛО,rичное соотношение, которое вытекает из
уравнения (2) при g==eirJ.тh (tgl == 1). Если g=/=eirJ.mh , то оба корня
характеристическоrо уравнения (2) отличны по модулю от 1; их
произведе\ние по теореме Виета равно 1. Поэтому среди корней
уравнения один по модулю больше, а друrой меньше 1. Пусть для
определенности Igll<l, Ig21>1. Корень gl нужно использовать
для соответствующей задачи при х==О, а g2 при х== 1.
Подставив v /п) == л п g J 1 в левое rран чное условие L1v&п) ==0,
найдем л для задачи (1).
При м е р.
Пусть rраничное условие на левой rранице имеет вид
и&п) == pи п . (3)
Значениям p 1 соответствует аппроксимац'ия с первым
порядком точности rраничноrо условия 3-ro рода
ди и! ао 1
дх ==,и; h ==,и о , p l+,h " ,>0.
Подстановка u J (п)==л п g J l в (3) приводит к соотношению
1
gl == Р ,
которое лишь при р> 1 даст gl < 1. Это значит, что при
р< 1 нет собственных значений (rраничное условие не
меняет выводов об устойчивости, полученных на задаче
.
Коши) .
Рассмотрим, какие л появляются при р> 1. Из ха-
раkтеристическоrо уравнения (2)
( 1+ g2 )
л == 1 + ro, ? == 1 2 > О; r === > 9.
J gl ......
Отсюда следует неустойчивость xeMЫ (л> 1) .
Неустойчивость, обязанн я rраничному условию '(3) ,
58
rf
может быть обнаружена и таким рассуждением. Внесем
возмущение е в приrраничный узел j == 1. Тоrда соотно.
шение (3) увеличит это' возмущение в р раз. Отсюда и
следует, что при р> 1 возможен механизм нарастания
подобных возмущений.
Мы рассмотрели влияние аппроксим ции rраничных условий
на устойчивость схемы. Не следует при этом забывать и о поrреш
ности аппроксима,ции rраничных условий. Е ли уравнения аппрок-
'симированы со 'Вторым порядком, то не следует удовлетворяться,
первым порядком аппроксимации rраничных условий, так как это
приведет к снижению порядка аппроксимации задачи в целом.
При аппрок'симации rраничных условий часто используют ме-
тод фиктивных точек. Поясним идею метода на примере решения
нестационарной одномерной задачи, описывающей процесс тепло
проводности с rраничным условием при x o вида 6:
ди
дх == f1 (t).
(4)
Введем вне отрезка O x l фиктивную точку X l ==хо h (точка
фиrурирует только. при выводе уравнений и OTOMY называется
фиктивной). Считая, что дифференциальное уравнение справед
ЛИБО при X>X l, напишем используемую явную схему для узла
i===O:
V(п+l) v(п)
О . О == l ( v(п) 2v(п) + v(п» ) .
't h 2 1 О 1
(5)
Заменим в краевом условии (4) производную симметричной раз..
ностью
v(п) v(п)
1 1 (п)
2h fJ ·
(6)
Исключая из (5) с помощью последнеrо соотношения значение
в фиктивном узле v= ), получим явную аппроксимацию rранич-
Horo условия с порядком аппроксимации О ('t+h 2 ):
v(п+l) v(п) 2
о о == .....1... ( v(п) v(п) h'L(п»
't h'J 1 О r.
3 а Д а if и е. Доказать, что трехточечное разностное отношение
3 Ul "о
2 h
1
2 ·
"2 " 1
h
4и1 3иo "2
2Ь
6 Рассматривается только одна rраннца. Совершенно аналоrично метод фик .
тивных точек применяется и на друrой rранице.
59
,.\
да
аппроксJИlИР Т первую производную' ах на rранице x О СО BTO-r
рым порядком.' Внеся возмущение в в приrраничном узле i 1
найти отrолосок этоrо возмущения в rраничном узле i О при сче..
те по явной схеме для уравнения теплопроводности с rраничным
ди
У словием о.
дх
t 12. МЕТОД ДРО&НЫХ ШАrов 1[1, 2]
Метод позволяет конструировать экономичные неявные схемы
для решения MHoroMepHbIx уравнений математической физики.
Основная идея метода заключается в изменении аппроксимации
для получения схемы с хорошей реализацией. Поясним эту идею.
Пусть Л простейшая неявная аппроксимация порядка О (т т ).
Измененная аппроксимация имеет ви,Д .
'" I"J
.L\ == А + 'tmф, 1 -< т -< т , ( 1 )
rде Ф произвольный финитный оператор. Новая схема часто
имеет тот же порядок аппроксимации m т, но проще в реализа...
ции (экономичнее). .
Рассмотрим две схемы метода на примере решения уравнения
теплопроводности
д u ( д 2 а д2а )
д[ == X U == Х дх 2 + ду2
в прямоуrоль ной о бласти 11 Х 12 на равн омерной сетке
Xj==jh 1 (j==O,N 1 ), Yk==kh 2 (k==O,N 2 ) с шаrами hl ll/Nl, h 2 ==
== 1 2 /N 2 .
Выбор неявной аппроксимации (8)0)
U t == 6 ( + ) +- (1 Э)(и +- и )
. х хх уу хх уу
приводит К необходимости на каждом ша,rе по времени решать
алrебраическую систему BblcoKoro. порядка, paBHoro числу BHYT
ренних узлов (Nl l). (N2 1). В методе продольно поперечной
проrонки идет чередование двух аппроксимаций:
и(n+l) и(n) == u( +1) + и('!:1 u(n+2) u(n+l) и(n+1) + и(n+2)
x't хх уу , X't == хх уу.
(4)
Так К8К счет повторяется через 2 шаrа, будем считать l й шар
вспомоrательным (дробным) и перепишем уравнения .(4) в CTaH '
дартном для этоrо метода виде:
J n+} ) u(n) ( n+} ) (n) ..
O,5'tx :;:: и хх + а уу ,
(2)
(3
60
и(n+l) J n++) (n++) (n+l)
O,5'tX а хх + и уу ·
(5)
Первый полушаr осуществляется с применением скаляр ных про-
rOHoK по rоризонтальным линиям Yk==k.h2(k I,N2 1). Второе
уравнение в (5) неявно по у и явно в направлении Х, поэтому оно
решается также м етодом скалярных проrонок по вертикальным
линиям Xj jhl (j==I,Nl I). Способ реш ния уравнений (5) с по-
мощью проrонок в двух направлениях и дает название метода.
продольно-поперечная проrонка (ППП). Метод был. предложен
в 1955 r. Писмэном, Рэкфордом и Дуrласом.
Выясним два важных вопроса: 1) устойчив ли метод? 2) ка-
кова аппроксимация в целых шаrах?
Подставляя в уравнения (5) замену u ) ----+ е п . e l (kJxj+ksYk) , по-
лучим коэффициенты перехода:
tI
(n++ )
е 1 ==
е(п)
1 M
1 + Mi '
е(п+l)
2 ==
(n++ )
1 ...... м i
1 + M '
(6)
е == Е 1 · Е 2 ===
(1 MI> (1 M )
(1 + Mi) (1 + M )
М 2 2't):. 2 kshs
s == Sln
h 2 2
s
s ::::2 1, 2.
Как вид'но, I I 1 при любом 't и, следовательно, схема ППП
абсолютно устойчива.
Для выяснения аппроксимации в целых шаrах запишем (5)
в виде
(/ ; А 1 ))n++) == (/+ ; А 2 )и(n) ,
(1 ; А 2 ) и(n+l) == (1 + ; А 1 ) )n+-Н ,
в котором 1 единичный (тождественный) оператор, а A1u==Xu xx ,
't
А 2 и == 'ХИуу . Умножая l-е уравнение на (1 + тАl) , а 2-е на
'(1 ;; ./\1), после сложения получим уравнение без промежуточ-
Horo слоя:
(/ ; Al)e ; А 2 )и(n+l) ===(/+ ;; Al)(/+ ; А 2 )и(n).
Предполаrая коммутативность операторов (для уравнений с по-
цостоянными коэффициентами это справедливо), получим после
простых преобразований:
61
\ и(п+l) и(п) и(п+ 1) + и(п) 't2 ( и(п+ 1) и(п)
== (А} + А 2 ) 2 4 А1А2
) .
(7)
Подчеркнутая часть аппроксимации (7) соответствует схеме (3)
при 8==0,5; оставшаяся часть иrрает роль добавоЧ'ноrо члена s
аппроксимации (1) к оператору Л.
Мето.д ППП успешно используется при решении задач в плос...
кой 9бласти. В трехмеРНОМ,случае он оказывается условно устой
чивым. В трехмерном случае используют, например, схемы pac
щеUления ,или схемы стабилизирующей поправки (предиктор-кор
ректор). Схема расщ пления с весом 8 для двумерноrЬ случая
имее:r вид
( п+ 1... ) ( 1 )
u · 2 и(п) п+
't == ОЛtU 2 + (1 6) .J.\lU(п) ,
..
(n+1). (n++) ( п 1 )
и 't и == 6 2 Аи(n+1) + (1 6) А 2 и +"2 . (8)
Структура схемы неожиданна на каждом полушаrе использу--
ется только один оператор Аl или Л 2 .
При 8==0,5 схема в целых шаrах ймеет вид (7), а при 8== 1
(п+l) (п)
u ..... u А и(п+l) + А и(п+l) + A А и(п+l)
't 1 2 1 2 ·
Идея метода расщепления используется не только для разде
ления операторов по пространственному признаку. Очень часто.
используется она для разделения операторов по физическим про
цессам. Так, например, при решении уравнения конвективноff
диффузии на первом дробном шаrе можно учитывать вклад толь-
ко от конвективноrо процесса, а на втором тол'ько от диффузи
oHHoro. Оценки поrреш'ности метода расщепления по физическии
процессам для .уравнени конвективной диффузии можно найти,..
например, в книrах r. И. Марчука I[ 11, 24, 25].
t 13. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
Для решения сеточных уравнений эллиптическоrо типа успеш
но используются итерационные методы. Уравнения, приведенные-
к виду
V j, k == а s, 1 V J + $. k + 1 + fj. k , .
s. 1
(1)
ОТ О. ятся К эллиптическим, если, все коэффициенты, сто щие под.
знаком ,суммы, не отрицательны и их сумма ::::;; 1. ЭллиItтичность,
обеспечивает, как правило, существование и единственность рет
6
шения системы. (1). к В,иду (1), ПрИВОДЯТС,я, например, аппрокси
ма.ции уравн;ений Пуассона и rельмrольца, урав'нений параболи
U '.
ческоrо типа неявными схемами и уравнении переноса с аппрок
симацией против потока. Так, например, неявная схема для ypaB
нения теплопроводности
и (п+l).......... и (п)
j, k j. k ,
'tX
и (п+ 1) 2и ,rn+ 1) + и ,rn+ 1)
j+l, k }, k J 1. k +
h 1
+
и (n+l) 2и (п+1) + u (п+l)
j. k+1 j. k j. k l
h
после введения обозначений
h 2 и (п)
( 1 f · 1 j, k
'1J. k == U п + )
. J' j, k ' j, k == 2 (1 + , ) + 2 ,
h 1 h 2
'у == , 82 ==
I h 2 · 'tX
сводится ,к виду
V j + 1 , k + Vj l, k + ,2 (V j , k+l + V j . k l ) (2)
v j k == + f j , k ,
, 2 (1 + ,2) + 2
аналоrичному (1). Такой ще вид получается при аппроксимации
уравнения I'ельмrольца
U ";(2u == f
на пятиточечном -шаблоне 7.
Важной характ ри тико f алrебраическ,ИХ систем является
обусловленность соответствующей матрицы А 1[13]. Для сеточн.ых
матриц наиболее удобна мера обусловленности, выраженная че-
рез отношение собственных значений
-) lnax I Лi I
Рl (А) == 1 л l ' (4)
mlП l
i
При обращении матрицы А методом исключения поrрешность про
порциональна мере обусловленности.
При м е р.
Найдем меру обусловленности для задачи Дирихле,
описываемой уравнением (1) при U 'r == О в области
, -
прямоуrольника при аппроксимации на равномернои
сетке. Пользуясь определением собственных функций
и собственных значений
А v(p, q) == )J:p. q) · v(P. q)
, ' . f . . 1 ' ,
7 В' уравнении rеЛЬJ\frоJyьда знак перед '';(,2и может' быть и положительным;
при отр'ица'теJIЫIОМ знаке. соотве ствующая задача Дирихле имеет единственное
реЦIение. .
'6;3
..\
. и испытывая в качестве предполаrаемых собственныIx
фУНКЦИЙ rармоники v(P. q) == ехр( iтc ( : + : )) (р, q цe
лые числа), получаем:
2 + 4 ( Sln2 п :1 + "(2 sln 2 те it h2 )
л(р, р) 1 2 (5)
2 + 2 (1 + 12) ·
Так как
р==l, Nl l, q==l, N2 1,
мера обусловленности, вычисленная по формуле (4),
такова:
mахlл(р,q)I
Р1(А)== p,q
minllJP,q) I
p,q
,,/N 1 1, NI 1)
л(I, 1)
Для квадратной сетки 'у == 1 и [1 == [2 == 1 при достаточно
больших N == l/h имеем отсюд-а
2 + 8 2 + 8
Рl 2 + 8 sln 2 (1thj2) 2 + 2тc 2 h 2 .
4
В случае решения уравнений Пуассона == О, P 1 Тt 2 h 2 .
Из полученноrо результата видно, что мера обусловленности
для неявноrо уравнения параболическоrо типа меньше, чем для
уравнения Пуассона. Уравнения (2) при р*о более блаrоприятны
дл.я решения. В запи.си (2) отчетливо видно, что с ростом 2 YBe
личивается преобладание д:иаrональных элементов.
-:
....."""
........,
-.
, 4
Р1:;: 2.h2 = t
..
"--
.... i'" 2
Р1= tc
Р .Н с. 13
p::!t.. c
i 3
Аналоrичные выкладки позволяют найти меру обусловленности
при аппроксимации уравнения Пуассона на друrих сеТОЧН IХ шаб
лонах. На рис. 13 под соответствующими ш блонами ПIftt.ведены
значения Рl в случае квадратной сетки [13J. За эталон сравнения
принято значение Р 1 (А) дЛЯ обычной аппроксимации {формула
64
«алмаза») на пятиточечном шаблоне. Как видн;о, Pl увеличива
ется, если используются далекие соседи (4-й пример) . Следова-
тельно, сеточные уравнения повышенной точности надо строить
'Так, чтобы узлы в шаблоне (<<звезде») располаrались по возмож-
ности компактно.
Перейдем к рассмотрению общих вопросов итерационных ме-
тодов [9] следующеrо вида:
. -+
и(т+l) ==Ви(т) j. (6)
В общем случае итерационным номером т отмечают и матрицу
,(оператор) В, если В при итерациях меняется. При достижении
-+ --+
установления u(т) == и (6) превращается в уравнение, которое мы
решаем
--+
и === Вu + f, Аи == f, А == I В.
Вводя вектор ошибки
(7)
.--+
V(т+l) == u(т+l) а,
(8)
получаем соотношение
-+
V(т+l) == Bv(т) ,
(9)
из KOToporo видно, что изменение вектора ошибки зависит от В и
не зависит явно от вектора правой части f.
Для характеристики скорости сходимости (скорости убывания.
какой:.либо нормы вектора ошибки) выберем евклидову норму
11 ;; 11 == v 4 V / k h 1 h 2 ,
j,k
(10)
которой соответствует скалярное произведение сеточных функций
......
(v, w) == 4 v j . kWj, kh 1 h 2 .
j, k
Суммирование в (1 О), (11) выполняется по внутренним узлам
сетки.
Положим дл простоты, что областью интеrрирования ЯJ3ля-
ется прямоуrольник. В этом случае в качестве базиса ортонорми-
рованных функций можно выбрать функции
(11 )
1tPXj 1tqy
u(р, q) == sin sin .
'1 / [2
(12)
в работе 1[9]доказывает ся, что скалярное произведение функций
(12) выражается через дельта-функции (ортонормированность)
( -;(Рl ,ql) .rP2' qJ) ) ' == О Р Р · O q q
, 1':4 l' 2.
5 3ак. 660
65
\
. Ce'Je1ll HY . ФУНКЦИЮ можно представить в виде ряда по OpTO
нормированным функциям
-+
V == Cp, q и(Р, q) ,
p,q
а воспользовавшись равенством Парсеваля, написать, что
(13)
11 v 112 == C . q .
р, q
(14)
Используя (9) и полаrая, что и(Р' q) являются собственными
функциями оператора В, по лу йм важное соотнош ение: ·
11 В-; 11 == ,! 4 (Вс р . q[;(P, q)2 h 1 h 2 ===
V р, q
== 1 / 4 (С Р . qЛ(Р' q)u(p, q)2 h1h2-<
f р, q
<. тах I л(р, q) I ' ! 4 (С Р . qU(P' q) )2 h 1 h 2 == RII; 11. (15)
p,q 11 p,q
Отсюда следует, что для норм вектора ошибки при выполнении
итераций (6) справедливы неравенства
11 ;(т) 11 <. R 11 V(m l) 11 <. о.. <. Rm 11 ;(0) 11.
(16)
Итерации сходятся (норма ошибки убывает) при радиусе спектра
меньше 1 (R < 1). Меньшему R соответствует большая скорость
сходимости.
Соотношения (16) позволяют оценить число итераций mI,
уменьшающих начальную норму невязки в заданное число раз 1/8:
11;(m t )II lnE
е == 11 (o)" '> Rm" т 1 >- ln R ·
(17)
При большом числе узлов радиус спектра обычно мало отли-
чается от единицы
R==I б, б J, (18-)
и д.l!Я числа итераций может быть получена приближенная фор
мула
In € ln Е _ ( I
m 1 > ln R -:::::::; т == а ln 1 Е).
(19)
Сравнение методов по скорости сходимости можно выполнять по
значениям коэффициентов 'а.
Рассмотрим метод простой итерации для системы (2) с опера
тором
(т) + (т) + 2 « (т) + (т)
-4 V j + 1 ,k Vj l,k ,V j ,k+l, Vj,k l
В v(т) ==
· 2 (1 + ,2) + 2
......
(20)
66
eTOД (20) называют методом усреднения Ричардсона (для про?
извольной матрицы Якоби). Подставляя в оператор В собствен-
ные функции (12), найдем собственные значения:
)Jp, q) == 2 COS (7tph 1 /l 1 ) + 2,2 COS (7tqh 2 /l 2 ) (21 )
2 (1 + ,2) + 2 .
Радиус спектра соответствует медленно затухающей rармонике
с p==q== 1:
R == тах I А (р, q) I == cos (7th!!l!) + ,2 cos (7th 2 ! '2) ( 22 )
1 + ,2 + O,5 2
р, q
При == о (уравнение Пуассона), 11 == l2 === 1 и квадратной ceTK
R === cos (лh) 1 л2h212.
Из формулы (19) находим, что число итераций, уменьшающее
начальную невязку в l/е раз, равно
m! 1t2 2 · 10 (1/6). (23)
Таким образом, скорость сходимости в случае простой итерации
уменьшается с измельчеНИ.ем шаrа по квадратичному закону.
Покажем, что метод простой итерации эквивалентен методу
установления, примененному для решения стационарной задачи.
Пусть задача Дирихле
Ди + f == О, U/ r == /1 (24)
решается итерационным методом усреднения и методом YCTaHOB
ления (t----+-oo)
ди
д-f == д.и + f
(25)
по явной схеме. Выбрав шаr по времени в явной схеме равным
't==to:=;:h2j4, получим формулу
(п+ 1) 1 ( (n) (n) (п) (п) + h 2 f )
и}, k =t== 4 U j +l, k + Uj J, k + U j , k+l ' U j , k l j, k. '
(26)
которая эквивалентна формуле простой итерации. Отмеченная
эквивалентность, характерная не только для приведенноrо случая,
используется при конструировании итерационных методов.
Рассмотрим метод последовательноrо исправления с парамет-
ром (й для системы (2)
I""OJ
( (т) (т+1) 2 ( (т) (т+l) ) ) I b + f
V j , k == V j +l, k + Vj l, k + l' V j , k+1 + V j , k l / j, k ,
V . (т + 1) == V Jm) + (J) ( ; . V J т) ) Ь =:. 2 ( 1 + 'v 2 ) + r42 .
J,k J,k ],Я J,k, ,t"'
(27)
Первая формула написана для зафиксированноrо последователь
Horo обхода внутр енних уз лов сетки из левоrо нижнеrо уrла .
слева направо (j . 1,N1 1) и снизу вверх (k==1,N2 1). Пара
метр (й подлежит определению. Считается, что выбран оптималь-
5*
67
ныit'Па'рамет'р релаксации 0)*, если при 'этом достиrается минимум
,
радиуса ектра
Я* == min R ((1)) R ((1)*).
ш
Для поиска 0)* необходимо найти спектр соответствующеrо опе-
ратора.
Подставляя замену '[ 13]
( 1 +k )
v (т) "'"2 w (т) V (т+l) V (т)
j, k f.L · j, k, j. k f.L j, k
В уравнение (27) без свободноrо члена, получим
ttW .(т) ( 1 (1) ) W.(m) + (J) Х
r J,k J,k Ь
Х (Wj<:t k + W/ k + ,2 (W/'Z l + Wj k l).
Выделив в этом соотношении оператор В, который фиrурировал
в мет?де простой итерации (20), получим
В (т) :! + W 1 (т)
W j , k == . Wj, k
(J) J" fJ.
Вспоминая, что оператору В соответствовало собственное значе-
ние Л, находим из уравнения (28) связь собственных значений
л === [J- + (J) .......... 1 (29)
(J) y .
Начнем анализ этой связи. При 0)== 1 имеем
л V , л 2 == f.L.
Это означает, что одна итерация метода (27) при 00== 1 '(метод
Вейделя) эквивалентна двум итерациям метода простой итерации.
Кроме Toro, метод Зейделя проще для проrраммирования, так как
допускает реализацию с одним массивом неизвестных и с мень-
шим числом операций.
Продолж.им анализ связи (29), переписав ее в виде
f.L шл V + «(1) i). о.
(28)
, (30)
Выясним пределы параметра релаксации.
По теореме Виета
v f.Ll · f.L2 == (1) 1.
Отсюда видно, что условие сходимости метода I f.11 < 1 будет вы-
полнено при 0<0)<2.
Из уравнения (30) имеем
V !-'- == 2 + V С"2 Л У+ 1 Ю. (31)
Если дискриминант D <О, корни уравнения '(30) комплекСНо-со
пряженные и их модуль
68
' .; ". "1:V ,(t' I ----: "Jt{)ш, ,iI, :;;) 1.:." . .
.. 1 " . . ' , , -: . ' , : ' .! j r j ,.', . ' ; . )
ВQзрастает при уве ИЧ,ении; 00 до зна..
.ния 1, при', . 2..' авJiСИМ9 tь. : iiJ{"J ' l'
от 00 качественнq. из<?бn жеJIа .JI,a,
w рис. 14. . ' . 1 ,"" , .
Ес и,- Н30,борот" дискриминант-' Ir
формуле (31) D'>:O, корни уравнения,
(30) вещественны ' и "наибольший ПО
модул ю корень
!I. == Л + 11 ( ",; у + 1' (J). (32)
В этом со отн ошении . f.1 == тах I 1, л тах I л 1. Из формулы (32) \
ви: дно , ЧТО f..L убывае с возрастанием 00. Из скззанноrо следует
что минимум корня достиrается в точ'ке, rде подкоренное выра..,
жение равно нулю
; , R.
(. . ,
l' _. ' . .
D li
4
2
р 18 с. 14
( 001 ) 2
2"" +l ш==О.
Решая это квадратное ур внение, по лучим
, (J) == :2 (1 + v 1 Т2 ) .
(0,2) .
(33
Нас интересуют значения 00 из интервала
нения (33) берем корень с минус ом
2 ( 1 V 1 л 2 )
Ш* ==
Поэтому из ypaB :
: !
2
л 2 1 + V 1 Л2 ..
TaKO gначение параметра верхней релаксации .(00*> 1) да.ет ,наи
лучшую асимпт@тическую 'скорость сходимости.' Метод (27): при
ro> 1 называется методом последовател.ьной' верхней :релаксации'
(ПВР) с, зафиксированным - порядком обх:ода. узлов или- метОДОМt
Янrа.,Радиус спектра при ю==ro*, HaXOД M из формулы' (31)"в КО-)
торой по ,услрвию определения 00* подкоренное выражение равн@
НУЛЮ,j'а -Бели'чина '8aM HeHa': a ?:.==,тaxl l: I .', .
, . ' ( (J) !fc Л ) 2 Л 2 " ; I '," \ ,
R*== == (1+Vl }))2 ==lli'*' 1.
В случае урав ения 7Iапласа при v == 1 в области квадрата
r h . 2 Я. ==' 1 ...... sin 7th 1 2 ih.
== cos 7t' , Ш«: == 1 + sin 7th;' ., 1 + ln 7th ';
. (34)
! "
Число итераций, уменьшающее' начальный' вектор невязки в l/е
р з, равно для метод'з пвр
In (I/s)
m 1 21th
, I
: "
p
'
Таким оБРазом, скорость сходимости в методе пвР уменьшается'
с измельчением шаrа сетки по линейному закону, а не по квад-
ратичному, как в методе простой итерации.
Аналитические формулы для оптимальноrо параметра верхней
релаксации получаются лишь в случае простой rеометрии (прямо-
уrольник, Kpyr, кольцо, куб, шар) и равномерной .сетки.
В усложненных ситуациях оценка (0* может быть получена пу
тем обработки результатов счета по методу простой. итерации
после достаточноrо числа итераций, коrда отношение
11 (т+l) (т) 11
р==
11 (m) .......... u(m l) 11
стабилизируется с некоторой точностью cSl. Величина р прибли-
женно определяет верхнюю rрз-нь I в формуле (34) для пара-
метра оптимальной релаксации. Величина р используется в ме-
тоде Люстерника для экстраполяции итераЦИQННЫХ значений
к точному
(т+l) p (т)
U 1 .
p
(35)
Формула (35) получена в предположении, что изменения на ите-
рациях происходят за счет затухания самой медленной собствен-
ной функции Vl:
---+ --+ т ---+ --+ + 1 --+
u(т) и =:::,с. Лl · V 1 , u(т+l) U лr CV 1 Л1 (u(т) и).
Из этих формул и получается оценка точноrо значения (35).
Сравнение методов по эффективности должно учитывать не
только асимптотическую скорость сходимости коэффициенты а
в формуле '>t19), но и число операций, ре лизующих метод. Срав-
ним в качестве примера три разобранных выше метода (простая
итера.ция, метод Зейделя и метод ПВР) на задаче Дирихле для
уравнения Пуассона в области квадрата с использованием для
аппроксимации квадратной сетки. Результат сравнения представ
лен в табл. 3 (N == l/h).
Таблица 3
Наименование метода
а
ЧАО
1]
Простая итерация
Метод 3ейделя
Метод П В р
2N'J/1t 2
N2/1t 2
N /2тс
5
4
7
1
2,5
O,91N
'-"ol
70
в этой таблице ЧАО число арифметических операци:й в расчете
на один узел сетки, 1) величина, показывающая эффективность
метода по сравнению с методом простой итерации
а1 . ЧАО t
Тil == а. . Ч А О. .
L L
Для дальнейшеrо знакомства с итерационными методами МОЖ
но использовать работы 1[1, 11, 13 18]. В [15, 17] можно найти
писание результатов испытания различных методов. TaKoro рода
машинные эксперименты позволяют выяснить работоспособность
методов и сравнить их эффективность. Описание прямых методов
решения сеточных уравнений в канонических областях имеется
в работах [14, 17].
ЛИТЕРАТУРА
1. Самарский А. А. Теория' разностных схем........... М.: Наука, 1977. 656 с.
2. ЯН'енко Н. Н.. М.етод дробных шаrов решения MHoroMepHblx задач MaTeMa
тической физики. Новосибирск: Нау{{а, 1967........... 195 с.
3. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач..........
М.: Мир, 1972. 420 с.
4. Рождественский Б. ,Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений...........
М.: Наука, 1978. 688 с. '
-5. Самарскмй ,А. А., Попов ю. П. Разностные схемы rазовой динамики........... М.:
Наука. .......... 352 с.
'6. Крылов В. И., ,Бобков В. В., Монастырный П. И. Вычислительные MeTO
ды. ......... М.: Наука, 1977. Т. 2......... 400 с.
7. 'КaJIlfl'N{ИtН Н. И. Численные методы. М.: Наука, '1978. 512 с.
8. Шокин Ю. И. Метод дифферени.иальноrо приближения........... Новосибирск:
,Наука, 1979. 2124 с.
9. rодунов С. К. Уравнения математической ф}fзики........... М.: HaYKa 1971.
416 с.
10. rOlll.YНOB С. ,К., Рябенький В. С. Разностные схемы........... М.: HaYKa 1977...........
440 с.
11. ,Марчук r. И. Методы вычислительной математики........... М.: Наука, 1977...........
456 с.
12. Самарский А. А., rулии А. В. Устойчивость разностных схем.......... М.: Наука,
1973........... 416 с.
13. Саульев В. ,К. Интеrрирование уравнений параболическоrо типа методом
сеток. .......... М.: Физматrиз, 1960........... 324 с.
14. Самарский ,А. А., Н,и,колаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений...........
М.: Наука, 1978.......... 592 с.
15. Илыин В. П. Численные методы решения задач электрооптики........... HbBO
сибирск: Наука, 1974........... 203 с.
16. Поттер Д. Вычислительные методы в физике........... М.: Мир, 1975........... 392 с.
17. ,Олдер Б. и др. Вычислительные методы в физике плазмы........... М.: Мир,
1974. 514 с.
18. Роуч п. Вычислительная rидродинамика........... М.: Мир, 1980. 616 с.
19. Т,ОМ К., ЭЙ1nЛТ. Числовые расчеты полей в технике и .физике........... М. Л.:
Энерrия, 1964........... 208 с.
.20. ФЛerJ'lЧер К. Численные методы на основе метода rалеркина. М.: Мир,
1988. .......... 352 с.
1. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики
жидкости........... М.: Энерrоатомиздат, 1984. 152 с.
71
,
-.\
2201 .П4d[ОиОВ :В: "1"., Полежаев' В. Н., ЧУДОВ л. Д. ЧислеiI,ное М9делирьвани
процессов ' JlO JI Массоо.БМеНа.,........ М.: HaYKa 1984........ 85 с. ,.
23. Берковс'Кий Б. М., Hor TOВ .Е. Ф. Разностные методы исследования 'задач"
теплообмена. ........Минск: Наука' и'техниr<а, 1976. 144 с.
24. Марчук r. и. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.
М.: Наука, 1973......... 303 С. . .
25. Марчук r. и. Математическое моделирование в проблеме окружающей cpe
ДЫ. ........ М.: Наука, 1982.......... 3 19 с.
26. Richard с. W., Crane С. .М. Pressure marhing schemes that work. // Int..
J. Numer. Math. Eng........... 1980......... Уоl. 15........... N 4........... р. 599 610.
/ Ч цсленные, методы 11,(/" 8сесилЬНъt. Они
не от меняют все остальные математические
методы. l! ачиная ирследовать пр обл ему;
целесообразно использовать nростейtиие MO
дели. аналитические методы и nрикидки.
И только разобрq,вшись в основных чертах
явления, надо переходить к полной модели
и сложны'м' численным методам; даже 8
этом случае . численные методы BblZOaho-'
,применять в комбинации с точными и npи
ближенны,М,и аналитическими 'м'етодами.
Н. Н. 'Калит"uн
т а'м, zae большинств у алzорифмистов
любителей кажется, что аЛ20риф'м' ZOTOB
для публикации, nрофессионал понимает,
что тяжелая и утомительная работа толь
ко начинается.
Дж. Форсайт
rлава 2
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
rИДРОДИНАМИКИ ВЯЗКОй ЖИДКОСТИ
в э 1 данной rлавы описаны этапы вычислительноrо экспери
:м:ента и даны рекомендации по реализациli. алrоритма. Затем дa
ется -краткое описание двух подходов к решению уравнения
HaBьe CTOKca в eCrecTBeHHblx переменных (скорость, давление).
и B переменных ,функция тока JЗихрь скорости (двухполевой ме.
тод). После ,цримера применения явной схемы двухполевоrо Me
тода. к задаче о rидродинамичеСКQМ волчке из аrается атериал,
посвященный совершенствованию HeЦ HЫX схем двухполевоrо Me
тода. З"'Зканчивается rлава описанием методов, которые сокра-
щают затраты машин.ноrо времени или расширяют область при
менения MeTOДOB '
s :1. ЧИСЛЕННЫМ, ЭКСПЕРИМЕНТ И Ёrо ЭТАПЫ {31] .
Большинство з'адач 'rидродинамики "не поддается аналитиче
CKO y решению, и единственная возможность теоретичес оr(}
анализа пол чение численных решений и последующая' их
обра'б'отка: -Такой подход к .исследованию НОСИТ название «чис
ленноrо ЭКСf!еримента'». Ему присущи, чертыI обычноrо физическоrо-'
(лабор'аторноrо) э nеримента ВОЗ ОЖ'ность MHoroKpaTHoro п6 '
вторения при изменении 'различньiх параметрЬв. "Кром'е Toro, име
ются И, д{)по ц»тельные ,преимуще,СТВ a свяэаНrfIые. с ,ВОЗ!dо.жностью
задавать «идеальные» зависимости и произвольные з-н.а,чения па
paMeTpp , 'KoTop le 'n , абораторнь,х экспери ента<х', нереа.лизуе ы.
Успех ЧIJСJlеНtIоtо' СfIеримент -завис;и ' С>Т. . физичес ой и, мате л а
(3;
тической ПОjffОТОВКИ исследователя. Математическая подrотовка
предполаrает хорошее зна'ние традиционных разделов математики,
численных методов и проrраммирования. В противном случае по
известному «принципу Питера» ЭВМ MHoroKpaTHo увеличивает
некомпетентность вычислителя. В ходе выполнения численноrо
эксперимента полезно комбинированное применение численных и
аналитических методов, а на начальном этапе исследования целе
сообразно использование простейших моделей и априорных оценок.
Перечислим основные этапы работы при проведении числен-
rIoro эксперимента. Отметим, что формулировка этапов, их после..
дователЬ'ность и количество являются в какой то мере условными.
На содержание этапов существенное влияние оказывают уровень
вычислительной техники и математическоrо обеспечения, цель ис
ледования и класс решаемых задач.
1. Знакомство с физической постановкой задачи (выбор физи-
ческой модели).
Ранее существовало мнение, что при проведении численноrо
эксперимента постановка задачи осуществляется специалистом,
а роль математика проrраммиста сводится к реализации алrорит-
ма поставленной задачи. Опыт работы мноrих исследоватеJ1ей по-
казал, что такое деление ролей нерационально, так как при этом,
как правило, теряется полнота исследования и (или) увеличива-
ется время расчета. Дело в том, что постановщик задачи не знает
досконально возможностей ЭВМ, а проrраммист плохо представ-
ляет постановку задачи, не видит целей исследования. Сейчас
постановщик задачи имеет достаточную математическую подrо-
товку и поэтому сам проводит численный эксперимент. В против-
ном случае проrраммист должен rлубоко вникнуть в физическую
сущность задачи, т. е. стать по сути дела постановщиком, так как
знание физических особенностей задачи позволяет выбрать наи-
более важные характеристики исследуемоrо явления, оценить до-
пустимую поrрешность и, таким образом, достичь ,цели с наимень-
шими затрата и. Особое внимание нужно уделять вопросам точ
ности проводимых исследований. Считается, что математическая
точность решения задачи должна быть в 2 4 раз выше, чем ожи-
даемая физическая точность модели. Более высокой математиче-
ской точности доби'ваться бессмыIленно,, так как это не повышает
общую точность решения, а лишь увеличивает затраты машинноrо
времени.
Для первоrо знакомства с типичными постановками rидроди-
намических задач можно порекомендовать книrу Дж. Бэтчелора
«Введение в динамику жидкости» [1 J, написанную для математи
ков-прикладников. В дальнейшем следует обратиться к друrим
книrам по rидродинамике {2, 3] и конвекции \[4].
2. Выбор системы уравнений, описывающих исследуемое дви-
жение жидкости. :-
.
Далее нас будут интересовать задачи rидродинамики вязкой
несжимаемой жидкости. Состояние движения такой жидкости оп-
74
ределяется заданием \в каждой точке давления р и вектора
скорости v. Для определения этих полей служат уравнения
Навье-Стокса (уравнения импульсов) и уравнение неразрывности,
которое в случае, несжимаемой жидкости сводится к условию
соленоидальности поля скорости. В случае конвективноrо течения
к числу неизвестных добавляется температура, и к системе урав-
нений уравнение переноса тепла.
Численное интеrрирование уравнений движения вязкой жид
кости осуществляется обычно в естественных переменных ком-
--+
поненты скорости v и давление Р, или в переменных вихрь
скорости и функция тока . Использование переменных и ф'
(так называемый двухполевой метод) особенно эффективно в слут-
чаях плоских или осесимметрических задаЧ. Именно двухполевым
методом решены задачи, приведенные ниже.
3. Математическая формулировка задачи.
Полная математическая постановка задачи включает в себя
систему дифференциальных уравнений, начальные и rраничные
условия. .Начальные и rраничные условия должны проверяться на
достаточность, непротиворечивость и отсутствие избыточности.
Однако на этом работа над постановкой задачи не заканчивается.
Последующий анализ позволяет во мноrих случаях внести cy
щественные упрощения. Так, например, отбрасывание несущест
венных слаrаемых и учет симметрии может существенно снизить
объем ВЫ,числений, а в некоторых случаях даже позволяет снизить
размерность задачи.
4. Приведение задачи к безразмерному виду.
Сформулированную задачу чаще Bcero решают в безразмерном
виде. Для этоrо выбирают единицы обезразмеривания (масштаб-
ные множители), в качестве которых используют величины, харак-
терные для данной задачи. Так, например, в качестве расстояния
может быть взят один из линейных размеров области, а в качест-
ве единицы скорости скорость потока, набеrающеrо из беско
нечности 'на тело. Выбрав единицы обезразмеривания для. всех
основных величин, можно приступить к формулировке задачи в
безразмерном виде. Для этоrо в системе уравнений, в начальных
и rраничных условиях производят замену переменных по правилу
и Aи'
,
rде u размерная величина, и' безразмерная величина, А ха-
рактерное значение u (единица обезразмеривания). Преобра-
зованная после подстановки задача (уравнения движения,
начальные и rраничные условия) будет содержать некоторые
безразмеРНplе множители, составленные из единиц обезразмери-
вания так называемые «числа подобия». Наиболее распростра-
нено из них в rидродинамике число Рейнольдса
Не == UL .
'i
75
Здесь и. характерная CKOpOC'Fb, L хара терная длина, ".......... ко--:
эффициент кинематич ской вязкост . .
Основная идея обезразмеривания з ключ'ается в сокращениц.,
числа параметров, определяющих решение задачи. Так, напри леРt
в случае обтекания решение размерной задачи зависит от трех
параметров размера тела, скорости потока и вязкости жидкости
После обезразмеривания становится ясно, что решение задачи
определяется только одним безразмерным параметром числом
Рейнольдса.
5. Выбор метода решения.
Одним из наиболее эффективных методов решения задач MaTe
матической физики является конечно разностный метод. Основная
идея метода заключается в том, что дифференциальные уравнения
заменяются системами алrебраических уравнений, которые в даль-'
нейшем решаются на ЭВМ. Способы перехода к алrебраическим
системам и методы их решения достаточно разработаны и излаrа
ются во мноrих работах. Выбор конечно разностной схемы и ме--
тода решения полученной алrебраической системы зависит от
различных факторов и во MHoroM определяется опытом исследова
теля. При отсутствии опыта рекомендуется начинать с использо--
вания простейших схем и методов. .
При переходе к конечно разностному аналоrу дифференциаль-
ной задачи следует paC MOTpeTЬ вопросы аппроксимации и устой-'
чивости. При анализе аппроксимации необходимо помнить, что
порядок аппроксимации определяется не только порядком аппрок-
симации уравнений, но и порядком аппроксимации rраничных
условий. CTporoe доказательство устойчивости удается выполнить
только для линейных задач. В случае нелинейных уравнений для
оценки rраниц устойчивости можно использовать, например, эври-,
стический принцип «замороженных коэффициентов». Од'нако этот
метод дает лишь необходимые условия устойчивости. Достаточные
условия устойчивости, в большинстве случаев, определяются эмпи--
( . ,
рически. '
6. Формулировка цели исследования.
После выбора метода следует задуматься над способом обра--
ботки полученных результатов. Метод сеток позволяет получить
значения искомых функций лишь в узлах сетки. По этим значе-
ниям необходимо вычислить интеrральные и локальные характе-
ристики решени'я. И'нтеrральными х.арактеристиками движения
MorYT служить, например, кинетическая энерrия течения, максималь
ные значения функции тока и компонент' скорости, максимальный
перепад давления, сила вязкоrо трения и друrие. . В качестве л о...
кальных характеристик MorYT' быть выбраны значения искомых
величин в xapaKT pHЫX точках (лобовая часть обтекаемоrо тела;
центр области, уrловая точка 'и т. д.). Для получения аналитиftе
ских зависимостей от координат и времени можно воспользоваться
методами интерполяции. Таким способом MorYT быть построены
7Q
профили скоростей и давления в различных сечениях и изолинии
искомых функций, которые дают наrлядное представление о харак-
тере течения и ero особенностях.
7. Подrотовка задачи к проrраммированию.
Подrотовка задачи к проrраммированию тесно связана с раз-
рабрткой алrоритма решения и процессом 'написания проrраммы
и по сути дела неотделима от них. Выделением подrотовки задачи
в отдельный этап подчеркивается важность этапа. Конечно-раз-
ностные методы для своей реализации тр буют больших объемов
оперативной памяти ЭВМ и машинноrо времени. Проведение
предварительноrо анализа при разработке алrоритма позволяет
существенно сократить затраты, необходимые для решения задачи.
Типичной ошибкой начинающих проrраммистов при решении
плоских задач rидродинамики является использование трехмерных
массивов для сеточных переменых, зависящих от трех переменных
(х, у, t). Такое представление является чрезмерно расточитель-
ным, так как при реализации двухслойных схем в двухполевом
методе для вихря скорости достаточно иметь два двумерных мас-
сива. Один из них хранит значения вихря скорости на текущем
n M слое, а втоrой на вычисляемом (n+ 1) M слое. После нахож-
дения вихря скорости на (n+ l)-м слое следует осуществить пере
u U U
сылку наиденных значении в массив для значении на n M слое и
перейти к вычисJ1ениям на следующем временном слое 8. ,
Для вычисления функции тока итерационным методом, исполь-
зующим идею 3ейделя, достаточно иметь один двумер'ный массив.
Большую экономию машинноrо времени дает применение та-
ких методов в ПР9rраммировании, как введение дополнительных
U
переменных и вынесение за цикл вычислении, не зависящих от
параметров цикла. Введение дополнительных переменных позво-
v
ляет только один раз вычислить сложное выражение, и в дальнеи-
U
тих расчетах пользоваться наиденным значением, а не вычислять
ero каждый раз, как это требуется по ходу решения. Так, напри-
мер, при нахождении у, rде
sin (еа-к v'x) + 2а-к Х
у== е.,
:.У еа-к -.1 х !
U U
введение дополнительно и переменнои z позволяет провести вы-
числения с меньшими затратами:
z == е ах V х , у == Si.v ) + Z2 .
Эти же принципы экономии следует соблюдать при написании
циклов. Лишнее действие, стоящее внутри цикла, MHorOKpaTHo
повторяется при работе цикла и увеличивает тем самым затраты
Машинноrо времени. Поэтому следует все действия, не зависящие
от параметров цикла, выполнять до вхождения в цикл. Особенно
8 Небольшие изменения в схеме вычислений позволяют в случае явных ДBYX
слойных схем обойтись для вихря. скорости Bcero 'одним двумерным массивом.
77
большой эффект это даст при работе с циклами, вложенными друr
в друrа. ..1.
Следует отметить, что вышеуказанные рекомендации по эконо-
мии не распространяются на действия, стоящие вне основных
uиклов. Излишняя экономия В них может усложнить проверку
проrраммы и поиск ошибок при отладке. Например, записи
Cl==1}h 2 , C2== 2c l,,,,, СIО==С2' Дr ,
следуеt предпочесть запись
Cl , lJh 2 , C2==2/h 2 ,..., Сlо==2Дr/h 2 ,
в которой все коэффициенты сохр няют наrлядный математиче
ский смысл.
8. Разработка алrоритма решения задачи.
Алrоритм решения поставленной задачи должен быть наrляд
ным, простым в реализации, удобным для внесения изменений и
исправлений.
Наrлядности алrоритма способствует продуманная система
обозначений. Желательно, чтобы названия переменных несли свой
физический смысл, но были не слишком длинными. Лоrическак
структура алrоритма должна быть построена таким образом,
чтобы задача разбивалась на части, ка)кдая из которых представ-
.lIleT самостоятельный этап переработки данных. Для наrляд
ности такая лоrическая структура записывается в виде блок схе
мы, коrда каждый этап алrоритма представляется в виде reoMeT-
рических фиrур (блоков), имеющих определенную конфиrураuию
в заВИСИlYI0СТИ от характера выполняемых действий. Последова
тельность выполнения этих блоков указывается стрелками.
Блок схема должна допускать различные уровни детализации.
На первом уровне блок схема показывает взаимосвязь крупных
функ/циональных блоков, а на следующих уровнях каждый из
функциональных блоков расписывается в более мелкие структуры.
Построение алrоритма в таком виде позволяет леrко.вносить ис
правления и дополнения в схему решения задачи. Простота лоrи
ческой структуры алrоритма позволяет упростить проверку алrо
ритма и отладку проrраммы.
Кроме блок схемы, сжатое описание алrоритма может быть
выполнено с помощью операторной схемы. В этой схеме каждый
оператор имеет собственное имя, на которое можно ссылаться при
описании алrоритма. Недостатком операторной схемы является
жесткая фиксация номеров операторов, что приводит к необходи
10СТИ переобозначений при внесении дополнений.
9. Запись алrоритма на алrоритмическом языке.
В настоящее время имеется около десятка широк распростра..
ненных алrоритмических языков для решения научно технических
задач.
Кроме Toro, конкретные реализации алrоритмических языков
(различные операционные системы, различные трансляторы в од..
78
ной операционной системе) различаются между собой по своим
возможностям, что может оказаться существеНН IМ при реализа-
ции алrоритма. Поэтому выбор алrоритмическоrо языка для pe
шения поставленной задачи может вызвать определенные затруд-
нения. Начинающим исследователям можно рекомендовать Форт-
ран, который прост в обращении. Выбор входноrо алrоритмиче
cKoro языка может также определяться и системой стандартных
подпроrрамм (СП), имеющихся в библиотеках трансляторов. Од-
нако следует заметить, ч'f.О к применению СП следует подходить
осторожно. Иноrда имеет смысл составить .свою подпроrрамму,
так как СП может не удовлетворять исследователя (недостаточ
ная точность вычислений, имеющиеся оrраничения, неудобство
пользования, большое время работы). ....
При записи алrоритма на алrоритмическом языке остаются в
в сИJ1е. рекомендации о наrлядности и простоте, о которых rOBo-
рилось выше. Систему обозначений лучше оставить той же, что
и при составлении блок схемы. Каждый этап вычислений должен
обрамляться поясняющими комментариями.
10. Отладка проrраммы.
Отладка проrраммы один из наиболее трудоемких этапов
проrраммирования. При отладке проrраммы следует PYKOBOДCTBO
ваться принципом «проrрамм без ошибок не бывает». Поэтому
проrраммист ДОЛ)I{ен быть rOToBbIM к - наличию ошибок в своей
проrрамме, как бы тщательно он ее ни писал. Различают два типа,
ошибок: синтаксические и семантические. Синтаксические ошибки
связаны с неправильным использованием конструкций алrоритми
ческоrо языка и, как правило, леrко выявляются на стадии TpaH
сляци'и. rораздо труднее обнаружить семантические ошибки, т. е.
ошибки, допущенные в реализации алrоритма. Характерными
признаками таких ошибок являются проrраммные прерывания,
зацикливания, неверные результаты. Для поиска таких ошибок
в языке Фортран имеются специальные операторы отладки, _ KOTO
рые позволяют
ироследить за обращениями к подпроrраммам;
проследить за изменением значений определенных перемен
ных в процессе работы проrрамм'ы;
проверить пределы изменения индексов в массивах;
выполнить произвольные действия в любом месте про
rpaMMbI.
Удобство использования операторов отладки заключается еще
и в том, что они помещаются в конце проrраммы и леrко удаля
ются после отладки.
ля проверки правильности работы проrраммы следует BЫ
водить на печать результаты после первоrо ,прох.ода проrраммы.
Контрольные значения для сравнения должны быть подrото!Злены
заранее. Хорошим методом контроля является привязка резуль-
татов к имеющимся значениям, полученным друrими методами
или посчитанным вручную.
79
Естественно, что объемы таких ручных вычислений должны
быть в разумных пределах. Это расчеты одномерных задач, пре-
дельные случаи нулевых значений некоторых параметров и т. д.
11. Доводка алrоритма и проrраммы.
Отладку проrрамм не следует рассматривать как механический
процесс поиска ошибок, так как отладка требует внимательноrо
я творческоrо подхода к алrоритму и проrрамме. В процессе OT
ладки может обнаружиться, что проrрамма работает правильно,
машинные результаты после первоrо прохода совпадают с руч-
:ными расчетами, I:IO окончательные результаты не соrласуются
-с контрольными вариантами. Причин TaKoro несоответствия MHoro.
Назовем 'наиболее распространенные из них.:
тестовые примеры проверяют лишь часть алrоритма;
большая поrрешность вычислений (rрубая сетка, недоста-
1'очное число итераций уравнения Пуассона);
неудачный выбор параметров, влияющих на устойчивость
схемы.
Во всех случаях необходимо еще раз обратиться к алrорит-
му и после тщательноrо анализа внести нужные коррективы.
Изменения в проrрамме, вносимые на стадии отладки, MorYT
и не касаться алrоритма. В основном, такие изменения связаны
с выходной информацией:
неудачно выбраны характеристики решения;
............ возникла необходимость вывода новых характеристик;
............ информация из машины выводится в неудобном для обра-
ботки виде и т. д.
Заметим, что в ходе отладки MorYT !Возникнуть новые идеи,
реализация которых ведет к изменениям в алrоритме и проrрамме.
12. Проведение серии расчетов. Численное исследование.
Отчет по задаче.
,
Если достиrнута полная уверенность в правильности работы
проrраммы, можно приступить к серии расчетов. План изменения
парамеtров для счета вариантов должен быть составлен заранее.
Начинающие исследователи часто задают для расчетов такое KO
личество вариантов, что большая часть результатов «идет в кор-
зину», так как или результаты не ,несут ничеrо HOBoro, или иссле-
дователь не в состоянии их обработать из-за большоrо объема.
Расчеты лучше Bcero проводить в два этапа. На первом этапе
определяются качественные характеристики решения и намеча-
ются области подробных исследований. На втором этапе прово-
дятся уточняющие расчеты. Не рекомендуется начинать счет с но-
выми параметрами, не обработав результаты предыдущих рас-
четов. При проведении серии расчетов стационарных состояний
существенная экономия машинноrо времени достиrается при ис-
пользовании метода продолжения по параметру. В этом методе
в качестве начальноrо состояния при новом значении параметра
используется решение, полученное при предыдущем (обычно
близком) значении этоrо параметра. Хорошее уточнение резуль-
80
татов, полученных при различных значениях сеточных параметров, .
достиrается использованием приема Ричардсона.
После выполнения расчетов пишется подробный отчет по про-
веденным исследованиям, содержащим постановку задачи, описа-
ние метода решения, блок-схему алrоритма, окончательный вид
рабочей проrраммы,. перечень вариантов проведенных расчетов и
основные результаты.
Выше уже отмечалась условность последовательности этапов,
их количество и содержание. Так, например, в книrе {5] указано
шесть крупных эта,ПОВ математическоrо моделирования, которые
во MHoroM созвучны тем, что перечислены и обсуждены выше.
t 2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ-СТОКСА
(ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ)
Существует MHoro математических моделей свободной (естест-
венной) конвекции. Описание некоторых из них дается в третьей
rлаве. В этой rлаве рассматривается простейшая, во MHoroM ти-
пичная (классическая) модель свободной конвекции. Эта модель
определена системой уравнений, состоящей из уравнений Навье-
Стокса и уравнения теплопроводности. Трудности решения этой
системы приходятся в .основном на решение уравнений Навье-
Стокса. Описанию общих подходов к решеНИI<? уравнений Навье-
Стокса и посвящен этот араrраф.
Система уравнений свободной конвекции в приближении Бус-,
.':.-
синеска [2] имеет следующий вид:
[ ]
дv --+ ---+ -+
р дt + (VV) v == VP + dV g pT,
(1 )
---+
div V == О,
[ д Т ---+ ]
ре дi+ (VV) Т == x T.
(2)
(3)
Искомыми величинами в этой системе являются: v вектор
скорости, р давление, отсчитываемое от rидростатическо о и
т темпераТУRа, отсчитываемая от среднеrо зна ения То. Пара-
метрами ,сист емы являются: р средняя плотность, 1') коэффи-
......
циент динамической вязкости, g вектор силы тяжести, коэф-
фициент объемноrо расширения, с """7" теплоемкость при постоя'нном
давлении, )G коэффициент' теплопроводности.
В написанной системе учтено допущение Буссинеека, касаю-
щееся плотности. Считается, что изменение плотности р (Т) можно
учитывать лишь в слаrаемом для конвективноji (архимедовой)
силы. Как показывает практика, эта система хорошо. описывает
широкий спектр явлений свободной конвекции.
Решение системы (1) (3) зависит от начальных и rраничных
6 3ак. 660
, 81
услов'ий. Конкретный ид этих условий, определяющих задачу, мы
. ' I
сеЙча не Ьrовариваем., О!метим только, что чаще Bcero будут '''1-'
, рассматриваться замкнутые области, содержащие твердые rpa
ниц,ыI с условиями вязкоrо прнлипания.
,Перед решением система (1) (3) обычно приводится . к без
Рё}.змерному виду для уменьшения числа основных параметров.
Для обезразмеривания необходимо вы,брать характерные значения
(масштабы) для всех величин. Масштаб расстояния L определя-
ется раЗ Jерами области. В некоторых задачах' имеется заданная
величина скорости U Q , которая ,определена условиями задачи (на-
пример, скорость набеrающеrо потока в задачах обт кания). KOM
бинация L и и о при этом позволяет' опреде lИТ'Ь масштаб времени
fo==L/U o . После обезразмеривания в изотермических задачах по-
является безразмерный параметр число Рейнольдса
Яе == pLU o == L U о ' .
'yj 'J '
ЗiI.е ь v 'r)fp кинемат ческий коэффи,циент вязкости.
" Задачи свободной конвекции об IЧНО не содержат характер'ной
скорости. Поэтому вначале выбираю характерное время 'вязкоrо
затухания to L2jv или время выравнивания температурной не..
аднородно'сти to L2/X (х ' ''Л/ре коэффициент температу:ропро
одности). После выбора' L и t o определяется масштаб скорости
и о L/t o . "
Выбирая в качестве единиц. расстояния, времени, \ скорости,
давления и температурьi соответственно L, L2jv, v/L, pv 2 1L4,'8
"(характерная разность температур), получим уравнения конвек..
ции в'безразмерном виде:
....-+ ........
дv -+ --+ --+ g ,
дt + (VV) V == VP + V ОТ,
I gl
(4)
--+
div v == О,
дТ -+ 1
дt + (VV) Т == Р. T.
(5)
(6)
В систему входят два безразмер'ных параметр числа [pac
rофа и Прандтля
.
G == g еLЗ
'J2
'J
P
, .
х
, .
В численной реализации методов решения системы (4) (6)
значительная доля трудностей приходится H уравнения HaBьe
Стокса. '
. Выбирая в /качестве единицы скорости..... и о , а в качестве' единицы
времени L/U o , запишем уравнения HaBьe CTOKca и н разрывнос!и
в безразмер ом виде \ I
....-+
дv ....... -+ 1 -4
дt + (VV) V == VP + Яе dv + Р,
(7)
82
/
......
div v == О.
(8)
/ .....
Здесь ,F' вектор массовых сил.
Отметим трудности, связанные с решением системы уравнений
(7) (8). Во..первых, эта система не является системой типа
коши..к.овалевской, так как нет эволюционноrо уравнения для
давления. BO"BTOPbIX, эта си(тема нелинейная. В третьих, большим fj-
значениям числа Рейнольдса соответствует малый' параметр l/Re
при старшей производной (вязком члене). Известно" что .малый
параметр при старшей' про звоДной обычно дает резкие изменения
функции в локальной области (поrраничный слой). Математиче
ским вопросам (существование решения, единственность, реrуляр.
ность), относящимся 'к этой системе, посвящены мqноrрафии
[6, 7]. \
Аналитические решения системы (7) (8) удается получить
.лишь в простейших случаях, коrда обычно нелиней'ные чле ы OKa
зываются равными нулю. Примерами точных решений являются
течения к.уэтта и Пуазейля. В случае слоя жидкости, расположен..
lIoro между плоскими бесконечными пластинами, эти решения
И'меют следующий вид (у координата попер'ек, слоя) :
u==у, u==Ay(l 'y).
Для численноrо решения си.стемы используют естественные
....
пер.ёменные v, рили переходят к новым функциям вихрю CKO
ро ти и функции тока. Расс.мотрим внача методы, которые riри-
наДJIежат к l й rруппе, использующей компоненты скорости и дaB
ления.
Большой популярностью пользуется метод «искусственной сжи-
маемости»..' В TO методе уравнение неразрывности заменяется на
уравнение эволюционноrо/типа с параметром у '-
I
др 1.-4>
дt == dlV V.
, 1
(10)
Название метода «искусственная сжимаемость» неслучайно для
сжимаемой среды уравнение неразрывности' имеет вид, анаЛQrич
ный (10). Используя (10) и ур внения для компонент скорости,
\
можно построить схему установления стацtИонарноrо состояния.
Физический смысл при этом будет иметь лишь стационарное pe
тение, так как на этаце установления соrласно (1 О) уравнение
неразрьrвности не выполняется. Цараметр у сущ'ественно влияет
На устойчивость вычислитель ой процедуры. Для мноrих (даже
не5JВНЫХ) схем условие устойчивости требует дополнительноrо orp.a-
ничения на шаr по времени вида
< h V=r. (11 )
Идея искусс венной сжимаемости может быть использована и'
для решения нестационарных задач. При этом, однако, потребу..
)
83
/
6*
ется на каждом шаrе по времени осуществлять внутренние ите-
рации (пересчеты) , позволяющие найти поле скорости, для кото-
poro div v(n) O. Предполаrая, что известны искомые функции на
n M временном слое, опишем порядок нахождения значений функ-
ций для этоrо случая на новом (п+ 1) -м Bpe eHHOM слое. Вначале
из какой-либо аппроксимации уравнений для компонент скорости
(явной или неявной типа переменных направлений)
,....,
---+ ...... ,....,
f} v (п ) --+ ----i> ---+
== Lh (v(n), v, р(п), Р) .
't
находится предварительное (вспомоrательное) значение вектора
,....,
скорости v. Затем осуществляются пересчеты по явным формулам
,....,
---+
v(n, т) == V Vp(n, т l) ,
-+
p( : == р(п, т l) div v(п, т) .
(12)
,....,
-+
Здесь т номер пересчета; v(n, О) == V, р(п, О) == р(п). После до-
стижения т..й итераlЦИИ, для которой
div v(n, т) " < Е,
считается, что определены окончательные значения искомой функ-
ции на (п+ 1) -м слое
---+
V(n+l) == v(n, т) , р(п+l) == р(п, т) .
Выясним сущность итерационноrо процесса (12) для давления.
Подставляя значение v(n. т) во 2-е уравнение, выясним, что итера-
ции для давления (опустим индекс п)
,....,
--+
р(т) ==' p(т l) + p(т l) div V (13)
соответствуют схеме установления для решения уравнения Пуас-
со н а:
,....,
6.р == div v. (14)
Условие устойчивости явной схемы (13) леrко получается, напри-
мер, методо'м Фурье. В случае декартовых координат
h 2 .
,< 2r' h == mlП (h 1 , h 2 , h з ). (15)
Здесь , размерность' области.
При выборе аппроксимации для уравнения (13) следует учесть
(см. подробности в книrе [8]), что обычная аппроксимация до-
пускает шахматный беспорядок в поле искомых функций. По-
84
этому решение уравненцй HaBьe CTOKca в естественных перемен
HqIX чаще Bcero осуществляется с аппроксимацией искомых вели
чин На сетках с разной системой узлов дл'я каждой величины
(рис. 1). На рисунке изображен контрольный объем расчетной
области, отмеченный буквами А, В, С, D. rоризонтальные компо
ненты CKOpOCT)I вычисляются В узлах W, Е на вертикальных rранях
объема, а вертикальные компоненты вычисляются 'в узлах N, S на
rоризонтальных rранях. Давление при этом вычисляется в центре
контрольноrо объема (точка Р). Система узлов, изображенная на
рисунке, позволяет наиболее просто аппроксимировать слаrае ое
-+
div v:
1--+ иЕ Uw V л r V s
'(divv)h== +
h 1 h 2 '
3 а Д а н и е. Пусть компоненты скорости вычисляются в узлах
прямоуrольной сетки X t , Yk.' Док зать, что при аппроксимации
уравнения неразрывности центральными ра остными отноше..
пиями
Uo+Vo==o
х у
изменения компонент скорости вида
,....,
Ui, k == Ui, k + С 1 · ( l)i ,
,....,
Vt, k == Vi, k + С 2 ( l)k
с произвольными значениями Cl и С2 не меняют значения диверrен"
ции скорости.
Перейдем к изложению основных идей 2 й rруппы методов,
использующих вихрь скорости и функцию тока. В трехмерном
.... ........
случае новые векторные функции, ер, '1' опре еляются соотноше-
ниями
---+ --+ ---+
ер == rot v, v == rot .
(16)
Уравнение для ер получается при применении операции rot к
уравнению для вектора скорости. При этом повышается порядок
дифференциальноrо уравнения ,по пространственным переменным,.
но исчезает член с давлением, так как rot (Vp) == 0. Введение
функции тока также повышает порядок дифференциальпоrо урав-
Нения по прост.ранственным переменным, но дает автоматическое
---+
удовлетворение уравнен я неразрывности div (rоt'Ф) == 0. ,Из опре
---+
деления '1' следует, что эта величина определена с точностью до
rрадиента скалярной функции. Система 4 ro порядка для функции
тока обычно решается раздельным двухполевым методом, при
85,
000+ -+
котором решаются две системы 2 ro порядка для <р и 'ф COOTBeT
ственно. В методах, использующих естественные переменные, ос-
новная трудность заключала.сь в удовлетворении уравнения H
разрывности. ' B двухполевом подходе основная трудность связана
с удовлетворением условий вязкоrО,прилипания на твердых rpa-
ницаХ. Существует мнение, что В некотором математическом .смыс-
ле эти трудности эквивалентны. Примеры успешноrо применения
векторных функций тока и вихря скорости для решения трехмер-
ных задач свободной конвекции можно найти в работах {9, 10].
Наибольщие успехи двухполевоrо. метода овязаны с решением
плоских или осесимметричных задач, для решения' которых ис
пользуются скалярные функnии (f) и '1'. Популяризации этоrо Ме-
тода в Советском Союзе способствовали работы Л. М. Симуни'
(1964) и сотрудников вычислительноrо центра Mry Л. А. Чудова,
I / '
Т. В. КУСКОВОЙ'и др. В случае декартовых координат х, ..у эти
Фунции оriределяются, на.пример, так:
дф дф
V x === ду ' V y === дх J (17)
I ..... дv у дv х
([) === ( ro! V ) , === === Ф.
т z дх ду I
Уравнение для вихря СКQРОСТИ получается применением операции
ротора к уравнению (7)
д ер ( д Ф д дф д 1
дt. === дх · ау ау · дх ') + Re '? * (rot F}z ·
\
Полаrаем, что rидродинамическая задача решается в области Q,
'. . .....
оrраниченной rраницей r. Переход от исходных функций V, р к но-
вым функциям требует соответствующеrо пересмотра исходных
I u
rраничных условии:
(18)
(19)
/1 ,
v /r == 71 (t, r).
(20)
Условие (20) определяет норма ьную и танrенциальную ком-
поненты CKOpOCT
..... .....
V n/ r === f 11 (t, r), V s/ r === /1? ,( t, r). (? 1)
Из определения (17) !Видно, что функция тока определена с
точностью до аддитивноrо слаrаемоrо. Поэтому можем положить,
что в какой нибудь точке rраницы 90 (рис. 2) '1' (80) == О. Значение
функции тока в друrих точках rраницы получается и интеrриро
вания заданной в (21) функции
- ,
s. S
(t, s) === 5 vп/r ds == 5/11 (t, r)ds.
Su So .
(22)
"
Если Все rраницы области непроницаемы (vn/r.=== О), значение
ф'ункцйи тока можно ПОЛQЖИТЬ равным нулю всюду: r === 9.
8б
у "
,1
В N С
Е
Д S . D
....
h i
1) Х
р не. 1
I
... I
( . р н с.. 2-
Значения вихря скорости на r ьпределяются с привлечением
rраничных условий для танrенциальной компо енты ...скорости.
Предполаrая рещать задачу сеточным методом, рассмотрим ка-
кую-нибудь точку rраницы А (см. рис. 2) и ближайшую. к ней
внутреннюю T01JKY сетки В, отстоящую от А на раССТQЯН}IИ h по
нормали к rранице. Предполаrая малость h и существование всех
необходимых производных, разложим функцию тока в точке В
ряд Тейлора: \ . ....
Фв' A + h ( : )A h; ( : ) . (23).
Первая прqизводная в разложении (23) определяется зн чением
танrенциальной KOM OHeHTЫ скорости
( дО/ ) --+
Vs/r == дп А == /12 (t, r). 24)
Выпишем уравнение JlyaccoHa (18) дЛЯ ФУНКЦИIJ тока в точке rpa-
ницы А с учетом инвариантности этоrо уравнения относительно
поворота системы координат
<рА == ( :t )A + ( : )A == ( :: )A + (д l )A (25)
,
ПОД'становка в формулу (23) значения первой (24) и BTOpo, . (25)
,
производных 'дает формулу
<рА == ;2 (?А Ф в ) (V )A' ( д l )A'. (26)
Полученная формула (ее называют формулой Тома) позволяет
ПО заданным функциям и значениям функции тока на rранице и
внутри- бласти определить значение вихря скорости в узлах сет-
КИ на rранице. Эту формулу классики двухполев6rо метода
А. Том и К. Эйплт использовали еще во времена ручных вычисле-
.... \
Нии; BeC Ma популярна она и в настоящее время.
87
"
Процедура счета в двухполевом методе состоит обычно из
циклическоrо повторения трех этапов. На первом этапе из решения
эволюционноrо уравнения для вихря находятся значения вихря
внутри области Q. На втором решается задача Дирихле для
функции тока. На завершающем этапе по формулам вида (26)
вычисляются значения вихря на rранице.
Во мноrих случаях после решения задачи необходимо опреде
лить распределение да:вления. Можно определить поле давления
из решения соответствующеrо уравнения Пуассона t условиями
Неймана на rранице 9 . В декартовых координатах это уравнение
может быть приведено к виду
( д2 д2 ' ( д2 ) 2 )
d p ') fO
\ дх 2 ду2 дхду .
Наиболее просто определяется давление в маршевых схемах
путем интеrрирования первых производных для давления из урав-
нений движения. В литературе неоднократно отмечались затруд-
нения маршевых схем результаты Зalвисели от пути (марша)
интеrрирования. В статье [11] выяснена основная причина неудач/
маршевых схем отсутствие совместности аппроксимаций, для
вихря и давления. Требование совместности получается из усло-
вия независимости вычисленноrо давления от пути интеrрирова-
ния. Наболее простые совместные схемы получаются при исполь-
зовании узлов для давления, расположенных в центре ячеек сетки
для ФуН'кции тока и вихря скорости (см. рис. 1).
3 а Д а н и е. Написать rраничные условия для функции тока и вих
ря скорости В случае прямоуrольной плоской области с rраничным
условием для скорости
.......
v (t, О, у) == v (t, 1, у) == v (t, х, О) == О,
v х (t, х, 1) == 1, v у (t, х, 1) == о.
i э. ПРИМЕР rИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ
в качестве примера, иллюстрирующеrо часть изложенных BЫ
ше положений, рассмотрим задачу [12] о нестационарном движе
нии вязкой жидкости, находящейся между двумя коаксиальными
цилиндрами (рис. 3). В начальный момент времени t==O вся си-
стема, которую будем называть в дальней.шем «rидродинамиче-'
ским ВОЛЧКОIYI», находится в покое. На интервале от О до t 1 (этап
разrона) уrловая скорость твердой части волчка (BHYTpeHHero и
внешнеrо цилиндров, а также крышек) растет по заданному ли
нейному закону
9 СХОДИМОСТЬ итераЦИОfIноrо процесса для задачи Неймана хуже, чем для за
дачи Дирихле.
88
t
Q(t)==gH , 0<;t<;t 1 .
(1)
в дальнейшем при t>t 1 уrловая скорость Q волчка' определяется
из решения уравнения движения
d (М Т ;!; М ж ) == kQ, t> t 1 . (2)
в котором М Т момент количества движения твердой части
волчка, М ж MOMeHT количества движения жидкости, k коэф-
фициент трения, определяющий взаимодействие волчка с В,нешней
средой. Для, твердой части !Волчка I
М ==/ o .Q
т ,
r де 1 о момент инерции твердой части (const), а, для жидкой
. н R; ?
М ж == Р J rvcт. dV == 27tpJ J r"v a dr4z,
v о R 1
rде V a зимутальная скорость жидкости 10.
С учетом (3) уравнение (2) может быть записано в виде
обыкновенноrо дифференциальноrо уравнения
I dQ k п dМж
о · dt == ·
(3)
(4)
(5)
I
ОсесиммеТРИЧJIое движение жидкости описывается, следующей си..
стемой уравнений \[2, 3]:
дv, + v . дv, + v дv z v == J..... др + '1 ( dV v, )
д! ' дr z дz r РI " д r ' r 2 '
дv z + v дv z + V . д.v z == др + vdv
д! ' дr Z oz Р д z z ,
дv r:J. дv а дv а v ,v r:J. ( ' V а )
дt + V, дr + V z дZ + == dV a r'J ,
(6)
д (rv,) + д (rv z ) == О д 2 1 д д'2
дr дz ' d == дr 2 + r дr + iJZ 2 .
На всей rранице жидкоЙ зоны выполняются условия в'Язкоrо при-
липания
v,lr == О, Vzlr ==0, Vr:J.lr == rQ..
(7)
Задача заключ:ается в нахождении уrловой, скорости волчка
Q (t) при t>t 1 и определении движения жидкости как на этапе
разrона (t<t 1 ), так и 'На последующем этапе t>t 1 .
в данной постановке задача оказывается весьма сложной, так
как содержит большое число параметров.
10 В интеrрале (4) учтена осесимметричность рассматриваемоrо движения
жидкости.
Рассмотрим частные предельные случаи этой постановки.
При отсутствии внешнеrо трения (k==O) при достаточно боль-
шом t t 1 волчок вместе с жидкостью будет в ащаться как единое
твердое тело с уrловой скоростью Q. Интеrрируя (5) дл paCCMaT
риваемоrо случая, получим:
Q/ ж !'Лн
Q == 2H
10
(8)
Здесь MH' момент количества движения жидкости, при.обретен
ный к моменту t== t 1 , а/ж момент инерции жидкости. В случае
малоrо времени разrона (tl O) можно пренебречь величиной МН
и для установившейся уrловой скорости получит'ь формулу
IoQ н
9 l l ' (9)
0+ ж
Характер зависимости Q (t) для этоrо случая изображен 'на рис. 4
(верхняя линия при t>t 1 ).
Q
.......
..._
Q
н
н "
Q
, '"
о R i R 2
'l .........
,О
t 1
tt
Рис. 3
Рис. 4
Друrо'й предельный случай соответствует малому значениЮ
момента инерции жидкости (/ж О). Интеrрирование (5) дает в
этом случае формулу
Q (t) == QH · ехр ( 'k (t f 1 )/l o ), t> ' 1 , (10)
из которой определяется характерный интервал затухания tTp==/o./k.
Зависимость (1 О) качественно изображена на рис. 2 нижней сплош
ной линией при t>t 1 .
Наиболее простой случай соответствует поста овке, которой
значение Q полаrается заданным и не меняющимся. В этом слу
чае требуется лишь выяснить характер установления «твердоrо
вращения») жидкости из состояния покоя. Переход к этому вари
анту соответствует в нашей задачей пределу при t 1 ----+O, lж О,
k O." -
Расчет резко упрощается в предположении одномерности тече
ния ('ь, == О, V Z == О), что соответствует волчку бесконечной высоты
и приближенно описывает ситуацию узкоrо зазора (H R2 R 1 ).
Этот вариант задачи проанализирован в литературе [62] и может
быть использован для проверочных расчетов. Рассмотренная по-
становка может не только упрощаться, но и усложняться, напри-
мер, учетом явлений тепловой конвекции.
Сформулированную задачу будем решать двухполевым мето-
дом. Для этоrо введем функцию тока '1' и вихрь скорости <р COOTHO
шениями:
1 д
v === -..........
, r дz '
1 д d;
v === -.......... ·
Z r дr'
( 11 )
CD дv z дv, д2 д2 ду
I дr дz r дz:] r дr 2 + r 2 дr .
( 12)
I
В качестве единиц обезразмеривания расстояния, скорости,
времени возьмем соответственно R 2 , QH R 2 , ljQH.
Запишем задачу в безразмерных переменных. Уравнения дви-
жения жидкости имеют вид
дqJ 1 ( д д д д qJ , 1 д дV 2 )
дt + r дz дr .......... дr дz r дz · ер + дz
== e ( drp r )'
д2 д2 . д .
+ -.......... + r CD === О
дr 2 дz 2 r дr т ,
(113)
('14)
дv + ..!.. ( д . дv д . дv +..!.. д . V ) == ( tiv ) ( 15)
дt r дz дr дr дz r дz Re r 2 '
.
rде v азимутальная скорость,
д 2 д 2 1 д R Q н
l:1=== дr 2 + дz 2 +r'дr,Rе== v
(16)
На интервале от О до t 1 уrловая скорость волчка Q линейно зави-
сит от времени
t t
(t) === ' t < t 1 ,
(17)
а в дальнейшем определяется из обыкновенноrо дифференциаль-
Horo уравнения
Hl R 2
dQ dM r r
10 dt === kTpQ dt ' М === J J r 2 v dr dz.
о Rl
Начальные условия задачи соответствуют покоящемуся волчку,
заполненному по оящ йся жидкостью
t === о: '1' == v === <р === Q === О. :( 19)
rраничные услов я соответствуют прилипанию вязкой жидко-
сти на стенках полости волчка
(118)
91
Iji /r == О, r == О, vl r == rQ (t),
(20)
rде n........... нормаль к rранице.
Целью исследования сформулированной задачи является нахож..
дение полей скорости я(идкости в полости волчка при различных
значениях физических параметров: \
Rl внутренний радиус цилиндрической полости волчка,
Н 1 высота полости,
Re число Рейнольдса,
k Tp коэффициент треНИЯ волчка,
10 момент инерции твердой части волчка,
t 1 время, в течение KOToporo уrловая скорость волчка линей..
но p CTeT со временем 11.
Сформулированная задача не и еет аналитическоrо решения.
Будем решать ее методом сеток. Выберем следующие обозначения
для узлов сетки:
I
r t ==R 1 + (i 1)дr, i== 1, N 1 , Дr == R:
ZJ==(j l)дz, j==l,N 2 . Дz== N 1
п
t n == 6.t k , n==1, 2,3, ...
k== 1 I
Значение функции в узлах сетки обозначим так'
f (t п' r i , Zj) == f } ·
После замены производных соответствующими разностными от..
ношениями получим для вихря и уrловой скорости конечно разност"
ные уравнения:
.cpt ==+( ф . CPz 9z' cp + +СРФz (V 2 )z)+
1 ( 1 1 )
+ R е q:> z z + ер, r + r q:> к 2 ер ,
(21 )
V t == ( ,110 · VO фо · VO V '110 ) +
r f, z I Z , r iz
+ ( V + V + V O V ) .
Re z z , r r' r 2
(22)
Запись конечно разностных уравнений в обозначениях А. А. Самар-
cKoro (см. rл. 1) выrлядит компактно:, Однако начинающим перед
проrраммированием конечно разностные уравнения следует напи-
сать в подробной индексной форме.
11 Для удобства работы для безразмерных параметров оставим те же обо
значения и вид, что и для размерных величин.
92
I
Для записи уравнений (21) (22) в виде, удобном для непосред"
CTBeHHoro проrраммирования, введем обозначения:
1 1
А 1 === R е . /).z2 ' А 2 == R е . r2 '
51 , (п) . ,I, п) 5 2 ,I,(п) ,I,(п)
1> 1 + с J , l 1, j , === ,i, j + 1 ,l, j 1 ,
53 === <P I, j <P I, j , 54 === V )l, J v J, j ,
Сl ( i ) === 1 С2 ( i ) == 1
4Дr · Z · r. , 2 А 2 ,
L t.).Z . r l
С3 ( i) === 1 С4 (i) === 1
2 z . ri ' 2Re r . ri
С5 (i) == 1 2 .
Re . r l
В этих обозначениях уравнения '(21) (22) примут следующий вид:
qi пT 1) === qi п). + t · { Сl (i) · r S1 · ( qi п qi п ) S2 · 53 ] +
", J ", J 1" J+ 1 ", J 1
,
+ С2 (i) · 52 · qi п} С3 (i) ( V . v . ) +
", J 1" }+1 1" } 1
+ 'А 1 ( <p п 2qi п} + qi п ) + А2 ( qi(.п) . 2qi(.пl + qi(.п) ) +
1" }+1 ", J 1" } l 1,+1, J 1" J I, l, J
. + С4 (i) · 53 С5 (i) · qi пl } ,
1" }
(23)
"
V п:rl) === v(.пl + l:1t · { Сl (i) [ 51 ( v п v п ) S2. 54 ]
", J 1" J 1" J + 1 1" J 1
С2 (i) · 52 · v п + Аl ( v п). 2v п} + v п). ) +
",} ",}+1 ",] I"J+l
+ А2 · ( v(.п) . 2v п + v(.п) . ) + С4 (i) · 54 С5 (i) · V п } .
,,+1,] ",] " 1,] \ ',]
Переменные С 1.( i), С2 (i), С3 (i), С4 (i), С5 (i) вычисляются от дель-
но He основных циклов для экономии машинноrо времени. С целью
экономии введены и переменные 81, 82, 83, 84, \Вычисляемые в каж-
дом внутреннем узле OCHoBHoro цикла. \'
Уравнение (14), связывающее функцию тока с вихрем скорости,
будем решать методом последовательноЙ верх'ней релаксации
(ПВР) .
Выполним подrотовительную работу для реализации этоrо ме-
тода. После замены производных конечно-разностными отноше-
ниями получим систему линеиных алrебраических отношений с
5-диаrональной матрицей. Разрешая эти уравнения относительно
(f1tl), приведем систему к виду, удобному для применения итера-
'-, }
ционноrо метода
ф<.п:r 1 ) === Dl (i ) · tu(.п +1) + D2 (i ) . ,I,<.п +1) +
'1,,/ Tt+l,J 'I, l,/
+ 82 ( rll п.+l) + ф(п:t- 1 » ) + D3 ( i ) . <p<.п:r 1 )
'1' 1,,/+1 'l,J l '-,/ '
i === 2, N 1 .......... 1; j === 2, N 2 1.
(24)
93
Коэффициенты, введенные в (24), ледует вычислить в начале про
rpaMMbI (мы их для сокращения записи не приводим) . В системе'
(24) значения вихря qJi.'j на (n+ l) M временном слое известны,
а значения функции тока подлежат определению. Эта система pe
шается на каждом временном шаrе. В дальнейшем для простоты
I
записи итерационноrо процесса индекс BpeMeHHoro слоя будем опу
скать, а индексом т обозначать номер итерации (в качестве нуле
Boro приближения на первой итерации берется значение функции
тока, вычисленное на предыдущем временном слое):
Z. . == Dl ( i ) . ф <.т + 1 ) . + .,D2 ( i ) . u/ m 1 + 1 ) +
I L. J I L . J т L . J
+ В2 · (! '1 + j +l {) + D3 (i) U(i. j ,
(25}
( '" )
(т + 1) ( т) , (т)
Ш.. == ,1. . + ш ш. . , . .
т L. J т L. J т L. J I L. J .
(26)
Расстановка индеКСОВ в (25) соответствует зафиксирован ому по
рядку обхода узлов пространственной сетки сл ва направо, сни
зу вверх.
В ф.ормуле (26) U) парам тр верхней релаксации (1<U)<2)
После окончания итераций счит'аем, что приближенно найде но зна
чение функции тока на (n+ 1) M BpeMe HHOM слое и можно перейти
к этапу вычисления вихря скорости на rранице.
Вычисление вихря скорости на твердых rраницах области будем
осуществлять .по формулам Тома, которые в нашем случае имеют'
вид
2
U( ==
1, j f:jr 2 R 1 2, j ,
2
U( == · ф J' ==. 2, N 2 1;
N 1 , j дr'J I N 1 1, j ,
2 .,
U(i,l == f:jz2r. 'fl,2'
l.
2
ф ==
j i, N'J f).z 2 r.
L
.ш
т i N,, 1 '
,
i === 2, N 1 1.
(27)
Важным этапом в этой задаче 'является нахождение ,уrловой
скорости волчка из решения дифференциальноrо уравне'НИЯ (18)..
Описание этоrо этапа мы опускаем (так как он не является типич
ным для мноrих задач rидродиыамики) и приводим лишь простей-
тую к, адратурную формулу ДЛЯ qдной ячейки пространственной
сетки, которая может быть использована при вычислении интеrра
лов по плоской области:
r l +1 Zj+l
S 5 f:jr.f:jz
! (r, z) dzdr 4 (fi, j + !i+l. j + !i. j+l + !i+l, j+l), (28)-
'i z;
После нахождения Q(п+l) определяем rраничные значения для
уrловой скорости в соответствии с условиями (20).
Блок схема алrоритма решения задачи изображена на рис. 5.
94
НДЧДf\О
B&O .., ['\ дрд мет РО
(q> з., ме"ОАА ,O PД .
ЫL{ИС"ение М Q u
НА fрдииu.е, t' n ' ДiG
P1i
A 2
Д К=О L=i п=о t=O 6.t=
5 " 7 , i
Дб n=П1-i;t=t-tАi: п1 К=К+t
ВЫЧИСl\ение <f н U"
Д7 нд (n+t) С,лае .
А НА)(ожиние V(n;.i)
8 .
П 13
Р ilt-
Pi7
1
пеЧД1Ь MAc,t"BQ
1-4 И Qл\-t НЫ R
П'\6
KOHeu, Я 8
Рис. 5
Кроме блок схемы, составим операторную схему алrоритма.
В приведенной ниже оператор ной схеме использованы следующие
обозначения для операторов:
А арифметический оператор;
В оператор ввода исходных данных;
р лоrический оператор;
П оператор печати;
Я оператор останова.
Блок схеме, изобра:{Кенной на рис. 5, соответствует следующая
операторная схема:
t +-- 1+
В 1 П2АзА4А5А6А7АsАgАI0Р 11 А 12 П 1з Р 14 А 15 П 16 Р 17 Я 1S
t +-- 1+
t +
+--
"
95
но разработанному алrортму, обсуждение KOToporo не входит в
нашу задачу, и поэтому он здесь не приводится. Начинающим ис
следователям рекомендуется воспользоваться соответствующими
стандартными подпроrраммами или оrраничиться только печатью
массивов.
П 16 оператор печати изолиний или (и) массивов.
P 17 условный оператор, позволяющий вести вычисления до
шаrа по времени, paBHoro N Р. Выбор N Р определяется целью чиt-
ленноrо эксперимента.
Я18 оператор прекращения счета задачи.
Заканчивая обсуждение предлаrаемой блок-схемы, отметим,
что она не является универсальной и может существенно изме-
няться. Необходимость в изменениях может появиться при смене
алrОРИТl'ла, постановки задачи и цели исследования. Так, напри-
мер, в поставленной задаче симметрия относительно плоскости
z == Н/2 позволяет находить решение только в половине области
(O z Hj2). Для этоrо необходимо записать условия на фиктив-
ной rранице z==Hj2 и внести соответствующие изменения в алrо-
ритм.
Если детали алrоритма задачи хорошо проработаны и COCTaB
лена подробная блок схема, то запись алrоритма на алrоритмиче...
ском языке, как правило, не вызывает трудностей. поэтому про.
rpaMMY на алrоритмическом языке Фортран мы здесь не приво-
дим, а сделаем лишь замечание относительно обработки получа-
емых результатов.
Задачи rидродинамики обычно характеризуются изменением
полей скоростей и давления под влиянием каких либо факторов.
Наблюдать за изменением этих полей в ходе исследуемоrо про-
цесса проще Bcero по картинам изолиний, выдаваемых на печать
или экран терминала в цнтересующие нас моменты времени.
! 4. ОСОБЕННОСТИ ДВУХПОЛЕвоrо МЕТОДА
в предыдущих параrрафах описаны основные этапы двухполе-
Boro метода без упоминания основных вопросов метода -----r-" устой-
чивости И точности выполнения rраничных условий вязкоrо при-
липания на твердой rранице. В этом параrрафе даны примеры,
показывающие «дефекты» метода и необ.ходимость ero модерниза
ции 12. Давно было замечено, что существенное влияние на устой-
чивость вычислительноrо процесса метода оказывает способ вы-
числения вихря на твердой rранице. Это влияние настолько значи
тельно, что может свести на нет преимущества неявных схем и
при отсутствии в уравнениях нелинейных слаrаемых. Основные
12 По терминолоrИI1 работы [13] обсуждается «раздельный» вариант решения
систем BToporo порядка. В работе [14]. предложен математически строrий
метод, требующий «aKKypaTHoro решения интеrральноrо уравнения, ЯАРО KOTO
poro выражается через ФУНКЦИИ [рина задач Дирихле для уравнений 'Пуассона
и [ельмrольца». Методы [13, 14] пока не получили широкоrо распространения.
100
сведения о ,зависимости сходимо ти вычислительной процедуры?т
способа вычисления вихря на rранице, как, правило, выяснялись
путем численных экспериментов. В данной rлаве описаны и ана-
литические подходы к выяснению этой зависимости.
Покажем некоторые особенности двухполевоrо \ метода на кон-
кретном при мере. Рассмотрим задачу установления 6дномерноrо
течения в бесконечном вертикальном слое с конвективной силой,
соответствующей линейному распределению температуры и с ну-
левым начальным распределением скорости. Выберем апцро)<си-
мацию:
Cf(п+l) ср(п)
== ф(п+l) ---+--- О О const;
't I Х,Х 1,'
ф(п+l) + а;(п+1) == О ф I == О.
I ,Х,Х Т , I r '
(1)
(2)
(3)
ф(п+ 1) == 2 N2,l;(п+ 1) ф(п+ 1) == ') 'Y2, (п+ 1)
I U I 1 ' · .У -- I .\' 1 .
Уравнения аппроксимированы н а рав номерной сетке
Х i == ih, i == О, N, h == 1 / N.
ДЛЯ первоrо этапа (1) выбрана классическая неявная схема. На
третьем этапе использована формула Тома. Уравнения (1) (2)
решаются на каждом шаrе по времени методом скалярной про
rонки.
Схема (1) (3) аппроксимирует линейные уравнения и не-
смотря на неявность двух этапов оказывается условно устойчивой.
Неустойчивость проявляется при крупных шаrах по времени. Для
сравнения шаrов по времени удобно ввести отношение
't
(J. ==
,
'to
h'2
"С о == 2 '
(4)
в котором То наибольший шаr по времени, позволяющий вести
счет одноrо уравнения для вихря (1) по явной схеме. Величина а
показывает во сколько раз используемый шаr крупнее максималь-
Horo шаrа явной схемы 13.
Численные эксперименты [15] показывают, что при а>3 про
цедура (1) (3) неустойчива. На рис. 7 показаны зависимости
максимальноrо значения функции тока 'Ч'т и вихря на rранице <ро
от номера шаrа по времени n при а== 1, 2, 4. При а==4 наступ
ление неустойчивости отчетливо фиксируется по изменению знака
вихря на каждом шаrе по времени. При а==2 функция тока меня-
ется rладко и монотонно, а 'в зависимости сро(n) видныI изломы на
первых шаrах по времени. И в друrих случаях поведение вихря на
rранице раньше проявляет признаки неустойчивости и поrреш-
ности численноrо решения. Критич ское значение а, при котором
Счет по неявной схеме неустойчив, близко к 3. Результаты счета
13 Экономичность неявной схемы проявляется при a.>aт 3+5; rраница а. т
зависит от числа операций, реализующих сравниваемые явный и неявный методы.
101
..
'""
O.
60
-'Р.
.
,.о
t.
20
t.
о
п, п
20
О S 10 О S ,0
Рис. 7
при а==3 обнаруживают
осцилляции вихря на rpa-
нице с практически по-
стоянной амплитудой око-
ло опорных значений при
а==l.
Покажем на этой же
задаче еще од'ну особен-
ность метода, связанную
с явным способом вычис-
ления вихря на rранице.
На первом шаrе по вре-
мени уравнение для вих-
ря решается при нулевых
значениях на rранице,
что соответствует отсут-
ствию танrенциальных напряжений. Поэтому не удивительно,
что профиль скорости на l-м шаrе по времени имеет вид,
изображенный на рис. 8 штриховой линией. Точное значение v (х),
удовлетворяющее условию v /r == О, изображено на рисунке сплош-
ной линией. Отклонение скорости на rранице от нуля пропор-
ционально шаrу по времени, но считать ero малым нельзя,
так как оно равно максимальному значению скорости в слое.
На I M шаrе леrко находится и аналитическое решение уравнений,
в которых разностн ым отношением заменена лишь производная
по времени 14 (f.1 == 1 /1т:) :
х (1 х)
'f (1:, х) == 1:0 2 + 1: ( rr о 1: О) Х
( (1 e P) etJ. x + (еР' 1) e !J.x )
Х 1 \J. [J. .
е e
Решение, изображенное на рис. 8, соответствует ера == о.
(
о
f
.
.а,
Рис. 8
х
,
(5)
14 Аналитическое решение явной аппроксимации при <Ро == О не будет coдep
жать в формуле (5) BToporo слаrаемоrо.
102
Устранить. отмеченные недостатки метода MO}l{HO с ПОМОЩЬЮ
введения внутренних итераций на каждом шаrе по времени:
· (п, $) (п)
== L ф(п) + L ф(п, S)
1 т 2т ,
(6)
(7)
qJl 's == (1 <O)qJl п,S I) +шН( (п,s), 9(п,S»). (8)
Двумя верхними индексами отмечены величины, которые меня
ются при пересчетах (s номер пересчета) . На первой итерации
считаем, что cp/t п , О) == cpIVZ). Параметр нижней релаксации (й введен
для управления сходимостью итерационноrо процесса. После окон-
чания итераций при S == Sm считается, что с заданной точностью
определены значения всех величин на (n+ 1) M временном слое
<р(п+l) == ср(п, Sm) . При S т == 1 реализуется обычный часто исполь-
зуемый вариант без пересчетов. Точность выполнимости rраничных
условий определяется по величине
6r == Ilcp\ п, s+J) cpl п, S)II. (9)
В качестве нормы в этой формуле может быть выбрано, например,
максимальное значение по периметру rраницы.
Цель внутренних итераций заключается в том, чтобы, YMeHЬ
шив величину Er ' с большей точ'ностью выполнить условия вязкоrо
прилипания на вычисляемом (n+l) M временном слое. При этом
с поrрешностью, определяемой величиной (9), rраничное значение
вихря оказывается вычисленным на верхнем временном слое, и
схема становится неявной и по rраничному условию. Платой за
это преимущество Я'вляются пересчеты. Оператор L 2 в уравнении
(6) выбирается таким, чтобы сходимость пересчетов определялась
линейной задачей. Нелинейные слаrаемые для этоrо следует ап-
проксимировать на n M слое. Для величин, описывающих измене-
ния вихря и функции тока на внутренних итерациях
C(S) == qJ(п, s+l) ср(п, s) , (s) == ф(п, s+l) у(п, s) ,
д (п, $) + qJ(п, s) == О,
L", W == О
't' I ,
(1 О)
процесс изменения «начальных» значений ' O) == cpl ' 1) cpl п) оп-
ределяется системой уравнений:
d (S) + (S) ==0; (11)
д e(S) (s) == О, Lq; е == о, (12)
cl S) ==(1 ш) :ltS I) + шн(е(s) , (s»). (13)
--+
Введя вектор , компонентами KOToporo являются значения
-вихря в используемых rраничных узлах пространственной сетки,
изобра им эту систему в виде BeKTopHoro уравнения
103
1(S) == м(ш) ,. c(S l), м(ш) == (1 ш) I + шМ, (14)
rде 1 единичная матрица, а матрица М (без индекса (0) COOT
ветствует случаю без релаксации (00 == 1) .
Сходим'ость внутренних итераций определяется спектром мат-
рицы перехода двухполевоrо метода и параметром релаксации.
В работе [14] предложен метод, основанный на использовании
в наших обозначениях матрицы Б == (1 ) 1. Используя мат-
рицу Б, можно орrанизовать вычислительный процесс с одним
пересчетом. Однако построение матрицы Б требует больших за-:
трат машинноrо времени, и видимо поэтому метод '[14]. для зам
кнутой области не использовался.
Спектральная задача, сформулированная для внутренних ите
раций, содержит R себе весьма важный частный предельный слу
чай Т== 00. Вариант этот соответствует решению стационарной за
дачи.
Для сокращения затрат машинноrо времени на внутренние ите
рации необходимо определить оптимальное значение параметра
релаксации 00*. Будем считать параметр релаксации оптимальным,
если при этом достиrается минимум радиуса спектра R* матрицы
М(ш). Для определения 00* необходимо знать спектр матрицы .
Спектр матрицы зависит от rеометрии области, выбранной ап
проксимации оператора Лапласа 15, пространственной сетки, шаrа
по времени т и используемой формулы для ,вихря на rранице.
Естественно, с точки зрения скорости сходимости внутренних ите-
раций, считать лучшей ту формулу для вихря, которая при удов-
летворительной аппроксимации дает меньшее значение R*. Анализ
спектра матрицы перехода для внутренних итераций в одномер-
ном случае и в случае плоской области представлен в следующих
параrрафах.
Условная устойчивость двухполевоrо метода доказывается с
помощью принципа Бабенко-rельфанда (см. rл. 1). Для уравне-
ний HaBь.e CTOKca этот принцип впервые был применен IВ работе
[16]. В работе автора l[ 17] с помощью этоrо принципа аыяснено
влияние 'на устойчивость аппроксимации вихря на rранице.
Опишем применение принципа Бабенко-rельфанда [17] для
системы (1) (3) при 0==0 (однородные уравнения). В соответ-
ствии с используемым принципом рассмотрим решения конечно-
разностных уравнений в виде
ф n)==лn.(qt l), i==O,1,2,... (15)
Этот вид обеспечивает нулевое значение функции тока на ле
вой rранице i == О. Из уравнения Пуассона (2) находим выражение
для вихря
<p n) == Ф('1 == л n . N2qi 1 (q 1)2.
хх
(116)
,.
15 В работе используется обычная пятиточечная аппроксимация оператора
Лапласа с порядком аппроксимации О (h 2 ).
104
Эволюционно 'уравнеНИе для вихря (1) дает в этом случае связь
спр вед.ливую' для внутренних узлов .сетки:
2(,,; 1) q == A(q 1)2. (17)
-Относительно множителя q выражение (17) является KBaдpaT
ным уравнением .
q2 .......... 2 (1 + с) q + 1 == О,
л 1
с==
аЛ
( 18)
Для выяснения влияния rраничноrо условия на левой rpa
нице 16 следует взять корень, модуль KOToporo меньше 1. Так как
по теореме Виета произведение корней уравнения (18) равно 1,
это условие может быть выполнено. В случае с>О (л<О) нужным
корнем будет
q1 == 1 + с .......... V с 2 + 2с . (!19)
Подстановка (15), (16) в фОр!\1УЛУ Тома с учетом Toro, что при
вычислении (п + 1) ro значения вихря используется п e значение
функции тока, дает связь .
л (q 1) ==2q. (20)
Чтобы определить rраницу устойчивости метода достаточно за
дать значение л==л== l (знак минус выбран с учетом эксперимен
тальноrо факта неустойчивости со сменой знака функций на каж
дом шаrе по времени). В рассматриваемом случае (формула То'*
ма) леrко находятся и аналитические формулы для зависимостей
л (а), q (а) : I
'л 3 У8а + 1 1 + 22....... -.182 + 1 (21 ) ,
2 ' q 2а ·
Зависимости эти изображены на рис. 9. Качественное поведение л,
и q в зависимости от шаrа по нремени сохранится и для друrих
аппроксимаций. Из формул (21) леrко находятся предельные зна-
чения числа а и q, соответствующие неустойчивости (л==л== I):
а ==-;==3
,
q(3)==q==1/ a .
Аналоrичный анализ,' выполненный при использовании ц. BbI
числениях вихря параметра нижней релаксации (J) {17], показы-
вает сильное влияние параметра релаксации на устойчивость. Для
значений предельноrо шаrа по времени и множителя q получаются
формулы
4
а ( ш ) == 1
002 '
2 ю
q(Ш)== 2+w ·
(22)
16 При одинаковых rраничных условиях достаточно рассмотреть спектраль
ную задачу, соответствующую одной rранице.
105
. I ).. :' , h hG
решении такова: Rl == 61'l"II,(0) 1==6 == O{h). Соответствующая
конечно разностная з дача
СРхх + о == 9, СРо == CPN ' xx + СР == О, 'fo == N == О
также. имеет точное решение
О
<f'l == o + 2 Xi (1 x i ), i == О, N , (24)
( Oh2 ) Xi (1 Хд G ( 2 3 ) ( 5 -
O/i == СРо + 12 . 2 + 24 x i 1 2x i + x i 2 )
Используя полученные решения разностных уравнений,' можно
найти поrрешность решения для любой аппроксимационной фор
мулы. Укажем, что в точном решении .-
О о
qJo == 12 ' Ут == mах (х) == 384
х
В случае обычной формулы Тома находим
СРо == СРо (1 h 2 ), 'fm == 'f m (1 +,8h 2 ).
Следовательно, поrрешность решения имеет 2 й порядок по h, а
не l й, как следует из теории.
Заметим, что можно осуществить настройку формулы на pe
шаемую задачу, умножая на коэффициент, отличающийся от 1 на
величину О (h) для формул l ro порядка и О (h 2 ) для формул
2 ro порядка. Так, например, видоизмененная аппроксимация
2N2
.ф
, о (1 .......... h)2 ,1
дает более точные значения
СРо == СРо,
w == ( 1 + 4 h 2 )
1т 1т ·
Аппроксимация
2N2 (1 + h 2 ) ,
еро == (1 h)2 · 'fl
дает
СРо == СРо (1 +.h2),
т -=: т ·
3 а Д а н и е. Найти видоизмененную аппроксимацию для формулы
Тома, при которой модуль отно ительной поrрешности (})о и Фm
одинаков.
t 5. 060&ЩЕНИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВИХРЯ
НА ТВЕРДОЙ rРАНИЦЕ
Осуществим вывод формул для вихря в виде -[20], котоt1ый в
дальнейшем позволит леrко определить параметры формулы,
влияющие на устойчивость и сходимость двухполевоrо метода, и
108
сократить объем работы, связанный с анаЛИЗОМ4tбольшоrо количе-
ства формул. .,
Полаrая для простоты, Ч10 имеется зависимость всех величин
только от одной переменной (O x 1), построим формулы для
вихря скорости на левой rранице х==о. Будем считать, что на rpa-
нице заданы танrенциальная скорость и функция тока
,
'(O) == o, 'f' (О) == V o . (1)
Нижний индекс у функций будем' использовать для обозначения
принадлежности функции к соответствующему узлу paBHOMepHO
сетки
Х j == j h, . ф j == ф (х j ) , j == О, 1, . . . , N.
В большинстве процедур двухполевоrо метода новое значение
вихря скорости на rранице определяется через известные значения
функции тока и вихря скорости
(n+ 1) == Н ( ф(п) сп (n» .
еро о I , Т
(2)
Здесь n номер шаrа по времеци или номер итерации. 3ависи"
мость Но ('1', ер) во мноrих случ.аях может быть изображена в виде
ряда
. т 1 . m'J,
ер5 n + 1 ) ==N2 k. Ф (п) + Nk V o + [. ер(n) .
j == о ] } j ==0 ] }
(3)
Как будет показано в дальнейшем, представление формул для
вихря в таком виде позволяет одним приемом определить общую
для всех формул характеристику, влияющую на устойчивость
д,вухпо)(евоrо метода. Этой характеристикой оказывается модуль
коэффициента 1 k 1. В случае. прямоуrольной области, например,
отрицательные значения коэффициента k соответствуют левой и
верхней rраницам, а на остальных rраницах этот коэффициент
положителен.
Формулой вида (3) описывается большое число используеl\1ЫХ
в вычислительной практике аппроксимаций вихря скорости на rpa
нице. Хорошо известные формулы Тома, Вудса и Пирсона COOT
ветствуют (3) при малых значениях числа коэффициентов ряда
1пl +m2 2.
Напишем условия, из которых определяются коэффициенты k j ,
k и l}. Предполаrая достаточную rладкость ФУНКIЦИЙ, представим
j и CPj в виде ряда Тейлора
, . (jh)2 (jh)3,
'fj o Jh V o 2! epo 3т o ...,
(4)
. h ' + (j h)2 " +
ер j == ер о + J ер о -'2 1 · ер о · · .
(5)
в формулах для простоты записи опущен индекс n. При получе
нии формулы (4) использованы соотношения
109
д
v==v ==
у дх'
"
СРо == ........... o .
Выtекающие из определения функции тока и вихря при 11' *11' (у) .
Разложения (4), (5) подставляются в формулу (3), собираются
подобные члены и учитываются условия аппроксимации.
Требования равенства нулю коэффициентов при 'Фа и V o дают
соотношения .
т.
ko == kJ '
j==l
т.
k == jkJ .
j--l
(6)
Условие аппроксимации вихря скорости риводит К COOTHO
шению
т, 1 т.
IJ 21 j2kJ == 1,
j O j==l /
которое получено в предположении, что слева и справа в формуле
(3) все члены относятся к одному и тому же моменту времени.
В действительности, в большинстве используемых методов это не
так. Этот факт является очень важным, и последствия, выrекающие
из Hero, уже обсуждались.
Собирая коэффициенты при К-Й ПРОИЗВОДНОЙ от вихря скорости
с множителем h , получим
1 'К 1 1 .к+2 k
ZK == К! J J (к + 2) ! J j ·
J l j l
Будем rоворить, что формула имеет r й порядок точности, если
ZK==O дЛЯ к, изменяющеrося от 1 до ' 1, а z,*O. Коэффициенты
k j и [} опр'еделяют,ся из системы, состоящей из уравнения (7) и
r 1 уравнений ZK==O. Число неизвестных коэффициентов тl +т2
выбирается равным числу уравнений '. Для профиля скорости
v (х), являющеrося полиномом степени не выше ,,' формулы t: ro
порядка являются точными. .
Из формул (3) можно выделить три K acca. Чаще 'Bcer9 ис
пользуется вариант с коэффициентом 10==0... К этому варианту OT
носятся формулы Тома, Вудса и Пирсона, для которых COOTBeT
ствующие значения параметров формулы равны:
(7)
(8)
m 1 == 1. m2 == О, k 1 == 2;
m 1 == 1, m2 == 1, k 1 == 3, [1 == 0,5;
m! == 2, m2 == О, k 1 == 4, k 2 == + 0,5.
(9}
( 10)'
(11}
[20]
Для друrих формул значения параметров приведены в статье
Второй класс формул получается при 10== 1:
т 1 т')
срь n + 1 ) == 6п) + Nk V o + N2 k j фjn) +. ljcp)п)
j==-O j::.l
(12}
110
Как пра.вило, формулы этоrо класса записываются в виде [21]
&п+l) == cp п) + р (v п) V o ). (13)
Здесь Vb n ) вычисленное значение скорости жидкости у rрани,цы,
а р параметр. Формулы (13) обычно используются для получе-
ния стационарноrо решения. Как видно из формулы, при прибли
жении к стационару v п) VO. Скорость V n) чаще Bcero аппрокси-
мируется только по значениям функции тока (т2==О)
т l
V6 n ) == N b j . фjn) . (14)'
jc::ljO
Между коэффициентами формул (14) и (12) имеется связь
'k j == р hb j . ( 15)
Влияние параметра р на сходимость итерационной процедуры
при решении стационарной задачи рассмотрено в работах
[21 23]. Связь р с коэффициентом k формулы (3) и параметром
релаксации будет выяснена в следующем параrрафе.
Третий класс формул для вихря соответствует значению
0<10< 1. Можно назвать этот класс формул релаксационным, так
как в этом случае новое значение вихря 'с весом 10 вычисляется
через старое n e значение.
Характеристиками формулы для вихря вида (3) являются
порядок аппроксимации, число членов ряда в первой и во второй
суммах и величина коэффициента k при заданной скорости. Ве-
личина k определяет свойства формулы, влияющие на устойчи
вость и сходимость процедуры двухполевоrо метода. Малые
значения модуля этоrо коэффициента повышают устойчивость
двухполевоrо метода, но допускают на этапах уста овления 3Ha
чительные отклонения от условий' вязкоrо прилипания. Для вы-
числения этоrо коэффициента достаточно представить формулу
для вихря в виде типа (3) и во пользоваться формулой (6).
Дадим ряд практических советов, касающихся использования
формул вида (3).' Не следует увлекаться формулами с большим
числом. членов п.ервоrо и особенно BToporo ряда. При формаль
НОМ использовании изложенноrо способа в плоской области MorYT
получиться .формулы, которые не обеспечивают ожидаемоrо по-
рядка аппроксимации.
. Для частичной проверки формул в плоском случае можно БОС-'
пользоваться точным решением для первоrо квадранта (х>О, у>О)
х 2 у2, ер == 2 (х 2 + y )
биrармоническоrо уравнения
д д Ф + 8 ==0; 'f Ir == о, : Ir == о.
Выписанное решение описывает ползущее течение (приближ'ение
Стокса) в поле заданных массовых сил, пропорциональных х.
В качестве теста для аппроксимационных формул MorYT быть ис-
11' 1
пользованы друrие точные, решения биrармоническоrо уравнения
вблизи уrлов плоской области [1, 63].
Формула вида (3) м.ожет быть построена и в случае неравно-
мерной сетки. Для сокращения записи напишем формулу для слу-
чая, коrда вихрь скорости выражается только ч рез значения
функции тока. Пр.и использовании еравномерной сетки полаrа
ем, что формула (3) записывается в виде, (m2 , ,О)
т 1 (Н)
o === k j j+k(H) V OJ (16)
j==O
тде kj(H) искомые коэффициенты формулы на нер вномерной
сетке. При разложении функций в ряд Тейлора вместо j h в фор
мулах (4), (5) следует использоват X j . Условия аппроксимации
для неравномерной сетки таковы: .
k&H) == i: k)H) ,
j==l
k (H) === k (H)
X j j ,
j==l
(17)
1 т 1 2 (Н)
2! Xj k j == 1,
j==l
(18)
1 m 1 к+2 k (H)
Z == (к + 2)! Xj j.
J-==l
(19)
При построении формулы r ro порядка точности необходимо по
требовать обращения в ноль коэффициентов Zk в (19) для к от 1
до (, 1). В случае равномерной сетки kj(H) ==N 2 k j .
t 6. сходимость ДВУХПОЛЕвоrо МЕТОДА
ПРИ РЕШЕНИИ СТАЦИОНАРНО Я ЗАДАЧИ В ОДНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ
Спектральная задача, сформулированная в 4, являет,СЯ в об-
щем случае IBeCbMa СЛ,ожной. Задача существенно упрощается в
одномерном случае при шаrе по времени Т== 00 (стационарный ва-
риант). Эта модель'Ная. задача 18 оказывается очень полезной, так
как позволяет получить аналитические зависимости собственных
значений от параметров сетки и формулы для вихря. На этой мо-
дели удается качественно проанализировать влияние конвектив
ных слаrаемых с различной аппроксимацией на сходимость ДBYX
18 В одномерном случае линейная rидродинамическая задача может быть
решена без итераций. Для этоrо достаточно решить три задачи с различными
rраничными условиями (для 'вихря: 1) <р(о) ==<p(l) ==0; 2) <р(О) == 1, фJ(l) ==0;
) <р (о) ==0, <р (l) == 1. Решение отыскивается в виде суммы решений }тих задач
'ф == '1'1 + С2'Ф2 Сз'Фз. Коэффициенты С2, СЗ находятся из решения сист мы двух
уравнений, полученных при подстановке решений в формулы ДЛЯ вихря на ле-
вой и правой rраницах.
112
полевоrо метода. Мноrие свойства двухполевоrо метода, выяснен...
ные на одномерной модели, сохраняются в плоском случае.
Спектральная за ача (11) (13)' Э 4 в одномерном случае
(O x 1) при Т== 00 определяется системой
( S.. + 1) == о.
ХХ / '
I (s + 1) == (1 ш) c\ S) + (J) н (e(S +1),
(S +1)) .
(1 )
(2)
(3)
( +1) + (S+1)== О
хх '
е (О) == е (1) == о;
Первое уравнение решается при rраничных значениях S) И ),
вычисленных на предыдущей итерации. Второе уравнение реша-
ется при HYc!1eB X, rр НИЧЦ IХ условиях, что соответствует rранич-
ным условиям' 1 ro рода для функции To a.
Задачи (l), (2) имеют точные решения:
(s+l) == (1 х) S) + х <;;) ;
(S+I) == 2х Зх 2 + х 3 S) + x x3 ) .
б 6
Подстановка решений (4), (5) в формулу для вихря
рекуррентные соотношения
r (s+l) m r(s) + m r(s)
о 1,1 O 1,2 PV ,
(4)
(5)
(3) Э 5 дает
(6)
r (s+l) т r(S) + т r(S)
'..,PV == 2,1 O 2,2 PV ,
--+
которые при введении вектора столбца ( o, pv) И матрицы М 2-ro
порядка MorYT быть записаны в векторной форме (14) Э 4
1(s+1) == M(oo>1(S) == (1 ш) ё<S) + (J) м 1(S) . (7)
Если на концах интервала по х используются одинаковые фор-
мулы для вихря, матрица' М оказывается симметрической. Сим-
метричность матрицы следует из Toro факта, что функции при o
и PV В формуле (5) пр,И замене х на (1 х) переходят друr в
друrа. Элементы матрицы М без релаксации для формул (3) Э 5
таковы 19:
,
тl,1 == т2,2 == 1 + klVj3, т1,2 == m2,1 == kN/6. ( )
Удобство записи формул для вихря в виде (3) Э 5. заключает-
ся в .том, что собственные значения матрицы перехода определя-
ются с помощью од1l0rо параметра k (6) 5 формулы для вихря
Л 1 1 + kN/2,
1.2 == 1 + kN/6.
(9)
t"'V
r-O.I
19 Для формул l ro порядка ml.1 ml,l hz 1 , ml,2==ml,2+hzl. Здесь Zl BЫ
Числяется по формуле (8) 5.
8 Зак. 660
113
Наибольшему по модулю собственному значению Лl соответст':
--+
вует собственный вектор с равными компонентами (1; 1); BTO
рому собственному значению соответствует вектор с различными
...
по знаку компонентами ( 1; 1). Сведения о виде собственных
векторов' позволяют быстро находить собственные значения. Так,
например, полаrая O== N , 1 из решения (1), находим (x)==lt
а из решения (2) (x) ==0,5х (1 x). Подставляя найденные зна-
чения в любую формулу для вихря, сразу определяем числовое
значение Лl.
Модуль k для мноrих формул вихря больше 1; для формулы
TOMa например, он равен 2, а для формул Вудса и Пирсона 3.
ПОЭТОМУ из формулы (9) следует, что (1 Л11 > 1) итерационная
процедура оказывается быстро расходящейся при N>3.
Для стабилцзации процесса можно использовать нижнюю ре-
лаксацию. Из выражения (7) следует, что 'собственные значения
при релаксации равны /
л (j) == 1 ........... ш + шА j == 1 ш (1 л;). ( 1 О)
Здесь Лj без индекса ro соответствует варианту без релаксации
ю==1. Формула (10) для j l, 2, .., р {р порядок'матрицы пере-
хода) справедлива и в плоском случае.
./
л( )
J
1.О
t \
R'
о
"",,1.0'" ............ .............. ........
.,
Рис. 11
Зависимости собственных значений от параметра релаксации
изображены на рис. -11. При w <'00 == (1 Л1) 1 собственные значе .
ния положительныI и сходимость имеет монотонный характер; про-
I"J
цесс сходится при оо<2оо. Минимум радиуса пектра R ::::;'1Il xl Лj(Ю) I
J
ПО 00 достиrается при значении параметра релаксации
.114
ш* == 1
1 0,5 (Л 1 ' Л2) ,
для .KOToporo Л2 (00*.) == Лl (00*).
Оптимальное (минимальное) значение радиуса спектра таково:
Я * . 1 \(00) \ Я( * ) Л2 Лl (12)
m:nm xl\j m 2 (Аl+Л2)'
Полаrаем, что минимуму радиуса спектра соответствует наиболь-
шая скорость сходимости. Иными словами, полаrаем, что R * яв-
ляется «множителем сходимости» [24], определяющим среднюю
скорость сходимости итерационноrо процесса для евклидовой .нор-
-+
МЫ вектора .
Подставл я
(11 )
в формулы .( 11), (12) значения (9), получим:
ш* == f , Я*, == 0,5. (13)
Следовательно, в <?дномерном случае оптимальный параметр ре-
лаксации пропорционален шаrу сетки и зависит от параметра
аппроксимационной формулы, а оптимальное значение радиуса
спектра одинаково для всех формул 20. Одинаковая скорость схо-
димости при 00 == 00* для различных формул вихря характерна лишь
u tf"
В одномернои модели.
Из формул (9), (13) видно, 'ЧТо величина k является важной
характеристикой аппроксимационной формулы. Б6льшим значе-
нием I k I соответствует большая неустойчивость. При больших
значениях Ikl неустойчивость пррявляется и .при счете нестацио-
н рной задачи по неявной схеме с весьма умеренны'ми шаrами по
времени.
При выполнении соотношения
. р === \k tN (14)
матрицы перехода для формул 'BToporo класса (13) Э 5 и формул
первоrо класса с релаксацией оказываются равными. При опти-
мальном параметре релаксации параметр р* ==3, что соrласуется
с результатами работ [21, 22]. Эквивалентность формул [21] с.
релаксационным вариантом формул (3) Э 5 отмечалась В' рабо-
тах [20, 25]. .
Исходным пунктом для формул (13) Э 5 является допущение
о «рассоrласовании скоростей» на rранице (v п) V o ) *0. Имен-
но роэтому эти фо улы используются для получения стаЦИQнар-
Horo решения. Мерой выполн имости условий вязкоrо прилипания
является величина рассоrласования скоростей, пропорциональная
изменению вихря. Рассоrласование скоростей характерно и для
формул первоrо класса, хотя оно и не так очевидно. Связь (14)
является доказательством этоrо факта. Условия вязкоrо прилипа
Ния оказываются выпо неН!fЫМИ' для формул (3) Э 5 тоrда, ко-
20 Небольшое отличие R* от 0,5 дает формула Тома R* == 0,5 (1 h2) / (1 + h 2 /2)
в соответствии с замечан ем к формулам (8).
"
8*
115
rда все величины в левой и пр вой частях формулы относятся к
одному и тому же итерационному слою. Мерой выполнимости rpa
ничных условий мож т служить изменение вихря на rранице.
Одномерный анализ позволяет качественно учесть влияние
первых производных в уравнении для вихря на сходимость итера..
ционной процедуры, если в уравнение '(1) добавить конвективное
дС
слаrаемое. и (х). дх .' Сходимость метода будет зависеть от вида
функции u(х). Рассмотрим случай u==U==const>O, при котором
для уравнений
U ' == v ", Е" + == О,
MorYT быть найдены точные решения:
их
(15)
I
== o+c(e V l),
с == N .......... o
e U / v 1
(16)
е == o -; с . Х (1 х) + ( ; ) 2 (CN o) ( Х еС!{- 1 ) .
е и /v 1
(17)
Используя эти решения, можно оценить поrрешности различных
u
апро сим ации.
Поrрешность аппроксимации зависит от сеточноrо (локально-
ro) числа Рейнольдса
Reh == и . 'х .
'.J
(18)
Сеточное число Рейнольдса определяет не только поrрешность
аппроксимации уравнений. Как показывают расчеты, с ростом Reh
ухудшается сходимость внутренних итераций. Расчеты выполня
лись для трех аппроксимаций уравнения для 13ихря при N == 20
(h==O,Oq). Уравнения 2-ro порядка (15) решались методом CKa
лярной проrонки. После нахождения и при rраничных значе
ниях o == 1, N :;:: О по формулам для вихря вычислялись элементы
первоrо столбца матрицы перехода. Аналоrичным образом, ис
пользуя .rраничные значения o==O, N === 1, определяли элементы
BToporo СТО.1Iбца матрицы.
Результаты, полученные при использовании формулы Тома
для различных значений сеточноrо числа Рейнольдса от О до 500,
показывают, что вклад первой производной отражается лишь на
втором (наименьшем по модулю) собственно.м значении и соот-
ветствующем ему векторе. Первое собственное значение и первый
собственный вектор с равными компонентами, как это видно и
из точноrо решения (17), не зависят от Reh. С ростом сеточноrо
числа Рейнольдса увеличивается ширина спектра за счет сдвиrа
по действительной оси Л2 вправо. Расширение спектра приводит к
увеличению оптимальноrо радиуса спектра и, следовательно, к
уменьшению скорости сходимости. При Reh<0,2 отличие схем
(аппроксимаций) по скорости сходимости незначительно; цри
дальнейшем увеличении Reh сказывается роль диаrональноrо пре...
116
обладания в аппроксимации против потока, приводящая к б6ль
u u
шеи..'-; скорости сходимости по сравнению аппроксим циеи цент..
ральными разностями. С ростом Reh преимущества 21 'OДHOCTOpOH
u
неи аппроксимации по скорости сходимости становятся значитель
ней. Хорошим показателем сравнения скоростей сходимости явля"
ется отношение числа итераций, необходимых для уменьшения на-
чальной невязки в заданное число раз. Для значений Reh 0,5; 1;
2; 5 это отношение, вычисленное как отношение лоrарифмов ра-
диусов /спектра для схемы с центральными и направленными раз-
ностями. равно 1,17; 1,41; 1,84 и 3,3.
Различие в ПQведении R*(Reh) для различных аппроксимаций
объясняется зависимостями л'2 (Reh). При односторонней аппрок-
симации Л2 с ростом Reh монотонно приближается к нулю, а при
аппроксимации центральными разностями к 1. Для схемы с
центральными разностями «критическим» оказывается значение
сеточноrо числа Рейнольдса, равное 2, так как в этом случа'е об
ращаются в нуль л'2 И коэффициент при 1+1 В соответствующей
разностной схеме.
Используя полученные результаты, можно найти предельные
значения оптимальных параметров при Reh oo. В случае цент-
ральных разностей
1 l ' * 4h
тоо
Reh 00 3.1kl '
11т R* == 1
,
Reh .-+ 00
(19)
а в случае односторонних разностей
11т 00* == 4h Нт R* :=: 1 + 4h < 1
Reh 00 2h k ' Reh .... 00 k ·
Промежуточное положение между аппроксимациями по пото-
ку и центральными разностями занимает аппроксимация А. А. Са-
MapcKoro.
(20)
UС-х == 1 + O 5Reh · С хх · (21)
При увеличении Reh различие в R* дЛЯ схемы А. А. CaMapcKoro
и схемы с направленными разностями убывает. Зависимости R*
от сеточнdrо числа Рейнольдса для трех схем представлены на
рис. 12 (1 центральные разносrи, 2 схема CaMapcKoro" 3
направленные разности);
Из анализа результатов решения спектральных задач для
уравнения вихря с. конвективным слаrаемым можно сделать вы-
воды, которые являются ориентирами для плоскоr{> случая. Пер-
вые производные в' уравнении для вихря меняют собственные зна-
чения двухполевоrо метода в высокочастотной части спектра.Зна-
чительные изменения начинаются при Reh> 1. Наиболее сущест
венные изменения в спектре происходят при Reh 2 в cxeM с
21 В данныIй момент обсуждаются характеристики схем, влияющие на CKO
рость сходимости. Совершенно очевидно, с друrой стороны, что при Reh> 1 Ha
Правленные разности плохи тем, что дают большой эффект счетной вязкости.
117
rда все величины в левой и правой частях формулы относятся к
одному и тому }ке итерационному слою. Мерой выполнимостц rpa-
ничных условий может служить изменение вихря на rранице.
Одномерный анализ позволяет качественно учесть влияние
первых производных в уравнении для вихря на сходимость итера..
ционной процедуры, если в уравнение (1) добавить конвективное
д
слаrаемое u (х). дх ' Сходимость метода будет зависеть от вида
функции u (х). Рассмотрим случай и== и ==const>O, при котором
для уравнений
U ' == 'у ", Е" + == О,
MorYT быть найдены точные решения:
их
(15)
== o + с (е 'i 1),
с == N .......... o
eU/'i 1
(16)
Е == o -; с . Х (1 х) + ( ; ) 2 ( N со) ( х /l.;' I ) .
eUj'i 1
(17)
Используя эти решения, можно оценить поrрешности различных
апроксимаций.
Поrрешность аппроксимации зависит от сеточноrо (локально-
ro) числа Рейнольдса
R 1 и . Il
e/l == .
'J
( 18)
Сеточное число Рейнольдса определяет не только поrрешность
аппроксимации уравнений. Как показывают расчеты, с ростом Reh
ухудшается сходимость внутренних итераций. Расчеты выполня-
лись для трех аппроксимаций уравнения для вихря при N == 20
(h==0,05). Уравнения 2-ro порядка (15) решались методом ска-
лярной проrонки. После нахождения и при rраничных значе-
ниях o== 1, N::::O по формулам для вихря вычислялись элементы
первоrо столбца матрицы перехода. Аналоrичным образом, ис-
пользуя. rраничные значения o==o, jV == 1, определяли элементы
BToporo столбца матрицы.
Результаты, полученные при использовании формулы Тома
для различных значений сеточноrо числа Рейнольдса от О до 500,
показывают, что вклад первой производной отражается лишь на
втором (наименьшем по l'vIОДУЛЮ) собственном значении и COOT
ветствующем ему векторе. Первое собственное значение и первый
собственный вектор с равными компонентами, как это видно и
из точноrо решения (17), не зависят от R eh. С ростом сеточноrо
числа Рейнольдса увеличивается ширина спектра за счет сдвиrа
по действительной оси л'2 вправо. Расширение спектра приводит к
увеличению оптимальноrо радиуса спектра и, следовательно, к
уменьшению скорости сходимости. При Reh<0,2 отличие схем
(аппроксимаций) по скорости сходимости незначительно; при
дальнейшем увеличении Reh сказывается роль диаrональноrо пре
116
обладания в аппроксимации против потока, приводящая к б6ль
шей скорости сходимости по сравнению с аппроксимацией цeHT
ральными разностями. С ростом Reh преимущества 21 OДHOCTOpOH
ней аппроксимации по скорости сходимости становятся значитель-
ней. Хорошим показателем сравнения скоростей сходимости явля
ется отношение числа итераций, необходимых для уменьшения Ha
чальноЙ невязки в заданное число раз. Для значений R eh == 0,5; 1;
2; 5 это отношение, вычисленное как отношение лоrарифмов pa
диусов спектра для схемы с центральными и направленными раз
настями, равно 1,17; 1,41; 1,84 и 3,3.
Различие в поведении R* (Reh) для различных аппроксимаций
объясняется зависимостями Л2 (Reh). При односторонней аппрок-
симации Л2 с ростом Reh монотонно приближается к нулю, а при
аппроксимации центральными разностями к 1. Для схемы с
центральными разностями «критическим» оказывается значение
сеточноrо числа Рейнольдса, равное 2, так как в этом случае об
ращаются в нуль Л2 И коэффициент при i+l В соответствующей
разностной схеме.
Используя полученные результаты, можно найти предельные
значения оптимальных параметров при Reh oo. В случае цeHT
ральных разностей
1 "' * 4h
1111 00 ==
Reh --+ 00 3 I k I '
Il 111 R* === 1
,
Reh 00
( 19)
а в случае односторонних разностей
11т 00* == 4h 1iln R* == 1 + 411 < 1
Reh 00 2h k ' Reh --+ 00 k .
Промежуточное положение между аппроксимациями по пото
ку И центральными разностями занимает аппроксимация А. А. Ca
MapcKoro
(20)
и x == 1 + O:5Rell · x.. · (21 )
При увеличении Reh различие в R* дЛЯ схемы А. А. CaMapcKoro
и схемы с направленными раЗНОСТЯlVIИ убывает. Зависимости R*
от сеточноrо числа Рейнольдса для трех схем представлены на
рис. 12 (1 центральные разности, 2 схема CaMapcKoro, 3
направленные разности).
Из анализа результатов решения спектральных задач для
уравнения вихря с конвективным слаrаемым можно сделать BЫ
Воды, которые являются ориентирами для плоскоrо случая. Пер
вые производные в уравнении для вихря меняют собственные 3Ha
чения двухполевоrо метода в высокочастотной части спектра.Зна
Чительные изменения начинаются при Reh> 1. Наиболее сущест
венные изменения в спектре происходят при Reh -;:::::, 2 в схеме с
21 В данный момент обсуждаются характеристики схем, влияющие на CKO
Рость сходимости. Совершенно очевидно, с друrоЙ стороны, что при Reh> 1 Ha
Правленные разности плохи тем, что дают большой эффект счетноЙ вязкости.
117
1,О
..
Reh
D5
о
..-:,
.'.
1
2
,
4
Рис. 12
центральными разностями. Схема с односторонней аппроксимаци-
ей конвективных членов вносит в уравнение счетную вязкость, но
обладает более высокой скоростью сходимости двухполевоrо ме-
тода.
t 7. МОДИФИКАЦИИ АППРОКСИМАЦИЙ ВИХРЯ
НА rРАНИЦЕ
Опишем способы вычисления вихря на rранице, которые отли-
чаются от paCCMoTpeHHoro в 5. Дадим вначале предварительную
информацию о рассмотренных ниже способах.
Первый способ был предложен Пирсоном [26] и развит в ра-
бо:.rах В. л. rрязнова и В. И. Полежаева [19,27]. Одна из основ-
ных идей этоrо способа внесение rраничноrо условия для вихря
внутрь области. Расчеты [28] и анализ [28, 29] показывают, что
использование этоrо способа существенно повышает устойчивость
двухполевоrо метода.
Во втором способе при решении краевой задачи для уравнения
вихря вместо' rраничных условий l ro рода используется связь
вихря на rранице с вихрем в приrраничном узле. Идея этоrо спо-
соба была предложена в работе Н. И. Булеева, [. И. Тимухина
[30]. В [18] выполнено обобщение процедуры и показаны ее по-
ложительные свойства.
В третьем способе использованы идеи аппроксимации сплайн-
функциями. Рассмотренный вариант не всеrда повышает устой-
чивость метода. Привлекательность этой аппроксимации основана
на надежде повысить точность решения. В учебном пособии
с. В. Русакова [32] показано, что применение сплайн-аппрокси-
маций дает возможность решать некоторые задачи' довольно точ-
но на весьма rрубых сетках.
В четвертом способе показано, как вести вычисления вихря в
тех ситуациях, коrда необходимо описать эффекты проскальзыва-
ния (неполное вязкое прилипание). Вывод формул и применение
их к расчету задачи о течении в каверне выполнено в работе ав-
тора [33].
118
Перейдем к описанию первоrо из указанных способов вычис-
ления вихря. Будем обозначать rраницу расчетной области через
[, а через [1 вспомоrательную внутреННЮI{) «rраницу», отстоя
щую от [ на один шаr пространственной сетки. Три этапа вычис-
лительнОй процедуры таковы:
.1. Из аппроксимации, выбранной для УР(lвнения HaBьe CTOK
са, определяются значения вихря на новом временном слое BHYT
ри области r 1 с rраничными значениями 'ер 1;--1' которые вычислены
на предыдущем шаrе по времени.
2. Из решения уравнения Пуассона опрсделяются значения
функции тока во всей области (этот этап не отличается от обыч-
Horo) .
3. ПодпраВЛЯIОТСЯ значения tРункции тока в приrраничных уз
лах 22, а затем из конечно разностноrо уравнения Пуассона опре-
деляются значения вихря в узлах rраницы [1.
Важным в этой вычислительной процедуре является способ
корректировки значений функции тока в приrраничных узлах. Рас-
четные формулы для функции тока MorYT быть получены в пред-
положении, что скорость вблизи rраницы представима в виде по-
линома от нормальной к rранице координаты.
Рассмотрим построение формул для функции тока в приrра-
ничных узлах на примере одномерной модели [34]. При аппрок-
симации танrенциальной компоненты скорости полиномом степени
П! функция тока дол)кна быть представлена полиномом степени
(т+ 1)
m+1
у (х) == Р т + l(Х) == }: С } x J .
j о
Первые коэффициенты полинома однозначно определяются из rpa-
ничных условий
(1)
,
СО == o,
С 1 == V o .
(2)
Следующие коэффициенты определяются из решения системы т
уравнений
т+l
C j Х/ == ! l , i === 2, m + 1 . (3)
j=== о
Эта система получается из предположения, что зависимость
(1) справедлива для узлов (в общем случае неравномерной) сет-
ки за пределами приrраничноrо узла i 2. Система имеет единст-
венное решение, так как ее определитель, сводящийся к опреде-
лителю Вандермонда [37], не равен нулю. После решения этоЙ
22 Подправленпе функции тока определяет отрицательное свойство про
цедуры, которое заключается в том, что значения функции тока MorYT меняться
даже при достижении стационара. Исправить этот дефект несложно можно
не менять значения функции, а подправленные значения использовать только
Д 1Я В ыч I1сления вихря.
119
системы корректировка значений функции тока выполняется по
формуле
rOOJ т+l т+l
Ч>1==УО V O X 1 + CjX{ == bo' o+bl V O + ЬjЧ>j, (4)
j 2 j 2
а значение вихря на [1 вычисляется из конечно-разностноrо aHa
лоrа уравнения Пуассона с использованием в l!риrраничных уз
лах значений (4). Формулы (3), (4) написаны для случая произ-
вольноrо расположения узлов. В случае равномерной сетки си-
стема уравнений для коэффициентов Ь} леrко решается [34] .
в качестве примера выпишем в явном виде формулу для вычис-
ления подправленных значений функции тока при т == 2
11, + 1, 1, h. V (5)
'11 == 18 Уа '2 \t2 9 ''1з 3 а .
Выполняя подстановку подправленных значений. функции тока
в уравнение для вихря в одномерном случае можем получить фор
мулу
т+l
ер1 == (Ч>ХХ-)1 == N2(ko Фо+ ] kjYj) + NkV a .
j 2
Отсюда видно, что рассмотренная процедура является своеобраз
ным частным случаем формул вида (3) 5. Это своеобразие за
ключается в том, что вычисленное значение вихря относится не к
rрапице, а к приrраничному узлу. Кроме Toro, для параметров
формулы (3) 5 навязаны значения
2
т 1 === т + 1, т 2 == О. k. == О, k == .......... т + 1 . (7)
Интересно отметить связь (6) с формулой Тома. При т== 1; 2
и однородных rраничных условиях для функции тока и скорости
получаем выражения
(6).
2
)01 == (2/z )2 Ч>2 ,
(3h)2
)01 == 2 3'
(8)
которые аналоrичны формулам Тома, записанным для узлов на
расстоянии.2h и 3h соответственно. Отмеченная связь позволяет
предсказать повышение устойчивости, с одной стороны, а с дpy
rой понижение аппроксимационных свойств. Эти предсказания
оправдываются.
Заметим, что описанная процедура использовал ась и в случае
неравномерной сетки [27, 28, 35]. В работе [35] использовалась
«несоrласованная» С rраницей сетка X i == ih h/2; для фиктивноrо
узла с координатой xo== h/2 полаrалось '1'0=='1'1 (V/r ==0). в слу-
чае задачи Стефана с конвекцией [27] описанная процедура по-
зволила стабилизировать вычислительную процедуру расЧета в.
ситуации, коrда твердая rраница области смещается относительно
узлов пространственной сетки.
120
3 а Д а н и е 1. Получить формулу для вихря при использовании
«несоrласованной» сетки работы [35]. Найти первое собственное
значение (см. 6) при использовании этой формулы.
2. Получить формулу для вихря в случае сетки Ха==О, X i ==81 +
+h(i 1), i==l, 2, ... при m==3 (m степень полинома для
аппроксимации скорости).
Перейдем к описанию «неявноrо» способа вычисления вихря
[18]. Характерной особенностью этоrо способа является измене..
ние аппроксимации уравнения для вихря в приrраничных узлах.
Рассмотрим эти изменения у левой rраницы плоской области
х==о, предполаrая для простоты, что используются постоянные
шаrи по пространству. Из конечно-разностноrо уравнения Пуассо-
на при i== 1 (индекс BpeMeHHoro слоя потока не используем) най
дем значение функции тока в приrраничном узле
1,K == А · 1,K + B(lf). (9)
3 а Д а н и е. Найти явный вид для коэффициента А и выражения
В, зависящеrо от значений функции тока в соседних узлах.
Используя (9), можно исключить в формулах вида "(3) Э 5
значение функции тока в приrраничном узле. В случае формулы
Тома, например, получаем
2 2
)Oa,K== g)01,,\ tD, D== hVO 2(B O,K). (10)
1 h 1
Если в выражениях вида (1 о) при выполнении TpeTbero этапа
двухполевоrо метода использовать все величины в правой части
на старом п-м слое, свойства вычислительной процедуры не изме..
нятся. Однако имеется возможность использовать уже на первом
этапе вычисления вихря по неявной схеме соотноиiение вида
)O t1) + gCf 1) == D(п) . (11)
При использовании схемы в дробных шаrах под «верхним слоем»
следует понимать значения на слое (п+ 1/2) для первоrо полуша..
ra и на слое (п+ 1) для BToporo. Соотношение (11) позволяет
вообще исключить из числа неизвестных значение вихря на rpa-
нице.
3 а Д а н и е. 1. Получить двухточечные соотношения, связывающие
ер1, к С <р2, к (ера, к исключить) в случае модификации формулы
Вудса.
2. Показать, что модифицированные формулы Вудса и Пир..
сона совпадают.
Постановка спектральной задачи для изучения сходимости
u
внутренних итерации меняется при использовании rраничных ус..
Ловий в виде (11). в [18] показано, что проще Bcero под компо..
121
..,.\.
.......
нентами вектора понимать значения функции в приrраничных
узлах. Вторая особенность заключается в совмещении TpeTbero
этапа с первым. Кроме Toro, процедура требует иноrо способа
введения параметра нижней релаксации. Устойчивость процеду-
ры двухполевоrо метода при использовании соотношения (11) по..
вышается, но остается ниже, чем для способа [27] или простой
формулы Тома с соответствующим параметром нижней релакса..
ции.
Перейдем к рассмотрению способа, в котором функция тока
аппроксимируется кубическими сплайнами. С общей теориеЙ
сплайнов можно ознакомиться по книrе [36]. Применение сплай-
нов в задачах rидродинамики описано в учебном пособии [32].
Оrраничимся рассмотрением одномерной задачи. Полаrаем,что
функция тока выражается через кубические сплайны В ' (х) на
сетке 'X l == ih (i О, N )
N+l
== b i B i (х).
.-
[== l
Знание коэффициентов разложения b i позволяет по этой фор
муле определить аналитическое выражение для функции тока.
Y.lKe эта возможность является весьма привлекательной.
ПОДСТD.новка (12) в уравнение Пуассона дает уравнение для
1 . '
1 ')3Cl)Ф 11 !ICI TOH
1 А
(12)
ь ;А:" + 'Р == О,
i == О, lУ .
( 13)
Это уравнение решается на расширенной сетке узлов (типичная
СИТУ{1Ц IЯ дЛЯ схем со сплайнами).
Использование свойств кубических сплайнов позволяет для
функции тока в узлах сетки написать формулу
ФJ == (bi l + 4Ь 1 + ЬЁ+,) , i == О. N. (14)
Формулами (12) (14) исчерпываются сведения из теории
сплайн функций, которые понадобятся нам для дальнейшеrо aHa
лиза.
Обсудим rраничные условия для коэффициентов разложения в
системе (13), полаrая для простоты, что функция тока и ее про
изводная на rраницах обращаются в ноль. Из формулы (14) при
i== О получаем связь коэффициентов
'f о == Ь 1 + 4Ь о + Ь 1 === О. ( 15 )
Аппроксимация условия '1" (О) == О дает соотношение
b I == Ь 1 . (16)
Формулы (15), (16) позволяют исключить из числа неliзвестных
b l, Ь 1
b l == Ь 1 , Ь О == Ь 1 /2.
(17)
122
Перейдем теперь к вычислению вихря на rранице. Рассмотрим
два варианта. Первый вариант является лоrическим следствием
использованной аппроксимации и соответствует вычислению вих-
ря на rранице по формуле (13) при i==O
( Ь ) b l 2Ь о + Ь 1
СРа хх а h 2 .
С учетом (17) эта формула упрощается
6Ь о
110 == h 2 ·
(18)
( 19)
Второй вариант вычисления вихря на rранице заключается в
нахождении 'Фi по формулам (14), а затем в вычислении вихря
по формуле вида (3) 5.
Вернемся к первому варианту. Воспользуемся для анализа ус-
тойчивости двухполевоrо метода (-т== 00) результатами 6. Для
поиска Лl полаrаем ,ера == ер л'== 1. Решения уравнения для вихря и
коэффициентов разложения леrко находятся
qJi == 1, bl bo+ ih(l;ih) , Ь о == h(1 h) . i == 1,N 1. (20)
Подстановка в формулу (19) значения Ь О сразу дает нам наи-
большее по модулю собственное значение
/'1 == :й == 1 N.
Такое же значение было получено ранее для формулы Тома
при обычном способе без использован я сплайн-функций.
3 а д а н и е. Доказать на стационарной задаче с точным решени"
ем (см. 4), что для использованноrо варианта поrреш ность ре-
шения, оказывается равной той, что вычислена для формулы
Тома.
Обсудим второй вариант применения сплаЙн-аппроксимации,
при котором используются формулы вида (3) Э 5 со значениями
функции тока, полученными по формуле (14). Повторяя выклад..
ки, выполненные при вычислении первоrо собственноrо значения
для первоrо варианта, находим после определения b i (20) значе-
ния функции тока:
xi(l.......xi) h 2 xi(l..........xi) h (21)
i == Ь а + 2 ь == 2 б ·
ПО сравнению с обычным случаем значения функции тока за
нижены на величину h/6. Без выкладок ясно, что это должно при-
вести к повышению устойчивости. Воспользовавшись обобщенной
формулой для ихря (3) 5, можно найти Лl. В случае формулы
Тома, например, .
. 2, 1 2 'ЛТ
).1 == h 2 '11 ==- 1 V ,
123
т. е. этом случае устойчивость метода повышается. К ,сожале..
нию, в рассмотренном варианте порядок поrрешности вихря на
rранице на задаче с точным решением понижается со 2-rо'до l-ro
Таким образом, применение сплайнов меняет устойчивость и
точность вычислений, но не всеrда эти изменения происходят в
лучшую сторону.
Перейдем к описанию способа вычисления вихря при наличии
пристенноrо скольжения. Эффект пристенноrо скольжения (П-эф
фект) наблюдается при течении неньютоновских жидкостей и раз...
реженных rазов. Ссылки на соответствующую литературу содер-
жатся в работе [33]. При малых радиусах капилляров и в пори
стых средах П-эффект наблюдается даже для ньютоновских жид-
костей (вода, керосин), В капиллярной вискозиметрии П-эф
фект ПрИБОДИТ к овышению текучести среды при уменьшении ра-
диуса капилляров; при этом расход жидкости через капилля}}
может увеличиться в 10 и более раз. Во мноrих работах полаrа
ют, что скорость скольжения на rранице V s зависит только от Ha
пряжения Сдвиrа. В пластичных средах обнаруживается критиче
*
ское напряжение сдвиrа 't s ' при превышении KOToporo начинается
формирование пристеночноrо «поrранич'ноrо слоя» С уменьшением
в нем вязкости. Толщина пристеночноrо слоя б обычно мала и
лишь в некоторых случаях достиrает 0,02 долей радиуса.
Пренебреrая rидродинамическими эффектами в тонком присте...
ночном слое б, будем считать, что жидкость имеет на rранице CKO
рость
V/ r == V o + v s . (22)
Здесь V a заданная скорость rраницы. Полаrаем, что для скоро...
сти скольжения справедлива связь
v s == (t s ) · t s === '/Эфф : Ir == х (rp) rp 'r ' (23)
rде 't s напряжение сдвиrа.
Вывод. формулы для вихря леrко выполняется в предположе...
нии линейной связи V s и ер I r (х const). Введение дополнитель-
ных итераций позволит использовать полученные формулы и при
наличии зависимости х == х (ер) .
Повторение вывода соотношений для коэффициентов формулы
(3) 5 с учетом (22) и (23) позволяет получить следующие фор...
мулы [33, 34]:
k (S) k
j == с j,
Z (S) 1
j == с j,
1
С == 1 + х ckN == 1 %kN '
В этих формулах коэффициенты без индекса s (скольжение) со...
ответствуют варианту без скольжения. Для примера выпишем в
явном виде преобразованную формулу Тома
2N 2 Фl + 2NV o
СРо == 1 + 2-х.N
k(S) == ck,
O c<l.
(24)
124
При отсутствии П-эффекта ,(%==0) преобразованные формулы пре-
:вращаются в известные; при %---+-00 вихрь на rранице стремится к
нулю, что соответствует отсутствию танrенциальных напряжений.
Десятикратное увеличение расхода, обнаруживаемое в экспери-
ментах, позволяет считать, что реальны значения х>2.
Отметим, что мноrие rидродинамические задачи, описываемые
биrармоническим уравнением для функции тока, соответствуют
задачам теории упруrости о проrибе тонких пластин [41]. Вели-
чина Ф при этом характеризует отклонение срединной поверхности
пластины от положения равновесия. Обычно TaKoro рода задачи
рассматриваются для двух предельных случаев жесткое защем-
ление и свободно опертая пластина. Учет «проскальзывания» для
задач упруrости, с нашей точки зрения, характеризует способ «по-
JIужесткоrо» защемления. Идеолоrия полужесткоrо защемления
позволяет непрерывным образом расширить решение от случая
JКeCTKOro защемления до случая свободно опертой пластины.
В [33] решена задача о течении в смазочной канавке при на-
JIИЧИИ П-эффектов и числе Рейнольдса Re== О (ползущее течение).
В рассмотренном случае задача имеет единственный параметр %,
характеризующий степень проскальзывания. Обработка результа-
70В при %==0 (настройка на точность) и различных h позволила
получить формулу
Фт == 9,0999 (1 2,5h 2 ).
Заметим, что зависимость эта получена при использовании фор-
мулы Тома; при использовании формулы [27] с m== 2 коэффици-
ент при rлавном члене поrрешности (коэффициент при h 2 ) ока-
зался вдвое больше.
Увеличение % дает уменьшение интенсивности течения; при
%>0,5 справедлива формула
) Фm(О)
Фт (х 1 + 4,6у" ·
КарТИНЫ течения при %==0 (слева) и %==0,5 показаны на рис. 13.
I
;: о J
.......................... ...... -.....
Ie = О,;
Рис. 13
125
3 а Д а н и'е. Получить аналитическое решение заАачи о конвекции
в вертик ьном слое
ff" + о == О, у" + == О, 'f (О) == Ф ( 1 ) == О.
при наличии П..эффекта.
t 8. сходимость ДВУХПОЛЕвоrо МЕТОДА
ПРИ РЕШЕНИИ 6иrАРМОНИЧЕскоrо УРАВНЕНИЯ В плоской 06ЛАСТИ
Внутренние итерации (11) (13) Э 4 при 1'==00 соответствуют
итерационному методу решения биrармоническоrо уравнения.Схо
димость итераций в этом случае зависит от rеометрии области,
пространственной сетки и используемой формулы для вихря на
rранице. Без релаксации на третьем этапе эта процедура, как и
в одномерном случае, оказывается быстро расходящейся. Для по-
лучения оптимальноrо значения параметра релаксации и инфор-
мации о скорости сходимости необходимо исследовать спектр MaT
рицы весьма высокоrо порядка.
Рассмотрим сначала область единичноrо квадрата с KBaдpaT
.........
ной сеткой h 1 ==h 2 ==h== ljN. Число компонент вектора оказывает
ся при этом равным р == 4 (N 1), так как yr ловые точки в расче
тах обычно не используются. Элементы матрицы перехода М по-
рядка р определены тремя этапами (11) (13) Э 4 при '{== 00.
При решении уравнения Пуассона будем считать, что искомая
функция на rранице равна нулю. Столбец j матрицы перехода на..
ходится при задании вектора , j..я компонента KOToporo равна 1,
а остальные нулю. Вся матрица получается при выполнении р
раз всех трех этапов для подобных векторов.
Во мноrих случаях спектр матрицы перехода оказывается ве-
щественным
L == },.1 < Л 2 -<)'3'< . . . <Ар П.
\.
Матрица симметрическая, если для вихря используются формулы
(3) Э 5 с ml, m2 1. Симметричность матрицы обеспечивает Be
щественность собственных значений. Собственные значения при
релаксации вычисляются по формуле (10) Э 6. Из нее видно, что
сходимость возможна лишь тоrда, коrда правая rраница спектра
П<I.
При вещественном спектре параметры релаксации определя
ются rраницей спектра (см. формулы (11), (12) 6).
* . 1 R* п L .
(J) 1 0,5 (L + 11) , 2 -r L + п ·
(1 )
(2)
.
Рассмотрим результаты, полученные при использовании на'
третьем этапе итерационной процедуры формулы Тома. Мини лаль"
ное по модулю собственное значение (правая rраница fпектра)
равно нулю П == О. Максимальному по модулю собствеННОl\1У зна-
126
.......
чению R == L соответствует собственный вектор , компоненты
KOToporo меняются вдоль каждой стороны квадрата подобно си-
нусу 23 (рис. 14). Матрица перехода имеет блочную структуру (3)
0.2
0.1
/
/
/
[ ==ФС \
------ 4= .............
<... о(" = 1
" '- ""
N = 20 I "
"
х
f. о
1..,
7')
О
"'1:
'.,;'./
1.0
Рис. 14 .
А 15 С В'
В' А В С
С В' А В
В С В' А .
......
Здесь, А, В, С, В' матрицы порядка N 1, матрица В' получе-
на транспонированием В. Матрицы А, С и М являются симметри-
ческими.
При построении матрицы перехода cooTBei (': :/IC j1e заД ' IИ
Дирихле решались итерационным меТОДОl\1 последовательной верх-
ней релаксации Янrа с зафиксированным порядком обхода узлов
области. Число итераций задавалось равным 1,7 р. При таком
числе итераций максимум относительноrо отклонения элементов
матрицы от симметрии не превышал 2.10 80/0 (при числе итера-
ций, равном 0,7 р, отклонение от симметрии достиrало 7. 10 30/0)'
Спектр матрицы перехода оказывается «не простым» [37] из-
за наличия N 1 кратных собственных значений. В качестве при-
мера выпишем с обратным знаком значения первых шести собст-
венных значений для N == 10: 4,851; 2,021; 1,302; 0,9305; 0,6158;
0,4103. Последние четыре. собственных значения равны нулю. Пер-
вым кратным собственным значением является Л2, следующие
кратные л j 'реrулярно следуют после двух простых собственных
значений. Первое .собственное значение хорошо удалено от сле-
дующеrо Лl 2,4Л2' Произведение л,lh меняется существенно лишь
при малых N.
. м ==
(3)
Знание вида первоrо собственноrо вектора мо}кет быть использовано для
ускорения сходимости.
127
Вид всех собственных векторов для матрицы порядка р 8
(N ==3) приведен на рис. 15, rде изображены восемь квадратов
с сеткой 'З'$<3. Компоненты собств нных векторов указаны цифра-
ми (О, 1, 1), которые nриведены рядом с соответствующими rpa-
ничными узлами. Правая rраница спектра П == О является четырех-
кратным корнем характеристическоrо уравнения и при друrих N;
четырем линейно независимым собственным векторам соответст-
вуют векторы, у которых равны нулю все компоненты, кроме двух
соседних компонент с разными знаками у уrлов области. Собст-
венные векторы, соответствующие кратным корням характеристи-
ческоrо уравнения, переходят друr в друrа при циклическом сдви-
те компонент на (N 1).
.'" ..;;;-t f
.J , I f f , ' , t (
I f f f . ' (
f I , f f f f f
f i f ' I f I ,
О О t О О f D О
D ' О О f D О
1 D О О О О О f
." f D D О О О О I
Рис. 15
При П==О оптимальные параметры зависят только от радиуса
спектра. Поэтому при N> 10 радиус спектра и соответствующий
ему вектор находились итерационным методом
. .
. \ (n+l)1
R === 11т 1 -+(п) 1
n-+ оо
Метод оказался быстро сходящимся, величина R стабилизирова-
лась с точностью до 10 4 за 4 7 итераций. Хорошая скорость схо-
димости метода обусловлена удаленностью первоrо собственноrо
значения от следующеrо.
Обработка полученных результатов позволила найти асимпто-
тическую фор улу (h<O,I)
L ao aN (5)
с коэффициентами ао 0,91, а 0,573. КоэффициеНТI а примерно
в 1,74 раза меньше соответствующеrо коэффициента в л'1 дл ОД"
HOMepHoro случая.
-+ (О)
С (1,1,...,1).
( 4)
128
Используя формулы (5) и (2), находим значение множителя
сходимости
2
Я* 1 h
а
(6)
и Число итераций пl, уменьшающее начальную норму вектора He
вязки на порядок
[п 10 ( а )
п 1 [п R* '2 lп 1 О · N.
(7)
Таким образом, использование оптимальноrо параметра релак
сации, найденноrо из решения спектральной задачи, позволяет дo
биться скорости сходимости, при которой число итераций, YMeHЬ
тающее начальную невязку в заданное число раз, пропорциональ
но первой степени N.
. Сделаем замечание, касающееся оптимизации итерационноrо
процесса. Множитель сходимости (6) соответствует постоянному
значению (О. Имеется возможность ускорить сходимость итераций,
если, соrласно идее Чебышева, применять циклический набор па
f'"OJ
раметров релаксации. В простейшем варианте этоrо метода (()1 ==1(0,
'"
а следующие (01 2ы>(O*.
Оценим объем работы, необходимый для решения биrармони
ческоrо уравнения. Если уравнения Пуассона решать итерацион-
ным методом последовательной верхней релаксации, то для YMeHЬ
шения начальной невязки в этих уравнениях на порядок требуется
выполнить п2 (ln 10j2л;).N итераций. Так как число внешних
циклов пl также пропорционально N, общее число итераций, оп-
ределяющее объем работы на один узел сетки, пропорционально
N2. Заметим, что при решении биrармоническоrо уравнения MeTO
дом простой итерации [38] число необходимых итераций пропор
ционально N4.
Аналоrичные расчеты были выполнены для друrих формул вих
ря скорости на rранице. Для формул Вудса и Пирсона правая rpa-
ница спектра матрицы перехода по-прежнему равна нулю. Для ле
вой rраницы спектра справедлива зависимость (5) со значениями
ао==l, a 0,863 для формулы с параметрами (10) 5 и ao 0,93,
а 0,863 для (11) 5. Анализ этих результатов показывает, что
асимптотическая скорость сходимости при использовании этих фор
мул одинакова и примерно в 1,5 раза меньше, чем при использо.а
вании формулы Тома.
Коэффициенты а, определяющие асимптотические скорости cxo
димости, пропорциональны коэффициенту k (6) 5. Этот факт,
подчеркивая важность одномерНоrо анализа, позволяет без про-
ведения расчетов оценивать скорости сходимости различных фор-
мул.
Решение спектральных задач выполнено в работе [28] и для
формул работы [27]. Обсудим результаты для формулы со зна
чением степени аппроксимирующеrо полинома m==2. В спектре
9 3ак. 660
129
матрицы появились комплексные собственные. значения с полОжи..
теЛI;>J\ОЙ действительной частью. Действительная часть правой rpa-
ницы спектра П О,13. ДЛЯ левой rраницы спектра справедлива
формула (5) с коэффициентами ao 0,858, a 0,195. Оценка 24
оптимальноrо радиуса R* 1 8,9h подтверждает обнаруживае-
мую в счете повышенную скорость сходимости метода при исполь-
зовании процедуры [27].
Полученные результаты позволяют расставить исследованные
формулы в порядке возрастания соответствующих оптимальных
радиусов спектра (табл. 4).
Таблица 4
Название формулы
пер
rрязнова-Полежаева
Модифицированная Тома
Модифицированная Пиреона
Тома
Пиреона
Вудса
0,584
0,66
0,75
1,00
1,46
1,51
Модификация формул, выполненная по идее Булеева Н. И. [18,
30], описана в 7. В качестве эталона сравнения выбрана фор
мула Тома, и для каждой формулы указано число итераций пер,
«эквивалентное» одной итерации при использовании формулы To
ма. Отметим, чТо окончательный выбор формулы для вихря за-
висит еще и от ее аппроксимирующих свойств.
Коснемся результатов решения спектральных задач для фор
мул (3) 5 с большим числом членов ряда тl, т2. Такие форму-
лы дают Her ладкое поведение (<<всплески» ) компонент nepBoro
собственноrо вектора вблизи уrлов области. При малых значениях
N == 5....;..-1 О «всплески» существенно увеличивают R. Этот факт ro
ворит, что подобными фqрмулами следует пользоваться с осто-
рожностью. В работе [28] показано, что R для формул с тl,
т2 2 часто уменьшается, если вблизи уrлов используются фор
мулы с меньшими значениями тl, тz.
Выше обсуждались результаты, относящиеся к области KBaд
рата. Итерационным методом левая rраница спектра находилась
и для прямоуrольника со сторонами 1 и d. Расчеты, выполненные
на квадратной сетке, показывают, что при увеличении ct радиус
спектра приближается к соответствующему значению для OДHO
MepHoro случая. Для оценок получена формула (d> 1)
L(h,d) L(h, 1). (1 +o,74 d ;1 ) (8)
24 При оценке использовалась формула (2) без уч.ета мнимых gстей Лj, MO
дуль которых' обычно меньше 0,05. .
130
Величина R находилась и для области, образованной из квад..
рата путем удаления из Hero прямоуrольника (рис. 16). В узле
i N 1, к == N2, соответствующем внутренней
уrловой точке, значение вихря вычисля-
лось каК среднее арифметическое по двум N
возможным направлениям. Уменьшение
областИ приводило к уменьшению радиуса N2
спектра. Так, при N == 10 и значениях Nl ==
=== N2 1 О, 8, 6, 4 соответствующие значе
ния радиусов спектра равны 4,85; 3,75;
2,80; 2,07. Аналоrичным образом уменьша-
ется R и в том случае, если на части rpa
ницы значения вихря скорости задаются.
Проведем сравнение спектров для об-
ластей Kpyra и квадрата. Собственными функциями для Kpyra яв-
ляются ra рмонические функции. Уравнения, соответствующие (11),
(12) 4при't оо
к
(
L
.
о
N
N
Рис. 16
d == О,
d'f + == О,
(9)
д 2 1 д I 1 д 2
d == дr 2 + r · дr --..... r 2 · дВ2
леrко решаются методом разделения переменных
р
== CK. f{ik(r) · ехри(к 1) 8),
k == 1
1 r2
K == rK l, Ук == 4к rK I. (10).
Здесь р ЧИСЛО узлов на окру)кности, N число интервалов на
радиусе, е перем нная по уrлу. Собст венны е значения для фор..
мул вида (3) 5 вьiчисляются точно (K 1, р)
Л К == k} (2 j N;;: j2) (1 j!J.r)K l + :2 ,} (1 jt;,.r)K I.. (11)
j==l j l
Для формулы Тома, например, из формулы (11) имеем
л 1 2N (1 д ) K l к+l Л (12)
) l{ 2к r к (1 r) к+ 1.
Радиусу спектра соответствует I Лll с собственным вектором, имею..
щим равные компоненты. Все ЛК различны, отрицательны и рас-
тут по модулю при увеличении N. С ростом «к» спектр сrущается.
Первое собственное значение удалено от Л2: IЛll>2IЛ21. Правая
rраница спектра стремится к улю при p oo.
Оценка показывает, что при числе узлов на диаметре, равном
числу узлов на стороне квадрата, число итераций, одинаково
уменьшающих невязку в rраничном условии, для области квадра-
та примерно в 1,15 раза больше, чем для Kpyra. Это сравнение
Выполнено для больших N и при условии, что число внутренних
9*
131
узлов квадрата и Kpyra одинаково. Используя формулы '(2), '( 12),
леrко Jtа'"йти предельные значения оптимальных параметров
lim ш* N 15 ' Нт R* 1 2bor. (13)
p oo' p oo
Пр,и 0)==0)* все собственные значения, кроме первоrо, положитель-
,....,
ны. Параметр релаксации О) == 0), при котором все собственные зна-
,....,
чения неотрицательны, не зависит от числа узлов по уrлу 0)==
1 1
== 1.......... Л 1 == 0,5 + N · Скорость сходимости при u) == О) примерно вдвое
медленнее, чем при оптимальном параметре релаксации.
Аналоrичный анализ сходимости двухполевоrо метода в обла-
сти Kpyra выполнялся и для друrих формул. Отмеченные ранее за
висимости оптимальных параметров релаксации от коэффициента
k сохраняются. Как и в области квадрата, скорость сходимости,
определенная по R*, дЛЯ формул Пирсона и Вудса в 1,5 раза
меньше, чем для формулы Тома.
В заключение этоrо параrрафа сделаем ряд замечаний. Для
предварительноrо анализа работоспособности формул для вихря
полезно получить приближенные решения спектральных задач на
--+
сетках с малым числом узлов N ==375 для вектора с компонен-
тами, равными единице. При этом },l , == 1, а 6 леrко определя-
ются, если учесть симметрию rраничных условий. ЗамеТ1ИМ, что
при N ==3 в области квадрата вектор с равными компонентами
является первым собственным вектором 25, а при N ==4, 5 для мно-
rих формул вихря отличается от Hero незначительно.
Спектральные задачи, рассмотренные в этом параrрафе, отно-
сятся к случаю, коrда задачи Дирихле для вихря и функции тока
решаются достаточно точно. В практических расчетах при реше-
нии этих уравнений итерационным методом допускаются соответ-
ствующие поrрешности Вер и B'-J;. Рассмотрение поrрешностей ре-
шения задач Дирихле в виде rармоник с амплитудами \Вер и В
позволяет' выяснить следующее: 1) влияние Вф сильнее влияния Вер
на всех rармониках; 2) влияние Вер сильнее на низкочастотных rap
мониках, а ВФ на высокочастотных; 3) при достаточно малых 8ф
относительные изменения 0)* и R пропорциональны N. ВФ . Так как
знак поrрешностей может быть любым, они MorYT как улучшать,
так и ухудшать сходимость.
Замена уравнения Пуассона для функции тока нестационар-
ным уравнением
дtf;
дt == + ff ·
(14)
приводит К определенному виду поrрешности. При этом устойчи
вость метода возрастает, так как фиктивный шаr по ВR.емени в
....
25 Имеются в виду формулы (3) Э 5 с ml т2 2.
132
уравнении (14) иrрает роль дополнительноrо параметра нижней
релаксаЦJiИ.
t 9. КОНЕЧНЫЙ ШАr по ВРЕМЕНИ
(ВНУТРЕННИЕ ИТЕРАЦИИ)
Остановимся вначале на одномерной модели. В рассматривае-
мом случае матрица перехода 2-ro порядка определяется из реше-
ния системы ,конечно-разностных уравнений (J.12== l/т)
( !-'-2C(S) == О, ( + C(S) О , Е(О) == Цl) == О.
с соответствующими формулами для вихря на rранице.
Новым параметром, который ранее не рассматривался, являет-
ся шаr по времени '1'. Вместо т будем использовать более инфор-
мативный параметр (Х==т/то. Решая уравнение (1) для двух ве.кто-
----+
ров С компонентами (1,0) и (0,1), получим при вычислении по
какой-либо формуле для вихря первый и второй столбцы искомой
матрицы.
Для получения элементов матрицы можно воспользоваться и
точным решением дифференциальных уравнений, соответствую..
щих (1):
е(х) fJ-2 hf1 [(( 1 х) sh!-,- sh (!-'- (1 x))Ho + (xsh!-,- sh!-'-хНN 1. (2)
Решение системы (1 ) отличается от точноrо на величину порядка
О (h 2 ). Анализ результатов, полученных обоими способами, пока-
зывает, что при решении конечно-разностных уравнений оптималь-
ный параметр релаксации HeMHoro выше (при N == 20, 0:,== 1 отли-
чие менее 1,50/0, с ростом N и о:, отличие уменьшается).
Рассмотрим вначале результаты анализа для формулы Тома.
Используя точное решение (2), находим элементы симметрической
матрицы М, а затем собственные значения:
Л 1 == Ml, 1 + Ml, 2 == а (1 е 1 е 2 ),
Л 2 :== Мl, 1 Мl, 2 == r:J. (1 2h е 1 + е2)
sh (f! (1 h) sh !J-h
е е
1 sh ' 2 sh "1 ·
Первый собственный вектор имеет равные компоненты, второй
компоненты разных знаков.
Используя формулы (3), определяем параметры релаксации:
1 1
Ш * Ш
,
1 + а (1 h ..........еl) 1 + а (1 еl е2) ·
Значение оптимальноrо параметра релаксации всеrда меньше еди-
ницы (нижняя релаксация). Интервал сходимости по 00 опреде-
Jlяется удвоенным значением 00; при I All < 1 внутренние итерации
Сходятся и при l<ro<2/(1 Лl).
(1)
(3)
(1)
133
Из ализа собственных значений (3) следует, что расходи
мость внутренних итераций без релаксации наступает при
a (Xc 1,45. Ширина спектра растет с увеличением а; при
а== 1 Отношение Лl/Л2 1,1526, а при увеличении N и а это OTHO
шение стремится к пределу, равному 3, характерному для стацио
нарной задачи.
Минимальный радиус сходимости
R* Л2 Лl a(h e2) (5
2 (Л 1 + Л 2 ) 1 + а (1 ....... h .......... еl) )
При (X 1 и a N, например, соответствующие значения оптималь
Horo радиуса спектра равны 0,029 и 0,018, что свидетельствует
О быстрой сходимости внутренних итераций даже при весьма круп
ных шаrах по времени.
При малых значениях -У2/(Х из (4) может быть получена при-
ближенная формула
ш*:::::;:;:::::; -У2 2 < (х < N. (6)
V lkl
На рис. 17 представлены зависимости 00* ((Х) для N == 10 (ли
ния 3) и N 40 (линия 4). Штриховая линия соответствует форму
ле (6). Линии 1 и 2 получены для области квадрата. При малых
a итерационный процесс сходится и без релаксации. Однако ис
пользование 00* резко увеличивает скорость сходимости. Так, Ha
пример, при а== 1 число итераций, уменьшающих начальную He
вязку в заданное число, при релаксации с oo oo* в 12 раз меньше,
1,0
05
o<'.r
N=10
#=20
{
N=40
......... .........
...... ......-.
--._--.
о(,
Q
7
{О
1;
20
Рис. 17
26 В тех случаях, коrда особо не оrоварива тся, N == 20.
134
чем при ш== 1. При малых шаrах по времени
быть получены формулы
1
(1) l+a '
(a 1) из (4) MorYT
1
(1)* ==
1 + а (1 .......... h) ,
Представленные выше результаты соответствуют аппроксима
дии эволюционноrо уравнения для вихря классической неявной
двухслойной схемой. Однако они MorYT быть использованы с COOT
ветствующей корректировкой и для друrих схем. Пусть, например,
для нахождения вихря используется трехслойная неявная схема
3 1 (n+l)
"2 CPt 2 СР! == СРхх
яо» a..h.
После перехода к системе, определяющей сходимость внутренних
итераций (см. 4), видно, что матрица перехода совпадает с
обычным случаем, но с шаrом т, уменьшенным в 1,5 раза.
Спектральный анализ выполнялся для различных формул вих-
ря на rранице. Как и в стационарном случае, итерации, в кото-
рых используются формулы с большим значением I k 1, оказыва-
ются более неУСТОЙЧИВЫl\1И (релаксация в таких случаях более не-
обходима). При малых -У2/а для оценок параметра релаксации
может быть использована формула (6). Анализ спектра для фор-
мулы Пирсона показывает, что внутренние итерации расходятся
при а>а с 0,73; при а==l, R I,278.
Может показаться, что полученные критические значения а с
занижены, так как практический счет позволяет получать решения
при а>а с '. Дело в том, что внутренние итерации более неустой-
чивы, чем счет без внутренних итераций. Различие в устойчиво-
сти этих двух вычислительных процедур удобно показать на чис-
ленном решении одномерной задачи (1) (3) Э 4 с точным реше-
нием
Ht, х) == [ х 2 (1 х)2 + :\ Cos (2)tK х) 1 ехр ( 41t2Kt) J. (7)
В качестве характеристики расходимости можно использовать OT
ношение
rn(n+l) т(n)
о(n) == т о т о
т(n) т(n 1)
то тО
(8)
Которое при a 4 быстро стабилизируется. При а==4 последова
тельные значения б(n) равны 1,033; 1,584; 1,373; 1,338 и после один
надцатоrо шаrа стабилизируются с точностью до TpeTbero знака
Около б 1,3727. Величина б==limб(n) меньше радиуса спектра для
n-+ оо
внутренних итераций. Сравнение б и R при разных а дается в
Табл. 5:
27 В тех случаях, Kor да не указывается используемая формула, имеется в
виду формула Тома.
135
., "'"..
Т блица 5
а
4
6
10
14
00
о
R
1 =F 0,02
1,68
1,37
2,03
2,00
2,63
3,00
3,60
3,81
4,40
N-l
I N-l
Так как внутренние итерации более неустойчивы, чем обычный
счет, использование нижней релаксации в rраничных условиях для
них более необходимо.
Перед тем, как представить расчеты с использованием релак
сации на внутренних итерациях, опишем численные эксперименты,
в которых релаксация использовалась без внутренних итераций.
акой способ стабилизации вычислительной процедуры использо-
вался мноrими авторами. Применение релаксации без пересчетов
может привести в нестационарных задачах к большой поrрешно--
сти численноrо решения. На рис. 18 представлены зависимости
максимума функции тока от времени 'Фm It), полученные из ре-
шения задачи (1) (3) 4 при ,(Х == 4 и 10. Для усиления эффекта
использовал ась заниженная величина параметра релаксации
(J) == 1,5h, соответствующая оптимальному параметру для стацио-
нарной задачи. Характер решения существенно отличается от точ-
Horo, изображенноrо штриховой линией; монотонный характер при
ближения к стационарному сменился на колебательный. Значения
вихря на rранице приближаются к стационарному значению так
же посредством затухающих колебаний с отставанием по фазе от
т (t).
Введение внутренних итераций увеличивает точность расче
та 28. На рис. 19 представлена зависимость сро (п) при а==4. Штри
16
QВ
,0
'Р.
/ i = . :::= .'i
/' I
.............. I
2О
10
81
Q2
.,
D
,0
11,
15
Рис. 18
Рис. 19
f"OOJ
ховая линия соответствует варианту с релаксацией (ш == (J) 0,33)
и без пересчетов. Сплошная линия соответствует варианту с пе..
ресчетами. Напомним, что без релаксации счет неустойчив.
.. '
28 Повышение точности при пересчетах показано на задачах свободной кон-
векции в работах [39, 40].
136
Рассмотрим результаты для области квадрата с аппроксима
цией уравнений на квадратной сетке. При выбранной rеометрии
решение спектральной задачи зависит от шаrа по времени, прост-
ранственной сетки и формулы для вихря на rранице.
Значения модуля левой rраницы спектра (правая rраница
спектра П == О) дЛЯ формулы Тома и N == 20 при возрастающих
значениях шаrа по времени таковы: при а,== 1 R==0,4082; а,==2
R==0,7159; а,==3 R==0,9720; а,==4 R==I,1951; а,==8 R==I,9002; а,==12
R == 2,4339; а, == 16 R == 2,8841. Компоненты первоrо собственноrо BeK
тора на стороне квадрата у==О (такой же вид соответствует всем
сторонам квадрата) при а,== 1 изображены на' рис. 14 штриховой
линией. Собственные векторы, изображенные на рис. 15 для
N ==3, сохраняют вид и при конечных а" а собственные значения
имеют вид
l 025 1
Л 1 == 1 + 2ja ' Л2, 3 === 1 + ija ' Л 4 == 9(1 + 2j3a) ' Л 5 ==Л 6 === · · · == л в == о.
Зависимости оптимальноrо параметра релаксации от а, для N ==
== 10 и 20 представлены на рис. 17 линиями 1 и 2.
Сравнить радиусы спектра для формулы Тома, Пирсона и MO
дифицированной по Н. И. Булееву формуле Тома (N == 16) позво
ляет табл. 6:
Таблица 6
Название а
формулы 1 2 3 4 00
Тома 0,4064 0,7107 0,9627 1,1812 8,2682
Пиреона 0,6933 1 , 1956 1,6042 1 ,9546 12,806
Модифицирован-
ная Тома 0,318 0,535 0,869 5,23
Пересчеты без релаксации расходятся при а,> а,с 3,05 в слу
чае формулы Тома и при а,>а,с 1,55 в случае формулы Пир
сона. rраницы спектра для формул Вудса и Пирсона мало отли
чаются.
Наибольшая устойчивость двухполевоrо метода присуща фор
мулам rрязнова-Полежаева; значения радиуса спектра для фор-
мулы с т==2 при N==20 таковы: при а,==1 R==0,2958; а,==4
R == 0,5014; а, == 1 О R == 0,7804; а, == 1000 R == 2,8585; а, , 00 R == 3,0037.
Счет без релаксации возможен при а,< 16.
Рассмотрим результаты для области Kpyra. В 8 было выяс-
нено, что левой rранице спектра соответствует собственный век-
тор с равными компонентами, а правая rраница спектра отрица
тельна и близка к нулю. Сходимость двухполевоrо метода в Ta
Кой ситуации в основном определяется левой rраницей спектра t
Которая может быть найдена из решения уравнений:
1 1
{-t2)О == )О" + у)О' )О (1) == 1 , "+ r '+ )О == О, (1) == о.
137
Решение этих уравнений выражается через функции Бесселя НУ-
левоrо--1rt>рядка мнимоrо aprYMeHTa [42]
10 (p.r)
== [о (!J. ) == r (1 ).
Используя это решение и формулу для вихря вида (3) 5, мож-
но установить, что при малых't радиус спектра ""' -Y'Т. Этот резуль-
тат находится в соответствии с установленной ранее приближен..
ной зависимостью (6).
В заключение подчеркнем, что результаты решения спектраль-
ных задач позволяют экономить машинное время на внутренних
'итерациях. Использование параметра релаксации дает эффект уже
при а == 1. Для формулы Тома, например, внутренние итерации при
ш==w* и а== 1, 2, 3 экономичнее внутренних итераций без релак-
сации примерно в 2, 4 и 27 раз соответственно; при а == 4 внутрен-
ние итерации без релаксации дают расходящийся процесс.
t 10. ТЕСТОВЫЕ ИСПЫТАНИЯ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
Опишем вначале численные эксперименты, в которых использо-
валась нижняя релаксация в rраничных условиях для вихря. За-
дача о течении вязкой жидкости в полости квадратноrо сечения
при движении одной из rраниц области давно используется в ка-
честве теста для испытания конечно-разностных аппроксимаций и
методов. Рассмотрим усложненный вариант этой задачи, полаrая,
что безразмерная скорость верхней rраницы области меняется с
течением времени [34]
V == 1 + А sin ( t). (1)
Решение задачи зависит от трех безразмерных параметров А,
f3 и числа Рейнольдса Rе.
Уравнение для вихря аппроксимировалось по схеме продольно-
поперечной проrонки. Аппроксимация производных по простран-
ственным координатам осуществлял ась центральными разностями.
На рис. 20 представлена зависимость максимальноrо значения
функции тока от времени при Re==10, А==0,5, ==20, N==18. Сплош-
ная линия соответствует а== 1 (опорный результат), а штриховая
а== 16 с ю==0,27, но без пересчетов. Напомним, что для используе-
мой формулы Тома счет без релаксации неустойчив при а>3.
Введение 1 2 пересчетов на каждом шаrе давало слияние штри-
ховой линии со сплошной.
Использование нижней' релаксации в rраничных условиях без
пересчетов стабилизирует вычислительную процедуру, но приводит
к дополнительной поrрешности на нестационарном этапе. Оценить
эту поrрешность можно из модельноrо уравнения, которое явля-
ется следствием формулы (13) 4: , :
t+ : == : H(t) . (2)
138
Здесь Н (t) «точная» зависимость вихря на rранице от времени.
Полаrая к примеру H(t)==csin ( t), можно выяснить, что между
<p(t) и H(t) имеется сдвиr по фазе на величину 8 (tge== /{U),
а относительное уменьшение амплитуды для пропорционально
tg 2 8.
D/j
1fIm
0.10
/
/
I
I
I
I
I
.
!
Re == 10, fI = а5
J3 20, #= 18
\.
. . ,
rЛ={
=f8
I
I
/
/
. /'
. ...,,'
OOfJ
.'
."..
0.1
02
t
03
о
Рис. 20
Экономично применение нижней релаксации и для получения
стационарноrо решения (т== 00). Из уравнения (2) следует, что
при выходе на стационар (Н (t) const) относительная поrреш-
ность убывает пропорционально (1 ш) п. Численные эксперимен-
ты [15] показали, что при Re 10 использование параметра (J) ==h
позволило получить стационарное решение на сетке 16х 16 за 8
полных итерационных циклов. При обычном варианте метода ус-
тановления для получения стационара с точностью до двух зна-
чащих цифр требовалось более 100 шаrов по времени. ИС!lОЛЬЗО-
вание релаксационной процедуры сокращало общие затраты на
решение в 4 5 раз. С увеличением числа Рейнольдса сходимость
итерационноrо процесса, как и следовало ожидать, ухудшилась.
Для стабилизации счета при Re==50 пришлось уменьшить пара-
метр релаксац,ИИ до ro==h/3.
Рассмотрим результаты испытаний конечно разностных схем
на тестовой задаче о свободной конвекции в полости квадратноrо
сечения при подоrреве сбоку [43]. Уравнения конвекции в безраз-
мерном виде имели следующий вид:
дер + ( дО/ . д дО/ . дер ) == + о дТ
дt ду дх дх ду дх ·
дТ + ( д . дТ дО/ . дТ ) == T
дt ду дх ОХ д у. Р ·
rраничные условия соответствуют твердым непроницаемым rрани-
цам с заданной температурой V/r ==0, T/r ==Х. Решение задачи за..
(3)
139
висит от. двух критериев подобия чисел rрасrофа о и Прандт-
ля Р. Чи ло Прандтля обычно полаrалось равным 1, а число rpac-
rофа изменялось до 106.
Расчеты стационарной конвекции выполнялись по явным И не-
явным схемам установления с различной аппроксимацией конвек-
тивных и вязких слаrаемых. Показано, что экономичность неявных
схем достиrается при использовании ниясней релаксации в rранич-
ных условиях для вихря и шаrах по времени с CG>3.
Остановимся на вопросах точности численноrо решения. Ана-
лиз результатов показал, что поrрешность решения предсказыва-
ется по зависимости аппроксимационноrо коэффициента вязкости
К от сеточноrо числа Рейнольдса. Для получения зависимости
K(Reh) разлоясения сеточных функций в ряд Тейлора подставля-
ются в выбранную аппроксимацию и собираются все члены, со-
дерясащие вторые производные. В силу выбранных единиц точное
значение этоrо коэффициента Ко== 129. Укаясем соответствующие
значения К для трех аппроксимаций с центральными, направ--
ленными разностями и А. А. CaMapcKoro:
Reh 2
Ко == 1, К 1 == 1 + 0,5 Reh, К 2 == 1 + 4 + 2Reh . (4)
Схемы, для которых К> Ко, называют «вязкими». Из выраясений
(4) видно, что при Reh>1 направленные разности существенно
меняют коэффициент вязкости.
При 0<103 (mахRеh<О,З) все схемы дают практически оди-
наковые результаты (максимальное отличие по интеrральным ха-
рактеристикам менее 20/0) на сетке 16Х 16. Расчеты вязких тече-
ний в замкнутых полостях показывают, что решения, полученные
на вязких схемах при Reh> 1, дают значительную поrрешность.
Верхние rрани сеточных чисел Рейнольдса, оцененные по макси-
мальной с орости, для 0== 104 Iи 105 равны 1,6 и 6 соответственно..
Из результатов решения следует, что при АК<З
ei (8713)A.K%, АК == K Ko . (5)
Здесь 8i относительнq,е отклонение i-й интеrральной характери-
стики от соответствующей величины, полученной по схеме с цент-
ральными разностями. Среди пяти интеrральных характеристик
удовлетворяющих (5), были: максимальные значения функции
тока и модуля скорости, кинетическая энерrия и тепловые потоки
на вертикальной. и rоризонтальной стенках. Отметим, что сравне-
ние схем по одной характеристике недопустимо, так как может
дать неверное представление о свойствах схем. Иллюстрацией к
сказанному моясет, например, служить величина 'Фm: при 0<8.103
схема с направленными разностями заниясает 'Фm , а при
0>8.103 завышает; при 0 8.103 схемы по этой характеристи-
ке неразличимы.
..
29 При числе Прандтля, не равном единице, необходимо анализировать COOT
ветствующий аппроксимационный коэффициент температуропроводности.
140
Счет на различных сетках позволил найти предельные значе-
ния интеrральных характеристик при h O. Все пять характери
стик решения, полученные по схеме с центральными разностями,
описываются при h< 1/15 зависимостями вида
Фi == Фl (1 + d i h 2 ) (6)
Предельные значения Фl (первое число) и коэффициенты d l (BTO
рое число) для 0==104 И 105 указаны в табл. 7:
о
ТаБJlица 7
Фт СРт Ek NUl Nu"
6,37 453 97,4 1 ,752 1,175
6,9 10 16,4 1,85 8,4
10-1
105
13,1
14
2850
218
,
742
46,5
3,43
12,8
2,18
184
,
Наибольшая поrрешность оказалась у кинетической энерrии Ек,
.а наименьшая у полноrо тепловоrо потока Nu==Nul +NU2; по
rрешность менее 50/0 для всех величин достиrается при
h< 1/30 (O 105).
Поrрешность решения существенно зависит от аппроксимации
вихря на rранице. Параметры зависимостей (6) получены при ис
пользовании формулы Тома. При замене формулы Тома на фор
мулу Пирсона часть интеrральных характеристик решения уточ
няется, а друrая ухудшается. Любопытно, что такая замена из
менила знаки коэффициентов d l . Смена знаков rоворит о том, что
поrрешность решения, зависящая от аппроксимации rраничных yc
ловий, является в данной задаче основной. Этот факт подсказал
для уменьшения поrрешности использовать формулу для 'вихря
3 0,25
o == h2 1 + h2 2' (7)
которая является «средней» между формулами Тома и Пирсона.
Использование формулы (7) увеличило тqчность решения: макси
мальная относительная поrрешность интеrральных характеристик
снизилась (0.== 104) до 1,90/0 (при использовании формул Пирсо
на и Тома эта величина равнялась 5,1 и 7,30/0' соответственно). Pe
зультаты численных экспериментов представлены на рис. 21. Ли
ния 1 соответствует счету с формулой Тома, а 2 с формулой
(7); крестиком отмечено значение, полученное при использовании
формулы Пирсона.
При больших значениях числа Рэлея и rрасrофа для получе
иия зависимостей вида (6) требуется более детальная сетка. Пе
ред подrотовкой к уточнению результатов расчета [45] о колеба-'
141
\
. '.6 Ни,
(.76
6.,
1.7"
6.4
._._---- .-е
1.72
х
6.'
2
fDO 1.70
О О.; О
Рис. 21
х
а
fDOh
О.;
тельных режимах конвекции при a>O* 3,6.106 (Р==0,73)
А. Н. Веrещаrа получил следующую зависимость для числа Рэлея
Ra== а. р== 106:
т 30(l + 35h 2 ), h< 1/31. (8)
Отсюда следует, в частности, что 50/0' поrрешность интеrраль..
ных характеристик при этом числе Рэлея достиrается при h<0,03.
Представленные выше результаты по конвективной задаче со-
отвеТствовали линейному распределению температуры 'на rранице
T/r ==х и числу Прандтля р== 1. Эта задача HeMHoro отличается от
теста, сформулированноrо в 1980 r. в заметке [44]. В тестовой
задаче [44] выбрано ,число Прандтля, соответствующее воздуху
р'== 0,71 и изменены условия на tоризонтальных' участках rpa...
ницы
дТ
дх
х == О .
х==l
В большинстве работ, в которых использовали этот тест, пред'"
ставлены мноrочисленные цифровые данные, но даже не ,сделана
попы ка найти зависимости вида (6). По рекомендации автора
обработку результатов в. таком виде выполнила Ю. В. Полянина.
При й== 104 Р==0,71 ею получена формула
9т 7.14 (1 + l1h 2 ), h < 1/18. (10)
== о.
(9)
Существенное значение в «международном» тесте иrрает ап...
проксимация условий отсутствия тепловоrо потока 19). Зависи...
масть (1О) получена при аппроксимации (9) с порi ком О (h 2 ).
Сделаем замеч ние к тестовым испытаниям. Зависимости вида
142
(6) MOrYT выполняться не для всех интеrральных характеристик.
Это происходит тоrда, К6rда используемые квадратурные формулы
для интеrральных характеристик имеюr более низкий порядок
поrрешности по h. Для построения зависимостей вида (6) требует
ся особая тщательность в получеНИ}l стационарных решений; в He
которых случаях это приводит к увеличению времени счета в 1,5
2 раза.
Описанный тест может применятся для испытания не только на
стационарных решениях. Можно сравнивать схемы, например, по
воспроизведению процесса установления. Весьма жесткие требо .
вания к схемам выясняются при испытании их возможностей по
обнаружению колебаний в ПQrраничном слое, которые возникают,
соrласно лабораторно у эксперименту, при числах rрасrофа боль
ших O 3,6.106.
Весьма своеобразным оказывается проявление в конвективных
задачах эффекта счетной вязкости. Счетная вязкость обычно силь
но подавляет эффекты rидр динамической неустойчивости. OДHa
ко не следует думать, что вязкая схема всеrда приводит к пониже-
нию интенсивности конвективноrо течения. «Парадокс» увеличения
интенсидности ко вективноrо течения вязкой схемой объясняется
поrрешностями аппроксимации уравнения теплопроводности. Так
как аппроксимация уравнений для вихря и температуры обычно
одинакова, большему значению аппроксимационноrо коэффициен-
та вязкости соответствует большее значение аппроксимационноrо
коэффици нта теплопроводности (<<счетная теплопроводность»).
Эффект счетной теплопроводности и может привести в данной за-
даче к такому распределению температуры, которое увеличивает
интенсивность течения. В тестовой задаче максимальное значение
функции тока в схеме с направленными разностями при 0'.<8000
меньше соответствующеrо значения для схемы с центральными
раЗНОСfЯМИ, а при 0>8000 неравенство противоположное. Если не
учитывать отм.еченноrо обстоятельства, то при недостаточно пол-
ном наборе характеристик решения можно получить «хорошее»
совпадение для разных схем. При 0== 1 О 000, например-, отличие
в Фm для упомянутых схем менее 1,%: (хорошее соrJlасие?!), а по
величине тепловоrо потока отличие. уже составляет 12%.
Опишем кратко испытанные в [43] неявные аппроксимации
метода дробных шаrов уравнений для вихря и тем,.пературы. Для
модельноrо уравнения
дер дер д 2 ер
дt + U дх == дх2
используемые схемы [46] MorYT быть записаны в параметриче
ской форме
л л
ер t + U === (1 + tt) · ер хх ep хх '
(11)
z
f.L==
1 + + Z2 + . . . + z' 1 ,
z == O,51Rehl .
143
При r==J> 2, 3 (1] == О) реализуются хорошо известные схемы схе-
ма с направленными разностями при '== 1, схема А. А. Самарско-
ro при ,==2 и схема Н. И. Булеева при r==3. Значение 11 == 1 умень-
шает, а при достижении стационара исключает эффект счетной
вязкости и теплопроводностиЗ
Отметим сложности сравнения схем по затратам машинноrо
времени. Следует помнить, что схемы MorYT отличаться различны-
ми формулами для шаrа по времени и различными критериями
стационирования. В явных схемах, например, часто шаr по вре-
мени вычислялся по формулам вида
h 2
l1 t == 4 (j2 + h V т) · ( 12)
Если такой же шаr использовать и в неявных схемах, сравнение
-будет конечно же не в их пользу. Напомним, что использование
нижней релаксации в rраничном условии для вихря позволяет
увеличить шаr по времени и поднять эффективность неявных схем.
Влияет на сравнение характеристик и способ решения уравнения
Пуассона. При итерационных методах решения схемы MorYT от-
Jlичаться параметрами итерационноrо процесса оrраничением на
число итераций, параметром верхней релаксации и поrрешностью,
определяющей момент прекращения итераций.
СущеСТJ3ует стойкое убеждение, что схемы, полученные MeTO
.дом баланса, должны давать более точные результаты. При этом
забывают, что при построении таких схем неизбежны поrрешности
аппроксимации. Эти поrрешности MorYT оказаться больше, чем
соответствующие поrрешности для обычных схем. На этапах по-
строения консервативных ,схем часто используется аппроксимация
против потока. Следовательно, от консервативной схемы следует
ожидать эффектов счетной вязкости. Тестовая задача использова-
Jlась для испытания консервативных схем, которые получились
из аппроксимаций конвективных слаrаемых в диверrентной форме
u дер + v дер д (аер) + д (vep)
дх ду дх ду
Применялись две аппроксимации скорости по функции тока на
4- 8 точечном шаблонах. Оба варианта схемы уступают по точно
сти схеме с центральными разностями. При а== 104, например,
коэффициент d в зависимости вида (6) для максимума функции
"ока оказался примерно в 1,5 раза больше в случае первоrо ва-
рианта и в 1,25 раза больше в случае BToporo варианта (8-трчеч-
ный шаблон скорости).
Последнее замечание сделаем относительно схемы с резким
переключением аппроксимации при превышении локальноrо се-
точноrо числа Рейнольдса Reh == 2 [47]. Испытание этой схемы по-
казало, что в определенной области параметров она дает колеба-
ния счетной природы. Причина этих колебаний заключается в пе..
""
30 Можно показать, однако, что при разрывных состояниях и 11 1 схема не
сохраняет монотонности пространственноrо распределения температуры.
,144
риодической смене аппроксимаций в узлах, rде скорости потока
дают значение сеточноrо числа Рейнольдса близкое к 2.
t 11. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СЕТОК
Идея метода очень проста. Вначале находится решение на вспо-
моrательной пространственной сетке, а затем осуществляется ин-
терполяция на более rустую сетку. Значения неизвестных, полу-
ченные в результате интерполяции, используются в качестве на..
чальноrо состояния для получения стационарноrо решения на но-
вой ceTKe Этот процесс может быть повторен несколько раз до
U U U
получения решения на самои детальном основном сетке.
Набор сеток часто использовался в расчетах для повышения
точности, сокращения объема вычислений и ускорения сходимости
. иtерационных методов [48 51]. Однако при этом обычно рассмат-
ривались линейные задачи. В силу нелинейности уравнений rид-
родинамики аналитические оценки эффективности метода затруд-
нительны. В работе автора [52] численными экспериментами по-
казана эффективность метода на тестовой задаче свободной кон-
векции. Эти численные эксперименты и описываются в этом па-
раrрафе.
Уравнения конвекции (см. описание тестовой задачи в преды-
дущем параrрафе) аппроксимировались на 5-точечном шаблоне и
решались методом установления по двухслойной схеме. Уравне-
ние Пуассона для функции тока итерировалось на каждом шаrе
по времени методом последовательной верхней релаксации; итера-
ции прекращались при выполнении одноrо из условий
I )k ) kl)1 < Е ф , S == N y . (1)
i, k
Здесь s номер итерации, N ф оrраничение на число итераций
сверху. Значения вихря и температуры на новом временном слое
находились по неявной схеме продольно поперечной проrонки.
При получении решения на постоянной сетке объем раБотыI оп
ределяется шаrом пространственной сетки h== ljN. Для двумерных
задач объем вычисления методом установления пропорционален
Nm со значением показателя степени т 4. Практический счет
дает значение m 3,7...;--4. Наибольшее влияние на величину т
оказывают параметры итерационноrо процесса (1). Сильная за-
висимость объема вычислений от шаrа сетки и обеспечивает эф-
фективность метода последовательности сеток.
Рассмотрим последовательность квадратных сеток (в общем
случае по каждой пространственной переменной может быть вы-
'брана своя последовательность)
N j == N o + j · р, j == 0,1, . . . , J. (2)
Параметры этой последовательности N о, р, J определяют началь-
ную, промежуточные и окончательную (основную) сетки. ВО MHO
rOM удобна последовательность сеток с удвоением числа интерва,,1JОВ
10 3ак. 660
145
N j == N о · 2 j t j == О, 1 , . . . t J. ( 3 )
Последовательность эта облеrчает анализ метода и процесс интер
поляции. Здесь мы опишем эксперименты с последовательностью
(2), которая в некоторых случаях может оказаться более удобной
и rибкой.
Величины, определяющие последовательность сеток, являются
параметрами метода. Параметрами метода являются такж вели-
чины Bj, определяющие время счета на j-й сетке, так как переход
на новую сетку осуществлялся при выполнении соотношений
I NU п+l) Nui n ) I < Nи п+l) · Sj, I +1) :21 < Sj. (4)
Задача оптимизации метода заключается в определении пара
метров N o , р, J, iBj, обеспечивающих минимум затрат машинноrо
времени. В силу нелинейности решаемой системы уравнений ЗНа-
чения оптимальных параметров будут зависеть от чисел Прандтля
и rрасrофа.
Мы рассмотрим интервал значений числа rрасrофа о, соответ"
ствующий развитому поrраничному слою при Р == 1.
Определим (J как отношение затрат (объем вычислений) на
постоянной сетке к сумме затрат на последовательности сеток.
Величина (J определяет эффективность метода.
Простые оценки показывают, что экономичнее на rрубых сет-
ках считать в течении б6льшеrо интервала безразмерноrо време-
ни, получая на rрубых сетках установившийся режим. В этом слу-
чае время счета после интерполяции до HOBoro момента установ-
ления определяется величиной поrрешности на старой сетке. Ана-
лиз этоrо варианта предсказывает уменьшение эффективности Me
тода при возрастании поrрешности; расчеты подтверждают эту
тенденцию использование одинаковых наборов сеток при б6ль-
ших значениях числа rрасrофа менее выrодно.
Прежде, чем показать работоспособность метода опишем опор-
ный результат, полученный на постоянной сетке с N ==22 при
О==2000О. При B==2.10 4 решение получается за п==250 шаrов по
времени (t 0,14). Зависимость максимальноrо значения функции
тока от номера шаrа по времени показана на рис. 22 (сплошная
линия). Начальное состояние соответствовало покоящейся жидко-
сти с распреде ле нием температуры ТО==х. Время счета существен-
но зависит от N ф в (1). Зависимости числа итераций N ф (п) для
N ф == 26 соответствует штриховая линия, а для N == 1 О штрих-
пунктирная. Зависимость 'l'm (п) одинакова с точностью до rрафи..
ка при изменении N ф от 1 О до 25, а время счета Э ВМ М-220м)
равно соответственно 50 и 60 мин 31. Оценку эффективности мето"
да последовательности сеток будем проводить, считая, что для
получения решения на постоянной сетке требуется 50 мин.
31 Один шаr по времени без решения уравнения Пуассона осущеётвлялся за
t 5,6 с; одна итерация уравнения Пуассона выполнялась за t 0,64 с.
146
Счет на последовательности пяти сеток
N j == 6 + 4j, j == 0,4
сократил время счета более, чем в 3,3 раза. На вспомоrательных
сетках использовались е} == 10 3, а на окончательной e==2.10 4;
в случае убывающей последовательности Е} ';:::; h j 2 время счета была
больше. Б6льший выиrрыш машинноrо времени достиrался на по..
следовательности"трех сеток (две вспомоrательные и основная)
6, 14, 22. Решение получено за 10 мин 25 с (25 с+ 110 с+490 с).
Зависимость Фт (п) для этоrо случая изображена на 2..ИС' 23. При
оrраничении числ итераций уравнения Пуассона до N ф == 10 вре-
мя счета сократилось до 10 мин. Таким образом эффективность
метода на этом варианте достиrает значения о- == 5.
N. .. 26
f .... ......!. ......
I '" \
\ ,,................, 20
. --. .!!L:JJ. .'.!....--.--.-- V :--..=., ',,:J 10
" , ............ n
.... '",
100 200
'1
1
G '" 20'10'
12
ЧJ т
fO
N, ,0
10
G = 20 10
8
6"'6
14 ".14
22" 22
о
п
Рис. 22
Рис. 23
Коснемся вопросов интерполяции. Использовались три вариан..
та интерполяции. В первом ЗJIачения функции в точке М находи-
лись следующим образом. Используя значения функций в трех
ближайших к точке М узлах старой сетки, находилось уравнение
плоскости F (х, у) и полаrалось f (М) == F (хм, ум). Во втором вари-
анте использовал ась линейная интерполяция по х и у. В третьем
варианте использовал ась квадратичная интерполяция с привлече-
нием дополнительных узлов. Наилучшие результаты дал второй
вариант. Заметим, что этот вариант является самым простым с
точки зрения реализации.
Численные эксперименты [52] показывают, что метод последо..
вательных сеток дает ощутимую экономию (0-==375) затрат ма..
шинноrо времени при получении стационарных решений. Эконо-
мично использование этоrо метода и при исследовании колебатель..
ных режимов конвекции. Кроме Toro, решения, полученные на
промежуточных сетках, позволяют сделать вывод о точности ре-
шения.
t 12. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ РЭЛЕЯ
МЕТОДОМ СЕТОК
При наличии однородноrо вертикальноrо rрадиента температу..
ры жидкость, подоrреваемая снизу, может находиться в состоянии
10*
147
механическоrо равновесия, если число Рэлея 32 меньше критиче..
CKoro R R*. Значение R* обычно определяется путем решения co
ответстЙующей линейной краевой задачи [4]. В этом параrрафе
описан метод установления [53], который позволяет леrко полу
чать результаты, удовлетворительные по точности.
Прежде, чем излаrать метод [53], опишем постановку задачи
и традиционные методы линейной теории устойчивости [4]. При
Подоrреве снизу уравнения конвекции имеют решение, описываю
щее состояние механическоrо равновесия
==o,
т , 1 у.
(1)
Равновесие считается устойчивым по отношению к малым воз
мущениям, если при любом начальном состоянии, мало отличаю-
щемся от (1), решение системы полных уравнений конвекции CTpe
мится к равновесному состоянию (1) при t oo. Таким образом,
для суждения об устойчивости равновесия необходимо проследить
за поведением во времени всевозможных распределений темпера
туры и функции тока (скорости)
т == т + Т', == + <р' . (2)
Здесь Т' и '1" возмущения. Подставляя (2) в уравнения KOHBeK
ции и предполаrая возмущения малыми, получим линеаризован-
ные уравнения для возмущений (штрихи опустим):
дm д т
дt ==Д<р+R. дх ., y+<p==O. (3)
р д Т == Д т д
дt дх ·
(4)
Эта система уравнений получена при выборе в качестве единицы
времени L2/ X (Х коэффициент температуропроводности); ей co
ответствуют однородные rраничные условия. Система имеет част
ные решения, зависящие от времени по экспоненциальному закону
«нормальные» возмущения) .
, т ехр ( r-t). (5)
Подстановка (5) в (З) (4) дает систему амплитудных ypaBHe
НИЙ
дТ
r-<p == <р + R дх '
(6)
дф
r- · Р · т == т дх
(7)
для определения собственных значений декремента , который в
общем случае может быть комплексным
r- == Re tJ. + i /т'r == 'r, + ifJi, (8)
32 Определение числа Рэлея и физическая постановка задачи содержатся
в первом и четвертом параrрафах rл. 3.
148
При IJt ==0 возмущения изменяются со временем монотонно, а при
(1, фо возмущения осциллируют. Нарастание' или затухание ам-
плитуды возмущений определяется действительной частью декре-
MeHT a затухания; значения fJ.r == О определяет «нейтральные» воз-
мущения, которые не затухают и не нарастают. Для «нейтраль-
ных» возмущений получается задача на собственные значения
+ R дТ ==о, 6.
дх ' + == О,
T== д'f
дх ·
Собственным значениям (критическим числам Рэлея) соответ-
ствуют собственные функции, называемые критическими (ней-'.
тральными) ..
В случае замкнутой области критические числа Рэлея образу
ют счетную последовательность
I
O<R 1 -<.R 2 -<,...-<.R i , (11)
а собственные функции полную систему, по которой может быть
разложено произвольное движение. Наибольший интерес обычно
представляет нахождение нижнеrо уровня спектра неустойчиво-
сти.
Для отыскания Rt часто используется метод БуБН,ова-[алер-
кина. В этом методе приближенное решение однородной краевой
задачи отыскивается в виде линейной суперпозиции конечноrо чис-
ла базисных функций. Успех метода и ero трудоемкость зависят
от базисных функций и их числа. В некоторых случаях (жидкость
с неоднородными свойствами, сложная rеометрия области) при-
менение метода Бубнова-[алеркина связано со значительными
трудностями.
Рассмотрим методы определения критических чисел Рэлея на
основе решения нестационарных уравнений для вихря и темпера-
туры (3) (4) методом сеток. Предварительно отметим, что опре-
деление Rl может быть найдено и на основе решения полныIx не-
линейных уравнений (см. rл. 3, 4). Полные уравнения позволяют
определить зависимость какой-нибудь амплитуды А от числа Рэ-
лея. Экстраполяция полученной зависимости A(R) на нуль дает
значение Rl' обычно хорошо соrласующееся с результатами линей-
ной теории.
Произвольное rидродинамическое возмущение может быть
представлено в виде ряда по собственным функциям
(9)
(10)
т
(o) == C l ! .
[ 1
(12)
После задания начальноrо возмущения решается система линей-
ных конечно-разностных уравнений:
t == XX + yy + RT ;;
1\ 1\
Llф + == о,
/r + о;
(13)
(14)
149
!\
р. Tt== Тхх+ Туу ф .
Вместо эволюционноrо уравнения (15) можно решать уравнение
эллиптическоrо типа, соответствующее пределу p o
!\ !\ !\
Тхх + Туу == ф . (16)
Это уравнение соответствует мrновенной подстройке температуры
под rидродинамику возмущения (бесконечная температуропровод
ность). Судьба возмущений при использовании (16) вместо (15)
выясняется быстрее.
J..:,.\.
( 15)
3 а Д а н и я. 1. "оказать, что для бесконечноrо rоризонтальноrо
слоя со свободными rраницами (задача Рэлея) возмущению (l.........
период)
90 ==sin( 1t:) · sin( "'у)
соответствует возмущение для температуры
т [cos (п xj[) sln (пу)
о 7t (1 + [2) ·
2. "оказать, что уже первый шаr по схеме (13) позволяет для
выписанных возмущений определить критическое число Рэлея
R == п 4 (1 + [2)3
[4 ·
Опишем часть численных экспериментов, в которых интеrриро..
вались уравнения (13) (16) [53] для различных задач. На
рис. 24 представлена зависимость тах Ф (tt Xt у) =='Фт (t) для квад..
х,у
ратной области с твердыми rраницами при трех значениях числа
Рэлея. Вычисление температуры выполнялось по нестационарно
му уравнению. Начальное возмущение задавалось в виде
о == s i n 2 ( 1t х) · s i n 2 ( 1t у). ( 1 7)
Из рис. 24 видно, что при R>Rl интенсивность возмущения
начинает возрастать лишь после стадии переходноrо процесса.
При R==5050 и t>0,05 наблюдается процесс квазистабилизации,
так как число Рэлея близко к критическому.
На рис. 25 представлена зависимость (Р == 1) времени пере
стройки t* начальноrо возмущения (17) от отношения R/R 1 . По
истечении времени t* начинается рост Фт В надкритической обла
сти по числу Рэлея. Как и следовало ожидать, lim t* == 00; эта си
R Rl
туация типична при приближении R к критическому числу,
Аналоrичные расчеты выполнялись в случае вязкости, завися..
щей от температуры, для полости квадратноrо сечения, а также
для полости треуrольноrо сечения при постоянной вязкости:. Обыч..
но 5 6 «пристрелок» было достаточно для определения критиче..
CKoro числа с точностью до 1,0/0'
150
1.00
'{).96
O.D
\Vm
o
+
о
050
1,0
f О;
Рис. 25
( НО
0.92
О
0.05
Р '8 С. 24,
t
0.10
в расчетах, представленных на рис. 24, 25, счет при всех чис-
лах Рэлея проводился при одинаковом начальном состоянии. Для
экономии машинноrо времени разумно использовать для HOBoro
числа Рэлея то состояние, которое выработалось в результате пе-
реходноrо процесса при предыдущем значении числа Рэлея. Опи-
шем )lлrоритм определения последовательных значений R(S) , при-
ближающихся к критическому. Первое (начальное) значение вы-
бирается таким, чтобы оно удовлетворяло соотношению
R 1 <R(O) <R 2 . После стадии переходноrо процесса to 2t* число
Рэлея уменьшается на величину ' R(O) и ведется счет в течении
заданноrо интервала t 1 (параметр метода, t 1 t*). Если в конце
интервала интенсивность течения нарастает, число Рэлея вновь
уменьшается. Этот процесс продолжается до тех пор, пока R(S) не
даст убыли интенсивности течения. После этоrо задается значение
R(s+l) == 0,5 (R(S) + R(S 1) ) И продолжается поиск критическоrо числа
по идее метода поиска корня делением пополам. Такой алrоритм
при параметрах R(0)==5500, R(0)==200, t o ==0,03, tl 0,02, h== 1/15
позволил определить за один просчет первое критическое значе-
ние R 1 == 5045 + 5.
Описанный метод может быть использован не только для опре-
деления первоrо критическоrо числа Рэлея Rl' но и последующих.
При этом экономично использовать счет с навязанной симметри-
ей, соответствующей критическому движению.
Метод может быть использован и для исследования неустой-
чивости течения; в [54] выполнено развитие метода для исследо-
вания устойчивости вторичных конвективных режимов в верти-
кальном слое.
t 14. МЕТОД ФИКТИВНЫХ ОБЛАСТЕй
Сложность проrраммы, использующей метод сеток, существен-
но зависит от rеометрии области. Для решения задачи в сложной
rеометрии иноrда заменяют краевую задачу на друrую, в опреде-
ленном смысле близкую с исходной, но заданную в более простой
151
области. Такой подход получил название метода фиктивных обла
стей. Применимость этоrо метода к уравнениям эллиптическоrо
типа рассмотрена, например, в книrе r. и. Марчука «Методы nbl'"
числительной математики» (Новосибирск: Наука, 1973). Оценка
близости соответствующих решений для уравнения HaBьe CTOKca
имеется в статье [55].
В этом параrрафе излаrается часть результатов работы [56]
в которой реализован метод фиктивных областей для уравнений
Навье-Стокса и проанализированы возможности метода. Анало-
rичные результаты для биrармоническоrо уравнения 33, описываю..
щеrо проrиб тонких пластин, приведены позднее в книrе [57].
В стационарном случае метод прост в реализации, но, естественно,
требует больших затрат машинноrо времени по сравнению с за..
дачей в полной области простой rеометрии и однородной вязко..
сти. Реализации метода помоr анализ устойчивости двухполевоrо
метода, изложенный в 6.
Рассмотрим вначале точное решение одномерной задачи (Te
чение Куэтта) с фиктивной областью. Полаrаем, что область
0< у:::;;; 1 заполнена жидкостью с постоянной вязкостью, а фиктив
ная область ( l, О) заполнена жидкостью с такой же плотностью.
и вязкостью в l/в раз большей. Решение задачи таково: .
€ (у + 1)
и == 1 + 6l ' 1 -< у <. о; (1)
у + 61
U == 1 + 6l ' О -< У -< 1.
При в==О или l==O это решение переходит в обычное и== у. На
внутренней rранице фиктивной области выдолнены условия paBeH
ства скоростей и касательных напря}кений
u ( О) == u ( +0), и' ( O) === Еи' ( +0). (2)
Мерой поrрешности решения может служить скорость жидкости
на rранице у == О
и (О) 6l )
Ои == u(l) :=:: 1 + el . (3
При l== 1 (фиктивная область равна основной) для достижения
значений б и < 10 2 требуется перепад вязкости, больший 100.
3 а д а н и е. Показать, что для течения Пуазейля на внутренней
rранице
о == и (О) == 46 1 (1 + [)
и и (0,5) 1 + El ·
Оценить в, при которых б и < 1 O 2 (l == 1).
При решении задачи в плоской области в переменных двухпо
левоrо метода возникают различные трудности. Первое затр не",
ос
33 Биrармоническое уравнение описывает ползущее течение (приближение'
Стокса) .
152
ние связано с выбором уравнения для вихря. Так как вязкость не...
одинакова во всей области, необходимо в общем случае исполь...
зовать уравнение для вихря с учетом непостоянства вязкости 'v
(см. rл. 3, 4). Любая аппроксимация TaKoro уравнения при рез
кой смене v неизбежно даст большую поrрешность.
Второе затруднение связано с условной устойчивостью неявных
схем двухполевоrо метода, дающей оrраничение вида I1t h 2 /v.
Так как фиктивная вязкость велика, шаr по. времени в таких за
дачах для обеспечения устойчивости должен быть очень малым.
Большие затраты, связанные с малостью шаrа по времени, прак
тически исключают применимость метода для решения нестацио
нарных задач.
Ltля реализации метода в стационарном случае удобно учесть
что вязкость постоянна (хотя и различна) в пределах реальной и
фиктивной областей и ввести функцию
W V . (4)
В этом случае уравнения для вихря и функции ТО,ка будут иметь
более простой вид. В одномерном стационарном случае (rоризон-
тальный канал) имеем
и W' == W"
'
"+ w О.
'v
(5)
Удобство введения новой функции заключается в том, что она во
всей области меняется плавно, в то время как величина вихря на
внутренней rранице фиктивной области испытывает скачок, paB
ный перепаду вязкости.
Выясним н'екоторые возможности предлаrаемоrо варианта на
точном решении конечно-разностных уравнений для течения Ку-
этта
j==Eb(Yj+I)2, 1<Yj<O; (6)
фj==Уj+Ь(у] 2Уj+ЕI2), O<Yj<l.
При любом значении коэффициента Ь удовлетворены условия:
( l) == '( l) == О, ! ( O) == Ф ( +0); (7)
и (1) == Ф'( 1) == 1, и'( O) == Е и'( +0).
Коэффициент Ь определяется из конечно разностноrо уравнения
Пуассона на внутренней rранице фиктивной области y o:
rO-J
( h) 2 (О) + Ф (h) + в h 2 W == о.
(8)
rO-J
Выбор 8 определяет однозначно значение коэффициента Ь. Рас-
rO-J rO-J
сматривая для величины 8 три варианта B l; 8; 0,5(1+8), выяс-
rO-J
няем, что среднеарифметическое значение в дает наиболее точное
решение. Для этоrо случая
1
Ь === 2 (1 + Е { ) ,
Е'
U ( +0) === 1 + El ·
(9)
153
Аналоrичный анализ конечно-разностных решений для течения
Пуазейля 'акже показывает, что меньшая поrрешность достиrа-
ется при аппроксимации на внутренней rранице фиктивной обла-
......
сти коэффициента вязкости в виде 8==0,5(1+8).
Перейдем к описанию метода в плоской области. Решаемые
уравнения имели вид
'//). ( д . д д . дер ) G
ду дх дх ду + 'J2 '
Ll'f + ер == о.
(10)
Отметим, что здесь v (х, у) уже не вязкость, а отношение вязко-
стей, которое равно 1 в реальной области и 1/8 В фиктивной.
Уравнения описывают конвективное течение жидкости, обуслов-
ленное распределением температуры T== x. Интенсивность этоrо
течения определяется числом rрасrофа (а половина стороны
квадрата, "о вязкость жидкости)
0 == g еаЗ
2 ·
'J o
Предполаrается, что конвекция не меняет линейноrо распределе-
ния температуры. Допущение это оправдано для малых значений
числа Рэлея R==G.P (Р число Прандтля).
rраничные условия, соответствующие условиям вязкоrо прили-
пания на твердых rраницах
Фir == О,
Ir== О,
(11)
задаются на сторонах квадрата, который охватывает реальную
область (Kpyr, ромб, квадрат меньших размеров).
Для Toro, чтобы иметь возможность вести сквозной счет во всей
области, не выделяя явным образом rраницу раздела жидкостей
с различными коэффициентами вязкости, уравнения записывались
в виде
/). w == ( д . д W д . д W ) + G
'J ду дх дх ду 2 ,
Д + w == О ,
'J
(12)
( 13)
rде W==v(x, у)ср, ,,(х, y) I. Функция ,,(х, у) несет информацию
о реальной области.
Решение находилось с помощью циклическоrо выполнения трех
этапов:
\ VI(п+l) +W (п+l) l (l 0 W O 1 0 W o )+ G
v хх у"у -; qJy' х qJ х · у 'J2 ,
"1( +1) + ' ( +l) + .!... W (n+l) == О "I !r == О ,
'1'хх yy 'J ' '1'
WI n+ 1)== (1 ш) Wl n)+ u>f( (п+l) ).
(14)
(15)
(16)
154
В качестве функции f для вихря на rранице использовал ась фор
мула Тома. Для нижней rраницы, например, она выrлядела так
f( (п+1) ) == :. : : 1) . (17)
Без параметра НИЖI;Iей релаксации ffi итерационная процедура рас-
ХОДИТСЯ.
ДЛЯ определения параметра релаксации был выполнен анализ
сходимости соответствующей процедуры в одномерном случае. Эта
процедура отличалась от стандартной (см. Э 6) тем, что ypaBHe
иие для функции тока было разным в реальной и фиктивной об
JIастях:
'fxx + W == О,
фхх + EW == О,
О < х < ,
<x<1.
( 18)
Решение спектральной задачи зависит в рассматриваемом случае
()т h (это как обычно), а также от в и длины фиктивной области
1== 1 . При B=I= 1, 1=1=0 матрица перехода оказывается несиммет-
рической. Уменьшение в приводит к расширению спектра: модуль
lч увеличивается, а модуль Л2 убывает. При B 10 3 справедли-
вы формулы
""
,....,
(19)
(20)
Л 1 (Е) 0,074. ЛJ(О)/Е,
ф ( Е) 1,4 · Е · u) (О).
Следовательно, увеличение вязкости в фиктивной области, не-
обходимое для повышения точности метода, ухудшает сходимость
итерационной процедуры. Установленная связь (20) является не-
плохим ориентиром для выбора параметра релаксации в плоском
случае.
Результаты расчетов для области ромба представлены линиями
1'ока Фj ==j.Фт/3 ('I'm 0,37; j==0,3) на рис. 26; область с фиктив-
ной вязкостью V 1 == 0,0 1 заштрихована. При выбранном числе
rрасrофа 0==64 максимальное значение функции то ка для обла-
сти Kpyra, вписанноrо в соответствующий квадрат, 'Фт == 1.
Аналоrичные расчеты выполнялись для области Kpyra и квад-
рата. Зависимости функции тока от радиуса на луче, проходящем
через центр и нижний правый уrол квадрата, изображены на
рис. 27. На этом же рисунке изображены формы областей с соот"
ветствующими номерами: 1 квадрат; 2 Kpyr, 3 Kpyr в обла
сти квадрата; 4 ромб в области квадрата; 5 квадрат в квад-
рате (эти номера стоят возле соответствующих зависимостей
'Ф (r)). Штриховая линия 2 соответствует точному решению
G
(r) == + 6+ (1 r 2 )2
при 0==64. Линии 3 и 3' соответствуют различным заданиям
v {х, у) вблизи r == 1. Число узлов по каждой стороне квадрата
155
Рис. 26
н ч'
iO
1 Q 2 O .1
} Q (
,
Q
,
05
'l
о
05
,'";
10
Рис. 27
К==31 (в случае однородной вязкости удовлетворительная точ
ность достиrается при К==21).
Сторона малоrо квадрата (вариант 5 на рис. 27) уменьшена в
р== 1,476 раза; в режиме ползущеrо течения максимальное значе
ние функции тока при этом должно уменьшиться в р4 раз. При
в == 0,01 поrрешность по величине 'Ч'т составляет 8 О/о; максималь...
ное значение функции тока на внутренней rранице фиктивной об
ласти 0,05.
Время счета существенно зависит от параметра нижней релак
сации 00, используемоrо при вычислении вихря на rранице. Боль..
шие значения фиктивной вязкости, необходимые для повышения
точности метода, требуют малых значений параметра релаксации.
Малые значения 00 ухудшают скорость сходимости итерационноrо
процесса, так как при 100<00* «множитель сходимости», равныЙ
.( 1 00), близок к единице. Из этоrо следует, что выбор «оптималь..
Horo» значения фиктивной вязкости не прост. Для сокращения за..
трат не следует использовать большие знач ния фикти:вной вязко
сти. Оценить поrрешность, вносимую методом фиктивных обла...
стей, проще Bcero путем получения решения для последовательной
серии убывающих значений В.
Параметр релаксации вычислялся по формуле
А (€) · €
(t) (Е, К) 1,09 + 0,573 к ·
.формула учитывает зависимость от в вида (20) и зависимость от
1\, найденную ранее. Коэффициент А(в) часто полаrался равным 1.
При счете в области уменьшенноrо квадрата использовались уве..
личенные значения коэффициента А; сходимость сохранялась дО
А==4; наибольшая скорость сходимости среди значений А==2, 3, 4
соответствует А==3.
Выполне ные расчеты показывают, что метод фИКТИВНЫJf: обла..
стей является работоспособным, но весьма трудоемким. Оfiтими",
зация метода связана с анализом соответствующих сложных спек...
156
тральных задач. Особенно большие затраты требуются при счете
нестационарных задач. Наиболее сложны задачи в областях, reo-
метрии которых меняются во времени. Типичный пример такой си-
туации задача свободной конвекции" при кристаллизации (зада-
ча Стефана с конвекцией). Для такой задачи, на наш взrляд,
более экономичен пока метод [58] (см. Э 14), в котором пере-
траивается аппроксимация по мере продвижения фронта криста-
лизации. Конечно, такие перестраивающиеся аппроксимации эко-
номичны дЛЯ ЭВМ, но требуют большой подrотовительной работы
исследователя.
t 14. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СТЕФАНА
СО СВО&ОДНОЙ КОНВЕКЦИЕЙ
Интерес к конвективному движению, сопровождающему про-
цессы кристаллизации, вызван практикой. Существенное влияние
конвективноrо движения на распределение примеси в кристалли-
ческом теле доказано физическими и численными эксперимен-
тами.
Конвективное движение, сопровождающее процесс кристалли-
зации, часто исследуется при заданном законе продвижения фрон-
та кристаллизации. В этом параrрафе изложен метод [58], по-
зволяющий исследовать нестационарный процесс тепловой кон-
векции в более полной постановке без упрощающих предположе-
ний о форме и характере продвижения фронта кристаллизации.
Решению задачи {58] предшествовали работы [59, 60]; в [60]
отрабатывался метод сквозноrо счета уравнения теплопроводности,
предложенный в работе А. А. CaMapcKoro и Б. Д. Моисеенко [61].
Уточнению решения задачи [58] помоr анализ формул для вихря
rрязнова-Полежаева [19], выполненный в работе автора с
Б. И. Мызниковой [28].
Опишем кратко постановку задачи, которая приближенно опи-
-сывает процесс остывания металла в изложнице. rеометрия плос-
кой области изображена на рис. 28. Задача решается при следую-
щих предположениях:
J. Задача считается плоской.
2. Теплофизические характеристики слитка в жидкой и твер-
дой фазах и материала изложницы пqстоянны И одинаковы.
3. Кристаллизация происходит в интервале температур (Т *\ Ll,
T*+Ll).
4. В начальный момент времени расплавленный металл поко-
ится и имеет однородную температуру переrрева.
5. Охлаждение слитка осуществляется при rраничных условиях
l-ro рода на внешней поверхности изложницы.
6. Распределение температуры и скорости симметричны отно-
,сительно вертикали, проходящей через середину полости.
7. При решении rидродинамической задачи rраница раздела
фаз определяется пq положению изотермы Т == Т *.
157
If.
'Н .
I
5.
L ,К
х
h
+ V
h)(
[о
D
O.
Рис. 28
Для используемоrо метода допущения 2, 4, 5 не обязатель..
ны. Третье допущение необходимо для реализации сквозноrо сче..
та. В некоторых случаях это допущение соответствует физике яв..
ления. Так, например, при 20/0 содержании уrлерода кристаллиза--
ция железа происходит в интервале температур 2000 С. Шестое
условие является следствием симметрии начальных и rраничных
условий и позволяет вести счет в половине области.
При сквозном счете уравнения теплопроводности автоматиче...
ски выполняется условие Стефана на rранице раздела фаз
( д Т ) ( дТ ) дЕ
Х Т дп e o х ж дп +O == '.р дt ·
(1)
Здесь л удельная теплота кристаллизации, Х Т и Х ж коэффи--
циенты теплопроводности в твердой и жидкой фазах. В методе
сквозноrо счета [61] уравнение теплопроводности записывается с
помощью дельта функции .
dT
Р [с (Т) + ло (Т Т *)] dt == xl:1 Т.
В этом уравнении л. б (Т Т *) представляет собой сосредоточен...
ную теплоемкость на поверхности с Т == Т *.
Для решения уравнения (2) в разностной форме б функция
заменяется приближенно дельтообразной (<<размазанной»):
( ' T«T* d) ::= Ts
8(T T*,d)== l 2 ' Ts<T<TL
о, T>(T*+I:1) == T L
(2)
.
(3)
Замена (3) позволяет ввести сrлаженную (эффективную) тепло...
емкость
f'J
'.;
с (Т) == с (Т) + л · о (Т т *, 1:1).
(4)
158
После обезразмеривания преобразованное уравнение теплопро
водности имеет вид
dT == дТ +u дТ +v дТ == д.T (5)
dt дt ,дх д у '"
Р(Т)
с эффективным коэффициентом.
Р, т < Ts
Р( Т) р ( 1 + 2 А )' 7 s < т <,Т L (б)
Р, т > Ts
Серия численных экспериментов показала, что при использовании
(6) в области раздела фаз возникают пульсации температуры. Си-
туация улучшал ась при введении весовых множителей, учитываю-
щих температуру в соседних узлах. Для каждоrо (i, к) -ro узла
определялись четыре значения средней температуры Т j (j == 1,4)
на всех четырех направлениях. Например, среднее значение в на-
правлении х определялось по формуле
Т 1 == 0,5 (TI, к + T i + 1, к).
Среди величин Tj находились минимальное Т min И максимальное
Tmax значения температуры и величина эффективноrо коэффици-
ента (числа Прандтля) вычислялась по формулам:
( Р при (T rnin > T L ) V (Тmах< Ts)
Р (1 + 2 J при (T min > Ts) f\ (Тmах < T L ) \)
(Tmin> Ts) /\ (Тmах > TL )
P ( l + . TL Tmin ) при (Т min < T L ) 1\ (Т тах> T L )
, 2c 2а
t р. (1 + 2 ()' . Т mа ;; Ts ) при (T miu > Ts)f\ (Тmах> Ts)
Р==
(7)
Конвективное течение рассматривается в области расплавлен-
Horo металла. Эта область характеризуется меняющейся со вре-
мением rраницей и произвольным расположением узлов сетки OTHO
сительно rранмц. Заметим, что при выбранной фиксированной сет-
ке число узлов в жидкой фазе по мере кристаллизации убывает.
Это обстоятельство позволяет вести расчет конвекции с разумной
поrрешностью лишь до определенноrо момента. Уравнение для
вихря аппроксимировалось по явной схеме.
Основная трудность в данной задаче. связана с аппроксимаци
ей вблизи фронта кристаллизации. В узлах, отстоящих от фронта
кристаллизации больше чем на 2h, значения функции тока и вих
ря вычислялись обычным образом с порядком аппроксимации
О ('t+h 2 ). В узлах, более близких к rранице (см. рис. 28), ис
пользовалось обобщение формул работы [ 7]. Для подправленно-
159
.rо"значения ФУНКЦИИ тока использовалась формула, которая соот-
ветствует степени полинома т==3 (см. Э 7)
38i 38I 8
Фl*, к == (h 1 + 81)2 · Фl*+l, к (2h 1 + 81)2 · 1*+2, к + (3h 1 + 51)2 · l*+3, к ·
Вычисления вихря в этих узлах осуществлялось по форм уле, ко-
-торая вытекает из аппроксимации уравнения Пуассона на нерав-
номерном шаблоне
2 . ( Ф l*+l, к Фl*, к Фl*, к ) :
.<Pl*, к == (h 1 + 81) h 1 81 iYY ·
Расчеты дают нарушение MOHoToHHoro изменения функции тока
БО времени при прохождении узлов сетки через фронт кристалли-
зации. Было выяснено, что уменьшить эти биения помоrает акку-
ратная аппроксимация подъемной силы вблизи фронта кристалли-
зации, исключающая резкое уменьшение подъемной силы при
.s1 0. Кроме Toro, На различных моделях показано, что такие
скачки неизбежны на rрубой сетке. Для оценок получена форму-
ла, связывающая величину скачка с шаrом пространственной
-сетки
O' т 1,5h.
На рис. 29 представлены картины течения для двух моментов вре...
мени при G== 108. Область затвердевшеrо металла заштрихована.
Как видно, линии - раздела фаз близки к прямым, параллельным
осям координат. Это обстоятельство оправдывает расчеты, выпол-
няемые в предположении сохранения прямоуrольной формы об-
ласти жидкоrо металла. Использование такой формы существен-
но упрощает алrоритм. Продвижение фронта кристаллизации вда-
ли от уrлов области соответствует .экспериментальному корнево-
му закону.
Линии тока построены через интервал 0,4Фт t положение ко-
ординаты с- максимумом функции тока отмечено точкой. По струк-
туре течения видно, что rрадиенты температуры на начальном
'этапе сосредоточены у фронта кристаллизации. Изменения в тем-
пературном поле за счет течения незначительны; существенное
влияние конвекции появляется при G> 109 34.
В заключение этой rлавы приведем рекомендации из книrи
Н. С. Бахвалова «Численные методы» (М.: Наука, 1973, ч. 1):
«Не следует думать, что совершенное знание математики, числен-
ных методов и навыки работы с ЭВМ позволяют сразу решить
любую прикладную математическую задачу. Во мноrих случаях
требуется доводка методов, приспособление их к решению кон-
34 Число rрасrофа определено по полной разности температур ме>1{ДУ на
чальной температурой расплава и температурой на внешней поверхности излож
ницы; при определении по величин переrрева число rрасrофа будет значитель-
но меньше.
160
, '
РИС. 29
кретных задач. При этом типична обстановка, коrда используются
методы, применение которых теоретически не обосновано, или
теоретические оценки поrрешности численноrо метода неприемле-
мы для практическоrо использования; при выборе метода реше-
ия задачи и анализа результатов приходится полаrаться на опыт
предшествующеrо решения задач, на интуицию и сравнение- с эк
спериментом, и при этом приходится отвечать за достоверность
результата. Поэтому для успеха в работе необходимы развитое
неформальное мышление, умение рассуждать по аналоrии, дающие
основание ручаться за достоверность результата там, rде с пози-
ции лоrики и математики, вообще rоворя, ручаться нельзя».
ЛИТЕРАТУРА
1. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости........... М.: Мир, 1973........... 758 с.
2. Ландау Л. Д., ЛИфШИЦ Е. М. Механика сплошных сред. М.: 1986...........
736 с.
3. ЛОЙЦЯНСКИЙ Л. f. Механика жидкости и rаза........... М.: Наука, 1970........
940 с.
4. fершуни f. 3., ЖУХОВИЦКИЙ Е. М. Конвективная устойчивость несжимае-
мой жидкости. М.: Наука, 1972........... 392 с.
11 Зак. 660
161
5. О лежаев В. Н., Бунз А. В., Верезуб H., А. и др. Математическое Moдe
лирован ".'I- конвективноrо тепломассообмена на, основе уравнений HaBьe CTOK
са. ..........М.: Наука, 1987. 272 с.
6. Ладыженская О. ,А. Математические вопросы динамики вязкой несжимае
мой жидкости. М.: Наука, 1970......... 288 с.
7. Темам Р. Уравнения HaBьe CTOKca. Теория и численный анализ......... М.:
Мир, 1981........... 408 с.
8. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики
жидкостей. М.: Энерrоатомиздат, 1984........... 152 с. .
9. Мызникова IБ. Н., Тарунин Е. Л. Процессы установления стационарных
конвективных течений в кубической полости при подоrреве снизу / / Нестацио
нарные процессы в жидкостях и твердых телах. Свердловск: УНЦ АН сссР,
1983. .......... С. 20 29.
10. МЫ3НИ 1 кова Б. Н., Тарунин Е. Л. Конвективное течение в кубической
полости при подоrреве внизу / / Численные методы динамики вязкой жидкости.
Новосибирск: ИТПМ со АН СССР, 1983......... С. 241 245.
11. Richard С. W., Crane С. М. Pressure marching schemes that work / / Int.
Numer. Meth. Eng. 1980. Yol. 15. N 4. Р. 599 610.
12. Тарунин Е. Л., ,Якимов А. А. ОсеС'Имметричное движение вязкой жидко
сти В конечной кольцевой полости враrцаюrцеrося цилиндрическоrо сосуда
/ / Изв. АН СССР. Механика жидкости и rаза. 1988........... N2 12l.......... С. 37----42.
13. Мажорова о. С., Попов ю. \0. О методах численноrо решения уравнений
HaBьe CTOKca / / Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1980........... Т. 20...........
N2 4........... С. 1005 1020.
14. Бабенко К. Н., Введенская ,Н. Д. О численном решении краевой задачи
для уравнений HaBьe CTOKca / / Журн. вычисл. математики и мат. физики.
197:2. T. 12. N2 5. C. 1343 1349.
15. Тарунин Е. Л. Оптимизация неявных схем для уравнений HaBьe CTOKca
в переменных функции тока и вихря скорости / / Тр. / 5 й Всесоюз. семинар по
численным методам механики вязкой жидкости........... Новосибирск, 1975........... Ч. 1.
С. 3 25.
16. Люмкис Е. Д. Об увеличении шаrа по времени при интеrрировании
уравнений HaBьe CTOKca в переменных вихрь функция тока / / Дифференциальные
уравнения. Минск: Наука и техника. 1985. Т. 21........... N2 7........... С. 1208 1217.
17.. Тарунин Е. Л. Зависимость устойчивости' неявных схем двухполевоrо
метода от способа аппроксимации вихря скорости на твердой rранице / / Дина
мика вязкой жидкости. Свердловск: УО АН СССР, 1987........... С. 80 85.
18. Булеев Н. Н., Тарунин Е. Л. Исследование скорости сходимости схемы
(Q, Ч') при различной структуре условия для вихря у твердой стенки / / Числен
ные методы механики сплошной среды. Новосибирск: СО АН .СССР, 1984.
Т. 15. N2 6......... С. 28 40.
19. fрЯ3lfОВ В. Л., :Полежаев В. Н. Исследование некоторых разностных
схем и аппроксимаций rраничных условий для численноrо решения уравнений
тепловой конвекции. М., 1974. 72 с. (Препринт / Ин т проблем механики
АН СССР: N2 40).
20. Тарунин Е. Л. Анализ аппроксимационных формул для вихря скорости
на твердой rранице / / Учен. за.п. / Перм. пед. ин т. Серия rидродинамика..........
1976........... NQ 152........... Вып. 9. С. 167..........179.
21. Дородницын А. А., Меллер Н. А. О некоторых подходах к решению
стациона рных уравнений HaBьe CTOKca / / Журн. вычисл. математики и мат. фи-
зики. .......... 1968. Т. 8. N2 2. .......... С. 393 402.
22. Калис Х. Э. О численном реIпении системы линейных уравнений Навье-
Стокса / / Латв. мат. ежеrодник........... 1969. NQ 5........... С. 53 70.
23. Пальцев Б. В. О сходимости метода последовательных приближений
с расrцеплением rраничных условий при решении краевой задачи для уравнений
HaBьe CTOKca / / Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1970. Т. 10..........
.NQ :3. .......... С. 785 788.
24. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения диффереШjиальных
уравнений в частных производных. М.: Иностр. лит., 1963. 487 с.
25. 3ахаренков М. Н. Аппроксимация rраничноrо условия для завихренно
сти на поверхности твердоrо тела при решении уравнений HaBьe CTOKca в пе
162
ременных функции тока и завихренности / / Численные методы механики сплош-
ной среды. Новосибирск. 1980............ Т. 11........... N2 7. С. 56 74.
26. Pearson <;. Е. А computationaI method for viscous flow probIems / /
J. Fluid Mech. 1965. VoI. 21. N. 4. Р. 611 622.
27. Полежаев ,В. Н., Ir,рязнов В. л. Метод rраничных условий для ypaBHe
ний HaBьe CTOKca в lIeQeMeHHblx «вихрь, функция тока» / / Докл. АН СССР.
1974. Т. 219........... N2 2. С. 301 304.
28. Мызникова Б. Н., Тарунин Е. л. О rраничных условиях для вихря CKO
рости В задачах динамики вязкой жидкости / / Конвективные течения и rидроди
намическая устойчивость. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1979. С. 90..........101.
,29. Тарунин Е. л. О выборе аппроксимационной формулы для вихря CKO
рости на твердой rранице при решении задач динамики вязкой жидкости / / Чис
ленные методы механики сплошной среды. Новосибирск. 1978. Т. 9.
N2 7. С. 97..........111.
30. Булеев ,Н. Н., Тимухин r. Н. Течение вязкой жидкости на входном уча
стке пЛоскоrо канала / / ПМТФ. 1967........... N2 3. С. 126 13'0.
31. Тарунин Е. Л., ЯКiJfмов А. ,А. Численный эксперимент в rидродинамике
вязкой жидкости: Метод. указания. Пермь: Перм. YH T, 1986........... 32 с.
32. Русаков С. В. Методы сплайн функций в вычислительной rидродинами
ке: Учеб. пособие по спецкурсу. Пермь: Перм. YH T, 1987........... 88 с.
33. Тарунин Е. л. Течение вязкой жидкости в замкнутой полости при. нали
чии эффектов проскальзывания / / Изв. АН СССР. Механика жидкости и rаза...........
1980. N2 1. C. 10 16.
34. Тарунин Е. Л. Двухполевой метод решения задач rидродинамики вяз
кой жидкости: Учеб. пособие по спецкурсу. Пермь: Перм. YH T, 1985. 88 с.
'35. Смаrулов ш., Христов Х. Н. Безытерационная численная реализация
краевых условий для уравнений HaBьe CTOKca в переменных вихрь функциях
ТОК,а. Новосибирск, 1980........... 21 с. (Препринт / Ин т теорет. и приклад. механи
ки СО АН СССР: N2 20).
36. 3авьялов Ю. С., Квасов Б. Н., Мирошничен.ко В. л. Методы сплайн"
функций. Л.; М.: Наука, 1980........... 350 с.
37. Курош А. r. Курс высшей алrебры........... М.: Наука, 1971. 431 с.
З8. Визнюк r. Н. о явных методах решения БИf"армоническоrо урав'нения
в произвольной области / / Докл. АН УССР. Серия А. 1968. N2 7. С. 579
583.
39. ДаЙ1КОВСКИЙ А. r., Полежаев В. Н., Федосеев А. Н. Численное модели
рование переходноrо и турбулентноrо режимов конвекции на основе нестацио
нарных уравнений HaBьe CTOKca. М., 1978. 66 с. (Препарат / Ин т проблем
механики АН СССР: .N2 101).
40. HotOTOB Е. Ф., СИН1ИЦЫ1Н ,А. К. О численном исследовании нестационар
ных задач конвекции//Инж. физ. журн. Т. 31. N2 6. C. 1113 1119.
41. Т,и,мошенко С. П., rу-дьер Дж. Теория упруrости. М.: Наука, 1975...........
575 с.
42. Кошляков Н. с., rлинер э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных
производных математической физики........... М.: Высш. школа, 1970. 711 с.
43. Онянов В. А., Тарунин Е. Л. Численные эксперименты по использованию
различных разностных схем для задач свободной конвекции в замкнутой поло
сти / / Учен. зап. / Перм. ун-т. Серия rидродинамика. 1975. N2 327...........
Вып. 6. С. 156 181.
44. Davis G. V., Jones 1. Р., Roache Р. J. Natural convection in ап enclosed .
cavity: а comparison problem / / Compyters and' Fluids. 1979. Vol. 7. ..........
Р. 315 316.
'45. Тарунин Е. л., Шайдуров В. r., Шарифулин А. Н. эКспериментаV1ьное......
и численное исследование устойчивости замкнутоrо конвективноrо поrраничноrо
слоя / / Конвективные течения и rидродинаМ!iческая устойчивость. Свердловск:
УНЦ АН СССР, 1979........... С. 3 16.
46. Онянов В. А. О построении разностных схем для уравнений вязкой жид
кости / / Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: ВЦ СО
АН СССР........... 1974. Т. 5.......... N2 2. С. 83 95.
47. Купцова В. с. Исследование процессов тепловой и концентрационноЙ
конвекции с использованием модифицированной явной конечно разностной cxe
11*
163
мы / / Вопросы теплопередачи. М.: ИЗД. Моск. лесотехн. ин та, 1976. С. 116
124.
48. Федоренко Р. П. О скорости сходимости одноrо итерационноrо процесса
/ / Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1964. .......... Т. 4........... N2 3. С. 559
564.
49. Бахвалов Н. С. О сходимости одноrо релаксационноrо метода при eCTe
ственных оrраничениях на эллиптический оператор / / Журн. вычисл. математики
и мат. физики. 1966......... Т. 6. NQ 5. С. 861 883.
50. Коновалов ,А. Н. Об одном способе построения итерационных процессов
/ / Изв. 'СО АН СССР. Серия технических наук.......... 1967. N2 13. Вып. 3-.
С. 105 108.
51. Ильин В. По, Овешников Во М. О разностных методах на последователь
ности сеток / / Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск,
1971. Т. 2........... N2 1. С. 43..........54.
52. ТарунlИН Е. Л. Метод последовательности сеток для задач свободной
конвекции / / Журн. вычисл. математики и мат. физики........... 1975......... Т. 15........... N2 2...........
С. 436 445.
53. Тарунин Е. Л. Определение rраницы конвективной устойч вости paB
новесия методом сеток / / Алrоритмы и проrраммы для эВМ........... С. 85 103. Рук.
.цеп. в ВИНИТИ 31 мая 1978, N2 180 78(78) ДЕП.
54. Возовой Л. П., Непомнящий А. А. Применение метода сеток для ис
следования устойчивости пространственно периодических движений / / Тр.
/ 7 й Всесоюз. семинар по численным методам механики вязкой жидкости..........
Новосибирск, 1979. С. 57 71.
55. Буrров А. Н., Омаrулов Ш. Метод фиктивных областей в краевых за-
дачах для уравнений HaBьe CTOKca / / Тр. / 6 й Всесоюз. семинар по численным
методам механики вязкой жидкости. Новосибирск: ИТПМ СО АН ССС,Р,
1978. С. 79 90.
56. Мызни,кова Б. Н., Тарунин Е. Л. Применение метода фиктивных облас
тей для решения уравнений HaBьe CTOKca в переменных функции тока и вихря
скорости / / Исследование тепловой конвекции и теплопередачи. Свердловск:
УНЦ АН СССР, 1981. С. 45 57.
57. Вабищев,ич П. Н. Численные методы решения задач со свободной rpa
ницей. М.: Mry, 1987. 164 с.
58. Мызни'кова Бо Н., Тарунин Е. Л. Свободная конвекция в расплавленных
металлах при кристаллизации / Математические методы в исследовании процес
сов специальной электрометаллурrии. Тр. / Всесоюз. семинар по математическим
методам электрометаллурrии. Киев: Наук. думка, 1976. С. 129........135.
59. Вайсман Б. Н., Тарунин Е. Л. О влиянии кристаллизации на процесс
свободной конвекции в расплавленных металлах / / Учен. зап. / Перм. YH T. Серия
rидродинамика. 1972. N2 293. Вып. 4. С. 107 118.
60. Мызникова Б. Но, Тарунин Е. Л. Численное решение задач Стефана
в движущемся металлическом слитке / / Учен. зап. / Перм. YH T. Серия rидроди
намика. 1974. N2 3-16........... Вып. 5.......... С. 239 247.
61. Самарский А. А., Моисеенко Б. Д. Экономичная схема сквозноrо счета
для мноrомерной задачи Стефана / / Журн. вычисл. математики и мат. физики.
1965. Т. 5. N2 5. С. 816 827.
. 62. Шкадов В. Я., 3шпрянов 3. Д. Течения вязкой жидкости: Учеб. посо-
бие. М.: Mry, 1984. 200 с.
63. Moffatt Н. К. Viscous and resistive eddies near а sharp corner / / J. Fl..
Mech. 1964. Vol. 18 Р. 1. р. 1 18,
Пляска физических явлений uzpa
дифференциальных уравнений.
л. Де Бройль
Цель расчетов не числа} а понимание...
Как бы тривиально и очевидно это ни зву.
чало} повторим еЩе раз: важно понимать,
что вы хотите узнать..
Прежде чем решать} подумай} что бу-
дешь делать с решением.
Р. XeoМoМusz
rлава з
ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ
В ЗАМКНУТЫХ ОБЪЕМАХ
в данной rлаве приведены примеры успешноrо применения
двухполевоrо метода в задачах с различной физической постанов-
кой. Цель примеров расширить у читателя представления о воз-
можностях метода,. ввести в Kpyr решенных и решаемых проблем,
помочь разобраться в различных постановках задач.
При использовании обычных аппроксимаций и методов их
описание дается в краткой форме. Более подробно описываются
методы, сокращающие затраты машинноrо времени, и способы об..
работки результатов, повышающие наrлядность результатов.
Библиоrрафия по рассмотренным задачам совершенно не пре-
тендует на полноту. В настоящее время дать полную библиоrра-
фию по некоторым задачам весьма сложно. В библиоrрафическом
указателе [7] число публикаций по проблемам свободной конвек-
ции к 1981 r. составляло более 6 тысяч. В обзоре [2] приведены
цифры, показывающие увеличение потока публикаций за послед-
ние rоды.
Рассмотренные задачи MorYT быть условно разбиты на три
rруппы с помощью понятий «устойчивость равновесия» и «устой-
чивость течения».
К первой rруппе относятся задачи, постановка которых допус-
--+
кает равновесное решение (V== О). Классическим примером в этом
случае является задача Рэлея (1916 r.) о rоризонтальном слое
жидкости или rаза, подоrреваемом снизу. rоризонтальный слой
является популярным объектом исследования до настоящеrо вре..
Мени. Равновесие возможно при определенных rраничных услови-
ях и в замкнутых полостях. Средствами линейной теории rидро..
динамической устойчивости определяется rраница устойчивости
(нейтральные кривые для слоя и спектр критических чисел для
замкнутой области). Метод сеток позволяет исследовать нелиней-
ные надкритические режимы течения, возникающие после потер
Устойчивости равновесия, и построить зависимости амплитуд это-
ro течения от числа Рэлея и друrих параметров.
165
Ко второй rруппе относятся задачи, в которых постановка дo
пускает аналитическое решение обычно в форме плоскопараллель
Horo течения. Наиболее популярным примером в этом случае яв
ляется вертикальной слой жидкости, оrраниченный пластинами с
различной температурой. емпература в таком слое является ли-
gейной функцией попер чной координаты, а скорость описывается
кубическим профилем с восходящим потоком вдоль наrретой пла
стины и нисходящим потоком вдоль холодной. Линейная теория
позволяет найти нейтральные кривые в зависимости от различных
параметров задачи. Методом сеток можно исследовать вторичные
режимы течения, возникающие после потери устойчивости OCHOB
Horo (первичноrо) плоскопараллельноrо течения, и определитр ха-
рактеристики режима в надкритической области.
Характерным для третьей rруппы задач является невозмож-
ность равновесия при любой разности температур и, обычно, слож-
ный характер течения. Эта rруппа задач имеет бесчисленное мно-
жество примеров, так как большинство практических задач отно-
сятся именно к этой rруппе. Для метода сеток здесь широкое поле
nрилож.ений как в случае стационарных, так инестационарных
задач.
Все три rруппы задач можно рассматривать при различноrо
рода осложнениях внутренние источники тепла, сложная реоло-
rИjl жидкости, диффузия примеси, проводящая среда в маrнитном
и элеRтрическом полях и друrих. Возможны ситуации, коrда за-
дачу нельзя (отнести к только одной rруппе. Такая ситуация ха-
рактерна, например, при слабых нарушениях - условий, обеспечи
nающих равновесие или плоскопараллельный характер течения.
Кроме Toro, решая стационарную задачу из третьей rруппы при
больших числах rрасrофа (при больших разностях температур),
мы неизбежно придем к ситуации, в которой течение станет He
устойчивым. В этой области параметров возникает проблема Ис
следования устойчивости течения, характерная для второй rруппы,
но уж'е в сложной ситуации с нелинейным характером OCHOBHoro
конвективноrо движения. Поэтому еще раз отметим, что рассмат-
'риваемое деление задач на три rруппыI в некоторых случаях весь-
ма условно. Общим для всех задач 'является то, что вопросы KOH
вективной. устойчивости, подробно рассмотренные в моноrрафии
11] и обзоре [2] [. З. rершуни и Е. М. Жуховицкоrо, являются
ключевыми.
С практической точки зрения одна из важнейших целей иссле-
дования свободной конвекции заключается в определении зависи.
NОСТИ теплопередачи от параметров задачи. Сведения о теплопе-
редаче позволяют технолоrам целенаправленно решать разноrо
рода задачи снизить теплопотери, интенсифицировать теплооб
мен, уменьшить разность температур, выбрать материал и так да-
,лее, Кроме сведений о тепловых потоках весьма важно знать и
пространственное распределение температуры. Знание о расп е
делении температуры в объеме особенно необходимо в ситуациЯх,
rде используются атериалы, физические свойства которых суще..
166
ственно зависят от температуры. Экспоненциальная зависимость
от температуры характерна, например, для скорости протекания
химических реакций (закон Аррениуса). Во мноrих химических
реакторах имеются оrраничения на максимальную температуру,
вызванные тем, что при' определенной температуре начинает дти
пежелательная реакция, резко увеличивается давление и может
произойти взрыв.
В задачах, rде исследуются вопросы устойчивости, линейная
теория дает однозначный ответ о теплопередаче только в области
устойчивости при числах Рэлея меньше критич скоrо. В обла-
сти устойчивости реализуется известное распределение темпера..
туры, не искаженное конвективным течением. Тепловой поток в
этом случае прямо пропорционален разности темп ратур и опре..
деляется одним молекулярным механизмом теплопроводности.
Безразмерная характеристика тепловоrО потока число Hycce1Ib
та при этом равно 1. За пороrом устойчивости нелинейное конвек..
7ивное движение дает добавочный вклад в теплопоток (число
Нуссельта превышает 1). Задача расчета заключается в определе
нии зависимости числа Нуссельта от параметров задачи.
t 1. ПРИМЕРЫ точных РЕШЕНИЙ
Точные решения уравнений свободной конвекции удается по-
лучить обычно в т.ех случаях, коrда нелинейные слаrаемые обра-
щаются в тождественный нуль. Эти решения часто являются объ
1J u u u u
ектом исследования линеинои и нелинеинои теории конвективнои
устойчивости равновесия и движения [1, 2]. Знание точных pe
шений облеrчает выполнение различноrо рода физических оценок
без привлечения помощи вычислительноrо эксперимента. Приме..
нение TaKoro рода оценок показано в статье [3] на примере задач
космической технолоrии. Точные решения MorYT быть использованы
в качестве тестовых для проверки проrрамм метода.
Конвективное движение жидкости в ',однородном поле сильi тя"
жести в приближении Буссинеска [1]" описывается системой нели..
нейных уравнений в частных производ ых, . которая в плоском
-случае может быть представлена в виде (см. также Э 10 rл. 2 о
тестовой задаче):
дер == ( д Ф . дер д . д ) + Д + о ( дТ CQS (1 дТ . siп (1 ) +
дt дх ду ду дх дх ду
+ О ( дС дС. )
D д х COS (1 д у Sln (1 ;
Д + == о;
T == ( дф . д Т дф . дТ ) + д Т.
дх \дх ду д у дх Р ,
д С == ( д t . д С дф . дС ) + .. дС
д! дх ду ду дх P D ·
(1)
(2)
(3)
(4)
167
Рис. 1
Уравнения записаны для случая, Коrда в
использованной системе координат вектор
силы тяжести имеет компоненты (g sin а,.
g cos а). Точное решение удается полу-
чить обычно для бесконечноrо слоя. ПОЛQ
жение слоя и системы координат изобра-
жены на рис. 1.
Неизвестными в системе (1) (4) явля"
ются функция тока '1', вихрь скорости
ер, температура Т и концентрация с.
Определение функции тока и вихря скоро..
сти следует из соотношений (см. также
r л. 2):
д д
v x == ду ' v y == дх '
-+
, (rot v)z .
Уравнения записаны в безразмерной форме. В качестве единиц
расстояния, времени, температуры и концентрации выбраны соот"
ветственно: линейный размер области (ширина слоя) L, L2/v
(v коэффициент кинематической вязкости), разность темпера..
тур 8, концентрация леrкой компоненты смеси со.
к числу определяющих параметров системы относятся числа
rрасrофа (тепловое G и диффузионное О п ), число Прандтля
Р, число Шмидта Р D (диффузионное число Прандтля):
О == 'g TeL3 О == g cCoL3 Р == р ==::...
'J2 D 'J2' 'Х. ' D D.
Производными параметрами являются числа Рэлея
Яа == о · Р, Rv D == О D · Р D '
которые во мноrих конвективных ситуациях оказываются наибо..
лее информативными.
Число параметров, определяющих решение задачи, зависит еще
и от параметров, которые входят в rраничные условия. Упомянем
некоторые из них.
Вдоль слоя (открытый канал) может быть зада н перепад дав-
ления V р, который приведет к появлению в слое слаrаемоrо с Пу..
азейлевским (плоский случай) профилем скорости
Ир == яе р · х (1 х).
Движение твердых rраниц слоя в разные стороны
u(о,у)== V, u(l,y)==..........V
дает в течение вклад с линейным профилем скорости (П,,!Dское
течение Куэтта)
168
U k == Re k (1 2х).
В случае слоя с пористыми стенками на rраницах может быть
задан равномерный поток жидкости поперек слоя Vo. Эта компо..
нента скорости со раняется неизменной и внутри слоя. Вклад это..
ro течения отразится на решении уравнений теплопроводности и
диффузии.
В случае свободной поверхности необходимо учитывать дейст",
вие капиллярных сил, вызванных зависимостью коэффициента по..
BepxHocTHoro натяжения от температуры (J (Т). К числу парамет..
ров при этом добавляется критерий 'Маранrони
Ма == ( : ) 8Ljp'ly..
в далнейшем при обсуждении точных решений мы не oroBa..
риваем все rраничные условия. Обычно rраничные условия леrко
определяются из вида точноrо решения.
В наклонном слое (см. рис. 1), на rраницах KOToporo поддер"
)кивается постоянная разность температур 8, возникает стацио..
нарное течение с линейным распределением температуры и куби..
ческим профилем скорости
т == Х, V == 1 х (2x2 3х + 1) cos а. (5)
Наибольшая интенсивность течения соответствует вертикальной
ориентации слоя а==ОО.
При уrле 'а== + 900 получаем rоризонтальный слой с плоскими
изотермическими rраницами. В нем возможно механическое равно..
весие неравномерно наrретой жидкости. В случае подоrрева CBep
ху равновесие устойчиво (леrкая жидкость находится сверху, yc
тойчивая стратификация плотности). При подоrреве снизу, если
неоднородность температуры достаточна велика, равновесие ста..
новится неустойчивым, и при определенном числе Рэлея сменяет..
ся конвективным движением. Критическое число Рэлея для слоя
со свободными rраницами (задача Рэлея): Ra m ==657,5; для слоя
с твердой нижней rраницей Ra m == 1100,6; для слоя с обеими TBep
дыми rраницами Ra m ==1707,7 [1].
В плоском rоризонтальном слое с твердыми rраницами, на KO
торых задан постоянный rоризонтальный rрадиент темп ратуры А,
устанавливается адвективное течение Бириха [4] (подробные эк
сперименты с ним выполнены А. [. Кирдяшкиным [34]):
О А . g AL4
и == 12 У (2 у 3 3у + 1), О А == 'J2 . (6)
RaA
Т== 720 y(6y4 15y3+10y2 1)+x, ЯаА==ОА.Р. (7)
Если верхняя rраница слоя теплоизолирована, то зависимость
(7) заменяется на
Ra A
т == 720 уЗ (6 у 2 15у + 10) + х.
169
/'
в слое со свободной верхней rраницей устанавливается тече-
ние, обусловленное также действием капиллярных сил вследстви'
неоднородности коэффициента поверхностноrо натяжения [4]:
О I .
и == 4: (8 у З 15 у 2 + 6у 12W (3у2 2у» , (8)
ЯаА Ма
T == 960 (8у5 25 у 4 + 20у3 Зу) + 48 ( 3y4 + 4у3 y) + х. (9)
Параметр W Ma/RaA опрe1tеляет, какая из двух сил ка-
пиллярная или подъемная --........ является доминирующей в конвекnии.
Для теплоизоли оваНН IХ rоризо'НТ.3ЛЬНЫХ rраниц формула (9)
меняется /'
RaA Ма
т == 962 (8y5 25у4+ 20у3) + 48 { 3y4 + 4у3) + х.
При отсутствии силы тяжести \ (невесомость) конвективное те-
чение обусловлено только эффектом Маранrони (0==0). В [5] при
ведено решение для бесконечноrо слоя с rраничными условиями
З-rо рода для температуры
дТ
== т ( Т Т )
дп е ·
Здесь Те x температура внешне среды, п нормаль к rрани-
це слоя' Решение [5] Itмеет вид I i
и == : (3 у 2 2у), (10)
Т == : ( 3y4 + 4 у З т : 1 · У) + х.
Перечисленные примеры являются решением уравнений
'(1) (3) без уравнения диффузии (4) 35. Из эквивалентности вида
уравнений (3) и (4) следует, что существуют аналоrичные точные
решения для ,системы (1) (2), (4), если для концентрации MorYT
быть поставлены соответствующие rраничные условия. Кроме то-
ro, существуют решения для полной системы (1) (4). Приведем
в качестве примера решение, описывающее конвективное течение
бинарной смеси в' плоском вертикальном канале с учетом эффекта
т рмодиффузии [1, 6]. Учет термодИффузии требует рассматри-
вать вместо (4) уравнение '
дС == ( д . дС д+ . дС ) + (Ll С Е Ll Т) ( 11 )
дt .. дх ду ду дх Р D
С дополнительным безразмерным параметром термодиффузии t.
Решениt:: системы .< 1) (3), (11) таково:
== (1 + е) х 2 (1 х)2, Т == Х, С == ех + const. (12)
35 Тривиальный вариант решения с C const можно не учитывать.
170
'\
.......,. ..
..;:
, , -
J:.
. ',
,'\.
" "
..,.1
;
..
Как видно, эффект ,термодиффузии может увеличивать интенсив"
ность теченйя при е>О и уменьшать при е<О (аномальная термо..
диффузия). . / ,
Точные решения системы (1) (3) существуют при различных
усложнениях. Укажем здесь лишь решение[I], U(X)
оответС'r.вующее рассмотрению в вертикаль-
ном слое внутреНIНИХ источников тепла q с по-
стоянной объем,ной МОЩНОСТ9Ю' В такой физи-
ческой постановке в прав)'!ю чаСTh ураВlнения d
теплопроводности неQбходимо доба ить слаrа..
емое пропорциона.льое q . Если на обеих rpa-
ницах слоя температура одинакова, темпера-
тура и ск.орость симметричнщ o-nноситеЛЬН9
центра. Решение в силу четной СИМIМетрии за-
дачи удобнее представлять в системе коорди
нат, помеще"ных в середину слоя (рис. 2). В размер:ных величинах
это решение И\меет вид
х
d
'r J
Рис. 2
g qd4 [ ( Х ) 2 ( Х ) 4 ]
V == 120 'X. 1.......... 6 d + 5 d '
т :2 [ 1 ( У]
(13)
" .
Распределение скорости (13) представлено на рис. 2. Как видно,
течение состоит из трех потоков: восходящеrо центральноrо и двух
нисходящих возле стенок.
3 а Д а н и я. Получить решение уравнений (1 ).........(3) для следую-
щих случаев:
1. ВертикаJJЬНЫЙ СЛОЙ (а===ОО) с твердыми движущимися rpa-
ницаt\1и
v(Q,Y)==U, v(L,y)== U, Т(О, у) ==0, T(L,y)==8.
2. rоризонтальный слой подоrреваемый снизу (а===90 0 ), через
u u
которыи осуществляется прокачка с постояннои скоростью Vo
V (х, о) == v (х, L) == V o , Т (х, о) == 8, Т (х, [) ==0.
В заключение параrрафа покажем, как описанные точные ре-
щения MorYT быть использованы для вы снения роли свободной
конвекции в замкнутых объемах.
Расс отрим в качестве примера тестовую задачу (см. rл. 2)
о конве ции в полости квадратноrо сечения при подоrреве сбоку.
Стационарное распределение температуры определяется из реше..
ния уравнения
f). т == р ( д . д Т д . д Т ) ( 14 )
. ду дх дх д у ·
При малых числах rрасrофа G мала интенсивность течения и,
следовательно, правая часть уравнения (14). При правой части,
Равной нулю, решение уравнения (14) Т(О) === х. Зададимся вопро-
СОМ при каких значениях чисел' rрасrофа и Прандтля можно
Пренебречь вкладом нелинейных слаrаемых (правой частью) в
Уравнении теплопроводности? Для оценок скорости сверху мож-
171
..'
но J30, ?р ТЪСЯ точным решением 5), а для производнь{
от температуры невозмущенным решением Т(О) x. Имеем в этом
случае
дТ дТ(О)
дy дY == о.
G '
тах (IVxl , I Vyl тах 12 х (2x2 3х + 1 ) 8 · 10 30.
х
Отклонение темпер-атуры от т(а) можно тоrда оценить из решения
уравнения
д Т дТ(О)
дх дX == 1,
2T" р. 8. 10 30,
Из решения уравнения (15)
Р(о) == о,
T(l) == о.
(15)
т 2 · 1 o 3 Р · Q · х (1 х)
видно, что отклонение пропорционально числу Рэлея Ra==P. а.
Считая отклонение менее 10 2 малым, получим оrраничение на
ЧИСЛQ Рэлея
Ra < 20 == Яа,
При выполнении этоrо неравенства можно не решать полное урав--
нение теплопроводности, полаrая с хорошей степенью точности
что 'Т== Т(О)==.х (вклад конвекции в данном случае мал). Завышен
ные оценки нелинейных слаrаемых естественно привели к зани"
-
женной оценке для Ra. Расчеты показывают, что нелинейные эф..
фекты в данной задаче малы вплоть до значений Ra 103.
t 2. КОНВЕКТИВНОЕ ТЕЧЕНИЕ
В ПОЛОСТИ пРямоУrольноrо СЕЧЕНИЯ ПРИ подоrРЕВЕ СБОКУ
Конвективный перенос тепла при подоrреве сбоку неоднократ--
но исследовался экспериментальными и численными методами..
Наиболее полные результаты получены для зависимости теплово..
ro потока (числа Нуссельта) от безразмерных критериев подобия.
Несмотря на большое число публикаций мноrие вопросы остаются
невыясненными. Уточняются rраницы жимов и зависимости ха-
рактеристик конвекции от rеометрии, вида rраничных условий и
безразмерных параметров. Часто задача решается в усложненной
постановке с учетом сжимаемости, излучения, сопряженности и
т. д.
С точки зрения классификации задач свободной' конвекции
(см. введение к rлаве) рассматриваемая задача относится к треть--
ей rруппе. Исследуемое конвективное движение возникает не по-
poroBbIM образом при любой разности температур (ПР .(J}юбом
числе Рэлея или rрасrофа).
Напомним постановку задачи (см. Э 2 rлавы 2). Решаются
172
уравнения (1) (3) Э 1 при а==ОО в прямоуrольной полости раз-
мером LXH (Н высота). На rраницах обла'сти скороС1'ь равна
нулю
; I r == О.
На боков х rраницах температура неизменна
т (t, О, у) === О, Т (t, 1, у)::=: 1,
а для rоризонтальных участков rраниц рассматривается два ва-
рианта условий 36 заданное линейное распределение (lи ==H/L)
темпер тур (бес ечная тепло роводность)
т ( t, х, О) === т (t, х, lи) == .х ( 1 )
и условие отсутствия тепловоrо потока
дТ (t, х, О) ==- дТ (t, х, lи) == О (2)
ду ду ·
Параметрами задачи являются числа rрасrофа, Пранд'тля и от-
ношение rеометрических размеров полости. Следует различать по-
лости вытянутые по вертикали с Н> L и полости вытянутые по
rоризонтали с Н <L. За характерный размер примем наименьший
размер полости (L дЛЯ слоя вытянутоrо по веРТ}lкали и Н для
слоя вытянутоrо в rоризонтальном направлении). Заметим, что
иной выбор характерной длины (высота полости для всех случа-
€B), как будет показано ниже, упрощает зависимость числа Нус-
сельта от числа Рэлея. Числа Рэлея и rрасrофа, определенные по
высоте полости будем отмечать буквой Н Ra H , G н.
Обсуждение результатов задачи начнем с выяснения характе-
ра стационарноrо течения для полости квадратноrо сечения lи== 1
при rраничных условиях для температуры (1) и числе Прандтля
р== 1 [8 10]. В области малых значений числа rрасrофа а< 103
янтенсивность течения пропорциональна G
Фт == тах X, у) 1,2). l) 3 о.
х, у
Нелинейные члены в этой области G практически не работают
(режим ползущеrо течения) и для нахождения решения достаточ-
но найти первые приближения метода разложени [11 13]. Функ-
ДИЯ 'тока (нулевое приближение) дри этом находится из решения
иrармоническоrо уравнения
( д Т(О» )
(O) == О ах == о.
Первое приблищение для температуры (нулевое приближение
Т(О)==х) находится из реШ1ения уравнения Пуассона
. д,IJ(О) д Т (О) д (O)
D. Т (1 ) == р...:!.......... · == р д .
ду дх У
(4)
(5)
36 К реальной ситуации часто ближе вариант теплообмена по закону НhIOТО
.на, который включает в себя оба варианта в качестве предельных.
173
'15иrармоническое уравнение (4) при ОД80рОДНЫХ rраничных
условиШР--ДЛ ,функции тока и ее ПрОИЗБОДНОЙ описывает проrиб за-
щемленной ПО краю прямоуrольной пластины [14].. Значение MaK
симума функции тока (3) совпадает с расчетом по методу rалер
кина [14] с точностью до трех значащих цифр.
- Из уравнения (5) видно, что изменение температуры пропор
ционально числу Рэлея (см. оценки в конце Э 1). Пропорциональ
на числу Рэлея и добавка к тепловому потоку
I .
J-
Nи == 1 + 3,25 · 10 4 Яа.
I
(6)
Час.тный (случай полной задачи, \при котором T T(O) x COOTBeT
ствует числу Прандтля P o (случай жидкости с бесконечной тем-
пературопроводностью). Расчеты для этоr случая показывают
простую структуру течения и малую роль нелинейных слаrаемых
вплоть до a 105. Значение максимума функции тока, например
при a 105 лишь на 13% меньше, чем по формуле (3). Для cpaB
неп-ия укажем, что при p 1 значение 'Ч'т меньше значения из
формулы (3) на порядок.
При числах _ Рэлея Ra> 103 первые члены разложения уже не
дают достоверной информации. Решение нелинейных уравнений Me
тодом сеток пок.азывает, что с ростом числа Рэлея у rраниц фор
мируются скоростной и температурный поrраничные слои, а :в
центре полости возникает вертикальный rрадиент температуры,.
направленный вверх. ,
Типичные линии тока и изотермы при четырех раЗЛ!lЧНЫХ зна--
чениях числа' rрасrофз; изображены на рис. 3. Из этих ри'сунков
отчетливо просматриваются перестройка течения и образование
изоrрадиентноrо ядра при а>20000. Редкие линии тока в цент..
ральной части полости при' G == 2. 105 свиде:rельствуют о'том, что oc
новное течение сосредоточено вблизи стенок. Формирование ядра
с вертикальным однородным rрадиентом тесно связано с отсутст"
вием в ядре заметных движений. Это объясняется тем, что урав..
j .....,.. . I .
нения конвекции допускают решеиие с v==O и Т У (подоrрев
сверху, устойчивая стратификация).
/ Для демонстрации влияния rраничных условий на rоризон"
тальных участках приведем картины течения для варианта (2) на
рис. 4. Приведенные изолинии соответствуют режиму формирова..
ния изоrрадиентноrо ядра. Основное отличие от первоrо варианта
rраничных условий касается распределения температур около ro..
ризонтальных rраниц. В варианте (1) структура температурноrо
поля сложнее. Это обстоятельство приводит к тому, ЧТО в тепл
изолированном случае стационарное решение сохраняет устойчи"
вость до ббльших значений числа Рэлея.
Весьма информативной характеристикой формирования изоrра..
диентноrо ядра является уrол поворота аА rрадиента температуры
А в центре полости. При отсутствии движения аА==ОО (отсч т уrла
ведется от rоризонтали), а в области сформировавшеrося 'изоrра..
Диентноrо ядра aA==90Q Казалось бы что - зависимость СХА(О)
" . .
174
,
о
"
Рис. 3
.'
P=i
о
f20
9аО
600 G
о о о JН}.t0 3 80.tО'з 120'103 160'103
. -
, f р=\ .. G= OOOO Рис. 5
Рис. 4
должна носить характер MOHOToHHoro увеличения. В действитель..
ности оказывается (рис. 5), что уrол поворота увеличивается с ро-
стом числа rрасrофа, достиrает максимальноrо значения пре]Зы-
шающеrо 900, а затем, монотонно убывая, приближает я к предель-
ному значению. Как видно, с увеличением высоты. полости стаби-
JIизация уrла около 900 наступает при ббльших О, а максимальное
значение (ХА увеличивается. Изотермы на рис. 4 соотв.етствуют слу-
чаю, коrда (ХА> 900.
в области формирования поrраничноrо слоя увеличение высо-
-ты приводит к увеличению интенсивности течения. При 0==40.103,
Р == 1 найдены зависимости вида
'fm (lи) == Ь О + Ь 1 · lи, 1 < lи < 10. (7)
Коэффициенты формулы (7) ДЛЯ' rраничных условий (1) равны
bo' ,-oiJ 4,5, b 1 6,5, а для теплоизолирqванных. условий Ь о 2,7,
Ь 1 5,6. Дальнейшее увеличение lя обнаруживает "rfостепенное
насыщение зависимости Фт (lя ) ; для оценок предельноrо
значения может быть использовано решение задачи для бесконеч-
Horo вертикальноrо слоя. Наличие концевых эффектов в замкну-
-той полости приводит к тому, что лишь при lя>40 возможна при..
ближенная «замена» слоя конечной высоты бесконечным верти-
кальным слоем.
Важной в практическом отношении интеrральной характери-
стикой конвективноrо движения являе ся безразмерный тепловой
поток число Нуссельта. Оно показывает во сколько раз пере-
нос тепла через полость при он е ции больше соотвеТСТВУ,ющеrо
потока тепла в чисто теплоцроврдном реж ме.' Мноrие авторы
представляют завяс мость Числа НУ 'сельта от безразмерных па-
раметров в ВИД [15, 'БI ' '
Nи == /1 (Р) · l;' · Яа т . (8)
Значение показателей степени т и " найденные различными ав-
торами, плохо соrласуются: для т приводятся значения от1),25 до
0,37, а для r от О до 0,25 [17].
176
- в качестве примера приведем конкретные выражения вида '(8) t
полученные в ра.ботах [15, 18]
( р ) 0,29
Nu == 0,,18 Р+О, 2. Яа , lн == 1. 2;
o 25 ( Р ) 0,28
Nu == 0,22 · lн' р + 0,2 · Яа., IH == 2 --:---10. (10)
Формулы написаны для значений числа Прандтл'я от 10 3 до
105 И чисел Рэлея от (P+O,2)10 3 jP до 1010. В работе [19] ут-
верждается, что они являются лучшими из существующих ацало..
rичных соотношений. Формулы относятся к случаю (2); однако в
[18] утверждается,' что (10) удовлетворительно описывает тепло..
обмен и в случае rраниц с идеальной теплопроводностью.
Сделаем одно замечание о вычислении числа Нуссельта при
БОЛЬШI1Х значениях числа Рэлея. Очевидно, что подробные расче..
ты при больших значеНI:fЯХ числа Рэлея весьма трудо емки. В этом
случае выйти из затруднительной ситуации помоrает знание эк..
спериментальноrо факта о степенной зависиМости числа Нуссель..
та от числа Рэлея. Достаточно в некоторых случаях вести расчеты
при меНqЩИХ числах Рэлея до наступления асимптотики. В режи..
ме ,асимптотики расчетные значения 19 Nu в зависимости от 19 Ra
'ложатся на прямую линию.' После построения степенной зависи..
, б ,
м.ости можно, вычислить предсказанное значение при ольшем чис-
ле Рэлея. При выяснении аСИМПТОТИКIJ необходима повышенная
точность расчетов и Jсамокритичность исследователя.
Сравнение законов теплопередачи в режиме развитоrо поrра..
ничноrо слоя, полученных различными авторами, проведено
В. Д. Зиминым [17]. Им показано, что при [\ 5 разброс' в зна..
чении числа Нуссельта составляет' 20%'; из решения уравнений
поrраничноrо слон, соrласованноrо с изоrрадиентны'м ядром, най..
дена формула.
NU H == Nu lH == 0,36 · Яа о ,25, lн > 5. (11)
Здесь Rая число Рэлея, в котором за характерный размер при..
нята высота полости Ra H ==Ra',l h' Степень т== 1/4 типична для
т плопередачи в режиме развитоrо. поrраничноrо слоя. Возврат к
обычному ЧИСЛ,у Нуссельта и Рэлея дает формулу
Nu == 0,36 · [;о,25. RaO,25, [н'> 5. (12)
I1редставление данных экспериментов и расчетов в виде (11}.или
(12) значительно уменьшило разброс (10 4 <R а я < 1012).
Описание теплопередачи формулой (11) удовлетворительно при
выполнении двух условий lH 5 и 104<Rая < 1012. Теплоп редаqа
в области формирования поrраничноrо слоя и lя близких к 1 пло..
хо описывается формулами вида (8) с одинаковым показателем
степени т 37. "В то же время эта область параметров удобна для
(9)
37 Напомним, что в области малых значений числа Рэлея показатель степени
m==l (см. формулу (6) )',."
12 3ак. 660
исленноrо исследования. Расчеты, выполненные автором
(Ta 8) дают следующие значения параметров D иm в аппрок
симации .
Nu == D (l н ) Raт(lH) , Р==l. ( 13)
Таблица 8
Вари нт rpa- [н 1 2 3
ничных условий
(1) D 0,220 0,219 0,209
т 0,280 0,272 0,263
(2) D 0,11 О О, 168 0,180
т 0,333 0,292 0,277
Ram 106 107 108
Видно, что с ростом высоты пол'ости показатель степени т
стремится к предельн ом у значению т==О,25. В последней строке
табл. 8 указана верхняя rраница числа Рэлея, до которой спра..
ведливы указанные параметры.
Отметим, что в случае rраничных условий l-ro рода (1) теп
u u u
ловои поток состоит из двух частеи потока через вертикальныи
и rоризонтальный участки раниц. Тепловой поток в случае теп
лопроводных rраниц (2) больше соответствующеrо потока через
вертикальный участок варианта (1).
Пре'дставление о величинах безразмерноrо тепловоrо потока
'при разных числах Рэлея дает табл. 9 (Р==I, 1 ==1) для обоих
вариантqв rраничных условий (1) и (2).
. Таблица 9
Ra
104
.
.105
106
107
108
Nu
(1)
(2)
2,90
2,30
5,53
4,91
10,5
10,5
20,1
22,5
38,2
48,0
Полезно иметь представление и о значениях числа Рэлея или
rрасrофа хотя бы для одноrо реальноrо процесса. Будем предпо-
лаrать, что исследуется теплопередача через воздушную прослой-
ку между оконными рамами. Для воздуха конвективный пара-
метр ,
с === ( g ) 981 см/сеК2 (1/273) rрад 1 ( 160 .:.. 210) CM 3 ; ад l.
}{ v 2 (0,13) 70,15)2 CM4jceK2 .
178
Выбра'нный интервал значений коэффициента КИН'ематической вяз...
кости соответствует интервалу температур 07200 С [26]. Так как
характерная разность температур 8 обычно меньше 500 C а шири..
на' между стеклами L == 15+30 CM для числа rрасrофа имеем
оценку сверху
О < с к · в L 3 2 · 109.
Во мноrих технических конструкциях обычно за счет больших раз...
меров число Рэлея достиrает значений 1015 и выше. Приведенные
цифры rоворят о TOM что для практики интересна область весьма
высоких значений чисел Рэлея и rрасrофа. Область малых - зна...
чений Ra - характерна для полостей малоrо размера L 1 см или
в случае слабой rравитации g (10 З+I0 5)gо (gо ускорение
свободноrо падения у поверхности Земли) реализуемой на косми...
ческих орбитальных станциях. '
При фиксирован ном числе Рэлея средний тепловой поток зави...
сит от высоты полости. Формула (12) справедливая при [H 5,
дает монотонное убывание потока. В режиме формирования по..
rраничноrо слоя существует [*н при которой средний поток тепла
максимален. В случае теплоизолированных rоризонтальных rраниц
l *н 1 35 + 0 05. В работе [16] приведено значение l*Н 1 5 но не
указывается соответствующий диапазон чисел Рэлея. Знание [*Н
позволяет увеличить тепловой поток через длинную вертикальяую
полость размещением rоризонтальных переrородок обра ующих
систему ячеек с 1 н [*н.
Кроме упомянутых характеристик 'решения (Фт N U сх,А) мож"
НО вычислять кинетическую эн рrию вращательный MOMeHT коор"
динаты особых точек и т. д. Требуемый набор характеристик оп..
ределяется целью исследования и требованиями заказчика. За...
казчик может потребовать например данные о скорости тем...
пературе в фиксированных точках. TaK например в лаборатор"
ном эксперименте [23] термопары размещались в фиксированных
точках. Для сравнения с численным расчетом одному из -авторов
[23] пришлось заново провести вычисления чтобы получить ин..
формацию для сравнения. Было в частности, выяснено, что чис..
ленные расчеты становятся rрубыми, если в поrраничные слои
попадает M Hee трех узлов сетки. Это факт следует и из сообра..
жений аппроксимации поrранслойных функций.
Остановимся на методических вопросах получения стаццоиар..
Horo решения. Решаемая задача допускает решение, обладающее
u u
следующеи симметриеи
(t, х, у) == (t, 1 х, 1 у),
. (t, х, у) == (t, 1 х, 1 у),
т (t, х, у) == 1 ]' (t, 1 х, l у).
( 14)
Симметрия (14) позволяет решать задачу в половине области.
При этом естественно вдвое сокращаются за траты, а кроме Toro,
12*
179
..'
ликвидируется отклонение от симметрии которое \ возникает на
этапе у но ения за счет поrрешности итерационноrо метода
для определения функции тока. Реализация (14) проще Bcero до-
стиrается расширением половинной области по х на половину ша-
ra h/2. Значения при x==0 5+h/2 вычисляются через значения
при х == 0 5 h/2.
Первое начальное состояние обычно соответствовало покоящей-
ся жидкости с линейным распределением температуры. Следую-
щие решения получались по методике продолжения по параметру
нулевоrо порядка начальное СОСТО5!ние соответствовало реше...
нию полученному при предыдущем значении изменяемоrо пара-
метра. Эффективность такой методики зависит от близости соот-
ветствующих решений. В тех случаях коrда возможности ЭВМ
допускают хранение нескольких массивов решений ' можно исполь-
зовать более высокие степени метода продолжения по параметру.
При первой степени метода начальное состояние вычисляется по
формулам
j(x,y) ' f2(X,y)+ f2(X'( 2= 1\X,Y) (O 02).
Здесь 02 ближайшее к новому 6
значение параметра а fl и f2 ста- Ни
ционарные решения (функции 5
тока, вихря, температуры), соот-
ветствующие значениям 01 и 02. 4
Характер выхода на стацио 3
нар зависит от интенсивности Te
чения и разности параметро/В. 2
При больших 'числах rрасrофа
(0)2.103) стационарное состоя- t О
ние достиrается посредством pe
версивных затухающих колеба
ний. Типичная зависимость числа
Нуссельта от времени в режиме выхода на стационар посредством
затухающих колебаний приведена на рис. 6 для Р == 1 0== 40. 103
И rраничных условий (1) 38. В области чисел rрасrофа до 2. 105
период колебаний обратно пропорционален максимальной скоро-
сти
(15)
0.05
0.10
t
0.15
Рис. 6
't кол """" (1,6 2,0) /v т .
Время выхода на стационар определяется ббльшим значением ха-
paKTepHoro масштаба времени. Характерные масштабы времени 39
зависят от КОЭффJ{циентов при диссипативных слаrаемых и скоро-
сти жидкости. Для решаемой задачи масштабы времени таковы:
. Н Н
tcp 1, , t T -::::::, .Р, t Ii 2о/ т . (16)
.....
З8 Аналоrичные зависимости при rраничныХ' условиях (21) содержатся в 1[25]
З9 Речь идет о безразмерном времени.
180
Отсюда видно, что' при малых скоростях время стационирова-
ния увеличивается. Расчеты подтверждают эту 'зависимость: в об-
ласти формирования поrраничноrо слоя при одинаковой относи..
тельной точности стационирования решение достиrается быстрее,
чем' в области ползущеrо течения. Указанные масштабы времени
дают обычно завышенную оценку для времени установления. При
р== 1, о== 103+ 105, например, время установления стационара с
относительной точностью интеrральных характеристик 10 4 не бо
лее 0,2 (начальное состояние соответствует покою с линейным рас..
пределением температуры).
g соответствии с (16) замедляется время выхода на стационар
при больших значениях числа Прандтля. Сокращение затрат при
больших числах Прандтля можно достичь увеличением. шаrа по
времени в уравнении теплопроводности. Эффективны в этой си..
туации и итерационные методы [27]. Отметим, что характер уста..
Н9вления в этих случаях уже не отражает физику явления.
Обсудим кратко результаты расчетов, касающиеся тепловой
конвекции в слоях, вытянутых по rоризонтали. Рассмотрим слу-
чай, коrда на верхней rранице задаются условия отсутствия вяз..
ких напряжений без учеТа деформации этой свободной поверхно..
сти. Иными словами, изучается конвекция жидкости в ванне пря..
моуrольноrо сечения' высотой Н и предполаrается, что возникаю
щее конвективное течение оставляет rоризонтальный уровень жид
кости неизменным. Известно, что в реальных условиях rидродина
мика потока (вспомните обтекание подводных препятствий на ре..
ке) может существенно менять форму свободной поверхности.
алость конвективных скоростей во мноrих случаях оправдывает
предположение о неизменяемости rоризонтальной поверхности.
В работе [28] экспериментально и теоретически показано, что
термокапиллярное движение в тонких слоях (Н <2 мм) может вы..
звать существенную деформацию rраниц. В. условиях наземных
экспериментов предположение о -малой деформации свободной по-
верхности хорошо выполняется, если толщина слоя не мене@ 4
5 мм. В теоретической работе [52] показано, что в "eKOTOpыx слу-
чаях rр витационной конвекции для KoppeKTHoro учета деформа..
ции свободной поверхности необходимо отказаться от приближе...
ния Буссинеска.
Отметим, что задачи с деформацией rраниц Be ЬMa трудоемки
даже при расчете течения ид альной жидкости или ползущеrо e.'
чения. атематические вопросы, возникающие в задачах о неста..
цион рном движении идеальной жидкости со свободной rраницей
изложены в учебном пособии по спецкурсу [20]. Некоторые мето..
ды решения задач со свободной rраницей описаны в моноrрафии
[21]. Пример решения задачи о подводном фонтане 8 случае вяз..
кой жидкости двухполевым методом при слабой деформации по..
верхности можно найти в статье [22].
в математической формулировке на свободной недеформируе..
Мой поверхности имеем
181
I .
д 2 о/ I == о
.."... Ф Ir == О. дY r ·
Неизменность функции тока вытекает из равенства нулю верти...
кальной компоненты скорости. Равенство нулю второй производ",
ной следует из условия отсутствия танrенциальноrо напряжения
пропорциональноrо (avx/ay).
Вспоминая связь вихря скорости с функцией TOKa получаем
простое условие для вихря скорости на свободной rранице
( д 2ф д2о/ )
tpJ r дх2 + ду2 r O.
'9"
Несмотря на кажущуюся простоту rраничных условий задача
усложняется. Во-первых, теряется симметрия решения (14) и за..
дача должна решаться в полной области. BO BTOpЫX набеrающий:
на вертикальную rраницу поток жидкости резко тормозится, что
приводит к большим rрадиентам, KQTopbIe требуют для детально
то разрешения малоrо шаrа сетки.
При небольших значениях числа Рэлея течение в центральной
части слоя неплохо описывается соответствующими точными ре...
шениями. Иллюстрацией к сказанному служит рис. 7 на котором
изображены линии тока и изотермы при P 5, lL 4 O 625 (rpa
ничные условия для температуры на обеих fраницах соответству"
ют (1)).
На рис. 8 изображена картина стационарноrо течения при Р==5,
==2, Ra 105 (на верхней rранице задано условие отсутствия
теплотока) . На рисунке отчетливо видны асимметрия течения и
изотерм, а также температурный поrраничный слой на левой rpa
нице. Сиrналом неудовлетворительной точности расчетов служит в
таких задачах без симметрии отличие входящих тепловоrо пото
ка (назооем ero условно NU-t) от выходящеrо Nu ,
Конвекция в rоризонтальных слоях изучается при различных
осложнениях, отражающих реальные процессы. На рис. 9 изобра..
жена rоризонтальная полость в массиве с одним открытым кон..
---- --- -----_......
, i 0.7& s:;
(
0-\6
(.
.
I
0.8
0.1
0.6
:
,
Рис. 7
r
Рис. 8
182
цом (это может быть штрек или пора в массиве). .Процессы 'пере
носа в такой rеометрии изучаются довольно часто. Совершенно
очевидно, что изучение процессов в такой полости должно вестись
с учетом внешнеrо обтекания (сопряженная задача). Большое чис
.ло исследований связано с задачами космичесkой технолоrии [24] '.
При этом, учитывая условия слабой rравитации, большее внима.
ние уделяется конвекции, обязанной зависимости поверхностноrо
натяжения от температуры и концентрации примеси (эффект Ма..
ранrони) .
На первый взrляд, в параrрафе даны подробные сведения ()
конвекции в прямоуrольных полостях при подоrреве сбоку. ПQка
жем, что сообщена практически «капля В море». Укажем часть
критических' замечаний.
1. Рассмотрение оrраничено случаем cTpororo подоrрева сбоку
((1,==00), что редко бывает.
2. Упомянуты расчеты только стационарных решений, оrрани-
ченных значением числа Рэлея Ra< 106.
3. Практически не рассмотрена зависимость конвекции от чис-
ла Прандтля (кроме зависимости N и (Р) ) .
4. Нет учета т ехмерности реальных течений.
5. Зависимости характеристик конвекции от высоты полости
.даны только в режиме формирования поrраничноrо слоя при
l н < 10:
6. Не учтена зависимость параметров среды от температуры.
Список критических замечаний без труда может быть п одол-
жен. В следующих параrрафах будут рассматриваться задачи, в
которых снимается часть критических замечаний. Кроме Toro, си-
-туация не так уже беспроrлядна. Рассмотренные режимы течения
будут аналоrичными и в усложненных ситуациях, а для тепловоrо
потока получена формула, вполне приrодная для инженерных рас-
четов.
В заключение параrрафа приведем карту основных режимов
конвективноrо движения в вертикальной полости при фиксирован-
ном числе Прандтля Р==0,7 (воздух), построенную В. И. Полежае
BbJM l24J. В обла тях малых значений Ra и lH (на рис. 10 это об-
.ласть.l) существует стационарное одновихревое течение. Для вто-
рой _ области характерна мноrовихревая стационарная структура
течения (вихри на rранице встречных потоков). Режиму колеба
ниi! соответствует область 111. rраницы областей указаны для
задачи с теплоизолированными rоризонтальными торцами. Хр_тя
.очевидно, что карта будет меняться при изменении числа Прандт
ля, она несомненно, является полезным ориентиром. По ней, в
частности, видно для какой области параметров x paKTepHЫ «бе-
лые пятна» лабораторных и численных экспериментов. Точки рас-
четов отмечены кружками, а экспериментальные исследования от-
мечены крестиками.
Подробные сведения о режимах конвекции на rоризонтальном
разрезе [н ==40 получены В. И. Полежаевым и ero сотрудниками
124]. Без преувеличений можно сказать, что эти расчеты выпол
183
'9' \
"
н
t i:
0.5
'\
'f
" (у
. ....
i.5
., ': \ ,
1.0
"
.' '. :':"":..' .: .:" :: .\:.
о
3
5
6
R(l
Рис. 9
Рис. 1 О
НЯJ{ИСЬ на rрани возможностей используемых ими ЭВМ. MHOro.
внимания было уделено совершенствованию методик обработки
результатов. На семинарах и съездах неоднократно демонстриро
вался фильм, в котором наrлядно показа'ны этапы перестройки
течения и структуры пульсаций в поrраничном слое. Эксперимен",
тальные данные rоворят о том, что пульсационные режимы при
высоких значениях числа Рэлея носят трехмерный характер. Becь
ма удивительно, что расчеты [24, 25], выполненные в плоской по...
становке, хорошо соrласуются по МНQrим параметрам с лабора-.
торными исследованиями.
t э. УСЛОЖНЕННЫЕ ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ ТЕПЛОВОЯ КОНВЕКЦИИ
В ЗАМКНУТЫХ ПОЛОСТЯХ ПРИ HArPEBE С&ОКУ
В нцстоящее время трудно просто перечислить, те усложнения,.
которые использовались в расчетах сопряженная постановка,.
учет сжимаемости, сложная реолоrия жидкости, pagpbIBHbIe rpa-
ничные условия, сложная rеометрия, маrнитное поле, пористая'
среда, учет диффузии примеси и т. д. Рассмотрим лишь четыре за :
дачи. Первая задача интересна с точки зрения популярной reoMeT
рии rоризонтальный ЦИЛИНДf) KpyroBoro сечения. Во второй за-
даче выясняется влияние зависимости вязкости от температуры на
характеристики конвективното течения. Двухслойная ситуация co
ответствует третьей задаче, а в четвертой задаче paCCMOTpe a He
ньютоновская жидкость.
Задача о конвекции в бесконечном rоризонтальном цилиндр
KpyrbBoro сечения формулируется в цилиндрических координатах
(Rис. 11). Уравнения в безразмерном виде имеют следующий вид
д + ( д t . д дt . д ' ) == 1:1 + о ( д Т . sln & дТ 3- ) \,
д t r ,д r д& д& д, <Р ( д8 r д, COS '
1 д ( д ) 1 д 2 "01
Ll + <Р == О, д :=: r · д r r д r + r 2 · д & a' '
( 1)
184
I дТ + ' ( дО/ . дТ gO/ . дТ ) == .i!1 Т
дt r дr d& д3 дr Р ·
Функция тока введена соотношениями
..::. 1 дф д 0/
v, r д& ' Vз == дr ·
Для задания rраничных условий, соот-
ветствующих HarpeBY сбоку, существует
несколько возможностей. Можно, напри-
мер, задать постоянные, но разные значе..
ния температуры в левой и правой полови-
нах Цlилиндра. При этом в' уrлах е==90С>
и 2700 температура претерпевает разрыв.
Мы 'рассмотрим случай [29] rладкоrо з'а..
дания температуры на rранwце по закону
косинуса
у .
( ,"
...
Х'
R.
j-r"
Tfr == С083. (2) Рис. 11
Уравнения (1) содержат устранимую
особенность при r == О. Эта неопределенность может быть pac
крыта по правилу Лопиталя. Простой способ устранения неопреде..
ленности заключается в следующем подходе. Уравнения для цент-
ральной точки записываются в декартовых координатах. В этих
координатах особенности нет. Затем выполняется аппроксимация
u u
в центральном точке в декартовых координатах и счет в этои точке
ведется по полученной формуле.
Расстояние между узлами в полярных координатах меняется
даже в случае В.ыбора равномерной сетки по радусу и уrлу
&k == К · Ll&,
r l == i!1r,
i == О, N;
к==О,М.
"
Малое' расстояние между узла'ми вблизи начала координат paB
ное ((8r. 8'6') привод,ит к жестокому оrраничению на шаr! пр време..
ни в явных схемах 40. Поэтому неявные схемы переменных направ-
u
лении. оказываются предпотительнее даже при малоинтенсивнои
конвеJ<ЦИИ.
Заметим, что при отсутствии конвекции уравнение теплопро..
водности имеет точное решение
т ==; r с о 8 {} , .
удо'влетворяющее rраничному условию (2). Для Toro, чтобы в
разностно схеме проходило соответствующее решение
T i , k == r i COS &k,
40 Если в задаче ожидается rладкое изменение функций в центре области,
можно выбрать первый шаr по радиусу большим: rl ==Ro+i1r.i, i==O, N
. i1r== (1 Ro) / N. Это позволит вести расчеты по явной схеме с шаrом в R5/i1r2
больше обычноrо.
185
-.. \
следует в обычной аппроксимации оператора Лапласа
"1 о 1 ' ,
т,, + r т, + r 2 Т33'
в последнем слаrаемом сделать замену
Ll& ---+ 2 siп (Ll& /2).
Такой прием «адаптации аппроксимации» к точному аналитиче-
скому решению использовал А. Н. Шарифулин ,[30] для более ак-
KypaTHoro решения задач с равновесным решением. В том случае,
коrда решением уравнения ЛаI;Iласа является лоrарифмическая
функция т == ln " им предложено изменить аппроксимацию произ-
водных по радиусу
1 ' r2 . Т"..., Дr Т; .
1" + T ---+ +
r r;ln (1 r2Ir;) ri ln [(1 + дr!rд/( 1 .......... rlrд] ·
Предложенные аппроксимации сохраняют 2-й порядок аппрокси-
мации и вблизи соответствующих решений предпочтительнее обыч-
Horo варианта.
Смена ламинарных режимов течения (чисто теплопроводный,
переходный, поrранслойный) происходит аналоrично случаю пря-
моуrольной полости. На рис. 12 представлены линии тока и изо-
термы [29] для числа rрасrоф а о== 12 500. Число Прандтля Р==5.
Число rрасrофа. определено по радиусу и полуразности темпера-
тур. Точки на карте линий тока отмечают положение максимума
ФУliКЦИИ тока. Картина течения соответствует режиму сформиро-
вавшеrося малоподвижноrо ядра с вертикальным rрадиентом тем-
пературы.
Рис. 12
Перейдем к задаче свободной конвекции в случае вязкости, за-
висящей от температуры. В этом случае уравнения Навье-Стокса
имеют следующий вид [29]
av -+ ...... 1 -+ -+ -+...... ;;.
дt + (VV) v == Ро Vp + vdv + 2 (vvV) v + (vv Х rot v) +g Tk. (3)
186
...
Здесь k единичный вектор, направленный вверх; остал,?ные
()бозначения стандартные.
Рассмотрим наиболее простую линейную модель для зависи-
"мости вязкости от температуры:
'J == 'J o (1 3. 0 Т), (4)
r де \70 «средняя» вязкость, вычисленная по средней температу"
ре, принятой за начало отсчета.
Использование (3) и (4) приводит к добавлению в правую
часть уравнения для вихря следующеrо слаrаемоrо
6 Т == ,.,rТd'Р+2 ( дТ . дq> + дТ. . дq» 4 д2Т, . д2
· t дх дх ду ду дх. д.у дх.ду
( д 2 Т д 2 Т ) . ( д2 д2о/ )] (5)
Дх 2 ду2 дх 2 ду2 ·
Множителем в этом слаrаемом является параметр неоднородности
'Вязкости V==ltX 0 8, для KOToporo может быть найдена связь с вели-
-Чиной перепада 'вязкости
тах 'v 'v ( e/2) . + 1
Р == min 'V 'V ( + 8/2) 2 1 ·
(6)
Полная система определяющих уравнений состоит еще из уравне-
.ния теплопроводности и уравнения Пуассона для функции тока.
Рассмотрим задачу [29] 41 о конвекции в полости квадратноrо се-
чения с rраничными условиями для температуры
Т (О ) 05 T (l ) +05 дТ(х,О) == дТ(х,l) == 0
, У == , , , у == ,. , ау ,ду ·
Расчеты выполнялись при двух значениях числа Прандтля р== 1 и
Р==5. Параметр неоднородности вязкости выбирался равным 1'==0;
0,5; 0,75; 1,0; 1,25; 1,5; 1,637 (последнее значение соответствует
десятикратному перепаду ,вязкости р == 10). Число rрасrофа из-
менялось до G == 50 000.
На рис. 13 приведена зависимость максимальноrо значения
функции тока от числа rрасrофа при 1'== 1,637 (сплошная линия)
и 1'== О (штриховая линия). Как видно, неоднородность вязкости
повышает интенсивность течения. Аналоrично увеличивается й чис..
.ло Нуссельта. Зависимость максимальной скорости от парамет-
ра V при G == 20 000 близка к линейной; относительное увеличение
при смене V с нуля до 1 составляет ;;::::, 70/0 при р == 1 и 200/0 'при
р == 5. '
Обрабо ка результатов позволила получить приближенные за-
висимости (v< 1,6)
Nu (1) . Nu (О) · (1 + 0,02,). (7)
Подобная зависимость характерна и для функции тока.
-'1 В этой работе влияние v (Т) изучено и для полости KpyroBoro сечения.
187
р и с. 13
Рис. 14
Влияние неоднородности вязкости, естественно, увеличивается
по' мере возрастания параметра V. Это влияние заметно и по Ha
руш нию имеющейся при v== о симметрии течения. Возрастает ско-
рость у rорячей стенки 42, усиливается асимметрия полей 'Ф и 1.
Эта асимметрия заметна по смещению изотерм, линий тока и цент-
ров вихрей. Изотерма, соответствующая средней температуре, сме...
щается в сторону холодной жидкости.
Таким образом, результаты расчетов с идетельствуют о том,.
что температурная зависимость вязкости приводит к более или
менее значительному изменению локальных характеристик кон-
вективноrо течения. Что касается интеrральных характеристик
максимальноrо значения функции тока и безразмерноrо тепловоrо
потока, то, будучи определенными по средней ,вязкости, они из...
меняются в сравнительно оrраниченных пределах (см. формулу
(7) ). Отметим, что при подоrреве снизу (см. Э 4) вблизи критиче...
cKoro числа Рэлея влияние 'V (1) существеннее.
Своеобразна 'свобрдная конвекция I в мноrослойных системах.
Простейшим примером мноrослойных систем является 'дву.fCСЛОЙ'"
ная система, состоящая. из жидкости и находящимся HaJ{ ней ra...
зом. Взаимодействие течений в таких системах осуществляется на
rранице раздела. Чаще Bcero rраница раздела предполаrается не-
деформируемой. Основные 'затруднения при численном моделиро
вании заключаются в необходимости детальноrо разрешения узких
слоев вдоль rраницы раздела. Пример течения в двухслойной си
стеме представлен на рис. lL1. Расчет [35] выполнен для системы
вода силиконовое масло (более леrкая вода сверху) при Harpe-
ве слева. На рисунке одновременно изображены изотермы и линии
тока. Линии тока изображены штриховыми линиями. ЛИНiИЯ раз..
дела делит полость на две равные половины. По изотермам видно,
что интенсивность течения в воде выше. Вязкое взаимодействие
на rранице жидкостей приводит к тому, что течение в верхней ча-
сти нижней (ведомой) системы имеет направление движения обрат..
42 Обсуждается вариант 'V (Т), дающий понижение вязкости с ростом темпе-
. ратуры. Такая ситуация характерна для жидкостей. В rазах вязкость повыша
ется с ростом температуры.
188
\
Ное тому, которое ыло бы при отсутствии взаимодействия. С ро-
-стом разности температур возрастает интенсивность и в нижней
истеме, и слой «соrласования» становится узким. Аналоrичные и
еще более сложные эффекты взаимодействия торизонтальных струй
жидкости характерны для устойчиво стратифицированных систем
с учетом диффузионных механизмов [24,51].
Перейдем к рассмотрению конвекции жидкости, обладающей
свойством вязкопластичности 43. В работе [31] использована рео-
лоrическая модель Уильямсона [32]. Модель не требует опреде-
ления rраниц квазитвердоrо и вязкопластичноrо течений как, на-
прим р, модель Бинrама-Шведова. Сохраняя физически важно'е
свойство вязкопластичных сред резкое уменьшение текучести
при малых скоростях деформации, модель Уильямсона является
аналитической и допуска т предельный переход к модели Бинrа-
ма-Шведова.
Реолоrическое уравнение жидкости Уильямсона для случая
npocTpaHcTBeHHoro движения имеет вид
'ttk == ('IJ.. + а' :O I; ) e tK , e tK .== ( ; + :: ) J . /2== e tK · е/к. (8)
дecь 't' l к теНЗ0Р вязких напряжений, е l к тензор скоростей
деформации, /2 второй инвариант тензора скоростей деформа-
ции, 1)00, '{ , а' реолоrические постоянные; 1)00 имеет смысл вяз-
кости при больших скоростях деформации; смысл начальной вяз-
кости иrрает комбинация (1)00+'t /а'), соответствующая /2==0.
В пределе T O получаем реолоrическое уравнение ньютоновской
жидкости. При a' O осуществляется переход к реолоrической МО-
.дели бинrамовскоrо пластика.
Модель (8) использо алась для расчета конвекции в полости
квадратноrо сечения при подоrреве сбоку с rраничными условия-
ми (1) 2. Решаемое уравнение для вихря имело следующий вид
- ....
.!.. ( д + д ф . д д Ф . д ) == Н 11 + R д Т + 2 ( дН . д + д-!!. . д ) -
Р дt ду дх д,Х ду 'f адх дх дх ду ду
д 2 ф д 2 Н ) ( д2ф д2ф ) ( д2Н д2Н )
4 дх . ду · дх. ду дх 2 д у2 " д х 2 д у2 '
(9)
Н==l+
'to
а' , f ( д2ф ) 2 ( д2!ф д 2ф ) 2
У 4 дх. ду + дх 2 ду2
в качест е единиц измерения расстояния, времени, функции
'Тока и вихря выбраны следующие вел чины сторона квадра-
-та L, L2/ x , х, X/L2. Кроме чисел Рэлея и Прандтля, задача содер-
жит дополнительные реолоrические параметры
43 Примерами таких жидкостей являются различноrо рода краски. Всем из-
вестно свойство тонких слоев краски сохраняться на вертикальных поверхностях.
189
'
, 2 I L 2 /
- 't o == 'to L /r- 00 х, cl == (1 х.
При определениц Чtlсла Рэлея в качестве коэффициента кине ати
u .
чеСКQI1 вязкости v ИСПQльзовалось предельное значение равное
'У)оо/р. Обратим внимание на то, что новые слаrаемые в уравнении
для вихря «эквивалентны» тем слаrаемым, которые добавляются
при учете зависимости вязкости от температуры (5), если в (9)
сделать замену H T.
Расчеты выполнялцсь при фиксированном значении числа
Прандтля р== 10 с перебором реолоrических параметров в интер
валах 10::::;то::::;250, 1 ::::;a 5. Основные вычисления выполнялисъ.
на равномерной сетке 16х 16. Переход на сетку 20Х20 изменял
интеrральные характеристики в пределах 30/0 при числах Рэлея
Ra<2.10 5 . Стационарные решения находились итерационным Me
u u
тодом И по неявнои схеме переменных направлении с аппроксима
цией О (h 2 ) , В качестве начальноrо состояния 44 для функции тока
использовалось распределение, соответствующее одновихревому
движению.
На рис. 15 изображены зависимости безразмерных тепловых
потоков от числа Рэлея для двух вариантов реалоrических пара
метров: обычная жидкость (линия 2) и модель Уильямсона с па
раметрами Тр "':" 250, а == 5 (линия 1). Видно, что при Ra<Ra* теп
ловой поток близок к единице конвективное движение в полости
почти QTCYTCTByeT. В области Ra';:::jRa* происходит резкое HapaCTa
ние интенсивности теч ния и теплопотока. Дальнейшее увеличение
Ra дает приближение тепловоrо потока к значению потока для
ньютоновской жидкости. Критическое число Рэлея Ra* == 32т(} было
вычислеНQ в [31] при постулировании вида движения по модели
Бинrама-Шведова. Наибольшее отличие модели Уильямсона от
модели Бинrама Шведова наблюдается при Ra<Ra* в модели
Бинrама Шведова движения нет, а в модели Уильямсона сущест
вует движение с малой амплитудой. целом, модель Уильямсона
вполне работоспособна. В работе [33] для этой же задачи ИСПОJ!Ь
зовался ,вариационный принцип резульtаТрI дают одтвержде
ние приrодности модели Уильямсона для. описания конвекции
вблизи Ra*.
t 4. НАДКРИТИЧЕСКНЕ РЕЖИМЫ КОНВЕКЦИИ
В ЗАМКНУТОЙ о&пАСТИ ПРИ подоrРЕВЕ СНИЗУ
Как уже отмечалось, в замкнутой полости при cTporo верти
кальном rрадиенте температуры возможно равновесие жидко
сти [1]. в случае подоrрева сверху это равновесие абсолютно yc
тойчиво, а в случае подоrрева снизу существует последователь
ность критических чисел Рэлея Ra l , при которых равновесие теря '
ет устойчивость относительно малых ха рактеристических возму
....
44 Обратим внимание на то, что для сложных реолоrических моделей жела
тельно использовать rладкое начальное распределение скорости.
190
щений. В данном параrрафе представлены результаты численных
экспеl'иментов, показывающие характеристики конвекции, развив-
шейся в результате неустойчивости в надкритической области
Ra>Ra l . Так как в лабораторных экепериментах условия равно-
весия нарушены, большое внимание уделено влиянию «дефеКТОВ»t
нарушающих условия cTpororo равновесия.
Рассмотрим вначале задачу о rравитационной тепловой конвек-
ции в полости квадратноrо сечения при следующих rраничных ус-
ловиях 45 [36]:
--+
Vlr O, Tlr==l Y. (1)
Равновесное решение
(O) === О, Т(О) === 1 у (2)
удовлетворяет и разностны.м уравнениям. Поэтому вычислительный
эксперимент следует начинать с начальным состоянием отличным
от (2). Выбор начальноrо состояния существенно влияет на время
установления стационарноrо состояния, особенно вблизи пороrа.
При исследовании надкритических движений, имеющих форму еди-
u
ничноrо вихря, часто задавался начальным вихрь в центральном
узле области со значением + (100..;-.-1000). Использовались и дру-
rие способы создания начальноrо распределения, отличноrо от
paBHoBecHoro. Оказалось удобными вести сначала счет при усло-
виях подоrрева сбоку, а после достижения максимальным значе-
нием функции тока определенной задаваемой величины «повер-
нуть» полость в .состояние подоrрева снизу и далее вести счет до
установления. В этом случае выход на стационар достиrается наи-
более быстро. Сокращецие затрат машинноrо времени дает и ме-
тод продолжения по параметру.
Длительность переходноrо процесса при Ra> 1,5Ral составля-
ет 0,270,3 единиц безразмерноrо времени (число Прандтля р== 1) t
а вблизи пороrа это время может увеличиться на порядок. Лоэто-
МУ С точки зрен.ия затрат машинноrо времени экономичнее подхо"
дить к критическому числу Рэлея сверху, начиная с Ra' 2Ral и
используя метод продолжения по парамеТI1У.
Вблизи пороrа 'Ф /"OJ (Ra Ral), Экстраполяция этой зависи-
. мости на нулевое значение 'Фт позволяет с хорошей точностью на
умеренной сетке (h == 1/15) определить критическое число R.fll ==
== 5080 + 20 (по линейно й теории 5099). Найденный корневой закон
Фm 0,07 V Яа Ra j , Ra < 1,5 · Яа 1 '(3)
находится в полном соответствии с результатами аналитическоrо
исследования В. С. ,Сорокина [38]. В [36] был отмечен корневой
закон и для добавки к, тепловому потоку., Позднее В.. И. Черна-
u u
тынскии аналитическими средствами сделал поправку корневои
.45 Аналоrичные результаты получались и для полости KpyroBoro сечения
В. и. Чернатынским [37].
191
..'
. Nu.
......
J
А
"U 'f
I
2 1
3
'i
Gi 6з G.... G ' ...
i
О 2'10 Jt..f04 RQ О ) 20'103 .tO 3 60' i0 3 ,
Рис. 15 Рис. 16
J
t.D
Рис. 17
закон справедлив только для потока через rоризонтальную rрани
.цу, а для потока через в ртикальную rраницу характерен .линей-
ный закон 46 [37]..
На рис. 16 представлена зависимость числа Нуссельта от чис-
ла Рэлея. Аналоrичная З'ависимость с признаками насыщения ха-
рактерна и для функции тока. Любопытна зависимость от числа
Рэлея модуля rоризонтальной компоненты rрадиента температуры
в центре полости после резкоrо возрастания и достижения мак-
симальноrо значения 0,8 монотонное уменьшение до 0,08 при
Ra==60 000.
Картина течения при Ra==60 000 (примерно 12-кратная надкри-
l'ичность) изображена на рис. 17. Заметно существенное искаже-
.вие изотерм (в случае равновесия изотермы rоризонтальны), обра--
....'"
46 В случае полости с теплоизолированными боковыми rрании.ами для полноrо
-потока корневой закон справедли .
192
зование температурных поrраничных слоев и наличие ядра с ма-
лыми rрадиентами температуры 47.
Дальнейшее увеличение числа Рэлея (Ra>Ra* 64 000) при-
водит к режиму реrулярных колебаний. Было потрачено MHoro сил
на выяснение зависимости характеристик колебаний (начало ко-
лебаний, амплитуда, период и т. д.) от параметров метрда ша..
rOB по времени и пространству, точности решения уравнения Пу-
ассона и аппроксимационной вязкости. Можно утверждать, что эти
колебания отражают физику явлений с одной оrоворкой режим
реальных колебаний является трехмерным и не может быть опи
сан адекватно двумерными уравнениями. В связи с этим замеча-
нием отметим, что хорошей физической моделью для двумерных
течений является ячейка Хеле-Шоу. Нестационарные процессы,
обнаруженные в такой ячейке при подоrреве снизу [40], были ВОС"':.
произведены и в численных расчетах Б. И. Мызниковой [41].
Продолжим разrовор о стационарных решениях. Попытаемся
раскрыть роль следующеrо надкритическоrо числа Рэлея Ra2. При
возбуждения BToporo критическоrо движения задавалось возму-
щение paBHoBecHoro состояния в виде пары вихрей [36]
( ' ) == + (100 7100), , ( ' ) == (1007400).
Как правило, в результате развития TaKoro начальноrо возмуще-
ния получалось основное (одновихревое) стационарное движение.
Однако в интервале 14.10 3 <Ra<28.10 3 (напомним, что
Ra2 8 500) в результате переходноrо процесса устанавливалось
нелинейное движение двухвихревой структуры. Вид этоrо движе-
ния при Ra==20.10 3 изображен на рис. 18 (течение типа «кошачьи
rлаза»). Движение этоrо типа в указанном интер'вале параметров
1.3
о
"
Рис. 18
\
47 Течение в ядре приближенно соответствует вращению изотермическоrо
ядра. Такое решение предсказывал Бэтчелор [39] для подоrрева сбоку. Натур-
ные и численные эксперименты убедительно показали, что при подоrреве сбоку
эта rипотеза неверна.
13 Зак. 660
193
..\
существует довqльно долrо, во всяком случае, в течение промежут
КОВ времeJtй,- значительно ббльших времени переходноrо процесса.
Так как с течением времени это движение разрушалось, переходя
в основное, оно было названо в работе [36] метастабильным 48.
Следить за переходом двухвихревоrо движения можно по двум
величина :
01 == Фт I min ФI '
XtY
02 === ф l, k .
l, k
в случае чисто двухвихревоrо движения обе указанные величины
равны нулю. При изменении rраничных условий (см. [43]) и reo
метрии полости это двухвихревое течение может быть основным.
Рассмо рим вычислительные эксперименты, в которых выясня
лась роль слабых нарушений условий р.авновесия. Начнем с зада
чи со следующими rраничными условиями (рис. 19) [44]:
'r == О, Trl == 1 у,
дф ==- о
дп x Z8 O,l '
у==о
до/ и L
Яе
ду y==l '
( 4)
Эта задача отличается от рассмоrренной выше rраничным усло-
вием для скорости на верхней rранице. Задача интерес.на уже тем,
что в изотермической постановке она неоднократно исследовалась
численно, начиная с работы Каваrути 1961 r., а в Советском Сою
зе Л. М. Симуни [46]. rраничное условие (4) добавляет в за
дачу новый параметр число Рейнольдса Re. Подчеркнем, что
при Re=l=O paBHOBeCHoro р.ешения задача не имеет.
При Re O в зависимости от вида начальноrо возмущения мож
но было получить решение с вращением жидкости по часовой или
против часовой стрелки. Амплитудные характеристики (кинетиче
ская энерrия, тепловой поток) этих ветвей были одинаковыми
(вариант тривиальноrо ветвления решений). Появление движения
одной из rраниц (Re=i=O) делает эти ветви неравноправными. Oд
На ветвь оказывается в блаrоприятном положении (конвективное
движение и движение rраницы создают движение с одинаковым
направлением вращения), а друrая в неблаrоприятном. Обычно
реализуется блаrоприятная ветвь, выход на друrую ветвь можно
осуществить лишь при определенных значениях параметров и за
u U U.
дании специальных возмущении с конечном амплитудом.
На рис. 20 представлена зависимость экстремальноrо значения
функции тока от числа rрасrофа (число Прандтля р== 1 и число
Рэлея Ra G.P==G) при трех значениях 1Jисла Рейнольдса
Re O; 2; 20. Штриховая линия соответствует невозмущенно
му случаю Re О. Б лаrоприятная B TBЬ изображена в верхней ча
1.3 Роль возмущений при переходе двухвихревой структуры течения в OДHO
вилревую иrрает неточность решения уравнения Пуассона итераи.ионным TO"
дом. Исключение этоrо источника возмущений или счет в 1/2 области с HaB aH
ными условиями симметрии [42] позволял исследовать рассматриваемое течение
в более широком интервале числа Рэлея от Ra2 до режима колебаний.
194
6
.э
,-:.) [@]
1
.
... з
i .
Х
о
...... .. ....
GM
...........-. 40000
&
.
з
-'
:
/
6
Рис. 20
сти (положительная ветвь). В нижней части рисунка изображена
неблаrоприятная ветвь при Re 2. Выйти на эту ветвь можно
лишь при О> Ом и задании возмущения с конечной амплитудой.
Оценить амплитуду этоrо возмущения можно по значениям мак...
симума функции тока, соответствующим пунктирной линии отри-
Пательной ветви.
Коснемся вопросов обработки результатов. Теория ветвления
[47] предсказывает, что иноrда при малых нарушениях условий
равновесия амплитуда описывается кубическим уравнением
Ь 3 + С 1 (О 01) Ь + С 2 == о.
Для характерных точек рис. 20 из (5) следуют соотношения:
Ь . ( IC21 ) 1/3 ' 3Ь м 2
м 2 ' ОМ 01 + lёJ '
(5)
(6)
Ь+ (01) == Iс 2 Р/3,
Ь+ (ом) == 2b '(Ом) 2bM'
( )
Здесь Ь+ и b амплитуды на положительной и отрицательной
ветвях. Что можно извлечь из (6) (7)? Во-первых, отклонение
от выполнения BToporo соотношения в (7) может служить мерой
поrрешности описа ия ветвления кубическим уравнением. Таким
образом одновременно устанавливается и малость нарушения рав-
новесия: Во-вторых, используя (6), можно получить оценку пара-
метров Ьм, ОМ для нижней ветви, имея лишь результаты для верх-
ней ветви.
При Re== 2 обработка сеточных Р,езультатов по методу наи...
меньших квадратов позволила определить значение коэффициен-
14 3ак. 660
195
\...
тов С} .и с ависимость фэ (О), построенная по уравнению (5),
оказалась близкой к полученной, некоторое отличие (см. пунктир...
ную линию на верхней ветви) наблюд'!ется при 0< О}. По най
денным значениям коэффициентов и формулам (6), находим, Ha
пример, важные значения характеристик ветвления
Ом 6280, Ум 1,37.
l-Ia обсуждаемом рисунке изображены решения, которые OTHQ
сятся к одному знаку числа Рейнольдса и различным знакам
экстремумов функции тока (разные направления вращения). При
счете экономичнее получать решения, которые соответствуют oд
ному направлению вращения (один знак 'Фэ), но разным знакам
числа Рейнольдса (разным направлениям движения rраницы).
Перебор чисел Re при 0==0 и 0== 12.103 позволил получить
аналитическую приближенную зависимость параметров ветвления
от числа Рейнольдса. Анализ результат<?в сч..ета позволяет считать,
:что при 1 Re 1< 4 поrрешность этих формул менее 100/0" Из них, в
частности, следует, что даже при I Re 1 == О, 1 ветвление заметцо от-
личается от тривиальноrо' случая, так как при этом .1 'Фм 1 ,Q,54,
ОМ 01 180.
Отметим, что рассмотренный характер ветвления во MHorOM
похож на случай слабоrЬ наклона полости [45].
Рассмотрим характер ветвления при нарушении условий равно-
весия, индуцирующих течение двухвихревой структуры [43]:
v I r == О, Т I r == 1 У + 8 S i n ( 1tX ) . ( 8)
Решение уравнений конвекции при rраничных условиях (8) зави
сит от трех параметров числа Прандтля (Р==I), rр,асrQфа и
амплитуды «возмущения» температуры на rоризонтальных участ-
ках.
ПрИ- отсутствии дви}кения (твердая среда или состояние ,неве:.
соМОСТИ) уравнение теплопроводности имеет точное решение
] ' 1 + . S h 7t У + s h 7t (1 :......... у)
у 8 Sln Т;.Х' h .
s 7t
(9)
Из точноrо решения желательно извлечь максимум информ.ации.
Эта информация помоrает оценить малость параметра в и ero
влияние на характеристики ветвления. Весьма информативна ве-
личина безразмерноrо потока
Nu 1 -t 1,928.
. (1 О)
Расчеты при малых в и О (область ползущеrо течения) дают
простую формулу .для амплитуды д'вухвихревоrо течения
т 0,3, lО ЗЕа.
(11)
Влияние в на ветвление вблизи второй критической точки i43]
аналоrично влиянию числа Re вблизи первой критической точки.
Поэтому этот результат мы не оБGуждаем. Отметим лишь, что
196
б
' W m
· € =0.05
)( t: =0.2
3
et
,
",; /
дl tr. "/1/
, ,,-' I
.,,"
о
5
iO
15
R-iО 3
20
Рис. 21
амплитудные зависимости определялись с помощью навязывания
u
условии си метрии
(х, у) == у (1 х, у),' т (х, у) == ]' (1 х, у). (12)
Счет с условиями (12) велся в половине области.
Счет задачи с условиями (8) в полной. области дал следующую
картину ветвления, изображенную на рис. 21.':':.Первая ветвь, от-
меченная цифрой 1, соответствует одновихревому течению, а вто-
рая двухвихревому. Штриховая линия амплитуда двухвихре
Boro течения при Е == о. Для первой ветви результаты представле
ны для 8==0,05 (точки на линии) и 8==0,2 (крестики вне линии)..
Вертикальные стрелки" отм'ечают переход с одной ветви на дpy _
ryю. При продвижении по второй ветви со стороны малых значе
'н ий числа Рэлея (8==0,05) переход на первую ветвь осущеСТВЛ8ет
ся в области' стрелки с буквой В. При движении по верхней ветви
в сторону уменьшения числа РЭJLея переход на вторую ветвь ocy
ществляется в районе стрелки с буквой А (длительность переход а
составляет шесть единиц безразмерноrо времени!). Таким обра
зом, четко проявляется rистерезис. При 8==0,2 примерный интер..
вал проявления rистерезиса Ra == 5 700 6 OO.
ОтмечеННБIЙ rистерезис наблюдался позднее в кспериментах
с ячейкой Хеле-Шоу [48]. Двухвихревая структура в этом экспе
рименте возбуждалась HarpeBoM проволочки с током, помещенной
в центральной части ячейки.
С увелич'ением 8 повышается устойчивость одной ветви ДBYX
вихревdrо течения. Вблизи пеРВQЙ критической точки появляется
интервал жесткой неустойчивости. Что касается интеrральных xa
рактеристик одновихревоrо движения вдали от R a l, то влияни.е
на них 8 незначительно. Заметим также, что линии 1 на рис. 21
соответствуют две ветви с положительным направлением враще
14. 197
:
ния И С о цаrельным, по интеrральным характеристикам эти
ветви неразличимы.
Выполненные исследова ия показыв?ют, что поrрешность вы-
полнения rраничных условий для температуры paccMoTpeHHoro ти-
па порядка 50/0 слабо влияет на амплитуду первоrо критическоrо
движения. Незначительно меняется и критическое число, опреде-
ленное с помощью экстраполяции.
Опишем численные эксперименты [49], определяющие влияние
неоднородности вязкости. Добавка к обычному уравнению для
вихря в случае линейной зависимости вязкости от температуры
v == v o ( 1 .......... а Т) (13)
уже приводилась при обсуждении конвекции при подоrревесбоку.
Сейчас рассматривается вариант подоrрева cTporo снизу
v Ir === О, Т Ir == у. (14)
Начало координат выбрано в центре полости квадратноrо сечения
так, чтобы в равновесном состоянии вязкость в центре равнялась
Vo 49. Расчеты выполнялись при Р == 1 на сетке с h == 0,05.
Пd'rtазано, что заftИСИ 10СТЬ (13) понижает пороr устойчивости
равновесия. Амплитудные кривые, возникающие в первой крити-
ческой точке Ral, смещаются влево, сохраняя симметрию ветвей.
Такая ситуация характерна не только для rраничных условий (14),
но и в случае теплоизолированных боковых rраней. При десяти-
кратном перепаде вязкости соответствующие изменения критиче-
ских чисел таковы: 5 100 4 500; 2 700 2 250 (теплоизолированные
боковые rрани).
Наиболее интересные результаты получены для двухвихревоrо
движения. Обсуждаемое течение представляет особый интерес с
точки зрения рассмотрения вопроса о суrцествовании подкритиче-
ских движений. Интересна задача и с точки зрения исследователя,
выполняющеrо численный эксперимент. Дело в том, что обсуждае-
мые эффекты проявляются вблизи критической точки. Вблизи кри-
тической точки велико время установления, и нетерпеливый ,иссле-
дователь может удовлетвориться квазистационарным решением, и
в итоrе пройти мимо важных, с принципиальной точки зрения, эф-
фектов. С позиции выполненных расчетов и обработки результатов
понятна, например, неудача численноrо эксперимента [50], в ко-
тором не обнаружен ожидаемый эффект, расчеты [50] были
выполнены при малом перепаде вязкости 1,4 (эффект мал даже
при десятикратном перепаде) и недостаточно подробном исследо-
вании вблизи критической точки.
Обсудим зависимость Фm (Ra), приведенную на рис. 22 для слу-
чая у== 1,636 (соответствующий перепад вязкости равен 10). Верх-
няя ветвь (она условно названа положительной) относится к дви-
жению с осходящим течением по центру полости, а нижняя B BЬ
u
()тносится К движению с нисходящим потоком в центральнои ча...
49 Удобнее все параме ры определять по средней температуре.
198
.4t 'Чf т
1
----",
",.""
,.."'-
.",
.",
.,,'"
."
",,/'" =o
/
I
. - .,......... .
---- ----
......
...
'"
"
э
2
[00]
, .
о
10-103
12'103
14. i0 3
R
16.t0 3
"'1
М(
1,
l' R
" .
R I\
[00]
. t
--2.
.-3
)
--4
Рис. 22
сти. Точки на ветвях отмечают расчетные значения. Штриховая
линия относится к случаю однородной вяз'кости ("1==0). Обработ-
ка резульrатов расчета методом наименьших квадратов показала,
что обсуждаемая зависимость хорошо описывается параболой,
слеrка наклоненной к rоризонтальной оси (ось параболы отмече-
на штрих пунктирной линией). Поведение 'Фт(Rа) вблизи критиче
ской точки более детально показано в левой нижней части рисун-
ка. Параметры параболы
1>м 0,31 + 0,05, Ra == 6685 + 5. \
При расположении начала координат в вершине параболы (ось
Ra' по оси параболы) уравнеflие параболы имеет вид
ф 0,036 -v Яа' .
Критическое ЧJlСЛО Рэлея R a 2, при котором равновесие Tep5JeT.
устойчивость относительно малых возмущени'й, определяется пере-
сечением оси Ra отрицательной ветвью. При достижении Ra2 рав-
новесие становится неустойчивым относительно малых двухвихре-
вых возмущений; в этой точке «мяrко» возбуждается отрицатель-
I""<OJ
иая ветвь. В интервале Ra R a 2 «жестко» возбуждается пqложи-
тельная ветвь. Внутри ЭТQrо интервала подкритичности предельное
стационарное состояние зависит от интенсивности начальноrо B03
мущения. Так, например, при Ra==6700 начальная пара вихреЙ с
199
I ер I == 210 со временем затухает, тоrда как увеличение возмущения
вдвое ПРIШ'одит к установлению стационарноrо движения, COOTBeT
ствующеrо положительной ветви.
Соrласно расчетам при h== 1/20 интервал подкритичности
Ra2 Ra 6 700 6 685==65. На более rрубой сетке с h== 1/1550 этот
интервал примерно равен 80. Квадратичная экстраполяция по Ри-
чардсону на нулевой шаr сетки дает предельное значение интер
вала Ra 46.
Равновесие неравномерно наrретой жидкости возможно и в не..
однородном поле силы тяжести. Примером такой ситуации служит
астрофизический объект самоrравитирующая сфера с внутренни
ми источниками тепла. Очень часто сфера предполаrается Bpa
рз:ающейся. Осесимметричность первоrо критическоrо движения,
оказанная в работах [55, 56], позволила решать задачу о над..
критическом режиме конвекции в плоской области " 8 (8 поляр
ный уrол) [53, 54]. В переменных функции тока и вихря CKOpO
сти, введенных соотношениями
1 дtlJ
v== .
r r 2 s i n О ди'
1 дt
v е == r sin е · дr '
1 д2 1 д 2 ф ctg е . д
ер == D'-I == дr2 + r'2 ' дO r 2 · де '
'стационарные уравнения для вихря и температуры имеют следую..
щий вид:
( д . дер dt . дер ) +2ср(сtgе д дt ) :;=Рr2Siпв ( Dср+РОSiпе дТ )
де дr дr де \ дr r д е де '
( д . дТ дt . дТ ) r2Siпв ( 1+ Т ) D y ' ==ср,
дО дr дr де '
д 2 2 д 1 д 2 1 д д 2 1 д 2 ctg е д
t::" == дr 2 + r · дr + --;. дО2 + r 2 ctg в де ' D == дr 2 + r 2 · дe r2. де ·
r .
Уравнения допускают равновесное решение
-;(0) == О, 1'(0) == 1 r 2 .
которое соrласно [56] устойчиво при Ra Ral ==24 126. Число Рэ
лея определено с помощью интенсивности внутренних источников
тепла
Ra == go qoRG .
Х 2cp
Здесь go -:--"'" ускорение свободноrо падения на поверхности сферы
радиусом R, с теплоемкость, а остальные параметры обычные.
50 Выяснение характера ветвления для сокращения затрат выполня ось и
для более rрубых сеток вплоть до «иrрушечных» с 12 == 1/6. Результаты с такими
сетками обычно «идут в КОрЗИНу»,но они позволяют проверить HeI{OTOpbIe rипо-
теЗbI за малый срок
200
Стационарные решения отыскивались на равномерной сетке
итерационным методом. Для стабилизации расчета использовались
направленные разности против потока. Уравнение Пуассона на
каждой внешней итерации решалось методом ПВР. ДЛЯ экономии
машинноrо времени использовался метод последовательности се-
ток, описанный во второй rлаве. Предварительное решение отыски-
валось на сетке 10Х9, а окончательное на сетке 24х23. При на-
чальном состоянии едиНичноrо вихря ер (0.5, л/2) == 400 и G == 40. 103
выход на стационар потребовал 140 итераций на предварительной
сетке и 310 на окончательной, относительные изменения инте-
rральных величин на последних итерациях были менее 0,5. 1 0 3.
На рис. 23 изображены линии тока и изотермы вблизи пороrа
(слева) и изотермы при Ra== G==3. 105 (справа). Как видно, вбли..
зи пороrа интенсивность конвекции мала 'Фm 0,4, и поле темпе-
ратуры близко к равновесному распределению. Распределение
температуры существенно отличающееся от paBHoBecHoro, изобра-
жено в правой части рисунка. Картина течения при этом не пре..
терпевает качественных изменений, но центр вихря смещается
«вниз» примерно на 0,1 радиуса.
В рассмотренной задаче полный тепловой поток от конвекции
не зависит, так как определяется лишь мощностью внутренних
источников тепла. Конвективное течение приводит к перераспреде..
лению локальных тепловых потоков на поверхности сферы. Пере-
распределение ЦОТОКОВ мол{ет ?ыть охарактеризовано величиной
Pr == m{)ax( )/mJn( п при r == 1.
При надкрити ности Ra/Ral 12,5 Pr 2,5. Вблизи пороrа для
максимума функции тока справедлив корневой закон. Уточненное
по Ричардсону критическое число Ral соrласуется с теоретическим
с точностью до 1 О/о .
Астрофизическая ситуация характерна для мноrих задач, в
которых исследуется устойчивость конвективноrо равновесия и, в
частности, для задачи [57]. В ней численный эксперимент выясня"
ет характер течения за пороrом устойчивости В ячейке rоризон-
тальноrо слоя проводящей жидкости, помещенной в маrнитное по-
ле. Выяснено, как с ростом маrнитноrо поля уменьшается интен-
сивность конвекции и теплообмена. Знать эту зависимость надо,
так как малость теплообмена, по rипотезе Каулинrа [58], объяс..
няет темный цвет солнечных пятен (известно, что солнечным пят..
нам соответствует увеличение маrнитноrо поля).
Перед решением TaKoro рода задач необходимо детально изу..
чить результаты линейной теории. Первые вычисления следует
посвятить привязке к опорным точкам линейной теории. И лишь
после получения удовлетворительноrо соответствия можно присту-
пить К серии расчетов.
Обзор исследований надкритических режимов при различных
осложнениях выполнен в [2]. Значительная доля этих исследова-
ний выполнена методом сеток. Вот некоторые из них.
201
20 С"fo
. }
I
D 6
t
.. "';:
Рис. 23
12
о
2
Р '" с. 24
---.........Т...........
I
I
I
I
I
I
I
f
I
I
I
....... r
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
k
,
4
Подробные расчеты конвекции с внутренними источникамк
тепла выполнены в работах [59, 60]; исследованная система прк
определенных ситуациях обладала механизмом жесткой неустой ,
чивости.
Своеобразным примером конвективной ситуации с HeOДHOpoд
ной стратификацией п'лотности служит слой воды с температурой
вблизи 4 0 С (точка инверсии плотности). В интервале температур
00....;-.-80 С зависимость плотности от ,температуры может быть ап-
проксимирована параболой с максимумом плотности при 40 С. Се-
рия расчетов применительно к этой ситуации выполнена в работе
А. С. Блохина с сотрудниками [61]; MHoro внимания уделено ре-
жимам колебаний.
Общие закономерности конвекции степенных жи.дкостей выяс
нены в работах.Т. П. Любимовой [62, 63].
Необозримый поток публикаций характерен в последние rоды'
для химически активных сред.
t 5. устойчивость КОНВЕКТИВНЫХ ТЕЧЕНИЙ
Рассмотрим задачи, в которых методом сеток исследовались
вторичные нелинейные режимы конвекции, приходящие на смену
основному (первичному) конвективному движению. В качестве-
основных конвективных движений обычно рассматривались точ
ные решения уравнений конвекции (см. Э 1). Среди конвективных.
течений наиболее исследованным является течение в вертикаль '
ном слое а==ОО (см. рис. 1). Вид нейтральных кривых, дающих
зависимости критических чисел rрасrофа от волновоrо числа, --cy
щественно зависит от числа Прандтля. Рассмотрим вначале pe
202
зультаты, которые соответствуют малым значениям числа Прандт
ля P 2. Начало этим исследованиям было положено работой
1968 r. [ 64 ] .
Нейтральная кривая при р-==о, построенная по результатам ли-
нейной теории Р. В. Бириха [68], изображена на рис. 24. Штрихо
вые линии показывают разрезы, для которых выполнялись расче-
ты методом сеток [65]. Задаче соответствуют rраничные условия
на вертикальных rраницах х==о, х== 1
дф 1 == о
дх '
r
Ir == О,
т (t, О, У) == о,
T(t, 1,у) == 1
(1)
Точное решение уравнений конвекции (см. уравнения (1) (3)
Э 1)
"
Q
(O) == 24 х 2 (1 х)2,
Т(О) == х
(2)
описывает плоскопараллельное течение с двумя встречными пото--
ками. Максимальное значение функции тока в этом случае дости-
rается в середине слоя, а максимальное по модулю значение вер--
тикальной компоненты скорости при х == 0,5 (1 + 1/1 3) :
(О) V (O) о 8 О . 10 3 0 (3)
фт 384 ' т п-V,З- , ·
Исследование вторичных режимов течения осуществляется на
основе численноrо решения полной системы уравнений в области,
оrраниченной по вертикали, с навязанными условиями периодич-
ности
f (t, х, У) == f (t, х, У + [).
(4)
При этом к числу обычных параметров задачи добавляется длина
периода 1. Ориентиром для выбора периода являются результаты
линейной теории устойчивости; длина периода связана с волновым
числом обратной зависимостью k == 2л/l.
В случае предельно малых значений числа Прандтля (P O)
имеется возможность пренебречь конвективными членами в урав-
нении теплопроводности и воспользоваться основным решением
Т(О)==х. При таком чисто rидродинамическом подходе уравнение
теплопроводности не решается, но в уравнении для вихря сохра-
няется свободный член, равный О. Такой подход был реализован
в работе автора [65].
Обсудим варианты реализации rраничных условий периодично-
сти решения вдоль слоя (4). Чаще Bcero применялось расширение
области интеrрирования вдоль слоя на один шаr пространственной
сетки
Ук == Kh 2 ,
h 2 == ljN 2 ,
k == О, N 2 + 1. .
По соответствующим конечно-разностным уравнения м вы полня
лись вычисления для внутренних узлов области (к== 1, N 2 ), а за-
тем осуществлялись пересылки
203
.....,."- 11. N!l+ 1 : == li, l' I f , О : == f i , N 2 (5)
На этапе вычисления во внутренних узлах значения при у== О и
y===l+h 2 использовались в качестве rраничных функций на старом
n-м временном слое. При итерировании уравнения Пуассона пере-
сылки вида (5) для функции тока выполнялись после каждой ите-
рации. В неявных схемах метода дробных шаrов использовались и
друrие способы реализации условий (4). ,При осуществлении ска-
лярных проrонок вдоль слоя использовался вариант ци лической
проrонки [69, с. 535 537], предназначенный для реализации пе-
риодических rраничных условий. На задаче о тепловых волнах в
слое [66] показано, что введение вдоль слоя повторных проrонок
с пересылками (5) дает результаты, мало отличающиеся от цик
лическоЙ проrонки 51.
Так как точное решение удовлет оряет уравнениям, дЛЯ BЫ
яснения вопроса об устойчивости OCHoBHoro течения в поле вихря
вноси:лось возмущение. Это возмущение (величина ero менялась
в пределах 102+103) добавлялось в узел, соответствующий цент-
ру области. Оказалось, что при О< О* (k) возмущение затухает и
процесс установления дает основное течение; при О> О* (k) уста-
навливается вторичное стационарное течение. Характер выхода на
стационар зависит от величины надкритичности ,J.l == О/ О*. Вблизи
пороrа установление длительное. При J.l>2 стационар достиrается
с точностью 1 О/о по интеrральным характеристикам за несколь-
ко затухающих колебаний (t 0,5). Для сокращения затрат пред-
почтительнее к критической точке продвиrаться сверху с исполь-
зованием метода продолжения по параметру.
Вид вторичноrо течения для двух значений числа rрасrофа
0===9600, 20000 изображен на рис. 25 (р==о, [==2). Линии тока
проведены через равные интервалы, равные 0,2Фт. В качестве
характеристик вторичноrо течения, кроме максимума функции то-
t
ка, MorYT быть использованы следующие величины:
.
O т == тах I Фт NI/2, кl ' (6)
к
1 1
У == ; S S (х, у) dy dx,
оо
1
1 ,
=:: т j 'НО,5, у) dy.
о
(7)
(8)
Величина 'Фт' очевидно, дает максимальный расход жидкости
вдоль слоя на уровне центра вихря. Величина б'Фт характеризует
среднюю скорость жидкости поперек канала; для невозмущенно-
rQ OCHoBHoro течения эта скорость равна нулю. Отличие б'Фт от
51 По объему вычислений вариант цикличеекой проrонки примерно и COOTBeT
ствует двум обычным проrонкам.
204
50
25
11 .()-
--<>
ч' т. 31J1 171 . if
(Ч'т Sчr т )
Рис. 25
о
f
fD
If
G'I;J
2,
Рис. 26
нуля в надкритической области связано с изменением рельефа
функции 'ф (х, у), обусловленным возникновением вихрей на rpa-
нице встречных потоков. На поверхности z=='Ф(х, у) точка А (см.
рис. 25) является вершиной, а точка С седловая. Отклонение
седловой точки от центральной линии незначительно; при надкри
7ИЧНОСТИ 1-1 == 2,3 оно менее 0, 1. Анализ rидродинамики течения и
расчеты А. А. Непомнящеrо [70] показали, что обсуждаемая по
верхность имеет вблизи седловой точки С н большой локальный
максимум.
Величина W == 'Ч'm бф т, определяющая количество жидкости,
проходящее через сечение CD от ячейки к ячейке, является важ-
ной характеристикой термодиффузионных колонн, используемых
для разделения изотопов.
Пример зависимостей характеристик вторичноrо течения от
числа rрасrофа при Р == О дан на рис. 26. Прямая линия соответ-
,ствует максимальному значению функции тока OCHoBHoro течения.
Вблизи пороrа (1<1-1<2) 'Фт становится больше невозмущенноrо
значения (при P=I=O этот факт также имеет место, но проявляет-
.ся менее отчетливо). Количество жидкости, прокачиваемое вдоль
слоя от ячейки к ячейке (величина 'Фт БФт), после поте'ри ус-
-тойчивости OCHOBHoro течения монотонно уменьшается.
Зависимости б'Фт (О) при различных значениях числа Пр анд т-
.ля и фиксированном значении 1 == 2 приведены на рис. 27. Вблизи
nopora (1-1< 1,5) справедливы зависимости вида
оф а (Р) · (О 0* (Р)).
Критические числа rрасrофа, определенные посредством экстра-
поляции, хорошо соrласуются с данными линейной теории. При
Р==О, например, 0* 8750 + 100, a O,l. .
Обработка результатов счета позволяет получить аналитиче-
ские зависимости от числа Прандтля и rрасrофа и для друrих
характеристик вторичноrо течения (7), (8).
Расчеты с различными 1 (см. rоризонтальные штриховые ли-
нии на карте устойчивости рис. 24) позволяют определить rраницу
205
существования коротковолновых ячеек. Эта rраница совпадает с
предсказанйями линейной теории. Получить длинноволновую
ветвь 1>3 не удается в области реализуется течение с двумя
ячейками. Из этих же численных экспериментов определяется дли
на ячейки [*, при которой достиrается максимум интенсивности
вторичноrо течения.
'+0
бtJI т
2О
о
,А'''''''
/'
,/
/ .......-- ----
r / ..... ---
'/
р :& О,; .,.,... ...-:- ..--.
.,,""""
",."'"
Р 1
= 1 ..... ..... .....
---- .... '
...."......----
.,
G.tO
20
,
. I
........----
....... ....... I
_____ --- I
.". I
I
(
в
12
16
Рис. 27
Важной характеристикой вторичноrо течения при P=I=O явля'"
ется величина среднеrо тепловоrо потока через слой число Hyc
сельта. В области малых значений числа Прандтля Р<0,05, при
фиксированном числе rрасrофа G == 14400 (Jl 1,6) обнаружена
квадратичная зависимость конвективной добавки к числу Нуссель...
та от числа Прандтля
Nи';::;::, 1 + 16 р2.
Вблизи пороrа (Jl< 1,2) число Нуссельта линейно зависит от
числа rрасrофа; с ростом G наблюдается тенденция к насыщению.
Конвективная добавка к тепловому потоку сравнительно невели
ка, ПрИ Р==1 и Jl 4, например, Nu<1,2.
\ Стабилизирующая роль движения rраниц (течения Куэтта) на
устойчивость конвективноrо плоскопараллельноrо течения пока
зана средствами линейной теории устойчивости в работе [71].
Соответствующая область вторичных режимов исследовала,.€ь в
[65]. Постано вка задачи соответствует вертикальному слою -' при
числе Прандтля Р==о с неоднородными условиями для скорости
206
:: ==: V o , д д о/ I == + V O .
X ==Q х х== 1
Аналитическое решение задачи таково:
O == 4 х 2 (1 x)2 V o Х (1 х).
Методы решения этой задачи в надкритическо'й области анало-
rичны обычному варианту условия (9) меняют лишь формулу
для вихря на вертикальных rраницах. Отметим лишь, что в опре-
деленной области параметров (O 20000, Vo 20+80) переход-
ный процесс приводил к реrулярным колебаниям с постоянной ам-
плитудой. Перебор параметров метода позволил установить, что
причиной этих колебаний была недостаточная точность решения
уравнения Пуассона B == 10 3
(S+l) (S)
ax t, к t, )( < E · т .
1, К
ежду B и амплитудой колебаний была обнаружена линейная
зависимость; уменьшение B дО 6,3. 10 5 снизило амплитуду коле-
баний ве:личины БФт с 1,03 до 0,07.
Аналоrичная задача с rраничными условиями (9) при конеч-
ных значениях числа Прандтля исследовалась численно в работе
Н. и. Лобова и автора [73]. Карта устойчивости в этом случае
становится значительно сложнее; при Р>2,4 существуют две об-
ласти неустойчивости монотонной и колебательной. Для сокра-
щения затрат машинноrо времени задача решалась в половине
.области с привлечением соответствующих условий симметрии, ис-
пользовались и различные шаrи по времени при поиске стационар-
Horo решения в уравнениях для температуры и вихря (число
Прандтля P 10).
Вычисления [73] показали, что процесс устанОВЛения стацио-
RapHoro течения имеет колебательный характер (близка область
колебательной неустойчивости). Интеrральные характеристики те-
чения осциллируют около некоторых средних значений с медленно
убывающей амплитудой. Для ускорения процесса установления
была использована процедура, идея которой заключается в допу-
щении, что с HeKoToporo момента t to поведение всех величин опи-
ывается зависимостью
(9)
a(t) == С 1 COS (ш(t t o )) · ехр( fJ. (t t o ).
Параметры этой зависимости определялись после проведения сче-
-та на одном периоде по трем экстремальным значениям по вре-
мени:
а о == а (t o ), а 1 == а (t o + 7t/Ш), а 2 == а (t o + 27t/ш).
в момент t== t 2 определялись новые значения функции тока, вих-
ря и температуры по формулам вида
* (t) а2 + 7j a l 'YI == а2 а 1
а 1 + ТI' "'
., ао аl ·
207
Величина определялась в расчетах по изменению тепловоrо по
тока (o==Ntt) и для повышения устойчивости этой процедуры за
нижалась умножением на коэффициент (1 h 2 ). Использование
описан ой процедуры «экстраполяции К пределу» в некоторых слу'"
чаях на порядок сокращало время счета.
Весьма трудоемки эксперименты при исследовании колебатель
ных режимов конвекции. В [66] изучались тепловые волны в Bep
тикальном слое при болыuих значениях числа Прандтля; более
подробные данные представлены в работе Л. Е. Сорокина [67].
Нейтральные кривые колебательной неустойчивости на плоскости
G, k из работы [74] приведены на рис. 28 для трех значений числа
Прандтля. Как видно из формы нейтральных I<рИВЫХ, для дaHHO
ro р и фиксированноrо волновоrо числа существует интервал зна
чений числа rрасrофа от 01 до 02, внутри KOToporo течение Heyc
тойчиво по отношению к колебательным возмущениям.
16
8
G' D J
"
(',
?
,
I
l ' G
'1
I
I
I
I
k
о
1
2
-.
Рис. 28
Численные эксперименты свидетельствуют о затухании возму
щений за пределами области неустойчивости и их нарастании до
уровня реrулярных колебаний внутри этой области. При наличии
колебаний температура в каждой точке осциллирует около cpeд
Hero значения. В середине интервала неустойчивости для YCTaHOB
ления требуется около 10 единиц безразмерноrо времени, вблизи
пороrа время установления больше. Счет с разными пространст"
венными сетками показал, что удовлетворительные результаты по-
лучаются на сетке 20ХЗ6 при шаrе по времени JО З.
208
1,2
i11j1
0.10 .л т
0.6
0.0;
о
O.
1
D
OJ
1.0
I
Рис. 29
Выяснено, что частота колебаний на вертикальном разрезе, ука-
занном на рис. 28, линейно зависит от частоты (l 4)
fl{ 0_3 + 1,7 · 1 o 3 О. ( 1 О)
Эта зависимость сохраняется и за пределами области неустойчи-
вости, rде колебания затухают. Частота колебаний практически не
зависит от Прандтля (увеличение числа Прандтля от 18 до 60 сни-
зило частоту колебаний с 6 до 5,8). Существенно зависит от числа
Прандтля амплитуда колебаний. Распределения амплитуд колеба-
ний функций тока А ф и температуры А т в сечении поперек слоя
для значений числа Прандтля P 20, 30, 50 (l 4, O 3500) пред-
ставлены на рис. 29. Как видно, колебания функции тока наибо-
лее интенсивны на осевоЙ линии, тоrда как колебания температу-
ры имеют наибольшую амплитуду в тех местах, rде достиrается
MaKcUMYM скорости. Последнее обстоятельство соrласуется с ре-
зультатами лабораторных экспериментов [75].
С возникновением колебаний режим чисто теплопроводноrа пе..
реноса тепла поперек слоя испытывает кризис. В режиме устано-
вившихся колебаний тепловой поток о сцил лирует с удвоенной ча-
стотой (10) около среднеrо значения Nu. Превышение среднеrо
тепловоrо потока над чисто теплопроводным невелико; максималь-
ное значение числа Нуссельта Nu при Р<50 менее 1,5. Для [ 4,
O 3500 получена зависимость (Р<50)
Nu 1 + 0,0075 (Р + 16,5)..
Вторичные режимы конвекции в бесконечном слое изучались
при различноrо рода осложнениях. Перечислим некоторые из них.
В работе И. [. Семакина [76] исследовалось влияние неньютоно"
вости жидкости (степенная модель). А. А. Якимов [77] исследо..
вал конве1<тивное движение, вызванное внутренними источниками
тепла. Л. Е. Сорокин [81] исследовал колебательные режимы би..
нарной смеси. Л. П_ Возовой [82] изучал слощ:ные режимы тече
209
ний В СЛ9-е. с волнистыми rраницами при наличии прокачки вдоль
.слоя; представлены сложные фазовые траектории в плоскости (ко-
-ординат центра вихря) с простыми И двухтактными циклами.
В заключение параrрафа приведем результаты исследования
колебательных режимов в замкнутом конвективном поrраничном
лое. Аналитических результатов по исследованию TaKoro течения
нет; имеются лишь работы, использующие экспериментальные и
численные методы, количественное сравнение экспериментальных
и численных результатов затруднено, так как в большинстве слу-
чаев имелось различие по числу Прандтля, rеометрии области и
rраничным условиям.. По просьбе автора в 1974 r. В. r. Шайду-
ров выполнил эксперимент, постановка KOToporo соответствовала
iестовой задаче свободной конвекции при подоrреве сбоку (см.
2). Опыты [78] проводились с воздухом (Р==0,70). Обнаружен
пороr устойчивости О* (3,6 + О, 1) · 106, который реrистрировался
по теневой картине и с помощью термопарноrо зонда. Вблизи по-
pora (О< 1,5 О*) пульсационное движение в поrраничном слое
было реrулярным (период колебаний 1,5 с; при дальнейшем
увеличении разности температур колебания становились Hepery-
лярными и нарушался плоскопараллельный характер течения.
Численные расчеты давно обнаруживали колебания в задаче с
аналоrичной постановкой [8, 9, 79]. Такие пульсации, обнаружен-
ные при р== 1, о== 107, Дж. Фромм [79] назвал «султанами».
В [78] была предпринята попытка определения сооrветствую
щеrо критическоrо числа rрасrофа О*. Опишем кратко результаты
этой работы. Использовалось семейство схем. Выяснено, что схемы
со счетной вязкостью подавляют колебания стационарн е ре-
шения получаются и при О> 108. Режим реrулярных колебаний на
схеме с центральными разностями на rрубых сетках обнаруживал-
ея раньше, чем в физическом эксперименте. Несмотря на то, что
для определения О* с хорошей точностью требуется более мелкая
сетка, колебания эти хорошо описывали физику процесса.
На рис. 30 изображены зависимости от \ времени безразмерноrо
-тепловоrо патока на вер-r.икальной rранице Nl и максимальной
скорости V т В режиме реrулярнЫХ колебаний при Р == 0,73,
G == 2. 106, h == 0,04. Период колебаний 0,003 (размерное время
1,9 с); за время одноrо периода частицы жидкости, имеющие
масимальную скорость, проходят расстояние l 1,2.
Изотермы в режиме реrулярных колебаний в левой половине
полости для трех моментов времени в пределах ОДНоrо периода
изображены на рис. 31. Изотермы соответствуют 0==3,6.106 (при
G == 2,6. 106 излом В изотермах незначителен). Хорошо просматри-
.вается спускающееся вниз по течению возмущение в температур
ном поле; отклонения изотерм от среднеrо значения показаны
штриховкой. О характере колебаний можно судить и по виду фа-
зовых траекторий, например, в плоскости V m , Nl. Такой фа овый
портрет позволяет судить об установлении и реrулярности кб еба-
ний.
:Как уже отмечалось, характер решения зависел от шаrа сетки.
10
4
, -- t
':'"
O,f7f Oi80 D.i85
Рис. 30
4 h 2 10 '
Р а О.7'
ОБ"АСItЬ
OAE;AH
2
\
СIltf\ц.ион,\Р (;)
"-
" G' D'
D ,
1,2 1,6 2,0 2.4
Рис. 32
9
8
,
Рис. 31
8
0/771
'+
p=
G с 2,tO J
1- 1=00
2 ,.,.,
а
t
0.10
0.0,
Рис. 33
Сама по себе эта зависимость не страшна. Важно выяснить, что
соответств:ует пределу при h--+O. С этой целью выполнялась серия
численных экспериментов со сменой h при фиксированном G и
сменой G при фиксированном h. На рис. 32 в плоскости .h 2 , G
звездочкой отмечены обнаруженные в счете колебательные режи-
мы; точки соответствуют стационарным решениям. Прямая линия
на этом рисунке
* 0 * 2 )
ОС, == cr{l 140h ,
о;, 2,5 · 106.
(11)
разделяет области колебательноrо режима и стационарных реше-
ний. При а > й ;, колебательный режим реализуется при любом
шаrе сетки. Из соотношения (11) следует, что для обнаружения
0 * с поrрешностью в 50/0 необходим шаr сетки в поrраничном
с,
слое h== 1/60. Для лучшеrо разрешения поrраничных слоев в дан-
ной задаче разумно использование сетки со сrущением вблизи rpa-
ниц. Обработка результатов экспериментов, показанная на рис. 32,
позволяет получать хорошие оценки критическоrо числа rрасrофа
на умеренных сетках.
14*
211
'- Основные расчеты [78] были выполнены для числа Прандт.пя
'1'== 0,73. Так как лабораторному эксперименту соответствовало
Р==0,70, были выполнены расчеты и для этоrо значения числа
Прандтля; критическое число rрасrофа, обнаруженное счетом, YBe
личилось до 2,7.106. В физическом эксперименте О* 3,6. 106.
В чем причина расхождения? Одна из возможных причин зави
симость вязкости от температуры определение числа rрасrофа
по вязкости для максимальной температуры снижает О* до 3,2.106.
Наиболее четкая причина стала понятной после численных экспе
риментов Б. И. Мызниковой [80]. В этой работе исследовалось
трехмерное течение в области раЗl\1ером L Х L Х z при подоrреве
сбоку. Выяснено, что значение L z/ L === 2,4, которое использовалось
в лабораторном эксперименте, не является достаточно большим.
Такое значение снижает интенсивность течения и поэтому кризис
т.ечения в поrраничном слое обнаруживается при б6льших значе
ниях числа rрасrофа.
t 6. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ПРИМЕРЫ
Рассмотрим кратко задачи, ключевы'ми словами для которых
являются нестационарность, модуляция, сопряженность, кулонов
ские силы, трехмерность и, наконец, турбулентность.
Нестационарность характерна в какой-то мере для всех задач
rидродинамики. При поиске стационарноrо решения объектом изу-
чения может быть нестационарный процесс установления. Не Me
няет ситуацию в этом случае и применение итерационных мето-
дов, так как любой итерационный метод эквивалентен некоторой
схеме установления. Нестационарной ст--ановится задача стацио'"
нарная по математической формулировке в тех случаях, коrда ста-
ционарное течение становится неустойчивым и на смену ему при...
ходит колебательный режим. Такая ситуация характерна для боль..
шинства задач rидродинамики и свободной конвекции при боль..
ших- значениях чисел Рейнольдса и rрасrофа. MHoro задач, в ко..
торых нестационарность процесса обусловлена математической
постановкой. К ним относятся задачи о процессе конвективноrо
проrревания (охлаждения) или перемешивания жидкостей в объ..
емах различной формы. Часто нестационарность обусловлена за..
висимостью от времени rраничных условий и неоднородных ела..
raeMblx в уравнениях.
Рассмотрим в качестве первоrо примера задачу о проrревании
жидкости, полностью заполняющей шаровую емкость. В началь-
ный момент жидкость покоится и имеет однородную температуру.
При t>O температура rраницы начинает повышаться. Задача за-
ключается в изучении переходноrо процесса при rраничном усло-
вии для температуры [83]
....""
дТ
дr == Ь (1 Т) при r == 1. ( 1 )
212
Это. rраничное условие добавляет в задачу безразмерный пара-
Метр.......... чиСЛО Био Ь, характеризующее теплообмен на поверхно-
СТи по закоНУ Ньютона. Варианту Ь 00 соответствует задание
температуРЫ на rранице '== 1. Предельному решению ,задачи
,(t 00) соответствует покоящаяся полностью проrретая жидкость.
ИНтенсивНОСТЬ конвекции на начальном этапе нарастает, достиrа-
еТ'максимальноrо значения, а затем по мере выравнивания rради-
ентов температуры начинает убывать. Типичная зависимость Фm (t)
для 0==2.103, Р==5 и двух значений числа Вио представлена на
рис. 33. Характеристиками естационарноrо процесса MorYT слу-
жить значения t* и '1'*, дЛЯ KOTOPI;>IX выполнено соотношение
'1* == тах m (t) == Фm (t*).
t
Для указанных характеристик MorYT быть получены асимптотиче-
ские зависимости от числа rрасrофа степенноrо вида [83]. После
первоrо всплеска функции тока Фт (t) при больших числах [рас-
rофа возможно появление вторичных всплесков меньшей амплиту-
ды. Их появление связано с возникновением зон возвратноrо тече-
ния [84].
Картина течения и изотермы для двух моментов времени изо-
бражены на рис. 34. K K видно, «полюс холода» с течением вре-
мени спустился в придонную часть шара.
t=O.026
t =IJ.О28
Рис. 34
t =о.ОдО
Наиболее важной характеристикой в задачах о проrревании
является зависимость средней температуры от времени Т (t). ЯС-
НО, что конвекция сокращает время проrрева и для практики не-
обходиМо найти завис ость времени, при котором достиrается
определенное значение Т, от числа rрасrофа.
Расчеты 52 при больших значениях числа rрасrофа MorYT дать
в таких задачах большую поrрешность, хотя картина течения бу-
дет воспроизведена сравнительно хорошо. Для оценки поrрешно-
52 Особенности метода сеток,В сферических координатах обсуждались в rЛ.2.
15 3ак. 660
213
GТИ решения задачи в теплопроводном режиме '(малые О) можно
ВОСП9 ьзоваться точным решением.
3 а д а н ия. 1. В задаче о проrревании шара определить среднюю
'"
температуру после nepBoro шаrа по времени по явнои схеме.
2. На задаче nporpeBa бесконечноrо вертикальноrо слоя найти
распределение скорости на 1-м шаrе по времени (предполаrается,
что уравнение теплопроводности решается первым) и указать ра-
u
зумные оrраничения на первыи шаr по времени, кроме тех, что
u u u
следует из условии устоичивости явнои схемы.
в тех случаях, коrда на rранице задан тепловой поток, после
HeKoToporo интервала времени устанавливается квазистационар
ный режим, при котором rидродинамика не меняется (если прене
бречь зависимостями физических параметров от температуры), а
температура линейно растет со временем. [24].
В качестве BToporo примера рассмотрим задачу о конвекции в
полости прямоуrольноrо сечения [85] при следующих rраничных
условиях для температуры (рис. 35)
r-K..,t
\
! \
/
т =о
Q
П::Q
Рис. 35
т 'х==о == Dt,
т ,х== 1 == о,
дТ == дТ I ==0.
ду у=='о ду y==l
(2)
Решение этой задачи существенно зависит от положения по
лости по отношению к вектору силы тяжести и от темпа Harpe
ва D. Полезно до начала расчетов проанализировать аналитиче
ское решение соответствующей чисто теплопроводной дномерной
задачи
214
Х s i n ('It пх) ] .
(3)
3 а Д а н и е. Используя (3), получить зависимости от времени сред...
"
неи температуры в слое и тепловых потоков на rранице.
Из анализа этоrо решения выясняется, что при t>0,3 '(число
Прандтля Р==0,73) реализуется реrулярный режим, в котором TeM
пература в каждой точке меняется пропорционально темпу Harpe
ва. Кроме Toro, выясняется, что между входным и выходным по-
токами тепла устанавливается постоянная разность. Характерные
черты предельноrо режима сохраняются и при наличии конвекции.
Кроме Toro, найденное решение соответствует и полной постанов-
ке при подоrреве cTporo сверху (случай устойчивой стратифика-
ции). .
Приведем описание нестационарной задачи в сложной сопря-
женной постановке [86]. Полость, образованная .в массиве ка-
менной соли под землей, частично заполнена жидкостью. Жид
кость имеет температуру, отличную от температуры массива. Вда-
ли от полости в массиве задан постоянный вертикальный rрадиент
температуры (rеотермический rрадиент). Задача сложна даже в
предположении осевой симметрии (вертикальный цилиндр). в этой
задаче после достижения средней температуры процесс конвекции
не прекращается из-за rеотермическоrо rрадиента, который обес-
печивает подоrрев снизу. Одна из целей задачи выяснить интен
сивность процессов диффузии rаза через rраницу раздела. Слож-
ность задачи обусловлена также наличием конвективных процес-
сов в rазовой фазе. Реальной ситуации соответствует большое зна-
чение числа rрасrофа. Для получения характеристик конвектив-
Horo процесса использовались различноrо рода оценки и расчеты.
Использовался счет и по эмпирическим моделям турбулентности.
Полаrать, что эта задача решена аккуратно, нет никаких основа-
ний.
Значительный интерес представляют исследования конвекции
при наличии модуляции параметров во времени. Модуляция пара-
метров влияет на положение rраницы конвективной устойчивости
и на характер конвекции. Большой цикл работ, в которых выяс-
нена роль модуляции температуры и силы тяжести, выцолнен
[. И. Бурдэ [87 90]. В последние rоды повысился интерес к
модуляционным задачам (высокочаст.отный предел) в связи с про-
блемами космической технолоrии [91]. в качестве иллюстрации
решения при модуляции силы тяжести приведем пример [92], из
KOToporo виден характер выхода решения на установившийся ре-
жим. Постановка задачи C OTBeTCTByeT равновесию ячейки слоя
п'роводящей жидкости в однородном маrнитном' поле при подоrре-
ве снизу. Параметры задачи соответствуют условиям равновесия
15* 215
вблизи ,rраницы колебательной неустойчивости. Введение модуля-
ции силы тяжести по rармоническому закону может изменить ус-
ловие устойЧ'ивости. Иллюстрацией к сказанному служит рис. 36,
на котором показана зависимость от времени максимума функции
тока. После стадии нарастания начальноrо возмущения вырабо-
тался установившиЙся периодический режим колебаний.
B , условиях невесомости процессы массопереноса, связанные с
архимедовой силой, существенно ослаблены. Поэтому представля-
ет практический интерес исследование возможностей управления
потоком жидкости с помощью электрическоrо поля. Существует
MHoro причин, которые обусловливают появление массовых (ку-
лоновских) сил В слабо проводящей жидкости в электрическом
поле инжекция зарядов с электрода, зависимости диэлектриче-
ской постоянной и электропроводности от температуры и поля.
Лабораторные эксперименты [93] показывают, что электрическое
поле может существенно интенсифицировать теплообмен. Интер-
претация лабораторных экспериментов электроrидродинамики
(эr Д) затруднена из-за одновременноrо присутствия большоrо
числа механизмов. В этих условиях вычислительный эксперимент
позволяет расчленить механизмы и исследовать по отдельности в
«чистом виде». На этом пути были изучены механизмы возникно-
вения свободной конвекци при зависимости электропроводности
от температуры [94 96] и конвекции изотермической жидкости,
находящейся в. поле плоскоrо конденсатора, при наличии инжек-
ции [97J. Приведем прост'ейшую систему уравнений эrд для изо-
термической жидкости
..
dv
р dt == v р + v + q Е,
div v == О,
дq + d . О
дt 1 V J === ,
--+-
div Е == q/E,
(4)
--+-
j==aE+qv.
.
Здесь q плотность объемноrо заряда, j плотность тока, Е
напряженность электрическоrо поля, 8 диэлектрическая прони-
цаемость; остальные обозначения обычные. Инжекция описывает-
ся условием, связывающим значение плотности заряда на rранице
с величиной поля. Решаемая в [97] задача допускала аналитиче-
ское решение, описывающее механическое равновесие с распреде.-
лениями заряда и поля, зависящими от одной координаты. При
определенных параметрах это равновесие оказывалось неустойчи-
БЫМ и возникало надкритическое движение. Вид этоrо движения
изображен на рис. 37 слева линии тока, а справа изолинии плот-
ности заряда.
Отметим, что задача [97] решалась в области простой reoMeT-
рии. Сложность решения системы (4) возрастает при наличии, на...
пример, острых электродов [72]. -
--+-
216
2
0/ ..
т
1
о
;/+
..f
R = 217D
2
'('!. = 1 a
1 -------------=-
I
I
I . , n / 1
1/\ 1\ 1\
. . . l
' 1 \ i I I i
1 \ I ' ! I
'. i \ \!
\ t i /;
:1 I I \ 1 , I + ' 1 1
'1 \ '! !
. _"' 1' I \ i
\ I !, i \ I \ 1-:/ ;
j.... I I ' ' I
\ I ,1, ' \ I
\ ', , I \
I \ I '; I I
\ 1, I I \ I I
1 1 I I
\ I \! \ I \ I
J \J \J
(':..
'1
.......'
-2
Рис. 36
I
.,
I I I
I I I
I I I
I I
I I I
I I I
I I
I ,
Рис. 37
.Сделаем два замечания о расчетах трехмерной онвекции двух..
" полевым методом. При использовании векторных величин для
фу кции тока и вихря скорости возникает вопрос о значении трех
компонент функции тока на твердых rраницах. В [80] счетом за..
дачи о конвекции при подоrреве снизу показано, что лучшее со-
ответствие с результатами линейной теории получается при усло-
виях следующеrо вида:
до/ х == О ,11 О
дх ' j у == ,
z == о
при х == О.
(5)
Характер TpexMepHoro т чения может быть выяснен построением
с помощью ЭВМ изолиний в различных сечениях области. При...
217
,H
мер такой обработки представ
лен 'на рис. 38 (результат по
лучен Б. И. МызниковЬй).
Изолинии соответствуют тече-
нию при числе Рэлея R ==
== 16 750 в режиме медленной
перестройки течения. По изо-
линиям вертикальной компо-
ненты скорости в сечении z ==
== 0,5 видно (верхний рисунок),
ЧТО В центральной части JКИД-
кость поднимается, а по краям
опускается. Изолинии первой
компоненты Фх и изотермы
:ОСНИJКний рисунок) в сечении
х == 0,5 напоминают соответст-
вующую картину течения, ко-
торое рождается во второй
критической точке в плоской
области (см. 4).
Для конвекции при боль
ших З1начениях числа Рэлея
характерен турбулентный ре-
JКим. Привлекательна возмож-
ность описания турбулентноrо
режима на основе полуэмпи-
рических моделей для осред-
ненных величин 53. В .[ 8] опи-
саны результаты использова-
ния двух полуэмпирических
моделей турбулентности для
задач свободной конвекции.
Первая модель (двухпарамет-
рическая модифицированная
модель Джонса Лаундера) со-
держала, кроме уравнениЙ им-
пульса и энерrии, уравнения
для энерrии и скорости дисси
пации турбулентных пульса
ций скорости. Вторая модель
(четырехпа р аметрическая) со-
держала еще д'ва дополни-
тельных уравнения для харак-
теристик температурных пуль
саций. Система уравнений
оказывается весьма сложной.
Рис. 38
53 Прямое трудоемкое моделирование турбулент'ноrо режима на основе pe
шения уравнений Буссинеска выполнялось в уже упоминавшихся работах
В. И. Полежаева с сотрудниками [24]. .
218
1\
к.роме Toro, обе модели содержат большое число эмпирических
констант и зависимостей. При построении разностных аппроксима
ций следует использовать способы линеаризации и рекомендации
первой rлавы. Типичные затраты в расчете на одно уравнение и
один узел неравномерной сетки на ЭВМ БЭСМ-6 (скорость
1 млн оп/с) около 10 3 с. Для получения стационарноrо реше-
ния при O 5.109 (сетка 40Х40, квадрат) требовалось 8 10 ч
машинноrо времени. Четкая сходимость результатов при h O по-
казана в [98] на одномерной задаче в области h<0,03 (поrреш-
ность О (h)). В случае плоской области используемые сетки ред-.
ко позволяли добиться поrрешности всех интеrральных характери-
стик решения менее 100/0. Наличие поrраничных слоев дл5i всех
искомых функций делает эффективным использование сеток со cry-
щением у твердых rраниц. Работа с полуэмпирическими моделями
продолжается, уточняются эмпирические постоянные, совершен-
твуются аппроксимации.
Затронем вопрос о «конкуренции» явных и неявных схем. В зна-
чительной степени спор беспредметен. Все зависит от задачи, об-
ласти параметров, опыта исследователя и ЭВМ. В определенной
области параметров явная схема может оказаться предпочтитель
нее, например, в случае требований хорошей аппроксимации про
изводных по времени. Появление матричных модулей также дает
некоторое преимущество явным схемам; так как распараллелива-
ние вычислительных процессов в явных схемах реализуется проще.
Кроме Toro, при rладких по пространству решениях возможно ис-
пользование чередования крупных шаrов с 1'>1'0 (1' 101(0) и мел-
ких. Такой прием ускорения расчетов явных схем использовал
Д. В. Любимов. На крупных шаrах изменялась самая медленная
rаРМ0ника, но появились мелкомасштабные осцилляции, которые
затем сrлаживались на последующих обычных шаrах по времени.
Дальнейшие успехи численноrо моделирования связаны с рас-
ширением области параметров и Kpyra решаемых задач. Этому
будут способствовать более мощные Э.ВМ и непрерывное раз итие
методов. Набирает силу, например, метод конечных элементов
[99], хотя на простых областях он проиrрывает методу конечных
разностей. Непрерывно обновляется литература по математическо-
му моделированию, за период нахождения рукописи в работе
появились новые книrи [100, 1 01].
ЛИТЕРАТУРА
1. rершуни - r. 3., Жуховицкий Е. М. 1(онвективная устойчивость несжимае
мой жидкости........... М.: Наука, 1972. 392 с.
2. rершуни r. 3., Жуховиц,к'ий Е. М. Конвективная устойчивость / / Итоrи
науки и техники. Механика жидкости и rаза. ------- М.: ВИНИТИ, 1978........... Т. 11.
С. 66........154.
3. Мызни,кова Б. Н., Тарунии Е. Л. О численном моделировании свободной
конвекции / / rидромеханика и процессы переноса в невесомости. Свердловск:
АН СССР УНЦ, 1983. С. 152 160.
219
4. Бирих P . О термокапиллярной конвеКlIИИ в rоризонтальном слое жид
кости / / Журн. приклад. механики и технической физики. 1966. NQ 3.
С. 69 72.
5. rончаренко Б. ,Н., Уриицев А. Л. Об устойчивости движения жидкости,
вызванноrо термокапиллярными силами / / Журн. приклад. механики и техн. фи
зики. 1971. NQ 6. С. 94 98.
6. rершуни r. 3., Жуховицкий Е. М., Сорокин Л. Е. Об устойчивости КОН-
вективноrо течения смеси с термодиффузией / / IПрикладная математика и меха-
ника. 1982. Т. 46. Вып. 1........... С. 66 71.
7. MapTblHeнlKo О. Ir., Сок ОВИШIJfН Ю. А. Свободно конвективный тепло и
массообмен: Библиоrр. указатель (1797 1981). .........Минск: АН БССР, ИТМО
им. А. В. Лыкова, 1982. Ч. 1. 390 с.; 1983. Ч. 2. 418 с.
8. rершуни r. 3., Жуховицкий Е. /М., Тарунин Е. Л. Численное исследова-
ние конвективноrо движения в замкнутой полости / / Изв. АН СССР. Механика
жидкости и rаза. 1966. NQ 5. С. 56 62.
9. Тарунин Е. л. Численное исследование свободной конвекции / / Учен. зап.
/ Перм. YH T. Серия rидродинамика. 1968. NQ 184. Вып. 1. С. 135 168..
10. Тарунин Е. Л. Тепловая конвекция в прямоуrольной полости, подоrре
ваемой сбоку / / Учен. зап. / Перм. YH T. Серия rидродинамика. 1970.
NQ 216. Вып. 2I..........C. 163 175.
11. Шапошников Н. r. К теории слабой конвекции / / ЖТФ. 1952.
Т. 22. Вып. 5. С. 826 828.
12. ЖухО'вицкий Е. М. О свободной стационарной конвекции в бесконечной
rоризонтальной трубе / / ЖТФ. 1952. Т. 22\. Вып. 5. С. 832 8З5.
13. Драхлин Е. Х. О тепловой конвекции в сферической ПQЛОСТИ / / ЖТФ.
1952. Т. 22. Вып. 5........... С. 829 831.
14. Михлин С. r. Вариационные методы в математической физике. М.:
Наука, 1970. 512 с.
15. Полевиков В. К. Некоторые вопросы численноrо исследования нелиней-
ных задач тепловой конвекции методом сеток: Дис. ... канд. физ. мат. наук.
Минск, 1977. 159 с.
16. Полежаев В. Н. Течение и теплопередача при ламинарной естественной
конвекции в вертикальном слое / / Тепло и массоперенос. М.: Энерrия, 1968.
Т. 1. С. 631 640.
17. 3имин В. Д. Естественная конвекция в замкнутой прямоуrольной поло-
сти в режиме развитоrо поrраничноrо слоя / / Учен. зап. / Перм. YH T. Серия rид
родинамика. 1972. NQ 293. Вып. 4. -C. 97 106.
18. Berkowsky В. М., Polevikov V. К. Numerical study of problems of high
intensive free convection // Heat Trancfer and Turbulent Byoyant Convection.
Washington: Hemisphere Publislling, 1977. Р. 443 445. .
19. Catton 1. Natural convection in enclosures // Heat Transfer. Washington:
Hemisphere Pubishin'g, 1978. V 01. 3. Р. 13 31.
'20. Налимов В. Н., ПУХlflачеlВ В. В. Неустановившееся движение идельной
жидкости со свободной rраницей: Спецкурс. Новосибирск: Изд. Новосибир.
YH Ta, 1975........... 174 с.
211. Ваiбищевич П. 'Н. Численные методы решения задач со свободной rpa
ницей. M.: Mry, 1987. 165 с.
22. Непомнящий А. А., Тарунин Е. Л. Двухполевой метод расчета течений
вязкой жидкости со свободной поверхностью / / Тр. / 6 й Всесоюз. семинар по
численным методам механики вязкой жидкости. Математические модели течений
жидкости. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1978. С. 197 206.
23. Лебедева Т. Н., Пиняrиц А. Ю., Пшеничников А. Ф. Свободная конвек-
ция rаза в rоризонтальном цилиндре квадратноrо сечения / / Конвективные тече
ния. Пермь: Изд. Перм. пед. ин та, 1981........ С. 123 129.
24. Полежаев ,В. Н., IБунэ А. В., 'Верезуб Н. А. и др. Математическое моде-
лирование тепломассообмена на основе уравнений HaBьe CTOKca. М.: Наука,
1987. 272 с.
215. Паоконов ,8. ,М., Полежаев 8. Н., ЧУДОВ Л. А. Численное моделированйе
процессов тепло и массообмена. М.: Наука, 1984. 286 с.
26. Лойцянский Л. r. Механика жидкости и rаза. М.: Наука, 1970.
904 с.
220
27. БерковClКИЙ Б. М., ,HoroToB Е. Ф. Разностные методы исследования за..
дач теплообмена. Минск: Наука и техника, 1976. 143 с.
28. Пшеничников А. Ф., Токменина r. А. Деформация свободной поверхно-
сти жидкости термокапиллярным движением / / Изв. АН СССР. Механика жид..
кости и rаза. 1983. NQ 31. .......... С. 150 153.
, '219. Тарунин Е. Л., ЧернатынClКИЙ В. И. Конвекция в замкнутой полости,
подоrреваемой сбоку, при наличии температурной зависимости вязКости / / Учен.
зап. / Перм. YH T. Серия rидродинамика. 1972. N2 293. Вып. 4. С. 71 83.
30. Шарифулин А. Н. О методе улучшения аппроксимационных свойств
разностных схем / / Тез. / Всесоюз. школа семинар «Математическое моделирова
ние в науке и технике». Пермь, 1986. С. 296..........297. .
31. Любимова Т. П. Численное исследование конвекции вязкопластичной
жидкости в замкнутой полости / / Изв. АН СССР. Механика жидкости и ra
за. 1977. NQ 1........... С. 3..........8.
32. Уилья'мсон У. Л. Неньютоновские жидкости........... М.: Мир, ,1964. 12\16 с.
33. Любимова Т. 'П., Любимов Д. ,В. О применении вариационных принци
пов в задаче о конвекции вязкопластичной жидкости / / Конвективные течения.........
Пермь: изд. Перм. пе д. ин та, 1979. С. 81 86.
34. Кирдяшкин А. r. Термокапиллярная и термоrравитационная конвекция
в rоризонтальном слое жидкости / / rидромеханика и процессы переноса в HeBe
сомости. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983.......... С. 126 151.
35. СимановQКИЙ И. Б. Стационарные и колебательные конвективные движе
ния в двухслойной системе при подоrреве сбоку / / Теплофизика высоких темпе
ратур. 1985. Т. 23. NQ 2........... С. 305 308.
36. rершуни r. 3., ЖУХОВИЦКИЙ Е. ,М., Тарунин Е. Л. Численное исследова
ние конвекции жидкости, подоrреваемой снизу / / Изв. АН СССР. Механика жид
кости и rаза. 1966. .NQ 6........... С. 93 99. -
37. ЧернаТblНСК'ИЙ В. И. Численное исследование конвекции в rоризонталь-
ном цилиндре KpyroBoro сечения / / rидродинамика. Пермь, 1974........... Вып. 7.
С. 65 82.
38. Сорокин В. С. О стационарных движениях жидкости, подоrреваемой
снизу//ПММ. 1954...........Т. 18..........Вып. 2.
39. Batchelor G. К. Heat transfer Ьу free convection across а closed cavity
between vertical bOl1ndaries at different temperatures / / Quart. Appl. Math.
1954. Vol. 12. N 3. Р. 209 233.
40. IKaTaHoBa Т. Н., Путин r. Ф. Надкритические движения в подоrреваемом
снизу вертикальном слое / / Учен. зап. f Перм. пед. ин т. 1976. .......... NQ 152.
С. 28 36.
41. Мызникова Б. И. Численное исследование надкритических режимов теп-
ловой конвекции в ячейке Хеле Шоу при подоrреве снизу / / Исследование :rеп
ловой конвекции и теплопередачи. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1981...........
С. 23 31.
42. ТаРУН1ИН Е. Л. О численном исследовании ветвлений при свободной KOH
векции в замкнутой полости / / Изв. АН СССР. Механика жидкости и rаза.
1967. NQ 5. С. 72: 74.
43. Тарунин Е. Л. Конвекция в замкнутой полости, подоrреваемой снизу,
при нарушении условий равновесия / / Изв. АН СССР. Механика жидкости и ra
за. 1977. NQ 2. С. 203 207. .
44. Тарунин Е. Л. Ветвление решений уравнений конвекции B замкнутой
полости с подвижной rраницей при подоrреве снизу / / Современные проблемы
тепловой rравитационной конвекции. Минск, 197 4. С. 51 58.
45. Чернатынекий В. Н., Шлиомис ,М. Н. Конвекция вблизи критических
чисел Рэлея при почти вертикальном rрадиенте температуры / / Изв. АН СССР.
Механика жидкости и rаза. 1973. NQ 1........... С. 64 70.
46. Симуии Л. М. Численное решение некоторых задач вязкой жидкости
/ / Инженерный журн. 1964. Т. 4. Вып. 3. С. 446..........450.
47. Вайнберr М. М., Треноrин В. А. Теория ветвления решений нелинейных
уравнений. М.: Наука, 1969. 528 с.
48. rлухов А. Ф., Путин r. Ф. о возникновении конвекции на фоне медлен
Horo течения//Изв. АН СССР. Механика жидкости и rаза. 1982. NQ 1.
С. 171 176.
221
. ....,
49. rершуни r. 3., Жух()вицкий Е. М., Тарунин Е. л. Конвекция подоrре-
ваемой снизу жидкости в замкнутой полости при наличии температурной зави-
симости вязкости / / Теплофизика высоких температур. .........1973. Т. 11........... Н2 ;3........
С. 579 587.
50. Liang S. F., Vidal А., Acrivos А. Виоуапсу driven convection in а cy
lindrical geometries // J. Fluid Mech. 1969........... Vo!. 36. N 2. P.239 256.
51. Полежаев В. н. Локальные естественно конвективные процессы в reo-
физической rидродинамике / / Методы rидрофизических исследований. [opь
кий: ИПФ АН СССР, 1984........ С. 79 9'}.
52. Непомнящий А. А. О длинноволновой конвективной неустойчивости в ro
ризонтальных слоях с деформируемой rраницей / / Нелинейные конвективные Te
чения. Пермь, 1983. С. 25.......31.
53. Тарунин Е. Л., Шарифулнн А. Н. Надкритический режим тепловой KOH
векции в самоrравитирующей сфере / / Учен. зап. / Перм. YH T. Серия rидроди
намика. ....... 1976. Вып. 8..;...... С. 62 68.
54. Бабский В. r., КопачевCЮfЙ Н. д., Мышкис А. д. и др. rидромеханика
невес-омости. .......... М.: Наука, 1976. 504 с.
55. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stabi1ity. Oxford:
Clarendon Press, 1961. 652 р.
56. Бабский В. r., OКJIовская н. л. О возникновении конвекции в caMorpa
витирующем жидком шаре, HarpeBaeMoM изнутри / / ПММ. 1971. Т. 35........
N2 6. С. 1000.......1 О 14.
57. СОрОК1ИН Л. Е., Тарунин Е. Л., Шлиомис М. И. Монотонные и колеба
тельные режимы конвекции проводящей среды в маrнитном поле / / Маrнитная
rидродинамика. Риrа, 1975. N2 4. ....... С. 22 30.
58. Каулин[' r. Маrнитная rидродинамика. М.: Иностр. лит., 1959........ 1321 с.
59. Feршуни r. 3., Жуховицкий Е. М., Юрков Ю. С. Конвекция конечной
амплитуды в полости с внутренними источниками тепла / / Тр. / 111 й Всесоюз.
семинар по численным методам механики вязкой жидкости. Риrа, lв72........ HOBO
сибирск, 1973.......... С. 38 4 7.
60. rершуни r. 3., ЖУХОВИЦКИЙ Е. М., Юрков Ю. с. Конечноамплитудные
конвективн е движения в прямоуrольных областях с внутренними источниками
тепла / / Учен. зап. / Перм. yH T........ 1974. NQ 316. С. 213.
61. Блохин А. С., ,БлОХИНа Н. С., M8JКaeBa О. С. Самовозбуждающиеся KO
лебания в жидкости при развитой конвекции / / Докл. АН СССР........... 1973. .......
21 о. N2 1. С. 75.......78.
62. ЛюбимОва Т. П. О конвективных движениях неньютоновской жидкости
в замкнутой полости, подоrреваемой снизу / / Изв. АН СССР. Механика жид
кости и rаза........ 1974. ....... N2 2. С. 181.......184. .
63. Л юБИiмова. Т. п. Конвекция неньютоновской жидкости при почти Bep
!J'икальном подоrреве / / Учен. зап. / Перм. YH T. 1975. N2 327.......... С. 38 46.
64. rершуни r. 3., Жухови.ЦКИЙ Е. М., Тарунин Е. л. Вторичные стацио
нарные конвективные движения в ПJIОСКОМ вертикальном слое жидкости / / Изв.
АН СССР. Механика жидкости и rаза. 1986. N2 5. .......... С. 130.......136.
65. Тарунин Е. Л. Вторичное конвективное движение жидкости в верти
кальном слое с подвижными rраницами / / Учен. зап. / Перм. YH T. Серия rид
родинамика. 1974. .......... N2 316. Вып. 5........ С. 115.......126.
66. rершуни r. 3., ЖУХОВИЦКИЙ Е. М., Сорокин Л. Е., Тарунин Е. Л. BTO
ричные колебательные конвективные движения в плоском вертикальном слое
жидкости / / Изв. АН СССР. Механика жидкости и rаза. 197 4. NQ 1...........
С. 94.......1 О 1.
67. Сорокин Л. Е. О нелинейном конвективном движении в плоском Bep
тикальном слое жидкости в области колебательной неустойчивости / / Учен. зап.
/ Перм. y i>T. Серия rидродинамика. 1974. N2 316........... Вып. 5........ С. 127 137.
68. Бирих Р. ,В. О малых возмущ ниях плоскопараллельноrо течения с KY
бическим профилем скорости // ПММ. 1966. Т. 30. NQ 2. С. 356 7 361.
69. Самарский ,Л. Л. Введение в теОlрИ1Ю ра.зностныос схем. М.: н (fyKa,
1 971. 552 с.
70. Непомнящий А. А. О нестационар'ных вторичных конвективных движе
ниях в вертикальном плоском слое / / Конвективные течения. Пермь: изд. Перм.
пед. ин та. 1979. Вып. 1. С. 61 66.
222
71. Бирих Р. В., Рудаков Р. Н. О влиянии движения rрании. на устойчи-
вость конвективноrо течения между вертикальными плоскостями / / Учен. зап.
I Перм. YH T. Серия rидродинамика. ---- 1970. ---- Н2 1216.......... Вып. 2. ---- С. 9 98.
72. 1'арунин Е. Л., Ямшинина Ю. А. Расчет электроrидродинамическоrо Te
чения в сильно неоднороДных электрических полях / / Маrнитная rидродинаиика.
Риrа........... 1990, NQ 2. С. 142 144.
73. Лобов Н. Н., Тарунии Е. Л. Надкритический режим конвеки.ии в вер-
1'икальном слое с движущимися rраницами / / Изв. АН СССР. Механика жидко-
сти и rаза........... 1984. .......... NQ 5........... С. 10..........14.
74. Бирих Р. В., rершуни r. 3., ЖУХОВlЩIКий Е. М., Рудаков Р. ,Н. О коле-
.бательной неустойчивости плоскопараллельноrо конвективноrо движения в вер-
тикальном канале / / ПММ. 1972........... Т. 36........... NQ 4......... С. 745 748.
75. Кирдяшкин А. Ir., Леонтьев А. Н., МУХИ1Н Н. В. Устойчивость ламинар-
Jloro течения жидкости в вертикальных слоях при естественной конвекции / / Изв.
АН СССР. Механика )кидкости и rаза........... 1971. .......... NQ 5. С. 170..........174.
76. Семщ<ин Н. r. Вторичные конвективные движения неньютоновской жид-
кости в вертикальном слое / / Учен. зап. / Перм. YH T. Серия rидродинамика.........
1976......... NQ 152. Вып. 9........... С. 60 70.
77. Я,кимов А. А. gторичные конвективные движения в плоском вертикаль-
Ном слое жидкости с внутренними источниками тепла / / Учен. зап. / Лерм. пед.
ин т. Серия rидродинамика. 1974. Вып. 7. С. 53 56.
78. Тарунин Е. Л., ШайдУ.Ров В. r., Шарифулин А. Н. Экспериментал.ьное
и численное исследование устойчивости замкнутоrо конвективноrо поrраничноrо
.слоя / / Конвективные течения и rидродинамическая устойчивость. Свердловск:
УНЦ АН СССР, 1979......... С. 3 16.
79. Фромм Дж. Численное изучение конвекции в потоках, движущихся в
закрытых помещениях / / Численные методы в механике жидкостей........... М.: Мир,
1973. С. 289 299.
80. Мызникова Б. Н. О численном моделировании трехмерной тепловой KOH
-векции в замкнутой области / / Проблемы динамики вязкой жидкости. HOBO
сибирск: ИТПМ, СО АН СССР, 1985........... С. 213 216. ,
81. Сорокин Л. Е. О колебательной неустойчивости плоско параллельноrо
конвективноrо движения бинарной смеси / / Конвективные течения........... Пермь: изд.
Перм. пед. ин та, 1981.......... С. 69..........75.
82. Возовой Л. П. Конечно амплитудные режимы смешанной конвекции в
вертикальном слое с волнистыми rраницами / / Изв. АН СССР. Механика жид
кости и rаза. 1987........... NQ 1. С. 16 20.
83. Тарунии Е. Л. Нестационарная тепловая конвекция в шаровой полости
J / Изв. АН СССР. Механика жидкости и rаза........... 1970. NQ 4........... С. 118 11214.
84. Тарунин Е. Л. Нестационарная конвекция жидкости в замкнутой поло-
сти / / Изв. АН СССР. Механика жидкости и rаза. 1968. NQ 6........... С. 83 88.
85. Вайсман Б. Н., .rершуни Ir. 3., Дементьев о. Н. и др. Численное реше
ние одной нестационарной задачи теории конвекции / / Учен. зап. / Перм. YH T.
Серия rидродинамика........... 1972. NQ 239........... Вып. 4........... С. 51..........69.
86. Казарян В. А., Мызникова Б. Н., Непомнящий А. А. и др. Численное
исследование конвективноrо теплообмена при хранении жидких уrлеводородов
в подземных емкостях / / Изв. АН СССР. Механика жидкости и rаза........... 1981.'..........
NQ 2........... С. 143 148.
87. Бурдэ r. Н. Численное исследование конвекции, возникающей в модули
рованном поле внешних сил / / Изв. АН СССР. Механика жидкости и rаза...........
1970. NQ 2........... С. 196 201.
88. Бурдэ r. И. Численное исследование конвекции, возникающей при коле
баниях температуры на rоризонтальных rраницах / / Изв. АН СССР. Механика
жидкости и rаза. 1971. NQ 1........... С. 144 150.
89. Бурдэ r. И. Численное исследование нестационарной конвекции, возни
кающей в условиях модуляции температуры rраниц / / Численные методы меха-
ники сплошной среды. Новосибирск, 1971. Т. 2........... NQ 4........... С. 16 30.
90. Бурдэ r. И. о конечно амплитудной конвекции, возникающей в модули
рованном поле тяжести / / Изв. АН СССР. Механика жидкости и rаза. 1972. ..........
NQ 6. С. 124 134.
223
91. rершуни r. 3., ЖУХОВИЩ{IИИ Е. М., Юрков ю. с. о вибрационной тел-
-ЛОВОЙ конвекции в условиях невесомости / / rидродинамика и тепломассообмей
в ,невесомости.' М.: Наука, 19821. С. 90 98. - \
92. Безденежных Н. А., ,Брискман В. А., Сорокин Л. Е., Тарунин Е.. л.
Конвекция подоrреваемой снизу проводящей жидкости в маrнитном поле пр
модуляции силы тяжести / / rидродинамическая и конвективная устойчивость
несжимаемой жидкости.......... Свердловск УНЦ АН СССР, 1984. С. 3 9.
93. Болоrа .М. .К., rpocy Ф. П., 'Кожухарь Н. А. Электроконвекция и теп..
лообмен. ........ Кишинев: Штиикца, 1977........... 320 с.
94. Тарунин Е. Л. Электроконвекция в з мкнутой полости В условиях He
весомости / / Тез. / 3 й сесоюз. семинар по rидромеханике и тепломассообмену
вневесомости. .......... Черноrоловка, 1984. С. 73 75.
95. Верещаrа А. Н., Тарунин Е. л. Численное исследование СТ(fционарных
и нестационаРНhIХ режимов электроконвекции в замкнутой области / / Пробле-
мы динамики вязкой жидкости. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1985.
С. 74.........78. .
96. Верещаrа А. Н., Тарунии Е. Л - Надкритические режимы электроконвек-
ции в условиях невесомости / / Изв. АН :БССР. Серия Физико энерrетических
HaYK. Минск, 1986.......... NQ 2.....-... С. 87 91.
97. Верещarа А. Н., Тарунин Е. Л. Надкритические режимы униполярной
конвекции в замкнутой полости / / Тез. / 6 й Всесоюз. съезд по теорет. и при-
клад. механике. Ташкент, 1986........... С. 163.
98. Баяндин Д. В., Вертrейм Н. Н., Любимова Т. П., Тарунин Е. Л., Файн...
,бурr r. 3. Методы численноrо моделирования турбулентной свободной KOHBeK
ции в условиях внутренней задачи / / Проблемы динамики вязкой жидкости.
Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1985. .......... С. 17 23.
99.. Полежаев ,В. Н., Простомолотов А. М., Фед()сеев IA. Н. Метод конечных
элементов в механике вязкой жидкости / / Итоrи науки и техники. Серия Меха..
ника жидкости и rаза. М.: ВИНИТи......... 1987. Т. 21........... С. 2 92.
100. Берковский Б. М., Полевиков В. К. Вычислительный эксперимент в KOH
векции. Минск: Университетское, 1988........... 168 с.
1 О 1. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная rидромеха
ника и теплообмен. М.: Мир, 1990. Т. 1, т. 11. 728 с.